под ред. М.И.Сканави
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ ВО ВТУЗЫ
(С РЕШЕНИЯМИ). Кн. 2. Геометрия
Книга написана в соответствии с программой по геометрии для поступающих
в вузы. Настоящее издание F-е — 1992 г.) существенно переработано и
дополнено. Задачи объединены по принципу однородности тем, типов, методов
решения и разбиты на три группы по уровню их сложности. Ко многим задачам
даны подробные решения. В каждой главе приведены сведения справочного
характера и примеры решения задач.
Для поступающих в вузы.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Задачи по планиметрии
Глава 2. Задачи по стереометрии
Глава 3. Задачи по геометрии с применением
тригонометрии
Глава 4. Дополнительные задачи DO геометрии
Глава 5. Применение координат и векторов к
решению задач
Приложения. Варианты заданий для самопроверки
Варианты билетов для вступительных письменных
экзаменов
Элементы
теории,
примеры
3
36
56
93
106
Условия
задач
10
41
61
98
112
119
134
Решения,
указания,
ответы
149
189
216
310
322
346
354

ГЛАВА 1
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1°. Произвольный треугольник (а, Ь, с — стороны; а, /J, у — проти-
противолежащие им углы; р — полупериметр; R — радиус описанной окружности;
г — радиус вписанной окружности; 5 — площадь; А„ — высота, проведенная
к стороне а):
1
5= — ahai
г
l
5=- be sin a;
2
•S=-Jp(P - a)(p - b)(p - c);
S
P
abc
n .
45'
a2 sin В sin С
2sin^
a2=b2 + c2 — 2bc cos a (теорема косинусов);
abc
= = = 1R fтеопема синусов).
A.1)
A.2)
A.3)
A.4)
A.5)
A.6)
A.7)
A.8)
sin a sin/f sin у
2°. Прямоугольный треугольник (a, b — катеты; с — гипотенуза; ас,
Ьс — проекции катетов на гипотенузу):
S=~ab; О-?)
2
S-- chc; A.10)
A.11)

..- , . R-
c
'г'
a2 + b2 = c2 (теорема Пифагора);
ac
I*
ac
a
be
b~
a = c sina = c cos)
he
'be
a
с
b
с
3 = b tga = 6 ctg/
3°. Равносторонний треугольник:
a
S=-
V3
A12)
A.13)
A.14)
A.15)
A.16)
A.17)
A.18)
aJi
^~; A.19)
6
A.20)
4°. Произвольный выпуклый четырехугольник {dx и dt —диагонали;
<p — угол между ними; 5 — площадь):
S=-did2 sin<p. 0-21)
5°. Параллелограмм (а и b — смежные стороны; a — угол между ними;
ha — высота, проведенная к стороне а):
S=aha = ab sina = - dtd2 sinip. A-22)
6°. Ромб:
7°. Прямоугольник:
aha = a2 sina=- dxd2. A-23)
5=ai=- dtd2 simp. A-24)
8°. Квадрат (d— диагональ):
S^a2=d2l2. A.25)
4

9°. Трапеция (а и b — основания; h — расстояние между ними; / — средняя
линия):
а + Ь
/-—; • A-26)
а + Ь
A.27)
10°. Описанный многоугольник (р — полупериметр; г — радиус вписан-
вписанной окружности):
S=pr. A.28)
11°. Правильный многоугольник (а„ — сторона правильного л-уголь-
ника; R — радиус описанной окружности; г — радиус вписанной окружности):
а3 = Л,/з;а+ = Д,/2;а6 = Л; A.29)
S=-
папт
A.30)
12°. Окружность, круг (г — радиус; С — длина окружности; S — площадь
круга):
С=2пг; A.31)
5=тгг!. A.32)
13°. Сектор (/ — длина дуги, ограничивающей сектор; п° - градусная мера
центрального угла; а — радианная мера центрального угла):
пгп°
1= = га;
180°
1
-r2a.
360° 2
A.33)
A.34)
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ФИГУР
1°. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит
каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
? Пусть медианы AD и BE пересекаются в точке О (рис. 1.1). Построим
четырехугольник MNDE, где М и N—середины отрезков АО и ВО. Тогда
МЩАВ и MN=- AB как средняя линия треугольника
1
АОВ; ED\\AB и ED=- АВ как средняя линия тре-
треугольника ABC. Поэтому MN\ED и MN=ED, т. е.
фигура MNDE — параллелограмм с диагоналями
MD и NE. Значит, MO = OD и так как МО=АМ, то
AM=MO = OD. Следовательно, точка О делит меди-
медиану AD в отношении AO:OD=2:\ и в таком же
отношении эта точка делит медиану BE.
Очевидно, что в том же отношении должна де-
Рис.

Рис. 1.3
лить и третью медиану точка ее пересечения как с первой, так и со второй
медианами. При этом третья медиана не может пересечь их в точках, отличных от
О, поскольку тогда на каждой медиане имелись бы две различные точки, делящие
ее в отношении 2:1, считая от вершины, что невозможно. ¦
2°. Длина медианы треугольника выражается формулой
1
где а, Ь, с — длины сторон треугольника.
П Продолжим медиану AD (рис. 1.2) на расстояние DE=AD и построим
отрезки BE и ЕС. В полученном четырехугольнике АВЕС точка D пересечения
диагоналей АЕ=2т„ и ВС=а делит каждую из них пополам; следовательно,
АВЕС — параллелограмм. Теперь используем теорему о том, что сумма квад-
квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сто-
сторон. Составив уравнение и решив его относительно т„, получим искомое соот-
соотношение. ¦
3°. Длина стороны треугольника выражается формулой
2
°~3
где та, ть, тс — длины медиан треугольника.
? Отметим на медиане AD точку О пересечения медиан треугольника (рис.
1.3); согласно свойству 1°, она делит AD в отношении AO:OD = 2:1. Продолжим
1
OD на расстояние DF= OD = - т„ и соединим точку F с В и С.
2 2
Теперь составим уравнение, связывающее длины сторон ВО=- ть, СО — - тс
2
и диагоналей OF=- т„, ВС=а параллелограмма OBFC. Решив это уравнение
относительно а, получим искомое соотношение. ¦
4°. Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные
двум другим его сторонам.
П I способ. Пусть CD — биссектриса треугольника ABC (рис. 1.4). Тре-
Треугольники BDC и ADC с основаниями ах и bi имеют общую высоту. Пусть их
площади равны соответственно 5t и S2; тогда S1:S2 = a1:b1. С другой стороны,
1 С \ С
в силу формулы A.2) имеем St=- a CD sin —, S2 =- b¦ CD sin —, откуда
Si:S2=a: b. Сравнивая полученные пропорции, заключаем, что a1:b1—a:b.
II способ. Пусть LBDC=P (рис. 1.4); тогда l_ADC=n-fi. Согласно те-
С
ореме синусов A.8), имеем a. :a=sin— : sin в (из ABCD)
2

С С
и Aj :i = sin - : sin(;t—/f)=sin — : sin/i (из AACD). СравЕшвая эти пропорции,
заключаем, что a1:a = b1:b, откуда al:bl=a:b.
Ill способ. Продолжим биссектрису CD до пересечения в точке Е с прямой
ЛЕ\СВ (рис. 1.5). Имеем ^_а= 1_ Д (по условию) и ^_а= 1_У (углы при параллель-
параллельных СВ и ЛЕ и секущей СЕ). Сопоставив эти равенства, получим LP= Ly-
Следовательно, ААСЕ — равнобедренный и AE=AC=b; AAED~ ABCD (вслед-
(вследствие равенства углов), откуда al:b1 = a:b. Ш
5 . Длина биссектрисы треугольника выражается формулой
где а и Ъ — длины двух сторон треугольника ЛВС; а, и Ьх — отрезки третьей
стороны (рис. 1.4).
? Применив теорему косинусов A.7) к треугольникам с равными углами
BCD и ACD, составим уравнение
Р+а2-а{ Р + Ь'-Ь2,
2aL
2ЫС
откуда bfP + a1-^) =а(Р +Ь2-Ь\) или P(b-a)-ab(b-a) = (alb)al-(ab1)b1.
Используя равенство ab1 =аф (вытекающее из свойства 4°), получаем
(b-a)(l2-abj'=abla^albbl или (b-a)(Pc-ab)='-alb1(b-a).
Полагая bit а, разделим обе части последнего равенства на Л—а, откуда
P^ab-аф!. Ш
6°. Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон а,
Л и с по формуле
/,=-
a+b
свойство 4 , получаем -= , т.
ас
~~п ~а + Ь
, — . Отсюда находим
а+Ь
? Запишем соотношение из п. 5° в виде ^ab—a^c—a,). Далее, используя
а а
b c—at
с— 1 и требуемое значение 1С. Ш
7°. Для всякого треугольника зависимость между его высотами ha, Aj, hc и ра-
радиусом г вписанной окружности выражается формулой
1111
Ая Aj hc r

В . М С
а
Рис. 1.7
? Используя формулы A.4) и A.1), записываем: S—rp, 2S=aha = bht,
Отсюда находим
а+Ь+с 1 1 1
1 1 1 а Ъ с
—+—+—=—+—4—=
Л„ hb hc IS IS 2S
S P S r
8°. Площадь S равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно пер-
перпендикулярны, равна квадрату ее высоты, т. е. S=h2.
D В равнобедренной трапеции осью симметрии является перпендикуляр MN
к ее основаниям, проходящий .через точку О пересечения диагоналей (рис. 1.6). Так
как LAOD—90', то AD=2ON и ВС~2ОМ. Следовательно,
AD+BC
s
9°. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность,
является средним геометрическим ее оснований.
D Так как в четырехугольнике, описанном около окружности, суммы длин
а+Ь
противоположных сторон равны, то a+i—2с (рис. 1.7), откуда АВ— . Далее
а-Ъ
имеем АЕ" и из прямоугольного треугольника ABE находим
ВЕ2~АВ2-АЕ1, т. е. Л2-/— j -(—) -«*¦ ¦
Пример 1. Площадь треугольника ABC равна 30 см2. На стороне АС взята
точка D так, что AD:DC— 2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на
сторону ВС, равна 9 см. Найти ВС.
D Проведем BD (рис. 1.8); треугольники ABD и BDC имеют общую

высоту BF; следовательно, их площади относятся как длины оснований, т. е.
SbABD'SbBDC=AD:DC=2:3, откуда S^BDC=~ ?длвс=18 см2. С другой сто-
1 1
роны, согласно формуле A.1), S^bdc—~ BC-DE или 18=-ВС-9, откуда
5С=4 см. ¦
Пример 2. В равнобедренном треугольнике высоты, проведенные к основа-
основанию и к боковой стороне, равны соответственно 10 и 12 см. Найти длину
основания.
? В ААВС имеем АВ-ВС, BDLAC, AELBC, BD = 10 см и АЕ-12 см (рис.
1.9). Пусть АС=х, АВ=ВС=у. Прямоугольные треугольники АЕС и BDC подо-
подобны (угол С—общий); следовательно, BC:AC=BD:AE или y:jc=10:12=5:6.
Применяя теорему Пифагора A.13) к ABDC, имеем BC2=BD2+DC2, т. е.
j^ = 100+—- Решив систему уравнений
4 '
получим х—15. Итак, АС—15 см. ¦
Пример 3. Две окружности касаются внешним образом. К первой из них
проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. Расстояние
от точки касания до центра второй окружности равно утроенному радиусу этой
окружности. Во сколько раз длина первой окру-
окружности больше длины второй окружности?
D Пусть О1 и О2 — центры окружностей,
А—точка касания (рис. 1.10). Тогда O1A~Rl,
O1O2 = R1+R2. O2A = 3R2 (по условию). Требуется
найти отношение 2nR1:2nR2=Ri :R2. В прямо-
прямоугольном треугольнике OlAO2 (L А=90°) имеем
0^1 = 0^*+ О2А2 или (Л1 + Я,J=Я? + (ЗЛ2J.
Упростив это равенство, получим «j =4Л2, откуда
Л1:Я,=4. ¦
Пример 4. Точка касания окружности, вписан-
вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипо-
гипотенузу на отрезки длиной тип. Доказать, что
площадь треугольника S=mn. Найти площадь прямоугольника, вписанного
в данный треугольник так, что одна его вершина совпадает с вершиной прямого
угла, а противоположная вершина — с точкой касания окружности и гипотенузы.
? Пусть D.E.F — точки касания (рис. 1.11); тогда AD=AF=m, BD=BE=n,
CE=CF=r — радиус вписанной окружности, р=г+т+п — полупериметр. Да-
Рис. 1.10
— В
Рис. 1.12

лее, используя формулу A.9), находим 5=или
2S=r1+r(m+n)+mn=r(r+m + n) + mn = rp+mn. Так как в силу равенства A.4)
rp = S, то 2S=S+mn, откуда S=mn.
Пусть CMDK — вписанный прямоугольник. Поскольку DK\\BC, используя
т
гомотетию с центром в А и коэффициентом к— , найдем площадь 5t
т+п
треугольника ADK:
(т + пJ (т+пJ
Аналогично для площади S2 треугольника BDM имеем
п2 тпъ
(т + пJ (т+пJ
Искомая площадь
1тгпг
(m+nJ (m + nI
Пример 5. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого
угла; отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан, перпен-
перпендикулярен катету. Найти углы треугольника.
? Пусть BE — медиана, О — точка пересечения медиан, AD — биссектриса
и ODLBC (рис. 1.12). Согласно свойству точки пересечения медиан, ЕО: ОВ= 1:2.
Так как ОЩЕС, то по теореме Фалеса CD:DB=EO:OB=\ :2. Используя свойст-
свойство биссектрисы треугольника, получаем CD:DB=AC:AB, т. е. АС:АВ=\ :2.
Следовательно, sinВ= 1/2, откуда Z_5=30°, LA=>60°. Щ
Группа А
1.001. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит
гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найти катеты треугольника.
1.002. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного тре-
треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти
стороны треугольника.
1.003. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют ариф-
арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найти длину гипотенузы.
1.004. Определить острые углы прямоугольного треугольника,
если медиана, проведенная к его гипотенузе, делит прямой угол
в отношении 1:2.
1.005. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти
расстояние между точкой пересечения его биссектрис и точкой пересече-
пересечения медиан.
1.006. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треуголь-
треугольника с катетами 24 и 18 см.
1.007. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла де-
делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить
площадь треугольника.
1.008. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника
с катетами 6 и 8 м проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить
площади образовавшихся треугольников.
1.009. Площадь прямоугольного треугольника равна 2^/3 см2. Опре-
10

делить его высоту, проведенную к гипотенузе, если она делит прямой
угол в отношении 1:2.
1.010. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной
4 см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треуголь-
треугольника, если медиана равна 3 см.
1.011. Основание равнобедренного треугольника равно 4^2 см,
а медиана боковой стороны 5 см. Найти длины боковых сторон.
1.012. Найти длины сторон равнобедренного треугольника ABC
с основанием АС, если известно, что длины его высот AN и ВМ равны
соответственно пит.
1.013. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона
равны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании
треугольника.
1.014. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если дли-
длина высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, а длина
основания равна 15 см.
1.015. Найти площадь равнобедренного треугольника, если основа-
основание его равно а, а длина высоты, проведенной к основанию, равна длине
отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.
1.016. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треуголь-
треугольника, равна Н и вдвое больше своей проекции на боковую сторону.
Найти площадь треугольника.
1.017. Найти длины сторон АВ и АС треугольника ABC, если ВС= 8
см, а длины высот, проведенных к АС и ВС, равны соответственно 6,4
и 4 см.
1.018. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 3 см.
Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, проведенных
к данным сторонам, равна третьей высоте.
1.019. Длина основания треугольника равна 36 см. Прямая, парал-
параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам. Найти длину
отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.
1.020. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая меди-
медиану в отношении 3:1, считая от вершины. Во сколько раз площадь
треугольника с вершинами в этих трех точках меньше площади исход-
исходного треугольника?
1.021. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его на
части, площади которых относятся как 2:1. В каком отношении, считая
от вершины, она делит боковые стороны?
1.022. Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26
и 28 см. Высота разделена в отношении 2:3 (считая от вершины), и через
точку деления проведена прямая, параллельная основанию. Определить
площадь полученной при этом трапеции.
1.023. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней
касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16
см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см.
Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.
1.024. Из внешней точки проведены к окружкости секущая длиной 12
см и касательная, длина которой составляет 2/3 внутреннего отрезка
секущей. Определить длину касательной.
1.025. Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды
проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, парал-
параллельная касательной. Определить радиус окружности, если внутренний
отрезок секущей равен 12 см.
1.026. Две окружности радиусов Л=3 см и г= 1 см касаются внеш-
11

ним образом. Найти расстояния от точки касания окружностей до их
общих касательных.
1.027. Из одной точки проведены к окружности две касательные.
Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания
14,4 см. Определить радиус окружности.
1.028. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне
касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен г. Найти
радиус большей окружности.
1.029. Через концы дуги окружности, содержащей 120°, проведены
касательные, и в фигуру, ограниченную этими касательными и данной
дугой, вписана окружность. Доказать, что ее длина равна длине исход-
исходной дуги.
1.030. В окружности проведены две хорды АВ=а и АС=Ъ. Длина
дуги АС вдвое больше длины дуги АВ. Найти радиус окружности.
1.031. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их
центров под углами 90 и 60е. Найти радиусы окружностей, если расстоя-
расстояние между их центрами равно уЗ +1.
1.032. В сектор АОВ с радиусом R и углом 90° вписана окружность,
касающаяся отрезков О А, ОБ и дуги АВ. Найти радиус окружности.
1.033. Дана точка Р, удаленная на 7 см от центра окружности
радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. Каковы
длины отрезков, на которые делится хорда точкой Р1
1.034. В окружности радиуса г проведена хорда, равная г/2. Через
один конец хорды проведена касательная к окружности, а через дру-
другой — секущая, параллельная касательной. Найти расстояние между
касательной и секущей.
1.035. В большем из двух концентрических кругов проведена хорда,
равная 32 см и касающаяся меньшего круга. Определить длину радиуса
каждого из кругов, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см.
1.036. Круг радиуса R разделен двумя концентрическими с ним
окружностями на три равновеликие фигуры. Найти радиусы этих окру-
окружностей.
1.037. Площадь кругового кольца равна S. Радиус большей окру-
окружности равен длине меньшей окружности. Определить радиус по-
последней.
1.038. Определить площадь кругового кольца, заключенного между
двумя концентрическими окружностями, длины которых равны С\ и С2
(С,>С2).
1.039. Хорда АВ постоянной длины скользит своими концами по
окружности радиуса R. Точка О этой хорды, находящаяся на расстояни-
расстояниях а и Ь от концов А и В хорды, описывает при полном обороте
окружность. Вычислить площадь кольца, заключенного между данной
окружностью и окружностью, описанной точкой С.
1.040. Внутри круга радиуса 15 см взята точка М на расстоянии 13
см от центра. Через точку М проведена хорда длиной 18 см. Найти
длины отрезков, на которые точка М делит хорду.
1.041. В круговой сектор с центральным углом в 120° вписан круг.
Найти радиус описанного круга, если радиус данного круга равен R.
1.042. В круговой сектор, дуга которого содержит 60°, вписан круг.
Найти отношение площади этого круга к площади сектора.
1.043. Круг радиуса R обложен четырьмя равными кругами, каса-
касающимися данного так, что каждые два соседних из этих четырех кругов
касаются друг друга. Вычислить площадь одного из этих кругов.
1.044. Три окружности разных радиусов попарно касаются друг
12

друга. Прямые, соединяющие их центры, образуют прямоугольный
; ^треугольник. Найти радиус меньшей окружности, если радиусы большей
"?и средней окружностей равны 6 и 4 см.
! 1.045. Три равные окружности радиуса г попарно касаются одна
другой. Вычислить площадь фигуры, расположенной вне окружностей
и ограниченной их дугами, заключенными между точками касания.
1.046. Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60 и 120°.
Найти отношение площадей этих кругов.
1.047. Доказать, что если диаметр полукруга разделить на две про-
произвольные части и на каждой из них построить как на диаметре полуок-
полуокружность (внутри данного полукруга), то площадь, заключенная между
тремя полуокружностями, равна площади круга, диаметр которого ра-
равен длине перпендикуляра к диаметру полукруга, проведенного в точке
деления до пересечения с окружностью.
1.048. Определить площадь круга, вписанного в сектор круга ради-
радиуса R с хордой 1а.
1.049. Сторона равностороннего треугольника, вписанного в окру-
окружность, равна а. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента.
1.050. Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна а. Вычис-
Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента.
1.051. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне пра-
правильного вписанного треугольника. Определить отношение площадей
этих сегментов.
1.052. Круг, радиус которого равен R, разделен на два сегмента
хордой, равной стороне вписанного квадрата. Определить площадь
меньшего из этих сегментов.
1.053. В круге радиуса R по разные стороны от центра проведены
две параллельные хорды, одна из которых равна стороне правильного
вписанного треугольника, а другая — стороне правильного вписанного
шестиугольника. Определить площадь части круга, содержащейся между
хордами.
1.054. Три окружности радиусов Rt = 6 cm, R2 = l см, R3 = 8 см
попарно касаются друг друга. Определить площадь треугольника, вер-
вершины которого совпадают с центрами этих окружностей.
1.055. Каждая из трех равных окружностей радиуса г касается двух
других. Найти площадь треугольника, образованного общими внеш-
внешними касательными к этим окружностям.
1.056. В круг радиуса R вписаны два правильных треугольника так,
что при их взаимном пересечении каждая из сторон разделилась на три
равных отрезка. Найти площадь пересечения этих треугольников.
1.057. Общая хорда двух окружностей служит для одной из них
стороной вписанного квадрата, а для другой — стороной правильного
вписанного шестиугольника. Найти расстояние между центрами окру-
окружностей, если радиус меньшей из них равен г (рассмотреть два возмож-
возможных случая расположения окружностей).
1.058. Общая хорда двух пересекающихся окружностей рр -лг.
а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного
треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Опреде-
Определить расстояние между центрами окружностей (рассмотреть два воз-
возможных случая).
1.059. Одна из двух параллельных прямых касается окружности
радиуса R в точке А, а другая пересекает эту окружность в точках В и С.
Выразить площадь треугольника ABC как функцию расстояния х между
прямыми.
13

1.060. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной
окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти катеты
треугольника.
1.061. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоуголь-
прямоугольного треугольника равны соответственно 3 и 5 см. Найти катеты тре-
треугольника.
1.062. Радиус окружности, описанной около прямоугольного тре-
треугольника, равен 15 см, а радиус вписанной в него окружности равен
6 см. Найти стороны треугольника.
1.063. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см,
а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см. Найти
площадь треугольника.
1.064. Радиус окружности, описанной около прямоугольного тре-
треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2.
Найти площадь треугольника, если один из его катетов равен а.
1.065. В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так,
что диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки
длиной 15 и 20 см. Найти площадь треугольника и длину вписанной
полуокружности.
1.066. На большем катете треугольника как на диаметре построена
полуокружность. Найти ее длину, если длина меньшего катета 30 см,
а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения
гипотенузы и полуокружности, равна 24 см.
1.067. Окружность касается большего катета прямоугольного тре-
треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла
и имеет центр на гипотенузе треугольника. Каков радиус окружности,
если длины катетов равны 5 и 12?
1.068. Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного
треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник,
равен 3 см, а один из катетов равен 10 см.
1.069. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см,
а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус
окружности, вписанной в треугольник.
1.070. Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипо-
гипотенуза равна с. Определить площадь круга, вписанного в треугольник.
1.071. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треуголь-
треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 и 16 м.
1.072. Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треуголь-
треугольник, если высота, проведенная к гипотенузе, делит последнюю на отрез-
отрезки длиной 25,6 и 14,4 см.
1.073 Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, площадь
его равна 24 см2. Найти площадь описанного круга.
1.074. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Найти
расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра
описанной около него окружности.
1.075. Окружность касается одного из катетов равнобедренного пря-
прямоугольного треугольника и проходит через вершину противополож-
противоположного острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит на
гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а.
1.076. Найти отношение радиуса окружности, вписанной в равнобед-
равнобедренный прямоугольный треугольник, к высоте, проведенной к гипо-
гипотенузе.
1.077. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см,
основание 12 см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены
14

касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от дан-
данного треугольника два прямоугольных треугольника. Найти длины сто-
сторон этих треугольников.
1.078. Длина высоты, проведенной к основанию равнобедренного
треугольника, равна 25 см, а радиус вписаннной окружности равен 8 см.
Найти длину основания треугольника.
1.079. В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине
и боковой стороной а вписана окружность. Найти радиус этой окру-
окружности.
1.080. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см, а бо-
боковая сторона равна 39 см. Определить радиус вписанного круга.
1.081. Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 120°,
если радиус вписанного круга равен у 12 см.
1.082. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а бо-
боковая сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной
окружностей и расстояние между их центрами.
1.083. Найти площадь круга, описанного около равнобедренного
треугольника, если основание этого треугольника равно 24 см, а боковая
сторона 13 см.
1.084. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с ос-
основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, параллельная
основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного меж-
между сторонами треугольника.
1.085. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см,
как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон тре-
треугольника. Найти радиус окружности, если длина высоты, проведенной
к основанию треугольника, равна 3 см.
1.086. Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности
радиуса R в точках В к С так, что треугольник ABC — равносторонний.
Найти его площадь.
1.087. Площадь равностороннего треугольника, вписанногов окру-
окружность, равна Q1. Доказать, что радиус окружности равен 2(?^/з/3.
1.088. В окружность, диаметр которой равен yj\2, вписан правиль-
правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен другой пра-
правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти
радиус этой окружности.
1.089. В правильный треугольник вписана окружность и около него
описана окружность. Найти площадь образовавшегося кольца, если
сторона треугольника равна а.
1.090. Каждая сторона правильного треугольника разделена на три
равные части, и соответственные точки деления, считая в одном направ-
направлении, соединены между собой. В полученный правильный треугольник
вписана окружность радиуса г=6 см. Определить стороны треуголь-
треугольников.
1.091. Дан правильный треугольник ABC. Точка ? делит сторону АС
в отношении 2:1, а точка М— сторону АВ в отношении 1:2 (считая
в обоих случаях от вершины А). Показать, что длина отрезка КМ равна
радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.
1.092. fl равносторонний треугольник вписана окружность. Этой
окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности.
Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен г.
1.093. На диаметре 2R полуокружности построен правильный тре-
треугольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен
15

по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить
площадь той части треугольника, которая лежит вне круга.
1.094. На диаметре 2R полукруга построен правильный треугольник,
стороны которого равны диаметру. Как относятся площади частей
треугольника, лежащих вне и внутри круга?
1.095. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15°
и 60". Найти площадь треугольника.
1.096. Стороны треугольника равны 13,14 и 15 см. Найти отношение
площадей описанного и вписанного в треугольник кругов.
1.097. В треугольнике длины сторон относятся как 2:3:4. В него
вписан полукруг с диаметром, лежащим на большей стороне. Найти
отношение площади полукруга к площади треугольника.
1.098. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18 см. Проведена
окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на
большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит
большую сторону треугольника.
1.099. Расстояние от центра круга до хорды длиной 16 см равно 15
см. Найти площадь треугольника, описанного около круга, если пери-
периметр треугольника равен 200 см.
1.100. Доказать, что отношение периметра треугольника к одной из
его сторон равно отношению высоты, проведенной на эту сторону,
к радиусу вписанной окружности.
1.101. В прямоугольный треугольник с катетами а и Ь вписан квад-
квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр
квадрата.
1.102. В правильный треугольник вписан квадрат, сторона которого
равна т. Найти сторону треугольника.
1.103. Найти площадь квадрата, вписанного в правильный треуголь-
треугольник со стороной а.
1.104. Сторона правильного треугольника, вписанного в окру-
окружность, равна а. Вычислить площадь квадрата, вписанного в ту же
окружность.
1.105. На сторонах квадрата вне его построены правильные тре-
треугольники, и их вершины последовательно соединены. Определить от-
отношение периметра полученного четырехугольника к периметру данного
квадрата.
1.106. В квадрате, сторона которого а, середины двух смежных
сторон соединены между собой и с противоположной вершиной квад-
квадрата. Найти площадь полученного треугольника.
1.107. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной
площади, одна сторона которого лежит на основании треугольника.
Найти площадь треугольника, если известно, что центры масс треуголь-
треугольника и квадрата совпадают (центр масс треугольника лежит на пересече-
пересечении его медиан).
1.108. Площадь равнобедренного треугольника равна 1/3 площади
квадрата, построенного на основании данного треугольника. Длины
боковых сторон треугольника короче длины его основания на 1 см.
Найти длины сторон и высоты треугольника, проведенной к основанию.
1.109. Найти площадь правильного треугольника, вписанного в ква-
квадрат со стороной а при условии, что одна из вершин треугольника
совпадает с вершиной квадрата.
1.110. На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника
с гипотенузой с вне этого треугольника построены квадраты. Центры
16

этих квадратов соединены между собой. Найти площадь полученного
треугольника.
1.111. В квадрате со стороной а середины двух смежных сторон
соединены между собой и с противоположной вершиной квадрата. Опре-
Определить площадь внутреннего треугольника.
1.112. В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на
сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата
углы в 60°. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь
вписанного?
1.113. Дан квадрат, две вершины которого лежат на окружности
радиуса R, две другие — на касательной к этой окружности. Найти
длину диагонали квадрата.
1.114. Около квадрата со стороной а описана окружность. В один из
образовавшихся сегментов вписан квадрат. Определить площадь этого
квадрата.
1.115. В сегмент, дуга которого равна 60°, вписан квадрат. Вычис-
Вычислить площадь квадрата, если радиус круга равен 2^/з + у/п.
1.116. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сег-
сегмент, площадь которого равна Bя—4) см2. Найти площадь квадрата.
1.117. Площадь прямоугольника равна 9 см2, а величина одного из
углов, образованного диагоналями, равна 120°. Найти стороны прямо-
прямоугольника.
1.118. В круг радиуса R вписан прямоугольник, площадь которого
вдвое меньше площади круга. Определить стороны прямоугольника.
1.119. В прямоугольнике проведены биссектрисы двух углов, приле-
прилежащих к большей стороне. Определить, на какие части делится площадь
прямоугольника этими биссектрисами, если стороны прямоугольника
равны 2 и 4 м.
1.120. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со
стороной, равной 6 см, так, что угол в 60° у них общий и все вершины
ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны треугольника.
1.121. В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий,
а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении
2:3. Диагонали ромба равны тип. Найти стороны треугольника,
содержащие стороны ромба.
1.122. Сумма длин диагоналей ромба равна т, а его площадь равна
S. Найти сторону ромба.
1.123. В ромб с острым углом 30° вписан круг, площадь которого
равна Q. Найти площадь ромба.
1.124. Периметр ромба равен 2 м, длины его диагоналей относятся
как 3:4. Найти площадь ромба.
1.125. Определить сторону ромба, зная, что площадь его равна S,
а длины диагоналей относятся как т: п.
1.126. Периметр ромба равен 2р; длины диагоналей относятся как
т: п. Вычислить площадь ромба.
1.127. Высота ромба равна 12 см, а одна из его диагоналей равна 15
см. Найти площадь ромба.
1.128. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит
его сторону на отрезки длиной т и п (т считать от вершины острого
угла). Определить диагонали ромба. -
1.129. Ромб, у которого сторона равна меньшей диагонали, равнове-
равновелик кругу радиуса R. Определить сторону ромба. ,*<
1.130. В ромб с острым углом 30° вписан круг, а в круг — квадрат.*""
Найти отношение площади ромба к площади квадрата.
17*''

1.131. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями
12 и 6 см. Найти радиус окружностей.
1.132. В ромб, который делится своей диагональю на два равносто-
равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса 2. Найти сторону
ромба.
1.133. Доказать, что если в четырехугольнике диагонали лежат на
биссектрисах его углов, то такой четырехугольник есть ромб.
1.134. На сторонах ромба как на диаметрах описаны полуокруж-
полуокружности, обращенные внутрь ромба. Определить площадь полученной
розетки, если диагонали ромба равны аи Ь.
1.135. Периметр параллелограмма равен 90 см, а острый угол содер-
содержит 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части
в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.
1.136. Величина одного из углов параллелограмма равна 60°,
а меньшая диагональ 2л/з 1 см. Длина перпендикуляра, проведенного из
точки пересечения диагоналей к большей стороне, равна >/75/2 см.
Найти длины сторон и большей диагонали параллелограмма.
1.137. Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма
к его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 и 15 см.
Разность длин сторон параллелограмма равна 7 см. Найти длины сто-
сторон параллелограмма и его диагоналей.
1.138. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагона-
диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна
8 см. Найти длины сторон параллелограмма.
1.139. В параллелограмме ABCD высота, проведенная из вершины
В тупого угла на сторону DA, делит ее в отношении 5:3, считая от
вершины D. Найти отношение ЛС:ВВ, если AD:AB = 2.
1.1.40. Через точки R в ?, принадлежащие сторонам АВ и AD
2 1
параллелограмма ABCD и такие, что AR = - АВ, АЕ=- AD, проведена
прямая. Найти отношение площади параллелограмма к площади полу-
полученного треугольника.
1.141. Доказать, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой
точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны
длинам этих сторон.
1.142. Доказать, что если через вершины четырехугольника провести
прямые, параллельные его диагоналям, то площадь параллелограмма,
определяемою этими прямыми, в 2 раза больше площади данного
четырехугольника.
1.143. Две окружности радиуса R с центрами Ог и О2 касаются друг
друга. Их пересекает прямая в точках А, В, С я D так, что АВ= ВС-CD.
Найти площадь четырехугольника OxADOt.
1.144. В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см
касательные к ним взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь фи-
фигуры О1АВО1, где АВ — общая касательная к окружностям, а О,
ж О2 — их центры.
1.145. Большее основание трапеции имеет длину 24 см. Найти длину
ее меньшего основания, если известно, что расстояние между серединами
диагоналей трапеции равно 4 см.
1.146. Один из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие
боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти
длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна
10 см, а одно из оснований 8 см.

¦ 1.147. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны кото-
которой содержат 16 и 44 см, а непараллельные — 17 и 25 см.
1.148. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4 см,
а длины непараллельных сторон — 20 и 13 см. Найти высоту трапеции.
1.149. Основания трапеции равны а и Ь, углы при большем основа-
основании равны я/6 и я/4. Найти площадь трапеции.
1.150. Вычислить площадь трапеции ABCD (AD\\BC), если длины ее
оснований относятся как 5:3 и площадь треугольника ADM равна 50
см2, где М — точка пересечения прямых АВ и CD.
1.151. Вычислить площадь трапеции по разности оснований, равной
14 см, и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15 см, если
известно, что в трапецию можно вписать окружность.
1.152. В трапеции, площадь которой равна 594 м2, высота 22 м,
а разность параллельных сторон равна 6 м, найти длину каждой из
параллельных сторон.
1.153. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины
одной из непараллельных сторон и длины перпендикуляра, проведен-
проведенного через середину другой боковой стороны к первой.
1.154. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Най-
Найти отношение площадей треугольников, прилегающих к боковым сторо-
сторонам трапеции.
1.155. Диагональ прямоугольной трапеции и ее боковая сторона
равны. Найти длину средней линии, если высота трапеции равна 2 см,
а боковая сторона 4 см.
1.156. Вычислить площадь прямоугольной трапеции, если ее острый
угол равен 60°, меньшее основание равно а, а большая боковая сторона
равна Ь.
1.157. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной тра-
трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длины сторон трапеции,
если ее площадь равна 12 см2, а длина высоты равна 2 см. ,
1.158. Определить боковые стороны равнобедренной трапеции, если
ее основания и площадь равны соответственно 8 см, 14 см и 44 см2.
1.159. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол
пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42
см. Найти площадь трапеции.
1.160. В равнобедренной трапеции одно основание равно 40 см,
а другое 24 см. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти ее
площадь.
1.161. В равнобедренной трапеции длина средней линии равна 5,
а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
1.162. Большее основание'трапеции в 2 раза больше ее меньшего
основания. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, па-
параллельная основаниям. Найти отношение высоты каждой из двух полу-
полученных трапеций к высоте трапеции.
1.163. Основания равнобедренной трапеции anb, боковая сторона ее
равна с, а диагональ равна d. Доказать, что d2 = ab + c1.
1.164. Найти диагональ и боковую сторону равнобедренной трапе-
трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной
окружности лежит на большем основании трапеции.
1.165. В равнобедренной трапеции даны основания а=21 см, Ь = 9 см
и высота h = 9 см. Найти радиус описанного круга.
1.166. В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее
основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь
трапеции. !
19,

1.167. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как
5:12, а длина ее высоты равна 17 см. Вычислить радиус окружности,
описанной около трапеции, если известно, что ее средняя линия равна
высоте.
1.168. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота
равна А, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под
углом 60°.
1.169. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедрен-
равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания
трапеции.
1.170. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
равна S, а высота трапеции в 2 раза меньше ее боковой стороны.
Определить радиус вписанного круга.
1.171. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
равна 32л/3 см2. Определить боковую сторону трапеции, если известно,
что острый угол при основании равен я/3.
1.172. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
равна 8 см2. Определить стороны трапеции, если угол при основании
содержит 30°.
1.173. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
равна S. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что
острый угол при основании равен я/6.
1.174. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
равна S. Определить радиус круга, если угол при основании трапеции
равен 30°.
1.175. В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса R.
Верхнее основание трапеции в 2 раза меньше ее высоты. Найти площадь
трапеции.
1.176. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапе-
трапецию, если ее большее основание равно а, а угол при меньшем основании
равен 120°.
1.177. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых
сторон делится точкой касания на отрезки длиной тип. Определить
площадь трапеции.
1.178. В равнобедренную трапецию вписан круг. Доказать, что от-
отношение площади круга к площади трапеции равно отношению длины
окружности к периметру трапеции.
1.179. Равносторонний шестиугольник ABCDEF состоит из двух тра-
трапеций, имеющих общее основание CF. Известно, что АС= 13 см, АЕ= 10
см. Найти площадь шестиугольника.
1.180. Найти сторону правильного шестиугольника, равновеликого
равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что
центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.
1.181. Вычислить отношение площадей квадрата, правильного тре-
треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же
окружность.
1.182. Найти отношение площадей равностороннего треугольника,
квадрата и правильного шестиугольника, длины сторон которых равны.
1.183. В правильный треугольник со стороной, равной а, вписана
окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найти пло-
площадь шестиугольника.
1.184. Около квадрата, сторона которого равна а, описана окру-
окружность, а около окружности — правильный шестиугольник. Определить
площадь шестиугольника.
20

, 1.185. Из точки М, находящейся на расстоянии а от окружности,
приведена к этой окружности касательная длиной 2а. Найти площадь
правильного шестиугольника, вписанного в окружность.
1.186. В правильный треугольник вписана окружность, а в нее —
правильный шестиугольник. Найти отношение площадей треугольника
и шестиугольника.
1.187. На сторонах равностороннего треугольника вне его постро-
построены квадраты. Их вершины, лежащие вне треугольника, последователь-
последовательно соединены. Определить площадь полученного шестиугольника, если
сторона данного треугольника равна а.
1.188. В правильный шестиугольник, сторона которого равна а,
вписана окружность, и около него же описана окружность. Определить
площадь кругового кольца, заключенного между этими окружностями.
1.189. Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что
образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого
восьмиугольника.
1.190. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой
внутри правильного шестиугольника, до всех прямых, содержащих его
стороны, есть величина постоянная.
Группа Б
1.191. Внутри прямого угла дана точка М, расстояния от которой до
сторон угла равны 4 и 8 см. Прямая, проходящая через точку М,
отсекает от прямого угла треугольник площадью 100 см2. Найти катеты
треугольника.
1.192. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треуголь-
треугольника, делит его на два треугольника с площадями Q и q. Найти катеты.
1.193. Периметр прямоугольного треугольника ABC (Z.C=90°) ра-
равен 72 см, а разность между длинами медианы СМ и высоты СК равна
7 см. Найти длину гипотенузы.
1Л94. В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны у 52
и -JT5. Найти гипотенузу треугольника.
1.195. Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см. Найти
его стороны, если высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см.
1.196. Найти биссектрису прямого угла треугольника, у которого
катеты равны аи Ь.
1.197. В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипо-
гипотенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние от сьредины этого
катета до гипотенузы равно 4 см. Вычислить площадь треугольника.
1.198. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Проекция
вершины прямого угла на гипотенузу делит ее на два отрезка, из
которых меньший относится к большему как больший ко всей гипо-
гипотенузе. Определить площадь треугольника.
1.199. Определить стороны прямоугольного треугольника, у которо-
которого периметр равен 2р, а площадь равна т2.
1.200. Стороны треугольника равны 3, 4 и 5 см. Определить площа-
площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой
и медианой, проведенными к большей по величине стороне.
1.201. Высоты треугольника равны 12, 15 и 20 см. Доказать, что
треугольник прямоугольный.
1.202. Числа hlt й2 и h3 выражают длины высот некоторого тре-
треугольника. Показать, что если выполняется равенство (hl/h1I +
+ (А1/А3J= 1, то треугольник является прямоугольным.

1.203. Медианы треугольника равны S, ^/52 и -^73 см. Доказать, что
треугольник прямоугольный.
1.204. Числа т1, т2 и т3 выражают длины медиан некоторого
треугольника. Показать, что если выполняется равенство т\+т\ = 5т\,
то треугольник является прямоугольным.
1.205. Площадь равностороннего треугольника, построенного на ги-
гипотенузе, вдвое больше площади прямоугольного треугольника с ука-
указанной гипотенузой. Найти отношение катетов.
1.206. Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отсто-
отстоящая от его сторон на расстояния Ъ, с, d. Найти высоту треугольника.
1.207. Точка М лежит внутри равностороннего треугольника ABC.
Вычислить площадь этого треугольника, если известно, что АМ—ВМ=2
см, а СМ= 1 см.
1.208. Показать, что сумма расстояний от любой точки, взятой на
стороне правильного треугольника, до двух других его сторон есть
величина постоянная.
1.209. Основания двух правильных треугольников со сторонами
а и 2а лежат на одной и той же прямой. Треугольники расположены по
разные стороны от прямой и не имеют общих точек, а расстояние между
ближайшими концами их оснований равно 2а. Найти расстояние между
вершинами треугольников, не принадлежащими данной прямой.
1.210. Точка С перемещается по отрезку АВ длиной /. На отрезках
АС и СВ как на основаниях построены правильные треугольники по
одну сторону от АВ. Где нужно взять точку С, чтобы расстояние между
вершинами треугольников было наименьшим?
1.211. В равнобедренном треугольнике угол при основании содер-
содержит 72°, а биссектриса этого угла имеет длину, равную т. Найти длины
сторон треугольника.
1.212. В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит
36°, а биссектриса угла при основании равна -У 20. Найти длины сторон
треугольника.
1.213. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной
Ь, проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой между
точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен т. Опре-
Определить основание треугольника.
1.214. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см,
а боковой стороны — 18 см. К боковым сторонам треугольника прове-
проведены высоты. Вычислить длину отрезка, концы которого совпадают
с основаниями высот.
1.215. Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая
сторона — 12. Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения
биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.
1.216. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) на стороне
ВС взята точка D так, что BD: DC= 1:4. В каком отношении прямая AD
делит высоту BE треугольника ABC, считая от вершины В1
1.217. Равнобедренный треугольник со сторонами 8, 5 и 5 разделен
на три равновеликие части перпендикулярами, проведенными из некото-
некоторой точки к его сторонам. Найти расстояние от этой точки до каждой
стороны треугольника.
1.218. Определить углы равнобедренного треугольника, если его
площадь относится к площади квадрата, построенного на его основании,
какл/з:12.
1.219. Найти третью сторону остроугольного треугольника, если две

его стороны равны а и Ь, а медианы этих сторон пересекаются под
прямым углом.
1.220. Две стороны треугольника равны 6 и 8 см. Медианы, прове-
;: денные к этим сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти третью
сторону треугольника.
1.221. Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника
равны соответственно 24, 20 и 56 см. Найти боковые стороны.
1.222. Дан треугольник ABC, в котором 2hc=AB и LA = 75°. Найти
величину угла С.
1.223. Внутри угла в 60° расположена точка, отстоящая на расстоя-
расстояния >/7 и 2^/7 см от сторон угла. Найти расстояние от этой точки до
сторон угла.
1.224. Длины двух сторон остроугольного треугольника равны >/13
и >/10 см. Найти длину третьей стороны, зная, что эта сторона равна
проведенной к ней высоте.
1.225. Расстояния от точки М, лежащей внутри треугольника ABC,
до его сторон АС и ВС равны соответственно 2 и 4 см. Вычислить
расстояние от точки М до прямой АВ, если АВ= 10 см, ВС= 17 см,
АС = 21 см.
1.226. Найти отношение суммы квадратов всех медиан треугольника
к сумме квадратов всех его сторон.
1.227. Найти площадь треугольника, если его высоты равны 12, 15
и 20 см.
1.228. В треугольнике ABC проведена прямая DE, параллельная
основанию АС. Площадь треугольника ABC равна 8 кв. ед., а площадь
треугольника DEC равна 2 кв. ед. Найти отношение отрезка DE к длине
основания треугольника ABC.
1.229. Длины сторон треугольника относятся как т:п:т. Найти
отношение площади этого треугольника к площади треугольника, вер-
вершины которого находятся в точках пересечения биссектрис данного
треугольника с его сторонами.
1.230. В треугольнике ЛВС проведены медианы BD и СЕ; М — точ-
точка ах пересечения. Доказать, что треугольник ВСМ равновелик четырех-
четырехугольнику ADME.
1.231. Отношение величин двух углов треугольника равно 2, а раз-
разность длин противоположных им сторон равна 2 см; длина третьей
стороны треугольника равна 5 см. Вычислить площадь треугольника.
1.232. В треугольнике ABC известны: ВС= 15 см, АС— 14 см, АВ—13
см. Вычислить площадь треугольника, заключенного между высотой
и биссектрисой, проведенными из вершины В.
1.233. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Определить
площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник
его медианами.
1.234. Медианы одного треугольника равны сторонам другого тре-
треугольника. Найти отношение площадей этих треугольников.
1.235. Медианы треугольника равны 3, 4 и 5 см. Найти площадь
треугольника.
1.236. Основание треугольника равно 20 см, медианы боковых сто-
сторон равны 18 и 24 см. Найти площадь треугольника.
1.237. Медианы треугольника равны 5, 6 и 5 м. Найти площадь
треугольника.
1.238. Определить площадь треугольника, если две, его стороны
равны 1 и >/15 см, а медиана третьей стороны равна 2 см.
23

1.239. Определить площадь треугольника, если две его стороны
равны 35 и 14 см, а биссектриса угла между ними содержит 12 см.
1.240. Биссектрисы углов А ж В треугольника ABC одинаково накло-
наклонены к сторонам ВС а АС. Найти зависимость между углами А и В.
1.241. На медиане BD треугольника ABC, площадь которого равна
S, построена точка Е так, что DE=- BD. Через точку Е проведена
4
прямая АЕ, пересекающая сторону ВС в точке F. Найти площадь тре-
треугольника AFC.
1.242. На каждой медиане треугольника взята точка, делящая меди-
медиану в отношении 1:3, считая от вершины. Во сколько раз площадь
треугольника с вершинами в этих точках меньше площади исходного
треугольника?
1.243. Две окружности касаются внешним образом. Их радиусы
относятся как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6>/3.
Определить периметр фигуры, образованной внешними касательными
и внешними частями окружностей.
1.244. Две окружности, радиусы которых 4 н 8, пересекаются под
прямым углом. Определить длину их общей касательной.
1.245. Две окружности разных радиусов касаются друг друга внеш-
внешним образом. Найти угол, определяемый хордами, соединяющими точку
касания окружностей с точками касания их общей внешней касательной.
1.246. К двум внешне касающимся окружностям радиусов Лиг по-
построена секущая так, что окружности отсекают на ней три равных
отрезка. Найти длины этих отрезков.
1.247. Две окружности радиусов г и Ъг внешне касаются. Найти
площадь фигуры, заключенной между окружностями и их общей вне-
внешней касательной.
1.248. Две окружности радиусов Лиг касаются друг друга внешним
образом. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная,
и в образовавшийся при этом треугольник вписан круг. Найти его
площадь.
1.249. В окружности с центром О проведена хорда АВ, пересека-
пересекающая диаметр в точке М и составляющая с диаметром угол, равный 60°.
Найти ОМ, если AM = 10 см, а ВМ=4 см.
1.250. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной
9 и 17 см. Найти радиус окружности, если расстояние между серединами
данных хорд равно 5 см.
1.251. Из одной точки окружности проведены две хорды длиной 10
и 12 см. Найти радиус окружности, если расстояние от середины мень-
меньшей хорды до большей хорды равно 4 см.
1.252. В окружности радиуса R проведены две пересекающиеся пер-
перпендикулярные хорды АВ и CD. Доказать, что AC1+BD1=4Ri.
1.253. Через точку А окружности радиуса 10 см проведены две
взаимно перпендикулярные хорды АВ и АС. Вычислить радиус окру-
окружности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если
АВ=16ал.
1.254. Через точку Р диаметра данной окружности проведена хорда
АВ, образующая с диаметром угол 60°. Вычислить радиус окружности,
если АР=а и ВР=Ь.
1.255. В круге радиуса R проведены по разные стороны от центра
две параллельные хорды, одна из которых стягивает дугу в (Ю°, дру-
другая — 120°. Найти площадь части круга, заключенной между хордами.
24

1.256. Периметр сектора равен 28 см, а его площадь равна 49 см1.
Определить длину дуги сектора.
1.257. Найти радиус круга, в сегмент которого, соответствующий
хорде длиной 6 см, вписан квадрат со стороной 2 см.
1.258. Определить площадь сегмента, если его периметр равен р,
а дуга содержит 120°.
1.259. Два круга концентричны, причем окружность меньшего круга
делит большой круг на равновеликие части. Доказать, что часть кольца,
заключенная между параллельными касательными к окружности мень-
меньшего радиуса, равновелика квадрату, вписанному в меньший круг.
1.260. В угол вписаны три окружности — малая, средняя и большая.
Большая окружность проходит через центр средней, а средняя — через
центр малой. Определить радиусы средней и большой окружностей, если
радиус меньшей равен г и расстояние от ее центра до вершины угла
равно а.
1.261. В угол, содержащий 60°, вписаны пять окружностей так, что
каждая последующая окружность (начиная со второй) касается пред-
предыдущей. Во сколько раз сумма площадей всех пяти кругов больше
площади меньшего круга?
1.262. На отрезке АС длиной 12 см построена точка В так, что АВ=А
см. На отрезках АВ а АС как на диаметрах в одной полуплоскости
с границей АС построены полуокружности. Вычислить радиус окружно-
окружности, касающейся построенных окружностей и АС.
1.263. На отрезке АВ и на каждой его половине построены как на
диаметрах полукруги (по одну сторону от АВ). Считая радиус большого
полукруга равным R, найти сумму площадей криволинейных треуголь-
треугольников, образовавшихся при построении круга, касательного ко всем
трем данным кругам.
1.264. На отрезке АВ взята точка С и на частях АС и СВ отрезка АВ
как на диаметрах построены полуокружности. Доказать, что сумма длин
этих полуокружностей на зависит от положения точки С на отрезке АВ.
1.265. Криволинейный треугольник составлен тремя равными попа-
попарно касающимися дугами окружностей радиуса R. Найти площадь этого
треугольника.
1.266. Круг с центром О разделен диаметром АВ на два полукруга.
В одном из них построены два новых полукруга, опирающиеся на О А
и ОВ как на диаметры. В криволинейную фигуру, ограниченную кон-
контурами этих трех полукругов, вписан круг. Во сколько раз его площадь
меньше площади данного круга?
1.267. Две окружности радиуса R пересекаются так, что каждая
проходит через центр другой. Две другие окружности того же радиуса
имеют центры в точках пересечения первых двух окружностей. Найти
площадь, общую всем четырем кругам.
1.268. Окружность радиуса R разделена на шесть равных дуг, и внут-
внутри круга, ограниченного этой окружностью, через каждые две соседние
точки деления проведены равные дуги такого радиуса, что на дайной
окружности они взаимно касаются. Вычислить площадь внутренней
части данного круга, заключенной между проведенными дугами.
1.269. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипо-
гипотенузе, равна А; радиус вписанной окружности равен г. Найти гипо-
гипотенузу.
1.270. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка
касания делит гипотенузу в отношении 2:3. Найти стороны треуголь-
25

ника, если центр вписанной окружности удален от вершины прямого
угла на расстояние >/8 см.
1.271. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2, а гипо-
гипотенуза равна 10 см. Найти радиус вписанной окружности.
1.272. Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны ра-
радиусы Ru r описанного и вписанного в него кругов.
1.273. Найти площадь круга, описанного около прямоугольного тре-
треугольника, длины катетов которого являются корнями уравнения
ax1+bx+c=Q.
1.274. Длины катетов некоторого прямоугольного треугольника яв-
являются корнями уравнения ах2 + Ь.т + с—0. НаЙт- радиус окружности,
вписанной в этот треугольник
1.275. На большом катете прямоугольного треугольника как на
диаметре построена окружность. Определить радиус jtoh окружности,
если меньший катет треугольника равен 7,5 см, а длина хорды, соединя-
соединяющей вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы и окру-
окружности, равна 5 см. >,
1.276. Центр полуокружности, вписанной в прямоугольный 'тре-
'треугольник так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, делит гипотенузу на
отрезки 30 и 40. Найти длину дуги полуокружности, заключенной между
точками ее касания с катетами.
1.277. Прямоугольный треугольник ABC разделен высотой CD, про-
проведенной к гипотенузе, на два треугольника BCD и ACD. Радиусы
окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD, равны соответст-
соответственно 4 и 3 см. Найти расстояние между их центрами.
1.278. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Через
середину меньшего катета и середину гипотенузы проведена окружность,
касающаяся гипотенузы. Найти площадь круга, ограниченного этой
окружностью.
1.279. В прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 см
вписана окружность. Через центр окружности проведены прямые, парал-
параллельные сторонам треугольника. Вычислить длины средних отрезков
сторон треугольника, отсекаемых построенными прямыми.
1.280. Показать, что во всяком прямоугольном треугольнике сумма
полупериметра и радиуса вписанной окружности равна сумме катетов.
1.281. Показать, что во всяком прямоугольном треугольнике сумма
диаметров описанной и вписанной окружностей равна сумме его ка-
катетов.
1.282. Сторона правильного треугольника равна а. Определить пло-
площадь части треугольника, лежащей вне круга радиуса а/3, центр которо-
которого совпадает с центром треугольника.
1.283. В круг радиуса R вписан правильный треугольная, высоты
которого продолжены до пересечения с окружностью. Эти точки пересе-
пересечения соединены между собой, в результате чего получается новый
треугольник. Вычислить ту часть площади круга, которая находится вне
этих треугольников.
1.284. В равносторонний треугольник ABC со стороной а=2 см
вписан круг; точка А является центром второго круга с радиусом 1 см.
Найти площадь пересечения этих кругов.
1.285. Внутри правильного треугольника со стороной а расположе-
расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон
треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части тре-
треугольника, расположенной вне этих окружностей.
1.286. Центр равностороннего треугольника со стороной, равной
26

6 см, совпадает с центром окружности радиуса 2 см. Определить пло-
площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.
1.287. Около круга радиуса R описаны квадрат и равносторонний
треугольник, причем одна из сторон квадрата лежит на стороне тре-
треугольника. Вычислить площадь общей части треугольника и квадрата.
1.288. Около круга радиуса 3 описан равнобедренный треугольник
с острым углом 30° при основании. Определить стороны треугольника.
1.289. Окружности радиусов R и г касаются друг друга внешним
образом. Боковые стороны равнобедренного треугольника являются их
общими касательными, а основание касается большей из окружностей.
Найти основание треугольника.
1.290. Какими целыми числами выражаются стороны равнобедрен-
равнобедренного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3/2 см,
а описанной 25/8 см?
1.291. Один конец диаметра полуокружности совпадает с вершиной
угла при основании равнобедренного треугольника, а другой принад-
принадлежит этому основанию. Найти радиус полуокружности, если она каса-
касается одной боковой стороны и делит другую на отрезки длиной 5 и 4 см,
считая от основания.
1.292. Дан равнобедренный треугольник с основанием, равным а,
и боковой стороной, равной Ь. Доказать, что центр вписанной окружно-
окружности делит биссектрису угла при основании в отношении (а+b): Ъ, считая
от вершины угла.
1.293. В треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Вычислить
длины сторон треугольника, если одна из них разделена точкой касания
на отрезки длиной 4 и 3 см.
1.294. Дан треугольник ABC такой, что АВ=\5 см, ВС=\2 см
и АС=1Е см. В каком отношении центр вписанной в треугольник
окружности делит биссектрису угла С?
1.295. Стороны треугольника относятся как 5:4:3. Найти отноше-
отношение отрезков сторон, на которые они делятся точкой касания вписанной
окружности.
1.296. Сторона треугольника равна 48 см, а высота, проведенная
к этой стороне, равна 8,5 см. Найти расстояние от центра окружности,
вписанной в треугольник, до вершины, противолежащей данной стороне,
если радиус вписанной окружности равен 4 см.
1.297. В треугольник вписан круг. Прямые, соединяющие центр кру-
круга с вершинами, делят площадь треугольника на части с площадями 4,
13 и 15 см2. Найти стороны треугольника.
1.298. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см.
Точка касания этой окружности делит одну из сторон на отрезки длиной
4 и 6 см. Определить вид треугольника и вычислить его площадь.
1.299. Для треугольника со сторонами 26, 28 и 30 См найти произ-
произведение радиусов вписанной и описанной окружностей.
1300. Найти площадь треугольника, вписанного в круг радиуса
2 см, если два угла треугольника равны я/3 и я/4.
1301. Пусть BD — высота треугольника ABC, точка Е — середина
ВС. Вычислить радиус круга, описанного около треугольника BDE, если
АВ=30 см, .8С= 26 см и ЛС=28 см.
1302. Точка С\ — середина стороны АВ треугольника ABC; угол
СОСЪ где О — центр окружности, описанной около треугольника, явля-
является прямым. Доказать, что \LB— LA\ = 90".
1303. Доказать, что расстояние от ортоцентра (точки пересечения
27

высот) до вершины треугольника больше расстояния от центра описан-
описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине.
1304. В треугольнике ABC проведены медианы AL и ВМ, пересека-
пересекающиеся в точке К. Вершина С лежит на окружности, проходящей через
точки К, L, М. Длина стороны АВ равна а. Найти длину медианы CN.
1305. Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26. Две меньшие
стороны являются касательными к окружности, центр которой лежит на
большей стороне. Найти радиус окружности.
1.306. На отрезке АВ взята точка М, а на отрезках AM и MB
по одну сторону от прямой АВ построены квадраты, описанные окру-
окружности которых пересекаются в точке N. Доказать, что прямая A.N
проходит через вершину второго квадрата и что треугольник ANB
прямоугольный.
1.307. Дан квадрат, сторона которого равна а. Определить стороны
равновеликого ему равнобедренного треугольника, у которого сумма
длин основания и высоты, опущенной на основание, равна сумме длин
двух боковых сторон.
1.308. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит
каждую из двух других его сторон на отрезки, равные 2 и 23 см. Найти
радиус окружности.
1.309. Окружность радиуса 13 см касается двух смежных сторон
квадрата со стороной 18 см. На какие два отрезка делит окружность
каждую из двух других сторон квадрата?
1310. Найти отношение площади квадрата, вписанного в сегмент
с дугой 180°, к площади квадрата, вписанного в сегмент того же самого
круга с дугой 90°.
1.311. Через две смежные вершины квадрата проведена окружность
так, что длина касательной к ней, проведенной из третьей вершины,
в 3 раза больше стороны квадрата. Найти площадь круга, если сторона
квадрата равна а.
1312. Внутри квадрата со стороной а на каждой его стороне как на
диаметре построена полуокружность. Найтн площадь розетки, ограни-
ограниченной дугами полуокружностей.
1.313. Доказать, что из всех прямоугольников, вписанных в одну
и ту же окружность, наибольшую площадь имеет квадрат.
1.314. В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см вписан прямо-
прямоугольник с периметром 24 см так, что одна из его сторон лежит на
большей стороне треугольника. Найти стороны прямоугольника.
1315. Вершина прямоугольника, вписанного в окружность, делит ее
на четыре дуги. Найти расстояние от середины одной из больших дуг до
вершин прямоугольника, если стороны его равны 24 и 7 см.
1.316. В прямоугольнике со сторонами а и Ъ проведены биссектрисы
всех углов до взаимного пересечения. Найти площадь четырехугольника,
образованного биссектрисами.
1317. В треугольник вписан ромб со стороной т так, что один угол
у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне
треугольника и делит эту сторону на отрезки длиной рад. Найти
стороны треугольника.
1318. Из вершины острого угла ромба проведены перпендикуляры
к прямым, содержащим стороны ромба, которым не принадлежит эта
вершина. Длина каждого перпендикуляра равна 3 см, а расстояние
между их основаниями 3>/3 см. Вычислить длины диагоналей ромба.
1319. Точки М, N, P, Q являются серединами сторон АВ, ВС, CD
и DA ромба ABCD. Вычислить площадь фигуры, являющейся пересече-
28

нием четырехугольников ABCD, ANCQ и BPDM, если площадь ромба
равна 100 см1.
1320. В ромб со стороной а и> острым углом 60° вписана окру-
окружность. Определить площадь четырехугольника, вершинами которого
являются точки касания окружности со сторонами ромба.
1321. Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 3 и 4 см. Из
вершины тупого угла В проведены высоты BE и BF. Вычислить площадь
четырехугольника BFDE.
1322. Длины диагоналей ромба относятся как 3:4. Во сколько раз
площадь ромба больше площади вписанного в него круга?
1323. В ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ром-
ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной
окружности.
1324. Вычислить площадь общей части двух ромбов, длины диагс-
валей первого из которых равны 4 и 6 см, а второй получен поворотом
первого на 90° вокруг его центра.
1325. В треугольник вписан параллелограмм со сторонами 3 и 5 см
и диагональю, равной 6 см. Найти стороны треугольника, если известно,
что диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам тре-
треугольника, а меньшая из его сторон лежит на основании треугольника.
1.326. В треугольник с боковыми сторонами 9 и 15 см вписан
параллелограмм так, что одна из его сторон длиной 6 см лежит на
основании треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны
боковым сторонам треугольника. Найти другую сторону параллелог-
параллелограмма и основание треугольника.
1.327. Площадь четырехугольника равна S. Найти площадь парал-
параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четы-
четырехугольника.
1328. Параллелограмм ABCD, у которого АВ= 153 см, AD= 180 см,
2??=135 см {BE— высота) разделен на три равновеликие фигуры пря-
прямыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от точки А нахо-
находятся точки пересечения этих перпендикуляров с AD1
1329. Длины сторон и диагоналей параллелограмма равны соответ-
соответственно а, Ь, с и/. Найти углы параллелограмма, если a*+b* = c*f.
1330. Диагонали четырехугольника равны, а длины его средних
линий равны р и q. Найти площадь четырехугольника.
1331. В окружность вписан четырехугольник с углами 120, 90, 60
и 90°. Площадь четырехугольника равна 9>/3 см2. Найти радиус окру-
окружности, если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны.
1332. Выпуклый четырехугольник разделен диагоналями на четыре
треугольника; площади трех из них равны 10, 20 и 30 см2, и каждая
меньше площади четвертого треугольника. Найти площадь данного
четырехугольника.
1333. Вся дуга окружности радиуса R разделена на четыре большие
и четыре малые части, которые чередуются одна за другой. Большая
часть в 2 раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника,
вершинами которого являются точки деления дуги окружности.
1334. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикуляр-
перпендикулярны, а ее площадь равна а1. Определить высоту трапеции.
1335. Диагональ равнобедренной трапеции равна 10 см, а площадь
равна 48 см\ Найти высоту трапеции.
1336. Найти радиус окружности, описанной около равнобедренной
трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.
1337. Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 см и боко-
29

вой стороной 18 см. Отрезки какой длины нужно отложить от вершины
треугольника на его боковых сторонах, чтобы, соединив их концы,
получить трапецию с периметром, «равным 40 см?
1338. Найти среднюю линию равнобедренной трапеции с высотой Л,
если боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом
120°.
1339. Центр окружности, описанной около равнобедренной трапе-
трапеции, делит ее высоту в отношении 3:4 (считая от большего основания).
Найти основания трапеции, если ее средняя линия равна высоте, а радиус
окружности равен 10.
1.340. Каким необходимым и достаточным условиям должна удов-
удовлетворять трапеция, чтобы в нее можно было вписать и около нее можно
было описать окружность?
1.341. Основания трапеции равны 4 и 16 см. Найти радиусы окру-
окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно,
что эти окружности существуют.
1342. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга,
равна 32 см2. Острый угол трапеции равен 30°. Определить стороны
трапеции.
1343. Высота равнобедренной трапеции равна 14 см, а основания
равны 16 и 12 см. Определить площадь описанного круга.
1.344. В некоторый угол вписана окружность радиуса 8 см. Длина
хорды, соединяющей точки касания, равна 8 см. К окружности проведе-
проведены две касательные, параллельные хорде. Найти стороны полученной
трапеции.
1345. В некоторый угол вписана окружность радиуса R, а длина
хорды, соединяющей точки касания, равна а. Параллельно этой хорде
проведены две касательные, в результате чего получилась трапеция.
Найти площадь этой трапеции.
1.346. Две окружности радиусов R и г касаются внешним образом.
Найти площадь трапеции, ограниченной двумя общими касательными
к этим окружностям и прямыми, соединяющими точки касания.
1347. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию,
удален от концов ее боковой стороны на расстояния 3 и 9 см. Найти
стороны трапеции.
1348. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса г.
Найти стороны трапеции, если ее меньшее основание равно 4г/3.
1349. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию,
удален от концов боковой стороны на расстояния 8 и 4 см. Найти
среднюю линию трапеции.
1350. Центр круга, вписанного в прямоугольную трапецию, отстоит
от концов боковой стороны на 1 и 2 см. Найти площадь трапеции.
1351. Прямая пересекает окружность радиуса R в точках А а В та-
таких, что иЛ2?=45°, а прямую, перпендикулярную диаметру AM окру-
окружности и проходящую через ее центр,— в точке D. Прямая, проходящая
через точку В перпендикулярно диаметру AM, пересекает его в точке С.
Найти площадь трапеции OCBD.
1352. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересека-
пересекаются на другом ее основании. Найти все стороны трапеции, если ее
высота равна 12 см, а длины биссектрис 15 и 13 см.
1353. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через
точку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой,
заключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания
трапеции равны 4 и 12 см.
30

1354. Через тОчиу пересечения диагоналей трапеции параллельно
основаниям проведена прямая, пересекающая боковые стороны в точках
М и N. Доказать, что MN=2ab/(a+b), где аи b — длины оснований.
1355. Найти площадь трапеции, диагонали которой равны 7 и 8 см,
а основания — 3 и 6 см.
1356. Основания трапеции равны а и Ъ. Определить длину отрезка,
параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части.
1357. В трапеции ABCD известны длины оснований AD = 24 см
и ВС=8 см и диагоналей ЛС= 13 см, BD— 5>/l7 см. Вычислить площадь
трапеции.
1.358. В трапеции ABCD даны основания AD = a, BC==b. На продол-
продолжении ВС выбрана такая точка М, что прямая AM отсекает от площади
трапеции 1/4 ее часть. Найти длину отрезка СМ.
1.359. В трапеции ABCD с длинами оснований AD = 12 см, ВС— 8 см
на луче ВС взята такая точка М, что AM делит трапецию на две
равновеликие фигуры. Найти СМ.
1.360. Дан квадрат со стороной а. На каждой стороне квадрата вне
его построена трапеция так, что верхние основания этих трапеций и их
боковые стороны образуют правильный двенадцатиугольник. Вычис-
Вычислить его площадь.
Группа В
1361. В треугольнике ABC величина угла А вдвое больше величины
угла В, а длины сторон, противолежащих этим углам, равны соответст-
соответственно 12 и 8 см. Найти длину третьей стороны треугольника.
1362. Вычислить длину биссектрисы угла А треугольника ABC
с длинами сторон а= 18 см, Ь= 15 см, с= 12 см.
1363. Точка Cj — основание высоты ССХ треугольника ABC. Найти
зависимость между углами А и В, если СС\=С^А ¦ СгВ.
1.364. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сто-
сторону на отрезки длиной 4 и 2 см, а высота, проведенная к той же стороне,
равна у 15 см. Каковы длины сторон треугольника, если известно, что
они выражаются целыми числами?
1365. Через точку D, взятую на стороне АВ треугольника ABC,
проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону ВС в точке
Е. Доказать, что АЕ, CD и медиана, проведенная через вершину В,
пересекаются в одной точке.
1366. Высота треугольника, равная 2 см, делит угол треугольника
в отношении 2:1, а основания треугольника — на части, меньшая из
которых равна 1 см. Определить площадь этого треугольника.
1.367. Сторона ВС треугольника ABC равна а; каждая из двух высот,
опущенных на стороны АВ и АС, не меньше стороны, на которую она
опущена. Найти длины сторон АВ я АС.
1.368. В треугольнике ABC каждая высота hc и Aj не меньше сторо-
стороны, на которую она опущена. Найти углы треугольника.
1.369. В треугольнике ABC со сторонами а—14 см, Ь— 15 см, с= 13
см найти расстояние от точки пересечения высот до вершины А.
1.370. Внутри треугольника ABC взята произвольная точка, и через
нее проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти
прямые делят треугольник ABC на шесть частей, из «оторых три части
являются треугольниками. Площади этих треугольников равны S%, Sz
31

и S3. _Доказать, *чтП площадь треугольника ABC равна
1371. Вычислить площадь треугольника по двум сторонам
а и b и биссектрисе / угла между ними.
1.372. Площадь треугольника ABC равна S^, площадь треугольника
АОВ, где О — точка пересечения высот, равна S2. На прямой СО взята
такая точка К, что треугольник АВК — прямоугольный. Доказать, что
площадь треугольника АВК есть среднее геометрическое между St и S2-
1373. Стороны треугольника ЛЖ7 разделены точками М, NnP так,
что AM:MB=BN:NC=CP:PA=l :4. Найти отношение площади тре-
треугольника, ограниченного прямыми AN, BP и СМ, к площади треуголь-
треугольника ABC.
1374. Треугольник со сторонами 13, 14 и 15 разделен на три равно-
равновеликие части прямыми, перпендикулярными большей стороне. Найти
расстояния до этих прямых от ближайших к ним вершин треугольника,
находящихся на большей стороне.
1375. Основания высот некоторого остроугольного треугольника
соединены прямыми. Доказать, что биссектрисами углов нового тре-
треугольника являются высоты исходного.
1376. Даны два правильных треугольника площадью S, из которых
второй получен поворотом первого треугольника вокруг его центра на
угол 30°. Вычислить площадь пересечения этих треугольников.
1377. Биссектриса угла при основании равнобедренного треуголь-
треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий
к вершине треугольника, равен основанию. Доказать, что и биссектриса
равна основанию.
1378. Площадь прямоугольного треугольника равна 2г2/3, где
г — радиус окружности, касающейся одного катета и продолжений дру-
другого катета и гипотенузы. Найти стороны треугольника.
1379. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна т, радиус
вписанной окружности равен г. Определить катеты. При каком соот-
соотношении между гит задача имеет решение?
1380. Определить острые углы прямоугольного треугольника, если
отношение радиусов вписанной и описанной окружностей равно уЗ +1.
1381. Расстояние от центра окружности, вписанной в прямоуголь-
прямоугольный треугольник, до вершин его острых углов равны ^5 и л/10. Найти
катеты.
1382. В прямоугольном треугольнике ABC (LC= 90°) проведена
высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD
и BCD, равны 0,6 и 0,8 см. Найти радиус окружности, вписанной
в треугольник ABC.
1383. В прямоугольный треугольник ABC (Z.C= 90°) вписана окру-
окружность, касающаяся его сторон в точках Аи Bv С,. Найти отношение
площади треугольника ABC к площади треугольника А^В^С^, если
ЛС-4см, ВС<=3 см.
1384. В равнобедренный треугольник с основанием 12 см вписана
окружность, и к ней проведены три касательные так, что они отсекают
от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметров
малых треугольников равна 48 см. Найти боковую сторону данного
треугольника. ,
1385. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Точки
va паян» делят каждую боковую сторону на отрезки длиной тип, считая
от вершины. К окружности проведены трн касательные, параллельные
32

каждой из сторон треугольника. Найти длины отрезков касательных,
заключенных между сторонами треугольника.
1.386. В равнобедренном треугольнике ABC дано: АВ= ВС=25 см
и АС= 14 см. Вычислить радиус круга, касающегося ВС в точке D — ос-
основании высоты AD и проходящего через середину АС.
1.387. Сторона правильного треугольника равна а. Из его центра
описана окружность радиуса а/3. Определить площадь части треуголь-
треугольника, лежащей вне окружности.
1.388. В равносторонний треугольник со стороной а вписана окру-
окружность. К окружности проведена касательная так, что отрезок ее внутри
треугольника равен Ь. Найти площадь треугольника, отсеченного этой
касательной от данного.
1.389. В треугольник со сторонами 6, 10 и 12 см вписана окружность.
К окружности проведена касательная так, что она пересекает две боль-
большие стороны. Найти периметр отсеченного треугольника.
» 1.390. В треугольник с периметром, равным 20 см, вписана окру-
окружность. Отрезок касательной, проведенной к окружности параллельно
основанию, заключенный между сторонами треугольника, содержит 2,4
см. Найти основание треугольника.
1.391. Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную
около него окружность в точке D. Найти длину хорды DC, если центр
окружности, вписанной в данный треугольник, удален от точки D на
расстояние а.
1.392. Высота и медиана треугольника, проведенные внутри него из
одной его вершины, различны и образуют равные углы со сторонами,
выходящими из той же вершины. Определить радиус описанной окру-
окружности, если медиана равна т.
1.393. В треугольнике ABC биссектрисы AD и СЕ пересекаются
в точке F. Точки В, D, E, F лежат на одной окружности. Показать, что
угол В равен 60°.
1.394. В треугольнике ABC проведены медианы AL и ВМ, пересека-
пересекающиеся в точке К. Вершина С лежит на окружности, проходящей через
точки К, L, М. Показать, что медиана CN образует со сторонами АС
и ВС такие же углы, что и медианы AL и ВМ со стороной АВ.
1.395. Основания высот остроугольного треугольника ABC служат
вершинами другого треугольника, периметр которого равен 2р. Найти
площадь треугольника ABC, если радиус описанной около него окру-
окружности равен R.
1.396. Круг с центром на спороне АВ треугольника ABC касается
двух других его сторон. Найти площадь круга, если а= 13 см, Ь= 14 см,
с= 15 см, где a, b и с — длины сторон треугольника.
1.397. Через точку М, расположенную на диаметре окружности ра-
радиуса 4 см, проведена хорда АВ, образующая с диаметром угол 30°.
Через точку В проведена хорда ВС, перпендикулярная данному диамет-
диаметру. Найти площадь треугольника ABC, если AM:MB —2:3.
1.398. Две окружности касаются внешним образом в точке А. Найти
радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку А с точками
касания одной из общих внешних касательных, равны 6 и 8 см.
1.399. Даны две концентрические окружности. Доказать, что сумма
квадратов расстояний от точки одной окружности до конца диаметра
другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного
диаметра.
1.400. На отрезке АС дана точка В, причем АВ" 4 см, ВС"* 28 см. На
отрезках АВ, ВС и АС как на диаметрах построены полуокружности
2-363 ' 33

в одной полуплоскости относительно границы АС. Найти радиус окру-
окружности, касающейся всех трех полуокружностей.
1.401. В окружность радиуса R вписаны три равные окружности,
касающиеся внешней окружности и попарно друг друга. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной этими тремя окружностями.
1.402. В окружность радиуса R вписаны четыре равные окружности,
каждая из которых касается данной и двух соседних. Вычислить пло-
площадь фигуры, ограниченной этими четырьмя окружностями.
1.403. В окружность радиуса R вписаны шесть равных окружностей,
каждая из которых касается данной окружности и двух соседних. Вычис-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной этими шестью окружностями.
1.404. Большая из параллельных сторон трапеции равна а, меньшая
равна Ь, непараллельные стороны равны cud. Найти площадь трапеции.
1.405. Длины оснований АВ и ВС трапеции ABCD равны а и Ъ.
Прямая, параллельная АВ> пересекает стороны ВС и AD в точках Ми N.
Вычислить MN, если трапеции ABMN и NMCD равновелики.
1.406. В трапецию, у которой меньшее основание равно а, вписана
окружность. Одна из боковых сторон трапеции делится точкой касания
на отрезки man, считая от большего основания. Определить площадь
трапеции.
1.407. Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника.
Доказать, что если площади двух из них, прилежащих к основаниям
трапеции, равны р2 и q2, то площадь трапеции равна (p + qJ.
1.408. Прямая, параллельная основаниям данной прямоугольной
трапеции, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно
вписать окружность. Найти основания исходной трапеции, если ее боко-
боковые стороны равны с и d, причем c<d.
1.409. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 8 см, ее
площадь равна 21 см2. Какую сторону пересекает биссектриса угла при
большем основании: меньшее основание или боковую сторону трапеции?
1.410. Около окружности радиуса R~\ см описана равнобедренная
трапеция, площадь которой равна 5 см1. Найти площадь четырех-
четырехугольника, вершинами которого служат точки касания окружности
и трапеции.
1.411. Около окружности радиуса 5 см описана равнобедренная
трапеция. Расстояние между точками касания ее боковых сторон равно
8 см. Найти площадь трапеции.
1.412. Через смежные вершины квадрата проведена окружность так,
что касательная к ней, проведенная из третьей вершины, равна удвоен-
удвоенной стороне квадрата. Найти площадь этого квадрата, если радиус
окружности равен R.
1.413. Окружность радиуса R с центром в точке О разделена точ-
точками А, В, С, D, E, F на шесть равных частей. Определить площадь
фигуры СОЕ, ограниченной дугой ОС с центром в точке В, дугой ОЕ
с центром в точке F и дугой СЕ с центром в точке А.
1.414. Центры четырех кругов расположены в вершинах квадрата со
стороной а. Радиусы этих кругов равны а. Определить площадь их
общей части.
1.415. В круг радиуса R вписаны равносторонний треугольник и ква-
квадрат, имеющие общую вершину. Вычислить площадь общей части тре-
треугольника и квадрата.
1.416. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла
отсекает на гипотенузе отрезки длиной а и Ъ. Найти площадь квадрата,
стороной которого является эта биссектриса.
34

1.417. В треугольник с основанием, равным а, вписан квадрат, одна
из сторон которого лежит на основании треугольника. Определить
высоту треугольника и сторону квадрата.
1.418. Две окружности касаются друг друга внешним образом. Че-
Четыре точки касания их внешних общих касательных А, В, С, D последо-
последовательно соединены. Показать, что в четырехугольник ABCD можно
вписать окружность, и найти ее радиус, если радиусы данных окружно-
окружностей равны Ли г.
1.419. В четырехугольнике ABCD через середину диагонали BD про-
проведена прямая, параллельная другой диагонали АС. Эта прямая пересе-
пересекает сторону AD в точке Е. Доказать, что отрезок СЕ делит четырех-
четырехугольник ABCD на равновеликие части.
1.420. В окружность вписан четырехугольник, длины сторон которо-
которого равны а, Ъ, с и d. Вычислить отношение длин диагоналей этого
четырехугольника.
1.421. Из каждой вершины, принадлежащей основанию равносто-
равностороннего треугольника со стороной а, проведены во внутреннюю область
треугольника по два луча, образующих с основанием треугольника углы
15 и 30°. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого явля-
являются точки пересечения построенных лучей.
1.422. Правильный треугольник ABC, вписанный в окружность ра-
радиуса R, повернут вокруг центра окружности на 90° в положение Ах2?,Сх.
Вычислить площадь шестиугольника АА^ВВ-^СС^.
1.423. Площадь треугольника равна S. Каждая сторона треуголь-
треугольника разделена на три части в отношении т:п:т. Определить площадь
шестиугольника, вершинами которого служат точки деления.
1.424. Сторону правильного десятиугольника выразить через радиус
R описанной окружности.
1.425. Найти радиус круга, если площадь круга на Q кв. ед. больше
площади вписанного в него правильного двенадцатиугольника.

ГЛАВА 2
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1°. Произвольная призма (/—боковое ребро; Р — периметр основания;
5 — площадь основания; Н — высота; POT — периметр перпендикулярного сече-
сечения; 5сет — площадь перпендикулярного сечения; S&ji — площадь боковой повер-
поверхности; V — объем):
S6ox=Pmk B.1)
V=SH; B.2)
V=Sml. B.3)
2°. Прямая призма:
5бож=«- B.4)
3°. Прямоугольный параллелепипед (а, Ъ,с — его измерения; d — диаго-
диагональ):
5бож=?Я; B.5)
V=abc; B.6)
<Р-а1+&+<?. B.7)
4°. Куб (а — ребро):
К=д3; B.8)
rf-ал/з. B.9)
5°. Произвольная пирамида E — площадь основания; Н—высота;
К—объем):
К=- SH. B.10)
3
6°. Правильная пирамида (Р — периметр основания; /—апофема;
5боХ — площадь боковой поверхности):
5бож=^'; B.П)
V=- SH. B.12)
3
36

7°. Произвольная усеченная пирамида (S, и 52 — площади оснований;
А — высота; V — объем):
К=- A(S, +S2 +JS&). B.13)
3
8°. Правильная усеченная пирамида (Р, и?, — периметры оснований;
/ — апофема; 5бож — площадь боковой поверхности):
Ябож=-(Л+?2)'-
9°. Цилиндр (R — радиус основания; Н — высота; 5бо» — площадь боковой
поверхности; V — объем):
56ож=27гЛЯ; B.15)
V=nR2H. B.16)
10°. Конус (Л — радиус основания; Н—высота; / — образующая;
5вож — площадь боковой поверхности; V — объем):
5бож=яЯ/; B.17)
V-- nR*H. B.18)
3
11°. Шар, сфера (R — радиус шара; 5 — площадь сферической поверхности;
V — объем):
S=4nR2; B.19)
К=- nR3. B.20)
3
12°. Шаровой сегмент (R — радиус шара; А — высота сегмента; 5 — пло-
площадь сферической поверхности сегмента; V — объем):
5=2яЛА; B.21)
К=яА2 /я-- а\ B.22)
13°. Шаровой сектор (Л — радиус шара; А — высота сегмента; V— объ-
объем):
V=- itR2h. B.23)
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
ЭЛЕМЕНТАМИ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ
1°. Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих двух условий: а) все
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы; б) длины всех
боковых ребер равны. Тогда вершина пирамиды проецируется в цеитр окружно-
37

Рис. 2.1
ста, описанной около основания пирамиды (эта же
точка служит точкой пересечения серединных перпен-
перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).
? Пусть О — основание высоты и-угольной пи-
пирамиды SA^i—An (рис. 2.1); SAt, SA2, .... SAn — ее
боковые ребра; ОАХ, ОА2, ..., ОА„ — их проекции на
плоскость основания; SAyO, SA2O, .... SAnO — углы,
образуемые ребрами пирамиды с плоскостью основа-
основания. Согласно условию а), эти углы равны; поэтому
равны и прямоугольные треугольники SOAr, SOA2,
.... SOAm имеющие общий катет SO. Отсюда следует,
что ОА1 = ОА2 = ... = ОА„, т. е. точка О равноудалена
от вершин Ау, А2,.... А„ основания и, значит, является
центром описанной около него окружности.
Вели условие а) заменить условием б), то равен-
равенство треугольников SOAU SOA2, ..., SOAn вытекает из того, что, кроме общего-
катета, они имеют равные гипотенузы SA1=SA2 = ... = SAn. Таким образом,
ОА1 = ОА2=...ОА„, т. е. О — центр окружности, описанной около основания
пирамиды. ¦
2°. Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих двух условий: а) все
боковые грани образуют с основанием равные углы; б) длины всех апофем
боковых граней равны. Тогда вершина пирамиды проецируется в центр окружно-
окружности, вписанной в основание пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения
биссектрис углов в основании пирамиды).
? Пусть О — основание высоты и-угольной пирамиды SA^A^-.An (рис. 2.2);
SBy, SB2, .... SBn — апофемы (высоты боковых граней). Проекции апофем OBt,
ОВ2, .... ОВ„ на плоскость основания перпендикулярны сторонам основания (по
теореме о трех перпендикулярах) и, следовательно, выражают расстояния от О до
этих сторон, а углы SBt О, SB2O,..., SBHO являются линейными углами соответст-
соответствующих двугранных углов. Согласно условию а), эти углы равны, поэтому равны
и прямоугольные треугольники SOBt, SOB2, .... SOBm имеющие общий катет SO.
Отсюда следует, что ОВ1=ОВ2 = ... = ОВт т. е. точка О равноудалена от сторон
основания и, значит, является центром вписанной в него окружности.
Если условие а) заменить условием б), то равенство треугольников SOBlt
SOB2, .... SOBn вытекает из того, что они, кроме общего катета SO, имеют
и равные гипотенузы SB1=SB2 = ... = SBn. Таким образом, ОВ1 = ОВ2 = ... = ОВп>
т.е. О — центр окружности, вписанной в основание пирамиды. ¦
3°. Если в наклонной призме боковое ребро AtBt составляет равные углы со
сторонами основания, образующими вершину Л, (рис. 2.3), то основание О высо-
высоты BtO лежит на биссектрисе угла Ах.
В,
В,
Рис. 2.2
38

? Построим OC±AiAi, ODLAxAn и отрезки BtC. BtD. Согласно теореме
рех перпендикулярах, имеем B^CLA^A^ и В^Х-А^Ащ. Прямоугольные тре-
трео трех перпендикулярах, имеем
угольники АХСВХ и AXDBX равны, так как имеют общую гипотенузу АХВХ
и равные углы (LBXAXC= t_BxAxD no условию). Следовательно, BXC=BXD
и АВХОС= ABXOD, откуда ОС= OD. Итак, точка О равноудалена от сторон угла
Ах и, значит, лежит на биссектрисе АХО угла Ах. Ш
Это же утверждение можно сформулировать так: если в трехгранном угле два
острых плоских угла равны, то проекция их общего ребра на плоскость третьего
плоского угла является его биссектрисой.
4°. Если высота треугольной пирамиды проходит через точку пересечения
высот треугольника, лежащего в основании, то противоположные ребра пирами-
пирамиды перпендикулярны. Справедливо и обратное утверждение.
? Пусть AD — высота треугольника ABC (рис. 2.4); тогда BCXAD и, зна-
значит, BCLAO. Но АО является проекцией ребра AS на плоскость ABC и, следова-
следовательно, по теореме о трех перпендикулярах BCXAS.
Аналогично доказывается, что перпендикулярны и две другие пары проти-
противоположных ребер пирамиды, т. е. АВ1SC и ACXSB.
Докажем теперь обратное утверждение, т. е. что если BCXAS, то основанием
О высоты пирамиды является точка пересечения высот треугольника ABC (рис.
2.4). Так как 50±пл. ABC (по условию), то АО является проекцией SA на
плоскость ABC. Но прямая ВС, принадлежащая плоскости ABC, перпендикулярна
ребру AS (по условию), поэтому BCLAO (согласно теореме о трех перпен-
перпендикулярах). Следовательно, точка О лежит на высоте AD треугольника ABC.
Аналогично доказывается, что О принадлежит и другой высоте треугольника
ABC и, значит, является точкой пересечения высот основания пирамиды. ¦
5°. Если SO — высота пирамиды SABC и SAXBC, то пл. SAOXBC (рис . 2.4).
? Имеем SALBC (по условию) и SOLBC (поскольку SO Хпл. ABC). Так как
прямая ВС перпендикулярна каждой из двух прямых SA и SO, лежащих в плоско-
плоскости SAO, то пл. SAOLBC (согласно признаку перпендикулярности прямой и плос-
плоскости). ¦
Пример 1. Через медиану BE основания ABC пирамиды ABCD и середину
F ребра DC проведена плоскость. Найти объем фигуры ADBFE, если объем
пирамиды ABCD равен 40 см3.
П Объем фигуры ADBFE равен разности объемов пирамид ABCD и ECBF
(рис. 2.5). Чтобы найти объем пирамиды ECBF, сравним его с объемом пирамиды
ABCD. Для этого достаточно найти отношения площадей их оснований и соот-
соответствующих высот. Так как медиана треугольника делит его площадь на две
1
равные части, то SAgEC=- Здллс- Далее, так как F — середина ребра DC, то
2
высота пирамиды ECBF равна половине высоты пирамиды ABCD. Следователь-
но,
= 10 (см3). Искомый объем равен 30 см3.
Рис. 2.4
Рис. 2.6
39

к—4-5*в
Пример 2. Высота цилиндра равна Н, радиус его основания равен R. В ци-
цилиндр помещена пирамида, высота которой совпадает с образующей ААХ цилин-
цилиндра, а основанием служит равнобедренный треугольник ABC (AB = AC), вписан-
вписанный в основание цилиндра. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если
LA = \20°.
? Проведем ADLBC и соединим точки Ах и D отрезком AJ) (рис. 2.6).
Согласно теореме о трех перпендикулярах, имеем AXDLBC. Так как дуга CAB
содержит 120", а дуги АС и АВ — по 60°, то BC=R\Ji, AB = R. Из AABD
находим АР=Л/2. Применив теорему Пифагора к треугольнику AAXD, получим
R2 1 /-. „ „ 1 в 1 „„
I. Следовательно, Sii.A,AB=:~^BAAl=-RH;
2 2
г 1 / 1
•- ¦ч/я2+4#г=-
2 4
Окончательно по-
лучим
Пример 3. Основанием пирамиды служит правильный треугольник со сторо-
стороной, равной а. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания
и равно Ь. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.
? Пусть О — центр шара, описанного около пирамиды ABCD (рис. 2.7).
Тогда OA = OB=OC=OD. Проведем ОАПпл. ABC и OELDB. Поскольку точка
О равноудалена от вершин треугольника ABC, точка К является центром тре-
треугольника и BK=al\Ji. Далее, так как OB=OD, то EB"ED"b/2. По теореме
Пифагора из &ОКВ находим
Пример 4. Дан куб ABCDA^B^CJi^ длина ребра которого равна а. На ребре
АЛХ взята точка Е так, что AE-=ajA,. Найти объем пирамиды, вершиной которой
является точка Аи а основанием — сечение куба, проходящее через точки D,
Е и произвольную внутреннюю точку ребра ВВ1.
П Построив сечение (рис. 2.8), получим на ребре ССХ точку 5, служащую
общей вершиной двух треугольных пирамид SEAtK и SEAtD, сумма объемов
которых равна объему четырехугольной пирамиды A,EKSD.
1 1 За Ъа1
Имеем SLAlDEm~ AtE DA>~- — .а-—. Расстояние of точки S до плоско-
2 2 4 8
40

1 За1 а3
сти AXED равно а, поэтому Vsea,d"*~ ¦— а=—• Аналогично находим
1 /1 За \ а3 а3 а3 а3
Vsea,K~~ ( "• — ¦"] а——. Итак, искомый объем есть — Н—=—. ¦
1 3 \2 4 / 8 884
Группа А
2.001. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник
с гипотенузой, равной с, и острым углом 30°. Боковые ребра пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найти объем пи-
пирамиды.
2.002. Каждое из боковых ребер пирамиды равно Ь. Ее основанием
служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как
т: я, а гипотенуза равна с. Вычислить объем пирамиды.
2.003. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 6,
5 и 5 см. Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные
двугранные углы, содержащие по 45°. Определить объем пирамиды.
2.004. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с осно-
основанием 6- см и высотой 9 см. Каждое боковое ребро равно 13 см.
Вычислить объем пирамиды.
2.005. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами а,
а и Ь. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом
60°. Определить объем пирамиды.
2.006. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно /,
а высота равна А. Определить объем пирамиды.
2.007. Определить объем правильной треугольной пирамиды, если
высота треугольника, служащего ее основанием, равна А, а апофема
пирамиды равна т.
2.008. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой
плоский угол при вершине равен 90°, а сторона основания равна 3 см.
2.009. Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота ко-
которой равна А, а плоские углы при вершине — прямые.
2.010. Найти объем правильного тетраэдра с ребром, равным а.
2.011. Вычислить объем правильного тетраэдра, если радиус окру-
окружности, описанной около его грани, равен R.
2.012. Найтн отношение объема куба к объему правильного тетраэд-
тетраэдра, ребро которого равно диагонали грани куба.
2.013. В правильном тетраэдре SABC построено сечение его плоско-
плоскостью, проходящей через ребро АС и точку К, принадлежащую ребру S3,
причем BK:KS=2:1. Найти объем отсеченной пирамиды КАВС, если
ребро тетраэдра равно а.
2.014. Каждое нз боковых ребер пирамиды равно 269/32 см. Основа-
Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см. Найти объем
пирамиды.
2.015. Определить объем правильной четырехугольной пирамиды,
если ее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°,
а площадь диагонального сечения равна S.
2.016. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно
/ и наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти объем
пирамиды.
2.017. Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник
с диагональю, равной Ъ, и углом 60° между диагоналями. Каждое из
41

боковых ребер образует с плоскостью основания угол 45°. Найти объем
пирамиды.
2.018. Высота пирамиды равна 8 м. На расстоянии 3 м от вершины
проведена плоскость, параллельная основанию. Площадь полученного
сечения равна 4 м2. Найти объем пирамиды.
2.019. Основанием правильной пирамиды служит многоугольник,
сумма внутренних углов которого равна 720°. Определить объем пира-
пирамиды, если ее боковое ребро, равное /, составляет с высотой пирамиды
угол 30°.
2.020. Найти отношение объема правильной шестиугольной пира-
пирамиды к объему правильной треугольной пирамиды при условии, что
стороны оснований этих пирамид равны, а их апофемы в 2 раза больше
сторон основания.
2.021. Высота правильного тетраэдра равна А. Вычислить его пол-
полную поверхность.
2.022. Найти боковую поверхность правильной треугольной пира-
пирамиды, если плоский угол при ее вершине равен 90°, а площадь основания
равна S.
2.023. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирами-
пирамиды равен 90°. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к пло-
площади ее основания.
2.024. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
1 см, а ее боковая поверхность составляет 3 см . Найти объем пирамиды.
2.025. Найти полную поверхность правильной треугольной пирами-
пирамиды, сторона основания которой равна а, а двугранный угол при основа-
основании равен 60°.
2.026. Центр верхнего основания куба соединен с серединами сторон
нижнего основания. Определить боковую поверхность полученной пира-
пирамиды, если ребро куба равно а.
2.027. Центр верхнего основания куба с ребром, равным а, соединен
с серединами сторон нижнего основания, которые также соединены
в последовательном порядке. Вычислить полную поверхность получен-
полученной пирамиды.
2.028. В кубе, ребро которого равно а, центр верхней грани соединен
с вершинами основания. Найти полную поверхность полученной пира-
пирамиды.
2.029. Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной четы-
четырехугольной пирамиды, равна ее боковому ребру и равна а. Найти
полную поверхность пирамиды и ее объем.
2.030. Найти боковую поверхность правильной шестиугольной пи-
пирамиды, высота которой равна Ь, а боковое ребро равно /.
2.031. Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна А,
а двугранный угол при основании равен 60°. Найти полную поверхность
пирамиды.
2.032. В треугольной пирамиде боковые ребра взаимно перпендику-
перпендикулярны и имеют длины ^/70, >/99 и ¦v/l26 см. Найти объем и площадь
основания пирамиды.
2.033. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а, а двугранный угол при основании равен 45°. Определить объем
и полную поверхность пирамиды.
2.034. Объем правильной треугольной пирамиды, боковая грань
которой наклонена к плоскости основания под углом 45°, равен 9 см3.
Найти полную поверхность пирамиды.
2.035. Центр куба, ребро которого равно а, соединен со всеми его
42

вершинами. Определить объем и полную поверхность каждой из полу-
полученных пирамид.
2.036. Найти полную поверхность и объем правильной четыреху-
четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а угол наклона
боковой грани к плоскости основания равен 60°.
2.037. По стороне основания, равной а, определить боковую поверх-
поверхность и объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой диаго-
диагональное сечение равновелико основанию.
2.038. В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые грани
перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему
под углом 45°. Среднее по величине боковое ребро равно /. Найти объем
и полную поверхность пирамиды.
2.039. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 30°.
Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Опреде-
Определить объем и полную поверхность пирамиды, если радиус вписанного
в ромб круга равен г.
2.040. Боковые ребра правильной треугольной усеченной пирамиды
наклонены к плоскости основания под углом 60°. Стороны нижнего
и верхнего оснований равны соответственно а и Ь (а>Ь). Найти объем
усеченной пирамиды.
2.041. Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квад-
квадраты со сторонами а и Ъ (а>Ь). Боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 45°. Определить объем усеченной пирамиды.
2.042. Определить объем правильной четырехугольной усеченной
пирамиды, если ее диагональ равна 18 см, а длины сторон оснований 14
и 10 см.
2.043. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания
равна 6 дм, а высота 4 дм. Найти боковую поверхность усеченной
пирамиды, отсекаемой от данной плоскостью, параллельной ее основа-
основанию и отстоящей от него на 1 дм.
2.044. Определить объем октаэдра (правильного восьмигранника),
ребро которого равно а.
2.045. В кубе центры оснований соединены с центрами боковых
граней. Вычислить поверхность полученного октаэдра, если ребро куба
равно а.
2.046. Найти объем куба, если расстояние от его диагонали до
непересекающегося с ней ребра равно d.
2.047. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см,
а диагонали его боковых граней равны 4^/10 и 3^/17 см. Определить
объем параллелепипеда.
2.048. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны
аи Ь. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под
углом 60°. Определить боковую поверхность параллелепипеда.
2.049. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны
а и Ь. Диагональ параллелепипеда наклонена к боковой грани, содер-
содержащей сторону основания, равную Ь, под углом 30°. Найти объем
параллелепипеда.
2.050. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда отно-
относятся как т:п, а диагональное сечение представляет собой квадрат
с площадью, равной Q. Определить объем параллелепипеда.
2.051. Определить объем прямоугольного параллелепипеда, если его
диагональ равна d, а длины ребер относятся как т:п:р.
2.052. Определить объем прямоугольного параллелепипеда, диаго-
43

наль которого равна / и составляет с одной гранью угол 30°, а с дру-
другой — 45°.
2.053. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,
3 и 6 см. Найти длину ребра такого куба, чтобы объемы этих тел
относились как их поверхности.
2.054. Из медной болванки, имеющей форму прямоугольного парал-
параллелепипеда размерами 80 х 20 х 5 см, прокатывается лист толщиной
в 1 мм. Определить площадь этого листа.
2.055. В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и Ъ,
острый угол между ними содержит 60°. Большая диагональ основания
равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объем параллелепи-
параллелепипеда.
2.056. В прямом параллелепипеде стороны основания равны
а и Ъ и образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S. Определить
объем параллелепипеда.
2.057. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелог-
параллелограмм со сторонами 1 и 4 см и острым углом 60°. Большая диагональ
параллелепипеда равна 5 см. Определить его объем.
2.058. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь
которого равна Q. Площади диагональных сечений равны 5, и S2.
Определить объем параллелепипеда.
2.059. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб. Плос-
Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и проти-
противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью ос-
основания угол 45°. Полученное сечение имеет площадь, равную Q. Опре-
Определить боковую поверхность параллелепипеда.
2.060. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вер-
вершин верхнего основания одинаково отстоит от всех вершин нижнего
основания и удалена от плоскости этого основания на расстояние,
равное Ь. Сторона основания равна а. Определить полную поверхность
параллелепипеда.
2.061. Найти объем правильной треугольной призмы, если сторона
ее основания равна а и боковая поверхность равновелика сумме площа-
площадей оснований.
2.062. Найти боковую поверхность правильной треугольной призмы
с высотой А, если прямая, проходящая через центр верхнего основания
и середину стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основа-
основания под углом 60°.
2.063. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно высоте
основания, а площадь сечения, проведенного через это боковое ребро
и высоту основания, равна Q. Определить объем призмы.
2.064. В правильной треугольной призме площадь сечения, проходя-
проходящего через боковое ребро перпендикулярно противолежащей боковой
грани, равна Q. Сторона основания призмы равна а. Найти полную
поверхность призмы.
2.065. Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием
которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной а,
если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено
к плоскости основания под углом 60°.
2.066. Площади боковых граней прямой треугольной призмы равны
М, N и Р. Боковое ребро ее равно /. Определить объем призмы.
2.067. Определить объем наклонной треугольной призмы, у которой
площадь одной из боковых граней равна S, а расстояние вт плоскости
этой грани до противолежащего ребра равно d.
44

2.068. Определить объем правильной четырехугольной призмы, если
ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30°, а сторона
основания равна а.
2.069. Центр верхнего основания правильной четырехугольной при-
призмы и середины сторон нижнего основания служат вершинами вписан-
вписанной в призму пирамиды, объем которой равен V. Найти объем призмы.
2.070. Известны площадь основания Р и объем V правильной четы-
четырехугольной призмы. Вычислить ее полную поверхность.
2.071. В основании наклонной призмы лежит параллелограмм со
сторонами 3 и 6 дм и острым углом 45°. Боковое ребро призмы равно
4 дм и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найти объем
призмы.
2.072. Основание призмы — квадрат со стороной, равной а. Одна из
боковых граней — также квадрат, другая — ромб с углом 60°. Опреде-
Определить полную поверхность призмы.
2.073. Основанием прямой призмы служит ромб. Площади диаго-
диагональных сечений этой призмы равны PaQ. Найти боковую поверхность
призмы.
2.074. Определить объем правильной шестиугольной призмы, у ко-
которой наибольшая диагональ равна d, а боковые грани — квадраты.
2.075. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы
равна d и составляет с боковым ребром призмы угол 30°. Найти объем
призмы.
2.076. Правильная шестиугольная призма, боковые ребра которой
равны 3 см, рассечена диагональной плоскостью на две равные четырех-
четырехугольные призмы. Определить объем шестиугольной призмы, если боко-
боковая поверхность четырехугольной призмы равна 30 см2.
2.077. Цилиндр образован вращением прямоугольника вокруг одной
из его сторон. Выразить объем V цилиндра через площадь S этого
прямоугольника и длину С окружности, описанной точкой пересечения
его диагоналей.
2.078. В цилиндре площадь сечения, перпендикулярного образу-
образующей, равна М, а площадь осевого сечения равна N. Определить объем
и поверхность цилиндра.
2.079. Радиус основания конуса равен R, а угол при вершине в раз-
развертке его боковой поверхности равен 90°. Определить объем конуса.
2.080. Боковая поверхность конуса развернута на плоскости в сек-
сектор, центральный угол которого содержит 120°, а площадь равна S.
Найти объем конуса.
2.081. Боковая поверхность конуса вдвое больше площади основа-
основания. Площадь его осевого сечения равна Q. Найти объем конуса.
2.082. Выразить объем конуса через его боковую поверхность
5 и расстояние г от центра основания до образующей.
2.083. Доказать, что объем конуса равен 1/3 произведения боковой
поверхности на расстояние от центра основания до образующей.
2.084. Доказать, что объем конуса равен объему цилиндра с тем же
основанием и той же высотой минус произведение боковой поверхности
этого цилиндра на 1/3 радиуса его основания.
2.085. Высота конуса разделена на три равных отрезка и через точки
деления параллельно основанию проведены плоскости, разбивающие
конус на три части. Найти объем среднего усеченного конуса, если объем
данного конуса равен V.
2.086. Высота конуса равна диаметру его основания. Найти отноше-
отношение площади его основания к боковой поверхности.
45

2.087. Доказать, что если два равных конуса имеют общую высоту
и параллельные основания, то объем их общей части составляет 1/4
объема каждого из них.
2.088. Треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см вращается вокруг
большей стороны. Вычислить объем и поверхность полученной фигуры
вращения.
2.089. На основаниях цилиндра с квадратным осевым сечением по-
построены два конуса с вершинами в середине оси (цилиндра). Найти
сумму полных поверхностей и сумму объемов конусов, если высота
цилиндра равна 2а.
2.090. Около конуса с радиусом основания R описана произвольная
пирамида, у которой периметр основания равен 2р. Определить отноше-
отношение объемов и отношение боковых поверхностей конуса и пирамиды.
2.091. В конус, осевое сечение которого — равносторонний тре-
треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если объем шара равен
32тг/3 см3.
2.092. Определить поверхность шара, описанного около конуса,
у которого радиус основания равен R, а высота равна А.
2.093. В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру
основания. Найти отношение полной поверхности конуса к поверхности
шара.
2.094. Найти отношение поверхности и объема шара соответственно
к полной поверхности и объему описанного вокруг него конуса с равно-
равносторонним осевым сечением.
2.095. Металлический шар радиуса R переплавлен в конус, боковая
поверхность которого в 3 раза больше площади основания. Вычислить
высоту конуса.
2.096. Даны шар, цилиндр с квадратным осевым сечением и конус.
Цилиндр и конус имеют одинаковые основания, а их высоты равны
диаметру шара. Как относятся объемы цилиндра, шара и конуса?
2.097. Высота конуса и его образующая равны соответственно
4 и 5 см. Найти объем вписанного в конус полушара, основание которого
лежит на основании конуса.
2.098. Конус и полушар имеют общее основание, радиус которого
равен R. Найти боковую поверхность конуса, если его объем равен
объему полушара.
2.099. Определить объем шара, вписанного в правильную пирамиду,
у которой высота равна А, а двугранный угол при основании равен 60°.
2.100. Найти отношение поверхности и объема шара соответственно
к поверхности и объему вписанного куба.
2.101. Около правильной треугольной призмы, высота которой
вдвое больше стороны основания, описан шар. Как относится его объем
к объему призмы?
2.102. На отрезке АВ как на диаметре построена полуокружность
с центром в точке О, а на отрезках О А и ОВ построены две полуокруж-
полуокружности, расположенные в той же полуплоскости с границей АВ, что
и первая. Найти поверхность и объем фигуры, которая образована
вращением вокруг АВ фигуры, ограниченной этими тремя полуокруж-
полуокружностями, если АВ—20 см.
2.103. Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3 см и острым
углом 60° вращается вокруг меньшего основания. Вычислить поверх-
поверхность и объем полученной фигуры вращения.
2.104. Вычислить поверхность тела, полученного от вращения ромба
площадью Q вокруг одной из его сторон.
.. *
46 - '

2.105. Ромб вращается вокруг своей большей диагонали, а затем
вокруг меньшей диагонали. Доказать, что отношение объемов получен-
полученных фигур вращения равно отношению площадей их поверхностей.
Группа Б
2.106. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а, а высота, опущенная из вершины основания на противоположную ей
боковую грань, равна Ь. Определить объем пирамиды. '
2.107. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды
в 3 раза больше площади основания. Площадь круга, вписанного в ос-
основание, численно равна радиусу этого круга. Найти объем пирамиды.
2.108. Площадь того сечения правильного тетраэдра, которое имеет
форму квадрата, равна т2. Найти поверхность тетраэдра.
2.109. Основанием пирамиды служи!' равносторонний треугольник
со стороной, равной а. Одна из боковых граней — также равносторон-
равносторонний треугольник и перпендикулярна плоскости основания. Определить
полную поверхность пирамиды.
2.110. Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой
плоский угол при вершине равен 90°, а расстояние между боковым
ребром и противоположной стороной основания равно d.
2.111. Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью,
перпендикулярной основанию и делящей две стороны основания попо-
пополам. Определить объем отсеченной пирамиды, если сторона основания
первоначальной пирамиды равна а, а двугранный угол при основании
содержит 45°.
2.112. Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью,
проходящей через вершину основания и середины двух боковых ребер.
Найти отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания,
если известно, что секущая плоскость перпендикулярна одной из боко-
боковых граней (указать, какой именно).
2.113. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а. Через одну из сторон основания проведена плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярная противоположному боковому ребру и делящая это ребро в отноше-
отношении т:п, считая от вершины основания. Определить полную поверх-
поверхность пирамиды.
2.114. Через вершину основания и середины двух боковых ребер
правильной треугольной пирамиды проведена плоскость. Найти отно-
отношение боковой поверхности пирамиды к площади ее основания, если
известно, что секущая плоскость перпендикулярна боковой грани.
2.115. Из середины высоты правильной треугольной пирамиды опу-
опущены перпендикуляры на боковое ребро и боковую грань. Длины этих
перпендикуляров равны соответственно а и Ь. Найти объем пирамиды.
При всяких ли а и Ъ задача имеет решение?
2.116. Центры граней правильного тетраэдра служат вершинами
нового тетраэдра. Найти отношение их поверхностей и отношение их
объемов.
2.117. В треугольной пирамиде, каждое из боковых ребер которой
равно а, один плоский угол при вершине — прямой, а каждый из оста-
остальных равен 60°. Вычислить объем пирамиды.
2.118. В треугольной пирамиде две боковые грани взаимно перпен-
перпендикулярны. Площади этих граней равны Р и Q, а длина их общего ребра
равна а. Определить объем пирамиды.

2.119. Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпендику-
перпендикулярны, а площади их равны а , Ь1 и с1. Определить объем пирамиды.
2.120. В треугольной пирамиде все четыре грани — равные равнобе-
равнобедренные треугольники с основанием а и боковой стороной Ь. Вычислить
объем пирамиды. При всяких ли а и b задача имеет решение?
2.121. Найти отношение объемов правильных тетраэдра и октаэдра,
у которых полные поверхности равны.
2.122. Вычислить поверхность шара, вписанного в треугольную пи-
пирамиду, все ребра которой равны а.
2.123. Найти площадь поверхности шара, вписанного в пирамиду,
в основании которой лежит треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см,
если вершина пирамиды удалена от каждой стороны основания на S см.
2.124. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со сто-
стороной основания, равной а, и плоскими углами при вершине, равными
углам наклона боковых ребер к основанию.
2.125. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол
при боковом ребре равен 120°. Найти боковую поверхность пирамиды,
если площадь ее диагонального сечения равна S.
2.126. В основании четырехугольной пирамиды лежит прямоуголь-
прямоугольник, площадь которого равна S, боковые ребра пирамиды равны и об-
образуют с плоскостью основания угол 45°. Угол между диагоналями
основания равен 60°. Найти объем пирамиды.
2.127. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь ко-
которого равна S. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основа-
основания, а две другие наклонены к ней под углами 30 и 60°. Найти объем
пирамиды.
2.128. Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями dx и d2.
Высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба. Пло-
Площадь диагонального сечения, проведенного через меньшую диагональ,
равна Q. Вычислить объем пирамиды при условии, что с/, >d2.
2.129. Основанием пирамиды служит параллелограмм, смежные
стороны которого 9 и 10 см, а одна из диагоналей 11 см. Противополож-
Противоположные боковые ребра равны, а длина каждого из больших ребер составляет
10,5 см. Вычислить объем пирамиды.
2.130. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого
стороны равны 10 и 8 м, а одна из диагоналей равна 6 м. Высота
пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и ра-
равна 4 м. Определить полную поверхность пирамиды.
2.131. Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого
стороны равны 10 и 18 см, а площадь равна 90 см2. Высота пирамиды
проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6 см.
Определить боковую поверхность пирамиды.
2.132. Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD, име-
имеющий площадь т2 и такой, что BDLAD; двугранные углы при ребрах
AD и ВС равны 45°, а при ребрах АВ и CD равны 60°. Найти боковую
поверхность и объем пирамиды.
2.133. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пира-
пирамида. Определить объем этой пирамиды, если раднус окружности, опи-
описанной около ее основания, равен г.
2.134. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды ра-
равна а. Вычислить объем пирамиды, если известно, что ее боковая
поверхность в 10 раз больше площади основания.
2.135. Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник со
стороной, равной а. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости
48

основания и равно стороне основания. Определить полную поверхность
пирамиды.
2.136. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды ра-
равна а. Все ее диагональные сечения равновелики. Найти объем и боко-
боковую поверхность пирамиды.
2.137. В треугольной усеченной пирамиде высота равна 10 м, сторо-
стороны одного основания — 27, 29 и 52 м, а периметр другого основания
равен 72 м. Определить объем усеченной пирамиды.
2.138. Определить объем правильной треугольной усеченной пира-
пирамиды, у которой стороны оснований равны 3 и 2 м, а боковая поверх-
поверхность равновелика сумме площадей оснований.
2.139. В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего
основания проведена плоскость параллельно противоположному боко-
боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды,
если соответственные стороны оснований относятся как 1:2?
2.140. Определить объем правильной четырехугольной усеченной
пирамиды, если сторона большего основания равна а, сторона меньшего
основания равна Ь, а острый угол боковой грани равен 60°.
2.141. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны
оснований равны а и А, а боковая поверхность равна половине полной
поверхности. Найти объем пирамиды.
2.142. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
пирамиды равны 2 и 1 см, а высота 3 см. Через точку пересечения
диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена
плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.
2.143. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды ра-
равна 3 см, объем ее 38 см3, а площади оснований относятся как 4:9.
Определить боковую поверхность пирамиды.
2.144. Основаниями усеченной пирамиды служат два правильных
восьмиугольника. Сторона нижнего основания равна 0,4 м, а верхнего
0,3 м; высота усеченной пирамиды равна 0,5 м. Усеченная пирамида
достроена до полной. Определить объем полной пирамиды.
2.145. Площади оснований усеченной пирамиды равны S, и S2
(St <S2), а ее объем равен V. Определить объем полной пирамиды.
2.146. Около шара описана правильная четырехугольная усеченная
пирамида, у которой стороны оснований относятся как т: п. Определить
отношение объемов пирамиды и шара.
2.147. В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная усечен-
усеченная пирамида, у которой плоскость нижнего основания проходит через
центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол
60°. Определить объем пирамиды.
2.148. На ребре двугранного угла 120° взят отрезок длиной с и из его
концов проведены перпендикуляры к нему, лежащие в различных гранях
данного двугранного угла и имеющие длины а и А. Найти длину отрезка
прямой, соединяющего концы этих перпендикуляров.
2.149. Найти расстояние между серединами двух скрещивающихся
ребер куба, полная поверхность которого равна 36 см2.
2.150. Дан куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно а. Через
диагональ АС его грани ABCD проведена плоскость, параллельная
прямой BOlt где О, — центр грани A1B1C1D1. Найти площадь получен-
полученного сечения.
2.151. Площадь сечения куба, представляющего собой правильный
шестиугольник, равна Q. Найти полную поверхность куба.
2.152. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так, что
49

четыре его вершины находятся на апофемах пирамиды и четыре — в
плоскости основания. Все ребра пирамиды равны, каждое из них имеет
длину а. Вычислить полную поверхность и объем куба.
2.153. В правильный октаэдр вписан куб так, что его вершины
находятся на ребрах октаэдра. Во сколько раз поверхность октаэдра
больше поверхности куба?
2.154. Куб, ребро которого равно а, срезан по углам плоскостями
так, что от каждой грани остался правильный шестиугольник. Опреде-
Определить объем полученного многогранника.
2.155. В полушар радиуса R вписан куб так, что четыре его вершины
лежат на основании полушара, а другие четыре вершины расположены
на его сферической поверхности. Вычислить объем куба.
2.156. Через вершины А, С и D^ прямоугольного параллелепипеда
ABCDA^C^D^ проведена плоскость, образующая с плоскостью ос-
основания двугранный угол 60°. Стороны основания равны 4 и 3 см. Найти
объем параллелепипеда.
2.157. Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны а,
Ъ и с. Определить его полную поверхность.
2.158. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелог-
параллелограмм, один из углов которого равен 30°. Площадь основания равна
4 дм . Площади боковых граней параллелепипеда равны 6 и 12 дм2.
Найти объем параллелепипеда.
2.159. Основанием прямого параллелепипеда служит параллелог-
параллелограмм с углом 120° и сторонами 3 и 4 см. Меньшая диагональ парал-
параллелепипеда равна большей диагонали основания. Найти объем парал-
параллелепипеда.
2.160. Длины ребер параллелепипеда равны а, Ь и с. Ребра, длины
которых равны а ш Ь, взаимно перпендикулярны, а ребро длиной с об-
образует с каждым из них угол 60°. Определить объем параллелепипеда.
2.161. В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на
плоскость основания равна 5 дм, а высота равна 12 дм. Сечение,
перпендикулярное боковому ребру, есть ромб с площадью 24 дм2 и диа-
диагональю, равной 8 дм. Найти боковую поверхность и объем парал-
параллелепипеда.
2.162. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD
со стороной, равной а, и острым углом 60°. Ребро ААХ также равно
п и образует с ребрами АВ и AD углы 45°. Определить объем парал-
параллелепипеда.
2.163. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб со
стороной а и острым углом 30°. Диагональ одной боковой грани перпен-
перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоско-
плоскостью основания угол 60°. Найти полную поверхность и объем парал-
параллелепипеда.
2Л64. Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диа-
диагонали основания равны а и Ь. Определить полную поверхность парал-
параллелепипеда.
2.165. В правильной треугольной призме через сторону нижнего
основания и противоположную вершину верхнего основания проведена
плоскость, составляющая с плоскостью нижнего основания угол 45°.
Площадь сечения равна S. Найти объем призмы.
2.166. В правильный тетраэдр помещена правильная треугольная
призма так, что вершины одного ее основания находятся на боковых
ребрах тетраэдра, а другого — в плоскости его основания. Ребро тетра-
тетраэдра равно а. Определить объем призмы, если все ее ребра равны.
50

2.167. Основанием призмы АВСАХВХСХ служит правильный тре-
треугольник ABC со стороной а. Вершина Л, проецируется в центр нижнего
основания, а ребро ААХ нахлонено к плоскости основания под углом 60°.
Определить боковую поверхность призмы.
2.168. Сторона основания правильной треугольной призмы меньше
бокового ребра и равна о- Через сторону верхнего основания проведена
плоскость, которая составляет с плоскостью основания угол 45° и делит
призму на две части. Определить объем и полную поверхность верхней
части призмы.
2.169. Основанием прямой призмы служит равнобедренный тре-
треугольник, основание которого равно а, а угол при нем равен 45°.
Определить объем призмы, если ее боковая поверхность равна сумме
площадей оснований.
2.170. Основанием прямой призмы служит прямоугольный тре-
треугольник с гипотенузой, равной с, и острым углом 30°. Через гипотенузу
нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания прове-
проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 45°. Опреде-
Определить объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью.
2.171. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция
ABCD; AB=CD= 13 см, ВС= 11 см, AD = 21 см. Площадь ее диагональ-
диагонального сечения равна 180 см2. Вычислить полную поверхность призмы.
2.172. Доказать, что объем прямой призмы, основанием которой
служит трапеция, равен произведению среднего арифметического пло-
площадей параллельных боковых граней на расстояние между ними.
2.173. Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4 см2,
площади боковых граней равны 9, 10 и 17 см2. Определить объем
призмы.
2.174. В основании наклонной призмы лежит правильный треуголь-
треугольник со стороной, равной а. Одна из боковых граней призмы перпен-
перпендикулярна плоскости основания и представляет собой ромб, диагональ
которого равна Ь. Найти объем призмы.
2.175. Основанием наклонной призмы служит правильный треуголь-
треугольник со стороной, равной а. Длина бокового ребра равна Ь, а одно из
боковых ребер образует с прилежащими сторонами оснований углы 45°.
Определить боковую поверхность призмы.
2.176. В наклонной треугольной призме расстояния боковых ребер
друг от друга равны а, Ь и с. Боковое ребро равно /, высота призмы к.
Определить полную поверхность призмы.
2.177. Расстояние между любыми двумя боковыми ребрами наклон-
наклонной треугольной призмы равно а. Боковое ребро равно / и наклонено
к плоскости основания под углом 60°. Определить полную поверхность
призмы.
2.178. В основании призмы лежит трапеция. Выразить объем при-
призмы через площади Sl и S2 параллельных боковых граней и расстояние
h между ними.
2.179. Объем правильной восьмиугольной призмы равен 8 м3, а ее
высота равна 2,2 м. Найти боковую поверхность призмы.
2.180. Около шара описана правильная треугольная призма, а около
нее описан шар. Найти отношение поверхностей этих шаров.
2.181. Около шара радиуса R описана правильная шестиугольная
призма. Определить ее полную поверхность.
2.182. Конус образован вращением прямоугольного треугольника
площадью S вокруг одного из катетов. Найти объем конуса, если длина
51

окружности, описанной при вращении этого треугольника точкой пересе-
пересечения его медиан, равна L.
2.183. Треугольник со сторонами, равными а, Ъ и с, вращается
поочередно вокруг каждой из своих сторон. Найти отношение объемов
полученных при этом фигур.
2.184. Радиус основания конуса равен R, а боковая поверхность
равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определить объем
конуса.
2.185. Радиус основания конуса равен R. Две взаимно перпендику-
перпендикулярные образующие делят площадь боковой поверхности конуса в от-
отношении 1:2. Найти объем конуса.
2.186. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает
основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания.
Определить отношение объемов полученных частей конуса.
2.187. Полная поверхность конуса равна nS кв. ед. Развернутая на
плоскость боковая поверхность конуса представляет собой сектор с уг-
углом 60е. Определить объем конуса.
2.188. Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности это-
этого конуса является сектор с центральным углом 120°. Вычислить объем
конуса.
2.189. Радиус основания конуса равен R, а угол развертки его боко-
боковой поверхности равен 90°. Определить объем конуса.
2.190. Основание пирамиды есть прямоугольный треугольник. Боко-
Боковые ребра пирамиды равны, а боковые грани, проходящие через катеты,
составляют с плоскостью основания углы 30 и 60°. Найти объем описан-
описанного около пирамиды конуса, если высота пирамиды равна А.
2.191. Угол между образующей конуса и плоскостью основания
равен 30°. Боковая поверхность конуса равна Зя^/з кв. ед. Определить
объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус.
2.192. Определить боковую поверхность и объем усеченного конуса
с образующей, равной /, описанного около шара радиуса г.
2.193. Даны цилиндр и шар. Радиусы основания цилиндра и боль-
большого круга шара равны. Полная поверхность цилиндра относится к по-
поверхности шара как т: п. Найти отношение их объемов.
2.194. В цилиндрический сосуд, радиус основания которого Л=4 см,
помещен шар радиуса г=Ъ см. В сосуд налита вода так, что ее свободная
поверхность касается поверхности шара (шар при этом не всплывает).
Определить толщину того слоя воды, который получится, если вынуть
шар из сосуда.
2.195. Параллелограмм, периметр которого равен 2р, вращается
вокруг оси, перпендикулярной диагонали длиной d и проходящей через
ее конец. Найти поверхность фигуры вращения.
Группа В
2.196. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а, площадь ее сечения, имеющего форму квадрата, равна т2. Найти
отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания.
2.197. Высота правильной треугольной пирамиды равна Н. Найти ее
полную поверхность, если плоскость, проведенная через вершину ос-
основания пирамиды перпендикулярно апофеме противоположной боко-
боковой грани, составляет с плоскостью основания угол 30°.
2.198. Через точку, делящую ребро правильного тетраэдра в от-
52

ношении 1:4, проведена плоскость, перпендикулярная этому ребру. Най-
Найти отношение объемов полученных частей тетраэдра.
2.199. Доказать, что если тетраэдр ортоцентрический, т. е. такой,
что прямые, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке, то:
а) каждые два его противоположных ребра взаимно перпендику-
перпендикулярны;
б) если один из плоских углов при какой-либо вершине тетраэд-
тетраэдра — прямой, то и другие два плоских угла — прямые;
в) любая его вершина проецируется в ортоцентр противоположной
грани (точку пересечения прямых, содержащих высоты грани);
г) суммы квадратов длин его противоположных ребер равны.
2.200. а) Длины ребер АВ, AC, AD и ВС ортоцентрического тетраэд-
тетраэдра равны соответственно 5, 7, 8 и 6 см. Найти длины остальных двух
ребер.
б) Является ли тетраэдр ABCD ортоцентрическим, если АВ=& см,
ВС= 12 см, 2>С=6см?
2.201. В ортоцентрическом тетраэдре ABCD угол ADC — прямой.
1111
Доказать, что ~~^ = ~^ + ~^ + ~т> где « — длина высоты тетраэдра, прове-
проведенной из вершины D, a=DA, b=DB, c=DC.
2.202. В ортоцентрическом тетраэдре ABCD угол ABC — прямой;
St, S2, S3 — площади граней ВАС, BAD, BCD соответственно. Доказать,
что объем тетраэдра равен - *J2S1S1S3.
2.203. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный пря-
прямоугольный треугольник ABC, длина гипотенузы которого АВ=Щ2.
Боковое ребро SC пирамиды перпендикулярно плоскости основания,
а его длина равна 2. Найти величину угла и расстояние между прямыми,
одна из которых проходит через точку S и середину ребра АС, а. дру-
другая — через точку С и середину ребра АВ.
2.204. Вычислить объем треугольной пирамиды, у которой два про-
противоположных ребра 4 и 12 м, а каждое из остальных ребер равно 7 м.
2.205. Найти объем треугольной пирамиды, стороны основания ко-
которой равны а, Ь и с, если каждая из этих сторон равна боковому ребру,
не пересекающемуся с ней.
2.206. Боковые ребра треугольной пирамиды имеют одинаковую
длину и равны а. Из трех плоских углов, образованных этими ребрами
при вершине пирамиды, два содержат по 45°, а третий — 60°. Опреде-
Определить объем пирамиды.
2.207. Длины боковых ребер треугольной пирамиды равны а.Ьъс,
плоские углы, образованные этими ребрами,— прямые. Найти длину
высоты, проведенной к основанию пирамиды.
2.208. Через ребро правильного тетраэдра проведена плоскость, па-
параллельная противоположному ребру. Найти отношение объема полу-
полученного параллелепипеда к объему тетраэдра.
2.209. Два правильных тетраэдра соединены двумя гранями так, что
образуют двойную пирамиду. Центры шести боковых граней этой двой-
двойной пирамиды приняты за вершины прямой треугольной призмы. Вычи-
Вычислить объем этой призмы, если ребро тетраэдра равно а.
2.210. Доказать, что объемы двух треугольных пирамид, имеющих
по равному трехгранному углу, относятся как произведения длин трех
ребер равных трехгранных углов.
2.211. Основанием пирамиды SABC служит треугольник ABC такой,
53

что АВ=АС= 10 м и ВС =12 м. Грань SBC перпендикулярна основанию
и SB=SC. Вычислить радиус шара, вписанного в пирамиду, если высота
пирамиды равна 1,4 м.
2.212. Из середины высоты правильной четырехугольной пирамиды
проведены перпендикуляр длиной а к боковому ребру и перпендикуляр
длиной Ъ к боковой грани. Найти объем пирамиды.
2.213. Через сторону основания правильной четырехугольной пира-
пирамиды проведена плоскость, которая отсекает от противоположной грани
треугольник площадью 4 см2. Найти боковую поверхность пирамиды,
которая отсечена этой плоскостью от данной пирамиды, если боковая
поверхность данной пирамиды равна 25 см2.
2.214. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, боковое ребро составляет со стороной угол 30е. Через вершину
основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противо-
противолежащему боковому ребру. Эта плоскость разбивает пирамиду на две
части. Определить объем части пирамиды, прилегающей к вершине.
2.215. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пира-
пирамида, основание которой делит перпендикулярный ему радиус пополам.
Определить поверхность шара, вписанного в пирамиду.
2.216. Найти объем правильной пирамиды, в основании которой
лежит правильный пятиугольник, а боковыми гранями являются пра-
правильные треугольники со стороной а.
2.217. Два равных куба с ребром а имеют общий отрезок АВ,
концами которого являются середины двух противоположных ребер, не
принадлежащих одной грани. Один из кубов получен поворотом другого
вокруг прямой АВ на 90°. Найти объем общей части этих кубов.
2.218. Найти объем общей части двух кубов, если один из них
получен поворотом на 90° другого куба вокруг оси, проходящей через
среднюю линию одной из его граней. Ребро куба равно а.
2.219. Два куба с ребром, равным а, имеют общий отрезок, соединя-
соединяющий центры двух противоположных граней, но один куб повернут на
45° по отношению к другому. Найти объем общей части этих кубов.
2.220. Диагонали двух одинаковых кубов с ребром, равным а, лежат
на одной и той же прямой. Вершина второго куба совпадает с центром
первого и второй куб повернут вокруг диагонали на 60° по отношению
к первому. Найти объем общей части этих кубов.
2.221. Через концы трех ребер, выходящих из вершин В, D, At и С,
куба ABCDA^B^C-J)^ ребро которого равно а, проведены плоскости.
Доказать, что полученная фигура есть правильный тетраэдр, и вычис-
вычислить его полную поверхность и объем.
2.222. Через каждые три вершины куба, расположенные на концах
каждой тройки ребер, сходящихся в одной вершине, проведена плос-
плоскость. Найти объем тела, ограниченного этими плоскостями, если ребро
куба равно а.
2.223. Расстояние между непересекающимися диагоналями двух
смежных боковых граней куба равно d. Определить полную поверхность
куба.
2.224. Ребро наклонного параллелепипеда равно /. К нему примы-
примыкают две смежные грани, у которых площади равны т1 и л2, а их
плоскости образуют угол 30°. Вычислить объем параллелепипеда.
2.225. Гранями параллелепипеда служат ромбы, диагонали которых
равны 3 и 4 см. В параллелепипеде имеются трехгранные углы, состав-
составленные тремя острыми углами ромбов. Найти объем параллелепипеда.
2.226. В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами
54 .

6, 8 и 10 см. Некоторое плоское сечение этой призмы отсекает от
боковых ребер, проходящих через вершины большего и среднего углов
основания, отрезки, равные 12 см каждый, а от ребра, проходящего через
вершину меньшего угла основания,— отрезок в 18 см. Найти объем
и площадь полной поверхности фигуры, ограниченной плоскостью ос-
основания призмы, плоскостями боковых граней и плоскостью сечения.
2.227. Высота цилиндра равна радиусу его основания и имеет длину
а. Через ось цилиндра проведена другая цилиндрическая поверхность,
делящая окружность основания на две дуги, длины которых относятся
как 2:1. Эта цилиндрическая поверхность делит данный цилиндр на две
части. Найти боковую поверхность и объем большей части цилиндра.
2.228. В конус вписан шар. Доказать, что отношение полной поверх-
поверхности конуса к поверхности шара равно отношению их объемов.
2.229. Отношение высоты конуса к радиусу описанного около него
шара равно q. Найти отношение объемов этих тел. При каких значениях
q задача не имеет решения?
2.230. Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг
своей неподвижной вершины. Высота конуса и его образующая равны
Аи/. Вычислить площадь поверхности, описываемой высотой конуса.
2.231. Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего ос-
основания которого в а раз больше площади его верхнего основания. Во
сколько раз объем усеченного конуса больше объема шара?
2.232. Доказать, что если в многогранник можно вписать сферу, то
его объем равен 1/3 произведения полной поверхности многогранника на
радиус вписанной сферы.
2.233. Основание пирамиды SABCD есть трапеция с параллельными
сторонами АВ и CD. Доказать, что объем пирамиды равен 4/3 произ-
произведения площади треугольника MSN, где MN — средняя линия трапе-
трапеции, на расстояние ребра АВ от плоскости MSN.
2.234. Многогранник имеет следующее строение: две его грани (ос-
(основания) представляют собой многоугольники, расположенные в парал-
параллельных плоскостях; остальные грани (боковые) — трапеции, паралле-
параллелограммы или треугольники, у которых каждая вершина является одно-
одновременно вершиной одного из оснований. Доказать, что объем такого
многогранника равен - ЯE, + S2 + 4S3), где Н—расстояние между
6
плоскостями оснований, Sj и S2 — площади оснований, a S3 — площадь
сечения, равноотстоящего от обоих оснований.
2.235. Фигура ограничена сверху и снизу двумя прямоугольниками
со сторонами, равными а, Ъ и аи blt а сбоку — трапециями. Стороны
прямоугольников параллельны, расстояние между параллельными плос-
плоскостями прямоугольных оснований равно А. Найти объем фигуры.

ГЛАВА 3
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ
НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ ЭЛЕМЕНТАМИ ФИГУР
1°. Площадь параллелограмма ABCD (рис. 3.1) можно вычислить по следу-
следующим формулам:
AC2-BD2
S- tgA; (a)
4
AB2-AD2
5= igLAOD, (б)
где О — точка пересечения диагоналей АС н BD.
? Используя теорему косинусов A.7), выразим АС2 из треугольника АСВ
и BD вз треугольника ABD, а затем вычтем из первого равенства второе. Тогда
_ AC2-BD2
получим AC—BD'^AABAD casA, откуда АВАО = . Наконец, при-
4 cos/i
меняя формулу A.22), находим
АС2-3D2
= AB AD sin A = tg^.
4
Проведя аналогичные рассуждения по отношению к треугольникам AOD
и АОВ, можно установить справедливость формулы (б). ¦
2°. Пусть известны длины Ь и с двух сторон треугольника ABC и угол А,
образуемый ими (рис. 3.2). Тогда длина биссектрисы AD треугольника, проведен-
проведенной из вершины этого угла, выражается формулой
2bccos(AI2)
D Имеем S6kABC^SAADc+S6tADB. Используя формулу A.2), получаем
Рис. 3.1 Рис. 3.2
56 Ч

1 1 1
- be sin A =- lab sin (A/2) +- lac sin (A/2)
или
be sin (Л/2) cos (A/2) =- la(b + c) sin (A/2).
A Ibc cos (A/2)
Так как sin —^0, то /„= . ¦
2 b + c
3°. Справедливы следующие соотношения между элементами шара и вписан-
вписанного в него конуса:
/=2J?sina; (а)
I -inn, (О)
где Л — радиус шара, / — длина образующей конуса, Н — его высота, х — угол
между образующей и плоскостью основания.
Такие же соотношения справедливы и для вписанной в шар пирамиды,
боковые ребра которой имеют длину / и составляют
с плоскостью основания угол х.
? а) Построив осевое сечение конуса, вписанного
в шар (рис. 3.3), получим равнобедренный треугольник
SAB, вписанный в окружность радиуса Л. Центром окру-
окружности является точка О пересечения высоты SK и сере-
серединного перпендикуляра DO к стороне S3, причем SK= H,
LSOV= LSBK=x. Из ASDO находим SD = SO sin a, т. е.
l=2Runa.
б) Продолжим SK до пересечения с окружностью
в точке Е и построим отрезок BE. Тогда получим прямо-
прямоугольный треугольник SBE, в котором катет SB=l есть
среднее геометрическое между гипотенузой SE=*2R и про-
проекцией SK=H катета SB на гипотенузу SE, т. е.
Рис. 3.3
Ш
4°. Пусть А1В1 — боковое ребро пирамиды или призмы, А^О — его проек-
проекция на плоскость основания, LBjA^^a, L.OA1A2=f}, LB1AlA1=y (рис. 3.4).
Тогда справедливо равенство cos у=cos a cos Д.
D Проведем высоту боковой грани — отрезок В, С, тогда OClAtA3 (по
Ряс. 3.4
57

теореме о трех перпендикулярах) и из АА1СВ1 получим cosy= . Так как
АхЗг
OAt cos/? OAi
А1С"ОА1 cos/? (из AOCAt), то cosy= . Но =cosa (из АА^ОВ^);
значит, cos у=cos a cos РШ
5°. Пусть а — угол наклона бокового ребра правильной п-угольной пирами-
пирамиды к плоскости основания, д — угол наклона ее боковой грани к плоскости
основания, <р — плоский угол при вершине пирамиды, ш — двугранный угол
между смежными боковыми гранями (рис. 3.5). Тогда справедливы следующие
соотношения:
sin(<p/2)
cos st= ; (а)
sin (я/л)
. О) COS (Я/л)
sin— = ; (о)
2 cos(<p/2)
tg(<p/2) со
cos5= =cosasin—. W
ЧШ 2
? а) Пусть О — центр правильного л-угодышка, служащего основанием
я(и-2)
пирамиды; А1 — угол при вершине этого л-уголышка. Тогда LAX= =
л
2я я я
=я , LOAiC= . Далее имеем
л 2 л
(я я\ п
=^!C:sin- (из
2 л/ л
А ОСА!); SAi =ASC: sin - (из ASCAt). Теперь из b.SOAx находим
OAt AXC AyC sin(<p/2)
cosa= = : = .
SAt sin (я/л) sin(<p/2) sin (я/л)
б) Пусть Е — середина основания АгАп равнобедренного треугольника
A2DAn. Она принадлежит также биссектрисе А,0 угла при вершине А, основания
пирамиды и биссектрисе DE угла АгОА„. Из прямоугольных треугольников АгЕО
со /я я\ я
и AtEA2 находим A2D=*AxE:sm — и A,A1=A-,E:sxn\-—-]*=A:lE:co$-. Раз-
2 \1 nj п
делив первое равенство на второе, получим AlD:A^A1~QOs,{nln):an{a>j2). Так
как AAlAiD~AAlSC, то A2D:A1A2=SC:AlS=cas(q>/2), откуда
<р cos (я/л) to cos (я/л)
cos- = или sin- = .
2 sin(a>/2) 2 cos(<p/2)
( п\ я
-— =^jCctg- (из
2 / л
<р
=^,C ctg- (из ASCAJ. Поэтому
(я п\
-—
2 я/
^iCctg^) tg(<p/2)
cos a =
откуда, перемножив соотношения (а) и (б), получим
58
tg(p/2) _ ш
cosd= =cosasin—.
(/) 2

D
Рис. 3.6
Рис. 3.7
Пример 1. Угол при основании остроугольного равнобедренного треуголь-
треугольника АЗС (АВ=ВС) равен а. В каком отношении, считая от вершины А, высота
BD делит высоту АЕ!
? Согласно условию, аАВС — остроугольный; значит, точка К пересечения
высот лежит внутри треугольника (рис. 3.6). Пусть AD=a. Из ААЕС находим
а
АЕ=2а sin а; из AAKD находим АК= (LAKD= L.C, так как оба угла допол-
i
а
шпот угол KAD до 90°). Далее имеем КЕ=АЕ-АК=2а sina-
sin a
aBsin2a—1) acos2a
-. Окончательно получим
sina
sin a
AK
KE~
a cos 2a
1
cos 2a
Пример 2. Из вершины С ромба ABCD, сторона которого равна а, проведены
два отрезка СЕ и CF (рис. 3.7), делящие ромб на три равновеликие фигуры.
Известно, что cos С = 1/4. Найти сумму СЕ+ CF.
D Высоты треугольников CED и CFB, проведенные из вершины С, имеют
равные длины и S&Ced=S&cfb (по условию); поэтому DE=FB, а значит,
CE=CF и AE=AF. Проведем диагональ АС, которая делит AECF на два
1
равных треугольника. Следовательно, S^acf"' Saecf- Так как SAecf=S&cfb
1
(по условию), то S&Acf=- S&CFB, причем треугольники AFC и FCB имеют
1
общую высоту, проведенную из вершины С. Отсюда вытекает, что AF=- FB,
2 1
т. е. FB=-а; кроме того, cos#=cosA80°-С) = -cosC=—. Из AFCB по
3 4
теореме косинусов получим
/ , 4а2 / 1\ 7л 4а
CF= Ia1+—-2я. I—). — -—.
V 9 \ V 3 3
8a
Итак, СЕ+ CF=—. ¦
Пример 3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, гипотенуза
которого равна с, а один из острых углов равен а. Каждое боковое ребро
составляет с плоскостью основания угол р. Найти объем пирамиды.
59

D Так как все боковые ребра пирамиды ABCD (рис. 3.8) одинаково наклоне-
наклонены к плоскости основания, то вершина D проецируется в центр окружности,
описанной около треугольника ABC; для прямоугольного треугольника — в сере-
середину Е гипотенузы АВ. Высота DE треугольника ADB является высотой пирами-
1 1 1
1
ды. Далее имеем Saabc=~
с
=- tg/i. Окончательно получим
1 ,
ВС=- с2 sinacosa
с2 sm2a, DE=BEt$fl=
11 ее3
V---- с2 sin2a-- tg/?=— wa2atgp. U
3 4 2 24
Пример 4. В конус, образующая которого наклонена к основанию под углом
а, вписан шар. Радиус окружности касания сферической и конической поверх-
поверхностей равен г. Найти длину образующей конуса.
D В осевом сечении конуса (рис. 3.9) получим равнобедренный треугольник
ABC, в который вписана окружность с центром О — точкой пересечения высоты
BD треугольника и биссектрисы СО угла С. Из точки Б касания окружности
с образующей ВС проведем KELBD. Очевидно, что KE=r, L КОЕ= а (см. пример
а
ctg-
r а 2
1), OE=OD= . Из AODC находим DC=OD ctg-=r , а из ABDC нахо-
sin a 2 sin а
а
ctg-
DC 2
дим?С= = Ъг . ¦
cos a sin 2а
Пример 5. Найти площадь боковой поверхности правильной четырехуголь-
четырехугольной пирамиды, высота которой равна Н, а величина плоского угла при вершине
равна ц> (рис. 3.10).
О Введем вспомогательный угол
Н
а= LSA%O. Тогда SA2= и площадь боковой
sina
поверхности пирамиды выразится следующим
образом:
1 Н2
Рис. 3.10
2 an2 a
Используя связь между введенным углом
а и известными углами <р и LOA2Ai = n/4 (см.
60

sin (<f>/2) ,-
формулу (а) п. 5°), получим cosa= =-v/2sin(<)>/2). Следовательно,
sin (я/4)
sin2a=l— 2sm2(«>/2)=cos<j». Подставляя это выражение в фор-
формулу для ?бож> окончательно находим SfoI=2HI tg<p. ¦
Группа А
3.001. Сумма двух неравных высот равнобедренного треугольника
равна /, угол при вершине равен а. Найти боковую сторону.
3.002. Даны две стороны b и с треугольника и его площадь, равная
0,4 be. Найти третью сторону.
3.003. В треугольнике даны длины двух сторон а и А и угол а между
ними. Найти длину высоты, проведенной к третьей стороне.
3.004. В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол
а при основании. Найти длину медианы, проведенной к боковой стороне.
3.005. Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция
с острым углом а при основании. Найти периметр трапеции.
3.006. Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при
вершине равен а. Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой
стороне.
3.007. Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол ра-
равен а. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ равна боль-
большему основанию.
3.008. В равнобедренный треугольник с углом а при основании
вписана окружность радиуса г. Найти радиус окружности, описанной
около треугольника.
3.009. В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторо-
сторонами равен а, радиус вписанной окружности равен г. Найти площадь
треугольника.
3.010. Около круга радиуса R описана трапеция с углами аи/? при
большем основании. Найти площадь трапеции.
3.011. Высота BD правильного треугольника ABC продолжена за
вершину В и на продолжении взят отрезок BF, равный стороне треуголь-
треугольника. Точка F соединена отрезком прямой с^ вершиной С. С помощью
этого построения показать, что tgl5° = 2 —^/з.
3.012. В прямоугольном треугольнике даны его площадь S и острый
угол а. Найти расстояние от точки пересечения медиан треугольника до
гипотенузы.
3.013. Высота равнобедренной трапеции равна А, а угол между ее
диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а. Найти сред-
среднюю линию трапеции.
3.014. Площадь равнобедренного треугольника равна S, угол между
высотой, проведенной к боковой стороне, и основанием равен а. Найти
радиус круга, вписанного в треугольник.
3.015. Около круга описана прямоугольная трапеция с острым уг-
углом а. Найти высоту трапеции, если ее периметр равен Р.
3.016. Через вершину А равнобедренного остроугольного треуголь-
треугольника ABC и центр описанной около этого треугольника окружности
проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке D. Найти длину
AD, если АВ=ВС=Ъ и LABC=a.
3.017. Площадь равнобедренного треугольника равна S, а проти-
противолежащий основанию угол между медианами, проведенными к его
боковым сторонам, равен а. Найти основание.
61

3.018. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а,
радиус вписанного круга равен г. Через вершину угла при основании
и центр вписанного круга проведена прямая. Найти отрезок этой пря-
прямой, заключенный внутри треугольника.
3.019. В квадрате ABCD через середину М стороны АВ проведена
прямая, пересекающая противоположную сторону CD в точке N. В ка-
каком отношении прямая MN делит площадь квадрата, если острый угол
AMN равен а? Указать возможные значения а.
3.020. Равносторонний треугольник пересечен прямой, проходящей
через середину одной из его сторон и составляющей с этой стороной
острый угол а. В каком отношении эта прямая делит площадь треуголь-
треугольника?
3.021. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а.
Найти отношение площади треугольника к площади описанного около
него круга.
3.022. Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окру-
окружностей составляет с линией центров угол а. Найти отношение радиусов
этих окружностей.
3.023. Угол при основании равнобедренного треугольника равен а.
Найти отношение радиусов вписанной и описанной окружностей.
3.024. Найти отношение периметра трапеции, описанной около
окружности, к длине этой окружности, если углы при большем основа-
основании трапеции равны ос и /J.
3.025. В ромб ABCD и в треугольник ABC, содержащий его боль-
большую диагональ, вписаны окружности. Найти отношение радиусов этих
окружностей, если острый угол ромба равен а.
3.026. Диагональ прямоугольника равна d и делит угол прямоуголь-
прямоугольника в отношении т.п. Найти периметр прямоугольника.
3.027. В ромбе через вершину острого угла, равного а, проведена
прямая, делящая этот угол в отношении 1:2. В каком отношении эта
прямая делит сторону ромба, которую она пересекает?
3.028. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, отноше-
отношение боковой стороны к меньшему основанию равно к. Найти углы
трапеции и допустимые значения к.
3.029. Отношение площади прямоугольного треугольника к площа-
площади квадрата, построенного на его гипотенузе, равно к. Найти сумму
тангенсов острых углов треугольника.
3.030. В параллелограмме со сторонами а и Ъ и острым углом
а найти тангенсы углов, образуемых большей диагональю параллелог-
параллелограмма с его сторонами.
3.031. Найти угол треугольника, если известно, что стороны, заклю-
заключающие этот угол, равны а и Ь, а биссектриса угла равна /.
3.032. В квадрат ABCD вписан равнобедренный треугольник AEF;
точка Е лежит на стороне ВС, точка F— на стороне CD и AE=AF.
Тангенс угла AEF равен 3. Найти косинус угла FAD.
3.033. На меньшем основании равнобедренной трапеции построен
правильный треугольник. Его высота равна высоте трапеции, а площадь
в 5 раз меньше площади трапеции. Найти угол при большем основании
трапеции.
3.034. В прямоугольник ABCD(AB\\CD) вписан треугольник AEF.
Точка Е лежит на стороне ВС, точка F — на стороне CD. Найти тангенс
угла EAF, если AB:BC=BE:EC=CF:FD=k.
3.035. В параллелограмм со сторонами а и Ъ (а<Ь) и острым углом
а вписан ромб; две его вершины совпадают с серединами больших
62

сторон параллелограмма, две другие лежат на меньших сторонах (или
на их продолжениях). Найти углы ромба.
3.036. Даны стороны а, Ь, с и d четырехугольника, вписанного ¦
в окружность. Найти угол, заключенный между сторонами аи Ь.
3.037. Показать, что если в треугольнике отношение тангенсов двух
углов равно отношению квадратов синусов этих же углов, то треуголь-
треугольник равнобедренный или прямоугольный.
3.038. Доказать, что во всяком треугольнике разность между сум-
суммой квадратов любых двух его сторон и произведением этих сторон,
умноженным на косинус угла между ними, есть для данного треуголь-
треугольника величина постоянная.
3.039. Две высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупо-
тупого угла, равны А, и Л2, а угол между ними равен а. Найти большую
диагональ параллелограмма.
3.040. Высота равнобедренной трапеции равна А. Верхнее основание
трапеции из середины нижнего основания видно под углом 2а, а нижнее
основание из середины верхнего -^ под углом 2/J. Найти площадь трапе-
трапеции в этом общем случае и вычислить ее без таблиц, если Л=2, <х=15°,
0=75°.
3.041. Из точки, взятой на окружности радиуса R, проведены две
равные хорды, составляющие вписанный угол, равный а радианам.
Найти часть площади круга, заключенную внутри этого вписанного
угла.
3.042. В сегмент, дуга которого содержит а", вписан правильный
треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой дуги, а две
другие лежат на хорде. Площадь треугольника равна S. Найти радиус
дуги сегмента.
3.043. В прямоугольном треугольнике ABC острый угол А равен
а радианам. Дуга окружности с центром в вершине прямого угла С каса-
касается гипотенузы в точке D и пересекает катеты АС и ВС соответственно
в точках Е и F. Найти отношение площадей криволинейных треуголь-
треугольников ADE и BDF.
3.044. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна / и состав-
составляет с боковым ребром угол а. Найти объем параллелепипеда, если
периметр его основания равен Р.
3.045. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треуголь-
треугольник с острым углом а. Диагональ большей боковой грани равна d и об-
образует с боковым ребром угол р. Найти объем призмы.
3.046. Угол между диагоналями основания прямоугольного парал-
параллелепипеда равен а. Диагональ параллелепипеда составляет с плоско-
плоскостью основания угол р. Найти высоту параллелепипеда, если его объем
равен V.
3.047. Основанием прямой призмы служит равнобедренный тре-
треугольник с углом а при вершине. Диагональ грани, противоположной
данному углу, равна / и составляет с плоскостью основания угол р.
Найти объем призмы.
3.048. Найти полную поверхность прямого параллелепипеда, если
в основании его лежит ромб с острым углом а и меньшей диагональю d,
а высота параллелепипеда в 2 раза меньше стороны основания.
3.049. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция,
у которой диагональ равна а, а угол между диагональю и большим
основанием равен а. Диагональ призмы наклонена к основанию под
углом р. Найти объем призмы.
3.050. Сторона основания правильной четырехугольной призмы рав-
63

на а. Угол между пересекающимися диагоналями двух смежных боковых
^ граней равен а. Найти объем призмы.
-; 3.051. Основанием прямой призмы служит равнобедренный тре-
треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол между боковыми
сторонами равен а. Найти объем призмы, если ее боковая поверхность
равна S.
3.052. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно
/ и составляет с плоскостью основания угол а. Найти объем пирамиды.
3.053. Высота правильной треугольной пирамиды равна Я, двугран-
двугранный угол при основании равен а. Найти полную поверхность пирамиды.
3.054. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно
т и наклонено к плоскости основания под углом а. Найти объем
пирамиды.
3.055. Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, если
сторона ее основания равна а, а двугранный угол при основании равен а.
3.056. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник
с острым углом а. Высота пирамиды равна Н. Все боковые ребра
составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный /J.
Найти объем пирамиды.
3.057. Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со сто-
стороной а и острым углом а. Все боковые грани наклонены к плоскости
основания под одним и тем же углом /J. Найти полную поверхность
пирамиды.
3.058. Сторона основания треугольной пирамиды равна а, прилежа-
прилежащие к ней углы основания равны аир. Все боковые ребра составляют
с высотой пирамиды один и тот же угол <р. Найти объем пирамиды.
3.059. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
у которого боковая сторона равна а, а угол при вершине равен а. Все
боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом /J. Найти
объем пирамиды.
3.060. Каждое из боковых ребер четырехугольной пирамиды образу-
образует с высотой угол а. Основанием пирамиды служит прямоугольник
с углом р между диагоналями. Найти объем пирамиды", если ее высота
равна А. /
3.061. Основанием пирамиды служит правильный треугольник со
стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости
основания, а равные боковые ребра образуют между собой угол а.
Найти высоту прямой треугольной призмы, равновеликой данной пира-
пирамиде и имеющей с ней общее основание.
3.062. Основанием пирамиды ABCD служит прямоугольный тре-
треугольник ABC (Z_C= 90°). Боковое ребро AD перпендикулярно основа-
основанию. Найти острые углы треугольника ABC, если L DBA = а и L. DBC=р
Д
3.063. Сторона большего основания правильной четырехугольной
усеченной пирамиды равна а. Боковое ребро и диагональ пирамиды
составляют с плоскостью основания углы, равные соответственно а и /?.
Найти площадь меньшего основания пирамиды.
3.064. Стороны оснований правильной л-угольной усеченной .пира-
.пирамиды равны а и Ь. Боковая грань составляет с плоскостью основания
угол а. Найти боковую поверхность пирамиды.
3.065. Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды
в 5 раз больше площади ее основания. Найти плоский угол при вершине
пирамиды.
3.066. Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда
64

составляют с плоскостью основания углы а и р. Найти угол между
диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.
3.067. Найти угол между апофемами двух смежных боковых граней
правильной л-угольной пирамиды, если плоский* угол при ее вершине
равен а.
3.068. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует
со стороной основания угол а. Найти угол между боковым ребром
и высотой пирамиды и допустимые значения а.
3.069. Все боковые ребра треугольной пирамиды составляют с плос-
плоскостью основания один и тот же угол, равный одному из острых углов
прямоугольного треугольника, лежащего в основании пирамиды. Найти
этот угол, если гипотенуза треугольника равна с, а объем пирамиды
равен V.
3.070. Плоскость квадрата составляет угол а с плоскостью, прове-
проведенной через одну из его сторон. Какой угол составляет с той же
плоскостью диагональ квадрата?
3.071. В грани двугранного угла, равного а, проведена прямая,
составляющая угол /? с ребром двугранного угла. Найти угол между
этой прямой и другой гранью.
3.072. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды попарно
взаимно перпендикулярны. Найти угол между боковой гранью и плоско-
плоскостью основания.
3.073. Стороны основания прямого параллелепипеда относятся как
1:2, острый угол в основании равен а. Найти угол между меньшей
диагональю параллелепипеда и плоскостью основания, если высота
параллелепипеда равна большей диагонали основания.
3.074. Найти угол между пересекающимися диагоналями двух смеж-
смежных боковых граней правильной четырехугольной призмы, если плос-
плоскость, в которой они лежат, составляет с плоскостью основания угол а.
3.075. Найти косинус угла между апофемой и диагональю основания
правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно
стороне основания.
3.076. Боковая грань правильной треугольной усеченной пирамиды
составляет с плоскостью основания острый угол а. Найти угол между
высотой и боковым ребром пирамиды.
3.077. Отношение боковой поверхности правильной треугольной пи-
пирамиды к площади ее основания равно к. Найти угол между боковым
ребром и высотой пирамиды.
3.078. Найти косинус угла между смежными боковыми гранями
правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно
стороне основания.
3.079. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно сторо-
стороне основания. Найти угол между стороной основания и непересекающей
ее диагональю боковой грани.
3.080. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пира-
пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания.
Найти этот угол.
3.081. Отношение одной из сторон основания треугольной пирами-
пирамиды к каждому из остальных пяти ее ребер равно к. Найти двугранный
угол между двумя равными боковыми гранями пирамиды и допустимые
значения к.
3.082. Высота правильной треугольной призмы равна Я. Плоскость,
проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную
ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего ос-
3-363 65

нования острый двугранный угол а. Найти площадь сечения, образован-
образованного этой плоскостью.
3.083. В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом а.
Отношение высоты призмы к стороне основания равно к. Через сторону
основания и середину противоположного бокового ребра проведена
плоскость. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.
3.084. В правильной шестиугольной призме плоскость, проведенная
через сторону основания и середину отрезка, соединяющего центры
оснований, составляет с плоскостью основания острый угол а. Найти
площадь сечения, образованного этой плоскостью, если сторона основа-
основания призмы равна а.
3.085. В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания рав-
равна d и составляет со стороной основания угол а. Через эту сторону
и противоположную ей сторону верхнего основания проведена плос-
плоскость, образующая с плоскостью основания угол р. Найти боковую
поверхность параллелепипеда.
3.086. Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапе-
трапеция, у которой основания равны а и b (a>b), а острый угол равен а.
Плоскость, проходящая через большее основание верхней трапеции
и меньшее основание нижней трапеции, составляет с плоскостью нижне-
нижнего основания угол р. Найти объем призмы.
3.087. Через сторону нижнего основания куба проведена плоскость,
делящая объем куба в отношении т:п, считая от нижнего основания.
Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания, если /и<л.
3.088. Через диагональ нижнего основания правильной четыреху-
четырехугольной призмы и противоположную вершину ее верхнего основания
проведена плоскость. Угол между равными сторонами сечения равен а.
Найти отношение высоты призмы к стороне основания.
3.089. Через вершину С основания правильной треугольной пирами-
пирамиды SABC проведена плоскость перпендикулярно боковому ребру SA.
Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол, косинус которо-
которого равен 2/3. Найти косинус угла между двумя боковыми гранями.
3.090. В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедрен-
равнобедренный треугольник ABC, у которого ЛВ=ВС=аи LBAC=a. Через сторо-
сторону АС проведена плоскость под углом <p(<p<nj2) к основанию. Найти
площадь сечения, если известно, что в сечении получился треугольник.
3.091. В правильной двенадцатиугольной пирамиде, ребра которой
пронумерованы подряд, проведено сечение через первое и пятое ребра.
Плоскость сечения образует с плоскостью основания пирамиды угол а,
а площадь этого сечения равна S. Найти объем пирамиды.
3.092. Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под уг-
углом, равным а, обращенным к основанию. Объем цилиндра равен V.
Найти высоту цилиндра.
3.093. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямо-
прямоугольник, диагонали которого пересекаются под углом а. Длина диаго-
диагонали равна d. Найти боковую поверхность цилиндра.
3.094. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой
прямоугольник, в котором диагональ равна а и составляет с основанием
угол а. Найти объем цилиндра.
3.095. Плоскость, проведенная параллельно оси цилиндра, делит
окружность основания в отношении т:п. Площадь сечения равна S.
Найти боковую поверхность цилиндра.
3.096. Площадь основания цилиндра относится к площади его осе-
66

вого сечения как т: п. Найти острый угол между диагоналями осевого
сечения.
3.097. Плоскость, проведенная через образующую цилиндра, состав-
составляет с плоскостью осевого сечения, содержащего ту же образующую,
острый угол а. Диагональ прямоугольника, полученного в сечении цили-
цилиндра этой плоскостью, равна / и образует с плоскостью основания угол
р. Найти объем цилиндра.
3.098. Разность между образующей и высотой конуса равна d, а угол
между ними равен а. Найти объем конуса.
3.099. Расстояние от центра основания конуса до его образующей
равно d. Угол между образующей и высотой равен а. Найти полную
поверхность конуса.
3.100. Найти угол при вершине осевого сечения конуса, если цент-
центральный угол в развертке его боковой поверхности равен а радианам.
3.101. В основание конуса вписан квадрат, сторона которого равна
а. Плоскость, проходящая через одну из сторон этого квадрата и через
вершину конуса, при пересечении с поверхностью конуса образует равно-
равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен а. Найти
объем конуса.
3.102. Через две образующие конуса, угол между которыми равен а,
проведена плоскость. Найти отношение площади сечения к полной
поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью
основания угол /J.
3.103. Через две образующие конуса, угол между которыми равен а,
проведена плоскость, составляющая с основанием угол /?. Найти объем
конуса, если его высота равна А.
3.104. Найти угол между образующей и высотой конуса, у которого
боковая поверхность есть среднее пропорциональное между площадью
основания и полной поверхностью.
3.105. Найти объем конуса, если в его основании хорда, равная а,
стягивает дугу в а°, а высота конуса составляет с образующей угол р.
3.106. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2а, а сумма
длин его высоты и образующей равна а. Найти объем конуса.
3.107. Диагонали осевого сечения усеченного конуса точкой пересе-
пересечения делятся в отношении 2:1. Угол между диагоналями, обращенный
к основанию конуса, равен а. Длина диагонали равна /. Найти объем
усеченного конуса.
3.108. Сторона ромба равна а, его острый угол равен а. Ромб
вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно
большей диагонали. Найти объем тела вращения.
3.109. Треугольник ABC вращается вокруг прямой, лежащей в плос-
плоскости этого треугольника, проходящей вне его через вершину А и одина-
одинаково наклоненной к сторонам АВ и АС. Найти объем тела вращения,
если АВ=а, АС=Ь и /_ВАС=а.
3.110. Радиус круга, вписанного в прямоугольную трапецию, равен
г, острый угол трапеции равен а. Эта трапеция вращается вокруг мень-
меньшей боковой стороны. Найти боковую поверхность тела вращения.
3.111. Найти острый угол ромба, зная, что объемы тел, полученных
от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокруг его стороны,
относятся как 1: 2>/5.
3.112. Основанием пирамиды служит правильный треугольник. Од-
Одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и равно /, два
других образуют с плоскостью основания угол а. В пирамиду вписана
прямая призма; три ее вершины лежат на боковых ребрах пирамиды, три
67

другие — на основании пирамиды. Диагональ боковой грани призмы
составляет с плоскостью основания угол р. Найти высоту призмы.
3.113. В конус, образующая которого равна /, вписана правильная
шестиугольная призма с равными ребрами. Найти боковую поверхность
призмы, если угол между образующей и высотой конуса равен а.
3.114. Объем конуса равен V. В конус вписана пирамида, в основа-
основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом а между боко-
боковыми сторонами. Найти объем пирамиды.
3.115. Основанием пирамиды, вписанной в конус, служит четыреху-
четырехугольник, у которого смежные стороны попарно равны, а угол между
одной парой смежных сторон равен а. Найти отношение объема пирами-
пирамиды к объему конуса.
3.116. В конус вписана треугольная пирамида, у которой боковые
ребра попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между образу-
образующей конуса и его высотой.
3.117. Найти боковую поверхность усеченного конуса, описанного
около правильной треугольной усеченной пирамиды, зная, что острый
угол трапеции, служащей боковой гранью пирамиды, равен а и что в эту
трапецию можно вписать окружность радиуса г.
3.118. Основания двух конусов, имеющих общую вершину, лежат
в одной плоскости. Разность их объемов равна V. Найти объем мень-
меньшего конуса, если касательные, проведенные к окружности его основания
из произвольной точки окружности основания большего конуса, образу-
образуют угол а.
3.119. Высота конуса равна Н, угол между образующей и высотой
равен а. В этот конус вписан другой конус так, что вершина второго
конуса совпадает с центром основания первого конуса, а соответст-
соответствующие образующие обоих конусов взаимно перпендикулярны. Найти
объем вписанного конуса.
3.120. В конус вписан полушар: большой круг полушара лежит
в плоскости основания конуса, а шаровая поверхность касается поверх-
поверхности конуса. Найти объем полушара, если образующая конуса равна
/ и составляет с плоскостью основания угол а.
3.121. Образующая конуса равна а, расстояние от вершины конуса
до центра вписанного шара равно Ь. Найти угол между образующей
и плоскостью основания. *
3.122. Угол между высотой правильной треугольной пирамиды
и боковым ребром равен а(а<я/4). В каком отношении делит высоту
пирамиды центр описанного шара?
3.123. В шар вписан конус. Площадь осевого сечения конуса равна S,
а угол между высотой и образующей равен а. Найти объем шара.
3.124. В конус вписан шар. Отношение радиуса окружности касания
шаровой и конической поверхностей к радиусу основания конуса равно
к. Найти косинус угла между образующей конуса и плоскостью ос-
основания.
3.125. В конус вписан шар, поверхность которого равна площади
основания конуса. Найти косинус угла при вершине в осевом сечении
конуса.
3.126. В полушар вписан конус, вершина которого совпадает с цент-
центром окружности, являющейся основанием полушара; плоскости основа-
оснований конуса и полушара параллельны. Прямая, проходящая через центр
основания конуса и произвольную точку окружности большого круга
полушара, составляет с плоскостью основания конуса угол а. Найти
отношение объемов полушара и конуса.
68

3.127. В конус вписан шар. Радиус окружности, по которой касаются
конус и шар, равен г. Найти объем конуса, если угол между высотой
и образующей конуса равен а.
3.128. Найти угол в осевом сечении конуса, если сфера с центром
в вершине конуса, касающаяся его основания, делит объем конуса
пополам.
3.129. Около шара описан усеченный конус, у которого площадь
одного основания в 4 раза больше площади другого основания. Найти
угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
3.130. Объем шара равен V. Найти объем его сектора, у которого
центральный угол в осевом сечении равен а.
Группа Б
3.131. В остроугольном треугольнике ABC высота AD — a, высота
СЕ=Ь, острый угол между AD и СЕ равен а. Найти АС.
3.132. Тангенс угла при основании равнобедренного треугольника
равен 3/4. Найти тангенс угла между медианой и биссектрисой, прове-
проведенными к боковой стороне.
3.133. Площадь равнобедренной трапеции равна S, угол между ее
диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а. Найти высоту
трапеции.
3.134. Найти синус угла при вершине равнобедренного треуголь-
треугольника, если известно, что медиана, проведенная к боковой стороне,
составляет с основанием угол, синус которого равен 3/5.
3.135. В равносторонний треугольник ABC вписан равносторонний
треугольник А^В^С^ точка Ах лежит на стороне ВС, точка Вг —на
стороне АС и точка Сх — на стороне АВ. Угол Л^С] равен а. Найти
отношение АВ к А1В1.
3.136. В треугольнике даны сторона а. противолежащий ей угол
а и высота А, проведенная к данной стороне. Найти сумму двух других
сторон.
3.137. В треугольнике известны площадь S, сторона а и проти-
противолежащий ей угол а. Найти сумму двух других сторон.
3.138. В треугольнике ABC даны острые углы а и у (а>у) при
основании АС. Из вершины В проведены высота BD и медиана BE.
Найти площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC
равна S.
3.139. В трапеции меньшее основание равно 2, прилежащие уг-
углы — по 135°. Угол между диагоналями, обращенный к основанию,
равен 150°. Найти площадь трапеции.
3.140. Основания равнобедренной трапеции равны а и b (a>b), угол
при большем основании равен а. Найти радиус окружности .описанной
около трапеции.
3.141. Большее основание вписанной в круг трапеции равно диамет-
диаметру круга, а угол при этом основании равен а. В каком отношении точка
пересечения диагоналей трапеции делит ее высоту?
3.142. Боковые стороны трапеции равны р и q (p<q), большее ос-
основание равно а. Углы при большем основании относятся как 2:1.
Найти меньшее основание.
3.143. Внутри данного угла а расположена точка на расстоянии а от
вершины и на расстоянии b от одной из сторон. Найти расстояние этой
точки от другой стороны.
69

3.144. В треугольнике ABC угол А равен а и сторона ВС=а. Найти
длину биссектрисы AD, если угол между биссектрисой AD и высотой АЕ
равен р.
3.145. Основание треугольника равно а, а прилежащие к нему углы
содержат 45 и 15°. Из вершины, противоположной основанию, проведе-
проведена окружность радиусом, равным высоте, опущенной на это основание.
Найти площадь части соответствующего круга, заключенную внутри
треугольника.
3.146. Острый угол прямоугольного треугольника равен а. Найти
отношение радиуса вписанной в треугольник окружности к радиусу
описанной окружности. При каком значении а это отношение является
наибольшим?
3.147. Через вершину угла а при основании равнобедренного тре-
треугольника проведена прямая, пересекающая противоположную боковую
сторону и составляющая с основанием угол /?. В каком отношении эта
прямая делит площадь треугольника?
3.148. В треугольнике ABC даны острые углы а и у (а>у), прилежа-
прилежащие к стороне АС. Из вершины В проведены медиана BD и биссектриса
BE. Найти отношение площади треугольника BDE к площади треуголь-
треугольника ABC.
3.149. В треугольнике ABC проведена высота ВМ и на ней как на
диаметре построена окружность, пересекающая сторону АВ в точке К,
а сторону ВС — в точке L. Найти отношение площади треугольника
KLM к площади треугольника ABC, если LA = a и LC=f}.
3.150. В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса
AD острого угла А, равного а. Найти отношение радиусов окружностей,
вписанных в треугольники ABD и ADC.
3.151. В прямоугольном треугольнике ABC острый угол при вер-
вершине А равен а. Через середину D гипотенузы АВ проведена прямая,
пересекающая катет АС в точке Е. В каком отношении эта прямая делит
площадь треугольника ABC, если LDEA = p, AE>0,5АС?
3.152. Равнобедренный треугольник с углом а при вершине пересе-
пересечен прямой, проходящей через вершину угла при основании и состав-
составляющей с основанием угол /J. В каком отношении эта прямая делит
площадь треугольника?
3.153. В каком отношении делит высоту равнобедренного треуголь-
треугольника ABC точка О, из которой все три стороны видны под одним и тем
же углом (LAOB= LBOC= L СО А), если угол при основании треуголь-
треугольника равен а (а>я/6)?
3.154. В окружность радиуса R вписан треугольник, вершины кото-
которого делят окружность на три части в отношении 2: 5:17. Найти пло-
площадь треугольника.
3.155. Через вершины равностороннего треугольника ABC проведе-
проведены параллельные прямые AD, BE и СР. Прямая BE лежит между
прямыми AD и CF и делит расстояние между ними в отношении т: п,
считая от прямой AD. Найти угол BCF.
. 3.156. Медиана BD треугольника ABC пересекается с биссектрисой
СЕ в точке К. Найти СК.КЕ, если LA = a и LB=p.
3.157. Стороны параллелограмма относятся как p:q, а диагона-
диагонали — как т: п. Найти углы параллелограмма.
3.158. Отношение периметра ромба к сумме его диагоналей равно к.
Найти углы ромба и допустимые значения к.
3.159. Высота треугольника делит угол треугольника в отношении
2:1, а основание — на отрезки, отношение которых (большего к мень-
70

шему) равно к. Найти синус меньшего угла при основании и допустимые
значения к.
3.160. Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой ка-
касания вписанного круга на отрезки, отношение которых равно к. Найти
углы треугольника.
3.161. Найти косинус острого угла ромба, если прямая, проведенная
через его вершину, делит угол в отношении 1:3, а противолежащую
сторону — в отношении 3:5.
3.162. В остроугольном равнобедренном треугольнике радиус впи-
вписанной окружности в 4 раза меньше радиуса описанной окружности.
Найти углы треугольника.
3.163. Площадь равнобедренного тупоугольного треугольника рав-
равна 8, а медиана, проведенная к его боковой стороне, равна -^/37. Найти
косинус угла при вершине.
3.164. Луч, проведенный из вершины равностороннего треугольни-
треугольника, делит его основание в отношении т:п. Найти тупой угол между
лучом и основанием.
3.165. Через вершину равностороннего треугольника проведена пря-
прямая, делящая основание в отношении 2:1. Под какими углами она
наклонена к боковым сторонам треугольника?
3.166. Найти косинусы углов равнобедренного треугольника, у кото-
которого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную
к основанию.
3.167. Найти косинусы острых углов прямоугольного треугольника,
зная, что произведение тангенсов половин этих углов равно 1/6.
3.168. Показать, что если в треугольнике отношение суммы синусов
двух углов к сумме их косинусов равно синусу третьего угла, то тре-
треугольник прямоугольный.
3.169. Сторона треугольника равна 15, сумма двух других сторон
равна 27. Найти косинус угла, противолежащего данной стороне, если
радиус вписанной в треугольник окружности равен 4.
3.170. Основание треугольника равно 4, а его медиана равна
\/б —у2. Один из углов при основании равен 15°. Показать, что острый
угол между основанием треугольника и его медианой равен 45°.
3.171. Угол при вершине А трапеции ABCD равен а. Боковая сторо-
сторона АВ вдвое больше меньшего основания ВС. Найти угол ВАС.
3.172. В квадрат ABCD вписан равнобедренный треугольник AEF;
точка Е лежит на стороне ВС, точка F— на стороне CD и AE—EF.
Тангенс угла AEFравен 2. Найти тангенс угла FEC.
3.173. Отношение площади прямоугольника ABCD (BC\\AD) к квад-
квадрату его диагонали равно к. Найти угол EAF, где EuF — соответствен-
соответственно середины сторон ВС и CD.
3.174. Отношение боковых сторон трапеции равно отношению ее
периметра к длине вписанной окружности и равно к. Найти углы трапе-
трапеции и допустимые значения к.
3.175. В прямоугольном треугольнике найти угол между медианой
и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла, равного а.
3.176. Тангенс острого угла между медианами прямоугольного тре-
треугольника, проведенными к его катетам, равен А:. Найти углы треуголь-
треугольника и допустимые значения к,
3.177. Найти синус угла ромба, если из середины его стороны проти-
противоположная сторона видна под углом а.
3.178. Сторона треугольника равна а, разность углов, прилежащих
71

к данной стороне, равна я/2. Найти углы треугольника, если его пло-
площадь равна S.
3.179. Найти синус угла при вершине равнобедренного треуголь-
треугольника, зная, что периметр любого вписанного в него прямоугольника, две
вершины которого лежат на основании, имеет постоянную величину.
3.180. Даны две стороны а и Ь треугольника и биссектриса / угла
между ними. Найти этот угол.
3.181. Доказать, что если биссектриса одного из углов треугольника
равна произведению заключающих его сторон, деленному на их сумму,
то этот угол равен 120°.
3.182. В сектор радиуса R вписана окружность радиуса г. Найти
периметр сектора.
3.183. Основание треугольника равно а, а углы при основании равны
аи/? радианам. Из противоположной вершины треугольника радиусом,
равным его высоте, проведена окружность. Найти длину дуги этой
окружности, заключенной внутри треугольника.
3.184. Найти отношение площади сектора с данным центральным
углом а радианов к площади вписанного в него круга.
3.185. Меньшая дуга окружности, стягиваемая хордой АВ, содержит
а". Через середину С хорды АВ проведена хорда DE так, что
DC: СЕ= 1:3. Найти острый угол ACD и допустимые значения а.
3.186. Периметр сектора равен /. Найти расстояние от вершины
центрального угла сектора до центра окружности, вписанной в этот
сектор, если радиус дуги сектора равен R.
3.187. Дуга АВ сектора АОВ содержит а радианов. Через точку
В и середину С радиуса О А проведена прямая. В каком отношении она
делит площадь сектора?
3.188. Радиус дуги сектора равен R, центральный угол АОВ равен
а. Через середину С радиуса ОА проведена прямая, параллельная
радиусу ОВ и пересекающая дугу АВ в точке D. Найти площадь
треугольника OCD.
3.189. Радиус дуги сектора АОВ равен R, центральный угол АОВ
равен а. В этот сектор вписан правильный треугольник так, что одна его
вершина совпадает с серединой дуги АВ, а две другие вершины лежат
соответственно на радиусах ОА и ОВ. Найти стороны треугольника.
3.190. В ромб вписана окружность. В образовавшийся криволиней-
криволинейный треугольник (с острым углом) снова вписана окружность. Найти ее
радиус, если высота ромба равна Л, а острый угол равен а.
3.191. Высота равнобедренного треугольника равна Л и составляет
с боковой стороной угол <х(а<я/6). Найти расстояние между центрами
вписанной в треугольник и описанной около него окружностей.
3.192. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а.
Высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного круга на
т. Найти радиус описаынного круга.
3.193. Около круга радиуса г описана равнобедренная трапеция.
Боковая сторона трапеции составляет с меньшим основанием угол а.
Найти радиус круга, описанного около трапеции.
3.194. В круг вписана трапеция. Большее основание трапеции«остав-
ляет с боковой стороной угол а, а с диагональю — угол /?. Найти
отношение площади круга к площади трапеции.
3.195. В равнобедренный треугольник с основанием а и углом а при
основании вписана окружность. Найти радиус окружности, касающейся
вписанной окружности и боковых сторон треугольника.
3.196. В равнобедренном остроугольном треугольнике угол при ос-
72 '

новаиии равен ас, а площадь равна S. Найти площадь треугольника,
вершинами которого служат основания высот данного треугольника.
3.197. Пусть а, Ь, с — длины сторон остроугольного треугольника;
А, В, С — углы, противолежащие сторонам; Ра, Рь, Ре — расстояния
от центра описанной окружности до соответствующих сторон. В пред-
предположении, что А<В<С, расположить Ра, Рь, Рс в возрастающем
порядке.
3.198. Известно, что в треугольнике ABC AB~a, /.С-а. Найти
радиус окружности, проведенной через вершины А, В а центр окружно-
окружности, вписанной в треугольник ABC.
3.199. Пусть О А — неподвижный радиус окружности с центром
в точке О; В — середина радиуса О А; М — произвольная точка окру-
окружности. Найти наибольшее значение угла ОМВ.
3.200. Найти боковую поверхность и объем прямого параллелепипе-
параллелепипеда, если его высота равна Л, диагонали составляют с основанием углы
а и /J, a основанием служит ромб.
3.201. Найти объем правильной четырехугольной призмы, если угол
между диагональю призмы и боковой гранью равен ос, а сторона основа-
основания равна а.
3.202. Одна из сторон основания прямой треугольной призмы равна
а, а прилежащие к ней углы равны ос и /J. Найти боковую поверхность
призмы, если ее объем равен V.
3.203. Основанием прямой призмы служит равнобедренный тре-
треугольник, основание которого равно а, а угол при основании равен ос.
Найти объем призмы, если ее боковая поверхность равна сумме площа-
площадей оснований.
3.204. В основании прямой призмы лежит равнобедренный тре-
треугольник с боковой стороной а и углом а между боковыми сторонами.
Диагональ боковой грани, противолежащей данному углу, составляет со
смежной боковой гранью угол <р. Найти объем призмы.
3.205. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна / и состав-
составляет с двумя смежными гранями углы ос и р. Найти объем парал-
параллелепипеда.
3.206. Основанием призмы служит правильный треугольник со сто-
стороной а. Боковое ребро равно Ъ и составляет с пересекающими его
сторонами основания углы, каждый из которых равен а. Найти объем
призмы и допустимые значения ос.
3.207. В правильной треугольной призме сторона основания равна а,
угол между непересекающимися диагоналями двух боковых граней ра-
равен а. Найти высоту призмы.
3.208. В основании прямой призмы лежит треугольник. Два его угла
равны а и /J, a площадь равна S. Прямая, проходящая через вершину
верхнего основания и центр круга, описанного около нижнего основания,
составляет с плоскостью основания угол <р. Найти объем призмы.
3.209. В основании прямой призмы АВСА1В1С1 (АА^ВВ^СС,) ле-
лежит равнобедренный треугольник ABC с углом а между равными сторо-
сторонами АВ и АС. Отрезок прямой, соединяющий вершину Аг верхнего
основания с центром круга, описанного около нижнего основания, равен
/ и составляет с плоскостью основания угол р. Найти объем призмы.
3.210. В основании прямой призмы ABCAlBiCl (AA1II-B5JCCj) ле-
лежит равнобедренный треугольник, у которого АВ=ВС=а и LABC=a.
Высота призмы равна Я. Найти расстояние от точки А до плоскости,
проведенной через точки В, С и А1.
3.211. Основанием прямой призмы ABCAlBlCl {АА^ \\ВВг\\ССХ) слу-
73

жит равнобедренный треугольник ABC (AB=*AQ, у которого периметр
равен 2р, а угол при вершине А равен а. Через сторону ВС и вершину А.
проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол р.
Найти объем призмы. ' •• ,.•-..
3.212. Основанием наклонной призмы служит равнобедренная тра-
трапеция, у которой боковая сторона и меньшее основание равны а, а ост-
острый угол равен /J. Одна из вершин верхнего основания призмы равноуда-
равноудалена от всех вершин нижнего основания. Найти объем призмы, если
боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а.
3.213. Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ (ААХ\ВВХ\ССХ)
служит равнобедренный треугольник, у которого АВ=АС=а и LCAB=
= а. Вершина Вх верхнего основания равноудалена от всех сторон ниж-
нижнего основания, а ребро ВХВ составляет с плоскостью основания угол /J.
Найти объем призмы.
3.214. Основанием наклонной призмы служит прямоугольник со
сторонами а мЬ. Две смежные боковые грани составляют с плоскостью
основания углы а и /J. Найти объем призмы, если боковое ребро равно с.
3.215. Основанием прямой призмы служит треугольник со стороной
а и прилежащими к ней углами а я р. Через эту сторону основания под
углом <р к нему проведена плоскость, пересекающая противоположное
боковое ребро. Найти объем полученной треугольной пирамиды.
3.216. Площадь боковой грани правильной двенадцатиугольной пи-
пирамиды равна S. Плоский угол при вершине равен а. Найти объем
пирамиды.
3.217. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция,
у которой боковая сторона равна а, а острый угол равен а. Все боковые
грани образуют с основанием пирамиды один и тот же угол р. Найти
полную поверхность пирамиды.
3.218. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция,
у которой острый угол равен а, а площадь равна S. Все боковые грани
составляют с плоскостью основания один и тот же угол р. Найти объем
пирамиды.
3.219. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Каждое из
боковых ребер равно / и составляет с прилежащими сторонами основа-
основания углы а и р. Найти объем пирамиды.
3.220. В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный
треугольник, у которого площадь равна S и угол при вершине равен а.
Найти объем пирамиды, если угол между каждым боковым ребром
и высотой пирамиды равен р.
3.221. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а. Угол между смежными боковыми гранями равен а. Найти
боковую поверхность пирамиды.
3.222. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
у которого радиус вписанной окружности равен г, а острый угол равен а.
Все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания один
и тот же угол /?. Найти объем пирамиды.
3.223. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
у которого гипотенуза равна с, а меньший из острых углов равен а.
Наибольшее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол р.
Найти объем пирамиды, если ее высота проходит через точку пересече-
пересечения медиан основания.
3.224. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на
боковое ребро опущен перпендикуляр, равный р. Найти объем пирами-
пирамиды, если двугранный угол между ее боковыми гранями равен а.
3.225. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на
74

боковое ребро опущен перпендикуляр, равный р. Найти объем пирами-
пирамиды, если двугранный угол между боковой гранью и основанием пирами-
пирамиды равен а.
3.226. Из основания высоты правильной треугольной пирамиды на
боковую грань опущен перпендикуляр, равный d. Найти объем пирами-
пирамиды, если угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен а.
3.227. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при
основании равен а, а боковая поверхность равна S. Найти расстояние от
центра основания до боковой грани.
3.228. Двугранный угол при основании правильной треугольной пи-
пирамиды равен а, боковая поверхность пирамиды равна S. Найти рассто-
расстояние от центра основания до середины апофемы боковой грани.
3.229. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, плоский угол при вершине пирамиды равен а. Найти расстояние
от центра основания пирамиды до ее бокового ребра.
3.230. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым
углом а. Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие
наклонены к нему под углом <р. Найги объем и боковую поверхность
пирамиды.
3.231. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Две боковые
грани перпендикулярны плоскости основания, две другие составляют
с ней углы а и р. Найти боковую поверхность пирамиды, если высота
пирамиды равна Н.
3.232. Одно боковое ребро треугольной пирамиды перпендикулярно
плоскости основания и равно /, два других образуют между собой угол а,
а с плоскостью основания — один и тот же угол /J. Найти объем
пирамиды.
3.233. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а. Две боко-
боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания и образуют
между собой угол р. Две другие боковые грани составляют с плоскостью
основания угол а. Найти боковую поверхность пирамиды.
3.234. Плоский угол при вершине правильной n-угольной пирамиды
равен а. Отрезок прямой, соединяющий центр основания пирамиды с се-
серединой бокового ребра, равен а. Найти полную поверхность пирамиды.
3.235. Основанием пирамиды служит равнобедренный остроуголь-
остроугольный треугольник, у которого основание равно а, а противолежащий угол
равен а. Боковое ребро пирамиды, проходящее через вершину данного
угла, составляет с плоскостью основания угол р. Найти объем пирами-
пирамиды, если высота пирамиды проходит через точку пересечения высот
основания.
3.236. В прямоугольном треугольнике с острым углом а через на-
наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с плоскостью
треугольника угол р. Найти углы между этой плоскостью и катетами
треугольника.
3.237. Через сторону ромба проведена плоскость, образующая с диа-
диагоналями углы а и 2а. Найти острый угол ромба.
3.238. В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу проведе-
проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол а, а с од-
одним из катетов — угол р. Найти угол между этой плоскостью и вторым
катетом.
3.239. Основанием прямой призмы служит прямоугольный тре-
треугольник, у которого один из острых углов равен а. Наибольшая по
площади боковая грань призмы — квадрат. Найти угол между пересека-
пересекающимися диагоналями двух других боковых граней.
75

3.240. Найти плоский угол при вершине правильной четырехуголь-
четырехугольной пирамиды, если он равен углу между боковым ребром и плоскостью
основания пирамиды.
3.241. Сторона основания правильной четырехугольной призмы рав-
равна а, ее объем равен V. Найти косинус угла между диагоналями двух
смежных боковых граней.
3.242. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
у которого острый угол между равными сторонами равен а. Все боковые
ребра составляют с плоскостью основания один и тот же угол р. Через
сторону основания, противолежащую данному углу а, и середину высо-
высоты пирамиды проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью
и плоскостью основания.
3.243. Ребра прямоугольного параллелепипеда относятся как
3:4:12. Через большее ребро проведено диагональное сечение. Найти
синус угла между плоскостью этого сечения и не лежащей в ней диагона-
диагональю параллелепипеда.
3.244. Отношение площади диагонального сечения правильной че-
четырехугольной пирамиды к площади ее основания равно к. Найти
косинус плоского угла при вершине пирамиды.
3.245. Боковая грань правильной треугольной пирамиды составляет
с плоскостью основания угол, тангенс которого равен к. Найти тангенс
угла между боковым ребром и апофемой противолежащей грани.
3.246. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
у которого площадь равна S, а угол между боковыми сторонами равен а.
Все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания один
и тот же угол. Найти этот угол, если объем пирамиды равен V.
3.247. Основанием призмы служит прямоугольник. Боковое ребро
составляет равные углы со сторонами основания и наклонено к плоско-
плоскости основания под углом а. Найти угол между боковым ребром и сторо-
стороной основания.
3.248. Диагонали АВ1 и СВ1 двух смежных боковых граней прямо-
прямоугольного параллелепипеда ABCDAlB1ClDl составляют с диагональю
АС основания ABCD углы, равные соответственно а и /J. Найти угол
между плоскостью треугольника АВХС и плоскостью основания.
3.249. В правильной треугольной пирамиде сумма углов, образован-
образованных апофемой пирамиды с плоскостью основания и боковым ребром
с той же плоскостью, равна я/4. Найти эти углы.
3.250. Все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основа-
основания один и тот же угол. Найти этот угол, если отношение полной
поверхности пирамиды к площади основания равен к. При каких значе-
значениях к задача имеет решение?
3.251. Косинус угла между боковыми ребрами правильной четырех-
четырехугольной пирамиды, не лежащими в одной грани, равен к. Найти
косинус плоского угла при вершине пирамиды.
3.252. Отношение полной поверхности правильной л-угольной пира-
пирамиды к площади основания равно /. Найти угол между боковым ребром
и плоскостью основания.
3.253. Найти угол между апофемой правильной треугольной пира-
пирамиды и плоскостью ее основания, если разность между этим углом
и углом, который составляет боковое ребро пирамиды с плоскостью
основания, равна а.
3.254. Боковая поверхность треугольной пирамиды равна S, а каж-
каждое из боковых ребер равно /. Найти плоские углы при вершине, зная,
что они образуют арифметическую прогрессию с разностью я/3.
76

3.255. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
у которого один из острых углов равен а. Все боковые ребра одинаково
наклонены к плоскости основания. Найти двугранные углы при основа-
основании, если высота пирамиды равна гипотенузе треугольника, лежащего
в ее основании.
3.256. Основанием пирамиды SABC служит равносторонний тре-
треугольник ABC. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Найти
угол между боковой гранью SBC и плоскостью основания, если боковая
поверхность пирамиды относится к площади основания как 11:4.
3.257. Величина угла между боковым ребром правильной четыреху-
четырехугольной пирамиды и плоскостью основания равна величине плоского
угла при вершине пирамиды. Найти угол между боковой гранью и плос-
плоскостью основания.
3.258. Расстояние от стороны основания правильной треугольной
пирамиды до непересекающего ее ребра в 2 раза меньше стороны
основания. Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания
пирамиды.
3.259. Боковые грани правильной треугольной призмы — квадраты.
Найти угол между диагональю боковой грани и не пересекающей ее
стороной основания призмы.
3.260. Боковая грань правильной треугольной пирамиды SABC со-
составляет с плоскостью основания угол а. Через сторону ВС основания
и точку D на боковом ребре AS проведена плоскость. Найти угол между
этой плоскостью и плоскостью основания, если AD:DS=k.
3.261. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, ее боковая поверхность равна S. Найти угол между смежными
боковыми гранями.
3.262. Отрезок прямой, соединяющий центр основания правильной
треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне ос-
основания. Найти косинус угла между смежными боковыми гранями.
3.263. Линейный угол двугранного угла, составленного двумя смеж-
смежными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды,
в 2 раза больше плоского угла при вершине пирамиды. Найти плоский
угол при вершине пирамиды.
3.264. Основанием пирамиды является прямоугольник ABCD
(AB\\CD). Боковое ребро О А перпендикулярно основанию. Ребра ОВ
и ОС составляют с основанием углы, соответственно равные аи//.
Найти угол между ребром OD и основанием.
3.265. Основанием пирамиды служит правильный треугольник. Две
боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Сумма двух не-
неравных между собой плоских углов при вершине равна я/2. Найти эти
углы.
3.266. Через диагональ основания и высоту правильной четыреху-
четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Отношение площади сечения
к боковой поверхности пирамиды равно к. Найти косинус угла между
апофемами противоположных боковых граней и допустимые значения к.
3.267. В правильной треугольной пирамиде через боковое ребро
и высоту проведена плоскость. Отношение площади сечения к полной
поверхности пирамиды равно к. Найти двугранный угол при основании
и допустимые значения к.
3.268. Косинус угла между двумя смежными боковыми гранями
правильной четырехугольной пирамиды равен к. Найти косинус
угла между боковой гранью н плоскостью основания и допустимые
значения к.
'- -ч 77

3.269. Острый угол ромба, лежащего в основании четырехугольной
пирамиды, равен а. Отношение полной поверхности пирамиды к квад-
квадрату стороны основания равно к. Найти синус угла между апофемой
и высотой пирамиды, если все ее боковые грани одинаково наклонены
к плоскости основания. Каковы допустимые значения Л?
3.270. Найти косинус угла между непересекающимися диагоналями
двух смежных боковых граней правильной треугольной призмы, у кото-
которой боковое ребро равно стороне основания.
3.271. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды в 2 раза
больше стороны основания. Найти угол между апофемой пирамиды
и не пересекающей ее высотой треугольника, лежащего в основании
пирамиды.
3.272. Через вершину квадрата, лежащего в основании правильной
призмы, проведена плоскость параллельно противолежащей диагонали
квадрата под углом а к плоскости основания. Найти углы многоуголь-
многоугольника в сечении призмы этой плоскостью (предполагается, что высота
призмы достаточно велика для того, чтобы этим сечением оказался
четырехугольник).
3.273. Основанием прямой призмы служит равносторонний тре-
треугольник. Через одну из его сторон проведена плоскость, отсекающая от
призмы пирамиду, объем которой равен V. Найти площадь сечения, если
угол между секущей плоскостью и плоскостью основания равен а.
3.274. Через вершину правильной треугольной пирамиды и середи-
середины двух сторон основания проведено сечение. Найти площадь сечения
и объем пирамиды, если известны сторона а основания и угол а между
сечением и основанием.
3.275. В основании пирамиды лежит ромб, один из углов которого
равен а. Боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания.
Через середины двух смежных сторон основания и вершину пирамиды
проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол р.
Площадь полученного сечения равна S. Найти сторону ромба.
3.276. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом а. Все
боковые грани составляют с плоскостью основания один и тот же угол р.
Площадь сечения, проведенного через большую диагональ основания
и вершину пирамиды, равна S. Найти объем пирамиды.
3.277. Основанием пирамиды служит равнобедренный остроуголь-
остроугольный треугольник, у которого боковая сторона равна Ъ, а угол при
основании равен а. Все боковые ребра пирамиды составляют с плоско-
плоскостью основания один и тот же угол р. Найти площадь сечения пирамиды
плоскостью, проходящей через вершину данного угла а, и высоту пира-
пирамиды.
3.278. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а, двугранный угол при основании равен а. Пирамида пересечена плоско-
плоскостью, параллельной основанию. Площадь сечения равна боковой повер-
поверхности образовавшейся усеченной пирамиды. Найти расстояние от секу-
секущей плоскости до основания пирамиды.
3.279. В правильной четырехугольной пирамиде проведено сечение,
параллельное основанию. Прямая, проходящая через вершину основа-
основания и противолежащую (т. е. не принадлежащую той же грани) вершину
сечения составляет ,с плоскостью основания угол а. Найти площадь
сечения, если боковое ребро пирамиды равно диагонали основания
и равно а.
3.280. Высота правильной треугольной пирамиды равна Н. Боковая
грань составляет с плоскостью основания угол а. Через сторону основа-
78

ния и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость.
Найти площадь полученного сечения.
3.281. Найти объем и боковую поверхность правильной треугольной
пирамиды, если плоскость, проходящая через сторону основания а и се-
середину ее высоты, наклонена к основанию под углом <р.
3.282. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды со-
составляет с плоскостью основания угол а. Через вершину основания
и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость па-
параллельно одной из диагоналей основания. Найти угол между этой
плоскостью и плоскостью основания пирамиды.
3.283. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен
а (а>я/4). Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей
через вершину основания перпендикулярно противоположному боково-
боковому ребру (т. е. ребру, не лежащему с этой вершиной в одной боковой
грани).
3.284. Высота правильной четырехугольной пирамиды образует
с боковым ребром угол а. Через вершину пирамиды параллельно диаго-
диагонали основания проведена плоскость, составляющая угол /J со второй
диагональю. Площадь полученного сечения равна S. Найти высоту
пирамиды.
3.285. Высота правильной треугольной пирамиды равна Н и состав-
составляет с боковым ребром угол а. Через сторону основания проведена
плоскость, пересекающая противоположное боковое ребро под углом
Р (fi<nj2—a). Найти объем той части пирамиды, которая заключена
между этой плоскостью и плоскостью основания.
3.286. В правильной треугольной призме плоскость, проведенная
через центр основания и центры симметрии двух боковых граней, состав-
составляет с плоскостью основания острый угол а. Найти площадь сечения,
образованного этой плоскостью, если сторона основания равна а.
3.287. В прямой призме АВСАХВХСХ (АА^ВВ^СС,) стороны ос-
основания АВ и ВС равны соответственно а и А, а угол между ними равен
а. Через биссектрису данного угла и вершину Ах проведена плоскость,
составляющая с плоскостью основания острый угол /J. Найти площадь
сечения.
3.288. В правильной треугольной пирамиде с углом а между боко-
боковым ребром и стороной основания проведено сечение через середину
бокового ребра параллельно боковой грани. Зная площадь S этого
сечения, найти объем пирамиды. Каковы возможные значения а?
3.289. Отрезок прямой, соединяющий точку окружности верхнего
основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, равен
/ и составляет с плоскостью основания угол а. Найти расстояние от этой
прямой до оси цилиндра, если осевое сечение цилиндра есть квадрат.
Каковы возможные значения а?
3.290. Две вершины равностороннего треугольника со стороной
а лежат на окружности верхнего основания цилиндра, а третья вер-
вершина — на окружного! нижнего основания. Плоскость треугольника
составляет с образующей цилиндра угол а. Найти боковую поверхность
цилиндра.
3.291. Точка А лежит на окружности верхнего основания цилиндра,
точка В — на окружности нижнего основания. Прямая АВ составляет
с плоскостью основания угол а, а с плоскостью осевого сечения, прове-
проведенного через точку В,— угол р. Найти объем цилиндра, если длина
отрезка АВ равна /.
79

3.292. Два конуса имеют концентрические основания и один и тот же
угол, равный а, между высотой и образующей. Радиус основания вне-
внешнего конуса равен R. Боковая поверхность внутреннего конуса в 2 раза
меньше полной поверхности внешнего конуса. Найти объем внутреннего
конуса.
3.293. В основании прямой призмы АВСАхВгС, (vldJABJCC,) ле-
лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого больший катет АС
равен а, а противолежащий ему угол В равен а. Гипотенуза АВ является
диаметром основания конуса, вершина которого лежит на ребре А^СХ.
Найти высоту конуса, если АА1=а/2.
3.294. Угол между высотой и образующей конуса равен а. Через
вершину конуса проведена плоскость, составляющая угол р с высотой
(/?<а). В каком отношении эта плоскость делит окружность основания?
3.295. Высота конуса равна Я, угол между образующей и плоско-
плоскостью основания равен а. Полная поверхность этого конуса делится
пополам плоскостью, перпендикулярной его высоте. Найти расстояние
от этой плоскости до основания конуса.
3.296. Два конуса имеют общую высоту; их вершины лежат на
противоположных концах этой высоты. Образующая одного конуса
равна / и составляет с высотой угол а. Образующая другого конуса
составляет с высотой угол р. Найти объем общей части обоих конусов.
3.297. Найти угол между образующей конуса и плоскостью основа-
основания, если боковая поверхность конуса равна сумме площадей основания
и осевого сечения.
3.298. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно пер-
перпендикулярны и длина каждой из них равна а. Угол между образующей
и плоскостью основания равен а. Найти полную поверхность усеченного
конуса.
3.299. Через две образующие конуса, угол между которыми равен а,
проведена плоскость. Площадь сечения относится к полной поверхности
конуса как 2: п. Найти угол между образующей и высотой конуса.
3300. Высота конуса составляет с образующей угол а. Через вер-
вершину конуса проведена плоскость под углом р (fi>n/2—а) к плоскости
основания. Найти площадь сечения, если высота конуса равна Л.
3301. Через вершину конуса проведена плоскость, делящая окру-
окружность основания в отношении р: q. Эта плоскость отстоит от центра
основания конуса на расстояние а и составляет с высотой конуса угол а.
Найти объем конуса.
3302. Отношение полной поверхности конуса к площади его осевого
сечения равно А:. Найти угол между высотой и образующей конуса
и допустимые значения к.
3303. Катет прямоугольного треугольника равен а, противолежа-
противолежащий ему угол равен а. Этот треугольник вращается вокруг прямой,
лежащей в плоскости треугольника, проходящей через вершину данного
угла и перпендикулярной его биссектрисе. Найти объем тела вращения.
3304. Тупоугольный равнобедренный треугольник вращается вок-
вокруг прямой, проходящей через точку пересечения его высот параллельно
большей стороне. Найти объем тела вращения, если тупой угол -равен а,
а противолежащая ему сторона треугольника равна а.
3305. Найти углы прямоугольного треугольника, если объем тела,
полученного от вращения треугольника вокруг меньшего катета, равен
сумме объемов тел, полученных от вращения треугольника вокруг его
гипотенузы и вокруг большего катета.
3306. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, его острый
80

угол равен а. Треугольник вращается вокруг биссектрисы внешнего
прямого угла. Найти объем тела вращения.
3307. На отрезке АВ, равном 2R, построена как на диаметре полуок-
полуокружность и проведена хорда CD параллельно АВ. Найти объем тела,
образованного вращением треугольника ACD вокруг диаметра АВ, если
вписанный угол, опирающийся на дугу АС, равен ее (AC<AD).
3308. Большее основание равнобедренной трапеции равно а, острый
угол равен а. Диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне.
Трапеция вращается вокруг ее большего основания. Найти объем тела
вращения.
3309. Сторона правильного треугольника равна а. Треугольник вра-
вращается вокруг прямой, лежащей в плоскости «треугольника вне его,
проходящей через вершину треугольника и составляющей со стороной
угол а. Найти объем тела вращения и выяснить, при каком значении
а этот объем является наибольшим.
3310. Плоская ломаная линия состоит из п равных отрезков, соеди-
соединенных в виде зигзага под углом ас друг к другу. Длина каждого отрезка
ломаной равна а. Эта линия вращается вокруг прямой, проходящей
через один из ее концов параллельно биссектрисе угла а. Найти площадь
поверхности вращения.
3.311. В треугольнике ABC угол А равен а, угол С равен р и биссект-
биссектриса BD равна /. Треугольник ABD вращается вокруг прямой BD. Найти
объем тела вращения.
3312. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна а, угол
при основании равен а. Этот треугольник вращается вокруг прямой,
проходящей через вершину, противолежащую основанию, параллельно
биссектрисе угла а. Найти поверхность тела вращения.
3313. Перпендикуляр, опущенный из центра основания конуса на
образующую, вращается около оси конуса. Найти угол между его об-
образующей и осью, если поверхность вращения делит объем конуса
пополам.
3314. Площадь сегмента равна S, а дуга сегмента равна ас радианам.
Этот сегмент вращается вокруг своей оси симметрии. Найти поверх-
поверхность тела вращения.
3315. При вращении кругового сектора около одного из крайних
радиусов получилось тело, площадь сферической поверхности которого
равна площади конической поверхности. Найти синус центрального угла
кругового сектора.
3316. Высота правильной треугольной усеченной пирамиды равна
Я и является средним пропорциональным между сторонами оснований.
Боковое ребро составляет с основанием угол а. Найти объем пирамиды.
3317. Боковая грань правильной четырехугольной усеченной пира-
пирамиды составляет с плоскостью основания угол а. Плоскость, проведен-
проведенная через сторону нижнего основания и параллельную ей сторону верх-
верхнего основания, образует с плоскостью основания угол р. Боковая
поверхность пирамиды равна S. Найти стороны верхнего и нижнего
оснований.
3.318. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пира-
пирамиды равно стороне меньшего основания и равно а. Угол между боко-
боковым ребром и стороной большего основания равен а. Найти площадь
диагонального сечения усеченной пирамиды.
3319. Сторона нижнего основания правильной четырехугольной
усеченной пирамиды равна а, сторона верхнего основания равна Ь.
Боковая грань составляет с плоскостью основания угол а. Через сторону
81

нижнего основания и середину отрезка, соединяющего центры основа-
оснований, проведена плоскость, пересекающая противоположную боковую
грань по некоторой прямой. Найти расстояние от этой прямой до
нижнего основания.
3320. Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной
пирамиды относятся как т:п (т>п). Высота пирамиды равна Н. Боко-
Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ос. Найти боковую
поверхность пирамиды.
3321. Основаниями усеченной пирамиды служат правильные тре-
треугольники. Прямая, проходящая через середину одной стороны верхнего
основания и середину параллельной ей стороны нижнего основания,
перпендикулярна плоскостям оснований. Большее боковое ребро равно
/ и составляет с плоскостью основания угол ос. Найти длину отрезка,
соединяющего центры верхнего и нижнего оснований.
3322. Две боковые грани усеченной треугольной пирамиды — рав-
равные прямоугольные трапеции с острым углом ос и общей меньшей
боковой стороной. Двугранный угол между этими гранями равен /?.
Найти угол между третьей боковой гранью и плоскостью основания.
3323. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб; вер-
вершины его верхнего основания лежат на боковых ребрах, вершины нижне-
нижнего основания — в плоскости основания пирамиды. Найти отношение
объема куба к объему пирамиды, если боковое ребро пирамиды состав-
составляет с плоскостью основания угол а.
3324. Сторона квадрата, лежащего в основании правильной четы-
четырехугольной пирамиды, равна а. В пирамиду вписана правильная четы-
четырехугольная призма; вершины верхнего основания лежат на боковых
ребрах, вершины нижнего основания — в плоскости основания пирами-
пирамиды. Диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол <р.
Найти объем призмы, если боковое ребро пирамиды составляет с плос-
плоскостью основания угол ос.
3325,. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ос.
В эту пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат на
апофемах пирамиды, четыре — на основании пирамиды. Найти ребро
куба.
3326. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а; две
боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а большее боко-
боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом /?. В пирамиду
вписан прямоугольный параллелепипед; одно его основание лежит
в плоскости основания пирамиды, а вершины другого основания — на
боковых ребрах пирамиды. Найти объем параллелепипеда, если его
диагональ составляет с плоскостью основания угол ос.
3.327. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пира-
пирамиды составляет с плоскостью основания угол ос. В пирамиду вписан
прямоугольный параллелепипед так, что его верхнее основание совпада-
совпадает с верхним основанием пирамиды, а нижнее основание лежит в плоско-
плоскости нижнего основания пирамиды. Найти отношение боковых поверх-
поверхностей пирамиды и параллелепипеда, если диагональ параллелепипеда
составляет с его основанием угол ос.
3328. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник
с углом ос между боковыми сторонами. Пирамида помещена в некото-
некоторый цилиндр так, что ее основание оказалось вписанным в основание
этого цилиндра, а вершина совпала с серединой одной из образующих
цилиндра. Объем цилиндра равен V. Найти объем пирамиды.
ю.

3.329. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно
а и составляет с плоскостью основания угол ос. В эту пирамиду вписан
цилиндр с квадратным осевым сечением (основание цилиндра лежит
в плоскости основания пирамиды). Найти объем цилиндра.
3.330. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ
которого составляет с прилежащими к ней сторонами основания углы
а и р. Найти отношение объема параллелепипеда к объему цилиндра.
3.331. Одна из граней треугольной призмы, вписанной в цилиндр,
проходит через ось цилиндра. Диагональ этой грани составляет с приле-
прилежащими к ней сторонами основания призмы углы а и р. Найти объем
призмы, если высота цилиндра равна Н.
3.332. В конус вписан куб (одна из граней куба лежит в плоскости
основания конуса). Отношение высоты конуса к ребру куба равно к.
Найти угол между образующей и высотой конуса.
3.333. Угол между высотой и образующей конуса равен ос. В конус
вписана правильная треугольная призма; нижнее основание призмы
лежит в плоскости основания конуса. Боковые грани призмы — квад-
квадраты. Найти отношение боковых поверхностей призмы и конуса.
3.334. В конус вписан цилиндр; нижнее основание цилиндра лежит
в плоскости основания конуса. Прямая, проходящая через центр верх-
верхнего основания цилиндра и точку на окружности основания конуса,
составляет с плоскостью основания угол ос. Найти отношение объемов
конуса и цилиндра, если угол между образующей и высотой конуса
равен р.
3335. В конус вписан цилиндр, высота которого равна диаметру
основания конуса. Полная поверхность цилиндра равна площади ос-
основания конуса. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его
основания.
3.336. В конус помещена пирамида; основание пирамиды вписано
в основание конуса, а вершина пирамиды лежит на одной из образу-
образующих конуса. Все боковые грани пирамиды одинаково наклонены
к плоскости основания. Основанием пирамиды служит равнобедренный
треугольник с углом ос(ос > я/3) при вершине. Найти отношение объемов
конуса и пирамиды.
3337. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник
с острым углом а. Этот треугольник вписан в основание конуса. Вер-
Вершина пирамиды совпадает с серединой одной из образующих конуса.
Найти отношение объема конуса к объему пирамиды.
3.338. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,
вписанный в основание конуса. Вершина пирамиды совпадает с верши-
вершиной конуса. Боковые грани пирамиды, содержащие катеты основания,
составляют с плоскостью основания углы а и Р- Найти отношение
объемов пирамиды и конуса.
3339. Расстояние от середины высоты правильной четырехугольной
пирамиды до ее боковой грани равно d. Найти полную поверхность
вписанного в пирамиду конуса, если его образующая составляет с плос-
плоскостью основания угол ос.
3.340. Расстояние от вершины основания правильной треугольной
пирамиды до противоположной боковой грани равно /. Угол между
боковой гранью и плоскостью основания пирамиды равен ос. Найти
полную поверхность конуса, вписанного в пирамиду.
3341. Основанием пирамиды служит равнобедренный остроуголь-
остроугольный треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол между
боковыми сторонами равен ос. Боковая грань пирамиды, проходящая
83

через сторону основания, противолежащую данному углу ос, составляет
с плоскостью основания угол /?. Найти объем конуса, описанного около
пирамиды, если все ее боковые ребра равны между собой.
3342. Отношение объема прямого параллелепипеда к объему впи-
вписанного в него шара равно к. Найти углы в основании параллелепипеда
и допустимые значения к.
3343. Около шара описана прямая призма, основанием которой
служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью
основания угол ос. Найти острый угол ромба.
3.344. Около шара описана прямая призма, основанием которой
служит ромб с острым углом ос. Найти угол между большей диагональю
призмы и плоскостью основания.
3345. Основанием прямой призмы, описанной около шара радиуса
г, служит прямоугольный треугольник с острым углом а. Найти объем
призмы.
3.346. Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную пи-
пирамиду, делит высоту пирамиды в отношении т: л, считая от вершины
пирамиды. Найти угол между двумя смежными боковыми гранями.
3.347. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а; боковая грань составляет с плоскостью основания угол ос. Найти
радиус описанного шара.
3.348. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Рас-
Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно а, а угол между
боковой гранью и плоскостью основания равен ос. Найти полную поверх-
поверхность пирамиды.
3349. Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пи-
пирамиды равен ос. Найти боковую поверхность пирамиды, если радиус
шара, вписанного в эту пирамиду, равен R.
3.350. Радиус шара, описанного около правильной треугольной пи-
пирамиды, равен апофеме пирамиды. Найти угол между апофемой и плос-
плоскостью основания пирамиды.
3351. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а, плоский угол при вершине пирамиды равен ос. Найти радиус вписан-
вписанного в пирамиду шара.
3352. Радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирами-
пирамиду, в 4 раза меньше стороны основания пирамиды. Найти косинус
плоского угла при вершине пирамиды.
3353. В пирамиде, у которой все боковые грани одинаково наклоне-
наклонены к плоскости основания, через центр вписанного шара параллельно
основанию проведена плоскость. Отношение площади сечения пирами-
пирамиды этой плоскостью к площади основания равно к. Найти двугранный
угол при основании пирамиды.
3354. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
равные стороны которого имеют длину Ь; соответствующие им боковые
грани перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой
угол ос. Угол между третьей боковой гранью и плоскостью основания
также равен ос. Найти радиус шара, вписанного в пирамиду.
3355. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом а., Найти
объем пирамиды, если ее боковые грани образуют с основанием один
и тот же двугранный угол /? и радиус вписанного в нее шара равен г.
3356. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом ос. Все
боковые грани составляют с плоскостью основания один и тот же угол /?.
Найти радиус шара, вписанного в пирамиду, если объем пирамиды
равен V.
84 '

3357. Отношение стороны основания правильной л-угольной пира-
пирамиды к радиусу описанного шара равно к. Найти угол между боковым
ребром и плоскостью основания и допустимые значения к.
3.358. Около шара радиуса R описана правильная л-угольная пира-
пирамида, боковая грань которой составляет с плоскостью основания угол ос.
Найти боковую поверхность пирамиды.
3.359. Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого
угол между диагоналями равен ос. Около этой пирамиды описан шар
радиуса JR. Найти объем пирамиды, если все ее боковые ребра образуют
с основанием угол /?.
3.360. Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого
угол между диагоналями равен ос. Одно из боковых ребер перпендикуля-
перпендикулярно плоскости основания, а наибольшее боковое ребро составляет
с плоскостью основания угол /J. Радиус шара, описанного около пирами-
пирамиды, равен R. Найти объем пирамиды.
3.361. Боковые ребра и две стороны основания треугольной пирами-
пирамиды имеют одну и ту же длину а, а угол между равными сторонами
основания равен а. Найти радиус описанного шара.
3.362. Две грани треугольной пирамиды — равные между собой
прямоугольные треугольники с общим катетом, равным /. Угол между
этими гранями равен а. Две другие грани пирамиды образуют двугран-
двугранный угол р. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.
3363. Боковая грань правильной треугольной усеченной пирамиды
составляет с плоскостью основания угол а. Найти отношение полной
поверхности пирамиды к поверхности вписанного в нее шара.
3364. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, двугранный угол при основании равен а. В эту пирамиду вписан
шар. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки касания
шаровой поверхности с боковыми гранями данной пирамиды и произ-
произвольная точка, лежащая в плоскости основания данной пирамиды.
3.365. Объем правильной пирамиды равен У. Через центр вписан-
вписанного в пирамиду шара проведена плоскость, параллельная ее основа-
основанию. Найти объем пирамиды, отсекаемой от данной пирамиды этой
плоскостью, если двугранный угол при основании равен ос.
3.366. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная усечен-
усеченная пирамида, у которой большее основание проходит через центр шара,
а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол ос. Найти объем
усеченной пирамиды.
3367. Найти отношение объема правильной л-угольной пирамиды
к объему описанного шара, если угол между боковым ребром и плоско-
плоскостью основания пирамиды равен а.
3.368. В конус помещен шар так, что их поверхности касаются.
Радиус шара равен R, а угол при вершине осевого сечения конуса равен
2а. Найти объем тела, ограниченного поверхностями шара и конуса.
3369. Отношение поверхности шара, вписанного в конус, к площади
основания конуса равно к. Найти косинус угла между образующей
конуса и плоскостью его основания и допустимые значения к.
3370. Отношение объема шара, вписанного в конус, к объему опи-
описанного шара равно к. Найти угол между образующей конуса и плоско-
плоскостью его основания и допустимые значения к.
3371. В шар, радиус которого равен R, вписан гонус; в этот конус
вписан цилиндр с квадратным осевым сечением. Найти полную поверх-
поверхность цилиндра, если угол между образующей конуса и плоскостью его
основания равен ос.
85

3372. В полушар вписано тело, состоящее из цилиндра и поставлен-
поставленного на него конуса. Нижнее основание цилиндра лежит в плоскости
большого круга полушара; верхнее основание цилиндра совпадает с ос-
основанием конуса и касается поверхности шара. Вершина конуса лежит на
поверхности шара. Образующая конуса составляет с плоскостью его
основания угол ос. Найти отношение объема тела к объему полушара.
3373. В конус вписан шар. Радиус круга касания поверхности шара
и боковой поверхности конуса равен г. Прямая, проходящая через центр
шара и произвольную точку окружности основания конуса, составляет
с высотой конуса угол ос. Найти объем конуса.
3.374. Отношение объема конуса к объему вписанного в него шара
равно к. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса
и допустимые значения к.
3375. Высота конуса равна Н, угол между образующей и плоско-
плоскостью основания равен ос. В этот конус вписан шар. К окружности касания
шаровой и конической поверхностей проведена касательная прямая,
а через эту прямую проведена плоскость параллельно высоте конуса.
Найти площадь сечения шара этой плоскостью.
3376. В шар радиуса R вписаны два конуса с общим основанием;
вершины конусов совпадают с противоположными концами диаметра
шара. Шаровой сегмент, вмещающий меньший конус, имеет в осевом
сечении дугу, равную а°. Найти расстояние между центрами шаров,
вписанных в эти конусы.
3377. В конус вписан шар и к шару проведена касательная плос-
плоскость параллельно плоскости основания конуса. В каком отношении эта
плоскость делит боковую поверхность конуса, если угол между об-
образующей и плоскостью основания равен а?
3378. Образующая конуса равна / и составляет с высотой угол ос.
Через две образующие конуса, угол между которыми равен /?, проведена
плоскость. Найти расстояние от этой плоскости до центра шара, вписан-
вписанного в конус.
3379. В конус вписан шар. Окружность касания шаровой и коничес-
конической поверхностей делит поверхность шара в отношении 1:4. Найти угол
между образующей конуса и плоскостью основания.
3380. Образующая конуса равна / и составляет с плоскостью ос-
основания угол ос. В этот конус вписан шар, а в шар вписана правильная
треугольная призма, у которой все ребра равны между собой. Найти
объем призмы.
3381. Радиус основания конуса равен R, угол между образующей
и плоскостью основания равен ос. В этот конус вписан шар. Через точку
Р, лежащую на окружности касания шаровой и конической поверх-
поверхностей, проведена касательная прямая к этой окружности, а через эту
прямую проведена плоскость параллельно образующей конуса, проходя-
проходящей через точку, диаметрально противоположную точке Р. Найти пло-
площадь сечения шара этой плоскостью.
3382. Вершина конуса находится в центре шара, а основание конуса
касается поверхности шара. Полная поверхность конуса равна поверх-
поверхности шара. Найти угол между образующей и высотой конуса. ,
3383. Найти угол между образующей и основанием усеченного ко-
конуса, полная поверхность которого вдвое больше поверхности вписан-
вписанного в него шара.
3384. Образующая усеченного конуса, описанного около шара, рав-
равна а, угол между образующей и плоскостью основания равен ос. Найти
объем конуса, основанием которого служит круг касания шаровой пове-
86

рхности с боковой поверхностью усеченного конуса, а вершина совпада-
совпадает с центром большего основания усеченного конуса.
3.385. В усеченный конус вписан шар. Сумма длин диаметров верх-
верхнего и нижнего оснований конуса в 5 раз больше длины радиуса шара.
Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания.
3386. В усеченный конус вписан шар, объем которого в 2 раза
меньше объема конуса. Найти угол между образующей конуса и плоско-
плоскостью его основания. '
3.387. На шаровой поверхности радиуса R лежат все вершины рав-
равнобедренной трапеции, у которой меньшее основание равно боковой
стороне, а острый угол равен а. Найти расстояние от центра шара до
плоскости трапеции, если большее основание трапеции равно радиусу
шара.
3388. Найти отношение объема шарового сегмента к объему всего
шара, если дуга в осевом сечении сегмента соответствует центральному
углу, равному а.
3389. В основание шарового сегмента вписан прямоугольный тре-
треугольник, у которого площадь равна 5, а острый угол равен а. Найти
высоту сегмента, если его дуге в осевом сечении соответствует централь-
центральный угол, равный р.
3.390. В шаровой сектор радиуса R вписан шар. Найти радиус
окружности касания поверхностей шара и сектора, если центральный
угол в осевом сечении шарового сектора равен ее.
Группа В
3391. Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедрен-
равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около него, равно т.
Найти углы треугольника и допустимые значения т.
3.392. Углы треугольника равны А, В и С. Высота треугольника,
проходящая через вершину угла В, равна Н. На этой высоте как на
диаметре построена окружность. Точки пересечения окружности со сто-
сторонами АВ и ВС треугольника соединены с концами высоты. Найти
площадь построенного четырехугольника.
3393. В остроугольном треугольнике ABC /_A = a радианов
и LB—p радианов, АС=Ь. Через ортоцентр (точку пересечения высот)
и основания высот, опущенных на стороны АВ и ВС, проведена окру-
окружность. Найти площадь общей части треугольника и круга.
3394. В остроугольном треугольнике ABC известны углы. Найти
отношение, в котором ортоцентр делит высоту, проведенную из верши-
вершины угла А.
3.395. В треугольнике даны две стороны а и Ъ (а>Ь) и площадь
5. Найти угол между высотой и медианой, проведенными к третьей
стороне.
3396. В равносторонний треугольник ABC вписан равносторонний
треугольник DEF; точка D лежит на стороне ВС, точка Е — на стороне
АС и точка F — на стороне АВ. Сторона АВ относится к стороне DF как
8:5. Найти еннус угла DEC.
3397. В треугольнике ABC даны острые углы а и у (а>у) при
основании АС. Из вершины В проведены высота BD и биссектриса BE.
Найти площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC
равна S.
3398. Расстояние между центрами двух внешне касающихся окру-
87

жностей равно d. Угол между их общими внешними касательными равен
а радианам. Найти площадь криволинейного треугольника, ограничен-
ограниченного отрезком одной касательной и двумя соответствующими дугами
окружностей.
3399. Тангенс угла между медианой и высотой, проведенными х бо-
боковой стороне равнобедренного треугольника, равен 1/2. Найти синус
угла при вершине.
3.400. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AL
и CN. Найти радиус окружности, проходящей через точки В, La N, если
АС=ая LABC~a.
3.401. Стороны параллелограмма равны а и b (а<Ь). Меньшая
диагональ составляет с меньшей стороной тупой угол, а с большей
стороной — угол а. Найти большую диагональ параллелограмма.
3.402. В параллелограмме даны две стороны а и b (a>b) и острый
угол а между диагоналями. Найти углы параллелограмма.
3.403. В параллелограмме даны две стороны а и Ъ (а > Ь) и высота Л,
проведенная к большей стороне. Найти острый угол между диагоналями
параллелограмма.
3.404. Стороны параллелограмма равны а и b (a<b). Из середины
большей стороны параллельная сторона видна под углом ос. Найти
площадь параллелограмма.
3.405. Отношение периметра параллелограмма к его большей диаго-
диагонали равно к. Найти углы параллелограмма, если известно, что большая
диагональ делит угол параллелограмма в отношении 1:2.
3.406. Длины четырех дуг, на которые разбита вся окружность ради-
радиуса R, составляют геометрическую прогрессию со знаменателем, рав-
равным 3. Точки деления служат вершинами четырехугольника, вписанного
в эту окружность. Найти его площадь.
3.407. Отношение радиуса круга, описанного около трапеции, к ра-
радиусу круга, вписанного в нее, равно к. Найти углы трапеции и до-
допустимые значения к.
3.408. Показать, что отношение площади любого треугольника
к площади описанного около него круга меньше 2/3.
3.409. Для остроугольного треугольника образованы три числа, вы-
выражающие отношения длин его сторон к соответствующим расстояниям
от них центра описанной окружности. Доказать, что сумма этих чисел
в 4 раза меньше их произведения.
3.410. В сегмент с центральным углом а вписан правильный тре-
треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой хорды
сегмента, а две другие лежат на дуге сегмента. Высота треугольника
равна Л. Найти радиус дуги сегмента.
3.411. Прямая, перпендикулярная хорде сегмента, делит хорду в от-
отношении 1:4, а дугу — в отношении 1:2. Найти косинус центрального
угла, опирающегося на эту дугу.
3.412. В сектор POQ радиуса R с центральным углом а вписан
прямоугольник; две его вершины лежат на дуге сектора, две другие — на
радиусах ОР и OQ. Найти площадь прямоугольника, если острый угол
между его диагоналями равен /J.
3.413. В сегмент окружности радиуса R вписаны две равные окру-
окружности, касающиеся друг друга, дуги сегмента и его хорды. Найти
радиусы этих окружностей, если центральный угол, опирающийся на
дугу сегмента, равен а(л<п).
3.414. Угол между плоскостями двух равных прямоугольных тре-
треугольников ABC и ADC с общей гипотенузой АС равен ос. Угол между
88

равными катетами АВ и AD равен /?. Найти угол между катетами
ВС и CD.
3.415. Один из плоских углов трехгранного угла равен а. Двугран-
Двугранные углы, прилежащие к этому плоскому углу, равны Р и у. Найти два
других плоских угла.
3.416. Даны три попарно взаимно перпендикулярных луча ОМ, ON
и ОР. На луче ОМ взята точка А на расстоянии О А, равном а; на лучах
(Ж и ОР взяты соответственно точки В и С так, что угол ABC равен а,
а угол АСВ равен fi. Найти ОВ и ОС.
3.417. Отношение двух отрезков, заключенных между параллель-
параллельными плоскостями, равно к, а углы, которые каждый из этих отрезков
составляет с одной из плоскостей, относятся как 2:3. Найти эти углы
и допустимые значения к.
3.418. Угол между плоскостью квадрата ABCD (AB\\CD) и некото-
некоторой плоскостью Р равен а, а угол между стороной АВ и той же
плоскостью равен р. Найти угол между стороной AD и плоскостью Р.
3.419. В основании прямой призмы лежит параллелограмм с острым
углом а. Диагонали призмы составляют с плоскостью основания углы
Р и у (Р<у). Найтн объем призмы, если ее высота равна Н.
3.420. Основанием призмы служит параллелограмм с острым углом
ос. Боковое ребро, проходящее через вершину данного угла а, равно
b и составляет с прилежащими сторонами основания углы, каждый из
которых равен р. Найти высоту призмы.
3.421. В основании прямой призмы лежит параллелограмм с острым
углом <р между диагоналями. Диагонали каждой из смежных боковых
граней пересекаются под углами а а р (а>Р), обращенными к соответст-
соответствующим сторонам основания. Найти объем призмы, если ее высота
равна А.
3.422. Основанием наклонной призмы служит прямоугольный тре-
треугольник с острым углом а. Боковая грань, содержащая гипотенузу,
перпендикулярна основанию, а боковая грань, содержащая катет, приле-
прилежащий к данному углу, составляет с основанием острый угол р. Найти
острый угол между третьей боковой гранью и основанием .
3.423. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция,
диагонали которой перпендикулярны соответствующим боковым сторо-
сторонам. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий ее боковой
стороне, равен ос. Отрезок прямой, соединяющий вершину верхнего
основания с центром окружности, описанной около нижнего основания,
равен / и образует с плоскостью основания угол р. Найти объем призмы.
3.424. Основанием призмы служит правильный треугольник со сто-
стороной а. Боковое ребро равно о и составляет с пересекающими его
сторонами основания углы а н р. Найтн объем призмы.
3.425. В основании прямого параллелепипеда лежит параллелог-
параллелограмм с диагоналями а и Ь (а>Ь) и острым углом а между ними.
Меньшая диагональ параллелепипеда образует с большей диагональю
основания острый угол /L Найти объем параллелепипеда.
3.426. Основание прямой призмы — ромб. Одна из диагоналей при-
призмы равна а и составляет с плоскостью основания угол а, а с одной из
боковых граней — угол р. Найти объем призмы.
3.427. В правильной четырехугольной призме ABCDAiBlCiD1
(AAx\\BBi\\CCi\\DDl) через середины двух смежных сторон основания
DC и AD и вершину 2?, верхнего основания проведена плоскость. Найти
угол между этой плоскостью и плоскостью основания, если периметр
сечения в 3 раза больше диагонали основания.
89

3.428. Сторона ВС треугольника ABC, лежащего в основании на-
клонной призмы АВСАХВХСХ (ААХ\ВВХ\СС^), равна а, прилежащие
х ней углы равны /J и у. Найти угол между боковым ребром и плоско-
плоскостью основания, если объем призмы равен V и ААХ—АХВ—АХС.
3.429. Ъ губе ABCDAXBXCXDX (AAl\\BB1\\CC1 \\DDJ проведена плос-
плоскость через середины ребер DDX и DXCX и вершину А. Найти угол между
этой плоскостью и гранью ABCD.
3.430. В основании пирамиды лежит квадрат. Углы, которые образу-
образуют боковые грани с основанием, относятся как 1:2:4:2. Найти эти углы.
3.431. Через вершину основания правильной треугольной пирамиды
проведена плоскость перпендикулярно противоположной боковой грани
и параллельно противоположной стороне основания. Эта плоскость
составляет с плоскостью основания пирамиды угол а. Найти плоский
угол при вершине пирамиды.
3.432. Расстояние от центра основания правильной четырехугольной
пирамиды до боковой грани и до бокового ребра равны соответственно
а и А. Найти двугранный угол при основании пирамиды.
3.433. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а. Боковая грань составляет с плоскостью основания угол а. Найти
расстояние между боковым ребром и непересекающей его стороной
основания.
3.434. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а. Угол между высотой пирамиды и боковым ребром равен
a [a<aictg(>/2/2)]. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, про-
проведенной через середину высоты перпендикулярно одному из ее боковых
ребер.
3.435. Высота правильной треугольной пирамиды SABC равна Н.
Через вершину А основания ABC проведена плоскость перпендикулярно
противоположному боковому ребру SC. Эта плоскость составляет
с плоскостью основания угол а. Найти объем части пирамиды, заклю-
заключенной между плоскостью основания и плоскостью сечения.
3.436. В правильную треугольную усеченную пирамиду вписаны два
шара; один касается всех ее граней, другой — всех ребер. Найти синус
угла между боковым ребром и плоскостью основания.
3.437. Основанием пирамиды FABC служит равнобедренный тре-
треугольник ABC, у которого угол между равными сторонами АВ и АС
равен а (а<я/2). В пирамиду вписана треугольная призма AEDAXEXDX;
точки A j, Ех и Dx лежат соответственно на боковых ребрах AF, CF и BF
пирамиды, а сторона ED основания AED проходит через центр окружно-
окружности, описанной около треугольника ABC. Найти отношение объема
призмы к объему пирамиды.
3.438. Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью,
проходящей через ее боковое ребро и высоту. В сечении образовался
треугольник с углом я/4 при вершине пирамиды. Найти угол между
боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.
3.439. Через вершину основания правильной четырехугольной пира-
пирамиды проведена плоскость, пересекающая противоположное боковое
ребро под прямым углом. Площадь сечения в 2 раза меньше площади
основания пирамиды. Найти угол между боковым ребром и плоскостью
основания.
3.440. Сторона нижнего основания правильной усеченной четыреху-
четырехугольной пирамиды в 5 раз больше стороны верхнего основания. Боковая
поверхность пирамиды равна квадрату ее высоты. Найти угол между
боковым ребром пирамиды и плоскостью основания.
90

3.441. Основанием пирамиды служит правильный треугольник. Од-
Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
Найти косинус угла между двумя другими боковыми гранями, если они
составляют с плоскостью основания угол ос.
3.442. В основании четырехугольной пирамиды лежит равнобедрен-
равнобедренная трапеция с основаниями а и b (a>2b) и углом <р между неравными
отрезками ее диагоналей. Вершина пирамиды проецируется в точку
пересечения диагоналей основания. Углы, которые составляют с плоско-
плоскостью основания боковые грани, проходящие через основания трапеции,
относятся как 1:2. Найти объем пирамиды.
3.443. В треугольной пирамиде все грани — правильные треуголь-
треугольники. Через сторону основания проведена плоскость, делящая объем
пирамиды в отношении 1:3, считая от основания. Найти угол между
этой плоскостью и плоскостью основания.
3.444. В правильной четырехугольной пирамиде через два боковых
ребра, не принадлежащих данной грани, проведена плоскость. Отно-
Отношение площади сечения к боковой поверхности пирамиды равно к.
Найти угол между двумя смежными боковыми гранями и допустимые
значения к.
3.445. Основанием пирамиды ABCDE служит ромб ABCD (AB\\CD).
Высота пирамиды проходит через середину стороны АВ. Боковые ребра
ЕС и ED составляют с плоскостью основания углы а и ($. Найти косинус
острого угла ромба, если cosа= 1/>/з и cos fi= 1Л/5.
3.446. Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды ра-
равна Н. Боковое ребро составляет с основанием угол ос, а диагональ
пирамиды с основанием — угол р. Найти площадь сечения пирамиды
плоскостью, проходящей через диагональ пирамиды параллельно не
пересекающей ее диагонали основания.
3.447. Стороны нижнего и верхнего оснований правильной треуголь-
треугольной усеченной пирамиды равны соответственно а и b (a>b). Боковая
грань составляет с плоскостью основания угол ос. Найти площадь сече-
сечения пирамиды плоскостью, проходящей через среднюю линию боковой
грани и центр нижнего основания.
3.448. В конус, осевое сечение которого — прямоугольный треуголь-
треугольник, вписан цилиндр; его нижнее основание лежит в плоскости основания
конуса. Отношение боковых поверхностей конуса и цилиндра равно 4^/2.
Найти угол между плоскостью основания конуса и прямой, проходящей
через центр верхнего основания цилиндра и произвольную точку окру-
окружности основания конуса.
3.449. Осевое сечение цилиндра — квадрат. Отрезок АВ, соединя-
соединяющий точку А окружности верхнего основания с точкой В окружности
нижнего основания, равен а и отстоит от оси цилиндра на расстояние Ъ.
Найти угол между прямой АВ и плоскостью основания цилиндра.
3.450. Прямоугольник с площадью S и углом ос между диагоналями
вращается вокруг оси,, проходящей через его вершину параллельно
диагонали. Найти поверхность тела вращения.
3.451. Пусть АВ — диаметр нижнего основания цилиндра, А1В1 —
хорда верхнего основания, параллельная АВ. Плоскость, проведенная
через прямые АВ и AiBlt составляет с плоскостью нижнего основания
цилиндра острый угол ос, а прямая АВХ составляет с той же плоскостью
угол р. Найти высоту цилиндра, если радиус основания цилиндра равен
R (точки А и Ах лежат по одну сторону от прямой, проходящей через
середины отрезков АВ и A^BJ.
-» 91

3.452. Основанием пирамиды, вписанной в конус, служит четыреху-
четырехугольник, у которого одна сторона равна а, а каждая из остальных трех
сторон равна Ь. Вершина пирамиды лежит на середине одной из образу-
образующих. Найти объем пирамиды, если угол между образующей и высотой
конуса равен ос.
3.453. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция
с острым углом ос. Эта трапеция описана около окружности основания
конуса. Вершина пирамиды лежит на одной из образующих конуса, а ее
проекция на плоскость основания совпадает с точкой пересечения диаго-
диагоналей трапеции. Найти объем пирамиды, если образующая конуса равна
/ и составляет с высотой угол /?.
3.454. Найти радиус шара, касающегося основания и боковых ребер
правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна
а, а двугранный угол при основании равен а.
3.455. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а, плоский угол при вершине равен а. В пирамиду вписан шар. Найти
площадь сечения этого шара плоскостью, проходящей через центр ос-
основания пирамиды и перпендикулярной ее боковому ребру.
3.456. Найти радиус шара, вписанного в правильную треугольную
пирамиду, высота которой равна Н, а угол между боковым ребром
и плоскостью основания равен а.
3.457. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а, двугранный угол при основании равен а. В эту пирамиду вписана
прямая треугольная призма; три ее вершины лежат на апофемах пирами-
пирамиды, а три другие — в плоскости основания пирамиды. Найти объем
призмы, если центр вписанного в пирамиду шара лежит в плоскости
верхнего основания призмы.
3.458. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. К ша-
шару проведена параллельно основанию пирамиды касательная плоскость,
которая делит объем пирамиды в отношении т: п, считая от вершины.
Найти угол между высотой пирамиды и ее боковой гранью.
3.459. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, двугранный угол при основании равен а. Найти расстояние от
центра шара, вписанного в эту пирамиду, до бокового ребра.
3.460. Поверхность шара, вписанного в правильную усеченную тре-
треугольную пирамиду, относится к полной поверхности пирамиды хак
п: 6^/3. Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания
пирамиды.
3.461. Радиус шара, описанного около правильной четырехугольной
пирамиды, относится к стороне основания как 3:4. Найти угол между
боковой гранью и плоскостью основания.
3.462. Отношение объема правильной треугольной усеченной пира-
пирамиды к объему вписанного в нее шара равно к. Найти угол между
боковой гранью пирамиды и плоскостью основания и допустимые значе-
значения к.
3.463. Огношение объема усеченного конуса к объему вписанного
в него шара равно к. Найти угол между образующей конуса и плоско-
плоскостью его основания и допустимые значения к.
3.464. В конус вложен шар так, что их поверхности касаются. Объем
тела, заключенного между ними, в 8 раз меньше объема шара. Найти
угол при вершине осевого сечения конуса.
3.465. В конус вписан шар. Плоскость, содержащая окружность ка-
касания шаровой и конической поверхностей, делит объем шара в отноше-
отношении 5:27. Найти угол между образующей и плоскостью основания.
92

ГЛАВА 4
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
Пример 1. Доказать, что в прямоугольном треугольнике величина угла между
медианой и высотой, проведенными к гипотенузе, равна модулю разности вели-
величин острых углов треугольника (рис. 4.1).
? Пусть LC=n/2, CD — высота, СЕ — медиана. Требуется доказать, что
LDCE=\LB— LA\. Положим LDCE= Lx; тогда LDCA = LB (так как оба угла
дополняют угол Л до я/2). В прямоугольном треугольнике длина медианы,
проведенной к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы; следовательно,
ААСЕ — равнобедренный и LECA= Lx+ LB= LA, откуда Lx= LA- LB. Ес-
Если вершины А и В треугольника поменять местами (см. рис. 4.1), то получим
Lx= LB— LA. Оба результата можно объединить в один: Lx=\LB— LA\. ¦
Пример 2. Доказать, что для любой точки М, принадлежащей произвольному
треугольнику ЛВС со сторонами a, b и с и высотами ha, Aj и hc (рис. 4.2),
х у 1
справедливо равенство — +—I— = 1,гдех, уъг — соответственно расстояния от
ha Aj hc
точки М до сторон ВС, АС и АВ. Сформулировать соответствующее свойство для
произвольной точки, принадлежащей равностороннему треугольнику.
D Соединив точку М с вершинами А, В и С, получим три треугольника
ВМС, АМС и АМВ, высоты которых соответственно равны х, у и г. Пусть
S — площадь треугольника ABC; тогда S=- (ax+by+cz). С другой стороны,
1 1 1
S-- aha, S=- bhb, S=- chc. Комбинируя эти равенства, находим
х у z
-+-+ 1.
К Ль Ас
В равностороннем треугольнике Ла=Л&=Лс = Л, а потому x+y+z=*h, т. е.
Рис. 4.1
Рис. 4.2
93

сумма расстояний от произвольной точки, принадлежащей равностороннему
треугольнику, до его сторон постоянна и равна высоте треугольника. ¦
Пример 3. Длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника
равна 40. Окружность с радиусом, равным 9, касается гипотенузы в ее середине.
Найти длину отрезка, отсекаемого этой окружностью на одном из катетов.
D Сначала выясним, имеет ли задача решение при заданных значениях
длины гипотенузы и радиуса окружности. Из геометрических соображений (рис.
4.3) ясно, что для того чтобы окружность с центром О на высоте ВК треугольника
ЛВС пересекала катет ВС в двух точках D и Е, необходимо и достаточно, чтобы ее
радиус ОК был не больше половины высоты ВК, но больше радиуса вписанной
в треугольник окружности. Первое соотношение очевидно (9 < 10), второе также
нетрудно проверить^ Радиус г вписанной окружности найдем по формуле r=Sjp,
т. е. г
20
Т
40+40ч/2
2.
=20-v/2-20. Покажем, что 9>2(Ц/2-20, т. е.
29>2(Ку2. Возведя в квадрат обе части неравенства, получим верное неравенство
841 > 800; следовательно, справедливо и исходное неравенство.
Для отыскания длины отрезка DE проведем OFLDE и радиус ОЕ за-
заданной окружности. Вычислим последовательно длины отрезков ВО, OF,
nJi
FE и, наконец, DE. Имеем ВО=ВК-ОК=\\, OF=BO sin45o=——,
FE-.
Г^, ^ / 121 /41 ,—
*JOE1-OF1= /81 = /—, DE=2FE=JS2.
V V 2 V 2 V
Промер 4. В треугольнике ABC точка К, взятая на стороне ВС, делит ее
в отношении 1:3, считая от вершины В, а точка L делит сторону АС в отношении
2:5, считая от вершины А. В саком отношении точка О пересечения прямых АК
и BL делит отрезки АК и BL, считая от соответствующих вершин?
П I способ. Пусть ВК=х, AL=2y (рис. 4.4), тогда по условию КС=Ъх,
LC=5y. Пусть, далее, KF=m, OF=n. Из подобия треугольников OKF и АКС
п 1у
имеем — =—, откуда
m Ъх ,
lm
(*)
п х+т
Из подобия треугольников BOFh BLC находим —= , откуда
5у Ах
п 5(х+т)
у Ах
(**)
Приравнивая правые части пропорций (*) и (**), после упрощений получаем
5
L
Рис. 4.4
94

15* --^ 28л
28m=15(x+m), откуда m-—. Следовательно, BF**BK+KF=~— и CF^BC-
13 ч13
28* 24л
—BF=4x——=—. Согласно теореме Фалеса, имеем
13 13
ВО BF 28л/13 7 АО 24л/13 8
OlTFC°2Ах/13~б' O#=="
II способ. Введем следующие обозначения: ~В~С=Ъ, ~ЦА=*Ъ, "АО~=х, Тб=~у
(рис. 4.5). Тогда векторы 7Ш и О5, коллинеарные соответственно векторам ~А~О~
и ТО, можно записать в виде ОК=аАО и OB*=0LO, где числа а и Д подлежат
определению.
Рассмотрим три замкнутых контура: ОВКО A), OL^O (II), OKCLO (III). Из
(I) имеем 52?+Ж+Ж5=б, т. е. Ру+-Ъ-апс=О; из (II) T)L+TA+A~d=0, т. е.
4
3 5
5, т. е. ах+- а+~Ъ+у=Ъ. В резуль-
резуль2 _
у+- Ъ
_
х=0; из (III)
тате получим систему уравнений
- а
4
5,
З
5 = 0,
ах+у-\— а
4
Ji3 первого и второго уравнений выразим векторы в и Ъ через векторы
х и у и полученные выражения подставим в третье уравнение. После несложных
преобразований получим
Так как векторы х и у не колливеарны, то это равенство возможно тогда и только
_ _ 5 7
тогда, когда коэффициенты при х и у равны нулю, т. е. 4а—-=0, -—ЗД=О.
A L
Рис. 4.5
95

i- 5 7 5 . ,._ 7 ,
Отсюда а--, /»«-, т. е. T5R-- АН, 77В--ТО. Итак, АО:ОК-Ъ:5, BO.OL"
8 6 8 6
-7:'б.
III способ. Пусть стороны треугольника ABC представляют собой невесо-
невесомые сгержни, а в вершинах треугольника приложены параллельные силы (рис.
4.6). Предположим, что в вершине С приложена сила, равная 2 Н; тогда в точке
В согласно условиям равновесия (равенство моментов сил относительно точки К)
должна быть приложена сила б Н, а в точке К согласно правилу сложения
параллельных сил должна быть приложена сила 8 Н. Рассуждая аналогично
относительно точек А я L, находим, что в точке А должна быть приложена сила
5 Н, а в точке L — сила 7 Н. Наконец, согласно условиям равновесия относитель-
относительно точки О получаем АО: ОК=Ъ:5 и BO:OL=1:6. Ш
Прамер 5. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны
и имеют длины а, Ь и с. Найти объем пирамиды.
D Будем считать основанием пирамиды прямоугольный треугольник ADB
(рис. 4.7), а вершиной — точку С. Так как CDLAD и CDLBD, то в силу теоремы
о перпендикулярности прямой и плоскости СКХпл. ADB и, следовательно, ребро
CD — высота пирамиды. По формуле B.10) находим объем пирамиды:
1
1 abc abc
Прамер 6. Основанием пирамиды ABCD служит остроугольный равнобедрен-
равнобедренный треугольник ABC, у которого АВ—ВСшая АС—b (рис. 4.8). Каждое боковое
ребро равно с. Через центр окружности, описанной около основания, проведена
плоскость, параллельная прямым DB я АС. Найти площадь сечения.
D Так как треугольник ЛВС — остроугольный, то центр О описанной около
него окружности лежит внутри треугольника и заданная плоскость пересекает все
грани пирамиды. Далее, из равенства всех боковых ребер пирамиды следует, что
ее вершина D проецируется в точку О (см. гл. 2, «Дополнительные соотношения»,
п. 1°) и проекцией DB на плоскость основания служит отрезок ВО, перпендикуляр-
перпендикулярный стороне АС основания пирамиды. Согласно теореме о трех перпендикулярах,
BDLAC.
Для построения заданной плоскости через точку О проведем прямую МЩАС
(в плоскости ABC), а через точку JV — прямую NP\\DB (в плоскости ВВС).
Плоскость MNP параллельна прямым АС в BD (в силу признака параллель-
параллельности прямой и плоскости) и пересекает боковую грань ADC по прямой PQJAC,
а боковую грань ABD — по прямой MQJBD. Сечение MNPQ — прямоугольник,
так как выше было показано, что BDLAC, а MN и NP параллельны соответствен-
соответственно АС и BD.
Найдем длины сторон прямоугольника MNPQ. Заметим, что ВО — радиус
описанной окружности, S.BF — высота треугольника ABC. Пусть BO—R я BF—h.
Air —
Рис. 4.7
М
Рис. 4.8
96

R MN BN bR
Из подобия треугольников MBN и ABC находим —— —, откуда MN"—
h b a h
aR a{h-R)
и BN——. Далее, CN~BC-BN= . Из подобия треугольников CNP и CBD
PN CN PN h-R c(h-R)
находим —=— или —— , откуда PN= . Следовательно, площадь
BD ВС с h h
сечения
bcR(h-R)
h2 '
(*)
Остается выразить Л и Л через известные величины. Из треугольника BFC
Г ^ J
находим А= jo1——=- л/4а2 — Ь1, а зависимость между R, h и а в равнобедрен-
а2
ном треугольнике выражается формулой Л*=— (см. гл. 3, п. 3°). Подставив эти
2А
выражения в равенство (*), после упрощений получим
2a2bcBa2-b2)
Покажем, что полученная для площади формула имеет смысл, т. е. что
2а2-Ьг>0. Здесь снова существенно, что равнобедренный треугольник
ABC — остроугольный. Из этого следует, что угол А при основании больше 45".
<
Поэтому cosA <cos45°, т. е. —<—, откуда b<aJi, b2<2а2 и 2а2-Ь2>0. Ш
а 2
Пример 7. Дан куб ABCDAlB1CiD1, длина ребра которого равна а. Найти
объем конуса, вершина которого совпадает с вершиной Bt, а окружность основа-
основания проходит через середины трех ребер, выходящих из вершины D.
П Пусть точки М, NbP (рис. 4.9) — соответственно середины ребер AD, CD
и DDlt т. е. MD"ND->PD"a/2. Из равенства
равнобедренных прямоугольных треугольников
DPN, DPM и DMN следует, что MNMP
j2. Далее, из равенства прямоуголь-
прямоугольных треугольников ВУМА, BtNC и B^PDX (у ко-
которых один из катетов есть диагональ соответст-
вуюшей грани куба, а другой — половина ребра
куба) следует, что В^М >= B^N «¦ В1Р »•
"=sJBiD\+DiP2"' /2a2н—<¦—. Значит, точки
M, N и Р равноудалены как от точки D, так и от
точки Вх. Поэтому прямая B,D перпендикулярна
плоскости треугольника MNP и пересекает эту
плоскость в точке О — центре окружности, опи-
описанной около треугольника MNP. Итак,
ON — радиус основания конуса, В,О — высота
конуса.
Так как сторона а, правильного треугольника, вписанного в окружность
радиуса R, выражается формулой вз — /Ц/3, то Л-аэ/Ц/3. Следовательно,
Рис. 4.9
4-363
97

- ,
r- 3&т&л из треугольника BtNO находим B1O=^/BlN2-ON2
V6
a1 5a
/ =—;=. Окончательно получим
4 6 2^3
1 a1 5a bna^Ji
3 6 2^3 108
4.001. Найти гипотенузу прямоугольного треугольниха, если точка
касания вписанной в него окружности делит один из катетов на отрезки
длинойт яп (т<п).
4.002. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна
8 см. Может ли длина гипотенузы быть равной 5 см?
4.003. Доказать, что в любом треугольнике отношение суммы всех
попарных произведений, составленных из длин сторон треугольника,
к сумме длин его трех высот равно диаметру описанной окружности.
4.004. Длины сторон остроугольного треугольника составляют ари-
арифметическую прогрессию с разностью 5 см. Найти наибольшее число,
обладающее следующим свойством: длина большей стороны любого
треугольника указанного типа больше этого числа.
4.005. Медиана некоторого треугольника совпадает с его биссект-
биссектрисой. Доказать, что такой треугольник —равнобедренный.
4.006. Длины сторон треугольниха относятся как 2:3:4. В нем
проведена биссектриса наименьшего угла. В каком отношении (считая
от вершины) она делится центром окружности, вписанной в этот
треугольник?
4.007. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сто-
сторону на отрезки длиной 8 и 10 см. Найти длины сторон треугольника,
если центр вписанной окружности делит эту биссектрису в отношении
3:2, считая от вершины угла.
4.008. Сторона, биссектриса и высота треугольника, выходящие из
одной и той же вершины, равны соответственно 5, 5 и 2у/6 см. Найти две
другие стороны треугольника.
4.009. Две стороны треугольника и биссектриса угла между ними
равны соответственно 60, 40 и 24 см. Найти площадь треугольника.
4.010. В прямоугольном треугольнике найти биссектрису прямого
угла, если гипотенуза треугольника равна с, а один из острых углов
равен а.
4.011. Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, если
медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
4.012. Доказать, что сумма квадратов медиан любого треугольника
составляет 75% от суммы квадратов его сторон.
4.013. Тангенс тупого внешнего утла прямоугольного треугольника
равен к. Найти тангенс острого угла треугольника, не смежного с дан-
данным внешним углом.
4.014. Треугольник разбит медианами на шесть частей, не имеющих
попарно общих внутренних точек. Сравнить площади этих частей.
4.015. Доказать, что прямая, проходящая через основания двух вы-
высот остроугольного треугольника, отсекает от него подобный ему тре-
треугольник.
98

4.016. Даны отрезок АВ и прямая, не перпендикулярная отрезку
и пересекающая его в точке, не являющейся серединой этого отрезка.
Ученик построил точку Ви симметричную точке В относительно данной
прямой, и заметил, что теперь легко построить треугольник ABC, для
которого биссектриса угла АСВ лежит на данной прямой. Как это
можно сделать?
4.017. Доказать, что длина медианы треугольника меньше полусум-
полусуммы длин заключающих ее сторон.
4.018. Доказать, что если две стороны и медиана одного треуголь-
треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треуголь-
треугольника, то такие треугольники равны (рассмотреть два случая).
4.019. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса
прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведен-
проведенными к гипотенузе.
4.020. Доказать, что сумма длин высот треугольника меньше его
периметра.
4.021. Три средние линии треугольника разбивают его на четыре
части. Если площадь одной из них равна S, то чему равна площадь
данного треугольника?
4.022. Дан треугольник с площадью 1 и длинами сторон a, b и с.
Известно, что а^Ь^с. Доказать, что b^\J2.
4.023. Какую фигуру образует множество всех вершин равнобедрен-
равнобедренных треугольников, имеющих общее основание?
4.024. Сумма длин катетов прямоугольного треугольника равна s.
Найти границы возможных значений длины его гипотенузы с.
4.025. Доказать, что из трех медиан прямоугольного треугольника
наименьшую длину имеет та, которая проведена к гипотенузе.
4.026. Через точку, принадлежащую меньшей стороне треугольника,
провести прямую, отсекающую от него треугольник, подобный дан-
данному. Показать, что существуют четыре такие прямые.
4.027. Дан треугольник ABC. На основании ВС построить треуголь-
треугольник с той же площадью, но с углом при вершине В, равным половине
угла В данного треугольника.
4.028. Найти длины наименьших сторон всех
тупоугольных треугольников, у которых длины
сторон выражаются целыми числами и со-
составляют арифметическую прогрессию с раз-
разностью 3 см.
4.029. Пусть ВО — биссектриса угла В пря-
прямоугольного треугольника ABC, D — середина
катета AC, DO1AC, ОЕ1АВ, OFLBC. АВ — ги-
гипотенуза (рис. 4.10). Легко доказать, что
АВОЕ= ABOF, откуда BE=BF. (*) Далее, так
как О А = ОС, то Д ОБА = Д OFC, откуда АЕ= FC.
(¦*). Складывая равенства (¦) и (¦¦), получаем,
что АВ=ВС, т. е. что длина гипотенузы равна
длине катета. Найти ошибку в проведенном до-
доказательстве.
4.030. Определить вид треугольника по дли-
длинам трех сторон (если такой треугольник воз-
возможен): а) 2, 2 и 3; б) 6, 8 и 10; в) 3, 1 и 4;
г) 3, 5 и 7.
4.031. В равнобедренном треугольнике бис-
биссектриса угла при основании делит боковую сто-
99
Рис. 4.10

рону на отрезки 4 и 1 см, считая от вершины. Найти длину биссект-
биссектрисы.
4.032. Биссектриса угла^ при основании равнобедренного треуголь-
треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий
к вершине треугольника, равен его основанию. Доказать, что биссект-
биссектриса также равна основанию треугольника.
4.033. Найти наибольшую площадь прямоугольного треугольника
с данной гипотенузой с.
4.034. Доказать, что если медианы ААХ и ВВХ треугольника ABC
равны, то треугольник равнобедренный: СА = СВ.
4.035. Длины сторон треугольника составляют арифметическую
прогрессию. Высота, проведенная к средней по величине стороне, равна
А. Найти радиус круга, вписанного в треугольник.
4.036. Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике сумма
квадратов длин медиан составляет 150% от квадрата длины его гипо-
гипотенузы.
4.037. Углы треугольника относятся как 2:3:7. Наименьшая сторо-
сторона треугольника равна а. Найти радиус окружности, описанной около
треугольника.
4.038. Показать, что если длины сторон некоторого треугольника
составляют геометрическую прогрессию, то и длины высот треуголь-
треугольника также составляют геометрическую прогрессию.
4.039. Доказать, что угол С треугольника ABC является прямым
в том и только том случае, если длины сторон этого треугольника
связаны равенством АВ1 = АС1 + ВС (прямая и обратная теоремы Пи-
Пифагора).
4.040. Из каких точек плоскости данный отрезок виден под данным
углом?
4.041. Какую фигуру образует множество ортоцентров (точек пере-
пересечения высот) всех треугольников, имеющих общую сторону, при усло-
условии, что углы, противолежащие этой стороне, равны?
4.042. Какую фигуру образует множество точек пересечения биссект-
биссектрис всех треугольников, имеющих общую сторону, при условии, что
углы, противолежащие этой стороне, равны?
4.043. Окружность каждого из двух равных кругов радиуса R прохо-
проходит через центр другого. Найти площадь общей части этих кругов.
4.044. Из точки А проведены два луча, пересекающие данную окру-
окружность: один — в точках В и С, другой — в точках Da E. Известно, что
АВ=7, ВС-1, AD = 10. Определить DE.
4.045. Доказать, что если через точку касания двух окружностей
провести две прямые, пересекающие обе окружности, и точки пересече-
пересечения прямых с окружностями соединить хордами, то эти хорды парал-
параллельны.
4.046. Показать, что 3<я<4, не пользуясь приближенными значени-
значениями числа я.
4.047. Радиус круга с центром в точке О равен 6 см, а его хорда
АВ=Ъ см. Найти радиус круга, вписанного в сектор АОВ.
4.048. На отрезке АВ произвольно взята точка М. На AM и MB по
одну сторону от АВ построены квадраты. Около квадратов описаны
окружности, пересекающиеся в точке С. Показать, что луч МС есть
биссектриса угла АСВ.
4.049. Около окружности с центром О описан четырехугольник
ABCD. Найти сумму углов АОВ и COD.
4.050. Центры описанной около треугольника и вписанной в него
100

окружностей^расположены симметрично относительно одной из сторон
треугольника. Найти углы треугольника.
4.051. Две окружности имеют только одну общую точку. Через нее
проведена произвольная секущая. Доказать, что касательные в точках
пересечения этой секущей с каждой из окружностей параллельны.
4.052. Пары точек А и Ах, В я В1 расположены симметрично от-
относительно одной прямой. Доказать, что эти че-
четыре точки лежат на одной окружности или же на
одной прямой.
4.053. Доказать, что площадь полукруга, по-
построенного на гипотенузе прямоугольного тре-
треугольника, равна сумме площадей полукругов,
построенных на его катетах.
4.054. В окружность радиуса R= 1 см вписан
квадрат, а в квадрат — второй квадрат, вершины
которого делят пополам стороны первого квад-
квадрата (рис. 4.11). Не вычисляя длины стороны „
первого квадрата, доказать, что площадь второ- ис
го квадрата равна 1 см2.
4.055. В прямоугольный круговой сектор радиуса R вписан квадрат
так, что две его вершины лежат на крайних радиусах, две — на дуге
сектора. Найти сторону квадрата.
4.056. В круге радиуса 4 м найти длину хорды, которая видна из
любой точки меньшей дуги окружности под углом 135°.
4.057. В круге радиуса а найти длину хорды, которая из любой точки
большей дуги окружности видна под углом 30°.
4.058. Сторона АВ треугольника видна из вершины С под углом а.
Под каким углом она видна из центра окружности, описанной около
треугольника? Рассмотреть три случая: С — вершина острого, прямого
или тупого угла.
4.059. Две точки А я В расположены по разные стороны от прямой
MN. На прямой MN найти точку С такую, что LACN= LBCN.
4.060. В квадрате ABCD точки М я N — середины сторон DC и ВС.
Найти LMAN.
4.061. Каждая сторона выпуклого четырехугольника меньше а. До-
Доказать, что его площадь меньше а1.
4.062. Доказать, что в любой трапеции ABCD (BC\\AD) треуголь-
треугольники АОВ и COD равновелики (О — точка пересечения диагоналей).
4.063. В равнобедренной трапеции ABCD дано: AB\\DC, AB=IDC,
cos ЦАВС=\1^/$. Доказать, что диагонали трапеции взаимно перпен-
перпендикулярны.
4.064. Одна из сторон пятиугольника имеет длину 30 см. Длины
остальных сторон выражаются целыми числами и составляют ариф-
арифметическую прогрессию с разностью 2 см, причем длина меньшей из
сторон не превышает 7 см. Найти длины сторон всех пятиугольников,
для которых выполняются эти условия.
4.065. Из каких одноименных равных правильных многоугольников
можно сложить паркет?
4.066. В окружность радиуса R вписан правильный л-угольник, пло-
площадь которого равна 3R . Найти л.
4.067. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, лежащей
внутри правильного многоугольника, до прямых, содержащих его сторо-
стороны, равна произведению апофемы многоугольника на число его сторон.
4.068. Две диагонали, исходящие из одной и той же вершины пра-
101

вильного пятиугольника, разбивают его на три треугольника. Найти
отношение площади треугольника, ограниченного этими двумя диагона-
диагоналями, к сумме площадей двух других треугольников.
4.069. Пусть л — число сторон выпуклого многоугольника, a d —
число его диагоналей. Указать все значения л, для которых n>d.
4.070. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом восьми-
восьмиугольнике?
4.071. Найти площадь правильного двенадцатиугольника, вписан-
вписанного в окружность радиуса R.
4.072. В каком выпуклом многоугольнике число диагоналей равно
числу сторон?
4.073. Непараллельные стороны трапеции продолжены до пересече-
пересечения. Доказать, что прямая, проходящая через полученную точку и точку
пересечения диагоналей, делит каждую из параллельных сторон трапе-
трапеции на две равные части.
4.074. Каково наибольшее возможное число острых углов в произ-
произвольном выпуклом многоугольнике?
4.075. Меньшее основание трапеции равно 6 см. Найти ее большее
основание, если расстояние между серединами диагоналей равно 5 см.
4.076. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его диаго-
диагональ на отрезки длиной 3,2 и 8,8 см. Найти стороны параллелограмма,
если его периметр равен 30 см.
4.077. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4 см,
а длины непараллельных сторон 20 и 13 см. Найти высоту трапеции.
4.078. В четырехугольник, три последовательные стороны которого
равны 2, 3 и 4 см, вписана окружность радиуса 1,2 см. Найти площадь
четырехугольника.
4.079. Через произвольно выбранную точку на одной стороне парал-
параллелограмма и концы противоположной стороны сделаны два разреза.
Определить площадь данного параллелограмма, если площади отрезан-
отрезанных треугольников равны Sl и S2.
4.080. Доказать, что точка пересечения биссектрис углов, прилега-
прилегающих к одной из непараллельных сторон произвольной трапеции, при-
принадлежит средней линии трапеции.
4.081. Периметр равнобедренной трапеции, описанной около круга,
равен Р. Найти длину средней пиини трапеции.
4.082. Доказать, что в четырехугольнике с непараллельными сторо-
сторонами середины диагоналей и середины двух противоположных сторон
являются вершинами некоторого параллелограмма.
4.083. Сформулировать какое-либо утверждение, верное вместе
с ему обратным. Сформулировать какое-либо верное утверждение, но
такое, для которого обратное утверждение является неверным.
4.084. Даны две скрещивающиеся прямые. Можно ли провести две
пересекающиеся прямые так, чтобы каждая из них пересекала обе дан-
данные прямые?
4.085. На сколько дальше центр верхнего основания куба с ребром
1 удален от вершины нижнего основания, чем от его стороны?
4.086. Найти угол между скрещивающимися диагоналями смежных
граней куба.
4.087. Куб ABCDA1BiClD1 (AAJBB^CCJDDJ пересечен плоско-
плоскостью, проходящей яерез вершины А, С я середину Е ребра DDV Пока-
Показать, что объем пирамиды ACDE равен 1/12 объема куба.
4.088. Построить сечение куба ABCDA^BiC^D.^, проходящее через
середины ребер AD, AtBt и CCV
102

A
1
1
1
i
)
/
/
/
4.089. Найти наименьшее целое число градусов, которое может соде-
содержать плоский угол трехгранного угла, обладающего следующим свой-
свойством: каждый из плоских углов содержит целое число градусов, причем
эти три числа составляют арифметическую прогрессию с разностью 50°.
4.090. Какую фигуру образует множество всех точек, отстоящих от
данной плоскости на расстояние а и от фиксированной точки данной
плоскости на расстояние b {a<b)l
4.091. Сколько боковых граней содержит призма, у которой 60
ребер?
4.092. Доказать, что если все диагонали параллелепипеда имеют
равные длины, то он прямоугольный.
4.093. Доказать, что если наклонная образует равные углы с тремя
попарно непараллельными прямыми, лежащими в одной плоскости, то
она перпендикулярна этой плоскости.
4.094. Дан куб ABCDAlBlClD1 с ребром а. Найти расстояние от
прямой, проходящей через ребро ААи до прямой, проходящей через
диагональ B^D.
4.095. Существует ли в пространстве точка, равноудаленная от всех
вершин параллелограмма? Or всех прямых, содер-
содержащих его стороны? Каким свойством должен об-
обладать параллелограмм, чтобы точка, равноудален-
равноудаленная от его вершин, была бы равноудалена и от
прямых, содержащих его стороны?
4.096. Каким свойством должна обладать тра-
трапеция, чтобы в пространстве существовала точка,
равноудаленная от ее вершин? Если данная трапе-
трапеция таким свойством обладает, то какую фигуру
представляет собой множество всех таких точек?
4.097. Построить сечение куба плоскостью, про- Рис. 4.12
ходящей через точки А, В и С (рис. 4.12).
4.098. Одно из боковых ребер наклонного па-
параллелепипеда составляет равные острые углы с прилежащими к нему
сторонами нижнего основания. Что представляет собой проекция пря-
прямой, содержащей это ребро, на плоскость нижнего основания? При
каком условии эта проекция и диагональ основания лежат на одной
прямой?
4.099. Через диагональ нижнего основания произвольного парал-
параллелепипеда и середину не пересекающего ее бокового ребра проведена
плоскость. Как относятся объемы полученных при этом частей парал-
параллелепипеда?
4.100. Дан правильный тетраэдр SABC. Под каким углом ребро АВ
видно из середины ребра SCi
4.101. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию.
Построить график функции, выражающей зависимость площади сечения
от расстояния между вершиной пирамиды и секущей плоскостью.
4.102. В правильном тетраэдре с ребром v 2 см определить расстоя-
расстояние между двумя скрещивающимися ребрами.
4.103. Через середину высоты пирамиды проведена плоскость парал-
параллельно плоскости основания пирамиды. В каком отношении находятся
объемы полученных многогранников?
4.104. В основании пирамиды лежит треугольник, длины сторон
которого 30, 40 и 50 см. Вершина большего острого угла основания
принадлежит боковому ребру, имеющему длину 72 см и перпендикуляр-
перпендикулярному плоскости основания. Найти полную поверхность пирамиды.
103

4.105. Двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями
правильной четырехугольной пирамиды равен а, а высота пирамиды
равна Н. Найти радиус описанного шара.
4.106. Около правильной пирамиды с высотой 27 см описана сфера
радиуса 18 см. Найти угол наклона бокового ребра пирамиды к плоско-
плоскости ее основания.
4.107. Все ребра (в том числе и стороны основания) треугольной
пирамиды равны. Найти отношение радиуса вписанного в пирамиду
шара к ее высоте.
4.108. Показать, что если пирамида имеет равные боковые ребра, то
около нее можно описать сферу и что радиус этой сферы равен квадрату
длины ребра, деленному на удвоенную длину высоты пирамиды.
4.109. В треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра попарно рав-
равны. Доказать, что полная поверхность пирамиды равна учетверенной
площади одной из ее граней.
4.110. Высоты всех боковых граней некоторой пирамиды равны.
Под каким углом они наклонены к плоскости основания, если площадь
полной поверхности пирамиды в 1,5 раза больше площади ее боковой
поверхности?
4.111. В куб помещена четырехугольная пирамида так, что ее ос-
основание совпадает с одной из граней куба, а вершина — с серединой
одного из ребер противоположной грани. Под какими углами боковые
грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания?
4.112. В правильном тетраэдре SABC через ребро АС проведена
плоскость, пересекающая ребро SB в точке К. Доказать, что проекция
вершины В на плоскость сечения лежит на высоте сечения, проведенной
к стороне АС. При каком условии эта проекция совпадает с точкой А"?
4.113. Какому условию должен удовлетворять четырехугольник,
чтобы на нем, как на основании, можно было построить пирамиду
с равным наклоном всех боковых граней?
4.114. Пирамида, основанием которой служит прямоугольный тре-
треугольник с катетами 9 и 8 см, вписана в конус, образующая которого
наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найти объем пи-
пирамиды.
4.115. Через среднюю линию основания треугольной пирамиды и ее
вершину проведена плоскость. В каком отношении находятся объемы
полученных пирамид?
4.116. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S — ее
вершина) провести сечение через середину ребра SB и прямую MDN,
расположенную в плоскости основания ABCD и параллельную его диа-
диагонали АС.
4.117. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендику-
перпендикулярны. Найти объем пирамиды, если площади ее боковых граней равны
iSj, iSj и S3.
4.118. Показать, что если в основании пирамиды, имеющей равные
боковые ребра, лежит прямоугольный треугольник, то одна из боковых
граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
4.119. Всякая ли пирамида обладает тем свойством, что около нее
можно описать сферу? Бели около пирамиды можно описать сферу, то
где лежит центр этой сферы?
4.120. Показать, что если около основания пирамиды можно опи-
описать окружность, то все плоскости, перпендикулярные боковым ребрам
пирамиды и делящие их пополам, пересекаются в одной точке.
4.121. Найти площадь полной поверхности конуса, если его боковую
104

поверхность можно развернуть в круговой сектор с радиусом 1 и с пря-
прямым центральным углом.
4.122. Два конуса имеют общую вершину, а их высоты пересекают-
пересекаются. Показать, что прямая, по которой пересекаются плоскости оснований
конусов, перпендикулярна плоскости, содержащей высоты конусов.
4.123. В конус, осевое сечение которого — правильный треугольник,
вписан шар, затем вписан второй шар, касающийся первого шара и бо-
боковой поверхности конуса, и т. д. (л-й шар касается (л— 1)-го шара
и боковой поверхности конуса). Найти отношение предела суммы объ-
объемов шаров при л-юо к объему конуса.
4.124. Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью ос-
основания угол а. Внутри конуса расположены два шара, касающиеся друг
друга и боковой поверхности конуса, причем первый шар касается
нижнего основания конуса, а второй — верхнего основания. Расстояние
между центрами шаров равно /. Найти радиусы оснований конуса.
4.125. В усеченном конусе АВ и CD — взаимно перпендикулярные
диаметры нижнего основания, EF — диаметр верхнего основания, па-
параллельный прямой CD. Найти косинус острого угла между прямыми
АЕ и BF, если образующая конуса есть среднее пропорциональное между
диаметрами оснований и составляет с плоскостью основания угол
а (а>я/3).
4.126. Отношение полной поверхности конуса к поверхности вписан-
вписанного в него шара равно к. Найти угол между высотой и образующей
конуса и допустимые значения к.
4.127. Отношение боковой поверхности усеченного конуса, описан-
описанного около шара, к сумме площадей его оснований равно к. Найти угол
между образующей и плоскостью основания и допустимые значения к.
4.128. Найти отношение объема шара к объему вписанного в него
куба.
4.129. Доказать, что проекция диагонали осевого сечения усеченно-
усеченного конуса на основание равна сумме радиусов окружностей оснований
конуса.
4.130. Радиус полукруга, лежащего в основании полуцилиндра, ра-
равен 1. Через диаметр полукруга проведена плоскость под углом 45°
к плоскости полукруга. Показать, что в развертке полуцилиндра линия
пересечения проведенной плоскости с цилиндрической поверхностью
полуцилиндра образует дугу синусоиды.

ГЛАВА 5
ПРИМЕНЕНИЕ КООРДИНАТ
И ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Прямоугольная декартова система координат
на плоскости
1°. Расстояние между точками А^х^ у,) и А2(х2; у2) находится по формуле
С помощью этой же формулы выражается длина отрезка А±А2 или модуль
вектора АХА2 (хг-х^ y2-yt).
2°. Координаты (х; у) середины отрезка с концами А^х^ yt) и А2(х2; у2)
находятся по формулам
Ух+Уг
3°. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой
имеет вид
y-kx+q. E.3)
Угловой коэффициент it представляет собой значение тангенса угла, образуемого
прямой с положительным направлением оси Ох, а начальная ордината q — значе-
значение ординаты точки пересечения прямой с осью Оу. ,
4 . Уравнение прямой с угловым коэффициентом к, проходящей через точку
А (х0; у0), имеет вид
У-Уо=Кх-хо). E.4)
5°. Общее уравнение прямой имеет вид
ах+Ьу + с=0. E.5)
6°. Уравнения прямых, параллельных соответственно осям Оу и Ох,
имеют вид
х=а, E.6)
У = Ь. E.7)
7°. Условия параллельности и перпендикулярности прямых y1=klx+q1
и У2=к2х+д2 соответственно имеют вид
к^к2, E.8)
*,*,--!. E.9)
106

8°. Уравнения окружностей с радиусом Кис центром соответственно в точ-
точках О @; 0) и С(х0; у0) имеют вид
х1+у1 = R2. E.10)
(x-xo)* + (y-yof = R\ E.11)
9°. Уравнение
у=ах2 + Ьх + с E.12)
представляет собой уравнение параболы с вершиной в точке, абсцисса которой
х0 У Bа).
Прямоугольная декартова система координат
в пространстве
1°. Расстояние между точками Al(xl; yl; z,) и А2(х2; у%; z2) находится по
формуле
^M2=V(*j-*iI + G'2-.>'iJ + (Zi-ZiJ. E.13)
С помощью этой же формулы выражается длина отрезка А1Л1 или модуль
вектора "ЦГ2 (x2-Xl; у2-У1; z2-z,).
2°. Координаты (дг; у; z) середины отрезка с концами А^х^уг; г,) и А2(хг;уг;
z2) находятся по формулам
х,+х2 У1+У1 Zi+zj
х= ,у- , z= . E.14)
2 2 2
3°. Модуль вектора а (а,; а2; а,), заданного своими координатами, находится
по формуле
Й->/^Г+4 E.15)
4°. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются,
а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число,
т. е. справедливы формулы
(в,; а2; а3)+(*,; Ьг; Ь3)-(а, +Ь1; а2+Ьх; аг + Ьг), E.16)
На,; а2; а3) = (Лв,; Ыг; Ха3). E.17)
5°. Единичный вектор а0, сонаправленный с вектором а, находится по фор-
формуле
5„=~ E.18)
М
6°. Скалярным произведением аЪ векторов а и Ъ называется число
5 J E.19)
где <р — угол между векторами а и Ъ.
7°. Скалярное произведение векторов a(av- а2; а3) и Ъ(Ь,; Ь2; Ьъ) выражается
формулой
ЪЪ=а1Ь1 + а2Ь2 + а3Ьг. E.20)
В частности, ?=aa = |a|J, откуда \а\ = у/И1.
8°. Косинус угла между векторами Щах; а2; аэ) и Ъ(Ь1; Ь2; Ь3) находится по
формуле
107

cos<p~-
E.21)
9°. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов
а(а1; аг; а3) в Ъ(Ь^; Ь2; Ьг) имеет вид
а5—0 или a1bl+a1bi+a3b3=0, E.22)
а условие их коллинеарности (параллельности) — вид
5, где|Л| =
E.23)
а, а, а,
— =—=—. E.24)
Л, Ь2 Ь3
10е. Общее уравнение плоскости, перпендикулярной вектору п(а; Ь; с),
имеет вид
ax+by+cz+d^O. E.25)
11°. Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору ~п(а; Ь; с) и проходящей
через точку (х0; уа; z0), имеет вид
zo) = 0. E.26)
12°. Уравнение сферы с центром 0@; 0; 0) записывается в виде
¦ R\ E.27)
Пример 1. В параллелограмме ОАВС даны вершины О @; 0;), А C; 6) и
В (8; б). Найти отношение длин диагоналей ОВ и АС, а также составить уравнения
сторон параллелограмма и диагонали АС.
D Так как ординаты вершин А и В равны, то ЛВ\\Ох (рис. 5.1). Из трех
отрезков ОА, АВ я ОВ сторонами параллелограмма могут быть только О А я АВ,
так как по условию ОВ — диагональ; поэтому ВС\ОА и С E; 0). По формуле E.1)
находим OB-y/&+62-',Jl00, ЛС=Л/E-3)'+@-6I=Л/40; значит, ОВ:АС=
=у100:-J40-у 2,5 — искомое отношение диагоналей.
Согласно формуле E.3), уравнение стороны ОА имеет вид ykx+д, где
*г=6:3=2 и 9=0; следовательно, у=2х. Используя равенство E.7), запишем
уравнение стороны АВ: у=6. Далее, так как ВС\ОА, то угловой коэффициент
прямой ВС в силу формулы E.8) есть к=2, а соответствующее значение q найдем
Рис. 5.1
Рис. 5.2
108

из уравнения у=2х+q, подставив в него вместо х и у координаты точки С E; 0);
тогда получим 0•• 10+?, т. е. q— —10; значит, уравнение ВС имеет вид у~2х—10.
Наконец, уравнение ОС есть у**0.
Чтобы найти уравнение диагонали АС, воспользуемся тем, что точки А C; б)
и С E; 0) принадлежат прямой АС и, следовательно, их координаты удовлетворя-
удовлетворяют искомому уравнению. Подставив эти координаты в уравнение y=kx+q,
получим бш3Jt+q, 0ш 5к+q, откуда it — — 3, ?«= 15. Итак, у =— Ъх +'15 есть уравне-
уравнение диагонали АС. Щ
Пример 2. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника,
образованного прямыми>>—0,2х— 0,4, у=х+2, y=S~x.
? Угловые коэффициенты прямых у=х+2в у=$—х равны соответственно
ifcj = 1 и к2 = — 1. Так как Mj> = — 1, то выполняется условие E.9) перпендикуляр-
перпендикулярности прямых; значит, ААВС — прямоугольный (рис. 5.2) и центром окружности
является середина его гипотенузы АВ. Найдем точки пересечения прямой
у=0,7х—0,4 с прямыми у=х+2 и у=8 — х; решив системы уравнений
> = 0,2*- 0,4, Гу = 0,2л:-0,4,
и <
= х+2 Ц' = 8—х,
получим точки А{—3; —1) и ВA; 1) —концы гипотенузы. Используя формулы
E.2), найдем координаты центра окружности: 0,B; 0). В силу формулы E.1)
радиус окружности есть R=O^A =-у/(-3~2J + @— lJ=y26. Наконец, согласно
формуле E.11), получим искомое уравнение окружности: (х-2J+у2=26. ¦
Пример 3. Найти единичный вектор, коллинеарный вектору, направленному
по биссектрисе угла ВАС треугольника ABC, если заданы его вершины: А(\; 1; 1),
ВC; 0; 1), С@; 3; 1).
D Найдем координаты и модули векторов АВ и АС; имеем ABQ — 1; 0),
А~С(-\; 2;0), |ЗО|=л/22+(-1J+02»>/5, |^|=л/(-1J+22+0а=л/5.
Так как \А~В\ = |ЛС|, то ~AD=A~E+aT: является диагональю ромба ABDC (рис.
5.3), а следовательно — биссектрисой угла ВАС. Имеем AD=AB+AC=B; —1;
0)+(—1; 2; 0)=A; 1; 0) и |Я5|— -s/2. Пусть ё — единичный вектор, сонаправлен-
ный с вектором ~АБ, т. е. g———. Тогда, используя формулу E.18), окончательно
получаем е I —=; —р;
Пршмер 4. Прямая, параллельная медиане СА/ треугольника .4ЯС, пересекает
ВС СА 4Л Л В С Д
рр р, р
прямые ВС, СА и .4Л соответственно в точках
, р
и С,. Доказать, что
A(i;r,t) c(v;3;i)
Рис. 5.3
109

? Пусть А^ЩСМ (рис . 5.4). Построим (?5=2??3?»СЗ+€В. Очевидно, что
AtCDE — параллелограмм; следовательно, А1Е='ПБ, прячем А~[Е=А^С~1+'С~^Е.
Так как AM — медиана треугольника ACD я BJi\CD, то АС± — медиана
треугольника АВ^Е и В~^[=1^Е. Теперь имеем Ш~В1~&
Прамер 5. Даны два ненулевых вектора а и 5 таких, что |а+5|=|а-5|.
Доказать, что "alb.
О I способ. Если на векторах ало как на сторонах построить параллелог-
параллелограмм, то векторы а+Ъ и а—Ъ совпадут с его диагоналями, длины которых
составляют \а+Ъ\ и \а—Ъ\. Так как по условию длины диагоналей равны, то
полученный параллелограмм является прямоугольником, откуда я12>.
И способ. Пусть Зс=а+Б, у="а-Ъ; тогда И2=(а+ЪJ=а2+2аЪ+'Р,
~уг=а1 —ТаЬ+Ъ1. Квадрат вектора равен квадрату его модуля; значит,
Правые части последних соотношений равны по условию; следовательно,
а2+2д?+Р=?-2л5+Р, откуда 35=0; в силу формулы E.22) это означает, что
all. ¦
Прамер б. Даны два отрезка А В и CD. Доказать, что если
ACz+BD2=AJr+BCr, то ABLCD. Верно ли обратное утверждение?
? Рассмотрим векторы ~АЁ, "С~Б, ~АС, ~AD. ТП> я "ВС. В зависимости от их
взаимного расположения может получиться плоская или пространственная фигу-
фигура (рис. 5.5). Учитывая, что ЛР-^^-АВ2, преобразуем данное равенство
следующим образом:
CD
CD
-2AB .
-Ив
-Ив
а это и означает, что А~В±.СЪ.
Выполняя преобразования «от конца к началу» {АВ ¦ ТП)=0 или
-7Л&- С5=0 или Ш(Ш5+Ш+Ж+1?1)=0 и т. д.), убеждаемся в том, что
верно и обратное утверждение. ¦
Прамер 7. В пирамиде SABC все грани — правильные треугольники; точка
М — центр треугольника ABC, а точка Р делит ребро SC пополам (рис. 5.6).
Найти разложение вектора ИР по векторам АВ, лЬ и IS.
Рис. 5.5
ПО

D Имеем "И?=ШЕ-Т€, где ТЕ—- "SE=-
следовательно,
МР**МС— (АС—АЗ). Теперь найдем МС. В равностороннем треугольнике ABC
2 __ 2_
имеем MC—-CN, где CN — высота треугольника; поэтому МС**- NC. Но
Ж=А~С-Аи=Ж— ~АЁ и, значит, ШЕ=- [Ж— ~АЁ )=- Ж— А~Ё.
2 3\ 2 ) 3 3
Таким образом, окончательно получим
1 __ 1_,
— Ж+- А3
2 2
1__ 1__ 1_
- Ж— AS+-1S.
6 3 2
Пример 8. Доказать, что для всякого треугольника ABC справедливо неравен-
неравенство cos A+cos B+ cos Cs? 3/2.
? На сторонах треугольника построим единичные векторы ел, е2, еъ (рис.
5.7). Суммой этих векторов является некоторый вектор 3, т. е. ~e'
Возведем обе части равенства в квадрат:
turn
cos(n-Q=\3\2.
Так как (Эр>0, то 3~2cosB-2 cos.4-2 cosC>0, откуда
+ cos С < 3/2. ¦
Пример 9. Дан куб ABCDA1BiClDu длина ребра которого равна а. Найти
радиус сферы, проведенной через точки А, В, Е и F, где Е и F — точки на ребре
ССи причем CE*=EF=FC1.
? Введем систему осей координат (рис. 5.8), началом которой является
точка 5@; 0; 0). В этой системе точки A,Blt EbFимеют следующие координаты:
А{а; 0; 0), Bt@; 0; а), Щ- а; а/У), ДО; а; 2а/3). Пусть О(х; у; г) — центр искомой
сферы. Тогда OA2=OB2 = OEi=OF2=R1, где R — радиус сферы. Используя
формулу E.13), выражающую расстояние между двумя точками, получим систе-
систему уравнений
(x-aJ+y2+z1=Ri, (•)
А,
Ш

Г*)
2a\*
Вычитая уравнение (****) из (***), имеем I г—I — \z I =0, откуда
a\2 / 2а\2
2r—a=0, т. e. 2=a/2. Подставим это значение z в уравнения (¦) и (**) и вычтем
(**) из (*); тогда получим х=а/2. Вычитая уравнение (*••) из (**), находим
.у=7а/18. После_подстановки значений х: у и z в уравнение (**) окончательно
найдем R=a-Jl\ 1/18. ¦
5.001. Дана окружность .х2+>'2 = 4. Составить уравнение прямой /,
параллельной оси абсцисс и пересекающей окружность в таких точках
MkN,4toMN=1.
5.002. Даны три точки АB; 1), .8C; -1), С(-4; 0), являющиеся
вершинами равнобедренной трапеции ABDC. Найти координаты точки
D, ссшА~В=кС~5.
5.003. Даны вершины треугольника: А(—2; — 3), В(— 1; 2), СD; 1).
Доказать, что А ЛВС — равнобедренный, и составить уравнение пря-
прямой, содержащей высоту, проведенную из вершины А.
5.004. В прямоугольной системе координат изображена равнобед-
равнобедренная трапеция с основаниями 6 и 10
и углом <р = 60° при основании (рис. 5.9).
Составить уравнения сторон трапеции.
5.005. Составить уравнение окру-
окружности, проходящей через точки АB; 0),
ВE; 0) и касающейся оси Оу.
5.006. Составить уравнение прямой,
проходящей через точку B; 3) и образу-
" * " А * ющей с осью Ох угол 120°. Найти пло-
рис 5 9 щадь треугольника, образованного этой
прямой и осями координат.
5.007. На прямой 5^-27+9 = 0 най-
найти точку А, равноудаленную от точек В(—2; —3) и СD; 1), и вычислить
площадь треугольника ABC.
5.008. Длины диагоналей ромба равны 15 и 8 см. Первая диагональ
принята за ось Ох, вторая — за ось Оу. Составить уравнения сторон
ромба и найти расстояние от начала координат до стороны ромба.
5.009. Пусть А—точка пересечения прямых 2л:+5.у—8 = 0
и х — 3^+4=0; О — начало координат. Найти расстояние О А и со-
составить уравнение прямой О А.
5.010. Найти координаты вершин С и D квадрата ABCD, если
ЛB; 1), Щ\ 0).
5.011. Вычислить длины диагоналей АС и BD параллелограмма
ABCD, если ЛA; -3; 0), В{-2; 4; 1), С(-3; 1; 1).
5.012. Даны две вершины равностороннего треугольника: А(—2; 2),
В{—2; —4). Найти координаты третьей вершины треугольника и его
площадь.
5.013. Известны координаты середин сторон треугольника:
Mj(— 1; 2), М2B; -3), М3(—3; —1). Найти координаты точки пересече-
пересечения медиан треугольника.
112

5.014. Даны координаты двух вершин треугольника: АB; — 1),
•В(—3; 5) и координаты точки пересечения медиан этого треугольника:
М(\; 1). Найти координаты вершины С.
5.015. Даны координаты вершин четырехугольника: АB; —2),
Щ-3; 1), СG; 7), Z>G; 1). Доказать, что ABCD — трапеция, и найти
длину ее средней линии.
5.016. Убедиться в том, что существует только одна точка с коор-
координатами х, у, z, сумма квадратов расстояний от которой до данных
двух точек ЛB; 3; —1), Щ; — 1; 3) постоянна и равна 16,5. Найти
координаты этой точки.
5.017. В окружность x1+y1 = R1 вписан квадрат ABCD. Найти
R и координаты вершин В, С и D, если E; —12) — координаты
вершины А.
5.018. Дана окружность х2+у2 = 9. Составить уравнение окружно-
окружности, проходящей через начало координат и точку А(\; 0) и касающейся
данной окружности.
5.019. Составить уравнение окружности, проходящей через точку
АB; 1) и касающейся осей координат.
5.020. Составить уравнение окружности, вписанной в треугольник,
стороны которого лежат на прямых х = 0, у=0 и Зх+Ау —12=0.
5.021. Найти длину хорды, образующейся при пересечении прямой
х+у-5 = 0а окружности (х+\J + (у+2J = 40.
5.022. Составить уравнения касательных, проведенных к окружности
х2+у1 = 9 из точки МE; 0).
5.023. Составить уравнение окружности, описанной около треуголь-
треугольника, образованного прямой Зх— 7+6 = 0 и осями координат.
5.024. Составить уравнение сферы, проходящей через точку
АA; —1; 4) и касающейся координатных плоскостей.
5.025. При повороте вокруг начала координат точка АF; 8) перехо-
переходит в точку Л](8; 6). Найти косинус угла поворота.
5.026. Даны точки ЛA; 1), Щ; 6), СE; 4), D{2; 1). Доказать, что
ABCD — трапеция, и найти угол а между ее диагоналями.
5.027. Доказать, что треугольник с вершинами ЛB; 1), .5C; 0), СA; 5)
тупоугольный, и найти косинус тупого угла.
5.028. Найти угол между векторами а и Ъ, если (а—ЪI + B5 — БJ = 56,
Й = 2и|5| = 3.
5.029. Даны векторы 3B; -3; 5), Б(-1; 1; -3) и сC; 7; 1). Найти
координаты вектора ~р(х; у; г), если "ра=\2, "рЪ= —6 и~рА2.
5.030. Найти косинус угла между диагоналями параллелограмма
ABCD, если ~А~В=Ъ—Ъ + Зс, Ш) = 4а—Ъ—с, где Ъ,Ъ,Ъ — единичные попа-
попарно перпендикулярные векторы.
5.031. Пусть ?, J и Тс — единичные векторы, направленные вдоль
координатных осей, и "a=6i—2j—3H. Найти косинусы углов, образуемых
вектором а с векторами 1, j и Тс.
5.032. Вектор ТГА составляет с осями Ох, Оу и Oz углы, соответст-
соответственно равные а=я/3, /?=гс/3, у = п/А; точка В имеет координаты
(—2; —2; —2^/2). Найти угол между векторами ТТЛ и 7ТВ.
5.033. Медианы боковых сторон равнобедренного треугольника пе-
пересекаются под углом 60°. Найти угол при вершине треугольника.
5.034. В окружности проведены радиусы О А, ОВ, ОС. Найти вели-
величину угла АОВ, если UX+T7B=TPC.
113

5.035. Дан треугольник ABC; BD — медиана, LDBC=9Q", BD=
= (>/з/4)ЛД. Найти LABD.
5.036. В треугольнике ABC угол при вершине А равен 60°, А 2? D; 2; 4),
ЛС= 1. Найти косинус угла между медианой ААХ и стороной АВ.
5.037. В трапеции ABCD дано: вершина ЛC; 0), середина основания
АВ — точка ЕF; — 1), середина основания CD — точка РG; 2). Боковая
сторона ВС параллельна оси Оу. Доказать, что трапеция равнобедрен-
равнобедренная, и найти угол при ее основании.
5.038. Доказать, что луч СМ, где С — вершина прямого угла тре-
треугольника ABC, a M — центр квадрата, построенного на гипотенузе
и лежащего вне его, есть биссектриса угла С.
5.039. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD длина каж-
каждого ребра равна а. Точка MeSC и SM :МС=2:1. Найти угол между
векторами 7JC и ~А~М.
5.040. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX дано:
ААХ = 10, AD = 6, АВ=8. Найти косинус угла между векторами 1)В1
[
5.041. Дан куб ABCDAXBX€XDX. Найти косинус угла между век-
векторами Ъ~АХ и DM, где М — середина ребра ССХ.
5.042. Известны длины ребер тетраэдра ABCD. Найти косинус угла
между противолежащими ребрами АВ и CD.
5.043. Даны векторы 5F; -8; 5л/2) и ЕB; -4; л/2). Найти угол,
образуемый вектором 5—5 с осью Oz.
5.044. Даны вершины треугольника: А(—2; 1; —3), J?D; — 7; 1) и
СA; 2; —1). Найти угол между стороной СА и медианой, проведенной из
вершины С.
5.045. При каких значениях х векторы (х3 —1M и 2га сонаправлены,
если а #0?
5.046. При каких значениях m векторы (m2-rm—2)Ъ и т3Ъ проти-
противоположно направлены, если Б#0? _
5.047. При каких значениях х векторы Eх—хг)а и 3 сонаправлены
и |(х~5Я<|За|, если 3#0?
5.048. При каких значениях у_векторы (Зу2 — 11у+6)р и (у2 + 1)р
противоположно направлены, если />#0?
5.049. При каких значениях х и у векторы (х; —2; 5) и A; у; —4)
коллинеарны? _
5.050. При каких х верно неравенство \(х—2)а|>3|д|, если а#0?
5.051. Даны координаты вершин четырехугольника: А(— 1; 2; 3),
Д(-1; 3; 1), С(-1; 7; 3), JD<—1; 6; 5). Доказать, что ABCD ~ пря-
прямоугольник.
5.052. Найти вектор Ъ, коллинеарный вектору aBJ7; — 1; 4), если
Ю-ю.
5.053. Пусть О — точка пересечения медиан_ треугольника А ВС
и АО=Ъ, "АС^Ъ. Разложить ~А~В и "ЕС по векторам в и 5.
5.054. Медианы граней SAВ и SAC тетраэдра SABC пересекаются
соответственно в точках М и N. Доказать, что MN\\BC, и найти отноше-
отношение |ИЩ: ЩС\.
5.055. Пусть А" и М — середины сторон ВС и CD параллелограмма
ABCD и ~A~R=3, ~ХМ=Ь. Выразить векторы ЯП и ZZJ через аяЪ.
5.056. В параллелограмме ABCD дано: Ме8С и ВМ:МС=1:2;
2Ve2)C, DN:JfC=l:2; AM = a; 217=5. Выразить векторы ЛЯ, ГО Ж]
и ~ББ через о и Б.
114

5.057. В треугольнике ABC дано: ~АЪ=Ъ. ~ХС=Ъ, |д| = E| = 2,
LBAC— 60°. Выразить через а и Ъ единичный вектор, направленный по
высоте треугольника, проведенной из вершины А.
5.058. Векторы Ъ, Ъ, "с лежат в одной плоскости и образуют попарно
друг с другом углы 2я/3. Разложить вектор а по векторам Бис, если
|5| = 3, |3|=2,0=1.
5.059. Дан прямоугольный треугольник ABC; LC=90°, D— осно-
основание высоты, проведенной из вершины прямого угла. Выразить вектор
"CD через векторы "UA и ТВ.
5.060. Дан правильный пятиугольник АхАгАгА^Аь. Разложить век-
вектор АХА3 по векторам АхАг и AXAS.
5.061. К окружности с центром О проведены из точки М две каса-
касательные; Аи В — точки касания. Разложить вектор МО по векторам МА
и НТВ, если LAMB=a.
5.062. На стороне АВ параллелограмма ABCD взята точка К так,
что АК: КВ=1. Сторона АВ в 3 раза длиннее стороны ВС. Разложить
7Ж по 73 и ЛГО и найти отношение DK.AB, если LBAD*=ffl.
5.063. В ромбе ABCD точки М в N — середины сторон ДС и CD.
Найти /.А/ЛЛГ, если LBAD=60".
5.064. Найти угол между медианами катетов равнобедренного пря-
прямоугольного треугольника, обращенный к гипотенузе.
5.065. Дан правильный пятиугольник ABCDE. Разложить векторы
ТВ и "ЖЕ по векторам "JC и ~АЪ.
5.066. Найти длину биссектрисы AM треугольника ABC, если АВ— с,
АС=Ья LA = a.
5.067. Точки М и N — середины отрезков АВ и CD. Доказать, что
MN<- (AC+BD), MNtZ- (BC+AD).
5.068. Дан треугольник А ВС; М — точка пересечения его медиан.
Доказать, что ОМ<- (ОА + ОВ+ ОС), где О — произвольная точка про-
пространства.
5.069. В тетраэдре ABCD медиана DDt грани ADB делится точкой
М в отношении DM: MDt = 3:7. Разложить вектор СМ по векторам НА,
VBVD
5.070. Дано: прямая треугольная призма АВСАХВХСХ; ~ЕЕ[=а.
~БС=Ъ и ВА=с; О — точка пересечения медиан треугольника ABC.
Разложить А.О по векторам а, Аи с.
5.071. Ребро Jcy6aABCDAiBiClD1 равно 1. Найти угол между век-
векторами TJN и "ПС, если МеАЛх и АМ:МА1 = \:2; NeCCt
и CN:NCt =2:1.
5.072. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDAXBXCXDX; AD=a,
DC=b, DD,=c. Найти острый угол между прямыми BDX и AXD.
5.073. Дан тетраэдр ABCD я точка М в плоскости его грани ABC.
Доказать, что для разложения DM = аПА+pvji+y'D~C выполняется раве-
равенство а+р+у=\.
5.074. В тетраэдре О ABC плоские углы трехгранного угла при вер-
вершине О — прямые. Точка Н — основание перпендикуляра, проведен-
проведенного из вершины О к плоскости грани ABC. Разложить вектор ТТЛ по
векторам VA, TJB и "ПС, если ОА=а, ОВ=Ъ, ОС=с.
5.075. При каких значениях аи/J вектор 3C; — 1; а) перпендикулярен
вектору ЪB; Р; 1), если |5| = 3?
115

5.076. Даны три вектора "а, Ъ, с. Доказать, что вектор Eс)а—(ас)Ъ
перпендикулярен вектору с.
5.077. Доказать, что треугольник с вершинами АF; —4; 2), ВC; 2; 3),
СC; — 5; — 1) прямоугольный. _
5.07^ Даны единичные векторы т, л и р такие, что m ±л, Ъ±.р и угол
между т я_р равен _60°. Найти скалярное произведение векторов
д=3»1—2л+^ ио= — 2/я+л— р.
5.079. В треугольнике уШ7 дано: ZB=4?+27, ЖГ=3?+4/, где
i и у — единичные взаимно перпендикулярные векторы. Доказать, что
треугольник ABC прямоугольный, и вычислить его площадь.
5.080. Стороны треугольника ABC связаны соотношением
а2 + 62 = 5с2. Доказать, что две медианы треугольника перпендикулярны.
Верно ли обратное утверждение?
5.081. На сторонах ВС, СА и АВ равнобедренного прямоугольного
треугольника ABC (Z.C=90°) даны соответственно точки Л1( Вх, Сх.
Доказать, что отрезки CCt яА1В1 перпендикулярны и равны, если точки
Ах, Вх, С, делят стороны треугольника по обходу в равных отношениях.
5.082. В треугольнике ABC дано: АВ=ВС; D — середина стороны
AC; DK перпендикулярна ВС; точка М — середина отрезка DK. До-
Доказать, что прямые АК и ВМ перпендикулярны.
5.083. Даны вершины треугольника: М{\; 1; 4), JVA; 4; 4) и КC; 3; 2).
Дохазать, что 0NLMK, где О — середина стороны МК. Определить вид
треугольника.
5.084. Даны два вектора Ш(-1; 2) и ZJB(-4; -2), где О — начало
координат. Найти длину отрезка АВ, площадь треугольника ОАВ и дли-
длину медианы ОМ. _
5.085. Дан вектор дA; —2; 5). Найти координаты вектора Ъ, лежаще-
лежащего в плоскости хОу и перпендикулярного вектору 3, если Щ=2\/5.
5.086. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам
5=/+у+23Е и 5=2i+y'+)E.
5.087. Доказать, что если биссектрисы двух плоских углов трехгран-
трехгранного угла перпендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла
перпендикулярна каждой из них.
5.088. Дано: куб ABCDAlBlC1Dl (вершины основания ABCD рас-
расположены по ходу часовой стрелки); К — середина ребра AAY; H — се-
середина ребра AD; M — центр грани CCtDiD. Доказать, что прямая КМ
перпендикулярна прямой j?j/f.
5.089. Найти объем треугольной пирамиды, построенной на век-
векторах ТТЛ, TJB и UC, если \Ш\ = 5, |ОВ|=2, [DC| = 6, Ш Ш=0,
Ш. ¦ 77Г=О, TJB ¦ VT=S.
5.090. Пусть 1,],Тс — единичные векторы, направленные вдоль коор-
координатных осей, и a=2»+y+3afc, Ъ=а21+Ц—37с. Прн каких значениях
а векторы а и Ъ перпендикулярны?
5.091. В треугольнике ABC точка N лежит на стороне АВ
и AN=3NB; медиана AM пересекается с CN в точке О. Найти АВ, если
AM=CN=1 см и LNOM=60°.
5.092. В ромбе ABCD длина стороны равна б, а величина угла BAD
равна я/3. На стороне ВС взята точка Е такая, что ЕС'=2. Найти
расстояние от Е до центра симметрии ромба.
5.093. В параллелограмме ABCD точка К — середина стороны ВС,
а точка М— середина стороны CD. Найти AD, если АК=6 см, АМ=Ъ
сми LKAM= 60°.
5.094. Найти длину медианы AM треугольника ABC, если АВ= 10
см, АС=Ь см и LBAC=60°.
116

5.095. Даны два вектора: 7Цх; 1; — 1) и 5A; 0; 1). При каком значении
х справедливо равенство (а+35J = (а—25J?
5.096. Дан треугольник ABC; АВ=А см, АС=% см, Z.&4C*=60°.
Найти длину вектора IN, где NeBC и BN: NC= 3:1.
5.097. В куб вписана сфера. Доказать, что сумма квадратов расстоя-
расстояний каждой точки сферы до вершив куба не зависит от выбора этой
точки. Найти эту сумму.
5.098. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квад-
квадратов расстояний точки окружности до вершин квадрата не зависит от
выбора этой точки. Найти эту сумму.
5.099. Около квадрата описана окружность. Доказать, что сумма
квадратов расстояний точек окружности до вершин квадрата не зависит
от выбора этих точек. Найти эту сумму.
5.100. Дан прямоугольник ABCD. Доказать, что сумма квадратов
расстояний любой точки пространства до вершин А и С равна сумме
квадратов ее расстояний до вершин В и D.
5.101. Доказать, что в прямоугольном параллелепипеде
ABCDAlB1C1Dx сумма квадратов расстояний любой точки пространст-
пространства до вершин А, Вх, С и Ъх равна сумме квадратов ее расстояний до
вершин Ах, В, Сх и D.
5.102. В окружность вписан треугольник ABC. Прямая, содержащая
медиану ССХ треугольника, пересекает окружность вторично в точке D.
Доказать, что СА2 + СВ2 = 2ССХ ¦ CD.
' 5.103. Даны векторы дB; -1; 3), 5A; -3; 2), сC; 2; -4). Найти
вектор Зс, если ~ха— — 5, Зс5= —11, Зёс = 2О.
5.104. Даны векторы а= C; 2; 2^и 5=A8; -22; -5). Найти вектор Зс,
если он перпендикулярен векторам а и 5, образует с осью Оу тупой угол,
а его длина равна 14..
5.105. Найти скалярное произведение векторов АК и BL, если АК
к BL — медианы равнобедренного треугольника ABC, площадь которо-
которого равна S, а Л Л = 120°.
5.106. В равнобедренном треугольнике ABC с площадью S проведе-
проведены высоты AM и BN. Найти скалярное произведение AM ¦ B~N при
условии, что точки М и N лежат на боковых сторонах треугольника,
а длина его основания равна с.
Ъп 1 -т2
5.107. Пусть вектор а имеет координаты и , а вектор
1 +пг 1 +тг
I-*2 Ik
Ъ — координаты —— и ——. Доказать, что оба вектора единичные:
I тЛ 1 т~Л»
|5| = |5|=1. Используя свойство скалярного произведения |д -5|<|а| ¦ |5|,
1 (m+k)(l-mk) 1
доказать справедливость неравенства —<<
2 A+/п2)A+**) 2
5.108. Найти модуль проекции вектора аG; —4) на ось, параллель-
параллельную вектору 5(-8; 6).
5.109. Доказать, что для любых четырех данных точек А, В, С,
D имеет место равенство А~В ¦ ТВ+АС ¦ ~DB+A~D ¦ 5С=0.
5.110. Доказать, что если суммы квадратов противоположных ребер
тетраэдра равны, то эти ребра попарно перпендикулярны.
5.111. Доказать, что если в тетраэдре ABCD противоположныереб-
ра попарно перпендикулярны, то AB2 + CD2 = AC2 + BD2=AD2 + BCi.
5.112. Дан пятиугольник ABCDE; точки М, N, PnQ — середины его
117

сторон АВ, ВС. CD и DE. Доказать, что если U а V— середины МР
и NQ, то вектор W коллинеарен вектору ~ЖЕ. Найти отношение АЕ: VV.
5.113. В окружность с центром О вписан четырехугольник ABCD,
диагонали которого, пересекающиеся в точке Р, взаимно перпендикуляр-
перпендикулярны. Доказать, что середины сторон АВ и CD, центр О и точка Р являют-
являются вершинами параллелограмма.
5.114. Доказать, что сумма квадратов длин всех ребер параллелепи-
параллелепипеда равна сумме квадратов длин всех его диагоналей.
5.115. Даны точки A t@; 1; 2), А2{\; 2; 4), Bt(-1; -1; 3), В2A0; 0); Мх
и М2— середины отрезков А^Вх и А2В2. Найти вектор МХМ2 и его
модуль.
5.116. Даны вершины треугольника: А(— 1; 1); В(—5; 4) и СG; 2).
Найти скалярное произведение ~А~В ¦ ~ХС и площадь треугольника.
5.117. Даны три ненулевых вектора а, Ъ, с, каждые ^цва из которых
неколлинеарны. Найти их сумму, если (д+5)||с и E+с)||а.
5.118. Дан параллелограмм ABCD; 7СВ\ЩС, К — середина ВС,
Р — середина DC. Выразить сумму векторов ~А~В и ~СВ~ через векторы
А~К=аяА~Р=Ъ.
5.119. Единичные вектор_ы «,, ?2, 13 удовлетворяют условию
*i +*2+*з =^- Найти г,г2 +г2с3 + в3«1 •
5.120. Дана неплоская замкнутая линия ABCD. Доказать, что если
LABC= LDAB=90° и DA = CB, то /.ЛХ>С= А^О).
5.121. Найти отношения, на которые точка Р пересечения биссектрис
треугольника ABC делит каждую биссектрису, если ВС=а. СА=*Ъ,
АВ=с. '¦
5.122. Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах ТЫ,
UB и UC, равен у/\5. Определить длину вектора "ПС, если "ЛЯ ¦ UB= 1,
VX . TFC=Q, VB ¦ ?7С=0, |in|=|Z7S|=2.
5.123. Объем треугольной пирамиды, построенной на векторах ТЫ,
ТГВ и TJC, равен ^3/3- Определить Т7А TJC, если |ПВ| = 2, Щ|=1,
|Z7C|=3, ПВ 17Л=0, Z7B 77С=О.
5.124. Найти объем треугольной пирамиды, построенной на ъж.-
торах 172. ГЕВ и РГ, если |ОЛ|=|РД|=|Рс| = 5,173 ¦ Z7S== 0, ZZi DC=0,
ZZ5 Z7C=20.
5.125. На плоскости заданы точки А(~6; —1), 2?(—4; —4),
С(—1; —6), D{—3; —3). Доказать, что ABCD — ромб, и вычислить его
площадь.
5.126. Дан треугольник ABC; "А~В ~ВС=$, Р!В| = 10, |ВС| = 6. Найти
длину высоты, опущенной из вершины В. Является ли угол ABC острым
или тупым?
5.127. Даны вершины тэтраэдра: ЛC; -2; 1), ВC; 1; 5), СD; 0; 3), D@;
0; 0). Медианы граней ADB и BDC пересекаются в точках М, и М2.
Найти отношение АС: М1М2-
5.128. Даны координаты вершин пирамиды: 5@; 0; 2), А@; 0; 0),
.5A; 0; 0), С@; 1; 0). Найти координаты точки А/, лежащей на оси Oz,
и координаты точки iV, лежащей в плоскости SBC, если известно, что
ШГA/3; 1/3; 0).
5.129. Доказать, что для всякого треугольника ABC выполняется
неравенство cos 1А+cos 2В+ cos 2О - 3/2.
5.130. Дан треугольник ABC. Прямая / пересекает прямые ВС, СА,
АВ в точках At, Bt, С,. Доказать, что векторы ~А~В+АХВХ, ~БС-\-В1С1,
CA + CtAt коллинеарны.
118

ПРИЛОЖЕНИЯ
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Требуемые вычисления следует производить, не пользуясь техническими
средствами: калькулятором, счетной линейкой, таблицами и т. п.
Вариант I
1. Упростить выражение
Х~Х . V*+l ,„ Г
х+ух+1 X-J х— 1
и найти его значение при х=1.
( Л 3
2. Найти tga, если tg I a— )=-.
\ 4/ 4 ,
3. Решить уравнение 4*~1—3 • 2*=1.
4. Найти /(я/4), если Дх) - 2>Д sin3 x.
5. Основание равнобедренного треугольника равно 30, а высота, проведенная
к боковой стороне, равна 24. Найти длину боковой стороны.
6. Найти сумму корней уравнения Дх)+4/(х)=0, evmflx)='S/xi—бх+10.
пх
7. Найти произведение корней уравнения cos — =1, принадлежащих отрезку
[я, Зя].
8. Найти целое число, удовлетворяющее системе неравенств
Jlog1/2B*-3)>-3,
(y-4*>0.
9. Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 5у 2, проведены две
наклонные, образующие с плоскостью углы в 45°, а между собой угол 60°. Найти
расстояние между основаниями наклонных.
10. Вектор а(х; —1; 2) перпендикулярен вектору 7A; 2;0). Найти модуль
вектора а.
Вариант II
1. Вычислить D"lws-
2. Вычислить значение выражения x—y+2z, если х+у=А, y+z=8, x+z—6.
1
3. Решить уравнение — Ig2»lgB"K—2).
4. Сколько корней уравнения sinx+cos?jr=0 находится на отрезке [—л, Зя]?
5. Дано: tga=3/4; 0<а<я/2. Вычислить значение выражения 25 sin1 a cos a.
119

6. Найти длину отрезка, на котором выполняется неравенство ^
7. Сколько раз пересекает ось абсцисс график функции Дх)—хэ+3ха
8. Сумма седьмого и одиннадцатого членов арифметической прогрессии
равна 10, а сумма пятого и десятого членов равна 1. Найти сумму 20 первых
членов.
х г
9. Вычислить/A), еслиЛх)-— Jx.
х* + \
10. Боковая сторона равнобедренной трапеции в 3 раза длиннее меньшего
основания. Биссектрисы тупых углов этой трапеции пересекаются в точке, лежа-
лежащей на основании. Найти отношение площади трапеции к площади треугольника,
образованного меньшим основанием и биссектрисами.
Вариант III
1. Решить уравнение ^/Зх+1 —ух—1 —2.
2. В треугольнике с основанием 15 см проведен отрезок, параллельный
основанию. Площадь полученной трапеции составляет 75% площади треуголь-
треугольника. Найти длину этого отрезка.
3. Упростить выражение
sinF0o + a)
тем найти его значение, если sin I 30°-I— 1=0,8, 0°<a<90°.
4. Решить уравнение Ig2A00x)-lg2A0x)+lgx=9.
5. Найти наименьшее из отрицательных решений неравенства
/з+2х г
/—>-v3-
V 4-х V
6. Сколько корней, не превосходящих по абсолютной величине я, имеет
уравнение 1+ctg2 I—1-х j=cos*x—sin*x?
7. Решить уравнение I-) ~(~) ~^-
8. Отношение среднего арифметического двух положительных чисел к сред-
среднему геометрическому этих чисел равно 13/12. Найти отношение большего из
заданных чисел к меньшему.
9. Дано: cos За=2/3. Вычислить значение выражения 81 cos2 I 6a—
10. Доказать, что функция Дх)=sin2 2х+0,5 cos4x+2sm2x+cos2x принима-
принимает одно и то же постоянное значение при любом значении х, и найти это значение.
Вариант IV
1. Вычислить значение А=2"-10е, где B=l/logg2, C=2/log210.
2. Найти значение х, удовлетворяющее уравнению
10х:фу=2*3 .4-*'3:Уб4.
3. Решить уравнение 2^/х—2—15=^х—2.
120

4. Найти наибольшее значение х, при котором верно неравенство
5. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна 16, а диа-
диагональ равна 20. t^, ,
6. Найти х в градусах, если 0°<х<270° и sin(90o-t-2x)+smx-0. *""*¦"
,/ 5я\ а 1
7. Вычислить значение выражения 49:tg2 1 ос+— I, если sin -¦¦-.
8. На двух станках требовалось обработать по 150 деталей, причем на
первом из них обрабатывали в час на 5 деталей больше, чем на втором. На
первом станке работа была начата на 1 ч позже, чем на втором, и, кроме того, она
была прервана на 30 мин. Однако на обоих станках работу выполнили к одному
и тому же сроку. Сколько деталей в час обрабатывали на каждом ставке?
9. Решить уравнение
6-х х+3 х + 5
10. Решить уравнение;
1-х2 хA-х) хA+х)
Вариант V
1. В уравнении х^ + Лх—12—0 один из корней равен 3. Найти значение
коэффициента Ь.
2. Упростить выражение Bx1/2->>~1'*X2x!'J-t-.)'"/*) и вычислить его значе-
значение при ж»» 1,2 и у 4. ,
3. Найти сумму корней уравнения 2х ~3 ¦ 5^~3 = О,О1 (Ю*)*.
4. Решить уравнение ^2,1х+1»х-1.
5. Найти сумму целых значений х, удовлетворяющих неравенству х2-3х<4.
6. Используя формулы тождественных преобразований, вычислить
cos 50" сое 40°-2 sin 50е sin 20° cos 20е.
7. Найти наименьший корень уравнения 2 cos2x— 3 sinx-0, лежащий в ин-
интервале @°, 90°). Ответ записать в градусах.
8. Площадь равнобедренной трапеции 180 см1. Длина средней линии равна
45 см; длина боковой стороны 5 см. Найти длину меньшего основания трапеции.
9. Высота конуса равна 3; угол между высотой и образующей равен 45°.
В этот конус вписан другой конус так, что его вершина совпадает с центром
основания первого конуса, а соответствующие образующие конусов перпендику-
перпендикулярны. Найти объем вписанного конуса (положить л»3,14 и округлить ответ до
сотых).
10. Вычислить /(я/2), если Дх)-0,5 einx tg2x+2,5 cosx.
Вариант VI
_ 5-2J6
1. Вычислить -
2. Решить уравнение 2x+-J3x-2-3.
17 2
3. Найти число целых решений неравенства 54 < .
х-2 х+3
4. Решить уравнение logsx+log5(x—4)-1.
5. В равнобедренной трапеции основания равны 24 и 10, а радиус описанной
около нее окружности равен 13. Найти высоту трапеции при условии, что центр
описанной окружности лежит вне трапеции.
6. Найти сумму квадратов наибольшего н наименьшего значений функции
Д*)-*'-Зд:+Зх+2 на отрезке [-1, 2].
7. Найти число решений уравнения tin Зх-cos Зх-0 на отрезке [0, л].
121

8. Сумма четвертого и пятого членов геометрической прогрессии равна
20, а сумма третьего и четвертого членов равна 5. Найти шестой член этой
прогрессии.
9. Металлический шар радиуса R*=\/2 переплавлен в конус, площадь боко-
боковой поверхности которого в 3 раза больше площади основания. Найти высоту
конуса.
10. Решить уравнение 2(агсяпхJ+я2=3я arcsinx.
Вариант VII
7я
1.Вычислить( /(V5—) -3/[ -л/5 ) 1 -J2 sin
4
4-х 4
2. Найти все целые значения х, удовлетворяющие неравенству > 1 —.
х—5 х
3. Решить уравнение <Jx3 + 8 -t~y/x3+8 = 6.
4. Найти корни уравнения 21+log>*-t-41+log**=110.
5. Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3 см н углом 60° вращается
вокруг меньшего основания. Найти объем тела вращения и записать ответ,
округлив его до ближайшего целого числа.
6. Сколько корней уравнения cos2 2x+cosJ 6х=1 находится в промежутке
[-я/8, я/2]?
7. Найти координату середины отрезка, на котором справедливо неравенство
8. Найти два числа, если их среднее арифметическое на 16 меньше большего
из этих чисел, а среднее геометрическое на 8 больше меньшего из них.
/л/г cos а-2 sinD5o-a)\«
9. Упростить выражение I -= } .
\2 sJnF0° + a)-V3 cosJ
10. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у
ласти ее определения.
Вариант VIII
1. Решить уравнение \Jx—4 +-^/х+24 = 14.
2. Упростить
) : ; а>*>0.
+Ja2-b2 a-Jtt-Ь1/ (Sbf
3. Найти больший корень уравнения
lg2A00x)+lg2A0x)= 14-Hg -.
х
4. Найти наименьшее положительное целое х, удовлетворяющее неравенству
5. Вычислить cos 2a, если tga=0,75.
6. Найти корень уравнения sin х-1=0,5 sin 2x—cosx, лежащий в интервале
0°<х<180°. Ответ записать в градусах.
7. В равнобедренном треугольнике высота относится к основанию как 3:4,
а боковая сторона равна 2>/39 см. Найти площадь треугольника.
8. Металлический цилиндр с диаметром основания rf=4 см и высотой А—4
см переплавлен в шар. Вычислить радиус этого шара (считать ^/12» 2,3).
122

9. Число 26 разбить на такие два слагаемых, чтобы сумма их квадратов была
наименьшей.
10. Решить уравнение 0,125 ¦ #*-*-(-^ ) .
Вариант IX
1. Вычислить
2. Вычислить Зх+y+z, если х+у+2г=1Л, 2*+>>+z=10, x+2y+z<=12.
3. Решить уравнение Iog2A7-2x)=4-x
4. Вычислить значение 10* прн x=lg 12-f-(l°g* Ю)~'¦
5. Дано: ctg2a = 3/4, 0<а<я/2. Найти cos2 a.
6. Сколько корней уравнения sinx+cosx= 1,4 находится на отрезке [—я, Зя]?
7. Найти координату середины отрезка, на котором выполняется неравенст-
неравенство Зу/х+1—у/х+1>2.
8. Восьмой член арифметической прогрессии равен 2, одиннадцатый член
равен 11. Сколько членов прогрессии, начиная с первого, надо взять, чтобы их
сумма была равна 30?
9. Найти квадрат наибольшего значения функции J[x)=sin x+cos x.
10. Через вершину конуса проведена плоскость, составляющая с плоскостью
основания угол, косинус которого равен 1/3, и отсекающая на окружности основа-
основания дугу в 90". Расстояние от центра основания до этой плоскости равно 2/у/п.
Найти объем конуса.
Вариант X
х-1 Зх 5
1. Решить уравнение — = —.
х 2х-2 2
2. Найти х в градусах, если 180°<х<360° и cos2A80°+x)+3 cos2(90°-t-x)=2.
3. Найти наибольшее значение х, при котором справедливо неравенство
4. Решить уравнение 2^/Здс+0,1 = 3^/Зд:+0,1 — 1.
5. Разность длин оснований трапеции равна 14 см; длины боковых сторон
равны 13 и IS см. Вычислить площадь трапеции прн условии, что в эту трапецию
можно вписать окружность.
6. Моторная лодка прошла 60 км против течения реки и 60 км по течению,
затратив на путь против течения на S0 мин больше, чем на путь по течению.
Найти скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна 21 км/ч.
7. Найти число х, если
8. Вычислить значение выражения 27 cos* 2a, если cosCn-4a) = 2/3.
9. Найти сумму и произведение корней уравнения
10. Вычислить значение А, если А =4", где ^=log25 +loglD10.
123

Вариант XI
1. Найти число х, если
n/27 • (l/3)s
2. Решить уравнение 2*~'+2*~2-t-2*-3=448.
3. Решить уравнение lg(lgx)+lgOgx3—2)=0.
4. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна
32 см2. Найти длину боковой стороны, если угол при основании трапеции
равен я/6.
5. Найти синус большего острого угла прямоугольного треугольника, если
радиус окружности, описанной около треугольника, в 2,5 раза больше радиуса
вписанной окружности.
6. Упростить выражение
/Зя \ /Зя \
tgGt-a)tg I— +a +sinB7t-a) cos Ya -cos2(n-a).
\2 / \2 J
7. Вычислить (O.OOl'^-'+O.Ol1*0^0'5) . 2,7.
8. На ребре двугранного угла в 120° взят отрезок АВ=Ъ см; из его концов
в различных гранях с нему восставлены перпендикуляры АС = \ см и BD=2 см.
Вычислить расстояние между точками С и D.
X
9. Дано: Ях)= +2. Найти сумму корней уравнения Mx)=F'(x).
2-х
10. Найти площадь треугольника, образованного отрезками осей Ох и Оу
и прямой, проходящей через точки @; 4) и D; 2).
Вариант XII
1. Найти число 2х, если
V2)
2. Найти значение выражения х^+у2, если 2х+у=2, х+3у=3.
3. Решить уравнение logj^x-l)+log1/2(x+l)-log,^ G-x)= 1.
4. Сколько целых значений х удовлетворяет неравенству x2
5. Решить j-равнение 2*+3 . 2х+2 = 6,5.
6. Найгн значение выражения tg215°+4 tg60°.
7. Сколько корней уравнения sinx—sin 2x+sin Здс=О находится в промежут-
промежутке [0, я]?
8. Шестой член арифметической прогрессии в 4 раза меньше девятого члена,
а их сумма равна 20. Найти сумму девяти первых членов прогрессии.
9. Найти тачки экстремума функции J[x)=x In x.
10. Через вершины произвольного четырехугольника проведены прямые,
параллельные его диагоналям. Найти отношение площади параллелограмма,
образованного этими прямыми, к плошадн данного четырехугольника.
Вариант XIII
1. Найти число Здс, если
H)
'=\/б+2>/5
' 2. Найти значение выражения х2— у, если 2х— 5у=0, х+ 10у
124

X Вычислить значение 5* при -зс=1о^ 1б-(- l,Slog1/3 3—lg-^5— Igy2.
4. Вычислить длину отрезка, на котором выполняется неравенство х1
5. Решить уравнение 4 ¦ 5*-5~*+lglOO«5.
6. Упростив выражение, вычислить cos 20°—sin 20° ctglO".
7. Сколько корней имеет уравнение cosjc— cos3x— sin2*=0 на промежутке
[0, я]?
8. Исследовать функцию Дх)=д. +3jc — 5. Сколько раз ее график пересекает
ось 0x1
9. Сумма шестого и девятого членов арифметической прогрессии равна 20,
а их произведение равно 64. Найти десятый член этой прогрессии, если ее первый
член отрицателен.
10. Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Найти отношение
объема конуса к объему вписанного в него шара.
Вариант XIV
1. Упростить выражение
jT6-64 1 4.^B*+1)
16+4jr2-jT* A-Ax-i + x'2 1-2*
2. Упростить выражение
A+ -Kg2a)(l- -Hg2a).
\ cos 2a / \ cos 2a /
3. Решить уравнение 1,5 • 4*+0-5=6*-)-2 • У'0-5.
4. Сумма первого, третьего и пятого членов арифметической прогрессии
равна — 12, а их произведение равно 80. Найти первый член at н разность
d прогрессии, выбрав наименьшее значение а±.
х—\
5. Найти сумму всех целых решений неравенства log1/2 > — 1.
1-х
6. Найти число решений уравнения /у(д:) = 0 на отрезке [0, 2я], где Дх) =
=4sin2jt—3cos2jc— IOjc. _
7. В равнобедренном треугольнике длина боковой стороны равна 4>/10,
а длина медианы, проведенной к боковой стороне, равна 3^/10. Найти длину
основания треугольника.
8. При каком значении параметра а уравнение \х2—2х—3\=а имеет ровно
три решения?
9. В треугольной пирамиде ABCD грани ЛВС и BCD — правильные тре-
треугольники с заданной высотой. Угол между этими гранями равен q>. При каком
значении l/cos<p площадь полной поверхности пирамиды явлется наибольшей?
10. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе
у=х1—Зх+4 из начала координат, при условии, что абсцисса точки каса-
касания — число положительное.
Вариант XV
1. Решить уравнение
2 1 х-А
+ -- =0.
*2-4 х2-2х
2. Вычислить Л = 5*. где B=21og258 + log1/55.
3. Найти наименьшее х, при котором справедливо неравенство
х-3 (Ух^5J
2 > х-6 •
125

4. В бассейн проведены три трубы. Первая наполняет его на 4 ч дольше, чем
вторая, а вторая — за 1/3 времени, необходимого для наполнения бассейна
третьей трубой. Если все трубы будут действовать одновременно, то бассейн
наполнится за 4 ч. За сколько часов первая и третья трубы, действуя раздельно,
могут наполнить бассейн?
5. Решить уравнение
^2ДГ4 • 9*=(х2-Зх)9*+4 • <r*~'.
(S/4) . 161'2
6. Найти число х, если !5Ц= =A6I'e . 4'2.
7. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна средней линии, а пери-
периметр равен 48. Найти длину боковой стороны.
, /я \ я 1
8. Вычислить значение выражения 4tg I —j- ос I, если sin -=—=.
\2 ) 2 ф
9. Решить уравнение хух+16=8^/х2, х>0.
10. Найти х в градусах, если 0°<х<360° и 2sin2(х+270°)-7sin(x+90°)=4.
Вариант XVI
1. Решить уравнение
х2 • 22л/б-*+4г-* = 16 . J6-\x> . 2-4
2. Найти число х, если
</255/2 _/iy
ф ¦ х\У
3. Найти значение Л, если Л=2В+6С, где B=2j\og= 2 и C=l/log26.
4. Решить уравнение \JM—х=2+^б—х.
6 3 2
5. Решить уравнение — = — 1.
х2-! х-Н х-1
/Пя \ /Зя \ 1
<». Вычислить значение выражения 16sin I 2а I, если sin I 4а 1=-.
7. Две окружности равного радиуса касаются в точке С внешним образом.
Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса 6,5
в точках Аи В соответственно. Найти площадь треугольника ABC, если АВ=5.
8. Найти наибольшее значение х, при котором верно неравенство
xJ+x-45 Зх+1
9. Найти х в градусах, если 90°<х<270° и 3cos2(x+270°)+sin2(x+ 180°)=l.
10. В первую поездку автомобиль израсходовал 10% бензина, имеющегося
в баке, затем во вторую поездку — 25% остатка. После этого в баке осталось
бензина на 13 л меньше, чем было первоначально. Сколько литров бензина
находилось в баке первоначально?
Вариант XVII
х*-х
1. Решить уравнение 7==*-
126

2. В квадрате ABCD точка Е — середина стороны ВС, а точка F— середина
стороны CD. Найти тангенс угла EAF.
3. Найти сумму всех значений параметра а, при каждом из которых уравне-
уравнение (а—2)х2—2^/6 х+а — 1 — 0 имеет ровно один корень.
4. Высота и диагональ равнобедренной трапеции равны соответственно
5 и 13. Найти площадь трапеции.
5. Найти sin а, если ctg I 1=3.
6. Найти сумму всех целых решений неравенства Iog1/3Bx—1)> -2.
7. Найти длину отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной, проведен-
проведенной к линии у=8/х2 в точке ее пересечения с биссектрисой первого координатного
угла.
8. Точка МB; 5) принадлежит параболе у— —х*+ах+5. Найти ординату
вершины параболы.
9. Боковые грани правильной треугольной призмы — квадраты. Площадь
боковой поверхности призмы равна 144. Найти объем многогранника, вершина-
вершинами которого служат центры всех граней призмы.
10. Найти значение числа к, при котором равенство
2 sin 4* (cos* 2x — sin* 2x) •» sin kx
верно при любом значении х.
Вариант XVIII
1. Найти сумму квадратов корней уравнения х(х—д/з)=1.
2. Решить уравнение Iog1/2(log2 х— 1)= — 1.
3. Три целых положительных числа образуют геометрическую прогрессию.
Найти третий член прогрессии, если ее второй член на 1 больше первого члена.
4. Найти наименьшее значение функции f[x) = \tgx+ctg x\.
5. В параллелограмме ABCD (ABICD) биссектриса тупого угла В пересекает
сторону AD в точке Р. Найти периметр параллелограмма, если длина АВ равна 12
FFA 3.
6. Решить систему неравенств
1
7. Высота конуса равна 6. Образующая конуса составляет с плоскостью
основания угол 60 . В конус помещена пирамида, основанием которой служит
равнобедренный прямоугольный треугольник, вписанный в основание конуса,
а вершиной — середина одной из образующих конуса. Найти объем пирамиды.
8. Параметр к квадратного уравнения х1—2Jbr-t-3BJt— 3)=0 принимает сле-
следующие значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Каждому из указанных значений *: соответ-
соответствует то или иное число корней заданного уравнения. Найти число всех корней.
Зх-1
9. Решить уравнение 4arctg — п.
х+3
Дх) 1 ,
10. Найти целый корень уравнения ---—=-, еслиДх)=^/х —Зх+1.
2/ (х) 3
Вариант XIX
1. Найти наибольшее значение функции J[x) = -Jx2 — 6x+16 на отрезке [1, 6].
х2(х-2I
2. Решить неравенство >0. \
i (* + !)
127

3. Найти |х|, если|х-4|+5х--8.
4. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной сторо-
стороне АВ, равна 6; длина диагонали АС равна 2^22. Найти длину стороны AD.
Jx+x+4
5. РАпить уравнение -2.
х-1
1+COSJC
6. Найти число корней уравнения -0 на отрезке [0, 9я].
tg(x/3)
7. Куб с ребром, длина которого 4^/3, пересечен плоскостью, проходящей
через середины трех его ребер, выходящих нз одной вершины. Найти площадь
сечения.
8. Найти л/5 cos(arctg 0,75).
х-3
9. Найти Urn -
x+1-2
ill (-1)"
.« ~ , \ 3 9 27 3"
10. Вычислить
¦G)
Вариант XX
1. Найти значение числа а, при котором система
lx-у х+Зу
+2
+
х+2у х-5у
-3,
5х—у х— \0у
имеет решение.
2. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у—4-х,
уш4+х,у-\х\.
3. Найти
/яп80о+яп40еу
V sin 70" / '
4. Решить уравнение logjBx)- loga x*.
5. В прямоугольном треугольнике отношение катетов равно 0,5. Найти тан-
тангенс острого угла между медианами, проведенными к катетам.
6. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9,
а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найти второй член прогрессии.
7. В результате измерений некоторой величины получены следующие пять
значений: 51; 51,2; 51,4; 52,1; 52,3. Найти такое число х, для которого сумма
квадратов разностей между полученными значениями и числом х была бы
наименьшей. ,
8. Решить уравнение 1.
х
9. Длина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC равна 4. Найти
сумму IS 1С+Ж Ш+Ш ТВ.
10. Найти наименьший положительный угол (в градусах), удовлетворяющий
уравнению 2со»а B70°+а)+7 sin B70°-а)-5.
128

Вариант XXI
1. Решить уравнение у/2х+1+у/хш'5.
2. Длина основания равнобедренного треугольника равна 1Z Радиус вписан-
вписанного в треугольник круга равен 3. Найти площадь треугольника.
3. Найти сумму всех целых положительных решений неравенства
4*-'_2*<1,25.
2sina—cosa
4. Найти tg a. если = 3.
sin a—2 cos a
5. Решить уравнение log2logi/2log,x=0.
fcosnx= — 1,
6. Решить систему уравнений <
Us-5x2-14x = 0.
7. Найти максимум функции Дх)=2Qxj{x2 + 1).
8. Основанием пирамиды ABCF служит правильный треугольник ЛВС со
стороной, длина которой равна 20. Ребро FB перпендикулярно плоскости основа-
основания и имеет длину, равную 5. Пирамида пересечена плоскостью, параллельной
скрещивающимся ребрам АС и FB так, что в сечении получился квадрат. Найти
длину стороны квадрата.
9. Найти расстояние между точками пересечения параболы у=- х1— х—3
и прямой 4x+3j>+9«0.
10. Решить уравнение |х-4|=х.
Вариант XXII
1. Выражение B1og225+lg2)log210 преобразовать к виду (Alog15+BJ.
2. Известно, что точка пересечения прямых 2дс+>>—9 и fcc+5_y«18 принад-
принадлежит биссектрисе первого координатного угла. Найти число к.
3. Величина угла между боковыми сторонами равнобедренного треуголь-
треугольника меньше 60°. К боковой стороне проведены медиана и высота, длины
которых соответственно равны 3\JS и 6. Найти длину боковой стороны.
4. Касательная, проведенная к параболе у^х*— 5x4-10, образует с осью
абсцисс угол 45°. Найти расстояние от точки касания до начала координат.
25 10
5. Решить уравнение 1— »»3.
2+1 J
6. Найти cos2 2a, если sin a-cos а-1Д/5.
7. Пятый член арифметической прогрессии равен 4. Какова должна быть
разность прогрессии, чтобы сумма квадратов второго и шестого членов была
наименьшей?
8. В пирамиде ABCF через медиану ВК основания ЛВС н середину L боково-
бокового ребра AF проведена плоскость. Найти отношение объема многогранника
BCKLF к объему пирамиды ABKL.
9. Найти сумму всех целых решений неравенства 2* +9 • 2 < 10.
я 1 / 1\ V2
10. Решить уравнение — (бх+1)—- arctg 1 + arccos I — I—arcin—.
24 2 \ 2/ 2
Вариант XXIII
1. Сумма модулей корней квадратного уравнения 4х2+кх— 3»>0 равна 2,
причем модуль отрицательного корня больше положительного корня. Найти
число А.
пх 1
2. Найти наименьший положительный корень уравнения log, ctg —(-- — 0.
3. Разность между площадью круга ¦ площадью вписанного в него квадрата
5-363 129

равна 2>/3(я—2). Найти площадь правильного шестиугольника, вписанного
в этот круг.
4. Решить уравнение 2*+л/х+11 =14.
5. Решить уравнение 2х/9 - (sin 15° +tg 30° cos 15°J.
6. Все четыре грани идрямдди — правильные треугольники. Найти расстоя-
расстояние между центрами ее двух граней, если площадь полной поверхности пирамиды
равна 81л/з.
Jx2-x-\2 B*-1'5-ф)
7. Решить уравнение =0.
х+3
8. Найти длину отрезка, отсекаемого на оси абсцисс касательной, проведен-
проведенной к графику функции y=yjx1 +2х+4 в точке с абсциссой, равной —2.
2 + \
+ Х+\
9. Найти целое решение неравенства <0.
х2-\2х+35
10, Найти число корней уравнения sinx+cos2x=0, принадлежащих отрезку
[0, Зя].
Вариант XXIV
1. Найти сумму всех корней уравнения (х2—7х+2)* —Щх2—7х)—26=0.
2. Найти sin2 За, если a=2arctgl — arcsin ———.
2 12
3. В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов АС и ВС соответст-
соответственно равны 12 и 8; точка К — середина медианы BD. Найти длину отрезка С К.
4. Решить уравнение log^/х*4-х3-бх2—7х) = 4.
5. Найти наименьшее значеире'функции J[x)=2x+22~* на отрезке [0, 2].
6. Основанием прямоугольного параллелепипеда ABCDA^X-^D^
{AAjiBBJCCJDD,) служит квадрат ABCD, площадь которого равна 50. Точка
О — центр квадрата ABCD.'точки F и К — соответственно середины ребер ССХ
и A-Jt^. Вектор "UFперпендикулярен вектору D~R. Найти объем параллелепипеда.
7. Вели некоторое двузйайое число разделить на произведение его цифр, то
в частном получится 3, а в остатке 9. Если же к сумме квадратов цифр этого числа
прибавить произведение его цифр, то получится искомое число. Найти это число.
/ я\ л
8. Найти shrx, если tg I хн— 1—2 tgx=2 и 0<х<-.
\ 4/ 2
9. Точка пересечения прямых 2х-у= 10 и Зх+2у-1 принадлежит окружно-
окружности с центром в начале координат. Найти радиус этой окружности.
10. Найти произведение всех целых решений системы неравенств
fxJ-5x-6<0i
jxJ-3x>0.
Вариант XXV
1 / 1\
1. Найти положительные корни уравнения xJ+— +3 х+- )=8.
• Jf2 \ xj
2. Решить уравнение logo,s (х — 12) = — log2 >Jx.
3. В треугольнике ABC величина угла С равна 60°, длина стороны АВ равна
/. На стороне АС отложен отрезок AD, длина которого равна 3. Найти длину
стороны ВС, если длина отрезка BD равна 2у 7. .¦
4. Биссектриса AD равнобедренного треугольника ABC составляет с основ ''
нием АС угол, тангенс которого равен 0,5. Найти косинус vi-пя ЛВС.
130

5^ga координатной плоскости хОу даны прямая х+5у=4 и два вектора
аB; -^-3) и'Б(— 1; 5). На данной прямой найти такую точку М, чтобы вектор ОМ
был перпендикулярен вектору 2а+ЗБ.
6. Основанием четырехугольной пирамиды служит квадрат. Одно из боко-
боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Какую длину должна иметь
высота пирамиды, чтобы радиус шара, описанного около пирамиды, был на-
наименьшим, если объем пирамиды равен 72?
7. Найти наибольшее значение функции Дх)=2япх— cos 2x на отрезке
[я/4, Зя/4].
8. Найти/B), еслиДх)=х1п(х2+2х-7).
9. Найти сумму всех рациональных (в том числе и сократимых) дробей со
знаменателем 2, являющимися решениями неравенства 2*+3 . 22~*<13.
10. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком уравнения х+\у\=2
и осью ординат.
Вариант XXVI
1. Решить уравнение х=2—у—Юх—х2.
2. Пассажир проехал на поезде 120 км и, пробыв на станции 40 мин, вернулся
с обратным поездом, проходящим в час на 6 км больше, чем первый. Общая
продолжительность поездки составила 8 ч. Сколько километров в минуту проез-
проезжает каждый поезд?
3. Найти середину промежутка, на котором выполняется неравенство
4Х2 + 4х+2G2х+1J < 34.
4. Две окружности равного радиуса касаются в точке С внешним образом.
Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса 5 в точках
А и В соответственно. Определить площадь треугольника ЛВС, если АВ=6.
5. Найти х, если
4'3 ¦ 1б2'3 /1\3'*
</б4х
6. Найти сумму и произведение корней уравнения
2х2 • 2 +х ¦ 2*+'=2х2 • 2*+х ¦ 2Л
если cos 2а=
/ , /Зя \\-i
7. Вычислить Л =91 tg2 I 4«]1 ,
2х + 1 Зх 5
&. Решить уравнение 1-
1.
х 2Bх+1) 2
9. Найти х в градусах, если 0°<х<360° и 2 cos2(x+270°)=3 sin(x-t-270°).
10. Вычислить А, если Л=4*+5С, где В- , С= .
2 logs 2 log? 5
Вариант XXVII
1. Найти х в градусах, если 90°<х<270° и sin2 A80°+x)+3 cos2 A80°+x)=2.
2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см, тангенс дву-
двугранного угла при основании равен 4/3. Найти площадь полной поверхности
пирамиды.
3. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел А,
ВъСтврА =62, ?=102 и С=42.
4. В арифметической прогрессии содержится 10 членов. Сумма членов, сто-
стоящих на четных местах, равна 50, а членов, стоящих на нечетных местах, равна 3S.
Определить первый член и разность прогрессии.
131

, x-l
5. Найти корень уравнения log, (лг+Здс—4)—log* .
х+4
6. Вычислить А, если А" 10*+Зс, где Д-2/logj 10 и С- 1/Iogc 3.
sinx+2x
7. Найти значение производной функции Дх)— в точке х«0.
cosx-3
8. Найти середину промежутка, на котором выполняется неравенство
9. Найти квадрат расстояния между точками, координаты которых удовлет-
{х+у~1=0,
х~1+у~1=%.
10. Найти х из уравнения 82'3 • 23 ¦ @,5) . х~1 =27 . 2.
Вариант XXVIII
1. Для перевозки 60 т груза из одного места в другое требуется некоторое
количество машин. Так как на каждую машину грузили на 0,5 т меньше, то
дополнительно потребовалось 4 машины. Сколько машин было затребовано
первоначально?
2. Найти середину промежутка, на котором выполняется неравенство
1-2х
1°&,25 <0,5.
3. Решить уравнение х ш A6—х2—6хI1г—2.
4. Решить уравнение Bх+1) : х+2,5х : Bдс+1)-3,5.
5. На отрезке [0°, 3604 найти число различных корней уравнения
1 3
7+4 sinx : + =0.
cosx cos(90°-2x)
6. Найти сумму и произведение чисел х, у, z, удовлетворяющих системе
{Sx-2y-z=2,
3x+4j--5z-4,
x+3y-2z~-\.
7. Вычислить Л=яп(90°-2х), если anA80°-x) : cosA80°-x)=— 2.
8. Найти коэффициенты к и q уравнения прямой у kx+q, которая пересека-
пересекает гиперболу у»2,4/х в точках с абсциссами х»2 и х=- — 3.
9. Дано уравнение относительно х:
х ¦ У-х ¦ ЗхшУ+1-У+1, где ^-(х+2I'2.
Найти сумму и произведение корней этого уравнение.
(Зх1+2у-к,
10. При каком значении параметра к система уравнений < имеет
единственное решение?
Вариант XXIX
( 7 4
1. Найти число, 3?.% которого равно А"—
132

2. Упростить выражение
(*-a)lg4
За За За За
3. Упростить выражение sin* ——6 sin2 — cos2 —(-cos* ——cos ба+4.
2 2 2 2
4. Даны три вектора а, Б и с, удовлетворяющие условию а— Б—с=0. Зная,
что |а| = 3, |Б|=4 и Н = 5, вычислить Ъс — аЪ—~са.
5. Известно, что при любом л сумма Sn членов некоторой арифметической
прогрессии выражается формулой 5„=5л2—4л. Найти три первых члена про-
прогрессии. , •_
6. Решить уравнение у/х+6—-^3х—26=у/х—6.
7. Найти корни уравнения log2 (9*+ 2+7) - 2+log2 C*+2 +1).
8. Около круга радиуса ^/3 см описана равнобедренная трапеция с острым
углом 60°. Найти длину средней линии трапеции.
9. Найти х в градусах, если -90°<х<90° и sinA80°-x) cos(90°-7x)=
- cos B70° + Зх) sin C60°+5х).
10. Образующая конуса равна 2 см и составляет с плоскостью основания
угол 30°. Найти объем описанной около конуса пирамиды, основанием которой
служит ромб с тупым углом 150°.
Вариант XXX
1. Найти два первых члена бесконечной геометрической прогрессии
@<<7< 1), сумма которой равна 9, а сумма ее трех первых членов равна 26/3.
2. Решить систему уравнений
\^ Ь + Р +2t.
3. Решить уравнение I
4. Найти х в градусах, если —80°<х<80° и 4(sin2xcos52x+
+cos2x sin52x)-t-sm34x=l.
5. Найти целые числа х, удовлетворяющие неравенству
х-12 9
6. В правильной четырехугольной пирамиде длины ее бокового ребра и диа-
диагонали основания равны л/3 см. Найти объем пирамиды.
7. Расстояние между городами Аи В равно 195 км. Из А в В ииз Вв А одно-
одновременно выезжают два поезда и встречаются через 3 ч. Затем они продолжают
свой путь. Поезд из А прибыл в В на 13/14 ч раньше, чем другой прибыл в А.
Определить скорости поездов.
8. Найти значение производной функции у =»3cos [ х+- ) при х= 1.
9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^B^CJi^ диагонали основания
АС и DB пересекаются в точке М я LABD = 60°. Определить скалярное произ-
произведение ~АС ¦ А~Б, если №JZ\ =3 и LBMBt = 30°.
10. Какое число больше: 0og328J или log, 20412?
133

ВАРИАНТЫ БИЛЕТОВ
ДЛЯ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ПИСЬМЕННЫХ ЭКЗАМЕНОВ*
Вариант I
1. Упростив выражение дляДх), найти/(х), если
Дх)=( Ь/П+у/хJ-V- yj 4lo«
2. Решить систему уравнений
Г2-4*+1 у
1 —4*=- У
4*+2 2*+'+4'
3. Число 10 представить в виде суммы двух слагаемых так, чтобы сумма
удвоенного квадрата первого слагаемого и утроенного квадрата второго слага-
слагаемого была наименьшей.
4. Найти все корни уравнения 0,5A + cos2x) cos I——xj—sin3x=
X X
=4sin - cos - , удовлетворяющие неравенству log,,(x+l)>l.
5. Около круга площади S описан ромб с острым углом а. Найти длины
диагоналей ромба.
Вариант II
1. Упростить выражение
/ x+yfa x-yfa tfxl?
- *Га~ iTx-ifa* x-Ja )'
2. Найти область определения функции
8
3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции Дх)=- х3—18хг+28х
на отрезке [0; 1,5] и построить ее график на указанном отрезке.
4. Найти все корни уравнения (sinjt+cosxJ+cos2jc+tg2jc=0, лежащие на
отрезке [—п/2, я].
5. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, радиус окру-
Варианты I—XX предлагались на экзаменах в Московском энергетичес-
энергетическом институте, а варианты XXI—XXXV — в Московском государственном ин-
институте радиотехники^ электроники и автоматики.
134

жности, вписанной в треугольник ЛОВ, равен 2, LBOA—a. Найти
произведение ~5л ¦ ЦБ. v
Вариант III
1. Упростить выражение
2. Решить неравенство
3. Одна бригада может убрать все поле за 8 дней. Другой бригаде для
выполнения той же работы нужно 75% этого времени. Первая бригада прорабо-
проработала один день, после чего к ней присоединилась другая бригада, и обе вместе
закончили работу. Сколько дней бригады работали вместе?
К15я\| / 9я\
хн 1 |=2sin I х-\—1—яп(х-И7я),
/ х ф.
принадлежащие области определения функции у = /cos .
¦у 4 2
5. Радиус вписанной в трапецию окружности равен R. Найти площадь трапе-
трапеции, если ее углы равны 90 и 20°.
Вариант IV
1. Упростить выражение
2. Найти область определения функции
/7*'+161g x + 9Vlg*J-49 /—\
\ J2\gx+l,ns )
x1 x3
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции Дх)=Зх
и построить ее график.
, я /Зя \ я
4. Найти все корни уравнения tg2 - sin x sin I —t-x J+sin2 2x«2 cos2 -, ле-
3 \2 / 4
жащие в интервале (—л/12, я).
5. Найти площадь полной поверхности правильной четырехугольной пира-
пирамиды, длина диагонали основания которой равна а, а боковое ребро образует со
стороной основания угол а.
Вариант V
1. Упростить выражение
\ / Гх .—\2
-4х
135

2. Найти область определения функции
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции Дх)=3х—— х3
и построить ее график.
4. Найти все корни уравнения 0,5(sin3x— smx)=sm2xcosx—4sin3x, лежа-
лежащие на отрезке [—я/3, Зя/2].
5. В правильной треугольной призме ABCAlB1Ci биссектрисы основания
ЛВС пересекаются в точке М. Найтн скалярное произведение MAt ¦ MA, если
длина стороны основания призмы равна а.
Вариант VI
(9-х6 27-х9 х6 V
1. Упростить выражение I -+-
(9-х6 27-
V3-X3 9-
н)
х6 3+xV
2. Найти область определения функции
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции ДхУ—6х—8х3
и построить ее график.
(% \ я
4. Найти все корни уравнения 7 cos (—х 1—tg2 - +cos2jc, лежащие на отрез-
\2 / 3
ке l-Jn/б, 5я/б].
5; В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен а. Найти отноше-
отношение площади треугольника к площади круга, описанного около треугольника.
Вариант VII
1. Упростить выражение (—р г+~г 74 ' @,l)l|(x~0|*t'I).
V2-V* ^2+^xJ
2. Найти область определения функции
3. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции Дх)—0,Зх3—
-O.Olx3 и построить ее график.
я /я \ я
4. Найти все корни уравнения 4sin2 - sin I-+2x j+5cc»2x+tg2 -- -S, ле-
лежащие в интервале (- Зя, я/2).
5. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно / и образует
с основанием пирамиды угол а. Определить объем пирамиды.
Вариант VIII
1. Упростить выражение
136

2. Найти область определения функции Дх)-у log, D ¦ З2* —1)—2х—3.
3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции flx)—l+5x+x1—xi
на отрезке [-2, 0] и построить ее график на указанном отрезке.
1 2cos2x-l 2v/itg3x
4. Найти все корни уравнения Н = —, лежащие
1—tg2x cos2x+sin2x I— tg*2x
в интервале (—2я/3, 7я/18).
5. Периметр основания правильной четырехугольной призмы равен Р, диаго-
диагональ призмы образует с высотой призмы угол а. Найти объем призмы.
Вариант IX
i\1/J / 4 \-1/aV
1. Упростить выражение
2. Найти область определения функции Дх)=*
3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции Дх)=0,5х3+5,25.x2 +
+0,25 на отрезке [—1, 1] и построить ее график на указанном отрезке.
SU1 f-X
V3 /
4, Найти все корни уравнения sin (-+х)— , лежащие в интер-
\3 / п
cos - cos х
3
вале (— я, 2я).
5. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания цилин-
цилиндра. Найти площадь боковой поверхности цилиндра, если образующая конуса
равна / и угол между образующей и высотой конуса равен я.
Вариант X
1. Упростить выражение
iyfa-4
у—
3. Найти трн положительных числа, составляющих геометрическую прогрес-
прогрессию, если сумма первого и третьего членов прогрессии равна наименьшему
значению функции_Дх)=4х2—4х+53 на отрезке [0, 1], а квадрат второго равен
0,5/B5,5).
4. Найти все корни уравнения cos22x=l+sin2x an4x, лежащие на отрезке
/2/2]
5. Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда образует со сто-
стороной основания угол а, а с диагональю параллелепипеда угол /?. Определить
объем параллелепипеда, если длина его диагонали равна /.
137

Вариант XI
1. Упростить выражение
2. Решить графически систему неравенств л
3. Разность между двумя положительными числами равна 4, а разность
между произведением этих чисел и удвоенным кубом меньшего числа принимает
навбольшесзначение. Найти данные числа.
4. Найти.все корни уравнения cos2x+(sinjc+cosjc)J tgx=tgx(tgx-H), лежа-
лежащие на отрезкё[—7я/4, я/4].
5. Высота правильной треугольной пирамиды образует с боковым ребром
пирамиды угол а. Найти объем пирамиды, если площадь ее основания равна S.
Вариант XII
1. Упростить выражение
11/2 ,
— 0,5
2. Решить графически систему неравенств ^ — у+2х>0,
у-х&О.
3. Среди всех равнобедренных треугольников, у которых сумма двух равных
сторон и высоты, опущенной на одну из этих сторон, равна 4 см, найти треуголь-
треугольник наибольшей площади.
/ * V 3
4. Найти все корни уравнения, tg3 х—2tgx—4 I sin- wax I —- A+cos 2x), ле-
лежащие в интервале (—я/2, я/2).
5. В конус вписан шар. Найти объем шара, если высота конуса равна А и угол
между высотой и образующей конуса равен а.
Вариант XIII
1. Упростив выражение ддяДх), найти/(х), если
2. Решить систему уравнений
3. Производительность труда на заводе трижды увеличивалась иа одно и то
же число процентов. В результате число производимых за сутки станков увеличи-
увеличилось с 64 до 125 штук. На сколько процентов каждый раз увеличивалась произ-
производительность труда?
138

г ( 7я\ 7я
4. Найти корни уравнения sin2*+sinх+>/2 sin I x-i— )=cos —, удовлетво-
\ 2/ 4
ряющие неравенству 2 * — 1 >0.
5. Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна 64 см2,
высота пирамиды равна <Ц/2 см. Найти угол между боковым ребром и высотой
пирамиды.
Вариант XIV
1. Упростив выражение ддяДх), найти f(x), если
• 7
2. Решить уравнение 2v/x-lgB5+25>/x-125)=Vxlg4.
3. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна наиболь-
х*
шему значению функции Дх)= 16х+5 на отрезке [2, 6], первый член прогрес-
16
сии равен — 6. Найти знаменатель прогрессии.
4. Найти все корни уравнения
/ (х я\
sinx I l+2sin I —v- 1 cos
V \2 4У
(х я\\ ,4я
I -— I l+sin2 —=0,
\2 AjJ 3
2
удовлетворяющие неравенству x+2n>- x.
5. Основанием пирамиды является прямоугольник с большей стороной, рав-
равной а, я тупым углом между диагоналями, равным а. Длина высоты пирамиды
равна длине окружности, описанной около ее основания. Найти объем пирамиды.
Вариант XV
1. Упростив выражение для Дх), найти fix), если
-1'2 / 1 \-х\1/а / Я у1 , ,
2. Решить уравнение A0-
3. Число 18 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так,
чтобы первое слагаемое было равно третьему, а сумма квадратов всех трех
слагаемых была наименьшей.
4. Найти все корни уравнения ¦
(sinfx-t—j+cos(x+-JJ =0,5A+2 sin2 x),
удовлетворяющие неравенству х1—2кх<0.
5. Тупой угол ромба равен а, расстояние от точки пересечения диагоналей до
стороны ромба равно /?i--Найти объем параллелепипеда, высота которого равна
h и основанием является данный ромб.
139

Вариант XVI
1. Упростив выражение для/х), найти /(*), если
П+Jx t
Дх)-(—^
-25
\ фс 24-х
IgD1+x2+2x)
2. Решить уравнение logt+i(x2+2x+l)=0.
3. Найти число, которое в сумме со своим удвоенным квадратом дает этой
сумме наименьшее значение.
1
4. Найти все корни уравнения — 4tgx= —2, удовлетворяющие неравен-
> cos2x
ству 42х-2">0.
5. Основанием прямой призмы АВСАхВуС^ является прямоугольный тре-
треугольник ЛВС, длина гипотенузы АВ которого равна а и ВАС=а. Найти скаляр-
скалярное произведение СХА ¦ CtC, если САСХ =^.
Вариант XVII
1. Упростив выражение дляДх), найти/(х), если
0,310^2 + 101,^
2. Решить уравнение lg(9*+27)-xlg3=21g2+lg3.
3. Число 9 представить в виде суммы двух положительных слагаемых так,
чтобы произведение квадрата первого слагаемого на второе слагаемое было
наибольшим.
/5я \ я
4. Найти все корни уравнения cos I -— х 1+яп2 x+cosJ - cos 2х=0, удовлет-
удовлетворяющие неравенству у х+я>2у я.
5. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной а.
Одно из боковых ребер перпендикулярно основанию, а каждое из двух других
ребер образует с основанием угол а. Найти площадь боковой поверхности
пирамиды.
Вариант XVIII
1. Упростив выражение дляДх), найти/(х), если
/ ^Дх^+хУх \-i {/х
Я*)=(-^ гЬ=-Ч ~ ,- .—2
f21og3y+logs (x^-4)-1-21og3 2,
X. Решить систему уравнений {2(ад->_4_о.1-о,2х=о
3. Основанием четырехугольной пирамиды является прямоугольник с пери-
периметром 24 см; высота пирамиды равна 9 см. Найти длины сторон основания
пирамиды, при которых ее объем является наибольшим.
4. Найти все корни уравнения sin - (cos2x-2sinJx+l)>«l-(sin2x-cos2xJ,
удовлетворяющие неравенству тиг—д:2>0.
140

5. Площадь осевого сечения конуса равна 5, а угол между образующей
и высотой конуса равен а. Определить площадь боковой поверхности конуса.
Вариант XIX
1. Упростив выражение для/(х), найти/(х), если
Ax)jp. VB
у/2-х
2. Решить систему уравнений
llgBx+>-)+lgBx-y)=lg0>5+2.
3. Первый член геометрической прогрессии равен наибольшему значению
функции Дх)=8^3 х—х2, третий член прогрессии равен _/"Dу 3—6). Найти зна-
знаменатель прогрессии.
sin2x
4. Найти все корни уравнения tg5x=0, удовлетворяющие
2 cos2 х—2 sm2 -
4
неравенству (х2 + 1)(Зх-8)>0.
5. Радиус круга, вписанного в ромб, равен г, угол между высотой ромба и его
большей диагональю равен а. Найти объем параллелепипеда, высота которого
равна h, а основанием служит данный ромб.
Вариант XX
1. Упростив выражение дляДл), найти /(х), если
*»-((
х-"'3+2х-5'э + 1\
2. Решить систему уравнений
3. Отношение двух положительных чисел равно 3, а разность между боль-
большим из них и удвоенным квадратом меньшего числа принимает наибольшее
значение. Найти эти числа.
2я
4. Найти все корни уравнения cos4xcosx-3cos3x=tg sinx sin4x, удов-
удовлетворяющие неравенству lg (9x - Зя+1) > 0.
5. В ромб с острым углом а вписан круг. Найти отношение площадей ромба
и круга.
Вариант XXI
1. Решить неравенство х2—A — х1J > 1.
I 2
2. Решить уравнение 7>/х—1 н— — 15—0.
1\
141

3. Решить неравенство 1 +logCX+ij3 25 • log, A1 — Здс)> .
1
4. Найти все решения уравнения tgx—ctglx^ , удовлетворяющие
l+cos2x
неравенству —0,5<дг<1.
5. В треугольнике АВС сторона ВС =30 см, медиана АК=\5 см, а отрезок,
соединяющий точку пересечения медиан и точку пересечения биссектрис, парал-
параллелен АС. Найти две другие стороны треугольника АВС.
6. При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение? Найти все такие значения а и соответствующие им
решения.
Вариант XXII
б 1
1. Решить неравенство >2.
(х+2){х-У) х+2
2. Решить систему уравнений
3. Решить неравенство 27(81**)
/2sin2 --с
V 2
4. Решить уравнение /2sinJ —cosx=smx+cosx.
5. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла А на
гипотенузу ВС опущен перпендикуляр AD. Пусть O,i O2 — центры кругов,
вписанных соответственно в треугольники ADB и ADC. Известно, что
О1О2=2>/2 см, а периметр треугольника АВС равен 24 см. Найти катеты
треугольника АВС.
6. Решить неравенство
1. Решить неравенство
Вариант XXIII
3-х
1+х
90+2Х-2Х2
90+2Х-2Х ,
2. Решить уравнение . ==-J93+2x—2x*.
у/46 + х-х1
cos2x
3. Решить уравнение =tg бдс.
1+2
4. Решить неравенство log^+j C—2х—^^log^^.! A —Зх).
5. В треугольник АВС вписан ромб, один из углов которого совпадает
с углом А, а противоположная вершина лежит на стороне ВС. Известно,
142

15у/з
что сторона ромба равна 15 см, его высота см, а площадь треугольника
2
ABC равна 240>/3 см2. Найти стороны треугольника, если известно, что угол
А — тупой.
6. При каких значениях параметра а существует единственная пара чисел
(•*; У), удовлетворяющая соотношению
Вариант XXIV
1. Решить систему уравнений
(ху=6,
1
1
х+70 х+10 2jc+13
2. Решить неравенство 1-
2
1
х— 2 х+5
3. Решить уравнение sin2x+-v/6cosx=3cos2x+-v/2sinAc.
4. Решить неравенство
x-^Jx—l x—^Jx — l
256 3 —18 ¦ 16 ' +32<0.
5. В круге проведены две взаимно перпендикулярные хорды А С и ДО,
которые пересекаются в точке Р. Через точку Р и середину ВС проведена прямая,
пересекающая AD в точке N. Доказать, что PN и AD перпендикулярны.
6. При каких значениях параметра а система уравнений
ГМ-.У-21М-11,
имеет нечетное число решений?
ГМ-.У
[2у-
Вариант XXV
1. Решить систему уравнений
3-2
2. Решить неравенство (l+sinx)(sin*— >/3««лг+1)>0.
3. Решить уравнение
5jf + l x-$-1
W Х~Л х-2 Х~г
4. В треугольнике ABC на стороне АС взять точка X, а на стороне ВС — точ-
точка М. Отрезки AM и ВАГ пересекаются в точке G. Найти площадь четырехуголь-
четырехугольника ОМСК, если площади треугольников АОК, АО В и ОВМ равны соответствен-
соответственно 1, 2 и 3 см2.
5. При каких положительных значениях параметров а и b системы уравнений
143

[\x\+b\y-4\ =
имеют одинаковое число решений?
1 8
6. Решить уравнение — — -0.
х+2 2 + 5+6
Вариант XXVI
1. Решить уравнение я2+2A •+sina)x+4—cosJa=0 (a — действительный па-
параметр). ,
\х-^ху21&,
2. Решить систему уравнений \ —
\y-Jxy~-\2.
3. Решить уравнение
4(sinJ*sin2x--v/3sin3*)+- cos2x sin4x=3<Jlsinx cos22x.
4. Решить неравенство logo,5
(x 23\
¦¦'Ы
log2(8x2-10x+3)
5. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BQ О — точка пересечения
высот. Найти величину угла ABC, если ОВ=°АС.
6. Найти все значения параметра а на отрезке [1, 11], для которых больший
из корней уравнения дс2 — 6х+2ах+а—13=0 принимает наибольшее значение.
Вариант XXVII
1. Решить уравнение (х-2)(х+2)(х2+3)+5х2=0.
2. Решить неравенство х—5*]—х+24>0.
3. Решить уравнение
/ п\ ( п\ ( п\
4cos 5хН— cos 4дс+- cos I дс—— =
\ 6J \ 5J \ Зй)
, / п\ ( 2п\ ( п\
=2cos2 х +cos 8*Н— +cos 10л;+- cos2x.
V 30/ V 5/ \ 3/
log,log, jj^
4. Решить неравенство I - I 2 . > 1.
5. В прямоугольном треугольнике ЛВС на гипотенузу Л2? опущена высота
СЕ. На СЕ как на диаметре построена окружность, пересекающая катеты ВС и Л С
соответственно в точках АГ и D. Найти площадь треугольника ЕКВ, если длина
отрезка САГ равна 9 см, а длина отрезка AD равна 27/4 см.
6. При всех значениях параметра а решить систему
(Зх1 + 2а2 +4ху+2ау+5ах=4у2,
1
При каких значениях а система имеет бесконечное множество решений?
144

Вариант XXVIII
3-y/x-l Jx-2
1. Решить уравнение—•= н -= — 1.
/
2. Решить неравенство 1—х*<2|х—1|.
3. Решить уравнение sinx+sin2x+sin3x-cosx-l-cos2x-l-cos3x.
4. Решить систему уравнений
/ + Х» Эху
5. Биссектрисы AM н iW треугольника ABC пересекаются в точке О. Извест-
Известно, что АО=^3 МО, NO=(^3-l) ВО. Найти углы треугольника ABC.
6. При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение?
Вариант XXIX
1. Решить уравнение ( I = 1
2. Решить неравенство \х—1| ¦ \/х2—2х+1>4.
cos4x+l 1
X Решить уравнение = - cos* 2x— 8 sin* x cos* x.
ctgx-tgx 2
1
-3+logj/ -
1-1ов2 7 * 7
4. Решить неравенство A,25) "• >@,64)
5. В трапеции ABCD с основаниями 5С и ^41> диагональ ^С, равная \]Ъ см,
является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю BD в точке G.
Площади треугольников АВО я AOD относятся как 1:3. Найти длины всех
сторон трапеции ABCD, если угол BAD равен 60°.
6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
sin 1-апх]+ч/2'у/з |а|+2~3а2 • cos I- sinx) = 2
разрешимо. Решить это уравнение при найденных а.
Вариант XXX
4
1. Решить уравнение 34
|+1|
2. Решить неравенство (х—2Jяпдс>0. Выписать целые решения, принад-
принадлежащие отрезку [—1, 10].
145

3. Решить уравнение I sm*+2cos i-—x I cos I - + x 11 sin2jc=- cosx.
V \4 / \4 )) 2
4. Решить неравенство x* °g'*+27<28 . 3 ° in".
5. В прямоугольной трапеции ABCD основание АВ в 1,5 раза больше диаго-
диагонали АС. Углы BAD я ADC — прямые, боковая сторона AD равна 4 см. Найти
площадь трапеции ABCD, если диагональ АС является биссектрисой угла DCB.
6. Для каждого значения параметра а решить уравнение
Вариант XXXI
4 1
1. Решить неравенство <2.
B)(+1) +1
{,/*>> +1=2,
у-х=2.
3. Решить неравенство 161 — 1 <х8-
\x2j
4. Решить уравнение ^2+sm3x+sinx=2sin (х+~ I.
5. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла А на
гипотенузу ВС опущен перпендикуляр AD. Пусть Ot и О2 — центры кругов,
вписанных соответственно в треугольники ABD и ADC. Известно, что
/
Ох Ог — 2%j2, а биссектриса прямого угла равна см. Найти катеты треугол
ника ABC.
6. Решить неравенство
Вариант XXXII
I. Решить неравенство хг+{х2—АI <4.
13
I. Решить уравнение 2л/ 1х—\ р7^^^4-11=0.
s/Zr-1
iogT(9-x) 2-'°gv32
3. Решить неравенство 1+ > .
log<9D+xJ Iog5D+x)
4. Найти все решения уравнения
г (l-v/2)cos3x
2V2
cos х—sin x ¦ sin2x
1
удовлетворяющие неравенствам -
146

5. В треугольнике ABC высота AD = 3\J1 см, а радиус окружности, каса-
касающейся ВС и продолжений сторон А В и АС, также равен Зу 7 см. Найти стороны
треугольника ABC, если радиус описанной около него окружности равен
см.
6. При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение? Найти все такие значения а и соответствующие им
решения.
Вариант XXXIII
1. Решить уравнение Iog4 ~x' (sin х+cos х) = Iog4 _ *2 sin x.
2. Решить уравнение *Jl-
sin2x I 5
3. Решить уравнение 1 = 9—ctg2xH HtgJx.
l+cos2x cos x sin2x
4. Решить неравенство log2 |logpcj_i4|<0,5+log4C1og|i|_12—1).
5. В равнобедренную трапецию ABCD вписана окружность, касающаяся ее
сторон в точках Ах, Вх, Cv Dv Известно, что площадь A1B1C1D1 равна 1/8
площади ABCD. Доказать, что угол при большем основании трапеции равен 30°.
6. При каких значениях параметра а уравнение
2 1 Jx
лг+-+-=log2a+a4
х 2 l+x
имеет единственное решение?
Вариант XXXIV
х+2
1. Решить неравенство
2. Решить уравнение
3. Решить уравнение sin3x cos3x+cos3x sin3x = sin3ac sin3x+cos3x cos3x.
/ x x+2\
4. Решить неравенство logos I 3+log « —log, )> — 2.
' \ V5jc+2 x )
5. В треугольник ABC с углом А = 120° вписана окружность, которая касается
стороны ВС в точке Р. На ВС как на диаметре построена окружность и проведен
перпендикуляр к ВС в точке Р до пересечения с этой окружностью в точке АГ,
причем РК=\5 см. Найти площадь треугольника ABC.
6. При каких значениях параметра к уравнение
имеет шесть решений?
147

Вариант XXXV
1. Решить уравнение x=s/x+2.
1 5 27
2. Решить неравенство н—
2tgx
3. Решить уравнение tg3x—tgx= .
cos2x
4. Решить неравенство D ) +(9 ) >13 ¦ б
5. Четырехугольник ABCD вписан в окружность и в него в свою очередь
вписана другая окружность, касающаяся сторон АВ, ВС, CD и AD в точках Av Bt,
Cj, Dv Доказать, что AiC1 и B1D1 перпендикулярны.
6. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет решение. При каких значениях параметра а решение единственно?

РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ, ОТВЕТЫ
ГЛАВА 1
ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
1.001. ? По условию, LC-9O0, AD=30 см, DB = AQ см (рис. Р.1.1). Положим
АС=х, ВС*=у. Так как точка, равноудаленная от сторон угла, лежат на его
х 30 \х 16*2
биссектрисе, то -=—, т. е. у=—. Но х2+у2=АВ2 или дг2н = 702,
у 40 3 9
откуда х2 = 1764. Итак, х = 42 (см), у = 56 (см). ¦
/и, т>/з, 2т.
1.002.
1.003.
1.004.
1.007.
1.008.
1.011:
П Пусть с — длина гипотенузы. Тогда длины катетов равны с — 1
не — 2. Имеем (с—1J + (с—2J = с2 или с2 —6с+5 = 0, откуда с = 5 (см)
(второй корень уравнения не удовлетворяет условию). ¦
60 и 30°. 1.005. 1 см. 1.006. 9^5 и 8,/lO см.
, х Jsi+x2
? Пусть ВС=х (рис. Р. 1.2). Тогда АВ=у/81 +х2и-= (поскольку
BD —биссектриса). Отсюда имеем 25х2 = 16(81 +Х2), т. е. х= 12 (см). Сле-
1 1
довательно, S^abc=- ВС АС=- 12-9 = 54 (см2). ¦
8,64 и 15,36 м2. 1.009. ^3 см. 1.010. J\0 см.
П Так как ААВС — равнобедренный, то высота BD является медианой
(рис. Р. 1.3); далее, точка пересечения медиан делит каждую из них в от-
10
ношении 2:1, откуда АО=— (см). Из AAOJ) находим
Юу г \/28
— J -BV2)J=^—
т- е-
(см). На-
конец, из дВХ)С получим 5С=у(ч/28J+B>/2J=6 (см).
Рис. Р.1.1
и
Рис. Р.1.2
149

Рис. Р. 1.4
36
Рис. Р. 1.5
\.
1.011 2тп/^4т2-п2, 2m2/^4m2-n2. 1.013. 6 см. 1.014. 75 см2.
1.015. ? По условию, DK—средняя линия ААВС (рис. Р.1.4). Так как
BD=DK=- ВС, то LC=30" я BC=2BD. В ABCD имеем CD1 = BC1-BD1
а2
или
а
—=ABB>1-BD1,
откуда
BD =
Следовательно,
1
S=- АС ¦ BD = CD ¦ BD
2
12
1.016. И2 л/з. 1.017. >/41 и 5 см. 1.018. 4 см.
1.019. D Обозначим искомую длину через х. Тогда из подобия треугольников
ЛЯС и L5M (рис. Р. 1.5) имеем АС2 : x* = S : E/2), где S— площадь ААВС.
ОтсюдаЛС2 =2^ и х=\ъф. (см). _
1.020. В 64 раза. 1.021. (^6 + 2) : 1 или (^3 + 1) : 2.
1.022. ? По условию, АВ=с = 30 см, АС=Ь=26 см, ВС=а = 2Ъ см (рис Р.1.6).
Тогда р=0,5(а+6+с)=42, р—а=14, ^—6=16, р—с=12 и по формуле
Герона находим SaAbc=\J^2 • 14 ¦ 16 • 12=336 (см2). Так как
AMNC~AABC, то 5uVA?c: S^abc^CX2 : СД2=4/25=0,16. Отсюда
определяем площадь трапеции:
Sjuim-S&Mc-SAMHC-&6-0,16 ¦ 336=282,24 (см2). ¦
1.023. 13 см. 1.024. 6 см.
1.025. D Проведем радиус в точку А; так как О АХАМ, то ОАХВС и ДО = 6 см.
(рис. Р.1.7). Пусть OA=r, OD=x. Тогда AD=jAB2-BD2 = %, т. е. г+х=8
A). Но OD2 = OB2-BD2 или г2-х2 = 36; так как г2-я2 = (/• + *)(;—*), то
Рнс. Р.1.7
Рис. Р. 1.8
150

г—х = 36/8 = 9/2 B). Решив систему уравнений A) и B), найдем г=6,25
(см). ¦
1.026. 0 и 1,5 см. 1.027. 9 см. 1.028. Зг.
1.029. ? Пусть R — радиус дуги, г — радиус окружности (рис. Р. 1.8). Так как
я 1 1
/_С=-, то R=-ОС. т=-ОуС. Тогда ОС=2Л; с другой стороны,
OC=OO1 + O1C=R+r+2r=R+3r, откуда Л=3г. Следовательно,
1 Зг_
1.030. аЧ^/^-Ь1.1.031. 2 и >Д 1.032. R(^2-l).
1.033. ? Проведем диаметр CD через точку Р (рис. Р. 1.9), которая разделит его
на отрезки PD и СР длиной 11 —7=4и11+7 = 18 (см). Пусть АР=х; тогда
РВ=18-*. Так как АР ¦ РВ=СР ¦ Р2>=4 • 18, то хA8-х)=72 или
х2-18лг+72=0, откуда xt = 12, дс2=6, т. е. хорда АВ делится точкой Р на
отрезки длиной 12 и б см. ¦
1.034. г/8. 1.035. 12 и 20 см.
1.036. П Обозначим радиусы внутренних окружностей через R^ и R2. Пусть
S — площадь самого малого круга; тогда яЛ^=?, nRl=2S, nR2=3S.
, яЛ2 2яЛ2 Л /г
Следовательно, яЛ2= н яЛ2= , откуда Ri=—-^ и Л2 = Л /-. ¦
5
1.037.
яDя2-1)
1.040. П Проведем
-. 1.038.
4я
-. 1.039. яой.
(рис. Р. 1.10). Тогда СВ=- АВ=9 см. Из Д0ЯС
находим OC**JoB2-BC1*'\2 (см), а из ДОМС получим Л/С
5 (см). Следовательно, ^Л/=9 + 5=14 (см), МВ=9-5
1.041. Л-у/3 B-V3)- 1-04i 2 : 3-
1.044. ? Пусть г — радиус меньшей окружности. Тогда O,Oi-r+4, i^iyj^r-t-o
(рис. Р.1.11). Так как ОгО\ = ОхО\л-О^О\, то 10г=(г+4J+(г+бJ или
Р +Юг—24=0, откуда г=2 (см) (корень г= —12 не удовлетворяет усло-
условию). ¦
1.045.
-я)
. 1.046. 3 : 1.
Рис. Р. 1.9
Рис. Р.1.10
Рис. Р.1.11
151

Рис. P.I.12
Рис. P.I.13
1.047. ? Пусть R — радиус данного полукруга, а г — радиус одного из постро-
построенных полукругов (рис. Р.1.12). Тогда площадь заданной фигуры равна
0,5(яД2-я/л-я(Л-гJ)=яг(Л-г). Так как LADB=W, то CD2 =
nCD2
=АС СВ=2г 2(R-r)=4r(R-r), откуда =яг(Л-г), что и требова-
требовалось доказать. ¦
/ Ray
1.048. я .
UW
1.049. D Площадь сегмента АпВ равна разности площадей сектора АО В и тре-
яД2 I R aR
угольника АОВ (рис. Р.1.13). Находим SCCTlA0B= , S^aob-- a —•*—.
яЛ2 aR a
откуда S= ——. Так как Л»—т=, то окончательно получим
3 4 ф
_
а2Dя-3Л/з)
sТб ¦
1.050. a*{n-2)IS.
1.051. П Пусть г — радиус круга, a Sx и S2 — площади сегментов. Тогда
пг2 1 rJl 1
5,= г .-!—=— {^), 1l
1 J
=-
12
г2 {Ап-
. Значит, — =
'S
_ п+3ф
1.051 Л*(я-2)/4.1.053. (n+s/3)R2/2. 1.054. 84 см2.
1.055. ? Треугольник ABC — правильный (рис. Р.1.14); поэтому его площадь
Рис. Р.1.14
Рис. Р.1.15
152

равна
-, где а — сторона треугольника. Проведем ОКХАС. Так как
LOAK-30% то АО=2г,
довательно,
ъ, откуда а<=2г^/з+2г=2г(ф + 1). Сле-
Сле1.056. R1 у/3/2. 1.057. r(V6+V2)A
1.059. D Пусть расстояние между параллельными прямыми равно х (рас. РЛ .15);
тогда площадь S треугольника ABC равна 0,5 ВС ¦ х. Так как OALBC, то
ВМшМС и ВМ МС-АМ Ш>-хBД-.х). Значит, B&IA-xQ.R-x), от-
откуда 5>-0,5х • 2\j2Rx-x1'*x\J2Rx—x1. ¦
1.060. 8 и 15 см. 1.061. 6 и 8 см. 1.062. 18, 24 и 30 см. 1.063. 60 см2.
1.064. D Пусть R и г — радиусы вписанной и описанной окружностей, ВС "а
(рис. 1.16). Положим ДО т х; тогда BL—х (как касательные, проведенные из
одной точки), LA-AK-2R—X (так как ААВС — прямоугольный, то
AB-2R). Имеем АС1+ВС1 -АВ1 или (r+2R-x?+a1-4R*. Но Д-5г/2,
х—a—r и последнее уравнение примет вид Gг—e)a+e15r* или
12г*—7аг+д2—0, откуда rj — а/3, /у»а/4. Этим корням соответствуют зна-
значения (ЛС).—4а/3, (ЛС), «За/4. В результате получаем два решения:
1 4а 2а2 1 За За2
>Sla'7"T"S3aT"T' И
1.065. 294 см2; 12я см. 1.066. 20я см. 1.067. 65/18.
1.068. D Проведем радиусы OD, ОМ и ON в точки касания (рис. Р. 1.17). Имеем
OD-OM-CM-CD и, следовательно, ДО«10-3-7 (см). Но BD-BN
и AN" AM (касательные, проведенные из одной точки). Положим AN-x;
тогда (х+7J-(дс+3J + 102, откуда 8х-60, т. е. х-7,5 (см). Следователь-
Следовательно, /42?—14,5 (см) и получаем ответ: Я«0,5Л2?«7,25 (см). ¦
1.069. 5 см. 1.070. п(р-сJ. 1.071. 25я м2.
1.072. ? Так как L.ABC — прямоугольный и CDLAB (рис. Р.1.18), то
А&-АВ ¦ AD-40 ¦ 25,6 я ВС2-АВ ¦ ДО-40 ¦ 14,4, откуда ЛС-32 (см),
С другой стороны,
64я (см2). ¦
ВС-2А (см) и S^abc--- 32 -24-384 (см2).
2
S^abc "prm 48г. Следовательно, г—8 и •Sipyra" w2«
1.073. 25я см2. 1.074. ф см. 1.075. а{2-ф).
1.076. D Так как Д ABC — равнобедренный и прямоугольный, то высота CD
является биссектрисой, т. е. LDCA— LA—45' (рис. Р. 1.19); поэтому
ADmDC и АСшфюС. Но ЛС-ЛЛГ+.КС-.ОС+г (AK-AD как касатель-
153

Рис. P.I.18
Рис. P.I.19
ные,
одной точки), откуда r=\J2DC—DC, т. е.
проведенные
1С-ф-1. Ш
1.077. 3, 4 и 5 см. 1.078. 80/3 см. 1.079. о>/3 B-,/3)/2.
1.080. ? Проведем BD1AC (рис. Р.1.20); так как ААВС — равнобедренный, то
BD являетса и медианой. Имеем BD2=AB2—AD , откуда
BD=y/392- 152 = 36 (см) и, значит, S=- ¦ 30 . 36 = 540 (см2). Но S=pr = 5Ar,
-10 см. ¦
откуда г»
1.081. 2G+4>/з) см2. 1.082. 8/3, 25/3 и 5 см. 1.083. 285,61я см2.
1.084. ? Найдем длину боковой стороны ВС (рис.
Р.1.21):
BC>*<JbM1+MC2=J62 + S2 = 10 (см). Учитывая, что АО — биссектриса
ААВМ, имеем MO/OB=AMjAB или г/(8-г)=6/10, откуда г=3 (см). Так
как ДЕЦЛС, то ADBE~ ААВС, т. е. DE/AC=BN/BM или Д?/12 = (8-2г)/8,
откуда DE=3 см. ¦_
1.085. 20/3 см. 1.086. ЗЛ2^3/4.
1.088. D По условию, Л—0,5у 12. Сторона АВ правильного вписанного тре-
треугольника (рис. Р.1.22) равна rJ3, т. е. 0,5^/12 ¦ -^/3=3. Найдем сторону
CD нового треугольника: а=>/32—1,52 = 1,5у3. Так как радиус г вписан-
вписанной в него окружности равен а^/з/б, то окончательно получим
1.089. яа2/4. 1.090. 12>/з и 36 см.
1.092. П Пусть а — сторона треугольника, R — радиус вписанной в него окру-
Рис. Р.1.20
P 1 22
154

жности;тогдаЛ=
-. Проведем радиусы ОМ и ОХК в точки касания (рис.
R АО
Р.1.23). Из подобия треугольников АОМ и АО.К имеем —— .
г AO—R—r
ау/3 ау/3 ау/3
Отсюда, учитывая, что АО= , получаем
3 6г
ау]3 \
6 /
-т=2г, т. е. a =
1.093. R2Cy/3-n)l6. 1.094. {3yj3-n)lCsJ3+n). 1.095.
1.096. D Пусть г н Л — радиусы вписанной и описанной окружностей. Тогда
S abc i /
г=-, Л=—. Найдем S=у/р(р - а)(р-Ь)(р-с) = ^/21 .8.7- 6 = 84 (см2).
р 4S
Следовательно, г=4 см, /2=65/8 см, откуда получим искомое отношение
nR1 /65V
площадей:—=у.Н
1.097. Зял/15/50. 1.098. 8 и 10 см. 1.099. 1700 см2.
1.100. ? Так как площадь треугольника S=pr=0,5aha, то 2p/a=hjr, что и было
нужно установить. ¦ _
1.101. 4аЬ/(а+Ь). 1.102. пгBу/з+3)/3. 1.103. За2G-<ц/з).
1.104. О Обозначим радиус описанной окружности через R. Тогда a=R\J3,
откуда R=al\J3. Так как сторона вписанного квадрата равна Л\/2, то его
площадь S=2R2 = 2a2/3. Ш
1.105. {yf(>+sj2)l2. 1.106. За2/8. 1.107. 9/4 кв. ед.
1.108. П По условию, ВС1 =3-ВС АН (рис. Р.1.24) или АН=-ВС. Но
A \ 4 1 25
- ВС 2 и, значит, - В&^АВ2— ВС2 или АВ2=— ВС2, т. е.
2/9 4 36
5 5
Л2?=- ВС. Тогда получим АВ=- {АВ+\), откуда ^4В=5 (см). Следовате-
6 ' 6
льно, ВС=6 см, АН=4 см. ¦
1.109. а\2у/з~3). 1.110. ^/2. 1.111. За2/8.
Рис. Р.1.23
Рис. Р.1.24
Рис. Р.1.25
155

1.112. ? Пусть AL=a, LB=b и LK=c (рис. Р.1.25). Тогда площадь данного
квадрата S1=(a+&f=a2+2ab+b2='C2+2ab. Так как LBLK=60°, то
LBKL=30", откуда е=2А, а=Ьу/з и, значит, 51=4й2 + 2А2л/з. Площадь
вписанного квадрата SJ=c2=4b2. Итак,
S2 4b2 2
•Si 4Ь2+2Ь2у/з 2+л/з
1.113. 1,6/?VZ 1.114. а2/25. 1.115. 1.
1.116. П Пусть R — радиус круга. Тогда площадь сектора равна , а площадь
4
Л2
-Треугольника равна — и, следовательно, площадь сегмента составляет
nR2 R2 R\n-2) R2(n-2) г
= . Имеем =2я—4, откуда R=2^/2 (см). Итак,
4 2 4 4
площадь квадрата равна 2R2 = 16 (см2). ¦
1.117. 30 и 07 см. 1.118. R(<j4 + n±J4-n)/2. 1.119. 2,2 и 4 м2.
1.120. ? В &FBD (рис. Р.1.26) катетFD=6 сми лежит против угла в 30°, откуда
FB=\2 см и, значит, ЛД= 18 см. Далее в ААВС имеем АС=АВ/2=9 см.
Наконец, BC=*JaB2-АС2 =^243 = 9^3 (см). ¦
1.121. 5у/т2+п2/6, 5N/m2+n2/4. 1.122. Jm2-4S/2. 1.123. 8б/я:
1
1.124. П Искомую площадь найдем по формуле S=- АС ¦ BD=2AO ¦ OB
(рис. Р.1.27). В &АОВ имеем АВ2=АО2 + ОВ2, где ОВ=- АО, АВ=-=-
19, 16
(м). Тогда получим уравнение -=АО2-\—АО2, откуда АО2**—, т. е.
4 16 100
АО = 0,4 (м). Итак, 5=2 0,4 ¦ 0,3 = 0,24 (м2). ¦
/5(ж2+л2) тлр2
1.125. /-^ . 1.126. ^-—. 1.127. 150 см2.
2тл 2(/?r+n2)
1.128. D Длина стороны ромба равна т+п. Из ААВК (рнс. Р. 1.28) находим
ВК2=(т+пJ—т2. В &BKD имеем BD2=*BK2+л2 = (т+пJ —ж2 +ла =
= 2л(ж+л), т. е. BD=ij2n(m+n). Для отыскания ЛС воспользуемся тем,
что ^С2 + ДД2=4ЯР2=4(от+яJ, откуда ЛС2=4(/и+лJ—2тл — 2л2 =
2, т. е. АС=^4т2+6тп+2п2. Щ
В
Рис. Р.1.26
Рис. Р. 1.7
156

Рис. Р. 1.29
1.129. Дл/гяД/з. 1.130. 4.1.131. 7,5 см.
1.132. ? Пусть а — сторона ромба, a dt и d2 — его диагонали (рис. Р. 1.29). Так
как высота ромба равна диаметру окружности, то его площадь S**4a.
С другой стороны, S—- did2, откуда, учитывая, что d1"a, находим </2 —8.
/d.y Л/Л* «* 8\/з
Но о1»! — ) +( — или а*-— + 16, т. е. а--2*—. Щ
\2/ \2/ 4 3
1.134. (я(а*+42)-4ай)/8. 1.135. 15 и 30 см.
1.136. ? Проведем BNXAD (рис. Р.1.30); так как BN-2OM, то BN-*JT5 см.
Учитывая, что в ДЛМВ LA?N~3№, имеем AB-2AN и, значит,
4ЛЛР-75+ЛЛГ2, откуда ЛЛГ-5 см и ^5-10 см. Далее из AJBND получим
ND1-BD1-BN1~12A-15~49; следовательно, ЛО-7 см и AD-П см.
Наконец, из равенства АС1 + BD1-2АВ1+2AD* находим
^С2-200+288-124-364, т. е. AC-xfii см. ¦
1.137. 10, 17, 21 и ^337 см. 1.138. 12 и 4 см. 1.139. 2 : 1.
1.140. П Пусть А — высота параллелограмма ABCD, h, — высота треугольника
1 к АВ 3
ARE (рис. Р.1.31). Тогда SABCd-AD ¦ к, S Е А Н
Следовательно,
к АВ 3
¦ А,. Но —-—--.
Aj j4/{ 2
Sabcd
AD- A
-9.
1 1 2
АЕ -к, - ¦- AD ¦ - A
2 2 3 3
1.143. 5/1*^3/4.
1.144. Q Так как OXALAB и О2В±АВ, то O^AIO^B и, значит, фигура
ОХАВО2 — трапеция (рис. Р.1.32). Касательные в точке С взаимно перпен-
перпендикулярны, а потому »яждяд из них проходит через центр другой окружно-
окружности, т. е. 0,С-4 см, OjC-8 см, откуда OiOi"\/olC2+OiC2-4y/s (см).
Рис. Р.1.31
157

Рис. Р. 1.32
Е F у
Рис. Р. 1.33
Проведем OtDiAB и из b.OJ)Ot найдем OlD=s/OiO\-O1D1 =
=•^80-16 = 8 (см). Следовательно, SOiabo2=0,5(S+^) ¦ 8=48 см2. ¦
1.145. 16 см. 1.146. 2 см. 1.147. 450 см2.
1.148. ? По условию, ВС=4 см, AD=25 см, АВ=20 см, CD= 13 см (рис. Р.1.33).
Проведем BE LAD и CFXAD. Пусть BE=CF=h, АЕ=х, FD=y. Тогда из
ДЛВЯ и ACFD находим А2=202-дс2 = 132->-2. Учитывая, что
>>=25-4-.х=21-.х, имеем 202-** = 132-B1-*J или 42х=672, откуда
*=16 (см). Итак, А=>/202-162 = 12 (см). ¦
1.149. (a*-b*)(y/l-l)l4. 1.150. 32 см2. 1.151. 168 см2.
1.152. П Так как S=- (a+b) к, то - (а+6) ¦ 22=594, откуда а+4=54. Из систе-
находим а = 30 (м), А = 24 (м).
(а+6 = 54,
мы уравнений <
_ \а-Ь = Ь
1.154. 1. 1.155. 3,/3 см.
1.156. D Высота трапеции равна
iv/з
, а большее основание равно а+-. Следова-
2 К 2
тельно, ее площадь
1/ ЛЧ^ч/з
2\ _ 2) 2
Da+b)bJi
8
\ _ )
1.157. 4, 8 и 2^2 см. 1.158. 5 см.
1.159. ? По условию, LBCA = LACD (рис. Р.1.34). Но LBCA= LCAD, а зна-
значит, AACD — равнобедренный и AD- CD. Имеем ЗАО+ 2?С=42; так как
1
ВС=Ъ см, то ЯО=13 см. Проведем BK1AD; тогда АК=- A3-3)=5 (см)
и из АЛКВ находим ^AT=4/l32-52 = 12 (см). Итак, S=- C + 13) 12=96
(см2). ¦
1.160. 1024 см2.1.161. 25. 1.162. 1 : 3, 2 : 3.
1.164 ? Так как AD — диаметр окружности (рис. Р. 1.35), то OD — OC= 10 см.
Проведем CLJ.AD; тогда OL=6 см н из ACLO находим
CZ,=N/OC2-OZ,2=8 (см). Теперь из AALC и ACLD получаем
J + AL2 = jM+25(,=isJ5 (см) и J
^/ 4^5 (см).^И
1.165. 10,625 см. 1.166. ЗЯгф/4. 1.167. 13 см.
158

Рис. Р. 1.34
Рис. Р.1.35
Рис. Р.1.36
1.168. П Так как центральный угол COD равен 60° (рис. Р.1.36), то вписанный
1
угол CAD равен 30°. Следовательно, А=- АС и из ААКС получим
AK=<jAC1-CK2=h-s/3. Находим площадь трапеции: S=- (BC+AD)h =
1.169. 9 и 25 см. 1.170. <j2S/4.1.171. 8 см. 1.172. 4+2^/3, 4-20 и 4 см.
1.173. D Пусть х — длина боковой стороны; тогда высота трапеции равна - х.
Так как трапеция описана около круга, то сумма ее оснований равна сумме
боковых сторон. Следовательно, площадь трапеции S=- ¦ 2х ¦ - х, откуда
x=j2S. Ш
1.174. ,/2,5/4. 1.175. 5Л2 1.176. яа*/12.
1.177. ? ПустьЛЛГ=ж, АЯ=л(рис. Р.1.37). Тогда КВ**ВМ=МС-п, AK=AN=
= ND=m. Найдем высоту трапеции: h*>BH=-s/AB1—AH2=*
=J(m+nI-(m-nI=2s/mn. Итак, S=- (SC+AD) Л=(/и+л) А-
i (m+n). Ш
1.179. 120 см1. 1.180. V5 и 8V5 at-
1.181. D Пусть R — радиус окружности. Тогда сторона правильного вписанного
треугольника а3ш
. Далее, сторона квадрата
ВМС

стиугольяика
S4 : S3 : Ss=-i
и, наконец, сторона правильного вписанного ше-
Следовательно,
: 4 : 6>/з. 1.183. а'^З/Ъ. 1.184. а2ф.
1.181
1.185. П Проведем радиус ОА в точку касания (рис. Р. 1.38) и обозначим радиус
окружности через г. Тогда в АОАМ имеем pe^+r^—fe+rI или
За 6/V3 27а27з
б =¦
За
4а2 +Г2 =а2+2аг+г, откуда г=—. Таким образом, 5
2
:
8
1.186. 2 : 1. 1.187. а1 C +V3)- 1Л88- яв/4-
1.189. ? Пусть АЕ=х (рис. Р.1.39). Тогда AB=1AE+EF или 2х+х^2=а, от-
/
куда
V2
. Следовательно, искомая площадь
Ах2 4а2D-4>/2+2)
2 8
1.190. D Соединим произвольную внутреннюю точку Р со всеми вершинами
многоугольника и опустим перпендикуляры на все стороны (или их продо-
продолжения). Пусть длины этих перпендикуляров равны di, d2, ..., dn. Нужно
доказать, что сумма dt +d2+...+dn не зависит от Р. Площадь многоуголь-
многоугольника >S—OiSat^ + t/j+.-.+'Uf где а — сторона многоугольника. Значит,
di+d%+...+dn—2Sla, т. е. эта сумма не зависит от выбора точки Р. ¦
1.191. D По условию, LC-90', МР-4 см, А/б-8 см, 5д^вс-100 см2 (рис.
Р.1.40); требуется найти ВС и АС. Пусть ВС-х, АС-у, тогда 0,5ху ¦« 100,
МР ВР 4 *-8
т. е. ху-гОО. Так как Ь.ВРМ~ AMQA, то или .
Следовательно, имеем систему уравнений
_4_ х-8
fx+2y-50,
или <
W-200,
которая сводится к квадратному уравнению /2-25у+100-0, откуда нахо-
находим >>! -5 см, ^2» 20 см. В результате получаем два решения: хх -40 см,
>>!-5 см; Xj-10 20 |
Рис. Р.1.40
Рис. Р.1.41
160

1.192. 2(Q+q) /-,
V V ч
1.193. ? По условию, ^_С=90°, АВ+ВС+АС=72 см, СМ — медиана,
САГ—высота, СМ—СК=1 см (рнс. Р.1.41); требуется найти АВ. Так как
М — центр описанной окружности, то АМ~МВшМС~- АВ. Воспользу-
Воспользуемся равенством АВ*"ВС2+АС2. Заметим , что ВСР+АС1 —
= {ВС+АСJ-2 ВС • АС, откуда АВ2~A2-АВJ-2 АВ ¦ САГ, поскольку
ВС ¦ АС=АВ ¦ CK-2S, где S — площадь треугольника. Таким образом,
приходим к уравнению AB2=>{12-ABJ-2AbI-AB-i) или АВ2 +
+ 130ЛЯ-5184=0, откуда АВ= -65+^/9409 = 32 см (второй корень урав-
уравнения ае удовлетворяет условию). ¦
1.194. 10.
1.195. ? Пусть а и Ь — катеты, ас — гипотенуза треугольника. Так как
в+6+е=60, то а+й=60-с, откуда (а+бJ = F0-сI или a2+2ab+b2-
«3600-Шс+с2 A). Но e2+42=c2, a 6с=0,5аЛ (площадь треугольника).
Подставляя эти выражения в равенство A), получим с2+24с=
= 3600- 120С+С2 или 144с=3600, т. е. с=25 см. Для определения а и Ь име-
fa+6-35,
ем систему уравнений < т. е. а в Ь — корни уравнения
х2—35Х+300—0. Значит, ai«20, а? = 15; ij — 15, Ь2ш20. Итак, стороны
треугольника равны 15, 20 и 25 см. ¦
abJ2 200 ,
1.196. —^—. 1.197. — см2.
а+Ь 3
1.198. ? Пусть х — больший отрезок гипотенузы. Тогда по условию
с-х х , с{ф-\)
—- или х2+сх—с1—0, откуда х— (второй корень уравнения
х с 2
, iQJS)
не удовлетворяет условию). Далее находим дг- . Обозначив
с—х h
через h высоту, проведенную к гипотенузе, имеем »-, и, значит,
_ h х
-2), т. е. h-cyJ^S-2. Следова-
1
тельно, S—-
2
рг-п? pl+m2±J{pl+m2J-im2p1
1.199. . =^- —. 1J00. 2,16, 3 и 0,84 см2.
Р 2р
1.201. D Пусть площадь треугольника равна S. Тогда его стороны таковы:
2S 2S 2S , , . / 1 1 \ / 1 1 \
а-—, Ъ—, с-—. Найдем аг+й2-452 —-+—J-4S'2 (—+— -
15 20 12 Vl52 202/ V225 400/
AS1/\ 1\ 4S2 , , ,
——1-Н—1-—, откуда a1+bI — tr, т. е. треугольник прямоуголь-
прямоугольный. ¦
1.204. D Обозначим стороны треугольника через а, Ь, с. Тогда
4mf-2(?>*+c*)-a*, 4ffr}-2(aa+c2)-** (см. дополнительные соотношения
6-363

Рис. P. 1.42
с м
Рис. Р.1.43
2° в начале главы). Сложив эти равенства,
4(да2+да2!)-4с2+а2+А2. По условию, л»?+«?.=Sm2 По 4т2
по
2
и, значит,
— 5с2 или с
2+а2+6
-, откуда 4с2+а2+62»1О(а2+А2)-
4 4
^+Л2, т. е. треугольник прямоугольный. ¦
1.205. у/3.1.206. 6+е+<?
1.207. П Обозначим сторону треугольника через а и проведем MDLAB (рис.
Р. 1.42). Поскольку АМ=ВМ, точки С, М и D лежат на одной пря-
прямой—высоте CD. В AACD и A AMD тлеем (l+MDJ=(^ ,
о*
MD2=4 . Тогда a2— 4D—MD2) и получаем квадратное уравнение
A +MDJ~3D-MD2) или 4MD2+2MD-U -0, откуда MD*- ~ (вто-
(второй корень
в2-4D-АЯJ)-16-
- «Ч/з
не удовлетворяет
46-6^5
условию). Далее
и, следовательно,
находим
8
«3,4 (см2).
1Л09.
? Пусть ЛС-лг; тогда СЯ=/-х (рис. Р.1.43). Проведем ОЦАВи опустим
перпендикуляры на ЛЯ из точек D в Е. Так как треугольники Л.0С
х 1-х I
и C?S — правильные, то DL-FM~FC+CM---\ --,
_ _ _ 2 2 2
EL^ UL ^__^ ™_ Следовательно, DE1^-+- -. Pac-
2 2 2 4 4
стояние DE является наименьшим при /— 2дг=0, откуда х=//2, т. е. точку
С следует взять в середине отрезка АВ. Ш
Ull. m(V5+l)/2 и «. 1.212^/5 и 5+V5-
U13. ? Так как ДЛДС — равнобедренный, то CE=AD и /)Я|^С (рис. Р.1.44).
я» ДД
Из подобия треугольников ABC и /ШГ следует, что —=•—-. Учитывая,
AC b
BD ВС
что CD — биссектриса, имеем —¦»—. Положим АС>*х, BD=y и полу-
DA АС
162

Рис. Р. 1.44
чим систему уравнений
Ът
Ът
откуда у=— и далее
у b х
Ъ—у х
Ът
( Ът
У
т. е. дг=
1.214. 28/3 см. 1.215. 4,8.
1.216. ? Пусть AD пересекает BE в точке F (рис. Р. 1.45). Проведем DK\AC. Так
ВК KD BD 1 1 1
как АВСЕ~ ABDK, то —=—=—=-, откуда ВК=-BE, KD=-EC.
BE EC ВС 5 5 5
KD KF 1
Далее, так как hKFD~ &AFE, то—=—=-. Пусть KF=x; тогда FE=5x
АЕ FE 5
Ъх
и ВК+х+5х=ВЕ, откуда ВК+6х=5ВК или 6х=4ВК, т. е. ВК=—. Выра-
Зх 5х
зим Д/1 через x:BF=BK+x=—1-х=—. Но FE=5x я, значит,
BF\ FE= I : 2. ¦
1.217. 4у/з/3, 4у/з/3 и (9-5V3)/3. 1.218. 30, 30 и 120°.
1.219. П По условию, ВС=а, АС=Ь, АЕ и BF — медианы, LAMF=*90°
(рис. Р.1.46). Положим АЕ=та, BF=mb. Тогда в АВМЕ и дЛЛ/.Рсоответ-
m.2 4m? <iJ 4m2 да.2 Л2
ственно имеем —+ =—, 1 =—. Складывая эти равенства, полу-
9 9 4 9 9 4
Рис. Р.1.46
Рис. Р. 1.47
163

5(m2+m2) в2+Л2
чаем — или т*
9(о2+Л2)
9 4
4(w2+»i2)
20
. Наконец, иэ Ь.АМВ нахо-
, откуда ЛЯ=
9 5
1.220. zjs см. 1.221. 26 и 30 см.
1.222. О Обозначим высоту CD через к, а отрезок AD — через х (рис. Р. 1.47).
Имеем /.ЛСХ>=90о-75"«15°. Проведем AF так, чтобы
LCAF= LACD = \5°. Тогда LAFD^W ииэ b.ADFполучим AF=FC=2x,
DF=x*Ji. Но DF=h-FC=h-2xu, значит, х= ==АB—^/З). Поусло-
2+V3
вию, AB=2h; следовательно, BD=AB—AD=2h—x=hj3. Наконец, иэ
L.BDC находим BC=^BD1 + CD1=*2h, т. е. LB=3(F
и /.С=180°-75°-30° = 75°. ¦
1J23. 14у/з/3 см. 1.224. 3 см.
1.225. р Пусть искомое расстояние равно х (рис. Р. 1.48). Тогда
" 1 ¦ 10jc=5x Но SaAMB*-Saabc-SaAMc-Sabmc- Найдем эти
0,5 ¦ 21 ¦ 2=21 см2,
4-55 = 29 (смJ, от-
площади: SAABc=-jTA ¦ 14 ¦ 3 • 7-84 см2,
0,5 • 17 ¦ 4=34 сма. Следовательно,
куда х= 5,8 см. ¦
1.226. 3 : 4.1.227. 150 см3.
1 4
1.228. D Так как SaDec~~ DE ¦ НК=2 (рис. Р.1.49), то НК=-—\ аналогично,
2 ??
1 16
Saabc-- АС ¦ ДЯ=8, откуда ДЯ-—. Учитывая, что ААВС~ &.DBE,
2. А С
Л? ДА
—=—. Но
ВК-ВН-НК
AC
значит,
находим
АС ВН
ВК ВН-НК НК 4 16 AC DE
—= = 1—— — 1——:— = 1——-. Положим —=х. Тогда
ВН ВН ВН DE AC 4DE АС
1 1 DE 1
х-1 нли4дг-4х+1=0, т. е. х--. Итак,—--. ¦
4х 1 АС 1
1.229. (т+пJ/(тп).
1.231. D По условию, LA**1lB, ВС-АС-2 см, АВ=5 см (рис. Р.1.50); требу-
требуется найти SAABC. Проведем биссектрису AD; тогда AABC~AADC
AC CD
{LC— общий, /.?= LDAC) и потому —=—, т. е. ЛС2=ЯС ¦ CD A).
Рис. P. 1.48
Рис. Р.1.49
164

Рис. Р. 1.50
Рис. Р. 1.51
АС 5 АС 5
Далее, так как AD — биссектриса, то —=— или —= или
CD BD CD ВС-CD
АС ВС
AC ¦ ВС-AC CD=5CD, откуда CD= B). Из равенств A) и B)
АС+5
следует, что АСг
АС ВС2
АС+5
или АСг+ЬАС^ВС1. Учитывая, что
АС+5
ВС=АС+2, имеем АС2 +5АС=АС*+4АС+4, откуда АС=4 см, ВС=6 см.
Итак,
15V7
1.5 ¦ 2,5 • 3,5 j- (см2).
4
1.232. 9 см2.
1.233. О Сначала докажем, что все указанные в условии треугольники равнове-
равновелики. Имеем Saaou=Sacou (рис. Р.1.51), поскольку эти треугольники
имеют одинаковые высоты и одинаковые основания, равные АС/2. Анало-
Аналогично, Saaon=Sason и SbBOK=S&.coK- Но SaBok"S6,son, так как
& (у этих треугольников равны основания KD и ND, а также
опущенные из них высоты). Итак, площадь каждого треугольника равна
З&лвс/б- Теперь по формуле Герона находим SAAac=*-Jll ¦ 8 • 7 • 6=84
см2, откуда SAA0M=* 14 см2. ¦
1.234. О Каждую медвану исходного треугольника ABC продолжим на 1/3 ее
длины (рис. Р. 1.52). Площадь образовавшейся фигуры AMBNCP составит
2SAAgc (Ь.ВОС= ABNC, ь.АОВ= L.AMB, AAOC=AAPQ. Длины сто-
М
Рис. Р. 1.52
165

к
Рис. P. 1.54 Рис. P. 1.55
рон каждого из треугольников АОМ, BOM, BON, CON, COP, AOP равны
2т1/3, 2m2l\ 2л13/3; поэтому SAmbncp=6SaAom- Пусть Sm — площадь
треугольника, построенного на медианах L.ABC. Тогда SAAOu=4Sm/9
и SAUbncp=2SaABc=6 ¦ 45m/9=8Sm/3, откуда SAABc : Sm=4 : 3. ¦
1.235. 8 см2. 1326. 288 см2.
1231. ? Площадь Ь.АВСв 3 раза больше площади дЛОС (О — точка пересече-
пересеченна медиан; рис. Р.1.53). Имеем SAAOc=~ AC ¦ ОК=КС ¦ ОК. Но
1 , 2 10
ОК=-ВК=2 (м), KC=JOC1-OK2, где ОС=- МС=— (м); отсюда
//Юу , 8 16
КСшН-\ -22=- (м). Итак, SAAOc=~ м2, т. е. 5Aj4/ic=16 mj. ¦
1J38. VlS/2 см2. 1.239. 235,2 см2.
1ЛЮ. П Рассмотрим два случая (рис. Р.1.54): 1) LAKB= LALB;
2) LAKB= LALC.
1 1
1) /.ЛХЯ+/.Л+- LB" LALB+ LB+- LA (суммы углов треугольника),
2 2
т. е. LA=LB.
1
2) Так как LALC — внешний угол AABL, то LALC= LB+- LA. Далее,
1 1
LAKB+LA+- LB-K. Но LAKB= LALC и, значит, LB+- LA**
2 2
1 2*
=n-LA-- LB, откуда /.Л+ЛЯ=—. ¦
1.241. 25/5.1.242. В 2,56 раза.
1.243. ? Пусть О3В=п тогда О^=Л=Зг (рис. Р. 1.55).. Проведем О2С\АВ;
имеем ЛС=г, O,C=2r, OjO2=4r, т. е. OjO2=2OjC и, значит,
/.СО2О1=30°. Так как О2С=АВ=6^3, то из Ь.О^СОг находим
О1О1=О1С: cos30°=6V3 : (V3/2)=12, откудаг=3, Л=9. Дуги, входящие
в указанную фигуру, содержат соответственно 120 и 240°, поэтому их
2яг 4яЛ
длины равны — и . Искомый периметр составляет
,- 2кг AnR -
/>=2 • 6V3+—+ =
1.244. 8. 1.245. п/2.
166

Рис. Р.1.56
Рис. Р.1.57
1.246. D Обозначим искомую длину через 2х. Тогда АВ=4х, AOi=»s/R2—x2,
BO1 = Jri-x2 (рис. Р.1.56). Проведем О2С\АВ. В Ь.О^О%С имеем
О1С=^О1О13-О2С1 или
~ A)
Умножив обе части уравнения A) на <Jr—х +
R2-r**=J(R+rJ-l6x2 (.y/(R2-x2+^r1-x2), откуда
Умножив обе части уравнения A) на <Jr2—x2+ Jr1 — х2, получим
B)
C)
Складывая равенства A) и B), находим
2jR1-x1=y/(R+rI-16x1+
Преобразуем правую часть равенства C):
2(R{R+r)-»x2)
-I6x*
Тогда оно примет вид <Jr2-x2 ¦ *J(R+rf-16л2
(Ла - х2) ((Л+гJ -1 бх2) - (Л(Л+г) - 8Х1J или
х=-
14Лг-Я1—г2, откуда
(второй корень уравнения не удовлетворяет усло-
Учитывая, что х^О, приходим к уравнению
1 llARr-R1-?
/
вию). Итак, искомая длина составляет 2х=-
1.247. г2B4>/3-П1с)/6. 1.248. nR2r2j(^R + ^r)A.
1.249. ? Проведем OPLAB (рис. Р.1.57). Тогда АР=ВР=1 см и МР=3 см. Так
как LPMO=6O°, то LMOP=10° и ОМ~2МР=6 см. ¦
1.250. 85/8 см. 1.251. 6,25 см.
1.252. ? Проведем диаметр CF (рис. Р. 1.58). Докажем, что AF=BD как хорды,
стягивающие равные дуги. Действительно, u/<C+u?Z)=»180° (так как
AB1CD), \jAC+kjAF"\SO° (поскольку CF — диаметр). Следовательно,
\jAF**uBD и AF=BD. В прямоугольном треугольнике ACF имеем
~* J 4R2, откуда и АС1 +Д^-4Л2. ¦
167

Рис. Р. 1.59
1353. 8 см. 1.254. Jj-
R2Ji
nR
1.255. ? Площадь сегмента с дугой 60г равна Sj —
_ 6 4
, а площадь сег-
мента с дугой 120" равна 52 —
3 4
. Искомая площадь
S-4iR2-Sl-S1-
1.256. 14 см.
1.257. ? Пусть г — искомый радиус. В Ь.ЛОК (рис. Р.1.59) имеем 0K--Jri-9,
а в AOBN имеем OlP+BtP-OB1 или (ОК+г)г+\цг*. Следовательно,
7л-9+4Л/»д-9+4 + 1 -Л откуда г*-9«1, т. е. r-JlO см. ¦
1J58. О Обозначим радиус круга через R. Так как дуга сегмента содержит 120°,
2Л
2Л
то ее длина равна , а хорда, стягивающая эту дугу (сторона правиль-
правильного вписанного треугольника), равна Дд/з. Тогда периметр сегмента сос-
2яЛ .-
тазляетрш 1-Лл/3, откуда Л—
3
Ър
=. Находим площадь сегмента:
nR2
" 3 4
_
R2Dk-3^/3)
12
4B^+373)*'
or
1.260. и ¦
e-r (e-r)*
. ? Пусть A — вершина угла, О/ и п — соответственно центр и радиус <-й
1
окружности (i-1 5). Так как - /М-ЗО", то AOi-2r,. ^O/_i-2r,_i,
откуда ^О/-^О(_1 +»¦(_! +rt или 2г/-2г,_| +Г/., +гЛ т. е. r/-3r(_i. Следо-
Следовательно, радиусы окружностей образуют геометрическую прогрессию со
знаменателем 3, а сумма площадей пяти кругов составит
Итш,?:яг}-7381.
168

Рис. Р. 1.60
Рис. P. 1.61
1.262. 3 см. 1.263. 5яг2/36.
1.264. О Пусть длина отрезка АВ равна 21. Обозначим радиус одной из окружно-
окружностей через х; тогда радиус второй окружности равен 1-х. Сумма длин
полуокружностей составляет L=nx+itfJ—x)—id, т. е. не зависит от х. Ш
1.265. R2(bJi-n)/2. 1.266. В 9 раз.
1.267. О Каждая из двух последних окружностей проходит через центры первых
двух (рис. Р. 1.60), поэтому длина их общей хорды O1O1=R. Искомая
площадь равна удвоенной площади сегмента с центральным углом 60°, т. е.
*$.
1.268. 2Л2C,/3-я)/3.1.269.2г7(Л-2/0.
1.270. О Обозначим радиус окружности через г, а длину гипотенузы через 5х.
Тогда (рис. Р.1.61) ВС=Зх+г, А С=2х+г, поскольку BK=BL, АК=АМ.
Так как LOCM=45°, то г=ОС : ^/2=^9 : ^2=2 (см). Для площади
треугольника ABC имеем выражение 5=0,5 АС ¦ ВС; с другой стороны,
S=pr, где р=0,5(АВ+ВС+АС). Следовательно, 0,5Bх+2)(Зх+2) =
=2Eх+2) или Здг—5х—2=0, откуда jc=2 см (второй корень уравнения не
удовлетворяет условию). Итак, АВ=\0 см, АС^6 см, BC<=i см. ¦
1.271. П Пусть а я b — катеты треугольника. Тогда имеем систему
И>=48,
< откуда a2 + 2ab+b2 = \96, a*-2ab+b2=4, т. е. а+Ь = \4,
{а2+Ь* = 100,
а—6=2 и, следовательно, в=8 (см), i=6 (см). Так как S=pr, то 24=12г,
т. е. г=2 (см). ¦
1.272. гЧгЛл
1.273. Q Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника,
равен половине гипотенузы. Пусть и, v — длины катетов, а н> — длина
nw2
гипотенузы; тогда S= .Так как и и v — корни уравнения axr+ bx+с=0,
4
с Ь
то i/v=-, u+v=—. Учитывая, что w2=u2+v2, имеем
а а
Ь2 с Ъ2-2ас
(и+\J-2ич=—-2- =
и
окончательно
находим
169

1.274. -(Ь+^Ь2-2ас)/Bа). 1Л75. 5 см.
1.276. О Проведем радиусы OD в ОЕ в точки касания (рис. Р. 1.62). Имеем
OD-OE-CE-CD, т. е. ECDO — квадрат. Пусть R — радиус окружности;
тогда длина дуги- ED равна —. Так как AAEO~AODB, то
АЕ АО 30 3
— = — »—=-. Но
ОД ОД 40 4
-ЛО'-Ог'-ЗО1-*1, откуда
или
Л 4
1Д77. 5^2 см. 1.278. 100я/9
2 и, значит, Л-24. Итак, длина дуги ED равна 12я.
см'
радиус вписанной окружности. Имеем
1.279. О Сначала найдем
S 0,5 • 6 • 8 24
/•«-= =—-2 (см). Далее, так как ААВС~ АМРО (рис.
р 0,5F+8 + 10) 12 .
АВ АС АВ МО 6 2 3
Р.1.63), то »¦ , откуда МР=* = —- (см). Аналогично,
МР МО АС 8 2
EQ ОЕ ОЕ МО 2-2 8
AEOQ~ АМРО : —-, откуда EQ- = =- (см). Для вы-
МО Prf PM 3/2 3
числения длины DN проведем OLLBC; тогда DN=*DL+LN. Но
8
AEOQ— &LON (по катету и острому углу); значит, LN=EQ—~ см. Точно
3
так же из равенства треугольников МРО и DLO находим DL - МР=- см и,
2
3 8 25
следовательно, XW=-+-=— (см). ¦
2 3 6
1.280. П Пусть а, Ь, с, р — соответственно катеты, гипотенуза и полупериметр
треугольника, г — радиус вписанной окружности. Тогда
a+b+с а+Ь с с
р+г=* +г= 1--+г. Рассмотрим сумму -+г. Так как площадь
2 2 2 2
ab ab
треугольника 5=—=рг, то г=—, откуда
2 2р
с с ab pc+ab ac+bc+ct+Tab
-+r=-+— . =
2 1 2р 7р Ар
4р
c(a+b)+(a+bf (а+ЬУа+b+c) а+Ь a+b+с а+Ь
Ар " Ар 2 ' 1р *° 2
170

x/3 D 2x E
Рис. P. 1.64
a+b a+b
Итак, p+r= н =a+b. ¦
1.282. D Искомая площадь S=S1-S3+3S3, где ^
яв2
п
Рис. Р. 1.65
площадь треуголь-
ника, 5а= площадь круга, S3 — площадь сегмента, отсекаемого тре-
а
угольником от круга. Хорда этого сегмента равна -; поэтому
1 па1 Л/3 яа2
S3-- ¦ —
6 9 9 4 54 36
. Итак,
4 9 18 ~ 12
18
1.283. R*(n- у/3). 1.284. Eя- б^З)/18 см2.
1.285. О Пусть х — радиус каждой из окружностей. Тогда AD=x^J~i, DE=2x,
ЕС=Ху/з (рис. Р.1.64). Таким образом, 2х^3+2х=а, откуда
а о(>/з-1)
jcПлощадь каждого из кругов равна
8
)
; следовательно, искомая площадь
Зтм2B->/3) a
S
4 8
1.286. 2C>/3-я) см2. 1.287.
1.288. П Проведем радиус OELBC (рис. Р.1.65). Так как LOBE=- LABC=60°,
то LBOE=30°, т. е. Л?«— ДО. Тогда из ДД?О находим ВО2=- ВО2+9,
2 4 _
откуда BO=2yJ3. В ДЯОД имеем AB=2BD. Но BD=BO+OD=2yJ3+3 и,
следовательно, АВ=ВС=4^3+Ь. Наконец, ^C=2Z)C=2EC-5?) =
171

о
Рис. P. 1.66
F
Рис. P. 1.67
1.289. 2R2/jRr. 1.290. 5, 5 и 6 см.
1.291. D Согласно теореме о касательной и секущей, имеем (рис. Р. 1.66)
ВК2=АВ ¦ DB=9 ¦ 4=36, откуда ВК=6 см, КС=Ъ см. Проведем радиус
5
ОК в точку касания и ON1AB. Тогда AN=ND=- см. Так как AANO~
~ДОЛГС (прямоугольные треугольники, у которых LA= LQ, то
КС ОС 3 6
— =—=——-. Пусть искомый радиус равен г. Тогда АО^г, ОС=
AN АО 5Д 5
' 1 С
и, значит, br-S^+r* или 36г2«225+25г2, откудаг=^= см. ¦
ЛЯ ЛС 18 3
биссектриса (рис. Р.1.67>, то —=————-, откуда
DB ВС 12 2
1.293. 7, 24 и 25 см.
1.294. D Так как CZ)
AD=9 см, /)Д=6 см. Далее, длина биссектрисы CD=>*J\2 ¦ 18-9 • 6=9^/2
см (см. дополнительное соотношение 5° в начале главы). Проведем ради-
радиусы в точки касания и положим CF=x. Тогда, используя равенство каса-
касательных, *роведенных из одной точки, получим 18— х + 12—х—15, откуда
15 /45 21 15 9 135л/7
х=— (см). По формуле Герона находим S~ /— • — • — • - — (см2).
2 _У2_2224
135^/7 45 гф
:
Но
S<=pr,
откуда
(см). Значит,
ОС-
.— /225 63 .- .-
•¦Jx*+Г2» / 1—«=6V2 (см). Поскольку CD=9s/2 см, точка О де-
\ 4 4
лит биссектрису в отношении 2 : 1. ¦
1.295. 3 : 2, 3 : 1, 2 : 1. 1.2%. 5 см.
1.297. Q Обозначим стороны треугольника через а, Ь, с. Тогда площади частей
111 8
треугольника равны - аг, - Ъг, - сг, т. е. ог=8, йг=26, сг»30, откуда а=-,
2 2 2 г
26 30
Л=—, с=—. По формуле Герона находим S-
г г
96 . 8
5=4+13 + 15=32 (см2); следовательно, — = 32, i. г.. * _ ,/1 см. Итаж, «=-•-
2 /
\Ъ1 ТА 6 2 96
= /—. — .-.-=— Но
\ f г г г ,
см,
26
—= см, с
7
30
—= см.
7

Рис. Р. 1.68
Рис. P.I.69
1.298. Прямоугольный; 24 см2. 1.299. 130 см2.
я ,-
1.300. ? Так как LACB=- (рис. Р.1.68), то AB=2sj2 см (сторона вписанного
4
я
квадрата). Проведем BD1AC. Тогда, учитывая, что LABD=*-, находим
6
1 -
AD**- AB=*J2 (см); далее, поскольку L.BDC — равнобедренный,
V3 V3 г г
DC~BD=~ AB=— 2V2=V6 (см). Значит, AC
1 1___ ___
(см). Итак, ?=- ^С ДД=- (v^+vW6-*! +V3)V3jo!V3+3
1.301. 16,9 см.
1.303. ? Пусть О — центр окружности, описанной около Ь.АВС, и О1 — его
ортоцентр (рис. Р.1.69). Построим &.LMN, сторонами которого служат
средние линии заданного треугольника. Высоты L.LMN пересекаются
в точке О, поскольку эта высоты перпендикулярны сторонам ААВС и про-
МО LN 1
ходят через их середины. Но &LMN~ ААВС я потому =—<=-, т. е.
АОу ВС 2
¦
1.304. ? Так как CN — медиана, то САГ=- CN (рис. Р.1.70). Соединив точки
LM CF 1 1
ЬяМ, получим среднюю линию LM; поэтому =—=-, т. е. CF**- CN,
АВ CN 2 2
Рис. Р.1.70
173

7
L
0
Рис. Р. 1.72
Рис. Р. 1.73
Рис. Р. 1.74
a 1 a 1
LM=~, LF=FM=- AN=-, FK=~ CN. Имеем LF ¦ FM=FK ¦ CF, (произ-
2 2 4 6
ведение отрезков хорд, проходящих через точку F). Следовательно,
о2 1 1 ¦ а,7з
— =- CN - СЛГ, откуда CN*=^-. Ш
16 6 2 2
1305. 120/17.
1306. D Соединим вершины квадратов А и С, В и D (рис. Р. 1.71). Продолжим
BD до пересечения с АС. Обозначим точку пересечения через N и покажем,
что она совпадает с точкой пересечения окружностей, описанных около
квадратов. Действительно, так как &ACM-ABDM, то LACM— LDBM
и потому BN1AC. Но прямые углы BNC и AND опираются на соответст-
соответствующие диаметры, а значит, точка N принадлежит обеим описанным
окружностям, откуда и следует доказываемое утверждение. ¦
1307. th/з, 5о>/з/6 и 5а^/з/6. 1308. 17 см.
1309. D Проведем радиус ОК (рис. Р. 1.72); тогда KL^^KiP-LO2. Но LO-
«??=18-13 = 5 (см), откуда AX=V13a-52 = 12 (см), ВА"=13-12-1 (см).
Итак, сторона квадрата разделена на отрезки 1 и 17 см. ¦
1310. 10 :1. 1.311. 65яа2/4.
1312. ? Хорда ОА стягивает дугу 90° (рис. Р.1.73); поэтому п.—зцадь половины
яа2 а2 *Г(я-2)
лепестка равна = . Следовательно, искомая площадь 5=8 х
16 8 16
16 2 "
1313. D Пусть х — сторона прямоугольника, вписанного в окружность радиуса
Л. Тогда его площадь равна xJaR2—^. Площадь вписанного квадрата
равна 2R2. Покажем, что 2R2^xj4R2~x2. В самом деле, из очевидного
неравенства BR2—х2J>0 получаем 4Л*>длDЛ2—х2), откуда и следует,
что 2R2^XyJAR1—xi (знак неравенства сохранится, поскольку 2Л2>0
1314. 84/13 и 72/13 см.
1315. D Так как АС — диаметр окружности (рис. Р.1.74), то Л=0,5Л/242+72 =
= 12,5 (см). В ABOFимеем OF=JOB2-BF2=Jl2,51-121 = 3,5 (см); зна-
значит, MF** 12,5-3,5=9 (см), МЛ"=12,5 + 3,5 = 16 (см). Из AMBF и
находим искомые расстояния: MB=у/MF*+BF*=у/*K+ \23= 15 (см),
174

Рис. Р. 1.75
Рис. P. 1.76
1.316. (b-aJl2. 1317. m(p+q)lq, m(p+q)/p,p + q.
1.318. О Так как AAEF—равнобедренный (рис. P.I.75), то биссектриса AM
перпендикулярна EF и лежит на диагонали ромба. Находим
„, 27 9 3
AM2=AF2-MF2=9 —, т. е. АМ*=- (см). В AACF имеем LF-9Q"
4 4 2
и FM1AC; следовательно, .АР'—ЛС-ЛЛ/ или 9"АС¦-, откуда ЛС—6
(см). Далее, AACD~ AAEF (углы при основании равны как углы со
AM EF
взаимно перпендикулярными сторонами) и, значит, •*— или
OD АС
3/2 3^/3 .- г
— = , откуда OD=v3 см. Итак, AD—2^3 см, АС=6 см. ¦
OD 6
1.319. 20 см2.
а^З
1.320. П Радиус вписанной в ромб ABCD окружности (рис. Р. 1.76) Л- ,
поскольку /_Л=60°. Четырехугольник KLMN является прямоугольником,
так как его углы опираются на диаметр окружности. Его площадь
S-MN • LM, где MN~R (катет, лежащий против угла 30°), LM~R*J$.
Итак, 5-У
1.321. D Площадь ромба 5-0,5 . 3 • 4~6-AD ¦ BE (рис. Р.1.77). Из AAOD на-
находим iAD=V2J + l,5J=2,5 (см) и, следовательно, ВЕ=6 :2,5»2,4 (см).
Далее из ABDE получим DE=^BD1-BE1=^i1-2,A1"\fi (см). Итак,
Sbedf5дди,-1,8 ¦ 2,4-4,32 (см2). ¦
Рис. Р.1.77
Рис. Р. 1.78
175

N
Рис. Р. 1.80
1322. 25/Fя). 1.323. 8
1324. D Искомая площадь S равна M,Saaob—^aafk) (Рис- Р-1.78). Находим
SbAOB=0,5 ¦ 3 ¦ 2=3 (см2). Сторона ромба равна л/22 + 32=л/13 (см)-
В АЛОВ отрезок ОАГ — биссектриса; тогда, используя формулу
Jab(a+b+c){a+b-c)
1С= (см. дополнительное соотношение 6° в начале
а+Ь
V(+Vl)(,/l3) 6^
главы), получим ОК= = (см). Теперь найдем
1 ОК 6
Saafk=-*F ¦ Ш, где А7У=-^=- (см), AF=3-2=\ (см); значит,
2 V2 5
Яддяс=0,6 см2. Итак, S-4C-0,6)=9,6 см2. ¦
1325. 9, 9 и 6^2 см. 1.326. V2 и 18 см.
1327. О Покажем, что искомая площадь Siuffp=2S (рис. Р. 1.79). Действитель-
Действительно, так как ЛЦВО и ЬВ\\ЛО, то ALBO — параллелограмм и, значит,
Saalb=Saaob- Аналогично получаем Sabhc=Saboc. ^ддслг=>5дХ)ОС.
Saapd=Saaod, откуда и следует, что SimNP=2S. Щ
1328. 96 и 156 см. 1329. 45 и 135°.
1330. D Так как АХ, LM, NM, KN — средние линии соответствующих треуголь-
треугольников (рис. Р.1.80), то KL=NM=- AC, KN=LM=- BD. По условию,
1
AC=BD и, следовательно, KLMN — ромб, площадь которого равна - pq.
Пусть искомая площадь равна S. Тогда S=SaASd+Sabcd- Но Saakn=
1 1 1
¦~ S&abd> аналогично, SaCml*=- sabcd и, значит, SAAKf/+SACML=z s-
4 4 4
1
Точно так же получим, что S/^/cbl+^audn"' S. Итак, площадь вне ромба
4
1 1
равна - S. Поэтому и площадь ромба равна - S, откуда S=pq. Щ
1331. 3 см. 1.332. 120 см1.
л
1333. D Пусть малая дуга содержит х градусов. Тогда 4х+8х=2я, откуда дг=-.
6
Значит, восьмиугольник содержит четыре треугольника с центральным
176

Рис. Р.1.81 .- Рис. Р.1.82
if Л2л/3
углом - (их суммарная площадь 4 • ) и четыре треугольника с .цент-
3 4
я Л2
ральным углом - (их суммарная площадь 4 - —). Искомая площадь со-
6 4
ставляет15=Л2(л/з + 1). ¦
1.334. а. 1.335. 8 или 6 см.
1.336. О Заметим, что окружность, описанная около трапеции A BCD, описана
и около L.ACD (рис. Р.1.81), причем такая окружность единственна. Ее
abc 1
радиус будем искать по формуле Л-—. Имеем S=- AD ¦ BE, где
45 2
1
BE=^AB2-AE2=s/l02-62=S; отсюда SAACD=- ¦ 14 -8 = 56. Из hACM
находим АС^у/АМ2 +МС1
14 - 10 ¦ 8^2
R
2. Итак,
1.337. 6 см. 1.338. /к/з/3.
Ъх 1х
1.339. D Пусть ОК=х, AL=y, BK=z (рис. Р.1.82). Тогда MN=z+y=x+—=—.
В АОКВ и AOLA имеем OB1 = OKl+BK2, OA2 = OL2+AL2. Таким об-
образом, приходим к системе уравнений
или < 29Х2 Ixz
I
8
Эх2
— +/ = 100, или
16 /^г+(т-*)-"о
1х
21x 7xz
Вычитая первое уравнение из второго, получаем ———0, откуда (так
б 2
4z 16Г2
как х^0) jc=—. Значит, ГЛ =100, т. е. z=6. Отсюда находим х=8,
3 9
у=8. Итак, ЯО-2у=16, ДС=2г=12. ¦
1.340. Трапеция равнобедренная, боковая сторона равна средней линии. 1341.
4 и 5V41/4 см.
1.342. О Обозначим высоту ?Я трапеции через Л (рис. Р.1.83). Тогда ЛД=2Л (так
как /.Л = 30°), BC+AD=4h (поскольку ВС+ЯО=^В+СД-г<Д). Плс-

в с
Рис. Р. 1.83
щадь трапеции S*
(BC+AD)h
_ _
2 ,
2А2=32 (см2), откуда Л=4 см. Следовате-
= 16 см. Но BC+AD=2BC+2AH=2BC+
см, Л1>=8+4л/з см. ¦
льно,AB<=CD=8 см, BC+AD = 16
+ 8>/з. Итак, ЛЯ=С?> = 8 см, ВС=Я
1343. 100я см2. 1.344. 20, 12,5, 5 и 12,5 см.
1345. D Пусть L и М — точки касания (ряс. Р.1.84); тогда SL=SM, откуда
AB-CD, поскольку AD\BC\IM. Проведем OKX.LM и BHS.AD. Искомая
площадь S=- (AD+BC)BH. Для описанной трапеции имеем AD+BC—
=AB+CD=2AB; поэтому S=*AB ВН. Далее, hABH-hOLK (LLOK=
= lBAH как углы с взаимно перпендикулярными сторонами), откуда
LK ВН а/2 2Л 4R2 4Л2 8Л3
—«— или —=— и, значит, АВ= . Итак, «S= ¦ 2Л= . ¦
LO АВ К АВ а а а
1346. SRr^RrKR+r). 1.347. Зб/^/Ю, 12/VlO, 18/VlO и ЗО/л/lO см.
1348. Q Сначала найдем сторону АВ**2г (рис. Р.1.85). Пусть ED=x. Тогда,
4г 4г
используя равенство AB+CD=BC+AD, получим 2г+С/)=—Н 1-х, от-
А Е
Рис. Р.1.85
Рис. Р. 1.86
178

2т Br V
куда CD=— + x. В L.CED имеем CD2 = CE1 + ED2 или I — +дг I =
8г Юг 12г
откуда х=—. Итак, CD=—, AD=—-=4r. ¦
3 3 3
1.349. 1875/5 см. 1.350. 3,6 см2.
1.351. D В силу условия, LBOC=45° и, значит, ВС=ОС
R
—, AC=R-
72
DO АО
(рис. Р.1.86). Так как A ABC ~ A ADO, то — =-^> от-
вс
куда Х>0=
АО ВС
АС
V2-1
1 1 / .- R \
S=- (DO + BQOC=- I R(J2+1)+^
2 2\ 72/
.-
Л(>/2+1). Находим площадь трапеции:
R Л2C+72)
72/ Ъ Г~'
1.352. 14, 12,5, 29,4 и 16,9 см. 1.353. 6 см.
1.354. D Пусть AD=a. ВС=Ь (рис. Р.1.87). Так как АМВО~ AABD, то
МО ВО ВО
ш—, т. е. МО=а ¦—. Аналогично, AOND~ABCD, откуда
a BD BD
ON OD OD а- ВО+Ь OD
—=—, т. е. ON=b ¦—. Тогда MN=M0+0N= =
Ь BD BD BD
2а- ВО a OD
MN
-, поскольку AAOD~ АВОС и, значит, -=—, т. е. а-ВО =
BD Ъ ВО
¦ OD. Учитывая, что BD=BO + OD, окончательно находим
2а ¦ ВО 2а 2а 2аЬ
==.
BO+OD OD a a+b
1+ 1+-
во ь
1.355. 1275 см2.1.356. V(<»J+*2)/2-
1.357. D Проведем BHLAD и CFLAD (рис. Р.1.88). Пусть АН=х; тогда
AF=S + x, DH=24-x. Учитывая, что BH=CF, в AAFC и ABHD имеем
ACi-AF2=BD1-DH1 или 132-(8 + x)a = E7l7J-B4-xJ, откуда
64х=256, т. е. х=4 (см). Тогда CF=sj'AC1~AF2=yJn2-\21=5 (см).
Следовательно, S=- B4+8) • 5 = 80 (см2).
Рис. Р.1.87
Рис. Р.1.8
179

Рис. Р. 1.89
X
Рис. P. 1.90
D СЕ
Рис. Р.1.91
За—b а а—ЪЬ
1.358. а ¦ при Ъ<Ъа; - • при а>ЪЪ. 1359. 2,4 см.
а+b З а+Ь
1.360. D Искомая площадь S = \2SAA0C, где ОА и ОС —радиусы (рис. Р.1.89).
Так как сторона квадрата равна а, то
1
3&лос=- ОА CD, где CDLOA. Но
2
1
- ОС, поскольку
2
Имеем
2я я
~12~б'
1 в 1 в а2 За2
Таким образом, StiAOC!=~ • —= ¦ ~ • —=и—. т- е- S——• Ш
2 V2 2 V2 8 2
1361. 10 см.
1362. D Около ААВС опишем окружность и продолжим биссектрису AD до
пересечения с этой окружностью в точке Е (рис. Р. 1.90). Так как
BD : DC*=c : Ь=4 : 5, то BD=S см и ДС-=10 см. Но BD ¦ DC=AD ¦ DE,
откуда AD ??=80. Поскольку b.ABD~ &.AEC, имеем АС: АЕ=
=AD : АВ, откуда AD ¦ АЕ=Ш. Учитывая, что AE=AD+DE и Z>?=
=80 : AD, находим AD=10 см. ¦
1363. /.^ + Лг=90°нли|/!.^-/..В| = 90о.
1364. D Положим АВ=х, ВС=у, CE=z (тяс. Р.1.91). Так как x:y=AD : DC
(BD — биссектриса угла ABC), то х=2у A). Кроме того, иэ ААВЕя L.CBE
имеем: x2 = F+zJ + 15 B), yJ=zJ + 15 C). Система уравнений A) — C)
приводит к квадратному уравнению zJ—4z+3=0, откуда z. =1, z2=3. При
z=l получаем ответ: АВ=х=8 см, ВС=у=4 см, АС=6 см (при z—З длины
сторон не являются целыми числами). ¦
1365. О Пусть прямые АЕ я CD пересекаются в точке L (рис. Р. 1.92). Проведем
прямую BL до пересечения со стороной АС в точке М. Так как
AALM- ALKE, а Д CML~ aDKL, to AM : KE^ML : KL, a CM : DK=
=ML : KL, откуда AM : CM=KE : DK. Далее, из подобия Ь.АВМ
А М С А
Рис. Р.1.92 Рис. Р.1.93
Рис. Р. 1.94
180

и &DBK, а также дЛ/ВС и &КВЕ заключаем, что AM: CM=DK: КЕ,
т. е. КЕ : DK=DK : КЕ= 1. Итак BL — медиана и, следовательно, L — об-
общая точка для указанных в условии^трех прямых. ¦
1.366. 11/3 см2.
1.367. ? Пусть кс^кь>АС (рис. Р.1.93). Но АС — наклонная и, значит, AC=hc,
т. е. ААВС — прямоугольный, откуда следует, что hb=AB. Так как
hb=AB^AC и he=AC>AB, то АВ=*АС. Итак, гипотенуза ВС=а, катеты
1.368. 45, 45 и 90°. 1.369. 33/4 см. 1.371.
4ab
1.372. ? Рассмотрим случай, когда точка О лежит внутри треугольника (рис.
Р. 1.94; в случае, когда она лежит вне треугольника, решение аналогично).
По условию, LAKB=W и KLLAB, значит, KI?=AL ¦ LB. Так как
L.ALO~ L.CLB, то AL: LO = CL: LB, откуда AL LB = LO CL, т. е.
KL2=LO CX. Итак,
^LO ¦ CL =
1.373.
1.375.
1.376.
1.377.
1.378.
1.379.
LO ¦ Q,5AB CL =
3 : 7. 1.374. ^43 и ^33.
D Очевидно, что около четырехугольников AEDC и ABDF можно описать
окружности (рис. Р. 1.95), поскольку соответствующие прямые углы можно
рассматривать как опирающиеся на диаметры. В четырехугольнике AEDC
имеем LA= LBDE (каждый из них дополняет LEDC до л). Аналогично,
в четырехугольнике ABDF имеем LA= LCDF (как дополнения LBDF до
я), откуда LBDE= LCDF. Так как LBDE+ LEDA** LCDF+ LADF=n/2,
то LEDA= LADF. Значит, высота DA является биссектрисой AEVF.
Точно так же проводится доказательство для остальных высот. ¦
(V3-1)S.
D По условию, АВ=ВС, AD — биссектриса, BD=AC (рис. Р. 1.96); требу-
требуется доказать, что AD=AC. Отложим на стороне АВ отрезок АК=АС.
Тогда AAKD=* AADC (сторона AD — общая, АК=АС. LDAK= LDAQ,
откуда DK=DC. Так как AK+KB=BD+DC, то KB=DC и, значит,
&BKD — равнобедренный. Поэтому LKBD= L-DBK, откуда следует, что
LADC= LC (LB+LADK+LADC= LB+LA + LC=n, но
LADK= LADCи LA= LC). Итак, AC=AD. Ш
r, 4r/3 и 5r/3.
D Пусть F, D, E — точки касания вписанной окружности со сторонами
L.ABC (рис. Р.1.97). Положим BD=x; тогда DA=m-x. Тих как AD=AE
Рис. Р.1.95
Рис. Р.1.96
181

Ряс. Р. 1.97
Рис. P. 1.98
и BF=BD (касательные, проведенные к окружности из одной точки), то
АЕ=т—х, BF=x. Учитывая, что АВ2=ВС2+АСг, получаем уравнение
т2=(х+гJ+(т—х+гJ или х2—тх+(тг+г2)=0, откуда х=
m±Jm2-Ar(r+m) 2r+m±Jm2-4r(r+m)
= , BC=x+r= ,AC**m+r-x-
т. е. если г<
2 _
«(V2-1)
. Задача имеет решение, если /и2—4f(r+m)>0,
1380. 30 и 60°. 1.381. 3 и 4.
1382. П Так как &DCA~ 6.DCB (рис. Р. 1.98), то АС : ВС=г : Л=3 : 4 (г
и R — данные радиусы вписанных окружностей). Отсюда АС=- ВС и,
25
следовательно, ЛВ2=АС2+ВС2=— ВС2. Пусть х — радиус окружности,
16
вписанной в ААВС. Тогда, учитывая, что &DBC~ AABC, имеем
ВС :AB=R : х=4 : 5, откуда дг=- ¦ 0,8= 1 (см). ¦
1383. S. 1384. 18 см.
АС АВ
1385. D Поскольку &АВС~ ADBE (рис. Р. 1.99), имеем —-—. Полагая
DE DB
х In т+п
DE=x и учитывая, что DB=m—, получим —= и, следовательно,
2 ¦ х х
т—-
Рис. Р.1.99
? К
Ряс. Р.1.100
182

Рис. Р. 1.102
2mn AB AC
x= . Далее, AABC~ AKLC, откуда —=—. Пусть KL=y и FL=z
•т+Тл KL КС
_ т + п 2л
(F—точка касания). Тогда = ; так как y+z=n, то
у n—y+z
т + п п п(т+п)
= и, значит, у= . ¦
у п—у т+2п
1.386. 175/48 см. 1.387. а*(Зл/3-я)/18. 1.388. a*Jb(а-Щ/12.
1.389. ? Пусть Р — периметр AADE (рис. Р.1.100); тогда P=AD+DE+AE, где
DE=DL + LE=DS+KE. Значит, P=AS + AK=AB+AC-BS-CK. По-
Поскольку BS = BR, CK=CR, окончательно получим Р=АВ+АС—ВС =16
(см). ¦
1.390. 6 или 4 см. 1391. л.
1.392. ? Так как LBHC=90° (рис. Р.1.101), то иАК+иВС=Ш°; в силу усло-
условия, uAK=uLC, т. е. wZ/C+u5C=180°, и, значит, BL — диаметр окру-
окружности. Поскольку диаметр BL не перпендикулярен хорде, но делит ее
пополам, заключаем, что АС — также диаметр. Итак, радиус окружности
равен т. Щ
1.394. ф Провести отрезок LM и рассмотреть вписанные углы LMK, LCK,
MLK. МСК
1.395. ? I способ. Соединим центр О описанной окружности с точками Аи Вх,
Сх (рис. Р.1.102). Имеем S^abc=S1 + S2+S3, где S1 = S^ab1c1—Sab^c,,
S2 = SbAlBc1 + S&A1oc1. ^з = ^аа1в1с+^ла1ов1- Проведем радиусы О А, ОВ,
ОС и установим, что они перпендикулярны соответствующим сторонам
АА1В1С1. Для этого проведем касательную через точку С; тогда OCX.CF.
Покажем, что LBFC= 1_ВАА2. Действительно, иВ2С=иА2С (так как
иА2С+иАВ==иВ2С+иАВ=*Ш°), откуда иВС-иВ2С=иА2В. Но
(см. решение задачи 1.375), а, следовательно,
1, т. е. AiBtWCF и ОСХА1В1. Аналогично доказываем, что
IjCj. Теперь находим
1 1
— АХСУ R+- АУВХ R=pR.
А2С+и
l_BAA2 =
l_BFC
OAA.BiC1 и
5=-
II способ. Воспользуемся теоремой косинусов:
В1С12=АС2 + АВ21 — 1АС1 ¦ АВ^ cos А = (AC cos AJ+ (AB cosAJ-
-2(ACcos A)(AB cos A) cos A = (ВС cos AJ,
т. е. BlCl=BC cosA. Аналогично получим A1Cl=*AC cosB,
=АВ cos С. Далее имеем
183

2p~AiBi+BiC1+AlCl-AB cosC+BC cos A+AC cos 5=
«» Д(яп 2A+sin 2B+sin 1С),
так как a*=2RsinA, b=2RsinB, с=2ДяпС. Преобразуем выражение
в скобках:
яп2Л +sin2B+sin2C«2sm(Л +B) cos(Л-?)+sin2C»
2sinCcos(^-5)+2sinCcosC-2sinC(cos(^-5)+cosC)-
2iC((^5)(^ 5)L^ sin?sinC,
откуда 2р=4Д sin.4 япЯ sin С, т. е. — = sin<4 sin5 sinC. Итак,
2a
abc 8Л3 япЛ sin5 sin С , p
1396. ЗШя/81 см2.
1397. D Искомая площадь выражается следующим образом (рис. Р. 103):
;г ВС ¦ h, где А=^ АВ. Но ВС = 1ВК=
= 2 ¦- МВ=МВ=- АВ. Отсюда 5Ду1вс=- х
х - АВ ¦ — Л.В=-^- ЛЯ2. Таким образом, за-
задача сводится к нахождению АВ2. Опустим на
АВ перпендикуляр ОР и проведем радиус О В;
тогда в АРОВ имеем РВ2 + РО2 = 16. Но
1 ЛЛ/ 2
АР=РВ=- АВ; учитывая, что =-, получаем
2 тВ 3
МР=— АВ. Далее из ДМРО находим PO=MPtg30°=— MP=^~ АВ.
Наконец, из уравнения
180^/3
AB ,, ,„2 1200 т*
h—— = 16 получим АВг=——. Итак, искомая
площадь равна
1398. П Пусть К — О
см .
0]5 и r=O2C — искомые радиусы (рис. Р.1.104). Проведем
касательную AM. Тогда АМ1 = 1 — I +( — I =32 + 42 = 25, откуда АМ=
ВМ=МС=5 см, MN=3 см. В АОХВМ и AOtBN имеем О,^,
25
2 = 16+(O]Af— ЗJ; из этих равенств находим О]М=— см и, значит,
Рис. Р.1.104
Рис. Р.1.105
184

20
Л-— см. Наконец, проведем O2D\BC; в AOtDO2 имеем (R+rJ-
= (Л-гJ + 102, откуда г=— см. ¦
1.400. 6 см.
1.401. О Искомая площадь S"SikABC—'iSl где St — площадь сектора, ограни-
ограниченного дугой окружности и половинами сторон треугольника (рис.
Р. 1.105). Пусть х — радиус малой окружности. Тогда 5=
Учитывая>
6 2 2
и 0Я=»Л-х, получаем х=—-— = ЯBл/з-3). Итак,
1.402. Л2C
1.404. D Искомая площадь S
Очевидно, что
-я). 1.403. 2Л2C,/з - я)/9.
(a+b)h
, где А — высота трапеции (рис. Р. 1.106).
с2—h2, откуда (a—b)(sJd2 — h2—^c1—h2)md2—c2.
Перепишем эти уравнения так:
а-Ь
ш = 1 / <**-сЛ
Следовательно, yjar—h — - I a—b-\— ), т. е.
2\ a-b )
г
Преобразуем числитель полученной дроби:
Ы-Ца-ЬУ +# -с2J -
Bd(a-b)+(a-b)i+d1-c1)Bd(a-b)-(a-bJ-
Рис. P.I.106
Рис. Р.1.107
185

= (<i— b + c+d)(a—b — c+d)(a—b + c—d)(c—a+b+d).
a+b I
Итак, S=— J(a
1.405.
i—
. 1.406. афт
т+а—п
а—п
A J* JJJ** /•
1.408. П Так как AD\\FH\BC (рис. P.I.107), то-—=—=-,. Используя свойство
HD CH d
описанных четырехугольников, имеем BC-k-FH^BF+CH*
ad+fh=af+hd
Uc-+uhd,
c+d
откуда AD-ВС-* —- (HD-CH). Заме-
Заменив в последнем равенстве HD на d- CH и AD—BC на
c+d
I ¦ • CH. Следовательно,
d
-е1, получим
FH=BC+
Находим основания;
так
как BC=CH+BF-FH,
откуда ВС'
то
AD=-
1.409. Боковую сторону. 1.410. 1,6 см2.
1.411. ? Проведем OK\\AD (рис. P.I.108). Тогда искомая площадь
OK OF
S=2OK-10=20 ОК. Так как AOLF~ AOFK, то —-=—, откуда
OF OLt
OF2 25
ОК=—~ =— (см). Итак, 5=125 см2. ¦
Oh 4
1.411 2Л2/5.
1.413. П Искомая площадь S=S1-2SJ+2S3+2Si-2Ss, где 5, —площадь сек-
сектора i4C?, S2 — площадь сектора ВСОА, S3 — площадь A ABC. St — пло-
плоBOA 5 ВОА ( Р1109) Н 5 5
2 р 3
щадь сектора BOA, 55 — площадь АВОА (рис. Р.1.109). Но
следовательно,
Рис. Р.1.108
Рис. Р. 1.110
186

1.414. fl2C-3V3 + ^)/3.1.415. )/
AC ВС
1.416. П Так как CD — биссектриса (рис. Р.1.ПО), то —=—-. Но
а о
или —. ВС1+ВС2=(а+ЬI, откуда ДГ= 7+ * . Про-
^"" DE a a
ведем Z)?li4C; тогда —= , откуда DE= ВС
ВС а+Ъ а+Ь
. Далее,
1
CD=DEs[l и окончательно находим S=CD2=
^—-5. ¦
a +b
и 5а-2а^6. 1.418. ——.
R+r
а йк/6 I- а
1.417. -+-^- и 5а+2ау/б или
2 6 2 6
1.419. D Очевидно, что площади треугольников ЛОВ и ЛОХ) равны (рис. Р. 1.111);
то же верно и для треугольников ВО С и COD. Следовательно,
SaAOB+Saboc =0,5 SAScd, т. е. 5лвсо=0,5 S^k;c- Так как SAbco=Saabc+
, TO
1.420. (ad+bc) : (ab + cd).
1.421. ? I способ. Очевидно, что искомая площадь 5=- ME ¦ KL (рис. Р.1.112).
Найдем МЕв- KL. Так как BD — медиана, то MD=- BD=^—. Заметим,
2 3 6
что ED — радиус вписанной в &АМС окружности, поскольку AL
и MD — биссектрисы углов этого треугольника. Следовательно,
Saamc=- (AM+MC+AQED=(AM+AD)ED =
ED.
С другой стороны,
=\ AM . МС sin 120° =Л . t . ^
Отсюда находим ED=
12
0B^3 + 3)
а<2->/3)
и, значит,
Рис. Р.1.111
Рис. Р.1.112
187

МЕ-МВЕВ/^3>. Далее", "учитывая, что
6 2 3
ML AM ML Jl
AL — биссектриса, имеем ——= или =J;— или
LC AC MC—ML 3
ML л/3 wr а а(л/3-1) Tr
— ——, откуда ML=*—p— = —. Наконец, так как
<Ф_М1 3 V3(V3+i) 2V3
LMLK^30°, то I KL~^- MZ, = 0(^~1l Итак,
2 2 4
Skmle-ME ¦ - KL
KL. ¦
II способ. Искомая площадь выражается так: S=S^kmc—S^elo Заме-
Заметим, что S^akc '¦ Sakmc*=AK : KM, поскольку эти треугольники имеют
равные высоты, проведенные из точки С. Учитывая, что С К — биссект-
биссектриса, имеем АК: КМ=АС: СМ=уД, т. е. 5uyljfc=V3 5'AJCMC- Но
1 аУз аУз а3C-,/3)
Saakc+S^kmc-^Saabc=—гг-, откуда Sakmc= 7= = rj ¦
3 12 12(л/з+1) 24
Далее, ААКС~ AELC (LAKC= LELC, LACK= lECL) и, следователь-
SbAKC /АС\г
но, = I — ) . Отсюда находим
\ECJ
/АС\г
= I — ) .
\ECJ
¦№
( EC\
Saakc Saakc
\2DCJ ал^ 4cos215° 2(l + cos30°)
Saakc
2 + V3
Итак, окончательно получим
S=SAKMC~SAELC:=SAKMC-By/l-3)SA/cMc =
1.421 9Л2/4.
1.423. П Пусть 5,, S2, 5Э — площади треугольников, отсекаемых сторонами
шестиугольника от Д ЛЯС (рис. Р.1.113). Покажем, что 5. =52 = 53. Так как
каждый из отсеченных треугольников подобен ААВС (пропорциональны
две стороны, содержащие общий угол), то
в St S2 S3 m2
\ === Сле«овательно'
/ \
/С \
шестиугольника равна
Рнс.Р.1.113 1.424. vv2 '. 1.425.
188

ГЛАВ* J.
ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ
2.001. ? По условию, {_АСВ=90°, LBAC=30c (рис. Р.2.1); следовательно,
ВС--, AC=^j—, откуда 5ося=- АС ¦ ВС=—^—. Проведем SO так, чтобы
2 2 2 8
АО=ОВ. Тогда О—центр описанной около А АВС окружности,
SO — высота пирамиды (см. «Дополнительные соотношения между элеме-
элементами призмы и пирамиды», п. 1°). В J\ASO имеем LSAO=45° и, значит,
SO=AO=- Итак,
, SO--
48
2.002.
2.003. 6 см3. 2.004. 108 см3.
2.005. ? Согласно условию, АВ=ВС=а (рис. Р. 2.2); поэтому ВН=а2-— =
1 / 5 1 1 /
=- J4<r—b2. Отсюда 5осн=- АС ¦ ВН-- bJAa2— Ь2. Проведем высоту
2 2 4
SO. Поскольку все ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости
основания, точка О — центр описанной около А А ВС окружности. Пусть
о b о
радиус этой окружности равен Л. Тогда О5=Я=-—— = . =¦ В A SO В
SB
имеем ОВ=—; значит, SO = y/SB2- OB2 - yjAOB2 - OB2 = ОЯ,/з =
у/Ла2-Ь2'
vJs <
3 "" '
(^-А^Ал/з
4
ГО '
>о з
2.007.
4
'-Ь2
/S?
7.7
о-
iooel9
а-
8
12
2
- см
2.009. П Проведем BDLAC (рис. Р. 2.3). Обозначим сторбиу основания через а.
А С
Рис. Р.2.1
Рис. Р.2.2
189

Рис. Р.2.3
Рис. Р.2.4
aJb a a2Jb
Так как пирамида правильная, то OD=——, AD=DC=-, 5ося=—-.—¦
о 2 4
Выразим а через Л. В A SAC имеем SA=SC, LCSA=90°, откуда
LASD = 45° и SD=AD=~. Тогда j
следовательно, a=h*j6. Итак,
1 1 uy/3 1 оЛ \/:
и=- &¦*--• — •*--• —^-
2.010. a**j2/lZ 2.011. R3*/6/4. 2.012. 3.
JSD2-OD2 = / —= и,
^ V 4 36 ^
.1
2.013. ? Искомый объем найдем по формуле Vkabc=z
где
BN=-BO. Но
KN (рис. Р. 2.4),
. Так как 5О||ЯЛГ, то ЯЛГ: NO=BK : KS=2 : 1, откуда
, т. е. BN=—^- и, значит, KN=y/BKi-BN2 =
18
2.014. 60,375 см*. ^015. 2Syfs/3. iOW.
2.017. ? По условию, BD=b, LAOB=60° (рис. Р. 2.5); отсюда легко найти, что
АВ
AD=
Значит,
АВ ¦ AD=
Так как
S
. Ис-
LSAO= LSBO= LSCO=LSDO=45°, to 5O — высота пирамиды
и SO=-. Итак, И=- Зоя • SO
2 3 it
2.018. 4(8/3K м3. 2.019. З/3/^. 2.020. бл/ШЗ/47. 2.021. ЗЛ2л/з/2.
2.022. ? Пусть а — сторона основания; тогда 5= , откуда а-
4 i yi
комая боковая поверхность выражается так: 5бож = 3 ¦ -а ¦ SD (рис. Р.2.6).
а За2 3 45
Но SD—DC=- и, следовательно, 5бм=—=~ ' ~F=
2 4 4 ^/з
2.023. >/з. 1024. ,/47/24 см3. 2.025. За*^3/4. 2.026. За2Д.
190

Рис. Р.2.5
Рис. Р.2.6
2.027. ? Так как ребро куба равно а, то сторона основания пирамиды SABCD
равна -^— (рис. Р. 2.7). Учитывая, что ОК=- Л?=—^-
2 2 4
пирамиды: SK=^JSO2+OK?= \с?Л—-——.Значит,
¦^ о 4
, найдем апофему
1028. а*ь/5+1). 2.029.
2.031. П Так как LSKO = 60° (рис. Р. 2.8), то ОЛГ=- SK=-. Основание пирами-
ды — правильный шестиугольник, поэтому LKOD=* 30° и KD"- OD. Тог-
Тогда
, т. е. /0)=
6
Таким образом, 5oa,= — "¦—^-, 5вож=32)? • А=А2л/з. Итак,
Рис. Р.2.7
191

2.03i
cmj, 84 см2. 2.033. ^,
2.035. О Так как при указанном построении образовалось 6 одинаковых пира-
мид (рис. Р.2.9), то каждая из них имеет объем F=— и полную поверхность
6
•a2+4 X-a- OK. Ho OK'
„72
, откуда
2.036. За2, а%/з/6. 2.037. За2, а'
2Л38. П По условию, 5С=/, ?5ЯС=90°, LSCB-& (рис. Р. 2.10), откуда
SB—ВС*—. Находим V=- ВС1 ¦ SB=-^—. Полная поверхность выра-
выразится так: Sao!a=Saal + 2S&SAB+2S&SAD> поскольку
- Но
1 / / \* /*
«- (~т= ) =7'
vm.
. urn.
12
2.042. О Искомый объем выражается формулой V— (S1 + S2+*JSlS2), где
Si~\96 см2, S2~\00 см2. Найдем Л-Я,АГ (рис. Р. 2.11). Имеем
BtK—v^D2—KB*. Так как A8jZ),Z) — равнобедренная трапеция, то
5АГ--(ЯХ)-512I)--A4>/2-1072)-2Л/2 (см) и KD-BD-BK-\2*Jl
(см), т. е. A-Vl82-A2V2J-6 (см). Итак, V-- A96+100+140)-872
(см3). ¦
2.043. 26Д5 дм2. 2.044. a3V2/3. 2.045. а*ф.
2.046. О Расстояние от ребра ЛЛ.до диагонали 5,D равио расстоянию от этого
ребра до плоскости ВВуй^Ь, т. е. длине отрезка А,Е (рис. Р. 2.12). Пусть
ребро куба равно а; тогда из
Итак, F-a3-
t находим 2a4—a2, откуда a—dy/2.
Рис. Р.2.10
Рис.Р.2.11
192

' 1047. 144 см3. 1048. 2(a+b)yj3(a2+b2). 2.049. abyj3a2~b2.
1050. П Искомый объем Р=5ооЛ где 500, = АВ ¦ AD (рис. Р. 2.13), h — высота
параллелепипеда. По условию, BBVD.J> — квадрат и, значит, h^yfQ. Най-
Найдем АВ и AD. Так как АВ : AD-m : п, то AD=- ЛВ. В AABD имеем
тп
AB2+AD2=BD2, т. е. АВ2Л—iAB2 = Q; следовательно, АВ'
-. Итак, V=AB ¦ AD ¦ А = -
2.051.
-2 "
8
- 2.053. 3 см.
2.054. D Искомую площадь найдем по формуле 5= V/h, где V — объем листа,
h — его толщина (при этом форма листа значения не имеет). Так как
объемы обоих тел равны, то И=80 • 20 • 5=8000 (см3). Итак,
5=8000/0,1 = 80000 см2 =8 м2. ¦
2.055.
1056.
. 2.057.
)
1056. .
2 Ца+Ь)
2.058. П Имеем V=>Socah, где 5оси = б (по условию); таким образом, следует
найти А. Так как ABCD — ромб, то 5oai=- AC BD (рис. Р. 2.14); учиты-
с с
вая, что АС ¦ h=S1, BD ¦ h=S2, находим ЛС=—, BD=~. Отсюда получа-
h h
1059. 1Q-Jl. 20б°- 2a(a+V4A2+e2). 2.061. аэ/8.
1062. D Обозначим сторону основания через а. Тогда 5бо1=ЗаЛ. Проведем
высоту ОХО (рис. Р. 2.15). В h.DOOx имеем LOO1D = 30°, поэтому
OjD-2OZ) и 4OZ>2-0Z>2=A2, откуда ОО-Лл/з/З. С другой стороны,
OD—в>/з/6 и, следовательно, а=2Л. Итак, 5601=3 • 2Л ¦ Л—6Л2. ¦>
1063. б /f. 2.064. V3
Рис. Р.2.13
Рис. Р.2.14
7-363
193

Рис. Р.2.15
Рис. Р.2.16
2.065. ? Проведем АХК перпендикулярно плоскости ABC (рис. Р. 2.16); тогда
AtK, где
-. Учитывая, что /_Л1ЛАТ=6О°, находим
1 С//
2.066. - J(M+N+P)(M+N-P)(M+P-N)(,N+P-M). 2.067. —. 2.068. а*у/2.
2.069. D Пусть сторона основания призмы равна а (рис. Р. 2.17). Тогда сторона
основания пирамиды равна ~—, а площадь этого основания равна —. Обо-
Обозначим объем призмы через У^, имеем К, =(ГгА, где h — высота призмы.
Так как по условию объем пирамиды равен V, то И—- — • Л. Но а2Л= Vu
откуда Ki">6K ¦
2.070. 2Р+-. 2.071. 18^2 дм3. 2.072. а2D
2.073. G Пусть высота призмы равна А. Так как ABCD — ромб, то 5боЖ™4Л5 - Л
(рис. Р. 2.18). Далее, ACLBD (как диагонали ромба) и, следовательно,
BD2 AC2 JBD2+AC2
АВ- 1—Г+-Т--- ; • Тогда
4 4 2
¦ А =
tf+AC1 h2. Но BD h-P, AC h=Q (по условию). Итак,
1/
А
11
Рис.
1 \ v
1 \
1 1
1 __>^
1
1 ^,-
Р.2.17
\
-\—
У
Рис. Р.2.18
194

Рис. Р.2.20
10^/5
2.076. ? Пусть АВ=а (рис. Р. 2.19); тогда искомый объем
• К где
А=3 см — высота призмы. Остается найти а. По условию, боковая поверх-
поверхность призмы ABCDA1B1C1Dl равна 30 см2. Но S6ot=(iAB+AD)h; здесь
AD=2a (как диаметр окружности, описанной около правильного шести-
шестиугольника). Следовательно, 5а. 3 = 30, откуда а=2 (см). Итак,
К=б •
(см3).
2.077. V=CS. 2.078. Ny/nM/2, nN+2M. 2.079. я.
2.080. О Пусть радиус основания конуса равен г, а его образующая равна /.
1 л 2я я/2 , fis
Тогда площадь развертки S=-Р—=—, откуда /= /—. Но
2 3 3 У я
. Объем конуса найдем по форму-
леИ=-7гг2А,гдеЛ=Л//2-г2= /—--=—2 /=. Итак,
_
¦ ~3 ' Зя ' 2>/Зя
2.084. П Пусть
объем конуса, г — радиус ос-
объем цилиндра,
нования, Л — высота; тогда
откуда - 5бот.1ил
Таким образом,
ож.щл' — х 'цил—'
1085. 7 И/27. 2.086.
195

2.087. ? Пусть радиус основания каждого из данных конусов равен Д, а высота
равна Н (рис. Р. 2.20). Тогда объем каждого конуса V^"- пЛ2Н. Общая
часть состоит из двух конусов; ее объем V2 =- яг1 А, где г — радиус основа-
основания, Л — высота. Рассмотрим осевое сечение фигуры. Так как
AOiOA~ AOiCB, то АО : BC=OtO : OtC или Л : r=H : h. Но Л—, от-
куда следует, что г—-. Итак, V2=-n — • — —— nR2H=- И,. ¦
2.088. 216 я см2, 448 я см3. 2.089. 2я(^+ Itf, 2яа3/3.
2.090. D Пусть общая высота конуса и пирамиды равна Н (рис. Р. 2.21). Обозна-
Обозначим объемы конуса и пирамиды через Vx и И,, а и боковые поверх-
поверхности — через Sy и 52; тогда F, =- яЛ2#, 5j =яЛ/, где / — образующая
конуса. Найдем V2 и S2. Так как периметр основания пирамиды равен 2р,
а основание конуса — вписанная в основание пирамиды окружность, то
площадь основания пирамиды равна рR, откуда V2 ¦»- /'ЛЯ, 52 =pl (высота
любой грани равна I). Итак, —=- nR2H : - pRH=—, —=nRl:pl=—. ¦
V2 3 3 p S2 p
2.091. 24 я см3. 2.092.
Л2
2.093. ? Изобразим осевое сечение конуса, которое пройдет через центр шара.
Так как диаметр основания конуса равен образующей, то в сечении полу-
получим правильный треугольник, вписанный в окружность (рис. Р. 2.22). Пусть
радиус тара равен Л; тогда AB=Ry/3, AD= . Обозначим полную
поверхность конуса через 5,, а поверхность шара — через S2. Имеем
R /з
• Ry/з+п
-I =т
2, 52«=4яЛ2, откуда Sj : 52=9 : 16.
2.094. 5j :5j=K!: K2-4:9.
4
2.095. D Так как радиус шара равен R, то объемы обоих тел равны - яД3. Пусть
г — радиус основания конуса; тогда, по условию, Збо^Зяг2. С другой
стороны, 5вож—¦Ml, где /—образующая конуса. Поэтому 1=3г, откуда
Рис. Р.2.21
Рис. Р.2.22
196

т. e. r=^h. Находим V=\
4 3
^ я ¦ — A2 ¦ h =
3 16
=— яЛ3. Наконец, из равенства - яД3 =— яЛ3 получим Л=2Л-?/4- ¦
24 3 24
2.096. 3:2:1. 2,097. 1152я/125 см3.
2
2.098. П Так как объемы конуса и полушара равны, то У—z яЯ3; с другой
стороны, И=- яЛ2А, где А — высота конуса, т. е. h=2R. Имеем 5бож=я./У,
/5. Итак, S^^
2'
где ,
1099. 4яА3/81.
2.100. ? Пусть радиус шара равен R, ребро куба равно а; тогда R2—(-
2R
откуда а=——. Обозначим объемы и поверхности шара и куба соответст-
4 8Л3
венно через ylt V2 и Slt S2. Имеем У\—^ Я-К3, У2—аъ=——, 51=4яЛ2,
3 3-у/З
52=ба2 = 8Л2, откуда Fj : V2=n-j3 : 2, 5t : 52=я : 2. ¦
2.101. 64я : 27. 1102. бООя см2, 1000я см3.
2.103. П Искомый объем У=Утл-2У1ОЯ, а поверхность S=>SnxJl+2StOB, где
Утл, Уюя и Бдял, 5юн — объемы и боковые поверхности цилиндра и конуса
соответственно (рис. Р. 2.23). Имеем Ищи=яг2А, где r=CK, h=AD = 3 см.
¦¦- (см), a CD=2DK=*l (см), то САГ=
1—1-| =— (см). Следовательно, У^ш-п ¦ - ¦ 3=—-
(см3), У1(т=- я • - . -=- (см3), откуда И=—-- = 2я (см3). Наконец, нахо-
находим 5иил=2ягА=2я • —- ¦ 3=3ял/з (см2),
откуда 5=3ял/з+я^3=4ял/з (см2). ¦
(см2),
2.104.
2.105. D Пусть сторона ромба равна а, а его диагонали равны 2rf, и 2d2 (рис.
Рис. Р.2.23
Рис. Р.2.24
197

Рис. Р.2.25
Рис. Р.2.26
Р. 2.24). При вращении получается тело, состоящее из двух конусов. Обо-
Обозначим объем и поверхность тела вращения вокруг диагонали АС через Улс
2
и SAC, а вокруг диагонали BD — через VBD и SKD. Тогда V^—-
5i4C=2nerf1, VBD=-
. SBD=2nad2. Итак,
Улс B/3)
Vbd B/3) ndldt
что и требовалось установить.
2.106.
2.107. D Объем пирамиды V
¦ SO (рис. Р. 2.25). Пусть сторона основания
равна а; тогда 5,»,=
aJl 1
откуда ¦—!— =-, т. е. а
OD
, OD-——. По условию, nOD2 = OD или OD=-,
4 6 л
=—5j-. Учитывая, что =3, получим
1 __ 950
5бож=35ОСн=г—V- С другой стороны, 5бож=3 ¦ - а ¦ SD=—— и,
я 2 яуз
9^3 95Z)
еле до вате-
SD-1
льно, —V=—р. т. е. ЯО—-. Из ASOD находим
«^ jtV3 я
/—5 5 /9 Г 2л/2 1 З^/З 2^2 2л/б
SO=JSD1-OD1= /-1___f>L-.HTai,K--.=V.=^ =V- ¦
Y я я я 3 я я я
2.108. 4т2^3- 2.109. - а2,/з B + JS).
4
2.11а П По условию, BS1SA и BS1SC (рис. Р. 2.26), т. е. BS — перпендикуляр
к грани SAC и SD—d. Следовательно, искомый объем V=- Saacs • BS.
3
В Д SAD имеем LSD А =90°, lASD=45°, откуда AD=SD=dn S/iACS=d1-
Наконец, 'в ДЯЖО имеем LBSD-90', BD-2d¦^-=</Л/з, откуда
BS=jBD2-SD1=j3di-di=dy/2. Итак,
198

2.111. а3/128. 2.112. у/б.
2.113. О Полную поверхность пирамиды найдем по формуле 5аолв =
а2 /з 1
=—~ +- • За • 5Z) (рис. Р. 2.27). Так как ABOS~ ABKD (прямоугольные
с „ ч BD ВК сф „„ „„ flh/з
треугольники, имеющие общий угол), то — =— или —— : BS*BK: -4™,
BS ВО 2 3
ВК. тп п
т. е. с?**гВК- BS. По условию, —=-, откуда &S=- ЯЯ, 55
KS п тп
="^ВК. BK-^BS. Значит, а>=^В?, т. е. ДУ.
m m + n m + n Ъп
В ASOD имеем SD1 = SO1 + OD2; отсюда, учитывая, что SOi=BS2-BO2,
. (m+n)a2 a1 a1 3ma2 + 6m2 (m + 2n)a2
находим 5Да=>- „ ^ —_+_ . _ _i__ . Итак,
2.116. Q Обозначим объемы и поверхности данного и нового тетраэдров соот-
соответственно И1( 5, и И,, 5,. Пусть АВ=а (рис. Р. 2.28); тогда DK=ajl. Так
как ADSK- AMSN, то 2)ЛГ: MN=SD : 5М = 3/2, откуда MN-a/З. Итак,
. К, : И2=а3 : (а/3K = 27 : 1, 5, : 5, = ^ : (а/3J = 9 : 1. ¦
2.117. а3у/2/12. 2.118. 2PQ/Ca).
2.119. П Пусть SA=x, SB=y, SC=*z (рис. P. 2.29). Из взаимной перпендикуляр-
перпендикулярности боковых граней следует взаимная перпендикулярность этих ребер,
откуда искомый объем F=- S^asb ¦ SC<=- xyz. По условию, - ху=*а2,
3 6 2
- xz=b2, - yz^c2. Перемножив эти равенства, получим - x2y2z2*>a1b2c2.
2 2 8
Итак, И=- abcyfi = X- аЬсф.. Ш \
6 3
199

Рис. Р.2.29
Рис. Р.2.30
2.120. — flV^A2-^, 0<а<ыД. 2.121. 1 : VI
2.122. D Для отыскания радиуса шара проведем плоскость через высоту пирами-
пирамиды и апофему (рис. Р. 2.30). Радиус круга в полученном сечении равен
aJb
радиусу шара. Так как все ребра пирамиды равны а, то SD=——,
OD=
. Из ASOD находим SO=^/SD1-OD2 =
6 3
. Обозначим радиус
шара через г, тогда SO^SO-r. В ASKOt имеем
rJ=EO-rJ-^-, откуда г*-—~
5 j a a
-+Г2-—, т. е. г=—=.
3 2V6
Кг или
Итак,
2.123. б4я/9 см2. 2.124.
2.125. D Искомая боковая поверхность выражается так: S6oiAB ¦ SM (рис.
Р. 2.31). Пусть АВ=а, SO—к, найдем соотношение между а и А. Проведем
AK1SB, CKLSB; так как, по условию, LAKC-12O0, то /.ЛАГО=60° и из
й X а
ААКО получим ОК—АО ctg60°— —— • —=¦—=. Далее, в прямоугольном
V2 л/3 у/б
треугольнике 505 имеем OKX.SB, поэтому SB : SO-SO : SK, т. е. А2-
Рис. Р.2.32
200

~SBSK. Из ASKO следует что SK2-SO2-OK1-h2—-, откуда
о
SB2~7Ti i- с Другой стороны, из ASOB находим SB2-h2+?-. Таким
oh —а 2
образом, h2+%** ,f* , или 12й*-2ааЛ2+6а2Л2-а*=12й\ откуда h~\
2 бл — аг 2
и 5M=-^z. По условию, - АС ¦ SO=^~ ¦ А=5, т. е. 5=—^-. Учитывая,
что
f = 2о • —=а2\/2, окончательно получим 5бож=45. ¦
1126. - SJSiJri. 2.127. - 5V5.
2.128. П Искомый объем К=- 5ОСЯ 5^, где 5осн=г d^ (рис. Р. 2.32). В ASAO
. d. 20
имеем SA=*JSO2-AO2, причем АО=^, а 5О=—, так как по условию
-. Итак,
1 d2 ¦ SO=Q. Следовательно, ЯЛ= ЖЛ
2 4
1129. 200 см3.
2.130. ? По условию, AB=S м, AD= 10 м, BD=6 м (рис. Р. 2.33). Из равенства
62 + 82 = 102 следует, что AABD — прямоугольный и 5оа, = 8 ¦ 6=48 (м2).
Так как ВО1АВ, то и SB1AB, а значит,
1 ._ __ 1 ._ гтг^ г-г* 1
(м2). Проведем
SK1AD; тогда 5Ду15В=- AD ¦ SK=- ADSJSO2+OK2. Для нахождения OK
Рис. Р.2.34
201

воспользуемся тем, что Д OKD~ AABD; имеем OK : AB^OD : AD, откуда
8 • 3 12 * / 144 4"ч/34 1
OK"-— =— (м). Следовательно, 5АГ- /16+-—--—^ (м) и S^asd-- х
(м2). Итак, Smm -48+2 ¦ 20+2 • 4734=8A1+734)
(м1). ¦
2.131. 192 см2.
2.131 П Обозначим AD через х, a BD — через у (рис. Р. 2.34). Тогда
Soa^xy^m*. Так как ВТ)LAD, то и SDLAD, т. е. LSDB — плоский угол
двугранного угла и, по условию, L SDB=45°. Через точку О проведем
MKLAB-, имеем I_SMK= LSKM**6Q°. Из дЯООследует, что SO = OD=*-,
SO у
а из b.SOM — что ОМ=—-=^—; поэтому Soo
3
=;
V3 2V3
.r
,у=ту2. Теперь находим
SD+AB SM, где AD=x,
или х*к+т*=Ъх*', откуда
2 '
^ r^+V^-r2) или - r*(R-jR2-^). Z134. -
3 3 4
2.135. П Имеем Snom~Soa,+2SetASF+2SiiFsE+2SiiESD (рис. Р. 2.35), где
о%/3 Зо^^З о2
Soct^o ¦ =¦—-—, SbASF=ir, поскольку SALAF и SA=a. Далее, так
как AELED, то и SE1ED, а значит, S^esc"- ED SE. Но
Рис. Р.2.35
Рис. Р.2.36
202

a, откуда Saesd=-z a ¦ 2a**a2. Для вычис-
вычисления S^fse проведем SKLFE; тогда и AKLFE. Учитывая, что АК=——
(LKAF= 30°),
Итак,
1-<гН
1136. За3/4,
2.137. ? Искомый объем V=-
)> где &i найдем по формуле
Герона. Имеем 2р1 - 27+29+52 = 108 (м), откуда Sj = V54 ¦ 27 • 25 • 2=270
S, Bр,J 1082 9
(м2). Так как ААВС~АА1В1С1 (рис. Р. 2.36), то -^=Ь?Н_ =._=-, т. е.
45. 4 ¦ 270 2
5j " V 9^ 12° (М )- ИтаК>
1
V=- ¦ 10 B70 + 120+7270 • 120) = 1900 (м3). ¦
1138. 1,9 м3.
2.139. П Так как стороны оснований относятся как 1 : 2, то площади оснований
относятся как 1 : 4 (рис. Р. 2.37). Тогда объем усеченной пирамиды V=
=- Л (S1 + S1 + S/S1S2)=- h D52 + 52 + 252)=- S2h, где S2 — площадь вер-
верхнего основания, h — высота. Но объем призмы ADEA1SiC1 составляет
V1 = S2h и, значит, объем оставшейся части пирамиды есть
У2= V- Vx=- S2h-S2h^- S2h. Итак, Kt : К2 = 3 : 4. ¦
1140. (e»-*V2/6. 2.141.
()
2.142. ? Пусть 0iO,=x (рис. Р. 2.38); тогда ОО2=Ъ-х. Так как
ДД1О21I~ дДО2Д то Д^! : BD=O1O2 : ОО2 или 1 : 2=х : C—х), от-
откуда х=1 (см), ^^лee, aB1D1B~ ALO2B и, следовательно, Д^! : ?О2 =
001 : ОО2 = 3 : 2, т. е. L02=-.
j SAlSlclDi=j (см2). Итак,
ZJV=-
),. Тогда
Рис. Р.2.37
Рис. Р.2.38
203

Рис. Р.2.39
Рис. Р.2.40
2.143. 1(Ц/!9см2. 2.144. «515 дм3.
2.145. D Пусть Н — высота полной пирамиды, Л — высота усеченной пирамиды
и x=H—h. Имеем —-•
т. е. X'
, откуда Xyf~S1+hy/lsl=xy/s~2,
или
——. Так как H=x+h= ,__ 2Г_, то объем полной пира-
/St-y/Si
1 1 hS /S
миды Vno!a.mlp=-S2H=- *v 2 . По условию, К^й^-
.Итак,
2.147. ? По условию,
1 Л
1sJ s2-Js~2-
(рис. P. 2.39); значит, LOiOA1=30°
R2Jl ЗЛ\/3
-. Находим 5нижн.осн=6
5верхи.«я==т ¦5иИжн.оа1 = г • Итак,
V=--
¦ 3\21Л3
\
8
16
2.148. Vo2 +
2.149. D Так как полная поверхность куба 5'DO.,m=36 см2, то площадь ода
грани 5—6 см2 и ребро куба Л.О=я=,/б см (рис. Р. 2.40). Исы»
204

Рис. Р.2 41
расстояние KM^
Рис. Р.2.42
1150.
2.151. D Пусть сторона шестиугольника, равна а; тогда ребро куба АВ=аф.
(рис. Р. 2.41) и Saosm = bAB1 «12л2¦. По условию, 6-
г 2С 8fiV3 _
я =—=. Итак, Лдшщв . ¦
3V3 3
1152. За2/4, а3ф/12.
2.153. П Пусть SA=a, КМ=х (рис. Р. 2.42): тогда Son
>, откуда
Имеем AO=SO=-
4
xV2
Но
SO1+O1O=^—+-, т. е. аф=*хф+х, откуда х=—р-—. Итак,
2 2 /2 1
+
. 2 2
,/2 + 1
6. 2д2
Z154.
2.156. П Так как CD=3 см, АХ>=4 см (рис. Р. 2.43), то из AADC находим
АС=фГ+42 = 5 (см). Проведем DKLAC; тогда DXKLAC и L.DKDi=60°
(по условию). Но AADC~ACDK, откуда —"ТГР т' е" -D^="v~="r
ОХ Э Э
(см). Значит,
12^3
(см) и К= CZ> ¦
), =3 • 4
12^3
205

Рис. Р.2.43
Рис. Р.2.44
2.157.
2.158. О Объем параллелепипеда V=Socah, где Л— высота параллелепипеда.
Так как параллелепипед прямой, то высоты боковых граней также равны
Л ( Р 244) П ВАО Ж В Л 6 2 AD к П 2
рд р
Л (рис. Р. 2.44). По условию,
дм2
ты боовых р
, АВ • Л = 6 дм2, AD ¦
т. е. АХ>=2АВ. Пусть BKLAD; тогда ВК=- АВ. Учитывая, что AD ¦ ВК=4
дм2, имеем 2АВ ¦ - АВ<=4, т. е. АВ=2 (дм); следовательно, Л = 3 дм. Итак,
К=4-3«12дм3.
2.159. 36^/2 см3. 2.160. abcy/2/2.
1161. ? По условию, у*1АГ=12 дм, АК=5 дм, AtKLAK (рис. Р. 2.45); следовате-
следовательно, AA^yJ'AJ? +AI?^ = 13 (дм). Так как Sa,imn=2A дм2 и у4^1 — пер-
перпендикуляр к сечению, то искомый объем V=SAilUN ¦ AAt=24 ¦ 13=312
(дм3). Далее, учитывая, что AyLMN — ромб, имеем S^OX=4AA1 ¦ AtN. Для
воспользуемся
нахождения стороны ромба
r АХМ ¦ LN или 24=- ¦ 8 ¦ LN, откуда LN=6
5 (Дм)- Итак, 5^=4 • 13 • 5=260 дм2.
равенством
(дм); тогда
2.161 a3/2.1163.
2.164. D Пусть радиус шара равен R. В сечении шара плоскостью, проходящей
через его центр и параллельной основанию параллелепипеда, получим
параллелограмм, описанный около окружности радиуса R. Поскольку
суммы противоположных сторон такого описанного параллелограмма ра-
равны, он представляет собой ромб. Пусть сторона ромба равна т; тогда
искомая полная поверхность 5=25осн+5бОг=2т ¦ 2Л+4т • 2Д=бт . 2Л=
= 6500,. Но $00,=-а* и окончательно получим S-iab. Щ
Рис. Р.2.45
Рис. Р.2.46
206

2.167. D Проведем через ВС сечение, перис^.и^.^рное ААХ (рис. Р. 2.46); тогда
S6OI-(BC+MC+MB)AA1-(BC+2MQAA1. Так как LAXAO—W (по
условию"), то АА1АО-—^—. Далее в hAMD имеем LADM—Ж и,
следовательно, АМ=—^—. Тогда из ААМС находим MC=JAC2—AAf2
4
2.168. ^^ 2.169. *
2.170. П Искомый объем К=-
СС, (рис. Р. 2.47). Учитывая, что
LABC=*30°, находим ЛС=-, ВС**^— и, значит, Solx=-~. С другой
2 2 8
стороны, Soch=- -^^ СД где CDLAB и CZ)=- BC=^—. Так как CDLAB,
2 2 4
то и CiDl,4.B, т. е. l_C1DC=4S° (по условию); поэтому в ДС,1)С имеем
ЗЬ\
о
2.175.
1171. 906 см2. 1173. 12 см3. 2.174.
2.176. D Полная поверхность призмы Яполл^^осн + ^бож- Так как а, Ь, с —рас-
—расстояния между боковыми ребрами призмы, то a+b + с — периметр сече-
сечения, перпендикулярного ребру. Следовательно, S6oi**(a+b + c)l—2pl, где
P"(a+b+c)f2. По формуле Герона находим Sen"\/pip—ii)(p—b){p— с).
Далее, учитывая, что V^Sad^Socgh, имеем Soag^SccJ/h. Итак,
2/
"к
Рис. Р.2.47
Рис. P.Z48
207

11Л. ЗаЛ-о2. 2.178. 0,5E!+ 52)Л.
2.179. П По условию, даны объем У и высота Л правильной восьмиугольной
призмы. Так как V^SacJi, то Sga—Vlh; с другой стороны,
5ося~2в2A +\[2), где а — длина стороны правильного восьмиугольника.
Отсюда находим а»
2A+72)
-1) Soar Итак,
-1) (м2). ¦
2.180. О Пусть г и Л — радиусы вписанного и описанного шаров (рис. Р. 2.48);
тогда ДО=Зг, ЛЯ2 + 5#2=Л52=4ЛХ>2 или BD2 = 3AD2, т. е. AD2=3r2. Из
AAKD находим, что KA2 = KD2+AD2=r2+ir2=4r2, а из АОКА — что
СМ2 = 0АГ2+Ал12=г2+4г2 = 5г2 = Л2. Обозначив поверхности вписанного
и описанного шаров через s я S, имеем s=4nr2, 5=4яЛ2. Итак,
522 51
2.181. 12Л27з.
2.18Z П Искомый объем К=- nr2h. Пусть конус образован вращением A ABC
вокруг катета ДС (рис. Р. 2.49); тогда AC=r, BC=h. По условию, - гЛ=5;
тогда V=-nrS. Кроме того, по условию, 2п ¦ DN=L, где D — точка
пересечения медиан, DNLBC. Но DN : AC=DM : AM = 1 : 3, откуда
г 2 3L 2 3L
DN=-: значит, - ш=Ь, т. е. г=—. Итак, V=- nS = SL. ¦
3 3 2л 3 2я
2.183. D Пусть объемы тел вращения вокруг сторон а, Ь, с равны Va, Уь, Vc\
тогда Va=- nh2a, Kj=- nh2b, Vc=- nh2c, где ha, hi,, hc — соответствующие
J J J
высоты. Учитывая, что aha=bhb=chc=2S, имеем Va=- nSha, Kj=- nShb,
Vc=\ nShc или Va=\ nS2 ¦ -, Vb=- nS2 ¦ [, Vc=- nS2 ¦ -. Итак,
3 3 a 3 о 3 e
Рис. Р.2.49
Рис. Р.2.50
208

2.Ш. ? Пусть AO-r, SO-h (p_cj». 2.50), К — объем конуса, Vt и V2 — объ-
емы его частей. Найдем Vi как разность между объемами части конуса,
* основанием которой является сектор АО В, и пирамиды, в основании
которой лежит АЛОВ. Согласно условию, А В—г, т. е. АВ — сторона
правильного вписанного шестиугольника и, значит,
Vx— - ¦ - nr2h—- • —— Л"«- Sth, где St — площадь сегмента АтВ. Тогда
6 3 3 4 3
К2 = V- Kj =- 52Л, где S1=nr2-S1. Таким образом, Kt : K2 = Si : S2. Да-
Далее находим
1
Итак,
2(Юя+Зч/з)
4 12
. 2я-3л/з
2.187.
— я5ч/55- 2.188. — nh3.
21 24
2.189. D Пусть / — образующая конуса. Так как длина дуги развертки боковой
поверхности конуса равна длине окружности основания, то 2лЛ=— (по
4
условию, развертка представляет собой четверть круга), откуда l=4R.
Найдем высоту конуса: h=*jP — R2 = *J\6R2—R1=R-J\5. Итак,
2.190. 10пЛ3/9. 2.191. 27^/2/8 куб. ед.
2.192. D Для нахождения боковой поверхности усеченного конуса воспользуемся
формулой 5бож=я(г1+г2У, где г1 и г2 — радиусы оснований усеченного
конуса. Проведем плоскость через высоту конуса. В сечении получим
равнобедренную трапецию, описанную около круга радиуса г, причем
AD=2r2, BC=2r1 (рис. Р. 2.51). Для описанного четырехугольника имеем
BC+AD-AB+CD, т. е. 2г!+2г2=2/, откуда 8&я=пР. Объем усеяенного
конуса V—-nH((r1+r3J—r1r2), где #=2r, r1+r1=l, r1r1=r1. Последнее
соотношение получается из прямоугольного треугольника OCD, в котором
ОК2 = СК- KD (L COD=90", поскольку ОС и OD — биссектрисы углов
трапеции и, значит,' LOCD+ LCDO = 90°). Итак, К=- nrf^P-r2). Ш
4л
!. 2Л94. 3,75 см.
Рис. Р.2.51
Рис. Р.2.52
209

Рис. Р.2.53
Рис. Р.2.54
2.195.- ? Поверхность S тела вращения состоит из боковых поверхностей двух
усеченных конусов, полученных при вращении отрезков ВС и CD (рис. Р.
2.52), и двух конусов, полученных при вращении отрезков АВ и AD. Таким
образом, S=v(KB+AQBC+n{MD+AC)CD+nKB ¦ AB+nMD AD. Пре-
Преобразуем это выражение, учитывая, 4ToAD=BC, CD=ABuKB+MD=AC.
Имеем
п(КВ ¦ ВС+АС ¦ BC + MD ¦ АВ+АС ¦ АВ+КВ AB+MD ВС)
=n((KB+MD)BC+(KB+MD)AB+ACBC+ACAB) = i:BBC+
Так как, по условию, AC=d, 2BC+2AB=2p, то окончательно получим
S=2ndp. Ш
2,196.
2.197. ? По условию, плоскость AKL перпендикулярна FD и угол между нею
и плоскостью ABC равен 30° (рис. Р. 2.53). Проведем высоту FO; тогда
LOFD=30° и ДOFD = AODC, откуда CD<=FO=Н, ВС= 2Н. Следователь-
4Я2л/з~ . г FD , „ FD2
но, Son,"—-^«Я^/З- Далее, в AOFD имеем OD=—, FIr = W-\ ,
4 2 4
2Н - Н г-
т. е. FD—p. Итак, 5ВОЛ.1 = #V3 + 3 • 2Я ¦ -р=ЗН*ф. Ш
V3 ф
2.198. 4 : 121.
2.199. П а) I способ. Проведем плоскость через пересекающиеся высоты SO
и AOt (рис. P. Z54). Докажем, что ВС — перпендикуляр к этой плоскости
(тогда ВС LAS). Действительно, SO — перпендикуляр к плоскости ABC и,
значит, SOLBC; AOt — перпендикуляр к плоскости BCS и, следовательно,
AO..LBC. Итак, ВС — перпендикуляр к построенной плоскости и прямая
ВС перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе и AS.
Аналогично получим, что BS1.AC, CSLAB.
II способ. Рассмотрим векторы A~S, ~Ш, ~Ш, В~С. По условию, 'aRl'SC,
Ш±Ж, т. е. (Ш, Ж)=(ИЗ, Ж)=0. Учитывая, что IS^AU+Ш, нахо-
находим (IS, ~SC)'=((IE+'ns), "ЕС)=(Ш. TOty+fHS, Ъ~С)=0, откуда "JSlBC.
б) Пусть L&SC=90°; так как BSLAC (это доказано в п. а)), то BS — пер-
перпендикуляр к плоскости ASC, т. е. LBSA=9Q°. Далее, ASLBC, ASLBS и,
значит, AS — перпендикуляр к плоскости BCS, т. е. LASC=>90°.
в) Пусть О — проекция вершины S на плоскость ABC. Плоскость ASO1
проходит через SO (точки S и Н этой прямой принадлежат плоскости
ASOJ; так как ASLBC, то и ADLBC, т. е. высота AD проходит через точку
О. Теперь проведем плоскость BSO; она пройдет через Оа, поскольку точки
В и Н высоты ВО2 принадлежат этоР и Но BSLAC, а знаквт
210

Рис. Р.2.55
и В К LAC. Итак, ВК также проходит через точку О, т. е. О — ортоцентр
А АВС. Аналогично докажем, что и другие вершины проецируются в соот-
соответствующие ортоцентры.
г) Для доказательства достроим тетраэдр до параллелепипеда (рис. Р.
2.55). Согласно доказанному в п. a), SALBC, SB1AC, SCLAB. Имеем
SA2+BC2=SA2+AN2=SN2, SB2+AC2=SB2+BN2=SN2, SC2+AB2 =
= SC2 + SM1 = CM2. Ho CM=AL, a AL=SN (как диагонали прямоуголь-
прямоугольника). Итак, SA2 + BC2=SB2+AC2=SC2+AB2. Ш
2.200. a) 5^/3 и yfsi; б) нет. 2.203. я/3, 2л/з/3-
1204. ? По условию, 5,4 = 12 м, ВС=А м, SB=SC=AB=AC=1 м, т. е. ABSC
и аАВС — равнобедренные и равные (рис. Р. 2.56). Пусть SDLBC; тогда
BD=CDnSD=AD=\fSB2-B?>2=д/49-4=З-Js (см). Используя формулу
Герона, найдем 5д^в=7(Зл/5+6Х375-6) • 6 . 6=7D5-36) • 6 • 6=18
(м2). Плоскость ASD проходит через высоту SO, поэтому
2S&ASD 36 12 1 г- /- ,
SO= =—^=— М- Д^66 находим SbABc=- ¦ 4 • 3V5=s6V5 (ьг).
A Xj
V5
Итак,
Ц • 6^5 ¦
^
= 24 (м3).
1207.
la2-b2 + c2
2
abc
^~?
2.208. D По условию, ребра правильного тетраэдра SABC являются диагоналя-
диагоналями граней параллелепипеда DSMCAKBN (рис. Р. 2.57). При этом парал-
параллелепипед состоит из следующих частей: 1) тетраэдра SABC; 2) пирамиды
DACS; 3) пирамиды KABS; 4) пирамиды MBCS; 5) пирамиды NABC.
Объемы пирамид 2) — 5) равны. Пусть V — объем параллелепипеда,
а Квир — объем пирамиды; тогда Vm?=- V. Имеем V=V-m?+- V, т. е.
6 3
1 .
заданные пирамиды (рис. Р. 2.58); тогда
211
1209.
2.210. ? Пусть DABC и

Рнс. Р.2.57
Рис. Р.2.58
V--
где
Ci sin9> («»" LBAQ. Далее, aADE
=- AB ¦ AC sin<p,
откуда
: ADlt т. e.
AD
. Итак,
V1_AB1AC1AD1DE_ABiAC1 ADt
~V AB ¦ AC DE AD AB ¦ AC ¦ AP~'
что и требовалось доказать.
12 lfi/i3*3
Z211. — м. Z21Z
2.213. D Искомую
b<a<bJi.
2
боковую поверхность найдем по
(рис. Р. 2.59). По условию,
формуле
-- см2,
=4 см2. Остается найти 2S&AFK- Имеем IS^afk^AF ¦ FK sin <p, где
. Но Л/" •
• ЯР sin
i (см2). Итак, 5=*—
4
81
sin 9 • ЯР si
(см2). ¦
Z214.
2Л 5. D 'Обозначим через г радиус круга, описанного около основания пирами-
$
Рис. Р.2159
Рис. Р.2.60
212

яю, A;--^ , ... r'-
-.да KM'
~r : KF, так как,
. Проведем апофему SM;
Пусть
Гщара — радиус вписанного шара; тогда для площади &SMN получим
следующие два выражения: Sд5л/^=гшараEД/+КМ)=- MN ¦ SK. Отсюда
имеем
+~ = V ИЛИ 2rmvu(.y/l +1)= ЗЛ,
2V2/ Ц/2
V2V2 2V2/ -Ц/2
ЗЛ
т. е. гшара=
)
. Итак, искомая поверхность
~
2.216.
24
2.217. D Пусть один из кубов стоит на горизонтальной плоскости, а общий
отрезок соединяет середины его противоположных вертикальных ребер.
Рассмотрим вид сверху (рис. Р. 2.61). Общую часть двух кубов составляет
фигура ACDBEF, при этом CDEF—грань параллелепипеда,
a BED — проекция грани пирамиды (рис. Р. 2.62). Основание пирами-
пирамиды — вертикальная грань параллелепипеда, площадь которой равна
а
DE ¦ а. Так как Х>Е=а, ВК=-, то суммарный объем двух пирамид
Vt = 2 -(?¦-=—. Объем параллелепипеда VJ=sa1 ¦ CD, где
-l), т. е. V1=a3(y/2-\). Итак, объем общей
1218. аа/4. 2.219. 2(^2- 1)а3.
2.220. D Пусть первоначально угол поворота равен 0°. Если провести сечение
через центр общей части двух кубов перпендикулярно диагонали, то полу-
Рис. Р.2.61
Рис. Р.2.62
213

Рис. Р.2.63
Рис. Р.2.64
чится правильный шестиугольник. После поворота на 60° этот шестиуголь-
шестиугольник совместится сам с собой, т. е. ребра кубов пересекаются (рис. Р. 2.63).
Искомая общая часть состоит из двух одинаковых правильных треуголь-
треугольных пирамид с вершинами в точках О и О1. Так как все углы при
вершине — прямые, то объем каждой пирамиды К, — —, где * — О А. Высо-
6
00, a-Jb 1
та каждой из пирамид Л=—— — -—¦. С другой стороны, Vi=- SamK где
Доен-
Ь* 1
О 5 2
Ьу/3 ,
*> откУда Л=^~- Значит,
3
-^—, т. е. />=—. Итак, искомый объем К=2К, =—=—. ¦
3 4 4 -3 64
2J21. D По условию, АВ=а (рис. P. Z64); тогда АВ1 =а-/2, как и все остальные
ребра построенной пирамиды D^AB^C. Значит, все ее ребра — правильные
треугольники, т. е. DXABXC — правильный тетраэдр, а его полная поверх-
поверхность
5=4 ^-=2а\/з. Грани тетраэдра отсекают от куба равные
пирамиды, объем каждой из которых Vx=—. Итак, объем тетраэдра
6
24Z2. а3/6.1223.
2J2A. D Проведем плоскость, перпендикулярную ребру (рис. P. 2.6S), и найдем
Рис. Р.2.65
Рис. Р.2.66
214

стороны параллелограмма, полученного в сечении. Имеем КМ=~,
„л1 т2 п1 . тгп* , пРп1 _
KN--, откуда Sm=— - япЗО°—^-. Итак, V-Sml**—. Ш
1225. 9^/39/4 см3. 2.226. 336 см3, 396 см2.
1227. 2ЛД2, . ф Доказать, что первый цилиндр проходит через ось
6
второго.
о2B-о)
2.229. ; задача не имеет решения при ?>2.
4
1230. ? Высота данного конуса также описывает конус (рис. Р. 2.66), образу-
OD SD OD Л
ющая которого равна Л. Так как aSOD~ aSDA, to —=— или —-
SD SA h
I
Л2 Л2 яЛ3
откуда OD=—. Итак, искомая поверхность ?=я — А=——.
1231.
2.233. ? Проведем отрезки AN и DN (рис. Р.
2.67) и рассмотрим объемы пирамид
SABN, SAMN, SMND и SDNC. Пусть
Vsamn=V\ тогда VSusD = y (AANM и
AMND равновелики). Имеем Vsabs'-
¦ Vsaun=AB : MN, a Vsdsc '¦ Vsmnd =
AB
= CD : MN, откуда VsABN=-rr- V,
CD
И VsABN+VsDNC =
V=2V. Таким образом,
AB+CD
MN
VSabcd=4V=4Vsamn.
Рис. Р.2.67
Vsamn=Vamsn=zSlSmnK гдеЛ — указан-
4
ное в условии расстояние. Итак, VSabcd=z
2.234. D По условию, площади оснований равны St и S2. Разобьем многогран-
многогранник на пирамиды с вершиной S, взятой произвольно внутри многогранника
в плоскости сечения, равноотстоящего от обоих данных оснований. Ос-
Основаниями пирамид служат боковые грани и основания данного много-
многогранника. Тогда искомый объем
Я
т 1 Я 1 Я
3 ' 2 +3 2 I
4
3
площади треугольников, аналогичных рассмотренному вы-
выше ASMN (см. решение задачи 2.233). Но Y,SAsitfiifi'cS3, где S3 — пло-
щадь сечения. Итак, V=— E1 + 52+453), что и требовалось доказать.
6
1235. - (Zab + luibi+ab! +atb).
о
215

ГЛАВА 3
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ
3.001. ? По условию, АВ-АС, АА^ВС, BB^LAC, LBAC-a. A
а а а
(рис. Р. 3.1). Пусть ВС=а. Из AAAtC находим AAt=- ctg -, AC= ,
2 2 ос
2 sin -
2
а из Д2?2?,С получим ВВ
/л а\
\=а sin -—- 1 =
V2 г)
a cos -. Используя условие, име-
ем
2/tg-
a a a a a ( a\ 2
- ctg- + a cos - = /или- ctg - 1+2 sin - =/, т. e. a= . Итак,
22 2 22\ 2/ a
/tg-
1 + 2 sin -
2
AC=
(a\ a a / a\
1 +2 sin - ) sin - cos - 1 +2 sin -I
1} 2 2\ 2}
/
/
a /л a
cos -+sina sin ( - —
3.00Z sjb1 + c2 +1,2ic. 3.003.
3.004. По условию, АЬ
л + a л —За
2 sin cos
4 4
ой sin a
sJa1+b1-2abcosa.
^С, BC-a, LABC=a, АВ^В.С (рис. Р. 3.2).
АС ВС
В ААВС по теореме синусов имеем = , откуда
sin a sin A80° —2а)
a sin a a
АС= = . Проведем AtBJBC. Из ^ВА1В1 находим
sin 2a 2 cos a
1 а 1 1 а
А,В.=- ВС=-,ВА,-- АВ=- АС= , L?i^i^=180°-a и по теореме
2 2 2 2 4cosa
косинусов получим
А
В а с
Рис. Р.3.2
216

Рис. Р.3.4
a2
W2.=— +
4 16 cos2a
a2 (8cos2a+l)
а2 а2 а2 а2
2 cos A80°-a) = - + г~+~
8cosa 4 16cos a 4
16 cos2 a
a
BB,=-
cos2 a 4
3.005. ? По условию, ABCD — трапеция, AB= CD, О — центр вписанного
в трапецию круга, OELAD, OE=R, l_BAD=a, а< л/2 (рис. Р. 3.3); требует-
требуется найти Pabcd=AD + 2AB+BC. Согласно свойству описанного четыреху-
четырехугольника, имеем А?>+ВС=2АВ; значит, Pabcd=*AB. Проведем ВЩОЕ;
2R
тогда BK=2OE=2R. Наконец, из аВКА находим АВ-
sin a
sin a
3.006. ? По условию, АВ-АС, ВС=а, LBAC=a, LABBt
па л a
Имеем LABC-LACB* , LB.BC= ,
2 2 '44
. P. 3.4).
LBBxC~n-
(л а л a\ n 3a
+ )™-Н—• Из дВВ.С по теореме синусов
2 2 4 4/44
находим
, /я а\" . /я За\'Т'е'
sin яп -н—
\2 2/ \4 4/
3.007.
3.008.
tin 2a
. я—а а
3.009. г1 ctga ctg -.
4 2
3.010.
4Л* sin —- сое
2 2
sin я sin Д
3.012. Q По условию, в прямоугольном треугольнике АСВ имеем: LACB-90y
LCAB-% S^abc'S, ABi-BxC и АСхшСхВ, ВВ^СС^О (рис. P. 3.5J;
требуется найти расстояние от О до АВ. Проведем CD LAB и положим
217

С А, Е В
Рис. Р.3.5
A
В
/
F С
В, f
в :с
Рис. Р.3.7
h h
CD = h.Vh AADC я ACDB находим АС= ,CB=-
sina
= . Так
cos a
I
как S=- AC BC=
2' sin 2a
, то h = ^S sm2s. Проведем ОЩАВ, OFf)AC=F.
ca: oc 2
=A:. Так как ACKO~ACDC,, to —= =-,
CZ> CCl 3
2 1
откуда САГ=- CD,&KD=- CD
АВ, поскольку OeFEjAB. ¦
5 sin 2a
это и есть расстояние от О до
3.013. П По условию, в равнобедренной трапеции ABCD имееем: AB"CD,
BBXLAD, BBi=h, ACf)BD~O, LCOD=a (рис. Р. 3.6). Так как
LCOD — внешний угол равнобедренного треугольника AOD, то
a 1 1
LOAD= LODA=-. Далее находим BiD=ED+B1E=>- AD+- ВС~
1
=- (AD+BC) = MN, где MN — средняя линия трапеции. Из ABB^D полу-
чим Д1/
a a
1 ctg - =А ctg -.
/ /« «\ Р sin a b sin a
3.014. V* tga tg (---]. 3.015. 3.016. -3-.
4eM»(---j siny
3.017. D По условию, ЛД=^
LBOC=a (рис. Р. 3.7). Имеем Saboc=- $labc=- S> так как высота
ABOC, проведенная из О, равна - высоты ААВС, проведенной из А. Для
нахождения площади АВОС воспользуемся формулой A.6):
218

Рис. Р.3.9
Н) BC2cos2l BC2
2 sin a
2 sin а
. . а а
4 sin - cos -
-; окончательно полу-
2?С2 ctg? j 45 tg?
Таким образом, =- S, откуда ВС2"
4 3
чим ВС=
3.018. П По условию, АВ=АС, О — центр окружности, вписанной в ААВС,
LABC=a, ODLBC, OD=r, ВО(\АС=В^ (рис. Р. 3.8). Так как ВВХ — бис-
биссектриса LABC, то LBiBC=^, а LBB1C=n—-. Из A.ODB найдем
a
BD=г ctg -. Поскольку D — точка касания основания ВС равнобедренного
треугольника ABC с окружностью, получим BC=2BD=2r ctg -. Наконец,
в ABBtC по теореме синусов имеем
a
2rctg-
2
sin I я
a , a
2rctg-sina 4rcos ~
2 2
Та " ЗГ-
3.019. П По условию, ABCD — квадрат, МЫВ, МА=МВ, LAMN=a,
NeCD (рис. Р. 3.9); требуется найти Samnd : Sbmnc- Пусть АВ=а;
MA+ND a + 2ND MB+NC
тогда
. Проведем
и из
219

AMEN найдем МЕ=а ctga. Отсюда ND=MA-ME=~-a ctga=
a—2actga _ „ -
= . Подставив вместо ND найденное значение, получим
я
tga—tg -
а+а—2а ctga I—ctga tga—1 4
Sbmnc 3a — a + 2actga 1+ctga tga + 1 я
1+tgatg-
3.02Л _V_ig.sg + sm-. 3(m. _ Sin2д sin2a. 3.022. ctg2 (---). 3.023. sin2a tg-.
sin a n \4 2/ 2
4 sin ^ cos
3.024. .
n sin a sm /J
3.025. П По условию, ABCD — ромб (рис. Р. 3.10), LBAC=x (a<90°), r, — ра-
радиус окружности, вписанной в ромб, г2 — радиус окружности, вписанной
в ААВС. Пусть АВ=а. Проведем BEJ.AD. В АВЕА имеем
a sin а
BE=2rl = asina, откуда rt= . Из ААВС по теореме косинусов нахо-
дим А С=у/2а*—2а2 cos A80°—a)=2a cos -. Следовательно,
Pьлвс=1а+1а cos -=4a cos2 -, S^abc=- a2 sinA80°-a)=- a2 sin о, отку-
да r3=
i a
. a sin a ¦ 4 cos^ -
asma r 4 a
И 22
. Итак, — = =2cos2-.
Р&АВС . 2 a , a r2 2a sin a 4
4a cos2 - 4 cos2 -
4 4
LACB m
3.026. П По условию, ABCD — прямоугольник, AC=d, =— (рис. Р. 3.11).
l_ACD n
Я Я 7t /ЯЯ
Так как LBCD=-, то тх+лх=-, х= ; значит, LACB= ,
2 2 2(/п+л) Цт + п)
fill WMF
LACD=— -. Из Ду4ДС и Ду4ДС находим BC = d cos
DC=dcos . Следовательно,
2(т + п)
( тп пп \
dcos — --f-tf'cos I.
\ 2{т + п) 2(m + n)J
п п(т — п) г п(т — п)
4dcos - cos ——..ijidco* ——-'.
с а
Рис. Р.Зк.И Рис. Р.3.12 '
220

3.027. cos - : cos -. 3.028. arccos —-— и n—arccos
2 6 к к
з.озо. Z>sina asifta
a+bcosx b + acos<x
3.031. П По условию, в аАВСимеем: AC=b. BC=a, LACCt = LBCC1. CCi»/;
требуется найти LACB (рис. Р. 3.12). Пусть АВ=с; согласно свойству
ACi b
биссектрисы внутреннего угла треугольника, =- или
АС,+С,В а + b с а + b ас ас be
—= или = , откуда С,В= и АС,=с - = -.
СгВ а СгВ а а + b а + Ь а + Ь
Обозначим LACB через а. В Ь.АССХ и LBCC^ имеем
ЗС ОС
АС2 =Ь2 + Р-2Ы cos -; ВС2 = а2 +12 — 2al cos -. Подставив в эти равенства
Ь2с2 1
значения АС1 и ВСи получим —-==b2 + P — 2Ы cos -
(а + b) 2
и —5 = йг2+/2—2o/cos-; вычитая из второго равенства первое, нахо-
(а+Ь) 2
сЧ^-Ь1) , ,, , а г , ^i ,„ 1Ч «
дим г— =а — Ъ — 21 (a— b) cos - или с =<а + Ь) — 2l(a + b) cos -.
(а + bI 2 2
Но c*=a2 + b2-2abcosx, откуда aJ+i2-2oAcosa=
ос ос
=ar + 2ab+b2—21(a+b) cos - или 2l(a + b) cos -=2<iA(l+cosa) =
2 2
. . , а _ а „ а /(а+*) а /(а+*)
=4a?cos2 -. Так как cos -#0, то cos -¦» , откуда -=arccos ,
2 2 2 2аЛ 2 2аА
На + Ь) _
т. е. a=2arccos — . ¦
2аЬ
3.032. Q По условию, имеем: ABCD — квадрат, AEF — равнобедренный тре-
треугольник, AE=AF, EeBC, FeCD, tgLAEF=i (рис. Р. 3.13); требуется найти
cos LFAD. Для удобства положим LAEF=a, LFAD = fl; тогда
LEAF=MQ°-2а. Так как &ABE=*aADF (по катету и гипотенузе), то
0=- (90"-180°+2«) = а-45о. Следовательно, cos0=cos (a-45°) =
=-^—(cosа + sin а). Учитывая, что tga = 3, находим 1+9=—=—, откуда
2 cos a
1 • 3 ф. 4 2^
, ana=tga cosa——=. Итак, cos/J=—.-—=——. ¦
io vio 2
3.033.30°. 3.034. —+ +. . 3.035. 2arctg—"—, n-2arctg—°—. 3.036.
(/fc+1J />sina A sin a
a2+b2-c2-<f
arccos ——— —.
2 (ab + cd)
3.037. П По условию, в д ABC имеем = . - ; требуется доказать, что
tg В sin В
треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный. Из данного раве-
равенства получим sin Л sin2 .В cosiJ—cos А, sini? sin?/1=0 или sin A sin В х
х (sin В cos В— cos Л апЛ)=0. Но апАФО, sin^^O, так как А и В — углы
треугольника; N следовательно, sm22?— sinZ^=0 или
0, [А+В=п/2,
~[ ИТЯК
221

Рис. Р.3.13
Рис. Р.3.15
бо С=я/2, т. е. треугольник прямоугольный, либо А=В, т. е. треугольник
равнобедренный. ¦
3.039.
sma
3.040. П По условию, в трапеции ABCD имеем: АВ= CD, BC\AD, MeAD,
AM=MD, NeBC, BN=NC, BEIAD, BE=h, LBMC = 2a, LAND = 2ji (рис.
P. 3.14). Так как AABM=&CMD и AABN= &NCD (по двум сторонам
и углу между ними), то BM=MCaAN-ND.H3 AAMNh ABMNнаходим
AM=htgP. BN=htga. Следовательно,
SABCD=(AM+BN)h=h2(tga+tgP)* h яп(а+^
При А=2, а=15° и /J=75° получим
4 sin 90° 4
Sabcd
cos a cos p
8
3.041. A2(a + sina). 3.042.
cos 15° cos 75° cos 15° sin 15° sin 30°
tga-a
= 16.
2 sin2 (a/4)
. 3.043.
i
ctga + a-;
3.044. ? По условию, ABCDAlBlC1D1—прямоугольный параллелепипед,
BlD = l, LBiDDi—л, Pabcd=P фис. Р. 3.15). Из ДВ^Х) находим
DD1 = lcosa, а D1B1=DB=l sin a. Положим AB=x, AD=y; тогда
Bx+2y=P, jx+y = P/2, (x2 + 2xy+y2 = P2/A,
[x2 +У2 = P sin2 ^[x2 +/=Z2 sin2 «""{x2 +/ = P sin2 a.
Вычитая из первого уравнения второе, получим ху= . Итак,
8
Р2 - 4Z2 sin2 a l(P2 - 4I2 sin2 a; cos a
ГпаР= j /cosa= . ¦
3.045. - iuP ctg3 - ctga. 3.046. 3/—^'. .
3 2 yctg2^sina
3.047. ? По условию, ABCAlBtCl—прямая призма, АС=СВ, LACB=a,
AiB-l, L.AiBA=$ (рис. Р. 3.16), требуется найти Vnp=S?kABc- AtA. Из
AAtAB находим AAx=l sin/?, AB=lcos/?, а из ДАОС получим
222
Z>C=АО ctg - =- / cos p ctg -. Следовательно,

I -
с
Рис. P.
с,
\
3.16
D,
В
A
i
A-
/a
Рис.
\a
И
D
P.3.17
'—/с
Рис. Р.3.18
— /cosв - /cos/( ctg- /sin/(=- /^cos2^^-
2 2 2 4 2
= - /3 sin
8
ctg-.
2
3.048.
/ж a\
\A 2)
3.049.
a3 sin 2a tg/J
3.050. ? По условию, ABCDA1B1C1Di —правильная четырехугольная призма,
АВ=а, LA^DCi =х (рис. Р. 3.17). Имеем AjC^a^Ji. Пусть A^D^x; тогда
i3Cj=x. Из Д/^-DC, по теореме косинусов находим
2a2 = 2jr2-2x2cosa=4jr2sin;2 -, откуда х = —-—. Из Ai3i3,/1, получим
2 _ . a
2л2
2sin -
в /2 1-
4 sin2
2sin-
/2 cos a
2 sin
Итак, Г,™»-
2
2sin -
a5 a я — я
3.051. y sin- lg —.
3.052. П По условию, SABC—правильная треугольная пирамида. SA = l,
SOL(ABQ, LSAO = 3. (рис. Р. 3.18). Из ASAO находим 5O = /sdna,
откуда AB—AO^Jb=/^/з cos a. Следовательно,
AO=lcosa,
3gJV3cosa m3sin2acosa
2 sin2 (a/2) 3
Па
/*>/3sin2acosa

3.057. D По условию, SABCD — пирамида, ABCD — ромб, LBAD = x (a<90°),
АВ- a, ((SABbAABC)) = ((SBC^fABQ) - ((SCD)C(ABQ) = ((SDA^ABQ) =
-ft SOL(ABC) (рис. P. 3.19)* Проведем апофемы пирамиды SE, SF, SK,
SL; тогда OELAB, OFLBC, OKLCD, OLLAD (по теореме о трех перпен-
перпендикулярах) и, значит, LSEO= LSFO= LSKO= LSLO=p. Далее имеем
Sabcd аг да а
.?<—= = —. Наконец,
cos/f
Q
2a2 sin a cos2 -
= . |
cos/?
<r sin a
a3 ctgip sin a
3.058.
3.059. П По условию, SABC — треугольная пирамида, АВ=ВС=а, LABC=a,
SOL(ABQ, L.SAO** LSBO= LSCO = p (рис. Р. 3.20). Так как
ASOA= ASOB= ASOC (по катету и прилежащему углу), то
ОА = ОВ=ОС, т. е. О — центр окружности, описанной около ДABC.
Пусть OA = R\ тогда AB-2Rws. LACB или а=2Л sin'(---J=2R cos-,
а Л=
2cos-
-. Из A SO А находим 50 =
= fltg/?
a
2 cos -
, откуда
1 1 atgfi
^пир=г SLABC ¦ SO— a2 sin a
5 О
Ifl'sin^tgft
a о I
2 cos -
3.060. - A3 tg2 a sin ft
3.061. П По условию, DABC — пирамида, ABC — правильный треугольник,
М L D
Рис. Р.3.19
Рис. Р.3.21
224

(ABD)L(ABC), (BCD)±(ABQ, LADC=a. AB = a (рис. Р. 3.21). Требуется
найти высоту призмы с основанием, равным А АВС, причем Ущ, = Упяр.
Высота пирамиды совпадает с ребром VB, так как перпендикуляр, опушен-
опушенный из D на (ABC), должен принадлежать и (ABC), и (CBD). Проведем
DK1AC; так как &ADC — равнобедренный, то КА=КС. Из ADKO нахо-
а ос
дим DK=- ctg -, а из ADBK получим
db=s/dk2-bk2=
Следовательно,
1 flV3 a
Поскольку Vmp=Vnp=—— Я, имеем
да
Я=-
. а . п
ctg2 --ctg2 - =
а
3sm -
3.062. ? По условию, DABC — пирамида, LACB=9Q°, ADL(ABQ, LDBA = a,
LDBC=B (a<B) (рис. Р. 3.22). Пусть AD=h; тогда из AADB находим
AB=h ctga, DB= . Так как BCLAC, то DCLBC и из ADCB получим
sin a
A cos В
BC=DB cos B=—:—-. Итак, в A ABC имеем sin
BC
h cos fl cosB
sin а Л ctg a cos a
.откуда
cos/? я cos/?
, LB=—arcsm .
cos a 2 cos a
3.063. ? По условию, ABCDA-^B^CJ),—правильная четырехугольная усечен-
усеченная пирамида, АВ=а, ОО^(АВС), BiE\\DiF\\OO1, ^ZIi3?=a, LB1DE=P
(рис. Р. 3.23). Пусть А^В^=х\ тогда
аф. ху/2_(а-х)^2
2 2 ~ 2 '
x-Jl, BD = a^J2. Имеем
--OD-OF=
Рис. Р.3.22
Рис. Р.3.23
8-363
225

- -——*—. Из ADiFD находим DiF=FD tga= —JL- tga, а из ABiED
получим BtE-ED tg/f=-—^- tg^. Так как Z>,i:'=B1?=OOi, то
flsin(a—в)
(fl-ac)tga=(fl+x)tg/J или x(tg/?+tga)=a (tga-tgffi, т. е. х- \ ^.
Итак,
oJsin2(a-/
sin2(a+/!)
2-*2) ctg (я/и)
4 cos a
3.065. ? По условию, SABC — правильная треугольная пирамида,
?бож=5?длдс (рис. Р.3.24); требуется найти LASB. Пусть SA = l
и LASB=a; тогда 5бо1=; ^sina. Из AASBno теореме косинусов находим
АВ2=212-212
sin2 -; тогда 5Д^ЛС=-
пользуя условие, имеем: -/2sina=5/2-v/3 sin2-; 3sin - cos - = 5>/з sin2 -;'
tg
a Jb a
-у;
V3
Zy. T- e- «=2arctg
3.066. arctgvctg2a+ctg2/*.
3.067. П По условию, Sabc.x—правильная л-угольная пирамида, lASB=ol,
SM и SN — апофемы смежных боковых граней; требуется найти LMSN
(рис. Р.3.25). Проведем SO±.(ABQ и соединим О с точками А, В, М и N.
Имеем 1_АОВ=~, 1_АВС=— . Пусть АВ^а. Из AMSB найдем
п п
а ос
SM=- ctg -. Далее из AMNB по теореме косинусов находим
М№= — —- COS —- ( 1-COS (Я J J =
2 2 л 2 \, \ я//
a2 / 2я\
=— I 1+cos — J =
— J = a'cos-'-,
а из AMSN получим
226

MN1=1SM2-2SM1 cos LMSN=2 — ctg2 | A -cos LMSN)
=cr sin* —-— ctg* -.
i i" i ¦ г LMSN , a . LMSN
Следовательно, <r cos2 -=<r an*—-—ctg2-; sin—-—=
2 2 2
Итак, Z_Af?W= 2 arcsin
( я a\
in cos - tg - .
V " V ,
я a
cos-tg-.
It 2-
2cosa я я J\2cV sina
3.068. arcsin ——; -<a<-. 3.069. arcsm 5—. 3.070. arcsm ——.
3.071. ? По условию, yi(\i2=l, двугранный угол / равен а, АВеу1, (/; АВ)<=Р;
требуется найти (у2; АВ) (рис. Р.3.26). Проведем AOLy2, ACLI; тогда
LACO = a. (как линейный угол двугранного угла АВСО), LABC=p. Так
как О В — проекция АВ на у2, то L.ABO — искомый угол. Пусть АО = а;
а АС а
тогда АС= (из ААОС), а в &АСВ имеем АВ= = :—. Нако-
sina sinp sina sinp
нец, из ААОВ находим sin l_ABO=—— = sina sin^. Итак,
АВ
LABO = arcsin (sin a sin ft). ¦
3.072. arccos —. 3.073. arctg / + °°S-. 3.074. 2 arctg (cos a). 3.075. J6/6. 3.076.
3 -y5—4cosa
arctg B ctg a).
3.077. ? По условию, SA ВС — правильная треугольная пирамида,
?&ж : SbABC=k, SOL{ABC); требуется найти L.ASO (рис. Р.3.27). Пусть
SO = h и LASO = a; тогда в ASOA имеем AO = htga, откуда
AB=AO^/3 = h tga-y/3, OD=- OA=- A tg a. Проведем SD1AC и из
найдем
тельно,
2
1 ¦ SD=- Atga-
ЗА2 tg2 a • V3
1 /,
AJ+- A2 tg2a=-V4+tgJa. Следрва-
4 2
¦ -V4+tg2a=- A2 tgaV3D+tg2a),
2 4
Рис. Р.3.26
Рис. Р.3.27
227

Итак, получаем уравнение
"к;
Jk2-!
ctgoc=———, откуда a=arctg
3.078. -1/3. 3.079. arccos(V2/4).
3.080. П По условию, OABCDEF — правильная шестиугольная пирамида,
OOXL(ABC), LFOE= LOFOt (рис. Р.3.28). Положим OF=l и LFOE=a;
. д
тогда FE=J2P — It2 cosa=2/sin -. Учитывая, что O1F=FE, в
2
2/sin-
имеем
cosa=-
. a -
sm-=
3.081. ? По
;-=arcsin
;_V3~-i.
2+ ЯП2'
„ • V3-1
a=2arcsin —-—.
2sin2-+2sin--1 =0;
условию, SABC — треугольная пирамида,
AC AC AC AC AC „ „„.
—=—=—=—=—=k (рис. Р.3.29). Так как
AB ВС SA SB SC
AC
AB=BC=SA=SB=SC=—, то AASB= aBSC (по трем сторонам). Про-
Проведем ADLSB и соединим точки D я С. Тогда AASD = &SDC (поскольку
SA = SC, сторона SD — общая и LASD= LDSC), откуда следует, что
L SDC= LSD А =90°. Поэтому LADC — линейный угол двугранного угла
ASDC, т. е. искомый угол. Из AADC по теореме косинусов находим
'IAD2-IAD2 cos LADC,
AASB
1-cos LADC
где AD
SAJb ACJb
равносторонний. Значит,
2k2 . . 2 LADCJlk2
ЪАС1
АС***2 ^т^- A -cos LADC);
3 '
Z.^Z>C=2arcsin -^—,
sin
Ak2
LADC
2 3 ' 
<1,т. e. 0<k<y/i.
3.082. П По условию, АВСА^В^С^ — правильная треугольная призма, АА1=Н,
Рис. Р.3.29
228

Рис. Р.3.30
Рис. Р.3.31
AN=NB. ВМ=МС, ((^jC,M); (ABQ) = a (рис. Р.3.30). Проведем BELAC
и EF\\AAi; LFEB=a как линейный угол двугранного угла. Пусть
BEf]MN=O; тогда FOLMN(по теореме о трех перпендикулярах). Сечение
FE Н
AiNMC1 — трапеция, таккакМЛГЦЛС. Из &FEOнаходим FO
'.О = Я ctg а, откуда
>C=MN=BE ctg60°
4ffV3ctga
= . Итак,
BE=2Hctga. Из
^1 = 2H V3ctgtt.
А ВЕС
значит>
sin a sin a
получим
3.083. П По условию, ABCDA^B^CJ>^—прямая призма, ABCD — ромб,
LBAD=a (а<90°), Л^ : ^Д=Аг, СХЕ=ЕС, ADEF — сечение призмы (рис.
Р.3.31); требуется найти ((ЛЯС); (FAD)). Пусть ЛД=а; тогда АА1=ка.
Проведем BKLAD; тогда FKLAD (по теореме о трех перпендикулярах)
и L FKB — линейный угол между сечением и основанием ABCD. Из Д A KB
найдем 5AT=asina; так как EF\\AD, то FB=- BB±=- ка. Наконец, из
AFBK
LFKB=
получим
к _
FB ка
ВК 2а sin a 2 sin а'
откуда
2 sin a
3.084.
2 cos a
3.087. arctg
3.085.
j. 3.086. -(а2-Ь1)(а-Ь) tg3atg/?.
8
m + n
. 3.088.
1
^. 3.089.1. 3.090.
2sm(a/2) 7 2cos«p
3.091. ? По условию, SA1A1A3...Al2 — правильная двенадцатиугольная пира-
пирамида, SAtA; — сечение пирамиды плоскостью, ((SAlA'^(AlA2A3))=a,
SbSAtA^S (рис. Р. 3.32). Проведем SO±.(A1A2A3). Пусть OAl=R; так как
360°
LAiOA^ = 30°, Z.^1O^5 = 30° 4 = 120°, то AtA, — сторона правиль-
правильного вписанного в окружность треугольника и AiA,=R^. Проведем
229

,; тогда
?, OK=-R. Из aSOK находим
OK R 1
SK= = , SO=- Л tea, поскольку L.SKO — линейный угол дву-
cosa 2 cos a 2
гранного угла между сечением и основанием. Имеем SASAlA>=- AtAs ¦ SK,
1 г R
т. e. S=- RJ3 ¦
2 2cosa 4cosa
, откуда Л
a
. Далее находим
cos a.
Итак,
45 ^/зsin a-v
'3 cosa 1 2\/5cosoc 45 sinayS cosa
T~ ¦ 2 • —Щ- tga: Жп =
3.092. ? Пусть AAJl^B — осевое сечение цилиндра, LAOB=a (рис. Р.3.33).
я ос
Положим АА1=Н; тогда, учитывая, что LOAB= LOBA=-—-, из AAtAB
(п а\ a
находим АВ=Н ctg I -—- I=H tg -. Следовательно,
Я
i
, откуда Я=
3.093. П По условию, ААiB^B — развертка боковой поверхности цилиндра, ААХ
230

Рис. Р.3.34
Рис. Р 3.36
и BtB— его образующие, ЛВ а АХВ. —длины окружностей его основа-
оснований, ABx=d, LAOAi-a (рис. Р.3.34). Так как 1_АОАХ —внешний угол
равнобедренного треугольника АОВ. то LOBA=-. Из AAtAB находим
а а
A1A=d sin -, AB—d cos -. Итак,
AB ¦ AAl=d2 sin - cos-=~ d2 sin a. ¦
3.094.
An
nS Am m n nn
3.095. . 3.096. 2arctg— при — <-; 2arctg— при
тш nn n A Am
sin
m + n
n ino-7
n A 8 cos2a
3.098. ? Изобразим осевое сечение конуса; SO — высота конуса, SA и SB — его
образующие (рис. Р.3.35). По условию, SA — SO=d, lASO = ol. Пусть
О
OA>=R. Из &SOA находим SO=Rctga, SA= . Используя условие,
яп а
R ЛП-cosa) a a
имеем R ctga= = R tg - =d, откуда R=dc\g -. Итак,
sin a smi 2 2
Vi<m=z t-R2 SO=- nR* ctga=- iuP ctg3 ? ctg a. ¦
3.099.
ncf
2snr sina
V4 У
3.100.
2arcsin —.
In
3.101.
12 sin (a/2)
3.102.
An cos P cos* (ft/2)'
nh
3sin
?-,(<-'¦"-;>••¦
3.104. arcsin .
3.105. D По условию, SAK—коиус, SO -его высота, ВК—хорда, ВК=а,
•иВпК=а, LOSK=P (рис. Р.3.36). Так как иВпК=а°, то LBOK=a\ Пусть
R — радиус основания конуса; тогда в Д ОВК имеем
2R i R
a1=2R1- 2R2
sin2 -, т. е. a=2R sin -, откуда R
, т. е. a2R sin ,
actgfl
A SOK находим SO = OK ctg 0 = ---~jrr. Итак,
2 sin (i/2)
—г-г—л Из
231

V=-nR2 SO=
a ctg/? na3 ctg/?
3 4 sin2 (a/2) 2 sin (a/2) 24 sin3 (a/2)
3.107. ? Пусть AA^B^B — осевое сечение усеченного конуса, где АА1
и ВВу — его образующие, А В и AtBt — диаметры его оснований,
F и К — центры этих оснований, AB1(\i1B"O (рис. Р.3.37). Согласно
условию, АО : ОВХ=1: 1, LAOB=a, ABt=l. Имеем АО=- I, OBt=- I,
я a
I_OAB= LOBA= . Проведем B^ELAB и из AABJL находим
5t?=/sin I-— J=/cos-. Затем из Д OF А найдем AF=AO sin -—- /sin -,
a 1 a
и, наконец, из AOKBt получим KBl = OB1 sin -«¦- / sin -. Итак,
У„-\ I cos \ g t ^ 14 t> sin2 |+I /» sin2 I
7я a . , a 7л/3 a
=_/3cos-s,n2-.— smasm-. ¦
3.108. П По условию, ABCD — ромб, ЛВ=а, LBAD-*a (a<90°), MN — ось
вращения, АГЛГЦЛС, BeMN (рис. Р.3.38); требуется найти
^2(Г— Vbec)- Трапеция BECD при вращении образует усечен-
усеченный конус, а треугольник ВЕС — конус. Имеем
Кт.4,-2 (- я BE(BD2 + BD ¦ ЕС+ЕС2-ЕС2)) ~- п BE ¦ BD (BD + EQ.
Ho BD-2BO-2EC; поэтому Ут.,р-4я.5? • ЕС1. Учитывая, что L.CBE<*-,
ос a
из А ВЕС находим ЕС^а sin -, BE—a cos -. Итак,
К1.ч>-'4яа со* - • a1 sinJ -—2па3 sin a nn -. ¦
232

n a
3.109. - ab(a+b) sin a cos -. 3.110.
Snr2 cos2
(H)
З.Ш. arccos(l/9). 3.112.
/ cos a sin p
sin(a+/0
. 3.113.
- 3.114.
К cos1 (a/2) sin a
3.115. ? По условию, SAE — конус, SABCD—вписанная в конус пирамида,
АВ=ВС. CD=AD, LABC=a (рис. Р.3.39). Проведем SOL(ABC) и обозна-
обозначим OA=R, SO = H. Отрезок SO является высотой конуса и пирамиды;
1 a
тогда VX0S=-nR2H. Так как LABC=a, то LBAC= LBCA=90°—,
LADC= 180° — а (согласно свойству четырехугольника, вписанного в окру-
18О°-A8О°-а) a
жиость) и L_CAD=LACD= =-. Таким образом,
LBAD = LBAC+ LCAD=90°, т. е. &BAD — прямоугольный и BD = 2R.
Аналогично, ABCD — прямоугольный и, значит,
Sabcd=>2Sabad = 2
1 ad=:
°--|2Ляп- =
4Л2 sin - cos -=2R2 sin a.
Тогда Кпнр=- ¦ 2R2 sin a ¦ H= . Окончательно получим
Vo*P2R2Hmia. nR2H 2 sin а
3.116. ? По условию, DAB — конус, DABC — вписанная в этот конус пирамида,
ADLBD, ADLCD, DBIDC, DO1(ABQ (рис. Р.3.40). Так как DB = DC=DA,
то AADB= AADC= ADBC как прямоугольные треугольники, имеющие
по два равных катета; следовательно, А АВС — правильный. Положим
aJ2 ОА
ЛЯ=а; тогда ХМ=——. Из &AOD находим an LADO=—-
=-^—, т. e. LADO=2xcsm —.
Рис. Р.3.39
Рис. P.3.40
мок
Рис. Р.3.41

З.И7.
. 3.118. V tg* -. 3.119. ^ sitn* « «in» 2*
2 12
3.120. ? Осевое сечение фигуры изображается треугольником SAB, в который
вписан полукруг МпК; SA и SB — образующие конуса, SOLAB — высота
конуса; АВ — диаметр основания конуса и МК — диаметр полукруга;
О — центр основания конуса и полукруга (рис. Р.3.41). По условию, SA=l,
LSAO=a.Vb Д SO А находим OA = l cos a. Пусть С — точка касания полу-
полушара с боковой поверхностью конуса; тогда OCLSA. Из АОСА получим
ОС=ОА sin a=/cos a sina=- /sin 2a. Следовательно,
V=- nOC*=- n ¦ - P sin3 2a=— nP sin3 2a. ¦
J -JO i^
3.121. 2arctg -. 3.122. cos 2a, считая от основания. 3.123.
3.125. 7/25. 3.126.
2 cos2a
3 sin2 2a cos3 a
.3.124. 1- k.
cos 2a tg a
3.127. ? Изобразим осевое сечение фигуры. В сечении получим ASDE, где SD
и SE — образующие конуса, ED — диаметр его основания, SB — высота
конуса, О — центр большого круга вписанного в конус шара, С — точка
касания круга с SD, A — центр окружности, по которой шар касается
боковой поверхности конуса (рис. Р.3.42). По условию, AC=r, LBSD=a.
Соединим точки О и С; тогда OCLSD, ACLSB; следовательно,
I_OCA= LBSD = a. Из АОАС имеем ОС= , а из &OCS находим
cos a
ОС г
SO=- : . Но
sin a sin a cos a
sin a cos a
(l+sina)=
sin a cos a
2r<l+sina)
sin 2a
Далее из ASBD получим BD=SB tga
2r(l+sina) tga r(l+sina)
=- nBD2 SB=- n
sin 2a
r^l+sinaJ r(l+sina)
cos a
sin a cos a
. Итак,
Рис. Р.3.42
к в к,
Рис. Р.3.43
234

*(N),
3 sin a cos2 a
"
3.128.
3.129. ? Осевое сечение фигуры представляет собой равнобедренную трапецию
LMM1L1, в которую вписана окружность с центром О (рис. Р.3.43). По
условию, LLj и ММ1 — диаметры нижнего и верхнего оснований конуса,
А и В — центры этих оснований. Обозначим радиусы оснований усечен-
усеченного конуса через Лиг; тогда nR1 :лт3 = 4 или Л=2г. Проведем МЩАВ;
имеем ML=R+r—3r (в силу свойства отрезков касательных, проведенных
из одной точки к окружности), KL=BL—BK=BL—AM=2r—r=r. Из
KL г 1 1
AMKL находим cos L_MLB=—-¦=г- = у т- е- LMLB=aiccos -. Ш
MLt Зг 3 3
3.130. Vsin2-.
4
3.131. ? По условию, ABC — остроугольный треугольник, ADLBC, CELAB.
AD = a, CE=b, LAOE=a (рис. Р.3.44). Заметим, что LABD= LAOE=ol
как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами (OEJ.AB,
ODLBC). Из д ABD и АВЕС находим АВ=-—, ВС=-—. В ААВС имеем
sin a sin а
а2 Ьг 2аЬ
АС1=АВ2+ВС2-2АВ ¦ ВС cosa=^-+^-; r-j-cosa. Итак,
sin* a an' a an' a
sin a
3.132. ? По условию, LDCE= L.DEC, tg LDCE=3/4, AD=AE
и LDCL= LLCE; требуется найти LLCA (рис. Р.3.45). Так как
tg LDCE=3/4<1, то LDCE<45° и LCDE>90°, т. e. ACDE — тупоуголь-
тупоугольный. Проведем DFLCE, AB\DF. Пусть СЕ=а; тогда CF=-, FB=-,
\
DF-\ 1tg
'tg LACB=fBu ¦
и далее LLCA*= LLCF— LACB=- arctg —arctg -. Теперь находим
2 4 4
tgLLCA
/1 3 1\
tg\-2 arctg --arctg Л
/1
*S V2
1
l
- arctg
Рис. Р.3.44
F В
235

1 ^"
z
F 1
3
1 С
Пусть
Рис. Р.3.46
arctg- =
тогда
1
Рис. Р.3.47
1
'l+tg2a
_16
9~~25;'
4
cosa=-;
/l-cosa 1
1 1
3~4 _ 1
Г~13'
1 +
n
3.133. П По условию, AB\DC; AD=BC; LBOC=a; SABcd=S (рис. Р.3.46). Так
как LBOC — внешний угол ADOC, то LBOC=2LODC, т. е. L ODC=a/2.
Проведем BNLCD, EF]\BN; из AOFD и АО ЕВ находим OF=DF tg-,
OE=BEtg-. Пусть BN=h; тогда h=OF+OE=(DF+BE) tg-. Но
SABCD=(.DF+BE)h, т. e.
3.134. 72/97. 3.135. 2 sin
1 ctg-, откуда А=
3.136. ? По условию, BC=*a, ADLBC, AD=h, LBAC=a. (рис. Р.3.47); требуется
найти АВ+АС. Пусть Л — радиус окружности, описанной около ААВС;
тогдаа=2ЛяпЛ = 2Л sin a,
4Л sin cos —— =
. 180°-а В-С а В-С
4Л sin cos =4Л cos - cos .
НоЛ=
2 sin a
4а
и, значит,
а В-С а В-С
АВ+АС= cos - cos = cos .
2 sin a 2 2 .a 2
0)
Далее имеем.а
как
hsin(B+C) Asina
ctgB+ActgC= . _ . „ = . _ . _; так
Ц=г;
sin5smC sin5sinC
sinB sinC=- (cos(B— Q—cosE+C))=- (cosE— Q+cosa),
2Л sina
. Следовательно,
то
cos (B— Q+cos a
236

2Asina 2/rsina-acosa
cos (В—C)= cosa= .
Учитывая, что cos E— C)=2cosJ
П
получим
2Л sin a-a cos a ,В—С В—С 2hsma—a cosa+a
=2со5*— 1, откуда cos-—— = / .
а 2 2 у 2а
Подставив последнее выражение в равенство A), окончательно находим
AB+AC=
а /2А sin а+а A — cos а)
2a
4A srn - cos ~
\la2h sin - cos - +a* sin2 -
2ahctg-+a2.
J, a 5sin(a — y)
a2 +45 ctg -. 3.138. —-7 V-
2 2sm(a-t-y)
3.139. ? По условию, АЩВС, BC=2, LABC= LBCD =135°,
(рис. Р.3.48). Tax как углы при основании равны, то трапеция равнобедрен-
равнобедренная, т. е. AB=CD. Находим <L^Z>C=180°-135°=45°;
180°-150°
LODA= = 15°; /_ЯОС=45°-15о = 30°. Из ABDC по теореме
ВС BD 2 sin 45° г гм
синусов имеем . ,)чо= . ,^fo, откуда BD= . ,-о =2^2. Итак,
sin 30° sin 135°
sin 30°
~ BD2 sin 150°=- ¦ 8 • -=2 (поскольку площадь выпуклого четырех-
четырехугольника равна - t/jt/j sin а, где ос — угол между диагоналями). ¦
Рис. Р.3.48
а В Е
Рис. Р.3.49
237

cos a
p1+ap-q2
3.140. - Е— . 3.141. -cos2а. 3.142.
2sm2a p
3.143. ija'-b2 siaa—b cos a.
3.144. П По условию, LBAC=a, BC=a, l_DAB= LDAC, AELBC, LDAE=fi
(рис. P.3.49). Имеем LBAD^, Z.AD?=90°-/?; тогда
(согласно
свойству
внешнего
угла
o a
2
треугольника),
LACD= 180° (90°-/?) = 90°+/!—. Пусть AD=l; тогда по теореме си-
нусов из AADB и
BD I
получим:
I sin -
a
sin - sin
DC
a
sin - an
Следовательно,
/sin
;DC-
/sin-
cos|0--
a=.RD+.DC=-
in I ^c
cos (fi-^
/ sin a cos p
cos В—
Н)-И'
cos
a cos p—
откуда /=-
sin a cos P
3.145. П По условию, Z./4C5=45°, LABC=\5°, BC=*a, AMLBC, AM~ радиус
окружности, Е в F — точки пересечения окружности со сторонами АВ
и АС; требуется найти Safme (рис. Р.3.50). Из ААМС и ААМВ находим
МС=AM ctg45°=AM, MB=AM ctgl5°. Тогда а=СМ+МВ=
=^M(l+ctgl5°), т. е. АМ= —;. Заметим, что LFAB=\W-
l+ctgl5
Рис. Р.3.50
Рис. Р.3.51
238

- D5" +15°) = 120°. Следовательно,
4FME-- п A +ctg 15°J ~3 (ctg45° +ctg 15°J~
ruj2sm245°sin2l,5o ял2 A-cos 30°) па2 B-у/з)
3 sin2 60°
18
3.146. ? По условию, LACB=90°, LCBA = a (рис. Р.3.51). Пусть Л и г — соот-
соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей; тогда
AC=2Rsina; BC=2Rcosa. Следовательно, SbABC=~ ¦ 4Л2 sinacosa =
S 2R1 sin a cos a • 2
= 2R sin a cos a. По формуле B.4) находим r = -
p
2Л sin a cos a
-, откуда
r
— «
R
I +sina + cosa
2 a
4sin - cos - cos a
2 sin -
I cos2 —sin2
, a . a a
2cos2 -+2sm- cos -
a a
cos - + an -
a / a a\ a г (п \
= 2sin - I cos —sin - l = sina — 2 sin -=sina + cosa—1 =\J2 sin I -+a I —1.
Это отношение является наибольшим при условии sin
= 1, откуда
n n n
- + a=-,T. e. a=-. ¦
4 2 4
3.147. ? По условию, AB=BC, LACB~a, LCAM=0 (рис. Р.3.52). Пусть АВ=а;
тогда
0,5ЛВ AM ап(а-Д) asin(a-^) sin(a-P)
0,5AC AMsin/f 2acosasin^ 2cosasin^'
так как АС=1а cos a. ¦
3.148. D По условию, LBAC=a, LBCA=y (a>y), AD=DC, BE — биссектриса
(рис. Р.3.53); требуется найти S^bde '¦ S^abc- Проведем BFA.AC; тогда
BF
^—,
sin a
BF
sin у
..Имеем
1
-- AE BF;
2
fiF 1 AE AE AB BF BF siny
== . Ho —=—= : = ; составим
S&ABC 2 (\I2)ACBF 2 AC EC ВС sine siny sina
M
Рис. Р.3.52
23S

теперь производную пропорцию
Итак, окончательно находим
АЕ
sin у
АЕ
sin у
=или = .
АЕ+ЕС sina+smy AC sina+siny
gn у
sin a— sin у
2 sina+siny 2(sina + smy)
a-y
а+У . а-
cos ——- sin ——
a-y
2cos ——- sin
a + y
3.149. П По условию, BMLAC, ВМ — диаметр окружности, LBAC=a,
LBCA = p, KhL — точки пересечения окружности со сторонами АВ и ВС
(рис. Р.3.54); требуется найти Яддхл/ ' S&ABC- Пусть BM=h; тогда
AM-hctga, MC=h clgfi. Имеем
= - AM ¦ ВМ + - МС ВМ = - ВМ
=- A2 (ctga+ctg?)=- А2 ЯП а . .
2 »»-/ 2 sina яп/?
Далее,
L ABM=90°-a,
LMBC=90°-P и так как 1_ВКМ= L.BLM=90° (как вписанные углы,
опирающиеся на диаметр ВМ), то LBMK=a, L.BML=ji. Тогда из АВКМ
и ABLM находим КМ=A cos a, ML=h cos/?. Значит,
i=- KM ¦ ML sin(a+/?)=- A2 cosa cos/? sin(a+/?). Окончательно по-
лучим
A/2) A2 cos a cos ^ sin (a
(l/2)A2sin(a
Isinasinfi 1 . _ . _„
=- sin 2a sin 2fi.
4
3.150.
2 sin
1
3.151. ? По условию, LC=90°, LCAB=a, AD=DB, LDEA=P, AE>-AC
(рис. P.3.55); требуется найти Sbdec ¦ S&ade- Проведем DKXAC и поло-
положим DK=h; тогда EK=h ctg/J, ^AT=Actga, BC=2h (так как BD=AD),
AC=2h ctga, ^f=A(ctga+ctg^). Далее находим ShADE=- A2 (ctga+ctg Д,
Рис. Р.3.54

1
2Aa ctga; SBDEC=S&ABC—SbADEh2 ctga—- h2 (ctga+ctg/?)=
1 h2
¦ч- h2 Dctga-ctga-ctgP)=— Cctga-ctg0). Итак,
ctga+ctg/? " tga+tg/?
cos -
3.152.
2 sin - sin p
3.153. считая от вершины. 3.154. —.
cos a 4
a-/
2/п + л
2 sin cos
-. 3.156. . 3.157. arccos
Sin 2
) « . 4-Jfc2 . 4-fc2
-. 3.158. arcsin —-у- и я—arcsin —j—;
2pg(n2+m2)
3.155. arctg
и я—arccos
3.159. ? По условию, BDLAC, DC: AD = k, DC>AD, 1_DBC> L.DBA.
LDBC: LDBA<=2:\ (рис. Р.3.56). Пусть LDBA = a; тогда L_DBC = 2a.
и Z_C=90° — 2a< Z_/l = 90° — a. Имеем sin С=sin(90°—2a)=cos2a. Из
ABDC и ABDA находим DC=DB tg2a, AD=DB tga. Значит,
L X)C tg2a 2,-2, *-2 , .
k=—=——= ;—; 1— tg2a=-; tg2a= , откуда следует, что к>2.
AD tga l-tg2a к к
Итак,
sin С=cos 2a =
l-tgaa
l+tg2a
k-2~k-V
h
3.160. -
-. 3.161.—. 3.162. 2 arcsin ^
18 4
и arccos
3.163. —.
3.164. ? По условию, в равностороннем треугольнике ABC имеем
AL:LC=n:m (рис. Р.3.57); требуется найти тупой угол ALB. Пусть
Ь пЬ
AC=b, AL = nx, LC=mx; тогда пх + тх = Ь, откуда х= , AL= ,
т + п т + п
Рис. Р.3.56
241

mb
Проведем BBi:LA&, отсюда
b mb—nb
2 '
b
~~2'
r.i + n 2 2(m+n)'
Из ABBtL находим tg LBLBl=-.
BB,
значит, LBLB^axctg
т. е.
L -!LB = n — arctg
_ /я—л
3.165. arcsin(V21/7)Harcsin(V2i/14).
3.166. D По условию, ЛВ=ЛС, ^^
(рис. Р.3.58). Пусть AAt-H и ?Л=2а. Тогда из Д>4>4,С находим
.41C=#tga; с другой стороны, из AAiOC получим
Я Н (п \ Н
A1C=OAlteLAiOC=~tgLAOC1=-tgl^-a\=- ctgat. Значит,
Н ,1 „ l-tgJa 1
Htga=— ctga или tg а=-; отсюда cos>4=cos2a= ^~—~'i
2 2 1+tg'a 3
, 2
(n \ . /T^os2a /I V3
I—al = sma= / = /-=—.
cosB=cosC
3.167. 3/5 и 4/5.
sin yi + sin 5
3.168. D По условию, = sin С; требуется доказать, что Д ABC — пря-
cos.d+cos?
моугольный. Имеем
siaA + sinB
cos A + cos В
sin
cos
A + B
2
A+B
cos
COS
A-B
2
A-B
A + B
2
2 "" 2
Так как sinC=sin(A+B), то
l-2cos2
А+В . А+В А+В п . А+В 2
2яп cos =0 или яп —— ¦ —-—=0;
2 2 2 2 А+В
cos
Л + U
но sin э*0 и, значит, cos (Л + 2?)=cos С=0, т. е. С=л/2.
3.169. -. 3.171. arctg --—- . 3.172. ^
13 e2 + cosa
Рис. Р.3.58
Рис. Р.3.59
242

3.173. ? По условию, в прямоугольнике ABCD имеем: ВЕ=ЕС, DF=>FC.
S '¦ АС2=к (рис. Р.3.59); требуется найти LEAF. Пусть LBAE=x,
LDAF=P; тогда
AB¦AD 1
1
1
AB2+AD1 АВ AD 2BE 2DF 2tg<x + 2tg/?
аЪ+~ав ~ав+~а5
откуда
= ctg(a-
=—. Далее
имеем
tg LEAF
1-tgatgfi
—;
tga + tg^
1
-tg (—(«+«)¦
; так как
1
AD - AB
BE DF 2 2 1
tgatgfi=— = =-,
AB AD AB AD 4
1-
to tg LEAF=
4 3* 3k
—=—, т. e. Z.?4.F=arctg —.
. 2A+*) . 2A+*) . 2A+*) . 2A+*) 2
3.174. arcsrn =—, я—arcsin —-5—, arcsrn 1—, n—arcsin —; *>—-.
ял^ ял^ ял ял я—2
3.175. arctg 1Ш--.
3.176. П По условию, LACB=90°, AB1 = B1C; CA1=A1B, tg LAOB^-k (рис.
Р.З.бО); требуется найти LA и ?А Пусть LCAAt=ij>, LCB1B=q>.
2а а
LAOBX =а; тогда а=<р—</>, tg<p=—, tg^=—, где ВС=а, АС=Ь. Следова-
о 20
тельно,
ti
tg«=
2а а
~Ь~2Ь
ЪаЪ
2A +tg2
3 4*
Отсюда Jfc=- яп2Л; sm24 =—;
4 3
1 4* 4*
- arcsin —; у
Рис. Р.З.бО
А
В N D A, L Q С
Рис. Р.3.61
243

„ я 1 . ¦ 4/fc
LB"--- arcsiny. ¦
3 1 45 1 45 я я 45
3.177. - tg«. 3.178. - arctg -^, - arctg -;+-, --arctg -^.
3.179. ? По условию, AB**AC. DEFL — вписанный в ААВС прямоугольник,
периметр которого не зависит от выбора точки Е на АВ (рис. Р.3.61);
требуется найти япЛ. Проведем АА\1ВС и положим AAx=h, BC=a.
Построим еще один прямоугольник, вписанный таким же образом, одна из
сторон которого проходит через точку Н, где АН=НА1; при этом
KR АН
Pknqr—Pdefl (согласно условию). Так как AAKR~ ААВС, то -zrp,=
т. е. KR:
ah
Далее, Pknqr=2(NK+KR)
ААХ
=а+Л. Пусть
DE=x; учитывая, что AAEF~ ААВС, получим
a(h-x)
EF--
Тогда Pdefl=2(DE+EF)=2\х +
ВС ААХ
ah—ax\ 2(xh + ah — ax)
Поскольку Pknqr=Pdefl, имеем
2(xh + ah-ax)
2xh+ah—2ax—h2=0, откуда Bдг—А) (а—А)=0. Это равенство должно быть
справедливым при любом значении х, значит, a—h = 0, т. e.h=a. Наконец,
А АХС а а \
из АААХС находим tg -=—-^-=—=—=-, откуда
2tg-
3.180. 2arccos
lab
3.182. П По условию, OAiAB1 — сектор, О,— центр вписанной в него окружно-
окружности, OA=R, O^A=r (рис. Р.3.62); требуется иайти Р 2ОА+1
В АО^ВО имеем О^В=г, OOt=R-r, откуда sin
~ООХ R-r
LOlOB=axcsrn (радианов), iL-^1OB1=2arcsin . Следовательно,
л — г R—т
Рис. Р.3.62
Рис. Р.3.63
244

2Л arcsin
^R A +arcsin
in —— ).
л—rJ
3.183. ? По условию, в ААВС имеем: BC=a, LC=a радианов, LB=0 ради-,
анов, ADi.BC, AD — радиус окружности, пересекающей АС в АВ в точках
К и L (рис. Р.З.бЗ); требуется найти 1ищ.. Из AADC и AADB находим
CD=AD ctga, BD=AD ctg/J. Тогда a=CD+DB=AD (ctg<x+ctg0), т. е.
a a sin a i
AD=-
Значит, LKAL=n—(«+/0> откуда 1иц
3.184. ? По условию, ОАпВ — сектор, LAOB=a радианов, Ох —центр окру-
окружности, вписанной в сектор ОАпВ (рис. Р.3.64). Пусть R — радиус сектора,
г — радиус вписанной окружности; тогда SoAnB=- Л2 а, 5о, = я/-2.
sin -= (R~r) sin - или
В АО^А
r+r sin ¦¦
*>,
,0 @^
-А ый-.
2а ( 1+si
2лЛ2 sin
ix±.OA)
откуда
201
2
имеем
Л sin
1+sin
In cos2 1 -
\4
я sin2
r =
a
—
2
n,
2
: !
a.
?
Итак,
¦ ¦
3.185. ? По условию, АВ — хорда, uANB=a°; AC = BC, DE — хорда,
i)C : СЕ=1 : 3 ( рис. Р.3.65). Пусть CD=x; тогда ?C=3x, ?D=4x. Прове-
Проведем 0F1.ED и соединим точки О я С, О в А. Так как OCLAB (диаметр A/W
перпендикулярен ЛВ), то LFOC= LACD (острые углы с взаимно перпен-
перпендикулярными сторонами). Заметим, что FD=- ED=2x, FC=x. Далее име-
имеем ВС AC=DC ¦ ЕС или АС2 = х Ъх, т. е. АС=хф. Из АОСА получим
ОС=АС ctg -
a
у а
FC
находим sin LFOC=— =
Рис. Р.3.64
245

=——. Значит, LACD<= LFOC=aicsm —=; так как
л/3 V3
3.186.
2 cos2
то tg -<y/b, откуда -<60°, т. е. а<120°. ¦
sin ос Л2 sin а /
-, 3.187. . 3.188. (J4- sin2 а- cos а). 3.189.
/ 2a-sma 8
4Л
3.190. -;
a
Ляп-
sin (|+?
3.191. D По условию, ЛВ=ВС, ВВ^АС, ВВ,=А, LABBt=a (а<л/б),
О — центр окружности, описанной около ДЛ.ВС, Oj — центр вписанной
в ААВС окружности (рис. Р.З.бб). Из ААВ^В находим ABi=h tga; тогда
AC=2h tga=2Л sin2a, где Л — радиус описанной окружности, откуда
A tga h
R=——= г-. Из ААВ,О, получим O.B,=:r =
sin2a 2cos2a
(я а\ /я я\
) = Л tga tg I -— - I. Следовательно,
4 2/ \4 1)
(small— cos I—«Ж , , ,, . ч\
, ' V V2 ))\-h(y _J sma(l-sma)Y
l~2^l /я \ J 4 2cos2a cos2a )
cos a sin
/2cosJa—1—2ana+2an2a\ 1—2sina
 ^s^
. я
sin —
6
cos-'a
3.192. П По условию, ЛВ=ВС, LBAC=a, BFLAC, BF=r+m, где г — радиус
Рис. Р.З.бб
Рис. Р.3.67
246

вписанной окружности (рис. Р.3.67). Пусть R — радиус описанной около
ААВС окружности; тогда AC=2R sinA80o-2a) = 2.Rsin2a,
ос а
BF=AF tga=R sin2a tga, r=*OF=AF tg- = R sin2atg -. Таким образом,
a
получаем уравнение Л sin 2a tg a = m+Л sin 2a tg - или
/ <x\
R sin 2a I tga—tg - l=m, откуда
/я cos a cos -
a
tocos -
a a a a
2 sin a cos a sin - 4 sin - cos - 4 sin2 -
З.,93.
—. 3.194.—
2 sin a sin 2p
-. 3.195. -
-. 3.196. — S ctga sin4a. 3.197.
Pa>Pb>Pc. 3.198.
2cos-
3.199. П По условию, О — центр окружности, О А — неподвижный радиус,
ОВ=ВА, М—произвольная точка окружности (рис. Р.3.68); требуется
найти наибольшее значение LOMB. Пусть LOMB=a, OA = R; тогда
ОВ=-. По теореме косинусов имеем ОВ1 = ОМг+МВ2-2ОМ MBcosx.
R2
Полагая MB=х, получим — = R2 + х2 — 2Rx cos a или
4
4x2 — %Rx cosa + 3R2=0. Это квадратное уравнение имеет корни, если
Z)/4 = 16.R2cos2a-12tf2=4.R2Dcos2a-3);s0, откуда 4cos2s-3»0;
2 cos 2a >1; cos 2a > 1/2. Наименьшее значение cos 2a, равное 1/2, соответ-
соответствует наибольшему значению 2а, равному л/3. Значит, аЯаиб = я/6. ¦
3.200. ? По условию, ABCDA^BxCJi^ — прямой параллелепипед,
ABCD — ромб, AAx=h, LACAl = x, LDBD^f (рис. Р.3.69). Из ДЛ,ЛС
и Al>iDB находим AC=h ctga, BD=hctgP; тогда
- ЛС BD=- A2 ctga ctg0 и, значит, K=- A3 ctga ctg0. Наконец,
из ААВС получим АВ= I- A2(ctg2 a + ctg2/
56о1 = 2А2 V
1
Ал/ctg2 a + ctg2 # поэтому
Рис. Р. 3.68
Ри

3.201.
a3<J cos 2a
sin a
3J02. ? По условию, ЛЗСЛ,Б,С, ¦- ..-„мая призма, АВ = а, LBAC=*a,
LABC-р, Ущ,= У ц,в. Р.3.70). Так как V~SAAScH,
a Saabc
a3 sin a sin /7 aJsinasin/>
2sinA80°-(a+/?))
В
теореме синусов имеем
,„ asin/? _
AC=— -. Поэтому
)) (
ВС АС
-, то
a
sin a sin/? sin(a+/?)'
2Vsin(a+p)
a2 sin a sin /?
, откуда ВС =
- Согласно
Р^лвс-
2a sin
a (sin (a + p) + sin a + sin p)
a + p a-
2 ^»—+ °"^-
2 sin cos
a Д
2acos-cos-
Итак,
2a cos - cos - „ . , „. 2V sin
2 , 2 2Ksin(a+^) 2
a2 sin a sin в а . В
a sin - sin -
3203. ^ tga tg ? 3.204.
2
a3 sin a sin - /cos I q>+-
sm<p
3.205. Z3 sin a sin 0 -Jco&fa+p) cos(a-p).
5л
3207. ? Поусловию, ABCAlB1Cl —правильная треугольная призма, АВ=а,
((Л,Д); (С2М)=<х 0>ис. Р.3.71). Проведем ЖЦСВ,; тогда В^ЦВС, BtK=BC
и iL^jBX=a. так как LA1BlK=* 120°, то из A^jBj^T находим
^jX2=2a2-2a2cosl20°=3o2; AiK-ay/l. Пусть AtB=x; тогда в ДЛ,?К
Рис. Р.3.70
Рис. Р.3.71
248

имеем <.,. ' - - Z< — Zx2 cos а или
из Д/^iBjB получим
Ъа2
-. Наконец,
4sm2-
4sin2
a2(l+2cosa)
% a.
.+.ICOS1---
4sin2
cos -+-
a
т. e. BBX -¦
3.208. ? По условию, ^50^^,0, ~ прямая призма, LACB=tt, LBAC=fi,
S&abc°"S. О — центр окружности, описанной около ААВС, LAlOA=<p
(рис. Р.3.72). Имеем ^C=2O^sinA80°-(a + ^)) = 2O^sin(a+ft. Тогда
„ AC2sinasinfi „, 2Ssm(a + P) . , Л
5=—-, откуда АС2= ~~~- Из ЬА^АО находим
^) i^
>4>4j =O>4tgc)= . Окончательно получим
2sin(a+/?)
К=5 • AAX=S —-
' 2sin (a + Д) sin a sin Д'
3.209. I3 sin 2Д cos § sin a cos2 -.
3.210. ? По условию, ЛВСЛ,В.С, — прямая призма, АВ=ВС=а, LABC-a,
AAi=H, AJiC — сечение (рис. Р.3.73); требуется найти расстояние от А до
(АВС). Проведем 'AELBC и соединим АхъЕ\ тогда A^ELBC (по теореме
5
Рис. Р.3.72
Рис. Р.3.73
249

о трех перпендикулярах). Имеем ВС±(АХАЕ) и,
следовательно, (АХАЕ)±(А,ВС). Проведем
ADLAXE\ значит, ADl^AJiC), т. е. AD — ис-
искомое расстояние. Из ААЕВ найдем
AE=asma, откуда
ААХАЕ получим A
=- На sin at, а из
а1&т1 а, откуда
S&AtAE=- AD •jH2+a1 sin2 а. Решив уравне-
j j
ние- i/asina=- AD ¦ \JH1 + a1 sinJ а, окончате-
Рис. Р.3.74
3.211. D I способ. По условию, ABCA1BiCi—прямая призма, АВ=АС.
АВ+АС+ВС = 2р, LBAC=a, AtBC — сечение призмы, LAlBCA=fl (рис.
а
Р.3.74). Проведем A^IBC и положим W5=jr; тогда ВК=хяп -,
a ot z?
5C=2xsin-, 2/7=2x+2*sin -, откуда дг= ; далее имеем
pcos-
ос 2
. Поскольку LAXKA=P как линейный угол между
2 . а
]+яп-
плоскостями (ABC) и (А^ВС), из ААКАХ находим ААХ
вательно,
1+sin-
. Следо-
Следо1 , р1 sin a
¦ ААУ=- АВ2since ¦ ААХ=*—,
2(l+sin^
р3 sin а cos - tg p p3sinacos3 - tg^
/ а\з ,а
2/ 1+sin A cos3-
, , fn — a\ a a
Р \~2~jSm2COS2t8
/ /л-а\\з
^1 + со.^-
II способ. Пусть
получим
?C=2Actg/?tg-,
а 4
i^h; тогда из ЬА^
1 + sin
находим AK=h ctg/f, а из
5^=/ictg^tg? Значит,
2
cos - cos -
2Actg^ , „ а
откуда 2р= + 2Actg^tg-
a 2
cos-
250

-=>Л ctg/f I 1+sin-J, т. e.
jjcos-tg/f psm[-^-)tgP
1 +sin - 1 +cos
я—а
—tg/?.
Итак,
AAX -i
tg»
Л* ЛЛ, -i 2A3 ctg2 /? tg ?-
/J tg ?=pMg' ^ tg ft tg * ¦
3.212. ? По условию, ABCDAXBXCJ)X—наклонная призма, ABCD — трапе-
трапеция, AD\BC (AD<BC), AD=AB=CD=a, l_BAD = P, B1A = B1B=
=B^C=B^D, BBt образует с (ABC) угол а (рис. Р.3.75). Проведем
BiOX(ABC); так как BlA=BxB=BlC=BiD, то OA = OB=OC=OD, т. е.
О — центр окружности, описанной около трапеции ABCD. Из ABAD по
О
теореме косинусов находим BD1=2a2—2a2cosA80°—/S)=4a*cos2 -, т. е.
BD=2a cos -. Поскольку ABCD вписан в окружность с центром О, имеем
BD = 1OB sin /I, откуда ОВ
Р
2а cos -
. р
2яп -
Из ABtOB получим
a tgot
ОВ1=ОВ tg LBlBO= . Чтобы определить площадь основания, про-
ведем DEL ВС й из ACED найдем DE=aunp, EC=a cos P; тогда
AD+BC
BC=AD+2EC = a + 2a cos р. Следовательно, SAscd= DE=
=a(l+cos/?) • asinp=a1 si
. Итак,
= 2a3 cosJ - tga. ¦
2
Рис. Р.3.75
Рис. Р.3.76
251

a3 sin a sin- tg/i
l
з.213.
sin2(a+/?)
4
3.216.
cos - sin 15
3.217. П По условию, SABCD — пирамида, AB\\DC, AD-ВС, AD = a,
LADC=a, LSABC= LSBCD= LSDCA= LSADB=P (рис. Р.3.76). По-
Построим линейные углы двугранных углов при основании. Проведем
SO±(ABC) и ОЕ, OF, OG, ОН — перпендикуляры к сторонам основания.
Так как ASOE= ASOF= ASOG = ASOH, to OE=OF=OG=OH, t. e.
О — центр окружности, вписанной в основание ABCD; тогда
AB+DC=2AD = 2a. Проведем AMLDC и из A AMD найдем АМ=а sin а.
AB+DC ,, , . а2 sin а
Далее имеем SABCD= АМ=а* sin а; ?бож= -г\
2 cosp
о
, , . ^ 2а2 sin а cos2 -
а2 sin а , а2 sin а A+cos Я) 2
•5полн= +а sin а = ~"
cos p cos p
StgB i 4/3
3.218. —— Jssina. 3.219. — cos a
6 3
3.22Z П По условию, DABC — пирамида, LACB=90", LBAC=ol, r — радиус
вписанной в &АВС окружности, DOL(ABC), LDAO= LDBO=* LDCO = p
(рис. Р.3.77). Так как ADOA = ADOB= L.DOC (по катету DO и равным
противолежащим ему углам), то ОА = ОВ=*ОС, т. е. О — середина АВ.
Пусть О1 — центр окружности, вписанной в ААВС. Проведем О±Е±.АС\
тогда ОхЕ-т, АС=АЕ+ЕС=АС+г. Но ОХА — биссектриса LBAC; по-
а
этому AE=r ctg - ,
а /
АС-г ctg- + r=r I
г-у/2
ВС=АС tga=
откуда
. г
а \
cos (- - - ) si:
\4 2/
sin - cos a
а х
sin - cos -
( а
1 ЯП -+COS
а
sin-
nz
гф. cos -
-3"
/2COS(H)
а
sin-
252

Рис. Р.3.77
Рис. Р.3.78
ВС
a
'. cos -
sin a . / л
/я
Теперь из AAOD находим OD=AO tg/f=-
tg/t
- / ч
4sin I I sin -
и, значит,
1 1 1
-.-¦-ACBC.OD---
a ,
2а
3.223. ? По условию, SABC — пирамида, ВС<АС, АВ=с, LACB=90°,
LBAC=x, SO±.(ABC), О — точка пересечения медиан, AAt—наиболь-
AAt—наибольшая медиана, LSAO=P(pac. Р.3.78). Так как АС=с cos a, BC=c sina, то из
находим
/ 1 1 1
AAt= с1 cos2aH— с2 sin2 a=- с -JAcos2 a+sin2 a=- с ¦v/3cos2a + l;
тогда АО = - AAt=- c-j3cos2a+\. Далее из A.SOA получим
¦ tg0. Итак,
V=- ¦ - с sina ¦ ecosa- -
3 2 3
— c3
36
3.224. П По условию, SABC — правильная треугольная пирамида, О — центр
основания, OKLSB, OK"p, LASBC=a (рис. Р.3.79). Построим линейный
угол двугранного угла ASBC. Имеем ACLSB, поскольку SB — наклонная
к {ABC), OB — ее проекция на эту плоскость, ACLOB. Проведем через АС

плоскость APCLSB; тогда LAPC=a. Так как МР и ОК принадлежат
(SMB)иMP1SB, OKLSB, то МР\ОКя, значит, —- =—. т. е. МР=—. Из
0л Ох? 2
находим МС=МР tg ^=~ tg ^ ЛС*3;? tg ? откуда
. Далее, ASOK~ ASOB (прямоугольные треугольни-
ОК OB
ки с общим углом OS В); поэтому —=—. Отсюда, учитывая, что
OS SB
OB=py/b tg -, получим SB
2
ob^os *Г**\-°*
'OK р
имеем
Итак,
; 3OS2 tg2 - - OS1=3p2 tg2 -; 05=
/3tg2*-l
к=з
4./3tg2?-l
4tg2a
3 J27. ^ JS V5 cos a. 3.228.
3
cos a
3329.
. ЗД30.
a3 sin2 atza
6 cos a
2a2 sin a cos3
Рис. Р.3.79
Рис. Р.3.8О
254

3.231.
/'sin-
sin z sin p
.3.232.
3sm2
3.233.
. 3.234.
4ml2 sin - sin
(И)
я
sm -
л
о3 а
. 3.235.-ctgactg-tg0.
3.236. П По условию, LACB=90°, LBAC=a, CD. BBl, AAt —медианы тре-
треугольника (рис. Р.3.80); через меньшую из них проведена"" плоскость у,
(y; (ABC))=p; требуется найти ((АС); у) и ((ВС); у). Докажем, что CD<AAt
и CD<BBt
действительно,
- AB=~
ВС2 1
ВС 1
AC2 + =-sJAAC1+BC1;
1 '-
^/aC2 +АВСг. Следователь-
Следовательно, CDey. Проведем AA2Ly и АО LCD; тогда i_AOA2=jl как линейный
угол между у и (ABC), LACA2 — угол между катетом АС и у. Пусть
а
ААг=а; тогда АО=-—-. Далее, AD=DC как радиусы окружности, описан-
sinp
ной около ААВС; поэтому LDCA*= LBAC=<x. Из /\ADC находим
AD
АС=-— =
АА,
- -, а из ААА2С получим sin LACA, = —^ = sinasin/f,
sm a sin a sin p AC
т. e. Z..<4C.<4,=arcsin(sina sin^). Аналогично найдем угол между катетом
ВС и у. Проведем BB2Ly; тогда LBCB,—искомый угол. Имеем
ВВ1=АА1 = а (поскольку AAA2D= ABB2D) и из АВВ2С находим
ВВг а
sin LBCB2=—-= =cosa sin/f, т. е. Z.BCB2=arcsin(cosa sin^). ¦
ВС AC tgot
3.237. П По условию, ABCD — ромб, AD ер, LA — острый; диагонали ромба
образуют с р углы я и 2я (рис. Р.3.81). Пусть О — точка пересечения
00.
диагоналей. Проведем OOt±fi; значит, sin LОАО1=-~—
ОА
00.
и sin LODOt= ---. Так как 1_А -— острый, то AC>BD,
Рис. Р.3.81
Рис. Р.3.82
255

sin LOAOt<sin LODOU т. е.
тогда ОЛ
a, a L0D01=2a. Пусть ОО^=а\
а а А О A sin 2a
-—, a OD= . В &AOD имеем ctg-=—=—— = 2cosa,
sin a sin 2a 2 02) sin a
откуда — = arcctg B cos а), т. е. А=2 arcctg B cos а).
3.238. arcsin л/sin («+/?) sin (a - 0). 3.239. arccos
=. 3.240. arccos -
/8+sin2 2а 2
3.241. ? По условию, ABCDEFGH — правильная призма, АВ=а, Ущ,= У (рис.
Р.3.82); требуется найти угол между АН и НС. Так как V=a2 ¦ DH, то
DH= V/a1. В ААНС имеем АС2=АН2+НС2-2АН ¦ HCcos LAHC, т. е.
cos LAHC=
2АН2-АС1
2АН1
V2
3.242. arctg -=!—.
2cosa
3.243. ? По условию, ABCDA1BlC1D1 — прямоугольный параллелепипед,
АВ : ВС : CCt =3:4: 12, ААХСХС — диагональное сечение параллелепипе-
параллелепипеда (рис. Р.3.83); требуется найти синус угла между BDt и (АА^С^). Прове-
дем BKLAC; тогда ВКЦАА^^, поскольку BKi.CC,. Пусть О — точка
пересечения диагоналей параллелепипеда; так как ОК. — проекция ОБ на
CJ, то L.KOB — искомый угол. Положим АВ=Ъх\ тогда ВС=4х,
12x, ^1 2 2
AC=5x,
Далее имеем
ShABc=-iABBC=-АС- ВК, откуда ВК*= *. Х=-—. Наконец, из
АОКВ находим sin LKOB=—= — —. ¦
OB 5 \Ъх 65
3.244. D По условию, PA BCD — правильная четырехугольная пирамида,
S&PBD '• Sabcd^ (рис. Р.3.84); требуется найти cos LDPC. Пусть DC=a
и OP—h; тогда
0,5
•к или А =
Из APOD находим
2a1k1+—'=-iJ2D*^ + 1), а в ADPC по теореме косинусов имеем
-а2D*^ + 1) • cos LDPC, откуда cos LDPC'
4k1
'4F+T
Рис. Р.3.83
Рис. Р.3.84
Рис. Р.3.85
256

3Fcos- j——.
3.245. -j—. 3.246. arctg ( /-^). 3.247. arccos -
3.248. arccos >/ctg a ctg0. 3.249. arctg — и arctg ^—-—.
3.250. О Согласно условию, в пирамиде SABC... двугранные углы АС, СВ. BD,...
равны между собой, ^„ол,, : S6oi=fc; требуется найти двугранные углы при
основании. Воспользуемся формулой ^бог=^осн : cos а, где а — угол между
основанием пирамиды и ее боковыми гранями. Тогда получим
Seox + Sccn 56oi ! 1+cosa 1
к= = 1-1 = 1-1; =к, cosa^O; cosa= ,
¦joch 'Joch cos a cos a k—i
т. e. a=arccos . Решив неравенство 0< <1, найдем к>2. Ш
k—1 k—l
3.251. l-~. 3.252. arctg
S n S n 2
3.254. arcsin -=±-, arcsin -%. 3.255. -, arctg и arctg
r 3 r 2 sin a cos a
3.256. О По условию, SABC — пирамида, SAl-(ABC), AB=*BC=CA,
11:4 (рис. Р.3.85); требуется найти LSABC. Пусть ВС=а,
SA~h; тогда S&ABc——; S6ox=2S?isac+S^sbc- Проведем ADd.BC;
4
имеем iSDJ.BC (по теореме о трех перпендикулярах), т. е. L_SDA=fl — ис-
искомый угол. Следовательно,
- а ¦
2
aDAcos^+eJ3L 11
Согласно условию, имеем^—
2А
как —r:-tg^ (из AASD), то
ф
— 2tg/J, откуда следует, что tg/?<—. Решив уравнение, получим tg/J«-,
т. е. Д-arctg-. ¦
4
3.257. D По условию, PABCD — правильная пирамида, SOL(ABC),
LPDO"i_DPC (рис. Р.3.86); требуется найти LPDCO. Положим
LPDO- LDPC"H, PD~a; из APOD найдем P0=asina, O0«acosa.
Пусть М — середина СД тогда ОМ LCD и PMLCD, т. е. LPMO-q>
является линейным углом двугранного угла PDCO. Находим
DM-OA/» Z_«?^L—!?°JI. Далее, в ДР?С имеем
DC ~ \/аг + а1 —2аг сен л—os/2—2co$ а; с другой стороны,
DC ш2ОМшцу/2с01 ot. Значит, а^2 A - cos a)« o>/2 cos a; I-cos a-cos2 a;
со»2 a+со» a — 1« 0; со» а» — . Теперь из д РОМ получим
9-363 257

Рис. Р.3.86
Рис. Р.3.87
Рис. Р.3.88
2л sin a ,
Ъ<Р=— p V2tga; tgJi=—y--l=——t=-1 =
,/5 + 1
6-2^/5
; <p=arctg ^/,/5-t-l.
3.258. arctg
3.259. D По условию, ABCAJixC, — правильная треугольная призма, боковые
грани — квадраты (рис. Р.3.87); требуется найти угол между ACt и ВС. Эти
прямые — скрещивающиеся. Проведем через Ci прямую, параллельную
СВ; этой прямой является CtBu т. е. LAClB1 — искомый угол. Пусть
2a1+a2-2a1y/2cos LAC^B^ от-
-ч/г
¦
АВ=га; тогда из ААС1В1 находим
¦Л
куда cos
3.260. arctg
. Итак,
arccos
ЪЛЫ. D По условию, SABC — правильная треугольная пирамида, SOL{ABC),
SK—KB, OK* ВС (рис. Р.3.88); требуется найти косинус двугранного угла
ASBC. Пусть АВ~й. Проведем OBLAC; значит, SBLAC(по теореме о трех
перпендикулярах). Затем проведем (ADQ1SB; тогда LADC — искомый.
Так как в прямоугольном треугольнике SOB имеем ОК=ВС=а — меди-
медиана, то гипотенуза SBa. Из ASMB найдем SM= /4а2 = .
¦у 4 2
Далее, используя равенства
BCSM с
SB
находим
1.1a
15a2 15a2
15- ¦
- SB ¦ CD=- ВС ¦ SM, получим
. Наконец, из A ADC по теореме косинусов
4
15a2 7
cos LADC, откуда cos LADC=*—. Итак,
16 15
3.263. arccos 4~- 3.264. arctg
2 s/sin(<x+P) sin(a-/J)
ЗО65. П По условию, .5Л.ВС — пирамида, у4В=>4С=ВС, (SABI(ABQ,
(SAC)±(ABQ, LASB+ LBSC^n/l (рис. Р.3.89). Докажем, что SA — высо-
высота пирамиды. Действительно, перпендикуляр, проведенный из точки
258

Рис. Р.3.89
S к (ABC), должен принадлежать и (SAB), и (SAC), т. е. должен принад-
принадлежать их линии пересечения и, значит, он совпадает с SA. Тогда
ASAB = ASAC (по двум катетам); следовательно, l_ASB= LASC, а углы
ASB и BSC не равны. Пусть LASB=a, LBSC=p и SB=l. Из условия
следует, что а и р— острые углы. Из ASAB находим АВ=1 sin a, a из
A SBC по теореме косинусов имеем ВС=^2P-212 cos p=l^J2 (\-cos 0).
Так как АВ=ВС, то sin a=,/2A-cos/f) или sin I—p I =,/2A-cos/?);
тогда cos2/f=2—2cos/J; cos2/f+2cos 0—2=0. Учитывая, что /? — острый
угол, получим cosp=^/3 — \. Итак, /f=arccos(-y/3 — 1),
a=--arccos(,/3-l). ¦
3.266. П По условию, SABCD — правильная пирамида, SOL(ABC),
:: S6o! = k, SFbSE — апофемы пирамиды (рис. Р.3.90). Пусть АВ=а,
а л
(из ASOF), SO=-ctg-. Следовательно,
LESF=a; имеем SF=
2sin-
I i- a
=2 ' 2
лучим уравнение к
--.*..
-. Тогда по-
2sin- sin-
. г- а . а
er^J 2 ctg - sin -
=
4а2
или к
г- а
л/2 cos -
а
Итак, cosa=2cos2 —1 = 16А:2 — 1. При этом 16А:2-1<1;
2 8
3.267. П По условию, SABC — правильная пирамида, SBK — сечение, прохо-
проходящее через высоту 50 и боковое ребро SB, S&sbk '¦ SBO!m=k (рис.
Р.3.91); требуется найти величину L.SACB. Так как ОВ — проекция SB
на (ABC) и OBLAC, то LSKO — линейный угол двугранного угла SACB.
ал/3 av3 tea»
Пусть АС = a. LSKO = q>; тогда из ДSO*имеем SK=--^—, SO=———.
6cos<p 6
259

Рис. Р.3.92
Значит,
h- ¦ За •
tg |
4 2 6cos<p 4cos<p
Далее находим
a2tg<p-2cos<p
'2
l — 12А-2
При этом 1 — 1*~ ^„, г. ^ ,<- -.. -
12 6
? По условию SABCD — правильная пирамида, cos L (SAD;
(рис. Р.3.92); требуется найти cos L(SDC; ADC). Учитывая, что AC1SD,
проведем (AKC)LSD\ значит, LAKC — линейный угол двугранного угла
SD. Затем через SO проведем (SOM)LCD; тогда LSMO — линейный угол
двугранного угла DC. Пусть AD=a, LAKC*=a и LSMO=q>. Имеем
АС'ш ал/2 и по теореме косинусов из ААКС получим
2a2 = 2^C3-2^C2cosa, откуда КС= ° Далее из ACKD находим
l tSA/ CK
,—-. Но —r:=-^r=tgZ.ADA/ и, следовательно,
1 —k DM KB
ОМ
Итах, cos9=—
ОМ
—
sin a
3.269.
k— sin a
3.270. D I способ. По условию, ABCAlB1Cl — правильная треугольная призма,
AAi=AB, ABi и BCt —непересекающиеся.диагонали (рис. Р.3.93): требу-
260

Рис. Р.3.93
ется найти ((АВ,); (ВС,)). Пусть АВ=АА, =а. Проведем В1ЩВС1,Ве(ВС);
тогда LAB,D=<p — искомый угол. Из AABD находим AD2=a2 + a2 —
-2a2cosl20° = 3a2. В A.AB,D имеем AD1 = lAB\-2AB\coscp\ так как
АВ\=2а2, то За2 = 4а2 — 4а2cos<p, откуда cos<p=l/4.
II способ. Пусть А~Ё=т, В~?=п, АА,=~р\ тогда АВ1=р+т, BCt = n+p.
Используя формулу для нахождения косинуса угла между векторами,
получим
АВ, ¦ ВС, (р+т)(п+р)
cos<p = ~. —
3.271. arccos (л/5/30). Ъ.111. 2arctg(cosa), n-2arctg(cosa).
3.273. ? По условию, АВСАХВ,С,—правильная треугольная призма,
SA В С — пирамида, VSabc=V, ((SABy-(ABC))=a (рис. Р.3.94). Пусть
АВ**а, 5С=А; тогда F=-
3
3 4
A, SaSab=*—— и Л—^- tea. Значит,
4 cos a 2
4 cos a
a'tga
-, откуда а *
ilfv
, Итак,
1 174 п
J.X/Ч* И .
48 cos a 48
3.275. ? По условию, SABCD — пирамида, ABCD — ромб, LBAD = a; двугран-
двугранные углы АВ, ВС, CD, DA равны, АМ=МВ, AK=*KD, MK — сечение,
((SMK)- (ABQ) = p, Sьймк= S (рис. Р. 3.95). Проведем SNLMKn соединим
точки О и N; согласно теореме о трех перпендикулярах, ONLMK.Tax. как
SNe(SMK) и ONe(ABC), то LSNO — линейный угол двугранного угла
между (SMK) и (ABC), т. е. LSNO = fl. Пусть AD = a; тогда OD = a sin -,
а 1а 1 я
ОС=а cos -, NK*=- asm -, ON=- acos -. Следовательно,
¦-NK SN, откуда
25
a
a an -
Из ASON находим cos/J;
ОЛГ
261

Рис. Р.3.95
Рис. Р.3.96
a
a cos -
2S
3cos
2-
«>/
?
¦ a sin
2S
j ctg,
a
2
a
P
a2 sin a
85
. a
on2-
0
, т. е. а=
3.276.
33.77. П По условию, РАВС — пирамида, АВ=АС=Ь, ?_АВС=а, ч, LA — ост-
острые углы, РОЦА.ВС), LPAO= L.PBO- LPCO=fi, POe(PCM) (рис.
Р.3.96); требуется найти S^pmc- Так как АРОА = АРОВ= аРОС (по обще-
общему катету и противолежащему острому углу), то ОА = ОВ=ОС, т. е.
О — центр окружности, описанной около аАВС. Значит, AB=2Rsina, где
b
R — радиус этой окружности, откуда R=—.—. Из АР О А находим
btgp
2 sin a'
Далее имеем LBAO= LOBA=90°-a; LOBC=
2 sin a
= LOCB=a-(90°-a)=2a-90°; LBMC=№° -а-Bа-90°)=270° -За.
Проведем AAXLBC и из АААХВ найдем AlB=bca&ac, тогда BC=2bcosa.
МС ВС
В АМВС имеем -—= . „ . . Отсюда
МС=-
sina sinB70°-За)
ВС яп a 2ft sin a cos a A sin 2a
cos За
cos За
cos За
Окончательно получим
1 рп иг 1
-2 PO ¦ МС--
3.278.
sin2(H
3cos-
2
3.280. ? По условию, SABC — правильная треугольная пирамида, SO±.(ABC),
SO=H, LSACB=n, SM=MB, AMC — сечение (рис. Р.3.97). Проведем
SKLAC; тогда OKI.AC и LSKO—a. как линейный угол двугранного угла
262

Рис. Р.3.97
Рис. Р.3.98
AC. Из ASOKнаходим OAT=ffctga, АС=ъф> ОК=2нф ctga. Проведем
MM^SO; тогда MMt=~, KMx=2Hctga. Из AMKMt надодим
МК
+4#*ctg2a
H
Итак, 5дл«с=- АС МК'
'Hyftctga ¦-
3.281. ——
12 4
3.282. D По условию, SABCD — правильная четырехугольная пирамида,
SO —ее высота, LSAO=tt, SM**MC, (AML)\BD (рис. Р.3.98); требуется
найти ((AML); (ABQ). Так как (AML)\BD, то (AML)f)(SBD)~KL, KL\BD
и (AML)O(ABC)=AF, AF\BD. Но OAX.BD; поэтому RAJ.BD, откуда сле-
следует, что RALAF и MAXAF. Учитывая, что ACLBD и AF\BD, имеем
ЛС1Л/", т. е. LMAC=<p — искомый угол. Проведем MELAC Пусть
SO 1 За
АО=а; тогда 50=atga, ME"—=- atga, ^4?=—; из ДА/Е4 находим
ME atga 3a tga
tga
—.
sin a
3.284. D По условию, SABCD — правильная четырехугольная пирамида,
SO±(ABC), LASO = a, SE\BD, (SEK) образует с АС угол р,
(SEK)f](ABQ=KL, SbSKL=S (рис. Р.3.99). Так как (SKL)\BO, то KL\BD;
следовательно, OK^OL и SK=SL. Проведем OFX(SKL), FeSM, где
М~ середина KL; значит, LSMO=p. Пусть SO=h; тогда SM=-:-—,
OM=Actg^(B3 ASMO). Из
^M«O^-Oi/=Atga-Actg^
находим OA=htga; поэтому
A (sin a sin /?—cos a cos p) hcos(a+p)
cos a sin^
cos a sin/f'
263

в,
Рис. Р.3.100
Так как AAML — прямоугольный и равнобедренный, то ML**AM. Теперь
найдем '
cos a sin2 P cos a sin2 /?'
3.285.
3^/3 H3 cos (a-P) sin a tg2 a
8sin/?
3.286. ? По условию, ABCA1BiC1 —правильная призма, О — центр нижнего
основания, О, и О2 — центры симметрии боковых граней, АВ=а,
B2B3CjC, — сечение, проходящее через точки О, Ои О2,
{(ABC); (В2С2С3))=а (рис. Р.3.100). Так как Ot и О2 равноудалены от
(ABC), то сечение пересекает основания по параллельным прямым, т. е.
* Ч1 J
Л»—— I - а + z
12
. Итак, Sm-
12cosa
3.287.
a2Asin a
3.288. О По условию, РАВС — правильная треугольная пирамида,
РМ-МС, (КМЩ(АРВ), S^kmn-S (рис. Р.3.101). Так как РС-2МС, то
« - АР1 sin A80° - 2a) — АР1 sin 2а,
Имеем
т. е.
И0С-
85
sin 2a
. Из AAPF находим AF~APco$x, откуда Л2?—2Л.Рсова
. Теперь из А РОС получим
yrin2« 3 у
/8S'C-4co»2«)
3 sin 2a
264

Рис. Р.3.101
Рис. Р.3.102
I п Г I п\ ( п\
4 /cos—cos2a 4 /2sin a+- sm а--
V 3 V \ <У \ V
у/3ш2а
Окончательно находим
1 165ctga-V3
16,Sctga /2sin ( a+-l sin ( a--)
V V 6/ \ 6/
я я
где-<а<-.
о 2
3.289. П По условию, AKLM — цилиндр, 001 — его ось, А принадлежит окру-
окружности верхнего основания, В— окружности нижнего основания, ЛВ=1,
LABK=ol, осевое сеченне AMLK — квадрат (рис. Р.3.102); требуется найти
расстояние от ОО1 до АВ. Проведем BS\AK и получим сечение BSAK
цилиндра, содержащее АВ; через ООг проведем {EFT)\(SBK). Расстояние
между OOt я АВ равно расстоянию между (EFT) и (SBK). Проведем
ОРХВК; тогда OP±(SBK), так как OP1SB, а SBf\BK, т. е. ОР — искомое
расстояние. Из ААКВ найдем ВК= /cosa, ЛАГ= /sina; отсюда РВ=- /cos a,
- EN=- TN=- AK=- /sin a.
Наконец, из АОРВ получим
ОР= Г- /*sin2a-- /*cos2a=4 IJ-cos2a,
'4 4 2
где cos2a<0, откуда
Зя
я Зя
, т.е.-«*<-.
3.290. ? По условию, CDEF—цилиндр, АС=АВ=ВС=а, АВ принадлежит вер-
верхнему основанию цилиндра, С — окружности нижнего основания цилинд-
цилиндра, {ABC) составляет с CD угол а (рис. Р.3.103). Проведем CQLAB; тогда
DC1AB (по теореме о трех перпендикулярах), (ABC)X(CDQ), так как
ABJ.(CDQ). Проведем DKX(ABC); DKe(CDQ) и Ke(CQ), т. е.
LDCK=a. В ACDQ имеем DC=CQ cos at, QD=CQsma, откуда
265

DC-
Рис. Р.3.103
aJb cos я aJb sin a
с t-Лг-
Рис. Р.3.104
Обозначим радиус основания цилиндра че-
через R, т. е.
¦OB=R. Из AAOQ находим OQ= /Л2-— вли
з sin a
Решив
„ aCsinJa+l) Л
л= ——¦—. Окончательно получим
это уравнение,
найдем
4,/Зя'па
eCsin2a + l) ayfbcosa
3.291.
sin a
я/3 sin 2a cos3 a
8 cos (а+/0 cos (а-/О
¦¦- ^(Ssi^a+^ctga.
4
3.292. D По условию, SCD и SlClDt — конусы, основания которых имеют
общий центр О, LCSO~LC1S1O"n, OC**R, S&ji ^с.в.-г -5ПОля.-*св(рис.
Р.3.104); требуется найти Vs c.d,- Из ASOC находим SC= , SO=
111 sin a
^ctga. Пусть
r; тогда
-—, 5,0=rctga. Далее имеем
sin a
n.SCD'
яп а
sin a
w
яп а
2w2
Решив уравнение =
яп a
яп a
7-х). Итак,
получим г3 ¦
Л2 A+sin a)
i . l , ,/« «\
.c.d.-j nr'ctga»- re/?3cos3 I -¦--j ctga.
3.293. П По условию, АВСАХВХС, — прямая призма, АЛСЯ-90", ^C-a,
^Д —диаметр основания конуса SAM, SeAjC,.
266

Рис. Р.3.105
о с
Рис. Р.3.106
АА1=а/2 (рис. Р.3.105). Заметим, что окружность основания конуса не
является окружностью, описанной около А АВС; в противном случае конус
не был бы прямым и его высотой было бы боковое ребро, равное а/2.
Проведем SO перпендикулярно основанию конуса и SK\AA1 и соединим
точки К и О. Так как SK1(ABC), SO LAB, SO — наклонная к (ABC),
OK — ее проекция на эту плоскость, то OKLAC. Из ААВС находим
a a OK (n \
АВ=-—, т. е. ОВ= . Далее в аАОК имеем —=tg —a =ctga,
ana 2sina ОА \2 )
actff а
откуда ОК=ОА<Л%ч— . Наконец, из ASKO находим
2sma
a2ctg2a
4 sin2 a
2 sin a
3.294.
arccos(tg#/tga)
3.295.
2ff sin2 -.
4
3.296.
я/3 sin2 2a cos a sin2 /I
n-arccos(tg^/tga)
3.297. 2arcctg««39,2°.
3.298. П Изобразим осевое сечение усеченного конуса. По условию, АВ^А^В,
ООХ — ось усеченного конуса, ВВХ — образующая усеченного конуса,
ABj=a. LBiBO = a. (рис. Р.3.106). Пусть OB=RX, O,?i = rt2; тогда
MO=OB=Rl, MOi = OiBi = R1, OOi = Rl+R2. Проведем B,C||OiO; при
этом B1C=O1O=R1+R1. В ABiCA имеем LBiAC=45°; поэтому
aJ2 В.С aJ2
BlC=AC=R1+R2=-?—. Далее из АВХСВ находим Д,5=- -
а-ч/2
BC=R1-R2=BiCctea=^!—ctga. Значит,
2
Решив систему уравнений
(l+ctga) =
-
R,-Ri=
0^2
2ctg«'
sin a
1
найдем
2 sin a
па2
2 sin а'
2 sin a
2 sin a
. Итак,
2 sin а
a2 sin2 f —ha) na2 sin2 [ — a 1
\4 A \4 /
4 sin2 a
4 sin2 a
267

4 sinJ a
-4^*)+i-4Hs
2
паг . /a я\ /a 7t\
3.299. ? По условию, S/tff — конус, SAC — сечение его плоскостью, LASC=a,
SO — высота конуса, S^asc '• ?ш>лл=2 : п (рис. Р.3.107); требуется найти
L.ASO. Пусть SA = l, OA = R; тогда
1 .
- /*«па. Имеем
/'sin
2 /^sina
4;
sina
4. Учитывая,
что -- = sin<p, где ip= LASO, получим 4sin2<p + 4sin<p — sina = 0, откуда
-2±V4+4sina
. Так как <р — острый угол, то
п; /я a\ ,
sina-1 ^ \4 2/
•v/2/ /я а\ я\ V . я-а
=л— I cos I —cos - 1=J2 яп
2\ \4 2j 4j V 4
. / r- . я-а . а\
Итак, <^=arcsinl V2 яп —— яп - I.
— а а
sin-.
3J0O. П По условию, SAB — конус, SO — его высота, SO = h. LASO = a,
SKM — сечение конуса плоскостью, LSKMB=fi (рис. Р.3.108). Проведем
SNLKM; тогда ONLKM и, значит, LSNO=0. В ASCW имеем SN
ЯПр
ONM
р
ON=hcX%p. Далее из &SOM находим OM=htga и, наконец, из AONM
получим
1 a-h1 ctg2 0
¦а-<л?р=-
cos(a-/!)
cos a
Рис. Р.3.107
Рис. Р.3.108
Рис. Р.3.109
268

3.301. ? По условию, SCD — конус, SO — его высота, SAB — сечение конуса
плоскостью, \jAnB :\jAmB*=p : q, OE±(SAB), OE=a, LESO = a (рис.
Р.3.109). Из ASEO найдем 50=-^-. Так как SOLAB, то SELAB (по
sin я
теореме о трех перпендикулярах) и из AFEO следует, что
Л„ 0Е а „ 2яр „ пр
OF" ш . Далее имеем иАпВ=—- откуда LAOF= .
яп(90 -я) cosa p+q p+q
OF a
Тогда из AAFO получим АО= = . Итак,
пр пр
cos —— cos я cos
1 2
Ъ*ЛО
1
3
a2
cos2 a cos2
p + q
a
np
p + q
sin a
p + q
2na3
3 cos a sin 2a cos2
p + e
n n
3.302. - - 2arctg -, к > п.
3.303. D По условию, LACB=90°, BC = a,
1_ВАС=а, АК—биссектриса угла
ВАС, MNLAK(pnc. Р.3.110). Проведем
BBLMN и CC,LMN и отложим
i, C1E=CE. Искомый объем в,
будем искать по формуле
У T.ip = У DECB — У DAB — У ЛЕС -
= -nDE(DB1 + DB EC + EC1) -
— nADDBi—iUEEC1. Рис. Р.3.110
В ААВСимеем АВ= , AC=acteа. Очевидно, что LDBA = LBAK-а/2,
sin а
LACE= LKAC=al2. Из AADB найдем AD=ABun-= sin- =
2 sin a 2
tt ql а ос а
=¦ , DB"ABcos -= cos-= . Далее иэ ААЕС находим
a 2 sina 2 , . a
2cos - 2яп -
a a a cos a a a cos a
Л?=.,4Сяп-=actga ¦ sin-= , EC=AC cos -= . Значит,
2 2 , a 2 . a
2cos- 2sm-
a a cos a a Л
DE=DA+AE= 1 =a cos -. Окончательно получим
a -, a 2
2cos - 2cos -
+—_+-
4 sin2 - 4 sin2 - 4 sin2 -
Z 2. 2- ,
1 a3 1
— я я -
3 ..a a 3 „.,a a
8 sin2 - cos - 8 яп2 - cos -
269

a a
г™ г
( 2cos2 -
\ 2
(l+cosa+cos
a)-l-cos3a ) =
жа3
12smasin-
((l+cosa)(l+cosa+cos2a)— 1— cos3a)=
B cos a+2 cos2 a) =
a a
na ctg a ctg - cos -
12sina sin-
3.304. П По условию, 1_ВАС = л ~- тупой угол, АВ=АС, BMLAC, CN1AB,
ADX.BC, О — ортоцентр (т. е. точка пересечения высот) i\ABC, О1О2\ВС,
ОеО1О2, ВС—а (рис. Р.3.111). Объем тела вращения ААВС вокруг прямой
О1О1 найдем по формуле VT_tp=VOlo2cB-2VOloAB, где
VOlolcB=Vmil=n
ВС. Имеем LOAM=LCAD=~, LMOA=90°~^,
а l_0BD=-. Из A0DB и AADB находим OD=- tg -, AD=- ctg -; тогда
- tg-, OA-OD-AD
a ( a a\
=-2(tg--ctg-j.
Окончательно получим
a2
H—
— tg' - ¦ a— it ¦ - I —
4 B 2 3 2
a
a 1
1 ,a 1 1 .a 2 1
*8 +Г t8 + ~
232
a\ паъ (
2J-12 r
3J05. - arcsin B(V2-1)) и --- arcsin B(^2-1)).
3J07. П По условию, AB=2R, CD\AB, О — центр полуокружности, LADC=a.
AC<AD (рис. P.3.112). Объем тела вращения AACD вокруг АВ будем
искать по формуле
VT.sp=VAo1c+Vo2cDOi-VAo,D='^
— я
i=- п О2С2
АОг+пО2С2 О
-АО^=- % О2С2
Рис. Р.3.112
270

так как O1D = O1Cn АОХ-АО1"ОХО1. Учитывая, что LABC=?- ^
как вписанные углы, опирающиеся на kjAC, из ААСВ, где LACB*9Q°
(вписанный угол, опирающийся на диаметр АВ), находим ВС =-2R cos а,
АС= = 2Дяпа. В ААО2С имеем ?О2ЛС=90°-а, ?_ОгСА = а,
O2C=/lCcosa=2/?smacosa=/?sm2a, O2A=ACsma=2Rsin2a; тогда
О1О2=2Л-2^О2=2ЛA-2яп2а)=2Лс(м2а. Итак,
У-t. вР=-
sin2 2a 2Л cos 2a=- яЛ 3 sin 2a sin 4a.
3.308. ? По условию, AB\\DC, AD = BC, AB=a, LDAB=a, BDXAD (рис.
P.3.113). Объем тела вращения трапеции ABCD вокруг АВ будем искать по
формуле Кт.,р =2VAed + VDEFc, где DELAB, CFLAB. Имеем
Кт.вр
1 1
• AE+nDE2 ¦ EF=- nDE2 BAE+3EF)=-
=- nDE2 (- a+- (a-2AE)\ = nDE2 (a-
)\
Из AADB находим AD=a cos a, а
из
получим
DE=AD sina=acosa sina=- sin2a, AE=ADcosa=a cos2a. Следовате-
Следовательно,
па3 , 1— 2cos2a
= — sin2 2a
in22a (a—a cos2 a 1=— sin2 2a I —cos2 a 1 =
V 3 /3 \4 7
3 , / A ( Л
- sin2 2a sin I a—- 1 sin I a+- I. |
3.309. - яа3 cos I - -!
3J11.
при
3.310.
ял2а2 sin -.
3 sin2 a
3.313. arccos
3J14.
3.312. 8яд2 sin a cos - cos
3J15.
/2 «—sine 5
3.316. ? По условию, АВСАУВ^СХ — правильная треугольная усеченная пира-
пирамида, OOj^H, 00^у/ВС BtCi, Z.^,^O = a(pHC. Р.3.114). Пусть ВС=*а,
D, С,
Рис. Р.3.113
Рис. Р.3.114
271

BjCi = 6; тогда OA=^~, О1Л1=-^—. Проведем А^ОО^; иэ ААгКА
находим AK=Hctga я так как АК=АО-КО=АО-А1О1 =
' Г~ /~" Г~ I—
«-^—-^-шЛ— (а-Ь), то 2— (а-Ь)=НЛ$а. Кроме того, ю условия
следует, что дЛ—Н2. В результате получим
3.317. яп(а±Д) /— -. 3J18.
v и /2i2^
3J19.
. 3.320.
Ъа-Ь m-n
3321. П По условию, ABCA^BxCt—усеченная пирамида, ABC
и AlBiC1—правильные треугольники, DB=DA, D1B1=DiA1
и О^ЦАВС), большее ребро пирамиды равно / и образует с (ABC) угол а,
О и Oj —центры оснований (рис. Р.3.115). Пусть АС—а, А1С1=Ь; тогда
DC=^—, DtCi =-^-. Проведем Ci?|.Dj.D, Л^/)^ и положим i)/), =Л.
Из ACiEC находим, что С1С=у/с1
vP^
A1A=^AlK2+AK2= h2+ . Значит, С1С>А1А, г. е. CtC=l
и LCiCE=a; в дС^Симеем C,?=/sinat, CE-lcosa. Проведем Oi
тогда
6 6 6
0)
Так как C?=/cos a и CE=DC-DE=DC-D^C^ «f^L^p Jflz^ll^ T0
{a-bhjb 2/cos a
^ B)
——-.
/cos uc
Из A) и B) находим 0/"= . Наконец, из AOtFO получим
/2sin2a+
- I /9A-cos 2a) 1+cos2a / , —
a=- / H =-V5-4cos2a.
272 V*

A t=-.4r'
Рис. Р.3.116
3.322. arctg /a .
cos {fill)
3.323. П По условию, PABCD — правильная четырехугольная пирамида,
AlBlC1DlA1B1C2D2 — вписанный в нее куб, точки Аи Ви С„ Dx принад-
принадлежат боковым ребрам, а А2, В2, С2. D2 — основанию пирамиды,
РОЦАВС), LPAO=a (рис. Р.3.116); требуется найти Р^е, : *W Поло-
Положим D-Ji2 = x, тогда Vly6i=x3. 0D2
DD2=x ctg а; далее имеем
OD=~-+xclga,
Из ADXD2D находим
О=O.D tga=
у
V
1
3
2*3
2
. XDB2
A+V2
¦ 'В
PO
ctg a]
2 ^(V2
3
4-
«(V2 + 2ctga)tga
2
6 ctg a 3y2ctga
6 ctg a Кпир
3.324. ? По условию, SABCD—правильная пирамида, SO—ее высота,
LSAO—ч, MQPNM1Q1P1Nl — правильная вписанная в нее призма, точки
Mi, Qi. Pi, Nt лежат на боковых ребрах пирамиды, AD=a, LPiMP=<p
(рис. Р.3.117). Пусть РРх=т, тогда из AMP?! имеем MP=mctg<p и,
следовательно, Ущ,=~ m2<Ag2<p ¦ т=- m3ctg2р. Так как
Д МХМА ~ A SO А, то
ММ1 AM
SO
Из
SO=AOtga*
'¦ tg о, откуда
A SO A
г-Jl-l
SO
mctg(p
m ctg a;
a-v/2 mctgcp
получим m =
Решив
Итак,
находим
m ctg a. Но
уравнение

Рис. Р.3.117
'яр
и
у
3325.
2\2ctga+ctg<p/
и sin a
Bctgot+ctg<?K'
Д
Vе
A
¦
\ Y'i
Рис,
V
. Р.З.П8
2sin
3326. ? По условию, SABCD — пирамида, ABCD — квадрат, (SBA)L(ABC),
(SBQ±(ABQ, AB-a, большее боковое ребро образует с (АСВ) угол Р;
в пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед BEFKB1E1F1KS, где В,
Е, F, Ke(ABQ, точки Blt Eu Fu Kt принадлежат боковым ребрам пирами-
пирамиды. BjF образует с {ABC) угол а (рис. Р.3.118). Так как боковые ребра
параллелепипеда перпендикулярны (ABC), то ЕеАВ, КеВС, FeBD. Посколь-
Поскольку ABCD — квадрат, BEFK — также квадрат как фигура, гомотетичная
ABCD относительно точки В. Пусть ВЕ=х; тогда BF=*x*Jl. Из ABtBF,
в котором LBjFB^a, находим B^^BFtgfx^tga. Так как
BA=*BC<BD, то SD —наибольшее боковое ребро пирамиды, т. е.
LSDB-fS. Далее имеем FD=°BD-BF=(a-x)yf2. Из aFjFD находим
F1F-*FDtgP*'(a-xyj2tfifl; поэтому (a-xyj2lgP=x-j2l%a, откуда
csinfl cosa
aXeS
х—
tt
a .
. Окончательно получим
п(я+Д)
аъу/2 sin3 P cos3 a sin a_ аь^[г sinJ p cos2 a sin a
З.Э27.
+sin2 a) sin (a
2 sin2 a cos p
3328. П По условию, ШС-пирамщ, СА~СВ, LACB=a, AABC вписан
в основание цилиндра, SeKM, KM — образующая цилиндра, KS=*SM,
Уиял"У (рис. Р.3.119). Обозначим радиус основания цилиндра через R,
а его высоту — через Н; тогда К—яЛ*#, откуда Л*#——. Имеем
п
274

Рис. Р.3.119
Рис. Р.3.120
AB=2Rsina и, значит,
4Л2 sin2 a sin2 [ "-"
S&abc=—
Итак,
. ^-^=2*2sinacos2*.
2 sin a 2
a ff 1
a V
Ущр-
- • 2Д2 sin a cos2 - . — =- Л2Яяп a cos2 - =— sin a cos2 -.
3.329.
3.m
2 2 3
4 cos a cos/7
n (cos2 a+cos2 /0
2 Зл
3.331. D По условию, AAtBtB — цилиндр, ОО± — его ось, ACDA^CyDt — приз-
призма, вписанная в цилиндр, OO^AA^D^, LA1DA = ct, LA.DC=/I, OO1=H
(рис. Р.3.120). Из AAtAD найдем
ffctga, AtD=~—. Соединим Л,
sin a
и С; так как L.ACD — вписанный и опирается на диаметр AD, то CDJ.AC
HcosB
и, значит, A^CLCD. Из AAtCD находим CD=A1Dcos/l = —: , а из
AACD получим
sin a
sin2 a
sin a
sin a
Итак,
Упр =
Н /cos If}-cos 2a Ну]sin(a+P)sia(<x-P)
sin a
nn l m лг и H3cospjsm(tx+P)sm(a-P)
2 2 sin2 a
3.332. П По условию, SABC — конус, SO — его высота, CDEFCJi^E^Fi — впи-
вписанный в конус куб, Cj, />,, Е,, F, — точки, лежащие на боковой повер-
поверхности конуса, SO:CCi=k (рис. Р.3.121). В ASO^y имеем
ctgLASO=—-=——-Д где х=СС1. Отсюда находим <Ag?_ASO
°c /2
^
-l), т. е.
275

Рис. Р.3.121
М К О L N
Рис. Р.3.122
3.333.
9 sin 2a cos a
-(И
3334. П Пусть PMN — осевое сечение конуса, KLNlMl — осевое сечение впи-
вписанного цилиндра, LOiMK=a, РО— высота конуса, LMPO^P (рис.
Р.3.122); требуется найти Кжо„: Кщд. Обозначим радиус основания конуса
через Л; тогда OP=RctgP (из АРОМ) и Кгон=- nR3ctgP. Из AOfiM
находим OO1=Rtga. Так как М1К'"ОО1, то из АМ1МК, в котором
P, получим MK=R\ga tgp. Значит,
ОК= ОМ-МК= R-Rtga
V -
cos a cosP
, откуда
пп
* cos2a cos2P
V*°« nR3 ctg ^ cos2 P cos2 a cos3 a cos3
я+а
3J35. arctg
2D+Уб)
3336.
4 sin a cos3 -
3337.
sin 2a'
3338.
n (ctg2 а+ctg2 P)
. 3339.
2л/2 ctg?
3.340,—r^-23341.^C°Sate/?.
cos a sin" -
9 sin 2a
24 cos3-
3342. D Изобразим осевое сечение фигуры плоскостью, проходящей через центр
вписанного шара и параллельной основанию. В сечении получим парал-
параллелограмм ABCD, равный основанию прямого параллелепипеда, и вписан-
вписанный в него большой круг вписанного шара с центром в точке О (рис.
Р.3.123). Из этого следует, что основанием параллелепипеда служит ромб.
Требуется найти углы основания параллелепипеда, если Ут? :
276

Рис. Р.3.123
ALB
Рис. Р.3.124
Обозначим радиус шара через г, тогда высота ромба равна 2г. Проведем
2г
BELAD и положим LBAD = a. Из АВЕА находим АВ= . Тогда
ЯП Я
4 , .. . 8г3 _ 8г3 4тсг3 .
г шара-
япа
или
то
, • 2г = . По условию,
sin а
6 6 б
sina=—-. Итак, a=arcsin —, t_ADC=% — arcsin —; так как
пк пк пк
6 L 6 L 6
— ^1, откуда Л>-. При Л=- основанием параллелепипеда служит квад-
пк п п
рат, т. е. параллелепипед является правильной призмой. ¦
3.343. D По условию, АГ— центр шара, ABCDAXBXCXDX — прямая призма, опи-
описанная около шара, ABCD — ромб, АС — большая диагональ ромба,
LCxAC=a (рис. Р.3.124). Пусть КО = г, тогда ССХ =Ъг, AC=2rct$a. Через
точку ЛГ проведем {А1В2С2)\(АВС); эта плоскость пересечет шар по боль-
большому кругу, вписанному в сечение A2B2C2D2, равное основанию ABCD;
следовательно, высота ромба A2B2C2D2 равна 2г. Проведем 0L1AD.
В AALO имеем OL=r, LOAL=- LBAD, sin
OL
—
OA
rctga
Отсюда i_ AOL=arcsin (tg a); Z.2M.D = 2arcsin(tga). ¦
(\ / \
sin - I. 3J45. 2r3ctg - ctg [ I.
2) 2 \4 2)
3.346. ? По условию, О, — центр шара, вписанного в правильную пирамиду
PABCD, РО — высота пирамиды, РОХ : OvO=m : л (рис. Р.3.125); требует-
требуется найти угол между {PDC) и (ВРС). Очевидно, что BDLPC (по теореме
о трех перпендикулярах). Проведем через BD плоскость (BLD)±.PC; тогда
BLLPC и DLLPC, т. е. LBLD — линейный угол двугранного угла BPCD.
Пусть DC=a, К — точка касания шара с боковой поверхностью пирамиды
О.ЛГ OF па
и PFLDC. Так как АОХКР~aPOF, to -^=— или -=^-^ тогда
PF=—. Из APFC находим ?С=
2л
. Теперь восполь-
277

Рис. Р.3.125
Рис. Р.3.126
зуемся тем, что
DC ¦ FP a- am In
DL=
In •
=- DC ¦ FP=i. PC ¦ DL, откуда
Наконец, в ABLD имеем BD2 =2DL2 -2DL2 cos LBLD, т. е.
2а2т>
2DL2-BD2
cos LBLD=-
.-2а2
2DL2
tern2"
LBLD=n—aiccos—z.
nr
3347.
¦
arcsin
4sm2a
. 3348. 8e*cos« cos> ' ctg* " 3349.
2 2
h-I. ctg -. 3.350.
. 3J52. —. 3J53. 2arccos
26
3354. П I способ. По условию, DABC— пирамида, AB=AC=b,(DAB)X.(ABC),
(DAQHABQ, LBDAC=a, LDBCA=tt, О — центр вписанного шара (рис.
Р.3.126). Высота пирамиды совпадает с боковым ребром AD, поскольку
перпендикуляр, опущенный из точки D на (ABC), должен принадлежать
и (DAB), и. (DAC), т. е. он совпадает с линией их пересечения. Так как
ABJ.AD и ACXAD, то LBAC=<t. Проведем DEXBC и соединим точки
А и Е; тогда LAED — а как линейный угол двугранного угла DBCA.
Докажем, что Oe(ADE). Соединим О с точками касания О,, О,, О,, 04
и проведем О2Л/2±(Л.ЯС), О3Л/31(^ДС); так как (ADB)L(ABC)
и (ЛЯС)ЦАВС), то Л/2е(ЛС), Л/3е(ЛД); при этом L О2ОО1 = А ОгООх =90°
как углы между перпендикулярами к перпендикулярным плоскостям. Но
OO1 = OOi-=OOl=r, где г — радиус вписанного шара, и,
значит,О1Л/2=О1Л/3=Л т. е. О^АЕ), и так как ОО1Х.(АВС), то Oe(ADE).
г а
Из ДО,.Л/2Л находим ЛОХ= , а из &АЕС получим AE=bcos -; тогда
. з 2
278

ct г ос
OxE=bcos ; наконец, в АООХЕ имеем OxE=r&g-. Составим
2 ос 2
-г
а г а 1 / а\
уравнение icos =rctg- или - Asana=r I 1+cos- J, откуда
2 a 2 2 V 2/
Asina Asina
7 a\= 7^"
2 1 1+cos-I 4cos2-
II способ. Если воспользоваться формулой V^^—- Smlni r, то можно
обойтись без выяснения, где расположен центр вписанного шара. Из
a
A DAE находим AD=AEt$a=bcos - tga. Тогда
1 11, a I , a
*mp=r S&ABC ¦ AD—- --brsa a- bcos. - tga=- 63sma tga cos-,
3 3 2 2 6 2
=- 62sina+- 62tga+i2cos-tga=- A2tga | cosa+1 +2cos - I.
Окончательно получим
1 a
3 • - b* sin a tg a cos -
6 2 о sin a o sin a
r=-
- A2tga ( cosa+l+2cos-) 2|cos- + l) 4cos2-
2 V V \ 2 / 4
3.355. ? По условию, SABCD — пирамида, SOX.(ABQ, ABCD — ромб,
LDAB=a (а<я/2), LSABC=LSBCD= LSCDA= LSDAB=p. L — центр
вписанного в пирамиду шара, г — радиус этого шара (рис. Р.3.127). Прове-
Проведем SEXAB. SFLBC, SKX.CD, SNXAD и соединим OcE.F.KbN. Имеем
OELAB, OFLBC, OKLCD, ONLAD (по теореме о трех перпендикулярах);
тогда L SEO = L SFO - L SKO = L SNO=р как линейные углы равных дву-
двугранных углов и ASOE= ASOF= ASOK= A SON (прямоугольные тре-
треугольники, имеющие общий катет SO и равные противолежащие углы /Q.
Из равенства треугольников заключаем, что OE=OF=OK**ON, т. е.
О — точка пересечения диагоналей ромба. Отсюда следует, что в данную
пирамиду можно вписать конус с осью SO. Шар, вписанный в этот конус,
вписан и в пирамиду; следовательно, LeSO и LO—r. Из A LOF находим
OF=г ctg -, отрезки OF я ON лежат на одной прямой NF, так как OFLBC
Р
и ONLAD, a AD\BC; поэтому NF=2rctg -. Проведем BQ}FN. Из AAQB
ВО NF 2#'Ctg 2
находим АВ**-—¦«-—»—: , а из ASOF получим
sin a sin а sin а
^tg/J-Итак,
279

Рис. Р.3.128
Vmp=^ Sabcd ' lS0~5 ^B2sina rctg -
3sinJa
1 Я J fc - Я
ЗЛ56. - tg - IJbVm.» ctg? 3J57. - arcsin , 0<fc<2sin -.
2 2 2 . я л
2sm-
л
3358. ? По условию, К — центр шара, SABC...— описанная около него пра-
правильная n-угольная пирамида, SO — высота пирамиды, LSBCO=tx,
KO**R (рис. Р.3.128). Из AKOD, где ODXBC и LODK=* найдем
OZ)=Jtctg-.
Так
как
LBOC=
360°
то
2'
LBOD'
180"
л
BD= OD tg -^- =Actg " tg —-, ,sc=2Jtctg ? tg —. Теперь находим
2 n
1 a
*»- и • 2Jlctg - tg
2
180°
л
я „, ,a 180°
Jlctg--«Jl2ctg2-tg ,
Z Z /I
откуда 5бо« =-
180°
cos a
cos a
3J59. D По условию, SABCD — пирамида, ABCD — прямоугольник,
SE±.(ABQ, LSAE= LSBE- LSCE= LSDE=fi, LAEB=a, О — центр ша-
шара, описанного около пирамиды, R — радиус этого шара (рис. Р.3.129).
Около данной пирамиды можно описать конус, причем высота пирамиды
совпадает с высотой конуса; центр шара, описанного около пирамиды,
совпадает с центром шара, описанного около конуса; поэтому О принад-
принадлежит SE. Поскольку LESD=9V-P, имеем LEOD=2LESD=l№-2p
(как центральный угол). Из AOED, где OD=R, находим
ED=Rm(l8O°-2P)=Rsia2fi, откуда Д0=2Ляп2/». Из ASED получим
280

Рис. Р.3.129
Рис. Р.3.130
SE=EDtgP=Rsin20 tg0=2Rsm2p. Итак,
У=-
1 4
=- • 8Л3 sin2 ip sin2 P sin a=- R3 sin2 20 sin2 0 sin a.
6 3
BD2sina 2Rsin2
3.360. sin 20 cos0 sin а. 3.361.
a
a cos -
3J62. /ctg2 p + cos4 -.
3.363. D По условию, ABCAlBlC1 —правильная треугольная усеченная пира-
пирамида, LB^BCA^d, L — центр вписанного шара (рис. Р.Э.130); требуется
найти Япшш.усшф : -Sump»- Пусть АК и AtKt — высоты оснований; тогда
КХК — высота боковой грани, L АККХ = а как линейный угол двугранного
угла В1ВСА. Далее, пусть О и О, — центры оснований усеченной пи-
пирамиды; тогда 00, — диаметр вписанного шара. Положим LO~R в про-
? ft
ведем АГ,Л/||0,0; имеем К^М-Ъг, К^К--— (из АКхМК). Обозначив
sin a
AB=*a, АхВг*-Ь, найдем OK*—!—, ОХК^~ -
6 6 6
Согласно свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки
к окружности, К1К"К1О1 + КОш> . Теперь решив систему уравнений
sin a
найдем a«2v/3rtctg-, Ьт2*/з Rtg-. Следовате-
2R
льно,
281

12Л 2Л
/ , ОС , ОС
(^tgJ-+tg2-
. /-/1+cosb l-cosoc\ ЗЛ2^ js
2-УЗ I- +— )=¦ . , B + 2cos2oc+4)
\1—cosa 1+cosa/ anJa
+^a ) = 6Л273 C+4ctg2a); 5^ра=4лЛ2.
a / •
Итак,
C + 4ctg3a).
¦Эщара
3.364. П По условию, PABCD — правильная четырехугольная пирамида,
PO±(ABQ, AB=a, LPDCO = a, Oi — центр вписанного шара, А-,. В2, С,,
D2 — точки касания шара с боковой поверхностью пирамиды, Ме{АВС)
(рис. Р.3.131); требуется найти
Так как LOPCi-W-a, то
)? В АО1ОС1 имеем 0^=- tg-.
а. Из
находим
a a
=-tg-cosa.
п ас л
sina=- tg- sina=a sin -,
cosa=
Тогда
а л ос ос п л
t- (I +cosa)=a tg - cos2 -—- sina, A2C2—202C2 —2asin2 -. Следова-
tg
тельно,
1 ОС Я
CjB,"- • 4a2 sin* -=2a2sin* - и окончательно получим
2 • 2a2 sin* ^ • ^ sina=- a3 sin* - sina. ¦
Рис. Р.3.131
Рис. Р.3.132
282

- 366. ? Осевое сечение фигуры представляет соЪои круг с центром К, в который
вписана трапеция ABCD, KeAD, KD=R, ?CDK=fl, CD — боковое ребро
усеченной пирамиды (рис. Р.3.132). Из ACKD по теореме косинусов нахо-
находим CD=y/lR2-2R2 cosA80°-2/0=2Ясс*р. Проведем CCtLAD и из
ACQZ) получим CCt = CDanP=2RsinPcosP=Rsin2p, CtD=CDcosp =
=2Rcos2p. Тогда KC1=EC=KD-C1D=R-2Rcos2P= -Rcos2p. Иско-
Искомый объем выражается формулой V=- CCt EJ-(-v/'Si'sa+'Sj)> гле
CCi=Rsm2p, S1 =
льно,
2R2cos22p,
p. Следовате-
СледоватеV=- R sin 20 BR2 - 2R2 cos 20+2R2 cos2
. ,. . , .In
n sin2 2a sin2 a sm —
3.3«7. -. 3.368.
4n^3sin* [---
А—к
. 3J69. -—г, 0<*<4.
4л 3sinot t-rit
3.370. П Изобразим осевое сечение фигуры; SA, SB — образующие конуса,
SO — высота конуса, О1яО1 — соответственно центры описанного и впи-
вписанного шаров (рис. Р.3.133), отношение их объемов равно к; требуется
найти LSAO. Пусть R и г — радиусы шаров, LSAO=a, AO=x; тогда
i=LASB=l&0°-2a, LO2AO=^. Из ДО,ОВ и АО2ОА находим
х tg - sin 2a
/¦ 2 A —cos a) ¦ 2 sin я cos a
R
sin a
2 (cos a—cos2 a);
так как ;=?, то —=\fk. Решив уравнение 2cosa—2cos2a=\fk,
D/3) nR R
i, откуда O^Jfc^-. Итак,
о
получим cos a:
l±Vl Z
fc где 1_
Рис. Р.3.133
Рис. Р.3.134
283

игуры: SB^SC— об
«tfWb 2sjn22a / ^ ^
(l+2ctgaJ - , . V б/ V 6У 24cos6a
3374. ? Изобразим осевое сечение фигуры: SB^SC— образующие конуса,
SP— его высота, О — центр вписанного шара (рис. Р.3.134),
Угон : Уппрш=1с, требуется найти LSBP. Обозначим через А точку касания
шара с боковой поверхностью конуса. Пусть OA**r, PB=R, SP=H; тогда
3 или -jr=fc- Полная LSBP=a, из ASPB и АОРВ имеем
3 -3 или jr
Н Л я R*H 1 Л3 Я
- = tga, ~ = ctg-. Но -^3-=- • -^ ¦ - = * и, значит,
1 .- * 1 2t8 ,
- ctg3 - tga = fcили • —-. r- = fc или
4 2 ^(-)
Пусть tg2 -=x; тогда 2jc-2^--=0; 2kx2-2kx+l =0. Отсюда
3.375.
sin I я + -) sin I я- - ). 3379. arccos -. 3.380. -~- I3 cos3 я tg3 ^. 3.381.
?яп22я. 338Zarctg;
3383. ? По условию, A BCD — усеченный конус, S — центр вписанного шара
(рис. Р.3.135), ^полн.уыон : •Su»pa=2; требуется найти LABO. Рассмотрим
осевое сечение ABEF усеченного конуса, ООХ — ось усеченного конуса.
Введем обозначения: SO=r, OB=RU O1A=R1. Проведем AM\\OOt; тогда
АМ=ООу. Согласно свойству сторон описанного четырехугольника,
2AB=BE+AF, имеем AB=>Rl+R1, BM=R1-R1. Из ААМВ находим
2г
R1+R1=——, R1—R1si:2rctga, где а = LABO. Решив систему уравнений
sin a
Ъг я а
Л, +Л2=-;—, Rt~R1=2rctga, получим Л, =rctg -, R2—rtg -. Тогда
sin a 2 2
4ЯГ2 I I +cos* - + sin* - I 1 +cos* - +sin* -
4яг2 sin2 я
284

Рис. Р.3.135
Рис. Р.3.136
1 c
a a\J 1 1
l+[cos2- + sin2-I—sin2a 2—sin2a .
2 2/2 2 4-sm2a
sin a
2 sin2 a
= 2;
5sin2a=4; sina=—==—^—; a=arcsin
V5 5 d
3.384. ? По условию, ABCD — усеченный конус, AC=a, Q — центр вписанного
шара, LABO=a, О и Ot—центры оснований усеченного конуса.
N — центр окружности касания шара и боковой поверхности усеченного
конуса (рис. Р.3.136); требуется найти объем конуса OLK. Проведем
АМ\ОО^\ из ААМВ находим OO1 = AM=-asintx. Рассмотрим дЬВО; так
как BL=BO (отрезки касательных, проведенных из точки В к шару), то
LBOL= LBLO=90°—; тогда LLOOl=-. Далее, LOLOl=90° как впи-
вписанный, опирающийся
_ ос ос
Oh = ООХ cos - =a sin oc cos -.
на диаметр ООХ\
Из Д ONL получим
поэтому
ON=OLcos - =
ос ос ос ос
:<2Sin<x cos2 -, LN=OLsxn -=asina cos - sin -. Итак,
1 1 ОС ОЕ 1 ОС
Volk=- я LN2 ¦ ON=- na3sin3 oc sin2 - cos* -—— na3 sins oc cos2 -. ¦
3.385. ? Изобразим осевое сечение усеченного конуса и вписанного в него шара
(рис. Р.3.137). По условию, BC+AD = 5OE. Проведем BMLAD; тогда
sin a=sin lBAM= . Ho BM*=2OE, AB= (согласно свойству
AB 2
сторон описанного около окружности четырехугольника). Значит,
„Л„ SOE 4 . 4 _
smoc=20? : =-, т. е. oc=arcsin -. ¦
3.386. arctg y/2.
3.387. П По условию, О — центр шара, А, В, С, D — точки, лежащие на ша-
шаровой поверхности, ОА = Л, AD\\BC, BC=AB = CD, AD=R, LBAD = tx,
OOtL(ABQ (рис. Р.3.138). Положим АВ=а и из ААВС найдем
^C2=2a2-2fl2cosA80°-oc)=2fl2(l-t-cosoc)=4e2cos2? т. е. ^C=2acos|.
Точка О] является центром окружности, описанной около AACD; поэтому
ос
AC=2OtD sin а и получаем равенство 201X>sinoc»2acos -, откуда
285

M F
Рис. Р.3.137
a R — a
. Проведем CELAD; тогда DE= ; в ACED имеем
я 2
2sin-
R-a
cosa= , откуда a =
R
l+2cosa
. Таким образом,
R
1 я я / . 3a я\ . Зя'
2sm-A+2совя) 2sm-+2lsin sin - 1 2ап —
2 2 \ 2 2/ 2
Наконец, из ЛОО,Х> получим
Л2—
W2-2cos3,-l
За Зя
Т 2siny
Зя
2siny
Зя
k
2sm —
3388. ? По условию, АпВ — шаровой сегмент, О — центр шара,
иАпВ= LAOB<-a (рис. Р.3.139). Пусть Л —радиус шара, ОС — перпен-
перпендикуляр к основанию сегмента, Oi — центр основания сегмента, OtC<=H;
я
тогда H=R—OO1. Из AOOtA находим ОО, =/lcos-, откуда
я я
H=R—Rcos -=2RsinJ -. Значит,
. .a
en* -
J,
шара"
Итак,-
'шар.ссгм
'ш>ра
286

Рис. Р.3.139
Рис. Р. 3.140
3.389. ? По условию, О — центр шара, О1 — центр основания шарового сег-
сегмента ADB, uADB в осевом сечении равна 0, АСВ — прямоугольный
треугольник, вписанный в основание шарового сегмента, /_ВАС=а,
OD±(ABQ; SbABC=S (рис. Р.3.140). Имеем S^ABC=-BC ¦ АС=
1
-А
2
1
АВcosa=-
4
или
Из
O1O=*O1Bctg-
находим
ОВ=
. Следовательно,
sin - v s'n 2a sin - -Jsin 2a
3.390. —. 3.391. 2arcsin — и arccos — , 0<m<-.
,n—a 2 2 2
4 cosJ
3J92. ? По условию, в ААВС известны LA, LB, LC, BB^H, О — центр
окружности, ОВ=ОВ^Щ2, D и Е — точки пересечения окружности со
сторонами АВ и ВС (рис. Р.3.141); требуется найти Sbdb,e- Имеем
1 . 1
¦ -AD BEsmB + ^Bi
'-unB(BD ¦ BE+BiD ¦ ВХЕ). Учитывая, что
287

Рис. Р.3.142
LBlBC=90°-LC, из ABDBx находим BD=*Hcos(W-A) =
BxD=HcosA, а из АВХВЕ получим BE=Hsin С, .Bj?=#cos С. Итак,
1 Н1
Sbdb,e=z sin В (Я2 sin A sin С+tf2 cos Я cos С)=— sin В cos (A - С). Ш
3393. ? По условию, ДЛВС— остроугольный, LA=а радианов, LB=fl ради-
радианов, ЛС=«6, AAiA.BC, СС11АВ, О — ортоцентр, через точки О, Л^ Cj
проведана окружность (рис. Р.3.142); требуется найти площадь общей части
ААВС и построенного круга. Так как LOA^B** LOCXB=--, то
LA1OC1 + LA1BCl~ii, т. е. построенная окружность проходит через В,
а ОВ — ее диаметр. Пусть М — ее центр; тогда, обозначив площадь общей
части ААВС и окружности через S, получим
MB* LAMB
+- MB1 ¦
At
В AABtB имеем LBtBA—-—a; значит,
t -- MB2 (sin LAxMB+sin /_BMCt
LBMC^n-l |?._aj-2a. Далее, в Д5,5С имеем
?С«—LCm—(я—(a+/0)¦¦«+/*—; поэтому
LAiMB-n-li «+/»-- |-2(я-а-Д. Но
+2LMBClt так как ^^,A/Ci - Д^^О-t- LOMCit а последние углы явля-
являются внешними в треугольниках АХЫВ и СХМВ; следовательно,
jAfC,-2(я+/?--]+2 1--«]-2/?. Тогда искомая площадь выразит-
выразитб
ся следующим образом:
S~X- MB1 B0+jin Bя-2*-2#+яп2а)-
---МВ1 B0-sinBa+2/») + sm2*)-^ MB1
Проведем через вершины ААВС прямые, параллельные противополож-
288

ным сторонам, и получим АА2В2С2, стороны которого в 2 раза больше
сторон А. А ВС (например, из рассмотрения параллелограммов АВ2СВ
и АВА2С следует, что В2С=АВ=СА2, т. е. А2В2=2АВ. Поэтому точка
О пересечения высот является точкой пересечения серединных перпендику-
перпендикуляров BBt и ССХ в АА2В2С2, т. е. центром окружности, описанной около
АА2В2С2. Пусть R — радиус окружности, описанной около ААВС; тогда
OA2 = OB2 = OC2 = 2R. В ААВС имеем b=2RsinB=2RsinP, откуда
Л=—:—. Так как !_A2OC2=2LB2 = 2$, то LA2OB = fi и, значит,
2ап/>
OB=OA2cosP=2Rcosfl=bctgfl. Отсюда МВ=- ОВ=~ bctgft я окончате-
окончательно получим
Si2t20(?
3.394.
Воспользоваться тем, что в ААВС ортоцентр является цен-
cos Л
cos В cos С'
тром окружности, описанной около АА2В2С2, стороны которого проходят
через точки А, В, С и параллельны противолежащим сторонам ААВС (см.
задачу 3.393).
3.395. ? По условию, ВС=а, АС=Ъ (а>Ь), CDLAB, AE=BE, Sabc = S (рис.
1 2S
Р.3.143); требуется найти LDCE. Так как S=- oZ>sinC, то sinC=—-, т. е.
2 ab
. Согласно теореме косинусов,
cosC
Продолжив медиану СЕ на расстояние EF= СЕ и соединив F с точками
А и В, получим параллелограмм CAFB, в котором 4СЕ2 +АВг=2(а2 +Ьг)
или ACE2=a2+b1+2sJalb1-4S2, откуда
1 2S
лее, учитывая, что S=- АВ ¦ CD, имеем CD=—. Тогда из ACDE находим
2 АВ
4S2
Рис: Р.3.143
Рис. Р.3.144
10-363
289

1-2s/Vb2-AS2 2sl<? +b2-2y/a2b2-AS2
Окончательно получим
DE (a2—b2\Je^ +b2—2stdLb2—AS2 a2—b2
tg LDCE=— = -7—7 /2Д I =~AS~'
a2-b2
т.е. /.Z>C?=arctg ——-. ¦
4Л
3.396. D По условию, AB=BC=CA, FeAB, DeBC, EeAC, DE=EF=FD,
AB: DF=S : 5 (рис. Р.3.144); требуется найти sin lDEC. Пусть LDEC=tx.
Докажем равенство треугольников DEC я AEF. Имеем DF=EF (по усло-
условию), L EDC = \Z0° - (а + 60°) =\20°-я, LAEF=lS0°-(x + 60°) = 120°-x,
LAFE=\W — F0°+ 120°—я) = а, т. е. эти треугольники равны по стороне
и прилежащим к ней углам; следовательно, AE=DC. Пусть AC—Sx; тогда
DE=5x; пусть, далее, DC—у; тогда ЕС=Ях-АЕ=Ях—у. Из ADEC по
теореме косинусов имеем DE2=DC2+EC2 — 2EC ¦ DC cos 60° или
2$х2=уг+(%х-УI-У$х-у)\ 25*2=3/-24ху + 64х2,>>3-8ху-1-13х=0. Ре-
Решив это уравнение относительно у, найдем y^^Ax+xspi; y2=Ax—xs/3.
Г DC DE
Полагая DC=Ax+xs/3, из AECD по теореме синусов имеем -—= . ^„,
яп а яп 60
т. е. sin я=-——- = д =———; полагая DC—Ax—Xsfb, получим
2Jj? 1 Ох 10
¦ Уз-з
8гая=^о- ¦
3397- яп(,+у) •3J9e- т Dcos \~п (!+sin2 i)+2asin iK399- \или
1. 3.400. - actgt
3.401. П По условию, ABCD — параллелограмм, АВ=а, ВС=Ь (й<Ь),
LADB=a, LABD — тупой (рис. Р.3.145). Пусть LA = q>\ тогда из AABD
а Ь
по теореме синусов имеем -—= . ¦ или аяп(я+а>)=Л81пя,
япя япA80°-я-«р) *
. b sin я b sin я
откуда H+4»=arcsm и <p=arcsin а. Значит,
а а
b sin я
LADC= 180°— arcsin 1-я. Теперь из AADC по теореме косинусов
находим
( 180°-arcsin + a]
\
¦)"
/ . b sin я \
I arcsin я I =
, ., „ , / / . AsinH\ . / . Аяпя\ . \
сг+Ьг+2аЬ I cosl arcsin ) совя+яп I arcsm I sina ) =
V. \ a ) \ a ) )
я
— COSH-(-
290

A ED
Рис. Р.3.145 Рис. Р.3.146
= л2 + b2 +2b (cos txy/a2-b2sin2ai + bsin2 a).
Итак, AC=y/a2+b2 + 2b (cosa^Ja2 — b2sin2 a + bsin2a), где a^Asina. ¦
3.402. arcsin I -——- tga J и я-arcsin ( — tga ). 3.403. arctg-j—-=.
\ 2ab J \ lab J a —b
3.404. ? По условию, ABCD— параллелограмм, AB=a, AD = b (a<b), AE-
= ED, L ВЕС'=а (рис. Р.3.146). Используя теорему косинусов, в Д ABE
и AEDC имеем ВЕ2=а2+- b2-abcosA, CE2=- Ь2+а2-
4 4
—aZ>cosA80°—A)=a2+- b2+abcosA. Сложив эти равенства, получим
4
BE2 + CE2 = 2dt+- b2. Теперь применим теорему косинусов к АВЕС:
2а2-1- Ъ1 Аа2_^
Ь2=ВЕ2+ЕС2-1ВЕ- ECcosa. или BE ¦ ЁС= -— . Следова-
24
тельно,
3.405. 3arccos^^ и n-3arccos^-. 3.406. ^-^. 3.407.
3.410. ? По условию, AFB — сегмент, АК=КВ. LAOB=tx, KF=FE=KE,
KLLEF. KL=h (рис. Р.3.147). Пусть OB=R. Тогда из АКОВ находим
ОС ОС
OK^Rcos-, откуда OL = OK+KL**Rcos - + Л. Далее, в AOLE имеем
OL2+LE2 = Rz или
Л2 sin2 —2Rhcos =0. Решив это уравнение, получим
а /,. , я 4Л2 »
-+ lh2cos2-+— sin2-
/—
= (cos-+ /l+-sin2- .
• 1 « V 2 V 3 2/
3.411. ? По условию, ABD — сегмент, BFLAD, AF:FD=\:±
иАВ : uBD = 1 : 2, О — центр окружности сегмента (рис. Р.3.148); требует-
требуется найти cos LAOD. Проведем BC\AD и CE\BF. Пусть Я-Р=х; тогда
DF=4x, DE=AF=x, BC=EF=Zx. Пусть, далее, LAOB=a; тогда
291

Рис. Р.3.347
Рис. Р.3.148
LDOC= LBOC—a. (так как kjAB = kjDC=uCB). Обозначив радиус сегмен-
сегмента через R, по теореме косинусов в АВОС и AAOD имеем
9л2 = 1R1 - 2R2 cos я=2R2 A - cos a), 25х* = 2R2 A - cos За). Разделим первое
9 1— cos я
равенство на второе и получим —= или 9—9 cos За=25—25 cos а.
25 1—cos За
Далее, используя формулу cos Зя =4 cos3 я—3 cos я, придем к уравнению
36cossa+27cosa—16+25cosa=0 или 9cos3a— 13cosa+4 = 0, откуда
9cosa(cos2a-l)-4(cosa-l) = 0, (cosa-l)(9cos2a+9cosa-4) = 0,
cosa#l, так как a#0.
Решив уравнение 9 cos2 a+9 cos a—4=0, получим cosa=-; тогда
1 1 23
cosiL/lOZ)=cos3a=4 •-—3 - = —-. ¦
3.41Z П По условию, POQ — сектор, OP=OQ=R, ABCD — вписанный в сек-
сектор прямоугольник, AeOP. BeuPQ, CeuPQ, DeOQ, LPOQ = tx, LCMD = P
(рис. Р.3.149). Проведем ОМ()ВС=Е; OMf)AD=N. Пусть МЕ=хг, тогда
В В
в АМВЕ имеем LMBE=-, BE=xctg-. Из AANO находим
?=xctg^ctg^. Далее, в АОЕС имеем OE2 + EC1=R2 или
Л2, откуда
R2 tg2 -
Теперь можно найти искомую площадь:
В Я
Sabcd=BC ¦ CD=2xctg - ¦ 2х
3.413. 4^cos- sin1-.
4R2tg',
(B
2tg^
292

D Q
Рис. Р.3.149
Рис. Р.3.150
3.414. П По условию, ААВС=ААЛС, LB=LD=90°, ((ABC);(ADC)) = tx,
LBAD=0 (рис. Р.3.150). Проведем BF1AC; тогда DFLAC, DF= BF (высо-
(высоты в равных прямоугольных треугольниках, проведенные к гипотенузе),
т. е. LBFD = a. Пусть AB=AD=a, BC=CD = b, BF=h. Из AABD я ADBF
й р
находим Z>l?2=2a2 — 2а2 cos/?=4а2 sin2 -, откуда DB=2asin-;
DB1=2h2—2A2cosa=4A2sin2 -, откуда Z)fi=2Asin-. Далее, полагая
LBCD=q>, из дВСД получим i)B2=2A2-2A2cos^=4A2sin2 -, т. е.
а> В a q> <х
DB=2ban -. Теперь из равенств 2аsin -=2Asin - и 2Asin -=2Asin - нахо-
находим
h
h sm(fi/2)
h sin (<p/2)
a sin (a/2)' Ъ sin (я/2)'
=sin LBCA=srn(90°- LBAQ=cos LBAC. Имеем
Ho
= sin LBAC,
sin @/2) . sin @/2)
sin LBAC" . , ' , т. e. Z_A4C=arcsin — •
cos LBAC
sin (я/2)'
sin (<p/2)
sin (a/2)'
( . sin @/2)\ sin
или cos arcsin -——— =° .
. , _ч или cos arcsin -——— =° . . ....
sin (я/2) \ sin (я/2)/ sin (я/2)
После преобразований получим
Я
1—cosa—l+cosfl
Итак, <p = 2arcsin /sin sin . ¦
3.415. G По условию, О — трехгранный угол, LMON=a, двугранный угол
OAf=fl, а двугранный угол ON=y (рис. Р.3.151); требуется найти LPOM
и LPON. Возьмем на ОР произвольную точку А и проведем ААХL(MON),
ACLOM и ABLON; тогда LACAY=P,^ LABA^у. Пусть AAt=а; тогда
а а
имеем AtC=actgff, AC=-r—^ A^B=a<A%y, AB=-—.
япр
293

Обозначим LAiOC через <р; отсюда LA1OB=a-<p. В АА^ОС и ААХОВ
AJt ' ¦ -
А,С . , А.В sin(a — ф) А,В a ctg у
имеем sm<p=——, яп(я—<р)=——, откуда —: =—— ««—¦—- и далее
sin a ctg<p—cosa--
cosy
sin»]» AtC actgfi
sin у cos /?'
cosy sin P cosa cosy sin^+cos a cos^ sin7
sin a cos ^ sin у
Из
sin a sin у cos fl sin а
i найдем
cosy sin^ + cosacosfi siny
0C=4,Cctg<p=actgfl
an a cos /? sin у
а (cos у sin/f+cosot cos/? siny)
sin a sin/f sin у
Наконец, из ДЛСО получим
ОС a(cosy sin/?+cosa cosfl siny) sine
ctg LAOM=ctg LAOC = — f . . - . - =
AC an я anp siny • a
=ctgy sin^ sin"!H+ctga cos/?= sin Й ctg a (ctg у cos"'«+ctg/?).
Итак, LAOM= LPOM=aicctg(smp ctgH(ctgy cos a+ctgfi)).
Аналогично находим
/. PON=arctg(sin у ctg я (ctg /? cos  a+ctg y)). ¦
3.416. П По условию, OM1ON, OMLOP, ONLOP, AeOM, OA=a, BeON, CeOP,
LABC=tx, LACB=P (рис. Р.3.152). Проведем ADLBC. Пусть AD=H;
H H
тогда из AADB и AADC находим АВ=-.—, BD=Hctga, AC=^~-,
sin a an/i
DC=HcXgp. Так как ODLBC (по теореме о трех перпендикулярах), то
OD2 = BD DC или OZ)=#VctgHCtg0. Далее, в AAOD имеем
Я2—Я2 ctg я ctg р=а2, откуда Я= ; тогда
Vl-ctgactg/?
/7
. Наконец, из ААОВ получим
sino\/l— ctga ctg/?
sin2a(l-ctgHCtg/?)
я2A — sin2 я+sin я cosh ctg й) sin я sin/?
sin1 я (sin я sin /?—cos я cos p)
Рис. Р.3.151
Рис. Р.3.152
294

a2 cos a. (cos a sin /? + sin a cos P)
= —— =
— sina cos(a + /f)
-a2ctga tg(a
т. е. OB=ibJ—ctga tg(a+/f)- Аналогично из Д/ШС находим
OC=aj-ctg/»tg (« + /»). ¦
3.417. ? По условию, а||/», Aetx, Сел, Вер, Deft, AB : CD=k, АА^Р. CCtLp,
LABAX : LCDCt=2 : 3 (рис. Р.3.153). Пусть AA^CC^aa LABA^ly;
„ . a . a sin3<jp AB ,
тогда LCDC1=3ip. Так как sin2<p = —-, sin3<p=—-, то . =—— = k.
AB CD sin 2^9 CD
„ 3sm<p—4sin39 . ,
Далее имеем =k; 3-4siir <p=2fccos<jp;
2 s os
4cos2^—
—1 =0;
2 sm <?) cos <p
, поскольку cosp>0. Значит,
9=arccos
. Ho /. CDCs — острый или прямой угол (по опреде-
определению угла между прямой и плоскостью); поэтому 0 <<?<-, откуда
о
7з Jb k+Jtf+A
— <cos^<l или -—- < <1, т. е.
. Решив
систему неравенств
Z.i4fi/I1=2arccos
U+Vi?+4<4
, /. С2)С, = 3arccos
2V3 L 3 „
получим —— <Jt<-. Итак,
3 2
3
, /. С2)С, 3arccos, <fc<-. ¦
4 4 3 2
3.418. П По условию, ABCD — квадрат, /»—плоскость, {(ABC); P)=a,
(Р; (АВ))=Р (рис. Р.3.154); требуется найти (Р; (AD)). Проведем через
А плоскость PJP, а затем BBjlPj, CCiX/*,, ДЛД?!; тогда
(ЛВС)ПЛ=Л?. BCf)Pt=F, CD(\Pl=E, LBABt=p. Теперь проведем
DKXAE; очевидно, что DtK±AE; тогда LDKD1 = a,
LD1AD = (P; (AD)) = x. Пусть Z)Z>i=a, откуда AD=-—. Так как
sin х
то LDED, = LBAB,=B и
sina
Учитывая, что
Рис. Р.3.153
Рис. Р.3.154
295

AE2=AD2+DE2
90" (поскольку ADXDE как смежные стороны квадрата), имеем
а2 о2 a2 (sin2 p+sin2 x)
AE=
/sin2/f+sin2x
sinx sin/?
2P sin2xsin2A
и,
следовательно,
Далее воспользуемся тем, что ?д,и>?=
'-AD-.
•- АЕ DK или
2 sin x sin
a a a->/sra2/f+sin2x a
sin a
. Значит,
sin x sin P
П^ГЪ—=-j- . , . , . , l-cos2a-l+cos20
sina=->/sra2^+sin2x или srorx=snra—snr/?= =
3.419.
= sin(a+/J) sin(a— P), откуда находим sinx=-v/sin(a+j?) sin(a—P). Итак,
x=arcsin *Jsm{a+P) sm{a—p). ¦
-fttga
4 sin2 /? sin2 v
3.420. ? По условию, ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед, ABCD — параллело-
параллелограмм, LBAD=a, AAt=b, LAXAB= LAXAD=P (рис. Р.3.155). Проведем
А^ОЦАВС), AiKLAB и AXFLAD; тогда AtO — высота призмы, ОК1АВ
и OF1AD. Так как АА±КА= AAtFA (по общей гипотенузе и острому
углу), то AiK^AyF. Значит, OK=OF как проекции равных наклонных,
откуда следует, что АО — биссектриса LBAD. Из AAtFA имеем
AtF=bsinP, AF=bcosр, а из AAFO находим OF^AFtg-^bcosPtg-.
Наконец, из &AtOF получим
b2sin20-
a
cos-
|) sin (/?-
Л3 sin •
Д . я+Д4
sin —— tg ^
3.421.
3.42Z П По условию, АСВА^СХВУ — наклонная треугольная призма,
LACB=9W, LBAC = tx, (АА^ЦАВС), LAtACB=0 (рис. Р.3.156); требу-
требуется найти острый угол ьлежду^АВС) и (CjC.fi). Проведем у^С
296

Проведем AyELAC и соединим О с Е; тогда OELAC
и LA1EO=0. Пусть АВ=с. АхО=*а\ тогда ЛС=ссовя (из AABQ,
OE=actgP (из КА^ЕО), AE=OEctga=actgP ctga (из &АЕО),
EC=AC-AE=ccosa-actgpciga. Проведем OD}AC, тогда ODLBC. Че-
Через ЛХ0 и ОД проведем плоскость A^OD; (A1OD)f](CClB) = C1D
и BCX-iAfiD), поскольку ВС перпендикулярна прямым OD и Л,О, лежа-
лежащим в этой плоскости. Следовательно, LODCX является тупым углом
между (Л5С) и (CtCB), так как OZ) меньше ^С, на величину Л?. Теперь
проведем C^FIA^O; тогда LCJ>F— острый угол между (ABC) и (CtCB).
В ACXFD имеем
находим
tg LCXDF
actgactg/f
учитывая, что CtF=a, DF=
Итак,
tgatgj}.
3.423. Z3 sin IP cos Д sin a cos2 -. 3.424. — 4/3-4(cos2a-cosHCOs^+cos2 P).
аг sin 2а cos я sin p
3.425.
a) sm{fi-a). 3.426.
3.427. arccos
^/sn(fi+a) sm{fia). 3.426. 3.427. arccos .
2cosP 4Vcos(h+^)cos(«-^) 4
3.428. ? По условию, АВСА^В^С^—наклонная треугольная призма, ВС=а,
LABC=0, LACB=y, ААх=АхВ=А^С и К„р=К(рис. Р.3.157). Проведем
А^ОЦАВС). Так как AA1=A1B=AiC, то ОА~ОВ=ОС, т. е. О — центр
окружности, описанной около А АВС. Пусть Л — радиус этой окружности;
тогда a=2Rsin(fi+y), откуда Л= . °о—-, ^д^с»^^^. Обозиа-
2sm(^+v) 2sin(^+v)
чим угол наклона бокового ребра к плоскости основания через <р; отсюда
atg<p
LAiAO-<p и AiO=Rlg<i>=--r-——-. Следовательно,
V=>
a3 sin у? sin у tg<p
откуда
**1F*T*S- И™'
a3 sin/? sin у '
3.429. D По условию, ABCDA^CjDj — куб, DF=FDU D1K=KC1, через точки
A, F и К проведено сечение (AFK) (рис. Р.3.158); требуется найти
((ABC);(AFK)j. Обозначим (AFK) через я; aOiDD^J^FK, где ЯС1ДС, как
средняя линия AADjCj,- a(^(^^jB,) по прямой, параллельной Х)С,, т. е. по
Рис. Р.3.157
Рис. Р.3.158
297

ABi, af](A1B1C1)=B1K; a^DV^J^AF. Таким образом, сечением явля-
является четырехугольник ABtKF. Далее, af^iABQ^AE^B^. Проведем
FMXAE; значит, DM ХАЕ и LFMD—(p— искомый угол. Пусть AD=a;
а
тогда DF=-. Проведем
имеем DF—средняя линия AELK
и DE=DL**-. Из &EDA находим АЕ
\ AD ¦
DM
ал/5
Учитывая, что
^ АЕ ¦ DM, получим - ¦ 0=^-^ ¦ DM, откуда
Наконец, из AFDM найдем tg<p = = -~, т. е.
3.430. ? По условию, SABCD — пирамида, ABCD — квадрат, SOL(ABQ,
SKLAD, SEXBC, SLLDC, SF1AB, LSEO: LSFO:
: LSKO : LSLO=\ : 2 : 4 : 2 (рис. Р.3.159). Пусть LSEO=a; тогда
LSFO= LSLO=2я, LSKO=4a. Обозначив SO через Я, найдем
OE=Hctga, OK=Hctg4a, OF=OL = #ctg2a. Так как OE+OK=OF+OL
(длины сторон квадрата), то
ctga+ctg4a=2ctg2a; Ctga-ctg2a=ctg2a-ctg4a;
sin 4a — sin 2a=0; 2 cos 3a sina=0.
sin a
sin 2a
sin a sin 2a sin 2a sin 4a'
Ho sina#0; тогда cos3a=0 и так как a — острый угол, то 3a=-, т. е. а=-.
2 6
Итак, LSEO=~, LSFO= LSLO=-, LSKO=—. Ш
6 3 3
3.431. ? По условию, SABC —^гоавильная треугольная пирамида,
(ВМЩЩАС), (ВМЩ^АС, ({BMN);(ABCj)=<x (рис. Р.3.160); требуется най-
найти LASC. Проведем SFL(ABQ; тогда BFLAC, BFf\AC=D, SDLAC. Так
как МЩАС, то SD1MN. Далее, (ВМ?Г)()(АВС)=ВЕЩЩАС;
ASMB-ASMB {SB — общая сторона, SN=SM, поскольку МЩАС,
L BSM= L BSN); следовательно, BM^BN и BO1MN, а так как BEJMN, то
ВОХВЕ и LOBD-a. Пусть FD=a; тогда AD=ay/3. Учитывая, что
LOBD = tx, имеем LFDO = 90°-a, а LFSD=a. Из ASFD получим
Рис. Р.3.159
Рис. Р.3.160
298

SD
a AD aJi sini r .
-—, а из ASDA найдем tg LASD=—=— =V3 апя, откуда
ana SD a
LASD = arctg (л/з sin я). Итак, LASC=2LASD=2aictg(^f3 sin я). ¦
3.432. П По условшо, SABCD — правильная четырехугольная пирамида,
SOL(ABC), OKL(SAB), OLLSA, OK=a, OL = b (рис. Р.3.161); требуется
найти LSABO. Проведем SE1AB; тогда (SOE)±(SAB), так как AB±.(SOE)
и ABe(SAB); следовательно, LSEO — линейный угол двугранного угла
SABO, OKe{SOE) и KeSE. Пусть LSEO=*a. Так как ASKO~AOKE
(LSKO= L OKE=90°, LSOK= LKEO как углы с взаимно перпендикуляр-
ными сторонами), то —=—. Введем обозначения АВ=х, SO=h; тогда
SO ОЕ
а 2КЕ ах
7= , т. е. КЕ=—. В АОКЕимеем КЕ=
h х 2Л
—аи получаем уравнение
Аналогично, ASLO~ AOLA и —=— или -=—-, т. е. AL=
50 ЛО А Лч/2 2Л
Далее, в AOLA имеем AL= / Л2 и получаем уравнение
V ^
2h2
h2-b2'
4a2h2 2b2h2
Сравнивая значения для дг, приходим к равенству 71 i=7i—zi> TOrflft
2a2h1-2a2b2 = b
a2b2
или h2-
a2b2
'2a2-b
, откуда
4a2
2a2-b2 2a2 b2
т, т. e. x=
2a2 -b2
:. Значит,
к А
Рис. Р.3.161
Рис. Р.3.162
299

so
Теперь из ASOE находим tga=—
ОЕ ф^ТаЬф. JbF
1 Jla2-b2
льзовавшись формулой \+\f*a=*—5—, получим cosa=—— , т. е.
cos2 я о
Ь ' "
3.433. ? По условию, SABC — правильная треугольная пирамида, АВ=а.
LSCBA**a. (рис. Р.3.162); требуется найти расстояние между AS и ВС.
Пусть SO1XABC) и SDXBC. Через SO и SD проведем плоскость ASD, а из
точки D проведем DELSA. Так как BCX.(ASD), то DELBC, т. е. DE — ис-
искомое расстояние. Учитывая, что LSDO=a. как линейный угол двугран-
aJb
ного угла SCBA, из ASOD находим SO = ODtga=—^— tga. Так как
6
„ л/3 1 3a2 tga a2tga
AD=—~, то S&SAD=-AD ¦ SO=———=—-—. С другой стороны,
2 2 24 8
2 SA ¦ DE> гда -S^ найдем из ASOA:
-уМг
а_
+У~
12 +У
В результате получаем уравнение =— ¦ DE, откуда
8 12
a^Jitga
3.434. П По условию, SABCD — правильная четырехугольная пирамида, АВ<=а,
SQ±(ABC), LASQ = a (a<arctg— \ (EKN)LSA. SO = OQ. Oe(EKN)
(рис. Р.3.163). Имеем ASEL= ASEK (SE— общий катет, LESL= LESK
как плоские углы в правильной пирамиде); следовательно, SL=SK, т. е.
LK\BD, причем LK-- BD=~-. Так как SEL(EKN), то SO — наклонная
к этой плоскости, ЕО — ее проекция на эту плоскость; вследствие того, что
SOLBD, a BD\LK, получаем SOLLKb EOLLK; значит, SEknl=~ LK ¦ EN.
Теперь найдем Se=e^ctga=^~- ctga, откуда SO=- SQ=^— ctga. Да-
2 2 4
aJl
лее из AOES находим SE=SO cos я=—^— ctga cos a и, наконец, из A SEN
4
aJl
получим EN= SE tg 2a = —^— ctg я cos a tg 2a. Итак,
1 aJl aJl a1
Seknl=t, -= ^- ctga cosa tg2a=— ctga cosa tg2a.
2 2 4 8
Заметим, что ограничение a<arctg— существенно, так как в противном
300

Рис. Р.3.163
Рис. Р.3.164
случае нельзя провести сечение EKNL, удовлетворяющее условиям задачи.
В этом случае точка N окажется за пределами ребра SC, что можно
показать, сравнив длины SN и SC. Щ.
3.435. П По условию, SABC — правильная треугольная пирамида, SOL(ABQ,
SO=H, Р — сечение, проходящее через A, PLSC, (P;{ABQ)=* (рис.
Р.3.164); требуется найти объем пирамиды, заключенной между Р и (ABC).
Сечение Pf)(ASC)=AD, где ADLSD; так как BDXSC, то (ADB)cP, т. е.
ADB — искомое сечение. Пусть SE — апофема. Имеем AASD=ABSD
(SA=SB, SD — общая сторона, LASD= LBSD); следовательно, AD=BD,
EDLAB и СЕХАВ; тогда LCED = tx, LECD = 90°-a. Из ASOC находим
2
OC=H tga; значит, ЕС=- 0С=
Htgtx, AB=-
Далее из AEDC найдем DC=EC sina=- Яtga sin я. Проведем DFL{ABQ;
в AFDC имеем /_.И>С=а и DF=DCcosa=- Яtgя sinacosa=- Я sin2я.
Итак,
1 3ff2tg2a.
Я sin2 a =
8
3.436. D По условию, ABCAJixCx—правильная треугольная усеченная пира-
пирамида, К — центр вписанного в нее шара, М — центр шара, касающегося
всех ребер пирамиды, О в О1 — центры оснований пирамиды (рис. P.3.16S);
требуется найти LBtBO. Прежде всего отметим, что KeOOt и КО=КОи
MeOOlt так как точка М равноудалена от всех ребер. Основания пирамиды
пересекают шар с центром М по окружностям с центрами О и О1г вписан-
вписанным в основания. Положим ОЕ=г, О1Е1=г1, где Е и Е1—середины
сторон ВС и В1С1. Боковая грань ВВ1С1С пересекает шар с центром М по
окружности, вписанной в трапецию BByC.fi. Согласно свойству сторон
„„ ВС+В& „
описанного около окружности четырехугольника, bbj = . Пусть
а+Ь
ВС=а, BiCl=b; тогда BBt= . Отрезок ЕЕ1 —апофема усеченной пи-
пирамиды; в силу свойства касательных, проведенных из одной точки к шару,
301

имеем ??1
и положим
имеем
BL=
6 6 6
ООХ=Н; тогда
Проведем Е1ЩОО1,
из AEtNE находим
l^B^ + BL1. Так как
. Далее проведем B1L\EE1 и в ABXLB
ВЬЕЕ
=, В1Ь=ЕЕ1=,
2 6
, то, подставив эти выражения в предыдущее равенство, получим
a2+2ab+b* a2 + 2ab+b2 a2-2ab + b2
12
или
2, т. е. ab-
12
„ ab (a + bJ a + b
Значит, IP=—= , откуда H= . Теперь из AB^FB находим
3 36 6
2ff a+b 1 1
sincB1BO=sm CBXBF= -=— -=-. Итак, sin LBXBO=-. Ш
a + b 3(a+b) 3 3
3.437. ? По условию, FABC — треугольная пирамида, АВ=АС, LBAC=a
(а<я/2), AEDA1ElD1 — призма, вписанная в пирамиду, AjSFA, E^FC,
DxeFB, О — центр окружности, описанной около ААВС, OeED (рис.
Р.3.166); требуется найти Ущ, : Ущф. Проведем FL±(ABQ и положим
FL = H;FL[)(AiD1E1) = L1; пусть LLX =Л. Так как {AJ>^EX)\{ABC) (плоско-
(плоскости, в которых лежат основания призмы), то ElDl\\BC (две параллельные
плоскости, пересеченные плоскостью FBC); значит, DE^BC. Пусть ВС=а;
а
тогда a=2OAsma, откуда ОА= . Из AAOD находим
2 sin a
OD = OA tg
поэтому
2 2sina
-, т. е. DE=-
4 cos2
2cos2-
. Далее, AADE~ ААВС;
Рис. Р.3.165
Рис. Р.3.166
302

Slasc ВС1 а , 4a"
4 cos* - • ar 4 cos* -
S
Полагая S^abc=S, находим S^ade= Согласно свойству парал-
%
4 cos -
дельных сечений пирамиды, имеем
S \ S (ЯЛJ
FL\ S (Я-ЛJ H-h
:
4<x tf2 :H *
4cos* - ¦ S 2cosJ -
2Я0О.» ?-
2
Я2*во. ; Н
2 2 2cos»|
1 5 tfcosa SHcosa
Следовательно, Ущр=- SH, Ущ,= ¦ = , откуда
4cos*- 2cos2- 8cos6°|
K°P SHcosa SH 3cos«
3.438. arctg3+y17. 3.439. arcsin „ + 1. 3.440. arctg
2 8
l+3cos2a
.1 <a+bfJa(a-2b) tg2 -. 3.443. arctg —. 3.444.
24 2 5
C) Д 3.445. 1 3.446. ^(«+Я *»(«-*>. 3.447.
4 12 sin2 a sin 2^ sin P
la + 36
144 cos a
3.448. ? Изобразим осевое сечение фигуры: пусть SDC — осевое сечение конуса,
SD я SC — образующие конуса, LDSC=9W, SO2 — высота конуса, О2
и О1 — центры оснований вписанного в конус цилиндра,
•S6OI.IOH : '5бо1.цил=4л/2 (рис. Р.3.167); требуется найти угол между DOt
и основанием конуса. Положим O2D = R; тогда SD=R~Jl, SO2 = R,
m = nR2yf2. Обозначим радиус основания цилиндра через г, а высоту
О1О2 —через А; тогда SeOI цял=2т1гЛ. По условию, —-——=4-у/2, откуда
2пгп
R2
— = 8. Но SO2=h+r=R, т. е. г=Л—Л. Подставим это выражение в послед
гл
Л2
нее равенство: —=8 или Л2 = 8ЛЛ —8Л2. Теперь разделим обе части
(R—Л) Л
303

В А, О, В, С
Рис. Р.3.168
и получим
W л
+ 8 = 0. Учитывая, что
=ctg Z.O1DO2=ctga (где а —искомый угол), имеем ctg2a—8ctga+8=0,
уравнения
Л
V
откуда ctg«=4±2>/2. Итак, a=arcctgD+2V2). ¦
3.449. П По условию, АА^С^С — равносторонний цилиндр, А — точка окружно-
окружности верхнего основания цилиндра, В — точка окружности его нижнего ос-
основания, АВ=а, АВ отстоит от 00, на расстояние Ь (рис. Р.3.168); требуется
найти угол между АВ и плоскостью основания цилиндра. Проведем через
АА1 и АВ плоскость ААХВ; при этом (ААХВ)\ОО^ так как ОО1\\АА1.
Проведем O^DLA^B; тогда OlDl.(AAiB) и, значит, O1D=b. Пусть ААх=х,
тогда А1С1=х. В АААХВ имеем А^&^а1—х2, т. е. A1B=yJai—x2,
1 _ уП^х2
. Теперь из AOtDAt находим
+Ь2; отсюда 2x2=eJ+4A2, x2
или
-, т. е. АгВ=
. Следовательно,
АХВ J2(a2-4b2)
В результате получим cos LABAt=cos<p=—— =- _, откуда
АВ zci
<p=arccos
2а
3.450. 4:
3.451.
sin a cos ^
3.452. П По условию, SAB — конус, SO — его высота, SB — образующая,
LOSB=«. MBCDE — пирамида, вписанная в конус, MS=MB, BCDE — че-
четырехугольник, вписанный в основание конуса, BE=BC=CD=b, DE=a
(рис. Р.3.169). Обозначим радиус основания конуса через R и проведем
MK\SO. Из ASOB находим SO=.Rctga, откуда МК=- SO=- Rctga. Так
как равные хорды одной окружности стягивают равные дуги, то
\jBE=\jBC=\jCJ). Обозначив величину этих дуг че-
через р, имеем kjBE=*kjBC=vCD=P, а и?Л?=36О°-30. Но впи-
вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается;
304

поэтому
1
1
LDBE=-
J
30
—--,
LBDE=- p, LDEB=p, a LDCB=\S0°-p. Тогда
Sj>cde
S ДВИ)= - b2 sin A 80° -
ab sin p = - b(a+ b) sin P,
—
Рис. Р.3.169
Так как i\DBE вписан в основание конуса, то
(
— или
—; значит,
R
a /J в
-; аналогично, BE=2Rsin LBDE=2Rsin - или b=2R sin -, откуда
Зр 2 2
Зр
2 sin —
b
R= -. Таким образом, получаем равенство
sin —
a 2 a
или
-!
P зв
2sin- 2sin —
далее имеем
3 sin --4 sin3 -
2 2 a
-»2
, p a+b P Ja+b
005 r^T'C0S2
Окончательно находим
а+Ь
2sin-
¦ 2sin-cos- =
2 2
12
12
Ь2(а+Ь)
ctga
3.453. D По условию, SMN — конус, SO — высота конуса, LOSN~p,
PABCD — пирамида, ABCD — равнобедренная трапеция, описанная около
основания конуса, LADC^a, SN—I—образующая конуса, PeSN,
РКЦАВС), K-ACf)BD (рис. Р.3.170). Из ASON находим ON -1 sin P,
11-363

SO=/cos jS. Так как М и N — точки касания
оснований трапеции с окружностью основа-
основания конуса, то MN=2ON=2lsiafi. Проведем
CE\MN; тогда CE=MN=21srnfi. Из ACED
СЕ 2/sin0
находим CD= = и, значит,
sin a sin а
AD+BC
Sabcd" — • MN-CD ¦ .
2 sin а
KN ВС
Далее, АВКС-AAKD, откуда —.-—¦
KM AJJ
Для нахождения AD и ВС составим систему
уравнений
Рис. Р.3.170
решив
которую
BC=21sinP tg -. Значит,
KN ,ч KN
— =tir - или =
JW * 2 KN+KM
получим
2 а
tg 2
»
а
2
AD=
^ A +cosa)=2/sin? ctg ?
sin a 2
или
KN
2 a
- = sinatg-.
2ON= ,a un ,
1+tg2- 1+tg2-
PK KN PK a
Наконец, APKN~ ASON, откуда — =— или -=a'natg-, т. е.
I cos ft sin a tg -. Окончательно находим
1 4/2sinJ0 , . a 2
¦/cos/Jsma tg-=-
sin a
3.454. ? По условию, SABC — правильная треугольная пирамида, SO — ее высо-
высота, АВ=а, двугранный угол ВС равен ос, К—центр шара, касающегося
основания и боковых ребер (рис. Р.3.171). Так как точка К равноудалена от
боковых ребер, то KeSO. Проведем SDX.BC; тогда ODLBC и L SDO=a. Из
Ол/З
ASOD находим SO = ODtga=—— tga, а из ASOA получим
SA=yjOA2+SO2
— Н— tg2a=-
3 12 К б
). Пусть Е — точка каса-
ния шара с ребром SA; тогда КЕ=КО. Положим KO=R. Так как
ЕК SK ЗЛ (SO-RJ 6
ASEK~ ASOA, то ^~.=^~. или
О A SA
1-Л б
-. Выполним дальнейшие преобразования:
306

Рис. Р.3.171
Рис. Р.3.172
а+4 = ал/3 tga-бЛ; 3R(y/tg2x+4+2)=ayfi tga;
ау/З tgа ауЗ
3(Vl+4ctg^t+2ctga)
сф
a - 2 ctg а).
3.455.
ЧЧ) ¦
3.456. ? По условию, SABC — правильная треугольная пирамида, SO±(ABC),
SO=H, LSAO=a (рис. Р.3.172); требуется найти радиус вписанного шара.
Пусть К — центр вписанного шара; соединив К и точку D касания шара
с боковой гранью, получим ASKD~ASOAi (так как LSDK= lSOA1=90",
KD SK
LDSQ — общий угол), откуда = . Пусть KD=r\ тогда SK=H—r. Из
ОА1 &4j
A SO А находим AO = Hclga, а из ASOAt получим
/ [—' н
SAi = jH2+- H1 ctg2 a=- ^4+ctg2 а. Следовательно,
V 4 2
Итак,
tfctgx
3.457. D По условию, SABC — правильная треугольная пирамида, АВ=а,
САВ=а, MNKMiNJC^ — прямая призма, вписанная в пирамиду, К,, Nlt
307

D,
Рис. Р.3.173
АГ, лежат на апофемах, М, N, К лежат в (ABC), О — центр вписанного
в пирамиду шара и О^еЦМ^^К^ (рис. Р.3.173). Проведем SO±(ABQ; тогда
ASOD~ ANtND, поскольку NNt \\SO, LSDO= LSFO= LSEO = a. Из подо-
NN. ND aJl
бия треугольников следует -~——¦ Ho OD=—-~, SO=ODtga=
г
OyJ3 tg
=^t
6
x=ON.
Подставив
O2)tg^
2 6
эти значения
r~
ND=OD-ON=~—x, где
6
в пропорцию, получим
ay/itg-.б [Ц—х б
=Л ^_; а^Д tg - = <ф tgac-
ба-у/З tga aV3 2
ол/3 f tga-tg Л aV3 sin ^ cos a
6д:tga, откуда
/^
6tga
б cos a cos - sin a 12cos* -
Далее имеем AOMN~ AOED (равнобедренные треугольники с равными
MN ON
углами при вершине); значит, =—, откуда
ED OD
308
ED ON °°S 2 a
~OD
Окончательно находим
4cosJ-
tg - a3 sin -
64cos4-6 128cos5?

3.458.
--. 3.459.
3.460. D Изобразим сечение фигуры плоскостью, проходящей через центр К впи-
вписанного шара и апофему DDX усеченной пирамиды. В сечении получим
трапецию ADD.A., в которую вписан круг с центром К, касающийся
апофемы DDX и оснований трапеции в точках О и О, — центрах окружно-
окружностей, вписанных в основания усеченной пирамиды (рис. Р.3.174). По усло-
условию, 5Шара:5ус.1Шр=я : 6-ч/3; требуется найти угол между боковой гранью
и плоскостью основания. Введем следующие обозначения: t_DiDA = a,
KO = r, OD = Ri, OlDl = R2; тогда 5шара=4го-2, 5ус.шф =
— (Р^Рг) DDl + Si+
52 = 3/?i>/3, DD1=R1 +R2 Таким образом,
•V щф = 3V3 (Rt + Л2) (Л, + R2) + ЗЛ?V3 + ЗЛ|V3
Проведем
где
R, = A —cosa). Тогда
sin a
2r
найдем DDl=-—, ED=2rctga. Решив
sin a
sm a получим Rl = -— A + cos a),
4-^ C+cos2a).
in QC
Так как
^4
Sin QC
n 4»tr2sin2a n . , л . 2
, то — =—-, откуда 3+cos2a=4sm''a;
7^(^) 6/
, то =
6^/3 673^C+008^) 6л/3
3sin2a+4cos2a=4sin2a; tg2a=4; tga=2, a=arctg2.
3.461. - и arctgl 3.462. arctg
4
3.464. -. 3.465. ^.
^~27
. 3463. arctg ^ ; ifc> - .
2" JlkT-Ъ 2

ГЛАВА 4
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ
4.001. *? Пусть Р. N и К— точки касания вписанной окружности со сторонами
ААВС (рис Р.4.1). По условию, КВ=п, СК**т. где п>т. Положим АВ=х;
тогда AN"AB—NB=x—n. Согласно теореме Пифагора, имеем
2 B ( J2 222 2
+п2 => 2(п-т) = 2(т2+п2). Итак, АВ=х
4.002. ? Пусть а и Ъ — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника.
Согласно условию, а+А=8, т. е. 6=8—а. Предположим, что с=5; тогда
получим уравнение <з2 + (8 — аJ=52 или а2+64 — 16а + а2 — 25 = 0 или
2а2— 16а+39=0. Но D/4=64—2 • 39 <0 и, значит, это уравнение не имеет
корней. Итак, длина гипотенузы не может быть равной 5 см. ¦
аЪ + Ьс+ас
4.003. ? Докажем, что ; — = 2R (рис. РЛ2). Воспользуемся теоремой
ha + hb+hc
Ъ с
синусов:
ас
sin Л sin 5 sin С
ab be
=2R, откуда
0)
с sin Л a sin 5 isinC
1 1
Но 5дл8С=~ a* sin C=- ah,,, откуда ha=b sin С (это также непосредственно
видно из рис. Р.4.2); аналогично, hb=csmA, hc=asinB. Тогда из соотноше-
соотношений A) находим ab=2Rhc, bc=2Rha, ac=2.R/ij. Сложив эти равенства,
получим
ab+bc+ac
ab+bc+ac=2R (ha+hb+hc) или
4.004 П Пусть в ААВС (рис. РАЗ) АВ=х. ВС<=х+5 и АС=х + \0, где х>5.
Согласно теореме косинусов, имеем (х+Щ2 =х*+(х+5J—2x(x+S)cos?,
jc2-10jc+75 (x + 5)(x-15) х-15
откуда cosB= Г~=—Т~, ^—=—:—• Так как 0<cos.8<l, то
2х(х+5) 2х(х+5)
2х
Рис. Р.4.2
Рис. РАЗ
310

*15
0< <1. Наименьшим значением дс, при котором выполняется это
2х
неравенство, является jc—15. Поэтому наибольшее число, обладающее
указанным в условии свойством, есть jc + 10=25. ¦
4.005. П По условию, BD=DC~a, LBAD*- l_CAD=a (рис. Р.4.4); требуется
доказать, что ААВС — равнобедренный. В AABD и AACD по теореме
косинусов имеем а2 — с2+т2 —2mccosa, а2—Л2+m2—2mA cos я. Вычитая
одно выражение из другого, получим {с1—Ь2)—2т(с—6)cosa»=0 или
{c-b)(c+b-2mcosa)=0. Так как c+b-lmco&ttitO, то с=Ь, т.е. ААВС —
равнобедренный. ¦
4.006. П Согласно условшо, в ААВС (рис. Р.4.5) АВ=2а, ВС=За, АС=Ла.
AD АС Аа 4
Используя свойство биссектрисы треугольника находим —=—=—=-.
DB ВС За 3
4 8а 3 6а
Так как AD+DB=2a, то AD=- ¦ 2а=—, BD=~ 2а=—. Но ВО — биссек-
7 7 7 7-
ОС ВС За 7
триса в ADBC и, значит, —=—= =-. ¦
OD BD bajl 2
4.007 12, 15 и 18 см.
4.008. D Находим (рис. FA.6)AH=*HD=JlS-24=1 (см), т. е. АВ=2см. Далее
ВС АВ 5
имеем —=—=-. Известно, что квадрат длины биссектрисы выражается
DC AD 2
формулой BD2 =AB • ВС—AD • DC (см. «Дополнительные соотношения
между элементами фигур», гл. 1, п. 5 ). Таким образом, 25=5 • 5х—2 ¦ 2х
25 50 8 5-25 20
или 25=21х, откуда *=—. Итак, ЛС=2Н—=4 — (см), ВС= =5 —
21 21 21 21 21
(см). ¦
4.009 600^3 см2.
4.010. D В ААВС (рис. Р.4.7) имеем АС'=с sin а, ВС=с cos a, BD=x, AD=*c-x.
х с cos a
/— биссектриса угла С. Так как =—;—»ctga, то jr=cctga—xctga,
откуда х=
cctga с cos a
1+ctga sina+cosa'
с—х csina
с sin a
c—x-
sma+cosa
-. Теперь воспользуемся
формулой l=^AC ¦ ВС—AD ¦ DB и получим
С sin a cosa-
c2 sin a cos a
(sina+cosaJ
sin a cos a
(sina+cosaJ—1
(sina+cosaJ
Рис. Р.4.5
311

-X
Рис. Р.4.7
'sin 2а sin 2а
с sin 2a
с sin 2а
2 1+sin 2а 72A+cos (90°-2а)) V2 ' 2 а»2 D5° ~ а)
с sin 2а
2 cos D5° -a)
4.011. ? Пусть АС=х (рис. Р.4.8); поскольку l_OAF= LAOF=45°, имеем
OF-AF=-. Но ДО
AF дс/2 I
tg0 =- .
ДО1 Зх/2 3
3jc
х, откуда BF-—. Полагая LABF=P, находим
4.012. # Воспользоваться формулами
ть=
1
1
—- ¦v/2(a2+c2)—6г, тс=-у/'Ца1+Ь2)—<? (см. «Дополнительные соотно-
соотношения между элементами фигур», гл. 1, п. 2°).
4.013. — \/к. 4.014. Части равновелики. 4.021. 4S. 4.023. Прямую, перпендикуляр-
перпендикулярную основанию и проходящую через его середину. 4.024 fs/y/2, s]. 4.028. 4, 5, 6,
7 и 8 см. 4.029. Точка пересечения биссектрисы угла ? и перпендикуляра DO
должна лежать вне А АВС. 4.030. а) Тупоугольный; б) прямоугольный; в) невоз-
невозможен; г) тупоугольный. 4.031. 1,5 см. 4.033. с*/4. 4.035. А/3. 4.037. а. 4.040. Из
точек дуги окружности, опирающейся на этот отрезок, для которой данный угол
является вписанным.
4.041. D Предположим сначала, что а — острый угол, противолежащий общей
стороне всех треугольников (рис. Р.4.9). Рассмотрим одни из таких тре-
треугольников и проведем его высоты из концов этой стороны. Тогда, если
ортоцентр лежит внутри треугольника, то угол между высотами равен
180°—а. Отсюда следует, что множество ортоцентров представляет собой
дугу окружности, хордой которой является общая сторона всех треуголь-
треугольников. Так как угол между высотами опирается на дугу, равную 360 -2а,
то множество ортоцентров — это дуга, равная 2а. Если же ортоцентр
находится вне треугольника, то угол между высотами равен а. Этот угол
опирается на дугу 2а, т. е. множество ортоцентров лежит на продолжении
той же дуги окружности. Итак, искомое множество точек — это дуга
окружности, равная 360°—2а.
В случае прямого или тупого угла треугольника рассуждения анало-
аналогичны. ¦
312

Рис. Р.4.9
Рис. Р.4.10
Рис. Р.4.11
4.042. ф Воспользоваться тем, что если а — данный угол, то угол между биссек-
а
трисами, проведенными к боковым сторонам, равен 90°+-.
4.043. ? Так как в ДОЛО, все стороны равны R, то LAOB=\20" (рис. Р.4.10).
Находим S&Aoa=- R1 sin 120"=- R2 sin 60°=——, SccrtMB=- nR2, отку-
2 2 4 3
2
R2\fb
• Итак, площадь обшей части двух кругов составля-
„2 ^У=
3 2 б ' "
АЕ АС
4.044. D Поскольку AADC~ ААВЕ(рис. Р.4.11), имеем—=—,rs&AB=BC =
АВ AD
= 7, AD = l0. Пусть DE=x; тогда ——, откуда 100 + 10х=98, т. е.
х = — 0,2. Такое значение х свидетельствует о том, что точка Е расположена
AD АС 10 14
AD АС 10
между А и D, т. е. — =— и, значит, —- =
АВ АЕ 1 10 — х
. Отсюда находим
4.046. D Построим окружность радиуса 1, опишем около нее квадрат и впишем
в нее правильный шестиугольник (рис. Р.4.12). Имеем />4=4A + 1)=8,
/»6 = 1 6=6, С=2я. Таккак/»6<С</»4, то6<2я<8, откуда 3<я<4. ¦
4.047. П Пусть Cj —середина дуги АВ (рис. Р.4.13). Проведем через точку С,
касательную A1Bi к окружности и рассмотрим подобные треугольники
Рис. Р.4.12
Рис. Р.4.13
313

АОС и А^ОСу. Имеем
OCj
=V4.5-7,5»l,5Vl5 (см),
. _ 6. 1,5 б
ОС AC
, где OC=<JOA2-AC1 = ч/б2-1,52 =
б см, ЛС=>1,5 см. Следовательно,
г—
1,5л/15
0,<ц/15 (см), ЛА-0,8,/15 (см). Теперь найдем
/ 36 6 • 4 л-
ijCf= /36-1—=—z= = l,6yl5 (см). Таким образом, полу-
полупериметр треугольника АХОВ^ составляет р=-C,2^/15+0,8-^/15) =
(см), а его площадь S=~ ОС} ¦ A1Bi=- ¦ 6 • 0,8^15 = 2,4л/Т5 (см2). Нако-
нец, используя формулу /•=-, получим
^—=г-
2V15
1,2 (см).
4.049. D Проведем радиусы ОЛ/, ON, OP и OQ в точки касания окружности со
сторонами четырехугольника (рис. Р.4.14). Из равенства треугольников
АОМ и AON, BON и ВОР, СОР и COg, DOQ и DOK заключаем, что АО,
ВО, СО и DO являются биссектрисами углов А, В, С и D. Значит, 1_АОВ=
= 18О°-а-0, l_COD= 18O°-y-E, LAOD= 18O°-a-<5, Z..8OC= 180°-0-
-у, откуда LAOB+LCOD = 360°-a-P-y-8. Но а+0+у + <5 =
=-(/_Л+г.Я+АС+А2>)= 180°. Итак, LAOB+ LCOD = 180°. ¦
4.050. Пусть LBDC*=x; тогда LBOC=2x (рис. Р.4.15). Следовательно,
Z.ОДС=90°-х, т. е. аО1ДС=90°-х (в силу симметрии точек О и О,
относительно стороны ВС). Найдем сумму углов &АВС:
180°-х+180°-2х + 180°-2х = 540°-5х; тогда 540°-5х=180°, откуда
х=72°. Окончательно получим АД^С=180°-72° = 108°, i_CBA<= LBCA =
=-A80°-108°) = 36°. ¦
4.055. 0,2Л,/10- 4-05& 4>/2 м. 4.057. а. 4.058. 2а; я; 2я-2а.
4.060. ? Введем систему координат с началом в точке А@; 0) и осями координат,
направленными вдоль сторон AD и А В квадрата (рис. Р.4.16). В этой
системе вектор AM имеет координаты @,5; 1), а вектор "AN — координаты
A; 0,5). Воспользуемся формулой cosa=-===—==-, где AM ¦ A~N=
\АМ\ \AN]
Рис. Р.4.14
Рис. Р.4.15
314

в
А
м
С
N
Рис. Р.4.16
A 1 В
Рис. Р.4.17
= 0,5-1 + 1 0,5=1, \АЩ = у
1 4
Итак, cosa = —
2 = 0,5^5, AN=y
4.061. ? Пусть х<а, у<а, z<a, t<a — стороны выпуклого четырехугольника
ABCD (рис. Р.4.17). Диагональ АС делит четырехугольник на два треуголь-
ху 2t
вика ABC и ACD, имеющих площади SAABc=^r sin.8 и S&ADC=— snD.
Следовательно,
ху .
*— s
zl . xy zt
- smD<—+- или
4.062. D Найдем площади ААВС я ABCD (ряс. Р.4.18):
1
=2
a1 a1 2
-^ +у» т. е. SABCD<a .
А,
где
т.
SAABC=SbBCD. Но
и, следовательно,
4.W3. D Проведем САПЛЯ и -DL-ЫЯ (рис. Р.4.19). Пусть DC=a, KB=x; тогда
^Д=2х+1)С или За=2х+а, откуда х=а. Теперь воспользуемся условием
cos LABC=—rz, откуда следует, что СВ=а*/5, СК= у/СВ1 - KB2 - 2л. Да-
V5
находим АС=^АК* +CK2=JBaJ +BдJ =2дл/2- Так как
=-^С=~. Наконец,
лее из
&АОВ~ ADOC, то ^;=7i7=T и' значит
в ДДОС имеем 2>О2+ОС2 =^+— =а2=2)С2, т. е. DOLOC.
Рис. Р.4.18
315

'¦"I
Рис. Р.4.20
4.064. О Пусть сторона АВ пяти-
пятиугольника ABCDE равна 30 см
(рис. Р.4.20). Далее, пусть ВС=
=х; тогда CD=x+2, DE=x+4,
ЕА=х+Ь, где xeZ, x < 7. Для то-
того чтобы получился пятиуголь-
пятиугольник, необходимо выполнение не-
неравенства х+х+2+х+4+х+
+6>30 или 4х>18, откуда
jc>4,5. Таким образом, из усло-
условия 4,5 <х<1 находим целочисленные значения сторон: 5, 7, 9, 11, 30; 6, 8,
10,12,30:7,9,11, 13,30. ¦
4.065. ? Для того чтобы сложить паркет из правильных равных многоуголь-
многоугольников, нужно, чтобы их углы примыкали друг к другу и в точках соприкос-
соприкосновения составляли бы в сумме 360° (рис. Р.4.21, а—в). Угол правильного
. (и-2) 180°
л-угольника определяется по формуле а= . Так как к каждой
л
360°
точке соприкосновения должны прилегать к многоугольников, то а= .
Следовательно,
(л-2I80° 360°
или пк—2к=2п, т. е. «•»
2л
л к и —2
1) Если и = 3, то к=6; в этом случае а=60°, т. е. паркет составлен из
правильных треугольников.
2) Если л=4, то к=4; тогда а=90°, т. е. паркет составлен из квадратов.
3) Если и=5, то соответствующее значение к не является целым; значит, из
правильных пятиугольников паркет составить нельзя.
4) Если п=6, то к=Ъ; тогда а = 120°, т. е. паркет составлен из правильных
шестиугольников.
Очевидно, что значениями л = 3, и=4 и л=6 исчерпываются все подходя-
подходящие случаи. ¦
360° R2 360°
4.066. CD Имеем LAOB= и, значит, S^aob=— sin (рис. Р.4.22). Таким
/1 2 л
Л2 . 360° ЗЛ2
образом, получаем равенство — яп = , которое выполняется при
2 л л
« = 12. ¦
4.067. ? Возьмем произвольную точку М внутри правильного многоугольника
(рис. Р.4.23). Соединим ее с вершинами многоугольника и опустим перпен-
перпендикуляры из М на стороны многоугольника. Тогда для площади много-
многоугольника получим выражение
Рис. Р.4.21
Рис. Р.4.22
316

Рис. Р.4.23
А Е
Рис. Р.4.24
С другой стороны, площадь многоугольника равна произведению его
полупериметра на апофему: S=ph. Следовательно,
а па а
ph=^{hx+h2 + ...+hn)nm— Л=-(Л,+Л2 + ...+Л„).
Итак, Л]+Л2 + ...+Л„ = ля. ¦
4.068. D Пусть ABCDE — правильный пятиугольник (рис. Р.4.24). В нем углы
$ 2) 180°
при вершине составляют
-
как
108°. В ААВС проведем BFLAC; так
= 36°, то LACE=№°-2 ¦ 36° = 36°,
CF=acos36° и /4C=2acos36°. Далее находим 5дллс
108° =
Ц а1 яп72°, ShACE=\ ЛС1 sin LACE=- BаcosЗб0J sin36°=а1 cos 36° sin72°.
Итак,
S&ACE
sin 72°
a2 sin 72"
=cos36°«0,81.
4.069. П Число диагоналей и-угольника определяется по формуле </= .
Нам нужно выбрать только те значения d, которые удовлетворяют усло-
условию d<n. Тогда п> =» 2л>я2 —Зп => яа —5и<0, т. е. число я при-
принадлежит промежутку @, 5). Так как я — это число сторон многоуголь-
многоугольника, то я>3 и окончательно получаем, что требованию задачи удовлет-
удовлетворяют только значения л=3ил = 4. ¦
4.070. 20. 4.071. ЗЛ2. 4.072. В пятиугольнике. 4.074. 3. 4.075. 16 см. 4.076. 4 и 11 см.
4.077. 12 см. 4.078. 7,2 см2. 4.079. 2E, + S2). 4.081. PI A.
4.084. ? Возьмем на прямой р какую-либо точку А и соединим эту точку
с любыми двумя точками Bt и Вг на прямой д. Таким образом, ABt
и АВ2 — две пересекающиеся прямые, которые пересекают обе данные
скрещивающиеся прямые. ¦
4.085. ? Имеем OtA =
Р.4.25), откуда ОХА-ОХЕ-
(рис.
V6-V5
317

I
/ \
7
Рис. Р.4.25
4.086. D Пусть ребро куба равно а; требуется найти угол между диагоналями
AtB и BtC (рис. Р.4.26). Этот угол равен углу между прямыми D,C и В,С,
поскольку D]CMjA В ДД^С имеем Д,1>, =DxC=B^C=(ufi. и, следова-
следовательно, АД1С1>1=б0о. ¦
4.087. ? Имеем (рис. Р.4.27)
DE=-a
{a
3. Значит,
ребро куба),
Vacde j
- a1,
4.089. D Для построения данного трехгранного угла с плоскими углами а, Д,
V (рис. Р.4.28) необходимо, чтобы были выполнены следующие условия:
Р-а=у-р=50°, а+^+у<360°, а+0>у. Так как числа а, Р и у составляют
геометрическую прогрессию, то а+а+50° + а+100°<360° или За<210°,
т. е. а<70°. Но а+а+50°>а+100°, откуда а>50°. Учитывая, что а — це-
целое число, получаем ответ: 51°. ¦
4.090. Окружность^^вляющуюся основанием конуса с высотой а и образующей Ь;
высота конуса перпендикулярна данной плоскости, а вершина находится в фик-
фиксированной точке этой плоскости. 4.091. 20. 4.094. a^J2/2. 4.095. Да, если парал-
параллелограмм является прямоугольником; да, если параллелограмм является ром-
ромбом. В том случае, когда точка равноудалена и от вершин, и от сторон парал-
параллелограмма, он должен представлять собой квадрат. 4.096. Около нее можно
описать окружность, т. е. трапеция является равнобедренной. Для такой трапеции
искомое можество представляет собой перпендикуляр к плоскости ее основания,
проходящий через центр описанной около трапеции окружности. 4.098. Проекци-
Проекцией ребра является биссектриса соответствующего угла основания. Эта проекция
совпадает с диагональю основания, если основание представляет собой ромб.
1 \B
1 /
A
Рис.
/
в
Р.4.27
Рис. Р.4.28
318

Рис. Р.4.29
Рис. Р.4.30
4.099. 1:11.
4.100. ? По условию, SM=MC (рис. Р.4.29); требуется найти LAMB. Пусть
а — ребро правильного тетраэдра; тогда в ААМВ имеем АМ=МВ*
откуда по теореме косинусов получим
За2 За2 За2
— 2 AM ¦ MBcos LAMB или cr= 1 2 ¦ — cos LAMB. Следовате-
4 4 4
2 '
(За2 \ За2 1
о, cos LAMB=\ a2 I : —=-, т. е. LAMB=
1
arccos -.
4.101. D По условию, высота SOl =Л (рис. Р.4.30) является переменной. Извест-
^ДЛ^С, /Л\2 &ьАвс
но, что =1 — I , т. е. 5д^1в1с, =Л2 —7л~> где $ь.лвс и Я — вели-
величины постоянные в данной задаче. Таким образом, зависимость между
площадью сечения и расстоянием от вершины до секущей плоскости
aabc
выражается квадратичной функцией вида Л*)—for*, где fc= >0 — па-
Н
раметр, a x=h — переменная, причем 0<х<ао. ¦
4.102. 1. 4.103. 1 : 7. 4.104. 5040 см2.
4.105. D По условию, в правильной четырехугольной пирамиде SABCD (рис.
Р.4.31) SO=H, LDFB=a. Пусть ОВ=х, в ADFB имеем LDFO=-
а OF SO
и OF=x ctg-. Так как AOFC~ ASOC, to —-—, откуда
2 ОС SC
ОС SO xH a „
SC= = =Htg-. Искомый радиус найдем как радиус окру-
OF ос 2
JCCtg-
abc
жности, описанной около ASAC. Используя формулу R=—, получим
45
SC2 AC SC2
4 0,5SO AC 2SO
2Я
1 Ht , a
2 2'
4.106. 60°.
319

Рис. Р.4.31
Рис. Р.4.32
4.107. D Пусть а — ребро пирамиды SABC, 0М=г — радиус вписанного шара,
SH=h — высота пирамиды (рис. Р.4.32). В ASAF имеем SF=-^—,
сф
; следовательно, h = SH=
Так как FM=FH, то SM=AH=- AF=^—. Тогда из ASMO находим
или ^
кУдаг
г ajb ajb I
—. Итак,-=—:—=-
-rj „ли
¦ от-
12 3 4
4.110. 60°. 4.111. л/4; л/2; arctg 2; arctg 2. 4.113. В данный четырехугольник можно
вписать окружность. 4.114. 6^435 см2. 4.115. 1 : 3. 4.117. ^fГ^S^S3/3. 4.119. Нет;
на перпендикуляре к плоскости основания пирамиды, проходящем через центр
описанной около этого основания окружности.
4.121. ? Сектор развертки конуса имеет угол 90° и радиус Л = 1; следовательно,
его площадь S1 = nR .-=-. Площадь боковой поверхности конуса S2 =
=яг/=яг(так как/=Л = 1). Но S1=S2 и, значит, -=яг, откуда г=-. Теперь*
я я 5я
находим площадь полной поверхности конуса: S=S,+?«3,=- Н— =—. ¦
4 16 16
4.123. D Пусть flj — сторона правильного треугольника ABC, представляющего
с Л
собой осевое сечение конуса (рис. Р.4.33); тогда г4 =-
— радиус вписан-
о
ной в ААВС окружности. Проведем касательную А^С^ЛС и получим
C.D
другой правильный треугольник А^ВС^. Так как СС1=^—-— =
an 60
-s/3 fl.-s/з -s/3 2а, 2а. а.
= 2r. :-!L-= v : -^— =—-, то а, =ВС,=а. -=—.Это значит, что сто-
12 3 2321133
рояа каждого следующего правильного треугольника в 3 раза меньше
320

стороны предыдущего и поэтому радиусы вписанных в них окружностей
находятся в том же отношении: г2=- гг. г3=- г2, ..., г„=- гп-\ Соот-
4
ветственно объемы вписанных в конус шаров составляют Vx=-iu\,
V2=- яг3=- я j — 1 =— Vi, —. Vn—— Vn-\ Итак, объемы вписанных
J j\j/ 2.1 ' 2m I
шаров образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со
/1\з ' ' „ V, 27F,
знаменателем - ) , сумма которой равна ^— =—^г т «¦
\3/ . /1\3 26
27 4
6 3
Поскольку Vxo
24
б3 52
-, окончательно находим
na\s
52
24 13
4.124. D Пусть OA = R и О1В=г — радиусы оснований усеченного конуса,
а МО=х и NO1=y (у<х) — радиусы вписанных шаров (рис. Р.4.34). По
а
условию, x+y=l, LA = a. В &АОМ и ABOtN имеем R = xzlg-,
( а\ а
r=>ctg I 90°-- \=у tg- A). Далее, в трапеции FHNM проведем 1ЩНР,
так как
то из ANKM получим x—y=lcosa. Таким об-
]x+y-i.
разом, приходим к системе < откуда
\х—y=lcosa,
l+lcosa l—lcosa
х= , у«= . Подставив наиденные
значения в равенства A), окончательно находим
/A+cosot) ctg-
а 2 , , а а
R=x ctg -= = /cos2 - ctg -,
/(l-cosa)tg-
. я 2 , . , a а
в о, с
Рис. Р.4.34
4 /я \ /я \ и [к
4125. —cos (-+а) cos/ — a I. 4.126. —2arctg /-
3 \б / \б / 2 V
2arctg
2A:
/t>2. 4.127.

ГЛАВА 5
ПРИМЕНЕНИЕ КООРДИНАТ И ВЕКТОРОВ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
5.001. y±0,5^Jl5=0.
5.002. D По условию, IS-к ТВ => ~АЁ\\С~5 A). Находим координаты векторов
"ЛЬ и ~СЪ (рис. Р.5.1): "ЛЬ A; -2), ~C~D (х+4; у), где х и у — координаты
1 -2
точки D. Из A) следует, что =— влиу*= — 2х—8 B). Так как трапеция
х+4 у
ABDC — равнобедренная, то \~АС) = \Ш)\ и ~AJC%B~D. Найдем векторы
~А<Е (—6; -1), Ш> (х—3; .у + 1) и воспользуемся тем, что А~С2=ТПJ; имеем
36 + 1 =(х—3J+(у + 1J илях2+у1 — 6х+2у=27 C). Решив систему уравне-
уравнений B) и C), получим х1 = —1,4, yl = — 5,2 или х2=—3, у2=—2. Этим
значениям соответствуют два вектора: ~ВБ (—4,4; —4,2) и ~BD (—6; —1).
Последний вектор коллинеарен АС я, значит, не удовлетворяет условию.
Итак, получаем ответ: D (—1,4; —5,2). ¦
5.003. 5х-
5.004. _и=0, у=1^Ъ, у=хф, у=-^Ъ(х-Щ. 5.005.
12.25- S-006- y=-xV3 + C + 2V3); 6 + 3,5V3 кв. ед. 5.007.
(-1; 2); 13 кв. ел.
5.008. D По условшо, АС=\5 см, ?D = 8 см, откуда находим координаты вер-
вершин ромба: А (-7,5; 0), В @; 4), С G,5; 0), Д @; -4) (рис. Р.5.2). Угловой
4
коэффициент прямой
8
4
tg lBCN= — tg LBCO= ——
— ——. Тогда, зная координаты точки В, составим уравнение стороны ВС:
8
у—4** (х—0) или 8х+\5у—60=0. Уравнение стороны AD найдем по
8
известному ее угловому коэффициенту к1 = —— (так как AD\BC) и коор-
8
динатам точки D: у+4*= (х—0) или 8х+15>>+60=0. Далее, угловой
4 8
коэффициент прямой АВ есть <fc2=tg LBAO=—=— и уравнение стороны
АВ записывается в виде 8х—15>>+60=0, а уравнение стороны DC — в виде
8х— 15у— 60=0. Теперь проведем ОКХВСв для нахождения ОКвоспользу-
M2;i) Blj-,-1)
Cl-*;o)
Рис. Р.5.1
322

11 ОС ОВ
емся тем, что 5дО«с=~ ос ОВ=- ОК ВС, откуда ОК= . По-
2 2 ВС
, ; 7,5-4 60
скольку ?C=V7,52+4I=8,5, находим ОК= =— (см). ¦
8,5 17
5.009. Л-Jn/U; у=4х.
5.010. П Согласно условию, А B; 1), В D; 0) — известные, а С(х,; yt),
D (х2; у2) — неизвестные вершины квадрата (рис. Р.5.3). Так как длина
стороны квадрата АВ=^21 + 11=у/5 и ВС=АВ, то ВС1=(xj-4J +y\ = 5
A). Найдем угловой коэффициент стороны АВ. Для этого воспользуемся
у у
формулой E.4), записав ее в виде к= , где (х; у) — координаты точки
В, а (х0; у0) — координаты точки А; тогда получим к=-
0-1
1
—. Но
4-2 2
ВСХАВ и, следовательно, уравнение ВС имеет вид у—0=2 (х—4), т. е.
.у=2х—8. Далее, точка С (Xj,- yt) лежит на ?С и, значит, у1=2х1 — 8 B).
Решив систему уравнений A) и B), найдем две точки С E; 2) и С C; —2),
которые, как легко убедиться, симметричны относительно точки В.
Для точки С E; 2) имеем Ж? C; 1), ~BD (x2— 4; _у2), откуда, учитывая, что
ACXBD, получаем7С • 2Ш=0или Зх2-12+.у2=0 => .у2 = 12-3х2 C). Кро-
Кроме того, ?Z>2=(x2-4J-(->'2=(>/5J+(v/5J или (х2-4J+.у2 = 10 D). Решив
теперь систему уравнений C) и D), найдем две точки D E; — 3) и D C; 3).
Чтобы отобрать нужную точку, воспользуемся коллинеарностью векторов
А~Б и ~СЪ. Если D E; - 3), то Г5 @; - 5), ЗВ B; -1), т. е. "CD^IS и, значит,
точка D E; —3) не является вершиной квадрата. Если же D C; 3), то
CZ) (—2; 1), т. е. С5||Л!В. Итак, точки С E; 2) и D C; 3) являются вершинами
квадрата.
Рассуждая аналогично, для точки С C; —2) находим вершину D A; — 1). ¦
5.011. V33: V105- 5-<Н2- (-2+3V3; -1) или (-2-3^/3; -1); 9>/з'кв. ед, 5.013.
(-2/3; -2/3). 5.014. С D; -1). 5.015. 1,5^34. 5.016. A,5; 1; 1). 5.017. 13; В A2; 5),
5.018. ? Так как уравнение данной окружности имеет вид х2+у2=9, то ее радиус
равен 3. Точка касания В данной и искомой окружностей лежит на линии их
центров ОВ (рис. Р.5.4); поэтому радиус искомой окружности равен 1,5.
Наконец, центр М искомой окружности лежит на перпендикуляре к середи-
С(х,;у,)
1) Шх2;у2)
Рис. Р.5.3
Рис. Р.5.4
323

не отрезка О А, т. е. абсцисса центра есть хм=0,5, а его ординату находим
издОЛ/ЛГ (МКХОЛ) : ум=^1,52-0,52=у/2. Однако возможно иное рас-
расположение искомой окружности, симметричное с изображенным на рис.
Р.5.4 относительно оси Ох; в этом случае точка М имеет ординату
Заметим, что ординату точки М можно найти другим способом. А именно,
воспользуемся тем, что точка касания В имеет координаты A; уя) и что эти
координаты удовлетворяют уравнению данной окружности: \2+у1=9 или
Ув=±2л/2; так как AfKXOx, то AfK\\AB, т. е. МК — средняя линия
в АЛОВ и, значит, ум = + -у/2.
Итак, зная координаты центра М @,5; ±>/2) и радиус г = 1,5 искомой
окружности, получим ее уравнение: (х—0,5J+(у+-у/2J =2,25. ¦
5.019. (х-1J-ь0-1J = 1; (х-5J + (>>-5J = 25. 5.020. (х-1J+(у-1J = 1.
5.021. 4^2. 5.022. Зх+4>>-15 = 0; Зх-4>>-15 = 0. 5.023. (х+1J + (у-3J = 10.
5.024. П Уравнение сферы с центром С (х,; уи- zt) и радиусом R записывается
в виде (x—xlJ+(y—yiJ + (z—ziJ=R2 A). Так как эта сфера касается
координатных плоскостей, то должны выполняться равенства
Ixil=b'il = lzil=-K B)- Далее, координаты точки А A; — 1; 4) удовлетворяют
уравнению A), т. е. A— х^-К— 1— .у1J+D—ztJ=R2 или
&z1+z2-R2 = 0. C)
Согласно условию B), имеем х\ +y\+z\=ZR2 и равенство C) примет вид
0или 9-x1+y1-4z1+R2=*0. D)
Рассмотрим различные случаи расположения центра. Пусть х,>0, у1>0,
z1>0(l октант), т. е. х1=^1=21=Л. Тогда, подставив эти значения в равен-
равенство D), получим уравнение R2—4Л+9=0, которое не имеет решений
(Z>/4=4-9<0).
Пусть теперь Xj<0, ^!>0, Zj>0 (П октант), т. e. \xA=yl=z1 = R. Тогда
в результате подстановки этих значений в равенство D) получим уравнение
R2—2Л+9=0, которое также не имеет решений.
Последовательно рассматривая остальные координатные октанты, устана-
устанавливаем, что центр искомой сферы расположен в IV октанте, где х, > 0,
у,<0, Zj>0 и x1=\y1\=z1=R. В этом случае получаем уравнение
Л -6Л+9=0, откуда Л, »Л2 —3,т. е. х.=3, ух=—3, гх = Ъ. Итак, искомое
уравнение имеет вид (х - ЗJ + (у+3)J+(z- 3f =9. ¦
5.025. D Используя формулу E.21), находим
Ш 7Щ 68 + 8 6 24
¦
Щ\Щ[\ V36 + 64-V64 + 36 25
cos LAOA,<
31 5
5.026. a=arccos—=. 5.027. cos^=-~^=. 5.028. 120°. 5.029. р B; -1; 1).
5741 V34
7
5.030. —=.
5^33
6 2 3
5.031. -; —; —. • Воспользоваться тем, что если х, у, z — координаты век-
вектора л и а, Р, у — углы вектора соответственно с осями Ох, Оу и Oz, то
Х в У Z
cosa=—, cosp=^r, cosy=—.
м м и
324

5.032. П Пусть л — единичный векторЛ соналравленный с "UA; тогда
_/ я п п\ _/1 1 -J2\ __ .-
п I cos -; cos -; cos - ] или n I -; -; — I, a OB (—2; —2; -2л/2). Обозначив
\ 3 3 4/ \2 2 2 /
угол между ~Ua и ТГЁ через а, находим
1 1 Jl
( ()^(
cosa=
N
— 1
=
N \ОБ\ 1 ¦ 4
откуда получаем ответ: а =180°. ¦
5.033. П По условию, \ВА\=\Щ=а, (АМ1;СМ2)=0=№, гдеЛЛ/, и СМ2 —
ме-
медианы A ABC (рис. Р. 5.5); требуется найти (Ш;ЖГ)=а. Воспользуемся
формулой
A)
С помощью рис. Р.5.5 находим А~Ш\=-В~Ш[—В~А, СМг=ВМ2—Ж. Следо-
Следовательно,
А~Щ ¦ С~И~2 = В~М1 ¦ ТШ~2-Ш ¦ ТШ1-1Ш1 Ж+Ш ¦ Ж=
1111 ,- ,
=- а - a cosa—а • - a cosO— a ¦ a cosO + a . a cosa = <r - cosa—1 ). B)
2 2 2 2
Так как А АВС — равнобедренный, то А~Ш[=СМ2, откуда
C)
. Ж
= a2 I - cos a— 1 ).
\4 /
°* а , ,/5 ^
2 ¦ - ¦ a cos a+а* = а2 —cosa).
4 2 \4 У
ив выражения B) и C) в A), им
/5 \ 5
drl-cosa— I) -cosa—1
\4 /14
Подставив выражения B) и C) в A), имеем
cos 60° =
а2 I—cosa )
\4 /
или -=-
2 5
13
—cosa
4
13
откуда cosa=—, т. е. a=arccos —.
14 14
М,
Рис. Р.5.5
D
Рис. Р.5.6
325

5.034. 120°.
5.035. П По условию, LDBC=9Q°, BD=(JyA)AB, AD=DC (рис. Р.5.6); требу-
требуется найти LABD=a. Для нахождения утла а будем использовать формулу
В~Л Ш 1 ^_ ^
cosa= ——. Так как BD — медиана &АВС, то BD=- (ВА+ВС), от-
JBa\\Tw\ _
куда BA=2BD—BC. Следовательно,
cos a
0)
\ВА\ \W\ ]BA\ \BD\
Но TiCXBD, т. е. "ВС ¦ 2Ш=0, а из равенства BD = (y/3/4)AB следует, что
AB=D/y/3)BD. Тогда равенство A) примет вид
2BD2 V3
cosa= = =—, откуда а=я/6. ¦
/2 2
5.036. —=.
2^43
5.037. П Пусть В (Xj,- ^j), С (х2; у2), D (х3; у3) — неизвестные вершины трапеции
(рис. Р.5.7). Поскольку точка Е F; — 1) — середина основания АВ, имеем
3+Xj O+^i
систему -б, =-1, откуда Xj=*9, ^=-2, т. е. В (9; -2). Но
ВЦОу и, значит, х2=9, а уравнение ВС есть х=9. Далее, точка F G; 2)
х3+9
— середина основания DC, откуда =7, т. е. х3 = 5. Уравнение пря-
прямой АВ имеет вид у+\=к{х— 6); так как Ае(АВ), то 0 + 1 =
=fcC—6) => Jfc= —1/3. Поэтому кос= — \1Ъ и получаем уравнение DC:
1 1 13
.у—2=— (х—Т) или >>=— хн—. Решив систему уравнений прямых ВС
1 13 4 / 4\
и DC, т. е. х=9 и у= —- хн—, находим у=-, т. е. С I 9; - 1. Наконец,
4
ординату точки D найдем из равенства
=2, откуда >=-, т. е.
У
0
в
X
Рис. Р.5.7
326

4 10 / /8\» 10
Таким образом, ВС»уг-у1 =- + 2=—, AD= /22 + (-1 -—,
т. е. BC=AD и, значит, трапеция ABCD — равнобедренная. Положим
13 ¦ IS / 8\
LDAB*=a и воспользуемся формулой cosa=_— _• Имеем AD I 2; - 1,
\AD\ \АВ\ \ 3/
8
2 • 6+- (-2)
_ .- 3 1
АВ. F; —2), \AB\=2~J\0 и, следовательно, cosa= =—=, т. е.
1
a=arcos —=.
ТМ СВ
5.038. П Пусть lMCB-л, lMCA*=P (рис. Р.5.8); тогда cosa= .
\см\ \св\
Та О?
cns/?=— Положим СВ=а, СА=Ь и найдем отношение
|сл||см|
cosa CM-VB.\TA\ ЫШ-7Л1
A)
cos^ О О? -\Щ аШ ~Ш
В Д ABC проведем медиану CF и точку F соединим с М. Далее имеем
1 Ja2+b2 1
CF=- ЛЯ= , FM=- АВ (апофема квадрата), LFCB= lFBC= lB,
CM=CF+FM (рис. Р.5.8). Теперь находим скалярные произведения
Ш • ГВ и ТА Ш:
TU ¦ TS=(CF+7M)TS=TF ¦ ТВ+Ш ¦ 73=
Ja2+b% \^_ _, aJa'+b1 aJa* + b2
=- acosB— Ш, ВС= cos .В- cos(90
2 2 2 2
aJa2+b2
(cos?+sin5) B)
и аналогично
_ ^, bJa2+b2
ТА ¦ Ш*=~ (cos^ + sin^). C)
Подставив выражения B) и C) в A) и заметив, что cosi?+sin.B=
cosa
= cosA+sinA (так как А + В=90°), получим = 1, т. е. a=/J и, значит,
cos/J
СМ — биссектриса угла С. ¦
5.039. П По условию, SABCD — правильная четырехугольная пирамида,
SA=AB=a. MeSC, SM : МС=2 : 1 (рис. Р.5.9). Положим ~AD*=m, ~АЁ=л,
А~5=р н {DC; AM) = q>. Искомый угол q> будем искать по формуле
ЪТШ _____
cos д>=-~~г A). Разложим векторы Х»С и AM по векторам т, п в р.
327

Имеем Ж=АВ=И, ~Ш=~А~5+Ж+СМ. Из
условия SM: МС=2:\ следует, что СМ=
- "US, где 7%=А~3-АС=р-(т+п). Таким об-
_ _ 1_ 1 _ 2_ 2_
разом, АМ=т+п-\—р—(ж+л)=-тН—п+
1 _ __ _ /2 _ 2 _ 1 \
- р и DC ¦ AM = n\~m + -n+-p\ =
- Bп~т+2п2+~пр). Но пт=0 (так как п±т),
а1 1 / аг\ 5
п2=а2 и пр = а2 cos60°=—; значит, DC ¦ А~Ш= =- 2а1 Н— )=- а1. Далее
2 3 \ 2/ 6
/
I \ N^f
Рис
. Р.5.9
+
находим |5С|» а.
'4,4 1 8 4 4__ /8 1
- аI Н— а +- тл+- трН— лр= /ггН— а • - =
'99 99 9 9 V 9 2 3
Подставляя найденные выражения в равенство A), получим cos<3 =
_ 26
503
откуда p=arccos . ¦
26
8 1 аЧ^-е2-*2
5.040. —=. 5.041. -=. 5.042. cosx= , где ВС=а, АС=Ь, АВ=с,
DA=d,DB=e,DC=f.
5.043. ? Вектор а—Ъ имеет координаты D; — 4; 4>/2). Пусть "к @; 0; 1) — единич-
единичный вектор, направленный вдоль оси Oz. Полагая (а—Ъ; к)=у, находим
<a-J)? 4J2 V2
cosy=_ =— =—=—, т. е. у=45°. ¦
\"-Ъ\Щ J16 + 16+32.1 2
5.044. arccos A/Vl4).
5.045. П Данные векторы сонаправлены, если х3 — 1 и 2х имеют одинаковые
знаки. Для определения искомых значений х решаем неравенство
2х(х3 —1)>0 и получаем ответ: хе(— со, 0)УA, оо). ¦
5.046. /яб(-со, -l)U@, 2).
5.047. ? Данные векторы сонаправлены, если 5х—х2>0, откуда 0<х<5 A).
Далее решаем неравенство |х—5| ¦ |а|<3 |а|. Учитывая условие A) и то, что
|а|>0, получаем 5—х<3, т. е. х>2 B). Из A) и B) следует, что хе[2, 5). ¦
5.04& >еB/3, 3). 5.049. х=-5/4, j-=8/5. 5.050. хе(-оо, -1)UE, оо)- 5.052.
D^2; -2; 8) или (-4^2; 2; -8).
5.053. П Так как О — точка пересечения медиан ААВС (рис. Р.5.10), то
328

Рис. Р.5.10
A
Ж--А
¦!=-i
Рис
ж,-
. Р.5
.i-
.11
3_
- а, _9С=
2
-я-ь
А0=- AM у, тогда АМ1=-Ъ,
25-За, А~Б=А~М\+Л1~В'
5.054. ? Пусть AF и АК — медианы граней SAB и SAC', М и N — точки пересе-
пересечения медиан указанных граней (рис. Р.5.11). Тогда A~F=- (aB+A~S),
A~R=- (aC+A~S). Используя свойство точки пересечения медиан треутоль-
2
__ 2___ 1 __ ___ __ 2__. 1 __ _
ника, находим Ам=- AF=- (AB+AS), AN=- AK=~ (AC+AS). Значит,
~MJ}=A~N-AU=- (Ж+А$-А~Я-АЗ)=~ (Ш-~А~В)=~ Ж. Итак,
ЖЯ=- Ж; следовательно, ИЩЖ и $Щ : \Ж\ =-. ¦
4 2
5.055. Ш = 2ф-Ъ), AD=- Ъ— а.
5.056. ? По условию, АМ=Ъ, А~Я=Ъ (рис. Р.5.12) и, значит,
__ ______ iM/ I 2W 1 МС 2 NC 2
MN=AN—AM=b—a. Так как —-, ——-, то =-, —=- и угол
МС 2 NC 2 ВС 3 CD 3
С — общий у треугольников NCM и DCB. Следовательно,
MN 2 __ 3__, 3 _ _
ANCM~ ADCB, откуда =- н THJ=-JIN, т. е. ??=- E-а). Пусть
?Z> 3 2 2
72>=х, Z5=?. Имеем A~D-"Ab=B~D или х-3'=- (!5-а) A). Далее,
"аЪ+ВМ—АМ или >>+- Ж?=а, т. е. "у+- х=а B). Остается решить систему
9_ 3 9_ 3_
уравнений A) и B); в результате получим AD= - Ъ— а, АВ=- а— о. ¦
8 8 8 8
а+Ъ _ 3_ _
5.057. —=. 5Л58. а=- Ъ - Зс.
V 2
329

Рис. Р.5.12
Рис. Р.5.13
5.059. ? Проведем DK\AC и DN\\CB (рис. Р.5.13). Тогда
C~D=~CK+'UR=m'C~S + riC~A A). Для решения задачи следует найти т = —-
\Щ ND NA CK NA
и п=——. Так как A NAD ~ A CAB, то — = — или —=— или
\Ш\ СВ СА СВ СА
CK CA-CN CK CN = .^
—= или — = 1-—, т. е.т = 1-л B).Но<?5-Ы2?=> CZ> 1S=O
СВ СА СВ СА
и, значит,
(тСТ}+пС~А)А~В=0; тСЪ ¦ А~Б + пС~А ¦ А~В=0;
тВ~С ¦ Ш-пАС ¦ 35=0; т \В~С\ \~В~А\ cosB-n \AC\ ¦ \Щ zo&A =0.
Сокращая на \АВ) и используя равенство B), получим
A -л) \Ж] cosB-n ]AC) cosA = 0. C)
ВС АС
С помощью рис. Р.5.13 устанавливаем, что cosi?=—, cosA=—; тогда
АВ АВ
ВС2 пВС1 пАС2 ВС1
равенство C) примет вид =0. Отсюда находим л=
АВ АВ АВ АВ2
ВС2 АС2
и, значит, т=1——-=—-. Подставляя значения т и л в разложение A),
АВг АВг
окончательно получим CD'
АВ2
5.060. ? По условию, AlA1A3AAAi — правильный пятиугольник (рис. Р.5.14);
требуется разложить А^АЪ по векторам АхАг и AtAs. Запишем очевидное
разложение A1Ai=A1Ai+AiA3. Легко установить, что в правильном пяти-
пятиугольнике AiA^AiAj, т. е. AiA3=mAiA2, и, следовательно,
А,А3--
Пусть
А3К=
=тА1
А,
A3At
Аг + Ах/
.Аг-а.
cos LK.
I, A), гдет =
Проведем
4 3АА. Так
А
А
как
B)
и в ААгА4К имеем
180° E -2)
«108°, то
330

Рис. Р.5.16
=36°, откуда
C)
Для нахождения cos 36° воспользуемся равенством sin B - 18°) =cos C - 18°).
Тогда, используя формулу cos3a=4cos3a—3cosa, получим уравнение
2 sin 18° cos 18°=4 cos3 18°-3 cos 18°. После сокращения на cos 18° /0 имеем
218о 4со5218°-3 или 2sin 18° = 4-4sin2 18°-3. Положим sin 18° = z
¦ , -1±V5
и решим квадратное уравнение 4z +2z— I =0, откуда z= ; так как
z>0, то sin 18
V5+1
V5-1
.Далее находим cos 36°=cos B . 18°) = l-2sin2 18° =
. Подставив это значение в C), получим AsA3=a-
-, затем
из B) найдем т=
и тогда соотношение A) примет вид
А^Аг+АхАь. ¦
z
5.061. ? Из центра О окружности проведем ОЩВМ и ОК\\АМ (рис. Р.5.15);
тогда M0=MK+MN, где \МК\ = \MN\ (фигура MNOK — параллелограмм,
в котором диагональ МО является биссектрисой утла М, т. е.
\MN\
MNOK — ромб). Следовательно, МО=ММ А + MB) A), где п= . Так
\МА\
MF МО
как NKXMO, то 6.MFN — прямоугольный и MN= = . Затем нз
АМАО находим МА=МО cos - и, значит, л =
2
a a
cos- 2cos-
2 2
МО
1
Подставив это значение
ТЮ=
2 cos2 -
2
(ИА+ТЩ.
a a a
2cos - ¦ AfOcos - 2cos2 -
2 2 2
A), окончательно получим
331

_ 7 ; DK V337
5.062. Ш=- IS-AD, —=- .
8 AB 24
5.063. arccos —. ф Разложить векторы AM и AN по векторам АВ=*а и AD==b.
5.064. arccos I —'¦ ).
5.065. ? Через точку В проведем прямую ВК\\СА (рис. Р.5.16). Так как в пра-
правильном пятиугольнике AD)\BC, то ~Ш и ~А~Ъ~ коллияеарны и противополо-
противоположно направлены. Имеем АВ=АК+АС, причем AK=kA~D, где к<0
\Щ CN
и №=¦=-• Проведем BN1AC и из ABNC найдем АК=СВ= .
\АЩ cos LBCN
1 1 AD 2AD
Так как CN=- AC, AD = AC, то CN=- AD. Поэтому АК= =—=
2 2 2cos36° /
(см. задачу 5.060). Отсюда находим |jt|»
/5-1
2 2(^5-1)
2
1-/5
Учитывая, что ?<0, получим к=
AD+A~€. Аналогично устанавливаем, что
и, значит,
2
+Ж ¦
2*е а
5.066. cos -.
Ь + с 2
5.067. ? Проведем AK\\BD и DKJAB (рис. Р^П^огд^Ж^^Щ Ш=ВА.
Воспользуемся очевидными равенствами AB+BD=AD, AC—AB=BC; сло-
сложив их почленно, получим AC+BD=AD+BC A). Далее, с помощью
рис. Р.5.17 запишем Wj=Wb+'BC+'CN=- А~В+"ВС+- Ш, JfN=AfA +
2 2
+A~D+1ffi=- B~A+~AD+- 7)С. Стожим эти равенства: 2MN=BT+~AD или
2 2
Ш}=- (Ж+А~Б), откуда в силу A) имеем Ш}=~ (AC+B~D). Теперь ис-
Рис. Р.5.17
332

пользуем неравенство |а+Б|<|а|
1 1
МЫЦ- {BC+AD), MNH- (AC+BD). Ш
5.069. П С помощью рис.Р.5.18 запишем равенства
О), Ш=Ъ-Ш1 B),
AD = CD-CA D), ADX=~ АВ=- (СВ-СА).
окончательно получим
C)
E)
Переходя последовательно от
1 1
E)
CA-W,
0),
находим
— (
10 \2
- CA-CD ]=— ТА+~
2 / 20 20
10
CD.
_ 1, 2_ 3
5.070. А1О=-а + - Ъ— с. 5.071. arccos ^=. 5.072. arccos
3 3 Vio
5.073. D По условию, "Ш=аШ + рШ+у'ПС, где Ме(АВС) (рис. Р. 5.19).
Следовательно,
ШШЖ A)
B)
C)
Так как Ме(АВС), то векторы MA, MB и МС компланарны; поэтому
существуют такие числа р, q и г, что pMA+qMB+rMC=fi. Используя
разложения A) — C), преобразуем последнее соотиошение:
D)
(p(l-a)-qai-ra)DA+(-pP+q(l-P)-P)'DS
Рис. Р.5.19
Рис. Р.5.20
333

Векторы DA, Ъ~В и DC не компланарны и, значит, равенство D) возможно
лишь тогда, когда коэффициенты при Ъ~А, Ъ~В и Ъ~С равны нулю:
(р — pa—qtx—ra=0,
-pP+q-q0-rP~O,
.-ру-ЯУ+г-гу=*0.
Р
Из первого уравнения следует, что а= ; аналогично из второго
+ +
Я г
и третьего находим /}= и у= . Таким образом,
p+q+r p+q+r
5.074. П Проведем НР1ОА, HNXOB и НКХОС (рис. Р.5.20). Тогда
Wl='OP+'O~N+'OR=mOA+nOB+pOC A), где т. п и р определим из
\Ш\ \Щ \Ш\ ОР ОН
равенств т=^^, п— ,р= . Так как АОРН~ АОНА, то —=—,
\ОА\ \ОВ\ \ОС\ ОН ОА
ОН2 ОН2
откуда ОР= и, значит, т= B). Для нахождения ОН воспользуем-
ОА ОА2
1 1
ся тем, что Vwp=- ShABC ¦ ОН=- ShA0B • ОС (поскольку
1
Sалов с г"*6
LAOB= LAOC- LВ0С=Ж). Отсюда имеем О#= = , где
вычислим с помощью формулы Герона:
/
--v
2
/a2+c2+Jb2 +
2
2-<Jat + c2 V1
c2 Ve*+e* + ^
J + P + y/f+c
2
1ь2+г-^+ь2
2
*-^ъ2+г
=-
=- V(a2+cJx*2+<^)-^=-
abc
Следовательно, OH=-^= . Подставив это значение в B),
VVA*V
цем m=rj7; , , ., ,. ,=^; , , ., ,- Аналогично находим
334

Рис. Р.5.21
с л, в
Рис. Р. 5.22
ОН2
он2
a2b2
яр=-
OB2 «rV+aV + iV ОС2 a2b2 + a2c2+b2ci
ляем эти выражения в A) и получаем ответ:
. Наконец, подстав-
5.075. а- -4, Д=2 или а= -8, 0= -2. 5.078. - 11,5. 5.079. 5 кв. ед.
5.080. ? Введем следующие обозначения: 7>?=а, ~Ца>=Ъ, АВ="с, /Ш,«"т[,
ВМг-"т, где AMt и ВМ2 — медианы Ь.АВС (рис. Р.5.21). Так как
1 _ 1
а+- Ъ, то
e+- а,
V 2 Д 2 7 2 2 4
A)
Для нахождения "са, сЪ и ah воспользуемся тем, что а+Ъ + с*=Ъ. Имеем
~~ = Ь2=>~са=-(Ь2-с1-а2) B)
и аналогично
сЪ=-(а2-(?-Ь2) C), й»-^2-^-*3).
Теперь подставим выражения B), C) и D) в равенство A):
mjn2=- (Ь2-с1-а2) + - (?+- (а2-с2-Ь2) + - (cJ-o2-Aa)
2 2 4 8
D)
=- DЬ2-4с2-4а2+4а
8
2-Ь1)=- (а2 + Ь2 - 5с2) - О,
8
поскольку, согласно условию, aa + iJ = 5e2. Итак, т11т2.
Докажем, что справедливо и обратное утверждение. Действительно, пусть
известно, что Уп1Хт2, т. е. 7nim2=0. Тогда, провед* змчисяенне
335

способом, укатанным в первой части доказательства, получим
8
bi-5c2) = Q, откуда
5.081. D Введем следующие обозначения: СВ=СА=а (рис. Р.5.22),
BAt СВХ АСХ т
A)
Найдем разложения векторов АХВХ и CCt по векторам О и ~?А. Имеем
AiB1 = CB1 — CAi. Но из равенств A) следует, что i
т+п
т
т+п
т .
= i
т + п
Т?А. Поэтому
ТЪ.
т + п
B)
Далее находим Г?^=Г5-(-2?С7, B~U[~ Ш= (Ua-Ш). Значит,
т+п т+п
(п \
1 )
т+п)
т + п
т+п
т+п
Теперь, используя разложения B) и C), получим
Г5Ч
C)
m+л \т+п)
.ш-
2-о*; =0
j
(У
\m+nj
5.082. D Так как в ДЛЯС (рис. Р.5.23) АВ=ВС, D — середина ^С, то BDLAC.
Запишем разложения 1Ш=*В~3+ТШ, ~XR."~Al>+TfR.=*~AD + lDM. Следова-
Следовательно,
A D С
Рис. Р.5.23
А И П
Рис. Р.5.24
336

Ш ¦ 1R=BD ¦ AD+Ш ¦ AD+W ¦ 2DM+2DM2 =
0
=~Ш AD + ZW DM+2DM2. A)
Пусть LKDC=% тогда LDBK= LKDC = a (углы с взаимно перпендику-
перпендикулярными сторонами) и равенство A) примет вид
Ш? . A~K=\DM\ \AD\ cos а-2 \Ш\ |Ш7| со5(90°-а) + 2Ш72 =
= \Ш\(\Ш\ cosa-2 ЩБ\ sina + 2 \~DM\).
Но \AD\ cosa = |2JC| cosa = |M], \~SS\ sina = |Ml (рис. Р.5.23), 2 |2Ш|=|2Щ
Подставив найденные значения в B), получим
Ш A~K=\DM] (ЩК\-2\Щ+\Ш\) = 0,т.е.ШХАК. Ш
5.083. Равнобедренный остроугольный. 5.084. АВ = 5; Sloab—^ кв. ед.; \ОМ] =2,5.
5.085. ? Так как вектор ЪехОу, то он имеет координаты (х; у; 0). Используя
Г т - ГхЧ^=20,
условия \Ъ\ = 2y/5, O-La, составим систему уравнений < Решив ее,
[х-2у=0.
получим два вектора D; 2; 0) и (—4; —2; 0). ¦
5.086. Aл/п; -з/Vh; i/Vii)»m(-i/Vn;.3/Vii; -i/V11)-
5.087. ? Выберем единичные векторы а0, Ао и с0, направленные вдоль ребер
трехгранного угла. Тогда направляющие векторы т, пир биссектрис трех
плоских углов трехгранного угла запишутся в виде т=ао+Ъо, п = со + ао
и/>=30 + с0. По условию, mln, откуда
(ао+Ъо)(со+ао)=0; аосо+Ъос0+Ц+Ъоао = 0; aoco+5oco+Jo"o= -1- 0)
Теперь найдем 7пр=ЪоЪ0+Ъ1+'ао'со+Ъо'со = — 1 + 1=0 (см. A)) и, значит,
тХр. Аналогично получим пр=0, т. е. пХр. Ш
5.088. ? Пусть ~А~Б=Ъ, А~Ё=Ъ, АА^с (рис. Р.5.24). Найдем разложения ВХН
и КМ по векторам а,Ъ и с. Имеем BiH=BiAi+AiA+AH= —Ъ — с+- а,
KAj +A1Di+D1M; так как "ЩМ=- D^C=~ E-ё), то
-e+a+- E-ё)=Б+- J. Следовательно, ВХН ~КМ=
-(- S-J-c) ( 3+- 5 )«¦- C2-Р)=0, поскольку cla, cl5, Sl5|, |o|-|J|.
\2 )\ 1 ) 2
Итак, В~211Ш. ¦
.2-363

л - г
Рис. P.S.25 Рис. Р.5.26
5Л89. D Так как (Я ¦ 752=0 и Ш ОС=0, то ОАХОВ и ШХОТ, а значит,
И1(ОЩ т. е. ОА — высота пирамиды АОВС (рис. Р.5.25). Пусть
LBOC=<i>; тогда 5^овс=- ОВ ¦ OCantp. Из условия755 • Z5f?=8 следует,
что |OJJ |OC] cos<p=8 или 2 • 6cos^>=8, откуда cos^»=-. Учитывая, что
/ 4 Vs
находим sin ^> = /1 — =—. Тшсим образом,
1 л/5 /
~ ¦ 2 ¦ 6 •—=2V5 (кв. ед.) и окончательно получим
1 1 ,- Ws/S
Улоас=~ Stosc ¦ АО-- ¦ V5 • 5^ — (куб. ед.). ¦
5.OT0L 1/2; 4.
5.091. П По условию, AM— медиана ААВС (рис. Р.5.26) и, значит,
~Ш=- (IS+JC) A). Далее, Ж='Ш+Ж=- AB-TN B). Подставив B)
2 4
_ 7_ 1_. _^, 8_т„ 4 .
в A); имеем ZS-- ZB— С^, откуда Z5=-1^+- 7H?. Следовательно,
АВ*=— АМ2+— Ш TR+— CN> =
49 49 49
64 64 16
=— -49+— 7 7cos«T + — 49=112,
49 49 49
т. е. \~Щ=^\П=*ф (см). ¦
5.09Z у/П.
5.093. 4 см.' #- Разложить А~5 по векторам АЖ в AM.
SJB94. 7 см. ?095. При х=0. 5.096. ^3 см.
5Л97. Q На рис. P.S.27 изображены куб АВСВА^С^^ и большой круг ншсая-
338

Рис. Р.5.27
Рис. Р.5.28
ного в него шара. Введем систему координат с началом в центре шара О.
(а а а\
Пусть ребро куба равно а; тогда его вершина А имеет координаты I -; -; - I,
а
радиус вписанного шара равен - и уравнение сферы имеет вид
x1+y1+z2=—. Для произвольной точки N (xt; уи- z,), лежащей на сфере,
4
(а а а \
имеем NA I —х^; -— у^ —zt I. Следовательно,
Вершина С, симметрична вершине А относительно точки О; тогда С
Л 2"
а а\ / а а а
~2' ~2/ ^(~2~Xl'" ~~2~У1'' ~~2~Zl
Теперь находим NA1+NC2l=2a1. Но NA2+NC2=NB2+ND21=NC1 +
+Л4 J=7WJ + NS\=2а1, т. е. сумма квадратов расстояний от любой точки
N сферы до двух симметричных относительно О вершин куба постоянна
и равна 2а2. Значит, сумма квадратов расстояний от N ао всех вершин куба
постоянна и равна 2а2 - 4 —На2. ¦
5.098. За2, где а — длина стороны квадрата. 5.099. 4а2, где а — длина стороны
квадрата.
5.101. # Воспользоваться тем, что диагонали прямоугольного параллелепипеда
равны и пересекаются в одной точке.
5.102. ? Имеем 7!a="CU[+^A. CS='cUl+'C^S (рис. Р.5.28). Тогда
CA2=CC2l+2EU'l-7^A + ClA2, CB2 = CC21 + 2EU'l-7^S+C1B2. Сложив
эти равенства, получим
339

Рис. Р.5.29
1СС\ + 2С,Л2 = 2 (СС2 + С^
О)
так как \С^А\ = \CSB\ и векторы С^А и Cjl? противоположно направлены.
Далее, согласно свойству пересекающихся хорд, CQ • ClD=>CiA ¦ CtB=
- СХА2. Заменив в равенстве A) С^А1 на CCt ¦ СХО, находим С А2 + СВ2 =
¦ CD. ¦
5.103. х B; 3; -2). 5.104. х (-4; -6; 12).
5.105. ? По условию, Z.A4C=120°, АВ=АС; следовательно, медиана
и LKAC=60° (рис. Р.5.29). Искомое скалярное произведение будем искать
по формуле
A~R¦ BT = \A~R\ \Ж\ cosa A), где (Ж, Ж)=х.
1
В ААВК имеем /.ЛДДГ=30°, откуда АК-- АВ B). Используя разложение
B~L=B~A+TL, находим
1 1
AL=- AC=- AB, то
2 2
BL2**- AB2-2AS ¦ A~L=-
4 4
так
как
¦ - ~АЁ cos 120°=- АВ2;
2 4
AB.
C)
Далее, TL='UL-'UR, где KL=- AB {KL — средняя линия в LABC),
2
1 Jl 11
OL=- BL=— АВ (см. C)), ОК=- АК=- АВ (см. B)). Следовательно,
3 6 3 6
KL2 = OL2-2lTL ¦ Ш+ ОК2 или
1 , 7 , V7 1 1 !
- ЛЯ2-— Л^-г • — ЛЯ- АВ cosa-i—АВ2, откуда cosx= =. D)
4 36 6 6 36 2V?
Теперь подставим результаты B), C) и D) в A) и полу- ¦¦¦ ¦;
340

™ л т\ I 1 j гъ7 / C\
— ^» 1 V7 / 1 \ 1
IK ¦ Ж=- AB—ABl = = — AB1.
2 2 V ijl) 8
2V7
Остается выразить AB1 _ через данное значение S. Имеем
l V3 , AS
S=SAABC=- Atr sin 120°=— AB2, откуда AB2=—-. Подставив это вы-
2 4 ^/3
s^/з
ражение в E), окончательно находим АК ¦ BL= — . ¦
6
5.106. Пусть LMON=a, где О — точка пересечения высот AM и BN (рис. Р.5.30);
тогда
1Ш ¦ Ш=\А~М\ |Ж] cos а. A)
Так как LMON+ LACB=№°, то а=180°- Z.C= LA+ LB=2lB и,
значит,
cosa=cos2?=2cos2?-l. B)
1 2S
Согласно условию, S=Saabc=- AB СК, откуда СК=—. Из АСКВ
2 с
находим
4 с2 2с
и, следовательно,
с • 2с
А
COS .5 =
Теперь выражение D) подставим в B):
с* с*-16^
cosa=2 — -:-!=-: ;• E)
1
Далее, используя равенство S=SLABC=- ВС ¦ AM и соотношение C),
найдем
25 4cS
М—= «г,
ВС W
Наконец, учитывая, что AM=BNfa подставляя выражения F) и E) в A),
получим ответ:
4cS
¦ш ш
V^+1652/ c*+165J (c* + 1652)J
341

О ь к
Рис. Р.5.31
Рис. Р.5.32
5.108. Имеем ОК=пр^а = \'а\ cos(p (рис. Р.5.31). Отсюда, используя равенство
аЪ
аЪ=\а\ |Б| coscp, находим npja=—. Так как Б— направляющий вектор
оси, на которую проецируется вектор а, то
._ 7(-8) + (-4N -56-24
— 8, т. е. |npja|=8.
V64 + 36 Ю
5.109. ? Из произвольной точки О проведем радиусы-векторы OA=rt, OB=r2,
~ОС=73 и 735=г* (рис. Р.5.32). Теперь выразим через них нужные нам
векторы: А~Ё=г2—г1, CD=rA—r3, A~€=ri—r1, 7Я}=г2—гА, AD=r±—rx,
~5C=r3—r2. Далее находим скалярные произведения
и, наконец, их сумму ~АЁ ¦ ТБ+аТ: ¦ ~DS+A~D ¦ Ж?=0. ¦
5.110. П В тетраэдре SABC проведем SOL(ABC) (рис. Р.5.33) и выразим векторы
ребер пирамиды через радиусы-векторы О A=rt. 7TB=r2, ОС=г3 и OS^rt.
Имеем 'SA=71-ri, B~C=~r3-~r2, S5=?2-r4, AT:=r3~'ri, SC=r3-'u,
~АЁ=~г2-~гг. По условию, SA2 + BC2=SB2+AC1=SC2+AB2, откуда, пере-
переходя к радиусам-векторам, получим
A)
Но i'ii'i:=rjrt.=r3rt.=Q B) (согласно условию перпендикулярности векто-
векторов), а потому из равенств A) следует, что r3r1=r3r1=r2rl C). Тогда
'SA.W=^i-u)^3-'r1)=rir3-rtr3-'r1ri+rir2=O (в силу B) и C)), т. е.
SA1BC. Аналогично устанавливаем, что SCLAB, SBLAC. ¦
5.112..4 : 1. 5.115. WJT2 A,5; 1; -0,5), $ЩЩ=^Ъ?. 5.116. -29: 14 кв. ед.
342

Рис. Р.5.33
Рис. Р.5.34
5.117. ? Имеем
(а+Ъ)\с => с=т{а+Ъ)=та + тВ; (Ь + с)\а => Ъ + с = па => с=па—Ъ.
В салу единственности разложения с по векторам а и Ъ заключаем, что
т=п и т=—\. Значит, т=п= — 1, т. е. ~с=—~а—Ъ. Теперь находим
~а+Ъ+~с=Ъ+Ъ—а—Б=5. ¦
5.118. 2E-Б).
5.119. —1,5.© Из условия г1+г2+г3=5 следует, что эти векторы образуют
правильный треугольник и (ei.'e2)=(«j; ?з)—(е$; ?|) = 180° — 60° =120°.
5.121. (а+Ь) : с, (b + с) : а, (с+а): Ь. 5.122. 6. 5.123. ±^6. 5.124.12,5 куб. ед, 5.125.
5 кв. ед. 5.126. ^А42/19; LABC — тупой. 5.127. 3 : 1.
5.128. ? По условию, вершина Л @; 0; 0) совпадает с началом координат,
а вершины В A; 0; 0), С @; 1; 0) и 5 @; 0; 2) лежат соответственно на осях
Ох, Оу и Oz (рис. Р.5.34). Так как искомая точка М должна лежать ва оси
Oz, то она имеет координаты @; 0; Zj). Далее, пусть N (х2; у2; zj — вторая
искомая точка; тогда вектор MN имеет координаты {х2; у2; z2~Zi), a,
_/1 1 \ 11
с другой стороны, MN I -; -; 0) ]. Следовательно, х2=-, у2=~, z2—zl—0,
\3 3 / 3 3
/1 1 \
:. г2=гл и N1 -; -; z, I. Остается найти значение zu что мы и сделаем
двумя различными способами.
I способ. Общее уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d—О, По-
Поскольку B^SBC), координаты точки В удовлетворяют этому уравнению,
откуда a+d=Q A). Аналогично, Ce(SBC) =» b+d=O B) и Se(SBQ =>
=* 2c + d=0 C). Из системы A), B) и C) находим л=6 = 2с= — </я уравнение
плоскости SBC примет вид
d 1
— dx—dy— z+d=0 или x+yA— z—1 =0.
Наконец, Ne(SBQ ¦ для нахождения zt получаем уравнение
111 2
-Н—(-- 2, —1=0, откуда Zj=-.
т. е
343

Рис. Р.5.35
II способ. Пусть п — нормальный вектор плоскости SBC, т. е. п (а; Ь; с).
Найдем Ж (-1; 1; 0). Так как 7}Ce(SBC) и п±?С, то л•ЯС=0 или
— а+Ь+0=0 =» а = Ь; аналогично, Л±Ш, где 5Я A; 0; —2), и, значит,
я • !55=0 или а + 0 — 2с=0 =» а = 2с. Таким образом, а=Ь = 2с A). Составим
теперь уравнение плоскости SBC как уравнение плоскости, имеющей нор-
нормальный вектор л (а; Ь; с) и проходящей через данную точку 5 @; 0; 2):
ax-t-by+c(z—2) = 0. Далее, используя равенства A), получим
2с = 0или 2x + 2y+z-2=0.
Наконец, учитывая, что .
=- и получаем тот же ответ.
2 2
[SBQ, имеем - +- н
l — 2=0, откуда
5.129. ? Пусть О — центр окружности, описанной около ААВС (рис. Р.5.35).
Тогда в силу свойства центральных и вписанных углов имеем
LAOB=2LC, LBOC=2LA, LAOC=2LB. Построим единичные векторы
elt ё2 и ё3, направленные вдоль векторов ~ПЯ, 7ТВ и "ПС; их сумма дает
вектор 3, т. е. ej+e2+e3=3. Возведем обе части последнего равенства
в квадрат:
или
3 + 2 (cos 24 + cos 2В+cos 2Q=«/*.
Так как «/*>0, то 3 + 2(cos24 + cosB+cos2C)>0, откуда
+cos2C>-3/2. ¦
5.130. D Введем следующие обозначения (рис. Р.5.36):
С, В
' А,С
A)
^Л-С^ ЛС-^jC С^-Л,^
или =/я, =» л, =р, откуда
АВ
ВС
СА
344

Найдем разложение вектора ~АЁ+А,В, по векторам А~Е в "ВС. Имеем
А,В, = А,С+СВ,. Но из B) следует, что А,С- В~С, а из A) — что
п + \
C)
СВ,=рВ,А=р(В,С+7ТЛ); поэтому СВ, -рВ,С=р(С~В+~В~А)
{р + \)С~В~,= -р(А~В+"Ес), откуда
р+\
Тогда получим
1 п 1 1 — пр
ВС-^-- (АВ+ВС)*=-— АВ + — ~ВС.
п + \ 1 \ ( Х{Х
D)
Аналогично, используя равенства A), B), C), находим
Ж+В,С1=Ж+В,А+АС1=Ж+~ СВ,+тС,В=
Р
___ 1 Р ^_ __ 1 _ МР — 1 ___ р ___
"Ж— -^-(А~5+Ж)+т- ~АЪ= А~В+-^—Ж. E)
р р+\ т+\ (т + 1)(р + 1) р+1
Чтобы доказать коллинеарность векторов A~S+AlBl и B~C+"B~^U[, нужно
установить равенство отношений коэффициентов при АВ и ~Ё? в разложе-
разложениях D) и E). Для этого проведем прямую МЩАВ, которая пересечет С^В^
в точке D. Тогда ДС^Л,.^ AAiCD, a AACtBt ~ ACDBU откуда
CtB C.A, ВА, АС, АВ, С,В, 1
= = = л, F) ш =-—=—, G)
CD AJ> AtC CD CB, DB, p
ABt CBX 1
поскольку из A) следует, что =—1 : = —. Находим отношение
СВ, В,А р
АС, С,В АС, АС, С,В 1
: = —т, откуда =т =тп= —- ( см. G)) и, значит,
CD CD C,B CD CD P
тпр = — 1. ¦ (8)
Теперь найдем отношения коэффициентов при А~Ё и ~ЕС в разложениях D)
и E):
1 тр—\ т + \ \—пр р \—пр
^, (9) У— : —= -. A0)
\ (+1)( + 1) +1 (+\)
:, (9): .
р + 1 (/я+1)(р+1) тр-\ (л+1)(р + 1) р+1 (п+\)р
1
Из равенства (8) следует, что п= ——; подставив это значение в отношение
тр
т + \
A0), получим, что указанное отношение равно , т. е. оно совпадает
тр— 1
с (9). Тем самым доказано, что ~АВ+А,В,]\ВС+В,С,.
Аналогично доказывается, что С~А + С1А11(АЁ+A,Bt. Щ

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Вариант I. П 1. Имеем
х-1 ~(V*+1)(\/*-О.
Следовательно,
-1 = V*3-1 -(л/*- *)(*+Vx +1)-
Полагая jc=7, найдем /1 = 8.
я
2. Используя формулу тангенса разности двух углов и то, что tg - = 1, получим
4
•(-Э-
3 tgot-1 3
=- => tga=7.
4 1+tga 4
х— \ ^ 2х
3. Так как 4 = 2 , то уравнение преобразуется следующим образом:
4
- B*) — ¦ 2Х-1=0 =>
4 4
2Х=4 => х=2.
4. Имеем
f'(x)=(hj2 sn1xcosx;f (~}=6yj2 sin1 - cos -=3.
\4/ 4 4
5. По условию, AB=BC, ADLBC, AC=30, AD=24 (рис. Р.П.1). Пусть LBCA=<x;
AD 24 4 3
тогда в ДЛ.ОС имеем sina=—=—=-, откуда cosa=-. Наконец, из АВЕС
АС 30 5 5
(где BELAC) находим .
Сначала найдем
АС 30 5
ЕС 15
cos a 3/5
х-г
25.
2л/х2-6.х+Ю
Рис. Р.П.1
Рис. Р.П.2
346

Тогда данное уравнение запишется б
>Д2-бл.:-10 +
/2
V*2-6x+10
да следует, что xi-\-x1=2 (второй коэффициент в приведенном квадрат-
r.u>/ уравнении).
7. Имеем
ПХ ПХ ПХ
cos2 — = 1 => cos —=+1 => —=7dfc=> x=2k.
1 2 ~ 2
Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [п, Зя]; неравенство я<2?<3я
выполняется для значений к = 2, fc = 3 и fc = 4, которым соответствуют корни
л:=4, х = 6 и лг = 8. Итак, искомое произведение равно 192.
8. Перейдем от данной системы неравенств к равносильной ей:
|log1/2B*-3)>-3, fO<2*-3<23)
I x2—4x>0 \,x(x—4)>0 (.jc<0 или х>4
\.
Искомым целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, является 5.
9. По условию, ADLAB, ADLAC, AD=5^2, LDCA= LDBA=45°, LCDB=60°
(рис. Р.П.2). Прямоугольные треугольники DAC и DAB — равнобедренные
(один из острых углов равен 45°). Тогда CD=BD=^2 ¦ E-i/2)J = 10. Теперь,
применяя теорему косинусов к равнобедренному треугольнику CDB, находим
ВС1 = CD2+ BD2 - 2CD BD cos L CDB=
=2 • 100-2 • 100cos60° = 100, т. е. ЖГ=10.
10. Воспользуемся тем, что скалярное произведение перпендикулярных векторов
равно нулю:
ЪЪ=0=>х- 1-1 .2+2.0=0=»х=2.
Значит, вектор а имеет координаты B; —1; 2), а его модуль
Вариант II.? 1. Находим
1 /4 2 . 1 3
=--1+6/ -U» -4 • 2=-- + 1-2=—.
2 V 8 2 2
2. Сложив уравнения х+у=4, y+z = %, x+z = b, получим 2(x+y+z) = \& или
x+y + z = 9. Отсюда находим *=9 — (у + г) = 1, у=9 — (x+z) = 3, z=9 —
—(х+у)=5. Искомое выражение есть x—y + 2z= 1—3 +10 = 8.
3. Найдем область допустимых значений:
гх*0,
I ' I ' (х*о.
0<д:<1.
.2 >2
Преобразуя данное уравнение, получим
347

11 11
Ix i x \ Ix x i 7x\i Ix
Ig2 =lgl2-2]=>2 =2-2=>l2 1,-2 -2 = 0:
l l l
(Zk\/2jc\ 2x j i
2+l)B-2)-0^2-2---l-x-2.
4. Имеем
sin;c + cos2x=0 => smx + l-2sin2A:=0 => 2(sinx-l) (sinjc+-) = 0.
Далее находим:
it it
1) sin jc=l, x = - + 2nn; из условия — n^- + 2nn^3n следует, что
2 2
Зя 5я 3 5
<2лл<—, т. е. —<n < -: последнее неравенство выполняется при л=0
2 2 4 4
и и —1.
1 / 1\*я
2) sin х= —, х=[ — - I - + пк; отбираем корни, удовлетворяющие условию
2 \ 2/ 6
5ге я 7я Пя
—я<дс<3я; х<= , дс= —, х——, х=—.
6 6 6 6
Итак, отрезку [—к, Зя] принадлежат шесть корней данного уравнения.
5. Находим
tg2a 1 9 1
25 sin2 a cos a=25 — . =25 ¦ =7,2.
16/ v 16
6. Здесь дс>0. Решаем данное неравенство:
Итак, искомая длина равна 16.
7. График функции /(.*)=х3 + Зх2+5дс=дс (дс2 + 3дс+5) пересекает ось Ох только
один раз, поскольку квадратный трехчлен х2+Зх+5 не имеет действитель-
действительных корней.
8. Пусть aj — первый член прогрессии, а d — ее разность. Тогда получим
систему
a1+4d+a1+9d=\
Следовательно,
9. Находим
\-lx2 1 1-х1
348

A E D л L
Рис. Р.П.З Рис. Р.П.4
10. По условию, в трапеции ABCD имеем АВ= CD, АВ=ЪВС, BE я СЕ — биссек-
биссектрисы углов ABC и BCD, Ее AD (рис. Р.П.З); требуется найти Sabcd '
1
Пусть LABE=- LABC=a, BC=b\ тогда CD=AB = 3b. Заметим, что
l_CBE= LBEA=tx и LBCE= LCED=a как накрест лежащие углы; значит,
треугольники ABE и CDE — равнобедренные и равные. Отсюда следует, что
Ь d
CD=DE=AB=AE=3b, BE=CE=d. Так как &ВСЕ~ &CED, то -=—, от-
d ЗА
куда <^ = ЗА2. Теперь найдем площади АВСЕ и Д CED:
1 1 Л 3 ,
S&BCE=- BE ¦ СЕ йп(Ш°-2а)=- йГ sin2a=- A3sin2a,
1 9 ,
¦Удсгв=- ED ¦ CD sin A80°-2a)=- b1 sin 2a.
Учитывая, что 5^лсв=25дс?0+'5ддсе. находим искомое отношение:
Sabcd 25aCed ад1 sin 2а
+ 1- + 1 = 7. ¦
Вариант III.? 1. Здесь Здс+1>0, дс-1>0, откуда дс>1. Пусть *j3x+l=u,
sjx—\=v, где и>0, »>0. Тогда данное уравнение равносильно системе
(u-v=2,
1 из которой получим 4ю—2ю =0, т. е. v,=0, v2=2. Итак, xt = l,
[и2 324
2. По условию, у4С=15 см, ЕЩАС, SAEFC=Qt15S^ABC (рис. Р.П.4). Тогда
E
Так как AEBF~ ААВС, то -= — или
S \АС)
/EF\
0,25=1 — ) , т. е. EF*=0,5AC Итак, EF=7,5 см.
\АС)
3. Имеем

sin F0° + a)
4sin(l5°+-)smG5°--) 2cosF0°--)
V 4J \ V \ V
in | 30°+-) cos | 30°+-J
—=cosho°+-j.
sin 30°+-
Так как sin C0°+-) = 0,8 и 0°<a<90°, то A=sj\ -0,82 = 0,6.
4. Учитывая, что *>0, получим
=> B+lgxJ-(l+lgxJ+lgx=9 => lgx=2 => x = 100.
S. Данное неравенство равносильно следующему:
3+2х 2(^ + 1,5)
>0<0
4-х x-4
Итак, наименьшим отрицательным решением является дс= —1,5.
/Зя \ Зя Зя я
6. Здесь sin —\-х #0, т. е. -л- + хфпп, откуда д:# ——1-ял=- + я/. Преобразуем
\2 / 2 2 2
данное уравнение:
1+ctg2 I—+xj=cos*jc-sin*x=>
=> 1 + tg2 л:=(cos2 jc—sin2 дг) (cos2 x + sin2 дс) =>
=> ——=2cos2x-l => 2(cos2*J-cos2*-1=0 =»
• 2(cos2x-l) (cos2x+-1=0 =
¦ COS X= + 1
Условию \х\^п удовлетворяют три корня.
7. Имеем
=> 1х-1=1х-г => x=i.
х + у 13
8. Пусть хи у (х>у) — искомые числа. Тогда, по условию, —==—. Следова-
Следовательно,
Гх 1у 13 / 1ху 13 1х . _ / /дс 3W /дс 2
/jcy 12
v
/jc 2 \х Ъ х 9
Тогда /-=-, что не удовлетворяет требованию дс>у; /-=-, откуда-=-.
\_у 3 V^ 2 у 4
9. Находим
350

/ 3s\
/1 = 81 со»2 I 6a J-81sin26a-81 4sin23a cos2 3a*
-81 4fl-cos23a)cos23s,
2 5 4
откуда при cos За—- получим А »81 4 - - = 80.
3 9 9
10. Данная функция преобразуется следующим образом:
/(х)=sin2 2х+0,5 cos 4х +2 sin2 х+cos 2x=
= sm22x+@,5-smJ2x)+(l-cos2x) + cos2x = I,5
Вариант IV. П 1. Преобразуем выражения В и С:
1 2
В= =logj6; С= = 21g2«=Ig4.
Iog62 Iog210
Тогда получим
2. Имеем
jqj 23'1 2"*'J
2 = 25'3 4/3 : ^64 => — '¦
3. Здесь л:>2. Имеем
(Vx-2;2-V^-2-15=0 =>
V=0 =» ^/jc-2»3 => jc-2-81
4. Учитывая, что х>0, получим
Искомым наибольшим значением х является х-4.
5. По условию, в трапеция ABCD имеем AB=*CD. CE^AD, СЕ" 16, ЛС=20 (рис.
16 4
Р.П.5). Пусть LCAD=/i; тогда из &АЕС находим sin/f=— --,
20 5
со$Д—\Л-*П12Д—-. Далее, дЛO.D равнобед-
равнобедренный, прячем LAOD=\S0°—2fi. Следовательно,
1 1
sin ^-Л00= 20 20 si
2 2 * Г
-400»п Д со*Д-192 (кв. ед.}. Рис. р.П.5
& Имеем
sm(90°+2x)+sinx-0=> cos2x+smx=0=» I
2(sinx-l)(явх+- {«О.
V 2/
1
Решив уравнения smx— I, smx—— я учитывая, что 0°<х<270°, получим
ответ: xt"9T, x2~2l0'.
351

7. Преобразуем данное выражение следующим образом:
а а
4 sin - cos -
49 49 49 sin2 a 2 2
=49
/ 5я\
ctg2a cosJ а
а 1 а 8 4 8 /9V
Подставив значения sin -=-, cos -=-, получим /1=49 ¦ - • - I - ) =32.
2 9-29 9 9\7/
8. Пусть / — время работы второго станка (в часах), а х и *—5 — количество
деталей, которые обрабатывали в час соответственно на первом в втором
станках. Тогда, согласно условию, получим систему уравнений
(t-\,5)x=\50, f/=O,3jt,
!(х-5) = \50 ** (О.Зх2- 1,5л:- 150 = 0 "*
=» ^-5^-500 = 0 => jC] = -20 (не годится), л:3 = 25.
Итак, на первом станке в час обрабатывали 25 деталей, а на втором — 20
деталей.
9. Уравнение имеет смысл, если л/Зх—2>0, т. е. х>2/3. Выполним преобразова-
преобразования:
Далее имеем:
2) x2-25 = 0; jc3 = -5 (не годится), л:* = 5.
Ответ: jc=1, jc=2, дс=5.
10. Здесь х?*0, x^t-l, x*\. Имеем
6-х х + Ъ х + 5 6-х х + 3 х + 5
1-х2 хA-х)хA + х) (\-х)(\+х) х{\-х)
6х-х2-х-3-х2-Зх-х-5 + х2-5х
=> =0=>
()()
хA-х)(\+х)
0 => ^-6^ + 8 = 0 =>х, = 2, х2=4.
Вариант V. 1. 1. 2. 4,3. 3. 3. 4. 4,1. 5. 6. 6. 0. 7. 30°. 8. 42 см. 9. 3,53. 10. -1,5.
Вариант VI. 1. 4. 2. 1. 3. 4. 4. 5. 5. 7. 6. 41. 7. 3. 8. 64. 9. 4. 10. 1. Вариант VII. 1. 2.
2.1, 2 и 4. 3.2. 4. 5. 5. 6 см3. 6. 8. 7. 0,5. 8. 4 и 36. 9. 8.10.0 и 5. Вариант VIII. 1.40.
2. -25.3. 10.4.1. 5.0,28. 6. 90°. 7. 72 см2. 8. 2,3 см. 9.13 и 13.10. 6. Вариант IX. 1.
1. 2. 11. 3. 0; 4. 4. 48. 5. 0,8. 6. 4. 7. 31,5. 8. 15. 9. 2. 10. 18. Вариант X. 1. 2; 0,25. 2.
225°; 315°. 3. 4. 4. 0,3. 5. 168 см2. 6. 3 км/ч. 7.1. 8.0,75. 9. 6 и 0.10. 2,5. Вариант XI.
1.2. 2. 9. 3. 10. 4. 8 см. 5. 0,8. 6. 0. 7.103. 8. 4 см. 9. 6.10. 16 кв. ед. Вариант XII. 1.
-9. 2. 1. 3. 3. 4. И. 5. -1. 6. 7. 7. 4. 8. 0. 9. ymiB= -1/е при х = 1/е. 10. 2. Вариант
352

XIII. 1. 6. 2. 0. 3. 1. 4. 5. 5. 0. 6. -1. 7. 5. 8. Один раз. 9. 20.10. 2,25. Вариант XIV.
1. B*+1J. 2.2tg2a.3. 1.4. -10; 3. 5. 9. 6. 2. 7. 10.8.4.9. -3. 10. 1. Вариант XV.
1. 3. 2. 1,6. 3. 5. 4. 12 и 24. 5. -1; 1. 6. 4. 7. 12. 8. 0,5. 9. 8. 10. 120"; 240°. Вариант
XVI. 1. -4; -3; 4. 2. 25. 3. 5. 4. -58. 5. 2; 3. 6. 2,25. 7. 9,375 кв. ед. 8. 12. 9. 150°;
210°. 10.40 л. Вариант XVII. 1.4.2. 3/4. 3. 5. 4. 60 кв. ед. 5. 0,8. 6. 10. 7. 6. 8. 6.9. 12
куб. ед. 10. 8. Вариант XVIII. 1. 5. 2. 8. 3. 4. 4. 2. 5. 66. 6.1. 7. 12 куб. ед. 8. 13. 9. 2.
10. 3. Вариант XIX. 1. 4. 2. 2. 3. 3. 4. 7. 5. 3. 6. 3. 7. 6 кв. ед. 8. 2. 9. 4. 10. 3.
Вариант XX. 1. 7. 2. 8 кв. ед. 3. 3. 4. 2. 5. 0,&. 6. 2. 7. 51,6. 8. 3. 9. 16. 10. 120°.
Вариант XXI. 1. 4. 2. 48 кв. ед. 3. 3. 4. 5. 5. 3. 4. 7. 7. 10. 8. 4. 9. 5. 10. 2. Вариант
XXII. 1. B Iogj5 + 1)J. 2. 1. 3. 10. 4. 5. 5. 12. 6. 0,36. 7. 0,8. 8. 3. 9. 6. 10. 2. Вариант
XXIII. 1. 4. 2. 5. 3. 9 кв. ед. 4. 5.5. 3. 6. 3. 7. 4. 8. 2. 9. 6. 10. 4. Вариант XXIV. 1. 14.
2. 0,5.3. 5. 4. 7. 5. 4. 6. 250 куб. ед. 7. 63. 8. 0,2. 9. 5.10. 20. Вариант XXV. 1.1. 2.16.
3.6.4.0,28.5.(9; -1). 6. 6. 7. 3. 8. 12.9. 14.10. 4 кв. ед. Вариант XXVI. 1.-2,-1.
2. 0,5; 0,6. 3. 0,75. 4. 18 кв. ед. 5. 4. 6. 3 и 0. 7. 16. 8. -2; -1. 9. 120"; 240°. 10. 12.
Вариант XXVII. 1. 135°; 225°. 2. 24 см2. 3. 2 и 22 134. 4. -5 и 3. 5. -5. 6. 15. 7.
-1,5. 8. 1,75. 9. 2. 10. 4. Вариант XXVIII. 1. 20. 2. -0,4. 3. 1. 4. - 1, 2. 5. 4. 6. -6
и -6. 7. -0,6. 8. 0,4 и 0,4. 9. 5 и 6. 10. 39 и -39. Вариант XXIX. 1. 1000.2.0.3.4.
4. 25. 5.1; И; 21. 6.10.7. -2; -1. 8.4 см. 9. -45°; 0°; 45°. 10. 8 см3. ВариантXXX.
1. 6; 2. 2. B; 3; -3). 3. 2. 4. -52,5"; 7,5°; 37,5°. 5. 10; 11; 13; 14. 6. 6 см3. 7. 30 и 35
км/ч. 8. 0. 9. 20,25. 10. Первое.

ВАРИАНТЫ БИЛЕТОВ
ДЛЯ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ПИСЬМЕННЫХ ЭКЗАМЕНОВ
Вариант!. ? 1. Так как
422
17'
то выражение для /(х) упростится следующим образом:
.— х2
/Г -=х3
4A -
Значит, /'(х) = Эх2.
2. Исходная система равносильна следующей:
*2.4*+1-23*-2.4* у
2Х+ 2 2B*+2)
= 4A-2Ь)
Уравнение 1—2 =0 имеет решение х=0, а уравнение 1—2 =1 не имеет
решений. Итак, х«=0, у—О.
3. Пусть хну— искомые числа; тогда х+у=10, а выражение 2х2 + 3у2 должно
принимать наименьшее значение. Имеем /(х)=2г2 + 3A0—хJх2 +
+3A00-20х+х2)=5(х2-12х+60)) /'(х)»5Bх-12)=10(х-6). Очевидно,
что/'(х)=0 при х = 6; если 0<х<6, то/"(х)<0, а если 6<х<10, то/'(х)>0.
Итак, при х=6 функция /(х) имеет минимум. Отсюда следует, что искомыми
двумя слагаемыми являются числа б и 4.
/5« \ (к \
4. Учитывая, что H-cos2*=2cos x, cos [——x]«=cos[—xi=sinx,
\2 / \2 /
X X
4 sin - cos =>2smx, преобразуем данное уравнение:
0,5 ¦ 2cos jt ssxtx—sin х^2явх ^ snx(cos x—sin x—2)*s(}a^
=»• sinx(cos2x—^««O^ япх»0=* х«=я*. *—0, ±1, ±2, ...
Теперь отберем корни, удовлетворяющие неравенству log,(x-H)>I. Так
1
как п>\, то х+1>я, т. е. >ж— 1. Следовательно, «А>ж—1 или *>1—.
ж
Этому условию удовлетворяют значения ?=1, 2, 3, ... . Итак, получаем
ответ: х=я*, fceN.
5. По условию, ABCD — ромб,
Рис. Р.П.6
(рис. PJ1.6). Проведем С?-ЫХ>. Введем обозваче-
¦шс AC=dt, RD^d,, r — радиус вписанного кру-
круга, СЕ=2г, AB=*BC=CD=AD=*a. Из равенства
S
5-лг1 находим г1 «-.В АС?27кмеем LCDE**,
Ъг , V «
а--7—, откуда в*»—-——. Искомые зва-
sm1* хяп2х
354

ченвя dt и d2 найдем с помощью теоремы косинусов, примененной соответст-
соответственно к hDAC и A BAD:
45 a 45
=2 • . 2cos2 - =
¦> а ¦> а ^ а
4itsin - cos - resin -
2 2 2
4S a 45
. 2sin2-
a 2 a
- rccos2-
2 2 2
2 IS 2 IS
.^- -,d2= /-.
a \j n a \ я
sin - cos -
2 2
Вариант II. ? 1. Заметим, что
\Jx~a*-\Jx*Ja=lJx tfa ф-х).
Тогда заданное выражение преобразуется так:
1 1
2. Используя свойства логарифмов, находим Igx5=51gjc, lg —= = — - lg дс. Об-
V* 4
ласть определения функции/(х) задается системой неравенств
1 1
2
Последняя система равносильна совокупности двух систем
(х>0, (х>0,
Решение первой из них есть х^10; решением второй является промежуток
0<х<10. Итак, получаем ответ: хе@, 10]У[10, оо).
3. Сначала найдем значения данной функции на концах отрезка [0; 1,5] : Д0)=0,
8
Д1,5)=- ¦ 1,53 —18 ¦ 1,52+28 • 1,5 = 10,5. Теперь найдем критические точки,
принадлежащие этому отрезку. Имеем /'(х) = 8х2 — 36х+28; уравнение
f(x) = Q имеет корни л:1 = 1, х2 = 3,5 (последний не принадлежит данному
отрезку). Сравнивая между собой значения Д0)=0, Д1,5)='10,5, Д1) = 38/3,
заключаем, что/наИм=Л0)=0, а/налб=Д1) = 38/3. График функции на указан-
указанном отрезке схематически изображен на рис. Р.П.7.
я т
4. Здесь cos2jc#0, т. е. дс#-Н—. Преобразуем данное уравнение:
4 2
355

Рис. Р.П.8
sin 2*
- = 0=>
cos2jc
1+cos2jc
=> (l-f-cos2x)-f-sin2x => (l+cos2jc)(l+tg2x) = 0.
cos 2л:
it
Из уравнения l+cos2x=0 находим, что х=-+пк, а из уравнения
И Til
l+tg2x=O— что х= (-—. Отрезку [— я/2, n] принадлежат: из первой
8 2
it к ж
серии значения xt = — и х2=-, а из второй серии—значения л:3=—,
2 2 8
Зя 7ге
д;. = щ х* — .
•>8 8
5. По условию, ABCD — прямоугольник, OtE=r, LBOA = tx (рис. Р.П.8).
В Д ^ ОД имеем l_OBA= LOAB=90°—; таккакЛ0! — биссектриса LOAB,
то Z_?/101=45°—. Далее, из AAEOt находим AE=rctg I 45° — - 1, откуда
4
AB=2r ctg I 45°— ). Теперь найдем искомое скалярное произведение:
| = |23|2-4r2ctgM45°—).
Вариант III. Q 1. Здесь а>1. Имеем
2a+s/a2-l
2. Так как2* + 1>0, то
2Х 1
1
+2
2+\
356

3. Первая бригада за один день убирает 1/8 часть поля, а вторая — 1/6 часть.
Пусть х — число дней, которое обе бригады проработали вместе. Тогда
1 /1 1\
получим уравнение --М -н— ]х= 1, откуда х = 3 (дня).
8 \8 б/
4. После применения формул приведения придем к уравнению
|sin х\ = sin х+2 cos x. Далее рассмотрим два случая:
1) sinjc^O => sin л: = sin л:+2 cos дс=» cosx = 0 =»
я
=> х, =- + 2тсл (с учетом того, что sin xjs 0);
2
2) sinx<0 => — sinx=sin*+2cosx =
=> ,/2 cos (x—\=0
7t
sinAC<0) =
1С 71
• jc—-= — -+2кт .
4 2
(с
Теперь найдем область определения функции у =
учетом
cos -——
4 2
того,
что
/
cos-
4 2
A)
X 1С
4 '4 4
Остается выяснить, при каких значениях пят корни .t, в .t, удовлетворяют
неравенству A). Находим
п 3 1
2+ тш«тс+ тс =" ~4+ <"<4+ =»"- -
тс 3 5
4 8 ~* ^8
Подставляя эти значения пять выражения для х1 и х2, получаем ответ:
1С ТС
т=4к.
5. По условию, в трапеции ABCD имеем LBAD = 90°, LADC=30°, OF*=OM=R
(рис. Р.П.9). Так как трапеция описана около окружности, то
СЕ 2R
BC+AD = AB+CD. Но АВ+ CD = 2Л+ =2ЛН
sin LCDE sin30°
1 1
Итак, SABcd=- {BC+AD)AB=- . 6R ¦ 2R=bR2. ¦
4 *» Л-
357

Рис. Р.П.11
Рис. Р.П.12
Рис. Р.П.13
Вариант IV. 1. 0,25—4х*. 2. x>\Jl. 3. Возрастает на (—9, 3), убывает на
(-оо, -9)инаC, оо); >>„,„, =-27 при л: =-9, >>ш„ = 5 прих=3 (рис. Р.П.10). 4. —;
5ге 7я Пя ^(l+tga) х
—; —; —. 5. . Вариант V. 1. . 2. х>2,5. 3. Возрастает на
12 12 12 2 1-х
(-?> 7), убывает на (-оо, -7) и на G; оо); >Wn = -14 при дс= -7, ут„ = 14 при
х=7. 4. --; 0; -; —; я; —. 5. —. Вариант VI. 1. х9. 2. (-со, 0)U[l/3, оо). 3.
6 6 6 б 3
Возрастает на (—0,5; 0,5), убывает на (—оо; —0,5) и на @,5; оо); Утш= — 2 при
дс=— 0,5, ^ци
7я 5я я я 5я 2 а
при дс=0,5. 4. ; ; —; -; —. 5. - sin а cos -. Вариант
6 6 6 6 6 я 2
VII. 1. —. 2. -1 <дс<2. 3. Возрастает на @, 10), убывает на (- оо, 0) и на A0, оо);
V2
5я Зя я 2
>>min==0 при дс=О, Уша=\0 при х = \0. 4. ; ; —-. 5. - Р sin a cos2 а.
? J. ? J
Вариант VIII. 1. •Jl—jx. 2. х> — 2. S.fmsBt= —2 при х= — 1,/и,и,б=3 при х= —2.
. Вариант IX. 1. 1 -2х*. 2. х>8. 3./налм = 0,25 при
Пя 5я я
4. ; ; -. 5.
18 18 18
64
я 2я 5я 1 sin2 2а .—
1 при дс=1. 4. —;—;—. 5.- яг . Вариант X. 1. V4a. 2. См.
3 3 3 2 l+sin2a
Зя 4я 2я я 'я я я
рис. Р.П.11. 3. 2; 10; 50 или 50; 10; 2. 4. ; ; -я; ; —; —; 0; -; -. 5.
2 3 3 2 3-32
1 .- 7я 5я
- /*sin2a sin20 cos^. Вариант XI. 1. V*- 2. См. рис. Р.П.12. 3. 5 и 1. 4. ; ;
4 4 4
Зя я 2 .-
; -. 5. = SyJS ctga. Вариант XII. 1. 0,5. 2. См. рис. Р.П.13. 3. Равнобед-
4 4 ^
ренвый прямоугольный треугольник, катеты которого равны 4/3 см. ф Принять
358

за независимую переменную угол а при основания треугольника, выразить пло-
площадь треугольника как функцию а и исследовать эту функцию на экстремум. 4.
я 4*A3tg3a(l-smotK ,-
—; arctg3. 5. . Вариант XIII. \.f(x)=x+\ -1/3;/(x) = l. 2.
4 3 cos3a
A; OX @; log,2). 3. На 25%. 4.-—; -; —; —. 5. 45°. Вариант XIV. 1.
3 4 3 4
Дх)=- $Jx+\l5); /(*) = =. 2. *=16. 3.0,4. 4. *, = -— + 2**, лг2=--
2 6зД2 б 6
2 — J3
*, /= -2, -1, 0,1,.... 5. . Вариант XV. 1.Дх)=у/3х;/'(*)=—=. 2. х=7.
2
it 5re 7я Ня 4Ллт2
3. 6; 6; 6. 4. -; —; —; —. 5. . ВариантXVI. 1./(л)=0,25;/(дг)=0. 2. х=2. 3.
6 6 6 6 sin a
я
-0,25. 4. хх=~+пк, x2=arctg3+jr/;Jt, ^=0,1,2,.... 5. a1 cos а tg/?. Вариант XVII.
4
,-1 я 5я
l.f(x)=y/x;f(x)=—=. 2. х, = 1, л:2=2.3. 6 и 3. 4. xt = — + 2rtfc, jc2= — + 2я/; Jt,
bjx 6 6
Ы1, 3, 4, ... . 5. a2Uga+-V3+4tg2a). Вариант XVIII. 1. f(x)=-x1-l;
f(x)= -2x. 2. (-3; 0,5). 3. 6 и 6 см, 4. -; -; -; —. 5. . Вариант XIX. 1.
6 4 3 4 sin a
/(x)=2V'x + 5;f (x)=^=. 2. E; 2^5), E; -bjs). 3. +0,5. 4. x=—, л = 3,4, 5,... .5.
-Jx 3
. Вариант XX. 1. /(x)=-2x-l; f(x)=-2. 2. B; -1). 3. 0,75; 2,25. 4.
sin 2a
я 2ял 4
x= ±— + ; #i=.l, 2, 3, ... . 5.
8 3 яяпа
Вариант XXI. П 1. Полагая у=\— х1, получаем квадратное неравенство
У2+у<0=» у(у+1)<0 => —1<>><0. Возвращаемся к исходной переменной:
-1<1-х2<0=>-2<-
2. Пусть \jх— \=у, где >>>0. Тогда приходим к квадратному уравнению
Ту2—15у+2=0, имеющему корни >>1=2, >>2 = 1/7. Вернемся к исходной пере-
переменной. Имеем v*~ * =2. откуда acj =5; \Jх— 1 = 1/7, откуда х2=50/49. Про-
Проверка показывает, что оба значения являются корнями данного уравнения.
3. Найдем ОДЗ неравенства:
1
< н-зх>о.
V
t
359

Используя свойства логарифмов, преобразуем данное неравенство:
Iog3*+i(ll-3;t)
1 +log3*+1 5 • —- > aog3x+12;
32
l+log3»+i(ll-3*)>log3X+132;log3x+i-—— <1.
11 — Здс
Последнее неравенство распадается на две системы:
Г6<Здс + 1<1,
11 —Зд: ^ И-Здг
С учетом ОДЗ решаем систему A), используя то, что 11 — Здс>0:
Гх>0, Гх>0,
\х>0, \х>0,
С учетом ОДЗ решаем систему B), используя то, что ее второе неравенство
противоположно второму неравенству системы A):
Ответ:хб(-1/3,
sin л: cos 2л:
4. TaKKaKtgx= ,ctg2x= , 1+cos2x=2cos2ac, то данное уравнение
cosx 2sinх cosх
имеет смысл при
Гяпдс^О, пп
{ =*> хф—, neZ.
(.COSAC5*0 2
После приведения к общему знаменателю получим следующее уравнение:
2cosx sin2*—2cos3x+cosjc—sinjc=O=>
=» 2cosjc(sinjjc—cos2jc)+cosjc—sinx=>
=> (cosAc-sinAc)(l—2cos2jc—2sinxcoSAc)=0 =»
=> (cosjc—sinjc)(cos2x+sin2x)=0.
Оно распадается на два уравнения:
я
1) cosx=$inx=> x=-+nk, keZ;
4
я я
2) cos2x=— sin2x=» jc= 1— /, /eZ.
8 2
360

FED
Рис. Р.П.14
Рис. Р.П.15
Из двух полученных серий корней исходного уравнения выделяем корни,
удовлетворяющие условию -0,5<х<1. В первой серии это значение
дг1=я/4, соответствующее к=0, во второй — значение х2=—п/8, соот-
соответствующее /=0.
Ответ: х!=я/4, х2— —я/8.
1
5. Введем обозначения: ВС=а, АС=Ь, АВ-с, р=-(а+Ь + с) — полупериметр;
г — радиус вписанной в ААВС окружности; Oi — точка пересечения биссек-
биссектрис, центр вписанной окружности; О — точка пересечения медиан (рис.
Р.П.14). Так как ВК=КС и ЛС=30 см, то ВК=КС=АК= 15 см. Тогда точка
К— центр описанной окружности и, значит, LA=90°. Опустим из точек К,
1
О и О, перпендикуляры из АС; при этом KD^OEiO^AB. Имеем KD=- с
как средняя линия А АВС. По условию, О^О^АС; следовательно,
OE=O1F=r. Из подобия прямоугольных треугольников АЕО и АЛКи свой-
свойства точки пересечения медиан треугольника следует
KD АК с Ъ
ОЕ~ АО 2г 2
Далее, согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной
точки, имеем ВС=(АС-г) + (АВ-г) => а = Ь + с-2г=> А = 30-г, р = 30 + г.
Найдем радиус вписанной окружности, приравнивая различные выражения
для площади Д ABC:
1
• -C0-г) ¦ Зг=гC0 + г) => г=6 (см).
1
 С=ГР 2'
Итак, А = ЛС=30-г=24 (см), с=ЛЯ-Зг=18 (см).
6. Преобразуем исходное уравнение к следующему виду:
где у-(х- \J + 2(а- 1)а+2лх — новая переменная. Уравнение относительно
v решаем графически. Из вида графиков z -42y- 35 иг-/ (рис. Р.П.15) ясно,
что может быть не более двух точек пересечения. Подбором находим, что
Уу ш 1, Уг -2. Следовательно,
(х-1J +2(a-1I +2ax-h либо (х-1)*+2(в-1)» +2ах~2.
361

Преобразуем левую часть этих уравнении:
(*^$г + 2(а-\I+Ьгх=х1+2х{а-1)Н<'-1I + {а-1I + 1 =
**{х+а-\)г+(а-\J + 1.
fa=l,
Бели yi=»l, то (х+а—1J+(а—\у=0. Тогда •< Исследуем этот случай.
U=0.
При о=1 получим уравнения (дс— 1J+2лг=1, либо(х— 1J + 2х=2. Эти урав-
уравнения имеют решения х=0, х=1, х= — 1, т. е. исходное уравнение не имеет
единственного решения. Значит', а= 1 не удовлетворяет заданному условию.
Пусть в?И. Тогда выражение (ж— 1)г+2(а— X? +7ях яе принимает значение
1; остается исследовать уравнение
Оно имеет единственное решение при условии D = (a~~IJ —Ba2— 4a + l)=0,
откуда а1=0, а2=2. Если а=0, то дг= 1, а если a=2, то дс= — 1.
Ответ: уравнение имеет единственное решение при а—0 и при а=2 (соответ-
(соответственно х=\ я х=— 1). ¦
Вариант XXII. D 1. Приведем данное неравенство к виду >0:
6 1 6-(x-3)-2(x+2)(jc-3)
>2 =» >0 =»
(х+2)(дг-3) х + 2 (х+2)(х-3)
+гХ 2(х-7/2) (х + 3)
0
Применим метод интервалов; отметим на числовой оси нули числите-
числителя и знаменателя (—3, —2, 3, 7/2) и определим знак левой части получен-
полученного неравенства на каждом из интервалов. В результате получаем ответ:
же(-3, -2)(JC, 7/2).
2. Возведя обе части первого уравнения в квадрат, получим -Jx+y+2"
=2 =» дс+у+2=4 => у=2—х. Подставив это выражение во второе уравне-
уравнение, имеем дг2+B—jcJ=4 => Jx2—4x=0 =*¦ Xj=0, хг=2, соответствеино
у 1-2, >2=0. Проверка показывает, что обе пары х,=0, у,=2 и х2=2, >>2=0
удовлетворяют заданной системе.
X Найдем ОДЗ неравенства:
Логарифмируем по основанию 9 обе части исходного неравенства (так как
основание 9 больше 1, то знак неравенства сохраняется):
Используя свойства логарифмов, имеем
362

21ogJ —j ¦ Iog9(81x2)+log,27<71og9x =>
=> 2 C log, х-1) B+2 log, дс)+-sj 7 log, дс.
Положим >=log9x и придем к квадратному неравенству
3
2
1 5
=> 12y2+y-2,5«0 => 12 (y+~j [У—]1
2 12
Наконец, подставив log9x вместо у и учитывая, что основание логарифма
больше единицы, получим
1 5 _12 1
2~~ ' ~~12 ' "~ 3
Найденное решение принадлежит ОДЗ. Ответ: хб[1/3, 35/6].
4. Возведем левую и правую части уравнения в квадрат и преобразуем получен-
х
ное выражение, учитывая, что 1 — cos x=2 sin -:
2
2sin2 -—cosx=sin2x+2sinx cosx+cos2jc =sr
2
=> 1— 2cosx = l + 2sinx cosx=> sinx cosx+cosx=0 => cosx(l+sinx)=0.
Это уравнение распадается на два: cosjc=0 и 1 +sinx=O. Решаем их, учиты-
учитывая ОДЗ:
['cosx=0,
J . ., „ fcosx=0, п
1) <\-2ca&x^Q, *>{ =»х=-
f sinx= — I,
r J i
2) < l-2cosx>0, =» < c
I
л
Ответ: дс=-+2ял, лег.
2
5. Введем обозначения: ВС=а, AC=b, AB=c, p=-fa+b+c) — полупериметр
ААВС- г г, г, — радиусы окружностей, вписанных соответственно в ААВС,
AADB и AADC (рис. Р.П.16). Проведем OXKLBC, OJLLBC, O^ULOJL
Тогда OiK=ri, ОгЬ=Г!, O^M^r^-r^ O1M=r1+r1 и в АО^МОг имеем
0,0^ = 0,^ + 0^ =>8=(r1-rJ)J + (r1+rJJ=»rJ +rj=4. (I)
Так как ADLBC, то прямоугольные треугольвижи ABC, ABD. ACD подобны,
откуда
363

Рис. Р.П.16
точки к окружности, в ААВС имеем
ВС = (АС—г) + (АВ—г) => a=b + c—2r
=> 2p = 2b + 2c— 2r => b + c=p+r =>
B)
Из A) и B) находим г2=4, т. е. г=2.
Далее, используя свойство касатель-
касательных, проведенных из одной и той же
(см).
Другое соотношение между катетами b и с выводится из сравнения различ-
различных формул для площади ААВС:
SbABC=rP=- be => bc=2 ¦ 2 ¦ 12=48 (см2).
U>+c = 14,
Решив систему < находим Л = 6, с=8 или й=8, с=6. Итак, искомые
1.6с=48,
катеты равны 6 и 8 см.
6. Найдем ОДЗ данного неравенства. Выражения -у/х2 — х+3 и Jlx1 +1 определе-
определены на всей числовой оси. Правая часть неравенства положительна, второй
множитель левой части также положителен; поэтому неравенство имеет
смысл при х(х+1)>0, т. е. при х< — 1 или дс>0.
Пусть у/х*-х+3=и, y/2x2 + l=v, где м>0, »>0. Тогда x2+x=v1-u2+2
я исходное неравенство преобразуется следующим образом:
(»2-и2+2)A+м-|-»)-2-Зм-»>0=9-
-м2 + 1)-1 —2и>0 =>
=> (»j-m2)A+m+»)+1+m+»-1-2u>0 =>
=> (v2-u2)(l+u+v)+v-u>0 =>
=> (e—м)(A+М+«)(и+») + 1)>0.
Так как u^O, v^O, то полученное неравенство эквивалентно неравенству
V—м>0. Возвращаясь к аргументу х, имеем
Ответ: дге(-оо, -2)\J(\, со). ¦
Вариант XXIII. П 1. Перенеся 1 в правую часть неравенства, получим
3-х 2-2х 2A -х)
1«аО=> <0=> <0 => хе(-оо, -1)И[1, оо).
х+1 х+1 х+1
2. Пусть у=45+х—х2; тогда исходное уравнение примет вид
Возведя обе части уравнения в квадрат и преобразуя, получим
364

Уравнение относительно у имеет смысл при выполнении следующих условий:
Так как у2 не удовлетворяет условию у> 0, то рассматриваем только значение
У! = Ъ. Имеем 45+дг—дг=3 => jc2—х—42=0, откуда х1=7, х2 = —6. Провер-
Проверкой убеждаемся, что оба корня обращают исходное уравнение в тождество.
3. Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы приведения и фор-
формулу тангенса половинного угла:
sin \- — i
cos2x
1+cos Г
H
Теперь исходное уравнение запишется в виде
sin I — Ух
) j
I sin2x^ — 1, 1 cos [—x)cos6x I я id
\ I \4 / / хф—+-; п. /eZ.
V.cosex^O I V. 12 6
я тот я nl
Ответ: дс=—+—, хф—+—; л, /eZ.
28 7 12 6
4. Сначала найдем ОДЗ неравенства:
*\ з_2х-,->- - * ^ ' ~'~ « - -«(-l,0)U@, 1/3).
Далее рассмотрим два случая: 1) основание логарифма больше 1; 2) основа-
основание логарифма меньше 1. Имеем:
(х>0,
^-Зх"*1
(х>0,
1
1
0<х<1/3(с учетом ОДЗ);
C2хх3<1-3х U<-1 к>2
Ответ: хе@, 1/3).
365

5. Введем обозначения: АВ=с, AC=b, h —
высота ромба, а — сторона ромба,
а. — тупой угол ромба (рис. Р.П.17). Из
вершины D ромба проведем высоты
DELAB и DF1AC (DF=DE= А), которые
являются также высотами в AABD
и AADC. В ADFK имеем sin i_DKA =
DF Л V3
= sinA80°-a)= — =-=— => a = 120°.
Рис. Р.П.17 " г
Из условия 5'длвс=24ОуЗ см и ра-
равенств
1
( + )(b + c),
2 4
1 ¦ V3
- АС ¦ AB sin 120°=— be
2 4
получаем систему для определения Ь и с:
(b+c=64, (Ь=24, Г6=40,
< => < или <
Fс=960, (с=40 [с=24.
По теореме косинусов находим третью сторону ВС:
ЯС2=242+401-2 ¦ 24 ¦ 40cos 120° = 3136; ЯС=56 (см).
Ответ: 24, 40 и 56 см.
6. Преобразуем левую .часть уравнения, используя формулы сокращенного ум-
умножения:
х2+A+ а)у2+B+2фу + D + 6а)х + D+Аа)у+За+4 =
+ (х+у+2J-а(х-1J.
Исходное уравнение примет вид (а+1)(х+у+2J—а(х—1J=0. Это уравне-
уравнение имеет единственное решение, если знаки слагаемых одинаковы, т. е. либо
{l0 fl0
либо < . Первая система не имеет решений, а решением
(в<0
второй служит интервал — 1<а<0. При найденных значениях параметра
а решением исходного уравнения является пара чисел х=1, у= — 3. ¦
Вариант XXIV. 1. C; 2), B; 3). 2. хе(^оо, -5)y{-4}(J(-3, 2). 3. x,=-+wi.
х2 =(-1)* ---+!*; л, JfceZ. 4. л:б[1; 1,25)ИA,25; 5). 6. а, = -1, а2= -1/2, а3 = 1/2.
4 3
Вариант XXV. 1. A; -1), (-1; 1), A/3; -4/3), (-1/3; 4/3). 2. хе
Зя~|
2я*н— , JfceZ. З.х1 = ~ 1/3, х2= -1/4, х3=3. 4. 24 см2.5. Обе системы имеют по
2 и по четыре решения, если < 2.6. х=5.
W

Вариант XXVI. 1. х= -2 пря а = - +2aifc, ieZ. 2. D9; 9). 3. ж, = та. х2 = ±- +2ж*:;
я, Jt«Z. 4. хе(-Н,5; -1]Ц{0,25; 0Д)Ц(О,75; 1)Щ2,5; оо). 5. 45°. 6. хяшЛ^6 оря
,- я як
а=1. Вариант XXVII. 1. xu=±v2- 2. —9<х<0. З.х, = яв, х,«—I—; я. *eZ.
60 10
4. хе{2,25; 5). 5. 96 см2. «. @; а\ {-а; -0,5а), {-1,5а; 0Д5а); при *-0 система
имеет бесконечное множество решеяяй вида х=—2у. Вариант XXV1I1. 1.
х=38,6. 2.хе(-оо, !)УA, оо).3.х=- + 1ш, neZ,4.(l/4; D.S.^eO0, 30°. 6.jc=0,
>=0пря а=1,25. Вариант XXIX. 1. х1>2=±1, х3,4=-2±>/з. 2. хе(-оо, —1)U
УC, оо). 3. х=~ +—, п<еЪ. 4. лгеG"', 7"°Д). 5. Л?=ДС=1 ил, СД = л/з гм,
16 4
ЛО = 3 см. б. д:=-+2яи, «eZ при а=Л . Вариаят XXX. 1. х, = -5, х, = 3. 2.
2 ~ 3
0<jc<2, 2<х<я, ял<д:<я+ял, aeZ, я#0. Целые решения: 1, 3, 7, 8, 9. 3.
xl=- + 2nn,x2=—+ ;«,JteZ.4.JceC v , 1)(JA. 3 ).
2 14 7
при а«?3; 2^x^2+^/4-0 при 3<в<4; ж=2, j:=3 щм fl>4. Вариант XXXI. 1.
xe(-oo, -2HJ(-1, 2)!JB,5; оо). 2. (-3; -1), A; 3). 3. хеф, 1/4ЦЛА »)• 4.
я
д:,=2яя, д:,=-+2я^; я, fceZ. S. 5 и 12 см. 6. хе{-3, 1). Вариант ХХХП. 1.
хб(-2, - V3)U(V3. 2). 2. х=1. 3. хе(-4; — 3,5>У(—3; 8,5). 4. Зя/16; Зя/8. 5. 8, 10
я 12 см. 6. х-1 при а=0, jc== —1 при а = 2. Вариаят XXXIH. 1. х=я/2. 2. ^ = -3,
5я я
я
*j=0. 3. Xj= + ял, х2=— + пк; п, ksTL 4. хе(-5, -3)^C, 5). 6. а=2.
я ял я
Вариант XXXIV. 1. xeJ-2, 1). 2. хе[0, 3)UC, оо). 3. *,=—+—, х2=-+жк; н,
кеЪ. 4. д:е(-оо, -5/2)^-5/2, -125/62MJAA ю). 5. 75л/3 см2. 6. А:=4. Вари-
Вариант XXXV. L х=2. 2. хе(-оо, -Ъ%)О, 1). 3. х-яя, яег. 4- хе
€(-«>, -2-v'4U{-2}i^-2+.%/2. °°)- 6- "> -9/40; едииствеаное решение ihjh
а=_9/40, а=0.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Задача по планиметрии
Глава 2. Задачи по стереометрии
Глава 3. Задачи по геометрии с применением три-
тригонометрии
Глава 4. Дополнительные задачи do геометрии . .
Глава 5. Применение координат и векторов к ре-
решению задач
Приложения. Варианты заданий для самопроверки
Варианты билетов для вступительных
письменных экзаменов
Элементы
теории,
примеры
3
36
56
93
106
Условия
задач
10
41
61
98
112
119
Решения,
указания,
ответы
149
189
216
310
322
346
134
354
Учебное издание
Егерев Виктор Константинович, Зайцев Владимир Валентинович, Кордемскнй
Борис Анасгасьевич, Маслова Тамара Николаевна, Орловская Ираида Федоров-
Федоровна, Позойский Роман Исаевич, Ряховская Галина Сергеевна, Суходский Андрей
Матвеевич, Федорова Нина Михаиловна
Сборник задач по математике
для поступающих во втузы
(с решениями)
Книга 2. Геометрия