Избранные работы по теории крыла - Чаплыгин С.А.

Автор: Чаплыгин С.А.
Теги: авиация авиационное оборудование авиатехника
Год: 1949
Похожие
Теоретическая гидромеханика Ч.1
Гидравлика
Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики
Аэродинамика. Несжимаемая жидкость
Текст
                    КЛАССИКИ
ЕСТЕСТБ 03Н АНИЯ
Математика
Механика
Физика
9
Астрономия
ОосуЪарс'тве'нное Нз^а/тельс-тво
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва • 1949 ЛенмнграЪ
/СВЕРЕНО К
С.А.ЧАПЛЫГИ

ИЗБРАННЫЕ РАБОТЫ
ПО ТЕОРИИ
КРЫЛА

Государственное 'Издательство
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва'1949 •Лен'мнгузаЪ
12-5-4
О РАБОТАХ С. А. ЧАПЛЫГИНА ПО ТЕОРИИ КРЫЛА
Сергей Алексеевич Чаплыгин —замечательный русский
учёный, ученик, соратник и продолжатель дела «отца русской
авиации» Николая Егоровича Жуковского. Вместе с Жуков-
ским Сергей Алексеевич Чаплыгин создал новую науку —
аэродинамику, изучающую законы обтекания воздушным пото-
ком крыльев самолёта, лопастей воздушных винтов, лопаток
компрессоров и турбин.
В 1910 году С. А. Чаплыгин публикует работу «О дав-
лении плоскопараллельного потока на преграждающие тела
(к теории аэроплана)». В этой работе были впервые созданы
математические методы исследования крыльев.
Правильное физическое понимание природы подъёмной силы
и математическое её выражение — всё это было уже добыто
гением Н. Е. Жуковского. Однако, в выражении подъёмной
силы главная физическая величина — циркуляция-—остава-
лась неопределённой.
С. А. Чаплыгин и Н. Е. Жуковский тогда высказали
предположение, которое теперь в литературе носит название
постулата Жуковского-Чаплыгина. Согласно этому посту-
лату около крыла устанавливается течение, при котором струи
воздуха плавно, без отрыва, обтекают заднюю кромку крыла.
Теперь наблюдения над спектрами обтекания современных
профилей крыльев делают эту гипотезу почти очевидной. Но
мы часто забываем, что сама форма современного профиля
крыла тесно связана с гипотезой Жуковского-Чаплыгина.
Безотрывное обтекание профиля с двумя острыми кромками
невозможно при изменяющемся угле атаки, а в те времена,
6
С. А. ХРИСТИАНОВЦЧ
до работ Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, летали
именно на крыльях с двумя острыми кромками, что было
сопряжено с большой опасностью. На телах, не имеющих явно
выраженной хвостовой кромки, циркуляция слабо возрастает
с углом атаки; такие формы также не пригодны для полёта.
Гипотеза Жуковского-Чаплыгина указала правильный тех-
нический путь для создания крыловых профилей и попут-
но— дорогу для применения математических методов к
задачам аэродинамики.
В работе 1910 года Чаплыгин, широко используя теорию
функций комплексного переменного, создаёт тот математиче-
ский аппарат теоретической аэродинамики, который стал те-
перь классическим и на котором воспитывались все дальней-
шие поколения наших аэродинамиков-теоретиков.
Известно, что С. А. Чаплыгин не ограничился созданием
основ теории крыла, а в течение двадцати лет шаг за шагом
разработал законченную теорию этого вопроса. В его трудах
получили решение все главные моменты математической теории
крылового профиля и решёток профилей, т. е. основы теории
крыла и лопаточных машин.
С. А. Чаплыгин в 1911 году решает задачу об обтекании
решёток профилей. В 1921 —1922 гг. публикуется работа «К
общей теории крыла моноплана», в которой С. А. Чаплыгин
даёт полную теорию моментов сил, действующих на про-
филь, и указывает новые формы теоретических профилей.
К вопросу о теоретических профилях Сергей Алексеевич
вернулся в конце своей жизни, указав на новый широкий
класс профилей, обладающих' хорошими техническими свой-
ствами.
В период 1921 —1922 гг. С. А. Чаплыгин опубликовал
работу о разрезном крыле, в которой, в сущности, дал полное
объяснение работы предкрылка. Наконец, в 1925—1926 гг.
Сергей Алексеевич решает задачу неустановившегося движе-
ния крыла.
Работы С. А. Чаплыгина в течение долгого времени были
вехами, по которым развивалась аэродинамика. Сергей Алек-
сеевич не любил печатать своих работ заграницей, публи-
куя их только на русском языке. Многие результаты
Сергея Алексеевича были значительно позже «переоткрыты»
О РАБОТАХ С. А. ЧАПЛЫГИНА
7
заграницей различными учёными. Это относится, в частно-
сти, к Блазиусу и Мизесу. Поэтому, пользуясь иност-
ранными учебниками и энциклопедиями, можно получить
совершенно превратное представление о пути развития теоре-
тической аэродинамики и о роли в этом развитии С. А. Чаплы-
гина. Но у нас в Советском Союзе все учились на трудах
С.. А. Чаплыгина; ему обязана советская теоретическая
аэродинамика своим высоким научным уровнем.
Настоящий сборник содержит основные работы С. А. Чап-
лыгина по теории крыла. Бблыпая часть результатов этих
работ давно прочно вошла в практику как основа теории
крыла. Однако с течением времени в работах С. А. Чап-
лыгина открываются всё новые возможности, связанные с
новыми запросами практики.
Ознакомление широких кругов советских учёных, инже-
неров и учащихся высших учебных заведений с замечатель-
ными работами С. А. Чаплыгина в области теории крыла
будет содействовать дальнейшему прогрессу аэродинамики
в нашей стране.
С. А. Христианович

С. А. ЧАПЛЫГИН
YTTT  Г I ' п
Избранные
работы
по
ТЕОРИИ
КРЫЛА

О ДАВЛЕНИИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПОТОКА
НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
(К ТЕОРИИ АЭРОПЛАНА) ’)
§ 1. Введение. Одним из существенных вопросов в тео-
рии аэроплана является вопрос о давлении воздуха на крыло.
Решить эту задачу во всей её сложности представляется
делом весьма трудным и едва ли посильным современному
анализу. А потому представляется не лишённым интереса
хотя приблизительно выяснить источники возникновения дав-
ления на поддерживающие планы и оценить при этом связь
между углами их наклона к направлению движения и подъём-
ною силою. С указанною целью мы ставим следующую
задачу; невихревой поток несжимаемой жидкости течёт парал-
лельно плоскости с определённою постоянною скоростью
в бесконечной дали. Определить его давление на преграж-
дающий цилиндр или изогнутую пластинку. То обстоятельство,
что мы рассматриваем вместо воздуха несжимаемую жидкость,
не играет существенной роли, так как нам удалось показать,
что при скоростях, далёких от скорости звука в воздухе, его
сжимаемость не имеет значения* 2).
Если бы потенциал скорости представлял однозначную
непрерывную функцию во всей области, занятой жидкостью,
*) Сообщено Московскому математическому обществу в фев-
рале 1910 г. Впервые напечатано в Математическом сборнике,
т. XXVIII, в том же году.
2) См. нашу работу «О газовых струях» в Учёных записках
1си«еления Физико-математических наук Московского университета,
1903 г. (Чаплыгин С. А., Собрание сочинений, т. II. Гостех-
издат, 1948, стр. 19.]
12
С. А. ЧАПЛЫГИН
то по теореме Эйлера полное давление на преграждающее
тело было бы нулём. По этой причине источниками давле-
ния могут быть следующие обстоятельства: во-первых, обра-
зование струй (поверхностей раздела скоростей); во-вторых,
присоединённые вихри и, в-третьих, особенности бесконечно
удалённой точки потока и связанная с нею многозначность
потенциальной функции скоростей.
Вопрос о давлении на преграждающий цилиндр с образо-
ванием струй хорошо выяснен для плоских пластинок даже
и в случае сжимаемой жидкости. Закон давления характери-
зуется для пластинки, с которой срывается несжимаемый
поток, как известно, формулой Релея
л sin к
4 с sin ).
PZ®o •
где р — плотность жидкости, v0 — скорость потока в беско-
нечной дали, I — ширина пластинки, а X — угол её с направ-
лением скорости потока; Р — полная сила давления.
Н. Е. Жуковскому удалось найти удобные формулы для
выражения поддерживающей силы давления и в том случае,
когда поток срывается с несколько изогнутой пластинки,
причём, однако, форма её не может быть наперёд задана ’).
Этого вопроса касался также и доклад автора в Москов-
ском математическом обществе несколько лет тому назад,
причём были даны формулы для распределения скоростей
в срывающемся потоке и указан путь для определения дав-
ления; форма пластинки и в этом решении не могла быть
наперёд задана.
Переходя к вопросу о втором возможном источнике воз-
никновения поддерживающей силы, открытом Н. Е. Жуков-
ским, необходимо отметить замечательный по своему изя-
ществу и простоте закон давления
Р= pCv0,
Ч См. Дневник XII съезда естествоиспытателей и врачей
в 1909 г. [и статью <О подсасывающем действии потока воздуха
на пластинку», Труды Отделения физических наук Общества люби-
телей естествознания, т. IV, вып. 2, 1909 или Собрание сочине-
ний, т. II, Гостехиздат, Москва, 1949].
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
13
где Р, р и v0 имеют те же значения, что и в формуле
Релея, а С есть сумма циркуляций скорости, возникающая
вследствие присоединённых вихрей').
В настоящей работе я преследую цель вычислить давле-
ние, возникающее из третьего источника. Оно обязано своим
возникновением циркуляции скорости вокруг бесконечно уда-
лённой точки.’ В этом случае может совершенно не быть
вихрей в области, занятой жидкостью; отсутствуют и вообра-
жаемые присоединённые вихри внутри преграждающего
цилиндра, который может сводиться к простой изогнутой
пластинке. Тем не менее, давление выражается тою же самою
формулою Н. Е. Жуковского, в которой под С следует
разуметь циркуляцию скорости около бесконечности. Направ-
ление поддерживающей силы, как и в случае присоединённых
вихрей, перпендикулярно к направлению потока в бесконеч-
ной дали. Само собою разумеется, что скорости всюду в по-
токе остаются конечными и изменяются непрерывно. Если
бы при этом потоке существовали стоячие вихревые шнуры,
то их присутствие, как оказывается, лишь косвенно повлияло
бы на давление, вызывая изменение циркуляции около
бесконечно удалённой точки; циркуляции около самих
вихрей никакой результирующей силы не вносят. Формулы,
при этом получающиеся, по моему мнению, дают хорошее
объяснение действия воздуха на крылья аэроплана и согла-
суются с наблюдающимися явлениями.
§ 2. Вывод обшей формулы для определения слагаю-
щих сил давления. Примем за плоскость ОАТ направляющую
плоскость потока. Пусть поток преграждён цилиндром опре-
делённой формы. Мы можем изобразить область, занятую
жидкостью, область комплексного переменного z — x-\-iy,
на круге или на верхней полуплоскости вспомогательною
комплексного переменного и или на какой-либо иной площади,
смотря по удобству, в целях простоты решения задачи. При
этом контуру цилиндра будет соответствовать граница области
!) Жуковский Н. Е., О присоединённых вихрях, Труды
Отделения физических наук Общества любителей естествознания,
т. ХШ, вып. 2, 1906 [см. также Избранные сочинения, т. И, Гостех-
издат, 1948].
14
С. А. ЧАПЛЫГИН
«, а бесконечно удалённой точке области z — определённая
точка области и.
Займёмся прежде всего разрешением вопроса о давлении
потока на цилиндр; при этом для определённости будем пред-
полагать, что z изображено на верхней полуплоскости вспомо-
гательного переменного и. Обозначим через X и Y слагающие
полной силы давления на цилиндр. Давление 'р определяется
формулой
.	»0 V3
Р = Ро + р ~2----р-у.
где р0 и v0—давление и скорость в бесконечно удалённой
точке, v — переменная скорость в потоке. Легко находим:
где ds— элемент контура цилиндра и интеграл взят по этому
контуру. Обозначив через <р потенциал скоростей, через ф —
функцию тока, постоянную на контуре, и через га — комплекс-
ное переменное
и/= -j-/ф,
имеем на контуре:
v ds — dq — dva,
(dx	. dy\	dw
v s------1 -f-	= -,
\ds ds)	dz ’
Y^iX=-^ ^dw.	(1)
Интеграл этот легко выразить через коэффициенты разло-
жения функций z и w около точки полуплоскости и, соот-
ветствующей бесконечно удалённой точке потока: и = и0,
z=oo, га=оо. В самом деле, z может иметь в области
течения лишь единственную особую точку, могущую дать
вычет, — это простой полюс при и — и0; для га та же точка
является полюсом и вместе с тем логарифмической точкой,
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
15
так
dw
du
как	есть конечная величина. Разложения и
\dz Joo	du
поэтому должны иметь вид
dw А
du
dz
du

где F и f суть голоморфные функции и — и0. При этих
dw
обстоятельствах разложение — имеет вид
57 =	— «о) + (« — «о)2 Ф.
откуда
du=[л+в (« - «0)+(« - «о)2/];
функция Ф голоморфна.
Уравнение (1) по формуле Коши перепишется так:
У4-/Л—
При выборе знака необходимо принять во внимание, что при
обходе в плоскости z контура в направлении от оси ОХ
к оси ОУ обход около полюса z (точки «0) в плоскости и
будет совершаться обратно от мнимой оси к действительной;
поэтому следует взять знак плюс. Что касается В, то это
количество — чисто мнимое, и, следовательно, количество
С - — 2т В,
т- е. циркуляция скорости около бесконечно удалённой точки,
есть величина действительная, обладающая тем же знаком,
как и коэффициент мнимой единицы в количестве В. Что
л
касается отношения то оно представляет значение
az ) s = oo, и = п0
16
С. А. ЧАПЛЫГИН
где v0 —- скорость потока в бесконечно удалённой точке, а
—-угол направления этой скорости с осью ОХ. Таким
образом получаем'
Y -|- IX — — pCvoe~ е«,
У=~ pCT0cos%,
X=-^pCv0 sin 0о,
Р= /а'2-(-у2,
Р— р®о Iс I >
(2)
Направление давления получается, если мы повернём скорость
потока в бесконечности на прямой угол в направлении от
оси OY к оси ОХ при С положительном и в противоположном
направлении, когда оно отрицательно.
§ 3. Давление в присутствии стоячих вихрей. Фор-
мула (2), выведенная в предположении отсутствия вихрей
в жидкости, будет справедлива и в том случае, если имеются
стоячие вихри (или установившиеся вихревые течения в отдель-
ных конечных областях с замкнутыми линиями тока). В самом
деле, пусть в потоке имеется вихрь в точке z = z(j, отобра-
жением которой на плоскости и является точка и = а
(г0.и а, конечно, комплексны). Слагающие полной силы давле-
ния определяются и в этом случае по формуле (1), правая
часть которой равна
r,. dw dw
Res 5— 2-
dz du
Здесь Res есть сокращение Resldu, т. e. вычет в смысле,
придаваемом этому термину Коши:
[Res/(«)]«=,= lim (а — а)/(а).
н-> а
Разложение
dwdw f dwY2. dz
dz du \du I ‘ du
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
17
в области и = а будет иметь вид
(TZ^+/1 («—«)] 2: к + z" (« — а) + (« — а)2	=
—^£2(«—а)-)-(«—а)2#! ,
где z’ и г" суть значения -т- и при и = а; f,, М, N—
J	du аиг	J *
голоморфные функции « — а. Таким образом,
dwdw\ _____2В\
dz du )и = «~~ z'
[/1(0)-^7
Легко убедиться, что это выражение равно нулю, если вих-
ревой шнур неподвижен. В самом деле, обозначив средние
скорости на контуре, окружающем бесконечно малое сечение
вихревого шнура, через vx и v имеем
2it
dz
где ). — угол с осью ОХ радиуса-вектора из точки z0 в бес-
конечно близкую точку; так как

dz
то
-	If dw
v —tv —— I —
x У 2ir dz — z0’
[где интеграл взят] по бесконечно малому контуру, окружа-
ющему точку z = z0, и —а. Пользуясь разложением ~
в соседстве этой точки
dw	I Z I	V
А. Чаплыгин
2
18
С. А. ЧАПЛЫГИН
и принимая во внимание равенство
г —г0 = (и —а)г' + (« —а)2-^2 + •
находим
dw f Вг . Л(0)	z" д , ax\du _
Z—z0 |(U — a)2 ‘ U — a « — a 2z' ‘	1	j «'
При соблюдении выведенного выше условия
/1(О)-в1^=о	(3)
имеем
vx — ivy = 0,
что и доказывает неподвижность вихря.
То же заключение можно вывести из простого примене-
ния принципа динамики о движении центра тяжести: в самом
деле, модуль интеграла
взятого по контуру линии тока, охватывающей вихрь, равен
силе давления окружающей жидкости на вихрь, умноженной
на некоторое постоянное; если центр тяжести вихря непо-
движен, то этот интеграл должен обращаться в нуль, а от-
сюда вытекает условие (3).
Таким образом формула (2) вполне решает вопрос о силе,
поддерживающей цилиндр в потоке, и во всяком отдельном
частном случае подлежит отысканию лишь один коэффици-
ент С в зависимости от величин, характеризующих цилиндр
и скорость потока.
Обратимся теперь к разрешению различных частных
задач.
§ 4. Давление на часть боковой поверхности круг-
лого цилиндра. Пусть в потоке имеется пластинка, пред-
ставляющая вырез из боковой поверхности круглого цилиндра.
Примем за ось ОХ линию, делящую пополам центральный
угол, опирающийся на дугу круга, по которой эта пластинка
I
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
19
пересекается с направляющей плоскостью, к ней перпенди-
кулярною. Обозначив через а радиус дуги, через 2а-— цент-
ральный угол, стягиваемый дугою АВС, мы изобразим об-
ласть, занятую жидкостью, на круге радиуса единицы в пло-
скости комплексного перемен-
ного и, положив
h — и
z=a —гт-----— ,	(4)
и (hu — 1) ’	' '
где А = sin 4 . При этом соот-
ветственные точки областей z
и и на фигурах 1 и 2 изобра-
жены одинаковыми буквами;
точка О’, где и = 0, соответ-
ствует z — oo. Нетрудно убе-
диться, в самом деле, что на
окружности круга, представля-
ющего область и,
\z\-a;
кроме того, так как
dz ] U2 _ 2й«	,с.
du u2(hu—I)2	' '
и обращается в нуль при
где соответственно
=*=Фиг. 2.
z — ae ,
то полному обходу вокруг точек С и А в области z соот-
ветствуют полуобходы около тех же точек области и, что и
требуется. Кроме упомянутых точек, особою является ещё
точка и=0, представляющая простой полюс функции z.
Обращаясь к определению возможного непрерывного те-
чения жидкости, вводим комплексное переменное Н. Е. Жу-
ковского;
Я —/6 =^= In tfj = In т0
1	V 1	0 dz ’
2*
20
С. А. ЧАПЛЫГИН
где — скорость потока в бесконечно удалённой точке, а
v и 6 — переменная скорость и её угол с осью ОХ. По-
следняя величина, вполне заданная на контуре, всюду ко-
нечная и непрерывная, тем самым определяется во всей об-
ласти потока. А потому искомое течение возможно лишь при
условии одного определённого направления потока в беско-
нечности. Это условие, как нетрудно показать, возникает
всякий раз, если при отсутствии вихря мы имеем на контуре
обтекаемого препятствия более одной критической точки та-
кого характера, что контур образует вдающийся в поток
угол, меньший полуокружности.
Переходя к определению комплексного переменного
W = <р —|— гф,
обращаем внимание на то обстоятельство, что на граничной
окружности области и величина ф должна быть постоянной;
ету постоянную можно принять равною нулю. Бесконечно
удалённая точка должна быть полюсом и логарифмическою
точкою, а в точках С и А производная должна обра-
dw
щаться в нуль и притом так, чтобы производная имела
конечный модуль. Всем этим требованиям мы удовлетворим,
положив
w = Ai
------и -4- 2А In и
и 1
(6)
где А реально, так что на граничной окружности
при этом
w— 2А (sin X — hl),
и = е".
>
dw At „ o, .
(1+«2~2Лп)
и по формуле (5)
dw	Ai	...
-г- =--r(hu — 1 )2 .
dz	ah '	'
(7)
(8)
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
21
Коэффициент А определяется из условий движения вдали
от пластинки. При г=оо, и = 0 имеем
откуда
А = vQah, 0о — у ’	(9)
Итак, в бесконечно удалённых точках жидкость течёт
в направлении оси OY, т. е. параллельно хорде, стягиваю-
щей дугу, на которую опирается пластинка.
Поддерживающая сила давления по формуле (2) опреде-
ляется при помощи равенств (7) и (9) из формулы
У-|- IX= — 4пар^й2е-<е”;
[имеем]
У= О, Х= 4пор^й2;
а так как
2А2 = 2 sin2 у = 1 — cos а,
а (1 — cos а) — s,
[где д — ] стрелка дуги, то
Р=А'=2п5рио»	(10)
В этой формуле любопытно то, что давление зависит
лишь от абсолютной величины прогиба пластинки, и следо-
_____В______
 л" а д с с' с™~
Фиг. 3.
вателыю, при одной и той же стрелке оно будет одно и то же,
каков бы ни был радиус. Все пластинки, сечения которых
изображены на фигуре 3, испытывают одинаковое давление.
Что касается его величины, то она весьма значительна,
если угол, стягиваемый дугою пластинки, достаточно велик,
и может превзойти ту силу, которая вызывается срывающимся
потоком, стремящимся на ту же пластинку параллельно её
22
С. А. ЧАПЛЫГИН
среднему радиусу. В самом деле, по точной формуле Кирх-
гофа мы знаем, что давление на плоскую пластинку при
этих условиях равно
где I—ширина пластинки. Легко убедиться, что для слу-
чая вогнутой пластинки (если угол между хордой и каса-
Фиг. 4.
тельной к дуге не превышает
я \
нигде 2 I это давление, равное
ч
Р'=ур©о/—v2dy,
2’
не может превзойти никоим
образом предела
Р2 = 0,5р/^
где I — стягиваемая пластинкою хорда (фиг. 4). Давление,
вытекающее из формулы (10), может быть изображено
в виде
9 Q
P=nptootgy	(И)
и при центральном угле
2ai>4arctg4-p-
превзойдёт Рх, а при
2a2 = 4arctgl
окажется равным Р2 и более Р'. Первый из этих пределов
приблизительно равен 32°, последний 36°*).
*) Во время печатания этой работы Н. Е. Жуковский обратил
внимание автора на заметку Кутта (Kutta W. М., Auftrlebskrafte
in stromenden Fliissigkeiten, Illustrierte Aeronautische Mitteilungen,
1902, вып. 3), в которой сообщается решение той же задачи; фор-
мулы Кутта для функции тока имеют иной (более сложный) внеш-
ний вид, но полученное им выражение для силы давления вполне
совпадает с формулой (11).
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
23
Обращаясь к определению подъёмной силы, приходя-
щейся на один квадратный метр поверхности пластинки в воз-
духе, легко находим эту силу. При скорости 14 м/сек
(50 км/час) она равна приблизительно
я2-1,292* 196
----те---- —5,3 кг
48^
при таком изгибе пластинки, что	её центральный		угол ра-
вен 15°; при угле в 30° си-		—	
ла эта приблизительно вдвое	2я°	. k	Р
больше.			
Для наглядности приводим			
небольшую табличку сил дав-	15	1:30,5	5,3
_ —	30	1:15,2	10,6
ления Р на квадратный метр	32	1:14,2	11,4
(в килограммах) при скорости	36	1:12,6	12,8
14 м/сек с соответствующим			
значением центрального угла 2а	и отношения стрелки к		
хорде А=— .			
Обратимся к определению скоростей на пластинке. По
формулам (8) и (9)
£ = |(1— he^y |=1 -j-Л2 — 2Л cos к.
Наибольшая скорость равна (1 -j-Л)2, наименьшая т»0(1 — Л)2;
скорость в точках входа и схода с пластинки получится,
положив cosk = A, где Л = з1п-^, и равна т>0(1—Л2).
Легко видеть, что скорость эта изменяется в довольно уз-
ких пределах при небольшом Л.
В заключение этого параграфа укажем формулы, кото-
рые разрешают ту же задачу путём изображения области z
и соответственной области ею на верхней полуплоскости комп-
лексного переменного и или на бесконечной полосе, ограни-
ченной двумя параллельными прямыми. Эти формулы пона-
добятся нам для сравнения при разрешении последующих
задач. Нетрудно убедиться, что, положив
z — 4ain ;.--------L-----—-,
(u-j-n — i)(u —
24
С. А. ЧАПЛЫГИН
ИЛИ
ы4-«4-/ и — п — I
Z — а — а —------—.  -----r—j,
и-\-п— I и — n-f-i
dz_____„ . _________ и
du	а1П(и + п — i)z(u— zz—(—z)2 ’
(12)
(13)
мы изобразим область z, занятую потоком, на верхней полу-
плоскости, так что бесконечно удалённая точка действитель-
ной оси области и соответствует
одному из концов дуги, принятому
за начало координат в области г;
ось OY будет касательною к дуге в
этой точке. Соответственные точ-
ки областей помечены одинаковыми
буквами на прилагаемых фиг. 5 и 6.
u-n*i
z*a
ц
£
7.
и=-п^1
Фиг. 5.	фиг. 6.
Количество п имеет простое геометрическое значение,
а именно
. dw
Функция • изобразится в новом переменном формулою
dw_________________д,	и
du (u-f-n — Z)2 (н-|-л-{-т)2 ’
причём К определяется из условия
f——у с~^— Ki (u — n-j-iy	=	„л3.
0 8па Vu-4-л-Ь I) и — — п + 1	8па^ ~Г
отсюда
«-'•—to'-.
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
25
поток в бесконечной дали направлен параллельно хорде ДО,
как и следовало ожидать. Затем определяем w\
КГ 1 — п ' i+* ।	—‘1
7М -	- I 1' ——-	- 	:	। , г" iLl 111	•	  I 
4 ^12—|—Я— I	и—1~
Циркуляция скорости ОКОЛО точки и= -----------2=^ао
есть
С — 4п avo = 4mwo sin2 У ~ toaV'/i2,
и мы снова приходим к формуле (10) для определения силы
давления.
Если, наконец, за область и мы примем бесконечную
полосу Между двумя параллельными прямыми, отстоящими
друг от друга на расстоянии 2п, то для изображения об-
ласти z мы должны воспользоваться неймановским изотер-
мическим преобразованием и положить
z = c tg^-;	(14)
[отсюда получится]
dz_________________________ с
du „	, u + Q"
2 cos3 ——
(15)
При этом действительная часть переменного а = Е4_,Ч
изменяется от 0 до 2п, мнимая— от—оо до-|-оо (фиг. 7
и 8); £ равно нулю на выпуклой и равно 2тг на вогнутой
26
С. А. ЧАПЛЫГИН
стороне дуги; г] равно — оо в точке А и -|~ оо в точке С;
z равно бесконечности при и — тг — а (точка F) и равно
нулю при и = 2п— а (точка О); центр дуги соответствует
п = п-(-а (точка Е). Для и w легко получаем выражения
гг)с2 —
dw _ _ /су0	2
du	2 ( U .а \2»
I cos - — sin I
(16)
отсюда по формулам (14) и (15)
dw
-Г- —   IVn
dz	°
а
cosJ cos
u
(C0S2--
u4~a\2
2 J
я I ’
Sln
и при
z—oo, u — n — a	(17)
no.ij чаем
dw .	„
57 = -^о=^,е”.	(18)
Циркуляция около точки z = оо, и — и — а определяется
формулой (16) и равна
С = icv0 tg | (— 2та) = 2тгс1г0 tg ’,
а величина слагающих силы давления найдётся из равенства
К4" iX= — Cpvoe~tBo= 2тарт/2 с tg* = 2mpv fis
в полном согласии с формулой (10).
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
27
§ Б. Давление на сложное крыло. Разрешив основную
задачу о потоке, непрерывно обтекающем часть боковой
поверхности круглого цилиндра, обратимся к исследованию
других форм преграждающих цилиндров, позволяющих осво-
бодиться от стеснения в выборе направления потока в бес-
конечной дали. Это стеснение, как я уже имел случай ука-
зать, отпадает, если на преграде число критических точек
с выдающимися углами менее
двух.
Весьма простой и изящный
по результатам пример этого
рода представляет модель слож-
ного крыла, состоящая из та-
кой же пластинки, изогнутой в
форме части боковой поверх-
ности круглого цилиндра, как
и в разобранном случае, с до-
бавлением насадка в форме
ортогонального к ней цель-
ного цилиндра на одном из кон-
цов. Очертание перпендикуляр-
ного сечения такого крыла и об-
текающих струй представлено на
фигуре 9. Радиус насадка, ко-
нечно, надо предполагать неболь-
шим, так как он должен изобра-
жать естественную притуплён-
ность передней стороны крыла,
реально никогда не имеющей математически острой формы.
Присутствие такого насадка даёт возможность ввести лиш-
нее постоянное в функцию w, зависящее от положения
критической точки М раздела линии тока на передней сто-
роне сложного крыла.
Область z, занятую текущею жидкостью, мы изображаем
путём неймановского преобразования на части бесконечной
полосы в плоскости комплексного переменного и (фиг. 10)>
положив
z — ctg
U-f-a
28
С. А. ЧАПЛЫГИН
Фиг. 10.
сначала
как в формуле (14). На границе СВК действительная часть
переменного « = £-]- Zij есть нуль; на линии KML j) = — b,
где b — некоторая поло-
жительная, очень большая
величина; naLDC ё—2п;
в точке С ц = -|- оо.
Случай, разобранный вы-
ше, получится при Ь= оо.
Зависимость ши = tp Z<|>
от и получится всего
проще, если мы изобразим
вспомогательного перемен-
ного s, а затем эту полуплоскость на области, занятой пере-
менным и. Для изображения полуплоскости 5 на области и
достаточно положить
•w на полуплоскости
иД-1Ь
cos^r-
с14
так что точке г=оо, к = тг— а соответствует
. а — ib
Sin —2—	а	а 6
s=s0 = m-j-ni—------------— = — sin—J—« costh— ,
Ch2-
откуда
. a
m = —sin j ,
a b
n = cos th .
(20)
Засим, имея в виду свойство особой точки s0 и соблю-
дая требование реальности w на действительной оси пло-
dw ,
скости s, мы определяем w и — формулами
™ Л (s— m)4-B I s — т—nt
W = ---------г/г » + Ki In----------;—j,	(21)
(s — /п)2-|-л2 1 s — m-\-nt	' '
dw A — IKn	2(s — m) [Л (^ — /тг) —f- В]
ds (s —	[(s—/n)2-|-zz2j2	’	' '
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
29
Так как	ds 1 S П 2	dz 	с du-2 chJ_ ’ du	2cos2i^’
то	ds	1	9 u~1—ct . u-\-lb ~ —	bcos T sin 9 >	/OQ4
причём	9b	r, u—[— a . u-\-lb _1 dJ. = _	2~	2 8Ш 2 s^dz	c	,,u-\-lb cos3 —-—
конечно при s=co, ц = оо, а стало быть, производная
обращается в этом случае в бесконечность порядка $8; отсюда
условием конечности в этом месте скорости является требо-
1	dw
вание, чтобы коэффициент при -2 в разложении —, опре-
деляемом формулою (22), был равен нулю. Таким образом
мы имеем	А — 2Кп — 2Л-—0, (24)
и затем	dw_n An2 — B(s — m) ds ' [(s — m)2-[~я2]2'	' '
Обратимся к отысканию величины скорости и направле-
ния потока в бесконечной дали; для этого, обозначив через
N количество
(26)
a z
отыскиваем из равенств (23) и (25) [производную — и
находим её предел при z—>оо; при помощи формул
30
С. А. ЧАПЛЫГИН
(17), (18), (19) мы получим:]
2 ( „ , . a — ib\	° 2
—{ «+«п-5-J Л'.™-. Li^?+sJ
Легко находим, подставляя т и я:
. b .	u-\-ib it—а 4- ib
— ch— (s — m — ni)~ cos —--------------cos------— =
~ . и — т:4-а . u-kft — a 4-2#
= — 2 sin-------г—’— sin —!------г—1-----
4	4
, b , i	u-L-ib it — a — ib
— СП — (s /Л —|— tit) = COS —T---------COS------2------=
„ . u4-tt — я . и — Tt-l-a-l-2ib
= — 2 sin !—,---------Sin ------4-------
а отсюда
ch2-|-[(s—m)2 -]-«2]=^
и . a \ ( u4-2ib . a \
cos_.__sln_J ^cos_T2__sln_j ,
М+Я	, 1.9 Ь
cos ' -	ich2 —
lim i—4—«-=------------4—
n^_a(s — m)24-№ a	a — tb
£ COS-x- COS'—— sn
таким образом, подлежащий определению предел получает
вид
= lim —=
Beth2А /7+sin—0--
„	, a a — ib
2C COS2 ~ COS ----
(27)
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
31
Отсюда имеем:
В = — 2®0 cos2 у th2 у X
V 2 “	2 .
1ЛА'2 4 2N sin ch |'+sin24+ sh2^
у	Z Z	Z	Z,
0o=6i + h, tg}* = tg yth y;
cos-— sh -^-
tgG1= Л, Л °
7V+ sin — ch —
. b . a ,	b
sh — A'sin — 4- ch —
tg%=—; ; b -
cos yjv ch —--(-sin—
(28)
Из формулы для tg 60 ясно, что при изменении коэффициента
N от оо до — оо угол 60 может приобретать всевоз-
можные значения в пределах от р до тг-|-р.
Обратимся к исследованию положения критической точки
М и распределения скоростей на крыле. Что касается точки
М, то её место определяется корнем уравнения (25), которое
даёт для определения соответственного и соотношение
2V4-cos^^- = 0;	(29)
количество N определяется величиною угла падения. Пока
точка М лежит на насадке, ибо уравнение (29) при этом
условии имеет корень
и = G — ib, cos у = — N;
при крайних значениях + 1 для коэффициента N интересую-
щая нас точка оказывается совпадающей соответственно
с точками L или К.
82
С. А. ЧАПЛЫГИН
Если N выходит из указанных пределов, то критическая
точка раздела М находится на вогнутой стороне крыла при
7V^>0 и на выпуклой в противоположном случае.
Скорость потока на выпуклой поверхности пластины кры-
ла получится, если мы составим модуль производной
dw
у- при
dz г
s=—---------------------------
где 1] изменяется от b до оо , а для вогнутой стороны мы
должны положить
Таким образом, мы получаем в эти-х двух случаях при по-
мощи формул (23), (25) и (26)
2/В2 . , ь_
v = л — err?
с z
(сЬ1тя»1) (“ФТ!,|?Г
где верхний знак соответствует выпуклой и нижний — во-
гнутой стороне крыла. В точке схода ij = oo и
•V=^Vj
с 2
==4cos2^sh2 - е ь-
COS2 Ty+stl2-|
1/№H^sin-?ch-f+sin?4+sh2-|
'	£	& л £
при ft = oo насадок исчезает, и мы получим формулу, най-
денную выше:
t>1 = ®0coszr= т>0(1 — А2).
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
33
Скорость v на пластинке, как нетрудно видеть, не будет
значительно превышать и % Что касается до скорости
на насадке, то она получится по замене в модуле производ-
.	cos
dw	2
ной — величины s через--------и определяется формулой
= 2?Д*с11^ (cos2 + sh2 (^+соз sin|
С	2fcos2-^—2 cos	sin-? ch sin2 -?-i-sh2
\	2. £	2	£	2	2 j
Эта скорость в некоторых точках окружности насадка дости-
гает очень значительной величины, если направление потока
в бесконечной дали заметно отступает от направления хорды
крыла и если при этом насадок невелик (Ь весьма велико).
При воздушном потоке, или, всё равно, при движении крыла
в воздухе, эта скорость при некотором определённом угле 60
достигает скорости звука, после чего возможность установив-
шегося движения отпадает, как мною было показано в сочи-
нении «О газовых струях»J). Такое обстоятельство может воз-
никнуть, если количество N будет величиною порядка ch .
Найденная величина скорости достигает своего максимума
при значениях $, близких к тт; вычислим поэтому и при
значении Е = п и примем её приближённо за т’тах- При по-
мощи формул (28) в результате весьма несложных преобра-
зований мы можем придать этому количеству следующий
простой вид:
'nmax=®E=K==4®0 COS—COS 60
7Vsh2± fsh24+ COS2 4)
Z \ Z	Z J
(W ch^- + sin “ V sh2 A -|-sin2 )
\	/ \ z	Z J
Ч Работа «О газовых струях» относится к 1902 г. Поздней-
шие исследования показали, что установившееся движение воз-
можно при скоростях, превышающих скорость звука; при та-
ких скоростях пренебрегать сжимаемостью воздуха уже нельзя.
(Прим, ред.)
3 С. А. Чаплыгин
84
О. А. ЧАПЛЫГИН
• Я
откуда, пренебрегая величиною sin — по сравнению с коли-
чествами порядка cfe2~ , находим приближённо
®шах= 4 CosI Ch 7^0 C0S % = 4 cosf-ch	sin₽»
если через fj обозначим угол направления потока в далёких
точках с хордою пластинки.
Представим себе крыло с незначительным утолщением на
переднем крае, моделирующееся пластинкой, вырезанной из
боковой поверхности круглого цилиндра и стягивающей цент-
ральный угол в 30°, с насадком в один сантиметр в диа-
метре, причём длина стягивающей хорды равна двум метрам.
Легко убедиться, что геометрическое значение b определяет-
ся соотношением
sh Ъ = —,
t
где полухорда с и радиус насадка 8 в данном случае вы-
ражаются в сантиметрах числами 100 и 0,5. Таким образом
sh£ = 200,
откуда приближённо находим
ch 4 = 10,025
£t
и затем имеем
®max = 4O-65®osM-
Посмотрим, при каких обстоятельствах т,тах может рав-
няться скорости звука, соответствующей состоянию газа
в том месте, где эта скорость наблюдается. Примем ади-
абатный закон связи плотности и давления. Обозначив ско-
рость звука через V, получим
7 Р. 1 У2—, 7 Ро_
7— 1 р “Г 2	7— 1 ро 2 ’
откуда, имея в виду равенство
Р
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
35
имеем
2т Ро

вторым членом сравнительно с первым можно пренебречь по
его малости, и при обычном состоянии атмосферы мы по-
лучим
V=302 м/сек.
Положив == V, из приведённой выше формулы найдём
приближённо
v0 sin р==7,4 м/сек.
При < 7,4 обтекание исследуемого типа возможно при
всяком угле наклона, определяемого формулами (28) до са-
мой его предельной величины 60 = р, = у — р. Но если
п0 значительно превосходит величину 7,4 м/сек, то уже при
гораздо меньших наклонах крыла возможность интересую-
щего нас движения прекращается '). Так, при обычной ско-
рости движения аэроплана, т<0 = 14 м/сек, предельный угол р
имеет величину около 32°. При более остром переднем крае
предельный угол окажется меньше. Так, если при той же
хорде пластинки е = 0,25 см, то
sh£ = 400, ch= 14,15,
и предельный угол несколько меньше 23°. Если наклон
крыла окажется более предельного, то должно наступить но-
вое явление — течение с разрывом сплошности.
Обратимся к составлению формулы для слагающих под-
держивающей силы. По уравнениям (22) и (24) определяем
циркуляцию С в направлении движения часовой стрелки около
точки s == s>0 = т -4- nl. Имеем
, Ъ
N — mc.h--
—^~в-
лЗсНХ
4
zn
8*
х) См. сноску на стр. 33. {Прим. ред.)
36
С. А. ЧАПЛЫГИН
или после подстановки выражений (20) для т и п
. а b
A^+sin-ch-
С= — п--------ch2 4 В
cosS^shS-T-
Z £•
Основная формула
Y 4- iX= — рСг>ое-'е°
по замене С и В их значениями даёт
TV + sin^chA
У~Н*= -2nq>^-------------------X
cos sh —
Л/ cos2 4+ sh24 е~№а
______________ г____________"	~	____
]/ A* + 2Wsin4ch4 + sin24+sh2 I
г_______________________Z Z_Z_Z
Так как
cos2 —(- sh3 4 — cos2 4 ch2 4 + sin2 4 sh2 4 »
Z	Z	Z Z ‘ Z Z
№4-2№in -J ch4 + sin24 + sh2|=z
= (w-|-sin 4ch4y + cos24sh24 ,
\	X z у	Z Z
то при помощи формул (28) это соотношение легко приво-
дим к следующему весьма простому виду:
Г+ — 2тор^ tg 4 •	,
или, введя в формулу угол р, образуемый направлением по-
тока в бесконечности с хордою ОУ, к виду
У-|- IX = — 2прга'2 tg4 • -n(?-+|t)с-'6»,
1	г и & 2 sin р.	’
ибо
61=0о —р = 4 —₽ —F-
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА g*
Полная подъёмная сила
/э=/Л2-|-У2>
попрежнему перпендикулярная к потоку, определится
мулой	ЧЮР"
2 Sin р.	(Об)
и совпадает при 0 = 0 с тою величиною, которая соответ-
ствует отсутствию насадка, так как ctg-1 есть стрелка пла-
стины.
Таким образом, при условии параллельности хорды
правлению потока в далёких точках, или, что всё рав
направлению движения крыла в спокойном воздухе (ко"°’
возможно установившееся непрерывное обтекание пластины
без насадка), поддерживающая сила давления нисколько не
зависит от величины насадка на переднем-краю.
 Второе важное замечание, которое мы можем сделать
по поводу полученной формулы, состоит в следующем- подъ-
ёмная сила быстро падает при наклоне крыла вперёд По
направлению движения и при некотором угле р = - „ ока
зывается равной нулю, а затем превращается в прямо про"
тивоположную давящую сверху силу. Этот критический угол
зависит от конструкции крыла и ни от чего более. Легко
дать геометрическое построение угла jx. В самом деле мы
уже заметили значение количества Ь:
sh b = — ;
6
но
s —Oftg Y = ctgy,
и следовательно,
sh^=ctgv; ch6= —•
*	sin y
b_ __ sh b ___ cos у .
2 ch b 1	1 sin y ’
88
а. А. ЧАПЛЫГИН
а так как 00' — -^—, то
cos f
th----------!---= r  =
2	1	.. ОО'4-s Of
-----Г tg Y
cosy 6
а по формулам (28) имеем
, a_
,	* tt n.	00
tgP- — tey	2 — ~OH~~OH'
Отметим на хорде OY точку H', симметричную с Н по
отношению к О (фиг. 11); соединив Н' с G, мы получаем
р.= ^ОН'О,
а для давления Р находим формулу
Р=2прг>оОН' sin а,
где о — угол направления потока, отмеченного стрелкою на
фигуре 11, с направлением GH'.
Полученные результаты применимы до тех пор, пока
возможно установившееся течение рассмотренного типа, для
чего угол 0о не должен превышать предельного угла, при-
мер вычисления которого дан выше. При центральном угле
2а = 30° мы получим, таким образом, постепенно возра-
стающую ио закону синуса поддерживающую силу, пока
угол р заключён между — 7°30' и —23°, если утолщение
переднего края не превышает полухорды (т»0 = 14з//се/г).
Относительно последней величины следует, однако, заметить,
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА 89
что при близости к ней угла 0 наступают особые обстоя-
тельства, а именно, характер потока воздуха около насадка
будет значительно разниться от течения несжимаемой жидко-
сти; это, впрочем, едва ли значительно повлияет на давле-
ние ввиду малости периметра насадка и характера распре-
деления на нём скоростей. При ^>23°, вероятно, позади
крыла около насадка образуется замкнутая область спокой-
ной жидкости, несущаяся вместе с крылом и в случае вяз-
кой жидкости заменяющаяся сопутствующим вихрем; при
углах, близких к прямому, должно ожидать разрывного те-
чения обычного типа (типа Релея); поддерживающая сила
при этом должна значительно упасть по сравнению с тою
величиною, которой она достигает при предельном угле.
Так, при разрывном потоке с образованием сбегающих струй
в случае 0 = -5- она выражается формулой
Рх = 2kpz>oc,
где k лежит между 0,44 и 0,5, в то время как при р = 23°
мы имеем
п о 2 . 7ООА' sin30°30'
P=2Trpi’0c*tg 7°30 аНтоздГ,
и отношение Р:Рг близко к трём.
Кривая изменения давления с возрастанием угла должна
поэтому иметь приблизительно такой вид, как на фигуре 12.
§ 6. Крыло с одною критическою точкою возврата.
Рассмотрев подробно сложное крыло определённой формы,
на котором мы остановились с особым вниманием ввиду про-
40
С. А. ЧАПЛЫГИН
стоты и ясности получаемых результатов, укажем, далее,
некоторые формы крыльев, напоминающие крылья птиц,
с непрерывными и мягкими обводами и лишь с одною точ-
кою заострения.
Простейшая форма этого рода получится, если мы, изо-
бражая область z потока на верхней полуплоскости ком-
плексного переменного и, примем для функции z и её про-
изводной значения, близкие к выражениям (12) и (13) § 4.
Именно, положим
.	U—It
du	а1П (u-\-n — i)2[u —	4~2s)]2’
z 4ain (u _|_n —;)	_ n _[_ i (i _j_ 2£j] >
(31)
где e — весьма малое количество. Соответственное течение
характеризуется функциями
dw___и — Ь
dU ™ (u-f-П —Z)2 («+«-}-Z)2’
n-j-fe—I	n -|- ь+1 ,

Количество N определяется из условий течения в бес-
конечной дали:
= ~ (‘ — я ~	+ е) ~ 4
или
ц0е(2	) = 8ап[1+(и + ^)^][1+s4”nI];
отсюда
8аЯ«о	_
J<[l+(n + fc)2][(14_e)2 + „2]’ 2
М=«+*-
®0-—	I
} (33)
Посмотрим, какой вид имеет крыло, обтекаемое указан-
ным потоком. Для разрешения этого вопроса разделим дей-
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
41
ствительную и мнимую части во второй из формул (31),
считая и вещественным; будем иметь
х + ty = tain m2_^j _„2_|_2e+2Z(«u+n4-«8) ’
откуда на контуре крыла получаем:
х — 8ап___________не+ «(14-е)_________
л — («г 14-2е — и2)2 + 4 [не 4-n (1 + е)]2 ’
,	и24-14-2е — л2
у — *а«(ц2_|_1ц_2е_я2)2_|_41ие_|_п(1_|_бИ2 >
X2 -|-У = 16а2Л2 (М2	2е — л2)2 4- 4 [не 4- n (14- s)F ’
4ая^4^5=^=2ие4-2л(1 4-е);
4ая^у2 = г, = и2 4- 1 4- 2е — л2.
Таким образом, очертание сечения исследуемого крыла пред-
ставляет результат инверсии параболы, уравнение коей есть
4е2 [ч — 1 — 2е	л2] = [£ — 2л (1 4- е)]2.
Фигуры 13 и 14 поясняют дело. На них соответственные то-
чки параболы и контура крыла отмечены одинаковыми бук-
вами; О соответствует бесконечно удалённой точке параболы.
При 8 = 0 парабола обращается в часть прямой, параллель-
42
С. А. ЧАПЛЫГИН
ной её оси Foo, а сечение крыла превращается в дугу ок-
ружности, центральный угол которой 2а характеризуется
соотношением
n = tgT.
Мы возвращаемся, таким образом, к результатам, найден-
ным в § 4, Точка О крыла представляет точку возврата
первого рода, и малая часть контура ОКА соответствует
бесконечной дуге параболы А'К' оо. Исследуемый контур
лежит внутри угла КОС касательных к параболе из начала
координат. Обозначив этот угол через 2у, легко находим
при этом
tg Z_ ко Y =	е2—--------, 1
/(я2 + б2)(1+2г) + л(1+е) I
tg / СО	И»2 + Е2) (1 + 2s) + л (1 4- е) >
1 + 2е —л2 ’ I
^KOY\-/_COY^. J
Первый из этих углов чрезвычайно мал при малом е.
Контур имеет две точки перегиба, одна нз которых лежит
вблизи начала координат, а другая невдалеке от точки, со-
ответствующей вершине параболы. Соответственные этим
точкам значения вспомогательного переменного, как нетрудно
показать, определяются из уравнения четвёртой степени в
переменном и,
Зел4 -(- 8л (1	е) и3— бе (1 -}-2е — л2) и2 —
*—s (1 -|-2е — л2)2 — 4ел2(1 -J-eJ2 — 4es(1 -|-2б —л2) = 0,
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
43
с двумя действительными корнями; один из них (отрицатель-
ный) весьма велик по абсолютной величине при малом е,
другой близок к нулю и положителен. Если я=—, е = 0,01
О
то последний корень равен приблизительно 0,236, а толщина
крыла в соответственном месте имеет величину 0,004о. Крыло,
таким образом, представляется почти идеально тонким.
Слагающие силы давления на крыло получаем на осно-
вании общего правила при помощи соотношений (32), (33)
по формуле
У + 1Х= —	(« + Ь) Vope-’Ч
или в иной форме
КiX— — 4торф^ sin р sin fle~ =
— — 4парг>2 sin р sin fyie' (₽+н);
Р= X2 У2 = 4тгар,!7о sin р sin 0.
Из равенств (33) нетрудно усмотреть, что
угол, образуемый направлением потока вдали от крыла
с отрицательною осью
ординат. Что касается
р, то из сравнения
определяющей его фор-
мулы
(35)
Р —р есть
X	п
с формулами (34) мы
усматриваем приблизи-
тельное совпадение его
величины с у. Таким об-
разом, проведя равно-
делящую угла касательных из начала координат (в этом угле
расположено крыло), мы получаем приближённо то направ-
ление, с которым поток образует угол р, фигурирующий в
формуле (35) для силы давления (фиг. 15). Характер этой
формулы остаётся, следовательно, тот же, что и в ранее
рассмотренном случае сложного крыла (§ 5).
44
С. А. ЧАПЛЫГИН
Обращаясь к обследованию скоростей на контуре крыла,
имеем по формулам (31) и (32)
„=„ V(«-fe)2. (п-л)2+(1 + 2е)2 .
0]A2-|-u2	(м4-Л)24-1	’
скорость, как легко усмотреть, растёт при малом е с при-
ближением и к нулю и будет иметь наибольший максимум
вблизи нуля. Положив w = 0, найдём при малом е при-
ближённо
Если е = 0,01, как выше, v0=14 м/сек, то, как в § 5,
заменив vmax через 302 м/сек, найдём для b предельное
значение /> = 0,2. Затем имеем
tg р — п —j— b — 0,336
при /z=-g-, откуда получаем предельный угол р около 19°;
угол р— р касательной к иижней поверхности крыла из
начала координат с направлением потока в бесконечности,
или, что всё равно, с направлением движения крыла, при
этом будет иметь величину около 12°. Поддерживающая
сила обращается в нуль при р = 0. Таким образом все
явления, отмеченные в случае сложного крыла в § 5, имеют
место и в рассматриваемом случае. Здесь, так же как и
там, пределы возможных направлений движения расширяются
с утолщением крыла, т. е. с увеличением е, и с уменьше-
нием скорости т>0. Точно такой же характер имеет и кривая
зависимости давления от угла.
§ 7, Крылья других очертаний. Формулы предшест-
вующего параграфа можно расширить, охватив довольно
широкий класс разнообразных очертаний крыла. Для этого
достаточно, сохранив для формулу (32), т. е.
и — Ь
dw__и — Ь
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
45
принять
dz__ _Rni„___________(u+is)f(u)__________
du — aam (u n _ .]2 [n _ n,	. (] _|_ 2 _,)]2
о  F(u)
= — Sain -—-—=-=,
(«4-Л —Z)2’
где /(u) есть функция, всюду в верхней полуплоскости
переменного и конечная и непрерывная. Мы можем, напри-
мер, положить
/(«) = П	, /ге= 1, 2, 3, ... , р, (36)
(«+Am + W) т
ТЧт = ^Гт,
и выбрать произвольно вещественные количества g, h, k,
I, q, г с тем лишь, чтобы h и I были положительны. При
этом, так как точка u=i — п должна быть простым полю-
сом функции z, то должно иметь место соотношение
Г(/ — п) == О,
единственным образом определяющее коэффициенты л' и е'
через л, е, g, h, k, I, q, r.
Значение N определяется из условия
{ dw \	Nl n-]-b — i
~\dz )*=*> San 4F (i — n) •
— — 0o = arctg (л	b) — arg i F (i — n) = p -J- p.,
где попрежнему
P = arctg (л 4- b).
Для определения поддерживающей силы имеем затем
уравнение
Y-]-iX=—p^_zo0== —4napt^asin ^е_'\(37)
причём
q = 4 л | F (i — n)
46
С. А. ЧАПЛЫГИН
Весь характер явления и на этот раз нисколько не
меняется
Во всякой частной задаче, когда очертания крыла из-
вестны, остаётся лишь подобрать коэффициенты формулы (36)
так, чтобы контур подходил к желаемому типу. До-
вольно любопытный
Л ______________________ случай представляет,
/	например, крыло с зуб-
/	чатою вогнутою по-
верхностью, как по-
казано на фигуре 16.
/лАу//'''	Такой тип получается,
//l//'	если мы примем коли-
чества g и k отрица-
/////	’тельными, возрастаю-
щими с возрастанием
Фиг. 16.	указателя, причём чис-
ленная величина km
заключается между—gm
и —gm-i'> за h и I должно принять некоторые весьма
малые (положительные, как пояснено выше) числа; все по-
казатели q и г также следует сделать положительными;
1 , ,
при qm=rm = -^ зубцы будут приблизительно походить
на прямоугольные с закруглением в углах выступы и впа-
дины. Количества п' и е' можно принять равными п и е,
если остальные коэффициенты таковы, что
F' (i — n) = 0,
т. е. если
у	1 ______=у	1.
Количество S получает вид
G =--------------1/ТТ П + hm)2 + (” — gmP
^(1 + е)2 + п2 У l-L(i+lmp+{n_kiny •
На основании сказанного выше легко видеть, что нахо-
дящиеся в нашем распоряжении количества можно подобрать
так, чтобы радикал четвёртой степени значительно превос-
ходил единицу.
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
47
Таким образом, по сравнении формулы (37) при ука-
занном значении <5 с формулами (35) § 6, мы убеждаемся,
что присутствие зубцов надлежащей формы на нижней
поверхности крыла должно увеличить подъёмную силу
крыла.
§ 8. Обтекание пластинки, опирающейся на дугу
круга, в присутствии вихревого шнура. В § 4 был рас-
смотрен случай непрерывного обтекания части боковой по-
верхности круглого цилиндра, возможной лишь при опреде-
лённом направлении потока в бесконечной дали, а именно
при условии параллельности его хорде, стягивающей дугу,
на которую пластинка опирается. Здесь мы покажем, что,
кроме такого движения, возможно иное, также с непрерыв-
ным распределением скоростей, в присутствии неподвижного
вихревого шнура определённого напряжения и определённо
расположенного по отношению к пластинке: то и другое
будет меняться в зависимости от скорости потока и его
направления. Хотя присутствие вихря, как было показано
в § 3, и не вносит непосредственно добавочного давления
на обтекаемую пластинку, но влияние шнура сказывается
косвенно, так как ои меняет циркуляцию по главному кон-
туру, окружающему пластинку.
При этом исследовании будем пользоваться тем же
вспомогательным комплексным переменным, как и в § 4,
изображая область, занятую жидкостью внутри круга ра-
диуса, равного единице, и положим, согласно формулам (4)
и (5),
Л — и
Z au{hu~ 1)’
(38)
dz , 1 ua — 2hu
du u^liu—Vp ’
(39)
где A = sin-^- и a — половина центрального угла, опираю-
щегося на поперечную дугу пластинки. Что касается w,
то вместо формулы (6) примем для этого переменного вы-
ражение
«/=vQahi	и -J- 2A In и В In
48
С. А. ЧАПЛЫГИН
при р = 0, A = h, В —0 совпадающее с выражением (6).
Значение
u = «0 = pe-,z
соответствует центру вихревого шнура (0 <^р	1). Коли-
чество р имеет очень простое геометрическое значение.
В самом деле,
dw	,.
—<ийаМ
2А
р(и2еМ-[-е
н по формуле (39)
(-д-) =voe-e“f= —lvoe$l,
\dz y«=oo, u=o u	u
откуда 60=y — °; следовательно, p есть угол, образуе-
мый направлением потока в далёких точках (или, всё равно,
направлением движения пластинки в неподвижном потоке)
с хордою пластинки.
Коэффициенты Л и В ми должны определить из усло-
,	dw dz л „
вия обращения в нуль производной — при — = 0. Поло-
жив для краткости
я а
Т-Т’
легко находим
В___ ___sin р [1Ц- р2 — 2р cos (1 — 0)1 [1 -f- f2 — 2р cos (X о)]
sinX
р(1-р2)
Ц~£-2 —. h cos 2 .
А
2Р
Вставив эти значения в формулу (40), мы преобразуем её
к виду
dw	,,
— = — vaahl
du и
—2ftu)	₽)Ц-е-(Х-₽)/ _
«3 (О2ем_[_ е-н_ P4j
27V I
~и(
-2-2, (41)
где
2N= (1 + р2) -in-(?~tX) — 2Лр .
4 * “ ' sinX г sinX
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
49
При р = 0 и отличном от нуля или тг, формула (41)
превращается в формулу (7), и мы вновь получаем резуль-
таты, найденные в § 4. Отвлекаясь от этого предположе-
ния,
В §
НИЮ
определим р и I из условия неподвижности вихря.
3 было показано, что условие это сводится к обраще-
в нуль вычета
rfw dw_
du ' dz
или, что то же самое,
= 0,
И — «о
При помощи приведённых выше формул мы приводим это
соотношение к виду
.	2йи(Ла—l)|uMx-₽)/ + e-U-₽)Z_?^u
J d___________________L___________________р J I _ 0
|d«	n(pu —e-W)	/u=Uq
причём «0 = ре-х'. Совершив дифференцирование и выпол-
нив подстановку, находим
h	1 । р । pe~w — h ।
ftp —ех'	pi Г—— p2 "Г р2е-» + еМ’ — 2йр"+
2pe~₽Z —2-y-
H p2e-₽z_|_e{rf_2JV
а по замене N его значением
h - ' 1 -I_______P___L
ftp — eU p । 1 — p2 ~
, pe~M — ft ( Q pgW — ft
+ p2e-u_f_exz —2ftp "* 2 p2exz_|_e-u_2ftp
I 1 —P2 sin (P + *)_______1_______
”1" p sin f> p2eW_|_g-W — 2ftp
(42)
Из этого основного уравнения мы получаем два условия
Для определения р и I. Одно из них находим, приравняв
нулю мнимую часть выражения (42), а второе — сделав то
же самое по умножении равенства (42) на p2exz -ф- е~и — 2hp.
4 С. А. Чаплыгин
50
С. А. ЧАПЛЫГИН
Таким образом, после весьма простых приведений мы при-
ходим к следующим двум уравнениям;
(1—р2)2 h sin (р 4~ X)
р 1 — й2 sin р "
__/1	П2\2	1-4-р2 — 2ftp cos X_____
' г > (14- р2 — 2ftp cos X)2 — 4р2(1 — ft2) sin2 X
- 1 _ 1-й2+й2(1-Р2)2
1 й2р2 — 2йр cos А ’	' '
которые и определяют положение вихря в вависимости от
направления потока.
Что касается поддерживающей силы потока, то её ком-
поненты определяются согласно формуле (2) § 2 из соот-
ношения
Y-^IX= — рС^е-'Ч
где С — циркуляция около точки «=0 в направлении ча-
совой стрелки. В нашем случае
С=2тго0ай«2Л.
Введя вспомогательный угол р, определяемый равенством
<44)
мы легко приводим коэффициент А к виду
Sin |Л
и для полной силы давления потока на пластинку получаем
.	(45)
При р=0, если р отлично от нуля (X отлично от нуля
и п), мы находим, таким образом, прежнее значение Р
(формула (Ю)). Что касается формулы (45), то она вполне
схожа с формулой (30), ибо
,	2aA2 = ctg-|-,
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
51
[a ctg у , очевидно,] равно стрелке дуги. Отличие состоит
в том, что на этот раз добавочный угол р зависит от на-
правления потока.
Зависимости, устанавливаемые формулами (43), (44) и
(45), довольно сложны, а потому и общая картина явления
представляется весьма неясною. Ввиду этого желательно
хотя бы в частном случае прэвести вычисления до конца
и сопоставить результаты в таблицу. Выполним это для
значения й, определяемого из формулы
й	а 1
—tg
й = —X, ~ = 7°7'30", 2а = 28°30',
Уб5 2
что соответствует стрелке
, а 1 _
^tg-g-^-^C,
равной одной шестнадцатой хорды, — значение, близкое
к обычной величине стрелки крыла аэроплана.
Прежде всего для удобства вычислений преобразуем
уравнения (43), введя новое переменное t при помощи соот-
ношения
(46)
и положив для краткости
S за 1  р2	k = ту h —т .
г И— Й2
Уравнения (43) в результате преобразования дают
У1 s ’	1 sin р	l-}-t2
Из равенств (46) и (44) имеем
— cos 1 = ri 1 *	— 2й —I— Йя],
2^1-1-АЗ	1	1 J
2___5
ctg ц =---------г ....	— ctg X.
2ft sin 1 У1 — s
4*
52
С. А. ЧАПЛЫГИН
Из рассмотрения основных уравнений (43) нетрудно усмо-
треть, что cos к должен быть заключён в пределах — 1 и h.
Заменив в равенстве (47) k его частным значением -|-, мы
О
получаем для определения $ по /:
«2 (1 + 2/2—8/) — 8s (8 4-/з — 2/)128 = 0.
Дальнейшие вычисления проведём, давая t различные
числовые значения, возможные по смыслу задачи, и опре-
деляя последовательно переменные s, к, f и |х. Легко
убеждаемся, что условием соблюдения пределов s и cos к
является требование
t >3,06.
При t, близких к этому значению, переменные меняются
довольно быстро, затем изменение идёт гораздо медленнее.
Не видя надобности в особо точных подсчётах, мы, поль-
зуясь логарифмическими таблицами, составили следующую
таблицу, поясняющую ход интересующих нас функций:
t			X	₽	И
1	3,064	0,51709	177°26'	0°36'25"	0°16'5"
2	3,07	0,51451	172°56'	1°37'	0°44'
3	3,1	0,50191	164°01'	2°49'	1°39’
4	3,25	0,44391	146°09'	5°57'	3°27'
5	3,35	0,40952	139°14'	6°13'	4°06'
6	3,5	0,36373	131°39'	5°58'	4°48'
7	4	0,25012	116°34'	5°04'	5°56'
8	4,5	0,16944	106°53'	2°29'	6°33'
9	5	0,13027	102°50'	1°41'	6°42'
10	8	0,03175	90°14'	0° 14'37"	7°04'
11	ОО	0	82°52'30"	0	7°7'30"
Соответственные значения количества sin	при этом,
sin р.	’
постепенно уменьшаясь, изменяются в пределах 3, 2 и 1.
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
53
Таким образом мы усматриваем, что исследуемое движе-
ние возможно лишь при малых положительных углах наклона
крыла к направлению скорости; максимальный наклон несколько
более 6°. При меньших углах возможны всякий раз два раз-
личных расположения вихря и в соответствии с этим два
разных потока с весьма различающимися величинами под-
держивающей силы. Эта сила, с возрастанием угла наклона
при одном из возможных типов движения, не только не уве-
личивается, но даже падает (приблизительно на 20% своей
величины при изменении f от 0° до 6°). На опыте, сколько
мне известно, таких явлений не наблюдалось; по всей вероят-
ности, вследствие неустойчивости сопутствующего вихря,
описанное движение неосуществимо, и полученные в этом
параграфе результаты имеют потому лишь теоретический
интерес.
Характер очертаний линий тока представлен на прилагае-
мой фигуре 17. Вихрь располагается близ выпуклой поверх-
ности пластинки, на которой находятся и обе критические
точки с нулевою скоростью, как показывают весьма простые
вычисления в рассмотренном частном примере.
§ 9. Определение вращающего момента. Вопрос о вели-
чине вращающего момента, действующего на крыло, является
существенным элементом в изложенной теории. Его изу-
чение даёт особенно интересный результат в том случае,
54
С. А. ЧАПЛЫГИН
когда угол потока достигает критического значения, при ко-
тором поддерживающая сила обращается в нуль.
Назовём через х, у координаты центра сил давления
на крыло; компоненты X', Y' силы, действующей на элемент
сечения крыла, могут быть изображены в виде
v2 , dy
= Р 2 dsdi'
v2 , dx
= -*-2dSdF'
(если мы отбросим члены, зависящие от постоянного давле-
ния, как не влияющие на результат). Поэтому центр сил
давления, определяющийся, как легко видеть, из соотношения
(х + iy) (Y + iX) = 2 (х + iy) (V + iX'),
найдётся, если мы совершим интеграцию по контуру сечения
крыла в уравнении
(х-{-гу)(У4-1’Х) = — 4 ? zv	—i ^r\vds.
'	1	'	1	'	2 J \ ds ds j
Так как на указанном контуре
v ds = dw,
dx rfy \	dw
\ds	d s J	dz ’
то мы приходим к окончательной формуле
(х iy) (Y iX)=xY—уХ -i(xX-1- у У) =
du, (48)
где интеграцию по контуру в области z мы должны совер-
шить, обходя его против часовой стрелки (в направлении
от оси ОХ к оси ОУ), а в области и — в соответственном
направлении, в наших, рассмотренных выше случаях по ча-
совой стрелке. Из формулы (48) заключаем, что интересую-
щий нас момент определяется весьма простым соотношением
XI=Re (др/Д"),	(49)
О ДАВЛЕНИИ ПОТОКА НА ПРЕГРАЖДАЮЩИЕ ТЕЛА
55
где [символом Re обозначена действительная часть выражения,
стоящего в скобках, а] К есть коэффициент при
в разложении
, du f dw \2
в области полюса и0.
Применим нашу формулу к задаче, рассмотренной в § 6.
Положив для простоты
и — и0 -|- s == i — «+$,
легко находим по формулам (31) и (32)
f( ,\ — _ N2 (/-«-£>+^[2/(1+е)-2я + я] .
71 1 —	2	sS(2Z + s)4z(l 4-е) — лф-s]
отсюда, разложив функцию по степеням $ и собрав члены
1
при —, получим
^ = 3/-4(« + &)-f {1-[-/(« + £>) }з-
_ J. Р ~Ь Ил Ч- fc)]2 I , [ ь 1 4~ (л Ч- fe) *
2 (14_s+«Z)2	14-е+л/ •
Воспользовавшись формулами (33) и подставив в равенство -
(49) найденное значение 1К, мы будем иметь по упрощении
искомую формулу момента:
,,	.	, 2 . , ( . о о I sin В cos и cos (₽ — р) г
М — 4npa2Vo sin2 pJ sin p cos p -[--—-------------|-
! sill (₽-(1) COS (fl — (1) COS2 p )
"*	(Г+^Й	/•
При значительных величинах угла Р момент положителен,
и, как легко сообразить по расположению крыльев, на на-
стоящем аэроплане он будет уравновешиваться моментом
веса авиатора. Иное явление возникнет при малых р.
По формуле (35) критическое значение р, при котором
полная сила давления Р равна нулю, есть нуль. При этом
момент
М —  -тт—.—5 sinJ и. cossg
(1 4-е)2
56
С. А. ЧАПЛЫГИН
и силы давления ветра не только не стремятся выправить
наклонившееся вперёд крыло, а, наоборот, вращают его
дальше.
При значениях, принятых для п и е в § 6, если мы пред-
положим ширину крыла равной приблизительно 1 м и ско-
рость 14 м/сек, написанная выше формула даёт для момента
величину, близкую к 10 кгм на каждый метр длины крыла.
Это обстоятельство выясняет причину опасных явлений, воз-
никающих при неосторожном наклонении вперёд крыльев
летящего аэроплана. С увеличением ширины крыльев, если
при этом о гношение стрелки и ширины не изменяется, опасный
момент возрастает пропорционально квадрату ширины.
В заключение скажем несколько слов о том, в каком
соотношении изложенная теория стоит, по нашему мнению,
к явлениям, имеющим место при реальных условиях. Первое
существенное усложнение вносит трение воздуха о крылья.
Эта причина служит источником задерживающей силы, на-
правленной противоположно скорости движения, и нашей
теорией совершенно не захватывается. Что касается под-
держивающей силы, перпендикулярной к скорости движения,
то мне представляется, что её величина едва ли может зна-
чительно измениться от влияния трения. Другое важное
обстоятельство, на которое необходимо обратить внима-
ние, — это несколько иной характер потока, устремляющегося
на аэроплан, чем предположено в нашей работе. Так как
крыло имеет конечную длину, то окружающий воздух не
может двигаться плоскопараллельным потоком; его движение
за пределами крыльев будет существенно отличаться от разоб-
ранного нами. Я полагаю, что на оконечность каждого крыла
будет опираться некоторый сопутствующий ему вихрь, обра-
зующийся благодаря разности скоростей на нижней и верхней
поверхностях крыльев. Крыло вместе с этим вихрем и моде-
лируется нашим бесконечным цилиндрическим крылом.
РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ
О ДВИЖЕНИИ АЭРОПЛАНОВ 1)
В настоящее время накопилось очень много опытных
данных, позволяющих строить превосходные летательные
аппараты, на которых совершают большие путешествия.
Поэтому своевременно подумать о том, чтобы попытаться
теоретически обосновать опытные данные. Как и в боль-
шинстве теоретических изысканий, идущих рядом с фактами,
здесь могут быть отмечены направления последующих опы-
тов, от которых возможно ожидать дальнейшего развития
аэропланных форм. Для этого я постарался познакомиться
с некоторыми из явлений, связанных с теорией летания,
и попытался объяснить их.
При летании приходится останавливаться на нескольких
существенных вопросах. Во-первых, приходится объяснить,
как возникают поддерживающие силы, которые действуют на
крылья. Во-вторых, — каков момент, опрокидывающий крыло.
Третий весьма интересный вопрос — вопрос о действии
различного рода рулей. Недавно мне удалось наметить
теоретический путь, выясняющий действие рулей высоты.
Но я этого вопроса касаться не буду, потому что моё
исследование не доведено ещё до конца. Что же касается
действия потока на неподвижное крыло (или, что то же,
действия спокойного воздуха на летящее крыло), то неко-
1) Сообщение, читанное на заседании научно-технического ко-
митета Московского общества воздухоплавания 9 ноября 1910 г.
Записано студентами В. П. Ветчинкиным и М. Адамчиком. Впер-
вые напечатано в Бюллетене Московского общества воздухопла-
вания, 1911, № 3.
58
С. А. ЧАПЛЫГИН
торых результатов мне удалось достигнуть; получились фор-
мулы, весьма напоминающие и даже прямо совпадающие
с эмпирическими. Поэтому вопросу о действии воздуха на
крыло аэроплана (точнее моноплана) и будет посвящено моё
сообщение.
Математические затруднения не позволяют охватить во-
прос во всей его сложности. Приходится, по необходимости,
несколько упростить постановку задачи, отбросив те явле-
ния, которые трудно уловимы современным анализом и ко-
торые, как оказывается, не играют существенной роли.
Другими обстоятельствами можно пренебречь, так как их
второстепенная роль выясняется из теоретических сообра-
жений. Так, например, можно совершенно игнорировать
сжимаемость воздуха при установившемся движении, так как
при скоростях, далёких от скорости звука в воздухе, его
сжимаемость не имеет значенияг). Скорости же аэропланов
во много, в десять и более раз меньше этой последней.
Второе упрощение состоит в том, что мы не принимаем
во внимание трение воздуха о крыло. Это обстоятельство
более существенно. По всей вероятности, оно повлечёт не-
которое уменьшение подъёмной силы, которая получается
при отсутствии трения; а главное, оно повлечёт к возник-
новению удерживающей силы, направленной противоположно
движению крыла. Этого нет при отсутствии трения, где
развивается простая поддерживающая сила, перпендикуляр-
ная к направлению относительной скорости воздуха (или,
что всё равно, к скорости полёта в спокойном воздухе), и
нет силы против направления полёта2). * з)
Э См. мою работу «О газовых струях» в Учёных записках
Отделения физико-математических наук Московского универси-
тета, 1903 [или Чаплыгин С. А., Собрание сочинений, т. II,
Гостехиздат, 1948, стр. 19].
з) В практике летания за «поддерживающую силу» прини-
мается вертикальная составляющая полного воздействия, т. е.
давления и трения воздуха на аэроплан, за «лобовое сопротивле-
ние» — горизонтальная составляющая той же силы, за «скорость» —
горизонтальная составляющая истинной скорости аэроплана. В этом
смысле и при отсутствии трения может быть «лобовое сопротив-
ление», уменьшающее «скорость» аэроплана. Оно обращается
в нуль, когда истинная скорость горизонтальна.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ О ДВИЖЕНИИ АЭРОПЛАНОВ 59
Несмотря на всё это, от рассмотрения сил трения при-
ходится отказаться ввиду математической трудности дела.
Наконец, третье упрощение состоит в том, что совер-
шенно приходится отказаться от мысли решить вопрос о дви-
жении конечного крыла, как это бывает в действительности.
Приходится рассматривать бесконечно длинное цилиндриче-
ское крыло, движущееся по направлению, перпендикулярному
к образующим. Таким образом мы будем рассматривать
вместо конечного бесконечное крыло, разрез которого пер-
пендикулярно к образующим пред-
ставлен на фигуре 1.
Если скорость его есть v, то
вследствие этой скорости разви-
вается поддерживающая сила Р,
перпендикулярная к скорости, как
это выходит из теории (при отсут-
ствии трения).
Эта необходимость рассмат-
ривать бесконечное крыло как
будто весьма существенно изменяет задачу. Но мне пред-
ставляется, что реальное явление должно быть похоже на
то, которое получается при рассмотрении бесконечно длин-
ных крыльев, потому что в действительности крылья конеч-
ной длины необходимо будут сопровождаться увлекающи-
мися на них вихорьками, вместе с которыми крылья могут
быть моделированы бесконечным крылом. В существе явле-
ния будут похожи и с качественной стороны, и даже с ко-
личественной. Эти сопровождающие крылья вихри должны
иметь вид длинных усов, расходящихся далеко в обе сто-
роны, а затем заворачивающих назад и вниз. Приблизитель-
ный вид их представлен на фигуре 2. В несжимаемой
жидкости без трения вихри бесконечно длинны. В действи-
тельности вследствие вязкости воздуха эти вихри, конечно,
не могут быть бесконечными. Расходясь от концов крыла,
они расширяются и исчезают, как представлено на фигуре 3.
Крыло вместе с этими вихорьками и будет моделироваться
нашим цилиндрическим бесконечным крылом.
При всех выше выставленных ограничениях задача фор-
мулируется так: невихревой поток несжимаемой жидкости
60
С. А. ЧАПЛЫГИН
течёт параллельно плоскости с определённою постоянною
скоростью в бесконечной дали. Определить его давление
на преграждающий цилиндр или изогнутую пластинку.
Перейдя к изложению теории поддерживающей силы,
прежде всего приходится задать вопрос: откуда происхо-
дит поддерживающая сила, в чём её причина? Долгое вре-
Фи! 2.
мя её искали не там, где она заключается. Это происхо-
дило вследствие неточного понимания знаменитого парадокса
Эйлера.
Эйлер показал, что если в невихревой жидкости дви-
жется тело с постоянной скоростью, то оно не будет испы-
тывать никакой силы сопротивления. Если тело держать
в потоке, то опять-таки никакой равнодействующей при этом
не развивается.
Долгое время не замечали, что теорема Эйлера приме-
няется с известными ограничениями, о которых речь будет
впереди. Поэтому поддерживающую силу искали в разрыве,
который возникает благодаря острым краям крыла. Основы-
ваясь на теории разрыва, возникновение поддерживающей
силы можно было бы объяснить образованием области спо-
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ О ДВИЖЕНИИ АЭРОПЛАНОВ 61
койной жидкости позади крыла (фиг. 4). Но подсчёты давали
очень небольшую величину поддерживающей силы, которую
даёт поток при малых углах. Этой силы далеко не доста-
точно, чтобы объяснить явление полёта.
В 1906 г. появилась статья Н. Е. Жуковского «О при-
соединённых вихрях» !), в которой указано правильное от-
ношение к знаменитому парадоксу Эйлера. Оказывается, что
не принималось во внимание одно обстоятельство: примене-
ние этого парадокса возможно только в том случае, когда
потенциал скоростей представляет однозначную непрерывную
функцию во всей области, занятой жидкостью. Однако при
известных обстоятельствах возможна многозначность этой
функции. В этом и лежит источник ограничений примени-
мости парадокса Эйлера.
Так как мне придётся в формулах опираться на одно
математическое количество — циркуляцию скорости, то
объясню значение этого понятия. Вообразим, что у нас
имеется цилиндр определённого сечения (фиг. 5). На него
устремляется установившийся поток, который обтекает его
х) Жуковский Н. Е„ О присоединённых вихрях, Труды
Отделения физических наук Общества любителей естествозна-
ния, т. ХШ, вып. 2, 1906 г. [или Избранные сочинения, т. II, Гос-
техиздат, 1948]. См. также Kutta W. М., Auftriebskratte in
stromenden Fliissigkeiten, Illustrierte Aeronautische Mitteilungen,
1902, вып. 3.
62
С. А. ЧАПЛЫГИН
без разрыва. Тогда во всяком месте потока будет извест-
ная скорость, которую можно изобразить вектором опреде-
лённой длины и направления.
Представим себе некоторую замкнутую кривую в этом
потоке. Если мы вычислим работу, которую произвели бы
силы, действующие на материальную точку массы, равной
единице, при прохождении её по этой кривой в предполо-
жении, что силы во всех точках пути равны соответствую-
щим скоростям, то величина этой работы, равная f v ds cos a,
и называется циркуляцией скорости на данном пути. Обо-
вначим её буквою С. Тогда имеем
С = \ v ds cos а.
При однозначности потенциала скоростей циркуляция
скорости по всякому замкнутому контуру равна нулю: С = 0.
Парадокс Эйлера приложим только тогда, когда С=0.
Тогда только не будет никаких давлений на поставленное
в потоке тело.
Прн других обстоятельствах циркуляция может быть ко-
нечной, отличной от нуля величиной, которая зависит от
формы цилиндра и от направления потока относительно ци-
линдра. Через неё, как оказывается, определённым образом
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ О ДВИЖЕНИИ АЭРОПЛАНОВ 63
будет выражаться сила, возникающая в этом случае, т. е.
при Су^О.
Н. Е. Жуковский показал, что если у нас имеется по-
ток, обтекающий цилиндр, и циркуляция скорости по охва-
тываемому ею контуру конечна и отлична от нуля, то раз-
вивается сила, перпендикулярная к направлению скорости
(фиг. 6). Если обозначить ско-	________
рость потока в бесконечно
удалённых точках через v0, yf
поддерживающую силу, пер- I (	\
пендикулярную к скорости, \ Ц>. -------\
через Р, циркуляцию ско- X.	I
рости по произвольному ох-	1 * * *	j
ватывающему цилиндр кон-	/
туру через С (величина С	I _________у
не зависит ни от формы,	Q
ни от размеров контура	фиг- 6-
MNQM), плотность жидко-
сти через р, то между этими величинами существует
зависимость
Р= Ср-п0.
Эта формула справедлива и в случае наличия присоединён-
ных вихрей1).
Итак, поддерживающая сила равна произведению цирку-
ляции на плотность жидкости и на скорость потока в бес-
конечности. Во всякой частной задаче, при определённом
виде сечения крыла, необходимо, таким образом, подсчи-
тать циркуляцию в связи с формой и затем выяснить, до-
статочно ли этого объяснения, чтобы охарактеризовать силу,
поддерживающую крыло аэроплана. Оказывается, что путём
такого объяснения можно истолковать возникающее явление:
величина силы близка к полученной опытным путём (не-
сколько её превышает).
1) Н. Е. Жуковский связывал циркуляцию и поддерживающую
силу с присоединёнными вихрями. Но оказывается, что дело—в мно-
гозначности потенциала скоростей, и безразлично, будут ли су-
ществовать присоединённые вихри или нет.
64
С. А. ЧАПЛЫГИН
Первая форма, которую мне пришлось рассмотреть,—
это часть боковой поверхности круглого цилиндра. В дан-
ном случае непрерывное обтекание возможно только тогда,
когда направление потока параллельно хорде дуги. Благо-
даря этой непрерывности снизу поток будет течь несколько
медленнее, а сверху — несколько скорее (фиг. 7). Разность
скоростей, в свою очередь, вызывает разность гидроди-
намических давлений под и над пластинкой и подъёмною
силу ’)•
!) Обозначив гидродинамическое давление и скорость вдали
от крыла через рй и v0, а в какой-нибудь точке около крыла че-
рез р и v, имеем по теореме Бернулли
pt>2
Р—Р0 + -2------2''
отсюда видно, что где скорость больше, там давление меньше,
и наоборот.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ О ДВИЖЕНИИ АЭРОПЛАНОВ 65
Вычисляя эти давления, я получил очень простую фор-
мулу для поддерживающей силы:
Р= ггсрут'о,
где у — стрелка дуги, или
Р= 2прспо tg у ,
(1)
где с — полухорда дуги, а а — половина центрального угла,
так что
s = ctg у*).
Любопытно, что подъёмная сила зависит исключительно
от размеров стрелки. Если взять несколько дуг с одной
В
Фиг. 8.
и той же стрелкой, но разных радиусов, то для всех них
сила будет одинаковая (фиг. 8). Для наглядности приводим
небольшую табличку сил давления Р кг/м2 в воздухе при
обычных скоростях аэроплана: 14, 17 и 20 м[сек (50, 61
*) Когда печаталась моя работа по этому вопросу «О давле-
нии плоскопараллельного потока на преграждающие тела» (Ма-
тематический сборник, т. XXVIII, 1910 г. [стр. 11 настоящего
издания]), Н. Е. Жуковский указал мне, что ещё в 1902 г. приват-
доцент Кутта (W. М. Kutta) в заметке «Auftriebskrafte in strB-
menden Fliissigkeiten» (Illustrlerte Aeronautische Mitteilungen, 1902,
вып. 3) разрешил эту задачу. Он является и первым, обратив-
шим внимание на то, что парадокс Эйлера не имеет места при
многозначности потенциала скоростей. Кутта ограничился только
случаем хорды, параллельной скорости потока, и дальше этим
вопросом не занимался. Формулы, которыми он пользовался при
своих исследованиях, довольно сложны, потому что он не нашёл
удобного метода. Но полученное им выражение для силы давле-
ния вполне совпадает с формулой (1).
5 С. А. Чаплыгин
66
С. А, ЧАПЛЫГИН
и 72 км'час); при этом обозначим центральный угол через
2а и отношение а- стрелки к хорде через k*);
2а°	k	Ри	Р?1	р *20
15	1:30,5	5,3	7,8	10,8
30 32	1:15,5	10,6	15,6	21,6
	1:14,2	П,4	16,8	23,3
36	1:12,6	12,8	18,8	26,2
Конечно, если углубление будет очень значительно, то
трение будет оказывать несколько больший эффект, и в за-
висимости от этого может возникнуть иное явление. Веро-
ятно, есть средний размер, являющийся наиболее выгодным
в вязкой жидкости. Представляется, что эта выгодная форма
соответствует сравнительно короткой дуге.
В рассмотренной задаче крайне неприятно было то, что
приходилось довольствоваться одним определённым направ-
лением потока в бесконечности, и только при нём можно
было объяснить явление поддерживающей силы. Между тем
весьма существенно рассмотреть такой случай, когда поток
стремится на крыло не по направлению хорды, а Как-нибудь
иначе. Этот вопрос я также разрешил, обратив внимание
на ту причину, которая не дозволяет найти поток, удов-
летворительно решающий дело в разобранном случае. Всё
затруднение в том, что на крыле рассмотренного типа имеется
два математически острых ребра. Для того чтобы устра-
нить указанное стеснение, достаточно было рассмотреть мо-
дель крыла с притуплением с одной стороны. Я рассматри-
*) Последние два столбца вычислены студентом в. П. Вет-
чинкиным.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ О ДВИЖЕНИИ АЭРОПЛАНОВ 67
вал именно такую модель. Сечением её является та же
самая дуга окружности, но снабжённая на одном из концов
насадком в виде кружка, пересекающего дугу под прямым
углом (фиг. 9). Радиус насадка, конечно, надо предполагать
небольшим, так как он должен изображать естественную
притуплённость переднего края крыла, реально никогда не
имеющего математически острой формы.
Оказывается, что задачу в такой форме можно разрешить
вполне точно при названных углах наклона хорды к ско-
рости потока вдали. Для этого случая формула подъёмной
силы получает вид
(2)
где сна имеют прежние значения (формула (1)), р—угол
хорды с направлением потока вдали, а р. имеет следующее
значение: отметим на продолжении хорды АС точку Н',
симметричную с Н относительно О (фиг. 10); соединим Н'
с G; тогда получим
2/ОН'О = ц*).
*) В аппарате
няется равенство
Фармана ц=^:7о30'. Приблизительно выпол-
= =
5*
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ О ДВИЖЕНИИ АЭРОПЛАНОВ 69
68
С. А. ЧАПЛЫГИН
При р = 0 формула (2) совпадает с формулой (1), по-
лученной при отсутствии насадка.
Когда крыло движется под некоторым углом, то подъ-
ёмная сила может превысить первоначальную, соответству-
ющую значению Р = 0, в 4—5 раз. Исследуя подробно эту
форму, я пришёл к заключению, что не при всех углах и
скоростях возможно установившееся движение и, следова-
тельно, выражение подъёмной силы формулой (2). Оказы-
вается, что здесь является естественный предел: отвлекаться
от сжимаемости воздуха законно только до тех пор, пока
скорость нигде в потоке не достигает скорости звука, так
как при нарушении этого условия установившееся движение
перестаёт быть возможным ’). Между тем, скорость в неко-
торых точках на окружности насадка (vmax) во много раз
превосходит скорость потока (w0).
1) Позднейшие исследования показали, что установившееся
движение возможно и при скоростях, превышающих скорость
звука. (Прим, ред.)
Поясним на примере, каковы пределы применимости фор-
мулы (2). Пусть у нас будет крыло описанной формы
с центральным углом в 30°, т. е. k = ~^, хордой в 2 м
и с насадком в 1 см в диаметре. Тогда
Чпах = 40,65^0 Sin р.
Отсюда
v0 sin р = 7,4 м/сек.
Следовательно, при w0 7,4 м/сек формула (2) применима
при всяком угле наклона. Но если г/0 значительно превос-
ходит величину 7,4 м/сек, то при наклонах крыла, ббль-
ших определённого предела, прекращается возможность не-
прерывного обтекания. При обычных скоростях аэропланов
предельный угол ргпах имеет следующие значения:
v0 м/сек	14	17	20
О ftnax	32	28	22
При менее остром переднем крае предельный угол будет
больше.
Если наклон крыла окажется более предельного, то
должно наступить новое явление: течение с разрывом сплош-
ности. Этому течению соответствует особое исследование.
Получается другая формула, определяющая поддерживающую
силу. Эта сила будет значительно меньше той, которая
определяется по формуле (2).
Кривая изменения давления с возрастанием угла для
описанного крыла и 1/0=14 м/сек должна иметь прибли-
зительно такой вид, как на фигуре 11. При скоростях,
меньших 7,4 м/сек, максимум исчезает, и кривая обращается
в синусоиду.
Из формулы (2) видно, что подъёмная сила быстро
падает при наклоне крыла вперёд по направлению движения;
70
С. А. ЧАПЛЫГИН
при некотором определённом угле р = — ц она обращается
в нуль, а затем меняет знак и давит на крыло сверху вниз.
Из той же формулы видим, что величина поддерживающей
силы при р = 0 не зависит от диаметра насадка.
Кроме описанных двух форм, я исследовал некоторые
формы крыльев, напоминающие крылья птиц, с непрерыв-
ными и мягкими обводами и лишь с одною точкою заостре-
ния. Простейшая форма этого рода получится, когда очер-
тание сечения крыла представляет результат инверсии пара-
болы (фиг. 12)1).
!) Строится эта кривая таким образом: на всяком радиусе-
векторе, исходящем из начала О (точка инверсии) и пересекаю-
щем параболу, наносятся две точки так, что произведение их
расстояний от начала на длину соответственных радиусов-векторов
параболы есть величина постоянная. Имеем
04 • ОД' = OD • ~OD' = ОС-ОЁ — ОС • ОС' = const.
РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ О ДВИЖЕНИИ АЭРОПЛАНОВ 71
Кроме этой простейшей кривой, я имею возможность
выделить широкий класс таких кривых, которые можно
охватить этим исследованием. В виде примера укажу форму
с зубцами на нижней поверхности крыла, которые можно
построить так, что подъёмная сила
его увеличится (фиг. 13). Надо
прежде заметить, что неудачные
очертания зубцов могут повлечь
н уменьшение подъёмной силы. В
моём труде приведены формулы
для расчёта очертаний зубцов.	*иг- 13.
Наконец, я коснулся влия-
ния на крыло присоединённых вихрей. Присоединённый вихрь
должен иметь форму шнура, параллельного образующим
крыла и расположенного близ выпуклой его поверхности
(фиг. 14). Сам по себе вихрь не вносит непосредственно
добавочного давления на обтекаемую пластинку, но влия-
ние его сказывается косвенно, так как он меняет циркуля-1
цию по главному контуру, окружающему пластинку. Изме-
нение может быть довольно значительно. На опыте, сколько
мне известно, таких изменений не наблюдалось; по всей ве-
роятности, сопутствующий вихрь вследствие своей неустой-
чивости не может оставаться около пластинки,
72
С. А. ЧАПЛЫГИН
Последним вопросом, который я затронул своим иссле-
дованием, является вопрос о величине вращающего момента,
действующего на крыло. Получив общую его формулу,
я подробно исследовал её для одной простой формы сечения
крыла, именно формы, получаемой путём инверсии параболы.
Оказалось, что при значительных величинах угла момент
положителен, т. е. ещё больше поднимает крыло. При ма-
лых углах р он уменьшается, переходит через нуль и при
критическом угле имеет уже довольно значительную отри-
цательную величину. При дальнейшем наклоне крыла вперёд
он, оставаясь отрицательным, всё увеличивается по абсолют-
ной величине, т. е. ещё больше наклоняет крыло.
При этом подъёмная сила переходит через нуль, начи-
нает давить на крыло сверху вниз. Проделав вычисления
для формы, по размерам подходящей к крылу аэроплана
Фармана, я нашёл следующий результат- при критическом
угле величина момента равна 10 кгм на каждый метр длины
крыла, если скорость равна 14 м/сек, а ширина крыла 1 м.
При возрастании скорости и ширины момент растёт пропор-
ционально произведению их квадратов. Таким образом может
получиться очень значительный момент, стремящийся опро-
кинуть аппарат. Это поясняет, насколько опасно наклонение
аэроплана вперёд при полёте.
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА ’)
§ 1. Общие формулы поддерживающей силы и вра-
щающего момента. В предлагаемой работе мы устанавли-
ваем некоторые общие теоремы, имеющие место независимо
от очертаний крыла, исходя из следующих обычных теоре-
тических предположений о потоке. Поток в относительном
движении представляем себе плоскопараллельным, а крыло —
бесконечно длинным цилиндром, нормальное сечение которо-
го лежит в направляющей плоскости потока. Сжимаемости
воздуха и вязкости его во внимание не принимаем. Наконец,
рассматриваем такое невихревое течение, при котором весь
контур крыла омывается одною из линий тока, имеющей на
этом контуре две точки раздела, в одной из которых поток
набегает, а в другой стекает с крыла. Если эти точки —
обыкновенные точки кривой контура, то скорость в них
будет нулём; если же какая-нибудь из них представляет
точку возврата, то поток может обладать в ней и конечною
скоростью. Наконец, на крыле могут существовать точки
заострения и в иных местах; в таких пунктах скорость те-
чения будет иметь величину бесконечно большую. Предпо-
ложим, сверх того, что поток покидает крыло всегда в од-
ной и той же точке, независимо от угла встречи.
Область комплексного переменного 2, область течения,
как известно, всегда возможно конформно изобразить на
верхней полуплоскости комплексного переменного и так, что
!) Впервые напечатано отдельной брошюрой Высшим военным
редакционным советом в 1922 г.
74
С. А. ЧАПЛЫГИН
действительная ось полуплоскости будет соответствовать
контуру крыла. Бесконечно удалённая точка области z при
этом будет отображаться в некотором определённом пункте
и = а на полуплоскости; значение « = а представляет про-
стой полюс функции z, так как при обходе вокруг этой
точки z должно вернуться к исходной величине. Если так,
то вблизи полюса мы должны иметь
—=—----------1-/(« — а),
а и — а 1 J '	"
1 dz	А j	,
— -г — — 7--------75 +/ (и — а),
a du (и — а)2 1 J '	'
(1)
где а — линейная величина, А — некоторое комплексное
число, a f— голоморфная функция своего аргумента. Коэф-
фициенты А, а, равно как и вид функции /, определяются
исключительно формою крыла, нисколько не завися от рас-
сматриваемого течения.
Обозначим через <р и ф соответственно потенциал ско-
ростей и функцию тока. Так как на действительной оси
области и
<Ь = const. = 0,
i	1
то производная функции
IV = <р -]- /ф,
характеризующей поток, должна быть на указанной оси
всюду реальна; в точке и = а она должна иметь полюс
второго порядка, так как функция
dw
——'ue
dz
-iQ
»
определяющая собою скорость v и угол её 8 с осью ОХ
в области течения, должна в указанной точке иметь задан-
ное конечное значение voe~ie>. С полюсом и = а совпадает
логарифмическая точка функции iv, причём циркуляция вокруг
этой точки должна быть вещественным количеством.
Всем указанным требованиям мы удовлетворим, положив
1 rfw__ Ле~'е°__________Ауе'&" .	/ 1	1 А (21
av^du	(и—dp (« —«р2 Т*- в и — aJ ’ ' ’
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
75
где а, н Л, — комплексные числа, сопряжённые соответ-
ственно а и А. Реальное количество С может быть изобра-
жено в виде
С=£е-'®°4-В/®°,	(3)
причём В и Вг — сопряжённые комплексные числа.
Положив
мы достигаем того, чтобы производная w обладала только
одним конечным корнем, и приводим равенство (2) к виду
1 dw .	,Ае~'в°(и — oj)—Де'®” (к— а)
-----Л- И
Эта функция обращается в нуль в точке и=оо, которую
можно в области г сделать соответствующей неизменной
точке схода потока с крыла, и сверх того, имеет, как и
требовалось, один конечный реальный корень
__gj/le-'®'1 — «Л ic'®11
U Ле-'’®0—Де'®“ ’
который определяет на крыле критическую точку разделе-
ния линии тока в месте набегания текущего воздуха.
Весьма важно отметить, что при принятом изображении
течения направление потока в его далёких точках, харак-
теризуемое углом 0О, совершенно не фигурирует в функции,
изображающей область течения z на полуплоскости ком-
плексного переменного и. Это-то обстоятельство и позволяет
разрешить в любом предположении о форме крыла вопрос
о характере зависимости от направления потока как под-
держивающей силы давления, так и вращающего момента.
Что касается поддерживающей силы, то, как было по-
казано в нашей работе «О давлении плоскопараллельного
потока на преграждающие тела (к теории аэроплана)»J),
г) Математический сборник, т. XXVIII, 1910 г. [стр. 11 на-
стоящего издания].
76
С. А. ЧАПЛЫГИН
опа определяется по формуле Н. Е. Жуковского и имеет
величину
P=a®oATsinx	(6)
В самом деле, положим
А = Хе'"н, A, = 'ke~'v-, а — a, = z8, )
£>0, 1>0;	J <7)
тогда по формулам (3) и (4)
С = —ycos (Во— ц),
Р=------р— cos (Но — ц),
и если мы примем
° —Зу—во “Ни.	(8)
то Р будет иметь как раз вид (6), причём
(9)
Так как при а—0 поддерживающая сила обращается
в нуль, то а есть не что иное, как угол, образуемый пото-
ком вдали от крыла с критическим направлением. Так как
Зк о
— — п0 есть угол потока с отрицательным направлением
оси OY, то из формулы (8) следует, что ц равно углу
критического направления с осью OF; с осью ОХ это на-
правление образует угол ц.
Обратимся, далее, к вычислению вращающего момента М.
По формуле, данной мной в цитированной выше статье,
величина М равна действительной части выражения
, р С du [dw\z ,
J —----п I zzr- du,
2 J dz \du J ’
где интеграция совершается по контуру, охватывающему
полюс, в направлении от оси OF к оси ОХ на полупло-
скости и.
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
77
Обозначив через Q коэффициент при -—-
нии функции
_, . du f dw\z
F (,и) = z — — ,
' ' dz \du J ’
мы будем иметь
J — тгр/Q,
M = Re irp/Q,
в разложе-
[где Re есть символ действительной части от выражения,
стоящего в скобках].
Из уравнений (1) и (5) получаем
ф2 1+т(ц —п)+>Я1(и —°)2+•••
'u'	(U — а)8	1 — ml (U — а)2 -J- ...
X _iC{и_а)|с_	4-... |2.
Здесь С попрежнему обозначает коэффициент, определяемый
формулами (3) и (4), [а {j, т, тх определяются равен-
ствами]
a~ai т—f<°)
Г' т— А ’
/'(0)
А
Составляя на основании приведённого разложения F(u)
коэффициент Q, находим
----1-	2т,Аге~2‘во-4- 2Ае~'в° (с —	---
— С2 — 2miCAe~‘e°,
откуда, раскрыв комплексные числа
— ik, /Л] = /, -|- ikx
и воспользовавшись формулами (3), (4) и обозначениями
(7), имеем для реальной части Н от IQ следующее выра-
жение:
+	+ cos2(B0 — g) + j ;
78
С. А. ЧАПЛЫГИН
откуда, вводя по формуле (8) угол с, найдём для момента
9	12 (
М = пр/7 == Znpvoa2 у < — (I -|- kY р) cos 2а -ф-
-|- — /jP + у) sin2a-|-/} . (10)
Опрокидывающий момент Л1о, соответствующий крити-
ческому направлению потока, получается из формулы (10),
если положить в ней а = 0; таким образом
Положив
Мо= —2тгр'Поа2л2А1.
*(*+М) = £>)
+у)
(И)
(12)
и пользуясь равенством (9), приводим засим формулу (10)
к окончательному виду
2/И=й2'ПоА'( — gcos2аhsin 2а —	(13)
Отметим то важное обстоятельство, что как коэффици-
ент К формулы (6), определяющей поддерживающую силу,
так и коэффициенты формулы вращающего момента зависят
исключительно от очертаний крыла; в состав К входит
множителем лишь один посторонний элемент — плотность
воздуха.
§ 2. Парабола устойчивости. Перейдём теперь к опре-
делению геометрического места метацентра в крыле и по-
кажем, что при любом его сечении таким местом будет
парабола. Ось OY в области z направим по критическому
направлению, так что угол потока с её отрицательным на-
правлением будет а. Обозначая через х и у координаты
метацентра и имея в виду, что он определится как пересе-
чение перпендикулярной к направлению потока линии дей-
ствия поддерживающей силы с таковою же линией при
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
79
бесконечно малом отклонении течения, легко находим для
интересующих нас координат следующие два уравнения:
ф (7) = М — Р(х sin а —|—д/ cos а) = 0,
ф'(с) = 0.
По упрощении с помощью формул (6) и (13) эти уравнения
обращаются в следующие:
(х — ag) cos 2а — (у — ah) sin 2а = х -|- aq — ag,
(х — ag) sin 2а -|- (д — ah) cos 2а = О,
откуда имеем уравнение искомого геометрического места:
(х — ag)2 + (Д’ — ah)2 = (х -\-aq — ag)2.	(14)
Оно представляет собою параболу с фокусом в точке,
координаты которой суть
-Vi — ag, Ух —ah,	(14')
и директрисой
x = a(g— q),
параллельной критическому направлению пбтока. Расстояние
директрисы от начала координат, очевидно, равно числовой
величине количества a(g—q), а параметр параболы ра-
вен aq.
Ясно, что большая или меньшая устойчивость моноплана,
снабжённого крыльями данного очертания, зависит от вида
и расположения найденной нами параболы: чем она острее,
т. е. чем меньше её параметр, тем аппарат устойчивее,
так как тем ближе к крылу будет расположен метацентр.
Естественно поэтому назвать место метацентров параболой
устойчивости.
Обратимся теперь к выяснению связи этой кривой с ве-
личиной поддерживающей силы, её вращающим моментом и
положением линии действия силы. Что касается линии дей-
ствия, то она будет касательной параболы в соответственном
метацентре. Так как перпендикуляр из фокуса на касатель-
ную встречает её на прямой, прикасающейся к параболе
в вершине её, то мы приходим к следующему правилу-
пусть даны фокус и директриса параболы устойчивости;
80
С. А. ЧАПЛЫГИН
через середину перпендикуляра из фокуса на директрису
проводим параллель этой прямой; тогда та точка, где про-
ведённое из фокуса направление потока встречает указанную
параллель, будет принадлежать линии действия, которая по
свойству течения перпендикулярна к направлению потока.
Вычислим теперь вращающий момент по отношению
к фокусу. Очевидно,
Mt = — Pd,
если d есть расстояние от фокуса до той касательной па-
раболы, по которой направлена сила. Подставляя сюда ве-
личину силы из формулы (6) и замечая, что d-sinc есть
проекция d на ось параболы, равная по указанному выше
свойству параболы половине её параметра, мы приходим
к следующему выражению для
2M1 = —Ka^q, 	(15)
которое на основании формул (9), (11) и (12) приводится
к ещё более простому виду:
/W1==/Wo.	(16)
Таким образом силы давления воздуха на крыло приво-
дятся к силе Р, проходящей через фокус, и постоянной
паре, момент которой равен опрокидывающему моменту и
которую можно назвать опрокидывающей парой. Наконец,
величина силы определяется следующим простым постро-
ением: проведём через фокус окружность, прикасающуюся
к оси параболы и расположенную по ту сторону оси, где
находится задний конец крыла; диаметр окружности
D = av^K',
тогда эта окружность представляет собою геометрическое
место конца проведённого из фокуса вектора силы Р.
В заключение этого параграфа отметим один важный
особый вид профиля. Возможно подобрать такое очертание
его, что коэффициент q формул (12) окажется нулём; для
этого достаточно, чтобы kA равнялось нулю. Тогда параметр
параболы устойчивости также обратится в нуль; опрокиды-
81
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
вающий момент, в свою очередь, будет равен нулю. В та-
ком случае поддерживающая сила будет всегда проходить
через неизменную точку в крыле, представляющую собою
фокус выродившейся в двойной прямолинейный отрезок
параболы устойчивости. Координаты этой точки определяются
поэтому попрежнему формулами (14') и имеют величину
ag, ah. Отмечаемые особые формы профиля выгодны для
рулей аэроплана.
§ 3. Изображающие дуги и главная дуга. Применим
указанный выше приём к простейшему случаю, когда сече-
нием крыла будет дуга круга. Приняв за начало центр дуги
и направив ось OY параллельно её хорде, мы можем по-
ложить
~ = _ е (к-Не~т<И«-ге~т/) i
(и —	’
где s подлежит определению. Ясно, что при реальном и
модуль правой части равен а, и следовательно, все точки,
соответствующие таким и, находятся на окружности ради-
уса а. Заметим, с другой стороны, что при замене «на — и
функция z не меняет величины; поэтому крайними точками
дуги будут те, для которых и принимает значения 0 и оо.
Для них соответственно имеем
2 = —z = —aesi,
и, положив $=2х, видим, что точки эти расположатся
симметрично относительно оси OY. Вся дуга лежит со
стороны отрицательных х, причём точка и — оо имеет
отрицательную ординату. Угол X есть четверть угла, стя-
гиваемого дугою. Таким образом,
z— —а ц2+ g~2ri е^1 — — аем + 2flfsin2ye2t' . (17)
В данном случае имеем a = zeT', и разложение z в об-
ласти этого полюса имеет вид
2=a sin 2т  е™ <-
I и — а
cos2t I sin2 т е 2tZ
2 sin т 2 cos г 4

6 С, А. Чаплыгин
82
С. А. ЧАПЛЫГИН
Сравнив это выражение с общим разложением, приведённым
в § 1, и приняв обозначения (7), (8) и (9) этого параграфа,
получаем для данного случая:
\eV‘—A = sin 2т • ет‘, т = —-
’	2 suit
т=р, l = sin2p, [3 = 2 cos р,
, sin2 [i , cos 2ц
я = —	,	/, =-------—-
2cos|x 1	4
i sin2 т	e-2t/
2 cos т 1	4
,___ cos2p.
2sin|i '
, sin 2ц
«1 = “•
Далее, по формулам (12) имеем
g= — cos3 р cos 2р,
й= cos3 р sin 2р«
q — 2 sin2 р cos3 р,
g— Я= —cos3p,
(18)
а по формулам (6) и (13) для силы и её момента находим
Р— 4прото sin р sin а,
М— — 4дра2^о sin р cos3 р sin2 (J — р).
Опрокидывающий момент
Мо = — 4пра2т»о sin3 р cos3p.
Так как угол потока с отрицательным направлением
оси ОУ есть а — р, как это следует из формулы (8), то
мы приходим к известному правилу для нахождения крити-
ческого направления в рассматриваемом случае: оно совпа-
дает для крыла, опирающегося на цугу круга, с прямою,
соединяющею задний конец крыла с его среднею точкою.
Если мы теперь изменим направление осей, сделав ось О У
параллельной критическому направлению, то формулы (14)
§ 2 определят нам соответственную параболу устойчивости.
Именно, координаты её фокуса получатся умножением на
радиус а первых двух коэффициентов g и h\ aq будет па-
раметр, n-cos:ip—расстояние от центра до директрисы.
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
83
Так как таково же расстояние от центра до фокуса, то
центр лежит на параболе устойчивости. Эта точка будет,
очевидно, метацентром для потока, направленного парал-
лельно хорде дуги, так как ввиду симметрии течения вра-
щающий момент по отношению к центру для такого направ-
ления будет нулём. Таким образом парабола устойчивости
дуги круга касается среднего радиуса в центре дуги.
Самое построение директрисы и фокуса крайне просто:
директриса проходит через середину стрелки параллельно
критическому направлению, а фокус лежит на пересечении
прямой, проведённой через ту же точку параллельно линии,
соединяющей середину дуги с передним концом крыла, и
биссектора угла, под которым передняя половина крыла
видна из центра. Указанными элементами парабола устойчи-
вости вполне определяется.
Покажем теперь, что если имеется крыло с произволь-
ным очертанием, то всегда возможно найти семейство дуг
круга, которые имеют ту же самую параболу устойчивости,
что и данное крыло; поддерживающая сила крыла и его вра-
щающий момент в таком случае будут пропорциональны
соответственной силе и моменту для дуги. Такие дуги будем
называть изображающими дугами.
Прежде всего посмотрим, как преобразуется выраже-
ние (13) для момента, если, не изменяя направлений осей
координат, мы переместим начало их в точку с координа-
тами (Ь, с). Так как при избранных нами осях, когда ось
ординат имеет критическое направление, коэффициенты ag
и ah формулы (13) равны координатам фокуса параболы
устойчивости, имеющей совершенно определённое располо-
жение относительно крыла, то новые значения этих коэф-
фициентов должны иметь то же значение при новом начале.
Обозначая поэтому новые g и h через g' и Л', мы должны
иметь:
ag'= ag — b,
ah' — ah — с.
Что касается коэффициента q, то он не изменяется с пере-
меною начала, ибо aq есть параметр параболы устойчивости.
6*
84
С. А. ЧАПЛЫГИН
Таким образом с перенесением начала формула момента
будет
2714 = av^K[(£> — ag) cos 2а(ah — с) sin 2а — aq	ag— b].
При этом подъёмная сила
а.
Подберём новое начало так, чтобы оно было центром
изображающей дуги. Обозначим радиус этой дуги через г;
тогда по формулам (19) имеем соответственные силу Р и
момент 714':
Р = 4тгрг^ sin jx sin а,
2714' = 4тгргп® sin jx [г cos8 jx cos 2ц cos 2а -ф-
-ф- г cos8 jx sin 2jx sin 2a — r cos8 jx].
Из условия
Л4 _£ =_
Л4'— P'
имеем:
b— ag=r cos3 jx cos 2jx,
ah — c=r cos8 jx sin 2 jx,
b — ag-\- aq = r cos3 p..
(20)
Эти формулы показывают, что новое начало, как и следо-
вало ожидать, лежит на параболе устойчивости, ибо коор-
динаты Ь, с удовлетворяют её уравнению (14).
Если мы произвольно выберем за центр изображающей
дуги такую точку параболы, для которой
b— ag>Q, ah — с^>0,
то формулами
tg2)x =
b — ag
ah — с ’
r cos8 jx = b — ag-\-aq
определяются её центральный угол и радиус, а расположе-
ние её в крыле фиксируется тем, что её средний радиус
прикасается к параболе устойчивости.
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
85
Коэффициент Т, определяющий отношение подъёмной
силы и момента крыла к соответственным величинам для
изображающей дуги, будет меняться с изменением изобра-
жающей дуги. Возможно определить такую дугу, для кото-
рой наступают равенства
7=1, Р=Р', М=М'.
Эту дугу будем называть главною дугою крыла. Её центр,
хорду и стрелку естественно называть центром, хордою и
стрелкою крыла.
Из приведённых выше формул имеем для главной дуги
два соотношения:
2r sin2 g cos8 ji = aq,
4irprsin ]i — aK.
Отсюда для определения её центрального угла получаем
уравнение
sin g COS8 g —	= n.
Разделив это уравнение на
(cos2 g -J- sin2 g)2 = 1,
приведём его к виду
где
/ = tgg.
Кривая
X
У (1 -|-х2)2 ’
проходя через начало координат, в положительном коорди-
натном угле всеми точками лежит выше оси абсцисс, асим-
птотически к ней приближаясь в бесконечной дали. Её выс-
шая точка имеет ординату
86
С. А. ЧАПЛЫГИН
Очевидно, что при
.зУз
”<16
мы будем иметь два возможных значения t и соответственно
две различные главные дуги. Из них мы выберем ту, кото-
рой соответствует меньший центральный угол, и именно для
неё сохраним принятое наименование.
Что касается неравенства, обусловливающего возмож-
ность вещественного решения уравнения (21), то оно, вообще
говоря, должно выполняться для всех нормальных крыльев,
так как вследствие устойчивости их параметр aq соответ-
ственной параболы не может иметь сколько-нибудь значи-
тельной величины.
После того как центральный угол главной дуги найден,
её радиус и центр единственным образом определяются из
уравнений (20), а тем самым будут определены центр и
стрелка крыла.
Для отмеченных в конце предшествующего параграфа
особых форм профиля, которым соответствует параметр па-
раболы устойчивости, равный нулю, изображающие дуги и
главная дуга, очевидно, обратятся в прямолинейные отрезки.
§ 4. Крыло, спирающееся на инверсию параболы.
Это крыло, впервые данное нами в цитированной уже ра-
боте, можно определить следующим приёмом. Чтобы получить
соответственное выражение функции z, преобразуем не-
сколько формулу (17) для изображения области, ограничен-
ной дугой круга, сохраняя начало координат и изменив на-
правления осей так, чтобы новая ось ОХ проходила через
задний конец С дуги (фиг. 1). Новое выражение z будет
, 2al sin 2т
Z = — CL —I---------------j— .
' (и — ze”) (tz-j— 7ет/)
Заменив в этой формуле и на	получим область,
ограниченную инверсией параболы, причём опять действи-
тельная ось плоскости и будет соответствовать очертанию
крыла, а верхняя полуплоскость — области течения. В самом
деле, если

2al sin 2т
(22)
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
87
то при действительном и
2ai sin 2т _ о ~	Z (х + а) + j/ _ Zxj + г,
а	(х а)2 + У2 d
— и2 — е2 Ц- cos 2т -|- i sin 2т -j- 2tzsz,
где d — линейный коэффициент преобразования; отсюда
хг — d sin 2т — 2usd,
yt — d cos 2т 4~ ds2 = u2d,
4e2zZ (Vj — d cos 2т —zZe2) = (Xj — d sin 2т)2.	(23)
Это уравнение изображает в системе СХ1У1 параболу с па-
раметром p = 2ds2 и фокусом в точке F с координатами
4 — d sin 2т, Гц = d cos 2т.
Таким образом d есть расстояние фокуса F от центра инвер-
сии С. Фокус соответствует в плоскости и точке и =— is,
лежащей в нижней полуплоскости. Координаты фокуса после
инверсии [т. е. точки Е] будут определяться формулой (22),
если в ней положим « — — is. Таким образом получаем
— о cos 4т, у = t\ = a sin 4т.
88
С. А. ЧАПЛЫГИН
Фокальный отрезок оси параболы Foo превращается в осе-
вую дугу ЕС исследуемого крыла (фиг. 1).
Составляя затем разложение z, выраженного форму-
лою (22), в области полюса
и — а = — /е -|- zsT',
находим
а 4- z = a sin 2те~~т' (—--—	4-.. Л , (24)
1	1«1 —«I 2а,	4„й	 Г
где
ux = u-\-iz, al = a-\-fe=ieFl.
Сравнив эту формулу с формулой (1) и имея в виду после-
дующие обозначения
т —	тг = 1Л Ц- ikx —	,
получим для А выражение
А — sin 2те~х' = 'Ке1^,
откуда
k =i= sin 2т, р~ — т.
Для прочих коэффициентов получим те же выражения, как
и в случае дуги круга:
, cos2 т , sin2 т
I = — „ . — , я = — х-------,
2 sin т	2 cos т
, cos 2т , sin 2т
11 =----Г", *1== —•
Наконец,
р = 44Д	2 c°St—2s.
По формулам (6) и (9) имеем
,,	.	. cos т
К = 4ттр sin т------,
г cos т — е
Р= 4тгратл; sin т C0ST— sin а.
1 и cos Т--------------S
Сравнив эту формулу с первою из формул
во внимание формулу (8), усматриваем, во-первых, что кри-
(25)
(26)
и
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
89
тическое направление составляет с осью OY угол т, равный
одной четверти угла, стягиваемого осевою дужкой, и совпа-
дает с критическим направлением, построенным для этой
дужки; во-вторых, подъёмная сила исследуемого крыла будет
более подъёмной силы его осевой дужки, ибо она равна
результату умножения силы осевой дужки на неправильную
дробь
cos т
п —---------.
cos т — е
Биссектор угла между хордою осевой дужки и осью CY,
прикасающейся к ней в заднем конце, служащем центром
инверсии, совпадает с биссектором угла касательных к па-
раболе из того же центра; поэтому критическое направление
инверсии параболы делит пополам угол между касательными
к контуру крыла из его заднего конца.
Так как фокальный радиус-вектор параболы /?, напра-
вленный к центру инверсии, имеет величину
п= Р _ Л2
2 cos2 т cos2 т
и будет непременно менее расстояния d центра инверсии от
фокуса, то
е cos т,
и потому п есть величина существенно положительная.
Чтобы найти выражение момента относительно начала
координат, находящегося, как явствует из предшествующего
изложения, в центре осевой дужки, составляем по форму-
лам (12) коэффициенты g, h и q, определяющие момент и
параболу устойчивости. Воспользовавшись выражениями (25),
имеем:
„ п е sin2 2т
g = — cos3 т cos 2т----2— >
,	„	. „ s sin 2т cos 2т . е sin т
h — cos3 т sin 2т--------------------,
2.	1 cost — s’	>(27)
<7 = 2sin2Tcos2T(cos т—s)=2sin2TCos3T— -—— >
g—q — ~ cos'T.
90
С. А. ЧАПЛЫГИН
Если в этих равенствах положим е = 0, то они совпадут
при т=р с равенствами (18), а потому фокус, параметр и
директриса параболы устойчивости рассматриваемого крыла
определяются по его осевой дуге следующим образом:
директриса крыла прямо совпадает с директрисой указанной
дуги; параметр меньше соответственного параметра сравни-
ваемой дужки; следовательно, утолщённое крыло будет бо-
лее устойчиво, так как метацентр будет ближе к его оси,
чем в сравниваемом случае. Что касается опрокидывающего
момента, то он в точности равен соответственной величине
для крыла, опирающегося на осевую дугу, ибо по форму-
лам (15), (16), (26) и (27) имеем для момента относительно
фокуса, равного опрокидывающему моменту:
Afj = Л40 ----- —Katv^q = — 4тгрсац® sin8 т cos8 т
— выражение, совпадающее с последним из помеченных но-
мером (19).
‘ Для нахождения изображающих дуг мы должны восполь-
зоваться приведёнными выше уравнениями (20). Разыщем
при их помощи изображающую дугу под тем условием,
чтобы её центральный угол был равен 4т, т. е. централь-
ному углу осевой дужки. Прежде всего имеем
aq = 2а sin2 т cos2 т (cos т — е) = 2r cos3 т sin2 т;
отсюда находим радиус окружности, на которой лежит иско-
мая изображающая дуга:
Тогда прочие два уравнения из группы (20) дают для коор-
динат Ь, с центра указанной окружности значения
Ь — — as cos8т= — rs cos т(cost — е),
I аг sin т	.	/	.1	\
с = as sin т cos т -4- ----- = re sin т cos т -4--- — s .
1 cos т — г	\	। cos т у
Отношение Т между силами Р, Р' и вращающими мо-
ментами М, М' исследуемого крыла и отмеченной изобра-
жающей дуги выражается формулой
—___ ( cost \2
I cos т — е У ’
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
91
Для отыскания главной дуги нужно составить число
в нашем случае по формулам (26) и (27) имеем
п = sin т cos т (cos т — е)2.
^зУз
Число это удовлетворяет неравенству п 	 ввиду не-
значительности угла т, и потому мы получаем реальную
главную дугу.
Написав уравнение (21) в первоначальной форме
/7([i) = sin ц cos3 ji — sinтcost (cost — е)2 = 0
и подставляя значения р = 0 и р = т, легко убедимся, что
на этом промежутке изменения аргумента ц функция Г'(р)
меняет знак, откуда явствует, что меньший из реальных
корней удовлетворяет неравенству р<^т.
Когда дуга довольно толстая, что соответствует более
значительным величинам числа е, то р будет значительно
менее т: таким образом, чем толще крыло, тем более плоской
оказывается его главная изображающая дуга и тем более
устойчив снабжённый такими крыльями аэроплан. Разумеется,
здесь будет существовать предел, не учитываемый теорией,
вследствие возможности неполного обтекания крыла и зна-
чительного развития вихревого хвоста.
Чтобы яснее выставить на вид преимущество толстых
крыльев, рассмотрим числовой пример. Пусть
* 1 1
tgr= —, Б = —COST.
У	о
Тогда центральный угол осевой дужки будет
4т = 25°22'.
Выигрыш в подъёмной силе Р крыла по сравнению его
с осевой дужкой, подъёмную силу которой обозначим че-
рез Р', определяется отношением
Р___ cos т ____ 3
Р' ' cos Т--£	2 ‘
Таким образом выигрыш достигает 50°/q.
92
С. А. ЧАПЛЫГИН
Размеры крыла всего проще характеризуются углом 4v,
под которым оно видно из центра О его осевой дужки. Угол
с осью С¥1 радиуса-вектора, направленного из центра инвер-
сии С к вершине А инвертируемой параболы, как нетрудно
усмотреть, равен 2v; в самом деле, отрезок оси от вершины
до бесконечно удалённой точки после инверсии обращается
в часть осевой окружности, лежащую внутри крыла; так
как эта окружность касается в начале координат оси CFj,
то угол, образуемый её касательной в конце интересующей
нас дуги с хордою, будет измеряться половиною дуги и,
следовательно, равен 2>; но, по свойству инверсии, тот же
угол с направлением указанного выше радиуса-вектора, на-
правленного по хорде, должна образовать ось параболы
ввиду того, что элемент этой оси, прилегающий к вершине,
превращается в соответственный элемент дуги окружности.
Из треугольника CAF имеем поэтому
sin (2v — 2т) АР р  2,
sin2v	СР	2d	£ '
отсюда
tg(2v—T) = l±JtgT.
В нашем числовом примере
._	1	cos т
^Т==-9’ е = —!
поэтому
.	.	104-9 tg2T, 91
tg(2v т) 8-4-9tg2t tgTt=9-73’
откуда
2v —т = 7°53'9’,
что при
т==6°20'30’
даёт
4v = 28°27'18".
Таким образом угол раскрытия стягиваемого крыла превы-
шает угол, стягиваемый его осевой дужкой, всего на 8°5'18",
т. е. немного более, чем на 12°/0, а теоретический выигрыш
в подъёмной силе для толстого крыла, как выше было
сказано, равен 50%.
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
93
Для вычисления размеров и положения главной изобра-
жающей дуги, иначе говоря, эквивалентной дуги, мы должны
вычислить прежде всего её центральный угол, четверть
которого определяется уравнением (21):
t = n(\ -j-f2)2,
где
В нашем случае
tg т /.	' V_____81 __«
п (1—tg2т)2 \ cost/ 412
4-¥2+^s4,
rj = 2y2 = 0,0046547.
Пренебрегая ввиду малости степенями 7j выше второй,
найдём:
s = 1 _|_ tj _l2 Г2 _ 1 00470,
1 1 1 4 1	’
f=tgp—у-1,00470,
ji = 2°46'15",
4|л=11°5'.
Так как равенство (21) может быть записано в виде
sin ц cos8 р. = sin т cos т (cos т — е)2,
а по третьему из уравнений (27) параметр параболы устой-
чивости, который для главной дуги выражается формулой
2г sin2 jx cos3 jx,
должен быть равен
ад = 2а sin2 т cos2 т (cos т — е),
то
a sin т cos т
г sin ц =---------------
' cos г — е
и в нашем случае
L =______J= 3_______________________= 3,427.
а 2 >'г82 sin и	2 V82 sin 2°46' 15"
£4	С. А. ЧАПЛЫГИН
Центр главной дуги определяется формулами (20); что
касается среднего радиуса главной дуги, то его направление
образует с отрицательным направлением оси ОХ угол р,
так как директриса параболы устойчивости параллельна пря-
мой, соединяющей задний конец главной дуги с её се-
рединой.
Итак, главная, или эквивалентная крылу, дуга оказы-
вается гораздо более плоскою, чем можно было ожидать;
в этом, мне думается, лежит ключ теоретического истолко-
вания высокого качества толстых дуг; отсюда же ещё более
выясняется их лучшая устойчивость по сравнению с тонкими
крыльями.
§ 5. Крыло нового теоретического типа с закруглён-
ным задним концом. Инверсия параболы имеет ту невы-
году, что крыло, сечение которого имеет такое очертание,
заканчивается чрезвычайно тонким хвостиком, которого нет
никакой возможности практически осуществить. Поэтому
ввиду обнаруживающейся теоретической выгоды таких
крыльев естественно искать близких форм, свободных от
указанной особенности. Вопрос аналитически разрешается
путём преобразования выражения (22), связывающего ком-
плексные переменные z и «. Соотношение (22), которому
можно придать вид
z 4- а — a sin 2т • e~xi J
‘	— 1е
1
слегка изменим, положив
z-\-a=a sin 2т-е~т'
(1-|-Я)а	(1—#)2 )
tt —|— £ Е ££	££ —|— £ Е —|— £С ')
(28)
где Н—некоторое комплексное число с малым модулем:
Тогда
dz ________4Я s]n 2т • е ~ 'и (цН~/б + ^'еТ') (f/M-f--№-4-zeTf).
(и-|-/е — /ет')2 («4-/е-|-гет')2
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА	95
Если модуль и амплитуда числа Н подобраны так, что
е Y cos (т -J- 5) > 0,
, соЧт-8)
то две единственные особые точки функции z лежат в ни к-
ней полуплоскости переменного «; поэтому область течения,
изображаемая на верхней полуплоскости, если, как и в ранее
разобранном случае, мы предположим, что действительная ось
и соответствует контуру крыла, никаких особых точек не имеет.
Что касается обтекаемого контура, то он представляет
плавную алгебраическую кривую без точек возврата. Пока-
жем, что число Н можно определить таким образом, чтобы в
точке и — ео профиль крыла обладал наибольшею кривиз-
ною; тогда будет естественно принять соответствующую точку
контура за точку схода разветвляющейся на нём линии тока.
Формулу для радиуса кривизны /? мы можем написать
б виде
£
(dz dz±\ 2
\du du )
dz dizl	dzx d?z ’
du difl	du du2
где
z = x 4~ iy,
гг = х — iy.
Обозначая для краткости корни знаменателя выражения
(28) через я и f и условившись сопряжённые комплексные
количества изображать теми же буквами, что и данные,
с индексом 1 внизу, мы представим гг б виде
I	• С T/Jd+^t)2 О—/Ж
z.-\-a — a sin 2те~т' (•—1---------—У.
1 I	I U — Oj И — Pl J
Совершив затем дифференцирование, мы в результате
простых, хотя и довольно длинных, вычислений приходим
к следующему выражению для R при больших «;
96
С. А. ЧАПЛЫГИН
где
А = | ya sin 2т {у— [sin т cos й (1 -ф- у2) —
— cos т sin й (1 — у2)] -[•••}]»
£=] costcosS(1 —|— у2) —sinт sin S(1 —у2) — 2еу—
---77 [У sin 2Т—е sin т cos U + У2) 4“
-ф- е cos т sin й (1 — у2)] ф-  • • |!
1 1
многоточия соответствуют членам порядка ,____________
Если мы подберём 5 так, чтобы в разложении /? в об-
1
ласти и = оо отсутствовал член порядка —, то в соседних
с нею точках кривизна будет изменяться в одном и том
же направлении, т. е. возрастать или убывать по обе сто-
роны от этого пункта. А так как при у=0 наш контур
обращается в инверсию параболы и при и = оо мы имеем
точку заострения, то ясно, что при достаточно малых у
здесь будет именно максимум кривизны. Условие отсутствия
— в разложении /? сводится к пропорциональности двух
первых коэффициентов в числителе и знаменателе приве-
дённой выше дроби. Таким образом, мы имеем
cost cos й ^у-|--J-sinTsin й (у— у) — 2е =
_ g 7 sin 2т — е [sin т cos 8 (1 —f— 72) — cos т sin 8 (1 — у2)]
sin т cos 8 (1 -4-72) — cost sin 5(1 — у2)	’
откуда по упрощении находим
cos2 й sin 2т (у4~у)2 — sir|2 ® s*n 2? -У У —
— 2 sin 5 cos й ^4. — cos 2т — 4 sin 2т.
Разрешая это уравнение, имеем
, . 1 ____
(29)
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
97
Радиус кривизны в заднем конце крыла приобретает зна-
чение
__	'С2а sin 2т
Y4 4- 2т2 cos 2т — 2?е ’
стремящееся к нулю вместе с yl’k
Составляя, далее, разложения и в той же точке,
находим
~= — 4ny sin 2т cos (т — 8)	+
-[-4aysin 2тsin (т—+
Отсюда усматриваем, что т — S есть угол, образуемый нор-
малью к профилю крыла в интересующей нас точке с по-
ложительным направлением оси OY; нормаль отклонена от
оси ординат в направлении к оси ОХ; на основании фор-
мулы (29)
tg(T-i)=,14-n2’, 
'	1 + "г cos 2т
Разлагая z в области полюса, мы, следуя приёму, раз-
витому подробно в предшествующем параграфе для инверсии
параболы, легко получим все необходимые коэффициенты,
по которым затем отыскиваем подъёмную силу, вращающий
момент и параболу устойчивости. Следует заметить, однако,
что при сделанном нами предположении о точке схода,
формулы оказываются довольно сложными и не поддаются
ясному геометрическому истолкованию. По этой причине
мы оставим в стороне требование, чтобы точка и — оо, где
попрежнему будем предполагать схождение струи с крыла,
соответствовала наибольшей кривизне профиля, и все по-
следующие вычисления проведём при упрощённом предпо-
ложении, считая Н в формуле (28) вещественным положи-
тельным числом, так что
• г=о,
7 С. А. Чаплыгин
98
С. А. ЧАПЛЫГИН
Формулу для радиуса кривизны профиля вблизи точки
схода можно в таком случае написать в виде
„_ Н2а sin 2т v
К — (1+//2)cost —2№ *
Ч / f -	3 Sin Т COS Т (1 — Н2)
''I /ftt(14~fr2)cosT— 2/ft
]-•••}• (30)
При небольших Н контур крыла будет близок по рас-
положению относительно координатных осей к разобранной
выше инверсии параболы; его
выпуклая сторона будет ото-
бражаться на отрицательной, а
вогнутая — на положительной
части действительной оси по-
луплоскости и. Найденная для R
формула показывает, что вблизи
точки схода, когда и весьма
велико, меньшим искривлением
обладает та прилегающая к
означенной точке часть кон-
тура, которая лежит со сто-
роны выпуклости крыла, ибо R
будет больше при отрицатель-
ных значениях переменного и.
Поэтому вычисленная при упро-
щающем предположении подъём-
ная сила будет менее теоретиче-
ской величины силы, которая
получится, если мы вторую критическую точку, точку схода,
переместим в пункт наибольшей кривизны: в самом деле, эта
точка, очевидно, будет лежать в некотором месте контура,
соответствующем большой положительной величине пара-
метра it, на фигуре 2 мы отмечаем её цифрой 1; О обо-
значает точку схода, соответствующую сделанному нами
предположению. Легко непосредственно усмотреть, что мы
переместим точку схода из О в (1) путём внесения доба-
вочного течения, циркулирующего в том же направлении,
как и основной поток, а добавочная циркуляция повлечёт
прирост подъёмной силы.
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
99
Обратимся теперь к подробному обследованию формы
профиля. В заднем конце крыла мы имеем по формуле (30)
п___________________ kPa sin 2т
К ~~ (1-|-№) cos т —27Л ‘
Нормаль б этой точке образует с осью OY угол т, ибо
б её соседстве мы имеем
^~ =— 4<z/7sin 2т cos Т-4-l-^s,
du	и2 1 iis ’
~ = 4- 4аН sin 2т sin т -4 4- —»
du 1	и2 1 и3
с конечными L и L'. Чтобы поставить обследуемый контур
в связь с некоторой параболой, представим выражение (28)
в виде
. о   о 14/72 — 2iHe-d(u±it}
z 4- а — 2at si п 2т —С——, ,. ,—?, — - -.	(31)
Полагая, как в предыдущем параграфе,
(« 4- Ze)2 + е2« = —,
мы действительную ось полуплоскости и приводим б соот-
ветствие с точками параболы; и тогда координаты изучае-
мого контура будут связаны с координатами соответственных
точек на параболе, выражаемой уравнением (23), следующим
соотношением:
z -]- а = х -|- iy а = 2а sin 2т • e~Tl--------~х _iy — > (32)
где для сокращения введены обозначения
р' = ( 1 -4 У/2 4-2/7—dcost,
\	’	1 cost/
р" = (1 + Н2 4- 2/7 d sin т.
Соотношение (32) позволяет по заданной параболе по-
строить контур крыла исследуемого типа. Для этого посту-
7*
100
С. А. ЧАПЛЫГИН
строим угол ОСЬ, равный
паем так: в плоскости комплексного переменного z отметим
точку с координатами (— а, 0), которую примем за новое
начало координат, оставляя направление осей без изменения
(фиг. 3). На новых осях строим параболу, выраженную
уравнением (22). Далее, отмечаем точку D, аффикс количе-
ства р' г/?"; через неё проводим прямую DE параллельно
оси ОУ. На оси CLY откла-
дываем от начала длину
2а sin 2т, а на отрицательном
направлении оси ОУ—дли-
ну — аН sin 2т и соединяем
концы этих отрезков пря-
мою АВ. Выбрав на пара-
боле произвольную точку М,
по ней строим точку контура
крыла следующим образом:
через основание ординаты
MN избранной точки про-
водим прямую NP парал-
лельно АВ до встречи с
осью ОУ, а через Р—пря-
мую PC параллельно ОО до
встречи с прямою ОЕ в
точке С. Соединив засим
точки М и А и проведя
прямую OL так, чтобы угол
MOL был равен углу ХОС,
углу ОМА-, повернув пря-
мую OL на угол т по направлению движения стрелки часов,
• переведём точку L на надлежащее место в точку Q иско-
мого контура крыла.
При Н=0, как и должно быть, процесс построения
обращается в простую инверсию. Приведённое построение,
которое можно охарактеризовать как осложнённую извест-
ным образом инверсию параболы, представляется не вполне
ясным и несколько громоздким. Поэтому даём ещё иной,
на наш взгляд, более простой способ вычерчивания иско-
мого контура по точкам. Для сего, обратившись к форму-
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
101
ле (28), напишем её в. виде
z-\-a=(z1 — z2)C,
________ I .	___ п	COS Т — 8
zi л:1-ГгЛ’1	1 n-j-sin-r—/(cost — e) ’
„ _ a sin 2т (1
1	 '	J
1	COST—£
I .	COS T—I—£
z9 = X? 4- ZVp — Do------:---Г-4,-----j-: ,
2 J	6 a — sm т -f-1 (cos t +£)
~ __«sin2x(l—H)2
2 cos т + e
(33)
Построим в плоскости z две прямые, параллельные оси
ОХ, следующим образом (фиг. 4): через точку А с коорди-
натами (0, — е) проведём под углом т к оси ОУ отрезок СВ
так, чтобы было
АВ = АС = 1;
через точки В и С проводим упомянутые параллели ВК
и CL действительной оси. Их уравнения будут
_у' —cost—е,
yf= —cost—s,
и мы можем положить
х'— iy' = и sin т — /(cost—е),
х" — iy" — и — sin т —|— Z (cos т е).
Тогда первое из соотношений (33) даёт инверсию прямой ВК
в прикасающуюся к оси ОХ окружность OB'D' с диамет-
ром Dx, а второе — определяет окружность ОСЕ' с диамет-
ром D2, результат инверсии второй прямой CL. Отсюда
вытекает интересующее нас построение.
Строим прикасающиеся к оси ОХ окружности с диамет-
рами D1 н Z>2 и Центрами на положительном направлении
оси OY. Затем проводим указанным выше путём отрезок ВС
и две прямые ВК и CL. Точке М первой прямой, опреде-
ляемой параметром и = ВМ, на второй соответствует
точка N с тем же значением и, которое изображается
отрезком CN. Чтобы найти точку контура, соответствую-
щую 7И, проводим прямую MN параллельно ВС и соеди-
няем точки М и N с началом координат; отметим, далее,
102
С. А. ЧАПЛЫГИН
точки М' и N', в которых прямые ОМ и ON пересекают
окружности. Координаты точки
М' тогда будут xv yv а
координаты точки N' бу-
дут— х2, —у2. Следова-
тельно, если мы через
точку М' проведём отре-
зок М'Р, равный и парал-
лельный отрезку ON', то
точка Р будет точкой
искомого контура. Геомет-
рическое место точек Р
представит нам в плос-
кости z контур крыла,
если за начало координат
мы примем его задний ко-
нец и направим ось OY
по нормали в этой точке
к контуру.
Заметим, что если бы
диаметры окружностей,
при помощи которых мы
строим профиль, были
обратно пропорциональны
расстояниям точки О от соответственных параллелей КМ
и CN, то место Р было бы инверсией параболы, а в том
частном случае, когда DX = D2, оно оказалось бы дугою
окружности.
Примечание. В указанном построении есть одно неудобство:
именно, для больших значений параметра и .мы можем выйти за
пределы чертежа. Это неудобство устраняется следующим обра-
зом. Пусть OQ есть направление, идущее из. точки О в далёкую
точку прямой КМ. Отметим точку пересечения примой OQ
с произвольно проведённою параллельно СВ прямою GH. Эту
точку соединяем с точкою В, в которой прямая СВ, параллельная
прямой GH, пересекает прямую КМ, и продолжаем эту прямую
до встречи с общею касательною OD окружностей. Если послед-
нюю точку мы соединим прямой линией с точкою С, то найдём
в пересечении с прямою GH точку искомого направления OR
. второго радиуса-вектора, необходимого нам для построения про-
филя. Ввиду простоты опускаю доказательство правильности эт'ого
приёма.
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА	103
Что касается функции течения ® == <р /ф, то она в ис-
следуемом теперь случае определяется тою же формулой (5)
§ 1. В отличие от разобранных ранее примеров, когда
поток сбегал с крыла, имея в заднем его конце конечную
скорость, на этот раз мы встретим здесь вторую критиче-
скую точку с нулевою скоростью.
Чтобы определить подъёмную силу крыла и его вра-
щающий момент, пишем разложение функции (28) в области
полюса. Обозначая, как в предшествующем параграфе,
и -ф- z'e через и' и 1е'{ через а', получим аналогично фор-
муле (24) этого параграфа
г'4- а' = a" sin 2те-« { ——7 — ~ -ф- G “ 7°-
1	— а 2а' 1	4а'2
где
а" = а(14-/7)2, 0=
Выбрав
а’ = а(\— H)2 = Ga",
будем иметь для коэффициентов k, I, k}, те же выра-
жения (25), как в предшествующем параграфе, но только
с множителем G. Таким образом
,	~ cos2 т	,	„ sin2 Т
I = — G ——,	k = — G ------
2 sin т	2 cos т
,	„ cos 2т	, п sin 2т
/1 = — °-~г>	ki = °-r’
причём попрежнему
р —	— 2 cos т — 2г,
р = —т,
—a"sin 2т.
В дальнейшем мы можем опустить значок " при букве а,
не упуская, однако, из виду, что ей теперь придаётся но-
вое значение.
104
С. А. ЧАПЛЫГИН
Формулы (6) и (9) § 1 определят нам подъёмную силу
_	, . COS т
Р= 4ттрате sin т-----------sin а,
" о cos т — г
имеющую буквально то же выражение, как и в случае ин-
версии параболы; по формуле (8) мы находим критическое
направление потока; оно образует угол т с осью OY и
лежит в положительном координатном угле; как было вы-
яснено выше, это будет нормаль крыла в его заднем конце,
где его покидает разветвляющаяся линия тока.
Направив ось ОУ навстречу критическому направлению
потока, мы по формулам (12) определяем координаты фокуса
параболы устойчивости ag, ah, параметр её aq и расстоя-
ние директрисы от начала aq—ag. Получим:
г' ( ч о । Е sin2
ag= — aG I cos8t cos 2т -]--— I ,
,	о-о 6 sin 2" cos 2т . 1 е sin т \
ah = aG I cos3 т sin 2т---s------------------ ,
\	2	1 О’ cos г — е J
aq — 2aG sin2 т cos2 т (cos т — е) =
~ 2aG sin2 т cos8 т—Gas	,
aq — ag=aG cos8t.
Директриса отстоит от заднего конца крыла на расстоянии
Д — а’—aq-yag—aG(\ —cos8 т).
Сравнивая приведённые формулы с соответственными им
для инверсии параболы, убеждаемся, что при одном и том же
определяющем линейные размеры коэффициенте крылья бу-
дут давать одну и ту же подъёмную силу. Но парабола
устойчивости в новом крыле будет острее и ближе прини-
кает к крылу, а потому последнее крыло отличается боль-
шею устойчивостью.
Выгода этого крыла выступает ещё яснее, если мы за-
метим, что при одном и том же а его ширина оказывается
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
105
меньшею, чем для сравниваемого с ним и имеющего очер-
тание инверсии параболы. В самом деле, легко увидеть, что
радиус-вектор ОР точки контура будет всегда менее суммы
диаметров:
OP < D, -4- D2 = a sin 2т (---— Н-------Я—;
\	1 ।	<=	\cost— е 1 cost4-е ]
при этом радиусы-векторы точек, соответствующих значе-
ниям и, близким к нулю, могут быть несколько более того
радиуса ОРЪ который наклонён к оси OY под углом т и,
соответствуя значению и = — etgT, имеет величину
ОР, =	D2) cos т,
весьма близкую к указанному пределу Dx -ф- Dz ввиду ма-
лости угла т.
Те же замечания справедливы для инверсии параболы,
когда 0=1. У профиля этого крыла также будут суще-
ствовать радиусы-векторы, большие соответственного [ра-
диуса ОР[, определяемого равенством]
„	, г-,, I rv 4	Г, [ cos т , cos т \
ОР\ — (D, 4- D') cos т=о sin 2т------------------к ------f.
1 'll 2'	\cost — s 1 cost-[-г/
Но при достаточно малом
0 =
1 — Н\2
14-/7;
и небольшом т будет иметь место неравенство
0P’i>D1-^D2.
Положим, например, как в § 4,
cos т
и пусть
106
С. А. ЧАПЛЫГИН
Тогда
о
ОР[ — a sin 2т,
2?1 -}- £>2 = гл а cos t sin 2т;
DU
OP'i 25	. 25
fll+ZV“22COST> 22
если1§т=-д-, как в числовом примере к § 4.
§ 6. Крыло, опирающееся на инверсию эллипса. Рас-
смотренные в двух предшествующих параграфах крылья при-
надлежат к довольно широкому классу, который характе-
ризуется функцией
и Ни^Н'и.-^Н"'
где d—некоторая линейная величина, а прочие коэффи-
циенты— комплексные числа, выбор которых стеснён лишь
некоторыми неравенствами. Кривая, соответствующая дей-
ствительной оси в плоскости вспомогательного комплексного
переменного и и дающая, как и прежде, профиль крыла,
будет сомкнутой, если Н имеет модуль, отличный от нуля.
В области течения, отображающейся на верхней полупло-
скости и, будет существовать лишь один простой полюс,
если лишь один из корней знаменателя обладает положи-
тельным коэффициентом при мнимой единице. Наконец, оба
корня производной функции z должны располагаться в ниж-
ней полуплоскости и. Вот все те условия, из которых выте-
кают упомянутые выше неравенства.
Заметим, что путём надлежащего выбора осей в пло-
скости z мы можем уничтожить коэффициент при квадрате
в числителе формулы (33) и привести к единице коэффи-
циенты Н и L'. А выбором начала на действительной оси
переменного и и подбором мастштаба достигаем того, чтобы
коэффициент Н' был равен мнимой единице. Таким обра-
зом в формуле (33) останется, кроме линейного множителя,
характеризующего размеры кривой, четыре числа, опреде-
ляющих её тип. Принимая во внимание приведённые заме-
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
107
чания, мы всегда можем вместо формулы (33) изобразить
функцию z формулою
G2 \
и — а')
1
и — а
z = d
(34)
где
a = b-\-ci, а' = Ь'— c'i, G — b"-\-c"i.
Коэффициенты с и с' должны быть положительными числами,
х,	dz
что же касается G, то, так как корни суть, очевидно,
b ci-\-
Ь' —Ь— /(сЦ- с')
1 — b" — c"i
b -ф- ci +
Ь' — Ь — i(c-f-c')
мы должны потребовать, чтобы эти два выражения имели
отрицательные коэффициенты при мнимой единице; а это
налагает условия
с _ (c + c')(l-fc") + (fe-^)*" < 0
(1—6")2 4-С"2	’
с_ (С + и(!+*>")-(6-ис"<0
(1 \
При этом мы можем на основании высказанных выше заме-
чаний положить Ь=0, с=1.
Найденные неравенства не заключают в себе противо-
речия, ибо их можно выполнить при произвольно заданных
прочих коэффициентах, если мы примем с' достаточно боль-
шим. Исключение представляется при Ь" = 4- 1; но в этом
случае при малых с", имеющих надлежащий знак, опять-таки
можно удовлетворить оба неравенства, придавая достаточную
величину тому же коэффициенту с'.
Кривые рассматриваемого типа могут быть построены
при помощи циркуля и линейки путём, вполне аналогичным
указанному в § 5. Так же, как и там, мы будем иметь две
параллельные прямые, на которых от надлежащих точек
будут откладываться равные отрезки, характеризующие зна-
чение переменного параметра и, и две прикасающиеся окруж-
108
С. А. ЧАПЛЫГИН
ности, инверсии указанных прямых; эти окружности опре-
делят векторы, сложение которых позволит отметить точки
искомого профиля. Разница будет лишь в том, что прежде
сложения один из векторов необходимо повёртывать в дол-
жном направлении на угол, равный двойному аргументу ком-
плексного числа G. Вместо этого, очевидно, можно повер-
нуть соответственную прямую и полученную при помощи
её инверсии окружность на тот же угол и затем уже скла-
дывать получаемые векторы без изменения их направлений.
Класс кривых, определяемых формулою (34), охваты-
вает, между прочим, инверсии кривых второго порядка, а
из этих последних — все эллипсы. Что касается формулы (34),
то она включает также параболы и гиперболы, если мы
отбросим условие конечности модуля коэффициента Н.
В дальнейшем остановимся исключительно на крыле,
очертание которого определяется инверсией эллипса. Прежде
чем перейти к отысканию соответствующей функции z, ввиду
интереса, представляемого таким профилем, дадим его ха-
рактеристику, исходя из чисто геометрических соображений,
опирающихся на свойства эллипса. Чтобы получить крыло-
видную форму путём инверсии эллипса, мы, очевидно, дол-
жны, во-первых, брать эллипсы с большим эксцентриситетом
и располагать центр инверсии вблизи большой оси вне
эллипса. При этом будет получаться изогнутое крыло с осе-
вою дужкою в виде дуги круга, которая служит инверсией
фокального отрезка. Осевая дужка при её продолжении
проходит через центр инверсии, имея здесь касательную,
параллельную большой оси эллипса. Если мы соединим се-
редину осевой дужки с центром инверсии, то получим прямую,
которая разделит пополам угол между касательными, проведён-
ными из центра инверсии к исследуемому контуру; это сле-
дует из известного свойства эллипса, по которому биссектор
угла его касательных, проведённых из какой-либо точки,
делит в то же время пополам угол, имеющий в этой точке
вершину и опирающийся на фокальный отрезок.
Ещё более ясное представление об исследуемом про-
филе мы получим, если обратимся к его двойным касатель-
ным, как я назову для краткости касательные, имеющие
две точки прикосновения к контуру. Пара таких касатель-
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
109
ных будет существовать в том случае, если центр инвер-
сии расположен внутри общей площади двух кругов кри-
визны эллипса в вершинах его малой оси: ибо в этом слу-
чае можно провести две реальные окружности двойного
прикосновения, которые проходят через центр инверсии и
которые после инверсии и обратятся в двойные касатель-
ные. Любопытно отметить, что равноделящая угла между
этими прямыми параллельна упоминавшемуся выше биссек-
тору угла касательных из центра инверсии. Докажем это.
Уравнению охватывающей окружности двойного прикоснове-
ния к эллипсу
очевидно, можно придать вид
х2 । у2 .	/1	1 \	п
—5——1 ---- ( Тэ-5" ) (У М2 ==
а2 ' Ь2	\ b2	a2 ) '•	'
параметр 1 определится из условия прохождения этой окруж-
ности через центр инверсии и, следовательно, представляется
каждым из корней квадратного уравнения
тг_|_я2_й2_|_2^-/й— ^-*2 = 0,
где
с2 = а2 — Ь2,
если через /и, п мы обозначим координаты центра инверсии.
Углы касательных к окружностям в точке (т, п) с осью ОА"
определятся формулой
в которую нужно вставить поочерёдно два корня )4, ).2 при-
ведённого уравнения. Угол равноделящей
» !Ч ~Ь йг
“	2	’
по
С. Л. ЧАПЛЫГИН
а следовательно,
tg2S =
сг
т 2л+-у2
/»4	/*2 »
п2 1^2 4"п (h Н~ ^г) — т2
откуда по замене
). имеем
tg28=-^—
(35)
.Та же формула определяет биссектор угла между векто-
рами, направленными из центра инверсии к фокусам эллипса.
Между точками прикосновения двойных касательных на
каждой стороне профиля располагаются по две точки пере-
гиба, соответствующие тем точкам на эллипсе, круги
кривизны для которых проходят через центр инверсии.
Если этот центр окажется на круге кривизны в одной
из вершин малой оси, то две точки касания соответствен-
ной двойной касательной сливаются между собою, и в та-
ком случае эта прямая будет иметь с профилем прикосно-
вение третьего порядка.
Если, далее, центр инверсии будет представлять внут-
реннюю точку лишь для одного из кругов кривизны в вер-
шинах малой оси, то у инверсии эллипса останется лишь
одна двойная касательная. Наконец, таких касательных
вовсе не будет, и профиль окажется всюду выпуклым, если
инверсия совершается из центра, лежащего вне обоих упо-
мянутых кругов. Заметим ещё, что двойные касательные
пересекаются на прямой, проведённой через центр инвер-
сии параллельно большой оси эллипса.
Чтобы охарактеризовать до некоторой степени размеры
профиля, определим диаметр D его осевой дужки, стяги-
ваемый ею угол 1L и угол 27V, под которым крыло видно
из центра упомянутой дужки. Что касается диаметра, то он,
очевидно, будет
если д — коэффициент инверсии; знак надлежит подобрать
так, чтобы D было положительно. Далее,
N=X’ — X", L = \i! — р",
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
111
если буквами 1 и р. соответственно обозначим углы, обра-
зуемые с осью ОХ векторами, идущими из центра инвер-
сии к вершинам большой оси и фокусам эллипса. Из этого
соображения легко получаем
, .,	,	2па
tgN=Ч—z-j—55,
°	— т2-[-п2 —	а2
,	,	2пс
tg L = Ч—p-j—=-г..
в	—- т2 4- п2 — с‘
(36)
Хорда осевой дужки, очевидно, равна DsinL, а дуга,
в которую превращается большая ось, стягивается хордою
длины DsinN. Наконец, угол 28, определяемый форму-
лой (35), представляет вместе с тем угол наклона к оси
эллипса хорды осевой дуги его инверсии.
Обратимся к изысканию функции г, относящейся к по-
ставленной задаче. Чтобы изобразить на верхней полупло-
скости и область s, лежащую вне данного эллипса, доста-
точно положить
с ( 1 и —I— Z [ • и — i \	/
+ <37)
где k — некоторая вещественная дробь. Тогда действитель-
ная ось области и соответствует контуру эллипса с полу-
осями
1Ч-*2
а=с2Г
Ь=с
1 — k2,
2k '
вершинам большой оси соответствуют значения
п = 0, а = оо,
концам малой оси —
« = ±1,
фокусы
же эллипса отображаются в точках
,14-Л
и— 11— k'
Л—k
и~~	'\-\-k
нижней полуплоскости и.
Определим z формулой
х — N'
N"cd
S — Sq'
112
С. А. ЧАПЛЫГИН
в которой N' есть комплексная величина с линейным моду-
лем, N"— комплексное число, d—вещественное количество
линейного размера, a s0 — результат замены в выраже-
нии (38) аргумента и его частным значением и0 с положи-
тельным коэффициентом у мнимой единицы.
Контур, полученный нами, очевидно, принадлежит к классу,
определяемому формулой (33). Подставив вместо s и s0 их
значения, мы придадим функции z фоуму
z-N' = /ЛГ£(1-«о«1)(1 + ^
d	‘2 (и — ий) (и — ur) ’	Г5®)
где Е есть эксцентриситет преобразуемого эллипса, а корни
знаменателя и0 и и1 связаны соотношением
(l-/|zz0)(l-z|zz1)=^(	(39)
Положив в формуле (38)
дГ=. _------N' = -id,
Е(\— им)
мы преобразуем эту формулу к следующему виду:
г (1— «оИО (1— и)
7	1	(U~U0)(U — Uj)
,ъ , , ъ )
. JI— I— Ua 1 — I----------
__ f 1 — UpU] J а °__________а | .	(40)
«о — И1 I и — “о 11 — и1 )
Так как
z = 0 при zz=oo,
z— — id при и = z,
то началом координат в плоскости z является точка, слу-
жащая инверсией дальней вершины эллипса, а ось Y про-
ходит через центр инверсии, который лежит на расстоянии
d от начала.
Соответственные точки эллипса и его инверсии опреде-
лятся формулами (37) и (40) по замене и одним и тем же
реальным значением. Когда в этих формулах zz придаётся
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА^	ИЗ
какое-либо иное значение, чисто мнимое или комплексное,
то мы имеем соответствующие друг другу точки областей
s и z. В частности, чисто мнимые значения и в области s
определяют действительную ось, по которой направлена
большая ось эллипса и которая в результате инверсии об-
ращается в окружность, содержащую осевую дужку про-
филя крыла. Значения
по подстановке их в равенство (40) определят координаты
точки, в которую инвертируется ближайшая к центру ин-
версии вершина эллипса и соответствующие его фокусам
концы осевой дужки в области г.
Заметим для ясности, что мнимая ось плоскости и ото-
бражает лишь лежащую вне фокального отрезка часть дей-
ствительной оси области s и соответствующую ей часть
упомянутой выше окружности. Что касается самого фокаль-
ного отрезка и осевой дужки, то они в области и изобра-
жаются окружностью С, диаметром которой служит прямая,
соединяющая аффиксы фокусов. Плоскости переменных s и
z целиком однозначно изображаются в плоскости и, с одной
стороны, на части этой плоскости, лежащей вне круга С,
с другой — на самой его площади; причём всякой точке
областей z и s, таким образом, соответствуют по две точки
плоскости и.
Чтобы удобнее вести дальнейшие вычисления, введём
вместо и новое вспомогательное переменное t, а вместо
эксцентриситета — число И, положив
и = i th t,
£=JL;
ch H
тогда
u0 — i th t0, «j = i th tx;
соотношение (39) даёт
=	^л — —H—'4>
8 С. А. Чаплыгин
114
С. А. ЧАПЛЫГИН
а формула (40) приводится к виду
z___________________	. ch t ch
d sh (£ — 7g) sh (^ Ч- '
или
z __	1	/ ch(t0-|-/7)
d sh (2t0—j—/V) \ ch t0(U— «о)
ch t0
ch	— «0
• (41)
Последнюю формулу для выражения функции z мы со-
хранили ввиду того, что по ней очень просто вычисляются
необходимые для дальнейших выкладок коэффициенты. В са-
мом деле, сравнив это выражение с формулой (1) § 1 и
имея в виду, что линейная величина а заменена в формуле (41)
через d и а = и0, мы находим:
л ch (fр-р/7)
ch t() sh (2t0-1- H) ’
ib — Ш — ch3to ,
A	ch (t0 - j- H) sh (2t0+H)
___/'(0)____ ch* t0
1 A sh2(270-|-//)'
(42)
Значение комплексной величины t0 определится, если мы
заменим в формуле (37) для комплексного переменного s
переменное и через t и примем во внимание, что частное
значение и = и0 с соответствующим ему t — t0 определяет
в плоскости эллипса центр инверсии. Таким образом полу-
чаем
s = -cch(2t-\-H),
s0 = tn -ф-in = — с ch (2/0 -ф- Н).
Фокусам эллипса, для которых производная s обращается
в нуль, соответствуют значения параметра t
2 ’ 1 ~~ 2	2
и величины z
sh^
z' = id----~------ z" — id_________-___
Sh2^o+^’	-	Ch^o + ")’
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
115
отсюда
z" — z’ __ ch /0 ch (70 4-/7)
d	sh2(2t0-[-//) ’
(43)
Вершине эллипса, находящейся в точке 5 —— а, где
и = / = 0, соответствует в области течения точка профиля
крыла
Z'rfsh/osh (/„+//) '
(44)
Для определения подъёмной силы Р воспользуемся на-
шими общими формулами (6), (7), (8) и (9) § 1. Фигури-
рующая в них величина р будет иметь в нашем случае вы-
ражение
«о___sh (70
ch f0 ch t'o
“о —
если мы на этот раз условимся через Uq и /р обозначать
комплексные числа, сопряжённые и0 и /0. Коэффициент К
подъёмной силы, на основании указанных формул, опреде-
лится равенством
аК= | А | = 4npd
ch(tp—[-//) ch tg
sh (2f04-/7)sh (fo-Ho)
[где вертикальные чёрточки употреблены как знак модуля
величины, стоящей между ними]. Так как формула (43), свя-
зывающая линейную величину d с хордою 5 осевой дужки,
даёт
S| sh2(2t0-(-//) |
4 |ch/0ch(/04-/7)|’
причём
ch/'0 _
chf0 ’
то
fl#=np.S|Sh <2to + rt) .	(45)
| Sh (70 tg)
Так как область и есть верхняя полуплоскость, то
из формулы
и = z th t
8*
116
С. А. ЧАПЛЫГИН
легко заключаем, что областью t будет бесконечная полу-
лента с положительными ординатами, ограниченная действи-
тельною осью, её параллелью на расстоянии тг и осью
ординат, причём полулента простирается в сторону, положи-
тельных абсцисс. Ввиду того, что центр инверсии должен
лежать вблизи вершины, которой соответствуют значения
« = 0, t — 0, действительная часть и коэффициент при мни-
мой единице у числа t0 будут небольшими положительными
числами. По ним приведённой выше формулой
т -|- in = — с ch (2/0 -|- Н)
определяются координаты центра инверсии; обе они отри-
цательны. Приняв всё это во внимание, последовательно
получаем
| sh (2t0 4-Н)I = |	|=iZS ,
если через t\ и гг обозначим радиусы-векторы, направлен-
ные из центра инверсии соответственно к дальнему и ближ-
нему фокусам; далее,
-^"=ch(2/04-/7) =
= dl (4 + +н) ch (t0 — 4) 4- sh (t0 4-44“^)sh Uo~^o);
2 = 1 ch (2f0 4- H) |2 _ I =
— sh2 (^ “г ^0 sh2 (^o — ^>)«
(m2 n2 — c2)2 -|- 4n2c2 Г|Г2 
c4	c2
= sh2 (/0 4- to 4- H) — sh2 (/0 — t'o);
— ^ = ch (2/04-/У) — ch (2^4-//) =
= 2 sh (/0 4- to -J- H) • sh (/,, — /о)»
а затем, введя при помощи соотношения (36) угол L, под
которым фокусное расстояние и осевая дужка видны из
центра инверсии, имеем
sh(/04-^4-/V) = ^ST cos ,	(46)
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА	117
после чего формула (45) обращается в следующую:
S	L
аК=тц —Q = 4ггрг sin—- Q,	(47)
c°sr
если через г мы обозначим радиус осевой дужки, а через
Q — число
Q^!h(fo + to+/7) ,
sh (to 4~ *о)
Формула для подъёмной силы может быть теперь изо-
бражена в виде
о	J
aKvo sin a = P=4n?rvl sin sina-Q = 7’0-<2,	(49)
где Po — подъёмная сила тонкого крыла, сечением которого
является осевая дужка. Величина Q характеризует тот вы-
игрыш, который возникает от утолщения и удлинения крыла
при переходе к инверсии эллипса. Чтобы яснее выставить
на вид этот выигрыш, преобразуем Q, пользуясь найденным
выше соотношением (46), из которого выводим
„_____	sh (to +10 4-/7)
sh (to -|~ tfl 4- /7) ch H — ch (tg 4- /7) sh /7
----------,	•	(50)
ch /7— i / 1 4----------— sh H
V i\r2 cos2 v
r^2 cos2
L 1 4- cos £ (rj 4- r2)2 — 4c2
2 — r!r2 2 ’	—	4
как это следует из соотношения между сторонами и углами
треугольника с вершинами в фокусах и центре инверсии.
Так как fj + 'z есть большая ось софокусного с преобра-
зуемым эллипса, проходящего через центр инверсии, то,
С. А. ЧАПЛЫГИН
118
обозначив эту ось через
о _2с
и припомнив, что ch Н равен обратной величине эксцентри-
ситета основного эллипса, мы найдём следующую удобную
форму для коэффициента Q:
Чтобы удобнее было сравнивать между собою силы
крыльев с неизменною осевою дужкой, видимых из центра
этой дужки под одним и тем же углом N, который опре-
деляется первою из формул (36), преобразуем коэффици-
ент Q, введя в его выражение этот угол. Формулы (36)
дают
2л 1 — Е? 1	__!\r, sin L
с ' Е EctgL — ctg N * с2 ’
после чего из равенства (47) имеем
Р
Q----------7-=7-	.- — • (51)
/ sin N ^cos2 --Е2 sin — J — Е cos Nsin L
у	sin N cos2 ~
Эта формула позволяет сопоставить между собою подъём-
ные силы, которые развиваются крыльями и которые полу-
чатся в результате инверсии из одного и того же центра
семейства эллипсов, нанизанных на одну и ту же ось; се-
мейство характеризуется тем, что фокальные отрезки
и большие оси всех эллипсов видны из центра инверсии
под неизменными углами L и N.
Обозначив через С обратную величину эксцентриситета,
из равенства (50) определим:

К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
119
где q будет положительная неправильная дробь, в чём легко
будет убедиться, так как разность между квадратами её
числителя и знаменателя легко приводится 1’1 к простому
выражению
tg2 Г
sin2 W '
Таким образом Q увеличивается с уменьшением эксцентри-
ситета Е. Теоретически наименее выгодным очертанием
является инверсия параболы, а наиболее выгодным — инвер-
сия эллипса, фокусы которого равно удалены от центра
инверсии. Этому эллипсу, как легко усмотреть, соответ-
ствует эксцентриситет
и величина
 , N
sin L cos
Q = Qmax=9Л *	n-l . /v-RV;
2 I sm — cos2 --1/ sin—-— sin—— }
\ Z Л V	Z	Л J
для инверсии параболы E=1 и
Q---Qmin
1__________
sin (ТУ— L)
sinA/cos2 ~
Эти два предела довольно значительно разнятся при
большом изгибе крыльев. Так, если 2N=30°, 22,— 27°,
то подсчёт даёт
Стах =1,608, Cmin = 1,471;
следовательно, симметричная инверсия эллипса теоретически
должна развивать на 9°/0 большую подъёмную силу, чем
опирающаяся на те же круговые дуги инверсия параболы.
Возможно, что на практике влияние вязкости, ведущее к
образованию вихревого хвоста позади крыла, хвоста, тем
120
С. А. ЧАПЛЫГИН
более широкого, чем задний конец тупее, сгладит эту вы-
году. Вероятно, и лобовое сопротивление при значительном
притуплении кормовой части профиля возрастёт в такой
мере, что оценка ещё более повысится в пользу крыла с
менее притуплённым задним краем. Однако в известных пре-
делах преимущество профиля в виде инверсии эллипса может
всё же существовать и на деле. Вопрос этот может быть
разрешён лишь экспериментальным путём.
Все изложенные соображения о подъёмной силе иссле-
дуемого крыла опирались на формулу (6), в которой угол а
отсчитывается от критического направления. Чтобы ясно
представить себе роль данного очертания, необходимо опре-
делить, как ориентировано по отношению к нему это
направление. Для этого воспользуемся указаниями, сопро-
вождающими формулы (7) и (8) § 1: угол, образуемый
критическим направлением с осью ОХ, равен плюс аргу-
мент коэффициента А, определяемого первою из формул (42).
Отыщем, каков будет угол р между тем же направлением
и хордою осевой дужки; очевидно, р равно разности аргу-
ментов комплексных чисел iA и , из которых послед-
нее дано формулой (43). Таким образом
Но
p = arg
sh (2f0+/7)
ch2f0
c sh (2/0 -J- //)=]/(zn -|- in — c) (tn -j- in -j- c) —
_______________ J’+
=V W 2	,	a*
ch/0=ch (/<> + ?) chy —sh ^-|-^shy=
,/ch(2f0+//)-l
“	2 V 2 ’	2 V 2	—
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
121
Здесь есть радиус-вектор, направленный из центра ин-
версии в удалённый от него фокус, г2 направляется к бли-
жайшему фокусу. Легко усмотреть, что так как координаты
центра инверсии отрицательны, то
L — s2
Приняв это в соображение, найдём из приведённых формул
для искомого угла уравнение
Из приведённого соотношения вытекает, что критическое
направление дальше отклонено от хорды осевой дужки,
чем в случае инверсии параболы, когда г\ — ос и ц = у,
т. е. когда критические направления самой дужки и сра-
вниваемого с нею профиля совпадают. Указанное обстоятель-
ство .ещё более подчёркивает выгодность профилей с при-
туплённым задним краем, так как при одном и том же угле
встречи потока с хордою осевой дужки образуемый им
угол а с критическим направлением окажется больше для
инверсии эллипса с меньшим эксцентриситетом.
Чтобы не загромождать изложения излишними формулами,
я не стану останавливаться на подсчёте элементов параболы
устойчивости и изображающих дуг для рассматриваемого
крыла; в случае надобности этот подсчёт легко сделать,
воспользовавшись присущими крылу коэффициентами (42)
и данными в своём месте общими формулами (18). Отмечу
лишь более простой частный случай, в котором все вычис-
ления особенно упрощаются: я имею в виду симметричную
форму профиля, получающуюся в предположении, что центр
инверсии лежит на большой оси. В этом случае и0 и иг
суть количества чисто мнимые, ta и вещественны. Фор-
мулы (42) дают тогда
Z=А1 = О,
а по формулам (18)
£ = ?=0.
122
С. А. ЧАПЛЫГИН
Параметр параболы устойчивости и опрокидывающий момент
равны нулю- Изображающие дуги и главная дуга обращаются
в прямолинейные отрезки, лежащие на оси профиля.
Мы встречаем, таким образом, форму профиля, отмечен-
ную в конце § 2; её удобно принять для устройства рулей.
Нетрудно для этого случая выразить все характерные для
крыла величины через длину его осевой хорды S и полную
длину оси профиля D. В самом деле, из формул (43) и (44)
имеем
S _ ch2(2t0-[-//) —ch2/7
D ~ |ch2 (2£0— l|chZ/’
но здесь
ch(2/0 + H)=---=^ = l,
если через аг и Ег попрежнему обозначим большую полу-
ось и эксцентриситет софокусного основному эллипса, про-
ведённого через центр инверсии. Так как
сЬЯ=1
Г.
то мы получим
1 — Е\	D '
вследствие этого формула поддерживающей силы, на осно-
вании соотношений (47), (49) и (50), принимает вид
Р—пр Dvo sin о fl -j- j/^ 1 — E^\ .	(52)
Если в этой формуле Е = 1, то очертание руля будет
симметрической инверсией параболы.
Положение центра давления, т. е. той неизменной точки,
через которую постоянно проходит равнодействующая, легко
получится при помощи второй из формул (18), в которую
надлежит вставить значения /, и k из равенства (42), 1 за-
менить через А, данное теми же формулами, положить
„ и0 — ип
^=~-^ = 2thtq
123
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА
и линейную величину а заменить через d, которое можно
затем выразить через элементы профиля при помощи ра-
венств (44) и (43). Произведя все указанные операции, мы,
таким образом, последовательно получим для расстояния R
центра давлений от заднего конца руля
R=hd=u{k—У +=
__ S J ch т sh (2 fg —Н)
4 I ch (£0+Н} "Г" sh 2t0
sh^o
sh (2^g —|— //)
отсюда, имея в виду равенство (48), где ^ = /0, а также
равенства (51) и (52),
При В—1, т. е. в случае инверсии параболы

и будет больше, чем для инверсии эллипса.
§ 7. Заключение. Рассмотренный доселе тип крыльев,
для профилей которых нами дан приём построения при по-
мощи циркуля и линейки, не является единственным в своём
роде. Если бы мы задали функцию z формулой
а'
и — а.'
и —а"
то, выбрав комплексные числа а так, чтобы первое из них
обладало положительным коэффициентом при мнимой еди-
нице, а у остальных эти коэффициенты были отрицательны,
мы всегда можем надлежащим подбором чисел а', а", ...
выполнить и второе необходимое условие, чтобы все корни
производной от г находились в нижней полуплоскости пе-
ременного и. Тогда, приняв за контур крыла кривую, соот-
ветствующую реальным значениям и, мы попрежнему изобра-
зим область течения в верхней полуплоскости этого перемен-
ного. Всё течение и все элементы, характеризующие крыло,
определятся указанным в § 1 общим приёмом. Построение
контура будет отличаться от указанного в двух предше-
124
С. А. ЧАПЛЫГИН
ствующих параграфах лишь тем, что на этот раз придётся
для нахождения его точек складывать большее число векто-
ров, так как параллельных прямых и окружностей при их
инверсии будет столько, сколько дробей в формуле z.
Условия выбора чисел а', а!', ... поведут к некоторым
неравенствам. К ним можно добавить также некоторые
уравнения, благодаря которым крыло будет снабжено острым
задним краем в форме точки заострения первого или вто-
рого рода. Для этого достаточно потребовать, чтобы стар-
ший или два старших члена в числителе мероморфной
,	„ dz	„
функции, выражающей выпадали. Если, например, мы
положим
z	о.' — я" . а" — а . а — а'
a	и — а 1” и — а'Т и — а" ’
то контур будет иметь клювообразное окончание. Коэффи-
циенты а должны быть таковы, чтобы корни уравнения
Зи2 — 2 (a -J- a' -J- а") и -J- си'	а'а" -|- а" а = О
имели отрицательную мнимую часть ’).
Суммируя полученные нами выводы, отметим, что при
сделанных предпосылках об отсутствии вязкости и о прене-
брежении сжимаемостью воздуха для крыла любой формы
должно иметь место правильное обтечение, причём если
точка схода не меняет своего места, то поддерживающая
сила и вращающий момент имеют выражения
Р=Л'рото sin а,
М = ряМ) (О cos 2а -j- Nsin 2а -j- Q),
где а — угол встречи, отсчитываемый от критического на-
правления. Крыло характеризуется свойственной ему пара-
Пример:
корни приведённого квадратного уравнения будут
К ОБЩЕЙ ТЕОРИИ КРЫЛА МОНОПЛАНА	125
болой устойчивости, облекающей линии действия поддер-
живающей силы при различных углах встречи. Момент
относительно фокуса этой параболы имеет величину, не за-
висящую от угла атаки и равную опрокидывающему моменту,
который будет иметь место при критическом направлении
потока, когда сила обращается в нуль. Наконец, всякой
форме профиля соответствует определённая, неизменно с ним
связанная дуга окружности, которая представляет собою
сечение идеально тонкого крыла, имеющего все количествен-
ные свойства данного.
Конечно, вязкость вносит существенные искажения в на-
рисованную нами картину; в несравненно меньшей степени
дело будет меняться от упругости воздуха. Тем не менее,
при тех довольно узких пределах, в которых меняется угол
атаки в реальных случаях полёта, мне думается, можно
ожидать довольно хорошего практического согласия между
выводами развитой нами теории и опытными данными. Было
бы благодарной темой для экспериментального исследования
сравнение теоретических построений и вычислений с резуль-
татами непосредственного измерения сил по моделям, изго-
товленным на основании указанной теории.
О ВЛИЯНИИ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПОТОКА
ВОЗДУХА НА ДВИЖУЩЕЕСЯ В НЁМ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЕ КРЫЛО »)
§ 1. Введение. В предлагаемой работе автор устанавли-
вает основы, на которые должно опираться теоретическое
исследование продольной устойчивости самолёта. Для этого
необходимо иметь формулы, определяющие прежде всего
подъёмную силу и момент давлений воздуха на крыло, дви-
жущееся каким угодно переменным движением. Указанный
вопрос и разрешается автором для случая плоского потока
при условии постоянства циркуляции. Конечная величина раз-
маха внесёт некоторое индуктивное сопротивление, которое
придётся подсчитывать по методе Прандтля, хотя она, правда,
и не вполне приложима при неустановившемся движении.
В статьях «О давлении плоскопараллельного потока на пре-
граждающие тела» 2) и «К общей теории крыла моноплана»Ч * * * 8)
мною развита теория, позволяющая определить силы давле-
ния и их момент в случае равномерного прямолинейного дви-
жения цилиндрического крыла, опирающегося на данную
дужку, или, что всё равно, воздействие потока на непо-
движное крыло.
Ч Впервые напечатано в Трудах Центрального аэрогидроди-
намического института, вып. 19, 1926 г. Премировано Централь-
ной комиссией улучшения быта учёных.
2) Математический сборник, т. XXVIII, 1910 г. [стр. 11 настоя-
щего издания].
8) Издание Высшего военного редакционного совета, 1922 г.
[стр. 71 настоящего издания].
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
127
В предлагаемой работе я устанавливаю формулы, даю-
щие равнодействующую и момент давлений на бесконечное
крыло, движущееся переменным движением и имеющее, кроме
поступательной скорости, любое вращательное движение.
При этом мы, во-первых, оставляем в стороне силы вязко-
сти и, во-вторых, разрешаем задачу так, как будто имеем
дело с несжимаемою идеальною жидкостью. Последнее пред-
положение, как оно ни кажется далёким от представления
о газе, вполне рационально для случая равномерного движе-
ния крыла, как это мною в своё время было показано в ра-
боте «О газовых струях»1). Что касается первого, то оно
является источником существенного расхождения с действи-
тельностью, так как ведёт к уничтожению силы лобового со-
противления в случае невихревого движения.
Однако, как показывает эксперимент, получающиеся при
такой гипотезе величины подъёмной силы и момента при рав-
номерном движении достаточно хорошо согласуются с наблю-
даемыми. Поэтому можно ожидать, что и результаты выво-
дов, предлагаемых мною здесь, дадут довольно хорошее
согласие с опытом. Указанные ограничительные условия во
всяком случае неизбежно должны быть поставлены, так как
охватить теоретически влияние реального газа не предста-
вляется возможным. Экспериментальная проверка установит
затем необходимые поправочные коэффициенты.
§ 2. Основные уравнения и формулы. Итак, предста-
вим себе бесконечно длинное цилиндрическое крыло, опира-
ющееся на дужку AEBD данного вида (фиг. 1). Отнесём
его к некоторой связанной с ним неизменно системе коор-
динат OXY. Оси OX, OY имеют неизменное направление
в пространстве, причём ось ОХ совпадает с направлением
равномерного прямолинейного движения крыла — движения,
которое мы будем называть основным или нормальным режи-
мом. Сверх того, крыло обладает поступательным движением
с переменными скоростями т по направлению оси ОХ и п
’) Учёные записки Отделения физико-математических наук
Московского университета, 1902 г [Чаплыгин С. А., Собра-
ние сочинений, т. II, стр. 19, Гостехиздат, 1948].
128
С. А. ЧАПЛЫГИН
по направлению оси ОУ, а также вращением около связан-
ного с ним (неизменного для всякой задачи) центра С с угло-
вой скоростью со, также изменяющейся со временем. Эта
величина положительна, если крыло вращается в направле-
нии часовой стрелки. Координаты С в системе осей OXY
будем обозначать через
с и Ь. Будем рассматри-
вать исключительно не-
вихревое движение жидко-
сти. Так как мы рас-
сматриваем несжимаемую
жидкость, то члены, за-
висящие от вязкости, не
войдут в гидродинамиче-
ские уравнения, чем и
объясняется удовлетвори-
тельный результат та-
кого рода исследований.
Эйлера для относительного
Составим теперь уравнения
движения жидкости в координатах OXY. Обозначим через
и, v слагающие относительной скорости жидкости в какой-
либо точке по этим осям. Вследствие принятых условий бу-
дем иметь
df ।
а = дх + ЫУ'
dv>
,и = ~-----сох,
(1)
где <р, потенциал скоростей, есть гармоническая функ-
ция х, у.
Проекции скорости начала координат на оси OX, OY
обозначим через / и g, а угол наклонения оси ОХ к неиз-
менному направлению оси ОХ—через р; тогда
f— (^о 4" /и) cos р Ц- п sin р и>Ь, '
g = — (®o + tn} sin P n COS P------------------(ОС,
(2)
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
129
Ускорение подвижного начала по тем же направлениям
имеет компоненты h и k, причём
Л =f — tog, |
k = g^-tof, J
(3)
если точкою вверху мы обозначим дифференцирование по
времени.
Если бы воздух двигался порывами со скоростью
в направлении, противоположном оси ОХ, и скоростью пг
противоположно оси OY, где —средняя скорость ветра,
то во всех последующих формулах, в которых приходится
учитывать относительную скорость воздуха по отношению
к осям, связанным с крылом, вместо f и g следует подста-
вить /4~/1 и положив
Л = (®i + ™i) cos р 4- /zi sin р, 1
gi = — (®i + тг) sin р -j- «J cos р. j
Формулы (3), определяющие абсолютное ускорение начала
координат, при этом остаются неизменными.
Легко усмотреть, что гидродинамические уравнения на-
пишутся в форме
ди . ди . ди „	. .	•	,	1 др
зг. -4- и т- -4- v 3-2(ov -4- h —	— ю2х =-—,
dt 1 дх 1 ду	1 J	р дх
dv . dv । dv । r, . . , i •	,	1 dp
dt+ud-x^'Vd-y^2miF+k + wx-'s>y=--ii' (5)
здесь p— давление, a p— плотность воздуха. В этих ура-
внениях первые три члена левых частей представляют собою
слагающие относительного ускорения жидкой частицы, чет-
вёртый член в каждом из них определяет компонент пово-
ротного, а прочие члены — компоненты переносного уско-
рения.
Согласно формулам (1) мы имеем:
ди__ д ду
dt	дх dt
ди	dv .
dv д df
dt ду dt
— wx,
ду___ди
дх ду
— 2(о;
9 С. А. Чаплыгин
130
С. А. ЧАПЛЫГИН
поэтому уравнения (5) переписываются в виде
dxdt дх'	р дх'
д дч> , ди . dv । ,	,	1 др
dydt । ду' ду 1 z р ду'
откуда по интеграции получим основную формулу
+ +	“2^4^" = const‘
Обратимся к определению равнодействующей силы да-
вления и вращающего момента.
§ 3. Подъёмная сила. Представим себе, что область
течения, изображённая на фигуре 1, всею беспредельною пло-
скостью вне контура дужки AEBD конформно отображена
на площади круга радиуса, равного единице, или, ещё удоб-
нее,— на верхней полуплоскости комплексного переменного
и так, что действительной оси соответствует контур дужки.
Тогда комплексное переменное
z — x-j-iy
представится как определённая функция « (над буквою и
здесь поставлена чёрточка, чтобы отличить эту величину от
величины ц, обозначавшей выше компонент скорости по
оси ОХ). В то же время на контуре сопряжённая z вели-
чина	•
zx — x — iy
также определится через и; при этом для нахождения зна-
чений zx на контуре по известному виду функции
г=/(ц)
достаточно в функции f заменить мнимую единицу I на — I,
т. е. составить сопряжённую функцию Таким образом
=/1 («)•
Приняв во внимание сказанное, перейдём к разрешению
поставленного вопроса. Обозначим через ds элемент контура
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
131
дужки, отсчитываемый со знаком плюс при обходе контура
по часовой стрелке. Косинусы углов внутренней нормали ко i-
тура с осями ОХ и ОУ, очевидно, будут выражаться фор-
мулами
cos (О) = —
.	. dx
cos(H, y) = ^s.
(7>
Поэтому, обозначив через X и У компоненты равнодействую-
щей силы давления на оси, получим для них:
X=\^pcos (п, x)ds =—^pdy,^
y=\pcos(n, у) ds=^pdx,
y^-iX=\p(dx — idy)==\pdzv
(8)
где интеграция совершается по контуру крыла в направле-
нии от оси ОХ к оси ОУ, или, иначе, в направлении часо-
вой стрелки при принятом нами взаимном расположении осей;
это направление короче будем в дальнейшем называть поло-
жительным.
Если область течения изображена на полуплоскости и,
то для вычисления равнодействующей по формуле (8) доста-
точно заменить под интегралом р его выражением из фор-
мулы (6) и dz, через — du; при этом интеграл по контуру
du
заменится определённым интегралом по и от — оо до-]-оо.
Однако для удобства и простоты вычисления мы сначала
преобразуем выражение давления на контуре крыла. Для этого
прежде всего заметим, что здесь относительная скорость по
нормали есть нуль, а потому
udy — vdx — 0.	(9)
Введя в исследование функцию течения
ин — -ф- гф,
о*
132
С. Л. ЧАПЛЫГИН
где Л — сопряжённая потенциалу скоростей гармоническая
функция тока, найдём по известным формулам
до	дФ
zi - - 3- — <ох = —х-----со АГ,
ду	дх
(Ю)
и, подставив в вышеприведённую формулу (9) эти выраже-
ния и и V, получим по интеграции
ф —СО -	= const.
во всех точках контура дужки. Это произвольное постоян-
ное ничто не мешает нам принять равным нулю. Таким об-
разом на контуре крыла
(II)
Так как
ння, то,
контуре
это соотношение справедливо во всё время движе-
дифференцируя его по времени, будем иметь на
• zz\
dt~~
По этой причине формулу для давления на контуре мы
можем преобразовать, положив в ней
до до . .	। . zz, dw । . zz.
dW+z <rl++;w ¥ 	02)
ц2 _L ^3
Член —-—dzv входящий в выражение pdzv также
преобразуем, имея в виду следующее:
dzx (и2 -ф- v2) = (и -ф- го) (а — iv) dzy;
и~~ iv = Й ~ Z й+“3'+iax =
до , .di . . dw , .
(а -ф- ro) dzx = («-]- iv) (dx — i dy) =
= и dx v dy \-i(y dx — и dy).
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
133
Так как по формуле (9) последний член есть нуль, то
у него можно переменить знак на обратный, и мы будем
иметь
(и -ф- iv) dZy = udx-\-v dy — i(ydx — и dy);
отсюда, заменяя и и v по формулам (10), получим
(и -ф- iv) dzy =
wx
dva -ф- vwzx dz.
Таким образом окончательно имеем на контуре
и — iv = -—ф its>z.,
dz 1	”
(« 4- iv) dzx =	) dz,
{и2 + v2) dz^^-Y i<s>zx j 2dz.
(13)
Кроме рассмотренных членов, в состав р dzA входят
ещё выражения
— (hx -ф- ky) dzx — — h(xdx — ix dy) — k (у dx — iy dy)
и
-i- co2 (x2 -ф-у2) dzx — w2	dzA;
первое из этих выражений упрощается, так как при инте-
грации по замкнутому контуру члены hxdx и kydy дают
в результате нули. Так как интегралы
— j у dx, j х dy
по контуру дужки определяют её площадь, то рассматри-
ваемый член формулы для давления даёт в конце концов
следующее выражение:
— j" (hx ky) dz1 — (k 4- ih) q,
если через q мы обозначим упомянутую площадь.
134
С. А. ЧАПЛЫГИН
Сопоставляя всё сказанное, получим
У + IX = - р J	dz! -1J (g + z со z 1 у dz -
— I zzx dzx 4- (k + ih) <?p 4- p zzx dzx.
Эту формулу ещё слегка преобразуем, развернув подинте-
гральное выражение во втором члене и принимая во внима-
ние соотношение
J z\ dz	У zzx dzx = \d (zfz) — § zzxdzx = — zzxdzx\
[оно справедливо], так как функция z^z однозначна и по-
этом}' при обходе контура возвращается к своему первона-
чальному значению. Таким образом приходим к формуле
Y +	— Р J g J g dw — pcoZ J zx dw —
— •£- (/co 4- co2) J zzxdzx 4- p? (k 4- ih).	(14)
Заметим, что входящий в эту формулу интеграл § zzx dzx
имеет весьма простой механический смысл. Он может быть
выражен независимо от потока. В самом деле,
zzx dzx = j (х2	у2) (dx — i dy) =
= x2 dx — i\ y2 dy 4- y2 dx — i [ x2 dyi
первые два слагаемых уничтожаются; что касается осталь-
ных, то если мы обозначим координаты центра тяжести
площади q дужки через х и у, эти интегралы могут быть
представлены так:
'\ у2 dx = — 2yq; f х2 dy — 2xq;
знаки в этих формулах следует выбирать, имея в виду, что
мы здесь имеем дело с интегралами по контуру; при обходе
его в положительном направлении, т. е. по часовой стрелке
(от оси ОХ к оси ОУ), мы будем иметь на верхней гра-
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
133
нице площади (при больших у) dx со "знаком минус, тогда
как на нижней эта величина положительна; обратное будет
иметь место по отношению к знаку dy. Что касается коэф-
фициента 2, то его появление будет ясно, если мы пред-
ставим элемент интеграла j уг dx в виде
У2 dx = (—У1 +у%) е = 2	(—Ле + _У2е) =
где е — основание бесконечно узкого прямоугольника da,
вырезанного из дужки двумя соседними ординатами; точно
так же преобразуется и второй интеграл.
Формула (14) после замены преобразованного члена
перепишется в окончательной форме так:
Y-\-iX= — р

+ р (до -4- «2) Я {у + lx) -ф- Р9 (k 4- ih). (15)
Если мы перейдём к нормальному режиму полёта с по-
стоянною скоростью vB по неизменному направлению оси ОХ,
то все члены, кроме второго, исчезают, и мы приходим
к выражению сил давления, данному впервые в нашей ра-
боте «О давлении плоскопараллельного потока».
Чтобы получить проекции равнодействующей по неиз-
менным направлениям осей ОХ и OY, т. е. лобовое сопро-
тивление и подъёмную силу, остаётся лишь добавить ещё
одно соотношение, а именно, легко усматриваемую связь
Р-|-/^=(У-|-/Х)е-'₽,	(16)
где, напомним, [3 обозначает угол между направлениями осей
ОХ и ОХ.
§ 4. Вращающий момент. Центральная точка и центр
давления. Обозначим вращающий момент сил давления через
М и координаты точки приложения равнодействующей сил
давления через £ и 7].
136
С. Л. ЧАПЛЫГИН
Так как слагающие давления на элемент дужки ds по
осям ОХ и OY выражаются, соответственно, произведениями
—pdy, pdx, то для вращающего момента, т. е. момента
равнодействующей давлений относительно принятого начала
координат, мы имеем следующее выражение:
M=^p{xdx-\-ydy)=^Y — Tj X.
(17)
В этом соотношении на место Е, rj мы можем подставить
координаты любой точки прямой, по которой направлена
равнодействующая, так что оно является уравнением этой
прямой. Если мы выберем за точку приложения указанной
силы точку встречи упомянутой прямой с перпендикулярною
к ней прямой
7j Y = 1 ply dx — x dy),
то $ и ij можем определить из формулы
(ч + Aj) (Y +pz dzv
(18)
Во всех этих соотношениях интегралы берутся в положи-
тельном направлении по замкнутому контуру дужки крыла.
Зная из формул § 3 величину Y-j-iX, мы при помощи
формулы (18) находим координаты £ и ц. Что касается
вращающего момента, то формула (17), его определяющая,
может быть переписана в виде
74 = Re У pzdzi,
(19)
если значком Re мы условимся обозначать реальную часть
стоящего при нём комплексного количества. Таким образом
всё сводится к нахождению интеграла, входящего в фор-
мулу (18).
Этот интеграл мы преобразуем аналогично тому, как
было сделано в предшествующем параграфе. Но, прежде
•чем приступить к этому преобразованию, отметим некоторую
особенность той точки приложения равнодействующей, ко-
торую определяет формула (18). Легко показать, что точка
эта не зависит от системы координат. В самом деле, если
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
137
мы переместим начало в точку с координатами 1 и |1, то
новые координаты 7), определятся формулой
(£1 + Ч I) (У+J Р (z — * — Ф) dzi>
которую на основании отношения (8) можно переписать в виде
(?! + X 4- ir, J + Ф) (Y + iX)=J pz dZ1 = (£ + Hj) (Y 4- iX),
откуда получаем
>> Ч1 = ч—g;
таким образом рассматриваемая точка не смещается от пере-
носа начала. Покажем, что она не сместится и при измене-
нии направления осей. Представим себе, что оси повёрнуты
на угол а по часовой стрелке, и обозначим через Е2 и г;2
координаты той точки равнодействующей в новой системе
координат, которая определится формулой (18), составлен-
ной в этой новой системе. Так как при указанном преоб-
разовании новые z и которые мы обозначим через Z и
Zp связаны с прежними соотношениями:
Z=ze~ta,
Zx=zxe~la,
то правая часть формулы (18) не изменит своей величины:
jpz dzy —^pZ dZv
Что касается новых значений X и Y, пусть они будут Ха
и Y2, то
Y2 + fX2 = (Y-{-iX)e'a;
следовательно, мы приходим к соотношению
<е2+ц2) (у+**) =(н+*i) (у+w,
и, стало быть,
Ег + ^2 = (£ + ^)е-,я,
т. е. получаем соотношение, которое указывает, что коор-
динаты точки изменились лишь вследствие преобразования
[системы координат], точка же не сместилась в крыле.
138
С. А. ЧАПЛЫГИН
Указанная точка, однако, может переместиться по рав-
нодействующей при одном и том же течении, если мы изменим
функцию течения, прибавив к ней реальную функцию вре-
мени, что не меняет потока. Обозначим такую функцию
через 1. Легко усмотреть, что от этой прибавки слагающие
сил давления и их момент не изменятся. Но выражение
5= f pzdzx,
где через р обозначено новое давление в жидкости, при-
обретает приращение
&S=— р J iz dzx — Ipi f (x dy —у dx) = c2irAq;
здесь q — попрежнему площадь дужки, al — производная
прибавленной произвольной функции. Таким образом S из-
меняется, а следовательно, исследуемая точка переместится.
Указанный прибавок возможно сделать, не нарушая условий
задачи, если давление в удалённых точках не задано. В про-
тивном случае задача становится совершенно Определённой,
так как прибавление функции 1 изменило бы давление в бес-
конечности прибавочным членом — pl.
Отмеченную таким образом и определяемую формулой (18)
особую точку равнодействующей мы будем называть цен-
тральною точкою. Если эта точка известна, то, проведя
через неё прямую по направлению равнодействующей давле-
ний до встречи с нижнею поверхностью крыла, мы отметим
на его поверхности центр давления.
Обратимся теперь к преобразованию интеграла, входя-
щего в формулу (19) момента. Прежде всего преобразуем
входящий в неё по формуле (6) член
/] = — р j {hx Ц- ky) z dzx,
который по раскрытии комплексных количеств сводится
к виду
/j =— р \ {hx -ф- ky) {х dx -ф-у dy -ф- i (у dx — х dy)}.
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
139
Отбросив уничтожающиеся при обходе по контуру инте-
гралы
[ х2 dx, [ у2 dy,
получим:
/1=— р (Л — ik) f ху (dy -j- i dx) —
•J
— p (— hix2 dy kly2 dx),
а так как
^xydy = — ~^y2dx=yq,
j xy dx~ — -i- fx2 dy — — xq,
где попрежиему через q обозначена площадь дужки, а
через х и у— координаты центра тяжести этой площади,
то окончательно получим
Zj х= р (k ih) (х О') q + 2/р^ (hx -f- ky). (20)
Приняв затем во внимание формулу (6) и соотношения
(12) и (13), мы придаем интегралу
S—\pz dzx
•J
вид:
— J	dzx 4- Zi +	J z2zx dzv
По раскрытии квадрата во втором интеграле мы выделяем
из него член z^z dz, который, сложившись с пос-
ледним- из интегралов, входящих в состав S, даёт нуль, ибо
^2%zdz-\- Jz2zx dzx = ^ J d(z2^)=^0.
140
С. А. ЧАПЛЫГИН
Далее заметим, что
/2= ( z2zx dzx — {x2-\-y2){xdx~\-ydy-\-i{y!dx-\-xdy)}.
•J	J
Прежде всего имеем
J С*2 + у2) (х dx “Ь у dy)—J d(x2 4~ J3)2—в;
далее, ввиду формулы (7), пишем
( (х2 -ф- у2) (у dx — х dy) =
= (х2 -ф-у2) {у cos (п,у) -ф- х cos (п,х)) ds;
преобразуя эти соотношения по формулам Грина:
J f dy = — У F cos (zz,x) ds,
УУ	dx dy — — у Г cos (п,у) ds,
находим
/2 — — iJ f (Зх2 -ф-у2 -ф- Зу2 -ф- х2) dx dy =
— — 4z f \ (х2 -ф- _у2) dx dy,
•У
или окончательно
/2 = — 4iA,
где А — момент инерции площади дужки относительно на-
чала координат. Припомнив формулу (20), мы приводим,
наконец, формулу для интеграла S к желаемому виду
S = j pz dzx =
— — р f z dzx — f z dw — piw f zxz dw —
j wr	J az	j
— 2p (оД qp (k -|- ih) (x -ф- iy) -}- 2zp^ (йх -ф- ky). (21)
Реальная часть этого выражения определяет собой вра-
щающий момент сил давления на крыло, а результат деле-
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
141
ния его на правую часть уравнения (14) даёт нам /Т], и
мы найдём, таким образом, центральную ’точку:
Af=ReS,
S
Y-\-iX'

Чтобы использовать полученные формулы, мы должны во
всяком частном случае отыскать соответственную функцию
течения w. К этой задаче мы теперь и обращаемся.
§ 5. Определение функции течения. Чтобы разрешить
любую частную задачу, надлежит, во-первых, найти кон-
формное изображение бесконечной области потока, ограни-
ченной изнутри контуром дужки крыла, на верхней полу-
плоскости вспомогательного комплексного переменного и,
которое мы в дальнейшем будем обозначать буквой и без
значка вверху, так как нам уже не придётся пользоваться
этим символом для обозначения компонента скорости; во-
вторых, потребуется определить самое функцию течения.
Этот последний вопрос разбивается на две отдельные
задачи, соответственно которым мы будем отыскивать две
функции течения •w1 и w2. Первая из них определяет поток
в случае поступательного движения крыла, а вторая — в слу-
чае его вращения. Полная функция течения будет
W — Wj W2.
Что касается вопроса о конформном изображении области
течения, то общего приёма, позволяющего решать задачу
при всяком как-либо заданном контуре крыла, дать нельзя.
Однако легко усмотреть, как это было указано в цитиро-
ванном § 1 сочинения «К общей теории крыла моноплана»,
что отображающая функция может быть вообще приведена
к такому виду:
г = й[^ + Ф(«)].
где Н и а суть некоторые комплексные числа, из которых а
имеет положительную мнимую часть, а — некоторая линей-
ная величина, пропорциональная линейным размерам крыла,
142
С. А. ЧАПЛЫГИН
Ф(«) — всюду конечная голоморфная функция и на верх-
ней полуплоскости этого переменного.
Изменив направления осей ОХ, ОУ, а также меняя
масштаб и начало координат на действительной оси в об-
ласти и, мы можем ещё упростить выражение z, сведя его
к следующему виду:
(22)
Причина такой простоты формулы (22) состоит в том, что
функция z не может иметь в рассматриваемой области ни-
каких особых точек, кроме простого полюса, который
находится в точке u — i.
Задача изыскания функции течения vox, как показано в
упомянутом моём сочинении, легко разрешается. Достаточно
положить, в самом деле,
1	_ f — lg. 1 f+lg 1 ci ( 1_____1__
a du (u — г)г~1 (и-ф/уП- \ и — i u-f-l J '
(23)
где fug определяются формулами (2) § 1, чтобы удовле-
творить всем её условиям. При таком виде производной
эта функция, а стало быть, и сама функция течения всюду
в его области будут конечны и непрерывны, за исключе-
нием точки u — i, соответствующей бесконечно далёким
точкам потока. Всюду на действительной оси, соответствую-
щей контуру дужки, Wj, равное	реально, а стало
быть, дужка входит в состав линии тока ф, = 0. Наконец,
в бесконечно удалённой точке имеем
dw, ,. dw, dz . । .
—1 = lim —1; — = —f-\- tg,
dz u_*t du du J 1 °’
где / есть компонент относительной скорости потока по оси
OX, g—компонент той же скорости по оси ОУ- При об-
ходе контура дужки мы имеем определённую циркуляцию
скорости J. Она равняется приросту потенциала скорости
при таком обходе и определится, если мы проинтегрируем
функцию (23) по бесконечно малому контуру, охватываю-
щему полюс, в обратном направлении; таким образом
J=2mC.
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
143
При рассмотрении колебания потока в зависимости от
колебания крыла мы будем предполагать периоды колеба-
ний настолько короткими, что циркуляция при этом не
меняется. Это, предположение необходимо сделать, ибо
в противном случае присутствие в формуле для давления
члена —привело бы к неоднозначной функции, что невоз-
можно.
Коэффициент С во всякой частной задаче находим из
того условия, что при нормальном режиме, когда в фор-
мулах (2)
т = п = и — О,
точка схода с крыла имеет определённое положение на
крыле.
Обратимся к отысканию функции w2 течения, соответ-
ствующего вращению пластинки. Входящая в состав w2
гармоническая функция тока ф2, как было выше найдено
(формула (11)), должна на границе крыла удовлетворять
условию
Представим себе сначала, что область течения отображена
на площади круга радиуса единицы и что его окружности
соответствует контур крыла. Для полной ясности мы изо-
бражаем на фигурах 2 и 3 установленное таким образом
144
С. А. ЧАПЛЫГИН
соответствие областей z и С соответственные точки обо-
значены в этих областях одинаковыми буквами.
Раз преобразующая функция
известна, то на границе контура мы имеем
*2 -4-Д/2 = zzx =	= F(e«) FI(е а/) = Ф(з),
т. е. выражаем х2-\-уг как определённую функцию от
угла а. Поставленная задача сводится к отысканию на пло-
скости круга всюду конечной и непрерывной гармонической
функции, имеющей на его окружности заданные значения:
Эта задача, как известно, разрешается вполне определённо.
Мы имеем для нахождения ф2 формулу
2л
— 4iT J 1+/-2 —2г cos (s —с) da’
о
при помощи которой ф2 на площади круга выражается
в полярных координатах г и s*). Приняв во внимание, что
при
С=£-Нч,	= е —ц,
мы имеем:
г2 = £2 + Ч2 = К1,
1 -[-г2 — 2г cos ($ — а) = (£— cos а)2 —(zj — sin а)2==
= (£—
формуле для ф2 можно придать вид:
О
гдет = е'°, т1 = е-'°.
*) См. Е. Picard, Cours d’analyse, т. I, Gauthier-Villars, Paris.
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
145
Найдём теперь полную функцию течения
™2 = % + 'Фг-
Для этого воспользуемся известными дифференциальными
соотношениями:
^2 есрг   <tyz
dri ’ дт,	ok ’
<tya___
дт< \dt: dtj
2п
Zwf/ Сг —С	1-^!	.
~4rcJ i	-Г
о
+ (С —тр(С1 —Т1) } Ф (о) da'
2п
<Д2 <^2 I д£г  10 Г /_________________1____* —^1	I
df—ЙС I <'_4«J ( (C-tMCj-?!) "Г	I"
о
+ (С —Т)2 (С! —T1)} Ф d°‘
Отсюда, так как
dw2 _ д?г 1 - ttyz _ <tyz I  <^.2
dt dk '	Ok drt । di ’
получаем после приведения
2it
dw2___ zw С Ф (<?) т .
— —2n J (ё —t)2'G°’
о
а по интеграции по С имеем
2к
^2 = 2 f 0“=^+	Ф(С)^,
О
(25)
где S — подлежащая определению функция а.
Чтобы её отыскать, рассуждаем следующим образом:
так как Ф(а) представляет на окружности величину х2-\-уг
на контуре крыла, то это функция реальная; с другой сто-
Ю С. А. Чаплыгин
146
С. А. ЧАПЛЫГИН
роны, на той же окружности нам вполне известна функ-
ция ф2, иными словами, мнимая часть w2; ввиду того, что
на величину ф2 влияет только реальная часть искомой
функции 8, а её мнимая часть добавляет постоянное лишь
к ф2, мы можем удовольствоваться предположением реаль-
ности функции 8. Приняв во внимание сказанное, составим
сопряжённую
И’2=Ч’2 + ^2
функцию
2г.
Вычитая это равенство из равенства (25), находим
или, по приведении,
2п
«>[ 28(К1 + 1)-2+(Ст1-|-С1Г)(1
12 4nJ
О
— Ф (a) da.
Сравнивая это выражение с соотношением (24), убеждаемся,
чю
Таким образом формула (25) приобретает окончатель-
ный вид
2л
(26)
где

Так как в большинстве случаев бывает удобнее отобра-
жать область течения не на круге, а на полуплоскости, то
147
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
преобразуем нашу формулу в этом предположении. Прежде
всего формулу (26) можно переписать в новом виде, а именно
изобразить её так:

и считать, что интеграция совершается по контуру круга.
Положив затем
*•	«+<’ v + Z ’
мы конформно отображаем наш круг на верхней полупло-
скости комплексного переменного «; при этом величина v,
определяемая равенствами
/о /о
. 1 +т . е 2 4- е2	с
е 2 — е2
всюду на окружности реальна, как и должно быть; окруж-
ность, стало быть, отображается на реальной оси в пло-
скости и.
Подставляя в интеграл выражения:
. __ 2Z dv dr____ dv ___ dv ________ ___ 2Z (u — v)
T (v + z)2 ’ т	v — i	v-[-i’ T («+<)(*+/)’
взамен формулы (26) получим следующее уравнение для
определения w2 на верхней полуплоскости комплексного
переменного и:
-4-00
ы Г u-\-i F(v)dv
™2~~2iJ v-H ' v — u
— co
4-co
-£-.Y (27)
v-f-z/
Здесь функция F(v) есть результат преобразования Ф(т)
к новому переменному v, и, следовательно, на реальной оси
области и мы имеем
F (v) = х2 -J-д/2.
10»
148
С. А. ЧАПЛЫГИН
Таким образом, для определения w2 надлежит поступать
следующим образом: изобразить на полуплоскости и область
течения так, чтобы контуру крыла соответствовала дейст-
вительная ось полуплоскости; при этом получится соотно-
шение вида (22)
2 = ^.4-ф(и) = /(и);
как было в своё время указано, сопряжённое переменное
будет иметь на контуре выражение
=/i (и);
при помощи этих функций, по замене и на у, составляется
выражение
х2 -j->2 = zzx =/(v)/i (v) = F (v),
которое и следует подставить в формулу (27).
В нашем случае, когда функция F даётся аналитически
вдоль всей действительной осн, вычисление w2 по фор-
муле (27) может быть совершено весьма просто. Прежде
всего заметим, что благодаря конечности функции F при
весьма больших значениях аргумента мы имеем возможность
заменить интеграцию по действительной оси интеграцией
(в положительном направлении) по контуру бесконечно боль-
шого полукруга, диаметром которого служит эта ось,
а полуокружность охватывает весьма удалённые точки по-
луплоскости. Далее, так как подинтегральная функция будет
иметь особые точки на площади указанного полукруга лишь
в виде отдельных полюсов, то величина интеграла выра-
зится как сумма слагаемых, каждое из которых представ-
ляет интеграл по бесконечно малому контуру, охватывающему
полюс. Таким образом окажется, что искомое выражение
равно произведению 2ш на сумму интегральных вычетов
функции, стоящей под знаком интеграла (под интегральным
вычетом функции /(и) мы разумеем коэффициент при ц
в разложении функции по степеням и — а около полюса
и —а).
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
149
§ 6. Дужка в виде эллипса. Обратимся теперь к при-
ложениям изложенного общего метода к дужкам различ-
ного частного вида и начнём с того случая, когда дужка
ограничена вытянутым эллипсом, который в предположении
бесконечно уменьшающейся малой оси в пределе даёт простую
бесконечно тонкую пластинку (фиг. 4). Положив
2аи	,1 — и2
14-и2’ л 14-и2’
мы для реального и имеем
хг । уг _________________________
Значения и = 0 и и = оо определяют вершины эллипса
У
в концах его малой оси (фиг. 5); оконечностям большой
оси соответствуют значения
ц —-4- 1:
функция z при этом выразится так:
z = х-4-iy — д	гт' — bi,	(28)
1 u — i 1 и4-<
а сопряжённая ей функция
= X - ly =	+ Ы.	(29)
По формуле (23) для определения функции течения ъг>г,
соответствующей поступательному движению дужки, полу-
чаем выражение
1	___f — ig I f+ig I Ci ( 1___________1
du (u — z)2 ' («-j-г)2 ।	— i	u-f-i
)• (30)
150
С. А. ЧАПЛЫГИН
Определим постоянную величину С, предположив, что при
нормальном режиме точка схода находится в конце А боль-
шой оси, где и = — 1. В таком случае скорость в этой
точке должна обращаться в нуль, а стало быть, «= — 1
должно быть корнем выражения (30); заметим, что при
этом по формулам (2), как было сказано выше,
/— ig= vQe'?°.
Таким образом получаем
С = v0 sin [50.
Проинтегрировав уравнение (30), найдем
(31)
a-f-b и—t u~\-i * 1	zz-f—z	' '
Определим теперь функцию w2, соответствующую вра-
щательному движению пластинки. По формулам (28) и (29),
заменив в них и на у, имеем на контуре дужки
х2 -ф- у2—zzx = F (>) =
— f2 J 1 . i_  !_ _J_________£______£_ I J_ w
I (v Z)2 ' (v z)2	v 4- i	v l J *	’
где
c2 = zz2 — /А
Затем по формуле (27) получаем
__ ___ fu+Z J Л2 i c2 i с2 ,
<e J*+z |	— 02 ' (> + 02^
! c2z z?2z | dv ।
"T”v-(-Z	> — zj V — U Г"
1 ГJ,2  г2 . zra .	__ fZi \ f dv dv \
^2J| (v —P) (»-[-Z)2 ' v + z v — if — z	v + z/
Вследствие замечания, высказанного в конце предшествую-
щего параграфа, мы должны теперь составить интегральные
вычеты полюсов v = z и v = zz подинтегральной функции;
обозначим их соответственно через Nr и N2. Легко нахо-
дим дчя второго вычета выражение
— Ы2 = Р(и) = Ь*^
с2  г2 । c2i с21
(и—/;2~1 (Ы-[-/)2 1“ K-(-Z ZZ—I '
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
151
Для отыскания заменим v через /Ц-е и разложим под-
интегральную функцию по степеням е, сохранив в сомно-
жителях члены степеней — 2, — 1, 0 и —|— 1; в витых скобках
достаточно сохранить лишь первые три степени. Итак, имеем
4-=-+-
v+i 2/1 4 ’
1	=	1______е
V — и	I — и	(и — Z)2 ’
,	/»2	.	г2 .	/’27	s»2j	f>2	/*2/ ,	f>2
h2 j__£____L _r___L_ _________—S.___Lf ьг
r (v_/)2	Ы	v_|_/	e2	g I '-' Г 4	>
1___1 _J______1____e_
v—z	v-|“Z в	2Z	4
Для составления вычета первого интеграла перемножаем
первые три из этих функций и берём со знаком минус
коэффициент при -р, умноженный на получим
с2 (и -|- Z) . с2 (и б < c2(n-t-Z)  Ze2 (и -}-1) c2(u-\-i} _
— 4 (Z — и) "Т” 2Z (и — i}2 '2(i — u) ~	2(u — i)2	4(u — i)~
с2 e2i с2
~ (п — I)2	Г '
Вычет второго интеграла равен половине коэффициента
при — [в выражении, полученном] в результате перемноже-
ния двух последних из вышеприведённых функций. Од, оче-
видно, будет равен
Сложив две полученные величины, найдём искомый вычет
।____С1________C2L
1	2 '(iz — i)2 и — i
и затем сумму вычетов
дг । аг	Ь2 с2	с2‘
М + Л'а— 2	(и-]-/)2	«-Н"
152
С. А. ЧАПЛЫГИН
Результат умножения этого количества на 2тг/, как сказано
было в конце § 5, и будет представлять величину интере-
сующего нас интеграла. Таким образом находим
с2 с21 ЪЧ	_
<о —a+i	2 •	.
Полная функция течения w найдётся из неравенств (31)
и (32) в виде
да__ (a+b)(f~ig)	(a + b)(f+ig)	Ztofr2  ис2
и — I	и-\-i	2  иZ
-(Sp+zc(a+^inS-;> <зз>
где
C = fosinj?o.	(34)
Обратимся к вычислению сил давления на рассматриваемое
крыло. Для этого нужно составить три интеграла:
A = pi^.
, С dw , C(dw\2du,
'z—\ zr-d'W—\ \] -j-du.
J dz J \duj dz
Будем рассматривать только такие переменные движения
крыла, при которых циркуляция, а стало быть, и коэф-
фициент С не изменяются. В таком случае
'=J	+“«$(</ +W + '“T -^7 +
। Zwc2 | / а 4-4 । a — Л ( ,
“Г (u + Z)2 f |Щ+7)2 "Г(iT^Tj2/ au
Обозначая попрежнему и — i через e, имеем
1 _ 1	11
и — i s’	(и — Z)2 г2 ’
_L_=_L_1_.L	1	1 d
u-\-i 2i  4 ’ (u-|-Z)2	4	4 ‘
Интегральный вычет легко находится в виде
R = — (-^Ь)г (/ — tg) + с2 f'+:g ,
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
153
а засим имеем
I = С dz} = — 2niR =
J dt 1
= у {(« + b)2 (/ — ig) — c2(f + ig) |.
Переходим к составлению второго интеграла:
/, — J zr dw —
nS+(^V+w+;c<‘'+'’)(rb-iri})^-
Подобно предыдущему, составляем интегральный вычет Rx‘.
~ С2 .... х Се2 . Сс2 , («+*)2 .	. .
Ri=—~4 (f+tg)----г+1"^----'g)>
или, по приведении,
/?1 =(а±^^_ ig} _ (/_|_ igY
Затем имеем
А = - 2П/7?! = — у {(й + ЬУ (/— ig) — с2 (/-}- /^)}.
Наконец, последний интеграл выразится так:
шс2 । 2шс2 ।
— (u+Q2 ' (и+03 “Г
_LZCz. I мГ_!_____1 V/ («~02(н + 02_
-TzC^ + 0\u_Z u + ijf a(u2-\) + 2ibu
здесь принято во внимание равенство
dz_________	а-\-Ь а — Ь	д (и2 — 1) ~f~
du~~ ~ (u — i)2 ~ (u-j-i)2	2	"
154
С. А. ЧАПЛЫГИН
Интегральный вычет R2 получится лишь из одного члена
подинтегральной функции; в самом деле, так как функция,
стоящая вне витых скобок, имеет .множитель
(и — z)2 = е2
и её разложение вблизи полюса может быть представлено
в виде
то из разложения функции, заключённой в витой скобке,
надлежит принять во внимание лишь член вида -—; это бу-
дет удвоенное произведение первого и пятого слагаемых.
Таким образом получаем:
= -2iC(a-[-b)(f-ig),
4 = — 2ttz7?2 = — 4пС (a 4- b) (f— ig).
Теперь мы имеем все необходимые элементы для опре-
деления равнодействующей сил давления и легко получаем
по формуле (15), в которой заменяем q через тшЬ'.
—	— р/юД — р/ -}- пра/> (k	th) =
=J? (f— ig) —	{(a 4- by [/ — ig— /to (/— Zg)]—
— c2 [/ 4- ig — /to (/4- zg)]} 4- v^ab (k 4- ih); (35)
здесь
J—2it (a-\-b)C
есть циркуляция скорости по контуру дужки. По форму-
лам (3) компоненты h и k ускорения подвижного начала
координат могут быть выражены так:
h — ik =f— ig — /со (/ — ig),
h 4- ik =f 4- ig -4 /to (/-j- ig),
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
155
а потому найденное выражение можно изобразить в сле-
дующей форме:
у _|_ /Х= Jp (/- ig) — Г± (fl2 _|_	(k ih} _
— c\k — ih) 4-прсос2 (/Ц- ig).
Направим переменную ось OA горизонтально, а ось OY—
вертикально вверх; тогда согласно формуле (16)
У-|-/^=е-^(У4-/Л),
и после приведения, воспользовавшись уравнениями (2),
получим
У-|- iX= Jp {(“Уо -ф- т — ni) е ~1 р -ф- со (b -ф- /с)} —
— пра2/г — npib2h -f-
-|- прсо (а2 — Ь2) {у0 -ф- т -ф- ni) e~2i^ -j- со (b — ic) e~f₽}. (36)
Здесь через с, b обозначаем координаты полюса вращения
в плоскости дужки. Формула (36) вполне определяет подъ-
ёмную силу У и силу лобового сопротивления — X.
Первый член формулы (36) при основном движении,
или нормальном режиме, когда т — п = со = 0, приобре-
тает обычный вид формулы Н. Е. Жуковского. При отсут-
ствии вращения выражение (36) приводится к виду
У-|- iX—Jp (t/q —m — ni) — Tipa2k — ^pib2h. (37)
Если бы воздух не был спокоен, то в силу замечания, сде-
ланного в § 1, в формуле (35) надлежало бы, не изменяя
h и k, вместо / и g подставить /+/i.	причём fr
и gi определились бы формулами (4) § 1. Любопытно от-
метить, что в частном случае отсутствия вращения мы
получили бы вместо формулы (37) следующее выражение:
Y-\~iX= Jp [у0 +	+ /«с — (п + ni) '] — npa2k —
— npib2h — тгра (а -ф- b) — Ttpib (а -ф- b) hlt (38)
где
156
С. А. ЧАПЛЫГИН
суть ускорения ветра вдали от крыла. Таким образом при
ускоренном движении крыла развиваются меньшие силы,
чем при ускоренном ветре. Попутный ветер даёт значитель-
ную подгоняющую силу; положив в равенстве (38)
/n=« = /Zj=O, А, =— Н,
мы видим, что величина этой подгоняющей силы будет
X = ттр£> (а -ф- b) Н.
Перейдём теперь к определению вращающего момента
и центра давления. Для этой цели обратимся к формуле (21).
Составляем интегралы:
G= tfej, Gj = Jzzx dw, Gs — ^z~dw;
= [(1=77 + (=777 ] *'•
Для вычисления интегрального вычета Р, соответствующего
полюсу u — i; придётся на этот раз в разложении функ-
ций, заключённых в витые скобки, принимать во внимание
члены порядка е2, ибо произведение первого слагаемого
каждой из этих функций на первый член последнего мно-
жителя будет порядка . Имеем
1 ___	1	I । е । Ze2
и + /	2Z+2	“2*П-Т-Г'8 ’
1	1	__	1	eZ . 3 ,
(и-Н)2	(2Z-H)2	4	4 “Г 16е’
Подпнтегральная функция представится после подстановки
этих разложений в виде
/д-4-6	. а — Ь . . ,а — Ь\ RS_BiZ ,	।
2	2	4 Б 1“/Е 8 Д е 2	4 "Т
+-»(о2Г+^Й)]	”4‘) 
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
157
где для краткости положено:
B=(a-\-b) (f — ig), B1 = (a-[-b}(f -\-ig).
Собирая коэффициенты при у , получим искомый интеграль-
ный вычет
г> ,  В, —В	.’Га «2 + ^2	сП
P=a6z_l_------/w yab^.----_| =
, ,	, .. •	. ’ Г . Д2+*2 Г4 1
= —ab(a±b)g — i(olab—j------.
Искомый интеграл G определяется по найденному вычету и
будет иметь величину
•	а? —I—	*
G= — 2niP=nab {а b) 2ig — nab—— со п у со. (39)
Далее, переходим к вычислению интеграла
О, = zz{ dw.
Нахождение этого интеграла может быть упрощено при
помощи следующего соображения: так как на контуре крыла
dw = dy -|- н/ф = do — icorf z~,
то
zzx dw = ( zzA do — /co	2 = J zzy do.
Таким образом Gj есть количество реальное. Поэтому, если
мы вместо zzx подставим в выражение Gj функцию ком-
плексного переменного, имеющую на контуре действитель-
ную часть, равную zzx, то Gj можно будет найти как
реальную часть полученного таким способом значения инте-
158
С. А. ЧАПЛЫГИН
грала. Но такую функцию мы знаем; она определяется фор-
мулой (32) и, очевидно, равна
__pfe —	2z'g2	1 о С2 I &2
ы w u-\-i '	(и-J-z)2 ~Г
Поэтому получаем
о _Re С L2£L ц_________22__l
К J (	(“+02 и (“ — о2
. (a-]-b)(f-\-ig) <лс2 ।	2z'o)C2	।
"I (zz-{-z)2	(« + 02 '' («+03
-j-/С (G 4-й)
Интегральный вычет получится лишь из первого и пятого
членов второго сомножителя подинтегральной функции, и
будем иметь величину
Pt = iC (а 4- Ь) 4- й2) = IC (a -j- й)	.
Затем находим
O1=.Re( —2та-Р|) = пС(о4-й)^±^.	(40)
Обращаемся к вычислению О2:
= -Н
1 с + й , .	___ toe2 2<toc2_____________|
"Г (u+z)2	(ц-рр-Г (И_|_/)3 “Г
4- iC [а 4-й) ^^2—
1
zz-j-z
\ ) 2 (zz —z)2(zz + z)2 .
/ J а (и2 — i) -J- 2ibu
Прежде всего отметим, что функция, стоящая под инте-
гралом в виде множителя после витых скобок, вблизи по-
люса u = i имеет разложение по степеням и — i-е та-
кого вида:
2s2
а-\-Ь
а — b г2
а^\~Ь 4
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
159
По этой причине члены порядка — в подинтегральной функ-
ции получатся лишь из возникающих при перемножении
л	1	1 ГТ
квадратных и витых скобок членов порядка — и . При
помощи этого соображения легко составляем интегральный
вычет О2, который обозначим через Р2. Он будет иметь
величину
Р2 = (с*	(« + W - у (/- ig)\
и затем
G2 = — 2шР2 = тсг (/— zg)2 —
— 2m{a-\-b)2	(41)
Теперь, имея все элементы, необходимые для составле-
ния формулы (21), найдём
S = — ?С — piiaGi----------£ G2 — 2?ыА,
ибо центр тяжести площади эллипса совпадает с его цен-
тром, в котором мы поместили начало координат, следова-
тельно, х=_у = 0; что касается момента инерции эллипса
около оси, перпендикулярной к нему и проходящей через
начало, т. е. количества, обозначенного в формуле (21)
через А, то
Воспользовавшись формулами (39), (40) и (41), мы получим
для S выражение
S = — Пр у со — 2тЬ (а	b) ig? — п/рсо (а -ф- Ь)аг~^Ь- С -}-
4-шр(а + ^[с2+^Ц^]-^(/-^)2. (42)
160
С. А. ЧАПЛЫГИН
Вращающий момент сил давления определяется как дейст-
вительная часть 5:
М — Re <$=— np-g-co— ^2fg.	(43)
Координаты у; центральной точки определяются из
формулы
S
Y-\-iX'
а по ней указанным выше способом отыскиваем центр дав-
ления. Найдём его для бесконечно тонкого эллипса, когда
он обращается в пластинку. Положив в формуле (42) Ь = 0,
находим для такого случая:
•$= —торю ~ С -ф- п/ра2 (с2	(/— ig)2 —
— тгр а1со = п/ра2 [с2 —^4-g24-i/g-|-y(0/ J .
Формула (35) даёт для этого случая
Y4- iX= пар [2С (f— ig) — ga 4" iuga].
Центр давления мы можем на этот раз определить, не про-
ходя через вычисление координат центральной точки. В са-
мом деле, вращающий момент
М = Re •$ = — npaPfg —	со.
Обозначив через I расстояние центра давления от середины
пластинки, будем иметь
Yl=M,
а отсюда, приняв во внимание равенство (34)
C=t>osin р0,
получим
, . а2 •
1 = — а —-——-—— .
W sin fo — ga
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
161
По формулам (2), предположив, что пластинка вращается
около своего центра, будем иметь
/= (г»0 4- nt) cos р п sin р,
£ = — (f0-]-'«)sin ? + «cos р,
g= — of— m sin p 4- ti cos p,
и для l находим окончательную формулу
(Ц) + «) йп f — п cos ₽+у-у
1=0,---------------.-------;-—
„	. „ ,	, m sin В — ncosf
2ц0 sin f0-j-аы-]-1—------r
При нормальном режиме, когда
т = п — О,
т = п — 0,	<о==О,
I— 1 _а
1 — >0— 2 •
Так как полная длина пластинки есть 2а, то, как и сле-
довало, мы имеем при этом центр давления на расстоянии
четверти длины от переднего края. Формула для I показы-
вает, что при наклонении пластинки вперёд центр давления
отходит, в отсутствии поступательных колебаний, сначала
ближе к переднему концу; но, когда угол р уменьшится
до некоторого предела, может наступить обратное явление;
при увеличении угла наклона движение центра протекает
в обратном смысле. В случае же наличности поступатель-
ных колебаний движение центра давления по пластинке до-
вольно сложно.
В заключение этого параграфа определяем полный до-
бавочный импульс сил давления на крыло с эллиптическим
очертанием за период колебания и среднюю величину рав-
нодействующей за это время. Пусть период колебания
есть Т. Для слагающих импульса К и L сил давления по
неподвижным осям имеем формулу
т	т
L 4- iK= J ( У 4- /X) dt = f (Y 4- Xi) e-'₽ dt.
о	о
Воспользуемся соотношением (35) для определения подин-
тегральной функции. На основании формул (2) и (3), при-
П С. А. Чаплыгин
162
С. А. ЧАПЛЫГИН
нимая во внимание равенство
со=^, получим:
(/—ig)	•Vg-j-m — ni-j-u) (b-ф-ic)e~ip,
(f — ig) e~ffl — (/— ig) e~^ = (/— ig) e~ipr
(7+ i 'g) e~t? — (/+ ig) e~t?ia> = (/+ ig) e~%
(k 4- ih) e~V = e~^ (g -|- if) — iae~1^ (g-\-if) =
= ^t(g+if)e~i?.
При помощи этих равенств из приведённой выше формулы
и соотношения (33) находим
L-\-iK— J^vfT,
ибо прочие члены исчезнут ввиду их периодичности. Таким
образом, средняя поддерживающая сила за период колеба-
ния определяется формулой Н. Е. Жуковского по нормаль-
ному режиму. Добавочный импульс уничтожается.
Обратимся к вычислению среднего момента за период.
Формула (43) даёт величину этого момента во всякое дан-
ное время, и мы имеем
М — —	ю — T^fg-
Средний момент М определится из соотношения
ибо
т	т
Л1Т — М dt= — irpc2f fgdt,
о	S’
т т
^tcidt— | w = 0
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
163
вследствие периодичности функции к. Далее мы имеем:
/= (^о 4~ т) cos р -j- п sin р
g—— (^o4-m) sin p + wcos p — wc,
— ^fg— [(^o 4~ mY — nZ] sin 2p — 2 (y -j-m) n cos 2p -ф-
4~ 2w2bc 2w {[c (w0 m) — bn] cos p -|~
-F [cn 4- b (c'o 4~ m)] sin p}.
Рассмотрим лишь такие колебания, при которых периоды
вариации скоростей поступательного и вращательного дви-
жений одинаковы; случай, когда эти периоды различны,
приводит, вообще говоря, к более сложным формулам; вы-
числение наше преследует главным образом ту цель, чтобы
отыскать величину добавочного момента, зависящего от ко-
лебательного характера движения крыла, хотя бы в про-
стейшем случае, и показать, что она не обращается в нуль.
Будем рассматривать лишь гармонические колебания. Вы-
бирая соответственным образом начало счёта времени, мы
можем положить:
₽ — ₽о + А sin
т = Pi cos4- р sin It,
п — уг cos kt 4~ > sin kt.
Для определения искомой величины нам необходимо вычи-
слить два основные интеграла:
Т	2п
L — J sin 2^ dt — у sin (2^4” 2-^ sin a) da
о	о
и
Т	2г.
Lr = j cos 2р dt=у cos (2po 2Л sin a) da,
о	0
которые, в свою очередь, выражаются через интегралы
2г	2п
К— j cos (2Л sin a) da, j sin (2A sin a) da.
о	0
11*
164
С. А. ЧАПЛЫГИН
Последний интеграл обращается в нуль, так как в точках а
и 2тт—а подинтегральная функция имеет равные по абсо-
лютной величине и противоположные по знаку значения.
Что касается К, то, как известно из анализа,
К= 2тЦ> (2Л),
где Jo (2Л) — функция Бесселя нулевого порядка — выра-
жается рядом
j /о а) — 1___— J_____________|
о 1	12~ 12-23	13-22-32Ч^ " ’ ’
Воспользовавшись сказанным, имеем для искомых основных
интегралов выражения
L— ~ sin 2^0J0 (2Л) = Т sin 2p0J0 (2Л),
Z-i = У cos 2 рС1У0 (2А) = Т cos 2p0J0 (2Л).
Продифференцировав L и по А, найдём далее:
2п
—	— y J cos	sin а) sin a da—
’ о
т
— 2 cos 2р sin ^idt,
б
2it
— 2£s = ^ = — Г sin (2В04-2Л sin а) sin а da =
о
т
— — 2 sin 2^ sin It dt.
б
Принимая во внимание выражения L и Lv имеем отсюда:
т
L2 = J cos 2psinXZdt — Tsin 2ро7в(2Д) = — Tsin
о
Z-з = j sin 2р sin Wdt — —Tcos 2^oJo [2A)=Tcos 2р(?/1(2Л),
о
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
165
причём
г/олх лЛ /2	/4	/fi	\
Л(2Д) —ьг+ь2-2-3	1-2-3-2-3-4"!-' * J '
Легко убедиться, что интегралы
г	т
£4 — cos 2р cos ktdt, L5 = sin 2р cos ktdt
ti	о
суть нули,
ибо
т
sin (2р0 + 2/sin И) _ п
241	~'U
г
. _ I cos (2f0 + 24 sin It)
L~~~ |	241
о
0.
Далее, в выражении среднего вращающего момента мы
встречаем интегралы
т	т
L6 = ( sin 2 р cos2 \t dt,	£, = j cos 2 p sin kt cos It dt,
о	0
T	T
Ls = cos 2 p cos2 kt dt, LB = j sin 2 p sin "kt cos kt dt.
о	0
Интегрирование по частям даёт
. L2 7'sin2po т in л\ j ________ L3____ 7"cos2Pg » /од\
Ье=~2А~ —2A~J1(2A>’ Lb—'~2A — ~ 2A
L'i^=LB = 0.
Наконец, заменяя 2ft через p в L6 и f8, получим
т
Ll0 = J sin p cos2).M/=|j- cos p0Jj (Д),
0
Ln = cos p cos3"ktdt=^sin p0 J4(4),
0
T	T
£j2= f sin p sin)/ cos kt dt= cos p sin)/ cos If dt = L13 — 0.
0	i
166
С. А. ЧАПЛЫГИН
Кроме того, имеем
7
J cos2 'iJ- dt = ~.
о
Воспользовавшись найденными величинами интегралов,
мы находим после простых приведений следующую фор-
мулу для среднего момента:
М 1®°	sin 2₽о— 2jjlv cos 2ро] Jo (2Л)-|-
• Г	I1? 4~ v2 — Iх2 —
+ 2w0 (v sin 2p0 — ;j. cos 2p0) -j-—--------sin 2p0 —
J,(2X) +
-p 2 [(cvi + ^i) cos Po“b(^vi—Ф1)sin ₽o]	(^) ~\-A4>2c2\2 j .
Здесь b, c — попрежнему координаты центра вращения
крыла. При отсутствии вращения отпадают последняя строка
и члены с первою степенью скорости v0, так как заклю-
чает множителем обращающееся при таких условиях в нуль
количество А, т. е. амплитуду колебания угла атаки; при
этом
/0(2Л)=А^)=1,
и мы получим
УИ==^’{(г'° + ~~~~2 1-------)sin 2^о—(Jav+PiVJcos 2p0j.
Ещё больше упрощается формула в случае отсутствия по-
ступательных колебаний крыла; тогда она приводится к сле-
дующей:
М = {vl sin 2jV0 (2А) + A2\2b2 с2};
при этом следует иметь в виду, что Jo мало отличается от
единицы, так как величина А, амплитуда колебания угла,
вообще невелика в обычных случаях. Наконец, при нор-
мальном режиме Л = 0, и мы получаем для такого случая
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
167
средний вращающий момент
ЛТ==ЛГ0==^ sin2₽0,
совпадающий с постоянной во всё время движения вели-
чиной момента.
Отметим ещё особый случай движения крыла, близкий
к тому, который имеет место при петлении самолёта. В от-
личие от предшествующего случая здесь мы имеем враще-
ние всё время в одном и том же направлении, и потому,
останавливаясь на простейшем предположении, примем
Р = Х/.
Все вычисления становятся совершенно элементарными; по-
этому я не считаю нужным их здесь приводить и дам лишь
окончательную формулу средней величины момента; она
такова:
/й = (и - V1 + 2Х?) (И1 + v + 2X7),
если мы предположим, как это имеет место при петлях,
период поступательных колеба-
ний равным периоду полного
поворота крыла.
§ 7. Крыло, опирающееся
ка дужку окружности. Обра-
тимся к рассмотрению другой
основной дужки, когда крыло
представляет часть поверхности
бесконечного кругового ци-
линдра, ограниченную двумя
его образующими; сечение та-
кого крыла, следовательно,
имеет вид дуги окружности
(фиг. 6). Назовём через а радиус, через 2а — центральный
угол дуги; в точке С с координатами с, b находится центр
вращения. За ось ОК принимаем средний радиус и за на-
чало координат — центр дуги. Ось ОХ неизменно направлена
в пространстве и наклонена к оси ОХ под переменным
углом р.
168
С. А. ЧАПЛЫГИН
При нормальном режиме дуга движется с постоянною
скоростью v0 по направлению оси ОХ. Её переменное дви-
жение характеризуется поступательными скоростями
/=(®o + w)cos Р-Н я sin ₽ +
— (®0 -J- т) sin р п cos р — toe J
соответственно по осям ОХ и ОУ и вращением с угловою
скоростью о около начала координат; т, п и (о суть функ-
ции времени, причём
Ускорения начала координат по осям ОХ и ОУ суть
h =f—®g,
k = g-\-taf.
(45)
Если воздух находится в движении со скоростью Ц- тг
в направлении, противоположном оси ОХ, и со скоростью
17
Фиг. 7.
«1 против оси О У, то во всех последующих формулах, учи-
тывая относительную скорость воздуха, придётся заменить
fug соответственно через и g-j-g'i, оставив без
изменения формулы (45), определяющие абсолютное ускоре-
ние подвижного начала; как было указано в § 1, при этом
= +/»i)cos р~|-Я] sin р, ]
gi = — (®i+wi)sinp-j-«icosp. Г
(46)
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
169
Область течения изображаем на полуплоскости и (фиг. 7),
положив:
al	at	)
.	, . 9”	« "9
z = x-±iy = iae ----------L—------------^- =
a — ie 2 и + ie 2
u2 4-
= 1дгд- .T _ .,
“2~H “	I (47)
__________nsina___________=
du~~ e ( _f_W _f±\2
\u — ie 2 J ^«Ц-ze 2 J
. U sin a
— 4ae 7П--------=~7Ъ •
°')2
Концам дуги в плоскости и соответствуют точки « = 0 и
« = оо, первая — заднему, вторая — переднему концу; «=1
определяет среднюю точку верхней поверхности крыла,
и ——1 даёт середину нижней. При вещественных значе-
ниях и числители и знаменатели дробей, входящих в состав
выражения z в формуле (48), представляют собой сопряжён-
ные комплексные количества; таким образом модули этих
дробей будут равны единице, и следовательно, модуль z для
таких значений вспомогательного переменного сохраняет по-
стоянную величину а\ а потому в области z соответствующие
точки расположатся на дуге окружности радиуса а. Полюс
в области и находится в точке
«<
u = ie 2 ,
так как тогда г=оо.
Чтобы придать выражению z типическую форму, указан-
ную в наших общих рассуждениях, достаточно переместить
а
на действительной оси и начало в точку к = sin у и изме-
нить масштаб; ввиду этого полагаем
. а - а
и---S1H у = И COS у ;
Т70
С. А. ЧАПЛЫГИН
тогда
о!
и — ie 2 = cos у (« — /),
»<	а .
u-\-ie 2 = cos 2-(« + i) ,
af
и-\-ie 2 = COS - J ( и -J- f 4- 2 tg у
at
u — ie*
[u—i 4-2tgy).
Такое преобразование даёт новую формулу для z:
z — iae	,
и~ 1 u-H+2tgy
или
_____________,
z = iae~al 4~ 2iae 2 sin 4/ —-----
4U-Z «+/+2tg|
Перенеся затем в плоскости z начало координат в точку А,
т. е. передний край дужки, и повернув оси на угол ~
по часовой стрелке, мы новое z, которое обозначим через
z, выразим через старое формулой
z = (z — iae~al) е ( 2	2 )
и получим
z — 2а sin
1
« + *4-2 tg у
В дальнейшем изложении будем пользоваться формула-
ми (47), как соответствующими более простому расположению
осей по отношению к исследуемой дужке. Для простоты
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
171
письма введём вспомогательные обозначения, положив
at	а!
1е 2 =й, —ie2 = йп SSj = l;
S и Sj, очевидно, представляют собою сопряжённые ком-
плексные числа. Таким образом переписываем формулы (47)
в виде
z = — гай2 ——у
и — 8
« “г—
~	«2 — 82
4“ — — 4а sin ай2-------------. г ,
du	(u — d)2(w—|—о)2
= 4а sin Ct62 (ц2_________gZp
или, наконец,
z = — /а§2 -4- ай sin а ( ——=-.
1	\ U — о И б J
Затем имеем
. .2 ।	* .	( 1	IX
Z1 = iabx 4-ad1Sina^—p-J.
На дуге имеем
zzj = а2.
Составляем выражение функции течения
о» = (рЦ-гф-
Её производная будет определяться соотношением
1 dw	f — i% । > /+*? ।
a sin a da (a — 8)2	1 (a — 8j)2 "T”
+ 'C	T=A
(48)
(49)
(50)
а самоё функцию отсюда находим путём интегрирования; она
будет такова:
w — — ай sin а - ~1^- — afij sin а +
и — б	и — ©1
। Г’		1 U — S . о.2 .
4- tCa sm a In — /и -у-,
172
С. Л. ЧАПЛЫГИН
последний, зависящий от а член добавлен по той причине,
что на дуге мы должны иметь
, . zz< , . а2
ф + w -у = ф + w	— const.;
это постоянное мы можем выбрать произвольно и принимаем
его равным нулю.
В удалённых точках области течения имеем при указан-
ном виде функции w:
w
z
lim
dw
dz
—/+ *£=
— — (®o + m—n<}	— co (b -|- Ze),
как и должно быть ввиду формулы (44), ибо здесь от-
носительная скорость воздуха равна по абсолютному зна-
чению и противоположна
по направлению скорости
центра дуги, принятого за
подвижное начало коор-
динат.
При наличии ветра,
как сказано было выше,
надлежит f и g соответ-
ственно заменить через
/+/1 и £ +	вос-
пользовавшись для добавочных слагаемых формулами (46).
Циркуляция скорости I определяется формулой
/ = 2тоС sin а;
постоянному С мы дадим то значение, которое соответст-
вует при нормальном режиме предположению, что воздух
стекает с лужки на её заднем конце (фиг. 8). Таким об-
разом при = со = О мы должны иметь =Q
при « = 0.
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
173
Отсюда
г»0 sin ₽о -f-
а
c°s-
sin
I = 4wv0 sin | fi0	у] sin у = nlv0—
(51)
если через l обозначим длину хорды.
Будем, как было предположено в общем рассуждении,
рассматривать лишь такие колебательные движения крыла,
при которых циркуляция остаётся неизменной, и в этом пред-
положении вычислим равнодействующую давлений по фор-
муле (15). Для указанной цели составляем выражения

воспользовавшись при этом соотношениями (49) и (50).
Легко находим
>= _ §1й2 sin2 а J	+	) Х
v J 1___________1___I du.
Полюсы подинтегральной функции в верхней полуплоскости
и находятся в точках
ar"	ai
u — b — ie 2 ; и - — Sj — ie 2 .
Составим Л’ и N1—интегральные вычеты в этих точках.
Первый из нйх получается умножением коэффициента ц_~8~
на результат подстановки S на место и в витые скобки и
будет таков:

С. А. ЧАПЛЫГИН
174
Для нахождения Nv положив дг-ф-Sj = е, имеем:
1 — 	1	— —.— 1 _1___г—
и — 6 Ч- Ч — е Ч~ Ч к ~ Ч- Ч
воспользовавшись этими разложениями, получим

и затем
N-\-N1 = a2 sin2 а
/ —<g I /Ч-'П _
(8 —ЧН "I 4 J
= a2sin2 ^-|(/+/g)cos2y—/4-zgj.
= — a2/sin4 у -J- ia2g sin2	1 -|-cos2
'== — 2to (TV -|- Nj) = 2itta2f sin4 у -f-
-|- 2m2g sin2 y f 1 ~Ь
Переходим к вычислению Jv Подстановка значений zr
и w в формулу для Д даёт
y1 = J^Jw^«2S1sin2aJ^+^7A_-jrA_.)X
х{& ({ — ар + S1(Ui8Je +lC	„J-gj ) }
Первый множитель под знаком интеграла имеет простой по-
люс в точке и=—§jj назовём соответственный интеграль-
ный вычет через N'; он равен, очевидно, взятому со знаком
минус произведению коэффициента, стоящего перед знаком
интеграла, на результат подстановки — Sj на место и в витые
скобки. Таким образом находим
N' = —g2Sj sin2a
f — ig
(«г + 8)2
1Л+^-мсР-__1_П
Г 48j	Ж1//
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
175
Интегральный вычет /V], соответствующий полюсу a = S,
состоит из суммы двух слагаемых: одно из них представ-
ляет собою произведение iCa2^ sin2 а на результат подста-
новки в первый из множителей, входящих в состав подин-
тегральной функции, значения 5 на место «; второе слагаемое
получится, если мы разложим указанный множитель по сте-
пеням и — S и коэффициент при первой степени этого раз-
ложения умножим на S1a2sin2a-5(/—ig). Упомянутое раз-
ложение имеет вид
,	1	1 U — 3	, U — 3
sina > 3 — 8]	8-1-3]	(6 —3])2'Т’(о-|-3|)2 ’
принимая во внимание вышесказанное, получим
N[ = g38] sin2 а ( -I---281 уЛ iC 4-
1	1	\ sin а ।	_ Ц J ।
+ a2 sin2 a (/- ig) - (T=W} •
fa	fa
Подставив в W' и M значения 8 — ie 2,	— ie2 , заме-
тим, что первый член в выражении М есть нуль; затем,
по приведении, получим
N' -|-	—fl2sin2a	I +
-\-а2С sin a cos2 y = a2 sin2	/sin2 4- — z^l-|-cos2
a2C sin a cos2 ~,
и далее
Л-=-2га-(^' + М) =
= — 2ra«2/sin4 -----2m2g sin2 у (1 + cos2 —
— 2ma2C sin a cos2 у .
Обратимся, наконец, к вычислению интеграла
. С dw ,	। (dw \2du . .
/, = I —- dw = I — 5- du;
J2 J dz }\dz J dz
176
С. А. ЧАПЛЫГИН
воспользовавшись формулами (48) и (50), имеем
. ___ a sin а
/з	482
f-ig
(«-8)2
f A~‘g ।
(«-8^-Г
1 1
и — 8 и — 8j
и
Вычисление этого интеграла представляет некоторые особен-
ности, о которых приходится поговорить подробнее. Так
как контуру дужки соответствует действительная ось в об-
ласти вспомогательного переменного и, то интеграл надле-
жит взять в пределах —оо и -}-оо. Мы не можем при-
соединить к пути интеграции полуокружность весьма боль-
шого радиуса, ибо интеграл по такой окружности не будет
нулём. Чтобы обойти отмеченные затруднения, поступим
следующим образом: рассмотрим вместо потока, обтекаю-
щего интересующую нас дужку, поток, устремляющийся на
дужку, которая характеризуется функцией z, определяемой
соотношением
= —4а sin ай2
du
(ц-4-й)(«4-5 4-<\)
s(u — 8)2(« + 8-f-fc)2
Коэффициент k следует определить так, чтобы функция z
имела в точке и = $ простой полюс; а для этого в разло-
dz	1	,,
жении v- должен отсутствовать член --- . Мы выполним
а и	и — о
это условие, если потребуем обращения в нуль производной
dz
от («—В)2	при м = й. Таким образом находим для оп-
ределения k равенство
____________________1___1__________
8 Ц-ze^8-(-$+28-|-k
и затем получаем для z выражение
4asina83 j(84~Ze) (84-s-|-ft)) ।
з(28 4-А)2)	« — 8 "Г
(84-A;_f-s)(84-fe —s-fij |
«4- 8+k	coast.
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА ИА КРЫЛО
177
- Если мы положим в этой формуле е=Г| —О, 5= со, то
.придём к случаю, рассматриваемому в нашей задаче, так
как тогда новая формула для производной z совпадает с
выше приводившейся второй формулой группы (48). Осо-
бые точки z, как видно из приведённой формулы, опреде-
ляются значениями и=—is, и—-—s—is и лежат в ни-
жней полуплоскости и. При малых положительных значениях
s, г; и при весьма значительном реальном s новая формула z
определяет тонкую дужку с изогнутыми передним и задним
концами.
Разлагая на элементарные дроби, высчитываем коэф-
фициент при (и —	2 этого разложения. Он равен пределу
dz ,
произведения — {и — о)2 при и—*• о, и, следовательно,
dz__	4&а	(84-Zs)(8+g4-ZT!) ,
du~~ (284-£)2sna s(u — 8)2 "Г •••
Зная этот коэффициент, определяем производную от функ-
ции течения те»; для нахождения её достаточно принять во
внимание, что
dw	j. .	.
u-»8“z
z-»co
и что при реальном и искомая функция должна быть реальна;
она, кроме того, всюду на верхней полуплоскости, кроме
полюса и — Ь конечна и непрерывна. Все приведённые сооб-
ражения в совокупности достаточны для определения указан-
ной функции, и мы легко убеждаемся, что она должна удов-
летворять соотношению
__1 dw _ .£2 (8-f-«)_(8-4-s-Мч) /—
a sina du	s (28 + k)2	(и — 8)2
Л2 (8i + s —te) LI jc ( 1_________________I___?__')
J1 (28,4-^)3 (и —8X)2 “Г —8 • n —8jJ
12 С. А. Чаплыгин
178
С. А. ЧАПЛЫГИН
„	dz dw
Соответствующая принятым для — и — значениям ве-
личина интеграла j2 будет такова:
:    asina Г ( . ,.2 (8 —f- 7е) (й —з1 —|— /д)	/— ig ।
Л —	4g2	S(284-fc)2	' (ti — o)2 "Г
I 4*2(«1 ——Zg) /4-Zg ,
1	5(28! + ^	‘(u-^2 I
_l_ ir f_l_________1 \ I 2(«-8)z (»-H + fe)3s
~Г —8 a — 81/J (M-]-Ze) (n-4-s + z\)
Путь интеграции представляет собою и в этом случае
полное протяжение действительной оси в области «. Теперь
мы имеем полную возможность присоединить к этому пути
также и полуокружность, охватывающую верхнюю полупло-
скость области и, т. е. ту полуплоскость, на которую мы
отображаем исследуемое течение. Интеграл по этой полу-
окружности от нашей функции есть нуль.
Таким образом мы приходим к интегралу по замкнутому
контуру, во всех точках которого подинтегральная функция
конечна и непрерывна. Так как единственный полюс её
совпадает с точкой и~8, то отыскание /3 сводится к опре-
делению интегрального вычета, соответствующего указан-
ному полюсу. Обозначив и — § через легко убеждаемся,
что множитель подинтегральной функции, находящийся вне
витых скобок, в соседстве с полюсом может быть представ-
лен в виде
t < [ 1 + +  • • ]•	(52)
(й-|-ге) (й-(-5-|-гл) 1	1	1 J	'
Член с первою степенью X отсутствует в квадратных
скобках ввиду условия, наложенного на выборы коэффи-
циента k. Из приведённых соображений вытекает, что един-
ственный член подинтегральной функции, заключающий
в себе X в степени — 1, получится в результате умножения
выражения (52) на удвоенное произведение первого и
третьего слагаемых витых скобок. Таким образом получаем
для искомого интегрального вычета N2 выражение
N2 — — 2iCa sin а  (f— ig),
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
179
так как все прочие множители взаимно сокращаются, а затем
для величины интеграла /2 находим простую формулу
У3 = — 2та7У3 — — 4пСа sin а • (/— 1g).
Определенная таким образом величина не зависит от коэф-
фициентов е, 7j, s, и, следовательно, если мы им дадим при-
ведённые значения, соответствующие интересующей нас
дужке окружности, мы будем иметь то же самое значение
для J2. Заметим, что мы сразу получили бы эту величину /2
из первоначального его выражения, если бы вычислили
интеграл, не обращая внимания на полюс « = 0.
Подставив найденные величины j, jj и j2 в формулу (15),
получим окончательно для определения компонентов равно-
действующей сил давления X и Y по подвижным осям и
для проекций её X и У на неподвижные оси следующее соот-
ношение:
(У4-IX) е* = Y-\-iX= — 2тг ia2p sin^. (/— aif) —
— 2па2р sin2 (1 cos2 у) (g— toig) -f-
+ ;P (f— ig—a® cos2 ; (53)
два последних члена формулы (15) отпадут, так как пло-
щадь кривой 9 = 0; в формуле (53) 1 есть циркуляция ско-
рости вокруг крыла и имеет постоянную величину
I— 2пСа sin а = 4шга0 sin
Sin (po + y)
= ПШл --------------- ,
и	а
sin 2
как это было показано выше (см. формулу (51)).
Воспользовавшись формулами (2), имеем
(/— ig) е~Ф = v0 -|- пг — ni -ф- го (b cos р Ц- с sin р) -|-
Zro (с cos р — b sin р) = -j- tn ыВ — i(n — гоЛ),
12*
180
С. А. ЧАПЛЫГИН
если через А и В обозначим в рассматриваемый момент
времени координаты центра вращения по неизменно напра-
вленным осям. Назвав через F и G компоненты скорости
середины стрелки крыла по неподвижным осям, получим:
(/—ig)e~i$ = F— iG, f=f—год cos2 у.
Приняв в соображение эти соотношения, убеждаемся,
что последний член формулы (53) определяет перпендику-
лярную к направлению скорости крыла силу, которую мы
получили бы, применив к данному случаю правило Н. Е. Жу-
ковского, как если бы движение крыла представляло про-
стой неизменный полёт со скоростями F и G по направле-
нию неподвижных осей. Остальные члены возникают благо-
даря ускорениям и вращению крыла.
Составим для данного случая величину средней поддер-
живающей силы за период колебания, как мы сделали это
выше для дужки, ограниченной эллипсом; как и в предше-
ствующем параграфе, будем иметь для проекций К и L
среднего значения равнодействующей формулу
г
Т (L ф- //<) = J (F4- IX) dt.
о
Подставляя сюда подинтегральную функцию из формулы (53)
и приняв во внимание равенства:
6	«?₽
(/ -aif)e~^ =
(/—•S') е~^ = v0 -\-m — ni Ц- (£ -f- 7е) we~V —
= ^о + «г — ni -|-z (b + ic) ~ е~®,
причём
zwe-i?= —
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
181
легко убеждаемся, что
Z. —|—	/р-«70,
т. е. что средняя сила при неизменной циркуляции опреде-
ляется и в этом случае её величиною при нормальном ре-
жиме. Колебательное движение неизменного крыла рас-
сматриваемого дополнительного импульса не вводит.
Обратимся к вычислению вращающего момента 7И. Для
этого применяем формулу (21), которая в нашем случае
приводится к следующему виду:
„	С dw	, .Г , р Г dw ,
5 = —р ~^zdzl — р/м I zz^dw—i z-^ dim.
Вычислив 5, получим
Af=Re S,
t. e. M равно действительной части от S. Так как zzA — а2,
то
( zz^tv = а2 \ d-w = а2! — ЧъсРС sin а,
и нам надлежит определить лишь интегралы
H^z^dw.
При помощи равенств (48) и (50) имеем
. л 9- 	11 du
z dz, = 4a2i sin a ——-—.	,
1	(«2 —82) («2—«2) ’
H= — 4asi sin2 a X
X / f (f. f-ig I > f + ig  i^a \ U du
\° u — 8	’ и —«! T-2sino/(„2_j2)(u2_82)‘
Составим интегральные вычеты Q и Qj в полюсах ы = 8
и и — ^у- Вычет Q, получим, если, умножив подинтеграль-
ную функцию на
— 4а3 i sin2 а  (и ф- Зт),
182
С. А. ЧАПЛЫГИН
положим затем в полученном произведении и =—таким
образом,
2asi sin2 а I . • а « / — ig
f+lg\
2 /

Что касается Q,
разложим дробь
то для вычисления этого количества
и
(«+8)(п2-а2)
по степеням е = д — 8, сохраняя постоянный члени первую
степень е; получим
и _________	1 е ('ц Ч~ 382)
(H-Н) (и2 — 8f)	2(82 —48 (82 — «2)2 •
Подинтегральная функция изобразится в виде произведения
этого выражения на следующее:
Составив коэффициент при в указанном произведении
и умножив его на стоящий перед интегралом множитель
— 4«3/sin2a, мы получим интегральный вычет. Он будет
таков:
_ • 2аЪ sin2 а Г а . .	f — ij «i + 382 \
Q— 33_g2 (/“ 22
Затем, составляя сумму вычетов, после весьма простых при-
ведений получим
и пчл1л» 2iw3sin2a, _ •	4ita3 pz sin2 а
Н= - 2ш (Q +	(- 2^) =--------.
Подставив сюда значения
________________________fa	fa
5 - ie 2,	— — /е2,
находим окончательно
Н— 4uasgi sin2 — .
Л
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
183
Составим теперь выражение
_flzSina .	/ — ig , j. f+lg ,
— 4 J
1 lC [и — 8 и —8JJ	и
Для вычисления этого интеграла нужно повторить рассу-
ждение, применённое нами при рассмотрении аналогичного
интеграла, который мы встретили- при изыскании равнодей-
ствующей. Как и в том случае, присутствие полюса п = 0
мы можем не принимать во внимание и сосредоточиться лишь
на интегральных вычетах прочих полюсов, на этот раз лишь
единственного полюса. Множитель, находящийся в подин-
тсгральной функции вне витых скобок, может быть разло-
жен по степеням и — 5 = е в следующем виде:
_ / , , 382-1-Й , 6з ,	\
2е(§2 — 8,) (1 +2Г 8а_82 +282 + - • •)•
Далее, мы имеем
] g2 I Е б----di 1 J (о-*	J
=я/=а?+2,-с8/=,й +
| Г> f+‘S ‘С 1 °
(8 — гг)2 8 —Е2~Г---
При помощи этих разложений находим интегральный вычет
А" интеграла Н^, он будет таков:
К= «па . Г(§2 _	(f__ .g)2	2[С (f_ ig) (3§2

2C2 (S2 — S2)-4ICo' (/— ig) (§ + Si)
184
С. А ЧАПЛЫГИН
/а	fa
По подстановке значений b=ie 2, й] = — ie2 и приведе-
нии имеем окончательно
К = —4™ | — sin a (/— ig)a -ф- 4C cos2 у (/— ig) -|-
+ 2 (У2 + g2) tg у + 2C2 sin .
Сам интеграл
= — 2ш7С
Теперь мы имеем всё необходимое для вычисления вра-
щающего момента; он будет
Af=ReS= — Re Яр
ибо реальная часть прочих слагаемых, входящих в состав S,
есть нуль. На основании приведённого выражения //, имеем
М = — npa2/g sin2 а -ф- 2тгрС^а2 sin a. cos2 у (54)
или
М— — npat/g sin2 a —|— I^ga cos2 у .
Любопытно, что этот момент не зависит от ускорений.
Вычислим момент Af0 относительно середины крыла. Он
выразится формулой
A/q = А/ —|— аХ.
Обозначив через /0 слагающую скорости средней точки
крыла по оси ОХ, имеем
/=/о+“°;
приняв во внимание это равенство и определив из соотно-
шения (53)
Х= — 2тт«2р/sin4 у—2m?2pwg sin2 ~ 1 -|- cos2y — /pg,
мы найдём после подстановки в формулу для АТ0 указанных
значений и приведения:
Мй => — ^a2Jbg sin2 а - /pga sin2 у 4.2no3p(gw — /) sin4 у ,
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
185
Положим
й = оо, а —О,
lim a sin а = 1\
[последний предел равен] половине длины пластинки, в ко-
торую обращается в этом случае дуга круга; приняв во
внимание, что
/=/о + “й>
мы находим
/140= — np/2/0g—
т. е. формулу, которая, как легко усмотреть, для этого
случая совпадает с ранее полученным для такого же пред-
положения результатом, выведенным в предшествующем па-
раграфе для пластинки как предельной формы весьма тон-
кого эллипса.
Вычислим ещё вращающий момент сил давления по от-
ношению к центру вращения крыла. Так как координаты
этого центра по отношению к принятым нами осям суть
с и Ь, то искомый момент связан с моментом Л1 фор-
мулой
M1 = M-\-bX—cY.
Подставляя сюда значение М из формулы (54) и выраже-
ния X, Y из соотношения (53), найдём по приведении после
весьма простых вычислений
81-2
Afj = — пра2 sin2 afQg0-ф- /pg0 (a cos2 ~ — b j — /р/0С -ф-
-ф- 2тгра26 sin4	• (wg0 —/0 — tob) -ф-
-ф-2тгра2с sin2 • fl +cos2^) (“/o + So — ыс)-
Здесь через /0 и g0 обозначены скорости нового центра
приведения по направлениям связанных с дужкой осей
OX, OY; f0 и g0 суть производные повремени этих функ-
ций, а потому/0 — csg0 и £0-ф- ю/0 выражают слагающие
186
С. А, ЧАПЛЫГИН
ускорения той же точки по осям. Что касается величины
a cos2 j-1 то нетрудно усмотреть, что это есть величина
расстояния от центра дужки крыла до середины её стрелки,
и потому a cos2 ~ — b равно проекции расстояния центра
вращения крыла от середины его стрелки на средний радиус
дужки. Наконец, через / попрежнему мы обозначили неиз-
менную циркуляцию скорости около крыла
I— 2пСа sin а,
где
sin

а
cosy
как было указано выше [формула (51)].
Средняя величина вращающего момента за полный пери-
од колебания крыла определится путём вычислений того же
характера, как указанные в конце § 6 для рассмотренного
там случая k и выразится в Бесселевых функциях от ампли-
туды колебания угла атаки, если этот угол колеблется по
гармоническому закону; если же весь аппарат вместе с кры-
лом находится в равномерном вращении (петлит), то мы
придём к более простой формуле для искомой величины и
выразим её в простейших функциях.
§ 8. Крыло с дужкою более общего типа. Укажем
теперь, как можно провести все вычисления в том случае,
если мы имеем дело с крылом более сложного вида, на-
пример с крылом, опирающимся на дужку инверсии параболы
или эллипса. Представим себе, что область течения отобра-
жена на верхней полуплоскости вспомогательного комплекс-
ного переменного и при помощи формулы
z=K
Г 1 G2 \
— I и — т/
(55)
где К есть некоторая величина с линейным модулем, [а у и
G определяются равенствами]
t = r—si,
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
187
при этом г, fj и Sj суть вещественные числа любого знака,
s непременно положительно. Действительная ось соответ-
ствует контуру дужки крыла. Выбор коэффициентов стеснён
лишь некоторыми неравенствами, вытекающими из условия
„ dz	„
отсутствия корней в верхней полуплоскости «; это усло-
вие необходимо должно быть выполнено для однозначности
конформного преобразования. Составив производную z и
приравняв её нулю, мы получим для определения корней
квадратное уравнение
(и — у)2 — G2 {и — г)2 — О,
откуда и получаем два корня:
«г—1—G-	1+G’
требуем, чтобы коэффициенты при мнимой единице в этих
выражениях были отрицательны; таким образом приходим к
следующим неравенствам:
(«1 + '') — 0 — g)(g + s)<°>
«г («1—+	—s)<0-
Сложив наши неравенства, получим
•s.	2 г 2	2 г 2 г «ч
S>71-|-S1, S = n-|-Si+Aa.
Принимая за первое условие новое неравенство, второму
неравенству придаём вид
ln(s—П+г^КА2,
вертикальные чёрточки обозначают, что от стоящего внутри
них выражения следует взять абсолютную величину. Если
одно из указанных неравенств обратится в равенство, то
один из корней будет реальным количеством; оба корня
станут реальными, если оба неравенства обратятся в равен-
ства. Геометрически этим предположениям соответствует
188
С. А. ЧАПЛЫГИН
существование одной или двух точек заострения на дужке
контура крыла.
Ясно, что наложенные на коэффициенты требования
дают широкий простор для выбора их значений, и, придавая
им те или иные величины, мы можем получить крылья весьма
различных очертаний.
Отметим, что:
1)	положив К— a-\-b, G2=—г-г> r=0, $=1,
мы получим крыло, имеющее в сечении эллипс с полуосями
а и Ь',
Я
2)	при 1,	= г——— , s=l встреча-
емся с крылом, опирающимся на дугу окружности с цен-
тральным углом 2а;
3)	если Г] = 1, S] = 0, г=
2 sin т cos т -4- г
—---------1 $ =----------— ,
cos т — е	cos ~
то сечение крыла будет инверсией параболы; при этом один
из корней уравнения обращается в бесконечность и,
стало быть, на контуре крыла в точке, соогвэтствующей
значению и = оо вспомогательного комплексного перемен-
ного, мы будем иметь точку заострения, как и должно быть.
При е —О, т = второй корень будет также реален, и
мы будем иметь на обоих концах дужки точки заострения;
нетрудно усмореть, что при таком предположении о значе-
ниях е и т мы возвращаемся ко второму случаю, т. е. по-
лучим опять крыло, опирающееся на дугу окружности;
4)	наконец, инверсия эллипса получается при следующих
значениях коэффициентов:
0=	Е~,	= * +	Н>0,	£2-1-у2,
1 — i — "о
t=V’	=«
а и Ь — полуоси инвертируемого эллипса; положение центра
инверсии определяется коэффициентами 1 и ц. Для оты-
скания потока, омывающего крыло, дужка которого харак-
теризуется конформным преобразованием (55), необходимо
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
189
найти непрерывную и конечную в области течения гармо-
ническую функцию х, у, которая на контуре дужки при-
нимает значение х2 -]~y2 = zzr Так как
где значок единица внизу приписывается для того, чтобы
отметить комплексные количества, сопряжённые тем, кото-
рые обозначены тою же буквою без значка, то поставлен-
ная задача сводится к отысканию всюду конечной и не-
прерывной на верхней полуплоскости и функции этого
переменного, мнимая часть которой при и реальном совпа-
дала бы со значением в тех ур точках мнимой части функ-
ции
/ 1 G2 W 1 G? \
F(u) = IKK, I —.----------) —j-.--------— ) .
' '	1 \ZZ--l U-----у/	ll--ft/
Эту функцию можно найти тем же приёмом, какой был
указан как общий приём изыскания и применён затем к слу-
чаю дужки с эллиптическим контуром.
Однако можно решить задачу и непосредственно, усмо-
трев искомый вид функции. В самом деле, раскрывая скобки,
мы получим:
1	i ( iG2G]
'ККхF (U) = «3+1 “Г (w —т)(« — Yi) ~
Г &	, Gl
' I (к — v) (« + z) "T (it — 7i) (« — z) J •
Легко увидеть, что первый член этого выражения пред-
ставляет собою мнимую часть всюду конечной и непрерыв-
ной на верхней полуплоскости функции —далее, так
как оба члена, стоящих в квадратных скобках, имеют оди-
наковую действительную часть, то в состав искомой фун-
кции войдёт член
_2z______&_______
(и —Y)(« + z)’
190
С. Л. ЧАПЛЫГИН
также представляющий в интересующей нас области конеч-
ную и непрерывную функцию. Наконец, изобразив остав-
шийся член функции F(u) в виде
.04% ( 1	1
(и — т)(м — Yr)-1!— 71 '«— 7	и—ti''
усматриваем, что его мнимая часть совпадает с мнимою ча-
стью, всюду на верхней полуплоскости конечною и непре-
рывною, выражения
2ZG2G?
(7 — 71) (« — 7) ‘
Соединяя найденные результаты, окончательно заключаем,
что функция
_	(	1 HiG2G^	2iG2 1
f («) KKi 7 — u-f-Z + (7 —71) («~7) — («— 7) ("-HO I
имеет на реальной оси как раз нужную мнимую часть.
Функция течения, омывающего данную дужку при усло-
вии её вращения с угловою скоростью со около некоторого
определённого центра, выраженная в координатах, неизменно
связанных с дужкой, как указано было в § 5, может быть
разбита на сумму двух слагаемых:
w=-ф- гф — w1	ie>2.
Из них второе должно представлять всюду в области те-
чения, иначе везде на верхней полуплоскости и, на кото-
рой эта область конформно отображается, конечную и не-
прерывную функцию и, причём её мнимая часть на контуре,
иными словами, на действительной оси в плоскости и, дол-
жна иметь значение — Этому условию мы удовлетво-
рим, положив:
w2 = —
= «	/ J______2^2	,	2^ 1
1=1 2	(“ —7)(« —О'” <7 —71)(« —7)J ’
Что касается то эта функция должна обладать веще-
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
191
ственным значением на реальной оси иг, в бесконечно удалён-
ной точке течения, соответствующей значению u~i, мы
должны иметь
dz Z / l ь>>
если попрежнему через f и g мы обозначим проекцию по-
ступательной скорости дужки на связанные с нею оси и
предположим, что воздух покоится в далёких точках от дви-
жущегося крыла; при наличии ветра, как было в своё время
указано, вместо fug мы должны были бы написать,
g-1-glt обозначая через Д и gy компоненты скорости ветра
по осям. С полюсом u = i совпадает, кроме того, логариф-
мическая точка функции те^, соответствующая течению
с циркуляцией вокруг дужки. Всем указанным требованиям
удовлетворяет функция
=_	ie in .
1	и — I	1 u-\-t 1 и 4-/
Таким образом, полное значение функции w определится так:
w = _ к _ Ki +iC 1 n ^4 +
и — i 1 и-ft 1	1
, <оД7(д I 1________2iG2_______,	2/G2°i	\
г 2 (w-J-Z	(“ + 0(« —Y) ' (Y —Y1)(«—Y)/'
Имея эту функцию, мы указанными общими приёмами
при всяком частном значении коэффициентов определим
подъёмную силу и вращающий момент в любое время, равно
как и средние значения их за период колебания. Что касается
среднего значения подъёмной силы, то по отношению к нему
может быть доказана общая теорема, определяющая его
величину вне зависимости от вида дужки; изложение этой
теоремы составляет предмет следующего параграфа.
§ 9. Определение средней величины подъёмной силы
для неизменного крыла любого типа при постоянной
циркуляции. Представим себе, что нам дана дужка неко-
торого определённого вида, и посмотрим, какова будет средняя
подъёмная сила, поддерживающая крыло с такою дужкою
192
С. А. ЧАПЛЫГИН
за период колебания его при полете. Будем исходить из
общей формулы подъёмной силы (15), данной в § 3:
У+iX= — Р JJ dz, — рйо J z,dw — dw +
+ P? (y + ix) (if) -|- ш2) -|~ p<7 (k -|- ih). (56)
В этой формуле заменим слагающие ускорения по осям h и k
их значениями из формулы (3) § 1:
Л =/— cog,
^ = g+®/.
где f и g попрежнему обозначают компоненты скорости по
тем же осям, и затем введём вместо проекций силы на оси,
связанные с крылом, её проекции на неизменно направлен-
ные в пространстве оси; обозначив эти последние проекции
через X, У, получаем
7iX= (У -[- IX) е - =
= — ре~'? ~ dz, — piae~‘? J z,d-w — е~1? J -|-
+ ?Q (У +ix) (*“ + “2) е + W \f~ ig~ i® (f~ «7)} e~l?-
(57)
Имея эту формулу, определим слагающие К, L средней
подъёмной силы с помощью соотношения
7
Т (L 4- iX) = J (7-Н iX) di,
где Т — период колебания крыла.
Чтобы воспользоваться этой формулой, произведём не-
которые преобразования. Функцию w изображаем в виде
суммы двух членов;
W= W] -1- w2,
где Wj есть однозначная функция и представляет собою
сумму членов, зависящих от поступательного движения и
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
193
от вращения крыла; w2, наоборот,—функция многозначная,
характеризующая собою движение с циркуляцией скорости.
Эти две слагающие функции имеют следующий вид:
Wj = А —— Л,-	(и),
1 и — i 1 и ф-г 1	' ”
Здесь С определяет циркуляцию скорости:
/ = 2тгС;
Г (и) есть такая всюду на верхней полуплоскости вспомо-
гательного комплексного переменного и конечная и непре-
рывная функция, что на реальной оси её мнимая часть
Imffu) имеет значение
1шГ(и)= — 1(x2+j/2)= — 4^1-
Наконец, коэффициент А определяется по функции, кон-
формно отображающей область течения z на полуплоско-
сти «, так что бесконечно удалённой точке области Z со-
ответствует u — i и контуру дужки — действительная ось
полуплоскости. В таком случае функция z изобразится
в виде

где Ф (и) в области и — голоморфная функция этого пере-
менного, а коэффициент А и есть тот самый, который фи-
гурирует в приведённом выше выражении w,.
Далее поступаем следующим образом: разобьём подъ-
ёмную силу на две слагающие; проекции одной, зависящей
от члена-----j ~ zto формулы (57), обозначим через
Xi, Ур проекции другой, которая определяется всеми про-
чими членами упомянутой формулы, назовём через Х2, У2.
Меняя в соответственных членах формулы i на — z, мы
13 С. А. Чаплыгин
194
С. А. ЧАПЛЫГИН
получим для определения последней слагающей такое ра-
венство:
Уа — 1Х2 = — ре' pJ	dz -ф- рд те1 ₽ J zd/w
+ VQ(y—tx) (w2 — «•>) е® — р?д {/-[- ig-\- дю (/-[- ig)}
где w есть функция, сопряжённая w:
да=ср — дф.
Так как на контуре дужки, по которому производится ин-
теграция,
ф-|_(о££1 = о,
то здесь	т 1	2
•w = -ф- дф -ф- iiozz1 =‘w-\- izz-f io.
Это, во-первых. Во-вторых, интегрируя по частям, имеем
[ zdw—\ z dwt z d-w2 ~ (pzwj — w, dz-}- z dw2,
[где ф zwt есть разность значений функции гЮ] в некоторой
точке после и до обхода контура]. Так как циркуляция
со временем не меняется и функция z не содержит членов,
зависящих от времени, то последний интеграл и предста-
вляет собой некоторое, не зависящее от времени постоян-
ное количество Н. Подстановка ф zv^ ввиду однозначности
функций z и при обходе по контуру обращается в нуль,
и мы получаем, таким образом,
f zd'w=H— ^•Wjdz.
Наконец, в-третьих, как в своё время было показано,
^zztdz = — 2 (у — ix) q,
где q — площадь дужки, х, у — координаты её центра тя-
жести, а другой появляющийся в вычислении интеграл [имеет
значение]
yzdizz^—-ф- \zzxdz= ф	<\zzldz1—2<ji—ix)q.
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА ИЛ КРЫЛО
195
Приняв во внимание все эти три замечания, мы преобра-
зуем написанное выше равенство для определения Х2, У2
к следующему виду:
У2 — iX2 = — pezp J dz — p/ioezpJ -wxdz -f- piW₽H-|-
+ P (J —ix) Q («°— “2)	— ?Я‘ {/+ z’i+I0) (/+	e'9>
а так как
dp
dt
dw __dwj
dt~~ ~dt
то это равенство можно переписать в форме
У2 — iX2 = ~ j — ре'₽ ^dz + реЗД-|-
+ z‘p (у—ix) я^ — pqiel\f-\r №
Совершив интегрирование и имея в виду периодичность,
в силу которой начальное и конечное значения полученной
функции — одно и то же, мы приходим к заключению, что
полный импульс за период силы Х2, У2 есть нуль; а стало
быть, такова же и средняя величина силы за этот проме-
жуток времени. Таким образом мы получаем на основании
формулы (57)
т
T(L-{-iK)=\(Y1—iX1)dt.
0	-|f (£)’£ «„ =
+ '<„43+Ii)}’-X4W^>=
= 2nCp (/— ig) = / p (/— ig).
13»
196
С. А. ЧАПЛЫГИН
А так как по формулам (2) § 1 мы имеем
(/—ig) e~W=vQ -\-т—zzZ —<о (b-\-ic) е~‘Р,
то получаем
г
Т (L-\-iK) — I^	— ni-\- we~{?(b~\- дс)] dt,
и
откуда вследствие периодичности функций т, п,
Z. —Z/<==Zp-z70-
Таким образом мы убеждаёмся, что средняя величина
подъёмной силы при неизменной циркуляции есть подъёмная
сила при нормальном режиме, определяемая через циркуля-
цию 1 формулой Н. Е. Жуковского, а среднее лобовое со-
противление при том же условии равно нулю.
§ 10. Общие формулы результирующих сил давления
и моментов для произвольного крыла. В начале работы
был указан метод, при помощи которого во всяком частном
случае можно получить точное выражение подъёмной силы
и вращающего момента, испытываемых крылом при пере-
менном движении и постоянной циркуляции; затем даны
были примеры приложений этого метода к отдельным за-
дачам. В этом параграфе мы ставим себе целью дать вы-
ражения для тех же количеств, не делая особых предпо-
ложений о виде крыла; формулы при этом получаются
с некоторыми коэффициентами, значения которых и отличают
друг от друга крылья того или другого очертания.
Представим себе, что область течения отображена на
верхней полуплоскости вспомогательного комплексного пе-
ременного и при помощи уравнения
х -ф- iy = z = Ф (и)
и что в области полюса u = i, z — oo функция Ф (и) имеет
разложение
+	—')+••• ,	(58)
где А, В, D, ... — некоторые комплексные коэффициенты.
Обозначим проекции скорости начала неизменно связанных
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
197
с крылом осей координат на эти оси через /, g, а угловую
скорость вращения через со. Проекции скорости частицы
жидкости в её относительном движении будут иметь выра-
жения
Потенциал скоростей <р и функция тока ф, представляя со-
бою сопряжённые гармонические функцйи, определяют функ-
цию течения
w — <р -|- дф,
которая, как было показано выше, имеет вид
w= — А-——Л1£±^+С/1п^Ц4+‘0^(«). (59)
и — i	1 и-\-1 1	и-\-{ 1	\ \ /
где А— коэффициент, входящий в формулу (58), А, — со-
пряжённое ему количество, С — постоянное, характеризую-
щее циркуляцию /, которая выражается формулой
/ = 2пС,
а функция F(u) определяется из того условия, что её мни-
мая часть
на контуре крыла, а стало быть, и на соответствующей
ему в полуплоскости вспомогательного переменного действи-
тельной оси полуплоскости.
По формуле (56) мы имеем для определения силы ре-
акции воздуха равенство
F-ф- iX= — р
f — Pzw f zldw - Т j УГг dW +
+ Р</ (У + ix) (Z“ + “2) + Р?1 I/----------------------------------ZW
198
С. А. ЧАПЛЫГИН
где проекции ускорения начала h и k заменены их выра-
жениями
h—f—ug, k=g-\-uf.
Разобьём, подобно тому как это было сделано в предшест-
вующем параграфе, силу реакции на две; проекции одной,
определяемой третьим членом приведённой формулы, обоз-
начим через X], Fp проекции же второй, которая харак-
теризуется всеми прочими членами, назовём Х2, У2. Таким
образом, с одной стороны, имеем
с другой, заменив I на —Z, получаем
У2 — iX2 — — р J	dz -ф- pZco z d-w1 —
~Щ(у — ix) (iv> — w2) — ?qi { f-\- ig -ф- Zw (/-]- Zg)}.
Функция wl, сопряжённая -w на контуре крыла, по ко-
торому берутся интегралы, может быть изображена в виде
Wj = w — 2/ф — w -ф- wZ^p
приняв это в соображение и замечая, кроме того, что взя-
тые по контуру интегралы имеют значение
zd (zzY) = — zzAdz = — ( (х2 -ф- у2) (dx -ф- idy) =
^=—\y2dx— i\x2 dy=2q (у — ix),
если попрежнему обозначим через q площадь крыла, а че-
рез х, у — координаты её центра тяжести; мы получим
У2— iX2 = — р dz-ф-pziozdw-\-
+ Щ (У — <>) 0“ + а2) — {7+ ig + (/+ *£)}-
Выделив из функции w логарифмический член, обозна-
чая через но всё, что остаётся, путём интеграции по частям
получаем, ввиду однозначности функции w:
f z dw^— f wdz
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
199
и, воспользовавшись формулами (58) и (59), находим:
- о [F+ О (« - о)} { о) du.
Здесь принято во внимание разложение вблизи полк с 1
функции
F(«)—f+G(« —/)4-...
и отброшены все те члены, которые при интегрировании
по замкнутой кривой не имеют значения; по теореме Коши
мы интегрирование по контуру крыла заменяем интеграцией
по бесконечно малому контуру, охватывающему полюс и — i.
Искомый интеграл определяется интегральным вычетом функ-
ции, и таким образом мы, воспользовавшись разложением
вблизи полюса
1 ___ 1 । u — i .
м -J- Z 2z “Г 4 т — •
легко находим
j* w dz — 2шAD (f— ig) — ~ AAt (/-|~ ig) + 2п/ЛОо>.
Ввиду неизменности со временем циркуляции интеграла
С dw , f dw .
I ~^-dz = I -sr-d-z
J dt J dt
он определяется путём замены /, g, w в только что най-
денной формуле их производными по времени /, g и со. На-
конец,
Воспользовавшись всеми этими формулами, мы получаем
У г — iX2 = Н (if— (of) — К (g -|- itog) —
— (>. z» (zw w2) -44“	4*'Pi)» (60)
200
С. А. ЧАПЛЫГИН
причём
Лр^711 — р<? — 2пр AD,
К=^±АА1_ _^2^AD,
- I
> —Z jx = 2ттр AG — ^qy -ф- i pqx,
1-=2ттС,
= —у-
(61)
Заметим, что все эти коэффициенты, обозначенные вновь
введёнными буквами, суть количества реальные; сомнение
возникает лишь благодаря присутствию члена AD, ибо
коэффициенты А и D, вообще говоря, комплексны. Но
легко обнаружить, что и этот член можно считать веще-
ственным. В самом деле, меняя направление осей коорди-
нат в плоскости крыла, мы получим из разложения (58)
формулу для нового z в виде
2 = е'1Гф(«),
где у — угол поворота осей; поэтому новые коэффициенты
А и D в разложении z в области полюса получатся из
старых путём умножения на ей, а произведение AD умно-
жится на e2i\ понятно, что у всегда можно выбрать так,
чтобы в результате этого умножения получилось количество
вещественное. Примем, что оси с самого начала выбраны
именно таким образом, и наше сомнение отпадёт.
Обращаемся к вычислению	Имеем
2 du ,
— du —
dz

Единственный член подинтегральной функции, дающий интег-
ральный вычет, получится от удвоенного произведения пер-
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
201
вого и третьего членов витых скобок, и мы получаем
F, 4- iX. = 2пр С (f— ig) = pl (/— ig),
как полагается по формуле Н. Е. Жуковского.
Эта формула в соединении с формулой (60) окончательно
определяет искомые слагающие сил реакции, и мы имеем
для них следующие выражения:
Х= — Hf-\- Axog-|-Xw4-|i(o2 — Ipg— /ppjco, )
У=— Kg —	— ).w2 -|- i?f	I
причём коэффициенты определяются формулами (61).
Перейдём к отысканию вращающего момента М около
начала подвижных осей. Он даётся формулой
Af=ReS,
причём по уравнению (21)
$ = — р zd^ dz. —pico zz. d-w — i Jz^-dw—
— 2pZ.!W — qp (y—ix) {/— ig— to (f— ig)} +
-j- 2zp<y (hx ky).
Здесь есть момент инерции площади сечения крыла отно-
сительно начала координат. Будем составлять реальные части
отдельных членов этой формулы:
Re dz. = Re ( dz. -\-l Jzd± dz.') =
J Й ~ Re 'Y J’
ибо
Re (zdz.)=-d-^-ld-,
di>
a на контуре крыла имеет величину
dt	2
202
С. А. ЧАПЛЫГИН
Так как на том же контуре по формуле (59)
—ф- = Im F («) = — Re IF (и),
то мы можем написать
7 f § d (2Zi) = Re i f J F'(u) du =
= Re
du^~ Re^y
На основании вышеуказанного разложения функции F(Uj
получим
/ {~F'{u)du = ~Gi \A^f du = — 2rtAG(f—ig).
Замечая далее, что
z2z1dz1 — \ (х2 -|- у2) (х dx у dy iy dx — ix dy) =
= i \ (x2 -f- y2) (y dx — x dy),
и преобразуя этот мнимый интеграл по формуле Грина, при-
ведём его к виду
z2z1dz1 = — 41 Ц (х2 -]~_у2) dx dy — — 4iLy;
л)	V
а потому
— Re — f z2zx dzx — — 2Z.r
При помощи найденных результатов мы изображаем
реальную часть совокупности первого и четвёртого членов
вышеуказанного выражения S в таком виде:
Re ( — р \ z ~ dzr — 2p£jio j = 2пр Re GA (f— ig) — L2w,
где через Z2 обозначено постоянное
L2 = — Re 1 zzx F' (u) du.
(63»
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
203
Заметим далее, что
Re — i zzr dw^ = Re ( — i J zzr dy zzj dty) =
= J zz-l db -- — у J zzY d (zzt) = 0.
Наконец, обращаясь к оставшемуся неизвестному члену S,
пишем входящий в него интеграл в виде
С dw . С f dw\z zdu ,
z -r~ dw — I —	-7— du —
J dz J I du J dz
~ ~J{A(u—(u+(zz) +
1 iC (_J___M\^ + B(u-D + D{u-i)l
<lb\u—i u-j-lj j A-D(u-t)2	'	7
Так как
A — D(u — l?
=:1+А(и-/)+2^(«-Ф + ...,
то, развёртывая витые скобки, мы изобразим вычет /V на-
шего интеграла в виде
N=-2AD(f— ig)2 — 2/С (в — ) </— & +
+	(f3 + g2) + - 2AG (/- ig) <0.
Затем имеем
Re J z^ dw— — 2nRe (//V) —
—	4n Re { iDA (f— ig)2 —
—	С(В — ^ (f— ig) 4- iAG (f— ig) и J .
Собирая найденные результаты, имеем
/И —ReS=2npRe {0A[f — ig—iu(f—ig)] —
— iDA(f— igyAf-C^B--^ (f— ig) —
~^{У — ix) [(/— ig) — (f— *£)] } —
204
С. А. ЧАПЛЫГИН
откуда, воспользовавшись обозначениями (61), окончательно
получаем
Ж = (И— K)fg -j-	pg — lag -f-
-j-pto/—	lig). (64)
Введённые нами коэффициенты Н, К и Ьг имеют любо-
пытный механический смысл; чтобы его обнаружить, соста-
вим выражение живой силы Т воздуха, в котором дви-
жется крыло в отсутствии циркуляции. Обозначив через Ф
потенциал скоростей, представляем живую силу в виде рас-
пространённого на всю область, занятую жидкостью, двой-
ного интеграла
преобразуя это выражение по формуле Грина, имеем
причём достаточно взять интеграл лишь по контуру крыла,
так как элементы его в бесконечно далёких точках будут
малыми третьего порядка. Заметив, что производная по нор-
мали от потенциала скоростей равна производной по дуге
контура от функции тока, мы можем заменить нашу фор-
мулу следующей:
2Т= — р f Ф - р ( Wd'P,
где
1Г=Ф-]-/Ф.
Это видоизменение в формуле возможно сделать, потому
что Ф— функция однозначная и, следовательно,
Нормальная скорость во всякой точке контура движуще-
гося крыла в наших обозначениях выражается так:
дФ___дФ___, dy dx у dy-j-xdx __________dt
дп ds ' ds	& d s	W ds	d s
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
205
Что касается W, то его можно выразить через нашу
прежнюю функцию и», или, точнее, w которая получится
из и», если мы отбросим её логарифмический член, так как
теперь мы рассматриваем течение без циркуляции. Легко
убеждаемся, что
Г=ад-]-(/— ig)z.
Таким образом
27’ = —р	—р (/—ig)^zdx.	(65)
Последний из этих двух интегралов сразу получается;
если заменить z через его выражение x-\-iy и отбросить
уничтожающиеся члены, он приводатся к следующему виду:
j z dx = f j x dy — ig\ у dx — ю (xy dy — ixy dx) =
= (/+ ig) q — ix) q.
Отсюда второе слагаемое в формуле живой силы получается
в виде
— ?(/— ig) \zdx==
= — Р? (У2 + g2) + Р<70) (/— ig) (у — ix)  (66)
Так как
dx = Re [ — i (f— ig) dz] — ^-d (zzj,
то первый интеграл в соотношении (65) можно преобразо-
вать так:
jwdT=^' (<р-1- /ф)dx =
= Re j— i(f— ig) ^<pdz^ — ^zzj dx—^wd(zz1) =
= Re — i (/— ig) J wdz (/— ig) [ zzx dz | —
— yj* zzYdx—у J wrf(^j).
206
С. А. ЧАПЛЫГИН
Затем мы имеем
jzzy dz= j (хг -j-j2) (fdy—gdx) = 2 (х/4-yg) q,
§ZZ! dz = j (x2 -f- У2) (dx + i dy) =
s= — 2yq	2ix</ = — 2q(y — ix),
и, сверх того, как найдено ранее,
J w dz = 2т AD (/— ig) — AA, (/-[- ig) 4~ 2m AGw;
наконец, при помощи равенства (63)
j wd (zzj) = yd (zzr) = 2 Re i § w F' (u) du =
= 2 Re j i J mF' (u) du-J zzx F' (a) du | =
= 2 Re { — 2-nAG (f— ig) 4- о |.
Собирая все указанные результаты, получим
— р j w dx = Re I pi (/— ig) | 2m AD (/— ig) —
— AAi (/+ ig) 4- ^mAG и] 4-
4- Р<7Ю (/~ *£) (У — ix) — 2прЛО(й (/ — ig) } -|-
4-L2io24-piXx/4-j/g).	(67)
Сложив равенства (66) и (67) и воспользовавшись обозначе-
ниями (61), легко составляем окончательную формулу
2 Т = Hf* 4- Kg2 4- Z2w2 — 21(о/— 2pwg,
которая и определяет значения введённых коэффициентов.
Если мы обозначим через m массу, а через Ls — момент
инерции всего аппарата и за начало координат примем центр
тяжести, будем иметь для удвоенной живой силы 2Т выра-
жение
27'= (ш 4- H)f 4~ (/л 4"^) ё2 4"l®2 —2 О'ш/4" №&)>
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
207
где
Заметим, что при всех наших рассуждениях длина крыла
нами принималась за единицу измерения. Добавим, кроме
того, что коэффициент Н, К, L, X и р несколько (в общем
мало) изменятся от присутствия фюзеляжа-
Заметим в заключение этого параграфа, что надлежащим
подбором нового начала координат можно достичь уничто-
жения в формуле живой силы членов с произведениями
угловой скорости на компоненты скорости поступательной.
В самом деле, заменив /, g, соответственно, на /-J-iorj,
g — со-, где f и g — компоненты скорости нового начала,
а £ и к; — его координаты по старым осям, мы приведём
выражение двойной живой силы к виду
2Г = (т + /Д/2 + (т4-/0^-|-Аю2,	(68)
если положим:
(69)

Точку, принятую теперь за начало координат, будем
называть центральной точкой. Так как квадратичная фор-
ма (68) есть форма существенно положительная, то введённые
нами коэффициенты (61) всегда должны удовлетворять не-
равенствам
12	,,2
я>0, /<>0, L —L—'->0.
Составим теперь уравнения движения аппарата в воздухе
при условии, что его ось перемещается параллельно самой
себе — единственно возможное предположение при условии
плоскопараллельного потока. Эти уравнения будут таковы:
mh = m(fwg) = X — Psin fi—Rx-j-Fx = X—Qx,
mk = m (g'-p(0/) — — P cos ₽	Ry + Fy — F—Qy, *(^0)
£2to = Л1 — aRy ф- bRx ф- dFy — cFx = M ф- MT.
208
С. А. ЧАПЛЫГИН
Здесь через Р обозначен вес аппарата, через f — перемен-
ный угол направленной вверх вертикали с подвижной
осью ОХ, через R—лобовое сопротивление, приложенное
в точке, координаты которой (по подвижным осям) суть а, Ь;
через F названа тяга винта, направленная по неизменному
в аппарате направлению и приложенная в точке с коорди-
натами с, д; руль предполагается неподвижно подвязанным,
и вся несущая поверхность заменяется некоторым эквива-
лентным при данном положении руля крылом; начало по-
движных осей помещено в центре тяжести аппарата; что же
касается X, V и М, то они определяются формулами (62)
и (64).
Заметим, что уравнения (70) при раскрытии выражений X,
Y, М несколько упрощаются, если начало координат пере-
местить в центральную точку, положение которой опреде-
ляется формулами (69). Заменив f,g через /-j-iDTj, g—o'
и отбросив затем за ненадобностью значки над буквами,
определяющими слагающие скорости, а также значок над
коэффициентом L, характеризующим неизменный момент инер-
ции, мы приведём систему (70) к виду
(т + #)/= (т + К) wg—/pg— /рйгш — Qx,
(т 4- K)g= — (m 4~ Н) о/-}-/р/4- /р4<о — Qy,
. /м = (Н—	4-/рГЧ/— /p\g—
М	—rlQx’
>(71)
где Pi и 4 суть новые значения коэффициентов; связаны
они со старыми [формулы (61)] так:
Pi = pi —Е,
4=4 + г1>
вначение силы Q и момента THj ясно из равенств (70).
В случае отсутствия этих сил уравнения (71) могут быть
точно проинтегрированы. Их интегралы, не содержащие
О ВЛИЯНИИ ПОТОКА НА КРЫЛО
209
времени, таковы:
27= (и + Н)Р 4- (и + К) g2 + Аи2	а,
(т 4- Н)2/2 + (т + К)2 g2 — 2/рХ, (т
— 21 ppi (т 4- К) g 4- 2/рАю = у,
где а и у — произвольные постоянные. Ясно, что в этом
случае интеграция заканчивается некоторой квадратурой,
вообще весьма сложной, характеризующей связь скоростей
со временем. Квадратура упрощается в предположении
4 = pj = 0, сводясь при таких условиях к эллиптическому
интегралу обычного типа.
Предположив, что тяга винта и лобовое сопротивление
всё время уравновешивают друг друга, мы будем иметь
один интеграл простого вида — интеграл живой силы. Он
может быть представлен в весьма любопытной форме, ко-
торую мы считаем нелишним тут указать. Пусть при нор-
мальном режиме угол наклона оси ОХ к горизонту имеет
величину р0, не изменяющуюся со временем; через
обозначим направленную при этих условиях горизонтально
постоянную скорость аппарата; так как подъёмная сила
равна при этом весу аппарата, то
P=/pw0.
Проекции скорости на оси могут быть при переменном ре-
жиме изображены в виде
/= w0cos 4~«, £= — i/osin04-w, w = ^=p,
а дифференциальные уравнения движения сведутся к сле-
дующим:
(//-]- т) и — (Н— К) wn0 sin Р 4~ (m 4“ ^0	— ^PHi®.
(/< 4"т)v == —	— Д’) cos Р —
— (Н-\- т) а>и 4~ 1ри 4“ 4^1Ю>
А<о = — (Н—К) (4; sin р cos р —	cos Р +
4- WV0 sin P4-«‘^)-|-^PI-tl'n0 cos P4“^lt,Osin₽-|_^PiJllw-Ip\v.
14 С. А. Чаплыгин
210
С. А. ЧАПЛЫГИН
Здесь через jjl, и ).j обозначены прежние значения этих
коэффициентов до перенесения начала координат в цен-
тральную точку; они определяются формулами (61).
Умножив наши уравнения соответственно на и, V, <о и
сложив, получим после совершения интеграции
2Т= (//-{- т) «2 _|_ (/с-|- т) v2 -]- £®2—
— (Н—К) vfi cos2 р ^РИг^о sin Р — 2/pl.jVo cos [3 -j-1,
где I — произвольное постоянное.
Уравнение (72) приводит нас к заключению, что если бы
было возможно достичь постоянного равновесия тяги и ло-
бового сопротивления, то аппарат был бы всегда продольно
устойчивым, так как Добавочные скорости оставались бы
в определённых пределах. В действительности этого не
бывает, и потому необходимо поставить вопрос о продоль-
ной устойчивости при малых колебаниях скоростей, когда
они отступают от значений, соответствующих нормальному
режиму.
К сделанному нами выводу необходимо присовокупить
оговорку, что угол р при наличии уравнения (72) может
меняться как угодно, так что аппарат может всё время
петлить, и устойчивость следует понимать лишь в том
смысле, что путь центра тяжести аппарата в среднем будет
направлен по горизонтальной прямой.
ТЕОРИЯ РЕШЕТЧАТОГО КРЫЛА1)
В предлагаемой статье разъясняется действие плоско-
параллельного потока на преграждающую его бесконечную
решётку, составленную из параллельных пластинок одина-
ковой ширины. Слегка изменив формулы, мы можем придать
перьям решётки очертания тел с тупым передним и острым
задним краем, с которого струи сбегают с конечной ско-
ростью.
Ставя перед собой задачу о решётке, я имел в виду,
хотя бы приблизительно, решить вопрос о решетчатом крыле
аэроплана, так как представляется довольно вероятным, что
аэроплан с такого рода крыльями будет более устойчив
при полёте. Предварительные опыты, произведённые в трубе
университетской лаборатории мною совместно с М. М. Икон-
никовым, подтверждают это предположение; однако для
большей ясности и убедительности результатов экспери-
менты эти было бы желательно произвести с большей точ-
ностью и обстоятельностью, так как теория, в которой
рассматривается бесконечная решётка, само собою разу-
меется, лишь с недостаточным приближением может быть
перенесена на случай решётки с конечным числом перьев.
Тот же анализ и с таким же приближением решает вопрос
о многопланном крыле аэроплана, как это показано при
разборе одного из частных случаев задачи.
’) Работа относится к 1911 г. Впервые напечатана в Мате-
матическом сборнике, т. XXIX, 1914 г. При переиздании в 1933 г.
пополнена анализом для случая решётки с криволинейными перь-
ями, с исправлением замеченных неточностей первого издания.
14*
212
С. А. ЧАПЛЫГИН
Анализ, приводимый в этой работе, мною получен
в 1911 г.; основные результаты в связи с произведёнными в
университетской лаборатории наблюдениями сообщены были
в 1912 г. II Всероссийскому воздухоплавательному съезду и
в апреле 1913 г. — Московскому математическому обществу.
Решётка состоит из бесконечного ряда параллельных
пластинок шириной 2/, удалённых друг от друга на рас-
Фиг. 1.
одну из пластинок. Предположим,
стояние Ь, считая по
перпендикуляру к ним;
расстояние между со-
ответственными конца-
ми пластинок в напра-
влении, им параллель-
ном, обозначим через а.
Представим себе
область решётки как
область комплексного
переменного z=x-\-iy,
сначала ограниченною
ступенчатой линией
DEFD' Е'F' ... со сто-
роны х =—оо, а со
стороны х = -]- оо та-
кой же линией
NPMN'P'M'... (фи-
гура 1). При этом за
мнимую ось принимаем
что в плоскости z прове-
дены разрезы по всем пластинам и по некоторым линиям
одного и того же вида, уходящим от пластин в направле-
нии — оо; кроме того, из этой области вырежем малые пло-
щадки с контурами KLH, K'L'H',..., от которых отходят
в -|- оо также однообразные кривые. Затем вообразим себе об-
ласть z наложенною на полуплоскость комплексного пере-
менного и = $ -j- гц так, что одноимённые точки совпадают
(фиг. 2). В пределе, когда ступенчатые ломаные отходят в
бесконечность, кривые MNP, M'N'P', ..., DEF, D'E'F,...
ТЕОРИЯ РЕШЕТЧАТОГО КРЫЛА
213
в области и сокращаются в точки; в то же время вырезы
KLH, К'L'Н', ... области z также обращаются в отдельные
точки, которым соответствуют отошедшие в бесконечность
отрезки KLH, K'L'H',.. . полуплоскости и. Последователь-
ные отрезки O'O'V OOj, ... действительной оси вспомога-
тельного комплексного переменного и соответствуют обеим
сторонам последовательных перьев решётки в области z.
Фиг. 2.
Для осуществления указанного преобразования доста-
точно положить
— cos и ch а =
а г
,1а — и	, 1а4-и
tg -у—	tg —3—
= cos (р — ia) In---------cos (p. -[- ia) In----; (1)
I th ~	Z th y
производную изображаем при помощи той или другой
из следующих формул:
л dz___Z sh a cos (и — р)
a du cos р sin2 и -f- sh2 а
или
£ cos ,i ch а = с^-~	'	(2)
a du '	sm(u — га)	sin(u-|-£a)
[Будем, следуя Коши, называть вычетом (r6sidu) функции
f(u) относительно особой точки а следующий предел:]
[R6s/(«)]„ = „ = lim (и — а)/(и).
214
С. А. ЧАПЛЫГИН
Связь количеств а, р с расстоянием b между перьями ре-
шётки и их шириною 2/ найдётся, на основании формул
(1) и (2), из условий
2ir (la — b)	,
-  ——- cos p ch а =
= 2ш — cos р ch а ГR6s —1	= 2nz cos (р — га),
а '	[ duju = ia
оо
к ।
“ = Г+р
2n-2/z	,	I 2nz .
-----cos р ch а ==	— cos р ch а =
Зк
о = -г+н
эти условия по упрощении приводят к формулам
tga = -^-=tgpth а,
~l , cos ц । 1 ,	, ch а + sin р
— = arctg -г—- + -тг tg р th a In -г—!.
а ь sh а 1 2 ь	ch а — sin р.
(3)
(4)
Положив
cos fl	, □
-- zz = tgB,
Ch a	°'
причём на основании формулы (3)
sin u ,	. Q L
EE^ = tgatgp = /ztga,
получим для определения ширины пластинки формулу
1 4-л —
т=arctg п+1 а 1П 7-------F	(5)
1 — п —
ТЕОРИЯ РЕШЕТЧАТОГО КРЫЛА
215
или
4=₽+|%а1п
COS (Р — о)
cos (Р + а) •
(6)
При заданных I и а этими формулами определяется п или fj.
В частном случае, если перья решётки лежат в одной пло-
скости и Ь — 0, а=0, имеем
р = 0, р = ^-, sha = ctg~.
В другом предельном предположении, когда перья решётки
лежат друг над другом так, что линия, соединяющая их
бесконечной дали с той стороны, откуда поток набегает,
скорость есть v0 и давление р0; с противоположной стороны
те же количества обозначим через vlt рг; пусть, далее, у
и Yi представляют величины углов в указанных областях
потока, которые он образует с направлением линии решётки
(фиг. 3). Из чертежа легко усматриваем связь
%=y+®—J,
(7)
между углами потока с осью ОХ и линией решётки.
Обозначив через <р и ф потенциал скоростей и функцию
тока, через v и 0 — переменную скорость и её угол с
осью ОХ, через w — комплексное переменное
216
С. А. ЧАПЛЫГИН
ПОЛОЖИМ
. и — X
/ dw ..	sln—2~
— -т- = N —-------------г ,	(8)
vn dz . / u it ц \	'
8|П(д“ ~4~ т)
где N реально. При этом производная будет реальна
на контуре пера, как это и должно быть, ибо этот контур
должен представить часть линии тока. Скорость имеет бес-
конечно большую величину на переднем крае каждого пера,
который поток обегает, меняя мгновенно своё направление.
Для определения введённых постоянных имеем, полагая
в равенстве (8) последовательно
Z——оо, u = ia,
г=4-°°> u = it-[-ia
и принимая во внимание формулы (7), уравнения:
или
ДГ
Ц>
. ia — 1
sin —= COS (|Х — и)
е-И=—^ —
sin
/а я р. \
"2 ~ Т — -2 )
15---X
cos —..— cos(u — /а)
------*
2
(fa it |1
N= (cos2 p -j- sh2 a).
Эти уравнения устанавливают как значения N и X, так
и соотношения между скоростями набегающего и уходя-
ТЕОРИЯ решетчатого крыла
217
щего потоков. Для нас важны лишь последние, к выводу
которых мы и перейдём.
Из приведённых уравнений находим
^е'Т-йг.
v0
«о
п
7
la—-X
2
Умножив первое из этих уравнений на
sin (1-+т+-£) cha’
второе на sin ------и сложив их, мы в резуль-
тате простых преобразований получаем следующие два
соотношения между скоростями уходящего и набегающего
потоков:
Pi sin Yi = v0 sin у,
т>1 cos у, (ch a — sin p) =
= w0 cos y (ch a sin I1) ^vo s’n Y cos И a- -
(9)
Первая из этих формул могла бы быть написана зара-
нее, так как она вытекает из простого свойства несжимае-
мости жидкости.
Переходим к определению силы, действующей на перо
решётки. Для этого воспользуемся общею формулою
в которой Y и X суть слагающие сил давления по соимён-
ным осям, р— плотность жидкости, а интеграция произво-
дится по контуру пера в направлении, определяемом движе-
нием от оси ОХ к оси ОУ*). Легко видеть, что интеграл
*) См. статью автора «О давлении плоскопараллельного по-
тока на преграждающие тела». Математический сборник,т,XXVIII,
1910 [стр. 11 настоящего издания, формула (1)].
218
С. А. ЧАПЛЫГИН
этот будет равен сумме интегралов по бесконечно ма-
лым контурам, охватывающим полюсы u = ia, u — tt-\-ia
в области комплексного переменного и. Изобразив интеграл
в форме
Y -\-iX-
легко убеждаемся, что сумма эта представляется в виде
Имеем прежде всего
где Y' и X’ суть слагающие силы давления по направле-
ниям линии решётки и перпендикуляра к ней. По форму-
лам (2)
c2l° —г,?е-2,т‘>
\ dz J и— ititt	1
=#•(! +*tga) = -^-,
\ dUJu=ia 2ft '	1	& ' 2ft COS О
dz\	ае'“
R6s —	= — к------•
\	аи)и—к-\-1а	2ftCOSO
Таким образом получим
Y' + iX' =	_ т^е-ит).
1	2 cos а' 1	о '
(Ю)
Подставив в эту формулу величины скоростей уходящего
потока через скорости набегающего по формулам (9), легко
получим
г sln Y cos Y1 — vocos Y) =
2pa
cos a
v2 sin f sin н
ch a — sin p.
(cos уsin у ctg ff)i
ТЕОРИЯ РЕШЕТЧАТОГО КРЫЛА
219
отсюда — окончательная формула:
уг= 2ра
cos2 а
?---т— sin (у 4- а),
1—ntga	1
где n = tgp определяется по ширине пера решётки форму-
лами (5), (6). Далее, из формулы (10) находим
А” — г- ра  (ф® cos2 у, —- v}. cos2 у);
2 cos c' i 11 о
воспользовавшись соотношениями (9), преобразуем эту фор-
мулу и получаем для компонента, перпендикулярного к ли-
нии решётки, выражение
X'
2ра
COS2 cl — л tg С
{cos y + f
п sin (у а)
— л tg а cos а
sin(y-|~a).
Формулы для У' и X' легко приводят к окончательным
выражениям для подъёмной силы Р и силы сопротивления Q
при помощи соотношений
Р=Х' cos у Y' sin у,
Q = X' sin у— Y' cos у.
Введя для краткости обозначения эффективной ширины
пера решётки L и числа h при помощи равенств
А = -4-, h=. п.--,
cos2 с	1 — л tg а
упрощений получим следующие
мы после весьма понятных
формулы для Р и Q:
Р=2рL.hv* sin (у	о)
Q = tyLlPvl sin2 (y + J).
cos t .
----^sin
cose
(П)
Напомним значения постоянных в этих формулах: у есть
угол, образуемый набегающим потоком с линией решётки,
а — угол пера решётки с тою же линией; следовательно,
у —|— ст есть угол атаки по отношению к пластинке, предста-
вляющей перо; что касается эффективной ширины L пла-
стинки, то оиа равна отношению расстояния между середи-
нами, или, что то же, одноимёнными концами двух соседних
220
с. л. ЧАПЛЫГИН
перьев к косинусу угла <7. Наконец, через р обозначена
плотность жидкости.
Чтобы иметь более ясное представление о величине рав-
нодействующих сил давления, рассмотрим их для двух
частных случаев, а именно: 1) когда а близко к нулю и в
пределе нуль — случай плоской решётки и 2) когда а близко
к прямому углу — случай многопланного крыла.
1) Полагая в формуле (5)
Ь *
— - tg а — т
a s
и отбрасывая ввиду малости т его степени выше второй,
получим;
« = (1 — m2)tg~ ,
Z.= -V- = «(l-|-/n2),
COS2 a	1
nL = ats— ,
6 a
1 1
<	i	’
. —
л(1 -f-лг2)_ g a
,	, it/ ’
1 — m tg —
a
изобразить в виде
1 — л tg а
cos а 1 — л tg а
затем формулы для Р и Q можем
г/
tg7
Р=: 2тг/ рт/2 sin (y4- а) — X
а
vl 1
'М.	.к/
\1 —л/tg —
= 2п/рФ§ sin (y-f- а) • К;
tg^-sinifSin2(7 + o)tg^-
Q = 2тт/рг/о
nZ
. , , .. «Г
cos f sin (у tg —
—7~	. Jt/ \ 2 ’
(12)
(13)
h
т
- a
2
ТЕОРИЯ РЕШЕТЧАТОГО КРЫЛА
221
Формула (12) показывает, что подъёмная сила, действую-
щая на перо решётки, будет превосходить силу, которая
действовала бы на пластинку той же ширины, отдельно
л
стоящую в потоке, если у , иоо эта последняя сила,
равная 2п/рт^ sin (у -j- а), умножается на величину К, в этом
случае ббльшую единицы. Разумеется, в случае конечной
решётки превышение не будет столь значительно, как даёт
формула (12). Для предельного предположения плоской
решётки, когда а = 0, мы имеем	<
точные формулы	\~х
tg —	у
2/npt’o sin у—L\
а	/
х{ 1 + sin у cos у tg ~|,	"7
tg2—	/
Q = 2п/рг/р sin3 у	'
а	/
Формула для силы	сопротивления	фИГ
Q показывает, что теория не охва-
тывает совершенно этой величины, ибо её порядок при ма-
лых углах атаки ниже того, который даётся формулой (13).
2) Рассмотрим теперь случай многопланной поверхности
(фиг. 4), когда а близко к прямому углу и малым количе-
ством будет
<7 = ctg ст.
При этом предположении имеем, обозначая угол атаки на
перо через S,
у -]- а = 7Т — §, у=тг—S—
где s — малый угол, причём
tgs=?.
222
С. А. ЧАПЛЫГИН
Далее, находим
L_ a _/(g2+l)
cos2 о	q
и из формулы (5), сохраняя вторые степени q,
п _____ nq
1 — ntga q — п
После подстановки в формулу (11), отбросив степени q
выше второй, получаем для подъёмной силы многопланного
крыла на всякий план величину
—	I	/ \
Р=р^2(еь — 1) sin S (1— ?2thy] X
{2-!
1 -j“ у (е ь — 1) sin (5 — s) sin 8
если поток перпендикулярен к линии, соединяющей сред-
ние точки планов, то 8=s, и мы можем изобразить подъ-
ёмную силу одного плана в виде
2тг1
Р= 2п/р®2 sin s ?	1
т
(1—th-Jtg2s)=P1.A'.
Множитель
2я/
к м
ъ
(l-th-^tg2^
ТЕОРИЯ РЕШЕТЧАТОГО КРЫЛА
223
значительно превосходит единицу при l^b', поэтому подъ-
ёмная сила Р плана, входящего в состав многопланного
крыла, должна быть значительно более Рх, т. е. подъёмной
силы отдельного плана в бесконечном^ потоке. К этому вы-
воду, разумеется, вполне
прилагается оговорка, ко-
торая была сделана при
рассмотрении первого ча-
стного случая.
Укажем, далее, как
изменить анализ для того,
чтобы получить решётку
с перьями криволиней-
ного профиля с остриём
сзади (фиг. 5). Набе-
гающий поток образует
на перьях критические
точки нулевой скорости
А, А', А", ... и сбегает
с каждого пера в точках заострения В, В', В", ...
нечной скоростью. Обобщая формулу (2), положим
Фиг. 5.
с ко-
1 dz__	А______________।
a du sin(u — Za)-[- sin(c-j-Za) '
sin(«-4-m-4-Zf) — sin (i 4* г’₽') ’
где a, p — положительные числа; a', P'— числа реальные,
удовлетворяющие неравенствам a^>|а'|, р>| р'(; Ь, с, т—
какие угодно реальные числа, лежащие между — 2п и 2п;
комплексные числа А и В определяются из условия наличия
действительного корня у функции (14). Для этого доста-
точно положить
А = sin (g-ф- А -ф- ia), В = sin (т -ф- z’P—g—z'X),
если
sin (g-ф- z'X z’a) sin (b -ф- z'P') —
— sin (m -ф- z’P—g— B) sin (с -ф- ia') =
«= sin (tn -ф- ia 4- z’P) sin (g-ф- z'X -ф- p). (15)
224
С. А. ЧАПЛЫГИН
При этих условиях равенство (14) приобретает вид
1 dz___
a du
_	sin (m 4~ Za 4- /?) {«п (u + g -|- А) — sin (g-f- ц 4- А)}
[sin (и — ia) sin (с	га')] [sin (« —[— /п —/₽) — sin (Ь 4- Z₽')]
В формулу (16), кроме масштабной длины я, входят
десять чисел, которые должны удовлетворять двум соот-
ношениям, вытекающим из равенства (15) по разделении
действительной и мнимой частей. Таким образом мы полу-
чаем решётку, перья которой характеризуются восемью
числами, удовлетворяющими лишь условиям в форме не-
равенств
₽>|₽'|; >>о.
Уравнение (15) приводится к виду
tg(^+^) =
_ sin (/zz-j-Zp) sin(c+Za')+sin(7n4-za-|-z7)sin|i — zsh asin(Z>+z‘P') ,.
cos(m-|-Zf)sin(c-|-Za')—sin(m-|-Za-|-Zf)cos|i+cha sin(Z>+zf') ’ '	'
Уравнение (14) переписывается в форме
±	= __4________ /ct2 (Н+-й —	4-
а du 2 cos (с 4- Za') ] ® \ 2	2 J '
+ tg(“-^-<-4£))+^7RX
x(dg(«_+^+(t±') + tg(i±tH+,!+£)),
откуда по интеграции и замене А и В их значениями
/«4*с -а —
£ __ sin(g4-ZX4-za) jn Sin \ 2	1 2 j ,
a	cos (с4-za')	(11— с । . а + а'\ ‘
cos(—+'—>;
. fu-]-m— Ь , ,р —
, sin (zzz 4~ Z{i — g—ZX) , S1\	2 'l 2 j
+ cos (b4-Zf') cos «-Ц + » + i Mr ₽'у
ТЕОРИЯ РЕШЕТЧАТОГО КРЫЛА
225
Подбором свободных коэффициентов можно достичь
весьма большого разнообразия в очертании пера решётки.
В частности, можно получить и криволинейное очертание
пера с острыми концами с обеих сторон. В самом деле,
в общем случае уравнение (16) даст два корня функции ~
в области переменного а, а именно:
1) и — ц и 2) и = тг — ц — 2g—2Д;
первый соответствует заострению на заднем конце, второй
лежит вне области, занятой жидкостью, и передний конец
пера решётки поэтому имеет плавные очертания.
Ясно, что если ^ = 0, той второй корень соответствует
некоторой точке контура пера, и оно будет заострено с обоих
концов; такой вид имеют обычно лопатки паровой турбины.
Чтобы такое обстоятельство имело место, необходимо
и достаточно удовлетворить требование Х = 0 в формуле (17).
Это налагает на коэффициенты, характеризующие перо,
требование, сводящееся к пропорциональности действитель-
ной и мнимой частей в числителе и знаменателе дроби
формулы (17). Положив для краткости:
sin (с -j- ia') = k in,
sin(b-\-i$')==k2-[-in2,
sin (m Ц- /a -]-/p) = kx inv
мы приведём указанную пропорцию к виду
(k2 -|- /г2) sh р ch р — (k~ nl) sh a ch a —
—(kk2 nn2) cos n sh (a— p)—(kkx 4~ nn2) sh p cos (jj. m) -|~
—|— ( Az/] nk}) ch P sin (|1 4- in) 4~ (& A 4“ Л1и2) s,q a C0S Iх 
— (kxn2— /Zjfe2)chasinp = O. (19)
Условие (19) может быть удовлетворено весьма различными
частными предположениями относительно входящих в него
восьми свободных коэффициентов. В виде примеров укажем
а)	а = р, k = k2, п=п2,
т 4~ 2р. = 0 или т 4* 2ц = 2тг;
15 с. А. Чаплыгин
226
С. А. ЧАПЛЫГИН
тогда
sin (с	ia') = sin (b 4- fР') = k -j- tn,
и формула (17) даёт:
tgg-=tg—= — tgji;
b)	a = p, k = n2, n — — kz,
m=0 или m = n;
в этом предположении имеем
i sin (с -ф- ia') = sin (# + г'Р')>
tgg’=tha=: — tgp.
Случай а) заслуживает особенного внимания по той
причине, что каждое перо решётки в этом предположении
сводится к дуге некоторой кривой (фиг. 6). В самом деле,
Фиг. 6.
уравнение (18) при соответствующих случаю а) связях между
коэффициентами приводится к виду
ТЕОРИЯ РЕШЕТЧАТОГО КРЫЛА
227
Изменив направление осей поворотом их на угол а, получим
а а
е = е ,
где Z\ — новое" комплексное переменное, вводимое вместо г\
сверх того, введём вместо и новое переменное
। т
тогда соотношение (20) получает вид
— cos (т — с+ /а — /а') — cos и
е	cos (т +с+cos « ’
причём значки у количеств z и и отброшены для простоты
а	ат
письма, — заменено через новое ----------через т.
Так как величина z не изменяется при замене и через
2тт — и, то при передвижении и по действительной оси
в его области от нуля до 2п, когда соответственная точка b
области z обойдёт контур пера, она во всякое положение
будет приходить дважды; а это показывает, что перо
решётки представляет собою дугу некоторой кривой.
Период решётки, очевидно, равен по длине количеству а.
В точках А и В переменное z имеет значения, определяе-
мые из соотношений
Что касается характеристической функции потока та = ср 7ф,
то, приняв во внимание соотношение (16), её производную
по и мы определяем формулой
_ _ — Д7_________________________________-__________~____________________•
ava du sin (s’ — if) sin (s' -f- if) cos (s" — ih) cos (s" -f-ill) ’
15*
228
С. А. ЧАПЛЫГИН
здесь
_ и 4- с
2
а — а'
= 2
„ и — с
s — 2 ’
Поток сбегает с конечной скоростью с пера решётки в точке
dw dz	,
заострения и — ц, где — и — одновременно обращаются
в нуль. Из формул (16) и (17) имеем
j dw	2N	{sin (u4-m4-z₽)-sin (& + /₽')}
vB dz sin (m+za4-/B) . .	. ...	u+2g+|i+2zl
u	r' |sin(u4-Z«)+siii(c—za')j cos—   '-
Все вычисления как подъёмной силы, так и момента не
представляют собою никаких трудностей, и я не вижу не-
обходимости приводить их здесь.
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА
АЭРОПЛАНА »)
(Посвящается памяти Н. Е. Жуковского)
Печатаемую ныне статью я предназначал для юбилей-
ного сборника, который предполагалось издать по случаю
пятидесятилетия блестящей научной деятельности Н. Е. Жу-
ковского. К сожалению, разные обстоятельства задержали
своевременное окончание работы, и она увидит свет уже
после кончины моего дорогого, глубокочтимэго учителя.
Ввиду того, что я в своё время делился с покойным
своими соображениями по трактуемому вопросу и добытыми
тогда результатами, ввиду интереса, проявленного Николаем
Егоровичем к поставленной задаче, интереса, с которым он
неизменно относился ко всем новым начинаниям своих учени-
ков, я позволяю себе посвятить этот труд его светлому имени.
§ 1. В 1914 г. в Математическом сборнике была опубли-
кована моя работа под заглавием «Теория решетчатого
крыла» 2), в которой были указаны некоторые выгоды та-
кого рода крыльев аэроплана ввиду их более значительной
подъёмной силы и предполагаемой большей устойчивости.
При этом я рассматривал задачу о преграждающей плоско-
параллельный поток бесконечной решётке в форме жалюзи,
или плоской решётки. Перенести выводы непосредственно
1) Впервые опубликовано в №№ 4—5 Научно-технического
вестника НТО ВСНХ; Москва, 1921 г.
г) Математический сборник, т. XXIX, 1914 г. [стр. 211 на-
стоящего издания].
230
С. А. ЧАПЛЫГИН
на крыло с конечным числом перьев было, конечно, нельзя,
хотя представлялось вероятным, что и в таком случае выгода
в некоторой мере могла сохраниться.
Затем' мне удалось найти решение той же задачи для
крыла, состоящего из двух перьев, представляющих собой
ограниченные образующими части боковой поверхности
одного и того же круглого цилиндра. Решение было выра-
жено при помощи эллиптических функций, и хотя величину
поддерживающей силы удалось в результате довольно длин-
ных преобразований выразить в конце концов весьма просто,
но вопрос об устойчивости крыла, зависящей от вращаю-
щего момента давлений, представлялся не вполне ясным
ввиду большой сложности получившихся формул.
В настоящей работе я даю совершенно общие формулы,
позволяющие установить решение для разрезного крыла
с произвольным числом перьев. Это решение позволяет по
геометрическим характеристикам крыла определить как под-
держивающую силу, так и вращающий момент и положение
метацентра, не выходя за пределы простейших элемен-
тарных функций. В случае вогнутого крыла, состоящего из
двух перьев, я привожу подробные вычисления и даю чи-
словые примеры, иллюстрирующие теорию. Но при желании
весь подобный подсчёт может быть с несколько большей
затратою времени проведён и для крыла с любым заданным
числом перьев.
При всех предлагаемых расчётах воздух рассматривается
как идеальная жидкость, и, таким образом, не учитывается
влияние его вязкости и сжимаемости. Последняя, как это
было показано в своё время в моей работе «О газовых
струях» 1), не играет роли при тех скоростях, которые
господствуют во время полёта аэроплана, хотя в некото-
рой степени она может проявить себя в незначительных
областях, окружающих передние края перьев движу-
щегося 'крыла; однако проистекающая отсюда поправка,
как можно заключить из формул работы «О давлении плоско-
1) Учёные записки Отделения физико-математических наук
Московского университета, 1902 г. [Чаплыгин С. А., Собра-
ние сочинений, т. II, стр. 19, Гостехиздат, 1948].
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 231
параллельного потока на преграждающие тела» ’), должна
быть очень невелика.
Влияние вязкости, наоборот, весьма важно: благодаря
ей возникают вихри и порождаемое ими лобовое сопротив-
ление, с одной стороны, и очень заметно изменяются
поддерживающая сила и момент давлений — с другой. К со-
жалению, при современных средствах анализа подсчитать
эффекты вязкости не представляется возможным. Поэтому
мы можем лишь качественно охарактеризовать значение
прорезов в крыле при наличии вязкости, что и будет сде-
лано в заключительной части предлагаемой работы, где
будут сгруппированы полученные результаты.
§ 2. Плоское разрезное крыло. Начнём с рассмотре-
ния простейшего случая, когда крыло плоское. Ограничимся
сначала крылом из трёх перьев, плоскости которых, пер-
Фиг. 1.
пендикулярные к направляющей плоскости OXY потока, пе-
ресекают её по следам ED, СВ, АО в порядке последова-
тельных составных частей, начиная с переднего края (фиг. 1).
Задний конец крыла принимаем за начало координат в пло-
скости комплексного переменного
z=x-\-iy,
и, обозначив через a, b, с, d, е последовательно длины отрез-
ков О А, АВ, ЕС, CD и DE (фиг. 1 и 2), рассмотрим зна-
J) Математический сборник, т. XXVIII, 1910 г. [стр. 11 на-
стоящего издания].
232
С. А. ЧАПЛЫГИН
чения на этой плоскости функции
Условимся считать А’ = -ф-1 при z = oo. Тогда во всей
области течения, представляемой бесконечной плоскостью
OXY с разрезами по следам перьев крыла, указанная функ-
ция будет всюду однозначна. Она конечна везде, кроме
точек Е, С и А, т. е. передних краёв перьев. Во всякой
точке Н верхней плоскости переднего пера мы будем иметь
R=—iL, а в точке G, на нижней стороне той же части
крыла, R^=iL', обозначая через L и L' реальные положи-
тельные функции х. В самом деле, положив
с весьма малым е, мы в области точки Е будем иметь
in
R— М е 2
При обходе точки Е из N по части контура, лежащей выше
оси ОХ, п будет положительно и в точке Н получит зна-
чение обходя по нижнему полукругу, мы будем встре-
чать отрицательные значения аргумента п, который в точке О
приобретает величину — тт. Соответственно этому, написан-
ное выше выражение функции R определится равенством
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 233
причём верхний знак относится к точке Н, а нижний —
к точке G. В точке Е оба значения совпадут, ибо здесь
z — и —]— b —]— с —|— d —|— е,
R = b.
То, что сказано о переднем пере, справедливо и для
двух остальных. Заметим, наконец, что на всей части дей-
ствительной оси, не занятой перьями, R реально и положи-
тельно.
Фиг. 3.
Чтобы яснее охарактеризовать ход изменения важной для
нашей теории функции R и с несомненностью установить её
однозначность, полезно, может быть, иметь в виду ещё
следующее рассуждение. Обозначим через г, г,, .. ., г6
последовательные радиусы-векторы, направленные из концов
перьев, помеченных на фигуре 3 соответственными цифрами,
к некоторой точке М плоскости переменного z, а через
s, ..., s6— соответственные углы этих направлений
с осью ОХ, считая их от оси ОХ к оси ОУ. Функции R
можно тогда придать вид
R=
У Г\Г/ъ
где корень имеет арифметическое значение и
п	— Я1 — дз—
Проследим теперь за изменением R в плоскости z вслед-
ствие перемещения точки М. При этом необходимо все
234
С. А. ЧАПЛЫГИН
векторы, направляющиеся к точке М, перемещать одновре-
менно и рассматривать всегда лишь такие пути для точки /И,
которые не пересекают отрезков оси ОХ, занятых перьями
крыла; эти части оси, как сказано выше, следует предста-
влять себе как прорезы её, не проходимые путями изменения
функции.
В бесконечно далёкой точке все радиусы-векторы и их
углы стремятся к равенству, и потому /? = 1. Далее может
возникнуть два вопроса: во-первых, придя из удалённой
точки в данный пункт плоскости и обходя затем различные
допустимые принятыми условиями замкнутые пути, вернёмся
ли мы в этот пункт вновь с тем же значением функции /?,
и, во-вторых, будут ли вполне определённы значения её
на верхних и нижних сторонах перьев крыла, если считать
за верхнюю ту сторону, которая обращена к положитель-
ным _у?
Чтобы ответить на первый вопрос, заметим, что суще-
ственно различных путей может быть четыре типа. Первый
представляет собою замкнутый контур, не охватывающий
ни одного из перьев и могущий сократиться в одну точку,
не пересекая поставленных границ. Тогда все углы возвра-
щаются к своим прежним значениям, равно как и радиусы-
векторы, обладающие этим свойством при всех возможных
путях. Вторым типом будем считать контур, обходящий
крыло в целом. В таком случае все углы s либо прирастают
на 2п, либо убывают на ту же величину, в зависимости от
того, совершается ли обход в прямом направлении от оси ОХ
к оси OY или в обратном. Ясно, что амплитуда функции/?,
выражаемая количеством п, изменения при этом не пре-
терпевает. Остальные два типа путей охватывают одно или
два из перьев, проходя через некоторую точку оси ОХ
в промежутках между ними. При этих обходах приросты
будут получать углы лишь тех радиусов-векторов, которые
исходят из концов перьев, находящихся внутри контура.
Легко усмотреть, что и эти приросты взаимно компенси-
руются в амплитуде п.
Переходя ко второму вопросу, отметим, что на верхнюю
сторону каждого пера мы можем всегда прийти из далёких
точек со значением углов sm = n для радиусов-векторов,
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 235
исходящих из всех центров, лежащих впереди рассматри-
ваемого пункта, и углом sm = 0 для каждого из векторов,
которые исходят из центров, расположенных ближе к началу
координат. В таком случае всегда окажется
так как угол тг лишний раз войдёт со знаком минус в ука-
занную амплитуду. С другой стороны, существует путь,
который на нижнюю сторону приводит со значением
sm = — п для каждого из радиусов первой группы; для вто-
рой группы попрежнему sm = 0. Отсюда ясно, что во всех
точках этой стороны пера будет
Всякие иные пути, приводящие из бесконечности в тот
же пункт верхней или нижней стороны пера, сведутся
к комбинации только что указанных очертаний с замкнутыми
контурами, которые для рассматриваемых точек, как и для
других, не внесут никакого изменения в значения функ-
ции /?.
Переходим к определению потока. Представив себе, что
всей массе жидкости и летящему крылу придана в обратную
сторону скорость движения крыла, мы будем иметь поток,
набегающий из безграничной дали на покоящееся крыло.
Обозначим через р плотность воздуха, рассматривая его как
идеальную несжимаемую жидкость, и, предположив, что
вихри отсутствуют, назовём через <р потенциал скоростей,
через ф— функцию тока; буквой с будем обозначать угол
атаки (встречи). Обозначая через по комплексное переменное
w = <р —/ф,
через v — переменную скорость в различных точках тече-
ния, через 0 — её угол с осью ОХ, положим
----\_dw_ — v_	cos 0if? sin а. (2)
'v0 dz v0 v0
Легко усмотреть, что таким образом все требуемые условия
будут удовлетворены. В самом деле, в далёких точках по-
236
С. А. ЧАПЛЫГИН
тока, при R = 1, имеем
п—6 = а, v=vl);
на частях действительной оси, не занятых крылом, реально,
и функция комплексна; но, как и должно быть, она
имеет реальное значение на крыле, так как на участке АО,
ВС и DE по вышеизложенному R имеет мнимое значение.
Далее, в точках схода струй с перьев
О = тг, v = va cos а;
скорость имеет одно и то же значение для всех перьев.
Она весьма велика на передних краях перьев. На нижней
поверхности каждого из них непременно найдётся крити-
ческая точка с нулевой скоростью, ибо при
R = iL (х),
где положительная реальная функция L(x) изменяется от
бесконечности на переднем и до нуля на заднем конце пера,
правая часть равенства (2), приобретая вид
cos а — L (х) sin а,
непременно обращается в нуль, притом не более одного раза
на каждом пере.
Найдём теперь циркуляцию скорости, чтобы определить
по ней поддерживающую силу Р. Нетрудно увидеть, что
циркуляция J будет равна
J = 2тН,
если через Н обозначим вычет функции в области z = оо
(под вычетом F{z} разумеется коэффициент при у разложе-
ния этой функции в области г=оо). Разлагая по сте-
1
пеням — и сохраняя лишь первые степени, легко получим
1 dw	I • • Г, а-1-ZA (,	a4-t+c+d\. ,
-^=coso+Isinol1—irH1-	S jx
X (i +	(1 +	(1 +	.
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 237
отсюда
Н= — ~ sin а • (а -|- с -j- е) — —	sin а,
£	л
если условимся через I обозначать полную ширину крыла
со сдвинутыми вплотную перьями.
Воспользовавшись выражением Н, находим по известной
формуле Н. Е. Жуковского:
Р—	sin а.
Таким образом поддерживающая сила плоского крыла не
изменяется, будут ли его перья раздвинуты или сомкнуты
вплотную.
Обратимся, далее, к определению вращающего момента
сил давления относительно заднего конца. По формуле (49),
приведённой в моей статье «О давлении плоскопараллель-
ного потока на преграждающие тела» *)> этот момент М
определится формулой
М — — Re (тгр/7<),
где Re есть знак реальной части, а К— коэффициент при
1	«	1	4.
— в разложенной по степеням — функции
F=z
= tfz
1 —
а 4- Ь {а Ь)2
~2z	8z2
(а b 4- с 4- d)2
8г2	'
-с . 3 (д+И-~)2
2z
8 г2
2z
1 2z Г- 8гг
3 (д -4- 4- с + d + е)2
!) Стр. 54 настоящего сборника. (Прим, ред^
238
С. А. ЧАПЛЫГИН
На основании вышеприведённой формулы, при помощи най-
денного таким образом разложения функции F, получаем
искомый момент
2W=Trp^sinacosa^-|-	(^-|-е) Ч-
Отсюда, воспользовавшись формулою (3), имеем для плеча h
силы выражение
h = — / А (а4-с4-е) "И~} cos a = lcos а;
Р 14 ' 1	। a-l-c-j-e J
выражение это показывает, что сила пересекает плоскость
крыла в неизменной, не зависящей от угла атаки точке, от-
стоящей от заднего края на расстоянии X. Изобразив фор-
мулу для 1 в виде
к 3,	। , (	( • ( , । Ь 2>d । de — ab
Х = -т (л4- + с4- е) Ц-----------------:--,
4'1	।	।	। ' 1	4	1 a-j-c-j-e’
легко убеждаемся, что надлежащим подбором промежутков
b и d между перьями крыла и отношения ширины переднего
и заднего перьев всегда можно достичь того, чтобы два
последних слагаемых в формуле для l были положительны.
Тогда метацентр, совпадающий с центром давления на крыло,
окажется ближе к переднему краю по сравнению с тем по-
ложением, которое он занимал бы даже при заполнении ма-
териалом промежутков между частями крыла, в каковом слу-
чае его расстояние, как известно, выражалось бы первым
членом найденной формулы для X.
§ 3. Если теперь мы пожелали бы построить общие фор-
мулы для крыла, состоящего из п пластинок, то достаточно
было бы в формуле (1) под корнем написать в числителе
п — 1 двучленных множителей вида
1—у (т=1,2,..., л—1),
где ат были бы абсциссами всех задних краёв последова-
тельных перьев, за исключением последнего, абсцисса которого
равна нулю; это — точки схода струй; знаменатель же дол-
жен представляться произведением п двучленов
1 _Ь («=1, 2,п),
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 239
если через мы условимся обозначать расстояния от за-
днего конца крыла до режущих воздух передних краёв перь-
ев, где скорость достигает бесконечной величины.
Нетрудно усмотреть, что и в настоящем случае поддер-
живающая сила опять-таки будет иметь ту же величину, как
при сдвинутых перьях, и что центр давления не будет ме-
нять своего места на крыле с изменением угла атаки.
§ 4. Вогнутое разрезное крыло из двух перьев. Обра-
щаясь к построению теории вогнутого крыла, остановимся пре-
жде всего подробнее на том случае, когда это крыло пред-
ставляет систему двух перьев, которые являются частями
боковой поверхности одного и того же круглого цилиндра.
Примем за начало координат в плоскости течения центр круга,
частями которого являются вышеуказанные дуги, действитель-
ную ось направим через задний конец крыла и обозначим
через а, у последовательные центральные углы, из коих
первый и третий опираются на перья крыла, второй изме-
ряет промежуток между ними. Радиус окружности примем
за единицу меры и будем помнить, что построенные в этом
предположении формулы для поддерживающей силы и её
момента следует умножить, соответственно, на г и г2, если
в иных единицах длина радиуса будет выражаться числом г.
Функция
1 dw  у	;0
«о dz	v0
в рассматриваемом случае должна прежде всего удовлетво-
рять следующим условиям: во-первых, она однозначна, не-
прерывна и всюду конечна, кроме передних краёв перьев,
где имеет бесконечную величину; во-вторых, на дугах, по
которым перья пересекаются с плоскостью ОЛУ, выражение
z ~ должно иметь чисто мнимое значение, ибо здесь dw
dz
есть реальное количество, так как указанные дуги суть ча-
сти линий тока, а ввиду равенства
Z = eut
дифференциал от логарифма z представляет собою величину
чисто мнимую.
240
С. А. ЧАПЛЫГИН
Второе из указанных условий будет выполнено, если мы
положим
1 dw
Vo dz
= (Д4-В;)е-«<о_	+^ +
а прочие постоянные представляют подлежащие подбору ре-
альные отвлечённые числа.
Функция, выражаемая радикалом /?, всюду на плоскости
течения однозначна, в чём убеждаемся путём рассуждения,
аналогичного указанному в § 2. Чтобы убедиться в правиль-
ности нашего утверждения, заметим, что на окружности
функция имеет величину
sin
и и — а— й
sin — sin--------------
sin
2
L .
d ’
входящий сюда радикал L имеет на дугах, занятых перьями
крыльев / и 2, чисто мнимое значение, так как угол и на
этих двух дугах заключён соответственно в пределах 0 и а,
ос —Р и а-р[3-|-у (фиг. 4). На остальной части окружно-
сти этот радикал всюду реален. Вторая часть формулы (6)
по умножении её на z — elli приобретает вид
/== р* + —	_р (Л' — B'i) de-'C^ + О j £;
функция, заключённая в квадратные скобки, на дугах (1) и
(2), очевидно, реальна, каковы бы ни были реальные числа
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 241
А', В', 0о и G, а так как Z., по вышеуказанному, чисто мни-
мое, то и функция f также есть мнимая величина. Что ка-
сается первой строки формулы (3), то она, будучи умножена
на z, на окружности обращается в выражение
/, = (А Bi) е'("-ад — (А — Bi)	Hi
и имеет во всех её точках мнимое значение. Таким образом
функция
dw . , । ,
как и следует, на дугах (1) и (2) является количеством чи-
сто мнимым.
Переходим к подбору коэффициентов с тем, чтобы выпол-
нить первое условие, наложенное на функцию Одно-
значность и непрерывность её во всей области течения, т. е.
повсюду на бесконечной плоскости переменного г с проре-
зами по дугам (1) и (2), не вызывают сомнения. Она также
будет повсюду, кроме передних краёв перьев, конечна, если
мы потребуем обращения в нуль коэффициентов при отри-
цательных степенях z в области нуля. Здесь функция /?,
как явствует из формул (4), представляется в виде голо-
морфной функции
16 С. А. Чаплыгин
242
С. А. ЧАПЛЫГИН
где
(6)
и а, Ь, с, d представляются формулами (5).
Собирая засим в выражении (3) коэффициенты при
1
-4 и приравнивая их сумму нулю, получаем
А' — В’1 — А — Bi;'
А —А';
В=В'.
Прежде чем перейти к условию выпадения в рассматри-
ваемой области члена с первою отрицательной степенью г,
найдём недостающие условия для определения коэффициен-
тов А и В. Они получаются, если мы примем во внимание,
чтов далёких точках, где v — v0 и 0 = 0о, должно быть
выполнено вытекающее из формулы (3) соотношение
—	— (А + Bi -f- A' -j- B'i) е~Ъ=е-'Ч
Сопоставляя его с равенствами (7), находим для искомых
чисел следующие значения:
В — В' = О; Л = Л'==1.
По вставке этих значений в выражение (3), получаем
Воспользовавшись указанным
нуля, составив коэффициент при
разложением R в области
1
— и приравняв его нулю,
приходим к соотношению
Ле'6» (
2
4-777=0,
(9)
служащему для определения вещественных величин Н и G.
О
d
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 243
Перейдём к отысканию циркуляции потенциала скорости.
Для этой цели отыскиваем коэффициент iC при первой
1
степени — разложения по отрицательным степеням z произ-
водной функции -w в области бесконечно удалённой точки.
Здесь
1 2г 1 z2 \z)
причём
2Л, = й-|-с — b— 1	(Ю)
есть комплексное число, сопряжённое h, как это видно из
формул (5) и (6). Формула (8) даёт затем
iC = е-'6° + Cd -ф- Hi.	(11)
Изменив i на — i в уравнении (9), получаем
!^e^-\-Gd=Hi,	(12)
и следовательно,
С = 2Н	(13)
есть количество реальное. Из равенств (9) и (12) находим
по исключении G
Hi (d -ф- У) = ~ р-'6» —	А.	(14)
\	и j Zill
Введём обозначения
а-|~у = 4<7, а — y = 4/;	(15)
тогда при помощи формул (5) равенство (10) перепишется
в виде
«+Р+Т, /
2 <Acos
— е(с'—2с) < cos
Приняв в соображение равенство
2 —	0— 2
17 С, А. Чаплыгин
244
С. А. ЧАПЛЫГИН
где а — угол атаки, найдём, преобразуя выражение ввитых
скобках:
=е 2	+ sin?4-
sin у sin (2/ — q)-\-i sin 4“ cos q —
— i sin cos (2q' — q) I,
а затем формулы (13) и (14) дают:
С cos q — sin (a q) j sin (y + 2^^ — sin cos 2q' j> -|-
-|- cos (a -J- ?) s’n у sin 2q'. (16)
Поддерживающая сила определится как результат умноже-
ния абсолютной величины циркуляции
J — —2п Cv0
на pv0', направление силы получится, если, ввиду отрица-
тельного знака циркуляции, мы повернём направление потока
в далёких точках на прямой угол от оси ОХ к оси ОУ.
Введя, согласно высказанному в своё время замечанию, мно-
жителем радиус окружности, получим
Р = 2rtrpv^ С.
Принимая во внимание выражение С, формуле для Р
можно придать такой простой вид:
Р =	glfr+g+O k-,	(17)
r ° cos q	' '
при этом количества Айе определяются формулами
А2 = sin2 ^-у2q^ -|-sin2 —
— 2 sinsin (у Ч" cos2<7',
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 245
последняя формула может быть преобразована к виду
sin 2q' + sin Г -y+'V 'j — sin + 2q
(19)
sin 2q' sin
(t + 29 — sin(4+2?'
Имея в виду значения q и q', определяемые формулами (15)
и (19), усматриваем, что при достаточном превосходстве
ширины заднего пера в сравнении с передним критический
угол на который крыло должно наклоняться вперёд
для того, чтобы поддерживающая сила обратилась в нуль,
не только больше величины, соответствующей сомкнутому
крылу, но может превзойти даже тот предел, которого та-
кой угол достигает при заполнении материалом промежутка
между перьями. В самом деле, в последнем случае этот
угол имел бы величину q -|- ; но если
sin 2(?' -|~sin	-}- 2q' \ =
= 2 sin
то числитель в правой части формулы (19) положителен;
ввиду того, что знаменатель, наверное, более нуля, мы
имеем
Что касается величины k, определяемой формулой (18), то
из соотношения
sin2 2^ — ft2 =2 sin у sin -(-2^ (cos 2/— cos 2q)
возникает неравенство
ft < sin 2q.
Неравенство обратилось бы в равенство в предположении
р = 0, т. е. при сдвиге перьев вплотную.
Чтобы сравнить поддерживающую силу с соответствен-
ной величиной для крыла в закрытом состоянии, положим
17*
246
С. А. ЧАПЛЫГИН
в равенстве (17)
₽ = °;
приходим к известной формуле
Ро = 4nprv$ sin q sin (a -ф q).
Вследствие высказанного замечания о величине коэф-
фициента k, входящего в формулу (17), легко усмотреть,
что раздвижное крыло с широким передним и более узким
задним пером развивает меньшую подъёмную силу, так как
в этом предположении
Р _____ k sin (а -ф- q -ф- е)
Ро sin2<7 " sin (с+ 7)
при отрицательном е представляется в виде произведения
двух правильных дробей.
В случае, когда заднее перо шире переднего, резуль-
таты получатся в более ясной форме, если мы, вместо того,
чтобы определить Р формулой (17), придадим её выраже-
нию иной вид, воспользовавшись для этого выражением
циркуляции через коэффициент С, данный равенством (16).
Таким образом получим
sin(° + ^) [sin(4 + 2^— sin4 2^'
cos (a-j-<7) sinsin 2^'1 (20)
и затем
P
Po
sin -ф- 2q
Sin 2q
N:
1	. В sin (2q' — q — a)
+- sin 4 •  . о : / I—• (21)
1	2 sin 2? sin (a -f- q) ' '
Отсюда сразу видно, что если 2q'^>q, то при достаточно
малых углах атаки и большом раздвижении перьев коэф-
фициент N может достичь величины, значительно превос-
ходящей единицу.
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 247
Чтобы иметь выигрыш в подъёмной силе, угол атаки
должно определить из условия 1, откуда получаем
tg (а + Q) <-------т .	(22)
c°s(-f+ 27
cos 2г/-------------
§ 5. Числовые примеры. Для большей ясности и на-
глядности полученных результатов рассмотрим числовые
примеры.
1)	Положим
а = 24°, j)=-9°, Y = 3°,
откуда
7 = ^±1^=6°45', 29' = Ц^=10о30'.
jc	Z
По формуле (22) имеем
tg(o + ?)<
sin 10°30'
cos10°30'
cos15°45'
cos2°15'
и по подсчёте получаем
а<81°52' — 6°45',
а < 75°.
Таким образом, неравенство (22) при взятых дужках удо-
влетворяется для всякого угла атаки.
Подсчитаем теперь коэффициент выигрыша при а=0 и
а =10°. В первом случае имеем
. sin 18°	. лоол' sin3°45'
N1 — sin 13°30' + 1П 4 30 ‘ sin 13°30' sin 6°45' ’
во втортм—-
Л Г КТ Sin 18°	. -ООП' sin 6°15'
N— N2 — sin 13о30, sin 4 30 • sin 13о30, sin t6o45.
Вычисление даёт
1,32370-]-0,18705 = 1,51075,
ДГ2= 1,32370—0,12696= 1,19674.
248
С. А. ЧАПЛЫГИН
Добавим ещё, что при угле атаки a—2q' — ^=3О45'
1,32370,
как это можно усмотреть, приняв во внимание формулу (21).
Таким образом выигрыш подъёмной силы растёт с умень-
шением угла атаки. Он достигает 20°/в при угле 10°, ра-
вен 32°/0 для угла 3°45' и повышается до 51°/0 в том слу-
чае, когда при полёте хорда крыла горизонтальна.
Приведённый пример представляет известную крайность:
здесь намеренно взято очень широкое отверстие в крыле
с тем, чтобы указать, что и в этом случае выигрыш в подъ-
ёмной силе по сравнению с крылом сомкнутым весьма зна-
чителен. Но если бы мы стали сравнивать ту же силу с её
величиной, определённой для крыла без выреза, то оказа-
лось бы, конечно, что она много меньше последней. Тем
не менее, при столь значительном вырезе влияние взаимо-
действия перьев на изменение потока очень существенно.
Можно простым подсчётом показать, что если бы мы вы-
числили подъёмную силу каждого пера в отдельности, пред-
положив, что другого в потоке нет, то сумма подъёмных
сил оказалась бы значительно меньше получаемой для крыла
из двух перьев.
Положим, например, что хорда составного крыла на-
правлена по потоку. Обозначим через Р' числовую вели-
чину давящей сверху вниз силы на отдельно взятое перед-
нее перо в том положении, которое оно занимает в сложном
крыле, и через Р"— подъёмную силу одного заднего при
тех же условиях; рассмотрим для нашего примера отно-
шения
где а' = 16°30', а" = 6° — углы атаки на последовательные
перья, а Р9 — поддерживающая сила крыла со сдвинутыми
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 249
перьями; произведя подсчёт, найдём
М = 0,2573, N"= 1,5730, № — ДГ= 1,3167.
Таким образом выигрыш должен был бы быть около 32°/0,
между тем, он оказался равным 51 /0. Заметим, однако, что
при полном удалении переднего пера поддерживающая сила
была бы Р" и, стало быть, переднее перо уменьшает её
на 5°/0 от величины Рй. Это явление зависит от того, что
угол атаки в отдельно взятом крыле, представляемом задним
пером, имеет довольно значительную величину. Такая потеря
будет иметь место до тех пор, пока ширина щели между перь-
ями не упадёт ниже известного предела. Предел этот для
крыла, составленного из перьев, опирающихся на заданные
центральные углы, определяется неравенством
sin q sin
у 4-2?) 4- «п (2?' — ?) sin 4
вытекающим из формулы (20) для силы Р составного крыла,
причём сила Р" крыла, представляемого одним задним пе-
ром, найдётся из равенства (20), если положить
,	. а	а	В-+-7
k= sln~2,
Из приведённого неравенства легко получаем
2
cos q , ч
----------------tg —
2 COS q' — COS q b 4 ’
откуда ввиду незначительности углов q и q' следует, что
должно быть несколько менее 4-, мало отличаясь от
этой предельной величины.
2)	Однако и при гораздо больших вырезах в крыле
переднее перо уже начинает поддерживать аппарат, если
угол атаки достаточно велик. Чтобы в этом убедиться,
рассмотрим новый пример, принимая
У=3О, ^ — 6°, а = 27°,
250
С. А. ЧАПЛЫГИН
Самый подсчёт произведём по иному плану, вводя вспомо-
гательный угол s. Для этого, преобразуя первую из фор-
мул (18) и формулу (19), приведём их к виду
. . а . В . у . а-|~3 + т
4 sin — sin у sin -ф sin —i
sin2 2q .	. „ a + 'f
sin2 -J—*
A = sin 2q  j/1 —
e=4+s>
tg^= tg^tg2!*,
2 sin cos
. Q..
В приводимом примере подсчёт даёт
1=0,0059; § = 55'; е = 2°25'; 9 = 7°30'.-
Отношение подъёмной силы сложного крыла к таковой
же силе для крыла, сведённого к одному заднему перу,
при одном и том же направлении потока, как легко усмо-
треть из формулы (17), точно выражается дробью
д7„  sin ? sin (о 4-<7-фе) 1^1— X
Sin4 аП С+ 2 +Т)
где а — угол встречи для сложного крыла; тот же угол
для сравниваемого простого крыла, согласно поставленному
условию, имеет величину
а + ₽+1
।	2
Положив
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 251
легко приводим 131 неравенство	к виду
Подсчёт для рассматриваемого случая даёт
т=13°34', а = 2°19'.
Произведя затем вычисление выигрыша подъёмной силы
по сравнению с крылом сомкнутым, в разбираемом теперь
примере из формулы
дг _ Р __ k _ sin (сф-уф-е)____i/i sin (сф-9°55')
Po sin 1q ' sin (оф-?)	*	sin(cф-6°45')
находим
a = 0	/7=1,461,
a=3°45', N= 1,293,
<7=10°, W= 1,206.
Таким образом, выигрыш в процентах по отношению к
силе, развиваемой сдвинутым крылом, выражается соответ-
ственно числами 46°/0, 29% и 2О°/о. Сравнивая эти числа
с полученными в ранее разобранном примере, усматриваем,
что при относительно меньшем вырезе в крыле выигрыш
растёт с уменьшением угла атаки несколько медленнее.
3)	Чтобы яснее представить себе влияние выреза, срав-
ним ещё силу, развиваемую разрезным крылом, с подъём-
ной силою сплошного крыла, которое получится по закрытии
выреза материальною дугою. Обозначив через Рг последнюю
силу, будем иметь
р У 1—Zsinysin (оф-<?ф-у
1 P1 sin («уф—sin (оф-уф-|Л
252
С. А. ЧАПЛЫГИН
Формула (19), определяющая 8, показывает, что этот
угол менее одной четверти fj; поэтому
При угле а—0 найдём в двух рассмотренных нами число-
вых примерах для отношения следующие величины: для
первого примера 0,8538, для второго 0,9158.
Таким образом потеря в первом случае простирается
до 15°/0, во втором — до 8,5°/0 сравнительно с подъёмною
силою сплошного крыла без выреза. Она растёт с увеличе-
нием величины отверстия в крыле несколько быстрее воз-
растания этой величины и во всяком случае оказывается
менее, чем можно было бы ожидать, судя по размеру вы-
реза, который в первом примере составляет 25°/0, а во вто-
ром— почти 17°/0 общей поверхности крыла.
Потеря эта быстро растёт с удалением отверстия от
переднего края крыла. Если бы мы придали углам значе-
ния а =24°, р = 6°, у = 6°, так что вырез, сохраняя ту же
величину, как во втором примере, отодвигается назад, то,
производя вычисления, нашли бы:
8=10'20", Х = 0,0105, /^ = 0,8595.
Сравнивая это значение с тем, которое соответствует
первому примеру, где отверстие в полтора раза больше,
отмечаем замечательный факт ничтожной разницы в потере
силы. Таким образом приходим к заключению, что потеря
зависит несравненно более от положения на крыле заднего
края выреза, чем от величины отверстия.
§ 6. Вогнутое разрезное крыло с произвольным за-
данным числом перьев. Переходим к обследованию общей
задачи, когда число перьев в крыле равно п, где п — про-
извольное целое число. Формулы, соответствующие этому
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 253
случаю, получатся из равенства (8) путём изменения, ана-
логичного с указанным в § 3 для плоского крыла.
Предположим опять, что последовательные перья пред-
ставляются частями боковой поверхности одного и того же
круглого цилиндра, которые ограничены его образующими.
Помещая начало координат в пло-
скости комплексного переменного z
в центре окружности и направив
действительную ось через задний
конец крыла, обозначим через \т
углы наклона радиусов, направ-
ленных к оконечностям перьев,
помеченных соответствующими циф-
рами (фиг. 5). Значок т пробегает
последовательные натуральные чи-
сла до 2л — 1 включительно,
Фиг. 5.
причём чётные его значения соответствуют задним, а не-
чётные— передним краям последовательных перьев, начи-
ная с самого заднего конца крыла, где 1 = ).0=О. Обозначим
для простоты письма
4</, очевидно, представляет собой центральный угол, стя-
гиваемый крылом, когда все его перья сдвинуты вплотную.
Пусть, далее, ______________________________________
о _ . / — 1) (з — аг) (г — а4), , (г — дг„_2).
F (г — щ)(г — а3)(г — аБ)...(г — д2п-1) ’
тогда всем условиям задачи можно удовлетворить, положив
\ dw е-^ ft.Hl , (е~*° .	, Gd\
где vu попрежнему обозначает скорость в далёких точках
потока, 0о— её угол с осью ОХ1, радиус окружности
принят за единицу; реальные коэффициенты G и Н над-
254
С. А. ЧАПЛЫГИН
лежит определить из условия выпадения члена — в
области нуля.
Разложив R в этой области по степеням z и сохраняя
в этом разложении постоянный член и первую степень г,
найдём
а затем приходим к искомому соотношению
и
е'е° = 0. (25)
k— 1
Заменив здесь i на—i и приняв во внимание формулы (24),
находим равенство
/ п	п — 1	\
—	ЕЙ2А_1—	1 ) е-Л)‘'=0,
\* = 1	А = 1	/
которое вместе с предшествующим даёт
Ш (d -j,I) = 2iH cos 9 =	— у e'\	(26)
если введём обозначение
n	n — 1
2^1 — у5, azk~ 1—У2— I*
k=l
а через h назовём сопряжённое hx комплексное количество,
заключённое в скобках в формуле (25).
Соотношение (26) по внешнему виду совершенно совпа-
дает с соответствующим ему равенством (14) для крыла
с двумя перьями; изменение состоит в замене h и hx но-
выми усложнёнными выражениями для более сложного крыла.
Обращаясь к изысканию коэффициента при — в разло-
1 dw
жении в далеких точках потока, легко получаем
1 Z
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 255
и затем составляем для указанного коэффициента соотно-
шение
iC = Ш -f- G d 4-	е-'\
которое при помощи равенства (25) даёт опять прежнего
вида формулу
С =2/7.	(28)
Вводя в формулы вместо угла 60 угол атаки а, который
связан с 0о соотношением
__fi —21 *2я-1 0
— 2	2	°’
находим окончательно при посредстве формул (26) и (28):
С cos # = —==-« '°
7	2rf/a2„_!
, hdVа2п х
I , , х2л—1 )	, . ( .	4л—1A
=	+	+ J. (29)
Определив по формулам (24) и (27) угол e и число I так,
чтобы удовлетворялось равенство
i (
hx = ile V 2	/,
изобразим равенство (29) в виде
С cos q=I sin (a -J- q -|- s),
после чего получим для циркуляции скорости J выражение
J= — 2тгСг'о.
Затем, изменив единицу длины и обозначая через г радиус
• кривизны крыла в новых мерах, составляем формулу для
поддерживающей силы
256
С. А. ЧАПЛЫГИН
По внешнему виду эта формула совершенно совпадает с
формулой (17) и отличается от неё лишь величиною коэф-
фициента I и угла е, которые соответственным образом ус-
ложнятся.
Легко видеть, что вычисления для рассматриваемого
случая не представляют никаких затруднений по существу
и лишь будут более громоздкими вследствие увеличения
числа подлежащих подсчёту тригонометрических функций.
§ 7. Вращающий момент. Переходя к определению вра-
щающего момента, мы остановимся исключительно на случае
двухпёрого крыла, имея в виду получить более ясные за-
ключения и не желая загромождать изложение не представ-
ляющими существенного интереса весьма сложными и длин-
ными формулами, которые имели бы место в случае общем.
Для нашей цели опять необходимо воспользоваться фор-
мулой
М = — Re (пр//<),
на которую мы ссылались в конце § 2. К попрежнему обо-
,, 1
значает коэффициент при — разложения по отрицательным
,	f dw\г
степеням переменного z функции z I I . Если
то легко усмотреть равенство
/6=	С2;
следовательно, реальная часть выражения 1К совпадает с
реальною частью члена 2Л/'Уое_'й°; поэтому приведённая фор-
мула момента даёт:
— — 2ттрг»0 Re	(30)
При этом не следует упускать из виду, что положительный
момент соответствует случаю сил, вращающих по напра-
влению от оси ОХ к оси OY. Таким образом определение
вращающего момента сводится к отысканию коэффициента
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 257
при р в разложении по отрицательным степеням z функ-
dw
ции — в далёких точках потока.
Формула (4) даёт для этой области, если сохранить обрат-
ные квадраты z, следующее выражение:
где мы пользуемся сокращёнными обозначениями
2Aj = а -|" с — b — 1,	1
2gl = а2 с2 — — 1. J
(31)
Из формулы (8) находим:
1 dw 1	„ , iH е’^
-----—- —	-J----
Vq dz 2	1 z
2z2
Gd d2?'t'<
1~	~2z2
,2'
Воспользовавшись, далее, формулами (11) и (4) § 4, опре-
деляем искомый коэффициент А соггношением
1 J2 —1
- А = —v-
t’o 2
/Л1С . £1 — й? -
------	g—Wo-
2-----4--------’
затем, переходя к обычным мерам длины и обозначив ра-
диус цилиндра, из которого вырезано крыло, через г, при
помощи равенства (30) имеем
— М =
= тгрг2^2 Re [z -1 + ih.Ce-^ +	; (32)

258
С. А. ЧАПЛЫГИН
здесь знак Re, по принятому нами способу обозначает, что
от рассматриваемого комплексного количества надлежит взять
реальную его часть.
Введя по формуле

°+P+y
2
угол атаки о, получим в результате простых преобразова-
ний с помощью равенств (5) и (10):
(al	Ji
е2 cos -4-1” —. е 2 cos
л
откуда, пользуясь указанными в § 4 сокращёнными обозна-
чениями (18) и (15):
A2 = sin2	Ц-sin2 у —2 sin у sin 0г 4" 2#) cos %Ч’>
р
sin Ц-sin 2<7'	,
.	2	а + т
tgs=~7^—\------------Р-----’ ^=4-
sin i Ц- 2q 1 — sin ~ cos 2q'
Q'
4
легко находим
h^e1^ — — ke~l (“+•).
При посредстве формул (5) и (31) получаем:
g1C-2/% _ --g-2al cos (р у) --------g-tf CQS (ц _|_ jj)
или, положив
тг = sin2 (P Ц- 4<y) -|- sin2 p — 2 sin £ sin (£ -|~ 4^) cos 4q',
.	______________sin p sin 4q'_____
a Г| sin (P Ц- 4q) —sin p cos 4q'	’
2,60 — >>ie
>(33)
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 259
Затем имеем
Re (rd2) = —sin 2q,
Re = — A cos (a e),
Re (ihle~2iB<) = k2 sin 2 (a	s),
Re	= tn cos (2a -J- ij),
вследствие чего формула (32) приводится к равенству
—= sin 2?------------------sin (<7 + 5 + е)cos (® + е) +
4~ ~ sin 2 (с -j-е) — ~ cos (2a Ц- г();
здесь коэффициент С заменён по формуле
С
k
cos q
sin (a —«у —f— e);
это выражение получается из равенства (16) путём лёгкого
преобразования при помощи формулы (18).
Преобразуя, далее, два средних члена найденной для
момента формулы, находим
=sin 2q — k2 tg q cos2 (a 4- £) — v cos (2a 4~ \, (34)
r^pr2Vg	z
или, восстановив в последнем слагаемом явные выражения
mcosi] и /nsinr( при посредстве формул (33),
= sin 2q — k2tgq cos2 (a 4~ e) —
— {sin (p 4- 40) — sin ₽ cos 4q'}	4- sin ₽ sin 4q'	.
Формулу для момента M' в случае сомкнутого крыла полу-
чим отсюда при
gе = 0 и k2 = sin2 2q.
2G0
С. А. ЧАПЛЫГИН
Она легко приводится к следующему чрезвычайно простому
виду:
Af' = 4npr2'27usin9 cos3gsin2a.	(35)
Наконец, момент /Ир вращающий сплошное крыло без выре-
за, найдётся из формулы (35) заменою q через qr = q :
zl-fj = 4прг2г>о sin qx cos3 q{ sin2 a.	(36)
§ 8. Место метацентра. Обозначим через х и у коор-
динаты метацентра, т. е. точки пересечения линий, по ко-
торым действует поддерживающая сила при данном угле
встречи и при угле, бесконечно мало от него отличающемся.
Величина координат найдётся из уравнения
М
х sin а—у cos a — - -
и из результата дифференцирования его по а.
При помощи формул (17) и (34) придаём этому уравне-
нию вид
(х — a) cos (2a -J- q -ф e) -j- (У — b) sin (2a ф- q s) =
= x cos (^-f-e)—j sin ((?-}-e) —c, (37)
где
cos e)tg94-/nC0s(<7-|-E-----Tj)}, )
£^2^£p2sin(9 —e)tg9-|~/fisin(?4-e — zj)}, I (38)
c =	<2 sin 2q—k2 tg	j
Вспомогательные коэффициенты, как было показано выше
и как можно убедиться, преобразуя уравнения (33) тем же
приёмом, которым мы воспользовались в § 5 для формул (18)
схематическая теория разрезного крыла аэроплана 261
и (19), имеют следующие значения:
k = sin 2<7]Л1—e =	j
т — sin 4(/ 1—Г, =	'
при этом по формуле (23) § 5
. . а . р . у . а4-В-|~т
4 sin — sin sin -ф- sin — L 1
__ Z Z Z	z
sin2 2q	'
tg£ = tg-|- tg2g,
2 sin cos
cos2u =------------— ,
. a — Y
Sln 2
x ,_ 4 sin я sin p sin y sin (я P 4~ y)
sin2 4^	’
tgS' = tg-|- tg2'J.',
cos2p^-ln'rcos(a+^) ;
'	sin (a — y) ’
отсюда легко усматриваем, что
cos 2р.'<ф cos 2р,	S'^>S.
(39)
(40)
Приведённые формулы имеют место в предположении
я — Y \ Г> • Y Я-Р Р
sin ——— > 2 sm cos ~2 '' •
Продифференцировав равенство (37), находим для опре-
деления координат метацентра два уравнения:
(х — a) cos (2a -ф- ^-|-е) -|~( у—b) sin (2a	q Ц- е) = 1
= xcos(9~J-e)—у sin (q -ф- е)—с, {(41)
(х — a)sin(2c-|~<74_e) —(У — cos(2a-|'9~he) = 0; J
18 С. А. Чаплыгин
262
С. А. ЧАПЛЫГИН
отсюда по исключении угла атаки имеем уравнение искомого
геометрического места
(х—
— {х cos(04“E)—.У sin (?~Ье)— с}2 = 0- (42)
Таким образом геометрическое место метацентра есть пара-
бола с фокусом в точке (а, Ь] и директрисою, уравнение
которой есть
xcos(<?-|-e)—sin (<7е) — с=0;	(43)
директриса, отстоя от центра на расстоянии с, по направле-
нию совпадает с критическим направлением потока, когда
поддерживающая сила обращается в нуль. Параметр пара-
болы определится как расстояние фокуса от директрисы и
имеет величину
р — с — a cos (q -j- е) -ф- Ь sin (д -ф- е),
откуда, воспользовавшись формулами (38), имеем
г р = г-с^ ? {(2 — k2) sin 2q— tn cos {2q-\-2z — rfi}. (44)
Заменив k и m ббльшими их величинами sin 2q и sin 4<y,
легко убеждаемся, что
p	{1 cos2 2q — 2 cos 2q cos (29-|-2e — rt)} >0;
таким образом, результат подстановки координат фокуса
в формулу (36) есть величина отрицательная, и следова-
тельно, парабола своею выпуклостью направлена в ту же
сторону, как и дуга крыла.
Последнюю из формул (38), определяющую расстояние
от центра крыла до директрисы, переписываем в виде
с = -r q- { 2 sin	cos2 <7 —ф- X sin2 2</ tg <7 }.	’ (45)
Величина параметра тесно связана с опрокидывающим
моментом Л10 сил давления при критическом направлении по-
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 263
тока. В самом деле, если в формуле (34) мы положим
о = — q— е,
то найдём
2М0
(2 — k2) sin 2q — т cos (2g1 -]- 2s — rt),
и следовательно, из формулы (44) получаем простое соот-
ношение
___Afp cos у
r.prv^
(46)
Эта формула имеет весьма несложное рациональное объясне-
ние и может быть непосредственно выведена следующим об-
разом. Определим момент Л42 сил давления относительно
фокуса параболы. Обозначая через R направленный к мета-
центру радиус-вектор и принимая в соображение, что линия
действия подъёмной силы касается параболы и составляет
с указанным радиусом-вектором тот же угол
т = a -J—е,
как и с направлением перпендикулярной к директрисе оси
параболы, получим для плеча силы d величину
rf==/?sinT=^= A\cos<7 ;
и 2~prv^ k sin т
а так как по свойству параболы
р = 2d sin т = 2R sin2 т,
то будем иметь
Af> cos д
r.prv^k
При критическом направлении потока силы давления приво-
дятся к паре, а потому величина вращающего момента не
зависит в этом случае от выбора центра моментов. .
18»
264
С. А. ЧАПЛЫГИН
Но формула (46) имеет гораздо более широкое значе-
ние: она показывает, что момент сил давления относительно
фокуса не зависит от направления потока; его величина
М = М,
& и
9
itprvgA
---------Р
cos? г
равна опрокидывающему моменту критической пары. Таким
образом эффект потока может быть выражен поддер-
живающей силой, приложенной в фокусе параболы,
и дополнительной постоянной парой, вращающей крыло
вперёд.
Чтобы яснее представить себе расположение места мета-
центра относительно крыла, определим ещё положение нашей
параболы по отношению к центру дуги и найдём координаты
х' и у' метацентра для потока, параллельного хорде крыла.
Первый вопрос решается заменою текущих координат в урав-
нении (42) нулями. Тогда левая часть его приобретает зна-
чение
I — о2 -}- Ь2 — с2 =
= Г 4&2 g~ f/n2 “1“ 2/л^2 tg <7 cos (2£ — Jj) Ц- 8Л2 sin2 ? — 4 sin2 2?].
Величина I увеличится, если в положительных слагаемых
в квадратных скобках мы заменим т и k ббльшими их ве-
личинами sin 4? и sin 2q, а угол 2е — г; заменим нулём. Та-
ким образом,
Z	[sin2 4?	2 sin 4? sin2 2? tg q Ц-
8 sin2 2q sin2 q — 4 sin2 2q],
Подсчитывая правую часть этого выражения, убеждаемся,
что она равна нулю, и потому
/<0.
Отсюда заключаем, что центр дуги лежит внутри пара-
болы, ибо его расстояние от фокуса менее, чем от дире-
ктрисы.
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 265
Обращаясь ко второму вопросу, имеем из уравнений (41),
полагая в них а = 0:
sin (q е) = a cos (q в) b sin (q -J” £) — с =
= —(2k.2 tg q cos2 e -|-m cos у — 2 sin 2q),
x' sin (q Ц- e) = a sin (q	s) — bcos (q —|— s) —[— ' cos(? -}-£) =
— r<^k^ sin sin ч) A~y'cos («z-H)-
Подставляя в множитель, заключённый в скобках в выра-
жении у', увеличенные значения вместо k и т и заменив
Е и т; нулями, мы увеличиваем эту величину; а потому
2/ sin (7 + б)<
гем? ^2sin22? tg?sin4? — 2 sin 2q) = 0,
то-есть
У<0;
поддерживающая сила лежит позади центра полной дуги
крыла.
Что касается знака х', то он может быть положителен
и отрицателен; если
• °—	о  Y « + ₽
sin —g-1	2 sin у cos —,
то надлежащим подбором углов a, £!, у всегда можно сде-
лать х'^>0. В самом деле, умножив его выражение на
sin (</—]—е) и подставив у', мы получим соотношение
_ Чх’ sin2 (?У s)g  £2 tg sin g cos E Sjn
r COS q
+ {cos (?-|-e — rj) Ц-sin rj sin
-{- k2 sin q cos e — sin 2q cos (q 4~e)- (47)
266
С. А. ЧАПЛЫГИН
Так как при выполнении вышеприведённого неравенства мы,
иа основании формулы (39), имеем
Ч
1
2 ’
ч=0—4,
то
Это неравенство можно переписать, пользуясь формулами (40),
в виде
-Дг > sin q (1 — 1) ( sin sin q sin \ q 4- -f-) 4-
sin 2q	' 'I 2 v X. 4 у 1
Из рассмотрения правой части ясно, что ввиду малости
числа V и незначительной сравнительно стрелки крыла
можно достичь того, чтобы эта часть была положительна,
а тогда
/> 0,
и следовательно,
х'>0.
Вычислим эту координату для второго примера, рас-
смотренного в § 5. Имеем
а —27°, р = 6°, Y = 3°, g = 7°30',
1 = 0,0059, е = 2°25';	(48)
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 267
при помощи формул (40) находим
Г = 0,02336, 7j = 4e54'.
(49)
Подставив эти числа в формулу (47) и произведя подсчёт,
получим:
х' = 0,264л.
Теперь мы имеем всё, что нам нужно для сравнения
геометрических мест метацентра у нашего составного крыла
и крыла сплошного, которое из него получится, если вырез
закрыт. В этом последнем случае соответственная парабола
получится, если мы в формулах для составного крыла поло-
жим сначала В = 0, а затем заменим q соответственною ве-
личиною ^1 = q где 0 имеет прежнюю величину. Так
как e = T| = X=k' = O при ^ = 0, то из формул (38), (39),
(42), (43) и (44) соответственно находим
с, = rcos47n
by =r cos3 q-t sin<7j,
Cj = rcos3 qr,
(x — atf	(y — £>i)2 — (x cos qx —y sin q, — q)2 = 0, (50)
xcos^i—j/sin^j — <?! = 0,	(51)
p = 2r cos3 91 sin2 q-t.
Подставив в уравнение (50) координаты начала координат,
усматриваем, что уравнение удовлетворяется, и, стало быть,
парабола проходит через центр дуги. Она касается оси х.
Сравнивая, далее, найденное значение со значением с
в формуле (45) и имея в виду неравенства
k sin 2q, cos qr cos q.
убеждаемся, что
Таким образом директриса в случае составного крыла дальше
отстоит от центра, чем в случае крыла сплошного.
268
С. А. ЧАПЛЫГИН
Переходя к сравнению параметров парабол, имеем в ре-
зультате простого преобразования формулы (44) при помощи
формулы (39):
Р — Г~^ [(1 ~Н) sin3 —|— (1 — 1^1 —).') sin 4</ cos 2q—
— 2т sin sin (jq -|-	] •
Последнее слагаемое в скобках есть величина отрицательная,
так как из формул (40) имеем
cos 2р.'
cos 2р
cos ^«+Р~-70+cos (а-Н + у
cos (а-|- I — -L+ совЦ^-
\ Z л у	Z
а потому
S' > 2$,
т(>2е.
Таким образом,
р <р' = г cos q
JoLiL
I V га
sin2 q cos2 q
1—V1—X'
тлга
cos2 2q
Составим теперь отношение
p' __ 1 -f- X cos3 q Sin2 q । 1 — JI — X' COS q cos2 ‘2q
Pl	-J/'T^I ’ cos3 qi sin2 q! “Г	’ 2 cos3 qx sin2 qx ’
При достаточной ширине отверстия в крыле первый член
будет меньше единицы ввиду малости последнего его мно-
жителя, а второй является малым, так как число
1 —У1—X'
есть величина очень малая. Поэтому всегда можно подо-
брать ширину отверстия и его место на крыле так, чтобы
было
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 269
а тогда a fortiori окажется
P<Pi-
В подтверждение сказанного приложим формулы к рас-
смотренному в § 5 второму примеру; полагаем по формулам
(48) и (49):
9 = 7°30';
<71 = 9°;
* = 0,0059;
*' = 0,02336.
После подсчёта оказывается
— =0,7121 4-0,2298 = 0,9419.
Pi	‘
Стало быть, параметр параболы вследствие выреза в крыле
уменьшается.
Принимая в соображение все высказанные замечания,
приходим к следующему заключению о взаимном располо-
жении сравниваемых геометрических мест. Парабола, соот-
ветствующая разрезному крылу в той части, где располо-
жены метацентры для углов встречи, близких к нулю,
а также ббльших нуля, проходит ближе к заднему краю,
чем в случае сплошного крыла. Так как вследствие мень-
шей величины параметра и более далёкой директрисы её
вершина будет лежать вне параболы сплошного крыла,
ось отклонена на угол е назад и метацентр для направле-
ния потока по хорде лежит выше центра крыла и ближе
к дуге, то это последнее обстоятельство будет справед-
ливо для всех углов встречи. Таким образом вырез в крыле
делает его гораздо более устойчивым, чем крыло сплошное;
разумеется, вырез этот должен быть достаточных размеров
и иметь надлежащее место на крыле, располагаясь в перед-
ней его части.
Примерное расположение геометрических мест изображено
на прилагаемой фигуре 6, где пунктирная кривая есть
парабола для сплошного крыла, а непрерывной линией
намечена парабола для крыла с вырезом ВС. Прямая
270
С. А. ЧАПЛЫГИН
проходящая через середину стрелки параллельно DE,
представляет директрису, соответствующую первой пара-
боле, MN изображает директрису второй.
Фиг. 6.
§ 9. Заключение. На основании изложенной схематиче-
ской теории разрезного крыла можно ожидать, что оно,
не понижая существенно подъёмной силы и, во всяком
случае при правильном устройстве, давая аэроплану зна-
чительно большую поддержку по сравнению со сплошным
крылом равной поверхности, должно весьма повысить ус-
тойчивость аппарата. Это — главное преимущество описы-
ваемого крыла.
Что касается лобового сопротивления, то наша теория,
по понятным причинам, его совершенно не может опреде-
лить. По этому поводу можно лишь наметить некоторые
соображения качественного характера. Из прореза в крыле
будут вырываться образующиеся благодаря вязкости вихри
(фиг. 7). При этом вихрь, сбегающий с нижней поверхности
переднего пера, образовавшийся на большей обтекаемой
поверхности, окажется более энергичным, чем тот, который
будет отделяться с ограничивающей прорез части поверхности
СХЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РАЗРЕЗНОГО КРЫЛА АЭРОПЛАНА 271
крыла, и все вихри будут убегать вдаль быстрее, чем
в случае отсутствия прореза. По этой причине может ока-
заться, что лобовое сопротивление от устройства выреза
Фиг. 7.
в крыле не только не увеличится, но даже уменьшится, ибо
не будет происходить накопления вихревого хвоста позади
крыла. Сверх того, непосредственно над задним пером можно
ожидать несколько меньшего давления, чем в случае отсут-
ствия выреза, что должно повлечь возрастание поддержи-
вающей силы.
Наконец, благодаря тому же понижению давления струйки
будут лучше прилегать к верхней поверхности заднего
пера, и потому возможно, что рост подъёмной силы с воз-
растанием угла встречи будет наблюдаться в более широ-
ких пределах увеличения этого угла, чем это имеет место
при сплошном крыле.
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКЦИИ
(Из Собрания сочинений С. А. Чаплыгина, т. II, Гостехиздат,
Москва, 1948)
Примечание [1] к стр. 97.
При и=оо формулы для радиуса кривизны на стр. 95—96
переходят в следующую:
_____________________у2 a sin 2т__________
costcos8(1 -ф-у2)sinтsin 8(1 —у2)— 2уа ‘
Но на основании формулы (29) мы находим
cos 8 =	1----- -	---------(1+у2) cost	>
У 1 + tg2 8	V (1 + У2)2 COS2 Т 4- (1 — у2)2 sin2 т ’
sin 8 — cos 8 tg 8 ~	у ) sin с —	.
У (14” у2)2 cos2 т -|- (1 — у2)2 sin2 т
Следовательно,
cos т cos 8 (14- у2)	sin т sin 8 (1 — у2) —
(14- у2)2 cos2 т 4- (1 — у2)2 sin2 т —	----
У (1 4- у2)2 COS2 т 4- (1 —y2)2Sin2T
На этом основании формула (а) переходит в ту, которая приве-
дена в тексте на стр. 97:
__	у2 л sin 2т
У 1 4~ 4~ <¥ cos 2х — 2уз
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКЦИИ
273
Примечание [2] к стр. 119.
Положив
Е ’
мы получим из формулы (51)
t2-2iJtg^ctgN-tg2|.
Отсюда мы найдём
Z — tg~ctgN
Л	C2-2!:tgyctg^-tg2A
Далее,
(с - tgy cts nY -	-2с	ctg tgz4)=
L	Vy
= tg2y(ctg2N+l)=—± .
*	sin^ /V
Примечание!3] к стр. 251.
По первой из формул (15) на стр. 243 мы находим
а по третьей из формул (23) на стр. 250 получаем
=4+!-
Поэтому
.+,+.=. v4M+«=’+41+HlM.
ИЛИ
®.+5' + £ = т—
.1	*>
S
274
ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКЦИИ
Отсюда мы находим
. я
sin —sin Т
sin 'Lil. у J_х
= -X. ----------[cosГф- - ctg т Sin 8)1
.a I V 4	1 а \ 4	/
sin — L v	7	4	7J
На этом основании условие
принимает вид
или
Следовательно,
г frm
СОДЕРЖАНИЕ
О работах С. А. Чаплыгина по теории крыла (С. А. Христиа-
новнч)........................................... б
С. А. Чаплыгин, Избранные работы по теории крыла . .	9
О давлении плоскопараллельного потока на пре-
граждающие тела (к теории аэроплана)....... И
Результаты теоретических исследований о движе-
нии аэропланов............................ 57
К общей теории крыла моноплана............... 73
О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на
движущееся в нём цилиндрическое крыло .... 126
Теория решетчатого крыла......................211
Схематическая теория разрезного крыла аэроплана. 229
Редакторы
В. К. Гольцман и В. И. Леванпговский.
Техн, редакторы М. Д. Суховцева и
И. Я. Мурашова.
*
Подписано к печати 14/VI 1949 г. Объём
17’/4 печ. л. -J- 1 вклейка. 14,05 уч.-издат. л.
Тип. зн. в печ. л. 31 486. Цена книги 8 р. 45 к.
Переплёт 2 р. Тираж 4000. Заказ № 312« А-07012
*
Отпечатано в Первой Образцовой типографии
имени А. А. Жданова Главполиграфиздата
при Совете Министров СССР. Москва,
Валовая, 28.
Опечатки
Стра- ница	Стро- ка	Напечатано	Должно быть
		1	1
17	10 сн.	2 та	2 it
		1	1
17	5 »	2тс	2га
			е?1
47	1 »	IZ	и
				.—
205	2 св.	W	
к книге С. А. Чаплыгина „Избранные работы по теории крыла-