Текст
Л. И. СЕДОВ
ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ
ГИДРОДИНАМИКИ
И АЭРОДИНАМИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 195 0 ЛЕНИНГРАД
12-5-4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение 9
Г л а в а I. Движение профиля крыла с постоянной циркуляцией 11
§ 1. Возмущенное потенциальное движение несжимаемой
жидкости вне одного контура 11
§ 2. Эллиптическое крыло и крыло Н. Е. Жуковского 21
§ 3. Формулы для вычисления гидродинамических сил при
неустановившемся движении 24
§ 4. Гидродинамические силы при отсутствии циркуляции .... 30
§ 5. Силы, действующие на крыло при движении с постоянной
циркуляцией 40
Глава II. Теория тонкого крыла 46
§ 1. Кинематические задачи 46
§ 2. Гидродинамические силы при движении тонкого крыла с
циркуляцией 58
§ 3. Установившееся движение биплана тандем, составленного
из двух, плоских пластинок 64
§ 4. Присоединенные массы двух плоских пластинок,
расположенных вдоль одной прямой 68
§ 5. Неустановившееся движение тонкого крыла с непрерывно
стекающими с задней кромки вихрями 72
§ 6. Установившиеся колебания тонкого слабо изогнутого крыла ч
в несжимаемой жидкости 81
§ 7. Теория тонкого крыла с учетом сжимаемости 95
§ 8. Учет сжимаемости при вибрациях тонкого крыла,
движущегося с дозвуковой скоростью 99
Глава III. Теория решеток ,120
§ 1. Основные задачи об определении потоков вне
периодических решеток 120
§ 2. Обтекание решетки, составленной из одного ряда
профилей 123
§ 3. Метод отображения на внутренность круга 132
§ 4. Потоки вне решеток, образованных тонкими полииланами . 140
§ 5. Решетки, образованные отрезками одной прямой 149
§ 6. Гидро-аэродинамические силы, действующие на профиль
в решетке при установившемся движении 152
§. 7. Общие свойства циркуляции и гидродинамических сил при
обтекании решетки профилей несжимаемой жидкостью . . 155
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
§ 8. Присоединенные массы профилей в решетке , 160
§ 9. Двоякопериодические решетки 166
§ 10. Смешанная задача для полуплоскости, полосы и кольца . . 174
Глава IV. Удар о несжимаемую жидкость 181
§ 1. Общая теория плоской задачи об ударе 181
§ 2. Присоединенные массы при ударе о несжимаемую жидкость . 187
§ 3. Горизонтальный удар плавающей вертикальной пластинки . 189
§ 4. Удар пластинки о несжимаемую жидкость, заключенную
в прямоугольном сосуде 196
Глава V. Теория струй 200
§ 1. Задачи о движении жидкости с образованием струй. Обзор
основных методов 200
§ 2. Видоизменение метода Н. Е. Жуковского 211
§ 3. Обтекание решеток со срывом струй 216
§ 4. Обтекание тел с развитой кавитацией 221
Глава VI. Течения в двусвязных областях (задача о бипланах) 231
§ 1. Параметрический метод построения потоков ........ 231
§ 2. Примеры конформных отображений двусвязных областей . . 236
§ 3. Подъемная сила плоской пластинки при движении вблизи
земли 241
§ 4. Обтекание дуг параболы, гиперболы и эллипса 244
Глава VII. Глиссирование 255
§ 1. Постановка задачи 255
§ 2. Глиссирование по поверхности тяжелой жидкости ..... 261
§ 3. Глиссирование по поверхности невесомой жидкости
(нелинейная задача) 287
§ 4. Глиссирование по поверхности жидкости конечной глубины . 293
Глава VIII. Общая теория установившихся движений газа . 300
§ 1. Общие уравнения движения сжимаемой материальной среды . 300
§ 2. Задача Коши для определения функции О (р, ty) и некоторые
общие закономерности 305
§ 3. Обобщенные движения Прандтля-Майера 318
§ 4. Условия на сильных разрывах 324
§ 5. Скачки детонации, фронта пламени, конденсации и т. п. . . 337
§ 6. Скачки уплотнения в совершенном газе 344
§ 7. Примеры точных решений для вихревых установившихся
движений газа 355
Глава IX. Потенциальные установившиеся движения газа . . 368
§ 1. Вводные замечания 368
§ 2. Преобразование уравнений движения и функция С. А.
Чаплыгина 370
§ 3. Линеаризация уравнений движения с помощью
преобразования прикосновения и некоторые обобщения этого
преобразования ' 377
§ 4. Адиабатические потенциальные движения совершенного газа , 379
§ 5. Приближенный метод С. А. Чаплыгина 386
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
Стр.
§ 6. Апроксимация зависимости р = / ( — J ломаной из
прямолинейных отрезков 395
§ 7. Приближенные уравнения для околозвуковых и сверхзвуков
вых скоростей 399
§ 8. Задача о непрерывном обтекании профиля с циркуляцией . 405
Глава X. Газовые струи 418
§ 1. Частные решения уравнений потенциального движения . . . 418
§ 2. Некоторые общие свойства функций Zn (а) 425
§ 3. Задачи о газовых струях, разрешаемые методом С. А.
Чаплыгина 432
§ 4. Газовые струи с критическим давлением на свободных
поверхностях 436
Предметный указатель 440
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга представляет собой переработанное и
расширенное издание вышедшей в 1939 г. монографии «Теория
плоских движений идеальной жидкости».
За прошедший период времени теория плоскопараллельных
течений несжимаемой жидкости и газов обогатилась рядом
исследований. Внесенные дополнения касаются этих и некоторых других
исследований, которые не вошли в первое издание.
К теории неустановившихся движений тонкого крыла в
несжимаемой жидкости, разработанной детально в Москве еще в 1935 г.,
добавлена теория коэффициента полезного действия тяги
колеблющегося крыла; эти результаты были получены М. В. Келдышем,
М. А. Лаврентьевым, А. И. Некрасовым и М. Д. Хаскиндом.
Значительна расширена глава, посвященная теории решеток.
Дополнены главы об ударе о воду и по теории струй. В частности,
написан новый § 4 главы V, посвященный кавитации. В этом
параграфе изложены схемы кавитационного обтекания, исследованные
Д. А. Эфросом в 1943—1944 гг.
Введена глава, посвященная теории глиссирования. Эта теория
получила большое продвижение в работах советских авторов. В
написании главы VII большую помощь мне оказал М. И. Гуревич,
которому я приношу свою искреннюю благодарность.
В настоящее время теория плоских течений несжимаемой жидкости
носит в значительной степени законченный характер и основные
усилия направлены на разработку теории газовых течений, поэтому
вопросы газовой динамики также затронуты в предлагаемой книге.
Все многообразие теории плоских движений жидкости и газов
невозможно охватить в полном объеме в одной книге. В
предлагаемой книге дается в переработанном виде общая классическая
теория движения твердого тела внутри жидкости и, кроме того,
рассматривается ряд специальных вопросов, разрабатывавшихся
автором и его ближайшими сотрудниками.
В главах, посвященных движению сжимаемой среды, даны только
те теории, которые связаны с некоторыми нашими работами.
Изложение других важнейших теоретических исследований
читатель может найти в ряде монографий и руководств, опубликованных
в последние годы.
ПРЕДИСЛОВИЕ { 7
Наряду с рациональной постановкой и решением некоторых новых
задач эта книга в значительной степени посвящена разработке и
развитию эффективных методов решения основных задач плоской
гидромеханики.
В частности, мы последовательно развиваем в различных
разделах теории методы решения, основанные на использовании функций
типа |/ *3& для выДеления особенностей решения в точках а и ft,
для обращения некоторых интегралов и для непосредственного
получения решения в замкнутом виде. Этот прием, примененный нами
впервые в теории тонкого крыла, был в дальнейшем широко
использован в теории волн, теории крыла конечного размаха, теории
фильтрации и других областях. В частности, такие приемы впоследствии
были с успехом использованы в работах по теории упругости у ряда
авторов школы Н. И. Мусхелишвили.
Главы, посвященные движению сжимаемой жидкости, методически
тесно связаны с теорией движения несжимаемой жидкости.
Разбираемые вопросы изложены довольно подробно, но это только
незначительная часть интенсивно развивающейся в настоящее время газовой
динамики.
Кроме общей теории, мы даем полное решение многих
конкретных задач, что неизбежно связано с большим числом формул
и расчетов.
Москва, январь 1950 г. Л* Седов
ВВЕДЕНИЕ
Теория плоскопараллельных движений несжимаемой жидкости и
газа представляет собой весьма обширный и разработанный отдел
гидромеханики. В этой области гидромеханики решено наибольшее
количество конкретных задач; полученные результаты во многих
случаях хорошо отражают законы и особенности реально
наблюдаемых в природе движений жидкостей и газов и гидро-аэродинами-
ческих эффектов, практически используемых в технике. Теоретическое
исследование конкретных пространственных течений, как правило, —
задача весьма трудная и возможна для разрешения в исключительных
случаях. Обычно пространственные задачи могут быть рассмотрены
только приближенно на основе и с использованием теории и
результатов решения соответствующих плоских задач.
Наибольший прогресс достигнут в теории плоскопараллельных
потенциальных движений несжимаемой жидкости: это объясняется
возможностью приложения к этому случаю мощных методов теории
функций комплексного переменного. Аппарат аналитических функций
позволяет во многих случаях находить полное решение в простом
и эффективном виде, удобном для установления характерных
качественных свойств и количественных соотношений для общих классов
течений несжимаемой жидкЬсти и специальных соотношений для
определенных конкретных задач.
Можно сказать с уверенностью, что выяснение физической
сущности многих основных гидро-аэродинамических явлений получено
путем математического исследования с помощью эффективных методов,
основанных на приложении теории функций комплексного переменного.
Исследование движения газов — сжимаемых жидкостей — более
трудная проблема. Уравнения газовой динамики в важнейших случаях
не могут быть разрешены непосредственно с помощью функций
комплексного переменного. Поэтому теоретические результаты в теории
газовых потоков с дозвуковыми скоростями и особенно в теории
потоков с переходом через скорость звука немногочисленны и носят
ограниченный характер.
Систематическое применение теории функций комплексного
переменного и конформных отображений было введено в гидродинамику
Гельмгольцем и Кирхгофом, которые разрешили некоторые основные
задачи о движении несжимаемой жидкости с образованием струй.
В конце прошлого столетия методы решения задач теории струй
были доведены до большого совершенства в работах Н. Е. Жуков-
10
ВВЕДЕНИЕ
ского и С. А. Чаплыгина, котор&е поставили и разрешили много
новых задач. Впоследствии эти работы были развиты и продолжены
московской школой гидродинамиков. Существенный шаг в теории
струй сделан А. И. Некрасовым в 1922 г.
Достигнутые московской школой высокий уровень и
совершенство в разработке теории струй в несжимаемой жидкости создали
благоприятную почву для появления в 1902 г. замечательной работы
С. А. Чаплыгина по теории газовых струй. Эта работа, не
оцененная должным образом в свое время, намного опередила развитие
науки и является основой современной газовой динамики.
Эпоха рождения и развития авиации ознаменовалась
возникновением и бурным развитием новой науки — аэродинамики, в которой
изучались проблемы движения тел в жидкости и в воздухе —
проблемы гидро-аэродинамических сил.
Начало теоретической аэродинамики заложено в работах Н. Е.
Жуковского и С. А. Чаплыгина, которые создали теорию крыла в
плоском потоке и получили все основные результаты в этой области.
Главные трудности были связаны с уяснением природы
аэродинамических сил. Согласно классической гидродинамике, хорошо
разработанной к тому времени, известный парадокс Даламбера приводил
к равенству нулю сопротивления и подъемной силы в идеальной
жидкости. Жуковский и Чаплыгин первые поняли, в чем заключается
истинный смысл парадокса Даламбера, и объяснили в рамках теории
идеальной жидкости и на основе решений плоской задачи о крыле
возникновение подъемной силы. Согласно знаменитой теореме
Жуковского, наличие подъемной силы обусловлено циркуляцией скорости
по замкнутому контуру вокруг профиля крыла. Вторым
фундаментальным результатом, принадлежащим также Жуковскому и Чаплыгину,
является правило для определения циркуляции скорости. При
математическом решении задачи об обтекании профиля циркуляция скорости
может быть произвольной. Для выбора определенного значения
циркуляции Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин указали на
необходимость удовлетворить требованию о конечности скорости у задней
острой кромки крыла, что является необходимым физическим
условием, достаточным для определения циркуляции. Указанные два
основных результата—фундамент всего последующего развития аэродинамики.
Исследования Жуковского и Чаплыгина по плоской задаче
гидромеханики были продолжены и широко развиты московской школой.
В этом направлении большую роль сыграли работы М. В. Келдыша,
М. А. Лаврентьева и В. В. Голубева, приложивших к решению
плоских задач гидродинамики современные методы теории функций
комплексного переменного и разрешивших ряд важных новых задач,
ГЛАВА I
ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ
§ 1. Возмущенное потенциальное движение несжимаемой
жидкости вне одного контура
Рассмотрим задачу об определении возмущенного
плоскопараллельного движения несжимаемой жидкости, занимающей всю плоскость
вне одного движущегося и, вообще, деформирующегося замкнутого
контура С. Потенциальное движение жидкости, вообще говоря,
неустановившееся, мы будем определять, предполагая его непрерывным.
Кроме того, примем, что единственными внешними силами являются
поверхностные силы давления на контуре С и что движение
жидкости замирает на бесконечно далеких расстояниях от .контура С
(жидкость покоится в бесконечности).
Из теоремы Томсона следует, что для такого движения
циркуляция по всякому жидкому контуру постоянна во времени.
Предположив еще, что движение жидкости потенциально, получим, что
циркуляция по любому контуру, охватывающему один раз контур С, одна
и та же и не зависит от времени.
Определим движение жидкости, считая, что заданы: нормальные
составляющие скорости жидкости на контуре С и значение
циркуляции Г по этому контуру. Обозначим через х и у декартовы
координаты в плоскости движения и введем комплексное переменное
г = х -f- (у. Пусть w (г) = <р -{- /ф — характеристическая функция
искомого течения жидкости. На контуре С имеем следующее граничное
условие:
£-£-«ь<'. * (1-0
где ^—длина дуги на контуре С, t—время, vn — нормальная
составляющая скорости.
Обозначим через / длину замкнутого контура С; тогда, очевидно,
*>п(* + А *) — *»(*, ')•
Интегрируя соотношение (1.1), получим
*=/(*, 0 + const, (1.2)
12 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. I
Характеристическая функция определяется с точностью до
аддитивной постоянной, поэтому в дальнейшем мы не будем учитывать
аддитивные постоянные.
Функция /(s, t), вообще говоря, есть неоднозначная функция
от s. После обхода контура С функция f(s, t) и функция тока $
возрастают на величину Q, равную объемному расходу жидкости через
контур С в единицу времени:
«-/й*-/*
Если С есть граница твердого тела, то, очевидно,
Q = 0.
Из условия в бесконечности вытекает, что вблизи бесконечно
удаленной точки для функции скоростей справедливо разложение
следующего вида:
dw T + iQ 1 , _сз_ , _сз_ , п ох
dz Ы Т"т- ««"Г гь "Г ••• > U-oj
откуда
Сведем задачу об определении характеристической функции w(z)
к задаче о конформном отображении внешности контура С на
внутренность единичного круга К.
Пусть функция z = /(C) реализует конформное отображение
области, занятой жидкостью, в плоскости z на внутренность единичного
круга К с центром в начале координат в плоскости С так, что
точке г = -|- оо соответствует точка С = 0.
Функция /(С) может быть разложена в ряд вида
*=/(Q=-f+*o+^+^2+... "О-в)
Функция Р (С) = kQ 4- *iC-f- £^2+ • • • регулярна везде внутри К.
Если контур С деформируется, то коэффициенты \ зависят от
времени. Коэффициенты ki не зависят от времени, если С есть твердый
контур и система координат х, у связана с С неизменно. Для
однозначного определения функции /(С) достаточно указать еще точку
на контуре С, которая соответствует точке С=1.
Заменив в w (z) переменное z через С, получим функцию w (С),
которая регулярна .везде внутри круга /С, кроме точки С «О, вблизи
которой w(Q имеет вид:
" *><&=-Ц£-Ы+с'{. + с'р+ ... (1.6)
Функция
* J] ВОЗМУЩЕННОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ 13
регулярна везде внутри /С. На единичном круге при С = е*° на
основании соотношенийГ(1.2), (1.5) и (1.6) известна функция <J>0(o) =
-= ф (о)-f* тг" > которая является периодической функцией от о с
периодом 27С.
Определение функции w0 (С) легко сводится к разложению
функции Фо(°) в тригонометрический ряд Фурье. Если
оо
% (°) = 2 а» c°s по + Ьп sin по,
то для сопряженной и гармонической функции <р0(°) веРно
разложение
оо
<р0(о)= 2(—ansin no-\-bn cos по).
Отсюда следует, что коэффициенты с'п определятся формулой
«;-'.+*»-• 0-8)
Функцию 1^0 (С) можно определить также с помощью формулы
Шварца *), которая приводит к следующему выражению для «>0(С):
!) Формулу Шварца легко получить следующим путем. Пусть Ф (С) =
= r-\-is функция, регулярная внутри круга | С | = 1. На основании формулы
Коши можем написать:
фЬ—L Г *(u)du _ 1 f(r + ls)e*°da
К о
и, кроме этого,
1 Г Ф(ц)дГи _ 1 Г (г + is) pe-i*da
°~2п/ ) 1_ "" 2ти ) регМ — е-*> '
к и -£ о
где и = ^й и С = рА Заменив в (б) * на — /, можем написать:
2ic 2я
if/ • w , 1 f (r —Is) e* da
(6)
Складывая обе части равенства (а) и (в), получим:
2я
^/^ * f ,# i I f e** + pe**da
о о
(г)
Формула (г) и есть формула Шварца, выражающая функцию, регуляр-
14 ДВИЖЕНИЕ ЙРОФИЛЯ КРЫЛА 6 ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ (т. 1
ИЛИ
*оС:)«-5г( MtO^-f-. (1-е)
в:
Определение характеристической функции путем разложения ф0(°)
в тригонометрический ряд или с помощью вычисления интеграла
Шварца иногда даже для простейших случаев связано с рядом
утомительных и довольно громоздких вычислений.
Рассмотрим плоскопараллельное движение твердого контура тела
внутри несжимаемой жидкости.
В этом случае характеристическая функция w(t>) выражается
в простом виде через функцию /(С), если движение тела
поступательное. Кроме этого, мы укажем одно предложение, которое
облегчает получение эффективных выражений для функции w(Q при
движении тела с вращением.
Для твердого крыла Q = 0. Поэтому на круге К $ = %• Легко
видеть, что введенная выше функция w0 (С) представляет собой
характеристическую функцию течения жидкости для заданного движения
крыла при Г = 0. Таким образом, w0(£) дает возмущенное движение
жидкости при отсутствии циркуляции.
Обозначим через U0 и V0 проекции поступательной скорости
У0-[-170шд0 и через Q—угловую скорость подвижной системы
координат, скрепленной с крылом. Очевидно, что для vn верна
следующая формула:
dy dx / dx dy\
откуда
&,
*ь- иоУ- v<fi~W+y*)- (1Л0)
Функцию w0(z) представим в виде
w0(z) = U0w1 (*)+ V0w2(z) + Qw,(z), (1.11)
где функции Wk(z) = <?k-\-fyk (*=1. 2> 3) регулярны вне крыла и
исчезают в бесконечности, а на контуре крыла их мнимые части фл
ную внутри круга, через ее действительные значения на круге. Вычитая
из равенства (а) равенство (в), получим формулу
2* 2к
■•»-iJ'*+±J«S±£*
выражающую функцию, регулярную внутри круга, через значения ее мнимой
части на единичном круге.
§1]
ВОЗМЕЩЕННОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
it
удовлетворяют условиям
Ь=У, 4». = -*, % = ~j(*?+y*)- (1.12)
Функции wv w2 и w$ определяются только геометрическими
свойствами контура крыла. Легко видеть, что wt (г) представляет
собой характеристическую функцию возмущенного потенциального
движения жидкости при движении крыла вдоль оси х с единичной
скоростью, w2 (z) — при движении с единичной скоростью в
направлении оси у и wb(z) дает возмущенное потенциальное движение
жидкости при вращении крыла около начала координат с угловой
скоростью, равной единице.
Характеристическая функция w0(z) не зависит явно от времени.
От времени могут зависеть только проекции U0, V0 и*угловая
скорость 2, от которых w0(z) зависит линейно.
Функции wx (i) и w2 (С) или, проще, комбинацию U0wl (С) +
+ Vow*(i) легко выразить через /(С) в конечном виде.
В самом деле, из условий (1.12) следует, что на единичном круге
при С = е<а функции U0w1-jrV0w2 и (U0 — iV0)f(ty имеют
одинаковые мнимые части. При С==0 функция ?0/(С) имеет полюс первого
порядка с главной частью ■%-• Очевидно, что мнимые части
функций ^— и — ^о&С одинаковы при £ = *'«. Следовательно,
U0«>i © + V0w2(Q = q0f (С) _ М _ qfi: (1.13)
или
и0щ (С)+Уощ£) = {kjio-ho) с+<Гл^Н-?<ЛС3+ • • •
Обратимся теперь к задаче об определении
wb(£)—характеристической функции при вращении крыла около начала координат.
Введем обозначение:
?(!) = *Н-*о+*1-5- + ^-£-+ ...
Очевидно, что при С = е*« мы имеем: г =/(С) ==/(7-); поэтому
последнее из условий (1.12) можно написать в виде:
1ш«,(С) = -4/(0/(4-). 0.14)
Представим функцию—4"/С*)/(т) как СУММУ ДВУХ Функций fx (С)
и А» (С), т- е-
-4/(C)/(4)=/i(Q+/2(a (1.15)
16 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛИ кРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [гл. 1
причем пусть Д (С) регулярна при |С|<1, а /2(С) — при |С|>1;
при |С| = 1 обе функции конечны.
Докажем, что
^(0 = 2/, (С), (1.16)
т. е. решение поставленной задачи сводится к указанному
разложению.
В самом деле, при |С| = 1 справедливы следующие соотношения:
Re/, (С) = -Re/.(C) Re/2(1)
и
Im/2(C) = -Im/2(1).
Функции /j (С) и —f2 (у-) регулярны внутри круга К и имеют
одинаковые действительные значения на К; следовательно, для
любого С справедливо соотношение
лю—л(4)+».
где т — чисто мнимая постоянная. Из последних двух соотношений
следует, что при |С|=1 действительные части /ДС) и /2(С)
одинаковы.
Таким образом, функция 2/(С) + ^ регулярна при |С| < 1, а при
|С| = 1 ее мнимая часть равна — т/(^/(т)' следовательно»
«МС) = 2Д(С) —т.
Постоянную т можно отбросить, так как она несущественна.
Требуемое разложение легко производить, когда /(^) —
рациональная функция. Очевидно, что если /(С) рациональна, то функции
wi(£)> Щ&) и wb(Q тоже рациональны.
Для wb(£) формулы (1.9), (1.14) дают следующее выражение:
-ЬЮ-JrJ/M*)^*-
к
2* J 1У> >J\v) (С —С)2 '
откуда
в частности
Л
§1]
ВОЗМУЩЕННОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
17ч
Пользуясь установленными выше формулами, можно написать
следующую общую формулу для характеристической функции ад (С):
Циркуляция Г может быть задана произвольно. Для определения
ее величины необходимо выставить некоторое добавочное требование.
Рассмотрим случай, когда контур крыла имеет выступающую
угловую точку (острие крыла — задняя кромка). Отображение внешности
крыла Hi внутренность единичного круга в плоскости С установим так,
чтобы острию контура крыла соответствовала точка С = -|- 1. При
dz
подходе к точке С = 1 производная —=f'{£) стремится к нулю.
Так'как
dw dw flfc
dz~ rfC dz '
то скорость жидкости у задней кромки может быть конечной только
/ dw\
при условии (—££-) =0.
При бесконечном значении скорости жидкости в потенциальном
движении давление обращается в минус бесконечность. Следовательно,
только при конечных значениях скорости жидкости эти потоки
жидкости физически допустимы. Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин
указали, что условию о конечности скорости жидкости у задней
кромки можно удовлетворить выбором величины циркуляции.
Выясним -теперь, для каких неустановившихся движений можно
удовлетворить условию о конечности скорости у острой кромки
с постоянным по времени значением циркуляции.
Поместив начало координат в плоскости z в острие, на основа-
(dw \
—— J =0 дает
следующее уравнение для определения циркуляции Г:
о 2
Интеграл, входящий в это уравнение, существует, так как при
а = 0 величина г (о) имеет нуль выше первого порядка.
Ось х можно направить так, чтобы коэффициент k был
действителен; в самом деле, если коэффициент k комплексный, то этого
можно достигнуть, повернув первоначальную систему координат на
угол, равный аргументу k.
Направление оси х, при котором коэффициент k действителен,
назовем направлением первой оси крыла (фиг. 1.1).
2 Зак. 1631. Л. И. Седов.
18
ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. I
При k действительном уравнение (1.19) дает следующую формулу
для величины циркуляции Г:
2л
Г = 4
лйКо-т]"
z{p)z(p)
da
sin*T
(1.20)
Отсюда следует, что значение циркуляции не зависит от
составляющей поступательной скорости крыла вдоль первой оси крыла.
Фиг. 1.1. Подвижный контур С в плоскости г. Внутренность
круга К в плоскости * — параметрическая область.
В частности, при любом поступательном движении крыла вдоль
первой оси значение скорости жидкости у задней кромки конечно
при циркуляции, равной нулю. В этом заключается
гидродинамический смысл первой оси крыла.
Формулу (1.20) можно написать в виде:
Г ~4*йУ1э
(1.21)
2ft
где Vt = V0
1SS*J"*(0)*<'
?У
da
sin'J
есть проекция на ось у
скорости точки крыла, лежащей на оси х и имеющей координату
2гс
J sin2 -тт-
Движение с конечной скоростью у острия при постоянной
циркуляции возможно только в том случае, когда Vt не зависит от
времени.
§1]
ВОЗМУЩЕННОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
19
Из формулы (1.21) вытекают следующие предложения:
1. При неустановившемся бесциркуляционном движении (Г = 0)
скорость жидкости у острой кромки конечна, если подвижная
полодия крыла есть прямая, перпендикулярная к первой оси крыла и
отстоящая на расстоянии хг от острия крыла (прямая РР' на фиг. 1.1).
В самом деле, если мгновенный центр вращения лежит на этой
прямой, то 1^ = 0 и, следовательно, условие (1.21) удовлетворится
при Г = 0.
2. Если крыло движется с постоянной угловой скоростью
(Q = const.), то условие о конечности скорости жидкости у острой
кромки при соответствующем постоянном значении циркуляции будет
удовлетворено, если подвижная полодия крыла есть прямая,,
перпендикулярная к первой оси крыла.
Действительно, если мгновенный центр вращения лежит на этой
прямой, то при 2 = const, получим Vt = const, и, следовательно,
Г = const.
В частности, при любом поступательном движении крыла с
постоянной скоростью или при вращении крыла с постоянной угловой
скоростью около любого неподвижного центра условие о конечности
скорости у острой кромки может быть удовлетворено при
соответствующем постоянном значении циркуляции.
Непрерывное движение жидкости невозможно физически для
неустановившихся движений, при которых Vt зависит от времени. Это
указывает на возникновение в этом случае линий разрыва скоростей,
сходящих с контура крыла внутрь жидкости.
Для внутренней задачи (жидкость находится внутри контура С)
из условия о непрерывности движения жидкости получим: Г = Q = 0.
В этом случае при поступательном движении контура С будем иметь:
При вращательном движении контура С или при движении с
деформацией характеристическую функцию возмущенного течения
жидкости можно определять теми же методами, что и для внешней задачи.
Рассмотрим еще задачу об определении характеристической
функции движения жидкости при наличии внутри потока, в заданных
точках, заданных особенностей течения (вихри, источники, мультиполи
и их распределения). Если граница потока — контур С, внутри или
вне которого происходит движение жидкости,—движется, то функцию
скоростей можно представить как сумму функции скоростей,
регулярной в области, занятой жидкостью, и функции скоростей, дающей
течение вблизи неподвижного контура С при данной системе
особенностей внутри потока. Методы определения характеристической функции
первого течения нами уже разобраны выше.
Характеристическую функцию w* (г), дающую течение от
особенностей при неподвижной границе, мы определим с помощью
функции 2r=/(C), реализующей конформное отображение области потока
на внутренность единичного круга в плоскости С."
2*
20 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. I
Пусть в точке z = z0 имеется изолированная особенность, вблизи
которой w (г) и w* (г) имеют вид:
+ c0 + c[(z — *0)+ ...
Для определенности мы рассмотрим внешнюю задачу; и примем,
что циркуляция по контуру С равна нулю. Внутренняя задача может
быть рассмотрена аналогичным способом.
При отсутствии других особенностей в потоке разложение w* (z)
вблизи бесконечно удаленной точки имеет вид:
w* (z) = —з • In г + регулярная часть.
Переходя к переменному С, найдем, что w* (С) внутри единичного
круга К может быть представлена в виде:
(с—адш~ Ч.-с0 ' ъл с п- w.
где С0 — образ точки г0 в плоскости С и Р (С) — функция, регулярная
везде внутри К; коэффициенты dl9 d2,..., dm определяются
непосредственно через коэффициенты ci9 c2, ..., ст с помощью
функции /(С).
Функция w* (С) = <р* + *Ф* в плоскости С определяет некоторое
течение жидкости, для которого окружность | С J = 1 является линией
тока. Следовательно, на этой окружности можно принять ф* = 0.
На основании этого с помощью принципа симметрии легко написать
выражение для w* (С):
+Iir1"kr!1—£ij£|»(i-'5.t)- <>•*»
Выше рассмотрены методы для определения характеристической
функции w(z) абсолютного движения жидкости. Если даны: подвижная
система координат, скорость qQ=U0-\-iVQ начала координат и
угловая скорость вращения S, то относительное поле скоростей
определится комплексной функцией скоростей
dw — , .г.—
Если движение системы координат (движение крыла, с которым
система координат скреплена) поступательное, то относительное тече-
с 2] ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ КРЫЛО И КРЫЛО H. Е. ЖУКОВСКОГО 21
ние потенциально и имеет характеристическую функцию
Wo™ О) = w (г) — g0z,
которая называется характеристической функцией обтекания крыла
поступательным потоком в бесконечности.
§ 2, Эллиптическое крыло и крыло Н* Е. Жуковского
В качестве примеров применения методов, развитых в предыдущем
параграфе, рассмотрим задачу об определении потенциального течения
с постоянной циркуляцией при любом плоскопараллельном движении
эллиптического цилиндра и крыла Жуковского.
Возьмем сначала эллиптическое крыло с полуосями ай.
Внешность эллипса в плоскости z отображается конформно на внутренность
единичного круга К в плоскости С с помощью функции
*=/(!;) =-1 (а-£)С—1(а+£)1. (2.1)
Формула (1.13) дает:
U0wt + V0w2 = U0tt. + *%аС
Далее имеем:
-4/(07(4)=-j[(a8_*2)C2+2(a2+*2)+£l^!l-
На основании формулы (1.16) получим:
«>8к)=-4(«2-*2к2.
Таким образом, характеристическая функция абсолютного течения
жидкости при постоянной циркуляции для любого движения
эллиптического цилиндра имеет вид:
w£) = U0K + iV0ai:-%(a* — ^--L.lnC. (2.2)
Формулы (2.1) и (2.2) дают полное решение задачи.
Обратимся теперь ко второму примеру. Как известно1), контур
крыла Жуковского в , плоскости z получается как образ круга Kt
в плоскости гх (фиг. 1.2) при преобразовании
*-«-"[« +т(«+Э]« (2-3)
где а — масштабная постоянная, угол а характеризует изогнутость
профиля, aR — радиус круга Ки величина a/? cos a — а характеризует
толщину профиля.
*) Жуковский Н. Е., Теоретические основы воздухоплавания. Собрание
сочинений, jr VI, ДОо^ва, ГоСтехиздат, 1950.
22 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. I
Преобразование (2.3) написано с учетом того, что в плоскости z
начало координат помещено в острие, а ось х направлена вдоль
первой оси крыла.
В самом деле, поток, обтекающий крыло Жуковского со ско-
ростыа в бесконечности, параллельной оси х, при конформном
отображении на плоскость гх будет обтекать круг Кх со скоростью
в бесконечности, параллельной направлению МО. Для того чтобы
скорость жидкости у острия была конечна, точка М должна быть
Фиг. 1.2. Схема к построению конформного отображения
внешности профиля Жуковского на внутренность круга.
критической точкой. Из условия симметрии ясно, что точка М будет
критической точкой, если циркуляция вокруг круга Кх равна нулю.
Отсюда следует, что ось х является первой осью крыла Жуковского.
Внешность круга Кх в плоскости гх отображается на внутренность
единичного круга К в плоскости С с помощью дробно-линейного
преобразования
при котором точке M(zx =— а) соответствует точка С = +1.
Заменив zx через С, найдем функцию, реализующую конформное
отображение внешности крыла Жуковского на внутренность
единичного круга в плоскости С:
г=/(С) = -^[1 + ,-2 + (1г=^], (2.4)
где |х = 1 -д-, причем, очевидно, | [х | < 1.
В выражении для /(С) коэффициент при •— получился действд-v
тельным, так как ось х имеет направление первой оси крыла*
Для поступательного движения формула (1.13) сразу дает:
§ 21 ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ КРЫЛО И КРЫЛО Н. Е. ЖУКОВСКОГО 23
Для определения ws (С) составим комбинацию — ~ / (С) 7(т) •
Имеем:
-i/вДт)—тг[-г+"-!,+<1-",п§я]х
х[с+1» —2+(1—1>)2_1=].
Раскрыв скобки и сохранив только члены, регулярные внутри круга /С,
согласно формуле (1.16) получим:
%(о—'■T[c+l-2+"-ri;(:^"2)]rJig-
Таким образом задача о неустановившемся движении крыла
Жуковского с постоянной циркуляцией решается с помощью формулы
(2.4) и формулы
•<9-3{tf-«*-Tnbt[4-fr-4+
Из условия Жуковского о конечности скорости у острия получим
следующее выражение для циркуляции:
T = -2naR\v0—ggg^-21 (2 б)
L 4 1 — fJbjjL J
Введем еще' в рассмотрение круг К2, в который преобразуется
а2
круг ATj инверсией г2 = —. Как известно, этот круг фигурирует
в графическом построении профиля Жуковского по методу Треффтца.
Радиус круга К2 обозначим через at\ тогда
г== *
2R cos а — 1 • ,
Вводя в формулу для циркуляции (2.6) выражения цир через R
и г, получим:
Г = -2™*[У0 + ^(г + /?)]. (2.7)
В частности, если профиль вырождается в плоскую пластинку,
то /?=1, г=1, а = 0 и 2а = /, где / — ширина пластинки. В этом
случае формула (2.7) приобретает вид:
24
ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. *
Для вычисления сил необходимо знать площадь профиля
Жуковского и координаты л;* и у* ее центра тяжести з* = *•*-]-/у*.
Непосредственно очевидны следующие формулы, справедливые
для профиля любого очертания:
S= I dx dy = — J у dx — xdy= —~ zdz =
с с с
—-tJ1®**
и *
Sz* = J J zdxdy = j J x*dy — iy*dx = — -± J z~z~dz =
-4J
ziQz&^dL
Так как z выражается рационально через С, то очевидно, что оба
интеграла в этих формулах можно получить как вычеты около
полюсов внутри К у подинтегральных функций.
После выполнения всех вычислений для профилей Н. Е.
Жуковского придем к следующим простым формулам *):
2 [*■ —r*T* J
Если профиль Жуковского симметричен, то, обозначив через al
наибольший диаметр, получим:
§ 3. Формулы для вычисления гидродинамических сил
при неустановившемся движении
Вычисление гидро-аэродинамических сил удобно производить
с помощью формул, содержащих контурные интегралы от функций
комплексного переменного z = x-\-iy. Для установившегося
движения жидкости такие формулы даны С. А. Чаплыгиным.
Установим формулы для вычисления суммарной силы и
суммарного момента относительно начала координат от давлений,
действующих на внутренность замкнутого контура С, движущегося вместе
!) Седов Л. И., К теории неустановившихся движений внутри зкидко*
дти. Труды \ШЩ вып. 229, 1935,
§3]
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ
25
с составляющими его частицами жидкости (жидкий контур) при
неустановившемся движении жидкости. Мы выведем эти
формулы в предположении, что поле скоростей абсолютного движения
жидкости вблизи контура С имеет потенциал ср (л:, у, t). Контур С
может быть составлен из нескольких замкнутых линий. В
некоторой точке М на контуре С скорость жидкости может иметь разрыв1)
(фиг. 1.3). Точка М есть точка пересечения контура С с линией
разрыва скорости L, которая может присутствовать в рассматриваемом
Фиг. 1.3. К вычислению гидродинамических сил.
L — линия разрыва скоростей.
неустановившемся движении жидкости. Вдоль линии L касательная
составляющая скорости жидкости и потенциал ср имеют разрыв,
благодаря чему циркуляция Г = <?м+ — ?лг— по контуру Сможет
иметь отличную от нуля производную по времени.
Пусть хОу — неподвижная система координат. Элементарную
силу dX-\-idY, действующую на элемент дуги dz контура С, и ее
момент относительно начала координат dffi можно написать в виде:
dX-\-idY=ipdz, (3.1)
dm = x dY—y dX=—Re iz (dX-\- i dY), (3.2)
где p—давление внутри жидкости.
На контуре С давление можно определить с помощью интеграла
Лагранжа:
где p0(t)-
dt 2
■некоторая функция времени, р-
■плотность жидкости.
г) Для простоты мы ограничиваемся случаем возможного существования
только одной точки пересечения контура С с линиями разрыва скорости.
Если таких точек несколько, то из рассуждений, приводимых дальше, ясно,
как это следует учесть в окончательных формулах.
26
ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. I
В написанной формуле не учтены массовые силы; при наличии
массовых сил к силам, вычисленным ниже, нужно добавить
обобщенную архимедову силу.
Приняв во внимание, что
rfy [* (а, Ь, t), у (д, bt t)t t\ _ ду (х, у, t) , о , 2
— — ^i Ги -Tv >
где а и Ь-
написать:
dt dt
параметры, определяющие частицы жидкости, можем
dX-\- i dY = ip0 dz — ip ~ dz -f- ~ (u -j- to) {u — to) dz.
Введя характеристическую функцию w (z) = <p -[- % будем иметь:
(и — iv) dz = dy-\- idty.
Использовав еще тождество
так как на контуре С
jdv d . dz . .
dTt=Ttd^ лвв + к''
для aLY-j-w/F получим:
+ i?£(zdw). (3.3)
Обозначим через
^+
/7 \Х
Фиг. 1.4, К вычислению приращения
статического момента площади,
ограниченной контуром С, за время dt
dt
S площадь контура С, а через г*— центр
тяжести этой площади. С
течением времени контур С
перемещается и вообще
деформируется. Обозначим
через С положение контура С
спустя время dt (фиг. 1.4).
Легко видеть, что
приращение статического
момента Г \zdxdy площади 5,
8
ограниченной контуром С,
представится статическим
моментом заштрихованной
полоски между С и С.
Статический момент
элемента этой цодоски (с
соответствующим знаком) определится произведение^
Zds^dJ^Z dty dtx
§3]
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ 27
где ^ —нормальная к С скорость жидкости. Отсюда следуют
равенства
d (Sz*) = d f fzdxdy = dtfzd<]>
s с
и, следовательно,
\г<Ц = Щр. (3.4)
о
Интегрируя равенство (3.3) по замкнутому контуру С, получим:
X-\-iY =
dV , ip Cfdw\*. , d \ dSz* x . С dw . 1 /0 K4
с с J
где zM—координата точки М.
Переходя к выводу формулы для момента, перепишем
соотношение (3.3) в виде:
^+/jr = /p0^-/pg^ + /PJ^ + |(^)2^. (3.6)
Подставляя теперь это выражение для dX-\~idY в (3.2), получим:
Ш = Re [p^dz — \г (£ff йг - fz dz § + pjg dp],
откуда
«-*[-**(£ И+*'?-* <(^S+
+ f| (««?). (3.7)
Интегрируя равенство (3.7) по замкнутому контуру С, получим:
2И = —-g-faAff 5Г +
Формулы (3.5) и (3.8) выведены в предположении, что вектор
z = x-\-iy взят в неподвижной системе координат. Эти формулы
легко обобщить на случай, когда вектор z берется в любой
подвижной системе координат.
Обозначим через ^0= U0-\-iV0 и Q скорость начала и угловую
скорость подвижной системы координат хи yv Выберем
неподвижную систему координат х% у так> чтобы в рассматриваемый момент
28 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. I
времени z = zv. Символом ^т обозначим производную относительно
подвижной системы координат; тогда
где а — некоторый вектор, записанный как комплексное число.
В частности
dt — ~bt^l*zi'
Ввиду перемещения начала координат еще имеем:
£-£+*. (зло
На основании этого верны следующие соотношения:
d*sl_*b ; . ndSdz\ d% dS dSg0_
dfi ~~ dfi *i~T~z dt dt "■ dp ~*dt q0* dt ~~
d2s4,dS ,dSq0 ,„ in
==-d¥+-dT^+-dT' (ЗЛ1)
i— J zdw = i^ jzldw + iq0 j fito =
С С С
. d I dw . I . -л dS /„ , n.
= 1ш l^a^^i + ^oT—%s • (8Л2>
с
На основании соотношений (3.11) и (3.12) формула (3.5) для любой
подвижной системы координат преобразуется к виду:
+ |[p^ + ^o+*/*g*]. (3.13)
с
Здесь мы опускаем для простоты индекс Луг.
Для того чтобы получить формулу для момента
гидродинамических сил относительно начала подвижной системы координат,
нужно только преобразовать последний член в формуле (3.8).
Легко видеть справедливость следующих соотношений:
'С V С
с . с с с
= Re[— iq0(j^d^+ i j zdw^-j--^ ^ j zxzxdw\. (ЗЛ4)
£ 3] ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ 29
Заметив еще, что
Г dSz* dSz* л
с
и опуская индекс 1 у -г*, получим окончательно формулу для
момента гидродинамических сил относительно подвижного начала
координат:
»=—WrJB+fc
[-
. - (dSz*
SzSd*)~
-1Ш^+Ш~*и- (зл5)
Основная выгода этих формул заключается в том, что контур
интегрирования у интегралов в формуле (3.13) и в первых двух
интегралах в формуле (3.15) можно деформировать. Если функцию
dw
скоростей -р можно продолжить на всю внешность или внутренность
контура С так, чтобы функция -т- была там однозначной и имела
только изолированные особенности, то вычисление этих интегралов
сводится к определению вычетов около особых точек подинтеграль-
ных функций. В этом случае интеграл zz-j-dz также может быть
а
вычислен с помощью вычетов, если возможно построить аналитическую
функцию переменного z, имеющую изолированные особенности вне
или соответственно внутри
контура С и принимающую на
самом контуре С значение z.
Такую функцию нетрудно
построить, когда внешность или
соответственно внутренность
контура С отображается
конформно на внутренность
круга с помощью рациональной
функции.
Из формулы (3.13) сразу
вытекает теорема Жуковского
о подъемной силе крыла,
движущегося поступательно с
постоянной скоростью внутри жидкости, заполняющей все пространство,
движущейся непрерывно и покоящейся в бесконечности.
В самом деле, возьмем подвижную систему координат, связанную
dw
с крылом неизменно; тогда —г- не зависит от времени и исчезает
7и+#о
Фиг. 1.5. Схема к теореме Н. Е.
Жуковского.
36 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ кРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [1Л. I
в бесконечности. Так как, кроме этого, Г = const, и #* = ^0 = const.,
то формула (3.13) сразу дает теорему Жуковского (фиг. 1.5)
X-\-iY=ipq0T. (3.16)
Формулы (3.13) и (3.15) применительно к твердому крылу и
подвижной системе координат, связанной неизменно с крылом, были
впервые опубликованы1) нами в 1935 г.
§ 4. Гидродинамические силы при отсутствии циркуляции
Рассмотрим свойства и природу сил, действующих на твердое
крыло при неустановившемся движении, когда жидкость, заполняющая
всю внешность крыла, движется непрерывно и циркуляция по любому
контуру равна нулю (Г = 0). Общая механическая теория этих
движений разрабатывалась еще Томсоном, Тэтом 2) и Кирхгофом8).
Плоская задача о потенциальном течении жидкости и задача о силах
движений с постоянной циркуляцией рассматривались с помощью
теории функций комплексного переменного С. А. Чаплыгиным4).
Л. И. Седовым подробно разобрана плоская задачаг) даны формулы
для присоединенных масс и вычислены коэффициенты присоединенных
масс для крыла Жуковского.
Характеристическая функция возмущенного движения жидкости при
Г = 0 обозначена в § 1 через w0(z). Там же. даны методы
определения w0(Q, получающиеся из wQ(z) после отображения внешности
крыла в плоскости г на внутренность единичного круга в плоскости С
Взяв систему координат, связанную с крылом неизменно, применим
для вычисления сил формулы (3.13) и (3.15).
Так как функция w0 (z) регулярна и однозначна вне крыла, то
очевидно, что разложение ~-г$- вблизи бесконечно удаленной точки
начинается с члена порядка -%, а разложение (-j-12) —с членов
порядка -J-. Поэтому
Z*
£/(*)■*-*/'(*)'*■
*) Седов Л. И., К теории неустановившихся движений внутри жидкости.
Труды ЦАГИ, вып. 229, 1935.
2) Thomson andTait, Treatise on natural philosophy.
3) Kirchhoff, Vorlesungen tiber mathematische Physik, Mechanik, 19
Vorlesung.
4) Чаплыгин С. А., О влиянии плоскопараллельного потока воздуха
на движущееся в нем цилиндрическое крыло. Труды ЦАГИ, вып. 19, 1926.
См. также Чаплыгин С. А., Собрание сочинений, т. II, Гостехиздат, 1948,
стр. 300—382.
£ 41 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ ОТСУТСТВИИ ЦИРКУЛЯЦИИ 31
Следовательно, формулы (3.13) и (3.15) дадут:
5R0 = Re(-*V) + ^, (4.2)
где
I=pSq* + ip \z^dz=ipjzdy, (4.3)
с с
' * = Rej[»^.rf* = |J*zrf?0, (4.4)
с с
а q* = q0-}-iQz*— скорость центра тяжести площади крыла.
Сделаем несколько замечаний, вытекающих непосредственно из
формул (4.1) и (4.2).
Величины I и N выражаются линейно через проекции С/0, V0
поступательной скорости и угловую скорость Q и не зависят явно
от времени.
Для поступательного движения с постоянной скоростью формул а (4 Л)
сразу дает:
X0 + iY0 = 0.
Это составляет знаменитый парадокс Даламбера.
В этом случае 2№0 = Re [— iq0I]. Отсюда следует, что момент
гидродинамических сил при равномерно-прямолинейном движении
крыла, вообще говоря, отличен от нуля. Момент 9R0 = 0, если
векторы q0 и / имеют одинаковое направление, так как тогда q0l
действительно. Ниже мы покажем, что на крыле всегда существуют два
таких взаимно перпендикулярных направления, что при
поступательном движении в любом из них с постоянной скоростью момент
гидродинамических сил равняется нулю.
Если движение крыла представляет собой вращение около
неподвижного центра с постоянной угловой скоростью, то, поместив начало
координат в этот центр, мы найдем, что проекции силы Х0 и Y0,
вообще отличные от нуля, постоянны во времени, а момент
гидродинамических сил относительно центра вращения равен нулю.
Следовательно, гидродинамическое воздействие в этом случае сводится
к одной силе, приложенной в центре вращения и вращающейся вместе
с крылом. -
• Возмущенное абсолютное потенциальное движение жидкости можно
представить себе возникшим из состояния покоя в результате удара
от внезапно приложенной системы импульсивных давлений pt = — р<р0
вдоль контура С.
32 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. I
Нетрудно усмотреть, что —/и —N представляют собой
суммарный импульс и суммарный момент импульсивных сил,
подействовавших во время удара со стороны жидкости на контур крыла.
В самом деле, после интегрирования по частям ввиду
однозначности <Ро получим:
— /=— /р f zd<?0 = ipf u0dz= — i §ptdz (4.5)
be с
и
-N=— £J zzd®0 = pj <?0d~! = Repj z<f0dz=-~Re}zptdz. (4.6)
о с с с
Последние интегралы этих равенств как раз и представляют собой
суммарный импульс и суммарный импульсивный момент относительно
начала координат. *
Таким образом, ясно, что —/и —N можно рассматривать как
количество движения и момент количества движения жидкости.
Формулы (4.1) и (4.2) выражают собой теоремы о количестве
движения и моменте количества движения для неустановившегося
возмущенного движения жидкости. Член Re(—iq0t) в формуле (4.2)
добавляется ввиду переноса центра моментов.
Если движение крыла таково, что для двух каких-нибудь
моментов времени /0 и tx угловая скорость и проекции поступательной
скорости на подвижные оси координат одинаковы, то изменение
вектора количества движения жидкости относительно подвижной
системы координат за промежуток времени lx—10 равно нулю.
Абсолютное изменение количества движения жидкости за интервал tx—10
равно нулю, если, кроме этого, ориентация подвижной системы
координат в моменты t0 и tx одинакова в неподвижном пространстве.
В последнем случае полный импульс гидродинамических сил за
промежуток времени tx—10 равен нулю.
В частности, при периодическом движении крыла среднее значение
гидродинамических сил за период Т равно нулю, т. е.
t+T
-1 J (X0 + iYo)dt=0.
t
Здесь Х0 и Yq означают проекции гидродинамических, сил на
неподвижные оси координат. ;
При периодическом движении крыла средняя за период величина
момента гидродинамических сил относительно какой-нибудь точки
крыла в общем случае отлична от нуля. Приняв во внимание, что
изменение за период момента количества движения отнбеительно
§ 41 гидродинамические силы при отсутствии циркуляции 33
подвижного начала координат равно нулю, можем написать:
\t+T t+T
2RcP = y J дМ' = Ке{-4 j 9ofdt).
t t
Рассмотрим подробнее выражения для количества движения
жидкости — /= — 1Х — Ну и момента количества движения
жидкости — N. Согласно формулам (4.3), (4.4), (1.11) и граничным
условиям (1.12) можем написать:
— / = *р/?о^в—р/?о^ + 'р/?о^= —Р JVo<% — if ?о^2
О ОС ОС
и
— N=9 j ?0di? = — р J ?0<*ф8;
обозначив
— pf?iWk = >4k (',£=1,2,3), (4.7)
с
будем иметь:
— /ш-ЬцОо + ^о + ^А
^ = ^12^0 + ^22 ^0 + *83S»
— N = А13£/0 + Х231/0 + А332.
(4.8)
Легко показать, что матрица ||Xifc|| симметрична, т. е. X^=sXw.
Действительно, так как <pfe и фл — сопряженные гармонические
функции, то на контуре С справедливо соотношение
д<\>к _ дук
ds дп
Следовательно,
о с
Применив формулу Грина к гармоническим функциям ср* и срл вне
контура С, получим:
ft**-»®*-*
откуда следует симметрия.
Для выяснения механического смысла Xik вычислим еще живую
силу жидкости Т. Имеем:
Г=4/ j \gnd<f\*dxdy = -% f 9odftds=-% f ?0Ц,
3 Зак. 1631. Л. И. Седов.
34 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРЙУЛЯЦИЕЙ [гЛ. i
откуда
2T=\nUl-*r Ам Vj -f ^2+ 2X19f/0 V0 + 2Xj8t/oQ + 2A28K0Q, (4.9)
ИЛИ
2Г=--4Ц> —/,1V
■Л/В.
Таким образом, ясно, что коэффициенты \ik играют роль,
аналогичную роли массы и моментов инерции в динамике твердого тела.
Эти коэффициенты называются коэффициентами присоединенных масс.
В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями:
Ац — Ад,,
А21 = А12 = \хуу
Л22 А2/>
^31 = ^13 = **ха>9
^33 — ^о>
^23 === ^82 :
У">
•I
(4.10)
Дадим формулы для преобразования коэффициентов
присоединенных масс при переходе от одной системы координат к другой.
Пусть наряду с системой координат хОу имеем систему х'О'у'.
Обозначим через ? и yj координаты нового начала Ог в системе
координат хОу и через р— угол между осями хг и х.
Коэффициенты присоединенных масс, отнесенные к новым осям координат,
обозначим через \х,, Ау, Х^,,-^,, Ауш, и!ш,.
Если U0 и V0 — проекции скорости точки О' на новые оси х'
и у', то
£/0 = L^cosр — l/o sin р -f Qyj,
V0=t/islnp+Vicosp —Q6.
Подставляя теперь эти выражения для U0 и К0 в формулу (4.9),
получим следующие формулы преобразования:
\х. = lx cos2 р + Ху sin» р + >^ sin 2p,
V = lx si«2 РЧ-Х^ cos2 р — \ху sin 2,3,
(4.11)
А*'У =-2 (А^ — AJs^P-f X^cos2p,
A*'w == (Авч — Ая,& + А^) cos р + (A^yj — А^ + А^) sin p,
Ayw = — (Авч — AiT|fS + ХШ10) sin р + (А^ + \1 + Ayu)) cos p,
Аш, = A^tj2 +■ А^2 — 2Aa,2/$Y| -f 2 (Ажшч — XyJ) + Хю.
Значения коэффициентов AtTJ \yf \ху зависят только от
направления принятой системы координат; значения коэффициентов \Х{0 и Хуф
зависят от направления и от положения начала осей координат;
значение Хш зависит только от положения начала координат.
Уравнения
АаЛ* — W "I" Х*«> = °> X*ifl* — V* + *** = °
A 11 гидродинамические билы г!ри отсутствии циркуляции &б
имеют решение: _
^х^ум ^ху*ха> % ^ху^ут ^^о?ш (А л оч
* ^"Тт—J*—' ч =—YT—7г- » v4-1J)
}хку— *ху Аж Л-И ~* лж#
так как в общем случае определитель
I = *х*утштт *ху ^ Of
потому что квадратичная форма
2T=kxU20 + lyVl + 2\xyU0V0,
дающая живую силу жидкости при поступательном движении крыла
положительно определенна.
Точка с координатами £* и ч\* называется центральной точкой1).
Если начало координат поместить в центральной точке, то Х^пяА^ = 0.
Вектор количества движения жидкости выражается только через
скорость центральной точки; при чистом вращении около
центральной точки количество движения жидкости равно нулю. Момент
количества движения жидкости относительно центральной точки не зависит
от ее скорости; при поступательном движении момент количества
движения жидкости относительно центральной точки равен нулю.
Уравнение
^ху ^у — ^
= 0
имеет два действительных положительных корня Хх и Х2.
Следовательно, существуют по крайней мере два взаимно перпендикулярных
направления таких, что при поступательном движении крыла имеем:
Л = ^i<7i> fa= — ^2^2»
где — /1э —/2l qi и <72 обозначают слагающие количества движения
жидкости и скорости тела по таким направлениям. Эти направления
называются главными направлениями.
Из формулы (4.2) следует, что при поступательном движении
в одном из главных направлений момент гидродинамических сил
относительно центральной точки равен нулю, иначе говоря, в этом
случае суммарная гидродинамическая сила приложена в центральной
точке. Если при таком поступательном движении скорость постоянна,
то система гидродинамических сил эквивалентна нулю l-<V0-j-*T0 = 0,
9R0—0)- Таким образом, только в главных направлениях возможно
равномерное поотупательное движение свободного тела в идеальной
несжимаемой жидкости.
^Жуковский Н. Е., Лекции по гидродинамике. Собрание
сочинений, т. II, Москва, Гостехиздат, 1949.
3*
36
ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ кРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. 1
Установим формулы для вычисления коэффициентов
присоединенных масс. Пусть, как и раньше,
* = /<C) = £ + *o + *iC+...
есть функция, реализующая конформное отображение внешности
крыла на внутренность единичного круга.
Из равенства (4.3) получим:
Согласно формулам (1.13) и (1.17) имеем:
($rLo=^-*)f/o-<'(*! + £) V0 + ClQ, (4-13)
где
«-1?)U~£J/«>7G)$.
Пользуясь (4.13), можем написать:
/==p{[5 + 2icft(*1 —ft)l£/0 + i[5 —2«ft(A1-f *)] ^0 +
+ [Йг* + 2«Аи:1]9}. (4.14)
Отсюда после разделения на действительную и мнимую части на
основании равенств (4.8) и обозначений (4.10) получим:
Хд. = —р [S — 2itftft + 1c(**i + **i)l.
Х^ = — p[S — 2nkk — те (Aftt + kkt)]9
\w* = p[5y* —«(Acj + ftcOL
^io = P [ — «Sx* + ic* (kcx — kcj].
Для X^ имеем:
Xu)= —p J ?8<% = — p| ws^3=—gj ^3rf(^s—^s)=—-fej *M«Vt
но*) при | С| = 1
«(C) — «r(y),
!) ЕСЛИ W (Q = CiC + C2C2 + . . ., TO
T0
с 4] ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ ОТСУТСТВИИ ЦИРКУЛЯЦИИ 37
поэтому
к
формула (4.16а) удобна для вычисления Хш, когда тг/3(С) определено.
Дадим еще одну формулу для Аш. Имеем:
. С dzz С zz (. ,dzz\ Czz ,
l« = P I <Рз-2- = — Р !ТГ?з — ^-tJ = — P |t*"*
со с
откуда
**>=-£ J7(Q/(4)^-3 л. -(4л6б)
к
Если /(С) рационально, то ^(С) также рационально; поэтому
интегралы в формулах (4.16а) и (4.166) могут быть вычислены с помощью
вычетов.
Выпишем теперь в явном виде выражения для
гидродинамических сил через введенные коэффициенты присоединенных масс. Из
формулы (4.1) получим:
[ (4.17)
Из формулы (4.2)
+ (К - К) "о Vo + iK«U0— \хш V0) Q]. (4.18)
Напомним, что в формулах (4.17) и (4.18) UQ и V0 означают
проекции скорости начала координат на подвижные оси.
С помощью формул этого параграфа и выражений
характеристической функции w0(t)y найденных в предыдущем параграфе для
возмущенных потенциальных потоков при движении эллиптического
цилиндра и крыла Жуковского в бесконечной жидкости, нетрудно
определите для этих профилей значения коэффициентов
присоединенных масс.
Направив оси координат по главным осям эллиптического цилиндра,
получим:
*=/(C) = -I(a-f*)J--!(a-a)!;,
38 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. I
Таблица 1. Значения коэффициентов прцсо
Н. Ваковского1 Симметричный
произвольного
вида
Толстый слегка
изогнутый
профиль. Остав-
профиль |лены только малые
| первого порядка
i по а; / = -#4- г
Сильно изогнутый
тонкий профиль
или дужка круга
рпа'*
— 2 cos 2а)
ръа~
(/-2)(/+1)
р1Ш2
(/_2)(/_1)
ряа2
X
X
(ж;-соз2а)
+ 2 cos 2a)
+ (/-2) (/+!)]
рт:а-
[4 +
+ (/_ 2) (/+!)]
~2~Х
х(с-зк+С082а)
#л
Р7:<2"2
ж*/|
sin 2a
^-g- Sin a [/* + /?2+
+ 4 (r + /?) COS a]
fna2a
2
• sin 2a
Pica»
/(/ + 3)
p7ia3sina X
ряд*
^8~
Г'4-ЯЧ-
'2/u>
+ (A-2 + ^2)C0Sa +
+2(r+ /?)cos2a]
pra
~l{2P-l+2)
^IW-t+2)
4 X
. V. , sin2«Д
44C0Saf"c^)
pica*
r2/?*x
X (8/-2#2COs*a —
- 2/7? sin* 2a 4. cos 4a)
32
Г- (2/2 + 1)
ръа*
/2(2f* + 1)
V1+8cos4a/
£ 41 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ ОТСУТСТВИИ ЦИРКУЛЯЦИИ 39
единенных масс для различных видов профилей
Дужка круга при различных
положениях осей координат
Sin2cr>
у-2а-+\
L^d
ч
\У
I5s
7Z
~И
ос
а
Suit
\—2а-*\
f~
ч
\У 1
X
Тонкий слабо
изогнутый профиль.
Оставлены только
малые первого
порядка по а и
е = R cos а — 1
Пластинка
Ук
2а-
Ах
<?*.
pnaz
«g2«
•?(■■
1
cos2 a j
1 COS2 a }\
ptza2 f
2 \ """ COS2 a
pTia2
p~a-
ръа2а
P7ra3 sin a
4 cos3 a
-j рка3а
ръа°
pica3
pna* 1
Ь cos4 a
ряд4
9 *
40 движение профиля крыла с постоянной циркуляцией [гл.
откуда
Кроме того, имеем:
5 = nab, х* =у* = 0.
Пользуясь этим, из формул (4.15) легко получаем:
К = ръЬ2* \ = Р™2> Ку = х*и> = V = 0. (4.19)
Формула (4.16) дает:
*-"=-Т.|,(<'"-*">?[-4 («2-*8)]^^ = f («2-*2)а.(4.20)
Центр эллипса будет центральной точкой. Оси эллипса являются
главными направлениями.
По формулам (4.17) и (4.18) для гидродинамических сил,
действующих на единицу ширины эллиптического цилиндра, найдем:
(4.21)
При # = 0 эллипс вырождается в плоскую пластинку.
Аналогичным путем можно вычислить значения коэффициентов
присоединенных масс для профилей Жуковского. Значения этих
коэффициентов для общего случая и для ряда предельных случаев
приведены в табл. 1.
Рассматривая эту таблицу, убеждаемся, что тонкий профиль
Жуковского по своим гидродинамическим свойствам аналогичен дужке
круга.
Центральная точка симметричного профиля Жуковского лежит
на оси симметрии внутри профиля на расстоянии £* = ^(^^j^ZfZo)
от острой кромки. Для дужки круга центральной точкой служит,
очевидно, центр круга, долей которого эта дужка является.
§ 5. Силы, действующие на крыло при движении
с постоянной циркуляцией
Пусть жидкость, занимающая всю плоскость вне подвижного
контура крыла, движется потенциально и покоится в бесконечности,
а циркуляция по контурам, охватывающим крыло, отлична от нуля.
Как мы уже видели, для непрерывного движения циркуляция по
£ 5] СИЛЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ 41
любому замкнутому контуру будет постоянна во времени. Найдем
гйДродинамические силы, действующие на крыло при
неустановившемся движении, и выясним их свойства.
Вводя, как и раньше, параметрическое переменное С для
характеристической функции возмущенного движения жидкости, будем
иметь: \
«(C)-«о(С)— да In С. (5.1)
где «о (О — характеристическая функция течения жидкости для
того же движения крыла, но при отсутствии циркуляции.
Как и в прошлом параграфе, взяв подвижную систему координат,
скрепленную с крылом, произведем вычисление сил с помощью
формул (3.13) и (3.15).
Так как вблизи бесконечно удаленной точки для -т- справедливо
разложение
S-ST+3+-. <5'2>
ТО
с с
Далее, на основании равенства (5.1) имеем:
dw ,
с
= /-/p [(| + Л0 + ^ + ^+...)2^1^==/+/РА0Г (5.3)
к
и
2те
Re { Т J г*Ш dz) = NJr £ J г (°)* W d0- (5-4>
6
где — / и —Af выражаются через w0(z) по формулам (4.3) и (4.4).
Так как Г и k0 постоянны во времени, то —ipTk0 = —pQ^ и
относительная производная по времени от второго члена в
выражении (5.4) равна, нулю. Таким образом, формулы (3.13) и (3.15)
дадут:
Х+ IY= X0+ iK0-f /p {q0 + iQk0)Y (5.5)
и
W-aKo + Re(w^T). (5.<>)
42 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. 1
Здесь X0-\-iY0 и Ш0 означают силу и момент, которые
действовали бы на крыло при рассматриваемом движении крыла в случае
отсутствия циркуляции вокруг крыла. В предыдущем параграфе были
изложены свойства этих сил и даны методы их вычисления.
Комплексное число k0 представляет собой свободный член в
разложении около точки С = 0 функции г=/(С), реализующей
конформное отображение внешности крыла на внутренность единичного
круга:
Положение точки z = k0 в плоскости крыла не зависит от выбора
системы координат. Очевидно, что вектор q0 -J- iQk0 = qk представляет
собой вектор скорости точки z = k0 в движении ее вместе с крылом.
Формулы (5.5) и (5.6) можно написать в виде:
X+lY~X0 + iY0+tpTqb (5.7)
2)i = 5R0+Re[— ik0(iPTqk)l
(5.8)
Второй член в формуле (5.8) представляет собой момент
относительно начала координат силы ipTqk, приложенной в точке z = k0.
Точка z = k0 обладает за-
!/\ А ч г a f мечательными динамическими
Т^Р'Як ' свойствами, которые очевидны
из следующих предложений,
вытекающих из формул (5.7)
и (5.8):
1. Если крыло движется в
бесконечной жидкости с
постоянной циркуляцией, то
общая гидродинамическая сила
составляется из силы X0-\-iY0,
которая была бы при
отсутствии циркуляции, и силы
Жуковского ipTqjc, где qk
О
Фиг. 1.6. При неустановившемся
движении с постоянной циркуляцией сила
Жуковского выражается через скорость
точки г = &Q и приложена к этой точке.
скорость точки k0 (фиг. 1.6).
2. Момент
гидродинамических сил относительно точки k0
при движении крыла с постоянной циркуляцией не зависит от
значения циркуляции.
3. Импульс силы Жуковского равен /рГ$, где 5 — вектор
перемещения точки kQ в неподвижном пространстве.
Если через некоторый промежуток времени точка kQ возвращается
в свое первоначальное положение, то очевидно, что среднее
значение силы Жуковского за этот промежуток времени равно нулю.
В предыдущем параграфе было показано, что при периодическом
движении крыла среднее значение силы Д^+/К0 за период равно
§5]
СИЛЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ
43
нулю. Приняв это во внимание, из формулы (5.7) сразу получаем
следующее предложение, доказанное иными методами акад. С. А.
Чаплыгиным1): если движение крыла есть периодическое колебание,
соединенное с поступательным движением при постоянной скорости q0,
то при постоянной циркуляции среднее за период значение
гидродинамических сил равно силе Жуковского /plty0, соответствующей
поступательному движению.
Также очевидно следующее более общее предложение: если
в моменты t0 и tx ориентация крыла и его поступательная и угловая
скорости одинаковы, то среднее значение гидродинамических сил при
постоянной циркуляции за время tt —10 равно /pity* , где q* —
средняя скорость точки k0 за этот промежуток.
Рассмотрим установившееся поступательное движение крыла. Если
поместить начало координат в точке &0, то формулы (5.7) и (5.8)
дадут:
X=-tpVF, Г = Р£/0Г,
2К = ^(^о — и20) + (\„-\у)и0У0.
Эта система сил эквивалентна одной силе Я = рГ V £/<> + V\ ,
действующей вдоль прямой, уравнение которой
ай = дгГ—уХ.
При различных направлениях движения крыла определим циркуляцию
так, чтобы в относительном движении жидкости точка схода линии
тока с контура крыла была всегда одна и та же (например, острие —
задняя кромка).
Возьмём за направление оси х направление движения, при
котором циркуляция вокруг крыла равна нулю,—направление первой
оси крыла (k > 0). Значение циркуляции для всякого другого
направления определится формулой:
Подъемная сила перпендикулярна к скорости и может быть
выражена формулой:
Р = р 4nksin aV2,
где V=V U\-\- V\ — скорость крыла, а a — угол, который скорость
составляет с первой осью.
Линии действия подъемной силы при движении крыла в
различных направлениях в плоскости крыла образуют семейство, уравнение
которого имеет вид:
^а-^)+(^-у^=^р&(^+^), (5ло)
*) Чаплыгин С. А., О влиянии плоскопараллельного потока воздуха на
движущееся в нем цилиндрическое крыло. Труды НАГИ, вып. 19, 1926. См.
также Чаплыгин С. А„ Собрание сочинений, т. И, Гостехиздат, 1949,
стр. 300—382.
(5.9)
44 ДВИЖЕНИЕ ПРОФИЛЯ КРЫЛА С ПОСТОЯННОЙ ЦИРКУЛЯЦИЕЙ [ГЛ. I
где ji=^. Продифференцировав соотношение (5.10) по ja и исклю-
чиц щ найдем, что огибающая этого семейства есть парабола (фиг. 1.7)
с уравнением
Эта парабола называется параболой метацентров. Очевидно, что
ось параболы метацентров перпендикулярна к первой оси крыла, так
как ось х имеет направление первой оси крыла.
Парабола метацентров
Фиг. 1.7. Огибающая линий действия силы
Жуковского для различных углов атаки при
фиксированном положении критической точки на профиле
является параболой.
Огибающая вырождается в точку, если в принятой системе
координат \ху = 0. Эта точка лежит на оси х на расстоянии х*
Ад. *у
4тср&
от точки k0. Если профиль крыла симметричен и задняя кромка лежит
на оси симметрии, то, направив ось х по оси симметрии, будем
иметь: Хшу = 0.
Таким образом, подъемная сила симметричного профиля всегда
проходит через одну и ту же точку на оси симметрии. Например, при
движении плоской пластинки с конечной скоростью у задней кромки
подъемная сила всегда проходит через точку пластинки, находящуюся
на расстоянии одной четверти ширины пластинки от переднего края.
Координаты фокуса параболы метацентров:
хЛ =
*х *у
л =
"•ху
4pnk » si 2%pk '
Момент подъемной силы относительно фокуса
SR = -
■X V2
*xyv •
(5.12)
* 5j силы при движении с постоянной циркуляцией 45
Следовательно, момент подъемной силы относительно фокуса
параболы не зависит от угла атаки а.
Для эллиптического крыла точка k0 совпадает с центром эллипса»
Для профиля Жуковского положение этой точки в системе
координат, принятой в § 2, на основании преобразования уравнения (2.4)
определяется формулой:
*o = ^(2-|i)—f(/? + e-'«). (5-13)
Если а и 8 = /? cos а — 1 малы (т. е. малы вогнутость и толщина
профиля), то
*o-=f (2 + t —to). (5.14)
В этом случае условие (2.6) конечности скорости у задней кромки
принимает вид:
Г = -2*а(1+е)(к0+^). (5.15)
Сила и момент при движении слабо изогнутого профиля
Жуковского с постоянной циркуляцией выражаются формулами:
X=-^a*[($ + la^)*-Q{aUo+V0 + aQ)]-irVk,(5.16)
г=-Р™2 [a^+^0+a^+^«(^'o+тa^)]+PГf/*' (s.i?)
где ик=Щ + Ц&, Vk=VQ + %(2 + e)Q, и
+ (*"о- Т mVo) 2 + UqV0] +
ГЛАВА II
ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА
Фиг. 2.1. Схема к постановке
задачи о движении внутри
жидкости тонкого контура С.
§ 1. Кинематические задачи
В предыдущей главе с помощью конформного отображения мы
развили методы точного решения задачи об определении
возмущенного движения несжимаемой жидкости вне одного контура. В этой
главе мы дадим приближенные эффективные методы для определения
потока около тонких профилей,
расположенных вдоль одной прямой и мало
отличающихся от плоских пластинок.
Рассмотрим задачу об определении
потенциального и в общем случае
неустановившегося движения несжимаемой
жидкости при заданном движении
внутри беспредельной жидкости тонкого
контура С, вид которого изображен на
фиг. 2.1; при этом предположим, что в бесконечности жидкость
покоится и что скорость жидкости у задней острой кромки профиля С
конечна.
Пусть ху— некоторая подвижная система координат. Начало
координат поместим в середине проекции контура С на ось х. Если
форма контура С задается уравнением
то мы предполагаем, что модуль \F(x)\<ea и модуль производной
dF\
-т- < е, где е — некоторое весьма малое положительное число.
Первое неравенство выполняется для всех значений а:, когда |д:|^а;
второе неравенство справедливо везде на отрезке (—а, -\-а), кроме
переднего носика, расположенного в малой окрестности точки х = -\- я.
Нормальную скорость vn (x, t) точек профиля С на верхней
стороне обозначим через v2(xt t), на нижней стороне — через vt(xt t);
нормаль в обоих случаях направим вверх: на верхней стороне — внутрь
жидкости, на нижней — внутрь крыла.
£ -j Кинематические Задачи 4?
Если контур крыла движется как твердое, тело, тб Для
нормальной проекции скорости справедлива формула
vn = — £/0sinp+ KqCosP + S^CJ'^P + ^cosP).
где Uq и ^о — проекции поступательной скорости, Q—угловая
скорость и j3 — угол наклона элемента профиля С к оси х в
рассматриваемой точке.
На контуре С везде, кроме весьма малой окрестности переднего
носика, угол |3 весьма мал; поэтому sin p можно заменить через
pf (x) = tg ,8; предположив также, что V0 и Q малы, выражение для vn
можно взять в следующем виде:
*n = -U0F'(x)+V0 + Qx. (1.1)
Если контур деформируем, то к правой части выражения (1.1)
нужно добавить еще нормальную составляющую скорости деформации
контура С. Из формулы (1.1) видно, что поступательное движение
параллельно оси у и вращение равносильны дополнительному
изменению угла атаки и искривлению профиля.
Область, занятую потоком жидкости, — внешность контура С
заменим приближенно внешностью отрезка (—а, -{-а). Граничные
условия на контуре С перенесем параллельно оси у соответственно на
верхнюю и нижнюю стороны отрезка (—а, -\-а).
Обозначим через —- = ^ — i ^- = и — iv функцию скоростей
для абсолютного течения жидкости вне отрезка (-—а, -\-а), которое
изображает приближенно возмущенное течение жидкости вне
контура крыла С. 4
dw
Таким образом, для определения, функции — получаем
следующие граничные условия: при подходе к отрезку (-—а, -\-а) сверху
имеем:
при подходе снизу —
<^ = v = v2(x, t)\
v^v^x, /).
При движении плоской пластинки эти граничные условия будут
точными граничными условиями.
, dw
Функцию -т- представим в виде суммы:
где Fx = и' — iv' и /72 = и" — iv" представляют собой функции
скоростей течений жидкости искомого вида, когда при подходе сверху
^ = ^L, <вЦЬ, (1.2)
48 теория тонкого Крыла [гл* \\
а при подходе снизу 0
Покажем сначала, что для функции Fx (z) = я' — до' выполняются
следующие условия симметрии:
"'(*, У) = и'(х> —У)> \
tf(x,y) = -i/(x9—y). J {1Л)
Введем функцию
При z = x>a корень возьмем со знаком плюс. Функция g (г)
однозначна во всей плоскости, разрезанной вдоль отрезка (— а, +а).
На действительной оси при |л:|>а имеем g(x)>0; на краях
разреза функция g (г) чисто мнимая и имеет противоположные знаки:
g(x + iO)= g(X-iO) = iyr^.
Применяя формулу Коши к функции Ft (z)g(z)y можем написать:
'Mm-irf*1^-
где L — круг малого радиуса с центром в точке z (фиг. 2.2).
Деформируем круг L в контур, стягиваемый к пластинке (— я, -(-а), и
в круг бесконечно большого радиуса с центром в начале координат.
Интеграл по кругу бесконечно большого радиуса равен нулю, так
как Fx (z) исчезает в бесконечности. При подходе к отрезку (— а, + а)
сверху и снизу каждая из величин vf и g (z) отличается только
знаком; поэтому произведение v'g(z) имеет сверху и снизу
одинаковые значения и, следовательно,
—а
где и2 и Wi — значения и при подходе к отрезку (— а, -\-а)
соответственно сверху и снизу.
Из полученной формулы вытекает, что на действительной оси
при |л:|>я i>' = 0; отсюда следуют соотношения (1.4).
Аналогичным образом, применяя формулу Коши непосредственно
к функции F2(z), легко обнаружить, что на действительной оси
£ ji КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧ» 49
при | х | > я действительная часть и" = 0. Следовательно, для функ*
ции Fq(z) — u' — ™" выполняются следующие условия симметрии:
' lf(X.y)e*-f(x9 —у), \
v"(x,y) = v''(xy -у). | (15)
Функцию Fx(z) можно рассматривать как функцию скоростей
течения жидкости, возбуждаемого системой источников, распределенг
ных вдоль отрезка (— а, -\-а).
Исходя из формулы Коши
после деформации L в бесконечно удаленный контур w в контур
Фиг. 2.2. Контур интегрирования в формуле Коши можно
деформировать в бесконечно удаленный контур и в
контур С, охватывающий разрез.
отрезка (— а, +я) на основании условий симметрии (1.4) найдем:
4 Зак. 1631. Л. И. Седов.
60 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ. It
Исходя, из формулы
L
йосле тех же .деформаций 1фуга L на основании условий
симметрии (1.5) легко получим:
—а
Формулы (1.6) и (1.7) дают удобное эффективное выражение
функций Ft (z) и F2 (г) через значения их мнимой части на отрезке
(— а, +я). При этом функция F2{z) имеет конечное значение при
х — — а. Из формулы (1.6) следует, что условие конечности Ft(— а)
удовлетворяется, если разность v2(xy t) — vi (х, t) достаточно быстро
стремится к нулю при дг, стремящемся к — а. Очевидно, что Ft ( — а)
будет конечно, если удовлетворяется неравенство \v2 — vx | < А (х-\-ауг
где v > 0 при х9 близких к — а.
Аналогичные обстоятельства имеют место для функции Fx(z)
вблизи точки z = + #• В общем случае вблизи кромки z = + а
функция F2(z) обращается в бесконечность порядка (z—а)—1/». дЛя
конечности F2( -}-a) необходимо, чтобы сумма Vi~\-v2 удовлетворяла
условию
J
Y*1—£2
На основании (1.6) и (1.7) для функции скоростей -^— находим
простую общую формулу
—а —а
Формула (1.8) дает приближенное решение задачи о тонком крыле
с помощью определенного интеграла. Этот вид решения имеет
некоторые преимущества по сравнению с известным решением этой задачи
с помощью тригонометрических рядов1).
При точном определении возмущенного потока функция скоростей
вблизи угловых точек в общем случае обращается в бесконечность
для выступающих углов и конечна для углов, полученных
вдавливанием. В первом случае бесконечность имеет порядок g \
*) См. Глауэрт Н., Теория крыла и винта. Гостехиздат, 1931.
§11
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
51
О величина угла, во втором случае скорость жидкости у угла
равняется скорости угловой точки на крыле. Как видно из формулы (1.8),
на отрезке (— а, +а) в точках разрыва нормальных скоростей^
имеющего место в угловых точках, функция скоростей
приближенного течения" имеет логарифмическую бесконечность.
При точном решении подходящим выбором циркуляции всегда
можно удовлетворить условию о конечности скорости у задней
острой кромки. В изложенном приближенном способе этому условию
можно удовлетворить, если угловая точка у заднего края есть точка
возврата.
Из формулы (1.8) следует, что первый член разложения
функции скоростей -т- вблизи бесконечно удаленной точки имеет вид:
dw _ Г 4- iQ 1
dz 2ti/ г
+
где
+а +а
Г = - J" („, + *,) уГ£^|Л> Q==_ J (v,-v^d\.
—а —а
Очевидно, чТо если крыло твердое, то Q = 0.
Легко построить функцию скоростей -р при условии Г = 0,
которое можно выставить вместо условия о конечности скорости у кромки
z= — я. В этом случае достаточно взять в качестве функции g(z)
функцию Y*2 — я2 вместо функции у г~~а. Вместо формулы (1.8)
при Г = 0 получим формулу:
—а —а
В бесконечности первый член в формуле (1.9) имеет порядок —г-''.
z
dw
В точках г = ±а ъ общем случае функция —=- обращается в бес-
конечность. Условие, которому должна удовлетворять сумма ^j-f-%
при г = ±а для конечности скорости, легко можно написать.
Метод решения и полученную формулу (1.8) можно обобщить
для решения задачи, когда требуется определить функцию -т- = и — iv,
регулярную вне системы отрезков akbk(k=l, 2, ..., я),
принадлежащих действительной оси, на которых заданы значения мнимой
dw ^
части: сверху v = v% и снизу v = vt; при этом ~-т- исчезает в бес-
CIZ
А*
52* ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА fttl. fl
зсонечности, у краев ак функция -г— конечна и у краев Ьк
функция w {г) конечна *).
Этот случай отвечает системе тонких крыльев, расположенных
вдоль оси х,— полиплан-тандем.
Очевидно, что в этом случае все рассуждения, приведенные при
выводе формулы (1.8), можно повторить, положив
^=vnm •
после чего придем к формуле
dm _ 1 I/ ТТ г-*** V f 2к±й.-|/ »»-6тТ*~*« rf»4-
*=ч
Формула (1.9) также может быть обобщена на случай я
пластинок, если в качестве функции g(z) взять функцию
В результате получается функция скоростей, для которой
разложение вблизи бесконечно удаленной точки начинается с члена
порядка г. В этом случае общая циркуляция равна нулю;
циркуляция вокруг различных пластинок может отличаться от нуля.
Рассмотрим случай, когда v1 = v2. Если функцию vx (x),
определенную в условиях задачи только на отрезках афъ можно
продолжить аналитически однозначным образом на всю плоскость, то сумму
интегралов в первом члене формулы (1.10) можно получить как сумму
вычетов около особых точек подинтегральной функции 2).
В самом деле, осуществив продолжение, легко убедимся в
справедливости соотношения
к=1аъ Ъл 8=1
!) Седов, Л. И., К задачам о полипланах тандем и о глиссировании на
нескольких реданах. Труды ЦАГИ, вып. 325, 1937.
2) Мы предполагаем, что особенности v± (z) изолированные.
e || КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ .53
I замкнутый контур, охватывающий отрезок агЬт не сод ер*
!катий внутри себя особых точек vx(z) и обходимый против хода
часовой стрелки. Очевидно, что интеграл по контуру Lt можно
получить как сумму вычетов около особых точек подинтегральной функции.
В частности, если vt (x) = v% (x) полином m-й степени, то
формула (ЫО) после указанного преобразования дает:
dw
dz
--'к^+^М^ПтЗг \ (1Л1))
где Pm(z) — полином m-й степени, который представляет собой
главную часть разложения функции
около бесконечно удаленной точки.
Рассмотрим в качестве примера поступательное и чисто
вращательное движения системы плоских пластинок, расположенных вдоль
оси х. В первом случае имеем: v1 = v0=±= const, и, следовательно,
т-».['-/р|]; . о-Ч
во втором случае vt = Qx и \
т--«(«-[*-42л-<о]/]|ё£|- с-13)
Формула (1.12) указана С. А. Чаплыгиным *).
Чисто циркуляционное обтекание системы п плоских пластинок,
расположенных вдоль оси х> дает функция скоростей
— ■-и* —Ли*д го»—1-Т»-^ Ч-tTo (1Л4)
<*2 Г п > v /
где коэффициенты Г0,тп_2, •. •, То действительны и определяют собой
значение циркуляции вокруг каждой пластинки. Очевидно, что V0
представляет собой циркуляцию по бесконечно удаленному контуру.
!) Чйплыгин С. А., Схематическая теория разрезного крыла
аэроплана. Собрание сочинений, т. II, Гостехиздат, 1948, стр. 431—471.
54 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ, Ц
Обозначив циркуляцию по контуру £-й пластинки через Г^ получим:
Г,—Jt- \U ro^-bW^+...Ч-го ах(Мъ3г ...>я).(1,15)
А=1
Очевидно,
г1+г,-|-...+г|| = г0.
Значения коэффициентов Г0, Yn-2> • • • > То можно выбрать так,
чтобы циркуляции Тк имели заданные значения. Для доказательства
этого достаточно показать, что определитель линейной системы
уравнений (1.15) отличен от нуля, т. е. эта система уравнений при Гл = 0
(л:=1, 2, ..., п) не имеет решений, отличных от нуля.
Нетрудно видеть, что вся жидкость покоится, если все Гй = 0
и v1 = v^ = 0; это следует из формулы Грина:
JJ|gradT|»d*4y=J*?g.&,
примененной к внешности разреза ахЬп, так как <р однозначно вне
разрезов акдк. Второй член равен нулю1); поэтому gradcp = 0
всюду внутри жидкости.
Таким образом, условие ГА = 0 влечет за собой тождественное
обращение в нуль функции скоростей -j- , но это возможно только
в том случае, когда Г0=^л^2=3 • • • =То = 0« Этим доказывается
разрешимость системы уравнений (1.15).
В числителе формулы (1.14) стоит полином (я—1)-й степени;
поэтому ясно, что не существует чисто циркуляционного
обтекания п плоских пластинок акдк, при котором скорости жидкости
конечны у каких-либо п краев, а скорость жидкости в бесконечности
равна нулю. Отсюда вытекает единственность решения задачи об
определении потока по заданным значениям vt и и8 и с условием о
конечности скорости жидкости у каких-либо п кромок.
Формула (1.10) определяет течение жидкости с циркуляциями,
вообще отличными от нуля вокруг каждого отрезка акЬк. Для
получения по заданным нормальным скоростям течения с циркуляциями,
равными нулю вокруг каждого отрезка (скорости у точек ак и
bk(k = l, 2, ...,я) бесконечны), достаточно к правой части
формулы (1.10) добавить чисто циркуляционное течение с
противоположными циркуляциями вокруг каждого отрезка.
Рассмотрим еще задачу об определении функции скоростей, когда
внутри потока имеются заданные особенности течения (вихри, источ-
!) Здесь предполагается, что (grad ср)^ = 0 и потенциал непрерывен у
краев ак и Ък.
£ |i КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 55
ники, мультиполи и т. п.). Очевидно, достаточно найти течение,
вызванное особенностями с конечными скоростями у кромок ак для
случая, когда пластинки акЬк неподвижны. Течение самого общего
вида получится добавлением течений, определяемых формулами (1.10)
и (1.14), к течению, вызванному заданной системой особенностей
в присутствии неподвижной системы пластинок.^
Пусть вблизи точки z = z0 функция скоростей -р = я — vo
имеет вид:
dw cm . cm-i | j ex .
-{-CQ + c'tiz—z0) + cz(z — z0f+... (1.16)
и ti=0 на отрезках действительной оси акдк.
С помощью простых операций можно определить коэффициенты kj
так, чтобы главная часть разложения Лорана около точки z = z0
k Г * *—а
функции V Т"1/ XX —ь Равнялась главной части
разложения (1.16).
Легко видеть, что решение рассматриваемой задачи дается
формулой
*» _ * V Г ** J3 1i/~TT*~*fe i
В самом деле, правая часть (1.17) принимает действительные
значения на отрезках акдк, исчезает в бесконечности, конечна уточек ак>
имеет иолюс в точке г0 с заданной главной частью и регулярна
в точке z0.
В частности, если полюс в точке z0 простой, то будем иметь
вихрь и источник.
Положив сх = Т *т , где е — мощность источника и f—
циркуляции вокруг вихря, из формулы (1.17) получим:
86 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ. |
, Очевидно, что, исходя из формул (1.16) и (1.17), можно йостроить
функцию скоростей при любом распределении источников и вихрей
в л-связной области, занятой жидкостью (область — внешняя к системе ft
отрезков одной прямой — полиплан Л).
Функцию скоростей потока, обтекающего неподвижный полиплан Л,
при наличии диполя и вихря в точке г0 на основании предыдущих
формул можно написать в следующем виде:
dw _ 1_ Г т | Г . т Г "I .
dz ~ 2 L(z — z0)2 ' 27t/(z — z0) * (z — F0)2 2ir/(z—io)J •"
I i_ i/~TT *~gfc Г *2 . Jb\ h fet 1 4-
(1Л9)
_(* — ak)(z — bk)
к
гляпыяст иагть. tv
где ,у__2 .2 ~\- „2.** — главн^я часть разложения функции
dw л/ ТТ *~**
rfz r JUL z — ак
вблизи точки z0.
Положив Г0 = Yn-2 = Tn-i = • • • = То = 0» получим течение
жидкости с конечными скоростями у кромок ак.
Постоянные Г0, Tn-2> Tn-i» •••To можно определить так, чтобы
циркуляции вокруг отрезков акЬк имели заданное значение или чтобы
точки схода линий тока с обтекаемых отрезков акЬк имели заданное
положение.
Характеристическая функция течения w0(z) от диполя в точке z0
при
Tk = jd-^dz = 0 (k=l, 2, ...,л)
ак
дает конформное отображение области А в плоскости z на^всю
плоскость w0 = <р0 -\- /ф0 с прямолинейными разрезами, параллельными
действительной оси. В плоскости w0 точке z0 соответствует
бесконечно удаленная точка.
Рассмотрим это преобразование при п > 1. Мы можем принять,
что а1==0, ^=1, «2 = 2; к этому случаю всегда можно перейти
с помощью дробно-линейного преобразования.
__ dfV(\
При п = 2 выражение для -—• содержит пять произвольных
параметров. Для всякой двухсвязной области имеется конформное
преобразование области самой в себя, зависящее от одного параметра.
Таким образом, функция -j-^ зависит только от четырех параметров,
§«
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
57
меняющих вид области в плоскости w0,—тк раз от стольких,
сколько необходимо для определения взаимного расположения и длин
двух любых параллельных отрезков. Любую двухсвязную область,
ограниченную контурами Сг и С2, можно отобразить конформно на
область, внешнюю к двум отрезкам одной прямой, которую можно
выбрать за параметрическую область. Функция скоростей
непрерывного обтекания контуров Ct и С2 в параметрической области дается
формулой (1.19),
Этим методом С. А. Чаплыгиным *) решена задача об обтекании
биплана, составленного из двух дужек круга. Конформное
отображение внешности двух пересекающихся в начале координат отрезков
или двух концентрических дуг круга с центром в начале координат
в плоскости Z на внешность двух прямолинейных отрезков
действительной оси в плоскости z можно построить, рассматривая комбина-
Z'(z) .Z'(z)
цию - у или i 2 -, имеющую два простых полюса в плоскости z
и принимающую действительные значения на этих отрезках.
При п t= 3 выражение для -т-^ содержит семь параметров,
изменяющих вид области в плоскости w0> — как раз столько, сколько-
необходимо для определения взаимного расположения и длин трех
параллельных отрезков. Следовательно, внешность любых трех
параллельных отрезков можно отобразить конформно на внешность трех
отрезков одной прямой с помощью рассматриваемого преобразования.
Этот путь, указанный С. А. Чаплыгиным2), позволяет находить
обтекание триплана, составленного из трех параллельных плоских
пластинок.
Функция скоростей этого обтекания с любыми циркуляциями дана
формулой (1.19). Постоянные Г0, ?п_2, •. -э То можно подобрать так,
чтобы точки схода линий тока в плоскости z совпадали с образами
задних кромок триплана. Очевидно, что этим путем задача об
определении циркуляционного обтекания или течения с особенностями
вне любого триплана сводится к конформному отображению
внешности триплана на внешность трех параллельных отрезков одной прямой-
При п=А этот путь неприменим, так как в этом случае . °-
содержит только девять параметров, тогда как необходимо иметь^
десять параметров для определения взаимного расположения и длин
любых четырех параллельных отрезков. В общем случае четырех-
связную область нельзя отобразить конформно на внешность четырех
прямолинейных отрезков одной прямой, как это имеет место для
односвязной, двухсвязной и трехсвязной областей.
1) Чаплыгин С. А., К теории триплана. Труды ЦАГИ, вып. 296, 1936.
См. также Чаплыгин С. А., Собрание сочинений, т. И, Гостехиздат, 1949,.
стр. 508-536.
*) Там же.
:58 теория тонкого крыла [гл. п
§ 2. Гидродинамические силы
при движении тонкого крыла с циркуляцией
Дадим формулы для гидродинамических сил, действующих на
тонкое крыло, составленное из нескольких перьев, при потенциальном
движении несжимаемой жидкости с постоянными циркуляциями..
Мы рассмотрим вообще неустановившиеся движения крыла, когда
на его контуре нормальная проекция скорости мала (v0, Q малы).
Из формулы (1.10) видно, что скорости возмущенного движения
жидкости при конечных скоростях у задних кромок будут малыми
величинами; циркуляции, определяемые условием конечности скорости
-у задних кромок, малые того же порядка, что и нормальные скорости
-на контуре крыла.
Интеграл Лагранжа в подвижной системе координат можно напи*»
сать в виде:
Р-Р.—Р%+р[&Ы-Ву)+&(Ъ+а*)]-
где — — частная производная по времени от потенциала скоростей
в предположении, что ср выражено через время и координаты точек
* подвижной системе. Если обозначить через •£ частную
производную от потенциала по времени в неподвижной системе координат, то
4r = lf — terad<P'»nep),
где *>двр — вектор переносной скорости подвижной системы координат.
Из формулы (2.1) вытекает, что возмущения давления р—р0
малых).
По предположению углы наклона f}(jt) элементов контура С
к оси х малы; поэтому проекция Y гидродинамической силы на
ось у и момент гидродинамических сил ЗЯ относительно начала
координат будут малыми того же порядка, что и величина р—р0.
Величина X—проекция гидродинамической силы на ось х — будет малой
второго порядка, так как X получается интегрированием по контуру С
произведения (р—/?0)fJ (закругленная область у переднего носика,
по предположению, имеет второй порядок малости по р). Для
правильного определения проекции X— малой величины второго порядка —
!) Приведенные соображения о малости величин скоростей жидкости
м разности р —р0 несправедливы вблизи выступающих угловых точек
контура и вблизи малой окрестности переднего носика крыла. При вычислении
суммарных сил эти отклонения от указанного порядка величин можно не
принимать во внимание.
2J
гидродинамические силы при движении тонкого крыла 59
достаточно знать давления, а следовательно, и поле скоростей, только
£ точностью до малых первого порядка.
dw
разложение функции скоростей -^- вблизи бесконечно удаленной
точки имеет вид:
dw _ Y + iQ 1 , c2i + lc^ , С31 + ^32 г
dz 2m z~ z* ~ г*
• • •»
(2.2)
где Г и Q равняются циркуляции и объёмному расходу жидкости по
бесконечно удаленному контуру. Величина Q может отличаться от
нуля только при движении крыла с деформацией.
Из формулы (1.10) после разложения -т- около бесконечно
удаленной точки для коэффициентов разложения (2.2) найдем:
(2.3)
k=lak
\ " С п С
'21 = ~2Г2 J (4—^i)xdx, c31=2^"2 J fa- vi)x*dx>
n к
Г = ~2 J ("i + *i)ls(*)l**. (2.4)
n bU n
Л = 1Сь 8 = 1
+ T S(*J—^K + ^l^WI^- (2-6)
Коэффициенты Q, c2t и cbi могут отличаться от нуля, если vx ф v2.
Если контур крыла твердый, то разность vx — v2 зависит от толщины
-профиля.
Формулы (2.3) — (2.6) дают значения коэффициентов
разложения (2.2) с точностью до малых первого порядка при движении
'«олиплана с конечными значениями скоростей жидкости у задних
кромок.
/
60 ТЙ0РИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [Г/Ц И
Для вычисления суммарных сил, действующих на полиплан,
воспользуемся формулами (3.13) и (3.15) гл. I (стр. 28—29). На
основании разложения (2.2) очевидно:
с с
Приняв еще во внимание, что •57 = 0 и —j^-= I zd$i (см. (3.14)
4 о
гл. I, стр 28), получим:
Х+ iY = i?q0T+ ^ ip j г<t<? (2.8)
Tt:
■^+*[p*oJ**+4*J«£4- (2-9>
Правую часть в формуле (2.8) разделим на действительную и
мнимую части, сохранив в действительной части малые второго
порядка, а у мнимой — только малые первого порядка. Так как
±Ь {z£dx = ±-9 flix-FWjgdx-tQflx+iFMlgdx,
be с
а Й, 4 и F(x) малы, то
А/р J zd?=== l.pj F(x)d<? — pQ) xd<? + ljf?ji xdy.
с
Следовательно,
X=-?V0T — PQ [*</ср_-А-р [Р{х)йъ (2.10)
с с
Г = р1/0Г + 4-р f xd*. (2.11)
с
Из формулы (2.9), сохранив только малые первого порядка*
получим:
т = ?и0$ха?+±$$л*ач. (2.12)
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТОНКОГО КРЫЛА 61
Возьмем теперь приближенное выражение для ^-. Заменив
контур интегрирования С контурами пластинок акЬъ получим:
с l
и
J x*d<? = Re J &^dz = -~2*c^
С L
где L — контур, охватывающий все пласчтинки.
Таким образом, формулы (2.10)—(2.12) дадут:
X=-pV0T + 2«PQcn + 9 •£- S J {F#b — Fiux)dx, (2.
13)
*-le»
r=pt/or-2irp^f., (2.14)
2R = —2*pt/0c2a—p*^-. (2.15)
Если крыло составлено из системы плоских пластинок,
расположенных в,^оль оси ху то Fx (x) = F2 (х) = 0; в этом случае
сделанное предположение о малости нормальных скоростей несущественно,
Полученные формулы в случае плоских пластинок дают точные
значения сил.
Из формул (2.14) и (2.15) очевидно, что полученная сила и
момент в первом приближении не зависят от коэффициентов Q, с2х
и сВ1. Поэтому при определении Y и ffl тонкое крыло в первом
приближении можно заменять отрезком криволинейной дуги, на
которой нормальные скорости сверху и снизу одинаковы и равны Vl~^Ve> .
Формулы (2.13)—(2.15) выведены для движения с постоянными
циркуляциями. В частности, они справедливы, когда циркуляции по
всем контурам, охватывающим пластинки, равны нулю.
Если движение крыла установившееся, пластинки не деформируются
и #o> К0 и Q постоянны во времени, то производные по времени
в правых частях формул (2.13)—(2.15) равны нулю. В этом случае
для крыла, составленного из одного пера аг = — а, Ьх = -(- а> имеем:
+ а
Г —J {2Va + 2Ql-V[F'1(!-) + F'2m}/ 7TT^ =
-г-а
+а
= — 2*aVd + ™«J+V j (F[ + F'2)y^£=Z^dZ,
62 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ»1Г
-fa
-f<*
—о
-fa
aWa V
: 2 2n
—a
Здесь мы положили V0=Va и f/0= V, где V—скорость
поступательного движения крыла (V—величина скорости середины крыла),
а a — малый угол, составляемый* поступательной скоростью с осью х.
Пользуясь этими выражениями для Г и с22, получим для сил:
4-а
X -2*paW--pVb J (Ъ + О^-^Л —
—a
+a
— 9VQJ (F[ + F'2) VW=Vd\, (2.16>
—a
+o
К = —2тгра V8a + pro* VQ + p V* J (F[ + /g |/"j^| Л. (2Л7)
—a
-fa
g^=-7rpa2V2a + pl/2 ( (F't + F^V^^Pdl (2.18)
—a
С помощью этих формул по заданному уравнению профиля крыла
y=F(x) можно вычислять силы реакции жидкости при движении
жидкости с конечной скоростью у задней кромки.
Следующие соотношения в некоторых случаях облегчат
использование формул (2.16)-—(2.18). Если
П(5)+П(«)=£а»(1)п»
то
-fa
J (tf+ri) Уа'-Pdfr-w» [а0+% (а,к-а2к_2) {2k~l) ^>" *]',
И
-fa
-а Л=1
При приближенном определении течения жидкости скорость
жидкости у передних острых кромок дк пластинок, вообще, бесконечна.
, 91 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ ДВИЖЕНИИ ТОНКОГО КРЫЛА 63~
Покажем, что у этих кромок на пластинки действуют концентриро-
анные подсасывающие силы, направленные вдоль пластинок. Эти*
подсасывающие силы обусловлены разрежением, которое в формуле
Лагранжа определяется квадратом величины скорости жидкости.
рассмотрим движение жидкости внутри круга весьма малого
радиуса с центром в точке Ьк. Граница этой массы жидкости состоит
из окружности С и из отрезка L прямой, входящей внутрь круга.
Обозначим через X-\-iY силу, действующую на эту массу жидкости,
со стороны внешней жидкости:
X+fir = tf(p—pJdz9
с
и через Р — силу со стороны крыла.
Теорема о количестве движения для массы жидкости внутри С
дает:
G+L
где К—количество движения жидкости внутри круга С;
K = pjj{^+i%)dxdy = P Г <?(dy — idx) = -i9 j <?dzy
C+L C+L
откуда
Tt= * J ^dz'
dcp
dt'
C+L
Пусть в неподвижной системе координат в рассматриваемый
момент времени ось х направлена по пластинке. Тогда давление
определится с помощью интеграла Лагранжа по формуле
р-Ро = -Р^-|-(«а + ^2).
Следовательно,
' (Р—Ро) dz = —Ф "Jf dz — Т (и + ^ (м ~~ *°)йг =
Отсюда получим:
/»---H(S),*-*J%*+p f (я+л)^
С L L
<64 . ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА IГЛ; ||
Стянем теперь контур С к точке bk; второй и третий интегралы
при этом будут стремиться к нулю. Первый интеграл отличен о*
нуля, так как функция (-т-J обращается в бесконечность первого
порядка. Таким образом, переходя к пределу, получим:
/>_Рф-».)(§/Ц. (2..9)
На основании формулы (1.9) очевидно, что Р действительно и
отрицательно.
Для подсасывающей силы, действующей на крыло у острия bk>
получим:
Xa = -P=-P*[(z-bk)(^J]^b. (2.20)
Очевидно, что подсасывающая сила есть малая величина второго
порядка.
§ 3. Установившееся движение биплана тандем, составленного
из двух плоских пластинок
Вычислим скачала гидродинамические силы, действующие на две
плоские пластинки, расположенные вдоль одной прямой, при
поступательном движении с постоянной скоростью, с конечными скоростями
жидкости у задних кромок ах и а2.
Пусть скорость движения V составляет с осью х — направлением
пластинок — угол (3 (фиг. 2.3), так что
К0 = — Vsin|3; UQ=Vcos$.
Функция скоростей имеет вид:
Введем обозначения:
<** — h п б2-—02
Ьг — at ~~P' b!-^ ~q-
Разложив функцию скоростей в ряд Лорана около бесконечно
удаленной точки, получим:
dw i V sin ft (at -\.дг — Ь^ — b2) i
dz ~~ 2z "Г
3]
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ БИПЛАНА ТАНДЕМ
65
откуда
Г = я [(*а — «з) + (*i — «i)l v sln P.
^==-zfLit2^-^+^-af)+(^-«3+*l-«1)9J-
Формулы (2.13)—(2.15) для проекций общей силы и момента
яадУт: б
JT-(«(l+^)(*i-ei)V«sln»pf |
К = pir(l+?)(*! — fli) V^sinpcosp, J ( ,2)
X (*i — «i)2 V^ cos p sin p. (3.3)
Из формулы (3.2) очевидно, что общая сила, действующая на
две пластинки, не зависит от расстояния афх между^ пластинками
и, следовательно, равна силе,
действующей на одну пластинку с ши- У1
риной, равной сумме ширин двух
пластинок.
Для подсасывающих сил у пе- Л/ ^ аг Ь7.
редних кромок легко находим: J ■
Фиг. 2.3. Схема биплана,
составленного из двух плоских пластинок,
расположенных вдоль одной прямой.
Вычислим еще составляющие Yx и Y2 для сил, действующих на
пластинки а1Ь1 и а^Ь2> Имеем:
*,+ »У, - w0r2+1 J (fjf)"<fe;
легко видеть, что интеграл ~ (~й~) dz действителен, поэтому
ь%
^-рУсоврГ^р^пгр//^^^. (3.4)
а3
Положив K2 = vF и, следовательно,
y, = (l-v)K,
для коэффициента v найдем:
в
(3.5)
«(!+«) .1 К (р + 9_в)в "" ^ '
Зак. 1631. Л. И# Седов.
66 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ. п
Эллиптический интеграл в формуле (3.6) подстановкой
, . ч COS2CD
приводится к виду:
1С
4^ Г Г dy .
«(i + rt У(1+р)(р + я) i J (l + ^sin^)2 Yi —****** 1
о
+ (1-/0П(й, k)-F(k)\,
где
П(Л> А)= Г ' * />(ft) = f 17 ^
*2 = , * ч , я =
Воспользовавшись еще соотношением
те
J (1 + п sin»*)*Vl - **sin*<p = 2" [П (й' А) (1+-Г+Т~*"^Т«0 +
где
£ (А>), = f y\ — k* sin2 9 do,
о
для v получим следующую формулу:
(р, 9) = —==!==== {рП (я, А) +
+ TT7K1+^^ + ^)E(^-/'^ + 9 + 2)F(ft)l}. (3.7)
В предельных случаях р = 0 и /? = оо будем иметь;
(3.8)
v(0),) = l-larcsini^+-2Tr^), j
§3|
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ БИПЛАНА ТАНДЕМ
67
lift
Т
ПА1
и,о\
л/?1
цо
и,ч\
од
с
У,
)
</
Y
' 1
)
?
у/
4
/
6
L
i
)()
Из формулы (3.6) следует, что при фиксированном q значение
v(pt Я) Убывает монотонно при возрастании р от нуля до
бесконечности:
v(0, q)>HP* Я)>
>v(co, q).
На фиг. 2.4
изображены кривые для v в
функции q при р = 0; 0,5; 1.
Нижняя кривая,
соответствующая значению р=оо
(пластинки сильно
удалены друг от друга), дает
у у
отношения -у? и ~ ,
которые получаются при
подсчете сил, действующих
на каждую пластинку без
учета взаимодействия.
Верхняя кривая,
соответствующая значению р = 0
(пластинки сдвинуты),
дает отношение для сил;
действующих на
переднюю часть шириной д2—а2
и заднюю—шириной 61—at одной пластинки шириной &2—аг =
= ^2 — ЧЛ~Ь\ — а1-
При q = 1 имеем две одинаковые пластинки. Как показывает
график, в этом случае на переднюю пластинку действует большая сила
„. y»>Yv При р<1,
J* т. е. при очень малом
расстоянии между
пластинками, К2«0,8К.
Вычислим еще
суммарную силу, действующую на
биплан, составленный из
двух плоских
непараллельных пластинок (фиг. 2.5).
Обозначим через р угол между скоростью V и пластинкой ахЬх и
через е — угол между пластинками; предполагаем, что р и е весьма малы.
На отрезке ахЬх имеем:
на отрезке аф*> имеем:
гг1 = гг2=-К(Р + в).<
Фиг. 2.4. Распределение сил, действующих на
переднюю и заднюю пластинку в зависимости
от ширины щели р и величины передней
пластинки д..
Фиг. 2.5. Схема биплана, составленного из двух
плоских непараллельных пластинок.
68 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ. и
Функция скоростей в этом случае представляется формулой
dz -IV?\} V (*-ад(ж-*,) J
ь,
V* if I* —ай (*—**> Г l/ (^~"X) (*~*1> dx f4Q\
«/ V (z — bt)(z — b?) J V (x — aj^ — aj x — z' K'*>
Разлагая в ряд правую часть выражения (3.9) около бесконечно
удаленной точки, найдем циркуляцию по контуру, охватывающему
обе пластинки:
или
Г = «^(*1—ei)(l+?)IP + ev(-l—р —^f ?)Ь
Для общей подъемной силы получим формулу
Г = р*(1+?)(*! — a,) l/2[p + ev(-l— p—д, д)]. (ЗЛО)
Коэффициент v выражается через полные эллиптические интегралы
по формуле (3.7). Заднюю пластинку можно рассматривать как
закрылок; формула (ЗЛО) удобна для определения подъемной силы
крыла с закрылком при малых вир1).
При /? = 0 имеем изломанную пластинку; в этом случае для
v(—1—q7 q) справедлива следующая простая формула:
v(-.l_tf g)=l Orcein l~q 2^
§ 4. Присоединенные массы двух плоских пластинок,
расположенных вдоль одной прямой
Задача об определении гидродинамических сил, действующих на
неизменную систему тел, когда циркуляция по любому замкнутому
контуру для возмущенного движения жидкости равна нулю, сводится
к определению коэффициентов присоединенных масс.
Вычислим коэффициенты присоединенных масс для системы двух
плоских пластинок, расположенных вдоль одной прямой, которую
примем за ось х.
*) О точном решении задачи о крыле с закрылком см. Чаплыгин С. А.
и Голубев В. В., К теории предкрылка и закрылка. Труды ЦАГИ,
вып. 171, 1935, или Чаплыгин С. А., Собрание сочинений, т. II, Гостех-
нздат, 1948, стр. 586-639.
с 41 ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАССЫ ДВУХ ПЛОСКИХ ПЛАСТИНОК 69
Функция скоростей при плоскопараллельном движении двух плоских
„ластинок имеет вид:
г—<^-/^ш^\-
+ ToZ + 'to (4.1)
~ 2w /(г — а{) (г — а2) (г — Ьг) (г — 62)
Коэффициенты Г0 и fo определяются условиями отсутствия
циркуляции по, контурам, охватывающим пластинки. Циркуляция по
бесконечно удаленному контуру равна нулю; поэтому, приравняв нулю
коэффициент при — в разложении выражения (4.1) около бесконечно
удаленной точки, легко найдем значение Г0:
Г0 = * ^0 (*2—«з + *i — <*i) —
-^.l(b2-as + b1-a1^-2^-al-\-bl-af)}. (4.2)
Приравняв еще нулю циркуляцию вокруг отрезка аф^% получим
уравнение для определения 7о«
Разложение функции скоростей около бесконечно удаленной точки
имеет вид:
Из формул (Э.13) и (3.15) гл. I (стр. 28—29) для
гидродинамических сил получаем формулы: .
X+lY=* — ±2*pic»
ЗК = — 2тгр U0c2 — ~ р*с3.
Величины 2irp/c2 и ръсг можно рассматривать как количество
движения и момент количества движения жидкости.
Величина c% действительна, поэтому вектор количества движения
жидкости всегда перпендикулярен к направлению пластинок — к
направлению оси х; в силу этого Хх = \ху = \х^ = 0. Коэффициенты
V Хуи) и Xw определяются из соотношений:
2izpc2 = \yV0-{-\yi»Q,
p7ur3 = X2/(J>Vr0+A(OQ.
Опуская здесь громоздкие выкладки для определения ^о и
коэффициентов с2 и сд в разложении функций скоростей около бесконечно
70 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ. ц
удаленной точки, выпишем прямо формулы для коэффициентов при-
соединенных масс:
Х„ = р* ^(AJ|_41 + ee-a1)«-|g-j(a,-fl1)(*, —*!)], (4.4)
— (*а + *i + а» + «i) («2 — «i) to — *i) ^щ\ > (4.5)
-(*2 + ^ + «8 + «»)2(«2-^)(^-*i)5{|]. (4-6)
где Z7^) и E(k)—полные эллиптические интегралы первого и
второго рода, причем
£2 — ft —flfrlft —«i) _ Я
(at —а^ ft —*i) (1 + />)(/> + ?) '
где обозначено:
Д? — Ь\ _ 62— а,ъ _
Формулу (4.4) представим в виде:
К = J К*» - ai)2 + (&2 - «2)211» (P, Я), (4-7)
где
(1+2р + яу-4Шп+р){р+(1)
* (Р> Я) = ^ (4.8)
Коэффициент [а (/?, #) учитывает влияние взаимодействия пластинок
на значение коэффициента присоединенной массы \у. Легко видеть, что
ККмХИо, я)=тт$;
при <7=1 jjl(0, 1) = 2 — максимальное значение jx.
На фиг. 2.6 представлены кривые, изображающие зависимость
\l от р при постоянных значения^ 'q. На графике даны кривые только
для #< 1; значения р для <7>1 можно определить с помощью
соотношения
Как следует из графика, небольшая щель между пластинками
значительно уменьшает величину коэффициента присоединенной массы по
ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАССЫ ДВУХ ПЛОСКИХ ПЛАСТИНОК
71
§4]
авнению со значением присоединенной массы для одной пластинки,
олучаюшейся при сдвигании двух пластинок (р = 0).
" Значения А^ и кш зависят от положения начала координат: если
начало координат помещено в середине между центрами пластинок,
2Д
Ш
/А
т
ГЛ
а
р«
и,н
шЬ
УтЬ
1\
^
к
ч^
VA-i
А
0,2 Ц9
0,6
as iff
Фиг. 2.6. Зависимость коэффициента
присоединенной массы двух пластинок от отношения длин q
и of щели между пластинками р. Щель сильно
снижает величину присоединенной массы,
то формулы для \у(а и Хш принимают простой вид:
V = i| (2р + q + 1) (<72- 1) (*х - ах)\
К = ^ 111-Ля2-1)2+ (2р + ? +1)2(?2+ О] (*,-«,)4.
В этой системе координат положение центральной точки
определяется абсциссой
?* _ Х2/°> .
(2р + д + \)(д*-\)
4{х(1+^)
(*i — аг).
Очевидно, что центральная точка расположена ближе к более, цшрф-
кой пластинке.
72 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ. ц
§ 5. Неустановившееся движение тонкого крыла
с непрерывно стекающими с задней кромки вихрями
Неустановившееся движение вязкой жидкости около
крылообразных профилей обычно сопровождается срывом пограничного слоя,
который в виде тонкой пленки тянется от места отрыва внутрь
жидкости. Оторвавшийся пограничный слой, уплывая, сильно
деформируется и служит источником вихревых движений внутри жидкости.
Эти вихри постепенно диффундируют и рассеиваются в общей массе
жидкости. Таковы реально наблюдаемые явления в случае малой
вязкости (большие значения чисел Рейнольдса). Для этих явлений
иногда удается получить достаточно близкое математическое
описание, изучая движение идеальной жидкости в соответствующих
условиях.
Из известной теоремы Томсона следует, что движение идеальной
несжимаемой жидкости, начинающееся из состояния покоя под
действием консервативных массовых сил, всегда потенциально. Но из
теоремы Томсона вовсе не следует, как это думают иногда, что
движение жидкости непрерывно. В идеальной жидкости могут
образовываться поверхности разрыва скоростей, сходящие с границ
жидкости. При изучении неустановившихся движений идеальной
жидкости около тел с острыми выступающими углами необходимо
рассматривать разрывные течения, так как в противном случае не
удовлетворяется физическое требование о положительности
гидродинамического давления вблизи угловых точек. Поверхности разрыва,
сходящие с границ тела, могут представлять собой вблизи тела
схематически тонкие вихревые слои, возникающие в вязкой жидкости
для случая весьма малой вязкости.
Приступая к изучению неустановившихся движений с
поверхностями разрыва внутри жидкости или со свободными поверхностями,
мы сразу встречаемся с характерной трудностью этих задач. При
неустановившемся движении механические характеристики системы *
тело — жидкость, вообще говоря, не определены простейшими
кинематическими данными для тела в рассматриваемый момент времени,
как это имеет место в случае установившегося движения. Движение
системы в данный момент времени есть функционал от совокупности
всех предшествовавших состояний движения тела. Например, если мы
имеем в данный промежуток времени равномерно ускоренное
поступательное движение тела, частично погруженного в воду, то мы не
можем утверждать, что гидродинамическую реакцию воды можно
выразить как функцию скорости, ускорения и геометрических
параметров, задающих положение. Реакция воды будет зависеть от характера
движения тела в предшествующее время, так как тело могло прежде
очень сильно возмутить воду.
Если неустановившееся плоскопараллельное движение несжимаемой
жидкости происходит около крылообразного контура с заостренной
51 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 73
адней кромкой, то из условия Жуковского о конечности скорости
г задней кромки мы получим, что в относительном течении жидкости
задний край должен служить точкой схода линий тока с контура
крыла. В противном случае скорость жидкости у острой кромки
будет бесконечна, а это влечет за собой, согласно формуле Лагранжа,
наличие бесконечных отрицательных давлений в этом месте. Жидкость,
притекающая к заднему краю с верхней и нижней сторон крыла,
кроме исключительны* случаев, имеет различную скорость, благодаря
чему при неустановившемся движении за задней кромкой крыла
внутри жидкости остается линия разрыва скоростей. Исключительные
движения — это те движения, когда можно удовлетворить условию
Жуковского при постоянном значении циркуляции по контуру крыла.
Если внутрь жидкости сходит линия разрыва скоростей, то
циркуляция по контуру крыла переменна во времени. Условие несжимае-*
мости и условие о невозможности возникновения пустот внутри
жидкости указывают, что вдоль линии разрыва скоростей
нормальная составляющая скорости непрерывна и только касательная
составляющая скорости жидкости может претерпевать разрыв при
переходе через эту линию. Линию разрыва касательных к ней скоростей
можно рассматривать как непрерывное распределение вихрей,
процесс же возникновения линии разрыва внутри жидкости — как
отекание вихрей со стенок тела. Линия разрыва скоростей с
течением времени, вообще говоря, сильно деформируется, свертывает*
ся и концентрируется в последовательность спиралеобразных
завитков.
В настоящее время мы не имеем точного решения плоской задачи
о неустановившемся движении крыла с линией разрыва скоростей,
сходящей с задней кромки. Задача о точном решении
наталкивается на весьма большие математические трудности. Повиди-
мому, эти разрывные неустановившиеся движения идеальной
жидкости имеют весьма причудливую и вместе с тем мало устойчивую
форму, описываемую с помощью сложных функциональных
зависимостей.
Изучение неустановившихся движений актуально для различных
практических вопросов, так как часто именно в самом
неустановившемся характере явления заключено его существо. В настоящее время
имеется целая серия работ, посвященных разработке приближенных
методов определения гидро-аэродинамических сил при малых
колебательных движениях крыла около некоторого установившегося
поступательного движения, происходящего со значительной скоростью.
Изучение колебательных движений необходимо для установления
методов расчета вибраций крыльев самолета — явления,
встречающегося на практике и представляющего большую опасность при
полетах.
Приближенные теории неустановившегося движения тонкого крыла
С линией разрыва скоростей внутри жидкости разрабатывались в
74 ткория тонкого крыла [гл, \{
работах Прандтля *), Бирнбаума 2), Вагнера 8), Глауэрта 4), М. В.
Келдыша и М. А. Лаврентьева б) и Л. И. Седова 6).
Пусть мы имеем слабо изогнутое тонкое крыло, движущееся
внутри безграничной жидкости, покоящейся в бесконечности.
Движение крыла таково, что его можно представить составленным из
некоторого основного поступательного движения с вообще переменной
скоростью и из добавочного движения с малыми перемещениями и
скоростями относительно основного состояния поступательного
движения. Возьмем подвижную систему координат, движущуюся постук
пательно со скоростью основного движения. Тонкое крыло мы будем
рассматривать схематически в виде криволинейного отрезка, мало
отличающегося от прямолинейного отрезка (— а, -\-а) на оси х.
дР
Если y = F(x, t) — уравнение криволинейной дуги крыла, то Fu ^~
бесконечно малы. Мы предполагаем, что рассматриваемое тонкое
крыло схематизирует, собой
У^ крыло с закругленным перед*
ним краем и с заостренным
задним краем; поэтому
считаем, что только с задней
кромки сходит линия разрыва
скоростей.
Определение разрывного не-
ZT^—' установившегося возмущенного
Фиг. 2.7. Схема к неустановившемуся дви- Движения жидкости произведем
жению тонкого крыла с вихрями, сте- с помощью следующих допу-
кающими с задней кромки. щений. Граничное условие об
обтекании возьмем в
приближенной форме подобно тому, как это было сделано в § 1 настоящей
главы. Линию разрыва скоростей, остающуюся сзади крыла, заменим
отрезком оси х. Обозначим через д0 положение задней кромки в
момент возникновения неустановившегося движения. Линия разрыва
скоростей изображается отрезком (60, —а); проекция контура крыла на
ось х изображается отрезком (— а, -\~а) (фиг. 2.7).
г) Prandtl L., Ober die Entstehung von Wirbeln in einer idealen Fliissig-
keit. Vortrage zur Hydro- und Aerodynamik, Berlin, S. 25, 1924.
2) В i r n b a u m, Das ebene Problem des schlagenden Flugeln. Z. Ang.
Math, und Mech., стр. 277 — 292, 1924.
3) Wagner, Ober die Entstehung des dynamischen Auftriebs von Trag-
fiugeln. Z. Ang. Math, und Mech., стр. 17 — 25, 1925.
4)Glauert H., The force and moment on oscillating aerofoil. R&M,
JSfe 1242.
елдыш М. В. и Лаврентьев М. А., К теории колеблющегося
крыла. Технич. заметки ЦАГИ, № 45, 1935.
6) Седов Л. И., Теория нестационарного глиссирования и движения
крыла со сбегающими вихрями. Труды ЦАГИ, вып. 252, 1936.
& gj НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 75
Функция скоростей -г- = и— iv регулярна вне отрезка 0оа,
исчезает в бесконечности и удовлетворяет следующим условиям.
При переходе сквозь линию разрыва скоростей (£0, —а)
производил |1 = -у непрерывна. Производная —• == я конечна в точке — а.
На обеих сторонах отрезка (— а, 4~а) значения производной
<!1 == т> одинаковы и имеют заданное значение
v = vn(xy t), (5.1)
где 1>п(л;, t)—нормальная скорость, определяющаяся формой и
условиями движения крыла, которое может деформироваться.
Из непрерывности проекции v при переходе сквозь разрез
ч fdw\ Л dw
(b0, +a) и из условия ( — 1 =0 вытекает, что отыскание -р
dw
во всей плоскости сводится к определению -т- в нижней или в
верхней полуплоскости с добавочным граничным условием
• ^ = « = 0 (5.2)
на интервалах (— оо, Ь0) и ( + а* + °°)-
Обозначив через ср2, уг и #2, #j значения ср и ^- при подходе
к разрезу (bQi а) сверху и снизу, вследствие условия (5.2) имеем:
»8W = -«lW- (5-3)
Положив (р=гО приу = 0 и л;>а, получим, что на краях разреза
?а (*) = — ?i (*)• (5-4>
Если циркуляция Г0, взятая по бесконечно удаленному контуру
против хода часовой стрелки, отлична от нуля, то потенциал
разрывен при переходе через интервал (—оо, Ь0). При подходе к точ-
•п
кам этого интервала сверху имеем: ср2 = -^-; при подходе снизу имеем:
о —Ей.
*i— -у-
Выразив потенциал скоростей через время и через неподвижные
координаты, условие о непрерывности давлений на линии разрыва
скоростей можно написать в виде:
0Ф1 1 2 | 2- дч>2 I 2 I 2
откуда
так как вдоль линии разрыва скоростей v2L = v*, ulx = и? и <рх = — ср
-^-0, (5.5)
76 теория тонкого крыла [гл.
Таким образом, значения срх и их на линии разрыва скоростей
постоянны в неподвижных точках; если а есть координата точек
интервала (Ь0, —а) в неподвижной системе, то <pt и иг зависят только
от а и не зависят от времени.
Пусть Г (а) — циркуляция по контуру Z,, охватывающему крыло
и пересекающему линию разрыва скоростей в точке ос. Очевидно, что
Г(а) = <р2(«) — <Pi(«)=2<p2(oc) (5.6)
и
€. = 2Й9(«). (5.7)
Обозначим через ах координату заднего края; очевидно, что
Т(аг) есть циркуляция по контуру крыла в рассматриваемый момент
времени.
Если циркуляция по контуру крыла известна как функция
времени, то, рассматривая различные точки на интервале (Ь0, —а) как
положения заднего края крыла в различные моменты времени (фиг. 2.7):
« = «о+/^Л.
получим на основании соотношения (5.7) для величины разрыва
скорости следующую простую формулу:
0 / v dY dt 1 dY ,- Qv
где U—проекция скорости задней кромки крыла на ось х. Обратно,
при заданном законе движения заднего края крыла циркуляция по
контуру крыла определяется в функции от времени из
соотношения (5.8), если известен разрыв скоростей. Величина разрыва
скорости 2«2(ос) определяется условием конечности у задней^ кромки
в каждый момент времени при неустановившемся движении (условие
Жуковского).
Тем же путем, как это сделано в § 1, функцию скоростей легко
выразить через значения нормальных скоростей на отрезке (—а, -\-а)
и через значение касательной скорости на линии разрыва скорости.
В самом деле, формула Коши дает:
dw ,/~С — а
dz 2ш У z — a J С — z
L
где L—круг малого радиуса около точки z. Деформируем этот круг
в бесконечно удаленный контур и в контур отрезка (#0, +я). Так
dw ~ /I i \
как -т- исчезнет в оесконечности, а на отрезке (#q, -\-d) u$ — — их
, g] НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 77
,1 *,=»««. Т0
^ т V z — a L J S — 2
— а
+.Гй^Ш4 (5-9)
Во втором интеграле переменные а и 6 связаны соотношением:
$г= а — <Xj — а.
Из формулы (5.9) следует, что в разложении функции скоростей
около бесконечно удаленной точки
dz ~2ш z + z* + z* T- • • • 1&-1UJ
коэффициенты Г0, с2 и с8 имеют следующие значения:
+ а ах
г«—2[/*./гт1<й + /в«(в)/ст5л]' (5Л1)
ся = 1 [ J vn V~^T*(&-\- J в,(а) /$2=T^rf«] , (5.12)
—а
4- / «а (а) [2* (6 + a) + ««J /)^p£<fc] • (5.13)
«О
Величина Г0 представляет собой циркуляцию по бесконечно
удаленному контуру, которая должна быть постоянна во времени.
При заданном постоянном значении Г0 соотношение (5.11) можно
рассматривать как интегральное уравнение типа Вольтерра первого
Рода с неизвестной функцией 2й2(а), равной разрыву скорости вдоль
отрезка (£0> —а). Это уравнение можно написать в следующем виде:
2 I '-.О /^£HF^— - [Го + 2 /".(?, О/Щл]. (5Л4)
«о, —а
При заданном законе движения крыла правая часть интегрального
Уравнения (5.14) есть известная функция от времени.
78 теория тонкого крыЛа [гл. и
Время можно выразить через координату задней кромки at.
Ширина крыла 2а в общем случае может меняться с течением
времени 1).
Если движение происходит с постоянной циркуляцией по контуру
крыла, то и2(а) = 0, и в этом случае соотношение (5.14) дает:
Л-а
Г0 = -2 |Ч|/"^|<Я, (5.15)
—а
что является частным случаем формулы (2.4).
Циркуляцию Г0 в уравнении (5.14) надо положить равной нулю,
когда неустановившееся движение возникает из состояния покоя.
Если неустановившееся движение представляет собой возмущенное
движение, возникшее около некоторого установившегося движения,
то Г0 определяется формулой (5.15), в которой для нормальной
скорости взяты ее значения vn0 в установившемся состоянии
движения.
Таким образом, интегральное уравнение (5.14) можно написать
еще в виде:
J "2(«)/2-^^^= J (-no— n)V^dl (5.16)
Решив интегральное уравнение Вольтерра (5.16), найдем разрыв
скоррсти за крылом. После этого полное решение задачи дается
формулой (5.9).
Обратимся теперь к вычислению подъемной силы и момента
относительно начала координат. Так как при переходе через линию
разрыва скоростей давление непрерывно, то в качестве контура
интегрирования при вычислении сил можно взять контур отрезка (b0, -f- a),
который, очевидно, можно деформировать в бесконечно удаленный
контур. Воспользовавшись этим соображением, на основании
разложения (5.9) по формулам (3.13) и (3.15) гл. I (стр. 28—29) найдем:
(5.17)
*) Изменение ширины пластинки 2а имеет существенное значение при
приложении излагаемой теории к изучению нестационарного глиссирования.
См. Седов Л. И., Теория нестационарного глиссирования и движения крыла
со сбегающими вихрями. Труды ЦАГИ, вып. 252, 1936.
§5]
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА
79
Подставляя сюда значения Г0, с2 и с8 по формулам (5.11) — (5ЛЗ),
после выполнения простых преобразований получим:
+ а +а
—а —а
+ 2P«("o+S)/f|^, (5Л8)
«о
—a —a
-*w Ь /HW^.+S) / #S- <5-i9>
—a c0
Корень l/ —ц— взят со знаком плюс при <г = л:>0, поэтому
/Р — аа = — V\& — а*\ при $<а.
Пусть при поступательном движении искривленного профиля С
вдоль оси х нормальные скорости имеют те же значения; что и
нормальные скорости vn(x, t) заданного профиля С в
неустановившемся Движении в рассматриваемый момент времени.
Первые члены в формулах (5.18) и (5.19) дают значения
подъемной силы и момента, действующих на профиль С при установившемся
движении. Силы, определяемые этими членами, представляют собой
силы, получающиеся по гипотезе «динамической кривизны» для
неустановившегося движения профиля С.
Первые два члена в формулах (5.18) и (5.19), выраженные
через vn, дают значения для У и 9Й при движении профиля С с
постоянной циркуляцией. Постоянная циркуляция определена так, что
в рассматриваемый момент времени скорость жидкости у задней
кромки крыла конечна.
Наконец, последние члены этих формул выражают силы через
распределение вихрей, стекавших с крыла при неустановившемся
движении. Эти члены дают функциональную зависимость сил от всей
предшествовавшей истории движения, которой определяется
функция и2(а). Эти составляющие силы и момента сводятся к одной силе
о,
da\ С u2(a)da
г.—*.(%+S)JJg
80
ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА
[ГЛ. п
приложенной на расстоянии одной четверти ширины крыла от перед,
ней кромки.
Если крыло представляет собой тонкий симметричный профиль
(плоская пластинка в принятом схематизированном рассмотрении), то
vn=vi + 2х>
где Vt=V0—(J0$ — нормальная скорость в середине, U0 и V0 —
проекции на оси координат скорости начала координат и р — угол,
составляемый пластинкой с осью х. В этом случае все интегралы,
содержащие vn, легко вычисляются, и получаем:
Г= —
d?iia?Vx
dt
Ш:
ртся4 йй
"8" Ш'
0 / г т i da\ С Но (a) da
-2pe(£/0-t-w)J - '*-'—
«0
.рте» V, (</„+§)-
Vigi.
(5.20)
■<-,(".+S)/'f^r- <»■">
Формулы (5.20) и (5.21) для постоянного а даны Г. Глауэртом1).
Проекция гидродинамической силы на ось х при движении
плоской пластинки дается простой формулой:
/? = -гр+*п
(5.22)
где Хп — подсасывающая сила у переднего края.
С помощью формулы (5.9) и формулы (5.20) легко дать
выражение для подсасывающей силы при любом движении деформируемого
профиля:
Хп
2ра
+ а
2ра(£/0 +
da\
~di)
Для плоской пластинки
Хп = 2рка
V,
*-(*+S)J
(5.23)
(5.24)
*) См. сноску 4) на стр. 74.
УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО ИЗОГНУТОГО КРЫЛА 81
Из формулы (5.22) очевидно, что возможны неустановившиеся
движения тонкого крыла, при которых возникает тянущая сила,
обусловливаемая присутствием подсасывающей силы.
При рассмотрении конкретных примеров основная трудность
заключается в решении интегрального уравнения (5.16). Это
уравнение напоминает интегральное уравнение Абеля. Однако для
уравнения (5.16) не удается дать простой формулы обращения, как для
уравнения Абеля. При постоянном а ядро у а*^- а зависит
только от разности о^ — а, и поэтому можно применить метод
решения с помощью формулы Меллина1). Выражение, получаемое для
#2(<х) этим методом, неэффективно, и поэтому такой путь не был
использован при рассмотрении конкретных приемов.
Вагнером2) указаны приближенные методы решения уравнения
(5.16), примененные им к рассмотрению поступательного движения
плоской пластинки в случае равномерно-ускоренного движения из
состояния покоя и для случая возникновения внезапного движения
плоской пластинки с постоянной скоростью.
§ 6. Установившиеся колебания тонкого слабо изогнутого крыла
в несжимаемой жидкости
Если движение крыла представляет собой колебания около основ*
ного поступательного движения, причем колебания стремятся к
некоторому установившемуся периодическому колебательному режиму, то
часто можно ограничиться изучением этого режима.
Рассмотрим задачу об установившихся гармонических колебаниях
тонкого деформируемого и искривленного крыла. Эта задача для
гармонических колебаний в случае твердой плоской пластинки иными
методами была решена Г. Глауэртом 3), М. А. Лаврентьевым и М. В.
Келдышем 4).
Преобразуем уравнение (5.14) к несколько иному виду. Заметив,
что
*1
|й2(а)^а = 1[Г(а1) — Г0],
где Г(а1)—значение циркуляции по контуру крыла, и совершая
замену переменного a-f-<*i — a = as, уравнение (5Л4) можно
*) См. Седов Л. И., Приложение теории функций комплексного пере*
Менного к некоторым задачам плоской гидродинамики. |Успехи
математических наук, вып. V, 1940.
*) См. сноску 3) на стр. 74.
3) См. сноску 4) на стр. 74.
4) См. сноску 5) на стр. 74.
6 Зак. 1631. Л. И. Седов.
Ш ТЕОРИЙ ТОНКОГО МРШК \?J\. ц
написать в виде *):
1
j u2(a-\-a1-as)(y/'s1±\-. l)ds =
СО
+ а
-^а'Ы-ГоЗ + ^/К-^о)]/"^^; (6.1)
—а
здесь <х0 положено равным — оо, так как мы имеем в виду
установившееся колебание.
Для гармонических колебаний деформируемого крыла около
установившегося поступательного движения со скоростью U0 можем
написать:
vn (*> 0 — * по (*) = Re [F(x) e**\ = Re [F(x) eu*\.
Комплексная функция F (х) = Ft (л:) -f- iF% {x) задает форму
колебания; фаза колебания различных точек может быть различной; k —
частота колебания.
Введем отвлеченное число ц- = тт (число Струхаля). Очевидно,
Uq
что правая часть уравнения (6.1) представляется в виде:
^[ГК)-Г0] + ^е[Л*и
где
—а
Для решения уравнения (6.1) положим:
«ГЫ — r0==Re[D^«].
В силу соотношения (5.7) имеем:
откуда
и2 (а -f 0Lt — as) = JRe [ ^ Ое**е-*?* . Л « 1.
*) Мы предполагаем, что а = const. Случай переменного л рассмотрен
в работе: Седов Л. И., Теория нестационарного глиссирования и
движения крыла со сбегающими вихрями. Труды ЦАГИ, вып. 252, 1936.
p g] УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЙ ТОНКОГО ИЗОГНУТОГО КРЫЛА 83
Подставив теперь полученные выражения в уравнение (6.1), для
определения D получим простое соотношение
1
D + А = *> De** j e~i^ [y^t-j — l] ds. (6.2)
Интеграл в правой части можно выразить через фукции Бесселя *).
Воспользуемся для этого интегральным представлением функции
Ганкеля в форме Пуассона 2):
too
где
2 2Х
X==P + faf ji>0, Xo = -, Xi = ~-
В качестве пути интегрирования можно взять любую кривую,
расположенную в первом квадранте плоскости w.
Заменяя w через Reib и полагая о > О, имеем:
lim ехр [—R (о cos 8 -{- [i sin 0) -f-
+ iR (p. cos & — о sin {>)] (1 — w*f ~lh iw db = 0;
поэтому
1
я£> (X) = yJ4*~p) Ki f eiu (s« — l f-% <fe.
Пользуясь этой формулой, находим:
i
J еш [|/^±i-1] л = -= [- «?>(*)+ я?>(Х)] -p_fLx.
+ с»
Это соотношение установлено в предположении, что о > 0, но,
очевидно, оно справедливо и при о = 0. Полагая в нем о = О и
!) Полученные ниже формулы для определенных интегралов через
функции Бесселя были впервые найдены в цитированной выше (стр. 74) работе
М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева.
2) Янке Б. и Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми.
Гостехиздат, 1948.
6*
&4 fEOPHfc ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ. ц
заменяя / на —/, находим:
оо
Подставив теперь выражение этого интеграла в уравнение (6.2),
для D получим:
2е~*^ А
D==~ щ1нры-шры] • (6'3)
Интегральное уравнение (6.1) линейно, поэтому его решение для
любого периодического закона движения можно получить с помощью
ряда Фурье. В общем случае можно применить интеграл Фурье.
Определим силы, действующие на крыло при установившихся
гармонических колебаниях, для случая а = const. Подъемная сила
и момент, соответствующие основному движению, около которого
происходят колебания, имеют вид:
—a —a
Введем обозначения:
-fa +a
\ J F(\)V #=&&*= в, -p j F$)\y&=vdi=*c.
—a —a
Формулы (5.18) и (5.19) дадут:
К— Y0 = — pU0Ae*™ — pU0pBe*** + K3. (6.4)
Ж — 2R0 = iPaU0Be*M — pU^Ce*** + -| K3. (6.5)
Здесь и дальше в комплексных выражениях для сил нужно брать
только их действительную часть.
Для силы Yb после замены переменного as=za-\-at— а, откуда
£ =— as у получаем:
Ко = — 2p£/0a —т====- = р£/0ше<ДО —===- еш.
3 ° J V\P—«2l J i/V*—i
—.оо оо
Очевидно,
С e-{v-8ds _ *i н(2), .
j тр^г ^"Яо (fl)-
УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО ИЗОГНУТОГО КРЫЛА 85
Заменив еще D по формуле (6.3), найдем:
K8=-p£/04^'.v^, (6.6)
где
v(|x)g*>fr)= ,2,Я°2)((А* . (6.7)
Силу — p(J0Aem можно рассматривать как подъемную силу,
вычисленную на гипотезе стационарности (гипотеза «динамической
кривизны»). Очевидно, что v дает отношение амплитуды, а & — сдвиг
фазы силы Уд, обусловленной сбегающими вихрями, к силе,
полученной по гипотезе стационарности.
На фиг. 2.8 (стр.86) представлены кривые, изображающие
зависимость v, 0, р = v cos 8, q = v sin & от \l = jj- . Численные значения даны
в табл. 2 (стр. 87).
При [1 = 0 имеем: v = 0, Ь = ^; при [i = oo имеем: v = -^,
» = тс.
При большой частоте, т. е. при [х> 1, эффект сбегающих вихрей
сводится к уменьшению приращения подъемной силы на половину
его значения, полученного по гипотезе стационарности. При малых
I* -* 0, т. е. при большой горизонтальной скорости, величина v
близка к нулю и, следовательно, У3«0. В этом случае сила,
получаемая по теории движения с постоянной циркуляцией, близка к
реальной силе. Следует отметить, что при р -> 0 сила F3 стремится к нулю
довольно медленно.
В настоящее время можно указать ряд экспериментальных
исследований г) по аэродинамике колеблющихся крыльев. Постановка
соответствующих опытов связана с преодолением особых
экспериментальных трудностей. В этих исследованиях при сопоставлении результатов
измерений, полученных в опытах, и данных теоретических расчетов
установлено удовлетворительное согласие.
Если тонкое крыло движется как твердое тело, то при
гармонических колебаниях, в общем случае, можно написать:
где $0(х) — углы атаки элементов профиля крыла при t = Q,
<о — амплитуда угловой скорости Q = Re (&еш) (<о > 0).
Для нормальной скорости в центре крыла при л; = 0 имеем:
V1 = -U0$ + v=- U0%(х) + {j- ™ib)am***> (6.9)
х) Silverstein A. andJ^oyner, Report, № 673, 1939; ReidE. and
Vincenti W., J. A. S„ т. 8, № l, Nov, 1940*
86 теория тонкого крыла [гл. и
где v = — <*eib • а<»еш — вертикальная составляющая скорости крыла
в центре профиля при л: = 0. Величина а определяет амплитуду
J
к-
3 у-%
Л+
Гь
Т1
П'
*7\
J1'
Л
<
о
-Р.-1
«а
щ
из
О /. 2 9рЦ
Фиг. 2.8. Влияние нестационарности. Параметры v и О
определяют величину и фазу гидродинамической силы,
обусловленной вихрями, сбегающими с задней кромки крыла.
колебаний скорости v, угол S-f-ir равен сдвигу фаз между угловой
скоростью Q и поступательной скоростью v.
Если колебательные движения крыла представляют собой угловые
вращения около некоторой точки О на оси л:, движущейся вместе
С системой координат со скоростью U0, то в этом случае можно
5] УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО ИЗОГНУТОГО КРЫЛА 87
S
X
Й5
S
X
о
СО
а
00
vo
оо
О
1^-
сГ
со
о
о"
8 3
со
сГ
см
о
8
о
о"
5 ft?
ю
СО
СО
ю
со
00
см
со
о" со"
rt* СО
о> о
см о
^ ю
о" со"
со —
о> со
о ю
«* ю
сГ со4
05
см
05
05
со о
© со
см •-;
^-. оо
со о>
со со
о со
см
со ел
£
со
см
^ »-
СМ 00
см со
о4 о
см о
о" сГ
8 8
S5 2
о" сГ
SCO
05
со г^
со »—
£ 2
^ со
00
оо
со О
со со
О F-I
О О*
о
ю
1 ^
СО
ю
см*
см
1С
1 *""*
1 »—и
05
о
5fce I
II
i.
!S
s
rj*
о
4982
о
CM
|ч-
О)
^
CD
CO
Ю
OS
"*
о
CO
CO
o~>
rt
о
<*
05
^
о
CO
00
ТГ
о
2
t-~
^
о
l^
со
CO
"^
©*
>
•
«4*
CO
CO
CO
1909
CO
о
со
о
CM
CO
Ю
CM
CM
CM
CO
со
r-
co
CM
со
Ю
o>
Ю
CM
со
f
o>
CM
CO
s
Ю
CO
CO
CO
^
t^
CO
со
X
CO
s
CO
s
CO
Q.
ffi
<*
4*
05
o>
T*«
о
4976
о
со
со
Oi
^
о"
i*-
со
05
rj*
о
со
OS
т*«
о
р
ь.
00
ТГ
о
S
|>*
-*
о
со
о
СО
Tf
о
*-Ц
^
in
Tf
сГ
с*
(У)
о
о
1
II
«*,
1
4f
CM
о
о
0246
о
ю
со 1
о
о
о
^
о
о4
со
*-
TJ«
о
°~
*"-
|—
ю
о
о
СО
со
**-
о
о
8
о
*"* 1
о
00 1
ь*
о
о
***
с 1
55 1
7- I
1
II
о
1
88
ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА
[ГЛ.
положить: 8 = 0 и <х = —, где b — координата центра вращения о
(фиг. 2.9). Разность фаз v и 2 можно учесть знаком а, который
совпадает со знаком координаты д. В общем случае в рассматрц.
ваемой подвижной системе координат центр вращения движется.
Фиг» 2.9. Схема к колебательным вращательным
движениям крыла.
Для нормальной скорости на крыле верна формула
= — UQ?0-\-F{x)e™. (6.10)
В формулах (6.8), (6.9) и (6.10) справа необходимо взять
действительную часть. Пользуясь (6.10), получим:
2/>
А = — тссоа3 (l + 2<и?<5 — -J,
В = тгдаа3/ (— — ае*ь),
Подставляя Л, 5, С в (6.4) и (6.5), найдем:
Y— Y0 = pittAoa2 (Kt -f iY2) e<», 1
m — *Blo = p«U«>as (Ж,
где
Kt = 1 — a|i sin 8.-J- (l+2a cos 8) (1 +/?)+ (- — 2a sin i\g,
r2=jiacos84-(14-2acos8)g-—(—-2asin8)(l+p)
и
MY = a cos 8+-^-(l + 2acos 8) p +-J- (|--2asin8)9,
Af? = a sin 8— 1 - -| + ^- (1 -|-2a cos 8) 9 — (1 - 2a sin 8jp.
(6.11)
(6.12)
(6.13)
£ 5] УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО ИЗОГНУТОГО КРЫЛА 89
формулы (6.11), (6.12) и (6.13) определяют переменные
составляющие подъемной силы и момента при гармонических колебаниях
произвольного тонкого твердого крыла.
Эти формулы являются основными для теории фляттера крыла и
для теории динамической устойчивости движения самолета.
Обратимся теперь к изучению проекций гидродинамических сил
на ось х *). Для определенности задачи рассмотрим колебания
плоской пластинки.
Согласно формулам (5.22) и (5.24) имеем:
^ = Р21га[г1_^§7-]2-Ур. (6.14)
На основании (6.9), (6.6) и формулы для А имеем:
^-2^7о=-^о-^{2«со58 + (1+2асо88)р+
+ (--2asinS)? + tT(l-f-2acos8)<7-
-(|--2asin8)(l+/7)lle<4 (6.15)
2тс
Вычислим среднее значение /?* силы R за период колебаний -^ .
Для сокращения вычислений воспользуемся следующим замечанием.
Пусть даны две величины, изменяющиеся по гармоническому закону:
М = М0еш+*% N= N0em+*«K
Нетрудно проверить, что среднее значение произведения их дей-
2тс
ствительных частей за период -v- определяется формулой:
к __
^ I М0Ы0 cos (kt + <*t) cos {kt + a2) dt = Re (^y) »
d
где N=N(p-*lkt+9J.
Используя равенства (6.8), (6.11), (6.12) и (6.15) и произведя
осреднение в (6.14), после проведения выкладок получим:
R* = ртса^Ся!, (6.16)
г) Детальное исследование силы тяги и коэффициента полезного действия
крыла было произведено М. Д. Хаскиндом в 1944 г. Приводимые ниже на
фиг. 2.10,2.11,2.12 графики получены М. Д. Хаскиндом. Независимо некоторые
Данные по этому вопросу получены А. И. Некрасовым и
опубликованы в его книге «Теория крыла в нестационарном потоке» (Изд. Академии
наук, СССР, 1947).
90 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [гл. „
где
Слх (*,«) = X {4а2 О +v2+2/') + 2а cos 8 (! + 2v2+2/> + f" ?) +
+ 4asin8[9 - 1 (1 +2v*+ 3/>)] +v* -2 9 + £(*+р)). (6.17)
Если колебания поступательные, то <о = 0 и а = оо, но
произведение o>aa имеет конечное значение, равное амплитуде колебания
скорости |tf|max. Учитывая это, для поступательных колебаний из (6.17)
и (6.16) получим:
#* =ртш[tf|Lx (I +v2 + 2p). (6.18)
Из формулы (6.18) ясно, что при поступательных колебаниях /?*
всегда положительно — получается тянущая сила1).
Из формулы (6.17) следует, что в общем случае при р -> оо имеем:
= т[(а~4)2+а (cos8 + l)]>0. (6Л9)
Равенство нулю достигается только при условии: 8 = ± тг и a = 0,5.
Этот случай отвечает вращательным колебаниям крыла около точки,
расположенной на оси х на расстоянии одной четверти хорды от
задней кромки.
Следовательно, при достаточно больших значениях числа Стру-
халя [г всегда образуется тяга, за исключением случая, отмеченного
выше.
Обозначим через р* амплитуду колебаний угла наклона пластинки.
Имеем:
В*=4 или ш=^3*.
Заменяя в (6.16) <о через (3*, получим:
R* = ркаЦ$**Св, (6.20)
где Св = ^С^. Так как СВ1(оо, а) > 0 и конечно (случай 8 = z±ztc
и a = 0,5 исключаем), то очевидно, что при больших ji
коэффициент С- пропорционален [г2.
Рассмотрим подробнее случай угловых колебаний около точки О,
расположенной на оси х. Примем 8 = 0, тогда a = — (b —
координата точки О, фиг. 2.9). При а>0 точка О расположена вправо, а при
а<0 — влево от центра пластинки.
й) Теоретическое изучение силы тяги при колебаниях плоской пластинки
в несжимаемой жидкости дано впервые в работе М. В. Келдыша и М. А.
Лаврентьева, цитированной на стр. 74.
с 6J УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО ИЗОГНУТОГО КРЫЛА 91
На основании (6.20) и (6.17) получим:
Зависимость CR от а= — представляется некоторой параболой. На
фиг. 2.10 даны значения Cr в функции числа Струхаля при различных а.
_^*^J?A
k«»gJy^3g^
/fy^
-^^-^~
/у
*' /
A*wl
/ a<S /
/ /
"'*'\s'
l/
/
у /
' /a-W
..'"
/ /
a-15 .
/oc-OJ
a=0
/
X/
a-IM
- —\—
/'A
"'"^ *
м..м.
ka
Фиг. 2.10. Зависимость коэффициента тяги CR от числа Струхаля \х = -=-=-
и от положения центра вращения на оси х (от значения а = —J.
Если Cr < 0, то жидкость оказывает сопротивление. При малых jx
коэффициент Cr имеет отрицательное значение.
Определим коэффициент полезного действия yj как отношение
среднего значения полезной мощности Е* = R*U0 = pnaUl$*2CR
к среднему значению затрачиваемой мощности ЛР, равной работе
сил, противодействующих подъемной силе Y и моменту ЗК:
JV* = — (Yv -f 2RQ)* = рад tfJp*»CN.
92 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ. и
На основании формул (6.11), (6.12), (6.13) и выражений для v hq
получим:
C^ = aV(l+p)+^cos8(| +?) +
+ ац sin 8 (w — 1 — р) — £ (до + 2?). (6.22)
Для коэффициента yj имеем:
Если колебания поступательные (<х = оо), то для yj получим:
В этом случае при ja —► О коэффициент полезного действия г\ близок
к единице.
При 8 = 0 формула (6.22) дает:
Cff = ^[«*(l +f)+ j] + I1(a—*-)?. (6.23)
Так как всегда 1-[--х"р>0, то из формулы (6.23) следует, что при
8 = 0 и при достаточно больших р имеем С# > 0, если | a |
достаточно велик.
Так как #<0, то при достаточно малых ^ имеем: '
CN > 0, если a < 0,5, |
CN < 0, если a > 0,5. J (6' '
На фиг. 2.11 представлены значения коэффициента С# в функции
от ц и от а.
Если CN > 0, то действие подъемной силы и момента приводят
к переходу механической энергии от крыла к жидкости; если Су < О,
то, наоборот, энергия переходит от жидкости к крылу.
Общая энергия W, переходящая от крыла к жидкости за один
период, зависит еще от работы силы тяги (сопротивления) и
определяется формулой:
W={N*-E*)2^ = -?—f- (Ck-Cjj). (6.25)
Разность Cjy — CR на основании формул (6.17), (6.20) и (6.22)
представится в виде:
CN — CB~- (v* + Р)[^(т + a cos S)2 + OV si" 8 — !)■]• (6.26)
§61
УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО ИЗОГНУТОГО КРЫЛА
93
Из формулы (6.7) и из известной формулы для функций Бесселя
.pj—Л^У0 = — легко находим
_V2— p =
W l/^M-^WP'
Поэтому всегда Cn— Сд>0 и, следовательно, №>0. Если №=0,
то получается неустановившееся движение с постоянной циркуляцией
Фиг. 2.11. Коэффициент CN, обусловленный подъемной силой и моментом,
для мощности, затрачиваемой крылом, в зависимости от числа Струхаля
ka ( Ь\
fx = -ту- и от положения центра вращения от значения а = — ].
^о \ а Л
вокруг крыла; в этом случае движение жидкости за крылом
непрерывно.
Очевидно, что в общем случае гармонических колебаний за
крылом в бесконечности получается периодическое возмущенное
движение жидкости с характеристической функцией
w = ср -J- AJ> =
— 2 е '
причем плюс берется в верхней полуплоскости, а минус — в нижней.
Кинетическая энергия этого движения в одном периоде будет равна W
94 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ.
и благодаря симметрии верхней и нижней частей представится в виде
2*
r=PJcp1|^=£J|Dp. (6.27)
Из формулы (6.3) и выражения для Л, полученного выше для
плоской пластинки, легко из (6.27) получить формулу (6.26). При не.
которых равных условиях наименьшие потери энергии соответствуют
минимуму модуля величины D.
На фиг. 2.12 представлена зависимость к. п. д. чп, от а и ц при
3 = 0 для режимов колебаний, при которых Cr ^ 0 и С# > 0. В этом
Фиг. 2.12. Коэффициент полезного действия yj для тяги вибрирующего
крыла.
случае наибольшие значения для г\ получаются при поступательных
колебаниях. В общем случае, если 8 ф 0, можно указать такие
режимы колебаний, в которых г\ близко к единице при некоторых
конечных отличных от нуля значениях числа Струхаля р.
В заключение этого параграфа заметим, что если периодические
колебания тонкого крыла не гармонические, то решение основного
интегрального уравнения получается после разложения закона
движения в ряд Фурье. В этом случае подъемная сила и момент получаются
простым суммированием сил, определяемых формулами (6.4) и (6.5)
для каждого составного тона. Силу R и ее среднее значение /?* за
период для любого периодического закона колебания плоской
пластинки можно вычислить аналогичными способами, как и в случае
простого гармонического колебания.
§71
ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ
95
§ 7. Теория тонкого крыла с учетом сжимаемости
Предыдущую теорию можно обобщить на случай движения тон-
го слабо изогнутого крыла в сжимаемой жидкости — в воздухе.
Поймем, как и раньше, что возмущенные скорости абсолютного
вижения жидкости малы по сравнению с основной скоростью
поступательного движения крыла.
Для плоскопараллельных потенциальных движений идеальной
сжимаемой среды при наличии баротропии верны следующие соотношения:
уравнение Коши-Лагранжа
Ро
где ро — соответствующая постоянная (если жидкость покоится
в бесконечности, то р0 равняется давлению в бесконечности),
<?(£, *\у 0 — потенциал скоростей абсолютного движения, декартовы
координаты £, 7) взяты в неподвижной системе;
уравнение неразрывности
а? . ар аср . др_д£ , га*? av|_0 (7 2ч
Основываясь на допущении, что скорости и приращения плотности
малы, уравнения (7.1) и (7.2) можно линеаризовать, сохраняя
только малые первого порядка.
С точностью до малых высшего порядка имеем:
р
-P(s
/*-
Ро
Ро
где р0 — плотность невозмущенного состояния. Пользуясь этим,
уравнение (7.1) можно представить в виде
Р-Ро=-РоЦ. (7-3)
Формула (7.3) для вычисления давления — такая же, как для
несжимаемой жидкости.
Так как
ар 1 др
dt ~ (dp\ 'W
Up Л
то на основании (7.3) после пренебрежения малыми порядка выше
первого уравнение неразрывности (7.2) приводит к основному
96 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ.
уравнению для потенциала скоростей ср (£, yj, t):
где #2 = ("^") —скорость звука для невозмущенного состояния.
Уравнение (7.4) является основным уравнением в теории распространения
звуковых волн и в аэродинамике тонких крыльев.
Введем теперь подвижную систему декартовых координат х% yt
движущуюся поступательно с постоянной скоростью U вдоль оси \
(оси х, у параллельны осям &, щ.) Так как *=$—Ut и y = i\, то
в подвижных осях формула (7.3) и уравнение (7.4) примут вид:
P-Po = -9o{*-UU) <™>
и
Полученные уравнения движения верны для идеальной сжимаемой
среды с произвольной связью между плотностью и давлением.
При движении тонкого крыла в общем случае условие обтекания
и условие на поверхности разрыва скоростей формулируются так же,
как и для несжимаемой жидкости.
Рассмотрим теперь установившееся движение тонкого крыла-
с постоянной скоростью U. Для установившихся движений
уравнение (7.6) приобретает вид:
&1л- — ^==0 (77)
где М = —; при М < 1 крыло движется с дозвуковой скоростью.
В этом случае уравнение (7.7) приводится к уравнению Лапласа
преобразованием координат
х = хи у = - Ух •-. (7.8)
На обтекаемом контуре имеем:
F'(x)
(7.9)
Очевидно, что движению газа в плоскости ху, вызванному движением
контура крыла С, соответствует движение несжимаемой жидкости
в плоскости хгуи вызванное контуром крыла Си который получается
из контура С аффинным растяжением в направлении оси у. Соответ*
§7!
ТЕОРИЙ ТОНКОГО КРЫЛА С УЧЕТОМ СЖИМАЕМОСТИ
97
сТвующие контуры указаны на фиг. 2.13. Профиль Cj в несжимаемой
жидкости дополнительно искривляется и утолщается. Очевидно, что
для таких двух профилей давления в соответствующих точках будут
равны. Поэтому ясно, что для движения в газе фиксированного
у~гт
Фиг. 2.13. Профилю С в газе соответствует аффинно
расширенный вдоль оси у профиль С\ в несжимаемой
жидкости. В соответствующих точках значения потенциала
и давления одинакова. Влияние сжимаемости учитывается
сравнением характеристик движения профилей С и С\
в несжимаемой жидкости.
профиля С потенциал <р и возмущения давлений возрастают пропор-
1
ционально величине
Vl — Ml*'
Отсюда сразу вытекают следующие основные формулы:
Г =
Vl —М»'
Л = А
■° Vr=M*f
-> ^у неожим (j «лЧ
где Г0 и А0 — значения циркуляции и подъемной силы при движении
профиля С со скоростью U в несжимаемой жидкости, а Г и
Л—соответствующие значения при движении в сжимаемой жидкости.
Если крыло движется со сверхзвуковой скоростью, т. е. М>1,
то уравнение (7.7) будет гиперболического типа и его общее решение
можно написать в форме:
<?=f2(x-yVM*-l)+fi(x+yVM*— 1), (7.11)
гдеА и/2—произвольные функции, которые определяются из условий
обтекания и из физического условия об отсутствии возмущений перед
!<рылом; отсюда следует, что /2 = О при у > 0 и ft — 0 при у < 0.
Пусть уравнение верхней поверхности крыла будет y = Fl(x)1
а нижней y = F2(x) (фиг. 2.14). Условия обтекания дают:
дУ)у=о
\dyJy~o
7 Зак. 1631. Л. И. Седов*
UF'a (х) = - /; (*) /М^М.
§8
ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА
К,
Отсюда легко выводим, что
U
/М2
= /71(х+3'КМ2 — Л при v>0, j
ф =
£/
^„^^(x-^j/M2-!) при^<0. (
(7.12)
Ьчевидно, что возмущения от элементов крыла передаются в газ вдоль
прямолинейных характе»
ристик, наклоненных
назад. Уравнения этих пря-
мых имеют вид:
х+У УМ2— 1 = const.,
х —у Ум2— 1 = const.
Вдоль характеристик
скорости, плотности,
давления и т. п. постоянны
и определяются
свойствами элементов крыла,
через которые
характеристики проходят. Вдоль
характеристик,
проходящих через переднюю
кромку крыла, в общем
случае получается
сильный разрыв.
Очевидно, что характеристики совпадают с эквипотенциальными
линиями; поэтому абсолютные скорости направлены по нормали
к характеристикам.
На основании формулы (7.5) для давлений на крыле получим:
р—р0= ^Гллп f на верхней стороне, j
\ (7.13)
на нижней стороне.
Фиг. 14. Вдоль прямолинейных характеристик
направление и величина скорости постоянны
и определяются из условия обтекания
соответственно на верхней и нижней сторонах
профиля.
С помощью формул (7.13) легко вычислить подъемную силу А
и сопротивление W. Непосредственно очевидны формулы:
Р — Ро =
Л =
Yw— 1
U7 =
PoU2
'L= J(F? + F?)dx,
(7.14)
(7.15)
gt УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ПРИ ВИБРАЦИЯХ ТОНКОГО КРЫЛА 99
де Я=,У(+а)—У(-~а) — мидель крыла (фиг. 2.14). Если крыло —
г осКая пластинка, наклоненная к скорости движения U под углом а, то
Yw— i ум*—i }
T. e. r=^tga.
§ 8' Учет сжимаемости при вибрациях тонкого крыла,
движущегося с дозвуковой скоростью
Рассмотрим плоскую задачу о вибрациях тонкого крыла в газе
при движении крыла с основной постоянной дозвуковой
поступательной скоростью и малым углом атаки. Предположим, что крыло
совершает малые установившиеся гармонические колебания около
основного поступательного движения1).
В подвижной системе координат согласно (7.6) потенциал
скоростей возмущенного движения газа <р(л", у, t) удовлетворяет
уравнению %
дх2^ ду2~^ с0 dtdx c\ дР
где М = — , а с0 — скорость звука, соответствующая невозмущен-
ному состоянию газа.
В линеаризированной постановке граничные условия и свойства
симметрии для потенциала ср(дг, у, t) для газа сохраняют тот же вид,
что и для несжимаемой жидкости (см. §§5 и 6). Таким образом,
имеем:
условие обтекания на профиле:
|* =*«(*> t) = vn0(x) + vnl(x)e*M при у=*0, \x\<a, (8.2)
где k — частота колебания;
o-M">S+3 + »=-i3--i3-<». <81>
*) Излагаемый ниже метод решения задачи для вибраций тонкого профиля
при дозвуковой скорости движения принадлежит М. Д. Хаскинду (см. Хае*
к и н д М. Д., Колебания крыла в дозвуковом потоке газа. Прикладная
математика и механика, т. XI, вып. 1, 1947)»
Плоская задача о движении тонкого вибрирующего крыла с
сверхзвуковой скоростью решена в работе: Borbely, Ueber die Luftkrafte, die auf
einen harmonisch schwingenden zweidimensionalen Flugel bei Ueberschallstru-
mung wirken. ZAMM, т. 22, № 4, 1942. Другой метод решения этой задачи
дан Е. А, Красильщиковой (см. Красилыцикова Е. А., Возмущенное
движение воздуха при вибрациях крыла, движущегося со сверхзвуковой
скоростью. Прикладная математика и механика, т. XI, вып. 1, 1947)» В работах
Е. А. Красильщиковой впервые дано также полное разрешение соответ*
ствующей пространственной задачи.
7*
lb() теория тонкого КРЫЛА [гд# lt
свойство симметрии для потенциала:
ср = 0 при у — О, х > а \
?(*. -л <) = -?(*, j>, 0; ) (8'3)
условие на линии разрыва скоростей (вихревая пелена), остающейся
сзади крыла:
lt~иШ=0 пРи-У = 0 и х<—а. (8.4)
Далее принимаем в качестве дополнительных условий, что у
передней кромки крыла потенциал ср конечен, а у задней кромки
выполняется условие Жуковского-Чаплыгина о конечности скорости частиц
газа.
Предполагая, что возмущаемое движение газа представляет собой
установившиеся гармонические колебания, положим:
(8.5)
где
X = vM=a|VP = T^, р = ^. (8.6)
Потенциал ®0{х, у) отвечает установившемуся поступательному
движению. Определение <?0(х, у) дано в § 7. Комплексную функцию
Ф(х, у) возьмем в качестве искомой вместо потенциала <р
возмущенных скоростей.
Положим еще
* = aAv у= гаУх . (8.7)
Пользуясь этим, уравнение (8.1) и граничные условия (8.2) и
(8.4) после опускания индекса 1 у новых переменных хг и yt
получим в виде:
gj =g^xieiKx= v(x) 0 | (<1 (89)
Ф = 0 при у = 0, а:> + 1» )
^—/аф = 0 при ^ = 0, х< —1. }
К этим условиям необходимо добавить еще требования в
бесконечности. Известно, что в отличие от уравнения Лапласа все
решения волнового уравнения ДФ-^у2Ф = 0 исчезают в бесконечности
и имеют порядок -ул, где г = Ух2~\~У* (исключением служат
(8.10)
§8]
УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ПРИ ВИБРАЦИЯХ ТОНКОГО КРЫЛА
101
олько плоские волны). Поэтому обычного условия об исчезании
тозМущенных скоростей потока при удалении в бесконечность,
обеспечивающего единственность решения краевых задач для уравнения
Лапласа, для волнового уравнения недостаточно.
Для волнового уравнения внешние задачи типа Дирихле или
Неймана с нулевыми данными на границе имеют конечные регулярные
и 0Тличные от нуля решения, исчезающие в бесконечности.
Для однозначного определения решения необходимо выставлять
дополнительные условия в бесконечности. В качестве такого условия
воспользуемся для функции Ф(лг, у) принципом излучения,
выражающим собой физическое условие того, что волны, возбужденные
внутренними телами, расходятся в бесконечности. Иначе говоря, что
асимптотическое выражение для функции феш в бесконечности
имеет вид
Феш^ const. ——
УТ
и представляет собой прогрессивную волну, уходящую в
бесконечность. Волны, имеющие асимптотический вид
e+i iyr+Ы)
Фешя& const.
УТ
и характеризующие распространение возмущений из бесконечности
внутрь потока, должны исключаться из рассмотрения.
В математической форме принцип излучения можно
сформулировать соотношениями:
г-/дФ
l/V ( -g—f- *\Ф J = 0, lim У г Ф = конечной величине.
lim
f->00 N*4' / Г->СО
Мы выставим требование о выполнении принципа излучения по всем
направлениям, за исключением прямой разрыва скоростей1).
Для решения поставленной таким образом задачи функцию Ф (*, у)
представим в виде суммы двух функций
Ф = Ф0(*, у) + ФЛх, у\
удовлетворяющих следующим условиям:
Для Ф0 (л;, у) внутри потока
ДФ0-|-*2Фо = 0, (8.11а)
"а оси х (при у = 0)
^ = V(x) при |х|<1, Ф0 = 0 при |х|>1, (8.116)
*) Более подробное рассмотрение принципа излучения и
доказательство единственности решения задач типа задач Дирихле и Неймана
читатель может найти в книге: Купрадзе В. Д., Основные задачи
^тематической теории диффракции (установившиеся процессы). ОНТИ, J935.
102 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ.
причем функция Ф0(дг, у) конечна и непрерывна везде вне
отрезка j; = 0, |*|<;i и удовлетворяет принципу излучения;
для Ф^*, у) внутри потока
АФ1 + 72ф1=0 (8.12а)
и на оси х (при j/ = 0)
4^ = 0 при |*'|<1, ^Р- — /*Ф, = 0 при х< — 1, )
дУ ' ^ [ (8.126)
Ф1 = 0 при х> + 1, ]
причем при ву> 0 и j/<0 Фх (л:, j/) конечна, непрерывна и
удовлетворяет принципу излучения.
Очевидно, что в силу условий (8.11) и (8.12) функция Ф(лг, у)
удовлетворяет условиям (8.8), (8.9), (8.10) и принципу излучения.
Функция Фх(х, у) определяется условиями (8.12) с точностью
до мультипликативной постоянной, которую в дальнейшем мы выберем
из условия о конечности скорости газа у задней кромки.
Функция Ф0 (л:, у) соответствует возмущенному движению газа
вне профиля при циркуляции вокруг профиля, равной нулю.
Функция Ф^л;, у) соответствует потоку от распределения вихрей
по полупрямой ^==0, — оо<л:< — 1 в присутствии
неподвижной плоской пластинки у = 0, |лг|<;1.
Функция Ф0(х, у) не зависит от вида профиля тонкого крыла
и зависит только от распределения амплитуд вибраций нормальной
скорости для точек профиля вдоль отрезка у = 0, | х |<i 1. В общем
случае распределение амплитуд может быть связано с деформациями
профиля.
Функция Ф{ (х, у) не зависит от вида профиля и не зависит от
распределения амплитуд нормальных скоростей. Таким образом, эта
функция определяется вполне только двумя параметрами а и v = «М
и, следовательно, не зависит от особенностей частного вида профиля
и вида вибраций.
Перейдем теперь к эллиптической системе координат Е, у] при
помощи преобразования
г = спС, ;c = ch Ecostj, j/ = shEsiniq, (8,13)
где
z = x-\-iy, С = 5-J-и].
Легко видеть, что координатным линиям Е = const, в плоскости С
соответствует семейство софокусных эллипсов в плоскости г, а
координатным линиям tq = const, соответствует семейство
софокусных гипербол, ортогональных к семейству эллипсов. Дважды
пробегаемый отрезок (— 1, -j- 1) представляет собой вырожденный эллипс
§8J
уЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ПРИ ВИБРАЦИЯХ ТОНКОГО КРЫЛА
103
о I ri I < ъ> а час™ координатной оси л; > 1 и л; < — 1 — соот-
* твенно вырожденные гиперболы т) = 0, £>0 и т) = :±пг, £>0
с
с,
\
_[ в\
V Ч
/ ЮОЩ
\У
V
//Л
V V J ~*x
i
в
А
в,
_ /7
7]=C0nSt
- t
^const
Г-Л
Фиг. 2.15. К преобразованию координат х, у к эллиптической
системе координат 5, -/).
(фиг. 2.15). Воспользовавшись соо1ж>шением
д*Ф . д*Ф _(д*Ф , д2Ф\|ЛС |2
д*2 • dy2 — Ui2 ' dffjldz | '
получим волновое уравнение в эллиптической' системе координат
в следующем виде:
—-J-v2(ch2£ — СО827))Ф = 0.
а?2
(8.14)
Если функция <£(£, tj) известна, то вычисление производных -^-
дФ
и д— можно провести по формулам
дФ 1 /дФ ut дФ . , . \ )
— = -— -- sh $ cos -ri — з- cn 5sin *]) i
дФ 1 /дФ . t . . дФ . , \ f ^815^
Рассмотрим частные решения уравнения (8.14) в виде произведения
^(S)G(tj). Уравнение (8.14) распадается на два обыкновенных
дифференциальных уравнения:
cPG
drf
d?F
d?
{-(с —26cos2y))G=0,
— (с — 28ch2^)/7=0,
(8.16)
где с—некоторая постоянная, а 8 = ~. Уравнения (8.16) для
функций G(iq) и F(%) представляют собой известные уравнения Матье,
104 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ. х.
В плоскости х, у мы используем только однозначные частные
решения. Для этого функция G(r\) должна быть периодической
функцией с периодом 2т:. Этим условием определяется счетное мно*
жество характеристических чисел сп(Ъ) (/г = 0, 1, 2, ,..). Соответ-
ствующая система фундаментальных функций образует полную
ортогональную систему.
Нечетные периодические функции Матье обозначаются через
seM(Y))(AZ= 1, 2, ...), а четные периодические функции Матье-—
через сеп(*/])(п = О, 1, 2, ...)> со следующей нормировкой:
-f 1С -г Л
[[sen(7))l2^ = 7r, J[cen(4)]«d4«=ic. (8.17)
—те —те
Функции ce^(rj) и se^(iq) можно представить с помощью рядов Фурье:
оо оо
се„ (*)) = 2 ^ш»cos лщ, se„ (y|) = 2 fim« sin mi\, • (8.18)
где индексы пит одинаковой четности, а коэффициенты Лпт и
#nw являются целыми функциями параметра 6 = — *).
В отличие от тригонометрических функций cosnt\ и sinwj
функции Матье cen(т\) и sen (yj) при фиксированных п и ЬфО имеют
различные характеристические числа. В предельном случае 0->О оба
характеристических числа стремятся к п и функции Матье
вырождаются в тригонометрические.
Функции F(£), соответствующие функциям Матье sen(f|) и cew(Yj)
и удовлетворяющие принципу излучения, называются функциями
Матье-Ганкеля и обозначаются через Sen ($) и Cew(S).
Асимптотический вид этих функций при г=]/Гх2~{-У2-+0о — такой же, как и
для функций Ганкеля Н^ (vr), т. е. г 2 е~~пг. Для функций Матье-
Ганкеля имеются разложения в ряды, абсолютно и равномерно
сходящиеся при всех значениях S 2).
1) Для удобства в последующих формулах мы пользуемся функцией се0 (*))•
нормированной условием
—те
2) Для целых значений в коэффициенты Апт и £ww протабулированы
Айнсом (см. С т р е т т, Функции Ламе, Матье и родственные им в физике
и технике. ОНТИ, Харьков, 1935). Для значений 6 < 1 М. Д. Хаскиндом
составлены семизначные таблицы для этих коэффициентов. Им составлены
также таблицы функций Матье-Ганкеля и их производных при £ =^ О,
mi УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ПРИ ВИБРАЦИЯХ ТОНКОГО КРЫЛА 105
Таким образом, волновое уравнение в эллиптической системе
0рДинат имеет следующие частные решения:
Ф2) = 8ея(6)8ея(Ч) (/1=1,2,...), 1
ф£> = Сеп(&)сеп(г)) (л = 0, 1,2, ...), j
удовлетворяющие условию на бесконечности. С помощью этих
решений построим теперь решения сформулированных выше внешних
граничных задач для волнового уравнения.
Функцию Ф0, принимающую конечные значения везде в потоке,
представим в виде:
00
*o=Sfln ^«^(ч), (8.20)
где
*«»-m_.-
Из общей теории следует, что ряд (8.20) сходится.
Для того чтобы удовлетворить условию на профиле, составим
производную -jr£ , которая по условию конечна при у = 0 и | х\ ^ 1.
Согласно (8.20) и (8.18) при v = 0, |д:|<1, т. е. при £ = 0,
получим:
оо
2 ^ se^ (yj) = V(cost|)sinY|.
w = l
Отсюда для коэффициентов ап найдем:
ап ~г - J sin yj V(cosfi)sew(Tri)dTri. (8.21)
— к
Функция sinyjV(cosy)) представляет собой нечетную функцию в
интервале (— тс, -f- я) и поэтому может быть представлена в виде
ряда Фурье:
оо +*
sinYjl^(cosir|)= V ^esinsyj, £s=-- sin yj V^(cosyj) s\nsf\dr\. (8.22)
8 = 1 —К
Из разложений (8.18), (8.22) и формулы (8.21) следует:
«. = 2 ствпт- (8.23)
Следовательно, формулы (8.20) и (8.23) решают задачу об
определении функции Ф0(лг, у).
106 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [Гл,
Некоторые другие выражения для коэффициентов ап можно
получить в конкретных случаях. Рассмотрим, например, вертикаль,
ные и вращательные колебания плоской пластинки. В этом слуцае
для функции sinyj 1/(cosyj) имеем:
sin у) V (cos Y)) = (vt sin yj + — sin 2тЛ ea cos T>, (8.24\
yl — M2 \ 2 / '
где
Вставляя (8.24) и (8.18) в (8.22) и воспользовавшись интегралом
Бесселя
(± l)m Jm (х) = ^ I е± ixcos ч cos mi\ di\, (8.25)
получим:
ап = - у=1 (<W*i + ЯЛ»а), (8.26)
где
<?п = 2 Ш'ШБ^ ^ ' Я» = 2 «^ М»-. (*) — ^+9 (*)!•
Обратимся теперь к определению функции Фг (л;, у). Очевидно,
что комбинация Ф2 = -^р- — шФ1 удовлетворяет волновому
уравнению, непрерывна везде вне отрезка у = 0, | х | ^ 1 и удовлетворяет
однородному граничному условию -^-2- = 0 на этом отрезке. Однако
для построения функции Ф2(лг, у) нельзя прилагать непосредственно
метод, использованный для определения функции Ф0(л:, у), так
как функция Ф2 (л:, у) обращается в бесконечность на концах
отрезка у = О, | х | ^ 1 и, следовательно, на этом отрезке
разложение вида (8.20) неприменимо. Для преодоления этого затруднения
используем идею, примененную впервые в теории глиссирования,
заключающуюся в том, что вместо функции Ф2 (л:, у) введем
новую функцию g(x, у), принимающую конечные значения на
кромках отрезка у = 0, \х\^.1, определенную везде внутри потока газа
равенством *)
и удовлетворяющую волновому уравнению
0 + 0 + ^ = 0. (8.28)
1) См. § 2 гл. VII, стр. 264.
УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ПРИ ВИБРАЦИЯХ ТОНКОГО КРЫЛА 107
§81
сКОнечности потребуем, чтобы функция g (дг, у) удовлетворяла
!ойниипу излучения.
Для полного определения функции g(x, у) установим еще гра-
чные условия. Из (8.12) следует: при _у = 0, | дг| > 1
при И<1
gy = 0. (8.29а)
^ = 0. ^ (8.296)
Отсюда на основании (8.296) на отрезке у = 0, |лг|^1 получим:
g(x, 0)=Ае*™-\-Ве~*™, (8.30)
где Л, В — произвольные постоянные, которые будут вычислены
в дальнейшем.
Ниже мы покажем, что функцию Фг (л;, у) можно выразить
через функцию g(x, у) так, чтобы удовлетворялись условия (8.12).
Функцию g(x, у), удовлетворяющую принципу излучения,
уравнению (8.28) и условию симметрии (8.29а), можно построить с
помощью распределения источников для уравнения (8.28) г) на отрезке
у = 0, |х|<^1. Имеем:
+ i
g (х. У)= { Т (*)«?> (v y(x-S)2+y*) ds, (8.31)
—1
где Н{0г) (г) — функция Ганкеля второго рода. В бесконечности
асимптотически имеем:
«(2)/ ч l + i е~ы
НЬ} (vr) = -~ -==-.
Из формулы (8.31) следует, что
4^')=(1и_.-ш,.+-2(|)„._а- <8-з2>
так как
(dg\ =_№)
Согласно (8.30) граничная задача для определения g (х9 у)
представляет собой внешнюю задачу типа задачи Дирихле для уравнения (8.28).
При удовлетворении принципа излучения эта задача имеет
единственное решение 2) и, следовательно, функция f (x) определяется
единственным образом.
*) См. цитированную рыше (стр. 101) книгу В. Д. Купрадзе.
2) См, там же.
108 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [Гл
С другой стороны, функцию g(x, у) можно представить с помощЬй
ряда по четным функциям Матье:
оо
ё(^У) = ^К^щ^п(-П)- (8.33)
М = 0
Уравнение (8.28) и условие (8.29а) удовлетворяются. Для того
чтобы удовлетворить условию (8.30), достаточно коэффициенты Ь
определить так, чтобы выполнялось равенство п
оо
2 Ьп cen (tj) = Аеи cos ri -\-Be~u cos ъ.
Учитывая ортогональность функций Матье се^(т)), получим:
bn = 2[Aa(?+B*(!l)l
где
a™ = lj>^cewh)^. (8.34)
о
Подставив в выражение а!? разложение (8.18) и приняв во
внимание (8.25), пблучим
с# = S (± i)mAnmJm (v), «<;> = (- 1)-.W (8.35)
Сравнивая (8.32), (8.33) и (8.34), найдем:
где
1 vi (^с^п(°) * Г<*Сеп(;)1
71=0 *
Интегрированием из равенства (8.27) определим функцию Фх (х, yY
ос О
фЛх>у) = е*'* fe-**td-£^dt=je-i*tdg«+yx'y)dt. (8.37)
ОО ОО
Из (8.31) очевидно, что интеграл в формуле (8.37) сходится
абсолютно вдоль всякой прямой у = const, для любых л: и, в частности,
при х-+— со.
Из формулы (8.37) следует, что Ф] (х, у) удовлетворяет
волновому уравнению. В самом деле, имеем:
(Д-^(АФ'+*2ф'Ь0;
ж с, УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ПРИ БИВРАЦИЯХ ТОНКОГО КРЫЛА Ю9
lj0 согласно (8.37) левая часть стремится к нулю при х->-\-со\
,.ледовательно,
Из (8.31) и (8.37) следует, что вне любого сколь угодно малого
угла, содержащего отрицательную полуось х, функция Ф1 (л;, у)
удовлетворяет принципу излучения. Из (8.29а) и (8.37) вытекает, что
функция Фг(ху у) удовлетворяет условию -^—/аФ1==0 на линии
разрыва ^y==0, лг< — 1 и условию симметрии Ф = О при^/ = р,
Рассмотрим еще условие на отрезке y = Q, |jc|<^1. Из
формулы (8.37) и волнового уравнения получим:
х
-^=U+/я*+ <v2 -а2) e<,*Je_</^ с» j')л-
оо
Отсюда, учитывая (8.30) для удовлетворения граничного условия
-1 = 0 на отрезке у = 0, |*|^1, найдем одно уравнение,
связывающее постоянные Л и В:
J *-«*(*. 0)^ + i^ tBe = 0. (8.38)
о
Пользуясь (8.31) и (8.36), уравнение (8.38) можно
преобразовать к виду
^(g-b + i£7^-)+g(C-- v + g )°0, (8.39)
где С± имеют следующие значения:
-4-1 l — o;
C± = jf(x) T± (x) dx, / (x) = e'~iax f е~м Я§° И "rf/. (8.40)
~1 oo
Учитывая выражение (8.36) для f±, получим
i ^ce;(o)
гле
Pn = //(cos7j)cen('»])rfir).
ПО ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА fr*„
Величины f)M можно представить с помощью ряда, удобного Дл
проведения численных расчетов. Для получения такого ряда разложи*!
функцию f(x) в ряд Маклорена и воспользуемся выражением (%.щ
для сеп(г\). В результате этого получим:
со оо *
15«= ^Л™ S^T J cosfcijcoswqAi.
rw = 0 Аг = 0 0
Для упрощения этого разложения заметим, что
Г I. я *!
Jcos^cosmiirfn^ ,
где кит должны быть одинаковой четности, причем &>-/#;,для
остальных же значений k и т интеграл обращается в нуль. Далее,
из (8.40) легко получить следующее соотношение:
/»>(0)в (-/«)*/((» + (- 1 )**-«« 2 («aj'-S^'^WV*-0.
1 = 1
где
Принимая эти замечания во внимание, получим:
(-/«)*-Sg>
/с
^-«-^{^/(О)^ 1. +^(-1)^5^ }, (8.42)
к = 1
1
(8.43)
^Й) = Л„0, S[n) = AnU ^'^«о+^ит. д.,
n-it(fa),-V-'(itf»(v))<»-').
1=1
Для вычисления функций Тк(у) укажем рекуррентное соотношение
(8.44)
'(2) ЛЛ\<*>
^«tan + ^W'W) (*-l. 2> .О
Для вычисления рл по формуле (8.42) следует предварительно
вычислить /(0). Заменяя в выражении (8.40) at через новое
переменное интегрирования t, получим:
tt оо
/(0) = 1 [ [ М3) (М 0 e-**dt - J //о2) (М 0 e~udt. ] .
§81
УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ПРИ ВИБРАЦИЯХ ТОНКОГО КРЫЛА
Ц1
Интегральные выражения
Hf\M, «) = 7С(М, «) — iN,(M, «) = f № (М t) cos t dt,
О
а
M2,(M, «) = Js (M, «) - IN, (M, a) = Г HP (M /) sin t dt
(8.45)
протабулированы *), а второй интеграл в выражении для /(0)
вычисляется точно. Имеем:
71 У'\ — М2
1 — у^1 — м«
м
(8.46)
Поэтому выражение для /(0) можем представить в окончательном
виде:
/(0)=1[М2)(М, а)-/Я?ЧМ, а) +
я/1 — М2
1— /1 —М^
м
(8.47)
Таким образом, найдены функции Ф0 и Ф1? удовлетворяющие
условиям (8Л1) и (8.12).
Функция Ф = Ф0-}-Ф1, зависящая от одной произвольной
постоянной, удовлетворяет условиям (8.8), (8.9), (8.10) и принципу излучения.
Произвольную постоянную определим теперь из условия о конечности
скорости газа у задней кромки крыла (у = 0, л? = — 1).
Очевидно, что для этого достаточно потребовать конечности выра-
дФ
жения ^ /аФ при у = 0, л: = — 1. Составим это выражение. Имеем:
Учитывая разложения (8.20) и (8.33), при ^ = 0 и |х|<1 получим:
дФ
^_/аФ =
(■п)
n=l
SeTO(0)
Se„(0)
2*.
« = 0
Се„(0)сеп(т])
Се„(0) sinY) '
(8.48)
]) Schwartz L, Untersuchung einiger tnit den Zylinderfunctionen nullter
Ordnung Verwandter Funktionen. Luftfahrtforschung, т. XX, 1943*
112
ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА
[гл.
дФ
Условие конечности ^—/аФ при ^ = 0 и * =— 1 можно написать
в форме
/ТТ5(£_*#)_о.
lim
ж-»—
Приняв во внимание (8.34), получим соотношение между А и д.
AS+ + BS_ = Tl, (8.49)
где через S± и fi обозначены выражения:
"ice;,(0) (Я)
**-*2£$ #«■<«>.
vi Sew rO) ' / ч
я = i и * '
(8.50)
В частном случае вертикальных и вращательных колебаний на
основании формулы (8.26) величина fj может быть представлена
в виде:
Tfi
iSen(0),
=~ yf^wS, §wse"w [QniVl+Rn<oal (8,51)
Уравнениями (8.39) и (8.49) определяются константы Л и Б.
Разрешая эти уравнения, получим:
7i
■s+ + t*s- '
Я:
Ml
S++72S-'
где
fe2-
*е
<(*-*)
/e-<(v + a)
(8.52)
(8,53)
На основании этого явное выражение для коэффициентов Ьп
получается в виде:
се;«»
Сеп(0)
bn = Fn4u
(8.54)
где
и„
2 U™ сет (*)
Л/ _ Се"(°>г~(") i v Jw)i
Определив потенциал скоростей возмущенного движения сжимаемой
жидкости, можно вычислять аэродинамические силы, действующие на
УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ПРИ ВИБРАЦИЯХ ТОНКОГО КРЫЛА
113
§81
„еблюшееся крыло. Для возмущения pt давления согласно фор-
^ле (7-5) имеем:
pi = ро 7 (ё -/аф)ei {M-Xx)- (8-55>
Поэтому для подъемной силы и момента можно написать:
* y_Y0==29oU \ (Ц — юф) _ eHkt-ix)dXt
/у=0
+ 1
(8.56)
где Y0 и 2№0 — подъемная сила и момент при установившемся
движении крыла.
Воспользовавшись формулой (8.48) и приняв во внимание (8.25),
получим:
ОО
I — SWo = - 2icpea£/fe"'* У \РПЪР'„ -f f¥^a» («Я„-Д>)1.
_*ТЛ Se„(0) J
(8.57)
Здесь Q?l и /?w — величины, комплексно сопряженные с Qn и /?w,
определяемых формулами (8.26), а Рп, Pw и Dn имеют следующий вид:
Лг=2(-0МЛПШ4ЛХ),
«г = 0
р — V г—/1шл
-тл Jm-lft)— Лп+lM
»»«0
^п — 7lui\ l) Dnm о
~L
(8.58)
Нетрудно убедиться в том, что при вибрациях тонкого крыла
в дозвуковом потоке х в принятой выше приближенной постановке
задачи у передней острой кромки крыла, так же как и в
несжимаемой жидкости (см. § 6), действует сконцентрированная
подсасывающая сила. Величину подсасывающей силы можно вычислить с помощью
Теоремы о количестве движения и рассуждений, аналогичных
примененным в §§ 5 и 6. Формулу для подсасывающей силы можно
8 Зак. 1631. Л. И. Седов.
114 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА frn
получить и иным путем, с помощью применения теоремы о сохранении
энергии. Подробные вычисления были произведены М. Д. Хаскиндом
которому принадлежит следующая формула: '
лп ср — Jo
оо оо
2 feJKse» (°) - 2F^ce» <°)
м = 1
(8-59)
fjie Xncv — среднее значение подсасывающей силы за период.
Перейдем к рассмотрению частных случаев.
1°. Изложенный выше метод применим к решению задачи о
вибрациях тонкого крыла в несжимаемой жидкости. Соответствующее
решение получится предельным переходом при cQ-+oo, M = 0, v = X=5 0
и а = [1, причем вместо волнового уравнения получаем уравнение
Лапласа.
Частные решения уравнения Лапласа в эллиптической системе
координат, исчезающие в бесконечности, имеют вид:
Ф^ = е~п*s'm ni\, Ф^2) = е~~7*cosn%
Ф2> + *ф£> = (г — У^=Л)п.
В соответствии с этим функция Ф0(л:, у) представится
разложением
сю
На основании граничного условия на отрезке у = 0, | х | ^ 1
коэффициенты ап представляются формулами:
+■
«п=~^" V (COS 7j) Sill/WJ Ж). (8.61)
—It
Эти коэффициенты легко вычислить, если функцию 1/(cosyj)
представить в виде тригонометрического ряда по косинусам:
оо
V (cos yj) = -^ + ^ Яш cos тч\% (8.62)
где
+«
*° = -S^T* ^sin^ = -2TIm[^ —^2—1]W' (8-60)
<7т= — J V(C0SYj)C0SmiQ^Y|.
После подстановки (8.62) в (8.61) получим:
V4ET бЖИМАЕМОйТИ ПРИ ВИБРАЦИЯ* ТОНКОГО КРЫЛА 115
§81
г омоническая функция g (ху у) легко определяется из граничных
условий при у = 0:
^ = 0 при 1*|>1,
g(x, 0) = С^+ const, при |л:|<1
и представится простой формулой
g(x, v) = C1e-^cosf\-\-C^ =
= CtRe [z— Vz*—\\ — C2Reln \z — V>— 1 ]. (8.64)
Для постоянных Сх и С2 получаются такие же уравнения, как
и в общем случае. Имеем:
X
ОО
Условие -J-1 = 0 при у = 0 и | х | < 1 дает:
со
1 Г J L L У>2—1 T^2_iJ
С помощью функций Ганкеля это уравнение можно написать в форме:
CiM2)(fO — C2/^2)([x)==0.
Условие конечности скорости у задней кромки в точке у = 0, л: = —1
дает второе соотношение:
ОО
Из этих уравнений найдем: - ..
c2=cw^, cie[i-c(rt]ifijii,
где
Значения функций р (\i) и ^ (ji) даны в Таблице 2 (стр. 87).
8*
116 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА г (гл. ц
Пользуясь формулами (8.56), (8,60) и (8.63) — (8.65), для подъем-
ной силы и для момента найдем:
ЭД —2R0 = — mUa*"X \ (8.66)
Легко убедиться, учитывая (8.62) и обозначение ;e = cosif], что
формулы (8.66) совпадают с формулами (6.11), (6.12) и (6.13).
2°. В качестве второго частного случая рассмотрим поступательные
и вращательные вибрации твердой тонкой пластинки в сжимаемой
среде при отсутствии основного поступательного движения (£/ = 0).
В этом случае имеем:
Л = 0, а = оо, v = —. •
со
Для потенциала скоростей возмущенного движения найдем:
где Ф совпадает с бесциркуляционной частью решения Ф0(лг, у).
Очевидно, что в рассматриваемом примере условие о конечности
скорости жидкости — газа не удовлетворяется на обеих кромках.
Положим:
Фо = **i (*> У) + шф2 (*> У)>
где v и а) — комплексные амплитуды для вертикальной скорости
поступательных колебаний и для угловой скорости.
На отрезке у = 0, | х | < 1 функции Ф! и Ф2 удовлетворяют
условиям:
ду ' ду
Отсюда при £ = 0 имеем:
—* — a sin Y), -jrr- = -<y ал sin 2г\.
Функции ФА и Ф9 можно представить разложениями по нечетным
функциям Матье соответственно нечетных и четных индексов:
Ф — V а л. Se»»+i(6) se Ы\
*i — 2л a2n+i Se'«„ L, <0\ se« w'
^j"^SeWi«>)
w*=0
ф*=^^$Ге»^-
n«i
УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ПРИ ВИБРАЦИЯХ ТОНКОГО КРЫЛА 117 «
но, что коэффициенты а2п+1 и а2п легко вычисляются. Исполь-
JT(8.18>' имеем:
тс
ean+ie7" J sin4sean+1(ti)d4 = aS9nM,lf
—я
+ *
+ TC
Учитывая, что Г Ф2sinv\ dv\ = 0 и J (&1sin 2ridri = О, для
—те —ас
аэродинамических сил, действующих на вибрирующую пластинку, полу-
UUM!
ЧИМ
+ «
Г= ра |- [л J Ф, sin yi А,] = - ,»я(v) ££- Х22(v) К,
— те
+ «
«f-^-S^ J *2sin2ri^]=-,x33(v)g^X83(v)S,
—те
где 1/ = 'У£ш, Й = о)бш и, кроме того,
^22— jAm^-P^ J (Ф|)$-о8,пЧ*Ч =
— тс
оо
— глгл2 V Se2n + 1 (0) дЗ
П = 0
Has —ух8з = —^ J (Ф«)5 = о8,п2'Чл1=!8
(8.67)
_ pica* vi Se2n (0) R2
= o~ 7 i / &2П 2»
(8.68)
Коэффициенты ja22(v) и PsbOO» как и в случае несжимаемой
жидкости, играют роль коэффициентов присоединенных масс, а
коэффициенты X22(v) и X33(v) характеризуют величины демпфирующих
эффектов. В несжимаемой жидкости при с0 = со, v = —=0 имеем
^22 = ^33 = 0, и поэтому демпфирующие силы отсутствуют, Почадз-
* 118 ТЕОРИЯ ТОНКОГО КРЫЛА [ГЛ,
ние демпфирующих сил в случае сжимаемой среды обусловлено затра.
той энергии, расходуемой на образование волн сжатия и разряжения
уходящих в бесконечность и излучаемых вибрирующей пластинкой i)[
Из формул (8.68) в пределе при v = 0 имеем:
1*22 (0) = рТШ2,
а при v -> -{- °°
^зз(°) =
ртеа4
Хм(0) = Хю(0) = 0,
jx22(oo) = ii33 (oo) = Х22 (оо) = Х33 (со) = 0.
Последние предельные равенства можно истолковать следующим
образом. При v -> оо каждый элемент вибрирующей пластинки излучает
и
и
1,0
0.3
0.8
0.7
о.ь
0.3
оу
0.3
01
0J
0
—
L/
1
/
/
/
/
/
1
1
р2гм
\Ргг(0)
1 \
\
ЛггМ
*ЦцЮ,
\
\
и-о
■—■
/
К5
tJ\
U
V
/м\
о.з\
0.8
0J
o.s\
0.5
0!1\
0J
ОЛ
0.1 \
М=0
/
/
/
/W0
у
/
/
р^
;
/
/
/
/
/
К
"И
\
V
X
Л
/\
/
зМ
ззЮ)
ч
\
\
\
1 1
\1
\
—^
1
Фиг. 2.16. Присоединенная масса и
демпфирование при вертикальных
выбрациях пластинки.
Фиг. 2.17. Присоединенный момент
инерции и демпфирование при
вращательных вибрациях пластинки.
плоскую волну, в которой скорость жидкости равна нормальной
составляющей скорости рассматриваемого, элемента; поэтому на
пластинке давления одинаковы с обеих сторон.
!) См. Хаскинд М. , Д., Акустическое излучение колеблющихся тел
в сжимаемой жидкости. Журнал экспериментальной и теоретической физики,
т. 16, выц. 7, 1946.
УЧЕТ СЖИМАЕМОСТИ ПРИ ВИБРАЦИЯХ ТОНКОГО КРЫЛА 119
§ 8J
На фиг. 2.16 и 2.17 представлены графики, вычисленные по форму-
(8.68) для зависимости от v величин:
Н>22 ft) 1^33 СО *м00 X33(v) fXfiQ^
ta (0) ' М-зз (0) ' k^ (0) ' *{*33 (0) ' ^™>
Д1. Д. Хаскиндом вычислены аналогичные коэффициенты для тел
другой формы (цилиндр, шар). Полученные зависимости от v имеют
т0т же характер.
Графики фиг. 2.16 и 2.17 определяют зависимость величин (8.69) от
ис=-— с учетом сжимаемости при М = 0. При М>0 влияние пара-
0 ка
метра v = —/1 ___ М2\ также весьма существенно.
ГЛАВА III
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
§ 1. Основные задачи об определении потоков
вне периодических решеток
Теоретическое изучение работы некоторых гидравлических и
газовых машин, например компрессоров, турбин и насосов, а также
водяных и воздушных винтов, приводит к определению плоских
течений вне решеток (жалюзи), образуемых периодически
повторяющимися рядами крыльев.
•>--Г--Ov На фиг. 3.1 показано, как эти плоские течения схе-
ч>—i 'А матизируют течение жидкости в слое жидкости,
заключенном между двумя круговыми цилиндрами, ось
которых совпадает с осью вращения компрессора
осевой турбины или винта. Такая схематизация
законна, когда диаметр машины велик по сравнению
с шириной лопаток. Решение задачи о течении
жидкости при обтекании решеток профилей позволяет
учитывать гидродинамическое взаимодействие
лопастей.
К течению жидкости вне решеток мы приходим
также после продолжения потоков для движений
с плоскими стенками или с плоскими свободными
ние в цилиндри- поверхностями. Например, если мы имеем движение
ческом слое за- крыла' между двумя параллельными горизонтальными
меняется прибли- стенками, то условие обтекания прямолинейных непо-
женно плоскопа-
раллельным пото- Движных стенок позволяет продолжить аналитически
ком через перио- потоки вверх и вниз, после чего приходим к рассмо-
дическую решетку, трению движения бесконечной жидкости вне решетки
(фиг. 3.2). При этом продолжении каждые два соседних
пера решетки представляют собой зеркальные изображения друг друга
относительно средней горизонтальной прямой; горизонтальные
скорости у всех крыльев одинаковы, а вертикальные и угловые скорости
у соседних крыльев противоположны.
Решетчатые области иногда удобно использовать в качестве
вспомогательных параметрических областей. Поясним это на примере
радиальной турбины (фиг, 3.3),
Фиг. 3.1. Движе-
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 121
Предположим, что в радиальной турбине жидкость движется
оскости, перпендикулярной к оси вращения. Комплексную пло-
В "сть в которой происходит движение жидко- *—«*
Сти обозначим через С; начало координат
Созьмем в центре турбины. Пусть в плоскости
? сеЧения лопаток представляют собой тонкие
профили, мало отличающиеся от отрезков лога- _ ^_ ^
оифмических спиралей, с центром в начале ^T^
координат. Эти профили расположены симме- -v^^u^^'w^""v>v>
трично, так что их можно перевести друг в% друга 1^ ♦ J ^
поворотом относительно центра турбины на °
угол -, где /г —число лопаток. ww^wwww^w
Для определения движения жидкости на ^ и*
контурах профилей лопаток даются нормальные
составляющие скорости, которые определяются
вращением турбины и возможными дополни- Фиг. 3.2. Исследование
тельными движениями лопаток. Эти граничные движения крыла между
условия приближенно можно написать для от- ДВУМЯ плоскими стен-
j * я- ками скопится к ирсир
резков логарифмических спиралей. Из физи- ДОванию движения ре-
ческих условий Следует, что циркуляция по шетки крыльев, обра-
бесконечно удаленному контуру равна нулю, зованной^ двумя рядами
а циркуляция вокруг начала координат опре- пР°Филеи, симметрич-
у J J ными друг относитель-
деляется из условия о конечности скорости ^ друГа.
у задних острых кромок движущихся
лопаток. Кроме этого, задается расход жидкости, протекающей через
/ © ®
ШЕ
-а +0. х
Фиг. 3.3. Движение жидкости в радиальной турбине в
плоскости С можно свести к движению жидкости в
плоскости вне периодической решетки с прямолинейной осью.
тУрбину в единицу времени. Жидкость притекает к турбине из
бесконечности и исчезает в начале координат, где имеются сток и
8ихрь.
122 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [ГЛ.
Радиальная решетка, составленная из отрезков логарифмических
спиралей, в плоскости С отображается на прямолинейную косую ре^
шетку, составленную из плоских пластинок в плоскости z, с помощЬю
соотношения:
l=VRJbe +2, (l.i)
где
2 ' '"I-'*
" In &+-<*■
Rt и R2 — расстояния переднего и заднего края спиралей от начала
координат, а ty—угол, под которым лопатка видна из начала
координат (фиг. 3.3).
Ширина пластинок в плоскости г равна
2« = у
* ,nIJ
Для сдвига d пластинок относительно друг друга имеем:
7сф
d = <
•а-
При этом преобразовании течению жидкости в области,
ограниченной двумя логарифмическими спиралями, полученными
продолжением лопаток, соответствует в плоскости z некоторое течение между
двумя прямыми у = 0 и у = к. В плоскости z течение повторяется
периодически при смещении на rd-f-d. Для периодического
вспомогательного течения в плоскости z с помощью преобразования £ = Л£*2
легко получить значение вертикальных скоростей на пластинках
решетки. При удалении в бесконечность вправо от решетки скорость
жидкости стремится к конечному значению, равному — ^- k, при уда-
г iq
лении влево — к конечному значению, равному —^-т^ k, где Г—-цир-
куляция вокруг вихря в центре турбины, a Q — объемный расход
жидкости сквозь турбину в единицу времени.
Если лопатки радиальной турбины представляют собой профили
общего вида, то преобразование (1.1) приводит в плоскости z к
решетке, составленной из некоторых профилей, отличных от плоских
пластинок,
§21
ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ ИЗ ОДНОГО РЯДА ПРОФИЛЕЙ
123
Очевидно, что с помощью преобразования (1,1) при л = 1
внешность решетки из любых профилей в плоскости г отобразится
конформно на внешность соответствующего одного профиля в плоскости С,
Периодический поток в плоскости г перейдет в некоторый
однозначный поток несжимаемой жидкости в плоскости С, который в
общем случае имеет вихри и источники в точках С = 0 и С=°о.
Указанным путем задачи об отыскании обтеканий или вообще
периодических течений несжимаемой жидкости в плоскости
параллельных или круговых решеток могут быть сведены к рассмотренным
раньше задачам о движении несжимаемой жидкости в области,
внешней к одному контуру.
Отсюда ясно, что задачи об обтекании решеток и одиночных
профилей, в общем случае, эквивалентны и сводятся одна к другой.
Теории решеток посвящено весьма много работ. Одной из первых
работ по этому вопросу является работа Кутта *), который
рассматривал задачу о поступательном движении одного вертикального ряда
плоских горизонтальных пластинок. Полное решение задач об
обтекании одного косого ряда плоских пластинок впервые дано С. А.
Чаплыгиным а).
§ 2. Обтекание решетки, составленной
из одного ряда профилей
Пусть в плоскости г = л:+(у дана решетка профилей,
образованная одним рядом профилей, сдвинутых поступательно друг
относительно друга на период 1е*Ъ (фиг. 3.4).
Ось х направим по хорде профиля, р — угол, определяющий
«вынос» решетки, d — хорда профиля, ~т — шаг решетки (обратная
d \
величина у называется густотой решетки).
Численная величина / определяется линейным масштабом, а угол р
выбором направления оси х.
Рассмотрим установившееся обтекание решетки потенциальным
потоком несжимаемой жидкости. Предположим, что скорость жидкости
в бесконечности слева от решетки конечна, равна Ъг и наклонена
к оси х под углом at. Далее предположим, что поток, обтекающий
решетку, периодичен и имеет период/^. Пусть «; = ср-|-/ф есть
характеристическая функция этого обтекания.
l)Kutta W. M, Ueber cbene Zirkulationstromutigcn nebst flugtechn.
Anwendungen, Sitzungsber. d. Bayr. Akad. Miinchen, 1911. стр. 1Q8.
2) Чаплыгин С. А., Теория решетчатого крыла. Математический
сборок, т. XXIX, 1914. См. также Чаплыгцн С. А. Собрание сочинений,
т- П, Гостехиздат, 1948, стр. 414-430.
124
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
1гл.,
г* dw
Интеграл Ф^т-^, взятый по контуру профиля, равен ЦиркуЛя
ции Г вокруг профиля; после деформации контура интегрировании
в контур ABCD и удаления отрезков AD и ВС в бесконечность
dw
ввиду периодичности -г- получим:
§d(o — &^dz = Y = (Ъ2е-*«* — ^-'«О 1е*,
(2.1)
где Ь2 — величина, а а2 — угол наклона к оси х вектора скорости
жидкости в бесконечности справа от решетки.
Из (2.1) следует, что справа и слева от решетки в бесконечности
составляющие скорости, нормальные к периоду 1е4$, всегда равны
s^
Фиг. 3.4. Схема периодической решетки профилей из одного ряда
профилей. Период решетки /е*'Р. Кривая DC получена сдвигом кривой АВ
на период.
между собой. Составляющие, параллельные периоду, при Г^ЬО
различны. При Г = 0 имеем:
*i = ь2 = У, <*i = а2 = а>
т. е. при Г = 0 скорости жидкости в бесконечности до и после
решетки одинаковы.
Характеристическую функцию для бесциркуляционного обтекания
решетки (Г = 0) обозначим через Z(z). Так как на каждом профиле
функция тока постоянна, то очевидно, что функция Z (г) определяет
собой конформное отображение периодической решетки профилей на
периодическую решетку прямолинейных разрезов, параллельных
вещественной оси, — решетку плоских пластинок.
Период VeW в плоскости Z определяется формулой
*а
г'
где z и г" — конгруентные точки в плоскости z (z/;—&'*=№$).
А ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ ИЗ ОДНОГО РЯДА ПРОФИЛЕЙ 125
Период в плоскости Z может быть различным и определяется
ооом Ve-ia- Периоды в плоскости г и в плоскости Z одинаковы,
Вв1Си №-** = 1- В частности, в плоскости Z можно получить решетку
есЛпластинок, расположенных вдоль одной прямой с действительным
й3 одом (скорость в бесконечности параллельна периоду 1е*$)у или
"ешетку из пластинок, расположенных друг над другом с чисто
^нимым периодом (скорость в бесконечности перпендикулярна к оси
решетки).
Размеры пластинок в плоскости Z вполне определяются периодами
плоскостях z и Z и геометрическими свойствами профилей в
плоскости г.
В общем случае функция Z (г) имеет следующий вид:
Z = Ve-**z + F (г\ (2.2)
где F (г)— регулярная вне решетки периодическая функция от z
с периодом fe*P, принимающая конечные значения при удалении точки z
от решетки в бесконечность.
Нетрудно усмотреть, что функция F {z) есть не что иное, как
характеристическая функция абсолютного возмущенного движения
жидкости при отсутствии циркуляции, когда жидкость в
бесконечности от решетки покоится, а решетка профилей движется
поступательно со скоростью, равной — Veia.
Справа и слева вне полосы, ограниченной двумя прямыми,
параллельными оси решетки, и содержащей решетку, функция F (г)
разлагается в ряд вида:
2гс<
где п — целое, причем л>-0 слева от решетки и /г<]0 справа от
решетки. Этот ряд переходит в ряд Тэйлора при замене е 1е^ через С;
при таких преобразованиях полоса одного периода переходит во всю
плоскость С; бесконечно удаленная точка справа при знаке плюс
переходит в начало координат С = 0, при знаке минус бесконечность
слева переходит в точку С = 0. Любая линия, исходящая из начала
координат в плоскости С, переходит в конгруентные кривые (сдвинутые
На период в плоскости z).
В § 8 мы покажем, что значения а0 для разложений справа и
слева, равные значениям функции F (z) справа и слева в
бесконечности, вообще не равны друг другу. (В некоторых работах ошибочно
принимают, что эти значения функции F (z) одинаковы и равны нулю.)
Далее, полезно отметить, что F(z) стремится к указанным
предельным значениям по экспоненциальному закону.
Функция F (z) зависит от V и а. Эту зависимость легко уста-
"овить.
126 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК fn*
В самом деле, положим ^ = у и а = р—-^ (обтекание перпенди
кулярно к оси решетки). В этом случае формула (2.2) приобретав
вид:
Zj-iie-'P*+ />,(*). (2.3)
В плоскости Zt период равен т.
1С
Если V = у и а = р (обтекание вдоль оси решетки), то
£, = -£«-«'*+/',(*)• (2.4)
В плоскости Z2 период равен тт.
Введем обозначения:
Ув=^81п(р-а), ^w = ^-l/cos(P-a).
Так как мнимые части Zt и Z2 постоянны на обтекаемом профиле,
то в самом общем случае можно написать:
Отсюда следует:
Z = Ve-**z+™ [sin (p — a)/7,-f cos(P — a)F2]. (2.5)
Функции Z7! (^) и /^С*) не зависят от V и а, которыми определяется
период решетки плоских пластинок в плоскости Z.
Задачу об обтекании решетки в плоскости z с заданной
циркуляцией или с заданным расположением точки схода струй с профиля
можно решать параметрически, с помощью конформного
отображения (2.5).
Очевидно, что характеристическая* функция w (z) = <p-}- /ф после
замены z через Z превратится в характеристическую функцию
обтекания решетки из 'плоских пластинок в плоскости Z.
В бесконечности скорости в плоскостях z и Z связаны
соотношением
/dw\ ,dw\ .
Циркуляции по контурам, охватывающим профиль и пластинку,
одинаковы. Выбором циркуляции можно обеспечить требуемое положение
схода струй на пластинках, например в точке, соответствующей
заданной точке на профиле в плоскости z.
Очевидно, что при заданной циркуляции или при заданном
положении критической точки функция w(Z) определяется независимо от
геометрических особенностей профиля в плоскости г.
', ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ ИЗ ОДНОГО РЯДА ПРОФИЛЕЙ 12?
о качестве параметрической плоскости можно взять плоскость
плексного переменного Zl? связанную с плоскостью z соотноше-
к° (2.3). В плоскости Zj получается решетка плоских пластинок
нИ ерИОДом те/. Выберем начало координат так, чтобы прямолинейные
с езКИ решетки в плоскости Zx = Xi -f- IY{ определялись сооотно-
щениями: « .
— а<Хг< + а9 Yt = kni {k = 0, ±: 1, ±2, . ..). (2.6)
Непосредственно легко проверить, что в этом случае формула для -т~
имеет вид:
dw =а* ь* shZt Y_ chZt _ (2
dZ1 Yz№Zl — c№a~2ш V^Z1 — cti*a
или после интегрирования:
w
= (и* — ю*) Z, — w>* In ——^ - 4-
v ' l L ez*cha i l
Г
+ i. In [sh Zx + /eh2 Z, - ch2 л],
2ic/
где я*, i>*— проекции средней скорости справа и слева от решетки в
бесконечности, Г — циркуляция по контуру, охватывающему пластинку.
Очевидно, что поле скоростей имеет период те/, корень
Yc\fiZ1 — oh2 а принимает чисто мнимые значения противоположных
знаков на верхней и нижней сторонах разрезов (2.6), функция -ту на
этих разрезах действительна; благодаря этому удовлетворяются условия
обтекания.
При отсутствии циркуляции имеем:
Z = (и0 — iv0) Zx — iv0 In -LJL7 ■ • (2.
L e*1 ch a J
8)
Формула (2.8) определяет собой конформное отображение
внешности ряда пластинок (2.6) в плоскости Zt на внешность косого ряда
пластинок в плоскости Z (фиг. 3.5).
Период L-\-iH косого ряда равняется те/(яо — и>о)- Обозначим
через d длину пластинок в плоскости Z.
Критическим точкам Ot и 0.2 в плоскости Zj (нулям произвол-
Н°Й ~dZI со°тветствУют острые кромки — края Ох и 02 пластинки
в плоскости Z. Основываясь на этом, из формулы (2.8) получим:
d 2
/ = — [sin р arsh (sh a sin р) -|- cos р arc sin (th a cos P) ]. (2.9)
1$8 ТЕбРИЙ 1>ЕШЕТбК . (ГЛ.
Функция Zx(z) определяет бесциркуляционное обтекание в направлю
нии, перпендикулярном к оси решетки. Зная функцию Zx (г), нетрудНо
определить функцию Z2(z)
и характеристическую функцию чисто
циркуляционного обтекания w*(z), так как переменные ZQ и
выражаются через Zp независимо от вида профиля.
ад*
*
7
-а 0,
| ©
h С
Qz
+а X, 1
У*
®
A-'-fa
//
д
РГТ"
Фиг. 3.5. Конформное отображение решетки плоских пластинок
с периодом L~\- Ш в плоскости Z на решетку плоских пластинок
с периодом т в плоскости Z\.
В самом деле, очевидно, что Z^^Z при «0 = 0и ^0=1;
поэтому на основании (2.8) можно написать
: —Пп Г
ch Zt+ YcWZj — ctfa'
или
cos Z„ =
(2.10)
СПЯ
Очевидно, что для w*(Zt) верна формула
да* = т^г In [sh Zj -f Vc^Zj —ch2a ].
(2.11)
Зная функцию Zj (г), мы получим Z2 (z) и да* (z) на основании
формул (2.10) и (2.11).
Задачу об обтекании решетки профилей можно решать
параметрически. В качестве параметрического переменного можно взять
переменное Zj или переменное С, определив предварительно связь между
Zt и С. В частности, в плоскости С можно взять решетку кругов.
Решив задачу об обтекании решетки кругов перпендикулярно к оси
решетки, т. е. определив функцию Zj(C), решение задачи об
обтекании заданной решетки в плоскости z можно свести к конформному
отображению z (С) внешности заданной решетки на внешность
решетки кругов.
Если за параметрическую область взята решетка пластинок (2.6)
в плоскости Z1? то распределение скоростей на профиле в решетке
можно определить в параметрическом виде с помощью следующих
формул.
0, ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ ИЗ ОДНОГО РЯДА ПРОФИЛЕЙ 129
На основании (2.3) имеем:
X1^le^z + F1(z)9 (2.12)
так как на рассматриваемом профиле мы можем принять Yx = 0.
Далее для всех точек потока и для точек профиля
dw ^ dw_ dZt _
[* • * &h Z* . Г ch Zi "1 dZ\ /л <o\
я*—w* r ■ H * *.. (2.13)
Ych*Zt--ch2a ' 2iw /ch* Zx — ch2 a J rf* v '
Циркуляция Г может быть определена .из условия о положении точки
разветвления линии тока на профиле в плоскости z и, следовательно,
в соответствующей точке в плоскости Zv
Формулы (2.12) и (2.13) позволяют рассчитать распределение
скоростей по профилю. Влияние условий обтекания сказывается
только через u*f v* и Г, которые выражаются линейно через
скорость жидкости в бесконечности перед решеткой.
На контуре пластинки выражение -ту- в квадратных скобках
формулы (2.13) действительно и обращается, в общем случае,
в бесконечность при Zt = ± а. Если точкам Zt = rt а соответствуют
в плоскости z точки с непрерывным изменением касательной, то
производная -^-^ в этих точках обращается в нуль; поэтому
величина --=— имеет конечное значение.
dz
Для определения обтекания некоторых специальных серий
профилей можно задаваться функцией Fx(z).
В частности, в плоскости z можно получить профили,
практически совпадающие с окружностями, если выбрать Ft(z) на основе
следующих соображенийх).
При обтекании изолированной окружности единичного радиуса
в плоскости С вдоль вещественной оси характеристическая функция
имеет вид:
причем второй член дает течение от диполя. Для получения
обтекания решетки кругов с радиусами, равными единице, в направлении,
г) Указанный ниже приближенный прием и его использование для
построения обтекания крылообразных профилей были предложены Э. Л.
Блоком (см. Блох Э. Л., Исследование плоской рАнетки, составленной из
теоретических профилей конечной толщины. Труды ЦАГИ, №611, 1947).
Построение точного решения задачи об обтекании решетки из кругов
1ано в работе: К о чин Н. Е„ Влияние шага решетки на ее гидродинами-
еские характеристики. Прикладная математика и механика, т. V, вып. 2, 1941.
9 Зак. 1631. Л. И. Седов.
130
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
(ГЛ.]
перпендикулярном к оси решетки ( р = -2. и а = 0J, возьмем ряд ди„
полей с одинаковым моментом, расположенных на мнимой оси в
точках 1Г]0-|-/&, где k — любое целое положительное или отрицательное
число. Характеристическая функция этого ряда диполей предста»
вляется выражением
_cthy((; — /y]0).
Определим теперь функцию Ft (С) следующей формулой:
т У г * /« «by (С-Л)
—X
shT(C + A)
Следовательно,
r тс « , im 1
-i=7c+-2^ln
sh у(С-Л)
eh у (5 +A)
(2.14)
dZ,
где постоянные /пил определяются из следующих условий: —^ = 0
при С = ±1 и Zj = 0 при £===£/, что дает:
/я = 2тг
тс 2тс
7sinl"x
= 1п
Sh«j + Sin«yX
Sh* j + Sin2 у X
sin — X
sinT(l+X)
sin j (1-Х)
(2.15)
Зависимость X от -~ = t (d — диаметр окружностей) представлена
на фиг. 3.6.
2
Для всех 0<]-j <C 1 в плоскости С получаются контуры,
практически совпадающие с окружностями. На фиг. 3.7 представлен
пример совпадения расчетных точек контура в плоскости С с окружно-
2
стью при -у = 0,91. В этом случае получается решетка окружностей
2
с большой густотой. Если густота уменьшается, так что у < 0,91,
то совпадение теоретических контуров с окружностью получается
еще лучше.
§21
ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ ИЗ ОДНОГО РЯДА ПРОФИЛЕЙ
131
Очевидно, что, исходя из формулы (2.14) и формулы (2.8),
0 считать известной функцию ^(С) в формуле (2.2), дающей
f Т'
/,*/
V
1
'
'L
О 0,1 0,1 0,3 0,4 0,5 0,5 0,7 0,3 0.3 . Iff *
Фиг. 3.6. График зависимости X от -у = -у .
отображение внешности решетки кругов (точнее: овалов, близких
к кругам) на косую решетку пластинок с заданным выносом и
периодом.
0,5
\
f
[f
Л
О
0.5
ю
Фиг. 3.7. Решетка, составленная из профилей, близ-
2
ких к окружностям, при -у = 0,91, X = 0,588.
Используя функцию /^(С), определенную указанным методом,
можно получить конформное отображение внешности-решеток,
составленных из некоторых крылообразных профилей, близких к заданной
косой решетке плоских пластинок, на внешность решетки кругов.
9*
132 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [ГЛ, ц,
Пусть изолированный профиль в плоскости Z, по виду близкий
к контуру в решетке, отображается на внешность круга в
плоскости С преобразованием вида
*-<+•(■*)•
Можно построить отображение периодической решетки контуров
того же типа в плоскости Z на решетку кругов в плоскости £
с тем же периодом с помощью формулы вида
2 = С + Ф(/7(С)), (2.16)
где F(Q — функция, определенная выше при отображении решетки
кругов на косую решетку пластинок с тем же периодом.
Определение обтекания профилей в плоскости Z после этого сводится к
построению обтекания решетки кругов, для которого выше дано
приближенное решение.
Приложение этого метода к построению обтекания различных
серий крылообразных профилей дано в указанной выше работе
Э. Л. Блоха.
Для точного построения течения вместо кругов можно взять
соответствующие овалы. По функции Zj, определенной
формулой (2.14), характеристическую функцию Z2 и характеристическую
функцию w*(z) для обтекания овалов, близких к кругам, можно
определить с помощью формул (2.10) и (2.11).
§ 3. Метод отображения на внутренность круга
Изложим теперь еще несколько иной метод решения задачи об
обтекании решетки из одного ряда профилей с помощью
конформного отображения внешности решеток профилей в плоскости г на
риманову поверхность в плоскости t внутри системы
концентрических окружностей единичного радиуса. Окружности на различных
листах соединены в точках ветвления ^ = ±s, соответствующих
точкам ^ = ±оо, где в — положительная действительная величина,
меньшая единицы. Область в плоскости z^ ограниченная контуром
профиля и двумя конгруентными кривыми (то-есть кривыми, сдвинутыми
друг относительно друга на период, см. фиг. 3.8), уходящими своими
концами в бесконечность вправо и влево, отображается конформно
на внутренность круга |£|<1 с разрезом между точками / = :+:«.
Контур профиля переходит в контур окружности, а конгруентные
кривые в разрез. Точкам на различных сторонах разреза
соответствуют конгруентные точки в плоскости г, переход через разрез на
другой лист римановой поверхности соответствует сдвигу на период
в плоскости z. Указанными условиями функция, реализующая кон-,
формное отображение, и величина параметра е определены
единственным образом.
01 МЕТОД ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВНУТРЕННОСТЬ КРУГА 133
§3]
функция скоростей -^, производная ~- и производная -^ =
dw^dz^ — периодические функции от г и, следовательно, одно-
558 dz dt
начные функции от t внутри единичного круга |*|<1. Очевидно,
0 т0чки /==±8 являются простыми полюсами для функций —гг
dz
и It'
На круге |*| = 1 функция тока ^ постоянна; поэтому
характеристическая функция w = <?-\-fy определяет в плоскости t = reiQ
©
Фиг. 3.8. Соответствие при отображении решетки в плоскости z
на внутренность единичного круга в плоскости /.
течение несжимаемой жидкости внутри единичного круга; в точках
t=±s этого течения находятся вихри и источник или сток. Круг
|/| = 1 является линией .тока, соответствующей обтекаемому
профилю в плоскости г.
Обозначим через ох и о2 > с^ аргументы критических точек на
круге |*| = 1. Так как ф = const, на круге |/|=1, то функция w (t)
продолжается ч^рез круг на всю плоскость комплексного перемен-
dw
ного /. Поэтому в плоскости t функция скоростей —37- представляет
собой рациональную функцию. Функция —тт- в точках t = ±e и
/=:+: — имеет простые полюсы, в точках t = eiQ^ и t=eia* —
простые нули, в точке t=oo (так как w регулярно) — нуль второго
порядка. На основании этого можно сразу написать: ^
dw _ 1Й~Щ^ (*-«*») (*-**) (ъ п
где В — постоянная.
На круге t — eio имеем:
sin —тт^ si"
(3.2)
dw _ dy _ AB 2 2
dt ~ ie*° do ie* (ё** — e?) (e-** — e«) '
.Отсюда следует, что постоянная В действительна. Циркуляция Г по
контуру профиля в плоскости г, взятая в направлении против хода
134 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [Гл „
ИЛ. 1ц
часовой стрелки, равна циркуляции по кругу |*| = 1, взятой по ходу
часовой стрелки. Эта циркуляция непосредственно выражается чере{
сумму вычетов функции (3.1) около полюсов t = ±e. Для циркудя%
ции Г верна формула
Г = 4*5 х_1 . (з.3)
dis)
Общая формула (3.1) для производной —тг не зависит от вида
обтекаемого профиля решетки в плоскости г. Условия обтекания и
геометрические свойства профилей определяют собой значения
постоянных В, е, at и о2.
Если обтекание бесциркуляционное (Г = 0), то из (3.3) следует,
что 02 = 0! +я. В этом случае в плоскости w0 = Z получается
косая решетка прямолинейных разрезов — плоских пластинок.
Следовательно, для функции Z(t), дающей определенное выше
конформное отображение внешности решетки плоских пластинок на
внутренность круга |f| = l, имеем формулу
_ = -Л,—о 0.1^^1^ . (3.4)
где А—действительная постоянная. Интегрируя (3.4), получим:
Z— -^[еЩп^-е-« Ш -|^], (3.5)
причем
Ае-*°* = ^ (eVP — *-#) = -^- [(!.+ е2)sin 0 + / (1 — е2) cos p] (3.6)
или
Л = 4^1+*4 — 2s2 cos 2(3, tgo0 = j-=^-ctgp.
В плоскости Z получается решетка плоских пластинок с
периодом leW. Ширина пластинок d выражается через параметр е по
формуле
d = \Z(e^) — Z(—e^)\ =
/ Г / 1 4- 2е cos aft + е* \ 0 0 . 2е sin а01
- т Lsin р ,п (1-2.со.4+^) ~2 cos|3 arctg ~r=/J •
которая на основании (3.6) приводится к виду
*=l/sinPl„ r^lZ^cos2^ + 2eilnj1 +
7 М L Yl— 2e2cos2^ + e4 — 2esinp J
3J
МЕТОД ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВНУТРЕННОСТЬ КРУГА
135
если положить Р = |-, ' = * и й? = 2а, то формула (3.7) дает:
thS. В общем с'лучае формула (3.7) переходит в формулу (2.9)
после замены е через th -^. Очевидно, что
f(«.P)=f(«.«-P)=T(,'"+P>-f (••-?)•
Зависимость отношения у в функции от s для различных р
представлена на фиг. 3.9.
£
1,0
03
6,6
№
/'
&
v/*^
7 s
"fsol
-$°эо°
А
о цг м
ИЗ U U ^ W 13 18 2,0 12 d
1
Фиг. 3.9. Зависимость параметра е от густоты -у и от угла выноса р
для решеток, составленных из плоских пластинок.
При е -»О для редких решеток формула (3.7) приближенно
представится в виде
4s
/ я/ 1 — 2e2cos2p + e4
(3.8)
Разрешение задачи об обтекании решетки плоских пластинок
представляется формулами (3.1) и (3.5).
Если скорость натекания потока в плоскости Z известна и
равна *>!*""*% то
Ше 2 (e + ^'He + g*')
Лв-**' (е2 — е2<»о)
(3.9)
136 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [гЛв
Для получения потока с конечной скоростью на задних кромках
пластинок (правые кромки) достаточно положить
°i = °о- (ЗЛО)
Полагая в (3.9) о1=зо0 и используя (3.6)# получим уравнения:
В Г(1 н- И) sin Up. + 2e sin i+3.1
b1cosa1 = -i f ST ч , (3.11)
(l + .^~=-t»slnpJ
(1 —«»)ДС08 °°~°8
to1sina1= = s f, (3.12)
(l+.i)L4 — -=i-e«sinp
•
из которых определяются В и о2, после чего все постоянные в фор*
мулах (3.1) и (3.5) становятся известными.
На основании (3.3) и (3.13) для циркуляции Г получим:
г - 4h [2е sin р ~ (f j-f c°s 2P+e4 ] h *> «ч- (3-13)
Зависимость циркуляции от ширины пластинки d и от угла р
определяется соотношениями (3.7) и (3.14). Для изолированной лластинки
при е->0 получим1):
Г= — icdbjsinaj. (3.14)
Для решеток из профилей произвольного вида вместо формулы
(3.4) верна формула вида:
<**_ ф(0 /о lift
где Ф(*)— регулярная функция внутри круга |*|<1, не
обращающаяся в нуль при |*|<1. Условия периодичности дают:
Ф( + е) = Ф(-е)=-^. (3.16)
• В ряде случаев определение функции Ф (t) может быть
произведено таким же путем, как и для изолированного профиля.
В частности, если изолированный профиль представляет собой
многоугольник с прямолинейными сторонами, с углами, равными а#г
*) Формула (2.8) главы I (стр. 23) определяет циркуляцию при обтекании
поступательным потоком п юск >й пластинки из условия конечности скорости
у левого края пластинки. Поэтому циркуляция получается противоположного
знака: Г = — ndV0 = n d\y± sin «j.
МЕТОД ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВНУТРЕННОСТЬ КРУГА 137
эбр
круга при
§31
3 10), то формула Кристоффеля-Шварца для отображения внеш-
(ФйГ* Многоугольника на внутренность единичного круга при соот-
2£иии * = оо и /=0 имеет вид:
*=0
д й g — действительные постоянные.
Так как
п
Л=0
то
очевидно, что на круге |/| = 1 верны равенства:
dz = Ae**J\
dt =
л = о
п a±zl Г *(—°fc) * («-«&) ] **
= M**JJ** 2 |_* 2 _£ 2 J rfo =
= 2n+i • Л • JJ sin01*-1 °^p *" do,
где А — постоянная, выражающаяся линейно через 8 и о0, <зи . ..,ол.
При любых значениях /г + 3 постоянных с0, аи ..., ол, 8, Л
дугам единичного круга oftaft-1 в плоскости z соответствуют
прямолинейные отрезки.
сел а>у/
Фиг. ЗЛО. Обобщение формулы Кристоффеля-Шварца на случай
отображения решетки профилей на внутренность круга.
При переходе по единичному кругу через точку ofr за счет
изменения знака у singTgfe происходит скачкообразное изменение
аргумента у элемента dz; поэтому точке t=ei9b в плоскости z
соответствует точка излома с углом а&тс.
138 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [Гл>
Для получения в плоскости z заданного многоугольника со сто
ронами dlf d2, ..., rfn+1 необходимо удовлетворить системе п^[
уравнений
г(еи*) — г{еи*-1)\~йъ (* = 1, 2, ..., л+1; о„+1 = с0). (зЛ7)
Положение и ориентация многоугольника в плоскости z опреде„
ляются постоянной интегрирования и условием на дуге o0Oj:
arg£fe=elf (3.18)
где Oj — заданный угол наклона к оси х стороны многоугольника
ях — z0. Система п -|-2 уравнений (3.17) и (3.18) обеспечивает уд0»
влетворение условия однозначности функции z{t)> которое можно
написать в виде:
/ fc=0
Условие однозначности, совпадающее с условием замкнутости
многоугольника, можно взять в качестве основного уравнения взамен
каких-либо двух уравнений системы (3.17) и (3.18).
Одна из констант в формуле для -г остается неопределенной;
для ее определения необходимо воспользоваться дополнительным
условием, фиксирующим конформное отображение. Например, для
этого достаточно удовлетворить условию для аргумента производной
-г. на действительном диаметре при t -► 0 или можно задать о0.
Нетрудно усмотреть, что для указанного выше отображений на
внутренность круга прямолинейной решетки из таких же профилей
верна формула:
п
dz Ф(0 ib ь=о (зл9)
at Р — г* ™ (<а — e*)(l_l*V)- K '
Множитель (*2 — е2) (^ — е2] на круге 11 \ = 1 положителен.
Следовательно, согласно (3.19) аргумент dz на дугах окак_г имеет
постоянное значение, так же как и в случае разобранном выше для
одиночного контура.
Для определения входящих в формулу (3.19) п + 4 постоянных
^0' °i> ••*> aw Л, 8 и е полная система условий представится fl-f-4
уравнениями (3.17), (3.18) и одним из комплексных уравнений (3.16);
второе равенство (3.16) удовлетворится автоматически, как следствие
условия замкнутости многоугольника в плоскости z. Значения
аналогичных постоянных для решетки и для изолированного профиля
различны. Очевидно, что формула Кристоффеля-Шварца— частный
случай формулы (3.19) при е=0.
МЕТОД ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВНУТРЕННОСТЬ КРУГА
139
§31
рассмотрим еще круговую решетку (радиальная турбина, центро-
нЫй компрессор), составленную из т конгруентных профилей,
вернутых друг относительно друга на угол — относительно начала
0рДИНат. Возьмем профили в виде полигональных контуров с
прямолинейными сторонами (фиг. 3.11).
Всякую круговую решетку, образованную т контурами, можно
отобразить конформно на /я-листную риманову поверхность в пло-
.о
Фиг. 3.11. Обобщение формулы Кристоффеля-Шварца на случай
отображения круговой решетки профилей на внутренность круга.
скости ty ограниченную т концентрическими окружностями радиуса
единица; точки ветвления, соответствующие точкам г = 0 и z = оо,
можно взять равными +е и —е (е<1).
В общем случае вблизи точек * = — е и £ = -|- в функция z(t)
имеет вид:
.1 _L
z = ct(t-{-e)m, z = c2(t—i) m. (3.20)
Легко проверить, что в случае круговой решетки, образованной
полигональными контурами, составленными из прямолинейных
отрезков, обобщение формулы Кристоффеля-Шварца для производной -г.
имеет вид1):
п
«*-!
<tf_ \_(t — «)(!—«*) J (P — s2)(l— еЩ '
(3.21)
*) Формула (3.21) дана Д. А. Войташевским.
140
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
[ГЛ.1Ц
Множитель
внутри круга |^Г=1 имеет требуемые особенности и принимает по»
ложительное. значение на круге |tf|=l. На дугах круга окок_1 аргу.
мент dz принимает постоянные значения, так же как и в предыду.
щих случаях.
Для определения входящих в формулу (3.21) /г-|-4 постоянных,
кроме я-]-2 уравнений (3.17) и (3.18), необходимо еще
удовлетворить двум условиям, определяющим расположение профиля
относительно начала координат, так как начало координат в плоскости г
вполне определено и соответствует точке t== — s. Этим определена
постоянная интегрирования. Обход точки t= — е соответствует
2л
в плоскости z повороту на угол — .
При переходе к пределу при т->-\-ос> из формулы (3.21)
получается формула (3.19).
В задаче об обтекании неподвижной круговой решетки любого
вида при использовании указанного выше конформного отображения
на внутренность круга производная -г-, как и в случае
прямолинейной решетки, представится формулой (3.1). Если решетка вращается,
то для определения w{f) необходимо разрешить соответствующую
задачу Дирихле.
§ 4. Потоки вне решеток, образованных тонкими полипланами
Ниже изложен новый эффективный метод *), легко доставляющий
решение основных гидродинамических задач для некоторых
решетчатых областей в простом замкнутом виде. Этот метод позволяет
решать многие новые задачи, которые недоступны для решения ранее
разработанными методами, и является естественным обобщением
метода, примененного нами в предыдущей главе, в теории тонкого
крыла.
Обозначим через D область в плоскости комплексного
переменного г = л; + /у, представляющую собой внешность системы отрез;
ков, состоящей из р рядов отрезков, для которых y = mni и
^ак<х<дк (А=1, 2, . .., р; т = О, ± 1, ±2,..., ±оо), и q ря-
9/1 -4- 1
дов отрезков, для которых у=—«—^ис8<х<й(8 (5=1,2, ...,?>
!) Часть этих результатов изложена в заметке: Седов Л. И., К
гидродинамической теории решеток и некоторых краевых задач, приводящихся
к определению периодических функций комплексного переменного. Доклады
Академии наук СССР, т. VIII, № 1, 1936.
ПОТОКИ ВНЕ РЕШЕТОК, ОБРАЗОВАННЫХ ТОНКИМИ ПОЛИПЛАНАМИ 141
^q -+:1, zt2, ..., ±00). Область D есть решетчатая область,
^Т которой показан на фиг. 3.12.
рассмотрим задачу об определении функции F(z) = u— iv, удо-
творяющей следующим условиям:
8 1°. В области D функция F (г) однозначна, голоморфна и имеет
период я/, т. е. F(z) = F(z+ni).
2°. LimF(z)=0 (вдали перед решеткой жидкость покоится);
lim F{z) имеет конечное значение.
У\
I
ш
@
Фгт>" д^у) ®,
VA \ аг к \ аз V
сГ
Фиг. 3.12. Решетка полипланов.
3°. Вблизи точек ал и cs 4" *о* ФУНКИИЯ ^ (^) конечна (правило
Жуковского о конечности скорости жидкости у задних кромок).
z
Вблизи точек Ьк и й8-\-Ц- интеграл F(z)dz конечен.
о
4°. На отрезках^ = О, ак < х < bk (k = 1, 2, ..., р) и д/ = у,
c«<*<de (s=l, 2, ..., #) мнимая часть функции F(z)
принимает заданные значения: — to\{x) — при подходе снизу и — iv2(x)—
при подходе сверху (заданные значения нормальных скоростей). Мы
предполагаем, что разность v2 — vx достаточно быстро стремится
к нулю при приближении к точкам ак и с8-\--~.
Предельным значениям рассматриваемых величин при подходе
к разрезам области D снизу будем приписывать индекс 1, а при
подходе сверху — индекс 2.
Условие 3° можно заменить условием о конечности F (z) у каких-
либо p-\-q произвольно заданных кромок разрезов области D и
г
Потребовать конечности \F(z)dz у остальных p-\-q кромок. Для
142 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [Гл#
определенности мы выставляем требование о конечности F (г) у Кр0%
, те/
мок ак и c8 + -j-
Так же как и для одного тонкого крыла,' положим
F(z) = F1(z) + F2(z).
Функции Fx (z) = #' — iv' и F2 (z) = и" — iv" удовлетворяют
условиям 1°, 2° и 3°. При подходе к разрезам области D снизу и
сверху vr принимает значения, равные по абсолютной величине, но
противоположные по знаку, a v" имеет одинаковые значения.
Таким образом, имеем:
^1 = — ^2= 2 , ^ = ^ ===-1-—. (4Л)
Из условий 1°, 2° и соотношений (3.1) следует:
ui = u'v < = -<• (4.2)
Пусть L — достаточно малый круг с центром в точке z. Для
определенности примем, что 0<j;<tc. Легко проверить справедливость
формулы:
^ & - i fF* ^ tcth « - *)+чrf(:-
i
Контур L деформируем в контур прямоугольника ABCD и в
контуры разрезов (ак, Ьк) и fa + y, ^ + т) (Фиг* 3«12)- Вытягивая
прямоугольник ABCD, получим, что интеграл по стороне CD
обращается в нуль, так как Ft(z) = Q при Re£ = +-oo. Интеграл по
стороне АВ также обращается в нуль, так как при ReC =— со
будет Fx(z) конечно, a cth (£— z)=—1. Интегралы по
горизонтальным сторонам С В и AD взаимно уничтожаются вследствие того, что
подинтегральная функция имеет период tzL Приняв еще во внимание
соотношения (4.2) и (4.1), найдем:
- h
Л=1 «д.
e—1 rc<
8+ 2
Формула (4.3) решает задачу об определении функции Ft (г).
ПОТОКИ ВНЕ РЕШЕТОК, ОБРАЗОВАННЫХ ТОНКИМИ ПОЛИПЛАНАМИ 143
Для определения F2(z) введем функцию
ft«=l 8 = 1
ch(z — c8)
Кооень возьмем со знаком плюс при z = x>bn. Очевидно, что g(z)
лнозначно в области D и имеет период те/. При x->ztoo g(z}
стремится к конечным пределам, причем, очевидно,
, , ч 1 л Л = 1 8 = 1 —J-
g( + ™) = f[Z^ = e =* г '
где d — сумма длин всех разрезов области D в одном периоде.
На нижнем и верхнем краях разрезов области D функция g(z}
чисто мнимая и имеет противоположные знаки.
Произведение g (z) F2 (z) является функцией, однозначной
в области D и имеющей период ш. Очевидно,
F» (*) = 25JW J^9 (Qg (0 [Cth (С_г) +1] dC
L
Совершив те же деформации контура L, что и при определении
функции Fx (г), легко получим:
Ы*)=ЫТй{У21 J («, + ^ft(C)[cth(C-2r)+l]« +
*=lafc
4+*
#т 2
+ 2 J («i + «.)*i(№hG-*)+1]*}- (4.4)
8Т 2
Через ^ (2) здесь обозначено g{z) при подходе снизу к разрезам
области D.
Таким образом, решение поставленной задачи дается суммой
правых частей формул (4.3) и (4.4). Как и в теории тонкого крыла,
эти формулы дают приближенное выражение функции скоростей
абсолютного движения жидкости для заданного движения решетки,
состаренной из тонких крыльев, мало отличающихся от плоских пластинок»
Если тонкие крылья имитируются слабо изогнутыми дугами, то
vi = v2 и формула (4.4) определяет функцию скоростей. Эти формулы
Решают также вопрос о неустановившемся движении решеток с
постоянными циркуляциями.
144 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК Гг„
Сумма правых частей формул (4.3) и (4.4) определяет функции
скоростей для движения жидкости с конечными скоростями у точек о
и ^s+*o • Если не выставлять этого условия, то решение зависит
от Р + Я произвольных постоянных, так как р -}- q циркуляции вокруг
пластинок можно задавать произвольно.
Нетрудно проверить, что функция скоростей чисто циркуляцион.
яого обтекания неподвижной решетки, составленной из p-\-q рядов
плоских пластинок, дается формулой:
dw* _ * \ #
dz
i 2T*eh**ch*+«-**
1/ П *h(* — *fc)sh(* — h) ]Jcb(z — c8)ch(z — d8)
где p-j-^ + l действительных постоянных ^k связаны соотношением:
4 s <ek+**)+i s <c*+<v*+«
e л=1 e=i Jt^
*-oT* +
+ (_l)*e *=1 8=1 S (-1)^=0. (4.6)
fc=o
Соотношение (4.6) выражает условие г>*(-4-оо) =— v* ( — oo),
которое должно соблюдаться при чисто циркуляционном обтекании.
На разрезах области D имеем ^* = ^* = 0. Постоянные ^к можно
определить так, чтобы циркуляции по контурам, охватывающим
разрезы области D, имели заданные значения. Докажем это.
Для определения р + ^+1 постоянных fk имеем уравнение (4.6)
и систему p-\-q линейных уравнений
1^* = Гь (4-7)
где Ск—контур £-го разреза. Для разрешимости этой системы
уравнений достаточно показать, что однородная система уравнений при
Тл = 0 не может иметь решений, отличных от нуля.
В самом деле, если все Гл = 0 и скорость жидкости в
бесконечности справа равна нулю, то вся жидкость покоится. Это легко
получить с помощью теоремы Грина, если принять во внимание, что
потенциал скоростей <р и grad<p в этом случае однозначны и имеют
., ПОТОКИ ВНЕ РЕШЕТОК, ОБРАЗОВАННЫХ ТОНКИМИ ПОЛИПЛАНАМ1Г 145
гмол * по координате у* С другой стороны, из формулы (£.5)
*е" dw* л ж ^
евидяо» что тождество -т*- = О влечет за «собой равенства -
• -
Формула (4.5) для.значений постоянных fb не связанных
соотношением (4.6), дает выражение для функции скоростей циркуляцион^
ного обтекания неподвижной системы плоских пластинок при конечных
значениях скоростей жидкости в бесконечности, параллельных оси у
и различных прил; = 1±:оо. — —_ . . •
Циркуляционное обтекание неподвижных пластинок с конечными
скоростями у каких-либо р -^q краев дается функцией вида g (г),
у которой числитель имеет нули в p*\-q краях, где требуется
конечность скорости. Знаменатель обращается в нуль в остальных p-\-q
краях. Очевидно, что при этом всегда g*( + оо)ф0. Следовательно,
не существует циркуляционного обтекания с конечными скоростями
у половины кромок и с исчезающей скоростью при лг«=±-|-оо. Отсюда
следует единственность функции, определяемой условиями 1°, 2°, 3°, 4й.
' Функция скоростей -.,...
dF = g°°+ /p « - (4'8)
у f[sh(z—^)sh(«-afc)TJch(z-ce)chO!-rfs)
когда p-\-q-\-\ постоянных ?ft связаны только p-\-q соотношениями
'J^tf-v ■■ ■ ■' ' ■'•
дает циркуляционное обтекание неподвижной решетки с конечной
и одинаковой скоростью в бесконечности справа и слева от решетки.
' Очевидно, что характеристическая функция w0(z) дает конформное
отображение внешности решетки с вертикальными рядами отрезков
в плоскости 2 на решетку из косых рядов прямолинейных ,отрезков;.~
параллельных вещественной оси в плоскости комплексного
переменного Wq.
Как было уже указано в § 2, пользуясь этим конформным
отображением, можно решать в параметрическом виде задачи, об
определении потоков вне косых решеток по заданным нормальным скоростям
на пластинках. Есди мы имеем один ряд пластинок и положим ах = —д,
b1 = Jra, то формула (4.8) дает:
X-{-iY=Z=.w0 = uocz — iv<Xy^ rcha . (4.9)
Ю Зак. 1631. Л. И. Седов.
146
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
1ГЛ.Ц
Геометрические параметры косой решетки в плоскости w0 оцр*
деляются значениями величин и», ^ и а (см. § 2).
Рассмотренную выше краевую задачу можно поставить и разре.
шить для внешности косой решетки в плоскости Z. Функция F(a
представляется в параметрическом виде с помощью формул (4.3), (4.4)
(4.5) и (4.9). Функции vt (х) и vu(x) на отрезке^ = 0, — а < х <^
определяются после замены в функциях vx (X) и v2 (X) координаты jf
через координату х согласно формуле (4.9). ,
Чтобы удовлетворялось условие 2°, постоянные -у* (Л=гр,1э ,тщ
р-\~0) в формуле (4.5) должны удовлетворять одному соотношении)
Для определения остальных p-\-q постоянных ук необходимы
дополнительные условия. В частности, эти постоянные можно выбрать
так, чтобы функция F(Z) принимала конечные значения в точке хе=а,
у*=0 или в точке х = — а, ^ = 0.
Интегралы в формуле (4.4) легко вычислить, когда функцию
V± 2 V*' заданнУю только в разрезах области D, можно определить
как аналитическую функцию от переменного z с периодом т9
однозначную и имеющую только изолированные особенности в области D.
В частности^ если
причем коэффициенты С% действительны, то
Л= —да Лав—да*
П ' «
где полином 2 А^2* равняется главной части разлбжения Лорана
около бесконечно удаленной точки функции
л=о
п
а полином 2^-л*2* есть главная часть без свободного члена разло*
жения Лорана около бесконечно удаленной точки функции
лтОКИ ВНЕ РЕШЕТОК, ОБРАЗОВАННЫХ ТОНКИМИ ПОЛИПЛАНАМИ 147
р ли решетка составлена из плоских параллельных пластинок и
,кется поступательно, то vi = v2= Уо- в этом случае формула (4.10)
£» *__л,.[,^«^]. ,«.,„
Отсюда для функции скоростей обтекания неподвижной решетки,
оставленной из плоских пластинок со скоростью Иоо + ил» вправо
С бесконечности и с конечными скоростями у задних кромок, получим:
rfs _и°° l g(z) * I4-"/
В качестве примера рассмотрим еще задачу о движении в
плоскости «г между двумя прямолинейными стенками слабо изогнутой дуги,
мало отличающейся от прямолинейного отрезка^ = 0, —<*<*i<+a,
параллельного стенкам и расположенного в середине между стенками.
Уравнение стенок y=^z±i^ . Продолжив поток и введя новое пере*
менное *== ът&х* получим частный случай разобранной задачи, в ко?
торой ^ = р = 1, а^^я-a, bl=sd1** + a; *i(*)в*а(*) =
= ti„W при _у = 0 и vt(x)=v2(x)^~vn(x) при y=Y> где
<0n(x)—нормальная составляющая скорости на подвижной дуге. Таким
образом, формула (4.4) сразу дает выражение для функции скоростей:
dw
_ 2/ Г*Ь2(г + а) Г ^пМ_ГШ^^^ '-'
— п У sh2(*--a) J sh2(;e —*)K sh2(a+^) * Л '
—а
Отсюда ясно, что скорость жидкости очень быстро затухает при
удалении в бесконечность.
Функция скоростей чисто циркуляционного обтекания
неподвижной плоской пластинки (—a, -f- а) между двумя параллельными стер?
ками дается формулой
dz ysh2 2z —sh^a* '
где #—постоянная.
При таком обтекании решетки циркуляции вокруг двух соседних
пластинок равны по величине, но противоположны по знаку. Для
проекций силы, действующей в этом случае на тонкое крыло,
движущееся поступательно с постоянной скоростью £/0, с помощью фор-
мУлы (3.13) главы I (стр. 28), воспользовавшись соотношением
ц2(х9 ~[-Н) = и2(х, —Я), легко получим:
*==0, r = pf/0T, (4.15)
10*
148 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК ГгЛ
где Г — циркуляция вокруг крыла. Очевидно,
(■ о
где С—контур, охватывающий крыло.
\' Циркуляцию Г легко определить, если тонкое крыло представляет
собой плоскую пластинку, наклоненную под малым углом а к оси jc
В этом случае имеем: vn — —£/0а; следовательно,^ iUQ<x дец.
ствительно на отрезке4 (—а, -\-а).
Рассмотрим интеграл:
■'-.f(g-«v)V
где контур С охватывает отрезок (—я, -\-а). Очевидно, что
интеграл по контуру С будет равен интегралу по бесконечно малой
окружности около точки z = + я, так как и\ = и\. Следовательно,.
. -'-ч:©'о-'>1..!
с другой стороны,
С С -
Контур С можно деформировать в прямые у = ± //; так как
««(*,+#) = «*(*. —Я),
то
«, следовательно,
'-rfg*—^[(g)*(*-)L. («■••«
или на основании формулы (4.12)
тс
Г = 4Л U& sh 4я Г Г .,_"». I2. (4.П)
о
ь
Нужно помнись, что в этой формуле а = 7jrr#i> где а\ — половина
Заданной ширины пластинки.
С1 РЕШЕТКИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ОТРЕЗКАМИ ОДНОЙ ПРЯМОЙ 149
§ 5. Решетки, образованные отрезками одной прямой
В этом параграфе мы рассмотрим задачу об определении движе-
жидкости вне решетки, образованной отрезками одной прямой*
НИ Обозначим через D область в плоскости г, представляющую собо#
шность решетки, образованной системой п отрезков афк (А=1^
о „.., я) оси х с периодом я, причем
0<afc<*, 0<^<тг, 2 (** — «*)<*.
Рассмотрим задачу об определении функции F(z) = u — iv,
удовлетворяющей следующим условиям: ;
1°. В области D функция F (г) = и — iv однозначна, голоморфна
и имеет период тг, т. е.
2°.- Lim F(z) = — lim F (г), причем lim F (г) имеет конечт
ное значение.
3°. У краев ак F (z) конечна, у краев Ьк интеграл \F (z) dz конечен»
о
4°. На отрезках акЬк мнимая часть F (z) принимает заданные
значения: — ivx при подходе снизу и —iv2 при подходе сверху.
Положим F (г) = F1 (г) + F2 (г), где функции Fx (z) = u! — ivr
и F2(z) — u" — iv" удовлетворяют условиям 1°, 2Э, 3°.
При подходе к точкам отрезков акЬк снизу и сверху имеем:
v> = — vi= 2 ' (бЛ)
v2 = vi = ^^ . (5.2)
Покажем, что на всех интервалах bk_xak, промежуточных к отрез-
Кам аФъ имеем: v' = 0 и и" —0, откуда вытекают соотношения
симметрии:
*' (*, У) = «' (*, —у), V (л*, y) = — v' (x, —у), (5.3)
и"(х.У) = -*Г(х, —У), v"{x,y) = v"{x, -у). (5.4)
Докажем сначала, что и" = 0 на интервалах
**-!** (£=1> 2, ..., /г; Ь0 = Ьп — ъ).
Имеем:
i
150 теория решеток [гл; п.
где L^ малый круг около точки z. Контур интегрирования можно
деформировать в контур отрезков афк и в прямоугольник с верти,
кальными сторонами ^ = 0 и д; = 1г и с горизонтальными сторонами
у = ± R. Эту деформацию обозначим через Г. Ввиду периодичности
йодинтегральной функции очевидно, что интегралы по вертикальным
сторонам прямоугольника взаимно уничтожаются. Устремляя R к -|-оо
убеждаемся, что интегралы по горизонтальным сторонам взаимно уни'
чтожаются в силу условия 2° и значения пределов
lim ctg(C — £) = — lim ctg(C — г) = — /.
Приняв еще во внимание условие (5.2), получим:
п Г
Отсюда непосредственно вытекает, что F2(z) чисто мнимо на
интервалах bkmmiak.
Введем функцию
Функция g (г) однозначна и регулярна в области D и имеет период я.
На действительной оси на интервалах Ьк_хак функция g (z) действи*
тельна, на отрезках афк — чисто мнима и в каждой точке этих
отрезков имеет одинаковый модуль, но противоположные знаки на
верхней и нижней сторонах.
При удалении вверх и вниз в бесконечность имеем:
1 4*
g{x+ico)=g(x_iQo) = e*,
где d—длина всех разрезов в одном периоде:
п
d=. 2(^л — <**)<*•
fc=a
Доказательство свойства v' — О на интервалах Ьк_гак мы получим,
исходя из формулы
L
Совершив деформацию Г, легко обнаружить, что интеграл по
прямоугольнику равен нулю. Воспользовавшись также условием (5.1),
РЕШЕТКИ, ОБРАЗОВАННЫЕ ОТРЕЗКАМИ ОДНОЙ ПРЯМОЙ 151
§0]
Я0ЯУЧИМ: ' - - *к
Отсюда непосредственно вытекает, что /^ (2) действительно на
интервалах bk-xak.
Очевидно, что Fг (г) можно рассматривать как функцию
скоростей движения жидкости, возбужденного системой источников^,
распределенных вдоль отрезков akbk. Функцию F2(z) можно
рассматривать как функцию скоростей движения жидкости, возбужденного
системой вихрей, распределенных вдоль отрезков афк. Опираясь на
эти свойства, легко дать формулы для Fx(z) и F%(z).
Исходя из формулы
L
совершив деформацию Г, получим:
^^ = i-S J («i — ^ctgtf — *)*. (5.5)
Исходя из формулы
Pi W *(*)--sr/ W)K®[«g<!:-*)-*i]*,
совершив деформацию Г, получим:
Здесь через g^ (5) обозначено предельное значение для g (С) при
Подходе к отрезкам акЬк снизу.
Формулы (5.5) и (5.6) решают поставленную задачу.
Функция скоростей циркуляционного обтекания неподвижной
решетки с конечным значением скорости жидкости вверху и внизу
в бесконечности дается формулой
, и
I 2 Tfcsin** COS"-**
dw* , *=о - . - /с тл
-Afc)sln(« —flfc)
/j3,s,n(z-i
152 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК ♦ [Гд
Подобно тому, как и раньше, очевидно, что интегралы в форцу%
лах (5.5) и (5.6) легко вычисляются, если функции vt—v2 и t^-f***
определенные только на отрезках ак&к» можно продолжить аналити!
чески на всю область D так, чтобы функции, полученные продод*
жением, были однозначными в области D, имели период тс и только
..изолированные особые точки в области D.
Если в области t> периодическое движение жидкости имеет не*
которые заданные особенности, например вихри, источники и т. п.
то (см. § 1 гл. II) в этом случае также нетрудно дать выражение
„для функции скоростей.
§ в. Гидро-аэродинамические силы, действующие на профиль
в решетке при установившемся движении г)
Рассмотрим общие формулы для сил, действующих на систему
крыльев в одном периоде. (решетка полипланов), обтекаемых в общем
случае сжимаемой идеальной жидкостью при установившемся
движении. Для простоты предположим, что имеет место баротропия и что
в бесконечности до и после решетки давления выравниваются, вслед-*
ствие чего выравниваются также скорости.
. Обозначим через А вектор (записанный как комплексное число)
силы, действующей со стороны газа на единицу ширины
полиплана в одном периоде. Выразим силу А через значения ри pv
Ъ1 = (Ъ1и — Ъ1а1)е® до решетки в бесконечности и через величины
р2э Ръ *>2 —0>2w—*W)e<P после решетки в бесконечности; здесь
через Ъи и Ъа обозначены проекции скорости на направление периода
и на направление, перпендикулярное к периоду.
Применим теорему о количестве движения к объему жидкости
единичной ширины, ограниченного цилиндрической поверхностью,'
определяемой контурами полиплана и контуром ABCD. Кривая DC
получена'поступательным сдвигом кривой АВ на период 1е^ (фиг. 3.4*
стр. 124); AD и ВС—прямолинейные отрезки, равные периоду.
Переходя к пределу, мы можем считать, что отрезки AD и ВС удалены
в бесконечность.
Учитывая условия периодичности, запишем уравнение количеств
движения:
- \ ' . — а+Цр*—л)^»^»^—рлл)'- (6Л>
Закон сохранения массы приводит к соотношению
P2»2a = Pl»la- (б2>
*) См. Седов Л. Й., Гидро-аэродинамические силы при обтекании про»
филей сжимаемой жидкостью. Доклады Академии наук СССР, т. LXIII, № 6V
1948, стр. 627.
5| ГИДРО-АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПРОФИЛЬ 153
Обозначим через Г циркуляцию по контуру ABCD. Величина Г
определяется равенством:
Г-(** — »,„)/. (6.3)
Если движение жидкости до и после решетки потенциально, то
оЧевидно, что циркуляция Г сохраняет свое значение при деформации
контура ABCD.
Формулу (6.1) можно написать в виде:
2 Ц 2 Ъш — Ь[и J
Первый член формулы (6.4) дает обобщенную силу Жуковского,
второй член дает силу, перпендикулярную к оси решетки. Если жидкость
несжимаемая, то рг = р2 = р и ^1а = ^2а* Далее из формулы Бернулли
для несжимаемой жидкости
PlH § = ^2Н ^"2
непосредственно следует, что второй член в (6.4) равен нулют
Поэтому для силы Л, действующей на профиль в одном периоде
решетки, получаем формулу
Л = -/р^±^Г, (6.5)
представляющую собой обобщение теоремы Жуковского на случай
решетки.
В общем случае сжимаемой жидкости второй член в формуле (6.4)
отличен от нуля.
Переход от решетки к изолированному профилю можно
осуществить в (6.5) предельным переходом при /-►-f-oo. Очевидно, что
в пределе получим:
&1 — Ь2 = ^оо,
и формула (6.5) дает теорему Жуковского в обычном виде:
А = — /рЬооГ.
Обратимся теперь к предельному переходу в формуле (6.4) при
f-> oo для газа. Рассмотрим предельное непрерывное обтекание
изолированного профиля в предположении, что это обтекание
существует, является пределом обтекания профилей в решетке и
определено однозначно, независимо от угла выноса решетки р, причем
Л-+Ра-^Роо> Pi-*Pi-+PV *!-***-**• и предел НшГ —Г0
существует и не зависит от (3. Значения р^, р^ и Ьм соответствуют
J 54 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [Гд
обтеканию изолированного профиля; Г0 — циркуляция, определенна
для обтекания изолированного профиля х). я
Очевидно, что в этом случае предельное значение действительной
выражения в скобках в формуле (6.4) равно нулю, так как резуль°
тат не может зависеть от р, и поэтому верна теорема Жуковского
для движения изолированного профиля в газе *):
Л = -ФоАоГо- (6.6)
В указанных выше предположениях теорему Жуковского (6.6)
для установившегося обтекания профиля газом при наличии баро.
тропии можно доказать еще иначе, следующим путем.
Характеристики движения до и после решетки связаны при
наличии баротропии соотношениями:
Р2=/(Рз)> Pi=/(Pi)> (6.7)
Pi *>2в '
*L+*L *L + *L
(6.8)
4* — »Hi = T- (6Л°)
Если величины р1У bla, Ъш -у рассматривать как заданные, то
величины pj, p9, /?2, i)2rt> &2и определяются указанными уравнениями.
В общем случае выписанная выше система уравнений имеет
несколько решений. При наличии баротропии изменение всех
характеристик движения вдоль линий тока непрерывно. Если мы примем,
что при достаточно больших / будут линии тока, вдоль которых
изменения скорости малы, то очевидно, что движение за решеткой
будет того же типа, что и перед решеткой.
*) Можно показать, что в случае вязкой жидкости циркуляция по
контрольному контуру в пределе зависит от р, так как контрольный контур
зависит от р, тогда как предельное движение может не зависеть от угла р.
Это обстоятельство тесно связано с наличием вихрей и сопротивления в
предельном движении.
Циркуляция по контрольному контуру не может зависеть от р, если
движение газа при обтекании решетки и в пределе при обтекании
изолированного профиля определено однозначно и на некотором удалении от профиля
потенциально.
2) Это предложение для адиабатных потенциальных обтеканий газом
профилей при достаточно малых значениях числа М было доказано впервые
строго в 1934 г. См. Келдыш М. В. и Франкль Ф. И., Внешняя задача
Неймана для линейных эллиптических уравнений в приложениях к теорий
крыла в сжимаемом газе. Известия АН СССР, Отд. матем. и естественя»
наук, № 4, 1934. , . .
общие свойства циркуляции и гидродинамических сил 155
«тому при переходе к пределу, когда /-*оо, будем иметь:
p2->Pl, P2~+Pl> *2a-*bla> hu^^lit-
величины с индексом 2 можно рассматривать как функции
шения — = ^2w — *н** ^мея это в ВИДУ» предельное значение
пажения в скобках формулы (6.4) можно написать в виде:
рА.+тйЬср.+рЯ.)- (6Л1)
На основании (6.2) имеем:
а из уравнения Бернулли (6.9) получим:
Отсюда вытекает, что выражение (6.11) обращается в нуль, и,
следовательно, после перехода к пределу получим теорему
Жуковского (6.6).
§ 7. Общие свойства циркуляции и гидродинамических сил
при обтекании решетки профилей несжимаемой жидкостью
Рассмотрим установившееся потенциальное обтекание несжимаемой
жидкостью решетки полипланов. Предположим, что циркуляции
вокруг профилей определены так, что-точки схода линий тока с каждого
профиля фиксированы (это могут быть задние острые кромки).
Пусть wt(z) и w2(z) — характеристические функции обтекания
решетки профилей с заданными положениями точек схода струй,
когда скорость перед решеткой в бесконечности равняется единице
и параллельна оси х для wt и параллельна оси у для w2.
Очевидно, в общем случае, когда перед решеткой величина
скорости равна bj, а угол ее наклона к оси х равен а1э
характеристическая функция представится в виде:
wcsbjcosa^-^)»! sinews. (7.1)
С помощью формулы (7.1) определяется циркуляция по контрольному
контуру ABCD (см. фиг. 3.4, стр. 124) как функция от Ьг и av Нетрудно
видеть, что, так же как и в случае обтекания изолированного
профиля, существует направление обтекания решетки, для которого
ииркуляция равна нулю. Это направление называется направлением
первой оси.
Выбирая направление первой оси за ось ху мы получим, что
циркуляция по контуру ABCD для характеристической функции wx (г)
156 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК ГГл
равна нулю. Обозначим циркуляцию по контуру ABCD при обтек»
нии решетки вдрль оси у с единичной скоростью (с характеристй"
ческой функцией w2(z)) через icdKt (d— характерный размер Пр0%
филей в решетке). В общем случае верна формула;.
— Г = TzdK^x sin аг. (j£\
Очевидно, что отвлеченный коэффициент К1 зависит только от гу*
стоты у и от угла выноса р (ось х направлена вдоль первой оси
решетки).
Обозначим величину и угол наклона скорости за решеткой череа
*>2 и <х2.
Закон сохранения массы и формула для циркуляции
представляются в виде:
fc2sin(P~- **>=**! sin (P — at),
Г = / [*>2 cos (р — а2) — Ъг cos (р — at)].
Из этих уравнений следуют формулы:
ft2 cos a2 — bL cos a1 = -y- cos P, (7,3)
P
fc2sina2—^iSinaj =-Y~sinp. (7.4)
Наряду с формулой (7.2) можно написать еще следующие формулы:
— Г == 7zdKlb1 sin at = ird/C2fc2 sin a2 = ndKoov sin aop, (7.5)
где fcop sin aop = -н- (*>; sin ax + *>2 sin a2). С помощью (7.3) и (7.4) легка
получить, что коэффициенты Ки К% и /С, зависящие только от
густоты -у и угла выноса р, связаны между собой соотношениями:
*i-—ё-—. *■-—#—. (7.6)
2 + ^sing/C 2 — -^. sin р/С
При переходе в пределе (при -у -* О J к изолированному крылу
имеем: a1 = a2 = aop; Ъ2 == i>2 = Ьор, /C1 = /f2 —AT, причем последнее
равенство верно также и для решетки профилей при уф^
если р = 0.
При обтекании изолированной плоской пластинки согласно фор*
муле (ЗЛ4) имеем К=±1.
шиЕ свойства циркуляции и гидродинамических сил 157
§ 11
асно формуле (7.5) и предыдущим соотношениям имеем:
| А | = | р»срГ | = ?*Kd sin *op^p, (7.7)
, : | А | = F^d sin a^J j/"cos2 at + -^(l + ^) sin* av (7.8)
мула (7.7) дает ПР0СТУЮ зависимость, такую же как и для изо-
оованного профиля, модуля силы А от аор и А)ор. В формуле (7.8)
на зависимость модуля А от ^ и Ь„ но эта ,связь имеет более
Ложный вид, чем для изолированного профиля.
Использование аор и йср удобно в приложениях при сравнении
с изолированным профилем; приравнивая\а<5Р = а0О и bap = boo, мы
исключаем условия обтекания. Эффект ,рещетки определяется
зависимостью Kfa-j)-
Безразмерный коэффициент Су удобно определить формулой
Су = 2Ш = 2ъКв\па0?.' (7.9)
P<ft>op
Для изолированного профиля имеем:
Су0 = 2*К0*Ша„. (7.10)
Очевидно, что величина /С0= Ит К не зависит от угла р. Эффект
решетки можно характеризовать отношением
(7.11)
Рассмотрим теперь решетку из одного ряда плоских пластинок.
При условии конечности скорости у задних кромок очевидно, что
первая ось направлена вдоль пластинок. На основании формулы (3.13)
«меем: . . >и<
„ Ы 2е sin р —У"1 — 2s2 cos 2р + е* ,7 юч
•Ъ^-чг <х=т*?—■—— • (7AZ)
Отсюда с помощью первой из формул (7.6) найдем:
К=^ ' ! (7.13)
nd У1— 2e2cos2?-M
Для редких решеток при е-»0 согласно формуле (3.8) получим,
**то для любых р имеем К = 1.
158 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [Рл
nd
Если Р = -j > т0 e===th2*==th~47"' и П0ЭТ0МУ формула (7лз\
дает:
/C=^th 2Г- (7.14)
Зависимость /С от |3 [и от -у представлена на графиках фиг. 3.13.
В § 4 и 5 настоящей главы мы построили функцию скоростей
для движения несжимаемой жидкости вне специальных решеток с ко.
нечными значениями скорости у задних (левых) кромок для абсолютного
движения жидкости (скорость жидкости перед решеткой справа пред.
полагалась равной нулю). Значение циркуляции вокруг
соответствующих отрезков для абсолютного и относительного движения одинаково»
Для решеток с вертикальными рядами тонких профилей согласно
(4.3), (4.4) суммарная циркуляция представится в виде:
Г = - irtw-co = — * [Рш (—оо) + Л (-оо)] =
+2 J* («1+^лю4 . (7л5>
С8+—
Очевидно, что Fx (— оо) = 0, так как интегралы J (vt —1>2) Л
ак
и Г {vx — v2)(K>9 равные расходу жидкости по контурам, охва-
тывающим перья, равны нулю.
Нормальные составляющие скорости на пластинках vx и *о2 вира*
жаются через скорости движения тонких профилей при приближенной
постановке задачи (см* формулу (1.1) главы II, стр. 47).
Если профили представляют собой плоские пластинки,
совпадающие с определенными выше разрезами, и если движение пластинок
поступательное, то для характеристической функции верна
формула (4.11) в абсолютном движении и формула (4.12) в
относительном движении. В этом случае для циркуляции имеем формулу:
°L g(— oo)J * Ч *(— °°)J
= т: (1 _ e-d) ^ sin alf (7.16)
ffl
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЦИРКУЛЯЦИИ И ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ 159
1
• = е 2, где d—сумма длин всех раз-
так как^(+°°)=-у(^^о)
области D в одном периоде. Формулу (7.16) в общем случае*
М Ы 1,0 IZ W КБ 1,д 10 U 2У4г
Фиг. 3.13. Влияние шага-т и угла выноса р на подъемную силу плоской
пластинки в решетке.
когда период равен //, можно написать в виде:
Г = /(1— е l )\)1sina1 = 7t^A:i^1sina1
Следовательно,
и поэтому
*i-aO— .')
(7Л7)
Что совпадает с формулой (7.14), полученной другим путем при $="%
Для одного ряда пластинок.
160 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [Гд
§ 8. Присоединенные марсы профилей в решетке
Если движение жидкости вне решетки потенциальное и неуста,
повившееся, причем циркуляции вокруг профилей сохраняют постояв
ное значение, то движение жидкости непрерывно и может быть
определено из кинематических условий так же, как и в случае
установившегося движения.
При неустановившихся движениях гидро-аэродинамические силы
можно и удобно вычислять с помощью формул (3.13) и (3.15)
главы I (стр. 28—29).
Если циркуляции по любым замкнутым контурам равны нулю и
решетка движется как твердое тело, то вычисление
гидродинамических сил сводится к определению коэффициентов присоединенных
масс Если циркуляция вокруг профиля отлична от нуля, то
кинетическая энергия жидкости в одном периоде равна бесконечности, так
как по крайней мере с одной стороны от решетки в бесконечности
скорости жидкости конечны.
Рассмотрим бесциркуляционное поступательное движение решетки,
составленной из одного ряда профилей.
Так как потенциал 9 — однозначная и периодическая функция,
то кинетическая энергия Е возмущенного движения жидкости в одном
периоде может быть 'определена по формуле:
= 4" (*«.0о + ZKyUoVo+byyVl), (8.1)
где С контур профиля, £/0, V0 — проекции поступательной скорости
профиля на оси координат, нормаль направлена внутрь жидкости.
Как и для изолированного профиля (см. главу I, § 4),
коэффициенты Хдд,, \ху и \уу определяются формулами
Кх = — Р (*?1<У> Ку = — Р f?2^ = P J?i**.
с & - с
к
УУ
= р/<р2<**
(8.2)
или
Ку — &хх = Р J?i d*s \уу — 1кху = р f о2 dz, (8.3)
с с
где г = лг-}-(у, а ох и ?2 — потенциалы скоростей абсолютного
ряжения при движении решетки с единичными скоростями вдоль
Ъсёй координат.
Обозначим через wx и w2 характеристические функции
обтекания решетки профилей (относительное движение) в направлении,
обратном направлению осей координат, с единичной скоростью-
л1 ПРИСОЕДИНЕНИЕ МАССЫ ПРОФИЛЕЙ В РЕШЕТКЕ 161
§81
как контур С—линия тока в относительном движении, то для
отенциалов скоростей возмущенного абсолютного движения <рх и <р2
Ja контуре С имеем:
?1 = «'1+*, ?2 = ^2— У-
На основании этих формул получим:
Ку — ikx* = P J4 dz + /р5, Х^ — i\xy = p J*w2 d* + pS, (8.4)
где S — площадь профиля С:
5 = Г a: dy = — 1^ dx.
G С
В интегралах формул (8.4) контур интегрирования С можно
деформировать. В формулах (8.4) можно подразумевать, что функции
<wt(z) и щ(г) представляют собой характеристические функции
абсолютного возмущенного движения, так как добавление
поступательного движения равносильно добавлению к характеристической
функции линейной функции от z, что, очевидно, не меняет значения
интеграла по замкнутому контуру.
Направим координатную ось х перпендикулярно оси решетки.
Тогда согласно (2.3) и (2.4) формулы (8.4) можно представить
в виде:
О G
hv-^ = pS-^ J F,dz = PS + ?L jzd£dz.
(8.5)
Множитель приписан потому, что в относительном движении
скорости равны единице и направлены против осей координат
(см. § 2).
Деформируя контур С в контур ABCD (фиг. 3.4, стр. 124), удаляя
AD и ВС в бесконечность, учитывая условия периодичности и то,
ЧТо (г Т ) = °» получим:
\ aZ / at = •+• го
Z / X = ± QQ
^-^ = /p5-^[F1(-f-oo)-F1(-oo)])
^-^ = P-5-¥[/72(H-oo)-F2(-oo)].
(8.6)
*£3 формул (8.6) очевидно, что в общем случае разность
*v + oo)— F(— оо)ф0. В частности, для бесциркуляционного
11 Зак. 1631. Л. И. Седов.
162 ,ТЕОРИЯ РЕШЕТбк frrt
1ГЛ* III
обтекания вертикального ряда плоских пластинок это следует и
формулы (2.8). ' . Из
В качестве примера непосредственным вычислением определи»,
присоединенную массу плоской пластинки в косой решетке. В этоьг
случае, направляя ось х вдоль пластинок, имеем:
5 = 0, ^ = 0, ^=Хжа? = 0,
с с '
Переменное Zj возьмем в плоскости решетки из вертикального ряда
плоских пластинок с периодом т.
Обозначив период в плоскости г через L~\-iH= 1е*$, на
основании формулы (2.8) можем написать:
так как в этом случае надо положить и* — iv*= —X—.Далее,так
как
то на основании формулы (2.12) имеем:
и*— i
i-
u0 —ш0
или
и* — w* = —• :
тс '
поэтому
йщ _ £ , Ш shZt -8 g,
dZx я "Г те yz\&zx — ch2a ' *
Подставляя (8.8) и (8.9) в формулу (8.7), получим:
откуда
Ку = - & (Я* + £2) J-Z, d In [ch Z, + Vch^Zl~-cb*a].
8]
ПРИСОЕДИНЕНИЕ МАССЫ ЙРбФЙЛЕЙ *B PEUIEfKE
что можно также написать:
163
Очевидно, ^^^^
с
армируем теперь контур С в прямоугольник ABCD (см. фиг. 3.5,
стр. 128)#
*,w
yO/Z
OJt
0,3
в,г
0,1
о
1
%
£-#* ^-Д7
//
f
^г«-
•
-►
0,1 0,2 0,3 Q¥ Of 0,6 0,7 0,3 0t9 /,0 £
Фиг. 3.14. Влияние густоты -у и угла выноса [J на
присоединенную массу плоской пластинки, в решетке.
Так как при любом Yx и при Хг -> ± со верно предельное
соотношение
lim Zx \£r In (ch Zx -J- Vch^Zj — ch2a)— l] = 0,
xx->±c» L«zi J
то после удаления отрезков AD и C£ соответственно влево и
ВпРаво в бесконечность получим:
куу = -9^ jdilnlchZ. + Vch^Z, — ch*a\— Zty*=
—оо
e_p£ J ,n rchZ1+ych^Z1_di»a'[ +°° j
11*
164
или
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
&*.,,
.—e?l"i
X = — с: I in ch^i4-Vch2^t—ch»a 1
= p/2 [ In(ch Xl + ^ с1ЛУ1 ~ ch2 g"^
71 I
etf«ch»a
JXi=+o
J
flit! *»
tfWAfcfr
a 0,1 otz o,j 4* o>5 л
с
Фиг. 3.15. Коэффициент присоединенной массы
\у для решетки прямоугольников. На фигуре
изображены кривые
4рс2
const.
Окончательно получим следующую простую формулу:
X^^lncha, (8.Ю)
которая совместно с формулой (2.9)
d 2
-- = — [sin p arsh (sh a sin p) -j- cos p arc sin (th a cos P)]
определяет зависимость \уу от у и от р. На фиг. 3.14 эта
зависимость представлена графически.
ПРИСОЕДИНЕНИЕ МАССЫ ПРОФИЛЕЙ В РЕШЕТКЕ
165
1«
При Р = ° получается решетка из отрезков одной прямой.
в этом случае имеем:
L = - arc sin th я, tha = sin^f, cha =—^
in zi ltd
c°S2/
Я,
следовательно,
i.
m
0,7
Ofi
o,s
¥
P
0,2
0,1
-
-
г •
V
\,
AJW =
2/*
Ы
Aiw = -Pirlncos2r-
■ ■ i—b-J :ы
О 0,1 0,2 0.3 ОЛ 04 0,6 0,7 0,3 4t
(8.11)
Фиг. 3.16. Коэффициент присоединенной массы \х для
. решетки прямоугольников. На фигуре изображены
кривые J^= f(L, ±) = const.
При 1
->оо формула (8.11) переходит в формулу для
присоединений массы изолированной пластинки:
hv
pnd*
При р = -| формула (2.9) дает:
d 2a
т==_ „ли а = 27
166
и, следовательно,
ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
, 2/а , ™Г
^ = PlTlnch27'
1гл.
*-<г
При -^ -> со формула (8.13) переходит в формулу (8.12). Опре*
ление присоединенной массы прямоугольника в решетке Да
М. И. Гуревичем1). Результаты 8^°
числений дают графики фиг. 3.15 и ЗДк
В предельном случае, когда перио»
решетки из прямоугольников стремится
к бесконечности, получается завися,
мость присоединенной массы изолиро-
ванного прямоугольника от отношения
сторон прямоугольника, которая пред.
ставлена на фиг. 3.17.
Присоединенные массы решеток про.
филей необходимо знать для решения
некоторых задач акустики2).
0 9 23VSS7SS
Фиг. 3.17. Коэффициент
присоединенной массы \х для
изолированного прямоугольника.
§ 9. Двоякопериодические решетки
Пусть прямоугольник со сторонами
o>j и со2 (а>г — действительно, а>2—чисто
мнимо) есть прямоугольник периодов
двоякопериодической области D в
плоскости z = x-\-iy. В прямоугольнике
периодов сделано р разрезов akbk(k—l, 2, ...,/?) на
действительной оси и q разрезов с8 + у, <*« + т (5 = 1> 2> •••>?) на прямой
•^ iT ' класть D есть внешность решетки, образованной двояко-
периодическим продолжением указанных разрезов.
Рассмотрим задачу об определении функции F (г),
удовлетворяющей следующим условиям;
1°. В области D функция F(z) однозначна, голоморфна и имеет
периоды <*>! и ш2, т, е. F (г-\-nt) *=* F (г) и F(z-\-(o2) — F (z).
2°. У краевая и с8-\-^ функция F(z) конечна, у краев Ь% и
d9-\"^ интеграл
Z
JF(Z)
dz конечен.
*) Г у р е в и ч М. И., Присоединенная масса решетки, состоящей из
прямоугольников. Прикладная математика и механика, т. IV, вып. 2, 1940.
2) Андреев Н. Н., Григорьев В. С.,. Лейзер И. Г., Розен-
б е р г Л. Д., Т а р т а к о в с к и й Б. А., Архитектурная акустика в СССР*
Успехи физических наук, т..XXXVII, вып. 3, 1949.
р ьк
S/л-
k=iak
, *s+T
-v1)dx+ 2 /
eT 2
ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 167
§9J
3o На отрезках akbk и ce + ^, rfs + y мнимая часть F(z) при-
заданные значения: — lvx при подходе снизу и —iv2 при
НИМаоде сверху. Очевидно, что условиями 1°, 2°, 3° функция F(z)
П°^ег быть определена только с точностью до аддитивной
действительной постоянной.
Условие двоякой периодичности F(z) может быть выполнено
лько в том случае, если заданные значения vx и v2 удовлетворяют
условию:
(9.1)
которое получается из равенства нулю интеграла f F (z) dz . по
контуру прямоугольника периодов.
Предположим, что условие (9.1) удовлетворяется. Как и раньше,
положим:
F(z) = F1(z) + Fi(z).
Функции F1(z) = u' — Ьо' и F2{z) — u" — ivn удовлетворяют
условиям 1° и 2°. При подходе к разрезам области D снизу и сверху
имеем:
<=-<=?^-, (9-2)
„r^.a+a.. (9.з)
Кроме этого, мы примем: Ref^O) = Re/72(0) = 0.
Обозначим через М совокупность точек, лежащих на прямых
ji==0hji=7 и принадлежащих области D. Очевидно, что М
есть множество точек, принадлежащих интервалам прямых ^ = 0 и
^== ~- , промежуточных к разрезам. Через N обозначим
множество точек на верхнем и нижнем краях разрезов области D.
Введем функцию
168 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [гд% 1й
где a(z) — функция Вейерштрасса для периодов о>1 и о>2,
о»(*) = —е
'(f)
Очевидно, что 0 < | c|< a>r
Нетрудно проверить, что функция #(г, /) обладает следующими
свойствами:
функция g(zy t) двоякопериодическая, с периодами а^ и а>а по
обоим аргументам;
в точке z = t функция g(z, t) имеет полюс первого порядка
с вычетом, равным единице;
функция g(z, f) действительна, если z и t принадлежат
множеству М;
функция g(z, t) чисто мнима, если z принадлежит М, а *
принадлежит N;
при приближении t к разрезам области D предельные значения
функции g(z, t) в "каждой точке N сверху и снизу отличаются
только знаком.
Покажем, что v' = О на множестве М. Взяв z в прямоугольнике
периодов, можно написать:
L
где L — достаточно малый круг около точки z. Контур
интегрирования L можно деформировать в контур прямоугольника периодов
и в контуры разрезов. Эту деформацию мы обозначим через Г.
Совершив деформацию Г, на основании условия (9.2) получим:
к=1ак
+<kit J (*;+<)*<*.*
8^ 2
Отсюда ясно, что на множестве М функция Fx (z) действительна.
Следовательно, на краях разрезов
«;=«;. (9.4)
~ gi ДВОЯКОПВРИОДИЧЕСКИБ РЕШЕТКИ 169
Пользуясь этим свойством, легко вывести формулу для
функций F\(?)- **3 условия Re/71(0) = 0 и свойства v' = 0 на
множестве М, содержащем начало координат, вытекает:
Функцию Ft (z) определим, исходя из формулы
где С С?)—функция Вейерштрасса для периодов o)t и <оа; Подинте-
гральная функция имеет периоды ш1 и о>2 по / и конечна при
/=0. Совершив деформацию Г, на основании свойства (9.4)
получим:
р ЬЛ
^iW-sS /(^i—^r)KC—*)—С(01Л +
к = 1ак
+к2 J <*!-*■) P('-*)-c(0]*- 0.5)
Двоякая периодичность Ft(z) получается из условия (9.1). Из
формулы (9.5) очевидно, что точка z = 0 есть нуль функции Fx{z).
Для определения функции F2(z) докажем сначала, что и" = 0
на множестве М.
Можем написать:
L
Подинтегральная функция двоякопериодична — по z и по <.
В точке / = 0 и z = 0 эта функция имеет полюсы первого
порядка. Очевидно, что в точке z = 0 интеграл полюса не имеет,
так как
JF2(t)dt = 0.
L
Контур L можно деформировать в контуры разрезов и в круг
бесконечно малого радиуса около начала координат. Проделав эту
170 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК JfJJ
деформацию, на основании условия (9.3) получим:
F2(z) = -F2(0) + ^ Г («;-«;) [С(/-2г)-С(*) + С(г)]Л +
Нетрудно проверить, что комбинация С(/—г) — С (t)—С(г)
действительна для всех значений /иг, принадлежащих прямьш
у = о и j/ = ~ . Так как по условию F2 (0) чисто мнимо, то
ясно, что действительная часть F2(z) на множестве М равна нулю;
поэтому будем иметь:
«;=-«;. (9.6)
Для определения F2{z) напишем:
Совершив деформацию Т и приняв во внимание (9.6), получим:
^iW-rS /<*i + *»)ft frt)dt+
*-1 afc
+ 2=? S f '(*i + «») ft (*, 0 Л, (9.7)
Cs+1T
где g1(zi t) значение функции g(z, t) при приближении / к
разрезам области D снизу.
Формулы (9.5) и (9.6) решают поставленную задачу. Интегралы
в формулах (9.5) и (9.7) легки вычислить, если функции vt—-v%
и vt -f- v2> заданные на разрезах области D, можно определить как
эллиптические функции от z с периодами (а1 и ш2.
Очевидно, что циркуляция по прямоугольнику периодов для
течения, определяемого формулой (9.7), равна нулю,
л rt. ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 171
рассмотрим функции вида:
к=1 e=s I /с\ о\
gf{z)^ur-tvr= (9.8)
1/ IIа (* — ati c (* — h^Ji^—c^iz—ds)
где постоянные /Лг, /^действительны и удовлетворяют соотношению:
2 /*r+ S Лг = 4- 2 («й + ^ + Т 2 (c. + da). (9.9)
Л«1 8 = 1 * Й = 1 ^ в = 1
На основании условия (9.9) очевидно, что функции gT(z) имеют
периоды <о1 и <о2. На множестве ЛГ и, в частности, в начале
координат иг = 0, на множестве N имеем: vr = 0.
Функция gr(z) определяет некоторое обтекание неподвижной
двоякопериодической решетки.
Среди функций, определяемых формулой вида (9.8), при
соотношении (9.9) всегда можно выбрать p + q функций, линейно
независимых.
Это очевидно в случаях p-\-q=l и p-{-q = 2. Предположим
теперь, что это возможно в случае некоторого р 4- q, и докажем
возможность выбора линейно независимых функций в случае р + ?+1.
Так как знаменатель у всех функций одинаков, то достаточно
выбрать (рН~1) + ? линейно независимых произведений, стоящих в
числителе.
Пусть имеем 'р -\-q линейно независимых произведений
ft* (*— '*г)П°Ь(*— fsr) (r=*l> 2. •••• /> + ?)>
_ . Е
fe = l 8 = 1
причем
р й
к = 1 в = 1
где £— заданная постоянная, определяемая правой частью
соотношения (9.9). Возьмём p-j-q функций
°(*)П°(*-4г)П°8(*-Лг) (r=i, A ..../> + ?)
Л=1 в«1
и функцию
Да(^-/Л)вПо8(г-Л),
172 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК • ГГЛ. п
р+1 й
где 2 h + 2 Л — £> причем все /д. отличны от нуля. Эти функции
будут линейно независимы. В самом деле, если имеет место
соотношение
«(*)*:&Чй<»(*-'»г) й ««(*-/*>+
+ лП°(*-УП>з(*-Д)=0,
то Л и некоторые Аг отличны от нуля, так как первые функции по
условию линейно независимы. Но если А ф О, то при г = О это
соотношение не может удовлетвориться.
Покажем теперь, что среди семейства функций gr{z\
определяемых формулой (9.8), при произвольных значениях постоянных 1кг
и /8Г, связанных соотношением (9.9), всякие р + ?+1 функции
линейно зависимы.
В самом деле, пусть имеем p-\-q-{-l функций g^ (2), g2(z), ...,
£p+q+l(z)-
Рассмотрим сначала случай, когда функция gp+q+! (z) имеет
только простые нули. Функции —&г\*) представляют собой р -\~q
gP + q+lW
эллиптических функций с одними и теми же р + ? простыми
полюсами; эти функции можно представить в виде:
„g (2) = У Щ& {г — Ьт) + const.,
причем
p + q
2i nijr = 0.
3 = 1
Следовательно, определитель \т^\ равен нулю; поэтому можно
определить постоянные Аг(г=1, 2, ..., p-f-?)» не равные
одновременно нулю, так, что
р+ч
hi********
где А — постоянная. Это доказывает линейную зависимость.
Рассмотрим теперь случай, когда все функции gt(z)9 £2 (*)»""
£p+qiz)* £p+q+i (z) имеют кратные корни. При доказательстве мы
можем считать, что функции g2(z)9 ..., gp+g (z) линейно независимы.
Возьмем функцию g (z) того же вида, но с простыми корнями и
£ а| ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕТКИ 173
линейно независимую с p-\-q — 1 функциями #2(г), ..., £р+а(*)*
Очевидно, это всегда возможно.
По доказанному выше будем иметь:
Aigi+A&* + ... + Ap+qgp+q + Ag = 0,
В&+'В&+ •-. + Bp+qgp+q+1 + Bg = 0,
причем Ах ф 0 и не все Аг и 5Г равны нулю. Если А = 0 или Б = О,
то мы уже имеем линейную зависимость заданной системы функций.
Бели АфО и ВфОу то, умножив первое соотношение на Ву авто-
рое на А и вычтя одно из другого, получим линейное соотношение
между gv g2> •••> gp+я+и в котором коэффициент при gt(z)
отличен от нуля.
Возьмем p-\-q линейно независимых функций gu g2, ...,^+g,
определяемых формулой (9.8) при соотношении (9.9), и составим
функцию скоростей:
g* (z) = и* — lv* = 2 Лг^г(*) + «J. (9Л0)
Очевидно, что функция скоростей -—=g-*(,z), зависящая от
р 4*?+ 1 произвольных действительных постоянных Лг (г=1,2, ...,
p-j"?) и ио» дает обтекание неподвижной двоякопериодической
решетки. Величина я* есть проекция на ось х скорости жидкости
в начале координат.
Функцию -j и* можно выразить с помощью формулы,
имеющей вид формулы (9.8), но вообще с комплексно сопряженными
нулями.
т т dw*
Из двоякой периодичности -т— очевидно, что сумма циркуляции
вокруг всех разрезов в прямоугольнике периодов равна нулю.
Обтекание неподвижной решетки с характеристической функцией,
непрерывной на краях, определяется однозначно по заданным цирку-
ляциям Тк (k = 1, 2, . .., р -{-q; 2 Гл = 0) вокруг разрезов в прямо-
угольнике периодов, по циркуляции Г0 по некоторому пути между
точками 0 и о>! и по заданному значению проекции на ось х
скорости в начале координат. Это легко доказать обычным способом
с помощью формулы Грина.
Очевидно, что течение жидкости, определяемое функцией
скоростей по формуле (9.10), есть самое общее обтекание неподвижной
решетки с непрерывной w* {г).
174 теория решеток [гл. tn
В общем случае функция -т- не ограничена у краев разрезов
аи> &к9 с8-\~~2> ^8~4"Т' выбором постоянных всегда можно полу,
чить течение с конечной скоростью у любых p-\-q—1 краев. Двояко-
периодическое обтекание неподвижной решетки с конечными зна-
чениями скорости у р + # краев возможно только для частных систем
решеток. Но во всех случаях невозможно двоякопериодическое
обтекание неподвижной решетки с конечными скоростями у всех правых
или у всех левых краев.
§ 10. Смешанная, задача для полуплоскости, полосы и кольца
Многие задачи гидродинамики приводят к определению
аналитической функции F (г) = и — iv, регулярной в некоторой области и
удовлетворяющей смешанным краевым условиям следующего вида:
на границе D на дугах akbk {k = 1, 2, ..., п) известна действитель-,
ная часть, на дугах Ьк„х ак известна мнимая часть искомой функций.
Эта задача, вообще говоря, не имеет решения, ограниченного
вблизи всех краев ак и Ьк. Условия возможности ограниченного
решения и формулы, дающие его для круга и полуплоскости, были
установлены Вольтерра и Синьорини1). На случай кольца решение
Синьорини с ограниченными значениями искомой функции было
обобщено Б. Демченко2). Для существования ограниченного решения
граничные данные должны удовлетворять некоторым п дополнительным
соотношениям, не удовлетворяющимся во многих приложениях,
в которых эти условия заменяются лишь требованием о
непрерывности интеграла от искомой функции в окрестности точек ак и Ь^
В такой постановке решение возможно всегда и для односвязной
области зависит от лг —{— 1 произвольных постоянных. Решение можно
бпределить однозначно, если потребовать ограниченности искомой
функции у каких-либо п точек из числа 2/г точек ак и Ьк и задать
значение функции в какой-нибудь точке на границе.
Формулы для эффективного решения указанной обобщенной
смешанной задачи для полуплоскости даны М. В. Келдышем
и Л. И. Седовым8).
Пользуясь развитой теорией решеток, мы дадим также эффективные
формулы для решения смешанной задачи в случае полосы и кольца.
*) V о И е г г a, Sopra alcune condizioni caratteristische per le funzioni di
variabla complessa. Annali di Matematica, 2 серия, т. II, стр. 1—35.
Signorini, Saprann problema al contoro nella teorie della funzioni di
variabla complessa. Annali di Matematica, 3 серия, т. 25, стр 253—273.
2) D e m t с h e n k о В., Sur un probleme mixte dans Tanneau. Comtes ren-
dus, т. 192, 1931.
*) Келдыш М. В. и Се д о в Л. И. Эффективное решение некоторых
задач для гармонических функций. Доклады Академии наук СССР, т. XVI,
№ 1, 1937.
смешанная задача дли Полуплоскости, полосы и кольца 175
что решение смешанной задачи для произвольной одно-
3*мСТй'йЛИ двусвязной области может быть получено с помощью
СВЯЗ<Ьоомного отображения заданной области на полуплоскость или
К°осу в случае односвязной области и на кольцо в случае двусвяз-
uftfl области.
Начнем с полуплоскости. Пусть требуется определить функцию
p(z\-=zu — to* голоморфную в верхней полуплоскости и
удовлетворяющую следующим условиям:
Г. На действительной оси, на интервалах ак bk (k = 1, 2, ..., п)
v имеет заданные значений v2(x), а на интервалах Ьк-1ак (b0 = bn)
и имеет заданные значения iffi(x). Для определенности мы принимаем,
что на интервале, содержащем бесконечно удаленную точку, заданы
действительные значения и^х).
2°. У точек ак (k = 1, 2, ..., п) F(z) конечно, у точек Ьк инте-
Z
грал f F(z)dz конечен,
о
3°. Функция F (г) ограничена и имеет действительное значение
в бесконечности.
Пусть z — некоторая точка в верхней полуплоскости и
*<*)
тогда можем написать:
^(0*<0
'«««-£ ;=£!
2
л,
где L — достаточно малый круг около точки z. Про деформировав
круг L в действительную ось и в полуокружность бесконечного
радиуса с центром на оси х9 получим:
+ »
'MfW-asJ 42$®*+**« <10Л>-
где ezify значение g(Q при подходе к действительной оси сверху.
Для комплексно сопряженной точки имеем:
-я/
-f-CO
- (||-
\ — Z
(u — iv)gt(Z) .» . 1
TZTJ «5-f- 2 "o.
176 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
N.
Заменив теперь i на —/и вычтя последнее соотношение из pafte
ства (10.1), получим: й*
п *к
Формула (10.2) определяет функцию, удовлетворяющую условиям
Г, 2° и 3°. Обозначим:
„* (-) = д* fa» _ i (ln*n + Tn-l*"-1 + • • • + То)
]/йП(*-«*)(2-6*) (10,3)
где коэффициенты fo» Ti> • • • > Тп действительны. Очевидно, что
и* = 0 на интервалах Ьк_хак и ?>*=*0 на интервалах афк.
Общее решение смешанной задачи можно написать в виде:
• (*)<=* F(z) + g* (г). (10.4)
Формулы (10.2), (10.4) легко обобщить на случай, когда
функция <а(г) имеет период it, причем на действительной оси в интервале
от нуля до те на отрезках акЬк задана мнимая часть, а на
промежуточных отрезках — действительная часть.
В этом случае решение также дается формулой вида (10.4),
в которой достаточно положить:
g(*)=i/тт s?n,(*~**i. <10-5>
»
2 KfcSin*zcosn-*z
g* (z) = *~° (Ю.6)
l/ Ц sin (2 — bk) sin (г — ак)
Аналогичным способом легко получить решение смешанной задачи
для полосы.
1С
Пусть имеем полосу, ограниченную прямыми у = 0 и у = -^ •
На множестве Ж, состоящем из отрезков акЬк (&== 1, 2, ..., р)
на прямой у = о и отрезков £84~ЗГ> ^« + ^ (*=!» Л •••, #) на
прямой j; = у, известна мнимая часть искомой функции о> (г) = и — #»
а на всех остальных- интервалах прямых у = 0 и ^у = ~ , образую-
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ, ПОЛОСЫ И КОЛЬЦА 177
множество N, известна действительная часть. Тогда общее
flUiX u«p смешанной задачи для полосы дается формулой
-(*)-^{J^>Icfl'^—>+1']*-
N
— ijvg(Q [cth(C — *)-b !]*}+£•(*), (10.7)
где
/гл — 1 / ТТ 9h(g — **) ТТ ch(s —</«) /108ч
' 2 7*eh**ch*+«+*z
l/ JJ sh (2Г — &ft)sh(* — afe) jjch(2r — d8)ch (z — cs)
" A«l 8 = 1
Рассмотрим теперь смешанную задачу для кольца.
Пусть в плоскости i имеем кольцо, границей которого служат
два концентрических круга с центром в начале координат и с
радиусами ri и г2. Разрежем кольцо по положительной части
действительной оси и полученную односвязную область отобразим конформно
2niz т<ой
с помощью преобразования j = rte ш^ (здесь — = е ^ ) на
прямого
УГОЛЬНИК СО СТОрОНаМИ (ttj И -ф В ПЛОСКОСТИ Z.
Функция, однозначная и голоморфная внутри кольца, после
замены j через z представит собой периодическую функцию от z
с периодом (Oj. Таким образом, смешанную задачу в кольце мы можем
свести к определению периодической функции в плоскости z со
смешанными граничными условиями на прямых у = 0 и у = ^ .
Обозначим через М интервалы акЬк (&= 1, 2, ..., р) и cs + tt %
<*8+^r(s=l, 2, ..., #) на горизонтальных сторонах прямоуголь-
ника, на которых задана действительная часть искомой функции <*> (г),
и через N—смежные интервалы этих сторон, на которых задана
мнимая часть. Определим сначала периодическую функцию F (г),
т- е. такую, что F(z-j-a>1) = F(z), принимающую конечные значе-
Ния у кромок ак и Cg-j-^и имеющую заданные значения
действительной части на множестве М и заданные значения мнимой части
На множестве N.
12 Зак. 1631. Л. И. Седов.
178 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК [Гп
С помощью функции
54*, t) =
(с)*«-ж)у 11 *(t-ak)a(z-bk)lU,(t-c8)b(z--d8) W-Щ
можем написать:
F& = ii j F(t)g{z,t)dt = ^. j (u-iv)g(z,t)dt. (1011)
M+N M+N
Кроме этого, очевидно, что
0=55 f (w — iv)g(z,t)dt.
M+N
В последнем равенстве заменим / на —in вычтем его из
формулы (10.11). Если t принадлежит множеству Му то g(z, f)=g(z, t);
если t принадлежит множеству Af, то g (г, *)==— g (г, f). Приняв
это во внимание, получим:
F (z) = -i Г Г ug (z, t) dt—it vg(z, t) dt\. (Ю.12)
Ljf N J
Общее решение смешанной задачи представится в виде:
<*(z) = F(z) + g*(z), (10.13)
где g*(z) дается формулой (9.10) предыдущего параграфа.
Из формулы (10.12), в частности, получается формула Вилла,
определяющая значение функции, регулярной и однозначной в кольце,
по действительной части на внешнем круге и по мнимой части на
внутреннем круге. Положив р = 1, at = 0, Ьг = шг и q = 0, получим:
8(** 0= Ч /тл. } • (Ю.14)
<?>«-*)
смешанная задача для полуплоскости, полосы и кольца 179
случае функция g (z, t) вырождается в эллиптическую функ-
В 9Т°С периодами а^ и 2ш2 по переменному Х = / — г,
"^Таким образом, получаем:
™~=ф{ ]"—*=*—*-
2
-<j*-—4=*—-dt\- <ioi5>
формула Вилла, определяющая функцию, регулярную в кольце/
по действительной части на границе, получается непосредственно из
формулы (9/5). Положив в этой формуле # = 1, р = 1, а1 = с1 = О,
^1 = ^1 = ш1» ^= 2 ПРИ.У = ° и * = ^2— ПРИ ^= r^l '
получим:
-f+co,
l<tf-
CO о
T
/>(*) = ! J *[С(*-г)-С(/)Ь
со,
— 7 f *K(< — *) — C(0J^+/C, (10.16)
где /С — действительная постоянная. Для удовлетворения условию
периодичности F (г -|- <») = F (*) необходимо, чтобы
~ + о>1
— fvdt-{- $ vdt = 0. (10.17)
Граничные данные должны удовлетворять условию (10.17), так
Как искомая функция регулярна и однозначна в кольце.
Формула (10.16) определяет функцию F(z) по значениям мнимой
Части на горизонтальных сторонах прямоугольника. Очевидно, что
Эта формула решает также задачу об определении функции по
действительной части на горизонтальных сторонах прямоугольника.
12*
180 ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
Формулу (10.16) можно переписать в следующем виде:
">8
/ч*)=4 S v&e-^-w+^w
dt-
[гл.
— \\ v&(l-z)-Z(*) + Z(z)]dt. (10.18)
о
Отсюда непосредственно ясна периодичность F (г).
Если условие (10.17) не удовлетворяется, то формула (10.18)
определяет периодическую функцию с заданными мнимыми значениями
на горизонтальных сторонах прямоугольника и регулярную внутри
прямоугольника, но с простым прлюсом на границе в точке <гг = о.
ГЛАВА IV
УДАР О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ
§ 1. Общая теория плоской задачи об ударе
При изучении движений с резким изменением скоростей точек
системы в предельном случае мы приходим к рассмотрению движений
с мгновенным скачкообразным изменением скорости. Эти предельные
движения называются ударами. Механическая картина, получающаяся
при рассмотрении удара, обычно содержит наиболее существенные и
практически важные черты движения с большими ускорениями,
имеющими место в течение очень короткого промежутка времени. Обычно
задача об ударах значительно проще, чем задача о непрерывном,
быстро меняющемся неустановившемся движении.
Задачи об ударе имеют непосредственное или косвенное
существенное значение при изучении явлений падения твердых или
упругих тел на воду и при изучении внезапного возникновения движения
плавающих или вполне погруженных в жидкость тел.
Первая конкретная задача о вертикальном ударе наполовину
погруженного плавающего шара была решена Н. Е. Жуковским1).
В период с 1932 по 1934 г. в ЦАГИ был проведен цикл работ2),
в которых явление удара было изучено с механической стороны, и
были рассмотрены методы определения движения жидкости после
удара. Ряд конкретных задач был решен и просчитан до конца.
Движение несжимаемой жидкости, возникающее из состояния
покоя после удара, при отсутствии массовых импульсивных сил
потенциально. Потенциал скоростей <р есть гармоническая функция, связан-
Ная с импульсивным давлением простым соотношением:
?? = —Л» (1Д)
х) Жуковский Н. Е., Об ударе двух шаров, из которых один плавает
в жидкости. Избранные сочинения, т. I, Гостехиздат, 1948.
Ь Л а в р е н т ь е в М. А., Келдыш М. В., Маркушевич А. И.,
^едов Л. И. и Лотов А. Б., Сборник статей по вопросам удара о
поверхность воды. Труды ЦАГИ, вып. 152, 1935. Седов Л. И., Об ударе
твердого тела, плавающего н;а поверхности несжимаемой жидкости. Труды
ЦАГИ, вып. 187, 1934, * - "• г
182 УДАР О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ [rj|
где р — плотность жидкости, <р— потенциал возмущенного движени
жидкости, pt — импульсивное давление.
Атмосферное давление конечно, поэтому pt = О на свободной ц0.
верхности; следовательно, на свободной поверхности имеет место
следующее граничное условие:
1° ср = 0.
На смоченной поверхности тела, если нет отрыва жидкости от
поверхности тела, имеем:
2° ^-=v
где vn — проекция на нормаль скорости точек поверхности тела,
-^- — нормальная проекция скорости жидкости. Граничными
условиями 1° и 2° непрерывное потенциальное движение жидкости
определяется однозначно.
Предположение об отсутствии отрыва жидкости в момент,
следующий после удара, в некоторых случаях может привести к
решению, недопустимому физически, так как при этом внутри жидкости
получаются области с отрицательным импульсивным давлением.
Легко указать примеры, когда предположение о безотрывном
движении после удара приводит к отрицательным импульсивным
давлениям.
Пусть тело, имеющее вертикальную плоскость симметрии,
внезапно начинает двигаться поступательно в направлении,
перпендикулярном к этой плоскости. Легко усмотреть, что при безотрывном
ударе потенциал скоростей возмущенного течения жидкости в точках,
симметричных относительно плоскости симметрии, имеет значения,
равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку.
Таким образом, в этом случае предположение о безотрывности
течения приводит к отрицательным импульсивным давлениям и,
следовательно, физически недопустимо.
Ниже подробно исследована задача о горизонтальном ударе
плавающей вертикальной пластинки с отрывом жидкости на ее задней
стороне. Область подводной поверхности тела, где происходит разъеди-
дф ^
нение между телом и жидкостью, определяется условием: ^-L<^»
и pt = О, а остальная часть подводной поверхности тела —
условием pt > 0.
Рассмотрим задачу об ударе твердого тела, плавающего на
горизонтальной поверхности жидкости, занимающей все нижнее
полупространство и покоящейся в бесконечности. Условие ср = 0 позволяет
продолжить потенциал скорости сквозь свободную поверхность в
верхнее полупространство, после чего мы получим, что потенциал ? есТЬ
гармоническая функция, у которой в точках, симметричных
относительно свободной прверхности, вертикальные производные рав.н#
, а
§1]
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ОБ УДАРЕ
183
пизонтальные производные равны по величине, но противоположны
Го знаку. Легко усмотреть, что если Р и Рг — точки, симметричные
птНОсительно свободной поверхности и лежащие соответственно на
поверхности тела Е и на ее зеркальном изображении относительно
уровня жидкости Si, то
(■£),--(£)*• ™
Таким образом, для определения потенциала скоростей в области D,
представляющей собой внешность поверхности Е -[- Е1} имеем задачу
Неймана. Значения производной ^ на Е заданы в условии 2°,
значения производной ^Д на Ех определены соотношением (1.2).
Из соотношений симметрии следует, что если в результате удара
тело движется поступательно в вертикальном направлении или
вращается около горизонтальной оси, лежащей на свободной
поверхности, то возмущенное движение жидкости, определяемое потенциалом ?
в области £>, представляет собой абсолютное потенциальное течение
несжимаемой жидкости вне твердого тела, ограниченного
поверхностью E + Et и движущегося таким же образом. Если движение тела
поступательное в горизонтальном направлении или вращательное около
вертикальной оси, то соответствующий потенциал <р дает движение
бесконечной жидкости, вызванное ударом при соскальзывании, с
равными по величине, но противоположно направленными скоростями
двух симметричных твердых тел, ограниченными поверхностями S и Ег
Следовательно, плоская задача о безотрывном ударе при
вертикальном поступательном движении и при вращении около точки,
лежащей на свободной поверхности, сводится к задаче о движении
симметричного тела в бесконечной жидкости при отсутствии
циркуляции вокруг контура тела. Задача об определении этого потока
была рассмотрена в первой главе.
В частности, если удар вызван падением на поверхность
жидкости твердого цилиндрического тела, соприкасающегося с жидкостью
одновременно по п плоским бесконечно длинным полоскам акЬъ то
dw
для функции скоростей —т— будем иметь выражение:
■•[-/й-
^ = _;vdl---/TT *-«*
dz — "о * I/ JJ.T=fr
—jU \z
-[—7 2>.-«.>lj/n4=fr}+
L 8 = 1 J * = 1 J
I *(тп-1**-1+---+то)_ (i.3)
184 УДАР О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ [Гл#
Постоянные -уо» Ti> • • •> Y»-i определятся из линейных урав%
нений
h
ReJ ^dz = ° (*-!» 2--" л>" (1.4)
Одно из уравнений (1.4) можно заменить требованием о равенстве
нулю циркуляции по бесконечно удаленному контуру, что
равносильно условию об отсутствии члена порядка — в разложении функ-
ции скоростей -т— вблизи бесконечно удаленной точки. Из этого
условия легко определить коэффициент Yn-i-
Пусть подводная часть твердого тела, плавающего на
горизонтальной поверхности жидкости, занимающей всю нижнюю
полуплоскость тела, изображается, некоторым контуром 2. В результате
действия некоторого внешнего импульса тело начинает двигаться. Проекции
поступательной скорости (скорость начала координат) на горизонталь
или вертикаль обозначим через U0 и V0, а угловую скорость через 2.
Начало координат поместим на свободной поверхности, ось х
направим по горизонтали.
Характеристическую функцию возмущенного движения жидкости,
покоящейся в бесконечности, обозначим через w = о -(- /ф- Функцию
w(z) представим в виде:
w = U0wt (г) + V0w2 (z) + Q<o;3 (г),
где wk (z) = <pfc + % (*=1> 2» 3). Функции w2(z) и wb(z)
предоставляют собой характеристические функции бесциркуляционного
возмущенного движения бесконечной жидкости при вертикальном и
вращательном движении симметричного контура E-j-E1# В первой главе
были указаны методы определения функций w2(z) и w%(z).
Изложим теперь метод определения функции wt (г) (задача о
соскальзывании двух симметричных тел в бесконечной жидкости).
Из условия 2° на контуре Е имеем следующее граничное условие:
Ь=у. (1.5)
На основании соотношения (1.2) на Е1э зеркальном изображении 2
относительно оси ху имеем:
Ь = -у. (1-6)
Пусть функция
г=/(С) = | + А0Н-^С + А2С2+... (1.7)
дает конформное отображение внешности симметричного контура Е -|- 2 j
в плоскости z на внутренность единичного круга К с центром в
начале координат р длоскости С* причем отображение установлено так.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ ОБ УДАРЕ
185
точкам С = — 1» + 1 > 0 соответствуют точки пересечения контура
rTJ~E с осью х и т9чка ^ = оо, а дуга S переходит в верхнюю
луокрУжНОСТЬ# ^3 симметРии очевидно, что все коэффициенты
2° / £ > • • • Действительны.
Функция 2" /(С) —/(f) на кРУге # чист0 мнима и принимает
значения, равные (у.
Функция —In л___у имеет действительную часть, равную —1 на
верхней полуокружности круга К и равную +1 на нижней
полуокружности круга К.
Таким образом, функция —~ /"(С)—/(—) In j _ " имеет
мнимую часть, удовлетворяющую условиям (1.5) и (1.6). Для wx (С)
можем написать:
«1 (О = - 4 (/^-/(т)]1п 4=г+ф (С>> (1-8)
где функция Ф (С) имеет мнимую часть, равную нулю на круге К, и
добавляется с тем, чтобы уничтожить особенности внутри К первого
члена, вносимые в него функцией /(т~). Если /(С) рационально, то
/(у) имеет внутри круга К только полюсы. Если особенности / (у)
внутри К известны, то Ф (г) нетрудно определить методом
отражения особенностей первого члена относительно круга К (см. § 1 главы I).
Фиг. 4.1. К задаче о безотрывном ударе
цилиндрического тела, подводная часть которого
ограничена дугой эллипса.
В качестве примера рассмотрим безотрывный удар
цилиндрического тела, подводная часть которого ограничена дугой эллипса,
стянутой главным диаметром (фиг. 4.1). Очевидно, что контур £-|-S*
^Сть контур всего эллипса.
186 УДАР О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ [г
Далее имеем (см. § 2 главы I):
*=№=*-?[(* —Ь)1 + {* + *)?]>
где а — горизонтальная, а Ь — вертикальная полуоси эллипса.
Функции w2 и wb — те же, что и для движения эллипса в беско.
нечной жидкости. Согласно формуле (2.2) главы I (стр. 21)
Для характеристической функции wx по формуле (1.8) получим:
^ = --Ис-т)1пт^- 0-ю)
Функцию Ф (С) можно принять равной нулю, так как первый член
регулярен внутри круга | С | < 1.
На круге К имеем:
<Pi=-— sin81n|tgT
поэтому для распределения импульсивных давлений вдоль
погруженной части эллипса верна формула
p{=-p<p = psine[t/0^-lntg4+ V0a—|-(a« —*«)со8в]. (1.11)
Легко видеть, что при любом движении, когда (70>0, на контуре 2
будут области вблизи заднего края, где pt < 0, так как
lim In tg — = — oo.
При небольших U0 и при V0^$>U0 область отрицательных
значений pt мала и самые отрицательные значения pt малы по модулю.
В этом случае найденное решение можно с успехом принимать в
качестве приближенного. В частности, при ударе плоской пластинки
(р == 0) для распределения импульсивных давлений по пластинке
получается формула
pt == pa V0 sin 6 y cos 0 sin 6 ==
Если вращения нет (Q = 0), tq импульсивные давления распредели
по эллиптическому зэкопу,
§2]
ПРИСОЕДИНЕННЫЕ МАССЫ ПРИ УДАРЕ
187
<% присоединенные массы при ударе о несжимаемую жидкость
При уДаРе твердого тела, соприкасающегося с несжимаемой жид-
ггью, поле скоростей возмущенного движения зависит линейно от
к0 ращения поступательной и мгновенной угловой скорости тела за
Ппемя удара- Эт0 позволяет ввести в рассмотрение систему
коэффициентов, характеризующих свойство инерции системы тело —
жидкость, аналогичную коэффициентам присоединенных масс в
случае движения твердого тела в беспредельной массе несжимаемой
жидкости.
Подробное рассмотрение вопроса об ударе о воду плавающего
тела в пространственном случае дано в уже цитированной выше
работе1). Ниже мы рассмотрим плоскую задачу.
Для импульса и импульсивного момента, подействовавших во
время удара на тело^ имеем:
I=IxJciIy = + i$Pt<lz= ~/pJ"?<fe,
2 I
м
= Re Г zpt dz = — Re j p | zv dz \ .
Очевидно, что —/ и —M можно рассматривать как количество и
момент количества движения жидкости после удара.
Обозначив
V-ik
= -pf?A (/. *=1. 2f 3), (2.1)
получим:
— М = [i31t/0 + [x3aV0 + ix33Q. )
Коэффициенты \iik назовем коэффициентами присоединенных масс
плавающего тела. Эти коэффициенты совершенно аналогичны
коэффициентам присоединенных масс \ik вполне погружённого тела,
рассмотренных в первой главе.
С помощью теоремы Грина легко показать, что
Ни = V-u-
В силу условия <pfc = 0 на свободной поверхности имеем:
<?к(х, y) = — 4n(Xi —У)>
Ы*> у) = Ы*> — v)-
!) Седов Л, И., Об ударе твердого тела, плавающего на поверхности
Несжимаемой жидкости, Труды ЦДГИ, вып. 187, 1934,
188 УДАР О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ гг
Поэтому очевидно, что
Pik = - Р J W% = — 2 J ?id^
Отсюда непосредственно вытекает:
_ 1 i _ 1 i _ 1 ,
1*22 — "J V ^28 — "2* V»» ^33 — "2* Лш* (2.3)
Коэффициенты \х, \уф и Хш представляют собой коэффициенты
присоединенных масс для тела, ограниченного контуром £ + 2«.
Если контур S имеет вертикальную ось симметрии, совпадающую
с осью у, то справедливы соотношения:
Ых> У)= + Ы—Ъ У)> ?i(*. y)r—?i(—**y)>
^2 (*> .У) = — % (- *. J')» ?2 (*> .У) = + ?2 (— *> jO,
Фз С*. У) = + Фз (— *. .У), ?з (*> У) = — ?з (~ *. .У)-
Таким образом, в этом случае
1*12 — Р-21 = °» ^32 = 1*23 = °« (2.4)
Определим присоединенные массы для рассмотренного выше
примера, когда подводная часть тела ограничена дугой эллипса. На
основании формулы (1.10) имеем:
к
Ри = —pj ?i^i = —P-~J sin261ntg-2</6.
i о
Произведя интегрирование, найдем:
lin = 2p-£. (2.5)
Остальные пять коэффициентов определяются соотношениями (2.3) и
(2.4). На основании формул (4.18) и (4.19) главы I (стр. 37,40)имеем:
В частности, для удара плоской пластинки имеем:
^22=-^» 1*18=»°. ^33 = ТГ- ^2#7)
Присоединенные массы при ударе о воду системы* пластинок можно
вычислить с помощью формул (1.3). Для двух пластинок можно
воспользоваться результатами, полученными в § 4 главы П. Ряд
сведений о численных значениях коэффициентов присоединенных масс
можно найти в работе И. С. Римана и Р. Л. Крепе1).
1) Р и м а н И. С. и К р е п с Р. Л., Присоединенные массы тел различной
формы. Труды ЦАГИ, № 635, 1947.
§3]
ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ УДАР ПЛАВАЮЩЕЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ 189
q Горизонтальный удар плавающей вертикальной пластинки
Рассмотрим удар, в результате которого вертикальная пластинка,
пуясенная в воду, начинает двигаться поступательно с горизонталь-
Зой скоростью U0.
Если предположить, что нет отрыва между пластинкой и жид-
стью, то решение этой задачи получится как частный случай
задачи, решенной в § 1; для этого надо положить 1/0 = 2 = 0, а = 0.
Это 'решение приводит к отрицательным импульсивным давлениям
на задней стороне, что физически невозможно. Поэтому рассмотрим
с
©
х-
л
г
\
1
1
в\
V
и
1
ф—->
в
(»'
)
Фиг. 4.2. Горизонтальный удар плавающей вертикальной пластинки.
горизонтальный удар с отрывом. В местах, где происходит отрыв
жидкости от пластинки, мы примем, что импульсивное давление pt = 0;
в этих местах пластинка не оказывает никакого сопротивления
движению жидкорти. Очевидно, что вдоль поверхности отрыва
горизонтальные скорости жидкости должны быть меньше скорости пластинки,
и изменение скорости вдоль задней стороны должно быть непрерывным;
.эти требования определяют однозначно точку Р, где начинается отрыв
жидкости (фиг. 4.2).
На первый взгляд естественно предположить, что отрыв должен
произойти везде вдоль задней стенки DC% однако такое допущение
приводит к~ чрезмерно быстрому падению импульсивного давления
в точке С, в результате чего жидкость вблизи точки С заворачивает
на угол в 270° так, что сзади скорость бесконечна и направлена
в положительную сторону оси х, что невозможно. Таким образом,
сзади должен быть некоторый отрезок СР, на котором импульсивное
Давление больше нуля.
Для определения характеристической функции течения после
Удара w = y-\-fy имеем граничные условия: на АВУ DP и DF
на ВС и СР
? = 0,
ф=£/аУ-
196
УДАР О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ
Ь. 1у
= U0. (3.16)
Так как
7, — ^s.—ii
v* ~ дх ~ ду '
то при подходе к точке Я сверху должно быть:
Характеристическую функцию w{z) продолжаем в верхнюю
полуплоскость, тогда эти условия можно заменить следующими:
с? = 0 на РгПР, *=и0\у\ на РСВСгРх. (зЛа)
В точке Р при подходе сверху
(И
ду
Отобразим область D (внешность отрезка CCt) конформно на
верхнюю внутренность единичного полукруга в плоскости и = л-|-/|1
так, чтобы точки Р и Рг перешли в концы Р и Pt действительного
диаметра, а точка D — в центр полукруга D". Функция w(u) будет
голоморфной везде внутри полукруга, а так как на действительном
диаметре w (и) чисто мнима, то w (и) продолжается на основании
принципа Шварца на нижний полукруг.
После продолжения на круге u = eia имеем:
? 00 = — ? (-*)» ♦ (°) = Ф (— °);
для перенесения граничных условий на контур К выпишем явно
функцию, реализующую конформное отображение области D на
внутренность верхнего полукруга.
С помощью функции
область D отображается на внутренность единичного круга К.
С помощью дробно-линейного преобразования мы переводим круг К
плоскости С в круг К' плоскости i так, что точки С == 1, /, — 1
переходят в точки j —1, ieibl, — 1.
Это преобразование выполняется с помощью функции
ь + tgb
С = 1—^-- (3-3)
Заметим, что точка g = / переходит в точку г = iyx = ib cos i>j.
Круг К' переводится в полукруг плоскости и с помощью функции
2+(и + 0* 34)
ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ УДАР ПЛАВАЮЩЕЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ ldl
§3]
Пусть точке z = ib в плоскости г (точка С) соответствует
j*i в плоскости и (точка С"); легко видеть, что ордината
*-»«»*1-т?£Йг- (3-5)
используя цепь соотношений (3.2), (3.3), (3.4) и (3.5), определяем
зависимость г от и:
Z~l (1 + ^)2 + 40082(7! И2' l ' '
отсюда получаем зависимость у от о на /С:
26 cos gj cos a r~ _*
-y— cos^j + cos^c ' I*'''
Для определения ?«;(#) будем иметь граничное условие на контуре К
т v ' COS^ + COS^C v '
и, кроме того, в точке Р" при подходе по действительному диаметру
lim|jl = £/0. (3.9)
С помощью этого условия мы определим дальше пока неизвестное о1в
Обозначим
/|ц\_ 4bU0 cos a u(\ +и2)
J К ' ~ (1 + и*)» + 4 COS* at к2'
на круге имеем:'
Re/(e) = £/ay> lm/(e) = 0.
На круге /Г верны равенства: .,
на B"P"Q —
л i — и те/ . , , / те a \
• на B"P]Q—
Поэтому очевидно, что функция
о- (,Л — *^ cos «!»(! + и*) . 1-й
& w "~~ те (l + tt2)^ + 4cos2<T1tt2 /+и
имеет на /С мнимую часть, равную ф(о), однако это не будет иско-
мой характеристической функцией, так как g(u) имеет два простых
192 УДАР О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ Jrj|
полюса внутри К, совпадающих с корнями знаменателя, равным
± w, ± i — , где а = У1 + cos2 at — coso^ корни ± ia лежат внутп
круга К.
Рассмотрим функцию
1
ф (и) = г- 1П
1 \+а *
ia — —
т
Легко видеть, что на К функция Ф(и) действительна: при и = /а
Ф (их) = In Y^a , при и = — ia Ф(— /а) = — In ^^, т. е. функция
Ф (и) в этих точках принимает те же значения, что и In ."7"-.
Принимая во внимание сделанные замечания, легко
выписываем ад (я):
™ („\ — 8^о cosajgq + g»)
1
и
.г — и и 1 1 —a
1П -^-j — 1П т-:
* + tt . 1 1 +a
la
(WO)
В самом деле, функция ад(гг) голоморфна внутри К, так как
в точках ia и —/а выражение в скобках обращается в нуль; w (и)
удовлетворяет граничным условиям, так как Ф(и) и f(u) на К
действительны, а g{u) удовлетворяет граничным условиям. Согласно
равенству
cos a± 2
на действительном диаметре, соответствующем задней стороне
пластинки, где происходит отрыв, можно написать:
.м-*ю-|Д%г»;у«^и'-^--и*-*)]-
Здесь учтено, что на действительном диаметре ln-r^-==2/arctgX4
Для скорости vx за пластинкой имеем:
_ дф __ д<1> dl
VX— ду— д), ду •
На основании (3.6)
AbcosагX(l -f- X) (ъ «j\
У — (1 + Х*)2 4- 4 cos^ X* • \*9
Дифференцируя, найдем:
dy у (1~Х1)[(1 + ху-4со8»а1Х»] 3 12)
rfX ~~ X (l + X2)[(l+X2)2 + 4cos2a!X2J • v
di ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ УДАР ПЛАВАЮЩЕЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ 193
§31
Дйфференцируя w (к) и используя (3.11) и (3.12), получим:
2Х {(1 + ^)2 + 4Х2 cos2 gx — £[(1 + л2)2 + 2 cos2gl (1 + Щ} \
+ (1 — Щ [(i -f- №)* — 4 cos2 a^J / •
Точке Я соответствует л= 1; для выполнения условия (3.91)
необходимо, чтобы
s=l (3.13)
и, следовательно,
4LU ... 2Х (1 — X2) cos2 ax \
^ = —°{arctgX + 4X2c;g2gi J(1 + xVl- (3.14)
Легко видеть, что условие (3.13) есть единственное условие,
обеспечивающее конечность горизонтальной скорости жидкости на задней
стороне пластинки. Условие (3.13) дает для определения at
уравнение
1п г ! * = 1/ 1 -4- cos2 о„
cosax r ' 1J
которое приводится к виду:
I
:thVl+cos2a1} (3.15)
У~1 + cos2 ax
Рассматривая изменение функций——==г и th ^1-4- cos2 a«, легко
У 1 -j-cos2^
убеждаемся, что это уравнение имеет только одно действительное
положительное решение. Приближенное решение уравнения (3.15)
дает: '
l/cos^+l да 1,1997, cos2 otда0,440, соз^даО^бЗ. (3.16)
На основании этого для ординаты точки Р нижней границы отрыва
получим:
>/Рда0,92£.
Найдем еще распределение скоростей вдоль свободной границы,
которой в плоскости z соответствует действительная ось, а в
плоскости а — мнимая ось. Имеем:
ду д<1> db d\i.
и при и = /jx
^(а)=/ф00 =
/8W° cos ах [X (1— у.2) Г 1— и, , 1 / , 1 \1
13 Зак. 1631. Л. И. Седов.
1§4 Удар о несжимаемую Жидкость
С помощью (3.6) находим зависимость х от [х:
46{а (1 — p.2) cos at
(1— ^p-^cos2*?!!**'
Дифференцируя, получим:
rf£ _ ЛГ(1+!*2) ("(l-^ + 4CQS2glp.2-[
"^ — 4cos2a1jj.2J
(3-18)
(3.19)
ф-(х(1-^)[(1-^)2
Дифференцируя (3.17) и пользуясь при этом (3.18) и (3.19), найдем:
Формула (3.20) вместе с (3.18) дает распределение скоростей на
свободной границе. На фиг. 4.3 показано распределение вычисленных
скоростей.
Фиг. 4.3. Распределение скоростей жидкости на свободной границе
и на задней стороне пластинки вместе отрыва.
Отделяя на круге К действительную часть характеристической
функции w(u), найдем распределение импульсов на погруженной
части пластинки.
Из (3.10), принимая во внимание (3.7), получим:
A=_p?=_p2^^[lntg(^_l.)+sina]. (3.21)
ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ УДАР ПЛАВАЮЩЕЙ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ 195
На Фиг- 4*4 показано распределение импульсов на передней и
ней сторонах пластинки.
Вычислим еще импульс 1Х и его момент М относительно начала
оодинат, подействовавшие во время
К° на пластинку: ^ш
/* = — /р*<у,
ВОР
ВОР
На основании (3.21) можем написать:
-\- sin о
БСР
<*•> .
В точке В имеем у = 0, а в точке Я
имеем о = 0. Пользуясь еще (3.7) и Фиг.4.4. Распределение импульсив-
х ' ных давлении на передней и
задней сторонах пластинки.
интегрируя по частям, найдем:
о
/ **ЬП Г / ,л, 1 ^ COS2 a COS2 at .
ж ^ ° J \ cos а/ (cos2 с + cos2 aj)2
и аналогично
Ж =
16*»,. Г/
1 \ cos3 a cos3 ci ,
COS О ) г 1 И-чч ^°-
COS <J/ (COS2 (j -f- COS2 Cj)3
Вычислив интегралы, получим:
262
Ia, = — p—U0s\n*alJ
M
_ pW/0
ЗО + сов»^)^» *
Отсюда следует, что внешний удар должен быть горизонтален и
пРиложен к точке с координатой
бвЬРъУ + со&аЦр*
<0,54 Ь.
13*
196
УДАР О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ
Ь. 1у
-я
Z
ч
(О;
т
в
D
С
х
§ 4. Удар пластинки о несжимаемую жидкость,
заключенную в прямоугольном сосуде
Рассмотрим удар при падении плоской пластинки на горизонтал
ную поверхность спокойной воды, заключенной в прямоугольный
цилиндрический сосуд ABCD (фиг. 4.5). В момент соприкосновен»
с жидкостью пластинка горизонтальна. Дадим метод определения
возмущенного движения жидкости в следующий после удара момент
Глубину жидкости обозначим через Н = —~, где о>2 чисто мнимо-
ширину сосуда обозначим через —-. Ось х направим по свободной
поверхности, начало координат поместим в левом краю сосуда в точке А
Абсциссы краев пластинки в
^А момент удара обозначим через
а и д.
Для определения характера
стической функции w—y-j-fy
возмущенного движения имеем
следующие граничные условия.
На отрезке ab известна
вертикальная составляющая
скорости жидкости, равная
вертикальной скорости точек
пластинки после удара.
На свободной поверхности
импульсивное давление равно
нулю, т. е. у = 0. Продолжив
поток через свободную поверхность вверх, придем к задаче
определения течения жидкости в прямоугольнике ВВ'С'С^ вызванного
движением пластинки ab. Так как стороны этого прямоугольника являются
линиями тока, то течение жидкости можно продолжить сквозь
стороны прямоугольника на всю плоскость. Осуществив продолжение,
получим двоякопериодическое течение жидкости вне решетки с
периодами шх, о)2. Каждые две пластинки, соседние по горизонтали, имеют
в симметричных точках одинаковые вертикальные скорости, а
пластинки, соседние по вертикали, имеют в симметричных точках
противоположные вертикальные скорости.
Из условия © = 0 на Аа и Db вытекает, что циркуляция вокруг
каждой пластинки решетки равна нулю.
Очевидно, что решение этой задачи можно наитие помощью
формул (9.7) и (9.10) главы III (стр. 170, 173), определяя значения
постоянных. Однако в данном случае удобнее использовать особенности
полученной симметричной решетки и поступить несколько иначе.
Введем функцию
Фиг. 4.5. Схема к двоякопериодическому
продолжению потока при ударе плоской
пластинки о жидкость, заключенную
в прямоугольном канале.
а ,^_ -. /"g (* — а)g (* + а) qa (z — a)o3(z + a)
S^—y v(z-~b)<j(I
г(г + Ь)аь(г—Ь)ал{г + Ь) '
(4Л)
удЛр О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ СОСУДЕ 197
§ 4*
йДНо, что функция g{z) имеет периоды шх и -^-, действительна
свободной поверхности, чисто мнима на отрезке ab и имеет
противоположные знаки при подходе сверху и снизу к точкам отрезка ab;
т 9ТОм при подходе к разрезам сверху имеем:
ft(*) = —ft(— ■*)•
Для g'C2') можно дать еще более простое выражение:
от (2\ — r/"q(* — g)g(g + g)
(!)2
где функции сигма взяты для периодов ш1 и —-.
Легко показать, что функция скоростей возмущенного движения
жидкости при движении пластинки внутри прямоугольника ВВ'СС
с конечной скоростью у кромки b имеет вид:
dwt 1 v.
dz *£(*)
ь
X J^2(0[c0-^)-f C(H-*)-c(*+f -*)-c(/-£+*)]<«. (4.2)
Из формулы (4.2) непосредственно следует, что —т^ = 0 в угловых
точках г =
Функция скоростей чисто циркуляционного обтекания неподвижной
плоской пластлнки aft внутри прямоугольника ВВ'СС имеет вид:
dz Ya{z—a)Q{z+a)G(z—b)Q {z+b)cb(z+a) oz(z—b) a3 (£+&)a3(2—a)
.(4.3)
где А — действительное число, определяющее значение циркуляции
вокруг ab.
Функция скоростей возмущенного движения жидкости после
Удара имеет вид:
dw dw\ , dw*
Hz dz ' dz '
Постоянная А определяется из уравнения
к-
£ч-£)*-*
С
где с — контур, охватывающий пластинку ab.
198
УДАР О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ
ГГ*. IV
Если пластинка в момент удара расположена симметрично отно
сительно середины сосуда и после удара движется поступательно
vn = ^о = const., a = ^ — /, Ь = ^ + /, где 21— ширина щ^
стинки.
Из симметрии следует:
а
_С(*+9-»)-с(< + 5 + «)] dt. (4.4)
В этом случае функция скоростей имеет периоды о>2 и Щ.
Очевидно, что этот метод обобщается непосредственно на случай
удара нескольких пластинок о поверхность жидкости, заключенной
в прямоугольном сосуде.
Если ширина сосуда бесконечна, т. е. o>j = оо, а глубина Н
конечна, то, продолжая возмущенное движение жидкости после
удара, получим движение жидкости вне решетки с вертикальными
рядами пластинок, причем каждые две соседние пластинки по
вертикали будут иметь противоположные вертикальные скорости. Вокруг
каждой пластинки циркуляция равна нулю. В случае одной
пластинки решение задачи об ударе получается непосредственно с
помощью формул (4.13) и (4.14) главу III (стр. 147).
Обозначая через zL плоскость движения жидкости и положив
z = -^tjZv найдем для функции скоростей возмущенного движения
после удара:
+а
dw= 2/ /~sh2(g + g) Г Vp + Qx /sh2(g — л:) . ,
dz к V sh2(z — a) J sh2(* — z)V sh2(a+x) •"
—a
. IK
Vsh22? —sh>2«"
(4.5)
Постоянная К определяется из уравнения
dw
dz
I
dWdz = 0, (4.6)
где С — контур, охватывающий пластинку.
Задача о поступательном ударе пластинки о воду конечной
глубины иными методами была решена М. В. Келдышем *). Для
поступательного движения постоянная К легко определяется; в этом
!) КелдышМ. В., Удар пластинки о воду конечной глубины. Труды
ЦАГИ, вып. 152, 1935.
§41
УДАР О НЕСЖИМАЕМУЮ ЖИДКОСТЬ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ СОСУДЕ 199
цае для функции скоростей справедлива формула:
iVQ ГсЪ2(г-\-х) — ch4gch2Qg-
dw
dz
\Y sh*2z-
-х)
-sh22a J sh2(jr-
--г) -^sh22z —sh22a
dx. (4.7)
Аналогичным образом можно определить возмущенное течение
при ударе о воду конечной глубины нескольких пластинок.
Приводим численные результаты, полученные М. В. Келдышем
для отношения коэффициента присоединенной массы Х# при
вертикальном поступательном движении плоской пластинки при наличии
дна к коэффициенту
присоединенной массы Хоо такой же
пластинки для бесконечно
глубокой жидкости:
Я
■ = оо,
£-».».
Я
— = 1-
Д=1.03;
*V J
ЯуОй2
\
II
i
I
/
^ #г ^ ^ о,з ю.
7 =0,5, ^=1,165.
Здесь //—глубина, а d —
ширина пластинки.
Для оценки влияния границ
М. И. Гуревич *) рассмотрел
еще задачу об ударе плоской
пластинки о жидкость,
наполняющую канал в форме
полуцилиндра. После
аналитического продолжения потока эта
задача может быть разрешена
методами главы II.
Решение представляется с
Результаты вычислений М. W
фиг. 4.6.
Очевидно, что наличие дополнительных неподвижных границ
жидкости стесняет движение жидкости и это приводит к увеличению
коэффициентов присоединенных масс.
Фйг. 4.6. Влияние размеров
цилиндрического канала на присоединенную массу
пластинки.
помощью эллиптических функций.
Гуревича представлены на графике
^Гуревич М. И., Удар плоской пластинки о жидкость,
наполняющую канал в форме полуцилиндра. Прикладная математика и механика,
т. III, вып. 2, 1939.
ГЛАВА V
ТЕОРИЯ СТРУЙ
§ 1. Задачи о движении жидкости с образованием струй.
Обзор основных методов
Рассмотрим движения жидкости, ограниченной частично стенками,
частично поверхностями* на которых давление постоянно; такие
поверхности называются свободными поверхностями или поверхностями струй.
Типичной задачей о движении жидкости или газа с образованием
поверхностей раздела является задача об истечении жидкости или
газа из отверстия в сосуде или о переливании жидкости через край
сосуда. Если жидкость идеальна, то во многих случаях можно
принять давление постоянным на поверхностях, отделяющих
вытекающую жидкость от внешней среды. Другими примерами могут служить
задачи о встрече струй, задачи об обтекании твердого тела струей
конечной толщины и т. п.
При установившемся потенциальном непрерывном обтекании тела
жидкостью, заполняющей все пространство вне тела, тело не
испытывает сопротивления, — это известный парадокс Даламбера.
Обтекание тел потенциальным потоком идеальной жидкости с наличием
сопротивления можно получить, рассматривая разрывные течения
с образованием струй, представляющих собой свободные
поверхности тока, которые сходят с границ обтекаемого тела.
Поверхности струй служат поверхностями раздела, вдоль которых
давление принимается постоянным. Дальше мы будем рассматривать
установившиеся потенциальные движения несжимаемой жидкости.
Из формулы Бернулли следует, что при движении невесомой
жидкости величина скорости жидкости на этих поверхностях постоянна.
Форма струй неизвестна заранее, ее нужно определить в процессе
решения задачи.
Первые постановки задач о плоскопараллельных потенцияльных
движениях несжимаемой жидкости были даны в 1867 и 1868 гг.
в работах Гельмгольца *) и Кирхгофа 2), которые рассмотрели задачи
1) Н е 1 m h о 11 z H., Ober discontinuirliche Flussigkeitsbewegungen. Monats-
berichte der Konigl. Academie der Wissenschaften zu Berlin, 1868.
2) Kirch hoff, Zur Theorie freier Flussigkeitsstrahlen. Barchardts Journal,
том 70, 1867; Kirch hoff, Vorlesungen uber Mathematische Physik, том 2Ь
1876.
,, ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ 201
ri истечении жидкости из сосуда с плоскими стенками и об обте-
° нии плоской пластинки со срывом струй. В связи с решением
кайХ задач Гельмгольцем и Кирхгофом впервые были применены
9 гидр°динамике мет°Ды теории функций комплексного переменного.
В Для определения плоского потока достаточно найти функцию
скоростей -т- =&£-*9 как функцию переменной w = <p-\-ityt где
^_. величина скорости и 6 — угол наклона скорости к оси х.
В плоскости движения жидкости контур обтекаемого тела и струи
изобразится линиями тока; на границе тела в каждой точке известен
угол в; на струях задается постоянное значение величины скорости Ъг.
Граница жидкости изображается линиями тока; поэтому в
плоскости w=y-\-ity потоку соответствует некоторая область,
ограниченная прямолинейными разрезами, параллельными вещественной оси.
dw
В плоскости комплексного переменного -г- = Ъе~4Н линии тока,
соответствующие поверхностям свободных струй, изобразятся дугами
окружностей с центром в начале координат и радиусом, равным Ь = bv
Если обтекаемые стенки образованы отрезками прямых, то стенкам
dw ь ,
в плоскости -т- соответствуют отрезки прямых Ь = const.,
проходящих через начало координат. Таким образом, в этом случае
получается довольно простая область в плоскости -т—. Установив
конформное отображение области, соответствующей потоку в пло-
dw
скости -г-, на область, соответствующую потоку в плоскости w,
определим функцию
dw
dz
'/И- (1-1)
Полное решение задачи получается с помощью квадратуры и
последующего определения постоянных. Таков метод Кирхгофа.
Для его иллюстрации рассмотрим два важных примера.
1°. Вытекание жидкости через отверстие в
плоской стенке. Пусть в плоскости z вся верхняя полуплоскость
У>0 (фиг. 5.1) заполнена несжимаемой жидкостью, вытекающей
через отверстие в плоской стенке BD. В верхней полуплоскости
пРи удалении от отверстия давление стремится к постоянному
значению р0. На границах струи в нижней полуплоскости, в которую
пРоисходит истечение, давление постоянно и равно рг < р0.
Из уравнения Бернулли следует формула для величины
скорости Ь1 на поверхности струй ВС и DC:
202 теория струй [Гл^
Нетрудно усмотреть, что в плоскости w = 9 -|- *Ф потоку жидк0.
сти соответствует полоса, ограниченная линиями ф= const. Очевидно
что в случае истечения жидкости из сосуда какой-либо другое
формы в плоскости w мы получим тоже полосу. Ширина полосы
определена расходом в струе и равна btk, где h асимптотическая
ширина струи при удалении от отверстия в бесконечность. В рас,
сматриваемой задаче из симметрии следует, что точки В и D лежат
д
©
и\
V*
D
®
Фиг. 5.1. Схема к задаче об истечении жидкости через отверстие
в плоской стенке.
на одной эквипотенциальной линии. Аддитивную постоянную выберем
так, чтобы начало координат в плоскости w совпало с точкой В.
Введем теперь комплексное переменное С по формуле
- ^ dw Ъ_
гН
(1.8)
Плоскость С будем называть плоскостью годографа.
Непосредственное рассмотрение показывает, что области течения
жидкости соответствует верхний полукруг в плоскости годографа*
Отсюда ясно, что в бесконечно удаленной точке потока в верхней
полуплоскости имеем С = 0 и, следовательно, & = 0.
Для решения задачи достаточно найти конформное отображение
внутренности полуокружности в плоскости С на полосу в плоскости W
при отмеченном соответствии точек на границе (см. фиг. 5.1).
a <t ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ 203
Легко проверить, что это соответствие определяется форму-
^=b!rfF = c В'ЧК « B'ft-1 (1.4)
или
«, = ср + ^ = _^.1п4(с+-[) =
«5^.1,,2 + ^lnC— ^-ln(l+i;8). (1.5)
Интегрированием из (1.4) легко вычислить функцию z(w). Имеем:
«о
.-if—
J e »>h
eft»
«1 /" 2«;ic
и
=^l_^_c-^i+/|/ e-* — i-iit(i+y i_e-«7)J.(l.6)
Из (1.6), полагая w — ibih и z — l, найдем коэффициент сжатия струи
h тс
Пользуясь формулой (1.6), легко рассчитать форму струй ВС и DC.
Заменяя в (1.6) характеристическую функцию w через С согласно
(1.5), получим:
.-f[.+i(c-{)-i(c+^)+«taJe±s^fi±a].o.7)
Если за независимое переменное взять w, то решение представляется
формулами (1.4) и (1.6); если взять переменное С,—то формулами
(1.5) и (1.7).
Рассмотренное решение легко можно обобщить на случай
истечения из сосудов, формы которых указаны на фиг. 5.2 или на фиг. 5.3.
Области в плоскости w сохранят тот же вид, что и в
рассмотренном примере. Области в плоскости С меняют свою форму и
изображены на фиг. 5.2 и 5.3. Однако и в этих случаях связь между w
и С также легко установить.
Определение функции w(£) можно рассматривать как задачу об
определении движения несжимаемой жидкости внутри области,
соответствующей потоку в плоскости годографа. В точках,
соответствующих бесконечности, в плоскости z внутри сосуда мы получим
источник, в точке, соответствующей бесконечно удаленной точке
струи, получим сток. В первом случае мы имеем задачу о движении
несжимаемой жидкости внутри полукруга от источника в точке
204
ТЕОРИЯ СТРУЙ
[гл.
С = 0 и от стока в точке С = / с одинаковым расходом. В задач»
соответствующих фиг. 5.2 и J5.3, необходимо построить течени'
4\ йЕ
Е
Л
А®
/у
л« \
в
Фиг. 5.2. К задаче об истечении жидкости из
сосуда с прямолинейными стенками.
о г источника в точке АеевЕ мощностью bji и от стока в точке С
мощностью 2tojA.
1 Т £
Mr
х
Фиг. 5.3. К задаче о вытекании жидкости из
сосуда со стенками, имеющими точку излома.
Нетрудно видеть, что соответствующее решение в первом случае
имеет вид:
w
= Const. + ^1n^-^ ln(l +C*) , (1.8)
§11
0Ё30Р ОСНОВНЫХ МЕТОДОЙ
205
как зависимость w от С1 = С" определяется формулой (1.5); во
втором случае верна формула
.-—.+¥4,+($)?][1+©)*]-¥'-М).(|.»)
Для обобщения последнего решения на случай движения газа
существенно, что согласно (1.9) внутри круга |£|=1 потенциал <р
*о.
га
и функция тока ф имеют особенность, в точке C0 = -fe 2 (т. е.
|С |<1), соответствующей'бесконечно удаленной точке.
На основании формул (1.8) или (1.9) вычисление функции z(w)
или с (С) сводится к квадратурам. Полученные решения легко
обобщить на случай несимметричных сосудов.
2°. Обтекание плоской пластинки со срывом
струй. Пусть задан поступательный поток несжимаемой жидкости,
О в
Фиг. 5.4. Схемы обтекания симметричных тел со срывом струй.
направленный в бесконечности параллельно оси у в отрицательную
сторону, обтекающий симметричное тело со срывом струй по схеме,
Указанной на фиг. 5.4. На струях ВС и АС давление и, следовательно,
величина скорости постоянны Со^Ъ^. За телом образуется область
266
ТЕОРИЯ СТРУЙ
to.v
постоянного давления, можно принять, что эта область заполне
покоящейся жидкостью с той же или с любой другой плотностью*
Мы предположим сейчас, что постоянное давление на струях равн'
давлению в бесконечности.
Если это давление является минимальным в потоке, то струй
срывающиеся с поверхности тела в точках В и Л, направлены во!
гнутостью к застойной области и простираются до бесконечности Л
Легко видеть, что в этой задаче, независимо от формы тела
области движения жидкости соответствует вся плоскость w с разре!
зом вдоль полупрямой ф = const. Мы примем, что в критической
точке О разветвления струй w = 0; в этом случае разрез должен
быть произведен вдоль положительной полуоси <р.
В общем случае криволинейного препятствия область, соответ-
, ы 1 dw
ствующая потоку в плоскости годографа (,= -- — , неизвестна
заранее и должна быть определена при решении задачи.
В частных случаях, когда обтекаемое тело является плоской
пластинкой, или плоским клином, область, соответствующая потоку
в плоскости годографа, непосредственно определяется. В случае
плоской пластинки—-это верхний полукруг единичного радиуса,
в случае клина — это сектор (фиг. 5.4).
Для определения зависимости ^(w) или ад (С) достаточно найти
конформное отображение отмеченных областей при указанном на
фиг. 5.4 соответствии точек на границе.
Обозначим через срх координату точек А и В в плоскости w.
Нетрудно показать, что для плоской пластинки связь между С и w
определяется формулами
c-i=?-/g+/5-i
1 dw
\>idz
или
4yiC2
(1Л0)
Характеристическая функция te>(C) внутри области, соответствующей
потоку в плоскости С, определяет течение несжимаемой жидкости
от диполя, помещенного в образе точки <г = оо (точка С).
Для вычисления 2 (С) имеем общую формулу
dz dz dw_ J_ J_ dw J_ X d, Л#\ , w"\
Пользуясь этим и формулой (1.10), после интегрирования
получим:
*) Доказательство этого предложения будет дано ниже, в § 4.
ОБЗОР OfcHOBtiblX МЕТОДОВ йЫ
и
наЧйм через 2/ ширину пластинки. Величину ^ легко выразить
з Л > приравнивая г(1) = 1; получим:
_ 2/ъг
Вычислим еще силу сопротивления пластинки W. Имеем:
о о . * о
Для получения решения задачи об обтекании симметричного клина*)
можно воспользоваться формулами (1.10), если заменить С через
. it— Д *—
Если обтекание несимметричное, то в плоскости чг; точкам Л и В,
расположенным на различных сторонах разреза, соответствуют
различные координаты <рАф<рв. Положение точки С на дуге круга
|С|=1 определяется направлением скорости набегающего потока
в бесконечности. Если учесть эти несущественные усложнения, то
с помощью методов, аналогичных примененным для решения
симметричных задач, можно разрешить задачи о несимметричном
обтекании плоской пластинки и клина.
Очевидно, f4T0 рассмотренный выше, несколько
усовершенствованный метод Кирхгофа неприменим к решению задач об обтекании
криволинейных контуров со срывом струй.
После работ Кирхгофа и Гельмгольца следующий крупный шаг
в теории струй был сделан в 1890 г. Н. Е. Жуковским2). Метод
Жуковского относится к случаю, когда область, занятая потоком
жидкости, односвязна. Жуковский видоизменил метод Кирхгофа
введением промежуточного параметрического переменного и,
изменяющегося в верхней полуплоскости; при этом границе потока
соответствует действительная ось. В плоскости w = <f-\-fy потоку
соответствует область, ограниченная прямыми и прямолинейными лучами,
параллельными оси <р, поэтому выражение для функции w=f(u)
х) Решение этой задачи дано в 1881 г. Д. К. Бобылевым. См. Журнал
Русского физико-химического общества, т. ХШ, 1881, стр. 63.
2) Ж у к о в с к и й Н. Е., Видоизменение метода Кирхгофа для
определения движения жидкости в двух измерениях при постоянной
скорости, данной на неизвестной линии тока. Собрание сочинений, т. II, 1949.
208 теория струй
(гл.
легко получается в конечном виде1). Функция /(а) определяет
принятой схемой течения и не зависит от формы границ. я
Вторым новым шагом Н. Е. Жуковского было рассмотрены
функции е
v ' ty dz bi '
которая на струях имеет постоянную действительную часть; на
стенках, если они образованы отрезками прямых, мнимая часть имеет
постоянные значения. Для этой функции Н. Е. Жуковский дает
следующую формулу:
do> Ф (и)
du /(и —Cl) (и —с,)(и-<*)■• •
(1.13)
Здесь функция Ф (и) есть'рациональная функция с действительными
коэффициентами. Все полюсы Ф (и) простые и лежат на
действительной оси. В бесконечности функция Ф(и) может иметь полюс,
порядок которого по крайней мере на единицу ниже порядка
бесконечности знаменателя в формуле (1.13). Постоянные с19 с2, сь, ...
действительны, постоянная т действительна или чисто мнима. Из
формулы (1.13) очевидно, что точками си с2, сь, ... действительная
ось разбивается на интервалы, на которых функция — имеет
равные нулю действительные или мнимые части. Следовательно,
действительная или мнимая часть функции <*>(и) постоянна на каждом
интервале. Полюсы Ф (и) расположены на интервале, где мнимая
часть ш(и) постоянна, и служат точками разрыва угла 8; эти точки
соответствуют угловым точкам обтекаемого контура и критическим
точкам разветвления струй.
Таким образом очевидно, что, исходя из формулы (1.13),
подбором постоянных можно получать струйные обтекания только в том
случае, когда на обтекаемых стенках 6 принимает постоянные
значения, т. е. когда обтекаемый контур имеет форму ломаной,
составленной из прямолинейных отрезков.
Своим методом Н. Е. Жуковский восстановил решение всех
конкретных задач, разбиравшихся его предшественниками, и дал
решение многих новых задач, которые вызывали затруднения для
решения их методом Кирхгофа. Метод Жуковского позволяет решать
задачи с большим количеством критических точек и струй и в этом
смысле является более общим, чем метод Леви-Чивитаа) и его оо-
х) Например, с помощью формулы Кристоффеля-Шварца (см. формулу
(2.1) на стр. 212).
2) Levi-Civita, Scie e leggi resistenza. Rendiconti del Circolo Mate»-
di Palermo, т. XXIII, 1907.
4i 0Ё30Р ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ 209
мщения на случай обтекания двух контуров. Сущность метода Леви-
u «ита применительно к задаче об обтекании тела со срывом струй
стоит в следующем. Область, занятая потоком, изображается
конформно внутри верхней единичной полуокружности с центром в на-
але в плоскости вспомогательного параметрического переменного С
Отображение устанавливается так, что обтекаемый контур твердого
тела переходит в верхнюю полуокружность, а граница струй —
действительный диаметр1). Это условие позволяет продолжить
функции w (С) и а>* (С) = i In — — == б -j- /in — с помощью принципа
симметрии на нижнюю полуокружность, потому что на струях
ф== const, и to = ij1.
' Вид функции w((.) не зависит от формы обтекаемого тела и
легко определяется для рассматриваемого класса задач. Если контур
тела представляет собой ломаную из прямолинейных отрезков, то
угол 0, равный действительной части ш* (£), на контуре единичного
круга принимает постоянные значения, вследствие чего функция о>* (С)
определяется непосредственно в конечном виде.
Метод Леви-Чивита позволяет обратиться к решению задач об
обтекании со срывом струй криволинейных контуров. Опираясь на
этот метод, Вилла2) указал нелинейное интегро-дифференциальное
уравнение, которому должна удовлетворить функция 6 (s) при
заданной форме обтекаемой дуги (здесь s— длина дуги круга в
плоскости С). Вопрос о существовании и о решении этого уравнения
в работе Вилла не разбирался.
В работах ряда авторов метод Леви-Чивита был обобщен на
случай обтекания двух контуров (поток отображается конформно
на полукольцр, струи переходят в отрезки действительной оси), на
случай движения в каналах, истечения из сосудов и т. п. и
применен к решению различных конкретных задач3).
Отметим теперь главнейшие результаты в теории струй,
относящиеся к обтеканию со срывом струй криволинейных контуров.
Первую конкретную задачу об обтекании с отрывом струй
криволинейного препятствия, — именно, обтекание дуги круга при прямом
Ударе, — решил А. И. Некрасов4) в 1922 г. В отличие от Вилла
г) Напомним, что при решении задачи об обтекании плоской пластинки
Методом Кирхгофа поток отображался на полукруг в плоскости С, причем
с*руям соответствовала дуга полукруга.
2) Villa t H. Sur la resistance des fluides. Annales de l'Ecole Normale
Sl*perieure, т. 28, 1911.
3) Cisotti V., ldromeccanica. Piana, т. I, II, 1921. Эти книги содержат
большое количество решенных конкретных задач.
4) Н е к р а с о в А. И., О прерывном течении жидкости в двух изме-
№ниях вокруг препятствия в форме дуги круга. Известия Иваново-Воз-
11есенского политехнического института, № 5, 1922 (выпуск математиче-
СВД). ♦
14 Зак. 1631. Л. И. Седов,
£10
ТЕОРИЯ СТРУЙ
К v
А. И. Некрасов получил нелинейное интегральное уравнение дл
регулярной составляющей мнимой части функции ш* (С). А. И. цеЯ
красов решил полученное им уравнение методом последовательных
приближений, доказал сходимость и единственность решения дДя
малых значений параметра, пропорционального центральному углу
стягивающему обтекаемую дугу. Было рассчитано детально первое
приближение.
Под влиянием А. И. Некрасова появляется ряд работ*),
посвященных продолжению и обобщению его исследования.
Построение решения для обтекания со срывом струй дуг с малой
кривизной, удовлетворяющей условиям Коши-Липшитца, дано Я. И. Се-
керж-Зеньковичем2) с помощью решения методом последовательных
приближений нелинейного интегро-дифференциального уравнения.
Для луг, кривизна которых мала и является аналитической функцией,
Я. И. Секерж-Зенькович показывает существование и
единственность решения этого уравнения методом разложения в степенной
ряд по параметру. По сравнению с методом последовательных
приближений этот способ несколько эффективнее.
Опираясь на методы функционального анализа с помощью
предложения о существовании неподвижной точки при отображении
выпуклого тела на самого себя, Лерай3) доказал существование и
единственность решения задачи об обтекании со срывом струй одной
дуги некоторого общего вида, кривизна которой удовлетворяет
условиям Хелдера. Лерай не рассматривал вопрос об эффективном
определении потока.
Ряд теорем существования, единственности решения и некоторые
предложения качественного характера для струйных течений
получены М. А. Лаврентьевым4), который приложил к теории струй
вариационные методы, основанные на использовании некоторых свойств
конформных отображений при деформации границ.
Приближенное решение задачи об обтекании со срывом струй
дуги круга и дуги эллипса дано Бродецким5).
J) Секерж-Зенькович Я. И., К задаче об обтекании дуги
круга с отрывом струй. Доклады Академии наук СССР, т. II, № 6—7,
1934.
А рж аник о в Н. С, Об обтекании плоским прерывным потоком
препятствия в форме дуги параболы. Матем. сб., т. XXXV, вып. Ь
1928.
Мясников П. В., Задача об обтекании дуги потоком со срывом струй.
Учен. зап. МГУ, вып. 7, 1937. u „
2) С е к е р ж-3 е н ь к о в и ч, Я. И., К теории обтекания криволинейной
дуги с отрывом струй. Труды ЦАГИ, вып. 229, 1937.
3) Leray I., Comment, mathem. Helvetici, т. 8, № 2, 3, 1935—1936.
4) Лаврентьев М. А., К теории струй. Доклады Академии наук СССР,
т. XVIII, № 4—5, 1938, стр. 225—226.
б) Brodetsky, Comptes Rendus du 2-ieme Congres Inter, de Mecanique
appliquee, Zurich, 1926.
§21
ВИДОИЗМЕНЕНИЕ МЕТОДА H. Е. ЖУКОВСКОГО
§ 2. Видоизменение метода Н. Е. Жуковского
411
Метод Жуковского основан на применении формулы (1.13), изкото-
й функция о) (и) получается как неопределенный интеграл. Опираясь
Р эТу формулу, возможно строить струйные потоки, стесненные
венками, составленными из прямолинейных отрезков.
С Метод Н. Е. Жуковского в форме, предложенной им самим и
изложенной выше, не позволяет сформулировать задачу об обтекании
криволинейных препятствий. Ниже мы даем некоторые
видоизменения, позволяющие приблизиться к решению струйных задач с
криволинейными стенками. Для стенок из прямолинейных отрезков мы
получаем также новые эффективные формулы.
Основываясь на решении смешанной задачи, рассмотренной в § 10
главы Ш, функцию <о (и) можно выразить через значения
действительной и мнимой части на вещественной оси с помощью
определенного интеграла. Полученное таким образом выражение для со (и) сразу
сводит решение задачи о струйном течении с несколькими
препятствиями, образованными прямолинейными отрезками, к решению
уравнений для постоянных. В случае криволинейных препятствий эта
формула позволяет составить интегральное уравнение, аналогичное
интегральному уравнению в
методе Леви-Чивита,
полученному в задаче об
обтекании со срывом струй
одного криволинейного
препятствия.
Поясним более подробно
сущность метода на задаче
об обтекании беспредельным
потоком со срывом струй п
данных дуг (фиг. 5.5) и на
задаче об обтекании со
срывом струй решетки,
образованной периодически
повторяющейся дугой.
Пусть величина скорости
в бесконечности и на струях
имеет значение bv В бесконечности скорость имеет некоторое
определенное направление, одинаковое как в общей массе жидкости, так
и в струях. Ось х направим параллельно направлению скорости
Жидкости в бесконечности.
Область, занятую движущейся жидкостью, отобразим конформно
наверхнюю плоскость комплексного переменного u^=ui-]riu2 (фиг. 5.6)
так, чтобы бесконечно удаленной точке на крайних струях
соответствовала точка и1=оо, точкам z — At и г = В1 соответствовали
точки и = 0 и й=1 (AJ и Bi—точки схода с первой дуги).
W #
*ȣ
Фиг. 5.5. Схема обтекания нескольких
препятствий со срывом струй.
£1й теория Струй *
Контуры обтекаемых дуг АкВк перейдут в некоторые отрезки а к
критическим точкам Ev £2> •.., Еп соответствуют точки el9 e2i 9 щ k *;
на интервалах a1bv %62, ..., апЬп; бесконечно удаленным точ'ка*
струй Ср С2, ..., Сп_1 соответствуют некоторые точки cv c^ M
сп_х в интервалах Ьха^ Ь2а& ..., bn_xan.
В плоскости w = о -\- ity области, занятой потоком, соответствует
вся плоскость, разрезанная ; вдоль п полупрямых, параллельных
и2
®
®
А . Л
* ■ » ■ ^
Фиг. 5.6. Плоскость параметрического Фиг. 5.7. Плоскость характера
переменного и в задаче об обтекании стической функции w в задаче
нескольких препятствий со срывом об обтекании нескольких пре-
струй. пятствий со срывом струй.
вещественной оси (фиг. 5.7). Заметив это, с помощью формулы Кри-
стоффеля-Шварца для w{tt) найдем:
-ш^-
W
к. s
= *9«* + *i« + 2&ln(« —<b)+.const., <2Л)
где С—действительная постоянная; постоянная интегрирования
несущественна. Действительная величина Qk представляет собой
количество жидкости, протекающее~в единицу времени через сечение А-й
струи (струя с бесконечно удаленной точкой Ск).
Функция а)(н) = 1п-- /6 регулярна в верхней полуплоскости
и исчезает в бесконечности. На интервалах Ьк_хак, соответствующих
струям, действительная часть ш (и) равна нулю.
На интервалах афк имеем:
на акек в = р — тг, j ^
на екЪк 6 = р (6 = 1, 2, ..., я), J
где р — угол, который составляют касательные к обтекаемым дугам
с осью х.
На краях ак и Ьк функция о>(#) конечна. Пользуясь решение»1
смешанной задачи для полуплоскости, данным в § 10 главы ВЬ
ВИДОИЗМЕНЕНИЕ МЕТОДА H. Е. ЖУКОВСКОГО 213
§21
о, (#) можно выразить с помощью формулы
/" г Ьк
-гг«-%Гу Г _Щ_л/'ьл=1 ТТL±*f Л_
.(2.3)
Эта формула определяет функцию со (я) с конечными значениями
v точек aw Условия о конечности функции о> (я) в точках Ьк имеют
вид:
ък .
«S //Щ1ЩеД 0=1.2,..., «)■ («)
Эти условия можно рассматривать как /г уравнений для
определения п постоянных координат ек образов критических точек в
плоскости и.
По предположению, в бесконечности скорость в струях
параллельна оси х и по величине равна 'о1; следовательно, точки си
са>"-э £n-i должны служить нулями функции <а(и).
Если р(ЛЛ+1) — тс й р(ВЛ) различны по знаку, то в силу
непрерывности на каждом интервале t>ifik+1 будут нули функции 6, а
следовательно, и функции о» (я), так как на этих интервалах Re [ш (и)] = 0.
Таким образом, при данном $(и) постоянные с1У с2, ..., сп_х
можно рассматривать как корни уравнения
<о(я)=0. (2.5)
Составим теперь интегро-дифференциальное уравнение для
определения функции (3(и). На основании соотношений
e,fc
можем написать:
-** =-£-ТТ " —g*g-"Wf (2.6)
4ц bi J-X и — сщ у !
214 теория струй ,
На отрезках афк имеем:
\
-47ЩL 2j v-p- J тг^-1 2^ v-p- J -i=f-J » (2.7,
/""—~
\\ g~ k » первый член равен — /p при ек < и <; $
и —/(P — тс) при ак< и < ек. Символ V. р. означает, что когда
подинтегральная функция имеет полюс, нужно брать главное значение
интеграла.
Далее имеем:
du e du e dp du e *KP'du9 I2'8)
где /?(р) — радиус кривизны обтекаемых дуг АкВк. Пользуясь
соотношениями (2.6) — (2.8), находим:
*(Ȥ-
-SV.P./W]}. М
Если и принадлежит какому-нибудь из интервалов ефк, то надо
взять знак плюс; если же какому-нибудь из интервалов akekJ—то
надо взять знак минус.
Уравнение (2.9) можно также написать в виде:
п h I gd) 1 ___ j
ВИДОИЗМЕНЕНИЕ МЕТОДА Н. Е. ЖУКОВСКОГО
215
§2]
уравнения (2.1) и (2.10) можно рассматривать как совокупность
J^ppo-дифференциальных уравнений для определения п функций
а 1и) на отрезках акЬк.
Если функция (3(я) определена из уравнения (2.10), то после
поеделения постоянных еъ е^ ..., еп и cv c2> ..., сп_х из ура-
°нений (2.4) и (2.5) останутся свободными 2п—1 параметров:
£2, да,
Ьп и С.
Для задания п дуг АкВк необходимо Ъп — 2 постоянных (начало
координат можно совместить с одним из краев дужек). Располагая
а) ^ i 6]
Фиг. 5.8. Схемы обтекания с застойной областью впереди.
2я — 1 свободными параметрами, нельзя получить любое
расположение дуг АкВк. Таким образом, принятая схема течения может
существовать только для некоторых частных расположений обтекаемых
дуг. Этот результат для случая обтекания со срывом струй двух
плоских пластинок был указан Тири1).
Если обтекаемые дуги представляют собой плоские пластинки
(Р== const, на каждом отрезке ак дк), то функция со (и) вполне
определяется формулой (2.3). Размеры и положение пластинок
вычисляются с помощью соотношения (2.6). Аналогичным образом
формула (2.3) сразу дает решение для случая обтекания контуров,
составленных из прямолинейных отрезков 2).
Можно указать схемы для струйных течений, когда число
свободных параметров больше числа параметров, определяющих обтекаемые
препятствия. В этом случае струйное обтекание не определяется
однозначно.
х) Thiry, These, Paris, Gauthier-Villars, 1921.
2) Решение задачи об обтекании со срывом струй п параллельных
пластинок дано В. М. Абрамовым, См. Труды И математического съезда,
стр. 304-310,
216 ТЕОРИЯ СТРУЙ г
14 v
Пример неоднозначного решения задачи о струйном обтекании
схеме, изображенной на фиг. 5.8, а, был указан С. А. Чаплыгины^110
в 1899 г. С. А. Чаплыгин рассматривал обтекание тел с застойн^
областью впереди тела (см. фиг. 5.8, а). Застойная область и в °**
поток определяются, если в этой области задано давление, котов**
должно быть большим, чем давление в набегающем потоке. е
Струйное обтекание по схеме, указанной на фиг. 5.8, б% подр0бн
изучено Вилла2) и Тири3). На линии А В давление постоянно*
В заштрихованной области может находиться покоющаяся жидкость
§ 3. Обтекание решеток со срывом струй
Развитый метод легко обобщается на случай обтекания со срывом
струй решетки, образованной периодическим повторением системы
из п дуг. Для простоты мы рассмотрим случай струйного обтекания
решетки, образованной повторением одного пера 4). Ось х направим
параллельно скорости невозмущенного поступательного движения
жидкости в бесконечности перед решеткой. Все перья решетки
получаются из какого-нибудь одного пера АВ поступательным сдвигом на
величину k{L-\-iH)% где & = 0, =+z 1, z±z2, ..., ±оо.
Определим периодическое течение жидкости с периодом L-\-iH.
Дуга АВ служит частью линии тока, которая подходит из
бесконечности при х = —сю, разветвляется в некоторой точке Е на АВ и
образует границы струй, сходящих с обтекаемого контура в точках
А и В. Для определенности порядок А, В установим такой, чтобы при
движении от Л к Б по дуге жидкость оставалась влево.
Величину скорости невозмущенного набегающего потока
обозначим через bj, постоянную величину скорости на струях обозначим
через Ь2. В бесконечности при х ~> 4т °° все струи параллельны и
составляют угол 62 с осью х.
г) Чаплыгин С. А., К вопросу о струях в несжимаемой жидкости,
Собрание сочинений, т. I, Гостехиздат, 1948, стр. 5 — 18.
2) V ill at H., Annales de l'Ecole Normale superieure, т. 28, 1911.
3) Thiry H.f These, Paris, Gauthiei-Villars, 1921.
4) Некоторый частный случай задачи о струйном обтекании решетки,
составленной повторением одной плоской пластинки, решен Н. Е. Жуковским
(см. Жуковский Н. Е., Видоизменение метода Кирхгофа ..., Собр. соч.,
т. II, 1949).
Общее решение задачи о струйном обтекании решетки из плоских
пластинок дано С. А. Чаплыгиным и А. П. Минаковым в книге «Теоретический
расчет действия турбины». (Приложение к 3-му выпуску II тома Собраний
сочинений Н. Е. Жуковского, изд. 1930 г.).
Задача о струйном обтекании решетки, образованной повторением одной
плоской пластинки, в предположении срыва струй с одного острого край]
обтекания другого острого и последующего срыва с задней стороны,
разобрана Н. И. Ахиезером (см. А хи е зе р Н. И., О плоскопараллельном поток*
через бесконечную решетку. Научные записки ХАИ, вып. U, 1934).
ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТОК СО СРЫВОМ СТРУЙ 217
§3]
лбласть, занятую потоком жидкости, отобразим конформно на
юю полуплоскость параметрического комплексного переменного
пер*н , ia таК) чтобы х = — со соответствовало и2 = -}- оо, точке
U ** а 1стрУи ^ соответствовала точка и = О, а точке схода Л -f- Z, -{- ///
C?f^>0) соответствовала точка и —к. Этими условиями соответствие
деляется единственным способом.
^Сдвигу на тс в плоскости я соответствует сдвиг на L-\-iH в пло-
СК°Обозначим через е, b и c(0<s<£<c<it) образы в плоско-
й критической точки £, точки срыва В и бесконечно удаленной
5очки в струе.
В плоскости характеристической функции w = <р + ity потоку
соответствует вся плоскость, разрезанная вдоль прямолинейных лучей,
параллельных вещественной оси, получаемых периодическим
повторением некоторого одного луча.
Зависимость w(u) определяется соотношениями:
^ = csin(«-*) (ЗЛ)
du sin (с — и) v '
или
ф (и) = — Си cos (с — е) + С sin (s — с) In sin (и — с) -f- const., (3.2)
где С—действительное число, большее нуля. Очевидно, 4TOftCsin(£—е)
равняется объему жидкости, протекающему через сечение одной
струи в единицу времени.
Функция о> (и) == In ——^— = In /8 является периодической
функцией от и с периодом, равным от, и регулярна в верхней
полуплоскости.
На отрезке Ьх, соответствующем струям, имеем b = b2;
следовательно, на этом отрезке Reco(w) = 0. На отрезке ед имеем 6 = р, на
отрезке Ое имеем 6 = (3 — тс, где (3 — угол наклона к оси л:,
касательной к обтекаемому контуру.
Пользуясь формулой (5.6) главы III (стр. 151), функцию <*>(«)
можно представить в виде:
и
>(«) = -^J te«(6) [ctg(6-«) -tg-!-]«* +
О
е
+^jj J g* a) [ ctg (6 - и) ~ tg -*.] <&, (3.3)
218 теория струй [Гд
V
где g (и)=у ^LL—?fL. Вычислим второй интеграл этой формуЛы.
£Jjf(,)[cw_*>_1;fi*-..{83&+
<6 л г *Ь ■
In
[g(S)+fe2]U(S)+/g 2]
• о г го -I г го -I
2cosTg(u) [^-|Л] [,©-*."]
Условие конечности функции ш(и) в точке b имеет вид:
-LJHVg® [ctg(6-*)-tg -f] Л-
^ +const. (3.4)
й,г it) ■
' ,nL(e)4-/g2][g(e) + fg '■] п
2C0ST [g(,)-ie^][g(,)-ie--]
Это соотношение можно рассматривать как уравнение для
определения s.
С помощью условия (3.5) формула (3.3) преобразуется к виду:
- ъ
ta(u\— Vein «sin (6 — а) С ptfg
V } * j/ sfti(5 —«) VsingslnC^ —
+ щ €«=*£> (3,6)
откуда
/"sinfo—s) _ /"sin (6 — и)
rfw . V sine r sin и w
= ** г- . „ =; 7==F===-" X
Л
-/"sin (6 — ») , 1 /~sin (fr — и)
V sin e ""•" r sin и
-и)
L1
6
r_Vsinasin(6^) Г Мб 1 # (3.7)
Зависимость г {и) определяется из соотношения
dz_ dw.dz
du du dw
(3.8)
Отсюда, подобно тому как и раньше, получаем интегро-дифференциаль-
ное уравнение для определения функции (3 (и) в случае рбтекания СО
g 3] ОБТЕКАНИЕ РЕШЕтЛс СО СРЫВОМ СТРУЙ 219
срывом струй решетки, составленной из криволинейных перьев:
rsin(b — t) /"sin (Ь—и)
d$ С sin(tt— е) V sine "*" V sin и v
R(Wla~ *>2 sin (с-и) rsin{b — e) _ / sin(ft-a) X
У sine V sin и
A FL « ** J sin(^-tt) T^sinSsin^ —S)J v '
Для периода L-\-iH имеем:
и-и-/£*-/(£.•©*.
о о
Подинтегральная функция имеет период те; поэтому пределы
интегрирования 0 и тс можно заменить пределами iR и //?^-ic. Устремим /?
к+со. Так как (^) = *>,, а С^\ = _С«<(-«\ Т0
1 *>1
Отсюда
С=^У£2 + «2 (ЗЛО)
и
Я
с — е = arcsin , .
Величина ft' определяется длиной обтекаемой дуги. Скорость на
струе \>2 определяется из соотношения
1п^ = -ш(й1 + /оо). (3.11)
Раскрыв формулу (3.3), получим:
ь 15. 15-
Ш$ —i-Jp^O^ + Rej^lnl^yg-}. (3.12)
о I cos-2* g(*)-ie2 ]
Для угла 62 наклона струи к оси л: в бесконечности справедлива
формула
л fdw\ . ,/" sin (с — Ъ) sine
220 теории струй гГл
Ширина струи в бесконечности равна
*=§* (3.14)
Формула для силы, действующей на одно перо, легко получается
с помощью теоремы о количестве движения. Положив
X+tY=tf(p—pJdz,
АВ
где /?2 — давление на струе, получим
Х-\-ПГ = рНЪ*
a^_i + ^(L+//i)(i-^)
(3.15)
Дадим теперь выражение для функции скоростей, когда обтекаемая
дуга представляет собой ломаную, составленную из п
прямолинейных звеньев.
Пусть в плоскости и точкам срыва струй и угловым точкам
соответствуют точки действительной оси
0 = e0<sl<s2< ••• <гп-1 <*п=Ь.
Обозначим через |3ft угол наклона к оси х звена, соответствующего
отрезку еАел+1. Очевидно, что размеры звеньев обтекаемого контура
определяются значениями ev е2, ... , вп-1, д.
В этом случае интегралы, содержащие р ($), вычисляются. Для
функции скоростей формула (3.7) дает:
h-V
fc-i
Уравнение для определения точки разветвления е получается в виде:
— п-1 — bLzllb
(g(e)4-ie 2 -yy {gi*£ — te2 1 * ) _ g ^3 17)
игП
[gW-ie2 k = 1
gbk)+te
ie 3 J J
Если обтекаемый контур симметричен относительно прямой,
параллельной скорости набегающего потока, то г=-~ . Для
симметричного полигонального контура точки гк расположены симметрично
ртнрсит$л&но середины отрезка (О, Ь),
*j бБТЕкАНИЕ ТЕЛ С РАЗВИТОЙ КАВИТАЦИЕЙ 221
§ 4. Обтекание тел с развитой кавитацией
pj3 общих уравнений гидромеханики следует, что при
установимся движении газа или несжимаемой жидкости давление в
потоке зависит от распределения скоростей. При неустановившемся
вИ)Кении давление существенным образом зависит еще от
распределения локальных ускорений.
При решении задач о движении несжимаемой жидкости в
математической постановке давление может получаться отрицательным
или даже равняться минус бесконечности в тех точках потока, где
величина скорости бесконечна. Как известно, скорость обращается
в бесконечность при обтекании несжимаемой жидкостью острых
кромок на подвижном контуре. Если кривизна подвижного профиля
конечна, то при установившемся движении давление на контуре
получается конечным, но может принимать большие по модулю
отрицательные значения. В непрерывном движении идеальной несжимаемой
жидкости давление может принимать большие положительные и
отрицательные значения при сколь угодно малых скоростях, если
движение неустановившееся и сопровождается большими по величине
ускорениями. В пространстве, занятом движущейся жидкостью, градиенты
давления меняют свое направление одновременно с изменением
направления ускорения частиц жидкости, которые могут менять свое
направление в соответствии с переменным направлением ускорения
тел, движущихся внутри жидкости.
Жидкости, встречающиеся в природе и применяемые в технике,
содержат взвешенные твердые частицы и растворенные газы. В
большинстве случаев такие жидкости неспособны воспринимать растягивающие
усилия (отрицательные давления). В особых условиях удается
наблюдать течения, при которых возникают растягивающие напряжения
в движущейся жидкости, но обычно давление р в потоке не может
стать ниже некоторой положительной величины pd.
В точках потока жидкости, в которых давление падает до этого
значения, происходит нарушение сплошности течения и образуется
область, заполненная парами жидкости или газами, выделившимися
из раствора. Это явление называется кавитацией.
Возможным нижним пределом pd давления в жидкости является
давление насыщенных паров жидкости, зависящее от температуры
жидкости. Таким образом, возникновение кавитации может быть
объяснено как явление закипания жидкости.
Ниже мы рассмотрим теоретические схемы установившегося
обтекания тел несжимаемой жидкостью при условии, что в потоке
жидкости /?>/V
Для установившегося движения тяжёлой несжимаемой жидкости
интеграл Бернулли имеет вид:
, , , , . Р»о Р»2 , Р*о Р*2 . ,А 1Ч
222
Теория струй
Kv
причем ось у направлена вертикально вверх; рет—статическое д
вление в жидкости, имеющее место при покое или при поступ *
тельном движении жидкости. а"
Уравнение (4.1) можно представить в виде:
В ряде случаев отношение — определяется кинематическими уело-
виями задачи, в частности так обстоит дело при непрерывном
потенциальном обтекании тел несжимаемой жидкостью в бесконечном
потоке. В этом случае максимальная скорость !>тах достигается на
границе, т. е. на поверхности тела, и отношение ~ssl зависит только
от геометрических особенностей тела и от его ориентации относи-
тельно набегающего потока. Максимальной скорости fcmax
соответствует минимальное давление /?min, поэтому кавитация поступает на
поверхность тела. На основании (4.2) можно написать:
*(Рст ^min) втах 1 (л о\
Р*>оо *оо
Очевидно, что наступление кавитации определяется условием
е -:t-2^-^> at)
Ср min —Х ~~ ~2 ' V***'
Число х называется числом, кавитации. Если разрешены задачи
о непрерывном обтекании тела и, следовательно, определено срт$й,
то из (4.4) определится число кавитации х и скорость fy», когда
возникнет кавитация.
Очевидно, что при движении в жидкости любого профиля с до*
статочно большой скоростью неизбежно наступление кавитации.
Кавитация наступает тем позже, чем лучше обтекаемость профиля, чем
ближе к единице отношение --1.
*>оо
На явление кавитации можно влиять изменением давления рСТ1 ко*
торое увеличивается с глубиной; очевидно, что при погружении на
глубину кавитация затрудняется. В специальных водяных трубах
замкнутого действия—в кавитационных танках — давление pGT можно
изменять с помощью создания вакуума или дополнительного давления
на свободной поверхности воды, которая имеется в верхней части
трубы.
Для хорошо обтекаемых веретенообразных тел величина cpadQ имеет
порядок 0,3; поэтому при движении в воде на глубине 5 М,
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ 6 РАЗВИТОЙ КАВИТАЦИЕЙ 223
§4)
_- 15 000 kzjcm2, p —102 кг сек*/м* и pd^Q из (4.4) получим,
Р* "^питическая скорость наступления кавитации имеет' порядок
что к"
В настоящее время в связи с возрастающим значением проблемы
ижения тел в воде с большими скоростями исследование явления
^В итаиии становится весьма важным, особенно при исследовании
Каботы водяных винтов, турбин, насосов и других гидравлических
Р шиН# Б частности, с этим явлением приходится встречаться в ги-
Мравлических системах на самолете при подъеме на высоту
(уменьшается рст)-
Кавитация, связанная с неустановившимся характером движения
жидкости, встречается при колебаниях тел в воде с большой частотой.
При возникновении кавитации на поверхности тела образуются
пузырьки, заполненные паром с давлением, близким к нулю, затем
эти пузырьки перемещаются вместе с жидкостью и попадают в области
повышенных давлений, жидкость устремляется внутрь пузырей со
значительной скоростью, и в результате этого происходит явление
ударного характера, сопровождающееся большими приращениями местных
давлений (порядка сотен атмосфер).
При развитом кавитационном обтекании тела образуются резко
выраженные границы между жидкостью и парами и газами,
заполняющими каверну. Вдоль поверхности раздела давление с большой
степенью точности можно считать постоянным и равным pd. Поэтому
эти границы жидкости можно рассматривать как свободные
поверхности (струи жидкости), которые образованы частицами жидкости,
сошедшими с обтекаемого контура в точках схода струй.
Уравнение движения частицы на границе каверны в проекциях
на нормаль к траектории можно написать в форме:
-^- = —i.(gradp, л), (4.5)
где R — радиус кривизны траектории, а п — единичный вектор,
направленный по нормали к центру кривизны траектории. Так как внутри
каверны давление минимально, то вектор градиента давления grtdp
направлен по нормали к поверхности раздела внутрь жидкости;
поэтому из (4.5) вытекает, что главная нормаль к траектории
направлена внутрь каверны. Отсюда следует, что траектории частиц
жидкости на границе каверны обращены вогнутостью к каверне.
Если допустить, что движение установившееся, то эти
траектории совпадают с самой границей, которая должна представлять
собой выпуклую кривую, обращенную выпуклостью к основному по-
т°ку жидкости. Движение характеризуется тем, что оторвавшиеся от
т^ла частицы под действием внешнего давления отклоняются внутрь
кавитационной области.
При обтекании неподвижного тела струя, сошедшая с поверх-
н0сти тела, может возвратиться в некотором месте обратно к телу
224 теорий струй [Гл
или встретиться с другой струей. В месте встречи возникает течение
направленное внутрь каверны. Очевидно, что в области замыкания
струй на каверне движение жидкости должно быть нестационарным»
предположение о стационарности приводит к противоречию, так как
в этом случае'жидкость, втекающая внутрь каверны, должна ее
заполнить и кавитация прекратится.
Явления, просходящие в области замыкания струй, ограничивающих
каверну, еще не изучены вполне. Опыт показывает, что кавитацион-
ное течение является периодическим. Наблюдения свидетельствуют,
что из области замыкания периодически отделяются завихренные
клокочущие массы жидкости, уплывающие назад и создающие
движение типа вихревых дорожек (фиг. 5.9). При смыкании двух струй
Фиг. 5.9. Схема обтекания с образованием каверны за телом.
жидкость, устремляющаяся внутрь кавитационной области, повидимому,
попадает попеременно то на одну, то на другую свободную
поверхность, на которых происходит накопление масс жидкости и пара,
уносящихся периодически во внешний поток.
Если число кавитации х > 0, то статическое давление в
набегающем потоке и в бесконечности за телом больше, чем давление
внутри каверны, и поэтому каверна не может простираться до
бесконечности. При уменьшении числа кавитации х размеры каверны
возрастают и область замыкания удаляется от тела.
При развитой кавитации, т. е. при достаточно малых значениях
числа х, когда длина кавитационной области в несколько раз
превышает расстояние между точками схода струй с поверхности тела,
нестационарность проявляется существенно лишь в области замыкания
каверны и в потоке за этой областью.
Опыт показывает, что в передней смоченной части тела, вблизи
точек схода струй с поверхности тела, и на большой части
свободных поверхностей течение жидкости близко к стационарному.
При х = 0 предельное кавитационное движение совпадает с
обтеканием тел со срывом струй по схеме Кирхгофа, рассмотренным
в предыдущих параграфах. В этом случае для суммарных сил и
§4]
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ С РАЗВИТОЙ КАВИТАЦИЕЙ
225
для распределения давления сравнение теории с опытом может
служить одним из примеров наилучшего согласования в гидромеханике.
Если х-*0, то для построения стационарного струйного течения
можно ввести в рассмотрение идеальную схему, состоящую в
следуют^ *)•
Свободные поверхности, сходящие с поверхности тела и
направленные выпуклостью к внешнему потоку при смыкании, образуют
струю, втекающую внутрь каверны (фиг. 5.10).
Пренебрегая нестационарностью и возвратом во внешний поток
масс, втекающих в каверну, нам необходимо ввести струю,
направленную внутрь каверны и уходящую на второй лист римановой
поверхности, на которой мы таким образом рассматриваем поток жидкости.
Фиг. 5.10. Схема кавитационного обтекания тела со струей,
уходящей на второй лист римановой поверхности.
Далее в качестве дополнительных предположений мы примем, что
давление на поверхности струи везде постоянно и равно pd, что
давление в потоке больше pd и что направление струи, входящей
в каверну, прямо противоположно направлению скорости потока,
набегающего, на тело 2).
Описанная постановка задачи о кавитационном обтекании тела
определяет поток однозначно и позволяет полностью рассчитать
движение жидкости аналогично тому, как в обычном случае обтекания тел
со срывом струй по схеме Кирхгофа.
В качестве примера рассмотрим задачу об обтекании плоской
пластинки с образованием за пластинкой кавитационной области.
Схема движения указана на фиг. 5.11.
Область, занятую движущейся жидкостью, отобразим конформно
на внутренность единичного полукруга в плоскости вспомогательного
комплексного переменного t. Для определенности потребуем, чтобы
поверхности струй перешли в верхний полукруг, а обтекаемый
контур перешел в действительный диаметр; краям пластинки Л, В
г) Эта схема была впервые приложена к исследованию обтекания тел
с кавитацией в работе: Эфрос Д. А., Гидродинамическая теория
плоскопараллельного кавитационного течения. Доклады Академии наук СССР, т. I,
№ 4, 1946.
2) Последнее допущение можно обосновать некоторыми качественными
соображениями и опытными данными, отмеченными Д. А. Эфросом.
15 Зак. 1631. Л. И. Седов.
226
ТЕОРИЯ СТРУЙ
tol.
'Уем
соответствуют точки t = — 1 и / = -}- 1. Кроме этого, потреб
,чтобы критической точке в потоке D в плоскости t соответствоГ^
точка id, расположенная на мнимой полуоси,. причем 0<d<i\ 3ла
Этими условиями конформное отображение определяется оДн
значно. Бесконечно удаленной точке потока Е соответствует в пл°
скости t некоторая точка е = et -J- ie29 бесконечно удаленной1 тх)чГ
в струе С соответствует на полукруге точка c = eia<>, критическое
точке О соответствует точка на действительном диаметре с коордиця
той я. Параметры rf, ег, е2, c = ei(S<> и а неизвестны заранее и должны
Фиг. 5.11. Схема к задаче о кавитационном обтекании плоской
пластинки.
быть определены при решении задачи. Указанное отображение можно
ввести в рассмотрение при кавитационном обтекании тела любой
формы.
Для принятой схемы обтекания характеристическую функцию w(t)
или производную -тг- легко определить, независимо от формы
обтекаемого тела. Внутри полукруга характеристическая функция w(t)
определяет движение несжимаемой жидкости от диполя,. вихря и
источника в точке е и от источника и вихря в точке с. Для этого
течения точки d, а и -fl» —1 являются критическими точками.
На полукруге и на действительном диаметре ф = const. Пользуясь
этим, функцию w(t) можно продолжить на всю плоскость L После
dw
этого получим, что производная --тг- представляет собой
рациональную функцию, имеющую полюсы второго порядка в точках е, Ь
— ,'•=-, полюсы первого порядка в точках с и с, нули первого по-
е е
рядка в точках а, — , id, — id, •— , -— -^- + 1, — 1 и нуль второе
порядка в бесконечности. Таким образом, можно сразу написать:
dw _ Л (1 — fl) (/» + rf2) (at — 1) (t— a) (d*t* 4- 1) /4#6)
dt (t — e)*(t—e)*(et—l)*&T-l)*(t — c)(t—c) '
где А — действительная постоянная.
ОЁТЕКАЙИЕ ТЕЛ 6 РАЗВИТОЙ КАВИТАЦИЕЙ 22?
И
далее, для функции аО = ^£ = ■£ «~ л. где ^ — скорость
ve B случае плоской пластинки легко написать общую фор-
на СТ функция С (0 регулярна внутри верхнего полукруга, имеет на
*УЛУ* ге модуль, равный единице, и имеет постоянный аргумент
"Действительном диаметре (в точке а аргумент С терпит разрыв).
Пользуясь этим, функцию С(f) можно продолжить на всю плоскость.
После этого получим, что C(f) — рациональная функция, имеющая нули
вого порядка в точках a, id, —id9 полюсы первого порядка
т0чках —» -J-» —"г и конечные значения при *=0, /=оо.
На этом основании можно написать:
1 dw (g~t)(t* + d*)
^—bi dt ~ (at— 1) С^3^2— 1) ' 1 '
где — а(а>0) — угол наклона пластинки к оси х (фиг. 5.11). Если
пластинка АВ представляет собой дугу кривой линии, то вместо (4.7)
можно написать:
(a-t)(t* + d>)
w (a/—l)(rf2*2—1) *'w> И-o)
где/(/)— некоторая функция, регулярная в верхней полуплоскости
и принимающая действительные значения на верхнем полукруге 1t1 — 1.
Из (4.7) и (4.6) следует:
*L = _ A ei* dT^(g<-l)M^ + iy r4 9)
Отсюда определяется соответствие между переменными z и U
Пусть скорость в бесконечности параллельна оси х и равна Ь^;
Длину пластинки обозначим через /.
Для определения шести постоянных Aj?d9 el% е2, о0 и а имеем
следующие уравнения.
1°« Уравнение однозначности соответствия z{t) вблизи точки t=e
и г = оо:
dZ dt = 0, (4.10)
i
dt
tye L — бесконечно малый контур, окружающий точку t=*e.
2°. Условие для скорости набегающего потока:
Г(л^ (a-e)(e* + d*) 1л_ *«> „ и)
(ае— l)(rfV*+l) Ъх
15*
ТЕОРИЯ СТРУЙ
3°. Условие для направления струи, втекающей внутрь
sina0
arg С (е*°о) = а _ За0 — 2 arctg MIIg°
& v ' ° & а —cosa0
— 2 arctg
sin 2?0
rf2 + cos 2а0
4°. Уравнение, определяющее длину пластинки:
d/.
1*4 v
(4.12)
(Щ
Всего получается шесть действительных уравнений в соответствии
с числом неизвестных параметров.
А/1 *
7\
V
л
ц\
А
2\
/[
\
Г
1 1
1
*
.<—
Л ^
Л^
1 *j
Л7
Фиг. 5.12. Относительная ширина -у области
кавитации в функции числа кавитации х.
Если плоская пластинка расположена перпендикулярно к потоку *)»
т. е. а = ~ , то из условий симметрии следует сразу: а = 0, ^ = О
и о0 = ~. Полный расчет легко проводится до конца.
На фиг. 5.12 дан график для отношения максимальной ширины
каверны к ширине пластинки, hi фиг. 5.13 — график для отноше*
*) Этот пример подробно рассчитан в работе: Г у р е в и ч М. И., Об ОД*
ной схеме струйного обтекания плоской пластинки. Труды ЦАГИ, № 612»
1947.
§4J
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ С РАЗВИТОЙ КАВИТАЦИЕЙ
229
ксимальной длины L к максимальной ширине каверны. В пре-
нй* **пои х == О получается обтекание пластинки по схеме Кирхгофа.
Деле- силы сопротивления пла-
ки получается простая формула
i
W=
я + 4
+ х-
(4.14)
Первый член соответствует силе
Кирхгофа, второй обусловлен
наличием кавитационной каверны.
Формулу (4.6) и (4.8) легко
обобщить на случай решетки
профилей. Подобно изолированному
профилю область течения в одном
периоде отобразим конформно на
внутренность верхнего полукруга
в плоскости L В этом случае
вместо одной бесконечно удаленной
точки £ и ее образа e = e1-\-ie2>
в одном периоде имеем две
бесконечно удаленные точки F и G с
образами / и g в плоскости t. Разрезу
между точками / и g соответствуют
конгруентные кривые,
простирающиеся от F к G и сдвинутые
друг относительно друга на период
(фиг. 5.14).
Нетрудно усмотреть, что для
С (0 формула (4.8) (или (4.7) для
плоской пластинки) сохраняет свой вид. При обтекании решетки про-
diso
изводная —- в точках f и g имеет полюсы первого порядка; вместо
формулы (4.6) в этом случае верна формула вида1)
S
W
Фиг. 5.13. Удлинение -т- области
кавитации в функции числа
кавитации %.
dm
dt
A(\—fi)(t* + d*) (at—\)(t—a)(dW+l)
(^Л(^/)(/~у)(^у)(^^)(^^) (^~)(^j)(^)(^c) '
(4.15)
*) Подробный расчет обтекания решетки плоских пластинок в одном
устном случае дан в статье: Г у р е в и ч М. И., Симметричное кавитационное
?бтекание плоской пластинки, помещенной между параллельными стенками.
Изв. Академии наук СССР, Отделен, технич. наук, № 4, 1946, Исследование
°бщего случая было дано студ. Вейцманом,
230
ТЕОРИЯ СТРУЙ
Соответствующие уравнения для постоянных легко написать, п
обтекания решетки по схеме Кирхгофа в формуле (4.15) надо*По
.г'. Л
Фиг. 5.14. Схема обтекания с образованием кавитации решетки профилей.
жить g = c. Формула (4.7) для плоской пластинки и общая фор
мула (4.8) сохраняют свой вид.
ГЛАВА VI
ТЕЧЕНИЯ В ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ
(ЗАДАЧА О БИПЛАНАХ)
§ 1. Параметрический метод построения потоков
Пусть область Д занятая потоком несжимаемой жидкости,
содержит бесконечно удаленную точку и представляет собой внешность
двух замкнутых контуров Сг и С2. Из общей теории конформных
отображений известно, что двусвязную область D в плоскости z можно
Фиг. 6.1. К отображению внешности контуров С\ и С2
на кольцо.
отобразить конформно на некоторое кольцо в плоскости $,
ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в начале
координат (фиг. 6.1).
Отношение радиусов окружностей кольца -~ определяется гео-
метрическим видом области D. Для выбранного значения гх > г2
это отображение определяется единственным способом, если мы
потребуем, чтобы контур Ct переходил в окружность большего радиуса
и чтобы бесконечно удаленная точка в плоскости z перешла в
некоторую точку на положительной части действительной оси.
Пусть это отображение реализуется с помощью функции
9 = F®'
232 течения в двусвязных областях (задача о бипланах) [Гл
Кольцо с разрезом вдоль положительного отрезка действитеж
ной оси отображается конформно на внутренность прямоугольник
M1M^N2N1 в плоскости и со сторонами <лг и -—- (фиг. 6.1) с помощЬ1о
соотношения:
В плоскости z этот разрез изобразится аналитической кривой 1
проходящей через бесконечно удаленную точку. Область D,
разрезанная вдоль кривой L, отображается конформно на внутренность прямо-
угольника в плоскости и с помощью функции
2пги
z=F{rxe »i )=/(«). (1.2)
При этом отображении контур Сг переходит в сторону прямоуголь
ника МХМ^ контур С2—в сторону NtN2. Бесконечно удаленная
точка переходит в некоторую точку а на мнимой оси. На
вертикальных сторонах прямоугольника в точках с равными ординатами
значения f (и) одинаковы, поэтому функция /(и) продолжается сквозь
стороны MXNX и М%Ы<ь периодически:
Функция f(u) всегда существует и определяется единственным
способом. Отношение — и чисто мнимая постоянная а определяются
видом области D.
Задачу об отыскании течения жидкости вне контуров Сх и С2
удобно решать параметрически с помощью вспомогательного
переменного #, изменяющегося внутри прямоугольника, на который
отображается конформно область D с разрезом.
Для простейших течений функцию w (и) построить очень легко.
Основная трудность заключается в эффективном определении
функции/^), реализующей указанное конформное отображение на
прямоугольник,
dw
Дадим выражение для производной -т— в случае обтекания с
конечной скоростью в бесконечности любых двух замкнутых
неподвижных контуров Cj и С2.
dw
Функция скоростей -т— есть однозначная функция в плоскости z\
dw , . ч dw , ч
следовательно, --^— (« -J- <о1) = -^— («); так как, кроме этого,
dz v~ ■ *' dz
dz , ,
dz f % \ dz , ч
(n4-ei) = _(tf)f
TO
dw , , v dw t v
/
4Л ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПОТОКОВ 233
g плоскости z контуры С1 и С2 представляют собой линии тока.
как при конформном отображении линии тока переходят в линии
ка, т0 очевидно, что для течения, даваемого функцией w(u) внутри
т яМоугольника M1M2N2N1, стороны МХМ2 и NtN2 будут линиями
0ка. Следовательно, на MtM2 и Л^Л^ производная — действительна;
., ,, dw
продолжая ее сквозь Мхт2% получим, что значения --г— комплексно
сопряжены в сопряженных точках; на N±N2 и N[N'2 значения произ-
dw dw
водной -j— в сопряженных точках одинаковы, поэтому -^
продолжается вверх и вниз периодически:
dw , , v dw
du v ' 2' du
du
Следовательно, —z двоякопериодическая функция с
периодами 0)j И Ш2.
Циркуляции Г, и Г2 по контурам Ct и С2 могут быть взяты
произвольно. Комплексную скорость течения жидкости в
бесконечности обозначим через V = booe~~ibco. Разложение —z— при больших
значениях модуля г имеет вид:
n dw dw dz ,
Производная -^— = —г— -=— голоморфна везде внутри
прямоугольника периодов NtN2N'2N'v за исключением особых точек а и а = — а.
Нетрудно определить вид этих особых точек. Точка и = а
соответствует z = оо, поэтому вблизи этой точки справедливо разложение
вида:
*(и) = ^ + Ь0 + ^(и-а) + к2(и-а)*+...у (1.4)
откуда
*Ч") = --(^5-+*д + 2*9(«-«)+... (1.6)
г, dw dw dz ,л Л*
Пользуясь соотношением ~w"~ = ~тг~ 7Г~ и Разложениями (1-3) —
(1.5), легко найдем, что разложение -j—вблизи точки # = а имеет
вид:
234 ТЕЧЕНИЯ В ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ (ЗАДАЧА О БИПЛАНАХ) [ГЛ. VI
Из симметрии следует, что вблизи точки а = — а справедливо
разложение
lT=-(i+?+W(a+a)+ao+M''T»)+- (1-7)
Таким образом, ясно, что -^-— является эллиптической функцией,
имеющей в прямоугольнике периодов А^Л^Л/^Л/^ два полюса второго
порядка в точках а и —а. Главные части разложения —- вблизи
этих полюсов даны в равенствах (1.6) и (1.7).
На основании общей теории эллиптических функций1) можем
написать:
du
iii^[C(« —«) —C(« + «)]+Q,
откуда
+ Qtf + const., (1.8)
где f{u), С (и) и о (и) — функции Вейерштрасса для периодов <аг и а>2;
Q — действительная постоянная, которая определяется через
величину Гх—циркуляции по контуру Cv Для того чтобы правильно
t о (U — а)
определить приращение In при непрерывном переходе из
С \tt ~~у~ CL)
точки Мг в точку М2, по стороне МгМ2 сделаем разрез между
точками а и —а по мнимой оси. Значение In —7—г-т на левом краю
разреза на 2гс/ больше, чем у правого. Приняв это во внимание,
найдем:
Постоянная гц определена соотношением С (и -j- a>j) = С (и) -j- тг^.
Если контуры Ct и С2 изображают собой биплан, составленный
из двух крыльев с заостренными задними кромками, которые при
конформном отображении переходят в точку \ix на МХМ% и точку jx2
па NxNty то в этих точках — = оо. Для удовлетворения условию
Жуковского о конечности скорости у задних кромок необходимо
циркуляции Fj и Г2 выбрать так, чтобы точки \ьг и jx2 служили
пулями производной -т—.
х) См., например, Гуровиц А., Теория аналитических и эллиптических
функций. ГТТИ, Москва, 1933.
и
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПОТОКОВ 235
Поиравняв^ -j^- нулю при и =5 jxj и и = jx2, получим два линейных
нения, из которых определяются действительные значения для Yt
УР1В Получающиеся выражения для Тг и Г2 довольно громоздки,
Й поэтому мы их не выписываем.
формула (1.8) упрощается, когда у I ~
контуры .С, и С2 симметричны | /tZ>$ W
/Лиг- 6.2) относительно некоторой
пямой, скорость V параллельна этой
прямой'и циркуляции равны по
величине, но противоположны по знаку ~"^v^^
(Г^ —— Г2). >^Г
К этому случаю сводится задача Cz *
л непрерывном обтекании крыла . ЛО п , u
0 " у у Фиг. 6.2. Случаи симметричных кон-
вблизи земли. тур0В q и ^ (обтекание крыла
В плоскости г ось симметрии вблизи земли). •
выберем за ось х; тогда V
действительно. Из условий симметрии вытекает, что а = -— и что k дей-
г^ dw о, ,
ствительно. Очевидно, в этом случае —:— допускает период -—■ =а>9,
dw ,
вследствие чего для —:— получаем простую формулу
dw f a)., \
— =-kV^(u-^-) + Q, (1.10)
где Q — действительно и $ (и) взято для периодов <й± и «^ = -?*-.
Если острию М верхнего крыла соответствует точка и = р. -f- ш^
(ц.— действительно; контур Ct соответствует стороне NtN2)y то для
удовлетворения условию Жуковского достаточно положить:
Следовательно,
=ку[$(у-Ц-)-<е(и-Щ. (l.ii)
Циркуляция вокруг верхнего крыла представится формулой:
Г, =- — ftv[f»(|* — -^)•, +Ч1] . (1.12)
_, ч dw
Построение функции -z— нетрудно осуществить также и в том
случае, когда вне неподвижных контуров Cj и С^ имеется течение.
236 ТЕЧЕНИЯ В ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ (ЗАДАЧА О БИПЛАНАХ) [рл
жидкости с заданной системой вихрей, диполей или вообще полюс
некоторого порядка для функции скоростей -^—. Выражение дл
функции -^- может быть написано сразу через эллиптические фуНк%
ции. От положения особенностей и от вида контуров Сг и С2 зависят
только постоянные, которые войдут в это выражение.
К задаче об отыскании функции w (и) при наличии заданных
особенностей функции скоростей в плоскости z можно свести задачу
об обтекании поступательным потоком, если первоначально заданная
область предварительно отображена конформно преобразованием, не
сохраняющим инвариантной бесконечно удаленную точку, на
некоторую другую простейшую область. Например, внешность двух дуг
круга с помощью дробно-линейного преобразования можно отобразить
конформно на одну из областей следующего канонического вида:
внешность двух прямолинейных параллельных отрезков; внешность
двух наклоненных друг к другу прямолинейных отрезков и внешность
двух концентрических дуг круга.
Первоначальная задача об обтекании биплана, составленного из
двух дуг круга, после дробно-линейного преобразования может быть
сведена к определению потока в канонической области от диполя
и вихря, помещенных в точке, являющейся образом бесконечности
плоскости биплана.
Новый метод решения этой задачи дан С, А. Чаплыгиным1).
§ 2. Примеры конформных отображений двусвязных
областей
Для некоторых простейших двусвязных областей и, в частности,
для упомянутых канонических областей можно дать формулы' для
функций, реализующих описанное выше конформное отображение на
внутренность прямоугольника.
Простейшим примером может служить отображение внешности
любых двух непересекающихся кругов на прямоугольник. С помощью
функции
3_ * — 01
откуда
г _ g2§ — g1
S-1 '
внешность двух кругов в плоскости z отображается на кольцо
с центром в начале координат в плоскости g, если постоянные й\
!) Чаплыгин С. А., К теории триплана. Труды ЦАГИ, вып. 296, 19Э&
См. также Чаплыгин С. А., Собрание сочинений, т, II, Гостехиздат, 19w
стр. 508-536.
. 6i ПРИМЕРЫ КОНФОРМНЫХ ОТОЁРАЖЕЙиЙ ДВУбвЯзИУ* бЁЛЛСТЕЙ 237
§21
определить соответствующим образом через радиусы кругов
Я положение их центров в плоскости г.
Преобразованием % = гге <°i (rt — радиус внешнего круга) кольцо
переводится в прямоугольник. Таким образом, искомое отображение
СуЩествляется с помощью соотношения
и = -~Л- In —; Ц-
или
2niu
— *ZQ=*: (2.1)
/у ш' -1
Решение задачи об обтекании двух произвольных круглых
цилиндров в параметрическом виде дается с помощью формул (1.8)
и (2.1).
Легко видеть, что характеристическая функция w(u) для
обтекания поступательным потоком двух контуров Сх и С2 при Г, = Г2 = О
реализует конформное отображение внешности двух параллельных
отрезков в плоскости w на внутренность прямоугольника в
плоскости и. Из выражения (1.8) для -з—, заменив w через г, получим
следующую формулу для функции, совер-
шающей это отображение: *\ ®
■в**ЗР
г (и) = (&' + ik") С (и —> а) +
+ (£' — i*")C(a + a) —
. — 2k'i\i-£- + const. (2.2)
Фиг. 6.3. К отображению
Четыре геометрических параметра, определяю- ^^в'на"^^
Щих систему из двух прямолинейных отрез- ник.
ков, определяются в зависимости от значения
четырех постоянных k\ k'\ а и — , входящих в формулу (2.2).
Величину периода Oj можно выбрать произвольно. Постоянную kf можно
Сразить непосредственно через величину Н, равную разности между
ординатами отрезков С2 и Сг (фиг. 6.3).
Из условия
Im[s(«f ^)—*(и)]=/Я
нзходим:
23Й
ТЕЧЕНИЯ В ДбУЙВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ (ЗАДАЛА О БИПЛАНАХ)
Н
Построение функции, реализующей конформное отображение
ности двух наклоненных друг к другу прямолинейных отрезков ^^
изведем с помощью приема, идея которого принадлежит М. В* j?°4
дышу,
осуществлено
Отображение этой области на прямоугольник методом подб
твлено С. А. Чаплыгиным и В. В. Голубевым1). °Ра
Поместим начало координат в плоскости z в точке пересечения
продолжения отрезков АВ и CD (фиг. 6.4). Для определенности
примем, что точка о***
бесконечно удаленная тс*
ка не лежат на отрезка*
АВ или CD. Ось х 2
правим по отрезку АВ I
рассмотрим функцию
' к } z(u) •
Так как z {и)=г (и -f- <йг)}
то
Фиг. 6.4. К отображению внешности двух на- f(ji^-m\ _ */й\
клоненных друг к другу отрезков на
прямоугольник. На сторонах МгМ% и
MtN2 функция /(й)
действительна. Продолжив f(u) аналитически сквозь горизонтальные
стороны вверх и вниз, получим:
/(а+«,2) =/(«).
Пусть а = /1 а | и р == $t -}- ф2 — образы соответственно бесконечно
удаленной точки и начала координат в плоскости и. Из
конформности соответствия и на основании разложений (1.4) и (1.5) находим,
что f(a) есть эллиптическая функция, имеющая в прямоугольнике
периодов NtN2N'9N' четыре простых полюса с вычетами, равными +1
в точках р и р и —1 в точках а и —а. Следовательно,
Интегрируя это равенство, находим:
а (и — а) с (и + о) '
гДе С и Q — действительные постоянные, так как z(u) действительно
на МхМ<ь\ очевидно при этом, что С>0, так как z (0) = ОМх > °'
!) Чаплыгин С. А. и Голубев В. В., К теории предкрылка Я &
крылка. Труды ЦАГИ, вып. 171, 1935. См. также Чапл ыгин С. А., Собр*'
ние сочинений, т. II, Гостехиздат, 1948, стр. 586—639.
§2, m*"*
РЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ДВУЙВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ &$
„ ~(и-\-(в,) =z(u) на основании свойства сигма-функций
условие г к"--Г и а w
L ,==_<?'"(«+-)о(и) дает:
Qeidb£4l-a!3L. (2.3)
Условие arg£ = 0 на NtN2 позволяет определить величину р1#
Используя соотношения
. 0(й + 0)2) = — е V 2 /(3(W), Yj^ —71^ = 2^
находим:
Р.--5- (2.4)
Следовательно,
а (и—а)а(м-|-а) v '
Четыре постоянных С, j32, а и — определяются четырьмя
геометрическими параметрами, определяющими два отрезка,
наклоненных друг к другу под углом 6. За эти параметры можно взять,
например, расстояния ОА, ОВ, ОС и OD. При численных
вычислениях функции сигма удобно заменить через функции тэта, для
вычисления которых можно пользоваться весьма быстро сходящимися
рядами. Случай, когда точка О или бесконечно удаленная точка
лежат на одном из отрезков, нетрудно рассмотреть аналогичным
способом.
Если О А = ОС и ОВ = 0£>, то получаем два отрезка,
симметричных относительно биссектрисы угла между ними. К этому случаю
сводится задача о движении плоской пластинки вблизи земли. В этом
случае вместо формулы (2.5) для z(и) будем иметь значительно
более простую формулу. В самом деле, из условий симметрии ясно,
что a = -^2- и ,j32 = ^- , а поэтому комбинация Z fl допускает
Период а>2= Щ- ; следовательно,
|M=C(«-P)-!:(«-a) + Q,
где функции С (и) взяты для периодов <ьг и <л'г
Для функции z(tt) находим:
v ' а (и — о)
240 течений б двуСвязных областях (задача о бипланах) [^
Определив Q и j3p как и в общем случае, найдем:
/ о)2 во)! \
г (и) = Се
(2.6)
Переходя от функций сигма к функциям тэта при помощи формулы
(и) = е 1 ; = е 2c°i - л /А'-
МО)
получим простую формулу, удобную для
вычислений:
г (а) = С,
(Л ±\
8-Ш
(2.7)
Фиг. 6.5. К отображению
внешности двух концен- где Сг действительно и положительно. По-
трических дужек круга на J юд I
прямоугольник. стоянные Сх и q = £ ' ^ ' определяются в
зависимости от размера пластинки и расстояния
заднего края от земли. Решение задачи об опредеяении непрерывного
потока при движении плоской пластинки вблизи земли в
параметрическом виде дано простыми формулами (1.11) и (2.7). Величину р
можно определить как действительное значение щ при котором
правая часть в формуле (2.7) имеет минимум.
В формуле (1.11) производная -^—определена в предположении,
что ось х направлена по биссектрисе угла между отрезками. Для
постоянной к, входящей в формулу (1.11), можем написать:
L \ 2 /J =^2 1 ! ьх(0)
(2.8)
Точное решение задачи о влиянии земли дано иным, более
сложным методом Томотика совместно с рядом авторов1)-
Аналогичным методом также нетрудно построить функцию, отобра*
жающую внешность двух концентрических дужек круга на
внутренность прямоугольника М^^Ы^Ы^ (фиг. 6.5). В самом деле, помести0
*) Tomotika Susumi, Takio Nagamiga and J о si tad a Tafce*
nouti, The lift on a flat plate placed near a plane wall with special referent
to the effect of the ground upon the lift of a monoplane aerofoil. Aeronaut ке •
Inst. Tokyo Imp. Univ., т. 8, Л 97, 1933, стр. 1—60.
- Ol ПОДЪЕМНАЯ СИЛА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ ВБЛИЗИ ЗЕМЛИ 241
§ 6*
начало
координат в центре дужек, найдем, что функция
J у } z(u)
на сторонах МгМ2 и NXN2 чисто мнима. Путем тех же рассуждений,
которые были приведены нами для двух прямолинейных отрезков,
легко убедиться, что / (и) — эллиптическая функция, имеющая в
прямоугольнике периодов NjA/a^Ni четыре простых полюса с
вычетами -f-1 в точках р, а и с вычетом — 1 в точках а, [3.
В силу этого имеем:
Аи)=:=4ё))=!;(и_Р)+!;("+а)-(:(м_а)_(;(и-^)+(?'
откуда
~=Сс9» «(« —P)g(g + j .
а (и — а) а (и — р)
Из условий s(tt + <*>i) = 2(tf); |*(«)| = #i на МгМ2 и |-гг| = /?а
на NiN2 найдем:
п_ 2гц (/р2 — а) \n\-Q /ft д_ ш1 1п^
У ^ . 14—*i, % —а —5Г"^'
откуда для г (я) получим формулу:
12.
1 а(и —р)<т(и —а)'
(2.9)
Значения аргументов четырех концевых точек дужек определяются
четырьмя постоянными 6*, a, (3, и—, входящими в формулу (2.9).
§ 3. Подъемная сила плоской пластинки при движении
вблизи земли
Вычислим гидродинамическую силу, действующую на плоскую
чластинку при установившемся поступательном движении параллельно
^подвижной плоскости (земля).
Для силы воздействия имеем:
*-"-■*/©Г*
С
rUe С — контур, охватывающий пластинку.
16 Зак. 1631. Л. И. Седов.
242 ТЕЧЕНИЯ В ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ (ЗАДАЧА О БИПЛАНАХ)
[гл.
НО ГО
Контур С можно деформировать в ось л: и в полукруг бескон
э радиуса. Интеграл по полукругу равен нулю; следователе
следовательно
Отсюда вытекает, что
X—iY = &- J u*dx.
— оо
х=о.
Обозначим через Р подсасывающую силу у передней кромки пла*
стинки. Так как подъемная сила есть результирующая подсасываю-
щей силы, направленной вдоль пластинки, и сил, перпендикулярных
к пластинке (фиг. 6. 6), то очевидно, что подъемная сила У выражается
через подсасывающую силу р
У\
1Л
формулой
■_ \р\
sinT
X
Фиг. 6. б. Подсасывающая и подъемная
силы пластинки.
Подсасывающую силу легко
вычислить с помощью формулы
L
_ /р С /flftp\a du ,чп
где L — бесконечно малый круг с центром у передней кромки
пластинки, а V— образ круга L в плоскости и. Обозначим через I
образ передней кромки в плоскости и. В точке X подинтегральная
функция имеет полюс первого порядка. Значение интеграла можно
получить как полувычет:
На основании формулы (1.11) имеем:
-ЧК--^-ЬК—?-)]-*уТ'"ьГ"4-(3;,)
*\—гГ\*~ъ)
На основании формул (2.7) и (2.8) имеем:
dw
du
V 2)
(3.4)
ПОДОМНАЯ (5ИЛА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ ВБЛИЗИ ЗЕМЛИ 243
§ 31
и ь/±\
£ = -(>, Г%'. (3.5)
Z'
для комбинации — имеем:
°(ё)"<"-|',°("^,*'_1*+|")
(З.б)
•('-?)■ (е+?-')-(-?)-(-5-?)
С помощью формул (3.2), (3.4) и (3.6) находим:
Подставим теперь в полученное выражение значение k по
формуле (3.5) и перейдем к функциям тэта; получим;
p-qP<**l£M|-ff. (M)
•«Й)Ч£-Й
Пусть /—ширина пластинки, а /х и /2 — расстояния до начала
координат задней и передней кромки пластинки. Имеем:
»0(>__°Л U»)
Ч^ 4"2*J
При г/ действительном точка tt = ji— образ задней кромки—со-
ответствует минимуму Отношения—±-±—-—, а точка и = ——•«-
соответствует максимуму этого соотношения.
Пользуясь соотношениями (3.9), для постоянной Сг получим:
с _._ W У<->1 2*У
Ч^~Ч"2^
16*
244 ТЕЧЕНИЯ В ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ (ЗАДАЧА О БИПЛАНАХ) [Гл
Формулы (3.1), (3.8) и (3.10) дают:
Формула (3.11) удобна для вычисления подъемной силы.
Аналогичным путем нетрудно получить выражение через функции
тэта величины момента гидродинамических сил, действующих на
пластинку.
§ 4. Обтекание дуг параболы, гиперболы и эллипса
В этом параграфе мы определим обтекание поступательным
потоком в бесконечности дужек кривых второго порядка. При отсутствии
циркуляции по контуру, охватывающему обтекаемую дужку,
характеристическая функция этого течения представит собой функцию,
реализующую конформное отображение
внешности дужки на внешность прямолинейного
отрезка.
Задача об обтекании дуги параболы и
симметрических дуг гиперболы и эллипса
-*-<? решена Бондером *). Метод решения за*
дачи об обтекании и о конформном ото-
бражении, излагаемый ниже, проще метода
Бондера и позволяет решить задачу для
Фиг. 6.7. К задаче об обтека- дужек гиперболы и эллипса любого вида,
нии дуги параболы. Рассмотрим сначала обтекание дуги
параболы. Пусть АВ (фиг. 6. 7) — заданная
дуга параболы. Ось х направим по оси параболы, начало
координат поместим в фокусе. Течение в плоскости z возьмем в двух
экземплярах. Разрежем оба экземпляра по положительной полуоси
и склеим противоположные края верхней и нижней полуплоскости.
Течение, полученное таким путем на двулистной римановой
поверхности, отобразим на однолистное течение в плоскости Z = ^T+^
с помощью преобразования
г = &. (4.1)
При этом преобразовании дуга параболы АВ на верхнем листе
в плоскости Z изобразится прямолинейным бтрезком, параллельным
1) В о n d е г I., Sur la representation conforme et biunivoque de l'exte-
rieure d'un cercle sur l'exterieur d'un arc symmetrique de conique. Travaux de
Tlnstitut Aerodynamique de Varsovie, Fas. VI, 1932.
При разборе архивов Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина обнаружено,
что решение этих задач дано Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным задолго
до появления работы Бондера. (См. Чаплыгин С. А., Собрание сочинении,
т. III, Гостехиздат, 1950; Жуковский Н. Е., Собрание сочинений, т. у1Ь
Гостехиздат, 1950.)
ОБТЕКАНИЕ ДУГ ПАРАБОЛЫ, ГИПЕРБОЛЫ И ЭЛЛИПСА
245
§4]
си X в верхней полуплоскости; дуга параболы на нижнем листе
епейдет в прямолинейный отрезок в нижней полуплоскости,
расположенный симметрично первому отрезку относительно начала
координат (фиг. 6.8).
Внешность этих отрезков с разрезом отобразим конформно на
внутренность прямоугольника M1M2i\f2N1 в плоскости переменного и,
П
В
Мг
№.
G>
(Op
W
"'As
■*x
N.
{iC
itf_
D%
д
M,
t.OJ,
ty
Фиг. 6.8. К задаче об обтекании дуги параболы.
которое возьмем в качестве параметрического переменного. Из
условий симметрии следует, что точкам Z=oo и Z = 0 соответствуют
точки й = ^и tf = "4+y-
В данном случае формула (2.2) дает:
гЦ2£ч^)с(«-?)+(^-й")с(в + 2)-
—r-a + lYi-T-%-'
(4.2)
Постоянными k" и — определяются значения Х1 и Х2. Если дуга
параболы симметрична (Х2 = —- Хг), то k" = 0.
Разложение для Z (и) вблизи точки я= ^ имеет вид:
Z =
и —
о>2
+ ^(«-^) + ^(.-^)2+...5
(4.3)
где
,yi«i
f «*".
rfw
Определим теперь производную-т-, где ^ (а) —
характеристическая функция обтекания непрерывным потоком дуги параболы.
Скорость в бесконечности обозначим через К =
Voo# И ПуСТЬ 1 —
Циркуляция вокруг дуги параболы АВ.
246 ТЕЧЕНИЯ В ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ (ЗАДАЧА О БИПЛАНАХ) [Гл
Разложение функции скоростей ~ вблизи бесконечно удаленной
точки имеет вид:
du~v^r 2tf*+ ^ -т- • • ■ (4.4)
Из соотношения
dw ^dw „dZ
du dz du
очевидно, что функция -т- регулярна везде внутри прямоугольника
MiA/l^N^Ni и является эллиптической функцией с периодами (л1 и ш2.
В точках ~ и — ~ функция -т- имеет полюем третьего порядка,
вблизи которых справедливы следующие разложения:
dw 2УШ Г
du ""
dw _ 2V&
du "
(-# -(.-?)
-4- регулярная часть;
-| -}- регулярная часть.
Следовательно,
s=wr(.-a)+i?i'(.+f)+
+ г[Ч»+т)-Ч»-т)]+в. <<-5>
где Q — действительная постоянная вследствие того, что производная
-т-действительная на МгМ2.
Интегрируя (4.5), найдем:
w(e)= WJ>(« —5)+ ^(" +т) +
+5,п4—^+Q"+const- (4,6)
Из условия, что циркуляция по МХМ% равна Г, найдем:
Если Q дано формулой (4.7), то из формулы (4.5) следует, что
-^обращается в нуль в точке я—y-f--T' С00тветствУЮ1Цеи ?очк*
4| ОБТЕКАНИЕ ДУГ ПАРАБОЛЫ, ГИПЕРБОЛЫ И ЭЛЛИПСА 247
„ dw 1 dw dtt 1
7^0. Следовательно, производная — = -^ zr Ту Y конечна и
отлична от нуля в точке z = 0.
Конформное соответствие внешности дуги параболы в плоскости г
внешности прямолинейного отрезка в плоскости w с сохранением
неподвижной бесконечно удаленной точки в параметрическом виде
дается соотношениями:
уг^+.ш'у (и _?) + (up_^)c (e +?)_
-2^u + iY1+^, (4.8)
Ws=Vk*f(u—%)+V&f>(u+%). (4.9)
Если нормировать отображение так, что вблизи бесконечно
удаленной точки имеет место разложение вида
то в формуле (4.9) надо положить V=l; этим определится длина
прямолинейного отрезка в плоскости w.
Для решения задачи об обтекании дуги гиперболы или эллипса
возьмем, как и в предыдущем случае, течение в плоскости z в двух
экземплярах. Обе плоскости разрежем между фокусами по главной
оси эллипса или гиперболы и склеим противоположные края разрезов
«верхней и нижней плоскостей. Не уменьшая общности, мы можем
принять, что фокусы совпадают с точками г=-|-1 и z= — l.
Полученное течение на двулистной поверхности вне двух дуг эллипса
или гиперболы отобразим в течение, однолистное в плоскости Z,
с помощью преобразования:
,*=4(z+r)- <4Л°)
Нетрудно усмотреть, что при этом преобразовании верхний лист
перейдет во внешность единичного круга; нижний лист перейдет во
внутренность единичного круга плоскости Z; две дуги эллипса
перейдут в две дуги круга, которые могут быть получены одна из другой
преобразованием^-; две дуги гиперболы перейдут в два
прямолинейных отрезка, которые также могут быть получены друг из друга
преобразованием -= (фиг. 6.9).
Отобразим теперь конформно полученную область в плоскости Z
с соответствующим разрезом на прямоугольник. В предыдущем
параграфе даны формулы для функций, реализующих это конформное
отображение. В рассматриваемом случае благодаря условиям симметрии
248 ТЕЧЕНИЯ В ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ (ЗАДАЧА О БИПЛАНАХ) [Гл
две из четырех входящих в эти формулы постоянных можно
делить.
°пре.
1
Заметим, что преобразование Zx = -= переводит полученную
область самое в себя. Отобразим эту область в плоскости Z на кольцо
в плоскости g, ограниченное двумя концентрическими окружностями
с центром в начале, так чтобы бесконечно удаленная точка попала
на положительный отрезок действительной оси. Преобразование
Zj = -у определит собой некоторое отображение кольца самого на
себя, при котором внешняя и внутренняя окружности переходят друг
Фиг. 6.9. К задаче об обтекании дуги гиперболы и эллипса.
в друга и образы точек Z = 0 и Z = со соответствуют друг другу.
Всякое преобразование кольца самого в себя можно получить как
совокупность чистого вращения и преобразования вида г-^. Аргумент
Ь
точки $0, соответствующей точке Z = 0, равняется-^ (где р2—J—/р2=р—
401 1
образ нуля плоскости Z внутри прямоугольника). Отображению Zt=-2
соответствует отображение кольца самого в себя, определяемое
соотношением
Переход от переменного } к переменному и осуществляется с
помощью формулы
Следовательно, преобразованию Zx = -j в плоскости а соответствует
преобразование \
ОБТЕКАНИЕ ДУГ ПАРАБОЛЫ, ГИПЕРБОЛЫ И ЭЛЛИПСА 249
§ *1
Точки, имеющие абсциссы сравнимыми по модулю <ьх, нужно
распивать как тождественные. Точки а и (J = (^ + i$2 при этом пре-
Сбоазовании соответствуют друг другу; поэтому
#. + «-?. (4.11)
На основании условия (4.11) формулы (2.5) и (2.9) приводят
к соотношениям вида
Приравняв постоянную Р единице, получим одно условие, из
которого определяется еще одна постоянная.
Таким путем для отображения внешности двух прямолинейных
отрезков, в которые переходят дуги гипербол, на внутренность
прямоугольника получим следующую формулу:
О
(-& + ?-)•(-!&-? + •)
Х а (и— а)а(и + а) * ^4ЛЗ)
Постоянные а и — определяют расстояния концов отрезка до
начала координат.
Для отображения внешности двух концентрических дуг
окружности, в которые переходят дуги эллипсов, на внутренность
прямоугольника получим следующую формулу:
где
♦q о>2 031ha /? 0)2 , toj 111 /?
"га 4 2я/ ' 4 ' 2я/ '
а /? — радиус дуги круга, в которую переходит дуга эллипса с
верхнего листа. Значениями $х и — определяются величины аргументов
концов этой дуги.
При осуществлении численных расчетов вформулах (4.13) и (4.14)
Удобно перейти к тэта-рядам.
Точкам г = Z = + 1 и z = Z — — 1 внутри прямоугольника
соответствуют точки и = -~-\-~ и # == -|f- --|- -^S. -J-^—.
Если дуги эллипса или гиперболы симметричны, то еще одна из
Двух постоянных сразу определяется. Например, если дуга эллипса
симметрична относительно малой оси, то в плоскости Z имеем две дуги,
250 ТЕЧЕНИЯ В ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ (ЗАДАЧА О БИПЛАНАХ)
которые изображены на фиг. 6.10. Очевидно, что в этом
р! = -^ и формула (4.14) даст:
Z = —//?.
А ( U •« , 1п/?\« / И
о)2
4«>i
2ni )
*(-*- +
со2
1пД
2я/
\« (и ш2 ш#\
слуЧае
(4.15)
2тЛ
определяющая
В этой формуле имеется только одна постоянная —-
длину дуги эллипса.
Формулы преобразования получаются особенно простыми, когда
мы имеем дело с дугами эллипса или гиперболы, симметричными
относительно главной оси. В первом случае вид дуг кругов в
плоскости Z изображен на фиг. 6.11.
Единичный круг в плоскости Z переходит
в горизонтальную прямую РХР^ делящую
прямоугольник M1M^N^N1 на две равные части.
В этом случае имеем фг
Z'(ii)
:0 И {3=^-0
Функция
Z(u)
принимает чисто мнимые зна-
Фиг. 6.10. Вид дуг
окружности в плоскости Z
в случае обтекания
дуги эллипса,
симметричной относительно
малой оси.
чения на МгМ2 и РХР^ следовательно, эта
функция имеет периоды <Oj и о>2' == -J-. Таким
образом, для
Z(u)
можем написать:
Z'{u)
Z(u)
= C(tf + <* — щ)—С (я — «) + Q,
где Q—чисто мнимая постоянная, а функция С (я) взята для
периодов o)j и о>2.
Интегрируя последнее выражение, найдем:
а (и — а)
(4.16)
Подобно тому как и раньше, из условий Z (и -\- ш,) = Z (и),
1 C)Q
\Z\ = R на MtM2 и г{а) = щ
и а, после чего получим:
■я)
определим постоянные
in/?\
2я/ У
.fJL
vo^
а)!
2ти )
(4.17)
Аналогично этому получается формула для конформного
отображения внешности двух симметричных отрезков, в которые отобра-
ОБТЕКАНИЕ ДУГ ПАРАБОЛЫ, ГИПЕРБОЛЫ И ЭЛЛИПСА
251
§4]
тся симметричные дуги гиперболы. В этом случае мы можем
Пользоваться формулой (2.7).
Для удовлетворения условию Z(u) = -, необходимо
лонсить постоянную Cj равной единице. Таким образом найдем:
(4.18)
где о — угол между отрезками. Длина дуги эллипса или гиперболы
определяется в зависимости от значения модуля функций тэта.
©
Ь),
7=/j
А/,
Mf
м
(о,
Фиг. 6.11. Вид дуг окружности в плоскости Z в случае
обтекания дуг эллипса или гиперболы, симметричных
относительно главной оси.
Обратимся теперь к построению характеристической функции
обтекания дуги эллипса или гиперболы со скоростью V в бесконечности
и с данной циркуляцией Г по контуру дуги. Вблизи бесконечно
удаленной точки в плоскости г имеет место разложение:
dw . Г 1 I са ,
dz
2m z
1
Совершая преобразование z = -~(z~\- -g\ найдем, что для произ-
^ dw ^ г,
водной —- вблизи точки Z = оо справедливо разложение
dw =V Y 1 , с2 ,
42 ~2*~2ni~Z~~*Z2*~
и вблизи точки Z = 0 разложение
dw К Г 1
dZ
2Z2
2m Z
+ 4 4-CjZ-[- . ..
(4.19)
(4.20)
ная
В остальных точках двусвязной области в плоскости Z
производное
-jg регулярна,
252 ТЕЧЕНИЯ В ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ (ЗАДАЧА О БИПЛАНАХ) [Гд
Производная -^ = -^ -^- однозначна, допускает периоды <&
ш2 и регулярна внутри прямоугольника периодов везде, кроме точек
<х, Pj — аир, где эта производная имеет полюсы второго порядКа
_ ^ dw
Таким образом, производная -р является эллиптической фуйк%
цией. Определим главные части разложения Лорана этой функц^
вблизи ее полюсов а, р,— аир. Пусть разложение Z(u) вблизи
точки а имеет вид
z(«) = 7rib + *°+A1("-«)+--. (4-21)
Заметив, что Рх + -у- — я — <х = р — я, можем написать:
Из соотношения Z (и) « —- г находим, что разложе-
ние Z(u) вблизи точки {3 имеет вид
2 ( \ Р —ц
W_ * + *o(P-«) + *i(P-")2+... ""
= -1(и-Р)-||(й-^+... (4.22)
Пользуясь теперь разложениями (4.19) — (4.22), легко
установить справедливость следующих разложений.
В окрестности точки а
dw kV г i i / ч i
Из условий симметрии в окрестности точки а= — а имеем:
dW ~kV , Г г "" I "" / I ч I
■лГв — 2 <«+«)■ + 2irf(a + «) + «о + М« + «)+---
В окрестности точки В получим:
-ту— = h ^n 4- bx (и — 8) + ...
du 2(и — р)« 2*/(м-р) ' 0Т 1V ^' ~
рии вблизи точки р
Отсюда на основании условий симметрии вблизи точки р имеем:
dw Vk , Г
du 2 (и — р)2 2к1(и — р)
§4]
ОБТЕКАНИЕ ДУГ ПАРАБОЛЫ, ГИПЕРБОЛЫ И ЭЛЛИПСА
dw
253
На основании этих разложений для производной ^L можем
написать1 ^
*в^[р(«-Р)-Р(«-«^
+ ^-[с(в+«) + ^(в —Р)— С(« —a) —Ct« —p)] + Q, (4.23)
rftf
где Q-—действительная постоянная.
Отсюда для w(u) находим:
^(Ю=-^[С(« —р)—^(й—а)]—4^[^(«—р)—С(«+а)] +
4--Lin «(« + «>*(«-» ■ 0„ (424ч
^ 2ic/ Ш а (« — о) а (в — Р) ^ Wlr# I4"*4'
Для определения постоянной Q имеем условие, что циркуляция
по AfgMi равна Г, т. е.
w(M2)— w(Mt)=* — Г.
Для того чтобы правильно
определить приращение функ-
G(tt + tt)G(tt-p)
а {и — а) с (и — fi)
непрерывном движении из
точки Мг в точку М2 по стороне
прямоугольника МХМ2, сАелаем
два вертикальных разреза
между точками р и р и точками
« и а (фиг. 6.12). Очевидно,
ции In •
при
Фиг. 6.12. К построению
характеристической функции обтекания дуги
эллипса или гиперболы.
что значение разности w(Mx) — w(M2), полученной при движении
по кривой L, проходящей выше точки р, отличается от ее значения
при движении по стороне MtM2 на величину -\-Т.
Учитывая также, что In—7 г-7 %г на левом краю разреза
' а {и — а) о \и — р)
(*, — а) на 2т меньше этого выражения на правом краю,
получим:
откуда найдем:
о На»
v — — о*-; •
254 ТЕЧЕНИЯ В ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЯХ (ЗАДАЧА О БИПЛАНАХ) [Гл
Непосредственной проверкой легко обнаружить, что если Q 0llD
делено формулой (4.25), то -г- обращается в нуль в точках
и = 4±--{--^- и # = ^ + ^ + -^4 которые являются образами То,
чек 2 = Z= -f-1 и z = Z = — 1. Отсюда следует, что вобщемслу.
чае производная
dw dw # 1 л 1 \dZ
4z~~du : YV ~~ ZV rfw
отлична от нуля в этих точках.
Решение задачи об обтекании дуги гиперболы или эллипса в пара-
метрическом виде дается формулами (4.24) и (4.13) или (4.14) и
соотношением
*=y(z+t)-
Задача о конформном отображении внешности дуги гиперболы
или эллипса в плоскости z на внешность прямолинейного отрезка
в плоскости w в параметрическом виде решается формулами (4.13)
или (4.14), причем z = -^(Z-{--уЛ, и формулой
w = A£-K(« —а) — С(«-р)] + 4р[С(в + а)-С(« —Р)Ь (4.26)
которая получается из формулы (4.24) при Г = Q = 0.
В случае, когда дуги эллипса или гиперболы симметричны,
формулы (4.13) и (4.14) можно заменить соответственно более простыми
формулами (4.15) и (4.17) или (4.18).
ГЛАВА VII
ГЛИССИРОВАНИЕ
§ 1. Постановка задачи
В отличие от обычных кораблей, поддерживаемых на поверхности
воды архимедовой силой, быстро движущиеся по поверхности воды
глиссирующие гидросамолеты и глиссеры поддерживаются на воде,
в основном, за счет динамической подъемной силы, вызванной
реакцией отбрасываемой вниз воды. В настоящее время принцип
глиссирования используется для движения скоростных судов сравнительно
малого тоннажа.
Смоченная часть днища глиссирующего судна во время движения
представляет собой слабо искривленную поверхность. Элементы этой
поверхности наклонены под малым углом к горизонтальной
плоскости. По сравнению со свойством инерции воды влияние вязкости на
возмущенное движение основной массы воды вблизи глиссирующего
тела ничтожно. Вязкость сказывается заметно на движении воды в
пограничном слое у днища.
Силы, действующие на элемент днища, можно разложить на
нормальную и касательную составляющие к днищу. Касательная
составляющая представляв г собой силу трения воды о днище; эта сила
обусловлена движением воды в пограничном слое. При малых углах
атаки доля сопротивления от трения воды о днище может быть
очень большой. Учет этого сопротивления осложняется тем, что в
передней части силы трения, приложенные к днищу, направлены
вперед. Возможны также случаи, когда общая сила трения
направлена вперед.
Нормальная составляющая зависит от распределения давления по
днищу. При глиссировании нет отрыва пограничного слоя внутрь
внешнего потока, следовательно, нет существенного искажения*
потенциального обтекания. Поэтому распределение давления по днищу
можно определять, рассматривая движение воды без учета сил
вязкости.
Решение задачи о глиссировании можно разбить на две части:
на задачу о глиссировании по поверхности идеальной жидкости
256 ГЛИССИРОВАНИЕ гРл
(в результате решения этой задачи определяются нормальные си
и на задачу об учете влияния вязкости, сводящуюся к определен^
движения жидкости в пограничном слое и сил трения. Ик)
В дальнейшем будет рассмотрена плоская задача о глиссировав
по поверхности идеальной жидкости. Подобно тому как в теори**
крыла конечного размаха, пространственная задача о глиссировани**
может быть изучена приближенно, на основе результатов плоской
задачи.
Сначала мы рассмотрим плоскую задачу о глиссировании по
поверхности идеальной, тяжелой, несжимаемой жидкости, занимаю-
щей все нижнее полупространство. Пусть пластинка скользит вдоль
свободной поверхности поступательно с постоянной скоростью с.
Движение жидкости будем определять, пользуясь подвижной
системой координат х', уг\ ось хг совпадает с невозмущенным уров-
нем и направлена в сторону движения, ось у' направлена вертикально
вверх и проходит через середину проекции смоченной длины
на ось х'.
Примем, что движение жидкости—потенциальное и установившееся
относительно пластинки. Из интеграла Лагранжа для давления внутри
жидкости имеем формулу
,_л_ Р,£_дач($я-Р,,', „..,
где р0— атмосферное давление, р — плотность жидкости, g —
ускорение силы тяжести, <?'(х\ у') — потенциал скоростей абсолютного
движения жидкости.
В дальнейшем будет удобно пользоваться безразмерными
величинами; для этого положим:
х' — аху у' = ау, v' = acto9 pr—pQ = pc*p9 (1.2)
где а — некоторый характерный линейный размер; мы примем, что
2а равняется проекции смоченной длины на горизонтальное напра*
вление.
Соотношение (1.1) в отвлеченных величинах примет вид
дх
где
e = *£ v = ^ v = ^ = -L (1.4)
и дх* V ду' с* 2R К '
v — отвлеченное количество, связанное формулой (1.4) с числом
с ■*
Фруда F = г-х—. Большим значениям числа F соответствуют малы*
v>0. Безразмерное соотношение (1.3) содержит только
существенные комбинации и удобно для сравнения порядков различных членов.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 257
Для определения гармонической функции у (л:, у) имеем следую-
граничные условия. На смоченном контуре условие обтекания
£--•»"?• 0-5)
л внешняя к жидкости нормаль, р—угол наклона к оси х,
касательной к смоченному контуру. На свободной границе pf—p0
-£ f vy-o. 0.6)
Если в соотношении (1.6) положить v = 0, т. е. пренебречь
весомостью воды, то получается
и L («4^ = 0
или
£/*+^2=1, (1.7)
где {/ = -г— = я — 1, K=y-3=stf — составляющие относительной
скорости жидкости, а Ф(х,у) — потенциал относительного движения.
Условие (1.7) представляет собой обычное условие о постоянстве
скорости на свободной поверхности.
Задача о глиссировании с граничными условиями (1.5) и (1.7)
является типичной задачей теории струй. В этой постановке задачи
о глиссировании плоской пластинки по поверхности невесомой
жидкости для конечной и бесконечной глубины потока были рассмотрены
С. А. Чаплыгиным при участии М. И. Гуревича и А. Р. ЯнпольскогоJ).
Набегающий на пластинку поток раздваивается: основная часть
потока пройдет под пластинкой, а струйка конечной толщины
побежит вверх вдоль пластинки (фиг. 7.1)2). Аналогичная картина имеет
место и в случае тяжелой жидкости: под влиянием силы тяжести
струйка будет стекать и падать на свободную поверхность основного
потока. Возмущения, вызываемые падающей струйкой, незначительны.
Впоследствии будет доказано, что сопротивление пластинки,
глиссирующей по невесомой жидкости, равно так называемому «брызговому»
сопротивлению, которое вычисляется через количество движения,
Уносимое ежесекундно струйкой. В случае глиссирования по
поверхности тяжелой жидкости кроме брызгового сопротивления появляется
1) Гуревич М. И. и Янпольский А. Р., О движении глиссирующей
пластины. Техника воздушного флота, № 10, 1933.
2) Смоченная длина при глиссировании пластинки бесконечной длины
J* идеализированном случае невесомой жидкости оказывается бесконечной.
В действительности вследствие влияния тяжести и вязкости смоченная длина
Пластинки конечна. Для идеальной невесомой жидкости смоченную длину
можно определять всегда как конечную величину условным способом
(см. фиг. 7.1).
17 Зак. 1631. Л. И. Седов.
258
ГЛИССИРОВАНИЕ
to. v,,
еще и волновое, которое можно вычислить, подсчитывая энергии
переносимую синусоидальной волной, к которой стремится возмуще'
ное движение жидкости при удалении от тела назад в бесконечность*
Однако и в случае тяжелой жидкости брызговое сопротивлени*
обязательно существует и при больших числах Фруда является основ!
Фиг. 7.1. Схема обтекания глиссирующей пластинки.
ным. В этом можно убедиться непосредственно на основании
следующих простых соображений.
Волновое сопротивление R в зависимости от перемещающегося
с постоянной скоростью распределения давления по свободной
поверхности дается формулой1)
R представляет собой полное сопротивление, если движение
жидкости непрерывно, а форма свободной поверхности близка к
невозмущенному уровню.
Если — мало (скорость движения велика), то в интервале инте-
грирования (— а, +а) величина ес% меняется очень мало; в этом
случае приближенно имеем:
+а
Rt*M / (p,~p<>) d% |2 ~Р*
—а
— gpc*i
(1.9)
где Р — общая сила, действующая на жидкость в вертикальном на*
правлении.
>) См. формулу (2.62) на стр. 279.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
259
§1]
гт именим теперь это к случаю буксирования плоской пластинки
постоянной нагрузке с постоянным углом *ода (Р = const.,
яри onst.). Возможная схема такого движения указана на фиг. 7.2.
Р^^но" что в этом случае полное сопротивление идеальной жидко-
Гпос-янно: w==p^ (iio)
и формул (Ь9) и (1.10) вытекает, что, начиная с некоторой ско-
ости справедливо неравенство
Р W > R.
Сопротивление W—R получается за счет потерь у переднего края.
С возрастанием скорости с эти потери обусловят собой полное
сопротивление W, так как
согласно формуле (1.9) Я-►О,
когда с-> оо.
К этому еще можно
добавить, что все опытные
данные ясно указывают на
струйный характер потока
вблизи переднего края
глиссирующей поверхности.
В общем случае, считая,
что р и у на смоченном
контуре пластинки и на
свободной поверхности малы, мы
можем линеаризовать
задачу, следуя теории волн малой
амплитуды или теории крыла
ЩПШ'Р
Фиг. 7.2. Глиссирование плоской пластинки
с постоянной нагрузкой на воду и
постоянным углом хода.
Граничные условия (1.5) и (1.6) перенесем на ось л:, причем в
условии (1.6) пренебрежем членом —£•—. При такой приближенной
постановке задачи, когда v есть малая величина порядка (3 (большие
значения числа Фруда, большая скорость движения), нет нужды
в условии (1.6) сохранять член vy, так как он имеет тот же порядок,
что и отбрасываемый член —^— . Таким образом, при малых |3, у
и v вместо условия (1.6) имеем:
-^ = 0 приу = 0. (1.11)
Условие (1.11) позволяет продолжить аналитически поток в верхнее
полупространство, после чего получается поток в бесконечном
пространстве. Поток этот представляет собой движение жидкости около
тонкого крыла, имеющего форму глиссирующей поверхности и
движущегося с той же скоростью, что и глиссирующая поверхность.
Обозначим через -се/ = ср —j— /^ характеристическую функцию
абсолютного возмущенного движения жидкости. Очевидно, что формулы
17*
260
ГЛИССИРОВАНИЕ
N.
Vll
(1.8), (1.10) (при условии v2 = vx) и (1.12) главы II (стр. 50,52 к-*
и формула (3.1) главы II (стр. 64) дают функцию скоростей $£.
dz "Л%
соответствующих случаев глиссирующих поверхностей.
#2 _L. «Л
Пренебрегание членом —~—в условии (1.6) основано на допу
щении, что величина скорости имеет на свободной поверхности пооя*
док р. Это допущение незаконно
У переднего края, где образуется
нижшю сторону брызговая струя, так как абсолют-
ные скорости жидкости в струе
Точна подсоса имеют порядок удвоенной посту-
пательной скорости пластинки.
В общем случае в решении
линейной задачи скорость жидкости у
переднего края бесконечна, что
(см. § 2 главы И) обусловливает
наличие подсасывающей силы S
(фиг. 7.3). Вагнер1) показал, что
эту бесконечную скорость можно
условно рассматривать как модель
брызговой струи (фиг. 7.4). У
переднего края пластинки можно
определить струйное течение и
толщину струи 8 так, чтобы это
течение уже на довольно близких
расстояниях, порядка р2, от
переднего края примыкало гладко к
потоку в нижнем пространстве
около крыла.
В линеаризованной
постановке задачи давление, с точностью
до малых величин высших порядков, равно р = и = ~^-. Так как,
за исключением небольшой области у передней кромки,
производная ~ над крылом и под крылом отличается только знаком, то
отсюда ясно, что подъемная сила глиссирующей пластинки равна
половине подъемной силы соответствующего крыла, а сопротивление
пластинки равно половине сопротивления крыла, вызванного
нормальными давлениями.
По теореме Жуковского, нормальное сопротивление тонкого
крыла погашается подсасывающей силой, отсутствующей у глиссй:
Точна подсоа
(увеличено)
Фиг. 7.3. Обтекание плоской
пластинки бесконечного размаха при малом
угле атаки. Передний край — точка
подсоса.
г) W a g n е г Н., Ueber Stoss- und Gleitforgange an der Oberflache vofl
Flussigkeiten. Zs. ang. Math. u. Mech., № 4, 1932. ..
§21
ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ
261
щей пластинки; поэтому сопротивление глиссирующей пластинки,
№ю ояемое брызговым, противоположно направлению подсасывающей
ы и по величине равно ее половине.
СИЛВ силу сказанного выше, формулы § 2 главы II могут быть ис
льзованы для приближенного нахождения сил, действующих на глис
л«пуюшук> пластинку. Так на-
Змер, из формул (2.16), (2.17)
пример,
й (2.18) главы II (стр. 62)
вытекает, что сопротивление R
и подъемная сила Р плоской
глиссирующей пластинки равны
е на
нижнюю сторону
/> = —= тсрас2
(1.12)
Фиг. 7.4. Глиссирование плоской
пластинки бесконечного размаха при малом
угле атаки.
причем подъемная сила
приложена на расстоянии одной
четверти длины от ее
переднего края. В формулах (1.12)
изменены обозначения по
сравнению с формулами (2.16) и (2.17) главы II: V заменено на с, а
—а — на р.
Аналогия между глиссированием и движением крыла в
бесконечной жидкости сохраняется в пространственной задаче и для
неустановившихся движений *).
Последующие параграфы будут посвящены теории
установившегося глиссирования по f поверхности тяжелой жидкости
(линеаризованная теория) и нелинейной теории установившегося глиссирования
по поверхности невесомой жидкости.
§ 2. Глиссирование по поверхности тяжелой жидкости2)
Математическая формулировка нашей задачи состоит в следующем.
Требуется определить характеристическую функцию потока w(z) =
= <р-1-гф (ф — функция тока), удовлетворяющую условиям:
1°. При у < 0 вне окрестности точек z = ^zl производные
gj-j- и — ограничены и исчезают при у-*— оо. При z = — 1
г) См. Седов Л. И., Теория нестационарного глиссирования и движе-
ния крыла со сбегающими вихрями. Труды ЦАГИ, вып. 252, 1936.
2) См. Седов Л. И., Плоская задача о глиссировании по поверхности
Тяжелой жидкости. Труды конференции по волновому сопротивлению, изд.
ЧАГИ, 1937.
262 ГЛИССИРОВАНИЕ
[гл.
dw i л т
производная -т- непрерывна, при z = -+-1 функция w (z)
прерывна.
2°. Впереди в бесконечности при х -* -f- oo могут быть уставе
вившиеся волны вида:
где Аг и Л2 — произвольно заданные постоянные. В частности, при
Л1 = Л2 = 0 получаем условие об отсутствии волн впереди.
3е. При у =» 0 и | х | < 1 имеем условие обтекания
£=-?«•
4°. На свободной границе при у = О и | х | > 1 имеем линеари-
зированное условие (1.6) о постоянстве давления:
£-*-■>.
В этом соотношении у (х) означает ординату точки на свободной
поверхности (фиг. 7.5).
-*~х
Фиг. 7.5. Схема к постановке задачи о глиссировании с учетом
весомости жидкости.
Легко видеть, что на свободной поверхности справедливо
соотношение
j/ = <J>+const. (2.1)
В самом деле, обозначив через W безразмерную функцию тока
движения жидкости относительно пластинки, имеем:
W = ty—y
или
y = ty — W. **
Отсюда следует (2.1), так как граница жидкости в относительно*
движении изображается линиями тока, на которых W постоянно. Мы
можем принять, что на передней части ЧГ = 0, а сзади W = q9 где
л, ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ 263
§ 2]
безразмерный расход брызговой струи1). Так как q — малая
^""ичина порядка р2, то можно считать, что соотношение
У = Ъ (2.2)
справедливо на всей границе жидкости.
Пользуясь (2.2), условие 4° можно заменить следующим: на
действительной оси при | х | > 1
Re(g+/v«) = 0. (2.3)
рассмотрим функцию2)
, ч d?w , . dw
Ha основании условия (2.3), применив принцип симметрии Шварца,
функцию а) (г) продолжаем в верхнее полупространство, после чего,
приняв во внимание условие 1°, находим, что a>(z) голоморфна и
однозначна во всей плоскости вне отрезка (—1, +1).
Разложение <о {г) вблизи бесконечно удаленной точки имеет вид
где все ук (4 = 1, 2, 3, ...) — действительные числа.
Для того чтобы функция
—|- ivw = I со (г) dz
удовлетворяла условию (2.3), необходимо положить fi —0* Таким
образом мы убеждаемся, что комбинация -т—(- fow голоморфна
всюду вне отрезка (—1, -\-\) и вблизи бесконечно удаленной точки
справедливо разложение
§ + *•-£ + $+... (2-4)
Постоянная интегрирования включена в w(z), и этим самым аддитивная
постоянная полностью определена. В самом деле, рассматривая (2.4)
как дифференциальное уравнение относительно w (z)> легко убедиться,
что при z = — ioo имеем w = 0.*
1) Разумеется, мы пренебрегаем эффектом брызг, падающих обратно
на воду.
dw
2) Введение комбинации-г- + hw ддя изучения плоских задач теории
волн принадлежит М. В. Келдышу. (См. Келдыш М. В., Замечания о
некоторых движениях тяжелой жидкости. Технические*заметки ЦАГИ, № 52,1939.)
264 ГЛИССИРОВАНИЕ [Гл<
Введем теперь функцию /(г) = г + /$, связанную с w(z) yp^
нением
df dw , . /72
и условием / = 0 при г = оо. Очевидно, что функция / (г) одно,
значна и голоморфна всюду вне отрезка (—1, +1) и ограничена
во всей плоскости, включая этот отрезок. Если / {г) определено
то мы удовлетворим условию 2°, положив
.(*)-.-*• [Л, + И,+ / (^+|) •*"*]. (2.6)
Легко видеть, что на действительной оси при | х | > 1
г = 0. (2.7)
Нетрудно также дать граничное условие для г при |*|>1. Из
уравнения (2.5), подходя снизу, при |л:|<1 имеем:
X
/• —<р — cpj — v J tydx — f22LTCCosx. (2.10)
1
Через cpt и ifi будем обозначать значения ср и ф у переднего
края пластинки, т. е. в точке (-j-1,0). Приняв во внимание, что
X
i
умножая равенство (2.10) на v и складывая его с (2.9), получим
условие для г при | х | < 1 :
X X
1 1
+ v2^, (1 — х) — vcpx — v-f2 arc cos x. (2.11)
Условия (2.11) и (2.7) аналогичны условиям, определяющим
поперечное плоскопараллельное течение в бесконечности позади крыла
конечного размаха. В нашем случае действительная часть функции / (z)
на пластинке г (х) играет роль распределения циркуляции по размаху.
ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ 265
внение (2.11) совпадает с уравнением для распределения цирку-
УР* п0 закрученному крылу прямоугольного сечения.
Л Гармоническая функция г(х, у), регулярная в нижней полупло-
стй и удовлетворяющая граничным условиям (2.7) и (2.11), при
Жданных значениях постоянных yv tyt и ?2 определяется единствен-
3 м способом для всякого v >. 0.
И в самом деле, пусть гг (л:, у) и г2 (х, у) — две гармонические
лункиии, регулярные при у < 0, ограниченные на пластинке и
удовлетворяющие условиям (2.7) и (2.11). Тогда функция г* = гг—г2
удовлетворяет следующим граничным условиям: при |je|>lley = 0
г*==0;
при |*|<1, У = 0
_ + vr*=0;
г* (#> .У) ограничено при всех ^ <; 0 и исчезает в бесконечности.
Покажем, что г*г=0. Применяя теорему Грина, получим:
+ оо 0 +1 +1
J f |gradr*|2flfyrfA:= J r* d^dx = — v J r*2dx,
—oo —oo —1 —1
откуда следует, что г*=0.
Легко видеть также, что после того, как г (л:, у), <р1э fy и ^ъ
найдены, функция р(х)'= — —• условием (2.11) определяется на
пластинке единственным способом.
Функцию / {г) можно разложить в ряд
00
/(г) = г + Й? = / 2яп(г— V*2 — I)"- (2-12)
я = 1
Из условия (2.7) следует, что все ап(п=1, 2, 3, ...)
действительны. Дифференцируя (2.12), получим:
dl
dz
Полагая г—]/г2— 1=С, на отрезке (—1,+1) имеем:
С==^8, л: = cos в.
Пользуясь этим, из (2.12) и (2.13) находим:
со
г=— 2 ansinnb, (2.14)
flsssl
OO
п«=1
266 ГЛИССИРОВАНИЕ [Гл
Правую часть (2.11) после замены х через cos 6 обозначим чеп
Ф (6). Функцию Ф (в) sin в разложим в ряд Фурье по синусам в интег?
вале (0, тс): р*
оо
Ф (6) sin 6 = 2 К sin nb. (2,ig4
п = 1 /
Коэффициенты Ьп зависят линейно от постоянных <р1э Ьг и ~
причем от cpi и 4>! зависят только bx и £2- *
Вставляя теперь ряды (2.14), (2.15) и (2.16) в условие (2.11)
получим: *
2 /i0nsin/i6-}-v 2 #msin wOsin 6-J-2 bnsinnbs=aO. (2.17)
Я=1 fftal W=l
При 0 < 6 < тс справедливы следующе формулы:
sin (2;+ 1)6 sin 6 =
°fS[4(/ + Al)'-l-4(^--l]si,l^+1^ <2Л<>
00
sin2yOsin6 = |2 [^^-—-J^—]sin3M. (2.19)
Заменив в (2.17) произведения синусов разложениями (2.18)
и (2.19) и приравняв нулю коэффициенты при sin (2& + 1) 6 и
sin2&6, получим две независимые системы бесконечных уравнений,
одну для ап с . нечетными индексами и другую для ап с четными
индексами:
<26+l)a2fc+1-f
оо
+ Т 2 [4(/+* + i)»-i-4(/-*y-i]"^ + *2fc+1 = ° (2,20)
(£ = 0, 1, 2, ...),
ОО
2*я* + ^^ [4(у + ^_1 — 4</_*)»_i]аЯ/ + *aft = 0 (2-21>
(* = 1, 2, 3, ...)•
0, ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ 267
§1]
решение систем уравнений (2.20) и (2.21) можно получить
помошью бесконечных определителей г). Решение уравнений (2.20)
С (2.21) можно написать в виде:
где Ai(v)» Aq(v) и &п (v> v?i> v2<W> VY2^—соответствующие
бесконечные определители, представляющие собой целые функции от v. Из
доказанной единственности вытекает, что определители At (v) и А2 (v)
отличны от нуля для всякого v^O.
Легко убедиться, что для плоской пластинки Ьп < •—. Если
N
предположить, что в общем случае Ьп < -^, то на основании
уравнений (2.20) и (2.21) можно показать, что
Все апл в. следовательно, и /(«г, v, <?i> ф1э ^г) СУТЬ линейные
функции от ?i, Фи Та и голоморфны по v при всяком v>-0. Дальше
мы определяем уи- 4*i и Та в Функции от v, причем эти функции
при v = 0 имеют логарифмическую особенность.
*) См. R i e s z F., Les systemes d'equations lineaires a une infinite d'incon-
nues. Paris, 1913.
Уравнение (2.20) можно написать в виде:
оо f
*2fc+i +i % cjka2j+i + b'2k+1 =0 (k = 0, 1, 2, 3,...),
где
скк = 0,
Cjh== r?f. 1 n 1 в»(2* + Г)5 Uo-t-^ + l)2—1 4(y —jfe)^—lj -
KZ*+ l)± n[4(2k+l)*-l]
b' »tf»i .
+ 2мц 8v(2* + l)*
Нетрудно показать, что ряды 2l^>fr+il и 2С1& сх°Дятся» Учитывав
ft h *
еще, что cAft = 0 при любом А», убеждаемся в выполнении достаточных условие
для разрешимости системы (2.20) с помощью бесконечных определителей. Ана
логичным образом следует разрешимость уравнений (2.21).
268 ГЛИССИРОВАНИЕ ГГл
1ГЛ. vn
Составим теперь уравнения для определения 72, cpj и ф1в цап
шем сначала условие о конечности скорости у задней кромки и
(2.13) и (2.5) имеем: ' щ
оо
ш=шп>2*па»С0*пЬ
И
дх дх ' ' sin в "
Для конечности производной ^- у задней кромки при х = — i
в = 7г необходимо, чтобы
оо
Т2=2иап(-1)« (2.24)
Из формулы (2.6), положив г = -|-1 и заменив-^
разложением (2.13), получаем:
ъ + *Ь = *-<ЧЛ,+м2) н-
' 18 .J У>-1 ^ "J 1^-1
4- оо 7* — х со
Отсюда получаем следующие уравнения для определения <р2 и фг
со
^r^jCOSV-f-^Sinv —72Q0 + 2 *W*n<?n. (2-25)
со
фх = — Лj sin v + А2 cos v -f- Ъро — 2 ляЛ» (2.26)
»sl
где
1
со
1 <v 1
= _^<v f сп-1^т(с+т)^ (2.27)
Интегрированием по частям находим рекуррентную формулу:
ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ 269
§ 21
Пользуясь интегральным представлением функций Ганкеля,
получаем (см. § 6 главы П> СТР- 34):
= ^ (N0cos v — J0 sin v) — /~ (N0 sin v -f- J0cos v) (2.29)
" Pt + ®i = 1 *~*^ W + 7 • (2.30)
С помощью рекуррентного соотношения (2.28) и формул (2.29)
и (2.30) все интегралы, обозначенные через Pn-\-iQn, можно
выразить в конечном виде через функции Бесселя. При л> 1 Pn + *Q»
зависят непрерывно от v при v >- 0. При п = 0 величина Q0 остается
конечной, а Я0 обращается в бесконечность, когда v стремится к нулю.
При v-*0 имеем:
P0 = ln£ + O(v), (2.31)
Где if=l»731, а символом O(v) обозначена величина, стремящаяся
к нулю вместе с v.
Подставив в уравнения (2.24), (2.25) и (2.26) ап по
формулам (2.22), получим три линейных уравнения для определения ^з» ?i
и <!<!• Покажем, что при достаточно малых v эти уравнения имеют
решение. После подстановки ап в уравнение (2.24) получим:
И + О (v)] Та + О (v) ?1 + vO (v) ф, - с, (v).
Уравнения (2.25) и (2.26) примут вид:
[<2b+0(v)]Tt + [l + 0(v)]Tl + vO(v)tie£ra(v)f
Обозначим через Д* (v) определитель этой системы уравнений.
Легко видеть, что A*(v) есть непрерывная функция от v>0 й что
Д*(0) = 1. При достаточно малых v A*(v)>0, и, следовательно,
®i» *W и Ъ определяются единственным способом.
Эффективное решение задачи о глиссировании при малых v можно
получить, пользуясь следующим алгорифмом.
По доказанному выше при заданных <pi> <W и Ъ Функция / (z, v)
аналитична по v при v ;> 0. Следовательно, при малых v справедливо
разложение
/<*) -/о (*) + v/x (*) + v2/2 (*)+..., (2.32)
гДе все fk{z) голоморфны всюду вне отрезка (— 1, +1), чисто
мнимы на действительной оси при |д:| >1 и исчезают в
бесконечности.
270
ГЛИССИРОВАНИЕ
[гл.
VI!
Граничное условие (2.11) распадается на следующую систе
овий для функции /k(*) = rk-f-feft: M^
условий
ду р>
drt
57 = — 'о- ?i— Та arc cos х,
яг а?'
fv г»- Л р(*")<**" a^ + ^i (1 -*)
и при k > 2
'*-!•
(2.33)
Так как Ке/л(л:) = 0 при ^ = 0 и |*|>1, то значения^
с обеих сторон отрезка (— 1, +1) в симметричных точках
одинаковы. Для функции /(г), голоморфной всюду вне отрезка (-— 1, -|-1)
и удовлетворяющей этим условиям симметрии, имеет место
следующая формула (см. § 1 главы II):
+1
dz
и У>
=J
&vr=*
ду
dx.
(2.34)
— 1
Применяя формулу (2.34) и условия (2.33), можно вычислить
последовательно все функции /Л (г).
Уравнения (2.24), (2.25) и (2.26), приняв во внимание (2.13) н
(2.6), можно написать в виде:
1
4-оо
Этот метод решения позволяет сводить решение задачи к вычислению
определенных интегралов и к решению линейных уравнений (2.35)
и (2.36).
После того как ?2 и ап (п= 1, 2, 3, ...) определены, можно
дать уравнение свободной поверхности. На свободной поверхности
У = *(х, 0).
ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ 271
§21
. рМулы (2.6) уравнение всей границы жидкости получим в виде:
_ А< sin vx + A2 cos v* 4-
-f-c» W=l +00 r
Положив в формуле (2.37) * = + l, найдем ординату .)>! = $!
среднего края пластинки, которая, таким образом, при заданном
ле атаки определяется значением v, т. е. числом Фруда. Для
всякого v > 0 высота передней кромки над уровнем конечна. Из
формулы (2.37) или, что то же, из (2.26) следует, что при v,
стремящемся к нулю, ух стремится к бесконечности, как k In v. Таким
образом, с увеличением скорости глиссирования при постоянной смоченной
длине в плоской задаче с весомой жидкостью глиссирующая пластинка
подымается над уровнем неограниченно высоко. Для невесомой жидкости
подъем пластинки над уровнем бесконечен.
Асимптотическая форма свободной поверхности на далеких
расстояниях впереди пластинки дается уравнением
у— — А\ sin va: -[- Л2 cos vat. (2.38)
Асимптотическая форма свободной поверхности на далеких
расстояниях сзади пластинки дается уравнением
—00
Интеграл, стоящий ц скобках, можно вычислить. В самом деле,
очевидно, что
—оо Ъ
гДе L — замкнутый контур, охватывающий отрезок (—1, +1) и
обходимый по ходу часовой стрелки. Заменив j- по формуле (2.13)
и положив z — "J/г2—1 = С, можем написать:
С п=1 С
где С—замкнутый контур в плоскости комплексного переменного С,
содержащий внутри себя точку £ = 0; интегрирование по контуру С
производится против хода часовой стрелки.
272 ГЛИССИРОВАНИЕ .
Пользуясь известным разложением1)
где Ул (v) — функция Бесселя я-го порядка, находим:
Хп-\еТ (с+г) Л = 2тсй-»/_п (v) = 2ш»+Чп (у).
J
(2-39)
Пользуясь этим, асимптотическое уравнение свободной поверхности
сзади пластинки можно написать в виде:
где
у = — Вх sin vx -|- B2 cos vat, (2,40)
ОО
Bt + /S2 — i4x + M2 + 2тиТ2У0 (v) — 2ir 2 /шЛ/*/Л (v). (2.41)
» = i
Применение метода, основанного на рассмотрении однозначной
комбинации -з—\-hw> позволяет немедленно определить движение
жидкости в известной задаче о волнах при перемещении заданной
системы давлений р'—р0 по свободной поверхности тяжелой
жидкости2). В самом деле, на нижней стороне отрезка (—1, -|-1) имеем:
Так как при у = 0 и | х | > 1
то на верхней стороне отрезка (— 1, -|-1) имеем:
*(£ + *») Р(*>.
Кроме того, имеем, что с обеих сторон этого отрезка 1т(-з—\-Ш]
в симметричных точках одинакова. Применив формулу Коши к функ-
dw . . ^
ции -j—[-ше/, получим:
+ i
*L = i,w = JL f £J!I« (2.42)
^Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, т. II, 198»'
стр. 164.
2) Л а м б Г., Гидродинамика, § 242—244. Гостехиздат, 1947.
Л| ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ 273
§21
откула
z + \
w(z)=e-^[A1 + iA2 + -LJ / £^ldUt\ (2.43)
+ оо —1
де Ai и ^2 — произвольно заданные постоянные. Если Л1=Л2 = 0,
то формула (2.43) дает решение поставленной задачи с отсутствием
волн впереди.
Асимптотическое движение впереди есть свободные волны с
характеристической функцией
*0 = *--** (Л Х + /Л2). (2.44)
Асимптотическое движение сзади есть свободные волны с
характеристической функцией
w = e-<"(Bx + lB^ • (2.45)
где
+ оо -}-1
а1+ю1=л1+м,+-1-/ / p^-dut.
— оо —1
Интегрирование по t производится по некоторой кривой,
расположенной в нижней полуплоскости. Приняв это во внимание, находим:
+ оо К
где К — маленький круг около точки * = £. Таким образом получим:
+ i
Вх + Ш2 = Aj + 1АШ — 2 J р (0 *<* Л. (2.46)
—1
Из формулы (2.46) очевидно, что с большим произволом можно
Подобрать распределение давлений р(х) так, чтобы
в jTOM случае сзади волн нет, а волны впереди с амплитудой
^1 + ^2 гасятся перемещающимися давлениями.
Дадим теперь еще уравнение поверхности жидкости, справедливое
в области заданного распределения давлений, т. е. при \х\ < 1.
18 Зак. 1631. Л. И. Седов.
2^4 ГЛИСбИРОЙАЙИЁ . frjr t
На действительной оси формула (2.43) дает:
1
w (х) = в'*™ {Ах + Ма) — fp (5) е**1-»Щ -f
X
О? ОО —t + °°
Совершая замену переменного по формуле
^ = лг+(5—лг)Х,
получим: *
х о
+ оо ±оо
Нижний предел равен +оо, когда $>лг, и —со, когда £<*.
При S > х возьмем полученный интеграл по замкнутому контуру
в плоскости комплексного переменного X (фиг» 7.6). Переходя к
Фиг. 7.6. Контур С для
вычисления интеграла при
1>х.
Фиг. 7.7. Контур С
для вычисления
интеграла при 5<х.
пределу при возрастании радиуса дуги круга до бесконечности,
получим:
v- *■$!*£?■*+**->+^р£? *-*
(
откуда
о
v. *± !*£?«—«— +И-^«-.*«
-|- оо
ГЛИбСИРОВАЙИЕ tlO ЙОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ 276
гт и I < # возьмем этот интеграл по замкнутому контуру (7,
иному на фиг. 7.7. После удаления дуги круга в бесконечность
Полупим:
О оо
is J -г=г- dk=- tJ -ттвг *»• <2-49>
—со О
Пользуясь этими преобразованиями, формулу (2.47) можно
написать в виде:
w
(х) = (А1 + 1А2)е^^ — 2 J" р® **«-*><# +
а?
1 оо
ж О
а? +оо
Отделив мнимую часть в формуле (2.50), уравнение поверхности
жидкости найдем в виде:
1
j/ = tb = — A1sinvx-\-A2cosvx — 2 /?(£)sin v(£ — x) dl-\-
a?
—1 0
Задав распределение давлений /? (х) = р ~f° на поверхности^
воды, форму водяной поверхности для любых значений х можно
вычислить с помощью формулы (2.51).
Рассмотрим гидродинамические силы, действующие на
глиссирующую пластинку. Давление на пластинке дается формулой
р' — Po = P*P = pc*Re(^+lw)-
Обозначив через Р подъемную силу на единицу ширины
пластинки, имеем:
+ 1 +i •
р = а I (р'—Ро) dx = рас2 Re J (— + tm \ dx.
—i — i
18*
U76 ГлиСйировайиё |Гл
Значения действительной части комбинации -%—Ь ^YW сверху и сниз
отрезка (— 1, +1) равны по величине, но противфположны По
знаку, а значения мнимой части равны; поэтому можно написать;
где Lj — контур, охватывающий отрезок (—1, + *)> обходимый
при интегрировании против хода часовой стрелки. На основании
разложения (2.4) находим простую формулу:
Р = — ркас2^ (2.52)
Обозначив через Ш момент гидродинамических сил относительно
начала координат на единицу ширины пластинки, имеем:
ЭД = аа J x(p, — p0)dx = pa2c^ej(~- + im^xdx
—i —i
или
J*{l£+i™)t
ак^р^! \г(^+ш\*г.
В силу разложения (2.4) находим:
Ш1 = —prcaV^. (2.53)
Из соотношений (2.4), (2.5) и (2.13) следует, что
Т8 = —\. (2.54)
Таким образом для момента, подобно тому как и для подъемной
силы, находим весьма простую формулу
Ш=^^р%а2с2ах. (2.55)
Обратимся теперь к вычислению полного сопротивления на
единицу ширины пластинки, которое обозначим через W. Имеем:
+ i +i
—1 —1
-hi +1
' = рас2 J p}dx=- рас2 Jp p-dx. (2.56)
Для плоской пластинки j3 = const., гидродинамическая сила
перпендикулярна к пластинке. В этом случае для полного сопротивления
идеальной жидкости справедлива формула
W = Яр _ — pnac*i$. (2.57)
§ 2J
ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ 277
Для того чтобы преобразовать формулу (2.56), применим теорему
грина к гармоническим функциям <р(лг, у) и р(лг, у) = *"
рассматривая их в области D (фиг. 7.8)
дх
■v<l>,
*-л
Фиг. 7.8. К вычислению полного сопротивления на
единицу ширины пластинки.
Приняв во внимание, что р = 0 на действительной оси при \х\ > 1,
имеем:
-1 Сх+Ся D
■=-т /[©■+№•(**>*■■
где Ct есть дуга полукруга радиуса е с центром в точке г=-|-.1.
Отсюда находим:
Так как
»fcfe*+(SP<'+($)W*-fe*-*[<S.H'
278 ГЛИССИРОВАНИЕ г
frj4,
то получим:
Вблизи этой точки на основании формул (2.6) и (2.13)
оо
'(Т«— 2 пап)
— = nal 4- /»to
<** У2 VT37!
где /* (г:) остается конечным вблизи точки г = -|- 1.
Переходя в формуле (2.58) к пределу при е->-0, получим
оо
^—+ R4 /(йУ*+5 J^2 J-(2.59)
Первый член в формуле (2.59) дает сопротивление от брызговой
струи. Если скорость у переднего края конечна, то, пользуясь (2.13),
легко получить соотношение, аналогичное (2.24):
. со
Т2— 2«Яп = °-
Следовательно, в этом случае первый член в формуле (2.59) равен
нулю. Покажем теперь, что второй to третий члены дают
сопротивление, которое можно получить, рассматривая расход энергии на
бесконечно удаленном расстоянии от пластинки.
Возьмем за контур С2 прямоугольный контур, составленный яз
двух вертикальных прямых и отрезка горизонтальной прямой (фиг. 7.8);
опуская этот отрезок бесконечно вниз, получим:
С% С9 а>х
аь— ico
так как из формулы (2.6), применяя интегрирование по частям, моЖй?,
dw\ К
которая положительная постоянная.
вывести, что при у>Оиву-> — оо имеем | -^-1 < j~~ , где /<f—W
глиссирование по поверхности тяжелой жидкости 279
§21
ль3уясь формулой (2.6), для (-г-) находим следующие асимпто-
^ескиеформул^придг^ + оо
(-^)2=-у2с"аьг<л»+м^+°»(т);
при Хъ-*-°°
Нетрудно показать, что
Xl -» + с» •' ^ * '
а?!
lim f 02f4-^^ = °-
а?2 -» — со t/ \ * '
0?2 — ^ СО
Приняв это во внимание и переходя к пределу при ATj-^-f"00 и
х2-*— оо, получим:
j^KbI+bI-aI-aI).
Таким образом, для полного сопротивления получаем общую
простую формулу
Г==рас2[ ^1 + 1.(в* + в1-А1-АЦ. (2.61)
Если распределение давлений непрерывно, то первый член в
формуле (2.61) отсутствует. Если вдобавок к этому нет волн впереди,
т. е. Ai=A2=0, то получим обычную формулу:
+ i
— 1
= Ф\! IP'-Po)*^*]*- (2-62)
Как сказано выше, всегда можно подобрать непрерывное
распределение давлений так, чтобы Вх = В2 = 0. Таким образом, возможно
такое движение некоторой пластинки по взволнованной поверхности,
когда на пластинку действует тянущая сила. Эта сила получается з$
Счет использования энергии вода.
280 ГЛИССИРОВАНИЕ ГРл
Если форма глиссирующей поверхности задана, то из форцул
(2.61) после замены в первом члене ?2 через 2^п(—*)* и заиещд
выражения | Вх + /б212 по формуле (2.41) получим следующую формул
для сопротивления: '
fl7 = p^{ir(S(2ft + l)a2fc+1)2 + ^UI(/0(v)T2 —
л = о
- S 2ftaak (—1)»= 78fc(v)) — <42 2 (2* +1) «2*+1 (-1 )»-W, (v)+
+ « Uo 00 T2— 2 2*«2S (-1)*/» (v))9+
(-l)fc^+i(v))9]}- (2.63)
Формулы (2.52), (2.55), (2.61) позволяют вычислить
гидродинамические характеристики глиссирующих пластинок через величины f2
и ап(п= 1, 2, 3, ...), для которых в начале лараграфа дани
уравнения и указаны методы решения этих уравнений.
В качестве примера рассмотрим задачу о глиссировании плоской
пластинки. Предполагая, что v мало, вычислим два приближения,
следуя уже описанному алгорифму.
Первое приближение: v = О,
/(^)=/о(^) = го+^о-
Для определения /0(г) имеем граничное условие при |х|< 1
дг0 &р о
ду ~ ду ~ р'
на основании которого находим:
/0(*) = ip(* —VV-1). (2.64)
Отсюда
т.-[0'Я=т4£]#__1--р, <266)
«, = + Р. . (2.66)
Для сил получим:
/> = Pic«c2p\ (2.67)
5R = lpicaV»p. ^2.68)
о1 ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ 281
Первое приближение соответствует пренебрежению весомостью
ядкости; поток совпадает с нижней частью потока около крыла.
Подъемная сила (2.67) и момент (2.68) равны половине
соответствующе значений подъемной силы и момента при обтекании плоской
пластинки в бесконечной жидкости (эквивалентное крыло).
Второе приближение:
/W=/o (*) + */,(*)•
Для определения функции fx (z) = rt + tst при | x | < 1 имеем
граничное условие:
—2- = — ?1 -f- Р"|Л — х2—Та arc cos x.
Применяя формулу (2.34), можем написать:
— 1
+ 1
Т2 Г у 1 •— х* arc cos x .
"г2—1 J л: — г
—1
Отсюда
4*
. T2 re sin» еле 2
1С
Для aj находим выражение:
«t-P-SrP+m+тъ (2J0)
Применяя формулу
составляем уравнение для определения f2:
282 ГЛИССИРОВАНИЕ 1Гл ^
Перед тем как составить уравнение (2.36) второго приближения д
cpj и ф1э заметим следующее: я
| W*4#>(y) - |т«в-*М> W + W0(v)] =
« „ i ,•„ I- Tv
= у Та + 'Та I» -j + ° (v)> (2.72)
<'f^i«**<fe = — Be-*-* f«-У**—1 e**tf* =
) dz V J VV-1
oo oo
= 7-iTe'^1)(v) = /P + 0(v)' (2.73)
где y= 1,781, а О (v) — малое порядка vlnv.
При удалении в бесконечность -j~
М
меньше т—jg-, где Ж—некоторая положительная постоянная. Следо-
стремится к нулю, оставаясь
вательно.
, величина v£~"<v -^ eiHZdz есть малое порядка v.
Приняв это во внимание, сохранив только члены порядка Inv и
конечные члены, уравнение (2.36) можем написать в виде:
<Pi + **i = Лг + iA2+■£■ Т2 4- $ + /Та 1п£ (2.74)
или
<Pi=A + "f-Ta> (2.75)
♦i-^ + P + T.lnjp. (2.76)
Подставляя 9i из (2.75) в (2.71), определим -у2:
T2 = -(l-Ttv-±)p-v^. (2.77)
Подставляя <рх из (2.75) и ^ из (2.77) в выражение (2.70), получим:
Следующие члены в разложении f2 и flj no v имеют порядок v9l^v*
Из формулы (2.76) получаем, выражение для ординаты переднего
края пластинки:
yi = ^ = (l-ln^)p + ^. (2-79)
В формуле (2.79) отброшенные члены разложения у^ по v име#Т
порядок vlnvT
„, ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ТЯЖЕЛОЙ ЖИДКОСТИ 283
§2]
Для подъемной силы и для момента, действующих на плоскую
стинку, применив формулы (2.52) и (2.55), найдем:
Р == pic (l — icv—~) ас*$ + pgna*Al9 (2.80)
Следующие члены разложения Р и Ж по числам Фруда F = гт= =
с InF
5-=-^= имеют порядок -ъг*"*
При наличии волн впереди и при малых v имеется добавочная
сила pKga?Au которая приложена на одной четверти смоченной длины
от переднего края, так же как и общая сила при v=sO.
С помощью изложенного выше метода задача о глиссировании
дужки круга по поверхности тяжелой жидкости была решена во
втором приближении М. И. Гуревичем1), причем для подъемной силы,
момента и сопротивления при отсутствии волн перед пластинкой
оказались верны формулы:
»-^ф<1-Ц|£»)--?.]. <2-83)
W=t«ac* [pan(l_v«-^) + m-)2], (2.84)
а высота подъема воды* у передней кромки получена равной
где (30 — угол атаки хорды крыла, а /—стрела прогиба дужки.
В случае невесомой жидкости малая кривизна дужки круга не влияет
ни на момент относительно середины пластинки, ни на ее
сопротивление. При вычислении подъемной силы дуги круга кривизна
эквивалентна увеличению угла атаки плоской пластины на ~ . Формулы
(2.82), (2.83) и (2.84), полученные с учетом весомости жидкости,
показывают, что сила тяжести делает влияние кривизны более
многообразным, вызывая в формулах для Я, 2К и W появление
добавочных членов, зависящих от произведений v£, v( ) •
1) Г у р е в и ч М. И., Глиссирование дужки круга по поверхности тцц$«
Лрй жидкости Техн. заметкц ЦАГИ, выр. 153, 1937»
284
ГЛИССИРОВАНИЕ
1гл.
VII
рсга/з\
/HJ
J J hi
///l—
/l/T
A-
иГ"
1
\
1=
r
1
1
i i
_
*~
^
~-~
?
**
?
^
/
Г
\
£
7
Ll
Фиг. 7.9. График для коэффициента подъемной
силы в зависимости от числа Фруда. Кривая /
получена численным расчетом.
Кривая//соответствует формуле
рсЩ
-«[i_(«+±),].
*m
/
°\
-А
i
1 J
J
4
I
■
-
7
Фиг. 7.10. Коэффициент момента относительно
середины смоченной длины в функции числа Фруда.
Кривая / получена численным расчетом. Кривая //
соответствует формуле
2Ш =1 8 + 3*2
«я
глиссирование rto поверхности тяжелой жидкости
285
Числовые расчеты для плоской глиссирующей пластинки были
полнены Ю. С. Чаплыгинымх). При расчетах Ю. С. Чаплыгин
Вгоаничился вычислением двух коэффициентов а, и аь в уравнениях
/220) и двух коэффициентов а.2 и а4 в уравнениях (2.21), пола-
ая остальные коэффициенты нулями.
Г На фиг. 7.9 и 7.10 изображены зависимости коэффициентов подъ-
Р 2Ш ^ ,- с
еиной силы р^
и момента
от числа Фруда F
На тех
ряс2а2р FJ К2^л
*е фигурах изображены результаты расчетов согласно приближенным
формулам (2.80), (2.81).
1. Сравнение коэффициентов подъёмной силы и момента,
полученных из численного решения и асимптотического решения,
данного выше, для больших чисел Фруда показывает, что, начиная
с числа Фруда F = 2,8, оба решения совпадают.
0.7S
QSO\
i
и
и
ч
\
ч
>
•
^
'
ща
Фиг. 7.11. Положение центра давления по отношению к задней
кромке (см.схему на фиг.7.1, стр. 258). Кривая /получена
численным расчетом. Кривая II соответствует формуле
2. Начиная с F = 4,25, коэффициент подъёмной силы отличается
°т гс менее чем на 10%. Таким образом, с точки зрения определе-
ния гидродинамических сил результаты теории глиссирования по
невесомой жидкости (§ 1) и теории глиссирования по поверхности
тяжелой жидкости совпадают для всех чисел Фруда, больших 4,25.
J) Чаплыгин Ю. С, Глиссирование плоской пластинки Лшюнечного
Размаха по поверхности тяжелой жидкости. Труды ЦАГИ, вып. 508, 1940.
286
Глиссирование
to». vn
Очевидно, что качественная сторона этих выводов может бы
обобщена и на глиссирующие поверхности более общего вида, pjb
четы для плоской глиссирующей пластинки определяют границ^
когда законно пренебрегать весомостью жидкости с увеличение*
числа Фруда.
Из фиг. 7.11 видно изменение положения центра давления по
пластинке в зависимости от числа Фруда. При числе Фруда, равном
нулю, центр давления находится на расстоянии */з длины пластинки
ь.
щ
is
) П
as
0
4S
-V
i
г
•
/
//
г
ж.
/
У
У
л
ts
7
j>
\
'У
V
i
.S
<
■^
"
.*"'
е&р
S
*>'"
F=
7
С
-
^
fzga I
Фиг. 7.12 Осадка задней кромки. При«7?Л->0
пластинка расположена выше уровня невозму-
щенйой жидкости. Кривая / получена
численным расчетом. Кривая // соответствует формуле
~Щ у [l + 2,072 + (1 - 3,756v) In Щ .
Кривая /// соответствует формуле
от задней кромки (случай чисто гидростатических сил); при
больших F отношение -у стремится к 0,75 (невесомая жидкость,
полная аналогия с крылом § 1).
На фиг. 7.12, кроме коэффициента осадки задней кромки rf"
(см. фиг.^ДЛ на стр. 258), полученного численным способом, указана
кривая, соответствующая формуле (2.79) и по уточненной формуле,.
i гЛИСбИРбВАЙИЕ It0 ПОВЕРХНОСТИ ЙЁВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ 287
§31
аЯ получена в результате решения задачи согласно изложен-
Я0*у выше алгорифму в третьем приближении.
^Интересно отметить, что при F>1,9 задняя кромка пластинки
одИТся выше уровня покоящейся на бесконечности жидкости.
При
малых числах Фруда численное решение совпадает с решением,
полУчеННЫМ и3 гидР°статики-
На Фиг- 7.13 нанесено отношение брызгового сопротивления W&v
полному W. Это отношение не зависит от угла хода и является
т
60\
zs\
I 2 3 Ч S S 7 с
Фиг. 7.13. Распределение полного сопротивления на
брызговое и волновое сопротивление как функция
числа Фруда.
функцией одного лишь числа Фруда. Из графика ясно, что
волновое сопротивление при глиссировании на больших числах Фруда
составляет небольшую часть от полного. Наоборот, при малых числах
Фруда волновое сопротивление является главной частью полного.
1
г
у,
/К
г
■|
horn
Ч»
|
h
§ 3. Глиссирование по поверхности невесомой жидкости
(нелинейная задача)
Рассмотрим нелинейную задачу о глиссировании плоской
пластинки по поверхности невесомой жидкости. Схема течения и оси
координат изображены на фиг. 7.14. Исследуем относительное течение,
когда пластинка неподвижна и на нее набегает поток со скоростью
в бесконечности, травной с. Решение задачи можно свести к опре-
cLxjd
Делению характеристической функции w и функции скоростей -т-
в функции какого-нибудь параметрического переменного. Это можно
сделать различными путями, в частности, отображением области
движения на верхнюю полуплоскость или на полукруг (см. главу V),
288 ГЛИССИРОВАНИЕ fr„
Ниже мы введем параметрическое переменное а, изменяющее
в верхнем правом квадранте (фиг. 7.15). Соответственные точС*
•точки
®
D\i
Фиг. 7.14. Схема течения в нелинейной задаче о глиссировании
плоской пластинки по поверхности невесомой жидкости.
в плоскости течения г = х + iy и в плоскости и на фиг. 7.14 и фиг. 7.15
отмечены одинаковыми буквами. Далее заметим, что для вычисления
всех интересующих нас
величин достаточно будет
dw 1 dw
найти функции — и -^
В области течения произ-
1 dw
водная— -г- конечна и одно-
с az
значна и имеет только один
простой нуль в точке D%
соответствующей точке ««*»*.
На мнимой оси произ-
н , д водная — -г— действительна,
а на действительной оси ее
Фиг. 7.15. Плоскость параметрического пере- модуль равен единице.
менного и. После продолжения на
всю плоскость а получим,
что нуль производной — -т- в точке и = / перейдет в простой полюс
в точке и = — /. Так как — ^ рациональная функция, которая не
имеет других нулей и полюсов, то
с dz = u-\-i '
С ЕВ
ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ НЕВЕСОМОЙ ЖИДКОСТИ 289
31
1 dw л
/~—-постоянная, которая определяется из условия —-т— — \
очке Л (tf = oo). Поэтому имеем окончательно:
1 dw _ a-i n
T4F — T+T' (6Л)
функция tso имеет простой полюс и логарифмическую особенность
«точке В и логарифмическую особенность в точке С, так как при
переходе через струйку функция тока-ф испытывает конечный скачок,
dw
равный расходу жидкости в струйке. Поэтому -т— имеет в точке В
полюс второго, а в точке С полюс первого порядка. Очевидно, что
производная в точке разветвления линии тока u = i имеет простой
нуль. Стороны квадрата соответствуют линиям тока, поэтому после
dw
продолжения производной -т— на всю плоскость и найдем, что про-
dw .
изводная —: рациональная функция и имеет еще один нуль в точке
й = —/ и один полюс второго порядка в точке и = — д. На
основании сказанного можно написать:
где N—действительная постоянная, которая выражается через расход
жидкости в струе
по формуле .
yV=-8^-. (3.3)
Из формулы (3.1) можно написать:
се-*? = с-
b + i '
откуда
* = tg-|. (3.4)
Для определения нормальной силы Р, действующей на пластинку,
рассмотрим более общий случай глиссирования пластинки по
поверхности жидкости конечной глубины Л-f- 8 перед пластинкой и
глубины h за пластинкой (фиг. 7.21, стр. 295). Применим теорему
количества движения к объему жидкости, ограниченному дном, свободной
поверхностью, пластинкой и бесконечно удаленными сечениями,
перпендикулярными к дну и к пластинке в струе. Уравнение в проекциях
количества движения на направление набегающего потока дает:
R = Р sin (3 = pcQ [1 + cos p], (3.5)
19 Зак. 1631. Л. И. Седов.
2§6 ГЛИСОИРОВАЙИЁ \гл
где R — сопротивление, пропорциональное расходу жидкости Q вбпц
говой струе. 3*
Из (3.5) находим:
P = pC38ctgi-. (3.6)
Формула (3.6) верна для жидкости с произвольной глубиной
в частности, для бесконечно глубокой жидкости.
Фиг. 7.16. Результаты расчетов глиссирования плоской пластинки при
различных углах хода р. При малых р критическая точка близка к
переднему краю смоченной поверхности.
Вагнер предложил определять смоченную длину / условно как|рас-
стояние от задней кромки А до точки пересечения F пластинки
анормальной к ней касательной EF к свободной поверхности (фиг. 7.14).
Этот способ определения смоченной длины вполне оправдан для
практически наиболее интересных малых углов атаки, так как в этом
случае струя очень тонкая и давление на область, омываемую брыз-
говой струей, ничтожно по сравнению с давлением на участок АР
пластинки. На фиг. 7.16 представлены данные нескольких расчетов.
Определим теперь /. Из формул (3.1) и (3*2) следует, что
Г dz dw , кт С и +1 1 + «2
J dw du J u — i u(u2 — b2)2
Nf №—\-\-2ia , 1 , ы2 — Ъ* i t u — b~\ /Q »\
~TL ьци*-ь*> +^ln-^-^-p-lnirr^J' (3J)
e1 глиссирование по поверхности невесомой жидкости 291
Пользуясь (3.1), находим, что точке Е в плоскости и соответ-
еТ значение а = 1. Поэтому, пользуясь (3.7), (3.3) и (3.4), нахо-
дИМ' f = AF= Re [г(+оо)— *(1)] =
= ~[ctg2| + ^ctg|+ln(ctg2|_l)]. (3.8)
для малых р получим: /«-^г-
Заметим кстати, что с помощью (3.7) можно показать х), что
расстояние от начала координат горизонтальной асимптоты свободной
поверхности BE стремится к бесконечности, как In (и— а), т. е. что
свободная поверхность жидкости опускается в бесконечности как
— In | х\. Это обстоятельство мы уже отмечали в предыдущем
параграфе.
Формулы (3.6) и (3.8) позволяют найти коэффициент силы,
действующей на пластинку:
W~^^ctgI + . + tg|ln(ctg2l-l)- (3'9)
При {3, стремящемся к нулю, для Сп верна асимптотическая формула,
полученная раньше с помощью линеаризованной теории
(формула (1.12)):
Н. Калинин2) подсчитал момент гидродинамической силы Tt
относительно задней кромки пластинки для сил, действующих на пластинку.
Для отношения $Я/Р1 = 1Л им получена формула:
l+lcosp + 2(l-cosp)Ifi2+£-sinf*
J*L — £ £ (3.10)
/ (i^cosp)lnT|^fj+l+cosp+7Csinp
При {3, стремящемся к нулю, отношение -4- стремится к — , как и
в случае плоского крыла при малом угле атаки. На фиг. 7.17 и табл. 3
приведены результаты расчетов Н. Калинина.
В пределе линеаризованная теория дает те же значения для
подъемной силы, как и точная теория* Однако расхождения этих
*) См. ГуревичМ. И. и И н п о л ь с к и й А. А., О движении
глиссирующей пластины. Техника воздушного флота, № 10, 1933.
2) Калинин Н., О моменте давления, действующего на глиссирующую
Пластинку* Ученые записки Сарат. гос. ун-та, т. I (XIV), серия ФМН> вып. 1,
1938*
19
£92
Глиссирование - [Гд,
«
Таблица 3. Определение центра давления в зависимости
от угла хода р
Vti
Ро
о
з
5
! 7
10
I 12
/
д
"7
0,750
0,728
0,715
0,703
0,686
0,676
Р°
15
18
20
25
30
35
/
д
/
0,664
0,654
0,649
0,639
0,636
0,639
Р°
40
45
50
60
70
80
L
1
0,644
0,652
0,671
0,723
0,824
1,058
теорий при глиссировании больше, чем в случае тонкого крыла. На
Р
фиг. 7.18 дано отношение k = суммарных нормальных давле-
ний по точной и по линеаризованной теории *) в зависимости от
209 W 60* Р*
Фиг. 7.17. График для
определения положения
центра давления в
зависимости от угла хода р.
к
т
0,2
О
&±
W"
Zff°
30°
Р'
Фиг. 7.18. Отношение полной силы,
полученной по нелинейной теории, к силе,
полученной по линеаризованной теории;
угла атаки. Сравнительно большое расхождение в случае
глиссирования между обеими теориями происходит за счет неточности
линейной теории в области брызговой струи. В этом легко убедиться,
если сравнить распределения давлений вдоль крыла и глиссирующей
пластинки на участках от задней, кромки до критической точки
(фиг. 7.19). Здесь следует отметить, что сравнение обеих теорий я*
х) Wagner Н., Ueber Stoss-und Gleitforgenge an der Oberflache vofl
Flussfgkeiten. Zs. ang. Math. u. Mech., вып. 4, 1932.
g 41 ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ 293
лиг. 7.18 проведено при равных /, а на фиг. 7.19 при равных
расстояниях от задней кромки до критической точки.
Подсчеты показывают, что если сравнивать силу Р по точной и
п0 линейной теориям при равных расстояниях от задней кромки до
критической точки, то кривая на фип 7.18 поднимется незначительно.
Фиг. 7.19. Сравнение распределения скоростей и давлений по нижней части
плоской пластинки при непрерывном обтекании в бесконечной жидкости
(пунктирные линии) и для глиссирующей пластинки при струйном обтекании
(сплошные линии). В обоих случаях расстояние / от задней кромки до
критической точки взято одинаковым; qQ — скоростной напор.
§ 4. Глиссирование по поверхности жидкости конечной глубины
Рассмотрение задачи о глиссировании по поверхности жидкости
конечной глубины начнем с линейной теории. Согласно доказанной в
§ 1 аналогии мы можем воспользоваться результатами теории тонкого
крыла, движущегося внутри канала между параллельными
прямолинейными стенками. Формула (4.13) главы III (стр. 147) дает
комплексную скорость течения, вызываемого глиссирующей пластинкой, когда
отношение длины пластинки / к глубине канала h равно -j- = — .
Согласно теореме Жуковского и формуле (4.17) главы III (стр. 148),
подъемная сила Ph такой глиссирующей пластинки равна *)
Pft = ^ = 4p^sh4fl[J-7f
<*е
+ sh22asin26
]'■ (4-1,
*) В обозначениях настоящей главы.
294
ГЛИССИРОВАНИЕ
[гл.
Vli
Заменяя в через -=- — &, находим, что
J Vl + sh2 2a sin2 6 J
rfO
sh2<z Vl— th22asin20
Отсюда из (4.1) получаем
:рсЩкК2,
(4.2)
где К—полный эллиптический интеграл первого рода с модулей
* = th2a = thii.TaK
как подъемная сила
глиссирующей
пластинки в случае беско-
нечно глубокой
жидкости равна
о г ц б в ю iz w к 18 го h
Фиг. 7.20. Влияние глубины на подъемную силу
(линеаризованная теория).
4г емных сил
то для отношения
подъел
чим:
Poo гс3 / 4А
(4.3)
Очевидно, что при -.—> оо правая часть (4.3) стремится к единице.
Расчеты отношения ^ произведены Ю. С. Чаплыгиным *) и пря-
ведены на фиг. 7.20.
Как уже было упомянуто в § 1, нелинейная задача о
глиссировании по поверхности невесомой жидкости конечной глубины была
решена С. А. Чаплыгиным. Впоследствии более подробные расчеты
были сделаны Ю. С. Чаплыгиным1) и А, Е. Грином2).
Приведем теперь общее решение этой задачи.
Пусть бесконечно длинная плоская пластинка BCD движегся под
углом р со скоростью с по поверхности невесомой .жидкости конеч-^
*) Чаплыгин Ю. С, Глиссирование по жидкости конечной глубины.
Прикладная математика и механика, т. V, вып. 2, 1941.
2) Green A. E., The Gliding on a Stream of Finite Deph. Proceedings
of the Cambridge Philosophical Society: 1935 — т. 31, ч. 4; см. также: 193Q —
т, 32, ч. 1; 1936 —т. 32. ч, 2; 1938 —т. 34, ч. 2,
41 глиссирование по поверхности жидкости конечной глубины 295
0Й глубины h + 8 (в бесконечности перед пластинкой). В
бесконечней за пластинкой глубина потока равна Л, а толщина струи
в бесконечности равна 8.
Обратим движение и будем считать пластинку неподвижной,
а жидкость движущейся по схеме фиг. 7,21. Введем параметрическое
®
Фиг. 7.21. Глиссирование плоской пластинки по
поверхности жидкости конечной глубины.
переменное и внутри прямоугольника ABDF со сторонами ^~- и -~
(фиг. 7.22). Соответствующие точки в плоскостях z и а обозначены
одинаковыми буквами. Пусть w = v~\-i^ — характеристическая
функция течения. Очевидно,
1 dw
что — -=-
с du
• эллиптиче-
с
а=
<
Е
Z
г
ча*
D
л\
@
с в\
w -- -у
екая функция с
периодами (Dj и ш2. В самом
деле, так как границы
потока -*- линии тока,
то производная -т— на
DF и АВ чисто мнима,
а на И и DB
действительна.
Продолжив с помощью
принципа симметрии — ■—•
на всю плоскость переменного и, легко видеть, что производная
dw
-jr-- имеет периоды mi и а>2.
К параллелограмму периодов будем относить всю правую и
верхнюю стороны с выключенными концами.
1 dw
Нулями для — -j- в параллелограмме периодов служат точки
*-¥
Фиг. 7.22. Плоскость параметрического
переменного и.
296 ГЛИССИРОВАНИЕ rrw
1гл. Vn
Характеристическая функция w (и) имеет логарифмические г>
1 dw ^*
бенности в точках А, Е, F. Поэтому производная — -т— имеет пп
стые полюсы в точках
При построении —-т— по особенностям полюс, соответствующий
точке А, удобно поместить в точке и = -^ "7Щ21 конгруентной точке
-0*1 "*" ^ . Учитывая указанные нули и полюсы, можно выразить про,
изводную —-т^- через сигма-функции Вейерштрасса:
(и — а)о(и + а)с(и— ^
с du , v / <»ъ \ I . ">9 — «од" I • v
>(H)0(K_^)5(a+i^.)-
- 1 dfze>
Для построения функции скоростей —-z— рассмотрим
предварительно функцию
/(#) = In -—т-.
В области течения f(u) имеет только одну логарифмическую
особенность в точке С. Так как граница течения состоит из частей, на
которых либо действительная, либо мнимая часть f(u) постоянны,
то легко видеть, что — является эллиптической функцией с
периодами Шр о)2, причем она имеет в параллелограмме периодов только
два полюса первого порядка в точках и = ±а. *
Выражая f (и) через функции Вейерштрасса С (и), находим:
/,,(«) = i4 + i41C(eHra) — A£{a — а),
откуда, интегрируя по я, получаем
/ (и) = Аи + В + Аг 1п а (а -f а) — Аг In о (я — л). (4.5)
Так как разложение —-т— в области точки я = а имеет простой
нуль, то очевидно, что вблизи и = а
d_(}_dw\
du\cdz) 1 .
/»'
1 i/да к — я
7 ^F
откуда Л2=—1. Таким образом из (4.5) следует, что
J_ dw Аи+в с?(ц — а)
q dz а (и + а)
л\ ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ 297
едеЛим постоянные Л, В, а. В точке F (и = ^-) имеем
Когда # вещественно и а^и^-~, то аргумент—-^— остается
постоянным независимо от значения и, так как этот отрезок в
плоскости и соответствует отрезку С В пластинки, вдоль которого
скорость образует постоянный угол тс —j— p с осью х.
V а (и — а)
Пои вещественных значениях и величина отношения —J—:—г
действительна; поэтому А— действительное число. Кроме того, имеем:
Я = _/(* + Р). (4.8)
Из (4.7) и (4.8) следует, что
А =
Постоянная а может быть получена из условия, что в точке
Л = £С»Ь« + Ф>. (4-9)
в
(-*■)
1 dw 4-/ft_.ir\
с dz '
откуда с помощью (4.6) находим:
2
А^-+В — 4la = — /(P + 1C) (4.10)
или
«-Т* *-^-, * — /(« + ». (4.11)
2*
Таким образом,
Ч£ .._,„±яи "("-"^г
Из (4.4) и (4.12) получаем:
« с .•'("+3fH'-f) ;-¥-ж.+»
Постоянная С может быть выражена через толщину струйки 8.
две?
du
Действительно, в окрестности точки D(h = 0) производная -^ имеет
вид
±*L ».. (4.14)
298 ГЛИССИРОВАНИЕ ГГл
Сравнивая (4.14) с (4.4), находим, что
. . -(*н?)
■ (if>Hr-)
Течение, изображенное на фиг. 7.21, определяется тремя параметрами-
р, 8, /г. В нашем распоряжении имеется еще один свободный пара»
метр -^, который вместе с (3 и 8 определяет величину /г.
В области точки f(u=~-j разложение производной характери
стической функции имеет вид:
1 dw _ 2 (h 4- Ь)
с du
+ .... (4.16)
откуда, сравнивая (4.16) с (4.4), получаем:
С 2 . / СОо \ / О), \
(4.17)
Сила Р, действующая на пластинку, уже была определена в § 3:
P = Pc28cig|. (3.6)
Смоченная длина / глиссирующей пластинки и расстояние Ь задней
кромки пластинки от дна могут быть получены путем интегрирования
формулы (4.13).
Как уже упоминалось, в цитированных выше (стр. 294) работах
А. Е. Грина и особенно в работе Ю. С. Чаплыгина приведены
результаты многочисленных расчетов. Здесь мы ограничимся приведением
только одного графика (фиг. 7.23). Из него вытекает интересное
следствие: возможны два режима с различными толщинами струй»
когда задняя кромка пластинки находится выше свободного уровня
жидкости в бесконечности {b > h -j- 8). Отношение h,b имеет
наибольшее значение, равное приближению 1,07.
В заключение главы отметим еще три работы по теории
глиссирования.
Линеаризованная задача о глиссировании по поверхности
тяжелой жидкости конечной глубины была рассмотрена М. Д. Хаскиндом1)*
!) X а с к и н д М. Д., Плоская задача о глиссировании по поверхности
тяжелой жидкости конечной глубины. Известия Академии наук СССР,
Отведение технических наук, № 1—2, 1943,
а\ ГЛИССИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ГЛУБИНЫ 299
отмечено, что при vA, стремящемся к единице, высота передней
омки над уровнем стремится к бесконечности, а при vhzjbl высота
КР КОнечна. М. Д. Хаскинд решил также линеаризованную задачу
Сдвижении нескольких пластинок тандем по поверхности тяжелой
ЯФфтГи
Фиг. 7.23. Данные расчетов о глиссировании
плоской пластинки по поверхности жидкости
конечной глубины. Существуют режимы,
при которых b>H= h + Ъ и,
следовательно, пластинка расположена целиком
выше невозмущенного уровня.
жидкости бесконечной глубины. Эти задачи решены методом,
изложенным в § 2 настоящей главы.
Нелинейная задача о глиссировании двух пластинок тандем
по поверхности невесомой жидкости бесконечной глубины решена
М. И. Гуревичем1). Эта задача может быть разрешена таким же
путем, как и задача о глиссировании пластинки по поверхности
жидкости конечной глубины.
г) Г у р е в и ч М. И., К вопросу о глиссирующих пластинах тандем,
Технические, заметки ЦАГИ, N° 48, 1935.
.ГЛАВА VIII
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
§ 1. Общие уравнения движения сжимаемой материальной среды
Рассмотрим плоскопараллельное установившееся движение
сжимаемой материальной среды.
Из уравнения неразрывности
дри . д рг/ _ п
дх ^"W~
следуют формулы, равносильные уравнению неразрывности:
«--BLjt, v = -J!Ld±, (1.1)
р ду ' р дх ' v '
где р0—некоторая постоянная, р — плотность, а $(х, у) — функция
тока, сохраняющая постоянные значения вдоль линий тока
совпадающими с траекториями частиц жидкости.
Дальше мы будем рассматривать движение идеальной жидкости,
для которой внутренние напряжения являются давлениями р.
При любом установившемся движении частицу жидкости можно
фиксировать некоторым постоянным значением функции тока ф. Для
взятой частицы плотность р можно рассматривать как функцию
давления р, т. е.
Р=/(А 4»)- С»-»)
Вид функции /(/?, <Ь) может зависеть от физических свойств
жидкости— газа и от различного рода физических или химических
процессов, которыми может сопровождаться движение (горение,
диссоциация, конденсация, запаздывание в изменении теплоемкостей
и т. п.) *).
Для некоторых термодинамически равновесных процессов связь
между плотностью и давлением не зависит от частного примера
движения и может быть определена с помощью физико-химических
*) См. Седов Л. И., Об общем виде уравнений кинетика химических
реакций в газах. Доклады Академии наук СССР, т. 1Д, № 1, J943,
§11
ОбщиЕ уравнений Движения Сжимаемой среды 361
закономерностей, независимо от решения механической задачи.
Я общем случае функциональная связь (1.2) должна определяться
при совместном разрешении механической и термодинамической
задачи.
Если мы имеем равновесное адиабатическое движение
совершенного газа1) без каких-либо химических превращений, то
где ? — коэффициент Пуассона. Постоянная в частице функция 0(ф)
выражается через энтропию 5 по формуле:
О(<50 = *с«,
где cv — теплоемкость при постоянном объеме, 5 — энтропия.
В общем случае при адиабатическом движении энтропия сохраняется
в частице, но для разных частиц может иметь различное значение.
При определении зависимости (1.2) основными уравнениями
являются уравнение состояния и уравнение притока тепла
dQ = ds + pdl (1.4)
г
где е — внутренняя энергия, a dQ— приток тепла, отнесенные к
единице массы.
С D
Если газ совершенный, то е = cvT-\-const. = — — -4-const.;
Ср Cv р
поэтому при неизменной аддитивной постоянной имеем:
> dQ = -?—d-£-. (1.5)
т —1 р?
Для равновесных адиабатических процессов dQ = 0, поэтому из
(1.5) следует (1.3).
Если соотношение (1.2) задано, то по формуле (1.5) можно
определить приток тепла.
Используем теперь динамические уравнения движения идеальной
жидкости Эйлера.
Проекция уравнений Эйлера на касательную к линии тока дает:
или
р
dp
¥—/
Р(ЛФ) '
р*
(1.66)
1) Совершенный газ определяется как газ, для которого верно
уравнение Клапейрона и теплоемкости ср и cv не зависят от температуры.
302
66ЩАЙ ТЕОРИЙ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕЙИЙ ГАЗА
(гл.
Vm
где \> — величина скорости, /?*—давление, соответствующее нулевой
скорости, причем р* может зависеть от <]>. Уравнение (1.6) пред,
ставляет собой интеграл Бернулли.
Вид функции р (/?, ф), а следовательно, и функции & (/?, ^) тесно
связан с уравнением состояния, со свойствами внутренней энергии
с притоком тепла и с исходными значениями определяющих пара!
метров.
Проекция уравнения Эйлера на нормаль к линии тока дает:
dv ди\ l_ dp
Из (1.1) следует, что dn
дх
Ро#
ду,
р дп
(1.7)
Р*
Дифференцируя интеграл Вер.
нулли по нормали к линии тока (при s — const.), получим:
р
д b*(s,n)_ 1 dp d_ f dp _ 1 dp , а ЬЧР><а
d Г dp 1 d/? |
J ofn. tbl T /Jib I
^ J Р(Р.Ф)
P дф
d6
2
Пользуясь этим, из (1.7) для удвоенной величины
установившемся движении газа найдем:
dv ди р д Ъ2(/?, ф)
. дх
вихря в плоском
(18)
ду ро дф 2
Если функции /(/?, <Ю и р0(ф) известны, то уравнения (1.1),
(1.2), (1.6) и (1.8) образуют полную систему уравнений.
Возьмем в качестве независимых переменных функцию тока ф и
давление р. Для преобразования к новым переменным воспользуемся
следующими формулами, вытекающими из известных свойств
определителей Якоби:
д6_
дх'
аф
ду
dv
дх
ди_
ду
дф
дх
О
ii
дх
1
ду
дх
О
д^
ду
1
дф_
ду
О
dv_
ду
1
d(*'A &
~ \х,у) — А ч~ ~"Д~ >
d(*>x)
\х,у) Д
дх
~5р
\х,у)
°а
Ё1
дх
1
ду
О
где
Hit)
a ji ОБЩИЕ ^РАВЙЕЙИЙ ДВИ&ЕЙИЙ С>кИЛ4АЕ^ОЙ СРЕДЫ 303
ПоДставляя эти выРажения в уравнения (1.1) и (К8), получим:
fl = _JL„A, |V=_2.^ (1.9)
dp po dp po
\dv dy_ dv_dy_ i j)u_ dx^ ^_^£l P д !Q*(p,ty) /, lfw
'{Ц dp dp db » <ty dp dp db J— p0 d<|> 2 ' ^ '
И
1
T
На основании (1.9) уравнение (1.10) приобретает простой вид:
dv dy ,du_ a£==0 fl n)
dp dt{i dp d<b v' ^mLi)
Уравнения (1.9) и (1.11) преобразуем к еще более простой
форме. Из уравнений (1.9) получим:
•£ — £-•• 0.14
"$—$-■?• <113>
Первое уравнение очевидно непосредственно, второе получается
приравниванием нулю определителя однородной системы уравнений (1.9)
относительно производных — и -гр.
Разрешая уравнения (1.11) и (1.13) относительно -^-г и -~-,
получим:
dv
dx po T)p
d<\> р ^ аъ »
1.6) следует
^ аь _
dp
_ 1
Р "
Po dp
dp
Пользуясь этим, можно написать:
длг dv dv да /л лл\
Продифференцировав уравнение (1.12) по ф и приняв во внимание
(1.14), получим:
dv dx du dy ( d2v . d2u\ /л - ,-\
щ^-щ^=~**\°Тр*+и~^У (1ЛБ)
Определитель линейной системы уравнений (1.12) и (1.15)
относительно -jp и —^ представится в виде:
ди di/ u0 59 /t |СЧ
304
6ЁЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА [гл# .
Далее нетрудно
где 9 — угол наклона вектора скорости к оси х,
проверить следующее равенство:
d2to
vlW + ulW=*№-*W)y <1Л'7)
Учитывая (.1.16) и (1.7) и предполагая, что ^7-^:0, получим:
dp
Ро
•»_,(«)■
дР
cost
dj;
dp
Per
d2b /
iiv
dp J
sin 6. (1.18)
_d8 wev' dp- ™ d±
Введем комплексное переменное z = x-\-iy. Для определения
функции z(p, <j>) соотношения (1.14) и (1.18) можно написать в форме
d+
Условие интегрируемости уравнений (1.19) дает только одно
действительное соотношение:
to dp dp d<j/
/ d6 \2 d*b "]
*UW dp° '
d^
(1.20)
которое в раскрытой форме имеет вид:
[d2to u/deV4 d?6 . d6 dfl d26 u^e\2 &Ъ .
[dp2 VdpyJ d62"+"^Pdp d<i> dpd<i> Vd<!>/ dp2 "+"
, jto d6 / d6y
«" d<b d6 (dp>) "
d^b d6
dp2du d<b
.2 *»*(*•)'-*
dp dp \dfy )
Если функция to(p, ф) известна, то соотношение (1.20)
представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных
второго порядка для функции 6 (р, ф), линейное относительно
вторых производных и нелинейное относительно первых производив!
Для всякого решения 0(р, $) уравнения (1.20) функция г(р, $)
определяется с помощью квадратуры из уравнений (1.19), которые
равносильны дифференциальному соотношению
При известной функции *>(р, ^) уравнения (1.20) и (1.21) предст#
вляют собой полную систему уравнений плоскопараллельного устанО?
вившегося движения идеальной сжимаемой жидкости.
dz = р0е
4Ь
(1.2Й
§2J
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 8 (/?, ty
305
п,«, i^-<0 уравнение (1.20) для 0(р, ф) имеет эллиптический
При ^
„„„ i^£->0— гиперболический,
тип, при ^2 ^ ^
На основании уравнения Бернулли (1.6) для -^— и для -^ можно
написать:
i5.
dp
d2t>
ръ ' а^2 р2ъ
w U2 J
M2~l
P2t>3
(1.22)
е а2^(-~\ , величина я равна скорости звука для процесса,
определяемого связью (1.2), а через М обозначено отношение
скорости газа к скорости звука — = М.
Уравнение (1.20) имеет эллиптический тип для дозвуковых
движений и гиперболический для сверхзвуковых. <
d2t>
Равенства-^-у = 0 и М = 1 равносильны.
§ 2. Задача Коши для определения функции 8 (р, ф) и некоторые
общие закономерности
При сверхзвуковых скоростях уравнение (1.20) для 6 (/?,<}>) имеет
гиперболический тип. В этом случае важное значение имеет задача
определения функции 8 (р, ф),
когда в плоскости потока х, у у\
на некоторой линии L заданы
значения р, р, \> и Ь. '
Такая задача возникает при
определении потока за
фронтом ударной волны, когда
движение газа перед ударной
волной и форма ударной волны
заданы. Если газ
совершенный, то значения
характеристик движения за фронтом
скачка можно определить с
помощью формул (6.1) и (6.2).
Если линия L совпадает с
линией тока, то, решая урав-
нение (1.20) с данными Коши
н* £, можно определить
движение газа в трубке тока (сопло), содержащей линию L. Такую
тРубку тока, в которой осуществляется переход через скорость
Звука, можно рассматривать как сопло Лаваля.
Фиг. 8.1. К задаче Коши для определения
функции в (р, ф).
20 Зак. 1631. Л. И. Седов.
Збё ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА |>л
* щ
Возьмем в произвольной точке потока два любые взаимно пеь
пендикулярные элемента dz^ = dse*V и dz2 = dn • ie*V (ds > 0, dn ч q\
(фиг. 8.1). '
Из (1.21) следует:
Ро — L дР ^ dPi W ds ^и\др) др»-\1ы=*
— [ dp lvdp\dbdn ll*\dp) dpi\-fi;-
Сравнивая действительные и мнимые части, получим:
причем
d8 db _дв_ &о_ dU __ д^ d£
dp dn db dp ds dp2 dn
dQ dp . ^6 db __ a?6
dp dn ' d*l> dn dn
(2Л)
dp ds "» д<Ь dp */я — dp2 ^ » J
причем } (2.2)
ae dp . ae <*ь _ are
Соотношения (2.1) и (2.2) 'переходят друг в друга при замене
производных по направлению 5 через производные по
направлению п.
Пусть L—некоторая произвольная кривая, на которой известны
величины р, /?, i) и 0 в функции длины дуги s. Наклон касательной
к линии L обозначим через j3. Очевидно, что в точках линии L верны
равенства
! = -i»sin(e-p)( fn=j-obcos(?-b). (2.3)
Если линия L отлична от линии тока, то в качестве параметра
на L можно взять функцию тока ^; зависимость длины дуги от ty
можно получить с помощью первого из равенств (2.3).
В общем случае на кривой L можно определить частные произ-
водные -^- , -^т- из системы уравнений (2.2), если детерминант
системы отличен от нуля, т. е.
db_ d<b db dp d<b
ds ds dp ds dn "^ *
В этом случае, разрешая систему уравнений (2.2), получим:
db db db d^b dp db
d6 dp ds dn dp2 ds ds /o 4)
~df ~~ ^_^^^_dP d^
ds dsk dp ds dn
§21
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 8 (/?, ф)
\ds) др*\ ds)
дЬ
dft db db dp db
ds ds dp ds dn
307
(2.5)
С помощью формул (2.4) и (2.5), основного уравнения (1.20) и
й3 соотношений
д26
026
d$) = Wd* + WWdp9 d(w)^^d* + Wdp (2'6)
можно определить в точках линии L все вторые частные
производные от 6 по р и ф. С помощью соотношений, которые получаются
при дифференцировании вдоль L формул (2.4) и (2.5) и при
дифференцировании по р и ф уравнения (1.20), можно вычислить
в точках линии L частные производные от 8 по р и ф любого
порядка.
Располагая этими производными, в некоторых случаях можно
строить решения уравнения (1.20) известными способами1) с
помощью рядов вида:
9 = 2 ат,п (Р—РооГ№—W,
в = S/» (Ф) га»—яо (Ф)Г.
(2.7)
где
^(/,)=^ЫФ=
причем функции /?—/?0(ф) и ф = ф0(/?) определяют линию L
в плоскости /?, ф, а /?00 и ф^— значения р и ф в некоторой точке
линии L.
Этим алгорифмом теоретически можно строить решение задачи
°б определении движения газа за фронтом скачка, если форма
скачка и движение газа за скачком известны (см. §§ 4 и 5
настоящей главы).
*) См. Г у р с а, Курс математического анализа, т. III.
20*
308 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА fr
' V||,
Если линия L — линия тока, то этим путем получается
расчета сопла Лараля; форму границ трубки тока — стенки г**0*
можно получить в зависимости от распределения плотности М^
давления по линии тока L. Величина скорости определяется с И
мощью интеграла Бернулли. п°ч
В случае, когда L — линия тока ф = const., равенства (2.4), (2^
приобретают более простую форму: ' ' *
dp ~~ dp Ddp • дф Ро др^ ds ^ DO dp » (2.8)
К —— Ac- —j—
ds . </s
где R—радиус кривизны линии L.
В случае симметричного сопла удобно взять за линию L прямо,
линейную линию тока, совпадающую с осью симметрии. Направляя
ось х по этой прямой линии тока, получим:
_ = 0 (* = 0.1,2,...), — =_р0—-£. {2.9)
Дальнейшие существенные упрощения в уравнении (1.20) полу-
чатся, если принять, что имеет место баротропия, т. е., /?=/(р), и
что в формуле, Бернулли (1.2) постоянная р* не зависит от функции
тока ф. Отсюда b = F(p).
В этом случае, если функция p(s) аналитическая, то для 0 (р, <|>)
верно разложение
^«-(JtU+i($U+i($)(.,f+-M
Последовательным дифференцированием из уравнения (1.20) легко
вычислить все производные при п ^ 2. При л четных эти произ-
д<\>п
водные обращаются в нуль, для п нечетных верна рекуррентная
формула:
4 «i = i
— 2*
«-w-2 [дь дрд^) др дрдЪм dbn~m-* \д<1>) I
2
л—з
уч <г-»д <г / day5 ,01l1
~»2^»-*^^^(^h (2Л1)
*) Для обратимого фиксированного термодинамического процесса плот-
и ость определенным образом связана с давлением.
dp
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 8 (/?, ty) 309
„==3,5,7, ...; т= 1,3,5, ..., л — 2; £ = 2,4,6, .... /г —3;
биномиальные коэффициенты: я„ 0 = ,, F*—— . При
^,tf *,(г ЯЧР — ЯУ
^3 имеем:
На линии перехода через скорость звука (М = 1) верно равен-
др* и*
Отсюда следует, что на оси симметрии в точке М = 1 имеем:
$ = <>• (213)
Если -~ф0, то из (2.9) и (2.12) следует, что в точке М=-1
производная
W — 2Po» ^ц s - 2р0> Ы Ш (2Л4)
отлична от нуля. В этом случае ряд (2.10) начинается с членов
порядка ф3.
Поэтому на линии перехода вблизи оси симметрии верно
разложение вида *):
1 ' i 2
-ф =/(& Т) = я^Т + а2Ъ~з + ,%9 + • • • • (2Л5>
где aft — некоторые постоянные коэффициенты, причем а1ф0. Если
W*«o. m=i = 0, Т0 необходимо> чтобы (ё)Мв1 = 0- Очевидно,
что обратное предложение также верно.
Если при р^/?кр (ркр соответствует М = 1)
g = a(/7-/>Bp)~+..., (2.16)
гДе 6 > 1, то на оси симметрии вблизи точки перехода Ar = 0 верно
Разложение
Р —Ркр = *!*■+ V И + • • •
*) На эту особенность для зависимости d< (в) на линии перехода обратил
внимание Ф. И. Фраикль. (См. Ф р а н к л ь Ф. И., К теории сопел Лаваля. Изв.
АН СССР, сер. математ., т. IX, № 5, 945.)
310 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА ГГл
В этом случае наряду с равенством — = 0 из (2.14) получим раве
ство абз = °-
Предположим, что при p=pKV производная ^ может быть пред.
ставлена в виде:
■jr-sz=zc(p—/7кр) ~f-члены более высокого порядка.
Очевидно, что при адиабатическом законе это предположение
выполняется.
На основании формулы (2,9) на оси сопла вблизи точки р=рк
получим: v
др* дФ
(р-рщУ-^-\
где а — некоторое постоянное. Сравнивая (2.9) и (2.16), можно
написать:
5—1 , - 25—1
а = + 1 = .
5 ' 5
3 3
При 5 = 2 имеем ос=-^-; при 5>2 имеем а>-^-.
На основании формулы (2.12) на оси сопла вблизи точки р =ркр
получим:
dp* д<р
{р — Ржр)*—™-1':
Рассматривая рекуррентную формулу (2.11), покажем, чтоприа>*2
i
для любого нечетного п производная ^— имеет порядок:
dty
тъ~<Р-Рш*Г*-г№*
и, следовательно,
dpd<i*n кр ^вр; * д/?2д<^ ^ /кр;
В самом деле, воспользуемся методом индукции и предположим, что
указанные порядки верны, когда п принимает значения 1, 3, 5, ..., п—2.
Докажем, что для данного п порядок верен для ^—.
«я
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ в (/;, ф) 311
Определим порядок различных членов в формуле (2.11). Для
епвого члена суммы имеем:
■ttdtf» д^п-,п"2\д^) ~~ 2d г др*д'±™ д<Ьп~т-1~г д^г*1
^^р jt7Kp)lw+^~w~1--r)+^+1)H«-3/8)-1/a+3A+3/3=(p-- /?Kp)w(«-3/3)+5A.
Для второго члена
r^i^ ^^w-w-2 ^ф d/?d<|v ~~ 2d r др дфда* дф»-™-1-'- <ty дфг+1
^ (р _pBp)[» + (»-w-l-r) + (r+l)] <«-3/2) + 72+3/2 + V2 _ (р — pKp)W <«-'/,,) +Vs.
Для третьего члена
Jfdtyni dtyn-m-2\d<\>) 2j гд^рЩ^ <tyn-t»-i-r дфг-t-i
г
^(р_рвр)[*Ж*~»-1-г) + (г+1)](«-У^
И наконец, для общего члена последней суммы имеем:
~ (р _pBp)K»-*) + (* + i-*>+(r+i)] («-72)+3/3+3/а+3/2 _
= (Р—Ркр)(я+2)(а-3/з) + а/2.
(ап6\
^—J имеет указанный выше
порядок.
Последние два члена в суммах формулы (2.11) имеют более
высокий порядок, чем первые два.
3 д»0
При а = -2"» все производные чт^ имеют один и тот же порядок
малости, равный (р — /?Кр)3/з.
При а !> -о- и> следовательно, s >- 2 в точке р = ркр (М == 1)
имеем следующий результат:
для любого я >-1.
Отсюда следует, что при s > 2 на линии М — I при любых ф
верны равенства:
0 = 0, 1 = 0. (2.17)
312 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА ГГл
Из (2.17) и из соотношения (1.21) следует, что в этом слуЧа
линия М = 1 является прямой, перпендикулярной к оси симметрии i\
На этой прямой переход через скорость звука может не осущес.||
вляться, если по обе стороны рассматриваемой прямой М == 1 дав]
ление возрастает и скорость дозвуковая.
При аналитическом законе распределения давления вдоль оси сим.
метрии достаточным условием для действительного перехода от д0,
звуковой скорости к сверхзвуковой через прямую линию перехода
может служить равенство
s = 3,
что равносильно условиям:
£-•• S-* ё*° <«ч
при М = 1.
Если распределение давления вблизи прямолинейной линии
перехода через скорость звука не аналитично, то к заданному дозвуковому
течению за прямой перехода можно пристраивать различные
сверхзвуковые течения газа.
Рассмотрим теперь случай, когда линия L и данные на этой линии
таковы, что определитель системы (2.2), равный знаменателю в (2.4)
и (2.5), обращается в нуль, т. е.
^dti^^fodid^ Y2 19)
ds ds dp ds dn ' V * /
Для существования решения необходимо, чтобы числители в
формулах (2.4) и (2.5) также обращались в нуль. Это дает еще одно
независимое соотношение
В этом случае два соотношения (2.2) сведутся к одной и той же
связи между производными тг~ и Ж' которую можно взять в форме:
dp ds ~i~ d^ds~ ds' K '
!) Иным способом этот результат получен Gerthler'oM (см. ZAMM, т. 19,
№ б, декабрь 1939). Приведенный выше метод исследования в
переменных р и ф Для произвольной связи между плотностью и давлением
произведен асп. М. П. Михайловой.
21
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 0 (/?, ty)
313
Используя равенства (2.3), соотношения (2.19), (2.20) и (2.21) можно
представить в форме:
db:
,/"1 d*tt ,
У ТШар'
tg(P — 6> = :
dp
JAM*
1'
(2.22)
(2.23)
(2.24)
Линия I, на которой выполняются уравнения (2.22), (2.23) и (2.24),
называется характеристикой. Для сверхзвуковых режимов движения
/J*
Фиг. 8.2. Расположение характеристик относительно
вектора скорости.
получается два семейства характеристик. В дальнейшем мы будем
называть семейство характеристик, соответствующее верхнему знаку,
первым семейством, соответствующее нижнему знаку — вторым
семейством.
Угол а (0 < а < ~ J, определяемый соотношением tg а =
или sina=^r, называется углом Маха (фиг. 8.2). При М = 1 имеем
а = ^-, при М = оо а = 0.
314 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА ГР„
В плоскости z = x-\-iy вдоль характеристик получим из (\ <
уравнение * %Ц
*-м-[-'0±/»§]*
а = у
dp
гдеа==У if
Определим положительное направление вдоль характеристик, соот-
ветствующее росту функции тока <!>(^>0). Характеристики первого
семейства составляют с вектором скорости (линией тока) угол «
характеристики второго семейства — угол тс— а. Линия тока и харак^
теристика могут касаться только при М = оо. При М = 1 харак-
теристики перпендикулярны к линиям тока. Для конечных значений
числа М функция тока ф монотонно возрастает при перемещении
в положительном направлении вдоль характеристик. ,
Из (2.22) следует, что на характеристиках первого семейства
угол 8 убывает с ростом давления, на характеристиках второго
семейства угол 6 возрастает вместе с ростом давления.
Если величина скорости Ъ зависит только от давления, то
соотношение (2.22) интегрируется, после чего найдем, что в плоскости р, G
или &, 0 уравнений характеристик получается в конечном виде
одинаковым для всевозможных плоских установившихся движений газа.
Как ^известно, при изоэнтропических движениях совершенного газа
*в плоскости и, v характеристики образуют два семейства эпициклоид
между кругами для критической и максимальной скорости.
Из уравнения (1.20) и из соотношений (2.6) получим, что вдоль
характеристик для производных -т-( jpj и j-[^-j выполняется
уравнение ^ V Р \ Ру
/д6\ /д0\
vdp-*-V дрЦ dp vd<\> dp ■
fdbKdp) др*д<\> дрдрдй* Vm y
Данных Коши на характеристике недостаточно для построения
определенного решения. Уравнения (2.22)—(2.26) можно положить
в основу численных и графических решений краевых задач «методом
характеристик» *).
!) См. Ко чин Н. Е., Кибель И. А. и Розе Н. В., Теоретическая
гидромеханика, ч. II. Москва, Гостехиздат, 1948.
,31
ЗАДАЧА КОШИ. ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 0 (/?, ф)
315
Поиложим еще уравнения (2.1) и (2.2) к линиям одинаковых
онов скорости 0 = const, и к линиям равных давлений р =5 const.
йаКПусть i —линия Q = const. Из (2.4), (2.5) и (2.2) после исклю-
dp
Чения fn получим:
У\
др
d*bd<\>
dp* ds
d2bflfo
дЬ _ dp2 ds
dty db_ cty
dp dn
\ (2.27)
Ц dp dp ds
[{dp) dp*\dn~
L
в>в' *Г
/Js^-
tY
0
$<$'
►
, djb d^cty
"•" dp2 дф tfa '
(2.28)
Фиг. 8.З. При движении вдоль кривой
6 = 6' = const., когда область 0 < 6'
остается справа, давление возрастает
монотонно.
Подставляя в левую часть (2.28) производные тт и т- из (2.27),
учитывая, что
db
dp
d4 M2—1
dp2 p2b3
(см. (1.'2) и (1.22)) и что.
*fe = —£.*sin(e-p), $t =
Po
bcos(6— p),
получим:
ф U/J Гц/^? ——1
j 1 — M2 sin2 (ft — 6) л rf0
d2bl d6
dn
1 —M2
(2.29)
Очевидно, что выбор направления нормали к Z, фиксирует
направление роста дуги 5. Направим нормаль п в сторону роста угла 6
при переходе через линию L. Из уравнения (2.29) очевидно, что для
Дозвуковых режимов М < 1 -£■ > 0. Следовательно, при перемещении
вдоль линии 0 = 6'^= const., когда область 8<6' остается справа,
Давление возрастает монотонно (фиг. 8.3).
316
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
[гл.
vm
Из физического условия об однозначности давлений следует,
в области дозвукового потока линии 6 = const, не могут быть ^
мкнутыми. Отсюда следует, что внутри дозвукового потока угол наклон"
скорости не может принимать максимумов или минимумов в изоливо*
ванных точках.
Если линия L является изобарой /? = /?' = const., то из (2 4Ъ
(2.5) и (2.П после
исклюет
db
чения -т- найдем:
дР
dp dn
ds
am
*т
ds
Щ
ds
(2.30)
*~х
Фиг. 8.4. При движении вдоль изобары
р =р' = const., когда область р>р'
остается справа, угол 0 наклона скорости к
оси х возрастает монотонно.
\др) dn* л» Д|Ь н„
dp dty'dn
_d^dbd±_dbdp
д^ dp ds~ dp*dn- ^*01'
Отсюда, так же как и в предыдущем случае, получим:
rfB \ds) [ \др) dp*±dp Lri^M2sin4S~0)l^ (2 32)
dp
Kdn) *\ds
Следовательно, для дозвуковых режимов (М < 1) при движении*
вдоль изобары /?==//, когда область р > р' остается справа, угол
наклона скорости 6 возрастает монотонно1) (фиг. 8.4).
Из аналогичного поведения давления на линиях 0 = const, мы
вывели, что внутри дозвукового потока не может быть
изолированных точек максимумов и минимумов для угла 8. Такое же
предположение для давления неверно. Угол 6 однозначно определяет
направление вектора скорости и раетет вдоль изобар, однако замкнутые
изобары могут существовать; вдоль этих изобар угол может получить
приращения, кратные 2тг.
*) Другим путем аналогичные предложения получены в работе:
Никольского А. А. и Таганова Г. И., Движение газа в местной
сверхзвуковой зоне и некоторые условия разрушения потенциального течение
Прикладная математика и механика, т. X, вып. 4, 1946.,
§21
ЗАДАЧА КОЩИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ 6 (/?, ty)
317
Легко привести примеры, когда внутри дозвуковых потоков могут
Гыть точки, в которых давление имеет максимальное или
минимальное значение.
В самом деле, если поток потенциальный, величина скорости
зависит только от давления, то из уравнения Бернулли ясно, что
критической точке^ которая может располагаться внутри потока,
давление принимает максимальное значение.
Возьмем любое непрерывное установившееся вихревое движение
по концентрическим кругам. Легко видеть, что в центре кругов
давление имеет минимум. Это следует непосредственно из проекции
уравнения Эйлера на направление радиуса г. так как
г р dr' r г ^ '
то давление растет при удалении от центра.
Из (2.32) очевидно, что условие монотонного роста угла 0 при
потенциальном движении сохраняется на линии перехода от дозвуковой
скорости к сверхзвуковой.
Если при отсутствии вихрей во всех точках линии перехода £) — 6 = у
<*Р
db
и производная-^- конечна, то — = 0; поэтому 6 = const, и (3 = const.,
ds
*Р.
т. е. линия перехода является прямой. Если -^- = оо, то ускорения на
линии перехода бесконечны. Если при этом р — 6 —~с> > то производная
-г может отличаться от нуля. В этом случае линия перехода является
особой предельной линией. Например, так обстоит дело в случае
стока и источника в газе.
Фиг. 8.5. Форма линии перехода и направление критических скоростей
в трубке тока (сопло Лаваля).
Из монотонности изменения угла следует, что в случае
симметричной трубки тока (симметричное сопло) линия перехода симметрична
и подходит к линиям тока в точках, расположенных по потоку позади
точки, в которой линия тока имеет касательную, параллельную оси
трубки тока (фиг. 8.5).
ч
318 ОБЩАЙ ТЕОРИЙ УСТАНОВИВШИХСЙ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА fpj,
§ 3. Обобщенные движения Прандтля-Майера
При выводе уравнений (1.20) и (1.21) использовано существен
ное предположение, что тг^О. Если ^--==з0, то получается движе-
ние жидкости, при котором угол 6 зависит только от давления. Такие
движения в случае изоэнтропических движений совершенного газа
представляют собой хорошо известные, важные для многих
приложений, движения Прандтля-Майера.
В принятой вуше общей постановке задачи из уравнений (1.12)
и (1.15) при ^т=0 вытекает, что для существования решения должно
удовлетворяться равенство:
Отсюда следует, что рассматриваемые движения газа возможны
d2to
только при сверхзвуковых режимах, когда j~2> 0 и М > 1, причем
функция to (p, <{0 должна иметь следующий вид:
»=/, (р) Л OW+Л (/>) Л (40. (3-2)
а функции ft(p) и /2(р) должны удовлетворять соотношению
/i —Л'
так как соотношение (3.1) можно рассматривать как линейное
дифференциальное уравнение относительно величины скорости to.
Из первого из равенств (1.19) и из (3.1) получим формулу для
вычисления z(p, ф):
^-'^'''-И^'Р-'!]- <3'3)
Здесь правая часть на основании (3.1)- является известной функцией
от р и ф.
Из (3.1), (3.3) и из (2.20) следует, что в плоскости z линии
/? = const., совпадающие с линиями 6 = const., являются
характеристиками. Из (3.3) очевидно, что если величина to не зависит от ф,
то в плоскости z линии в = const, суть прямые.
В рассматриваемом случае уравнение (1.12) совпадает с
уравнением (1.15). Уравнение (1.12) равносильно следующей формуле для
производной ^ :
Ц = Ф(я,40*« (3.4)
rt1 ОБОБЩЕННЫЕ ДВИЖЕНИЙ ПРАНДТЛЙ-МаЙЕРА 319
ф. некоторая вещественная функция. Сравнивая (3.3) и (3.4)
ГДучитывая соотношение (3.1), получим, что функция Ф (/?, й) должна
Иметь вид:
Ф
*=—«о) *-*9 a? о>**в) ^+«(р) =
Фо
где действительная функция ш(р) может быть произвольной.
Таким образом, если величина скорости to (/?, ф) определена
формулой (3.2), то существуют точные решения, для которых Ь (р)
определяется из (3.1), а для г(р, <У) верна формула вида
Ф
г = _ *о f ^ (»'") ^ + J ш (Р) ^ *• (3'6)
Фо
В соответствии со знаком плюс или минус перед корнем в (3.2)
получаются два семейства решений, зависящих от произвольной
функции. Семейство линий р = const, совпадет с одним либо с другим
семейством характеристик. Если о> = 0, то при ф == % имеем г = const.
для всех р. Все характеристики одного семейства проходят через
одну точку. Если to = /(/?) /^(ф), то в этом случае все линии тока
подобны с центром подобия в точке пересечения характеристик.
Для изоэнтропических движений совершенного газа эти решения
определяются следующими формулами. Имеем:
Мр.Ф) = »„„(Ф)[1- (£)" ]2' (3.7)
Где ^тах — скорость, соответствующая состоянию /; = 0. Согласно
(3.2) величина tomax может зависеть от ф. Давление торможения р*
постоянно в потоке.
Из (3.1) и (3.7) после интегрирования найдем:
320 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА Гг» ,
1 '• Vli,
Из (3.6) в рассматриваемом случае имеем
+ j<*(p)e**<*)dp. (3.9)
Распоряжаясь функцией о>(р), можно построить обобщенное тече-
ние Прандтля-Майера с произвольной линией тока.
Этим путем в некоторых случаях можно строить обтекание
профилей (заданных линий тока) при сверхзвуковых скоростях.
Пусть на заданной линии тока ty = ^0 и уравнение этой линии
в комплексной форме имеет вид
те за параметр взят наклон касательной к оси х, равный 8. Заменяя
6 через /?, по формуле (3.8) найдем:
z = F(b(p)) = F(p). (ЗЛО)
Сравнивая (3.9) и (3.10), при ф = ^0 получим:
z = F(p) = f <»(р) *« dp
или
I
dz
Очевидно, что аргумент F\p) — -г- равен 0, поэтому <*)(/?) действи-
тельно и может быть определено формулой
•GO-J. (*»>
где 5 — длина дуги вдоль линии тока. Направление роста s
совпадает с направлением скорости газа.
Осложнение возникает в тех случаях, когда линии р = const.,
построенные в плоскости г, пересекаются или касаются друг друга.
Это указывает на физическую невозможность подобных течений
в соответствующей области и на возникновение сильных разрывов
в потоке идеального газа.
Если to =f(p) F(ty)9 то из (3.6) очевидно, что семейство линий
/; = const, есть семейство прямых линий; р — параметр, выделяющий
прямую; 6 — координата точки на прямой. Найдем огибающую этого
л а\ Обобщенные движений прандтля-майеРа 321
иейства. После дифференцирования (3.6) по параметру р получим:
- *d j£i If (Р) **] J F (ф) rf* + • (Р) ^ - О
или ф
ft>(/^. + 2/'S)J''(«^4-Cp)-0i (3.12)
так как согласно (3.5)
Каждому значению р на огибающей соответствует некоторое
значение ф, которое можно определить из (3.12) в функции от р.
Подставляя полученное выражение для интеграла из (3.12) в
формулу (3.6) и используя (3.1), найдем, что уравнение огибающей можно
написать в форме:
dp ue > ds _ К dp dp) e ds_
где z* (p) = Г ш (p) гй dp= \ ei% ds —комплексная координата на
ds
линии тока ф = фо- ^сли /7(ф)в=1, то / = Ь. Если о>(/?) = ^-=0э
то огибающая вырождается в точку. Нетрудно убедиться, что в
случае движения совершенного газа знаменатель в формуле (3.13) и про-
d f х
изводная -г-In/ положительны.
Если прямые р = const. — характеристики первого семейства, то
j->0; при убывании 6 давление также убывает (фиг. 8.6).
Если прямые р = const.—характеристики второго семейства, то
j-j < 0; при убывании 6 давление возрастает (фиг. 8.7).
В сверхзвуковом потоке возмущения вызываемые искривлением
линии тока могут распространяться только вниз по потоку, поэтому
на фиг. 8.6 движение имеет физический смысл только вверху, над
линией тока. Это движение физически допустимо и непрерывно. Вверху,
над выпуклой частью кривой возникает движение разряжения.
Движение, обусловленное искривлением линии тока и
изображенное на фиг. 8.7, физически допустимо только в нижней части. В этом
случае около вогнутой кривой линии тока получается течение
сжатия. Огибающая линии /7 = const, расположена тоже в нижней части,
поэтому это движение не может существовать. Непрерывное движе*
21 Зак. 1631. Л. И. Седов.
ш
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА (Гл
Щ
ние разрушается, в потоке возникает ударная волна. Очевидно
если — > О, то соответствующие течения получатся из описанны
течений зеркальным отражением относительно оси х.
Выше мы рассмотрели вопрос о построении обобщенного двинсе-
ния Прандтля-Майера с заданной линией тока. Теперь мы покажем*
Фиг. 8.6. Характеристики первого семейства —
прямые. Вдоль линии тока L давление падает.
Возмущения распространяются по потоку в
верхней части.
что произвольное заданное движение газа можно сочетать непрерывно
с течением Прандтля-Майера вдоль любой характеристики для
заданного движения. Очевидно, что для решения этой задачи условие (3.2)
для Ь(/?, ф) является необходимым.
Пусть задано некоторое произвольное сверхзвуковое движение
сжимаемой среды и пусть С—характеристика этого движения.
Построим обобщенное движение Прандтля-Майера, которое примыкает
непрерывно к заданному движению, так что вдоль характеристики С
величины ф, р, р, Ь, 6 и z в обоих течениях одинаковы.
На характеристике С задана функция ty(p); поэтому на С в обоих
течениях величина b одинаковая; на основании (2.22) и (3.1) очевидно,
что для обоих течений функции 6 (/?) вдоль С одинаковы.
Отсюда следует, что для непрерывного перехода заданного
течения в обобщенное течение Прандтля-Майера достаточно, чтобы на С
в обоих течениях производная -ту имела одинаковое значение; этому
условию можно удовлетворить выбором функции а>(/?).
*«
ОБОБЩЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЙРАНДТЛЯ-МАЙЕРА
323
Согласно (2.22) и (2.25) для заданного движения вдоль
характеристики С имеем:
г другой стороны, из (3.6) получим:
(3.14)
£—ь[& M+Jfcowwffi+'Wfy.. (з.15)
Приравнивая вдоль С производные из (3.14) и (3.15) и учитывая (3.3)
найдем:
(3.16)
Подставляя полученное
выражение для ш(р) в (3.6),
получим функцию z (р, ф). Этим
обобщенное движение
полностью определится.
Следовательно, при
наличии условия (3.2) любое
течение можно продолжить
непрерывно через
характеристику С в соответствующее
обобщенное течение Прандтля-
Майера.
Обобщенное течение Пранд-
тля-Майера можно
продолжить непрерывно через линию
в = const., совпадающую с
линией р = const., в
прямолинейное, но, в общем
случае, вихревое движение (линии
тока — параллельные прямые
ice*1
ta9a*«Om
Фиг. 8.7. Характеристики второго
семейства — прямые. Вдоль линии тока
давление возрастает. Возмущения
распространяются по потоку в нижней части.
линии). • Если в соотношение (3.2) функция тока ^ не входит, то
продолженное таким образом движение будет поступательным.
Следовательно, с помощью описанного выше построения любое движение
21*
324 bsiitAri fEdPHri УстАнбвившихСй движений га£а \тл
при наличии условия (3.2) можно перевести в прямолинейное, а п
отсутствии вихрей — в поступательное. Для физической допустимо **И
построенного потока должны удовлетворяться условия однозначное
для параметров, характеризующих движение. Ти
§ 4. Условия на сильных разрывах
Если в движущейся сжимаемой среде, в газе возникают тонкие
слои, в которых происходит резкое изменение основных характера,
стик движения: плотности, давления, скорости, температуры, хими-
ческого состава и т. п., то в этих областях приобретает существен-
ное значение ряд свойств материальной Среды, влиянием которых
иногда можно пренебречь при изучении движения основной массы
жидкости. В частности, в областях больших градиентов скорости
существенна вязкость; если велики градиенты температуры, jo
существенна теплопроводность и т. п. В некоторых случаях (например, при
быстрых химических реакциях) становится существенным ряд
процессов, вызывающих много принципиальных трудностей, вообще, для
математического описания.
Обычная схематизация, например допущение об идеальности
жидкости— газа, в ряде случаев связана с отсутствием непрерывных
решений многих основных и важнейших задач, так как требование
непрерывности приводит к неоднозначности физических характеристик,
что физически невозможно.
Оставаясь в рамках схемы идеальной жидкости — газа, для
избежания таких затруднений необходимо вводить в рассмотрение
решения, при которых в потоке возникают и присутствуют
скачки,—решения с разрывами.
С другой стороны даже в тех случаях, когда непрерывное решение
существует, иногда есть смысл вводить в рассмотрение движения с
разрывами для упрощения постановки и фактического разрешения задач.
Ниже мы рассмотрим Движения, в которых при переходе через
некоторые изолированные поверхности основные характеристики
движения— скорость, плотность, давление, физические и химические
характеристики — могут терпеть разрыв. Из общих физических
уравнений следует, что в этом случае характеристики движения материальной
среды до разрыва и после разрыва не могут быть произвольными»
Выведем соотношения, которыми связаны значения характеристик
состояния частиц на разных сторонах поверхности разрыва. Для этого
будем исходить из общих уравнений механики в интегральной форме*
1°. Уравнение сохранения массы
£fpdx = 0, (4.1)
где V* — некоторый объем, составленный из одних и тех же частйй
жидкости.
., УСЛОВИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ 325
2°. Уравнение импульсов
^fpurfx- j pndo. (4.2)
V* 8
здесь рп — вектор напряжения, 5—подвижная поверхность,
огранивающая объем V*. Уравнение (4.2) написано в предположении, что
вНешние массовые силы отсутствуют.
3°. Уравнение энергии
^[p(| + 8)rfx= f (,„»)& + fxg-Л. (4.3)
7* S 8
Здесь s — внутренняя энергия, отнесенная к единице массы. Для
термодинамически равновесных движений однородной изотропной
среды е зависит от плотности р, температуры Г и от
физико-химических параметров среды. В правой части уравнения (4.3) учтен
приток тепла извне только за счет теплопроводности: х — коэффициент
теплопроводности; производная ^- взята по внешней нормали
к объему V*.
Уравнения (4.1), (4.2) и (4.3) можно применять к
произвольным объемам V"*, в частности и в том случае, когда внутри V*
присутствует поверхность разрыва 2-
Наряду с подвижным объемом V* введем подвижный объем V,
совпадающий в рассматриваемый момент времени с объемом V*, но
движущийся с нормальной скоростью Dn на границе 5. Скорость Dn
вообще не равна ton. Нетрудно усмотреть, что для любой функции
А (я, у, г, t) имеет место следующее равенство:
^ [лЛ-|- f Adz± J A(Dn-*n)da. (4.4)
У У* 8
Пусть 2— изолированная поверхность разрыва; проведем в каждой
точке 2 нормаль и отложим по нормали по обе стороны от 2 от-
h
резки длиною у, где h — весьма малое постоянное число.
Совокупность таких отрезков, проведенных из всех точек некоторого
конечного участка поверхности 2> образует объем Vl% движущийся
вместе с поверхностью 2 (фиг. 8.8) *). Если поверхность 2 неподвижна,
то и объем Vt неподвижен.
J) Мы принимаем, что внутри V* поверхность 2 гладкая; в каждой
точке поверхности 2 можно провестц толькр одну определенную касатель-
йУк> плоскость,
326
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
[гл.
Vlli
Для любой характеристики движения А, имеющей разрыв на *
можно написать: *>
'=JtHAd'—hIt$A*d°' (4.5)
где Л*—среднее значение А на соответствующем отрезке.
т Если поверхность 2 неподвижна
величина А не зависит явно от времени
то / = 0. Вообще, если движение уста!
новившееся и Vt — любой * неподвижный
объем, то /=0. При неустановившемся
движении, если величина А непрерывна
вместе со своими производными по
координатам и по времени с обеих сторон
от 2> то величина / есть непрерывная
функция от ty исчезающая при А, стре*
мящемся к нулю.
Будем обозначать характеристики
движения на одной стороне поверхности
разрыва 2 с индексом 1, на другой—с
индексом 2. Установим положительное
направление нормали к £,
соответствующее переходу со стороны 2 на сторону /.
Нормальную составляющую скорости
перемещения поверхности. Е обозначим
через D (фиг. 8.8).
Переходя к пределу при й-*0, на основании равенства (4.4)
получим:
lim I f Adz= j{A^D-b^-A^D — ^)} <fo. (4.6)
Участок поверхности 2 может быть произвольным. Полагая
последовательно А равным р, рИ и р (—-{-ej, из (4.1), (4.2) и (4.3)
получим, что в каждой точке поверхности 2 должны
удовлетворяться следующие равенства:
Фиг. 8.8. Схема
изолированной поверхности разрыва 2.
Pi (Л— »ш) = й(Я-»яй).
(4.7)
(4.8)
РА Ф — Кг) + Рт = Р2»2 Ф — Кч) +Рп2э
I 41
УСЛОВИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ
327
представляющие собой динамические соотношения, которые
связывают значения разрывов характеристик движения на различных
т0ронах поверхности Е. Эти соотношения верны для скачков в
произвольных материальных средах с возможными сложными
физическими или химическими превращениями при переходе материальных
частиц через скачок.
Учитывая принцип Галилея-Ньютона и то, что ускорения не входят
явно в (4.7), (4.8) и (4.9), легко видеть, что при составлении этих
условий в качестве системы координат, относительно которой
Определяется движение материальной среды, можно взять любую
произвольным образом движущуюся систему координат. В частности,
можно взять систему координат, движущуюся вместе с
рассматриваемым элементом поверхности £, В этой системе D = 0. Такой способ
естествен и удобен при рассмотрении установившихся движений.
Можно взять систему координат, для которой ьг = 0; при
выборе такой системы отсчета жидкость на стороне / в
рассматриваемой точке поверхности £ неподвижна.
Легко видеть, что при установившихся непрерывных
прямолинейных движениях с плоскими волнами равенства (4.7), (4.8) и (4.9)
связывают характеристики на границах слоя любой толщины, если
отсутствуют работа сил напряжения й приток тепла на боковой
части цилиндрического слоя.
Если fcwi=fcW2==D, T0 жидкость не переходит с одной стороны
поверхности £ на другую сторону. В этом случае возможен
произвольный разрыв касательной к 2 составляющей скорости частиц
жидкости и произвольный разрыв плотности pt=£p2; кроме этого,
из (4.8) и (4.9) получим:
Рт=Рт==Рп> ' (Р»*1 — »2) + х1Ж + У2ё=0- (4Л0)
Для идеальной жидкости условия (4.10) сводятся к непрерывности
давления и потока тепла сквозь скачок.
Далее мы рассмотрим подробно случай, когда tow2 — &ш Ф О-
Нетрудно убедиться, что разность \>п2 — Ьп1 не зависит от выбора
системы отсчета и от способа нумерации разных сторон Е. В самом
деле, перемена нумерации меняет направление нормали, переставляет
нормальные составляющие скорости и меняет их знаки.
Если Ьп2ф\>пи то частицы жидкости переходят с одной стороны
поверхности 2 на другую, изменяя свои характеристики состояния
и движения скачком.
Установим нумерацию сторон поверхности Е таким образом,
чтобы жидкость переходила через Е со стороны 1 на сторону 2.
Если мы воспользуемся системой отсчета, в которой vt = 0, то
очевидно, что в такой системе координат D > 0. При этом способе
рассмотрения получим, что поверхность £ распространяется в
покоящейся жидкости, отмеченной индексом X,
328 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА Ггп
1ГЛ- Щ
Очевидно, что если Ь„2— Ьл1>0, то жидкость за скачком у
набегает на покоящуюся среду и получается уплотнение; такой скач
называется скачком уплотнения. Если Ьп2 — i)wl < 0, то ск6рос°К
жидкости' за скачком направлена в сторону, обратную скорое^
распространения скачка в неподвижной среде, и в жидкости возни1
кает разрежение; такие скачки называются скачками разрежения.
Напишем теперь условия (4.7), (4.8) и (4.9) в предположении
что внутренние напряжения являются давлениями и что отсутствует
теплопроводность.
Для системы координат, движущейся с элементом скачка (Dasо
при установившемся движении для любой неподвижной системы
координат), из (4.7) имеем:
Pi*ni = P2*W (4Л1)
из (4.8):
Pl^nl +Pi = Р2^2 +/?2>
(4.12)
из (4.9) с использованием (4.11) и первого равенства из (4.12)
получим:
и2
В этих формулах bt и i)2 — скорости жидкости относительно элемента
скачка. При установившемся движении с неподвижными скачками Ъ{
и fc2 — скорости жидкости относительно неподвижной системы
координат.
Из (4.11) очевидно, что Ъп1 и Ъп2 имеют одинаковый знак. Если
воспользоваться системой координат, в которой скорость жидкости
перед скачком равна нулю и D>0, то в (4.11), (4.12) и (4.13)
надо положить: D= —Ъп1, а для нормальной составляющей к £
скорости за скачком получим: Ъп — Ъп2 — Ьл1.
Вместо плотности р для упрощения формул введем еще
удельный объем г> = — . Нетрудно проверить, что равенства (4. И),
(4.12) и (4.13) равносильны следующим:
»„2-»,u = bn = D (l-jj) = =*=V(P.-Pi) (*,-«,) (4.15)
и
eg —el = |(p2 + Pi)(^—»?)• (4.16)
УСЛОВИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ 329
§4J
ti- (4.14) очевидно, что если vt>v* т. е. р2>рх, то р2>ри и,
оборот, если p2<pj, то и p^<pv Из (4.15) яСно, что для
рачков уплотнения
*„>0, P2>Pi» Ръ>Р\\ (4.17)
для скачков разрежения
*»<0, ра < Pi» P*<Pv (4.18)
Свойства (4.17) и (4.18) имеют весьма общий характер и являются
следствиями только закона сохранения массы и уравнения количеств
движения.
Соотношение (4.16) не содержит скоростей и удобно для
изучения изменения плотности и давления для частиц, проходящих через
скачок. Скорости определяются из соотношений (4.14), если скачок
давления и плотности известен.
В общем случае внутренняя энергия е для однородной идеальной
материальной среды является функцией удельного объема v,
давления р и некоторых параметров, определяющих физические и
химические свойства среды; эти параметры могут изменяться при
переходе частиц через скачок (фронт горения, фронт детонации и т. п.).
Для совершенного газа имеем:
5 = С,Г+ео = -^_£-4-«о. • (4Л9а)
где Т—абсолютная температура, ср и cv — теплоемкости,
отнесенные к единице массы газа, е0 — постоянная, характерная для
природы газа. Бели мы имеем смесь совершенных газов, то
т
•~2ftfoo«+ f с«*Г)> (4.196)
где £* < 1 —весовая доля /-й компоненты газа в смеси (2 g*= !)•
4
При переходе через скачок величины g4 могут терпеть разрыв; для
определения этих разрывов необходимо привлечь к рассмотрению
Дополнительные физико-химические условия. Например, при
возникновении в воздухе больших температур состав воздуха
изменяется за счет диссоциации и ионизации. Расчет состава воздуха для
равновесных состояний в функции удельного объема и температуры
может быть произведен с помощью уравнений Гульдберга-Вааге,
Уравнений Сага и данных о внутренней энергии компонент.
Для жидкостей и других материальных сред при определении
8 (я, Т) можно пользоваться следующими соотношениями. Кроме
Уравнения состояния p=/(t>, Т), имеем:
$80 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА Гг»
Условие интегрируемости дает:
' (£),-'*-*
Следовательно,
d* = cvdT+[T($)v-p\dv.
Отсюда можно определить е (v, Г), если известно уравнение со
стояния р=/(г>, Г) и известен коэффициент теплоемкости при по*
стоянном объеме cv{T,г>), причем условие интегрируемости ддЯ *
дает еще одно соотношение для вычисления cv(Tyv) по уравнению
состояния, а именно:
Ф)г=Т(Ш.-
В некоторых случаях для жидкрстей вместо переменных v и Т удобно
пользоваться переменными р и Т; в этих переменных имеем:
Условие интегрируемости дает:
Следовательно,
причем условие интегрируемости дает еще:
Для ^вычисления внутренней энергии по этим формулам можно
воспользоваться опытными данными для зависимости (-~\ , (j-j , ct
от температуры и давления.
В некоторых случаях для жидкостей можно пользоваться уР*в*
нением состояния Таммана
сТ и
/> = £-=*-*>
где с, *и k — соответствующие постоянные.
§41
УСЛОВИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ
331
При установившемся движении с плоскими волнами все состоя-
движения могут перемещаться с одной и той же скоростью,
н вНОй £> = const. Очевидно, что в этом случае уравнения (4.14)
Р (4.16) применимы к любым двум сечениям, поэтому непрерывные
вижения возможны только при непрерывном изменении параметров
Химической природы или физических параметров, отличных .от
плотности и давления.
В противном случае, если ри pt и D = const, заданы, то получаются
два уравнения относительно неизвестных р2 и р2 с дискретным числом
решений.
Переход через скачок представляет собой необратимый
адиабатический процесс, для которого верно уравнение (4.16). Для
обратимого адиабатического процесса
вместо (4.16) верно уравнение
ds~\-pdv = 0. (4.20)
В пределе при v2 -» vx
соотношения (4.16) и (4.20)
совпадают, а из (4.14) получим:
»-ЙЙ
Фиг. 8.9. Геометрический смысл угла а
в формуле (4.21).
S=const.
т. е. скорость перемещения по
частицам скачка малой
интенсивности равна скорости звука. В
общем случае при 5 = const.
химические параметры также могут изменяться, и это может оказать
влияние на величину D. Для определения этих изменений необходимы
дополнительные условия.
Рассмотрим изменение энтропии, возникающее после перехода
через скачок. Имеем:
TdS = de-\-p dv.
Используя (4.16), получим:
TdS=l{vl-v)d{p-p1)-±(p-p1)d{vi-.v) =
^^^-vYd^-^^iv.-vfdiga^-^ip-
Геометрический смысл угла а ясен из фиг. 8.9. Соотношение (4.21)
верно в общем случае наличия химических превращений. Если
интенсивность скачка мала, то очевидно, что dS>0, если </tga>0.
Рассмотрим подробнее скачки, при которых внутренняя энергия
Полностью определяется давлением р и удельным объемом 1>, При
332
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА [гл.
Ч
фиксированных pvvt и переменных р2, v2 соотношение (4.16) опр^
деляет собой кривую, которая называется адиабатой Гюгонио; соот.
ношение (4.20) определяет адиабату Пуассона. Очевидно, что обе
кривые проходят через точку (pl9 vj и имеют в этой точке общу^
Фиг. 8.10. Расположение адиабат Гюгонио (кривая Г) и Пуассона (кривая П)
если внутренняя энергия определяется удельным объемом и давлением,
т(*°-)
(&v\ ^ . (dv\ (дТ\ \дТ)р
причем {W)s>°- «) при ^^ = ^jg = —^_
(«ЕЛ
>0;
«-(S)-(©.--^<«
касательную (фиг. 8.10). При ръ->рх и р2 —>Pi уравнения (4.16) и
(4.20) дают для производной -£• одно и то же значение (квадрат
скорости звука). Нетрудно проверить равенство *):
Поэтому из (4.21) получим:
г«-**-л>'©)_.*+
или
р»*1
Tvs-fa-tfffl +
(4.22)
!) В самом деле:
'*--^-Ч©„+*©*-*>]-
dp.
f-V\
. ,i условия на сильных разрывах 333
I41
аВнение адиабаты Пуассона вблизи точки (p^j) имеет вид:
УР Д5 = 0,
0ТКУДа «-«..=/(р-Л). (4.23)
На основании (4.22) уравнение адиабаты ДЪгонио имеет вид
^-1^0»-^®^+...-о,
откуда
(я — ^) = F (р —pj). (4.24)
Из (4.23) и (4.24) следует, что при малых значениях р—pt функ-_
ции / и F отличаются на малые третьего порядка; поэтому обе
кривые имеют общук* касательную и одинаковую кривизну (касание
второго порядка). В точке (р1э vx) имеем:
«О,-©.- <"5>
Если (д^)>0, то при малых р—рх возрастание давления и
возрастание энтропии на адиабате Гюгонио соответствуют друг другу.
Для совершенного газа на адиабате Пуассона имеем:
.
/д2»\
\dpVs ~
С
р*
_.1+Т с
Г' 2+1
Р *
откуда
Если (^Cj > О, т0 адиабата Пуассона представляет собой кривую,
направленную выпуклостью к осям р и v. Покажем, что в этом
случае с возрастанием давления энтропия возрастает монотонно вдоль
адиабаты Гюгонио для любых р—р1# В самом деле, из (4.21) следует:
TdS- (Р-РУ + (°*-*Г da.
На адиабате Гюгонио в точке (р*, *>*), в которой </S = 0, имеем
da = о. Это значит, что наклон прямой, проходящей через точки
(р1э vt) и (р*, v*)9 достигает экстремума, следовательно, эта прямая
касается адиабаты Гюгонио и адиабаты Пуассона (5 = const.),
проходящей через эту точку.
Для движения жидкости относительно скачка имеем:
»li — *;tga (tga>0).
334 ойщай теорий Установившихся движений гаЗа [гл. ^
Учитывая еще, что
где а — скорость звука, а £— наклон касательной к адиабате Пуас.
сона, получим:
В точках адиабаты Гюгонио, в которых dS = 0> имеем <х=г^ и
to2
поэтому —^== 1.
Можно показать, что обратное утверждение тоже верно. В самом
iet диффереш
нио Г, получим:
деле, дифференцируя соотношение tg а = р __fx вдоль адиабаты Гюго-
*'(&-<*-<-п-'-
Учитывая (4.21), имеем:
/dv\ fdv\ , /dtf\ /d£\ /diA , £/М {Cfx — iQVatgaN
'v
Пользуясь этим, получим:
1
+М$Н,-те.,а?аЬ-<-П-
ь2
Отсюда следует, что при —— ==—tga [ — J =1 имеем dtga==0,
a;
2 \ UF / S
\др)а
так как vzfzvly а выражение в квадратных скобках вообще отлично
от нуля.
Таким образом, равенства dS—0, da==0 и —^ ===== 1 равносильны
а\
между собой.
В точке (р*, х>*) первые производные от любой функции /(р, S)
вдоль адиабат Пуассона и Гюгонио совпадают. Дифференцируя
равенство (4.26) вдоль адиабаты Гюгонио, в точке (/>*, v*) получим:
ту- (а-
если
(—) >0.
и
УСЛОВИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАЙ
335
ь2 to2
Отсюда следует, что -^ > 1 при р < р* и -~ < 1 при р > р*э т. е.
ношение —2~ должно убывать при переходе вдоль адиабаты Гюгонио
2
ое3 точку р *, я* и должно быть больше единицы при р < р*.
Пусть 1\— адиабата Гюгонио с фиксированной точкой (р1э vt),
Г — адиабата Гюгонио с фиксированной точкой (р2, tf2), причем
J:p2 (фиг. 8.11). Это — различные кривые, жаждая из которых
Фиг. 8.11. Tj — адиабата Гюгонио при фиксированной точке
(Рь vi)\ Г2 — адиабата Гюгонио при фиксированной точке
(Ръ v,d* Внутренняя энергия определена полностью
давлением р и удельным объемом v.
пРоходит через точки (рх, ^) и (р2, г>2), если внутренняя энергия
изменяется только за счет плотности и давления.
В точке (р1э г^) адиабата Пуассона и адиабата Тг имеют общую
Касательную, наклоненную под углом Pj к оси v.
В точке (р2, v2) соответственно другая адиабата Пуассона и
аДиабата Г2 имеют общую касательную, наклоненную под углом р2
к оси v (фиг. 8.11).
Если i-jr-A > 0, то очевидно, что при малых р2—рх имеют место
Неравенства •
fc>*>Pi-
336 бБЩАй теорий Установившиеся движений газа ГГл
На основании этого и равенства (4.26) при малых р2—рх получи
(4-28)
.2 ь2
-™>1 -12?<1
«2
Отсюда следует, что при движении вдоль адиабаты Погони
Ъа °
с возрастанием давления р от точки (р1э z/j) отношение —^<i
а
может перейти через единицу возрастая. С другой стороны, мы
показали, что при (у^J > 0 переход отношения —— через единицу
с ростом давления возможен только при убывании, следовательно
переход через единицу при рфрх невозможен; поэтому dS ф 0 и
энтропия монотонно возрастает вдоль адиабаты Гюгонио с ростом
давления р.
Легко видеть, что расположение адиабат Гюгонио и Пуассона
имеет вид, изображенный на фиг. 8.10, а при (-£) > 0, и вид,
изображенный на фиг. 8.10, tf, если [т^) < 0. Физический смысл этих
неравенств можно уяснить из следующих соотношений, вытекающих
из второго закона термодинамики:
(dv\ _(дТ\ _ \dTJp
\ds)p~\dp)s— cp '
которые получаются как условия интегрируемости дифференциалов
d (г-\- pv) = T dS -\-v dp,
«-да,+'(!ЭД"+т[&),+'(ш*
причем необходимо учесть еще равенства
/dt\ , /dv\ /дТ\ \др)т*Р\др)т
С*~ШР+РЫР> w)s=—~тР •
Если газ совершенный, то
S = cp\n г -f- const.
i——
Р т
или
1 8—const.
£ 51 СКАЧКИ ДЕТОНАЦИИ, ФРОНТА ПЛАМЕНИ, КОНДЕНСАЦИИ И Т. П. 337
—J > 0, т. е. имеет место расположение адиабат,
указанное на фиг. 8.10, л.
Для совершенного газа уравнение адиабаты Гюгонио имеет вид
:—Г (Pv — Pivi) = \ (Р + Pi) К — <0
й представляет собой уравнение гиперболы с асимптотами
7 — 1 7 — 1
Адиабата Пуассона i- = (—M имеет асимптоты г> = 0 и р = 0.
Из второго закона термодинамики следует, что физически
допустимы только те скачки, при которых происходит рост энтропии для
частиц, проходящих через скачок. Поэтому, если при переходе через
сказок внутренняя энергия изменяется только за счет изменения
плотности и давления и если (з-^) > 0, то возможны только скачки
уплотнения, для которых верны неравенства
S2>S1, р2>ри *4<Я2, tii>al *>„ = *>w2 — Ьл1>0. (4.29)
Напомним, что частицы переходят через скачок от состояния с
индексом 1 к состоянию с индексом 2.
Норма-льнце составляющие скорости частиц жидкости до скачка —
дозвуковые, за скачком — сверхзвуковые. Скорость распространения
скачка по частицам среды / (D = — Ьп1) больше скорости звука
в этой среде и меньше скорости звука относительно частиц в среде 2,
остающейся за скачком.
Очевидно, что возмущения, возникающие в среде за скачком
уплотнения, догоняют и оказывают влияние на интенсивность скачка.
Краевые условия на границах жидкости, расположенных за
скачком, могут оказывать влияние на движение жидкости непосредственно
за скачком, на форму скачка и на его движение, но не могут
оказывать влияния на движение жидкости перед скачком.
§ 5. Скачки детонации, фронта пламени, конденсации и т. п.
Если при переходе через скачок возможно изменение внутренней
энергии и энтропии за счет каких-либо физико-химических процессов
(горение, конденсация, испарение и т. п.), то основной вывод,
заключенный в неравенствах (4.29), перестает быть верным для всех
скачков. В этих случаях при росте энтропии за счет указанных процессов
наряду со скачками уплотнения могут осуществляться также скачки
Разрежения.
22 Зак. 1631. Л. И. Седов.
338
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
Iwi.
vih
Пусть гг — внутренняя энергия среды (смеси горючих газов, пеп*
охлажденный пар и т. п.), а е2 — внутренняя энергия среды за скачко
(продукты горения, смесь капель с парами и т. п.). Обозначим через '
внутреннюю энергию видоизменений среды в состоянии pl% vv Чер^
ч Ддиайата Гюго ни о
Фиг. 8.12. Вид адиабаты Гюгонио прп выделении энергии за
счет горения или конденсации.
е2 — в состоянии /?2> v2 и чеРез q* —химическую или другую энергию,
освобождаемую при переходе через скачок.
Имеем соотношения
В этом случае уравнение (4.16) можно написать в виде
S2"
"е1=у(Р1+Р2)(^1— *«)+?*
(5.1)
При фиксированных pl9 vt уравнение (5.1) в плоскости р, #
определит соответствующую адиабату Гюгонио, которая не проходит
через точку (puv^ отвечающую состоянию среды до скачка (фиг. 8.12).
При малых q* общий вид этой адиабаты будет тот же, что обычной
адиабаты для видоизменений среды. При q* > О происходит выделение
энергии в скачке (горение, конденсация), при q* < 0 происходит
поглощение энергии в скачке (испарение при переходе через скачок)-
I«
СКАЧКИ ДЕТОНАЦИИ, ФРОНТА ПЛАМЕНИ, КОНДЕНСАЦИИ И Т. П. 339
сПоложение адиабаты Гюгонио в последнем случае показана
ria фиг. 8.13.
Очевидно, что точки дуги MN (фиг. 8.12) не имеют физического
сМысла,
так как для этих точек нет действительных значений ско-
рости Я (в Формуле (4.14) §Е§<<>).
При возрастании давления вдоль дуг 02N и МОх имеем:
da < 0, dS < 0; Ъ2п2 > с% на МОи *4 < 4 .на 02Л/, (5.2)
а при возрастании давления вдоль дуг В02 и ОгА имеем-
da > 0, dS > 0; i>*2 < я! на OjA, J& >a\ на В02. (5.3)
Очевидно, что в точках Ох и 02 имеем: da = dS = 0 и ^2 = «2,
причем энтропия 5, угол а и, следовательно, скорость D = T>1"|/4g<x
имеют минимум в точке Ох и максимум
в точке 02. В этих точках скорость
распространения скачка равна скорости
звука по частицам за скачком; таким
образом для этих режимов малые
возмущения за скачком не могут
перегонять скачок.
Возмущения, возникающие в потоке
за скачками, соответствующие точкам
дуг ОгА и В02, могут перегнать
скачок и, следовательно, будут оказывать
влияние на распространение скачка.
Режимы выше точки М отвечают
детонации и являются скачками
уплотнения. Режимы ниже точки N
соответствуют медленному горению и представляют собой скачки
разрежения.
Определенной скорости D и значению q* на адиабате Гюгонио
соответствуют две точки, D и С, для скачков уплотнения и две
точки, Е и G, для скачков разрежения (фиг. 8.12).
Легко показать, что точки D и С лежат на одной адиабате для
среды за скачком. В самом деле, имеем:
*d — ei = Т (Pi +Pd) (vi — vd) + ?*>
Вычитая из первого равенства второе, получим г):
*) Из геометрических соображений справедливость равенства (5.4) видна
непосредственно.
О О
Фиг. 8.13. Вид адиабаты Гюгонио
при поглощении энергии за
счет испарения.
22*
340
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
[гл.
vni
-что и требовалось доказать. Аналогичный вывод верен для точек Ои р
.Если (з-^J >0 для среды за скачком, то из (5.4) следует важный
вывод:
Sc>SD, SE>SG.
(5.5)
Следовательно, переход из точки D в точку С и из точки G в точку £
возможен через ударную волну. Для скорости распространения по
частицам этих ударных волн имеем:
DzC=vDVtg«<D=vtVtg«,
(5.6)
(5.7)
Рассматривая теперь величину q* как переменный параметр,
получим семейство адиабат Гюгонио (фиг. 8.14). Если скачок представляет
*? А
Фиг. 8.14. Семейство адиабат Гюгонио при различных значениях
выделяющегося тепла q.
собой плоскую волну, то ее можно заменить плоским слоем конечной
толщины, в котором движение непрерывное и установившееся
относительно границ слоя. Следовательно, каждое состояние внутри слоя
перемещается с одной и той же скоростью относительно покоящейся
жидкости перед слоем.
5]
СКАЧКИ ДЕТОНАЦИИ, ФРОНТА ПЛАМЕНИ, КОНДЕНСАЦИИ И Т. П. 341
Так как D = vx V^tga, то все возможные состояния движения
нутри слоя для фиксированного значения D расположатся на одной
Впямой, наклоненной под некоторым углом о! для скачков
уплотнения и углом а" для скачков разрежения (см. фиг. 8.14).
Если движение в слое и на его границах непрерывное, то с
возрастанием q (выделение тепла по мере сгорания и т. п.) точка,
изображающая состояние движения, будет перемещаться от точки А
к точке D для движений с уплотнением и к точке типа Е для
движения с разрежением.
Непрерывный переход из Л в С Еозможен только по отрезку ADFC.
В точке F величина q достигает максимума. При переходе от F к С
должно происходить уменьшение q — поглощение тепла. Это обычно
физически невозможно; поэтому непрерывное движение с переходом
в состояние, отвечающее точке С и аналогичное точке G, невозможно.
Движение за скачком, соответствующее точке С, может быть
получено, если в горючей взрывчатой смеси возникает обычная ударная
волна, в которой состояние А переходит скачком в состояние В,
характеризующееся большой температурой и давлением, иницирующими
химические процессы (сгорание). Эти процессы сопровождают
непрерывные движения, происходящие в слое, соответствующем отрезку £С,
в точке С заканчиваются выделением химической энергии. Таков
механизм детонации. Скорость распространения волны детонации
D = vl\^tga вообще может быть различной, однако для получения
режима, отвечающего точке С, необходимо дополнительное сжатие
продуктов горения за задним фронтом волны (например, с помощью
поршня, движущегося со скоростью &2п> соответствующей точке С).
В точке С имеем Ь„2<Я2, т. е. скорость распространения скачка
по частицам за скачком меньше скорости звука, и поэтому все
возмущения за скачком догоняют скачок; при пониженных давлениях сзади
скачок ослабляется, и поэтому скорость D падает до тех пор, пока
точка С не совпадет с точкой Ov При распространении волны
детонации со скоростью, отвечающей точке Оъ пониженные давления
за фронтом волны не могут оказать влияния на скорость
распространения детонации. Поэтому обычно на практике получается вполне
определенная скорость распространения детонации, отвечающая точке Ох.
В этом состоит правило отбора скорости детонации, указанное Жуге
как экспериментальный факт еще в 1892 г. 1).
При отсутствии возможности поглощения тепла скачок
разрежения, отвечающий точке О, может осуществиться только при наличии
предварительного скачка разрежения в точке Н, что по доказанному
выше невозможно при монотонном росте энтропии. Следовательно,
*) Изложенные выше соображения, обосновывающие правило Жуге,
в отдельных своих частях высказывались различными авторами, отчетливое
и исчерпывающее разъяснение этого вопроса дано в работах Я. Б. Зельдовича
(см., например, Зельдович Я. Б., Теория горения и детонации газов, 1944).
342 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА [Гл
в случае медленного горения изменение характеристик движен
в тонком горящем слое происходит непрерывно вдоль отрезка Ар
Скорость фронта медленного горения и, следовательно, угол а" ц0гГ*
быть различными и определяются из дополнительных условий хараГ
теристиками газа перед скачком и геометрическими условиями. Однако
существует наибольшая возможная скорость, определяемая наклоном
касательной к адиабате Гюгонио в точке 02; в этой точке скорость
частиц жидкости за фронтом относительно фронта равна скорости
звука.
Простым приложением развитой теории горения является
разъяснение так называемого явления теплового кризиса при движении
газа с подогревом в цилиндрической трубе. Это явление имеет суще,
ственное значение в реактивных двигателях и состоит в следующем:
при подводе тепла к потоку с дозвуковой скоростью скорость за
фронтом горения увеличивается. Наибольшее возможное значение
отношения — = М за фронтом горения равно единице и соответствует
точке 02. В точке Е имеем М< 1; поэтому в цилиндрической трубе
с помощью подвода тепла нельзя разогнать поток до сверхзвуковой
скорости 1). После' достижения звуковой скорости, для дальнейшего
увеличения скорости необходимо отводить тепло (тепловое сопло).
При движении смеси паров и газов в областях низких значений
температуры в потоке может возникать конденсация. Смесь мелких
капель с газом в некоторых случаях можно описывать, оставаясь
в рамках теории материального континуума. Часта резкая
конденсация может наступать в весьма тонких слоях; для описания таких
явлений мы можем пользоваться установленными выше условиями
на скачках. При конденсации освобождается теплота
парообразования, возникает явление, имеющее сходные черты с горением.
Особенностью и некоторым усложнением теории скачков конденсации служит
зависимость выделившегося тепла от доли сконденсировавшегося пара,
которая в свою очередь может зависеть от интенсивности скачка2).
Распространение в воздухе ударных волн с различной интенсивностью
вплоть до очень сильных ударных волн в настоящее время изучено
очень подробно.
Распространение ударных волн в воде изучено Я. Б. Зельдовичем 8).
При распространении очень сильных ударных волн в жидкости (вода,
х) Приложение подобных соображений к теории реактивных двигателей
дано Г. Н. Абрамовичем (см. Абрамович Г. Н., Газовая динамика
реактивных двигателей, Оборонгиз, 1947).
2) Исследование конденсации в газовых потоках дано в работе: Мал»'
ж и н е ц С. Д., Конденсация в потоке паровоздушной смеси (Сборник статей
№ 4 «Теоретическая гидромеханика» под ред. Л. И. Седова. Москва,
Оборонгиз, 1949).
3) Зельдович Я. Б. и ЛейпунскийО. И., О распространении удар*
ных волн в воде. Журн. эксп. и теор. физики, т. 13, № 5, 1913, стр. 183.
5]
СКАЧКИ ДЕТОНАЦИИ, ФРОНТА ПЛАМЕНИ, КОНДЕНСАЦИИ И Т. П. 343
ыреххлористый углерод и т. п.) за фронтом волны вследствие
л^льшого повышения давлениями незначительности повышения темпе-
атуры возможно образование твердой фазы (льда).
Р г]ри рассмотрении многих важных задач гидромеханики
приходя встречаться с возникновением или с заданием условий с
наличием скачков и разрывов, когда основные условия (4.7), (4.8) и (4.9)
не удовлетворяются. Укажем на некоторые примеры таких случаев:
столкновение или догон ударных волн, детонационных волн, фронтов
горения, скачков конденсации и т. п. в различных комбинациях;
отражения скачков от твердых и деформируемых препятствий,
переход скачков из одной среды в другую; устранение разделяющих
перегородок и т. п.
В общем случае, когда установленные выше условия совместности
не удовлетворяются, то скачок не может оставаться изолированным,
происходит распадение на несколько разрывов различного рода.
Задача о распадении произвольного разрыва для воздуха впервые
подробно исследована Н. Е. Кочиным1) в 1925 г. Простое и весьма
общее изложение этого вопроса для любых идеальных жидкостей
при отсутствии дополнительных физико-химических процессов дали
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц; им же принадлежит полное
изложение общей теории ударных волн2). Задача о распадении
произвольного разрыва при наличии с одной стороны горючей смеси, когда
наряду со скачками уплотнения могут возникать волны детонации и
горения, подробно разобрана Г. М. Бам-Зеликовичем3).
В плоских и пространственных потоках газа обычно образуются
скачки в виде искривленных поверхностей с переменной вдоль них
интенсивностью разрывов. Например, если на искривленную
поверхность скачка набегает поступательный поток газа с постоянной
плотностью и давлением, то D получается переменным вдоль
поверхности разрыва, частицы, проходящие через скачок, приобретают
различное давление и имеют различную энтропию. В общем случае,
при наличии физических или химических превращений в скачке,
сумма механической и тепловой энергии различных частиц за скачком
также получается разной. В этих случаях переменное ф в функции
р=/(р,ф) и в функции Ь(ру^) при плоских движениях существенно,
поэтому из формулы (1.8) следует, что движение за скачком вихревое.
Определение вихревого потока сводится к интегрированию
дифференциального уравнения второго порядка (1.20), коэффициенты
которого зависят от функции Ь (/?, <]0 и, следовательно, от геометри-
*) Ко чин Н. Е., К теории разрывов в жидкости. Собрание сочинений,
т. I, изд. АН СССР, 1949.
2) Ландау Л. и Лифшиц Е„ Механика сплошных сред, Гостех-
издат, 1946, стр. 313—316.
3) Бам-Зеликович Г. М.( Распад произвольного разрыва в горючей
смеси (Сборник статей № 4 «Теоретическая гидромеханика» под редакцией
Л. И. Седова. Москва, Оборонгиз, 1949).
344 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА [щ.
ческой формы скачка. Так как форма скачка зависит в свою очереДь
от краевых условий для течения за скачком, то отсюда ясно, чт0
задачи об определении таких течений весьма сложны.
§ 6. Скачки уплотнения в совершенном газе
Во многих приложениях газовой динамики достаточно рассматри.
вать адиабатическое движение совершенного газа. Рассмотрим подроб.
нее условия на ударной волне в этом случае.
Полагая e = cv7-|-e0 = —— £- 4-©о» из уравнений (4.14), (4.15)
и (4.16) легко выразить значения Ьт2, bw2, Рз и Ръ после скачка через
значения toTl, Ъп1, рг и рг до скачка. Имеем:
■-^1гм+гй«г ■ (6Л|
IT-t-i 7-l-^nt-
T+l Pi 2 , Г К-1 а\Л
*~~171ЛК' '^v+T^L^ird- (6,2)
Т-1 V.
ii
Обозначим через 3 наклон элемента ударной волны к оси л\
Очевидны равенства:
i^T = i>cos(P — 6) = и cos р + v sin р,
*>w = »sin (p — 6) = asin p — tfcosp. ' .
Выберем систему координат так, чтобы для рассматриваемой точки
на ударной волне направление оси х совпало с направлением
скорости *>t (ut = bj и v{ — 0).
Заменим (6.1) fcr и Ьп через н, v и р согласно (6.3); исключив Р,
получим:
.ТТТ^-Бт)-^-^
*! = (»,- «^ 1^и 21^-—, . (6.4)
toi—tt2-
т + i Ч
Соотношение (6.4) представляет собой уравнение гипоциссоиды,
которую можно рассматривать как годограф возможных значений и2, ^з
за фронтом ударной волны (фиг. 8.15).
Каждому значению угла наклона скорости за фронтом скачка %
соответствуют три значения величины скорости — точки Л, £, С на
гипоциссоиде. Легко видеть, что направление скачка получится как
направление перпендикуляра OD к прямой, проходящей через точки
Ои В или Оь А или Ov С; это следует непосредственно из условия
СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В СОВЕРШЕННОМ ГАЗЕ
345'
№
§6]
непрерывности касательной к скачку составляющей скорости до
Цосле скачка.
Очевидно, что для скачка, отвечающего точке С, верно неравен-
сТВ° *п2-»»1<0;
поэтому точка С соответствует скачку разрежения и, следовательно,.
Фиг. 8.15- Ударная поляра — гипоциссоида.
OD—направление ударной волны; ОВ — вектор скорости после скачка.
такой скачок физически неосуществим. Решения, соответствующие
точкам ветвей гипоциссоиды, уходящих в бесконечность, нужно отбросить.
Направление характеристик можно получить как направление скачка
с интенсивностью, стремящейся к нулю; в этом случае прямая ВОг
стремится к направлению касательной в точке Ov
Если р — ^^"о » то очевиДно> чт0 после перехода частицы через
скачок вектор скорости частицы меняет свое направление и
приближается к направлению скачка.
Поворот скорости достигает максимума 62 = 62feax в точке
касания Е к гипоциссоиде прямой, проведенной из точки О (фиг. 8.15).
Точке Е соответствует дозвуковая скорость, близкая к скорости звука.
На фиг. 8.15 указана окружность, соответствующая скорости звука..
346
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
[гл.
ч
Величина угла поворота (62— 91)max = 8max зависит только
числа Mi = ~ в набегающем потоке. Вместо числа Mi можно польз
ваться безразмерным коэффициентом скорости kt =
t' К°ТОрый «а
W U 12 1.3 1,4 15 Lb U 18 1.3 10 22 14 15 18 ЗДЗ.ПЧ 3.8 155S3 7 8310 СО Щ
-Фиг. 8.16. Зависимость от числа Mi максимального угла поворота скорости 5тах
при переходе через скачок. Нижняя пунктирная кривая определяет угол
поворота 5, когда скорость газа за скачком равна скорости звука.
основании интеграла Бернулли для установившихся движений связан
с числом М формулой
12_ (7 + DM2 \
2 + (т-1)М2
или \ (6.5)
m (т-Ь 1> — <т— 1) ^* J
откуда следует, ч^о при 0 <; X <; 1 имеем 0 <; М < 1, при
!<*<
«имеем 1 <С М <С оо.
7+J
Т —I
$6]
СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В СОВЕРШЕННОМ ГАЗЕ
347
На Фиг- 8-16 верхней сплошной кривой представлена зависимость 8тах
числа Mi и kt; нижняя, пунктирная кривая дает угол отклонения
?^в ■ -0J,-когда скорость за скачком равняется скорости звука.
С Помощью гипоциссоиды легко определить направление ударной
олны, которая возникает у передней острой кромки обтекаемого
Профиля (см. фиг. 8.17). Направляя ось х
вдоль скорости набегающего потока bv
получим, что угол 8, равный углу,
образованному стороной профиля в острие со
скоростью ttj, равняется углу 62 для
скорости за скачком. Если 8 достаточно мало
{8<8maJ* T0 имеются два решения этой
задачи. На практике обычно для тонких
тел осуществляется движение,
соответствующее более пологой ударной волне.
На фиг. 8.18 представлена зависимость
угла наклона скачка а = у — Р от Угла
между скоростью и направлением клина 8,
параметром служат коэффициент скорости
lt или число Mi*, каждому значению 8
соответствуют два значения а. Точки кривых
при 8=0 определяют направление
характеристик, в этом случае угол t ~
Если угол 8 больше, чем (62 — 9i)max, то ударная волна
зуется впереди тела. В этом случае расстояние АО (см. фиг. 8.19)
пропорционально линейным размерам тела. При обтекании клина,
показанного на фиг. 8.19, расстояние АО пропорционально размеру L
При /->оо ударная волна уходит вперед в бесконечность, перед
клином получается дозвуковое движение газа.
При рассмотрении многих задач удобно наряду с р, р, и> v
ufl = и2 -\- v2, — = tg 6 J рассматривать величины 6, Ьтах = V%cpT*,
Фиг. 8.17. Схема образования
ударной волны у переднего
заостренного края профиля,
обтекаемого со
сверхзвуковой скоростью.
р=4-
а равен углу Маха,
обра-
р*, определяемые формулами:
в = arctg - ,
max p
2т р
»«
Т—1
Y+1
т
(•у — 1) М*
2 + (Т — 1)М2
Р* = [(с, — с„) Т*?-1 е ~еР = р (1 -
(6.6)
(6.7)
(6.8)
Ь2 \~v~_.
т
(6.9)
348
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА Ггл *
5Г Л*
Фиг. 8.18. Зависимость угла наклона скачка а от угла поворота
скорости за скачком S и от Хх (или М{).
6]
СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В СОВЕРШЕННОМ ГАЗЕ
349
^ максимально возможная скорость при адиабатическом рас*
с*еоении, Т*—температура, которую примет частица при
адиабатическом торможении, безразмерное переменное т, введенное С. А.
Чаплиным, может заменять числа М или X, величина р* равна давлению
Л адиабатически непрерывно заторможенном
в0токе — полный напор, S — энтропия. При
изоэнтропическом движении с одинаковой
полной энергией величины р* и Г*
постоянны во всем потоке.
Формулы обратной зависимости имеют
вид:
pep»(l_T)T=if
р*
1
ря(с,-С)7*<1-х)
(6.10)
Фиг. 8.19. Обтекание
клина с большим углом
раствора. Ударная волна
образуется на
некотором расстоянии впереди
клина.
Условия на скачках (6.1) и *(6-2) при переходе к параметрам
*, 6, Г* и р* можно представить в виде:
_ -е
^sin*^ —6,)
1 \ ^ [1—ccos'fp-ejfl
tjsin»(p — вх)
^р-ц-^'-^тУ ^-м,
Т±1
(6.11)
(6.12)
. (6.13)
I-1 Г1—tj cosHP—в,) 1т—1
Г_4у_ Ttsln«(P-9i) Л*"1 П-^созЧР-Ш
LC-r—D2 l-Ti XJ L *isin«(P-e^ J
«ли
*P* *p*
' 2 ' 1
"m»xl 'maxS*
(6.14)
При переходе через скачок температура торможения сохраняется,
4 Давление торможения убывает. Уменьшение давления торможения,
согласно (6.9), тесно связано с возрастанием энтропии,
обусловленным необратимыми потерями. В скачках уплотнения возникают потери,
сильно возрастающие с ростом числа Мг и угла наклона скачка к
вектору скорости набегающего потока р — 6t <; ^-. Наибольшие потери
350
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
[ГЛ,
Фиг. 8.20. Отношение полных напоров —§- в функции
Pi
числа Mi набегающего потока и угла Ь поворота
потока. Угол наклона ударной волны можно
определять на графике фиг. 8.18.
СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В СОВЕРШЕННОМ ГАЗЕ
351
§61
возникают при р — б^ — , т. е. когда скачок перпендикулярен ско-
0сти »i> такой скачок называется прямым скачком.
Р На Фиг- 8-20 представлен полный напор в функции от угла
отклонения потока 8 и от числа Mi в потоке, проходящем через ударнук>
олну- С помощью этого графика
удобно определять потери,
возникают^ ПРИ обтекании передних
острых кромок и угловых точек на
контурах профилей.
Таким образом, при непрерывном
адиабатическом сжатии давление
торможения сохраняется; при переходе
через скачок возникают
необратимые потери и давление торможения
уменьшается.
На фиг. 8.21 дан сравнительный
график для отношения давления
торможения р* к статическому
давлению pei в набегающем потоке в
зависимости от числа Mi = —
набело
гающего потока при обратимом
адиабатическом сжатии и при сжатии с
наличием прямого скачка. При
больших Mi потери в прямом скачке
получаются очень большими; это
обстоятельство имеет важное
практическое значение.
Создание специальных устройств
диффузоров, обеспечивающих малые
потери при торможении потоков,
крайне необходимо при разрешении
многих технических задач и является
основной проблемой для
аэродинамических труб и воздушно-реактивных
Двигателей. В сверхзвуковых аэродинамических трубах мощность
нагнетателей в сильной степени зависит от восстановления давления после
Рабочей части трубы. В воздушно-реактивных двигателях существенной
частью рабочего процесса является предварительное сжатие воздуха,
поступающего в двигатель. В сверхзвуковых прямоточных двигателях
это сжатие должно осуществляться главным образом за счет
торможения встречного потока в диффузоре. В обычных диффузорах
преобразование скоростного напора сверхзвукового потока в давление сопро-
вождается прямым скачком уплотнения, что приводит к большим
потерям.
W Mf
Фиг. 8.21. Отношение полного
напора jp* к статическому
давлению jpct при непрерывном
торможении и при торможении с
переходом через прямой скачок. При
больших Mj в прямом скачке
получаются большие потери.
352 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА frjt
1 *• Vli,
В настоящее время предложены сверхзвуковые диффузоры, в ко
рых вместо прямого скачка уплотнения, дающего переход сразу*0*
сверхзвуковой скорости к дозвуковой скорости, осуществляет^
система из нескольких скачков уплотнения. Поток воздуха проходе
последовательно через ряд сравнительно слабых косых скачков уплот*
нения, то-есть претерпевает ступенчатое торможение, оставаясь свепх*
звуковым. Система косых скачков завершается слабым прямым (цл*
почти прямым) скачком, который переводит остаточную сверхзвукп.
вую скорость в дозвуковую. Схема такого диффузора представлен
на\ф*г. 8.22. на
Фиг. 8.22. Схема диффузора с двумя
косыми и одним прямым скачком.
В теоретических исследованиях наивыгоднейших систем косых
скачков, заканчивающихся одним прямым скачком или одним
косым, за которым ^скорость газа точно равна скорости звука, произве*
денных Г. И. Петровым и его сотрудником Е. П. Уховым, показано,
что в описанной системе скачков уплотнения потери получаются
значительно меньшими, чем в одном прямом скачке.
Рассмотрим движение газа вблизи стенки, образованной
прямолинейными отрезками с угловыми точками. Схема движения
изображена на фиг. 8.23. В угловых точках возникают скачки, наклон W
волны определяется углом 8< и коэффициентом А, = -~— перед /-•
угловой точкой.
Пусть дан сверхзвуковой поток с коэффициентом скорости X =* h
и давлением торможения р*. Этот сверхзвуковой поток тормозите^
проходя через т — 1 косых скачков и m-й прямой скачок, который
\
СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ В СОВЕРШЕННОМ ГАЗЕ
353
§61
сле т —• 1 -го косого скачка переводит сверхзвуковой поток с
коэффициентом скорости Х^ > 1 и напором р^ в дозвуковой поток;
дальней^6 торможение дозвукового потока может быть непрерывным.
Если углы поворота скорости 8,, 82, ..., Ьт и коэффициенты Х15
* ..., Хш известны, то с помощью графика фиг. 8.20 можно опрет
являть падение напора в каждом скачке.
Значение коэффициента ki+1 после /-го скачка на основании (6.8)
и (б. 11) можно вычислить с помощью формулы
ч2 >2 . 2 I
('-£bW
X^cos2^
(6.15)
Угол of^ = y — (P* — ЭД можно определить через 8* и \t по графику
фиг. 8.18, который дает графически соотношение (6.12), в котором
Фиг. 8.23. Система косых скачков, замыкающаяся одним прямым.
о, о2 = 8„ И?-4"'!"!-:
XJ. Полное па-
надо положить Ъх'—у,, *а=-«„ и —у — -*> м — Т + Г
Дение давления торможения после прохождения газа через все т
скачков представится формулой
* * *
Pm + l P2 Рь
о = -
Pi
Р\ Ръ
Pi
*
Pi-l
Pm+l
(6.16)
Если при заданном Xt и числе скачков т (из которых последний
скачок — прямой) величина о имеет максимум, то система т скачков
называется оптимальной.
Пусть мы имеем оптимальную систему. Очевидно, что для
коэффициента скорости Х<+1 система последующих т — / скачков также
23 Зак. 1631. Л. И. Седов.
354
ОБЩАЯ ТЕбРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
Ггл. щ
'бы
оптимальна, так как в противном случае систему (Х1э т) можно было<
улучшить.
Исследование и определение некоторых интересных свойств опти.
мальных систем скачков представляет собой математическую задачу
10 У li 1J 1« у U V 1.8 U £0 U If U 18 10 MM ШВЫ и 5SJS6 7 8310 оо м,
Фиг. 8.24. Максимальный коэффициент восстановления
давления стах в функции от числа Mj набегающего потока и числа
скачков. Последний скачок прямой.
на максимум. Ниже мы приводим разультаты расчетов оптимальных
систем скачков.
На фиг. 8.24 даны результаты расчетов для отах в функции \ или
Mi и числа скачков /и, когда последний скачок прямой. С
увеличением числа скачков восстановление давления при больших Mi резко
возрастает.
Аналогичным образом можно поставить и рассмотреть задачу,
когда последний скачок — косой скачок с заданными особенностями.
Наибольший интерес из таких систем скачков имеют системы, для
которых скорость газа за последним скачком точно равна скорости
звука. В этом случае максимальный коэффициент восстановления
давлений <зтах(Х,, т) для оптимальной системы получается
наибольшим. На фиг. 8.25 дана серия кривых для максимальных значений ^W
в функции от кг или Mi для разных т, когда за последним скачком
получается скорость газа, равная скорости звука.
§7]
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
355
Доожно показать, что системы, оптимальные по полным напо-
оптймальны и по отношению к получению наибольших
старческих давлений.
W V U Р 19 US US 17 IS 1.3 10 U It IS U. W U3.9&M4D MS SiSS 7 8310 oo M,
Фиг. 8.25. Максимальный коэффициент восстановления
давления ffmax в функции от числа Щ набегающего потока и числа
скачков. За последним скачком Mw = 1.
§ 7. Примеры точных решений для вихревых установившихся
движений газа
В § 1 мы установили (см. формулу (1.8)), что в плоском
установившемся» движении сжимаемой среды величина вихря определяется
равенством
р д &(р, ф) „л*
2* = д"-ди
дх ду ро dty 2
Если величина скорости зависит только от давления ру то
движение газа безвихревое — потенциальное.
В самом общем случае вихревого движения функция 8 (/?, ф)
удовлетворяет одному уравнению (1.20) в частных производных второго
порядка
i-~^ —= i-
Х> dp dp д<1>
др*
ае
(7.2)
23*
356 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА [гл. у.
Возьмем какое-либо потенциальное движение газа (о> = 0), кото,
рому соответствуют функции to = Ъг (р) и 6 = /(р, ф). Легко построить и
вихревое движение газа с теми же самыми линиями тока, если д^
величины скорости газа верна формула вида (формула Бернулли)
*>2(Р> Ф) = »|(Р)'7(Ф). (7.3)
Уравнение (7.2) для 82 (р, ф) переходит в уравнение для 6Х (р, а \
и, следовательно, имеет решенье 92 =/(/?, фД если функции ф и й
связаны соотношением
ф, = J> («*♦■ (7.4)
Согласно формуле (1.21) зависимости ^ (р, <|>) для потенциального
движения и z2 (р, .фх) для вихревого движения, где ф и ^ связаны
соотношением (7Л), получаются в точности одинаковыми.
Следовательно, каждому потенциальному движению, для которого
* = *,(/>), в> = 0, 6=/(р, ф), (7.5)
соответствует вихревое движение газа с тем же семейством линий
тока, для которого
b.-^iOO^O». 2«>= - ^ »,(/>) ^'(Ф), в =/(/>,*,), (7.6)
причем ^ и ф| связаны соотношением (7.4).
Таким образом, если функция to(p, ф) имеет вид Ь1(р)/7(ф), то
задача о вихревых движениях сводится к задаче о потенциальных
движениях газа с функцией ъ = Ъг(р).
Если газ совершенный и движение адиабатическое, то
p-VWp\ ^+rLT6W)pIre.!%^, (7.7)
где функция Ь^ах (ф) определяет распределение полной энергии, а
функция 0 (ф) — распределение энтропии по линиям тока.
Из (7.7) очевидно, что для давления р* в непрерывно
адиабатическом заторможенном состоянии верна формула
„^ГХ^^-Г1 (7.8)
Р L 27 «(40 J ' К '
*) Несколько иным способом указанное ниже сведение вихревого Двй"
жения к потенциальному дано в статье: Руднев Ю. В., О некоторых Д*й"
жениях газа с переменной энтропией и полной энергией. Доклады Академии
наук СССР, т. LIX, № 5, 1948.
g 7j ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
0з (7.7) следует:
357
Условие Х> == ba (р) F(&) удовлетворится, если на всех линиях тока
давление торможения одинаково, т. е.
-/?* = const. (7.9)
Таким образом, исследование вихревых движений можно свести
к исследованию потенциальных движений, если давление торможения
постоянно во всем потоке.
Дадим теперь преобразование уравнения (7.2) в случае
совершенного газа к независимым переменным фит:
T=4L=i-M^TfT". (7Л0>
При замене переменных воспользуемся следующими
вспомогательными соотношениями:
(7.11)
Далее
др ~
дь _ ь т —1 1
др тах 2чр* !
уТ(1_т)т-*
д*о_ъ 1-1 (т+1)-»—(Т —1)
j)p2 vmax 4у2^*2 ?—*
ае (ф, z) dz ае т —• i
"" dz dp ~ dz i '
т/,*(1_т)Т-1
*в(Ф./0'_ав(ф,'0 , d±(^Lz)d1_db_ , м (izil)£!l/i_T\
<fy — аф r ax аф^аф'ат Yp*
(7Л2)
daffi x) _ dz (ф,р) ap _ dz чр* п _Tyf=I
ax ap ax ~ арт—г ' '
fe (ф, x) __ а*(ф,р) , dz(ty,p) dp _ dz , d£ #//i t4f=i
аф ~~ —аф r dp аф—афгар^ v '
Введем еще обозначения:
(7.13)
£$**-<*X, X-Xo-'"P*(+), £f^T = ^(x).. (7Л4)
358
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА
[гл.
Vlli
После замены переменных получим:
дг(х, t)
дх
dz(x,i)
= ^(Х)
•Ре'9,
(1
д1
= F(X)
т
У7 Г (7-1)(1-х)/
(1-т)Т-
*[*
2?%
Q \е*
(7.15)
где
Р =
(т + 1П-(Т-1)
4(7-1)^(1 —х)
■(£)*
1 дй , дЬ
Q=
Y — 1 1 — т ^Х
(т4-1)х-(Т-1)
4тта
ат
Y — 1 1 —хдх &г
(7.16)
При выводе уравнений (7.15) принято, что р*'($)фО. Случаи
постоянного в потоке давления торможения уже рассмотрены и, как
было показано выше, сводятся к изучению потенциальных движений.
Разрешая (7.16) относительно ^- и гр, найдем:
* 7 ;Q-P,
)
дт
дх~р[
(t-ixi-x)'
+ i)*-fr-
i
•1)
Фрс*
PQ-
(т
— l)(l—T)J
(7.17)
Условие интегрируемости для определения г из (7.15), т. е.
уравнение для Ь (у, т), можно написать в форме
Г^'(Х) (т-1)(1-х)1
(7.18)
Легко проверить, что если 6()г, т) — решение уравнения (7.18) или
вообще уравнения (7.2), то —6(х,т) и6(х, О+60, где 60 = const.,—
также решения уравнения (7.18) или (7.2). Линии тока течений 0 (х> *)
и —6(х, т) являются зеркальными отражениями друг друга
относительно оси у. Добавление постоянной 60 равносильно повороту системы
линий тока на угол 0о относительно осей координат.
Зависимость основного уравнения движения (7.18) от изменения
энтропии и полной энергии на различных линиях тока сказывается
через комбинацию
^(х)
/Чх) '
входящую только один раз в это уравне-
g yj ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ 359
ие При рассмотрении движения газа за ударной волной комбина-
цИЯ yrff легко определяется, если движение газа перед ударной
волной и форма ударной ролны известны.
Для упрощения задачи об определении потоков с
криволинейными ударными волнами в некоторых случаях удобно задавать
ударную волну; этим определятся уравнения движения и форма
обтекаемых профилей для потока за фронтом волны. Выбором
fr (у)
комбинации -prfiy входящей в уравнение (7.18), можно определять
форму ударной волны; после этого течение газа за волной можно
получить разрешением соответствующей задачи Коши1).
Дальше мы рассмотрим частные решения уравнения (7.18) в слу-
F (у)
чае, когда комбинация л}\ не зависит от у.
Введем постоянную п равенством
или
Р{г) = PoWb-rt^hNp*»®), (7.19)
где N—постоянная интегрирования. Равенство (7.19) накладывает
связь на функции bmax (ф) и р* (ф). На основании соотношений (7.19)
и (7.14) эта связь получается в виде:
рЧЪ) = [$(п+1)Ът^)ЩП+1 "Ри пф-\у (7.20)
р*(^)жр*е *• при /г = —1. (7.21)
В первом случае при ф==s Фо давление торможения обращается
в нуль (при я> — 1) или в бесконечность (при я< — 1), при
/г=г — 1 имеем р* = /7* на линии тока ф = ф0. Постоянная ф0 входит
аддитивно в функцию тока ф, и поэтому изменение ф0 не влияет на
поле скоростей. В каждом из случаев одну из функций р*(ф) или
Ьтах(ф) можно задавать произвольно.
Если на всех линиях тока полная энергия постоянна, т. е.
Ьтах(ф) = const., to условия (7.20) и (7.21) приобретают вид:
1
Р*«0 = [(«+1)*шах*=^]П+\ если пф-\ (7.22)
и
р'(Ф)в/>;в~!*Ь(*~*'), если « = —1- (7-23)
!) Аналогичные замечания применимы к общему уравнению (1.20),
360 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА Ггл .
Для заданных характеристик набегающего потока рг (й), р^,..
*\пахОИ и 9i (Ф) из условия на ударной волне (6.14) можно опред£
лить угол р (ф) наклона касательной к ударной волне, т. е. форМу
ударной волны, так чтобы удовлетворялись соотношения (7.20) или
(7.21).
В общем случае вдоль всякой линии, отличной от линии тока
можно написать:
dy = tg р dxy dty = — [Ьх cos Ьг dy — fcj sin Ьг dx]. (7.24)
rO '
Уравнение ударной волны можно представить в виде:
^ = PoJ^[ctg(p-01) + /]^. (7.25)
Подставляя сюда P(ty), найдем форму ударной волны.
Результаты получаются особенно простыми, если в набегающем
потоке bmax = i)1, вх = 0 и р2 = 0, что соответствует прямолинейному
набегающему потоку и бесконечному значению числа М.
Можно получить систему частных решений уравнения (7.18) при
наличии соотношения (7.19), если положить
в—*(X—X6) + e*W = «1ПР* (+) + »* W. (7-26)
где s — некоторая постоянная. Уравнения (7.17) и (7.18) приведутся
к системе обыкновенных уравнений:
+ [»T.-('-1y1-"|"+V1|~"- («7)
(Y-h l)x — (7 —1) -jsQ
<Ю* _ 4Тх2 q-1) (1-х) 7 28л
После интегрирования уравнения (7.27) определение в* (т) из
уравнения (7.28) сводится к квадратуре.
Если п = —-—, a s произвольно, то уравнение (7.27) имеет общее
решение
0_. + [H-ttrl>№ + n#fr-IHn-<) + £lLgffi, (7.29)
где С — произвольная постоянная.
v
§7]
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
361
Если s = О, то уравнение (7.27) легко интегрируется, после чего
т + 1
при
пф-'
2т
получаем:
гпу+т+i.
-(Т-1)а + Ст(1-х) T-i J, (7.30)
е ^—-постоянная интегрирования. .
t -4- 1
Если п — — ^ > т0 вместо (7.30) получим:
(ff = Вт+У-^-ЦР [2(T+Dxln(l-x)-(lf-l)4CT].(7.31)
Зависимость ,г(т, ф) определяется из (7.15).
Если
n-\-iszj=. 0,
то второе из уравнений (7.15) сразу дает:
-г—г*
_pqJY [/>*№]» V*
/г+ /5
(1_х)Т-
Г-Р
-1)(1-х)/
2ут
-Q(t,s,«, С)]вя, (7.
32)
где г0 — постоянная, независимая от <j* и т. Соотношение (7.32) удобно
представить в полярных координатах, полагая z — z0 — rei'?: Получим:
<р = 6—arctg*7 ~ Ш^ т> _ arctg f (N>0), )
/2 /f У"1
foW~T+l -JL У ^(T-1),V*
I (7.33)
где
T + l
'o(t0 =
(7.34)
Очевидно, что все линии тока подобны между собой. При s = 0
соответствующие точки при подобном изменении лежат на одном
и том же луче, проходящем через начало координат. При s^tO
соответствующие точки двух линий тока с одинаковыми значениями
362 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА 1Рл
угла б лежат на разных лучах, повернутых друг относительно дп
на один и тот же угол, зависящий от ф (см, формулу (7.26))f a
Если
п 4- is = О,
то все вычисления легко провести до конца. В этом случае различны
линии тока получаются поступательным сдвигом одной из линий тока*
Рассмотрим теперь более подробно пример, для которого n = ^i'
5 = 0 и С = 0. В этом случае верно равенство (7.21), а из (7.3oi
получим: '
(жТ= [(г+У?Г(т%Р К? + 1)а^(Т-1)а]. (7.35)
Легко проверить, что общее решение уравнения (7.35) имеет вид
Дальше мы примем, что 80 = 0. В рассматриваемом случае соот*
ношецие (7.32) приобретает вид
_ N 1 v
z — Po 2yp*(^) T + i л
X [± J/*(T+1)2t-(t-1)2 — / (т — 1) УТ^Гх] Л (7.37)
Два знака в этой формуле объясняются тем, что -тд получается из*
влечением квадратного корня согласно равенству (7.35),
В дальнейшем в качестве основного случая мы рассмотрим движе*
ние при N>0, когда
S- + (T + 1)^(T-1)Vr(i-"^)KT + iyc~(T-i)4.
что соответствует знаку плюс перед корнем в формуле (7.37). При
(Y 1\2 v 1
-- , 1) до г, что отвечает критической
скорости, угол 6 убывает от нуля до 6min < 0, затем при т -** 1 угол &
возрастает до нуля. При критической скорости для т = ^^ линий
тока имеют точки перегиба.
Положим г = ге**. Из (7.37), учитывая (7.36), найдем:
tg?=-(T+i)i/"(7+iA-'(r-i)^
г (2 УТУ-1 1
(1—,>»Ст—»>
(7.38)
§7'
где согласно (7.34)
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
Y + 1
'.«>--^e^rv
(ф)
363
(7.39)
Величина г0(ф) равняется минимальному значению г, на линии
тока, когда ^ = h^o) , 6 = 0, а ср =—-£ • Минимальное значение
Го(ф) на какой-либо линии тока обратно пропорционально
давлению ' торможения на
этой линии тока;г0->оо
при р*->0 и г0-+0
при /?*->оо.
Выбранным знакам
соответствуют линии тока,
расположенные в
четвертом координатном
углу (л:>0 и у<0).
Если iV>0 и при
извлечении корня в
уравнении (7.35) мы
возьмем знак минус, то
получатся линии
тока, расположенные в
третьем координатном
углу (у<0 и х<0).
Путем зеркального
отражения полученного
течения в нижней
полуплоскости на
верхнюю полуплоскость
можно построить
течение во всей
плоскости. Для течения в
верхней полуплоскости
в формулах (7.21) и
(7.37) постоянную N
надо взять
отрицательной. Соответствующая
система линий тока по-
Фиг. 8.26. Пример точного решения для
установившегося течения газа с геометрически подобными
линиями тока.
казана на фиг. 8.26. Можно рассматривать движение газа вдоль этих
линий тока как в одну, так и в противоположную сторону.
Если Ьтах конечно, и больше некоторой постоянной, то из (7.21)
и (7.39) следует, что начало координат является особой точкой,
в которой 4» = — ©о.
364 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА ГРЛ
В области, содержащей ось у и ограниченной прямыми рр>
QQ', на которых и
COS2<p=_-(l — у),
поток будет дозвуковым, вне этой области — сверхзвуковым.
Справа и слева в бесконечности линии тока асимптотически при,
ближаются к кривой
у = ахч+\
где а — некоторая постоянная.
Исходя из формул
Р
= р*(ф)(1-т)А р = £^,
*(ф)
получим в рассматриваемом случае на основании (7.38), (7,8) и
(7.39) следующие формулы для распределения давлений и плотности
в потоке:'
1 2у
-1 Г тШП*1
я _ 2роЛГ(Т + 1)т~1 Г ЫЩ'*1
Р~ r0(6) L г J '
У 2 |
Р*>тах(У)~ (Т-1)Го(ф) ["T^J * J
(7.40)
Величины /? и pb£ax стремятся к нулю при г0 -> оо и, кроме этого,
стремятся к нулю при фиксированном г0 на каждой линии тока при
r->-j~co.
Одну из функций Ьтах (<Ю или р* (ф) можно задать произвольно,
после чего все остальные функции станут вполне определенными.
Если мы положим Ьтах = const., то из (7.23) и (7.39) при Af>0
получим:
/v + ivr-1
/>•(*)=#* w, м4о-:—\тг~е N •
Если Af>0 (линии тока в нижней полуплоскости), то при
^->-f-oo имеем: г0-> 0, р* -> оо, р-> оо, а при ф-> — оо имеем*
г0->оо, /?*->0 и р->0. В начале координат получается особая
точка, в которой плотность и давление торможения обращаются
в бесконечность; из-за этого, как уже было сказано, функция тока»
при постоянной скорости bmax обращается в бесконечность.
„, ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ 365
§7J
На линиях тока, для которых г0(ф)->оо, давление торможения
лотность стремятся к нулю. При г0(ф)->оо за счет быстрого
** ывания ПЛотности энтропия стремится к бесконечности.
' рассмотрим еще задачу о переходе через ударную волну прямо-
ейного движения газа в движение газа в разобранном выше
примере-
Возьмем прямолинейное набегающее движение газа, для которого
О =0, Р\ = ®> а ^(ф) и Рх (ф) отличны от нуля. Если скорость
tt^^max постоянна на всех линиях тока, то набегающий поток —
поступательный, если Ъ{ зависит от ty, то прямолинейный набегающий
поток — вихревой.
Очевидно, что так как р1=0, то для этого потока число Mi
равно бесконечности на всех линиях тока, а переменное Чаплыгина
1
Чл2
Xi ~= -^— равно единице
°тах
Условия на ударной волне (6. И) и (6.12) в этом случае
приобретают вид
,2 = cos^ + (l^|)2sin^, tg(p-ee)s='l=|tgp. (7.41)
Если принять во внимание, что
то после перехода к пределу при z1 == 1 из (6.13) получим:
Кроме этого, из (6.14) следует, что
"maxl === ^max2*
Условия (7.41) легко преобразуются к виду:
.Т + 1 + (т-1)*1
cosu2= г-
tgrp = —(т+1)|Л1
1-
(7.43)
(т + 1)^2-(Т-1)2'
Полученные соотношения после замены р через ср совпадают точно
с соответствующими формулами (7.36) и (7.38) в рассмотренном
примере.
Отсюда следует, что на ударной волне должно выполняться
равенство
Збб ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ ДВИЖЕНИЙ ГАЗА [рд. ^
Поэтому ударной волной может быть только прямая, проходяща
через начало координат. Очевидно, что любой прямолинейный луч
исходящий из начала координат, можно принять за ударную волну1
Условие (7,42) можно рассматривать как соотношение, устана!
вливающее связь между pt (<}>) и Ьг (<Ь) в набегающем потоке, если
наклон скачка |3 и давление торможения р*(<1>) для движения газа за
ударной волной заданы.
Так как Ьг (<!0 = *>max №» т0 Условия (7-42) и (7-21) Дают дВа
уравнения, связывающие величины /^(ф), ^тах(^) и Pi ОЮ-
Если *>гаах = const., т. е. набегающий поток — поступательный, то
Р Р° JLA 2 ) г0(ф)
9П=1\ т+1 о
_ (Т —1) Vt + *J /t+1\~1 Pl*ma3
~~ X \ 2 / _!_
_ _ - (7-44)
В качестве независимого переменного можно взять функцию тока <}>
или минимальный радиус-вектор на линиях тока г0.
Из (7.44) ясно, что в набегающем поступательном потоке
плотность изменяется обратно пропорционально г0. Набегающий поток —
потенциальный, поток за фронтом ударной волны—вихревой.
Аналогичным путем можно рассмотреть случай. рг = const, или
случай некоторой связи между pt (ty) и bt (ф).
В общем случае, сравнивая (7.42) и (7.39), получим:
где
2
'от— 7ПШЛ
Если р и г0(^0) заданы, то последним равенством определится
постоянная N. Постоянную р* с помощью (7.21) и (7.42) можно
выразить через произведение р^ах и Угол Р#
С помощью простого сложения двух потоков — одного в нижней
полуплоскости для линии тока у=уг<0, а другого в верхней
полуплоскости для линии тока y=y%>Q—В набегающем потоке
можно получить обтекание в общем случае несимметричного профиля
с криволинейными очертаниями. Схема подобного обтекания
показана на фиг. 8.27. При такой конструкции потока исключается особая
точка г = 0. Если набегающий поток — поступательный, то после
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ДВИЖЕНИЙ
367
«я
Охождения через прямолинейные ударные волны получается вихре-
% поток с переменной энтропией и смешанного типа с дозвуковой
в°сВерхзвуковой областями. Если линии тока, образующие профиль,
иооТВетствуют большим г0 (фх) и г0(^2), то изменение плотности
Фиг. 8.27. Точное решение задачи об обтекании газом
несимметричного криволинейного профиля. Поток до
скачка — поступательный, за скачком — вихревой.
в поступательном потоке вблизи передней части профиля будет
невелико.
Рассмотренные точные решения можно использовать, в частности,
Для проверки и оценки построений решений с помощью различных
приближенных методов.
ГЛАВА IX
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
§ 1. Вводные замечания
Рассмотрение потенциальных движений газа имеет очень важное
значение для разрешения главных задач аэро-гидромеханики. Теория
обтекания газом профилей с дозвуковыми скоростями при отсутствии
скачков уплотнения, теория сопла Лаваля, теория газовых струй и
некоторые другие теории развиваются и основываются на изучении
потенциальных движений.
Исследованию плоскопараллельных установившихся потенциальных
движений газа посвящено громадное количество работ, однако до
сих пор разрешение основных указанных выше задач не получено
эффективно в таком виде, как это сделано при разрешении
аналогичных задач для несжимаемой жидкости.
Решение краевых задач получается либо методом
последовательных приближений для нелинейных уравнений движения, либо на основе
линеаризации уравнений движения путем использования специальных
независимых переменных или приближенным путем. Нередко оба
указанных основных приема используются одновременно.
Непосредственное применение метода последовательных
приближений к задаче об обтекании плоским потоком профилей
рассмотрено в работах Рэлея 1) и Иенсена 2). Строгое обоснование метода
последовательных приближений и доказательство сходимости дано
М. В. Келдышем и Ф. И. Франклем 3).
Использование способов электроаналогии для построения
последовательных приближений дано Тэйлором 4). Приложения к расчету
тонких профилей дано Буземаномб) и развито Ханцтше6. Много
!) Rayleich, Phil. Mag, т. 32, 1916, стр, 1; Scientific Papers, т. VI»
стр. 402.
2) Janzen, Phys. Zeitschr., т. 14, 1913, стр. 639.
3) Келдыш М. В. и Франкль Ф. И., Внешняя задача Неймана для
линейных эллиптических уравнений в приложениях к теории крыла в
сжимаемом газе. Изв. Академии наук СССР, сер. матем., № 4, 1934, стр. 561.
4) Taylor G. L, Journal London Math. Soc, т. 5, 1930, стр. 224; ZAMM,
т. 10,1930, стр. 334.
5) Busemann A., Schriften d. Deutsch Akad. d. Luftfahrtforschung, >fe 1&
в) H a n t z s с h e W. und WendtH., ZAMM, т. 22, 1942, стр. 72.
&
Л ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЙ 369
бот посвящено расчетам различных конкретных случаев. Метод
Последовательных приближений с некоторыми видоизменениями
применялся С. А. Христиановичем *) в задаче об обтекании крыловых
профилей. Отметим еще работу А. И. Некрасова 2), в которой дано
построение приближений для решения задачи об обтекании круглого
цилиндра.
Метод последовательных приближений требует проведения весьма
громоздких вычислений, полученные результаты тесным образом
связаны с типом конкретного рассчитываемого профиля и вместе с этим
относятся к малым значениям числа М, когда влияние сжимаемости
вообще слабо. Для наиболее интересных больших значений числа М
сходимость соответствующего бесконечного процесса резко
ухудшается.
Дальше мы будем изучать потенциальные движения газа с помощью
сведения уравнений газовой динамики к линейному виду. В этом
направлении наибольший успех достигнут еще в 1902 г. С. А.
Чаплыгиным 3), который дал решение многих задач о струйных движениях газа.
Теория газовых струй разработана С. А. Чаплыгиным на основе
теорий струй в несжимаемой жидкости, которая интенсивно
развивалась в то время Н. Е. Жуковским, С. А. Чаплыгиным и в
работах ряда других авторов. С тех пор производилось большое число
попыток использовать теорию С. А. Чаплыгина для решения задачи
о непрерывном обтекании газом профилей.
В дозвуковом обтекании основные трудности связаны со
сложностью аналитического аппарата рядов по гипергеометрическим
функциям, с необходимостью построения решения с особенностями,
соответствующими бесконечно удаленной точке потока, и, наконец,
главное затруднение состоит в удовлетворении условия обтекания на
заданном контуре профиля' крыла или на стенках сопла. В случае
движений с переходом через скорость звука возникают новые
специфические трудности, связанные с решением краевых задач для
дифференциального уравнения смешанного типа эллиптического в
дозвуковой части и гиперболического в сверхзвуковой части. К тому
же в этом случае часто необходимо вводить внутрь потока
поверхности сильных и слабых разрывов.
В настоящее время наиболее распространенные методы учета
сжимаемости при дозвуковых движениях газа основаны на
приближенном методе С. А. Чаплыгина, который также
содержится в работе 1902 г. и сводится к замене адиабаты Пуассона
J) Христианович С. А., Обтекание тел газом при больших
дозвуковых скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940.
9\ Ч ___~_ А Л Л Г\ _^
VnVJ/VWl/in» I ^J/|,M я-4,4 &* ж I, JBUUl. TVX) IC^Wi
2) Некрасов А. И., О плоскопараллельных движениях газа при до
совых скоростях. Прикладная математика и механика, т. VIII, вып. 4,
**г±4.
3) См. Чаплыгин С. А., О газовых струях. Собрание сочинений, т. И,
1 остехиздат, 1948. Отдельное издание — Гостехиздат, 1949.
звуковых
1944.
24 Зак. 1631. Л. И. Седов.
370 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА (Гл
1
в плоскости /), — через к а к у ю-л ибо апроксимирующую пря
мую.
Ниже мы выясним подробно, каким образом приближенный метол
С. А. Чаплыгина позволяет установить простое соответствие между
потенциальным движением газа и некоторым плоско параллельным
потенциальным движением несжимаемой жидкости. Практические
расчеты производятся на основании дополнительных допущений
относительно соответствующего потока несжимаемой жидкости.
В этой главе мы указываем также некоторые приемы, которые
позволяют расширить, уточнить и обобщить приближенные методы
на случаи околозвуковых и сверхзвуковых скоростей. Переход через
скорость звука при использовании приближенного метода С. А.
Чаплыгина невозможен.
§ 2. Преобразование уравнений движения
и функция С. А. Чаплыгина
При установившемся движении вдоль линии тока верен интеграл
Бернулли
р*
В главе VIII мы показали (см. формулу (1.8) на стр. 302),
что если установившееся плоскопараллельное движение потенциально,
то величина скорости Ь зависит только от давления. После
дифференцирования равенства (2.1) по давлению р получим, что при
потенциальных движениях газа плотность р зависит только от
давления, т. е. в потоке газа верно соотношение
Р =/(/>)• (2-2)
Следовательно, условие баротропии (2.2) является необходимым
условием для потенциальности плоского установившегося движения
газа. Также очевидно, что при потенциальном движении нижний
предел р* в интеграле (2.1), равный давлению торможения газа, есть
величина постоянная на всех линиях тока.
Далее мы будем рассматривать уравнения движения газа, когда
связь между плотностью и давлением (2.2) может быть произвольной.
Эти уравнения можно взять в виде:
** ?ду' (2.3)
dcp Po_fty J
ду р дх ' J
где ср —потенциал скоростей, ф — функции тока, р0 — некоторая
постоянная, которой можно распорядиться в дальнейшем.
О) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 371
Задачи газовой динамики состоят в интегрировании уравнений (2.3)
,рИ наличии соотношений (2.1) и (2.2), из которых следует, что
плотность р зависит от величины скорости
поэтому уравнения (2.3) являются нелинейными дифференциальными
уравнениями.
Рассмотрим плоскость движения z=*x-\-iy и плоскость ?0=<p-j-%
Линии тока ф = const, и эквипотенциальные линии © = const, образуют
два ортогональные семейства линий в плоскостях г и w (фиг. 9.1).
v-^ (p^const
V,
, ©
V
=con
St
ДО
tf^
<f>
Фиг. 9.1. К отображению области, занятой газовым потоком в плоскости х,у,
на соответствующую область в плоскости <р, <\>.
Функции <?(х,у) и ty(x,y) определяют отображение области,
занятой газовым потоком в плоскости г, на некоторую область
в плоскости w. При этом отображении бесконечно малый
квадрат со сторонами dy = dty переходит в бесконечно малый
прямоугольник со сторонами dst и ds2 (фиг. 9.1). На основании
уравнений (2.3) имеем:
Отношение сторон прямоугольника в плоскости г определяется
равенством
*2l = -L. (2.4)
dsy po v
dso
Если плотность р переменна в потоке, то отношение -^~
переменно. Соответствующее отображение называется квазиконформным.
Если р = р0 = const., то отображение конформно (случай
несжигаемой жидкости). Из (2.1) следует, что при увеличении
скорости давление уменьшается. Соотношение (2.2) обычно дает, что
24*
372 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА ГГл
с уменьшением давления плотность тоже уменьшается. Следов
тельно, для фиксированных do = dty с увеличением скорости соотвеГ
ствующие прямоугольники уменьшают свои размеры и вытягивают/
в направлении движения. Эти свойства семейства линий тока 1
эквипотенциальных линий можно положить в основу приближенных
численных и графических методов.
Для преобразования уравнений (2.3) к новым переменным можно
написать:
Яго Я-п
afcp = Jl dx -\- —• dy = to (cos Ь dx -[- sin 6 dy),
^ = d* ^ "^~ "dv 4? = ~ * ^sin fJ **'— cos ^ ^'
где 6 — угол, составляемый скоростью ъ с осью х. Разрешая
относительно dx и dy, найдем, что уравнения <2.3) равносильны диффе-
ренциальному соотношению
dz-.
(rfT + 'f ^)Т«- (2-5)
Выберем теперь в качестве независимых переменных угол 0 и ^,
где 5 — некоторая функция от величины скорости Ь, которую мы
можем выбрать по произволу. Если функция р = /(р) задана, то
очевидно, что величины р, р, to, s можно считать для всех движений
одними и теми же функциями одной из них; одну из этих трех
функций можно выбрать произвольно.
Уравнения для v(s, 0) и ty(s, 6) легко получить из (2.5) как
условия интегрируемости. Эти уравнения имеют вид
д? _ Г Ро Е "1 д<1> ду Г ро Ъ' (s) ^(Ро\\д± (о а)
дЪ~1р b'(s) \ds ' ds [р Ь ds\pj\db' K }
Пользуясь свободой выбора функции b(s), можно выражения
в скобках подчинить одному условию. В частности, определим b(s)
так, чтобы выражения в скобках равнялись друг другу, т. е.
Ро t) _ Pq b'(s) d/p0\_l/-r; (e)n\
TW)~7~^ s\TJ~yKm {г)
На основании (2.7) для фиксированной связи р = /(/?) функции
b(s) и К(s) получаются вполне определенными. Еще С. А.
Чаплыгин указал, что величина К для адиабатических движений
совершенного газа отличается мало от постоянной для значительного
диапазона малых значений чисел М.
Уравнения (2.6) на основании (2.7) приобретают канонический
вид:
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
373
§2J
уравнения (2.8) представляют собой линейные дифференциальные
уравнения, так как величина К — известная функция от независимого
^ременного s *)•
Отметим важную особенность уравнения (2.8). Если ввести новые
переменные jx, v, связанные с 6 и 5 функцией вида
О + /5 = Ф (jx + /v),
то уравнения (2.8) сохраняют свою форму:
д?
= VK(^)Z> -S- —V^i^O
•дф
(2.9)
Рассмотрим теперь следствия из условия (2.7) и уравнения (2.1).
После простых выкладок получаем:
f\.
а*}
Р5
1 +
j>*
dp
dp
4$ J
ds
db
УК
?o
(2.10)
(2.11)
где а2~~~- — величина, играющая роль скорости звука для
процесса, определенного связью р =/(/?). Величина а является
действительной скоростью звука, если при звуковых возмущениях
используемое соотношение р = /(/г) выполняется.
Функция Чаплыгина К обращается в нуль, когда число * М = —
равно единице, т. е. когда скорости газа совпадает с местной
скоростью звука. Очевидно, что АГ>0 при М< 1 и /С<0 при М>1.
Величину р0 можно рассматривать как некоторую характерную
плотность. Условимся измерять плотность в долях плотности р0,
тогда во всех предыдущих формулах надо положить р0=1.
Заменяя -£- через р, из (2.7) и (2.11) получим:
d9 ?>К— 1
*в"7Г" <2Л2>
Зная функцию /?(р), из (2.10) найдем /С(р), а из (2.12) s (р).
J) С. А. Чаплыгин приводил уравнения (2.6) к виду ~- = -^ и ~- =А^ .
Очевидно, что переменные s и st связаны соотношением ds^-^Kds^.
Введение переменного s и преобразование уравнений движения к форме (2.8)
произведено Л. С. Лейбензоном. (См. Лейбензон Л. С, О теории
движения газов. Доклады Академии наук СССР, т. Ill, N° 9, 1935.)
374 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл
Из (2.10) легко выразить функцию р(р) через /С(р). После дид,
ференцирования из (2.10) получим: ^%
Z-KiTvhi-TfbV*-»]-
Отсюда после интегрирования найдем:
Р = ) p^-i dp. (2.13)
При определенной1) функции /С(р) получается семейство функций
р (р, С1э С2), зависящее от двух постоянных интегрирования Сх и С2.
Формуле (2.13) можно придать вид:
„/-
? 2<*р
Р=Л + «»Чр»9*(р»)--1] J с^р>у„1 <*р. (2.М)
р*
Формула (2.14) дает зависимость р(р), если функция /С(р) задана и
еще удовлетворены следующие дополнительные условия: при р=р*
имеем: -т£ = а^ и р=р%> где /?# и al — величины, выбранные из
каких-либо дополнительных соображений.
Учитывая (2.12), уравнения (2.8) после замены переменного s
через переменное а, зависящее от р, можно представить в виде:
Й—'<Р)(Р»*-1)#, '(PWK-Vg—Kg-. (2.15)
Функцией о(р) мы можем распорядиться в дальнейшем. Уравнения
(2.15) сохраняют вещественный вид в сверхзвуковой области, где
К<0.
Из (2.15) получаются следующие уравнения второго порядка для
функций ф (о, 6) и о (о, 6):
s+i-e*• «-»i#+g^;S-* (2•l6,
а* -г dQ ^ ^ ^ j до +/*у^_ 1)2 до> - и- С2-17'
Полученным линейным уравнениям мы можем придавать
различный вид при различной выборе функций р(о), если /С(р) задано.
1) Если К (\) = 1, то на основании (2.10) & = 0 при р= 1. Если условие
АГ(1) = 1 не удовлетворяется, то при р= 1 имеем ЪфО; поэтому в этом
случае рр не равнр плотнорти э критической точке Ь = 0,
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
375
§2]
Для дозвуковых режимов движения уравнения (2.16) и (2.17)
ля <?(5>*0 и *К^>5) на основании равенства (2.12) (o = s) имеют
бедующий вид:
de2~1~ds* 2 as rfs
дЦ,дЦ. 1 дф d
1п/С = 0,
Для сверхзвуковых режимов движения /С<0; поэтому
равенству (2.12) ds имеет чисто мнимое значение.
Полагая —/С = ЛТ1 > 0 и s = s0-\~it, получим:
dt=-
P2*i + 1
(2.18)
согласно
(2.19)
Уравнения (2.18) для сверхзвуковых движений можно написать
и действительном виде:
.ае2_ а*2 «" 2 а/ л Al — '
^i_^_l^jLi„ir —п
ае2 а*2 2 a* «и mAl~
Вдоль характеристик уравнений (2.20) имеем:
t — 8 = 21 = const., f-f- 6 = 2tj = const.
Отсюда
Уравнения (2.20) в характеристических переменных 6, 7j примут
вид:
(2.20)
(2.21)
(2.22)
1 rf
Для комбинации -т-"5Г *n^i» К0Т0Рая определяет конкретную форму
уравнений (2.22), верны формулы:
L±XnKl=A-dJLidJl = -i±J^d]k=F{l+Ч). (2.23)
4 rt * 4/Ci rfp dt 4 У>5 <*Р
Функция F(l~\-ri) определяется с помощью (2.19), (2.21) и (2.23),
если функция АГ(р) известна. Если задаться функцией F (S + *i), то
перечисленные соотношения определят вид функции К (р).
Пусть вблизи точки перехода через скорость звука имеем;
376 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл
Тогда из (2.19)
2 —+ 1
Следовательно,
Z7
гкр
При т = 1 имеем:
4Ул3(Ркр-Р)Ш+2 (2т+ 4)/ <S + i|)(2m + 4)"
_1_
б*
^^-=67П^- <2'24)
Таким образом, для любой связи /С(р), когда (-р) =а не
4 Р'р = Ркр
равно ни нулю, ни бесконечности, главный член в разложении
функции F{^-\-r\) вблизи точки £-|-г| = 0 получается независимым от
вида функций /С(р). Если равенство (2.24) не удовлетворено, то
при р = ркр функция /С(р) имеет особенность.
Если, кроме функции р(о), мы будем распоряжаться функцией К (о),
то это равносильно любому выбору в функции от о коэффициентов
во втором и третьем членах уравнений (2.16) и (2.17); этим
определится вид уравнений (2.18) и (2.22). Задавшись этими
коэффициентами или определенными уравнениями (2.18) и (2.22), мы можем
найти соответствующую связь между давлением и плотностью с помощью
соотношения (2.14).
В дальнейшем мы рассмотрим вопрос об определении функций
р(о) и К (о) так, чтобы уравнения для ^ Или для о имели
канонический вид, удобный для интегрирования, и вместе с этим связь между
давлением и плотностью получалась бы близкой, в требуемом смысле,
к заданным физическим соотношениям.
С физической точки зрения водоизменение уравнений движения
газа за счет выбора функции /С(р), сводящегося к выбору функции /?(р),
не должно сильно видоизменять искомые решения, если выбранная
связь между плотностью и давлением близка к связи, определенной
из опытных закономерностей, которые, по существу, могут быть
только приближенными *).
Определив функцию ф (о, 0) или ср(о, 0), мы можем вычислить
z(а, 6) = х -f-iy квадратурой из (2.5), воспользовавшись еще
уравнениями (2.15), формулами (2.14) и (2.1). При этом вычислении
результат зависит от р*, «<. и от давления торможения р* (нижний
предел в интеграле (2.1) — постоянная интеграла Бернулли).
Указанные постоянные не входят в основные уравнения (2.15) или в
уравнения, эквивалентные уравнениям (2.15). Постоянная /?* из формулы
(2.14) в формулу (2.5) непосредственно не входит.
*) Решения правильно поставленных задач должны обладать
устойчивостью по отношению к" опытным закономерностям,
§31
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
377
§ 3. Линеаризация уравнений движения с помощью
преобразования прикосновения и некоторые обобщения
этого преобразования
В конце 19 века в дифференциальной геометрии и в
аналитической механике широко использовалось преобразование прикосновения
(преобразование Лежандра). Тогда же это преобразование было
применено к уравнениям гидродинамики в теории одномерных неустано-
пившихся движений газа с плоскими волнами *) и в теории плоских
потенциальных установившихся движений газа2).
В общем случае исследование движений газа можно производить
с помощью перехода от потенциала <? и функции тока ф к
некоторым другим искомым функциям Фи/. Рассмотрим такого рода
переход для преобразования Лежандра, которое в данном случае можно
представить соотношением
9 + |ф = ***-<•—(ф + 1у). (3.1)
Из (2.5) и (3.1) сразу следует, что
йФ = Re [zd0>е-*% dL = Im [zi(p»e-*e)J. (3.2)
Отсюда получим
ЛЬ
db ds ' t> ав ~~ d (pb) ds pb db
~,-,:а_^ ^i.i i дФ _ Ids dx 1_ дх ,~ ox
В полученном соотношении функцией Vj(s) или р (s) можно
распорядиться произвольно. В равенстве (3.3) содержатся уравнения,
связывающие Ф и/. Если мы воспользуемся (2.11) и (2.12), то эти
уравнения получатся в форме
дФ' I дх дФ __ 1 дх
дЬ ptjfKds ds p У К дб
(3.4)
Уравнения (3.4) являются линейными дифференциальными
уравнениями, эквивалентными уравнениям (2.8), и имеют тот же самый тип.
Введем теперь функцию о(р). На основании (2.12) уравнения (3.4)
приобретают вид:
дФ _ da (p*K— 1) дх
дЪ — dp рЖ да '
дФ^ 1 дх
до da 9, «.. 1Ч дб
(3.5)
!) См. Риман, Распространение волн конечной амплитуды. Сочинения,
Гостехиздат, 1948, стр. 376.
2) М о 1 е n b г о с k P., Archiv Mathem. u, Physik, Grunde Hoppe, серия 2,
т. 9,1890.
378 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [гл.
Уравнения (3.5) сохраняют вещественный вид в сверхзвуков^
областях и по своему характеру аналогичны уравнениям (2.15).
Соответствующие линейные дифференциальные уравнения второы
порядка для у (о, 6) и Ф (о, 8) имеют вид:
дЧ i дг d Г/Р2/(-П . К д\ __
да* ~Г да da [ ^К J "" °'2 (ргК— I)2 д62 — U> <A6j
д^Ф , дФ d г , о/ о„ 1Ч1 , /С д2Ф Л /0lfc
^+а7^-^^(р^-1Я + д,2(р2^1)2аб2- = о. (3.7)
Все замечания, сделанные по отношению к уравнениям (2.1б\
и (2.17), могут быть перенесены на уравнение (3.6) и (3.7).
На основании (3.1) и (3.3) очевидны следующие соотношения;
которые могут быть полезны для формулировки граничных условий,
Частный вид преобразования (3.1), равносильный
соотношениям (3.8) и (3.9), можно обобщить и получить в преобразованных
уравнениях дополнительные возможности выбирать функцию К (р)
более близкой к ее значениям, заданным физическими условиями
задачи. Можно рассмотреть соотношения вида
где Lj и 12 — соответствующие операторы, определенные таким
образом, чтобы уравнения для Ф(6, s) и у (6, s) приобретали
некоторый канонический вид. Задаваясь видом уравнений для Ф и у и
общим видом операторов Lt и Z,2> можно изучить свойства эти*
операторов и произвол в выборе функции АГ(р), входящей в уравнет
ния (2.8), которым удовлетворяют функции ср и ф.
Например, в качестве естественного обобщения преобразовав
иия (3.8), (3.9) рассмотрим более общее преобразование вида
«!> = —лчх + л!-^
дФ
? = — т2Ф-\-п2-
(3.10)
~ds
где коэффициенты т19 пи т2, п2— функции от s, независимые от
частного рассматриваемого вида движения. Если мы примем
дополнительно, что функции Ф и 5С связаны уравнениями Коши-Римана, т. е.
Ф + /х = /Чв + &)> (3.11)
то подстановка преобразования (3.10) в уравнения (2.8) приводит
К соотношениям:
С п\
т^ — const., m2= const., п2~—, K = jjt (3.12)
§4]
причем
АДИАБАТИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ 379
V т2
где С> А — постоянные интегрирования. Соответствующая функция
Чаплыгина К получилась существенно положительной.
С помощью формул (3.12) и уравнения (2.12) легко
определяется зависимость между р и К, которую можно представить в
случае Щ = Щ = т и С = 1 в виде
Q(l-V^r(mV^+l) + (l+^)1/OT(>»V^-l)
9 Щс1(1-Ук)1'т(ук+т) + (1+Ук)т(У7<-т)]
При /С=1 имеем р=1.
В формуле (3.13) можно определить постоянные Сг и т так,
чтобы в некоторой области дозвуковых режимов зависимость К(р)
была близкой к заданной. Подробное исследование этой задачи
дано асп. Г. А. Домбровским. Этим путем можно получить хорошую
апроксимацию адиабатических соотношений в большом диапазоне
дозвуковых режимов движения.
§ 4. Адиабатические потенциальные движения совершенного газа
Во многих вопросах газовой динамики важное значение имеют
задачи об адиабатических движениях совершенного газа. Рассмотрим
в этом случае особенности ,общих соотношений, установленных выше,
в § 2.
Возьмем в качестве характерной плотности р0 плотность
торможения, равную максимально возможной плотности в потоке,
соответствующей нулевой скорости газа.
Из условия об адиабатичности и из интеграла Бернулли имеем:
р*
£ = РТ> (4Л)
(4.2)
_1_
Ъ2 \т—1
\ *d)
or W PT ~ 7—1 L PT J
-i£-
cv '
ность).
где «y == — = const., a p заменяет собой — (относительная плот-*
380
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[гл.
Далее на основании (2.10) и (4.3) функция Чаплыгина равн
K-pTf1 — M J-7=T^ — Т^ГТйТ- (4.4)
На фиг. 9.2 представлена зависимость М(р) и К(р) при 7 = 14
Из (4.4) очевидны равенства
АГ(1) = 1,
1
При р ===== р ===== Г j верны равенства:
ЛГ(ркР) = 0,
(4.5)
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
Первые члены разложения функции К (М) по степеням числа М
имеют вид:
Y_+3
Y + 1V-1
^=(1_М2)(1+^М2)'' '=1—I±iM4 +
(4.11)
Очевидно, что при малых значениях числа М величина уК
с большой точностью может быть заменена единицей.
Из (2.11) и (4.4) после интегрирования получим:
Vn
1 +
У т + 1
V т+1
•/И» <4Л2)
где
г y — 1 1 — 1 р'
s0—вещественная постоянная интегрирования, V = e8 — новое
переменное, которое можно взять вместо s.
§4]
АДИАБАТИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
381
Величина 5 получается действительной для дозвуковых скоростей
при М < 1- Легко видеть, что для сверхзвуковых скоростей при М > 1
получим s = s0-]-//, где t действительно. При р=1 имеем: а>=1,
^5=0, s — — сю; при р = ркР имеем: <о = 0, V= V0 и s = s0.
Если мы, на мгновение, положим /С=1 (что выполняется точно
для несжимаемой
жидкости), то уравнения (2.8)
превратятся в условия
Коши-Римана и,
следовательно,
Для несжимаемой
жидкости можно положить
s = lnb и поэтому
V = е* = *>.
Возвращаясь к
адиабатическим течениям
совершенного газа,
сохраним толкование значения
переменной V как
скорости некоторого
потенциального движения
несжимаемой жидкостиг).
Постоянную V0 можно
определить так, чтобы
для некоторой характер;
ной скорости fc*
(например, для скорости в
бесконечности) выполнялось
равенство
У* = Ъ*.
Смысл этого условия
сводится к тому, что поле скоростей газа и соответствующее поле
скоростей несжимаемой жидкости наилучшим образом апроксимируются
между собой вблизи скорости Ь*.
*) Из (4.12) очевидно, что в движении несжимаемой жидкости, которое
можно вводить различными способами, величина скорости не может быть
большей, чем V0. Потенциал и функции тока для несжимаемой жидкости
и для газа в переменных V, 6 удовлетворяют различным уравнениям; поэтому
в соответствующих точках они принимают различные значения. Линии тока
одного течения вообще не переходят в линии тока другого течения.
м\
w
0
1.0
г.о
3ft
4ft
i
\;М
а
5 1
Г
t
0 р\
Фиг. 9.2. Величины М и К в функции
относительной плотности р для адиабатических
движений совершенного газа.
382 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [гл.
Вместо этого условия можно потребовать, чтобы
1нп-в1,
*->0 ll
так как при любом V0 мы имеем одновременно V = 0 и Ь = о
В этом случае апроксимация происходит в критической точке, и ее
порядок повышается.
На основании условия V* = \>* и из (4.2), (4.3) и (4.12) еле-
дует:
V _ F(M)
b~F(M*)9 (4ЛЗ)
где число М* соответствует скорости *>*, а функция ^(М)
определяется равенством
I П~—\ \av" т-1 /
^(М)=^— 7-г \,.^г-. ч -т4т- (4Л4>
Формула (4.13) дает соотношение, удовлетворяющее также
условию lim т-=1, если положить М* = 0.
Легко проверить, что для постоянной V0, входящей в фор»
мулу (4.12), верна формула
I/—to i.A-1 x
причем если 7 == 1,4, то т^гг = 0,7577.
Функция F(M*) убывает с возрастанием числа М*; поэтому
величина V0 возрастает с увеличением числа М*. Соотношение (4.12)
можно переписать еще так:
й- , v - MF™ (4Л5)
/Sw ^/"Нл+Т+Т
М2
Из формул (4.13) и (4.14) следует, что отношение — и
величина V зависят от характерного значения числа М*. На фиг. 9.3
сплошной линией представлена эта зависимость для М* = 0. Для
других значений числа М* эту связь можно представить той же
кривой, только масштабы по обеим осям координат должны быть
и
АДИАБАТИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
383
увеличены в отношении * ', которое определяется из этой же
кривой, так как
/■"(М*) /V*
/^(0)
"(5) ■
0 первоначальных масштабах новая кривая для М* = 0,6 нанесена
пунктиром на графике фиг. 9.3.
Если рассматривать величину V как скорость некоторого потока
несжимаемой жидкости, то коэффи- у
циент давления (с использованием
формулы Бернулли для
несжимаемой жидкости), определенный по
формуле
Г _2(p-ft)_
(4.16а)
где
*~V
Фиг. 9.3. Пересчет скорости газа Ь
к величине V.
Vi — некоторая характерная
скорость, зависит только от
отношения р-. Очевидно, что
величина коэффициента Сри может быть
выражена в функции чисел М
и Mt независимо от числа М*.
В частности, мы можем положить М* = 0, М! = Моо или М* = Моо,
Mj = Moo, это не повлияет на зависимость Срн(М, Моо), но
повлияет на отношение скоростей —■.
Для адиабатических движений совершенного газа из уравнения
Бернулли имеем:
->pv •
. 2 (/>-/>«,)
Роо^оэ
2 1
7м£
1 +
1
Ml
i+^м»
1
(4.166)
Если на основании дополнительных соображений ввести при-
ближенно соответствующее движение несжимаемой жидкости со
скоростью V, то пересчет распределения давления можно получить
с помощью функциональной связи
Cpr = F(Cpu, Moo), (4.17)
которая получается после исключения чисел М из (4.16а) и (4.166).
384
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
(гл.
IX
Для
Очевидно, что все указанные пересчеты имеют смысл только
дозвуковых величин скорости газа1).
Для сверхзвуковых режимов движения положим s = s0-]-fc и
(4.12) при М>1 легко найдем: ' 3
'-/"^arctgy^^JtM*—О-агс^У'М»^^ (4.18)
Зависимость *(М) для f =1,4 представлена на фиг. 9.4. Напомним
Ш7\
2.0
\Л
ю\
0.5
0 1
5 г.
1 !
/ i 1
/ ч
/ Ч
/ • I
/ ч
/ f 1
/ »1
/ i 1
/ т 1
i I
1
О 145
W
из
1165
Фиг. 9.4. Кривая зависимости переменной t = 5 -|- t\ от
коэффициента скорости X или от числа М. Эта кривая позволяет
определять наклон скорости 0 в функции М вдоль характеристик.
что вдоль характеристик верны равенства
t— 0 = 2& = const.
или
f-J-6 = 2г| = const.
Эти соотношения определяют зависимость угла Ь от числа М вдоль
1) Такой пересчет невозможен, если скорости несжимаемой жидкости
достаточно велики (К> V0).
АДЙА6АТИЧЕСКИЁ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
385
§4]
характеристик. Для фактического вычисления 8(М) можно
использовать график на фиг. 9.4.
При М>1 согласно (4.11) имеем:
2
_/C=/c1 = (M2-l)(l+1:r:M2)Y'"1.
Пользуясь этим выражением и формулой (2.23), можно написать:
v ' "4 dt 4 <Ш l dt 4 /(M«-
•l)3
Зависимость F от S —|— tq определяется из (4.19) и (4.18).
дц д?ф (Т + 1) М* д<\> ^ 0
д№ дР V(M2—I)» dt
или
дЦ _
(4.19)
U Ш № № 9 М
Фиг. 9.5. Функция Z7 (£ + ?)) для адиабатических движений.
v
Уравнение для функции тока ф имеет вид:
(4.20)
(Т + 1)М* т ,д±\
У(М2—1)з \dz ' дг\)
, t ^ , n , (4.21)
dldn 4 -Г7^ Гч8* l ^ ' * '
На графике фиг. 9.5 представлена зависимость F(l-\-v\) при ffc= 1,4.
25 Зак. 1631. Л. И. Седов.
3&6 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШЙЕбя ДВИЖЕНИЯ ГАЗА (гд
Уравнения (4.20) и (4.21) можно использовать как для свепх
звуковых движений, так и для дозвуковых движений, если принят*
во внимание, что tt=s—s0, а зависимость числа М от s —«Ь
определяется формулой (4.12), равносильной формуле (4.18). °
Уравнения (4.20) и (4.21) имеют довольно сложный вид и по.
этому неудобны для точного интегрирования в эффективном виде
§ 5. Приближенный метод С. А. Чаплыгина
Выше мы уже отметили, что функция Чаплыгина К для
адиабатических движений газа близка к единице для значительного
диапазона малых значений чисел М (р0 — плотность торможения).
Приближенный метод изучения движений газа, предложенный
С. А. Чаплыгиным, основан на замене функции К единицей:
*=1. (5.1)
Это допущение на основании формулы (2.14) приводит к связи
между плотностью и давлением, имеющей вид:
Р = Р* + <Р* у*- (5.2)
Уравнение (5.2) в плоскости р, — определяет прямую, которая про-
г
ходит через точку (/?#, —); наклон этой прямой определяется произ-
\ Р*/
водной (~) = я*, равной квадрату скорости звука для процесса,
определяемого формулой (5.2) при р = р#. Прямую (5.2) можно
рассматривать как приближение к кривой p=/f —J, заданной
физическими условиями задачи. Такое приближение в известном диапазоне
изменений плотности можно устанавливать различными способами:
прямую (5.2) можно совместить с касательной в какой-либо точке
(Р*> —) или с хордой, соединяющей две заданные характерные
точки кривой р =/(—V и т. п.
Согласно формуле (5.2) давление р обращается в нуль при
некотором конечном значении р#* и становится отрицательным при
меньших значениях р. Очевидно, что для таких значений плотности и
отвечающих им режимов движения соотношение (5.2) перестает
сохранять физический смысл для газов.
При соотношении (5.2) интеграл Бернулли (2.1) принимает вид:
■«.«*.№_!]. (5.3)
рЗо L р2 J
а* ЙРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД С. А. ЧАПЛЫГИНА 38?
через роо обозначена постоянная интегрирования, равная плот-
^сти в критической точке (ь = 0). Мы примем, что для закона (5.2)
Н° совпадает с характерной плотностью р0; поэтому дальше поло-
№ л — 1
я им «Роо х • уЛ * Лч
В рассматриваемом случае соотношение (2.12) дает:
Р—1
Отсюда
-а — (5.4а)
К 1+р
или
I/2
0 (5.46)
где V0 — постоянная интегрирования. При V-> V0 имеем: р->0 и
согласно (5.3) скорость газа b стремится к бесконечности, однако
еще до этого давление становится отрицательным.
Воспользовавшись соотношением
d9 p2
и обозначением
а5 = ^ = а;Р;,
*Х А2
Роо
Уравнение (5.3) можно представить в виде:
^ + ао = а2. (5.5)
отношение — , при М -► 1 получим: Ъ-* оо, р -^ О, V->- V0
Отсюда ясно, что &2<а2 и, следовательно, при /С=1 во всех
точках потока скорость газа дозвуковая. Определяя число М как
а
Р-*—оо.
Пусть Ь* — некоторая характерная скорость и ей соответствует
скорость звука а*. В частности, можно принять, что значения Ъ* и а*
отвечают состоянию р*, р*.
Согласно (5.5) величины Ь* и а* связаны соотношением
Ь*2 + л§ = а*2. (5.6)
**3 (5.5) и (5.6) легко получается формула для вычисления местных
25*
S8S
ЙОТЕНЦЙАЛЬЙЫЁ ^СТАНОВИбШЙЕСЙ ДЙЙЖЁНИЙ ГАЗА
to*
значений числа М через М* = ;тзг и отношение ^
to^
ь*
М*
М =
to*
/■--0-Й
Исключая р из (5.3) и (5.4), найдем:
v,_2«o V
V0 , V«
1 —-
(гл.
(5.7)
(5.8а)
ил
V=
Vq
2йй
2to
(5.86)
Обозначим через V* значение V, соответствующее Ь*. Из (5,8)
и (5.7) следует:
£ = (1--Ь)-
V*
to*
V*2
. (5.9)
где
х-1?-.
м*2
у*2
[1 + У1-м*^я
Если распределение значений
отношения т^и число М* известны,
то по (5.9) определяется г* и после
Фиг. 9.6. Параметр* = Аг в функ- этого по формуле (5.7)-местШ«
Vq значения чисел М.
ции числа М*. Зависимость X от М*
представлена на графике фиг. 9.6.
Для величины V0 можно получить простые выражения, восполь-
зовавшись следующими условиями: если lim — = 1, то
(5.11).
»->0
если 1/* = Ь*, то
К0 = 2д0;
Vq^Oq + 0*.
В этих двух случаях зависимость отношения — представлена на фиг»*
(кривые lull). Во втором случае кривая // соответствует М*25*"
*«
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД С. А. ЧАПЛЫГИНА
389
. «^р гоафике для сравнения нанесена пунктиром кривая /// для
На это» жс 1У т у
.рния —• согласно формулам (4.13) и (4.14) при условии lim — = 1
"""" D *-»oD
и поэтому V0 = *max |/ ^=~ 0,7567 = Ьвр • 0,7567).
к.
^0
Рассмотрим теперь величину V как скорость некоторого движе-
несжимаемой жидкости. Ниже
*"" „окажем, что соответствующее
ижение несжимаемой жидкости ^Л
^егда можно ввести. ' t
В случае несжимаемой
жидкости используя интеграл Бернулли,
получим коэффициент давления
2(/>-/>*)^1 V2 /бЛ2)
Здесь, мы принимаем, что р*
соответствует V* и что плотность
несжимаемой жидкости'равна р*.
Для газа с законом (5.2) имеем:
г — 2(Р—Р*)-~
L,pT
W
0,8
0,6
W\
02
р-Г,
*ч^х"
<^N
Х=/
ч
/X
%в
*^ •««.
х$
<щ.
N.
\
&
->-
О 0,2 0,¥ 0,0 Of 1,0 V^
2 / р ч Фиг. У.7. сравнение различных пе-
= —s(l——) • (5.13) ресчетов скорости несжимаемой
М* \ Р/ жидкости к скорости газа.
Пользуясь этим, на основании (5.4), (5.8), (5.9) и (5.12) получим
формулу
• (5.14)
Срг —
^ш
]Л —М*2 +
м*2
2(1 + 1/"! — М*2)
Срн
Эта формула установлена Карманом и Цзяном *). При малых
значениях числа М* и коэффициента Срп формула (5.14) переходит в
формулу Прандтля-Глауэрта 2)
(5.15)
На фиг. 9.8 представлен график расчета коэффициента давления
*газе Срг в функции Срш и М*. На графике приведены данные по
Формулам (5.15), (5.14) и (4.17)* На этом же графике нанесены
*) См. Т. К а г m a n and Т s i e n, Jouf/ Aeronautical Sciences, № 12, 1939,
8) См. аналогичную формулу (7Л0) главы Н (стр, Щ
390
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
к 1Х
Фиг. 9.8, а. Сравнение различных способов приближенного
пересчета коэффициентов давления от несжимаемой жидкости к газу/
Фиг. 9.8, б. Сравнение различных способов приближенного J»P*"
счета коэффициентов давления от несжимаемой жидкости к rw
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД С. А. ЧАПЛЫГИНА
391
§51
дериментальные точки по опытам Стэкаг) для профиля NACA 4412.
Отметим, что значения коэффициента Ср из экспериментов для
больших значений числа М* = Моо зависят от вида профиля и от угла атаки.
При АГ=1 общий интеграл уравнений (2.8) имеет вид:
где f—произвольная функция комплексного аргумента b-\-i\t\V
Фиг. 9.8, в. Сравнение различных способов приближенного
пересчета коэффициентов давления от несжимаемой жидкости к газу.
Очевидно, что всегда можно ввести комплексное переменное С
так, чтобы имели место соотношения
9 + ^ = V*w(C), V*-<9= К*?' (5Л6)
В комплексной плоскости С функцию w(C) можно рассматривать
как характеристическую функцию некоторого течения несжимаемой
*, Ve~ib
жидкости, величина ^ представляет собой комплексную скорость
этого течения. Таким образом, газовому потоку в плоскости z — x-\-iy
ставится в соответствие фиктивное движение несжимаемой жидкости
в плоскости С. В соответствующих точках величина скорости газа \>
и величина скорости несжимаемой жидкости -щ связаны соотноше-
1938.
*) Stack G., Lindsey W. F, and LitteU R. E., Report NACA, №646,
392 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [ГЛ. IX
нием (5.8), а наклон скорости к вещественной оси, задаваемый
углом 6, в обоих потоках одинаков.
Область потока несжимаемой жидкости в плоскости С может быть
многолистной, и, следовательно, фиктивное движение несжимаемой
жидкости происходит, вообще говоря, на римановой поверхности.
Координаты х, у в плоскости потока газа легко выразить через
переменное С — комплексную координату в плоскости
вспомогательного потока несжимаемой жидкости.
Соотношение (2.5) при р0=1 можно написать в виде:
Подставляя сюда р из (5.4) и \> из (5.8), получим:
ь = Щ«+** -Y2L**-***-\u (5.17)
2я0[ Ve-* Vl V* V* J v '
Далее на основании (5.16) и (5.9) придем к окончательной формуле
^Л-Л-Х^Л (5.18)
Эта формула в случае, когда ^—=1, совпадает с формулой
Цзяна1).
В самом общем случае различие получается только за счет
множителя т~. Учет множителя т~ сводится к изменению масштаба для
координат в плоскости z. Поэтому очевидно, что эта величина не
влияет на отвлеченные характеристики потока, независимые от
масштаба.
Из сказанного выше следует, что при /С= 1 решение задач
о движении газа сводится к отысканию функции w (С). Если
функция w(Q известна, то выведенные выше формулы позволяют
рассчитать распределение всех характеристик газового потока.
Вместо независимого переменного С, изменяющегося в некоторых
случаях в неизвестной наперед области, соответствующей потоку,
можно вводить параметрическое переменное f, изменяющееся в
заданной области. При таком приеме решение задач сводится к
отысканию двух функций С(0 и w(f); последняя из этих функций обычно
легко определяется и имеет тот же вид, как и в аналогичной задйче
о движении несжимаемой жидкости в плоскости г.
При определении функции C(f) необходимо пользоваться,
опираясь на соотношение (5.18), краевыми условиями в плоскости z и
данными об особенностях этой функции в характерных точках потока.
1) Tsien, Journal oi the AeronauticaTSciences, т. 6, №A10, 1939.
§5]
ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД С. А. ЧАПЛЫГИНА
393
Очевидно, что -в задачах о движении несжимаемой жидкости мы
имеем *(0—£(*) и» следовательно, функция £(*) дает конформное
отображение области течения несжимаемой жидкости на выбранную
область параметрического переменного /.
Можно ввести в рассмотрение комплексную плоскость годографа
i5=s-r^.e-<e для соответствующего движения несжимаемой жидкости.
По определению имеем:
dw
Формулу (5.18) можно представить в виде:
2я0 , dwdk л dw - /с 1л\
tf*eWe *»-**• (5Л9)
Если область, соответствующая потоку в комплексной плоскости
)oe~ib9 известна, то с помощью формул (5.8) можно определить
область в плоскости 8= у* *"*'*• Характеристическая функция w(%)
может быть определена так же, как и в случае аналогичных задач
для несжимаемой жидкости.
В ряде случаев можно построить движение газа в плоскости z,
отправляясь от известных движений несжимаемой жидкости в
плоскости С. В частности, каждому струйному движению несжимаемой
жидкости в плоскости С (истечение из сосуда, обтекание профиля со
срывом струй, обтекание решетки профилей и т. п.) можно поставить
в соответствие струйное движение газа в плоскости г.
Соответствие точек потоков в плоскостях г и С или ги j
определяется формулой (5.18) или (5.19); при этом пересчете основные
размеры и геометрическая форма обтекаемых тел и свободных струй
зависят от числа М*.
В плоскости i функция w(%) определяет собой течение,
являющееся конформным отображением течения в плоскости С Очевидно,
что при этом отображении, в общем случае, критические точки
переходят в критические точки и, следовательно, -г- вообще обращается
в нуль при j = 0; благодаря этому в формуле (5.19) вектор г имеет
конечное значение в точке $ = 0.
Построение указанным пересчетом струйных течений газа при
наличии закона (5.2) в случае стенок, образованных отрезками
прямых, дано еще С. А. Чаплыгиным *); затем была развита
теория в случае криволинейных стенок и криволинейных обтекаемых
!) Чаплыгин С, А., О газовы* струях. Собрание сочинений, т. II,
Гостехиадат, 1948.
394 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [Гл%
профилей в работах Н. А. Слезкина *) в 1935 г. и в дальнейшей
15. Демченко 2), Якобом 3) и А. И. Бунимовичем.
Аналогичным путем можно построить непрерывные обтекания
изолированных профилей при отсутствии циркуляции*4).
Если циркуляция вокруг обтекаемого профиля отлична от нуля
то соответствие между переменными г и С вблизи бесконечно уд^
ленной точки перестает быть однолистным и поэтому указанный выше
путь перехода от аналогичного течения несжимаемой жидкости к те.
чению газа неприменим. Задачу об обтекании профиля с циркуля,
цией мы разберем подробно в § 8.
Отметим еще особенности течения при V-* V0; выше мы ука.
зали, что в этом случае М -> 1 и Ь->оо (при законе (5.2) роль
скорости звука играет бесконечно большая скорость Ь). Далее из
(5.17) и (5.9) имеем:
dw
=4»-
Рассмотрим соответствие точек z и Z, при 1/= V0b). Из (5.18)
имеем:
^dz = e^le^d^ — PWq. (5.20)
Вдоль линий тока dt = dseib и поэтому dz = 0 (ds—элемент
линии тока в плоскости С). Далее, из (5.18) вдоль линий тока имеем:
V0 ds*~ ds |_ y*2j*
В точке -дг =у получим:
%9p 2e**d-±V. (5.21)
V0 ds2 ds v
Направим ось х по касательной к линии тока в рассматриваемой
точке (ds = dx и 6 = 0). Из (5.19) и (5.21) следует, что если.
~2— > 0, то в особой точке координата х имеет максимум; поэтому
такая точка является точкой возврата на линии тока. Поле
скоростей в газе не может быть продолжено сквозь линию V= VQ в
соответствующем движении несжимаемой жидкости.
*)Слезкин Н. А., Обтекание плоским прерывным газовым пото*
ком криволинейного препятствия. Доклады Академии наук СССР, т. ">
№ 8-9, 1935.
2) D e m t с h e n k о В., Public, mathemat. delhreniv de Belgrade, т. И, 1933.
3) Jacob G., Comptes Rendus, т. 203, 1936, стр. 423.
4) С л е з к и н Н. А., К вопросу о плоском движении газа. Ученые
записки МГУ, вып. VII, 1937. Tsien, Journal of the Aeronautical Sciences,
т. 6, № 10, 1939.
5) Напомним, что при некотором V< V0 давление согласно (5.2)
становится отрицательным и, следовательно, еще до этого теряется физический
смысл соответствующего поля скоростей, как модели газового пртока.
§ 6] апроксимация зависимости р =/(—-) ломаной 395
Таким образом, для возможности построения газового потока в
соответствующем движении несжимаемой жидкости скорости не должны
превышать по величине V0.
Если воспользоваться условием о положительности давления
согласно формуле (5.2), то максимально допустимое значение V
получается еще меньшим.
Физически допустимые потоки несжимаемой жидкости в
плоскости С, в которых величина скорости V превышает указанные
выше пределы, нельзя взять в качестве исходных для построения
газовых течений в плоскости г.
§ 6. Апроксимация зависимости р=/(—j ломаной
из прямолинейных отрезков
В § 5 мы рассмотрели подробно случай if=l и выяснили, что
между плотностью и давлением имеет место связь (5.2). Рассмотрим
теперь общий случай, когда связь между плотностью и давлением
представляется в виде:
2 9
причем а*< —a*i при р>р* и a#i = a^ при р<р#г где
а^гфа^2 — постоянные. В плоскости/7, — соотношение (6.1)
геометрически изобразится в виде двух прямых, пересекающихся в
точке (р*, —) (фиг. 9.9). Направления этих прямых различны и
определяются величинами а*2 и я*,.
Обозначим через &# скорость, соответствующую плотности р#.
Интеграл Вернул ли можно написать в виде:
*в »!_,£ + ^£ = »:_<СН-а« (6.2)
где а2 = -£. Отсюда на основании формулы (2.10) для К получим:
^«О'О-Ю (/=1,2),
где
м.,-&. м..-£. (б.з)
Постоянные Кг и /С2 отличаются знаком, если M*i < 1, а М*2> 1.
Если постоянная р0 равна плотности в критической точке *> = 0 для
дозвуковой части ломаной M*i < h то на основании (6.2) ясно,
396
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
N. п
что Кг аа 1. Значение /£а < О при М#2 > 1 определится через р* и аПу
которые можно выбрать так, чтобы в плоскости р, — ломаная (6.1)
представляла в некотором смысле приближенно заданную физическую
связь р=д-) (например, ломаная может быть образована из двух
касательных в характерных точках, или из двух хорд и т. п.).
■ I \\ ' I I
: с
1 ■ I , ■ I I , ■ и, 1.1 ■ . ■ »
;
Я
I
Р
Фиг. 9.9. Заданная связь p=f(—j апроксимируется ломаной АОС.
При р > p# в дозвуковом случае выполняются все соотношения,
установленные в § 5. Уравнения для потенциала скоростей ср и для
функции тока ф можно взять в виде:
ду dty ду дф
(6.4)
l_e2(8+**— *o)
(6.5)
причем согласно (5.4)
Здесь и дальше мы принимаем р0=1; при s = s0 — s* имеем р = 0
и V=V0, при 5 = 0.имеем р = р*.
При р<р# в сверхзвуковом случае (/С2<0) введем новое
независимое переменное о, связанное с плотностью дифференциальным
соотношением
1*1
(6.6)
±
откуда
§ 6] аЬрокСимация зависимости р=/Г—j ломаной $9t
lA-AT2.p = th(o*— а),
где о*— постоянная интегрирования, которую можно определить из
равенства р = р# при с = 0.
На основании такого выбора переменной о уравнения (2.15)
приобретут вид:
'S-i^S. t=v~m- <")
При р>-р# имеем $<]0, а при р<!р# имеем <з;>0. Поэтому
при переходе через значение р* от дозвуковых скоростей к
сверхзвуковым переменное 5 (р) возрастает и в точке р == р* непрерывно
переходит в переменное а(р).
Постоянные s0 — s* и о# связаны соотношением
p, = th(s0—s*)=^^^. (6.8)
Для производных (■£-) _ и С-рЛ _ на основании (6.5), (6.6) и
(6.3) следуют равенства
с
'ds\ _ 1 __ 1
^рЛ=о р2 —1 M2t
р-р* * *г
fda\ _ _ У=Къ = _
^рЛ-о , р2,^2|+1 = ~
. Р=Р* *
Км;,-!
(6.9)
(6.10)
Очевидно, что в общем случае эти производные не равны друг
другу.
Из (6.4) и (6.7) следует, что функция тока удовлетворяет в
дозвуковой области уравнению Лапласа
ds* т ае2 — и'
а в сверхзвуковой области — волновому уравнению
дЧ дЧ _ Л
Рассматривая о и s как одно переменное, мы приходим к одному
уравнению
•W$+3-°. (б.п)
где ш (/)= + ! при *<0 и <о(/) =— 1 при i > 0.
398 ЙотёнЦйальнУе У6танови&Шиейя Движения газа (гл, ^
На линии перехода tf=0 соответствующей линии постоянной
плотности р#, .постоянного давления /?* и постоянной скорости Ь
необходимо выставить следующие условия сопряжения. Будем pact
сматривать t и 6 как декартовы координаты; очевидно, что в
плоскости /, 6 при tf = 0 величины р, р, Ь и в непрерывны. Из закона
сохранения массы следует, что функция тока ф также непрерывна
при переходе через ось t = 0, т. е.
4Uo = ^o- (6.12)
Далее, рассматривая ф как функцию р и 6, на основании равенства
для производной ■— в направлении, перпендикулярном к оси 9
(направление прямой 8 = const, в плоскости t, 8), можно написать:
\др /8=const. д9 (/?. ф) '
дф
Пользуясь этим, на основании формул (2.3) и (2.30) главы VIII
(стр. 306 и 316), верных вдоль любой изобары, получим формулу
£Ф
/д<!Л _ 1 0b ifti _ cos (р —• 6) (613)
\др)ь~ Ь dp d^~ «Ю_ ' 1 ' '.
где производная -т- взята по дуге переходной линии в плоскости
х, у, а р — угол наклона касательной к этой линии.
Из равенства (6.13) следует, что производная (;r-)fl непрерывна на
переходной линии. Так как
dp dt d$ dp '
то на основании (6.1), (6.9) и (6.10) получим условие
(д±\ Г 1 ]=(д±\ Г V*U-1 1
KdsJ^o [ му^ J иЛ-e L M^/rziiir^ J'
которое ввиду непрерывности скорости & приводится к виду:
Таким образом, на линии сопряжения необходимо удовлетворять
условиям (6.12) и (6.14).
§7]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ^РАВНЕНИЯ ДЛЯ ОКОЛОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЕЙ §§0
§ 7. Приближенные уравнения для околозвуковых и
сверхзвуковых скоростей
С помощью выбора функций р(о) и К (а) уравнения движения
можно преобразовать и приближенно заменять уравнениями
специального вида. Рассмотрим упрощения дифференциального уравнения длч
функции тока ф, при которых функции /С(р) и р (р) соответствуют
приближенно адиабатическим законам в совершенных газах.
Уравнение (2.16) для функции тока ^ (а, Ь) имеет вид:
Одним из наиболее простых уравнений смешанного типа является
уравнение
рассмотренное еще Эйлером 1) и затем с точки зрения общей теории
интегрирования более подробно изученное Дарбу2). В
характеристических переменных
? = |(-о)%_6, чв|.(_о)% + в
это уравнение преобразуется к следующей форме:
щ+б(е + *))(аГ+^}= °- (7-3)
Естественная постановка основных краевых задач смешанного
типа для уравнения (7.2) или (7.3) была дана и исследована Три-
коми 8).
Уравнение (7.1) обратится в уравнение Эйлера-Трикоми, если
положить
|(р^-1)=-Л, £ = «,- (7.4)
где А— некоторая постоянная. Очевидно, что при о = 0 имеем
/С=0 и, следовательно, в точке перехода через скорость звука при
Р = Ркр имеем о = 0. Для точки перехода можно написать:
\dp Л=о \яГрЛ=о
Постоянную А выберем из условия касания в точке р = ркр
кривой /С(р), соответствующей приближенному уравнению (7.2) и
*) Euler L., Institutiones calculi integralis, т. III. С.-Петербург, 1770.
2) Darboux G., Legons stir la theorie generate des surfaces, liv IV,
ch. IV и liv III; ch. VIII n° 402, Paris, 1894.
3)Трикоми Ф, О линейных уравнениях смешанного типа. Гостех-
издат, 1947. t
405
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Г*АЗА
(гл.
адиабатической зависимости /С(р). Согласно (4.9) это условие дает
формулу
Т4-2
(7.5)
д = 2'/з(1+1)8^-1).
Для вычисления К (р) из (7.4) получим уравнение
dp ~ 1 — А*р*К-
(7.6)
Постоянная интегрирования определится из условия К = 0 при
р = ркр.
На графике фиг. 9.10 сопоставлены кривые для К (р), полученные
из уравнения (7.6) и для адиабатических процессов при ^ = 1,4.
Фиг. 9.10. Сопоставление функций К(р) для
уравнения Трикоми и для уравнения Чаплыгина при
адиабатическом процессе (if = 1,4).
Из графика очевидно, что замена уравнения (7.1) уравнением
Трикоми (7.2) для адиабатических процессов дает удовлетворительное
приближение только непосредственно вблизи линии перехода через
скорость звука. При малых дозвуковых или при больших
сверхзвуковых скоростях апроксимация получается явно неудовлетворительной.
§ 7] ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАЁНЕНИЯ ДЛЯ ОкбЛОЗВУКОВЫ* СкОРОСТЕЙ 401
Для получения других апроксимирующих уравнений в
расширенном диапазоне значений плотности р заметим, что к уравнению (7.1)
применим метод Фурье. Если положить:
<J»=/(e)*Hnef (7.7)
где п — постоянная, то для /(а) из (7.1) получим обыкновенное
дифференциальное уравнение
g+ggln И)^')!-^^ (7'8)
Дальнейшие преобразования основаны на специализации и
упрощении уравнения (7.8). В качестве примера, в котором приближение
получается лучшим, чем с помощью уравнения Трикоми, рассмотрим
случай, когда функциональные связи р(а), К (а), а следовательно,
и К(р) — таковы, что уравнение (7.2) обращается в уравнение
Бесселя. Для этого положим:
Ain[o'(p)(P2A:-i)i = i.
или
dv А<з
dp ~ р2АГ— 1
и
_К а_{±
(7.9)
Q'i {fK— I)2 ~ A*\& ~~ /' ^7Л0)
1С-all-d»), S-Atn-^-r (7Л1>
где А и а — некоторые постоянные.
Соотношения (7.9) и (7.10) можно написать в виде:
da Аа
dp~ aV(l— a2) — 1 *
Отсюда определяется ремейство функций /С(р, А, а, С), где
С—постоянная интегрирования.
Постоянными Л, а и С можно распорядиться для получения
наилучшей апроксимации функции К (р), изученной в § 4 для
адиабатических процессов.
При наличии соотношений (7.11) уравнения (7.1) и (7.8)
приобретают вид:
И
я*+7-л+"Я5Ч1 з;/—.°- (7ЛЗ>
Рассмотрим теперь более подробно семейство функция К(р, а, А, С),
определенное уравнениями (7.11). Из (7.11) получим:
£--*»$• (7-14>
26 Зак. 1631. Л. И. Седов.
462 ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВЮКБНИЯ ГА§А [ГЛ. ty
В § 4 было выяснено, что при М = 0 и соответственно р = 1
верны равенства:
dp
4£ —»<1+Ч-
Чтобы удовлетворить этим условиям, необходимо принять, что при
1 л dv
р = 1 о = О и -р не равно
ни нулю, ни
бесконечности, причем а = 1 и А = 2.
Точка р = 1, о = 0 является
узловой особой точкой
уравнения (7.11), величину
можно задать про-
('<*рЛ-
0
аг=0
Фиг. 9.11. Различные приближения для К(р)
при замене уравнения Чаплыгина
уравнением (5.5).
извольно.
Из (7.15) следует, что
можно удовлетворить уело-
вию(^и=-2<-г+1),
если принять:
Ш,.~УТ+т. (7.16)
При таком выборе постоянных из (7.11) получим, что при М->0
функция /С(р) отличается от функции /£(р) для адиабатических
движений на величину порядка М6.
На фиг. 9.11 сопоставлены кривые для /С(р) при различных
значениях постоянных параметров. Кривая / отвечает адиабатическому
закону, кривая //.— соотношениям (7.11) при а = 1, А = 2 и
\-р) _ = У? + 1, кривая ///соответствует а = 1, А = 2 и (-т-) =4.
В последнем случае при М£^0 приближение к адиабатическому
закону имеет порядок М4, аналогично тому как и в приближенном
методе С. А. Чаплыгина. Кривые I и II согласуются качественно
при дозвуковых и малых сверхзвуковых скоростях. Связь между р
и —, соответствующая кривой ///, когда р#, р% и а2 в формуле (2.14)
взяты для M* = 0,87f в адиабатическом движении представлена на
фиг. 9.12. В этом случае получается неплохое количественное
приближение в значительном диапазоне чисел М от нуля до 1,2.
При изучении околозвуковых движений постоянные а и А можно
подобрать из условия о наилучшей апроксимации адиабатических
1
законов вблизи критической скорости, для которой р=ркр = ( .Л ,
к 71 приблйЖеннУё Уравнения ДЛй Околозвуковых бкбРоётЕЙ 403
/С=:0 и, следовательно, оа=1. Кроме этого, на основании (4.9)
й (4.10) выполняются следующие условия:
/T + iy-i
адиаб
'р-^р,
Эти условия на основании соотношений (7.11), (7.2) и (7.13)
приводят к формулам:
. 1 1Г4-1
27 + 5/t+iy-1
2
W
2Т + 5Ч 2
(7.17)
Приближение, полученное таким образом, оказывается лучшим, чем
приближение,
полученное при сведении
уравнения для ф к
уравнению Трикоми.
Награфикефиг. 9.11
зависимость /С(р) при
7 = 1,4 для а и Л,
определяемых из (7.17),
представлена кривой
IV,
1
Зависимость — от
Р*
Фиг. 9.12. Связь между плотностью и давлением.
Сплошная линия — адиабатическая
закономерность; пунктир — приближение согласно кривой ///
на фиг. 9.11.
—, вычисленная по
формуле (2.14), при
Р*=Ркр И р*=Ркр
представлена на фиг.
9.13, где сплошной
линией изображена
кривая для
адиабатического закона. В
большом диапазоне скоростей, содержащем точку перехода через скорость
звука, полученная приближенная связь близка к адиабатическому
закону. В точке перехода давление и первые три производные от
давления по плотности те же, что и при адиабатическом движении.
Для получения приближенных уравнений в сверхзвуковой области
можно поступать следующим образом. Уравнение (4.21)
дЦ = (г + цм* /at ,аф\ (718)
dldi\ 4(М2 —1)% \ di dt[)
26*
404
ЙОТЕНЦИАЛЫШЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГА&А
[ГЛ. ft
можно заменить уравнением
(7.19)
где /г — постоянная. Интегрирование уравнения (7.19) подробно
изучено Эйлером и Дарбу. Если /г = 1, 2, 3, ..., то для уравнения
(7.19) можно написать общий интеграл в следующем простом виде:
8»-* ГЛ(6)+/,(11П
(7.20)
где /j(5) и /2(tj) — произвольные функции.
Если п не целое, то общий интеграл также можно написать
V I
Р
Фиг. 9.13. Апроксимация адиабаты приближенной связью.
В точке перехода давление и первые три производные от
давления по плотности одинаковы.
в явном виде. В частности, если 0 < п < 1, то для общего интеграла
верна формула:
1
фв(6+ч)1-«* J>(5 + (&+4) t)[t(l —/)]-•<» +
+ /ф(Б + (& + ч)*)[<(1 —W'1*.
где Т7 и Ф — произвольные функции своих аргументов. С помощью
указанных общих интегралов нетрудно построить решения
некоторых важных краевых задач. Уравнению Трикоми в
характеристических переменных (7.3) соответствует /z = —.
§ 8] ЗАДАЧА О НЕПРЕРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ С ЦИРКУЛЯЦИЕЙ 405
На фиг. 9.5. (стр. 385) показан г) характер приближения уравнения
(7.19) к уравнению (7.18) при л=Л и п = 2. Очевидно, что такая
апроксимация груба для околозвуковых скоростей.
Уравнение (7.19) встречается в теории одномерных изоэнтропи-
ческих неустановившихся движений газа с плоскими волнами 2).
Соответствие между ' постоянной п и коэффициентом Пуассона f в этом
случае следующее:
я = 1, т = -з~;
л = 2, т = -£-=51,4;
и т. д.
§ 8. Задача о непрерывном обтекании профиля с циркуляцией
Рассмотрим задачу о дозвуковом обтекании изолированного
профиля газом в приближенной постановке С. А. Чаплыгина,
основанной на замене функции Чаплыгина К единицей и, следовательно,
замене заданной связи р(р) в плоскости /?, — прямой (5.2).
г
В § 5 было показано, что, задаваясь течением несжимаемой
жидкости в плоскости комплексного переменного С, можно построить
соответствующее движение газа в плоскости комплексного
переменного г. Линии тока в плоскости С переходят в линии тока в
плоскости z\ соответствие точек в плоскостях z и С определяется
формулой (5.18):
£*_«_» (fj'Z (8.1)
При Х = 0 (случай М* = 0) переменные 2 и С могут отличаться
только за счет сдвига начала координат и множителя -^Д.
Возьмем в плоскости С некоторый контур, непрерывно
обтекаемый несжимаемой жидкостью со скоростью в бесконечности,
равной единице. Очевидно, что при таком условии !/«, = V*, а для
г) Такие приближения получаются в приближенных приемах,
предложенных С. А. Христиановичем. (См. Христианович С. А., Приближенное
интегрирование уравнений сверхзвуковых течений газа. Прикладная математика
и механика, т. XI, вып. 1, 1947.)
2) См. Ландау Л. и Лифшиц Е„ Механика сплошных сред. Госте**
издат, Москва, 1944. '• < * •
f
406 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [гл. ^
величины скорости в бесконечности в плоскости газа имеем
^00 = ^*, причем согласно формулам (5.8) и (5.9) имеем:
«= Ясо Мод (8,2)
м!
"со
h + Vi-Mlf4
(8.3)
Связь между а0 и V0 получается из дополнительных предложен
ний (см. § 5).
Лпц функции -j~ при £-> + оо верно разложение
ft * + 2%i С ^ С2 + *''• \*л'
где всо—угол наклона к действительной оси набегающего потока,
Г—циркуляция по бесконечно удаленному контуру в плоскости С.
Для простоты, без ограничения общности мы дальше примем, что
6^ = 0.
Из формулы (8.1) следует непосредственно, что в плоскости г
вблизи точки * = оо, которая соответствует точке С = оо,
однолистность имеет место только при Г = 0.
Полагая Г = Ои задаваясь в (8.4) функцией—з=-, что равносильно
заданию в плоскости С обтекаемого профиля Cv можно построить
обтекание соответствующего профиля С2 в плоскости z. Циркуляция
вокруг профиля С2 также равна нулю. Профиль Са в плоскости газа
отличается от исходного профиля Сх в плоскости несжимаемой
жидкости С за счет влияния второго члена в формуле (8.1). Профиль С2
можно рассматривать как деформированный профиль Сг. При малых
Х^-т-Моо эти деформации невелики. Указанный путь построения
обтекания газом профилей при отсутствии циркуляции предложен
впервые Н. А. Слезкиным 1) и затем Цзяном 2).
Если циркуляция вокруг обтекаемого профиля отлична от нуля,
то соответствие между г и С вблизи бесконечно удаленной точки
не однолистно и поэтому разложение (8.4) для -^- при С -> оо не
имеет места. Таким образом, обтекание газом профиля в плоскости z
нельзя построить путем пересчета аналогичного однолистного
обтекания некоторого профиля в несжимаемой жидкости.
*) С л е з к и н Н. А., К вопросу о плоском движении газа. Ученые записки
МГУ, вып. VII, 1937.
2) Tsien, Journal of the Aeronautical Sciences, т. 6/Jfc 10, 1939.
§ 8] ЗАДАЧА О НЕПРЕРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ С ЦИРКУЛЯЦИЕЙ 407
Для преодоления этого затруднения С. А. Христианович *) в 1939 г,
применил следующий способ.
Вместо переменного С вводится плоскость комплексного перемен*
ного 8 = ^4-^ так» чтобы выполнялись равенства
? + *|» —V*«i(j)f К<Г*9 = ^*~тр (8.5)
где wx (j) и w2 ($) — характеристические функции обтекания
несжимаемой жидкостью одного и того же профиля С в плоскости j с одной
и той же скоростью в бесконечности (не ограничивая общности,
можно принять, что (-jjn-) — (""Т2") =М> но с различными цир-
куляциями Tt и Г2 вокруг С.
Если воспользоваться формулой (5.17), то в этом случае вместо
формулы (8.1) получим формулу
2я0 *i (8)
• dz = —г— <*$ — ^i (J) ^2 (J) dj. (8.6)
Теперь можно определить связь между Тг и Г2 так, чтобы
соответствие между плоскостями j и z было взаимно однозначным при
2 = oo и соответственно $ = оо. В самом деле, для производных
w[($) и «4(j) при $->оо верны разложения вида (8.4). Подставляя
эти разложения в (8.6), найдем:
Из этого равенства очевидно, что для однозначности соответствия
между -г* и j вблизи бесконечности должно выполняться условие
Г1-Г2—Х(Гх + Г2) = 0.
Отсюда следует:
Г1 = 1±|-Г2= J^- . (8.7)
1-Х Vl-iv£
В плоскости l для обоих течений, отвечающих функциям wx{$
и w2(j), профиль С является линией тока, остальные линии тока
не совпадают. Линии тока движения газа переходят в линии тока
движения несжимаемой жидкости с характеристической функцией wt(g).
В плоскости г движения газа профилю С соответствует линия тока —
профиль С. Профили С и С' при малых X, вообще, мало отличаются
между собой.
х) Христианович С. А., Обтекание тел газом при больших дозвуко-
вывджоростях. Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940, . .
408 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [гд, 1х
При использовании указанного приема нужно отметить следуй
щее обстоятельство. В обтекании несжимаемой жидкостью контура С
с характеристическими функциями wx($ и w2(%) критические точки
разветвления струй на С различны, так как циркуляции Тг и Г
в силу (8.7) не равны друг другу. 3
В критических точках, если эти точки не совпадают с угловыми
точками контура, производная —~- имеет нули первого порядка;
поэтому из формулы (8.6) при ТгфТ2 следует, что обтекаемый
контур С в плоскости z должен иметь ветви — «усы>, уходящие
в бесконечность. Критическим точкам течения w2($) на контуре С
в плоскости $ соответствуют бесконечно удаленные точки на С' в
плоскости z.
В 1947 г. С. А. Христиановичем и И. М. Юрьевым было
указано *), что появления «усов» можно избежать подходящим выбором
профиля в плоскости $, а именно: необходимо профиль С выбрать
так, чтобы точки разветвления струй для обтекания с характера
стической функцией *е/2($) совпали с выступающими угловыми точ-
ками контура. В этом случае в точке разветвления производная -j*
либо конечна (в точке возврата) либо имеет нуль, порядок которого
меньше единицы.
Независимо друг от друга в 1946 г. различными авторами предложен
другой прием, позволяющий строить обтекание крыловых
профилей с наличием циркуляции2). Этот прием сводится к
следующему.
Введем параметрическое комплексное переменное U Функцию С(/)
определим так, чтобы внешность обтекаемого профиля в плоскости г
отобразилась взаимно однозначно на внутренность единичного круга К
в плоскости t при соответствии t = 0, z = сю, причем направления
вещественных осей при t = 0 и z = оо соответствуют одно другому.
Формулу (8.1) можно представить в форме:
В плоскости t внутри единичного круга К характеристическая
функция да(0 = 9 + ^ определяет собой некоторое течение несжимаемой
жидкости. Линии тока газового потока в плоскости z переходят
х) Христианович С. А. и Юрьев И. М., Обтекание профиля при
докритической скорости потока. Прикладная математика и механика, т. XI,
вып. 1, 1947.
2) Излагаемый ниже прием был применен студ. Н. В. Палейчик в 1946 г.
в МГУ в дипломной работе по расчету обтекания газом серии профилей,
выполненной под руководством Л. И. Седова. Формула, равносильная
формуле (8.12),содержится в работе: Lin, Quarterly of applied Mathematics, т. 4,
>fe 3, 1946. Аналогичные формулы указаны также в работе: Garmain,
Compter Rendus, т. 223, № 15; 1946, стр. 532.
§ 8] ЗАДАЧА О НЕПРЕРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ С ЦИРКУЛЯЦИЕЙ 409
в линии тока движения несжимаемой жидкости внутри К. Отсюда
ясно, что для производной —37- верна формула
_ а ? =|
= 4[-Л*0+т)-2^1пФ М
где Л*—действительная постоянная, о0 и тг — о0—аргументы точек
разветвления линий тока на круге /С, Г—циркуляция по обтекаемому
контуру в плоскости z. Из (8.9) очевидно, что для величины Г
верна формула
T = 4tKA*V*sino0. (8.10)
При г«=оо имеем: / = 0 и (-^г-) =1; поэтому можно положить:
dt~ ~~W~ P —» I»-11)
где Ф (0"— некоторая функция, регулярная и отличная от нуля при
Используя (8.9) и (8.11), формулу (8.8) можно представить в виде:
~А——р к №(t) dt> ^Л1>
у
где А = А* -тт^ постоянная, которая определяет линейные масштабы
в плоскости z.
Аналогично условию (8.7) условие однозначности соответствия
между г к t при tz&O получается в форме:
Y = rqrxsind0. (8.13)
Постоянную 7 можно выразить через Г, Моо и масштабную
постоянную А. На основании (8.2), (8.3) и (8.10) получим:
^тйгчж- <8Л4)
Отсюда ясно, что постоянная f мала при малых значениях числа Моо.
Из формул (8.9) и (8.11) следует формула для вычисления
распределения скоростей:
V -л _ dw _ (/-«*•)(/+«-*') Г8 - -
\ге —Ж~^ фю • * .'
410 ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА [гл.
Пусть
— функция, реализующая конформное отображение внешности задан,
ного профиля в плоскости z на внутренность круга |/|<1, причец
к действительно (А <0, так рак •— положительно при t—►О). Оч^
видно, что при X = 0 верны равенства
ФО--3^9. A = -k. (8.16)
При малых к > 0 мы можем построить обтекание газом профи*
лей, близких к заданному, если выберем функцию
#(*) = i + /tH-V>+.-.
fiff (A
близкой к функции —^ так, чтобы коэффициент ? определялся
согласно равенству (8.13).
В общем случае в указанном способе построения обтекания
профилей форма профиля в плоскости г получается зависимой от числа
X (Моо). Для ослабления такой зависимости в формулы, определяющие
функцию Ф(/)» можно вводить параметры и выбирать их значения
так, чтобы зависимость профиля, обтекаемого газом, от Моо
получалась слабой.
Приближенный выбор функции Ф(1) можно производить многими
способами. Для заданного профиля в плоскости г можно также
составить нелинейное интегро-дифференциальное уравнение для
действительной или мнимой части Ф(1).
Рассмотрим несколько примеров1).
1°. Положим Ф(/) = 1. Очевидно, что в этом случае Г~0 и,
следовательно, о0 = 0 при всех X. Формула (8.12) дает:
*=4-г-<?-*-тН-
где В — постоянная интегрирования. Постоянные А и В определим
из условий: «г(1) = — 1, г( — 1) = +1.
При Х = 0 в плоскости г получается круг радиуса единица. При
X Ф 0 получаются кривые, симметричные относительно осей
координат х, у 2).
На фиг. 9.14 представлены соответствующие профили при Моо = О»
Моо = 0,429, Моо = 0,6 и Моо = 0,8. При малых значениях числа Моо
х) Приводимые ниже примеры были рассчитаны и изучены Н. В. Па-
лейчик.
') Можно построить обтекание контуров, близких к кругу при
циркуляции, отличной от нуля* если взять Ф (/) = 1 + i\U В этом случае при задан-
homJT с возрастанием М^ получаются больщие деформации профиля. ;
§ 8] ЗАДАЧА О НЕПРЕРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ С ЦИРКУЛЯЦИЕЙ 411
отличие соответствующих профилей от окружности невелико. При
Моо > 0>6 деформации получаются существенными, причем при
^ > 0,8 в плоскости г возникают самопересечения обтекаемого
профиля.
2°. Рассмотрим безциркуляционное обтекание вдоль большой оси
профиля, близкого к эллипсу.
Конформное
отображение внешности эллипса
в плоскости С на
внутренность круга К в
плоскости t определяется
формулой
а + Ъ I а—Ь
откуда
ff (а + Ь)
dt 2
U
а+Ь
t*
где а и Ь — полуоси
эллипса (см. формулу (2.1)
главы I, стр. 21). В
рассматриваемом примере
положим:
Ф(0=1-|
и, следовательно,
dw
5Г
1—*»
1 —
к*
что
Фиг. 9.14. Безциркуляционное обтекание п;
лей, близких к окружности Ф (<) =
Отсюда следует,
т==0о=г=о.
Из формулы (8.12) на круге |*| = 1 после вычисления и замены
t через-г-получим:
г = А
1 — Xfe*
ft2
t-
—7 T
l2\n—k-
2k t+i
Постоянные А и k выберем так, чтобы удовлетворялись условия:
г(—1) = «, 2(/) = 0,Ш
z(— 1) = те, *<i) = 0,6iw.
или
412
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[гл.
В первом случае в плоскости z получим овалы с постоянны*
удлинением 10, во-втором — овалы с удлинением -^
w
щ
о/
Фиг. 9.15. Обтекание овалов, близких к эллипсам, с удлинением -г = 10,
На фиг. 9.15 и 9.16 представлены соответствующие овалы для чисел
Моо вплоть до 0,9. В обоих случаях при указанном способе
определения А и k овалы близки к соответствующему исходному эллипсу
в несжимаемой жидкости.
с
J
, ,—
,
~M<£ff wiOM
1ЩШ Т""
м.-ШГ
1,0 is гм & atr
Фиг. 9.16. Обтекание овалов, близких к эллипсам, с удлинением
je 10
ь ~ б •
Максимальная скорость tomax в газе достигается на концах малого
диаметра овалов. Отношение -~^ в функции Моо, вычисленное с
Юоо
помощью формул (8.15) и (5.9), дано на фиг. 9.17.
Каждому овалу соответствует некоторый эллипс в плоскости
движения несжимаемой жидкости. Удлинение соответствующего эллипса
определяется величиной к?(\) согласно формуле
а _ # + 1
§ 8] ЗАДАЧА О НЕПРЕРЫВНОМ ОЁТЁКАНИИ ПРОФИЛЯ С ЦИРКУЛЯЦИЕЙ 413
На фиг. 9.18 представлены кривые для зависимости
удлинения -jr ЭТИХ ЭЛЛИПСОВ ОТ Моо В vms
обоих рассмотренных случаях,
для сравнения пунктиром
нанесена кривая, дающая изменение
соответствующих эллипсов в
несжимаемой жидкости, которое
получается по линеаризованной
"00
3,6}
32
*>0С +
15
1%Ч\
1,3
U
{
i'»
13
гМ
щ
о,г о,ч о,б о,8 ко
ГМо
i,6
\
Ь~ 6
о аг ом о,б о,з w
*ГМс
Фиг. 9.17. Отношение максимальной скорости fc>max к скорости \)т
набегающего потока в функции М^ для обтекания овалов, близких
к эллипсу.
П\
W\
\ ' *J
1
1 >
L^=
[
//-m^\J
/
/
t
/
/
/
1
1
1
1
I
1
1
1
r
i '
*
2.S
2,0
*- IS
\
*
L^"
| |
w ,
t
/
/
• A
v
/
/
/
f J
1
/
/
/
О 0,1 OM 0,6 0.3 umo
л 0.2 ОМ 0.6 0.3 /,OM0
Фиг. 9.18. Деформации соответствующих эллипсов в несжимаемой жидкости.
Пунктирные кривые соответствуют линеаризованной теории
Прандтля-Глауэрта.
4l4 й6тёЩиальйые установившиеся двй&еййй 1*аЗа [гл. #
теорий Прандтля-Глауэрта (см. § 7 главы II). Деформации эллипса
по линейной теории получаются более сильными, чем в описанном
приближенном методе С. А. Чаплыгина.
3°. Для построения обтекания профилей с циркуляцией положим:
ф(^) = 1+/т/ +^2 = (1—«iOO—ааОэ
где *j = угу s*n °о* Очевидно, что модули | ах | и | а21 должны быть
меньше единицы, причем верны равенства
«з
«1 + ** = — *Ь а1а2 = * = — Х* — -J у
откуда
/т ц
otj — х s" э аа — х — "о"»
где х — постоянная, которую можно ввести вместо Л. В общем
случае х может быть комплексным числом.
После интегрирования из формулы (8.12) при |/| = 1 получим:
^Л^+Х)^-1+-Ч1Г^[(^-«1-2/з»по0)1п(/-1)-
4£-a*-2/sino0ln('-i)]}-
Если х действительно, то при Х = 0 в плоскости z получим
эллипс, если А^О, то получатся овалы, близкие к эллипсу, с осью
симметрии, перпендикулярной к набегающей скорости. На фиг. 9.19
М *0; НЦтгМ
Фиг. 9.19. ОвалыЗлизкие ^к эллипсу, обтекаемые с циркуляцией,"«у
отличной от нуля.
представлены овалы для х = 0,904, о =10°, величина А выбрана из
условия о постоянстве хорды профиля при различных значениях числа
Моо. Для Моо<^0,6 профили получились практически неизменными.
Если положить ax = eri9*i то а2= — if — е-*9: Точка t = eie
на круге К соответствует точке возврата на обтекаемом
§ &) йаДачА 6 Йейрёрывном ойтйкАний профиля с циркуляцией 41S
контуре. Контуры получаются зависящими от а0, с
самопересечением.
4°. Рассмотрим обтекание профилей, близких к профилю
>Куковского.
Внешность профиля Жуковского в плоскости г' отображается на
внутренность круга в плоскости Г с помощью функции1)
r'—r'-l-iv'— uR\l -W,l оч . О—rtVl
г -х + у/ = ^_^ + (1х_2) + -т—^.J.
Здесь ось х' направлена вдоль первой оси крыла, а острие
переходит в точку /' = 1.
Фиг. 9.20. Расположение осей координат относительно профиля
Жуковского.
Положим t' = — tei9o и С = — z'ei9*\ тогда острие перейдет в
точку / = **(«—•«>, вещественная ось в плоскости С составляет угол
о0 — тг с первой осью (фиг. 9.20).
В новых переменных '
'-¥[-1+-<>-«>-^£г] '
dt~ 2 [а
1—2а V 1— 2и/ Д/?Ф
— **0\2
»М
2 t*
(8.17)
Очевидно, что указанные выше условия соответствия при t = О будут
удовлетворены.
Далее положим:
*(*)=
(t-s)(t + e *°)В
(t-m)*
(8.18)
1) У?, а, (л обозначают то же, что и в §2 главы I (см.формулу (2.4),стр. 22).
416
ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА
[гл. tx
При обтекании несжимаемой жидкостью профиля Жуковского
сравнением (8.17) и (8.18) определяются величины s, В и /я. В
общем случае при X tjz 0 имеем два комплексных уравнения:
Ф(0)=1,
что дает:
В= е*\
s *
что дает:
Ф'(0)
Ф(0)
4Х
TTTsin°o>
1.2 . 4Х .
s ' т 1 + X °
(8.19)
(8.20)
Если в несжимаемой жидкости имеем дугу круга, то 5= eiQo
й.4 Толщина профиля лтмчеасиндлъ
Фиг. 9.21. Контуры, полученные из дуги круга при с0=15°.
и т = —: . Для движения газа положим s = е™*\ в этом случае
Sin Gq
соотношения (8.19) и (8.20) дают:
т-
1-
1 + X sin а0 *
В:
О—Х)2 1
(1+Х)2 sin2a0 *
Подставляя Ф(*) из (8.18) в (8.12), можно рассчитать соответ-
S ^^^^
W
-as
%
i
- /
&
=xs4
1
?0 Дуга круга Ц_-£5
if
ids
Фиг. 922. Контуры, полученные из дуги круга при постоянной величине стрелки
прогиба нижней части /=0,176.
ствующие контуры в плоскости г. В расчетах параметр А был
определен из условия сохранения постоянной хорды профиля при
различных значениях числа Мсо.
§ 8] ЗАДАЧА 0 НЕПРЕРЫВНОМ ОБТЕКАНИИ ПРОФИЛЯ С ЦИРКУЛЯЦИЕЙ 417
На фиг. 9.21 представлены результаты расчета при s=e*\
1 —~~ к I - —о
"*gl + Xsina0'™e°O=15-
На фиг. 9.22 даны результаты расчета, в которых о0 определялось
из условия постоянства стрелки прогиба / на нижней части контура:
/=0,1763.
Фиг. 9.23. Крылообразные профили, близкие к профилю Жуковского.
Пример рассчитанных крылообразных профилей представлен на
фиг. 9,23; в этом случае, удовлетворяя условиям (8.19) и (8.20), было
положено: ^= q-q и а0 = 10°.
Аналогичным путём можно строить обтекание газом профилей с
очертаниями, близкими к заданным.
27 Зак. 1631. Л. И. Седов.
ГЛАВАХ
ГАЗОВЫЕ СТРУИ
§ 1. Частные решения уравнений потенциального движения
Рассмотрим плоскопараллельные установившиеся потенциальные
движения газа для произвольной заданной связи между плотностью и
давлением 1).
Согласно (2.16) главы IX (стр. 374) для функции тока имеем
уравнение
дЦ . д<\> d f г ,, w „. 1Ч1 . К дЧ
:0. (1.1)
Дальше мы воспользуемся определенными переменными, а именно,
положим:
>=1--£г, 0<а<1,
р з
/dp Г da
*. / \ ** Р* °
т(а)==Г2- = ^о e-j—
umax r dp Г dv
р* ? 0 Р
Очевидно, что т (0) = О, р (0) = 1 ит>0 при а > 0. Кроме этого,
имеем:
(1.2)
dz
da
>0,
/da
т
do* 1
"J-r
flfo
rf(j3 —
*1
1
x) Обобщение теории С. А. Чаплыгина на случай произвольной заданной
связи р (р) произведено Ю. В. Рудневым (см. сборник статей № 4
«Теоретическая гидромеханика» под ред. Л. И.Седова, Оборонгиз, 1949).
§ 11 ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 419
Как естественные физические допущения, мы примем, что
Нетрудно проверить, что эти допущения выполняются для обратимых
адиабатических движений совершенного газа.
Для выбранной связи между аир согласно (2.10) главы IX
(стр. 373) имеем:
Р 9
• <р)<рР*-1) ^-Jifc-2/^.
р* О
Отметим еще формулы
*-[(£-?-*-£](/?>■. £=-*£(/т)'<°-
О О
В указанных переменных уравнение (1.1) можно написать в форме
Если
газ
д
д<\>
совершенный и
р
0
процесс
if
(1.4)
обратимый адиабатический 1), то
Т+1 1
2 1
и уравнение (1.4) превращается в известное уравнение Чаплыгина:
1-1=1*
.1 r_L_ill д. _ т+1
L(l _X)T—i J 4r(l—-в)Т—!
Очевидно, что уравнение (1.4) имеет частное решение вида
*tn = Zn(o)sm(2nb + an)9 (1.6)
где п и ал—произвольные постоянные вещественные числа (я>0),
а функция Zn(o) удовлетворяет обыкновенному линейному уравнению
второго порядка
г('^)—*7ГЛ <">
Ч/г)
О
1) См. формулы (4.1), (4.2) и (4.4) главы IX (стр. 379—380).
27*
426 газоыь струй * [гь: х
Положим:
2щ = *»Гп (°), Zn% = т-»К-Л (о). (щ
При п ф 0 функции Z„t (о) и Zw2 (а) линейно независимы, если функ.
ции Yn(p) и К-Л(а) удовлетворяют граничным условиям:
М0) = 1, У-Л0) = Ь (1.9)
После умножения уравнения (1.7) на т» и некоторых простых пре*
образований получим:
^T2„+1^ + „(2„+1),2„g!rn = 0. (U0)
Соответствующее уравнение для К_п совпадает с уравнением (1.10)
после замены я на — п.
Таким образом, для получения двух линейно независимых
решений уравнения (1.7) достаточно найти два решения уравнения (1.10)
при условии (1.9): одно для п, а другое для — п.
При я>0 регулярное решение Кя(о) уравнения (1.10),
удовлетворяющее условию (1.9), можно построить следующим образом.
Проинтегрировав дважды в интервале от 0 до о уравнение (1.10) с
учетом граничных условий (1.9), получим для Кп(о) интегральное
уравнение типа Вольтерра
а а'
о о
Это уравнение можно разрешить методом итераций, после чего
получим:
M°)-l+ S<—l)*(2« + l)WW»(l)f (1.12)
ft=i
где
о . о
а символ L(fc) означает ^-кратную операцию £.
Абсолютная и равномерная сходимость ряда (1Л2) в интервале
0 < о < о*< 1 следует из неравенств:
ад<2йтг.
Л*о*
<• ;^(2п+1)(2л + 2)...(2я + * + 1;. *! '
(1.13)
§ 1J ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 421
где
ртах VfoVmaxJ p
А = ~Ш * (Рта*=1)>
Pmin
по предположению,—конечная постоянная. Неравенства (1.14)
получаются непосредственно из определения оператора £(/).
Ряд (1.12) сходится как для дозвуковых, так и для
сверхзвуковых скоростей движения газа. Для каждого о* < 1 минимальное
значение плотности р^ строго больше нуля; поэтому построенное
решение Yn(o) определено для всех о и т в интервале от нуля до
единицы.
Для получения второго регулярного решения К_„ (о),
отвечающего значению —п9 заметим, что согласно (1.8) имеем:
r_n(o)=T2»jia>,
причем в этой формуле для У^2) надо взять второе нерегулярное при
о;>0 решение уравнения (1.10) для значения +я, так как только
с этим решением можно удовлетворить условиям (1.9).
С помощью построенного выше регулярного решения можно
определить г) второе линейно независимое решение уравнения (1.10).
Воспользовавшись указанным путем, для Y-n{o) получим:
1^.<в)- Of K#(o) J _^_, (1.14)
где С и о* — постоянные. Постоянная С определяется из условия (1.9).
Так как ЛЛ = —j— (р (0) = 1 и Yn (0) = 1Y то очевидно, что
/
da
2п
Г do
0 Р
Выбор постоянной о* может быть произведен из дополнительных
условий. Функции У_п(о), а следовательно, Zn^(d)n соответствующее
движение газа зависят от параметра о*.
Если 2я-|-1=*> 0—целое число и т(о)— регулярная
аналитическая функция вблизи точки а = 0, то при о = 0, в общем случае,
интеграл в формуле (1.14) обладает логарифмической особенностью.
*) См., например, Айн с Э. Л., Обыкновенные дифференциальные
уравнения. ГОЩИ, 1939, стр. 164,
422 ГАЗОВЫЕ СТРУИ [ГЛ. j
Согласно (1.2) при Ьгаах->оо имеем т->0 ио->0. Поэтому д^
рассматриваемых частных решений верны следующие предельные
формулы:
lim Упп{0) sin(2/*6 + ап) = (1Y" sin (2я6 + аЛ)
И
Urn ^;(0) sin (2*0 + а J *= (§)"" sin (2я6 + «J,
где &0— некоторая характерная скорость.
Последнее равенство верно для любого значения постоянной о^.
Полученные предельные функции $п при т -> 0 являются
гармоническими функциями, которым соответствуют движения несжимаемой
жидкости с характеристической функцией
W&) = 9-Нф = л± 2п С* 2я, (1.15)
1 dw Ъ л -
где C = tt--j- —тг^ и ^— комплексная постоянная.
Интегрируя уравнение (1.15) при пфО пф-к, получим, что
зависимость w(z) имеет вид:
2п
WeLSsa*-*J • (Lie)
В решениях, рассмотренных С. А. Чаплыгиным, нужно взять верхний
знак. Характеристической функции (1.16) при я>-«г отвечают
движения несжимаемой жидкости внутри угла *). При п < -н- получаются
движения типа диполя. Если /z = -j, то для верхнего знака имеем
w=Be °^, где В—постоянная, для нижнего знака имеем w —л/ ^- я.
Функции тока tyn (1.6) соответствует потенциал <?п, который
легко определяется с помощью уравнений (2.15) главы IX (стр. 374):
1
<р„ = - -1Z» (о) cos (2«9 + «„) J у • (1Л7)
О
Связь между координатами в плоскости движения газа и
переменными т, 6 находится из соотношения
*) В формуле (1.16) вместо z можно подставить г + cojist,
§ 1] ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 423
Для рассматриваемого частного решения получим:
+ <1+^w)Sin(2/t6 + ^]- (U8)
•
Исходя из этих частных решений, ввиду линейности основных
уравнений можно получить новые решения простым суммированием
по параметру п.
Различными авторами подробно изучены адиабатические движения
совершенного газа для некоторых частных значений параметра л.
Ринглебом г) рассмотрены решения при п = -=■ и я == -у .
В несжимаемой жидкости решению Zy2t2 согласно (1.16) соответствует
w^saY^ (обтекание плоской пластинки). Решению Zy^i
соответствует -а> = — (диполь).
В обоих случаях в плоскости движения газа имеются области с
непрерывным переходом через скорость звука. При продолжении
движения в сверхзвуковой области или на линии перехода возникают
бесконечные ускорения и многолистность движения.
В. С. Татаренчиком 2) изучены случаи я=1 и л=:-^-
Решению Zi,i соответствует w = az2—движение внутри прямого угла.
Решение Zi/2,2 определяет движение, соответствующее обтеканию
плоской пластинки.
Крафт и Диббл 3) провели подробное числовое исследование слу-
1 3
чаев п = -j-, -j, 1 для обоих решений Znl и Zw2.
Рассмотрим теперь важные частные решения, соответствующие
вихрю и источнику в несжимаемой жидкости.
В первом случае функция тока ф зависит только от о (л== 0).
Из уравнения (1.4) найдем:
(1.19)
Пользуясь этим, получим:
ср0 = 2л|
1
da
0-f- const.
Р 1
*) Ringleb F., ZAMM, т. 20, № 4, 1940.
2) Татаренчик В. С, О частных решениях уравнений газовой
динамики. Прикладная математика и механика, т. VIII, № 5, 1944.
3) Kraft H. and Dibble Ch?, Jour, Дегоп. Sciences, т, II, № 4, 1944»
424 ГАЗОВЫЕ СТРУИ [ГЛ.
*o-m«"/£- °~v—+const- С1-20)
Постоянная А связана с циркуляцией вихря: Г соотношением
• oJ Р
Связь координат с углом б и величиной скорости Ъ для сжимаемой
жидкости получается точно такой же, как и для несжимаемой. Движение
газа однолистно, но имеется окружность, на которой давление
обращается в нуль. Движение газа нельзя продолжить внутрь этого круга.
Во втором случае функция тока зависит только от угла 6. Из
уравнения (1.4) следует, что функция <|> зависит от 6 линейно:
*«=J-e+const" о-21)
где Q — расход источника. Пользуясь (1.21), найдем потенциал <oQ
и комплексную координату zQ:
?«—•&J?*. *«-££<•+»•«*• О-22)
Произведение р& имеет максимум *) при скорости, равной скорости
звука; поэтому движения от источника с дозвуковыми скоростями и
от источника со сверхзвуковыми скоростями происходят на
различных листах. Существует круг с минимальным радиусом, на котором
скорость точно равна скорости звука.
Если в формулах (1.19), (1.20) и (1.22) положить К= 1 и р= 1,
то получаются соответствующие формулы для несжимаемой жидкости.
Отметим еще частное решение, имеющее вид
ф = />(<,)+£ (в).
Из уравнения (1.3) следует, что функция /?(6) может быть
полиномом второй степени:
#(6) = /tt82 + Wie-
Второй член соответствует источнику. На основании (1.4) уравнение
х) В общем случае из интеграла Бернулли легко вывести равенства
(см. стр. 305),
¥-*"$5->'-"
§ 2] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Zn (о) 425
для функции Я (о) получается в форме
d _dP , Km _n
do da~r /1 \2 — u
и интегрируется непосредственно. Соответствующие адиабатические
движения совершенного газа изучены подробно С. В. Вишневецким.
Их можно рассматривать как движения газа в некоторых каналах,
внутри которых могут быть сверхзвуковые зоны х).
Итак, методом разделения переменных получен запас частных
решений, из которых суммированием можно строить решения более
общего вида.
§ 2. Некоторые общие свойства функций Zn (а)
Используя частные решения, рассмотренные в § 1, можно строить
решения некоторых краевых задач с помощью рядов Чаплыгина,
имеющих вид
4» = 2л.Ф»(°,в). «?-Si*.?.(e.«). *«=5М.*»(«, в). (2.1)
п п п
Для исследования сходимости таких рядов необходимы сведения
о коэффициентах Ап и о поведении в зависимости от параметра п
функций фЛ, <рЛ, znJ определенных формулами (1.6), (1.17) и (1.18).
Покажем, что для дозвуковых скоростей, когда /С>0 в
интервале 0 < о < окр и К (окр) = 0, функция ZnX = хп Уп (п > 0)
обращается в нуль только при х = о = 0 и возрастает монотонно вместе с о.
В самом деле, допустим, что на интервале (0, о^) Zn\ обращается
в нуль и пусть ос<овр — наименьший нуль. Так как Zwi(0) = 0 и
Znt (ос) = 0, то по теореме Ролля существует точка р на интер-
dZnl
вале (0, а), в которой производная ~^- обращается в нуль; поэтому
функция, стоящая под знаком дифференцирования в левой части
уравнения (1.7), обращается в нуль при о = 0 и о = р. В силу этого
левая часть уравнения (1.7) должна обращаться в нуль в некоторой
точке «у в интервале (О, Р), но это невозможно, так как выражение
справа, по предположению, больше нуля. Следовательно, не
существует наименьшего нудя а>0 в интервале (0, окр). С другой
стороны, из общих предположений о регулярности заданных функцио-
1) Характеристическая функция W = <р + *Ф соответствующего движения
несжимаемой жидкости связана с переменным г соотношением
откуда
426 ГАЗОВЫЕ СТРУИ [ГЛ. х
нальных соотношений при о«0 вытекает, что функция Zn\ (о) не
может иметь бесконечного числа нулей вблизи точки о = 0.
Так как Yn(0) = 1, то очевидно, что Z„i = znYn > 0 при малых о.
Из уравнения (1.7) следует, что для дозвуковых скоростей производ-
dZnl
ная —3— > 0; поэтому для дозвуковых скоростей функция Znl (о)
возрастает вместе с о.
Таким образом, для дозвуковых скоростей функция
л ^*ila) J p /г ^л1(х)
конечна, отлична от нуля и положительна.
Для дозвуковых скоростей функция Уп (а) положительна и не
имеет нулей, причем из уравнения (1.10) следует, что производная
—-г- отлична от нуля и отрицательна.
Полагая
* Z'n (х)
хт
п Zn {?) — ""
из уравнения (1.7) получим для Хп уравнение типа Риккати
Г **1
J р
0
Пусть Q (о) — некоторая функция, принимающая только
положительные значения, для которой N(Q)^0 и удовлетворяется условие:
Q (0) =Хп(0). Если Хп положительно, то верны соответственно
неравенства
9 (о) =£*, (о).
В самом деле, имеем:
N(Q) — N(Xn) =
d
= lk(Q-Xn) +
f n Q-\-Xn l_dp_
px i p da
J P
о
(Q-^)SO. (2.4)
В силу сделанных предположений выражение в квадратных скобках
положительно.
Для определенности возьмем верхнее неравенство. Покажем, что
U=Q — Xn> 0.
Допустим, что есть ближайшая к нулю точка ои в которой
выполняется неравенство U{ot)<^0. Из (2.4) заключаем, что в этой
§ 2] НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Zn(o) 427
точке -j— > 0; следовательно, в этой точке 17<0и возрастает. Так
(dU\ . Л dU
как (-gj-) > 0, то производная — должна принимать
отрицательные значения при <з<о1. В силу непрерывности должна
существовать точка з2<°1» в которой. £/(о2)<0 и (--т—) =0,
неравенства (2.4) следует, что это невозможно.
Аналогичным образом доказывается обратное неравенство.
Рассмотрим функцию
но из
Q1 (о) = р УК= Vl — М2. (2.5)
Из (1.8), (2.2) и (2.5) следует, что Q1(0) = ^fwl(0) == 1. Далее
имеем;
так как, по предположению, -г— <0, что равносильно неравенству
Отсюда следует, что для любого п > 0 и т < хкр выполняется
неравенство
Для получения оценки сверху положим сначала
Q2(<0 = p(°).
Подставляя в (2.3), получим:
ЛГ022) = -т^ ^-(1-/С)>0,
Г da
J p
о
так как АТ<11.
Отсюда для любого # и т < ткр следует неравенство
Теперь положим
Где С—постоянная, которую мы определим ниже. Подставляя в (2.3)?
428 ГАЗОВЫЕ СТРУИ [ГЛ. X
получим:
N(Qd) = p -A VK+Czn-*/>+ Cr?l>9 -J-
Г da
1 Р
Р
+ п-Ъ -е—+ 2л1'. р _£_ у^+ СтЛ-3/з
о о
Отсюда, принимая, что С>0, имеем:
2т —
Р
W(Q8)>— °
1
J p
р
о
При /С> 0 правая часть этого выражения больше нуля, если
постоянная С удовлетворяет неравенству
<*>_*!_> о,
О
которое, независимо от значения п% может быть удовлетворено с
конечным значением С, если (-т-Н имеет конечное значение в обла-
^ 'max
сти дозвуковых течений.
Таким Образом, доказано, что для любого я>0 и 0<т<твр
выполняется неравенство
p^<¥^T<pV^+^»-v'. (2-8)
где С — некоторая постоянная, независимая от п.
Отсюда следует предельная формула
""ТэЙз-рК* (2.9)
я-»оо
Эта формула верна ддя все?: х^тВр.
§ 2] нЕкотдРьш общие свойства функций ZJ?) 429
Напомним, что при т = твр имеем К—О; отсюда следует, что
при t = xItp верно неравенство
<■»-«,- . (2Л0)
Из неравенств (2.7) и (2.8) можно получить соответствующие
неравенства для Ynl(a).
Согласно (1.8) имеем:
п Znl(?) *^n Ynl(x) '
Пользуясь этим, можем написать:
п К„(х)
<-0-р) (2Л1)
-(1-рУ^)<^-^<-1+р/Л:+Стя-'/,. (2.12)
Интегрируя неравенства (2.11) и (2.12) по т от нуля до т<ткр,
найдем:
Г _ ] fi=u*]«
M')<U 6 X J .12.13)
и
U 6 J <lr»W<U* X J -(2Л4)
Все интегралы, стоящие в показателе экспоненциальной функции,
существуют, так как при т = 0 имеем р = 1 и /С«=1.
Из (2.14) следует, что при т>0 и при я->-|-оо имеем
r„(t)-*0.
Отметим еще неравенства, которые получаются из (2.8)
интегрированием от т до т0>х. Учитывая, что согласно формуле (2.11)
главы IX (стр. 373)
J* iJ^dx = 2 J* L^Edb = 2(s0-s)>0 (s0>s),
X J)
получим:
УК ^ ~\n
ni^of To ^nC^o)
>e * T . (2.15)
430 ГАЗОВЫЕ СТРУЙ (ГЛ. X
При х<т0 функция £2(8~~8о) принимает значения, меньшие
единицы, и обращается в единицу только при xs=x0.
Если bmax-* + <*>» то отношение уп1(*\ стремится к единице,
Z М / to \2w
а отношение znl}%\ стремится к пределу, равному (— J .
Переменное s определено с точностью до аддитивной постоянной. В
дальнейшем эту постоянную определим так, чтобы выполнялось
предельное равенство lim -^-=1. В этом случае из (2.15) получим:
8->-—ОО
^т (хо) ^ е*п8°- Из (2-15) следует также предельное равенство
WmZni(x0) = e*»so.
п->оо
В ряде случаев при исследовании движения несжимаемой
жидкости характеристическую функцию w = cp -j- /ф, рассматриваемую как
функцию комплексной переменной
bo dz Ь0 '
можно разложить вблизи критической точки С = 0 в степенной ряд
вида
■- 2 v-*4- - 2a» (■&) *-(2я9+"»н. (зле)
П ?»
Отсюда
•2«»(-^-)П»п(2Ле + а„), (2.17)
где показатели п образуют некоторую счетную последовательность
возрастающих положительных чисел. Ряды (2.16) и (2.17) сходятся
при малых т и могут сходиться вплоть до значений т = т0.
С. А. Чаплыгин рассматривал газовые потоки, для которых функция
тока представляется рядом вида
.+—ИаЛ-€Ш^2пЬ+а^ (2Л8)
п
Если ряд (2.17) сходится при т<т0, то из неравенства (2.15)
следует, что ряд (2.18) также сходится при всех х^х0.
Очевидно, что при Ьтах-*оо (о = т = 0) ряд (2.18) переходит
в пределе в ряд (2.17) для несжимаемой жидкости; существенно
также; что при х = т0 зависимость ф (6) для несжимаемой жидкости
и для газа одна и та же.
Функции тока ф, определенной рядом (2.18), соответствуют
потенциал <р(т, 0) и комплексная координата x-\-iy = z(x, 0) в пло-
§ й) НЕКОТОРЫЕ ОЁЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ 2п (о) 431
скости потока газа, определенные согласно (1.17) и (1.18) рядами:
U 7»
И
Z
eib ^ 4л2 tw КЛт) Г1 /1 2т Z'(z)\
р» Л *4*2-l,« Гя(х0) L2 V/г ' Л *rnl(V V ^ "'
Из неравенств (2.8) и (2.15) следует, что ряды (2.19) и (2.20)
сходятся для всех т < т0.
Легко видеть, что ряды для производных от функций <р и ф,
полученные почленным дифференцированием по 6, а следовательно,
и их производные по о(т), связанные с производными по 6
линейными соотношениями, сходятся в t круге сходимости ряда (2.16).
Отсюда вытекает, что функции ср и ф, определенные рядами (2.18)
и (2.19), непрерывны вместе со своими производными внутри круга
сходимости.
Вместо ряда (2.18) можно ввести в рассмотрение ряды более
общего вида *):
Ф = - 2 <*« j$j$ sin (2л6 + a„), (2.21)
П
в которых однозначная функция/(т0, п) удовлетворяет условиям:
11т П\П) = 1, 11т /(т0, л)- е*»оА (т0),
°<Т0<ХКР
где A (tq) — некоторая функция. В силу этих условий ряд (2.21)
сходится и обладает основным свойством ряда Чаплыгина (2.18):
при &тах-*<х> Ряд (2-21) переходит в ряд (2.17) для несжимаемой
жидкости.
В частности, можно положить:
/(то, п)=е*™*.
Свободу выбора функции /(х0, п) можно использовать для
построения движений газа с необходимыми особенностями при т = т0.
1) См. Light hill M. J., Proceedings of the Royal Society, сер. А.,
№ 1026, т. 191, 1947.
4Й2 газовые струй [гл. х
Для адиабатических движений совершенного газа из уравнения (1.5)
следует:
+^±Ч-1-„=о. (222)
Это — гипергеометрическое уравнение. Его линейно независимые
решения Yn* и Y$ можно выразить через гипергеометрическую функцию
г (а, о, с, *)=1-Г i.c т*1" i.2.c(c + l) T "Г ••• —
_ 1 i г<с> V г(* + *)Г(» + *) »
— "Т" Г (в) Г (ft) ^J Г(1+*)Г(с+£)
/с= 1
в следующем виде:
Y%\z) = F(an, Ь„ 2л + 1, т) (2.23)
и
уГО/т\ _ --»» ic Г 1\Ю Г (Ц %*>F(ant bnt 2л +1, т)
*пК?) — * sin (2л + i) я [г(2/г + 1) Г(2л) Г(ая—2л) Г(^~ 2л)
F(an — 2nt Ьп — 2п, 1 — 2л, т)] .
Г(2л)Г(1-2л) J' V-**>
где
.АО 1 и л(2л + 1)
^n + *n = 2^ —7=rf, «А = \ JY
Функция Ffan— 2л, £п — 2л, 1—2л, х) представляет собой
регулярное решение уравнения (2.22) после замены л на —л.
Из(2.23)следует,что г£} (0)=1,а из(2.24) имеем lim Y$(%)%"=\9
х->0
так как Г(2л)Г(1—2л) = 2 *, 1, . Формула (2.24)
определяет функцию у£2)(т) для всех л, в частности, при предельном
переходе, для целых положительных значений параметра 2л-)~1, так
как нетрудно проверить, что выражение в квадратных скобках в
формуле (2.24) обращается в нуль при 2л-{-1 целом положительном.
Функции Znl (x) и Zn2 (т) можно представить в виде:
Znl (т) = Л^(т), Zn2 = тпУ<а)(т).
§ 3. Задачи о газовых струях, разрешаемые
методом С. А. Чаплыгина
Решение методом Кирхгофа задач о струйных движениях
несжимаемой жидкости основано на том, что в плоскости годографа
скоростей известен вид области, соответствующей потоку жидкости.
В аналогичных задачах о дозвуковых струйных движениях газа
§ 3] ЗАДАЧИ О ГАЗОВЫХ СТРУЯХ, РАЗРЕШАЕМЫЕ МЕТОДОМ ЧАПЛЫГИНА 433
в плоскости годографа вид области, соответствующей потоку, —
такой же, как и для несжимаемой жидкости. В качестве примеров мы
будем иметь в виду задачи, решенные в § 1 главы V (см. фиг. 5.2 и 5.3
на стр. 204).
На границах жидкости функция тока 6 имеет постоянные
значения. В точках границы, соответствующих бесконечно удаленным
точкам потока, линии тока образуют пучок. При подходе к этим
точкам изнутри функция тока ф может принимать различные
значения, а при проходе через эти точки по границе функция тока терпит
разрыв (концы струй — конечной толщины). Функция тока ф может
в плоскости годографа иметь* особенности внутри области,
соответствующей потоку. Например, так будет, если область, ограниченная
свободными поверхностями, конечна; другим примером можерг
служить задача о периодических потоках при обтекании решеток
(см. § 3 главы V).
Нетрудно показать, что при дозвуковых движениях функция тока
ф (х, 6) в области D, соответствующей потоку, при заданных
особенностях определяется однозначно через значения функции ф на гра*
ницах D.
В самом деле, пусть tyt и ф2 —два решения, принимающие
одинаковые значения на границе и имеющие одинаковые особенности
внутри. Разность <{>* = ф1—ф2 представляет собой решение
уравнения (1.4), регулярное и однозначное внутри D. На границах D
имеем ф* = 0. Докажем, что ф*==0.
Пусть ф — некоторое регулярное в области D решение
уравнения (1.4)- Умножая уравнение (1.4) на tydadb и интегрируя по
области D, получим:
JJl *{j$ I
О
+/*г<»-/*#*-о. (3.1)
L L
где L — контур, ограничивающий область D. Полагая ф = ф* и
учитывая, что /С>0 для дозвуковых движений, из равенства (3.1) найдем:
<1>*==s0,
что и требовалось доказать.
С помощью равенства (3.1) легко также показать, что всякое
регулярное решение ф(о, Ь) уравнения (1.4), отличное от постоян-
/ 28 Зак. 1631. Л. И. Седов.
~я
434 ГАЗОВЫЕ СТРУИ [ГЛ.
ной, не может принимать максимума или минимума во внутренних
точках области, где это решение однозначно и регулярно.
Действительно, допустив обратное, мы придем к выводу, что
существует замкнутая кривая Ьъ окружающая точку экстремума
на которой ^ = С= const. Пусть St — область, ограниченная конту-
ром Ьг. Применяя в области Sx формулу (3.1) для функции tyt = ф—С,
получим, что ^ == 0 и, следовательно, ф= С, что противоречит
основному предположению.
Из уравнений, связывающих потенциал о и функцию тока <J*f
очевидно, что аналогичными свойствами обладает также и потенциал
скоростей <р (о, 6).
Рассмотрим еще вопрос о соответствии между координатами х, у
и переменными а, 6.
Для взаимной однозначности необходимо и достаточно, чтобы
якобиан
D (х, у) D (х, у) р(т, ф)
D (а, 6) — D (ср, ф) # D (с, в) 1°*^
был конечен и отличался от нуля. Из уравнений
ду 1 дф ду 1 дф
следует:
U{X,y) 1 1
(3.3)
D(x9y)
а из уравнений (2.15) главы IX (стр. 374) с учетом (1.2) имеем
а о
дер 0 С da дф 0 С da ду „дф .
W— 1] 7" да' J 7*^_ ~"~Ддб"'
о о
отсюда следует:
da о
дд: Р ду ' ду
D[x,y)_ 1
О (<р, <!,) £>foj>)
" р&
1
~~ р»2 '
Г*?
J P
2
о
Для дозвуковых движений (/С>0), если &:£0 и, следовательно,
а :£ О, якобиан D у* ^ может обращаться в нуль только в тех
точках, где
Регулярные функций ср и ^ во внутренних точках не могут
принимать максимума или минимума, поэтому в точках, в которых
выполняются равенства (3.5), линии тока и эквипотенциальные линии не
могут образовывать петель, но могут пересекаться и уходить своими
§ 3) ЗАДАЧИ 6 ГАЗОВЫХ СТРУЯХ, РАЗРЕШАЕМЫЕ МЕТОДОМ ЧАПЛЫГИНА 43^
концами на .границы области регулярности. Если из условий задачи
изведтно, что все линии тока выходят из одной и той же точки на
границе и сходятся вновь в другой одной и той же точке границы,
то указанное выше пересечение линий 'тока внутри области
невозможно и, следовательно, невозможно обращение в нуль якобиана
i'Vw*' ~v . Очевидно; что аналогичное предложение верно и в том
и (0, а) ч !
случае, когда линии тока, выходящие из одной точки на границе
области, затем делятся на пучки, каждый из которых снова
собирается в одну точку на границе. Таким образом, в рассмотренных
случаях соответствие между л;, у и а, 0 взаимно однозначное.
Обратимся теперь к решению задач об истечении газа с
дозвуковыми скоростями из сосуда с плоскими стенками и об обтекании
клина со срывом струй (см. фиг. 5.2, 5.3 и 5.4 на стр. 204—205).
Согласно формулам (1.8), (1.9), главы V (стр. 204—205), в этих
случаях характеристическую функцию w (С) внутри сектора,
соответствующего потоку в плоскости С (см. фиг. 5.4 на стр. 205), можно
разложить в ряд вида:
w = ?1 + /ф, = к — В In С— 2*ЯС»\ (3.6)
п
где А, В, kn — постоянные, причем В действительно, а показатели п
образует возрастающую положительную последовательность чисел.
Из (3.6) имеем:
^A + Bb + ^BU[^J sln(2nb + an)t (3.7)
п
где Л, В, Вп — действительные постоянные.
Легко убедиться,, что соответствующая задача о движении газа
разрешится с помощью формулы:
«]> = А + ВЬ + ^ Вп (1.J ^ sin (2я6 + «„), (3.8)
П
где а — некоторая постоянная. В самом деле, ряд (3.8) определяет
функцию ф(т, 0), непрерывную вместе со своими производными при
т<т0 и удовлетворяющую уравнению (1.4). На дугах окружности
т = т0, соответствующих поверхностям струй, функция тока для
движения газа ф отличается от функции тока для соответствующего
движения несжимаемой жидкости ф1 трлько постоянным множителем а,
которым определяется геометрический масштаб в плоскости
движения газа.
Граничные условия о постоянстве функции тока на стенках,
представляемых прямыми 6 = в0э для несжимаемой. жидкости
удовлетворяются на основании равенства
sin(2A*90-f«n)==°- (3.9)
28*
436 ГАЗОВЫЕ бтР^Й (гл. fc
Очевидно, что в силу условий (3.9), определяющих постоянные <хп?
граничные условия для функции тока газового течения также удовле*
творятся.
Таким образом, формула (3.8) определяет решение соответствую*
щей задачи о струйных движениях газа.
Подробные расчеты для истечения газа из сосуда с плоскими
стенками и для симметричного обтекания клина струей как конечной,
так. и бесконечной ширины, даны в работе С. А. Чаплыгина J).
Метод С. А. Чаплыгина непосредственно не применим, если для
аналогичной задачио движении несжимаемой жидкости внутри области,
соответствующей потоку в плоскости годографа скоростей,
характеристическая функция <ey = <Pi + tyi не может быть разложена в ряд
вида (3.6). Примером может служить задача об истечении газа из
сосуда конечной ширины в бесконечности (см. фиг. 5.3 на
стр. 204). В этом случае в точке т^ < х0 внутри сектора,
соответствующего потоку, характеристическая функция имеет
логарифмическую особенность.
Вторым примером, близким к первому, может служить задача
о струйном обтекании газом решетки, составленной из плоских
пластинок или из клинообразных профилей. В этом случае внутри
кругового сектора, соответствующего потоку в плоскости годографа
скоростей, характеристическая функция w = ог -f- fyx также имеет
логарифмическую особенность. Задача о струйном обтекании решетки
плоских пластинок газом решена Ю. В. Рудневым2).
§ 4. Газовые струи с критическим давлением
на свободных поверхностях
Внимательное изучение задачи, разрешенной еще С. А.
Чаплыгиным, об адиабатическом истечении совершенного газа из сосуда
с плоскими стенками позволило обнаружить следующий
замечательный факт8). Если давление на поверхности струи критическое, то
геометрическое место точек на различных линиях тока, в которых
скорость газа достигает скорости звука, образует прямолинейный
отрезок, расположенный перпендикулярно к струе (скорости) на
конечном расстоянии от отверстия в стенке (фиг. 10.1).
Ниже мы даем простое доказательство этого предложения в
постановке несколько более общей, чем в работе Л. В. Овсянникова:
!) Чаплыгин С. А., О газовых струях. Собрание сочинений, т. II,
Москва, 1948, или отдельное издание, Гостехиздат, 1949.
*) Р у д н е в Ю. В., ч Сборник № 4 «Теоретическая гидромеханика»,
Оборонгиз, 1949.
8) Овсянников Л, В., Об одном газовом течении с прямой линией
перехода. Прикладная математика и механика т: ХШ, вып. 5, 1949:
§ 4] СТРУИ С КРИТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ НА СВОБОДНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 437
произвольная связь между давлением и плотностью1) и произвольная
струя с критическим давлением на свободных поверхностях (фиг. 10.2).
В плоскости годографа скорости £=±=-р-<?-« поверхности струй
изобразятся дугами круга кр
единичного радиуса.
Если жидкость
несжимаемая, то выравнивание
скоростей в струе конечной
ширины происходит в
бесконечно удаленной точке.
Пусть этой бесконечно
удаленной точке в струе
соответствует точка С = С0 на
дуге единичного круга в
плоскости годографа.
Для несжимаемой
жидкости вблизи точки Cq
характеристическая функция w (С) имеет логарифмическую особенность
типа стока и может быть представлена в виде:
•i-?i+% £ln(l —£) + «*(«, (4.1)
где Q — расход через струю, а функция w*(^) регулярна вблизи
точки С = С0. Вместо формулы (4.1) можно воспользоваться
формулой вида
«,ю—uta(,_»)+^Q_aji^+-j(e. <м>
Фиг. 10.1. Схема истечения газа из сосуда
с плоскими стенками.
w=i
где ад* (С) регулярна вблизи точки С==Со-
Из (4.2) для функций тока <|>х имеем:
b — ifij^^^-b,)^;^, 6). (4.з)
Функция <J£(t, в) непрерывна и регулярна вблизи точки т0, 60.
Для аналогичного струйного движения газа с дозвуковыми
скоростями функцию тока <|> вблизи точки (т0, 60) можно представить
в виде:
со
!) Распространение результата Л. В, Овсянникова на случай любой связи
р (р) дано Ю. В. Рудневым.
438 газовые струи [гл. х
На дуге круга, соответствующего струе, функция ф* (т0, 9)
непрерывна вблизи точки (т0, 60).
Согласно формулам (2.19) и (2.20) можно написать:
ШйШЖЬ^-v+i-h в> <">
/?=1
г =
4<?** у п Znl(z)
1 zniW
тгрЪ
я=1
и+^ш™2"*-^-
На дуге круга, соответствующей поверхности струи, функции <р* (т, 6)
и г*(т, 0) непрерывны и
принимают конечные
значения в точке (т0,60).
Легко видеть, что для
дозвуковых струйных
движений х0 < ткр ряды в
формулах (4.5) и (4.6) сходятся
на струях при х = т0 во всех
точках 6 ф 60, так как
согласно (2.9) величина
стремится к ко-
нечному значению при л-» со.
При 6 = 60 эти ряды
расходятся, благодаря чему
выравнивание скоростей газа
в струе достигается
асимптотически при удалении вдоль
струи в бесконечность.
Решение, определяемое
формулами (4.4), (4.5) и
(4.6), сохраняет свою силу
при т0 = ткр, однако в этом
случае в силу неравенства
(2.10) ряды (4.4) и (4.5) на круге т = т0 = ткр сходятся вблизи, точки
Фиг. 10,2. Схема истечения газа из сосуда
для более общей постановки задачи.
0 = <
для
и
всех 6, в том числе и для 6 = Ь0
6 = 60 потенциал <р и комплексная
Следовательно, при
up n v •— vq uvsi ^ш-^па." y n 'v.viTinrfiv^iwnan координата z имеют
конечное значение. Сравнение формул (4.2), (4.4) и (4.6) показывает,
что при приближении к точке
располагаются на прямолинейном
рости газа.
"кр = V ^о значения координат z
отрезке^ перпендикулярном к; Wjh
§ 4] СТРУИ С КРИТИЧЕСКИМ ДАВЛЕНИЕМ НА СВОБОДНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 439
Таким образом, выравнивание скоростей в струе достигается на
конечном расстоянии от начала координат вдоль прямолинейного
отрезка. Обозначим через L расстояние от точки г* до прямой АВ
(фиг. 10.2), на которой расположен отрезок в струе со скоростями,
равными скорости звука. Из формулы (4.6) получим:
/ = L V 4п Г-i л_ т fk^pLl U 7\
2к Zi4n*-\ |> + п Znl(,Kp) J' l*-'J
так как Q = pKp*;:»£, где h — критическое сечение струи.
Дальнейшее продолжение движения можно осуществить в виде
струи с поступательным движением газа со скоростью, равной точно
скорости звука.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабата Гюгонио 332
— Пуассона 332
Биплан 57, 231 и д.
— тандем, установившееся движение
64 и д.
Волна детонации, скорость
распространения 341
— ударная 342
Вынос решетки 123
вытекание жидкости из отверстия
в плоской стенке 201
из сосуда с прямолинейными
стенками 204
со стенками, имеющими
точку излома 204
Гипербола, обтекание дуги — 247 и д.
Глиссирование 255 и д.
— по поверхности жидкости конечной
глубины 289, 293 и д.
невесомой 287 и д.
тяжелой 261 и д.
Густота решетки 123
Гюгонио адиабата 332
Давление импульсивное 31
— торможения 349
Даламбера парадокс 31, 200
Движение газа установившееся 300
и д.
вихревое, примеры точных
решений 355 и д.
потенциальное 368 и д.
адиабатическое 379 и д.
— жидкости несжимаемой
возмущенное
потенциальное вне одного контура
П и д.
— крыла с постоянной циркуляцией
11 и д.
периодическое 32
тонкого неустановившееся с
поверхностями разрыва 72 и д.
Движение крыла обобщенное
Прандтля-Майера 318 и д.
— относительное, характеристическая
функция 20
— установившееся биплана тандем
64 и д.
Детонация, скачок — 337
—, скорость распространения
волны 341
Диффузор 351
Длина смоченная глиссирующей
пластинки 290
Дужка круга, обтекание 39—40
Жуковского крыло 21
— метод в теории струй 207
, видоизменение его
211
— сила 42
— теорема 29
— условие о конечности скорости у
задней кромки 17
Задача о бипланах 231 ид.
— смешанная для кольца 177
для полосы 176
для полуплоскости 175
Излучение, принцип — 101
Каверна 223 и д.
Кавитация 221
—, число— 222
Кирхгофа метод в теории струй 201
Колебания установившиеся тонкого
слабо изогнутого крыла в
несжимаемой жидкости 81 и д.
— гармонические деформируемого
крыла 82
Количество движения жидкости 32
Конденсация, скачок — 337, 342
Коэффициент присоединенной массы
34, 36
двух пластинок,
расположенных вдоль одной прямой 68 и д.
Г^еДметныЙ
Коэффициенты присоединенной
массы изолированного
прямоугольника 166
плавающего тела 187
профиля в решетке 160 и д.
9 влияние густоты и
угла выноса 163
различных видов профилей
(таблица) 38—39
Кризис тепловой 342
Крыло Жуковского 21
, первая ось 22
— колеблющееся 81 и д.
— тонкое 46 и д.
, учет сжимаемости при
вибрациях 95 и д.
, при дозвуковой
скорости 99 и д.
— эллиптическое 21
Лаваля сопло 305 и д., 317
Леви-Чивита метод в теории струй
209
Лежандра преобразование 377 и д.
Масса присоединенная 34, 36
двух пластинок,
расположенных вдоль одной прямой 68 и д.
изолированного
прямоугольника 166
плавающего тела 187
профиля в решетке 160 и д.
различных видов профилей
(таблица) 38—39
Маха угол 313
Метод Жуковского 207'
, видоизменение его 211
— Кирхгофа 201
— Леви-Чивита 209
— параметрический построения
потоков 231 и д.
— характеристик 314
— Чаплыгина приближенный
изучения движений газа 386
Момент количества движения
жидкости 32
Направление первой оси крыла 35
Обтекание дозвуковое непрерывное
газом профиля с циркуляцией 405
— дуги гиперболы 247 и д.
параболы 244 .и д.
эллипса 247 и д.
— кавитационное 221 ид.
— — плоской пластинки 225 и д.
— — решетки 229
— струйное клийа 207
Обтекание струйное криволинейных
препятствий 211
пластинки 205
решетки 216 и д.
с застойной областью 216
Ось первая крыла 17, 43
Парабола метацентров 44
—, обтекание дуги—-244 и д.
Парадокс Даламбера 31, 200
Пластинка плоская вблизи земли
24)1 и д. ._,
Плоскость годографа 202
Площадь профиля Жуковского 24
Поверхность разрыва 72, 324 и д.
Поле скоростей относительное,
характеристическая функция 20
Полодия подвижная крыла 19
Построение потоков, параметрический
метод 231 ид.
Прандтля-Майера обобщенные
движения 318 и д.
Преобразование прикосновения
(Лежандра) 377 и д.
Принцип излучения 101
Профиль Жуковского 21
, изогнутый сильно 38
, — слабо 38—39, 45
коэффициенты присоединенных
масс 38—40
, первая ось 22
, площадь 24
, центр тяжести 24
симметричный 24, 38
, центральная точка 35
— тонкий 46 и д.
, кинематические задачи 46 и д.
— эллиптический 21, 45
, гидродинамические силы 40
, главные направления 40
, коэффициенты присоединенных
масс 40
, центральная точка 40
Пуассона адиабата 332
Разрежение, скачок —328
Разрыв сильный 324 и д.
— скоростей 72
Решётка 120 и д.
—, гидро-аэродинамические] силы,
действующие на профиль 152 и д.
—, густота — 123
— двоякопериодическая 166 и д.
— из одного ряда профилей 123 и д.
, метод отображения
на внутренность круга 132
442
ПРЕДМЕТНЫЙ .УКАЗАТЕЛЬ
Решётка из отрезков одной прямой
149 и д.
— круговая 139
—, обтекание казитационное 229
—, -=- струйное 216 и д.
— полипланов 140 ид.
—, угол выноса—123
^-, шаг—123
Сечение критическое газовйй струи
,439
Сила гидродинамическая й движении
бсолютном 27
~ относительном 28—29
—, действующая на профиль в
решетке 152 и д.
-> при движении с постоянной
циркуляцией 40 и д.
при отсутствии циркуляции 30
и д.
- — при периодическом движении
крыла 32
Сила демпфирующая при вибрациях
тонкого крыла 117
— Жуковского 42
— подъёмная плоской пластинки в
решетке 159
вблизи земли 241 ид.
профиля симметричного 44
— подсасывающая 63
плоской пластинки вблизи
земли 242
Система скачков 352
оптимальная 353
Скачок прямой 351
— разрежения 328», 337
— уплотнения 328, 337
* "В совершенном газе 344
Скорость распространения волны
Детонации 341
Сопло Лаваля 305 и д., 317
Сопротивление глиссирующей
Пластинки брызговое 257, 261, 287
« волновое 258, 287
полное 276 и д.
Струи газовые 418 и д.
— — с критическим давлением на
свободных поверхностях 436 и д.
Таммана уравнение состояния 330
Тандем 64 и д.
Танк кавитационный 222
Температура торможения 349
Теорема Жуковского 29
— о количестве движения для
неустановившегося возмущенного
движения 32
Теорема о моменте количества
движения для неустановившегося
возмущенного движения 32
— Томсона 72
Теория решеток 121
— струй 200 и д.
газовых 418 и д.
■• , метод Жуковского 207, 211
-, — Кирхгофа 201
, — Леви-Чивита 209
Торможение адиабатическое 349
—, давление — 349
—, температура — 349
Точка центральная 35
дужки круга 40
профиля эллиптического 40
Жуковского 40
Триплан 57
Турбина радиальная 121, 139
Угол выноса решетки 123
— Маха 313
Удар о несжимаемую жидкость 181
и д.
в прямоугольном сосуде
195 и д.
в цилиндрическом канале
199
горизонтальный
плавающей вертикальной пластинки 189
и д.
плоской пластинки 186,
188
, присоединенные массы
187
эллиптического цилиндра
185, 188
Уплотнение, скачок — 328
—, в совершенном газе 344
и Д.
Уравнение состояния Таммана 330
Уравнения приближенные для до- и
сверхзвуковых скоростей 399
Условие Жуковского и Чаплыгина о
конечности скорости у задней
кромки 10, 17
Фронт пламени, скачок 337
Функция характеристическая
движения жидкости абсолютного 11
— относительного 20
обтекания- крыла
поступательным потоком в бесконечности 21
— Чаплыгина 372
Характеристика 313
ПРЕДМЕТНЫЙ
Центр давления глиссирующей
пластинки 286
— тяжести профиля Жуковского 24
Циркуляция постоянная 40 и д.
Чаплыгина метод линеаризации
уравнения газовой динамики 369
УКАЗАТЕЛЬ 443 |
Чаплыгина метод приближенный 386 \
— функция 372
Число кавитации 222
Шаг решетки 123
Эллипс, обтекание дуги — 247 и д.
Редактор В. И. Леантовскай.
Техн. ред. М. Д. Суховцева^
Подписано к печати 16/VIII 1950 г. Бумага 60х92/и. 14,375 бум. л. 27,75 печ. л-
30,65 уч.-изд. л. 44134 тип. зн. в печ. л. Тираж 5000 экз. Цена книги 18 р. 40 к-
Переплёт 2 р. Т-06704. Заказ № 1631.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Ленинград, Измайловский пр., 29