/
Автор: Люстерник Л.А. Соболев В.И.
Теги: математика математический анализ топология функциональный анализ
Год: 1965
Текст
Л. А. ЛЮСТЕРНИК, В. И. СОБОЛЕВ
ЭЛЕМЕНТЫ
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕ1МАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965
517.2
Л 95
УДК 513.88+519.55
Лазарь Аронович Люстернил»
Владимир Иванович Соболев
Элементы функционального анализа
М., 1965 г., 520 стр. с илл.
Редакторы Н. П. Купцов, В, Я. Битюцков
Техн. редактор А. А. Благовещенская Корректор С. Н. Емельянова
Сдано в набор 2/IX 1965 г. Подписано к печати 22/XI 1965 г. Бумага 84х108/82.
Физ. печ. л. 16.25. Условн. печ. л. 26,65. Уч.-изд. л. 24,66. Тираж 20 000 экз.
Т-13778. Цена книги 1 р. 43 к. Заказ М 1811.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский пр., 15.
Ленинградская типография Jft 2 имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Государственного комитета Совета Министров СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.
2-2-3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 6
Введение. Обобщение основных понятий анализа, геометрии
и алгебры 7
Глава I. Метрические пространства 11
§ 1. Функциональная зависимость. Пространство. Упоря-
Упорядоченность 11
§ 2. Метрические пространства 15
§ 3. Примеры метрических пространств . • Id
§ 4. Полные пространства. Полнота некоторых конкретных
пространств 29
§ 5. Пополнение метрических пространств 33
§ 6. Теоремы о полных пространствах 40
§ 7. Принцип сжатых отображений 43
§ 8. Сепарабельные пространства • 53
Глава II. Линейные нормированные пространства .... 57
§ 1. Линейные пространства 57
§ 2. Линейные нормированные пространства 68
§ 3. Линейные топологические пространства 77
§ 4. Абстрактное гильбертово пространство 83
§ 5. Обобщенные производные и пространства С. Л. Собо-
Соболева 95
Глава III. Линейные операторы 122
§ 1. Линейные операторы • 122
§ 2. Линейные операторы в линейных нормированных про-
пространствах 133
§ 3. Линейные функционалы 143
§ 4. Пространство линейных ограниченных операторов . . 145
§ 5. Обратные операторы 153
§ 6. Пространство Банаха с базисом 164
Глава IV. Линейные функционалы 172
§ 1. Теорема Банаха — Хана и ее следствия 173
§ 2. Общий вид линейных функционалов в некоторых
функциональных пространствах 180
§ 3. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 196
§ 4. Слабая сходимость последовательностей функциона-
функционалов и элементоз 212
Глава V. Компактные множества в метрических и нор-
нормированных пространствах 222
§ I. Определения. Общие теоремы 222
§ 2. Критерии компактности множеств в некоторых функ-
функциональных пространствах 236
§ 3. Универсальность пространства С [0, 1] 256
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VI. Вполяе непрерывные операторы 261
§ 1. Вполне непрерывные операторы .... 261
§ 2. Линейные операторные уравнения с вполне непрерыв-
непрерывными операторами 268
§ 3. Принцип Шаудера и его применения 287
§ 4. Полная непрерывность оператора вложения С. Л. Со-
Соболева 295
Глава VII. Элементы спектральной теории самосопря-
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве . . 305
§ 1. Самосопряженные операторы 305
§ 2. Унитарные операторы. Проекционные операторы . . . 310
§ 3. Положительные операторы. Квадратный корень из по-
положительного оператора г .... 317
§ 4. Спектр самосопряженного оператора 322
§ 5. Спектральное разложение самосопряженного оператора 333
§ 6. Неограниченные линейные операторы. Основные по-
понятия и определения • 349
§ 7. Самосопряженные операторы и теория расширений
симметрических операторов 359
§ 8. Спектральное разложение неограниченного самосо-
самосопряженного оператора- Функции самосопряженного
оператора 370
§ 9. Примеры неограниченных операторов 390
Г л а в а VIII. Некоторые вопросы дифференциального и
интегрального исчислений в линейных нормирован-
нормированных пространствах 406
§ 1. Дифференцирование и интефирование абстрактных
функций числового аргумента 406
2. Разностные схемы и теорема Лакса 423
3. Дифференциал абстрактной функции 434
4. Теорема об обратном операторе. Метод Ньютона . . . 441
5. Однородные формы и многочлены 449
6. Дифференциалы и производные высших порядков . . 456
7. Дифференцирование функций двух переменных . . . 465
8. Теорема о неявных функциях 467
9. Приложения теоремы о неявных функциях 473
§ 10. Касательные многообразия 480
§ 11. Задачи на экстремум 489
Дополнения 493
I. Классы Lp, р > 1 493
II. Непрерывность в среднем функций класса Lp (G) . . • 499
III. Теорема Боля — Брауэра 502
IV. Два определения п-fi производной функции веществен-
вещественного переменного 508
Литература . . • • 512
Предметный указатель 51 4
Указатель обозначений • 520
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
С момента выхода в свет первого издания настоящей
книги прошло свыше десяти лет. За это время происходило
как всестороннее развитие функционального анализа, так и
интенсивное проникновение идей и методов функционального
анализа в различные разделы математики, да и не только
математики. Функциональным анализом начинают все более
широко пользоваться механики и инженеры, не говоря уже
о физиках, которые одни из первых стали применять функ-
функционально-аналитические понятия и методы в своих теоре-
теоретических исследованиях. Поэтому нет необходимости обосно-
обосновывать значимость функционального анализа и его место
в системе математических дисциплин.
Развитие функционального анализа и все возрастающий
интерес к нему со стороны широких кругов математиков,
физиков и механиков имели следствием появление ряда пре-
превосходных курсов и монографий, посвященных общему функ-
функциональному анализу. Достаточно назвать книги Л. В. Кан-
Канторовича и Г. П. Акилова [12], А. Н. Колмогорова и С. В. Фо-
Фомина [14], В. И. Смирнова [29], Б. 3. Вулиха [6], Н. И. Ахие-
зера и И. М. Глазмана [3], Ф. Рисса и Б. Секефальви-Наля
[27], Н. Данфорда и Дж. Т. Шварца [10] и др. Однако
нам кажется, что предлагаемое второе издание настоящей
книги не дублирует названные курсы и монографии. Во вто-
втором издании в основном сохранен элементарный характер
изложения, и поэтому наша книга нам представляется более
доступной для начинающего по сравнению с другими книгами.
По сравнению с первым, второе издание книги перепла-
перепланировано, выпушен ряд небольших по объему вопросов,
чаще всего либо несколько выпадавших из общего плана
изложения, либо носивших иллюстративный характер, доба-
6 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
влено довольно много нового материала. Наиболее значитель-
значительными добавлениями является включение пространств С. Л. Со-
Соболева и теорем вложения для этих пространств, теории
Рисса—Шаудера линейных операторных уравнений с вполне
непрерывными операторами в произвольных банаховых про-
пространствах, принципа неподвижной точки Ю. Шаудера, основ
спектральной теории неограниченных линейных операторов
в гильбертовом пространстве. Вместе с тем, как и в первом
издании, не развиваются или не рассматриваются такие важ-
важные разделы функционального анализа, как топологические
линейные пространства, нормированные кольца, теория пред-
представлений, полуупорядоченные пространства, обобщенные
функции и их приложения и пр. Авторы исходили из из-
известного принципа К. Пруткова о невозможности объять
необъятное и отсылают читателя, интересующегося указанными
вопросами, к другим монографиям.
Подготовляя второе издание нашей книги, мы использо-
использовали ряд курсов и монографий по функциональному анализу.
Это в первую очередь книги Л. В. Канторовича и Г. П. Аки-
лова, В. И. Смирнова, Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя.
При изложении спектральной теории линейных операторов
в гильбертовом пространстве мы в основном следовали плану
и идеям А. И. Плеснера [24, 25], который был горячим
пропагандистом спектральной теории линейных операторов,
да и функционального анализа вообще, в годы, когда начи-
начиналось широкое развитие этого раздела математики в нашей
стране.
Рукопись книги прочитали А. И. Перов, Д. А. Райков
и Я. Б. Рутицкий, сделавшие много ценных замечаний. Ряд
предложенных ими улучшений изложения использован в книге,
н мы приносим им искреннюю благодарность.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
ОБОБЩЕНИЕ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ
АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЫ
В начале настоящего столетия возникла новая аналитиче-
аналитическая дисциплина, так называемый функциональный
анализ.
Основные понятия и методы функционального анализа по-
постепенно складывались в недрах более старых областей мате-
математического анализа: в вариационном исчислении, в теории
дифференциальных уравнений, в теории представления и
приближения функций, в численных методах анализа и особенно
в теории интегральных уравнений.
Сущность функционального анализа состоит в том, что
ряд понятий и методов из элементарных глав математического
анализа (и смежных областей алгебры и геометрии) перено-
переносится на объекты более общей и более сложной природы,
причем широко используются геометрические и алгебраические
методы. Такое перенесение, связанное с обобщением основ-
основных понятий анализа, позволяет подходить с единой точки
зрения к вопросам, ранее рассматривавшимся изолированно
в специальных аналитических дисциплинах, устанавливать
связи между, казалось бы, далекими математическими тео-
теориями и тем самым способствовать открытию новых матема-
математических фактов. Чтобы убедиться в справедливости послед-
последнего утверждения, достаточно указать на ряд теорем суще-
существования решений дифференциальных, интегральных и иных
уравнений, полученных в последние годы методами функцио-
функционального анализа, или на функционально-аналитическую раз-
разработку приближенных методов анализа.
Обобщение основных понятий математического анализа
стало возможным потому, что в процессе развития различных
его ветвей обнаружилось много общего в понятиях и методах,
8 ВВЕДЕНИЕ
которыми там пользуются, причем часто эти понятия и методы
находят себе аналогии в алгебре и геометрии. Так, метод
последовательных приближений применяется для получения
решения самых разнообразных задач алгебры и анализа. Далее,
определение функционала, экстремума функционала и условия
существования экстремума в вариационном исчислении ана-
аналогично определению функции (одной или нескольких пере-
переменных), экстремума функции и условия его существования
в дифференциальном исчислении.
Общеизвестны аналогии между теорией линейных обыкно-
обыкновенных дифференциальных и линейных разностных уравнений,
с одной стороны, и теорией систем линейных алгебраических
уравнений, — с другой. Еще более последовательно эти ана-
аналогии выявились в исторически позже возникшей теории
линейных интегральных уравнений.
• Наряду с обобщением понятий анализа в математике
происходил процесс обобщения геометрических понятий,
начавшийся открытием Лобачевским неевклидовой геометрии.
Создание геометрии /г-мерного пространства позволило гео-
геометрически толковать функции многих переменных как об-
образы многомерной геометрии. Вместе с тем стали выявляться
новые аналогии между анализом и геометрией, причем воз-
возникавшие новые возможности геометризации анализа требо-
требовали дальнейшего обобщения геометрических понятий. При-
Приведем некоторые примеры. Совокупность решений линейного
однородного обыкновенного дифференциального уравнения
порядка п изоморфна /г-мерному векторному пространству.
Для совокупности решений линейного однородного уравнения
в частных производных геометрическим аналогом будет
бесконечномерное обобщение /г-мерного векторного прост-
пространства. Замечательный пример далеко ведущей и глубокой
аналогии между понятиями анализа и геометрии дает теория
разложений по ортогональным системам функций. Эти системы
во многом сходны с системами ортогональных векторов
евклидова пространства, что подчеркнуто их названием. Раз-
Разложению вектора по осям отвечает разложение функции
в ряд Фурье, теореме Пифагора отвечает теорема Парсе-
валя — Стеклова и т. д. При этом для геометрического изо-
изображения бесконечной ортогональной системы функций снова
потребовалось бесконечномерное обобщение евклидова про-
пространства.
ВВЕДЕНИЕ 9
С развитием математического анализа и геометрии не только
увеличивалось число аналогий как между понятиями раз-
различных областей анализа, так и между понятиями анализа и
геометрии, но также становилось ясным, что аналогии в раз-
развитых теориях являются следствиями родства в понятиях,
лежащих в основе этих теорий. Такими понятиями являются
понятия функциональной зависимости, предельного перехода,
близости, расстояния, которые явно или неявно и в разных
формах используются в этих теориях.
Как уже указывалось, характерным для функционального
анализа является не только обобщение, но и геометризация
основных понятий и методов классического анализа. Функции
тех или иных классов рассматриваются как точки или век-
векторы «функциональных пространств». Как мы уже говорили
выше, такое рассмотрение потребовало дальнейшего обобще-
обобщения геометрических понятий — бесконечномерных евклидовых,
векторных и других пространств. Это привело в конце кон-
концов к созданию общих понятий метрических, линейных нор-
нормированных, топологических пространств, охватывающих как
ранее рассматривавшиеся геометрические объекты, так и раз-
разные функциональные пространства.
Введение абстрактных пространств позволило трактовать
многие вопросы анализа в терминах геометрии. Такое гео-
геометрическое изложение аналитических теорий широко при-
применяется не только в математической литературе, но и в ра-
работах по физике и механике. Многие факты были при этом
угаданы по аналогии с фактами /г-мерной геометрии, дока-
доказательства многих других были получены геометрическим
путем. Таким образом, был обретен новый геометрический
метод в анализе. Одновременно с обобщением геометрических
понятий происходил процесс обобщения алгебраических по-
понятий.
С одной стороны, алгебраические операции над числами
переносились на объекты более широкой природы (матрицы,
операторы и т. д.). Возникают и внедряются в разные от-
отделы математики понятия группы, i ольца, поля и т.д.
В связи с применением алгебраических понятий к анализу
начинают рассматриваться алгебраические образования, в ко-
которых введен предельный переход. С другой стороны, все
более широко начинает использоваться тот факт, что опе.-
рации анализа являются предельными для алгебраических.
10 ВВЕДЕНИЕ
И обобщения алгебраических понятий в функциональном ана-
анализе играют ту же роль, что и соответственные элементар-
элементарные главы алгебры в обычном классическом анализе.
Так, линейной алгебре отвечает теория линейных опера-
операторов, которой посвящена значительная часть этой книги.
Основной метод анализа — аппроксимация нелинейного объекта
линейным — переносится и в функциональный анализ (см.
гл. VIII). Предельному переходу от многочленов числового
аргумента к более произвольным функциям его отвечает пре-
предельный переход от «многочленов на кольцах» (кольца мат-
матриц, операторов и т. д.) к более произвольным функциям
таких аргументов. На этом основаны такие важные дисцип-
дисциплины, как матричное исчисление, операционное исчисление,
спектральная теория линейных операторов (см. гл. VII).
Развившись в большую самостоятельную математическую
дисциплину, функциональный анализ и поныне продолжает
ассимилировать и обобщать методы других, уже более но-
новых математических дисциплин. Достаточно назвать интен-
интенсивно развивающиеся в последние годы теорию линейных
топологических пространств, теорию представлений групп
и некоторые другие современные разделы функционального
анализа.
ГЛАВА I
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Функциональная зависимость. Пространство.
Упорядоченность
Одним из основных понятий математического анализа яв-
является понятие функциональной зависимости. Напомним опре-
определение функциональной зависимости, даваемое в анализе:
пусть X и Y — два множества вещественных чисел; если
каждому числу х ? X по некоторому закону (правилу) ста-
ставится в соответствие единственное число у ? К, то говорят,
что на множестве X определена однозначная функция
y — f(x), область значений которой расположена в множе-
множестве Y. Множество X называют также областью опреде-
определения функции.
Легко видеть, что для идеи функциональной зависимости
не является необходимым, чтобы X и Y были множествами
вещественных чисел. Понимая под X и Y множества эле-
элементов различного характера, мы приходим к понятию более
общей функциональной зависимости, примеры которой имеются
в разных ветвях математического анализа.
Примеры. 1. Пусть у = /(хи х2, ..., хп) — вещественная
функция п вещественных переменных. Тогда X есть множество
упорядоченных систем из п вещественных чисел, К— множество
вещественных чисел.
2. Пусть у =/(*)—- вектор-функция, относящая вещественным
числам х л-мерные векторы у. Здесь X—множество вещественных
чисел, Y—множество л-мерных векторов.
3. В вариационном исчислении рассматриваются функционалы
ь
(.*> У, У')с1х,
12 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
где y — кривая, заданная уравнением у = / (х), в котором / (х)
принадлежит классу Сх функций, обладающих непрерывной произ-
производной, и проходящая через две данные точки А (а, уа) и В(Ь,уь).
В этом случае X — множество кривых с указанными свойствами,
Y—множество вещественных чисел.
4. В теории интегральных уравнений рассматривается выраже-
выражение вида
и
J K(tt s)x(s)ds.
Предполагается, что ядро K(t, s) определено и непрерывно в квад-
квадрате a<tf, s<6. Тогда написанное равенство можно рассматри-
рассматривать как некоторый закон, согласно которому каждой функции х (t)t
непрерывной на [at b\, соотносится другая функция, непрерыв-
непрерывная на том же отрезке. Здесь X и Y — множества непрерывных
функций.
Введем теперь общее определение функциональной зави-
зависимости.
Пусть даны два произвольных множества X и Y и дан
закон (правило), согласно которому каждому элементу х ? X
ставится в соответствие единственный, вполне определенный
элемент y?Y. Будем говорить тогда, что задан оператор
y — f(x) (пишут также у = /л;), определенный на множестве
X, с областью значений, расположенной в множестве Y *).
Говорят также, что задано отображение множества X
в множество Y. В том частном случае, когда значения опе-
оператора являются вещественными числами, оператор называется
функционалом.
Элемент у ? К, соответствующий при отображении y = f (x)
элементу х?Х, называется образом элемента х, ах —
прообразом элемента у ? Y.
Если отображение у = / (х) переводит X на К, то, оче-
очевидно, у каждого элемента y?Y существует по крайней
мере один прообраз х. В том случае, если у каждого у ? Y
имеется только один прообраз х?Х, отображение X на К,
устанавливаемое формулой y = f(x), называется взаимно
однозначным.
*) Условимся говорить, что некоторое обстоятельство имеет
место на множестве, если оно имеет место для всех элементов
этого множества, и в множестве, если оно имеет место, может
быть, не для всех элементов множества.
§ i] ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. ПРОСТРАНСТВО 13
Относительно свойств операторов, определенных таким
весьма общим образом, почти ничего нельзя сказать. Поэтому
введем дополнительные предположения.
Наряду с понятием функциональной зависимости другим
основным понятием анализа является понятие предела и свя-
связанное с ним понятие непрерывности. Множество, в котором
тем или иным способом определено понятие предела после-
последовательности, называется пространством.
Пространства, элементами которых являются функции или
числовые последовательности, будем называть функциональ-
функциональными пространствами. Изучение некоторых классов
операторов, определенных в функциональных пространст-
пространствах, и составляет основное содержание функционального
анализа.
Остановимся еще на некоторых понятиях, используемых
в функциональном анализе.
Пусть в множестве X объектов некоторой природы для
некоторых пар элементов а, Ь, с, ... этого множества вве-
введено соотношение
а<Ь.
Предположим, что это соотношение удовлетворяет следую-
следующим условиям:
1)иза<?и?<с следует а < с;
2) а < а;
3)иза<?и?<а следует а = Ь. Тогда множество X
называется частично упорядоченным, а элементы а и /?,
для которых имеет место соотношение а < b или Ь < а,
называются сравнимыми.
Множество X называется упорядоченным (или линейно
упо рядоченным), если для любых двух различных элемен-
элементов а и Ъ этого множества либо а < Ь, либо b < a.
Подмножество К частично упорядоченного множества на-
называется ограниченным сверху, если существует элемент b
такой, что у < b для всех у ? К. Элемент b называется
верхней границей множества Y. Наименьшая из всех верх-
верхних границ называется точной верхней границей или
верхней гранью множества.
Аналогично определяется множество, ограниченное
снизу, нижняя граница и точная нижняя граница или
нижняя грань множества.
14 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 1
Наконец, элемент zQ ? X называется максимальным,
если в X не существует элемента х Ф z0, удовлетворяющего
соотношению z0 < х.
Имеет место следующая весьма важная
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном
множестве X для всякого упорядоченного подмно-
подмножества Y существует верхняя грань, то в X суще-
существует максимальный элемент z0.
Упорядоченное множество называется вполне упорядо-
упорядоченным, если любое его непустое подмножество имеет
минимальный элемент, т. е. элемент, предшествующий всем
элементам подмножества.
Теорема Цермело. Всякое множество путем
введения некоторого соотношения порядка можно сде-
сделать вполне упорядоченным.
Доказательство теоремы Цермело опирается на так
называемую аксиому произвольного выбора
Цермело, утверждающую, что если дана любая система
непустых попарно непересекающихся множеств, то
существует новое множество, имеющее с каждым из
множеств системы по одному и только одному общему
элементу.
Можно показать, что лемма Цорна, аксиома Церме-
Цермело и теорема Цермело — эквивалентные друг другу утверж-
утверждения.
Подробнее об этом см. [5] и [21].
Пример. Пусть М — некоторое непустое множество и
Г={/}—совокупность его подмножеств t. Будем считать, что
t\ < t2, еслу tx cz t2. Очевидно, что введенное таким образом соот-
соотношение порядка удовлетворяет указанным выше трем условиям.
Ясно также, что когда М содержит более двух элементов, при
таком упорядочивании множество Т не будет упорядоченным (тем
более вполне упорядоченным).
Если S — любое подмножество Т, то оно ограничено сверху
и его точной верхней границей будет множество
U
t
В Т существует максимальный элемент: это само множество N1, рас-
рассматриваемое как подмножество, и лемма Цорна в этом случае
очевидна. Теорема же Цермело утверждает, что Т можно сделать
вполне упорядоченным, введя в нем иное соотношение порядка, но
как это сделать — из теоремы не вытекает, так как доказательство
ее носит неконструктивный характер.
§ 2] МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 15
§ 2. Метрические пространства
В математическом анализе мы встречаемся с несколькими
понятиями предела, причем в некоторых случаях для после-
последовательности одних и тех же математических объектов
в связи с разами задачами вводятся разные понятия предела.
Прежде всего мы встречаемся с понятием предела последо-
последовательности вещественных чисел. Это понятие непосредственно
обобщается на последовательности комплексных чисел и
я-мерных векторов. Затем для последовательностей функций
мы имеем ряд понятий сходимости: простой (неравномерной),
равномерной, в среднем и т, д.
Все эти понятия сходимости имеют большей частью то
общее, что сходимость последовательности элементов хп
(являющихся числами, векторами или функциями) к элементу х
означает неограниченное «сближение» хп и х> неограничен-
неограниченное уменьшение «расстояния» между этими элементами при
неограниченном увеличении номера п. И в зависимости
от того, как мы понимаем расстояние между элементами хл
и х, мы получаем различные определения предела. Но тогда
представляется целесообразным для некоторых множеств
элементов дать общее определение расстояния между элемен-
элементами, которое охватывало бы рассмотренные частные случаи,
а затем с помощью этого расстояния ввести в множество
понятие предельного перехода и превратить это множество
в пространство.
Метрическое пространство. Множество X называется
метрическим пространством, если каждой паре его
элементов х и у поставлено в соответствие неотрицательное
вещественное число р^(л:, у), удовлетворяющее следующим
условиям:
1) рх(лг, у) —О тогда и только тогда, когда х = у
(аксиома тождества).
2) рх(х, у) = рх(у, х) (аксиома симметрии).
3) рх(х> у) + Рх(У» *)«>PxC*t z) (аксиома треуголь-
треугольника).
Это число рх(х* У) называется расстоянием между
элементами х и у, а перечисленные три условии — аксио-
аксиомами метрики. Очевидно, что аксиомы метрики предста-
представляют собой формулировку.наиболее общих свойств расстояния
16 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
между точками обычного трехмерного евклидова простран-
пространства.
В дальнейшем, если ясно, о каком метрическом про-
пространстве X идет речь, то вместо рх(х, у) будем писать
просто р(л:, у).
Элементы метрического пространства будем называть
также и точками.
Наконец, отметим, что всякое множество К, лежащее
в метрическом пространстве X и рассматриваемое с теми же
расстояниями между элементами, что и в Л", является само
метрическим пространством и называется подпростран-
подпространством пространства X.
Предел последовательности. Элемент х метрического
пространства X называется пределом последовательности
элементов xv дг2, .... хп, ... из Л\ если р (хп, л:)->0
при /г->оо.
Будем писать в этом случае
или
\\тхп = х.
Относительно сходящихся последовательностей точек
метрического пространства можно высказать несколько общих
теорем.
Теорема 1. Если последовательность точек {хп\
метрического пространства X сходится к точке х ? X,
то и любая подпоследовательность [хпЛ последова-
последовательности {хп} сходится к этой же точке.
Доказательство очевидно.
Теорема 2. Последовательность точек [хп] ме-
метрического пространства может сходиться не более
чем к одному пределу.
Пусть хп->х и хп->у. Тогда, каково бы ни было
е>0,
для достаточно больших п. Так как х и у — фиксированные
точки, а е — произвольное положительное число, то это
неравенство возможно, лишь если р(лг, у) —О, т. е. х = у.
Теорема 3. Если последовательность \хп) точек
из X сходится к точке х?Х, то числа р(хп, 6) огра-
§ 2] МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 17
ничены для любой фиксированной точки 8 простран-
пространства X.
В самом деле, по аксиоме треугольника для любого п
имеем
Р(*я. в)<р(*я. *) + Р(*. 6)<L + p(x, в) = *.
ибо {р(лгЛ, л:)} как сходящаяся числовая последовательность
ограничена и, следовательно, числа р(лгл, лг) не превосходят
некоторой постоянной L.
Назовем шаром (соответственно замкнутым шаром)
с центром в точке а и радиусом г совокупность точек х
пространства X, удовлетворяющих неравенству р(х, а) < г
(соответственно неравенству р(х, #)<>). Будем обозна-
обозначать такой шар S(a, r) (соответственно S(a, г)). Назовем,
далее, окрестностью точки х любой шар с центром в этой
точке.
Легко видеть, что точка х является пределом Последо-
Последовательности [хп] тогда и только тогда, когда любая окрест-
окрестность точки х содержит все точки рассматриваемой после-
последовательности, начиная с некоторого номера. Множество,
лежащее целиком внутри некоторого шара, называется огра-
ограниченным.
Иногда бывает, что в некотором пространстве непосред-
непосредственно задано понятие предела последовательности элемен-
элементов. Если в этом пространстве можно ввести метрику так,
что определяемое ею понятие предела последовательности
будет совпадать с уже имеющимся понятием предела, то
говорят, что данное пространство можно метризовать.
Замыкания. В метрическом пространстве могут быть
введены многие важнейшие понятия, с которыми мы встреча-
встречались в теории точечных множеств, расположенных на прямой.
Так, если дано множество М с Х9 то точка а ? X назы-
называется предельной точкой этого множества, если любая
окрестность точки х содержит хотя бы одну точку мно-
множества М\ а, т. е. если
S(a, г)()(М\а)Ф 0
для любого г. Множество, полученное присоединением к М
всех его предельных точек, называется замыканием мно-
множества М и обозначается М.
18 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ.1
Нетрудно установить, что замыкания точечных множеств
метрического пространства обладают теми же основными
свойствами, что и замыкания числовых точечных множеств,
а именно:
2) М^М,
3) (М) = М = М,
4) замыкание пустого множества пусто.
Множество М называется замкнутым, если М = М.
Множество М называется открытым, если его дополнение
X \М замкнуто. Множество М называется плотным
в множестве О, если О ^ М. В частности, множество М
называется всюду плотным в пространстве X или просто
всюду плотным, если М = X. Наконец, множество М на-
называется нигде не плотным в пространстве X, если каждый
шар этого пространства содержит в себе некоторый шар,
свободный от точек множества М. Подробное изложение
свойств замкнутых и открытых множеств в метрических
пространствах см. в [1].
Непрерывные функции. Пусть даны два метрических
пространства X и К и функция ^ = /(лг), определенная на
некотором множестве М пространства X со значениями
в пространстве К. Функция f(x) называется непрерывной
в точке хо?М, если для любого е>0 найдется 6 > О
такое, что pv(f(x), f(xQ)X& для всякой точки лг^Ж,
удовлетворяющей неравенству рх(х> хо) < *•
Из определения непрерывности f(x) следует, что если
*я->*о (хп> хо?М)>
то
/(*„)->/С^-
и обратное утверждение: если
для любой последовательности {л:я} С М, сходящейся
к хо?М, то функция f(x) непрерывна в точке х0. Дока-
Доказательство этих утверждений точно такое же, как для веще-
вещественных функций вещественной переменной.
§ 3] ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 19
Гомеоморфизм. Пусть X и Y — данные метрические про-
пространства и существует взаимно однозначное отображение
пространства X на пространство К. Если это отображение
взаимно непрерывно, то пространства X и Y называются
гомеоморфными.
§ 3. Примеры метрических пространств
Числовая прямая. Пусть X = R, где /? — множества щсех
вещественных чисел (числовая прямая). Если х, у?/?, то полагаем
Справедливость аксиом метрики очевидна. Сходимость 9 этом
пространстве есть обычная сходимость числовых последователь-
последовательностей.
Евклидово пространство. Пусть X—арифметическое л-мер»
ное пространство, т. е. множество всех упорядоченных систем
из п вещественных чисел. Если
-*={gi> 1г> ..•• In) и у={ть Иг. ..•> Лл}»
то полагаем
Р С*. У) ¦¦
/1^
Справедливость аксиом метрики легко проверить. Пусть
i-1 2 3
И
p(xkt x)->0 т.е. 1/ SFi*} —6/J->о) при
Это равносильно условию 6^->^, / = 1, 2, ..., « при k->co.
Таким образом, сходимость в рассматриваемом пространстве есть
сходимость по координатам.
Пространство X с этой метрикой называют п-мерным евкли-
евклидовым пространством. Мы будем обозначать его Еп.
Пространство непрерывных функций с чебышевской
метрикой. Пусть X—множество всех непрерывных функций, за-
заданных на отрезке [0, 1] *).
*) Если отрезком изменения переменной t будет [а, Ь], то его
можно преобразовать в отрезок [0, 1], вводя новую независимую
переменную
t — a
х
20 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Введем метрику, полагая
р (х, у) = max | х (t) — у (Г) |.
Проверим выполнение аксиом метрики.
То, что р (х, у) > 0 и р (х, у) = 0, лишь если х (t) ss у (t), a
также, что р (х, у) = р (у, х), очевидно. Остается проверить
аксиому треугольника.
Для любого t?[0, 1] имеем
|*@-*@|Н1*<0- у @1
< max \х @ — у @ I + max | у {t)—z(t) |
t t
р(.
Поэтому
р (xt -г) = max | х (t) — z (t) | < p (x, у) +р (у, z).
t
Множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке
[0, 1], в котором метрика введена указанным образом, называется
пространством непрерывных функций и обозначается С [0,1].
Мы будем называть его также пространством непрерывных функ-
функций с чебышевской метрикой, так как расстояние между функ-
функциями совпадает с чебышевским уклонением.
Рассмотрим сходимость в пространстве С[0, 1]. Пусть дана
последовательность {xn(t)} элементов из С[0, I], сходящаяся к x(t)
(р (хп, х) -> 0 при п -> оо). Это значит, что
max | хп (t) — х if) | -> 0 при п ->оо,
т. е. для любого числа е > 0 найдется номер п0 = я0 (е) такой, что
max | хп (t) — х @ | < е
для п > п0 (е) и, следовательно,
для п^по(г) и для всех t?[0, 1]. Но это означает, что последова-
последовательность {xn(t)} равномерно сходится к функции x(f).
Легко видеть, что и обратно, если последовательность {xn(t))
равномерно сходится к х (t), то р (хп, х) -> 0.
Таким образом, сходимость в пространстве С[0, 1] есть равно*
мерная сходимость на отрезке [0, 1].
Пространство ограниченных числовых последовательно-
стей. Пусть X — множество ограниченных числовых последова-
последовательностей
Это значит, что для каждого х существует такая константа /С*,
чт0 I \i К Кх для всех /.
§ 3] ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 21
Пусть дг= {?j} и y=s {rj j принадлежат X. Введем расстояние
равенством
PC*, y)==sup |^~^|.
Очевидно, проверки требует лишь аксиома треугольника. Имеем
<sup |Е^ — -
Следовательно, и
sup I g/ — ?r I = Р (-^, г)<р(.*г, у)+Р(У>z).
Полученное пространство называется пространством т огра-
ограниченных числовых последовательностей.
Пусть хп и л:—элементы из /я, ^л = {йп)),-^= {!/} ир(лгл, х)->0
при /г->оо; это значит, что для любого е > 0 найдется такой номер
() что
р (хп, х) = sup | if — lt | < e при /2 > /20 (e).
Отсюда
при n^ n0 (e) и любом /.
Легко видеть, что и обратно, если 11(/*> — li | < е при п > л0 (е)
и всех /, то p(xrt, дг)->0 при /г->оо. Следовательно, сходимость
в пространстве т есть сходимость по координатам, равномер-
равномерная относительно номеров координат.
Пространство сходящихся числовых последовательностей.
Пусть X — множество сходящихся числовых последовательностей
*={?ь \ъ .... \п> •••}.
причем существует
Hrab-g.
Пусть
*e{Si. S2. •-., 6/1, ...}, У = (Лх» Яг, .-, Лл» ••¦}•
Полагаем
Полученное пространство называется пространством с.
Очевидно, что пространство с сходящихся числовых последова-
последовательностей является подпространством пространства т ограничен-
ограниченных числовых последовательностей.
Отсюда следует выполнение аксиом метрики в с и то, что
сходимость в с есть сходимость по координатам, равномерная
относительно номеров координат.
Пространство ограниченных вещественных функций. Рас-
Рассмотрим множество всех ограниченных функций х (/) вещественной
22 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ. I
иеременной t, заданных на отрезке [0, 1]. Введем метрику, полагая
р (х, у) « sup | х (I) — у @ |.
Без труда проверяем, что все аксиомы метрики выполняются. Мно-
Множество всех вещественных ограниченных функций с такой метрикой
называется пространством М [О, 1]. Легко видеть, что сходимость
в пространстве М [О, 1] есть равномерная сходимость на от-
резке [0, 1]. Ясно также, что С [0, 1]сЖ[0, I].
Пространство ограниченных измеримых функций. Прежде
чем рассматривать это пространство, введем одно понятие.
Пусть а @ •—измеримая на [0, 1] функция. Обозначим через <?
класс всех множеств Е меры нуль, лежащих в [0, 1], и рассмотрим
на ч следующую функцию:
sup а @ = \i (?).
[О, 1\\Е
Покажем, что если эта функция конечна для какого-нибудь ??g,
то на некотором множестве Еа она принимает минимальное значе-
значение. Пусть
|i0 = inf |i0 (?).
??&
Согласно определению точной нижней границы можно указать
такую последовательность множеств {Еп} а%, что
sup (/) +
1JV
oo
Пусть Еа = SJ En, тогда mEa = 0 и
fio< sup a@< sup a
ГО. 11\ Е~ Г0. 11 \ F-.
sup a@< sup a(O<Ho + r
[0,l]\Ea [0,l)\En П
Так как это неравенство верно для любого п, то отсюда следует,
что \i0 = \i0 (?a). Число ц0 называется существенным максимумом
функции a (t) на [0, 1] и обозначается
vrai max a (t) = min { sup a (t)}.
[0,1] E& [0.1WE
Пусть X — множество всех измеримых на [0, 1] функций x(t)*
у (t), z(t), ..., существенные максимумы которых конечны. Две
функции х (t) и у (t) из X мы считаем тождественными, если они
почти всюду равны.
Для двух функций х (f), y(t)?X положим
Р (•*> У) = vrai max | х (t) — у (t) |.
10,11
§ 3] ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 23
Проверим выполнение аксиом метрики.
1) Так как
sup |
10, 1\\Е
то р {х, у) > 0, причем очевидно, что р (х, у) = 0, если х (t) = у (/)
почти всюду. Пусть, обратно, р (х, у) = 0. Тогда для некоторого
множества Еху меры нуль
sup U@- у@1=0,
Ю, 1]\я
т. е. х (t) = у @ вне Еху и, следовательно, л: @ и у it) почти
всюду равны.
2) р (х, у) = р (у, х) очевидно.
3) Пусть x(t), у {t) и z (?)—функции из X, и ?^, Eyz — мно-
множества меры нуль такие, что
г)= sup 1^@—^@1. Р(У> *}= sup | у @ — -гг @1-
Ю,Ц\Вхг l°l^E
Положим Еху == Evz[)Eyz. Имеем
¦l]\Exy
<
@,
Тем более
sup |^@—гг@1+ sup
sup |*@ —*(*)|+ sup
max |x (t) — у (t) |<p (jr, г) + р (г, у),
и неравенство треугольника доказано.
Полученное пространство называется пространством М [0, 1].
Выясним, что представляет собой сходимость в этом простран-
пространстве. Пусть xn(t), x(t)?M[0, 1] и р (хп, х) ->0 при л->схэ. Это
значит, что для заданного е# > 0
р (*Я1 х) = min { sup | хп (t) — л @1 } < вЛ
Е 1[0 1]\Я J
при л > «0 (е^). Тогда найдется такое множество Е^ меры нуль, что
sup | хп @ — дг @ I < «л при п > д0 («*).
:о i)\E
Поэтому | хп (t)—x (t) | < tk при л>л0 (efe) для любого ^ [0,
Возьмем теперь последовательность
ПрИ Л1->ОО
24 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
и соответствующие множества Ет. Пусть е > 0 любое. Имеем
\xn(t)-x(t)\<tk<e
ею
для п > п0 (&k) и всех t? [О, 1] \|J Em. Таким образом, хп (t) -> x (t)
т-\
почти всюду на [0, 1] и притом равномерно на указанном множестве
полной меры.
Пусть, обратно, {xn(t)} равномерно сходится почти всюду
к х (t). Следовательно, для любого ? > 0 найдутся номер п0 (г)
и множество Ее меры нуль такие, что \xn{t)—x{t)\<z для
л>ло(е) и любого *?[0, 1]\?е. Но тогда и
sup
0 ij
для п >- п0 (е). Отсюда в свою очередь следует, что
min { sup | хп (t) — х (t) | } <; e
для n ;> n0 (e), т. е. что p (xn, x) -> 0 при n -> oo.
Следовательно, сходимость в пространстве М [0; 1] есть равно-
равномерная сходимость почти всюду.
Пространство всех числовых последовательностей. При-
Приведем пример метризуемого пространства. Пусть X — множество
всех последовательностей вещественных чисел. Введем в этом мно-
множестве понятие предельного перехода, полагая, что хп = [l^]
стремится к х = {?,}, если ?^-> |/ для всех / = 1, 2, 3, ... (вообще
неравномерно относительно /). Мы получаем, таким образом, некото-
некоторое неметрическое пространство, которое назовем пространством s.
Покажем, что пространство s можно метризовать.
Пусть л:={^}^5 и У ={*]/} б5- Положим
Аксиомы тождества и симметрии очевидны.
Аксиома треугольника следует из неравенства
\Ь\
которое доказывается следующим образом.
Пусть а и Ь одного знака. Можно считать, что а > 0 и Ь > 0
и тогда
1+а
§ 31 ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 25
Пусть теперь а и b разных знаков. Считаем, что |а[!>|6|. Тогда
X
Рассмотрим функцию / (х) = j-j-—. Имеем
1 -j- X
/'w>0
так что / (х) — возрастающая функция. Значит,
\а + Ь\ ^^ \а\ ^ \а\ [ |6|
Возвращаясь к аксиоме треугольника, находим
со оо
о(х г)У У
о оо
что и требовалось доказать.
Покажем, что сходимость в смысле введенной метрики есть
сходимость по координатам (вообще неравномерная относительно
номеров координат). В самом деле, пусть лгл== {^л)}, а: = {|/J
и хп -> х. Это означает, что
< ?
при /2 > /20 (е). Но тогда для каждого фиксированного / тем более
при л >• л0 (е), и так как е произвольно, а / фиксировано, то
Пусть, обратно,
|Йя)^|0 при
26 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 1
для каждого /. Возьмем произвольное число е > 0. Выберем сна-
сначала т так, чтобы
Тогда
^J о' 1 i I fc(rt) t I ' о "
Так как число слагаемых в оставшейся сумме конечно и фи-
фиксировано, то можно выбрать такое п0 (е), что
нри п^ п0 (е). Но тогда для л 1> п0 (е) имеем
Р fe. х) < е,
что и требовалось доказать.
Из доказанного следует, что сходимость в смысле введенной
метрики совпадает со сходимостью, ранее определенной в про-
пространстве 5, и, следовательно, введение этой метрики приводит
к метризации пространства 5.
Пространство сходимости по мере. Пусть X — совокупность
всех измеримых функций х (t), определенных на отрезке [0, 1].
Две функции, совпадающие почти всюду, мы считаем тожде-
тождественными.
Введем метрику посредством равенства
о(х У>= /' 1*@-У«I
9{<У) J 1 + 1*<0
Так же как и в предыдущем примере, убеждаемся, что аксиомы
метрики выполняются.
Полученное пространство называется пространством S [0, 1].
Можно показать, что сходимость в S [0, 1] есть сходимость
по мере. Определение сходимости по мере см. в [21].
§ 3] ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 27
Пространство функций с интегрируемой р~й степенью.
Пусть X — множество всех функций х (/), принадлежащих Lp [О, 1] *)¦
Две функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль, мы
снова считаем тождественными.
Если x{t)^Lp[Ot 1] и y(t)?Lp[O9 1], то полагаем
Р<*. У) — [ / Р 1
Выполнение аксиом тождества и симметрии легко проверяется; аксио-
аксиома треугольника следует из неравенства Минковского для интегралов.
Полученное пространство называется пространством Lp[0, 1].
Пространство L2 [О, 1] называется гильбертовым функцио-
функциональным пространством.
Пусть xn(t)^Lp[0, 1], л = 1, 2,..., и {xn(t)) сходится
к x(t)?Lp[0, 1], т. е.
при п->оо. Тогда говорят, что последовательность функций {xn(t)}
сходится в среднем с показателем (индексом) р к функции х (t).
При р = 2 говорят просто о сходимости в среднем.
Пространство числовых последовательностей 1р (р>1).
Пусть X— множество последовательностей вещественных чисел
* = {Ъь 6* • • -I Бл. . • • Ь принадлежащих 1р **). Если х = Ци 12> • • •
..., Бл» •••} и у= {ib т]2 Лт ...}^/р, то определим расстояние
по формуле
Выполнение аксиом симметрии и тождества проверяется без труда.
Аксиома треугольника следует из неравенства Минковского для сумм.
Полученное пространство называется пространством 1р. Про-
Пространство 12 называется координатным гильбертовым про-
пространством.
Можно показать ***), что сходимость последовательности
хп = J?^} к элементу х = {?;} в пространстве 1р означает, что
ч Б/ -^Б/ ПРИ л~>оо для всех /;
2) для любого е > 0 найдется такое число No (e), что
со
У, I l\n) \р < ер для N^N0 (e) и всех п.
*) См. также Дополнение I.
**) См. Дополнение 1(стр. 494).
***) Ср. ниже критерий компактности в пространстве /«.
28 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
Пространство lfi\ Пусть X — арифметическое я-мерное про-
пространство, т. е. множество всевозможных упорядоченных систем из п
вещественных чисел, и пусть х = {|lf |2,..., |л} и у = {r\u r\2t..., щ}»
Полагаем
1
У) '•
(п \
ых I
Полученное пространство называется пространством 1^\ В част-
частности, 4"* есть л-мерное евклидово пространство.
Можно считать*), что №alp1 если каждый элемент
\lv ..., ln}^lpn) отождествить с элементом {^,..., |л,0, ... }^/р.
Отсюда сразу следует выполнение аксиом метрики для 1^\ Схо-
Сходимость в пространстве /^ есть сходимость по координатам.
Комплексные пространства. Наряду с пространствами
С [0, 1], Lp [0, 1], с, /р можно рассмотреть заключающие их простран-
пространства, называемые соответственно комплексными С @, 1], Lp [0, 1),
с, lp Элементами комплексного пространства С [0, 1] являются ком-
плекснозначные непрерывные функции вещественного переменного,
пространства Lp[0t 1] — комплекснозначные функции, /?-я степень
модуля которых суммируема. Элементами комплексного простран-
пространства с (соответственно 1Р) являются последовательности комплексных
чисел, которые сходятся (соответственно ряд из р-х степеней
модулей сходится).
Все определения, данные выше для вещественных пространств,
переносятся на соответствующие комплексные пространства.
Неметризуемое пространство. Приведем, наконец, пример
множества, в котором можно ввести понятие сходимости последо-
последовательности и в то же время нельзя ввести метрику, определяющую
ту же сходимость.
Рассмотрим множество F [0, 1] всех вещественных функций,
определенных на отрезке [0, 1]. Будем считать, что последователь-
последовательность {хп (t)} dF[O, 1] сходится к x(t)?F[0, 1], если для любого
фиксированного t
xn(t)-*x(t).
Таким образом, сходимость последовательности функций в мно-
множестве F[0t 1] есть поточечная сходимость. Эта сходимость немет-
ризуема. В самом деле, предположим, что в F [0, 1| можно ввести
метрику, так что сходимость, определенная этой метрикой, будет
поточечной сходимостью последовательности функций. Пусть М —
множество всех непрерывных функций полученного метрического
*) См. ниже об изометричных пространствах.
§ 4] ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 29
пространства ^[О, 1]. С одной^ стороны, по свойствам замшсания
в метрическом пространстве, М « М. С другой стороны, ЖфМ,
так как М есть множество непрерывных функций и их пределов
в смысле поточечной сходимости, т. е. множество функций первого
класса Бэра, а Ж"есть множество функций первого класса и их пре-
пределов, т. е. множество функций второго класса Бэра *).
§ 4. Полные пространства. Полнота некоторых
конкретных пространств
Определения. Последовательность \хп) элементов метри-
метрического пространства х называется сходящейся в себе или
фундаментальной последовательностью, если для любого
числа е>0 найдется номер по(г) такой, что р(хп, хт) < е
при п, /и> яо(?)-
Если последовательность \хп) сходится к пределу х0,
то она сходится в себе.
В самом деле, пусть хо=\1тхп. Тогда для любого е > О
п
найдется номер яо(е) такой, что
Р(*л. *o)<Y
при п^>по(г). Следовательно,
для п, т^по(е), что и требовалось доказать.
Обратное утверждение для произвольного метрического
пространства неверно, так как существует метрические про-
пространства, в которых имеются последовательности, сходя-
сходящиеся в себе, но не сходящиеся ни к какому пределу.
Примеры. 1. Пусть X — множество рациональных чисел,
причем расстояние определяется по формуле
Тогда X есть метрическое пространство.
Возьмем последовательность
*> О классификации Бэра см. [21].
30 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
Эта последовательность сходится и в себе и к пределу г0 = 0,
Возьмем теперь последовательность
-(>+*)••
Эта последовательность сходится в себе, но не имеет предела*
в пространстве X, так как
lim
.ЫУ-
не является рациональным числом.
2. Пусть X есть пространство многочленов Р (i),
с чебышевской метрикой, т. е. если P(t) и Q(t)?X, то
р(Р, Q) = max|P@~Q@|.
Пусть {Pn(t)}—последовательность многочленов, равномерно схо*
дящаяся к непрерывной функции, не являющейся многочленом.
Очевидно, что последовательность {Pn(t)}—фундаментальная,
но не имеет предела в пространстве X.
Если в метрическом пространстве X каждая сходящаяся
в сеэе последовательность сходится к некоторому пределу,
являющемуся элементом того же пространства, то простран-
пространство X называется полным.
Отметим, что замкнутое множество полного пространства
есть само полное пространство.
Установим полноту некоторых конкретных метрических
пространств.
Полнота пространства Еп. Для случая Еп — евклидова
я-мерного пространства — полнота следует из критерия Коши
существования предела последовательности точек этого про-
пространства.
Полнота пространства С[0, 1]. Пусть дана последо-
последовательность [х „(?)}, где xn{t)?C[0, 1], я=1, 2,...,
и пуаь
при п, т->оо. Это означает, что для последовательности
{xn(t)} выполняется условие Коши равномерной сходимости
на [0. 1]. Пусть xo(t) — предел последовательности \xn(t)}.
Как предел равномерно сходящейся последовательности
непрерывных функций эта функция также непрерывна на [0, 1].
Таким образом, xo(t)?C[Q, 1] и р(хп, л;0)->0. Следова-
Следовательно, пространство С[0, 1] полно.
§ 4] ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 31
Полнота пространства т. Пусть \хп)—последователь-
\хп)—последовательность элементов из т> сходящаяся в себе. Пусть хп==\1\п)}.
Так как хп?т, то |?(/°|</C« Для /=1, 2, ... Так как,
далее, {хп) сходится в себе, то для любого числа е > О
найдется номер ло(е) такой, что р(хп, xfc) < е при я, &>-яо(е),
или, что то же,
SUp 11\П) — l{tk) | < 8 При Я, k > tlQ (8).
Отсюда следует, что
|ЙГ>-|Н<е A)
при nt k^no(e) равномерно по /.
Фиксируем /. Тогда последовательность чисел {$\ |?\ ...
..., ?/л\ ...} в силу A) есть последовательность, удовле-
удовлетворяющая условию Коши существования предела, и, сле-
следовательно, сходится к некоторому числу ^. Получаем,
таким образом, последовательность чисел {?р |2 |л, .. .}.
Возьмем неравенство A) и заставим k стремиться к беско-
бесконечности. Тогда в пределе получим неравенство
B)
для п^> nQ(e) и для всех /.
Отсюда
причем неравенство имеет место для всех /. Но это означает,
что {^ — ограниченная последовательность, т. е. лго={^} ? т.
Из B) получаем
sup | ?W — lt | < e для п > nQ (e),
т. e. p(xn, x)<Cs для п^>по(ё). Так как е> 0 произвольно,
то отсюда следует, что хп->х при #->оо. Полнота про-
пространства т доказана.
Полнота пространства с. Покажем, что пространство г,
рассматриваемое как подмножество пространства т, замкнуто
в т. Отсюда в силу замечания на стр. 21 будет следовать
полнота с.
32 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
Пусть [хп}> где хя=[1[п\ 1Bп) ?Н. ...}, есть по-
последовательность элементов из с и xn->xQt где х0 —
= {БA°>. Ifl .... If* ...}• Покажем, что [Щ — сходящаяся
последовательность. В самом деле,
j if - if | < | If - 1(Г | +1 if - if | +1 if - if | <
Пусть задано произвольное число 8 > 0. Выберем сперва п
настолько большим, чтобы р(хп, ^0)<т» и зафиксируем
такое п. Так как |^| — сходящаяся последовательность,
найдется номер п0 такой, что при /, j ^ п0
\ir-if\<\.
Но тогда
||(/0)_|@,|<е
при /, j^riy т. е. {^°)| — сходящаяся последовательность.
Итак, хо?с и требуемое доказано.
Полнота пространства М [0, 1]. Пуста \хп) — последо-
последовательность элементов пространства Ж [0, 1], сходящаяся
в себе. Тогда для любого е>0 при /г, w>/zo(e) имеем
inf { sup |*я<0—*«@|}<е.
f, mes?"=0 ^@, \\\Е
Следовательно, найдется множество ЕПо, mes ЕПо= 0 такое, что
sup \xn(t) — xm(t)\<e> m, я
т. е. почти всюду на [0, 1]
\хп(*) — хт(*)\<* ПРИ п> *п
Отсюда легко получаем (см. стр. 23), что последователь-
последовательность {.*„(/)} ограниченных измеримых функций сходится
равномерно почти всюду на [0,1]. Поэтому существует огра-
ограниченная измеримая функция xo(t)t являющаяся пределом почти
всюду для этой последовательности. Но тогда легко видеть,
что р(хп, д:0)->0и полнота пространства Л4[0, 1] доказана.
Полнота пространства Lp [0, 1] и 1Р. В курсах теории
функций вещественной переменной (см. [21]) доказывается,
,§ 5] ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 33
что L2[0t 1] и /2 — полные пространства. Аналогичными ме-
методами может быть доказана полнота Lp[0t 1] и 1р. Мы не
будем проводить здесь этого доказательства и получим утвер-
утверждение о полноте Lp[0, 1] и 1р как следствие одной общей
теоремы функционального анализа (см. ниже, стр. 198).
§ б. Пополнение метрических пространств
Известно, какую большую роль в математическом анализе
играет свойство полноты числовой прямой. Только построе-
построение полной совокупности вещественных чисел позволило
строго, в известных пределах, обосновать математический ана-
анализ. Большую роль играет свойство полноты метрических про-
пространств и в функциональном анализе. Поэтому мы рассмо-
рассмотрим сейчас процесс пополнения произвольного неполного
метрического пространства, аналогичный процессу пополнения
множества рациональных чисел множеством всех иррациональ-
иррациональных чисел. Предварительно, однако, введем одно понятие,
которое нам понадобится и в дальнейшем.
Пусть даны два метрических пространства X и Y. Пусть
расстояние между элементами хх и х2 пространства X будет
px(xv X2)> a расстояние между элементами ух и у2 простран-
пространства К будет Py(yv у2).
Если между элементами пространств X и Y можно уста-
установить взаимно однозначное соответствие и притом таким
образом, чтобы расстояние между элементами одного про-
пространства равнялось расстоянию между соответствующими
элементами другого пространства, то пространства X и Y
называются изометричными.
Легко понять, что с точки зрения тех вопросов, которые
связаны лишь с расстоянием между элементами, например
с точки зрения вопросов сходимости, полноты и т. д., два
изометричных пространства можно считать идентичными.
Можно говорить не только об изометричности про-
пространств А' и К, но и об изометричности множеств, распо-
расположенных в этих пространствах, и в вопросах, связанных
лишь с метрикой, результат, полученный для некоторого
множества метрического пространства, верен для всех изо-
изометричных ему множеств.
Пусть дано метрическое пространство Хо. Предположим,
что оно непо/iHoei т. е. что в этом пространстве имеется
34 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
последовательность, сходящаяся в себе, но не имеющая пре-
предела в Хо.
Покажем, что в этом случае существует другое метри-
метрическое пространство X— полное и такое, что в нем суще-
существует подмножество X', лежащее всюду плотно в X и
изометричное пространству Хо. Пространство X называется
пополнением пространства Хо.
Рассмотрим всевозможные последовательности
составленные из элементов пространства Хо и сходящиеся
в себе. Отнесем к одному классу любые две последователь-
последовательности 1х\ и {•*„)» сходящиеся в себе и такие, что р(хп, х'\->0
при я->оо. Эти классы х примем за элементы нового про-
пространства X. Возьмем два элемента х и у?Х. В каждом
из классов хну возьмем по одной последовательности [хп)
и Ы.
Покажем, что существует предел Итр(лг„, уп). В самом
п
деле, имеем
Р(*Я. Ул)<Р(*л> *т) + Р(*т» Ут) + Р(Ут. Уп)-
Отсюда
Р(*я. Уп) — PiXm9 Ут)<р(Хп, Хт) + р(уп, yj. A)
Меняя ролями значки тип, найдем
Р(*т. Ут) — Р(ХЛ» Уп)<Р(хп> Хт) + Р(Уп> Ут)- B)
Из A) и B) получаем
Ут)-
Правая часть этого неравенства стремится к нулю при п,
/п~>оо. Поэтому числовая последовательность {р (лгЛ. уп)}
удовлетворяет условию Коши и, следовательно, существует
предел Нтр(*я. уп).
п
Введем теперь расстояние в X по формуле
я. уп).
§Ъ) ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 35
Покажем, что так определенное расстояние не зависит от
выбора последовательностей {хп} и {уп} в соответствующих
классах.
Возьмем две другие последовательности [х'\ и 1у'\
в тех же классах х и у. Тогда
Отсюда
п п
Аналогично получаем, что и, обратно,
п
Следовательно,
Проверим выполнение аксиом метрики.
1. Так как р(хп, ул)>0, то и
л, уп)>0.
п
Далее, равенство
9(х, у) = \1тр(хп, уп)^0
п
означает по условию, что последовательности хп и уп при-
принадлежат одному классу.
Так как \хп) — любая последовательность класса х>
а [уп] — любая последовательность класса у, то д;==у.
2. р(х, у) = р(у, х) очевидно.
3. Если {хп}?х, {уп}?у, {zn}€z> то« очевидно,
<Итр(л:/2, уя
Докажем, что X — полное пространство. Возьмем последо-
последовательность [xv х2, ..., хп, ...} элементов пространства X,
36 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. I
сходящуюся в себе, т. е. такую, что
р(хп, хт)-»0 при я. т->оо.
В каждом классе хп возьмем некоторую последовательность
[х\п\ х^ х%\ ...}.
Так как эта последовательность сходится в себе, то можно
выбрать такое kn, что
р (*<;>, *Щ<^ для р>кп.
Рассмотрим теперь последовательность
к;-^ *ig....}
и покажем, что она сходится в себе. Имеем
р(х%\ 4^)<p(*v л<Л+р№ 'H+pK""' *О'
"C)
Пусть задано произвольное е > 0. Так как
Р(хп> хт)'~>^ ПРИ Я' /Я—>ОО,
то найдется номер #0 такой, что при п, т^п0
Поэтому при #, т'^п0 и достаточно больших р будем иметь
*<;*>) <|. D)
При этом мы можем считать п0 таким, что —<-т« Фикси-
ровав пит, удовлетворяющие условию п, т^п0, будем
считать р настолько большим, что р > кт и р > kn. Тогда
в силу выбора члсел кп и кт
1 < |, Р (x'f
§ 5] ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 37
Из C), D) и E) следует, что при п. т^п0
т. е. что последовательность [xW сходится в себе.
Обозначим класс, содержащий последовательность !^л}.
через х. Покажем, что хп-">х. Имеем, очевидно,
р(?я. *) = limp (*<»>. *•?)< limp (*<»>. *?>) +
-+- limpDя». *Sf>\<±.Hmp (*?»>. xf\. F)
p ч n P П ' P л ^
Так как последовательность 1^л)} сходится в себе, то для
заданного е > 0 найдется /г0 такое, что
при л, р > /г0- Отсюда
при п^-п0. При этом без ограничения общности можно пред-
предполагать, что — <"о"* ^3 F) и G) следует, что при п^п0
р(хп, х)<е.
т. е. что последовательность {хп} сходится к элементу х и
полнота пространства X доказана.
Введем в рассмотрение стационарные последователь-
ности> т. е. последовательности вида \х, х> ..., л:, ...),
которые, очевидно, сходятся в себе и, следовательно, относятся
каждая к некоторому классу—элементу из X, Очевидно, что
одному и тому же классу принадлежит лишь одна стацио-
стационарная последовательность. Если теперь
[х, х, .... х. ...}?*, [у, у, ..., у, ...}€У.
то, очевидно,
р(лг, у) = р(*. у),
38 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Покажем теперь, что Хо изометрично некоторому под-
подмножеству Хг пространства X, всюду плотному в X. От-
Отнесем к Х! все классы х, среди последовательностей которых
имеется стационарная последовательность {х, х, .. ., х, .. .}.
Между классами х ? Хг и элементами х, из которых со-
составляется стационарная последовательность, входящая в х,
имеется взаимно однозначное соответствие, причем если
{#}?# и {у}6У> то p(#, у) = р(х, у). Поэтому устано-
установленное взаимно однозначное соответствие между Хо и Х!
есть изометрия.
Легко видеть, что X' всюду плотно в X, т. е. что для
любого числа е > 0 и любого элемента х ? X найдется эле-
элемент хг?Х' такой, что р(лг, хе)^.г. В самом деле, пусть х
есть класс, содержащий сходящуюся в себе последователь-
последовательность [xi% х2, .... хп, ...}. Возьмем такое #, чтобы
р(хп, хт) < е для от > л. Построим стационарную последо-
последовательность [хп, хп, .... хп, ...} и обозначим через хе
класс, содержащий эту последовательность. Очевидно, хг? X''.
Далее,
и требуемое доказано.
Покажем, что пополнение пространства Хо определяется
однозначно с точностью до изометрии, т. е. что существует
лишь одно, с точностью до изометрии, полное простран-
пространство Хг которое содержит всюду плотное подмножество,
изометричное Хо. В самом деле, пусть К — другое полное
пространство, в котором Л^ лежит всюду плотно. Тогда
каждая точка у ? Y есть предел некоторой последовательности
{xv xv ..., хп, ...}аХ0. Так как эта последовательность
сходится в себе, то она определяет некоторый элемент х? X.
Этот элемент х ставим в соответствие элементу у. Пусть,
обратно, дан элемент ?? X и {lv ?2, ..., |я, ...} — неко-
некоторая фундаментальная последовательность из класса |. Так
как эта фундаментальная последовательность лежит в полном
пространстве К, то она определяет некоторый элемент г] ? У.
Этот элемент ставим в соответствие элементу %. Таким обра-
§ 5] ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 39
зом, мы получаем соответствие между элементами про-
пространств X и Y, причем это соответствие, очевидно, взаимно
однозначно. Так как, кроме того,
р(л\ |)==Итр(хл, U = p(y. Л)*).
то соответствие изометрично, и требуемое доказано.
Примеры 1. Возьмем пространство 1р1 состоящее из всевоз-
всевозможных упорядоченных систем [1Ь |2, .... 6^, 0, 0, 0,...}, где
li — любые вещественные числа, kx — любое натуральное число.
Если
, то полагаем
i
2 К!")
/'—подпространство /р и притом неполное, так как, например
последовательность
сходится в себе:
S ~2^) ">° "РИ
/я /Л
но в пространстве ^ не имеет предела.
Обозначим пополнение пространства l'p через X. Так как, с дру-
другой стороны, очевидно, что l'p лежит всюду плотно в полном про-
пространстве /р, то X изометрично 1р. Таким образом пополнение про-
пространства /' приводит к пространству, изометричному 1р.
2. Пусть Со [0, 1] — пространство многочленов, определенных
на отрезке [0, 1]. Пусть в этом пространстве введена чебышевская
метрика
р (р, д) = max | р (t) — q (t) |.
) Легко проверить, что если в метрическом пространстве
(, уп) ->р (я, у).
40 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
Пространство С0[0, 1], очевидно, не полно. Так как С0[0, 1] лежит
всюду плотно в полном пространстве С [0, 1], то пополнение про-
пространства Со [0, 1) приводит к пространству, изометричному С [0, 1].
3. Пусть L'[0t 1] — совокупность всех непрерывных функций»
определенных на отрезке [0, 1], с метрикой
Lp[0, 1] — неполное пространство, так как последовательность не-
непрерывных функций, сходящихся в среднем со степенью р к разрыв-
разрывной функции, есть последовательность, фундаментальная в Lp[0t 1],
но не имеющая в этом пространстве предела. Пополняя Lfp[0, 1],
мы получим пространство, изометричное Lp [0, 1].
§ 6. Теоремы о полных пространствах
Имеет место следующая теорема, являющаяся аналогом
леммы Кантора о стягивающейся системе отрезков:
Теорема 1. Пусть дана в полном метрическом
пространстве X последовательность замкнутых ша-
шаров, вложенных друг в друга {т. е. таких, что каждый
последующий шар содержится внутри предыдущего),
радиусы которых стремятся к нулю. Тогда суще-
существует одна и только одна точка, принадлежащая
всем этим шарам.
Пусть рассматриваемые шары будут
S(av ег), S(a2, e2), .... S(an, en), ...
По условию теоремы
SxzdS2zd ... dS>,,, (Sn = S(an, е„)).
Рассмотрим последовательность центров этих шаров
аи а2, .... ап, ...
Так как Sn+p с Sn, то an+p?S(an, гп). Поэтому
Следовательно,
§ 6] ТЕОРЕМЫ О ПОЛНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 41
при я->оо, т. е. последовательность центров шаров сходится
в себе.
Так как пространство X полное, то эта последовательность
сходится к некоторому пределу а ? X. Возьмем любой шар Sk
(k — фиксированное число). Тогда ak, ak+v ..., #$+„, ...
принадлежит этому шару. В силу замкнутости шаров Зк
предел а последовательности ak, ak+v .... ak+n, ... также
принадлежит Sk\ таким образом,
a = lim an
п
принадлежит всем шарам.
Допустим, что существует точка Ь, принадлежащая всем
шарам и отличная от точки а, так что
р(а, ?) = 6>0.
Так как точки а и b?Sn, я=1, 2, .... то мы должны
иметь
6 = р(а. ft)<p(fl. ап) + р(ап, *)<2ел.
что, однако, невозможно, так как ел->0 при /г—>оо.
Замечание. Можно несколько обобщить доказанную
теорему. Назовем диаметром ограниченного множества F
метрического пространства число
d(F)= sup р(аг, у).
Теорема 1'. Пусть дана в полном метрическом
пространстве X последовательность замкнутых мно-
множеств, вложенных друг в друга, диаметры которых
стремятся к нулю. Тогда существует одна и только
одна точка, принадлежащая всем этим множествам.
Доказательство, по существу, то же, что и для теоремы 1.
Как известно, свойство числовой прямой, устанавливаемое
леммой Кантора, можно принять за определение полноты или
непрерывности множества вещественных чисел или числовой
прямой.
Аналогично теорема о вложенных шарах характеризует
пЬлноту метрического пространства.
Теорема 2. Если в метрическом пространстве X
любая последовательность вложенных друг в друга
42 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Г
замкнутых шаров, диаметры которых стремятся
к нулю, имеет непустое пересечение, то пространство X
полное.
Пусть дана фундаментальная последовательность {хп}.
Выберем пп таким образом, чтобы
(X ^)<
для любого р > 0. Пусть Sk — замкнутый шар радиуса k_l
с центром в точке хПк. Имеем Sk+1 с: Sk. В самом деле,
если x?Sh+l% то
2* 2* 2k~l *
т. e. x?Sk.
Радиусы шаров Sk стремятся к нулю. Следовательно, по
предположению существует точка jc0, принадлежащая всем
шарам Sk. Покажем, что точка х0 является пределом после-
последовательности [хп]. Подпоследовательность fxn Л сходится
к х0, так как хп , xo?Sk и, следовательно,
Но тот да и вся последовательность \хп) сходится к х0,
потому что
и оба слагаемых можно сделать сколъ угодно малыми, если
выбрать nt nk достаточно большими. Теорема доказана.
Множество М называется множеством 1-й категории,
если оно может быть представлено в виде суммы не более
чем счетного числа нигде не плотных множеств. Множество,
не являющееся множеством 1-й категории, называется мно~
жеством 2-й категории. Например, множество рацио-
рациональных точек прямой, очевидно, есть множество 1-й кате-
категории; множество всех иррациональных точек — множество
2-й категории, что легко вытекает из следующей теоремы.
§ 7] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 43
Теорема 3. Полное пространство есть множество
2-й категории.
Предположим противное и допустим, что полное про-
просо
странство ^=[J МЛ, где Мп, л=1, 2 нигде не
л = 1 __
плотны. Возьмем шар S(a, 1) с центром в произвольной
точке а и радиусом, равным единице. Так как Мх нигде
не плотно, то внутри шара S(a, 1) найдется шар S(av rx)
радиуса rx < -j» не содержащий точек множества Мх. Так как
множество М2 нигде не плотно, то внутри шара S(av rx)
найдется шар S(a2, r2) радиуса a*2<"92"i не содержащий
точек множества М2, и т. д.
Получим последовательность замкнутых шаров
S(av гг). S(a2, r2) S(an, rn)
каждый из которых вложен в предыдущий и радиусы кото-
которых стремятся к нулю. При этом шар S(an, rn) не содержит
точек множества Mv Mv ..., Мп. По теореме 1 суще-
существует точка ао?Х, принадлежащая всем шарам. С другой
стороны, эта точка а0 не принадлежит ни одному из мно-
множеств Мп\ поэтому
Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.
§ 7. Принцип сжатых отображений
Хорошо известен метод последовательных приближений,
или итераций, широко применяющийся для доказательства
теорем существования решений алгебраических, дифферен-
дифференциальных, интегральных и других уравнений. Большое зна-
значение этого метода заключается, кроме его широкой при-
применимости, также в том, что он может служить для получения
приближенных решений уравнений. Метод последовательных
приближений для различных типов уравнений укладывается
в рамках функционального анализа в общую схему и
44 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
приводит к принципу сжатых отображений (сфор-
(сформулированному польским математиком С. Банахом).
Теорема 1. Пусть в полном метрическом про-
странстве X дан оператор А, переводящий элементы
пространства X снова в элементы этого простран-
пространства. Пусть, кроме того, для всех х и у из X
у), A)
где а<1 и не зависит от х и у. Тогда существует
одна и только одна точка х§ такая, что А(хо) = д:0.
Точка х0 называется неподвижной тонкой оператора А.
Возьмем произвольный фиксированный элемент х ? X и
положим
хх = А (х), х2 = А (хг) хп
Покажем, что последовательность [хп] сходится в себе. Для
этого заметим, что
— р(А(х), А(х{))<ар(х, х{) =
лг2)<а2р(л:, A(x))t
Далее
. А(х)) =
пп пп f р
B)
Так как по условию а< 1, то
откуда в свою очередь следует, что р(хп, хп+р)->0 при
л->сю, р > 0. Значит, последовательность {д:л} сходится
в себе. В силу полноты пространства X существует элемент
хо?Х, являющийся пределом этой последовательности,
xQ= lim xn.
п
§ 7] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИИ 45
Докажем, что Л(л;0) = л;0. В самом деле,
= р(лг0,
Но при любом заданном е > О и достаточно большом п
Р(хо, хп) <~, р(х0, Хя-iX-j.
Следовательно,
Так как е>0 произвольно, то р(х0, Л(дго)) = О, т. е.
Л(л:0) = ^0, что и требовалось доказать.
Предположим, что существует два элемента л:0,
такие, что
А (х0) = аг0, А (уо) = у0.
Тогда
Если допустить, что р(л;0, у0) > 0, то из предыдущего сле-
следует, что 1 ^ а, что невозможно в силу условия.
Если перейти в формуле B) к пределу при р->оо, то
придем к оценке ошибки /1-го приближения
Р (хя. х0) < г^г р (х. Л (х)). C)
Замечание 1. Построение последовательных прибли-
приближений хп, сходящихся к неподвижной точке jc0, можно произ-
производить, исходя из любого элемента х?Х. Выбор элемента х
будет сказываться лишь на быстроте сходимости \хп] к своему
пределу.
Замечание 2. Иногда приходится рассматривать ото-
отображение А такое, что неравенство A) выполняется не во всем
пространстве, а лишь в некоторой замкнутой окрестности
S(x, r) какой-либо его точки х. Тогда принцип сжатых
отображений можно применять при дополнительном условии,
что оператор А преобразует этот шар в себя и потому
последовательные приближения не выходят из рассматривае-
рассматриваемой окрестности. Пусть, например, в дополнение к нераг
46 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
венству A) удовлетворяется неравенство
р(х. i4(jc))<(l—а)г.
Если x?S(x, r), то и A(x)?S(x> r), так как
р(А{х). *)<р(Л(х). А(х))+р(А(х)9 *)<
<ар(лг,
Поэтому можно рассматривать А как оператор, действующий
в полном метрическом пространстве S(x, r) (см. стр. 30)
и удовлетворяющий в этом пространстве условию 1. Но тогда
по доказанному оператор А будет иметь в S(x, r) един-
единственную неподвижную точку.
Приведем несколько примеров применения принципа сжа-
сжатых отображений.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
методом итераций. Рассмотрим арифметическое я-мерное
пространство. Если * = {?lf ?2, .... у, y=[r\v Л2 Л„Ь
то положим
р(лг, зО = l
Легко доказать, что определенное так метрическое про-
пространство тп полное. Рассмотрим в этом пространстве
оператор у = А(х), заданный с помощью равенств
7 = 1
Имеем
= max
= max 2 I Я/у IP (*i» #2)*
§ 7] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 47
Если теперь предположить, что
для всех /, то мы окажемся в условиях применимости прин-
принципа сжатых отображений и, следовательно, оператор будет
иметь единственную неподвижную точку. Таким образом, мы
получили теорему.
Теорема 2. Если матрица (а/;) такова, что
п
2 |#//| < 1 для всех Л то система уравнений
п
?/—2 */& = */. '=1. 2. ..., л,
имеет единственное решение ^0=||<°), S^i ••• •?{?}.
Это решение можно получить методом итераций,
исходя из произвольного вектора jf={?lt ?2, .... ?„}.
Условие D) есть достаточное условие сходимости метода
итераций для рассматриваемой системы. Если в я-мерном
пространстве ввести другую метрику, то получим другое
условие сходимости. Пусть, например,
При такой метрике
А(х2)) =
Поэтому условием сходимости метода последовательных
приближений будет на этот раз неравенство
1 = 1/-!
48 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1
Существование и единственность решения интеграль-
интегрального уравнения. Пусть К (Л $) — действительная функция,
определенная и измеримая в квадрате a<^t, s^b и такая,
что
ь ь
f f КЧ*> s)dtds< + 00, E)
и пусть f(t)?L2[a, b]. Покажем, что тогда интегральное
уравнение
ъ
K(t, s)x(s)ds
а
имеет при каждом достаточно малом значении параметра X
единственное решение x{f)?L2\a> b].
Рассмотрим оператор
ь
К (Л s)x(s)ds.
а
Покажем, что этот оператор переводит каждую функцию
Аг(/)?^2[а, Ь] в функцию, принадлежащую снова тому же
пространству. Так как f (t)?L2[a> b], то достаточно дока-
доказать, что оператор
ь
А0(х) = f K(t, s)x(s)ds
а
переводит каждую функцию х (/)? L2[a> b] в функцию
из того же пространства.
Из условия E) и теоремы Фубини (см., например, [21])
следует, что K2(t> s) интегрируема по s на [а, Ь] для почти
всех t из [а, Ь]. Отсюда вытекает для почти всех t из [а, Ь]
существование интеграла
. s)x(s)ds =
§ 7] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 49
Тогда по неравенству Буняковского
Оь \2 ь ъ
' К (Л s) x(s)ds\ < f К2 (t9 s) ds J x2 (s),ds.
la a
Так как функция
ь
j x2 (s) ds
a
постоянная, а
ь
f K2(t, s)ds
интегрируема по / на [a, b] в силу условия E) и теоремы
Фубини, то y2(t) также интегрируема по t на [a, ft], причем
ь ь
f у2 (О <**<{{К2 С- s) ds f
Оценим теперь р(Л(лг), А (у)). Имеем
р(А(х).
Y * b \2 X2
fK(t, s)x(s)ds — l f Kit, s)y{s)ds\ dt \ =
le \ a a J ]
1 1
ь ь \j ( b \T
( j ( \T
f fK*(t9s)dtds\ [f[x(s) — y(s)]2ds\ =
а а / \а /
/ ft * \T
= |Я| J J /С2(Л 5)Л^1 р(лг, у).
50
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. !
Если
ъ ь
J J K2(t, s)dtds
2
F)
С
то мы находимся в условиях применимости принципа сжатых
отображений. Поэтому существование и единственность ре-
решения рассматриваемого интегрального уравнения при зна-
значениях Я, удовлетворяющих
неравенству F), доказаны.
Применение к уравне-
уравнениям в частных производ-
производных, В качестве третьего
примера рассмотрим задачу
Коши для квазилинейного ги-
гиперболического дифференци-
дифференциального уравнения второго
порядка с двумя независимы-
независимыми переменными.
Пусть в плоскости хОу
(рис. 1) задана гладкая кри-
Рис-
вая АВ такая, что любая
прямая, параллельная оси х или оси у, пересекает ее не
более чем в одной точке. Требуется найти функцию и(х, у),
удовлетворяющую внутри криволинейного треугольника ABC
уравнению
и такую, что и, их^р и иу =<7 принимают вдоль АВ заданные
непрерывные значения. Без ограничения общности эти зна-
значения можно принять тождественно равными нулю (см. [9],
т. II, гл. V, § 5). Известно, что решение этой задачи Коши
сводится к решению нелинейного интегрального уравнения
«(*. у) =
//
MPQ
Рассмотрим пространство X, элементами которого являются
функции а (л:, у), определенные в замкнутом криволинейном
треугольнике ABC, непрерывные в этой области и имеющие
§ 7] ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 51
непрерывные частные производные первого порядка. Рас-
Расстояние зададим формулой
р(и, v) = max | и (л;, у) — v(x, у)| +
АВС
Н-тах|в^(д?, y) — vx(x, у)| + тах \uy (x, y) — vy(x, y)\.
ABC ЛВС
Легко проверить, что при таком определении расстояния X
будет полным метрическим пространством, сходимость в ко-
котором означает равномерную в ABC сходимость последова-
последовательности функций и последовательностей их производных
к предельной функции и ее производным.
Предположим теперь, что в пространстве независимых
переменных х, у, и, р, q при условии, что точка М(х, у)
не выходит из ЛВС, а переменные и, р, q подчинены огра-
ограничению |#|<^а, |/?|<^я, \я\^С а> где а — некоторая кон-
константа, функция /(лс, у, и, р, q) непрерывна по совокуп-
совокупности переменных и, более того, по переменным и, pt q
удовлетворяет условию Липшица
у, и, /?, q) — f(x, у, и, /?,?)|<
где L — некоторая константа.
Из этого, в частности, следует, что /(jc, у, и, р, q)
ограничена в рассматриваемой области.
Введем в пространстве X оператор
v(x9 y) = U(u)= { f fib 4. «• uJh в
MPQ
Замечая, что
vx(x, y)= f f(x, г], и, их, u
QM
1
получим
\v(x, у) |
где
QM
^(*> у) = jfib У> и> их>
РМ
</Crf2, \vx(x. y)\<Kd,
K = snp\f(x, у, м, /?,
\vy(x,
я)\
52 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ. 1
при
М(х, у)?АВС и |«|<л. Ы
— наибольшее из расстояний АС и ВС. Если предполо-
предположить, что выполнены соотношения
j и
то оператор U переводит замкнутый шар 5@, а), где
&(х, у)— функция тождественно равная нулю, пространства X
в себя. Далее имеем
|г>— v\
ЛВС
<тах //
MPQ
и аналогично
max|vх — vx|<Iф(к,
max | vy — vy
Если теперь предположить, что L(P<-^ и Ld<-^9
а это, в частности, будет, если d достаточно мало, то опе-
оператор U осуществляет сжатое отображение шара 5@, а)
в себя и мы приходим к теореме.
Теорема 3. Пусть задана гладкая кривая АВ,
обладающая тем свойством, что прямые, параллель*
ные осям координату пересекают ее каждая не более
чем в одной точке, и дано уравнение
uxy = f(x> у, и. их, иу), G)
где функция, стоящая в правой части в области
М (jc, у) ? ABC, |«|<а, | их |< а, \ иу |< а, непрерывна по
совокупности первых двух переменных, а по остальным
трем переменным удовлетворяет условию Липшица
равномерно относительно х и у.
§ 8] СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 53
Тогда, если треугольник ABC достаточно мал, в нем
существует решение уравнения G), обращающееся
на АВ вместе с первыми производными в нуль.
С помощью принципа сжатых отображений, были полу-
получены и другие результаты, некоторые из которых мы при-
приведем ниже. Этот принцип является простейшим из серии
принципов неподвижной точки. С другим принципом, при-
принадлежащим Ю. Шаудеру, мы познакомимся, когда будем
рассматривать компактные множества в метрических про-
пространствах [23].
§ 8. Сепарабельные пространства
Пространство X называется сепарабельным, если в этом
пространстве существует счетное всюду плотное множество,
иными словами, если в пространстве X существует после-
последовательность
Х\, лг2» • • •» хп, • • • A)
такая, что для любого х ? X найдется подпоследователь-
подпоследовательность хп . хп хп , ... последовательности A), сходя-
щаяся к х.
Если X — метрическое пространство, то определение
сепарабельности можно сформулировать так: в простран-
пространстве X существует последовательность A) такая, что для
любого е>0 и любого х?Х найдется элемент хПо из A)
такой, что р(лг, хЛо)< е.
п-мерное евклидово пространство Еп сепарабельно.
Действительно, множество ?„, состоящее из всех точек про-
пространства Еп с рациональными координатами, счетно и всюду
плотно в Еп.
Пространство С [0, 1 ] сепарабельно. Рассмотрим в про-
пространстве С [0, 1] множество Со, состоящее из всех много-
многочленов с рациональными коэффициентами. Со счетно. Легко
убедиться, что Со всюду плотно в С [0, 1]. В самом деле,
возьмем любую функцию л:(/)?С[0, 1J. По теореме Вейер-
штрасса существует многочлен p(t) такой, что
54 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
где е>0 — заданное число. С другой стороны, очевидно,
найдется другой многочлен po(t) с рациональными коэффи-
коэффициентами такой, что
Отсюда следует, что
Р С*. Ро) = max \x(f) — р0 @1 < е,
что и требовалось доказать.
Пространство 1р сепарабельно. Пусть Ео — множество
элементов х вида {гр г2 гп, О, 0, ...}, где rt — про-
произвольные рациональные числа, а п — произвольное нату-
натуральное число. Ео счетно. Легко показать, что Ео всюду
плотно в /р. В самом деле, возьмем любой элемент л:=:{^} ?lpt
и пусть задано любое е > 0. Найдем сперва такое нату-
натуральное число л, чтобы
Возьмем затем элемент xo—{rlt r2 гЛ, 0, 0, ...}
такой, что
Тогда получим
1Р(*. *<№ = %&-rk\p+ S |1*1р<4 + -Т==еГ-
откуда
и требуемое доказано.
Пространство Lp[0, 1] сепарабельно. В самом деле,
из свойства абсолютной непрерывности интеграла Лебега
(см. [21]) вытекает, что любая функция х (t) простран-
пространства Lp[0, 1] есть предел в среднем с показателем р по-
последовательности ограниченных измеримых функций xn(t)t
$ 8] СЕПАРАБЁЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 55
определяемых условиями
с (г), если \x(t)
О, если \x(f)\>n.
Далее, из С-свойства измеримых функций (см. [21]) следует,
что каждая ограниченная измеримая функция есть предел
в среднем с показателем р последовательности непрерывных
функций. Следовательно, множество непрерывных на [0, 1]
функций всюду плотно в /^[0, 1]. С другой стороны,
счетное множество многочленов с рациональными коэффициен-
коэффициентами всюду плотно в пространстве С[0, 1] в смысле метрики
этого пространства, а тем более в смысле метрики простран-
пространства Lp[0, 1]. Но тогда рассматриваемое множество много-
многочленов всюду плотно в Lp[0, 1] и сепарабельность про-
пространства Lp[0, 1] доказана.
Пространство s сепарабельно. Пусть Ео—множество
элементов х вида [rv г2 гл, 0, 0, ...}, где г/ — про-
произвольные рациональные числа, а п — любые натуральные
числа. Ео счетно. Покажем, что из Ео можно выделить под-
подпоследовательность, сходящуюся к произвольно выбранному
элементу
Для каждого |„ построим последовательность рациональных
чисел [r^j, k==\t 2 сходящуюся при &-*оо к ?л.
Рассмотрим последовательность {х^к)} элементов из Ео вида
r(f>, 0, 0, ...}.
rW
Легко видеть, что x^k)->x при /г->оо. В самом деле, для
доказательства этого утверждения надо показать, что я-я
компонента х^к) сходится к я-й компоненте х при л->оо.
Но это очевидно, так как если взять достаточно большое
k > я, то будем иметь
Пространство т не сепарабельно. Рассмотрим мно-
множество элементов л;—{^.} из т, где ^ = 0 или 1< Мно-
Множество этих элементов имеет мощность континуума. Возь-
Возьмем два различных элемента #={!/} и у={Л/} из этого
56 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. I
множества. Тогда р(лг, у) = sup | ?? — ^(=1 и мы имеем
i
континуум элементов, находящихся друг от друга на рас-
расстоянии, равном единице. Отсюда легко вытекает, что т
не сепарабельно.
В самом деле, допустим, что в т существует счетное
всюду плотное множество Ео. Опишем около каждого эле-
элемента из Ео шар радиуса 8 =-о-. Тогда все элементы про-
пространства т расположатся внутри этих шаров. Так как шаров
счетное множество, то по крайней мере в одном из них
должно быть два разных элемента а: и у из рассмотренного
выше континуального множества. Пусть центр такого шара
есть х0. Тогда
что невозможно. Следовательно, т не сепарабельно. Однако
можно доказать, что пространство с, являющееся под-
подпространством пространства mt сепарабельно.
ГЛАВА II
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Линейные пространства
При рассмотрении многих конкретных пространств мы
видим, что элементы этих пространств (функции, числовые
последовательности и др.) можно складывать друг с другом
и умножать на числа, получая элементы того же простран-
пространства. Исходя из таких конкретных примеров, мы приходим
к общему определению линейного пространства.
Определение. Пусть Е — множество элементов некоторой
природы, удовлетворяющее следующим аксиомам:
I. Е— абелева группа относительно групповой операции
сложения.
Это значит, что определена сумма #+у двух любых
элементов х, у?Е, являющаяся элементом того же множе-
множества, причем операция сложения удовлетворяет условиям:
1) х-{- у = у-{- х— коммутативность;
2) х -f- (У + z) = {х + У) + z — ассоциативность;
3) существует однозначно определенный элемент О
такой, что
х-\-0 = х
для любого х из Е\
4) для каждого элемента х?Е существует однозначно
определенный элемент того же пространства (—аг) такой, что
Вместо дг + (—у) будем писать х — у.
Элемент 0 называется нулевым элементом или нулем
группы Е> элемент —х называется элементом, противо-
противоположным х.
58 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
II. Определено умножение элементов х, у, z, ... мно-
множества Е на вещественные (комплексные) числа X, \х, v, ....
причем Хх является снова элементом множества Е и выпол-
выполнены условия:
1) X (\хх) = (X\i) х — закон ассоциативности умножения;
2) Х(х-{- у) = Хх-\-Ху, (к-f-\*>)х = Хх-f-\ix—два за-
закона дистрибутивности;
3) 1 .х = х.
Множество ?, удовлетворяющее аксиомам I и II, назы-
называется линейным или векторным пространством. В зави-
зависимости от того, на какие числа, вещественные или ком-
комплексные, допускается умножение элементов множества ?,
мы получаем вещественное или комплексное линейное про-
пространство *).
Примеры. 1. Совокупность Еп /г-мерных вещественных век-
векторов образует вещественное линейное пространство.
2. Совокупность комплекснозначных решений обыкновенного
однородного линейного дифференциального уравнения /1-го порядка
образует комплексное линейное пространство.
3. Совокупность элементов вещественных (комплексных) про-
пространств С [0,1], Lp[0, 1] образует вещественное (комплексное)
линейное* пространство.
4. Совокупность элементов вещественных (комплексных) про-
пространств /п, с, 1р образует вещественное (комплексное) линейное
пространство. При этом суммой элементов х= {?;} и у= {г^.} мы
называем, как обычно, элемент
произведением элемента х на число X — элемент
Л*«{Х6„ Xh ЯЬе, ...}.
Приведем некоторые следствия из аксиом линейного про-
пространства.
1. 0-л; = 0**). В самом деле,
х—\-х + 0- jc = jc4-0. х.
*) На стр. 13 термин пространство имел другой смысл. Однако
во всех линейных пространствах, которые будут рассматриваться
в дальнейшем, понятие предела последовательности будет введено.
**) Символом 0 мы обозначаем и число нуль и нулевой элемент
линейного пространства. Из текста будет ясно, о чем идет речь
в том или ином случае.
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 59
Отсюда
* + (— х) = х + 0-х + (— х)
или
х = 0- х.
2. (—1)лг — — х, так как
(_1) х -f- х = (_i + 1) х = 0 • х = 0.
3. Я • 0 = 0, так как
А,. 0 = Я [х + (— л:)] = Ял: + & (— *) -=
= Ял: + (— Я) х = Хх — Ял: = 0.
4. Если Ял: = \хх и л: =^ 0, то Я = \х. В самом деле,
если Ял: = |лх, то Ял: — |лл:=:О или (Я — \х)х = 0. Отсюда.
если предположить, что Я ф |Л,
х = -т-^— (Я — \1) х = -г-^— 0 = 0,
что противоречит условию.
Отметим, что если Е — линейное пространство, то ком-
коммутативность сложения является следствием остальных аксиом.
Действительно,
Будем говорить, наконец, что два линейных пространства Е
и Ег изоморфны, если между элементами этих пространств
можно установить взаимно однозначное соответствие, сохра-
сохраняющее алгебраические операции, т. е. такое, что если
х «*-»> хг и у ч-> yf%
то
х-\-у <-* хг-\-у' и Ял:ч->Ял:'.
В линейных пространствах можно ввести понятие линей-
линейной зависимости и линейной независимости элементов. Эле-
Элементы
xv х2* .... хп
линейного пространства называются линейно независимыми.
если из равенства
60 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА \ГЛ. II
следует, что
Л| = Аг> ^ . • • :=== t^ifi ==:z 0.
Если, наоборот, существуют такие не все равные нулю
Aj, А2, .... А,л,
что
то элементы jc lf #2, • • •» *л называются линейно зави-
зависимыми.
Пусть в этом последнем случае, например, Хп Ф 0. Тогда
^я— "г х\ Ъ х2 ••" I Лп~\
Ап Ап Ап
или, полагая ^- =
А
В этом случае говорят, что элемент хп есть линейная ком»
бинация элементов xv x2, ..., хп_х.
Линейные многообразия. Непустое множество L элемен-
элементов линейного пространства Е называется линейным много-
многообразием, если вместе с элементами хх, дг2. ...» хп мно-
множество L содержит любую линейную комбинацию
а^-Ьа^-}- ... -±апхп
этих элементов.
Отметим, что всякое линейное многообразие содержит
нулевой элемент 0. В самом деле, так как L не пусто,
то оно содержит некоторый элемент х. Так как L—линей-
L—линейное многообразие, то оно содержит и элемент
— х = (— 1)лг,
а следовательно, и
Рассмотрим элементы xv x2» ...» xk линейного про-
пространства. Совокупность всевозможных сумм Д] а^, оче-
i = \
видно, образует некоторое линейное многообразие 10 в Е.
§ Ц ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 61
В самом деле, если элементы yf имеют вид
k
то любая линейная комбинация этих элементов в силу
равенства
к
+U2M/
имеет тот же вид. Построенное линейное многообразие Lo
есть, очевидно, наименьшее линейное многообразие, содер-
содержащее элементы xv х2, .... xk (наименьшее в том смысле,
что всякое другое линейное многообразие L, содержащее
элементы л^, лг2, .... xk, содержит Lo).
Определение наименьшего линейного многообразия, со-
содержащего заданные элементы, нетрудно распространить и
на случай бесконечного, например, счетного множества эле-
элементов. В самом деле, пусть {хх, xv ..., хп, ...} — счет-
счетное множество элементов из Е. Наименьшим линейным
многообразием Z,o, содержащим эти элементы, будет мно-
k
жество всевозможных сумм вида 2 ^ixi* где не только
Ki — произвольные числа, но и k принимает произвольные
натуральные значения. Наименьшее линейное многообразие,
содержащее заданные элементы, называют также линейным
многообразием, порожденным данными элементами,
или линейной оболочкой этих элементов.
Если линейное многообразие L пространства Е опреде-
определяется конечным числом элементов, то оно называется
конечномерным. Если L определяется элементами х{,
х2, ...» хп и 9ТИ элементы линейно независимы, то п назы-
называется числом измерений линейного многообразия L. В этом
случае совокупность элементов xv xv .... хп называется
базисом L *). Если же элементы xv x2 хп линейно
зависимы, то числом измерений линейного многообразия L
называется максимальное число линейно независимых эле-
элементов из совокупности xv х2 хп.
*) Определение базиса для некоторых бесконечномерных про-
пространств будет дано ниже.
62 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. ТГ
Иными словами, L будет п-мерным> если в L суще-
существуют п линейно независимых элементов, а всякий (п-\- 1)-й
элемент этого линейного многообразия линейно зависим.
Если в пространстве Е (линейном многообразии L) для
любого числа п существует п линейно независимых элемен-
элементов, то пространство Е (линейное многообразие L) назы-
называется бесконечномерным. Например, легко видеть, что
пространство С [0, 1] бесконечномерно.
Прямые суммы. Введем понятие о разложении линей-
линейного пространства в прямую сумму двух или нескольких
линейных многообразий. Пусть Е—линейное пространство
и Lv L2, ..., Ln — принадлежащие ему линейные многообра-
многообразия. Если каждый элемент х ? Е однозначно представим
в виде
х = хх + х2+ ...-+• хя. x^Llf /=1, 2, ..., п, A)
то говорят, что пространство Е есть прямая сумма линей-
линейных многообразий Lv Lv ..., Ln, а выражение' A) назы-
называют разложением элемента х по элементам из Lv
L2 Ln.
Будем писать в этом случае
Легко видеть, что если
п mi
E=%@Lit a i/=Se^)-
то
л mi
В самом деле, тогда каждый элемент х?Е представим
в виде
и это представление однозначно, ибо если
%
§ tj ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 63
— другое такое представление, то в силу однозначности
разложения элемента х ? ? по элементам линейных много-
многообразий Lv ...» Ln имеем
а в силу однозначности разложения элементов xt ? Lt no
элементам линейного многообразия Ь[*\ L2\ ..., L\n имеем
,*g> —х?>, / = 1. 2 n\ ft = lf 2, .... i»ie
Нетрудно доказать, что если E = LX@ Lv mo Lx a L2
имеют общим лишь нулевой элемент пространства.
В самом деле, если бы Lx и L2 содержали другой общий
элемент и, то для элемента х?Е, имеющего представление
мы имели бы также представление
* = (у —«) + (* + «), у — u?Lv z+u?L2,
отличное от первого, что по условию невозможно.
Обратно, если любой элемент х?Е может быть
представлен в виде
x = y + z, y?Lv z?Lv B)
и L1n^2 = 9» m0 E = LX@L2.
Для доказательства этого утверждения достаточно уста-
установить однозначность разложения B). Но если
x = y-\-z = y-\-z, у, y&Lv zt z?L2,
то
V — y = z — z, y — y?Lv z—z?L2.
В силу сделанного предположения отсюда следует, что
у — у =. z — 2 = 0, т. е. у = у, z = z,
что и требовалось доказать.
В ряде случаев оказывается полезным понятие о прямой
сумме двух или нескольких пространств.
Пусть Ev Е2, ..., Еп — линейные пространства. Рас-
Рассмотрим множество X всевозможных упорядоченных систем
x = {xv ...» хп) элементов данных пространств
64 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. И
/= 1, 2, ..., п). Если даны такие системы x = (xv x2> ...» хп)
и у^= (yv у2 уп) и скаляр Я, то положим
АХ '==:=-
Легко проверить, что для определенных так операций
сложения и умножения на скаляр все аксиомы линейного
пространства выполняются, так что множество X рассматри-
рассматриваемых упорядоченных систем является линейным простран-
пространством.
Если все пространства Е1 являются метрическими про-
пространствами, то X можно метризовать, полагая, например,
р(лг, y) =
или
р(х. У)=\/ %92(Xi> Уд>
где р(Х;, yL) — расстояние между точками xt и yt простран-
пространства Et.
Из полноты пространств Ev Ev ..., Еп следует полнота
пространства X. Доказательство этих утверждений предо-
предоставляем читателю.
Пример. Пусть Ei для любого i — числовая прямая. Тогда
п
^j © Ei, метризованное вторым способом, есть л-мерное евклидово
i=i
пространство.
Факторпространства. Рассмотрим линейное простран-
пространство Е и некоторое линейное многообразие /,0, принадле-
принадлежащее Е. Пространство Е как группа по отношению к опе-
операции сложения распадается на классы смежности по отно-
отношению к подгруппе Lq. Именно, пространство Е распадается
на множества L такие, что два элемента хх и х2 принад-
принадлежат одному и тому же множеству L тогда и только тогда,
когда хг — х2 принадлежит Lo.
Если х' — произвольный элемент из L, то всякий другой
элемент из L представим в виде х = х'-\-хо> где xo?LQ.
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 65
Можно поэтому сказать, что L образовано «сдвигом на л:'»
линейного многообразия Ц.
Построим факторгруппу E/Lo. Элементами ее являются
множества Lt образованные сдвигами линейного многообра-
многообразия ?0.
Операция сложения в E/Lo определяется следующим обра-
образом: пусть Lx и L2— элементы из E/Lo\ тогда суммой Lx +• L2
называется класс смежности, образованный из всевозможных
сумм хх~\-х2, где xx?Ll% #26^2» Lx-\-L2 есть действи-
действительно класс смежности, так как если хх -f- х2 и х[ -f- х'2 —
два элемента этого множества, то
так как х0, уо6^о и ^о—линейное многообразие. Следова-
Следовательно, Lx -f- L2 с: L, где L — некоторый класс смежности.
Если у — любой элемент этого класса, то, взяв элемент
вида хх-\-х2, входящий в L (это возможно, ибо LzdLx-\-L2),
будем иметь
У — 0*1 + Х2> = хо(: А)»
откуда
у = хг + Х2 + Х0 = ХХ + ^2.
где л:^^, x2?L2. Поэтому LcLj-f-^- Следовательно,
L\ + А2 ^ ^*
Аналогично доказывается, что XL — совокупность эле-
элементов вида Хх, где х ? Z, и Я =? 0, есть тоже класс смеж-
смежности. Далее по определению полагаем, что 0'L-—Lo для
любого L?E/Lj. Легко проверить, что E/Lo удовлетворяет
всем аксиомам линейного пространства. При этом роль нуля
пространства E/Lo играет ?0. Заметим, что если L?E/L0 со-
содержит 0 — нулевой элемент пространства Е, — то L совпа-
совпадает с Lo, так как в этом случае любой элемент х ? L
имеет вид
Верно и обратное утверждение.
Пространство Е/L^ называется факторпрос транс швом
пространства Е по Lo.
Пример. Рассмотрим в С[0, 1] лингйноэ многообразие Со
всех непрерывных функций, обращающихся в нуль при ^=:^-.
6$ ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Соответствующее факторпространство изоморфно вещественной
прямой.
В самом деле, пусть х (t) и у (t) принадлежат одному классу
д, у () у () р ду у
смежности относительно Со. Это значит, что х (yj — у f-^-l =0
(¦?•) = У (-к-) • Таким образом, в класс смежности объеди-
объедиили х (?) У () р
няются функции, имеющие в точке ^ = "о" одинаковое значение.
Взяв в каждом классе смежности по представителю х (t) = const,
мы получили взаимно однозначное соответствие между множе-
множеством констант и множеством классов смежности. Легко видеть,
что это соответствие-^ изоморфизм.
Можно доказать, что если пространство Е = Ег@ Е2,
то Е/Ег изоморфно ?2.
Связь вещественных и комплексных пространств. Для
комплексных чисел, кроме алгебраических операций, основ-
основной является также операция сопряжения:
а-\-Ы=а — Ы.
Естественно рассматривать комплексное пространство,
на котором определена аналогичная операция — инволюция.
Инволюцией называется операция, определенная для всех
элементов х, у, z, ... линейного комплексного простран-
пространства Е> относящая им элементы х, у, z, ... из Е, причем
2) кх = Хх (к — комплексный множитель),
3)(J) = x = x*).
Элементы х?Е, для которых х = х, называются веще-
с швейными. Элементы х?Е, для которых х = — х, назы-
называются чисто мнимыми. Очевидно, что если х — веще-
вещественный, то ix — чисто мнимый элемент, и если у — чисто
мнимый, то -г- у — вещественный элемент. Таким образом,
совокупность чисто мнимых элементов у совпадает с сово-
совокупностью элементов вида ix, где х — вещественный элемент.
Всякий элемент х?Е представляется однозначно в виде
х = и-\- iv, где и и v — вещественные элементы.
*) Если в Е определено понятие сходимости последователь-
последовательности элементов, то вводится дополнительное требование:
4) из хп->х следует xn->jc.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 67
В самом деле, положим и= Х^Х ' v=
Тогда х = и + iv, причем
« (* + х) \ (х
1 ,- вч 1
т. е. и и v—вещественные элементы.
Представление элемента х?Е в виде x = u~\-iv одно-
однозначно, т. е. если
x = e-f-ft> = / + te. C)
то u = t> v = $.
В самом деле, из C) следует, что # — t = l($ — v),
где п% vt t% s—вещественные элементы. Далее
= и —1 = а — Л
/ ($ — v) = / (s — v) = — / ($ — v).
Поэтому
и _ * = _ / (S _ *,),
т. е.
/ E — V) = — / E — t/),
и, значит,
Отсюда следует, что и — ^ = 0 и я = /.
Тем самым мы доказали, что пространство Е есть пря-
прямая сумма двух вещественных линейных пространств. По-
Поэтому во многих задачах исследование комплексных про-
пространств сводится к рассмотрению вещественных пространств.
Заметим, что я-мерное комплексное пространство есть
2я-мерное вещественное пространство.
В дальнейшем, если говорится о линейных пространствах
без специальных оговорок, то имеются в виду вещественные
линейные пространства.
6В ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
§ 2. Линейные нормированные пространства
Определения. Если линейное пространство является
в то же время метрическим пространством, то оно назы-
называется линейным метрическим пространством. Важным
классом линейных метрических пространств являются про-
пространства типа В (Банаха).
Множество Е называется линейным нормированным про-
пространством, если:
1. Е—линейное пространство с умножением на веще-
вещественные (комплексные) числа.
2. Каждому элементу х линейного пространства Е ста-
ставится в соответствие вещественное число, которое назы-
называется нормой этого элемента и обозначается \\x\\, причем
предполагается, что норма элемента удовлетворяет следую-
следующим условиям (аксиомам норм ы):
О II •*!!<> О» причем || jc || ===== 0, лишь если х = 0,
2) ll*+y||<IWI+||;y||.
3) ||А,*||=|А,|||*||.
В линейном нормированном пространстве можно ввести
метрику посредством равенства
Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет
всем аксиомам метрики. После введения метрики опреде-
определяется сходимость последовательности элементов [хп] к х,
а именно
x — \imxn
или л:я->л\ если \\хп — д;||->0 при п->оо. Определенная
таким образом сходимость в линейном нормированном про-
пространстве называется сходимостью по норме.
Если линейное нормированное пространство является пол-
полным в смысле сходимости по норме, то оно называется про-
прост ранством Банаха, или пространством типа В.
Примеры. 1. л-мерное векторное пространство может быть
сделано пространством типа В.
В самом деле, определяя, как обычно, сумму элементов и
произведение элемента на число и норму с помощью равенства
0*11*
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 69
получим, что Еп есть пространство типа В, причем метрика в этом
пространстве совпадает с ранее введенной в Еп метрикой.
2. С [0, 1] есть пространство типа В. Сложение функций и
умножение функции на вещественное число определяем обычным
образом. Далее, полагаем
11 max | л: (*) |.
Метрика полученного пространства совпадает с метрикой, ранее
введенной в С [О, 1].
3. 1Р есть пространство типа В. В самом деле, определив сло-
сложение элементов и умножение элемента на вещественное число,
как указано выше (стр. 58), и полагая
11*11-
получим пространство типа В, метрика которого совпадает с преж-
прежней метрикой.
4. Lp[0, 1] есть пространство типа В. Здесь для x(t)?Lp[0, 1]
положим
1
Метрика в полученном пространстве совпадает с прежней ме-
метрикой в Lp[0, 1].
5. т—пространство типа В. Действительно, полагая для х = {?/},
IJ* || = sup | g/1, получим пространство типа В, метрика в котором
совпадает с метрикой в т, введенной ранее.
6. М [0, 1] — пространство типа В. Для ограниченной измери-
измеримой на [0, 1] функции х (t) полагаем
|| * || = vrai max | х (t) |.
7. Рассмотрим пространство функций х (t), определенных на
[О, 1], непрерывных на этом отрезке и имеющих на нем непрерыв-
непрерывные производные до ?-го порядка включительно. Введем в про-
пространстве таких функций норму, полагая
||лг|| = max {max | л: @1, тах|лг'(/)| max | x(k) (t)\).
Получим пространство типа В, которое обозначается Ck [0, 1]. Это
пространство широко используется в вариационном исчислении.
Отметим, что из соотношений
70 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
следует, что при хп->х, уп->у, А,„->А, имеем
*п + Уп -> X + у. %пХп -> кх.
Далее,
11*11 = 1[у + (*-зО11<1М1 + \\x-y\U
или
11*11-IMKII*-*!!-
Меняя местами х и у, получим
1М1-Н*1К11*-у||
и, следовательно,
111*11-1МН<|[*-у||.
Отсюда следует, что если хп->х, то
и, в частности, что {|[#„|[} есть ограниченная числовая по-
последовательность.
Так как линейное нормированное пространство есть
метрическое пространство, то для такого пространства имеют
смысл все понятия, введенные в метрических пространствах
(шар, ограниченное множество, сепарабельность и т. д.),
а также имеют место все теоремы, доказанные для таких
пространств.
Для пространств типа В будет справедливым все, что
было ранее установлено для полных метрических пространств.
Множество элементов линейного пространства ?\ имею-
имеющих вид
называется прямой, определяемой данным элементом х,
а множество элементов вида
у = A —t)x{-\-tx2, xv
называется отрезком, соединяющим точки хг и лг2. Мно-
Множество К пространства Е называется выпуклым, если отре-
отрезок, соединяющий две любые точки множества /С, целиком
содержится в этом множестве.
Пусть М — некоторое множество точек линейного про-
пространства Е. Множество элементов вида л:+а, где х?М
на — фиксированный элемент пространства Е, называется
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 71
сдвигом множества М и обозначается М-\-а. Нетрудно
проверить, что если К — выпуклое множество, то его сдвиг —
также выпуклое множество.
Легко видеть, что в линейном нормированном простран-
пространстве шар (замкнутый шар) есть выпуклое множество. В самом
деле, пусть xv x2?S(a, r), т. е.
ll*i-*1К'. \\х2-а\\<г.
Возьмем любой элемент вида
имеем
= 110—
Итак,
Следовательно, y?S(a, r).
Отметим два очевидных свойства шара в банаховом про-
пространстве: для любой точки х Ф 0 шар с центром в начале
координат и радиусом г > ||*|| содержит эту точку, а шар
с центром в начале координат и радиусом т' < ||лг|| не со-
содержит данной точки.
Так как линейное нормированное пространство Е есть
частный случай линейного пространства, то для Е имеют
смысл все понятия, введенные в линейных пространствах,
как, например, линейная зависимость и независимость эле-
элементов, линейное многообразие, разложение Е в прямую
сумму и т. д.
Пусть L—линейное многообразие линейного нормирован-
нормированного пространства Е. Если L является, кроме того, замкнутым
множеством, то L называют подпространством.
Если L—конечномерное линейное многообразие линей-
линейного нормированного пространства, то, как мы увидим ниже,
L = L Для бесконечномерных линейных многообразий это
равенство может не иметь места.
72 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Пусть, например, Я = С[0, 1] и L — линейное много-
многообразие, порождаемое элементами
-^0 == *¦» *1 == ' • • •» *я === * » • • •
Тогда Z,— множество всех многочленов, а
Пусть даны два линейных нормированных пространства Ех
и Е2. Мы будем в дальнейшем называть эти пространства
изоморфными, если существует взаимно однозначное и взаим-
взаимно непрерывное изоморфное отображение Ех на Е2. Имеет место
следующая важная теорема:
Теорема. Все конечномерные линейные нормиро-
нормированные пространства данного числа измерений п изо-
изоморфны евклидову п-мерному пространству Еп и,
следовательно, изоморфны друг другу.
Пусть Е есть я-мерное линейное нормированное простран-
пространство и xv х2 хп — базис этого пространства. Тогда
любой элемент х ? Е однозначно представим в виде
Поставим элементу х ? Е в соответствие элемент
Очевидно, что таким образом установленное соответствие
между элементами х и х является взаимно однозначным.
Кроме того, это соответствие есть изоморфизм линейных
пространств Е и Еп. Покажем, что оно взаимно непрерывно.
Для любого х ^ Е имеем
х =
(|il|^||)(|i?)=Pl^i!. 0)
В частности,
B)
где р не зависит от л: и у.
Установим теперь неравенство противоположного знака.
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 73
На поверхности 5 единичного шара 2l/:=:l простран-
ства Еп рассмотрим функцию
Так как на 5 все ^ не могут одновременно обращаться
в нуль, то в силу линейной независимости xv x2 хп
имеем
Неравенство
показывает, что /(?lt ?2, ..., |л) — непрерывная функция.
По теореме Вейерштрасса эта функция достигает на 5 своего
минимума а. Легко видеть, что а > 0. Следовательно,
для х ? S
/(Jc)= ||*|| >а,
откуда для любого х ? Еп находим
/(*)= ||*|| =
п
2
/i
C)
Из A) и C) следует взаимная непрерывность отображения Е
на Еп.
Из гомеоморфизма Е и Еп следует, что в конечномерном
банаховом пространстве сходимость по норме сводится к по-
покоординатной сходимости и потому такое пространство
всегда полное.
Для подпространства линейного нормированного простран-
пространства имеет место следующее важное предложение, устано-
установленное Ф. Риссом:
Лемма. Пусть L — подпространство линейного нор-
нормированного пространства Е% не совпадающее с Е.
Тогда для любого заданного & > 0 найдется в Е такой
74 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Ц
элемент у с нормой, равной единице, что
||*-у||>1-е
для всех x?L.
В самом деле, пусть у0—любой элемент из Е, не при-
принадлежащий L$ и
Тогда d > О, так как иначе у0 был бы предельным эле-
элементом для L и, следовательно, входил бы в L> что невоз-
невозможно по условию. Для любого числа г > О найдется такой
элемент xo?Lt что #<^||у0—.*;0|| < tf-f-flfe. Положим
Уо*о
Элемент у g L (так как иначе у0 входил бы в L) и || у || = 1.
Возьмем любой элемент л: из Z,. Пусть
Тогда
что и требовалось доказать.
Пусть Е — линейное нормированное пространство, Ао —
его подпространство, E/LQ — соответствующее факторпро-
странство.
E/Lo допускает следующее нормирование:
для всякого L?E/LQ.
Покажем, что ||L|| удовлетворяет всем аксиомам нормы.
1. Очевидно ]|Z||}>0. Покажем, что ||?||=0 тогда и
только тогда, когда L = L0. Сначала заметим, что L есть
замкнутое множество. В самом деле, пусть {.*;„} — после-
последовательность элементов из Lt сходящаяся к х?Е. Для
любых п и т хп — хт ? Ц. При т -> со
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 75
Так как Ц замкнуто, то хп — x?L0. Но тогда х входит
вместе с хп в L.
Пусть теперь
|?||= In! ||*||=0.
Тогда в L существует последовательность {хп} такая, что
||*я||->0, т. е. хп—>0. Вследствие замкнутости L должно
содержать и 0; но тогда L = L0. To, что ||Z,0|| =0, очевидно,
и первая аксиома полностью доказана.
2. Пусть е > 0. Из определения величины \\^\\ и ||?2||
следует существование элементов хг ? Lx и х2 ? ^2 таких, что
Отсюда
ll*i + *21! < ll*i
Тем более
inf Цд:|| < Inf
ИЛИ
Учитывая произвольность величины е, отсюда получаем
3. \\IL\\ — \X\\\L\\. В самом деле, при ХфО
= inf ||Х*|| = |Я,| Inf ||*|| = |Я,|||Ч
Если же X = 0, то для любого L
и третья аксиома нормы полностью доказана.
Установим в заключение, что сходимость по введенной
в пространстве E/LQ норме последовательности классов [Ln\
к классу L эквивалентна условию, что существует после»
довательность элементов [хп], хп ? Ln такая, что лгл->*. * ??.
Пусть
\\Ln -L||->0.
76 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. II
то есть
||1„-1||=ел. е„->0.
Тогда Ln — L содержит элемент уп — х такой, что
Уя€4,. x?L и
\\уп-х\\<2гп.
При этом в качестве х можно взять любой фиксированный
(не зависящий от п) элемент xQ?L.
В самом деле, если
\\у„-х\\<2в„.
гДе Уп ?Ln, х? L то
и так как xo?L, x?L, то
х0 — х?Ц и х„ = у„ —
Итак, для элемента х0 ^ L построена последовательность
1*„Ь xn?Ln, такая, что х„^х0.
Пусть, обратно, существует последовательность {*„),
xa?Ln, такая, что ха—>х, x?L. Так как
||1„-/.||= inf ||уя —yil<ll*«-*ll.
то
\\Ln-L\\-+0
и утверждение доказано.
Теперь нетрудно показать, что если ?? — полное простран-
пространство, то E/Lq также полно.
Пусть [Ln] — сходящаяся в себе последовательность клас-
классов пространства E/LQ. Выбирая в каждом классе Ln по эле-
элементу хп, так чтобы
получим сходящуюся в себе последовательность \хп) эле-
элементов из Е. Так как Е — полное пространство, то суще-
существует элемент х?Е такой, что хп->х. Но тогда Ln->L,
где L — класс, содержащий элемент л:, и полнота простран-
пространства E/Lo доказана.
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 77
Наконец, отметим, что если Ev Е2, .... Еп— линейные
нормированные пространства и Е — прямая сумма этих про-
пространств, то Е также можно сделать нормированным.
Например, положим для x = [xv х2 хп)
Можно также доказать, что если Е = Е{($Е2, то линейные
нормированные пространства Е1 и Е/Е2 изоморфны.
Ряды элементов банахова пространства. Пусть хх,
х2 хп, ... — элементы банахова пространства Е. Выра-
оо
жение вида 2 хп назовем рядом, составленным из элемен-
тов пространства Е. Рассмотрим частичные суммы $„ =
= *i + *24- ... +хп.
Если последовательность частичных сумм сходится, то
со
ряд 2 хп называется сходящимся.
л=1
В силу полноты пространства Е для сходимости после-
последовательности [sn] достаточно, чтобы она была фундамен-
фундаментальной. Отсюда в свою очередь вытекает следующее доста-
достаточное условие сходимости ряда: пусть ||*л|| < ап и числовой
оо оо
ряд 2 ап сходится; тогда ряд 2 хп также сходится. Дока-
зательство с очевидностью следует из неравенства
§ 3. Линейные топологические пространства
Линейное нормированное пространство, некоторые свойства
которого были указаны выше, является частным случаем линейного
метрического пространства. В свою очередь линейное метрическое
пространство является одним из видов более общего линейного
топологического пространства. Линейные топологические простран-
пространства нашли в последние годы широкое применение в различных
вопросах функционального анализа, теории дифференциальных урав-
уравнений и некоторых других разделах математики. Мы коснемся
здесь лишь простейших понятий, относящихся к линейным тополо-
топологическим пространствам. Более подробное изложение свойств этих
пространств имеется, например, в [12] *).
*) См. также монографию Н. Б у р б а к и, Топологические век-
векторные пространства, Москва, 1959.
78 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ, II
Множество X =* {х, у, z, ...} называется линейным топологи*
ческим пространством, если выполнены следующие четыре
аксиомы:
I. X— топологическое пространство, т. е. в X выделена
система Y подмножеств, которые называются открытыми и удо-
удовлетворяют таким условиям:
1) пустое множество и все пространство — открытые множества;
2) объединение любого множества открытых множеств есть
открытое множество;
3) пересечение конечного числа открытых множеств есть откры-
открытое множество.
Любое открытое множество, содержащее точку х?Х, назы-
называется окрестностью этой точки.
Точка х множества МаХ называется внутренней точкой
этого множества, если она входит в него вместе с некоторой
окрестностью U (х). Ясно, что каждая точка открытого множества
G — внутренняя: в этом случае за U (х) можно взять, например,
само множество G. Верно и обратное: если каждая точка мно-
множества М является внутренней, то множество М — открытое. Это
следует из равенства
М = (J U (х), U(x)cM
и свойства 2 открытых множеств.
II. X — отделимое топологическое пространство; это означает,
что для любых двух точек л: и у пространства X найдется окрест-
окрестность точки х, не содержащая точки у.
С помощью понятия окрестности вводится обычным образом
понятие предельной точки множества: именно точка а?Х назы-
называется предельной точкой множества М а X, если любая окрест-
окрестность точки а содержит хотя бы одну точку множества М, отличную
от точки а. Совокупность всех предельных точек множества М
называется производным множеством этого множества и обозна-*
чается АГ. __
Множество М = М\}М' называется замыканием множества М.
Множество М называется замкнутым, если оно совпадает со своим-
замыканием. Можно показать, что замыкание и замкнутые мно-
множества в топологическом пространстве обладают многими свой-
свойствами замыкания и замкнутых множеств на числовой прямой,
например: дополнение открытого множества есть замкнутое мно-
множество, имеют место свойства 1—4 замыкания, указанные на стр. 18,
конечное множество замкнуто и т. д.
В топологическом пространстве можно также ввести понятие
предела последовательности точек xi% x2, .... хп, ... Именно, точка*
есть предел этой последовательности, если любая окрестность
точки х содержит все точки последовательности, начиная с некото-
некоторого номера. Легко показать, что предел таким образом опреде-
определяется однозначно.
III. X — вещественное линейное пространство (рассматриваются
также комплексные пространства, но мы этого случая касаться
не будем).
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 79
IV. Операции сложения элементов и умножения элемента на
вещественное число непрерывны в топологии пространства х. Это
означает следующее:
1) для любых двух элементов х и у?Х и любой окрестности
и(х~\"У) элемента лг+У найдутся окрестности U (x), U (у) эле-
элементов х и у такие, что
(символом Л -f- В, где Л и В — множества линейного простран-
пространства X, обозначается множество элементов из X вида а-\-Ь, а С А,
Ь?В)
) для любого вещественного числа А, любого элемента х?Х
и любой окрестности W элемента Кх найдется число 6 > 0 и ок-
окрестность V элемента х такие, что
aVczW
для любых а, удовлетворяющих неравенству
la — Я I ¦< 6
(символ aV обозначает множество точек вида ay, где y?V).
Пусть х0 — фиксированный элемент линейного топологического
пространства и G — открытое множество. Тогда xQ -\- G — также
открытое множество.
Возьмем любую точку y?
у = хо
Отсюда
Так как G — открытое множество, то оно является окрестностью
точки у —- Xq и в силу непрерывности сложения существуют ок-
окрестности V (у) и W (— х0) точек у и х0 соответственно такие,
что
В частности,
V(y)czG
Таким образом, каждая точка множества х0 + О входит в него
вместе с некоторой окрестностью, т. е. xo-\-G открыто.
Аналогично доказывается, что множество ЯG открыто для лю-
любого вещественного числа Я и любого открытого множества G.
Из доказанного следует, что если U (х) есть окрестность точ-
точки х линейного топологического пространства X, то U (х) — х есть
окрестность нуля пространства X. Обратно, если V @) есть окрест-
окрестность нуля пространства X, то V(O)-f--* есть окрестность точки х
того же пространства. Поэтому для того, чтобы задать совокуп-
совокупность всех окрестностей всех точек линейного пространства, т. е.
80 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
совокупность всех его открытых множеств, определяющих тополо-
топологию пространства, достаточно задать совокупность всех окрест-
окрестностей нуля.
Множество А линейного пространства X называется симмет-
симметрическим, если из х? А следует —х? А. Если U есть окрестность
нуля линейного топологического пространства X, то очевидно, что
-U[\U
также будет окрестностью нуля и притом симметрической.
Наконец, заметим, что для задания топологии пространства
нет необходимости задавать все окрестности нуля. Достаточно
задать такую систему окрестностей нуля, называемую фунда-
фундаментальной или базисом, что для любой окрестности нуля U
найдется окрестность нуля V фундаментальной системы, целиком
входящая в U. Вообще, если мы имеем две системы S и 3 окрестно-
окрестностей пространства X, то эти системы называются эквивалентными,
если для любой окрестности U?S найдется окрестность U?S
такая, что UczU, и, обратно, для любой^окрестности V?S най-
найдется окрестность V ?S такая, что V dV. Ясно, что две эквива-
эквивалентные системы окрестностей порождают в пространстве X одну
и ту же топологию.
Примеры. 1. Пусть X — совокупность вещественных функ-
функций, заданных на прямой — оо < / < -(- оо, бесконечно дифферен-
дифференцируемых на ней и обращающихся в нуль вне некоторого конеч-
конечного отрезка *). Сумма функций и произведение функции на число
определяются обычным образом. За окрестности нуля принимают-
принимаются следующие множества: для любого е > 0 и любого п окрест-
окрестность нуля U(пу е) есть совокупность функций x(t)^X та-
таких, что |лг<*)(*)|<? для k = Q, 1,2 п. Читатель легко про-
проверит выполнимость всех аксиом линейного топологического про-
пространства.
2. Линейное нормированное пространство является линейным
топологическим пространством. Окрестностями нуля являются лю-
любые открытые (в смысле метрики, определяемой нормой) множества,
содержащие точку нуль.
Возникает вопрос, в каких случаях линейное топологическое
пространство можно нормировать, т. е. ввести в него норму так,
чтобы совокупность окрестностей нуля получившегося линейного
нормированного пространства совпадала с совокупностью окрест-
окрестностей нуля, ранее имевшейся в линейном топологическом прост-
пространстве.
Ответ на этот вопрос дает весьма важная теорема А. Н. Кол-
Колмогорова.
Множество А линейного топологического пространства назы-
называется ограниченным, если для любой окрестности нуля U @) най-
найдется число Я > 0 такое, что множество "КА попадет целиком в
*) Для каждой функции этот отрезок свой.
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 81
рассматриваемую окрестность нуля. Ограниченность множества А
равносильна условию:
Для любой последовательности {хп} cz А и любой последова-
последовательности вещественных чисел {Art}, сходящейся к нулю,
Кпхп -> 0.
Доказательство этого утверждения мы опускаем. Из него, в част-
частности, следует, что если А ограничено, то —А также ограничено.
Теорема (А. Н. Колмогорова). Для того чтобы ли-
линейное топологическое пространство X было нормируемым,
необходимо и достаточно, чтобы в нем существовала выпук-
выпуклая ограниченная окрестность нуля.
Пусть U — окрестность нуля пространства X, обладающая ука-
указанными свойствами. Без ограничения общности можно считать ее
симметрической. Положим для любого х?Х
II -ж- II — inf А.
k0?'kU
Покажем, что введенная таким образом норма обладает всеми
необходимыми свойствами.
Прежде всего JjOjj = O, так как 0?А?/ при любом Л > 0. Пусть
хфО. Тогда для некоторого nQ x^—U.B самом деле, если х?— U
п0 п
для любого п, то
yn — nx?U для /2=1,2,...,
ь
Но это невозможно, так как
и потому последовательность {уп} ограничена. Отсюда — ул~>0.
Итак, xf-—Uу поэтому
1
и первое свойство нормы установлено.
Пусть теперь || х || = а, || у \\ = E; х, у ф 0. Тогда || ~
и, следовательно,
при сколь угодно малом е > 0. Аналогично
6 Л. А. Люстеоник. В. И. Соболев
82 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
В силу выпуклости U, а значит и A +е) U* будем иметь
ИЛИ
Следовательно,
Отсюда
и так как е > 0 произвольно, то будем иметь
Если же либо х, либо у, либо оба эти элемента равны нулю
то равенство
очевидно. Следовательно, второе свойство нормы также доказано.
В силу симметрии из x?k(J следует —x^XU и обратно. По-
Поэтому
11И
Рассмотрим элемент ал:, где а > 0. Пусть x?XU.
я, обратно, из ах^аШ следует x?XU. Поэтому
|| ах || = inf \х = inf ak = a inf А, == а ]| х ||.
В общем случае
и третье свойство нормы доказано.
Для завершения доказательства теоремы достаточно показать,
что для любой окрестности нуля V @) пространства X найдется
шар ||лг||<р, попадающий целиком в V @), и обратно: для любого
шара || х || < р найдется окрестность нуля W @), целиком входя-
входящая в этот шар.
Возьмем произвольную окрестность нуля V @). Так как окрест-
окрестность нуля U, с помощью которой вводилась норма, является ог-
ограниченным множеством, то найдется число г > 0 такое, что
rUdV @).
С другой стороны, единичный шар ||д:||<1, очевидно, входит в
окрестность U> откуда шар ||.*||<г войдет в rUt а тем самым
и в окрестность нуля U @).
§ 4] АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 83
Пусть, обратно, дан шар 11*||<р. Из определения нормы сле-
следует, что в этот шар войдет целиком окрестность нуля р'{/, где
ру — произвольное число, меньшее чем р.
Достаточность условий теоремы полностью доказана. Доказа-
Доказательство необходимости не вызывает затруднений.
§ 4. Абстрактное гильбертово пространство
В я-мерном вещественном (комплексном) векторном про-
пространстве Еп, помимо операций сложения векторов и ум-
умножения вектора на вещественное (комплексное) число, оп-
определено скалярное (или внутреннее) произведение векто-
векторов этого пространства. Именно, скалярное произведение
векторов
*=Ui. ?2> •¦•• In) и У={Л1. Л2 Л*}
пространства Еп есть число
п
у) = 2
Норма, или длина, вектора х — [\v \2> ..., \п) выражае!ся
через скалярное произведение следующей формулой:
В анализе широко применяется скалярное произведение
функций.
Естественно поэтому рассмотреть класс линейных про-
пространств, в которых определено скалярное произведение
элементов. Такие пространства называются гильбертовыми
и задаются с помощью следующих аксиом.
Аксиомы абстрактного гильбертова прост-
пространства. Пусть Н — множество некоторых элементов
jc, у, ?,... Предположим, что
1. Н—комплексное линейное пространство.
2. Каждой паре х и у элементов из Н поставлено в
соответствие комплексное число (х, у), называемое скаляр*
ним произведением этих элементов, удовлетворяющее ус-
условиям:
а) (х, у) = (у, х) (в частности, (х, х) — вещественное
число);
84 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
б) (x{ + x2t y) = (xv у) + (х2, у);
в) (кх, у) = Х(х, у) для любого комплексного числа к°,
г) (х, лг)>-0, причем (х, л;) = 0 тогда и только тогда,
когда л; = 0; число Ц*|| = У(х, х) назовом нормой эле-
элемента х. Ниже (стр. 85 — 86) будет показано, что эта
величина удовлетворяет всем требованиям нормы линейного
нормированного пространства.
3. Н полно в смысле метрики р(лг, у) = ||л: — у||.
При выполнении этих трех аксиом будем называть мно-
множество Н унитарным пространством, n-мерное уни-
унитарное пространство есть комплексное евклидово простран-
пространство. Если пространство И удовлетворяет, кроме того, ак-
аксиоме
4. В Я для любого натурального числа п найдется п
линейно независимых элементов, т. е. Н является бесконеч-
бесконечномерным, то оно называется абстрактным гильберто-
гильбертовым пространством; в дальнейшем мы будем называть
его просто гильбертовым пространством.
Примеры. 1. Комплексное пространство /2 становится гиль-
гильбертовым, если для любых двух его элементов х « [\ь |2» • • -i 1л»« • •}
и У^ {Ци *Ь •..> Пт -..} положить
оо
(-*» У) — 2
Сходимость этого ряда для любых х и у из /2 вытекает из нера-
неравенства Буняковского для рядов.
2. Комплексное пространство ?2,р1°» Ч- ^то — пространство
комплексных функций, определенных и измеримых на отрезке
[О, 1J и таких, что
1
где р @ вещественно и р (t) ;> 0 почти всюду на [0, 1], причем
р (/) > 0 на множестве полной меры. /,2, р№» Ч будет гильбертовым
пространством, если положить для х> ^Z
Существование этого интеграла при любых x(t) и у (t) из L2t9[0, I]
вытекает из неравенства Буняковского для интегралов. В частно-
§ 4] АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 85
сти, при р (() ?э I получаем комплексное пространство L2 со ска-
скалярным произведением
о
Аналогично определяется вещественное гильбертово про-
пространство. При этом скалярное произведение двух элементов
должно быть вещественным.
Вещественные пространства /2, ?2,р, L2 являются вещест-
вещественными гильбертовыми пространствами.
Рассмотрим вкратце некоторые простейшие свойства гиль-
гильбертовых пространств.
Прежде всего легко выводим из аксиом 1—3, что
(X, У{-ГУ2) = (Х> Уд + (*' У2>' (Х,Ху) = Х(Х, у).
Из последнего следует, в частности, что
. A)
Установим теперь для скалярного произведения неравен-
неравенство Буняковского—Шварца. Для любых х> у ? Я, уфО,
и любого комплексного X имеем
или
(х,
Полагая
получаем, что
(Х ХЛ I I*' У) I2
(Х Х > Q
(х'х) (у, у) >0>
ИЛИ
B)
что и представляет собой требуемое неравенство.
Для случая у==0 неравенство B) тривиально.
Далее получаем
или
86 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Аксиома 2, г) и формулы A) и C) показывают, что вве-
введенная с помощью скалярного произведения норма удов-
удовлетворяет всем аксиомам нормы линейного нормированного
пространства, а следовательно, введенное с помощью этой
нормы расстояние удовлетворяет всем аксиомам метриче-
метрического пространства.
Легко доказывается
Лемма 1. Скалярное произведение есть непрерыв-
непрерывная функция относительно сходимости по норме,
В самом деле, пусть хп~->х и ул->у. Тогда числа \\хп^\
и || у Л ограничены; пусть М — их верхняя граница. Имеем
|(*я. Уп)~С*. У)| = !(*«• Уп) — (*п> У)+(*я. У) —(*. У)\<
. У)-(*. У)И
1.-*- У)\<
Гак как \\хп — х\\->0 и ||уя — у||~>0 при п->оо, то и
1(*/г Уп) — (х> У)|->0 при л->оо,
что и требовалось доказать.
Ортогональность. Два элемента х и у ? Я называются
ортогональными (в этом случае записывают #J_>0, если
(л:, ^) = 0. Элемент х называется ортогональным подпро-
подпространству LaH, если х ортогонален любому элементу
у ? L. В этом случае записывают # J_ I*.
Имеет место следующая весьма важная
Теорема 1. Если х?Н и L — некоторое подпро-
подпространство пространства Я, то
x = y + z, D)
где y?L и zJ_L. Указанное разложение единственно.
Если х ? /,, то, очевидно, у = #, г = 0. Предположим
поэтому, что jc ^ L. Пусть
§ 4] АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 87
и [уп] — последовательность из L такая, что
dn-=z\\x — у„||2->^ при я->оо.
Пусть, далее, h — любой элемент из L, отличный от нуля.
Тогда yn-\-zh?L для любого комплексного е, и потому
т. е.
\\*-У\\2-?(х-Уп> А)-е(А, *-y«)
Полагая
р _ С* — Уф h)
||А||» •
получаем, что
\\х Уп\\
откуда
|( |2
или
К^-Уя. h)\^\\h\\Yd^=l. E)
При h = 0 неравенство E) также очевидно выполняется.
Из этого неравенства для любого h ? Z, следует
1(Уя-Ут- А
и, полагая, в частности, h = yn — ym> получим
Поэтому последовательность \уп) сходится в себе, а зна-
значит, в силу полноты Я и к некоторому элементу у 6 Я.
Так как L замкнуто, то у ? L.
Переходя к пределу в неравенстве E), получаем, что
(х — у, h)==0, и так как h — любой элемент подпростран-
подпространства L, то х — у J_ L. Полагая х — y = z, получаем тре-
требуемое равенство
Остается доказать единственность этого представления.
Пусть
х = у 4- Z* х = у' -f z\
83 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
где у, / ? L, z, zr J_ L Тогда у — / = zr — z и
||у-у'IP = (*'-*. У-У') = О. F)
ибо у — у'6^» а *'— ZJ-L- Но F) означает, что у = у';
следовательно, также г —я'. Теорема полностью доказана.
Элемент у в разложении D) называется проекцией эле-
элемента х на подпространство L. Легко видеть, что совокуп-
совокупность М всех элементов, ортогональных подпространству L,
есть также подпространство; в самом деле, то, что М — ли-
линейное многообразие, очевидно, а замкнутость его следует
из непрерывности скалярного произведения. Поэтому можно
сказать, что элемент z предыдущего разложения есть проек-
проекция элемента х на подпространство М. Это подпростран-
подпространство М называется ортогональным дополнением к под-
подпространству L и обозначается Н — L\ говорят также, что Н
есть ортогональная сумма подпространств ? и Ж, и
пишут И = L + Ж.
Очевидно, ортогональная сумма есть частный случай пря-
прямой суммы. Теорема дает, таким образом, разложение эле-
элемента на проекции на два взаимно дополнительных ортого-
ортогональных подпространства.
Лемма 2. Для того чтобы линейное многообра-
многообразие М было всюду плотно в Я, необходимо и доста-
достаточно, чтобы не существовало элемента, отличного
от нулевого и ортогонального всем элементам много-
многообразия А\.
Необходимость. Прежде всего очевидно, что из
х ]_ /И следует х __[_ М, Но по условию М = Н и, следова-
следовательно, х ±_Н, в частности, х ±_х> откуда следует, что
х = 0, и необходимость доказана.
Достаточность. Пусть М не всюду плотно в Н.
Тогда МфН и существует элемент х^М. По предыдущей
теореме имеем x = y-\-z, где у?Ж, zJ^M, и так как
х?М, то гфО\ но это противоречит условию, и достаточ-
достаточность доказана.
Ортонормальные системы. Система ev e2 еп, ...
элементов пространства Н называется ортонормальной
системой, если
§ 4] АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 89
где btj — известный символ Кронекера, равный единице при
/ = / и нулю при i=fc].
Примером ортонормальной системы является система
\ei2jtnt], /г = 0, ±1, ±2, ..., в комплексном пространстве
L2[0. П.
Бесконечная система элементов линейного пространства
называется линейно независимой, если любая конечная под-
подсистема этой системы линейно независима.
Любую систему hx% /г2. .... hn, ... линейно независимых
элементов можно превратить в ортонормальную с помощью
следующего процесса ортогонализации Шмидта.
Полагаем ех = * ..¦. Пусть g2 = h2 — c2iei- Подберем
число с2\ так, чтобы g2 было ортогонально ех. Очевидно,
для этого следует взять c2l = (h2, e{). Полагаем е2 = -j~\\ »
при этом flg^f^O, так как в противном случае ^2 = 0 и
элементы hx и h2 линейно зависимы, что противоречит усло-
условию. Пусть ev e2 ek_x уже построены. Возьмем
и подберем числа cki так, чтобы gk было ортогонально
ех, е2 ^ft-i"f Для этого следует взять cki = (hk, et). Пола-
Полагаем ek = ~^j, причем снова |§"л[?=0 и т. д.
II &k\\
Пример. Если совокупность степеней
ортогонализировать в вещественном пространстве L2 р[я, Ь] функ-
функций, суммируемых с квадратом с весом р (/), то мы придем к си-
системе многочленов
Ро (t) = COnSt, px (t), p2 (t), . . ., рп @.
ортогональных с весом р (t):
J
При р (t) =э 1, а = — 1, Ь = -\-1 мы придем с точностью
до постоянных множителей к системе многочленов Лежандра;
при р (t) = е~*2, а-- — оо, b == -f-oo — к системе многочленов
90 ЛИНЕЙНЫЕ НОРЛШРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. И
Чебышева — Эрмита; при р (*)=?"""', а = 0, ? —оо— к системе
многочленов Чебышева — Лагерра.
Пусть L — подпространство, порожденное ортонормальной
системой ev е2, ..., еп, ..., и х ? L Для любого е > О Суще-
ствует, следовательно, линейная комбинация 2 aiei такая, что
х— 2
Но
= 1 *f — 2 о, (х, et) — 2 о, (е„ х) + 2 S «^ (в/, в;) =
НИР-2 V/- 2 <w+2 К р.
* = 1 /з1 /ssl
где Cj = (a;, ^).
Числа С/ называются коэффициентами Фурье элемента х
относительно ортонормальной системы {et). Из последнего
равенства получаем
Отсюда следует, что норма разности х — 2 аА принимает
наименьшее значение, когда коэффициенты а; являются коэф-
коэффициентами Фурье элемента х относительно системы [et).
В этом случае имеем
и так как е можно выбрать сколь угодно малым, то
х= lim 2 Ciei= 2 ciei-
Jf->C0issl /-1
П
Из формулы G) следует также, что ряд 2|^/12 сходится,
§ 4] АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 91
причем
Пусть теперь х — любой элемент пространства Н. Обо-
Обозначим через z проекцию х на L; тогда
где
Так как * = г -f- у, г ^ L, у J_L, то
Следовательно, для любого элемента х из Н справедливо
неравенство
где ct = (xt et)(t=\t 2, ...)• Это соотношение называется
неравенством Бесселя.
Замкнутость в смысле Стеклова. В. А. Стеклов, иссле-
исследуя вопрос о разложимости функций по ортогональным
системам, ввел важное понятие замкнутости этой системы.
Пусть в пространстве И дана ортонормальная система
элементов [et). Если не существует элемента х?Н, отлич-
отличного от нулевого и ортогонального всем элементам системы
{et\, то эта система называется полной. Ортонормальная
система {et} называется замкнутой, если подпространство
?, порождаемое этой системой, совпадает с Н. Ряд Фурье по
замкнутой системе, построенный для любого х ? //, сходится
к этому элементу и для любого х?Н имеет место равен-
равенство Парсеваля — Стеклова
2«? = |*Р. (9)
/i
92 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Замкнутая ортонормальная система называется также
ортонормальным базисом гильбертова пространства.
Если ортонормальная система полная, то она замкнутая.
В самом деле, в этом случае не существует элемента, отлич-
отличного от нулевого и ортогонального линейному многообра-
многообразию L порождаемому системой. Но тогда в силу леммы 2
L = H и система полная.
Обратно, замкнутая ортонормальная система [е^ полна,
так как для такой системы
и если х J_ eit /=1, 2, ...., т. е. ^ — 0, /=1, 2, ..., то
||лс|| = О, что означает полноту системы {et}.
Примером полной ортонормальной системы является си-
система тригонометрических функций -r= , -f= cos t, -= sin t,
V2n Vn /я
-cos2t, ... в вещественном пространстве L2[—я, я].
Легко доказать существование полной ортонормальной
системы в любом сепарабельном гильбертовом пространстве.
Пусть 0= {gv g2, .... gn> ...} — любое счетное всюду
плотное множество в пространстве Я, причем все g я»
л=1, 2, ..., отличны от нуля. Полагаем
е1~Ш
и пусть Lx — одномерное подпространство, порожденное эле-
элементом ех. Пусть gn2 — первый элемент множества О, не
принадлежащий Lv и h2 — проекция gn2 на H — Lv Полагаем
Пусть L2—подпространство, порожденное элементами ех и е2,
и gn,— первый элемент множества О» не принадлежащий L2.
Пусть /г3 — проекция gn% на Н — L2. Полагаем
и т. д. Получаем ортонормальную систему ev ev ..., еп, ....
§ 4] АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 93
и так как каждый элемент gn принадлежит некоторому Lm
в силу построения этих подпространств, то подпространство,
определяемое системой {et), совпадает с подпространством,
определяемым системой {gt}t т. е. с Я. При этом система [et)
необходимо счетная, ибо если бы она содержала конечное
число р элементов, то, как известно из линейной алгебры,
в Я не существовало бы /?+1 линейно независимых эле-
элементов, что противоречит аксиоме 4.
Если {еь) — полная ортонормальная система, ахи
у —элементы из Я с коэффициентами Фурье, соответственно с{
и dt, /=1, 2, .... то легко проверить, что
(х, у) =2 ctdt.
Изоморфизм гильбертовых сепарабельных пространств.
Рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство Я,
и пусть \et) — полная ортонормальная система в этом простран-
пространстве. Если х — некоторый элемент из Я, то этому элемен-
элементу можно поставить в соответствие последовательность
чисел [с\, с2, .... сп, ...}, являющихся коэффициентами
Фурье элемента х по системе [еД. Как было показано
выше, ряд
сходится, и, следовательно, последовательность \сх\ cv ...
..., сп% ...} можно рассматривать как некоторый элемент х
комплексного пространства /2. Таким образом, каждому эле-
элементу х?Н соответствует некоторый элемент х ?/2, причем
в силу условия полноты системы
где нижний значок показывает, в смысле какого простран-
пространства берется норма. Далее очевидно, что если х?Н соот-
соответствует х?12 и у ?Я соответствует у?/2, то х±у соот-
соответствует лг±у. Отсюда и из A0) следует
I*-y|« = ll*-ylk,. A1)
94 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Пусть теперь ? = {?/}—произвольный элемент из /2.
п
Рассмотрим в Я элементы zn = 2 ^>iei* n = 1» 2» • • • •
Имеем
и потому
при я, т->оо. Таким образом, последовательность [zn]
сходится в себе в смысле метрики пространства Я и в силу
его полноты сходится к некоторому элементу z этого про-
пространства. Так как
{z, *,) =
то коэффициентами Фурье элемента z по выбранной орто-
нормальной системе являются как раз числа С/. Таким
образом, каждый элемент z?l2 соответствует некоторо-
некоторому элементу z?H. Тем самым мы имеем взаимно
однозначное соответствие между элементами пространств
И и /2.
Формула A1) показывает, что это соответствие между
пространствами Н и /2 есть соответствие изометрии. Так как,
кроме того, очевидно, что если х соответствует аг, то Хх
соответствует Хх, то, учитывая ранее сказанное относительно
сохранения операции сложения при рассматриваемом соответ-
соответствии, получаем, что И и /2 изоморфны. Таким образом,
нами доказана
Теорема 2. Всякое комплексное {вещественное)
сепарабельное гильбертово пространство изометрично
и изоморфно комплексному {вещественному) простран-
пространству 12 и, следовательно, все комплексные {веществен*
ные) сепарабельные пространства изометричны и изо*
морфны между собой.
Отсюда, в частности, следует
Теорема 3. (Рисе, Фишер). Вещественные про*
странства L2[0, 1] и /2 изометричны и изоморфны,
§ 5] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 05
§ б. Обобщенные производные и пространства
С. Л. Соболева
Во многих задачах математической физики целесообразно
вводить обобщенные решения линейного дифференциального
уравнения в частных производных. Совокупность обычных,
решений такого уравнения, если ее рассматривать как функ-
функциональное пространство с некоторой метрикой, есть, вообще
говоря, пространство не полное. Пополняя это пространство,
мы приходим к обобщенным решениям — элементам попол-
пополненного пространства.
Так, например, совокупность решений задачи о свобод-
свободных колебаниях бесконечной струны, описываемых уравнением
д2а _ 2 д2и
dt2 ~а дх**
имеет вид
и(х. f) = <p(x+at)+ $(* — **)' 0)
где ф и г|) — дважды дифференцируемые функции. Пополняя
совокупность таких решений, например, по метрике равно-
равномерной сходимости, мы приходим к совокупности обобщенных
решений, также имеющих вид A), где ф и if) являются уже
произвольными непрерывными функциями.
При построении обобщенных решений возникает понятие
обобщенной производной, впервые введенное С. Л. Соболе-
Соболевым. Ниже мы изложим для некоторых простейших случаев
основы теории обобщенных производных и пространств
С. Л. Соболева [30].
Пусть G — ограниченная выпуклая область на плоскости.
Рассмотрим функции <р(лг, у), определенные и непрерывные
вместе с производными до 1-го порядка включительно в не-
некоторой области, содержащей в себе замыкание области О
(в этом случае мы будем говорить, что ф(д;, у) непрерывна
вместе с производными до /-го порядка в О). В множестве
таких функций введем норму, полагая
f J
о h+h=i о
Легко проверить, что все аксиомы нормы выполняются, и мы
приходим к линейному нормированному неполному простран-
пространству, которое обозначим W$. Пополняя это пространство во
96 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
введенной норме, мы получим пространство С. Л. Собо-
Соболева W®.
Пусть /0—элемент пространства W(p\ не принадлежа-
принадлежащий W^. Это значит, что существует последовательность
функций [<рп(х, y))aW*p такая, что
Отсюда следует, что
т. е.
J fm(x> У) —
/л
ду1*
dx dy->0,
о
/j-|-/2 = /, п> m—>oo.
Таким образом, последовательности {ф„(л;, у)} и { ф"(*'^ |
из Lp (О) (см. стр. 499) сходятся в себе в среднем с показа-
показателем р. В силу полноты пространства Lp(G) существуют
функции ф0 (л:, у) и y$*l*>(x, y)?L (О), являющиеся преде-
пределами указанных ноеледовдоея&ностей. Отождествим- элемент /а
с функцией фо(лг, у), а функцию 4%и1**(х, у) назовем обоб-
обобщенной производной 1-го порядка функции фо(я, У) и обо-
значим, как и обычную производную, через — у \ •. Так
как по определению ||/0|| =lim ||фя||. то норму элемента /0,
п
или все равно функции фо(л:, у), мы можем записать в пре-
прежнем виде
, y)\?dxdy +
dx dy
§ 5) ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 97
где под знаком суммы стоят теперь обобщенные производ-
производные /-го порядка функции %(х, у).
Итак, если функция ^*1^(х, у) ?L (G) есть обобщенная
производная /-го порядка от функции фо(#, y)?Lp(G), то
существует в О последовательность непрерывно дифферен-
дифференцируемых до /-го порядка функций q>n(x, у), сходящихся
в среднем с показателем р к фо(х, у) и таких, что последо-
(dlwn (х, V) 1
вательность \ , , I также сходится в среднем с пока-
зателем р к ф^»^(л:, у).
Из определения обобщенной производной вытекает ее
однозначность как элемента пространства Lp(G). Если функ-
функция фо(лг, y)?Lp(G) непрерывно дифференцируема в G до
/-го порядка включительно в обычном смысле, можно взять
последовательность {<рп(х, у)}, в которой фл(*. у) =
для всех п, и, следовательно,
т. е. в этом случае обобщенная производная совпадает с обыч-
обычной производной.
Часто дается другое определение обобщенной производ-
производной. Пусть сперва ф(*, у) и -ф (л:, у) имеют непрерывные
лроизводные до /-го порядка в О, причем г|?(лг, у) обра-
обращается в нуль в некоторой граничной полосе Ор, состоящей
из точек области, отстоящих от ее границы на расстоянии,
не превышающем р. Тогда, применяя несколько раз формулу
Грина, будем иметь
Пусть теперь ф(лг, у) — произвольная функция простран-
пространства Lp(G). Если найдется функция %(x?,y)?Lp(G) такая,
чго для всякой функции i|)(jc, у), обладающей указанными
98 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
выше свойствами, справедливо равенство
—^_ф(д;, y)dxdy =
то функцию %(х, у) будем называть обобщенной производ-
производной /-го порядка функции ф(д;, у).
Эквивалентность двух определений обобщенной произ-
производной. Чтобы доказать эквивалентность этих двух определе-
определений, нам понадобится ряд вспомогательных понятий и теорем.
Обозначим, как обычно, через г расстояние между точ-
точками Р(х, у) и Q(?, т]). Функция
У* 6. Л) =
О , г>Л,
как функция от х и у непрерывна, имеет непрерывные произ-
производные всех порядков и обращается в нуль вне круга Kh
радиуса h с центром в точке Q(?, t]). В силу симметрии
®h(x* У* ?• Л) относительно точек Р и Q все вышесказанное
остается верным, если рассматривать (oh(xt y\ ?, т|) как функ-
функцию от ^ и т) в круге Кц с центром в точке Р(х, у). Заме-
Заметим при этом, что дифференцирование @л по х можно заме-
заменить дифференцированием по ?, с заменой знака на обратный,
и то же самое для у и т). Выберем, наконец, постоянную ch
так, чтобы
Так как
сол(х, у; 6.
2Л А Г2 Л fj
^^ rdr = 2nch J e*^ rdr.
о
ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ТО
er2-"rdr) •
откуда видно, что выбор ch при данном h не зависит от
положения точки Р(х, у) на плоскости.
Функция двух пар переменных х, у и ?, т] с описанными
свойствами называется усредняющим ядром. Функция
ын(х, у; ?, г|) представляет собой один из примеров усред-
усредняющего ядра.
Пусть (p(jt, у) — произвольная функция из Lp(G). До-
Доопределим ее во всей плоскости, полагая ф(л;, у) = 0 для
Р(х, y)?Q. Функция
Фа (*¦ У) =
Ч
называется средней функцией от функции <р(лг, у).
Нетрудно проверить, что интеграл, определяющий функ-
функцию фл(лг, у), равномерно сходится во всей плоскости.
В самом деле, если /?$ — круг радиуса б с центром в какой-
либо точке плоскости, то, полагая
получим
J f <dh(x, у; ?, т])ф(?, r\)dldt]
а последний интеграл в силу ограниченности соЛ(л:, у\ ?, т])
можно сделать сколь угодно малым при достаточно малом б
сразу для всех положений точки Р(х, у) на плоскости.
100 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ. ft
Аналогично доказывается равномерная сходимость инте-
интегралов
при любых / и 1Х +- /2 = /.
Отсюда следует, что фл(л;, у) есть бесконечно непре-
непрерывно дифференцируемая функция.
Заметим также, что если (фа(Х у)) принадлежат огра-
ограниченному множеству пространства Lp(G), то, как показы-
показывают предыдущие оценки, средние функции
У)]* = //©*(*• У.
будут равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Докажем две леммы о средних функциях. •
Лемма 1. Для любой функции (J)(jc, y)?Lp(G) и при
любом h > 0
Запишем фл(дг, у) в виде
1
(? л)юА(*. у;
Применяя к интегралу неравенство Гельдера, будем иметь
. У)|<
X/ I |©А(*. у;
§ 5] ' ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 101
так как I J о)л(л:, у; |, t])dl,dx\ равен единице. Возвышая
обе части неравенства в степень р и интегрируя но G,
найдем
<//(//соА(лг, у; Б. Л)|ф(?. r\)\i>dldx\\dxdy.
Так как вне Кн функция (ол(лг, у; ?, t\) равна нулю,
а вне О функция ф(?, т]) равна нулю, мы можем область
интегрирования во внутреннем интеграле принять равной G,
после чего в силу теоремы Фубини переменить порядок
интегрирования. Будем иметь
I
^ л)|р(//соЛ(лг, у; I. rddxdy\dldx\.
Внутренний интеграл снова равен единице и, следовательно»
откуда и вытекает требуемое неравенство.
Замечание. Пусть О* — подобласть области О. Тогда
G*
где а(Л)->0 при Л->0, если граница области О* достаточ*
но гладкая.
102 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
В самом деле, как и при доказательстве леммы, находим
<>а(*. У; ?• Л) I Ф (&• Л) \р dl dr\ | </лг dy.
Пусть G^ — совокупность точек области G \ G*, отстоящих
от границы области G* на расстоянии, не превышающем h.
Тогда
Я! Д
О ^ О IJOl
'
Учитывая достаточную гладкость границы области О*,
можно показать, что mesGft->-0 при А->0. Тогда в силу
абсолютной непрерывности интеграла Лебега будем иметь
при Л-»>0.
Лемма 2. Лля любой функции q>(#, y)?Lp{Q) при
А-*0
II Фа —
§ 5] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЮЗ
Пусть сперва <р(я, у) непрерывна в области G и, следо-
следовательно, равномерно непрерывна в любой ее замкнутой
подобласти. Имеем для любой подобласти G'czG
Г /|Фа —
О\О'
По неравенству Минковского и учитывая предыдущее заме-
замечание, будем иметь
1
Я! Фа — Ф \р dx dy <С J [ I I IФ/, \p dx q
I П \ I J J
G\Q' I \Q\Qf
1 )p
-f- ( Г Г | ф|р dx dy у | <J 2P f Г I y\p dxdy-\~y(h), B)
\Q\Q' J j Q\O'
где y(h)->0 при h->Q.
Пусть задано произвольное число 6 > 0. Выберем сперва G'
так, чтобы
Фиксировав G', возьмем Ло такое, что при Л <
Тогда
С другой стороны, взяв третью область G", G'czG^czG,
такую, что QfaGrft G"aGt и полагая Л < /г0 настолько
малым, что G' U G^ не выходит за пределы области G", будем
104 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
иметь
f J
. л) —ф(^.
у;
г г
— / / сол (лг, у; ?,, Ц)Ч>(х> У)
у»
—ф(^, у)|
л B mes G)p
в силу равномерной непрерывности функции ф(дг, у) в об-
области G"\ если h < h0 достаточно мало. Отсюда
Фл(*- У) —Ф(*. y)|p^«fy<-f. D)
Из C) и D) следует
. У) —
И так как е > 0 произвольно, то для случая непрерывной
функции ф(лг, у) лемма доказана.
Если теперь ф(дг, у) — произвольная функция из Lp(G)t
то найдем сперва такую непрерывную в G функцию г|?, что
Тогда
так как в силу леммы 1 также || фл — A\\\lp<< -*-•
Далее по уже доказанному мы можем выбрать 6 на-
настолько малым, что прк // < 6
§ 5] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 105
Тогда для таких h будем иметь
II Ф — ФлИ^<е>
и лемма полностью доказана.
Докажем теперь эквивалентность двух определений обоб-
обобщенной производной. Пусть ф^»»^)(д;, у)— обобщенная произ-
производная фо(лг, у) в смысле первого определения. Поэтому най-
найдется последовательность {фл(лг, у)} непрерывно дифферен-
дифференцируемых до /-го порядка функций такая, что || фЛ—ф||А -> 0 и
д//ф'7 / — Ф h) (*¦ У) II ~>° при л->оо.
х '• с)у'2 \\Lp
Переходя к пределу в равенстве
i \/ С С &Уп
J J дх^ dv^2
где \|> (х, у) — любая / раз непрерывно дифференцируемая
функция, обращающаяся в нуль на границе области О, мы
получим, что
'о
и ф^» 1^{х, у) есть обобщенная производная фо(лг, у)
в смысле второго определения.
*) Из неравенства Гельдера легко следует, что
j f <*п (х, у) р (xt y)dxdy^> f J a0 (xt у) р (л, у) ^ rfy,
о о
если ||ал(*, y)—ao(^, y)llz ->0 и р (*, у) —любая ограниченнад
измеримая функция (или если Р (j )?L(G))
106 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
Пусть— j*' р = %(лг, у) есть обобщенная производ-
производная функции фо(лг, у) в смысле второго определения. Рас-
Рассмотрим средние функции ф0>h(x, у). Имеем
Фиксируем произвольную подобласть G' области О такую,
что G'aG, и пусть Л настолько мало, что круг радиуса h
с центром в точках области О' остается внутри области О.
Тогда <оЛ(лг, у; ?,, rj) можно принять за функцию ф(лг, у),
фигурирующую во втором определении обобщенной произ-
производной, и равенство E) для точек (л:, y)?Gh можно пере-
переписать в виде
У) = / /«* (*¦ у; Ь. п)х (В. П) ^ А|. F)
По лемме 2 из равенства F) следует, что
при Л~>0 для любой подобласти О', лежащей строго внутри
области G. Для того чтобы перейти к самой области О,
необходимы более сложные рассуждения [29]. Не уменьшая
общности, можно считать, что начало координат лежит
внутри О. Обозначим через Qk области, полученные из О
преобразованием подобия относительно начала с коэффи-
коэффициентом
1 Л
и о
Формулы преобразования координат будут
k , k
•x, у =•
§ 5] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 107
и легко видеть, что каждой функции f(x, y)?Lp(G) будет
соответствовать функция
Л (х. У) = / (-^р- х. ?=! у) 6 ^ (О*)
и наоборот. Пусть функция <р(л;, y)?Lp(Q) имеет обобщен-
обобщенную производную /-го порядка в смысле второго определе-
определения %(xt y)?Lp(G). Тогда, замечая, что для любой / раз
непрерывно дифференцируемой функции г|5 (лг, у) имеем
1 к
_/
U
y U
из равенства
//
= (— 1)' f fx(x. y)$(x. y)dxdy
V
заменой переменных получаем
откуда следует, что фЛ(я» у) имеет обобщенную производ-
ную (—^—j х*(*» У) в смысле второго определения.
Покажем, что в О при k—>oo функции фл(лг, у) сходятся
в среднем к <р (jc, у), а функции ° ^к^' ^ сходятся в сред-
нем к j l
В самом деле,
108 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГГЛ-.ТТ
и стремление к нулю интеграла в правой части равенства
есть не что иное, как непрерывность в среднем функции
€М0
Далее
i
р \J
(//i
dz<p (х, у) dlqk(xy у)
- - | V-r» ~J Ч-ш О У
dxdy
l
<
Снова второе слагаемое справа стремится к нулю в силу
непрерывности в среднем функции х(лг, у) *). Что касается
1 — I—г—I —>0, а ин-
интегралы, входящие в это слагаемое, ограничены в совокуп-
совокупности, так как являются нормами сходящейся в среднем
последовательности функций {Xj&O^» У)Ь
Так как при каждом фиксированном k GaGk, то по до-
доказанному выше в О при /г->0
х dl4k h (x, у) д\ (х> У)
С другой стороны, как только что показано, в О при
. у)- аДау|,—>»(*- у)-
Отсюда легко видеть, что найдется последовательность
{фл.Ль^» У)} ' Раз непрерывно дифференцируемых функций,
сходящаяся в среднем в области О к ф(дг, у), производные
*) См. Дополнение 1.
§ 5} ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 109
/-го порядка которой сходятся к х(*> у), т. е. %(х9 у) будё^
обобщенной производной в смысле первого определения. ,
Из второго определения обобщенной производной можно
получить:
а) если
^ у) , ч <*Ч (л:, у)
y у)
б) обобщенная производная не зависит от порядка диф-
дифференцирования,
в) операция обобщенного дифференцирования является
дистрибутивной операцией.
Можно также доказать, что для обобщенных производ-
производных верна формула дифференцирования произведения.
Формулы С. Л. Соболева. Существование обобщенной
производной не вытекает из существования производной почти
всюду в обычном смысле. Это показывает следующий при-
пример (С. Л. Соболев).
Пусть ф(лг) задана на отрезке [0, 1J, и предположим,
что она имеет на этом отрезке обобщенную производную
%(х). Тогда для любой функции г|?(лг). непрерывно диффе-
дифференцируемой и обращающейся в нуль на концах отрезка,
вместе со своей производной, будем иметь
х
Пусть ю(л;)= Г х (&)</?• Имеем, очевидно,
а
Ь
а
откуда
ь
J* 1Ф (*) — ©(*)!¦'(*)<** «=0.
НО ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 1Г
Так как г|? (л:) — произвольная непрерывно дифференцируемая
функция, обращающаяся в нуль на концах отрезка, то из
последнего равенства следует, что
а так как <о(лг) есть неопределенный интеграл от суммируе-
суммируемой функции, то о)(дг) абсолютно непрерывна. Теперь, чтобы
получить требуемый пример, достаточно взять любую не
абсолютно непрерывную функцию, имеющую почти всюду
производную.
Легко привести пример функции, имеющей обобщенную
производную высшего порядка и не имеющую обобщенной
производной низшего порядка.
Пусть
F(x, у) = /(*) +/(у).
где f(x) — функция, не имеющая обобщенной производной.
Тогда F(x, у), очевидно, не имеет обобщенных производных
первого порядка. Однако F(x, у) имеет обобщенную про-
производную второго порядка. В самом деле, для любой функ-
функции ty(xt у) с необходимыми свойствами
о
Но
Ь ф3 (X)
так как ty'x (х, (р1 (дг)) = tyx(x* %(х))=®* г^е <Pi (х) и
граничные значения ординат области О. Аналогично
§5]
ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
111
и потому
т. е.
. y)dxdy9
d2F
существует и равна тождественно нулю.
Значительно более глубоким является следующий факт:
если функция f(x, y)^Lp(O) имеет все обобщенные про-
производные /-го порядка, то она имеет также все обобщенные
производные (/—1)-го порядка.
Для того чтобы установить этот
факт, нам понадобятся некото-
некоторые предварительные рассмо-
рассмотрения.
Пусть и (х, у) непрерывна
в области G вместе с производ-
производными до /-го порядка включи-
включительно. Выведем интегральную
формулу С. Л. Соболева, вы-
выражающую и(х, у) через произ-
производные Z-ro порядка этой функ-
функции. Рассмотрим на плоскости две точки: Р(х, у) и Q(?, ц)
(рис, 2). Обозначим через г расстояние между этими точками,
а через 0 — угол, образованный радиусом-вектором, идущим
от точки Р к точке Q, с положительным направлением оси х.
Имеем, очевидно,
I = х -+- г cos 8, г| = у -|- г sin 9.
Поэтому
я(?, т]) — я (л:-{-г cos Э, у -\-r sin 9) = v(x, у, г, Э),
или, короче,
Рис. 2.
= v(P. г. Э).
Ясно, что
v(P, 0,
Выберем произвольную внутреннюю точку области О за
начало декартовой системы координат, и пусть KR — круг
некоторого радиуса R с центром в этой точке, расположенной
112 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. П
целиком внутри области G. Введем функцию
R2
се R2~'2, если г < /?,
О, если r^R.
Константу с выберем так, чтобы
Отметим, что <o#(Q) — бесконечно непрерывно дифференци-
дифференцируемая функция.
Рассмотрим интеграл
f (u(Q)^
и преобразуем его с помощью некоторого интегрирования по
частям. Пусть P(jc, у)— другая произвольная точка области О.
Заменим в интеграле u(Q) через v(P, г, Э), o^(Q)—через
Хд(Р, г, Э) и перейдем к полярным координатам с центром
в точке Р и полярной осью, направленной по оси х. Получим
f f<*R(
- r'
2я оо
v(P, r, Q)xR(P, r, Q)rdr.
Заметим, что фактически все интегралы у нас собствен-
собственные. Обозначим
§5]
ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
ИЗ
через к (г). Функция и (г) будет первообразной для r%R (А, г, Э)
и, интегрируя внутренний интеграл по частям, получим
2л
¦/
О
2л
¦/
v(P, r, 9)к(r)|J- f dv{P^' 9) н(г)drUQ =
О (О
Но v(P, О, Э) = «0
2Л оо
О О
и мы находим
u(P) = f fu(Q)<*R(Q)dQ-
2Л oo
о о
или
u(P) = ffu(Q)aR(Q)dQ —
о
Полагая для сокращения записи
P
dQ.
r dr tf9,
114 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. II
будем иметь
u(P) = f f u(Q)(*R(Q)dQ + f f*Llc(P, Q)dQ.
* G * G
Функция C(P, Q), очевидно, ограничена для Р, Q?G,
и нетрудно видеть, что она непрерывна при Р =?Q, а при
P—>Q имеет различные пределы в зависимости от величины
угла Э.
Так как
ди ди , ч , да , ч
¦з- = -^— cos (г, лО + -т— cos (г, у),
дг дх v ' ' ду ч *'
то предыдущая формула принимает вид
u{P) = f f u(Q)®R{Q)dQ +
f{® g 4u> %}Q- G)
о
Здесь Л(/,}2(Р, Q), 1\> /г = 0, 1, имеет вид
где J5?j2(P, Q) — ограниченные функции.
Применим выведенную формулу вместо функции и (Р)
к ее частным производным -— и •—-. Получим две формулы
ди
С Г ди
= J J 37®л
О
$} «?. (9)
§ 5] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 115
Подставляя выражения производных из (8) и (9) в равен-
равенство G), меняя порядок интегрирования и вводя обозначения
\\1(Р, Q) dQ = С#2(Р), A0)
С [ ЛA) (Р, S) Af. (S, Q) dS = Af. . . (P. Q). A1)
J J *j*2 12 11' 2 2
будем иметь
u(P) = f f u
G
/^Здесь 2 означает суммирование по всем значениям индек-
сов 1г и /2 от 0 до k таким, что сумма /1-f-/2 = &
Продолжая так далее, приходим к формуле
= f f "
•••+ S сй"'>
О
и формулам для C(/f/a(P) и Л^(Р, Q), аналогичным A0) и A1).
116 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. It
Из формул A0) и A1) можно вывести, что Af}2(Pt Q)
удовлетворяют неравенству
\А\%(Р. Q)|<alnr + p,
где а и р— константы, а функции Л%[(Р, Q) для k > 2 огра-
ограничены и непрерывны при Р =?Q (см. например [20]).
Функции C/f/2(P) будут непрерывны в области G.
Так как функция a)p(Q) бесконечно непрерывно диффе-
дифференцируема и обращается в нуль на границе области О, то,
применяя формулу Грина, можно написать
и мы приходим к окончательной формуле
а (?) = / / в (в) «>« (Q) dQ +
В несколько ином виде и для более общего случая эта фор-
формула была получена С. Л. Соболевым [30].
Чтобы распространить эту формулу на функции, имею-
имеющие производные не обычные, а обобщенные, нам понадо-
понадобится следующая
Лемма 3. Пусть А(Р, Q) есть функция вида
или
A (P. Q) = J5(P. Q) (a In г
§ 51 ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 117
где В(РУ Q) — ограниченная измеримая функция. Пусть
V[P)= Г С А (Р, Q) и (Q) dQ. Тогда из сходимости
о
в среднем
\\un(P)-u(P)\\Lp->0
вытекает сходимость в среднем
\\vn(P)-v(P)\\Lp->0.
В самом деле, для первого случая имеем
Здесь
M = sup\B(P, Q)|.
G
Вводя полярные координаты с полюсом в точке Р, нахо-
находим, что
\ о )
где d — диаметр области О. Таким образом,
Отсюда
( «я(Q) - «(Q) \" r-*dQ\dP^
о \ о )
М Bлй)« / / {| ип (Q) - и (Q)|" ¦ J j г"» d/> I rfQ.
118 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. IT
и снова
G
если ввести полярные координаты, но теперь уже с полюсом
в точке Q. Таким образом,
< М BлйО* + * / / | «л (Q) — « @) \р dQ, A2)
о
и лемма доказана. Аналогично проводится доказательство для
функции А (Р, Q) второго вида.
Пусть теперь функция ф(Р) имеет все обобщенные произ-
производные /-го порядка. Найдется последовательность / раз не-
непрерывно дифференцируемых функций {фте(Р)} такая, что
Фт(^) сходится в среднем к ф(Р), а —,^тг сходятся в сред-
™ дх1*ду1*
нем к —т^~т для всех 'i* ^2=== 0» 1 • • • • • '• ^i + h — I' ^°
формуле С. Л. Соболева
/-1
В силу леммы мы можем перейти к пределу под знаком
интегралов, входящих в эту формулу, и будем иметь
Jf &? 03)
Таким образом, мы распространили формулу С. Л. Собо-
Соболева на функции, принадлежащие пространству {\
§ 5] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 119
Теорема вложения. Теорема (С. Л. Соболева).
Пространство W^ при любом k < / вложено в про-
пространство Wft т. е. любая функция ф(лг, у), имеющая
все обобщенные производные 1-го порядка, имеет также
при k < I все обобщенные производные k-го порядка,
причем
Пусть ф (х, у) ? W& и [фл (х, у)\ — последовательность
/ раз непрерывно дифференцируемых функций такал, что
. у). ^^
по метрике пространства Ln(G). Применим к —?—^f- инте-
у дх 1ду 2
гральную формулу С. Л. Соболева
+ S
Ix + l29t\ G
Преобразуя первый интеграл по формуле Грина, будем иметь
2=l О
В силу леммы 2 правая часть равенства A4) стремится к не-
некоторому пределу
120
ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. Н
Но это значит, что Фп(х> у)
LP{Q)
—-—-
, у), а
]
dyh
:» У)» т- е- Х(-^» У) является обобщенной производной
порядка (/— 1) от функции ц>(х, у), и существование обоб-
обобщенных производных (/—1)-го порядка доказано.
В свою очередь из существования обобщенных производ-
производных (/—1)-го порядка вытекает существование обобщенных
производных (/ — 2)-го порядка и т. д., и первая часть тео-
теоремы доказана.
Возьмем формулу A5), выражающую (/—1)-ю обобщен-
обобщенную производную через 1-е обобщенные производные и саму
функцию
-/-1
Ф
i \
I-I,.
Воспользовавшись очевидным неравенством
(в,+ «24- ••• +0v/<v°(«f+«2+ ... + а% а(>0,
получим
Ф
> ду"'
'а"
дх"' ду*
dQ\ 4-
dQ
В силу неравенства Гельдера имеем
(и
л«-1«
дх*' ду"
<aff\<P(Q)\pdQ,
f о
§5]
ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
121
где а — некоторая константа. Повторяя рассуждения преды-
предыдущей леммы, получаем оценку
//(//1-8
о \ о
. Q)
dl<f
dx*l+lt
dQ)
dQ.
где дA)—также некоторые константы.
С помощью этих неравенств получаем
Я1
dxkldyk>
д'ф
/,+-/2 = / G
Отсюда, суммируя это неравенство по всем производным
(/ — 1)-го порядка, мы найдем, что для подходящим образом
выбранной константы
р
*,+*,=/-! а
Отсюда приходим к требуемому неравенству
Теорема полностью доказана.
Более полную формулировку теоремы вложения С. Л. Со-
Соболева см. в [30].
ГЛАВА III
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Одним из важнейших и наиболее хорошо изученных клас-
классов операторов является класс линейных операторов, опре-
определенных в линейных пространствах.
§ 1. Линейные операторы
Определение. Пусть даны два линейных топологических
пространства Ех и Еу одновременно вещественных или ком-
комплексных и пусть дан оператор у = А(х), определенный на
пространстве Ех с областью значений, расположенной в Еу.
Будем также писать у = Ах. Оператор у == Ах называется
линейным, если
1) этот оператор аддитивен, т. е. для всех хх и дг2 из Ех
А (хх-+- дг2) = Ахг + Лх2; A)
2) оператор А однороден, т. е. для всех х?Ех и любых
вещественных (если Ех вещественно) или комплексных (если Ех
комплексно) X
В дальнейшем будем обозначать через (Ех->Еу) множе-
множество всех линейных непрерывных операторов, отображаю-
отображающих Ех в Еу.
Очевидно, что для случая метрического пространства не-
непрерывность оператора А означает, что для любого е > О
найдется 6 > 0 такое, что совокупность образов элементов
шара S(x, 6) лежит в шаре S(Ax, e).
% 11 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 123
Примеры 1. Рассмотрим квадратную матрицу л-го порядка
(a/ft), /, k ssz 1, .. м п. Равенства
п
11/= S*'*6*» / —1, ..., л,
определяют, очевидно, некоторый оператор у = А*, переводящий
элемент *== {gi, ?2> •••» In) «-мерного евклидова пространства Еп
в элемент у « {t\u r\2t ..., tin} того же пространства.
А — линейный непрерывный оператор. В самом деле, аддитив-
аддитивность оператора А следует из равенства
эквивалентного равенству
А (х{ + х2) =» v4j
однородность его очевидна, а непрерывность вытекает из нера-
неравенства
где
получающегося очевидным образом с помощью неравенства Буня-
ковского для сумм.
2. Положим
y(f)~fK(tts)x(s)ds,
что Л — линейный непрерывный оператор. В самом деле,
1
а) А (дг, + х2) - J tf ft s) [л:, (s) + л:2 E)] ds.
о
1
и условие аддитивности выполнено,
6) однородность оператора Л очевидна,
124 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1ГЛ. Ш
в) пусть \xn{t)} сходится к x(t) в смысле сходимости в С[0, 1],
т. е. равномерно на [0, 1]. Так как в случае равномерной сходи-
сходимости можно переходить к пределу под знаком интеграла, то
1 1
Нт Г К (t, s) хп (s) ds = Г К (t, s) х E) ds,
п i о
т. е. Нт Ахп = Ах, и непрерывность оператора А также доказана.
п
3. Пусть /^ — пространство функций, заданных и непрерывных
на замкнутой плоской кривой Г с непрерывной кривизной, метрика
в котором определяется равенством
Р (*i, х2) = max | хх @ — х2 (t) |.
Пусть далее Еи— пространство функций двух переменных, задан-
заданных и непрерывных в замкнутой области С/, ограниченной кривой Г,
метрика в котором дается равенством
Р («г. «2> = max | их (?, х\) — и2 (|, х\) |.
Каждой функции х (t) ^ Ех отнесем функцию и (g, x\) ^ EUt являю-
являющуюся решением задачи Дирихле для области G при граничном
условии х (t). Как известно, при сделанных предположениях эта
задача однозначно разрешима. Полученное соответствие определяет
некоторый оператор и = Ах. В силу известных свойств гармони-
гармонических функций А есть линейный непрерывный оператор, опреде-
определенный на Ех с областью значений, расположенной в Еи.
4. Пусть ?=С[0, 1]. Рассмотрим в этом пространстве опера-
оператор у = Ах, определяемый равенством
Очевидно, А — линейный непрерывный оператор, определенный на
всем Е. Рассмотрим в этом же пространстве другой оператор,
у = Вх, определенный равенством
~X(t).
Этот оператор определен уже не для всех x(t)?E, и если Вх
существует, то не всегда у?Е. Однако если за область определе-
определения оператора В принять линейное многообразие функций, имеющих
непрерывную производную (лежащее всюду плотно в С [0, 1]), то
область значений оператора В будет лежать также в С [0, 1].
Оператор В, очевидно, аддитивен и однороден. Но в области
определения этот оператор не является непрерывным, так как про-
производная от предела равномерно сходящейся последовательности
§ п линрйные операторы 125
функций может и не равняться пределу производных функций этой
последовательности, если даже все эти производные существуют
и непрерывны.
Простейшие свойства. Пусть А — линейный непрерыв-
непрерывный оператор. Положим х = ?-+- ? и, следовательно. ? = х—?.
Тогда Ах = А\+АЬ>=А\+А{х — 1\ откуда
А(х-1) = Ах — А1. B)
Положим в B) jc = |. Тогда
А @) = Ах — Ах = 0.
Положив в B) лг = О, получим
Теорема 1. Аддитивный оператор у = Ллг, опре-
определенный на линейном вещественном пространстве Ех%
с областью значений в линейном вещественном про-
странстве Еу> непрерывный в одной точке хо?Ег, не-
непрерывен на всем пространстве Ех.
Пусть х — любая точка из Ех и хп —> х. Тогда хп — х -f-
-f- лг0—>аг0, и так как А непрерывен в точке х0, то
Игл А (хп — х -f- xQ) = Ах0.
п
Но
А (хп — х 4- х0) = Ахп — Ах +¦ >1а:0
по свойству аддитивности. Поэтому
lim ЛлгЛ — Лдг -)- Лдг0 = AxQ,
откуда и следует, что
lim Ллгя = Ах.
п
Теорема 2. Аддитивный и непрерывный опера*
тор Ах, определенный в вещественном простран*
стве Ех, однороден.
Пусть сперва t=-n — целое положительное число. Тогда
А (пх) = Ах -+- Ах + ... + Ах = пАх.
Пусть t—m — целое отрицательное число. Тогда
А{тх) — — А (— /пх) = — (— т) Ах =
126 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. Ill
Пусть ? = — — рациональное число. Имеем
Положим — х = ?. Тогда х = л| и
Л* = Л (л?) = пА\ = пЛ (-L х) ,
откуда Л(— л:) =—Ах, Следовательно,
Пусть, наконец, t—любое вещественное число. Необ-
Необходимо рассмотреть лишь случай иррационального t. Най-
Найдется последовательность рациональных чисел [гп\ такая,
что гя->?. Поэтому \imrnx = txt и так как А — непре-
п
рывный оператор, то
A (tx) = A (lim rnx) = Urn А (гпх) = lim rnAx = tAx.
п п а
Пространства операторов. В множестве линейных не-
непрерывных операторов, определенных на линейном про-
пространстве Ех% с областью значений в линейном простран-
пространстве Eyt можно ввести алгебраические операции. Пусть
А и В будут такие операторы. Определим сложение этих
операторов посредством формулы
= Ах-+ Вх
и умножение линейного оператора на число — посредством
формулы
(ХА) х = ХАх.
Очевидно» что при таких определениях все необходимые
аксиомы будут выполнены и рассматриваемое множество
линейных операторов будет линейным пространством. В част-
частности, нулем этого пространства будет такой оператор О,
что для любого х?Е имеем Олг = 0. Определим в линейном
пространстве операторов предел последовательности, полагая,
например, что Аа->А% если для любого х?Ех имеем
lim Anx = Ах.
§ 1J ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 127
Мы рассмотрим более подробно это пространство несколько
позже при некоторых дополнительных предположениях отно-
относительно пространств Ех и Еу.
Кольцо линейных непрерывных операторов. Возьмем
теперь некоторое линейное пространство Е и рассмотрим
множество (Е~>Е) всевозможных линейных непрерывных
операторов, определенных на Е, с областью значений, рас-
расположенной в этом же пространстве. Как показано выше,
эти операторы образуют некоторое линейное пространство.
Определим произведение операторов А и Б из (?"->?) фор-
формулой
(АВ) х = А (Вх).
Легко видеть, что это снова линейный непрерывный опера-
оператор. По индукции определяется произведение любого числа
операторов. В частности, пишут
и т. д. Легко видеть, что (АВ) С = А (ВС), что (А+В)С =
= АС + ВС, а также С(А~\-В) = С А + С В и что существует
единичный оператор /, определяемый равенством
1х ==х
для любого х и такой, что
AI = IA = А
для любого оператора А.
Таким образом, множество (Е~~*>Е) образует кольцо
с единицей, причем некоммутативное, так как, вообще говоря,
АВф ВА.
Пример. Пусть Е = С [0, 1]. Рассмотрим операторы
у (t) = J tsx (s) ds^Ax и у (t)»tx (t) = Bx.
128 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
Имеем
1 1
АВх = Г tssx (s) ds = t f s2x (s) ds,
о о
1 1
В Ax = t Г tsjc (s) ds = t2 Г sx {s) ds.
о о
Таким образом, АВ Ф В А.
Весьма важным является понятие обратного оператора.
Согласно общему определению обратного элемента кольца
линейный непрерывный оператор В называется левым обрат-
обратным для линейного оператора Л, если BA — f. Точно так же
линейный непрерывный оператор С называется правым об-
обратным для оператора Л, если АС = 1. Если оператор Л
имеет левый обратный В и правый обратный С, то они
равны, так как
В этом случае говорят, что оператор А имеет обратный
оператор, который обозначают Л. Таким образом, если
Л существует, то А А = Л" Л = /. К понятию обрат-
обратного оператора мы вернемся снова несколько позже.
Функция оператора. Оператор
Ап = АА ... Л
п раз
представляет собой простейший пример функции от опера-
оператора. Эта функция от оператора есть частный случай более
общей функции, а именно многочлена от оператора
Рп(А) = а0Г + а1А + а2А*+ ... +апАп.
Определение функций от оператора /(Л), более сложных,
чем многочлены, может быть осуществлено различными спо-
способами.
Пусть, например, Е есть /г-мерное дошшдодо пространство и
А — оператор, отображающий Е в себя, заданный симметрической
матрицей W. Приведем матрицу $ к диагональному виду с помощью
§ 1J ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
унитарного преобразования U:
где
Я,, О 0 ... О
О К2 О ... О
О О О ... \п
Щ
Пусть теперь fit)— произвольная функция вещественной
временной t, определенная на отрезке [т, М], где т = min А/,
пе,
М a» max Я/. Полагаем
/(Л).
0 ...
0 ...
О
О
О О.../(ЛЯ)]
/(Я)-г/-1/(А) г/.
Таким образом, каждой функции / (t) вещественной перемен-
переменной ty определенной на отрезке [mt M], ставится в соответствие
функция от матрицы / (Ж). Очевидно, что функции / (t) гз 0 ста-
ставится в соответствие нулевая матрица, функции f (t)=&\ ставится
в соответствие единичная матрица и функции/ (t)=*tm—матрица %т.
Далее, если
/(О-Л @+ /*(').
то
и если ф @ « fx (t) f2 @, то ф (Ж) » /i CC) /2 (Ж). Эти равенства
следуют из того, что для двух любых матриц В и С имеем
U (В + С) U~l = UBU'X -f UCU~\
А
и (ВС) и~1 = (иви*1) (иси~1),
и из того, что
/ (Л) « /, (Л) + /2 (Л), ф (Л) «. f{ (Л) /2 (Л).
Можно построить теорию функций от матриц и другим спосо-
способом, переходя от многочленов от матриц к степенным рядам от
матрицы. Однако таким путем можно определить лишь аналити-
аналитические " функции от матриц. Глубокие исследования в этом на-
направлении были проведены А. И. Лаппо-Данилевским, который
применил затем аналитические функции от матриц к изучению си-
систем диффзренциальных уравнений [19]. Построение жз функций от
130 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
матриц с помощью приведения матрицы к диагональному виду
было обобщено на случай бесконечных матриц,, а затем и на
произвольные самосопряженные операторы в гильбертовом про-
пространстве в спектральной теории этих операторов (см. § 5 гл. VII),
В качестве второго примера рассмотрим функции от опера-
оператора дифференцирования. Пусть Е=С[0> 1] и D «* — — опера-
оператор дифференцирования, относящий непрерывно дифференцируемой
функции х (t) производную этой функции
Dx(t)^^~x{t),
Для /г-кратно непрерывно дифференцируемых функций имеют
смысл выражения
где рп (s) — любой многочлен я-й степени от аргумента s. Для не-
неограниченно дифференцируемых функций имеет смысл выражение
V
a
если только ряд, стоящий в правой части равенства, сходится и
его сумма принадлежит С [О, I]. В частности, это будет иметь
место, если x(t) есть многочлен степени т, так как тогда
Dnx (f) я= 0 для п > m и ряд обращается в конечную сумму.
Многочлены от оператора дифференцирования находят при-
применение в теории линейных дифференциальных уравнений. Про-
Простейшим из этих применений является так называемый символи-
символический метод решения уравнений с постоянными коэффициентами.
Более глубокие применения функций от оператора дифференциро-
дифференцирования к линейным дифференциальным уравнениям — обыкновенным
и в частных производных — содержатся в так называемом опера-
операционном исчислении [11].
Формальные операции с рядами и полученными с помощью
рядов функциями от оператора дифференцирования широко при-
применялись в первой половине XIX века для получения некоторых
формул в теории квадратур, интерполяции и т. д. Поясним сказан-
сказанное примерами.
Прежде всего заметим, что оператор
в применении к функции x(t), которую будем считать аналити-
аналитической, дает х (t 4- Л). В самом деле,
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 131
Поэтому, если мы обозначим через Д^ оператор взятия разности
с шагом Л,
&hx(t) = x(t + h)— x(t),
то
ehDx(t) = x(t+h) = x (t) + hhx it) = (/ + Ал)¦* (t),
или
Производя формальное обращение степенного ряда, найдем
Мы получили формулу Грегори, выражающую оператор дифферен-
дифференцирования через оператор взятия разности.
Рассмотрим далее операторы
1 п
Jx (t) = fx(t + т) dx и Sx it) = 2 ctx (t + хй,
0 / = 1
n
где 2 c/s 1- Нетрудно убедиться в том, что операторы J n S
можно представить как функции от оператора D. Именно
Отсюда
п
Но
является производящей функцией для многочленов Бернулли:
Л=0
132 ЛИНЬЙИЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1ГЛ. Ш
Поэтому предыдущая формула примет вид
о
то мы приходим к обобщенной формуле Эйлера — Маклорена:
1
f
В частности, при /«О получаем
n
V
ctx (т/) —
~j
Приведенный вывод формул Грегори и Эйлера — Маклорена
может считаться обоснованным, если функция х (t), к которой
прилагаются эти формулы, является многочленом. В этом случае
бесконечные ряды превращаются в конечные суммы, и все фор-
формальные преобразования, проделанные нами, являются законными.
Для произвольных же неограниченно дифференцируемых функций
формулы Грегори и Эйлера — Маклорена нуждаются в дальнейшем
обосновании, например, с помощью оценки остаточных членов.
fc 2] ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 133
§ 2. Линейные операторы в линейных
нормированных пространствах
Пусть Ех и Еу—линейные нормированные пространства.
Так как линейное нормированное пространство есть частный
случай линейного топологического пространства, то для линей-
линейных нормированных пространств сохраняется прежнее опре-
определение линейного оператора, заданного на Ех, с областью
значений, расположенной в Еу% а также остаются в силе
теоремы 1 и 2, доказанные в предыдущем параграфе.
Отметим лишь, что так как сходимость в Ех и Еу есть
сходимость по норме, то непрерывность оператора А озна-
означает, что
\\Ахп — А* Ц-+0 при \\хп — х\\-»Ъ.
Операторы, рассмотренные в примерах 1 и 2 § 1, являются
линейными непрерывными операторами, преобразующими сами
в себя линейные нормированные пространства Еп и С [0, 1].
Оператор примера 3 также является линейным непрерывным
оператором, преобразующим линейное нормированное про-
пространство непрерывных функций, заданных вдоль Г, в ли-
линейное нормированное пространство функций, гармонических
в области О, если нормы в этих пространствах задать ра-
равенствами
||х||= max |х@| и ||«||=max|tfF, Л)|.
г о
Приведем еще один пример линейного оператора.
Рассмотрим бесконечную матрицу (alk), i, k = 1, 2
такую, что
22 |в/#1*<оо. q>\.
islftsrl J
Тогда система равенств
со
Л/=2 «/*?*. '=!• 2' ....
с помощью которой каждому элементу х= {^} ?/р ставится
в соответствие у=|^], определяет линейный непрерывный
134 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
оператор у —Ах, заданный на 1р, с областью значений,
расположенной в lq, где — -| =1, т. е. А б^р-*/^).
Покажем прежде всего, что, действительно, y?lq* если
х ? 1р. Имеем (пользуясь неравенством Гельдера для сумм)
,?>!'=,?,
2 alk
Q
1 9
= И1' 2 2 |«»|' < ll*li' S 2 |«»|'-
Так как это неравенство верно для любого я, то можно
перейти к пределу при п->оо. Тогда получим
и, значит, y?lq.
Докажем теперь, что А — линейный непрерывный опера-
оператор. Пусть
Тогда из равенства
2«»(№+if) = 2 «|Д1?>+2 ««i(*2)
следует, что
Л (*! + л:2) = Ахх + i4jf2.
т. е. аддитивность оператора А. Однородность этого опера-
оператора очевидна. Пусть теперь
§21 ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 135
Имеем
ill
Отсюда
Цуя-у||->о
при || л:я — л: 1| -> 0, и непрерывность оператора Л доказана.
Оператор Л называется ограниченным, если существует
такая постоянная Ж, что || Ая || «^ Л11| # || для любого х?Ех
(здесь норма || Аи || берется в смысле метрики пространства Ег
в котором расположена область значений оператора Л, а
|| л: || берется в смысле метрики пространства Ех).
Согласно этому определению ограниченный оператор пре-
преобразует ограниченное множество элементов [х)аЕх в огра-
ограниченное же множество элементов {Ах) cz Ey.
Теорема 1. Для того чтобы аддитивный и одно*
родный оператор А был непрерывен, необходимо и
достаточно, чтобы он был ограничен.
Необходимость. Пусть А — непрерывный оператор.
Допустим, что он не ограничен. Тогда найдется последова-
последовательность элементов [хп\ такая, что
Построим элементы
?я->0, так как
Значит,
136 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
Поэтому оператор А не непрерывен в нулевой точке, что
противоречит предположению.
Достаточность. Пусть аддитивный оператор А
ограничен, т. е.
Пусть хп—>х, т. е. ||лг„ — л:||->0; тогда и
)|| </И ||*ч -
т. е. Ахп—>Ах\ следовательно, А непрерывен.
Докажем теперь одну лемму, которая иногда оказывается
полезной.
Лемма. Пусть дан линейный (не обязательно огра-
ограниченный) оператор Л, отображающий банахово про-
пространство Ег в банахово пространство Еу. Обозначим
через Еп множество тех х?Ех, для которых
Тогда
и по крайней мере одно из множеств Еп всюду плотно.
Прежде всего каждое из множеств Еп не пусто, так как,
например, 0?Еп для любого п\ кроме того, очевидно, что
всякий х?Ех, хфО> попадает в одно из множеств Еп;
для этого достаточно взять в качестве п наименьшее целое
число, превосходящее " х)-. Поэтому можно написать
II -*11
оо
В*= U Еп-
/1=1
Ввиду того, что полное пространство Ех не может быть
счетной суммой нигде не плотных множеств (теорема 3 стр. 43),
по крайней мере одно из множеств Е^ не является нигде
не плотным. Следовательно, существует шар S(x0, г),
в котором S(x0, г)П^«о всюду плотно.
Рассмотрим шар S(x{t r{), лежащий целиком внутри
S(x0, г) и такой, что xl?Elh. Возьмем любой элемент х
§ 2] ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 137
с нормой 11x11=^. Элемент хх + x?S(xlt гх)> ибо
\\(хх+х) — xx\\=rv
Так как S(xx, гх)аЁп, то найдется последовательность
элементов \zk) из S(x]t гх){\Еп^ такая, что zk->хх -f- x
при &->оо (эта последовательность может быть стационар-
стационарной, если хх-\- х?Еп^). Имеем, следовательно,
xk = zk — хх -> х.
При этом можем считать, что
ибо хк-+х и ||jc||=r,; кроме того,
Так как zk и х, ? ЯЯв. то
Далее
l!
Поэтому
- Hz, - Лх.КЦ Azk\
< «о (||*»Н + 11^11)-
п (г JL.
Обозначим через п наименьшее целое число, превосходящее
2п0 (г, +2И*, ||)
Тогда
откуда следует, что все xk?En.
Итак, любой элемент х с нормой, равной гр можно
аппроксимировать элементами из Еп. Пусть теперь х — лю-
любой элемент из Ех. Рассмотрим элемент
b '1 II v I
имеем
о доказанному найдется последовательность [lk}czEn,
ящаяся к J-
сходящаяся к J-.
138 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
Тогда
Отсюда следует, что
Итак, Еп всюду плотно в Е% и лемма доказана.
Если в произвольном банаховом пространстве линейный
оператор может быть не непрерывным, то в конечномерном
пространстве всякий линейный оператор непрерывен.
В самом деле, пусть е{, ..., еа — базис в ?и, следова-
следовательно, любой элемент х этого пространства имеет вид
п
x = y?ihei. В силу гомеоморфизма любого /г-мерного бана-
хова пространства евклидову я-мерному пространству, если
то l(ik)->li* 1=1. .... /г. Но тогда
Лхк = 2 l^Ae, -> 2 hA*i = ^4^.
и требуемое доказано.
Норма оператора. Пусть А — линейный ограниченный
оператор. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих
условию
(а такие постоянные существуют в силу ограниченности А),
называется нормой оператора А и обозначается ||Л||.
Таким образом, по определению число \\A\\ обладает двумя
следующими свойствами:
а) для любого х?Ех
|; A)
§2] ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 139
б) для любого ? > О найдется такой элемент хе, что
Покажем, что
|| Л || = sup || Л*||. B)
|Ц|<1
или, что все равно,
l^JL B')
В самом деле, если ||^||^1, то
значит и
sup |И*ц<|И|. C)
\\х\\<1
С другой стороны, для любого е > 0 существует элемент
хг такой, что
Возьмем
Тогда
e
Так как |||е|| = 1, то
sup
= ||А\\ -8.
Следовательно,
sup ||Лл;||>.||Л||. D)
Из C) и D) следует B).
Найдем для примера норму интегрального оператора
с непрерывным ядром
1
= J/f(/. s)x(s)ds.
о
140 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. 111
рассматривая его как оператор, отображающий С[0, 1]
в С[0, 1]. Полагая
1
= f K(t, $)x(s)ds,
будем иметь
\\Ax\\ =гпах
J" К (/. s) х (s) ds
i i
<max f\K(t, s)\ds-max\ x(s)\ = max j\K(t, s)\ds\\x\\.
' о s * о
о
Следовательно,
s)\ds. E)
l
Так как j | К (/. s) | rf5 — непрерывная функция, то она
о
достигает максимума в некоторой точке t0 отрезка [0, 1].
Положим
o Q, s).
Пусть xn(s) — непрерывная функция такая, что j xn (s) |<C 1
и хп (s) == zQ(s) всюду, кроме множества Еп меры, меньшей
- где
/t s
Па множестве Сд всюду
Имеем
|| 1 I
М*/С(/. s)zo(s)ds — JKit. s)xn(s)ds <
</|АГ(/. s) || *„(«)-
= (\K(t. s)\\xa(s)—z0(s)\dS4?2max\K(.t
Е *' S
Это неравенство справедливо для любого /?[0» 1].
§ 2] ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 141
Имеем, следовательно, для всех /?[0, 1]
/К(/. s)г0(s)ds^JK(t, s)xn(s)ds+± <||A|| ||xn|| +JL.
0 0
Полагая в этом неравенстве / = /0, получим
f\K{t0. s)\ds<\\Al\\\xn\\+L.
о п
Так как ||хл!К1, то предыдущее неравенство в пределе
при п—>оо дает
о
т. е.
1
f\K(t s)\ds^\\A\\t
max [\K(t. s)\ds^\\A\\. F)
' 0
Из E) и F) получаем
i
||Л || =:max Г |К(t, s)\ds.
f о
Пусть в линейном нормированном пространстве Ех задано
линейное многообразие L. Это линейное многообразие
можно рассматривать как самостоятельное линейное прост-
пространство, может быть неполное. Предположим, что на L
определен аддитивный оператор А со значениями в некото-
некотором линейном нормированном пространстве Еу. Оператор А
называется ограниченным на L, если существует постоян-
постоянная М такая, что
для всех х ? L. Наименьшая из таких постоянных называется
нормой оператора А на линейном многообразии L и обо-
обозначается *) || А || 1.
*) В соответствии с этим норму оператора на всем пространстве
мы будем иногда обозначать || А \\Е #
142 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. Ill
Теорема 2. Линейный ограниченный оператор Ло,
заданный на линейном многообразии L, всюду плотном
в линейном нормированном пространстве Ех, со зна-
значениями в полном линейном нормированном простран-
пространстве Еу, может быть продолжен на все пространство
без увеличения нормы.
Иными словами, на пространстве Ех можно определить
оператор А такой, что
Ах = Аох для х ? L,
Пусть х — элемент пространства Ех, не принадлежащий L.
Так как L всюду плотно в Ех> то найдется последователь-
последовательность {xn}czL такая, что \\хп — л;||->0 при #->оо, и,
значит,
при я, т->оо. Но тогда
при Пу /я->оо, т. е. последовательность {Лол:л} сходится
в себе, а следовательно, в силу полноты Еу, и к некоторому
пределу. Этот предел обозначим через Ах. Пусть {ln}cL —
другая последовательность, сходящаяся к х. Имеем, очевидно,
откуда j| Аохп — AQtn || -> 0. Следовательно, А01п -> Ах.
Это означает, что оператор А определен на элементах Ех
однозначно. Если х ? L, берем хп = х для всех я, и тогда
Ах = lim Аохп = Аох.
п
Построенный оператор А аддитивен, так как
А (хг 4- х2) = \\тА0 (*(я1} + х{1]) =
п
= lim Аох{п] + lim Аох{^ = Ахх + Ах2,
п п
и ограничен, так как из неравенства
§ 3] ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ Ш
переходом к пределу получаем
!|л*||<||лоуи|.
Из этого же неравенства следует, что
Так как при продолжении оператора норма, очевидно, не
может уменьшиться, то
1\a\\ex=\\aq\\l,
и теорема полностью доказана.
Указанный процесс распространения оператора называется
продолжением (или расширением) оператора по непре-
непрерывности.
§ 3, Линейные функционалы
Если значениями оператора являются вещественные числа,
то, как сказано ранее, оператор называется функционалом.
Функционал / (х), определенный в линейном топологическом
пространстве, называется линейным, если
2) / (хп)~>/С*)» когда хп->х в смысле сходимости
в линейном пространстве Е.
Так как множество R вещественных чисел есть прост-
пространство типа В, то для линейных функционалов сохраняются
все определения и теоремы, проведенные выше для линейных
непрерывных операторов.
Теорема Г. Аддитивный функционал f(x), опре-
определенный на линейном пространстве Е и непрерывный
в одной точке этого пространства, непрерывен всюду
на Е и, следовательно, линеен.
Теорема 2'. Линейный функционал однороден.
Теорема 3'. Для того чтобы аддитивный функ-
функционал, определенный на линейном нормированном
пространстве Е% был линеен, необходимо и достаточно,
чтобы он был ограничен:
Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих это-
этому неравенству, называется нормой функционала и
144 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. Щ
обозначается ||/||. Итак,
|/(*)|<н/||||*||.
Наконец,
||/||= sup \f(x)\.
||jf|l<l
или, что все равно,
Примеры. 1. Пусть ? = Lp [О, 1], тогда
1
f(x) = J x(t)dt
о
есть линейный функционал.
В самом деле, то, что f (х) имеет смысл для любого
x?Lp[Ot 1], вытекает из неравенства Гельдера
1
f x(t)dt
о
<( i\x(t)fdt\ (fdt) — ii-«:ii-
Из этого же неравенства вытекает ограниченность /(*); аддитив-
аддитивность / (х) очевидна.
2. Пусть Е есть ?л, то есть ^-мерное евклидово пространство.
Для элемента дг={^} этого пространства положим
где сь с2, ..., с^ — некоторые константы. Аддитивность функционала
/ (х) снова очевидна. Так как хп-+ х означает, что |^/IJ->|/ для
всех /= 1, 2 ^, то
k k
lim / (л:л) = lim 2 с^ = 2 *& = / W-
и непрерывность / (*) доказана.
Норме линейного функционала можно дать геометрическое
истолкование. Так как в ^-мерном евклидовом пространстве
уравнение плоскости
можно записать в виде
§ 4] ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 145
то по аналогии назовем гиперплоскостью в произвольном
линейном пространстве Е совокупность точек этого прост-
пространства, удовлетворяющих уравнению
где / — линейный функционал на Е. Гиперплоскости
f(x) = c0 и
естественно назвать параллельными.
Гиперплоскость f{x) — c делит пространство на два
полупространства: совокупность точек х, в которых
/(лг)<^?, и совокупность точек л;, в которых f{x)^>c.
Назовем условно первое из этих полупространств лежащим
влево, второе — лежащим вправо от гиперплоскости f (х) = с.
Гиперплоскость /(л:)= ||/|| обладает тем свойством, что
весь единичный шар ||л:||^1 лежит целиком слева от этой
гиперплоскости (ибо для точек шара ||л:||^1 мы имеем
f (x)<C\\f\\)- С другой стороны, никакая из параллельных
гиперплоскостей f(x)=\\f\\— е этим свойством уже
не обладает.
По аналогии с теорией выпуклых тел /^-мерного евкли-
евклидова пространства мы назовем гиперплоскость /(дг)=||/||
опорной к шару || х || ^1.
§ 4. Пространство линейных ограниченных операторов
Мы уже видели, что всевозможные линейные ограниченные
операторы, определенные на одном и том же линейном прост-
пространстве Ех, с областью значений, расположенной в линейном
пространстве Eyt образуют линейное пространство (Ех->Еу).
Если дополнительно предположить, что Ех и Еу — нор-
нормированные пространства, то в пространстве (Ех->Еу) также
можно ввести норму.
В самом деле, для каждого линейного ограниченного
оператора Л, отображающего Ех в Еу, определена норма
(указанным в § 2 способом). Нетрудно показать, что эта*
норма удовлетворяет трем аксиомам нормы. Действительно,
1)||Л||= sup ||Лл:||>0. Если ||Л||=0 (т. е. sup ||Ax;||=0),
то ||Лл:||=0 для всех х таких, что ||*||<^1- Но тогда»
146 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
в силу однородности оператора, Ах = О для всех х, и,
следовательно, А = 0.
2) \\1А\\= sup \\ХАх\\ = \Х\ sup \\Ax\\ = \X\\\A\\.
\\х\:<1 II*II<1
3) ||Л+5||= sup \\Ax+Bx\K sup \\Ax\\+ sup \\Bx\\=*
\\х\\<1 \\х\\<1 \\х\\<1
Таким образом, пространство линейных ограниченных
операторов есть линейное нормированное пространство.
В частном случае, когда Ey = R— множеству веществен-
вещественных чисел, т. е. когда мы рассматриваем пространство ли-
линейных функционалов, определенных на Ех, это простран-
пространство линейных функционалов называется пространством,
сопряженным с Ех> и обозначается Ех.
Теорема 1. Если Еу полно, то пространство
линейных ограниченных операторов будет также
полным пространством и, следовательно, пространст-
пространством типа (В).
Пусть дана последовательность линейных операторов
[Ап}> сходящаяся в себе по норме в пространстве линейных
операторов, т. е. такая, что \\Ап — Лт||->0 при п, т->оо.
Тогда для любого х
\\Аях- Атх{\^\\А„-Ат\\ \\x\\ ->0
при л, т -> оо.
Поэтому для каждого фиксированного х последователь-
последовательность [Апх] элементов пространства Еу сходится в себе.
В силу полноты пространства Еу последовательность \Апх)
имеет некоторый предел у.
Итак, каждому х?Ех ставится в соответствие у?Еу,
и мы получаем некоторый оператор Л, определяемый равен-
равенством у = Ах. Этот оператор аддитивен:
А (хх -(-х2) = Пт Ап (хх-\~х2) = Пт Апхх +Пт Апх2 =
п п п
Покажем, что А — ограниченный оператор. По условию
§ 4] ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 147
при п% т->оо. Отсюда
при п, т —> оо, т. е. числовая последовательность {||Я||
сходится в себе и, следовательно, ограничена. Поэтому
существует такая постоянная /С, что ||ЛЛ||<^/С для всех я.
Отсюда
для всех п. Следовательно,
\\Ax\\=\im\\Anx\\^K\\x\\.
П
и ограниченность оператора А доказана. Так как А, кроме
того, аддитивен и однороден, то А—линейный ограниченный
оператор.
Докажем, что А есть предел последовательности {Ап}
в смысле сходимости по норме в пространстве линейных опе-
операторов. Для любого е > 0 найдется номер п0 такой, что
\\An_hpx-Anx\\<e A)
для п^>п0, р > 0 и всех х с нормой ||лг||<;1. Переходя
в неравенстве A) к пределу при /?->оо, получим, что
\\Ах-Апх\\^г
для п^п0 и всех х с нормой, не превосходящей единицы.
Поэтому для п^ п0
\\Ап-А\\= sup \\(An-A)x\\^e.
||лг||<1
Следовательно,
А = Iim An
п
в смысле сходимости по норме в пространстве линейных
ограниченных операторов, и полнота этого пространства
доказана.
Следствие. Пространство ?*, сопряженное с ли-
линейным нормированным пространством ?, есть бана-
банахово пространство.
Равномерная и точечная сходимоср операторов. Будем
называть сходимость последовательности линейных ограничен-
ограниченных операторов в смысле сходимости по норме в пространстве
148 ЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
линейных операторов равномерной сходимостью. Это
название оправдывается тем, что если Ап->А в смысле
сходимости по норме, то Апх -> Ах равномерно во всяком
шаре || jc|| -^ г. В самом деле, для заданного е>0 выберем
п0 так, чтобы при п ^>п0
\\Ап-А\\<±.
Тогда
для всех x?S(Q, г), и требуемое доказано. Обратно, если
Апх->Ах равномерно на некотором шаре ||д?||^/\ то
Апх -> Ах равномерно и в единичном шаре, а отсюда, как
только что было показано, следует
В пространстве (Ег->Еу) линейных ограниченных опе-
операторов мы вводили и другую сходимость последователь-
последовательности операторов. Именно, последовательность линейных
ограниченных операторов \Ап) называется точечно сходя-
сходящейся к линейному оператору А (в себе), если для каждого
фиксированного х последовательность [Апх\ сходится к Ах
(в себе). Очевидно, что из равномерной сходимости после-
последовательности [Ап\ следует точечная сходимость этой по-
последовательности.
Обратное неверно, как показывает следующий пример.
Пусть Е— гильбертово пространство Н с ортонормальным
базисом [ev e2 еп, ...}. Пусть Ап есть оператор про-
проектирования на подпространство Нп, порожденное элемен-
элементами ev e2* ...» еп. Для любого х?Н
П со
Апх = %(х, *,)*,-> 2 (*• *i)*i = x
и, следовательно, Ап—>1 в смысле точечной сходимости.
С другой стороны, для е0 < 1, любого п и р > 0 имеем
и, следовательно, равномерная сходимость последовательности
[Ап] в единичном шаре ||.v||^l пространства Н не имеет
места.
§ 4] ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 149
Теорема 2. Если пространства Ех и Еу полные,
то пространство линейных ограниченных операторов
также полно в смысле точечной сходимости.
Так как для каждого х последовательность [Апх\ схо-
сходится в себе, то для каждого х существует
у = lim Anx
п
и мы получаем оператор у = Ах, определенный на Ех, с об-
областью значений в Еу. Как и выше, убеждаемся, что А — ли-
линейный оператор. Доказательство ограниченности оператора А
вытекает из следующей теоремы:
Теорема 3 (Банаха —Штейнхауса). Если после-
последовательность линейных ограниченных операторов
сходится в себе в каждой точке х банахова прост-
пространства Ех% то последовательность норм {||ЛЛ||} этих
операторов ограничена.
Предположим противное. Тогда множество {ЦЛ^лгЦ} не
ограничено на любом замкнутом шаре Цл: — хо!|^е. В са-
самом деле, если
для всех п и всех х из некоторого ш<ра S (х0, е), то для
любого ?>€ЕХ элемент
принадлежит этому шару и, следовательно,
1Ил*Н<*. п=1. 2
или
Отсюда
Так как в силу сходимости последовательности {Л,2х0} по-
последовательность норм {||^лаг0||} ограничена, то
150 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
и, следовательно, ЦЛ^К^, я = 1, 2, .... что противоре-
противоречит сделанному предположению.
Пусть теперь S0(x0, е0) — любой замкнутый шар в Ех\
на нем последовательность {||Л„л;||} не ограничена и потому
существуют номер пх и элемент хг ? 50 такие, что
||i4e,*i||>l.
В силу непрерывности оператора ЛП{ это неравенство выпол-
выполняется в некотором замкнутом шаре Sx(xv e,})czS0. На Sx
последовательность {||Л„л;||} снова не ограничена и снова
найдутся номер п2, п2*> nv и элемент x2?Sx такие, что
1И„Л||>2.
В силу непрерывности оператора ЛПз это неравенство со-
сохраняется в некотором замкнутом шаре 52(л:2, E2\dSx и т. д.
Можно считать, что гп—>0 при п—>оо. Тогда будет
существовать точка х, принадлежащая всем шарам ^„(л:,,, гп).
В этой точке
что противоречит условию, что последовательность {^4лаг}
сходится для всякого х?Ех. Теорема, таким образом, до-
доказана.
Возвращаясь к оператору
Ax — \im Anx,
п
из неравенства
[, л=Ь 2
вытекающего из теоремы Банаха—Штейнхауса, в пределе
при п->оо получаем |[Лл:|[<^ ЖЦлгЦ, т. е. ограниченность
оператора А.
Замечание. В формулировке теоремы Банаха — Штейн-
Штейнхауса вместо сходимости в себе последовательности опера-
операторов [Ап] в каждой точке х?Ех можно потребовать
ограниченности этой последовательности в каждой точке
пространства. При этом доказательство теоремы не изме-
изменится.
$ 4] ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 151
Итак, существует предел любой точечно сходящейся
в себе последовательности линейных ограниченных операто-
операторов, который также является линейным ограниченным опе-
оператором, т. е. пространство операторов полно в смысле
точечной сходимости.
Часто оказывается полезной следующая
Теорема 4. Для того чтобы последовательность {Ап)
операторов точечно сходилась к оператору Ло, необ-
необходимо и достаточно, чтобы
1) последовательность {||ЛЛ||} была ограничена*,
2) Апх->Аох для любого х из некоторого множе-
множества X, линейные комбинации элементов которого
лежат всюду плотно в Ех.
Необходимость первого условия есть не что иное, как
доказанная выше теорема Банаха — Штейнхауса, необходи-
необходимость второго условия очевидна. Требуется доказать лишь
достаточность этих условий.
Пусть
М= sup \\Aa\U
/1=0, 1, ...
и пусть L(X)—линейная оболочка множества X. В силу
линейности операторов Ап и Ао и второго условия Апх —> Аох
для любого х ? L (X).
Возьмем теперь элемент | пространства Ех, не принад-
принадлежащий L (X). Для заданного г > 0 найдется элемент х ? L (X)
с
такой, что HI — х\\<^Тмш Имеем
В силу того, что Апх~> Аох, найдется номер п0 такой,
что
для п ^ п0. Поэтому для /г ^> п0 имеем
и теорема доказана.
152
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
[ГЛ. III
Применения к теории интерполирования. Доказанная выше
теорема Банаха — Штейнхауса имеет многочисленные примене-
применения. В качестве примера такого применения приведем следующую
теорему.
Теорема 5. Пусть на отрезке [О, 1J заданы точки, обра-
образующие бесконечную треугольную матрицу
о о
tf о
43).
B)
Для заданной функции х @» определенной на отрезке [0,1]
строится интерполяционный многочлен Лагранжа Lnxt узлами
которого являются точки п-й строки матрицы Т,
где
Иакова бы ни была матрица Т, существует непрерывная
функция х ((), для которой интерполяционный многочлен Lnx
не стремится равномерно к х (/) при я->оо.
Будем рассматривать Lnx как оператор, преобразующий функ-
функцию x(t)^C [0, 1] в элемент того же пространства. Введем, кроме
того, в рассмотрение величину
К = max Хп @, где Хп @
t
Тогда нетрудно доказать [22], что
С другой стороны, имеет место неравенство С. Н. Бернштейна
Л > ^пп
\
Следовательно,
«^Ц->оо
при п -> оо. Отсюда сразу следует сформулированная выше теорема,
ибо если бы Lnx->x для всех х?С [О, 1J, то нормы || Ln\\ были бы
ограничены.
§ 53 ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 153
§ 5. Обратные операторы
Определения. Мы уже ввели понятие обратного опе-
оператора и указали на важность этого понятия. С понятием
обратного оператора связаны, как мы сейчас увидим, во-
вопросы о существовании и единственности решения оператор-
операторных уравнений вида
Ах = у, A)
где у — известный элемент линейного пространства Е, а х —
искомый элемент того же пространства. Так как к уравне-
уравнениям вида A) относятся линейные алгебраические системы,
линейные дифференциальные, линейные интегральные и дру-
другие уравнения, то очевидно, что нахождение оператора, об-
обратного данному оператору, является весьма важным.
Итак, рассмотрим уравнение A) и предположим, что
оператор А имеет обратный оператор А. Положим
Подставляя это значение в A), получим тождество
АА~1у = у,
т. е. у = у. Следовательно,
х = А~ху
есть решение уравнения A).
Допустим, что существует хх—другое решение уравне-
уравнения A):
Действуя на обе части этого равенства оператором А» по-
получим
хх = А"ху — х.
Следовательно, решение х — А"ху единственно.
Если оператор А имеет правый обратный оператор С,
то, как легко убедиться, л; = Су есть решение уравнения A),
однако вопрос о единственности остается открытым.
Допустим, что оператор А имеет левый обратный В.
Тогда, если уравнение A) имеет решение х, т. е. Ах = у,
154 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. И»
то, применяя слева к обеим частям этого равенства опера-
оператор В, находим, что х = Ву, т. е. что решение единственно.
Однако вопрос о существовании решения остается от-
открытым.
Анализ предыдущих рассуждений показывает, что обрат-
обратный оператор (двусторонний, левый или правый) мы приме-
применяем не к любому х?Е, а лишь к элементам вида Ах, т. е.
к образам элементов пространства Е. Совокупность этих
образов есть некоторое линейное многообразие (часть прост-
пространства Е). Обобщая указанную ситуацию, мы приходим
к следующему более общему определению обратного опе-
оператора.
Пусть даны два линейных пространства Ех и Еу и опе-
оператор Л, отображающий Ех на Еу. Если существует опера-
оператор Л", определенный на Еу, со значениями в Ех такой,
что
Л-1 Л v v * @\
/\х — х VA/
для любого х?Ех и
AA~ly = y B')
для любого у ? Ег то операторы Л и Л" называются
взаимно обратными. Из этого определения следует, в част-
частности, что
Если оператор А~1 удовлетворяет лишь одному из преды-
предыдущих условий, то он называется левым, соответственно
правым, обратным для оператора А.
Легко показать, что оператор, обратный к линейному,
также линеен.
В самом деле, пусть
Имеем в силу аддитивности Л
§ 5] ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 155
Отсюда
т. е.
и аддитивность оператора Л"*1 доказана. Аналогично уста-
устанавливается однородность оператора Л. Однако из непре-
непрерывности оператора А в некоторой топологии, вообще го-
говоря, не следует непрерывность обратного оператора в той
же или другой топологии, т. е. оператор, обратный к ли-
линейному ограниченному, может не быть линейным ограничен-
ограниченным оператором.
Теоремы об обратном операторе. Приведем несколько
теорем, дающпх достаточные условия существования обрат-
обратного линейного ограниченного оператора.
Предварительно сделаем одно замечание. Пусть линейный
ограниченный оператор А отображает Ех на Еу взаимно
однозначно. Тогда существует обратный оператор А'1* ко-
который является линейным. В самом деле, для любого у?Еу
существует лишь один прообраз х?Ех. Ставя в соот-
соответствие каждому элементу у ? Еу его прообраз х ? Ех%
мы получаем оператор Л~\ который по смыслу своего опре-
определения удовлетворяет условиям B), а из этих условий вы-
вытекает линейность оператора Л-
Теорема 1. Пусть линейный оператор Л, отобра-
отображающий линейное нормированное пространство Ех
на линейное нормированное пространство Eyt удовле-
удовлетворяет для любого х?Ех условию
\\Ах\\>т\\х\\, т>0, C)
где т — некоторая константа. Тогда существует об-
обратный линейный ограниченный оператор А~1-
Из условия C) следует, что Л отображает Ех на Еу
взаимно однозначно: если Ахг = у и Лд;2==у» то
А (хг — х2) = 0 и согласно C)
откуда хг = х2. Поэтому, как показано выше, существует
1
"
линейный оператор Л". Этот оператор ограничен, что сразу
156 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. Ш
же следует из C):
1ллу!
для любого у?Ег Теорема доказана.
Рассмотрим два линейных ограниченных оператора Л
и В, отображающих линейное нормированное пространст-
пространство Е в себя. Тогда имеет смысл произведение АВ. Пока-
Покажем, что
||М||||| D)
Имеем для любого х ? Е
\\авх\\<,\\Ч\**\\<Ш\\Щ1*Ь
откуда и следует наше утверждение.
Пусть теперь Ап, Л, Вп, В?(Е->Е) и Ап->А, Вп->В
в смысле равномерной сходимости. Тогда АпВп —> АВ. В са-
самом деле,
ЦАпВп- АВ\\^\\АпВп- АпВ\\+ \\АпВ- АВ\\^
Последовательность {|ЛЛ||} есть сходящаяся числовая после-
последовательность и потому ограничена, а
||ЛЯ-Л||-*О и||?я-Я||->0.
Поэтому
1АпВп-АВ\\-*0,
и требуемое доказано.
Теорема 2. Пусть линейный ограниченный опера-
оператор А отображает Е в Е и ||Л||<;^< 1. Тогда опе-
оператор /-f-Л имеет обратный линейный ограниченный
оператор,
В пространстве операторов, определенных на Е, со зна-
значениями в том же пространстве, рассмотрим ряд
/_ А + а- - Л3 + ... +(—1)л Ап+... ф)
Так как
1И21КИ1Р
и аналогично
и*
§ 5] ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 157
то для частичных сумм Sn ряда E) будем иметь
1 + (—\)"+*ая*24-... + (—1)п+рАя 1 р I!<
при я->оо, р > 0. Поэтому последовательность частичных
сумм ряда E) сходится в себе, а значит, в силу полноты
пространства операторов и к некоторому пределу, т. е. ряд
E) сходится.
Пусть 5 — сумма ряда E). Имеем
5(/-f Л) =
п
= litn(/-fi4 -
п
т. е.
Легко видеть, что 5 — линейный оператор. Кроме того, он
ограничен, так как
п-0 «=0
Таким образом, (/ + ^)~1—линейный ограниченный опера-
оператор, и теорема доказана.
Тереома 3. Пусть оператор А?(Ех->Еу) имеет
обратный А, и оператор ДЛ таков, что
||дл к || л-1!-1.
Тогда оператор В — А + &А имеет обратный В'1*
причем
6 самом деле,
158 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
Так как || Л""!ЛЛ|| < 1, то оператор 1-{-А~1&А имеет об-
обратный
2(
/1 = 0
Тогда, очевидно, (/+ А~1&А)~Х Л" есть оператор, об-
обратный оператору Л(/+^-1Д^)= Л + АЛ. Далее
ЦАЛ||
что и требовалось доказать.
Пример. Рассмотрим интегральный оператор
1
= x(t)-f K{U s)x(s)ds G)
о
с непрерывным ядром K(t, s), отображающий пространство С[0,1]
в себя. Пусть Ko(t, s) — вырожденное ядро, близкое к ядру К (t,s)t
и Ао — интегральный оператор, соответствующий ядру /Со (^ s):
1
Аох « х (t) — J/Co ft s) x (s) ds. (8)
Рассмотрим уравнения
Ax = y G0
" Л0^ = у. (8')
Положим
|( ) — Ko(tt s)\.
t, s
Если ДЛ == A — Ло, то легко видеть, что JЛЛ ||<ю. Как известно*),
решение уравнения (8) с вырожденным ядром сводится к решению
линейной алгебраической системы. Предположим, что система имеет
решение, и запишем его в виде
*) См. например [201-
§5] ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 159
где /? —оператор, определенный матрицей (гф, обратной к матрице
вышеуказанной линейной алгебраической системы. Пусть г — норма
оператора R. Тогда если
<
то в силу доказанной теоремы интегральное уравнение G) с невы-
невырожденным ядром имеет решение, и если х (t) — это решение, то
Если, наоборот, известно, что уравнение G) разрешимо, то теорема
может быть использована для доказательства существования реше-
решения у аппроксимирующего уравнения с вырожденным ядром и для
оценки погрешности приближенного решения.
В заключение докажем следующую теорему:
Теорема 4 (Банаха). Если линейный ограниченный
оператор А отображает все банахово пространство
Ех на все банахово пространство Еу взаимно одно-
значно, то существует линейный ограниченный one-
ратор А* обратный оператору А, отображающий
Еу на Ех.
Необходимо доказать лишь ограниченность оператора А *•
В силу леммы § 2 настоящей главы пространство Z?y
может быть представлено в виде
y U
где Yk — совокупность таких элементов у?Еу, для которых
и по крайней мере одно из множеств Yk всюду плотно в Еу.
Пусть это будет множество К„.
Возьмем любой элемент у?Еу. Пусть ||у||=/; найдем
У\ € Yп такой, что
(Это можно сделать, так как S @, /) П Уп всюду плотно
в S@, /) и у ?S@, /).) Найдем далее элемент у2? Ya
160 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
такой, что
продолжая так далее, построим элементы yk ? Уп такие, что
Таким образом, получим, что
Положим xk = A~lyk, тогда
к
Последовательность {sk}, sk = 2 •**» ПРИ ^ -> оо сходится
к некоторому пределу х ?ЕХ> ибо
V II ^ nl
и Ех — полное пространство. .Следовательно,
k оо
х = Urn 2 ^/ = 2 Л>
Далее
lim 2 -^/ ) — ^m 2 Axi = ^im 2 У/ = У*
ft i = l / Л ir=\ k i = l
Отсюда
Cyi — l if * "
t + l
Так как у — любой элемент из Еу1 то ограниченность опе-
оператора А доказана.
§5] ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 161
Мы указывали, что бывают случаи, когда оператор,
обратный к ограниченному линейному оператору, оказывается
хотя и линейным, но определенным не на всем простран-
пространстве Ег а лишь на некотором линейном многообразии, и
неограниченным на этом многообразии. Точно так же опе-
операторы, обратные к неограниченному линейному оператору,
определенному на некотором линейном многообразии, всюду
плотном в Ех, могут оказаться ограниченными линейными
операторами, определенными на всем Еу. Детальное рассмо-
рассмотрение подобных случаев в произвольном банаховом про-
пространстве выходит за рамки настоящей книги, и мы ограни-
ограничимся тем, что приведем два простых примера, подтверждаю-
подтверждающих сказанное.
Примеры. 1. Пусть ?~С[0, 1] и
t
Ах = Г х (т) dx.
о
Тогда А — ограниченный линейный оператор, но
— неограниченный оператор, определенный на линейном много-
многообразии непрерывно дифференцируемых функций таких, что у @) = 0.
2. Пусть ?=С[0, 1] и
— неограниченный оператор Штурма — Лиувилля, определенный
на линейном многообразии дважды непрерывно дифференцируемых
функций таких, что х @) =» х A) = 0. Обратный оператор
1
A-1y = JG(t,x)y(x)dx,
где G (t, т) — функция Грина, есть ограниченный линейный опера-
оператор, определенный на всем пространстве С[0, 1].
Операторы, зависящие от параметра. Часто в различ-
различных разделах математики встречаются уравнения вида
Ах — Хх = у или (А — 1к1)х = у, (9)
162 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. ПТ
где А—линейный оператор и X— некоторый параметр.
Наряду с уравнением (9) рассмотрим уравнение
Ах — Хх = 0 или (Л — A,/)je = Oi A0)
которое называется однородным уравнением, соответствую-
соответствующим уравнению; (9). Это уравнение всегда; имеет решение
х = 0, котор@е? называется тривиальным' решением.
Допустим» что для некоторого X оператор А—XI имеет
обратный (А — АУ) = R\.
Оператор Ri называется резольвентным оператором
для уравнения (9). Тогда для этого X уравнение (!) имеет
при любом у единственное решение
х = RKy.
Однородное уравнение B) имеет в этом случае только три-
тривиальное решение х = 0.
Такие значения к, при которых уравнение (9) имеет един-
единственное решение при любом у, а оператор Ri ограничен, назы-
называются регулярными значениями для уравнения (9) или для
оператора А. Если уравнение A0) при данном X имеет, кроме
тривиального, некоторое другое решение, то такое значение X
называется собственным значением (или характеристи-
характеристическим числом) для уравнения (9) или оператора Л, а не-
нетривиальное решение называется собственным элементом
уравнения (9) или оператора Л, соответствующим данному
собственному значению X. Если X — собственное значение
оператора А и уравнение (9) имеет решение при некотором у»
то решение не будет единственно, так как если Jt0 — решение
уравнение (9)>
Ах0 — Ххо = у,
и е — собственный элемент оператора Л, соответствующий
собственному значению X,
Ае—Хе — 0,
то
А(хо-{-е) — Х (хп-\- е) = у,
н хо-\~е также решение уравнения (9).
§ 5] ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 163
Совокупность всех значений X, не являющихся регуляр-
регулярными, называется спектром оператора А. В частности, все
собственные значения принадлежат спектру.
Из теорем 2 и 3 следуют предложения:
Если I таково, что -щ-\\A\\ =д < \, то оператор
А — I/ имеет обратный; при этом
Если Я — регулярное значение, то и ^-J-ЛА при
| АК |< || (А -Х/ГЧГ
также есть регулярное значение. Отсюда следует, что сово-
совокупность регулярных значений есть открытое множество
и, значит, спектр — замкнутое.
Пример. Рассмотрим в пространстве С [О, 1J интегральное
уравнение
* (t) - у @ + Л f К (t, s) х (s) ds, A1)
б
где K{t, s) — непрерывная в квадрате 0<tf, s<l функция. Поло-
Положим у = |Л и перепишем уравнение в том виде, в котором мы рас-
рассматривали выше операторное уравнение; получим
1
I
или, обозначая Ах ~ Г К (t, s) x (s) ds,
о
Ax — \ix = —
Далее находим
Заметим, что
1
АР г « J Кр (t, s) г E) ds,
164 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. III
где Кр (t, s) — /7-я итерация ядра К (/, s). Следовательно, имеем
1 1
/?} z « — Хг (/) — Х2?к (U s) z (s) ds — l* С К2 V, s)г (s) da— ...
Го о
Поэтому решением уравнения A1) будет
I v
1
У (О +Я у /С (/, 5) у (s) ds + X2 I К2 (/, s) у (s) //s + ...
Таким образом, мы получили то же решение, что и в теории
интегральных уравнений, именно:
1
х @ = У @ + X f R </, 5, X) у (s) dst
о
где R (t, 5, X) — резольвента ядра К (t, s):
R (/, s,X)=*K ft s) + ЛК2 (/, 5) + Л2/С3 ft s) -f ...
Уравнения для резольвенты R ft 5, X), выводимые в теории
интегральных уравнений, суть условия того, что Rx есть обратный
Г
справа и слева оператор для оператора ХА — /.
§ 6. Пространство Банаха с базисом
Определения. Пусть Е—бесконечномерное пространство
типа В. Последовательность элементов ev e2 еп> ...
из Е называется базисом этого пространства, если любой
элемент х?Е однозначно представим в виде
оо
§61
ПРОСТРАНСТВО БАНАХА С В*ЗИСОМ
165
где ^ — вещественные числа. Однозначность представления,
очевидно, равносильна условию, что
тогда и только тогда, когда ?j = 0 для всех /.
Примеры. 1. Пусть Е = 1р. Тогда совокупность элементов
*, =« {1, 0, 0, 0, ...}, е2 = {0, 1, 0, 0, ...},... образует базис в /р,
так как для любого х?1р имеет место однозначное представление
если х~ {?,, l2t •••» 6л. •••}• в самом деле,
п
и потому
1-1
i. b &i. О, 0,
|{0, 0, ..., О,
I,-
как остаток сходящегося ряда. Следовательно,
Далее если
т. е.
то
1,2,
что и требовалось доказать.
166
линейные операторы
. тгт
2. Пусть ?=С[0, 1]. Рассмотрим в С [О, I] последовательность
элементов
U 1 - *. «00 @. «10 @- «11 @. «SO @, «21 @. 2 @. • • м A)
где «?/ (О, ?= 1, 2, ..., 0</<2Л, определяется следующим обра-
обрау р
зом: w^@a=s0, если tf находится вне интервала (--,, ——•—\
X-X(t)
а,
Рис. 3.
Рис. 4.
а внутри этого интервала и^ (t) имеет график в виде равнобедрен-
равнобедренного треугольника с высотой, равной единице (на рис. 3 дан график
функции и22 (t)).
Всякая функция х(t)?C[Qtl] представима в виде ряда
со I — I
k-0 1=0
B)
где а0 = х (I), ах = х @), а коэффициенты а^ находятся однозначно
геометрическим построением, указанным на рис 4.
График частичной суммы ряда B)
5-1 2^-1
есть, очевидно, ломаная линия с 25 +1 вершинами, лежащими на
кривой х = х (t) в точках с равноотстоящими абсциссами. Совокуп-
Совокупность функций A) образует базис в С[0, 1].
Если пространство Е имеет базис, то оно, очевидно, се-
парабельно. Счетным всюду плотным множеством в простран-
ПРОСТРАНСТВО БАНАХА С БАЗИСОМ
167
стве с базисом будет множество линейных комбинаций вида
п
2 гьеь с рациональными коэффициентами rt. Естественно
предположить, что всякое сепарабельное пространство типа В
имеет базис. Однако, хотя для всех известных конкретных
сепарабельных банаховых пространств базисы построены, су-
существование базиса в произвольном сепарабельном простран-
пространстве типа В не доказано.
Итак, пусть Е = ЕХ — пространство типа В с базисом ev
ev ..., еп, ... Рассмотрим линейное пространство Ег эле-
элементами которого являются всевозможные числовые последо-
последовательности у = [x\v г|2, ..., цп, .. .} такие, что ряд
2 ЛЛ сходится.
Введем в Еу норму, полагая
Ну ||= sup
п
Покажем, что Еу — пространство типа В. В самом деле,
выполнение аксиом нормы проверяется без труда. Пусть те-
теперь дана последовательность
сходящаяся в себе. Тогда для заданного е > 0 имеем
п II
2 (Л)т) — Л(/Л)) ^ J < е для т, k > mQ (e),
II Ут — Ук II = sup
и, следовательно,
для т* k^mo(e) и любого п. Отсюда
C)
и потому
2
л-1
¦2
/ = 1
<2е,
h'm) «'ft
2е
168 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. ИГ
для гп, к^-то(е) и любого п. Следовательно, числовая по-
последовательность {л„т)} _ 2 сходится к некоторому пре-
пределу rf*\ и это имеет место для любого п.
Перейдем в неравенстве C) к пределу при k ->oo; получим
: . \ "«• '* у • и - ^ '
для т^>то(е) и любого п. Положим
Учитывая неравенство D), будем иметь
для т^то(г) и любых я и р>0.
Пусть теперь задано произвольное число 6 > 0. Выберем
сперва е, а тем самым и то(е), так, чтобы 2е<у, затем,
фиксировав т^ /яо(е), возьмем п0 так, чтобы
II (ГП) __ Ш) || ^ ^
для /г ^> /г0 и любого р > 0 (это возможно в силу сходи-
оо
мости ряда 2 Vtim)ei)- Тогда
для п ^> /г0 и любых /? > О, т. е. ряд
сходится, и, следовательно, уо:== Ы®\ v^\ ..., tj^, ... ] ? .
Так как, кроме того, из неравенства D) получаем, что
II п
SUP 2- (Л/ — Л/ ) ?/ ^е Для m *> то»
т. е.
то полнота пространства Еу доказана.
§ 6] ПРОСТРАНСТВО БАНАХА С БАЗИСОМ
Очевидно, каждому
169
соответствует единственный элемент
Обратно, каждому элементу у= {%} ?Еу соответствует един-
единственный элемент ху?Ех> а именно:
Таким образом, можно считать, что определен оператор
х — Ау, взаимно однозначно отображающий Еу на Ех.
Легко видеть, что оператор А линеен. Кроме того, опера-
оператор А ограничен. В самом деле,
<sup
Следовательно, мы имеем линейный оператор А, отображаю-
отображающий Еу на Ех взаимно однозначно. По теореме Банаха су-
существует обратный оператор у = А~1х, который также
является линейным ограниченным оператором.
Пусть
со
2
любой элемент из Ех. Определим функционал fk, полагая
(х) = |л. Очевидно, функционал fk аддитивен. Далее,
= Г 1= 16*111**11 —
{bkl \\ek\\
k Л-1
2ел-2«
С 2 sup
II** II 11**11
11**11
11**11
11**11
170 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. ]Ц
откуда следует ограниченность и, следовательно, линей-
линейность fk> а также, что
Строя для каждого k функционал Д, получим бесконеч-
бесконечную последовательность линейных функционалов fv /2, ...
.... /я, ,,.сР, причем любой элемент х?Е можно запи-
записать в виде
х =
Положим, в частности, # = ?y. Тогда
1, если / = /,
0. если / Ф У,
т. е.
1, если /=У,
0, если 1ф]. E)
Таким образом, мы получили две последовательности:
элементов {et) и функционалов {//}, удовлетворяющих ра-
равенствам E). Такие две последовательности называются би~
ортогональными.
Возьмем теперь любой линейный функционал f?E*. Так
как
оо п
ТО
Обозначим f(ei) = Ci* Тогда получим, что для любого
линейного функционала f?E* имеет место представление
/(*)= 2 *//<(*).
или
оо
§ 6] ПРОСТРАНСТВО БАНАХА С БАЗИСОМ 171
Представление F), очевидно, однозначно. Ряд F) схо-
сходится для каждого х ? ?.
Пусть снова х — любой элемент из Е; тогда
y=l J J j=l J J j=n+l J J
и каждому элементу х ? ? можно поставить в соответствие
два однозначно определенных элемента
Этими равенствами задаются два оператора
определенные на Е, с областью значений в том же про-
пространстве.
Очевидно, Sn и /?л — линейные ограниченные операторы
при каждом фиксированном п. В самом деле, линейность их
очевидна, а ограниченность следует из неравенства
и аналогично
ГЛАВА IV
ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
В этой главе мы рассмотрим подробно простейшие свой-
свойства линейных функционалов, определенных в линейных нор-
нормированных пространствах.
Напомним прежде всего несколько теорем, доказанных
пыше и имеющих место как для операторов, так и для
Функционалов, и которые мы здесь сформулируем приме-
применительно к функционалам.
Теорема (Банаха — Штейнхауса). Если последо-
последовательность линейных функционалов, определенных на
банаховом пространстве Е, ограничена в каждой
точке х?Е, то последовательность норм {||/я||} этих
функционалов также ограничена.
Теорема 1. Если последовательность линейных
функционалов [fn{x)\ сходится в себе в каждой точке
банахова пространства Е, то существует линейный
функционал f(x) такой, что
/„(*)->/(*)
для любого х?Е.
Теорема 2. Для того чтобы последователь-
последовательность \fn) линейных функционалов сходилась в каждой
точке х банахова пространства Е к функционалу /0,
необходимо и достаточно, чтобы
1. последовательность \\\fn\\) была ограничена,
2- fn(x)~>fo(x) &ля любого х из некоторого мно-
множества МсЕ, линейные комбинации элементов кото-
которого лежат всюду плотно в Е.
Теорема 3. Линейный функционал /0, заданный
на линейном многообразии L, всюду плотном в линей-
§ t] ТЕОРЕМА БАНАХА-ХАНА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 173
ном нормированном пространстве Е, и ограниченный
на нем, может быть продолжен на все пространство
без увеличения нормы и притом однозначно.
§ К Теорема Банаха — Хана и ее следствия
Нижеследующая теорема показывает возможность про-
продолжения на все пространство без увеличения нормы линей-
линейного функционала, заданного первоначально на линейном
многообразии L линейного нормированного пространства Е,
не обязательно всюду плотном в Е.
Теорема 4 (Банаха —Хана). Всякий линейный
функционал f (x), определенный на линейном много-
многообразии L линейного нормированного пространства Я,
можно продолжить на все пространство с сохране-
сохранением нормы, т. е. можно построить линейный функ-
функционал F(x), определенный на Е и такой, что
1) F(x) — f(x) для х ? L,
Возьмем элемент л;0? L и рассмотрим множество (L\ xo)=L{
элементов вида х -f- txQ, где х ? L, a t — любое веществен-
вещественное число.
Очевидно, множество Lx есть линейное многообразие.
Докажем, что каждый его элемент однозначно представим
в виде x-\-tx$. Допустим, что имеются два представления
элемента и ? Lx\
U —• Хх —\— IxXq И U ——'¦ Х2 —у- 12Xq,
причем Ьхфг2 (в противном случае из хх-\- txx0 = x2-\- txx0
получаем, что хх = xv и представление единственно). Имеем
Хх — Х2 = (t2 — tx) Xq И Х{) = •
Но это невозможно, так как xQ?L, а хх и x2?L. Итак.
tx —12% а значит, хх = х2, и однозначность представления
доказана.
Возьмем теперь два элемента х' и x"?L. Имеем
/ (*') - / (*") = /(*'- X") < ||/1| || X' - X"
174 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
Отсюда
Так как хг и х" — произвольные элементы из L, независи-
независимые друг от друга, то
+ oll}<|/
x?L
Существует, следовательно, вещественное число с, удовле-
удовлетворяющее неравенствам
p
<\jAL[f{x) + \\f\\\\x + Xb\\). CD
Возьмем теперь любой элемент u?Lv По доказанному выше
он имеет вид
и = х-\- txQ,
где элемент х ? L и вещественное число / однозначно опре-
определены. Введем новый функционал ф(я), определив его для
элемента а = х -f- tx0 равенством
ф (и) = /(*) — fc,
где с — некоторое фиксированное вещественное число, удо-
удовлетворяющее неравенствам A).
Очевидно, / и ф на L совпадают. Очевидно также,
что ф(#) аддитивен. Покажем, что ф(#) ограничен и имеет
ту же норму, что и f(x).
Рассмотрим два случая.
1) t > 0. Из — ? L и из A) получаем
Итак,
- B)
§ t] ТЕОРЕМА БАНАХА - ХАНА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 175
2) / < 0. Из A) получаем
=4
Отсюда
т. е. снова получили B).
Таким образом, неравенство B) справедливо для всех
; л:0) —Z,j. Заменив в B) и на —и> получим
Отсюда и из B)
откуда
ЫК11/И-
Но так как функционал ф есть продолжение функционала /
с L на Lv то
Следовательно,
(отметим, что норму функционала ф мы определяем, исходя
из того линейного многообразия, на котором он определен).
Таким образом, функционал / (х) продолжен на Lx = (/,; х0)
с сохранением нормы.
Если пространство Е сепарабельно, то доказательство
теоремы Банаха — Хана можно завершить следующим образом.
Пусть N—счетное всюду плотное множество в Е. Возьмем
элементы этого множества, которые не попали в ?, и зану-
занумеруем их:
Xqi Хц Xfy • • • » Xft* • • •
Распространяя функционал f(x) на многообразия
(L; xo) = Lv (Lx; xx) = Lv ..,
и т. д., мы в конце концов построим некоторый линейный функ-
функционал ф^, определенный на всюду плотном в Е линейном
176 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
многообразии ?ю, равном объединению всех Ln, причем
||ф ||==||/||. Продолжая затем функционал ф0 по непре-
непрерывности на все Е (теорема 3), мы приходим к требуемому
функционалу F. В общем случае доказательство теоремы
Банаха — Хана завершается так.
Рассмотрим всевозможные продолжения с сохранением
нормы функционала /. Как показано выше, такие продолже-
продолжения существуют. В множестве Ф этих продолжений введем
частичное упорядочение, полагая, что
если линейное многообразие Z/, на котором определен /',
является частью линейного многообразия //', на котором
определен /", и /' (х) = /" (х) при x?L'. Ясно, что соот-
соотношение /'</" обладает всеми свойствами упорядочения.
Пусть теперь {/1 — произвольное упорядоченное под-
подмножество множества Ф. Это подмножество имеет верхнюю
грань, которой является функционал Д, определенный на
линейном многообразии Z,# = |JZ,a, где ^<*— область опре-
a
деления /а, причем
/.(*> =/а. <*>•
если x?L^ есть элемент Lao. Очевидно, Д— линейный функ-
функционал и ||/J| = ||/||, т. е. Д?Ф. Таким образом, мы видим,
что все условия леммы Цорна выполнены, и Ф имеет макси-
максимальный элемент F. Этот функционал определен на всем Е,
так как в противном случае его можно было бы продол-
продолжить и F не был бы максимальным элементом Ф.
Теорема полностью доказана.
Замечание. Так как число с, удовлетворяющее A),
можно выбирать по-разному и максимальный элемент в мно-
множестве Ф может быть не один, то продолжение линейного
функционала по теореме Банаха —Хана вообще не однозначно.
Г. А. Сухомлинов *) обобщил теорему о распространении
функционалов на случай пространств с комплексными и ква-
тернионными множителями.
Следствие 1. Пусть Е—линейное нормированное
пространство и х0ф0 — любой фиксированный элемент из Е.
*) Матем. сб. 3 D5), 1938.
§ t] ТЕОРЕМА БАНАХА-ХАНА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 177
Тогда существует линейный функционал /(#), определенный
на всем Е и такой, что
1) 11/11=1.
2) /(*o) = IKi|.
Рассмотрим множество элементов {tx0} = L, где ? про-
пробегает всевозможные вещественные числа. Множество L
является подпространством пространства Е, определяемым
элементом х0. На L определим функционал ф(лг) следующим
образом: если х = txQ, то
Ф(*о) = '11*о11- C)
Очевидно,
) ф(о) ||о1|
2) |ф(х)| = |*|||л!о11 = И|. откуда ||<р||= 1.
Продолжая функционал ф(х) на все пространство без
увеличения нормы, получим функционал /(*), имеющий тре-
требуемые свойства.
Следствие 2. Пусть в линейном нормированном про-
пространстве Е заданы линейное многообразие L и элемент xQ ? L,
находящийся на расстоянии d > 0 от L (й=\хЛ\\х0—*||\
Тогда существует функционал / (х), определенный всюду
на Е и такой, что
1) /(jc) = O для х ?L
2)
Рассмотрим множество {L\ x0). Любой его элемент одно-
однозначно представим в виде а = х -f- tx0, где х ^ L и t —
вещественное число. Построим функционал ф(я) по следую-
следующему закону:
если а — х -j- tx0, то ф (и) = /.
Очевидно, ф(лг) = О, если х ? L, и ф(^0)=1.
Найдем ||ф||. Имеем
±\\^ ||цЦ
178 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
откуда
4
4"- D)
Далее, существует последовательность [xn}czL такая, что
\im\\xn — x0\\=d.
Имеем
И так как
то
Переходя к пределу, находим
ИЛИ
Иф11>7
Сравнивая D) и E), получаем
Продолжив у(х) на все пространство с сохранением нормы,
получим функционал /(х), имеющий требуемые свойства.
Первое следствие доказывает существование в любом
линейном нормированном пространстве функционала, не рав-
равного тождественно нулю. С другой стороны, из этого след-
следствия вытекает, что если для некоторого элемента х линей-
линейного нормированного пространства Е выполняется равен-
равенство /(#) = 0 для любого линейного функционала из
сопряженного пространства ?*, то дг = О.
Этому следствию можно дать также геометрическое
истолкование, заключающееся в следующем:
Через всякую точку л:0, расположенную на поверх»
ности шара \\х\\^г% т. е. такую, что ||xo||=r, можно
провести опорную плоскость к этому шару.
Эта теорема есть обобщение предложения, доказанного
для /t-мерного пространства Г. Минковским.
§ I] ТЕОРЕМА БАНАХА-ХАНА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 179
В самом деле, уравнение опорной плоскости к такому
шару должно иметь вид /(л:)=г||/||. Но для точки л:0 можно
построить функционал /0 с нормой 1, для которого
/о(*о)==И*о11='-- F>
Плоскость
является опорной и проходит в силу F) через точку л:0.
Второе следствие интересно для выяснения вопроса
о возможности аппроксимирования заданного элемента д:0
линейными комбинациями других заданных элементов
{xv х2, ..., хп, ...)с?. Именно, из второго следствия
вытекает, что для того, чтобы л:0 был пределом некоторой
п
последовательности линейных комбинаций вида 2 cixl>
i = l
необходимо и достаточно, чтобы /(лго) = О для всех линей-
линейных функционалов /, обращающихся в нуль на элемен-
элементах xv лг2,
Действительно, пусть из f(Xi) = 0, /=1, 2, ..., сле-
следует /(л;0) = 0. Тогда х0 не может находиться на расстоя-
расстоянии d > 0 от линейного многообразия L, порождаемого эле-
элементами {xi}> ибо в противном случае по второму следствию
существовал бы функционал /0 такой, что /о(#*) = О,
/=1, 2 а /0(х0)=1. Но, если d = 0, то это озна-
означает, что или х0 есть предельная точка линейдаге много-
многообразия L, или xo?L, и, следовательно, xQ может быть
п
аппроксимирован элементами вида 2 cixr
/=i
Обратно, пусть л:0 есть предел последовательности эле-
элементов из Аи пусть / (лг^) == 0 для некоторого функционала /.
Тогда, полагая
найдем, что
/=1
и, следовательно,
180
ЛИНРЙНЫР ФУНКЦИОНАЛЫ
[ГЛ. TV
§ 2. Общий вид линейных функционалов
в некоторых функциональных пространствах
Для многих конкретных функциональных пространств
можно указать общий вид линейных функционалов, опреде-
определенных на этих пространствах. Знание общего вида линей-
линейных функционалов может оказаться полезным при различных
исследованиях функциональных пространств.
Линейные функционалы в n-мерном пространстве Еп,
Пусть /—линейный функционал определенный на Еп. Для
где [ev е2* ...» еп]— базис в Еп, имеем
/-I
/-1
Обратно, выражение вида
i
(О
где fi — произвольные числа, есть, очевидно, линейный
функционал на Еп. Таким образом, выражение A) дает
общий вид линейного функционала, определенного на /г-мер-
ном пространстве. Так как /i можно рассматривать как
компоненты /i-мерного вектора /, то пространство Еп*
сопряженное с Еп> есть также /г-мерное пространство с мет-
метрикой, вообще говоря, отличной от метрики Еп,
Пусть, например, ||х||== тах|^|; тогда
l-ll
откуда
S/ll/iKlSl/i
n/n<ii/ii.
B)
/=.1
С другой стороны, если взять элемент
§ 21 ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 181
то ||х01| = 1 и
и потому
l!/il>il/«l- C)
п
Из B) и C) следует, что ||/|| = 2 |/,-|.
ы\
Если в Еп ввести евклидову метрику, то легко убе-
убедиться, что в Е*п метрика также будет евклидовой.
Согласно терминологии, принятой в тензорной алгебре,
элементы пространства Еп называются контраьараантныма,
а элементы пространства Е*п — ковариантными. Линейный
функционал f (х) представляется в виде скалярного произ-
произведения
/(*) = (*. /).
где х?Ея, f€E*n.
Общий вид линейных функционалов в s. Пусть
f (х) — линейный функционал, заданный на 5 (см. стр. 24).
Положим еп = {?</*>}, где {?»> = 1 и |<л> = 0 для / ф /г, и
пусть f(en) — an. Так как сходимость в пространстве 5 есть
сходимость по координатам, то для элемента х = [^ |2»*--
.... 1п, ...} имеет место равенство
п /г = 1 k-\
Отсюда в силу непрерывности функционала f (х) получаем
оо оо
2
Так как этот ряд должен сходиться для любой числовой
последовательности {^}, то ak, начиная с некоторого но-
номера, должны быть равны нулю и, следовательно,
182 ЛИНЁЙЙЬШ ФУНКЦИОНАЛЫ (ГЛ. TV
Так как, обратно, такое выражение для любых вещест-
вещественных чисел ak и любого натурального п есть линейный
функционал в пространстве $, то мы получаем: общий вид
линейных функционалов, определенных на пространстве s,
дается равенством
Числа п и ak, k— I п> однозначно определяются функ-
функционалом /.
Общий вид линейных функционалов в С [0, 1]. Теорема
Рисса. Пусть на С [О, 1] задан линейный функционал / (х).
Так как каждая непрерывная функция, заданная на [0, 11
ограничена и так как для непрерывной функции
sup x(t)= max x(t),
l 0<*<l
то пространство С [0, 1] можно рассматривать-как подпро-
подпространство пространства М [0, 1], где
6)= sup |*@|.
01
Заданный в пространстве С [0, 1] функционал /,(*) продол-
продолжим с сохранением нормы на все пространство Ж [0, 1];
продолженный функционал обозначим через F(x).
Рассмотрим функции
1 для 0 < I < tt
О для t < \ <; 1.
Очевидно,
Пусть
Докажем, что g(t) — функция с ограниченным изменением.
Разобьем [0, 1] на части точками
Построим сумму
t\
§ 2] ОБЩИЙ" ВИД ЯИНЕТТНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
И ПОЛОЖИМ
Тогда
п
/si
Отсюда
п
так как
183
?«<(«/,-«/,_,)!< ил.
= 11/11 и
Итак,
Sk ft) -^,-OK ll/ll
/i
и, следовательно, g{t) — функция с ограниченным измене-
изменением.
Возьмем любую непрерывную функцию x(f)% заданную
на [0. 1], и построим функцию
п
= Ц * (т) [«±
zn{t) есть ступенчатая функция. Имеем
Поэтому
С другой стороны, при д->оо последовательность {?„(/)}
равномерно сходится к x(t), т. е. \\zn — jc|| ->0, а так как
функционал F(x) непрерывен, то
F(zn)->F(x).
184 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
Поэтому
F{x)=fx(t)dg{t).
о
Но
F(x) = f(x)
для непрерывной функции x(t). Поэтому
1
D)
о
При этом функция g(t) может быть заменена на функцию
g(t), совпадающую с ней в точках непрерывности и полу-
полунепрерывную слева: g (t — 0) = g (/)»
Итак, приходим к теореме Ф. Рисса.
Теорема (Ф. Рисса). Всякий линейный функцио-
функционал, заданный в пространстве С [0, 1], выражается
с помощью интеграла Стильтьеса по формуле D), где
g{t) — функция с ограниченным изменением, определяе-
определяемая по функционалу /(х).
Легко видеть, что и, обратно, функционал
1
X(t)dh(t)t
f
где h{t) — любая функция с ограниченным изменением,
является линейным функционалом в пространстве
С[0, 1].
В самом деле, аддитивность q>(x) очевидна, а непрерыв-
непрерывность следует из того, что при равномерной сходимости
последовательности функций можно переходить к пределу
под знаком интеграла Стильтьеса.
Таким образом, убеждаемся, что формула D) дает общий
вид линейных функционалов в пространстве С [0, 1] в том
смысле, что этой формулой при всевозможных функциях
с ограниченным изменением g{t) выражаются все линейные
функционалы в С[0, 1].
Найдем норму функционала /(*)• Имеем
i
§ 21 ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 185
откуда полное изменение
E)
С другой стороны, из D)
I/Ml-
Отсюда
f x(t)dg(t)
<max
II/II <V{*). F)
Из E) и F) следует, что
II/II =VUf}. G)
О
Легко показать, что соответствие между линейными функ-
функционалами в С [0, 1] и функциями с ограниченным измене-
изменением на [0, 1], устанавливаемое формулой D), взаимно одно-
однозначно, если считать тождественными две функции с ограни-
ограниченным изменением, * отличающиеся во всех своих точках
непрерывности на постоянное слагаемое.
При замене в формуле D) функции g(t) на g(t) нера-
неравенство F) остается в силе, а неравенство E) только уси-
усилится. Итак, равенство G) сохраняется.
А. А. Марков *) обобщил теорему Рисса, найдя общий
вид линейных функционалов в пространстве С (К) непрерыв-
непрерывных функций на некотором компакте К.
Общий вид линейных функционалов в 1р. Пусть
f(x) — линейный функционал, определенный на 1р. Так как эле-
элементы ek=№[k)\, где #?)== 1 и Ц.^ — О при 1фкУ образуют
базис в 1р, то любой элемент х ? 1р можно записать в виде
В силу линейности функционала f(x) будем иметь
оо
/W=2U*/(**)-
¦) Матем. сб. 4 D6), 1938.
186 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ (ГЛ. IV
Положим f(ek) = ck. Тогда числа ск однозначно опреде-
определяются функционалом /, и получаем
/7 = 1
Выясним свойства чисел ck. Положим jc/j = f^/J)J, где
ck, если i
О, если k > #.
Число q здесь взято так, чтобы выполнялось равенство
Тогда
f(xn)=t\ck\q.
G другой стороны,
11/1111^11 = 11/11 __.
1
-11/11'"
Таким образом,
откуда
Это неравенство справедливо для любого п. Поэтому
1
Итак,
§2]
ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
187
Обратно, возьмем произвольную последовательность
}GV Тогда
является линейным функционалом в пространстве tp. В са-
самом деле, аддитивность этого функционала очевидна, а огра-
ограниченность доказывается с помощью неравенства Гельдера.
Таким образом, формула (8) дает общий вид линей-
линейных функционалов в пространстве 1р.
Вычислим норму функционала /. Из формулы (8) с по-
помощью неравенства Гельдера получаем
Следовательно
Сравнивая
¦С
(9)
ОО
И
11/11
(Ю).
4WI.
( V
^U=i k
заключаем,
что
A0)
11/11 =
Следствие. Возьмем пространство /2. Общий вид ли-
линейного функционала, определенного на /2, будет
где
ll/il =
188 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
В функциональном анализе, кроме пространства 1р, рас-
рассматривают еще пространство /, элементами которого
являются всевозможные последовательности чисел
Х = [lv h* • • • • In* • • • 1
такие, что
причем
Можно доказать, что всякий линейный функционал в про-
пространстве / имеет вид
где \ck] — ограниченная последовательность вещественных
чисел. Норма функционала / дается равенством
11/11= eupM.
Общий вид линейных функционалов в пространстве
Lp [О, 1]. Рассмотрим произвольный линейный функцио-
функционал/(jc), заданный на Lp[Q, 1] (р > 1). Положим
для 0 < I < Л
для
и пусть g{f) = f[ut(Q\.
Докажем, что g(t) — абсолютно непрерывная функция.
Пусть 6i = (t/, /Д /=1, 2, .... п — произвольная система
неперекрывающихся интервалов, расположенных на отрезке
[О, 1]. Введем числа г1% определенные как выше (см. стр. 183).
21 ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
Имеем
189
= 11/11
<
/ = l 6,
Из полученного неравенства следует абсолютная непре-
непрерывность функции g{t). Как абсолютно непрерывная функ-
функция, g(t) является интегралом Лебега от своей производной.
Положим g' (t) = a(t). Тогда
Но
так как
есть нулевой элемент пространства L [0, 1]. Следовательно»
Пользуясь функцией ut(x), получим
о о
и так как / — линейный функционал, то, полагая
лсо = 2М«* со —и*-
? = 1
?-i СО],
190 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
получим
Пусть х (t) — произвольная ограниченная измеримая функ-
функция. Тогда найдется такая последовательность ступенчатых
функций [zm(t))% что
почти всюду при т~>оо. При этом можно считать, что
последовательность \zm{t)) равномерно ограничена.
По теореме Лебега об интегрировании ограниченной по-
последовательности получаем
1
lim / Bm) = lim Г zm (t) a (t) dt =
m m J
1 1
= Г lim zm (t) a (Q <tt = f * @ a @ dt.
о '" о
Так как, с другой стороны,
почти всюду и zn{t) равномерно ограничены, то
II**-*II =(/ \zm(t)-x{t)\"dt\" ->0
при /ге->оо. Поэтому / (zm)~>f (x) и, следовательно,
/(*)= f*(/)a(Qd/.
о
Рассмотрим теперь функцию хп (t), определенную посред-
посредством равенства
-{ |a(Or"Xsigna(O, если |а(/)|<я.
~i 0 . если |о(/)|>я.
§ 2] ОБЩИ1* ВИД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 191
где q— число, сопряженное с р, т. е.
Функция xn(t) ограничена и измерима. Следовательно,
1
f(xn) = fxn(t)a(t)dt
о
и
( \ \7
\{<х )| >^ 11/11 \\х 11 =
С другой стороны,
f \xn(t)\\xn(t)\<i-*dt = f \xn
о о
1
о
Следовательно,
1
о
Отсюда
(/
Но, очевидно,
при п->¦ оо почти всюду на; [О, 1], так как а(() — суммируе-
суммируемая функция и, следовательно, обращается в бесконечность
192 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
лишь на множестве точек меры нуль. Переходя к пределу
при я->оо, получаем
(/а(ОГ-1)р^У < 11/11,
ИЛИ
(И)
Отсюда следует, что
V0' ^
Пусть теперь х(t) — любая функция из Lp[0, 1]. Тогда су-
1
ществует I x(t)a(t)dt. Далее, найдется последовательность
о
ограниченных функций {xm(t)\ такая, что
f \x(t) —
при m—>oo. В силу неравенства Гельдера
1 1
/ xm(t)a(t)dt-+f x(t)a(t)dt
о о
при т->оо. Так как xm(t)—ограниченные измеримые функ-
функции, то
1
fxm(t)a(t)dt =
о
Следовательно,
f(xm)~>fx{t)a{t)dt
§2J ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 193
при tfi->oo. С другой стороны,
Но тогда получаем, что
1
f{f)a(f)dt. A2)
Итак, всякий функционал, определенный на Lp[0, 1],
можнс представить с помощью равенства вида A2). Обратно,
если fi(t)— произвольная функция, принадлежащая Lq [О, 1],
то
1
Ф (*) = /* (О (КО <«
есть линейный функционал, определенный на./,р[0, 1]. В сз-
мом деле, аддитивность функционала очевидна, а ограничен-
ограниченность легко следует из неравенства Гельдера.
Таким образом, формула A2) при произвольной фикси-
фиксированной функции a(t)?Lq[0, 1] дает общий вид линейного
функционала, определенного на Lp[0, 1].
Нетрудно найти норму этого линейного функционала. Из
A2) имеем
Следовательно,
/I XT
i(.t)\9dt\ . A3)
104 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
Сопоставляя A3) и A1), заключаем, что
11/11
Часто рассматривают пространство L[0, 1] функций,
суммируемых по Лебегу, в котором
Общий вид линейных функционалов, определенных на L [0, 1],
дается формулой
1
f(x)=Jx(f)a(f)dt.
о
где a(t)—почти всюду ограниченная функция и
||/|[=vraimax|a(O|.
[0,1]
Общий вид линейных функционалов в гильбертовом
пространстве, В гильбертовом пространстве Н рассмотрим
линейный функционал f(x). Так как Я—комплексное линей-
линейное пространство, естественно предполагать, что f(x) может
принимать комплексные значения. При этом комплексный
функционал называется линейным, если он аддитивен, одно-
однороден и непрерывен (отметим, что для комплексных функ-
функционалов эти три условия независимы).
Пусть f (х) — произвольный линейный функционал, опре-
определенный в гильбертовом пространстве Н. Обозначим через L
множество нулей этого функционала, т. е. совокупность эле-
элементов х?Н таких, что /(л;) = 0. Легко видеть, что L —
подпространство. В самом деле, то, что L — линейное много-
многообразие, следует из аддитивности и однородности функцио-
функционала / (х), а из непрерывности f(x) следует замкнутость L.
Возьмем произвольный элемент пространства W, не при-
принадлежащий L, и обозначим через х0 проекцию этого эле-
элемента на подпространство # —I. Пусть /(хо) = а, причем,
§ 2} ОБЩИЙ ВИД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 195
очевидно, а =? 0. Положим
Тогда
Если теперь х— любой элемент пространства Н и /(дг)
то мы имеем
или
откуда д; — $xx = z, где г??, или
Это равенство показывает, что пространство Н есть орто-
ортогональная сумма подпространства L и одномерного подпро-
подпространства, порожденного элементом xv
Так как хх J__ z, то мы имеем
или, так как рс=/(л:),
Обозначив элемент .. *'¦ через й, мы получаем равенство
II х\ II
= (*. в).
т. е. выражение произвольного линейного функционала f(x)
в виде скалярного произведения элемента х на фиксирован-
фиксированный элемент и. Элемент и определяется по функционалу /
однозначно, ибо если также
/(*) = (*. v).
то
(xt u — v) = 0
для .любого х?Н, откуда следует, что a = v. Далее из
равенства A4) получаем
|/(*)| = !(*> «)|<1И1М1.
196 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
откуда следует, что
И/1К1И-
Так как, с другой стороны,
= («. в) = || и ||».
то отсюда следует, что ||/|| не может быть меньше, чем ||#||.
Итак, ||/|| = || # ||, и мы получили следующую теорему:
всякий линейный функционал f(x), определенный в гиль-
гильбертовом пространстве, имеет вид
/(*) = (*. и).
где элемент и однозначно определяется функциона-
функционалом /. При этом
11/11= II«II- 05)
Легко видеть, что и, обратно, при любом и?Н соот-
соотношение A4) определяет линейный функционал f(x)
с нормой A5).
Таким образом, формула A4) дает общий вид линей-
линейного функционала в гильбертовом пространстве.
§ 3. Сопряженные пространства и сопряженные
операторы
Как уже было указано, совокупность всех линейных
функционалов /(х), определенных на линейном нормирован-
нормированном пространстве Е, образует банахово пространство ?*,
называемое пространством, сопряженным с простран-
пространством Е. Пользуясь общим видом линейных функционалов,
в некоторых случаях можно указать реализацию простран-
пространства Е* с точностью до изоморфизма.
1. Пусть Е — С [О, \]. Рассмотрим множество функций g(t)
с ограниченным изменением, определенных на [0, 1] и обра-
обращающихся в нуль в точке / —0. Будем считать, что в точ-
точках разрыва т g(x) = g(x — 0). Очевидно, это множество
есть линейное пространство при обычном определении опе-
операции сложения двух функций и умножения функции на веще-
вещественное число. Введем норму для функций с ограниченным
§ 3] СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 197
1
изменением, полагая ||g"||= V [g]. Нетрудно видеть, что все
о
аксиомы нормы выполняются.
Полученное линейное нормированное пространство назы-
называется пространством V функций с ограниченным изме-
изменением.
Рассмотрим, с другой стороны, пространство ?* = С*[0, 1]
всех линейных функционалов, определенных на С [0, 1]. Как
доказано выше, каждый линейный функционал /6 С* [0» 1]
определяет однозначно некоторую функцию g {f)t g @) = 0,
с ограниченным изменением и, обратно, каждой функции g(t),
g@) = 0, с ограниченным изменением сооответствует функцио-
функционал /?С*[0, 1]. Поэтому между множеством всех линейных
функционалов из С*[0, 1] и множеством всех элементов про-
пространства функций с ограниченным изменением существует
взаимьо однозначное соответствие. Так как очевидно, что
сумме функционалов /i+/2 отвечает сумма g\-\-g2 соот-
соответствующих функций и функционалу Xf соответствует функ-
функция kg(t), то соответствие между С*[0, 1] и пространством
функций с ограниченным изменением есть изоморфизм. Так
1
как, далее, ||/||=V {g-} = ||g-||, то это соответствие будет
о
также изометрическим.
С точки зрения многих вопросов функционального ана-
анализа эти два пространства неразличимы; поэтому часто гово-
говорят, что пространство, сопряженное с пространством непре-
непрерывных функций, есть пространство функций с ограничен-
ограниченным изменением.
2. Пусть Я —Z.p[0, 1]. Рассмотрим, кроме того, про-
пространство Lq[0, 1], где <7 = —ziT* ^ак как кажд0МУ ФУНК-
шюналу /??р[0, 1] однозначно соответствует функция
а @ 6^10, 1] и обратно, то между пространствами Lp[0, 1]
и LQ[0, 1] устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Как и раньше, убеждаемся в том, что это соответствие изо-
изоморфно и изометрично, т. е. L*P[Q, l]=I<7[0, 1}, понимая
это равенство с точностью до изометрии и иэоморфизма,
В частности, при р = 2 имеем L2[0, 1] = Z*2 [0, 1]. Поэтому
198 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ (ГЛ. IV
пространство L2[0, 1] называется самосопряженным про-
пространством.
3. Легко видеть, что 1р = 1д и, в частности, ll — fa
В § 4 гл. III, стр. 147 мы видели, что пространство,
сопряженное с линейным нормированным, не обязательно пол-
полным пространством, есть банахово, т. е. полное линейное
нормированное пространство. Так как LP[Q* 1] есть про-
пространство, сопряженное с Lg[0, 1], 1— = 1, и 1р—со-
1р—сопряженное с lq, то как следствие из 2 и 3 мы получаем
новое доказательство полноты пространств Lp[0, 1] и 1р.
4. Линейный функционал в гильбертовом пространстве
порождается элементом того же пространства. Гильбертово
пространство является самосопряженным.
По той же причине и я-мерное евклидово пространство
является самосопряженным.
Рефлексивные пространства. Пусть Я — линейное нор-
нормированное пространство и Е* — сопряженное пространство.
Так как Е* также линейное нормированное пространство, то
можно построить ?** = (?*)* и т. д.
Рассмотрим подробнее Е**. Это — пространство линейных
функционалов F, определенных на пространстве ?*, элемен-
элементами которого являются линейные функционалы, определен-
определенные на Е. Рассмотрим линейный функционал f (х), опреде-
определенный на Е. Здесь функционал / фиксирован, ал; — пере-
переменный элемент из Е.
Подойдем к выражению f(x) с другой точки зрения.
Будем считать, что х?Е— фиксированный элемент, а / —
переменный элемент из Е*. Например, пусть
1
Фиксируя g(t) и меняя x(t)f получаем первый случай; фи-
фиксируя x(t) и меняя g(t), получаем второй.
При фиксированном х и переменном / каждому элементу
/??* ставится в соответствие некоторое вещественное число,
следовательно, выражение f(x) при фиксированном х и
переменном / можно рассматривать как функционал Fx, опре-
определенный на пространстве Е*. Поэтому можно написать
S 3) СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 199
Нетрудно видеть, что Fx—линейный функционал и, следо-
следовательно, FX?E*. В самом деле,
Рж (Л + Л) = (Л+/2) (*) = fx (* н-/я (х) = />, (ДН-f, (Л)
Отсюда следует, в частности, что
™<1И1. О)
Так как, далее, по первому следствию из теоремы Банаха —
Хана для каждого х существует линейный функционал /0
с нормой, равной единице, такой, что /0(л;) = ||^||, и для
такого функционала
или, что все равно,
l
то мы имеем
ПЛг11>1М|. B)
Сравнивая A) и B), заключаем, что
11^11 = 11*11. C)
Легко также видеть, что
Таким образом, всякому х?Е естественным образом ста-
ставится в соответствие вполне определенный функционал
FX?E**> причем это соответствие между пространством Е и
множеством {Fx}dE** изоморфно и изометрично (взаимная
однозначность соответствия между Е и {Fx} следует из C)),
т. е. ЕаЕ**. В случае, когда при таком соответствии Е = Е**9
пространство Е называется рефлексивным.
Примеры. 1. л-мерное евклидово пространство рефлексивно.
В самом деле, если Е есть /г-мерное евклидово пространство,
то Е* также /г-мерное евклидово пространство, следовательно, и ?**
есть л-мерное евклидово пространство. Но если одно л-мерное
200 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
пространство является частью другого, то они совпадают. Поэтому
из ЕЬЕ** следует Е = ?**.
2. Пространство Lp[Q, 1] (р > 1) рефлексивно. В самом деле,
С 1°- Ч = (Ll t°- »])* = (i, [0. 1])* = Lp [ft 1].
3. Пространство lp (р > 1) рефлексивно; это получается анало-
аналогично предыдущему.
4. Пространство С[0, 1] нерефлексивно. Доказательство пове-
поведем от противного. Предположим, что С[0, 1] рефлексивно. Тогда
любой линейный функционал F (/), определенный на пространстве V
функций с ограниченным изменением, должен иметь вид Fx (/)=/ (х)
при подходяще выбранном элементе лг?С[О, 1]. Принимая во вни-
внимание общий вид линейных функционалов / (л:), определенных
на С[0, 1], получаем, что любой линейный функционал F (/) име-
имеет вид
1
F* (/) = Л(х) = /*(*) df if) D)
(через f(t) мы обозначили функцию с ограниченным изменением,
соответствующую функционалу f (х) из С*[0, 1J). Рассмотрим
функционал
который каждой функции / (t) с ограниченным изменением ставит
в соответствие скачок этой функции в точке tQ. Аддитивность этого
функционала очевидна. Далее,
/(<o-0)l<V{/} = 11/11-
0
Следовательно, FXq (/) ограничен и имеет норму, не превосходя-
превосходящую единицы. Кроме того, очевидно, что FXq (/) ф 0. В самом деле,
достаточно рассмотреть FXa (/j), где
1, для ^0</<1.
В силу D) должна существовать неперерывая функция х0 (t) такая,
что
i
o(t)df(t). E)
о
Рассмотрим теперь функцию
/о @ = J х, (т) dx.
§ 3] СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 201
Имеем FXo(fo) = O, ибо /0 (t) непрерывна на [0, 1]. Но, с другой
стороны, из FXq (/) ф. 0 следует х0 (t)^0 и
1 1
рх* (/о) = / *о (О df0 (О = / 4 W Л > °-
о о
Итак, мы получили противоречие. Это противоречие возникло
в силу предположения, что всякий линейный функционал
F?C**[0, 1] имеет вид FK, т. е. что пространство С[0, I] рефлек-
рефлексивно. Следовательно, пространство С[0, 1] нерефлексивно.
А. И. Плеснер доказал, что при естественном соответствии либо
Е = ?**, либо все пространства последовательности Et E*, ?**,
?***, ... различны. Подробнее об этом см. [10].
Сопряженные операторы. Рассмотрим линейный ограни-
ограниченный оператор у = Ах, отображающий линейное норми-
нормированное пространство Ех в линейное нормированное про-
пространство Еу.
Пусть ф(у)—линейный функционал, определенный на Еу.
Тогда ф(у) определен для у —Ах, где х — любой элемент
из Ех и мы имеем для у = Ах
где f(x) — функционал, определенный на Ех. Очевидно» что
f (х) линеен. Тем самым мы получили, что каждому функ-
функционалу ф?/?у ставится в соответствие функционал /??<¦•
Таким образом, построен некоторый оператор, определен-
определенный на Е*у, с областью значений, расположенной в Ех. Этот
оператор обозначается через Л* и называется оператором,
сопряженным с оператором А, Равенство ф(у) = /(лс)
записывается в виде
/ = Л*Ф.
Примеры. 1. Рассмотрим /г-мерное пространство Е и опера-
оператор А из (Е->Е). Тогда оператор А определяется матрицей л-го
порядка (я/у) и равенство
у = Ах,
где а:= {|ь g2 ln}> У— {Ль Лг Лл}» записывается в виде
п
т^ = 2 aij\j- Рассмотрим линейный функционал /??*. Имеем
202 ЛИНЕЙНЫЕ- ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV.
Поэтому
/ (Ах) - 2 /Л - 2 // 2
22 a
22 ai/fij= 2 B ai/i)h= 2 *А
где
Вектор gss(gu ^2»«««» ^л) есть элемент пространства ?* и полу-
получен из вектора /«(Д, /2, ..., /л) того же пространства линейным
преобразованием g = A*/t где л* порождается матрицей, транспо-
транспонированной к матрице А. Следовательно, переход к сопряженному
оператору в л-мерном пространстве означает переход к транспо-
транспонированной матрице.
2. Рассмотрим в L2[0, 1] оператор
где К (t, s) — непрерывное ядро.
Произвольный линейный функционал / (у) в L2 [0, 1] имеет вид
1
о
Поэтому
\
о [о
\
о (о
1
о
где
1
fx(s)g(s)dsf
о
1
g(t) = f K(s,t)f(s)ds.
§ 3] СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 203
Таким образом, переход к сопряженному оператору в данном
случае означает перестановку переменных в ядре (ядро К (s, t)
называется транспонированным по отношению к ядру К (t, s)).
Теорема 1. Оператор Л*, сопряженный с линей-
линейным ограниченным оператором Л, отображающим
линейное нормированное пространство Ех в линейное
нормированное пространство Еу, есть также линей-
линейный ограниченный оператор, и
1ИЧЫИЦ.
Прежде всего очевидно, что оператор Л* аддитивен.
Далее,
откуда
1И*ф11<ИИ11ф!|.
Следовательно, Л* — ограниченный оператор, причем
1ИК1МЦ. F)
Пусть л;0—какой-нибудь элемент из Ех. По первому след-
следствию из теоремы Банаха — Хана существует такой функ-
функционал %?Е*у с нормой || Фо ||=1. что Ф0(Лл;0) = ||Лл;0||.
Отсюда получаем, что
|| Ах01| = Фо(Лдго)
Следовательно,
II^||< || Д*||. G)
Из F) и G) следует, что
и теорема доказана.
Понятие сопряженного оператора можно ввести и в том
случае, когда исходный оператор А является линейным не-
неограниченным оператором, определенным на линейном много-
многообразии Lx, всюду плотном в линейном нормированном про-
странстве Ех, со значениями в пространстве Еу. Пусть Л —
такой оператор и ф??у. Рассмотрим
204 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
Тогда /0 (л:), очевидно, аддитивный и однородный функцио-
функционал, определенный на Lx. Для произвольного функционала ф
из /Г функционал /0 не будет вообще ограниченным. Но
если для некоторого ф ? Е* функционал /0 ограничен, то его
можно продолжить по непрерывности до линейного функ-
функционала /, определенного на всем Ех.
Мы получаем, таким образом, что на некотором много-
многообразии Ly d Ey определен оператор Л*, ставящий в соот-
соответствие линейным функционалам ф?1у линейные функцио-
функционалы f?Ex. Этот оператор и называется оператором, со-
пряженным с линейным неограниченным оператором А.
Нетрудно проверить, что Ly — линейное многообразие и что
А* — линейный оператор на этом многообразии, вообще не
ограниченный на ^
Пример. В пространстве Lq (<2), где G — ограниченная изме-
измеримая область на плоскости, рассмотрим оператор 'дифференциро-
'дифференцирования
определенный на линейном многообразии Lo a Lq (G) I раз непре-
непрерывна дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в неко-
некоторой граничной полосе области G. Многообразие Lq всюду плотно
в Lg(G) и оператор А на нем дистрибутивен и не ограничен.
Значения оператора будем считать принадлежащими тому же про-
пространству Lq (G).
Пусть для некоторой функции v (xt у) ? Lp (G) I j «* 1)
имеет место равенство
о
uwdxdy
при любой функции и (л:, у) ? LOt где w {х, у) ? Lp.
Функционал
/ («) = Г f u(x,y)w (х, у) dx dy
V
как функционал, определенный на LocLg(G)t очевидно, дистри-
дистрибутивен и, кроме того, ограничен, так как
-К'
uwdxdy
»
§ 3]
СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
2Q5
и мы можем продолжить его на все Lq (G). Тем самым мы полу-
получаем оператор Л*,
A*v — w>
сопряженный к оператору А определенный на некотором мно-
множестве функций v (х, у) ? Lp (G), со значениями в том же про-
пространстве. Вспоминая второе определение обобщенной производной,
мы видим, что A*v отличается от обобщенной производной
=-
дх* ду1*
лишь множителем (—1). Таким образом, операцию обобщенного
дифференцирования можно рассматривать также как оператор со-
сопряженный к оператору дифференцирования, определенному на
множестве / раз непрерывно дифференцируемых функций, обра-
обращающихся в нуль в граничной полосе области G.
Матричная форма оператора в пространстве с бази-
базисом. Пусть в банаховом пространстве Е с базисом задан
линейный ограниченный оператор Л, отображающий Е
в это же пространство.
Возьмем х ? Е. Тогда
х = Iim xnt
где
2j
Следовательно,
у = Ах = А (Пт хп) = Нт
Так как Ае1 — снова элемент из Е, то он может быть
разложен по элементам базиса
тогда
Но у?Е и, следовательно» также может быть разложен по
элементам базиса
У =2^ *!»«*•
(9)
206 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
Пусть теперь {/ь) — последовательность функционалов, би-
ортогональная к последовательности [еД. Тогда из (8) и (9)
получаем
= /я (У) = /я {l"'m 2 h ( 2 «*/«*) } =
= lim У h 2 e*i/«(»*)«»ra 2 «m/l/= 2 «./I/. 0°)
Равенство A0) показывает, что оператор А однозначно
определяется бесконечной матрицей (ат1) (с помощью этой
матрицы по компонентам элемента х однозначно опреде-
определяются компоненты элемента у = Ах).
Рассмотрим теперь сопряженный оператор Л*, отобра-
отображающий Е* само в себя.
Пусть / = Л*ф, т. е. для любого
<р (Л*)
Пусть, далее,
Имеем
С другой стороны,
= 2
Ф {Ах) = /(*)= S di/rW = 2 dfa.
§ 3] СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 207
Следовательно,
/ п \
2 аысЛ lt. A1)
Пусть х = ет, т. е. |m=l, ^ = 0, для 1фт. Тогда
формула A1) дает
П ОО
Полученное равенство показывает, что матрица, соответ-
соответствующая сопряженному оператору, является транспониро-
транспонированной матрицей по отношению к матрице, соответствующей
исходному оператору. Такое представление операторов и им
сопряженных имеет место, например, в пространстве /2»
Из матричного представления операторов легко полу-
получаем, что
1)
2)
3) (
если Л существует. Впрочем, эти формулы легко устано-
установить и без предположения, что пространство обладает ба-
базисом.
Скалярное произведение, ортогональные элементы,
биортогональные системы. Пусть х?Е и /—линейный
функционал на Е, т. е. /?Е*> Рассмотрим выражение
/(*) = (*./) = (/. х). A2)
Это выражение при переменных х и / является билинейным
функционалом относительно обеих переменных, т. е. линей-
линейным относительно каждого переменного. Этот билинейный
функционал для случая, когда Е есть гильбертово простран-
пространство и, значит, E* = Et превращается в скалярное произве-
произведение элементов х и / (см. формулу B0) § 2). Принято
и в общем случае, когда Е*ФЕ, называть выражение A2)
скалярным (или внутренним) произведением х?Е
Элементы х?Е и /?Е* называются ортогональными,
если
208 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
Теорема 2. Пусть Хо есть собственное значение
линейного оператора А?(Е->Е), х0— соответствую-
щий собственный элемент.
Далее, пусть \х0—собственное значение сопряжен-
сопряженного оператора Л*, /0 — соответствующий собствен-
собственный элемент. Если коф\хо, то собственные элементы
х0 и /0 ортогональны.
Эта теорема является обобщением теоремы об ортого-
ортогональности собственных функций союзных интегральных урав-
уравнений.
Пользуясь обозначением скалярного произведения, запи-
запишем связь между операторами Л и Л* в виде равенства
(Ах. /) = (*, Л*/),
справедливого при любых х?Е, /?Е*. Имеем по условиям
теоремы
Ах0 = Хохо, A*f0 = Ню/о-
Отсюда и из вышеприведенного равенства получаем
^о (*о» /о)= ^о (*о» /о)
или
Но по предположению Хо ф \х0, следовательно,
Как мы уже говорили ранее, последовательности {хп},
и {/„}, /п?Е* называются биортогональными, если
Тем самым хь и fj ортогональны при / ф j.
В § 6 предыдущей главы мы рассмотрели пример биорто-
гональных последовательностей. Это элементы базиса ех,
ev .... еп, ... и функционалы fV'f2» •••» fn опре-
определяемые равенством
для x=^lkek.
В самосопряженном пространстве, например гильберто-
гильбертовом, обе биортогональные последовательности лежат в одном
§3]
СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
20$
и том же пространстве. Если fn = хп, то биортогональность
переходит в обычную ортогональность.
Пусть последовательности \хп) и {/„} биортогональны
и элемент х представлен в виде ряда
Имеем
При n
. Д) = lim ( 2 ?,*,. Д ) = lim J]
л \/ = 1 / п i-\
в силу равенства A3)
A4)
Д).
ибо в этой сумме все члены обращаются в нуль, кроме
члена
Отсюда (jc, fk) = \k, и равенство A4) примет вид
Аналогично, если
A5)
A6)
то
Ряды A5) и A6) называются рядами Фурье по соот-
соответствующим биортогональным последовательностям.
Первые нетривиальные примеры биортогональных после-
последовательностей функций были рассмотрены П. Л. Чебыше-
вым и А. А. Марковым в связи с задачами интерполиро-
интерполирования.
Покажем, что для любой линейно независимой системы
элементов (xv x2 хп)сЕ существует биортогональная
ей система линейных функционалов [fv /2, ..., fn}c:E*.
Пусть Ll — L(x2, хг, .... хп)—линейное многообразие,
порожденное элементами х2, х3,
хп. Так как хх лежит
210 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
на расстоянии d > 0 от Lx (в силу линейной независимости
элементов xv x2, .... хп и замкнутости Lx), то существует
линейный функционал fx(x) такой, что fx(x) = 0 на Lv
в частности на элементах х2, х3 хп, и fl(x1)^=z\.
Повторяя эту операцию для многообразия
L2 = L(xv дг3, .... хп)
и элемента х2 и т. д., получим требуемую систему функ-
функционалов.
Пусть, наоборот, дана система {fv f2 fn}cE*
линейно независимых линейных функционалов, т. е. таких,
что из
Kfi (*) + %2f2 (*)+...+ %Jn (x) = 0
для произвольных х ? Е следует %х = Х2 = ... = %п = 0.
Тогда существует система элементов {хг> дг2, .... хп}аЕ,
биортогональная этой системе функционалов.
Пусть сперва п=1. Так как /1(х)ф01 то существует
элемент д:0 такой, что fx (д:0) = а Ф 0. Тогда элемент хх — ~
обладает требуемым свойством.
Предположим, что утверждение доказано для п — 1 ли-
линейно независимых функционалов. Докажем его для случая
п функционалов. Пусть [х2, аг3 хп) — система элемен-
элементов, биортогональная функционалам /2, /3» ...» fn. Обозна-
Обозначим через Мх линейное многообразие, определяемое системой
уравнений
Для любого х ^ Е элемент
п
и = х — 2 cixi* гДе ci = ft
2
? = 2
принадлежит этому многообразию. В Мх существует эле-
элемент х0 такой, что /1(лг0)==а^0. В противном случае
/j (и) равнялось бы нулю для всех и:
I3J СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 211
ИЛИ
л (*) = 2 л
для любого х?Е. Это означало бы, что /г есть линейная
комбинация функционалов /2, /3, ...i /л» что невозможно
по условию.
Итак, существует элемент х0 такой, что
Полагая хг = —, получаем первый элемент биортогональ-
ной системы.
Повторяя то же рассуждение для многообразия
М2={х: Д(*) = 0, /3(*) = 0, ..., fn(x) = Q]
и функционала /2, получим элемент х2 и т. д.
Сопряженное пространство к линейному комплексному
пространству. Все понятия, введенные в этом параграфе,
переносятся и на комплексные линейные пространства Е.
Сопряженным пространством Е* мы назовем совокупность
линейных комплексных функционалов на Е.
Скалярным произведением (л:, /), где х?Е, /?Е*, будем
называть по-прежнему число /(*). Для того чтобы сохра-
сохранить при этом свойства внутреннего произведения в комплек-
комплексном гильбертовом пространстве, следует считать (х, /) ли-
линейным функционалом относительно х и сопряженно-линей-
сопряженно-линейным относительно /:
(*, Xf)=l(x, /).
Тем самым определяется умножение на комплексное число X
в Е*: Xf есть такой линейный функционал <р на Е, что
Понятие сопряженного оператора А* к оператору Л из
(Е->Е) переносится и на случай комплексных пространств:
А* есть оператор из (?*->?*) такой, что
(Ах, /) = (*. Л*/)
при любых
212 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
Все свойства сопряженных операторов переносятся непо-
непосредственно на комплексный . случай с одним изменением:
теорема об ортогональности собственных элементов д:0 и /0
операторов Л и Л*, где
Ах0 = Хохо, Л*/о = Но/о»
имеет место, если
§ 4. Слабая сходимость последовательностей
функционалов и элементов
Пусть Е—линейное нормированное пространство. По-
Последовательность [fn\ линейных функционалов из Е* назы-
называется слабо сходящейся к линейному функционалу /06?*»
если fn(x)->f0(x) для любого х?Е. Таким образом, для
линейных функционалов понятие слабой сходимости совпа-
совпадает с понятием точечной сходимости операторов.
В терминах слабой сходимости теоремы 1 и 2 из начала
этой главы могут быть сформулированы так:
Теорема 1. Последовательность линейных функ-
функционалов {/л}, слабо сходящаяся в себе, слабо схо-
сходится к некоторому линейному функционалу /0.
Теорема 2. Для того чтобы последовательность
[/„) линейных функционалов слабо сходилась к линей-
линейному функционалу /0, необходимо и достаточно,
чтобы
1) последовательность {|!/„!|} была ограничена;
2) /лМ~>/оМ для любого х из некоторого мно-
множества М, линейные комбинации элементов которого
лежат всюду плотно в Е.
Отметим еще, что из теоремы 1 вытекает слабая полнота
пространства Е*, сопряженного к банахову пространству Е.
Применение к теории квадратурных формул A3]. Рассмо-
Рассмотрим в пространстве С [0, 1] функционал
7
x{t)da(t).
§ 4] СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ 213
где а @ — некоторая неубывающая функция. Наряду с f (х) рас-
рассмотрим последовательность функционалов
где DЛ) выбраны так, что / (х) и f n (х) совпадают для всех много-
многочленов степени, не превосходящей п:
f (х) - /„ (х), если х (t) - 2 VP-
/7 = 0
Построенные таким образом функционалы /п применяются для
приближенного вычисления функционала /. Приближенное ра-
равенство
являющееся точным для всех многочленов степени < п, называется
квадратурной формулой.
Пусть мы имеем последовательность квадратурных формул
/(¦*)«/«<*). я-1, 2,...
Естественно поставить вопрос: будет ли последовательность выра-
выражений fn(x) при п->оо сходиться к значению /(х) для произ-
произвольной функции x(t)?C[Qt 1]. Другими словами, будет ли после-
последовательность функционалов {/„} слабо сходиться к функцио-
функционалу /.
Теорема 3. Для того чтобы имела место сходимость
последовательности квадратурных формул, т. е. чтобы
Hm
n . —л
1
Л)) = / х it) da (t)
для любой непрерывной функции х (t)t необходимо и доста-
достаточно, чтобы
2|4|< const
k=\
для всех п.
По определению функционалов /п мы имеем, что для всякого
многочлена x(t) степени п
/fl,W=/W при
Далее, очевидно,
k
i?
214 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
Таким образом, последовательность функционалов {fn} схо-
сходится к функционалу / на множестве всех многочленов, всюду
плотном в пространстве С [О, 1], и нормы функционалов /„ огра-
ограничены. Но тогда доказываемая теорема непосредственно следует
из теоремы 2 настоящего параграфа.
Теорема В. А. Стеклова. Если все коэффициенты с^
квадратурных формул положительны, то последовательность
квадратурных формул f (х) « fn (х), п = 1, 2, ..., сходится для
любой непрерывной функции х (t).
В самом деле, для любого п и xo(t)^l имеем
fn
Поэтому
*« *л
/
О
и мы находимся в условиях применимости предыдущей теоремы.
Слабая сходимость элементов пространства. Введем
теперь понятие о слабой сходимости элементов линейного
нормированного пространства.
Пусть Е—линейное нормированное пространство, \хп) —
последовательность элементов из Е и д:0—элемент того же
пространства. Если для любого линейного функционала f?E*
будет / (хп) -> / (х0) при л->оо, то говорят, что последо-
последовательность {д:л} слабо сходится к элементу х0, и пишут
*п—до-
*п—договорят также, что л:0 есть слабый предел последователь-
последовательности элементов {хп}.
Покажем, что одна и та же последовательность не может
слабо сходиться к двум разным пределам.
Допустим, что хп—->х0 и хп—->10, т. е. для любого
линейного функционала f?E*
Следовательно, f(xo) = f(lo) или
откуда следует, что, л;0 = ?0.
Легко видеть, что если хп—+х0, то и любая подпосле-
подпоследовательность [хп ) слабо сходится к д:0. Сходимость
§ 4] СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ 215
по норме в данном пространстве будем теперь называть
сильной сходимостью.
Очевидно, что из сильной сходимости последователь-
последовательности {л^} к элементу л:0 следует слабая сходимость этой
последовательности к тому же элементу. Обратное утвер-
утверждение неверно. Последовательность может слабо сходиться
к некоторому элементу, но не сходится к нему сильно.
Например, рассмотрим в L2[0, 1] последовательность эле-
элементов (sin tint]. Вводя обозначение хп (/) = sin tint, имеем
для любого линейного функционала
где а @ — функция с суммируемым квадратом, однозначно
определяемая по функционалу /. Очевидно, f(xn) есть я-й
коэффициент Фурье функции а@ по системе {sintint). Сле-
Следовательно, f(xn)~>0 при #->оо. Отсюда вытекает, что
хп—->0 при /1->оо. С другой стороны, легко видеть,
что {хп} не сходится сильно. В самом деле.
II*п — хт II2 = / lsin n7lt — sin mat]2 dt=l.
о
Однако имеет место
Теорема 4. В конечномерном пространстве силЬ'
пая сходимость совпадает со слабой.
Достаточно доказать, что в конечномерном пространстве
из слабой сходимости последовательности к некоторому эле-
элементу вытекает сильная сходимость ее к тому же элементу.
Пусть Е—конечномерное пространство и пусть дана после-
последовательность {л:л}, лгл—->л:0. Так как Е конечномерно,
то существует конечная система линейно независимых эле-
элементов ev e2 ek такая, что всякий элемент х?Е может
быть представлен в виде л: = ?1?1 + ?2?2+ ... +?А» где
?j — вещественные числа. Пусть
216 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
Рассмотрим функционал ft ? Е* такой, что ft (et) — 1,
f.(ej) = O для j Ф i. Имеем
Но так как / (хп) -> / (л:0) для любого линейного функ-
функционала /, то и /Д-О-нк/Длго), т. е.
lW->lf), /= 1, 2, .... k.
Но в конечномерном пространстве покоординатная сходи-
сходимость влечет за собой сходимость по норме. Следовательно,
хп~>х0 сильно.
Существуют и бесконечномерные пространства, в которых
сильная и слабая сходимости совпадают. Таково, например,
пространство / последовательностей {?1э ?2 ?л» •••}
оо
таких, что ряд 2|?л1 сходится.
л=1
М. И. Кадецу принадлежит следующий интересный результат:
Если пространство Е сепарабельно, то в нем можно ввести
такую эквивалентную норму, что в новой норме из слабой
сходимости хп—->х0 и \\хп\\ ->\\хо\\ следует сильная сходи-
сходимость последовательности {хп} к х0.
Теорема 5. Если последовательность {хп} слабо
сходится к д:0, то существует последовательность
линейных комбинаций \ ^L c^xk J, сильно сходящая-
сходящаяся к xQ.
Иными словами, х0 принадлежит замкнутому линейному
многообразию, порожденному элементами xv xv ..., хп, ...
Предположим противное, т. е. что х0 не принадлежит
замкнутому линейному многообразию L, порожденному эле-
элементами xv xv ..., хп, ... Тогда по второму следствию
из теоремы Банаха — Хана (стр. 177) существует линейный
функционал /?Е* такой, что /(л:0)=1, f(xn) = 0 для
п~\, 2, ... Но это означает, что f(xn)y4-f(xQ), что про-
противоречит условию л:Л—->лг0.
Теорема 6. Пусть Л — линейный ограниченный опе-
оператор, определенный на линейном нормированном про-
пространстве Ех, с областью значений, расположенной
в линейном нормированном пространстве Еу*
5 4] СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ 217
Если последовательность [хп}сЕл слабо сходится
к хо?Ех, то последовательность
[Ахп] сЕу
слабо сходится к
Возьмем любой функционал ф??*. Тогда
Ф
где f?Ex. Аналогично
Ф
Так как хп —-> х0, то
т. е.
<р(Ахп)-><р(Ах0).
Поскольку ф — произвольный функционал из Еу, то
Таким образом, всякий линейный ограниченный оператор
является не только сильно, но и слабо непрерывным.
Теорема 7. Если последовательноеть \хп) слабо
сходится к х0, то нормы элементов этой последова-
последовательности ограничены.
Будем рассматривать элементы хп, /г = 1, 2 как
элементы пространства Е**. Тогда слабая сходимость после-
последовательности \хп) к элементу х0 означает, что последова-
последовательность функционалов {л:л}с:?** сходится к функционалу
хо?Е** для всех элементов f?E*. Но тогда в силу тео-
теоремы Банаха — Штейнхауса последовательность норм {||^Я|Ц
ограничена, что и требовалось доказать.
Замечание. Если х0 есть слабый предел последо-
последовательности {хп}> то
причем существование конечного нижнего предела выте-
вытекает из предыдущей теоремы.
218 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
В самом деле, допустим, что
||*0||>1пп|!*п|[.
п
Тогда существует число с такое, что
\\хо\\>с>\\т\\хп\\.
п
Следовательно, найдется такая последовательность \Хп\> что
Н*о!1>'>|Ы|.
Построим линейный функционал /0 такой, что ||/0|| = Ь
Тогда
для всех /. Следовательно,
что противоречит условию, что хп ~^-> лг0.
Возможны случаи, когда осуществляется строгое нера-
неравенство
как это видно из следующего примера.
В пространстве L2[0, 1] рассмотрим функции
Имеем ||.*л||агз1, так что и
С другой стороны, для любого линейного функционала /
получаем
1
/ (*«) = V 2" / «@ sin ял/ dt = |^2" сп,
5 4] СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ 219
где сп — коэффициенты Фурье функции a (f) ?L2 [0, 1]. Таким
образом, / (хп) -> 0 при п —> оо для любого линейного функ-
функционала /, т. е. хп—->0. Следовательно, #0 = 0 и
\\хо\\=*О<1=11т\\хя\\.
п
Теорема 8. Для того чтобы последователь-
последовательность {хп} слабо сходилась к х0, необходимо и доста-
достаточно, чтобы
1) последовательность {\\хп\\} была ограничена;
2) / С*л)-*• / С*о) для любого f из некоторого мно-
множества Г линейных функционалов, линейные комби-
комбинации элементов которого лежат всюду плотно в Е*.
Эта теорема представляет собой частный случай теоремы 2
настоящего параграфа. Чтобы убедиться в этом, следует
только заметить, что слабая сходимость последовательности
{xn}dE к элементу хо?Е, очевидно, равносильна слабой
сходимости этой же последовательности, но рассматриваемой
как последовательность линейных функционалов, определен-
определенных на ?*, к л:0, также рассматриваемому как линейный
функционал на Е*.
Слабая сходимость в конкретных пространствах.
Слабая сходимость в lq.
Теорема 9. Для того чтобы последователь-
последовательность {лсл| элементов *„ = {I/"*} из I слабо сходилась
к лго=Ш°Н?/ , необходимо и достаточно, чтобы
1) последовательность [\\хп\\] была ограничена;
2) ^.я)->^0) при п->оо для всех I (вообще говоря,
неравномерно).
Для доказательства заметим, что линейные комбинации
элементов /^={0, 0, ..., 0, 1, 0, ...}, /=1, 2 лежат
всюду плотно в /^ = /р. Поэтому в силу общего критерия,
для того чтобы хп—+х0, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось первое условие и чтобы
для любого /,
Можно сказать, таким образом, что слабая сходимость
в 1р означает сходимость по координатами соединении с огра-
ограниченностью норм.
220 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. IV
Слабая сходимость в Lp.
Теорема 10. Для того чтобы последователь-
ность \xn(t)) с Lp[0, 1J слабо сходилась к элементу
xo(t)? Lp[0, 1], необходимо и достаточно, чтобы
1) последовательность (||*л||} была ограничена;
t t
2) Г хп (т) dx -> Г xQ (т) dx для любого t?[0, 1J.
о о
Первое условие совпадает с первым условием обшего
критерия. Рассмотрим второе условие. Положим
_| 1 для 0</<т,
ах()~~{ о для т</<1.
Тогда линейные комбинации функций аг(/), т. е. суммы
где 0 = т0 < тх < ... < тл_! < тл = I f лежат всюду плотно
в Lq [0, \] = Lp[0t 1]. Следовательно, чтобы
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось первое условие
и чтобы при /1->оо
1 1
J лгл @ ох @ dt->fx0 @ ат (О Л.
о
или
т
fxn(f)dt->fx0(f)dt
о о
для любого т ^ [0, 1].
Слабая сходимость в гильбертовом про-
пространстве. Так как в гильбертовом пространстве Я всякий
линейный функционал f(x) есть скалярное произведение,
то в этом пространстве
§ 4] СЛАБАЯ СХОДИЛЮСТЬ 221
означает, что для любого у ? И
(хп, у)->(л:> у).
Ранее мы видели, что если хп->х0, уп->у0> то (хп% у„)->
-~> (х0, у0), т. е. скалярное произведение непрерывно по сово-
совокупности обоих аргументов относительно сильной сходимости.
Если же хп —-> л:0, у^-^Уо» то вообще (хп, уп)-/*(х0, у0).
Так, например, если
*/1 = У„ = *,Г
где \еп) — произвольная ортонормальная последовательность»
то <?„—-> О, а
('«. O = KII2=1t*0 = @, 0).
Однако если хп->х^ у^-^^Уо. то (дгя, уп)->(^ Уо)-
В самом деле, в этом случае нормы |[ул|| ограничены в сово-
совокупности.
Пусть
п
Имеем
К*Я' Уп)~(^о. Уо)|<К*я —*о. Уя>I-4-1С-^о- У« —Уо)|<
Н о' Уя —Уо)|-
и оба слагаемые справа стремятся к нулю. Наконец, отметим,
что если хп—+х0 и ||хл|| -> \\хо\\ш то л:л->д:0, так как
II хп — х0 |Р = (хп — х0, хп — х0) = Цха, хп) — (*0. х0)] +
+ К^О- ^о) — (*0> *п)\ + К*0' *о) — (Хп> Х0)]9
и все слагаемые справа снова стремятся к нулю.
ГЛАВА V
КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКИХ
И НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Более ста лет тому назад чешский математик Б. Боль-
цано заметил, что всякое ограниченное бесконечное множество
точек числовой прямой имеет хотя бы одну предельную
точку, и обратил внимание на важность этой теоремы для
строгого обоснования математического анализа. Идея выде-
выделения сходящейся последовательности из некоторых множеств,
состоящих уже не из точек, а из функций или кривых, была
использована при доказательстве теоремы существования
решения обыкновенного дифференциального уравнения, в ва-
вариационном исчислении и т. д., и это привело к общему
определению компактности множества, расположенного в не-
некотором пространстве.
§ 1. Определения. Общие теоремы
Множество /С, расположенное в метрическом простран-
пространстве X, называется компактным, если всякая последова-
последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся
подпоследовательность. Если пределы указанных последова-
последовательностей принадлежат /С, то множество К называется ком-
компактным в себе, если же эти пределы принадлежат про-
пространству X, не принадлежа, может быть, множеству К,
то К называется компактным в пространстве X, или
относительно пространства X. Ясно, что для того,
чтобы множество К было компактно в себе, необходимо и
достаточно, чтобы оно было компактно в пространстве X
и замкнуто.
Если, в частности, каждое бесконечное подмножество
пространства X содержит сходящуюся к некоторому эле-
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 223
менту из X последовательность, то пространство X назы-
называется компактным. Компактное метрическое пространство
называют также компактом. Ясно, что компакт есть полное
метрическое пространство.
Примеры. 1. Пусть Л" = [0, 1]. Очевидно X — компактное
пространство в силу теоремы Больцано.
2. Пусть X = Е{ — одномерное евклидово пространство (число-
(числовая прямая). X некомпактно. В самом деле, его подмножество
М « {1, 2, 3, ..., л, ...} не содержит никакой сходящейся после-
последовательности. Однако всякое ограниченное множество в простран-
пространстве X компактно в силу теоремы Больцано.
3. Пусть X есть л-мерное евклидово пространство Еп. Анало-
Аналогично предыдущему имеем, что Л"'некомпактно, но всякое ограни-
ограниченное множество элементов этого пространства компактно.
4. Пусть A's=C[0, 1]. Это пространство некомпактно и, более
того, в С [0, 11 существуют ограниченные некомпактные множества
(см. стр. 226).
5. Пусть X = /2. Это пространство некомпактно. Более того,
в этом пространстве имеются ограниченные некомпактные мно-
множества. Таким множеством будет, например, замкнутый единичный
шар (f )
В самом деле, рассмотрим следующую последовательность
точек из S:
*,«{1, 0, 0, ...}, *2={0, 1, 0, ...},...
Имеем || ?/ — ?у|1 =1^2 при I Ф J. Поэтому последовательность {et\
и любая ее подпоследовательность не сходятся, что и доказывает
некомпактность S. Нетривиальным примером компактного в про-
пространстве /2 множества может служить так называемый основной
параллелепипед координатного гильбертова пространства, предста-
представляющий собой совокупность U точек x—ili, |2» •••! 1л. •••}»
координаты которых удовлетворяют условию 0<|л<; —. Компакт-
Компактность множества U вытекает из общего признака компактности»
который будет сформулирован ниже (стр. 248).
Для компактных множеств можно доказать аналог тео-
теоремы о вложенных шарах полного метрического простран-
пространства, при этом полнота X не предполагается. Именно имеет
место следующая
Тео-рема (Кантора). Пусть дана последователь-
последовательность
/Ci zd К2 => • • • => Кп => • • •
224 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
непустых замкнутых компактных множеств метри-
оо
ческого пространства X. Тогда пересечение ДГ = ГП| /С/
не пусто.
В самом деле, выберем в каждом множестве Kt по точке xt.
Получим последовательность {xt} cz К\. Так как /С, ком-
компактно, то из {л:,-} можно выбрать сходящуюся подпоследо-
подпоследовательность \xt }. Пусть
Так как при любом фиксированном п, начиная с номера
ik > п, все члены этой последовательности принадлежат Кп
со
и Кп замкнуто, то хо?Кп. Но тогда xo^f^Kit и теоРема
ы\
доказана.
Теоремы существования экстремума. Доказательство
основных теорем о непрерывных функциях, заданных на
отрезке, опирается на свойство его компактности. Некоторые
из этих теорем можно распространить на непрерывные функ-
функционалы, заданные на компактных множествах произвольного
метрического пространства. Например, имеет место следую-
следующая теорема, являющаяся обобщением известных теорем
Вейерштрасса.
Теорема 1. Пусть К — компактное в себе множе-
множество пространства X и f (х) — непрерывный функцио-
функционал, заданный на этом множестве. Тогда
1) функционал f(x) ограничен на К\
2) функционал f (х) достигает на К своих точных
верхней и нижней границ.
1. Покажем, что функционал f (х) органичен сверху
(аналогично доказывается, что f (х) органичен снизу). Допу^
стим противное. Тогда найдется последовательность \хп)
точек из К такая, что /(•?„)> л. Так как К компактно
в себе, то последовательность \хп) содержит подпоследова-
подпоследовательность [ХпА* сходящуюся к точке хо?К. Тогда, с одной
стороны, f(xnk)>^k и» следовательно, f(xnj^->co при
*->со. С другой стороны, в силу непрерывности функцио-
§ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 225
нала всюду на К и, в частности, в точке л:0
ПРИ ^->о°-
Получено противоречие. Следовательно, ограниченность функ-
функционала f (х) доказана.
2. Пусть p = sup/(Ar). Это означает, что /(лг)<р для
х( К
всех х ? К и для любого ? > 0 существует такая точка
—е.
Следовательно, существует последовательность точек \хп)
такая, что
Так как К компактно в себе, последовательность {хп\
содержит подпоследовательность \хп |, сходящуюся к точке
хо?К. Тогда
и, следовательно,
С другой стороны, так как f(x) непрерывен во всех
точках множества К и, в частности, в точке х0, то
Значит, /(хо)--^=р, что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается, что если а==Ш f(x), то
найдется такая точка 10^К, что /
Замечание. Следует отметить, что если непрерыв-
непрерывный функционал f (х) задан на некомпактном в себе
множестве М, то sup/(л:) и inf/(x) могут не до»
стигаться.
Рассмотрим, например, в С [0, 1] множество М всех
функций x{t) таких, что х @) = 0, лгA)== 1 и max|л: (/))<; 1.
226 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
Функционал
непрерывен на М и не достигает на нем своей нижней
границы.
В самом деле, если x(t) — tnt то
Значит,
inf/(x) =
м
Но очевидно, что для всякой непрерывной кривой х = х (t)t
соединяющей точки @, 0) и A, 1), /(^)>0 (отсюда,
в частности, вытекает, что рассматриваемое множество кри-
кривых некомпактно, хотя оно и является ограниченным и
замкнутым множеством в С[0, 1]).
Таким образом, прежде чем опираться на теорему 1,
необходимо убедиться в компактности множества, на кото-
котором определен непрерывный функционал. Гипотеза о дости-
достижении точной верхней или нижней границы функционала
на некомпактном множестве может привести к неправильным
выводам, как показывает предыдущий пример.
В качестве второго примера того же рода приведем лож-
ложное доказательство пятого постулата Евклида. Известно,
что пятый постулат Евклида равносилен гипотезе, что сумма
углов хотя бы одного треугольника равна я. Можно совер-
совершенно строго доказать, что сумма углов треугольника не
может быть больше я. Докажем, что сумма углов некото-
некоторого треугольника равна я. Пусть % есть точная верхняя
граница суммы углов треугольника, и пусть существует
треугольник ABC (рис. 5), на котором сумма углов дости-
достигает максимальной величины и. Произвольную внутреннюю
точку D стороны АВ соединим отрезком CD с вершиной С.
CD разбивает наш треугольник на два треугольника ADC
и DCB, сумма углов каждого из которых не превосходит к.
С другой стороны, сумма углов обоих треугольников равна
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 227
у. -\- я. Следовательно,
Но так как % не превосходит я, то отсюда следует, что
Итак, существует треугольник, сумма углов которого
равна я, и пятый постулат Евклида доказан.
Ошибочным в этом доказательстве было предположение
о существовании треугольника, у которого сумма углов
достигает своей точной
верхней границы (как мы
видим, это равносильно пя-
пятому постулату Евклида).
В геометрии Лобачевского
разность между я и сум-
суммой углов треугольника
пропорциональна площади д * » ^ д
последнего и, если эта D
разность стремится к ну- р -
лю, треугольник стягива-
стягивается в точку.
Теорема 1 обобщается на случай так называемых полу-
полунепрерывных функционалов. Функционал f (х) называется
полунепрерывным снизу (сверху), если из условия хп->х
следует, что
соответственно
Для таких функционалов имеет место
Теорема 2. Функционал f(л:), полунепрерывный
снизу (сверху) и определенный на компактном в себе
множестве, ограничен снизу (сверху) на этом мно-
множестве и достигает на нем своей точной нижней
(верхней) границы.
Эта теорема имеет широкое применение в вариационном
исчислении, так как важнейшие классы рассматриваемых
в нем функционалов являются полунепрерывными.
228 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА ГГЛ, V
Критерий компактности множества в метрическом
пространстве. Мы дадим сейчас общий критерий компакт-
компактности множества, расположенного в метрическом простран-
пространстве. Для этого введем сперва следующее определение:
Множество N метрического пространства X называется
г-сетью для множества М того же проти^анства, если
для любой точки х?М найдется точка xe?N такая, что
р(лг, хе)<е
(в частности, М может совпадать со всем пространством ХЛ.
Теорема 3 (Хаусдорфа). Для компактности
множества К метрического пространства X необхо-
необходимо, а в случае полноты X и достаточно, чтобы
для любого числа е>0 существовала конечная г-сеть
для множества К.
Необходимость. Предположим, что К компактно.
Пусть хх — любая точка из /С. Если р(лг, хх) < е для всех
лг?/С, то конечная е-сеть уже построена. Если.же это не
имеет места, то существует точка х2 ? /С такая, чтор^, лг.2)^>е.
Если для любой точки х?К либо р(л\ х{) < е, либо
p(jc, x2) < е, то конечная е-сеть уже построена. Если же
это не имеет места, то найдется точка лг3 такая, что
Продолжая так далее, построим точки xv x2 хп
такие, что
р(л;,, лг;.)>е
при 1ф]. Можно сделать два предположения. Либо процесс
построения точек после некоторого /г-го шага оборвется, т. е.
для любого х ? К будет выполняться одно из неравенств
р(х, л:/)<е, /=1, 2, .... k.
В этом случае xv xv .... xk образуют конечную е-сеть*)
для /С. Либо указанный процесс построения точек xt можно
продолжить неограниченно. Но эта возможность исключается,
так как если бы она имела место, то мы получили бы
бесконечную последовательность точек х{, xv .... xiv ...
такую, что
*) Полезно заметить, что эта е-сеть состоит из точек множен
ства /С.
§ П ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 229
для /=?/, и ни сама эта последовательность, ни' любая ее
подпоследовательность не были бы сходящимися, что про-
противоречит предположению о компактности множества К.
Достаточность. Предположим, что пространство
X — полное и что для любого е > 0 существует конечная
е-сеть для4 '/?. Возьмем последовательность чисел {гп},
lime/2 = 0, и для каждого еп построим конечную ел-сеть
п
\Xi Х2XJ
для множества К. Возьмем любое бесконечное подмножество
ТаК. Около каждой из точек л:^, х^} х^ опишем
замкнутые шары радиуса е^ Тогда каждая точка из Т по-
попадет в один из этих шаров. Так как шаров -р- конечное
число, то по крайней мере в одном из них окажется беско-
бесконечное множество точек из Т. Обозначим это подмножество
множества Т через Тг. Возьмем точки х^\ xf\ ...,x(/?22) и
опишем около каждой из этих точек замкнутые шары ра-
радиуса е2. Рассуждая, как и раньше, найдем бесконечное
множество T2aTv расположенное целиком в одном из по-
построенных шаров /радиуса е2. Продолжая так далее, получим
последовательность T1zdT2'^ . . . гэГ^гэ ... бесконечных под-
подмножеств множества Г, причем подмножество Тп содержится
в замкнутом шаре радиуса гп и, следовательно, расстояние
между любыми двумя точками из Тп не превосходит 2еп.
Возьмем теперь точку %i?Tv точку ?2 ? Г2, отличную
от 1{, точку ls?To, отличную от точек |х и ?2, и т. д.
Получим некоторую последовательность точек из Т
Эта последовательность сходится в себе. В самом деле
1п€тп< и Ъп+р^Тп+р^Тп ^ля любого натурального р
Следовательно,
при /г->со, р > 0. Так как по условию пространство
X — полное, то последовательность 7^ сходится к некоторой
точке | ? X и, следовательно, компактность множества К
доказана.
230 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЯ. V
Следствие 1. Для того чтобы множество К пол-
полного метрического пространства X било компактно,
достаточно, чтобы для любого е>0 существовала
компактная г-сеть для К.
Пусть /V — компактная -у-сеть для /С. Применяя к /V
предыдущую теорему, находим, что существует конечная
-у-сеть No для N. Тогда No—конечная е-сеть для К.
В самом деле, для любой точки х ? К существует точка
|?/V такая, что
В свою очередь для точки Z>?N существует точка
такая, что
Следовательно, для любой точки х ? К найдется в No такая
точка хе, что
р(х, хе)<р(л;, ?) + Р(!. л:е)< -|- + -|- = 8,
т. е. No является конечной е-сетью для /С.
Так как пространство X — полное, то по предыдущей
теореме заключаем, что К компактно.
Следствие 2. Компактное пространство X се-
парабельно.
В самом деле, возьмем последовательность {8Л}, ел—>0,
и для каждого гп построим конечную ел-сеть
оо
Пусть N — \lNn. Очевидно, N — счетное множество, всюду
плотное в X.
Следствие 3. Компактное множество К метри-
метрического пространства ограничено.
Пусть Nx = {xlf .... хп) есть 1-сеть для К и а — фикси-
фиксированный элемент пространства X. Пусть, далее,
§ I] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 231
Очевидно, для любой точки х ? К имеем
и требуемое доказано.
Приведем теперь еще два признака компактности мно-
множеств в себе, которые могут быть приняты также и за
определения этого понятия.
Система [Оа\ открытых множеств пространства X назы-
называется покрытием множества МаХ, если каждая точка
х ? М принадлежит хотя бы одному из множеств Оа этой
системы.
Теорема 4. Для того чтобы замкнутое множе-
множество F метрического пространства X было компакт-
ным в себе, необходимо и достаточно, чтобы из
любого покрытия этого множества можно было выде-
выделить конечное покрытие.
Необходимость. Пусть {Ga}—система открытых
множеств, покрывающих компактное в себе множество F,
такая, что из нее нельзя выделить конечное покрытие.
Возьмем последовательность {е„}, сходящуюся к нулю. Пусть
х{\\ х$\ .... х$ есть ej-сеть для множества F. Тогда
ft.
где
Легко видеть, что Fl — компактное в себе множество диа-
диаметра, не превышающего 2ц. Если множество F нельзя
покрыть никакой конечной подсистемой, выделенной из [Ga}f
то этого же нельзя сделать по крайней мере для одного
из множеств FL. Пусть F/, будет множеством, которое
нельзя покрыть никакой конечной подсистемой, выделенной
из {Ga).
Рассуждая аналогично, выделим из Fix компактную в себе
часть Fi{i2 диаметра, не превышающего 2е2, которую нельзя
покрыть никакой конечной подсистемой, выделенной из {Gaj,
и т. д. Мы получили последовательность вложенных друг
232 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
в друга компактных замкнутых множеств
диаметры которых стремятся к нулю.
Пусть х0 — точка, принадлежащая всем этим множествам.
Так как система {Ga\ образует покрытие множества F и
xq?F* to найдется множество Gao, содержащее эту точку.
В силу того, что множество G^ открытое, существует
окрестность S (х0, е) точки х0, целиком входящая в Gao.
Выберем теперь п настолько большим, чтобы диаметр
Ft i .../ был меньше е. Тогда, очевидно,
/7/1/2...1лс:5(а;0, е),
и мы приходим к противоречию, так как, с одной стороны,
множество Ft / .../ согласно построению нельзя покрыть
ни одной конечной подсистемой, выделенной из {Gaj,
а с другой стороны, это множество покрыто О^,
Следовательно, из всякого покрытия множества F можно
выделить конечное покрытие, и необходимость доказана.
Достаточность. Предположим, что из всякого по-
покрытия множества F можно выделить конечное покрытие.
Пусть М — подмножество множества F, не имеющее ни
одной предельной точки. Тогда для каждой точки х ? F
найдется окрестность 5(х, е^), не содержащая, кроме, может
быть, самой точки х> ни одной точки из М. Эти окрест-
окрестности образуют покрытие множества №. Выделим из него
конечное покрытие
S(xv гг), S(x2, e2), ..., S(xn, ел).
Так как все множество М размещается в этих окрестностях
и так как в каждой окрестности может содержаться не более
одной точки множества Ж, то множество М должно быть
конечным. Следовательно, всякое бесконечное подмножество
MczF должно иметь предельные точки, т. е. F компактно.
Система множеств называется центрированной, если
любая конечная ее подсистема имеет непустое пересечение.
Теорема 5. Для того чтобы замкнутое множе-
множество F метрического пространства X было компакт-
компактным, необходимо и достаточно, чтобы любая центри-
§ I] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 233
рованная система замкнутых подмножеств множества
F имела непустое пересечение.
Необходимость. Пусть F компактно в себе и
{Fa} —центрированная система замкнутых подмножеств
множества F с пустым пересечением. Введем Gn—-CFa*).
Тогда Ga— открытые множества, и \\Ga = C?]Fa = X.
а а
Поэтому система {Ga} образует покрытие F, и из этой
системы можно выбрать конечную подсистему, покрываю-
покрывающую F:
Оа, Ga, .... Оа .
Так как \jQa-=>F. то
fjJ B)
Но, с другой стороны, Fa.cz Fy и потому
h f
п
Из B) и C) следует, что C\Fa =0, что противоречит
ых
предположению, что {Fa}—центрированная система. Необ-
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть любая центрированная система
замкнутых подмножеств F имеет непустое пересечение.
Рассмотрим любое покрытие {Ga} множества F открытыми
множествами. Введем
Множества Fa замкнутые, и
Поэтому система [Fa} не центрированная, и, следова-
следовательно, существует подсистема Ful* Fa2* .... Fan с пустым
*) С А означает дополнение множества А,
234 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ТЛ. V
пересечением. Тогда для соответствующих множеств
°v <Ч
имеем
Таким образом, показано, что из произвольного покры-
покрытия {Ga} множества F можно выделить конечное покрытие.
Теорема 6. Всякое компактное в себе множество
метрического пространства есть непрерывный образ
канторова совершенного множества.
Пусть К — компактное в себе множество метрического
пространства X. Рассмотрим последовательность {еЛ}, схо-
сходящуюся к нулю, и для каждого п=\, 2, 3, ... построим
конечную ел-сеть {л:/л)}, /=1, 2, ..., тп% для /С. Путем
добавления, если необходимо, дополнительных точек мы
можем всегда считать, что тп = 2 п. Рассмотрим шары S{P
радиуса гх с центрами в точках х\1\ Множество К распо-
расположится целиком в этих шарах, а тем более в замкнутых
шарах S[l\ Пусть Kix — К Г) S{lx\ il=\ т{. Мы получили,
что множество К представлено в виде суммы тх замкнутых
множеств диаметра, не превосходящего 2et. Как замкнутая
часть компактного в себе множества каждое /С/, есть снова
компактное в себе множество. Повторяя предыдущее по-
построение, мы представим каждое Kix в виде суммы т2
замкнутых множеств Kixi2, i2=l> 2, ..., т2> диаметра,
не превосходящего 2е2, и т. д. Все эти множества можно
считать непустыми.
Обратимся теперь к канторову совершенному множеству Ро,
Это множество лежит целиком на отрезках /егго ранга
Ду f j j , Ji — 0, 1, а также целиком на отрезках
(kl-\-k2)-ro ранга, А; , у , ..., у и т. д. Перенумеруем
1 2 #1 + /?2
отрезки /jj-ro ранга слева направо и обозначим их A/lt
ix=U 2 rnl — 2k\ На каждом отрезке кг-то ранга
Д/, лежит 2k2=m2 отрезков (/г1 + /г2)-го ранга. Перену-
Перенумеруем их снова слева направо и обозначим Д/^, I2=\t 2, ...
• .., m2 и т. д. Мы получим взаимно однозначное соответ-
§ I] ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 235
ствие между замкнутыми множествами Fi t .../ простран-
12 s
ства X и отрезками Д// ,.,/ отрезка [0, 1].
12 5
Возьмем произвольную точку t?P0. Она однозначно
определяет систему отрезков X/lt Д/,/2, Д/,/2/э» ..., ее со-
содержащих и стягивающихся к ней. Рассмотрим соответствую-
соответствующую систему замкнутых множеств Kit, Kij2, /С/,/2л,. ...
(с теми же индексами, что и отрезки). Так как каждое
следующее множество вложено в предыдущее и диаметры
множеств стремятся к нулю, то существует единственная
точка лт?/(\ принадлежащая всем этим множествам, которую
и ставим в соответствие точке t?P0.
Покажем, что каждая точка х?К является образом
некоторой точки t?PQ. В самом деле, x?Kit для некото-
некоторого значения индекса ix (этот индекс определяется вообще
неоднозначно, так как множества Ktt могут пересекаться),
аналогично x^Ki^ и т. д. Множествам /С/,, Kixt2 соответ-
соответствуют отрезки Д/,, Д/j/j, ... Точка t, принадлежащая всем
этим отрезкам, имеет образом рассматриваемую точку х.
Итак, определено однозначное отображение x = (p(t) канто-
рова совершенного множества Ро на компактное в себе
множество /С. Покажем, что это отображение непрерывно.
Пусть л:0 = ф(/0) и S(x0, г) — окрестность точки х0.
Возьмем такое множество Kt t ...i из системы, стягиваю-
1 2* *" п
щейся к л:0, диаметр которого меньше е. Тогда Ki i .../ с:
cz5(jc0, e). Обозначим через 6 расстояние от t0 до ближай-
ближайшего конца отрезка Д/ / .../ , соответствующего множеству
12 п
Ki i .../ . Если \t — to\ <6, то *?Дм .../ , следовательно,
12/2 12/2
0. 6),
и потому р(лг, л:0)< е. Теорема полностью доказана.
Рассмотрим теперь отображения / компакта X в метри-
метрическое пространство К.
Теорема 7. Непрерывный образ компакта есть
компакт.
В самом деле, пусть \уп) есть произвольная последова-
последовательность из f(X)aY. Для каждого уп возьмем один из его
прообразов хп. Так как {хп}аХ и X компактно, то из
236 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
\хп) можно выделить подпоследовательность {xnk}> сходя-
сходящуюся к хо?Х. Так как f(x) непрерывно, то
Таким образом любая последовательность из /(X) содержит
сходящуюся подпоследовательность, причем предел такой
подпоследовательности принадлежит / (X). Следовательно,
f(X) — компакт.
Эта теорема в сочетании с теоремой 6 дает полное описа-
описание всех компактов. Именно, метрическое простран-
пространство К является компактом тогда и только тогда,
когда оно есть непрерывный образ канторова совер-
совершенного множества.
§ 2. Критерии компактности множеств в некоторых
функциональных пространствах
Критерий компактности в С [0, 1], Функции из некото-
некоторого множества М называются равномерно ограниченными,
если существует такая постоянная с, что |я@|^? Для всех
x(t)?M при любом ??[0, 1], и называются равностепенно
непрерывными, если для любого е > 0 существует 6 > 0,
зависящее только от е, такое, что для любых tx и t2 из [0, 1],
удовлетворяющих неравенству \tx— ^2|<^2, и Для любой
функции x(t) из рассматриваемого множества имеет место
соотношение
Теорема 1 (Арчела). Для того чтобы множество
/Сс:С[0, 1] было компактным, необходимо и доста-
достаточно, чтобы функции x(t)?K были равномерно огра-
ограничены и равностепенно непрерывны.
Необходимость. Пусть К компактно. Равномерная
ограниченность функций x(t)?K вытекает из следствия 3
теоремы 3 предыдущего параграфа. Докажем равностепенную
непрерывность функций x(t)?K. Построим для заданного
е>0 конечную -«сеть [xx(t), x2(t) xk(t)\ для К. Так
как функции xt{t) непрерывны на [0, 1], то они равномерно
непрерывны на этом отрезке.
§ 2] КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 237
Для каждой функции хь (/) подберем число 6, так, чтобы
для \tx—t2\ < 6^, каковы бы ни были tx и t2?[0, 1]. Пусть
6—наименьшее из чисел 6^, /=1, 2 k. Если теперь
\'tx— t2\ < 6, то имеем для любой функции x(t)?K
\x(tx)-x(t2)\K
Если выбрать xt (t) так, чтобы
то
Так как е > 0 произвольно и полученная оценка не зависит
от положения точек tx и t2 на [0, 1] и от выбора функции x(t)
в /С, то равностепенная непрерывность функций, принадле-
принадлежащих множеству К> доказана.
Достаточность. В силу условий теоремы для любого
числа е > 0 можно подобрать такое число 6 > 0, что
при \tx —12\ <6 для любых tv t2 f [0, 1] и любой функции
х (t) ^ /С. Возьмем натуральное число п такое, чтобы — было
меньше, чем 6. Разобьем [0, 1] на п равных частей
Тогда
\x(td — xVd\ <e
для любой функции x(f)?K и любых tv t2?[0, 1] таких, что
в частности, для tx и /2, принадлежащих одному и тому же
238 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА ГГЛ. V
Отнесем каждой функции x(t) непрерывную функцию xn(t)
такую, что
!> *«(?)=*D) для*=°- 1 «-и
2) на отрезках —, —iL—\ функция xn(t) линейная.
Таким образом, график xn(t) есть ломаная с п звеньями,
вписанная в график x(t).
Пусть
Тогда вследствие линейности xn(t) на —, —"^—\ имеем
откуда
-е<л@
Если же
то получим
Следовательно,
\X(t)-Xn(t)\ <8
для всех t? [0, 1], т. е.
Р(*. хп)<г.
Значит, множество N функций хп (/) образует е-сеть для К.
Далее, в силу равномерной ограниченности множества К
т. е. множество N равномерно ограничено.
Отнесем каждой функции xn(t)?N точку (At-f- ^-мер-
^-мерного пространства X, имеющую в качестве координат орди-
ординаты вершин ломаной — графика xn(t). Это соответствие,
как легко видеть, взаимно однозначно, а также взаимно
непрерывно в том смысле, что если последовательность
§ 2] КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 239
функций {^5*40} сходится к x{<^{f) в смысле метрики про-
пространства С[0, 1], то последовательность точек [x^k)] схо-
сходится к точке ,л;@) в смысле метрики пространства /?Л+1.
Но множество N—{x) ограничено и, следовательно, компактно
в /?л + 1. Поэтому множество Л/= [xn(f)\ компактно в С[0, 11.
Итак, для любого е > 0 можно построить компактную
е-сеть для /С. Но тогда в силу полноты С[0, 1] и след-
следствия 1 теоремы 3 предыдущего параграфа К компактно.
Доказанная теорема допускает обобщение на случай ото-
отображений компактных множеств в компакты.
Пусть даны два метрических пространства X и Y и мно-
множество F отображений / пространства X в пространство Y.
Отображение f?F называется ограниченным, если для
любого х ? X
Q
где 9 — некоторый фиксированный элемент пространства К
и Cf — константа, зависящая, вообще говоря, от отображе-
отображения /. Отображение f?F называется равномерно непре-
непрерывным, если для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что
для двух любых точек хг и х2 пространства X таких, что
p(xv x2)<6.
Пусть М{ХУ Y) — множество всех ограниченных отобра-
отображений пространства X в пространство К. Превратим М (X, К)
в метрическое пространство, положив
P) = supp(/(x),
Легко проверить, что все аксиомы метрики выполняются. Схо-
Сходимость в пространстве М(Х, Y) есть равномерная на X схо-
сходимость последовательности отображений {/„ (х)} с М (X, У)
к отображению f(x)?M(X, Y).
Если Y—полное пространство, то М(Х, К) также полное
пространство.
В самом деле, если р(/л, /т)~>0, когда п и т->оо,
то для любого е>0 найдется номер яо(е) такой, что
* (О
240 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
при /г, Ая>/го(е) и сразу для всех х?Х. Фиксируем х?Х.
В силу полноты пространства К последовательность {fn(x)\,
сходящаяся в себе, сходится к некоторому элементу у ? К.
Полагая
мы получаем некоторое отображение пространства X в про-
пространство К.
Переходя в неравенстве A) к пределу при т->оо, по-
получим, что
при /г^/го(е) и сразу для всех х?Х, откуда следует, что
f?M{X, К) и что fn(x)-+f(x) равномерно на X.
Обозначим через С(Х, Y) множество всех равномерно
непрерывных отображений из М(Х, У). Легко убедиться,
что предел равномерно сходящейся последовательности равно-
равномерно непрерывных отображений есть также равномерно
непрерывное отображение, откуда вытекает, что множество
С(Х, У) замкнуто в пространстве М(Х, К).
Введем, наконец, еще одно определение. Отображения /,
входящие в некоторое семейство QaC(X, Y), называются
равностепенно непрерывными, если для любого г > О
найдется 6 > 0, зависящее лишь от 8, такое, что
при р (xv х2) < б сразу для всех / ? Q и независимо от выбора
точек л:1 и jc2G X.
Теорема 2. Для того чтобы из семейства Q не-
непрерывных отображений компактного множества X
в компакт У можно было выделить равномерно схо-
сходящуюся последовательность, необходимо и доста-
достаточно, чтобы отображения семейства Q были равно-
равностепенно непрерывны.
Мы докажем лишь достаточность сформулированного
условия.
Прежде всего замечаем, что У как компакт есть огра-
ограниченное множество, и, следовательно, все отображения
семейства Q равномерно ограничены.
§ 2] КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 241
Поэтому QaC(X, К). Так как С(Х, У) замкнуто
в М(Х, К), то для доказательства компактности Q в С(Х, Y)
достаточно установить его компактность в М(Х, Y).
Для произвольного е > 0 выберем 6 > 0 так, чтобы
при p(xv лг2)<6 сразу для всех /GQ, что возможно в силу
равностепенной непрерывности отображений. Возьмем затем
конечную у-сеть xv х2* . .. > хп в множестве X, Введем
множества
Эти множества не пересекаются, дают в сумме все Xt
и диаметр каждого X\ не превосходит 6. Пусть, далее, yv
у2, ..., уп есть -^--сеть для компакта К. Рассмотрим всевоз-
всевозможные функции g(x)?M(X, К), принимающие на мно-
множествах Xi постоянные значения yj. Эти функции образуют
конечную е-сеть для множества Q. В самом деле, возьмем
любое отображение / ? Q. Для произвольного х ? X и
любой g(x) имеем
где х^ выбрано так, что л: ^ Xг Поэтому, в силу B) и так
как х и xt принадлежат одному и тому же Xt,
откуда
Выберем теперь g(x) так, чтобы g(Xt) = yj удовлетворяло
неравенству
Тогда для любого х ? X
242 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
и, следовательно,
Р(/. ?) = supp(/(*), ?(*))<е.
х
Как подмножество полного метрического пространства
М (X, К), имеющее конечную е-сеть, множество Q ком-
компактно, и теорема доказана.
Критерии компактности в Lp [О,1]. Пусть х (t) ? Lp [О, 1].
Продолжим функцию x(t) за пределы отрезка [0, 1], полагая
л*(/) = 0, если t лежит вне этого отрезка. Тогда для любого
отрезка [а, Ь] числовой оси интегралы
ь ь
J\x(t)\dt и f\x(t)\pdt
имеют смысл.
Признак компактности в ?р[0, 1] (теорема
М. Рисе а). Для того чтобы семейство функций
было компактно» необходимо и достаточно, чтобы
функции семейства были равномерно ограничены по
норме и равностепенно непрерывны в среднем, т. е.
чтобы
1
1
2. f\x(t-{-h) — x{t)\p dt<zp при 0</г<6(е) сразу
о
для всех функций семейства.
Необходимость. Необходимость условия 1 очевидна.
Докажем выполнение условия 2. Так как К — компактное
множество, то при любом е > 0 для этого множества суще-
существует конечная —-сеть xx(t), x2(t), ..., xn(t). Так как
каждая функция из Lp [0, 1] непрерывна в среднем, то для
любого / найдется б; такое, что
1
КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 243
при ()</*<&,. Пусть 6 = min6^. Тогда
1
/
о
при 0 </г < 6 и для всех /=1, 2 д.
Возьмем произвольную функцию x(t)?K. Найдется функ-
функция xt(t) такая, что
1
о
Имеем при 0 < h < 6
< Ш *(' +А)-*,(/+А)|'| +
Но
1 1
Г | л (/+ А) — х, (/+ А)|" Л = f | jt E) — х, (s) \p ds <
О А
1
(здесь мы воспользовались тем, что х (t) и xt (t) равны нулю
вне [0, 1]). Из последних двух неравенств следует, что
(/'
( — x{t)\pdt <e
244
КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. V
при 0 < h < 6, и так как x(t)—любая функция из /С, то
необходимость условия 2 доказана.
Достаточность. Рассмотрим средние функции Стеклова
Имеем
t-h
t+h
f X(T)dt
t-h
t + h
t + h
t-h
t-h
C)
t-i u-i h
t+h
t + u-h
2/2
I x(x)dx— I x(x)dx
u-h t-h
t + h
I x(x-\-u)dx— f x (t) dx
t-h
t+h
I
t-h
) — x(x) \p dx
D)
Из условий 1 и 2 и неравенств C) и D) следует, что
при фиксированном h функции семейства {jca(O} длял:(/N^
равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Сле-
§ 2]
КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ
245
довательно, семейство {xh(t)\ компактно в смысле равномер-
равномерной сходимости, а тем более в смысле сходимости в среднем
с показателем р. С другой стороны,
/ + А
l*@ MOK j |*@ *(t)|rfx
t-h
h
/ \
-h
Отсюда
/
4 h
f\ f
J I J
0 [ -A
dt =
-h 0
-A
1
так как (в силу условия 2) Г
х (t) \p dt < ep, если
о
|т| <б. |Таким образом, семейство \xh(t)) образует е-сеть
для семейства /С, и так как эта е-сеть компактна, то по
следствию из теоремы Хаусдорфа компактно и само мно-
множество /С.
Приведем без доказательства еще два критерия компакт-
компактности множеств в пространстве Lp[Q, 1].
Теорема А. Н. Колмогорова. Множество
KaLp[0, 1] компактно тогда и толь/со тогда, когда
1) нормы функции х (t) ? К ограничены в сово-
совокупности;
2) для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что
при /г<6 сразу для всех функций x(t)?K.
246 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
Будем говорить, что семейство функций М= \x{f)) имеет
равностепенно абсолютно непрерывные нормы, если для
каждого г > О можно указать 6 > 0 такое, что
всякий раз, когда mes Е < 6 (здесь у^Е (t) — характеристиче-
характеристическая функция множества Е).
Теорема М. А. Красносельского [16]. Пусть
семейство KaLp[Ot 1] имеет равностепенно абсолютно
непрерывные нормы и компактно в смысле сходимости
по мере. Тогда это семейство компактно в смысле
сходимости в среднем.
Критерий компактности в пространстве Q. Рассмотрим
совокупность кривых [q)t заданных уравнениями
x = x(t)t y = y(t), * = *(/). 0</<l, E)
где х (t), y(t) и z (t) — непрерывные функции параметра.
Если заданы две кривые q и /?, то, записав их уравнения
в виде равенства E), будем относить друг другу точки кривых,
отвечающие одинаковым значениям параметра. Пусть d—мак-
d—максимум расстояний между соответственными точками обеих
кривых. Число d зависит от выбора параметрического пред-
представления кривых. Будем считать расстояние p(q, p) равным
точной нижней границе чисел d при всевозможных параме-
параметрических представлениях обеих кривых.
Легко проверить, что введенное таким образом расстояние
между кривыми удовлетворяет всем аксиомам метрики. Полу-
Полученное пространство будем называть пространством Q.
Это пространство играет важную роль в вариационном исчи-
исчислении. Можно доказать, что Q — полное пространство.
Теорема Гильберта. Совокупность КczQ, состоя-
состоящая из спрямляемых кривых, расположенных в конец*
ной части пространства и имеющих ограниченные
в совокупности длины, компактна.
Пусть длины кривых q?K не превосходят /. Разобьем
каждую кривую q?K на п дуг равной длины и соединим
точки деления отрезками. Получим ломаную qn. Каждая из дуг
кривой q и соответственно сторон ломаной qn не превосхо-
превосходит —. Расстояние между точками такой дуги и точками
стягивающей ее хорды — стороны ломаной qn — не превосхо-
КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 247
2' о
дит —. Введем на q и qn такие параметрические предста-
представления, чтобы вершинам ломаной qn отвечали в обоих
представлениях числа вида —, & —0, 1 /г, и чтобы,
—-,—-*—), мы получали дугу
кривой q и соответствующую сторону ломаной qn. Расстоя-
Расстояние между точками линий q и qn, отвечающими одинаковым
2/
значениям параметра, не превосходит —. Следовательно, и
Таким образом, совокупность Кп ломаных qn образует
2/
сеть для К. Но каждая ломаная определяется 3 (лг —[— 1)
координатами ее д-f-l вершин. По условию теоремы они
ограничены в совокупности. Поэтому Кп компактно. А тогда,
по следствию 1 теоремы 3 § 1, компактно и К.
Эта теорема используется для доказательства существова-
существования геодезических линий.
Критерий компактности в пространстве с базисом.
Теорема 3. Для компактности множества К
банахова пространства Е с базисом необходимо и
достаточно, чтобы К было ограничено и чтобы для
любого числа е > 0 существовал номер п0 такой, что
\\Rnx\\ <e для п^п0 и любого х из К *).
Необходимость. Ограниченность множества К выте-
вытекает из следствия 3 теоремы 3 § 1. Докажем выполнение
второго условия.
Возьмем некоторое число ц > 0 и построим конечную
rj-сеть для К : {хг, ..., xk). Для любого х ? К найдем xi%
принадлежащий г|-сети такой, что ||лс —лс^Ц <г). Будем иметь*)
их-xt||н- I!Saxt-Snx||-f II/?„*,!
*) Операторы S и R см. на стр. 171, оператор А на стр. 169.
248 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
Для каждого фиксированного х Rnx~>0 при п—>уэ. По-
Поэтому найдется такое /г0, что ||/?„.*;,• || < ц при п^п0 для
/ = 1, 2, .... k. Поэтому
для п > п0. Достаточно теперь взять г| = е , чтобы
2-f* IIЛ ||
получить требуемое неравенство, так как номер п0 не за-
зависит от того, какой х взят в множестве К-
Достаточность. Докажем, что при выполнении ус-
условий теоремы существует для любого е > 0 конечная
е-сеть для множества /С. Для этого, имея заданным е, вы-
выберем п0 так, чтобы || RnQx || < -д- для всех лс?/<\ Рассмот-
Рассмотрим затем множество /СЛо, состоящее из элементов вида Sn9x9
где х ^ /С. Это множество /С«о можно рассматривать как
множество, расположенное в /^-мерном пространстве ЕПааЕ,
определенном элементами ev e2 еПо. Так как, кроме
того, в силу неравенства
и предположенной ограниченности множества К множество КП(>
ограничено, то оно компактно, и поэтому в Еп^ существует
конечная -^-сетъ для КПо- Но эта же сеть будет, очевидно,
е-сетью для множества /С, и требуемое доказано.
Критерий компактности в 1р. Для компактности
множества Kczlp необходимо и достаточно, чтобы
множество К было ограниченным и чтобы для любого
е > 0 существовал номер % зависящий лишь от е,
оо
такой, что 2 \h\P<?P для п^>по « для любого
Доказательство сразу следует из предыдущей теоремы,
если заметить, что в 1р
§ 2] КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 249
Пример. Рассмотрим в /2 множество элементов х = \\{\ та-
таких, чтоО<;|л<; —, т. е. основной параллелепипед координатиою
гильбертова пространства. Из предыдущего критерия следует, что
этот параллелепипед компактен. П. С. Урысон доказал, что всякое
сепарабельное метрическое пространство гомеоморфно некоторому
подмножеству основного параллелепипеда пространства /2 [32].
Конечномерность и компактность. Известно, что в
/г-мерном евклидовом пространстве всякое ограниченное мно-
множество компактно. Докажем, что компактность ограниченных
множеств есть характеристическое свойство конечномерных
линейных нормированных пространств.
Теорема 4. Для того чтобы подпространство L
линейного нормированного пространства Е било ко-
конечномерным, необходимо и достаточно, чтобы каж-
каждое ограниченное множество элементов из L было ком-
компактно.
Необходимость. Пусть L /г-мерно. Тогда L гомео-
гомеоморфно л-мерному евклидову пространству Еп. Ограничен-
Ограниченное множество MdL взаимно однозначно и взаимно непре-
непрерывно преобразуется в ограниченное множество NaEn, и
так как N в Еп компактно, то М в L также компактно.
Достаточность. Предположим, что каждое ограни-
ограниченное множество элементов из L компактно. Возьмем в L
произвольный элемент xv \\хх\\=\. Обозначим через Lx
подпространство, порождаемое элементом х{. Если L = L1,
то теорема доказана. Если же Lx не совпадает с L, то по
лемме § 3 гл. II найдется в L элемент х2 такой, что
11*211=1 И
Обозначим через L2 подпространство, порождаемое элемен-
элементами хх и jc2. Имеются две возможности: либо L== L2 и
теорема доказана, либо L2 не совпадает с L. Тогда по лемме
найдется элемент х3 такой, что
• 11*з —*2ll>-
Продолжим этот процесс. Тогда можно сделать два пред-
предположения: либо для некоторого п Ln совпадет с L и
теорема будет доказана, либо мы построим бесконечную
250 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА ГГЛ. V
последовательность {хп} такую, что ||*я||= 1 и \\хп—хт\\^>^
при пфт для любых пит. Но вторая возможность от-
отпадает, так как она означала бы существование ограничен-
ограниченного (||*„||= 1) и некомпактного (\\хп — хт\\^-^при пфт\
множества, что противоречит условию теоремы.
Задача о наилучшем приближении. П. Л. Чебышев
исследовал задачу о наилучших приближениях функций ли-
линейными комбинациями заданных функций. Придерживаясь
принятой здесь терминологии, это были аппроксимации в
пространствах С, /,2,р*). L и т. п.
Рассмотрим задачу о наилучшей аппроксимации произволь-
произвольного элемента х нормированного пространства Е линейными
комбинациями заданной конечной системы линейно незави-
независимых элементов xv лс2, .... хп?Е- Докажем, что задача
о наилучшей аппроксимации разрешима [2].
п
Лемма. При неограниченном возрастании 2^?
функция
— k2x2 — .. . — Хпхп || -> оо.
Мы имеем
Рассмотрим другую непрерывную функцию от парамет-
параметров Aq, Я2. .... Лл —
••• +Кхп\\-
На сфере /г-мерного евклидова пространства
1
1
п
(являющейся компактным в себе множеством) эта функция
достигает наименьшего значения \х, которое больше нуля
в силу линейной независимости элементов xv х2, . .., хп.
*) На стр. 84 мы определили комплексное пространство L2 p.
Здесь мы рассматриваем вещественное Л2р, которое определяется
аналогично.
§ 2] КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ
Пусть задано произвольное k > 0. Если
251
у 2! а,? >!
то
V h
/pr,-l
и лемма доказана.
Теорема. Существуют вещественные числа
Xf\ ..., Х^ такие, что величина
минимум при Хг = lf\ X2 = l^ hn — № *).
Утверждение теоремы очевидно, если х линейно зависит от
xv xv ..., хп. Будем теперь считать, что х не лежит в
подпространстве, порожденном элементами xv x2, ..., хп~
Прежде всего ясно, что (p(A,lt X2, ..., кп) есть непрерывная
функция своих аргументов, что следует из неравенства
S
max |А,, —|1,|2
1 < / < п i = 1
— S Mill—Ik —
2
*) То есть в конечномерном пространстве, порождаемом эле-
элементами хь х2у .... хп, имеется элемент, наиболее близкий к х.
252
В силу леммы
шара
КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА ГГЛ. V
! вне некоторого
Так как этот шар компактен в себе, то <p(kv Х2 ^л)
как непрерывная функция достигает на нем своего наимень-
наименьшего значения v в некоторой точке (kf\ kf\ .... if). Но
\<ф@, 0, .... 0) = 11*11. Поэтому v есть наименьшее зна-
значение функции ф^, Х2 Ял) на всем пространстве то-
точек Xv jC2» •••• ^я» чем ^орема и доказана.
Линейная комбинация
дающая наилучшую аппроксимацию элемента х, в об-
общем случае не является однозначной. Для получения одно-
значности на аппроксимирующие выражения
ПРИ"
холится налагать дополнительные условия. Так, в простран-
пространстве С[0, 1] рассматривают системы функций, удовлетво-
удовлетворяющие так называемому условию Чебышева. Однако можно
указать некоторые пространства, в которых наилучшая ап-
аппроксимация всегда определяется однозначно.
Пространство Е называется строго нормированным,
если при хфд, уФд равенство ||# + у|| = ||л:||-Н|у|| воз-
возможно лишь при у = ах, где а > 0.
Нетрудно показать теперь, что в строго нормированном
пространстве наилучшая аппроксимация определяется одно-
однозначно. В самом деле, если существуют две линейные ком-
бинации
\lixi такие, что
X —
§2]
КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ
253
где
X
d
—
= min
X -
n
V ^ + il*
n
xt
. 1
^ 2
> 0, то
9 ^ Zi A/*/
¦о л?—Zj*1^
а так как
то
Следовательно,
л: —
~2 '
л: —
* I ^ ^ /
Отсюда в силу строгой нормированности пространства
( п л
= а л: — 2 ^/^/ [ •
Если бы а^=1, то л: было бы линейной комбинацией эле-
элементов хх% х2* ..., хп, что по предположению исключается.
Поэтому а = 1. а тогда
254 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
откуда в силу линейной независимости элементов xv x2, ...
.. •, хп следует, что
Я,/= 11/, /= 1, 2 я,
и требуемое доказано.
Примерами строго нормированных пространств могут
служить Lp [О, 1] и 1р для р > 1. Пространство С [0, 1] не
является строго нормированным. Чтобы убедиться в этом,
достаточно рассмотреть две неотрицательные линейно неза-
независимые функции x(t) и у (t) ? С [О, 1], имеющие макси-
максимальные значения в одной и той же точке отрезка [0, 1].
Для таких функций, очевидно,
хотя уФах. Читатель легко может убедиться, что L [О, 1]
и / также не являются строго нормированными простран-
пространствами.
Слабая компактность. Нижеследующая теорема является
весьма важной и часто используется в приложениях функ-
функционального анализа.
Теорема 5. Если пространство Е сепарабельно,
то всякий шар в сопряжением пространстве Е* слабо
компактен, т. е% из любой последовательности линей-
линейных функционалов [fn] с ограниченными нормами мо-
можно выделить подпоследовательность, слабо сходя-
сходящуюся к некоторому линейному функционалу /0.
При рассмотрении пространства операторов было пока-
показано, что это пространство полно в смысле точечной схо-
сходимости операторов. Так как для линейных функционалов
понятия точечной и слабой сходимости совпадают, то прост-
пространство ?"* линейных функционалов полно в смысле слабой
сходимости. Поэтому достаточно доказать, что из всякой
последовательности \fn) линейных функционалов с ограни-
ограниченными нормами можно выделить подпоследовательность,
слабо сходящуюся в себе. Без ограничения общности можно
считать, что ||/я||^1. Пусть xv х2, ...» хп, ...—счетное
всюду плотное в Е множество. Так как
то {/„ (jcj)} — ограниченная числовая последовательность.
§ 2] КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 255
Поэтому из нее можно выделить сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность
Рассмотрим последовательность функционалов f/ m
Так как
то // (i)(^2)l — ограниченная числовая последовательность.
Поэтому из нее можно выделить сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность
/яB) (*2)' /лB) (*2)' • • •' /яB)
Продолжая так дальше, можно построить последовательность
функционалов |/ (з)|, сходящуюся на xv и так далее. При
этом существенно отметить, что каждая следующая подпо-
подпоследовательность является частью предыдущей и поэтому
сходится на каждом элементе, на котором сходятся преды-
предыдущие подпоследовательности.
Построим «диагональную подпоследовательность»:
/ЯП). /„B), .... /„<*). ...
Легко видеть, что эта подпоследовательность сходится для
любого хт из рассматриваемого счетного всюду плотного
множества. В самом деле, для этого достаточно заметить,
что / (m), / (m + i). • • • есть часть последовательности f/ (тЛ,
которая сходится для хт по построению. Поэтому и вся по-
последовательность {/ (k)\ СХОДИТСЯ ДЛЯ Хт.
Так как нормы функционалов последовательности If (k)\
\ пк \
ограничены в совокупности и эта последовательность схо-
сходится на множестве [xv х2 хп,. . .}, всюду плотном в Е9
то по теореме 2 § 4 гл. IV последовательность {/ {к)\
слабо сходится.
Теорема доказана.
256 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
Следствие. В пространствах 1р и Lp[0, 1] вся-
всякий шар слабо компактен.
Это следует из того, что lp = l*q, Lp[0, 1] = L*g [О, 1]
и lQ, Lg[0, 1] сепарабельны.
Замечание. Легко убедиться в том, что всякий шар
в Е* слабо замкнут. Следовательно, если он слабо
компактен, то слабо компактен в себе.
§ 3. Универсальность пространства С [0, 1]
В 1923 г. советский математик П. С. Урысон доказал,
что существуют «универсальные» сепарабельные метриче-
метрические пространства, т. е. такие, которые содержат части,
изометричные любому сепарабельному метрическому прост-
пространству. Впоследствии польские математики С. Банах и
С. Мазур доказали, что одним из универсальных пространств
является пространство С [0, 1].
Доказательство теоремы Банаха и Мазура связано со
свойством слабой компактности сопряженных пространств.
Теорема 1. Всякое сепарабельное пространство Е
типа В изометрично и изоморфно подпространству
пространства С [О, 1].
Пусть S — шар ||/||<;i в пространстве Е*, причем за
сходимость в S принимается слабая сходимость линейных
функционалов. В силу теоремы 5 § 2 S—компактное в себе
множество. Пусть av a2, ..., ап, ...—счетное всюду
плотное множество на единичном шаре ||л;||^1 простран-
пространства Е. Для любого функционала / ? S положим / (ak) = t^k,
|Ь1<1. ft =1.2. ... Если /я-^/о (/„, fo?S), то
l{k) = fn(ak)~>fo(^k) = l{k)' Таким образом, каждому f?S
соответствует элемент у =={??} (|Л = /(ak)) пространства s
и /л—->/о влечет за собой уп->у0 для соответствующих
элементов пространства s. Пусть N — множество точек про-
пространства s, соответствующих функционалам f?S. Тогда N
есть непрерывный образ компактного в себе множества и,
следовательно, также компактное в себе множество. Легко
видеть, что обратное отображение N на 5 также однозначно
и непрерывно. В самом деле, пусть f (ak) = y(ak), k= 1, 2, ...
§ 3] УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА С [0,1) 257
Для любого x?Et || х 11^1, выберем а^ так, чтобы
II* — я*о11<8- Тогда
откуда, в силу произвольности е, / (x) = q(x), т. е. / = ф.
Далее, если /п(ак)->/0(ак), А=1, 2 то в силу
ограниченности норм функционалов (||/я||, ||/0!|<^0 отсюда
следует /„—->/<). и взаимная однозначность и непрерыв-
непрерывность соответствия 5 <-> N доказана.
По теореме 6 § 1 М как компактное в себе множество
метрического пространства есть непрерывный образ канто-
рова совершенного множества Ро. Таким образом, каждому
t?P0 отвечает функционал ft?S, совокупность всех ft
совпадает с 5 и ft —•>/, при tn->t.
Выберем произвольный элемент х?Е. По определению
слабой сходимости функционалов
ftn(x)~>ft(x) при tn-*t.
При фиксированном х ft(x) есть, следовательно, непрерыв-
непрерывная функция от t?P0, которую мы обозначим <f>x(f):
<Ы0 = //(*)• A)
Функцию ф^@» определенную на Ро, доопределим линейно
и непрерывно на смежных к Ро интервалах. Тем самым по-
получим непрерывную функцию q>x(t)t определенную на от-
отрезке [0, 1], т. е. принадлежащую С [0, 1]. По определению
нормы в С [0, 1] имеем
Цф*Ис= тах 1<Ы0|.
По вследствие линейности q>x(t) на интервалах, смежных
к PQt максимум ф^@ на [0, 1] совпадает с максимумом q>x(t)
па Ро. Поэтому
С другой стороны, для t?PQ в силу A) имеем
258 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
и, следовательно,
max | <р, @1< ||* || я. B)
t?P9
Далее, для данного х можно построить функционал /0
с нормой, равной единице, для которого
Так как fo^St то существует to?Po, для которого
/,3 — /о-
Следовательно,
/,.(*) = 11*11*
?,«>) = II* II*
и потому
||>|Ня. C)
Из B) и C) следует, что
^0| = |М|?. D)
Из построения функции q>x(t) видно, что если хг?Е
соответствует ф^,(/) и х2?Е соответствует фл-2@» ТО ^1 + ^2
соответствует Флг, @ + Флг2 @ и кх соответствует Яф^.^).
Следовательно, мы имеем изоморфное отображение простран-
пространства Е на часть пространства С [0, 1]. Так как в силу изо-
изоморфизма элементу хх — х2 соответствует функция qXl (t) —
— Флг2(О» т0 по формуле D) получаем
т. е. соответствие пространства Е части пространства С [0, 1]
не только изоморфно, но и изометрично.
Теорема полностью доказана.
Теорема 2(Фреше). Всякое метрическое сепара-
бельное пространство X изометрично части некото-
некоторого сепарабельного пространства типа В.
Пусть М = {л:0, хг хп, ...} — счетное всюду плот-
плотное множество в пространстве X. Отнесем каждому элементу
? точку у=г(т1,-} пространства т, где
ц1^=р(х, x^ — p^Xq, xt)t 1=1, 2, 3, ...
§ 3] УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА С [0,1] 259
В силу аксиомы треугольника
Ы = |р(*. xt) — р(*0. */)|<Р(*. *о).
и, следовательно, {г];} — ограниченная последовательность,
т. е. у действительно есть точка пространства т.
Пусть элементам х и хг из X отвечают в нашем ото-
отображении элементы ^={1^} и / = {г]^ из т. Имеем
= sup
1 = sup It]
i '
\[p{X, X})
==s
1/ — 4I =
>-p(x0.
lup |р(лг,
xt)]-
xi)-
Пусть теперь е — произвольное положительное число,
меньшее чем р(дт, х'). Существует точка хп счетного всюду
плотного множества М такая, что р(х, #л)<у. Следова-
Следовательно,
х) — р(х.
и потому
Чя—л;| = |р(^«. х) — р(д:л. л
Отсюда
*')-в. F)
Так как е > 0 — любое, то из F) следует, что
НУ-/Н>Р(*. х'). G)
Сравнивая E) и G), получаем
Ну —/II =р(*. х'). (8)
Итак, расстояние между точками х и х' в X равно рас-
расстоянию между соответствующими точками у и у' в т, и,
следовательно, пространство X изометрично некоторой ча-
части L пространства т. Очевидно, эта часть пространства пь
сепарабельна.
260 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА [ГЛ. V
Пусть Е— подпространство пространства т, порожден-
порожденное элементами множества L. Тогда Е есть некоторое сепара-
бельное пространство типа В. X изометрично части этого
пространства, и теорема доказана.
Теорема 3 (Банаха — Мазура). Всякое метриче-
метрическое сепарабельное пространство изометрично неко*
торой части пространства С[0, 1].
Доказательство непосредственно следует из теорем 1 и 2.
Приведем в заключение еще одно свойство универсаль-
универсальности пространства С[0, 1] в несколько ином смысле.
М. Г. Крейн в связи с некоторыми вопросами теории момен-
моментов и теории линейных интегральных уравнений построил
теорию конусов в пространствах Банаха [18].
Конусом в пространстве Е называется замкнутое выпук-
выпуклое множество КаЕ, обладающее тем свойством, что если
х?К(хфО), то Хх?К при >,>0 и кх$К при к < 0, и
если х, у?К, то лт + у^/С. Конус называется нормальным,
если для любых двух элементов х, у?К с ||*|| = \\y\\ = 1
имеет место
где 6 — фиксированное положительное число. Например,
совокупность неотрицательных функций из пространства
С [0, 1J образует в нем нормальный конус. Имеет место сле-
следующая
Теорема 4 (М. Г. К рей на [17]). Если К—нор-
К—нормальный конус сепарабельного пространства ?\ то
существует взаимно однозначное линейное отображе-
отображение пространства Е в подпространство простран-
пространства С[0, 1], при котором элементы из К и только
они переходят в неотрицательные функции.
Если Е не сепарабельно, то имеет место аналогичная тео-
теорема с заменой С[0, 1] на пространство С (Q) непрерывных
функций на некотором бикомпакте Q.
ГЛАВА VI
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1. Вполне непрерывные операторы
Определение. Линейный оператор Л, определенный на
линейном нормированном пространстве Ev с областью значе-
значений, расположенной в линейном нормированном простран-
пространстве Еу, называется вполне непрерывным, если он отобра-
отображает всякое ограниченное множество пространства Ех в ком-
компактное множество пространства Еу.
Очевидно, всякий вполне непрерывный оператор является
ограниченным. Далее, в силу теоремы 7 § 1 гл. V всякий
линейный ограниченный оператор А отображает компактное
множество в компактное. Свойство полной непрерывности
является, вообще говоря, более сильным по сравнению с
простой непрерывностью. Так, например, единичный опера-
оператор в бесконечномерном пространстве Е не является вполне
непрерывным, поскольку он отображает единичный шар на
себя, а он не компактен.
Пример. Пусть Ех « Еу = С [0, 1J и
1
Ах = у (t) = Г К (t, s) х (s) ds,
о
где К (ty s) — непрерывное в квадрате О < t, s < 1 ядро. Докажем,
что оператор А вполне непрерывен. Пусть {х (t)} — ограниченное
множество функций из С [0, 1], ||*||-<г. Очевидно, функции
1
l, s) х (s) ds,
где х (t) — функция из рассматриваемого множества, равномерно
ограничены. Действительно, если К = max | К (t, s) |, то | у (t) | < Кг.
Далее, функции у (t) равностепенно непрерывны. В самом деле,
пусть задано е > 0. В силу равномерной непрерывности ядра К (t, s)
262 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
найдется такое б > 0, что
\K(tu s)-K(t2t s)\<y
для |/i — t2\<b и любых s?[0, I]. Но тогда
l
IУ C^i) — У Са) \<JlK(tus) — K (t2t s)\\x(s)\ds<e
о
всякий раз, когда \tx —121 < б для всех рассматриваемых функ-
функций у @ сразу, что и означает равностепенную непрерывность
функций у (t).
В силу теоремы Арчела множество функций {у {f)} компактно
в смысле метрики пространства С [О, I], и полная непрерывность
оператора А доказана.
Лемма. Если последовательность {хп} слабо схо-
сходится к х0 и компактна, то она сально сходится к х0.
Пусть это не так. Тогда найдутся число е0 > 0 и не-
неограниченно возрастающая последовательность индексов
nv n2 nky ... такие, что
Так как последовательность [хп{] компактна, то она содержит
подпоследовательность {^/у}, сильно сходящуюся к некото-
некоторому элементу «0. Тем более хП{ — ->и0. Так как в то же
время хп — ->дг0, то «0 = л:о.
Мы получили, что, с одной стороны,
а с
Это противоречие доказывает лемму.
Теорема 1. Вполне непрерывный оператор А ото-
отображает слабо сходящуюся последовательность в сильно
сходящуюся.
Пусть последовательность \хп] слабо сходится к л:0.
Тогда нормы элементов этой последовательности ограничены
и [хп}> как ограниченная последовательность, оператором А
§ 1] ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 263
переводится в компактную последовательность {ул), где
Уп = А*п-
С другой стороны, по теореме б § 4 гл. IV
Уп = Ахп -^ Ахо = Уо-
Но тогда в силу леммы уп->у0, и теорема доказана.
Пусть А — вполне непрерывный оператор, отображающий
бесконечномерное банахово пространство Е в себя и В — про-
произвольный линейный оператор, действующий в том же про-
пространстве. Тогда АВ и В А — вполне непрерывные операторы.
В самом деле, оператор В преобразует произвольное
ограниченное множество МсЕ в ограниченное множество
В(М), и это множество оператор А преобразует в компакт-
компактное множество А (В(М)). Следовательно, оператор АВ пере-
переводит любое ограниченное множество в компактное и потому
вполне непрерывен.
Аналогично показывается, что и оператор ВА вполне
непрерывен.
Так как единичный оператор / не вполне непрерывен, то
отсюда, в частности, следует, что вполне непрерывный опе-
оператор А не может иметь ограниченного обратного опера-
оператора Л.
Наконец, очевидно, что если операторы А и В вполне
непрерывны, то аА-\-$В также вполне непрерывный оператор.
Теорема 2. Если последовательность вполне непре-
непрерывных операторов {Ап}> отображающих простран-
пространство Ех в полное пространство Ег равномерно схо-
сходится к оператору А, т. е. \\Ап — Л||->0, то А также
вполне непрерывный оператор.
Требуется доказать, что А отображает всякое ограничен-
ограниченное множество пространства Ех в компактное множество
пространства Еу.
Пусть М — ограниченное множество пространства Ех и
/• — константа такая, что ||*||<;г для любого х?М. Для
заданного е > 0 найдем номер п0 такой, что
\\АЯ1-А\\<±.
Пусть Л(М) = /С и Ano(M) = N. Множество N есть е-сеть
для К. В самом деле, взяв для любого у ? К один из его
264 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
прообразов х ? М и положив у0 = Л„ол; ? N, будем иметь
Так как, с другой стороны, в силу полной непрерывности ЛП9
и ограниченности М множество N компактно, то мы полу-
получаем, что К при любом е > 0 имеет компактную е-сеть и
потому само компактно. Итак, оператор А отображает произ-
произвольное ограниченное множество в компактное и, следова-
следовательно, вполне непрерывен. Теорема доказана.
Пример. Покажем, что если Ек*= Еу — L2 [О, 1], то оператор
1
Ах = у (/) = J К (/, s) х E) ds%
где
j j К2 (t, s)dtds<+oo
о о
вполне непрерывен.
Предположим сперва, что К (U s) — непрерывное ядро. Пусть
М — ограниченное множество из L2[0, 1] и
ж*
о
для всех х if) ? М. Рассмотрим множество функций
1
у (/) = J К (Л 5) х (s) ds, х (t) ? М.
о
Докажем, что функции у (t) равномерно ограничены и равностепенно
непрерывны. Отсюда будет следовать компактность множества {у (/)}
в смысле равномерной сходимости и тем более в смысле сходимо-
сходимости в среднем квадратичном.
Имеем
IУ (О I
J К (t, s) х (s) ds
1 - 1
x2 (s) ds < Kr,
§ П ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 265
где K = max\K(t, 5I, и, следовательно, функции у (t) равномерно
/, s
ограничены. Далее
1 , 2.
<е
:tf[K(tvs)-K(t2,s)]^sYtfx2(s)dsV
при \tl—t2\ <6, где 6 выбрано так, чтобы при \tx —12\ < 6 было
\K(tlt s) — K(t2, s)\ <-.
г
Оценка | у (t{) — у (t2) | < е не зависит от положения tx и t2 на [0, 1]
и от выбора функции у (t) ? M\ следовательно, функции у (t) равно-
равностепенно непрерывны.
Итак, в случае непрерывного ядра оператор А вполне непре-
непрерывен.
Предположим теперь, что Kit, s)— произвольное ядро с сум-
суммируемым квадратом. Возьмем последовательность непрерывных
ядер [Kn(t> s)}> сходящуюся в среднем к К (t, s), т. е. такую, что
1 1
I J {К(t, s) — Кп(t, s)}2 dt ds->0, при п->oo.
о о
Положим
l
Anx = Г Кп (t, s) x (s) ds.
0
Имеем
\\Ax-Anx\\= J \fK{t.s)x(s)ds — $Kn{t.s)x(s)d&\
I 0 \_0 0 J
( 1 p 1 -12 JJ
= l Г Г (К V, s) -— Kn (t, s) )x(s)ds\ dt\ <
J J I
!o [o J J
l P l l -j
J j(K (t s)—Kn (t, s) у ds j x* (s) ds dt
о [о о J t
dt
!
о о
266 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
Следовательно,
I1
откуда вытекает, что \\ А — Л„||->0 при л->оо. Так как все опера-
операторы Ап вполне непрерывны, то по доказанной только что тео-
теореме А также вполне непрерывен.
Замечание. Предел точечно сходящейся последова-
последовательности \Ап) вполне непрерывных операторов может
и не быть вполне непрерывным. В самом деле, в беско-
бесконечномерном пространстве Банаха Е с базисом [et) рассмот-
рассмотрим операторы Sn, заданные равенством
п со
snx = 2 l^i
n
Оператор Sn отображает Е в конечномерное пространство Еп
и потому вполне непрерывен. При #—>оо последовательность
операторов Sn точечно сходится к единичному оператору /,
который не является вполне непрерывным.
Теорема 3. Область значений вполне непрерывного
оператора А сепарабелъна.
В самом деле, пусть множество Кп является образом шара
ЦхЦ^/г. Так как А вполне непрерывен, то Кп — компакт-
компактное, а следовательно, и сепарабельное множество (см. стр. 230).
Пусть Тп — счетное множество, всюду плотное в Кп. Так
как область значений оператора А есть К= М /Ся. то
сю
Т — U Тп будет счетным множеством, всюду плотным в К,
п = 1
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Если А — вполне непрерывный опера-
оператор, отображающий Ех в Еу, то сопряженный опера-
оператор Л*, отображающий Е*у в Ех, также вполне непре-
непрерывен.
Достаточно доказать, что образ Л*Eу) единичного шара S*
пространства Еу компактен.
S П ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 267
Рассмотрим образ A (Sx) замкнутого единичного шара
пространства Ех, Так как А — вполне непрерывный опера-
оператор, то -d(S^) — компактное множество. Будем рассматривать
на этом множестве линейные функционалы, принадлежащие Sy.
Если f?S*y, у?А($х)> то
I/G0KII/II НуII = 11/11 И*||<||/|| ||л|| 1МК1ИЦ,
так как ||/||^1, ||х||^1. Следовательно, функционалы
из Sy на множестве Л E*) равномерно ограничены. Далее,
для yl *
и, следовательно, на A (Sx) функционалы из Sy равностепенно
непрерывны. В силу обобщения теоремы Арчела (гл. V,
стр. 240) множество Sy компактно в смысле равномерной
сходимости на А (Sx).
Рассмотрим теперь произвольную последовательность
{A fn} с: J? (Sy). Так как множество 5у компактно, то из
последовательности {/„} можно выделить подпоследователь-
подпоследовательность {/fljjt равномерно сходящуюся на A(SX):
при nif п*->оо.
Но
sup | /Я/ (Ах) — fnj (Ах) | = sup | A* (fni — fnj) x (=
^\\A*fni-A*fnj\\.
Поэтому последовательность (Л*/лЛ сходится по норме
в пространстве Ех и компактность A*(Sy) доказана.
Аппроксимация вполне непрерывного оператора в ба-
банаховом пространстве с базисом конечномерными опера-
операторами. Рассмотрим вполне непрерывный оператор А,
отображающий банахово пространство Е с базисом само
в себя. Пусть 5 — единичный шар этого пространства
и К—совокупность элементов вида у = Ах, где х S
268 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
Так как А вполне непрерывен, то К—компактное множество.
Тогда по теореме 3 § 2 гл. V для любого числа е > 0 най-
найдется номер п = п(г) такой, что \\Rny\\ <e для всех у?К.
Фиксируя это п, получаем
Ах = у = Sny + Rny = Sn (Ax) + Rn (Ax) = Агх + А2х,
где Ах и Л2, очевидно, линейные операторы. При этом,
полагая
оо
будем иметь
откуда видно, что оператор Ах — конечномерный в том смысле,
что для любого х элемент Ахх принадлежит конечномерному
подпространству, определяемому базисными элементами ev
ev .... еп.
Далее
sup \\A2x\\ = sup\\Rny\\ <e,
откуда следует, что
\\А2\\<е.
Итак, вполне непрерывный оператор А мы разложили
на сумму двух операторов, из которых один конечномерный,
а норма второго не превосходит наперед заданного числа,
которое можно выбрать сколь угодно малым. Поэтому иногда
говорят, что вполне непрерывные операторы в пространстве
с базисом почти конечномерны.
§ 2. Линейные операторные уравнения
с вполне непрерывными операторами
В этом параграфе мы рассмотрим линейные операторные
уравнения с вполне непрерывными операторами. Как было
показано Ф. Риссом, на такие уравнения переносятся основ-
основные результаты теории линейных интегральных уравнений
Фредгольма.
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 269
Две леммы. Пусть Л — вполне непрерывный оператор,
отображающий банахово пространство Е в себя. Рассмотрим
уравнение
Ах — х = у A)
или
Тх = у, (Г)
где Т — А — /. Одновременно с уравнением A) будем рас-
рассматривать уравнение
A*f-f = g B)
ИЛИ
T*f = g. B')
где А* — оператор, сопряженный с Л и действующий в про-
пространстве Е*. Как было показано, Л* также вполне непре-
непрерывный оператор.
Лемма 1. Пусть N— подпространство нулей опе-
оператора 7\ т. е. совокупность элементов х таких,
что Тх = 0. Тогда N— конечномерное подпростран-
подпространство пространства Е.
Пусть М — произвольное ограниченное множество из N.
Для любого x?N имеем Ах = х> т. е. оператор А оставляет
инвариантными элементы подпространства Af и, в частности,
множество М переводит само в себя. С другой стороны, А.
как вполне непрерывный оператор переводит М в ком-
компактное множество. Следовательно, всякое ограниченное
множество MczN компактно, откуда в силу теоремы 4 § 2
гл. V следует конечномерность подпространства N.
Замечание. Элементы подпространств N являются
собственными элементами оператора Л, соответствующими
собственному значению Хо= 1. Формулировка теоремы и ее
доказательство остаются справедливыми, если 1 заменить
любым другим собственным значением X, отличным от нуля.
Таким образом мы доказали, что вполне непрерывный опе-
оператор А может иметь лишь конечное число линейно
независимых собственных элементов, соответствующих
одному и тому же собственному значению.
Лемма 2. Пусть L = T(E), т. е. L есть совокупность
элементов у?Е, которые могут быть представлены
в виде у —Ах — х. Тогда L—подпространство.
То, что L — линейное многообразие, очевидно. Необхо-
Необходимо доказать лишь замкнутость L.
270 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ {ГЛ. VI
Покажем сперва, что существует константа а, зависящая
лишь от Л, такая, что всякий раз, когда уравнение
Тх = у (Г)
разрешимо, по крайней мере для одного из его решений
выполняется неравенство
1М1<а|Ы|. C)
Пусть лг0—одно из решений уравнения A'). Тогда любое
другое решение этого уравнения имеет вид
где z — решение однородного уравнения
Т(х) = 0. (Г)
Рассмотрим функционал
Это — ограниченный снизу, непрерывный функционал. Пусть
а = in! ф (z),
и {zn}czN— минимизирующая последовательность, т. е.
Последовательность {|]л;о + zn\\) как имеющая предел огра-
ограничена. Но тогда ограничена и последовательность {||^п||}. ибо
Таким образом \zn) есть ограниченная последовательность
конечномерного пространства и, следовательно, из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность. Отбрасывая,
если необходимо, лишние члены в последовательности [zn)9
мы можем считать без ограничения общности, что zn->zQ.
Тогда
Ф(гл)->ф(*о). E)
Из D) и E) следует, что
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 271
Следовательно, в случае разрешимости уравнения A') оно
всегда имеет решение
с минимальной нормой.
Покажем, что для этого элемента справедливо неравен-
неравенство C). Рассмотрим отношение
11*11
IIУII
и предположим, что это отношение не ограничено. Тогда
существуют последовательности уп и хп такие, что
Так как Хуп соответствует, очевидно, минимальное реше-
решение %xtv то без ограничения общности мы можем считать,
что || *л || = 1; тогда ||уя||->0. Так как последователь-
последовательность \хп) ограничена и оператор А вполне непрерывен, то
последовательность {Лхп} компактна и, следовательно, содер-
содержит сходящуюся подпоследовательность. Снова без ограни-
ограничения общности можно считать, что
Ахп -> х0. F)
Но тогда, так как
хп = Ахп — уп%
будем иметь
хп -> х0
и, следовательно,
Ахп ~> AxQ. G)
Из F) и G) следует, что
Axq = дг0»
т. е. xQ?N. Но тогда, в силу минимальности нормы реше-
решения xtv будем иметь
II ?л — ^о11>11^л11=ь
что противоречит сходимости [хп] к х0.
272 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
Итак, j—j ограничено, и если
то требуемое неравенство доказано.
Пусть теперь дана последовательность {yn}aL, сходя-
сходящаяся к у0. Переходя, если необходимо, к подпоследова-
подпоследовательности, можно считать, что
b ylK
откуда
Пусть х0— минимальное решение уравнения Тх = ух и хп,
п=\, 2, ...,—минимальное решение уравнения
Тх = Уп+\ — Уп-
Тогда
Из этой оценки вытекает, что ряд 2 хп сходится, и если х
сумма этого ряда, то
п
T[\im 2 J
\ 0 / п k^O
k ~1
и мы получили, что
Лемма полностью доказана.
Теорема 1. Для того чтобы при данном у?
уравнение (V) было разрешимо, необходимо и доста
точно, чтобы f(y) = Q для любого линейного функцио
нала f такого, что
Необходимость. Пусть уравнение
Ах — х — у
разрешимо, т. е. у может быть представлен в виде у =
§ 21 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 273
= Ах0— х0 для некоторого хо?Е. Возьмем произвольный
линейный функционал / такой, что
А*/-/ = 0.
Тогда
/ (У) = / (Лх0 -xo) = f (Лх0) - / (xQ) = A*f (х0) - f (x0) =
и необходимость доказана.
Достаточность. Покажем, что при выполнении
условий теоремы справедливо включение y?L — T (Е). Пред-
Предположим противное, т. е. что y?L. Так как L замкнуто,
то у находится от L на расстоянии d > 0 и по следствию
из теоремы Банаха—Хана существует линейный функционал /0
такой, что /0(у)— 1 и /0B) —0 для любого z ? L. Послед-
Последнее равенство означает, что
/0 (Ах — х) = (Л7о — /о) * = О
для всех х?Е, т. е. что
Мы пришли к противоречию, так как, с одной стороны,
по построению /0(з0=1, а с другой стороны, по условию
/0(у) = 0. Следовательно, у ? Z,, и достаточность доказана.
Замечание. Уравнение Тх = у, обладающее тем свой-
свойством, что оно имеет решение, если f(y) = O для любого /,
удовлетворяющего равенству T*f ¦= 0, называется нормально
разрешимым. В предыдущей теореме, по сути дела, дока-
доказано, что для нормальной разрешимости уравнения
Тх = у достаточно, чтобы L = T(E) было замкнуто.
Можно доказать, что это условие является и необходимым
(см. [34]).
Следствие. Если сопряженное однородное урав-
уравнение
имеет лишь нулевое решение / = 0, то уравнение
Ах — х = у
разрешимо при любой правой части.
271 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
Теорема 2. Для того чтобы уравнение B) при
данном g?E* было разрешимо, необходимо и доста-
достаточно, чтобы g(x) — Q для любого элемента х?Е
такого, что
Лх — х = 0 (Г*)
Необходимость очевидным образом следует из равенства
Докажем достаточность.
На подпространстве L определим функционал /0О0
с помощью равенства
/о (У) = *(*)•
где х — один из прообразов элемента у при отображении Т
(т. е. Ах — х = у). При выполнении условий теоремы опре-
определение функционала /0 однозначно, так как если и — дру-
другой прообраз того же элемента у,
Ах — х = Аи — и%
то
А{х — и) — (х — и) = О,
откуда
g(x — u) = 0,
т. е.
Аддитивность и однородность функционала / проверяется
без труда, а его ограниченность доказывается следующим
образом. Как было установлено при доказательстве леммы 2,
по крайней мере для одного из прообразов х элемента у
имеет место неравенство
Но тогда
и ограниченность /0 доказана. Продолжая /0 по теореме
Банаха — Хана на все пространство ZJ, мы получим линей-
линейный функционал / такой, что
§ 2J ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 275
ИЛИ
т. е. решение уравнения B).
Следствие. Если уравнение Ах — х = 0 имеет лишь
пулевое решение лг = О, то уравнение А*/— / = g раз-
разрешимо при любой правой части g.
До сих пор мы исследовали связи между данным и со-
сопряженным уравнениями. Теперь покажем, что между раз-
разрешимостью однородного и неоднородного уравнений в одном
и том же пространстве также существует тесная связь.
Теорема 3. Для того чтобы уравнение
Ах — х — у, A)
где А — вполне непрерывный оператор, отображающий
банахово пространство Е в себя, было разрешимо
при любом у, необходимо и достаточно, чтобы соот-
соответствующее однородное уравнение
Ах — х = 0 (Г*)
имело лишь тривиальное решение х — 0. В этом слу-
случае решение уравнения A) определяется однозначно,
и оператор
Т = А — 1
имеет ограниченный обратный.
Необходимость. Обозначим через Nk подпространство
нулей оператора Tk. Ясно, что из Ткх = 0 следует Тк+1х =- 0.
т. е. NkczNk+l.
Пусть уравнение
Ах — х = у
разрешимо при любом у, и предположим, что однородное
уравнение
Ах — х = 0
имеет ненулевое решение хг. Пусть х2—решение уравнения
Ах — x = xv и вообще хк + г — решение уравнения
Ах — x = xk, ft= 1, 2. 3, ...
Имеем
Тхк = xk^v Т xk = xk_2* •••.» Т хп =
276 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ГЛ. VI
в то время как
Tkxk = Тхх = 0.
Поэтому xk?Nk, и xk?Nkm.v т. е. каждое подпростран-
подпространство Nk_x будет правильной частью следующего подпро-
подпространства Nk. Тогда по лемме § 2 гл. II в подпростран-
подпространстве Nk найдется элемент yk с нормой, равной единице,
такой, что
для любого x^Nkmml. Рассмотрим {Лу^,}. Эта последова-
последовательность компактна, так как ||ул|| = 1 и А — вполне непре-
непрерывный оператор. С другой стороны, пусть ур и yq — два
таких элемента и р > q. Так как
- Туя) = Tp-lyq + Трур - Труд = 0,
ТО
Уд+ТУр — ТУд?Мр-\>
и потому
II Аур- Ayq|| = \\ур- {уя + Тур- Ту,)\\>\.
Это противоречие возникло из предположения, что разре-
разрешимость уравнения A) совместима с наличием у A*) ненуле-
ненулевого решения. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть уравнение A*) имеет лишь
тривиальное решение. По следствию из теоремы 2 уравнение
A*f-f = g B)
будет тогда разрешимо при любой правой части. Так как Л*
также вполне непрерывный оператор и ?* — банахово про-
пространство, то к уравнению B) применима только что дока-
доказанная необходимая часть настоящей теоремы и уравнение
A*f-f = 0 B*)
будет иметь лишь нулевое решение. Но тогда уравнение A)
по следствию из теоремы 1 будет разрешимо при любом у,
и достаточность доказана.
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 277
Так как при выполнении условий теоремы уравнение A)
однозначно разрешимо, то существует оператор
обратный к оператору А— /. В силу однозначности един-
единственное решение в то же время будет и минимальным,
и поэтому
Теорема полностью доказана.
Теорема 4. Уравнения
Ах — х = 0 (I*)
и
A*f-f = 0 B*)
с вполне непрерывными операторами А и А*, отобра-
отображающими банахово пространство Е (соответ-
(соответственно Е*) в себя, имеют одинаковое число линейно
независимых решений.
Пусть х{, дг2, ...» хп — базис подпространства /V решений
уравнения (Г) и fv /2, ..., /т — базис подпространства
решений уравнения B*).
Построим систему функционалов ф^ ф2 ф„, биорто-
биортогональных хх, х2 хп, т. е. таких, что
Ф/(Ху) = 6/у, /, j= 1, 2 /г,
и систему элементов zv z2 zm% биортогональных fv
/г» •••• fm- Предположим, что п < т. Рассмотрим оператор
п
Ux = Ах -f- 2 Ф/ (х) zi-
i = l
Этот оператор вполне непрерывен как сумма вполне непре-
непрерывного и конечномерного операторов. Покажем, что урав-
уравнение
Ux — х = О
имеет лишь нулевое решение. Пусть д:0 — решение этого
уравнения. Тогда
fk(Uxo—xo)=-Ot k=lt 2 mt
278 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
ИЛИ
( \
fk [Ахо — хо + 2 Ф/ (*о) 2/1=0.
откуда
(A*fk - fk) х0 + Jj Ф^ (*о) Л (*д = 0.
J
и, следовательно, с учетом биортогональности {ft) и {zt),
==0' 4=1. 2 п (п<т).
Поэтому Uxo = Axo и, следовательно, х0 yдoвw^eтвopяeт
уравнению
Ах0— лго = О.
Так как xo?N и {л:/}—базис в ЛЛ то
0 2д lif
Но |? = ф; (лг0) = 0. Поэтому х0 = 0, что и требовалось
доказать.
Так как уравнение
Ux — * = 0
имеет лишь нулевое решение, то уравнение
Ux — х — у
разрешимо при любой части, в частности при у = 2гя+1.
Пусть хг — решение этого уравнения. Тогда, с одной
стороны, как и выше,
а с другой стороны, по построению /rt+iCz,,+i)= 1. Полу-
Полученное противоречие доказывает невозможность неравен-
неравенства п < т.
§2] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 279
Предположим, что, наоборот, т <п. Рассмотрим в про-
пространстве Е* оператор
Е
Легко проверить (учитывая, что т < /г), что этот оператор
сопряжен с оператором U, в котором п заменено на т.
Покажем, что и для оператора U* уравнение
имеет лишь тривиальное решение. Имеем для всех k =
= 1, 2 п
(U*f -/)** = (Л*/ - /) хк + 2 / (г,) Ф/ (xft) =.
= f(Axk-xk) + f(zll) = f(zk). (8)
Поэтому, если /0 — решение уравнения U*f — / = 0, то из (8)
получаем, что fo(zk) = O, /г=1,2, .... т. Следовательно,
U*fQ = A*f0 и /0 есть решение уравнения A*f — / = 0. Но
тогда
т т
i -1 i = 1
Так как U* — вполне непрерывный оператор, то по тео-
теореме 3 уравнение
разрешимо при любом g> в частности при ? = фт+1. Тогла,
с одной стороны, если /' — решение такого уравнения, то
<Pm+l (*m+l) = (^Т — Г)хт+Х = (A*f - /')
т
+ 2 f
/ = 1
а с другой стороны, q>m + i(*m+i)==0.
Полученное противоречие доказывает невозможность не-
неравенства т < я. Итак, /я = п, и теорема доказана.
Объединяя результаты теорем 1—4, мы можем сформу-
сформулировать следующее предложение, являющееся обобще-
обобщением на произвольные уравнения с вполне непрерывнькми
280 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
операторами известных теорем Фредгольма из теорий линей-
линейных интегральных уравнений.
Даны уравнения
Ах — х = у A)
A*f-f = g. B)
где Л — вполне непрерывный линейный оператор, действую-
действующий в банаховом пространстве /;, а Л* — сопряженный опе-
оператор, действующий в сопряженном пространстве Е*. Тогда
либо уравнения A) и B) разрешимы при любых правых
частях, и в этом случае однородные уравнения
Ах — лг = О, A*)
A*f — / = 0 B*)
имеют лишь нулевые решения, либо однородные уравнения
имеют одинаковое конечное число линейно независимых
решений
х\> Х2 хп> /l» /2 /я»
в этом случае, чтобы уравнение A) (соответственно B))
имело решение, необходимо и достаточно, чтобы
//(У) = 0, /=1. 2, .... п
(соответственно g(xl) = 0, i=\t 2 n).
Общее решение уравнения A) имеет тогда вид
где х0—какое-нибудь решение уравнения A), а аг, а2, ...
,.., ап — произвольные постоянные. Соответственно общее
решение уравнения B) имеет вид
где /о — какое-нибудь решение уравнения B), a Xv
.... Ля — произвольные постоянные.
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 281
Более глубокое изучение уравненрш A) приводит к следующим
результатам. Обозначим через Lk область значений оператора
где Ak — снова вполне непрерывный оператор.
В силу леммы 2 каждое Lk есть подпространство. Если
? то
y = Tkx= Tk~l (Tx) = Tk'lz,
т. е. y^Lk_x и, следовательно, подпространства Lk образуют убы-
убывающую последовательность.
Напомним еще, что через Nk мы обозначили подпространство
нулей оператора Tk.
Теорема 5. Среди подпространств Lk есть лишь конеч-
конечное число различных, и точно так же среди подпространств Nk
есть лишь конечное число различных.
Докажем предварительно, что если Lm — Lm+b то Lm = L^ для
всех k > т. Возьмем произвольный элемент y^Lm+i, Имеем
Но так как Lm = Lm+U найдется элемент хг такой, что
Ттх=Тт+1х'.
Поэтому
у = Т(Ттх) = Т (Тт+1х) = Тт+2х\
т. е. y?Lm+2- Отсюда
аналогично,
Предположим теперь, вопреки утверждению теоремы, что для
каждого п имеем Ln Ф Ln+X. Так как Ln+l a Lnt то по лемме § 2
гл. II в Ln найдется элемент хп с нормой, равной единице,
такой, что
для всех
Рассмотрим последовательность {хп}. Эта последовательность
принадлежит единичному шару пространства Е и потому последо-
последовательность {Ахп} должна быть компактной. Но, с другой сто-
стороны, имеем
Ахп —- Ахп+р = хп — 7 хп Xn+f) "т* * хп+р а
= хп — \1 хп 4~ хп+р — *хп+р)*
282 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
Элемент
У === * хп i хп+р
так как
Txn
и
Но тогда в силу построения последовательности {лг^} будем иметь
\\Ахп — Ахп+р || = || хп — у || > у,
и последовательность {Ллгл} некомпактна. Полученное противоре-
противоречие доказывает первую часть теоремы. Аналогично доказывается
вторая (что, по существу, нами уже сделано при доказательстве
теоремы 3).
Теорема 6. Для любого вполне непрерывного оператора А
существует разложение пространства Е в пряную сумму под-
подпространств U и V
E = U®y9 (9)
причем
1) подпространство V конечномерно;
2) оператор А — / взаимно однозначно отображает U на
себя и V в себя;
3) оператор А допускает представление в виде суммы двух
операторов Аи и Av:
А = Аа + Л„, A0)
где Аа и Av — вполне непрерывные линейные операторы, ото-
отображающие Е в U и соответственно в V\ оператор Аи — /
обратим и
Л А АЛ Л
•ritt'rtV ""¦" V**lt """"" v*
Пусть v — наименьшее из натуральных чисел п таких, что
Ln*=Ln+1. Пусть ^/ = LV, V = Nv. Как было показано раньше,
U и V — подпространства. Так как 7"v = ± (^4V — /), где Av — вполне
непрерывен, то в силу леммы 1 V, подпространство Nv нулей опе-
оператора Av — /, конечномерно.
Пусть x^U и у = Тх. Так как x?Lv, найдется элемент х' ?Е
такой, что х = Тхх'. Тогда
и, следовательно, образ элементов подпространства U принадлежит
тому же подпространству.
Пусть теперь у — произвольный элемент из U:
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 283
Найдется элемент х'?Е такой, что
где
Следовательно, каждый элемент y^U есть образ некоторого эле-
элемента x?U и оператор Т отображает U на U.
Отсюда в силу теоремы 3 следуют взаимная однозначность
отображения 7\*: = у, x?U, и существование у оператора 7*, рас-
рассматриваемого лишь на элементах подпространства ?/, ограниченного
обратного оператора.
Пусть x?V*=Nv. Это значит Tvx*=0 или Tv~l (Тх) = 0. Но
тогда Tx?Nv_1aNv и, следовательно, оператор Г отображает V
в себя.
Теперь нетрудно доказать равенство (9). Пусть Ти — опера-
оператор Т, рассматриваемый как оператор, действующий в U. Как ска-
сказано выше, этот оператор имеет обратный. Для произвольного х ? Е
положим и ев T~vTvx и v=*x — и. Очевидно, u?U. Так как, далее,
то ?
Если теперь
— другое представление элемента х?Е, где u?U и v? V, то имеем
r'jr-.rZ+r'v-r'S. (U)
потому что 7^ «= 0. Так как а ^ U, то из равенства (II) получаем
и однозначность представления доказана.
Отметим, что так как Т и Т~1 — линейные операторы, то
а следовательно, и
Введем операторы Аи и Av% полагая для произвольного
Аих ^ Аи и Avx «s Hi/.
В частности, v4ttt» = Avu « 0. Так как
у4адг— Ги + и и ^^=^1/ + ^.
то из доказанных ранее соотношений 7 (if) а» ?/ и Т (V) с К следует,
284 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1ГЛ. VI
что Au^U и Av?V. Поэтому операторы Аи и Av отображают
Е соответственно в U и V. Ясно, что
а) Аа и Av — линейные ограниченные операторы,
б) А = Аа + ^»
в) Л„ (Avx) = Л„ (Л„лг) » О,
г) Av — вполне непрерывный оператор, так как он отображает
пространство Е в конечномерное подпространство V; но тогда и
Аа — вполне непрерывный оператор.
Рассмотрим, наконец, уравнение
х = у=и-+ v. A2)
Пусть Xq — решение уравнения
Ах — х «г и,
которое в силу обратимости У = Л — / на U существует. Рассмо-
Рассмотрим элемент хо = Xq — v. Имеем
Ai*o"""-*oe ли(хо — v) — *о + v — ^4u'vo~~A:o+ v e и + v e У»
и, следовательно, уравнение A2) всегда разрешимо. Но тогда по
теореме 3 оператор Аи — / имеет ограниченный обратный, и тео-
теорема полностью доказана.
В заключение этого параграфа рассмотрим уравнения,
содержащие параметр. Так как уравнение
Ах — Хх = у, 1фО, (Ц)
может быть записано в виде
и у Л вполне непрерывен вместе с Л, то теоремы, дока-
доказанные для уравнения A), остаются справедливыми для урав-
уравнения (Ц).
Из теоремы 3 следует, что при данном Я ф 0 или урав-
уравнение
Ах — Хх = у
разрешимо при любой правой части, или однородное урав-
уравнение
Ах — Хх = О
имеет ненуле&ые решения. Поэтому каждое значение пара-
параметра X ф 0 либо регулярно, либо является собственным
§ 2] ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 285
значением, и других ненулевых точек спектра, кроме соб-
собственных значений, у оператора А нет *).
Теорема 7. Если А — вполне непрерывный опера-
оператор, то спектр его содержит конечное или счетное
множество точек. Все собственные значения располо-
расположены на отрезке [—||Л||, ||Л||] и в случае счетного
спектра имеют единственную предельную точку А, = 0.
Рассмотрим оператор
Преобразовав этот оператор к виду
мы видим, что в силу результатов § 5 гл. Ill при
-щ\\Л\\<1
оператор
,-1л,
а следовательно, и оператор 7\, имеет обратный, т. е. дей-
действительно спектр оператора А лежит на [—\\A\\, ||Л;||.
Пусть 0<а<||Л||. Чтобы завершить доказательство, доста-
достаточно показать, что может существовать лишь конечное
число собственных значений X таких, что | А, | ^> а.
Предположим противное. Тогда мы можем выделить по-
последовательность
Alf А2» .... Хп, ...
различных собственных значений, причем | Я./1 ^ а. Пусть
xv xv ..., хп, ...—последовательность собственных эле-
элементов, соответствующих этим собственным значениям
Докажем, что элементы xv x2 xk при любом k
линейно независимы. Для k = 1 это тривиально. Пусть х{1
xOf .-.. хь — линейно независимы.
*) Размерность подпространств нулей оператора А — XI назы-
называется кратностью собственного значения X. Из леммы 1 следует,
что все ненулевые собственные значения вполне непрерывного опе-
оператора имеют конечную кратность.
286 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
Если предположить, что
k
**+1 = Д1*л. A3)
то, действуя на обе части этого равенства оператором Л,
будем иметь
k
**+i**+i = 2 Vi*/- О4)
/ = 1
Из A3) и A4) следует (так как Ял+1 =? 0), что
Но это невозможно в силу неравенств
1— -г^-фО
и линейной независимости хх> х2, .... хк.
Пусть Lk — подпространство, порожденное элементами
¦*р х2 xk. Lk есть собственное подпространство про-
пространства Lk+V Поэтому найдется элемент
такой, что
Ьк*\ — х\\>-
для любого x?Lk. Оценим \\Аут—Ауа\\9 полагая, напри-
например, что ffi > п. Имеем
где x = Xnya + Tknyn-Tlmym.
Заметим теперь, что
/я m -1
§ 3] ПРИНЦИП ШАУДЕРА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 287
Поэтому Tkmym?Lm_r Так как y^^
ТкпУп^1п-1С:1т-1' то *€Ал-1- ПОЛОЖИМ X == 1т\>,
Уб^-m-i- Будем иметь
и, следовательно, ни {^4уЛ}. ни любая ее подпоследователь-
подпоследовательность не сходятся, С другой стороны, так как \уп)—огра-
\уп)—ограниченное множество, то {Ауп} компактно и, следовательно,
содержит сходящуюся подпоследовательность. Полученное
противоречие доказывает теорему.
Теорема 7 характеризует так называемую «дискретность»
спектра вполне непрерывного оператора.
§ 3. Принцип Шаудера и его применения
Пусть М— множество банахова пространства Е и А — опе-
оператор, вообще нелинейный, определенный на множестве М
и отображающий это множество в себя.
Оператор А называется компактным на множестве Mt
если всякое ограниченное подмножество этого множества
он переводит в компактное. Если, кроме того, оператор А
непрерывен на Ж, то мы будем называть его вполне не-
непрерывным на этом множестве (если А линеен, то это опре-
определение совпадает с прежним). Не уменьшая общности, мно-
множество М можно предполагать в дальнейшем ограниченным.
Для вполне непрерывных операторов, которые отобра-
отображают выпуклые тела банахова пространства в себя, Ю. Шау-
дером установлена теорема, обобщающая известную теорему
Брауэра о существовании неподвижной точки при непрерыв-
непрерывном отображении выпуклого тела n-мерного евклидова про-
пространства в свою часть. Эта теорема Шаудера имеет много-
многочисленные применения для доказательства существования ре-
решения различных уравнений.
Три леммы. Для доказательства теоремы Шаудера уста-
установим предварительно три вспомогательные леммы.
Пусть М — множество элементов банахова пространства
и {Ап}—последовательность операторов, вообще нелиней-
нелинейных, определенных на М. Будем говорить, что эта после-
последовательность равномерно на М сходится к оператору Л^,
288 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
если для любого числа е > 0 найдется номер я0, зависящий
лишь от е, такой, что
\\Апх — Л0*||<е
при п^>п0 и для любого х?М.
Лемма 1. Если последовательность [Ап] вполне не-
непрерывных на М операторов равномерно сходится на
этом множестве к оператору AQt то Ао также вполне
непрерывен на М.
Докажем сперва непрерывность оператора Ао на М.
Пусть [хп] а М сходится к хо?М. Имеем
\\А0хт ~ А)*о11< А0хт ~ Апхт\
В силу того, что последовательность операторов [Ап] равно-
равномерно на М сходится к оператору AQt для заданного е > О
найдется номер п0 такой, что при п^п0
\\ Аахм — Аохт ||< -J-, || Апх0 — Аохо\\ < -J-.
Фиксируем такое п.
Так как оператор Ап непрерывен, то найдется номер т0
такой, что при т^>> т0 будем иметь
\\Anxm—AaX0\\<-j.
Но тогда при т !> т0
т. е. оператор Ао непрерывен.
Докажем компактность оператора Ао, для чего покажем,
что множество А0(М) компактно.
Для заданного е > 0 выберем п0 так, чтобы
\ <е
для всех х?М. Это можно сделать в силу равномерной
сходимости последовательности [Ап] к Ао. Пусть N = Ап^(М).
Множество N компактно и является 8-сетью для множе-
множества А0(М) (см. доказательство теоремы 2 § 1). Отсюда
следует, что А0(М) компактно.
Итак, AQ — непрерывный и компактный оператор, и лемма
доказана.
§ 31 ПРИНЦИП ШАУДЕРА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 289
Лемма 2 (Ю. Шаудера). Всякий оператор А,
вполне непрерывный на множестве М, есть равномер-
равномерный предел на этом мноэюестве последовательности [Ak]
непрерывных конечномерных операторов {отображаю-
{отображающих М в конечномерное подпространство простран-
пространства Е).
Так как А — вполне непрерывный оператор, то А (М) —
компактное множество. Возьмем последовательность положи-
положительных чисел {ел}, сходящуюся к нулю, и для каждого k
построим е^-сеть
для множества А (М), состоящую из точек этого множества.
Определим на А (Ж) оператор Pk, полагая для у.? А (М)
. 0)
где
т \ ч~\\у-
если ||у_
Равенство A) имеет смысл для любого у?А(М), так как
все М^ЧзО^-О» и М'^)(У)>^ по крайней мере для одного /.
Оператор Pk (у) непрерывен на А (Ж). Это следует из
что все \^^{у) — непрерывные функции, а следова-
ъ
тельно, 2 V^ЧУ) — также непрерывная функция от у. Кроме
того, 2 М^} (У) > 0 Для каждого у ^ Л (Ж), откуда вытекает
/=i '
непрерывность частного
290
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
[ГЛ. VI
а, следовательно, и выражения
(у)
/=1
т. е. оператора Рк(у). Далее,
у —
(у)
'(у)
так как если для некоторого / имеем
то соответствующий коэффицент \if) (у) равен нулю.
Полагая теперь для х ? М
Akx = Pk(Ax),
получим последовательность конечномерных операторов [Ak]
таких, что
|| Ах - Akx || = || Ах - Pk (Ax) || < гк
для любого х ? М% и лемма доказана.
Замечание. Так как элементы yf) принадлежат
множеству А(М), то значения операторов, построен-
построенных в лемме 2, принадлежат выпуклой оболочке мно-
множества Л (Ж).
§ 3] ПРИНЦИП ШАУДЕРА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 231
Лемма 3. Пусть последовательность [Ап] опера-
операторов, вполне непрерывных на множестве М, равно-
равномерно сходится на атом множестве к оператору Ао.
Пусть, далее,
тогда множество
п-0
компактно.
По лемме 1 оператор Ао вполне непрерывен. Так как
последовательность \Ап) равномерно сходится к оператору Ао,
то для любого е > 0 и любого у^Кп при n^nQ (e) найдется
и?К0 такой, что
Это возможно в силу того, что если у — произвольный эле-
элемент из Кп и х — один из прообразов у np;i отображении Ап,
то достаточно в качестве и взять и = Ао (х).
По
Построим множество A/ = [J/Crt. Легко видеть, что оно
компактно. Покажем, что это множество есть е-сеть для /С.
Пусть у?К. Если
доказывать нечего.
Если же у?Кп при n>nQt то, как показано выше, су-
существует и?К0 такой, что
Следовательно, N является компактной е-сетью для множе-
множества К* и потому множество К компактно.
Принцип неподвижной точки Ю. Шаудера. Теоре-
Теорема 1. Если вполне непрерывный оператор А ото-
отображает ограниченное замкнутое выпуклое множе-
множество S банахова пространства Е на свою часть,
то существует неподвижная точка этого отображе*
ния, т. е. такая точка х ?5, что Ах = х.
Возьмем последовательность положительных чисел [еп],
сходящуюся к нулю, и построим согласно лемме 2 последо-
292 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЙ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. Vt
вательность непрерывных конечномерных операторов Ап%
равномерно сходящихся на множестве 5 к оператору А.
По замечанию к лемме 2 и в силу того, что 5 выпукло,
Апх ? S для любого х ? S. Пусть Еп — конечномерное под-
подпространство, в котором расположено множество An(S). Рас-
Рассмотрим оператор Ап на множестве
подпространства Еп. Ясно, что Sn — также выпуклое замкну-
замкнутое множество.
Так как
An(S)dS и An(S)aEnt
то
и тем более
An(Sn)aSn.
Таким образом, оператор Ап, рассматриваемый на конечно-
конечномерном пространстве Еп, отображает замкнутое выпуклое
множество Sn этого пространства в себя, и потому по теоре-
теореме Боля — Брауэра (см. дополнение IJI) существует неподвиж-
неподвижная точка этого отображения, т. е. такая точка хп?Sn% что
Апхп = хп.
Но так как SncS, то хп является неподвижной точкой опе-
оператора Ап и при отображении этим оператором множества S.
Так как каждое
то последовательность \хп) принадлежит множеству
В силу леммы 3 множество 5 компактно. Тогда из после-
последовательности \хп) можно выделить сходящуюся подпосле-
подпоследовательность [хп.\ и предел х0 этой подпоследовательности
будет принадлежать 5 в силу замкнутости S.
Покажем, что х0 есть неподвижная точка оператора Л.
§ 31 ПРИНЦИП ШАУДЕРА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ 293
Имеем
1М*о —*о!К
< |) Ах0 — Ахп. |) +1| АхП1 — Ап.хп.|| +1| АПгхн — *о || =
= || Ахо - Ах п. || -+- || Axnt — Ап.хп. || + || хП{ — х0 ||.
Для заданного е > 0 выберем сперва п' настолько боль-
большим, что при nt^nr
ll*»f-*°li<T и
Затем выберем п" настолько большим, что при п
равномерно на S и, в частности, для всех хп . Тогда для
nt ^no= тгх(п\ п") будем иметь
\\Ах0 — хо\\ <е.
Так как е > 0 произвольно, то это возможно, лишь если
Ахо = х0, т. е. если х0 есть неподвижная точка оператора А.
Принцип Шаудера доказан.
В качестве примера применения принципа Шаудера докажем
известную теорему Пеано о существовании решения обыкновенного
дифференциального уравнения.
Теорема 2. Пусть функция f (/, х) непрерывна по сово-
совокупности переменных в области \t — ^0|<а, | х — xQ |< b, и
Р — максимум | / (tt x) | в этой области. Если
¦ min
(«¦})•
то на отрезке [tQ — А, *о+Л] существует хотя бы одно реше-
решение уравнения
удовлетворяющее условию
х (t0) = х0. C)
Уравнение B) вместе с начальным условием C) эквивалентно
интегральному уравнению
/
/т. D)
294
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
(ГЛ. VI
Рассмотрим оператор А, определенный равенством
Ах = х0 4- J / (т, х (т)) dx
t
т. е. оператор А непрерывен на шаре И* — 01К
Далее, для любого элемента x(t) шара \\х —
иа шаре || д: — *0Ц<6 пространства С [t0 —- h% t0-f h]. Покажем,
что оператор А вполне непрерывен на этом шаре.
Прежде всего, если последовательность {xn(t)}t принадлежащая
шару || х — х01| < Ь% равномерно сходится к функции х (/), очевидно,
принадлежащей тому ж*е шару, то в силу непрерывности функции
/ (t, x) будем иметь
/(*. *я @ )->/(',* @)¦
равномерно на [t0— htt^-\-h\. Отсюда в силу возможности пре-
предельного перехода под знаком интеграла при равномерной сходимости
Ахп ~> Ах,
имеем
Если tx и t2 — две любые точки отрезка [tQ — ht /<>+Л], то будем
иметь
ff(xtx(x))dx
tx
Неравенства E) и F) в силу теоремы Арцела показывают, что
оператор А преобразует шар ||л: —дго||< Ь в компактное множество.
Покажем, наконец, что оператор А преобразует этот шар в себя.
В самом деле,
\x(x))dx
\Ax(t) — xo\
Таким образом, оператор А удовлетворяет всем условиям теоремы
Шаудера. Поэтому существует неподвижная точка этого оператора,
т. е. такая функция х (t), что
§ 4] ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ 295
Это равенство равносильно двум равенствам:
Теорема Пеано доказана.
При доказательстве теоремы Пеано мы применили принцип
Шаудера к установлению существования решения интегрального
уравнения D). Этот же принцип позволяет установить существование
решений у более сложных нелинейных интегральных и интегро-
дифференциальных уравнений.
§ 4. Полная непрерывность оператора вложения
С. Л. Соболева
Выше было показано (стр. 119), что из принадлежности
функции ф(д:, у) классу W® следует принадлежность этой же
функции классу W^ при k < /.
Введем оператор Л, определенный для всех функций
ф(*» y)€W/? и переводящий cp(Jt, у) в эту же самую функ-
функцию, но уже рассматриваемую как элемент пространства W*p *•
Ясно, что для разных k это будут, по существу, различные
операторы. Оператор Л называют оператором вложения.
Оператор Л, очевидно, линейный и неравенство на стр. 119
показывает, что А ограничен.
Докажем, что А является даже вполне непрерывным опе-
оператором. Полная непрерывность оператора А будет вытекать
из следующей теоремы.
Теорема (В. И. Кондратов а). Пусть Ж—огра-
Ж—ограниченное множество в пространстве Wf. Если р > 2,
то множество А (Ш) компактно в смысле равномерной
сходимости) если р^С2, то А (Ш) компактно в смысле
метрики пространства Lp(Q).
По формуле С. Л. Соболева
k=Q *,
296
ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
[ГЛ. VI
В силу непрерывности —^—~р слагаемые первой группы
формулы A) представляют собой интегральные операторы
с непрерывными ядрами и, следовательно, будут вполне не-
непрерывными операторами и в метрике C(G) и в метрике Lp(G).
Необходимо поэтому исследовать лишь слагаемые последней
группы формулы A). Ядра Л$2(/\ Q) интегральных опера-
операторов, входящих во вторую группу слагаемых, имеют вид
AiPtQ)==B(P,Q)
ИЛИ
А(Р, Q) = B(Pt Q)(<xlnr + P).
где В (Я, Q) — ограниченная функция
\В(Р, Q)\<C
Докажем полную непрерывность интегрального оператора
с таким ядром.
Рассмотрим случай р > 2 и ограничимся первым выра-
выражением для А(Р, Q). Имеем
B)
Здесь К — константа, ограничивающая нормы функций ф(лс, у)
р
в пространстве Wf, и В—значение интеграла I r~<i+ldrt
о
который сходится, если q < 2, т. е. если р > 2.
Далее, вводя для сокращения обозначения
§ 4] ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ
будем иметь
297
//
1 Г Г\ 1 L_|| <*Р
I J_J I rp+\p, q rp, q 11 dxli ду1'
1
rP + AP>Q
V
rP, Q
ду1
dQ
C)
где Об обозначает часть области О, состоящую из точек,
удаленных от точки Р менее чем на 26. Будем считать, кроме
того, что расстояние от точки Р до точки Р-{-\Р не пре-
превосходит 6.
В силу всего этого под знаком первого интеграла,
гр> Q
стоящего в фигурных скобках, будет непрерывной функцией,
и потому первое слагаемое будет сколь угодно мало при до-
достаточно малом ДР. Что касается второго слагаемого, то для
него, вводя полярные координаты с центром в точке Р + ДР,
получаем оценку
и правая часть этого неравенства может быть сделана при
достаточно малом 6 сколь угодно малой, если только q < 2,
т. е. р > 2. Аналогично оцениваем третий интеграл, и равно-
равностепенная непрерывность функций \|?(Р) доказана, а вместе
с тем доказана и первая часть теоремы.
298 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
Переходим к случаю р <! 2. Имеем, как и выше.
ГР+АР, Q
dQ\.
C)
1
Снова в силу непрерывности первый интеграл в фн-
rP> Q
гурных скобках можно сделать сколь угодно малым по норме
пространства Lp при достаточно малых АЯ. Для второго сла-
слагаемого получаем аналогично предыдущему
/¦/
V
1
, Q
<
X
д1ц>
dxl{ dyh
1
1
^P + AP, Q
dQ
p
p
d!(p
dx ' dy^7
dxtl dyh
dQ
,Q
dQU dp
f f[\-p-r ' f f-r^—iP \
dQ
§ 4] ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ 299
где D — диаметр области О. Из полученного неравенства
видно, что
If—
P+AP,Q
**- dQ
dxl* dyl>
можно сделать сколь угодно малой, если б достаточно мало.
Совершенно так же оценивается норма третьего слагае-
слагаемого формулы C). Таким образом,
||i|?(P-fAf>) — $(P)\\L ->0 при ДР->0.
р
Аналогичными вычислениями показывается равномерная
ограниченность в среднем функций ф(Р). Но тогда по тео-
теореме Рисса функции "ф(Р) образуют компактное семейство.
Теорема доказана.
Для доказательства полной непрерывности оператора вло-
вложения достаточно теперь применить доказанную теорему
к формуле С. Л. Соболева, выражающей &-е обобщен-
обобщенные производные через 1-е обобщенные производные при
к<1.
Мы ограничились случаем функций двух независимых
переменных. Случаи функций большого числа независимых
переменных, а также более сложных областей рассмотрены
в книге С. Л. Соболева [30].
Приведем пример применения теорем вложения к задачам
уравнений математической физики.
Пусть G — область на плоскости рассматриваемого вида. По-
Покажем, что существуют значения к такие, что уравнение
Ф = 0
внутри G имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее условию
ф |г = 0, Г — граница G
(собственные функции задачи Дирихле).
Мы сразу же ослабим второе условие: вместо равенства ф|г = 0
мы будем требовать, чтобы ф? Н^—-подпространству простран-
пространства W$\ состоящему из функций, являющихся пределами в смысле
метрики этого пространства последовательностей функций, обра»
щающихся в нуль в некоторой (своей для каждой функции) гра*
ничной полосе области О.
300 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
Рассмотрим в W^(G) функционал
Этот функционал ограничен снизу и, следовательно, на функциях
Ф (-*» У) k. ^2} таких, что
Г Г Ф2 (*. у) dx dy » 1,
О
он имеет нижнюю точную границу Яо. Очевидно, что Яо > 0.
Покажем, что точная нижняя граница функционала У дости-
достигается на некоторой функции %(х, у)? Й7*2Ч Пусть (ф^ (х, у)} сг
с W\p — минимизирующая последовательность, т. е. такая, что
У(Фй) = Лй->Л0, II Фя 111,-1. D)
Так как
2^ E)
и {^(фп)} как последовательность, сходящаяся к пределу, ограни-
ограничена, то {фл} есть ограниченная последовательность простран-
пространства №^. В силу полной непрерывности оператора вложения {фп}
компактна в пространстве L2. Отбрасывая, если необходимо, неко-
некоторые члены последовательности, мы можем предполагать, что мини-
минимизирующая последовательность {фл} сходится в пространстве L2.
Поэтому для любого ? > 0 найдется номер п0 такой, что при ^
Далее,
II <tn + <tm И2 , |
II 2 ||^ 1 1
Отсюда
Так как
| Фл — Ф/и
1 2
112
L'
inf
то в силу квадратичной однородности У (ф) будем иметь
§ 41 ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ
Поэтому
и, в частности,
301
2 ^> fl **\
Тогда
т. е.
SSL\^7i 11
2 )>lo\\ 2
Выберем п и m настолько большими, чтобы
J (Фл) < Я.о + е, J (фт) < Хо + е-
при л, /и->оо. Тогда формула E) показывает, что не только
НО И
II Фл — Фт 11
при «, т->оо. В силу полноты пространства 1^^ существует
Фо (•*» У) € И^1*» являющаяся пределом в пространстве U^1* после-
последовательности {фл}.
Очевидно, что
Из неравенства
У <Ф) *—/<*)'
справедливого для любых ф, *ф^ ^г1^ следует, что
I I II I
I У (Фл) 2 — У (Фо) 2 I < [У (Фл ~ Фо)] 2 < II Фл — фо || ^(i).
т. е.
при л->оо. Так как, с другой стороны,
У (Фл) -> А*,
то
У Гф0) = ^о»
302 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ. VI
и существование в W^ функции, реализующей минимум J (<р) при
условии Цф||12=1, доказано.
Покажем теперь, что предельная функция <р0 (х> у) удовлетво-
удовлетворяет уравнению Лапласа.
Пусть Ъ(Ху у) — произвольная функция из W$\ обращающаяся
в нуль в некоторой граничной полосе области G. Имеем при любых
вещественных значениях t
откуда
f f
Учитывая, что J (щ)~Хй и I|<Po||z =1, получаем
О
Отсюда обычным рассуждением получаем, что
J J [дх дх+ ду dy\dl dr]
о
ff F)
Пусть ф@ — функция, удовлетворяющая следующим условиям:
= 1 для 0</<
2) ф (t) = 0 для t > 1;
3) ty(t) монотонно убывает на отрезке hr, 1 ;
4) ф (t) имеет непрерывные производные любых порядков на
[0, оо).
Очевидно, что такие функции существуют.
Пусть, далее, Уо (Vhr) = X (г) — бесселева функция нулевого
порядка второго рода. Как известно [33],
§ 4] ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ 803
и X (г) имеет одну особенность логарифмического типа при г = 0.
Положим
При г <pj =-<y min (hb h2) имеем
и при г > р2 = niax (/rt, h2)
Следовательно, ? (х, у) равна нулю внутри круга г == pj и вне круга
г = р2. Поэтому если р2 меньше расстояния от точки Р (х, у) до
границы области G, то ? (х, у) есть непрерывно дифференцируемая
любое число раз функция, обращающаяся в нуль в некоторой гра-
граничной полосе области G.
Подставим эту функцию в формулу F) и используем второе
определение обобщенной производной, получим
G)
QJ
Пусть
1 f Г /r\ 1 Ir\ )
Г7ГГ i Д Ф It I ^ (r) *T" ^оФ \-r\X (r) >,
¦ (Л) I L \ л / J \ h J )
где
(т)х (г
Ш х (г)
Можно доказать, что С (К) при Л->0 стремится к конечному пре-
пределу Со. Из свойств функции -ф (?) следует, что
а) Йд(г)^0 при г>Л и при г<-н- (так как в этом послед-
последнем случае г|? \-Л ^ 1 и
Л [¦ (-J) X (г)] + Яоф (~-]х (г) = АХ (г) + КХ (г) - 0),
б) Q/j (г) имеет непрерывные производные всех порядков.
Возьмем uh (r) в качестве усредняющего ядра. Формулу G)
можно написать в виде
ф0 {Ь л) Qh (Г) dl dX] e С (Л2) / / фо ttl
304 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ГГЛ. VI
и она приводит тогда к равенству между средними функциями
или
показывающему, что две различные средние функции отличаются
лишь числовым множителем. Но тогда и ср0 (л:, у), являющаяся
пределом средних функций, отличается от них лишь числовым
множителем
Фо С*. У) = —т^- (Фо (•*» У) )н-
Так как средние функции имеют непрерывные производные
всех порядков, то ф0 (х, у) также имеет непрерывные производные
всех порядков. После этого равенство F) можно переписать в виде
J J (ДФо + ЯФо) ? ft, л) dl dx[ = 0.
G
Так как ?(?, Л) — произвольная бесконечно дифференцируемая
функция, обращающаяся в нуль в граничной полосе, то из основ-
основной леммы вариационного исчисления следует, что
Аф0 + ^офо = 0
внутри G. Функция ф0 принадлежит классу И^1*, определенному
выше. Можно показать, что для случая двух независимых пере-
переменных отсюда следует, что ф0 |г = 0.
ГЛАВА VII
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ
САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Самосопряженные операторы
Если мы будем рассматривать линейные операторы,
определенные в гильбертовом пространстве, то благодаря
самосопряженности этого пространства и наличию в нем
скалярного произведения элементов можно выделить класс
операторов, обладающих особым свойством симметрии или
самосопряженности, и изучить операторы этого класса глубже,
чем произвольные линейные операторы в произвольном ба-
банаховом пространстве. Эти операторы играют особо важную
роль в анализе и теоретической физике, и их теории посвя-
посвящена обширная литература.
Сопряженный оператор. Пусть Н — гильбертово про-
пространство и А — ограниченный линейный оператор, опреде-
определенный на Я, с областью значений в том же пространстве.
Рассмотрим линейный функционал
/у(х) = (Ах, у). A)
Как линейный функционал в гильбертовом пространстве,
fy(x) имеет вид:
/у (*) = (*. /).
где у* — некоторый элемент пространства //, однозначно
определяемый функционалом /у. Очевидно, что с измене-
изменением у меняется функционал /у, а тем самым и элемент у*,
и мы получаем оператор
/ = А*у.
306 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
определенный на И, с областью значений в том же про-
пространстве. Этот оператор Л* связан с оператором Л равен-
равенством
(Ах, зО = (*. А*У) B)
и называется оператором, сопряженным с оператором А.
Оператор А* однозначно определяется формулой B). В самом
деле, если для всех хну имеют место равенства
(Ах. у) = (х, А*у)=*(х. А*гу),
то отсюда следует, что
для всех у, а это и означает, что
Л* = Л^.
Легко видеть, что проведенное здесь определение сопря-
сопряженного оператора формально совпадает с олределением*
данным в гл. IV для случая банаховых пространств, но
там мы предполагали банахово пространство вещественным,
в то время как гильбертово пространство комплексное,
Однако легко убедиться, что в комплексных пространствах
остаются справедливыми теоремы о сопряженных операторах,
доказанные в гл. IV. В частности, А* — ограниченный опе-
оператор, причем
\\Л*\Ы\А\\. C)
Найдем оператор, сопряженный с Л*; обозначим его Л**.
В силу равенства B) имеем для любых х, у?Н
(А*х, у) = (у, А*х) = (Ау, х) = (х, Ау),
откуда следует, что Л** = Л. Аналогично Л*** = Л* и т. д.
Легко видеть, что
)* = ХА*,
(АВ)* = В*А*.
Самосопряженные операторы. Линейный ограниченный
оператор Л называется ограниченным самосопряженным
(или эрмитовым) оператором, если А* = А.
S 1] САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 307
Примеры. 1. В гс-мерном унитарном пространстве, которое
можно рассматривать как конечномерный аналог гильбертова,
линейные операторы можно отождествлять с матрицами (alk), эле-
элементами которых служат комплексные числа. Оператором, сопря-
сопряженным с (им), служит (##/). Самосопряженный оператор есть
эрмитова матрица, т. е. матрица, для которой ащ = а^.
В случае вещественной матрицы (я/#) условие самосопряжен-
самосопряженности сводится к ее симметричности.
2. Для оператора Фредгольма в L2 [0, 1] с ядром К (t, s) со-
сопряженным оператором будет оператор Фредгольма с ядром К (s, t).
Условие самосопряженности есть условие
В случае вещественного ядра это условие переходит в условие
симметричности.
3. Рассмотрим в L2 [0, 1] оператор А, относящий каждой функ-
функции х (t) ? L2 [0, 1] функцию Ах = tx (t) ? L2 [0, 1]. Легко убедиться
в том, что этот оператор самосопряженный.
В дальнейшем слово «ограниченный» мы будем опускать.
Из предыдущего следует, что если А — самосопряженный
оператор и X— вещественное число, то ХЛ—также само-
самосопряженный оператор, и если А и В—самосопряженные
операторы, то А-\-В—самосопряженный, а АВ—самосо-
АВ—самосопряженный оператор тогда и только тогда, когда операторы
А и В перестановочны. Наконец, легко показать, что если
Ап-> А в смысле сходимости по норме в пространстве опера-
операторов или в смысле точечной сходимости и все Ап — самосопря-
самосопряженные операторы, то А — также самосопряженный оператор.
Если мы рассмотрим (Ах, у), где А — самосопряженный
оператор, как функционал и от л: и от у, то этот функ-
функционал, который мы обозначим А(х, у), как легко видеть,
удовлетворяет условиям
А (ахх'-
А(х, у) — А (уу л:).
Такой функционал мы будем называть билинейной эрми-
эрмитовой формой. Эта форма ограничена в том смысле, что
\А(х, у)КСд||*||||уЦ.
где СА — некоторая постоянная (в рассматриваемом случае
/\ мм/
Таким образом, каждый самосопряженный оператор А
порождает некоторую ограниченную билинейную эрмитову
308 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПРРАТОРОВ (ГЛ. Vlt
форму
А(х, у) = (Ах, у)=г(лг, Ау).
Обратно, если дана ограниченная билинейная эрмитова
форма А(х, у), то она порождает некоторый самосопряжен-
самосопряженный оператор Л, удовлетворяющий равенству
А (х, у) = (Ах% у).
В самом деле, зафиксировав в форме А(х, у) элементу,
мы получим линейный функционал от х. Следовательно,
Л(лг, у) = (лг, у*),
где элемент у* определяется однозначно. Таким образом, мы
получаем оператор Л, определяемый равенством
и такой, что
(х, Ау)~ A(xt у).
Очевидно, Л —линейный оператор. Легко убедиться, что Л —
ограниченный оператор. В самом деле,
Полагая х — Ау и сокращая на |[ Ау ||, находим
\\ЛУ\\<СА\\у\\.
Покажем, что А — самосопряженный оператор. Для любых х
и у?И имеем
(х. Ay)^=A{yt х) = (у, Ах) —(Ах, у),
откуда и следует, что А = А* и А(х, у) = (Лдг, у).
Квадратичные формы. Возьмем билинейную эрмитову
форму А(х, у) и положим в ней у = х. Получим квадра-
квадратичную форму А (л:, лг), принимающую для всех х веще-
вещественные значения и такую, что
А {ах -+- ру, ах -(- ру) = аа А (х. х)-\-
у, у).
Такую форму Л(лг, х) будем называть квадратичной эр-
эрмитовой формой, соответствующей билинейной эрмитовой
§ П САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 309
форме А(х, у). Если задана билинейная эрмитова форма
А (х, у), то тем самым задана и соответствующая квадра-
квадратичная эрмитова форма А(х> х). Верно и обратное: задание
квадратичной формы A(xt х) однозначно определяет били-
билинейную эрмитову форму А (лг, у), соответствующую квадра-
квадратичной форме А (х, х). Эта билинейная форма определяется
равенством
{\А(хх. хг)—А(х2ш х2)) +
где
лгз = л: + /у, *4 = * —/у.
Нетрудно показать, что квадратичная эрмитова форма А(х, х)
будет ограниченной, т. е.
\А(х. х)\^СА\\х\\\
в том и только в том случае, когда соответствующая били-
билинейная эрмитова форма ограничена.
Пусть
т= inf (Ах, х) и М= sup (Ax, х).
11*11»! 11*11 »1
Числа т и М называются нижней и верхней границами
самосопряженного оператора Л. Покажем, что
= max(|m|, |Ж|)= sup \(Ax. х)\.
||JTl|=l
В самом деле, пусть [|лг||= 1. Тогда
\(Ах, лг)|<|Илг||||х||<|И||||лг||2 = ||Л[|
и, следовательно,
Сл=5ир \(Ах, х)\К\\А\\. D)
11*11-1
С другой стороны, для любого у ? И имеем
(Ау. У)<СА\\У\\2-
310 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1ГЛ. VII
Поэтому если z — любой элемент из //, отличный от нуля,
то. полагая
будем иметь
|| Л* ||2 = (Л
- (А (кг - и), Xz - и)} < \СА {|| кг + и ||2 +1| кг-и |[2}=
= CA\\z\\\\Az\\,
откуда
И11
и, следовательно,
|[Л||<Сл=8ир \(Ах. х)\. . E)
11*11-1
Из неравенств D) и E) получаем требуемое равенство.
Из доказанного следует, в частности: если для самосо-
самосопряженных операторов А и В при всех х?Н выполняется
равенство
(Ах. х) = (Вх. х),
то А = В.
§ 2. Унитарные операторы. Проекционные операторы
Мы рассмотрим здесь два специальных класса операторов
в гильбертовом пространстве.
Линейный оператор U называется унитарным, если он
отображает пространство И на все Н с сохранением нормы,
т. е. если
\\Ux\\ = \\x\\. A)
Легко видеть, что это отображение взаимно однозначно,
так как если
Uxx = Ux2. то есть U (х{ — х^) = О,
то
§2] УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 311
и х1 — х2. Поэтому существует обратный оператор U~\
который также очевидно унитарен.
Далее равенство A) дает
откуда
(U*Ux. *) = (*, х) = (Ех9 х),
где через Е здесь и в дальнейшем в этой главе мы обозна-
обозначаем единичный оператор. Так как квадратичные формы опе-
операторов U*U и Е равны, то эти операторы совпадают*)
U*U = E. B)
Умножая это равенство слева на U и справа на ?/~ , будем
иметь
UU* = E. C)
Отсюда получаем, что U*—U~l. Из B) также следует, что
(Ux, t/y) = (*. У).
Обратно, из условий B) и C) вытекает, что U — унитарный
оператор, так как из них вытекает, что существует U = U*
и, следовательно, отображение И на И взаимно однозначно
и что
\\Ux\\2 = (Ux, Ux) = (U*Ux, х) = (х, х) = || х ||2,
т. е. что U сохраняет норму элемента.
Примером унитарного оператора в координатном гиль-
гильбертовом пространстве /2 может служить бесконечная уни-
унитарная матрица (utj)t т. е. такая, элементы которой
удовлетворяют соотношениям
со оо
S akiukj = б/у 2 «//«у/ = в//- D)
Пусть даны линейный оператор Л, действующий в гиль-
гильбертовом пространстве, и унитарный оператор U. Оператор
l * E)
*) Отметим, что для любого линейного оператора Л оператор
А*А будет самосопряженным.
312 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
называют оператором, унитарно эквивалентным опера-
оператору А. Из равенства E) видно, что оператор, унитарно
эквивалентный самосопряженному, также самосопряженный.
Легко проверить, что нормы унитарно эквивалентных
операторов равны.
Введем теперь важное для дальнейшего понятие проек-
проекционного оператора.
Пусть L — подпространство пространства Н. Любой эле-
элемент х ? И однозначно представим в виде
где у ? L, z J_ L. Полагая Рх = у, получим некоторый опе-
оператор, определенный на всем Я, область значений которого
есть подпространство L. Этот оператор называется проек-
проекционным оператором, или оператором ортогонального
проектирования на подпространство Z,, и обозначается
также через РL. Докажем, что оператор Р есть самосопря-
самосопряженный оператор с нормой, равной единице, и удовлетворяет
условию Я2 —Я.
Прежде всего Р — линейный оператор. В самом деле,
если
*1 = У1 + *1 И Х2 = У2 -Ь Z2>
где
?^» а zv Z2LL> то
v
где
откуда
Р (ахх
Далее,
в силу ортогональности ^ и ^- Следовательно,
для любого х. Отсюда
§ 2] УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 313
Так как для х ? L имеем Рх = х и, следовательно,
ТО
Покажем, что Я — самосопряженный оператор. Пусть хх
и х2 — любые два элемента из Я, ух и у2— их проекции
на L. Имеем
(Рхх, л:2) = (у1. Ar2) = (ylt у2).
Аналогично
(дгр Ял:2) = (л:1, у2) = (У!, у2).
Следовательно,
(Ялг,, *2) = (xlf Ях2).
Наконец, Px?L для любого х?Н. Поэтому
для любого лг^Я, т. е.
Покажем, что верно и обратное утверждение, а именно,
что всякий самосопряженный оператор Я, удовлетворяющий
условию Р2 = Р, есть оператор ортогонального проектиро-
проектирования на некоторое пространство L.
Рассмотрим множество L элементов вида у = Ялг, где х
пробегает все Н. В силу аддитивности и однородности опе-
оператора Я множество L есть линейное многообразие. Легко
показать, что L замкнуто. В самом деле, пусть уп~>у0,
yn?L. Так как yn?L, то уп = Рхп для некоторго хп?Н.
Поэтому
В силу непрерывности оператора Я из уп —> у0 сле-
следует Руп-+Руо- Учитывая равенство Руп — уп, получаем
Уп-*РУо- Следовательно, yQ = PyQ и yo?L.
Из самосопряженности оператора Р и условия Р2 — Р
имеем
(х — Рх, Рх) = (Рх — Р2х, *) = 0.
то есть
х— Рх ±Рх.
Теперь из самого определения подпростра!1ства L следует,
314 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
что Р есть оператор проектирования на это подпространство.
и требуемое доказано. Заметим также, что L состоит из тех
и только тех точек х?Н, для которых Рх = х.
Из доказанного, в частности, следует, что вместе с Р
также / — Р — проекционный оператор.
Укажем несколько простых свойств проекционных опера-
операторов. Два проекционных оператора Рх и Р2 называются
ортогональными, если РхР2 — 0*). Это условие равносильно
условию Р2РХ = О, ибо если РХР2 — О, то (РХР2У = Р2РХ = О
и обратно.
Для того чтобы проекционные операторы Рг и Р2 были
ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы были орто-
ортогональны соответствующие подпространства L{ и L2.
В самом деле, если РхР2 — 0, то для xx?Lv x2?L2 имеем
Обратно, если Lx J_ L2, то P2x?L2 для любого х?Н и,
следовательно, РхР2х — 0У то есть Р1Р2 = 0.
Лемма 1. Для того чтобы сумма двух проекцион-
проекционных операторов Рц и Pi2 была проекционным опера-
оператором, необходимо и достаточно, чтобы эти опера-
операторы были ортогональны. Если это условие выполнено,
то
Необходимость. Пусть
— проекционный оператор. Тогда
(P
откуда
Умножая слева на Pilt получим
умножая теперь справа на Рц> будем иметь
*) Здесь и дальше 0 означает не только число 0, но и нулевой
оператор.
§ 2] УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 315
но тогда
Достаточность. Пусть
Тогда
Следовательно, РцЛ~Рь%—проекционный оператор.
В силу условия РьхРц = 0 подпространства Lx и L2 орто-
ортогональны. Если х?Н, то
Рх = PLlx + Рцх = xx + x2€Lx + ?2. (б)
Если далее х = хх-\-х2— элемент из Lx-\-L2t то, учитывая
равенства PLlx2 = 0, PL2xx = 0, будем иметь
X = ЛГХ + *2 = ^.1 + ^Л
= Pi, (^i + *2> + Pi, (^i + л:2) = (P?l + Pl3) *• G)
Из F) и G) следует, что Р есть оператор проектирования
на Lx -j- Z,2, и лемма полностью доказана.
Лемма. 2. Для того чтобы произведение двух
проекционных операторов Рц и Рц было проекционным
оператором, необходимо и достаточно, чтобы опера-
операторы Рц и Рц были перестановочны. Если это условие
выполнено, то
Необходимость. Так как P = PL{PL2 — самосопря-
самосопряженный оператор, то
и необходимость перестановочности доказана.
Достаточность. Если PLxPLi = РцРц* то
= РьхРц — самосопряженный оператор. Кроме того,
и, следовательно, Р — проекционный оператор.
Пусть х — любой элемент из Я. Тогда
принадлежит и Lx и Z,2, т. е. принадлежит Lx П
316 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Пусть теперь у ? Lx П L2. Тогда
Все это означает, что Р есть оператор проектирования
на /м П ^2» и лемм& доказана.
Проекционный оператор Р2 называется частью проек-
проекционного оператора Рх% если РХР2 — Р2. Переходя к со-
сопряженным операторам, убеждаемся, что это определение
равносильно определению Р2РХ = Я2. Из определения непо-
непосредственно следует, что оператор Рц является частью опе-
оператора Pix тогда и только тогда, когда подпространство L2
есть часть подпространства Lx.
Для того чтобы проекционный оператор Рц был частью
проекционного оператора РцУ необходимо и достаточно,
чтобы для всех х?Н выполнялось неравенство
\\рцХ\\<\\Рцх\\.
В самом деле, из Pl,Pl,x = PLix следует
Обратно, если это условие выполнено, то для любого
имеем
и так как верно также
II/VIKIWI.
то
И**,* 11=11*11.
Отсюда
и, следовательно, х ? Lv Поэтому Рцх ? Lx для любого
х?Н и, значит, РцРц* = Рцх» т. е. PLiPL2 = PL2, что и
требовалось доказать.
Лемма 3. Разность Рх — Я2 двух проекционных
операторов есть проекционный оператор тогда и
только тогда, когда Р2 есть часть Рх. Если это усло-
условие выполнено, то Lpt~p2 есть ортогональное дополнение
к Lp2 в LPt.
§ 31 ПОЛОЖШТЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 317
Необходимость. Если Рх— Р2 есть проекционный
оператор, то
также есть проекционный оператор. Но тогда в силу леммы 1
имеем
(Е — Рх)Р2 = 0ш
т. е. РХР2 = Р2.
Достаточность. Пусть Р2 есть часть Рх. Тогда
Е — Рх и Р2 ортогональны и в силу леммы 1 оператор
(Е — Р\)-\-Р2 — проекционный и, следовательно, оператор
Р\—^2 — также проекционный. Из условия РХР2 = Р2 сле-
следует, наконец, что Рх — Р2 и Р2 ортогональны. Но тогда
в силу той же леммы 1
LPx —LPi_p2-\- Lp2,
что и требовалось доказать.
§ 3. Положительные операторы. Квадратный корень
из положительного оператора
Самосопряженный оператор Л называется положитель-
положительным* А > О, если он отличен от нулевого и его нижняя
граница не отрицательна, т. е. если
{Ах, jc)>0
для любого х ? Н и {Ах, х) > 0 хотя бы для одного х?Н.
Говорят, что самосопряженный оператор А больше само-
самосопряженного оператора В, А> В, если А —В > 0. В этом
случае говорят также, что оператор В меньше оператора А.
Легко проверить, что введенное в -множестве самосопряжен-
самосопряженных операторов соотношение неравенства обладает следую-
следующими свойствами *):
1)изЛ>?иС>?) следует л+?>? + ?>,
2) из Л;>0 иа^О следует аЛ^>0,
3)изЛ>?и?>С следует Л>С,
4) если А > 0 и А, существует, то Л" > 0.
Далее очевидно, что А А* и А* А — положительные опе-
операторы для любого линейного оператора Л, отличного от
нулевого, В частности, Л2 > 0 для любого самосопряженного
оператора А, А Ф 0. Из последнего следует, что примером
) Неравенство А^В означает либо А > В, либо А = В.
318 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
положительного оператора может служить оператор проек-
проектирования на подпространство положительной размерности.
Теорема 1. Произведение двух перестановочных
положительных самосопряженных операторов А и В
есть также положительный оператор.
Положим
==: А\ —
и л и » А} ==: А\
II Л II
Покажем, что для любого п
0<Л„<??. A)
Для п—\ это очевидно. Пусть A) верно для n = k. Тогда
{A\(E-At)x. x) = {(E-Ak)Akx, Akx)>0,
Al(E-Ak)>0,
Ал+1 = Л^(? - Л,) + Л, (Я - Л,J > О
0.
и аналогично
Поэтому
и
Следовательно, A) верно для # =
Далее, имеем
И! = AJ+ А2 = Л?+ Л^+ Л3= .
откуда
л
^ Л^
(так как Лл+1^0), т. е.
л
"V* /л ? А х) <С (А х х)
Следовательно, ряд
§ 3] ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 319
сходится и ||Лллг||->0 при ?->оо. Поэтому
п
B а1)х = А1х — AnUx-->Alx.
Так как В, очевидно, перестановочен со всеми Ak, то мы
получаем
(АВх, х)=Щ(ВАгх, х) = ^
Теорема доказана.
Из нее легко следует, что если [Ап] — монотонно воз-
возрастающая последовательность самосопряженных перестано-
перестановочных между собой операторов, не превосходящих само-
самосопряженного перестановочного со всеми Ап оператора fi —
— то последовательность {Ап} сходится к самосопряженному
оператору А и А^В* Аналогичное утверждение имеет
место для монотонно убывающей последовательности.
В самом деле, рассмотрим самосопряженные операторы
Сп = В-Ап.
Эти операторы положительны, перестановочны и образуют
монотонно убывающую последовательность. Следовательно,
для т < п операторы
(Ст-С„)Ст и Сп(Ст~С„)
также положительны, откуда
(С2тх. x)>(CniCnxt *)>(C*jt. х>
Монотонно убывающая положительная числовая последо-
последовательность {(C^jc, x)} имеет предел. К этому же пределу
в силу полученных неравенств стремится при п> т->оо и
(СтСпх, х). Поэтому при л, т->оо
\\Cmx~Cnxf =
==((Cm — Cnfx> x)=(C2mx, x)—2(CmCnx,
320 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Таким образом, последовательность {Спх}> а значит и
последовательность {Ллл;}, сходится для любого х к неко-
некоторому пределу; обозначим последний через Ах:
Ах = НтАпх.
п
Очевидно, что А — самосопряженный оператор, удовлетво-
удовлетворяющий неравенству А<^В, что и требовалось доказать.
Самосопряженный оператор В называется квадратным
корнем из положительного оператора А, если B?z=A.
Теорема 2. Существует единственный положитель-
положительный квадратный корень В из лобого положительного
самосопряженного оператора А, перестановочный со
всяким оператором, перестановочным с Л.
Не нарушая общности, мы можем считать, что А^Е.
Положим В0 — 0 и
Вп+1 = Вп-\-\{А-В2^ /| = 0, 1 B)
Все операторы Вп, — очевидно, самосопряженные и переста-
перестановочные с любым оператором, перестановочным с Л. В ча-
частности, ВпВт = ВтВп. Без труда проверяем, что
E-Bn^ = \(E-Bnf + ^{E-A) C)
\ Вп)\{Вп-Вп^). D)
Из C) следует, что Вп^Е для всех п. Легко убедиться и
в том, что Вп<^Вп+1. В самом деле, для я = 0 это очевидно
в силу неравенства
Далее, равенство D) показывает, что Вп+1 — Вп^0, если
Вп — Вп_х^0. Следовательно, Вп^.Вп+1 для всех п. Та-
Таким образом, \Вп) — монотонно возрастающая ограниченная
последовательность самосопряженных положительных опера-
операторов.
По предыдущему эта последовательность сходится к не-
некоторому самосопряженному положительному оператору В.
§ 3] ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 321
Равенство B) в пределе дает
В = В + ±(А — ВР),
т. е.
Наконец, перестановочность В с любым оператором, пере-
перестановочным с Л, следует из того, что этим свойством об-
обладают операторы Вп. Таким образом, оператор В обладает
всеми требуемыми свойствами, и существование положитель-
положительного квадратного корня из оператора А доказано.
Пусть Вх — другой положительный квадратный корень
из Л, который перестановочен с А. Тогда ВХВ = ВВХ.
Поэтому если х— любой элемент из Я и у = (В— Вх)х,
то получаем
{By. у) + (Вху, у) = ({В + Вх)у. у) =
= ((В + Вх) (В — Вх) х, у) = ((В2 - Я?) х, у) - 0.
Так как В и В{ — положительные операторы, то отсюда
следует, что (By, у) = (Вху, у) = 0. Но, будучи положи-
положительным, В = С2, где С — самосопряженный оператор. Так
как
у) = 0. то Су = 0.
Следовательно, и By = С (Су) = 0. Аналогично
Но тогда
т. е. для любого х ? И
и единственность квадратного корня доказана.
Пример. В пространстве L2 [0, 1] для оператора Л, где
положительным корнем квадратным является оператор В, где
322 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
§ 4. Спектр самосопряженного оператора
Будем рассматривать семейство операторов Л^ = Л — ХЕ,
где А— самосопряженный оператор и А,— комплексное
число.
Из теоремы 2 § 5 гл. III следует: если U- А < 1
и л и
(т. е. если |А,| > ||Л||), то %—регулярное значение опера-
оператора А и, следовательно, весь спектр оператора А распо-
расположен внутри и на границе круга |А,|<^||Л ||. Это верно для
произвольного линейного оператора, действующего в бана-
банаховом пространстве. Для случая самосопряженного оператора,
заданного на гильбертовом пространстве, мы укажем ниже
более точно область, в которой расположен спектр опера-
оператора.
Если Л — самосопряженный оператор, то все собственные
значения его вещественны, так как из
получаем равенство
{Ах, х) = Ъ (х9 х),
где оба скалярных произведения {Ах, х) и {х, х) вещест-
вещественны. Далее, из условия Л = Л*, вещественности собствен-
собственных значений и теоремы 2 § 3 гл. IV следует, что собствен-
собственные элементы, отвечающие различным собственным значениям
самосопряженного оператора, ортогональны.
Теорема 1. Для того чтобы точка X была регу-
регулярным значением самосопряженного оператора А,
необходимо и достаточно существование полоэюитель*
ной постоянной с такой, что для любого х?Н
|И. A)
Необходимость. Пусть существует ограниченный
оператор /?*, = Л^1 и \\RK\\=d.
Для любого х ? # имеем
\\x\\
откуда
и необходимость доказана.
§ 41 СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 323
Достаточность. Пусть
у — Ах — Хх
и х пробегает пространство Н. Тогда у пробегает некото-
некоторое линейное многообразие L. В силу A) соответствие между
л: и у взаимно однозначно, ибо если х1 и х2 переходят
в один и тот же элемент у, то
А (хх — х2) — X (хг — х2) = О,
откуда
11*1 — Х2\\< j\\ Ак (Х1 — Х2)\\ = 0.
Покажем, что L всюду плотно в Н. В самом деле, если
это не так, то существует элемент х0 ? //, отличный от нуля
и такой, что (х0, у) = 0 для любого у ?L. Это значит, что
(лг0, Ах —Хх) = 0,
откуда, в силу самосопряженности А,
v так как это верно для любого х ? Н, то
Ах0 — hxo = 0.
Но это равенство при х0, отличном от пуля, невозможно
ни при комплексном X (тогда у самосопряженного оператора
были бы комплексные собственные значения), ни при веще-
вещественном X (тогда к = X и ||л:0!К~||Лл:0—Aj:o||=Oj.
Покажем, наконец, что L замкнуто. Пусть [yn}aL,
Уа = Акхп и уп-+Уо' В силу A)
Последовательность {уп} сходится в себе и потому \\уп—-ут||-> 0
при п, ffi->-f-co. Но тогда \\хп — хт\\ —> 0 при п, т->оо.
Из полноты пространства И следует существование предель-
иого элемента для последовательности {хп}:
324 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
При этом
Аух = lim Акхп = lim уп = у,
п п
т. е. у ? L.
Итак, L — замкнутое, всюду плотное в Н линейное мно-
многообразие, т. е. L = H. Так как, кроме того, соответствие
взаимно однозначно, то существует обратный оператор
x = Ably = RKy,
определенный на всем И. Неравенство A) дает
т. е. Ri является ограниченным оператором и
Следствие. Точка к принадлежит спектру самосопря-
самосопряженного оператора А тогда и только тогда, когда сущест-
существует последовательность {хп} такая, что
\\Ахп — кхп\\<Ссп\\хп\\, сп->0 при л->оо. B)
В B) можно положить ||л;л|| = 1, тогда
\\Ахя-кхп\\->0. ||*л||=1. C)
Теорема 2. Комплексные числа X = a -f- /р, где р Ф О,
суть регулярные значения самосопряженного опера-
оператора А.
В самом деле, если
у = Акх = Ах — Ял;,
то
(у, х) = (Ах, x)—'k(xi х),
у у ( х) — к(х. х).
Отсюда
(х. У)-(У, x) = (k — I)(x. л;)
или
\(У. х)\<ПУ\\\\х\\
§ 4] СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 325
и, значит,
||у||>|р|!М|. т. е. ||Л,*;|>|р||М|. D)
Чтобы завершить доказательство, достаточно использовать
теорему 1.
Теорема 3. Спектр самосопряженного оператора А
лежит целиком на отрезке [т, М] вещественной оси,
где
т= inf {Ах, х)у М ~ sup {Ax, х).
l*||=i 11* ll=i
Из предыдущей теоремы следует, что спектр может ле-
лежать лишь на вещественной оси. Покажем сейчас, что веще-
вещественные X, лежащие вне отрезка [т, М], суть регулярные
значения.
Пусть, например, А, > Ж, k=M + d, d > 0. Имеем
х) = {Ах, х) — Х{х, лг)<Л1(л;, л:) — Х{х, х) =
= -d\\xf9
отсюда
\(Akx. x)\^d\\xf.
С другой стороны, |(Л^лг, лг)|<;||Л^л:|| ||л;||. Следовательно,
\\Akx\\>d\\x\\.
Отсюда следует регулярность значения X.
Аналогично рассматривается случай X < т.
Теорема 4. Числа т и М суть точки спектра.
Докажем это, например, для числа М.
Заметим, что если оператор А заменить оператором Л^,
то спектр сдвинется влево на \х, а числа Mum заменяются
на М — \i и т — jli. Мы можем поэтому, не нарушая общ-
общности рассуждения, считать, что 0 ^т^.М. В таком слу-
случае (см. стр. 309) М—||Л||. Докажем, что М есть точка
спектра.
3 самом деле, в силу определения числа М=||Л|| су-
шествует последовательность элементов хп, \\хп\\ = 1, такая,
что
{Ахп, хп)=М — бл, &„->0 при я->оо.
Далее,
326 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Поэтому
\\Ахп— Мх„\? = (Ахп — Мхп, Ахп—Мхп) =
= \\Axnf-2M(Axn, *я)+^||л;л[р<
< М2 — 2Ж (/И — бл)+ М2 == 2МЬа,
или
||Л^-/ИЛя||<)/2Щ"-
Следовательно,
\\Ахп-Мхп\\~>0, ||*„|| = 1.
Остается использовать следствие теоремы 1.
Следствие. Каждый самосопряженный оператор имеет
непустой спектр *).
Примеры. 1. Если оператор Л есть единичный оператор Е,
то его спектр состоит из одного собственного значения 1, для ко-
которого соответствующее пространство собственных элементов
Hi а= //. При К Ф 1 оператор R^ ~-т =- Е есть ограниченный
оператор.
2. Определим оператор Л из (L2 [0, 1]->?2[0, Ч) следующим
образом:
Очевидно, m = 0, Al^l. Мы покажем, что все точки отрезка [0, 1]
принадлежат спектру оператора А (откуда будет следовать, что
М = 1).
В самом деле, пусть 0 <; Я. <; 1. Рассмотрим отрезок [X,
(или [Л — е, А]), лежащий в отрезке [0, 1]. Пусть
I у—¦ при t? [Я, Л-{-е]»
[ 0 при t?[)\
Так как
1 к+г
то
Далее,
:<о-('-;
*) В теории нормированных колец доказывается непустота
спектра любого ограниченного оператора, определенного в произ-
произвольном банаховом пространстве [7].
§ 4] СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 327
откуда
ЯЧ 8
ил (оif =4/ <*-х)*л=!-.
к
При е->0 имеем |Л;л:е||->0. Следовательно, Я есть точка спектра
при 0<Л< 1.
В то же время оператор А не имеет собственных значений.
В самом деле,
Если Akx (t) = 0, то (t — X) х (t) — 0 почти всюду на [О, I], а отсюда
и х (t) почти всюду равно нулю.
Инвариантные подпространства. Подпространство L про-
пространства И называется инвариантным подпространством
оператора Л, если из x?L следует Ax?L. Приведем при-
пример инвариантного подпространства. Пусть X — собственное
значение оператора А и Ni — совокупность собственных
элементов, соответствующих этому собственному значению,
к которой присоединен нулевой элемент. N\—инвариантное
подпространство, так как в силу равенства Ах = Хх из
х ? Ni следует Ах ? /V>y.
Если L — инвариантное подпространство оператора Л, то
говорят также, что L приводит А. Установим некоторые
свойства инвариантных подпространств самосопряженных опе-
операторов.
1°. Из инвариантности L следует инвариантность его ор-
ортогонального дополнения М = Н~ L.
Пусть х?М. Это значит, что (л;, у) = 0 для любого
у ? L. Но Ау также принадлежит L для у ? L и потому
(л;, Ау) = 0. Отсюда в силу самосопряженности А получаем
(Ах, у) —0 для любого у ? L. Следовательно, Ах?М, и
требуемое доказано.
Обозначим через Gi область значений оператора А^, т. е.
совокупность элементов вида у = Ах — кх, где X — соб-
собственное значение. _
Легко проверить, что //== G*,-f-^я/ В самом деле, если
У €'GK, u?NK, то
(у, и) = (Ах — Хх, и) = (х, Аи — Хи) = (х, 0)=г0.
328 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Следовательно, Gk J_ А/?,. Если у ? Ок и у ? Оь то у = lim уя.
где уя6^« ^3 равенства (уп, #) = 0 получаем
(у, и) = 1\т(уа, и) = 0.
п
Следовательно, GiJ_Nk.
Пусть теперь (у, //) = 0 для любого у ? О^. Для произ-
произвольного х ? И получаем
lx, u) = (x. Au — lu),
откуда
Аи — А,# = 0, т. е. u?Ni.
Следовательно,
Nx = H---Gk = H---Gk, ч. т. д.
Из свойства 1° и только что доказанного предложения
следует; Gk является инвариантным подпространством само-
самосопряженного оператора А.
Обозначим через N ортогональную сумму всех подпро-
подпространств Ni, или, что то же самое, замкнутую линейную
оболочку всех собственных элементов оператора А. Это —
также инвариантное подпространство данного оператора.
Если И—сепарабельно, то в каждом Nk можно построить
полную конечную или счетную ортонормальную систему соб-
собственных элементов. Так как собственные элементы из раз-
различных Nx ортогональны, то, объединив эти системы, мы
получим ортогональную систему собственных элементов {хп),
полную в пространстве N.
Оператор А определяет в инвариантном подпространстве L
оператор AL из (L->L); именно, для х ? L, ALx = Ax.
Нетрудно проверить, что AL есть также самосопряженный
оператор.
2°. Если инвариантные подпространства L и М образуют
ортогональные дополнения друг к другу, то спектр опера-
оператора А есть теоретико-множественная сумма спектров опе-
операторов AL и Ам.
Пусть к есть точка спектра оператора AL или Ам. Тогда
существует последовательность элементов {xn}czL (соответ-
(соответственно At) такая, что
§ 4] СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 329
Но II^U, лУ^ЧИ^Л» поэтому X принадлежит спектру
оператора Л.
Пусть теперь X не принадлежит ни спектру оператора AL,
ни спектру оператора Ам. Тогда существует положительное
число с такое, что для любых y?L и z?M
Но любой элемент х ? Н имеет вид
х = У + г> Уб^. z?M, ||*||2
Отсюда
= || А1У + Axz || == (|| А1У |p + || Akz
Итак, X не есть точка спектра.
Точечный и непрерывный спектры. Как мы видели,
пространство И представимо в виде ортогональной суммы
двух пространств: пространства N — замкнутой линейной
оболочки множества всех собственных векторов самосопря-
самосопряженного оператора А и его ортогонального дополнения G.
Пространство N есть инвариантное подпространство опера-
оператора Л; значит, спектр оператора А есть теоретико-множест-
теоретико-множественная сумма спектров операторов AN и AG. Спектр опера-
оператора AN называется точечным спектром *) оператора А,
спектр оператора AG — непрерывным спектром оператора А.
Если N = Н, то непрерывный спектр отсутствует и оператор А
имеет чисто точечный спектр; такой спектр, как мы видели
в гл. VI, имеют вполне непрерывные операторы. Если опе-
оператор не имеет собственных элементов, то подпространство N
пусто, H—G и спектр оператора А — чисто непрерывный;
примером может служить спектр оператора А в примере 2.
Операторы с чисто точечным спектром. Пусть са-
самосопряженный оператор А имеет чисто точечный спектр.
Тогда N — H и, следовательно, в Н существует замкнутая
*) Часто точечным спектром оператора А называют совокуп-
совокупность всех его собственных значений. Согласно нашему определе-
определению к точечному спектру оператора относятся и предельные точки
множества его собственных значений.
330 СПЕКТРАЛЬНАЯ Т1?ОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
ортонормальная система собственных элементов {хп}:
E)
где кп — собственные значения*).
Каждый элемент х представим рядом Фурье
х=%сяхп, F)
/1=1
где cn = (xt xn).
Обозначим через Рп проекционный оператор, определяемый
равенством
Рпх = (х, хп)хп = спхп
(Рп есть оператор проектирования на прямую txn> —оо <
</<+оо).
Формула F) может быть записана в виде
х = Ех = 2 Рпх
п
или, в операторной форме,
?=2 Л,. G)
п
Легко видеть, что
РпРт = 0, тфп. (8)
В силу E) и F)
/так как \Х\ <^|| А ||, то сумма ^j(^ncnJ конечна вместе с 2C«
В операторной форме (9) запишется в виде
п
Из (9) и F) следует
(Ах, *) = 2V«- (n>
п
Итак, мы привели квадратичную форму (Ах, х) к сумме
квадратов.
*) Предполагается, что Н—сепарабелыю.
§ 4] СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 331
Формулу A1), как это следует из (9), можно записать
в виде
(Ах, х) = %Хп(Рпх, х). A2)
п
Пусть теперь X не входит в замыкание множества {Хп}
собственных значений. Существует постоянная d > О такая,
что |А, — Xn\>d. Имеем
Акх = (А — 1Е)х = ч% (Хп — I) Рпх.
п
Отсюда с помощью (8) легко получаем
или, так как Рпх = спхп,
Так как
сп
^ \сп\
Лл-А
то
1
или
Следовательно, % не принадлежит спектру. Мы можем за-
записать A3) в виде
Выведенные формулы совершенно аналогичны формулам
для квадратичных форм и симметрических (и эрмитовых)
матриц в я-мерном случае, отличаясь от них лишь тем, что
конечные суммы заменены бесконечными рядами.
Д. Гильберт в своей работе [8] развил впервые об-
общую теорию самосопряженных операторов и соответствую-
соответствующих форм (Ах, х), рассматривая последние как пределы
квадратичных форм с п переменными при п->оо, При
332 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
неограниченном росте п конечные суммы, аналогичные только
что выведенным, могут переходить как в бесконечные суммы,
так и в интегральные выражения, которые будут даны ниже.
Этому отвечает появление точечного и непрерывного спект-
спектров. Разобранный случай чисто точечного спектра особенно
прост в смысле его полной аналогии с конечномерным случаем.
В этой же работе Гильберта был выделен важный класс
операторов с чисто точечным спектром — класс вполне не-
непрерывных операторов. Приведем здесь независимое от об-
общих результатов гл. VI доказательство дискретности спектра
вполне непрерывного оператора.
Теорема 5. Каждая отличная от нуля точка
спектра самосопряженного вполне непрерывного опе-
оператора А есть его собственное значение.
Если X Ф О есть точка спектра оператора Л, то суще-
существует последовательность элементов {хп)аН такая, что
||*„||=1. \\Ахп-1х„\\-*0, .
или, полагая Ахп— Ххп = уп, ||ул||->0, имеем
Оператор А преобразует последовательность {хп} в ком-
компактную последовательность {Лл;л). Поэтому существует
сходящаяся подпоследовательность М*лЛ; вместе с ней
сходится и подпоследовательность
Пусть хп ->х.
из A5) следует
При этом
Тогда
Х = Т
~ Я
Ах
Ах
"О
nk
AXnk~
-> Ах;
или А,
ч)-
далее ул ~>
A5)
0, поэтому
Следовательно, х есть собственный элемент, а X — соб-
собственное значение оператора Л.
Следствие 1. Каждый самосопряженный вполне
непрерывный оператор имеет по крайней мере одно
собственное значение.
§ 5] РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 333
Это предложение вытекает из только что доказанной
теоремы и следствия теоремы 4.
Следствие 2. Каждое ненулевое инвариантное
подпространство L самосопряженного вполне непре-
непрерывного оператора А содержит его собственный эле-
элемент.
В самом деле, вместе с А вполне непрерывным является
и оператор AL?(L—>L). Этот оператор в силу следствия 1
обладает собственным значением X; следовательно, в L суще-
существует собственный элемент оператора AL% а тем самым и
оператора А.
Следствие 3. Самосопряженный вполне непрерыв-
непрерывный оператор обладает чисто точенным спектром.
В самом деле, инвариантное подпространство G ортого-
ортогональное всем собственным элементам, — нулевое. В противном
случае оно, в силу следствия 2, должно было бы содержать
собственный элемент, в противоречие со своим определением.
Теорема 6. Множество собственных значений
самосопряженного вполне непрерывного оператора А
может иметь лишь одну предельную точку Х — 0.
Эта теорема является частным случаем теоремы 7 § 2
гл. VI, но ей можно дать простое независимое доказатель-
доказательство.
В самом деле, если бы существовала бесконечная после-
последовательность различных собственных значений {Хп} такая,
что | Хп | ^> с > 0, то для соответствующих собственных эле-
элементов хп, \\хп\\— 1, мы в силу их ортогональности имели бы
. || Ахп - Ахт ||2 = || Хпхп - Хтхт ||2 = -kl + Xl > 2с2
при п Ф т. Но в таком случае последовательность \Ахп)
не была бы компактной, в противоречие с полной непре-
непрерывностью оператора А.
§ 5. Спектральное разложение
самосопряженного оператора
Разложение единицы. Обобщим формулы G), A0), A4)
§ 4 -на произвольные самосопряженные операторы.
Лемма. Пусть А и В—самосопряженные переста-
перестановочные операторы и А2 = В2. Обозначим через Р
334 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ, VII
оператор проектирования на подпространство нулей
оператора А — В. Тогда
1) всякий ограниченный линейный оператор С, пере-
перестановочный с А — В, перестановочен с Я;
2) из Ах = 0 следует Рх = х;
3) Л = BЯ — Е)В.
Пусть L — подпространство нулей оператора А — В и
Я— оператор проектирования на это подпространство. Тогда
если y?L и оператор С перестановочен с А — В, то Су
также принадлежит L, ибо
(Л — В) Су = С (А — В) у = 0.
Поэтому СРх ? L для любого х ? Н и потому
РСРх = СРх,
т. е.
РСР = СР.
Аналогично
С*Р = РС*Р,
откуда
PC = (C*Pf = (РС*РУ = РСР.
Следовательно, СР=РС и 1) доказано. В частности, ЛЯ=/М
и ВР = РВ.
Далее, пусть Ах = 0. Тогда
т. е. Вх = 0. Поэтому
(Л — В) х = 0;
следовательно,
Рх = х
и 2) также доказано.
Наконец,
(Л — В)(А-\-В) = А2 — В2 = 0.
Поэтому для любого х
(Л + #)*??.
и, следовательно,
т. е.
§ 5] РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 335
Так как, кроме того, Р(А — В) = (А — В)Р — 0, то
Р(Л + ?) — Р(Л — В) = А + В,
откуда
Л = BЯ — Е)В.
Лемма полностью доказана.
Теорема 1. Для каждого самосопряженного опе-
оператора А существует проекционный оператор Е+
такой, что
1) любой ограниченный линейный оператор С, пере»
становочный с А, перестановочен с Е+;
2) Л?+>0, А(Е — ?+)<0;
3) если Ах —0, то Е+х = х.
Пусть Е+ — проекционный оператор, проектирующий
все Н на подпространство нулей оператора А — В, где
В — положительный квадратный корень из Л2. Из лем-
леммы сразу следует, что 1) и 3) выполняются, в частности
АЕ+ = Е+А и ВЕ+=Е+В. В силу этой же леммы
Следовательно,
АЕ+ = BE + > О, А (Е — Я+) == — (Е — Е+) В < О,
так как произведение двух перестановочных положительных
операторов есть снова положительный оператор. Теорема 1
полностью доказана.
Отметим, что из равенства А = BЕ+—Е)В следует
откуда
Оператор АЕ+ обозначают А? и называют положитель-
положительной частью оператора Л, а оператор Л (Е — Е+) обозна-
обозначают Л. и называют отрицательной частью оператора Л.
При этом
Л Л| Л
Пример ы. 1. Пусть А есть «-мерная симметрическая матрица
с собственными значениями Хи А,2» •••» ^л» где Ah Л2, ..., Л^ < О,
Я Л ••» ^/i > 0. Из линейной алгебры известно, что А
336 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
унитарно эквивалентна диагональной матрице
о о ... о
j, Я2, ..
о я2 о ... о
О 0 0 ... Ля„
т. е.
тогда
О, ..., О,
,, Я2 Ал, О, .... О) U~x.
2. Пусть А — оператор в L2[—1, -f-1], определяемый равенством
Ах @ = tx (t).
Тогда
A+x(t) == + | x @, А _х @ = ~~ ' ' х (t).
Теорема 2. Каждый самосопряженный оператор А
порождает семейство \Е^) проекционных операторов,
зависящих от вещественного параметра А,, —оо < А, <
<-f-oo, и удовлетворяющих условиям:
1) из АС —С А следует Е}С = СЕ^ для любого К;
2) Ех < Ец, если I < [х;
3) Ei сильно непрерывен слева, т. е. ?\_о = Ех\
4)Ек = 0 для — со< А<т, ЕК = Е для М < I < +°°»
где т и М — нижняя и верхняя границы оператора А.
Семейство [Е^] называется разложением единицы, по-
порожденным оператором А.
Прежде чем доказывать теорему, приведем примеры.
1. Пусть А — симметрическая матрица п-го порядка.
где К{ < К2 < ... < ЯЛ, и */ — собственный вектор, отвечающий
собственному значению Я/. Тогда при Xi<X^Xi + x оператор Ек
есть оператор проектирования на /-мерное подпространство, по-
порождаемое векторами еи еъ ..., ev При Я <\х имеем Ек = 0; при
К > К-^ имеем Е^ = Е.
2. Пусть оператор А в L2[—1, 1] определяется равенством
Ах (t) = tx (t).
Тогда
где фЛ (/) = 0 при t > Я, ф^ (/) — 1 при t < Я. Очевидно, при Я < —1
имеем Ек = 0, а при Я > 1 имеем /^ = Е.
§ 5] РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 337
Переходим к доказательству теоремы. Пусть А,— про-
произвольное вещественное число и Аъ = А — ХЕ. Обозначим
через Ei проекционный оператор Е — ?+ (к), где Е+ (к) —
проекционный оператор, построенный согласно теореме 1
для оператора А — IE.
Условие 1), очевидно, выполняется, откуда, в частности,
следует, что ?\ и Е^ перестановочны для любых К и \х.
Переходя к условию 2), рассмотрим проекционный опе-
оператор
P = Ek(E-Eii),
где X < |i. Имеем
ЕкР = El(Е- Е») = Ек(Е — Е^) = Р A)
и аналогично
(Е~Е»)Р = Р. B)
Далее, по определению ?\ имеем
(Л-ХЕ)?,<0, C)
(А — цЕ) (Е—Ер) >0. D)
Положим Рх = у для произвольного х?Н. В силу A) и B)
имеем
и аналогично
(E-EiX)y = y.
В силу C) и D)
«А-кЕ)у, у)=((А-кЕ)Еку, у)<0,
((А — цЕ)у, y) = ((A — iiE)(E — E^)y, у) > 0.
Вычтя из первого равенства второе, получим
((IX-I)у, у)<0.
ИЛИ
Отсюда, учитывая неравенство X < \х, заключаем, что
у — Рх = 0, х — любой элемент из Н. Следовательно,
338 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ . [ГЛ. VII
Р = 0, или
и выполнение условия 2) доказано.
Рассмотрим полуинтервал Д = [^, \х) числовой прямой.
Для проекционного оператора Я(Д) = ??д,— Е% имеем
Поэтому
(А — \iE) Е (Д) = {А — \хЕ) Е»Е (Д) < О,
= 04 —&?)(? — ?*) Е(Д)> О,
и, следовательно,
IE (Д) < АЕ (Д) < \хЕ (Д). E)
Обратимся теперь к условию 3). Для любого х?Н вы-
выражение (Е%х, х) есть неубывающая функция от X. Поэтому
существует lim (E%x> х)< Отсюда получаем, что
\ ux% x) = (Evx, x) — (Ekx. x)->0
при X<v<ja и Xt v->\i. Следовательно, для любого х?Н
существует
lim Екх = Ер_ъх.
И—О
Легко проверить, что Яц-о—проекционный оператор.
Докажем, что
Пусть
Имеем
Е (До) при Я->М' —О
в смысле точечной сходимости операторов и, переходя
к пределу в неравенстве E), что, очевидно, возможно, по-
получаем
Пусть теперь х — любой элемент из Я и у = ??(Д0)дг.
В силу предыдущего равенства имеем
(Л — |iE)y = 0.
§ 5] РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 339
откуда согласно условию 3) теоремы 1 получаем
Далее
откуда, переходя к пределу, имеем
Следовательно,
Е (До) х = Е^Е (До) х = Е»у = 0.
Так как х — любой элемент из Н, то это означает, что
?(Д0) = 0, и выполнение условия 3) доказано*).
Выполнение условия 4) доказывается без труда. Пусть
X < т и Ек Ф 0. Тогда существует элемент х такой, что
EKx=fc0. Полагая EiX = y, имеем Еху = у, причем можно
считать, что ||у|| = 1. Тогда
(Лу, у) — 1 = (Лу, у)—А. (у. у) = ((Л —
, у)<0.
т. е.
что противоречит определению числа т. Следовательно/
?\=0 для К < т. Вследствие непрерывности слева и
??т = 0. Аналогично показывается, что Ei = E для А, > Af.
Спектральное разложение самосопряженного опера-
оператора. Теорема 3. Имеет место равенство
М+г
йЕъ (б)
= f
где интеграл понимается как предел интегральных
сумм в смысле равномерной сходимости в простран-
пространстве операторов, а г — любое положительное число.
*) Согласно определению Е^ нули оператора А — ХЕ принад-
принадлежат ортогональному дополнению подпространства LE . Если же
оператор Е^ определить так, чтобы нули оператора А — КЕ вхо-
входили в LE , что можно сделать, не нарушая свойств 1), 2) и 4),
то Ех будет непрерывен справа,
340 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Пусть полуинтервал [m, Af-j~e)« г^е в > 0, разбит на
полуинтервалы Д1§ Д2> . ..> Д„, &k = [Xk, \ik). Для каждого
полуинтервала Дл в силу E) имеем
Суммируя по всем /5=1, 2 я и замечая, что
получаем
Пусть v^ —какое-нибудь число из [Xk, \xk). Тогда
2 Aк - vk) Е (Дл) < А - S v,Z: (Дл) < 2(ц, - Vjk) Я (Д,).
Положим max (\xk — А,л) = 6. Тогда из этих неравенств по-
k
лучим
— ЬЕ < Л — 2 v
т. е.
Л — 23уаЯ(Дл))л, jcJ<6(a:, jc).
Отсюда следует, что
т. е.
п м+г
= f
что и требовалось доказать. Для вполне непрерывного опе-
оператора эта формула переходит в формулу A0) § 4.
Замечание. Так как сходимость последовательности
операторов \Ап) к оператору А в смысле равномерной схо-
сходимости в пространстве операторов влечет за собой точеч-
§ 5] РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 341
ную сходимость [Ап] к Л, а также сходимость квадратич-
квадратичных форм {Апх, х) к квадратичной форме {Ах, х), то из
теоремы 3 следует:
п М-\ г
1) Ах = 1\т^укЕ(&к)х= f
п
2) {Ах. x) = \im1?ivk{E{&k)x, x)— j M(EKx, х) для
k = 1 т
любого х ? Н.
Функции от оператора. Резольвента. Спектр. Опре-
Определение F {А). Определим теперь интегралы вида
М+е
f F{l)dElt
т
где F(k) — произвольная комплекснозначная ступенчатая на
отрезке [т, М] функция, а [Еъ\—разложение единицы,
порожденное самосопряженным оператором А. Если А,о—точка
разрыва этой функции, то условимся считать, что
Продолжим F{K) на полуинтервал [т, М-\-е), положив там
F(K)=F(M). Пусть F{lk) = vk на ДЛ = [А,Л, \ik), ft=l.
2, ..., л, причем
Полагаем по определению
М+е п
I F{%)dEi= /. vbE(/л/?).
ш k -1
Легко видеть, что имеем также равенство
Ж + 8 Р
/F (Л) б/?"> = V. Vfc? (Д.),
где Дл — любые частичные полуинтервалы, на которых F{X)
постоянна и которые в сумме дают [т> M-f-e). Оператор
342 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
F(k)dEi обозначим F(A) и назовем функцией опера-
Г
т
тора Л, соответствующей функции F(k) вещественной пере-
переменной А,. Мы получаем, таким образом, соответствие между
ступенчатыми функциями вещественной переменной и функ-
функциями оператора А.
Это соответствие обладает следующими свойствами:
1) если
то
(аддитивность соответствия);
2) если
ТО
F(A) = F1(A)F2(A)
(мультипликативность соответствия);
3) F(A) — [F(A)\*t где черта над функцией означает
переход к комплексно сопряженной функции;
4) |iF^)||<max|F(?i)|;
5) для любого ограниченного линейного оператора Б из
АВ = ВА следует F (А) Б = BF (А).
Для доказательства свойств 1) и 2) разобьем полуинтер-
полуинтервал [/и, М + е) на части Дл, на которых обе функции,
F{(k) и F2(k), постоянны. Тогда для
имеем
а для F (?v) = Fx (k) F% (К) вследствие ортогональности Е (Afc)
§ 5] РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 343
и ? (Az) при k Ф I имеем
Jj
Далее
г= 1
откуда следует, что
Наконец,
\(F(A)x, x)| =
. x, x).
Отсюда
jj /^ v-fijII — sup |yi \**) x, X)I>^ шах | г \K)i.
Свойство 5) очевидно.
Из определения F (А) следует, в частности, что ?(Л) —
= Ха (^)» где Ха (^) — характеристическая функция полуин-
полуинтервала Л. Пусть теперь F(k) — произвольная непрерывная
на [т* М) функция. Продолжим ее на полуинтервал
[т, М-\-е), полагая F(k)=F(M) для К?(М, Ж + б). Су-
Существует последовательность ступенчатых функций Fn {к)
равномерно на [т, М-\-е) сходящаяся к F(k). Рассмотрим
соответствующие функции от оператора Fn(A). Имеем
• \\Fn(A)-Fm(A)\\^max\Fn(l)-Fm(X)\->0
при я, т~>оо.
344 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
В силу полноты пространства операторов существует опе-
оператор
B = l\mFa(A).
п
Положим по определению
М+е
В= f F(X)dEk.
т
Будем в дальнейшем обозначать В также через F (А) и на-
называть функцией от оператора А соответствующей не-
непрерывной функции F(X) вещественной переменной X. Легко
убедиться в том, что определение F(A) не зависит от выбора
последовательности {Fn(k)}, сходящейся к F(X), и что свой-
свойства 1) — 5) сохраняются и для случая непрерывных функ-
функций. В частности, имеем
Ап= J XndEK> л = 0. 1, 2, ... .
т
Резольвента. Полученное соответствие между функциями
вещественной переменной и функциями от операторов может
быть широко использовано для выяснения ряда свойств само-
самосопряженного оператора, в частности спектральных свойств.
Мы ограничимся здесь следующими тремя теоремами.
Теорема 4. Для того чтобы для данного XQ суще-
существовала резольвента
достаточно выполнения одного из следующих условий:
1) Хо не вещественно;
2) Хо лежит вне отрезка [т, М\\
3) если Х0?[т, М], то существует полуинтервал
[а, р), а < Хо < р, внутри которого Ех постоянно.
Во всех этих случаях
М+г
т
В самом деле, в первых двух случаях функция
§ 5J РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 345
непрерывна в [т, М -f- e) при достаточно малом е. Поэтому
М+е /И-te M-fe
и так как
f (l-
m
TO
M+e
В третьем случае разобьем полуинтервал [т% М -f- e) на
три полуинтервала [т, а), [а, Р) и [р, Ж + е). Пусть
1—г" на И» а) и [р, уИ-f-e) и линейна на [а, р),
1 1
причем ф(а) = «—, ф(Р) = -^—г—,
а — л0 р — л0
В силу постоянства Е\ в полуинтервале [а, р)
Э
а
для любой функции i|)(X). Поэтому можно записать
Л1*е Мл г
/
Следовательно,
М+е
Отсюда вытекает, что /?>.o существует и равна
J X —Ав *
т
346
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
[ГЛ, VII
Теорема 5. Если для вещественного Хо сущест-
существует /?л0» т0 ^о лежит внутри некоторого полуин-
полуинтервала [а, р), Х0Фа, в котором Ех постоянна.
Возьмем для произвольного х ? Н равенство
М+е
и применим к обеим частям его оператор /?^?(Д), где
А = [а, р) — некоторый полуинтервал, содержащий внутри
себя точку А,о. Получим
Отсюда
Но, как легко проверить,
3
J (Л — К
Е (Л) х = Rlo П (К - Хо) dEKx\.
<c\\E(/S)x\\.
где ^ =
— Ло, А,о — а). Следовательно,
\\E(^x\\<Cc\\Rlo\\\\E(k)x\\.
Выберем теперь полуинтервал [а, (У) настолько малым,
чтобы c\\Rio\\ < -^ . Получим
Но это возможно, лишь если Е(А)х = 0, и так как х — лю-
любой элемент из Я, то ?(Д) = 0. Тем более Е(&) — 0 для
любого полуинтервала ДсД, а это означает, что ?\ по-
постоянно в [а, (У).
Из теоремы 4 непосредственно вытекает, что множество
регулярных точек самосопряженного оператора Л есть откры-
открытое множество, а следовательно, спектр самосопряженного
оператора Л представляет собой замкнутое множество, рас-
§ 5] РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 347
положенное на вещественной прямой (замкнутость спектра
произвольного ограниченного линейного оператора в веще-
вещественном банаховом пространстве была установлена в гл. III).
Собственные значения самосопряженного оператора.
Теорема 6. Для того чтоды Хо было собственным
значением самосопряженного оператора А, необходимо
и достаточно, чтобы Хо было точкой разрыва для ?*,•
Необходимость. Пусть для некоторого х0 Ф О
Тогда
@4-;
и, следовательно,
f (к-
пг
Так как подынтегральная функция неотрицательна, а инте-
интегрирующая функция монотонно возрастает, то и
для любого полуинтервала [а, р). В частности, для любого
6>0
Мл в
f Q. —
и так как на интервале интегрирования (К — Х0J*^?2, то
тем более
лиг
г2 f d(Ekx0, хо) = е2[(хо, хо) — (ЕХй+ехо, лго)] = О.
Следовательно,
(*0, хо) — (Е^+гхо, хо) = О,
т. е.
x0. G)
348 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Аналогично
J (X — XQJd(EkxQ, *о) = О,
т
откуда с учетом того, что Ет = 0> получаем
Еко.ехо = О. (8)
Из G) и (8) следует
0+е — ^Ао-е) *о — х0>
и так как е произвольно, то
(?х,+о — ?а«)*о== По-
Последовательно, Хо есть действительно точка разрыва для Ек>
причем собственный элемент х0 принадлежит подпростран-
подпространству, соответствующему проекционному оператору Е^+о—Е^.
Достаточность. Пусть Е^+о Ф Еко и х0 — любой
элемент из подпространства, соответствующего' оператору
?ао+о — Еко. Тогда
(?*о+о — Eh) х0 = лг0,
т. е. х0 принадлежит ортогональному дополнению простран-
пространства Le-^ в пространстве Le^ +o. Поэтому
Е^+оХо = по» ^Ло-^о = 0.
Тем более
Екх0 = х0 для X > Яо,
и, следовательно,
для А==[Я0,
Но тогда
Ax0 = AE (Л) x0 = f X dEk x0,
o= Г XodEkxo,
и, следовательно,
Axq — XqXq = J (л — i
§ 6] НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 349
Отсюда
ll^o —Moll
и так как е произвольно, то
\\Лх0 — Voll=O.
Попутно получено, что все подпространство, на которое
проектирует оператор Еко+О — Еко> состоит из собственных
элементов оператора Л, соответствующих собственному зна-
значению А,о.
§ 6. Неограниченные линейные операторы.
Основные понятия и определения
В предыдущих параграфах мы рассматривали линейные
ограниченные операторы, определенные на всем гильберто-
гильбертовом пространстве Н. Однако целый ряд весьма важных ли-
линейных операторов не удовлетворяет этим условиям. Таков,
например, оператор дифференцирования
который определен лишь на всюду плотном в L2[—я, я]
множестве функций, имеющих производную, суммируемую
с квадратом. Оператор дифференцирования не ограничен на
этом множестве, так как для xn(f) = sin tit имеем
Если линейный оператор А определен на всюду плотном
множестве пространства Н и ограничен на нем, то А равно-
равномерно непрерывен на этом множестве и его можно одно-
однозначно продолжить по непрерывности на все пространство.
Для некоторого класса операторов имеет место и обратное
утверждение.
Теорема 1. Если линейный оператор А определен
на всем пространстве И и для всех х и у из Н спра-
справедливо равенство (Axt у) — (х, Ay), то он ограничен
и, следовательно, непрерывен.
Предположи?^ противное. Тогда существует последова-
последовательность [xn\czH такая, что
||*я|| = 1 и ||Л*я||->оо. A)
350 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Рассмотрим функционалы
fn(x) = (Ax. *я) = (*. Ахп).
Они аддитивны и однородны и, кроме того,
В силу теоремы Банаха — Штейнхауса нормы этих функцио-
функционалов будут ограничены в совокупности: ||/я||<^с Но
I! /я 11 = II Ахп II» отсюда ||Лл;я|К>, что в силу A) невоз-
невозможно. Полученное противоречие доказывает теорему.
Мы будем теперь рассматривать операторы Л, опреде-
определенные на линейном многообразии D(A)aHt всюду плотном
в //, со значениями в том же пространстве и обладающие
на D (А) свойством линейности:
А (ах + ру) = а Ах + §Ау
для любых х, y?D(A) и любых чисел аир.
Множество D(A) называется областью определения
оператора. Множество R(A)= AD (А) называется множе-
множеством значений оператора. Два оператора А и В считаются
равными или совпадающими, если D(A) — D(B) и Ах=Вх
для любого x?D(A). Если же D(A)aD(B) и Ах = Вх
для любого x?D(A), то оператор В называется расшире-
расширением оператора Л, а оператор А — сужением оператора В.
В этом случае будем писать А а В.
Пусть А и В — два линейных оператора с областями
определений D (А) и D(B). Если L = D(A) П D(B), то на
элементах линейного многообразия L имеют смысл оба опе-
оператора. Оператор
(Л + В) х = Ах + Вх. х? L,
называется суммой операторов Л и В, Многообразие L всегда
содержит нулевой элемент и, следовательно, не пусто, но
нетривиальной сумма операторов будет, лишь если L содер-
содержит элементы, отличные от нулевого. Это же замечание отно-
относится и к последующим определениям.
Пусть теперь в D (Л) существует подмножество D такое,
что Ах ? D (В) для любого х (? D. Тогда на D определено
§ 6] НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 351
произведение оператора В на оператор А
(ВА)х = В(Ах).
Аналогично определяется и произведение АВ.
Если оператор А отображает D(A) на R(A) взаимно
однозначно, то существует обратный оператор А
с областью определений R(A) и областью значений D(A).
Может случиться, что R(A) = H и что обратный оператор Л"*1
будет ограниченным, хотя А — неограниченный линейный опе-
оператор. Может быть и наоборот: ограниченный линейный опе-
оператор А имеет неограниченный обратный оператор. Таковы»
например, операторы на стр. 161, если рассматривать их как
операторы в пространстве ?2[0, 1].
Сопряженный оператор. Пусть А — линейный оператор,
определенный на линейном многообразии D(A), всюду плот-
плотном в //. Если скалярное произведение (Ах, у) для данного
фиксированного у и любого х ? D (А) может быть предста-
представлено в виде
(Ах, у) = (х, /), B)
то будем говорить, что у принадлежит области определе-
определения D(A*) оператора, сопряженного с А, а сам сопряжен-
сопряженный оператор определим равенством
А*у = у*.
Так как D(A) предполагается всюду плотным в //, то ра-
равенством B) элемент у* определен однозначно. Без труда
проверяется, что D(A*) — линейное многообразие и что
А* — линейный оператор. Заметим, что область определения
сопряженного оператора всегда не пуста — она заведомо со-
содержит нулевой элемент.
Пример. Пусть Н = L2 (G), где G — ограниченная измеримая
область на плоскости хОу. Рассмотрим оператор А = —-. г,
dxh dyh
определенный на всюду плотном в G линейном многообразии функ-
функций ф (дг, у), непрерывных вместе с частными производными до
/-го порядка включительно и обращающихся в нуль в некоторой
граничной полосе области G (своей для каждой функции). Так как
D (А) всюду плотно в L2 (G), то существует сопряженный опера-
оператор А*. Вспоминая определение, данное на стр. 98, получаем, что
352 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ |ГЛ. VII
D (А*) есть совокупность функций ср (х, у), имеющих обобщенную
производную /-го порядка, и А* является оператором обобщенного
дифференцирования А*ц> = —, , •
дх1х dyh
Линейный оператор Л, определенный на D(A), называем
симметрическим, если для любых х, y?D(A) выполняется
равенство
(Ах, у) = (х, Ау).
Для случая ограниченных операторов понятие симметрич-
симметричности оператора совпадает с понятием самосопряженности.
Для неограниченных операторов, как увидим ниже, это — раз-
разные понятия.
Как и в случае ограниченных операторов, для симмет-
симметричности А необходимо и достаточно, чтобы (Ах, х) было
вещественно для любого х ? D (А). Ясно, что для симметри-
симметрического оператора включение y?D(A) влечет за собой
y?D(A*) и что для y?D(A)
А*у = Ау.
Поэтому Л*эЛ, т. е. для симметрического оператора А со-
сопряженный с ним оператор является расширением А.
Нетрудно проверить, что если A dВ, то В* а А*.
Теорема 2. Если оператор А'1 существует и
имеет, так же как и оператор Л, всюду плотную
область определения, то (Л*)~1 существует и равен
(А-Г
Пусть у?О((а~])). Для любого x?D(A) имеем
(х, у) = (А-1Ах, у) = (Ах, (А-1)*у).
Если прочесть это равенство справа налево, то увидим, что
(а~1)*у?Е>(А*) и что
А*{А-1Уу = у. C)
Аналогично, если х' ?D(a~]), у ? D (л*), то
откуда, как и раньше, следует, что А*у' ?D ((Л-1)*) и
(Л'1УлУ = у. D)
§ 6] НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 353
Из равенств C) и D) вытекает, что (Л*)" существует и
равен (Л-1)*.
Можно доказать, что
Остановимся теперь на вопросе о перестановочности двух
операторов. Пусть А — линейный оператор с областью опре-
определения D(A) и В— ограниченный линейный оператор. Гово-
Говорят, что В перестановочен с А или коммутирует с Л, если
из x?D(A) следует Bx?D(A) и АВх = ВАх. В более
общем случае перестановочность двух неограниченных опе-
операторов мы определим ниже.
Введем еще одно определение. Пусть А и В — линейные
операторы и пусть оператор А перестановочен с каждым
ограниченным оператором, перестановочным с В.
Будем говорить в этом случае, что оператор А соком-
мутирует с оператором В,
Замкнутые операторы. Замыкание оператора. Неогра-
Неограниченный линейный оператор А не обладает свойством не-
непрерывности. Из того, что хя->л;0, вообще не следует, что
{Лхп} стремится к какому-либо пределу. Однако некоторые
неограниченные линейные операторы обладают более слабым
свойством, отчасти заменяющим свойство непрерывности.
Пусть А — линейный оператор с областью определе-
определения D(A). Если из условий {xn)aD(A)% хп->х0, Ахп->у0
следует, что
xo?D(A) и yQ = AxQt
то оператор А называется замкнутым.
Примером замкнутого оператора может служить опера-
оператор, сопряженный с произвольным линейным оператором.
В самом деле, пусть уп ? D (А*) и
Уп -> Уо> л*Уп -> *о-
Для любого x?D(А) имеем
(х, Л*ул) = (Лх, уя)->(А*. у0).
354 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
С другой стороны,
(*, А*уп)->(х. г0).
Следовательно,
(Ах, уо) = (х, z0)
для любого x?D(A). Отсюда вытекает, что yQ?D(A*) и
A*yQ=z0.
Примером незамкнутого оператора является оператор част-
частного дифференцирования, приведенный на стр. 351.
Будем говорить, что оператор А допускает замыкание,
если существует замкнутый оператор В, являющийся расши-
расширением оператора А (т. е. /ЗзЛ). Среди различных замкну-
замкнутых расширений данного оператора Л, допускающего замы-
замыкание, можно выделить так называемое минимальное замк-
замкнутое расширение, которое содержится во всяком другом
замкнутом расширении А. Минимальное замкнутое расшире-
расширение оператора А называется замыканием А и обозна-
обозначается Л. Существование замыкания и его единственность
для любого оператора, допускающего замыкание, мы дока-
доказывать не будем, а ограничимся лишь случаем симметриче-
симметрических операторов.
Теорема 3. Для всякого симметрического опера-
оператора А можно построить замыкание А.
Обозначим через D (Л) совокупность элементов х?Н,
для которых найдется последовательность {xn)aD(A) такая,
что
где у — некоторый элемент из Н.
Очевидно, D (Л) — линейное многообразие и D (A)czD (Л).
Для x?D(A) положим
Ах = у.
Это определение однозначно. Пусть (^]сО(Л) — другая
последовательность, такая, что
§ б] НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 355
Тогда для любого h ? D (Л), используя симметричность опе-
оператора, получим
(А. у —/) = lim(A. Axn — Ах'\ =
п
= lim (Л/г, xn — x'\ = (Aht x — x) = 0.
п
Так как D(A) всюду плотно в //, то отсюда следует, что
у = у'. Оператор Л, очевидно, линейный и является рас-
расширением оператора Л.
Оператор Л — симметрический, так как для любых х9
УеО(А)
(х% Ay) = lim (хп, Ауп) = lim (Ахп, уп) = (Ах, у).
п п
Оператор Л замкнут. В самом деле, пусть {xn}aD(A)t
хп->х, Ахп->у. Так как xn?D(A), найдется элемент
x'n?D(Л) такой, что
\\xn-<\\<ii. ца*.-л*;ц<т-
Но тогда х'п->х, Ах'п—>у и, следовательно, x?D(A) и
Ах = у по определению множества D(A) и оператора Л.
То, что Л является минимальным замкнутым симметриче-
симметрическим расширением оператора Л, вытекает из того, что вся-
всякий элемент х ? D (Л) должен принадлежать области опре-
определения любого замкнутого расширения оператора Л.
Отсюда же вытекает и единственность замыкания Л.
Замечание. Покажем, что если А — замыкание сим-
симметрического оператора Л, то (Af = A*.
Так как Ad At то (А)*с А* и надо доказать обратное
включение.
Пусть у ? D (Л*) их — любой элемент D (Л). Имеем
(Ахt у) = \\т(Ахп% у) = \\т(хп% A*y) = (xt A*y).
п п
Это равенство показывает, что у ? D ((Л)*) и (Л)* у = А*у9
т. е. A*cz(A)*.
356 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
График оператора. Для целей дальнейшего изучения со-
сопряженного оператора и операции замыкания введем понятие
о графике оператора.
Рассмотрим два экземпляра гильбертова пространства Я,
и пусть Й—прямая сумма этих пространств, т. е. совокуп-
совокупность пар z={x, у], х?#, у?Н с обычными определе-
определениями линейных операций. Определим, далее, для zx, Z2?H
скалярное произведение этих элементов с помощью равен-
равенства
(zv z2) = (xv *2) + (У1. у2).
Легко проверить, что все свойства скалярного произведения
имеют место. Выполняются и все остальные аксиомы гиль-
гильбертова пространства. Следовательно, Н также будет гиль-
гильбертовым пространством.
Если в пространстве Н задан линейный оператор Л, то
множество ®r(A)czH элементов вида
{х, Лх}, x?D(A).
назовем графиком оператора Л.
Легко видеть, что ®г (А) — линейное многообразие, одно-
однозначно определяемое оператором А. Наоборот, если для двух
операторов А и В имеем ©г (Л) = ©г (?), то А = В. Нако-
Наконец, нетрудно проверить, что для того, чтобы оператор А
был замкнут, необходимо и достаточно, чтобы ©г (А) было
замкнутым подпространством пространства Я.
Рассмотрим в Н оператор О, определяемый равенством
0{х,у} = {у, -х).
Ясно, что U2 = —Е и U* = — 0» откуда
0*0 = 00*= Ё,
т. е. U — унитарный оператор.
Лемма. Если А — произвольный линейный оператор,
определенный на всюду плотном линейном многообра-
многообразии О(Л), то ©г (Л*) есть ортогональное дополнение
к линейному многообразию U(®r(A))t
НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 357
Пусть г= [х',у'} ?H-*-U(®r(A)). Это значит, что
({*'. у'}. [Ах, —х}) = 0
для любого x?D(A). Отсюда
(*'. Лх) = (/, х),
и, следовательно, х' ? D (Л*) и у'—Л*х', т. е. {х\ у'} ? ©г (Л*).
Повторяя рассуждения в обратном порядке, получаем, что
из {х', yf) ?©г(Л*) вытекает ортогональность этого эле-
элемента к любому элементу из О (©г (Л)), и лемма доказана.
Теорема 4. Если А—замкнутый оператор, опре-
определенный на всюду плотном в И множестве О(Л), то
D(A*) также всюду плотно и однозначно определен
(Л*)* = Л**. При этом А** = А.
Так как Л замкнут, то @г (Л) — замкнутое линейное
многообразие и, значит, О(®г (Л)) тоже замкнуто. Поэтому
Я = #(©г (Л)) + ©г (Л*). E)
Применяя к обеим частям равенства унитарный опера-
оператор U и замечая, во-первых, что ?/2(©г(Л)) — — Ё®г (Л) =
= ®г(А), и, во-вторых, что унитарный оператор ортого-
ортогональные элементы переводит в ортогональные, будем иметь
# (Я) = Н = ®г(А) + U (©г (Л*)). F)
Покажем прежде всего, что D(A*) всюду плотно. Если это
не так, существует Уо?Н, отличный от нулевого и ортого-
ортогональный D(A*). Элемент уо={О, yQ}?H будет тогда орто-
ортогонален ?/(©г(Л*)), так как для любого [у, А*у) ?©г (Л*)
имеем
({О, УоЬ 0 [у. Л*у}) = @, А*у) — (уО9 у) = 0.
Следовательно, @, у0} ?@г (Л), откуда уо=ЛО = О. Полу-
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Так как D(A*) всюду плотно, то однозначно определен Л**.
Чтобы доказать равенство А** = А, достаточно воспользо-
воспользоваться соотношением F) и леммой.
Теорема 5. Оператор Л** существует тогда и
только тогда, когда определенный на всюду плотном
358 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
множестве оператор А допускает замыкание. В этом
случае Л** = Л.
Если А допускает замыкание Л, то по теореме 4 (Л)**
существует и (Л)** = Л. Но (Л)* = Л*, следовательно,
(Л)**= Л**, откуда А** = А, и первая часть теоремы доказана.
Пусть Л** существует. Применяя E) к Л", мы получим
Н = О(®г (Л*)) + ®г (Л**). G)
С другой стороны, применяя оператор U к обеим частям
равенства
Н = О (®Г(А)) + ©г (Л*),
будем иметь
Н=О(®г (Л*)) + ®г(Л). (8)
Из сравнения формул G) и (8) следует, что ®г (А)а®г (Л**),
т. е. А допускает замкнутое расширение Л**.
Инвариантные подпространства, приводимость. Для
неограниченных операторов также можно ввести понятие
инвариантного подпространства.
Подпространство L называется инвариантным подпро-
подпространством оператора Л, если
1) из х?О(Л) следует Px?D(A) (P = PL);
2) из x?D(A)[\L следует Ax?L (т. е. РАРх = АРх
для всех х ? О(Л)).
Из 1) и D (Л) = Н следует, что D(A)f\L всюду плотно в L.
Покажем, что и для неограниченных симметрических опе-
операторов из инвариантности L вытекает инвариантность
М = Н-*- L. В самом деле, пусть x?D(A) и х = хх-\-х2>
где xx?L, х2?М. Так как L — инвариантное подпростран-
подпространство, xl?D(A) и так как D(A) — линейное многообразие,
то х2 = х — хх ? D (Л).
Далее, если x?D{A)[\M и у — любой элемент
из D(A)ftL% то
(Ах. у) — (х 0
так как Ау ? L и х J_ ?. Таким образом, элемент Ах орто-
ортогонален D(A)(]L, а так как это многообразие всюду плотно
в Z,, то Ах J_ Z,; отсюда Ах ? Ж.
Если L—инвариантное подпространство оператора Л, то
говорят также, что L приводит Л.
§ 7} САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 359
Теорема 6. Подпространство L приводит сим-
симметрический оператор А тогда и только тогда, когда
оператор Р проектирования на это подпространство
перестановочен с А.
Пусть L—инвариантное подпространство. Тогда если
х ? D (Л), то Рх ? D (А) и Рх ? D (A) fl L. По условию 2)
инвариантности L имеем
РАРх = АРх. (9)
Так как А — симметрический оператор, но Я — Z, — также
инвариантное подпространство А. Поэтому, как и выше,
(Е — Р) А(Е — Р) х = А(Е — Р) х,
или, раскрывая скобки и упрощая,
РАРх = РАх. A0)
Из (9) и A0) следует, что РАх = АРх, и перестано-
перестановочность А с ограниченным оператором Р доказана.
Пусть, обратно, А и Р перестановочны. Тогда прежде
всего из x?D(A) следует Рх ?D(A).
Далее, для х ? D (А) П L будем иметь
Ах = АРх = РАх,
т. е. Ах ? L, и инвариантность L доказана.
§ 7. Самосопряженные операторы и теория расширений
симметрических операторов
Линейный (не обязательно ограниченный) оператор А
называется самосопряженным, если А = Л*. Из этого
определения следует, что всякий самосопряженный оператор
является симметрическим. Обратное утверждение, как мы
увидим ниже, неверно.
Ряд основных утверждений о спектре ограниченных само-
самосопряженных операторов переносится на случай неограничен-
неограниченных самосопряженных операторов. Так, все собственные зна-
значения самосопряженного оператора вещественны и собственные
элементы, соответствующие различным собственным значе-
значениям, ортогональны; точка X является регулярным значением
оператора тогда и только тогда, когда существует число
360 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
с такое, что
||(Л-*Е)*||>с||х|| A)
для любого x?D(A). Покажем, например, как устанавли-
устанавливается последнее утверждение.
Если X — регулярная точка, то существует ограниченный
обратный оператор Rk — (A — Я/:). Поэтому
и мы получим A), где с= „ п „ . Пусть A) выполняется.
II ^И
Снова рассмотрим линейное многообразие L, состоящее из
элементов вида у = (А — ХЕ) х, где х пробегает D (А).
Соответствие между D(A) и L в силу A) взаимно одно-
однозначно. L всюду плотно в И. Если это не так, то суще-
существует в Н элемент х0 Ф 0 такой, что (д;0, у) = 0 для
любого у ? L, или
(*0, Ах — Хх) = 0 B)
для любого х ? D (А). Из B) получаем
(Ах, хо) = (х, Хх0).
Но это означает, что х0 ? D (А*) = D (А) и
Теми же рассуждениями, что и в случае ограниченных опе-
операторов, убеждаемся, что это невозможно.
Наконец, L замкнуто. Пусть [yn}cL> yn->y0. Если
yn = Aixn, то согласно A)
\\*п— *т11<71Уя— УтЬ
откуда \\хп — хт||->0. В силу замкнутости оператора А
(самосопряженный оператор всегда замкнут)
xo = l\mxn?D (А), у0 = Акх0,
п
и замкнутость L доказана *). Завершается доказательство регу-
регулярности X точно так же, как в случае ограниченного опе-
оператора.
*) Ср. стр. 362.
§ 7) САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 361
Следствие 1. Точка % принадлежит спектру
самосопряженного оператора тогда и только тогда,
когда в D(A) существует последовательность [хп]
такая, что ||хя||=1, \\Ахп — Ххп\\->0 при л->оо.
Следствие 2. Множество регулярных точек само-
самосопряженного оператора есть открытое множество,
а следовательно, спектр — замкнутое множество.
Следствие 3. Всякое невещественное X есть регу-
регулярное значение самосопряженного оператора и, сле-
следовательно, спектр такого оператора расположен
целиком на вещественной оси.
Теория расширений симметрических операторов. Пусть
дан симметрический оператор А с областью определения D(A)t
которую мы, как всегда, будем предполагать всюду плот-
плотной в Н.
Если А не замкнут, то мы предварительно его замкнем.
Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что А — замкну-
замкнутый оператор. Мы сейчас опишем в общих чертах некоторый
процесс, позволяющий строить симметрические расширения
оператора Л и, в частности, расширить симметрический опе-
оператор до самосопряженного.
Пусть В — симметрическое расширение оператора Л.
Тогда из АсВ следует /ТеЛ*, и так как BczB*t то
ВсА*.
Итак, всякое симметрическое расширение оператора А
есть часть сопряженного оператора Л*:
D(B)cD(A*)t Ву = А*у для y?D(B). C)
Так как В — симметрический оператор, то (By, у) веще-
вещественно для любого y?D(B). Но (By, у) = (А*у, у), и потому
D(B)aYi где через Г обозначено множество*) тех элемен-
элементов у из О (Л), для которых квадратичная форма (А*у, у)
принимает вещественные значения.
Обратно, если L — линейное многообразие, удовлетво-
удовлетворяющее условию
*) Заметим, что множество Г не образует линейного много-
многообразия.
362 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
то оператор В, определенный на L равенством
By = А*у,
есть симметрическое расширение оператора А.
Пусть Lt — линейное многообразие элементов вида
y~-(A-\-iE)x, где / — мнимая единица и х пробегает D(A)<
Покажем, что LL — подпространство. Прежде всего простым
подсчетом получаем, что
\\{A±iE)xf.=,\\Ax\f+\\x\\\
откуда
Пусть теперь уп = (А-\-1Е)хп и уя->з>о- Тогда |Ь>лг —ут||—>0,
а следовательно, и \\хп — л;,н||->0 при /г, т~>со. Из пол-
полноты Н следует хп—>х0.
Итак, имеем xn?D(A), хп~>х0, Ахп — уп— ixn->
-> у0—txQ. Так как А — замкнутый оператор, то xQ?D(A)
и Ахо = уо—ix0. Отсюда уо6^« Замкнутость Lt доказана.
Элемент z тогда и только тогда ортогонален подпро-
подпространству Lt, когда для любого x?D(A)
(z, Ax + ix) = 0
или
(Ах, z) = (x, tz),
т. е. когда z?D(A*) и A*z — tz. Следовательно, ортого-
ортогональное дополнение к LL есть /V,- — подпространство соб-
собственных элементов оператора Л*, соответствующих собствен-
собственному значению /,
H = Ll + Ni. D)
Аналогично
Я = ?_; + ЛГ_;. E)
Лемма 1. Область определения D(A*) оператора А\
сопряженного с замкнутым симметрическим опера-
оператором Л, есть прямая сумма линейного многообра-
зия D(A) и пары пространств Nt и N_t\
i@N^i. F)
§ 73 САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 363
Пусть у — произвольный элемент из D (Л*). Рассмотрим
элемент А*у — (у. В силу E)
Учитывая равенства Ах=А*х и A*z0 —— iz0, из преды-
предыдущего соотношения получаем
Следовательно,
Отсюда, полагая -^izo = zt получим
y = x + z + z, G)
и требуемое разложение элемента у получено. Покажем, что
такое разложение единственно. Пусть
— другое разложение того же элемента у. Тогда
(x — xl) + {z — zl) + (z — zl) = 0. (8)
Применяя к обеим частям равенства (8) оператор Л*, получим
A(x — xl) + t(z — zl) — t(z — zl) = 0. (9)
Умножая (8) на / и вычитая из (9), будем иметь
Слагаемые, стоящие в левой части этого равенства, орто-
ортогональны,
А(х — х,) — Цх —
Следовательно
364 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
или z==zx. Аналогично z = zv Отсюда и х = хг. Лемма
полностью доказана.
Вместо мнимой единицы / можно взять любое невеще-
невещественное число Я. Получим другое разложение:
Подпространства Nk и N-% для разных X будут, вообще
говоря, различны. Однако можно доказать, что если % лежит
в верхней полуплоскости, то размерность N^ совпадает
с размерностью N. и размерность Л^—с размерностью N..
Размерности подпространств Nt и ALt- называются индек-
индексами дефекта оператора Л, а подпространства Ni и N-x
дефектными подпространствами.
Лемма 2. Для того чтобы элемент y?D(A*) при-
принадлежал множеству Г (см. стр. 361), необходимо
и достаточно, чтобы в разложении G) имело место
равенство
И*И=1Й1-
В самом деле, если у = х -f- z -J- z, то
(A*y, y) = (A*x-±- A*
= (Ax, x) + (Ax.
z).
Так как (Ах, х) вещественно и
(Ax, z-\-z)+{A'{z+z). *) =
), x)
как сумма комплексно сопряженных величин также веще-
вещественно, то
Ы(А*у, y) = lm(A*(z+z), z + z).
Далее
= (iz — lz, z-\-z) =
(*. z)~i(z, z)-ifzf.
§ 7] САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 365
Снова l(z, z)—t(z, z) как сумма комплексно сопряженных
величин вещественно. Поэтому
Im (л* (z + *), z + г) = / (|| г ||2 - Й|2).
Отсюда следует утверждение леммы.
Теорема 1. Всякому симметрическому расшире-
расширению В замкнутого симметрического оператора А соот-
соответствуют два линейных многообразия ТtczNt, T^tczN_t
и изометрический оператор U, отображающий Tt
на T^i* обладающие свойствами:
а) область определения D(B) оператора В состоит
из элементов вида
y = x + z+Uzt A0)
где х — любой элемент из D(A), a z — любой элемент
из Ть\
б) значения оператора В на элементах вида A0)
вычисляются по формуле
A1)
Обратно, если даны два линейных многообразия
TjCNi, T_idN__i и изометрический оператор U, ото-
отображающий Tt на T_t, то оператор В, определенный
на множестве элементов вида A0) формулой A1), есть
симметрическое расширение оператора А.
Оператор В замкнут тогда и только тогда, когда
замкнуты многообразия Tt и Гв/.
Пусть В — симметрическое расширение оператора А и
y?D{B). Как мы видели, D(B)czD(A*) и согласно формуле
G) у имеет вид
y = x + z + z, A2)
причем, так как у ? Г, то по лемме 2
1ИЫЙ1- A3)
Когда у пробегает D(B)t элемент z пробегает некоторое
линейное многообразие Tlt а элемент z—линейное много-
многообразие T_lt При этом элементу z?Tt может соответ-
соответствовать лишь один элемент z?T^t. В самом деле, если
366 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
ТО
У1 — y2 = *i — ^2
и потому в силу A3)
т. е. гг = г2.
Относя элементу z единственный соответствующий ему
в силу равенства A2) элемент zt получаем изоморфное
и изометрическое отображение Tt на T_t. Обозначая опе-
оператор, осуществляющий это отображение, через U, приходим
очевидным образом к равенству A0), а тогда
By = А*у = A*(x+z-{-Uz) = Ax+tz — tUz,
и равенство A1) доказано.
Обратно, пусть Tl<zNi и T_lczN_l — два линейных
многообразия и U—изометрический оператор, отображаю-
отображающий Т1 на Гв/. Оператор В, определенный на элементах
вида A0) формулой A1), есть симметрическое расширение
оператора Л, так как линейное многообразие D (В) элементов
вида A0) удовлетворяет условию
и на D (В) имеет место равенство
By = А*у.
Докажем последнее утверждение теоремы. Прежде всего
заметим, что для замкнутости оператора В необходима
и достаточна замкнутость многообразия L\ элементов вида
(B~\-iE)y, у ??>(?). Необходимость установлена на стр. 362.
Для доказательства достаточности предположим, что L/
замкнуто, но В не замкнут. Замыкая В, мы присоеди-
присоединим к L'i новые предельные элементы, и, следовательно, Li
также не будет замкнуто.
Для любого y?D(B)
и, следовательно,
L\ = Ц ^Ти A4)
§ 7] САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 367
где L't — совокупность элементов вида (А + iE) x, x?D(A).
Так как Lt замкнуто, то L\ окажется замкнутым в том
и только в том случае, когда Тг замкнуто.
Теорема полностью доказана.
Предположим, что указанным выше способом мы расши-
расширим симметрический оператор А до симметрического опера-
оператора В. Спрашивается, каковы будут дефектные пространства
и индексы дефекта этого расширения?
Теорема 2. Пусть В— замкнутое симметрическое
расширение замкнутого симметрического оператора А
с областью определения
Обозначим индексы дефекта оператора А через (т{, т2):
тг == dim Niy /n2 = dim/^_^,
а индексы дефекта оператора В — через (m'v тУ.
т[ = dim Ni, ni2 = dimA/l,,
где Nt и Л/_/ — дефектные подпространства опера»
тора В. Тогда
Ni = Ni + Ttt N-t = N-i + T-t,
и, следовательно, если dimTi = dimT_t = L то
тх = т[ -f- /. Щ = я*
В самом деле, в силу формулы D)
H = L'i + N't.
Используем A4):
Тогда
С другой стороны,
откуда
Аналогично доказывается равенство
368 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VH
Из этих равенств непосредственно вытекает соотношение
между индексами дефекта.
Перейдем теперь к описанию так называемых максималь-
максимальных симметрических расширений симметрического опера-
оператора.
Пусть оператор А имеет индексы дефекта @, 0). Это
значит, что дефектные подпространства Л^- и N_t состоят
лишь из нулевых элементов и, следовательно, D(A*) = D(A).
Но это означает, что А — самосопряженный оператор и сим-
симметрических расширений А не имеет.
Пусть индексы дефекта оператора А конечны (mv m2).
Предположим сперва, что тг = т2 = тфО. Выбирая в Nt
и N_t полные ортонормальные системы еу ev .... ет,
e'v e'r ..., е'т, поставим в соответствие элементу z =
т т
— -J сьеъ?М. элемент z= 2 сье'ъ?М_г Очевидно, это со-
ответствие изометрично и изоморфно и порождает изометри-
изометрический оператор ?/, отображающий все Nt на все Л/_/.
В качестве подпространств Tt и T__t можно взять Nt и N_ь
соответственно,
Оператор В будет иметь индексы дефекта @, 0) и, следо-
следовательно, будет самосопряженным расширением симметри-
симметрического оператора А Таких расширений существует беско-
бесконечное множество. В самом деле, элементу
т
*= 2 ске„
k =1
мы можем поставить в соответствие элемент
т
т вещественно, и более общо элемент
(v 2 т) 2 kk
Получим, таким образом, континуум изометрических опе-
операторов Ux х rtX и соответственно этому континуум само-
самосопряженных расширений.
§ 7] САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 369
Пусть оператор А имеет конечные и не равные индексы
дефекта (mv т2), например тх > т2. Выбирая в Nt пер-
первые т2 элементов ортонормального базиса и обозначая
порождаемое ими подпространство через 7\-, мы берем
в качестве Т_/ все N__(. Тогда
Симметрический оператор В имеет индексы дефекта (т{ — т2, 0)
и дальнейших симметрических, и тем более самосопряженных,
расширений не допускает. Такой симметрический оператор,
у которого один из индексов дефекта равен нулю, а другой
отличен от нуля, называется максимальным. Самосопряжен-
Самосопряженный оператор (у него оба индекса дефекта равны нулю)
называют иногда гипермаксимальным. Если оператор А
имеет индексы дефекта (tn, со) или (оо, т), то способом,
аналогичным предыдущему» можно построить расширение А
до максимального оператора; самосопряженных расширений
у оператора А не существует.
Пусть, наконец, оператор А имеет индексы дефекта
(оо, оо). Рассмотрим сепарабельный случай, когда индексы
дефекта будут (Ко» Ко)* Такой оператор допускает и макси-
максимальные и гипермаксимальные расширения. Пусть Tt — счетно-
мерное подпространство дефектного пространства Nt. Ото-
Отображая изоморфно и изометрично Tt на N_/. мы приходим
к максимальному оператору В с областью определения
и индексами дефекта (т, 0), где т может быть в зависи-
зависимости от выбора Tt любым конечным числом или бесконеч-
бесконечностью. Отображая изоморфно и изометрично Л^ на все N_t,
придем к самосопряженному расширению В оператора Л.
Итак, каждый симметрический, но не самосопряженный
оператор А допускает или максимальное, или самосопряжен-
самосопряженное, или и то и другое расширения. Существует континуум
различных максимальных или самосопряженных расширений
оператора А.
Пример расширения симметрического оператора будет
приведен ниже.
370 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
§ 8. Спектральное разложение неограниченного
самосопряженного оператора.
Функции самосопряженного оператора
Интегральное представление, полученное выше для огра-
ограниченных самосопряженных операторов, обобщается и на
неограниченные самосопряженные операторы. Мы проведем
это обобщение методом сведения неограниченного оператора
к последовательности ограниченных операторов, предложен-
предложенным Ф. Риссом и Э. Лорхом.
Интегралы Стильтьеса. Пусть ?^, —оо < А, < -{- со —
некоторое разложение единицы, т. е. семейство проекцион-
проекционных операторов, зависящих от вещественного параметра к
и обладающих следующими свойствами:
1) Ех^СЕ^ при X<\i,
2) ?*-<> = Ел.
3)^ = 0. Е+ОО = Е.
Пусть, далее, / (к) — ограниченная или неограниченная
комплекснозначная функция, определенная на интервале
(—оо, со) и равномерно непрерывная на этом интервале.
Разобъем (—оо, оо) на частичные полуинтервалы Ал =
= [Xk, \ik) и рассмотрим ряд
со
2 /(v»)E(A4)*. *.„<** <Ъ- A)
& = -со
Этот ряд составлен из попарно ортогональных слагаемых,
и для его сходимости необходимо и достаточно, чтобы схо-
сходился ряд
оо со
2 |/(vft)H|?(Aft)*|p= 2 |/(v4)|2(E(Aft)*, x). B)
fe=-CO fe=— CO
Последний ряд представляет собой интегральную сумму
для интеграла Стильтьеса
со
f\f(X)\U(E>x, х) C)
— СО
и сходится при любом разбиении интервала (—оо, со) тогда
и только тогда, когда сходится этот интеграл. Обозначим
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 371
через D(J) множество тех элементов х?Н, для которых
ряд B) или, что все равно, интеграл C) сходится.
Пусть а — произвольное положительное число. Рассмот-
Рассмотрим полуинтервал Аа = [—а, а). На этом полуинтервале
функция |/(А,)| ограничена и потому
а
J\f(k)\4(EKx. *)<w
-а
для любого х ? Н. Но
а оо
f\f(k)\*d(Ekx. х)= §\f{%)\>d{ExE(ba)x, Я(Аа)*). '
—а -оо
Таким образом, элементы вида Е(Аа)х, где а и х про-
произвольны, принадлежат D(f).
Так как Е (Да) х -> х при а ->оо, то множество {?(Да)л;},
а тем более D(/), всюду плотно в Н. Легко видеть, что
D (/) — линейное многообразие.
Возьмем x?D(f) и рассмотрим суммы A), соответст-
соответствующие двум разбиениям прямой (—оо, со) на полуинтер-
полуинтервалы Дл и Afc соответственно, причем
и max(|xj — A,J)<6.
Тогда, пользуясь свойством аддитивности и ортогональности
?Д легко подсчитать, что
< 02 [(Е^х. х) — (Е^х, х)} = со2 (х, х). D)
со= sup |/(Ь) —/0х)|.
Пусть дана последовательность измельчающихся разбие-
разбиений интервала (—оо, оо) такая, что
Ьп — max | \i<?) — Щ) | -> 0,
и пусть {$п}—последовательность сумм ряда A), соответ-
соответствующих этим разбиениям. В силу D) последовательность \$п\
372 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
удовлетворяет условию Коши
и, следовательно, сходится к некоторому пределу s f И.
оо
Этот предел мы обозначим I f(k)dEKx и назовем инте-
— ио
г ралом Стильтьеса от функции f(k) по семейству Е\.
Интеграл Стильтьеса
оо
J f(k)dEkx E)
— UO
является, очевидно, некоторым линейным оператором St
определенным на линейном многообразии D(S) = ?>(/),
со
S= f f(k)dEkx. F)
— UO
Из формулы E) следует также, что
оо
(Sx, >.)= f f(X)d(Ekx, у) G)
для любых х ? D (S) и любых
Легко видеть, что приведенное выше определение инте-
интеграла Стильтьеса распространяется на функции /(X), кусочно
равномерно непрерывные, т. е. непрерывные всюду, за
исключением конечного числа точек разрыва с конечным
скачком, и равномерно непрерывные в интервалах непре-
непрерывности.
Из формулы G) получаем
(Sx, x)= f f(X)d(Ekx, x),
и если f (к) — вещественная функция, то Eлг, л:) также
вещественно, и потому интеграл Стильтьеса от вещественной
функции определяет симметрический оператор.
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 373
Покажем, что 5 даже самосопряженный оператор. Так как
D(S)czD(S*) в силу симметричности «S, то требуется дока-
доказать обратное включение.
Пусть х — произвольный элемент И и кп = [—п, п).
Тогда
Обозначим через Ln подпространство, на которое проекти-
проектирует Е(Ап). Очевидно, 5 и ?(Д„) перестановочны. Тогда
Sxn = SE (Дя) х = Е (Дя) Sx e Ln.
Пусть теперь у — произвольный элемент из D (S*). Поскольку
yn = E(An)yeD(S) и DE)c=DE*). то yaeD(S*) и S
= Syn?Ln. Пусть zn = y-yn. Тогда zn?D(S*) и 2
Если хп — произвольный элемент из Ln, то
так как Sxn ^ Z.^. Следовательно, S*znJ_Ln. Поэтому
Но
Мы получаем, таким образом, что
для любого п, откуда следует, что
оо
f [f(k)]2d(Eiy, y)<oo.
— ОО
т. е. y?D(S). Включение D(S*)czD(S) доказано, а вместе
с тем доказана и самосопряженность оператора 5.
Две леммы. Лемма 1. Пусть Нх, Н2, ..., Нп, ... —
последовательность попарно ортогональных подпро-
подпространств гильбертова пространства, ортогональная
374 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VIT
сумма которых совпадает с Н. Обозначим через хп
проекцию элемента х на подпространство Нп. Пусть,
далее, Аг, А2, .... Ап, . . . —последовательность огра-
ограниченных самосопряженных операторов, определенных
соответственно на И{, Н2, ..., Нп, ...и отобража-
отображающих эти подпространства в себя.
Тогда в И существует единственный самосопряжен-
самосопряженный оператор А, совпадающий с Ап на каждом Нп.
Область определения D(A) этого оператора состоит
из тех и только тех х?Н, для которых ряд
оо
2||Л.*«Н2 (8)
/2 = 1
сходится. Для x?D(A)
оо
Ах = S Апхп. (9)
/2 = 1
Обозначим через D(А) множество тех х?Н, для которых
ряд (8) сходится. D(A) — линейное многообразие. Пусть х,
y?D(A). Тогда при любых комплексных аир
оо оо
2 || Лп (ах -f- Ру)л ||2 = 2 II а^лл
Л=1 /2 = 1
(\\Апхп |р + \\Апу „|р)< со,
где С зависит лишь от а и р.
Линейное многообразие D(A) всюду плотно в Я, так как
п
в D(A) входят все элементы вида 2 *л» xk?Hk> k=\t
k=i
2, .... п.
Определим на D(A) с помощью формулы (9) оператор А.
Ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится,
так как в силу попарной ортогональности элементов Akxk
имеем
п+р
2
k
'=*?
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 375
при п->оо, р > 0. Оператор Л, определенный формулой (9),
очевидно, линейный. Далее, для х, y?D(A) имеем
(Ах, у) = ( 2 Апхп, 2 Уь) = 2 И/я. Уя) =
\/1=1 Л = 1 / /1 = 1
= 2 (*я. ^ЯУЯ)= 2 ^. 2 АпУп )=(х. Ау)
/1 = 1 \Л = 1 /2 = 1 /
и, следовательно, оператор А — симметрический. Поэтому
существует сопряженный оператор А* и Л*зЛ.
Установим обратное включение. Пусть y?D(A*)> тогда
для любого х ? D (Л)
( (^4 y*S(ft
k -1 ft = 1
Выберем в качестве х произвольный элемент гп ? Нп. Тогда
(гя. A*y) = (zn, Anyn),
Р„п(А*у)=:РИп(Апуп)=Апуп.
Поэтому
i II АпУп |р = 2 || РНа (А'У) II2 = II А*У IP < оо.
/2 = 1 /1 = 1 "
откуда и следует, что у ? D (Л) и Л*у = Лу.
Докажем, наконец, что существует лишь один оператор А
с указанными свойствами. Если В — другой такой оператор,
то прежде всего
V^=l "У Л= " Л = 1
т. е. на конечных суммах вида 2 xk °ба оператора совпа-
л=1
п
дают. Если теперь x?D(A), то ^ xk—>x
376 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ - [ГЛ. VII
и поскольку В, как самосопряженный оператор, замкнут, то
x?D(B) и Вх = у = Ах. Итак, Bz>A. С другой стороны,
переходя в этом включении к сопряженным операторам,
получаем Ас:В. Следовательно, А =В, и лемма доказана.
Лемма 2. Для любого самосопряженного опера-
оператора А существуют два ограниченных самосопряжен-
самосопряженных оператора В и С таких, что
1) R(B)aD(A), R(C)cD(A);
2) 0<?<?, ||С||<1; из Вх = 0 следует х = 0)
3) С=:АВ-
А) С и В перестановочны и сокоммутируют с А.
Возьмем операторы Rl==(A— tE)~l и R_l = (Л -f-ZZT)".
Это — ограниченные операторы, отображающие взаимно одно-
однозначно И на D(A). Отметим также, что Ri = R_it R_i = Ri.
Положим
Ограниченность и самосопряженность операторов В и С,
а также выполнения для В и С первого свойства очевидны.
Из A0) получаем
Rl = C~\-tBt R_! = C — iB. A1)
Поэтому
(А + IE) (С — iB) = (A-\~iE)R_i = E.
или, раскрывая скобки,
(AC -f В) +1 (АВ — С) = Е,
(АС + В) — t (АВ — С) = Е,
откуда, складывая и вычитая, будем иметь
= Е, АВ = С, A2)
и третье свойство также доказано.
Так как /?; и R_t комм\тируют с Л, между собой и
с любым ограниченным оператором, перестановочным с А *),
то свойство 4) операторов В и С, очевидно, имеет место.
•) Если АВ == Б А, то
Rfi = RtB (A — IE) Rt = Rt (A — IE) BRt « BRt.
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 377
Установим, наконец, свойство 2) о-ператоров В к С. Для
х ? D (А) простым подсчетом получаем
Положим (А — /?¦) х = у. Тогда х — R(y и
для любого у?Н. Следовательно, ||/?/||<;i.
Аналогично ||/?_г|К 1. Отсюда
A3)
Далее, умножая обе части первого из равенств A2) на В
справа, будем иметь
В = В2 + ЛСВ = В2 +САВ = Б2 + С2 > 0. A4)
Из A3) и A4) следует, что 0<Eх, x)<(x, #), т. е.
Наконец, пусть Вх = 0. Тогда также Сх = АВх = 0. Отсюда
д: = ?х = (В -f ЛС) х = 0,
и лемма полностью доказана.
Интегральное представление оператора. Пусть А — не-
неограниченный самосопряженный оператор и g\ — спектраль-
спектральная функция ограниченного оператора В, построенного
в лемме 2. Так как
0<(Дх:, *)<(*. х),
то спектр этого оператора расположен на отрезке [0, 1].
Так как, далее, из Вх = 0 следует х = 0, то К = 0 не
является собственным значением оператора В и потому «fa,
в точке X = 0 непрерывна, а следовательно,
Пусть //„ — подпространства, на которые проектируют
операторы «f (Дл), где Дл = 1 , 1 ~j для п > 2 и At =
=== ["' ^ "Ь е) (е — любое положительное число). Простран-
378 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
ства Нп попарно ортогональны, и так как
2^(ДЯ)= lim (cfi+e — с? 1 \=Е — 0 = Е,
то ортогональная сумма Нп дает все пространство Н. Введем
функцию
| }
г 1 п
О вне [-4-Т,-)
и оператор
1+е п
6
Очевидно, имеем
= f d?k = Г (А„).
1
л + 1
Поэтому для любого х?Нп имеем
и далее
Ах = ЛБФ/г (Б) х = СФл (Б) х = Ф/г (Б) Сх = ?> (Ая) Ф/г E) Сх.
Из последнего равенства видно, что оператор Л на Ял
является ограниченным самосопряженным оператором Ап,
преобразующим подпространство Нп в себя. Пусть Е^ —
спектральная функция оператора Ап
Ап=
По лемме 1 существует самосопряженный оператор ?\,
— сю < A, <-f-co, совпадающий с Е^ на каждом Нп. Пусть
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 379
хп — проекция элемента х на подпространство Нп. Так как
ОО GO
2И"Ч12< 2ll*JI2<№ 05)
/2=1 /2 = 1
СО
то ряд 2 || Е^х IP сходится для любого х ? Я, оператор
/2 = 1
ЕКх=%Е[п)х A6)
/1 = 1
определен всюду и, следовательно, является ограниченным
самосопряженным оператором.
В силу ортогональности подпространств Нп имеем для
этого оператора
п, уя).
iiii
/2=1 /2 = 1
Из формулы A6) следует, что для X < \х
Е^х = Е J 2 4"^я) = 5 ^4"^« =
\Л=1 У /2 = 1
CXD ОО СО ОО
= S2 ?W* = 2 ?1вLя)* = 2
m = l /2 = 1 /2 = 1 /2 = 1
и аналогично
п
Отсюда вытекает, в частности, что Е^ = Е^, т. е.
проекционный оператор. Далее, для v < Jl имеем
||?^ - Evx |р = 2 II Е[п)хп - Е[п)хп ||2 =
/2 = 1
N со
^l|r(/iL Ыя). ||2 г.
= 4J \\Ек хп — ^v -^/i II "Т"
/2 = 1 /
Так йак для любого л
380 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ " [ГЛ. VU
ТО
||?**-?V*|P< 2||^я)^я-^л)^||2Ч-2 2 \\хп\\*.
n-l n-N+l
1
Пусть задано е > 0. Выбираем сперва N настолько боль-
большим, чтобы
со
Ну Ц2 << —
Затем в силу непрерывности Е^ слева мы можем выбрать v
настолько близко к X, что
/2=1
Тогда будем иметь для таких v
т. е. EyjX -> Е\Х, при v->A,, v < А,, и непрерывность слева
функции Ei доказана. Аналогично убеждаемся, что
EiX->0 при Х-> — оо,
>x при A,->-f-co.
Следовательно, Ек есть разложение единицы.
С помощью полученного разложения единицы Ех пост-
построим интеграл Стильтьеса
А=
определяющий, как сказано выше, некоторый самосопряжен-
самосопряженный оператор.
Пусть х?Нп, тогда Е^х = Е(?)х, а следовательно,
, x)=
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 381
Поэтому существует Ах и
Ах = J X dE}x = f I dE{kn)x = Anx.
Следовательно, на каждом Нп оператор А совпадает с Ап.
С другой стороны, на каждом Нп оператор А также со-
совпадает с Ап, и так как существует лишь один такой опе-
оператор, то А = А.
Таким образом,
оо
Ах = Ах = f
— оо
Мы получили интегральное представление неограниченного
самосопряженного оператора.
Область определения Ь(А) оператора А состоит из тех
и только тех элементов х?Н, для которых
оо
Г l2d(Ekx, x)<oo.
Можно также показать, что разложение единицы определяется
оператором А однозначно.
Функции от оператора. Выше мы строили функции от
ограниченного самосопряженного оператора. Аналогичным
образом можно строить функции и от неограниченного са-
самосопряженного оператора, только здесь несколько услож-
усложняются свойства аддитивности и мультипликативности соот-
соответствия между функциями вещественного переменного и
функциями от оператора.
Итак, пусть А — неограниченный самосопряженный опе-
оператор с областью определения D (А) и Е%-—разложение еди-
единицы, порождаемое этим оператором. Для произвольной ку-
кусочно равномерно непрерывной на (—оо, -f- со) функции / (X)
строим оператор
382 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
с областью определения D(В), состоящей из тех х?Н,
для которых
f\f(X)\*d(EKxt
Как мы видели выше, D(B) всюду плотно в Я, и если
f(X) вещественно, то В — самосопряженный оператор. Опе-
Оператор В назовем функцией оператора А и обозначим / (Л):
= ff(l)dEKx.
Можно строить функции оператора более общего вида [25].
Именно, спектральная функция Е^(—оо < Я < оо) оператора А по-
порождает функцию интервалов ?(Д), которую процессом, аналогич-
аналогичным процессу, применяемому в теории функций вещественного
переменного, можно продолжить до операторной меры Е (М) ли-
линейных точечных множеств М. Эта мера Е (М) определена на не-
некотором классе множеств, называемых Л-измеримыми, включающем
в себя все борелевские множества. После определения класса из-
измеримых множеств обычным образом определяются Л-измеримые
функции, и строится операторный интеграл Лебега — Стильтьеса
/ / W dEk
сперва для ограниченных, а затем для неограниченных функций.
Область определения оператора / (Л), являющегося функцией опе-
оператора А в только что указанном смысле, снова состоит из тех и
только тех дг, для которых
f\f(X)\*d(EKx,x)<co.
Последний интеграл также понимается в смысле Лебега — Стильть-
Стильтьеса [25].
Мы, однако, таких общих функций от оператора рассматри-
рассматривать не будем.
Пусть дан оператор /(Л), где f (к) кусочно равномерно
непрерывная на (—оо, оо) функция. Область определения
оператора /(Л) будем обозначать D{f(A)}. Для произволь-
произвольного п и любого х?Н, как мы видели на стр. 371,
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 383
Но тогда ясно, что также ?(Д)лг ?D {/(Л)} при любом
Д —[а, р), если аир конечны, и любом х?Н.
Пусть x?D{f(A)}. Из неравенства
сю
J \f(X)\2d(EkE(A)x, Е(А)х) = J \f(l)\*d(.EKx, *)<
— оо Д
со
< f\f(l)\2d(EKx, х),
— СО
имеющего место при любом конечном или бесконечном
Д = [а, р), заключаем, что
Поскольку интеграл Стильтьеса есть предел интегральных
сумм, то
оо
f(A)E(A)x= ff(X)d(Ex(E(A)x)) =
— СО
оо
= Е (A) J / (Я) ^Ехд; = E(A)f (A).
Таким образом, мы получаем, что ?(Д) при любом Д ком-
коммутирует с /(Л).
Пусть Ифб — любое вещественное или комплексное число.
Так как интеграл
оо
f\k\*\f(X)\*d(Exx, х)
— СО
сходится для тех и только тех х, для которых
оо
f\f(X)\2d(.Exx, х)
— СО
сходится, то область определения оператора /(Л) совпадает
с областью определения оператора (kf)(A) и
иии (y)lf *aodoiBd9Uo ей HHtro И1/ээ 4d9WHdiiBH
И1ГИ
:иинэьоп/>ш xXair ей ohito щ вюх oi09w
игээ 'oi09W 199WH (ц) 9I;Xwdoф a oaiOH98Bd <OH4if9iuao'D'9i;3
V) аи {(v) VI a= {(v) V) аи {(к)(г/+тЛ} а
WHlTOXBH OHhHJOITBHy
V) аи {(у) V) а= {(к)8/} аи {(y)(V+V)} а
нинэьсн1гна хихе ей
ей и
• {(v) V) а={(к) V) а и {(к) (V+V)} а
01
•еахэнэа
лвне охээи хээии (ц) airXwdocj) а evjoh 'иинэвнд
(Zl) V
'woeBdgo иимвх '{(k)(V + x/)} аЭ х 'ончи-эхваояэт 'и
V| f |
<» J
I (л- '
I
J
ox
#ИИПИН^ф (СО 'СО—) ВН 9HH8Hd
-9dlJ9H OHd9W0H8Bd OHhOD^M 981Г — (X)Z/ И (у)l/
ил irjj sodoxvdauo bHdoai BVH4irvdi>iHUD
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 385
Пусть снова /{(Х) и /2(Я) кусочно равномерно непре-
непрерывны на вещественной прямой. Пусть x?D {/г(А)/2(А)}.
Это значит, что x?D{f2(A)} и /2(Л) x?D [fx(A)}. По-
Последнее включение означает, что
со
J \fx (Я,)|*d{E,.MA)х, /2(Л)х) < со. A8)
— СО
Но
(ад (Л) л, /я (Л) х) = ||Ях/2 (Л) х |Р =
Поэтому
и A8) принимает вид
Отсюда следует, что jc ^D {(/1/2) (Д)}- Итак,
/iM)/2M)c(/i/JD B0)
Выясним, когда в формуле B0) имеет место знак равенства.
Пусть *?D{(/i/2H4)) и *??>{/2(Л)}. Тогда
ОО
J
Это означает, что
/2 М) *??>{/! 04)},
и, следовательно,
Мы приходим, таким образом, к включению
D {/2(Л)} nD {(fJ2)(A)}a:D [МА)/2{А)\. B1)
886 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Отсюда с учетом A9) получаем
D (/2(Л)} П?> ((/,/2)H)}cD [fl(A)f2(A)}cD {(fJ2){A)).
Из этого включения следует: для того чтобы в B0)
имело место равенство, необходимо и достаточно, чтобы
D[(fJ2)(A))<=D{f2(A)}.
Рассмотрим случай, когда /г (X) = /2 (X) = / (X).
Так как на всяком конечном интервале функция / (X)
ограничена, то расходимость интеграла
оо
J |/(Я,)|" d (ЕКх, х) B2)
— ОО
может произойти лишь вследствие неограниченного возра-
возрастания |/(^)| при \Х
медленнее, чем \/(Х)
будет вытекать сходимость интеграла
-оо. Но так как \f(X)\n растет
то из сходимости интеграла B2)
с»
f
\f(X)\n-ld(EKx, х).
Это будет означать, что D {(fn)(A))aD [(fn~l)(A)}. Отсюда,
в силу предыдущего,
и, следовательно,
[/04)]* = (Я (Л),
т. е.
lf(A)]n= flf(X)]ndEx.
Найдем оператор /(Л)*, сопряженный с оператором f(A).
Если f(X) — вещественная функция, то, как мы знаем, f(A) —
самосопряженный оператор.
Если f(X) = u (X)-\-iv(X) — комплексная функция, огра-
ограниченная на (—оо, оо), то по доказанному
/ (A)* = lu(A) + tv (А)]* = и (А)* — lv (A)* =
§ 8] РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 387
где f(k) означает функцию, комплексно сопряженную с f(X).
Если f(k) не ограничена, представим ее в виде
Здесь g(l) вещественна, |/г(А,)|=1, и области определения
/(Л) и g(A), очевидно, совпадают. Оператор g(A)— само-
самосопряженный, a h(A)— ограниченный. Поэтому
/ (А)* = [g (Л) h (Л)Г = h (A)* g (Л) = h{A) g (Л) = ПА),
Пусть Т — ограниченный линейный оператор, переста-
перестановочный с Л. Тогда Т перестановочен с Rk = (A— ХЕ)~1
для любого регулярного значения X и, следовательно, пере-
перестановочен с оператором
3 (ЯЯ)
В свою очередь из перестановочности Т и В следует пере-
перестановочность Т с любой ограниченной функцией /(?),
в частности со спектральной функцией §\ этого оператора
и с введенной выше функцией (рп(В). Эта последняя пере-
перестановочность означает, что подпространство Нп приводит Т.
Поэтому для х ? Нп
АпТх = АТх = ТАх = ТАпх,
т. е. Ап и Т на Нп коммутируют. Но тогда Т коммути-
коммутирует с Е^ — спектральной функцией оператора Ап, и по-
поскольку спектральная функция Е\ оператора А предста-
вима в виде
где ряд сходится для каждого х?Н, то
Из перестановочности Т с Ех следует перестановочность Т
с любой ограниченной функцией /(Л).
Если, наконец, /(Л) — неограниченная функция, то по*
ложим
388 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
где %п (к) — характеристическая функция полуинтервала
[—я, п). Имеем для любого x?D{f(A)}
= Tfn(A)x. B3)
Так как x?D{f(A)}> то fn(A)x->f(A)x при /г->оо.
Следовательно,
Tfn(A)x->Tf(A)x.
Но тогда при #->оо левая часть равенства B3) стремится
к пределу Т/(А)х, что означает, что
Tx?D{f(A)}
Итак, любая функция от оператора А сокоммутирует с
оператором А. Оказывается, что это свойство для случая
сепарабельного гильбертова пространства является харак-
характеристичным для функций от оператора. Именно имеет место
Теорема. Для того чтобы замкнутый оператор В
с всюду плотной областью определения был функцией
самосопряженного оператора Л, необходимо и доста-
достаточно, чтобы В сокоммутировал с А.
Доказательство этой теоремы см., например, в [25].
Пусть к — комплексное число или точка на вещественной
оси, в некоторой окрестности (а, р) которой E[h постоянна.
Положим в первом случае
-jT~T' — со<[А<со,
во втором случае
\фк вне
( 0, если ц ? (а, р),
тогда ф (fi) ограничена и равномерно непрерывна на всей
числовой, прямой; Поэтому оператор ф (А) — ограниченный
оператор, и, следовательно,
(А ~ Щ ф (Л) = Ф (Л) (Л
со
-b)jh;dE»ss JdE*^
§ 8) РАЗЛОЖЕНИЕ НЕОГРАНИЧЕННОГО ОПЕРАТОРА 389
Снова мы получили, что комплексные точки и точки ве-
вещественной оси, в окрестности которых Ец постоянна,
являются регулярными точками и резольвента имеет вид
оо
- J jzri-
Пусть, наоборот, /?*, для вещественного А, существует.
Тогда, повторяя рассуждения теоремы 5 § 5 настоящей
главы, мы получим, что в некоторой окрестности X спек-
спектральная функция Е^ постоянна.
Наконец, как и в случае ограниченных самосопряжен-
самосопряженных операторов, можно показать, что для того, чтобы точка Я,о
была собственным значением оператора, необходимо и до-
достаточно, чтобы Хо была точкой разрыва разложения еди-
единицы Ei этого оператора.
Вернемся к резольвенте. Прежде всего имеем:
1. Если /?**==: О, то х = (А—lE)Rkx^(A—XEH=:Q.
Далее правила действий с функциями оператора дают:
2. Rl = Rv
оо
оо
— f Я-** dE -
~ J <Т)-*)О]-Ц)" "~
Мы получили так называемое функциональное уравнение
Гильберта для резольвенты.
Итак, резольвента самосопряженного оператора обладает
свойствами 1—3. Оказывается верно и обратное, а именно:
Пусть дано семейство ограниченных линейных операторов,
зависящих от комплексного параметра Я и обладающих
свойствами:
\) из RKx = 0 следует лг = О;
2) Rl = Rr,
3) Rb — Rv^fr — MRiRn.
390 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Тогда существует ограниченный или неограниченный са-
самосопряженный оператор Л, для которого семейство /?д,
является семейством резольвент.
Доказательство см., например, в [24].
Отметим, наконец, что, опираясь на функциональное
уравнение резольвенты, можно доказать, что резольвента
есть аналитическая функция параметра А,, т. е. в окрестности
регулярной точки 10 резольвента разлагается в ряд по сте-
степеням Я,— А,о, сходящийся в смысле равномерной сходи-
сходимости в пространстве операторов [24].
§ 9. Примеры неограниченных операторов
Оператор умножения на независимое переменное.
Примером неограниченного оператора является оператор умно-
умножения на независимое переменное в пространстве L2(-—cot °°)-
Пусть D(A) — многообразие функций х(?) с суммируемым
на (— со, со) квадратом и таких, что
f fi\x(t)\2at<oo.
Легко видеть, что D(A) есть линейное многообразие,
всюду плотное в L2(—оо, оо), так как оно содержит все
ограниченные функции, обращающиеся в нуль вне некоторого
отрезка [а, Ь] (|а|, \Ь\ < оо). На этом многообразии опре-
определим оператор А равенством
Ах = tx (/).
Так как
00 СО
(Лаг, *)= Jtx(t)x(t)dt = Jt\x{f)fdt
— oo —oo
вещественно, что А — симметрический оператор.
Покажем, что А — самосопряженный оператор.
Пусть у (t) ? D(A*) и х(t) — произвольная функция с сум-
суммируемым квадратом, обращающаяся в нуль для |/|>я.
§ 9] ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 391
Тогда x(t)?D и мы имеем
(Ах, у) = (х, у*),
или
п п п
ftx(t)y(f)d(= J x(t)ly~{t)dt= J x{t)T(t)dt,
~n -n -n
откуда
я
fx(t)[y*{t)-ty(t)]dt = O.
— п
В силу произвольности x(t)
почти всюду на [—п, п] при любом фиксированном п%
& следовательно и почти всюду на (— со, со). Так как
У @ 6 А> (—с0» °о), то /у @ 6 ^2 (—°°» °°)» т- е- У @ €
Таким образом, О(Л*)с:О(Л), а следовательно, D(/T) =
и самосопряженность А доказана.
Оператор А не имеет собственных значений, ибо если
Ах = ох, то (t — g)x@ = 0, откуда л: (/) = 0 почти всюду
на (—со, со).
С другой стороны, каждое вещественное число о есть
точка спектра, в чем убеждаемся, повторяя рассуждения § 4
гл. VII, относящиеся к оператору умножения на независимую
переменную в пространстве L2[0t\]. Таким образом, опера-
оператор А имеет чисто непрерывный спектр, заполняющий всю
вещественную ось.
Резольвента оператора А определяется формулой
Отсюда
со оо
(RKx. х) = f -i^Ji dt = f j±j- dff it),
— oo — oo
t
где q>(O=/|*(T)P<*T.
392 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
С другой стороны,
оо со
/• d (Euxy х) /¦ 1
Приравнивая оба выражения для (R^x, x), находим, что
со оо
Г d<S> (I) _ С dp (I)
J | — Я J | — Я
для всех невещественных Я. Отсюда в силу формулы обра-
обращения Стильтьеса с учетом непрерывности q>(|) и р(^)
получаем [24]
т. е.
i
(Ехх. х)= f\x(t)\*dt.
— оо
Отсюда
со
(Е(А)х, x) = f\x(/) рЛ = JХд@1 Jf (О I2«.
Д — JO
где Хд(О — характеристическая функция интервала Д. Таким
образом, мы получаем, что для любого интервала Д
Интегральное представление оператора Л принимает вид
со оо
dEkx == J ^rf (x? (/) x @ ) = tx (t).
Здесь yv? (/)—характеристическая функция интервала (—со, k)t
и интеграл Стильтьеса вырождается в значение подынтеграль-
подынтегрального выражения в точке единственного скачка интегрирующей
функции*
§ 9] ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 393
Функция F(A) оператора, соответствующая функции веще-
вещественной переменной / (Я), очевидно, имеет вид
F{A)x = F{t)x(t).
Оператор дифференцирования. В качестве второго при-
примера неограниченного оператора рассмотрим оператор диф-
дифференцирования.
В гильбертовом пространстве L2(a, b), где а и Ь — ко-
конечные числа или равны бесконечности, введем оператор
Пусть сперва а и Ъ конечны, например а-~0, &=1.
Положим, что область определения D(A) рассматриваемого
оператора состоит из абсолютно непрерывных функций,
имеющих суммируемую с квадратом производную и удовле-
удовлетворяющих граничным условиям
*@) = *A) = 0. A)
Тогда интегрированием по частям легко убеждаемся, что
1 1
(Ах. у) = JI ЩЦ*- у @ dt = fx @ (* ^) dt = (*. Ay)
о
для любых х, y?D(A), т. е. что А — симметрический
оператор.
Пусть теперь а = О, # = оо. К D(A) отнесем функ-
функции x(t), суммируемые с квадратом на [0, со), имеющие на
dx (t)
этом интервале суммируемую с квадратом производную —j~-
и удовлетворяющие граничному условию х @) = 0.
Покажем, что в рассматриваемом случае также jc(oo) = 0.
Так как x{t) и '—-. суммируемы с квадратом, то х (t) x^ ¦¦•
суммируема на [0, со), и мы можем написать
394 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
При t—>oo правая часть этого равенства стремится к конеч-
конечному пределу; следовательно, существует
lim |дг(О| <со.
/-»оо
В силу суммируемости |#@|2 на [0, оо) этот предел может
быть лишь нулем.
Итак, во втором случае имеем
х @) = х (оо) = 0. B)
Из формулы
п
f
=ix <"> уоо+/ х о (' -т)dt
при п —> со получаем в пределе
(Ах, у) = (*. Лу),
т. е. и во втором случае А — симметрический оператор.
В третьем случае, когда а = — оо и b — оо к D (Л)
отнесем все функции, суммируемые на (—оо, оо) с квадратом
и имеющие на этом интервале суммируемые с квадратом
производные. Как и выше, убеждаемся, что из этих пред-
предположений вытекает, что
х (— оо) = х (со) = 0, C)
и снова А будет симметрическим оператором.
Необходимо показать еще, что D(A) всюду плотно
в L2(at b). Пусть (а, р) — интервал, совпадающий с @, 1)
в случае конечного интервала, равный @, р), где р — любое
конечное число во втором случае и любой конечный интер-
интервал в третьем случае. Если y(f) — функция из L2(a, b),
ортогональная к D(A), то, выбрав в качестве x(t) любую
функцию из D(A) в первом случае и любую функцию из D(A),
равную нулю вне (а, р), в двух других случаях, будем иметь
р g
dt = -
где Y(t) — первообразная для y(t). Так как в качестве x(t)
можно взять любую функцию, непрерывную на (а, р) и
обращающуюся в нуль на концах этого интервала, то
$ 9] ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 395
из известной леммы вариационного исчисления, примененной
к непрерывной функции Y (t), следует, что У (t) = const и,
следовательно, у @ = 0 на интервале (а, р), а значит, и всюду
на (а, Ь). Следовательно, Л==/-^- — во всех трех случаях
имметрический оператор.
Найдем сопряженный оператор Л*.
Пусть y?D(A*). Тогда для любого x?D(A)
ь ь
(Ах, y) =
Выберем в качестве x(f) любую функцию из D(A)t обра-
обращающуюся в нуль вне интервала (а, р). Предыдущее ра-
равенство дает
Р Э
= f X(t)fjt)dt.
Интегрируя правую часть равенства по частям, будем иметь
J'' ^JrH0dt = - f***Жг1йМш D)
а
t
где Y* (t) ===== Г у* (т) dx — первообразная для у* (*). Равен-
о
ство D) преобразуем к виду
а
Отсюда снова следует, что на (а, р), а значит, и всюду на (а, Ь)
ly (t) — Y* @ = const, E)
т. е. y(t) есть суммируемая с квадратом на (at b) функция,
имеющая на этом интервале суммируемую с квадратом про-
производную. Из E) получаем
/@ (
396 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
т. е.
для любого y?D(A*). Обратно, если у(t) — функция с ука-
указанными выше свойствами, то, интегрируя по частям, будем
иметь
Р Р р
и, переходя во втором и третьем случаях к пределу при
р~>оо или а-> — со, р—>оо, получаем, что
(Ах. у) = (лг. /),
т. е. что у ? D (Л*).
Итак, D(A*) состоит из функций, суммируемых с ква-
квадратом на (а, Ь) и имеющих на этом интервале суммируемую
с квадратом производную.
Вспоминая определение D (А), мы видим, что в первом
и втором случаях D(A*) шире, чем D(A)> а в третьем слу-
случае О(Л*) = /)(Л). Следовательно, в третьем случае А—само-
А—самосопряженный (или гипермаксималышй) оператор.
Покажем, что в первом и втором случаях А — замкнутый
оператор, для чего докажем, что А —А**. Так как А**аА*,
то Л** есть снова оператор дифференцирования на области
D (Л**) своего определения. Пусть х (/) ? D (Л**). Для любой
функции y(t)?D(A*) в первом случае и любой функции
из D(A*), обращающейся в нуль вне (а. р), во втором
интегрированием по частям получаем
С другой стороны,
a
§ 9] ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 397
Из сравнения этих выражений видим, что
*(а)у(а) = 0.
откуда в первом случае
и во втором в пределе при р->оо
Так как у@) и у(\) могут быть выбраны произвольно, то
последние равенства возможны, лишь если
Но тогда x(t)?DA, и мы доказали, что D(A**)cD(A).
Следовательно, D (Л) = D (Л**).
Определим индексы дефекта оператора А. Уравнение
А*х = 1х в нашем случае принимает вид
t dx —ix
И имеет единственное с точностью до линейной зависимости
решение x(t) = ceK Аналогично, уравнение
А*х ^ — ix
имеет единственное решение
В случае конечного интервала оба решения принадлежат
пространству L2(a, b), следовательно, оба подпространства,
NL и N^l> одномерны и оператор имеет индексы дефекта A, 1).
Во втором случае пространству L2[0, ос) принадлежит лишь
решение второго уравнения се~К подпространство Nt состоит
лишь из нулевого элемента и оператор А имеет индексы
дефекта @, 1). Следовательно, во втором случае оператор
А — максимальный и не имеет самосопряженных расширений.
Построим в первом случае все самосопряженные расши-
расширения оператора Л. Подпространства NL и N^t порождаются
элементами et и е~* соответственно.
398
Так как
и
1
1
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ
¦0
/
¦О
J 1
О'л)"
i \
~ К 2
1
| 1 1 / е2 — 1
' ¦"¦" ^ |/ 2
[ГЛ. VII
то элементы е* и el'f имеют одинаковые нормы. Поставим
в соответствие элементу е* элемент е1хег~*, где т— произ-
произвольное вещественное число. Для каждого т на линейном
многообразии Dx, состоящем из функций вида
'+ce*xe1-'. F)
где х (t)?D (Л), определяется оператор Ах посредством
равенства
А ху = Ах + Ice1 — iceixel-K
Это и будет самосопряжённое расширение оператора А.
Область определения Dx этого оператора можно задать
с помощью граничных условий. В самом деле, если функ-
функция y(t) представима в виде F), то
у @) = с + cel + lx — с A +
у A) z=zce-\- ceix = с (е'х-\-е).
Отсюда
у @) ^
eix+e
Так как преобразование
переводит единичный круг комплексной плоскости в себя,
то мы можем написать
§ 9] ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 399
где о — вещественное число. Поэтому
Обратно, если это условие выполнено, то у (О имеет
вид F). В самом деле, пусть у@) = ?/ауA) =—-~ У (О-
в т\" в
Положим
и пусть
x(f) — y @ —
Тогда
и аналогично убеждаемся, что д:A) = 0. Следовательно,
где д:(/)?Л(Л), т. е. имеет вид F), и требуемое доказано.
Итак, область определения Dx самосопряженного расши-
расширения Ах оператора А состоит из тех и только тех функ-
функций y(t) пространства L2[0, 1], которые имеют суммируемую
с квадратом на [0, 1] производную и для которых
Давая различные значения параметру т, мы получим кон-
континуум различных самосопряженных расширений оператора А.
Найдем спектр оператора Ах. Собственные функции оператора
являются решениями краевой задачи
/----== Хх, К вещественно,
at G)
x@) = eiax(l).
Решениями будут функции ?~ш, которые удовлетворяют
условию
1
откуда
%
400 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Следовательно, собственными функциями будут
Эти собственные функции, очевидно, будут нормирован-
нормированными. Все точки вещественной оси, отличные от %k, будут
регулярными точками оператора Ах. В самом деле, общее
решение уравнения
. dx .
имеет вид
ш I с — i J еа
х = J
V о
и надо лишь показать возможность выбора постоянной с так,
чтобы выполнялось условие x@) = eia
Это приводит к уравнению
Г /
с — / j е11Ц (I)
| о
которое, очевидно, разрешимо, если
(т. е. если ХфХк). Таким образом, оператор Лх имеет чисто
точечный спектр
х= fdE,.x= J] Я»,вх = «-<«« ^сае^', (8)
— СО
СО
П-— 00
ОО
= е- w
— ОО Л=— ОО
где сл = (л;, л:л). Функции оператора Ах имеют вид
В частности, для резольвенты /?х имеем разложение
ОО
— е-ш V Cfl
§ О] ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 401
При а = 0 формула (8) дает разложение функции с сум-
суммируемым квадратом в обычный ряд Фурье.
Вернемся к случаю бесконечного интервала (—со, оо)
и снова рассмотрим в L2{—оо, со) самосопряженный опера-
оператор А = 1±.
Мы покажем, что этот оператор унитарно эквивалентен
оператору умножения на независимое переменное в простран-
пространстве L2{—оо, со). При этом под унитарной эквивалентностью
неограниченных операторов Л и В мы понимаем следующее:
существует унитарный оператор U такой, что UD(A) = DB
(а следовательно, ?)(Л) = U~lD(B)) и
для любого х ? D (В).
Для установления унитарной эквивалентности операто-
операторов Л = / -ггт и J5 = / мы воспользуемся следующей извест-
известной теоремой Планшереля, доказательство которой можно
найти, например, в [31].
Пусть х (t) — вещественная или комплексная функция
из пространства L2{—оо, оо). Положим
Тогда y(t,a) при а->оо сходится в среднем на ( — со, оо)
к некоторой функции y(t)?L2( — со, оо), а функция
сходится в среднем к x{t).
Функции x(t) и y(t) связаны также формулами
со
Р
J х
402 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
Кроме того,
И* @11 = Ну ИИ-
Промежуток (—а, а) в предыдущих формулах можно заме-
заменить промежутком (—a, b)t где а, Ь->оо независимо друг
от друга.
Пусть теперь U — оператор в 12(—°°» °°)» определяе-
определяемый равенством
00
где интеграл понимается как предел в среднем интегралов
по конечным промежуткам. Оператор U согласно теореме
Планшереля осуществляет взаимно однозначное отображение
L2(—оо, со) на себя с сохранением нормы, т. е. является
унитарным оператором. Обратный оператор имеет вид
00
f x(x)e-itxdx.
Пусть л: @—произвольная функция из D(A)t т. е.
(—со, оо) и существует -^—^?L2(—00,00). Тогда*)
l.i.mi
' -а
= J^ i- l.i.m [х (а) е«" -х(-а) е-""] -
a
*) Символом l.i.ra обозначают предел в среднем.
§9] ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ «ОПЕРАТОРОВ 403
В силу принадлежности x(t) и -~ пространству L2(~°°' °°)»
х (а) и х (— а) стремятся к нулю при а —> оо и, следова-
следовательно, предел первого слагаемого правой части предыдущего
равенства есть нуль. Вместе с - х^'¦ и преобразование
Фурье этой функции принадлежит L2(—со, оо). Поэтому
dx = z @ € 7'2(~ со>
Следовательно, y(t)?L2(—сю, сю), ty(f)?L2(—со, оо),
т. е. у (/)€?> (Я).
Пусть, наоборот, x(t)?D(B). Тогда
) I f )
\tx (f)\* dt) <oo
a \a / \a
для любого конечного или бесконечного промежутка, не
содержащего точки / = 0, и, следовательно, #(/) абсолютно
интегрируема на (—оо, со). Поэтому интеграл
со
— ОО
абсолютно сходится. Введем функцию
оо
z (/) = у= f хх (т) е- «* dx
— со
Vbi dt J —
Имеем
t
A2)
Отметим, что несобственный интеграл, фигурирующий
в этой формуле, сходится абсолютно и равномерно no t на
404 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. VII
всей оси. Из A2) получаем
t
z(T)dx+c, A3)
откуда следует, что - У - ¦ - существует и принадлежит
L2(— со, оо), т. е. y(t)?D(A).
Итак, мы доказали, что Ux?D(B) для x?D(A) и
U~lx?D(A) для x?D(B).
Пусть x?D(B). Имеем в силу A3)
t
U-lx = y(f) = X- f z(i)dx-\-c.
о
Следовательно,
dt Z^ Yin J
— CO
Отсюда
и унитарная эквивалентность операторов А и В доказана.
Пусть А и Б — произвольные унитарно эквивалентные
операторы UAU'1 — В.
Если Ei, — со < X < со, есть спектральная функция опе-
оператора Л, то, очевидно,
также является разложением единицы. Пусть В — самосопря-
самосопряженный оператор, построенный с помощью разложения еди-
единицы Ёъ. Имеем
— оо к~ —оо
СО
§ 9] ПРИМЕРЫ НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ 405
Таким образом,
l
есть спектральная функция оператора В, унитарно экви-
эквивалентного оператору А. Отсюда вытекает, в частности,
что спектры операторов А и В совпадают. В нашем конкрет-
конкретном примере, когда А = I —, B — t> мы получаем, что
оператор А имеет чисто непрерывный спектр, заполняющий
всю вещественную ось.
Для функций от оператора А получаем представление
= U~lF(B)Ux;
в частности, спектральная функция оператора А может быть
представлена в виде
\
= ± f
Установленная нами выше унитарная эквивалентность
оператора дифференцирования оператору умножения на не-
независимое переменное не является какой-то специфической
особенностью оператора дифференцирования. Оказывается,
что для любого самосопряженного оператора существует раз-
разложение всего пространства на такие попарно ортогональные
инвариантные подпространства, на каждом кз которых рас-
рассматриваемый оператор унитарно эквивалентен (точнее, изо-
изоморфен) оператору умножения на независимое переменное
в пространстве функций, суммируемых с квадратом на интер-
интервале (—со, со) с некоторым весом р(/).
ГЛАВА VIII
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ
НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В этой главе мы рассмотрим операции дифференцирова-
дифференцирования и интегрирования в линейных нормированных простран-
пространствах и некоторые их применения.
§ 1. Дифференцирование и интегрирование
абстрактных функций числового аргумента
Пусть Е—линейное нормированное пространство и
R — множество точек числовой прямой. Оператор x = x(t),
вообще нелинейный, отображающий R в Е, будем называть
в дальнейшем абстрактной функцией числового аргу-
аргумента t. Примеры таких функций часто встречаются
в анализе и его приложениях. Достаточно указать некоторые
функции числового аргумента в дифференциальной геометрии,
однопараметрические совокупности решений дифференциаль-
дифференциальных уравнений, семейства операторов, например интеграль-
интегральных, зависящих от параметра, и т. д. В дальнейшем для
простоты изложения мы будем предполагать, что R есть
отрезок [а, Ь\ числовой прямой.
Очевидно, абстрактные функции числового аргумента
можно складывать и умножать на вещественные числа, т. е.
они образуют линейное пространство.
Функция х (t) называется непрерывной в точке t0
отрезка [а, Ь]9 если для любого е>0 найдется 6 = 6(/0, е)
такое, что
при t?[at b\ и \t — to\
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 407
Функцию, непрерывную в каждой точке отрезка [а, Ь], бу-
будем, как обычно, называть непрерывной на этом отрезке»
Очевидно, что операции сложения функций и умножения
их на число не выводят за пределы класса непрерывных
функций.
Функция x(t) называется равномерно непрерывной на
[а, Ь], если для всякого е>0 можно определить число 6
такое, что при tv t2?[a, b\ и \tx —t2\ <6
|| x (tx)-x(t2)|| <e,
независимо от положения точек tx и t2 на отрезке [а, Ь].
Лемма 1. Функция x = x(t), t?[at b], x?E, непре-
непрерывная на отрезке [а, Ь\, равномерно непрерывна на
этом отрезке.
Рассмотрим числовую функцию ср(?, т), определенную
в квадрате а <^, x^b равенством
q>(/, r)=\\x(t)-x(%)\\.
Легко видеть, что функция <р(^, т) непрерывна на этом
квадрате, а следовательно, и равномерно непрерывна на нем.
Поэтому для каждого е > 0 найдется б > 0 такое, что
|ф(*1. tO —ф(*2, Ь)\ <е A)
при \tx — /2| < ^» lTi—T2l <6 и независимо от положения
точек (tv xx) и (t2, т2) в квадрате a<^t, x^b. Положим
Tj —= Го» То —- to*
где
\ti-t2\<6.
Учитывая, что
получаем из A)
при |^—12\<(>> и равномерная непрерывность x(t) до-
доказана.
Нетрудно показать, что функция x(t)t непрерывная на
отрезке [а, Ь], ограничена на нем (т. е. множество значений
функции x(t)t t?[a, b]> есть ограниченное множество про-
пространства Е).
408 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
Дифференцирование. Рассмотрим функцию х = х (t), где
Определим производную xf (t) с помощью равенства
*УО =Х'(О= ,jm «Е + *)-*(О >
если предел в правой части существует в смысле сходимости
в пространстве Е. Имеем
где
а (Л Д*)->0 при Ы->0.
Поэтому
л: (* + ДО — х @ — х' (О Д* + а (Л ДО ДЛ C)
При Д^~>0 правая часть равенства C) стремится к 0» откуда
следует, что если x(t) имеет производную в точке t> то
,v (/) непрерывна в этой точке.
Легко установить следующие свойства операции диффе»
ренцирования:
) [(Qhy(O] (O+/(O
2) [Хх (f)]f = Хдг' @ для любого числового множителя X;
3) пусть для элементов х?Ех определено умножение
слева (или справа) на элементы у?Еу, непрерывное, дистри-
дистрибутивное относительно сложения и перестановочное с умно-
умножением на числовые множители; тогда
[у* (*)]' = У*'@. D)
т. е. постоянный множитель можно выносить за знак диф-
дифференцирования.
Свойства 1) и 2) очевидны. Свойство 3) следует из не-
непрерывности и дистрибутивности операции умножения слева,
а именно:
dx(t)
-—-----
= hm у—-—•—t4 ^-=y bm—-—!—гт ^^- = у
Аналогично
E)
§ t] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 409
Пример. Пусть x~x(t), х?Е, и А есть оператор
из (Ех->Еу). Тогда
[Ax(t)Y=*Ax'(t). F)
Пусть
A = A(t)?(Ex->Ey) и х?Ег
Тогда
[Л (/)*]' = Л'(О* . G)
В частности, для линейного функционала
[/(')*]'=/'(О* (9)
Производные высших порядков. Перейдем теперь к опре-
определению производных высших порядков. Можно дать два
определения я-й производной x^{t) в точке t от функции
х = х (t) аналогично тому, как это делается для числовой
функции числового аргумента *).
1. Пусть
Ад/* @=2 (-1)я"*С*д:(/Н-А А/).
где С* — биномиальные коэффициенты. Ад^д:@ есть п-я
разность от x(t) в точке /. Соответственно
называют /г-й центрированной разностью.
Выражение
в предположении, что этот предел существует, называется
п-й разностной производной функции x(t) в точке t.
Если предельный переход в формуле A0) равномерен
в окрестности каждой рассматриваемой точки t% то х^п) (t)
называется п-й равномерной разностной производной.
2. п-я последовательная производная x№(tH опреде-
определяется дг-кратным последовательным дифференцированием
*) См. Дополнение IV.
410 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
функции x(t):
Yr /A _~L Y (ft Xff (ft — •— Xf (ft
*" \r/Q y7/ л \г/9 V'/Q /V/ •* Ч^/О' • • •
Теорема 1. Если в окрестности точки t суще-
существует непрерывная п-я последовательная производная
х^п) (Оо» то в этой окрестности существует и п-я
равномерная разностная производная x№(t), причем
Обратно, если в окрестности точки t существует
равномерно непрерывная равномерная разностная
производная x(n)(t), то в этой окрестности существует
и равна ей последовательная производная x№(t)Q.
Эти предложения справедливы и для числовых функций *).
Переход к абстрактным функциям совершается с помощью
часто применяемого в функциональном анализе метода. Про-
Проведем этот переход для первого предложения.
Для любого линейного функционала
есть числовая функция, причем в силу (8)
Далее
*) См. Дополнение IV.
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 411
где — ~<0<~. Так как xW(tH по предположению не-
непрерывна в окрестности точки t, то
где ?д/->0 при Д^->0 равномерно в окрестности точки t.
Отсюда
ol |
Неравенство A1) справедливо для любого /??*; поэтому
и, следовательно,
,= lim ¦
д/->о
причем стремление к пределу — равномерное в окрестности
каждой рассматриваемой точки Л что и требовалось доказать.
Частные производные. Введем понятие частных произ-
производных абстрактной функции.
Рассмотрим функцию от п числовых переменных
tv t2% .... tn со значениями, расположенными в линейном
нормированном пространстве Е: x = x(tlt t2, ..., tn)?E.
Можно рассматривать tv t2 tn как компоненты я-мер-
п
ного вектора ^=2^» г^е еь — орты, т. е. я-мерные
t=i
единичные попарно ортогональные Векторы.
Определим п-ю смешанную разностную производную
дп x(i t M
М М fit vl« l2 Ln)
рассматриваемой функции в точке /0=2
Образуем п-ю смешанную разность
- 2 (_
412 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
здесь (/1§ /2 /л), 0 < 1г < /2 < ... < ik < /г — некото-
некоторое подмножество из 1, 2 ли сумма берется по всем
таким подмножествам. Центрированная п-я смешанная
разность в точке t0
есть п-я смешанная разность, взятая в точке
п
то = *о *J
Именно,
Тогда п-й смешанной разностной производдой
dt{dt2...dtn х^и ^ .... О
функции х(t) в точке to — (tu $, .... t°n) называется предел
при Д?->0 отношения
если этот предел существует.
Наряду с этим можно определить п-ю смешанную после-
последовательную производную — результат последовательного
дифференцирования функции x(tv tv .,., tn) по tb . по
tn _ i ... и, наконец, по /* , где ki% k2 kn — произ-
произвольная перестановка индексов 1, 2, ,,„/» в предположе-
предположении, что последовательно полученные производные
x{t t t) [
t2,
.t tn), -^ ["
kn-l ^
2, ...t tn), -^ ["dt"b
существуют в окрестности точки
§1] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 413
Теорема 2. Если в окрестности точки 70=*
= (*1. & t°n) существует какая-либо смешанная
последовательная п-я производная функции x(t)t не-
непрерывная в t0, то в этой точке существует а п-я
смешанная разностная производная, причем обе произ*
водные совпадают.
Пусть /—прэпзвольный линейный функционал из Б*.
Тогда
есть числовая функция от tv t2 tn\ поэтому *)
о<е^< 1, /=i, 2 п,
для произвольной перестановки kv kv . . ., kn индексов
1, 2 п. Следовательно,
«; д/ ф
так как линейный функционал / можно выносить за знак
дифференцирования.
По предположению, рассматриваемая п-я смешанная
последовательная производная от х (t) непрерывна в точке *0,
поэтому
д I д ло , о л/
ЙЧ I ¦ ' " д'*п
*) См. Дополнение IV.
414 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 1ГЛ, VIII
где ед, —>0 при Д?->0. Следовательно,
61 А/ <2
<н/п
dt>
^ ?+ея
д/)... I
J
•" dtb
Это неравенство справедливо при любом f?E*. Значит,
откуда следует, что
4
при Д?->0, и мы доказали существование предела выражения
1 —
6^ ^(/)
и его равенство я-й последовательной смешанной про-
производной.
Следствие. Две п-е смешанные последовательные
производные, соответствующие различным переста-
перестановкам индексов 1, 2 д, в общих точках непре-
непрерывности совпадают.
Коротко: п-я смешанная последовательная производ-
производная не зависит от порядка дифференцирования.
§ I] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 415
В самом деле, в этом случае имеет место равенство
правая часть которого не зависит от перестановки kv k2 kn.
В дальнейшем, говоря об /i-й смешанной производной,
определенной в некоторой области, мы без оговорок будем
предполагать, что она непрерывна в этой области и потому
оба определения для нее совпадают, и будем обозначать эту
производную символом
дп , t ,
Интегрирование. Выше в спектральной теории мы рас-
рассматривали абстрактные интегралы типа Стильтьеса. Однако
там интегрируемая функция была обычной вещественной или
комплексной функцией вещественной переменной, а интегри-
интегрирующая функция — абстрактной. Сейчас мы рассмотрим инте-
интегрирование, где, наоборот, интегрируемая функция является
абстрактной, а интегрирование ведется по вещественной пере-
переменной. Как и в спектральной теории, мы ограничимся слу-
случаем римановых интегралов от непрерывных функций.
Пусть x — x(t), a^.t^bt x?E — абстрактная функ-
функция. Будем рассматривать всевозможные разбиения
A = V0. h tn]
отрезка [а> Ь] на отрезки [tit tl+1], где
Разбиение B = [s0, sv ...» sm] называется измельчением
разбиения A — [t0> tx tn], если каждый из отрезков
[sk, sk+l] есть часть одного из отрезков [tit ti+l]. При раз-
разбиении В каждый из отрезков [tlt ti+l] разбиения А подвер-
подвергается в свою очередь разбиению на отрезки [sk, sk+l] раз-
разбиения В. Если все отрезки [ti% ti+l] разбиения А имеют
длины, не превосходящие положительного числа б, tl+1 —
— ^/^б, то разбиение А будем называть 6-разбиением
отрезка [а, Ь] и обозначать Л$.
416 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
Назовем интегральной суммой S(A, x(t)) абстрактной
функции х @ по разбиению А = [/0, tv . •., tn] сумму
/2-1
5 (Л, * (/)) = 2 х ft) ft+i — '/>• A2)
i0
Рассмотрим функцию #(/). *6[а. *J, ?
полное пространство, и последовательность 6л-разбиений {Л$ ]
отрезка [а, Ь\ таких, что 6я->0 при /t->oo. Построим инте-
интегральные суммы 5(Лбл, л:@). Если при п~>оо эти суммы
стремятся к пределу
причем предел 5 не зависит от выбора системы разбиений Л$ ,
то этот предел называется интегралом Римана от функ-
ь
ции л:@ по отрезку [а, Ь] и обозначается yx{f)dt*
а
Теорема 3. Если x(t) непрерывна на отрезке [а, Ь].
ь
то интеграл Римана Г x(t)dt существует.
а
Доказательство этой теоремы основывается на следующих
двух леммах.
Лемма 2. Если разбиение В отрезка [а, Ь] есть
измельчение его б-разбиения Л = Л5, то
—a). A3)
где
ю F)= sup il a: (tx) — дг (т2) ||. A4)
||<d
Если точка t принадлежит отрезку [t?, tl&1] 6-разбие-
ния Л, то
Поэтому в силу A4)
Пусть п — число отрезков 1^, //+11 разбиения А и т —
число отрезков 1^-»^уч1] разбиения В. Так как разбиение В
§ 1]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
417
есть измельчение разбиения Л, то каждая из точек tit
/==1, 2, ..., /г, совпадает с одной из точек s;-, ski=^tl
(здесь 0 = Ао < kx < ... <^kn — m» m>n). Таким образом,
отрезок [*t.t //+1] разбиения Л разбит на А/+1 — А/ отрезков
l$/, s;41l разбиения В, где j = kit А/+Ь •••» */+i—1.
Для этих значений j в силу A5) имеем
Поэтому
5 (Л. х @) =
— *д = 2
/0
5(В.
— S(B, x(t))\\ =
я —1 */ +1 *
что и требовалось доказать.
Лемма 3. Пусть Аъ и Ае — произвольные 6- а г-раз-
г-разбиения отрезка [а, Ь]. Тогда
||5(Л6, x(t))-S(Ae, х@)||<(©F) + ©(е))(* — а).
В самом деле, всегда можно выбрать такое разбиение В
отрезка [а, Ь], которое будет одновременно измельчением
как Л б, так и Ле. Поэтому в силу A3)
. ||5(Лб, x(t)) — S(B, ^@)||<®F)(ft —a).
\\S(Aet x
откуда
—а).
что и требовалось доказать.
418 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIIT
Докажем теперь теорему. Рассмотрим последовательность
6л-разбиений {Аьп} отрезка [а, Ь\% для которых 6л->0 при
я->оо. Для соответствующих интегральных сумм S^A^ *@)
согласно лемме 2 имеет место неравенство
. х @ )-5(Л6д+р. * @ ) || < (со FЯ) + со (вя+р)) (ft - a).
причем правая часть неравенства стремится к нулю при п->оо
в силу равномерной непрерывности функции дг(^). Таким
образом, последовательность JS (Аъ , #(?))| сходится в себе.
Но так как S(A& t x(t)\?E и Е— полное пространство,
то эта последовательность имеет в Е предельный элемент 5.
Пусть теперь дана другая последовательность ел-разбие-
ний \Ае \ отрезка [а, Ь], еп->0. В силу предыдущего
|5(Ле , x(t)\\ при п->оо сходится к некоторому предель-
предельному элементу 5е. Докажем, что Se = S.
В самом деле, объединим обе последовательности раз-
разбиений в последовательность А^, AZ}% Аьй, Агг> . .. Соответ-
Соответствующие этой последовательности интегральные суммы
образуют сходящуюся последовательность, и ее предел S^+e ра-
равен пределам S и Se подпоследовательностей |5(Лбп1 x(t)\\
и {5(Лел, д:@)}« Следовательно,
5 = 5е = 5й+е»
и теорема доказана.
Назовем 5 интегралом от x(t) no [a, b\ и обозначим
ь
fx(t)dt.
а
Свойства операции интегрирования.
ь ь ь
а а а
2. Если с — любая точка между о и ft, то
ъ с ъ
§1]
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
419
3. Для постоянного числового множителя А,
ь ь
J Хх @ dt = X J х @ dU
а а
Свойства интеграла 1—3 очевидны.
ь
4.
fx(t)dt
A7)
В самом деле, для разбиения Ab = [t0, tx tn\ имеем
ПЛ-1 ||
2 *('i) ('/+!-'/)<
211 W/
II х Сч
A8)
При 6~>0 интегральные суммы стремятся соответственно
к интегралам
fx(t)
dt и
и неравенство A8) переходит в A7).
5. Если для элементов х?Ех определена операция умно-
умножения справа (или слева) на элементы у ??у (см, стр. 408), то
ь ь
(t)ydt = fx(t)dty A9)
а а
(постоянный множитель у выносится за знак интеграла).
В самом деле, для б-разбиения Ab = [t0, tlt ..., tn] имеем
Л-1
5 (Лб, х (О У) = S х (tt) у (tM - tt) =
~«)у = 5(Лб1 x{t))y. B0)
При 6->0 левая и правая части равенства B0) стремятся
соответственно к левой и правой частям равенства A9).
420 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
Для случая умножения слева имеет место аналогичное
равенство
ь ь
fyx(t)dt=*yjx(t)dt. B1)
а
Примеры. 1. Есл
Ех в Еу, и х @ ? Ех, то
Ъ
J Ax(t)dt = Л J х it) &L
Примеры. 1. Есля Л— линейный оператор, отображающий
Е @ ? Е о
Ъ Ь
2. Если Л = A(t) есть оператор из (Ех -> ?у), непрерывно
?ависящий от t и *(;?*•> то
Г Л (*) .* Л = ( Г A(t)dt\ х.
J \ J
а \а J
В первом примере оператор А есть постоянный левый множи-
множитель; во втором — элемент х есть постоянный правый множитель.
В частности, если / есть линейный функционал из ?*, то
/I J x(t)dt\ f f[x(t)]dt, Jf(f)xdtz=l Jf(t)dt\x. B2)
ve /a a \a I
6) Если функция x — x(t), t?[a,b], x?E, обладает
непрерывной производной по t,
то
b
f xf (t)dt = x{b)—x(a). B3)
a
В самом деле, для любого линейного функционала /
в силу B2) имеем
§ 1} ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ 42!
Но f[x(t)\ есть непрерывная числовая функция от /, по-
поэтому для нее
ь
а
Итак,
/( /х'(О Л J = /[х(ft)] — /[*(а)]. B4)
( /х'
Равенство B4) справедливо для любого линейного функцио-
функционала /6?\ Но тогда справедливо и равенство B3), что и
требовалось доказать.
Рассмотрим, наконец, интегралы с переменным верхним
пределом. Пусть x{t) непрерывна на [а, Ь] и а < t < b.
Тогда существует
где у @ есть некоторая абстрактная функция t.
7. Интеграл с переменным верхним пределом от непре-
непрерывной абстрактной функции x(f) есть дифференцируемая
абстрактная функция верхнего предела и
Очевидно, имеем
—У(О= J *
Отсюда
422
АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. VIII
Пусть задано произвольное е > 0. Найдется такое б > 0,
что || х (tx) — х (t2) ||< e при \tx —12 |<б. Но тогда, если
С б, имеем
<
t+At
dx
= 8.
Последнее неравенство означает, что
существует и что
у'@ = *(/).
Решение дифференциальных уравнений. Рассмотрим
дифференциальное уравнение
llr = f(t' x)> B5)
где х и f(t, x) — элементы полного нормированного про-
пространства Я и t?[a, b]. Будем предполагать, что f(t, x)
непрерывна по t и как функция х удовлетворяет условию
Липшица:
<L\\xx — x2\\. B6)
II/V i)/( 2)\\<\\x 2\\ ()
Обозначим через СЕ[а, Ь] пространство всех непрерыв-
непрерывных функций x(t), где t?[a, b]t a x(t)?E.
Введем в пространстве СЕ[а, Ь] норму, полагая
|||| ||(f)||
Вместе с ? и СЕ[а, Ь] есть полное пространство. Это
предложение доказывается совершенно так же, как оно дока-
доказывалось для частного случая, когда E — R и СЕ[а> Ь] —
= С[0, 1].
Рассмотрим наряду с уравнением B5) уравнение
. B7)
§ 2]
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА
423
Обозначим правую часть этого уравнения через At(x).
At(x) есть оператор, переводящий x = x(t) из CE[fQt to-)-b]
в некоторый новый элемент того же пространства. Имеем
Отсюда в силу B6)
/[/(т.
||/(т.
Г и*м — ¦
J II л W
@-у @11 =
-у
B8)
Если 16 < 1, то согласно B8) оператор А дает сжатое
отображение пространства CE[t0, /0-f-6] в себя и, следова-
следовательно, существует, и притом единственное, решение урав-
уравнения B7) (см. § 7).
Уравнение B7) равносильно уравнению B5) при начальном
значении х (t0) == х0. Следовательно, уравнение B5) имеет един-
единственное решение на отрезке [*0, ^0 + *1 такое, что x(to) — xQ.
В частности, при любом начальном значении х (а) = х0
это уравнение имеет единственное решение x(f) на отрезке
[а, а + 6]. Это решение можно продолжить на весь отре-
отрезок [а, Ь]. В самом деле, если a-f-6<ft и х (a-\-6) = xit
то, повторяя тот же процесс, построим решение на отрезке
[а + 6, а + 26] с начальным значением хг и т. д.
Примеры. 1. Если Е есть /г-мерное линейное пространство, то
получаем обычную теорему существования для системы из п диф-
дифференциальных уравнений.
2. Если ?-—одно из пространств 1р, с, т и т. д., то получим
доказательство существования решения соответствующих классов
бесконечных систем дифференциальных уравнений.
§ 2. Разностные схемы и теорема Лакса
Решая приближенно краевые задачи математической физики
методом конечных разностей, мы сталкиваемся с тем обстоя-
обстоятельством, что в некоторых случаях сходимость процесса
не имеет места при произвольном стремлении к нулю
424 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIIT
разностей независимых переменных. Кроме того, при реше-
решении разностной краевой задачи в процессе последовательных
вычислений значений неизвестной функции в узлах решетки
может происходить настолько большое накопление, погреш-
погрешностей, что делается невозможным приближенно . заменять
решением разностного уравнения решение дифференциального
уравнения. Так, заменяя при решении задачи Коши волновое
уравнение
д*и _ д2и
dt* ~ дх*
разностным
где ut- и их- — вторые симметрические разности по соответ-
соответствующим переменным, мы будем иметь сходимость, лишь
если отношение разностей независимых переменных -г— не
1лХ
превосходит единицы* Точно так же, заменяя краевую задачу
теплопроводности
ди _ дЧ
dt ~~~ дх2 *
и(х, 0) = ф (jc), 0 < х < /,
«@, f) — u(L t) — 0
разностной схемой
\t ~ ()
= 1, 2, ;.., Ж,
где д«==.(/(/е Ддг, я ДО» и последовательно определяя и^1
2 Ах
через ипт> мы будем получать при ,\ \2 > * такое накопле-
накопление ошибок, которое делает невозможным применение ука-
указанной схемы.
Было установлено, что эти два явления тесно связаны
между собой. Мы изложим ниже для простейшего случая,
результаты Лакса [28] в этом направлении.
§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 425
Пусть x = x(t)t 0<^t^Tt — абстрактная функция со
значениями в банаховом пространстве Е и А— линейный
оператор, действующий в этом пространстве со всюду плот-
плотной областью определения D(A). Оператор А может быть и
неограниченным. Пусть, далее, а:0 — фиксированный элемент
пространства ?7 Будем рассматривать задачу
— =*Ах. 0<*<7\ A)
*@) = *0- B)
Решением этой задачи мы будем считать абстрактную функ-
функцию x(t) такую, что
1) x(t)?D(A) при всех *?[0, Г),
2) разностное отношение
h
при Л->0 сходится к xf (t) равномерно на всем отрезке
[О, л.
3) x(t) удовлетворяет уравнению A) и начальному усло-
условию B).
Пусть для некоторых х0 существует и единственно реше-
решение задачи A) — B). Нетрудно проверить, что множество D(R)
таких л:0 есть линейное многообразие. Для каждого t эле-
элементу xo?D(R) однозначно соответствует элемент x{t)t
удовлетворяющий условиям 1) — 3), и мы приходим к опера*
тору /?о(О» определяемому равенством
х @ = До @ *0, /?0 @) х0 ^х0 @ < f < Г),
который дает решение рассматриваемой задачи. В силу ли-
линейности оператора А оператор RQ(t) для всех t также ли-
линейный. Предположим, кроме того, что RQ (/) х ~> х при
/—>0, x?D(R). Будем говорить, что задана поставлена
корректно, если D(R) всюду плотно в?и семейство опе-
операторов /?а@ равномерно относительно t ограничено на D(R).
Ясно, что это определение корректности совладает с обычным
определением, которое дается в математической физике.
При сделанных предположениях оператор /?0@ при каж-
каждом t можно продолжить по непрерывности до линейного
оператора R (/), определенного на всем пространстве Дч
Абстрактную функцию х (t) — R (t) x0 мы будем называть
426 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VII?
обобщенным решением задачи A) — B), определяемым началь-
начальным значением xo?D(R). Заметим, что семейство операто-
операторов R (t) также является равномерно ограниченным на отрезке
[О, Т]. Кроме того, R(t)->I в смысле точечной сходимости
при г-> + 0.
Сделаем еще одно допущение. Будем предполагать, что
если мы, отправляясь от начального значения лг0, определим
решение x(t) в точке / = /0, а затем, отправляясь от x(t0)
как от начального значения, найдем х (/) для t > tQt то мы
придем к тому же результату, что и при нахождении х (/),
отправляясь непосредственно от л:0. Применительно к опера-
оператору R(t) это будет означать, что
или, иначе,
R(tl)R(t2) = R(t1 + t2) C)
для любых tv t2 > 0.
Сделанное предположение выполняется в большинстве слу-
случаев, важных для приложений, и вытекает из принципа науч-
научного детерминизма, утверждающего, что последующие состоя-
состояния физической системы вполне определяются ее предыдущими
состояниями.
Можно сформулировать условия, какие должны быть
наложены на оператор А, чтобы равенство C) имело место.
Об этом см., например, в [35].
Введем теперь понятие о конечноразностной аппроксима-
аппроксимации задачи. Пусть xv х2* .... xN — система точек простран-
пространства ?, которые мы принимаем за приближенное значение функ-
функции х (t). Именно, полагаем, что хп « х (п At), я = 1, 2 N;
N&t — T. Предположим, что для определения этих точек мы
имеем некоторое операторное уравнение, которое для про-
простоты будем считать связывающим лишь две точки с сосед-
соседними номерами. Так как хп является приближенным значением
х{п А/), то естественно предполагать, что оператор, входящий
в уравнение, связывающее хп и хпл.^% зависит от At. Будем,
кроме того, предполагать, что уравнение можно разрешить
относительно хп+х. Тогда мы приходим к рекуррентному
соотношению
n, я = 0, 1, .... N— U D)
х0 задано,
§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 427
где С(Д?)—ограниченный линейный оператор, которое будем
называть конечно разностной аппроксимацией задачи
1) —B). Так как
х ({п + 1) At) — х (п At) __ хп+1 — хп _
М ~ At ~
__C(At)xn-xn_C{At)-I
~ м ~ м Хп*
то —^-1. должно аппроксимировать -^ . Но, с другой
стороны, в силу A)
dx A
и, следовательно, для того чтобы соотношения D) действи-
действительно аппроксимировали краевую задачу, необходимо, чтобы
С Ш) — /
выражение —^-^ в некотором смысле аппроксимировало
оператор Л. В соответствии с этим будем говорить, что
конечноразностная аппроксимация D) задачи A) — B) удовле-
удовлетворяет условию согласованности, если
при Д/->0 равномерно по t, O^t^T, на некотором мно-
множестве L точных решений х (t), причем множество начальных
значений х0, соответствующих решениям x(t)?L, лежит
всюду плотно в Е.
Пусть
хк+г = С(М)хЛ, k = 0, 1, 2, .... N—1,
х0 задано ^ ^
есть конечноразностная аппроксимация краевой задачи A)—-B).
Применяя формулу D) последовательно для & = 0, 1, ...
..., п— 1, получим
*я = [С(ДО]я*о- E)
Так. как эта точка хп является приближенным значением при
t = nkt точного решения x(t)= R(t) x0, то мы вводим сле-
следующее определение: конечноразностная аппроксимация D)
задачи A) — B) называется сходящейся, если для любой
428 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СГЛ. VIU
последовательности {Дл*}* стремящейся к нулю, и любого
при ?->оо и nkAkt->tt O^
Конечноразностную аппроксимацию будем называть устой'
чивой, если для любой последовательности {Д*/}. сходящейся
к нулю, множество операторов
I*. n—l> 2, ,..;
ограничено по норме в пространстве операторов. Если
конечноразностная аппроксимация устойчива, то все прибли-
приближенные значения хп точного решения x(n&t) ограничены
Ь совокупности для любого фиксированного начального эле-
элемента ХОш
Имеет место следующая фундаментальная теорема.
Теорема (Лакеа). Пусть дана корректно поста-
поставленная задача A) — B) и ее конечноразностная аппрок*
симация D), удовлетворяющая условию согласованности.
Для того чтобы конечноразностная аппроксимация
била сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы
она была устойчивой.
Необходимость. Пусть {[С(Д/)]Л)» гДе Д/->0,
0<^#Ду?^7\ есть неограниченное множество пространства
(?—>?). В силу замечания к теореме Банаха — Штейнхауса
найдутся подпоследовательность {[С(ДЛ/)]Я*} и элемент х0
такие, что {[С (Д^/)]"* д:0} будет неограниченной последова-
последовательностью элементов пространства Е.
Так как 0 < nk Д^/-< 7\ то из последовательности \nk Д^}
Можно выделить подпоследовательность {я^ Д^К сходящую-
сходящуюся к некоторому числу /0? [О, Т]. Будем, следовательно, иметь
пч /±kit->to.
С другой стороны, в силу предположенной сходимости
аппроксимации
откуда
§ 21 РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 429
где с — конечное число. Получили противоречие. Следова-
Следовательно. {[Ckjt)]n] — ограниченное множество в пространстве
операторов, и необходимость доказана.
Достаточность. Пусть х(t) = R(f)х0 — одно из точ-
точных решений краевой задачи, принадлежащее многообразию /,,
фигурирующему в определении согласованности. Тогда для
любого 8 > 0 найдется Ьх > 0 такое, что
при 0 < At < 6Х и любых / из [О, Т]. Далее, по определению
точного решения имеем
при 0 < Д/< 62 и равномерно в [0, 7], или, учитывая, что
х (t -f- ДО = R (t -f- АО х0 = R (ЛО R @ х0 = R (ДО х (t),
при 0<А^<62 и равномерно в [О, Т].
Отсюда при 0 < Д? < 6 = min F{t б2)
II [С (ДО— /?(А0]х@||<еДЛ F)
и притом для всех t из [О, Т] сразу.
Пусть х0—начальный элемент, определяющий рассматри-
рассматриваемое решение x(t). Положим
гк = {[С (&kt)\nk - R (пк АЛ0} х0,
где {Дд^} — последовательность, сходящаяся к нулю, и
nkhkt~>t. Простым подсчетом с использованием равенства
убеждаемся, что
nk~\
2
«*-»
S
— [С (Akt]m R [(я* — т) Д^]| х0
^ (V)} Л 1(я*
430 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIIГ
Отсюда
11**11 < So 1COV)|P II {С (Ал0 — /? (V)} X
В силу предположенной устойчивости аппроксимации найдется
такая константа К, что
(8)
Тогда F) и (8), примененные к G), дают
171 = 0
Так как е можно выбирать произвольно, то отсюда следует,
что
|| г* ||-> 0 при Дл*->0, nkkkt->t.
Далее будем иметь
]"*-Я(л4Д40} *0|+
**11 + Н1Я(я*
Рассмотрим последнее слагаемое. Имеем
J]R(f) при t = nkbkt — />0,
— [/? (т) — /] Я G) при x = t — «АДА/>0,
В обоих случаях при nk&kt->t
[Я(т)-/]->0.
а /? (f) или /? (t) ограничены. Поэтому при t < яЛ
-/и0|| <еЖ, A0)
где е->0 при т->0, и
§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 431
Аналогичная оценка имеет место при t>nkkkt. Следова-
Следовательно, из (9) и A0) получаем
|| {[С (V)]»* - R (Ol *J < I!гк || + еЛ1.
и так как оба слагаемых справа могут быть сделаны сколь
угодно малыми при nht±kt->t% то
{C[(Akt)]nk-R(t)}x0->0
на элементах д:0, являющихся начальными значениями реше-
решений многообразия L. Если х— произвольный элемент про-
пространства Е% то можно написать
{[С 0V)]"* - R (*)} х = {[С (Д^)]л* -
+ [С (Дл0]я* (х -xo)-R @ (х - х0),
и легко видеть, что все три слагаемых справа можно сделать
как угодно малыми, первое в силу только что доказанного,
а два других потому, что элементы д:0 лежат всюду плотно
в Е и множества {[С(ДЛ*IЯ*} и {/?(*)} ограничены. Итак,
{[С 0V)]"*-# (')}*-> 0
при Д^—>0, nkkkt-+t всюду в Е, и достаточность доказана.
Как пример применения теоремы Лакса рассмотрим реше-
решение конечноразностным методом задачи Коши для уравнения
теплопроводности:
<2
За основное банахово пространство возьмем пространство
С0[0, а] функций, непрерывных на отрезке [0, а] и обра-
обращающихся в нуль на концах этого отрезка. Тогда непрерыв-
непрерывную функцию и Ц, t) двух переменных, где и @. t) =
= я(а, /) = 0, можно рассматривать как однопараметриче-
ское семейство
элементов пространства С0[0, а], и краевую задачу A1)
можно записать в виде
^ = Лдг. *@) = Ф, A2)
432 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
где А — оператор дифференцирования
определенный на множестве D (А) дважды непрерывно диф-
дифференцируемых функций пространства С0[0, а], обращаю-
обращающихся при ? = 0и| = ав нуль.
В качестве аппроксимирующей краевой задачи выберем
систему
с
j=\, 2, .... J— 1, л=1, 2, ..., N% УД| —а, NЫ = Т>
и краевые условия
и(п) = и(п) = о, и) = ф (У Д|). A4)
Решения системы A3) определены первоначально лишь
в узлах решетки, т. е. в точках вида (УД|, /гД^). Линейной
интерполяцией мы доопределим их во всех остальных точках
прямоугольника 0<^|^а, 0<^/^Ги обозначим эти реше-
решения w(?, t). Снова w(?, n&f) будем рассматривать как эле-
элементы хп пространства Со [0, а] и считать их приближенными
значениями решения x(f) в точке t=:n&t. Если предполо-
предположить, что Д? и Д? не независимы, и считать, что Д| = ^(Д^),
где #(а)->0 при а~>0, то аппроксимирующую краевую
задачу можно записать в виде рекуррентной формулы
я = 0, 1, 2,
Задача A1), а следовательно и A2), как известно, корректно
поставлена. Если еще заметить, что для достаточно гладких
функций разностные отношения сходятся к производным
равномерно в прямоугольнике 0-^К^а, O-^t^T, то для
таких функций
при Д/->0 и, следовательно, условия согласованности также
выполняются.
§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ И ТЕОРЕМА ЛАКСА 433
Покажем, что для решений разностной краевой задачи
имеет место принцип экстремума:
Наибольшее (наименьшее) значение решения во вну-
внутренних точках решетки не может превосходить
(быть меньше) наибольшего (наименьшего) значения
решения в граничных точках.
Для доказательства предположим обратное. Пусть
— максимальное значение решения, принимаемое во внутрен-
внутренней точке, причем будем предполагать, что п0 и /0—наи-
/0—наименьшие значения индексов п и /, для которых и*1 — \1. Напи-
Написав уравнение A3) для этих значений индексов, получим
Уо /о р2 7о-Н
Но это равенство невозможно, так как его левая часть в силу
и? > и"**1
Jo Jo
положительна, а правая в силу
и«« > ип.\.
Jo "^ Уо+1
И
отрицательна. Полученное противоречие доказывает принцип
экстремума.
Из принципа экстремума следует, что функции и (с,, t)
принимают наибольшее и наименьшее значения на границах
прямоугольника 0><|<< л, 0</<Т.
Если теперь записать равенство A5) в виде
*„ = [С (At)]n<p,
то согласно только что сказанному имеем
р|я(а|1|ф||
откуда получаем, что ||[С(Д/IЯ|| < 1 для любых At и п.
Следовательно, аппроксимация устойчива, и согласно теореме
Лакса отсюда вытекает, что решения разностной краевой
задачи сходятся . к решению краевой задачи для дифферен-
дифференциального уравнения.
434 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
§ 3. Дифференциал абстрактной функции
Определения. Пусть Ех и Еу— линейные нормиро-
нормированные пространства и У = /(#) — абстрактная функция,
определенная в Ех, с областью значений, расположенной в Еу.
По аналогии с определением дифференциала функции
конечного числа переменных введем два определения диффе-
дифференциала абстрактной функции.
Сильный дифференциал (дифференциал Фреше).
Пусть А— произвольный элемент пространства Ех, и пред-
предположим, что существует линейный оператор 1?(Ех->Еу)
(вообще зависящий от л:) такой, что
f{x + h) — f(x) = lh + a>(x. А), A)
где
I^IJUO при „А|,_о. B)
В этом случае /А называется сильным дифференциалом
или дифференциалом Фреше функции f (х) в точке х,
соответствующим приращению А аргумента, и обозначается
df(xt А).
Линейный оператор /, вообще зависящий от х. обозна-
обозначим /'(*)• Тогда
df (х, А) = f (х) A, f (х) ? (Ех -> Еу). C)
Оператор f'(x) можно рассматривать как функцию от х,
определенную на множестве точек [х\с:Ех, в которых f (х)
дифференцируема, со значением в (Ех->Еу).
Назовем f'(x) первой сильной производной или про-
производной Фреше функции f (х) в точке х. Равенство A)
можно записать в виде
D)
Первое слагаемое правой части этого равенства есть линей-
линейная функция от А, аппроксимирующая f(x-±-h) — f (x)
с точностью до величин порядка малости высшего, чем ||А||,
Слабый дифференциал (дифференциал Гато). Слабим
дифференциалом функции f(x) в точке х называют вы-
выражение
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛ АБСТРАКТНОЙ ФУНКЦИИ 435
в предположении, что предел, стоящий в правой части ра-
равенства и понимаемый в смысле сходимости по норме, суще*
ствует *).
Примеры. 1. Пусть Ех = Еу = С [а, Ь] и
ь
где ядро К (t, s) непрерывно в квадрате а < t, s < b и g (и, v) —
функция двух переменных, определенная в полосе а <; и <; Ь,
— оо < v < + оо и непрерывная в этой области. Тогда / (х) есть
абстрактная функция, определенная на С [а, Ь], со значениями
в том же пространстве.
Допустим, что функция g (и, v) не только непрерывна, но и
имеет частную производную g'v (и, v) равномерно непрерывную
в полосе a<w<^, — оо < v < -{- сю. Тогда / (х) будет сильно
дифференцируемая функция. В самом деле, для любой функции
h (s)^C [a, b] имеем
ь
а
Ь
'' s)g(stx(s))ds
a
b
a
По теореме Лагранжа
g(s, x(s) + h(s))-g(s, x(s)) = g'v(si x{s) + Q(s)h(s))h{s),
где 0< 6 (s) < 1. Далее имеем
g'v E, x (s) + 9 E) h (s)) = ^; (s, * (s)) + a (s, * E), 9 (s) h (s)) **),
*) Иногда слабым дифференциалом называют
Иш
*->0
где предел понимается в смысле слабой сходимости элементов.
Заметим также, что дифференциал Гато однороден, но аддитив-
аддитивность его не предполагается.
••) a (s, хЛ и) =* gv E, х + и) — gv E, ^f).
436
АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
[ГЛ. VIK
где при l|/t||->0, т. е. при h(s)->0 равномерно на [а, Ь)
«(s, х ($), 9 (s) h E)) -> 0 также равномерно на [а, Ь], так как функ-
функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области а < s < b,
jх |<clf |и|<с2' равномерно непрерывна в этой области. Поэтому
ь
-/ (х) - //С(/, s) g'v (s, x(s))h (s)ds +
a
b
+ JК (t s) a E, x (s), 9{s) h(s))h (s) ds =« /Л + © (x, h),
a
b
/Л = J К (t, s) g'v (s, x(s))h (s) ds
a
b
со (x, h) = J К (t, s) a (s, x (s), 9 E) Л (s)) h (s) ds.
где
При этом
=* max
и потому
iL
J К (*, s) a E, x E), 0 (s) Л (s)) h (s) ds
a
с (s), 9 (s) h
, 0 (s)
при ИЛ||->0.
Следовательно, / (x) дифференцируема по Фреше и
ь
df (х, h) = f К(t, s)g'v E, x(s))h (s) rfs.
a
2, Рассмотрим в пространстве С1 [a, ?] непрерывно дифферен-
дифференцируемых функций у @, л < t < 6, с нормой
|у@1, 1/@1)
функционал простейшей вариационной задачи
ь
fF(t,y(t),y'(t))dt.
$ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛ АБСТРАКТНОЙ ФУНКЦИИ 437
Оба определения дифференциала отвечают обоим извесшьщ
определениям вариации.
Аналогично обстоит дело и с другими функционалами вариа-
вариационного исчисления. Само определение дифференциала абстракт-
абстрактной функции естественно возникло в вариационном исчислении.
Теорема 1. Если существует сильный дифферен-
дифференциал df(x, h), то существует и слабый Df(x, h) и
Df(xt h) = df(x. h).
В самом деле
) + (, th)t
где в силу B)
есть величина порядка малости высшего, чем / при
Поэтому
при t—>0.
причем мы доказали и существование слабого дифференциала
ви его равенство сильному.
В определение Df(x, h) не входит требование его линей-
линейности относительно h. Если же это имеет место, то
Df(x, h) = Ui = f'(x)eh,
где f (x)c есть линейный оператор
f'(x)ee(Ex->Ey)
относительно h. Назовем f'(x)c слабой производной функ-
функции /(#) в точке х.
Теорема 2. Если в шаре \\ х — х0\\ < г существует
слабый дифференциал Df(x, h)t равномерно непрерыв-
непрерывный по х и непрерывный по h, то в нем существует
и сильный дифференциал df(x, h)} причем
df(x, k) = Df\x, h).
В самом деле, при || h || < г (х), где число г (jc) — это
радиус шаровой окрестности точки х, принадлежащей шару
438 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VTIT
\\х — х01| < г, во всех точках xt = х + th9 О <] t *< 1, суще-
существует дифференциал Df(xr h). Так как
д*
то
Df(xt, h)=
Докажем аддитивность дифференциала Df(x, h) по аргу-
аргументу h:
Df (*. hx + Аз) = Df (*. Aj) + D/ (jc. Л2). E)
Заметим прежде всего, что в силу предположенной не-
непрерывности функции
имеем
= У D/ (д; + TAlt Aj) Л = /D/ (дг, А2) + ®i. F)
о
где
t
®»= / [О/ (х + t*i. *!> - D/ (дг. h)] dr.
о
Аналогично
f(x + t(hl + h2)) — f(x) = tDf(x. hx + hd-{-<u2, G)
где
о
В
* (8)
§3] ДИФФЕРЕНЦИАЛ АБСТРАКТНОЙ ФУНКЦИИ 439
где
«>з = / [Df (x + thx + xhv h2) — Df(x, h2)] dx.
0
Так как Df{xt h) непрерывен по аргументу xt то для
произвольного e > О при достаточно малом ^>0и0
\\D/(x-
rft2, h2) — Df(xt h2)\\<^,
Поэтому
|| t
II cox ||= f[Df(x + xhv hJ-Dfix, hx)\dx
6
и аналогично
II и <^ JL / и и <? L t
Из F), G), (8) следует
— / [D/ (x, A,) + Df (x, A2)-D/ (jc. hx + A2)] + ©, + @2-@3.
Отсюда
D/Сл:, AJ+D/Cx, h2) — Df(x, Ht-{- h2) = \{а>1 -\-&2-а>г),
и, следовательно,
||D/(jc, AO + D/C^, h2)-Df(x, Ax + AjHK
<ТA1«1 H + ll «211 + 11 «зНХе.
Так как е выбрано произвольно, то
\\Df(x, hi) + Df(x, hJ-Dfix. AI + A2)|| = O
и E) доказано. Так как, кроме того, Df(x, А) непрерывен
по А, то он есть линейный и ограниченный относительно h
440
АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
(ГЛ. VIIf
оператор: Df(x, h) — f(x)ch. Так как Df(x> h) = f(x)€h
равномерно непрерывен относительно х, то /' (х)с равно-
равномерно непрерывен относительно х*
Докажем теперь, что
f(x^h)-f(x)^f(x)ch + o(\\h\\). D0
Тогда Df(x, h), как главная линейная относительно h часть
приращения f(x-\-h) — f(x), будет совпадать с df(xt h).
Имеем
/ {х + А) _ f{X) =* f A- f (Х -f- th) dt =
(9)
где
(с , \
@=1 I [/' {х + th\— / (х)Л dt\h.
Вследствие равномерной непрерывности f {x)€ имеем при
<
при
Отсюда
flf'(x+th)e—f'(xye]dt
и равенство D) доказано.
Таким образом,
.h) = df(x.k). /'(*)« = /'(*).
что и требовалось доказать.
§ 4] ТЕОРЕМА ОВ ОБРАТНОМ ОПЕРАТОРЕ. МЕТОД НЬЮТОНА 441
В дальнейшем, не оговаривая этого особо, мы для всех
рассматриваемых дифференцируемых функций / будем пред-
предполагать, что
Df(xt *) = rf/(x, h).
Заметим, что если в шаре || х — хо\\<1г имеет место
неравенство
и xv х2 принадлежат этому шару, то
В самом деле, ввиду выпуклости шара \\х — хо\\ <г вместе
с хг и х2 этому шару принадлежит весь отрезок [xt}t где
xt = A — t) xx -f- tx2 — t (x2 — хг) + xv 0 < / < 1;
поэтому
II/'
и так как
то
1
Wf(x2)-/(xx) \\<f\\f'(xt) |] И*,,-*! || Л <L\\x2-xl ||.
§ 4. Теорема об обратном операторе.
Метод Ньютона
Используя понятие производной оператора, можно дока-
доказать локальную теорему о существовании обратного опера-
оператора, аналогичную теореме о существовании функции, обрат-
обратной к монотонной функции, имеющей производную, не обра-
обращающуюся в нуль.
Теорема 1. Пусть оператор у~f(x) определен
в некоторой окрестности точки х0 пространства Ех
и отображает эту окрестность в пространство Еу,
Предположим, что
442 анализ в линейных пространствах [гл. vnr
2. Производная f'(x) существует в рассматривае-
рассматриваемой окрестности тонки х0, ограничена в этой окрест-
окрестности и непрерывна в ней.
1
/(о) существует.
Тогда в некоторой окрестности точки у0 сущест-
существует обратный оператор х = f~* (у)> принимающий
в точке у0 значение х0 и непрерывный в окрестности
точки у0.
Рассмотрим уравнение
х = А(х;у), A)
где
А(х;у) = х- [/' (х^Г1 (/ (х) - у) B)
и у играет роль параметра.
Нетрудно видеть, что если при заданном у?Еу уравне-
уравнение A) имеет решение х, то f(x) = y, и обратно. Для до-
доказательства существования решения уравнения A) применим
принцип сжатых отображений.
При фиксированном у ? Еу получаем
А9 (х; у) = /- [/' (хо)Г1 /' (*) = [/' (хо)Г1 (Г (*о) ~ f (*)).
откуда вытекает, что при || х — х01| ^ г
где q(r)->0 при г->0 в силу предположенной непрерыв-
непрерывности f (л:). Поэтому оператор А (х\ у) по переменной х
удовлетворяет условию Липшица
\\А(хг; y)—A(x2i y)\]^q(r)\\xl—x2\\9 xv x2?S(x0, r). C)
Оценим разность А (х0; у) — xQ. Имеем
|| А (х0; у) -хо\\ = 1| [/' (*0)]-1 (/ (*0) - у) || =
= II [/' (**>Г1 (У ~ Уо) \1 < III/ (^о)!" IIIIУ - Уо II.
то есть
|| А (х0; у) - х01| < || [/' (яо)]1| || У - Уо II • D)
Далее, в силу неравенств C) и D)
\\А{х; у)-*о1К1И(*; У) —
+ 1И(*о: У)~*оII<Ч(г)\\х-хй|
$ 4] ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОМ ОПЕРАТОРЕ. МЕТОД НЬЮТОНА 443
Выберем теперь гх так, чтобы q = q(rx) < 1, и рассмотрим у
из шара
IIУ - Уо И<'у = A - <7)^/II [/'<
Тогда предыдущее неравенство дает
:-*о|1 +
и, следовательно, оператор А осуществляет сжатые отобра-
отображения шара || # — xQ || ^ гх в себя. Поэтому каждому у,
I У~Уо|1 < гу отвечает единственное х такое, что|| х—хо\\<гх
и /(jc) = y. Тем самым на шаре ||у — Уо11<гу определен
обратный оператор дг=ф(у) со значениями в шаре Ц-^—-Aro||<r^.
Ясно, что Ф(уо) = *о-
Из неравенства C) вытекает, что
IIФ (Ух) — ф (У2> II = Wxi — *2 II = 1И (xv Ух) — А (*2: У2) II <
; у2) — ^(^2; У2IК
Отсюда
A - я) II ф (уО - ф (у2) II < II \Г (ч)Г1 IIIIУ1 - у2 II.
или
-фШIK "^/"
т. е. обратный оператор ф(у) удовлетворяет в шаре
|| у—Уо1|<гу условию Липшица и, следовательно, непрерывен.
Теорема доказана.
Согласно принципу сжатых отображений обратный опе-
оператор ф(у) можно получить как предел последовательности
операторов фл (у), определяемых по правилу
Фо(У) = *о'
Фл(у) = Л(фя.1(у); у) (||у — уо||<гг л=1. 2, ...)• F)
Так как Л(х; у) непрерывен по совокупности переменных!
то методом математической индукции можно показать» что
все последовательные приближения Фя(у) являются непре-
непрерывными функциями у.
444 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ {ГЛ. УИГ
Далее, оценка
II Ф (У) - Фл (У)||< TZZJII <Pi (У) - Фо СУ) ||<
^ 9я
показывает, что стремление последовательности фл (у) к пре-
предельному оператору ср(у) происходит равномерно в шаре
\\У-Уо\\<гу.
Пример. В пространстве С[0, 1] рассмотрим нелинейное
интегральное уравнение
/
•-«(О — //<(^5t^(s))//5«»y(/), G)
о
где ядро К (t, з, и) непрерывно в области 0<! tf, s < 1, — со < и <
<4-сю и имеет в этой области непрерывную производную
Кц U, s, и). Пусть, кроме того,
а) К(t> 5,0)е0и< (/, 5, 0) ф 0;
б) единица не является собственным значением ядра К'и (t, s, 0),
т. е. линейное интегральное уравнение
1
г@ —J/fift 5.0Jr(s) i/5-O
о
не имеет ненулевых решений.
Записывая уравнение G) в форме
/М=*У. (8)
мы легко проверяем, что
1) /@H
) /();
2) производная /' (*) существует в окрестности нуля и
имеет вид
1
f'(x)h**h(t)-f K'u (U st x(s))h (s) d$\
о
поэтому она ограничена и непрерывна в этой окрестности;
3) в силу б) [/' (О)]" существует.
Тогда согласно только что доказанной теореме уравнение G)
для всех достаточно малых правых частей у if) имеет единствен-
единственное решение, которое может быть получено методом последова-
последовательных приближений.
,. Метод Ньютона. В качестве еще одного примера исполь-
использования понятия производных абстрактных функций расемо-
§ 4] ТЕОРЕхМА ОБ ОБРАТНОМ ОПЕРАТОРЕ. МЕТОД НЬЮТОНА 445
трим метод Ньютона решения операторных уравнений. Как
известно, для случая скалярного уравнения /(лг) = О метод
Ньютона состоит в нахождении последовательности прибли-
приближенных решений по формуле
При выполнении некоторых условий, налагаемых на
функцию f(x) и ее производные, доказывается, что прибли-
приближенные решения хп сходятся к конечному пределу и этот
предел является решением уравнения.
Л. В. Канторовичем было показано, что метод Ньютона
может быть перенесен на операторные уравнения. Мы рас-
рассмотрим здесь это перенесение, причем с целью упрощения
доказательств будем предполагать выполнение довольно
жестких ограничений *).
Итак, пусть дано уравнение
/(*) = 0. (9)
где / (х)— абстрактная функция, определенная на банаховом
пространстве Ех> со значениями в банаховом пространстве Ег
Предположим, что в некотором шаре S(x0, г), центр х0
которого мы принимаем за приближенное значение решения
уравнения A), функция / (х) сильно дифференцируема и ее
производная f (х) удовлетворяет условию Липшица
II/'(*)-/'G)|l<?||*-&||. (Ю)
Если, кроме того, существует {f'(x)]~lt то по аналогии
со скалярным случаем можно строить последовательные при-
приближения по формуле
Эта формула имеет, однако, то неудобство, что необходимо
последовательно находить обратные операторы lf'(xn)]~l,
т. е., по сути дела, решать линейные операторные уравнения
*) Более подробное изложение и при менее стеснительных
ограничениях см. 112].
446 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIU
Чтобы избежать указанного неудобства, Л. В. Канторовичем
был предложен модифицированный метод Ньютона, в кото-
котором последовательность приближений находят по формуле
/(**)> (И)
где для любого п фигурирует один и тот же обратный
оператор.
Мы остановимся лишь на модифицированном методе
Ньютона.
Введем следующие константы:
Щ = II \Г (*о)Г' ||. %
Теорема 2. Если
и t0 — меньший корень уравнения
hQt2 — t+\ = Q,
то в шаре
II* — *о1К'оЛо
уравнение f(x) = Q имеет единственное решение х* и
последовательные приближения хп> определяемые по
формуле C), сходятся к этому решению.
Рассмотрим оператор
Этот оператор преобразует шар ||х — *о11^'оЛо в
В самом деле,
Ах — х0 — х — х0 — [/' (лго)] / (х) =
= If ^о)! (/' (*о) (* - *о) - / (*) + /(*о)} -
и(о)Г
Отсюда
\\Ах - ^И < || [/' (хо))-11| Ц/ (х) - / (х0) - /' (х0) (х-
т. е.
§ 4] ТЕОРЕМА ОБ ОБРАТНОМ ОПЕРАТОРЕ. МЕТОД НЬЮТОНА 447
Рассмотрим функцию
<р (*) = / (*) - / (*о) — /' (*о) (* — *о)-
Имеем *)
Ф'(*) = /'(*) — /'(*<>>•
Пусть x?S(x0, tot]Q). Тогда
\\Ч>'
Поэтому
Таким образом, если х ? 5 (л;0, /от]о), то
| Ах- *01| < M0UX + % = г]0(Ж/Vo + I)
т. е. оператор Л переводит шар \\х — *ol!^^oTlo B ^е
Покажем, что оператор Л дает в этом шаре сжатые ото-
отображения.
Имеем для лг?5(л;0, tor\o)
А' (х) = 1- [/' (хо)Г1 f (х) = [/' (х0)] <J' (xQ) — /' (х)),
и поэтому
\\A^x)\\^
Так как tQ — меньший корень уравнения hQt2 — t-±-l=O, то
Следовательно,
откуда
\\Ax-Al\\^q\\x-t\\. A2)
и требуемое доказано.
Итак, оператор А осуществляет сжатые отображения шара
S{x0, /(/По) в се6я и потому имеет в этом шаре единствен-
единственную неподвижную точку х*. Для этой точки
¦) 11роизводная линейного оператора Ux =» /' (*0) х равна /' (ж0)»
448 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
т. е. х* есть решение уравнения (9)
Точка х* есть предел последовательных приближений
*«+i = А*п = *п — I/' (*о)Г7(*я). A1)
и теорема полностью доказана.
Замечания 1. Выполнение условия Ао^т может быть
достигнуто за счет достаточной близости к решению началь-
начального приближения х0.
2. Скорость сходимости последовательных приближений
в модифицированном методе Ньютона определяется неравен-
неравенством
которое легко может быть получено из A2). Если же рас-
рассмотреть основной (немодифицированный) метод Ньютона, то
скорость его сходимости будет более высокой, а именно:
Подробнее об этом см. в [13].
Пример. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение
Гаммерштейна
J A3)
о
где ядро K(t, s) непрерывно по совокупности переменных в ква-
квадрате 0<^, $<!1, функция #($, и) непрерывна по совокупности
переменных в полосе 0<5<1, — со<м<+оо и имеет непре-
непрерывную производную g'u(s, и), удовлетворяющую по второй пере-
переменной условию Липшица
k«(*. «i)-tfi(*. «^)| <Л-1 «i — «21-
Тогда абстрактная функция
преобразует пространство С [0, 1] в себя, сильно дифференцируема,
§ б] однородные Формы и многочлены 449
причем
1
f'(x)h = h(t)-ff<(tt s)g'u(st x(s))h(s)dst
о
и производная /' (л:) также удовлетворяет условию Липшица
\\f (x)-f (l)\\<a\\\x-t\\t
где а = sup | К (t, s) |.
t, s
Тогда, если единица не является собственным значением линей-
линейного интегрального уравнения
1
h(t)-lfK(tts)g'u(st xo(s))h(s)ds = O A4)
о
и
1
Мо = sup J | Ro {*, 5, I) I ds,
где R0(t, s, X) — резольвента уравнения A4), то при выполнении
условия
/г0 = LMt\ <
где
"По
1
= sup Г I Ro (t, s,
1
— f/C(s, o)g(o, xo(a))da
0
ds,
метод Ньютона, примененный к уравнению A3) при начальном при-
приближении х0 (t), сходится к решению этого уравнения.
§ 5. Однородные формы и многочлены
Умножение элементов. Часто приходится иметь дело
с операцией умножения, когда множители и произведение
являются элементами разных пространств.
Рассмотрим три линейных нормированных пространства Ех,
Eyi Ez и введем операцию умножения, относящую произволь-
произвольным элементам х из Ех и у из Еу элемент z = ху из Ez.
Потребуем, чтобы эта операция умножения обладала следую-
следующими свойствами:
1) (*! + х2) у = хху + х2у\
2) х (у! + У2> = хуг + ху2\
3) при хп->х0 и уп->у0 хпуп->хоуо.
4&0 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ VIII
Операция ху при фиксированном х есть аддитивная и
непрерывная по у операция, т. е. есть линейный оператор,
определенный на Еу, с областью значений, расположенной
в Ez. Аналогично операция умножения ху при фиксирован-
фиксированном у есть линейный оператор, отображающий Ех в Ег.
Отсюда следует, что
(Хх) у = Х (ху). х (Ху) = к (ху).
Примеры. 1. Пусть А — линейный оператор, отображаю-
отображающий Ех в Еу\ В — линейный оператор, отображающий Еу в Ег.
Тогда В А — линейный оператор, отображающий Ех в Ez.
2. Если х (t) — функция из Lpi [О, 1], у (t) — функция из Lp% [0, 1],
то их произведение в обычном смысле
есть
элемент
из
[0,
1].
где
1 _
q ~
1
3. Внутреннее произведение двух элементов х и у веществен-
вещественного гильбертова пространства можно рассматривать как результат
умножения х на у, где х?Н} у^Н и xy?R — (—со, оо).
4. Если х — элемент из Ех и А — линейный оператор, отобра-
отображающий Ех в Еу, то Ах можно рассматривать как произведе-
произведение А и х:
Легко проверить, что в приведенных примерах все свойства
операции умножения выполняются.
Теорема. Если Ех, Eyt Ez — линейные нормирован-
нормированные пространства и определено произведение xy = z
(х?Ех, у?ЕуУ z?Ez)} то существует положительная
постоянная М такая, что
||*у||<Л*||*|||М| (х?Ех. у?Еу).
Допустим обратное. Тогда для любого натурального
числа п найдутся элементы хп?Ех, уп?Еу такие, что
Поэтому, полагая
$ 5] ОДНОРОДНЫЕ ФОРМЫ И МНОГОЧЛЕНЫ 451
имеем
С другой стороны,
Таким образом, х°п и у^ стремятся к нулю, а норма II х°пу°п ||
остается большей 1, что противоречит непрерывности опера-
операции умножения.
я-линейные формы. Пусть Ev Е2 Еп, Е — линей-
линейные нормированные пространства, п-линейной формой на-
называется функция a(hl9 h2 hn)?E, h^E^ линейная
относительно каждой из переменных hv h2 hn.
Будем писать a (hv h2 hn) = ahxh2 ... hn. Нор-
Нормой ||a|[ формы ahxh2 ... hn будем называть число*)
_ ...Ая
I|W||~BU1'«A1||||A2
Очевидно,
||aA1A2...Ae||<||a||||A1||||Al||...||A«l|.
Если
ahxh2 ... hn = bhxh2 ... hn
при любых hi?Ev h2?E2, ..., hn?En, то мы считаем, что
a = b. Совокупность форм ahxh2 .. . hn, где h%^El%
ahxh2 ... hn?E, образует линейное нормированное простран-
пространство, если сумму и умножение форм на число понимать
в обычном смысле, а норму ||а|| определить равенством A).
При этом форму ahxh2 .. . hn_x можно рассматривать как
линейный оператор, действующий из Еп в Е% т. е.
форму ahxh2 ... Лл_2 —как линейный оператор, действую-
действующий из En_i в пространство (Еп->Е), т. е.
аНлк
xh2
*) В силу теоремы Банаха — Штейнхауса /г-линейная форма,
непрерывная по каждой переменной, будет непрерывна по совокуп-
совокупности переменных.
452 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ.
и т. д., наконец,
Тогда форму ahxh2 ... hn можно рассматривать как по-
последовательное произведение слева направо элементов a, hv
h hn>
ahxh2 ...йя = (... ((ahx)h2) ...)*„.
Форма называется симметрической, если ЕХ = Е2 = ...
... =Ennahi ... hn = ahihi2 ... hin> где (/ь fe in) —
любая перестановка индексов 1, 2 д.
Примером симметрической формы может служить билиней-
билинейная форма (Ах, у), где Л — самосопряженный оператор в ве-
вещественном гильбертовом пространстве.
Произвольную форму ahx ... hn можно симметризовать,
отнеся ей форму
Sahx...hn = ± ? ahixhi%"... AV B)
d.',.-.'„)
где сумма берется по всем перестановкам (/lf /2» •••» ^л)
индексов 1, 2, . .., д. Форма Sah{h2 ... Ля, — очевидно,
симметрическая. Если ah^h^ ... hn есть симметрическая
форма, то
S ... Л„ = ahxh2 ... Лл.
Форма аЛЛ ... Л, получаемая из симметрической я-линей-
ной формы ahxh2 ... hn при
называется однородной формой п-й степени. Однородная
форма второй степени называется квадратичной (ср. § 1
гл. VII).
Мы введем для краткости обозначение
ahn = ahh ... h.
Свойства я-линейных и однородных форм:
n n
2. Если а — симметрическая я-линейная форма, то произ-
произведение ahxh2 ... hn дистрибутивно и коммутативно по от-
отношению к каждой паре множителей. Поэтому, например,
§ 5] ОДНОРОДНЫЕ ФОРМЫ И МНОГОЧЛЕНЫ 453
получается по правилу возвышения в п-ю степень суммы
k членов:
S
3. Для симметрической /г-линейной формы
==n\ahlh2 . .. hn. D)
В самом деле, оператор , —-тт- обращает в нуль все
члены суммы в праврй части равенства C), за исключением
того, который содержит произведение всех множителей tv
/2, ..., tn, т. е. за исключением члена, отвечающего пока-
показателям
Этот член равен
n\txt2 ... tnahxh2 ... hn,
и, следовательно, D) доказано.
4. Если имеет место равенство
ahn = bhn E)
при любых h?Ex> то соответствующие /г-линейные формы,
которые предполагаются симметричными, совпадают
ahxh2 . .. hn = bhxh2 . . . hn (о)
при любых hv h2, ..., hn?Ext т. е. a=b.
В самом деле, согласно E) при любых hv...., hn
откуда
и в силу D) получаем F).
454 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
5. Если даны линейный оператор А?(Еу —>EZ) и одно-
однородная форма /г-й степени ahn, h?Ex, ahn?Eyt то A{afif
есть также однородная форма я-й степени.
В самом деле, ahxh2 ... hn есть симметрическая я-линей-
ная форма. Так как A (ahlh2 ... hn) линейно зависит от
каждого ht?Ex1 то A(ahxh2 ... hn) есть я-линейная форма
относительно hv h2 hn с областью значений в Ez\ эта
форма также симметрична. Поэтому A(ahn) есть однородная
форма n-ft степени.
6. Произведение (anhn)(bmhm) однородных форм anhn
и bmhm степеней пит есть однородная форма степени п-\-т.
В самом деле, произведение соответствующих п- и т-ли-
нейных форм (anhxh2 ... hn)(t>mhn+1hn+2 ... hn+m) есть
(п~\~ т)-линейная форма. Симметризуя ее, получим симметри-
симметрическую (п-\-т)-линейную форму
cn+mh\h2 • • • hn + m = S Kanhlh2 • • • *л) (bmhn + lhn+2 • • •
Положив затем
мы придем к однородной форме (я + /я)-й степени cn+mhn*m,
которая в силу B) будет равна (CLnhn)(bmhm).
Многочлены. Введем теперь следующее определение:
Сумма однородных форм
2 akh\
где h?Ex апФ0, а все akhk — элементы одного и того же
пространства Еу> называется многочленом п-й степени
относительно h.
Приведем несколько простейших свойств многочленов.
1. Если
п т
У = Рп (Л) = 2о«*Л* 6 Е,, z = Qm (ft) = So bthl 6 Ег
— многочлены степени п и соответственно т относительно h
и определено произведение двух любых элементов из Еу
и ??г. то
yz=Pn{h)Qm{h)
есть многочлен степени не выше п-\~т относительно h.
ОДНОРОДНЫЕ ФОРМЫ И МНОГОЧЛЕНЫ 455
Действительно, вследствие дистрибутивности умножения
( т \ п т
2 fl»A* S hhl =
S
/=о
каждое слагаемое (akhk)(bthl) в силу шестого свойства форм
есть форма степени k-{-l^.n-{-m.
Итак, все произведение yz есть многочлен степени не
выше (п-\-т) относительно /г, что и требовалось доказать.
2. Пусть Pn(h) — многочлен п-й степени относительно h
и Qm(g) — многочлен m-й степени относительно g. Тогда
при h = Qm(g)
Pn(h) = Pn[Qm(g)]
есть многочлен степени не выше пт относительно g.
Докажем это предложение методом индукции по п. Пусть
/1=1, т. е.
где ах — линейный относительно h оператор. Если
т
1=0
то в силу пятого свойства форм
т
axh + ao = axQm (g) + а0 = 2 ct\btgl + aQ
есть многочлен степени не превосходящей т относительно g.
Предложение для п = 1 доказано.
Пусть предложение доказано для всех многочленов Pk(h)
степеней k^n—1 относительно Л.
Рассмотрим
— многочлен /г-й степени относительно h. Имеем
Рп (h) = Ря.! (А) + <*пЬп = Pn-i (A) + {anhn'1) h,
где Pn-\(ti) — многочлен степени п—1 относительно h. Если
456 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
то в силу предположения
Рл_! (Л) = /?(„-!) т (g) И unhn-X = /?*„_!) m (gr),
где R{n-\)m(g) и /?*„_!) m(^) —многочлены степени, не пре-
превосходящей (п—\)т относительно Л. Отсюда
По свойству 1 произведение двух многочленов
R*n-i)m(?)Qm(?) степеней не выше (п—\)т и т относи-
относительно g есть многочлен Rnm(g) степени не выше пт отно-г
сительно g. Итак,
Рп W = Рп \Qm (g)] = Л(я-1) m (Л + Лтп (?) = ^ (?)•
где Tnm(g) есть многочлен степени не выше пт относи-
относительно g, что и требовалось доказать.
§ 6. Дифференциалы и производные высших порядков
Обозначения. Пусть Ех и Еу — линейные нормиро-
нормированные пространства и y = f(x) — абстрактная функция,
определенная на Ех> с областью значений, расположенной в Еу.
Пусть х?Ех, yi = yi(x)?Ey и Уг^УгС^Об^у Симво-
Символическое равенство
У](*) = Уг(*)
будет означать, что
(У\ (х) равно у2(х) с точностью до величины порядка выше п
сравнительно с \\x\\).
Можно доказать следующие утверждения:
1. Если У1(*)==у2(лг) и УгОО^УзО)' т0 Ух(х)§Уг(х)-
2. Если yl(x)§y2(x), x = f(l) и ||?||=О(||х||). то
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ПРОИЗВОЛ. ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 457
3. Если PQi) и Q(h) — многочлены от Л с совпадающими
коэффициентами при членах первых п степеней, т. е.
P{h)-Q{h)= 2 akh\
* = л f 1
ТО
Будем предполагать, что операции умножения, фигури-
фигурирующие в последующих формулах, имеют смысл.
4. Если ||-4 (х) || ограничено в окрестности х = 0 и
^ то А(х)Уг (х)^^ Му2(х). Аналогично
5. Если y(x)^yl(x), z(x)^zl(x), то
В самом деле, в силу свойства 4
у (х) z(x)^y (х) zx (х) § у, (х) zx (х).
Отсюда и из свойства 1 следует свойство 5.
Формула Тейлора. Мы определили сильный дифферен-
дифференциал первого порядка, рассматривая аппроксимацию функ-
функции f(x-\-h) многочленом первой степени относительно Л.
Пусть теперь существует многочлен
/>я(Л) = а1А+а2Л2+ ... + anhn
степени п относительно h такой, что
*)-/(х)|р,(А), A)
/(* + *) —/(*) = Я„(А)Н-©Я(*. Л).
где
||<Ч„(*, /г)||<е(||Л||)||А||я. е(||*||)->0 при ||А||->0. B)
.Многочлен Р„ (Л) назовем конечной строкой Тейлора
п-й степени для функции f(x^-h), его я-й член,
45S АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
умноженный на п\, назовем п-м сильным дифференциалом
функции f (х), а функцию f (x) n раз дифференцируемой
в точке х.
Обозначая л-й сильный дифференциал через dnf(x, h),
имеем
dnf(x, h) = n\anhn-
Соответствующая dnf(x, /^симметрическая и-линейная форма
имеет вид
dnf(x\ hv h2 hn) = n\anhx ... hn.
Эту я-линейную форму ап назовем я-й сильной производ-
производной функции f (х) в точке х и обозначим f^n){x). Таким
образом,
dnf (х, h) = f{n\\
и формула A) принимает вид
Заметим теперь, что
^0. C)
В самом деле, из A) следует
п-\
f{x + th) = f(x)+^tkakhk + tnanhn-{-®(x\ th).
где
,. \\®(х\
lim -—Ч^
Имеем
dtn
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ПРОИЗВОЛ. ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 459
и, наконец»
д/-»о
(ДО
,л
/=0
В силу B) имеем при
откуда
В таком случае
А) = «1 а„/гя = -§г / (х + /А)
Если dnf(x, К) существует в некоторой области, причем
соотношение B) выполняется в этой области равномерно
относительно х, то мы будем называть dnf(x, К) равно-
равномерным сильным дифференциалом. В этом случае в пра-
правой части C) стоит равномерная разностная производная.
Введем теперь другое определение /1-го дифференциала.
Пусть первый дифференциал df(x, h) = f'(x)h существует
в окрестности точки х. Функции /'(#)» а значит, и df(x, h)
могут быть в свою очередь дифференцируемы по х. Мы
приходим ко второму последовательному дифферен-
дифференциалу
d[df(x, A), hx\ = d\ff{x)h% hx\ = df'{x. hx)h.
Обозначая
df(x, hl) =
назовем f"(xH второй последовательной производной.
Имеем
. A), hl] = f" ^
460 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIU
Аналогично определяется п-й последовательный диф-
дифференциал, а именно, в предположении, что существует
(п—1)-й последовательный дифференциал
d(d(...(df(x. A1))A2 . . .)hn_l) = fl"-V(xHhn_lhn_2 ... hx
и что этот дифференциал как функция от х дифференци-
дифференцируем, т. е. что /{п~г)(х)о дифференцируема, получаем
d(d(d(...(df(x, А1)А2)...)АЯ.1)АЯ) =
= йГ(/^-1>(*HАл.1Ая.2... hv Ал) =
= d^'i)(x.h^Hn^hn^2 ... Ax. D)
Вводя обозначение
получим п-ю последовательную производную f^(xH и
... (df(x,
Равенство D) принимает вид
d"f(x; hn, A#_1 *1) = /(я
Полагая A1 = /z2= ... =hn = h, получаем
rf"/ (Jf. *)o = f{n) (*\ Ьп = -$рг/(* + th) |/=0. E)
Из совпадения непрерывной равномерной разностной /г-й
производной с последовательной (см. стр. 410) и формул
C) и E) вытекает предложение: если в области G суще-
существует п-й равномерный сильный дифференциал
dnf(x, А), непрерывный по х, то в G существует и
п-й последовательный дифференциал dnf(x, A)o, причем
daf(x. h)Q = dnf(x. A),
или
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ПРОИЗВОД. ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 461
Обратно, пусть существует п-й последовательный
дифференциал
причем /{п)(х)о есть равномерно непрерывная функция
от х в некоторой области О. Тогда в этой же обла-
области существует совпадающий с ним п-й равномерный
сильный дифференциал.
Докажем это предложение индукцией по я. При п = 1
предложение тривиально. Пусть оно верно для п—1.
Так как
то имеем тогда
/' (х + А)о = f (*)о + /" (хH А + ^г /" (*)о А2 +
где
\\
е„_1(и)->0 при к-»0.
Отсюда при 0 <! t •< 1
/' (х + thH = /' (*H + tf" (хH А 4Г Pf" (*)o А2 + • • •
где
Поэтому
" Wo h + 4г fif" (хH А»
462 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
где
1
Rn = f<o(x\ th)hdt.
о
Отсюла
Таким образом, сумма в правой части последнего выра-
выражения для /О + А) есть строка Тейлора для функ-
функции f(x) и
/n\x\hn = dnf(x, h),
т. е.
dnf(x, h\ = dnf(x, A),
что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь я-ю производную сложной функции
и произведения.
I. Пусть у = ф(лг), z — tyiy), x?Ex, y?Ey, z?Ez;
тогда z — f(x)9 где f(x) = ty[q>(x)]. Пусть уо = <р(хо) и
jzro = il)(yo)==/(jifo). Если ф(л:) и я|>(у) л раз дифференци-
дифференцируемы соответственно в точках х0 и у0, то и /(л:) я раз
дифференцируема в точке х0.
В самом деле, по предположению в Ех существует мно-
многочлен я-й степени Pn{h) такой, что
С другой стороны, в Еу определен многочлен /г-й степени
Q, (g) такой, что
В частности, при
—ф(х0)
§ 6] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И ПРОИЗВОЛ. ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 463
и, следовательно, при
Ф (*о + h) = Ф (*o) + g = Уо + g
имеем
/ (*о + А) - / (*о) = * [ф (*о + h)] — ф [ф (*0)] =§= Qn (g). F)
Но
поэтому
В силу свойства 2 многочленов, Qn{Pn(h)) есть многочлен
относительно Д. Этот многочлен может быть аппроксимиро-
аппроксимирован с нужной точностью многочленом Rn{h) /г-й степени
относительно h — отрезком многочлена Qn (Pn (h))
Далее, так как функция ф дифференцируема в точке х0, то
g h
поэтому символ « можно заменить символом =», и равен-
равенство F) примет вид
f(xo+h)-f(xo)^Qn(g).
Отсюда и из G) следует
/(*о+А) — /(*о) = **(*)• (8>
Существование многочлена Rn(h), удовлетворяющего соот-
соотношению (8), доказывает наше предложение.
Если ф(дг) и ty(y) n раз непрерывно дифференцируемы
по х, то и
п раз непрерывно дифференцируема по дг.
В самом деле, в этом случае коэффициенты многочленов
Рп(К) и Qn{h) суть непрерывные функции от х. Значит, и
коэффициенты многочлена Qn (Pn (h)) суть непрерывные
464 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
функции, а следовательно, и коэффициенты многочлена Rn (К)
также непрерывные функции от h.
2. Пусть х?Ех, y = f(x)?Ey, z = y(x)?Ez и опре-
определено произведение и элементов у?Еу и z?Ez, принад-
принадлежащее Еи. Если f (х) и ф(х) суть п раз непрерывно диф-
дифференцируемые функции от х, то и
п раз непрерывно дифференцируема по х.
В самом деле,
где Рп (ft) и Qn (К) суть многочлены я-й степени по h\
Рп (А) = S ** (*) А*. <?я (А) = S Ьк (х) h\
причем коэффициенты ak(x) и ^л(лг) — непрерывные функ-
функции от х. Отсюда
) =
Выражение, стоящее в скобках, есть многочлен с коэффи-
коэффициентами, являющимися непрерывными функциями от х.
Отбросив члены, содержащие h в степени выше /г-й, полу-
получим многочлен
Я„(*)= 2 **(*)**
с коэффициентами, являющимися непрерывными функциями
от х:
/ (*) Qn W + Рп (А) <Р (х) + Я„ (Л) Qn (A) == /?„ (А).
Поэтому
? А). (9)
и равенство (9) доказывает, что
есть п раз непрерывно дифференцируемая функция от х.
§ 7] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 465
Заметим в заключение, что для функционалов, опреде-
определенных в комплексных линейных пространствах, из суще-
существования первого дифференциала в окрестности некоторой
точки следует существование в ней всех дифференциалов
высшего порядка, а также представимость функционала ана-
аналогом ряда Тейлора.
§ 7. Дифференцирование функций двух переменных
Рассмотрим функцию двух переменных ф(лг, у), где х ?Х
Еу ф(лг, у)?Е2. Можно рассматривать (л:, у) как эле-
элемент прямой суммы Ех ф Еу пространств Ех и Еу. Функ-
Функция ф(лг, у) называется п раз дифференцируемой в точке
(*<>• Уо)« если
—Ф(*о. Уо)=
+ *2(*
Здесь ak(h> g)k—однородные формы /г-й степени эле-
элемента (h, g)?ExQEy. Очевидно, ak{h, g)k есть сумма
^-линейных форм вида a^h^h^ ... hk, где каждое из hi
равно h или g.
Теорема. Если ф(л\ у) есть п раз дифференци-
дифференцируемая функция в точке (х0, у0) и y = f(x) есть п раз
дифференцируемая функция х в точке х0, причем
уо = /(хо), то ф(дг, f(x)) есть п раз дифференцируемая
функция от х при х = лт0.
В самом деле, если
то
и
... +anh\ A)
Тогда ||g|| = O(||h||), а значит,
• ||(*. *)|| = 11*11 + И* 11 = О(||А||). B)
(
466 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
Так как ф(лг, у) есть п раз дифференцируемая функция
(х, у), то
h 2
... +ая(*. ?)я C)
мы в силу B) заменили в C) символическое равенство * '
символическим равенством =). Но поскольку из A) сле-
следует, что
то
где ak(h, Pn(h))k есть сумма членов вида akhxhT...hk9
в которых каждое ht равно h или Рп (h). Поэтому
ak(h, Pn(h))k, а следовательно, и вся сумма в D), есть
многочлен относительно h. Отбрасывая в нем члены степени
выше п относительно ht мы получим многочлен Rn(h) сте-
степени п относительно /г, для которого
п
Л„(АL 2 <**(*• Л|(А))*-
Итак,
h
Ф С^о"К Ai Уо~\~ g) — ф (•?()' Уо)" *?я (A)i
что и требовалось доказать.
Введем теперь понятие частных производных функций
двух переменных. Имеем
dq> [(л:0, у0); (Л, ?*)] = аг (Л, #*) = ,
•^0' Уо)> (А» ^')] = ^2(А> ^*J =
и т. д. Введем обозначения
пП =
§ 8] ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 467
Имеем
= <f'yg = 4t
12** = Ф^ЛвГ = ^7 Ф (*0 + 'А Уо + 'явГ) l/
и т. д.
Если ф(л:, у) имеет непрерывный по (л:, у) второй диф-
дифференциал, то ai2hg = a2xgh, так как операции -тг- и -дт-
переместительны, если
является непрерывной функцией от tx и /2.
§ 8. Теорема о неявных функциях
Рассмотрим прямую сумму Ех 0 Еу пространств Ех и Еу
и оператор ф (л:, у), переводящий Ех@Е^ъ Ez: х ^ Ех> у ^ Я
( )?Е
Будем считать, что
1) Ф(*о- %) = °> 0)
2) ф(лт, у) непрерывен в окрестности точки (х0, у0),
3) ф(л:, у) имеет непрерывную производную ф^ (л:, у)
в окрестности точки (л:0> у0) и существует [фу(^0, Уо)]"*
Теорема 1. При выполнении условий 1)—3) суще-
существуют положительные константы д и & и оператор
y=f(x), x?Ex> у?Еу, определенный в окрестности
\\х — #о||<^ точки лг0 и такой, что уравнение
B)
46& АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIH
равносильно в некоторой окрестности точки д:0 урав-
уравнению
у) = 0, C)
т. е. каждая пара (л:, у), \\х— л:0||<6, удовлетво-
удовлетворяющая уравнению B), удовлетворяет также и урав-
уравнению C), и обратно, каждая пара (л:, у), удовлетво-
удовлетворяющая уравнению C) при \\х — л:0|| < 6, \\у — уо\\ < е,
удовлетворяет уравнению B). Оператор f (х) непре-
непрерывен по х и f(xo) — yo.
Доказательство. Уравнение C) равносильно следую-
следующему уравнению:
у = А(х, у), D)
где оператор А (х, у) определяется равенством
А(х, у) = у — [Ч>у(хо> Уо)]'1^*' У)- E>
Для доказательства существования и единственности реше-
решения уравнения D) применим принцип сжатых отображений.
Так как
то
. И <?Л (х. у)
II ду
где
q(r)->0 при r->0 F)
в силу предположенной непрерывности у'у(х, у).
• Поэтому оператор А (х, у) удовлетворяет условию Лип-
Липшица по у
II А(х* У\) — А(х, у2) || ^ q (/*) || У\ — УгИ» (^)
IIV; — VnllO, /=1. 2.
Далее
II Л(х, у0)-у01|< || [Ф;(*о. у0)}-11| || V(х, Уо)||< р(г)
(|| X — ДГ0||<Г).
§ 8] • ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 4С9
где
р (г)-> 0 при г->0 (8)
в силу непрерывности ф(лг, у) и условия <р(л;0, Уо) = О.
Выберем число е>0 настолько малым, чтобы q(e) =
= <7< 1, — это возможно сделать в силу F). Из неравен-
неравенства G) вытекает, что при \\х — JC0||^e оператор Л(лг, у)
на шаре \\у — Уо11^е пространства Еу является оператором
сжатия. Выберем теперь 6<;е настолько малым, чтобы
Тогда при || л:—а:0||^6 оператор А (х, у) отображает шар
\\У — УоИ<е в се^я и уравнение D) имеет единственное
решение в шаре \\у — .Уо!1^е- Обозначим это решение через
y = f(x). Мы видим, что уо = /(хо).
Для завершения доказательства теоремы нам осталось
показать, что оператор / (х) является непрерывным. Имеем
откуда
\\f(x)-f(xo)\\^\\A(x, f(x))-A(x.
+ \\А(х. f(xo))-A(xQ,
и, следовательно,
Мы видим, что оператор f (х) непрерывен в точке д:0. Ана-
Аналогичным образом проводится доказательство непрерывности
в других точках окрестности \\х — je0l|^6.
Теорема доказана.
Замечание 1. Согласно принципу сжатых отображе-
отображений оператор f(x) может быть получен как предел по-
последовательности операторов y = fk (л:), || х — л;0||
\\fk(x) — .УоН^6» определяемых равенствами
I, 2, ...
470 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
При этом имеет место следующая оценка скорости схо-
сходимости:
Замечание 2, Если дополнительно известно, что
в рассматриваемой окрестности q>'x(x, у) существует и огра-
ограничена, || q/ (х, у)||<Са» то справедлива оценка
||/(*)-/(*o)ll<c,||*-*ol!. О2)
Действительно, в этом случае
Цф(*. Уа)|| = ||ф(*. Уо)~ Ф(*о. УоI1<а|1^ — *oll-
и неравенство (9) дает требуемый результат.
Замечание 3. Пусть у'х(х, у) ограничена, IIФ^(а:, у) || ^
и ф'(х, у) удовлетворяет неравенству
Тогда справедлива следующая оценка быстроты сходимости:
*(^ Уо)Ц.
Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1 опера-
оператор ф(лг, у) является п раз дифференцируемой функ-
функцией в некоторой окрестности точки (л:0> у0) из Ех@Еу.
Тогда оператор y = f(x)—также п раз дифферен-
дифференцируемая функция х в Ь-окрестности точки лг0.
Предположим сначала, что ф(л:, у) является многочленом
п
Ф (*> У) — S Ч (х — хо> У — Уо)*-
Положим х—xQ = h, у — Уо = и, f (x) = yo-\-u(h). Тогда
оператор и (h) может быть получен как предел последова-
последовательных приближений
«0(А) = 0.
«*(*) = яЛ-1 (А) —Я
5 = Ф;(^0, у0).
Так как результат подстановки многочлена в многочлен
снова приводит к многочлену, то методом математической
§ 8]- ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 471
индукции убеждаемся в том, что все ak(h) являются много-
многочленами от /г.
В нашем случае все частные производные первого и вто-
второго порядков функции ф(л:, у) непрерывны, а следова-
следовательно, и ограничены в некоторой окрестности точки (л;0, у0)*
Поэтому (см. замечание 3)
\\u(h)-un(h)\\^c2\\h\\n\\<p(x0 + h, У0I1-
Так как ипAг) является многочленом, а ||ср(хо+/г, УоI1"-*О
при ||/г||—>0, то последнее неравенство означает, что u(h)
п раз дифференцируема в точке h = 0. Следовательно,
у — f(x) п раз дифференцируема в точке х = х0.
Перейдем к общему случаю. По условию теоремы
где
п
Ф(х> У) =Ъ^к{х~ xQi у — уо)к
— уо)\\->О при ||лг
Так как функция ц>(х, у) удовлетворяет всем условиям
теоремы 1 и является многочленом, то существует п раз диф-
дифференцируемый оператор/(л;), для которого ф(лг, /(х)) —0.
Из тождеств
l{x) — y{xt f(x)))9
получаем, что
\<\\B-l
ф(АГ.
/(*))||. A5)
в рассмотрение оператор В(х, у, у), положив
, у) —
1
-$)=я(*. у. у)(у-5).
472 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
Нетрудно видеть, что В(х, у, у) непрерывен по совокуп-
совокупности переменных и В(х, у, у)->В при л;->л;0, у, у-+у0.
В силу непрерывности операторов f (х) и f(x) можно ука-
указать такое 60 > 0, что
\\В-1\\\\В-В(х. /(х), /С*))||<?<1 при ||*-*011<Л-
A6)
Тогда из неравенства A5) получаем, что
и следовательно, так как ||/(х) — УоЦ-^Cill*— -^oll (CM- заме-
замечание 2),
< с A + с,)п \\х-х0 И"||©(* - х0, / (х) - уо)||.
Мы видим, что
?2 A7)
Так как оператор / (х) п раз дифференцируем в точке лг0,
то из последнего соотношения вытекает, что и оператор f (х)
также п раз дифференцируем в точке х0.
Аналогичными рассуждениями показывается дифференци-
руемость оператора / (х) в остальных точках шара
||лг —л:0!|<6.
Покажем в заключение, что
а/(х0, А) = _[<р;(*0, Уо)ГЧ(*о. Уо)Л-
т. е. что
В самом деле, по определению и1ф) есть оператор (много-
(многочлен по И) такой, что
df{x0, h) = df(x0, йL«1(Л).
Так как ср (*0-Н. Уо) = ф (*о+*« Уо)~Ф (*<>• Уо) 4 *i (хо-
§ 91 ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 473
ТО
Шо о)ГЧ( )
откуда следует A8).
§ 9. Приложения теоремы о неявных функциях
Изменения решения при изменении уравнения. Рас-
Рассмотрим пространство C^G', Е] функций /(х), определен-
определенных на некоторой области О пространства Е, со значениями,
лежащими в том же пространстве: х ? G, f(x)?E, причем
функции f(x) дифференцируемы, f (x), f'(x) непрерывны
и ограничены по норме.
Пусть ||/||=sup(||/(*)||44|/'(*)l|)- C4Q; Е] есть ли-
нейное нормированное пространство.
Рассмотрим уравнение
Предположим, что /0(х0) = 0 для некоторого xo?G и опе-
оператор /ц(хЛ?(Е->Е) имеет обратный. Тогда имеет место
следующая
Теорема 1. Существуют такие константы 6 > О,
е > 0, что для любого f^.Cl[G\ Е] такого, чтб
|[/ — /oll<6» уравнение f(x) = 0 имеет решение
лс = л;0-|-Дл;, где ||Ах||<е; при этом, если /~>/0. то
Дл;->0.
В самом деле, будем рассматривать f (х) как функ-
функцию x?G и /6?Ч<3; Е\\ /(х) = Ф(/, х). Из построения
функции Ф(/, х) следует, что Ф(/, х) и Ф^(/, х) непре-
непрерывны.
При этом Ф^(/, х) = /'(х). По предположению fo(xo)~Q
и f/o^o)] существует. Это значит, что Ф(/о. хо) = О и
[Ф^.(/о, хо)\~1 существует. В силу теоремы о неявных функ-
функциях для некоторых 6 > 0 и е > 0 уравнение
Ф(/о+Д/.
при ||Д/||<6 имеет решение л:0+Д^, т. е. f(x) = 0,
/ = /0-{-Д/, х — хо-{-Ах, причем ||Дх||<е; при этом,
если 6->0, то ||Дл:||->0. Этим доказывается теорема.
474 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIK
Заметим, что для Ф(/, x) = f(x) существует диффе-
дифференциал
;
Из существования Ф/ (/, л:) следует, что х есть дифферен-
дифференцируемая функция от /, причем
д*т[фи/ ^)]ф;(/
Правая часть этого равенства есть равномерный диффе-
дифференциал от функции л; —ф(/) при х = х0, т. е. d<p(f0, А/).
Применение к собственным элементам. Рассмотрим
прямую сумму Нг = И ф /?, где Я—вещественное гильбер-
гильбертово пространство, R — числовая прямая; каждый элемент
из Их имеет вид [х, t], x?H, t?R.
Пусть / есть нелинейный оператор, определенный на Hv
с областью значений в том же пространстве, задаваемый
равенством
/(Л; х. t)=[y. т}, х?Н, t?R,
где
у = Ах — tx?H, х = (х, х)—1,
и А — вполне непрерывный, самосопряженный линейный опе-
оператор из (Н->Н).
Уравнение /(Л; х, t) = 0 имеет вид
Ах — tx = 0. (x, х)=1,
т. е. t есть собственное значение, ах — соответствующий
нормированный собственный элемент оператора Л. Если {л:, t)
получает приращение {Ал:, А^}, то f (A; x, t) получает
приращение
[Акх — t кх — Мх — Мкх. 2(х, Ал:)+(Ал:, /ix)}.
Главная линейная часть этого приращения есть
dHJ(A\ х, t\ Ал:, M)=\Akx — tкх —Мх, 2(х, Ал:)}.
Следовательно, f (A; x, t) есть линейный оператор из
(Hl->Hl)t переводящий {Ал:, А^} в {Л Ал: — /Ал: — хДЛ
2(х. Ах)}.
Если t0 есть простое собственное значение оператора Ао *)
и х0—соответствующий собственный элемент, то существует
*) То есть собственное значение кратности «один».
§9] ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 475
обратный оператор \f'H (Ло; xQ, ^о)]""*1 т* е* для любого
{ }€^ уравнение
Л0Дл;— /0Дл:— xokt = y, 2(х0, Дх) = т A)
имеет решение {Ах, А/}, и это решение единственно.
В самом деле, Дх = axo-±-(kx)v где а=(Дх, х0) и
((Ал:)!, хо) = О. Аналогично y = bxo-\-yv где # = (у, х0)
и (ух, л;0) = 0. Далее, так как (Ао — tJE)xo = 0, то
(Ло Ал: — ^0 Ал:) — xo/±t = (Ао — t0E) (Ал:)х — л:0 А?
и ((Ло—^(Ал:)!, хд = ((А0—№х0. (Ал:I) = 0, откуда
и из уравнения A)
У1. B)
M = — b = — (y, хо)9 2а = т. C)
Так как правая часть уравнения B) ортогональна л:0
(т. е. ортогональна всем собственным элементам, отвечаю-
отвечающим собственному значению ?0), то это уравнение имеет
единственное решение, ортогональное х0:
(Дх)! = (Ао — toE);1 у{ = (Ао — t0E);1 [у — (у, х0) х0].
где через (Ао—t0E)t обозначен оператор Ао — t0E на под-
подпространстве элементов, ортогональных л:0.
Итак, уравнение A) при любом {у, т}?#! имеет ре-
решение
kx = ~xo + (Ao—toE);1 [у —(у, хо)хо]. Д^= —(у. л:0).
Отсюда следует существование оператора [f{AQ\ x0, ^о)]^1-
В силу предыдущей теоремы найдутся постоянные 6 > 0
и е>0 такие, что при ||АЛ||<6 существуют собственное
значение/0-f- А/ и нормированный собственный элемент л:0+Ах
оператора А = к
причем при ||Дх||+|Д/| <е такое собственное значение и
собственный элемент единственны.
476 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIU
Первое приближение {&{х, Д^} к {Дл:, Д^} находится
из уравнений:
Ао &гх — t0 \х — \txQ + &AxQ = 0,
(*0, /±1х) = 0.
Умножая первое из этих уравнений скалярно на х0 и при-
принимая во внимание, что
((Ло —
получим
Далее
(Ао — t0E) Aja: = &^х0 — &Ах0. D)
Уравнение D) всегда имеет решение, так как правая часть D)
ортогональна л:0:
(Д^лго» хо) — (&Ахо, х0) = Д^ — (ДЛл;0, хо) = О.
Следовательно,
Д^ = (Ао — toE);1 [\txQ — &Axo\.
Уравнение, зависящее от параметра. Теорема 2.
Пусть y = y(t, x) есть функция элемента х?Е и
числового параметра t с областью значений в том же
пространстве Е\ далее, функция y(t% x) n раз диффе-
дифференцируема по t и х и при t = t0 уравнение y(to> лг) = О
имеет решение х = хо> причем существует оператор
\yx(t0, ^о)!* Тогда существуют константы 6>0 и
е >0 такие, что при \t — ^01<^ уравнение
у (Л *) = 0 E)
имеет и притом единственное решение x = x(t) та-
такое, что
Это решение x(t), как функция t, n раз дифферен-
дифференцируема.
Сформулированная теорема есть непосредственное след-
следствие теоремы о неявных функциях.
§ 9] ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 477
Пример. Пусть А (I) — вполне непрерывный линейный опе-
оператор из (Н -> //), причем А (/), как функция ty n раз дифференци-
дифференцируема и оператор A {t0) имеет простое собственное значение 7,9
с соответствующим нормированным собственным значением х0:
А (*о) *о ~ h*o = 0.
Рассмотрим прямую сумму H{—tI(QR и определим функцию
O(t; ху К)> где {jr. А,}?#©/?. ф (/; •*. *)?//©/?,
с помощью равенства
Ф (/; х, X)={A(t)x — kx, (х, х) — \).
Уравнение для нормированного собственного элемента х (t) и
собственного значения К (t) оператора A (t) имеет вид
Ф (t\ х, X) = 0.
Так как A (t) n раз дифференцируема по t, то Ф (/; ху К) также
п раз дифференцируема по L Как и в предыдущем пункте, убе-
убеждаемся, что существует
Но тогда применима теорема 2 настоящего пункта и, следова-
следовательно, уравнение
Ф (t\ х, X) = 0,
т. е. уравнение
A (t) х — Хх = 0, (х, х) = 1 (б)
имеет решение {х (t), МО}» которое является п раз дифференци-
дифференцируемой функцией параметра t.
Уравнение в вариациях. В предположениях теоремы 2
настоящего параграфа решение x(t) уравнения E) есть диф-
дифференцируемая по t функция параметра t. Назовем вариа-
вариацией Ьх функции x{t) её производную xf (t) по t при t = tQ:
. dx
Ьх = -тт-
Соответственно для у = у (t, x) —
Уравнение
y(t, x(t)) =
478 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIU
есть тождество, и дифференцированием его по t получаем
dt ¦ дх v J
При t = t0 имеем
Это уравнение называется уравнением в вариациях для
исходного уравнения у (t, х) = 0.
Так как [y'x(t0, xQ)]~l существует, то
]-1
х
о)]-1Ьу. (8)
Уравнение (А — ХЕ) Ах -{- АЛх — &'кх = 0 можно, напри-
например, считать уравнением в вариациях для уравнения F), если
заменить АЛ, Ал:, ДА, через 6Л, 6x, 6A:
6х = — (Л — Щ'1 (ЬАх — йА,*), 6А = (ЬАх, х).
Применение к дифференциальным уравнениям. Вер-
Вернемся к дифференциальному уравнению с начальным условием:
Здесь f(tt х) их — элементы пространства Е. Эта задача
равносильна интегральному уравнению
x(t)-xo—ff(xt x(x))dx=0. A0)
о
Обозначим левую часть уравнения A0) через F(x0, x(t))<
Функции х(t) gCf [0, 1 ] *), F(x0, x(t)) — оператор, ото-
отображающий прямую сумму
в Cf[O, 1]. Если f(t> х) есть п раз дифференцируемая
dnf (t x)
функция от Ху причем — . 'п непрерывна по (t, x), то
*) Cf есть множество всех непрерывно дифференцируемых
функций *(*), где ^[0, 1), a x{t)?E.
§ 9] ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ 479
t
x(f)— I /(т, x(x))dx есть п раз дифференцируемый опера-
о
тор mCi [О, 1] в С?[О, 1]. Отсюда следует, что F(xQt x(t))
есть п раз дифференцируемый по х (t) оператор. Поскольку л:0
входит в F в виде отдельного слагаемого, то F есть п раз
дифференцируемая функция в
, 1].
Если x = x(f) получает приращение Ах = Ал:(/), то
главная линейная относительно Ал: часть приращения F (х0, х)
будет
t
F'x Ал: == Ал: (f) — f f'x (т, ^ (т)) Ал: (т) dx. A1)
о
Правая часть A1) есть оператор из Cf[O, 1] в Cf [О, 1J.
Этот оператор имеет обратный. В самом деле, для
любой y(t) из Cf[O, 1] уравнение
или
равносильно дифференциальному уравнению относительно
А* (О
Последнее уравнение имеет единственное решение в силу
теоремы существования (правая часть линейна относи-
относительно Ал: (t) и, следовательно, условие Липшица относи-
относительно Ал: автоматически удовлетворяется). Это решение
реализует обратный оператор
г
Мы находимся в условиях применимости теоремы о неяв
ных функциях.
480 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
Решение x = x(t) уравнения (9) может рассматриваться
как функция начального значения л:0: x = x(t, x0), при-
причем x(t, х0) п раз дифференцируема по jc0.
В частности, если Е есть л-мерное пространство, то полу-
получаем теорему о непрерывно дифференцируемой зависимости
решения от начальных данных.
§ 10. Касательные многообразия
Случай прямой суммы. Пусть функция ф(лг) отображает
банахово пространство Ех в банахово пространство Еу:
х?Ех> <р(х)?Еу. Рассмотрим совокупность Ш точек, удо-
удовлетворяющих уравнению
Положим, что ф(л;0) = 0, т. е. л;0?3№, и что функ-
функция ф (х) непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0:
Ф (*о+*) уф'(¦*<>)*•
Если оператор ф' (х0) ? (Ех —> Еу) отображает простран-
пространство Ех на все пространство Eyt то точку xQ будем назы-
называть правильной.
Будем считать во всем дальнейшем, что точка х0 пра-
правильная. Обозначим через То совокупность элементов h?E,
для которых
ф'(л;о)/г = О.
То есть подпространство пространства Е.
Назовем линейным касательным многообразием ТХо
к многообразию ЗЯ в точке дг0 совокупность элементов xQ-\- h,
где h 6 То.
Рассмотрим сначала случай, когда пространство Ех есть
прямая сумма подпространства Го и некоторого подпростран-
подпространства 7Y Каждый элемент х?Ех имеет вид
Линейный оператор ф'С-^о) отображает Т% на все про-
пространство Ег В самом деле, ф' (х0) отображает Ех на все
пространство Ег значит, для всякого у?Еу найдется эле-
§ 10] КАСАТЕЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 481
мент х?Ех такой, что
<р' (х0) х = у.
Но л; = /г-}-|, /г?Г0, 1^Тг и ф'(*о)/* = 0. Поэтому
о о
Определим линейный оператор А из (Тъ->ЕУ) посред-
посредом равенства
р
ством равенства
Оператор А в силу только что доказанного отображает
на все пространство Еу. При этом, если ?, li?T% и Л? =
то ? — ?,!• В самом деле, пусть
A(l — li) = 0> т. е. q/(*o)F — 61) = 0.
Отсюда
6 — ^67*0-
Но так как ^ есть прямая сумма Го и Г^, то ? — ^i^O,
По теореме Банаха оператор Л имеет обратный линей-
линейный оператор А.
Теорема 1. Если пространство Ех есть прямая
сумма подпространств То и 7\, то существует топо-
топологическое, т. е. взаимно однозначное и взаимно непре-
непрерывное отображение друг в друга окрестностей
точки х0 в многообразии Шив линейном каса-
касательном многообразии 7\, причем соответствен-
соответственные точки удалены друг от друга на расстояние
высшего порядка малости сравнительно с их рас-
расстоянием до точки касания д:0.
В окрестности точки х0 элементы х имеют вид
Уравнение многообразия Ш запишем в виде
= О. A)
При h = | = 0 также и Ф@, 0) = 0. Далее, частный диф-
дифференциал функции Ф(Л, |), отвечающий приращению Ад
при /г = | = 0, имеет вид
Ф|@, О)Д^ = фЧ^о)Д| = ^Д|. B)
482 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIИ
Оператор Л = Ф|@, 0) имеет обратный. Поэтому в силу
теоремы о неявных функциях в окрестности точки А = й, \ = 0
уравнение A) равносильно уравнению
где г|)(А)— дифференцируемая функция, удовлетворяющая
условию г|)@) = 0. Таким образом, каждая точка х ?Ш
в окрестности точки х0 имеет вид
Мы построили, следовательно, отображение точек л: =
окрестности точки л:0 в ТХо на точки х = хо
окрестности точки л:0 в WI, которое есть взаимно одно
значное и непрерывное (т. е. топологическое) отображение
В силу равенства
ф^@, 0) /г + Ф|@, 0)г|)'@)/г = Ф/г@, 0)/г + Лг|/@)/г = 0
имеем
*ф@, А) = \1)/@)А = — Л'^аСО, 0)А = — Л"У(лго)Л = О
Поэтому
т. е. J|^(| ||||
Но ||г|?(А)|| есть расстояние от точки xo-\-h линейного
касательного многообразия ТХп) до соответствующей точки
многообразия Ш. Это расстояние есть величина высшего
порядка малости сравнительно с ||А|| или с ||A + i|)(A)||,
т. е. с расстояниями точек xo-\-h и х0 +¦ А + а|)(А) до точки
касания х0, что и требовалось доказать.
Общий случай. В общем случае мы не можем утвер'-
ждать существование такого подпространства 7^, что
Однако теорема 1 в несколько ослабленной форме верна,
как мы увидим это ниже, и в общем случае.
Образуем факторпространство EX/TQ классов смежности
по отношению к То (см. стр. 64). Всякий элемент Т фактор-
§ 10] КАСАТЕЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 483
пространства Ех/Т0 есть некоторое множество элементов
пространства Ех> причем если хх и х2?Т, то хх — x2^TQt
т. е.
ф' (*о) (х\ — Х2> = О-
Поэтому
ф' (•%) *\ = ф' (Хо) Х2-
Оператор q/ (х0) ? (Ех -> Еу) переводит любые две точки
хг и х2 из Т в одну и ту же точку из Еу. Обратно, если
ф' (*о) Х1 = ф' (*о) Х2'
ТО
'()( — х2) = О, т. е. хг — х2?Т0,
и, значит, хг и х2 принадлежат одному и тому же классу
из Ех/Т0. Следовательно, оператор q/ (л:0) порождает некото-
некоторый линейный оператор Л, отображающий Ех/Т0 в Еу,
именно, если Т?ЕХ/ТО, то
где х — любая точка из Г; в силу предыдущего AT не
зависит от выбора точки х из Т.
Пусть у — произвольная точка из Еу. По предположе-
предположению оператор <р' (л:0) отображает Ех на все пространство Еу.
Поэтому найдется элемент х ? Ех такой, что ф' (л:0) х = у.
Но х принадлежит некоторому Т из Ех/Т0. По определению
Итак, оператор А имеет обратный Л. По теореме Банаха
оператор А'1 — также ограниченный.
Теорема 2. Всякой точке х многообразия Ш
можно отнести такую точку х касательного много-
многообразия ТХо и, обратно, всякой точке х касательного
многообразия ТХо можно отнести такую точку х
многообразия Эй, что расстояние между ними есть
величина высшего порядка малости по сравнению с рас-
расстоянием эпих точек до точки касания х0 (это соот-
соответствие, вообще говоря, неоднозначно).
Доказательство этой теоремы есть несколько измененное
доказательство теоремы о неявной функции, и сама эта тео-
теорема есть непосредственное обобщение последней.
484 АНАЛ«3 В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
Пусть h?T0. Построим последовательность {Тп} элемен-
элементов из Ех/Т0 и точек \in], где 1п?Тп, следующим образом:
?о = 0? Го. Пусть уже построены все Tt, ^ при /=1,2, ...
..., п—1. Тогда определим Тп и \п следующим образом:
Далее, на Тп выберем какую-нибудь точку ?л так, чтобы
lit t II <-' 9 ЦТ Т II
Win — fert-lll^ Z\\I п~~ l л-lll-
Такой выбор возможен, ибо
ЦТ1- —7-e-ill= Inf |||-i.-il|.
Так как
1д-1 6^п-1>
то по определению оператора А имеем
ЛГл_1 = ф/(л0Iл-1-
Поэтому C) можно записать в виде
Так как
то
— <
Полагая
иуеем
О
Отсюда
1
= JV (*о+ * + It)dt (S»-
»-! —Би-а)- D)
§ Ю] КАСАТЕЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 485
Пусть
11*К'. 111,-1 К г. ||&Л_2||О;
тогда
Ш\<г.
а значит,
Вследствие непрерывности ф'(дг) в точке х0 для всякого
г > 0 существует число ег, ег->0, при г->0, такое, что
НФЧ*) —Ф'(*о)Н<ег при ||*-*0||<2г.
Отсюда
и из D) следует
1
При достаточно малом г
и, значит,
Пусть ||Л||=г; если ||^|Кг, /=1, 2, ..., п— 1, то
- ?ill +.. • + III» - &.-i
486 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIH
Так как ?0 = 9, то 7^ = — A~l(p(x0-{-h) и
Далее,
Но (р(хо) = О; далее, h?T0, следовательно,
ф'(хо)А = О,
поэтому
откуда
И^КгЦл-'Ццесл)!!. (б)
При достаточно малом г>0 и
||е(/г)||<ИП
Поэтому
и, значит,
Мы находимся все время в условиях, при которых
\\ln-ln-l\K-T\\ln-l-ln-2\l-
Поэтому последовательность {?„} сходится к элементу g ? Ех,
причем НИКИТУ, и, более того, в силу E)
|1| F)
Соответственно Тп из Ех/Т0 сходятся к Г из Ех/Т0 и
Уравнение C) при #->оо, giI->g, Tn-+T переходит в
или
или
Следовательно,
§ 10] КАСАТЕЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 48?
Эту точку ставим в соответствие точке xo-\-h?To. Не-
Неравенство F) показывает, что
т. е. что расстояние ||?|| между точкой xo-\-h?TQ и отнесен-
отнесенной ей точкой AT0~|~^-f-|?9R есть величина высшего порядка
малости сравнительно с расстоянием ||?|| до точки касания л:0.
Пусть теперь х = хо + и принадлежит 3№, т. е.
Имеем
Ф (*0 + и) — ф (х0) = <р' (д:0) и + е (и) = 0.
где е(#) = о (|| а ||). Отсюда
Обозначим через Т тот элемент пространства Ех/Т0, кото-
которому принадлежит и. Тогда
ф'(*0)и = Л7\
Отсюда
ЛГ = — г (и) и T^ — A^eiu),
Среди элементов пространства Ех, принадлежащих 7\
есть элемент \ такой, что
Так как \?Т, и?Т, то
Эту точку ставим в соответствие точке х = хо-\-и. Для
расстояния ЩИ между этими точками имеем оценку
Теорема полностью доказана.
Пространства, линейные в малом. С понятием каса-
касательного* многообразия связано понятие линейного в малом
пространства, важное для некоторых исследований.
Рассмотрим два метрических пространства X и Y. Пусть
дано топологическое, т. е. взаимно однозначное и взаимно
488 Анализ в линейных пространствах [гл. viii
непрерывное отображение пространства X на К, причем
точке х из X отвечает точка <р(х) из К. Отображение ф
называется почти изометрическим в точке х0 из X,
если расстояние любых двух элементов хг и х2 из X и
расстояние их образов в Y связаны неравенством
где е стремится к нулю вместе с p(xv х^-\-р(х2, х0).
Пример. Пусть ^ — многообразие в Ег, заданное уравне-
уравнением ty(x)' = 0, Тх— линейное касательное многообразие к Ш
в правильной точке A
где То — совокупность элементов А, для которых i|/ (x0) h = 0.
При некотором г > 0 каждому элементу
Хъ + К ||/г||<г, из TXq
относим элемент
из Ш
(см. теорему 1 настоящего параграфа). Получаем топологическое
отображение % окрестности точки xQ в 7\^ на окрестность точки
о
Отображение % почти изометрично в точке хо?То (или о?)
В самом деле,, пусть хи х2?ТХо, xi = xo-\-hi, ||л/||</*; тогда хх
соответствует
дг2 соответствует
Имеем
откуда
ЦЛ1-Л2|| —||Б(Л,) —Б(ЛаIК1х(^1)-Х(^2I1<
G)
Функция Б (Л) имеет непрерывную производную Б' W» причем
Б'@)=0. Поэтому при ||Л||<г ||Б' (Л)||<еп где ег->0 при г->0.
Далее
§ 11] ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ 489
Если
ИМ + И МО,
то
Pi и о, и а2 «</-;
следовательно, при 0 < t < 1
Л2||.
Поэтому неравенства G) запишутся в виде
—*2|| 0+*/•)
Тем самым доказано, что наше отображение есть отобракение
почти изотермическое.
Дадим теперь определение линейного в малом пространства.
Пусть дано метрическое пространство X. Если каждая
достаточно малая окрестность произвольной точки х ? X
допускает почти изометрическое отображение на окрестность
нуля некоторого банахова пространства, то пространство X
называется линейным в малом.
Предыдущий пример показывает, что в пространстве
типа В всякое многообразие, все точки которого правильные,
есть линейное в малом пространство.
Понятие дифференциала распространяется на функции,
заданные в линейных в малом пространствах. Пространства
допустимых линий в ряде классических вариационных задач
суть пространства, линейные в малом, и вариации рассмат-
рассматриваемых в них функционалов дают примеры дифференциа-
дифференциалов функций в пространствах, линейных в малом.
§ 11. Задачи на экстремум
Рассмотрим применения некоторых из введенных выше
понятий к вариационным задачам.
Пусть / (л:)—функционал, определенный в пространстве Ех.
Точка хо?Ех называется точкой минимума (максимума)
этого функционала, если для всех точек х некоторой
окрестности точки х0. /(#)>/(*0) (соответственно /(х)<
</(*о))- Точки минимума и максимума называются точками
экстремума.
490 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ГГЛ. VIII
Теорема 1. Если х0 есть точка экстремума
функционала f (х) и последний дифференцируем в этой
точке,
df(x0, h) = f(xo)h,
то f'(xo) = O, т. е.
df(x0, h) = 0 при любых h?Ex.
В самом деле,
Но f(xo-{-th) есть числовая функция аргумента Л достигаю-
достигающая экстремума при t = 0; поэтому
df(x0, h) = f'(xo)h = -^f(xo+th)\t=o = O.
Так как h — произвольный элемент из Ех> то требуемое
доказано.
Рассмотрим теперь задачу нахождения условного экстре-
экстремума. Пусть <р(лг) — функция, определенная на Ех, с об-
областью значений в Еу, х?Ех> ф(х)??у, и f (х) — функцио-
функционал, определенный на Ех.
Точка х0, для которой ф(л;0) = 0, называется точкой
условного минимума (соответственного максимума) функ-
функционала f(x) при условии ф(лг) = О, если
для всех х из некоторой окрестности точки х0, удовлетво-
удовлетворяющих условию ф(л;) = 0.
Теорема 2. Если точка х0 условного минимума
функционала f(x) при условии ф(л;) = 0 есть правиль-
правильная точка многообразия ф(л;) = 0, то существует
такой линейный функционал U определенный па про-
пространстве Ег 1?ЕУ, что для функционала
имеем
F'(xo) = O, то есть dF(x0, h) =
при любых h из Е.
§ 11] ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ 491
Докажем прежде всего, что df(x0, /г) = 0 для всех А,
определяющих линейное касательное многообразие в точке xQt
т. е. для всех h?T0. В самом деле, пусть
h?T0 и df(x0, к) = сфО.
При любом t точке xo-\-th соответствует в силу теоремы 2
предыдущего параграфа точка
*о+'* + «(')
многообразия ф(д;)==0 такая, что ||и(ОИ есть величина
высшего порядка малости сравнительно с t. По определению
дифференциала мы имеем
= / (*о) + /' (*о) th + /' (х0) и @ + со @ =
« @
При /~>0 f'(x0) и (/) -f- о (/) есть величина высшего
порядка малости сравнительно с ct, и поэтому знак разности
совпадает со знаком с/, так что с переменой знака / эта
разность меняет знак. Но тогда точка х не может быть
точкой экстремума функционала. Следовательно, предпо-
предположение, что с=?0, неверно, и требуемое доказано.
Итак, в условиях теоремы
для всех h, для которых ф/(лг0)Л = О, т. е.
Из этого следует, что
df(x0, hi) = df(x0, A2).
если /?! и h2 принадлежат одному и тому же классу смеж-
смежности Т ? Ех/Т0. Введем функционал
где h — любой элемент из Г. Имеем
= \d/(x0, А)| = I/'^
492 АНАЛИЗ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ [ГЛ. VIII
откуда, переходя в правой части к точной нижней границе
по h ? 7\ получим
Следовательно, %(Т) — линейный функционал, определенный
на Ех/Т0. С другой стороны,
где у— элемент из Еу такой, что q/(л;0)/г = у для любого
h ? Т (см. стр. 483). Следовательно,
. А) = Х(П = х{[фЧ*о)Г1У} ==/(>>)¦
Так как у = <р' (х0) h = dcp (л;0, Л), то мы получаем, что
Отсюда, полагая
будем иметь, что
ctF(x0, A) = 0
для всех h?Ex, что и -требовалось доказать.
Пример. Изоперимегприческая задача. Будем искать экстре-
экстремум функционала /(х) прш условии ф/(л:) = 0> / = 1, 2, ..., п, где
/ (•*)» Ф^ W — функциональп, определенные на Е. Рассматривая q^
как компоненты л-мерного вектора ф, обозначим через ф (х) вектор
с компонентами ф/ (х), /= 1, 2, ..., п. Пусть экстремум достигается
в точке •#()(:?• В силу теоремы 2 существует линейный функцио-
функционал / (ф) такой, что для Р (х) = / (х) — ly{x) dF (x0, h) = 0. Но
так как в л-мерном пространстве векторов ф
2
где Я/ — постоянные, то
Следовательно, в точке х0 экстремума
иг
Получаем правило множитеглей Лагранжа.
ДОПОЛНЕНИЯ
I. Классы Lp, p > 1
Функция x(t), определенная и измеримая на отрезке [0, 1],
называется принадлежащей классу Lp@, 1) или, иначе,
функцией с суммируемой р-й степенью, если
J | х (О \p dt < оо.
о
Интеграл понимается в смысле Лебега; р — некоторое поло-
положительное число.
В дальнейшем считаем, что р^>>1. Если /7=1, получаем
класс суммируемых функций, который обозначим через
1@, 1).
Докажем, что если x(t)?L @, 1) и y(t)?Lp(O, 1), то
и *@ + у@€М0. !)•
Возьмем два числа: а и #. Тогда
Рассмотрим два случая:
1) |а|>|&|, тогда
| а 4- * |р < 2Р | а |" < 2р (| а |р +1Ь \р)\
2) |^|>|а|, тогда
Таким образом, всегда
Положив теперь а — х (t), Ъ = у (t), получим
494 ДОПОЛНЕНИЯ
Так как
1 1
f\x(t)\p dt <оо и J\y(t)\pdt< со,
то и
f\x(t)+y(t)fdt<co,
что и требовалось доказать.
Пусть дано множество числовых последовательностей
х = U/} таких, что
2
Обозначим это множество через 1р. Совершенно так же, как
и в предыдущем случае, убеждаемся в том, что если х ? 1р
и у?/ то
т. е. если
I=1 i-l
ТО
Неравенство Гельдера. В различных математических
исследованиях широко используется известное неравенство
Буняковского. Мы установим сейчас обобщение этого нера-
неравенства, принадлежащее Гельдеру.
Рассмотрим функцию x=ta, где а > 0. Имеем
т/ = а/а>0 при *>0.
Значит, x=ta — возрастающая функция для положитель-
положительных t, и потому для таких t определена однозначная функ-
функция t = xa.
I. КЛАССЫ Lp,
495
Построим график функции % = ta; возьмем два веще-
вещественных положительных числа ?, и г], построим соответ-
соответствующие точки на осях / и т и
проведем через эти точки прямые, г
параллельные осям.
Получим два криволинейных тре-
треугольника (рис. 6), площади кото- '
рых суть соответственно
u с Л
и 2~Т
а '
С другой стороны, очевидно
j
Рис. 6.
причем равенство имеет место лишь при т| = ^а. Таким
образом,
Положим а-)- 1
. Имеем
Числа р и q, связанные соотношением A), назовем сопря-
сопряженными друг другу. Очевидно, при р > 1 также q> \.
Итак, для любых ? и ц и пары сопряженных чисел р и q
имеем
IP y\q
|Л<~—Ь—• B)
Возьмем две функции: x(t)?Lp@, 1) и у@ 6^(°» !)•
и положим
,_ 1^@1 нл = [?@J_
496 ДОПОЛНЕНИЯ
Подставляя эти величины в B), найдем
|*(/)||у(/)| ^
/1 \г / 1
lj\jc(t)\PdtY | f\y{t)l«dt
\р ,
I
pf\x(t)\Pdt qf\y(t)\«dt
В правой части стоит суммируемая функция. Значит, функ-
функция, стоящая в левой части, также суммируема. Интегрируя,
найдем
1
J \х (t) 11 у (t) | dt
О ^ 1 | 1 .
H\x(t)\PdtX j f\y(t)\4dtj
или
1 ( х \J ( 1 \я~
/|*@У@|Л<( f\x(t)\pdt\ I §\y{t)\4dt\ . C)
Полученное неравенство есть неравенство Гельдера
для интегралов. В частном случае при /? = ^ = 2 оно
обращается в неравенство Буняковского.
Пусть теперь x = {li}i у = [цД и x?lp, y?lq. Положим
в неравенстве B)
t. itii „ n. h,i
(|,i,if (| кг""
Получим
, \\\
¦у -^—от -г—ад—
/=1 * t=l
I. КЛАССЫ Lpt p>\ 4Я7
Суммируя по / аналогично предыдущему, получим неравен-
неравенство Гельдера для сумм
L 1
%\li4l\<{%i\li\p)P {Ъ^L . D)
также обращающееся при p — q=:2 в неравенство Буняков-
ского для сумм.
Неравенство Минковского. Пусть х (t) и y{t) принадле-
принадлежат Lp@, 1). Покажем, что тогда
<N j *(*)|" «и Г+
f\y(t)\pdtj . E)
Vo
Для доказательства заметим прежде всего, что если
z(Q€V0. О- т0 1«@ Г' €М0. !>-
В самом деле,
откуда и следует, что (| z(t)\p~l)q — суммируемая функция.
Рассмотрим, далее, интеграл
о
Применяя два раза неравенство Гельдера к функциям
498 дополнения
или y(t)?Lp(Q, 1), получим
j\х@+у {t)\pdt< J| *(o+у (оГ11 х(t)\dt+
и
1
1 1
1
Деля обе части этого неравенства на
,11
и замечая, что 1 = — , приходим к неравенству Мин-
коеского для интегралов E).
Пусть теперь х=[ЬI)?1р и y={r\i}?lp. Покажем, что
I Г I
(|)P. F)
Совершенно так же как и в случае интегралов, убеждаемся
в тем, что если 2={С/}6^» то
Рассмотрим
ы\
ТТ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ В СРЕДНЕМ ФУНКЦИЙ КЛАССА Lp(G) 499
Применяя неравенство Гельдера два раза к последователь-
последовательностям
{\h + rli\P~l}(:lQ и {li}?lp, соответственно {лЛб'р.
имеем
со оо со
S 11. -h л. Г < S IL- 4-л,- Г U/14- S [ ^ Ч- % Г1 л. i <
*= 1 j = 1 i—\
Отсюда, деля обе части этого неравенства на
и замечая, что
получаем неравенство Минковского для сумм F).
В заключение отметим, что знак равенства в формулах
E) и F) имеет место, лишь если
= kx(t), k>0,
почти всюду на [0, 1] и соответственно
r\t = kllt k>0, /== 1, 2, 3, ...
Все полученные неравенства легко переносятся на случай
функций многих независимых переменных.
II. Непрерывность в среднем функций класса LP{G)
Обозначим через ^@) класс функций q>(x, у), опреде-
определенных в плоской области О, с интегрируемой /?-й степенью,
р ;> 1. В Lp (G) можно ввести норму: || <р || = ( Г С\ фр | dxdy\ l\
500 ДОПОЛНЕНИЯ
Свойства классов и пространств Lp[0, 1], неравенства Гель-
дера, Минковского, полнота и т. д. непосредственно пере-
переносятся на Lp(G).
Докажем одну теорему, которая обычно не излагается
в курсах теории функций вещественного переменного.
Теорема. Любая функция <р(х, y)?Lp(G) непре-
непрерывна в среднем, т. е. для любого е > 0 можно найти
6 > 0 такое, что
\_
у)\р dxdy^p
G
(("
всякий раз когда ]/№-}-№ < 6.
При этом если точка (x-\-h, y-\-k) оказывается
вне области G, мы полагаем ф(jc —|- /г, у —f- /г) == 0.
Пусть Яр — граничная полоса, состоящая из точек об-
области О, удаленные от ее границы на расстояние, не пре-
превышающее р, и Gp = G \ Яр.
Будем считать р настолько малым, что mes(#p)<r],
где г] — некоторое наперед заданное положительное число
(границу области G мы считаем достаточно гладкой). Так
как на Gp функция ф(д;, y)?Lp(Gp) суммируема,, то по
теореме Лузина найдется замкнутое множество F^czGp та-
такое, что на F\ функция ф (л;, у) непрерывна и mes (Gp \
При этом, очевидно, mes (G \ /7J1)< 2т|.
Пусть h и k удовлетворяют условию у + Р
фиксированных h и А, удовлетворяющих этому условию,
обозначим через F\ множество точек вида (х — /г, у — k).
где (х, у) пробегает F^. Ясно, что F^czG, что множество F\
замкнуто, так как оно получено из F\ сдвигом на вектор
Г=(—/г, —k)t и что mes (F%) = mes (f\). Поэтому также
Пусть, наконец, F^ = F\ П F^. Тогда F^ — замкнутое
множество, и на F^ функция ф(д;, у) непрерывна, а следо-
следовательно, и равномерно непрерывна. Кроме того,
mes(G \ /^) = mes((G \ ^)u(G \ ^))< mes(G \
II. НЕПРЕРЫВНОСТЬ В СРЕДНЕМ ФУНКЦИЙ КЛАССА Lp(G) 501
Будем считать теперь г| настолько малым, что для заданного
е>0
(f/? )'<{- A)
всякий раз, когда EaG и mes (Е) < 4г\.
Оценим интеграл
(V
Имеем
— <f(x. y)\pdxdy\p 4-
/
В силу A)
P
f [\<p(x + k. y + k)\pdxdy\P
Ф(*. y)\pdxdy\P <i- + i- = i.. B)
Будем считать далее 6 < р настолько малым, что при
T
) — <p{x, y)\ < j-
2 (mes
502 ДОПОЛНЕНИЯ
равномерно на Рц. Тогда
(ff\<K*+b.
-<Р(*. y)\pdxdyY <|. C)
Из B) и C) следует, что
1
> — <р(лг, у)\рdxdy\p <e
всякий раз, когда |/й2+-?2<б, и теорема доказана.
III. Теорема Боля — Брауэра
Мы докажем здесь известную теорему Боля — Брауэра
о существовании неподвижной точки при непрерывном отоб-
отображении замкнутого выпуклого тела ^-мерного евклидова
пространства в себя. Эта теорема широко используется в
функциональном анализе при доказательстве существования
решений операторных уравнений. Так как все замкнутые вы-
выпуклые тела я-мерного евклидова пространства гомеоморфны
друг другу, то достаточно доказать теорему Боля — Брауэра
для непрерывного отображения я-мерного симплекса в себя *).
Мы приведем замечательное доказательство этой теоремы,
принадлежащее Кнастеру, Куратовскому и Мазуркевичу.
Рассмотрим /г-мерный симплекс s0 и обозначим через
xQ, xv ..., хп его вершины. Любую ^-мерную грань сим-
симплекса @ <! k <; п) будем обозначать через (xi , лг/ , . ..
..., xt\ где Xi , m = 0t I, ..., k> образуют совокупность
вершин этой грани. Пусть симплекс s0 симплициально разбит
на некоторые симплексы s. Каждой вершине х симплексов s
отнесем число (р(х) следующим образом.
Рассмотрим грань наименьшего числа измерений основ-
основного симплекса s0, содержащую точку х. Пусть это будет
грань (xi , xt Xib)' Число Ф(х) полагаем равным
одному из индексов /0, tv .... ik. Например, если х совпа-
совпадает с вершиной xt симплекса s0, то ф(л;) = /; если х лежит
на одномерной грани (xlt xj)t не совпадая ни с одной из ее
вершин, то мы можем положить ц>(х) равным одному из
*) Встречающиеся здесь топологические понятия см. [26].
III. ТЕОРЕМА БОЛЯ - БРАУЭРА 503
чисел / или J, и т. д. Наконец, если х лежит внутри sQ
(не принадлежит ни одной ^-мерной грани, k — 0, 1, ...
.... п— 1), то ф(х) может равняться любому из az ~f- 1 чисел
0, 1, 2,..., п. Назовем ц>(х) нормальной функцией
вершин.
Симплекс s нашего разбиения назовем репрезентатив-
репрезентативным, если его вершинам отнесены п -4-1 различных чисел
0, 1, 2, ..., п.
На рис. 7 мы приводим разбиение двумерного симплекса
с указанным отнесением вершинам симплексов разбиений
чисел 0, 1, 2. Заштри- х
хованный треугольник J ж
есть репрезентативный
симплекс.
Лемма 1 (Ш п е р-
н е р а). Каково бы ни
было симплициа льное
разбиение симплекса s0
и какова бы ни была
нормальная функция
вершин ф(х), заданная
на вершинах симплек-
симплексов Ьазбиений, всегда существуют репрезентатив-
репрезентативные Симплексы и притом в нечетном числе.
Доказательство проводится по индукции. Для случая
/г = 0, ^огда симплекс сводится к точке, теорема тривиальна.
Считая теорему верной для симплексов п — 1 измерений, до-
докажем ее для симплексов п измерений.
Пусть дано симплициальное разбиение я-мерного сим-
симплекса s0 и на вершинах х симплексов s разбиения определена
нормальная функция вершин ф(х). Назовем (п—1)-мерной
репрезентативной гранью (п—1)-мерную грань симплек-
симплексов разбиения, на п вершинах которой функция i|)(jc) при-
принимает значения 0, 1, ..., п—1. Число (п—1)-мерных |ре-
презентативных граней симплекса 5 разбиения обозначим
через a(s).
Возможны три случая.
1. Функция (р(х) на вершинах симплекса вг принимает
все rt-J-1 значений 0, 1, 2, ..., я, т. е. sx — репрезента-
репрезентативный симплекс и он содержит единственную репрезентатив-
репрезентативную (п—1)-мерную грань, а именно противоположную
504 ДОПОЛНЕНИЯ
вершине х, для которой у(х)==п. Отсюда a(s{)^=:l и
Ц<*(*1) = РЯ. A)
где рп — число репрезентативных я-мерных симплексов; сумма
в левой части равенства берется по всем репрезентативным
симплексам.
2. Функция ф(х) на вершинах нерепрезентативного сим-
симплекса s2 принимает п значений 0, 1, 2, ..., п—1. Одно
из этих значений она должна принимать два раза. Следова-
Следовательно, s2 имеет две репрезентативные (п—1)-мерные грани,
2
3. Функция ф(лг) на вершинах симплекса s3 выпускает
одно из значений 0, 1, 2, . . ., п — 1; следовательно, а (%) = 0*
Отсюда
2 2aEl) (mod 2). B)
Левая сумма берется по всем я-мерным симплексам 5 раз-
разбиения, правая по репрезентативным я-мерным симплексам sx
этого разбиения.
Произведем другой подсчет (п—1)-мерных репрезента-
репрезентативных граней. Возможны два случая.
1. Репрезентативная грань попадает внутрь основного
симплекса s0; она есть общая грань двух симплексов раз-
разбиений, и в сумме 2аE) мы ее считали два раза.
2. Репрезентативная грань попадает на границу s0. Из опре-
определения такой грани и функции (р(х) следует, что она может
находиться только на (п— 1)-мерной грани (xQ, хг хп-\)
основного симплекса. Обозначим через рп_г число (п— ^-мер-
^-мерных репрезентативных граней, попавших на (лг0, хх xn-i)>
Имеем
SaE)~p/2_j (mod 2). C)
Из A), B), C) следует
рл^Р„_1 (mod 2).
Но для (п—1)-мерных симплексов мы считаем лемму дока-
доказанной, рл_! нечетно и, следовательно, рл нечетно и потому
отлично от нуля.
Лемма полностью доказана.
111. ТЕОРЕМА БОЛЯ - БРАУЭРА 505
Лемма 2. Пусть симплекс s0 покрыт лг —|— 1 замк-
замкнутыми множествами FQ> Fv .... Fn таким образом,
чпо каждая его k-мерная грань (xi , х^, .... xi\ по-
покрыта множествами Ft , Ft t . . ., Ft . При этих усло-
условиях в s0 существует точка, принадлежащая всем
п-\-\ множествам Fit / —0, 1, .... п.
Разобьем s0 симплициально и на вершинах х симплексов
разбиений определим следующую функцию q>(#): рассмотрим
грань (xio, х^, ..., Xiky 0<С&<;я наименьшего числа из-
измерений, заключающую точку х. Эта точка попадет в одно
из множеств FiQ, Fii Ft t покрывающих (xt , xi , . .., Xi ).
Примем ср(х) равным индексу того из этих множеств, которое
содержит х (или любому из таких индексов, если точка по-
попала в несколько из множеств Ft , Ft Fi \ Ясно,
0 1 k /
что ц>(х) есть нормальная функции вершин.
В силу леммы Шпернера среди симплексов нашего раз-
разбиения должен существовать репрезентативный симплекс sv
На его вершинах х функция (р(х) принимает все я-f-l зна-
значений 0, 1, . .., /г, т. е. вершины sx принадлежат п-\-1 раз-
различным множествам Ft.
Будем производить симплициальное разбиение s0 на все
более и более мелкие симплексы. Пусть диаметры симплек-
симплексов т-го разбиения не превосходят 6т, где 6т—>0 при
т-->оо. Рассмотрим последовательность репрезентативных
симплексов / sv s2 sm, .. . 1-го, 2-го, .... яг-го, ...
разбиений. ' Вследствие компактности s0 множество вершин
симплексов {sm} имеет предельную точку х*. Выбрав произ-
произвольное 6 > 0, рассмотрим те симплексы sm, для которых
6т < -у. В шар радиуса -н с центром в х* попадет по край-
крайней мере одна вершина одного из симплексов sm, а следо-
следовательно, в шар радиуса 6 вокруг х* все п -j- 1 вершин
такого симплекса. Так как вершины sm принадлежат п-\-\
различным множествам Fo, Flt .... Fn, то в любой 6-окрест-
ности х* найдутся точки всех множеств Ft, 1 = 0, 1, . . ., п.
Следовательно, х* есть предельная точка для всех Ft, а так
как Fl замкнуты, то х* принадлежит всем Ft, t = 0, 1, . . ., п.
Теорема Боля — Брауэра. При всяком непрерыв-
непрерывном отображении f(x) п-мерного симплекса s в себя су-
существует неподвижная точка этого отображения, т. е.
506 ДОПОЛНЕНИЯ
точка x*?s такая, что
f(x*) = x*.
Введем на 5 барицентрические координаты
Для точек 5 все \it > 0. Пусть точка х (\i0, \xv . . ., \xn)?s
перейдет при преобразовании / в точку y(v0, vlf .. ., vn)?st
п
у = /(х). Снова Sv/=1» v/>0» /=1. 2, ..., п. Пусть
/=o
точка л;0х0, \iv . . ., цл) лежит на грани (х/о, х/^ . .., х/л),
0<;^<^Аг. Координаты |и;. точки х при J ф i0, lv ..., /л
равны нулю.
Так как
то невозможно одновременное выполнение неравенств
и по крайней мере для одной из этих координат будем иметь
Поэтому если обозначить через Ft множество точек, у ко-
которых координата \it не возрастает при преобразовании /,
то всякая точка х грани (xiQt jc/ , . . ., XiA покроется одним
из множеств F-t , Ft , .. ., Fi .
О 1 k
Множества Ft удовлетворяют всем условиям предыдущей
леммы *). Поэтому на s существует точка лг* ([ы*, \х*, .. ., jx*),
принадлежащая всем этим множествам. Ни одна из коорди-
координат м-* при преобразовании / не возрастает, и если / (х*) =
=/ft. vl v*n>то
^>v;, / = 0, 1 п. D)
*) Замкнутость Ft следует из непрерывности /.
III. ТЕОРЕМА БОЛЯ-БРАУЭРА 507
Из D) и свойств барицентрических координат вытекает,
что
Теперь из D) и E) следует, что
^i* = v*, /==0,1, л,
т. е. f(x*) = x*, и, следовательно, точка х* есть неподвижная
точка преобразования.
Теорема Боля—Брауэра доказана.
Следствие. При непрерывном отображении огра-
ограниченного замкнутого выпуклого тела S п-мерного ба-
банахова пространства Е в себя существует неподвиж-
неподвижная точка.
Пусть ev е2, ..., еп — базис в Е. Элементу
* = &1*1 + &2*2 + ••' +\п*п
отнесем точку
где Еп есть /г-мерное евклидово пространство. Это соот-
соответствие ф изометрично и изоморфно и переводит зам-
замкнутое выпуклое множество SaE в замкнутое выпуклое
множество SczEn. Пусть /—непрерывное отображение 5
в себя.
Тогда / = Ф/ Ф" есть непрерывное отображение 5 в себя.
По теореме Боля — Брауэра существует неподвижная точка х*
этого отображения
Но тогда
и х* = ф~1(х*) есть неподвижная точка отображения /.
508 ДОПОЛНЕНИЯ
IV. Два определения /г-й производной функции
вещественного переменного
Существуют два определения я-й производной числовой
функции х (t) в точке t.
1. Введем обозначение
bltx (t) = 2 (-1)"-* cknX (* + (*- -J) to)
k0
k-0
bn
и назовем bn^tx{t) центрированной разностью п-го по-
порядка функции х (t) в точке t. Тогда положим
в предположении, что этот предел существует.
Если указанная центрированная разность стремится к х^п) (t)
равномерно на отрезке a <^.t ^b, то х^п) (t) называется равно-
равномерной разностной производной п-го порядка,
2. Определим последовательную /г-ю производную функ-
функции x(t), обозначив ее x^n)(tH, я-кратным последовательным
дифференцированием функции х (t) в предположении, что все
предшествующие производные х'(tH, x" (tH х{п~^ (t)Q
определены в окрестности точки t.
Пусть xW(tH определена на отрезке a^t^b и непре-
непрерывна. Тогда существует х№ (t), причем
В самом деле, как легко видеть,
Так как при Л/—>0 правая часть равномерно стремится
к xW(tH, то
Можно доказать и обратное предложение — из существо-
существования на некотором отрезке непрерывной равномерной раз-
разностной производной xW(t) следует существование на этом
IV. ДВА ОПРЕДЕЛЕНИЯ л-Й ПРОИЗВОДНОЙ 509
отрезке равной ей последовательной производной х(/1)(Оо:
Проведем доказательство для случая п = 2. Пусть функ-
функция x(t) имеет на отрезке [0, 1] непрерывную вторую равно-
равномерную разностную производную х" (t). Обозначим черезу(^)
интеграл
t т,
y(t) = f f x"(x)dxdxv
о о
Вторая последовательная производная у" (tH равна подын-
подынтегральному выражению х" (t), и так как у" (t\ = х" (t) не-
непрерывна, то она совпадает со второй разностной производной
/(Оо У(О
Таким образом,
*@1" = 0.
Покажем, что разность a (t) = у (t) — x (t) может быть только
линейной функцией:
Так как функция
имеет вторую последовательную производную
y"(Oo-=*"Wo.
то получим тогда, что
х" (Оо = *"(*)-
Итак, пусть на отрезке [0, 1] имеет место тождество
a"(t) = 0. Положим
Имеем
a1@) = a1(l) = 0 и a;7@^0.
Пусть е — произвольное положительное число. Рассмо-
Рассмотрим функцию
510 ДОПОЛНЕНИЯ
Так как (гР)" = 2е > 0, то р" (*) = 2е > 0. При 0 < t < 1
имеем Р@^?. В самом деле, если бы для некоторого
t?[0, 1] мы имели р(^)>е, то максимум р(?) был бы
больше е, а так как р @) = 0, рA) = е, то этот максимум
достигался бы во внутренней точке t0 отрезка [0, 1]. В точке
максимума tQ вторая центрированная разность
А2д/Р (t0) = р (fо+ ДО - 2Р ('о) + Р (^о - ДО < 0,
ибо
Отсюда
± 2
(t0) =Himo j±p А2д/р (t0) < 0,
и мы получили противоречие с предположением $"(to)>e>O.
Следовательно,
Р(О<е, 0<*<1.
Но тогда при 0 <^ t ^ 1
ai@ = P@ —е/2<Р(О
Аналогично доказывается и неравенство
М0>-е.
Итак, при любом е > 0 имеем
-е<а1@<е,
откуда
^@ = 0,
и, значит,
a@ = a@)+[a(l) —a@)l/
что и требовалось доказать.
Заметим в заключение, что для числовой функции
x(tvt2 tn) от п вещественных переменных имеет место
равенство
А?,, ,,,.-•.<„: *<*<'!• '* '»> =
A)
IV. ДВА ОПРЕДЕЛЕНИЯ Я-Й ПРОИЗВОДНОЙ 511
где
= S (-l/-**^ т2 тя).
v*2 *к
i i\ПРИ * = ^> ^2» •••» ^ и xi — h Для остальных /
и сумма берется по всем подмножествам (/lf /2 ^)»
О <J /x <^i <C ... -*Cik^n множества A, 2, . . ., ri). Здесь,
как и в дальнейшем, Qt — числа, заключенные между 0 и 1.
Это равенство доказывается методом индукции. При п= I
оно сводится к теореме о конечных приращениях. Пусть оно
верно для смешанных разностей (п—1)-го порядка. Имеем
t2 ^я) =
B)
(последнее равенство получено на основе применения теоремы
о конечных приращениях). Но в силу предположения индукции
R2
Отсюда и из B) следует A).
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров П. С, Введение в общую теорию множеств
и функций, Гостехиздат, 1948.
2. Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимаций, «Наука»,
1965.
3. Ахиезер Н. И. и Г л а з м а н И. М., Теория линейных опе-
операторов в гильбертовом пространстве, Гостехиздат, 1950.
4. Б а н а х С, Курс функц!онального анал!зу, Киев, 1948 (на
украинском языке).
5. Б и р к г о ф Г., Теория структур, ИЛ, 1952.
[5а] В и л е н к и н Н. Я. и др., Функциональный анализ (серия:
«Справочная математическая библиотека», «Наука»., 1964).
6. В у л и х Б. 3., Введение в функциональный анализ, Физматгиз,
1958.
7. Г е л ь ф а н д И. М., Райков Д. А., ШиловГ. Е., Ком-
Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, 1959.
8. Гильберт Г. (Hilbert D.), Grundztige einer allgemelnen
Theorie der Hnearen Integralgleichungen, 1924.
9. Гильберт Д. и Курант Р., Методы математической фи-
физики, ГТТИ, 1951.
10. Данфорд Н. и Шварц Дж. Т., Линейные операторы,
общая теория, ИЛ, 1962.
11. Диткин В. А., Операционное исчисление, УМН, т. II, вып. 6
B2), 1947.
[Па] Диткин В. А. и П ру д н и к о в А. П., Интегральные пре-
преобразования и операционное исчисление (серия: «Справочная
математическая библиотека»), Физматгиз, 1961).
12. Канторович Л. В. и А к и лов Г. П., Функциональный
анализ в нормированных пространствах, Физматгиз, 1959.
13. К а н т о р о в и ч Л. В., Функциональный анализ и прикладная
математика, УМН, т. III, вып. 6 B8), 1948.
14. Колмогоров А. Н. и Фомин СВ., Элементы теории
функций и функционального анализа, Изд. МГУ, вып. 1, 1954;
вып. 2, 1960.
15. Колмогоров А. Н., Zur Normierbarkeit eines allgemeinen
topologischen linearen Raumes, Studia Math., 5 A934).
16. К р а с н о с е л ь с к и й М. А., Топологические методы в теории
нелинейных интегральных уравнений, ГТТИ, 1956.
17. Крейн М. Г. и Крейн С. Г., Zur l'espace des fonctions
continues definies sur un bicompact de Hausdorff et ses souse-
spaces semi-ordonnes, Матем. сб., 13 E5), 1943.
ЛИТЕРАТУРА 513
18. К р е и н М. Г. и Р у т м а н М. А., Линейные операторы,
оставляющие инвариантным конус в банаховом пространстве,
УМН, т. Ш, вып. 1 B3), 1948.
19. Лаппо-Данилевский И. А., Теория функций от матриц
и системы линейных дифференциальных уравнений, ГТТИ, 1934,
20. М и х л и н С. Г., Лекции по линейным интегральным уравне-
уравнениям, Физматгиз, 1959.
[20а] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы,
ГТТИ, 1954.
21. И а т а н с о н И. П., Теория функций вещественной переменной,
ГТТИ, 1957.
22. Натансон И. П., Конструктивная теория функций, Гостсх-
издат, 1949.
23. Н е м ы ц к и й В. В., Метод неподвижных точек в анализе, УМН,
вып. 1, 1936.
24. ПлеснерА. И., Спектральная теория линейных операторов.
I, УМН, вып. IX, 1941.
25. П л е с н е р А. И. и Рохлин В. А., Спектральная теория
линейных операторов. И, УМН, т. I, вып. 1 A1), 1946.
[25а] Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операто-
операторов, «Наука» (печатается).
26. П о н т р я г и н Л. С, Основы комбинаторной топологии, ГТТИ,
1947.
27. Рисе Ф. и Секефальви-Надь Б., Лекции по функ-
функциональному анализу, ИЛ, 1954.
28. Р и х т м а й е р Р. Д., Разностные методы решения краевых
задач, ИЛ, 1960.
29. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. V, Физматгиз,
1959.
30. Соболев С. Л., Некоторые применения функционального
анализа в математической физике, ЛГУ, 1950.
31. Т и т ч м а р ш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, ГТТИ,
1948.
32. У р ы с о н П. С, Труды по топологии и другим областям ма-
математики, т. I, ГТТИ, 1951.
33. Уитеккер Е. и Ватсон Г., Курс современного анализа,
ч. Н, изд. 2-е, Физматгиз, 1963.
34. X а у с д о р ф Ф., Теория множеств, ОНТИ, 1937 (Приложение).
35. X и л л Е. и Ф и л л и п с Р., Функциональный анализ и полу-
полугруппы, ИЛ, 1962.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абстрактная функция 406
, дифференцирование 408
, интегрирование 415
.формула Тейлора 457
Аксиома произвольного выбора (Цер-
мело) 14
— тождества 15
— треугольника 15
Аксиомы гильбертова пространства 83
— метрики 15
— нормы 68
Аппроксимация конечноразностная 427
сходящаяся 427
устойчивая 428
Арчела теорема 236
Базис 61, 80, 164
— ортонормальный 92
Банаха пространство 68, 247
— теорема 159
Банаха — Мазура теорема 260
Банаха — Хана теорема 173
Банаха — Штейнхауса теорема 149, 172
Бесконечномерное многообразие 62
Бесселя неравенство 91
Билинейная эрмитова форма 307
Виортогональные последовательности
170, 208
Боля — Брауэра теорема 505
Вариация 477
Вектор, длина 83
—, норма 83
Векторное пространство 58
Верхняя граница 13
— грань 13
Вещественное линейное пространство
58
Взаимно однозначное отображение 12
Вложения оператор 295
— теорема С. Л. Соболева 119
Внутреннее произведение 207
Внутренняя точка 78
Вполне непрерывный оператор 261, 287
— упорядоченное множество 14
Всюду плотное множество 18
¦ Выпуклое множество 70
Гато дифференциал 434, 435
Гельдера неравенство для интегралов
496
— — — сумм 497
Гильберта теорема 246
— функциональное уравнение 389
Гильбертово пространство 27, 83, 84,
194, 198, 200
— - координатное 27, 84, 187, 198, 223
, основной параллелепипед 223
Гипермаксимальный оператор 369
Гиперплоскость (в линейном про-
пространстве) 145
Гомеоморфизм 18
Граница верхняя 13
— нижняя 13
Грань верхняя 13
— нижняя 13
График оператора 356
Дефекта индексы 364
Дефектные подпространства 364
Диаметр множества 41
Дифференциал высшего порядка 456
последовательный 459
— сильный 458
— — — — равномерный 459
— Гато 434, 435
— сильный 434
— слабый 434, 435
— Фреше 434
Дифференцирование абстрактных
функций 408
Дифференцирования оператор 393
Длина вектора 83
Дополнение 18
— ортогональное 88
Евклидово пространстпо 19, 30, 53, 58,
68, 180, 198, 199, 223, 423
Задача изопериметрическая 492
Замкнутая ортонормальная система 91
Замкнутое множество 18, 78
— расширение минимальное 354
Замкнутый оператор 353
-г- шар 17
Замыкание 17, 78
— оператора 354
Значение собственное 162
Изометричные пространства 33
Изоморфные пространства 59, 72
Изопериметрическая задача 492
Инвариантное подпространство 327,
358
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
515
Инволюция 66
Индексы дефекта 364
Интеграл Римана 416
— Стильтьеса 372
Интегрирование абстрактных функций
415
Кантора теорема 223
Касательное многообразие 480
Квадратичная форма 452
— эрмитова форма 308
Квадратный корень из положитель-
положительного оператора 320
Квадратурная формула 213
Ковариантный элемент 181
Колмогорова теорема 81, 245
Кольцо операторов 127
Компактное множество 222
— пространство 223
Компактность 222
— в себе 222
-, критерии 236—256
— слабая 254
Компактный оператор 287
Комплексное линейное пространство
58
— пространство 28
Кондрашова теорема 295
Конечномерное многообразие 61
КонечноразностнаЯ аппроксимация 427
сходящаяся 427
устойчивая 428
Контравариантный элемент 181
Конус 260
— нормальный 260
Координатное гиль.бертово простран-
пространство 27, 84, 187, 198, 223
Корректно поставленная задача 425
Коэффициенты Фурье 90
Красносельского теорема 246
Кратность собственного значения 285
Крейна теорема 260
Критерии компактности 236—256
Кронекера символ 89
Лакса теорема 428
Левый обратный оператор 128, 154
Лемма Ф. Рисса 73
— Цорна 14
— Шаудера 289
— Шпернера 503
Линейная зависимость 60
— комбинация 60
— независимость 59, 89
— оболочка 61
Линейно упорядоченное множество 13
Линейное в малом пространство 489
— метрическое пространство 68
— многообразие 60
касательное 480
— — наименьшее 61
— пространство 58
— топологическое пространство 77
Линейный оператор 122
— функционал 143, 172, 194
, общий вид 180-196
, слабая сходимость 212
Мазура — Банаха теорема 260
Максимальное симметрическое расши-
расширение 368
Максимальный оператор 369
— элемент 14
Максимума точка 489
— условного точка 490
Матрица унитарная 311
— эрмитова 307
Матричная форма оператора 205
Метод Ньютона 444
модифицированный 445
Метрики аксиомы 15
Метрическое пространство 15
линейное 68
Минимальное замкнутое расширение
354
Минимума точка 489
— условного точка 490
Минковского неравенство для инте-
интегралов 498
сумм 499
Многообразие бесконечномерное 62
— конечномерное 61
— линейное 60
касательное 480
— — наименьшее 61
Многочлен 454
Множество вполне упорядоченное 14
— всюду плотное 18
— второй категории 42
— выпуклое 70
—, диаметр 41
—, дополнение 18
— замкнутое 18, 78
—, замыкание 17
— значений оператора 350
— компактное 222
— линейно упорядоченное 13
— нигде не плотное 18
— ограниченное 17, 80
сверху (снизу) 13
— открытое 18, 78
— первой категории 42
— плотное 18
— производное 78
— симметрическое 80
— упорядоченное 13
— частично упорядоченное 13
Модифицированный метод Ньютона
445
Наименьшее линейное многообразие 61
Неметризуемое пространство 28
Неограниченный оператор 349, 390
самосопряженный, спектральное
разложение 370
Неподвижная точка 44
Неподвижной точки принцип 291
Непрерывная функция 18, 406
Непрерывность равностепенная 236
Непрерывный вполне оператор 261,287
— спектр 329
Неравенство Бесселя 91
— Гельдера для интегралов 496
сумм 497
— Минковского для интегралов 498
сумм 499
516
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Нигде не плотное множество 18
Нижняя граница 13
— грань 13
Норма 68
— вектора 83
— оператора 138, 141
— формы 451
— функционала 14Л
— элементов гильбертова простран-
пространства 84
Нормальный конус 260
Нормированное пространство 68
— строго пространство 252
Нормы аксиомы 68
Нулевой элемент 57
Нуль группы 57
Ньютона метод 444
модифицированный 445
Область определения оператора
350
— — функции 11
Обобщенная производная 96, 98
Оболочка линейная 61
Образ 12
Обратный оператор 128, 154, 351
Ограниченное множество 17, 80
— отображение 239
— сверху (снизу) множество 13
Ограниченность равномерная 236
Ограниченный оператор 135, 141
Однозначная функция 11
Однородная форма 452
Окрестностей система фундаменталь-
фундаментальная 80
Окрестность 17, 78
Оператор 12
— вложения 295
— вполне непрерывный 261, 287
— гипермаксимальный 369
—, график 356
— дифференцирования 393
— замкнутый 353
— компактный 287
— линейный 122
— максимальный 369
—, матричная форма 205
—, множество значений 350
— неограниченный 349, 390
—, норма 138, 141
—, область определения 350
— обратный 128, 154, 351
— ограниченный 135, 141
— ортогонального проектирования 312
—, отрицательная часть 335
--, положительная часть 335
—, продолжение (расширение) 143, 350
— проекционный 312
— резольвентный 162
— самосопряженный 306, 359, 370
положительный 317
— симметрический 352
— сопряженный 201, 204, 306, 351
—, спектр 163
—, сужение 350
— умножения на независимое пере-
переменное 326, 390
Оператор унитарно эквивалентный
312
— унитарный 310
— Штурма —- Лиувилля 161
— эрмитов 306
Опорная к шару гиперплоскость 145
Ортогонализации процесс Шмидта 89
Ортогональная сумма 88
Ортогонального проектирования one*
ратор 312
Ортогональное дополнение 88
Ортогональность 86
Ортогональные проекционные опера*
торы 314
— элементы 86, 207
Ортонормальная система 88
замкнутая 91
— — полная 91
Ортонормальный базис 92
Основной параллелепипед 223
Открытое множество 18, 78
Отображение 12
— взаимно однозначное 12
— ограниченное 239
— почти изометрическое 488
— равномерно непрерывное 239
— равностепенно непрерывное 240
Отрезок (в линейном пространстве) 70
Отрицательная часть оператора 335
Параллелепипед основной 223
Парсеваля — Стеклова равенство 91
Пеано теорема 293
Плотное множество 18
Подпространство 16, 71
— дефектное 364
— инвариантное 327, 358
Покрытие множества 231
Полная ортонормальная система 91
Полное пространство 30
Положительная часть оператора 335
Положительный самосопряженный
оператор 317
— — —, квадратный корень 320
Полунепрерывный функционал 227
Пополнение пространства 34
Последовательная производная я-го
порядка 460
Последовательности биортогональные
170, 208
Последовательность стационарная 37
—, сходящаяся в себе 29
— фундаментальная 29
Последовательный дифференциал я-го
порядка 459
Почти изометрическое отображение
488
Правильная точка 480
Правый обратный оператор 128, 154
Предел в топологическом простран*
стве 78
— последовательности 16
Предельная точка 17, 78
Принцип неподвижной точки 291
— сжатых отображений 44
— экстремума 433
Продолжение оператора 143, 350
Проекционный оператор 312
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
517
Проекция элемента 88
Произведение операторов 351
— скалярное 83. 207
Производная высшего порядка 456
— последовательная 460
— обобщенная 96, 98
— равномерная разностная n-го по-
порядка 508
— разностная 409, 412
равномерная 409
— сильная 434
— слабая 437
— Фреше 434
— частная 466
Производное множество 78
Произвольного выбора аксиома Цер-
мело 14
Прообраз 12
Пространства изометричные 33
— изоморфные 59, 72
Пространство 13, 58
— Банаха 68, 247
— векторное 58
— гильбертово 27, 83, 84, 194, 198, 220
координатное 27, 84, 187, 198, 223
— евклидово 19, 30, 53, 58, 68, 180,
198, 199, 223, 423
— компактное 223
— комплексное 28
— линейное 58
в малом 489
— — метрическое 68
— - топологическое 77
— метрическое 15
— неметризуемое 28
— непрерывных функций 19, 30, 53, 58
69, 182, 200, 223, 236, 252, 256
— нормированное 68
— ограниченных измеримых функций
22, 32, 69
— — числовых последовательностей
21, 31, 58. 69, 423
— операторов 126, 145
— полное 30
— рефлексивное 199
— самосопряженное 198
— сепарабельное 53
универсальное 256
— С. Л. Соболева 96
— сопряженное 146, 196, 211
— строго нормированное 252
— сходящихся числовых последова-
последовательностей 21, 31, 56, 58, 423
— типа В 68
— топологическое 78
— унитарное 84
— функций с интегрируемой р-й сте-
степенью 27, 32, 54, 58, 69, 188, 197, 200,
220, 242, 254, 256
— функциональное 13
— числовых последовательностей 21,
24, 27, 32, 54. 55, 58, 69, 181, 185,
198, 200, 219, 248, 254, 256, 423
— С [0, Л] 20, 30, 53, 58, 69, 182, 200,
223, 236, 252, 256
— Ck [0, 1] 69
— СЕ [а, Ь] 422
Пространство С1 \G; Е] 473
— с 21, 31, 56, 5Ь, 423
Еп 19, 30 53 58 68
223, 423
— Н 84
— L [0, 1] 194
— L2 [0, 1] 27, 83, 85, 194, 198, 220
— U р [0, 1] 84
— Lp[0, 1] 27, 32, 54, 58, 69, 188, 197,
200, 220, 242, 254, 256
— Lp[G] 499
— / 188, 254
— h 27, 84, 187, 198, 223
— lp 27, 32, 54, 58, 69, 185, 198, 200,
219, 248, 254, 256, 423
— !«,»> 28
— M [0, 1] 22
— M [0, 1] 23, 32, 69
— т 21, 31, 55, 58, 69, 423
-шл46
— Q 246
— 5 [0, 1] 26
— s 24, 55, 181
— V 197
— Wf 96
Противоположный элемент 57
Прямая (в линейном пространстве) 70
— сумма 62
Равенство Парсеваля — Стеклова 91
Равномерная ограниченность 236
— разностная производная 409
— — — п-го порядка 508
— сходимость (на отрезке) 20, 22
— — операторов 148
— — почти всюду 24
Равномерно непрерывная функция 407
— непрерывное отображение 239
Равномерный сильный дифференциал
я-го порядка 459
Равностепенная непрерывность 236
Равностепенно непрерывное отобра-
отображение 240
Равные операторы 350
Разложение единицы 336, 370
— спектральное 339, 370
Разностная производная 409> 412
— равномерная 409
Разность «-я 409
— центрированная 409. 412
я-го порядка 508
Расстояние 15
Расширение максимальное симметри-
симметрическое 368
— минимальное замкнутое 354
— оператора 143, 350
Резольвента 344
— функциональное уравнение Гиль-
Гильберта 389
Резольвентный оператор 162
Рефлексивное пространство 199
Римана интеграл 416
Рисса лемма 73
Рисса М. теорема 242
518
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Рисе а Ф. теорема 184
Рисса — Фришера теорема 94
Ряд Фурье 209
Самосопряженное пространство 198
Самосопряженный оператор 306, 359
неограниченный, спектральное
разложение 370
— — положительный 317
, квадратный корень 320
, спектральное разложение 339
Сдвиг множества 71
Сепарабельное пространство 53
Сжатых отображений принцип 44
Сильная производная 434
— сходимость 215
Сильный дифференциал 434
п-го порядка 458
Символ Кронекера 89
Симметрии аксиома 15
Симметрическая форма 452
Симметрический оператор 352
Симметрическое множество 80
Скалярное произведение 83, 207
Слабая компактность 254
— производная 437
— сходимость 212, 214
Слабый дифференциал 434, 435
Соболева С. Л. пространство 96
— теорема вложения 119
— формулы 109
Собственное значение 162
, кратность 285
Собственный элемент 162
Совпадающие операторы 350
Согласованности условие 427
Сопряженные операторы 201, 204, 306,
351
— пространства 146, 196, 211
— числа 495
Спектр 163
— непрерывный 329
— точечный 329
— чисто непрерывный 329
точечный 329
Спектральное разложение самосопря-
самосопряженного оператора 339
неограниченного оператора
370
(Сравнимые элементы 13
Средняя функция 99
Стационарная последовательность 37
Стеклова — Парсеваля равенство 91
Стеклова теорема 214
Стильтьеса интеграл 372
Строго нормированное пространство
252
Сужение оператора 350
Сумма операторов 350
— ортогональная 88
— прямая 62
Сходящаяся в себе последователь-
последовательность 29
— конечноразностная аппроксимация
427
Сходимость в среднем 27
— операторов равномерная 148
точечная 148
Сходимость по координатам 19
—, равномерная относительно но-
номеров координат 21
мере 26
норме 68
— равномерная (на отрезке) 20, 22
— равномерная почти всюду 24
— сильная 215
— слабая 212, 214
Тейлора формула для абстрактной
функции 457
Теорема Арчела 236
— Банаха 159
— Банаха — Мазура 260
— Банаха - Хана 173
— Банаха — Штейнхауса 149, 172
— Боля — Брауэра 505
— вложения (С. Л. Соболева) 119
— Гильберта 246
— Кантора 223
— Колмогорова 81, 245
— Кондрашова 295
— Красносельского 246
— Крейна 260
— Лакса 428
— Пеано 293
— Рисса М. 242
— Рисса Ф. 184
— Рисса — Фишера 94
— Соболева С. Л. 119
— Стеклова 214
— Фреше 258
— Хаусдорфа 228
— Цермело 14
Тождества аксиома 15
Топологическое линейное простран-
пространство 77
— пространство 78
Точечная сходимость операторов 148
Точечный спектр 329
Точка внутренняя 78
— максимума (минимума) 489
— метрического пространства 16
— неподвижная 44
— правильная 480
— предельная 17, 78
— экстремума 489
условного 490
Точная верхняя (нижняя) граница 13
Треугольника аксиома 15
Универсальное сепарабельное про-»
странство 256
Унитарная матрица 311
Унитарно эквивалентный оператор 312
Унитарное пространство 84
Унитарный оператор 310
Упорядоченное множество 13
Условного максимума (минимума)
точка 490
Усредняющее ядро 99
Устойчивая конечноразностная аппро-
аппроксимация 428
Факторпространство 65
Фишера — Рисса теорема 94
Форма билинейная эрмитова 307
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
519
Форма квадратичная 452
эрмитова 308
—, норма 451
— однородная 452
— симметрическая 452
— я-линейная 451
Формула квадратурная 213
— Тейлора для абстрактной функции
457
Формулы С. Л. Соболева 109
Фреше дифференциал 434
— производная 434
— теорема 258
Фундаментальная последовательность
29
— система окрестностей 80
Функционал 12, 143
— линейный 143. 172, 194
, общий вид 180—196
—, норма 143
— полунепрерывный 227
Функциональное пространство 13
— уравнение Гильберта 389
Функция абстрактная 406
— непрерывная 18
—«область определения 11
-- однозначная 11
— оператора 128, 344, 382
— с суммируемой р-й степенью
493
— средняя 99
Фурье коэффициенты 90
— ряд 209
Хана — Банаха теорема 173
Характеристическое число 162
Хаусдорфа теорема 228
Центрированная разность 409, 412
«-го порядка 508
— система множеств 232
Цермело аксиома 14
— теорема 14
Цорна лемма 14
Частично упорядоченное множество 13
Частная производная 466
Числа сопряженные 495
Число измерений многообразия 61
— характеристическое 162
Чисто непрерывный спектр 329
— точечный спектр 329
Шар 17
Шаудера лемма 289
— принцип неподвижной точки 291
Шмидта процесс ортогонализации 89
Шпернера лемма 503
Штейнхауса—Банаха теорема 149, 172
Штурма — Лиувилля оператор 161
Экстремума принцип 433
— точка 489
Элемент ковариантный 181
— контравариантный 181
— нулевой 57
— ортогональный 86, 207
— противоположный 57
— собственный 162
Эрмитов оператор 306
Эрмитова билинейная форма 307
— квадратичная форма 308
— матрица 307
Ядро усредняющее 99
Основные свойства важнейших функциональных пространств
19
68
30
53
180
199
С [0, 1]
19
69
30
53
182
200
М [0, 1]
22
69
32
т
21
69
31
55
с
21
31
56
S
24
55
181
5 [0,1]
26
V0'11
27
69
32
54
188
200
г
1р
27
69
32
54
185
200
Элементы и ме-
метрика
Норма . . . .
Полнота . . .
Сепарабель-
Сепарабельность
Общий вид ли-
линейного функцио-
функционала
Рефлексивность
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
1 154 С @J96 МО, 1127 Р312
201 C(Q) 260 4>J]84 ОШ
fM СА[%Е]Ш ЛЛ 4 27
lfM СА% Л 4 M.J2
fSo с 21 М<?L99 5 (о, г) 17
МП 138 J " /227 524
А(х, х) 309 -f 14b /'Л) 28 rW qfi
Л(*,уK07 W.№ L"+M88 xp%
C[0,l]20 {^}336 ,.ira. 402 =456
C*fO,l]69 ExCJ)Evq2 Л*[0,1]22 в-89
?*]422 ffW356 M[0, 1] 23 е-сеть228
84 д