ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
ВЫСШИХ И СРЕДНИХ
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИИ
.МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЗАОЧНЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Н- Я- АВДЕЕВ
ЗАДАЧНИК41РАКТИКУМ
ПО КУРСУ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ИНСТИТУТОВ

ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫСШИХ И СРЕДНИХ
ПЕДАГОГИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Московский государственный заочный педагогический институт
Н. Я. АВДЕЕВ
ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ
ПО КУРСУ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 1959

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основное назначение данного задачника-практикума — помочь
студенту-заочнику математической специальности в освоении
курса теории функций комплексного переменного.
По этой дисциплине существует ряд хороших учебников,
например, такие, как: А. И. Маркушевич „Элементы теории
аналитических функций", Н. Г. Фукс и Б. В. Шабат „Курс
теории функций комплексного переменного", В. Л. Гончаров
„Теория функций комплексного переменного" и др., предназначенные
для студентов педагогических институтов. Однако из-за слишком
большого объема в них зачастую трудно ориентироваться и
выбрать нужный материал. Вследствие этого студенты-заочники
встречаются с большими трудностями в процессе изучения этого
курса.
В предлагаемом пособии на небольшом числе страниц
приводятся необходимые сведения из теории и даются краткие
указания к решению примеров и задач.
К решению задач рекомендуется приступать после
внимательного знакомства с содержанием учебника и основной
части данного пособия.
В заключение выражаю искреннюю благодарность
доцентам М. Г. Хапланову и М. Л. Смоляискому за ряд ценных
советов при подготовке рукописи к печати.
Н. Я. Авдеев

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Комплексное число z = x-\-iy изображается точкой плоскости с
абсциссой х и ординатой у.
Если z == х -f- гу есть комплексное число, то под z = x — /у
понимают сопряженное с z число, под Rz = R(x-^-iy) = x —
вещественную часть числа г, под Iz = I(x-\-iy)—y — мнимую часть числа z.
Если дано комплексное число z — x-\-iyy то
\z\ = \x + iy\^}TxT+f1 A)
где 121 — модуль числа z.
Arg z = Arg {x + Iy) = arg 2г -f 2?tc, B)
где Arg z — аргумент числа z
а) arg z = arg (x + /y) = arctg—, если х > 0;
б) arg 2 = arg (x + (у) = те -(- arctg-^-, если я<0,
x
в) arg г = arg (x -f ^) = — ^4-arctg^-, если х<0, у<0;
г) arg z = arg (x + /у) = -j» если JC = °>
д) arg ^ = arg (x + iy) = —у, если л = 0,
е) arg г = arg (х + /у) = 0, если
ж)arg2:= arg (я +/у) = те, если
Обозначив через р и ср полярные координаты точки z = x -f-iy,
будем иметь:
^ = х + /у = р (coscp -f- /sincp) =z ре'?. C)
Если г, =#i+/y, и г:2 = л:2 + /у2, то:
Ы *\, D)
. E)

Эти неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда,
когда Arg*1 = Argz2.
*!*,) = Arg*, + Arg*a; F)
G)
\z"\ = \z\n и Arg z" — n Arg z. (8)
Если 0 = x + /yfO и cp = arg z, то
H^), (9)
где k = 0, 1,2,3,..., /z-1.
§ 1. ОПЕРАЦИИ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Вычислить модуль и главные значения аргументов
следующих комплексных чисел:
1. а) 9 +_3//1; б) 9 — 3*|Лз; в) — 9 + 3* 1^3;
г)—9 — Зг/3.
Решение. Модуль комплексного числа вычисляется
по формуле A)
В нашем случае модули всех этих чисел равны
между собой
Для вычисления аргументов данных комплексных
чисел воспользуемся формулой B)
а) arg (9 + 3iV~3) = argtg -^- = argtgyy=?;
б) arg(9 - ZiV 3) = - arg (9 + 3t]^3) = -~;
в) arg (— 9 -f 3iV 3) = argtg ^~ + it =— ? + тг =,
_5
r) arg (— 9 — 3iV~3) = — arg (— 9 + 3iV3) = — |-it.
2. Пользуясь теоремами о модуле и аргументе произведения,
частного, степени и корня, найти модули и аргументы
следующих выражений:

; 6I—/З*; в) —1+г; г) — 1
Ответ, а)
-|-я; д) 74, |; е) ^-, ^тт; ж) 8, -тг; з)
(Ш+1)^ (A = O, 1,2,3).
§ 2. ПОНЯТИЕ ОБЛАСТИ И ЕЕ ГРАНИЦЫ
Множество всех точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих
неравенству
\z-c\<*
(то есть лежащих внутри круга радиуса г с центром в точке с\
называют окрестностью точки с.
Множество D точек комплексной плоскости называют областью,
если оно удовлетворяет следующим двум условиям:
а) Каждая точка множества D есть внутренняя точка этого
множества. (Напомним, что точка z0 называется внутренней точкой
области Д если она принадлежит этой области вместе с некоторой
своей окрестностью. Точка t0 называется внешней по отношению
области, если не только она, но и некоторая ее окрестность не
принадлежит области.)
б) Любые две точки множества D можно соединить непрерывной
линией так, чтобы все точки этой линии принадлежали самому
множеству D. Точка т0 называется граничной для области, если в любой
ее окрестности лежат как точки области, так и точки, не
принадлежащие этой области. Множество всех граничных точек области
называется границей этой области.
Область D с присоединенной к ней границей называют
замкнутой областью и обозначают символом D.
Область называется ограниченной, если бесконечно далекая
точка является для нее внешней точкой, в противном случае область
называется неограниченной.
Область называется односвязной, если любая замкнутая кривая,
целиком принадлежащая области, может быть стянута в точку
области, не выходя из нее. Если это условие не выполняется, то область
называется многосвязной. Примером односвязной области является
множество точек круга \z\ <R; примером многосвязной (двусвязной)
области служит множество точек кольца г < | z \ < R.
Примеры.
Какие линии или области в комплексной плоскости
определяются следующими условиями:
3. \z—l\ = 2\z — i\.

Решение. Полагая z-=x-\-iy, перепишем условия
задачи в следующем виде
или
Использовав условия (см. A), что ]/гх2-\-у2 =
| + | получим:
Y(x— l
После элементарных преобразований получим
уравнение окружности
4. 12: — я|<11 — az\ (а — вещественное число).
Р ешение. Полагая z = x-\-iy и z = х — iy ,
запишем V(x — aJ+J>2</(l—ахJ-\-а2у2.
Сделав элементарные преобразования, получим:
Исследуем данное неравенство:
а) При 1 — а2 >> 0, л2 -|-j;2 < 1 — ограниченная одно-
связная круговая область единичного радиуса.
б) При 1 — а2 < 0, jc2 -}-j;2 > 1 — неограниченная одно-
связная область — вся плоскость с круговым отверстием
единичного радиуса.
5. l<|z — 2|<3.
Ответ. Замкнутая двусвязная кольцевая область,
ограниченная двумя концентрическими окружностями
радиусов г=1, R = 3 с центром в @,2).
6. \z2— 1|=1.
Ответ. Лемниската (л2+д;2J = 2(л2—у2).
7.
Ответ. Полоса а<,х<,Ь — замкнутая неограниченная
односвязная область.
8. a<ar
Ответ. Замкнутая односвязная область формы
трапеции.

9. Записать в комплексной форме уравнения:
а) х2 + 2х-\-у2 — у = 1; б) х2 — у2 = 1.
Ответ. a)«
б) +
Указание. Положить z = x -f- iyf z = x— iy.
§ 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
АРГУМЕНТА
Комплексная переменная z называется комплексной функцией, дей*
ствительного аргумента t, заданной на интервале (а, р), если
каждому значению t из этого интервала поставлено в соответствие
комплексное числовое значение z.
Задание комплексной функции действительного аргумента
эквивалентно заданию двух действительных функций:
х = a (t) и у =у (t) таких, что
При изменении t на интервале (а, р) точка z = z (t) описывает в
комплексной числовой плоскости некоторую кривую, которая в векторном
исчислении называется годографом вектора. Например, функция
z = z(t)=zo + Rea, (-*<*<*), A,3)
где z о—комплексное, a R—постоянное положительное число,
определяет окружность радиуса R с центром в точке (xQ,y0).
В самом деле, полагая в равенстве A,3)
л приравнивая действительные и мнимые части, получим:
х = х0 + R cos t \
I t (
B,3)
Уравнение B) является параметрическим уравнением окружности
радиуса R с центром в точке (х0, у0). Исключая из B) параметр ty
получим уравнение окружности в декартовых координатах
Примеры.
Какие кривые описываются точкой z плоскости
комплексного переменного, когда параметр t пробегает
всевозможные вещественные значения, если a, b, w —
вещественные постоянные?

10. z = z(t) = aei"t + be-M. (a)
Решение. Полагая z = x-\-iy и применяя формулу
Эйлера
dw isinwt
(отделяя вещественные и мнимые части), получим
параметрическое уравнение эллипса
x = (a + b)caswt \
исключив из (fl) параметр t, запишем уравнение эллипса
в декартовых координатах
Ответ. Логарифмическая спираль
12. z = z(t) = a(l+eH)-2.
Ответ. Парабола у2 = а(-^ — х\.
§ 4. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО,
ЕЕ ПРЕДЕЛА И НЕПРЕРЫВНОСТИ
Если в комплексной плоскости дана некоторая область D и если
каждой точке z этой области ставится в соответствие определенное
комплексное число w, то w называют комплексной функцией от z,
заданной в области Д и пишут
w=f(z).
Задание комплексной функции w = f(z), очевидно, равносильно
заданию двух вещественных функций переменных хну
и = и(х,у), v = v
таких, что, если положить
z =
то
Функция w=f(z) называется однозначной, если каждому значению z
из области определения функции соответствует только одно значение

функции w. В противном случае функция называется многозначной.
Например, функции:
w = f(z) = z* — 2z — 5 — однозначная;
w = cp (z) = ^/z3 — 2z -f- 5 — многозначная.
Число А называется пределом функции f(z) в точке г0, если для
всякого произвольно малого положительного числа е можно определить
положительное число 8 = о (е), такое, что имеет место неравенство
для всех z, удовлетворяющих неравенству | z — z01 < 8. Символически
это записывается так:
ton f(z) = A.
В частности, если A = f(zQ), то функция f(z) называется непрерывной,
в точке z0. Другими словами: функция f(z) называется непрерывной
в точке 20, если для всякого сколь угодно малого положительного
числа е существует положительное число о = 6 (е), такое, что
выполняется неравенство:
I/W-/WK»
для всех z, удовлетворяющих неравенству
Геометрически определение непрерывности функции означает, что для
всех точек z, лежащих внутри круга | z — z0 \ < о с центром в точке 20,
достаточно малого радиуса 6, соответствующие значения функции
w=f(z) изображаются точками, лежащими внутри круга | w — w0 \ < s
с центром в точке wo=f(zo) сколь угодно малого радиуса е.
Функция f(z) называется непрерывной в некоторой области Д если она
непрерывна в каждой точке этой области. Функция f(z) называется
равномерно непрерывной в области Д если для всякого сколь угодно
малого положительного числа е существует число о = о (е) > 0 такое,
что для любых двух точек z' и z" области Д удовлетворяющих
условию | z" — z' | < 8, имеет место неравенство
Примеры.
Отделить действительную и мнимую часть функций:
13. №=$
Решение. Полагая z = x-\-iy nf(z) = u-{-iv
последовательным преобразованием, имеем:
+
, . 2у

14. f(z) = z'-\-2z2-\-5z-{-7.
Ответ. u = x3 — Зху2-{-2х2 — 2y2-f5jt + 7;
v = Зх2у —у* + 4ху + 5у.
15. Показать, что функция /(г) = —irf в любой точке
— Ъ имеет своим пределом число A = z°~j[_(? ==f(zQ).
Решение. Пусть е ]> О — сколь угодно малое число.
Полагая 120-{-&| = 2d и замечая, что при |г — zo\<id
выполняется неравенство \z-\-b\^>d, имеем:
\f(z)-A\ =
\a-b\\z-zo
l ^
Отсюда следует, что одновременное выполнение двух
неравенств
\г — zo\<d, \Z — z0\<^Fl
влечет за собой неравенство \f(z) — Л|<е. Значит, если
положить Ь равной наименьшему из чисел d и •——^у, то
при \z — z01<<S справедливо неравенство \f{z) — А|<е.
Следовательно:
Примечание. Так как в рассмотренном примере
lim/(*)=/(«,),
то по определению данная функция непрерывна во всей
плоскости за исключением одной точки z = — b.
§ 5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
Приведем примеры некоторых элементарных функций:
а) Целая линейная функция
10

б) Дробная линейная функция
в) Целая рациональная функция
w=f(z) = aiz" + a1z"-> + ..
г) Дробная рациональная функция
д) Показательная функция. Синус и косинус
Показательная функция ez и тригонометрические функции sin z и
cos z в комплексной области определяются степенными рядами:
а) Формулы Эйлера
er2r = cos2 + *sin2; cos 2: =
e-wr = cos2 — /sin 2; sin 2 =
б) Гиперболические функции и их связь с
тригонометрическими
sn^— 2 —^"T 3! "+" 5! ~T~M "• +Bл - 1)! + #"
cos z = ch (/2); ch 2 = cos (/2); cos2 z + sin2 2 = 1; / sin 2 = sh (/2);
/ sh 2 = sin (iz)\ ch2 2 — sh2 2 = 1; / tg 2 = th (/2); / tg 2 = tg (/2).
в) Логарифмическая функция
Логарифмическая функция в комплексной области может быть
определена как обратная по отношению к показательной 2 = ew и
обозначается так:
w = Ln 2 = In 2 -f- 2fnzi= In | 2 | -f- /(arg 2 -f- 2^)
(& = 0, =tl, ±2, =t3, =!=...).
г) Степенная функция с произвольным показателем
w=f(z)=zzn = (eLn zf = enLn z B ф 0).
II

д) Обратные тригонометрические и гиперболические
функции и их связь с логарифмом
Arccos 2 = — / Ln B :± У z2 — I)
Arcsin 2 = — / Ln (/2 =t У1 — 22)
Arcch z = Ln B ± Yz1 — 1)
Arcsh z = Ln (z ±
Aretha = 4"
Пример.
16. Применяя тождество
и формулы Эйлера, вывести формулы:
а) cos B ЧЬ ?) = cos 0 cos ? + sin z sin ?;
б) sin{z-±:t) = sin2costdzcos2sint.
17. Положив 2 = л;-|-у/, вывести формулы:
а) cos2 =
б) sin2 = si
в) ch2: = h
г) sh2 =
18. Полагая z = x-\-iy9 выразить Lnz через х и у.
Ответ: Lnz = lnVx*-\~У*-\-i
19. Показать, что ez+M = ez (k = 09 ±1, ±2,...).
I О ty (A Jy 1 \
20. Доказать, что: a) il = e~* ' =е ~ т;
б) (— 1)^=cos Bft + 1) тт /2 + i sin BA +1) * /2 ;
в) A + /)' = е~(8*+1)Т(Cos ln у2 ^_ j sin in-j/2);
r) A +^>=l^e-(8A+1O [cos (J +ШК2) +
( )]
sin 2
2
22. Показать, что при любом А=?0 уравнение
21. Показать, что lim—=1.
12

в окрестности точки z =а имеет бесконечное множество
корней.
Решение. Логарифмированием данного уравнения
получим:
23. Показать, что при а>0 и z = x-\-iy
az = ax (cosу In a -j- r sin j/ In a).
Указание. Воспользоваться тождеством
§ 6. ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕхМОЙ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ФУНКЦИИ
Функция f(z) = u + iv называется дифференцируемой в точке z
области Д если существует и конечен предел
А->0 h
который называется производной от / (z) и обозначается через /' (z).
Дифференцируемость функции f(z) влечет за собой существова-
ди ди dv dv
ние частных производных -^-, —, -^-, -г- и равенств
диdv диdv
Ab)
которые называются условиями Коши — Римана или Даламбера —
Эйлера.
Условия Коши — Римана в декартовых координатах A,6) выводятся
во всех учебниках по теории функций комплексного переменного.
Вывод условий Коши — Римана в полярных координатах
ди 1 dv dv I dv ._ _.
-^— = =г-» т~ = =г- (До)
ар р dtp op р аср \ » /
мы воспроизводим здесь.
Рассматривая в w=f(z) = a-jriv1 и и v как сложные функции,
в которых х и у промежуточные, а р и ср независимые переменные,
и замечая, что
х = р cos ср, v = р sin ср, C,6)
13

получим:
du du dx , да dy да , du
ZF=^+W=^C0S<f+^
du du дх . ди ду ди . , ди
dv dv дх , dv ду dv . dv . ¦ '
¦г— = *з~з——=г- -=г- = т- cos ср 4- -т- sin со
dp dx dp n dy dp dx T ' dy T
dv dv dx , dv dy dv . , dv
Умножая первое и третье равенства из D,6) на р, затем вычитая
почленно из первого четвертое, складывая второе с третьим и
принимая во внимание A,6), получим B,6).
Если функция w = f(z) = и -\- iv дифференцируема в точке z =
= х -f- iy = p(coscp -j- /sincp) = pel(?, то ее производная может быть
вычислена по формулам:
г,. ч du . .dv du .du dv . .dv dv .du /r Лч
f'(z)=zT-4-lir=-= /—=— 4-1—=:- /— , E,6)
j \ / Л*-т fa $x dy dy l dx dy dy1 v ' }
F,6)
Функция комплексного переменного w = /(z) = и 4- iv, имеющая
конечную производную в каждой точке некоторой области Д
называется аналитической в этой области.
Примеры.
Проверить аналитичность и найти производные
следующих функций:
24. w=f{z) = e\
Решение. Полагая z = x-{-iy, w — u-^-iv и
применяя формулу Эйлера, получим:
и -f- iv = ex+iy = ex(cosy + i sin y)
du dv
dx dy '
du dv
Следовательно, функция ez — аналитическая во всей
плоскости.
Применяя формулы E,6), получим:
25. w=f{z)=~z.
14

Решение. Полагая z = x— iy, w = u-\-iv, имеем:
v=y
Следовательно, функция w = z иедифференцируема ни в
какой точке плоскости.
26. w=f(z) = zn (n — целое).
Решение. Полагая 2Г = р (cos ср —{— ? sin cp), w = u-\-iv
и применяя формулу Муавра, последовательно имеем:
a -J- iv = p"(cos ср -}- / sin y)n = p"(cos щ -f- i sit
да 1 dv
Применяя формулы F,6), и после элементарных
преобразований получим:
27. w=f(z) = lnz =
Ответ. (lnz)' = -.
28. w=f(z) = cosz.
Решение. Полагая z=x-\-iy, w = u-\-iv и
применяя формулы Эйлера, получим:
u + v= \{е(г +
1/ —VI v\ ди dv I/ _«
# + О cos* 5^=^= —# J
Применяя формулы E,6), и после элементарных
преобразований окончательно имеем:
(cos z)'= — sin z.
15

29. Показать справедливость формул:
(sin z)'= cos z; (tg z)'= sec2z;
(sh z)'= ch z; (ch 2;)'= sh 2:;
(arcsin z)'= r ; (arccos z)f= r
(arctg z)' = j-j-p; (arcctg *)'= — ^y2
30. Показать, что если функция
аналитическая в некоторой области D, то функции и и v
гармонические в этой области.
Указание. Воспользуемся условиями Коши — Рима-
на A,6).
31. Вывести формулу выражения производной
аналитической функции в полярных координатах F, 6).
Указание. Воспользоваться формулой E, 6) и
равенствами D, 6).
32. Если функция f(z) в каждой точке области
удовлетворяет условию: /' (z) = 0, то доказать, что/ (z) — const
в этой области.
33. Показать, что если функции f(z) и <р(г) в области
D удовлетворяют условию f'(z) = <f' (z), то/B) — <р(г) =
=const в этой области.
§ 7. ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ ПО ЗАДАННОЙ
ЕЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ИЛИ МНИМОЙ ЧАСТИ
Если функция комплексного переменного
w=f{z) = u + iv A,7)
аналитическая в некоторой области Д то ее вещественная часть
u=zii(x, v) и мнимая часть v = v (x, у)—сопряженные гармонические
функции в этой области. Причем, если известна гармоническая
функция и = и (х, у), то сопряженная с ней гармоническая функция
v = v(x,y) с точностью до постоянного слагаемого определяется
формулой:
B>7)
Если известна гармоническая функция v = v{x,y), то
сопряженная с ней гармоническая функция и=и (х,у) с точностью до
постоянного слагаемого определяется формулой:
С ди , dv . /о 7v
и(х'У)=)ш''х-ШAУ- {3>7)
16

Примеры.
Построить аналитическую функцию A,7) по
следующим условиям:
34. и = х* —
Решение. Применяя формулу B,7), имеем:
— 12 xy*)dy =
; ^ =4xs —I2xy2
V — 4 xzy — 4 у3х -\- с.
Подставляя значения и и v в A,7), получим:
f(z) = х* — 6 х2у2
( +
Следовательно, f(z) = z*-\-ic9 но так как по условию
) = гс = О, то окончательно имеем:
35. f = e*siny + 2^j/ + 5^, /@) = 10.
Решение. Применяя формулу C,7), имеем:
!. = e* cos у -f- 2x + 5
— (^ sin у + 2у) ф = е* cos j;
'O;)= — ^sinj; —2y;
« = e*cosj/ -f- -*2 + 5.* —У2-\-с.
Подставляя значения и и т/ в A,7), получим:
/(г) = g* (cosj; 4- / sin у) -f- -*2 + 2луг —j;2 -f
но так как по условию /@) = с -\- 1 = 10, то
окончательно имеем:
/() * + ¦ + 5*+
17

36. а = х* — Зху* + Зл:2 — б* — 3j/2, /@) = 0.
Ответ. f{z) = zz-\-3z* — 6z.
^)= 15.
38. u = excosy-{-x2 — У + Зл, /@) = 0.
Ответ. f{z) = ez +z2-\-3z— 1.
39. ?/ = arctg-—f-e*sinj/ + 3j/.
Ответ. f(z) = \nz-\-ez-\-3z-\-c.
Примечание 1. Для определения сопряженной гармонической
функции по заданной можно воспользоваться известными из анализа
формулами в случае
лл/г да;
D,7)
E,7)
ИЛИ
которые
или
или
<*,у>
Ф
(х,у)~
для нашего
v(x,y) =
и(х9у) =
и(х,у)= -
X
х0
У
-Г ДГ
Уо
дМ
ду ~
х, у
(х v\ dv -4-
случая примут
X
- J
Уо
У
Уо
iy (x,y)d
с (xty)dy
(x, у) dx -
, (x,y)dy
ON
dx'
у
Уо
X
I
вид:
У
x+^
Уо
X
С '
У
-) vx
Уо
X
• С
Хо
{ 1Л sf \) I г
0 У) *~У \^ **
„{хо,уДе1х-\-с
>
,(x,yo)dx + c
F,7)
G,7)
Примеры.
Применяя формулы F, 7) и G, 7), построить
аналитическую функцию A,7) по условиям:
IS

40. и — Х2_^у2 >/B) — у.
Р е ш е н и е. По первой формуле из F, 7) при и = * 2
имеем:
ди д;2 — х2 , ч р 2ху dx _, г dy
~дх~~(х2+у2J v\x>y)—) (х2+у2J"Г J 3^"— ~"
^/(г) # + /с = 7 + ^ но так как
= i- + fc=4, то С = 0 и /B:) = !
41. ^ = 3?^Г|/A) = 7.
Ответ. /(г) = 8 — --.
Примечание 2. Построение аналитической функции по ее
вещественной или мнимой части в некоторых случаях может быть
значительно упрощено, если воспользоваться следующим известным
свойством. Если в аналитической функции
/ (z) = и (х, у) + iv (х, у) (а)
положить д;=гО, а затем вещественную переменную х заменить
комплексной переменной z = x-\-iy> то снова получим первоначальную
аналитическую функцию
+ iv(z,0). (p)
Пользуясь этим предположением и формулами F) и G), получим
формулы:
f(x) = u (х, 0)-i^ii'y(x,0)dx + ic, (8,7)
(9,7)
Вычисляя интегралы в правых частях (8, 7) и (9,7), а затем
заменяя х комплексной переменной z, получим искомую аналитическую
функцию A,7).
Примеры.
42. Найти аналитическую функцию, для которой
Rf(z) = и = ех\п У^+7 cos у.
Решение. Здесь и (х, у) = ех In ]Лх2 + у2 cos у;
и (х, 0) = е* In л; и'у (х, 0) = 0; J«; (л, 0) dx = 0. По (8, 7)
f (л) = ех In л-\-ic; f(z) = ez\nz-\-ic.
19

§ 8. ТЕОРЕМА И ИНТЕГРАЛ КОШИ
Криволинейный интеграл в комплексной области от непрерывной
на контуре L функции f (z) определяется как предел интегральной
суммы:
U f(zk)\zk. A,8)
Полагая f(z) = u-\-iv, интеграл комплексного переменного A, 8)
можно выразить через вещественные криволинейные интегралы
[f(z)dz= \ udx — vdy + i [ vdx + udy. B, 8)
L L L
Если f(z) — однозначная аналитическая в области D функция и L
замкнутый контур, целиком лежащий в этой области, то
С У (z) dz — 0. (Теорема Коши) C,8)
L
Если f(t) граничные значения функции f(z) аналитической в
конечной замкнутой области Д то значение функции f(z) в любой
точке zeD выражается формулой:
f(z) = -J-.[ -P^~ dt {Интеграл Коши) D,8)
с
Из интеграла Коши D,8) следует, что аналитическая функция
имеет производные всех порядков, причем
= 0,1,2,3,...). E,8,
Примеры.
Вычислить интегралы:
43.
вдоль контура z = 4elt,
Решение. Полагая z = x-\-iy и применяя формулу
Эйлера elt = cos t-\-is\n ty находим, что контуром
интегрирования служит окружность радиуса /?=4 с центром
в начале координат, то есть х2-\-у2=16.
Подинтегральная функция внутри контура
интегрирования имеет особые точки (полюсы первого порядка)
21 = 2, z2 = 3i, z3=—3i. Особая точка 24 = 5 лежит
вне контура.
Разлагая sin 2 по степеням z — 2, будем иметь:
sin z sin2
где ср (z) — аналитическая во всей плоскости,
20

Разлагая рациональную функцию на простейшие,
получим:
z + 5 8+15/ , 8—15/ , 17
__ 5) 102/ (z — 3/) "г 102/B + 3/) "Г 5 (z — 5)'
Применяя теорему Коши и зная, что
Jz — а '
J
если а находится внутри контура Z,, окончательно имеем:
44.
вдоль контура \z — 2| = 2.
^ Юте/
Ответ, -то-.
§ 9. КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
Если w = f(z) есть аналитическая функция и если в некоторой
точке z0 области D производная от f(z) не равна нулю, то достаточно
малая окрестность точки z0 отображается взаимно однозначно и
непрерывно на некоторую область плоскости w, содержащую точку
wo = f(zo). При этом отображении угол между двумя кривыми,
проходящими через точку z0, по величине и направлению совпадает с
углом между изображениями этих кривых в плоскости w, а линейный
масштаб отображения в точке z0 одинаков для всех кривых,
проходящих через точку z0. Отображение, при котором имеет место
сохранение углов по величине и направлению и постоянство растяжений,
принято называть конформным отображением.
В основе теории конформного отображения лежат следующие
теоремы:
Теорема 1. Отображение, осуществляемое аналитической
функцией w==f(z) во всех точках z, в которых f (z) Ф 0
конформно, причем arg/' (z) означает угол поворота, a \f (z) \ —
коэффициент линейного растяжения при отображении точек z в точки w.
Теорема 2. Каждая односвязная область D плоскости z,
отличная от полной плоскости или от плоскости с выключенной
точкой, может быть бесчисленным множеством способов отобра-
оюена взаимно однозначно и конформно на единственный круг
плоскости w.
Отображения области D на единственный круг определяются
однозначно, если потребовать, чтобы заданная точка z0 области D и не-
21

которое направление в ней перешли в заданную точку вместе с
заданным направлением внутри круга.
Теорема 3. Если границей односвязной области является
непрерывная кривая без двойных точек, то при конформном
отображении области на круг соответствие является взаимно
однозначным вплоть до границ.
Теорема 4. Если функция w=f(z), аналитическая внутри
контура С, отображает этот контур взаимно однозначно на
некоторый контур С, то она и область D, ограниченную
контуром С, отображает взаимно однозначно на область D',
ограниченную контуром С.
Теорема 5. Однозначная аналитическая функция
отображает область своего определения снова на область
(однолистную или многолистную).
Принцип симметрии. Если в составе границы области D
имеется отрезок прямой или дуга окружности а, а в составе границы
области Dw — отрезок прямой или дуга окружности (J, причем при
отображении w~f(z) области Dz на область Dw кусок границы а
переходит в р, то в этом случае функцию f(z) можно аналитически
продолжить через дугу а. Для получения этого продолжения следует
в качестве значения функции w в точке г*, симметричной точке z
относительно а, принять точку до*, симметричную точке w
относительно (*.
Принцип симметрии позволяет быстро построить отображающую
функцию, если идет речь об отображении круга на круг или на
полуплоскость.
Здесь следует иметь в виду, что в этих случаях отображающей
функцией является дробно-линейная функция
Например, функция, отображающая верхнюю полуплоскость Iz > О
на единичный круг \w\ < 1, при котором точка 20(/20>0) переходит
в точку w = Q, имеет вид:
w = ^f^4°f B,9)
z z
где ср — произвольное вещественное число.
В самом деле, так как вещественная ось Iz=y = 0 переходит
в окружность I ге/1 = 1 и точка z0 переходит в w = О, то
симметричная г0 точка 20 перейдет в бесконечно далекую точку плоскости w,
а это означает, что
uz — zo
w = k __ J,
где k — константа. Но так как точка z = 0 переходит в точку
единичной окружности, то поэтому при z = 0 должно быть \w\ = \k\ = l,
откуда k = et<?.
Примеры.
45. Показать, что функция, отображающая круг
22

на единичный круг
М<1,
при котором точка zo{\zQ\<CR) переходит в точку w = 0,
имеет вид:
46. Для отображения
найти угол поворота и коэффициент растяжения в
точках 2 = 0 и z = i.
Вдоль каких линий угол поворота один и тот же?
Вдоль каких линий коэффициент растяжения один и тот же?
В каких точках нарушается конформность отображения?
Решение. Вычисляя производную
/B) = 3z2 — 62 + З
в точках 2 = 0 и z = if получим:
/'@) = 3, /'(/) = _ 6*.
Исходя из геометрического смысла аргумента и модуля
производной (теорема 1), имеем:
Угол поворота a = arg/'@) и коэффициент
растяжения г = |/'@)| = 3 в точке 2 = 0.
Угол поворота oc = arg/'(r) =— ~ и коэффициент
растяжения r = \f'(i)\ = 6 в точке z = i.
Отделяя вещественную и мнимую части производной
f(z) = 3z2 — бг + З и затем полагая arg/' (z) = const и
\f (z) | = const, получим:
линии (х — 1 )z —y2 — 2cy (x — 1) = 0 — равного поворота;
линии (х — lJ-\-y2 = c = const — равного растяжения.
Приравнивая нулю производную и решая уравнение
z2 — 2z-\-l=0, получим точку z = 1, в которой
нарушается конформность отображения.
47. Показать, что из равенства
w — w2'wa — w2 z — z2'zb — z2 ^ ' '
следует, что w выражается как дробно-линейная функция
от 2, отображающая точки zv 22, 23 плоскости z в точки
wl9 wv wz плоскости w.
23

48. Найти функцию, отображающую верхнюю
полуплоскость на круг единичного радиуса так, чтобы точки
— 1, 0, 1 вещественной оси переходили в точки 1,/, — 1
окружности.
Решение. Полагая zl = —1, z2 = 0, 2Я=1; wl = lt
w2 = i, w3 — —1 и применяя формулу D,9), получим:
z — /
W zi — 1"
49. Найти функцию, отображающую круг единичного
радиуса на нижнюю полуплоскость так, чтобы точки 1, г, — i
переходили соответственно в 1, 0, —1.
Ответ. w = -jr-
50. Показать, что степенная функция
w = zn E,9)
отображает угловую область с вершиной в точке 2 = 0
раствора ср на угловую область с вершиной в. w — 0
раствора
51. Найти функцию, отображающую круг |г|<1 на
плоскости с разрезом вдоль положительной части
вещественной оси.
Решение. Выбирая произвольные три точки на
окружности круга, например 1, /, —1, и три точки в
плоскости w', например — 1, 0, 1, и применяя формулу D,9),
получим функцию:
отображающую круг на верхнюю полуплоскость.
Применяя функцию E,9) при я = 2, получим:
52. Показать, что функция
отображает верхний полукруг |z|< 1 на первый квадрант
плоскости w.
24

53. Найти функцию, отображающую круг с разрезом,
идущим от центра по радиусу вдоль вещественной оси,
на верхнюю полуплоскость.
Ответ. w=(J^
z— 1
54. Найти функцию, отображающую плоскость с
разрезом вдоль отрезка а<2<& на верхнюю полуплоскость.
Решение. С помощью функции
z — а
отобразим данную плоскость на плоскость wl с разрезом
вдоль положительной вещественной полуоси.
Преобразованием с помощью функции E,9) при п = -^ получим:
w = I/ w ==:: ~"'
55. Найти функцию, отображающую угол между лучами
при t^zO на круг |т2/|<1.
Решение, а) Преобразованием параллельного
переноса
wx = z — zQ F,9)
вершину угла переведем в точку wl=0.
б) Преобразованием поворота
wt = e'i^wl G,9)
повернем угол так, чтобы луч 1 совпал с вещественной
осью плоскости w2.
в) Преобразованием E,9) при п = —~—
отобразим угол на верхнюю полуплоскость,
г) Преобразованием B,9)
отобразим верхнюю полуплоскость на круг |^|<1.
25

Черт. 1
Черт. 2
Черт. З
l2 0 l3
Черт. 4
w
Черт. 5
26

д) Выражая w через z, получим искомую функцию
w =
При 0 < ср, < ср2 весь процесс преобразования будет
иметь схему, изображенную на чертежах 1—5.
56. Показать, что функция
w = ez (8,9)
отображает полосу 0<j/<2tt на всю плоскость с
разрезом вдоль положительной части вещественной оси, а
полосу О^у^тг на верхнюю полуплоскость.
57. Показать, что функция
w = — e~z (9,9)
отображает полу полосу 0 ^ лс < оо, 0 < у ^ тт на верхний
полукруг единичного радиуса.
Указание. В примерах E6) и E7) воспользоваться
теоремой D,9), предварительно отделить вещественную
и мнимую части.
58. Найти функцию, отображающую полуполосу
примера E7) на верхнюю полуплоскость.
59. Показать, что функция
w = \nz A0,9)
отображает криволинейный четырехугольник
0<7т на обыкновенный четырехугольник
In z < х < In/?
Решение. Последовательно имеем (см. чертежи 6 и 7):
I. Отрезку (r ^ p < /?, cp = 0) соответствует (In г ^ и
l/? 0)
)
II. Дуге (p = /?, 0 ^ w ^ тт) соответствует (w In R,
0 < i/ < тг).
27

В -t Q г
Черт. 6
л
Inr LnR
Черт. 7
III. Отрезку @ < p ^ /?, cp = тг) соответствует
(Inr < Ж In/?, ^ = tt).
IV. Дуге (p = r, 0 ^ cp < тг) соответственно (и = In r,
0 < cp < it).
Так как показано, что контур первой области D2
аналитической функцией A0,9) отображается однозначно
на контур второй области DWJ то по теореме D) область
Dz отображается на область Dw конформно.
§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
Если f(z) однозначная аналитическая функция в точке z = a, то
она разлагается в степенной ряд Тейлора по положительным
степеням
A,10)
п=0
в окрестности этой точки, причем окружность круга сходимости ряда
имеет центр в точке а и проходит через ближайшую к точке а особую
точку zn функции f(z).
[R=min\zn — a\].
Коэффициенты ряда Тейлора A,10) вычисляются по формулам
28

Если f(z) однозначная аналитическая функция в кольце
г<|*-а|</?, C,10)
то внутри этого кольца она разлагается в ряд Лорана
00
и=— со
который содержит не только положительные, но и отрицательные
степени z — а.
Коэффициенты ряда Лорана D,10) в общем случае вычисляются
по формулам:
— 1 Г /W
— 2тг/J (*_
где за контур интегрирования L следует взять окружность
| z — а | = р, при /• < р < Я.
Примеры.
Написать первые четыре члена ряда Тейлора и
определить радиус сходимости для следующих функций.
60. f{z) = In (I—sin z) no степеням z.
Решение. По формулам A,10) и B,10) при а = 0
последовательно имеем:
=0,/<@)=:
¦JW" sin * — 1» J W~ (Sin 2г _ IJ
x\\t \ 1 xiv ( \ 1 Н~ cos2 z — sinz
•* ^ ' sin z — 1* •* ^ ' (sin z — IK
Особые точки рассматриваемой функции, очевидно,
определяются уравнением
1 —sin 2 = 0.
Решая это уравнение, получим: ^=-^
и R = min\z — a| = min|-^|
при k = 0.
61. /B) = 1пA+ег) по степеням z.
Ответ. | ^
29

62. /B)—г^~ по степеням z = y.
(z-^-Y
1 i t V 2 / , 5 / "
Разложить в ряд Тейлора и определить радиус
сходимости для функций:
63. /B)=-g—- по степеням z—2.
Решение. Воспользуемся геометрической
прогрессией. Замечая, что /? = |5 — 2| = 3, имеем:
я-0
64. f(z) = arctgz no степеням z.
zz z5 z1
Ответ, arctg z = z — т + -f" — ^r + • • •
Разложить в ряд Лорана функции:
65. /(^ = G_L-^ в кольце
Решение. Последовательно имеем:
,, . 1 1 l____
J{z'~(z — \)(z~-2)~z — 2 z-\~~~
66. f(z) = T^T2 i
1
Ответ. f(z)=
(z + 2y
n=Q n = \
67. f(z) = (z_2j{z2 + l) в кольце 1<|г|<4.
30

68. Определить коэффициент при первой
отрицательной степени в разложении в ряд Лорана функции
в окрестности точки 2 = 0.
Решение. Так как по условию 0<|2|<1, то
справедливы следующие разложения:
Из произведения этих разложений надо выбрать член,
содержащий г", и выписать коэффициент при нем.
1
Z— 1
69. /(^) = |—^ в окрестности точки 2=1.
§ И. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОЙ
ФУНКЦИИ
Различают три типа изолированных особых точек однозначной
аналитической функции.
Изолированная особая точка а функции f(z) называется
существенно особой, полюсом или устранимой особой точкой, смотря по
тому, содержит ли разложение Лорана E,10) в окрестности такой
точки бесконечно большое, конечное число или совсем не содержит
отрицательных степеней (z — а).
Поведение функции в достаточно малой окрестности
изолированной особой точки зависит от типа особенности этой точки. В
окрестности устранимой особой точки функция ограничена, в окрестности
полюса функция не ограничена (по модулю), в окрестности
существенно особой точки функция неопределенна. Справедливо и обратное,
изолированная особая точка будет устранимой, полюсом или существенно
особой точкой, смотря по тому, будет ли в сколь угодно малой
окрестности такой точки данная функция ограниченной, бесконечно
большой или неопределенной.
31

Отмеченная связь между характером разложения функции в ряд
Лорана в окрестности изолированной особой точки и ее поведением
в этой окрестности даег возможность определения типа особенности
изолированной точки или по разложению в ряд Лорана или по
поведению f(z) в окрестности испытуемой точки. Так, например, функция
i
j...sinz л
f(z) = в точке z = 0 имеет устранимую особую точку, так как
она ограничена во всякой окрестности этой точки. Функция / (z) =
2 + 7
~( __ ой — 51 в точках 2 — 2 и z = o имеет полюсы, так как она
неограничена по модулю в окрестностях этих и только этих точек.
Необходимо заметить, что не всякая особая точка однозначной
функции обязательно должна быть изолированной. Это видно хотя бы на
примере функции / (z) = tg —, для которой не только все точки вида
z = jx—. п ¦ (где п — целое) являются особыми, но также и их предель-
ная точка 2 = 0 также является особой точкой, но эта особая точка не
является изолированной. Особые точки могут заполнять непрерывную
кривую, например, для функции, определяемой рядом
2
/2 = 0
каждая точка окружности | z \ = 1 круга сходимости есть особая точка.
Наиболее полную характеристику поведения функции в
окрестности существенно особой точки дает теорема Сохоцкого: каково бы
ни было постоянное число Л, конечное или бесконечное, существует
последовательность точек г„ z2, z31 zn, •••, сходящаяся к
существенно особой точке а, такая, что:
Шп/(*„) = А
Если требуется изучить поведение какой-либо функции
w=f(z)
в окрестности бесконечно далекой точки, то полагают
и изучают функцию
z'
в окрестности точки г' = 0. Например, функции ez, sin z, cos z в
бесконечности имеют существенно особую точку, функция f(z) = -———
в бесконечности имеет устранимую особую точку, если положить
/(оо) = 0; целая рациональная функция степени т имеет бесконечно
далекую точку полюсом порядка т.
32

Примеры.
Указать, какие особые точки и какого типа имеют
функции:
70. f{z) = ez .
Решение. Данная функция может иметь особую точку
только при 2 = 0. Разложение Лорана в окрестности
этой точки получается, если во всюду сходящемся ряде
положить t = —
Z
Этот ряд сходится в любой окрестности точки z= 0
(исключая точку 2 = 0) и содержит бесконечно много
отрицательных степеней z. Отсюда, по определению,
следует, что z — 0 — существенно особая точка для
рассматриваемой функции ez .
71. /B) = i^rr.
Решение. Особыми точками этой функции могут
быть только нули знаменателя z = 2?тг/ (к = 0, + 1, +2,
+ 3,...). Если z = 2ki:i—один из этих нулей, то ег—1
имеет следующее разложение в его окрестности:
(z — 2kniJ .
Ь 3!
)f()f где B
Откуда:
/z=—1
Причем lim \f(z)\ = oo и lira |/B)B — 2Лтгг)| =
г2Ы z^'lkd
Следовательно, рассматриваемая функция имеет
бесконечно много простых полюсов в точках z = 2km (k = 0, + 1,
±2±)
33

Решение. Особыми точками здесь будут z = 2kn
(k = 0, ±1>±2,4-3, ± ^ ^ Точка г = 0 — устранимая
особая точка, если положить /@) = 2, так как
lim z2 _2
z -> ° 1 — COS 2
Точки 2 = 2Ь: (? = ±1,±2,±3,+...)
полюсы второго порядка, так как эти точки есть нули
функции
(г), где <р BУ
73./(*)='
Решение. Замечая, что
= 1Т"Т + 1 Г! Г"-
-V7 * Л-УТ) , {-Vzf , (-/7)8 |
=1"Г П I 2! I 3! Г
получим:
Это разложение сходится во всех точках плоскости, а
потому все точки плоскости являются правильными
точками для данной функции, причем точка г = 0 есть
устранимая особая точка, если положить/@) = 2.
74. f(z) = -^=1.
О т в е т. z = 0—устранимая особая точкадочки z = 2kni
(k = ib li zb 2, dz- • •) полюсы первого порядка.
Ответ. 2=0 — устранимая особая точка.
76. f(z) = tgz.
Ответ. z = ^-\-k,Ti (A = 0,±l,zh2,ih-..) полюсы
первого порядка.
34

1
*-з
Ответ. 2 = 0 полюс третьего порядка, 2=1, 2=5
полюсы первого порядка, z = — 5 — устранимая особая
точка, 2=3 — существенно особая точка.
§ 12. ПОНЯТИЕ ВЫЧЕТА ФУНКЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО
ИЗОЛИРОВАННОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ
Если функция f(z) — аналитическая в некоторой точке, то по
теореме Иоши
J/(*)<& = О, A,12)
где у—произвольно замкнутый контур, содержащий внутри себя
точку а и малый настолько, что функция f(z) остается аналитической
всюду внутри этого контура, включая точки самого контура.
Если же а — изолированная особая точка функции / (z), то
значение интеграла С f(z)dz, вообще говоря, не равно дулю.
Y
Это значение не зависит от формы контура у и может быть
вычислено посредством разложения под интегральной функции в ряд
Лорана в окрестности точки а (О < | z — а \ < г)
Интегрируя почленно ряд B,12) вдоль контура у и принимая во
внимание равенства
-„, «'=^2it/прит=-1'
Y
получим:
^2nL C,12)
1 С
Значение интеграла ^—. \ / (z) dz называют вычетом функции относи-
т
тельно особой точки а и обозначают символом Res f(z).
Из C,12) следует, что вычет функции f(z) относительно особой
точки равен коэффициенту при первой отрицательной степени
разложения Лорана B,12), т. е.
Re/M c.x. D,12)
Из D,12) замечаем, что вычет функции относительно устранимой
точки равен нулю, так как в этом случае с_,=0.
35

Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки равен
коэффициенту при первой отрицательной степени в разложении
функции в ряд Лорана для бесконечно удаленной точки, взятому с
противоположным знаком, т. е.
Res/(*) = —с _!. E,12)
2= оо
Ее пи внутри замкнутого контура z функция f(z) имеет особые
точки av a2, д„ ..., ап, то по основной теореме о вычетах следует:
*М/(*)**= У Res /(*). F,12)
Таким образом, вычисление интеграла \ f(z)dz по замкнутому
контуру L сводится к нахождению суммы вычетов под интегральной
функции относительно особых точек а& лежащих внутри контура
интегрирования.
Примеры.
78. Найти вычеты функций:
f(z) = ez z в точке z — 0.
Решение. Точка z = 0 есть существенно особая
точка данной функции. Представляя рассматриваемую
функцию так:
и выделяя коэффициент при г, получим:
00
с_х = Res/ (z) = ^ k\(k + i)\ (замечая> что 0! = О-
1
79. f(z) = j^ в точках 2 = 0 и 2=1.
Ответ.
k=i
36

80. Пользуясь разложением функции f(z) в ряд
Лорана в окрестности полюса первого порядка, вывести
формулу:
c.t=lm[(z-a)f(z)]. G,12)
81. Пользуясь разложением функции f(z) в ряд
Лорана в окрестности полюса п-го порядка, вывести формулу:
82. Применяя формулы G,12) и (8,12), найти вычеты
следующих функций:
83. Пользуясь понятием о вычете функции и
обобщением теоремы Коши на случай многосвязной замкнутой
области, доказать основную теорему о вычетах F,12).
Пользуясь основной теоремой о вычетах F,12) и
формулами G,12) и (8,12), вычислить интегралы по замкнутым
контурам:
Oi I r» Г*+ 2 18sin*
вдоль контура |г — 2 [ == 3.
Решение. Контуром интегрирования здесь служит
окружность (х — 2J4~^2 = 9, внутри которой подинтег-
ральная функция имеет полюсы первого порядка z = 0 н
Остальные особые точки z=2kixi (A = ±±,±,
Hh...), 0 = 4^3/ и 0== со лежат вне контура
интегрирования.
По формуле G,12) находим:
37

Применяя теорему F,12), окончательно имеем:
z+2 18 sin г Л , 2п2
85 /-ГГ
вдоль контура + y
Решение. Контуром интегрирования служит эллипс
с полуосями а = 3, Ь = 2. Особые точки внутри контура
2=1 —полюс второго порядка, z==— 2— полюс первого
порядка. Особые точки z = ^zAi, z =—10 и z = oo
лежат вне контура.
Применяя формулы G,12) и теорему F,12), получим:
ЯА Г dz
5D# J(*2-l)(*-3J
2 1 —
по астроиде хъ -\-уъ =23 •
Ответ, -gj-.
87
Г Г
вдоль контура z = 3^z/, 0 ^ t ^ 2тт.
Ответ, -у-.
§ 13. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Всякому невихревому и свободному от источников потоку
несжимаемой жидкости в односвязной области D соответствует аналитическая
функция
w=f(z) = u-{-iv, A,13)
которая называется характеристической функцией или комплексным
потенциалом потока. Обратно, задание любой функции w=.f(z)
аналитической в односвязной области определяет в этой области
невихревой и свободный от источников поток несжимаемой жидкости.
Функции
и = и (х, у) и v = v (х, v)
называют, соответственно, потенциалом скоростей и функцией тока.
38

Кривые
и(х, у) = const
называют линиями уровня или эквипотенциальными линиями потока.
Кривые
v (х, у) = const
называют линиями тока или траекториями потока.
Скорость потока, определяемого функцией A,13) в любой точке
z = x-\-iy, определяется по величине и направлению комплексным
числом
— Л/7 fill
f(z) = ^LJLi ™ B,13)
дх { ду v '
то есть числом, сопряженным со значением производной в этой точке.
Откуда следует гидродинамическое истолкование модуля и
аргумента производной функции комплексного переменного, а именно:
рассматривая заданную в односвязиой области аналитическую функцию
как характеристическую функцию соответствующего потока жидкости,
можем утверждать, что | /' (z) | равен величине скорости течения
в точке 2, a argf (z) с обратным знаком определяет направление этой
скорости.
Из B,13) следует, что проекции скорости потока на оси координат
ди ди
равны частным производным ^— и-т-.
Величину N= \ -^- ду —~л~^х называют потоком жидкости
с
сквозь замкнутый контур С.
Величину /= \ ~гг-dx *4--т- dv =
J дх ' ду '
называют циркуляцией скорости по тому же контуру С.
Если w — -
обильности N.
Если w = 2~. In (z — а), то точка а называется вихрем
интенсивности I.
Примечание. Так как
N
Если w = тг~ In (z — а), то точка а называется источником
то N и I можно находить с помощью вычетов.
Примеры.
Найти потенциал скоростей, функцию тока, линии
уровня, линии тока, величину и направление вектора ско-
39

рости, проекции скорости на оси координат, если
движение жидкости определяется комплексным потенциалом:
88. w=f{z) = z2 + 2z + 3.
Решение. Полагая z = x-\-iy, w = a-\-iv, получим:
и(лу у) = х2—у2 + 2х -|- 3 — потенциал скоростей,
v(х, у) = 2ху-{-2у— функция тока,
и{х, у) = х2—у2 + 2л: + 3 = const — линии уровня —
гиперболы,
v (х, у) = 2ху -f- 2у = const — линии тока — гиперболы,
v=f(z) = 2z + 2 — вектор скорости,
h
J
Черт. 8
Черг. 9
I v\ = \f (z) I = 2]/r(jc -f- 1 J +У — величина скорости,
a = arg/(z) = — arctg -^-r- — направление скорости,
vx = -^=2(x-\- 1) — проекция скорости на ось ох,
vv = j- = — 2у — проекция скорости на ось оу,
О, (— 1,0) — точка покоя жидкости (чертеж 8).
89. w=f{z) = 4ln(z — 2).
Ответ, и (х} у) = 2 In [(х — 2J + У2] — потенциал
скоростей,
у(Ху j;) = 4arctg—з —функция тока,
(л — 2J -\-у2 = const — линии уровня — окружности,
у = с (х — 2) — линии тока — полупрямые (чертеж 9),
40

4
v=f (z) = =—т. — вектор скорости,
I v I = I f (z) I = — — величина скорости,
a = arg/7B) = arctg —^ — направление скорости,
v* = g^=(x -*2)*~+,y2 ~ пРоекция ск°рости на ось ox,
д 4
( )
ди 4v
vy ~ ду = (x — 2J+у8 ~ пР°екЦия скорости на ось oj;,
Л/'== 8тг — поток жидкости сквозь контур с,
z = а = 2 — источник обильности Л/^втг.
90. Построить комплексный потенциал движения жид»
кости, если известно уравнение линий уровня
х2 — У2 + 2лу + л — ? (с = const)
и дано, что / @) = 0.
Решение. Полагая и(х,j/) = a;2— у*-^-2ху-\-х и
применяя формулу B, 7) § 7, получим:
91. Построить комплексный потенциал движения
жидкости, если известно уравнение линий тока
cos xshy — c = 0.
Ответ. w=f(z) = sinz-{-с.
92. Комплексный потенциал
w=f(z) = 5iln(z2 — a2).
Найти циркуляцию по окружностям \z±a\ = a.
Ответ. /=—Ютт по обеим окружностям.
93. Движение жидкости вызывается источником
обильности N, помещенным в точке а. Доказать, что поток
сквозь простой замкнутый контур с равен нулю, если
точка а вне контура, и равен Л^, если точка а внутри
контура.
94. Движение жидкости создается источником 7V и
вихрем /, помещенными в точке а. Доказать, что линии
токов — логарифмические спирали.
41

§ 14. УПРАЖНЕНИЯ
Пользуясь теоремами о модуле и аргументе произведений,
частного, степени и корня, найти модули и аргументы следующих
выражений:
1. E + 8/)(8 + 5/). 2. |i|j. 3. (У 3" + 'K. 4.
5. (-1 + / Уз) A - /). 6. j^y • 7. B - З/)8. 8. У УЗ"- /.
Какие линии или области в комплексной плоскости определяются
условиями:
9. |*+1| = 2|*-/|.
10. К|^ + 2|<3.
И. |*-2| = |1-2г|.
12. \2-а\ + \г-Ь\кя
(а и Ь — вещественные постоянные).
Какие кривые описываются точкой z комплексной плоскости, если
z выражается через вещественную переменную t следующим образом:
13. z = z(t) =
U.z = z(t) = (\Tit)e.
15. z — z (t) = aelt + a~l e'lt
16. zr=z(t) = (\+tJlt
Отделить действительную и мнимую части следующих функций:
17. zez, полагая z = x4-iy.
1 +z
18. In i ___z, полагая z = r(coscp + /sin<p).
ez
19. -j-, полагая z~x-\-iy.
20. | __ , полагая z = r (cos <p + /sin cp).
Вычислить следующие выражения:
21. {/[Г/, 22. sin (f - ') • 23. (-1 + if. 24. arctg /.
25. ^~ . 26. sin (^ - 2/Y 27. (l - /V§)'. 28. arctg A -f /).
Построить аналитическую функцию
по следующим условиям:
29. и = х4 - 8^ - 6х2у2 + 8ху3 + ^4, / @) = 0,
31. и = arctg ттгу, /@) = 0.
32. v = л3 — 3#/ + 4xy, / B) = 12.
42

33. a =
34. tr=^
35. к = 12*2)/ - 4/ - 3y, / @) == 0.
36. v = ex [(x + 1) sin у -\-y cos j/], / @) = 5.
Вычислить интегралы:
37. \ f z2 , 1 + g»_ i'J ^ — ВД°ЛЬ контура 12 — 1 | = 1.
38. J [(*«-9)(г + 1) + 16+?| ^-вдоль контура
_ С f cosz , z± \
39. \ \JZlT%\ z* J- 9 ) *&— ВД°ЛЬ контура
4x2 + 25y2=100.
40. \ f бг - 10 + _—^"j ) dz - вдоль контура
J \ z d)z 1J/
_—^j
4!t J V
2 5 у -J_ 9
* +B1)(^ + 4);^""вдоль контУРа
42. J ^sin 2z + B2j^^{22_9)J dz - вдоль контура
2 2_
= 23'
J^ q 1 ate — вдоль контура xr -f- у2 — 2х = 0.
у) Л-
вдоль контура
Указание. Воспользоваться теоремой Коши и формулой
dz
г — а
с
если я внутри контура С.
Разложить в ряд Тейлора функции:
45. / (г) = sin2 z — по степеням -г — —.
46. / (z) = ¦ — по степеням г -|- 2.
47. /(г) = arc sin z — по степеням z.
48. / (г) = . — по степеням г — 3.
43

Найти первые три члена разложения в ряд Тейлора и определить
радиус круга сходимости для следующих функций:
49. f(z)= z , .—по степеням z.
50. f(z) = In z — по степеням z — 2.
51. f(z) = T--.—: по степеням z,
w 1 + sin z
52. f(z) = In B + 1) — по степеням z — 2.
Разложить в ряд Лорана функции:
53. /(*) ==: ^ + 2)(;2з) ~ в кольце 2<М< 3-
~ В К0ЛЬЦе ! < lZ + 2| < 4'
~в КОЛЬце ! <|2;| <2'
з)~р кольце
Указать, какие особые точки и какого типа имеют функции:
61. fc. 62.cos^. 63. >^Н±?. 64. ,_
. 68. In (гг -f-1).
69. Показать, что уравнение
в окрестности точки г: = 7 имеет бесконечное множество корней при
любом А.
70. Показать, что при любом А Ф 0 уравнение
в окрестности точки 2 = 3 имеет бесконечное множество корней.
71. Для отображения о>=1 — г2 найти коэффициент растяжения
и угол поворота в точках z = — 1; z=\ — /.Вдолькаких линий
коэффициент растяжения один и тот же? Вдоль каких линий угол поворота
один и тот же? В каких точках нарушается конформность
отображения?
72. Для отображения w = ^ . найти коэффициент растяжения
и угол поворота в точках z = 0 и z — i. Вдоль каких линий
коэффициент растяжения один и тот же? Вдоль каких линий угол поворота
44

один и тот же? В каких точках нарушается конформность
отображения?
73. Найти функцию, отображающую плоскость с разрезом вдоль
отрезка а < z < ? на нижнюю полуплоскость.
74. Найти функцию, отображающую круг с разрезом, идущим от
центра по радиусу вдоль вещественной оси, на верхнюю полуплоскость.
75. Найти функцию, отображающую круг | z | < 1 на плоскость
с разрезом вдоль положительной части вещественной оси.
76. Показать, что функция
w=f(z)=-e-*
отображает полу полосу 0^х<оо, О^у^п на верхний полукруг
единичного радиуса.
Найти потенциал скоростей, функцию тока, линии уровня, линии
тока, величину и направление вектора скорости, проекции скорости на
оси координат, если движение жидкости определяется комплексным
потенциалом:
z+±. 78. /(*)== 6 In (z - 3).
79. f(z)=^L-Z. 80. f(z) = 4In (z2 — 1).
Найти комплексный потенциал движения жидкости w =f(z) = u-\-iv>
величину и направление вектора скорости, проекции скорости на
координатные оси, потенциал скоростей и функцию тока, если известно:
81. Уравнение эквипотенциальных линий
82. Уравнение линий тока
У + 1
г = С (const).
Найти комплексный потенциал w = f(z) = u-{-iv, величину и
направление вектора скорости, проекции скорости на координатные оси,
потенциал скоростей и функцию тока, если известно:
83. Потенциал скоростей
U{x, y)=z\w(.
84. Уравнение линий тока

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 2
Некоторые обозначения 3
§ 1. Операции с комплексными числами 4
§ 2. Понятие области и ее границы 5
§ 3. Комплексные функции действительного аргумента 7
§ 4. Понятие функции комплексного переменного, ее предела
и непрерывности 8
§ 5. Элементарные функции в комплексной области 10
§ 6. Понятие дифференцируемой и аналитической функции ... 13
§ 7. Построение аналитической функции по заданной ее
вещественной или мнимой части 16
§ 8. Теорема и интеграл Коши 20
§ 9. Конформное отображение 21
§ 10. Разложение аналитических функций в степенные ряды
Тейлора и Лорана 28
§ 11. Изолированные особые точки однозначной функции .... 31
§ 12. Понятие вычета функции относительно изолированной
особой точки 35
§ 13. Гидродинамические приложения функций комплексного
переменного 38
§ 14. Упражнения 42

Редакторы: М. Л. Смолянский, Л. Г. Немцова
Технический редактор В. Л. Волчек
Корректор Г. М. Графовская
*
Сдано в набор 2/Н 1959 г. Подписано к печати 21/Ш 1959 г.
84X108V82. Печ. л. 3 (?46). Уч.-изд. л. 2,20.
Заказ № 2728. Тираж 25 тыс. экз. А03028
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Московского городского Совнархоза.
Москва, Ж-54, Валовая, 28.
Цена 65 коп.