Проблемы в релятивистской динамине квантованных полей - Вайтман А.С.

Автор: Вайтман А.С.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика естественные науки квантовая теория поля релятивистская механика
Год: 1968
Похожие
Проблемы субатомного пространства и времени
Классическая теория поля. Новые проблемы
Проблемы теории пластичности
Проблемы управления релятивистскими и квантовыми динамическими системами
Текст
                    СОВРЕМЕННЫЕ
ПРОБЛЕМЫ
ФИЗИКИ
Серия выпускается под общим руководством
редакционной коллегии журнала
«Успехи физических наук»
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1968

А. С. ВАЙТМАН
ПРОБЛЕМЫ
В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ
ДИНАМИКЕ
КВАНТОВАННЫХ
ПОЛЕЙ
Перевод с английского
А. Д. СУХАНОВА
Под редакцией
Б. В. МЕДВЕДЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
MQCKBA )р§§

В 14
530.1
УДК 539.101
Проблемы в релятивистской динамике кванто-
ванкых полей. В а й т м а н А.С, Изд-во «Наука»,
Главная редакция физико-математической лите-
литературы, М., 1967.
Книга представляет собой первую строгую по-
попытку синтеза идей аксиоматического направления
и обычного гамильтонова формализма. В части I
на примере конкретных моделей обсуждается
роль различных аксиом в квантовой теории поля.
В части II рассматривается ряд трудностей насто-
настоящей теории поля и выясняется их физическая
сущность. В дополнении дается изложение сов-
современной теории рассеяния Хаага—Рюэля.
Рис. 5, библ. 128 назв.
Л. С. Вайтман
Проблемы в релятивистской динамике квантованных полей
Ы.. 1967 г., 184 стр. с илл.
(Серия «Современные проблемы фввики»)
Редактор Д. А. Миртоеа
Техн. редактор В. Н. Крючкова Корректор Т. С. Плетнева
Сдано в набор 22/IV 1967 г. Подписано к печати 3/XI 1967 т.
Бумага 84х108у32. Физ. печ. л. 5,75. Условн. печ. л. 9,66.
Уч.-изд. л. 9,7. Тираж 9000 экз. Цена книги 67 коп. Заказ № 3373
Издательство «Наука>
Главная редакция физико-математической литературы
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
2-я типография издательства «Наука». Москва, Шубинский пер., 10.
2-»-2

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора перевода 7
§ 1. Введение 9
Ч а с т ь I
ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
§ 2. Обобщенные свободные поля и их классы эквивалентности 19
§ 3. Теория полей Ли 32
§ 4. Модели в двумерном пространстве-времени 37
Пример 1. Экспоненты по свободным полям ненулевой
массы и операторные калибровочные преобра-
преобразования 40
Пример 2.Скалярные и спинорные поля нулевой массы
в двумерном вространстве-времени .... 46
Пример 3. v-теория фононов 59
Пример 4. Модель Тирринга 63
Пример 5. Векторные мезоны, взаимодействующие с
фермионами нулевой массы 78
Пример 6. Модель Федербуша 80
§ 5. Общие методы построения новых теорий из старых ... 88
Прямая суммам 88
Сужение на подпространство . 89
Тензорное произведение (прямое произведение) .... 90
Сужение на времениподобную гиперповерхность: 93
Заключительные замечания 93
Часть II
ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ
СТАНДАРТНЫХ НЕТРИВИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
§ 6. Чем плохо представление взаимодействия? (Теорема
'Хаага) 95
§ 7. Чем плохо представление взаимодействия? (Ультра-
(Ультрафиолетовая катастрофа) 111
§ 8. Формализм гильбертова пространства; существенная
самосопряженность различных гамильтонианов .... Ив
Пример 1. Бесконечно малый сдвиг 118
Пример 2. Свободная шредингерова частица на не-
некотором интервале 120

б СОДЕРЖАНИЕ
Примеры 3 и 4. Шредингерова частица в поле с чет-
четверным потенциалом притяжения и с кубичес-
кубическим потенциалом 121
Пример 5. Оператор — Д + V с потенциалом V,
ограниченным снизу 123
§ 9. Стабильность вакуума 128
§ 10. Модели теорем существования. Выводы 137
Дополнение
ПОСЛЕДНИЕ ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
1. Аксиомы и теорема реконструкции 145
2. Сравнение пространств Я) и S в качестве областей опре-
определения поля А (ф); обсуждение пространства D; са-
самосопряженность эрмитовых полей • .... 149
3. Алгебры фон Неймана, ассоциированные с областью в про-
пространстве-времени, и поле 155
4. Теория рассеяния Хаага — Рюэля. Общий обзор . . . 159
5. Асимптотическое поведение решений уравнения Клей-
Клейна — Гордона 165
6. Усовершенствованная теорема о распадении на пучки 169
7. Заключительные замечания о теории рассеяния Ха-
Хаага — Рюэля 180
Литература 181

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая читателю в серии «Современные проб-
проблемы физики» книга А. С. Вайтмана «Проблемы в реляти-
релятивистской динамике квантованных полей» представляет со-
. бой перевод лекций, прочитанных автором в летней шко-
школе теоретической физики на Корсике в 1964 г.*).
В первой части предлагаемой книги автор, являющий-
являющийся одним из создателей аксиоматического направления в
квантовой теории поля, изучает, на примере конкретных
моделей, роль различных аксиом в квантовой теории по-
поля. Вторая часть книги посвящена обсуждению ряда
трудностей, которые присущи настоящей теории по-
поля. К числу их принадлежат теорема Хаага и проблема
неэквивалентных представлений канонических перестано-
перестановочных соотношений, несепарабельность гильбертова про-
пространства состояний, проблема ультрафиолетовых рас-
ходимостей. ,
Можно сказать, что эта книга представляет собой пер-
первую строгую попытку синтеза идей аксиоматического на-
направления и обычного гамильтонова формализма. Вместе
с тем действительное преимущество этой книги состоит в
том, что она написана для физиков, а не для математи-
математиков. Поэтому в ней не только формулируются и доказы-
доказываются различные теоремы, но каждый раз выясняется и
далеко не простое физическое существо дела.
*) Introduction to some aspects of the relativistic dynamics of
quantized fields by A. S. Wightman. Institut des Hautes Etudes
Scientifiques, Bures—sur—Yvette (Seine—&— Oise), on leave from
Princeton University, Princeton, New Gersy, USA. Revised notes for
lectures at the French Summer School of Theoretical Physics, Car-
gese, Corsica, July 1964.

8 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
С целью более полного ознакомления читателя с рабо-
работами по аксиоматической теории поля мы сочли целесо-
целесообразным включить в данное издание также и вторую
часть лекций А. С. Вайтмана, прочитанных им на семи-
семинаре по теоретической физике в Триесте в 1962 г., посвя-
посвященную в основном теории рассеяния Хаага — Рюэля
(Theoretical Physics, Lectures, presented at the Seminar on
Theoretical Physics, Trieste, 1962, IAEA, Vienna, 1963). Это-
позволит восполнить существующий в нашей литерату-
литературе пробел, поскольку изложение теории Хаага —
Рюэля не вошло ни в одну из монографий или обзорных
статей на русском языке *). Что же касается первой части
триестских лекций Вайтмана, то она содержит изложе-
изложение ряда наиболее простых, общих и известных резуль-
результатов аксиоматической теории поля, которые полностью
и с большей подробностью излагаются в основной части
этой книги или же в недавно вышедшей книге Р. Ф. Стри-
тера и А. С. Вайтмана «РСТ, спин и статистика и все та-
такое» («Наука», 1966). Поэтому перевод зтой части был
признан излишним, и мы ограничимся здесь тем, что
приведем только заголовки входящих в нее разделов:
1. Ретроспективный взгляд на теорему РСТ. 2. Транзитив-
Транзитивность слабой локальной коммутативности и локальной
коммутативности; классы эквивалентности локальных по-
полей. 3. Обобщенные свободные поля и свойство сосредото-
сосредоточенности полей в импульсном пространстве. 4. Свойство
распадения на пучки. Поскольку вторая часть триестских
лекций, по замыслу автора, не зависит от первой, то пе-
перевод только одной этой части можно считать оправдан-
оправданным.
Мы надеемся, что настоящая книга будет полезна на-
научным работникам, студентам и аспирантам, как физи-
физикам, так и математикам, интересующимся современной
квантовой теорией поля.
31 декабря 1966 г.
. ... . Б. Медведев
*) В настоящее время в издательстве «Мир» готовится к печати
книга Р, Й о с т а «Общая теория квантовых полей».

§ 1. Введение
В последние годы было приложено немало усилий,
чтобы прояснить основы квантовой теории поля. Был раз-
разработан такой язык, который в принципе должен был бы
позволить рассуждать о теории квантованных полей ма-
математически строгим образом. Внутренняя непротиворе-
непротиворечивость этого языка была продемонстрирована на тео-
теориях свободных полей и обобщенных свободных полей,
но физически нетривиальные примеры взаимодействую-
взаимодействующих полей все еще неизвестны.
В то же время в эвристической квантовой теории поля
известны многочисленные примеры нетривиальных моде-
моделей, для которых можно доказать существование решений
в том смысле, что можно выписать формальные (преиму-
(преимущественно расходящиеся) ряды по константе связи, удо-
удовлетворяющие уравнениям движения (например,псевдоска-
(например,псевдоскалярная мезонная теория с псевдоскалярной связью).
Возможны по крайней мере две точки зрения на эти
модели. Согласно одной из них, эти модели — часть древ-
древней истории и «будущую теорию» следует формулировать
каким-то радикально новым способом. Согласно же дру-
другой, эти модели дают нам пробный объект, на котором
общая теория 'квантованных полей должна продемонст-
продемонстрировать свои силы. В поддержку этой второй точки зре-
зрения можно сказать, что если бы современная теория смог-
смогла решить проблему доказательства существования реше-
решений этих стандартных моделей, проблему, сокрушившую
два поколения физиков-теоретиков, то это дало бы воз-
возможность обосновать спорные предположения в теории
^-матрицы и в теории элементарных частиц. Это также
могло бы убедить кое-кого из ретроградов в том, что

10 § 1. ВВЕДЕНИЕ
современная теория—вовсе не просто игра в бирюльки для
любителей «высокой науки».
Как бы то ни было, в этих лекциях я считаю, что необ-
необходимо как можно шире изучать стандартные теории.
Вдобавок к упомянутым выше моделям в последние
годы было открыто несколько явно решаемых моделей
(например, модель Тир ринга). Вообще говоря, с физиче-
физической точки зрения эти модели тривиальны в том смысле,
что они не приводят к нетривиальной теории рассеяния.
Однако эти модели представляют значительный система-
систематический интерес для оценки обоснованности общих мето-
методов теории поля. По этой причине в части I я дам обзор
всех известных явно решаемых релятивистских моделей
и покажу, насколько они укладываются в рамки общей
теории.
Простейшими явно решаемыми моделями являются мо-
модели п скалярных полей, взаимодействие которых опи-
описывается лагранжианом, квадратичным по этим полям.
Решения таких моделей — совокупность п обобщенных \
свободных полей, спектр масс которых содержит конечное
число п дискретных значений.
Несколько более сложная ситуация возникает, когда,
сохраняя квадратичность лагранжиана, рассматривают
бесконечное семейство полей, характеризуемое каким-
либо непрерывным параметром. Сами решения таких мо-
моделей, вообще говоря, не являются обобщенными свобод-
свободными полями. Однако они могут быть представлены в виде
B(s, х) = 5 K(s,t)A (t,x)dt, A.1)
о
со
где \ A (t, х) dt — обобщенное свободное поле. Опе-
о
ратор В, определенный в A.1), локален относительно опе-
оператора А, т. е.
Ш («, х), А (t, у)] = 0 для (х - yf < 0. A.2)
Это означает, что оба этих оператора принадлежат к од-
одному классу эквивалентности (классу Борхерса). Как бы-
было установлено Лихтом, наиболее общий элемент такого

§ 1. ВВЕДЕНИЕ И
класса эквивалентности представляет собой конечную
сумму членов вида
.... J F(Sl «„): D*'A fa, х)... Jfn A (sn, x): dsx ...dsn,
A.3)
где F — обобщенная функция умеренного роста, & D*
обозначает выражение
я1а1
(а^^г«(^>(«^«"'й'= й@) + аA) + йB) + аC)>
A.4)
где а = (а№, аМ, а<-2\ а<8>) — любая совокупность четы-
четырех неотрицательных целых чисел.
К числу моделей, относящихся к этой категории, при-
принадлежит модель Захариасена в интерпретации Тиррин-
га. В обобщенном толковании, обсуждавшемся Лихтом,
она приводит к нетривиальной теории рассеяния. К со-
сожалению, возможность явного решения этой модели свя-
связана как раз с теми ее особенностями, которые делают ее
как физическую теорию непригодной.
В § 3 мы рассмотрим теорию полей Ли. Это такие поля,
коммутатор которых имеет вид
[Ф(аг),
^( x±2)(z)dz. A.5)
Соотношения A.5) как раз того же типа, что имеют место
между инфинитезимальными операторами в представле-
представлении группы Ли; функции / и g играют роль структурных
констант. Обобщенные свободные поля — это специаль-
специальный класс полей Ли, "для которого g = 0. Как было впер-
впервые показано Робинсоном, поля Ли в трех- или четырех-
четырехмерном пространстве-времени являются обобщенными
свободными полями. Что касается двумерного простран
ства-времени, то известны примеры, когда поля Ли при-
принадлежат к классу эквивалентности обобщенного свобод-
свободного поля, но сами обобщенными свободными полями не

12 § 1. ВВЕДЕНИЕ
являются. Итак, из всего сказанного выше мы можем сде-
сделать вывод, что все те поля, которых мы касались, при-
принадлежат к классам эквивалентности обобщенных сво-
свободных полей.
§ 4 посвящен обсуждению моделей релятивистских
теорий поля в двумерном пространстве-времени. Их кон-
конструкция существенно зависит от четырех специфических
особенностей двумерного пространства-времени:
1) Клаусе эквивалентности свободного поля ф в двумер-
двумерном пространстве-времени гораздо богаче, поскольку он,
наряду с полиномами по ф, содержит и ряды вида
со
2 сп: ф": (*). A.6)
П=0
Локальные функции свободных полей включают объекты,
которые удовлетворяют содержательным уравнениям дви-
движения и которые в пространствах более высокой размер-
размерности не были бы хорошо определены.
2) Инвариантные обобщенные функции с носителем в
будущем световом конусе р2 = 0, р° |> 0 никогда не бу-
будут положительными мерами. Это обстоятельство разъяс-
разъясняет некоторые математические двусмысленности, кото-
которые весьма досаждали в прежних формальных исследо-
исследованиях.
3) Если исключить точку р = 0, то будущий световой
конус распадается на две несвязные компоненту:
р2 = 0, р° > 0, р1 > 0 и р2 = 0, р° > 0, р1 < О,-
каждая из которых представляет собой выпуклый конус.
Это приводит к существованию дополнительных интег-
интегралов движения, которые можно использовать для полу-
получения явных решений уравнений, гораздо менее подат-
податливых в пространствах более высокой размерности.
4) В двумерном пространстве-времени из уравнения
d'VV (я) =0 следует, что соответствующий току /р.псев-
доток № (ж) = — ei" /„ (х) удовлетворяет условию
rot к = 0. Это в свою очередь означает, что существует псев-
псевдоскалярный оператор а такой, что № (х) —д*а(х).
Если /л — ток свободного спинорного поля ij; ненулевой

S 1. ВВЕДЕНИЕ 13
массы, то соответствующий оператор а оказывается ло-
локальным полем, не принадлежащим к классу Борхерса
поля г|>. Соответствующим образом подобранные функции
полей а и г|> оказываются локальными полями, не принад-
принадлежащими к классу Борхерса свободного поля. Тем са-
самым они могут иметь ^-матрицу, отличную от единичной.
Частным случаем A.6) является оператор :ехр gtp : (ж),
где ф — свободное поле массы т > 0. Это поле и
двукомпонентное поле г|э (ж) = : ехр g<p: (ж) г|э(°> (ж), где
t)j(o) (ж) — решение свободного уравнения Дирака, обсуж-
обсуждаются в примере 1.
Вторая особенность становится существенной в слу-
случае свободного скалярного поля нулевой массы. Дейст-
Действительно, в двумерном пространстве-времени ни один
объект такого рода существовать не может, если только
накладывать на него обычные требования квантовой тео-
теории поля. Однако если в гильбертовом пространстве сос-
состояний ввести индефинитную метрику, то в нем можно
определить свободное скалярное поле и экспоненту от
него. Эти операторы можно использовать для построе-
построения модели теории поля, изученной Шроером в его работе
об инфрачастицах. Эта модель вместе со свободным по-
полем Дирака нулевой массы рассматривается в примере 2.
Для поля Дирака нулевой массы усложнения, свя-
связанные с индефинитной метрикой, не возникают по сооб-
соображениям размерности.
В примере 3 показано, как развитый формализм свя-
связан с v-теорией фононов, т. е. с теорией, в которой бозон-
ное поле нулевой массы строится из билинейных комби-
комбинаций фермионных полей нулевой массы.
В примере 4 рассматривается модель Тирринга, т. е.
теория фермионного поля нулевой массы, которое взаи-
взаимодействует само с собой посредством ферми-связи. Эта
модель оказывается довольно тривиальным обобщением
упоминавшейся выше модели, изученной Шроером. То
же самое можно сказать, как то впервые заметили Тир-
ринг и Весе, и о теории фермионного поля нулевой массы,
взаимодействующего с двукомпонентным векторным по-
полем. Она рассматривается в примере 5.
Последний рассматриваемый нами пример 6 был пред-
предложен Федербушем. Это теория двух фермионных полей

14 § 1. ВВЕДЕНИЕ
ненулевой массы с взаимодействием вида /f (ж) е^у /I (ж).
Это взаимодействие также приводит к теории, решение
которой можно просто выразить через свободные поля.
Выводы, которые можно сделать из изучения этих мо-
моделей, ясны не до конца. Все полученные решения можно
без труда выразить через свободные поля и поля, доволь-
довольно просто построенные из свободных. Кроме того, соот-
соответствующая теория рассеяния относительно тривиальна
(сечения рассеяния зависят не от энергии и импульса, а
лишь от внутренних квантовых чисел). Хотя эти модели
служат неоценимым материалом для проверки общего
формализма, создается впечатление, что они нисколько
не продвинули нас к конечной цели построения нетри-
нетривиальных теорий поля. (Существуют веские основания
полагать, что стандартные теории взаимодействий Ферми
и Юкава для фермионов ненулевой массы будут нетри-
нетривиальными, если они вообще имеют решение.) Однако не-
некоторые явные решения принадлежат к классам Б орхер-
са, отличным от классов Борхерса свободных полей, а
некоторых из них приводят к ^-матрице, отличной от
единичной. Представляет интерес исследовать дальше
четвертую особенность, чтобы установить, не прольет ли
это какой-либо свет на проблему решения нетривиальных
моделей.
В конце части I мы кратко охарактеризуем несколько
общих методов построения новых теорий поля, предло-
предложенных рядом других авторов. Ни один из этих методов,
вероятно, не приведет к созданию нетривиальных теорий
поля из тривиальных, но тем не менее иногда они оказы-
оказываются полезными.
Даже если допустить, как мы здесь это делаем, Что
стандартные нетривиальные модели теорий поля заслужи-
заслуживают изучения, отсюда вовсе не следует, что эвристиче-
эвристические формулы, которые выдаются за их решения, имеют
хоть какой-то смысл. Действительно, наивные читатели
оригинальных работ могли бы впасть в чрезвычайный
пессимизм относительно пригодности предложенных ре-
решений. Следуя в этом направлении, можно было бы сде-
сделать вывод, что для получения теорем существования в
этих теориях необходимо использовать формализм, в ко-
котором все общие требования релятивистской локальной

§ 1. ВВЕДЕНИЕ 15
теории выполняются автоматически. В конце концов, ес-
если квантовая теория полей окажется действительно пло-
плодотворной, такой формализм непременно будет создан.
Но до сих пор остается ворчливый вопрос: существует ли
что-нибудь поучительное в формальных решениях теорий
поля, трудолюбиво выписывавшихся в 1946—1952 гг.,
кроме эвристического получения рядов теории возмуще-
возмущений (неперенормированных или перенормированных) по
степеням константы связи? Часть II этих лекций как
раз посвящена ответу на него. Точнее, если стандарт-
стандартные решения «плохи», то спросим: почему именно они
плохи и можно ли их фиксировать так, чтобы они приве-
привели к теоремам существования? Очертим основные идеи, к
которым можно тут прибегнуть.
Прототипом рассматриваемых проблем является за-
задача: найти скалярное поле ф, удовлетворяющее урав-
уравнениям
[ф (а:), ф (у)] _ = 0 при всех х, у, для которых
где ¦
¦ Ф* • (х) = lim [Ф (у) Ф {х) - (То, Ф {у) Ф (х) То)].
V-+X
Эта задача формально была разрешена введением пред-
представления взаимодействия. Определим свободное поле ф/,
т. е. решение уравнений
т')^(х) = 0, [<pz(x), ф/(г/)] =
так, чтобы при t = О
Ф(х,0)=Ф1(Х,0), |9L*(xf0)-^(x,0).
Тогда для всех более поздних и более ранних моментов вре-
времени
Ф (х, хо) = 'Г1 (хо) фх (х, хо) % (х°), A.7)

16 § 1. ВВЕДЕНИЕ
где % (ж0) — унитарная матрица, удовлетворяющая урав-
уравнению
i%(x'>) = HI(xo)%(xo), <ВД = 1, 1
Фактически матрицу % (ж0) можно записать как
% (ж0) = ехр (г#оа:0) ехр (— ШТо^°), A.9)
где
Hrot = Но -f- Hi, i
Но = J d'« у [: (S
Оказывается, что есть три существенные трудности,
связанные с этим формальным результатом, которые мож-
можно анонсировать заголовками:
1) теорема Хаага;
2) ультрафиолетовая катастрофа;
3) нестабильность вакуума.
Теорема Хаага утверждает, что евклидово-инвариант-
ному оператору, подобному Hi, можно придать смысл
(если вообще это возможно) только в случае, если допус-
допустить странные представления перестановочных соотноше-
ний операторов цц (х, 0) и -^ (х, 0). Далее, странные
представления настолько многообразны, что до самого
последнего времени казалось вообще безнадежным делом
выяснить природу тех операторов, которые следует вклю-
включить, чтобы сделать оператор Hi хорошо определенным.
Тем самым на данной стадии дальнейший путь решения
проблемы разветвляется. Либо необходимо приготовить-
приготовиться к созданию очень серьезной современной теории опера-
операторов, либо придется прибегнуть к неевклидово-инвари-
антным аппроксимациям, а затем получать из них реше-
решения настоящей теории поля в качестве предела. Стандарт-
Стандартная версия последней процедуры состоит в том, чтобы
модифицировать Hi, поместив систему в пространствен-
пространственный ящик. Тогда модифицированный гамильтониан будет

§ 1. ВВЕДЕНИЕ 17
иметь смысл в рамках фокова представления перестано-
перестановочных соотношений при условии, что оператор Hj не
приводит к ультрафиолетовой катастрофе. (Например, в
модели A.8) в случае дву-или трехмерного пространства-
времени ультрафиолетовая катастрофа не должна воз-
возникать.) Именно такая стандартная процедура помеще-
помещения системы в ящик и будет рассматриваться в этих лек-
лекциях. В § 6 подробно обсуждаются явления, связанные с
теоремой Хаага.
Однако, как это видно из заголовка §7 «Ультрафиоле-
«Ультрафиолетовая катастрофа», могут встретиться вещи и похуже.
Даже для системы в ящике оператор Нт может не иметь
смысла. Стандартный способ борьбы с этим злом — ввес-
ввести ультрафиолетовое «обрезание» и добавить к Hj долж-
должным образом подобранные контрчлены. Тогда, если
стенки ящика и параметр обрезания устремить к беско-
бесконечности, поле, определенное формулой A.7), должно
сходиться к решению уравнений поля. Даже если эти пре-
предельные поля существуют как операторы, сглаженные
с помощью основной функции в пространстве-времени,
это вовсе не означает, что они обязательно хорошо опре-
определены как операторы, сглаженные по пространству в
заданный момент времени. Тут уж следует отбросить вся-
всякую мысль о том, что канонические перестановочные соот-
соотношения имеют место в сколько-нибудь буквальном смы-
смысле. Приходится иметь дело с полями, для которых фор-
формально
где Z = 0, т. е. величина перенормировки поля 1/Z бес-
бесконечна. Все эти вопросы обсуждаются в § 7.
Разделавшись с тем, как ввести ящик, ультрафиолето-
ультрафиолетовое обрезание и контрчлены, мы сталкиваемся с матема-
математической проблемой: как доказать, что оставшаяся иск-
искромсанная теория действительно имеет решение, т. е.
что операторы % (ж0) и ф (х, х°), определенные формулами
A.7) — A.Ю), действительно существуют и обладают
требуемыми свойствами. Этот нетривиальный вопрос об-
обсуждается в § 8. Как явствует из приведенных в этом па-
параграфе результатов, мы пока неспособны решить его

18 S 1. ВВЕДЕНИЕ
для всех случаев, представляющих интерес, хотя суще-
существуют случаи, где что-то можно понять.
В § 9 обсуждаются источники трудностей перехода к
пределу, когда отсутствуют ящик и обрезание. Решающим
аспектом проблемы, по крайней мере если использовать
обсуждавшийся здесь формализм, является существова-
существование в искромсанной теории приемлемого приближенного
вакуумного состояния. Требование существования такого
состояния оказывается важным ограничением на способ
введения ящиков и ультрафиолетовых обрезаний. В § 9
также обсуждаются хорошо известные соображения'против
кубических взаимодействий (нестабильность вакуума).
Наконец, в § 10 я собрал некоторые характерные тео-
теоремы существования. В частности, там показано, что с
помощью надлежащего предельного перехода можно по-
получить решение в теориях с квадратичными лагранжиа-
лагранжианами. К сожалению, моя коллекция не содержит теоремы.
существования для действительно нетривиальной реля-
релятивистской теории. Однако она, вероятно, дает представ-
представление о том, насколько трудно будет доказывать подобную
теорему. По моему мнению, существует еще много по-
поучительного в старомодном подходе к теории поля, и я
надеюсь, что эти лекции послужат полезным введением для
тех, кто пожелал бы работать в этом направлении.
Общий уровень изложения в данных лекциях — около-
околоматематический. Это могло бы показаться удивительным
с точки зрения их предмета — обсуждения некоторых
аспектов математической структуры квантовой теории по-
поля. Однако я убежден, что читатели, которым приходи-
приходилось схватываться с современной квантовой теорией по-
поля, без труда смогут превратить большинство сделанных
здесь утверждений в математически строгие положения
[см. (Schweber, 1961; Streater, Wightman, 1964; Jost, 1965)]
Появлением этих лекций я весьма обязан А. Джаффе
и О. Лэнфорду, чьи работы, как опубликованные, так и
неопубликованные, оказали на меня сильное влияние.
Я также благодарен Г. Леману, В. Глазеру и многочис-
многочисленным другим гостям Института высших научных ис-
исследований за полезные обсуждения, замечания и кри-
критику. Я благодарен д-ру Л. Мочану за гостеприимство в
стенах этого института.

ЧАСТЬ I
ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
§ 2. Обобщенные свободные поля и их классы
эквивалентности
Рассмотрим сначала такую элементарную проблему,
яро которую всем известно, как ее решать. Дана система
п скалярных эрмитовых полей, характеризуемая квад-
квадратичной плотностью лагранжиана
[ / ], B.1)
где 9R — вещественная симметричная положительно опре-
определенная матрица. Необходимо найти решения соответ-
соответствующих уравнений движения
п
? ф; (X) = - 2 Щн<Рк (*), 7=1 П. B.2)
Символ • . . . \ в B.1) означает, что, например,
¦А\ =ii—(То, АТ0),
где То — вакуумное состояние.
Чтобы решить эту проблему, необходимо диагонализо-
вать квадратичную форму B.1). Матрица 3R может быть
приведена к диагональному виду с помощью некоторого
ортогонального преобразования В:
о ... о
\B, B,3)
О 0 ...Ml,

20 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
где числа М"\ вещественны и положительны. Тем самым,
если ввести поля
п
ty(*) = S*j*<P*(*), B-4)
то мы получим для них
-Mj)tyj(x) — 0, B.5)
так что не будет непоследовательным считать ¦§$ свобод-
свободными полями, удовлетворяющими соотношениям
[ipj(a;), Opic (y)]_ = 63-ft (-7-J Л (Л/2, x — у), B.6)
где
А (М2, х) = -^5- \ e~ihx sgn /с°6 {к2 — Л
Тогда поля <pj, определяемые равенством
B.8)
будут удовлетворять B.1) и соотношениям
п
г, s=l
е-г/). B.9)
В частности,
так что поля q^ удовлетворяют тем же (каноническим) од-
одновременным перестановочным соотношениям, что и сво-
свободные поля Opj.
Поля ф; описывают п сортов скалярных невзаимодей-
невзаимодействующих частиц с массами Mlt..., Mn. Описание такой
системы с помощью всех п полей <$)_,...,уп с точки зрения
теории рассеяния, вообще говоря, в высшей степени из-
избыточно, поскольку, за исключением случая вырождения

§ 2. ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 21
по массам, все поля ¦^1,...,\^п можно получить с помощью
единственного поля ф^. Более точно, если в матрице В
есть столбец, скажем /-й, все элементы которого не рав-
равны нулю, то ij>ft можно найти из уравнений
Ф3- (/) = )f (х) ф,- (х) dx=)f (р) ф3- (р) dp =
.(p)dp. B.11)
Здесь тильда обозначает фурье-образ:
1 ; _
Фз(ж) = B^^е1^ф,(р) d/>,
и, кроме того, для основных функций и полей мы приня-
приняли противоположное условие относительно знаков в экс-
экспонентах. В самом деле,
П (- p2
(ГП ^1). B-13)
и, поскольку произведение П (—p2 + Л^?) не обращает-
ся в нуль, на гиперболоиде р2 = Ml можно найти функ-
функцию g, фурье-образ которой равен (П (—р2 + ^?Г17'())
в окрестности гиперболоида р2 = Ml и обращается
в нуль в окрестности всех других гиперболоидов
р2 = М\, I =?= к. Для такой функции ^
** (/) = (^i) П (П + ^?) <й (*). B-14)
что указывает, каким образом можно выразить г|зл (/) че-
через ф;. В действительности для определения ij)ft достаточно

22 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
даже знать <р; (х) только во временном слое 0 < | х° | < е.
Это утверждение никоим образом не следует с оче-
очевидностью из B.14), поскольку функция g в этой форму-
формуле будет, вообще говоря, иметь носитель, простираю-
простирающийся за временной слой, если носитель функции / ле-
лежит внутри слоя. Оно следует из того факта, что если g
изменяется по всем основным функциям с носителем в
данном временном слое, то операторы ц>} (g) с фиксиро-
фиксированным/ образуют неприводимый набор операторов: каж-
каждый оператор, в частности г|зй(/), является функцией опе-
операторов этого набора*). Конечно, в общем случае линей-
линейное соотношение B.14) заменяется на нелинейное.
В заданный момент времени t, как это явствует из
B.10), переменные <ру (х, t) и -^- <р; (х, t) не образуют
неприводимого набора, и это достаточная причина для
рассмотрения всех п полей.
Вакуумные средние в этой теории вычисляются без
труда. Например,
п
(То, ф;Ы<Р*Ы То) = 2 ВДнт д(+> <М'' **-*•)• B.15)
Для / = к из этой формулы следует, что функция распро-
распространения поля qty представляет собой результат усред-
усреднения свободных функцир'распространения для масс Aff
с весами В%. Аналогично четырехточечное вакуумное
среднее имеет вид
(То, <Pjl (Sl) <Pj8 Ы <pi3 (Х3) ф,4 (Ж4) То) =
= S BklilBklUBk,uBklU (%, г|5Й1 (хг)... ^ (ж.) То),
*i, S«, Si, Si
где
X! - ж,) (|) Д+ (Ml,, хй - xt) +
*,, «i - *,) (у) А+ (AfJ,, a;2 - i) +
(у) Д+ (Ml, хг - г4) (~) Д+ (Ai|lf *,-«,). B.16)
¦)Borchers, не опубликовано.

§. 2 ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ
23
Естественно принять, что недиагональная часть мат-
матрицы 3R описывает взаимодействие между полями фу. Тог-
Тогда из формул B.15) и B.16) нетрудно получить ряд тео-
теории возмущений по степеням этого взаимодействия. На-
Напишем
Для фиксированных ?К3з- >¦ 0, / =1,..., га, константу А
можно выбрать достаточно малой, так что матрица ffljk (А)
будет положительно определенной, а величины В]к и
М).— аналитическими функциями А. В этом случае раз-
разложения в ряд Тейлора соотношений B.15) и B.16) будут
сходиться. Эти разложения можно связать с обычным
разложением по теории возмущений, если рассмотреть
вакуумные средние от хронологически упорядоченных
произведений. Соответствующие вклады в выражение
(^о> (фу (^i) Фу (хг))+ ЧРо) можно представить в виде фейн-
мановых графов:
Функция распространения
4AJWli; ,х,-хг)
ци
4-
Вершинная рункция
mJH0-s]H)K
Функция распространения
1лг(тм,уг!/г)
Доказательство этого утверждения мы оставляем читате-
читателям в качестве упражнения.
Поле ф; (х), определенное формулой B.8), представ-
представляет собой частный случай обобщенного свободного поля*).
В общем случае обобщенным свободным полем называют
всякое поле, коммутатор которого кратен единичному
оператору. Совокупность обобщенных свободных полей
Ф^ / =1,..., и, обладает тем свойством, что коммутатор
¦) Обобщенные свободные ноля впервые были введены Гринбер-
Гринбергом (Greenberg, 1961).

24 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
любой пары таких полей в пространственноподобных точ-
точках обращается в нуль:
[<Pi (*), Ф* Ш = 0 при (х - Уу < 0, B.18)
т. е. поля (pj и фл относительно локальны. Кроме того,
коммутатор [<р> (х) фй (у)]_ кратен единичному оператору.
Как показал Борхерс, для обобщенных свободных полей
второе свойство следует из первого*).
Для строгого математического рассмотрения обобщен-
обобщенных свободных полей очень полезно иметь их конкретную
реализацию в конфигурационном пространстве. С этой
целью рассмотрим прямую сумму
Ж = © M{i), B.19)
j=0
где пространство Ж<°) одномерно, а #?("> — простран-
пространство всех функций п четырехмерных переменных, симмет-
симметричных относительно перестановок и квадратично ин-
интегрируемых относительно произведения мер вида
ф(«) (ръ ...,pn) =d\i(p1)...d]i(pr^. Здесь ц—медленно
растущая положительная мера, инвариантная относитель-
относительно связной компоненты однородной группы Лоренца и
имеющая носитель*внутри или на поверхности будущего
конуса V+.
В таком гильбертовом пространстве определим непре-
непрерывное унитарное представление группы Пуанкаре тре-
требованием
(U(a, А)ф)(»)(а,..., рп) =
п
= ехр [г B р,) a] «pW (A^ft,..., A~Vn) B.20)
(
¦) Его аргументация сводилась к простому применению резуль-
результатов Робинсона (Robinson, 1962) и Гринберга (Greenberg, 1962),
которые установили, что если имеет место свойство B.18) и фурье-
образы^ (к)шсркA), когда кж1 принадлежат некоторой пространст-
- венноподобной области, обращаются в нуль, то данный коммута-
коммутатор кратен единичному оператору.

% 2. ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 25
и обобщенное свободное поле ср (/) условием
f>l рп) =
7 (n+1> l,..., Рп) +
4=п 2 7(-Л)Т(П"Х) (Рь . • -, Pi, • • -. Рп)} • B.21)
Оператор ф (/) хорошо определен и ограничен на всех
векторах Т из Ж, амплитуды которых YM для достаточно
больших и обращаются в нуль. Этот оператор удовлетво-
удовлетворяет требованию
U (а, А) Ф (/) U-1 (а, А) = Ф ({а, А} /), B.22)
где
({а, А}/)(*) =/ (А-1 (*-[а))
при условии, что |е§ — пространству всех .быстроубы-
вающих основных функций, т. е. пространству всех бес-
бесконечно дифференцируемых функций, которые на беско-
бесконечности обращаются в нуль вместе со всеми производны-
производными быстрее любой степени расстояния в евклидовом про-
пространстве.
Двуточечная функция в этой теории имеет вид
1 B.23)
или
(Ч'о, ф (Xi) ф (х*) То) = Щя? S ехр (—ip (*i —
Инвариантность меры ц. требует, чтобы она имела вид
n B.24)
где ,
а р — положительная мера на полуоси 0^т2<^оо,
носитель которой задает спектр масс рассматриваемой
теории. (Поскольку мы собираемся ниже считать, чхо
(То, ф (х) То) = 0, то с = 0.) Очевидно, в предыдущих

26 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
примерах из B.15) следует, что для ф^
Обобщенное свободное поле, очевидно, полностью харак-
характеризуется мерой р. Вид р можно восстановить по комму-
коммутатору
[ф (*), Ф (у)] «= J dp (m2) 1А (и», х - у). B.25)
С обобщенным свободным полем ассоциировано поле,
которое Лихт (Licht, 1963)*) назвал полем с параметром.
Оно определяется выделением из B.21) компоненты с мас-
массой Y7. Именно,
= у-л {yz+idp (s) 5 dQ ^ (р) 7(р) ч>™ (р, л,..., Рп)+
Или же
ф(*../) = Ф(/(8)), B.26)
где
=$ bA\s,x-y)f(y)dy,
Перестановочное соотношение для поля ф (s, ж) имеет вид
»I = в(*-ОтД(* *»)"зг(») (
Как было установлено Лихтом, если образовать асимптоти-
асимптотический предел Лемана — Шиманчика — Циммермана (ЛШЦ)
с массой у s от поля с параметром ф (s, ж), ассоциирован-
ассоциированного с обобщенным свободным полем, то оказывается, что
¦) См. также A. Licht, Ann. Phys. 34,161 A965). (Прим. перев.)

§. 2. ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 27
соответствующие in- и out-поля равны друг другу и рав-
равны <р (s, ж), т. е.
q>(s, ж) = Нтт ^ <г32/[Д(«. х — y)-g^<p(s, у) —
]. B.28)
С другой стороны, хорошо известно, что если приме-
применить асимптотическое условие ЛШЦ к самому обобщен-
обобщенному свободному полю ф, то отличный от нуля результат
получается только тогда, когда масса j/~s принадлежит
дискретному спектру р. Тем самым использование полей
с параметром, по крайней мере формально, интересно
тем, что оно предоставляет нам нетривиальное расширение
формализма ЛШЦ. Его физический смысл мы обсудим
ниже на конкретном примере модели Захариасена.
Квадратичный лагранжиан B.1) приводит к обобщен-
обобщенным свободным полям с дискретным спектром масс. Пред-
Предшествующее обсуждение (в частности, B.21)) показыва-
показывает, что без каких-либо дополнительных усилий можно
рассмотреть и случай обобщенных свободных полей, спектр
которых содержит как непрерывную, так и дискретную
части. Естественно, что интересно найти квадратичный
лагранжиан, из которого в качестве решений получаются
такие обобщенные свободные поля. Фактически мы уви-
увидим, что нам придется иметь дело с общим лагранжианом
этого типа, который приводит к объектам несколько более
общим, чем обобщенное свободное поле. Они оказываются
элементами класса эквивалентности обобщенного свобод-
свободного поля.
Общее выражение для такого квадратичного лагран-
лагранжиана получается заменой B.1) выражением
s: З^ф: (s, х) — §dsdt: <p(s, х)Ща, t)<p(t, x):],
B.29)
где 3R (s, t) — вещественное симметричное ядро, которое
воложительнр определенно э том смысле, что для

28 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
вещественных основных функций <р
Уравнение движения, возникающее из такого лагран-
лагранжиана, имеет вид
? ф (s, х) = — 5 3» (*, О Ф (*, *) dt. B.30)
Если существует ядро U, которое диагонализует 53} в том
смысле, что
ds' dt'U (s\ s) 3R (s', «') С/ (f', f) = M2 (s) d (s — «), B.31)
то для получения набора полей, удовлетворяющих такому
уравнению движения, необходимо положить
z)dt B.32)
и считать г|з (t, x) полем с параметром, ассоциированным
с обобщенным свободным полем. Очевидно, что
= 0,
B.33)
S,s')U(t,s')jA(s',x-y)ds'^(s'). .
Отметим, что, вообще говоря, формула B.33) не сво-
сводится к B.27), так что ф (s, x) не является полем с пара-
параметром, ассоциированным с обобщенным свободным по-
полем. Однако оно, конечно, удовлетворяет соотношению
(s, *), ф (*, у)]_=0 при (* - уJ < О,
s, х) локально относительно ij) (t, у) }
s, х), г|5 (у)]_ = 0 при (х — yf < О,
т. е. поле ф (s, x) локально относительно i|) (t, у) для всех t.
Тем самым
где
00
*(»)=$*¦(*, у).
о
Однако набор всех полей, локальных относительно дан-
данного неприводимого локального поля, образует класс эк-

9 2. ОБОБЩЕННЫЙ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 29
внвалентности. (Более точно, если поле В локально от-
относительно поля А и поле С локально относительно А,
то С локально относительно В при условии, что поле А
локально и неприводимо. Поскольку этот факт был от-
открыт Борхерсом (Borchers, 1960), подобный класс иног-
иногда называют классом Борхерса.) Структура же класса
Борхерса данного обобщенного свободного поля была ис-
исследована Лихтом (Licht, 1963). Если г|з (s, х) — поле с
параметром, принадлежащее данному обобщенному сво-
свободному полю г)) (х), то каждый элемент соответствующего
класса эквивалентности имеет вид конечной суммы чле-
членов типа
*!...&„*¦ (»х *n) :]Я°>(%> *)• • .?аХ*п, х):,
где F — обобщенная функция умеренного роста, а сим-
символ D" определен в A.4). Тем самым поля, появляющиеся
в качестве решений уравнений в рассматриваемом приме-
примере, оказываются простейшими элементами класса экви-
эквивалентности поляг)) (s, x), именно теми, которые линейны
по г|).
Несмотря на то, что выражение B.32) так просто, оно
может привести к новому явлению (Licht, 1963). Если
к полю ф (s, x) применить асимптотическое условие ЛШЦ
с массой Ys* T0 может случиться так, что соответствую-
соответствующие ire- и ои?-поля существуют и отличны друг от друга.
Кроме того, может существовать нетривиальный унитар-
унитарный оператор S такой, что
«ро* (s, х) = S-Vn (s, x) S. B.34)
Тем самым с некоторой формальной точки зрения, физи-
физический смысл которой еще должен быть выяснен, в такой
теории есть нетривиальная 5-матрица.
Для простоты обсудим эту проблему в связи с конкрет-
конкретным примером — моделью Захариасена (Zachariasen, 1961)
в форме, которая была придана ей Тиррингом (Thirring,
1962) и Лихтом (Licht, 1963). В этой модели спектр масс
s выбран так, что он включает отдельную точку s0 и
континуум ц.2 ^ * <[ оо, причем se <^ (А*. Плотность

30 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
лагранжиана имеет вид X {х) = Хо (х) + %i {x), где
%о (х) = — -i- [:д„.уд»<р: (sOt х) — s0: ф2 : (s0, *)]—
^s, *)-s:92:(s,*)l. B.35)
и*
*) = — go $ &ф (s, ж) / (s) Ф (so, ж). B.36)
Функция /2 (s) была выбрана Тиррингом в виде
Она представляет собой «обрезанную версию» такого взаи-
взаимодействия, которое приводит для амплитуды рассеяния
в я-состоянии к сумме графов типа
/
Если константа g0 достаточно мала, то решением урав"
нений поля будет образование
Ф (s, х) =
где ij) (t, x) — поле с параметром, ассоциированное с обоб-
обобщенным свободным полем с мерой
ф (Ь) = [& (&2 _ Sl) + 0 (Ь* — (Л2)] db,
и
К (s, t) = d (t — s0) с (s) + в (f — (A2) G (s, *),
fl (s0) = 1, a (s) = — g0 JW Для s > I*2
)
G (M)
- *)
для s, f > |xa,
B.37)

§. 2. ОБОБЩЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ 31
Тирринг показал, что эта теория удовлетворяет всем
требованиям, обычно предъявляемым к квантовой теории
поля, кроме асимптотического условия*). Фактически
ее физическая непригодность очевидна уже из кинемати-
кинематических соображений. Дело в том, что спектр масс в этой
теории имеет вид
Масса 2Щ,скоторой начинается
непрерывный спектр
Масса м, с которой начинается
непрерывный спектр
Масса
В заштрихованной части непрерывного спектра для
каждого состояния с фиксированным импульсом имеется
одно физическое состояние со] спином нуль, а именно
^-состояние в системе центра масс, и как раз рассеяние в
этом s-состоянии описывается нетривиальным оператором
рассеяния, упоминавшимся в B.34). Обобщенный вариант
асимптотического условия, предложенный Лихтом, поз-
позволяет выделить это нетривиальное рассеяние из всего
пространственно-временного поведения полей <р (s, x) **).
В результате проясняется физический смысл обобщен-
обобщенного асимптотического условия. В то же время выявля-
выявляются такие кинематические свойства теории, которые про-
противоречат опыту: рассматриваемые состояния со спином
нуль принадлежат непрерывному спектру, что, как из-
известно, означает, что они «выливаются» в некую «части-
«частицу». Но для этого требуется, чтобы вдобавок к ним су-
существовали состояния со всеми высшими моментами ко-
количества движения. Такого рода возражения применимы
¦) В работе А. В. Астахова и А. Д. Суханова (Ядерная физика
4,1083 A966)) показано, что такой результат Тирринга явился след-
следствием неправильного выбора асимптотических полей. При правиль-
правильном выборе этих полей обобщенное асимптотическое условие ЛШЦ
оказывается выполненным. (Прим. перев.)
*') Отметим, что, как подчеркнуто Лихтом, поле i|>(«, х) не яв-
является ни in-, ни out-полем с параметром, ассоциированным с <р (*, х).

32 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
ко всем теориям, ассоциированным с обобщенными сво-
свободными полями, имеющими непрерывный спектр масс.
Эти замечания обнажают также и другую проблему.
В некотором смысле в теоретико-полевой формулировке
модели, предложенной Тиррингом, к идеям оригиналь-
оригинальной модели Захариасена отнеслись не совсем честно. В
последней основные величины — это амплитуды рассея-
рассеяния, вершинные функции и функции распространения,
т. е. техника, которая с самого начала предполагает, что
все необходимые состояния рассеяния существуют. Тем
самым ближе к духу модели Захариасена была бы теория
с «частицами», в которые выливаются упомянутые выше
s-состояния. Если бы эта теория оказалась теорией поля,
то она была бы либо нелокальной, либо асимптотически
неполной, либо и той и другой, поскольку соответствую-
соответствующие амплитуды рассеяния не удовлетворяют условию пе-
перекрестной симметрии. Подобная теория поля до сих пор
не создана.
Во всяком случае очевидно, что для получения теорий
поля, которые представляли бы физический интерес с
развиваемой здесь точки зрения, необходимо выйти за
класс эквивалентности обобщенного свободного поля.
§ 3. Теория полей Ли'
В предыдущем параграфе было показано, как элемен-
элементарные проблемы в теории поля приводят к понятию обоб-
обобщенного свободного поля.
В той же статье, в которой Гринберг (Greenberg, 1961)
изложил систематическую теорию обобщенных свободных
полей, он выдвинул также то предположение, что естест-
естественным расширением этого понятия было бы поле, удов-
удовлетворяющее соотношению
[ф (ж), Ф (У) I = — if (* — У) —
?±lL)(z)dz, C.1)
Где fug — какие-то фиксированные обобщенные функ-
функции. Подобные объекты мы будем называть полями Ли
по той очевидной причине, что перестановочное соотно-,
шение C.1) является аналогом соотношений, определяю-

§ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ ЛИ 33
щих алгебру Ли, причем функции / и g соответствуют
структурным константам алгебры Ли*).
В случае алгебры Ли, соответствующей группе Ли,
для заданных структурных констант может быть много
неэквивалентных представлений. В противоположность
этому для заданных функций / и g существует самое боль-
большее одно поле Ли при условии, что сделано обычное пред-
предположение о существовании циклического вакуумного со-
состояния для этого поля. Чтобы убедиться в этом, нужно
только воспользоваться предписаниями Гринберга (Green-
berg, 1961) и рассчитать «-точечное вакуумное среднее
(То, Ф (*i) • • • Ф (ад То) = (То, Ф_ (*i) Ф (а*)... Ф (ад То)
= (То, [Ф_ (а*), Ф (хш))_ Ф (а:,)... Ф (ад То) +
+ (То, Ф (х,) Ф_ [хг) ф (а:,)... ф (ад То) =
= S (То, 9&)... [Ф.(»i), ф(*,)]_• • • Ф(*„)То)
. ^ + (?«, Ф (а*)... Ф (ад Ф_ (хг) То). C.2)
Здесь <р_ (х) — отрицательно частотная компонента поля
Ф (х) вещественной массы. Вообще
ФИ = Ф_(аО + Ф.(аО + Ф+(*). C.3)
где ф1(ж) = Ф+(аг), ф*(ж) = фа(ж). Вопрос о том, следует
ли из C.1), что разложение C.3) единственно, несколько
запутан. Мы не будем здесь в него вдаваться, а вместо
зтого предположим, что свойства функций / и g таковы,
что они допускают подобное инвариантное разложение.
В частности, будем предполагать, что
(То, Ф (а:) То) = 0, C.4)
чего, однако, можно всегда добиться вычитанием констан-
константы из рассматриваемого поля. Требование отсутствия сос-
состояний с отрицательной энергией приводит к
Фв(*)Т0 =0 =ф_(*)Т0. C.5)
*) Краткое введение в теорию алгебр. Ли содержится в работе
Салама (Salam, 1963). [См. также Д. П. Желобенко, Лекции
по теории групп Ли, Препринт, Дубна, 1965. (Прим. перев.)}.
А. Вайтман

34 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
Тогда из C.1) следует, что
3=2
, C.6)
где индекс минус означает, что функция J (р) заменяется
на /(р) 0 (р°) 0 (р2), а функция g (?i=?i, pi + ft) _
на 8 (pj) 8 (р^) g (Pl~P2 , Pi + Pa) . Соотношение C.6)
представляет собой рекуррентную формулу, которая оп-
определяет «-точечное вакуумное среднее через вакуумные
средние (п — 1) и (п — 2) полей. Поскольку двуточеч-
двуточечное вакуумное среднее непосредственно определяется
через уравнения движения
(То, Ф (х,) ф (х2) То ) = -ifjxt - х2)
и поскольку теорема реконструкции квантовой теории
поля гарантирует возможность восстановления теории
поля по вакуумным средним полей, то нетрудно понять,
что функции / и g определяют либо одну теорию поля,
либо ни одной.
Если g = 0, то поле ф превращается просто в обоб-
обобщенное свободное поле. В двумерном пространстве-вре-
пространстве-времени, как отметил Леман *), нетрудно построить пример
теории с g =0. Именно, если -ф — свободное поле мас-
массы т, то за поле ф можно выбрать
Ф(а:) =¦(*) +А, :¦»:<*), C.7)
где Я. — вещественная постоянная. Действительно, тогда
[ф (*). Ф Ш- = у Д (* - у) A + 2>МA) (* - у)) +
:\, C.8)
что немедленно ведет к
f(xy) ^A(xy)(i +2WA(V(x-y)). C.9)
*) Lehmann, частное сообщение.

§ 3. ТКОРИЯ ПОЛЕЙ ЛИ 35
Остается единственный вопрос: можно ли записать второй
член в C.8) в виде
-*-^--*)(¦(*)+ *:*•:
Оказывается, что по чисто кинематическим причинам это
возможно в двумерном пространстве-времени, но невоз-
невозможно в трех- и четырехмерном. Существенный момент
здесь состоит в том, что в двумерном пространстве-вре-
пространстве-времени множество двучастичных состояний, натянутое на
векторы вида : i|j2 : (z) To, совпадает с множеством таких
же состояний, натянутых на векторы вида:\|) (z)t|) («?): Yo,
в то время как в трех- и четырехмерном пространстве-
времени последнее множество существенно шире. В дву-
двумерном пространстве-времени функция g имеет вид
, q)dpdq,
<1)\* х
X 6Dm2 [{pqf - />У ] + (р + qf p*q*) X
X Sgn (- (<?*) (pq + p*) p° + (p*) (pq + q*) q°). C.10)
В пространстве-времени трех или более измерений
имеет место следующий примечательный результат, ус-
установленный Робинсоном (Robinson, 1964).
Теорема
В пространстве-времени трех или четырех изме-
измерений не существует никаких скалярных полей
Ли, отличных от обобщенных свободных полей.
Доказательство Робинсона основано на тщательном
изучении тождества Якоби для структурных констант / и
g. Это тождество принимает следующий вид:
О = [[ф^), ф(жа)]_, ф(#з)]_ + (циклические перестановки
A23))== Qg- {хг — хг, Xl + X? —z}f{z~ xa) dz + (цикличе-
(циклические перестановки A23))] — Г\\ g (хг — х2, Xl + X* — z W
2*

36 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
X g (z— x3, ^~- — wyj(f(io)dzd(u +
+ (циклические перестановки A23))].
Отсюда следует, что это тождество эквивалентно паре
тождеств
О = d (Pl + ра + р3) [g B^-, Л + Pa) 7{Pi + Ра)+
+ циклические перестановки A23))], C.11)
+ (циклические перестановки A23))]. C.12)
Нетрудно убедиться в том, что если функция / совместима
со спектральным условием и требованием лоренц-инвари-
антности, то можно, вообще говоря, найти много функ-
функций g, удовлетворяющих C.11). С другой стороны, из
C.12) следует, что функция g~ должна быть равна нулю.
При доказательстве этого утверждения, которое слиш-
слишком сложно, чтобы его здесь приводить, широко исполь-
используется алгебраическая независимость скалярных произ-
произведений
P*v Р\, Pl, (Pi + РаK, (й + РаJ и (ft + ра + ра)\
т. е. обстоятельство, справедливое в трех- или четырех-
четырехмерном, но несправедливое в двумерном пространстве-
времени.
Пока неизвестно, можно ли получить поля Ли, до-
допустив рассмотрение полей с более сложными трансфор-
трансформационными свойствами. Однако, как явствует из заме-
замечания Глазера*), ни одно подобное поле не может при-
привести к полной физической теории, в которой справедливо
асимптотическое условие ЛШЦ. Это замечание сводится
к тому, что, если
, фА (у))- - l~xhk {x — y) +
- у,
_ z) Ф( (*) dz,
*) Glaser^ частное сообщение.

§ 4. МОДКЛИ В ДВУМКРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 37
ТО
]_ [ф, (а:,), Фт (х
= — fik («1 — *•) /im
Xftm. (х3 - ж4,5L+B- - *) (П, Фг (У) ф3 (*) %) <ty cfo. C.13)
Между тем фурье-образ выражения C.13) входит в аб-
сорбтивную часть амплитуды упругого рассеяния. Струк-
Структура же правой части C.13) такова, что она соответствует
промежуточным состояниям Тг, входящим в (То, [, ] *F{) x
X(Tj, [ , ] Vo) с конечным числом различных моментов ко-
количества движения (без индексов г, s этими состояниями
могли бы быть только s-состояния). Последнее не может
иметь места в релятивистской асимптотически полной
квантовой теории поля. Тем самым, даже если поля Ли,
отличные от обобщенных свободных полей, существу-
существуют, они не могут привести к асимптотически полным
теориям.
§ 4. Модели в двумерном пространстве-времени
Ранее мы уже отмечали, что виковы полиномы по сво-
свободному полю ф массы т =f= 0, т. е. 2вп: фп: (х), являют-
являются хорошо определенными полями*). Глазер**) указал,
что никакие ряды вида В (х) = 2 ап : ф": (х) с беско-
бесконечным числом ап ф 0 не определяют поля в обычном
смысле в пространстве-времени, размерность которого
больше двух. Действительно, в этом случае B(f) =
= lf(x)B(x)d*xse будет операторнозначной обобщенной
функцией для всех основных функций /, бесконечно диф-
дифференцируемых и обладающих компактным носителем.
Простейший путь, позволяющий в зтом убедиться, сос-
состоит в том, чтобы рассмотреть двуточечную обобщенную
*) Формальное доказательство содержится в работе Гординга
и Вайтмана (Garding, Wightman, 1964). •
**) Glaser, не опубликовано. См- также работу Эшптейна
(Epstein, 1963).

38 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
функцию (То, В (жх) Б(ж2)Т0). Согласно общей теореме*),
ее можно представить в виде
о) = jj dp (a) 1 Д(+)(а, а*— *3), D.1)
где р — положительная мера, возрастающая самое боль-
большее как некоторая степень, т. е.
L
$dp(a)<C(l+L)" D.2)
о
для некоторых С и N. С другой стороны, для упоминав-
упоминавшихся выше рядов
00
(То, В (хг) В (*,) То) = 2 I ап Г СП, : Фп : (а*) : фп: (**) То)=
п=о
00
п=о
п=о
Далее, в пространстве-времени размерности к > 2 функ-
функции -т- А(+) (жх — жа)Г имеют спектральное представле-
представление, подобное D.1), с мерой dp (а), которая при больших
а ведет себя как en»-*Ht-i. Тем самым, если существует
бесконечное число отличных от нуля коэффициентов ап
и ft> 2, поведение меры р для двуточечной обобщенной
функции оператора В будет противоречить условию D.2).
В двумерном пространстве-времени эти соображения
теряют силу и соответствующий класс эквивалентности
свободного поля включает, наряду с виковыми полинома-
полиномами, и виковы целые функции**).
Наличие такого более широкого класса эквивалент-
эквивалентности приводит к тому, что в двумерном пространстве-
времени существуют кажущиеся нетривиальными урав-
•) См. работу Вайтмана (Wightman, 1956). Спектральное пред-
представление D.1) было, коиечно, хорошо известно. Существенным ут-
утверждением теоремы является оценка D.2).
**) Полное описание этого класса эквивалентности принадлежит
Джаффе (Jaffej 1965).

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 39
нения взаимодействующих полей, решения которых при-
принадлежат к классу эквивалентности свободных полей. С
физической точки зрения подобные примеры не очень
интересны, поскольку они не приводят к нетривиальной
матрице рассеяния. Тем не менее с точки зрения общей
теории они представляют известный систематический ин-
интерес.
Вторая характерная особенность двумерного простран-
пространства-времени, позволяющая продвинуться в поисках яв-
явного решения проблемы взаимодействующих полей, свя-
связана с тем, что в этом случае сохраняющийся ток / можно
записать в виде ;> (х) = — г^ д*о (х), где а — некое псев-
псевдоскалярное поле. Если оператор j — ток свободного
диракова поля t|), то можно показать, что поле а само по
себе может быть локальным, но в то же время нелокаль-
нелокальным относительно поля *ф. Тем самым для построения ло-
локальных полей в двумерном пространстве-времени можно
воспользоваться не только свободным полем ty и его клас-
классом эквивалентности, но также и полем а. Это позволяет
выписать явно точное решение модели Федербупга (при-
(пример 6). Если t|j — свободное дираково поле нулевой
массы, то обращаются в нуль дивергенции как от тока
/, так и от соответствующего псевдотока к, т. е.
д% (х) = 0 = дЧ» (х), где р- = к0, f = к1.
Отсюда следует, что rot к = rot / = 0 и тем самым /> ==
=3^р, к*= д*в, 0^=0 =?&,».. Существование в качестве
сохраняющихся величин обоих операторов — и / и к —
связано с тем, что, когда точка р = О исключается из рас-
рассмотрения, будущий световой конус рг = О, р° > 0 рас-
распадается на два несвязных куска р1 >• 0, р° >0 и р1 < О,
р° j> 0. Именно зто существенное обстоятельство при-
приводит к явной разрешимости модели Тирринга (пример
4). В то же время, как будет видно из дальнейшего,
тот факт, что лоренц-инвариантные обобщенные функции
F, удовлетворяющие на будущем световом конусе условию
p2F = 0, оказываются неопределенными, усложняет де-
детали таких теорий.
Хотя величины, подобные : exp (g<p) : (ж), не являются
полями в обычном смысле в пространстве-времени раз-
размерности больше двух, это вовсе не означает, что они

40 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
представляют собой объекты, непригодные для рассмот-
рассмотрения.
Фактически большую часть обычного формализма
можно расширить так, чтобы охватить и эти величины.
Для этого необходимо просто использовать в качестве
основных функций те бесконечно дифференцируемые функ-
функции, фурье-образы которых бесконечно дифференцируемы
и имеют компактный носитель. Было предложено назвать
такие поля неперенормируемыми и тем самым придать
общий смысл понятию, ранее использованному для описа-
описания теорий поля, в которых разложение по теории возму-
возмущений приводит к бесконечному числу расходимостей раз-
различного типа (Guttinger, 1958; Schroer, 1964). В дальней-
дальнейшем при обсуждении двумерных примеров я буду часто
добавлять замечания относительно их неперенормируемых
аналогов в пространстве-времени более высокой размер-
размерности.
Пример 1
Экспоненты по свободным полям ненулевой массы и
операторные калибровочные преобразования. Рассмотрим
формальное выражение
: ехр Огф) : (х) = 2 "ff = Фп: (*).
п=о
ff
где ф — свободное поле массы т =j= О, a g — комплексное
число. Будучи сглаженной с основной функцией из про-
пространств 3) или 8, правая часть D.4) может быть опреде-
определена, по крайней мере на вакуумном состоянии То, пос-
поскольку
I 2 |^Ф": (/)%»<
|1п=о
7 (х) ехр (| g р 1 AW (т, x-y))f (у) dx dy < oo.
Аналогичные оценки показывают, что вектор
): (А)...: ехр (*пФ): (/„) То D.5)

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 41
хорошо определен своим разложением в ряд по g1,..., gn.
Линейные комбинации векторов этого типа образуют об-
область Do со свойствами
: exp (g«p): (/) Д, с: Do, То G А, и U {а, Л) ?>„ с: А>.
Чтобы убедиться в том, что оператор : exp (gq>) : (х) яв-
является полем, остается проверить, что его вакуумные сред-
средние представляют собой подлинные обобщенные функции
умеренного роста. Соответствующая двуточечная обоб-
обобщенная функция имеет вид
(То : exp (gjff): {хг): exp (gr,q>): (ж2) То) =
= 2 -7# (То, : Фп : (*i): Фп :
n=o v
= exp [Jlf- Д(+) (т, хг —*,)) . D.6)
В более общем случае
^*о, 11 •
3=1
00 Tl fe •
— V (TT (gj) ' ^ \r r r r r r 1 (A 7^
к* *„=° i=1 3' L' tT ' ' Й ' ' 1Q ' J
Здесь гафниан [1... 21] раскладывается, вообще говоря,
по формуле
[1... 21] = 2 [JVi] UM • • • 1Ш>
где ii/i,..., г'г/г — одна из перестановок чисел 1,...,2/.
В этом разложении [}к] =0, если / и А; отвечают одной

42 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
и той же точке, и [jk] = -г- Д<+> (х — у), если /-е место
соответствует точке х, а к-в — точке у. Допустим, что
rik — симметричная матрица из неотрицательных целых
п
чисел, причем г77- = 0. Положим к$ = 2 '",»• Тогда
[Хх . . . Xi Xs . . . Xs . . . Х„ . . .Жп] =
= 2
поэтому
(Sreaj A(+)(m,xr — xa)\.
3=1 I r<s
D.8)
Поскольку в двумерном пространстве-времени
—(*>)»), -I^KxoOx1!, D.9)
(т
а функция #o1J (wz) ограничена в верхней полуплоскости
вне круга произвольного радиуса вокруг начала коорди-
координат, то двуточечная обобщенная функция может быть
продолжена до голоморфной функции, определенной в
плоскости с разрезом вдоль положительной вещественной
оси и ограниченной вне окрестности начала координат.
Вблизи начала координат
&)= -1- [/„ (

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 43
так что на световом конусе (при ж2 = 0) двуточеч-
двуточечная обобщенная функция имеет сингулярность вида
ехр(—
¦ ). Очевидно, что это приводит к тому,
что в спектральном представлении, аналогичном D.1),
при —gi = gz полная весовая функция бесконечна, т. е.
= oo D.11)
(как раз это обычно имеют в виду, когда говорят, что пе-
перенормировка поля бесконечна). Доказательство состоит
ОО 00
в том, что интегралы вида J dp(a) Н^ (Каг)при \ф(а)<^оо
о о
имели бы в точке г = 0 такую же точно особенность,
что и сама функция Н^ (]Amz).
Чтобы понять, как из подобных операторных экспо-
экспонент можно сконструировать решения уравнений взаи-
взаимодействующих полей, рассмотрим двукомпонентное поле
ф (х) = : ехр (gv) : (х) ф> (х), D.12)
где г|)<°) (х) — свободное двукомпонентное поле, удовлет-
удовлетворяющее уравнению
(Г% + М) ч>(°> (х) = О, М>0, D.13)
и условиям
х), !)«•)+ (j,)]+_ I S (м, х - у). D.14)
Для краткости мы будем называть чр<°> (х) спинорным по-
полем, хотя, конечно, в двумерном пространстве-времени
никаких спиноров не существует. Далее, здесь
А (М, х) = А(+) (М, х) — А(+) (М, ~ х), D.15)
-грх

44 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
Поля ф (х) и 1р<0) (х) могут быть обычным образом реализо-
реализованы в пространстве Фока.
Непосредственный расчет показывает, что
>(*) = /(*), D.16)
где
Наконец, функцию / (x) можно также записать в виде
/{х) = lira \gr» -?$r (х)а|)(у) — (О г» д-^г (х — у)^(у)] •
D.18)
Тем самым хорошо определенное поле D.12) удовлетворя-
удовлетворяет уравнению взаимодействующих полей с «бесконечной
перенормировкой фазы». Смысл такой терминологии по-
понятен. Выражение — %r yv- — Д(+) (ж — у) ip (у) — это
«контрчлен перенормировки фазы», поскольку в пределе
у -»- х он имеет такой же вид, как и контрчлен, который
появился бы, если бы поле ip (x) было заменено на
е«(*)г))(;г). Эта перенормировка «бесконечна», поскольку
lim км (у) бесконечен или, во всяком случае, плохо оп-
v-*o
ределен.
Поучительно сравнить этот результат со старомодным
способом рассмотрения уравнений поля
?i+м)
где g — вещественная константа.
Эти уравнения могут быть получены из формальной
плотности лагранжиана
-%%\' D.19)

f 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 45
(Константа g выбирается здесь вещественной, чтобы урав-
уравнение для я|}+, полученное с помощью вариационного
принципа, было совместимо с уравнением, выведенным
для ip.)
Обычное рассмотрение началось бы с предположения
о «кинематической независимости» полей ф и ip:
[ф (*). * (У)]- !**-* = 0 = [ф (х), Ч>+ (у)]_ |*c=J/0, D.20)
D.21)
и, миновав различные бесконечности, пришло бы в точ-
точности к тому же решению D.17). Незаконность предпо-
предположения о кинематической независимости очевидна: для
этого решения D.20) имеет место, а D.21) нет. На это об-
обстоятельство в различной связи обращали внимание мно-
многие авторы. [См., например, (Goto, 1955; Schwinger,
1959; Johnson, 1961; Sommerfield, 1964)]. Например, в
квантовой электродинамике предположение о том, что
[/> (х), /v (г/)]_|жо==уо = 0, было бы равносильно катастрофе.
Преимущество моделей, подобных рассматриваемой здесь,
состоит в том, что можно выставить напоказ точное реше-
решение и проверить, справедливы ли предположения типа
D.21). Если отсюда что и следует, так это мораль: да-
даже в хорошо определенной теории определение токов в
виде локальных функций полей может оказаться мудре-
мудреным делом.
Стоит отметить, что вакуумные средние в этой теории
представляют собой целые функции константы связи g2.
Естественно спросить, приводят ли взаимодействую-
взаимодействующие поля ф, ¦ф к нетривиальной теории рассеяния. На са-
самом деле — нет, и причина лежит в том, что переход от
полей ф и 1р к in- и OMi-полям возвращает нас к полям ф
и ip(°>, т. е.
То, что зто должно было быть именно так, следует из тео-
теоремы Борхерса*). Поля ф и я|) принадлежат к классу
*) Это следует из теоремы Ворхерса, поскольку, как было не-
недавно установлено Хешгом (Нерр, частное сообщение), теория рас-
рассеяния Хаага — Рюэля имеет двумерный аналог.

46 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
эквивалентности полей ф и гр<°> в том смысле, что
[ф (*), Ф (y)L = 0 = [ф (х), г|з(°> (у)]_ =
L Для (ж — г/)
Борхерс же показал, что два таких набора полей не могут
приводить к различным теориям рассеяния. Проверку
того, что этот результат в действительности следует из
редукционной формулы ЛШЦ, я оставляю в качестве
упражнения усердным читателям.
Построение этого примера в равной степени хорошо
проходит и в пространстве-времени более выеокой раз-
размерности, однако ведет к неперенормируемым теориям,
поскольку функции Яо1' в А(+) заменяются на функции
Ханкеля более высокого порядка. Например, в четырех-
четырехмерном пространстве-времени двуточечное вакуумное
среднее имеет в начале координат существенную особен-
особенность вида ехр ( —).
Пример 2
Скалярные и спинорные поля нулевой массы в двумер-
двумерном пространстве-времени*). В двумерном пространстве
времени никаких свободных скалярных полей нулевой
массы не существует. В справедливости этого утверждения
можно убедиться, перейдя к пределу ш=0 в выражении
для двуточечной обобщенной функции свободного скаляр-
скалярного поля массы т =j= 0:
(%, Ф (х) Ф (у) То) = - ± 70 {т Y1?) +
+ члены, ограниченные при т —> 0. D.22)
Предел первого члена в D.22) при т -*¦ 0 не существует.
Доказательство сводится к следующему. Скалярное поле
нулевой массы имеет двуточечную обобщенную функцию
(То, ф (х) ф (у) То) = F (х — у), удовлетворяющую урав-
уравнению
*) См. работу Шроера (Schroer, 1963).

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 47
Ее фурье-образ F является лоренц-инвариантной обоб-
обобщенной функцией с носителем на будущем световом кону-
конусе р2 = 0, р° > 0, удовлетворяющей условию p2F (p) — 0.
Единственными обобщенными функциями подобного рода
являются *) комбинации вида
D.24)
Здесь функция (—] определяется как -т- [9 (х) In х].
\ х /+ ах
Она является такой обобщенной функцией, которая
при х ф 0 сводится к функции 9 (ж) — и так ведет себя
при х = 0, чтобы можно было придать смысл расходя-
1
щемуся интегралу \ —. Она неположительна и, следо-
о
вательно, не может быть мерой**). Тем самым функция
D.24) положительна, только если а — 0, Ъ > 0. Тогда
Ф (х) То = + У1ГТО, а это — тривиальный случай.
Отсюда следует, что никаких математических объектов
типа свободного поля массы нуль в двумерном простран-
пространстве-времени не существует, если только не отказываться
ни от одного из обычных предположений. Поскольку все
отрицательные вклады в D.24) возникают от окрестности
точки р = 0 ***), то один из способов избавиться от тре-
требования положительной определенности D.24) состоит в
том, чтобы ограничить класс основных функций, допус-
*) См. работу Гординга и Лиона (Girding, Lions, 1959).
**) Каждая положительная обобщенная функция является ме-
мерой. См., например, (Schwartz, 1957).
***
> S -?x-

. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
тимых для поляф, функциями из §0, т. е. из/семеиства всех
основных функций из §, которые удовлетворяют условию
ТФ) =о.
Для таких основных функций второй член в D.24) всегда
дает нулевой вклад, а первый член приводит к выраже-
выражению
Другой возможный путь — допустить все основные
функции из $, но ввести индефинитную метрику, которая
естественно следует из D.24). Для Ф, Те§ положим, что
+ Ьд(р).
Если обозначить сужение таких Ф на световой конус че-
через § (С+), а подпространство тех из них, которые при
р = 0 обращаются в нуль, через §0 (С+), то окажется, что
§0 (CJ с: I? (С+ — @), ртг), где правая часть вклю-
включения — это пространство всех функций, определенных
на световом конусе с исключенной вершиной р = 0 и
квадратично интегрируемых относительно инвариант-
инвариантной положительной меры
Взаимосвязи между эти-
этими пространствами иллюстрируются схемой
fo(J
Предгильбертово пространство относительно (,),
которое совпадает на нем с {,}
П
Гильбертово пространство
относительно (,),
пополнение So(C+)

§ 4. МОДЕЛИ. В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
49
Обычным образом пространство L2 (с+ — @), г-тт)= ^A)
описывает одночастичные состояния в пространстве Фока
где Ж^ — одномерное гильбертово пространство, а Ж®,
/' > 1, — пространство симметричных функций, квадра-
квадратично интегрируемых относительно произведения мер
dP\ dp]
р1\'"\р}\'
Аналогично можно сконструировать векторные прост-
пространства Y&t и V#>. Как V^,, так и V& составляются из пос-
последовательностей { ф(о),фA) ,... }, где ф(") — симметрич-
симметричная функция Pi,...,pn- Она есть сужение элемента из § на
произведение п конусов С+ х... X С+, причем для больших п
наложено некоторое условие роста. В данный момент дос-
достаточно положить Ф("> = 0 для достаточно больших га.
Пространство Уд>а — это подсовокупность элементов Уд>,
для которых ф(")= 0 всякий раз, когда какой-либо рк =0.
Форма { , }, расширенная на У^, имеет вид
{ф, ?} = Ф(О)Т(О) +
S I() 0) Щ ., Рп)
В то же время форма (,) определена на V^, равенством
(Ф, Y)=^"t@) +
^^4^^) Рп)
^4{
^1 \Pl\ \Pn\
и положительно определенна на нем. Пополнение по нор-
норме есть 3?фок (С+ — (°). TFT)"
Действие группы Пуанкаре во всех этих пространствах
задается одной и той же формулой
(U(a, (и)
= ехр[г (S Pi)-а] Ф(п> (Л"

50 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
Цель всего зтого построения состояла в подготовке
подходящего «поля деятельности» для свободного поля ф.
Оно определено для каждой функции./ ее 8 и каждого
вектора Ф (ЕЕ У& согласно
(ф(/)ЧТ°(/>ь... ,/>„) =
da (pjf (р) Т(и+1) (р, Pl рп) +
^ 2 7(- р№(п~1) (pi
Очевидно, что если / @) = 0, то ф (/) переводит простран-
пространство V,g»0 само в себя.
Тем самым скалярной поле нулевой массы можно оп-
определить на пространстве V^. Однако проблема существо-
существования величин, подобных : ф" : и : exp (gcp) : , требует
нового исследования. В качестве определения : фп : мы
выберем ту же формулу, что и в случае т > 0:
X
В таком случае : фп : (/) переводит пространство V& само
в себя. Доказательство того, что оператор: ехр (^ф): может
быть определен своим разложением в ряд, как и в слу-
случае т >> 0, проводится в точности так же, как и в работе
Гординга и Вайтмана (Garding, Wightman, 1964). Поэтому
мы не будем повторять его здесь. Хотя в данном случае
нельзя сослаться на теорему реконструкции в силу непо-
неположительной определенности { , }, можно непосредствен-
непосредственно доказать сходимость скалярных произведений векторов
вида^(ф (Нг),...,(р (hk): ехр (ft <р): (Д),.../ехр (gnq>) :(/„)) Тп
и определить совокупность таких векторов в качестве
пространства V^.

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 51
Нетрудно проверить, что оператор : exp (gq>) : удов-
удовлетворяет соотношению
{Ф, : ехр (*<р) : (/) Т}= {: ехр (g<p) : (/) Ф, Y}
для всех Ф, Тб У&-
Поучительно вычислить двуточечную обобщенную функ-
функцию такой операторной экспоненты в данном формализ-
формализме
{ То, : ехр (& ф) : (хг) : ехр (& Ф) : (х2) То},
где Wo— последовательность A, 0, 0,...). Эта функция
равна
= ехр (g!gt у А(+) @, xt —;
где
+ й- [6 + 2Г A)].
Обобщенная функция D.25) исследовалась Щроером
(Schroer, 1963), который показал, что ее можно предста-
представить в виде
где dp (а) имеет вид функции ехр (~^- [Ь + 2 Г' A)]V
умноженной на обобщенную функцию, определенную на
интервале @, оо) и представляющую собой положитель-
положительную меру при gt — gf Тем самым, хотя D.25) было вы-
вычислено в пространстве со скалярным произведением { , },
результат удовлетворяет условию положительной опре-
определенности dp !> 0. Единственным следствием индефи-
нитности метрики остается то обстоятельство, что на све-
световом конусе нет никаких б-функций. (Тот факт, что

52 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЙ МО,
<р(/)Т0 — состояние, импульсы которого/лежат только
на световом конусе, и то, что /
{Ф (/) То, : exp te<p) : (h) To}= g {Ф (/) %, Ф (h) ?„} ф О
означало бы, что если форма { ^ } была бы положитель-
положительной, то мера dp (а) обязательно содержала бы 6-функцию
с нулевой массой.)
Результат преобразования вакуумных средних такой
операторной экспоненты выражается так же, как и в
случае т =f= 0, через двуточечную обобщенную функцию.
Поэтому естественно предположить, что, вероятно, в
подпространстве V^, натянутом на полиномы по сглажен-
сглаженным операторным экспонентам, форма { , } положительно
определена. Однако на самом деле это не так. Например,
{аТ0 + р: exp (iCT): (/) То, аТ0 + (J: exp
= | а |« + | р р {: exp (iCT): (/) %, : exp _
+ 2Re(aPB«)/@)).
Далее, при фиксированном значении / @) фигурную скоб-
скобку во втором члене можно сделать произвольно ма-
малой, потребовав, чтобы / была ограничена по абсолютной
величине значением J @) и чтобы носитель был достаточно
близок к нулю. Это означает, что при соответствующем
выборе a, P и / @) данная сумма будет отрицательной.
Чтобы условия положительной определенности иссле-
исследовать подробнее, можно рассмотреть предельный слу-
случай нулевой массы в вакуумных средних операторов
: exp (ig<jp):, где <р — свободное поле с т ф 0. Для двуто-
двуточечной обобщенной функции
(То: exp (iftep): (ж,): exp (i
= exp («gi- In m) F (те, gu gt, хг — xt), D.26)
где
lim F (те, gt, ft, xj. — ж,) = exp (— е-Ф- Д(+) @, хх - ж2)).
D.27)

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 53
Итак, в этом случае положительная определенность пре-
предельного выражения
JJ 7fa) ехр (? А(+) @, ъ - *,)) f fa) Шафь > О,
следует из того же свойства при тп > 0. (Очевидно, су-
существует некий цроизвол в разделении двуточечной обоб-
обобщенной функции D.26) на произведение множителей
ехр (gx gz In m) и F. Можно было бы также написать
ехр (gi g^ln (m + Am)) и ехр (—g1g2]n(Am)) F. Утверж-
Утверждение D.27) соответствует частному выбору такого разде-
разделения.) Общее условие положительной определенности
выражается через положительную определенность мат-
матриц, ассоциированных с квадратичной формой по а,-:
|| {а0 + а+а: ехр (igy): (f+1) + а_!: ехр (— г^ф): (/-i) +
: ехр (igy): fa): ехр (i
: ехр(—г
(хи
ехр
: ехр(—i
_!_! J: ехр (—
: (ж^ : ехр (— ipp): (жг) X
X /_1_1 (жь х2) dxtdx2 + ...}
Верхний левый угол этих матриц имеет вид
(То, То) (То,: ехр (адр): (/+1)Т0)(Тв,
: ехр (-/ст) :(/-i) То)...
(: ехр (адр): (/+1) Т0| То) (: ехр (iCT): (/+1) То,
(: ехр (-
о, То)(: ехр
: ехР
х
D.28)
>:(*,)/.
X
Каждый из этих матричных элементов в случае, если про-
проведено расщепление D.26), зависит от ехр Ц-

54 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ! МОДЕЛИ
Допустим, что пара неотрицательных целых чисел (kf, к )
обозначает соответственно кчисло операторов : exp (igW-
и : ехр (_ig<p):, участвующих в образовании некоторого
вектора путем действия произведения таких операторов
на 4V Тогда скалярное произведение вектора, характери-
характеризуемого (А1+, &!_), и вектора, характеризуемого (А2+, А2-)>
приводит к вакуумному среднему, содержащему (А1_+/с2+) X
X: ехр (ig ф) : и (**- + А1+) : ехр (—ig ф) :. Такой матрич-
матричный элемент будет содержать множитель ехр (N 4- In m),
где
Положительная определенность матрицы D.28) приводит
к положительной определенности матрицы, полученной
из нее умножением ее справа и слева на некую веществен-
вещественную положительную диагональную матрицу. Эта послед-
последняя матрица может быть выбрана так, чтобы в диагональ-
диагональных элементах исчезли множители ехр (Ng4nm/2n).
Тогда для недиагональных элементов с индексами (/с1+, Ах_)
и (Ag+, А2_) число N = (&!_ + А2+ — к1+— А2_)/2. В этой
матрице можно перейти к предельному случаю нулевой
массы и получить положительно определенную матрицу,
которая в точности совпадает с аналогичной матрицей из
теории поля : ехр (igtp) : в случае нулевой массы, за иск-
исключением того, что все вакуумные средние, содержащие
различное число операторов : ехр (igtp) : и : ехр (— ig<p):,
оказываются равными нулю. Между прочим, это ограни-
ограничение представляет собой в точности пример правила от-
отбора, которое появилось бы, если бы мы имели дело с
полем : ехр (igq>) : (х) т|;<0) (х), где т|;<0> — дираково поле,
удовлетворяющее D.11), D.12) и D.13). Тем самым, хотя
предыдущее рассуждение не вносит никакой ясности не-
непосредственно в проблему положительности { , } в цик-
циклическом подпространстве, образованном действием на
*F0 оператора : ехр (igcp): и сопряженного ему оператора
с тривиальными модификациями, оно превращается в

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 55
доказательство положительной определенности анало-
аналогичной формы { , } определенной на подпространстве
прямого произведения Y#> x З^фермиош образованном при
действии на вакуум поля : exp (igq>) : (жI|)(°> (х) и сопря-
сопряженного ему оператора. В самом деле, как явствует из
рассмотрения величин типа
{ То, $> (Ф, : exp (igrp):, : exp (-ig<p) : ) То },
где SP — полином по выделенным аргументам, форма { , }
положительно определенна также и на циклическом под-
подпространстве, образованном действием на То операторов
Ф, : ехр (ig<p) :i|)<°>, : exp (—igy) :i|)(°>. При этом поле ф,
но не обязательно поле : exp (+ ig ф) : i|)(°> (x) должно
быть сглажено с основными функциями /, для которых
/ @) = 0. (Вакуумные средние, содержащие поля ф, мож-
можно получить из вакуумных средних с одними операторны-
операторными экспонентами, если продифференцировать D.8) по не-
некоторому набору gi, положив затем эти gt = 0.) Этим рас-
рассуждением завершается доказательство утверждений
Шроера (Schroer, 1963).
С другой стороны, тот факт, что в пределе нулевой
массы в условии положительной определенности некото-
некоторые матричные элементы «аннигилируют», заставляет
подозревать, что в теории поля : exp (igy): условие по-
положительной определенности не выполнено. Мы уже по-
показывали, что в рассмотренном выше примере dp(a)<^0.
Последнее должно иметь место и в других случаях,
например:
«: exp (ig4>)
^ (igy): (ж): exp (igtp): (у)h(ж, y)dxdy-W0,
Р Jj: е»Р (^Ф): (х) ¦ ехР (*?Ф): (у) h (х, у) dxdy
при должном выборе а, 0, /, h. Однако мы не будем под-
подробно обсуждать здесь эту проблему. .
Модель теории поля, заданная в циклическом под-
подпространстве, образованном действием на То полей ф и
: exp (igy) : (а:) tJ><°> (ж), была исследована Шроером в

56 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
качестве примера теории с инфрачастицами. Так он наз-
назвал частицы, у которых дискретная масса благодаря связи с
полем нулевой массы «растворена» в непрерывном спектре.
Следует отметить, что обсуждаемое явление не связано с
отсутствием аналитичности вакуумных средних по кон-
константе связи. Как было подробно разобрано Клайбером
(Klaiber, 1964), вакуумные средние в этой теории являют-
являются голоморфными функциями константы связи.
Сделаем последнее замечание относительно теории ска-
скалярного поля нулевой массы. Очевидно, что в этой теории
нет ни одного параметра с размерностью длины, так что
в величинах, подобных D.25), для образования безраз-
безразмерных аргументов необходимо выбрать какую-то произ-
произвольную единицу длины, и тогда х будет безразмерной
величиной, выражающей компоненты радиуса-вектора в
выбранных единицах. Поэтому можем, например, провоз-
провозгласить, что в уравнениях, подобных D.25), все длины
будут измеряться в морских саженях,— это никак не
ограничит данную теорию.
Интересно сравнить образования : exp (igy) : и
: exp (ig ф) : (ж) ifW (x) в .двумерном пространстве-времени
с соответствующими конструкциями в пространстве-време-
пространстве-времени трех или более измерений. В последнем случае ситуа-
ситуация существенно менее сложна, поскольку положительно
частотное решение уравнения D.23) может быть фурье-
образом положительной меры. Это обстоятельство исклю-
исключает необходимость определять пространство с индефи-
индефинитной метрикой, аналогичное пространству У^. С другой
стороны, поля, определенные таким образом, оказываются
неперенормируемыми, точно так же, как и в случае
полей ненулевой массы.
Обратим теперь внимание на случай двукомпонентно-
го поля нулевой массы, удовлетворяющего уравнению Ди-
Дирака, т. е. на поле, удовлетворяющее
у^д^ (ж) = О,
где
S (ж) = — гЧ<А (х) = 5Г [ dQo (к) е-***. D.30)

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 57
Такое поле, в отличие от соответствующего скалярного
поля, можно реализовать в обычном пространстве Фока
просто потому, что в D.30) присутствует дополнительная
степень к. Обычным образом можно образовать операторы
вида
ГЦх)=:ф(х) *№(*)'• D.31)
и
D.32)
D.33)
kv- (х) = : Ч>+ (*) ifV* (ж):.
Дивергенции как от j, так и от А; равны нулю, и
/> (ж) = — в»"*, (ж), в01 = + 1 = — е10.
Перестановочные соотношения операторов /, к и ф име-
имеют вид
ГО (*), /> (у)].
го (^),
D.35)
_. D.36)
), *» B/)]- =
А (°- ж - 2/)-
Выявленный в D.36) и D.37) факт, что коммутаторы
операторов / и к, являются постоянными, умноженными
на единичный оператор, в какой-то мере удивителен и
заслуживает некоторых комментариев. По поводу ком-
коммутатора [/, /] эти комментарии впервые появились в ра-
работе Соколова (Sokolow, 1937).
Опрометчивый расчет может легко привести здесь к
формально другому ответу. Например, стандартные мани-
манипуляции в четырехмерной квантовой электродинамике

58 Ч. 1. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
приводят к
[Я1 (*), Г (У)]- = Ч>+ (*) ir»rlS (х - г/) iTv4> (г/) -
и поскольку в двумерном пространстве-времени
щ* S{x — y) ir = (— *Г Vv + W + W) ^ @, x — y),
то коммутатор
1РЧх),Г(у)]- =
= - g»v U>+ (ж) *Г*Ч» B/) - ++ B/) *T** («)] ^ @, x - y) +
+ [Г (x) i>№ (y) - ^ (y) iT^ (x)] J| @, x - y) +
+ [i|)+ (ж) try (y) - Г (y) iw (x)] ? @, x - y). D.38)
На первый взгляд, казалось бы, трудно поверить в то, что
хотя вакуумное среднее правой части коммутатора D.38)
и не обращается в нуль, но члены, описывающие рожде-
рождение и аннигиляцию пар, равны нулю. Тем не менее это
так, и причина данного факта коренится в том, что D.38) —
слишком сингулярное выражение для величины, кото-
которая должна вести себя вполне хорошо. (Например, если
вакуумные средние от него вычислять непосредственно,
то получаются члены, пропорциональные
ддA)@, х — у) ад @, х — у) \
)
Эта неоднозначность проявляется в неопределенностях
связанных с нейтринной теорией фононов (Фок, 1937) и с
моделью Тирринга. Я хотел бы подчеркнуть, что единст-
единственный разумный путь раскрытия таких двусмысленно-
двусмысленностей в перестановочном соотношении [А,В] =С пары
неограниченных операторов А, В состоит в том, чтобы
точно установить, на каких векторах можно считать оп-
определенными операторы А и В. Далее нужно показать,
что операторы АВ и ВА имеют смысл на некоторой суще-
существенной подобласти этой области, и, наконец, показать,
что на этой подобласти АВ — В А —С. В рассматривав-

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 59
мой квантовой теории поля минимальная область опреде-
определения состоит из вектора HP *F0, где То — физический ва-
вакуум, а 5* — произвольный полином по сглаженным по-
полям, встречающимся в теории. Строгое содержание ра-
равенств D.34) — D.37) сводится к тому, что указанные
соотношения справедливы всякий раз, когда их левые и
правые части действуют на векторы вида 5* То, где ?Р —
полином по сглаженным полям
Другой путь, позволяющий установить, что коммута-
коммутатор [/, /"] должен быть постоянной, умноженной на еди-
единичный оператор, состоит в том, чтобы рассчитать ва-
вакуумное среднее от него и заметить, что оно совпадает с
вакуумным средним от я-V» ду/дх^, где ф — свободное
скалярное поле. Тогда, если бы была применима теорема
Иоста и Шроера [см. напр. (Streater, Wightman, 1964,
стр. 163)], то можно было бы сделать вывод, что
УЧ*). Г (У)]- = (То, [/*(*), /Чу)]_Т0)-1. D.39)
К сожалению, оказалось, что эта теорема неприменима
к полям нулевой массы, так что необходимо непосредст-
непосредственное вычисление.
Пример 3
v-теория фононов. Представление о том, что бозонные
поля нулевой массы можно сконструировать из билиней-
билинейных комбинаций фермионных полей, было выдвинуто на
заре истории квантовой теории поля в связи с попытками
создать нейтринную теорию света (Jordan, 1935). Это пред-
предложение было первоначально разработано в случае дву-
двумерного пространства-времени для системы в ящике с
периодическими граничными условиями. Сначала каза-
казалось, что возникающие математические двусмысленности
связаны с проблемой сходимости бесконечных сумм. Борн
и Наджендра Нат достаточно хорошо прояснили харак-
характер этих трудностей для системы частиц в ящике, последо-
последовательно применив теорию дырок для фермионов (Born,
Nagendra Nath, 1936). В цитированной выше работе (So-
kolow, 1937) Соколов придал этому формализму ковари-

вО Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
антную форму, показав, каким образом можно образовать
скалярное поле из билинейной комбинации операторов
рождения и уничтожения диракова поля, не прибегая к
ящику. Как явствует из проведенной выше дискуссии, в
двумерном пространстве-времени уместно произвести
тщательный пэресмотр подобного построения полевой тео-
теории скалярных частиц, поскольку ни один из указанных
авторов не заметил невозможности построения скалярных
полей нулевой массы в двумерном пространстве-времени.
Чтобы подойти к сути дела, рассмотрим поле Дирака
нулевой массы и связанные с ним ток / и псевдоток к, оп-
определенные в D.31) и D.32). Поскольку
dv-jp (ж) = 0 = д%. (ж) D.40)
тс
dJi - djo = 0 = д0 кг - дгк0. D.41)
Отсюда следует, что существуют бозонные поля рис,
удовлетворяющие соотношениям
f (х) = jfVp (ж), /с" (ж) = jfVs (x) D.42)
? р (ж) =0 =[>(*)
(множители л-V* включены для того, чтобы нормировка опе-
операторов р и а совпадала с нормировкой свободного поля).
Чтобы найти кандидатуру на роль оператора р, рассмот-
рассмотрим формальное выражение для диракова тока
o (P) dQ0 (?) X
X {а* (р) а (?) exp (t (p — q) x) и* (р) фи (?) —
— V (?) Ь (р) ехр <— i (р — q) ж) и» (р) iyW (q) +
+ а* (р) Ъ* (д) ехр (i (р + q) ж) »+ (р) фи' (q) +
+ b(p)a (q) ехр (— i (p + q) ж) «с+ (/>) фи (q)}. D.44)
Далее в случае Двумерных полей нулевой массы скаляр-
скалярные произведения дираковых волновых функций можно

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 61
записать в виде
-Г/
О, если р°/ pl=j=q°/q1,
|? q»=Vp4° {q° I q1}, если pofp1=q° I q1,
(p) ifV-Uc (?) = »+ (p) ii»u(q) =
= — sgn (p° / p1) м+ (p) ifV-uc (?) =
= — sgn (p° / p1) uc+ (p) гу14" (?)•
D.45)
Эти матричные элементы всегда пропорциональны импуль-
импульсу, возникающему в экспоненциальном множителе. Тем
самым кандидатуры на роли полей р и а имеют вид
в(х) =
X
D.46)
^jjjj<*Q0(p)dQ0(g)e(??) ypv x
«(P - g)x) + ^^-exp (-i(p-»)«)-
^3 ^^ 4
D.47)
Как и следовало ожидать, эти формальные выражения
приводят к инфракрасным трудностям. Например, рас-
рассмотрим выражение || р (/) То ||, которое является нор-
нормой состояния пары частиц
. D.48)
Оно бесконечно. Однако его можно сделать конечным,
если использовать трюк, предложенный Шроером, я

82 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
потребовать, чтобы / @) = 0. Подробное обсуждение пока-
показывает, что, как и прежде в случае скалярного поля нуле-
нулевой массы, чтобы сделать поля р и а хорошо определенны-
определенными, достаточно либо применить этот метод, либо ввести
индефинитную форму { , }.
Поля р и а удовлетворяют перестановочным соотно-
соотношениям свободных полей
[р (*), Р Ш. = i-1 А @, х- у) = la (x), a (*/)]_, D.49)
что не столь удивительно, если уж ухитрились стерпеть
D.36). Кроме того,
[р (*), о" (?)]_ = isgn (х1 -yi)Q(-(x- уJ) = iA (x -у)
¦ _ D.50)
Отметим, что функция А в правой части этой формулы
представляет собой нечетное решение волнового урав-
уравнения _
? А (*) = 0,
удовлетворяющее граничным условиям
Д>о,О) = О, Ц(*о,О) = *(*«). D.51)
Она является аналогом для переменной ж1 функции А @, х)
для переменной х°. Такие объекты существуют только
в двумерном пространстве-времени.
Поля р и а следует интерпретировать так, как будто
они описывают свойства свободных бозонов (скалярных
и псевдоскалярных соответственно), представляющих со-
собой составные частицы, построенные из соответствующих
фермионов массы нуль. Например, состояние с одной
парой D.48) — это бозонное состояние. Однако состояние
с двумя бозонами — это не просто состояние с двумя па-
парами. Типичное двубозонное состояние имеет вид
где р<+) — положительно частотная часть р. Это состояние
содержит хитрую суперпозицию состояний двух пар и
одной пары.
В заголовке обсуждаемого примера такие бозоны бы-
были названы фононами, чтобы подчеркнуть, что они — н#

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 63
фотоны. Их существование было недавно заново открыто
в модели, используемой в теории твердого тела (Mattis,
Lieb, 1965)*). Там их называют плазмонами.
Пример 4
Модель Тирринга. Тирринг (Thirring, 1958) был пер-
первым, кто понял, что ферми-взаимодействие поля Дирака
нулевой массы в двумерном пространстве-времени приводит
к явно решаемой модели. Он получил формулы для нес-
нескольких матричных элементов такого поля. Далее Глазер
(Glaser, 1958) вывел явную формулу для оператора поля
в зависимости от свободного поля Дирака нулевой массы.
Работу Глазера подверг критике Прадхан (Pradhan, 1958).
Прадхан утверждал, что некоторые сингулярные и нес-
несколько двусмысленные выражения, которые Глазер счи-
считал равными нулю, фактически нулю не равны, что долж-
должно повлиять на некоторые из результатов Глазера.
G другой стороны, Скарф (Scarf, 1959a), первоначально
подтвердивший правильность решения Глазера, позднее
изменил свое мнение и доказал, что это решение проти-
противоречиво (Scarf, 19596). Затем Джонсон (Johnson, 1959),
воспользовавшись совсем другой техникой, рассмотрел
проблему вновь ab initio. Двумя важными результатами
его работы были предписания для вычисления тока с пе-
перенормированным оператором поля и явные, свободные
от неопределенностей, формулы для двуточечной и четы-
четырехточечной функций Грина. Выражение, полученное им
для двуточечной функции Грина, отличается от выраже-
выражения, полученного Скарфом (Scarf, 1959b) на основании
формулы Глазера. Поразительная особенность джонсо-
новых выражений для функций Грина — отсутствие 8-
функций на световом конусе в импульсном пространетве;
взаимодействие Ферми как бы превращает фермионы мо-
модели в инфрачастицы в смысле Щроера. Этот результат
порождает сомнение в справедливости формулы Глазера,
выражающей поле через свободное поле Дирака нулевой
массы. (Свободное поле ф(°> автоматически генерирует
*) Рассматриваемая ими модель была предложена Латтигокером
(Luttinger, 1963).

64 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
состояния определенной массы, именно Т<°)Т0). Аналогич-
Аналогичную критику можно адресовать более поздним попыткам
исправить формулу Глазера так, чтобы она приводила к
джонсоновым выражениям для функций Грина (Scarf,
1962).
Если все зто кого-нибудь смущает, то я с ними заодно.
То, что последует ниже, представляет собой первую по-
попытку вписать упомянутые выше факты в рамки аксио-
аксиоматической теории поля.
Тирринг доказал, что все варианты взаимодействия
Ферми в двумерном пространстве-времени в существен-
существенном совпадают. Например,
V (х) №(*) Ч>+ (*) irfl (*) = 2 (я|/ (х) ф (*))• +
-f- (бесконечные члены, квадратичные по ф). D.52)
Это утверждение можно доказать, исходя из
]+ = 0 = Ил (*), ф* (*)]+ и $(х) = $ (х) = О,
путем элементарных алгебраических манипуляций. К со-
сожалению, этот результат' нельзя принять за чистую мо-
монету, поскольку произведение полей в некоторой точке
следует, вообще говоря, определять с помощью должного
предельного перехода. В любом случае в качестве пер-
первого дтга на пути получения формулы Глазера следует
ввести специальные матрицы
о)' Г6 = Г»Г1 = ( 01)D.53)
и признать, что уравнение
(*) = gy (x) i-W (х) »г^ (яг) = - 2§Г (х
формально сводится посредством D.53) к двум уравне-
уравнениям:
1 (и, v) — igtffyft! (и, v) = О,
(и, v) — ig^ii|J (в, у) = О,
и= з? + х1, v = х° - х\ D.55)|
¦^ (и, v) — ig^ii|J (в, у) = О,
где

f 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 65
Тогда, если пренебречь возможной некоммутативностью
операторов, получается решение
(«, v) ехр [ig \ №(w, Ь) <$> (и>, Ь)dw],
D.56)
Этому решению можно придать другую форму, чтобы вы-
выявить его связь с v-теорией фононов. Заметим, что
Ч>@)+ (и, v) i^4- A + г5) Ч>@) К 0) =
так что
V°)+ F) W 4" D + Г5) V0) F) й^ =
4"
Если ввести, по аналогии с v-теорией фононов, операторы
р и а согласно
ф@)+ (ж) г
то формальное решение принимает вид
У (х) = ехр ^= [(р (х) - р (ж)) -
т. е.
Глазер сдвинул гй на — оо и опустил члены р(^), а{?).
В результате окончательное выражение для предложен-
3 А. Вайтман

66 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
ного классического решения имеет вид
ф (х) = ехр -^ (р (х) - Т*а (х)) г|>@) (х). D.57)
Следуя процедуре, использованной Тиррингом в его
первой работе, Глазер предложил перенести эту формулу
в квантовую теорию поля в два этапа. Сначала трактовать
ее с помощью полей из нефизического мира, в котором все
состояния с отрицательной энергией, за исключением ко-
конечного числа, заняты. Затем переинтерпретировать фор-
формулы такой нефизической теории дырок и в результате
получить физическую теорию.
Рассмотрим эти шаги поочередно. Нефизический мир,
необходимый на первой стадии, был в достаточной мере
знаком физикам-теоретикам двадцатых и тридцатых го-
годов, но в наше время, вероятно, стоит описать его нем-
немного подробнее.
Соответствующее гильбертово пространство есть
00
vv —— ^Х? «^ ,
П=0
где пространство Ж(о> одномерно, а Ж^п) — гильбертово
пространство всех квадратично-интегрируемых антисим-
антисимметричных функций, определенных на произведении ги-
гипербол р\ = ...= р? = т?, причем допустимы оба зна-
знака p°j. Представление группы Пуанкаре определяется в
нем точно так же, как в B.20), но теперь вакуум То =
= { 1,0,0,...} не является более состоянием с наинизшей
энергией, поскольку
l,..., Рп) - B Pi) ^Cn) (pi Рп)
не будет более положительным оператором. Операторы
рождения и уничтожения определяются так:
(а (р) Т)« (А рп) = уК+\ ?(п+1) (р, Р1,..., рп),
х (_1)Мг?(П-о (й?..., ^,..., Рп). D.58)

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 67
Они удовлетворяют соотношениям:
[я (р), a'(g)U = о (р2 - д1) d8gn p.. sgn,.|р° |,
D.59)
для всех р и д.
Поле Дирака определяется формулой
Qm(p)a(p)u(p)e-ipx, D.60)
где опять допускаются оба энака р°. Для такого оператора
ф (z) справедлив обычный закон преобразования спинор-
ного поля
U (а, А) ф (ж) С/-1 (о, 4) =5 (Л-1) $ (Л(Л) а: + а).
Однако в противоположность ситуации в теории, удов-
удовлетворяющей спектральному условию, здесь имеет место
свойство
Билинейные величины, подобные
в этом нефизическом мире имеют смысл без всякого
упорядочения по Вику, как это нетрудно видеть из их
определения в пространстве Фока:
tPxf (х) ^ (х) i-W (*) Y) (а Pj =
Qo(P) dQ0G) с* (Р) с (?) М- (р - д)) и+ (р) ir11 и (д) X
3=1
X м+ (p.) iT^ (д) Т)<П) (?| а, ..., р} рп). D.61)
Так же, как и в v-теории фононов, в данном случае можно
сконструировать такие р и а, что
f (х) = я-У^р (х), к* (ж) = x*Wu (x).

68 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
Возникнут и сходные инфракрасные трудности, которые
можно преодолеть с помощью такой же техники.
Можно вычислить коммутатор
1Г(х) + ?(х), Г(у) + Г(У)]- D-62)
и убедиться в том, что он не равен нулю. Это означает,
что большинство манипуляций, осуществленных Глазе-
ром (предполагавшим, что зтот коммутатор обращается
в нуль) с токами свободного поля в этом нефизическом
мире, не законно. В результате возникают три возмож-
возможности!
1) Этот коммутатор обращается в нуль для точ-
точного решения, хотя это не так для свободного поля
(очень маловероятно, поскольку результат для сво-
свободного поля является пределом результата для
взаимодействующего поля, когда константа связи
стремится^к -нулю);
2) полученное решение правильно, хотя метод
его получения не верен;
3) полученное решение отнюдь не есть решение.
Я утверждаю, что в действительности реализуется
третья возможность *). Существенную роль играет здесь тот
факт, что формула D.57) не определяет локального поля,
поскольку р и а не локальны ни друг относительно друга
(см. D.50)!), ни относительно г|з@). Конечно, чтобы выра-
выражение D.57) было полностью хорошо определено, необ-
необходимо определить в этом нефизическом мире соответ-
соответствующую «упорядоченную по Вику» экспоненту, но это
не приведет к локальности ij). Необходимый расчет, по-
позволяющий в этом убедиться, будет приведен в нашей
последующей дискуссии.
Следующий этап в построении Тирринга — Глазера
связан с переинтерпретацией входящих в D,57) операто-
операторов в терминах реального физического мира (оператор
с (р) с р° <^ 0 переписывают как Ь* (—р) и интерпрети-
интерпретируют как оператор рождения античастицы с импульсом
*) См. в связи с этим работы: А. В. Астахов, ДАН СССР
174, 771 A967); А. В. Астахов, О. И. Завьялов,
А. Д. С у х а в о в, ЖЭТФ 52, 780 A967). (Прим. пери.)

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 69
р1). Эта процедура не приводит к локальности оператора
D.57), но, как подчеркивал Скарф, она оказывает силь-
сильное влияние на оператор тока. Выражение типа т|)+(ж) т|)(ж)
в нефизическом мире определено вполне хорошо, од-
однако для придания ему смысла в переинтерпретирован-
переинтерпретированной теории могут потребоваться тонкие предельные пере-
переходы. Это означает, что уравнения движения, которым
удовлетворяет оператор поля после переинтерпретации,
могут быть иными.
Имеется еще один существенный момент в такой пе-
переинтерпретации: важно сохранить следы локальных
свойств рассматриваемых операторов, и в то же время
нельзя беспечно полагать, что обычное виково упорядо-
упорядочение основных фермионных операторов — это как раз
правильная процедура, позволяющая этого добиться.
Чтобы проиллюстрировать этот вопрос, рассмотрим проб-
проблему определения га-й степени псевдоскалярного поля а.
G этой целью можно попытаться вычесть из произведения
a fa)... а (arj вакуумные средние операторов так, чтобы
все сингулярности в точке совпадения аргументов сокра-
сократились. Оказывается, что эта процедура приводит к вы-
выражению, совершенно непохожему на обычное виково
упорядочение. Поэтому, следуя А. Джаффе, мы введем
для такой конструкции обозначение |... •
: з fa) з («•) :" = <з fa) в (as,) — (Т0) а fa) в fa) То), D.63)
\в*\ (x)= lim i в (*0 в (*,):', D.64)
, Хг-t-X
• <з fa) з (ж2) а (х3): - з (xi) s (z2) а (х3) —
а (*,) То) з (х3) — (То, a fo) s (ж3) То) б (ж2) —
„) з (Ж1), D.65)
1 а31 (ж) = lim : в fa) з (ж2) з (ж3) | D.66)
Xi, X,, ХЗ-+Х
и вообще индуктивно
iafa)...e(a;Tt); = a fa)... s (xn) —
3 (*O • • • « Ю ^o): О («л)... з (a:jn_r) I , D.67)

70 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
где сумма У] берется по всем разбиениям индексов
р
1,..., п на различные группы ilt..., ir, jlt..., /n_r, причем
ii < h < ¦¦¦< h, h < h < — < U-r и 1 < r < n.
Тогда
\an\{x) = lim =e (*!)... <j(ag:. D.38)
Конечно, a priori нет никакой гарантии того, что та-
такое определение приводит к хорошо определенному полю
• а" •. Для некоторых а это будет так, а для некоторых
нет.
После работ (Thirring, 1958; Glaser, 1958; Pradhan,
1958; Scarf, 1959a) теория модели Тирринга находилась
в чрезвычайно запутанном состоянии. Не было ясно,
какие из многих, часто взаимно противоречивых уравне-
уравнений, выписанных различными авторами, истинны, а
какие ложны. В этот момент К. Джонсон пересмотрел
всю теорию с совершенно другой точки зрения. Он нас-
настаивал на существовании сохраняющихся тока / и
псевдотока к и задался вопросом: какими перестановоч-
перестановочными соотношениями со спинорным полем т|) они должны
обладать, чтобы соответствующие заряды генерировали
калибровочные преобразования спинорного поля ? Тем са-
самым ему пришлось предположить (для неперенормиро-
ванных полей), что
[г|з (ж), к" (у)]_ = об (ж1 — у1
' ) D-69)
В результате, зная эти соотношения и законы сохране-
сохранения, он выразил вершинную функцию Грина (То, (/ц (а^),
г|з (ж2), т|)+ (х3))+ %) через константы а, аи однофермионную
функцию Грина (То, (i|) (x^, т|) (жг))+ То). Аналогичным об-
образом он выразил функцию Грина вида 0Fo, (J^ (xj^ (ж2),
¦ф (xa)i 'Ф (^4), 4|>+ (^б))+ То) через а, а и двуфермионную функ-
функцию Грина (То, (я|) (xjty («j) г|з+ (ж8) я|)+ (ж4))+ То). Затем,
используя уравнение движения
И = Я lim -J-1/" {x), ir^ ti)L* D-7°)

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 71
он получил явные выражения для одно- и двуфермион-
ных функций Грина в зависимости от а и а, не конкрети-
конкретизировав предельную процедуру, необходимую для оп-
определения /> (ж) через i|) и т|)+. В этом случае представле-
представление о том, что /!"¦ (ж) — это каким-то образом определен-
определенный предел выражения т|)+ (x)iyv-ty (у), естественно при-
приводит к определению (для перенормированного тока, вы-
выраженного через перенормированные поля)
f (х) = Hm i- [f (x, в) + f (x, в)] (г*)*, D.71)
где
D.72)
Требования совместности приводят к
-^!' а-11+^Г- D-73)
Такую процедуру в принципе можно было бы исполь-
использовать для получения явных выражений для всех функ-
функций Грина. Позднее Клайбер (Klaiber, 1964) выписал
общую формулу для соответствующих вакуумных сред-
средних
(То,
= П ^Р (-Ял f Д(+) @, «, -**)) X
X Д ехр (_Ха^-Л(+>(О,^-г/к)) X
X П ехр (-Ха-|-А(+)@, *5-^)) X
X П ехр (+ ЯЛг».г» r^WjO, «, — «»)) X
X П ехр(+ХаТ5.гу-1Д(+>@, у, —У,)) X

72 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
X П ехр (+ **г» .Т*,Г1Д<+) (°> *i ~ »*» х
j.fc '
|>@> fo)я|>@) (х) я|>@)+ Ыt|><0)+
X (То> я|>@> fo)... я|>@) (хп) я|>@)+ Ы... t|><0)+ (yj To), D.74)
и доказал, что они являются обобщенными функциями,
аналитичными по константе связи А, для всех комплекс-
комплексных А,, исключая Я = ЧЬ 2я.
Можно непосредственно проверить*), что для таких
вакуумных средних имеют место операторные уравнения
движения D.70) в том смысле, что
(Ф, тЧФ (*)Т) *Iim (ф
где ФиТ- произвольные состояния вида ff> ?0, а &> —
полином по сглаженным полям 1]з и 11з+.
Подробное исследование Клайбера позволило устано-
установить, что такие вакуумные средние удовлетворяют всем
гипотезам, необходимым для применения теоремы рекон-
реконструкции, исключая, быть может, требование положитель-
положительной определенности. То обстоятельство, что требование
положительной определенности приводит к нетривиаль-
нетривиальным ограничениям, очевидно уже из джонсонова выраже-
выражения для однофермионной функции Грина: для значений
А. вне интервала — 2л <^ А, <^ 2л состояния г|? (/) ?„ при
соответствующем выборе / дают (if (/) ?0, 1]з (/) ?0) <[ 0.
Насколько мне известно, непосредственно из D.74) ник-
никто пока не смог доказать, что условие — 2л <^ А. <^ 2я
достаточно для выполнения (№ ?0, 3d Wo) > 0 для всех
состояний (Р Wo, где (Р— полином по сглаженным полям.
Как уже отмечалось ранее, • формулы Джонсона показы-
показывают, что фермионы в этой теории являются инфрачасти-
цами.
С точки зрения данных лекций в качестве исходного
пункта естественно выбрать формулу D.74) для вакуум-
вакуумных средних и постараться определить гильбертово про-
пространство и операторы, приводящие к таким формулам.
Оказывается, что сделать это очень просто, причем однов-
*) Я благодарен А. Джаффе за выполнение этой трудной
работы.

§ h. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 73
ременно удается выяснить, почему вакуумные средние
вида D.74) так просты по структуре. Пусть <рх — свобод-
свободное скалярное поле нулевой массы, определенное на V^,
снабженном полуторалинейной формой { , }lt опреде-
определенной так же, как и в примере 2. Пусть <р2 — другое
такое свободное поле нулевой массы, но определенное так,
что оно удовлетворяет перестановочным соотношениям
[фа (ж), q>2 (у)]. = — т А @, х — у)
(обращаем внимание на лишний знак минус в правой
части равенства). Оператор <р, определен на V$', снабжен-
снабженном полуторалинейной формой { , }2, смысл которой
вскоре станет ясен. Пусть г|э(°) — свободное спинорное
поле нулевой массы, определенное на Ж®\ снабженном ска-
скалярным произведением (, )8. Для простоты будем счи-
считать, что 0 ^ Я < 2я. Тогда поле ф, определенное выра-
выражением
я|> (х) = : ехр (/1ф1): (х): ехр (/аГБФа): (х) Ч>@) (х) D.76)
будет определено в У$} х Vj^ X ЖC\ снабженном полу-
полуторалинейной формой { j } , построенной обычным образом
из { ;. }i' { » Ь и ( ? )8- Здесь следует считать, что уъ
действует на двузначный индекс \Jj<°>. В этом пространстве
есть вакуум То = W1^ х ?(ог) Х^о3'. а вакуумные средние
... ф (хп) ф (У1)... я1>+ (уп) ?0} =
= {??: ехр (/1ф1): (Xl)...: ехр (/1ф1): (ад х
X : ехр G1ф1): (yi)...: ехр (Дсрх): (уп) Т^ х
X {^2), : ехр (Лг'.Фг) = (^i) • • •: ехр (Аг^фз): Ы X
X : ехр (—/гГ^з): (г/i)...: ехр (— Аг^Фг): (yj Y?'}, X
X Dtf\ Ф<0> W • • • ^@' К) ^(°)+ (Ух) • • • ^(°)+ (Уп) Ч?)ш D-77)
в точности совпадают с вакуумными средними вида D.74).

74 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
Полуторалинейная форма { , }2, которую мы обещали
определить, выбирается так, чтобы
, п — нечетное,
1. • .п], п— четное,
где [1.. .п] — гафниан, определенный выше сразу после
формулы D.8), и
Для реализации этих свойств в пространстве Фока
требуется лишь слегка изменить стандартный формализм.
Опять, как и в примере 2, в качестве V^' выберем про-
пространство последовательностей {Ф(°>, Ф»),...}, однако
теперь определим
ео _
{Ф, ?}2 = Ф@IР@) + S М)" S • • • S *» (А) • • • da (pn) х
71=1
X Ф(п)(Р1,..., а) У(п) (А,..., а,) D.78)
da> (р) Т (р) Т^1' (р, А,.,., рп) -
...,^...,/>„)}.
Нетрудно проверить, что эти формулы приводят к выра-
выражениям для вакуумных средних, приведенным выше.
Если —2я < Я, < 0, то следует {> }х и {,} 2 по-
поменять ролями, сделав неопределенной первую, а не пос-
последнюю форму.
Формула D.76) предоставляет нам одно из объяснений
простоты модели Тирринга. Из нее следует, что при вло-
вложении гильбертова пространства теории в более широкое
пространство в этом более широком пространстве можно
определить тривиальные поля, сужение которых на тре-
требуемое подпространство и приводит к решению. С другой

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 75
стороны, формула D.76) оставляет абсолютно таинствен-
таинственным вопрос об условиях положительной определенности.
После того как Джонсон дал свое решение модели Тир-
ринга, Скарф и Весе вновь исследовали проблему нахож-
нахождения явной зависимости этого решения от свободных
полей. Эта проблема была ими решена путем использова-
использования двух свободных полей, удовлетворяющих относи-
относительно простым перестановочным соотношениям. Я не
буду воспроизводить здесь их результаты. Если игнори-
игнорировать (как это делали они) проблему определения соот-
соответствующего обобщенного викова упорядочения, то мож-
можно найти гораздо бодее простое решение, на что впервые
явно указал Лойтвайлер (Leutwyler, 1965). Отметим, что
7^/ц = — уьуУ-ку., где к0 =Д к1 =р. Тем самым комп-
лекснозначное поле я]> вида
ф (х) = exp (^= (ClP (S) + crfa (х))) ф<°> (х) D.79)
удовлетворяет D.54) с тем же успехом, что и поле Гла-
зера вида D.57), при условии, что сг + с2 = X.
[Здесь уместно процитировать недавнее высказывание
Вайтмана (Wightman, 1966) по поводу модели Тирринга:
«В теории модели Тирринга имеется два открытых воп-
вопроса. Первый состоит в том, чтобы дать математически
строгую версию оригинального решения Глазера. Пред-
Предполагаемая формула, которая, как мне кажется, должна
быть правильной, была предложена Лойтвайлером*):
i|> (х) = exp {i [Cl (X) р« (*) + с2 (X) г5з^+) (*)]} ф@) (*) X
X exp {г [сг (К) р« (х) + с2 (X) Т5зН (*)]},
где г|?@) (х) — свободное спинорное поле нулевой массы, а
р(±)) о"(±)_- положительно и отрицательно частотные час-
части операторов р, а, которые в свою очередь являются
полями, удовлетворяющими соотношениям
Здесь
*) См. (Leutwyler, 1965) и частные сообщения.

76 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
Доказательство того, что эта формула действительно
определяет поле, все еще не завершено. Если, как я на-
надеюсь, его удастся осуществить, то данная формула от-
открывает путь для доказательства того, что метрика гиль-
гильбертова пространства в стандартном джонсоновом реше-
решении модели Тирринга в действительности положительно
определенна. Это и есть второй открытый вопрос, который
я имел в виду». (Прим. перев.)]
Возникает вопрос: если р и а образованы стандарт-
стандартным способом из свободного спинорного поля нулевой
массы по формулам D.46), D.47), то при каком вы-
выборе сг и са поле ф будет локальным? (Очевидно, этот
выбор скорее всего приведет к нетривиальному условию
на сх и с2, поскольку ни одна пара среди полей i|)(°\ p и
а не является относительно локальной.)
Для выполнения такого расчета нам потребуются две
формулы из v-теории фононов, которые не были выписаны
нами выше:
*), Р (?)]_ = /я [ А (* - У) + Г5Д (* - У)\ ф (*) D.80)
(*). б Ш- = V я [Г5Д (* - у) + X (* - у)] ф (х). D.81)
Далее из D.80) и D.81) формально получаем
ехр (-,±=(сгр(х)+ся*в(х))^{0)(х) X
X ехр {^(СФ(У) + С^(У))) = Jl^ X
X [ • • • [Vo) (*), eip(У) + crffi (у),. .., сф (у) + с2Гъув (у)}] =
оо
= 2 ^г~ и* - С«ВД д (^ - у) + (^ -с<) х
xA(i- 2/)]>@)(*) = ехр (-i [(ъ -с^\) А(*-») +
- ciT») A (* - У))) Ф@) (*),

S 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 77
а из D.50)
= (Схр(х) + с2г*б (ж))] exp ^= (dp(у) + саг*<з (у)) ) X
X exp (^=± (Clp (ж) + caries (*))\ =
dc (r« + rpA (ж— у)) exp y= (dp (у) + е2т*б (г/)).
dc2 (r + rpA (ж у)) exp y= (dp (у) + е2тб
Тем самым
* (*) * (У) = -exp (-iF (x, у)) ife
где
F (ж, у) = 2 (Cl - ctflrl) A(x-y)
t
Для локальности поля i)) необходимо и достаточно, чтобы
Это условие также оказывается необходимым и достаточ-
достаточным для выполнения равенства
х),Г(У)]+ = 0 при (*-г/)*<0. D.82)
Полученное соотношение совместно с сх + с2 = Я, поз-
позволяет определить зависимость ех и с2 от Я,:
D.83)
1 == ~2~ ^л — яп-Х- V л" " 4я2)
или, если ввести новый параметр Л с помощью sh Л =
=XJ2n,
*~ ~t ' D-84)
По моему мнению, формулы D.79) и D.83) представ-
представляют собой правильное осуществление оригинальной
идеи Глазера. Однако очевидно, что они не являются

78 Ч. Т. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
математически приемлемыми утверждениями. Необходимо
еще выделить из D.79) конечную часть
¦ (*)-• exp (:ji=(Cl(b)p + c2(b)r5s)) V°> i (*). D-85)
определив соответствующим образом -...;, и при этом
не разрушить условие локальности D.82). Здесь это делать-
делаться не будет.
Формула, подобная D.85), казалось бы, должна была
явиться хорошей отправной точкой для доказательства
справедливости условий положительной определенности
в модели Тирринга. Можно изменить р и а, введя некото-
некоторую массу с тем, чтобы введение инфракрасной индефи-
индефинитной метрики было не обязательно, но в то же время
так, чтобы вакуумные средние в пределе нулевой массы
сходились бы к вакуумным средним модели Тирринга.
Пример 5
Векторные мезоны, взаимодействующие с фермионами
нулевой массы. Самые ранние работы по этой модели были
выполнены Бялницким-Бирула (Bialnicki-Birula, 1958) и
Глазером и Якшичем (Glaser, Iaksi6, 1959). В них они
следовали методу, использованному Глазером в его ра-
работе о модели Тирринга. Так что вся критика, высказан-
высказанная выше в связи с той работой, применима и здесь.
Эта модель была вновь исследована рядом авторов в
связи с проблемой массы частиц, связанных с калибро-
калибровочным полем (Boulware, Gilbert, 1962; Schwinger, 1963;
Brown, 1963; Sommerfield, 1963). Некоторые из этих ра-
работ были выполнены в так называемой кулоновой калиб-
калибровке, некоторые — в лоренцевой калибровке. Некоторые
авторы имели дело с семейством функций Грина, а неко-
некоторые — с операторами поля, наконец, некоторые авторы
рассматривали только такие теории, в которых голая
масса векторного мезона считается равной нулю, а дру-
другие — общий случай.
С обсуждаемой здесь точки зрения наипростейшую
формулировку этой модели нашли Тирринг и Весе (ТЫг-
ring, Wess, 1964). Соответствующая формула представ-
представляет собой полный аналог формулы D.76) для модели

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 79
Тирринга. Она выражает операторы поля в модели в
зависимости от набора свободных полей, часть которых
опять-таки действует в гильбертовом пространстве с ин-
индефинитной метрикой.
Итак, допустим, что а^, Ъ, В, С и ij>(°) — независимые
свободные поля, удовлетворяющие соотношениям
2) М*) = 0, дкак(х)=0,
[ак (х), ах (у)]_ = gfcX -i- Д (ц, х — у),
\Jb(x) = 0,
D-86)
Очевидно, что поля В и С следует понимать в неортодок-
неортодоксальном духе, описанном в D.78). Решение модели задает-
задается формулами
Ак (х) = ак (х) + у вкХдхс (х) +
D.87)
[I Y6
п — (efcXaftax -\- С) —
в том смысле, который обсуждался выше в связи с моделью
Тирринга. Именно правые части этих формул дают ва-
вакуумные средние в модели*).
*) Это утверждение справедливо только при Цо, Ц =? 0. Не ис-
исключено, что аналогичные формулы имеют место и в случае нулевой
массы.

80 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
Так же, как и в случае модели Тирринга, из существо-
существования операторного решения D.87) немедленно следует
существование набора вакуумных средних, которые яв-
являются обобщенными функциями умеренного роста, удов-
удовлетворяют спектральному условию и обладают правиль-
правильными трансформационными свойствами относительно
группы Пуанкаре. Однако, как и прежде, остается откры-
открытым вопрос, удовлетворяют ли скалярные произведения,
построенные с помощью вакуумных средних, условиям
положительной определенности. В данный момент проблема
остается открытой. Исследование этой проблемы в куло-
новой калибровке делает очень вероятной перспективу
того, что эта теория удовлетворяет условиям положитель-
положительной определенности.
Между прочим, Соммерфильд показал, что модель
Тирринга и рассматриваемую сейчас модель можно ском-
скомбинировать. Он провел подробное изучение проблемы воз-
возможных определений тока и псевдотока для такой ком-
комбинированной системы во внешних полях.
Пример 6
Модель Федербуша. В ходе эвристической дискуссии,
приведшей к построению полей р и а в v-теории фоно-
нов, отмечалось, что в двумерном пространстве-времени
равенство 9>7ц (х) = 0 эквивалентно д0 А^ — дгка = 0, а
равенство д^ к^ (х) = 0 эквивалентно д0 jt — дг /0 = 0.
Далее для свободного поля Дирака ненулевой массы в
двумерном пространстве-времени dfy'p. = 0 и д^ kv —
=—2 mi :1ф+'уБг|> : . Тем самым можно было бы ожидать,
что поле а, удовлетворяющее равенству № (х) = д^а (х),
в этом случае должно существовать, даже если ни одного
поля р, удовлетворяющего равенству j> (х) = с^р (х), не
существует. В действительности это так и есть. Аналогом
D.44) будет выражение
: ipifyv-y: (х) = -^ jj Jj dQm (p) dQm (q) X
X [a (p)* a (q) и+ (p) ify^u (q) exp (i (p — q)x) —
— Ь (q)" b (p) ис+ (p) if V» (q) exp (— i (p — q) x) +
+ a (p)* b (q)* u+ (p) ifyv-u0 (q) exp (i (p + q) x) +
+ b(p)a (q) u<+ (p) trV« (?) exp (— i (p + q) x)\, D.88)

в+ (р) W» (?) = "•* (р) n
= — тsgndet (p, q)\(p— qfГ*'1(p — qf,
u+ (p) ifyW {q) =* «<* (p) ify
§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 81
а подробный расчет, в котором используется представле-
представление D.45), приводит к
D.89)
Эти последние формулы обнаруживают как раз ту зави-
зависимость от импульсов (pi?)» которая соответствует за-
зависимости, появляющейся в экспонентах в D.88). Тож-
Тождество, делающее это возможным, имеет вид
p-q 1 (Р- ?J |V1 (P+?J |"/а sgn det (p, (? ^
D.90)
Тем самым очевидной кандидатурой на роль а будет опе-
оператор
а (х) = ^= g dQm (p) dQm (q) [а (Ру а (?) | (р - qf р'л х
X sgn det (p, q) exp {i (p — q)x) +
+ b (?) *b(p) | (P - qf Г'/2 8§п det (p, q) exp(- i(j» -q)x) +
+ о. (РУ Ь (qy | (p+ qf |J/< exp (i (j» + 9) x) +
+ a(q)b (p) | (p + qf \^ exp (- г (p + q) *)]. D.91)
Нетрудно проверить, что такой оператор а обладает отно-
относительно группы Пуанкаре трансформационными свойст-
свойствами псевдоскалярного поля. То, что не так очевидно,
так это вопрос о локальности поля а. Поэтому я хотел бы
обсудить его подробно. Чтобы вычислить коммутатор,
удобно возвратиться к языку «додырочнои» теории, введя
оператор

82 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
Тогда
0 <*) = 5г S dum {р) dQm {q): с {рГ с {q): exp {i(p ~~д) х) х
X | (р- <?J |J/i [(В(/)8(?0)-8(-/)8(-<7°))sgn del (p,
]) D.93)
где интегрирование должно выполняться по обеим час-
частям поверхности гиперболоида р2 = т2. Коммутатор име-
имеет вид
И*), оB/)]_ = -{m^dQm(p)dQm(s)c(Pyc(s) х
X 1i ImF(x- у) exp (г (^) (ж + у)) , D.94)
где
X <Н«* {8(р°) 9 (s») [8(?°) sgn det (p, ?) sgn det (q,s) —
- 9 (- 9°)] + 8 (- p°) 8 (- e») [8 (- q°) sgn det (p, g) x
xsgndet(9,s)—6(q°)]+B(p°)B(— s°)[—9(?°)sgndet(y
+ 8 (- ?°) sgn det (q, s)] + 8 (- /) 8 (s°) x
X [8(?°)sgndet(9, *) —8(—go)Bgndet(/>, ?)]}.' D.95)
Тем самым для локальности сг необходимо и достаточно,
чтобы два интеграла
I/2 x
h = J dQm (q) exp (- i [q - L+i) ж) j (p - ?)« f
X | (9 — sJ |J/218(go) sgn det (jo, q) sgn det (?, s) —
— ©(— 9°)] с р°>0, so>O D.96)
Xexp(— i[q — ?
— 6 (go) sgn det (p, 9)] с р°>0, so<O D.97)
имели такие мнимые части, которые обращались бы в нуль,
когда вектор х пространственноподобен. (Другие два слу-
случая следуют из этого.)

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 83
С помощью длинных алгебраических выкладок можно
показать, что при ж0 == 0 эти интегралы можно предста-
представить в виде
U°=o
X
X
-exp (irx1),
- — Г*
D.98)
exp (irx*).
Поскольку подынтегральные выражения в этих интегра-
интегралах четны, то при х° = 0 интегралы It и /2 оказываются
вещественными. Тогда в силу лоренцевой инвариантности
D.96) и D.97) получаем, что мнимые части 1У и /2 обраща-
обращаются в нуль для всех пространственноподобных интерва-
интервалов. Тем самым поле сг локально.
В то же время поле сг не локально относительно сво-
свободного диракова поля ненулевой массы, из которого оно
образовано. В самом деле,
i - У°) ~ (ж1 - У1)) ~
- t/o) + (xl - у))] Up (x) + r5A (* — У) Ф (У) +
. +1 [sgn ((ж0- г/°) -(ж1- г/1)) +
+ sgn ((ж» - у») - (ж1 - г/1))] / ft)), D-99)
и правая часть здесь не обращается в нуль для простран-
пространственноподобных (х — у). Насколько мне известно, это
первый пример локального поля, построенного из сво-
свободного поля ненулевой массы, которое не принадлежит
к классу эквивалентности этого свободного поля.
Доказательство формулы D.99) можно провести так.
Из определения поля а (см. D.93)) немедленно следует,

Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
ЧТО
Г ехр (— tp
L
, б (у)] = -^ I dQm (?) {ехр (- iqy) а (?) J dQm (/>) х
ехр (— tp (х — у)) и (р) sgn det (p, q) ехр (ip {x — у)) ис (р) 1
J
Используя представление
получим
ехр (— ip (ж — у)) sgn det (p, д) и (р)
V(P-qf
ехр
_ 1 /ехР
~ 7^ \ехр (-
где
+CO
причем
Г ехр (— fr (ж — у)) и (р) __ ехр (ip (х— у)) ис (р) sgn det (p,
L V{p + q? VTp^qf
D.100)
где
D.101)
D.102)
Ъ = | (<?° - ql) [(*° - У0) + (жг - г/1)].

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 85
Стандартная техника интегрирования по контуру при-
приводит к выражениям
+ in sgn а ехр (— i (а + 6)),
/4 = -^- Д (т, ж — у) + /3.
Аналогично
ехр (— ip (х — у)) и (р) ехр (ip {х — у)) иер 1
/G+1)* VfP-?J J
= _2_/ехр (Xi/2)/
D.104)
xp(-Xl/2)/J- <4Л05>
откуда следует формула D.99).
Для дальнейшего интересен и важен тот факт, что для
пространственноподобных интервалов и для ж0 = у° спра-
справедливо следующее соотношение:
1 - У1) * (*) D.106)
и тем самым
ty (ж) | exp ihj \ (у) = ехр и -у sgn (ж1 — у1)} \ ехр г"Л,з j (у) т]з (ж).
D.107)
Это означает, что при ж0 = у0 коммутирование ч|з (ж) и
•ехр i la • (у) приводит к появлению фазового множи-
множителя.
Конечно, для полной уверенности в том, что оператор
сг как поле хорошо определен, следует показать, что он
может быть определен на соответствующем линейном плот-
плотном множестве в пространстве Фока, т. е. на области, ко-
которая должна быть инвариантна относительно U(a,A), a
под действием сг (/) должна переходить сама в себя для
всех основных функций /. Областью, достаточной для
этой цели, будет набор всех ?, для которых амплитуда
Y (щ, щ), описывающая rax частиц и пг античастиц, обра-
обращается в нуль для всех достаточно больших щ и щ и
принадлежит пространству § для всех гех и щ (или,

86 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
более точно, сужение § на гиперболоиды р2 = т?г р° >0).
Если векторы Ф, Y принадлежат этой области, то
(Ф, ?(/)?)= (а (/) Ф, ?). D.108)
Доказательство этих утверждений оставляем читателям.
Раз уж мы определили таким способом оператор а, то
естественно ввести • а" • и • ехр (гЛст) • , как это
было сделано ранее в случае нулевой массы. Мы сдела-
сделаем это без каких-либо дальнейших комментариев, хотя
проверка того, что эти операторы хорошо определены,
связана с массой утомительной работы. Имея в своем рас-
распоряжении такой аппарат, можно описать решение моде-
модели Федербуша.
В предыдущих примерах 3, 4, 5 существенным момен-
моментом было то, что встречающееся в них поле спина 1/2 име-
имело нулевую массу. Все уверены, что аналогичные теории
с фермионами ненулевой массы гораздо более сложны.
Например, модель Тирринга с фермионами ненулевой
массы
(гЧ+ ")¦(*) = М* (*)'%*(*). /и>0 D.109)
до сих пор сопротивлялась всем попыткам точного реше-
решения. Это обстоятельство делает модель Федербуша (Feder-
bush, 1961a, б), к обсуждению которой мы теперь перехо-
переходим, еще более замечательной. Это теория с взаимодей-
взаимодействием Ферми вида
tyin (*) *? (*) = W e"v A, D.110)
двух спинорных полей с массами т1 и тг соответственно.
Она неинвариантна относительно инверсии пространства,
поскольку форма (,) — псевдоскаляр, но это не может
служить сколько-нибудь серьезным аргументом против
нее.
Формальные уравнения движения для ^ и ф2 имеют
вид
(Г11 h + «i) 4>i (*) = М? (х) jTl> (x),\
( D.111)
. + тш) И>2 (х) = Щ (х) iyflt {x) >

§ 4. МОДЕЛИ В ДВУМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ 87
Предложенное решение таково:
(х)№Нх), 1
\хI\цх).\ DЛ12)
Здесь ij)^ и ij)^ — свободные спинорные поля с мас-
массами тпг и т% соответственно, a erf* и сг^ — псевдоскаляр-
псевдоскалярные поля, построенные из них в соответствии с (,). Оче-
Очевидно, что поля, определенные с помощью ( , ^удовлет-
^удовлетворяют уравнениям
(T*^ii " "*>) Фа (•?) — /г (ж) = Л • fti exp (г
D.113)
Далее, в оригинальной формулировке модели, данной
Федербушем, правые части /х и /2 этих уравнений выража-
выражаются через поля ^ и г|?2, а не через iJ){0) и т]32О>. Для прида-
придания точного смысла правым частям D.112) необходимо за-
задать очень сложную последовательность предельных пере-
переходов, но мы не будем воспроизводить ее здесь. Тем са-
самым мы вновь убеждаемся в том, как сложно записать
одно локальное поле в зависимости от другого, даже если
основополагающая структура теории столь проста, как
в D.112). Между прочим, я не проверял, действительно
ли формулы Федербуша для /х и /2 справедливы для ре-
решения D.112); единственное, что мною было сделано,
так это проверка того, что такое решение приводит к тем
же вакуумным средним, что и описанные у Федербуша.
Тогда в тех пределах, в которых справедливы утвержде-
утверждения его работы, соответствующие уравнения движения
имеют место.
Поскольку выражения для ifo и 1|з2 содержат опера-
операторы о^0), они не принадлежат к классу Борхерса свобод-
свободных полей ip?°\ i]40>. Тем самым появляется надежда на
то, что эта теория приводит к ^-матрице, отличной от
единичной. Так оно и есть на самом деле. Непосредствен-
Непосредственное, хотя и беспорядочное применение асимптотического
условия ЛШЦ приводит к
^ (х) = exp (qp ia%Q2) i|f> (x),
= exp (=F inXQt) ^ (x),

88 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
и тем самым оператор S, который удовлетворяет соотно-
соотношению
имеет вид
S = ехрBя ikQx Q2).
Здесь Q1 и Q2 определяются равенствами
(x): ^iXf$f> :(x), /=1,2.
Тот факт, что подобная 5-матрица не приводит к зависи-
зависимости сечений рассеяния от энергии, лишает модель осо-
особого физического интереса. Однако возникает интригую-
интригующая возможность попытаться получить решения в других
двумерных теориях с нетривиальными ^-матрицами,
обобщив методы, приводящие к решению модели Федер-
буша.
§ 5. Общие методы построения новых теорий из старых
В алгебре существует несколько весьма общих мето-
методов построения новых алгебраических объектов из дан-
данного семейства таких объектов. Завершая обсуждение
явно решаемых моделей, я перечислю несколько таких
методов и кратко опишу, как они применяются в теории
поля.
Прямая сумма. Из данных двух сепарабельных гиль-
гильбертовых пространств Ж\ ж Ж2 ж соответствующих не-
непрерывных унитарных представлений TJX и Uz группы Пу-
Пуанкаре в них можно образовать сепарабельное гильбер-
гильбертово пространство
Ж = %ф% E.1)
и прямую сумму представлений Ux ж ?/2
U =иг@и2 E.2)
в нем.
Поля в пространстве Ж могут быть выражены через
поля в пространствах Ж] (/ = 1, 2) следующим образом.
Если операторы Af} (/=1,..., га, к = 1, 2) — поля в
пространствах Жк, к— 1, 2, соответственно, то операторы

§ 5. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НОВЫХ ТЕОРИЙ 89
А} =A\l) (&Af\ j == 1,..., га, будут полями в пространст-
пространстве Ж.
Типичным примером такой прямой суммы будет ситу-
ситуация, возникающая при попытке построить теорию, об-
обладающую правилами суперотбора, из наблюдаемых по-
полей, рассматриваемых в когерентных подпространствах.
С другой стороны, если теории в ^ н ^ полны, то
построенная таким способом теория в Ж оказывается «пе-
«переопределенной». Например, если теория в Ж\ и теория
в Жй обладают единственными вакуумными состояниями,
то теория в Ж будет обладать двумерным многообразием
вакуумных состояний. Допустимую теорию можно полу-
получить только на основе операции, которую мы обсудим
сначала в общем виде, прежде чем применить к данному
специальному случаю.
Сужение на подпространство. Допустим, что Ж —
сепарабельное гильбертово пространство, U — непре-
непрерывное унитарное представление группы Пуанкаре и
Щ — некоторое семейство полей в Ж. Предположим, что
Sli — подсемейство 91, a j1 — линейное подпространство
Ж, инвариантное относительно U и %\
Uh с А, ЭУх с и- E-3)
Тогда в качестве определения новой теории поля можно
рассматривать сужение U и ^ на ЗСг = 1и замыкание /х.
Обычно эта процедура применяется тогда, когда тео-
теория в Ж обладает вакуумом ?0 и )г — {%*?0} является
линейным подпространством Ж, содержащим векторы
вида SF?0, где ?f> — полином по сглаженным полям, при-
принадлежащим к 3^. Тогда из инвариантности вакуума
U (а, ЛI!^ = Ч?о и трансформационных свойств полей
следует, что U (a, A) {%W0} cz {Щ^о}- Эта процедура
была использована выше при построении решения модели
Тирринга (§ 4, пример 4).
В случае прямой суммы эту процедуру можно при-
применять следующим образом. Состояние ?о9 = УаЧ?М +
-\- yi— a e^WW, где 0«^а^1,а 8— вещественная пос-
постоянная, является нормируемым состоянием Ж, инва-
инвариантным относительно U = i7x ф U2, если Ч'о1' и W® —
соответствующие вакуумные состояния в Ж\ и Ж^ За

90 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
искомую теорию следует принять сужение на подпрост-
подпространство, натянутое на векторы, полученные действием
полиномов по сглаженным полям Aj, действующим на Ч^е.
Такая процедура приводит к вакуумным средним, кото-
которые оказываются выпуклыми линейными комбинациями *)
вакуумных средних теорий в Ж\ и Жъ**):
+ A -а) <*?>, А$ (хг),.... А$ (хп
К сожалению, оказывается, что при 0 <^ а <^ 1 вместе с
Ч'ов возникает и состояние ?ов', где 0 < 8' < 2л. Тем
самым процедура сужения на это подпространство не в
состоянии в этом случае привести к сколько-нибудь удов-
удовлетворительной теории (Нерр, Jost, Ruelle, Steinmann,
1961).
Тензорное произведение (прямое произведение). Из
данных двух сепарабельных гильбертовых пространств
Жг и Ж2 и двух непрерывных унитарных представлений
иг и U2 группы Пуанкаре в них можно образовать тен-
тензорное произведение пространств Ж = Ж\ ® Жъ и тен-
тензорное произведение представлений группы Пуанкаре
U — Ux (g) иъ. Это стандартная процедура, используемая
для описания всех возможных состояний сложной систе-
системы, состоящей из систем 1 и 2.
Существует несколько способов построения полей в
пространстве Ж по заданным полям Aj, j = 1, 2, в прост-
пространствах Ж], j =1, 2. Прежде всего, можно образовать
тензорное произведение вида
А = Ах (g) A2. E.4)
Тот факт, что в результате получится ноле, никоим обра-
образом не очевиден, поскольку мы определяем здесь тензор-
тензорное произведение полей тем же способом, каким опреде-
*) Выпуклая линейная комбинация — это линейная комбина-
комбинация, коэффициенты которой в сумме равны единице и принадлежат
сегменту @, 1] (см., например, книгу Н. Данфорда, Дж. Т. Шварца
«Линейные операторы», т. 14 ИЛ, 1962). (Прим. перев.)
*¦} Соответствующая процедура была предложена в работе
Сударшана, Бардакци (Sudarshan, Bardakci,- 1961).

§ 5. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НОВЫХ ТЕОРИЙ 91
ляют тензорное произведение представлений какой-либо
группы G. Именно просто конструируют представление
{&. &} -*-U (Si) ® U (ft) произведения группы самой
на себя G х G, а затем переходят к «диагонали», т. е. к
подмножеству элементов G x G, которые имеют вид
{?» ?}• Оно образует группу, изоморфную G, так что суже-
сужение тензорного произведения представлений на «диаго-
«диагональ» действительно приводит к некоему представлению
группы G. В данном случае сужение на «диагональ» пред-
представляет собой операцию перехода от At (х) (g) A2 (у) к
Аг (х) (g) Аг (х). Поскольку Аг и Аг — операторнозначные
обобщенные функции, то следует доказать, что последнее
выражение действительно определяет операторнозначную
обобщенную функцию. Доказательство мы проведем для
случая, когда оба пространства Ж г и Ж2 обладают един-
единственными вакуумными состояниями Yoi и W02 соответ-
соответственно. Тогда пространство Ж будет иметь единственный
вакуум Yo = Wol (g) ^„2, инвариантный относительно
Ux ® Us и
...А, (хп) ® А2 (уп) То) =
г (хп) То1) (Т02, Аг (У1)... А2 (у„)Ти),
E.5)
что представляет собой в точности тензорное произведе-
произведение вакуумных средних полей Аг и А2. На «диагонали»,
по определению, имеем
... (Аг ® At) (хп) ЧГ0) -
i (Яч.) fw) (fмАщ (хг)... Л2(жп) То2) E.6)
(мы еще не знаем, какой смысл вкладывается в это оп-
определение!). Далее, хорошо известно, что обобщенные
функции умеренного роста, фурье-образы которых обра-
обращаются в нуль вне выпуклого нетупого конуса, могут
быть мультиплицированы, в результате чего получаются
обобщенные функции умеренного роста, обладающие тем
же свойством*). Наиболее убедительный способ устано-
*) Применение этого замечания в квантовой теории поля, кажет-
кажется, впервые было сделано в печати в работе Шроера (Schroer, 1963,
приложение). Необходимую математическую аргументацию можно
найти в § 2.3 книги Стритера и Вайтмана (Streater, Wightman,
1964).

92 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
вить этот факт — это заметить, что такие обобщенные
функции можно рассматривать как граничные значения
полиномиально ограниченных голоморфных функций, а
произведение двух таких функций опять принадлежит к
тому же классу. (В данном случае подходящими пере-
переменными являются (iEj — Ж2),..., (Хп-1 — жп)> а КОНуС, КО-
ТОрОМу принадлежат переменные после преобразования
Фурье,— это Pi,..., pn-i ЕЕ V+. Область голоморфности
такой голоморфной функции представляет собой трубу,
определенную условиями хх — хг — ?%,..., хп.х — хп —
—щп-х, у\) €Е V+, / = 1,...,п — 1.) Тем самым правая часть
E.6) — это обобщенная функция умеренного роста, удов-
удовлетворяющая спектральным условиям. Она, очевидно,
лоренц-инвариантна. Тогда в силу теоремы реконст-
реконструкции, если к тому же справедливы условия положи-
положительной определенности, существует поле (А10А2), при-
приводящее к таким вакуумным средним. Чтобы вывести тре-
требуемые условия положительной определенности, можно
начать с условий положительной определенности для ве-
величин Ах (х) (g) A2 (у) и затем перейти на «диагональ».
(Для этого необходимо свойство непрерывности выраже-
выражения E.5) относительно предельного перехода /„ (ж, у) -*•
—*¦? (я) б (х—У) на основных функциях. Его нетрудно вы-
вывести из предельной теоремы А. Джаффе, изложенной в
его работе (Jaffe, 1965). Мы не будем приводить здесь
подробности.) Очевидно, что это построение распадается
на три этапа: а) построение \Ау (х) (g) A2 (у)', б) сужение
на циклическое подпространство, порождаемое действи-
действием на вакуум оператора At (x) ® А2 (у); в) переход
к «диагонали» в циклическом подпространстве, порождае-
порождаемом действием на вакуум оператора (Аг (g) A2) (х).
Большинство примеров в § 4 были построены как тен-
тензорные произведения. В качестве примера иного рода рас-
рассмотрим оператор, введенный Борхерсом в его исследо-
исследованиях проблемы единственности теорий с заданной дву-
двуточечной функцией*)
А (х) = Ых(х) ® 1 + 1*1 ® Л, (*).
Этот оператор приводит к двуточечному вакуумному
*) Borchersj не опубликовано.

§ 5. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НОВЫХ ТЕОРИЙ 93
среднему
(То, А (хх) А (х2) То) = X* (То1, А1 (Xj) А1 (х2) Т01) +
+ {хг (Т02, А2 (xj A2 (х,) Тог),
которое при X2 -f- {д,2 =1 является такой же выпуклой
Л1шейной комбинацией, как и конструкция, помещенная
выше вслед за формулой E.3). Однако для усеченных ва-
вакуумных средних большего числа полей получаем
QP0, А (хг)... А (хя) То)т = К1 (Vo, Ах (х±)... Ах (хп) Т01)г +
Сужение на времениподобную гиперповерхность. Бор-
херс (Borchers, 1964) показал, что поле, сглаженное с ос-
основной функцией, зависящей от времени, является
бесконечно дифференцируемой функцией пространствен-
пространственных координат. Тем самым имеет смысл приравнять
нулю некоторые пространственные переменные, от кото-
которых зависит поле. В более инвариантном виде это утвер-
утверждение формулируется так: сужение поля на некоторую
времениподобную гиперповерхность вновь оказывается
операторнозначной обобщенной функцией. Кроме того,
оно преобразуется ковариантным образом относительно
тех преобразований Пуанкаре, которые оставляют дан-
данную времениподобную гиперповерхность неизменной, и,
наконец, оно локально. Иначе говоря, на этой времени-
подобной гиперповерхности оно определяет поле.
Очевидно, что сужение на времениподобную гиперпо-
гиперповерхность обобщенного свободного поля представляет со-
собой также обобщенное свободное поле, поскольку утвер-
утверждение, что коммутатор полей кратен единичному опера-
оператору, сохраняется при сужении. Сужение свободного по-
поля — это обобщенное свободное поле с непрерывным
спектром масс.
Заключительные замечания. Хотя здесь и не было до-
доказано, что каждое поле, построенное на основе предло-
предложенного выше формализма из полей, принадлежащих
классу эквивалентности обобщенного свободного поля,
само принадлежит классу эквивалентности некоторого
обобщенного свободного поля, ни один из обсуждавшихся

94 Ч. I. ИЗВЕСТНЫЕ ЯВНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ
нами объектов не кажется многообещающим кандидатом
на роль физически интересного оператора поля.
В части II мы займемся исследованием совершенно
иной совокупности возможностей. Мы рассмотрим там
теории, динамика которых гарантированно будет сущест-
существенно нетривиальной, если только она вообще сущест-
существует. Эта гарантия основана на существовании бесконеч-
бесконечного числа нетривиальных вкладов в ряд теории возму-
возмущений для матрицы рассеяния.

ЧАСТЬ II
ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ
СТАНДАРТНЫХ НЕТРИВИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
§ в. *|ем плохо представление взаимодействия ?
(Теорема Хаага)
В наши дни стандартным ответом на вопрос, постав-
поставленный в заглавии этого параграфа, должен быть тот,
что дан в самом этом заглавии. И все же широко рас-
распространено мнение, что явления, ассоциируемые с тео-
теоремой Хаага, в какой-то мере патологичны и не имеют
отношения к реальной физике. В этом параграфе мною
будет предпринята еще одна попытка объяснить, почему
это не так.
Хорошо известно, что при соответствующих предполо-
предположениях перестановочные соотношения вида
[а* <**]_ = 0, [ai,a}]_ = 6ij, i,j = l п, F.1)
для систем с конечным числом п степеней свободы облада-
обладают единственным неприводимым представлением с точ-
точностью до унитарно эквивалентных. Необходимая для
этого совокупность предположений сводится, например, к
тому, что соотношение F.1) можно заменить условиями
на операторы
п
% (ос) = exp (i 2 *#,), qt = 2J/' (a,- + aft,
F.2)
V (Р) = exp [i 2 hPi\ - Pi = 2 rl («i- «i)•

96 ч. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
Именно, операторы % nV непрерывны по вещественным
параметрам а^.м,,, Pi...p*n и
F.3)
где а -р = J*a$j. Формулы F.3) — это перестановочные
соотношения в форме Вей ля.
В теории поля приходится иметь дело с системами,
обладающими бесконечным числом степеней свободы.
Если допустить, что операторы % (а) и 2Р (Р) определены
для бесконечных последовательностей а =«!, Ог,..., Pi,
р2,..., все члены которых, кроме некоторого конечного
числа, равны нулю, то, как сейчас также хорошо извест-
известно, существует много унитарно неэквивалентных пред-
представлений перестановочных соотношений F.3). И только
одно из этих представлений в случае систем с бесконеч-
бесконечным числом степеней свободы обладает тем выполняю-
выполняющимся и для систем с конечным числом степеней свободы
свойством, что существует нормируемое состояние, для
которого
= 0. F.4)
Мы пользуемся обычной терминологией; подобное пред-
представление называется представлением Фока, а Фо— соот-
соответствующим состоянием бег частиц. В большинстве ста-
старых работ по квантовой теории поля молчаливо предпола-
предполагалось, что в теории поля следует рассматривать только
представление Фока.
Обычно, когда имеют дело с полями, соотношения F.1)
записывают не в дискретном, а в непрерывном виде. На-
Например, для свободного нейтрального скалярного поля
массы т имеем
где оператор а (к) определен для всех к, удовлетворяю-
удовлетворяющих к* =т2, к0 = У"ка + тг > 0, причем
[а (к), a (*')]_ = 0, [а (к), a(kj]_ = k°6(k — к'). F.6)

§ 6. ТЕОРЕМА ХААГА 97
Очевидно, что аналогом оператора а{ в F.1) в данном
случае будет оператор Ь (к) вида
Ъ (к) = (ft»)"* а (к) = у~^\ [(- А + т*?< «р (х, *) +
+ i (— А + rn?fu dVl?t)] eikx d3x, F.7)
причем правая часть F.7) фактически не зависит от t. В
этом случае указанное состояние без частиц как раз пред-
представляет собой физический вакуум теории.
Один из простейших примеров странных представле-
представлений можно получить, вычислив операторы рождения и
уничтожения свободных полей с «неправильной» массой
(Haag, 1955):
где к°= У к2 + т2, к0 = /к2 + т\. Операторы Ъ (к, t)
и ё (к', t)* удовлетворяют перестановочным соотношениям
[(Ь (к, t),b (к', t)]_ = О, [Ь (к, t), Ъ (к', 0*]_ = о (к - к'). F.9)
Но, как это явствует из элементарного расчета в конфи-
конфигурационном пространстве, не существует ни одного век-
вектора Т, который удовлетворял бы условию Ъ (к) \Р" = О
для всех к. Оператор
Ь'(— к) — Ь(к)Ь(— к)], F.10)
1 / fкй /"кР~\
где % (к) = — -g- arcsh ^ 1/ — — у ^-J , формально
удовлетворяет равенству
F.11)

98 Ч. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
Однако на самом деле он не существует как хорошо оп-
определенный математический объект, поскольку иначе сос-
состояние W = %Ф0 было бы состоянием без частиц и для
оператора Ъ (к).
Преобразование, приводящее от операторов Ъ к опе-
операторам Ь, представляет собой частный случай преобра-
преобразования, использовавшегося в проблеме многих тел (Во-
goliubov, 1958; Valatin, 1958)*); однако, в последнем
случае имеет место естественное обрезание по | k | (им-
(импульс Ферми), так что фактически оператор % существует
[см., например, (Segal, 1958) или (Haag, 1955, стр. 19)].
Другим способом получения странного представления
является замена в F.7) ф на е*ф и —¦ на е~х^. Воз-
Возникающее преобразование для Ъ имеет вид
b(k) = chx-b(k) + shxb(— к). F.12)
Та же аргументация, что и для F.8), показывает, что ни-
никакого состояния без частиц для о (к) не существует.
Третий путь получения странного представления сос-
состоит в том, чтобы определить оператор
а(к), F.13)
где а (к) — комплекснозначная функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая условию
$|<*(k)|2dk = oo. F.14)
Подобные странные представления встречаются в двух
весьма различных физических контекстах. В проблемах,
связанных с инфракрасными расходимостями (Bloch,
Nordsieck, 1937; Friedrichs, 1952 **), Borchers, Haag, Schro-
er, 1963), функция а (к) велика при малых к, так что
$|a(k)|2k2dk<oa.
*) См. также книгу: Н. Н. Боголюбов, В. В. Тол-
Толмачев, Д. В. Ш и р к о в, Новый метод в теории сверхпрово-
сверхпроводимости. Изд. АН СССР, 1958. (Прим. перев.)
**) Перепечатано в его книге (Friedrichs, 1953), си. особенно
стр. 75.

§ в. ТЕОРЕМА ХААГА 99
В случае ультрафиолетовых расходимостей (Friedrichs
1952; Van Hove, 1952; Wightman, Schweber, 1955) к рас-
расходимости интеграла F.14) приводит поведение а (к) при
боыпих к.
Как явствует из этих примеров, для получения стран-
странных представлений из представления Фока достаточно
воспользоваться чрезвычайно элементарными алгебраи-
алгебраическими операциями. В принципе это ставит каждого спе-
специалиста по математической физике в затруднительное по-
положение. Даже если ему задан некоторый гамильтониан,
зависящий от 6 и 6*, то, оказывается, он еще должен ре-
решить, в каком именно неприводимом представлении пере-
перестановочных соотношений следует работать. Один выбор
может сделать гамильтониан осмысленным, а другой —
нет. Кроме того, поскольку сколько-нибудь эффективное
описание всех неприводимых представлений все еще не-
неизвестно, в нашем распоряжении остаются весьма малые
средства математического контроля за ситуацией в це-
целом. Но действительно ли эта ситуация встречается на
практике? Почему нельзя всегда пользоваться представ-
представлением Фока? В теории свободного поля физической ин-
интуиции оказалось достаточно для того, чтобы рассчитать
оператор Ъ (к) с правильной массой. Вероятно, в более
сложных теориях поля также существуют столь же про-
простые методы. Однако шансы на успех подобного предпо-
предположения серьезно подорваны теоремой Хаага.
Теорема
В евклидово-инвариантной теории поля, исполь-
использующей фоково представление перестановочных со-
соотношений, состояние без частиц евклидово-инва-
риантно.
Доказательство
В евклидово-инвариантной теории унитарный опера-
оператор, описывающий закон преобразования состояний, дей-
действует на канонические переменные ф (х, t) и я (у, t), удов-
удовлетворяющие соотношениям
(ф (х, О, Ф (У, 01- = 0, [ф (х, t). я (у, t)L = iS (х — у),
F.15)
4»

100 Ч:. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
следующим образом:
U (a, R) Ф (х, t)U~l (a, i?) = ф (i?x + a, *),
f/ (a, R) л (у, О U-1 (а, Л) = я (Ду + а, *)•
Если Фо — состояние без частиц, то для всех х оно удов-
удовлетворяет условию
[(— Д + ™2)'/4<р(х, t) + i (— A + m*fu я (х, *)] Фо = 0.
Поэтому по закону преобразования состояние U (a, R) Фо
удовлетворяет такому же условию. А это в свою оче-
очередь означает, что
U (а, Д)Ф0 = со(а, Л)Ф0, F.16)
где ю (a, R) — число, по абсолютной величине равное
единице, ибо состояние без частиц единственно с точно-
точностью до фазового множителя. Далее, из F.16) нетрудно-
показать, что {a, R } —> a (a, R) — это непрерывное од-
одномерное представление евклидовой группы. Но других
подобных представлений, кроме a = 1, не существует,
поэтому
С7(а,Д)Ф0 = Ф0, F.17)
и теорема доказана.
В физических приложениях это довольно тривиально
звучащее утверждение приводит к весьма серьезным пос-
последствиям. В евклидово-инвариантной теории у нас нет
иной физической интерпретации для состояния, инвариант-
инвариантного относительно евклидовых преобразований, кроме
как считать его физическим вакуумом. Но в то же время
физический вакуум должен быть также инвариантен от-
относительно временных сдвигов (в теории без внешних
источников), т. е. он должен быть собственным состоянием
гамильтониана. Можно показать, что это утверждение
не верно для всех обычно используемых гамильтонианов
квантовой теории поля, исключая гамильтониан свобод-
свободного поля. Тем самым, чтобы придать теории физический
смысл, необходимо использовать странные представления
перестановочных соотношений.
Существует еще один аспект теоремы Хаага.не затро-
затронутый предыдущими рассуждениями. Предположим, что

§ 6. ТЕОРЕМА ХААГА 101
гамильтониан теории имеет вид
где Ж (х) удовлетворяет условию
Тогда, если Ч?" — некое состояние, инвариантное относи-
относительно U (а, 1), т. е.
U (л, 1)Т = Т,
то выражение (W, Ж (х) 3? (у) ?) зависит только от
(х — у), так что
= jjtfxdy(T,^(x)^(y)T):
или
оо.
Иначе говоря, оператор Н должен уничтожать всякое
трансляционно-инвариантное состояние, на которое он
действует. Если в Н использовать операторы в представ-
представлении Фока и выбрать в качестве Ч? соответствующее сос-
состояние без частиц Фо, то окажется, что оператором Н
можно подействовать на Фо, только если он уничтожит
это состояние.
Стандартный ответ на предшествующие доводы в
пользу важности странных представлений таков: если во
всех этих случаях поместить систему в ящик, то стран-
странные представления не потребовались бы, т. е. соответст-
соответствующий гамильтониан имел бы смысл для представления
Фока. Тем самым явления, ассоциируемые с возникнове-
возникновением странных представлений; чувствительно зависят
от наличия или отсутствия ящика независимо от того,
насколько может быть велик этот ящик. Однако ничто
важное в физике от этого зависеть не должно. Поэтому
указанное соображение в каком-то смысле должно быть
неправильно. Я не согласен с ним, поскольку существо-
существование гамильтониана и его свойства кажутся мне сущест-
существенной частью физики. Однако с рецептурными выводами,
которые следует сделать в возникшей ситуации, я думаю,
все могут согласиться: рели стремиться исследовать

102 Ч. И. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
проблему существования решений нетривиальных теорий
поля, в которых имеют смысл перестановочные соотноше-
соотношения полей в заданный момент времени, то имеются три
возможности:
1) переформулировать теорию (скажем, в терми-
терминах функций Грина) так, чтобы не возникало и воп-
вопроса о зависимости гамильтониана от операторов b
и Ъ*;
2) работать со странными представлениями, кото-
которые должны появиться в теории;
3) поместить систему в ящик (или иным путем
разрушить евклидову инвариантность теории). Ис-
Использовать представление Фока. После этого иссле-
исследовать предельный переход к случаю, когда стенки
ящика устремляются к бесконечности.
Вторая возможность представляет собой серьезную
математическую проблему, которая кажется очень инте-
интересной, но и очень трудной; мы не будем обсуждать ее
здесь в дальнейшем. В этих лекциях мы будем стремиться
реализовать третью возможность, комбинируя ее с пер-
первой, которая соответствует главному направлению раз-
развития квантовой теории поля в течение последних нес-
нескольких лет.
Теперь мы подготовлены к обсуждению проблемы су-
существования представления взаимодействия в свете тео-
теоремы Хаага. В простейшем случае нейтрального скаляр-
скалярного поля ф, канонически сопряженный импульс кото-
которого я (ф и я, по определению, удовлетворяют соотно-
соотношениям F.15)) равен дц>/дх0, поле ф/в представлении вза-
взаимодействия определяется следующими уравнениями:
ф(х, t) = b j
[ф, (*), Ь (У)]- = т Д №> * - У)> (? + ™*) Ь (*) = 0-
F.19)
Здесь оператор % (t) унитарен и % @) = 1.
Иначе говоря, <pj — это поле, удовлетворяющее урав-
уравнению и перестановочным соотношениям свободного поля.

S 6. ТЕОРЕМА ХААГА 103
Оно вместе с производной от него по времени в момент
t = 0 сводится к данному полю, а в произвольный мо-
момент t эти два поля связаны унитарно эквивалентным об-
образом посредством % (t). В старой литературе по кван-
квантовой теории поля молчаливо допускалось, что поле ф/
может быть выражено через операторы рождения и унич-
уничтожения в пространстве Фока. Из теоремы Хаага сле-
следует, что это предположение несостоятельно, если теория
евклидово-инвариантна и описывает нетривиальное вза-
взаимодействие полей. Это как раз тот аргумент против су-
существования представления взаимодействия, который на-
нашел отражение в заглавии данного параграфа.
Чтобы обойти эту трудность, можно также рассмот-
рассмотреть такую возможность, когда, хотя F.19) и имеет мес-
место, поле цч приводит к странному представлению переста-
перестановочных соотношений. Она будет означать, что для поля
Фх не существует состояния без частиц (состояния «голо-
«голого вакуума»). Тогда решающим будет вопрос: изменяется
во времени или нет класс унитарной эквивалентности
такого странного представления? Если изменяется, то
уравнения F.18) и F.19) будут несовместимы. В этой
связи поучительно заново рассмотреть пример обобщен-
обобщенных свободных полей с дискретным спектром масс, при-
приведенный в B.8). Для них представление перестановоч-
перестановочных соотношений имеет вид
> Xo) = уЩ& d*xeikx l{~ д

104 Ч. П. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
Соответствующие перестановочные соотношения записы-
записываются так:
, t), b,(k', t))_ = 0, [Ъ;(к, t), b](k', f)]_
F.21)
Здесь оператор bt {к) в точности равен Ш} + к2]-'/«аг(&),
где аг (к) — оператор, входящий в разложение
F-22)
Операторы bj (к, t) для различных значений t, конечно,
унитарно эквивалентны, поскольку под действием опера-
оператора временных сдвигов теории они отображаются друг
в друга. Совершенно иначе обстоит дело с зависимостью
от времени, которая порождается оператором фд (х),
удовлетворяющим свободному уравнению
(? +«Я) Ф„ (*) = <>•
Она соответствует переходу от оператора bj (k, 0) к
Ьц(к, t) = exp (i y«,, + kV) b} (k, 0).
Можно ожидать, что никакого унитарного преобразова-
преобразования, порождающего подобное изменение фазы, не суще-
существует, поскольку если бы оно существовало, то оно,
вероятно, имело бы вид
- ехр Г**» 2 J d*k [Щ5 + k*]1/a Aji(k, О)Ьд(к,О)], F.23)
а такой оператор имеет математический смысл только в
представлении Фока. Именно эта ситуация на самом деле
имеет место, как то следует из приведенной ниже леммы.
Лемма
Пусть {a, R} -*- U (a, R) — непрерывное уни-
унитарное представление евклидовой группы с единст-
единственным инвариантным состоянием Wo (физический
вакуум). Предположим, что оператор bj (к) реа-
реализует неприводимое представление перестановоч-
перестановочных соотношений F.21) и

§ 6. ТЕОРЕМА ХААГА 105
1) для всех а и Л
U (a, R)Ь} (к) СГ1 (a, R) = ехр (»(Як — а)) 6, (Лк);
F.24)
2) для некоторого момента t =j= О существует уни-
унитарный оператор V такой, что
Vbj (к) F-1 = ехр (г ]/ к2 + Ши t) Ъ} (к). F.25)
[ случае вакуум инвариантен отноо
эстью до фазового множителя и
ro,bi(k)bI(k')Yo) = 6(k + k')FJJ(k)>
В этом случае вакуум инвариантен относительно V
с точностью до фазового множителя и
F.26)
где Fji и Gjx обращаются в нуль для всех к, исклю-
исключая, быть может, те из них, которые удовлетворяют
условию
с целым п.
Доказательство
Оператор U (a, R) V U-1 (a, R) V-1 коммутирует со
всеми операторами bj (k) и b*j (к). Следовательно, в силу
неприводимости данного представления
U(a,R)V = ti>(a, R)VU{a,R), F.28)
где (о — комплексное число, по модулю равное единице.
Действуя этим соотношением на вакуумное 'состояние,
получим U(л, R)VTo = ©(a, R)Vt?0, что приводит к
и доказывает первое утверждение леммы.
Чтобы доказать второе утверждение, вычислим
Т0) = (U(&, Д)%, U(&,B)bi(k)bl(ktrV0) =
= (FTO)Fbi(k)fe;(k'L/1o) =
= ехр (i (к + к') а) (То, Ь} (Дк) Ъх (Лк') То) =
откуда все остальные утверждения леммы следуют не-
немедленно.

106 Ч. П. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
Если установленный этой леммой критерий применить
к примерам F.20), то нетрудно видеть, что он в них не
выполняется. (Мы всегда будем игнорировать тот триви-
тривиальный случай, когда М| является некоторой переста-
перестановкой ffljj.) Иначе говоря, в этих примерах для любых
двух различных моментов времени tt и t2 представления
перестановочных соотношений, возникающие из фд (х^),
-J^- (У,*i), 7 = 1,..., га, и из фд (х*2), -^ (у, *2),
7 = 1,..., га, унитарно неэквивалентны. Уже в этих элемен-
тарных примерах не только встречаются странные пред-
представления, но и различным моментам времени соответ-
соответствуют различные странные представления. Уравне-
Уравнения F.18), F.19), определяющие представление взаимо-
взаимодействия, настолько плохи, насколько только можно себе
представить.
Следует подчеркнуть, что рассматриваемая модель с
квадратичным лагранжианом никоим образом не является
ни сингулярной, ни патологической. На самом деле стран-
странные представления, ассоциируемые с теоремой Хаага,
представляют собой совершенно элементарное явление и
появляются всякий раз, как только мы требуем, чтобы
теория была евклидово-инвариантной и имела бы гамиль-
гамильтониан, для которого состояние без частиц не является
собственным вектором. Возникновение этих представле-
представлений не зависит от того, является ли теория релятивистски
инвариантной или нет й существуют или нет в данной тео-
теории ультрафиолетовые расходимости.
Рискуя быть невежливым и даже наверняка будучи
им По отношению ко многим авторам, я все же хочу дол-
долбить и долбить этот вопрос, поскольку в обычной литера-
литературе он изложен отвратительно. Сам факт существования
странных представлений до пятидесятых годов вообще не
был известен физикам. Первое указание на него для слу-
случая антиперестановочных соотношений, насколько мне
известно, содержится в гектографированном варианте
неопубликованной лекции И. фон Неймана (Pauli, 1936).
Интересующее нас представление получается путем рас-
рассмотрения всех квадратично интегрируемых функций на
пространстве Г последовательностей хг, ж2, х3,... нулей
и единиц, снабженном мерой ц, которая соответствует

§ 6. ТЕОРЕМА ХААГА 107
мере Лебега на единичном интервале, если она отображает
Г на этот единичный интервал по закону хг, х2,... —*- х =*=
}
__ ^ 2~к хн. Действие оператора уничтожения а/ опре-
опрела
i
деляется так: (с;Ф) (х) = exp (ai 2 «*) Ф (х + dft). Здесь
ж + б; обозначает число, полученное из х изменением
его /-го элемента на число, по модулю равное единице.
Обозначения, использованные в этой формуле, соответ-
соответствуют обозначениям, принятым в работе (Wightman,
Schweber, 1955). Сходные примеры нетрудно выделить из
опубликованной работы фон Неймана, однако там они
не выражены явным образом через представления анти-
антиперестановочных соотношений (Neumann, 1938). 'Соответ-
'Соответствующее представление определено на пространстве ква-
квадратично интегрируемых функций из Го х Г, где Го —
множество последовательностей из Г с конечным числом
единиц, т. е. Ф (у, х) удовлетворяет условию
2
где \l — мера, описанная выше. Представление задается
формулой
(а^Ф) {у, *) = (— 1) 2 ж*ф (У + *jl х + *i)-
*-=!
Вскоре после этой работы фон Неймана появилась ра-
работа Блоха и Нордсика о взаимодействии поля излучения
с шредингеровой частицей (Bloch, Nordsieck, 1937). В
ней авторы ввели преобразование, существенно напоми-
напоминающее F.13). Однако они не задались вопросом, можно
ли его осуществить с помощью унитарного преобразова-
преобразования. Первый опубликованный довод в пользу того, что
такое унитарное преобразование может не существовать,
содержится в работе Фридрикса (Friedrichs, 1952)*). Фрид-
рикс ввел понятие о myriotic и amyriotic полях. С точки
*) Перепечатано в его книге «Mathematical Aspects of the Quan-
Quantum Theory of Fields», см. особенно стр. 139—142.

108 Ч. П. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
зрения проведенного выше рассмотрения этими эпитетами
проще снабжать набор операторов рождения и уничто-
уничтожения, а не сами поля. Тогда существо этих понятий
сводится к следующему: представление перестановочных
соотношений ajnyriotic, если оператор полного числа
частиц хорошо определен, и myriotic, если это не так.
Для перестановочных соотношений в дискретной форме
это означает, что оператор
2 «ft
существует. Хотя сам Фридрикс не сформулировал это
утверждение в виде теоремы для представлений переста-
перестановочных соотношений в форме Вейля, однако довольно
очевидно, что различие между myriotic и amyriotic поля-
полями инвариантно относительно унитарного преобразова-
преобразования. На самом деле всякое неприводимое amyriotic пред-
представление всегда унитарно эквивалентно представлению
Фока (Фок, 1937).
Независимо и примерно в то же самое время Ван Хов
исследовал группу моделей теории поля, весьма схожих
с моделями, рассматриваемыми Фридриксом. Он подошел
к проблеме с несколько иной точки зрения. Он представ-
представлял себе рассматриваемые операторы действующими в
несепарабельном гильбертовом пространстве, получен-
полученном путем образования бесконечного тензорного произ-
произведения гильбертовых пространств, соответствующих раз-
различным числам степеней свободы. (Первое систематическое
исследование бесконечного тензорного произведения по-
подобного рода произвел фон Нейман в работе (Neumann,
1938).) Ван Хов установил, что гамильтонианы моделей мо-
могут быть определены как эрмитовы операторы только на
очень малых подмножествахвекторов этого огромного прост-
пространства, подмножествах, на которые натянуты сепарабелъ-
ные подпространства. При разных значениях параметров
модели (т. е. констант связи) эти подпространства ока-
оказываются на самом деле ортогональными. Иначе говоря, в
этой реализации собственные векторы теории с одним
значением константы связи не могут быть разложены в
ряд по собственным векторам теории с другим значением

$ 6. ТВОРИМА ХААГА 109
константы связи. Ван Хов не выяснил вопроса о том, яв-
являются ли представления перестановочных соотношений в
этих ортогональных сепарабельных подпространствах
унитарно эквивалентными. Многочисленные авторы (но не
сам Ван Хов!) сделали из этой работы следующие выводы:
1) в теории поля играет существенную роль не-
сепарабельное гильбертово пространство;
2) в теории поля собственные функции возмущен-
возмущенной системы всегда ортогональны собственным функ-
функциям системы в отсутствие возмущения.
На самом деле, конечно, каждое сепарабельное под-
подпространство реализации Ван Хова можно отобразить с
помощью унитарного преобразования на любое другое
сепарабельное подпространство. При этом вовсе не оче-
очевидно, будет ли представление перестановочных соотно-
соотношений, которое возникает при таком отображении, уни-
унитарно эквивалентно тому представлению, которое всегда
существует в подпространстве отображения. Очевидным
же является тот факт, что собственные функции гамиль-
гамильтониана после унитарного преобразования образуют пол-
полный набор в обычном смысле спектральной теоремы, так
что оба утверждения ошибочны.
Математическая проблема определения всех унитарно
неэквивалентных представлений перестановочных соот-
соотношений очень активно обсуждалась в течение всего это-
этого периода (см., например, Haag, 1953—1954; Segal, 1951—
1952), однако в опубликованном виде результаты появи-
появились много позже. К середине пятидесятых годов иссле-
исследование этого вопроса выродилось в малозначительную
отрасль математики (Segal, 1958; Garding, Wightman,
1954).
Но затем, прежде всего под влиянием работы Хаага
(Haag, 1955), стало совершенно ясно, что возникновение
странных представлений перестановочных соотношений,
которое в первых моделях связывалось или с инфракрас-
инфракрасными, или ультрафиолетовыми расходимостями, обяза-
обязательно должно иметь место в любой физической модели,
которая обладает нетривиальной поляризацией вакуума
и является евклидово-инвариантной, совершенно незави-
независимо от того, имеют место в ней или нет инфракрасные
или ультрафиолетовые расходимости.

НО Ч. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
В каком объеме и каким образом физики усвоили все
эти факты, ясно видно из текста «Трудов Сольвейского
конгресса» 1961 г., стр. 169—172. На стр. 170 там содер-
содержится утверждение: «Теорема, открытая Ван Ховом и
Фридриксом и обычно именуемая „теоремой Хаага", в
действительности имеет весьма тривиальную природу, и
из нее вовсе не следует, что собственные значения гамиль-
гамильтониана не существуют, или любое другое столь же фун-
фундаментальное утверждение». Я попытаюсь разъяснить,
что я думаю по этому поводу. (Это следовало бы срав-
сравнить с замечаниями Ван Хова на стр. 172 тех же
«Трудов».)
Если имеется теория без ультрафиолетовых или инфра-
инфракрасных расходимостей, например теория, основанная на
квадратичном лагранжиане B.1), то от странных представ-
представлений можно отделаться, поместив систему в произвольно
большой ящик и используя представление Фока. Далее,
существующая теория позволяет выделить не зависящие
от наличия ящика различные существенные физические
величины в пределе, когда стенки ящика устремляются
к бесконечности. Тем самым в упоминании странных пред-
представлений перестановочных соотношений нет никакой
нужды. Этот аргумент выглядит неопровержимым, пока
«существующая теория» не исследуется более тща-
тщательно. Оказывается, что если (в отличив от случая
квадратичного лагранжиана) динамика теории вообще
представляет интерес, то установить, имеют ли физиче-
физические величины предельные значения, не зависящие от
наличия ящика, становится, несомненно, нетривиальной
задачей. Фактически вплоть до прошедшего года это не
было продемонстрировано ни в одном нетривиальном слу-
случае, если не считать формальных манипуляций с, вероят-
вероятно, расходящимися степенными рядами*). Теорема Хаага
тривиальна в том смысле, что, зная полное решение проб-
проблем, которые она порождает, в этих случаях без учета
инфракрасной и ультрафиолетовой катастроф, мы по-
прежнему оказываемся не в состоянии ничего сказать о
*) Существующее состояние теории для проблемы многих тел в'
статистической механике охарактеризовано в работе (Ruelle, 1963).

§ 7. УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ КАТАСТРОФА \\\
них в этих же случаях при наличии инфракрасной и
ультрафиолетовой катастроф.
Существующее сейчас положение в учебной литера-
литературе можно проиллюстрировать двумя цитатами из стан-
стандартных текстов:
«...любое преобразование ф —»-ср', которое остав-
оставляет инвариантными уравнения поля и перестано-
перестановочные соотношения, приводит к унитарному опера-
оператору % со свойством ф' (ж) = %<р (х) %-л (это следует
из единственности представлений...)» (Jauch, Rohr-
lich, 1955, стр. 82).
«Тем самым применимость теории возмущений
основана на предположении, в силу которого векто-
векторы состояний возмущенной и невозмущенной задачи
лежат в одном и том же гильбертовом пространстве.
Однако известно, что в случае локальных взаимодей-
взаимодействий это как раз не так» (Schweber, 1961, стр. 416).
На этом я хотел бы закончить мой несколько полеми-
полемический экскурс в историю.
Раз мы уже решили, что введение ящика становится
существенным, если гамильтониан теории поля должен
иметь смысл в представлении Фока, то необходимо по-
понять, каким из нескольких возможных путей это можно
было бы сделать. Этот вопрос будет обсуждаться в § 8.
§ 7. Чем плохо представление взаимодействия ?
(Ультрафиолетовая катастрофа)
В предыдущем параграфе мы имели дело с явлениями,
ассоциируемыми с теоремой Хаага, и чтобы иметь воз-
возможность использовать представление Фока, были вы-
вынуждены ввести в рассмотрение ящик. Как хорошо из-
известно, в случае взаимодействующих полей, вообще го-
говоря, этой процедуры недостаточно, чтобы превратить
гамильтониан в хорошо определенный оператор. Труд-
Трудности порождаются так называемой ультрафиолетовой
катастрофой. Ее простейшее проявление состоит в том,
что, хотя образование -ф (ж) = 2сп:фп:(а;)— хорошо
п=-0
определенное поле, так что j dtxf (х) ip (х) —операторе

112 Ч:. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
плотной областью определения для каждой основной
функции с компактным носителем в четырехмерном
пространстве-времени, требование
означает, что сп = 0 для h ^> 2. Здесь ф — свободное
поле, а Фо — соответствующее состояние без частиц.
Традиционный метод, позволяющий рассматривать
эту трудность и в то же время прояснить вопрос о том,
действительно ли она связана с ультрафиолетовой ката-
катастрофой, состоит во введении ультрафиолетового [обреза-
[обрезания. Например, если заменить ф на регуляризованное
поле
(x — y)dy<p(y),
где h — бесконечно дифференцируемая функция с ком-
компактным носителем, то
у
| 2 *„:«$: («) Фо||<°о.
п=э И
Естественно задать вопрос, представляет ли ультра-
ультрафиолетовая катастрофа реальную математическую труд-
трудность или нет. Одна из первых серьезных попыток отве-
ответить на этот вопрос была сделана Ван Ховом (Van Hove,
1951). Он показал, что для типичного гамильтониана Ну,к
в ящике объема V с ультрафиолетовым обрезанием К
К-хо
для всех Ф, кроме Ф = 0, при условии, что используется
представление Фока. Это указывает на серьезную труд-
трудность, связанную с использованием представления Фока.
(Это никоим образом не означает, что (Ф, Ну.к, Y)
не сходится для специально выбранных состояний
Ф и W, а это может оказаться достаточным для опреде-
определения предельной теории.) Ван Хов предположил, что
рассматриваемому гамильтониану можно придать смысл
иным способом, который, если перевести его на наш язык,
сводится к использованию странного представления пере-

§ 7. УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ КАТАСТРОФА ИЗ
становочных соотношений. И Ван Хов (Van Hove, 1952)
и Фридрикс (Friedrichs, 1952) продемонстрировали, что
действительно подобное предположение осуществляется
для случая бозонов, взаимодействующих с подходящими
внешними источниками. Другой результат того же рода
был получен Сигалом (Segal, 1960). Он показал, что оп-
определенному классу гамильтонианов взаимодействия всегда
можно придать математический смысл, если использовать
в них операторы в подходящем странном представле-
представлении. Утверждение, противоположное этому, было фак-
фактически высказано Араки (Araki, I960)*). При определен-
определенных предположениях он показал, что гамильтониан тео-
теории единственным образом определяется представлением
перестановочных соотношений.
Можно ли придать смысл гамильтониану во всякой
теории, если использовать подходящее странное представ-
представление перестановочных соотношений? Наверняка нет, по-
поскольку нам известны примеры теорий, в которых, чтобы
базисные поля имели смысл как операторы, их следует
сглаживать .с основными функциями в четырехмерном
пространстве; это поля с бесконечной перенормировкой
операторов полей. Например, подобным свойством об-
обладает поле :ехр igcp:, определенное в § 4, пример 1.
Однако может случиться так, что если слегка изменить
поставленный вопрос, то на него может быть дан поло-
положительный ответ. Если допустить, что гамильтониан тео-
теории может быть выражен через некое поле, принадлежа-
принадлежащее классу эквивалентности данного поля, то может ока-
оказаться, что это другое поле удастся выбрать так, что оно
в существенном будет вести себя хорошо. В данный мо-
момент это явление можно проиллюстрировать только на
примерах классов эквивалентности обобщенных свобод-
свободных полей и свободных полей. В них, как читатели вскоре
убедятся, проблема записи гамильтониана свободного по-
поля в зависимости от общего элемента класса эквивалент-
эквивалентности совершенно запутана. В других случаях, при от-
отсутствии теорем существования для нетривиальных тео-
теорий с взаимодействием, вообще нельзя сказать ничего
окончательного. Однако некоторые ценные факты удается
•) Высказанные в этой работе гипотезы будут обсуждаться в § 9.

114 Ч. П. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
установить при изучении рядов теории возмущений в не-
нетривиальных теориях поля. (Это, конечно, ничего не до-
доказывает и является лишь правдоподобным доводом. Со-
Соответствующие явления были впервые замечены Штюкель-
бергом (Stueckelberg, 1951) *), который дал им совершенно
иную интерпретацию.)
Оригинальная формулировка теории перенормировок,
предложенная Дайсоном, основывалась на разложении в
ряд выражения
t-юо
Штюкельберг заметил, что предписания теории перенор-
перенормировок, цель которых — сделать хорошо определенным
каждый член разложения матрицы S в ряд по степеням
константы связи, недостаточны для определения матриц
% (t) %* (—t) и % (t). Он интерпретировал этот факт в
том смысле, что в матрице % (f) необходимо произвести
сглаживание по времени, поскольку в определение % (t)
в теории возмущений включено представление о мгно-
мгновенном включении' и выключении взаимодействия. Од-
Однако эта трудность е матрицей % (t) остается даже в не-
нетривиальных теориях в двумерном пространстве-времени,
подобных A.10), для которых никакие бесконечные пере-
перенормировки не нужны. Эту ситуацию можно и, по-мое-
по-моему, дужно в действительности интерпретировать совер-
совершенно по-другому: точное решение теории приводит в
каждый момент времени к разным странным представле-
представлениям, точно так же, как это было в F.23). В этом слу-
случае матрица % (t) существовать не может, несмотря на
то что поля в представлении Гейзенберга и представления
группы Пуанкаре хорошо определены.
Приведенные выше доводы говорят в пользу той точки
зрения, что ультрафиолетовая катастрофа — та цена, ко-
которую приходится платить за игнорирование странных
представлений. Однако в традиционном способе рассуж-
рассуждения, которому я здесь хочу следовать, подобных вопро-
*) См. также Н.Н.Боголюбов и Д. В. Ширков, Вве-
дение в теорию квантованных полей, Гостехиздат, 1957, гл. 6. (Прим.
перев.)

§ 7. УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ КАТАСТРОФА 115
сов избегают, используя ультрафиолетовое обрезание.
В результате странные представления могут появиться
только в пределе, когда соответствующие обрезания и
стенки ящика устремляются к бесконечности. Как всем
известно, этот предельный переход широко изучался в
теории перенормировок. Основная идея проста. Путем
тщательного исследования рядов теории возмущений
выделяют основные расходимости теории, скажем пере-
перенормировку массы, перенормировку заряда. Затем в га-
гамильтониан вводятся контрчлены, которые в пределе,
когда обрезание обращается в бесконечность, становятся
настолько сингулярными, что оказываются в состоянии
компенсировать бесконечности, возникающие вследствие
сингулярности взаимодействия. Например, контрчлен пе-
перенормировки массы в теории типа A.8) должен иметь вид
A (h) : ф2 : (х), где A (h) ->-oo, когда h стремится к трех-
трехмерной б-функции. Насколько мне известно, тщательное
математическое рассмотрение, показывающее, что послед-
последнее имеет место во всех порядках теории возмущений,
произведено не было *). Я думаю, что почти все уверены
в том, что этот прием должен работать безотказно, ес-
если контрчлены подобраны достаточно мудро. Что было
сделано до сих пор, так это регуляризация формального
степенного разложения неким ковариантным образом,
который отнюдь не просто связан с упомянутым выше
нерелятивистским способом обрезания. Затем устанавли-
устанавливают, каким образом перенормируется возникающее вы-
выражение, и, наконец, формально показывают, как по-
подобную операцию можно интерпретировать в терминах
перенормировок массы, заряда и т. п. С точки зрения дан-
данных лекций все эти результаты, относящиеся к наиболее
серьезным достижениям квантовой теории поля, подлежат
систематическому пересмотру.
Если кто-нибудь заинтересуется тем, чтобы как-то по-
понять структуру теории с нетривиальной динамикой, но
без технических трудностей, связанных с перенормиров-
перенормировкой, то для этого можно рассмотреть самодействующее
скалярное поле с четверным взаимодействием в двумерном
*) См., однако, книгу Н. Н. Боголюбова и Д. В. Ширкова, ука-
указанную в сноске на предыдущей странице {Прим. перев.)

116 Ч. П. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
пространстве-времени. В такой теории все константы
перенормировки конечны во всех порядках теории возму-
возмущений, так что в ней имеется возможность исследовать
предел теории в ящике без ультрафиолетового обрезания.
§ 8. Формализм гильбертова пространства; существенная
самосопряженность различных гамильтонианов
В предыдущих двух параграфах я пытался прояснить,
почему, если следовать традиционной линии построения
квантовой теории поля, введение ящика и, если потре-
потребуется,— ультрафиолетового обрезания более или менее
неизбежно. Обсуждение ведется на самом высоком уров-
уровне. В данном параграфе я, наконец, обращаюсь к первой
части реальной задачи: допустим, что вводится ящик и,
если необходимо,— ультрафиолетовое обрезание. Можно
ли доказать, что возникающий формальный гамильтониан
определяет динамику, и если да, то будет ли эта динамика
единственной?
Всем известно, что об этом говорится в большинстве
книг по квантовой механике. Если Н — гамильтониан
и он эрмитов, то % (t) = exp i Ht — унитарный оператор,
который описывает динамику, т. е. временную эволюцию
состояния или наблюдаемых систем (в зависимости от
того, используется ли шредингерово или гейзенбергово
представление). Чтобы сохранялась вероятность, опера-
оператор % (t) должен быть унитарным. Конечно, малейшее
знакомство с любой книгой о гильбертовом пространстве
позволяет убедиться, что это не всегда бывает так. (Иног-
(Иногда это соображение используется в качестве аргумента в
пользу изучения математики на физических факультетах,
так что студенты-физики старших курсов не должны
смущаться.) Существует различие между эрмитовым
и самосопряженным операторами. Самосопряженный опе-
оператор приводит к единственной динамике; эрмитов опе-
оператор может, вообще говоря, привести либо к нескольким
динамикам, либо ни к одной. Первая задача этого параг-
параграфа — разъяснить, что в большинстве случаев это раз-
различие существенно физическое. Возникающие здесь весь-
весьма правдоподобные интуитивные соображения, конечно,
не в состоянии заменить точную математическую теорию,

§ 8. ФОРМАЛИЗМ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА Ц7
изложение которой содержится в многочисленных пре-
прекрасных учебниках (см., например, Stone, 1965; Riesz,
SZ-Nagy, 1955; Ахиезер, Глазман, 1966*)).
Прежде всего приведем некоторые стандартные обозна-
обозначения и теоремы. Рассмотрим линейный оператор А, опре-
определяемый на подмножестве!) (А) сепарабельного гильбер-
гильбертова пространства Ж. Подмножество D (А) не обязано
совпадать со всем X, но предполагается, что оно явля-
является в нем плотным линейным подмножеством. Если В —
линейный оператор такой, что D (В) id D (А) и ВФ = АФ
для всех ФеО (.4), то это записывают как 5эАи на-
называют оператор В расширением А. Сопряженный А опе-
оператор А* определяется следующим образом: ХЕ'О (А*),
если существует вектор X такой, что для всех Фёй (А)
(Х,АФ) = (Х,Ф). (8.1)
Тогда, по определению, X =Л*Х. То, что это равенство
действительно определяет (однозначно!) линейный опе-
оператор, следует из предположения,что подмножество D (А)
плотное. Область определения А*, следующая из такого
определения, не обязательно плотная. Если она плотная,
то определен оператор (А*)*; он называется замыканием
А. Если А = (А*)*, то оператор А называется замкну-
замкнутым. Если А а А*, то оператор А называется эрмито-
эрмитовым. Если А =А*, то он называется самосопряженным.
Если А** —А*, то оператор А называется существенно
самосопряженным. Если оператор А эрмитов, но не суще-
существенно самосопряжен, то существуют два числа, которые
позволяют оценить его отклонение от требований сущест-
существенной самосопряженности; это индексы дефекта. Они
представляют собой числа линейно независимых решений
уравнений
А*Ф = ± гФ (8.2)
соответственно. Если ни один из индексов дефекта (т, п)
эрмитова оператора А не равен нулю, то можно получить
эрмитово расширение В оператора А, определив его ра-
равенством
В (Ф + а (Ф+ + Ф_)) = АФ + си (Ф+ — Ф_),
¦) См. особенно гл. 7 и приложения 1, 2.

118 Ч. П. ОЦЕНКА. ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
где ФеВ D), а — произвольное комплексное число, a
Ф+ и Ф_ — соответствующие решения уравнений (8.2).
Тогда оператор В имеет индексы дефекта (т — 1, п —1).
Тем самым для случая индексов дефекта A,1) можно
ожидать наличие однопараметрического семейства само-
самосопряженных расширений, иначе говоря, с практической
точки зрения следует иметь в виду существование однопа-
однопараметрического семейства различных динамик.
Если А — вещественный эрмитов оператор, то его
индексы дефекта должны быть равны. Более наглядно,
если V — антиунитарное преобразование, т. е. оно пред-
представляет собой однозначное отображение пространства Ж
самого на себя со свойствамиV (аФ + Ь^?) = аУФ + ЬУФ
и (FO, VW) = (Ф, W) для всех Ф, f е*, то оператор
А называется вещественным относительно F» ecnnVD (А) =
= Z> (А) и VAV-1 =А. Если А*Ф = 4: *Ф, то А*УФ =
= + ШФ, когда оператор А веществен относительно V,
так что оператор А имеет равные индексы дефекта.
Пример 1
Бесконечно малый сдвиг *). Пусть Ж — пространство
всех квадратично интегрируемых функций, заданных на
ограниченном интервале (а, Ь),А — оператор —i y-,D (A) —
множество всех бесконечно дифференцируемых функ-
функций с носителями внутри этого интервала. Тогда, если
Ф, W sfl (А), то
(Ф, ЛТ) — (АФ, Т) = — 1Ф(х)У(х)\ьа = 0,
так что А а А*. Оператор А, очевидно, представляет со-
собой инфинитезимальный оператор сдвига
(% (t) Ф) (х) = (exp (itA) Ф) (х) = Ф (х + t)
для всех достаточно малых t. Малость t должна определя-
определяться тем, насколько близко носитель Ф примыкает к краю
интервала. Очевидно, что если Ф не нуль, то для достаточно
больших t оператор сдвига будет перемещать Ф к са-
*) Примеры 1, 2, 3, 4 охватываются теоремами главы V книги
Титчмарша (Titchmarch, 1958).

§ 8. ФОРМАЛИЗМ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
119
мому концу этого интервала. Что в этом случае произой-
произойдет, нельзя определить, зная А только на D (А). Очевид-
ь
но, что для сохранения интеграла У|Ф(а:)|2dx все, что
а
сдвигается через границу в правой краевой точке, должно
возвращаться через левую краевую точку.
Однако, поскольку в интеграл входит только модуль Ф,
эта функция может изменить фазу. Из принципа супер-
суперпозиции следует, что эта фаза должна быть одинаковой
для всех функций. Таким образом, должно существовать
однопараметрическое семейство самосопряженных расши-
расширений А» оператора А на все квадратично интегрируемые
функции с квадратично интегрируемыми производными
такое, что
Ф (а) = е* Ф F). (8.3)
Очевидно, что на таких функциях в силу (8.3)
(Ф, AJY) - (А,Ф, Y) = - Щй) Г (х) |» = 0.
Чтобы рассчитать оператор А*, полезно сделать одно
замечание технического порядка. Он ищется для тех X €=
е Ж, для которых (X, АФ) = (X, Ф) для всех ФеО {А).
Далее, для любого ХёЖ левая часть этого равенства
определяет линейный функционал на Ф, который непре-
непрерывен на Ф в смысле Шварца. В самом деле, по опреде-
определению, этот функционал совпадает с —г —^, как с
обобщенной функцией. Возникает только один вопрос:
является ли эта обобщенная функция квадратично интег-
интегрируемой функцией? Это означает, что при решении
уравнения (8.2) следует искать все решения в виде обоб-
обобщенных функций, рассматривая оператор А* как опера-
оператор дифференцирования.

120 Ч. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
В данном случае решения с точностью до постоянных
множителей равны ехр (+ х), так что фактически, как
мы и предполагали, индексы дефекта равны A, 1). Само-
Самосопряженное расширение А% обладает дискретным спект-
спектром с собственными значениями
, 6 + 2ЯЯ 0 ,
и с собственными функциями ехр (iXnx).
Если краевую точку Ъ устремить к + оо, то ситуация
коренным образом изменится. Из решений ехр (+ х)
уравнения (8.2) только одно решение ехр (— х) является
квадратично интегрируемой функцией на интервале (а,оо),
так что индексы дефекта равны A, 0). Тем самым в
этом случае оператор А не обладает какими-либо само-
самосопряженными расширениями и % (t) нельзя распростра-
распространить на все t в качестве непрерывного унитарного пред-
представления группы временных сдвигов. Все будет хорошо
для положительных t, но для достаточно больших отри-
отрицательных t любая функция Ф будет сдвигаться так, что
ее носитель достигнет точки а. Тем самым в этом случае
не будет никакой возможности сохранить вероятность.
С другой стороны, если а сдвинуть к — оо, a b — к
+оо, то ни одна из функций е±ж не будет квадратично ин-
интегрируемой, так что индексы дефекта будут равны @, 0)
и оператор % (t) будет единственным.
Пример 2
Свободная шредингерова частица на некотором интер-
интервале. Здесь мы будем рассматривать оператор А — — -=-$
на точно такой же области, что и оператор в примере 1.
Далее, для каждой Ф и всех достаточно малых t вы-
выражение % (t) Ф = ехр [— (iAt)] Ф определяет решение
уравнения Шредингера для свободной частицы массы 1/2.
В данном случае динамика не определяется единственным
образом для всех t, поскольку есть несколько способов
сохранить вероятность: частица может отразиться от кон-
концов данного интервала, или, как в предыдущем примере,
она может «вытечь» в точке Ъ для того только, чтобы воз-

§ 8. ФОРМАЛИЗМ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 121
вратиться в точку а. Наиболее удобный способ наглядно
представить ситуацию — это мысленно считать, что кон-
концы рассматриваемого интервала соединяются, образуя ок-
окружность. Тогда проблема сводится к движению по окруж-
окружности, причем в точке соединения допускаются разрывы
производной. Условие самосопряженности приводит к
требованию непрерывности тока в точке соединения. Воз-
Возможные динамики, очевидно, следует охарактеризовать
возможными теориями рассеяния в точке соединения.
В более явной форме самосопряженные расширения долж-
должны одно-однозначно соответствовать возможным матрицам
рассеяния. Подобная матрица унитарна и включает в
себя четыре амплитуды: отраженную и прошедшую для
двух направлений. Это соответствует индексам дефек-
дефекта B, 2).
. Решение в обобщенных функциях уравнения — -^ =
= ^ *Ф имеет вид Ф (ж) = есж, где с принимает одно
из четырех значений: ]/ -f- U —У" i *• ^ем самым, как и
предполагалось, индексы дефекта равны B,2). Если крае-
краевую точку Ъ устремить к + оо, то решения с с = |/Т,
—Y~i не будут более квадратично интегрируемыми, так
что индексы дефекта станут равными A, 1). Однопарамет-
рическое семейство различных динамик будет соответст-
соответствовать различным законам отражения в краевой точке а.
. Если а устремить к + оо, то индексы дефекта станут рав-
равными @, 0). Условие квадратичной интегрируемости вол-
волновой функции вблизи бесконечности налагает на волно-
волновую функцию достаточное ограничение, так что никакой
свободы, связанной с условиями отражения на бесконеч-
бесконечности, больше не остается.
Примеры Зи4
Шреднвгерова частица в поле с четверным потевцналом
притяжения и с кубическим потенциалом. Предыдущий
пример продемонстрировал, что условия отражения в
краевых точках интервала оказываются существенными,
если иметь целью фиксировать динамику. Некоторые ин-
интересные разновидности этого явления имеют место, если

122 Ч. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
рассматривать оператор А =—j-^ — ах*, а > О, на
интервале (—оо, оо) с той же областью определения, как
и в примерах 1 и 2. Этот пример соответствует движению
шредингеровой частицы в потенциале притяжения V (х) =
= — ах4.
Классическое движение частицы в подобном потенциа-
потенциале таково, что частице с энергией Е потребуется лишь ко-
конечный промежуток времени t, чтобы уйти на бесконеч-
бесконечность из некоторой точки L, где
о» оо со
dx г "s ^ i- dx
Тем самым такая частица, вероятно, отразится на беско-
бесконечности и вернется обратно за конечный промежуток
времени. Иначе говоря, в среднем большую часть вре-
времени она проводит вблизи начала координат. Подобная
классическая картина движения могла бы навести на
мысль, что все собственные функции дифференциального
оператора А квадратично интегрируемы, так что спектр
самосопряженного расширения А всегда дискретен. От-
Отсюда также следует, что для определения динамики суще-
существен закон отражения на бесконечности. Действительно,
детальное исследование показывает, что оператор А имеет
индексы дефекта B,2), так что точки + оо ведут себя по-
подобно точке соединения в примере 2.
Аналогичные рассуждения, будучи примененными к
случаю кубического потенциала ах3, а > О, приводят к
тому, что здесь индексы дефекта следует ожидать равны-
равными A,1), поскольку частица никогда не может достичь
+ оо, тогда как на — оо ее поведение аналогично поведе-
поведению частицы в четверном потенциале притяжения. Все
однопараметрическое семейство самосопряженных расши-
расширений обладает дискретным спектром.
Следующий пример более близок к системам, которые
представляют интерес в теории поля. Теорема, которая
там приводится, является частным случаем известной
теоремы Карлемана (Carleman, 1934). Приводимое ниже
доказательство принадлежит Джаффе.

S 8. ФОРМАЛИЗМ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 123
Пример 5
Оператор — А + Г с потенциалом V, ограниченным
снизу.
Теорема 8.1
Пусть А — лапласиан в пространстве п измере-
"
а»
ний, т. е. оператор \ ~гт, и V — бесконечно
/=i дх'
дифференцируемая вещественная функция на Rn,
ограниченная снизу. Пусть оператор А = — А -f- V
определен на бесконечно дифференцируемых
функциях с компактным носителем. Тогда А —
существенно самосопряженный оператор.
Доказательство
Поскольку из существенной самосопряженности опе-
оператора А следует существенная сопряженность (А + а-1),
где а — любая вещественная постоянная, достаточно рас-
рассмотреть случай
F>0.
В силу аргументации, которую мы уже несколько раз
использовали, нам следует искать решения дифференци-
дифференциального уравнения в частных производных
(—A +V) Ф =± *Ф (8.4)
в виде обобщенных функций и показать, что ни одно из
них не является квадратично интегрируемой функцией.
В качестве первого шага следует доказать, что решения
уравнения (8.4) в виде обобщенных функций фактиче-
фактически представляют собой бесконечно дифференцируемые
функции. Это утверждение следует из так называемой
теоремы о локальной регулярности*).
Чтобы убедиться в том, что такая функция не является
квадратично интегрируемой, рассмотрим функцию и,
•) Теорема о локальной регулярности гласит, что решения в
виде обобщенных функций дифференциального уравнения эллипти-
эллиптического типа ведут себя как коэффициенты уравнения; они беско-
бесконечно дифференцируемы, если бесконечно дифференцируемы эти коэф-
коэффициенты; они аналогичны, если аналогичны коэффициенте!. См.
(HSrmander, 1965).

124 Ч. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
полученную усреднением | Ф (я) |2 по сфере радиуса г:
u(r)= jj dco (а:) | Ф (х) \ \
Функция и, будучи определенной на неотрицательной ве-
вещественной оси, бесконечно дифференцируема и обра-
обращается в нуль в точке г == 0. Запишем, что Ф = а -+- ib,
где а, Ь вещественны, и заметим, что а и Ь удовлетворяют
уравнениям
— Aa + Va = + b, — Ab + Vb=±a.
Далее, интеграл по поверхности для функции-^- можно
превратить в интеграл по объему:
= 2 С
!ж|<г
Тем самым м является возрастающей функцией г, и,
следовательно, функция Ф не может быть квадратично
интегрируемой.
Если оператор V не ограничен снизу на бесконечности,
то следует ожидать, что будут наблюдаться те же явле-
явления, что и в примере 4. Иначе говоря, если промежуток
времени, необходимый частице для перемещения на бес-
бесконечность, конечен, то условия отражения на беско-
бесконечности конечны. Условия отражения на бесконечности
должны быть существенны для определения динамики.
В результате оператор А не будет существенно само-
самосопряженным, и спектры его самосопряженных расшире-
расширений должны будут содержать бесконечное число дискрет-
дискретных уровней энергии, идущих вплоть до —оо. В силу
большей геометрической свободы в пространствах с раз-
размерностью больше единицы, индексы дефекта в них долж-
должны быть, вообще говоря, равны (оо, оо).
Если потенциал V не ограничен, но его сингулярность
такова, что условие квадратичной интегрируемости ре-
решения (8.2) вблизи особой точки будет выделять это
решение,' то опять можно надеяться на то, что one-

§ 8. ФОРМАЛИЗМ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 125
ратор А будет существенно самосопряженным. Однако
при этом необходим более сложный аппарат, чем тот,
который был использован при доказательстве теоремы
8.1. Классическая теорема такого рода сформулирована
Т. Като (Kato Т., 1949а, 1951).
Теорема 8.2
Пусть оператор Яо с областью определения D (Яо)
является существенно самосопряженным, и пусть
оператор Нг определен на D (Яо) и эрмитов в этой
области. Предположим, что для каждой ФеД (Яо)
«Я, Ф||<а||Ф|| + Ь||Я0Ф| (8.5)
для некоторых положительных постоянных а, Ъ
с 6^1. Тогда оператор (Яо + Я/), определенный
на D (Яо), будет существенно самосопряженным.
Эта теорема была использована Т. Като, чтобы пока-
показать существенную самосопряженность гамильтониана в
атомной физике. Гипотеза (8.5) означает, что оператор Я/
в некотором смысле мал по сравнению с оператором Яо.
Теоремы 8.1 и 8.2 были объединены и обобщены различ-
различными авторами с тем, чтобы можно было охватить потен-
потенциалы V, имеющие интересные локальные сингулярно-
сингулярности и, кроме того, растущие на бесконечности (Stummel,
1956; Wienholtz, 1958; Nilsson, 1958).
Гамильтониан вида (8.4), где V — полином, представ-
представляет собой конечномерный аналог типичного гамильто-
гамильтониана теории поля
Я-З-Р' + ^ь Чг, ...)•
Тем самым по аналогии следовало бы ожидать, что если
S5 — полином третьей степени, то оператор Я не должен
быть существенно самосопряженным на соответствую-
соответствующем аналоге области определения, рассмотренной в ко-
конечномерном случае, и спектр его самосопряженных рас-
расширений должен простираться до —оо. Ослабленный ва-
вариант в существенном такого же утверждения был до-
доказан, и мы обсудим его в § 9. Хотя утешительно, что
аналогия между системами с конечным и бесконечным
числом степеней свободы применима в столь широких

126 Ч. Ц. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
масштабах, однако далеко не очевидно, что все преврат-
превратности системы с бесконечным числом степеней свободы
имеют аналоги в системах с конечным числом степеней
свободы. Замечательный позитивный результат в этом
направлении был получен И. Като, который показал,
что для скалярного взаимодействия бозонов и фермионов
типа Юкава с должным образом подобранным ультрафиоле-
ультрафиолетовым обрезанием гамильтониан взаимодействия мал
сравнительно со свободным гамильтонианом, так что
применима теорема Т. Като (Kato Y., 1961) *).
При переходе от взаимодействия Юкава к нелиней-
нелинейным бозонным взаимодействиям ситуация радикальным
образом меняется. Как только степень взаимодействия
п ^> 3, гамильтониан взаимодействия совершенно пода-
подавляет вклад от Р}. Более точно, Галиндо (Galindo, 1962)
построил для таких гамильтонианов состояния, дающие
любые отрицательные средние значения.
В этой связи интересно отметить, что, в то время как
взаимодействие Яф4 в двумерном пространстве-времени
гораздо «больше», чем взаимодействие Юкава, для прида-
придания ему математического смысла в случае системы в ящи-
не не нужны никакие ультрафиолетовые обрезания, в то
время как для той же цели в случае взаимодействия Яо|п|зф
даже в двумерном пространстве-времени ультрафиолето-
ультрафиолетовое обрезание необходимо.
Тот факт, что гамильтониан взаимодействия Яф4
«больше» свободного гамильтониана, не означает, что
свободный гамильтониан мал в сравнении с Яф4 в смысле
Т. Като; в смысле Т. Като они вообще несравнимы.
' В этом случае естественно попытаться исследовать непос-
непосредственно уравнение
(8.6)
Первым шагом в этом направлении должно быть изу-
изучение существенной самосопряженности гамильтониана
Hi (t) на соответствующей области. Хороший результат
подобного рода был получен Лэнфордом**), который пока-
показал, что справедлива следующая теорема.
*) См. также анонсированные результаты (Prosser, 1963).
•*) О. Е. Lanford, частное сообщение.

§ 8. ФОРМАЛИЗМ ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА 127
Теорема 8.3
Пусть Hi определен и эрмитов на линейном под-
подмножестве Do пространства фЖ^к), состоящего
из всех векторов Ф, для которых Ф<*> = 0 для всех до-
достаточно больших к. Предположим, что HiD0 a D9
и на Do имеет место #/срг (gc) = фГ (g,) #г, где giy
i =1,2,...,— некоторый набор одночастичных со-
состояний, полный и ортонормированный относительно
скалярного произведения (g, h) = VdQ (p)F(p)A(p),
где q>/(^)= d?xq>i (x) gi (x)' Тогда оператор Hi су-
J
щественно самосопряжен.
Эта теорема достаточно сильна, чтобы обеспечить до-
доказательство существенной самосопряженности всех га-
гамильтонианов взаимодействия самодействующих бозон-
ных полей, которые представляют собой полиномы по
соответствующему полю (с учетом ультрафиолетового об-
обрезания, когда оно необходимо). Она была обобщена Джаф-
фе и Доплихером*). Предварительно необходимо ввести
два определения.
Определения
Линейное множество D векторов в Ж образует каи-
мутирующую область относительно оператора А, если:
1) D a D (А);
2) D плотно в Ж;
3) ф (g) D с D для всех квадратично интегри-
интегрируемых функций g;
4) AD cz D (Ф);
5) [<p(g),ALD =0.
Множество D представляет собой ?-коммутирующую
область относительно А, если:
1) D — коммутирующая область относительно А;
2) W e D — циклический вектор для поли-
полиномов по ф;
3) W — аналитический вектор для ф (g).
(Напомним, что W называется аналитическим вектором для
ОО
(g), если для некоторой а>0^ а "ф^—5LS< oo.)
*) A. Jaffe, S. Doplicher, частные сообщения.

128 Ч. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
Теорема 8.4
Допустим, что для некоторого W область D будет
^-коммутирующей областью относительно А, и пред-
предположим, что AW e D ((Л|^т)*), где 2№ состоит
из полиномов по ф (g), которыми подействовали на
Y. Тогда, если А с: А*, то A\D — существенно са-
самосопряженный оператор.
Эта теорема настолько мощна, что с ее помощью
можно показать, что все гамильтонианы взаимодействия,
представляющие собой виковы целые функции по свобод-
свободным полям, являются самосопряженными, если они опре-
определены на соответствующей области.
Из этой теоремы следует, что гамильтониан Hi(t) оп-
определен как самосопряженный оператор существенно
единственным образом. Следующим этапом в изучении
уравнения (8.6) должно быть придание хорошо опреде-
определенного математического смысла его формальному реше-
решению, т. е. упорядоченной по времени экспоненте
t
= T [exp — i J #r (t)dt]. (8.7)
К сожалению, математическая теория выражения (8.7)
все еще далека от совершенства. Наилучшие результаты,
полученные до сих пор, были связаны с теорией дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных (Lions, 1965,
стр. 42—52). При этом обычно требуется, чтобы гамильто-
гамильтониан Hi (t) был ограничен снизу, т. е. принимается ги-
гипотеза, которая для обсуждаемых гамильтонианов теории
поля несправедлива, если только они не искромсаны на-
настолько, что их можно более непосредственно исследо-
исследовать другими методами. Существенной проблемой яв-
является постоянный контроль за действием оператора
% (t) на область определения гамильтониана Hj (t). Оче-
Очевидно, что в этом направлении еще предстоит уйма работы.
§ 9. Стабильность вакуума
В предыдущем параграфе было показано, что для не-
некоторых искромсанных гамильтонианов существует един-
единственным образом определенная динамика, хотя в ряде

S 9. СТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА 129
наиболее интересных случаев состояние вопроса все еще
неудовлетворительно. В этом параграфе будет обсуждать-
обсуждаться следующий этап объявленной программы: переход к
пределу, когда отсутствуют обрезание и ящик.
От каких объектов из искромсанного формализма мож-
можно было бы ожидать сходимости к соответствующим объек-
объектам теории без ящика и обрезания и в каком смысле
следует понимать эту сходимость? Примером объекта,
который не должен сходиться, поскольку у него нет
никако о разумного предела, является семейство унитар-
унитарных операторов % (t), связывающих представления Гей-
зенберга и взаимодействия. Сходимость должна отсут-
отсутствовать, поскольку для гамильтонианов, которыми мы
интересуемся, в теории без ящика представление взаи-
взаимодействия существовать не может.
То обстоятельство, что релятивистская теория поля
может быть весьма просто описана с помощью своих ва-
вакуумных средних, подсказывает нам, что следовало бы
исследовать сходимость вакуумных средних. Для этой
цели необходимо подобрать достойную кандидатуру на
роль приближенного вакуума в искромсанной теории.
Тот факт, что это может привести к совершенно нетри-
нетривиальным ограничениям, вытекает из следующей теоремы.
Теорема 9.1.
Пусть А — оператор, присоединенный к алгебре
фон Неймана Я (О) ограниченного открытого мно-
множества О в локальной квантовой теории. Тогда
оператор А не обладает ни одним собственным значе-
значением конечной кратности.
Замечания. Оператор А называется присоеди-
присоединенным к Л (О), если он коммутирует со всеми операто-
операторами, которые коммутируют с каждым оператором из
Я (О)- Например, предположим, что А — замыкание сгла-
сглаженного оператора поля ф (/), где / — вещественная ос-
основная функция с носителем в О и где для всех основных
функций g имеет место ||<р (g)n Wo f< Сп п\ для некото-
некоторой постоянной С, которая может зависеть от g. Тогда,
как это следует из работы Борхерса и Циммермана, опе-
оператор ф (g) существенно самосопряжен на наборе векто-
векторов S5 ^о, где & — полином по сглаженным полям, а
соответствующие спектральные проекции порождают
Vi 5 А. Вайтман

130 **. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
алгебры фон Неймана локальной квантовой теории
(Borchers, Zimmerman, 1964).
Доказательство
Простейший путь доказательства теоремы — обратить
внимание на то, что она следует из хорошо известного ре-
результата локальной квантовой теории: если Е — опера-
оператор проектирования, принадлежащий алгебре фон Ней-
Неймана М (Q) ограниченного открытого множества О,
то оператор Е бесконечен в алгебрах фон Неймана Я (О)
открытых множеств 0ц содержащих О и таких, что
пересечение© f| O\ не пусто*). Оператор проектирования
конечномерного ранга конечен в каждой алгебре фон
Неймана, которая его содержит. Если собственное зна-
значение К оператора <р (/) обладает конечной кратностью, то
оператор проектирования на подпространство, натянутое
на соответствующие собственные функции, принадлежит
алгебре фон Неймана Я (О) для каждого ограниченного
множества О, содержащего носитель /.
Это рассуждение можно распространить на поля, сгла-
сглаженные с основными функциями в трехмерном простран-
пространстве при условии, что они присоединены к алгебре фон
Неймана некоторой ограниченной области. Таким об-
образом, если задан оператор плотности энергии Тоо (х),
локальный относительно некоторого неприводимого на-
набора полей, и удается доказать, что оператор
(x)dxT00(x) = H8 (9.1)
хорошо определен для некоторой бесконечно дифферен-
дифференцируемой вещественной функции g с компактным носи-
носителем, то на роль вакуумного состояния не будет ни од-
одного приемлемого кандидата. Уравнение
HgU> = ХФ (9.2)
может иметь (нормируемые!) решения Ф, только если X
бесконечно вырождено. (Фактически предположение,
что спектр оператора вида (9.1) всегда непрерывен, почти
*) Это в свою очередь следует из известного результата Кади-
сона (Kadison, 1963). См. также работу (Guenin, Misra, 1963). Явным
образом это утверждение установлено в пока не опубликованной ра-
работе Борхерса.

{ 9. СТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА 131
очевидно, но оно все еще не доказано.) Следует также
отметить, что для свободного скалярного поля оператор
Hg, определенный формулой (9.1), не может действовать
на вакуум (||/УвФ0|| = оо [). Это не лишает полностью
интереса теорему 9.1, поскольку можно рассматривать
приближенные гамильтонианы, полученные сглажива-
сглаживанием Тоо с основными функциями в четырехмерном про-
пространстве или, наоборот, используя выражение (9.1), но
с регуляризованными полями.
С другой стороны, из результатов И. Като, упомянутых
выше (Kato Y., 1961), следует , что если ввести ящик толь-
только в член с взаимодействием, то для простых взаимодей-
взаимодействий бозонов и формионов спектр полного гамильтониа-
гамильтониана будет близок к спектру свободного гамильтониана для
достаточно малых значений константы связи. В частно-
частности, будет существовать единственное нормируемое при-
приближенное вакуумное состояние. Иначе говоря, суще-
существование приближенного вакуума очень существенно за-
зависит от способа, каким ящик вводится в теорию.
Существует еще одна общая теорема, которая проли-
проливает свет на природу спектра оператора Hg, если ящик
введен посредством (9.1). Она принадлежит Эпштейну,
Глазеру и Джаффе (Epstein, Glaser, Jaffe, 1965).
Теорема 9.2.
Если ф — локальное поле и / — основная
функция с компактным носителем, то в реляти-
релятивистской теории поля с вакуумом 4% выражение
Ф (/) — (Wo, ф (/) Wo) никогда не может быть положи-
положительно определенным.
Доказательство этой теоремы можно провести, по-
построив состояние, являющееся линейной комбинацией со-
состояний ?0 иф (/) 4%, в котором среднее значение рас-
рассматриваемого оператора равно нулю. Это доказатель-
доказательство также будет справедливо, если предположить, что
поля имеют смысл, будучи сглаженными с основными
функциями, зависящими только от пространственных
переменных. Тем самым можно сделать вывод, что ни
один оператор Hg вида (9.1) никогда не. может быть поло-
положительно определенным.
Иначе говоря, введение ящика по методу (9.1) порож-
порождает огромные технические трудности. Чтобы выполнить
5»

132 Ч, П. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
эту работу, вероятно, следовало бы использовать в ка-
качестве приближенного вакуума волновой пакет непре-
непрерывных волновых функций в надежде, что нежелательные
состояния с отрицательной энергией, появляющиеся
вследствие теоремы 9.2, исчезнут в пределе, когда от-
отбрасываются ящик и ультрафиолетовое обрезание. Как
мне кажется, наиболее привлекательной перспективой в
данный момент является введение ящика только в член
с взаимодействием. Хотя очевидно, что в этом случае
теоремы 9.1 и 9.2 станут неприменимыми, далеко не ясно,
приведет ли подобная процедура к гамильтониану, огра-
ограниченному снизу.
На примере искромсанных гамильтонианов мы здесь
столкнулись с известной проблемой квантовой теории
ноли. В течение некоторого времени многие авторы пола-
полагали, что для традиционных взаимодействий, встречаю-
встречающихся в "квантовой теории поля, точные решения, если
они только существуют, не могут удовлетворять спект-
спектральному условию. Например, Мано (Мало, 1955) при-
привел разнообразные доводы, которые свидетельствуют о том,
что в теории нейтрального скалярного бозонного поля,
связанного скалярным взаимодействием Юкава со спи-
норным полем, существуют состояния с произвольно
низким значением энергии. К сожалению, его расчеты
были лишь приближенными и поэтому неубедительными.
Однако существуют случаи, когда можно привести убе-
убедительные аргументы в пользу того, что никаких реше-
решений, удовлетворяющих спектральному условию, не су-
существует. Этот вопрос имеет такое фундаментальное зна-
значение, что он заслуживает более подробного обсуждения.
К числу таких теорий относятся теории бозонных по-
полей, связанных тройным взаимодействием, например Яф3,
tap2i|), Ясрг|)%. Для простоты мы будем рассматривать только
первую теорию. Она была предложена Уордом в качестве
примера теории, в которой ряд теории возмущений яв-
является сверхперенормируемым (Ward, 1950).
Вскоре все поняли, что если считать, что из принципа
соответствия следует хоть что-нибудь поучительное, то
эта теория не может удовлетворять спектральному усло-
условию, поскольку гамильтониан соответствующей клас-
классической теории поля не ограничен снизу (Fierz). Этот

§ 9. СТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА 133
классический довод стал еще более убедительным после
работы Келлера (Keller, 1957), который показал, что для
большого класса начальных значений и (х, 0), ^(х, 0)
решения уравнения
О + т2) и (х) = Хи2 (х) (9.3)
в конечный момент времени содержат расходимости. Это
находится в разительном противоречии с ситуацией,
имеющей место для классического уравнения
(? + т2) и (х) = - Хи3 (х), X > 0, (9.4)
для которого было показано, что общие решения его без
сингулярностей существуют для всех достаточно гладких
начальных условий (Jorgens, 1961; см. также Browder,
1962; Segal, 1963; Browder,. Strauss, 1963).
Первое доказательство того, что решения уравнения
(9.3) в квантовой теории поля не удовлетворяют спект-
спектральному условию, было дано Беймом (Ваут, 1960).
По-моему, рассуждения Бейма вообще нельзя считать
доказательством, поскольку он игнорировал даже те
тривиальные вычитания, которые необходимы, чтобы пре-
превратить ф (хJ в: ф2: (а;),'так что вопрос о справедливости
спектрального условия можно считать все еще открытым.
В действительности можно предложить удовлетворитель-
удовлетворительный вариант аргументации Бейма, который будет дей-
действенным по крайней мере в ряде нетривиальных слу-
случаев.
Пусть % (/) и V (g) — неприводимое представление
перестановочных соотношений в форме Вейля. F.3), ко-
которые теперь будут записываться в непрерывном виде:
где / и g — основные функции в трехмерном црострав-
стве. Предположим, что это представление ковариантно
относительно представления {a, R) -*¦ U (а, Д) группы
Евклида и антиунитарного преобразования обращения
6 К Ваитман

134 Ч. П. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
времени U (Jt):
U(а, /?)%(/)«Г1 (а, Я) = %({а, Я}/),
U(a, R)V{g)U-l{b, R) = V({a, Я)g),
(9.5)
Предположим, что U (a, R) обладает единственным инва-
инвариантным состоянием
U (a, R) 4% = 4V
которое также инвариантно относительно обращения вре-
времени
Предположим также, что Wo — циклический вектор для
операторов % (/).
Заметим, кстати, что именно в рамках таких предполо-
предположений Араки доказал цитированную выше фундамен-
фундаментальную теорему о единственности. Он показал, что опе-
оператор Н, который на векторах вида 2 at % (/i)^o
эрмитов и положительно определен, фиксируется един-
единственным образом заданием представления перестано-
перестановочных соотношений, если он коммутирует с U (It) и
имеет вид
где оператор Н' коммутирует с % (/). Основная идея до-
доказательства — использованме тождества
{% (/ ) То, Н% (/,) ?о) = 4" (Ш СМ (/;) То, % (/*) То),
которое позволяет выразить матричные элементы гамиль-
гамильтониана через производящий функционал
Для целей данного доказательства предположим, что
оператор Н определен также и на состояниях V (g) 4*0-

§ 9. СТАБИЛЬНОСТЬ ВАКУУМА 135
Тогда получим
x-\- lim
-(То, я(х1)
Здесь предполагается, что Н' имеет конкретный вид
\d*\— -j- lim [ф(х1)Ф(х2)Ф(х3) —
— СУо, Ф(х0^о)Ф(х2)ф(хз)-(Т0) ф(х2)То)Ф(х1)Ф(х3)-
— (Ч^о, Ф (хв) То) Ф(хх) Ф(х.) — (То, ф(Х1) Ф (х2) ТоЖхз)—
— (То, ф (xj) ф (х3) То) ф (х2) — (То, Ф (х.) Ф (х3) То) ф (Xl) +
+ 2 (То> Ф (хО Ф (х.) То) СП, Ф (х8) То) +
+ 2(Т0, Ф(х1)ф(хз)Т0)(Т0, Ф(х2)Т0) +
+ 2 (То, Ф(х2)Ф(х3)То)(^о, Ф(Х1)ТО)-
- (То, Ф (хО Ф (х2) Ф (х8) ToJ] - ~ lim [ф (Xl) Ф (х2) -
Л Xl, Х2-»Х
-(То, Ф(х1)Т0)Ф(х2)-(Т0, Ф(х2)То)Ф(хх) +
+ 2 (То, ф(Х1)То)(То, Ф(х,)Т0)-(Ч'о,
- (То, Уф(Х1) Уф (х2) То)]
Xi,X2-<-X
? lim [Ф(х1)Ф(х2)-(Т0, ф(х1)''Г0)Ф(х2)-
-(То, ф(х2)Т0)Ф(Х1) + 2(Т0, Ф(х1)То)(То, Ф(х2)Т0)-
-(То, Ф(х1)ф(х2)Т0)]}.
Форма, в которой записаны контрчлены, предполагает, что
константа перенормировки поля конечна, как это следует
из рассмотрения по теории возмущений в пространстве-
времени четырех, трех и двух измерений. (В противном
случае использование канонического формализма скорее
всего было бы бессмысленно.) Контрчлен перенормировки
массы в теории поля в дву- или трехмерном пространстве
оказывается излишним, если только указания теории
возмущений хоть сколько-нибудь поучительны.
Входящая в (9.7) предельная процедура далее конкре-
конкретизироваться не будет. Все, что здесь существенно, так
6*

136 Ч. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
это равенство
fTl (h) H V (h) = H' + Jdx {[- VA- Уф + ^-(Vhf ] +
+ 4-(«2-^2)[-2/г(х)(Ф(х)-(Т0, Ф(х)Т0))+А2(х)] +
+ X [А (х) ( lim (Ф (Xl) Ф (х2) - (То, ф (хх) То) Ф (х2) -
- (То, Ф (х.) То) Ф (хх) + 2 (То, Ф (Xl) То) (То, Ф (хг) То) -
- (Ye ф (Xl) Ф (хг) То)) ] - А2 (х) (Ф (х) -
Тем самым
{V (А) То, ЯГ (А) То) = J dx {-i- (VA2) +
+ -J- (m2 — dm2) A2 (x) + -y h? (x)}.
Далее, если величина (/и2 — б/и2) конечна, то это выра-
выражение представляет собой форму по h, которую при дан-
данном выборе А можно сделать сколько угодно отрицатель-
отрицательной. С другой стороны, если величина (те2 — бте2) бес-
бесконечна, то можно показать, что оператором Н нельзя дей-
действовать на вектор Р' (А) То. Тот факт, что существуют
ограничения подобного рода на область определения Н,
не кажется удивительным. Вектор W (А) То сильнее за-
зависит от больших частот, чем вектор % (/) То, поскольку
л = \ , а бесконечность величины (т2 — б/и2) ука-
указывает на факт чувствительности к большим частотам.
Аналогичные рассуждения для четверного взаимо-
взаимодействия приводят к четверной форме по А, которая огра-
ограничена снизу при условии, что перенормировка массы
конечна, а константа связи имеет нужный знак X ^> 0. Ко-
Конечно, эти рассуждения нельзя считать доказательством
того, что такой четверной гамильтониан Н ограничен
снизу. Чтобы это доказать, нужно было бы исследовать
его вакуумные средние по всем состояниям, для которых
он может быть определен. Существуют примеры операто-
операторов типа В = \d\f (х) : ф2 : (х), где ф — свободное поле,
средние от которых (^ (А) То, В?/ (h) To) ограничены сни-
снизу, но сам оператор не ограничен (это показали Эпштейн,

§ 10. МОДЕЛИ ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ВЫВОДЫ 137
Глазер и Джаффе). Из всех мыслимых трудностей, ко-
которые могут препятствовать получению физически ра-
разумных решений стандартных моделей, проблема спра-
справедливости спектрального условия кажется наиболее
серьезной.
Между прочим, существование перенормированных сте-
степенных рядов для вакуумных средних в такой теории,
когда каждый член ряда удовлетворяет спектральному ус-
условию, проливает на этот вопрос лишь незначительный
свет. Могут также существовать решения уравнения поля
в теории' с взаимодействием Яф3, не удовлетворяющие
спектральному условию, но обладающие такими асимпто-
асимптотическими разложениями в ряд, в которых спектральному
условию удовлетворяет каждый член.
§ 10. Модели теорем существования. Выводы
В данный момент не существует никаких действитель-
действительно нетривиальных релятивистских теорий, для которых
удалось бы осуществить программу, изложенную в этих
лекциях, так что фактически есть лишь несколько ре-
результатов, о которых можно сказать в параграфе с та-
таким названием. Однако, как нам кажется, стоит изложить
здесь те результаты, которые уже удалось получить, по-
поскольку они дают некоторое представление о трудностях,
встречающихся при доказательстве необходимых теорем
существования, если следовать традиционным воззре-
воззрениям и в более интересных случаях.
Наиболее исследованный пример, для которого изве-
известна подлинная теорема существования,— это теория бо-
зонного поля, взаимодействующего с внешними источни-
источниками. Формальное рассмотрение соответствующего га-
гамильтониана было произведено еще на заре истории кван-
квантовой теории поля*), и эта модель была среди первых,
которые рассматривались в пионерных исследованиях ма-
математических основ квантовой теории поля (Friedrichs,
1952). На данный момент эти показательные случаи изу-
изучены многочисленными авторами (см. напр., Kato Т.,
*) См., например, работу Блоха и Нордснка (Bloch, Nordsieck
1937).

133 Ч. П. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
1949а, 1951; Cook, 1961;Shale, 1962; Prosser, 1963) совсем
вниманием к математическим тонкостям.
Если внешние источники достаточно размазаны (на-
(например, с квадратично интегрируемой функцией), то
по сравнению со свободным гамильтонианом гамильто-
гамильтониан взаимодействия мал в смысле Т. Като, и поэтому,
когда ящик устремляется к бесконечности, все еще мож-
можно пользоваться представлением Фока для перестановоч-
перестановочных соотношений. Если же размазка внешних источников
приближается к б-функции в трехмерном пространстве
(случай точечных внешних источников), то необходимо
использовать странное представление канонических пере-
перестановочных соотношений.
В простейшем случае нейтрального скалярного поля
Ф (х) = Ф» (х) + J Дн (х — у) йу / (у),
где фш (х) — свободное поле, а у — постоянная, кратная
единичному оператору. Между прочим, при соответствую-
соответствующем выборе j не существует семейства унитарных опера-
операторов % (t), удовлетворяющих равенству
0)%-l(t). A0.1)
Иногда утверждают, что этот пример показывает, что
в релятивистской квантовой теории поля действие груп-
группы Пуанкаре на операторы поля не обязательно пред-
ставймо унитарным образом. Поскольку этот пример
относится к полям с внешними источниками, такая аргу-
аргументация не слитком убедительна. С другой стороны,
обычные общие доводы в пользу унитарной представи-
представимости в релятивистской теории также не являются вполне
убедительными, если учесть отсутствие нетривиальных
теорий, в которых они бы реализовались.
Примером теории, также нерелятивистской, но с со-
совершенно нетривиальной динамикой, может служить рас-
рассмотренная недавно теория, в которой нерелятивистские
нуклоны связаны с нейтральным скалярным мезонным
полем посредством точечного взаимодействия (Nelson,
1964). Здесь введение ящика не обязательно, ибо полное
число нуклонов N является интегралом движения. В ре-
результате состояние без частиц Фо невозмущенной системы

§ 10. МОДЕЛИ ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ВЫВОДЫ 139
представляет собой вакуумное состояние возмущенной
системы:
(Но + Н{) Фо = Н0Ф0 = ЯХФО = 0.
Однако формальный гамильтониан
Н = ш IV^(x) V^(x) d% + J{т2 + k2>'/2 dk а* W а (к)+
+ ^ Ч>* (х) ф (х) ч> (х) dx A0.2)
содержит расходимости, и поэтому необходимо ввести
ультрафиолетовое обрезание. Нельсон вводил обрезание,
заменяя поле ф (х) в A0.2) на ф# (х), где
Фк (х) = [2 BяK]'/* \ [к2 + тг]->и [а (к) eikx +
+ а*(к)е-^]Хк(к),
причем
l
Затем он показал, что существует оператор
Н = iim (Як — Л^ДЕк), A0.3)
К—оо
где
Д?к = _ 2 Л/?2 [2 BлK]-1 . [2Л/ (т2 + к2) +
+ к2 (те2 + кТ*р хк (k) dk A0.4)
— собственная энергия нуклона в теории с обрезанием К.
Главная идея доказательства — введение каноничес-
канонического преобразования еТк, которое позволяет явным обра-
образом отщепить собственную энергию, т. е.
еТк Нк е~Тк = H'K + N (АЕк + const), A0.5)
и показать, что в пределе К -*¦ со операторы еТк и Нк
хорошо определены. Тогда выражение A0.3) — это просто
OL6 КНк.е к, кроме члена вида const-iV. Подобное

140 Ч- II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
каноническое преобразование было уже введено в этой свя-
связи Гроссом (Gross, 1962, см. формулу F.2)).
Было бы очень приятно, завершить работу Нельсона
и показать, что поля в представлении Гейзенберга
ур (х, t) обладают обычными свойствами, которые им припи-
приписывают в релятивистской теории поля.
В своем доказательстве Нельсон, помимо теоремы
Т.Каю (теорема 8.1), использовал теорему Фридрикса о
расширении иолуограниченных билинейных форм (Lions,
1965, гл. II, разд. 1) и теорему Троттера о сходимости
однонараметрических унитарных групп (Trotter,958,
теорема, 501). Поскольку эти теоремы совершенно не-
нетривиальны, очевидно, что для проверки даже таких
простых примеров, как этот, может потребоваться серь-
серьезное использование формализма гильбертова простран-
пространства .
Несмотря на то, что результат Нельсона представляет
собой наилучшую модель теоремы существования из чис-
числа изученных до сих пор в рамках идей, излагаемых в
данных лекциях, ситуация, которую он рассмотрел, оче-
очевидно, гораздо проще, чем ситуация в нетривиальной je-
лятивистской теории. Помимо отсутствия релятивистской
инвариантности, к недостаткам данной модели относятся:
1) отсутствие поляризации вакуума;
2) простота выражения для бесконечной собствен-
собственной энергии.
Последний пример, который будет рассмотрен в этом
параграфе, является релятивистски-инвариантным, в нем
имеется нетривиальная поляризация вакуума, однако в
нем нет вообще никаких ультрафиолетовых расходимо-
стей. Это теория с квадратичным лагранжианом B.1). Эту
теорию стоит исследовать, поскольку если предложенные
методы недейственны в этом случае, то не будет, в сущно-
сущности, никаких надежд на то, что они применимы в нетри-
нетривиальных теориях. Ниже следует лишь краткое изложе-
изложение доказательства.
Первым делом нужно убедиться в существенной само-
самосопряженности искромсанного гамильтониана. Вероят-
Вероятно, простейший путь, который позволяет сделать это, сос-
состоит в том, чтобы показать применимость в данном слу-
случае теоремы Т. Като. С этой целью проверим справедли-

§ 10. МОДЕЛИ ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ВЫВОДЫ 141
вость неравенств
причем
(-2Н2Я)» || j а* М а* (?») F- ^' ?»>dQ М dQ ^2) ФI
(qt) Ф [| +
(?i) аГ (q%) F+- (qu qt) dQ (qj dQ (qt) Ф || +
1| ] a] (qi) al (qt) F- (qu ?i) dQ. (gi) 4Q (qt) Ф ||] , A0.6)
где
F±± (Яи q%)
Далее,
ak(q2)F++(q1, qt) dQ (9l) dQ (qt) Ф |
и аналогично для двух других членов. Здесь
] A0.7)
(Заметим, что если в качестве g выбирается сглаживающая
функция пространственных координат, то этот интеграл
будет сходиться только в двумерном пространстве-вре-
пространстве-времени. Если же в качестве g выбирается сглаживающая
функция в пространстве-времени, то этот интеграл су-
существует в пространстве-времени четырех, трех и двух

142 Ч. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
измерений.) Затем
|. (Ю.8)
Таким образом, окончательно
п
Иначе говоря, для всех достаточно малых |Л| гамильто-
гамильтониан взаимодействия
#,= ?.' dxg(x) 2 <Pi(*)«*<P*(*)
удовлетворяет неравенству (8.5) для всех векторов Ф,
для которых определен оператор Яо, и тем самым, в част-
частности, для тех Ф, для которых: а) ||Я0 Ф|(<^оо и
б) все компоненты Ф<"), кроме конечного числа, равны
нулю. Это последнее множество мы принимаем за D (Но).
Поскольку гамильтониан Но на D (Но) существенно само-
самосопряжен*), то из теоремы 8.2 следует, что для всех дос-
достаточно малых | Я j гамильтониан Н = Но + XHi — су-
существенно самосопряженный оператор.
*) Поскольку Яо представляет собой сумму вкладов на подпро-
страиства прямой суммы &€ = ф &€К", то достаточно убедиться
в том, что Яо, ограниченный на &?'"', является существенно самосо-
самосопряженным оператором. Там он представляет собой оператор умно-
умножения на вещественную положительную непрерывную функцию
п
/ = "S\ [k* + m2]/a, ограниченную снизу условием пт ]> 0. Подоб-
ный оператор умножения всегда самосопряжен, поскольку, если
(X, (/±0 Ф) = 0 для Ф таких, что /Фб^(л), то можно поло-
положить Ф = X// и почуиить (X; X) + : (X, Г1 X) = 0, откуда
следует, что X = 0.

§ 10. МОДЕЛИ ТЕОРЕМ СУЩЕСТВОВАНИЯ. ВЫВОДЫ 143
Следующий этап доказательства — показать, что су-
существует приближенное вакуумное состояние. Этот факт
является следствием второй части теоремы 8.2, которую
мы здесь не цитировали. Она гласит, что если оператор
Н\ = Яо + XHj удовлетворяет неравенству (8.5) для
всех достаточно малых X, то резольвента R\ (z) =
= (Н\ — г) оператора Н\ аналитична по X, когда z
комплексна и X достаточно мала, а когда z вещественна,
она остается вне спектра Н\. Разложение резольвенты в
ряд имеет вид
ОС
Лх B) = До (г) 2 (- Мп {HiRo (г)}».
Кроме того, из этой теоремы следует, что изолированные
собственные значения единичной кратности и соответ-
соответствующие им собственные функции, которые должным
образом нормированы, аналитически зависят от X*).
Из этой теоремы следует также существование един-
единственным образом определенного приближенного вакуума
Ч^л, являющегося аналитическим продолжением со-
состояния без частиц Фо, к которому он сводится при Я =
= 0.
Используя такой приближенный вакуум, можно вы-
вычислить вакуумные средние
(Г0,х, exp (ihHx) фд (Д) exp (i (*, — tx) Ux) <Ь (/,). . .
... exp (i (tn - «„„О Ях) Ф;п (/„) exp (- itnHx) To, x), A0.9)
где поля сглажены с бесконечно дифференцируемыми
функциями с компактным носителем в трехмерном про-
пространстве. Чтобы быть уверенным в том, что такие вели-
величины существуют, достаточно показать, что существует
область D1 с D (Яо)*) такая, что Wo,\ e #i,<Pj (g)#i G Dx
и exp (itH\) Di cz Dl. Эти свойства не вытекают из ре-
результатов работ, указанных в сноске на этой странице,
но в пользу их справедливости нетрудно привести пря-
прямые доводы. Оставшаяся часть доказательства сводится к
*) Пояснения и ссылки иа оригинальные работы Реллиха и Се-
кельфальви-Надя см. в книге Ф. Рисса и Б. Секельфальвп-Нядя
(Riesz, SZ-Nagy, 1955, стр. 330—375). См. также работы (КаКГТ.,
19496) и (Kato Y., 1961).

144 Ч. II. ОЦЕНКА ТРАДИЦИОННЫХ МЕТОДОВ
установлению того, что каждый член ряда теории возму-
возмущений для A0.9) совпадает с соответствующим членом
ряда, обсуждавшегося сразу после формулы B.17), с той
лишь разницей, что в каждый член ряда для A0.9) по
каждой переменной интегрирования входит сглаживаю-
сглаживающая функция g (x). Это довольно утомительная проце-
процедура, которую мы не будем излагать подробно, поскольку
с точки зрения нашей программы ценность ее невелика:
необходимо иметь доказательство,, не зависящее от тео-
теории возмущений. Его еще предстоит получить.
Какие же выводы можно сделать из всего сказанного
выше? Немногие, если иметь в виду только аргументы,
защищенные несокрушимой броней строгости. Однако
основанная на догадках оценка ситуации такова. Пред-
Предположение о том, что теоремы существования для стан-
стандартных моделей квантовой теории поля могут быть полу-
получены исходя из точных решений искромсанных теорий
путем вычисления искромсанных вакуумных средних и
последующего перехода к пределу, кажется, переживет
первоначальную не очень строгую проверку, приведен-
приведенную выше. Проверка этой процедуры в интересных слу-
случаях не кажется неосуществимой задачей. Если это
удастся сделать, то, как мне кажется, проявится многообе-
многообещающее направление атаки на то, что в данный момент
представляется Главной Проблемой в математическом обос-
обосновании квантовой теории поля. Конечно, ничто не поз-
позволяет сейчас исключить возможность того, что стандарт-
стандартные теории имеют решения, но эти решения нельзя полу-
получить предельным переходом из решений искромсанных
теорий.

ДОПОЛНЕНИЕ
ПОСЛЕДНИЕ ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ПОЛЯ *)
1. Аксиомы и теорема реконструкции **)
Теория скалярных полей обладает непрерывным уни-
унитарным представлением ограниченной неоднородной
группы Лоренца {а, Л) -> U (а, Л) и единственным ва-
вакуумом ?0 в сепарабельном гильбертовом пространстве
Ж. Поле представляет собой линейную функцию А с
областью определения 30, значения которой -*- линей-
линейные операторы в Ж. Предполагается:
I. Если функция ф изменяется в области 33,
то поля А (ф) и Л (ф) * обладают общей линейной
плотной областью D такой, что
A((f)DczD, А (Ф)*?с=/
?ogA U (a, \)DcD.
А — это операторнозначная обобщенная функция в
том смысле, что для каждых векторов Ф, f SO
величина (Ф, А (ф) W) представляет собой обобщен-
обобщенную функцию в 3), т. е. непрерывный линейный
функционал на 3).
*} Первая часть этих лекций не переводится, поскольку она со-
содержит элементарное изложение некоторых результатов, содержа-
содержащихся в основном тексте этой книги или в книге Р. Ф. Стритера и
А. С. Вайтмана «РСТ, спин и статистика и все такое», «Наука».
1966. Второй части лекций предшествуют слова А. С. Вайтмана: «Из-
«Изложение этой части будет совершенно строгим математически. Поэ-
Поэтому мы начнем с аксиом теории скалярных полей». (Прим. перев.)
**) Более подробно аксиомы квантовой теории ноля изложены
в упомянутой книге Стрнтера и Вайтмана, гл. 3. (Прим. перев.)

146 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
II. На?
U (а, Л ) А (ср) U (а, Л)-1 =А ([а, \}ц>). B)
III. HaZ)
[А (Ф), А М>)] = 0 = U (ф), А ft)»] C)
для функций ф, г|з ?Е Ж таких, что
Ф (*) ф (у) -0 при (г - уJ > 0. D)
Если
А (ф)* =Л (ф) на D, E)
то поле А называется нейтральным или эрмитовым.
Из аксиомы I непосредственно следует, что вакуум-
вакуумные средние
представляют собой полилинейные функционалы по <р17...
...,Ф„, непрерывные по каждому из своих аргументов. Из
теоремы Шварца о ядре следует, что эти функционалы
можно единственным образом продолжить по непрерыв-
непрерывности до обобщенных функций га переменных (Гельфанд,
1961)
dxx... dx^f (xlt ...,хп) (То, А , (хг) ...Ajn (xn) То).
Наоборот, как было показано некоторое время назад, мож-
можно исходить из набора обобщенных функций, удовлет-
удовлетворяющих некоторым условиям, и сконструировать тео-
теорию, в которой эти обобщенные функции окажутся как
раз вакуумными средними (Wightman, 1956). Единствен-
Единственным поводом ^для нового разговора об этом могут слу-
служить последние важные улучшения по части утонченно-
утонченности подобной теоремы реконструкции.
Резюмируем кратко указанные условия для одного
нейтрального скалярного поля. Тогда все вакуумные
средние можно перечислить, обозначив
)W (*! - *, xn.l - хп) = (?о, А (хл) ...А (ж») То),
где п =0, 1,... Из условия E) и эрмитовости следует, что
(Го, А (Фг)... А (Ф„) То) = [(Го, 4(Ф„)*...Л(Ф1)" Го)]*

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 147
-ь .... 6i)l*. F)
Условия эрмитовости. Из неравенства Шварца
... A(x,)U(a, 1) X
г (xu ..., xj)}* dx,... dXj A (Xj)* ...A (xy) 4V| X
X \\\ Ф2 (*,+i *„) ^cj+I .. . dxn A (xJ+l) ...A (xn) Yo || G)
следует, что величина
X
ограничена по о. Поскольку она также бесконечно диф-
дифференцируема по а (переместив U (а, 1) направо, эту
процедуру можно представить как сдвиг функции <р2,
которая бесконечно дифференцируема), то ее можно под-
подвергнуть преобразованию Фурье и найти, что ее фурье-
образ обращается в нуль, если только р не принадлежит
физическому спектру (Jost, Hepp, 1962). (Последние ут-
утверждения называют спектральными условиями.) Из ог-
ограниченности выражения (8) по а также следует, что
величину F(n) (q>i,..., Фп-i) можно расширить до непрерыв-
непрерывного линейного функционала на 8, т. е. на пространстве
бесконечно дифференцируемых функций, которые вме-
вместе со своими производными обращаются на бесконечности
в нуль быстрее произвольной степени расстояния.
(В этом случае непрерывность определяется стандартным
образом по Шварцу (Schwartz, 1957).) Окончательно
lim (8) = Ыо, \ У1(хъ . . ., xfidxx . . . dXjA (x{). . .
а-»оо *
. . . A (Xj)xY0) (ч-'о, $ qpate+i xn)dxj+i. . .
.. .dxnA (xj+1). . . A(xn)W0),

148 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
что можно переписать в виде свойства функции F(n) как
(n) ...{а, 1}Ф}. Фп_,) =
^ Р{П~П (ф;> • • •• Фп-0 (9)
при а ->¦ оо по пространственноподобному направле-
направлению. Это соотношение представляет собой свойство рас-
распадения на пучки (Araki, 1960; Jost, Hepp, 1962; Araki,
Нерр, 1962)*).
Наконец, поскольку для любой конечной совокупно-
совокупности комплексных чисел ак
то
X k у у у
. . ^yi-i — y^dx^. . .dxxdyx. . .dy,^O. A0)
Эти неравенства обычно называют условиями положитель-
положительной определенности.
Теперь у нас есть возможность точно сформулировать
георему реконструкции.
Теорема 1
Допустим, что для каждого га = 0, 1, 2,... вели-
величина Fin) представляет собой обобщенную функцию
в 3)', зависящую от п — 1 четыре-векторов и ин-
инвариантную относительно преобразований
Предположим, что F(n) может быть расширена на
§ по каждому из своих аргументов, если другие
аргументы при этом считать фиксированными. Если
величина F^ удовлетворяет условиям эрмитово-
сти, спектральности, положительной определенности
и свойству разложения на пучки, то существуют
гильбертово пространство Ж, непрерывное унитар-
*) См. Р. Ф. С т р и т е р, А. С. В а а т м а н, РСТ, спин и
статистика и все такое, «Наука», 1966, гл. 3. (Прим. перев.)

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 149
ное представление группы Лоренца {о, Л)-> U (о,Л)
со спектром оператора энергии-импульса, принад-
принадлежащим внутренней части или поверхности буду-
будущего светового конуса, единственный вакуум Чо
и эрмитово скалярное поле .4 (ф), удовлетворяющее
аксиомам I и II с D = DQ и такое, что
(Yo, А (Хг) ...А (*„) То) = F{n\Xl -х,,..., хп^ — хп).
Эта реализация единственна с точностью до уни-
унитарно эквивалентных.
Аксиоме III можно удовлетворить и тогда, когда функ-
функции F™ удовлетворяют еще и условиям локальной ком-
коммутативности.
Доказательство теоремы здесь приведено не будет;
оно аналогично доказательствам, приведенным в работах
(Wightman, 1956) или (Borchers, 1961), за исключением до-
доказательства единственности вакуума, которое получено
в работе (Borchers, 1961).
2. Сравнение пространств 3) и § в качестве областей
определения поля А(ц>); обсуждение пространства D;
самосопряженность эрмитовых полей
В первой части лекций мы не очень тщательно разли-
различали те положения, которые можно доказать, предполо-
предположив, что основные функции принадлежат пространству
3), и те положения, для доказательства которых необ-
необходимо предположить, что поля определены на основных
функциях из пространства 8. Очевидно, что для некото-
некоторых построений необходимо было использовать последнее
предположение, в частности для доказательства теоре-
теоремы 12 из части I*). С физической точки зрения было бы
весьма естественным принять поля, определенные на ос-
основных функциях из 3), — тогда оператор А (ср), где ф —
вещественная функция, описывал бы результат измере-
измерения поля в ограниченной области пространства-времени.
Если можно было бы доказать, что отсюда следует
*) Теорема 12, часть I (Wightman, 1962) гласит: «В теории ней-
нейтрального скалярного поля с циклическим вакуумом физический
спектр должен быть аддитивным». (Прим. перев.)

150 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
возможность расширения А (ф) на функции из пространства
$, то это было бы весьма отрадно. Действительно, поля,
определенные для основных функций из пространства
$, предпочтительнее в силу совершенно практических
соображений: в этом случае можно было бы свободно
пользоваться преобразованиями Фурье и получать дис-
дисперсионные соотношения для амплитуд рассеяния. Надо
иметь в виду, что гипотеза, которая была бы исключена
подобным доказательством возможности расширить поля
на функции из §, — это предположение, в силу которого
рост функций на бесконечности в ж-пространстве хуже
полиномиального. Но аргументация, приведенная в свя-
связи со спектральными условиями (как раз перед теоре-
теоремой 1), показывает, что вакуумные средние ограничены
по любой разности переменных, если другие остаются фик-
фиксированными. Поэтому для этих функций рост хуже
экспоненциального, который следует исключить, по-
появляется только тогда, когда две или более разности
четыре-векторов стремятся к бесконечности одновремен-
одновременно. Однако такой рост — это чрезвычайно неправдопо-
неправдоподобное поведение для величины, которая характеризует
корреляции между измерениями полей в вакууме.
С другой стороны, полевые величины ведут себя та-
таким образом, что следовало бы скорее использовать ос-
основные функции с компактным носителем в р-, а не в х-
пространстве.
В теории возмущений для неперенормируемых теорий
поля можно найти указания на то, что следовало бы ожи-
ожидать вакуумных средних в импульсном пространстве,
растущих быстрее любой степени импульса. Чтобы при-
придать им смысл, нужны основные функции с компактным
носителем в ^-пространстве и тем самым целые функции
экспоненциального роста в ж-пространстве. Мысль о не-
необходимости приспособить аксиомы к таким возможностям
особенно отстаивал Геттингер (Giittinger, 1958); эта идея
приводит к естественному способу отличать перенорми-
перенормируемые теории от неперенормируемых независимо от ка-
какой-либо детальной классификации лагранжианов.
Обсудим теперь область/?, т. е. снова объект, который
мы обсуждали в части I, не вдаваясь в детали. Первый
естественный вопрос; почему бы не упростить проблему,

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 151
предположив, что операторы поля определены всюду,
т. е. положить/? = <%? Ответ состоит в том, что при веще-
вещественных функциях ф (и, следовательно, эрмитовом поле
Л (ф)) это означало бы, что А (ф) — ограниченный и тем
самым непрерывный оператор, т. е. snp || ЛФ II < оо. Это
Цф||-<
неверно даже для свободного поля, а существуют веские
основания полагать, что содержательные теории окажут-
окажутся хуже, а не лучше теории свободного поля. Иначе го-
говоря, область D не должна совпадать со всем простран-
пространством Ж. Лучшее, на что можно надеяться, это то, что
эрмитовы неограниченные операторы А (ф) самосопря-
самосопряжены, А (ф)* —А (ф). Однако известно, что такие опе-
операторы всюду разрывны в своей области определения,
так что мы должны быть готовыми к встрече с неограни-
неограниченными разрывными операторами.
Вспомним, что оператор, сопряженный оператору Т
с плотной областью определения D (Т) с Жи с областью
аначений R (Т) с: Ж2 и с графом Гт., состоящим иэ всех
дар (Ф, ТФ) с Ф е 3) (Т), — это единственно опреде-
определяемый линейный оператор Т*, переводящий Ж2 в Жх,
граф которого Гу есть {— Ф, V}, где [ЧГ, Y] пробегает
по ортогональному дополнению Г г в Ж\ 0 Ж2- Это озна-
означает, что если для всех Фб^ (Т) имеет место равенство
(Г*. Ф) = (Т, ТФ),
то вектор Y лежит в области D (Т*) и Т* У = ЧГ. Опе-
Оператор Т эрмитов, если Т е Т*, т. е. если/) (Т) е D (Г) и
Т = Т* на D (Т). Оператор Т самосопряжен, если Т =
= Т*. Оператор Т существенно самосопряжен, если Т" =
= Т*. Самосопряженный оператор нельзя расширить
на любой другой вектор без того, чтобы не утратить
свойство Т = Г*. Полезный критерий существенной са-
самосопряженности эрмитова оператора состоит в том, что
не существует решений уравнений
Г*ф = ± г'Ф.
В общем случае, когда оператор Т эрмитов, числа линей-
линейно независимых решений этих двух уравнений предста-
представляют собой, соответственно, индексы дефекта операто-
оператора Т. Если оба индекса дефекта оператора Т равны, то

152 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
оператор Т обладает по крайней мере одним самосопряжен-
самосопряженным расширением. В первой части этих лекций на точные
различия, произведенные в этом разделе, конечно, не об-
обращалось внимания, теперь же мы будем за этим следить
(Stone, 1964).
Самое лучшее, что можно предположить относительно
операторов А (ф) при вещественных функциях ф,— это
считать, что они являются существенно самосопряженны-
самосопряженными в такой области Do, векторы которой имеют вид
SP(A (г|з)...) Y,,, гдеЗ5— полином по сглаженным операторам
с функциямигр ЕЕ 3). Очевидно, что Do ЕЕ D, поэтому суже-
сужение А (ф) на Do я обозначаю как А (ф)|о0. Выписанное
полностью требование существенной самосопряженности
имеет вид
Для свободного поля это соотношение может быть до-
доказано.
Теорема 2
Если А — свободное поле и ф — вещественные
функции, которые ЕЕ 3), то оператор А (ф) |и0 су-
существенно самосопряжен.
Доказательство теоремы не длинно, но основано на
явном использовании реализации оператора свободного
поля в конфигурационном пространстве *).
Что касается поля общего типа, удовлетворяющего ак-
аксиомам I, II или I, II и III, то к настоящему времени для
него не доказано ни одного подобного утверждения. Од-
Однако можно доказать, что индексы дефекта оператора
А (ф)|о„ равны. В общих чертах доказательство таково:
из дискуссии непосредственно перед теоремой 1 следует,
что F(n) — это граничное значение некой аналитической
функции по каждой из ее переменных, когда другие пере-
переменные фиксированы и сглажены с основными функциями
из 3). Указанная аналитичность имеет место в трубе ?f.
Тогда,как это следует из теоремы U,epHepa(Zerner,1961)**),
*) Wightman, не опубликовано.
**) В простейшем случае двух комплексных переменных резуль-
результат Цернера сводится к следующему: если функция / (xi, гг) анали-
тична при z2 > 0 для каждого вещественного значения xi, функция
/ (zi, ад) аналитична при zi > О длякаждого вещественного значения

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 153
существует единственная функция, аналитичная в трубе
ОГп-1, которая превращается на границе в FW. Эта функ-
функция инвариантна относительно однородной группы Ло-
Лоренца, так что можно воспользоваться теоремой Холла
(Hall, Wightman, 1957) и доказать теорему РСТ (Jost,
1957), как это было сделано в начале части I*). Тем
самым теорема РСТ справедлива для неприводимого поля,
удовлетворяющего аксиомам I, II и III. Оператор в пре-
преобразования РСТ не меняет области Do.
Предположим теперь, что функции ф не только веще-
вещественны, но и четны относительно преобразования
х -у — х. Тогда оператор в удовлетворяет соотношению
64
Но тогда, если вектор Ф удовлетворяет уравнению
то вектор в Ф будет удовлетворять уравнению
(Если оператор в коммутирует с А (ф) и оставляет об-
область Do неизменной, то он одно-однозначно отображает
Do на себя и коммутирует с А (ц>)Ъ„ как легко можно ус-
установить непосредственно из определений.) Тем самым
число решений уравнения со знаком плюс совпадает с
числом его решений со знаком минус, и индексы дефек-
дефекта оператора А (ф) равны, если функции ф вещественны
и четны. Общий случай вещественных функций ф без
труда сводится к этому.
Казалось бы, ничто не говорит против вывода, что
оператор А (ф) | Do существенно самосопряжен и в общем
случае. Сейчас, однако, лучшее, что мы можем утвер-
утверждать,— это
жз, а функция / (xi, х%) непрерывна, то существует единственная функ-
функция /, аиалитичная при zi > 0 и za > О, которая удовлетворяет за-
заданным граничным условиям при zi= 0, zj^O и z3= 0, z\ ^> 0.
*) См. Р. Ф. С т р и т е р, А. С. В а й т м а н, РСТ, спин и
статистика и все такое, «Наука», 1966. (Прим. перев.)
7 А. Вайтман

154 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Теорема 3
Если функции ф вещественны и ф 6Е®, а опе-
оператор А — неприводимое поле, удовлетворяющее
аксиомам I, II и III, то оператор А (ф) | d0 имеет
равные индексы дефекта и тем самым обладает по
крайней мере одним самосопряженным расшире-
расширением.
Значение требования самосопряженности обусловлено
тем, что оно делает доступным одно из наиболее мощных
средств изучения операторов в гильбертовом простран-
пространстве — спектральную теорему. Если А (ф) — самосопря-
самосопряженное расширение А (ф)|оо> то
1(Ф) =
где Е (к, ф) — спектральная функция оператора.
Возможно, существуют физические требования, кото-
которые выделяют некоторые самосопряженные расширения
(например, требование локальной коммутативности (LC)
для расширенных операторов). Если же окажется, что
даже с учетом этих дополнительных требований опера-
операторы А (ф) | о, не обладают единственными самосопряжен-
самосопряженными расширениями, то придется признать, что такая
теория не фиксируется полностью своими вакуумными
средними. Это не должно восприниматься как катаст-
катастрофа.
Существует одно дополнительное простое замечание
относительно областей: расширение вакуумных средних
от полилинейных функционалов (Wo, А (ф^... А (фп)Ч'о)
до обобщенных функций по всем переменным
хх . . . dxny (хи . . ., хп)С?0, А (хг) ...А (хп) Wo)
позволяет произвести аналогичное расширение для век-
векторов
а:1. . . dxn<p (жь . . ., хп) х
хА(Х1)...А(хп)Т0. A1)
Тогда это последнее выражение есть векторнозначная
обобщенная функция, причем непрерывность для век-

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 155
торов понимается по норме топологии в гильбертовом
пространстве (Ruelle, 1962; Jost, Hepp, 1962). Это поз-
позволяет расширить операторы А (ф) на область D всех век-
векторов, подобных A1).
3. Алгебры фон Неймана, ассоциированные с областью
в пространстве-времени, и поле
Естественно попытаться ассоциировать с полем ал-
алгебру ограниченных операторов. (Эта постановка задачи
противоположна обычной в математике, когда алгебра
ограниченных операторов задана и с ней ассоциируют
неограниченные операторы). В частности, Хааг подчерк-
подчеркнул важность ассоциирования алгебры ограниченных
операторов Л @) с совокупностью операторов поля А (ф),
когда носители функций ф лежат в фиксированной обла-
области 9 пространства-времени (Haag, 1959).
Если бы было известно, что оператор А (ф) | д0 суще-
существенно самосопряжен, то алгебру J? @) можно было бы
определить непосредственно: выбрать в качестве нее ал-
алгебру фон Неймана, порожденную спектральными проек-
проекциями самосопряженных операторов (А (ф) | oD)*. (На-
(Напомним, что алгебра фон Неймана — это совокупность
М ограниченных операторов со свойствами: lei?; если
iGl, то Л*? Я\ если Аш В ^М, то АВ и аА +
+ ЪВ €= Я; если Ап (п =1, 2,...) — сходящаяся в сла-
слабом смысле последовательность операторов €ЕЕ М, то
lim An E= M.) Это определение было бы еще действенно
и при существующем сейчас уровне знаний, но могло бы
в зависимости от того, какое именно самосопряженное
расширение оператора А (ф) | Do используется, приводить
к различным алгебрам Я @). С другой стороны, можно
поступать следующим образом (Ruelle, 1962). Определим,
что ограниченный оператор С коммутирует с А (ф), если
(А(чУФ, СТ) = (Ф, СЛ(ф)Т) A2)
для всех Ф, W в области D. После этого положим, по оп-
определению, что I6J? @), если X коммутирует со всеми
операторами С, удовлетворяющими условию A2) для
каждых двух операторов А (ф)* и А (<р), у которых носи-
носители функций ф принадлежат 6. Соотношения между
7*

156 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
разными возможными определениями заслуживают тща-
тщательного исследования. Первые шаги в этом направлении
были сделаны в работе (Reeh,1961). Один частный результат
столь прост и важен, что его следует привести здесь
(Ruelle, 1962).
Теорема 4
Допустим, что А — нейтральное поле, удовлетво-
удовлетворяющее аксиомам I и II, но с основными функция-
функциями из 3) (включая, как обычно, требование един-
единственности вакуума). Предположим, что Ч?о — цик-
циклический вектор. Тогда оператор А неприводим в
том смысле, что любой оператор С, удовлетворяю-
удовлетворяющий соотношению
(А (ф)' Ф, СЧГ) = (Ф, С А (Ф) Т) A3)
для всех ф е= 3) и всех Ф, W е= Do, кратен единич-
единичному оператору.
Доказательство
Если соотношение A3) справедливо для оператора
А (ф), то оно также будет выполняться, если А (ф) заме-
заменить на
2 $
с„фп (хи . .., хп) A (Xi) ...А (хп),
— факт, который мы тот час же используем.
Далее можно принять, что С?о =j= О, поскольку если
С?о = 0, то CW = 0 для любого вектора Y ЕЕ 3H и тем
самым С = 0.
Запишем, что J CW01| = р > 0, (?0, CW0) = а. Тогда
из неравенства Шварца следует, что | а | ^ р. Чтобы до-
доказать требуемый результат, достаточно показать, что
| а | = р, 'поскольку тогда CYo = aW0, а это означает,
что СФ — осФ для всех Ф е= Do, ибо согласно A3) опе-
оператор С коммутирует с А (ф).
Поскольку вектор ^о цикличен, то существует
полином по сглаженным полям, скажем 5s, такой, что
У (С - S>)Y01< е. Тогда
| (?0, ССУ6)- (%, УСТо)| = | ((С — S6)То,
A4)

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 157
Заметим, что перестановочное соотношение A3) до сих
пор пока не использовалось.
Проанализируем теперь вид вектора SPYo в импульс-
импульсном пространстве. Полином S5 может иметь носитель в р-
пространстве, который охватывает все р-пространство..
Однако если им подействовать на То, то все вклады,
кроме тех, что возникают от физического спектра, об-
обращаются в нуль. Если умножить фурье-образ основной
функции, используемой в 5s, на функцию, которая равна
единице в физическом спектре и равна нулю для точек,
расположенных в отрицательной части непрерывного
спектра, то можно получить новый оператор S5 такого
же вида, что и оператор 3d, удовлетворяющий условиям
&Г0 = ^То, #>„ = ($>Т0, То) Т„. A5)
[Грубо говоря, то, что здесь сделано, сводится к следую-
следующему. Заменим
?> на
Тогда
<Р | #' | Я> = в (9° - Р°) в ((? - р)*) <q'\9\p>,
так что
ОЧ^|0>=О>|#|0>, но |
Это выражение может быть отлично от нуля только тогда,
когда р = 0, поскольку <^ О \SP\ p ^> = 0, если только век-
вектор р не принадлежит физическому спектру. В действи-
действительности Э-функцию следует заменить бесконечно диф-
дифференцируемой функцией; поэтому нам необходима ги-
гипотеза, что р = 0 — изолированная точка спектра, чтобы
сглаженная Э-функция имела бы где измениться до нуля
от значения 1, которое она имела при р =0.] Тогда,
используя A3), получим
ре > | р2 - (№, С?о) | = | р2 - (#F0, С?о) | = _
= | р2 - (То, СФ'Ч'о) | = | р2 - а1П, То) |. A6)
Однако е может, быть выбрано произвольно малым. Если
это так, то величина (^То, Тд) произвольно близка к а.
Следовательно, | а | = р.

158 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Второй замечательный результат подобного типа был
получен Рее и Шлидером (Reeh, Schlieder, 1961,1962*).
Теорема 5
Предположим, что А — поле, удовлетворяющее
аксиомам I и II с областью Do, плотной в Ж (ос-
(основные функции берутся из пространства 3)). Об-
Область Do (Э) также плотна для любого открытого мно-
множества Э в пространстве-времени. Тогда Do @)—это
совокупность всех векторов вида 2Р (А (ф)...) ^Fo,
где 5s — полином по полям, сглаженным с основ-
основными функциями, носители которых лежат в обла-
области Э.
Доказательство
Матричный элемент вида
— зто (обобщенная функция!) граничное значение ана-
аналитической функции G переменных —ху — щ0, xt — хг —
— 1%,..., ж„_! — хп — tT]n_i, определенных в %Гп. Это
утверждение немедленно следует из аргументации, ис-
используемой в связи с доказательством теоремы РСТ с
учетом ослабленной гипотезы, в силу которой основные
функции берутся из 3)*). Но тогда из гипотезы данной
теоремы следует, что граничное значение функции G
равно нулю в открытом множестве реального простран-
пространства. Тем самым в силу аргументации, приведенной при
доказательстве теоремы 6 из части I**), функция G обраща-
обращается в нуль всюду в 3"п, и, следовательно, так же ведут себя
ее граничные значения (х, А (х^)...А (хп) Wo). Поскольку
область Do, по предположению, плотна, то очевидно, что
ортогональность вектора % к Do (9) означает % = 0, так
что теорема доказана.
*) См. Р. Ф. С т р и т е р, А. С. В а й т м а н, РСТ, спин и
Статистика и все такое, «Наука», 1966. (Прим. перее.)
**) Теорема 6, часть I (Borchers, 1960) гласит: «Если оператор
А локален (LC) и неприводим и каждый из операторов В я С локален
(LC) относительно А ,_то оператор В локален (LC) относительно С, т. е.
[В (х), С (у)] = 0,
если х пространственноподобен yi>. (Прим. перее.)

Достижения аксиоматической теории поля 159
Можно было бы думать, что, комбинируя аргументацию
предыдущей и данной теорем, удастся доказать неприво-
неприводимость набора операторов 3° (А (ф)...)> сглаженных с
функциями ф, носители которых лежат в любом фиксиро-
фиксированном открытом множестве пространства-времени. Од-
Однако это не так и не может быть так, поскольку данное
утверждение ложно. Как впервые показали Хааг и Шроер
(Haag, Schroer, 1962), существуют обобщенные свободные
поля такие, что набор операторов З6 (А (ф)...) неприводим,
если функции ф могут меняться во всей области 3). Од-
Однако тот же набор 3й (А (ф)...) не будет неприводим, если
носители функций ф принадлежат любому временному
слою — oo<^a<^;r0<^fc<^oo. Причина, по которой
здесь не проходит приведенное выше доказательство, со-
состоит в том, что конструкция оператора 3й, использован-
использованная в A6), предполагает, что основные функции ф не мо-
могут иметь компактного носителя в ^-пространстве.
4. Теория рассеяния Хаага—Рюэля. Общий обзор
Первым шагом в теории Хаага является построение
того, что он называет почти локальными полями. Эти
величины имеют вид
в(х) = S I ¦ ¦ • ) /п(я —zi, . . ., х — хп) X
xA(xl)...A{xn)dxl...dxn A7)
и удовлетворяют условиям
U (а, А) В {х) U (а, Л) = В (\х + а), (То> В (х) То) = О,
где функции /n G5 §. Мы предположим, что сумма в A7)
конечна. Раз или два Хааг пытался прибегнуть в своем
рассмотрении к своего рода пределу конечных сумм, но
это не кажется необходимым и, главное, по-видимому,
пока невозможно. Кроме того, желательно, чтобы для
каждого неприводимого представления, содержащегося
в U, скажем с массой mt, существовало почти локальное
поле такое, чтобы вектор В; (х) Ч?о принадлежал под-
подпространству этого неприводимого представления. (В дей-
действительности это означает, что (Wo, В (х) Чо) = 0.)

160 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Хааг назвал процедуру конструирования почти локаль-
локальных операторов, удовлетворяющих этим требованиям,
«решением одночастичной проблемы». По-видимому, ни
Хааг, ни Рюэль до сих пор не разъяснили в печати, как
«решить эту одночастичную проблему». Ясно, что при
некоторых условиях это всегда можно сделать. Предпо-
Предположим, например, что рассматриваемое состояние с дис-
дискретной массой является изолированной точкой в спектре
масс. Тогда к требуемому оператору Бг приведет построе-
построение, использованное при доказательстве теоремы 12 из
части 1*).То же самое будет справедливо, даже если
указанное состояние с дискретной массой не будет изо-
изолированным и если допустить, что существуют сохраняю-
сохраняющиеся квантовые числа, которыми можно отметить поля,
а указанная масса оказывается изолированной точкой
в подпространстве состояний с определенными значения-
значениями квантовых чисел. Примером подразумеваемого здесь
положения вещей может служить, скажем, дейтрон, ле-
лежащий, если рассматривать все состояния, в самой середи-
середине непрерывного спектра, но обладающий изолированной
массой, если ограничиться состояниями с барионным чис-
числом 2. Должно быть «решение одночастичной проблемы»
можно провести всегда с достаточной аккуратностью, так
что последующие вычисления будут иметь смысл; однако
автор не осуществил этого во всех деталях. Идея состоит
в том, что, хотя состояние Bt (x)W0 и не является чистым
одночастичным состоянием, оставшаяся часть его может
быть сделана достаточно малой, чтобы в дальнейшем не
играть роли. Для целей данного изложения предположим,
что точное «решение одночастичной проблемы» возможно**).
Итак, определим
В[{х\) = i^dXi [h (XiY-^ Я4(*,-)- ^/1(*|Г-ВД]. A8)
где фурье-образ функции /г имеет вид
6(Р°)о(Р2-™?)/(р~) с /е=23.
Тогда утверждение Хаага состоит в следующем:
*) См. сноску на стр. 149. (Прим. перев.)
**) См. в этой связи работу: HeppK., J. Math. Phys. 6,1762
A965). (Прим. перев.) .

достижения аксиоматической теории поля
161
Теорема 6
Пусть Bt — почти локальное поле такое, что
Bt{xi) лежит в подпространстве гильбертова простран-
пространства Ж, принадлежащем неприводимому представ-
представлению [mi, sj с массой mt и спином s,-. Образуем
состояния вида
Тогда существует lim Ф (t) в смысле сильной сходи-
МОСТИ.
Доказательство
Сначала заметим, что существует
где предел следует понимать в смысле сильной сходи-
сходимости. Это утверждение непосредственно следует из
свойств непрерывности, обсуждавшихся выше в связи
с областью D. Далее, чтобы убедиться в сильной схо-
сходимости Ф (t), достаточно доказать, что \t\'!' || -^- || ->0
при t ->+ со, поскольку тогда
V
а эту величину можно сделать произвольно малой для до-
достаточно больших t' и f. Тем самым для доказательства
данной теоремы достаточно доказать, что
тт
Но величину
членов вида
-rr
й'
можно выписать в виде суммы
xx, t) /2 (x2, t). . .
...fH (xk,

162 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
где две из функций fj в действительности представляют
собой производные по времени функций /, встречающихся
в формулировке теоремы, a F — вакуумное среднее полей
Bt. Отметим, что функция F от времени не зависит, посколь-
поскольку х° = x°j = t. Теперь функцию F можно разложить по
усеченным вакуумным средним*). Тогда выражение A9)
примет вид суммы произведений интегралов, также имею-
имеющих вид A9). Однако теперь функция F символизирует
усеченное вакуумное среднее.
Доказательство далее проводится в два этапа. Прежде
всего следует установить, что sup | /3- (х, t) \ <^ С /11|'/« при
х
больших 111 и что
После этого нужно показать, что (усеченные) функции
F убывают быстрее любой степени
3=1
*) Понятие об усеченных вакуумных средних вводится так
(Araki, 1960). Их определяют по индукции соотношениями
<А(х)>о=<А(х)>оТ,
<А fa) А fa)>0 = <А fa) А fa)>0T + <Л (ж,)>от (А (ага)>от.
<A fa) А (ж2) А (а;3)>о = <А fa) A fa) А <*з)>оГ +
+ <А fa) A fa)>0T <A fa)>0T + <A {xj) A fa)>or <А
+ <А fa) A fa)>or {A fa)>oT + {A fa)>0T <A fa)>or <A
или в общем случае
<А fa) ...А (хп)у0 = 2П <А (х-)уйт,
где суммирование производится по всем разбиениям чисел 1,..., п
на непустые поднаборы, а умножение идет по усеченным вакуумным
средним поднаборов, причем xj входят в указанные поднаборы в
том же порядке, в каком расставлены числа 1,...,ге. Такое опреде-
определение справедливо как для почти локальных полей, так и для
самого поля А. Усеченное вакуумное среднее, рассчитанное по те-
теории возмущений, совпадает в точности с суммой всех связных
диаграмм. {Прим. перев.)

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 163
Если оба эти результата будут установлены, то выра-
выражение A9) будет убывать как 11 |(-J/«)(*-a). Остается пока-
показать, что ни один член с к=2 вклада в него не дает. Это
утверждение следует из гипотезы о том, что поля В «ре-
«решают одночастичную проблему». К этим двум этапам до-
доказательства мы возвратимся в двух последующих раз-
разделах.
Здесь необходимо сделать несколько замечаний относи-
относительно релятивистской инвариантности указанной про-
процедуры. На этот раз нужно показать, что то же предель-
предельное состояние получится и тогда, когда тот же самый пере-
переход осуществляется вдоль другого времениподобного на-
направления. Для этого достаточно показать, что состояние
A + ienN) Ф (t) приводит к тому же результату, что и со-
состояние Ф(t), где nNs- инфинитезимальный оператор
чистого преобразования Лоренца вдоль направления п.
Но член гШФ(?) не будет давать никакого вклада в пре-
пределе, поскольку он будет содержать дополнительную про-
производную от члена, который в предыдущем расчете стре-
стремился к константе.
Следующим шагом является определение in- и out-
операторов, действующих на только что определенные
in- и (ш^-состояния. Запишем, что
В{пФы = lim Bf(t)O(t),
out out t^±a>
(B{n)*Oin = lim (?*(*))• <D(«).
out out t-*±co '
Чтобы убедиться в том, что эти соотношения действитель-
действительно определяют линейные операторы, необходимо только
проверить их однозначность. Иначе говоря, предположим,
i
что W(t)= 2 Ф^@ и ?г„ =0 или Wout =0. Тогда в
соответствующем случае должно быть lim В' (t) W (t) =0.
t-*±<x>
Однако оба семейства векторов ? (t) и (В* (*)) *В' (t) ? (t)
имеют сильный предел, который для первого семейства
равен нулю. Тем самым lim DT(t), (В1 (t))'Bf (t) W (t)) =
t-*±00
= 0, так что Bfin Фы = 0 или #L< Фои* = 0 в соответ-
соответствии с тем, какой из этих операторов рассматривается.

164 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Операторы ь{п и В^ и сопряженные им определены
соответственно на in - и ом^-состояниях, которые растяги-
растягивают два подпространства гильбертова пространства
Ж-1Пж ЖОи1 соответственно.
В данный момент у нас нет никакой уверенности ни в
ТОМ, ЧТО 3tin —Mouli НИ В ТОМ, ЧТО Жы = Ж =Mouti
а примеры на самом деле показывают, что асимптотические
состояния не обязательно образуют полную систему. (Су-
(Существуют обобщенные свободные поля, для которых-
Жгп =/= Ж и Ж Ф Жоы-) Это требование — аксиома
IV (принадлежит Рюэлю):
IV. Ж^п = Ж = Жта-
Отметим, что вФг„ — это «ои?»-состояние *). Тем са-
самым если вектор % ортогонален Ж^-, то вектор Э% орто-
ортогонален Ж out- Поэтому достаточно предположить, что
Ж in — Ж, ЧТОбы ПОЛуЧИТЬ Ж out = Ж.
Операторы Bin и Bout, определенные здесь, ассоцииро-
ассоциированы с правильными дискретными значениями масс т, но
не обладают сколько-нибудь простыми трансформацион-
трансформационными свойствами относительно преобразований Лоренца.
Следующий шаг в изложении Рюэля был связан с выделе-
выделением из оператора В операторов свободных спинорных по-
полей с должными трансформационными свойствами отно-
относительно преобразований Лоренца с тем, чтобы описать
частицы спина Si. Мы не будем описывать здесь зто по-
построение, хотя автор и полагает, что работа Рюэля — пер-
первая работа, в которой была систематически рассмотрена
теория рассеяния частиц произвольного спина в рамках
так называемой аксиоматической теории поля.
Существует одна тема, не исследованная в работе
Рюэля, дальнейшая разработка которой была бы весьма
ценной. Это вопрос о соотношении между областями опре-
определения операторов Bin, Bout и областью определения пер-
первоначальных операторов А. Типичная проблема, которая
здесь возникает, такова: можно ли показать, что все эти
операторы могут быть расширены на подпространство
гильбертова пространства Ж, включающее в себя все со-
состояния, энергия- которых меньше чем Е <^ оо?
*) в — это оператор преобразования РСТ. (Прим. перев.)

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 165
5. Асимптотическое поведение решений уравнения
Клейна — Гордона *)
В оригинальной аргументации Хаага относительно
асимптотического условия важная роль отводилась оцен-
оценке асимптотического поведения решений уравнения Клей-
Клейна — Гордона при больших временах:
Bя)/
( ^pl()]f(( f),
B1)
где v = x/t. Это был один из слабых пунктов в аргумен-
аргументации Хаага, поскольку класс функций, для которых по-
последнее соотношение справедливо, не был им определен.
Рюзль заменил его следующей леммой:
Лемма
Пусть / — решение уравнения Клейна — Гордо-
Гордона (Q + тг) f (х) = 0, имеющее вид
/ (х) = Bя)-2 J dp 9 (//>) б (р2 - т2)? (Р) (г** , B2)
гДе / О5) — бесконечно дифференцируемая функция
с компактным носителем. Тогда / — бесконечно диф-
дифференцируемая функция, а / (Хи) стремится к нулю,
если Я -*¦ + оо двумя различными способами в зави-
зависимости от Того, пересекают ли векторы Хи (где
О < Я < оо) носитель функции б (р2 — т2) / (р)
или нет; такие векторы определяют конус С.
(а) Если вЁС, то
|/(Ь)|<4(и)Г3/\ 0<Я<оо, B3)
где А (и) — непрерывная функция.
(б) Если ифС, то
lim Xn\f(ku)\ = 0 для всех п = 0,1, 2,.. ., B4)
и сходимость равномерна, если и принадлежит ком-
компактным подмножествам решений уравнения (и0J +
+ и2 =1.
*) См. работу (Ruclle, 1962).

166 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Замечание. Чтобы увидеть, почему появляется
конус С полезно вспомнить лемму Римана — Лебега и
одно из ее доказательств. Рассмотрим функцию
и предположим, что / — интегрируемая функция с ин-
интегрируемой производной. Тогда
.Id. .,.. i С df(k) „ .,
ix un х J а/с
f | dj(k)/dk | dft
поэтому |/(ж)|^-^ :—j .
Эту процедуру можно повторить вновь, если функция
/ обладает несколькими интегрируемыми производными;
каждая из них приводит к появлению дополнительной
степени | х \ в знаменателе.
Для интеграла вида
положение будет совершенно иным, поскольку
_L Г
ix L
а выражение в квадратной скобке сингулярно в точке
к = 0. Тем самым предыдущую аргументацию нельзя
будет повторять неограниченно.
Доказательство
Функцию / (х) вида B2) можно записать так:
Г S du (p) e-ipxJ
/ (х) = [2 BяJГ S dum (p) e-ipxJ(p), B5)
где интегрирование идет по области р2 = пг2, р° >> 0 и
dQm (p) = d3p/Yv2 + m2- Поскольку интегрирование
идет по компактной подобласти в р-пространстве, то в
B5) можно дифференцировать по ж^ под знаком интеграла,
причем всегда будут получаться сходящиеся интегралы.
Тем самым функция / (х) бесконечно дифференцируема.

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 167
Чтобы исследовать асимптотическое поведение по %,
когда х = Хи, перепишем формулу B5) в виде
+00
/ (Хи) = -?== С e~is% (s) ds, B6)
у lit J
—оо
где
7«(*) =-у^ J<*й (Р) *(*-/>• и) 7(Р). B1)
Но s — р -и — зто трехмерная плоскость с нормалью и.
Она пересекает гиперболоид по двумерной поверхности,
которая представляет собой лоренцев образ сферы,
если и — положительный временипо-
добный вектор, a s достаточно вели-
велико. Они не пересекаются, если s до-
достаточно мало, а в граничном случае
указанная плоскость будет касатель-
на гиперболоиду. Для изотропных
векторов и указанная плоскость пе-
пересекает гиперболоид по двумерной
поверхности, которая простирается
до бесконечности; то же самое справед-
справедливо и для пространственноподоб-
ных и. После освобождения от б-функции в остающемся
криволинейном интеграле появляется якобиан, аналитич-
ный по s, пока s не принимает того значения, при котором
рассматриваемая плоскость становится касательной. Если
носитель функции / не содержит вектора р, соответствую-
соответствующего точке касания, то функция fu (s) бесконечно диффе-
дифференцируема. При любом векторе и функция fu (s) имеет
компактный носитель, поскольку иначе подынтеграль-
подынтегральное выражение при к = 0 будет слишком сингулярным.
Однако если носитель функции / не включает точки нуль,
то предшествующая аргументация сохраняет силу. Ана-
Аналогом точки к — 0 в этом интеграле является комбинация
раХи, которая наводит на мысль, что для случаев нёС
и и §?Ё С следует ожидать различного поведения. Из B6)
видно, что функция / (Хи) стремится к нулю быстрее любой
степени расстояния. Кроме того, она равномерно непре-

168 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
рывна по и, пока и остается вдали от С. Этим устанавли-
устанавливается утверждение (б).
Чтобы доказать утверждение (а), заметим, что в пред-
предположении и ЕЕ. С вектор и положителен и времениподо-
бен, так что преобразованием Лоренца его можно пере-
перенести на временную ось. Тогда, выбирая для удобства
и = A, 0, 0, 0), получим B7):
= y"*=mi(« — m), B8)
где g (s — т) — бесконечно дифференцируемая функция
с компактным носителем на замкнутой полуоси 0 <| s <С<?° ¦
Тогда
00
т
ds e~isX /* — т ~g(s—m) =
X YTg(s).
Запишем:
Y7g(s) = УТ?(О) е~8 + y7(g(s)-g@) e~s).
Вклад первого слагаемого вычисляется точно, поскольку
оо
е**е-/Ids = yni [I + itf'% B9)
5
о
в то время как второе слагаемое имеет две интегрируемые
производные, так что его фурье-образ ограничен по абсо-
абсолютной величине значением а (и) | X | ~2. Тем самым
\f(%u)\<A(u)\%\-'i\ C0)
Функцию А (и) можно принять здесь непрерывной, по-
поскольку рассматриваемый интеграл меняется непрерывно
при преобразованиях Лоренца.
Из этой леммы немедленно следует

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 169
Лемма
Если функция / удовлетворяет гипотезе, выска-
высказанной в предыдущей лемме, то sup|/(a:0, х)| при
х
х° —> -f- °о убывает как | х° |~3/з, a j dx | / (ж0, х) | при
ж0 —>• -f- °° растет не быстрее чем] х°1/а.
Доказательство
В силу равномерности оценок по и имеем, что
sup | / (х°, х) | убывает как I х° | -3/2.
хес
Пересечение плоскости а;0 = const с конусом С — это
компактное множество Сх точек трехмерного пространства,
которое лежит внутри сферы радиуса <^х°. Интеграл
\ dx\f(x°, x) | можно расщепить на интеграл по Сг
и на интеграл по остальному пространству. Вклад от ос-
остального пространства убывает быстрее любой степени
ж0, в то время как | \ ^ const | х0 |~'/г | х018.
6. Усовершенствованная теорема о распадении
на пучки *)
Прежде всего следует ввести обозначение для опи-
описания п + 1 пучков **):
At (Хг) = А (*,„) А (*ц) ...A (xir (i)). C1)
(Второй индекс отмечает точки внутри пучка; xt обозна-
*) См. работу (Ruelle, 1962).
**) Простейшим примером свойства распадения на пучки может
служить утверждение:
<А fa) ...A {x}) A (xj+l + a)...A(xn + а)>0 -»
- <А (ъ)... А (*.)>„ < A (xj+1) ...А (хп)>0
при а -» оопо пространственноподобному направлению. При разделе-
разделении точек XI,..., хпилк пучков, которые затем удаляются друг от дру-
друга, получаются еще более изысканные результаты. [См. Р. Ф. Ст р и-
т е р, А. С. В а й т м а н, РСТ, спин и статистика и все такое,
«Наука», 1966. (Прим. перев.)]

170 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
чает совокупность векторных переменных xiQ, ..., ?гГ(г),
i =0, ..., п.) Определим также
At (Si +ai) = U(aiti) Аг(xj U (щ, l)-i. C2)
(Если нам пришлось бы иметь дело с набором полей А, то
аналогичное определение можно было бы дать, снабдив
Аг дополнительным индексом, чтобы указать, какие имен-
именно поля относятся к ?-му пучку. Мы назвали бы тогда A_t
бозе- или соответственно д5е/мш-полем, если бы рассмат-
рассматриваемое произведение содержало четное или нечетное
число антикоммутирующих полей.) Выражение C1) будем
называть произведением пучка или, короче, я-произведе-
нием, а выражение C2) — сдвинутым л-произведением.
Сдвинутые я-призведения войдут в вакуумные средние
в различном порядке. Разовьем поэтому подходящие обо-
обозначения для этих вакуумных средних. Пусть я — элемент
(перестановка) симметричной группы из п + 1 объектов
такой, что я @, 1, ..., п) = (i0, ..., in) (иа„ = + 1 в со-
соответствии с тем, является ли при действии в.а. Ах...А_п пе-
перестановка ферми-полей четной или нечетной). Тогда оп-
определим
Г (х + а) = Т*(*0 + а0, Zi + ot , 2n + an) =
- б" < А (Хь + «О Ли (zi, + Ч) • • • Ain {*in + ain)}0, C3)
)Г(г+а), C4)
n
где фЕ§, т. е. пространству Шварца J] [rfi/,) + 1] век~
торных переменных
З-ОО! -^Oll • • •) З-ОГ @O • • •» ^ПО» • • •! ХПГ(п)-
Заметим, что в формулах C3) и C4) ? обозначает набор
ж{, i = 0, ..., га, в то время как a — набор a{, i = 0, ..., п.
Векторы at, которые будут здесь использоваться, чисто
пространственноподобны, так что а = @, аг). Диаметр X
совокупности векторов а0, ...,ап определяется условием
Я2 = sup (аг — а;'). Допустим, что этот максимум дости-
достигается при i =/ и i' =/'. Тогда X2 = (а7- — а/J.Далее

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 171
рассмотрим семейство всех разбиений чисел {0, 1, ..., га),
на две подсовокупности X и X' таких, что / GE Хи/'? X'.
Максимум расстояния между совокупностями {аь Ге X]
и {аг-, i €= Х'\ в случае, когда X меняется в пределах ука-
указанного семейства, определяется выражением
H2 = sup[ inf (aj-aiO2].
х i el, i'ei'
В последующем обсуждении мы будем считать, что этот
максимум получится в случае разбиения X = Y и X' = Y'
и что
Ц2 = (аг — аг.J, /еГи/'еУ.
Существует хотя и элементарное, но фундаментальное
неравенство, связывающее величину ц с диаметром X:
пц > X. C5)
Доказательство
Разделим все точки а, на два класса: те точки, кото-
которые могут быть соединены с а3- цепочкой точек так, что
A) ни одна точка не повторяется, B) расстояния между по-
последовательными точками<^[л, и те точки, которые нельзя
так соединить. Потребуем, чтобы а7- принадлежала перво-
первому классу, поскольку каждая точка последнего класса
лежит на расстоянии ^>\i от каждой точки первого класса,
и если бы точка а принадлежала ему, то мы имели бы
дело с разбиением, нарушающим определение ц. Тем
самым существует цепочка таких точек а^ ар ,..., &j, что
Отметим, что п\и = X, если точки а» расположены вдоль
линии на одинаковых расстояниях.
Последнее усовершенствование обозначений: усечен-
усеченные вакуумные средние, соответствующие B3), будут обо-
обозначаться через Тт и
^тф И = $ cfecp (Ж) Гт (х + а).
Если
Y= {i0, ц, . . ., ik},
то У = {г'о, 4 . . ., 4-} с к + к' = п — 1,

172 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
где элементы ir внутри каждой подсовокупности выписа-
выписаны в порядке возрастания их номера. Определим пере-
перестановки / и / с помощью равенств
7@,1,..., Г») = @,4 п),
J @, 1, . . ., п) = (г0, 1Ь . . ., ik, i'a, i[ i'w).
Здесь / — тождественная перестановка.
Теперь мы подготовлены ко второму этапу доказа-
доказательства. Пусть А — поле, удовлетворяющее аксиомам
1, II и III, но с основными функциями из 8, а не из 3).
Теорема
Пусть А, — диаметр совокупности (а0, ..., ап). Тог-
Тогда для любого положительного целого числа N имеет
место равенство
lim 1N [Ftv (a) — F$9 (a)] = 0 C5а)
Х
при условии, что конфигурация точек а{ остается
такой, что определенные выше величины /', /', Y, Y'
и V остаются теми же самыми.
Замечания. A) Эта теорема была сформулирова-
сформулирована Хаагом (Haag, 1958). Он привел правдоподобное, но ис-
использующее некоторые рассуждения «на пальцах» дока-
доказательство.
B) Именно эта теорема дает возможность доказать
перестановочные соотношения для in- и out-попш.
Доказательство
Заметим, прежде всего, что в силу аксиомы III (LC)
разность Тт (г) — Тт (г) обращается в нуль, когда все
точки xia (i ЕЕ Y) нространственнонодобны всем точкам
Xi'a.' (i'EE У7). Тем самым функция ф (г) не дает вклада
в интеграл
^гф (а) — Ft* (а) = \ <&ф (х) [Тт {% + а) — Тт (г + а)],
D* - 4-«'J < l(xi« - Щ'*') + (а, - а;,)]2,
C6)
Далее,, квадратная скобка здесь всегда больше, чем flxi(I —
—х4',< | — | аг — а{-1|, и если [(х1Л — хгл>) + (^ — аг)]2 <0

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 173
для всех а = О, ..., г (i), то а' =0, ..., г (?) и все
i e Y, ? <= Y'.
Вводя евклидово расстояние
1 Xia — XV,; ||2 = (Ж-. — Ж°'а'J + (х« — Xj'a'J. C7)
можно получить достаточное условие, при котором имеет
место C7), в следующем виде.
Заметим, что формулу C7) можно переписать как
xia — Xv«>T<(xia-Xi'«'J+ [(хга-х^) + (^-~Щ')]\ C8)
Здесь второй член в правой части всегда больше, чем
[\х\ —x^l — ia, — ar|]8,
так что вся правая часть формулы больше, чем
21 xia — xiV |2 -f 18ц — аг |2 — 2 |xta — Xi'a-1| &i — &i-\.
Эта величина достигает минимума при изменении |xia —
— Xj'ot'l. когда
|xia — Xiv | = A/2) | щ — at' |.
В этом случае указанный минимум равен. A/2) |аг — аг'|2.
Тем самым равенство C7) гарантировано, если
ИГ- Г: ,112<-^П2/9
|| *ia — Щ'а.' || \ У- /6
или, используя C5), если
Поскольку ||ariot — а;{'а.|2<(|а;{я|| + ЦжГа'||J, то, если име-
имеет место
||2 — V 11
У = Zj II
г=0
01 сюда следует, что каждая норма || xiai | <] Х/2У2п, так
что 1 sia — ^i'a - f < (Я,//2«J = ^2/2w2. Тем самым в про-
пространстве х существует сфера, радиус которой равен
Я, У^га, такая, что функция <р (г) не дает вклада в ин-
теграл C6), если х находится внутри этой сферы.
Далее заметим, что преобразование х —у х + а, где
все а одинаковы, оставляет функцию Тт инвариантной,

lH ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
так что без потери общности можно предположить, что
в пучке, помеченном индексом нуль, первая точка а сов-
совпадает с началом координат. Тогда
п r(i) n
И2 = 2 21ЫР<2 (г(о + 1)*• = !*«,
i=0 a=0 i=l
где
т. е.
M<*>Y? C9)
Чтобы завершить рассматриваемое доказательство,
Рюэль ввел в употребление важный технический прием —
разбиение единицы, приспособленное к данной проблеме.
Разбиение единицы — это стандартный прием в теории
обобщенных функций, (Schwartz, 1957), но тот его вари-
вариант, который был использован здесь, имел некоторые спе-
специфические особенности.
Что хотелось бы иметь — это семейство неотрицатель-
неотрицательных функций /v (х) ?Е 8, v = 1, 2, ..., таких, что
1) sup/»(г) ограничен по v и то же самое спра-
х
ведливо для каждой производной функции /v;
2) /»(a?) = /v(|a;|) = O как для Ja;|>v + 1, так и
для ||ж||<4 —1;
V
Вспомним, что для произвольного открытого покры-
покрытия пространства-времени {Of, iEz I) (где, согласно опре-
определению открытого покрытия, / представляет собой неко-
некоторую совокупность индексов, Ot — открытое множество
при всех i и каждый вектор х принадлежит некоторому
Oi) разбиение единицы представляет собой семейство
Фь г'Е /, бесконечно дифференцируемых неотрицатель-
неотрицательных функций с носителем <рх с= Ot и таких, что если С —
произвольное компактное множество в пространстве-вре-
пространстве-времени, то С пересекает носитель едва не конечного числа
функцийфг. В данном случае в качестве Ot можно выбрать
множества, представляющие собой внутренние части сфе-

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 175
рических слоев толщины B + е), радиусы которых —
целые числа. Далее, чтобы убедиться в том, что свойство
A), которое обычно для разбиения единицы не требуется,
может быть гарантировано, необходимо обратиться к де-
деталям доказательства, содержащимся, например, у Швар-
Шварца (Schwartz, 1957). Это утверждение истинно, но здесь
доказываться не будет.
Если принять функции /„ на веру, то получим
(a) - FJTv_ (a) = jj [FTT^ (а) - F^ (a)],
где Ч\, = fv(x)q> {%). (Ряд 2 фч сходится к функции физ §.
Члены с v + 1 <^ -^=- никакого вклада не дают, по-
поскольку в этом случае носитель функции Ф2 полностью
содержится в сфере |ж||</ j= ш ]
Поскольку разность Тт — Тт — это обобщенная
функция умеренного роста, то ее можно записать как
Тт —Тт =Dag, где g — непрерывная функция х самое
большее полиномиального роста, a Da — дифференциаль-
дифференциальный оператор вида
аи
*' д (а?)а' д (ж3)
где | а | = а0 + ах -\- а2 + а3. Тем самым
Р*тъ (а) - Р{ъ (а) = J da % (x)Dag (x + а) =
= ^dx[D%(x))g(z+a). D0)
Далее, числа sup |?)афч (х) | убывают с ростом v быст-
х
рее любой степени v-1. (Причина этого в том, что ipG§,
так что sup|xpi5r9 (х) | <^ оо. Но производные <pv рав-
номерно ограничены по v. Последнее приводит к тому,
что sup|x49v (ar)[<^ С независимо от v, так что
sup|z? q>v(ж)|< k :

176 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
для всех целых v и каждого значения р.) Тем самым, по-
поскольку
то
| FTTVv (a) — Fb, (a) |< S (v + 1) sup | ?>>„ (x) \ C,
~ ~ X
sup A -j-1 ж2 |) ^
< S (v +1) sup I D% (x) | С A + 2 (v ¦+ 1 )')*" A +
где 5 (v + 1) — объем шара в г-пространстве с радиусом
v + 1 и было использовано неравенство 1 + ]| х + а ||2 <^
Далее, числа Cv = max | D*q>4(%) | [CS (v + 1) X
ж
X A + 2 (v + 1J)кЩ убывают быстрее любой степени v1;
следовательно, в неравенстве
v>X/2 Y%
первый множитель убывает быстрее любой степени А,-1.
BCV убывает как iV^c') при I ^ 2; чтобы убедиться
в этом, надо сравнить эту сумму с интегралом, который мо-
можно вычислить явно.) Поэтому
lim XN [^гФ(а) — Fi9 (a)] = О
для всех N, что и требовалось доказать.
Полезно просмотреть все доказательство, чтобы понять,
почему оно проходит. Оно, конечно, существенно исполь-
использует сферу в х-пространстве, внутренность которой не дает
вкладов в интеграл. Далее, оно использует то допуще-
допущение, что Тт — это обобщенные функции умеренного рос-
роста, чтобы заключить, что их можно выразить через про-
производную от непрерывной полиномиально ограниченной
функции g.
Следующая теорема — это та теорема, которая дала
заглавие всему этому разделу.

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 177
Теорема
При тех же предположениях, что и в предыдущей
теореме, но с дополнительным требованием, чтобы
точка р = 0 была изолированной точкой физичес-
физического спектра импульсов, Fr* (а), равно как -rD0Ft^,
где Do — производная любого порядка относительно
сц, являются функциями в пространстве 8-
Д оказателъство
Введем теперь в х-пространстве новые переменные:
х — жу>; ? = х-о — х^0; Ь = xi0 — xi<f} (i ф i0);
О
gr = ач'о — x .'o (г' =j= io); lia = xia — xi0 (а ф0);
0
li'a' = XVa- — Xi-o (a' ф 0).
Иными словами, выделяем одну точку xi0 с индексом
из У и одну точку хг'о с индексом из Y'. Обозначим пер-
первую из них через х, а их разность через ?. Затем введем
разности между первыми точками пучков из Y и xt 0 и обоз-
обозначим их ?г; введем разности между первыми точками пуч-
пучков из Y' и xi'o и обозначим их |j'. Наконец, введем раз-
разности между Жга и первой точкой их пучков ?га = xia —
— xi6 и разности между xi'a- и первой точкой их пучков
Ei'a' = Xi'a' — Хг'о'.
Обозначим череэ ? семейство всех ?4, |г', Ег«» Ъ'а'-
В этом случае Тт является функцией ? и ?', а <р — функ-
функцией х, g, Е- Определим их фурье-образы формулами
Здесь переменные Р помечены тем же способом, что и пере-
переменные g. Между прочим, эта формула демонстрирует то,
что было уже ясно из первых принципов: Ft^ — бесконеч-
бесконечно дифференцируемая функция самое большее полино-

178 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
миального роста. Тогда
Рт*(а_)= BnJ^dP dP_(ff)@, P, P_)(fTT)(fT?)(P,P_)x
X exp i [P (a.- — o.0) + 2 Рг(ej — au) +
; °J
До этого момента в ходе доказательства не было сдела-
сделано ничего существенного, кроме введения обозначений
для фурье-образов. Теперь выскажем идею доказательст-
доказательства. Заметим, что (f Тт)(Р, Р) = 0, если только не имеет
места Р G V^ (где V^ символизирует все векторы Р с
Q2 > М2, ф° > 0, а черта обозначает замыкание). Это
утверждение истинно, поскольку Р — переменная, кано-
канонически сопряженная разности ? = х^0 — xt 0. (Поме-
(Поместим U (а, 1) в вакуумное среднее как раз вслед за A (xt 0),
умножим его на e~iQa и проинтегрируем. В результате
должен получиться нуль, исключая Случай, когда Q при-
принадлежит физическому спектру. Однако имеет место эф-
эффект ? ->- ? + а, так что Р должен принадлежать физи-
физическому спектру.) М — это предполагаемый нижний пре-
предел для массы системы. В число промежуточных состояний
вакуум не входит, поскольку рассматриваются усеченные
вакуумные средние. Полное формальное доказательство
этого последнего интуитивно очевидного утверждения со-
содержится в работе (Araki, 1960). Кроме того, если К —
перестановка К @, 1, ..., п) ->(i'o, ..., h, i0, •¦¦, i>k), T»
К меняет ? на |, не меняя при этом ?, так что (<FTt)(P,P) =
= 0, если только не имеет места Р 6= V_ . Определим те-
теперь {^'){р, Р,Р) =h (Р) ф (р, Р, РЩ 8, где h - бес-
бес) Щ
конечно дифференцируемая функция на V™, которая обра-
обращается в нуль вне V+. Тогда, очевидно,
J J 4 D1)

ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 179
Далее, аргументация предыдущей теоремы была сформу-
сформулирована для двух перестановок I ж J, однако, будь она
справедлива для / и К, отличие было бы только в обозна-
обозначениях. Тем самым
NFrv(&) = 0 D2)
Л-»оо ~
при тех же условиях, что были сформулированы в преды-
предыдущей теореме. Упомянутые условия затрагивают точки
/, /', /, V и совокупности Y и У. Однако если а имеет та-
такую конфигурацию, что точки /, /' и т. д. различны, то
выводы будут те же самые, а для точек /, /', ... существует
только конечное число возможных вариантов выбора. Тем
самым для любой конфигурации а формула D2) имеет
место. Действие i50 на F эквивалентно изменению ф, так что
теорема доказана. ~~
Чтобы можно было применять теорию рассеяния Хаага,
необходимо иметь доказанное выше утверждение, но сфор-
сформулированное для почти локальных полей. В действитель-
действительности этот случай охватывается данной выше аргумен-
аргументацией, если только произвести изменения в обозначени-
обозначениях. Напишем
где ранее введенные переменные at обозначаем через х{,
заменив а на х. Тогда
. • .Bn{xn)V0)
— особый случай (неусеченной) функции F, рассмат-
рассматривавшейся выше с ф = Фо ® Ф1 ® ••• ® Фп- Усеченные
вакуумные средние определяются для полей В, как в пер-
первой части, а не как это было сделано выше для полей А.
Однако из проведенного выше доказательства немедленно
следует, что вакуум с помощью этой процедуры будет с тем
же успехом исключен из числа промежуточных состояний.
Следствие
Предыдущая теорема справедлива также для усе-
усеченных вакуумных средних почти локальных полей,
построенных из локальных полей (основные функ-
функции вновь берутся из §), при условии, что вакуум —
изолированная точка в спектре масс.

180 ДОСТИЖЕНИЯ АКСИОМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ
7. Заключительные замечания о теории рассеяния
Хаага — Рюэля
В предыдущих разделах было разъяснено, как можно
сконструировать состояния рассеяния всех элементарных
систем, ассоциированных с неприводимыми представле-
представлениями группы Пуанкаре, содержащимися в U. Тогда воз-
возникает естественный вопрос: такие состояния рассеяния
единственны? Отвечаю: да. Предположим, что выбор двух
разных наборов полей Bt, скажем В и В, и выполнение
проведенных выше построений привели бы к двум состо-
состояниям Ф (t) и Ф (t). Соображения, которые следуют иэ
формулы A9), показывают, что в действительности они
будут сходиться к тем же самым in- или owJ-состояниям.
Аргументация развивается в точности так же, как и преж-
прежде, эа исключением того, что вместо членов с двумя опе-
операторами, которые не дают вклада, поскольку производ-
производные по времени от них равны нулю, здесь то же самое име-
имеет место за счет того, что сокращаются вклады от состоя-
состояний Ф и Ф. Оба случая охватываются утверждением, что
никакого вклада нет, ибо одночастичная проблема уже
решена, причем предполагается, что одночастичные со-
состояния Bf Ч?о и Bf 4*0 нормированы одним и тем же спосо-
способом. Тем самым теория рассеяния Хаага — Рюэля дает
единственный набор in- и out -полей и, следовательно,
единственную матрицу рассеяния.
Эти утверждения имеют силу, даже если аксиома
IV несправедлива. Однако в этом случае оператор S
осуществляет унитарное отображение пространства Mout
на Жы, неопределенное на тех векторах из Ж, которых нет
в Ж out- Возможно, что имеет некий смысл исследование
(в духе теории элементарных частиц Гейзенберга) теорий,
для которых аксиома IV несправедлива *).
*) Другие изложения теории рассеяния Хаага — Рюэля час-
частично содержатся в книгах: И. Т. Т о д о р о в, Лекции в Между-
Международной зимней школе теоретической физики, т. I, Дубна, 1964;
R. J о s t, General Theory of Quantized Fields, Amer. Math. Soc.,
1965.Русский перевод готовитсц в изд-ве «Мир» A967). (Прим. перев.)

ЛИТЕРАТУРА
АхиезерН. И., Г л а з м а н И. М., Теория линейных опе-
операторов в гильбертовом пространстве, «Наука», 1966.
Araki H., J. M a t h. Phys. 1, 492 A960).
BaymG., Phys. Rev. 117, 88 A960).
Bialnicki-Birula I., Nuovo cimento 10, 1150 A958).
BlochF., NordsieckA., Phys. Rev. 52, 54 A937).
В о g о 1 i u b о v N. N., Nuovo cimento 7, 794 A958).
Borchers H. J.,' Nuovo cimento 15, 784 A960).
В о гс her s H. J., Nuovo cimento 33, 1600 A964).
В о г с h e г s H. J., H a a g R., Schroer В., Nuovo ci-
cimento 29, 148 A963).
Borchers H. J., Zimmermann W., Nuovo cimento 31,
1047 A964).
BornM., Nagendra NathN.S., Proc. Ind. Acad. Sci. 3,
318 A936).
Boulware D. G., Gilbert W., Phys. Rev. 126, 1563
A962).
BrowderF. E., Math. Z. 80, 249 A962).
Browder F. E., Strauss W. A., Pacif. J. Math. 13, 23
A963).
Brown L. S.T Nuovo cimento 29, 617 A963).
Carl em an Т., Arkiv math. fys. 24 B, № 11 A934).
Cook J. M.j J. Math. Phys. 2, 33 A961).
Epstein H., Nuovo cimento 27, 886 A963).
Epstein H., GlaserV., Jaffe A., Nuovo cimento 36,
1016 A965).
FederbushP., Phys. Rev. 121, 1247 A961a).
Federbush P., Prog. Theoret. Phys. 26, 148 A961 6).
FierzM., Proc. of the Fifth Annual Rochester Conference on
High-Energy Physics, p. 67 A956).
Фок В. A., Phys. Z. (USSR) 11,1 A937); см. также В. А. Ф о к,
Работы по квантовой теории поля, Изд. ЛГУ, 1957.
Friedrichs К., Comm. Pure and Appl. Math. 5, 349 A952).
Friedrichs K., Mathematical Aspects of the Quantum Theory
of Fields, Interscience, 1953.
Galindo A., Proc. Nat. Acad. Sci. USA 48, 1128 A962).
Garding L., L i о n s J. L, Nuovo cimento Suppl. 14, 45
A959). #
Garding L., W i g h t m a n A. S., Proc. Nat. Acad. Sci. 40,
617 A954).

182 ' ЛИТЕРАТУРА
GardingL., Wightman A. S., Arkiv fys. 28, 129
A964).
G 1 a s e r V., Nuovo cimento 9, 990 A958).
Glaser V., Jaksic, В., Nuovo cimento 11, 877 A959).
G о t о Т., I m amur а Т., Progr. Theor. Phys. 14, 396 A955).
G r e e n Ь е г g 0. W., Ann. Phys. 16, 158 A961).
Greenberg 0. W., J. Math. Phys. 3, 859 A962).
Gross E. P., Ann. Phys. 19, 219, 1962.
GueninM., M i s г а В., Nuovo cimento 30, 1272 A963).
G ii 11 i n g e r W., Nucl. Phys. 9, 429 A958).
H a a g R., Lectures at the CERN Study Group, 1953—1954.
H a a g R., Dansk. mat. fys. medd. 29, № 12 A955).
HeppK., JostR., R u e 11 e D., S t e i nm a n n A., Helv.
Phys. Acta 34, 542 A961).
Hormander L., Linear Partial Differential Operators,
1965, ch. IV. Русс, перев. готовится к печати в изд-ве
«Мир».
J a f f e A., Ann. Phys. 32, 127 A965).
J a u с h J. M., Rohrlich F., The Theory of Photons and
Electrons, Addison Wesley, 1955, p. 82.
Johnson K., Nucl. Phys. 25, 431 A961).
Johnson K., Nuovo cimento 20, 773 A961).
Jordan P., Z. Physik 93, 464 A935).
J 6 r g e n s K., Math. Z. 77, 299 A961).
J о s t R. The General Theory of Quantized Fields, Amer. Math.
Soc, 1965. Русс, перев.: Р. И о с т, Общая теория квантовых
полей, «Мир», 1967.
Kadi son R. V., J. Math. Phys. 4, 1511 A963).
К a t о Т., Prog. Theor. Phys. 1, 514 A949 a).
Kato Т., Prog. Theor. Phys. 4, 510 A949 6).
К a t о Т., Trans. Amer. Math. Soc. 70, 195 A951).
Kato Y., Prog. Theor. Phys. 26, 99 A961).
Keller J. В., Comm. Pure and Appl. Math. 10, 523 A957).
К 1 a i Ь е г В., Helv. Phys. Acta 37, 554 A964).
LeutwylerH., Helv. Phys. Acta 38, 43 A965).
Licht A.L., Maryland Thesis, 1963.
Lions J. L., Equations Differentielles Operationnelles, et Prob-
lemes aux Limites, 1965.
Luttinger J. M., J. Math. Phys. 4, 115 A963).
ManoK, Prog. Theor. Phys. 14, 435 A955).
MattisD. C, L i e b E. H., J. Math. Phys. 6, 304 A965).
Nelson E., J. Math. Phys. 5, 1190 A964).
Neumann J. von, Compositio Math. 6, 1 A938).
Nils son N., Lunds. Salsk. 29, 1 A958).
P a u 1 i W., Seminar on Positron Theory, Institute Advanced Study,
Princeton,! 1936.
PradhanT., Nucl. Phys. 9, 124 A958).
P г о s s e r R. Т., Bull. Amer. Math. Soc. 69, 552 A963).
R i e s z F., S Z-N a g у В., Functional AAlysis, Ungar, New York,
1955. Русск. перев.: Ф. Риос и Б. Секельфальви-
Н а д ь, Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954.

ЛИТЕРАТУРА 183
Robinson D. W., Helv. Phys. Acta 35, 403 A962).
Robinson D. W., Physics Letters 9, 189 A964).
Rue lie D., Rigorous Results in Statistical Mechanics, Boulder
Lectures, 1963.
Sal am A., The Formalism of Lie Groups, p. 173, Theoretical
Physics, IAEA, Vienna, 1963.
ScarfF.L, Nucl. Phys. 11, 475 A959 a).
Scarf F. L.
Scarf F. L.
Scarf F. L.
Schroer В
Nuovo cimento 14, 899 A959 6).
Phys. Rev. 115, 463 A959b).
W e s s J., Nuovo cimento 26, 150 A962).
Fortschr. Phys. 11, 1 A963).
S с h г о е г В., J. Math. Phys. 5, 1361 A964).
Schwartz L., Theorie des Distributions, vol. 1, p. 29 A957).
SchweberS. S., Introduction to the Relativistic Quantum Theory
of Fields. Row, Peterson and Co., 1961. Русс, перев.: С. Ш в е-
б е р, Введение в релятивистскую квантовую теоршо поля, ИЛ,
1963.
Schwinger J., Phys. Rev. Letters 3, 296 A959).
.Schwinger J., Lectures, presented at a Seminar, Trieste, 16
July — 25 August, 1962, Theoretical Physics, IAEA, Vienna,
1963.
Segal I. E., Lectures at the Institute Advanced Study 1951—52,
Lecture Notes from Later years, Chicago.
Segal I.E., Trans. Amer. Math. Soc. 88, 12 A958).
S e g a 1 I. E., Ann. Math. 72, 594 (I960).
S e g a 1 I. E., Ann. Math. 78, 339 A963).
S h a 1 e D., J. Math. Phys. 3, 915 A962).
Sokolow A., Phys. Z. (USSR) 12, 148 A937).
Sommerfield C, Ann. Phys. 26, 1 A963).
S t о n e M. H., Linear Transformation in Hilbert Space, 1964.
Streater R. F., W i g h t m a n A. S., PCT, Spin and Sta-
Statistics and All That, W. A. Benjamin Inc., 1964. Русс, перев.:
P. Ф. Стритер, А. С. В а й т м а н, РСТ, сшши статисти-
статистика и все такое, «Наука», 1966.
S t u е с k e I b e r g E. С. G., Phys. Rev. 81, 130 A951).
Stummel F., Math. Ann. 132, 150 A956).
Sudarshan E. С G., В a r d а к с i К., Nuovo cimento 21,
722 A961).
Thirring W., Ann. Phys. 3, 91 A958).
ThirringW., Phys. Rev. 126, 1209 A962).
ThirringW., W e s s J., Ann. Phys. 27, 331 A964).
Titchmarsh E. C, Eigenfunction Expansions, 1958, vol. I.
Русс, перев.: Е. К. Т и т ч м а р ш, Разложение по собствен-
собственным функциям, ИЛ, 1960, т. I.
Т г о 11 e r H. F., Pacific J. Math. 8, 887 A958).
V а 1 a t i n J., Nuovo cimento 7, 843 A958).
Van Hove L., Acad. Roy. de Belg., Bull. Classe des Sciences 39,
1055 A951).
VanHoveL. Physica 18, 145 A952).
Ward J. C, Phys. Rev. 79, 406 A950).
Wienholtz E., Math. Ann. 435, 50 A958).

184 ЛИТЕРАТУРА
W i g h t m a n A. S., Phys. Rev. 101, 806 A956).
Wightman A.S., Proceedings of the Conference on Functional
Integration and Construction Quantum Field Theory, Cambrid-
Cambridge, USA, 1966.
Wightman A. S., SchweberS., Phys. Rev. 98, 812 A955).
Zachariasen F., Phys. Rev. 121, 185 A961).
Литература к дополнению
ГельфандИ. М., ВиленкинН. Н., Обобщенные функции,
т. 4, Физматгиз, 1961, стр. 32.
А г a k i H., Ann. Phys. И, 260 A960).
ArakiH., HeppK., RuelleD., Helv. Phys. Acta 35,
164 A962).
BorchersH. J., Nuovo cimento 15, 784 A960).
В о г с h e r s H. J., Nuovo cimento 24, 214 A961).
Guttinger W., Nuovo cimento 10, 1 A958).
H aag R., Phys. Rev. 112, 669 A958).
H s a g R., Les Problemes Mathematiques de la Theori Quantique
des Champs, CNRS, Paris, 1959, 151. Русс, перев : сб. «Мате-
«Математика» 6 : 4, 134 A962).
HaagR., SchroerB., J. Math. Phys. 3, 248A962).
Hall D., Wightman A. S., Dansk mat. fys. medd. 31, 5
A957).
J ost R., Helv. Phys. Acta 30, 409 A957).
J о s t R., HeppK., Helv. Phys. Acta 35, 34 A962).
ReehH., S с hi iederS., Nuovo cimento 22, 1051 A961); 25,
32 A962).
R u e 11 e D., Helv. Phys. Acta 35, 1 A962).
R u e 11 e D., Helv. Phys. Acta 35, 162 A962).
Schwartz L., Theorie des Distributions, vol. I, Paris,1957, p. 22.
Schwartz L., Theorie des Distributions, vol. 2, Paris, 1957, p. 90,
95.
Stone M. H., Linear Transformations in Hilbert Space, 1964.
W i g h t m a n A. S., Phys. Rev. 101, 860 A956).
Wightman A. S., Proc. Int. Congress of Mathematicians, 1962.
Z e r n e r M., Seminaire de Physique Mathematique de Marseille,
1961.