/
Автор: Гольденблат И.И. Петров Б.Н. Уланов Г.М. Ульянов С.В.
Теги: компьютерные технологии физика информатика
Год: 1982
Текст
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
МИНИСТЕРСТВО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ, СРЕДСТВ
АВТОМАТИЗАЦИИ И СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ СССР
ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Б.Н.Петров, И.И.Гольденблат
Г. М.Уланов, С.В.У'іьянов
ПРОБЛЕМЫ
УПРАВЛЕНИЯ
РЕЛЯТИВИСТСКИМИ
И КВАНТОВЫМИ
ДИНАМИЧЕСКИМИ
СИСТЕМАМИ
Физические и информационные аспекты
Издательство «НАУКА»
Москва 1982
УДК 681.327.1
Проблемы управления релятивистскими и квантовыми динамически¬
ми системами (физические и информационные аспекты). Петров Б. Н.,
ГольденблатИ. И., Уланов Г. М.» Ульянове. В. М.: Наука,
1982. '
Монография посвящена изложению физических и информационных
аспектов проблемы управления новыми объектами теории систем — реля¬
тивистскими и квантовыми динамическими системами. Основное внима¬
ние уделено проблеме описания физических процессов в объектах и си¬
стемах автоматического управления, методам формализации, установле¬
ния соответствия моделей с исходным объектом. Излагаются основы ин¬
формационной теории управления релятивистскими и квантовыми дина¬
мическими системами.
Ил. 27. Табл. 18. Библиогр. 744 назв.
Ответственный редактор
академик
О. М. БЕЛОЦЕРКОВСКИЙ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие теории и практики автоматического управления охва¬
тывает широкий круг важнейших научных и научно-технических
проблем из различных областей знания и деятельности человека.
Современная теория управления включает в себя разработку ме¬
тодов и специфических для управления подходов к анализу каче¬
ственно новых процессов, в числе которых на переднем плане
оказались релятивистские, квантово-механические и информа¬
ционные процессы и объекты.
В целом для современного этапа научно-технического разви¬
тия характерно все более широкое применение релятивистских и
квантовых систем. К этим системам принадлежат вся область
ядерной энергетики (включая управляемый термоядерный син¬
тез), ускорители заряженных частиц, лазерная техника (лазеры
как средство передачи информации, гироскопы на лазерах), вы¬
числительная техника и другие системы, в которых используются
сверхпроводящие элементы, и т. п. Следует иметь в виду, что
системы управления релятивистскими и квантовыми объектами
имеют существенные особенности, сильно отличающие их от клас¬
сических систем управления. Фундаментальные принципы теории
относительности и квантовой теории (включая квантовую макро¬
физику) и основанные на них процесы измерения физических
параметров и связей между ними играют важную роль при про¬
ектировании систем управления и разработке алгоритмов управ¬
ления релятивистскими и квантовыми объектами.
Следует отметить, что построение указанных моделей пред¬
ставляет собой существенную задачу теории автоматического уп¬
равления. Сама проблема описания процессов управления ныне
далеко вышла за рамки классических механических систем. Она
возникла еще на заре развития теории автоматического управ¬
ления и была связана с отказом от квазистатического рассмот¬
рения действия регулятора, с началом динамического исследова¬
ния процессов регулирования и установлением роли математиче¬
ских моделей в познании этих процессов.
Именно поэтому в книге основное внимание уделено методи¬
ческим проблемам: общим и прикладным аспектам теории отно¬
сительности и квантовой теории, а также конкретным решениям,
таким, как проблема инерциальной навигации космическими ле¬
тательными аппаратами (КЛА) с учетом релятивистских эффек¬
тов, общей теории построения моделей квантовых систем, инва*
3
риантности и чувствительности квантовых систем и др. Особое
внимание при изложении релятивистской теории динамических
систем было уделено процессам измерения в различных системах
отсчета таких физических параметров, как пространственные
расстояния и промежутки времени, напряженности электромаг¬
нитного и гравитационного полей и др., имеющих принципиаль¬
ное значение для построения соответствующих моделей управ¬
ления.
Значительное внимание было уделено проблеме Вундгейлера
и описанию релятивистских объектов первого и второго рода, что
имеет принципиальное значение при выборе физически реализуе¬
мых моделей управления и др.
В предлагаемой читателю книге изложение указанных выше
вопросов приведено в пяти главах и двух приложениях.
В главе 1 рассмотрены некоторые общие вопросы теории мо¬
делей динамических систем, ранее не рассматривавшиеся в на¬
учной литературе: проблема Вундгейлера и ее роль в построении
моделей релятивистских и квантовых динамических систем. При¬
веденное решение проблемы Вундгейлера, ее математические и
физические аспекты имеют принципиальное значение при выбо¬
ре физически реализуемых моделей процессов управления реля¬
тивистскими и квантовыми системами. Подробно рассмотрены
так называемые объекты первого и второго рода, которые су-
ществено используются при изложении в последующих главах
принципиальных вопросов теории моделей релятивистских и
квантовых систем.
Глава 2 посвящена вопросам описания моделей релятивист¬
ских динамических систем в рамках специальной теории отно¬
сительности (СТО). Наряду с освещением основных положений
СТО в этой главе уделено большое внимание изложению таких
достаточно специфических, но столь важных для теории управле¬
ния вопросов, как «парадокс с часами», измерения пространствен¬
ных расстояний и отрезков времени в пространстве Минковско¬
го, характеристики релятивистских уравнений Гамильтона —
Якоби и их связь с уравнениями движения релятивистских дина¬
мических систем и др.
Подробное разъяснение физических аспектов затрагиваемых
в данной главе вопросов СТО позволит специалистам в области
общей теории динамических систем увидеть основные отличия и
особенности моделей и алгоритмов управления релятивистскими
динамическими системами от аналогичных моделей, описываемых
в рамках механики Ньютона.
Глава 3 является органическим продолжением главы 2 и по¬
священа изложению вопросов теорий электромагнитного и гра¬
витационного полей применительно к задачам общей теории уп¬
равления. Здесь более подробно (чем в обычных курсах и моно¬
графиях, посвященных общей теории относительности (ОТО))
изложены вопросы процессов измерения в римановых простран¬
ствах, рассмотрены физические особенности теории гравитацион¬
4
ного поля и дано возможное обобщение уравнений гравитацион¬
ного поля, показана связь с характеристиками релятивистского
уравнения Гамильтона — Якоби. Большое внимание уделено
экспериментальным результатам проверки эффектов ОТО. В ча¬
стности, приводятся результаты определения орбит планет Сол¬
нечной системы с помощью радиолокационных методов, получен¬
ные группой акад. В. А. Котельникова. Эти результаты имеют
большое значение для задач навигации КЛА. Кроме того, приве¬
дены результаты проверки эффектов гравитационного смещения
в лабораторных условиях. Современные задачи управления дви¬
жением КЛА вызвали необходимость оценить влияние реляти¬
вистских эффектов в проблеме дальней космической навигации.
В данной главе рассмотрена задача акад. Л. И. Седова об инер¬
циальной навигации КЛА с учетом релятивистских эффектов как
в рамках СТО, так и ОТО.
Изложение основных положений теории квантовых динами¬
ческих систем приведено в главе 4 на основе так называемого
квантового постулата, позволяющего рассматривать различные
квантовые объекты как элементы единой системы. Такой подход
к теории моделей квантовых систем позволяет перенести идеи
классической теории управления на квантовые объекты. В этой
же главе отмечены особенности описания нелинейных квантовых
систем на основе квантового постулата^ освещены вопросы о кау¬
зальности (появления сверхсветовых скбростей) квантовых урав¬
нений, рассмотрены конкретные примеры квантовых систем.
Приведено обобщение на взаимодействующие квантовые систе¬
мы.
Информационные аспекты теории управления как классически¬
ми, так и релятивистскими квантовыми динамическими система¬
ми обсуждаются в главе 5. Здесь основное внимание уделяется
вопросам обобщения результатов классической информационной
теории управления на релятивистские и квантовые системы.
Приведены конкретные примеры информационного подхода к
анализу процессов управления классическими, релятивистскими
и квантовыми динамическими системами.
Вспомогательный материал приведен в соответствующих при¬
ложениях. Приведенная достаточно обширная библиография по¬
зволит читателю восстановить неосвещенные в данной моногра¬
фии вопросы теории релятивистских и квантовых динамических
систем.
Таким образом, в целом книга посвящена физическим и ин¬
формационным аспектам проблем управления релятивистскими
и квантовыми объектами. •
По предложению руководителя данной работы академика
Б. Н. Петрова, более подробному изложению моделей конкрет¬
ных систем управления релятивистскими и квантовыми объек¬
тами должна быть посвящена отдельная работа.
Настоящая книга может рассматриваться как завершающая
монография из серии трех книг, выпущенных издательством «Нау¬
5
ка», написанных по теории сложных систем управления коллек¬
тивом авторов с участием и под руководством академика
Б. Н. Петрова. Последняя монография появляется в свет после
его смерти, и поэтому авторы этих монографий считают необхо¬
димым для себя высказать слова памяти своему соавтору и ре¬
дактору.
Б. Н. Петров был выдающимся советским ученым и организа¬
тором науки, вице-президентом Академии наук СССР. Особенно
велики заслуги Бориса Николаевича в развитии фундаменталь¬
ных научных исследований в области проблем управления, в
развитии теории и практики управления летательными аппара¬
тами и в других областях.
Начало научной деятельности Б. Н. Петрова в 1940—1945 гг.
связано с проблемой автоматизации контроля изделий массово¬
го производства машиностроительной промышленности, так
необходимых для удовлетворейия нужд фронта в Великой Оте¬
чественной войне. В результате этих работ была внедрена серия
многопозиционных автоматов контроля изделий. Б. Н. Петров
внес большой вклад в научные основы построения автоматиче¬
ских копировальных систем. В развитие этих работ под руковод¬
ством академика H. Н. Лузина им был создан метод структурных
преобразований схем автоматических систем управления и раз¬
работан адекватный математический аппарат — алгебра струк¬
турных преобразований динамических систем. Им были проведе¬
ны глубокие исследования в области приближенных методов ин¬
тегрирования линейных и нелинейных дифференциальных урав¬
нений. Эти работы были высоко оценены академиком H. Н. Лу¬
зиным.
Ученик В. С. Кулебакина и H. Н. Лузина, Б. Н. Петров явля¬
ется одним из основоположников теории инвариантности систем
автоматического управления. В первый критический период ста¬
новления теории инвариантности, когда многими отвергалась са¬
ма идея компенсации возмущений — инвариантности, Б. Н. Пет¬
ров открыл и сформулировал критерий физической реализуемо¬
сти условий инвариантности, указал структуры физических си¬
стем, удовлетворяющих ее условиям. Этот критерий, названный
принципом двухканальности, разрешил споры по главному на¬
правлению дискуссии и восстановил теорию инвариантности в
правах истинной научной теории.
Большое значение в научной деятельности Б. Н. Петрова за¬
няли проблемы оптимизации управления летательными аппарата¬
ми и в первую очередь проблемы терминального управления
этими системами и превращения их в так называемые системы
терминального управления нового поколения.
Под руководством Б. Н. Петрова разработаны важнейшие не¬
линейные проблемы теории управления, в том числе основы тео¬
рии нелинейных сервомеханизмов, нелинейных инвариантных си¬
стем, точные и приближенные методы исследования динамики
сложных нелинейных систем управления. Он является инициа¬
6
тором и создателем оригинального направления в теории адап¬
тивных систем — теории беспоисковых самонастраивающихся
систем управления, в частности, Б. Н. Петровым внесен сущест¬
венный вклад в разработку проблемы адаптивного управления
подвижными объектами.
В последнее время Б. Н. Петров значительное внимание уде*
лял теоретико-информационным проблемам процессов управле¬
ния. В этом направлении ему принадлежат развитие общих мето¬
дов в создании информационных моделей и описании сложных
объектов управления, работающих в условиях большой неопре¬
деленности, становлении информационных подходов в анализе и
синтезе процессов управления, разработка основ информацион¬
ной теории управления нечеткими системами, оптимизация нечет¬
ких систем по информационным критериям.
Б. Н. Петров был страстным публицистом, выступал на стра¬
ницах центральных газет и журналов с изложением актуальных
проблем научно-технического прогресса в нашей стране. Им
воспитана плеяда талантливых ученых, с успехом продолжаю¬
щих и развивающих традиции его научной школы.. Человек ог¬
ромного научного кругозора и большой эрудиции, академик
Б. Н. Петров придавал большое значение воспитанию научной
молодежи, подготовке высококвалифицированных специалистов
в области автоматического управления.
Научная деятельность Бориса Николаевича Петрова была
высоко оценена Советским правительством. Ученому была при¬
суждена Ленинская (1966 г.) и Государственные (1972 г., 1981 г.)
премии. Он награжден четырьмя орденами Ленина, орденом Ок¬
тябрьской Революции и др. орденами. Работы Б. Н. Пет¬
рова получили широкое международное признание. Он был из¬
бран действительным членом многих иностранных Академий
наук: ГДР (1971 г.), ЧССР (1972 г.), ВНР (1973 г.), ПНР
(1974 г.) НРБ 1978 г.), а также действительным членом Между¬
народной академии астронавтики и почетным доктором Чешского
политехнического института. Б. Н. Петров был награжден Золо¬
той медалью Национального центра космических исследований
Франции, Золотой медалью Чехословацкой Академии наук, Зо¬
лотым Знаком Общества немецко-советской дружбы.
За выдающиеся работы в области теории и систем автомати¬
ческого управления и экспериментальных исследований по ос¬
воению космического пространства Академия наук СССР учре¬
дила Золотую медаль им. Б. Н. Петрова, которая будет присуж¬
даться советским и иностранным ученым один раз в три года.
В марте 1980 г. незадолго до своей кончины Борис Николае¬
вич утвердил программу предлагаемой читателю монографии,
рукопись которой была подготовлена его соавторами уже без не¬
го. Данная книга является первой из задуманных отдельной се¬
рией публикаций по затрагиваемым вопросам и продолжает
предыдущие исследования соавторов.
7
Глава 1 настоящей книги составлена Б. Н. Петровым,
И. И. Гольденблатом, Г. М. Улановым, С. В. Ульяновым; главы
2 и 3 — И. И. Гольденблатом, Г. М. Улановым, С. В. Ульяновым;
пп. 3.2, 3.51, 3.52, 3.53, 3.7, 3.12.2, 3.20 и 3.21 — С. В. Ульяновым;
глава 4—И. И. Гольденблатом, С. В. Ульяновым; глава 5—
Б. Н. Петровым, Г. М. Улановым и С. В. Ульяновым; п. 5.17.4
написан в соавторстве с Ю. П. Пономаревым; Приложение 1 —
И. И. Гольденблатом; Приложение 2 — С. В. Ульяновым; би¬
блиография составлена С. В. Ульяновым.
Авторский коллектив выражает глубокую благодарность ака¬
демику Л. И. Седову, докт. физ.-мат. наук И. Д. Новикову, докт.
техн, наук Е. И. Кринецкому, докт. физ.-мат. наук М. С. Пин-
скеру за полезные замечания при обсуждении отдельных разде¬
лов монографии.
Авторы
Глава 1
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1.1. Предварительные замечания
Особенностью развития новых технических систем и систем упра¬
вления является широкое использование процессов, в которых
все более существенны релятивистские и квантовые эффекты.
Так, например, к релятивистским техническим системам сле¬
дует отнести современные ускорители заряженных частиц, ядер-
ные реакторы (на тепловых и быстрых нейтронах), различные
системы ядерной энергетики, разрабатываемые для решения про¬
блемы управляемого термоядерного синтеза, и другие перспек¬
тивные системы (например, системы управления ядерными ракет¬
ными двигателями для космических летательных аппаратов
(КЛА) [1—3] или инерциальной навигации с учетом релятивист¬
ских эффектов [4—5]).
К квантовым системам следует отнести все те системы управ¬
ления, в которых используются или могут быть использованы
явления квантовой макрофизики (сверхпроводимость, сверхтеку¬
честь, аномалии теплопроводности др.). Такими системами явля¬
ются квантовые усилители высокой частоты, различного типа
лазерные системы управления (лазеры как средство передачи
информации, лазерные гироскопы в системах инерциальной нави¬
гации и т. д.), вычислительные системы и элементы автоматики,
использующие явление сверхпроводимости и др. [1—3, 6—28].
Особое значение в последние годы приобретает учет реляти¬
вистских и квантовых эффектов в системах передачи и обработ¬
ки информации — релятивистская и квантовая теория информа¬
ции [29, 30—35], значение которых все возрастает в связи с раз¬
витием информационной теории управления [36—40].
Создание систем управления объектами, в основу которых
положены принципы теории относительности и квантовой меха¬
ники, требует объединения принципов и методов науки об управ¬
лении и современной физики.
Характерной иллюстрацией объединения указанных принципов может
служить проблема управляемого термоядерного синтеза, в названии которой
уже объединены термины «управление» и «термоядерный синтез». Особое зна¬
чение проблем управления в этой области было подчеркнуто в докладе Э. Тел¬
лера «Современные двигатели внутреннего сгорания» [41] (впервые открыто
доложенного 7 мая 1972 г. с разрешения правительства США на 7-й Между¬
народной конференции по квантовой электронике в Монреале, Канада). В этом
9
докладе при рассмотрении проблемы управления термоядерного синтеза от¬
мечается: «Если бы удалось сделать описываемый двигатель внутреннего сго¬
рания, то получилась бы силовая электростанция мощностью несколько со¬
тен мегаватт, обеспеченная горючим на неопределенно долгий срок работы.
Она могла бы работать относительно чисто, без загрязнения среды и совер¬
шенно безопасно... Речь идет об использовании обсуждаемых «двигателей
внутреннего сгорания» для космических полетов, причем известно уже не¬
сколько весьма привлекательных разработок этих проектов в Лос-Аламосе.
Если произвести термоядерный взрыв, который приводит к температуре около
10 кэВ, то получим плазму с естественной скоростью расширения около
ІО8 см/с. На инженерном жаргоне это означает удельный импульс порядка
ІО5, что вполне годится для ускорения до 1/300 скорости света. Этого действи¬
тельно можно добиться при подходящем выборе типа двигателя, который дол¬
жен иметь мощность несколько тысяч мегаватт. Для набора скорости потре¬
буется около суток, и можно будет достигнуть Марса за неделю, а за две не¬
дели совершить путешествие туда и обратно. Космонавта надо будет только
хорошо защитить от 14 Мэв нейтронов».
Следует подчеркнуть, что указанные динамические системы и
их разновидности возникли в результате решения фундаменталь¬
ных научных проблем, характеризующих развитие современной
науки. В первую очередь это развитие обусловлено созданием
таких разделов современной физики, как теория относительно¬
сти и квантовая теория.
Теория относительности в настоящее время пронизывает всю физику, она
была и остается основой всего дальнейшего ее развития. Квантовая теория
охватывает такие важнейшие разделы современной физики, как физика атома,
ядра, элементарных частиц, а также квантовая макрофизика (явления сверх¬
проводимости, сверхтекучести и т. п.).
При проектировании динамических систем управления нель¬
зя ограничиваться анализом только математической модели,
вводя физическую интерпретацию модели только на последнем
этапе проектирования. Как указывали Б. Н. Петров, А. В. Соло¬
дов и др. различные физические и технические ограничения долж¬
ны учитываться в самом начале построения и исследования мо¬
дели. Это требование особенно усиливается при проектировании
релятивистских и квантовых систем.
Необычность этих систем и их работа в условиях сверхвысо¬
ких температур, давлений, скоростей, энергетических превраще¬
ний и т. д. предъявляет особо высокие требования к глубине и
полноте исследуемой физической модели.
Достаточно напомнить, например, что в разрабатываемых в
настоящее время некоторых системах управляемого термоядерно¬
го синтеза температура плазмы должна быть поднята до многих
десятков миллионов градусов, т. е. ~200-10е К. Удержать такую
плазму в ограниченном объеме могут только сверхсильные маг¬
нитные поля, создаваемые сверхпроводниками, т. е. квантовыми
системами. Совершенно ясно, что реализация таких процессов
іо
требует подбора материала, обладающего надлежащими физи¬
ческими свойствами, решения сложных проблем прочности кон¬
струкций, работающих в очень сложных условиях и т. д. Созда¬
ние и анализ физических моделей исследуемых систем и их мо¬
делей управления на каждом этапе проектирования должны со¬
провождаться анализом реализуемости (осуществимости) физи¬
ческих процессов не в узком математическом или абстрактном
смысле этого термина, а с учетом всех многочисленных факторов
и закономерностей, обеспечивающих их действительную физиче¬
скую реализуемость.
В релятивистских и квантовых системах проявляются физи¬
ческие закономерности, не только не имеющие аналогов в доре¬
лятивистской и доквантовой физикё, но, наоборот, даже резко
противоречащие им. В то же время новые закономерности,
вскрытые современной физикой, характеризуются ненагляд¬
ностью возникающих здесь представлений и свойств исследуемых
моделей.Такие основные понятия, как длина и промежуток вре¬
мени, оказываются в релятивистской физике относительными,
зависящими от системы отсчета; энергия покоящейся частицы
оказывается тесно связанной с ее массой и скоростью света; масса
сложной системы не равняется сумме масс ее частей (дефект
массы), т. е. здесь целое не может быть представлено как сумма
его частей; каждому квантовому объекту присуща одновременно
как корпускулярная, так и волновая природа; энергетические
барьеры, непреодолимые в классической механике, имеют толь¬
ко относительную непреодолимость (туннельные эффекты) и
т. д.
Из изложенного следует, что системам и алгоритмам управ¬
ления такими объектами также будут присущи особенности, не
имеющие аналогов среди систем управления классическими объ¬
ектами.
В первой части книги рассматриваются некоторые физические
аспекты релятивистских и квантовых систем, важные с точки
зрения теории систем управления. Так, особенности теории гра¬
витационного поля излагаются с точки зрения проблем инер¬
циальной навигации КЛА с учетом релятивистских эффектов.
Аналогично излагаются вопросы квантовой теории на основе
общего квантового постулата.
Вторая и третья части книги посвящены вопросам теории
управления конкретными релятивистскими и квантовыми объек¬
тами в физическом и информационном аспектах.
1.2. Физические, расчетные
и математические модели динамических систем
Имеют место существенные противоречия в определении таких
понятий, как физическая, расчетная и математическая модели.
Вместе с тем проблема создания моделей имеет фундаментальное
значение.
Ниже формулируются по возможности развернутые качест¬
венные определения употребляемых в этой области понятий [39,
42].
1.2.1. Физические модели динамических систем. Под физиче¬
ской моделью какого-либо процесса, например процесса работы
системы управления при внешнем воздействии, следует понимать
по возможности полное (в соответствии с достигнутым уровнем
знаний) описание этого процесса в физически содержательных
терминах.
При построении физических моделей нередко требуется вве¬
дение совершенно новых идей и понятий, противоречащих иногда
уже сложившимся представлениям.
В физическую модель должны входить без всяких упрощений все изве¬
стные функциональные, дифференциальные и прочие соотношения и связи
между параметрами процесса. Физическая модель должна также содержать
имеющиеся экспериментальные данные, относящиеся к рассматриваемому про¬
цессу, изложение гипотез, которые могут быть сформулированы по поводу еще
не изученных связей и соотношений между параметрами системы.
Другими словами, физическая модель представляет собой содержатель¬
ное отражение реальных явлений или процессов на уровне современных зна¬
ний.
Физическая модель не может быть создана чисто эмпирическим наблюде¬
нием данного класса явлений или процессов. -
Сам по себе набор эмпирических суждений и соотношений носит доволь¬
но запутанный характер, в котором существенные стороны изучаемых явле¬
ний или процессов нередко тонут в массе случайных или несущественных
факторов. Конечно, для создания любой физической модели (которая мо¬
жет рассматриваться как физическая теория) необходимы эксперименты и
наблюдения. Однако понимание самих экспериментов (и это следует особо
подчеркнуть) невозможно без теории изучаемого класса явлений и процессов.
Построение подлинной физической модели (или физической
теории) означает сведение множества эмпирических данных
(иногда безнадежно хаотических и даже противоречивых) к не¬
многим фундаментальным положениям и принципам, в которых
отражалось бы существо изучаемых процессов.
А. Эйнштейн в своей работе «О современном кризисе теоретической фи¬
зики» [43] отметил: «Цель теоретической физики состоит в том, чтобы со¬
здать систему понятий, основанную на возможно меньшем числе логически не¬
зависимых гипотез, которая позволила бы установить причинную взаимосвязь
всего комплекса физических процессов».
Из этого следует, что познавательная ценность каждой теории тем выше,
чем шире класс явлений и процессов, который этой теорией описывается.
Особые трудности, возникающие при создании физических
моделей систем и процессов управления, состоят в том, что при¬
ходится использовать модели физических процессов, имеющих
различную качественную природу, в единой системе. Кроме того,
12
модели процессов управления должны включать в себя целевые
функционалы, определяющие назначение, эффективность и ка¬
чество работы.
В целом можно отметить тенденцию к использованию в совре¬
менных системах управления таких физических процессов и яв¬
лений, которые до недавнего времени считались объектом только
чисто теоретических исследований.
1.2.2. Расчетные модели динамических систем. В реальных фи¬
зических системах или устройствах обычно встречаются не с од¬
ним каким-либо классом явлений или процессов, уже хорошо
изученных современной наукой, а с множеством новых еще недо¬
статочно изученных явлений, кроме того, исходная информация
об объекте или процессе может быть неполной или неопределен¬
ной. В результате всего этого физические модели реальных си¬
стем оказываются обычно весьма сложными и не вполне опреде¬
ленными, что сильно осложняет (или делает невозможным) их
анализ. Все это приводит к необходимости создания расчетных
моделей.
Расчетная модель также описывает процесс в физически содержатель¬
ных терминах, но в отличие от физической модели в ней не должны учиты¬
ваться параметры и факторы, которые в заданных условиях и границах не
оказывают заметного влияния на ход процесса. При переходе от физической
к расчетной модели сложные математические зависимости или соотношения
должны быть заменены по возможности более простыми. В частности, во мно¬
гих случаях переменные величины могут заменяться их средними постоян¬
ными значениями, нелинейные соотношения — линейными и т. д. По недоста¬
точно изученным связям или параметрам системы в расчетную модель могут
вводиться аппроксимирующие гипотезы. При этом необходимо, чтобы все
аппроксимации обеспечивали наибольшую надежность системы в данных усло¬
виях ее работы (если речь идет о реальных технических устройствах).
Целесообразно иметь не одну, а систему аппроксимирующих моделей
исследуемого процесса, каждая из которых имеет свои границы применимо¬
сти (по принципу «от простого к сложному»).
Большое значение имеет принцип минимальной сложности
аппроксимирующих моделей исследуемых процессов. Следует
помнить, что аппроксимирующие формальные модели создаются
в процессе абстрагирования от реальной физической модели.
Характерной чертой как физических, так и расчетных моде¬
лей управления в общем случае является, как отмечено выше,
введение некоторых функционалов от изучаемых процессов.
Экстремальные значения этих функционалов служат.показателя¬
ми оптимальности или эффективности процесса.
Всякая формализация требует такого упрощения реальной ситуации, ко¬
торая дает возможность использования формальных методов современной ма¬
тематики и средств вычислительной техники. При этом нужно быть крайне
осторожным, чтобы в процессе аппроксимации не отбросить каких-либо важ¬
ных и существенных особенностей поведения исследуемых процессов в тех
13
или иных условиях. При всех упрощениях и отбрасывании различных несу¬
щественных факторов или малых параметров необходимо дать оценку гра¬
ницы применимости полученной модели, так как малые параметры могут
оказать громадное влияние на устойчивость или качественный характер про¬
цесса.
Построение корректной расчетной модели изучаемого про¬
цесса является весьма сложной задачей, часто в процессе постро¬
ения модели исследователю приходится проявлять настоящее
искусство при реализации своей интуиции.
Интересно отметить, что один из крупнейших физиков современности
П. А. М. Дирак советует учиться у инженеров искусству создания расчетных
моделей [44]: «Система приближений, которой я буду пользоваться, в какой-
то мере аналогична тем приближениям, какими пользуются в своих расчетах
инженеры. Инженеру нужно получить результаты, а в стоящих перед ним
проблемах имеется такое множество фактов, что большинством из них он вы¬
нужден пренебречь. У него нет времени подвергать все серьезному изучению,
и он вырабатывает своего рода чувство, чем можно пренебречь и чем нельзя.
Я думаю, что физики, работающие в области квантовой теории поля, также
должны выработать аналогичное чувство в отношении того, чем допустимо и
чем недопустимо пренебречь. Окончательный критерий состоит в том,
является ли построенная теория последовательной и находится ли она в ра¬
зумном согласии с экспериментом».
Таким образом, построение расчетной модели представляет
собой процедуру, которая не следует никакому конкретному не¬
изменному образцу. Существенным требованием является соот¬
ветствие модели объекту, которое можно определять на основе
порогов различимости и максимума количества информации,
содержащейся в расчетной модели относительно объекта. В ря¬
де случаев такой подход позволяет одновременно установить гра¬
ницу предельных возможностей формальных систем. Данный во¬
прос непосредственно связан с задачами моделирования динами¬
ческих систем. Именно в соблюдении этих условий, как будет
показано ниже, заключается искусство и научная интуиция ис¬
следователя.
1.2.3. Математические модели динамических систем. Под ма¬
тематической моделью процесса (объекта) следует понимать
уравнения и другие соотношения, приведенные в расчетной мо¬
дели, алгоритмы решения уравнений, составленные на их основе
программы для ЭВМ, аналоговые схемы для решения задач на
АВМ и т. д. При этом необходимо стремиться к эффективным ма¬
тематическим моделям, а алгоритмы для решения уравнений
должны быть по возможности простыми, но не в ущерб необхо¬
димой точности, должны носить универсальный характер, допу¬
скающий их удобное применение при различных граничных
условиях, разнообразном характере внешних возмущений.
14
Изучение математических моделей возможно при помощи
разных формальных языков.
Совершенные модели в современной технике создаются последовательным
приближением. У. Моррис [45] по этому поводу пишет: «Процесс усовершен¬
ствования моделей полезно рассматривать как процесс их постепенного обо¬
гащения или проработки. Начинают обычно с самых простых моделей, сильно
отличающихся от действительности, а затем пытаются двигаться эволюцион¬
ным путем к более совершенным моделям, точно отражающим сложность си¬
туации управления».
Таким образом, качество математической модели находится
в прямой зависимости от качества физической и расчетной моде¬
лей, на которых она основана. Необходимо создавать три вза-
имоотображающих и последовательно включающихся уровня
исследования: физические, расчетные и математические модели.
В основу описания физических моделей необходимо положить
современные теоретические и экспериментальные результаты об
исследуемом процессе; расчетные модели должны включать упо¬
рядоченную последовательность обоснованных аппроксимаций
описания физических моделей; математические модели должны
описываться современной математикой.
Как отмечено выше, математические модели определяются на основе син¬
теза физических и расчетных моделей. Затем основное внимание уже кон¬
центрируется на математическом описании расчетных моделей, т. е. на по¬
строении корректных математических моделей. Задачей исследования мате¬
матических моделей реальных систем занимается теория систем [46, 47].
Следует также отметить, что разработка корректных математических моде¬
лей имеет самостоятельное значение и требует специальных и углубленных
методов исследования.
В свою очередь, в процессе разработки математических моде¬
лей, как правило, прибегают к различного рода упрощениям. Не¬
редко для упрощения дифференциальных, интегральных и других
уравнений исследователь пренебрегает теми или иными членами
уравнения, считая, что эти операции не оказывают существенно¬
го влияния на конечный результат.
Однако такие операции могут привести к глубокому качествен¬
ному изменению динамического поведения системы. Более того,
всякие упрощающие математические объекты операции могут
иметь более глубокие последствия вплоть до того, что получен¬
ная математическая модель вообще не будет иметь решения.
С этой точки зрения большое значение приобретают современные
методы функционального анализа и топологии.
Например, такой мощный топологический метод доказательства суще¬
ствования решений операторных уравнений, как метод неподвижной точки,
дает возможность ответить на вопрос, до какой степени возможна «дефор¬
мация операторов», при которой решение рассматриваемых операторных урав¬
нений еще существует.
15
В качестве другого примера можно указать на использование теорем
сравнения [48, 49], дающих оценки погрешностей приближенных решений
операторных уравнений при тех или иных упрощениях этих уравнений.
Не останавливаясь более подробно на этих вопросах, укажем
на методы [48, 49], которые могут быть эффективно использова¬
ны при качественном анализе математических моделей.
Вопрос о взаимосвязи физических и математических моделей
рассматривается с различных точек зрения. В частности, особое
внимание обращается на наличие взаимообратных связей между
физическими, расчетными и математическими моделями и на
эволюционный характер развития моделей.
Области естествознания оказывают взаимное влияние друг на
друга, стимулируя исследования в каждой из упомянутых обла¬
стей. Таким образом, приходим к необходимости рассматривать
общую структурную схему с обратными связями, в которой тео¬
рия систем, выступая в роли самостоятельной дисциплины, явля¬
ется необходимым промежуточным и связывающим звеном меж¬
ду современной математикой (и ее методами), с одной стороны,
и естественными дисциплинами — с другой. Следовательно, тео-
fHio систем надо рассматривать как науку о расчетных моделях
39, 42].
В этом отношении история развития науки полна поучительных приме¬
ров. Нередко, для того чтобы установить внутреннюю содержательную связь
между различными явлениями или процессами, пытаются прежде всего уста¬
новить такую связь между математическими моделями этих явлений или про¬
цессов. Так, например, длительное время пытались найти связь между ма¬
тематической моделью феноменологической термодинамики и математической
моделью классической механики. История этого вопроса весьма поучитель¬
на. Здесь прежде всего следует заметить, что даже один из основателей тер¬
модинамики Г. Клаузиус полагал, что молекулярно-кинетический подход в
термодинамике дает возможность свести саму термодинамику к механике.
Другими словами, Г. Клаузиус считал, что тепловое движение молекул в телах
может быть сведено к чисто механическому процессу. Мысль о том, что основ¬
ные законы термодинамики могут быть выведены не только из механики
движения молекул в телах, но также и из статистических представлений, не
вытекающих из механики, была совершенно чужда Г. Клаузиусу. Этой же
проблемой занимались многие другие ученые. Здесь следует отметить работы
Г. Гельмгольца, который пытался вывести основные принципы термодинамики
из уравнений Лагранжа для консервативных систем. Однако неудовлетвори¬
тельность попыток Г. Гельмгольца вскоре была установлена. Правильное ре¬
шение было дано Л. Больцманом, который привлек не вытекающие из ме¬
ханики статистические представления. Лежащая в основе теории Больцмана
//-теорема изложена в [50]. Сущность вопроса заключается в том, чтобы
совместить микроскопическую обратимость, вытекающую из уравнений клас¬
сической механйки, с наблюдаемой на опыте макроскопической необратимо¬
стью. Из приведенного примера видно, сколь сложной оказывается связь
между математической моделью термодинамики и классической механики.
16
В качестве другого примера рассмотрим историю возникновения основной
математической модели квантовой механики. Здесь почти одновременно были:
предложены Г. Гейзенбергом матричная форма основных уравнений кванто¬
вой механики и Э. Шредингером волновая форма квантовой механики (вол¬
новое уравнение Шредингера). Только через два года после опубликования свое¬
го уравнения Э. Шредингер показал полную математическую эквивалентность,
модели Гейзенберга и его модели.
Вместе с тем до установления факта эквивалентности обеих моделей
между сторонниками моделей Гейзенберга и Шредингера шли острые дис¬
куссии. Утверждалось даже, что те физические явления, которые можно
объяснить на основе модели Гейзенберга, невозможно объяснитьна основе
модели Шредингера. Так сам Гейзенберг пцсал [51]: «Мы с Паули усиленно*
обсуждали теорию Шредингера. Признавая в первую очередь большой мате¬
матический прогресс, мы относились скептически к физической интерпрета¬
ции. Меня очень беспокоила попытка сделать физическим основанием теории
волновые представления. В письма*, написанных летом 1926 г., читаем:
„Чем больше я размышляю о физической части теории Шредингера, тем ужас¬
нее она мне кажется. Ведь Шредингер просто выбрасывает за борт все кван¬
товотеоретическое, т. е. фотоэлектрический эффект, ионизационные толчки
Франка, опыты Штерна — Герлаха и т. д. После этого нетрудно построить тео¬
рию; однако она-то и не согласуется с опытом, большое достижение теории
Шредингера состоит в вычислении матричных элементов**».
Приведенные примеры показывают, сколъ трудной оказывается зачастую
правильная содержательная (физическая) интерпретация математических мо¬
делей. Большое значение в этом случае имеют глубина и сила интуиции,,
эрудиция исследователя.
Здесь уместно привести высказывания Р. Фейнмана [52] о смысле под¬
линного понимания физической теории: «Математики или люди с математи¬
ческим складом ума часто при „изучении** физики теряют физику из виду и
впадают в заблуждение. Они говорят: «Послушайте, эти дифференциальные
уравнения — уравнения Максвелла — ведь это все, что есть в электродинами¬
ке; ведь сами физики признают, что нет ничего, что бы ни содержалось в этих
уравнениях. Уравнения эти сложны; ладно, но это всего лишь математиче¬
ские уравнения, и, если я разберусь в них математически, я разберусь и в.
физике». Но ничего из этого не выходит. Математики, которые подходят к фи¬
зике с этой точки зрения, а таких очень много, обычно не делают большого
вклада в физику, да, кстати и в математику. Их постигает неудача оттого,
что настоящие физические ситуации реального мира так запутаны, что нужно
обладать гораздо более широким пониманием уравнений.
П. Дирак объясняет, что значит действительно понять уравнение — по¬
нять, не ограничиваясь его строгим математическим смыслом. Он сказал:
«Я считаю, что понял смысл уравнения, если в состоянии представить себе
общий вид его решения, не решая его непосредственно. Значит, если у нас
есть способ узнать, что случится в данных условиях, не решая уравнения не¬
посредственно, мы „понимаем** уравнения в применении к этим условиям.
Физическое понимание — эго нечто неточное, неопределенное и абсолютно
не математическое, но для физика оно совершенно необходимо».»
Следует подчеркнуть, что точно с такой же ситуацией имеем дело при
интерпретации формальных моделей систем управления [ЗѲ02].
17 ■ ;; 1
К указанным словам Р. Фейнмана следует добавить, что речь идет, ко¬
нечно, не об абстрактно-математическом, а о физически содержательном пред¬
ставлении решений уравнений математической модели, на что уже обращалось
внимание.
Отметим также, что всякая формализация, необходимая для
создания моделей явлений и процессов, неизбежно связана с бо¬
лее или менее далеко идущим упрощением реальных ситуаций.
Поэтому множество возможных содержательных (физических)
интерпретаций математических моделей, которое обозначим че¬
рез Мф, всегда является подмножеством возможных реальных
ситуаций, описываемых данной математической моделью, кото¬
рое обозначим через М. Другими словами, имеет место соотноше¬
ние ЛІфСіЛІ.
Однако любому элементу из множества М можно сопоставить
некоторый элемент из множества 7ИФ и обратно только прибли¬
женно с определенной степенью нечеткости (или неопределен¬
ности) .
Следовательно, введение содержательной интерпретации дает
возможность установить способ физической реализуемости ма¬
тематической модели.
Поэтому, согласно [39, 42], более корректным и более общим
определением математической модели следует считать определе¬
ние: математическая модель это формальная система, представ¬
ляющая собой конечное собрание символов и совершенно стро¬
гих правил оперирования этими символами в совокупности с
интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми от¬
ношениями, символами или константами этой системы.
Подчеркиваем еще раз, что совокупность символов констант и отноше¬
ний представляет собой абстрактный математический объект и именно со¬
держательная (физическая) интерпретация делает его математической мо¬
делью реального объекта.
В эволюционном развитии математических моделей преследуется сле¬
дующая цель: необходимо стремиться к такому расширению множества Мф,
чтобы между элементами множеств М и Мф в конечном счете реализовалось
однозначное соответствие, т. е. степень нечеткости (или неопределенности)
при сопоставлении элементов множеств М и ЛІФ была возможно меньшей
(в пределе равной нулю). Практически эта цель недостижима, если учесть
бесконечную сложность, разнообразие и неисчерпаемость реальных явлений и
процессов.
История науки показывает, что в триаде физическая — расчетная — мате¬
матическая модели рассмотрение иногда -Начинают не с физической, а с ма¬
тематической модели (математической гипотезы), для которой только на сле¬
дующем этапе ищется физическая интерпретация. Так, например, когда
Э. Шредингер предложил свое знаменитое уравнение, смысл входящей в него
волновой функции был совершенно неясен. Интерпретация этой функции самим
Э. Шредингером как облака отрицательного заряда оказалась неверной.
В частности, дискуссии о подлинной физической интерпретации математи¬
ческих моделей квантовой теории продолжаются до настоящего времени.
18
Становление физических, расчетных и математических моде¬
лей происходит в условиях существования сложных взаимооб-
ратных связей. В тех случаях, когда рассмотрение начинается с
построения математической модели, содержательная интерпре¬
тация этой модели не всегда оказывается возможной в рамках
существующего языка, т. е. в рамках семантического значения
терминов этого языка. В этих случаях требуется существенное
расширение семантического значения терминов языка или даже
коренная ломка существующих понятий и введение новых ранее
не существовавших понятий.
По этому поводу В. Гейзенберг отмечает [51]: «Как целое атомные
явления не могут быть непосредственно описаны нашим языком. Свет и ма¬
терия суть единые физические явления; их кажущаяся двойственность воз¬
никает вследствие существенной ограниченности нашего языка..., нет ничего-
удивительного в том, что наш язык не пригоден для описания атомных про¬
цессов; ибо наши понятия исходят из опытов повседневной жизни, в которой,
мы постоянно имеем дело с большим количеством атомов и никогда не наблю¬
даем отдельных атомов. Для атомных процессов у нас, таким образом, нет
наглядного представления. Для математического описания явлений, к счастью,,
такая наглядность вовсе не нужна; мы обладаем математической схемой кван¬
товой механики, которая согласуется со всеми экспериментами атомной физи¬
ки. Если же, несмотря на это, желают перейти от математики к наглядному
описанию явлений, то приходится довольствоваться неполными аналогиями, ко¬
торые нам дают волновая и корпускулярная картины».
Таким образом, история науки показывает, что ее развитие
не носит гладкого и спокойного характера, которое могло бы
быть сведено к некоторым формальным схемам. В действитель¬
ности для развития науки характерно возникновение кризисных
или пограничных ситуаций, преодоление которых достигается
революционным путем, т. е. путем создания новых теорий и поня¬
тий, которые не могли бы быть формально выведены из сущест¬
вующих понятий и теорий. Следует особо подчеркнуть, что даже
новые экспериментальные результаты не могут непосредственно-
подсказать пути создания необходимых новых понятий и пост¬
роения новых теорий.
В [43, с. 432] А. Эйнштейн по этому поводу замечает: «Опыт никогда не
скажет теории «да», но говорит в лучшем случае «может быть», большей же
частью — просто «нет». Когда опыт согласуется с теорией, для нее это означа¬
ет «может быть»; когда же он противоречит ей, объявляется приговор: «нет»».
В самом деле, хорошо известно диалектическое положение,,
согласно которому всякая теория нуждается в результатах эк¬
спериментов и наблюдений и в то же время понимание самих ре¬
зультатов экспериментов невозможно без теории. Выход из этого
замкнутого круга может быть достигнут только способностью-
исследователя к диалектическому мышлению и его интуицией.
Творческая деятельность исследователя особенно ярко проявля¬
19
ется в расширении и уточнении содержания существующих поня¬
тий или в создании новых понятий, необходимых для содержа¬
тельной интерпретации новых математических моделей.
1.3. Проблема Вундгейлера
и некоторые общие вопросы теории моделей
релятивистских и квантовых
динамических систем
1.3.1. О проблеме Вундгейлера (53, 54]. В докладе А. Вундгейле¬
ра [53] на I Международной конференции по тензорной диффе¬
ренциальной геометрии и ее приложениям (Москва, 17—23 мая
1934 г.) было обращено внимание на то, что «1) Всякое выраже¬
ние (соответственно всякая система уравнений) может быть за¬
писано в инвариантном виде и притом относительно любой груп¬
пы преобразований, если оно задано в некоторой специальной
системе координат. Существует ли общий метод для получения
этого инварианта?».
А. Вундгейлер в частности указывает, что «...уравнения Мак¬
свелла могут быть представлены в инвариантной форме относи¬
тельно галилеевой группы (выделено А. Вундгейлером).
Точно так же ньютоновы уравнения движения можно считать
инвариантными относительно общих преобразований простран¬
ства и времени. Это достигается введением нового объекта, „век¬
тора времени”».
В связи с изложенным отметим, что 3. Картан в [55] ввел
понятие тензора «количество движения — энергии», что дало ему
возможность сформулировать метод получения общековариант¬
ных уравнений как в классической, так и релятивистской обла¬
стях. Так, Картан пишет [55]: «Уравнения Лагранжа (Lagrange)
позволяют дать законам механики форму, не зависящую от уста¬
новленной в пространстве координатной системы (курсив Э. Кар-
тана), и в этом заключается их значение. Но время еще играет в
них особую роль. Напротив, принцип сохранения количества дви¬
жения и энергии дает законам механики форму, не зависящую от
системы референции, принятой для вселенной (пространство —
время): если производят замену переменных, относящуюся од¬
новременно (курсив Э. Картана) к параметрам положения си¬
стемы и ко времени, то достаточно иметь выражение тензора
„количество движения — энергии” в новой системе координат,
чтобы вывести из него уравнения движения. Таким образом, по¬
лучается схема, которой должны подчиняться все механические
теории и которой действительно подчиняется и релятивистская
механика». ,
Этот вопрос обсуждался подробно также в работах В. А. Фо¬
ка [56], Дж. Л. Синджа [57].
В связи с изложенным А. Вундгейлер формулируе-т второй
важный вопрос [53]: «2) евклидова геометрия рассматривается
20
как теория инвариантов ортогональной группы (аффинная —
как теория инвариантов преобразований пространства и времени
и т. д.). Каким образом это согласуется с фактами, изложенными
в абзаце 1)?» ѵ ѵ
Будем называть вопросы подобного рода проблемой Вундгей-
лера.
Аналогичные идеи были высказаны В. А. Фоком [56]: «Осо¬
бенно большое значение принято придавать ковариантности урав¬
нений ...Ковариантность уравнений позволяет писать их, не пред¬
решая выбора координатной системы. Кроме того, требование ко¬
вариантности уравнений имеет большое эвристическое значение,
так как ограничивает разнообразие формы уравнений и тем са¬
мым помогает отобрать из них правильные. Необходимо, одна¬
ко, подчеркнуть, что это ограничение имеет место при обязатель¬
ном условии, что ограничивается также и число вводимых функ¬
ций, если же допустить введение любого числа новых вспомога¬
тельных функций, то практически любым уравнениям можно
придать ковариантную форму. Таким образом, сама по себе ко¬
вариантность уравнений отнюдь не является выражением како¬
го-либо физического закона».
Как связать это утверждение с известным положением, что
законы сохранения являются следствием ковариантности урав¬
нений относительно определенных групп преобразований? Таким
образом, имеет место следующая схема [56] :
Группа преобразования, относительно которой
инвариантны уравнения теории Закон сохранения
Трасляция во времени
Пространственная трансляция
Повороты
Энергия
Импульс
Момент импульсг
Общая теория связи между инвариантностью и законами
сохранения в вариационном исчислении принадлежит Э. Нетер
и Ф. Клейну [58], опубликовавшим свои работы в 1918 г. Вме¬
сте с тем еще в 1908 г. Е. и Ф. Коссер показали, что законы сох¬
ранения энергии, количества движения и момента количества
движения являются необходимыми и достаточными условиями
инвариантности гамильтониана упругой среды по отношению к
группе евклидовых движений [58].
Подробное изложение этих результатов Коссера можно най¬
ти, например, в работе Р. А. Тупина [59].
1.3.2. Математические аспекты проблемы Вундгейлера. В
упомянутом докладе [53] А. Вундгейлер показал, что действи¬
тельно всякая система уравнений может быть приведена к фор¬
ме, ковариантной относительно любой заданной группы преоб¬
разований только введением некоторых дополнительных вспо¬
»1
могательных функций, т. е. расширением описания исходного
математического объекта.
Уже отмечалось, что классическая механика Ньютона может
быть сделана ковариантной относительно любой группы преоб¬
разований координат и времени путем введения нового допол¬
нительного объекта, например, «вектора времени».
В [53] А. Вундгейлер изложил общий метод, дающий воз¬
можность в соответствии с отмеченным расширить таким обра¬
зом исходную группу объектов, чтобы заданная система урав¬
нений стала ковариантной относительно любой заданной груп¬
пы преобразований координат. А. Вундгейлер следующим обра¬
зом поясняет сказанное выше: «Из всего изложенного выше, по¬
видимому, вытекает, что одно только требование инвариант¬
ности некоторого выражения относительно заданной группы
пребразований оставляет его еще неопределенным, и именно
в том смысле, что в заданной специальной системе координат
оно остается совершенно произвольным. Эта неопределенность
уничтожается, если еще задается, какие объекты могут быть ис¬
пользованы для образования этого выражения.
Итак, к описанию класса инвариантов относятся две задачи:
1) группа ®; 2) объекты Q. Таким образом, мы можем ввести
выражение {®, Q} в качестве символа класса инвариантов.
Если мы расширим группу ® до более обширной группы @\
то все инварианты могут быть представлены, следуя изложен¬
ному выше методу, как инварианты группы ®', а именно введе¬
нием новых объектов, образующих вместе с прежними объект
Q'. Значит, можно символически записать {®, Q} = {®/, Q'}.
Итак, одна и та же теория инвариантов может быть охарак¬
теризована различным образом. Мы объясним это на примере
геометрии. Следуя Клейну, мы получаем геометрию с евклидо¬
вой метрикой, с одной стороны, если за группу © возьмем ор¬
тогональную группу (с независящими от точки коэффициента¬
ми) , за Q — только координаты хі точки. С другой стороны, мы
можем получить эту же геометрию, выбирая в качестве группы
6 аффиную группу, а в качестве Q — координаты х* и тензор gik
(с независящими от точки компонентами); или мы можем еще
взять голономную линейную группу (1х1=акЧ1х\ где а\ суть
функции точки, а в качестве Q — величины dx* и компоненты
тензора gih, зависящие от точки и удовлетворяющие некоторым
известным соотношениям.
С этой точки зрения каждая геометрия является функцией
двух переменных: группы и объекта. Различные «пары значений»
этих переменных могут давать одну и ту же геометрию. С этим
связан ряд проблем, например, проблема наиболее целесообраз¬
ной характеристики данной геометрии».
Эта цитата из работы А. Вундгейлера характеризует, по его
мнению, уточнение понятия инвариант. Далее А. Вундгейлер
пишет: «Подобным же образом ньютонова механика может
быть охарактеризована, во-первых, галилеевой группой с коорди¬
22
натами точки в качестве объекта или, например, общей груп¬
пой пространства и времени и вышеупомянутым объектом Го¬
рака. Нами даны и другие характеристики для этой же механи¬
ки. Правильное определение теории относительности было бы —
в связи с этим кругом идей — таково: совокупность физических
законов, инвариантных относительно преобразований простран¬
ства и времени и составленных исключительно при помощи ко¬
ординат событий и некоторого (метрического) тензора (в ка¬
честве объекта)».
Таково разъяснение проблемы Вундгейлера, данное самим
автором.
Вместе с тем, оставаясь даже в рамках математического
рассмотрения проблемы, необходимо отметить следующее.
Когда Вундгейлер утверждает, что уравнения Максвелла
можно сделать ковариантными относительно группы преобра¬
зований Галилея, то он делает это, как выше отмечалось, за
счет введения новых вспомогательных функций (нового объек¬
та). Но здесь возникает вопрос: не будет ли в результате тако¬
го расширения объекта новая система уравнений уже не иметь
ничего общего с уравнениями Максвелла? Ясно, что на любое
расширение объекта рассматриваемой теории должны быть на¬
ложены какие-либо ограничения, так же как и на расширение
соответствующей группы преобразований.
В приведенном Вундгейлером примере с геометрией Клейна
действительно имеем дело с одной и той же евклидовой геомет¬
рией. Дело в том, что указанные Вундгейлером расширения
группы ортогональных преобразований с независящими от точ¬
ки коэффициентами являются представлениями этой группы, а
расширение объекта евклидовой геометрии можно рассматри¬
вать как различные представления исходного объекта этой гео¬
метрии, рассмотренные Вундгейлером.
Тогда действительно различные представления пары {®, Q}
группа — объект будут эквивалентны друг другу.
Что же касается примера с уравнениями Максвелла, то име¬
ем дело с совершенно другой ситуацией, так как группа Гали¬
лея не является представлением группы Лоренца, а расширен¬
ный А. Вундгейлером объект за счет введения новых функций
не является представлением объекта Максвелла, т. е. антисим¬
метричного тензора второй валентности.
Вместе с тем принцип сохранения количества движения и
энергии, введенный Э. Картаном, дает уравнениям классиче¬
ской механики форму, ковариантную относительно общей груп¬
пы преобразований координат и времени. При этом никакого
нового объекта не вводится, кроме компонент gik метрического
тензора криволинейной системы координат.
В свою очередь, К. В. Меликов в [60] показал, что канони¬
ческие уравнения Гамильтона остаются ковариантными при
канонических преобразованиях, охватывающих не только коор¬
23
динаты и импульсы системы, но и время. При этом нового
объекта также не вводится.
Из изложенного следует, что в рассматриваемом случае
имеем две совершенно различные ситуации. В первом случае
как уравнениям Максвелла, так и уравнениям классической ме¬
ханики можно придать ковариантный вид относительно любой
группы преобразований за счет введения новых вспомогатель¬
ных функций (новых объектов) в исходные уравнения. Но, как
отмечалось, при этом можно получить по существу новые урав¬
нения, а не обобщение старых уравнений при новых преобразо¬
ваниях системы пространство — время.
Во втором случае, рассмотренном Э. Картаном [55] и
К. В. Меликовым [60], имеем действительно обобщение (без:
введения дополнительных объектов, кроме компонент метриче*
ского тензора gih) уравнений классической механики для обще¬
го преобразования пространственно-временных координат или
для касательных преобразований, охватывающих не только ко¬
ординаты и импульсы, но и время. Еще раз следует подчерк¬
нуть, что здесь имеем дело с действительным обобщением клас¬
сических уравнений механики, так как никаких новых объектов
в эти уравнения по существу не вводится.
Здесь следует сделать ряд существенных замечаний.
1. Когда речь идет о классической механике Ньютона, то это значит, что
независимо от принятой в пространстве-времени системы координат 4-мерный
континуум должен быть евклидовым, т. е. при всех вещественных преобразо¬
ваниях координат он должен иметь определенно-положительную квадратиче¬
скую форму (см. гл. 2)
ds2>0 (1.1)
и компоненты тензора Римана-Кристоффеля (см. гл. 3 и Приложение 1) долж¬
ны тождественно равняться нулю, т. е.
/?І/іПТП = 0. (1*2)
Никакими вещественными преобразованиями координат в рамках меха¬
ники Ньютона эти требования не могут быть нарушены.
Кроме того, в рамках любой общековариантной формулировки механики
Ньютона должно существовать преобразование координат, приводящее к рас¬
слоению 4-мерного пространственно-временного континуума на 3-мерное евкли¬
дово пространство и инвариантное время. При этом полностью сохраняется с
математической точки зрения полнота описания процессов, рассматриваемых в
классической механике Ньютона. Наоборот, если путем введения новых
объектов в классическую механику указанные выше требования (1.1), (1.2)
нарушаются, то имеем в этом случае дело с новой системой, которая не тож¬
дественна классической механике Ньютона.
2. В механике специальной теории относительности (СТО) имеем дело с
другими фундамёнтальными требованиями. Во-первых, существуют три воз¬
можности, соответствующие введению пространственно-подобных, времени¬
24
подобных и изотропных мировых линий:
ds2>0; ds2<0; ds2=0. (13)
Во-вторых, требование (1.2) сохраняется, т. е. пространство-время остается
плоским, но носит псевдоевклидов характер.
3. При переходе к общей теории относительности (ОТО) сохраняется тре¬
бование неопределенности квадратичной формы (1.3) и, кроме того, по край¬
ней мере некоторые компоненты тензора Римана — Кристоффеля должны быть
отличны от нуля, т. е.
RiKnm^O. U'4)
Таким образом, между механикой Ньютона, СТО и ОТО существуют глу¬
бокие принципиальные различия уже на уровне математических моделей. Дру¬
гими словами, новые объекты (например, введение метрического тензора gik
системы криволинейных координат) не должны нарушить фундаментальных
требований (1.1) —(1.4). При выполнении этих требований невозможно ника¬
кими преобразованиями координат превратить механику Ньютона в СТО, а
СТО в ОТО. Если ввести, например, в классическую механику Ньютона в ка¬
честве объекта метрический тензор gik, нарушающий требование (1.2), то по¬
лучим уже не механику Ньютона. ,
Поэтому А. Вундгейлер неправ, когда утверждает: «Правильное определе¬
ние теории относительности было бы — в связи с этим кругом идей — таково:
совокупность физических законов, инвариайтных относительно преобразова¬
ний пространства и времени и составленных исключительно при помощи коор¬
динат событий и некоторого (метрического) тензора (в качестве объекта)».
Приведенное утверждение было бы правильно по отношению к классиче¬
ской механике Ньютона, если бы выполнялись условия (1.1), (1.2), т. е.
ds2>0, Riknm = 0 и пространственно-временной контицуум допускал расслое¬
ние на 3-мерное евклидово пространство и инвариантное время. Определение
ОТО, данное А. Вундгейлером, совершенно неприменимо, если не выполнены
фундаментальные условия (1.3), (1.4). В. этом заключается принципиальное
различие рассматриваемых теорий.
Следовательно, расширение объекта в смысле Вундгейлера
допустимо до тех пор, пока Н£ нарушаются основные положе¬
ния рассматриваемой теории. Если эти требования нарушаются,
то, по существу, мы переходим от рассматриваемой теории к
другой теории. То же самое можно утверждать относительно
уравнений Максвелла.
Как отмечалось, А. Вундгейлер прав в своих рассуждениях
до тех пор, пока вводимые расширения исходной группы явля¬
ются представлениями исходной группы преобразований, а
вновь вводимый объект-является представлением исходного
объекта.
Таковы математические аспекты проблемы Вундгейлера.
Однако важнейшее значение имеют физические аспекты рас¬
сматриваемой проблемы.
25
1.3.3. Физические аспекты проблемы Вундгейлера. Поясним
физические аспекты рассматриваемой проблемы следующими
примерами.
Пусть Fih имеет физический смысл напряженности электро¬
магнитного поля, а х1, X2, X3, х° — физический смысл координат
и времени в псевдоевклидовом пространстве СТО. Другими сло¬
вами, предположим, что указанные величины могут быть из¬
мерены методами, вытекающими из содержательной физической
сущности теории относительности и теории электромагнитного
поля.
В этом случае напряженности электромагнитного поля Fih
должны удовлетворять только уравнениям Максвелла, только им
и никаким другим. Введение в эти уравнения дополнительных
функций лишь разрушит их физическую интерпретацию, изла¬
гаемую в современной физике.
Таково физическое разъяснение проблемы Вундгейлера при¬
менительно к уравнениям Максвелла.
Переменные в рассмотренных выше моделях Картана и Ме¬
ликова суть просто аналитические функции действительных про¬
странственных координат и времени. Причем все события в этих
системах продолжают разыгрываться в плоском 3-мерном евк¬
лидовом пространстве и времени, являющимся инвариантом.
Другими словами, это просто своеобразная параметризация,
вводимая вместо переменных х1, х2, х3 и /, применяемых в клас¬
сической механике.
Однако в ОТО имеем дело с искривленным или римановым
4-мерным пространственно-временным континуумом, который
не может быть «расслоен» на плоское 3-мерное евклидово про¬
странство и инвариантное время никакими преобразованиями
координат. В этом заключается, как отмечалось, глубокое раз¬
личие между теорией относительности и классической механи¬
кой Ньютона.
Вместе с тем физические аспекты рассматриваемой пробле¬
мы дают полное ее решение. Поэтому подчеркнем еще раз, что
определять теорию относительности как теорию инвариантов
общей группы преобразований пространства и времени, как это
делает А. Вундгейлер, неправильно.
Одновременно следует заметить, что приведенное выше утверждение
В. А. Фока о том, что «сама по себе ковариантность уравнений отнюдь не
является выражением какогО’Либо физического закона», нельзя считать в
свете изложенного правильным. В действительности требование ковариантно¬
сти любых уравнений физики относительно соответствующих групп преобра¬
зований само по себе является физическим законом. В другом месте сам
В. А. Фок [56] утверждал: «Любая теория, кроме явно нелепой, должна быть
ковариантной».
Из изложенного следует, что при рассмотрении реальный
процессов управления физическими системами нельзя ограни¬
чиваться анализом чисто математических моделей без парал¬
26
лельного анализа физической сущности рассматриваемых про¬
цессов. Это замечание имеет особое значение при исследовании
процессов управления релятивистскими и квантовыми объекта¬
ми.
В связи с этим следует также подчеркнуть роль термодина¬
мического подхода к анализу релятивистских и квантовых
объектов.
Любопытно отметить здесь высказывание А. С. Эддингтона по этому пово¬
ду: «Закон возрастания энтропии — второй закон термодинамики — занимает,
я думаю, высшее положение среди других законов природы. Если кто-нибудь
указывает вам, что ваша любимая теория вселенной находится в несоответ¬
ствии с уравнениями Максвелла — тем хуже для уравнений Максвелла. Если
обнаруживается, что она противоречит результатам наблюдения — ничего,
экспериментаторы тоже иногда ошибаются. Но ес^іи обнаружится, что ваша
теория противоречит второму закону термодинамики, вам не на что надеяться,
вашей теории не остается ничего другого, как погибнуть в глубочайшем сми¬
рении».
Для классических систем управления результаты исследова¬
ний в этом направлении можно найти в работах [39, 42].
1.3.4. Объекты релятивистской и квантовой теорий динами¬
ческих систем. В п. 1.3.1 настоящей главы была изложена проб¬
лема А. Вундгейлера. Один из важнейших результатов этой ра¬
боты заключается в том, что задание только одной группы пре¬
образований, относительно которой должны быть инвариант¬
ны уравнения любой теории без точно сформулированного опре¬
деления объекта этой теории, является совершенно недостаточ¬
ным не только для последовательного изложения физической
теории, но даже и ее математической модели. Примеры, приве¬
денные А. Вундгейлером, хорошо иллюстрируют это положение.
Итак, всякая физическая теория (а следовательно, и ее ма¬
тематическая модель) должна состоять из двух «переменных»:
объекта теории Q и группы преобразований @, или в символике
Вундгейлера ее можно записать в виде {Q, ®}.
Что касается группы преобразований ®, то в релятивистской
квантовой теории это будет в общем случае неоднородная груп¬
па Лоренца (группа Пуанкаре) и все ее представления, необхо¬
димые для преобразования различных тензорных или спинор¬
ных полей.
Как известно, теория представлений групп хорошо разрабо¬
тана и, в частности, для группы Лоренца [61—66]. Аналогич¬
ная ситуация имеет место в дорелятивистской квантовой теории
по отношению к группе Галилея. Однако что касается объекта
Q в физической теории, то требование Вундгейлера о его пол¬
ном и однозначном определении во многих работах не выпол¬
няется.
Основная мысль работы А. Вундгейлера о том, что нельзя
разыскивать инварианты любой заданной группы преобразова¬
27
ний без точной формулировки объекта, к которому данная груп¬
па применяется, далеко не всегда учитывается. -
Поэтому если в качестве объекта рассмотреть встречающиеся
в физике поля, то легко убедиться, что в зависимости от физи¬
ческих особенностей этого поля к нему как к объекту должны
применяться различные общие требования. Поясним это приме’
рами.
В физике существуют поля, связанные с переносом энергии, импульса и
информации. Естественно, что в релятивистской физике такие поля не могут
распространяться со скоростью, превышающей скорость света. Однако, как
хорошо известно, [67, 7], в физике существуют поля, не связанные с перено¬
сом ни энергии, ни импульса, а следовательно, и информации. В качестве при¬
мера такого поля можно указать на действие S = S(xl, х2, х3, х°). Дело в том,
что перемещение поверхности S = const не связано с перемещением какой-либо
частицы в континууме движущихся экземпляров, движение которого в целом
описывает функция S. Более точно производные функции по координатам
д81дх'=р1 дают значение компонент вектора энергии-импульса частицы, на¬
ходящейся в данный момент времени t в данной точке пространства. В дру¬
гой момент времени компоненты вектора дЗ/дх' = р{ в той же точке простран¬
ства относятся уже к другой частице. Таким образом, уравнение Гамильто¬
на—Якоби (см. подробнее гл. 2) дает описание потока невзаимодействующих
тождественных частиц в эйлеровом, а не в лагранжевом представлении
(в смысле классической гидродинамики).
В ньютоновской (дорелятивистской) механике для частицы, движущейся
в консервативном поле, имеем /7=const, но из уравнения Гамильтона—Якоби
следует dSldt = —H. Однако никакого противоречия здесь нет. Первое уравне¬
ние относится к одной и той же частице, за движением которой производится
наблюдение; второе уравнение относится к точке пространства, через которую
в различные моменты времени проходят различные частицы. Поэтому уравне¬
ния Гамильтона—Якоби описывают поток невзаимодействующих тождествен¬
ных частиц, которые в момент времени / = 0 заполняют непрерывным образом
6-мерное пространство координат и импульсов и, следовательно, имеют различ¬
ное значение энергии.
В свете изложенного нет ничего удивительного, что поверхность действия
S = const распространяется в релятивистской механике со скоростью, превы¬
шающей скорость света. Подробнее это обстоятельство изложено ниже в гл. Зг
а также в [7].
Будем в дальнейшем физические поля, рассматриваемые как
объекты, называть объектами первого рода, если распростране¬
ние фронта волны такого поля связано с переносом энергии-
импульса, а следовательно, и информации. Аналогично этому,
если в физической теории встечаются поля, которые непосредст¬
венно не связаны с переносом энергии-импульса, а следователь¬
но, и с передачей информации, то такие поля будем называть
объектами второго рода.
Переходя к квантовой теории, заметим, что если поле волно¬
вых функций ф (или, точнее, фф) непосредственно описывает пе¬
ренос энергии и импульса рассматриваемой частицы (в приня¬
28
том в квантовой механике смысле), то оно должно быть объек¬
том первого рода.
Остановимся теперь на других свойствах этого поля.
Для частицы со спином s, как известно, может быть (2$ +
+ 1) различных ориентаций этой частицы в пространстве. По¬
скольку эти ориентации совершенно равноправны, то они долж¬
ны описываться тоже равноправными (в определенном смысле,
который будет установлен ниже), независимыми решениями со¬
ответствующих квантовых уравнений. Если допустить, что эти
уравнения описывают также и античастицы, то волновая функ¬
ция ф должна иметь в общем случае 4s+ 2 равноправных ком¬
понент. Естественно считать компоненты равноправными, если
при преобразовании координат все они преобразуются по одно¬
му и томў же закону. Другими словами, поле ф должно описы¬
ваться каким-либо одним тензором или спинором данной ва¬
лентности. Но оно не может описываться никакими комбина¬
циями тензорных полей различной валентности, спинорных по¬
лей различной валентности или их комбинаций.
Следует также отметить, что уравнения, описывающие кван¬
товые поля, должны быть не только релятивистски инвариант¬
ными, но ,и симметричными по отношению к координатам про¬
странственно-временного континуума или операторам р{=д!дх\
і=1,2, 3, 0.
Указанные выше требования инвариантности и симметрии
неравнозначны друг другу. Это обстоятельство было особенно
подчеркнуто Луи де Бройли [68] при рассмотрении уравнений
Дирака.
Таковы общие требования, которые необходимо предъявлять
к квантовым и релятивистским полям в смысле проблемы Бунд-?
гейлера [69].
В последующих главах на конкретных примерах будет про¬
иллюстрировано применение сформулированных требований к
объектам квантовой теории.
1.4. О качественной теории моделей
процессов управления
В теории управления одной из основных проблем является за¬
дача построения корректных моделей динамических систем вы¬
сокого уровня сложности и разработка качественных методов
анализа процессов управления такими системами. При построе¬
нии корректных моделей сложных систем на основе количест¬
венных методов становится практически невозможным (а с точ¬
ки зрения построения и реализации алгоритма управления часто
невыполнимым) сформулировать на физическом и математиче¬
ском уровнях точные и строгие утверждения об исследуемой си¬
стеме в целом. Следует одновременно отметить, что практиче¬
ски любое значимое утверждение о свойствах и состоянии
сложной системы является, как правило, качественным по своей
29
природе. Причем необходимость в качественном анализе суще¬
ственно возрастает по мере роста сложности исследуемой си¬
стемы управления.
Использование качественных методов анализа во многих
случаях позволяет получить необходимую информацию для
-формирования оптимальных алгоритмов управления сложны¬
ми системами и несет в ряде случаев большую информацию о
системе, что позволяет значительно расширить возможность тео¬
рии управления.
В теории управления такая ситуация уже имела место, например, при раз¬
работке и применении качественных методов теории устойчивости, грубости,
чувствительности и инвариантности динамических систем к анализу суще¬
ственно нелинейных систем управления. Это позволило избежать непосредст¬
венного нахождения и исследования решений сложных нелинейных дифферен¬
циальных уравнений (что вызывало на практике существенные трудности),
а полученной информации часто оказывалось достаточно для разработки алго¬
ритмов управления системой в целом.
Другим примером является введение качественного понятия стохастиче¬
ской системы и его -использование в теории управления. Применение этого по¬
нятия позволило существенно упростить задачу оптимизации и синтеза систем
управления, а в сочетании с методами стохастического программирования и
-обучения решать такие важные задачи, как управление сложными системами
в условиях неполной информации.
Приведенных примеров уже достаточно для суждения о целесообразности
введения качественных методов исследования в теорию управления. Именно
поэтому в системном анализе большое внимание уделяется разработке каче¬
ственных методов, что составляет основу для построения общей качественной
теории управления.
В [39, 42] сделана попытка разработать основы качествен¬
ной теории управления сложными динамическими системами
высокого уровня сложности. В основу теории положен принцип
построения и взаимосвязи физических, расчетных и математиче¬
ских моделей динамических систем на физическом и математи¬
ческом уровнях строгости [39]. Основные результаты получены
методами термодинамики, стохастических систем, теорий цен¬
ности информации, статистических решений, сложности и нечет¬
ких множеств.
Применение указанных методов исследования к замкнутой
цепи физическая—расчетная—математическая модель позволяет
получать корректные модели динамических систем управления
и формировать оптимальные или субоптимальные алгоритмы
управления сложными системами. Такой подход позволяет одно¬
временно получить- ответ на столь важные вопросы, как оценка
неполноты модели динамической системы, границы ее фор-»
мальных (предельных) возможностей, чувствительности или гру¬
бости структуры и критерия оптимизации модели к исходной
информации, приращения риска при выборе алгоритма управ¬
ления сложной системой в условиях неполной и нечеткой инфор¬
30
мации, снижения сложности описания модели и алгоритма
управления.
Следуя общим положениям качественной теории динамиче¬
ских систем управления, разработанной в [39], в данной книге-
будет показано, какие ограничения необходимо наложить на
математические модели явлений и процессов (в частности, про¬
цессов управления), которые вытекают из законов термодина¬
мики, теории относительности и квантовой теории. Эти ограни¬
чения носят довольно существенный характер, однако их выпол¬
нение совершенно необходимо для того, чтобы данная матема¬
тическая модель действительно была бы моделью физически
реализуемой динамической системы.
Будет показано также, что вопросы построения критерия фи¬
зической реализуемости тесно связаны с вопросами коррект¬
ности и устойчивости математических моделей. Для современ¬
ной теории управления характерным является тенденция к раз¬
работке методов оптимизации и синтеза, определяющих ком¬
промисс не только между устойчивостью, динамическим качест¬
вом и точностью в присутствии помех (характерные для тради¬
ционных методов), но и между динамическим качеством и слож¬
ностью, надежностью и т. п. Более того, часто математические
модели, полученные в результате исследования, оказываются
физически или технически нереализуемыми, что приводит к не¬
обходимости построения квазиоптимальных систем [70] и свя¬
зано с возрастанием риска в принятом решении [38].
Эта тенденция вызвана, согласно [71, 72], непреодолимыми"
информационными барьерами, с которыми сталкиваются тради¬
ционные подходы к постановке и решению перспективных задач
управления. Последние объясняются тем, что постановка и
анализ задач теории управления неразрывно связаны с необ¬
ходимостью накопления, хранения и обработки больших (в
общем случае неоднородных) массивов информации при огра¬
ниченных ресурсах и времени (в виде ограничений на пропуск¬
ную способность информационных систем) исследования боль¬
ших систем.
Решение подобных проблем осуществляется по двум направ¬
лениям: эвристическому и аксиоматическому [71]. При эвристи¬
ческом подходе снижение сложности описания модели управле¬
ния достигается на основе качественного анализа особенностей
системы, введения содержательных интерпретаций и понятий.
В целом предусматривается, как правило, экспериментальная
проверка результатов исследований. Физические аспекты обос¬
нования такого подхода и его качественные особенности были
рассмотрены в предыдущем разделе. При аксиоматическом под¬
ходе дается аксиоматическое определение понятия «сложность».
Затем на основе логического выбора решения определяют гра¬
ницы формальных возможностей расчетных и математических
моделей систем управления. Математические модели аксиома¬
тической теории сложности кратко описаны в [72].
31
В обоих подходах существенным является выделение и фор¬
мализация качественных понятий и признаков процессов управ¬
ления. Достаточно отметить, что само понятие «сложность»
является качественным понятием. Компромисс в виде дополни¬
тельных ограничений между перечисленными характеристика¬
ми процессов управления отражается в первую очередь именно
на качественных особенностях описания моделей динамических
систем управления.
В большинстве задач управления, как отмечалось, исходные
данные, цели и ограничения являются слишком сложными или
плохо определенными, чтобы допустить точную и строгую мате¬
матическую трактовку в терминах существующего подхода к
анализу таких систем. Более того, практика показывает, что
процесс управления действительно сложными системами (нап¬
ример, такими, как биологические или социальные [73—85])
является эволюционным и не всегда допускает эффективное ис¬
следование существующими точными методами. Из всех мате¬
матических дисциплин только теория стохастических систем
позволяет получать нетривиальные для таких задач результа¬
ты, но и здесь часто встречаются серьезные трудности, связан¬
ные с отсутствием априорной информации о структуре вероят¬
ностных распределений и накоплением и обработкой больших
массивов информации. Поэтому в дальнейшем для решения
проблем подобного рода необходимо модифицировать принятые
результаты, являющиеся на данном этапе эволюции нечеткими
и до известной меры неопределенными [39, 42].
Общие вопросы и проблемы управления релятивистскими и
квантовыми динамическими системами рассматривались в [69,
86, 87] и др. В настоящей книге рассматриваются физические и
информационные аспекты процессов управления релятивистски¬
ми и квантовыми динамическими системами с учетом требова¬
ний, предъявляемых к подобным объектам.
Глава 2
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
(Пространственно-временной континуум,
кинематика и динамика СТО)
2.1. Предварительные замечания. Основные
постулаты теории относительности
Специальная теория относительности (СТО) была впервые
опубликована в 1905 г. молодым инженером Альбертом Эйнштей¬
ном, работавшим в то время в Патентном бюро в Берне (Швей¬
цария) [43].
В начале своей знаменитой статьи А. Эйнштейн пишет [43-]: «Известно, что
электродинамика Максвелла в том виде, как ее в настоящее время обыкно¬
венно понимают, в применении к движущимся телам приводит к асимметрии,
которая, по-видимому, не свойственна самим явлениям. Вспомним, например,
электродинамическое взаимодействие между магнитом и проводником. На¬
блюдаемое явление зависит .здесь только от относительного движения про¬
водника и магнита, в то время как согласно обычному представлению оба слу¬
чая, в которых либо одно, либо другое из этих тел является движущимся,
должны быть строго разграничены. В самом деле, если движется магнит, а
проводник покоится, то вокруг магнита возникает электрическое поле, обла¬
дающее некоторым количеством энергии, которое в тех местах, где находятся
части проводника, порождает ток. Если же магнит находится в покое, а дви¬
жется проводник, то вокруг магнита не возникает никакого электрического
поля; зато в проводнике возникает электроэнергия, но которая, однако, при
предполагаемом равенстве относительного движения в обоих интересующих нас
случаях, вызывает электрические токи той же силы и того же направления,
как в первом случае электрическое поле.
Примеры подобного рода, как и неудавшиеся попытки обнаружить дви¬
жение Земли относительно «светоносной среды», ведут к предположению, что
не только в механике, но и в электродинамике никакие свойства явлений не
соответствуют понятию абсолютного покоя, и даже более того,— к предполо¬
жению, что для всех координатных систем, для которых справедливы урав¬
нения механики, имеют место те же самые электродинамические и оптические
законы, как это уже доказано для величин первого порядка. Мы намерены
это предположение (содержание которого в дальнейшем будет называться
«принципом относительности») превратить в предпосылку и сделать, кроме
того, добавочное допущение, находящееся с первым лишь в кажущемся про¬
тиворечии, именно что свет в пустоте всегда распространяется с определен¬
ной скоростью V, не зависящей от состояния движения излучающего тела.
Эти две предпосылки достаточны для того, чтобы, положив в основу теорию
Максвелла для покоящихся тел, построить простую, свободную от противоре¬
чий электродинамику движущихся тел. Введение «светоносного эфира» окажет¬
2 Б. Н. Петров и др.
33
ся при этом излишним, поскольку в предлагаемой теории не вводится ни
«абсолютно покоящееся пространство», наделенное особыми свойствами,
а также ни одной точке пустого пространства, в которой протекают электро¬
магнитные процессы, не приписывается какой-нибудь вектор скорости».
В приведенных немногих словах А. Эйнштейн в сжатом виде
и с поразительной ясностью сформулировал основные идеи
СТО.
Прежде чем излагать содержание СТО, дадим определения
некоторых основных понятий, носящих общий характер, т. е.
принимаемых как в классической физике, так и в теории отно¬
сительности.
Начнем с введения понятия стандартных часов. Роль подоб¬
ных часов может играть любой периодический процесс, проте¬
кающий независимо от внешних сил. Следовательно, маятнико¬
вые часы исключаются. Далее, очевидно, часы должны быть из¬
готовлены из достаточно прочного и достаточно жесткого (в пре¬
деле бесконечно жесткого) материала так, чтобы в результате
испытанных ими ускорений они не разрушались и чтобы воз¬
можная деформация их механизма практически не сказывалась
на их ходе. Никаких других требований к стандартным часам
не предъявляется. Роль стандартных часов может играть испус¬
кание гребней волн излучения атомами или ядрами атомов.
Остановимся теперь на понятии «инерциальная система ко¬
ординат». Несколько упрощая суть дела, под инерциальной си¬
стемой координат следует понимать систему координат, отно¬
сительно которой свободное (т. е. не находящееся под дейст¬
вием внешних сил) тело движется прямолинейно и равномерно.
Это определение инерциальной системы координат сохраняется
и в СТО. Всякая система координат, движущаяся прямолиней¬
но и равномерно относительно заданной инерциальной системы
координат, также будет инерциальной. Это положение клас¬
сической ньютоновской механики также остается справедливым
и в СТО.
Введем теперь понятие системы отсчета. Это понятие может
быть определено следующим образом [88]: «Под системой
отсчета понимают систему координат, служащую для указания
положения частиц в пространстве вместе со связанными с этой
системой часами, служащими для указания времени». Анало-г
гичным образом определяется понятие инерциальной системы
отсчета.
Заметим, что сам создатель теории относительности А. Эйнштейн [43],
а также такие известные физики, как В. Паули [89], Э. Ферми [90], и другие,
употребляли термины «система координат» и «система отсчета» как синонимы.
В дальнейшем будем пользоваться термином «система отсчета».
Представим себе две инерциальные системы отсчета S и S'.
Допустим, что система отсчета S' движется с постоянной ско¬
ростью V в положительном направлении оси х системы отсчета
34
S и примем, кроме того, что оси х и х' указанных систем отсче¬
та параллельны. В таком случае в ньютоновой механике ко¬
ординаты х', у', z' некоторой материальной частицы в системе
отсчета S' связаны с координатами х, у, z той же частицы в си¬
стеме отсчета S следующими преобразованиями:
х'=х—vt\ у'=у\ z'=z\ t'=t. (2.1),
Преобразование (2.1) носит название преобразования Галилея.
Время f является абсолютным мировым временем в дореляти¬
вистской физике, т. е. в физике, относящейся к периоду до соз¬
дания теории относительности.
Как известно, уравнения механики Ньютона не изменяют
своего вида, если они подвергнуты преобразованию Галилея
(2.1). Таким образом, уравнения механики Ньютона имеют
один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчета. Это
положение составляет содержание принципа относительности
Галилея — Ньютона, справедливого в классической механике.
На современном языке этот принцип относительности, справед¬
ливый в классической механике, формулируется следующим
образом: уравнения классической механики ковариантны от¬
носительно преобразований Галилея.
Основное значение при построении теории относительности имел установ¬
ленный в опыте А. Майкельсона (1881 г.) факт независимости скорости све¬
та от скорости источника. Это открытие было подтверждено со все возрастаю¬
щей точностью в многочисленных экспериментальных исследованиях других
авторов (краткий обзор экспериментальных работ по этому вопросу
дан ниже). Указанный факт был положен в основу одного из постулатов тео¬
рии относительности. Из этого постулата следует, что скорость света должна
иметь одну и ту же величину с=const во всех инерциальных системах отсче¬
та. Однако нетрудно убедиться в том, что это утверждение находится в не¬
примиримом противоречии с преобразованиями Галилея (2.1). В самом деле,
рассмотрим скорость света с точки зрения выше введенных систем отсчета S
и S'. Если в системе отсчета S скорость света равна с, то в системе отсчета
S' согласно (2.1) скорость света должна была бы равняться с—ѵ. Это проти¬
воречит, однако, постулату теории относительности о постоянстве скорости
света во всех инерциальных системах отсчета.
Таким образом, возникла ситуация, которая требовала отказа от преобра¬
зований Галилея (2.1).
Прежде чем идти дальше, остановимся теперь на вопросе о
синхронизации стандартных часов в инерциальной системе от^
счета.
Допустим, что в каждой инерциальной системе отсчета рас¬
положены стандартные часы, находящиеся на равных расстоя¬
ниях друг от друга, которые образуют в каждой такой системе
отсчета некоторую «кубическую решетку».
Синхронизация часов легко может быть проведена следую¬
щим образом^ Пусть в начале координат данной системы в мо¬
мент t=0 был подан световой сигнал. Этот сигнал достигает
35
2*
часов, расположенных на расстоянии х' от начала координат в
момент времени, равный х'/с, где с — постоянная скорость све¬
та. Следовательно, стрелки на часах, расположенных в точке х',
должны показывать время х'/с в момент прихода сигнала. Рас¬
смотренный метод синхронизации часов с помощью световых
сигналов был предложен А. Эйнштейном.
Ввиду постоянства скорости света во всех инерциальных си¬
стемах отсчета этот метод имеет универсальное значение.
Заметим, что любой другой метод синхронизации часов, основанный на за¬
конах релятивистской физики, будет приводить к тем же результатам, что
и метод световых сигналов. Следовательно, предложенный А. Эйнштейном
метод синхронизации часов не является чеім-то условным. Этот метод имеет
объективное значение, поэтому его можно было бы рассматривать как один из
основных принципов (постулатов) теории относительности.
В теории относительности, как отмечалось, имеет место еще
одно общее утверждение фундаментального значения, носящее
наименование основного постулата или принципа относитель¬
ности, который может быть сформулирован следующим обра¬
зом: «...все законы природы одинаковы во всех инерциальных
системах отсчета. Другими словами, уравнения, выражающие
законы природы, инвариантны по отношению к преобразова¬
ниям координат и времени от одной инерциальной системы к
другой» 188].
Вместе с тем нетрудно убедиться, что уравнения электродинамики
Максвелла (так же как и уравнения Лоренца электродинамики сплошных
сред) не ковариантны относительно преобразований Галилея (2.1). Попытка
Г. Герца видоизменить уравнения Максвелла таким образом, чтобы они стали
ковариантными относительно преобразований Галилея, привела к противоре¬
чию с экспериментами.
Таким образом, в классической дорелятивистской механике создалось
странное положение: в то время как уравнения классической дорелятивист¬
ской механики были инвариантны относительно группы преобразований Га¬
лилея, уравнения электродинамики уже этими свойствами не обладали.
Итак, для классической дорелятивистской физики были характерны глу¬
бокие противоречия в ее основных принципах. Эти противоречия невозможно
было устранить без глубокого пересмотра или даже коренной ломки класси¬
ческих понятий и идей. В создавшейся ситуации прежде всего необходимо
было отказаться от преобразования Галилея, связывающего одну инерциаль¬
ную систему отсчета с другой. Этот отказ был необходим, несмотря на ка¬
залось бы абсолютную ясность и полную очевидность этого преобра¬
зования.
Возникшее противоречие было устранено путем пересмотра, или, более
точно, крутой ломки наших обычных, уходящих в глубь тысячелетий, пред¬
ставлений о пространстве и времени. Необходимо было создать новую груп¬
пу преобразований пространственно-временных координат, относительно ко¬
торой должны были быть ковариантными как уравнения механики, так и
уравнения электродинамики. Поскольку уравнения классической механики
Зв
Ньютона были ковариантными относительно группы Галилея, то, очевидно,
возникла ситуация, которая требовала видоизменить сами уравнения класси¬
ческой механики Ньютона. Такова была программа, которую необходимо было
реализовать при создании теории относительности.
Новые преобразования пространственно-временных коорди¬
нат были найдены, они получили наименование преобразований
Лоренца. Эти преобразования будут выведены и проанализиро¬
ваны ниже.
В заключение этого параграфа дадим краткий обзор резуль¬
татов экспериментальных работ по определению скорости света.
В знаменитом интерференционном опыте А. Майкельсона
была доказана, как отмечалось выше, независимость скорости
света от скорости движения источника. Этот опыт подробно
описан не только во всех учебниках по физике для втузов, но
даже в популярных брошюрах по теории относительности и
школьных учебниках. Таким образом, учитывая широкую изве¬
стность этого опыта, не будем его здесь подробно описывать.
Опыт А. Майкельсона был повторен И. Майкельсоном и Г. Мор-
леем, причем точность проведенных измерений дала бы возмож¬
ность обнаружить «скорость эфирного ветра» в 1,5 км/с (в то
время как предполагаемая «скорость эфирного ветра», равная
скорости движения Земли вокруг Солнца, должна была состав^
лять 30 км/с). ,
Однако результаты этого опыта, как и результаты последую¬
щих опытов, основанных на идее Майкельсона, дали отрица¬
тельный результат.
Этот экспериментальный факт, т. е. независимость скорости
света от скорости движения источника, составляет, как выше
отмечено, содержание одного из постулатов теории относитель¬
ности.
После знаменитого опыта Майкельсона этот постулат проверялся в экспе¬
риментах многочисленных исследователей [91], и в настоящее время его
справедливость не вызывает сомнений. Идеи, лежащие в основе этих экспе¬
риментов, были самые различные. Для проверки постулата использовались
как небесные, так и земные источники света. Исследования велись в широ¬
ком диапазоне частот от видимого света до жестких у-лучей. Все эти иссле¬
дования подтверждали постулат со все возрастающей точностью.
Отметим, в частности, эксперимент, проведенный английскими физиками
К. Джеймсом и Л. Штернбергом [91]. В их установке источником излу¬
чения была вращающаяся стеклянная пластинка, с одной стороны кото¬
рой помещалась электрическая лампочка. Так как размеры установки Джейм¬
са и Штернберга были очень велики (ход луча в одном направлении дости¬
гал 20 м), то не было необходимости помещать ее в вакуум. Точность уста¬
новки была весьма велика, она на два порядка превышала точность установ¬
ки И. Майкельсона и Г. Морлея. Тем не менее никакого эффекта обнаруже¬
но не было. Таким образом, этот постулат теории относительности получил
еще одно экспериментальное подтверждение.
37
Из последних работ, в которых дано подтверждение этого постулата с
высокой точностью, следует упомянуть работы Т. Алвагера, А. Нильсона,
И. Кейельмана, К. Брехера и др. (см. [92]). В качестве источника излу¬
чения они использовали у-лучи.
Отметим, наконец, что использование лазеров позволило установить не¬
зависимость скорости света от скорости движения источников с точностью
до 0,03 мм/с [92].
Согласно основному постулату теории относительности —
принципу относительности — уравнения механики и электроди¬
намики должны быть ковариантны относительно группы преоб¬
разований Лоренца. В п. 2.9 будет показано, что уравнения
электродинамики действительно удовлетворяют этому принци¬
пу. Что же касается уравнений механики, то в теории относи¬
тельности им была придана форма, при которой они также ока¬
зываются ковариантными относительно группы преобразова¬
ний Лоренца.
Новые уравнения механики, т. е. уравнения релятивистской
механики, получили блестящее подтверждение в многочислен¬
ных экспериментах [7].
2.2. Псевдоевклидово пространство
Рассмотрим кратко, следуя проблеме Вундгейлера, математиче¬
ские объекты СТО в рамках тензорного исчисления.
2.2.1. Векторы и тензоры в псевдоевклидовом пространстве.
Будем называть точкой псевдоевклидова пространства совокуп¬
ность четырех вещественных чисел (х1, х2, х3, /).
Квадрат расстояния от начальной точки (0, 0, 0, 0) до точки
(х1, X2, X3, х°) задается в псевдоевклидовом пространстве неоп¬
ределенной действительной фундаментальной формой
s2 = (х4)2+ (х2)2 + (X3)2—(X0)2, х° = с/. (2.2)
Форма (2.2) дает квадрат длины вектора, выходящего из начала
координат и оканчивающегося в точке.
В полном соответствии со случаем евклидова пространства
будем называть величину хг составляющими рассматриваемого
вектора.
Введем следующие определения:
вектор, длина которого равна нулю, т. е. вектор, имеющий со¬
ставляющие (х1, X2, X3, х°), обращающие в нуль фундаменталь¬
ную форму (2.2), называется 'изотропным}
вектор, составляющие которого дают положительное значе¬
ние фундаментальной форме (2.2), называется пространственно¬
подобным}
вектор, составляющие которого дают отрицательное значение
фундаментальной форме (2.2), называется времени-подобным.
Возможно также и другое представление основной фундаментальной
формы псевдоевклидова пространства:
38
S2=(XO)2— (Xi)2— (X2)2__ (X3)2. (2.3)
В этом случае вектор, составляющие которого дают положительное значе¬
ние фундаментальной форме (2.3), называется времени-подобным; вектор,
составляющие которого дают отрицательное значение фундаментальной фор¬
ме (2.3), называется пространственно-подобным. Очевидно, оба представле¬
ния отличаются друг от друга только знаком. В литературе по теории отно¬
сительности встречаются оба представления, которые равнозначны. В даль¬
нейшем будем во всех специально неоговоренных случаях пользоваться пред¬
ставлением (2.3).
Преобразование координат
х'ѵ = 2 а^, . (2.4)
переводящее форму (2.3) в форму
s2 = (У0)2— (хп)г— (х'2)2— (х'3)2, (2.5)
называется преобразованием Лоренца.
Напомним теперь важное правило записи сумм в тензорном
исчислении: если один и тот же индекс входит дважды в какой-
нибудь член уравнения, причем один раз как .верхний индекс, а
другой .раз как нижний, то этому индексу следует придать все
значения (т. е. і=1, 2, 3, 0) и полученные члены последователь¬
но сложить.
В соответствии с этим правилом преобразование Лоренца
(2.4) можно записать следующим образом:
(2.6)
Замечая, что дх'^Ідх' — а*, преобразование Лоренца (2.6) пере¬
пишем в виде
х'’'— х'* или х'* =s х'’. (2.7)
дх'* <Эхѵ
В формулах (2.7), разумеется, производится суммирование по
индексу р, или по индексу ѵ.
Всякую совокупность четырех величин, которая преобразует¬
ся по закону
Л"®—4*. (2.8)
ô? "
т. е. по тому же закону, что и координаты, называют контрвари¬
антным вектором. Компоненты контрвариантных векторов приня¬
то обозначать при помощи верхних индексов.
Рассмотрим, как преобразуются производные скалярной
функции <р(х'1’, хп, х'2, х'3) при переходе к новой системе коорди¬
нат. Очевидно, имеем
дф _ dqp dxk . (2 9)
дх'1 dxk QX'i
39
Всякую совокупность величин, которые преобразуются по за¬
кону
л;
(2.10)
дха
т. е. по такому же закону, что и производные скалярной функции
<р(х'°, х'1, х'2, Xх3), называют ковариантным вектором. Компонен¬
ты ковариантных векторов принято обозначать при помощи ниж¬
них индексов.
Еще раз обращаем внимание на то, что в соответствии с уста¬
новленным выше правилом в формуле (2.10) производится сум¬
мирование по индексу k.
Если составить всевозможные произведения Лцѵ компонент
двух векторов Ли и Лѵ, заданных в 4-мерном пространстве, т. е.
Л“Ѵ=ЛИЛѴ, (2.11)
где ц, ѵ = 0, 1, 2, 3, то в соответствии с формулами (2.8) величины
Лцѵ удовлетворяют закону преобразования
д'ат= дх'° dxzT дцу
дхѵ ’
Объект, который по отношению к любой координатной систе¬
ме в 4-мерном пространстве задается при помощи 16 величин
(функций), удовлетворяющих закону преобразования (2.12),
называется контрвариантным тензором второй валентности.
Если составить 16 произведений Лмѵ из компонент двух кова¬
риантных векторов
ЛЦѴ=ЛЦЛѴ, (2.13)
то в соответствии с формулами (2.10) для этих величин спра¬
ведлив закон преобразования
у - дхц дхѵ А
дх’° дх'х
Объект, который по отношению к любой координатной систе¬
ме в 4-мерном пространстве описывается при помощи 16 величин
(функций), удовлетворяющих закону преобразования (2.14), на¬
зывается ковариантным тензором второй валентности. Наконец,
можно составить 16 произведений Л/ из ковариантных Лц и
контрвариантных Вѵ компонентов двух векторов
Л^ЛЦВѴ. (2.15)
В соответствии с формулами (2.8) и (2.10) эти величины
удовлетворяют закону преобразования
дх,х дха л
дх* дх'°
(2.12)
(2.14)
(2.16)
40
Объект, который по отношению к любой координатной систе¬
ме в 4-мерном пространстве описывается при помощи 16 величин
(функций), удовлетворяющих закону преобразования (2.16), на¬
зывается смешанным тензором второй валентности.
По аналогии с изложенным можно дать определения контр¬
вариантных, ковариантных и смешанных тензоров любой ва¬
лентности. Так, например, для смешанного тензора третьей ва¬
лентности А\р имеет место закон преобразования
А'х
дх1
dxk дхр
дх'° дх'^
4Р.
Введем совокупность 16 величин gih, удовлетворяющих ра¬
венствам ghh= — 1 для £=1, 2, 3; goo= + l и £Иѵ = 0 для ц=#ѵ. Эта
совокупность величин может быть представлена также в виде
матрицы
(2-17)
При помощи введенных величин фундаментальная форма
(2.3) может быть записана в виде
(2.18)
Величины g(h называют компонентами ковариантного фун¬
даментального метрического тензора. В новой системе коорди¬
нат компоненты метрического тензора gilt имеют те же числен¬
ные еначения, что и в старой системе координат. Таким образом,
тензор gik является тензором с постоянными компонентами по
отношению к преобразованию Лоренца.
Наряду с ковариантным метрическим тензором можно вве¬
сти еще контрвариантный метрический тензор по формуле
(алгебраическое дополнение g в gjk)
g‘fc . (2.19)
g
Здесь g — определитель (форма (2.3))
10 0 0
0—100
0 0-10
О О О —Г
(2.20)
Нетрудно убедиться, что контрвариантный метрический тен¬
зор может быть представлен в виде матрицы
41
О
О
0—1 о
О 0-1
(2.21)
Из теории определителей следует, что должно быть
gis gik = &
[1 для s — k\
fi для s #=£.
Величины ôfte являются компонентами смешанного тензора. Тен¬
зор ôàs, так же как и тензоры gih и gnv\ является тензором с по¬
стоянными компонентами.
Перейдем к сжатому рассмотрению тензорной алгебры в псев-
доевклидовом пространстве.
2.2.2. Элементы тензорной алгебры. Сложение и вычитание.
При сложении и вычитании соответствующих компонент двух
тензоров одинаковых типов (имеющих одну и ту же контрвари¬
антную и ковариантную валентность) получается тензор того
же типа, например
Apk + Bpk + Cpk- (2.22)
Доказательство этой теоремы непосредственно следует из
приведенного выше определения тензора.
Умножение. Из тензора контрвариантной валентности р и ко¬
вариантной валентности q, тензора контрвариантной валент¬
ности s и ковариантной валентности t можно образовать тензор
контрвариантной валентности p + s и ковариантной валентности
q + t. Для этого нужно умножить каждую компоненту первого
тензора на каждую компоненту второго. Например, если Apq и
Bki являются компонентами тензоров двух типов, то
= A*pBki (2.23)
будут компонентами тензора, тип которого определяется поло¬
жением индексов. Доказательство этой теоремы непосредствен¬
но следует из закона преобразования соответствующих тензоров.
Свертка смешанного тензора. Из смешанного тензора контр¬
вариантной валентности р и ковариантной валентности q можно
образовать тензор контрвариантной валентности р—1 и ковари¬
антной валентности q—1. Для этого надо один какой-либо значок
контрвариантного характера приравнять к одному значку кова¬
риантного характера и по этому значку произвести суммирова¬
ние. Например,
ГРъ =* Tpk, 4$ = 4. (2.24)
Из последнего тензора путем повторного свертывания можно по¬
лучить тензор нулевой валентности или инвариант, т. е. скаляр¬
ную величину (функцию), которая не изменяется при преобразо-
42
ваниях Лоренца
4 « А. (2.25)
Доказательство приведенной теоремы непосредственно сле¬
дует из общего закона преобразования соответствующих тен¬
зоров. .
Операции умножения и свертки могут быть объединены. На¬
пример, из контрвариантного тензора первой валентности и
ковариантного тензора второй валентности Btv можно образовать
сначала смешанный тензор АІІВ„=А,1„. Свертывая далее по ин¬
дексам р, и т, получим ковариантный тензор первой валентности
или вектор Da =* Лйц. — Аа. ‘
Если оказывается возможным произвести полное свертыва¬
ние смешанного тензора по всем контрвариантным и ковариант¬
ным индексам, то приходим к тензору нулевой валентности или
инварианту (например, g(*x'x*). Здесь происходит полное свер¬
тывание по индексам і и k ковариантного тензора giK и контрва¬
риантного вектора х\ поскольку координаты являются компонен¬
тами вектора. Полученный инвариант является квадратом дли¬
ны вектора s.
Приведем, еще примеры образования инвариантов: §*А*АК
(длина вектора Л); AihBih-, A(kB*rCTh и т. д.
Поднятие и опускание индекса — «жонглирование» индекса¬
ми. Если компоненты контрвариантного вектора X* перемножить
с компонентами ковариантного тензора gu,, то в соответствии со
сказанным выше величины g{JS образуют компоненты смешанно¬
го тензора. Если теперь произвести свертку по индексам k и s,
то получим ковариантный вектор, компоненты которого обозна¬
чим через Х<, т. е.
Хі=ё\иХл. (2.26)
Аналогично, если р являются компонентами ковариантного
вектора, можно с их помощью образовать контрвариантный век¬
тор следующим образом:
pK=gK^.. (2.27)
Легко видеть, что если
p.=X,=g,*X*, (2.28)
то и
р*=Х* (2.29)
Последнее обстоятельство дает возможность определить объект,
который будем называть вектором. Этот объект может быть
представлен контрвариантными X* или ковариантными Х< компо¬
нентами по нашему выбору.
Раньше говорилось о контрвариантном X' и ковариантном Х< векторах
как о различных объектах. Сейчас говорим о векторе как о едином объекте.
43
который может быть представлен контрвариантными V или ковариантными
компонентами X, по нашему выбору. Право на такое определение дают равен¬
ства (2.28) и (2.29).
Итак, переход от контрвариантных компонентов некоторого
вектора Л* к его ковариантным компонентам и наоборот дается
следующими равенствами:
K=gs^k\ Kk=ghaKs. (2.30)
Аналогичные соображения могут быть высказаны относительно
любого тензора. В дальнейшем будем говорить о тензоре как об
объекте, который может быть представлен контрвариантными,
ковариантными или смешанными компонентами. Сказанное ил¬
люстрируется следующими примерами:
— > Aipk gis Apt j
k (2.31)
Aipk Aip =* Aipsgik и т.д.
Приведенные примеры показывают, что с помощью фунда¬
ментального метрического тензора можно поднимать и опускать
индексы и что при этом имеем дело с компонентами одного и
того же тензора. Эта операция поднятия и опускания индексов
или, как иногда говорят, «жонглирования» индексами имеет важ¬
нейшее значение в тензорной алгебре.
Приведем еще несколько примеров подобной операции:
gikAip = Л?, güAps = Aips и т.д. (2.32)
Формулам (2.26) — (2.32) можно придать более определен¬
ный вид, если воспользоваться численными значениями компо¬
нентов тензора gik и gik в соответствии с формулами (2.17) и
(2.21), например *:
А1 = я1ѵЛѵ = — Лх ; Л2 — £2ѴЛѴ = — Л2;
(2.33)
Л.3 = g*vAv — Л3; Л° = £°ѴЛѴ = + Ло;
Лх ~ gwA4 =* — Л1; Л2 = g2VAv = — Л2;
Л3 = ^ЛѴ = —Л3; Ло = gwAv = + Л°. (2.34)
Для скалярного произведения двух векторов имеем
ёиѵЛцВѵ = ЛцВц =< ЛіВ1 + Л2В2 + А3В3 + Л0В°. (2.35)
В соответствии с данными определениями можно утверждать, что
вектор будет пространственно-подобным, если
ЛцЛц<0, (2.36)
1 Отметим, что в евклидовом пространстве в декартовых координатах различие
между ковариантными и контрвариантными векторами и тензорами исчезает.
44
времени-подобным, если
ДцДц>0, (2.37)
и изотропным, если
ЛИД*1 = О. (2.38)
Первый вариант симметричного тензора второй валентности Лиѵ
может быть записан в виде
=* Дц + Ди + Л33 - Доо. (2.39)
В псевдоевклидовом пространстве вторые производные от
скалярной функции носят тензорнйй характер, поэтому, если в
уравнение (2.39) подставим
ЛцѴ = <^ф/дхцдхѵ, (2.40)
то получим
Æ + + *Ф__ (2.41)
\ дх12 дх22 дхз2 dx«2 )
Выражение (2.41) должно быть дифференциальным инвари¬
антом преобразования Лоренца, т. е. иметь точно такой же вид
в новой (штрихованной) системе координат.
Рассмотрим частный случай преобразования Лоренца
х'1 = х1 ch <р + х° sh <р;
х’г = л2; х’3 = X3;
х'° = x1sh<p + x°chq). (2.42)
Непосредственной подстановкой можно доказать, что преоб¬
разование (2.42) действительно переводит форму (2.5) в форму
(2.3). Из выражений (2.42) следует, что
дх'1
дх1
• дх'1
=. сп ф;
= *1 = 0;
дх3
дх'1 -h m.
— sh ф
дх»
дх2
дх'2
дх2
= 0; -^ =
дх2
' г дх'2 =
’ дх3
^1 = 0;
дх*
дх'3
дх1
дх2
дх'3 р
дх3 ’
-^=.0;
дх°
дх'»
’ дх1
, дх'о
- sh ф;
дх2
дх3
dx'Q 1 m
=. ch ф.
дх3
Используя найденные
значения производных, можно
Д'! =
: дх - Аѵ — Д1 ch ф + А° shф;
А'3 = А2;
написать
(2.44)
(2.43)
А'3 =< А3; А’° = Дѵ bs A1 sh ф + Л° ch ф,
дх-*
45
Дѵ = ЛхвЬф + Ach <р; А3=А2;
дх'1
. . дх- (2.45)
Лз = Л3; Ло = —— Лѵ - — ЛхзЬфН- ЛосЬф.
ох и
Рекомендуем непосредственной проверкой убедиться в спра¬
ведливости формулы
Л/Л'^Л^ЛЛ (2.46)
Если вместо координаты х° ввести мнимую координату х°->
—*-іх°, то основная квадратичная форма примет вид
s2 =* (х1)2 + (х2)2 + (х3)2 + (je0)2,
а основная метрическая матрица
4-1 0 о о \
о 4-1 о о I
о 0 4-1 о Г
ооо 4-1 /
В этой системе координат исчезает всякое различие между ко¬
и контрвариантными компонентами векторов и тензоров, т. е.
Л'=Л4; и т. д.
Следует обратить внимание на необходимость глубокого ос¬
воения изложенных в настоящем разделе элементарных основ
тензорной алгебры в псевдоевклидовом пространстве. Без такого
всестороннего изучения этого вопроса совершенно невозможно
добиться правильного понимания содержания СТО. Особое вни¬
мание необходимо обратить на способы получения инвариантов
из компонент различных тензоров. Это связано с тем, что инва¬
риантные, т. е. неизменяющиеся при преобразованиях коорди¬
нат, величины имеют фундаментальное значение в теории отно¬
сительности.
2.3. Метрические свойства
пространственно-временного континуума.
Преобразование Лоренца
2.3.1. Понятие события. Под «событиями» условимся пони¬
мать элементарные события, т. е. происходящие в столь малой
области пространства и в столь короткий промежуток времени,
что (идеализируя положение вещей) их можно считать происхо¬
дящими в одной точке и мгновенно. Само содержание события
не будем рассматривать, так как событие в нашем понимании
сводится к заданию определенного места (точки) в пространст¬
ве в определенный момент времени. Таким образом, рассматри¬
ваемое понятие события примерно в том же смысле представля¬
46
ет собой идеализацию реального физического процесса малой
протяженности в пространстве и времени, в каком геометриче¬
ское понятие точки — идеализацию реального физического тела
малой протяженности в пространстве.
Рассмотрим теперь декартову систему пространственных ко¬
ординат, относительно которой свободная, т. е. не находящаяся
под действием каких бы то ни было сил, материальная точка
движется прямолинейно и равномерно. Подобная система ко¬
ординат называется инерциальной. Как уже отмечалось, любая
система координат, движущаяся равномерно и прямолинейно
относительно данной инерциальной системы координат, тоже
будет инерциальной. Как это следует из сформулированного в
п. 2.1 основного постулата теории относительности, свет (или,
точнее, любое электромагнитное возмущение) распространяется
в пустоте с одной и той же постоянной скоростью относительно
любой инерциальной системы независимо от состояния ее дви¬
жения. Это весьма парадоксальное с точки зрения обычных
представлений о пространстве и времени утверждение, как от¬
мечалось, было установлено в многочисленных точных экспери¬
ментах.
Возникшее противоречие было устранено пересмотром пред¬
ставлений о пространстве и времени. Это обстоятельство созда¬
ет особые трудности в освоении теории относительности.
Прежде всего пришлось отказаться от классического пред¬
ставления об абсолютном мировом времени, протекающем в лю¬
бой области нашей Вселенной с одной и той же постоянной ско¬
ростью.
Пример 1. Для того чтобы понять необходимость отказа от абсолют¬
ного мирового времени, рассмотрим, следующее. Допустим, что даны две инер¬
циальные системы отсчета S и S' (рис. 2.1) [86], движущиеся относительно
друг друга с постоянной скоростью ѵ. Представим себе далее, что вдоль осей
X и х' указанных систем отсчета установлены на равных расстояниях друг
от друга стандартные часы, синхронизированные с помощью световых сигна¬
лов. Пусть в точке А системы S' подан в некоторый момент времени свето¬
вой сигнал (рис. 2.1). Если точки В и С в системе S' находятся на равных
расстояниях от точки А, то вследствие постоянства скорости света сигнал,
поданный из точки А, придет одновременно в точки В и С (по часам систе¬
мы S'). Однако это событие будет неодновременным по часам системы S.
В самом деле, с точки зрения системы S точка В движется навстречу све¬
товому сигналу, следовательно (ввиду постоянства скорости света с во всех
системах отсчета!), световой сигнал по часам системы S должен прийти в
точку В раньше, чем в точку С.
Итак, события, одновременные в системе S', могут быть неодновремен¬
ными в системе S. Следовательно, понятие одновременности оказывается от¬
носительным. Нельзя говорить об одновременности каких-либо событий или
о промежутке времени, прошедшем между данными событиями, не указав
системы отсчета, в которой указанные события отражаются.
Необходимо освоиться с относительностью понятий «одновременность» и
«промежуток времени», так как без этого невозможно понимание дальней-
47
Рис. 2.1. Инерциальные системы
отсчета
шего. Во избежание недоразумений подчеркиваем, что относительность по¬
нятия «времени» отнюдь не означает отказа от объективности его измерения
в любой системе отсчета. Это замечание относится ко всем другим относи¬
тельным понятиям современной физики. Так, например, понятие «вертикальное
направление» носит относительный характер. Вертикальные направления в
Москве и Владивостоке образуют между собой угол, и было бы нелепо спо¬
рить о том, какое из этих направлений
«вертикальнее». Вместе с тем понятие
«вертикальное направление» имеет впол¬
не определенное объективное значение
как для Москвы, так и для Владивосто¬
ка, несмотря на свой относительный ха¬
рактер. Остается признать, что объек¬
тивный ход времени в каждой инер¬
циальной системе отсчета также носит
относительный характер.
2.3.2. Понятие «пространствен¬
ного расстояния» и «промежутка
времени» в любой системе отсче¬
та. Введем инерциальную систе¬
му отсчета S. Пусть в некоторой
точке (х1, X2, X3) этой системы в
момент t был подан световой сигнал (событие 1). Пусть в некото¬
рый другой момент t этот сигнал был принят в точке (х1, х2, х3)
этой же системы отсчета S. Тогда можно записать
+ с2 (t—t)2— (х1—X1 )2— (х2—X2)2— (х3—х3)2 = 0, (2.47)
или
+ (х°—х°)2- (^-х1)2- (х2-х2)2— (х’-х3) 2=0, (2.48)
где x° = ct. Так как скорость света с постоянна во всех инерци¬
альных системах отсчета, то в некоторой другой инерциальной
системе отсчета 5' уравнение (2.48) будет иметь аналогичный
вид:
+ =0 (2 <49)
Сравнивая уравнение (2.48) с основной фундаментальной
формой псевдоевклидова пространства (2.3), видим, что реаль¬
ный пространственно-временной континуум носит псевдоевкли¬
дов характер, причем распространение электромагнитных возму¬
щений в этом континууме происходит по узотропным векторам,
т. е. векторам нулевой длины (см. п. 2.1). Для материальной
точки, движущейся со скоростью, меньшей скорости света с,
очевидно, можно написать
s2—+(х°—X0)2—(х1—X1)2—(х2—X2)2—(х3—х3)2>0. (2.50)
Итак, вектор, по которому движется свободная материальная
точка, является времени-подобным.
48
Длина вектора
s2 = (х°—х°)2— (х1—х1)2— (х2—х2) (х3—X3)2, (2.51 >
соединяющего два точечных события (х°, х1, х2, х3) и (х°, х1, х2,
X3) в псевдоевклидовом пространственно-временном континууме,
является абсолютным инвариантом преобразования координат,,
т. е. длина этого пространственно-временного вектора, который
принято называть интервалом, будет иметь одно и то же значе¬
ние во всех инерциальных системах отсчета. Наоборот, проекция
этого вектора на оси координат, т. е. разности пространственных
координат \xh = xk—х* (&=1, 2, 3) и временные промежутки
Дх° = х°—х° будут относительными, Зависящими от принятой для
описания данного процесса инерциальной системы отсчета.
Резюмируя сказанное выше, можно утверждать, что простран¬
ство точечных событий взаимно однозначно отображается на
псевдоевклидово пространство с основной фундаментальной фор¬
мой (2.3), причем координаты событий х, у, z, t, отнесенные к лю¬
бой инерциальной системе S, будут играть роль ортогональных
координат в рассматриваемом псевдоевклидовом пространстве^
т. е. t нужно еще умножить на с: х=х*; у=х2; z = x3; ct = x°.
В п. 2.1 было показано, что переход от формы
+ (х°)2—(х1)2—(х2)2—(х3)2 ѵ (2.52>
к форме
+ (Х'О) 2— (Х'1 ) 2_ (Х'2) 2_ (Х/3) 2 (2.53}
совершается с помощью преобразования Лоренца, которое в частном слу¬
чае имеет вид
х'°=х1 sh(p+x°chq); х'1=х1 chœ+x°sh(p;
(2.54>
х'2=х2; х'3=х3.
Формы (2.52) и (2.53) соответствуют двум различным инерциальным си¬
стемам отсчета. Следовательно, переход от формы (2.52) к форме (2.53) соот¬
ветствует переходу от чисто пространственной системы прямоугольных коор¬
динат (х1, X2, X3) к другой чисто пространственной системе прямоугольных
координат (х'1, х'2, х'3), движущейся относительно первой равномерно и
прямолинейно.
Полагая
th<p=u/c, (2.55)
и учитывая, что t=ха/с, преобразование Лоренца (2.42) можно
представить в виде
, V ,
t “Г * 1
= ^ = Х'2. х3=х'3- t = с—... ,
(2.56)
49
или
(2.57)
Для установления физического смысла параметра ѵ заметим,
что если некоторая точка Р в системе отсчета (х'°, л/1, хп, х'3)
находится в покое, то должно быть
Яѵ'1 dx'* dx'S
=. -==— = 0. (2.58)
dt’ df df
Поэтому
di-M _Q
Л-т*
ca
Равенства (2.58) и (2.59) могут иметь место только в том
случае, если
v = dxldt\ dyldt=Q- dz]dt=Q. (2.60)
Итак, точка Р, покоящаяся относительно системы (х70, х71,
х72, X73), движется относительно системы (х°, х1, х2, х3) прямоли¬
нейно и равномерно, причем вектор ее скорости имеет составля¬
ющие = и2 = 0, ѵ3 = 0. Иными словами, преобразования Ло¬
ренца (2.56) соответствуют переходу от инерциальной системы
(х1, X2, X3) к инерциальной системе (х71, х72, х73), движущейся от¬
носительно первой с постоянной скоростью и, направленной
вдоль оси X1. Из преобразования Лоренца следует, что скорость
движения материальной точки никогда не сможет превзойти
скорость света.
Сделаем одно важное методическое замечание. Как отмечалось, основной
фундаментальной форме можно придать вид
S2 = (Xl)2+ (х2)2+(Х3)2—(Х0)2,
или
S2 = (ХО)2_(Х1)2—(Х2)2_ (Х3)2.
В первом случае вектор (х1, х2, х3, х°) будет пространственноподобен, если
з2>0, и времениподобен, если s2<0. И, наоборот, во втором случае времени-
подобен, если s2>0, и пространственноподобен, если s2<0.
Однако основной форме псевдоевклидова пространства можно придать
вид s2=(x1)2+(x2)2+(x3)24-(x°)2. Здесь координату х° следует считать мни¬
мой (для реального пространственно-временного континуума x9=ict).
Это обстоятельство влияет на вид записи соответствующих формул
в теории относительности. Так, в случае первой формы записи оператор
50
Даламбера (2.41) имеет вид
где х° = с/.
Для последнего варианта фундаментальной формы записи
П - (—4- (—} -к 4-
где x° = ict.
Видно, что оба варианта записи оператора Даламбера эквивалентны.
Остановимся на еще одном существенном обстоятельстве. В псевдоевкли-
довом пространстве с основной фундаментальной формой s2= (х0)2— (х1)2—
— (х2)2—(х3)2 компонентами вектора являются (х1, х2, х3, ct)\ поэтому, если
в преобразование Лоренца ввести компоненты этого вектора, то оно будет
записываться следующим образом; '
ха = х'а; х8 = х'8;
Отсюда следует, что компоненты любого 4-вектора К в этом пространстве
преобразуются следующим образом:
к1- —Ко К°+—К1
К'1 = С : № = К'*; № = К'3; К'° = С .
і/" і--ѵ V
' С2 г С2
Если квадратичная форма задана в виде s2= (хІ)2+(х2)2+(х3)2+(х0)2,
где х°=/с/, то преобразование Лоренца будет иметь вид
Поэтому, если задан 4-вектор потенциал (Л1, Л2, Л3, Л°), где Л°=цр, т. е.
его последняя компонента мнимая, то преобразование Лоренца в соответствии
с приведенным будет иметь вид
Л« + -у-Л1
Ла = Л'а; Л8 = Л'8; Л'° = С
Наоборот, если 4-вектор потенциал задан в /пространстве с метрикой
s2= (хі)24-(х2)2+(х3)2—с2/2, то все его компоненты были бы действитель¬
ными и имели значение (Л1, Л2, Л3, ср). В этом случае они преобразуются так
же, как в случае приведенного выше 4-вектора К.
51
2.4. Относительность
пространственных расстояний
и промежутков времени
Для правильного понимания физического содержания преобра¬
зования Лоренца необходимо остановиться на вытекающих из
него кинематических эффектах.
2.4.1. Пусть в системе отсчета (х'°, х'\ х'2, х'3) покоится стер¬
жень длиной I. Другими словами, пусть
Х'ь1 — Ха~1, (2.61)
где х/‘ и хь'1 — координаты концов стержня в этой системе от¬
счета. Рассматриваемый стержень движется относительно систе¬
мы отсчета (х°, х1, х2, х3) с постоянной скоростью ѵ. Его длина в
этой системе отсчета равна разности
Хь — Ха, (2.62)
где хо‘ и х4‘ — координаты концов стержня, относящиеся к опре¬
деленному (одному и тому же) моменту времени t системы (t,
X1, X2, X3). Воспользовавшись преобразованием Лоренца, полу¬
чим
ч -vt + x* ч -vt + x2b
Ха ~ , J Хь = -■ •
К1 — 1>2/С» Y1 — иа/с2
Следовательно,
Хь1 — Ха1 = ■ ь ° , (2.64)
Ѵ1-ѵа/с2
ИЛИ
Хь — Ха (Xô1 — Ха) V1 — Ѵ2/С2 = I |/* 1 — V2/C2. (2.65)
Эффект, выражаемый формулой (2.65), носит название ло-
ренцеѳа сокращения. Длина стержня в системе отсчета, относи¬
тельно которой он движется со скоростью и, оказывается умень¬
шенной пропорционально множителю fl—и2/с2. •
Собственно говоря, лоренцево сокращение длины движущего¬
ся стержня означает, что разность координат одновременного
положения концов стержня в неподвижной системе отсчета S
(по часам этой системы) оказывается меньше длины стержня в
системе отсчета S', относительно которой стержень покоится.
Эффект этот взаимный. Стержень, покоящийся в системе 5, бу¬
дет иметь с точки зрения системы 5' меньшую длину, чем его
длина, измеренная в системе 5.
Сделаем еще некоторые пояснения к этому важному положению. Измере¬
ние длины движущегося стержня или, что то же самое, разности координат
одновременного положения его концов, может быть произведено следующим
образом. Одновременно (по часам системы S) на оси х1 производятся засечки
52
начала и конца движущегося стержня, затем производится измерение рас¬
стояния между этими засечками. С точки зрения системы S' (по часам этой си¬
стемы) эасечки начала и конца стержня, произведенные в системе S, отнюдь
не будут одновременными. Этим с точки зрения системы S' объясняются ре¬
зультаты измерения между засечками в системе S, т. е. эффект лоренцева со¬
кращения.
Эффект лоренцева сокращения имеет, таким образом, чисто кинематическое
происхождение. Длина стержня или расстояние между одновременным поло¬
жением его концов оказывается величиной относительной — различной в раз¬
личных системах отсчета. Разумеется, относительность длины отнюдь не озна¬
чает отказа от ее объективности в каждой системе отсчета. Таким образом,
длина является величиной относительной. #
2.4.2. Остановимся теперь подробнее на относительном ха¬
рактере промежутка времени. Пусть промежуток времени меж¬
ду двумя событиями, происшедшими в одной и той же точке дви¬
жущейся системы S', будет Д/'=/2'—Л'. В системе отсчета S
промежуток времени между этими же событиями будет в соот¬
ветствии с преобразованиями Лоренца
, . .. <’ + (v/c2)x' t[ + (v*lc*)x'
К1 - ѵ’/с» Y1 - v2/c2 Y1 - f2/c2
•T. e. движущиеся часы отстают по отнршению к покоящимся.
Этот вывод получен из рассмотрения хода часов системы S7 с точки зрения
системы S. Часы системы S' оказались отстающими по отношению к часам си¬
стемы S. Совершенно аналогично можно показать, что часы системы S отстают
относительно часов системы S'. Однако никакого противоречия здесь нет. В са¬
мом деле, пусть в некоторый момент t\ часы А системы S находятся против
движущихся часов А' системы S'. Допустим далее, что часы А и А' показы¬
вают одно и то же время (рис. 2.2, а). Часы А движутся относительно систе¬
мы S, поэтому спустя некоторое время Д/ в системе S будем сравнивать их по¬
казания уже не с часами Л, а с часами В, по отношению к которым они ока¬
жутся отстающими (в соответствии с выводом формулы (2.66) показания часов
должны сравниваться в одной и той же точке пространства).
Рассматривая то же явление с точки зрения системы S' (см. рис. 2.2), ви¬
дим, что для суждения об отставании часов А необходимо сравнивать их по¬
казания с часами С'. Таким образом, когда говорим, что часы системы S' от¬
стают от часов системы S, то сравниваем показания часов А' с показаниями
часов В (рис. 2.2). Когда же говорим об отставании часов системы S по отно¬
шению к часам системы S', то сравниваем показания часов А с часами С'
(см. рис. 2.2.). Таким образом, здесь каждый раз сравниваются показания раз¬
личных часов и никакого противоречия в приведенном выше утверждении нет.
Из преобразования Лоренца вытекает не только объективно относительный
характер длины, но и объективно относительный характер течения времени.
При анализе преобразования Лоренца далеко не всегда в достаточной сте¬
пени акцентируют внимание на том, что оно связывает имеющие определенный
физический смысл пространственно-временные координаты х1, х2, х3, t некото¬
рого точечного события с имеющими тот же физический смысл пространствен -
53
Рис. 2.2. К анализу процессов измерения времени
а — часы А и А' показывают одно и то же время; б — часы Д' отстают по отношению
к часам В, а часы А отстают по отношению к часам С
но-временными координатами того же события в другой инерциальной системе
отсчета. Вместе с тем только благодаря этому утверждению преобразование
Лоренца из чисто математической операции превращается в физический закон,
а подлинное содержание релятивистской теории сводится к утверждению не
только математической, но и физической ковариантности уравнений физики
относительно преобразования Лоренца. В этом заключается сущность одного
из постулатов теории относительности. То, что это утверждение нельзя считать
«само собой разумеющимся», видно хотя бы из того, что еще Г. Фохт в 1887 г.
установил инвариантность волнового уравнения относительно преобразований,
совпадающих по существу с преобразованиями Лоренца. Однако для Г. Фохта
преобразованные величины х'1, х'2, х'3, f были только математическими функ¬
циями, и он был совершенно далек от мысли, что как х1, х2, х3, /, так и х'1, х'2,
х'3, tf имеют одинаковое физическое значение, каждое в своей системе отсчета.
Для Лоренца координата t (местное время) была только некоторой функцией
действительных физических координат х1, х2, х3, t и только при более глубо¬
ком анализе исчезла разница между «местным временем» и «настоящим вре¬
менем».
С физической точки зрения «местное время» Лоренца является просто вре¬
менем движущейся инерциальной системы отсчета. Указанное обстоятельство
подчеркивалось многими выдающимися физиками после выхода работы
А. Эйнштейна [43] (см., например, [89]).
2.4.3. Анализ А. Эйнштейна основывался на эксперименталь¬
но установленных свойствах электромагнитного поля. Предло¬
женные им способы измерения координат явились не продуктом
«свободного соглашения», а необходимым следствием вновь
установленных физических закономерностей. Например, предло¬
женный им способ синхронизации часов физически полностью
обосновывался экспериментально установленной независимо¬
стью скорости света от скорости движения источника.
Таким образом, принятые в релятивистской механике мето¬
ды измерения пространственно-временных координат оказались
54
пригодными, потому что они соответствуют объективной реаль¬
ности и правильно ее отражают. .
Из правильно понятых физических преобразований Лоренца
с логической необходимостью следуют известные выводы об от¬
носительности длин, промежутков времени и одновременности.
Следовательно, утверждение, что присущие материальным
телам и процессам свойства пространственной протяженности и
длительности различно проявляются в разных системах отсче¬
та, носит объективный характер.
Относительность длин и промежутков времени проявляется в
самых различных процессах и, разумеется, не зависит ни от на¬
блюдателя, ни от принятых методов, измерения. Можно сказать,
что относительность длин и промежутков времени проявляется
во всех процессах, описываемых дифференциальными уравнения¬
ми, физически ковариантными относительно группы Лоренца.
2.5. Мировые линии движущихся
материальных частиц. Собственное время
Допустим, что относительно инерциальной системы отсчета S
движется материальная частица, закон движения которой опи¬
сывается уравнением вида
xk=xk(t) (£=1, 2, 3). (2.67)
В таком случае для дифференциала интервала (или, что то же
самое, для элемента длины мировой линии) получим
ds2 = <?dt2 — dx12 — dx# — dx?2 «
= c2dt2 — dt2 = с2 [I — dt\ (2.68)
откуда следует
(2.69)
Интегрируя (2.69), получим
ü = - (2.70)
h
Как ds, так, разумеется, и s (дифференциал длины и сама
длина мировой линии частицы) являются инвариантами преоб¬
разования координат, т. е. они будут иметь одно и то же значе¬
ние во всех системах отсчета. Следовательно, если переходим от
инерциальной системы отсчета S к системе отсчета 5', то получим
(271>
55
здесь величины t0, tiy qi(t) получаются из величин /0, h и q(t)
при помощи преобразования Лоренца, связывающего системы
отсчета S и 5'.
Время, отсчитываемое часами, связанными с движущейся ча¬
стицей, называется собственным временем этой частицы. Соглас¬
но (2.70) собственное время является инвариантом преобразо¬
вания координат, так как оно пропорционально длине мировой
линии, пройденной движущимися часами (множитель пропорцио¬
нальности равен 1/с). Этот вывод был полностью подтвержден
на основе экспериментов по так называемому температурному
красному смещению (температурное красное смещение не сле¬
дует смешивать с гравитационным смещением). Эти эксперимен¬
ты, основанные на эффекте Мёссбауэра, будут подробно рас¬
смотрены ниже (см. п. 2.8).
Разумеется, не только длина, но и форма мировой линии в 4-мерном кон¬
тинууме являются абсолютными инвариантами любого преобразования коор¬
динат (т. е. даже преобразования, переводящего данную инерциальную систе¬
му отсчета в некоторую неинерциальную систему отсчета). Мировую линию
частицы можно было задать вообще не обращаясь к представлениям о каких-
либо координатах. Для этой цели достаточно было бы задать главные радиу¬
сы кривизны и кручения мировой линии как функции параметра s. Конечно,
при таком задании мировой линии она была описана с точностью до положе¬
ния в 4-мерном пространственно-временном континууме.
Мировые линии всего множества частиц, составляющих нашу Вселенную,
с этой точки зрения могли быть представлены в виде конгруэнции мировых ли¬
ний, идущих от «вечности» до «вечности» и в известном смысле описывающих
то, что происходило или может произойти в нашей Вселенной. Для определения
подобной конгруэнции мировых линий необходимо было бы задать главные
радиусы кривизны и кручения каждой мировой линии как функции параметра
s и еще трех скалярных параметров.
Заметим, что итальянский математик Э. Чезаро построил подобную геоме¬
трию кривых в 2-мерном евклидовом пространстве, при этом никакие коорди¬
наты вообще не вводились. Э. Чезаро назвал построеннную геометрию нату¬
ральной геометрией.
Г. Минковский в своей работе [93], посвященной структуре пространства и
времени, указывал, что законы физики получат наиболее совершенное выра¬
жение в виде геометрии конгруэнции (потока) мировых линий всех частиц Все¬
ленной. Отметим, однако, что с квантовой точки зрения эта идея не осуще¬
ствима, так как здесь не может быть приписана каждой частице определенная
траектория как функции параметра s, играющего роль времени. Однако воз¬
можно построение статистической теории конгруэнций мировых линий.
Сделаем еще несколько заключительных замечаний. Мировая
линия частицы, покоящейся в некоторой системе отсчета, оче¬
видно, будет совпадать с осью времени этой системы отсчета.
В другой системе отсчета эта частица уже будет иметь некото¬
рую скорость V и для наблюдателей в новой системе отсчета ми¬
ровая линия частицы представится в виде прямой линии, накло¬
ненной к оси времени новой системы отсчета. На рис. 2.3 показа¬
56
но движение частицы в 3-мерном евклидовом пространстве, а
на рис. 2.4 показана мировая линия той же частицы. Таким об¬
разом, наблюдаемые траектории движущихся частиц являются
проекциями на 3-мерную пространственно-подобную гиперпо¬
верхность мировой линии частиц в четырехмерном пространст¬
венно-временном континууме2.
Обратим внимание на следующее. На оси времени рис. 2.4 поставлена ве¬
личина let, т. е. ось времени считается мнимой. В самом деле, как выше отмеча-
Рис. 2.3. Движение частицы в 3-мерном евклидовом пространстве
Рис. 2.4. Мировая линия движущейся частицы
лось, основную квадратичную форму пространственно-временного континуума
можно записать как в виде \
dsi=MP—dxi,—dx^ ‘—dx3*,
так и в виде
ds3=dx'‘+dx*'+dx3 ’ -cW. (2.72)
В первом случае для покоящейся частицы (Jx1 = dx2=dx3=0) величина s
будет действительна. Во втором случае величина s для покоящейся частицы
принимает мнимое значение, что и получило отражение на рис. 2.4. В дальней¬
шем будем иногда пользоваться формой (2.72), которая может оказаться в не¬
которых случаях более удобной. Последнее будет специально оговариваться.
2.6. Несколько замечаний об инвариантах
группы Лоренца
В дальнейшем придется иметь дело с тензорными величинами,
описывающими различные физические поля. Так, встретимся с
тензором электромагнитного поля Fik, с тензором энергии-им¬
пульса электромагнитного поля и других полей Tih и т. д. Из этих
тензоров могут быть образованы различные инварианты или ска¬
ляры, которые будут сохранять свои значения при преобразова¬
ниях Лоренца, т. е. во всех инерциальных системах отсчета.
В связи с этим сделаем несколько замечаний.
2 Поверхность считается пространственно-подобной, если вектор, касательный
к любой точке этой поверхности, пространственно-подобен. Аналогично опре¬
деляется времени-подобная гиперповерхность.
57
Из того обстоятельства, что при переходе от одной инерци¬
альной системы отсчета к другой инерциальной системе отсче¬
та пространственно-временные координаты преобразуются при
помощи группы Лоренца, следует, что различные векторные и
тензорные физические величины, служащие для описания раз¬
личных физических полей, должны преобразовываться при по¬
мощи групп, гомоморфных группе Лоренца (см. п. 2.2).
Таким образом преобразуются, например, компоненты электромагнитного
поля [56]: «Чисто магнитное поле постоянного магнита проявляется в движу¬
щейся по отношению к магниту системе координат как совокупность магнит¬
ного и электрического полей. Эта относительность полей ярко сказывается уже
при малых скоростях, поэтому давно изучена и стала привычной».
Следует иметь в виду, что только в релятивистской физике стал понятен
глубокий смысл этой относительности. Для понимания релятивистской теории
фундаментальное значение имеет то обстоятельство, что для описания физиче¬
ских объектов и их свойств наряду с величинами физически относительными
вводятся величины физически абсолютные, или инвариантные, т. е. величины,
не зависящие от системы отсчета и состояния ее движения. Во избежание не¬
доразумений заметим, что термин «абсолютный» всюду понимаем только в
этом смысле. Другими словами, термин «абсолютный» употребляется как сино¬
ним термина «инвариантный».
Такими абсолютными величинами являются, например, интервал s2=x1 -|-
4-х2 4-х1 —с2/2, инварианты электромагнитного поля Ех Н и Е2—Н2 и т. д.
Существенно важно то обстоятельство, что в теории относи¬
тельности уравнения, описывающие различные процессы, име¬
ют один и тот же вид во всех системах отсчета.
Итак, в релятивистской теории вовсе не утверждается, что
свойства, присущие телам или процессам как таковым, относи¬
тельны. В конце концов она показывает только то, как именно
инвариантные свойства выступают в относительных проявлени¬
ях в различных системах отсчета. Но вместе с тем релятивист¬
ская теория показывает, каким образом из этих физически от¬
носительных величин можно получить характеризующие объек¬
ты— величины физически абсолютные. Другими словами, глу¬
бокий смысл этой теории заключается в том, что она указывает
путь, позволяющий по физически относительному находить фи¬
зически абсолютное или инвариантное [56].
2.7. Строение пространственно-временного
континуума. Связь с законом причинности
Перейдем к рассмотрению некоторых существенных особенно¬
стей строения пространственно-временного континуума реально¬
го мира.
Пусть в начале координат некоторой инерциальной системы
в момент времени t = 0 произошло некоторое точечное событие,
заключающееся, например, в испускании света. Для простоты
58
ограничимся рассмотрением одной пространственной координа¬
ты X и времени /, откладывая их на осях прямоугольных коорди¬
нат (рис. 2.5). Луч света, исходящий из точки О в момент вре¬
мени t = 0, изобразится в указанной системе отсчета прямыми
АВ или DC. Так как наибольшая возможная скорость движения
материальной точки всегда меньше скорости света, то прямоли¬
нейное и равномерное движение такой точки, проходящей в мо¬
мент /=0 через координату х=0, изобразится на рис. 2.5 прямой
линией, наклоненной к оси времени t под углом, меньшим, чем
углы, образуемые с этой осью прямыми АВ и CD.
Таким образом, прямые, изобра¬
жающие движение частиц, выле¬
тают из точки О в момент /=0,‘
должны лежать внутри областей
АОС и DOB. Нетрудно убедиться,
что интервал, связывающий любую
точку в области АОС или DOB с
начальной точкой, носит времени¬
подобный характер, т. е. для лю¬
бых точек в упомянутых областях
имеет место соотношение х2—с2/2<0.
Рассмотрим детальнее особен¬
ности событий, изображаемых точ¬
ками в области АОС. Как следует
из неравенства, все эти события
являются (по отношению к собы-
Рис. 2.5. к анализу строения
к пространственно-временного
континуума
тию О) будущими событиями. Область АОС можно назвать (по
отношению к событию О) областью абсолютно будущего, так
как не существует системы отсчета, в которых события, изобра¬
жаемые какой-либо точкой в области АОС, произошли бы рань¬
ше, чем событие О. Аналогично этому область DOB (см. рис. 2.5)
можно назвать (по отношению к событию О) областью абсо¬
лютно прошедшего. В областях СОВ и AOD интервал, связы¬
вающий любую точку этих областей с точкой О, носит простран¬
ственно-подобный характер. Не существует системы отсчета,
в которой события, изображаемые точкой О и какой-либо точ¬
кой из этих областей, происходили бы в одной и той же точке
пространства. Однако в этих областях понятия «одновременно»,
«раньше» и «позже» приобретают полностью относительный ха¬
рактер. Существуют системы отсчета, в которых событие О
предшествует какому-либо событию К, изображаемому точкой
в области СОВ или AOD. Наоборот, в других системах отсчета
событие О может происходить позже или одновременно с упо¬
мянутым событием К. . '
На первый взгляд может показаться, что относительность по¬
нятий «раньше», «позже» находится в резком противоречии с
законом причинности, так как согласно этому закону причина
всегда должна предшествовать следствию. Однако противоре¬
чие это только кажущееся. В самом деле, если скорость распро-
59
странения взаимодействий между различными телами не может
превосходить скорости света, то интервал между событиями, ко¬
торые можно определить как причину и следствие, всегда носит
времени-подобный характер. Для таких событий, как отмеча¬
лось понятия «раньше» и «позже» являются абсолютными. Та¬
ким образом, принятые в теории относительности представления
о пространственно-временном континууме находятся в полном
соответствии с общим законом причинности.
2.8. Компоненты 4-скоростей
Компоненты скорости частиц в 3-мерном евклидовом простран¬
стве определяются как
qh=dxkldt. (2.73)
Следует отметить, что в евклидовом пространстве в декарто¬
вых координатах исчезает различие между ко- и контрвариант¬
ными составляющими векторов и тензоров. Поэтому составляю¬
щим векторов и тензоров в этом пространстве и в этих координа¬
тах будем приписывать только верхние индексы. Далее условим¬
ся считать, что если в произведении нескольких сомножителей
встречаются два одинаковых верхних индекса, то по ним произ¬
водится суммирование от одного до трех.
Таким образом, квадрат 3-мерной скорости может быть за¬
писан в виде
q2=qhqh= №Г= (ç1) 2+ (<?2) 2+ (<?3)2. (2.74)
Компоненты 3-мерной скорости (2.73) не являются составля¬
ющими вектора в псевдоевклидовом пространстве. Единствен¬
ный 4-вектор, который мож'но образовать из компонент скоро¬
сти материальной точки (2.73), записывается следующим обра¬
зом:
(2-7S)
В дальнейшем в качестве компонент радиус-вектора в псевдо¬
евклидовом пространстве будем принимать
xJ = x4; х2 = х2; х3 = х3; x° = ict. (2.76)
Нетрудно убедиться, что компоненты 4-скорости могут быть
записаны также следующим образом:
= dx^cdx, где dx — 1 — q2/c2dt =* ds/c. (2.77)
Компоненты 4-скорости не являются независимыми, так как
они тождественно удовлетворяют соотношению
иіиі =— I. (2.78)
60
Компоненты 4-скорости преобразуются по формулам преоб¬
разования Лоренца как составляющие вектора в псевдоевклидо-
вом пространстве.
2.9. Теорема сложения скоростей
Большое значение в релятивистской кинематике имеет теорема
сложения скоростей. Представим себе материальную точку, ко¬
торая движется относительно инерциальной системы S со ско¬
ростью
ak = dx*ldt. (2.79)
Относительно другой инерциальной системы S' рассматри¬
ваемая материальная точка будет двигаться со скоростью
a'k=dx'kldt' (£=1,2,3). (2.80)
Если система S' движется относительно системы S вдоль оси х
со скоростью V, то, как это вытекает из преобразования Лорен¬
ца, связь между относительными скоростями ак и а'к дается сле¬
дующими формулами [88]:
- _ (о.. а, _ („..у ,
а‘ (о- У1 - £)/(1 + . (2.81>
В частном случае, если частица движется параллельно оси
х', из формул (2.81) следует
а1 = (а'1 + и)/( 1 + . (2.82).
Пример 2. Допустим, что тело В движется вдоль оси х относительно
тела А со скоростью 0,9 с, а тело С движется относительно тела В также со
скоростью 0,9 с. Спрашивается, с какой скоростью тело С движется относи¬
тельно тела Л? Согласно элементарным представлениям (лежащим также в
основании механики Ньютона) скорость тела С относительно тела А должна
равняться
0,9 с+0,9 с =1,8 с.
Ответ этот, однако, совершенно неверен. В соответствии с формулой
(2.82) эта скорость будет равна
0,9с + 0,9с
1 + (0,9с)а/са
= 0,995с.
Как и следовало ожидать, относительная скорость тела С по отношению,
к телу А оказалась меньше с, так как никакое тело не может двигаться со*
скоростью, большей скорости света относительно инерциальной системы.
61
При малых скоростях движения различие между законом
сложения скоростей, полученным из формулы (2.82), и класси¬
ческим законом исчезает. Если ѵ^с, то а = а'+ѵ.
Аналогично рассматривается 4-вектор ускорения [7J. ,
2.10. Общее преобразование Лоренца
Введение понятия вектора 4-скорости дает возможность в наи¬
более простом виде представить матрицу общего преобразова¬
ния Лоренца 17, 91J.
Допустим, что компоненты скорости движения инерциальной
системы отсчета S' относительно инерциальной системы отсчета
5 имеют значения
uk = dxk/cdx (k = 0,1,2,3). (2.83)
Тогда общее преобразование Лоренца дается формулой
x'k « а>. (2.84)
Тензор арк может быть представлен в виде следующей матрицы:
( jhffL _1И1
1 — iu0 1 — iuQ 1 — iu0
МаЫ1 J іщ? u2u3
1 — iu3 *1 — iu0 1 — iu0
U3Ui U3U2 . , U3U3 .
: — : — 1+; — -iu3
1 — IUq 1 — IWO 1 — lU0
iur iUz iu3 —ш0
(2.85)
*C помощью этой матрицы можно производить преобразование
различных векторных и тензорных величин при переходе от од¬
ной инерциальной системы отсчета к другой. В частности, она
используется в задачах инерциальной навигации.
Пример 3. Пусть в системе отсчета S' задан тензор
(2.86)
Этот же тензор в системе отсчета S будет иметь вид
тік а'а* (Т”””) (р + е) и‘и* + pg*. (2.87)
62
2.11. Преобразование волнового вектора
и частоты. Продольные и поперечные эффекты
Доплера
Рассмотрим в пространстве с метрикой s2= (х‘)2+(х2)2-!-(х3)2—
—с2/2 два вектора — радиус-вектор точки, заданной в этом про¬
странстве (х1, X2, X3, et), и компоненты волнового 4-вектора (kl,
k2,k3,a/c).
Скалярное произведение этих векторов
xlki +х?кг+x3kt—(2.88)
является инвариантом. Этот инвариант называется фазой пло¬
ской волны. Следовательно, при переходе к новой инерциальной
системе отсчета компоненты волнового вектора и частоты пре¬
образуются как компоненты 4-вектора;
k\ -4- (v/c2} coz û/ 4- kJ)
fel 7 -L_ ; = œ = 1 -.(2.89)
V1 - V1 — &[c2 .
Если источник света имеет в собственной системе отсчета
частоту, о', то при движении по лучу зрения получим (излуча¬
тель находится в штрихованной системе)
ю _ Сі/ (1 — Ü/C)
/1 — Üa/Ca
При движении источника перпендикулярно к лучу зрения полу¬
чим
о =3 а' . (2.91)
Kl-fVc2
Формулы (2.90) и (2.91) выражают продольный и поперечный
эффекты Доплера.
При 1 можно написать для продольного эффекта
ф«ф'(1—ѵ/с) (2.92)
и для поперечного эффекта
w~û/. (2.93)
Это классические формулы эффекта Доплера. В данном случае
поперечный эффект Доплера не имеет места.
Классический эффект Доплера зависит, таким образом, от
$ = ѵ/с, входящей в уравнение эффекта Доплера в первой степе¬
ни. В релятивистском случае наряду с поправкой к продольному
эффекту Доплера возникает еще поперечный эффект Доплера.
Эти эффекты зависят уже в первом приближении от (J2 и поэто¬
му при малых скоростях источника трудно наблюдаемы.
Тем не менее в тонких экспериментах П. Айвса и Д. Стилуэл¬
ла, использовавших в качестве источника излучения каналовые
вз
лучи, формулы (2.90) и (2.91) получили хорошее подтверждение
191,7].
Совершенно новую и исключительно точную возможность
проверки релятивистских утверждений о «парадоксах времени»
дал эффект Мёссбауэра, согласно которому смещение частоты у
квантов, излучаемых ядрами на 1 К,'может быть найдено по фор¬
муле
д / ôv \ ср
~дТ \~) “^2^’
Как указывает Г. Вертхейм [94], при быстром тепловом движе¬
нии атомов в твердом теле из того факта, что энергия у-квантов,
испускаемых таким атомом, уменьшается с ростом его темпера¬
туры, следует, что частота атома тем более понижается, или
«ход времени для атома тем более замедляется», чем больше
«го скорость относительно неподвижного наблюдателя. Ускоре¬
ния, испытываемые атомом в твердом теле, очень велики и пре¬
восходят в ІО14 раз гравитационное ускорение у поверхности
Земли, однако это никак не влияет на релятивистское замедле¬
ние времени.
Таким образом, температурное смещение частоты, получен¬
ное на основе эффекта Мёссбауэра, дало прекрасное подтверж¬
дение релятивистского замедления времени. При этом было так¬
же показано, что релятивистское замедление времени зависит
только от скорости, но не от (в широких пределах) ускорения
источника излучения.
Известно, что наряду с температурным смещением существу¬
ет гравитационное смещение частоты, которое также может быть
получено экспериментально на основе эффекта Мёссбауэра.
Этот эффект рассмотрим в разделе, посвященном ОТО.
Релятивистский эффект Доплера дал возможность устано¬
вить, что все галактики удаляются с тем большей скоростью от
нас, чем дальше они от нас находятся (закон Хаблла). Так были
найдены космические объекты (например, группа галактик в
созвездии Гидры), удаляющиеся от нас с гигантской скоростью—
красное смещение этих галактик указывало на одну пятую ско¬
рости света. Сравнительно недавно для ряда квазаров (З.СУ
и др.) К. Шмидт нашел красное смещение, соответствующее
трем пятым скорости света.
В заключение отметим, что существует прекрасное подтверж¬
дение релятивистского замедления времени. Например, корот¬
коживущие элементарные частицы, обладающие большой ско¬
ростью, могут проходить в лабораторной системе отсчета рас¬
стояния на много порядков больше, чем произведение скорости
света на. их время жизни, измеренное для частиц, покоящихся в
лабораторной системе. Понятно, что этот эффект является ре¬
зультатом замедления темпа всех процессов, происходящих с
.движущейся частицей, т. е. эффекта замедления времени.
64
2.12. О «парадоксе с часами» [7, 95, 108]
Суть «парадокса с часами» [95, 96, 7] заключается в следующем
(рис. 2.6). Представим себе инерциальную систему отсчета SA,
в начале которой покоятся часы Ло- Допустим, что в момент вре¬
мени /А°=0 мимо них пролетают часы В, показывающие в этот
момент времени tB=0. Допустим, далее, что часы В движутся с
постоянной скоростью ( + ѵ) в положительном направлении оси
хА системы SA. В таком случае часы В при сравнении их показа¬
ний с показаниями часов си¬
стемы SA, мимо которых они в
данный момент пролетают,
должны отставать от этих ча¬
сов в соответствии с формулой
=/fTTpSf4, р = ц/с.
(2.95)
Справедливость этой формулы
является твердо установлен¬
ным фактом. Если часы В,
пролетев некоторое расстояние
(сколь угодно большое) в си¬
стеме SA, поворачивают обратно
возвращаются к часам Ло> то в
часами Ло должно быть
&₽ = &ТР.
Рис. 2.6. К «парадоксу с часами»
и с постоянной скоростью (—и)
момент их повторной встречи с
(2.96)
Рассмотрим весь этот процесс с точки зрения системы отсче¬
та, жестко связанной с часами В. Пока часы В движутся в поло¬
жительном направлении оси хАі эта система отсчета строго инер-
циальна. Эта система отсчета будет строго инерциальной и при
обратном движении часов В со скоростью (—и). Следовательно,
если пренебречь влиянием кратковременного ускорения часов В,
возникшим при изменении направления их движения, то, каза¬
лось бы, придем к выводу, что часы Ао должны все время отста¬
вать по отношению к часам системы отсчета, жестко связанной с
часами В; следовательно, в момент повторной встречи /встр с ча¬
сами В как будто бы должно быть
/вс%р = /зстр. (2.97)
Противоречие между формулами (2.96), (2.97) и составляет
содержание «парадокса с часами». Противоречие в (2.96) и
(2.97) состоит в том, что и /встр поменялись местами.
Следует отметить, что при рассмотрении хода часов Ао с точки зрения си¬
стемы отсчета SB все время сравниваем показания этих часов с теми часами
системы SB, мимо которых они в данный момент пролетают. Другими словами,
сравнение показаний хода часов всегда происходит в одной и той же точке
3 Б. Н. Петров и др.
65
пространства. Необходимо, однако, пояснить следующее обстоятельство. При
выводе формулы (2.96) пренебрегали влиянйем кратковременного ускорения
часов В на показания их стрелок (в сущности говоря, такое же предположе¬
ние было сделано при получении формулы (2.97)). По этому поводу необходи¬
мо отметить следующее.
1. Экспериментальные исследования, связанные с эффектом Мёссбауэра
(температурное красное смещение), показали, что релятивистское замедление
времени зависит только от скорости и не зависит от ускорения движущихся
часов, если сравнивать их показания с показаниями неподвижных (в инерциаль¬
ной системе отсчета) часов, мимо которых они в данный момент пролетают.
Именно с такой ситуацией имели дело при изложении «парадокса с часами».
Здесь сравнение показаний движущихся и неподвижных часов всегда происхо¬
дит, как уже выше отмечалось, в одной и той же точке пространства.
Таким образом, изменение показаний часов В может вычисляться по
формуле
И / -г
= P (tA} = Г I / J _ dt\ (2.98)
Jr С1
о
если только ускорение часов В не превышает ІО14 g. Обозначив теперь через
ôtA время ускоренного движения часов В по часам системы SA, легко заклют
чить, что за это время стрелки часов В сместятся на величину
t>tB= J |/ (2.99)
ÎA
Теперь совершенно ясно, что всегда можно выбрать такую положительную
величину т), что при условии ÔfA<î] будем иметь 0/в<е, где е — наперед за¬
данная малая положительная величина, ограниченная только одним требова¬
нием: ускорение движущихся часов не должно превосходить указанного выше
предела. Но есть все основания ожидать, что дальнейшие эксперименты по
эффекту Мёссбауэра увеличат этот предел.
Еще раз подчеркнем, что от температурного красного смещения следует
отличать гравитационное смещение, когда сравниваются показания часов, на¬
ходящихся в различных точках пространства, причем между этими точками
существует конечная разность гравитационного потенциала (см. гл. 3).
2. Во всяком случае изменение показания часов В, связанное с их кратко¬
временным ускорением, может быть сделано как угодно малым по сравнению
со временем их путешествия от часов Ло и обратно. Для этого необходимо,
чтобы длина пути часов В, начиная с момента их первой встречи и до момента
второй встречи с часами Ло, была достаточно велика.
Для разъяснения парадокса необходимо показать, что формула (2.96)
остается справедливой как с точки зрения системы отсчета SA, так и с точки
зрения системы отсчета SB, жестко связанной с часами В.
Помимо изложенного выше «парадокса с часами», в литера¬
туре обсуждался еще так называемый обобщенный парадокс с
часами, содержание которого будет изложено ниже.
ев
2.12.1. Разъяснение В. Паули. В известной книге В. Паули
[89J, посвященной теории относительности, дается удивительное
по своей наглядности разъяснение «парадокса с часами».
В. Паули прежде всего замечает, что промежутки времени,
отсчитываемые часами, пропорциональны интегралам вдоль ми¬
ровых линий, по которым двигались эти часы в пространствен¬
но-временном континууме. В результате получим
___ длина мировой линии часов Лр 1 Ç (2 100)
іс іс J ’
длина мировой линии часов В
іс *
(2.101)
іоі
встр
Л
Мировая
линия
часов А
t°=o
0
часов В
rfoSofTv'b8cmpl2'
Рис. 2.7. Мировые линии часов Ло и В
А
часов, т. е.
отсчитывае-
Мировые линии, проходимые часами Ао и В, показаны на рис. 2.7.
Применяя теорему Пифагора, можно написать
- А ' 2 ]/(2-ИЙ,,)’ + (-i-vÆp)’ • (2.102)
Из (2.102) следует
&р.==/1-Ѵ8/С2$Тр-
(2.103)
Так как интегралы (2.100),
(2.101) являются инвариант¬
ными, то пришли бы к тому
же результату независимо от
системы отсчета, с точки зре¬
ния которой рассматривается
изучаемый процесс. В. Паули
подчеркивает, что интегралы
(2.100), (2.101) дают собст¬
венное время рассматриваемых
мое наблюдателем, постоянно имеющим ту же скорость, что и
часы.
Сделаем несколько общих замечаний по поводу разъяснения В. Паули.
1. Выше принято, что время, показываемое часами, движущимися произ¬
вольным образом, равно длина мировой линии часов/tc. В. Паули замечает, что
это может считаться справедливым, если часы движутся с не слишком боль¬
шим ускорением (см. также [89]). Это предположение В. Паули вполне обос¬
новано до весьма значительных ускорений. Здесь нелишне еще раз подчеркнуть,
что, во всяком случае, изменение показания часов В, связанное с их кратко¬
временным ускорением, может быть сделано как угодно малым по сравнению со
временем их путешествия от часов Ло и обратно.
2. Несмотря на то, что влиянием кратковременного ускорения часов В на
их ход можно пренебречь, все же это ускорение имеет основное значение в
разрешении «парадокса с часами», ибо благодаря этому ускорению изменилось
направление мировой линии часов В и она приняла форму О—I—II—III
(см. рис. 2.7).
67
3*
3. В псевдоевклидовом пространственно-временном континууме инвариант¬
ная длина ломаной линии 0—I—II—III оказывается меньше инвариантной дли¬
ны прямой 0—III. Напомним, что свет в 4-мерном континууме вообще распро¬
страняется по линиям нулевой длины.
В заключение следует подчеркнуть существенную асимме¬
трию в поведении часов Ао и В. В самом деле, часы Ло все время
покоятся в инерциальной системе отсчета SA, в то время как
часы В сначала были связаны с инерциальной системой отсче¬
та, имеющей скорость +и по отношению к системе SA, а затем —
с инерциальной системой отсчета, имеющей скорость —ѵ по от¬
ношению к той же системе отсчета SA.
Так как В. Паули рассматривал «парадокс» в псевдоевклидо¬
вом пространстве СТО, то из указанной асимметрии следует,
что мировая линия часов Ло является геодезической этого про¬
странства, в то время как мировая линия часов В таковой не
является. Таким образом, системы отсчета SA и SB отнюдь не
равноценны.
2.12.2. Метод трех инерциальных систем координат [7, 95].
Данное В. Паули разъяснение «парадокса с часами» основыва¬
лось на вычислении инвариантных длин мировых линий, прой¬
денных как часами Ло, так и часами В. Вместе с тем можно по¬
ставить вопрос о полном расчете времени часов Ло с точки зре¬
ния системы координат, жестко связанной с часами В. Такая
постановка вопроса, сделанная в последние годы рядом авто¬
ров, вполне оправданна [7, 95J. Необходимо прямым расчетом
показать, что с точки зрения системы отсчета, жестко связан¬
ной с часами В, должно быть справедливо соотношение (2.96).
Ниже это будет сделано.
Рассматривая «парадокс с часами» с точки зрения СТО, необходимо опери¬
ровать исключительно с инерциальными системами отсчета. Поэтому необхо¬
димо прежде всего отметить, что часы В во время путешествия были вначале
жестко связаны с инерциальной системой отсчета SB, имеющей по отношению
к системе SA скорость +&, а затем с инерциальной системой отсчета Sc,
имеющей по отношению к системе SA скорость —ѵ [95,7].
В [97, с. 111] В. А. Брумберг отметил следующее: «Разъяснение парадокса
заключается в том, что надо рассматривать не две, а три инерциальные систе¬
мы: систему S, систему S', движущуюся относительно S со скоростью ѵ, и си¬
стему S", движущуюся относительно S со скоростью —ѵ. В первой половине
движения часы В покоятся в S', а во второй половине — в системе S". Если
вести все рассуждения в рамках системы S', то сначала часы А будут действи¬
тельно отставать, но затем, на втором этапе, будут двигаться и часы А (со ско¬
ростью —ü), и часы В (со скоростью —2 и/(1+^2с2)). Окончательно отстанут
именно часы В. Разумеется, этот результат одинаков во всех трех системах».
Заметим, что метод трех инерциальных систем отсчета впер¬
вые был опубликован И. И. Гольденблатом еще в 1961 г. в
статье [95, 108].
Рис. 2.8. К методу трех инерциальных систем отсчета
Рис. 2.9. Анализ процессов «сдвига времени»
Время перескока часов В из системы отсчета SB в систему
отсчета Sc по часам системы отсчета SA обозначим через tA
г прок.
Очевидно, время перескока по часам SA должно удовлетворять
соотношению
^Прск = у, 1 — р2 ^прск* (2.104)
Координаты перескока х^скв системе SA удовлетворяют соотно¬
шению
Япрсц = ^лрск> (2.105)
и, кроме того, в системе SA
2^прск ^ВСТр. (2.106)
Теперь можно рассматривать весь процесс с точки зрения систе¬
мы отсчета SB или систёмы отсчета Sc, е которыми последова¬
тельно связаны часы В. Рассмотрим этот процесс с точки зрения
системы отсчета Sc.
Что собой представляет система отсчета Sc? Чтобы ответить
на этот вопрос, необходимо отметить следующее. Часы переско¬
чили из системы отсчета SB в систему Sc в тот момент, когда их
показания удовлетворяли соотношению (2.104). Теперь необхо¬
димо принять, и это является наиболее существенным, что пока¬
зания часов системы Sc, расположенных в том же месте; куда
перескочили часы В, удовлетворяют соотношению
Сек = Сек =* Сек- (2-107)
Это соотношение является прямым следствием предположения о
том, что кратковременное ускорение часов В не оказывает влия¬
ния (или не оказывает существенного влияния) на показания их
стрелок (рис. 2.8). Вместе с тем, желая изучить ход часов Ао
с точки зрения системы 5е и, в частности, получить данные о по¬
69
казаниях часов Ао в момент их встречи с часами В, необходимо
принять, что синхронизация часов в системе Sc удовлетворяет
соотношению (2.106). Другими словами, необходимо принять,
что часы В включились в световую синхронизацию часов систе¬
мы 3е.
Следует отметить, что существует неограниченное множест¬
во систем отсчета 3е, движущихся относительно системы отсче¬
та 3А со скоростью —V. Все эти системы отсчета отличаются друг
от друга показаниями часов /£дв, пролетающих помимо часов
Ао в тот момент, когда они показывают время /А»=0 (рис. 2.9).
Величину /с удобно назвать «сдвигом времени» системы Sc
по отношению к системе 3А.
Из всего указанного множества систем отсчета 3е необходи¬
мо, мак это только что было разъяснено, выбрать такую систему
отсчета, которая удовлетворяет соотношению (2.106). Было при¬
нято, что часы системы Sc в момент, когда их стрелки показы¬
вают віремя t сдв пролетают мимо часов До системы 3А, показы¬
вающих время /А°=0. Допустим, что координата этих часов в си¬
стеме 3е равна Хсдв (см. рис. 2.9). В таком случае преобразова¬
нию Лоренца могут быть подвергнуты разности (хс— ХодВ) и
(tc — ^одв) • Перескок часов В в систему 3е характеризуется в этой
системе параметрами х£>Ск и /прок- Это же событие в системе SA
характеризуется параметрами Хпрск и /пРсч. Связь между этими
параметрами дается преобразованиями Лоренца
4>ск - ^-^-"^прск-^сдв) . (2108)
/1-03
(fC tc \ JL. (хс с }
л ' прсц ’сдв' г2 'лрсц сдв7
/прск = =Ê= . (2.109)
П-Р
Исключив из уравнений (2.108), (2.109) разность (Хпрск— ^одв) и
учитывая (2.105) и (2.107), получим
. (2.110)
H-h2 Кі-Ра
Рассмотрим теперь ход часов Ао с точки зрения системы от¬
счета Sc, начиная с момента их первой встречи с часами В, т. е.
с момента /А°=0, и кончая моментом /А°=^отр> т. е. моментом их
повторной встречи с часами В. Часы До показывают время /А°=
= 0 в тот момент, когда они пролетают мимо часов системы Sc,
показывающих время
<СДВ==-Р2^р//Г^.
Пусть начиная с этого момента до момента встречи часов Ао с
часами В (или рядом с ними расположенными часами С в систе¬
70
ме координат Sc) пройдет по часам системы Sc время Д/с. Тог¬
да можем написать
- P2&p//Ï^P + МС = £гр = tfcrp. (2.111)
Так как часы Ло запаздывают по отношению к часам системы
5е, то должно иметь место равенство
(2.112)
Исключив из (2.112) и (2.111) время Д/с, получим
£тр =* ^встр - &р. (2.113)
При рассмотрении процесса с точки зрения системы 5А была по¬
лучена формула (2.96), совпадающая с (2.113).
Таким образом, несмотря на запаздывание часов До по от¬
ношению к часам системы Sc (формула (2.112)), в момент встре¬
чи часов Л0 и В имеет место неравенство tA°>tB. Парадокс разъ¬
ясняется наличием определенного сдвига времени /~дв той систе¬
мы отсчета 5е, в синхронизацию которой включились часы В
после их перескока. Следовательно, для того чтобы можно было
сделать оиределенное заключение о поведении часов, нужно
сравнивать не только показания отдельных пар часов, но и весь
ход времени в двух движущихся друг относительно друга систе¬
мах отсчета, для чего, в свою очередь, необходимо знать величи¬
ну сдвига времени, определение которого дано выше.
Необходимо также обратить внимание на следующее. Выше рассматривал¬
ся с точки зрения системы отсчета Sc ход часов Ао, начиная с момента tA =0
(т. е. с момента их первой встречи с часами В) и кончая моментом /А ®р (т. е.
моментом их повторной встречи с часами В или рядом с ними расположен¬
ными часами системы Sc). Напомним, что часы В в момент /®рск перескочили
в систему Sc, причем благодаря наличию у системы Sc параметра сдвига вре¬
мени по отношению к системе SA часы В автоматически включились в синхро¬
низацию часов в этой системе.
Было отмечено, что рассмотрение хода часов Ао с точки зрения системы
Sc приводит к тому же результату, что и рассмотрение хода часов В с точки
зрения системы отсчета SA. Понятно, что тот же результат получится, если
рассматривать весь процесс с точки зрения системы отсчета SB.
Рассматривая поведение часов Ло начиная с момента tAo=0 до момента
/А = /В®тр в системе отсчета Sc, вывели формулу (2.111), т. е. определили по¬
казание часов в момент их повторной встречи с часами Ло.
Однако можно рассмотреть поведение часов Ло в той же системе Sc и вы¬
числить непосредственно величину / Ас°тр . Часы Ло относительно системы отсче¬
та Scдвижутся все время в одном направлении со скоростью 4-у. В тот мо¬
мент, когда часы Ло показывают время /А® =0, часы в системе Sc, мимо кото¬
рых в данный момент пролетают часы Ло, показывают (как это было выведено
выше) время /£дв:
<сдв = -Р2<вотр/’<Г7Р?- (2114)
71
Следовательно, по часам системы отсчета Sc время путешествия часов До
от момента, когда они показывали /А« =0 до момента /£.°тр должно равняться
£тр- (-■ (2-115)
Так как часы До, движущиеся относительно системы отсчета Sc, запаздывают
по отношению к часам этой системы, то должно иметь место равенство
гётр- = &₽• (2116)
После элементарных преобразований [7] получим
tc = tB = А 1<1 — В». (2.117)
*всгр *встр *встр г 1 Н • ' '
Таким образом, опять получили тот же результат, когда рассматривали
весь процесс в системе отсчета SA.
Возможно, однако, комбинированное рассмотрение. Можно, например, рас¬
сматривать ход часов До в системе отсчета SB вплоть до момента /прск и
начиная с этого момента рассматривать ход часов До уже с точки зрения си¬
стемы отсчета Sc. Во время движения часов До на первом этапе своего пути
они запаздывают по отношению к часам системы SB, т. е.
'?•= ^рскКТ^. (2.118)
Здесь / А° — время, отсчитанное часами До в конце первого этапа своего пути.
Далее рассмотрим ход часов До с точки зрения системы отсчета Sc. Стрел¬
ки часов в этой системе, мимо которых пролетают в данный момент часы До,
будут показывать время
(2.119)
Формула (2.119) легко получается-из преобразования Лоренца с учетом
параметра сдвига времени. Как указывалось выше, это преобразование будет
иметь вид
ѴС __ ГС _ X4 + . tc __ fi _ (tA+(v/C2) ХА)
х *сдв , ■ • 1 ‘сдв •
Kl-Р2 К1-Р2
В нашем случае хА=0 и /А=/л°, поэтому
<С=*сдВ+^/И^-
Учитывая формулу (2.110) для величины и формулу (2.118) для вели¬
чины получим в правой части написанного равенства выражение, совпа¬
дающее с (2.119). На втором этапе своего пути часы До запаздывают по отно¬
шению к часам системы Sc, т. е.
#=[£тр - С,- Р^в’тр)/игйё3)] (2.120)
Здесь tA°—время, отсчитываемое часами Ло на втором этапе своего пути.
Кроме того, как и раньше, /в — іс
■ *встр *встр«
Складывая (2.118) и (2.120), получим
&р = ф + ф = ^стрГІ^ + Р2^Тр. (2.121)
72
откуда следует формула (2.9Ѳ) или (2.117), т. е. тот же результат, который
получили с точки зрения системы SA.
Следует отметить, что возможны также и другие комбинированные под¬
ходы, на которых мы останавливаться не будем.
В заключение обратим внимание на то обстоятельство, что
изложенное выше разъяснение «парадокса с часами» основано
на использовании трех систем отсчета SA, SB и Sc, которые все
время остаются инерциальными. Кратковременное ускорение ис¬
пытывают только изолированные часы В.
Особое внимание следует обратить на тот факт, что фиксиро¬
вание момента /прск, связанного с моментом $ск соотношением
= а также послёдующее требование о включе¬
нии в синхронизацию часов
системы Sc, перескакиваю¬
щих в нее часов В, предо¬
пределяет ВеЛИЧИНу /сдв и
все последующие расчеты.
Несмотря на элементар¬
ность разъяснения приве¬
денного выше «парадокса с
часами», оно все же тре¬
бует значительных усилий
для его восприятия. Это
связано с тем, что на каж¬
дом шаге рассуждений не¬
обходимо отказаться от по¬
нятия об абсолютном течении
Рис. 2.10. К методу двух инерциаль¬
ных систем отсчета
времени и помнить, что ход вре¬
мени, так же как и понятие одновременности, суть понятия
относительные, зависящие от системы отсчета. .
2.12.3. Разъяснение «парадокса с часами» методом двух
инерциальных систем отсчета [7]. Рассмотрим поведение часов
Ао в описанной выше системе «парадокса с часами» с точки зре¬
ния поведения часов в системе отсчета SB (рис. 2.10). Часы Ао
будут все время двигаться в отрицательном направлении оси хв
системы SB. Что же касается часов 5, расположенных в начале
координат системы 5В до момента времени /прсц — xAÆpV1—£2, то
они будут покоиться в системе отсчета 5В. Далее, начиная с это¬
го момента часы В начнут двигаться в отрицательном направле¬
нии оси хв системы 5В со скоростью —2ѵ/(1 + £2). Здесь использу¬
ется релятивистский закон сложения скоростей (см. п. 2.9). Часы
В будут двигаться относительно системы 5А со скоростью (—ѵ),
в то время как система 5В будет двигаться относительно системы
5А со скоростью ( + ѵ),
Так как скорость часов В относительно системы 5В, равная
—2ѵ/(1 + ^2), будет по абсолютной величине больше скорости
часов Ло относительно этой же системы отсчета (эта скорость
равна (—ѵ)), то в конечном счете часы В догоняют Ло и необхо¬
73
Димо в момент встречи зафиксировать показания обоих часов.
Обозначим через Д/в время (по часам системы 5В), которое не-
°бходимо затратить часам В, чтобы догнать часы Ао. Рассчита¬
ем эту величину. Прежде всего заметим, что расстояние от ча¬
сов В (в момент начала их движения относительно системы SB)
до часов Ло будет в системе S* равно
v
В самом деле, в течение времени 1/2/юп>У1 — 02 часы Ао удаля¬
лись от часов В со скоростью ѵ. Теперь можно написать следую¬
щее Уравнение для момента встречи часов В и Ло:
Гпг Ыв ѵ.-А- v\tB, (2.122)
откуда
Д£тр /£ір(1 + р*)/2/П=^ (2-123)
Вычислим показания часов В в момент их встречи с часами Ло.
к,ак Видно, часы В в момент начала их движения относительно
$В Показывали время 1/2/^р У1—Р2- Далее, они начали двигать¬
ся относительно системы SB со скоростью —2о/(1 + 02) в течение
времени Д/в (по часам системы SB). Ясно, что во время своего
Движения относительно системы SB часы В запаздывают относи¬
тельно часов этой системы. Итак, для момента времени встречи
часов ло и В можем написать
Y &р + МВ /1-Й =« /fcTp, (2.124)
где
И— Й-1/1 —— =-А^-. (2.125)
1 Г (1 + р2,2 1 + Р’ ' ’
Теперь, подставив в (2.124) вместо Д/я его значение по формуле
(2-123) и вместо уі—[}/ его значение согласно (2.125), в резуль¬
тате Получим
С‘Гр/Г^Р^4Встр. (2 Л 26)
Итак, пришли к тому же самому результату, который получили
ПРИ рассмотрении всего этого процесса с точки зрения систе¬
мы S41
Здесь нелишне еще раз подчеркнуть, что из приведенных рас¬
суждений следует вывод о чисто кинематическом характере «па¬
радокса с часами». Идея приведенного здесь разъяснения пред¬
ложена В. А. Брумбергом [97].
2-12.4. Обобщенный «парадокс с часами» и его разъяснение
по Методу Паули (7, 95]. Рассмотрим теперь так называемый
74
Рис. 2.11. Обобщенный «парадокс с часами»
Рис. 2.12. Мировые линии часов До, В и D
обобщенный «парадокс с часами» (схема «парадокса» изобра¬
жена на рис. 2.11).
Часы В и часы £>, пролетая мимо часов Ло, показывают одно
и то же время: tB=tD = tA<> = 0. Предполагается, что путь часов D
является зеркальным отражением пути часов В относительно
оси Оу. Следовательно, в системе отсчета SA в момент повторной
встречи часов В и часов D с часами Ло должно быть
£тр = £тр =, (2.127)
«Парадокс» возникает, если рассмотрим весь этот процесс
с точки зрения системы отсчета, жестко связанной с часами В
или часами D. Обобщенный «парадокс с часами» разрешается
так же, как и обычный «парадокс». На рис. 2.12 показаны ми¬
ровые линии часов Ао, В и D. Очевидно, мировая линия часов Ао
изображается прямой 0—III, часов В — ломаной 0—I—III и ча¬
сов D — ломаной 0—II—III.
В свете изложенного выше рис. 2.12 дает наглядное разре¬
шение обобщенного «парадокса с часами». В самом деле, длины
мировых линий, пройденных часами Ло, В и D с точностью до
числителя іс, с одной стороны, равны показаниям часов Ло, В
и D в момент их повторной встречи, а так как длины мировых
линий этих часов, с другой стороны, являются инвариантами, то,
очевидно, придем к тому же самому результату (2.127), рас¬
сматривая весь процесс с точки зрения любой системы отсчета.
Непосредственное вычисление дает
/встр = &ТР =* — f dsB^4- f dsD. (2.128)
IC J IC J
0-1-III o-II-III
Но, применяя теорему Пифагора, можем написать
f tc^P.y + (2.129)
75
Учитывая (2.129) и (2.124), получим
ÆtP =* £тР = V4°тР> (2.130)
т. е. пришли к формуле (2.127).
В заключение заметим, что в свое время А. Эйнштейн пред¬
ложил разъяснение «парадокса с часами». Он предположил, что
кратковременное ускорение испытывают не отдельные изолиро¬
ванные часы (перескакивающие в другую инерциальную систе¬
му отсчета), а целиком одна из систем координат, участвующих
в рассмотрении этого процесса. Таким образом, А. Эйнштейн
вводил неинерциальную систему отсчета, а данное им разъясне¬
ние основывалось на зависимости темпа хода часов от гравита¬
ционного потенциала (эффект гравитационного смещения).
А. Эйнштейн дал свое разъяснение чисто качественно, не при¬
водя каких-либо расчетов. Подробное разъяснение с необходи¬
мыми расчетами дано в [7, 95].
2.13. Неоднородная группа Лоренца [7,95]
2.13.1. Параметры сдвига координат и времени. Обычно утверж¬
дают, что время tB, показываемое движущимися часами, связа¬
но со временем покоящихся часов tA, мимо которых они в дан¬
ный момент пролетают, соотношением
(2.131)
Это соотношение (рис. 2.13) совершенно справедливо при усло¬
вии, что в тот момент, когда показания движущихся часов tB =
= 0, они пролетали мимо покоящихся часов Ао в системе 5А,
также показывающих в этот момент время /А° = 0 (напоминаем,
что часы Ао расположены в начале системы отсчета SA, как это
показано на рис. 2.14).
В ситуации, показанной на рис. 2.15, взамен формулы (2.131)
следует писать
= /ГнР/л (2-132)
(см. рис. 2.16). И аналогично, если будет иметь место ситуация,
показанная на рис. 2.17, то справедливой будет формула
/В = ]/Т^(іл — /&,) (2.133)
(см. рис. 2.18).
В общем случае необходимо ввести параметры сдвига коор¬
динаты х^дв и времени (рис. 2.19), которые могут быть оп¬
ределены как координаты и показания часов в «неподвижной»
инерциальной системе отсчета 5В, мимо которых в данный мо¬
мент пролетают часы инерциальной системы отсчета 5В, распо¬
ложенные в точке хв° = 0 и показывающие время tB° = 0 (см.
рис. 2. 19).
76
Рис. 2.13. К анализу движущихся часов
Рис. 2.14. Расположение часов Ао в системе SA при /в = 0
Рис. 2.15. Расположение часов Ао в системе SA при =0
Рис. 2.16. К вычислению tB
Рис. 2.17. Расположение часов Ло
Рис. 2.18. К вычислению ів
Это определение аналогично следующему. Параметры х£дв и /^в озна¬
чают координату и показания часов в движущейся системе отсчета SA, кото¬
рые в данный момент пролетают мимо часов В0 неподвижной системы отсче¬
та SB, расположенных в точке хв = 0 и показывающих время /во = 0. В обоих
случаях параметры ходв и /одв измеряются в системе отсчета SA. Аналогично
могут быть определены параметры и /СдВ, которые должны измеряться
в системе отсчета Зв (рис. 2.20).
Параметры хлдв и /сдв могут быть также определены как коор¬
динаты начала отсчета системы S®, намеренные в систе¬
ме отсчета в псевдоевклидовом пространстве s2 = (хл)2—с2^4)2.
77
Рис. 2.19. Введение параметров х£дв и
Рис. 2.20. К вычислению параметров х^в и /вдв в системе SB
Рис. 2.21. К определению параметров х^в и /^дв
Рис. 2.22. Вычисление параметров х^ и івдв
Аналогично могут быть определены параметры •^сдв И (рис. 2.21,
2.22). В общем случае х^дв =k х?дв и /«дв =/= ^едв-
2.13.2. Преобразование Лоренца для отличных от нуля пара¬
метров сдвига координат и времени (неоднородная группа Ло¬
ренца) {7]. Из рис. 2.20 следует, что преобразованию Лоренца
должны быть подвергнуты (хв— ХсЛв) и (ів—/одв)- Тогда имеем
х - ’
(*В~<адв)+ (<,/<?) (**-4*)
/ьТрг
ИЛИ
гв YB _ — , ,в tB _ (v/ca) x*
x Хсдв ~ "Fi~p2 ’ одв“
(2.134)
(2.135)
Таким образом, пришли к неоднородной группе Лоренца.
78
Рис. 2.23. Анализ движения часов В
Рис. 2.24. Вычисление параметров х^в и
Найдем теперь связь между параметрами ХедВ, ^дв и
Как видно из рис. 2.19 и 2.20, для нахождения ХсДВ и доста¬
точно в уравнение (2.107) подставить хв =? 0 и tB = 0. В самом де¬
ле, л£дв и /сдв определяются как координаты часов и показывае¬
мое ими время в системе 5А в тот момент, когда мимо них про¬
летают часы системы SB, расположенные в точке хв=0 и показы¬
вающие время tB=0. Итак, имеем
л ^одв ^одв . лА ^одв (р/с2) <в
(2.136)
Интересно отметить, что параметры х£дв, t* и параметры х^в,
tB с точностью до знака связаны
нием Лоренца. Заметим также,
что если о>0, Хедв>0 и /едв>0,
то, как видно из (2.136), Хсдв<0
и /едв<0, и наоборот. Здесь ѵ —
скорость системы SB относитель¬
но системы SA.
2.13.3. Некоторые примеры за¬
дач, не разрешимые без введения
неоднородной группы Лоренца.
В заключение рассмотрим две
задачи, решение которых вообще
невозможно без введения пара¬
метров сдвига координат и вре¬
мени. .
друг с другом преобразова¬
ние. 2.25. Анализ световых сиг¬
налов
Задача 1. Пусть часы дви¬
жущейся системы отсчета SB,
расположенные в точке х4в, показывает время ttB (рис. 2І23) в
тот момент, когда они пролетают мимом часов системы SA,
расположенных в точке х,А и показывающих время Z,A. Спра¬
шивается, какой будет координата х2в и показания t2B часов,
79
расположенных в системе SB, в тот момент, когда они проле¬
тают мимо часов системы SA, расположенных в точке хгА и
показывающих время t2A (рис. 2.24)? Скорость ѵ системы Зв
относительно системы SA задана.
Для решения задачи найдем прежде всего параметры хвдв и
. Подставив известные значения х,А, ttA и хв, t* в уравнения
(2.135), получим
Хсдв-Хх _ у, Годе - h уГТТрз ’ U !-?')
Таким образом, параметры ХсдВ и /сдв найдены. Подставив теперь
в уравнения (2.135) известные величины х%№ и t?№, х2 и t2, най¬
дем
в- _ ^~ѵі^ I ^~vt2 .
3 \ 1 К1 -Р2 / + /1 - Р2 ’
(2.138)
,вКв t*—(v/c2)X*
2 V1 + ’
Итак, задача решена. Следует еще раз подчеркнуть, что без
введения параметров ХсЛв и /одВ эта задача вообще не могла бы
быть решена.
Задача 2. Пусть в покоящейся системе отсчета 3А в мо¬
мент времени /А°=0 в точке хА=0 на оси хА испущен световой
'сигнал. Этот сигнал достигает зеркала k (рис. 2.25) и отража¬
ется от него в момент времени
/<£р = 1/с, (2.139)
где I — расстояние от зеркала до начала координат в систе¬
ме 3А.
Рассмотрим теперь то же явление в системе отсчета 3я, дви¬
жущейся прямолинейно и равномерно со скоростью ѵ относи¬
тельно системы 3А (рис. 2.25).
Допустим, что параметры сдвига координат и времени систе¬
мы 3я относительно системы 3А равны нулю. В таком случае
пространственное расстояние I с точки зрения системы Зв бу¬
дет равно
I /Г^р2. (2.140)
Далее, так как зеркало k в системе 3я движется навстречу све¬
товому импульсу, то для момента отражения имеем
/отр = I Vf=F/(v + с). (2.141 )
Так как параметр сдвига времени системы 5В относительно
системы SA равен нулю, то, казалось бы, можно сделать ошибоч¬
80
ное заключение о том, что должно быть
tôp = (2142)
В действительности, однако, как это следует из (2.141),
^отр =3^ 1 — Р2^отр«
Требуется разъяснить возникшее противоречие. Эта задача раз¬
решается совершенно элементарно. Дело в том, что формула
уі—р2? (2.143)
может применяться к движущимся часам В при сравнении их
показаний с показаниями часов системы SA, мимо которых они
в данный момент пролетают, и при условии, что часы В показы¬
вали время і'=Ов тот момент, когда они пролетали мимо часов
Ао, расположенных в начале системы отсчета SA и показывающих
время tA = Q. Вместе с тем формула (2.142) совершенно непри¬
менима к случайной паре часов систем SA и SB, оказавшихся в
данный момент в одной и той же точке пространства. Поэтому
эта формула неприменима к сравнению показаний часов
и /£р. Правильный ответ, т. е. формулу (2.141), легко получить,
применяя преобразование Лоренца.
Отражение от зеркала в системе SA характеризуется коорди¬
натами
хл=/ и /олтр = //с. (2.144)
Это же событие в системе SB будет иметь координаты’
в = г~р<отр _ /(1-Р) . .
Kl-р2 -Р2 ’
(2.145)
.в _ 4tp~vl/c3 /отр^1 -Р) 1(1-P)
от₽ /1 -pa j/ï77?2 с V1 - P2 *
Возвращаясь теперь к формуле (2.141), получим
t в _ 2 /Г77!*2 /Г77^2 _ 2 (1 — Р2) 2 (1 -Р) .
отр с 1 + Р Kl-Р2’ с (1 + Р)с К1-Р2 *
(2.146)
Итак, формула (2.141) совпадает со второй формулой (2.145).
Можно было бы рассмотреть много аналогичных задач, свя¬
занных с релятивистским замедлением времени. Однако ограни¬
чимся здесь приведенными примерами.
В заключение сделаем еще несколько замечаний. В общем
виде неоднородная группа Лоренца может быть записана в виде
2 Предполагается, что параметры сдвига координат и времени равны нулю..
81
X* — + а“.
■Формальные свойства этой группы и, в частности, матрицы Л
можно найти в [61—66].
2.14. О возможности существования
сверхсветовых скоростей в кинематике СТО
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета 3А и SB. Допу¬
стим, что система отсчета SB движется относительно 5х с посто¬
янной скоростью V в положительном направлении оси хА. Обе
системы отсчета связаны преобразованием Лоренца
д _ X4 — ѵг4 _ іА — (t>/Ca) X4 .
д _ + <А = Р + (у1с*)хв
Ki-Р’ ’ /і-Ра '
Допустим теперь, что в системе отсчета SA (одновременно по ча¬
сам системы SA) в момент tA = Q вспыхивают электрические лам¬
почки, расположенные вдоль оси хА на равных друг от друга
расстояниях. Это может быть достигнуто, если каждую из лам¬
-почек соединить с часами, снабженными устройством, замыка¬
ющим электрический контакт в момент, когда стрелки часов по¬
казывают время tA = 0. Таким образом, вспышки каждой из
лампочек происходят независимо друг от друга.
В системе отсчета SB вспышки лампочек отнюдь не будут
одновременными, а именно лампочка, имеющая в системе отсче¬
та SA координату хА, вспыхивает по часам системы Зв в момент
tB, определяемый формулой tB=— (vxA/cz)/j/l—р2. Таким обра¬
зом, в системе отсчета Зв вспышки лампочек представляются в
виде некоторого волнового процесса, распространяющегося в от¬
рицательном направлении хв.
Определим скорость распространения этого волнового про¬
цесса. Разность времени вспышек двух лампочек Д/в (по часам
системы SB) будет равна Д/в= (—ѵ/с2уі—р2)ДхА, где ДхА— рас¬
стояние между двумя указанными лампочками в системе SA. Но
так как AxB=Ax*/yi—р2, то |Дхв/Д/в| =с2/ц>с, поскольку v<Zc.
Итак, рассматриваемая волна распространяется в системе SB со
сверхсветовой скоростью.
Разумеется, здесь нет никакого противоречия с теорией от¬
носительности, так как при этом от лампочки к лампочке нет пе¬
редачи ни энергии, ни импульса, а следовательно, нет и переда¬
чи информации. Следовательно, в данном случае имеем дело с
объектом второго рода по данной в гл. 1 классификации. Более
подробно подобные вопросы и их связь с законом причинности
рассмотрены в гл. 3.
82
2.15. Об общем источнике «парадоксов»,
возникающих в теории относительности
С психологической точки зрения представляется крайне инте¬
ресным, что «парадокс с часами» — эта «мнимая» проблема нау¬
ки— до настоящего времени продолжает привлекать к себе вни¬
мание многих авторов, несмотря на то, что этот «парадокс» был
полностью объяснен еще в первых работах по теории относитель¬
ности.
Эта ситуация прекрасно охарактеризована Д. В. Скобельцыным [98] г
«То, что в действительности теория относительности в применении к данной за¬
даче не приводит к внутренне противоречивым результатам, было выяснено
еще свыше полувека тому назад. Тем не менёе за последние десять лет неожи¬
данно снова вернулись к обсуждению этого старого вопроса даже на страни¬
цах специальных научных журналов. Статьи на эту тему все еще продолжают
появляться.
Автор может сослаться также на некоторые свои воспоминания о встречах
в 1957—1958 гг. с зарубежными физиками и тех отзвуках на возникшую вновь
дискуссию, о которых ему пришлось тогда слышать. Так, летом 1957 г. мы
встретились с группой физиков разных стран, направляющихся на первую Па-
гуошскую конференцию ученых. Припоминаю, что еще в самолете на пути в
местечко Пагуош в Канаде один известный физик, прибывший из Австралии,,
спросил меня, знаем ли мы о том, что вопрос о парадоксе часов и основах тео¬
рии относительности вновь подвергся ревизии.
После этого, когда в 1958 г. в Лондоне я встретился с одним очень изве¬
стным английским физиком и со своей стороны упомянул о парадоксе часов,,
мой собеседник, шутя, обронил характерную фразу: „Моих умственных способ¬
ностей недостаточно для того, чтобы во всем этом разобраться"... Примерно
тогда же с одним известным советским физиком-теоретиком я услышал и такой
отзыв: «Не понимаю, почему сейчас снова вернулись к этому старому вопро¬
су. Все ведь в этом вопросе столь же ясно, как, например, то, что прямая есть,
кратчайшее расстояние между двумя точками».
Авторы работ по «парадоксам с часами» считали крайне уди¬
вительным, что кратковременное ускорение движущихся часов
В (см. рис. 2.6), которое способно оказать пренебрежимо малое
влияние на показания стрелок часов, в то же время может ока¬
зать весьма существенное влияние на величину отставания ча¬
сов В по отношению к часам А в момент их возвращения к ча¬
сам А.
Следует признать, что это обстоятельство действительно-
представляется крайне парадоксальным при «трехмерном» рас¬
смотрении этого вопроса.
Если же обратиться, как этого требует теория относительно¬
сти, к 4-мерному рассмотрению мировых линий часов А и В, то-
между мировыми линиями часов А и В (см. рис. 2.7) имеет ме¬
сто существенная асимметрия, заключающаяся в следующем:
а) мировая линия часов А является прямой линией, т. е. геодези¬
ческой 4-мерного континуума пространства-времени; б) мировая:
83
линия часов В является ломаной линией и, следовательно, не
является геодезической 4-мерного континуума, причем в 4-мер¬
ном пространственно-временном континууме длина ломаной ли¬
нии меньше длины прямой.
Эта резкая асимметрия мировых линий часов А и В стано¬
вится очевидной только при рассмотрении проблемы в 4-мер¬
ном пространственно-временном континууме. Как выше было по¬
казано, В. Паули использовал эту асимметрию для совершенно
очевидного разъяснения «парадокса с часами».
В действительности многие кинематические парадоксы в тео¬
рии относительности возникают вследствие того, что при изло¬
жении содержания «парадокса» упускают из виду необходимость
строго релятивистского рассмотрения проблемы во всех ее звень¬
ях (4-мерный характер пространственно-временного контину¬
ума, относительность хода времени и пространственных расстоя¬
ний в разных системах отсчета и т. д.).
В более сложных «парадоксах», возникающих в динамике,
имеют место также и другие отступления от релятивистской по¬
становки вопроса. Например, вводятся недопустимые в теории
относительности твердые тела или деформирующиеся тела, за¬
коны деформации которых описываются нерелятивистскими
уравнениями и т. п. Другими словами, «парадоксы» возникают
всегда, когда в цепи рассуждений (умышленно или по инерции
мышления) вводится классический, т. е. нерелятивистский, под¬
ход к решению проблемы.
В заключение отметим, что необходимость 4-мерного рассмотрения физиче¬
ских проблем подчеркивается следующим весьма важным замечанием Р. Ку¬
ранта [99, с. 512]: «Сферические волны для любых линий временного типа су¬
ществуют только в случаях двух и четырех переменных и притом только для
дифференциальных уравнений, эквивалентных волновому уравнению. Если
удастся доказать это предположение, то этим будет установлено особое, су¬
щественно важное отличительное свойство четырехмерного пространственно¬
временного многообразия. Однако уже то обстоятельство, что наше утвержде¬
ние справедливо в случае постоянных коэффициентов и нетрудно доказывает¬
ся в этом случае, является, как мне кажется, сам по себе довольно существен¬
ным отличительным свойством четырехмерного мира».
2.16. Замечания общего
и исторического характера
Первая работа А. Эйнштейна [43'], <в которой были изложены основные поло¬
жения СТО, сразу привлекла к себе внимание выдающихся физиков того вре¬
мени. Это объяснялось революционным характером этой статьи, произведенной
в ней «крутой ломкой» фундаментальных понятий классической физики, а также
обилием изложенных в этой статье новых и казавшихся крайне парадоксальны¬
ми результатов.
Появление этой статьи естественно явилось источником острых дискуссий
по всем затронутым в ней вопросам. И хотя в настоящее время теория отно¬
84
сительности может считаться признанной всеми ведущими физиками, тем не
менее отголоски этих дискуссий продолжаются до сих пор. Для оценки духов¬
ной ситуации, возникшей в физике в первые годы после создания специальной
теории относительности, весьма существенное значение имеет одно примечание
Г. Лоренца к его статье, опубликованной в 1912 г. [100]: «Можно заметить,
что в этой статье мне не удалось в полной мере получить формулы преобразо¬
вания теории относительности Эйнштейна. Ни равенство (7), ни формула (8)
не имеют того вида, который дан Эйнштейном, .вследствие чего мне не уда¬
лось уничтожить член = і0Ых'/с2 из первой формулы (9) и, таким образом, при¬
вести уравнения (9) точно к виду, справедливому для покоящейся системы.
С этим обстоятельством связана беспомощность некоторых дальнейших рас¬
суждений в этой работе. Заслуга Эйнштейна состоит в том, что он первый вы¬
сказал принцип относительности в виде всеобщего строго и точно действую¬
щего закона. К этому я добавлю еще, что Фюхт уже в 188*7 г. (Gottingen
Nachrichten, с. 41) в работе «Über das Dopplescher Prinzep» применил к фор¬
мулам вида Дф— 1/с2(д2ф/д/2) =0 преобразование, которое эквивалентно пре¬
образованию, содержащемуся в равенствах (4) и (5) (примечание Г. А. Лорен¬
ца, 1912 г.)».
Статья Эйнштейна [43], посвященная теории относительности, вышла в
свет в 1905 г., а несколько позже А. Пуанкаре опубликовал статью [101], по¬
священную, вопросам, близким к тем, которые рассматривались А. Эйнштей¬
ном.
Приведем две цитаты из статьи А. Пуанкаре [101]: «Идею Лоренца
: можно резюмировать так: если возможно сообщить общее поступательное дви¬
жение всей системе без того, чтобы имели место какие-либо видимые измене¬
ния в явлениях, то это значит, что уравнения электромагнитного поля не из¬
меняются в результате некоторых преобразований, которые мы будем назы¬
вать преобразованиями Лоренца; две системы, одна неподвижная, другая
перемещающаяся поступательно, представляют, таким образом, точное изо¬
бражение одна другой... Следует поэтому вернуться к теории Лоренца; одна¬
ко, если мы хотим сохранить ее, избегнув явных противоречий, необходимо
допустить существование силы, объясняющей одновременно сжатие одной и
постоянство двух других осей. Я пытался определить эту силу и нашел, что
она может быть приравнена постоянному внешнему давлению, действующему
на деформируемый и сжимаемый электрон, работа которого пропорциональна
изменению объема этого электрона».
Из приведенных цитат видно различие обоих подходов. В то время как
для А. Эйнштейна относительный характер пространственных расстояний и
^ода времени в различных системах отсчета являлся проявлением свойств
Самого пространственно-временного континуума, для А. Пуанкаре соответ¬
ствующие эффекты должны были объясняться с точки зрения динамики, и он
искал силы, которые могли бы дать адекватное объяснение этих эффектов.
' В заключение приведем весьма характерную цитату из статьи Р. А. Мил¬
ликена «К семидесятилетию Альберта Эйнштейна» [102]: «Именно здесь
проявилась характерная для Эйнштейна смелость подхода, ибо отличитель¬
ной чертой современного научного мышления является тот факт, что оно на¬
чинает с отбрасывания всех априорных представлений о природе реальности
(или о законченной картине строения Вселенной), характерных практически
для всей греческой философии, а также для всего средневекового мышления;
8«
вместо этого современное научное мышление берет в качестве отправного
пункта прочно установленные, тщательно проверенные экспериментальные
факты...».
2.17. Вариационный принцип
в релятивистской динамике [88]
Для вывода основных уравнений динамики частицы можно вос¬
пользоваться вариационным принципом, согласно которому ин¬
теграл действия
S = J 3?dt (2.147}
должен быть экстремален.
Необходимо заметить, что подынтегральное выражение S?
в (2.147) должно быть скаляром или инвариантом, содержащим
производные от координат по времени не выше первой степени.
Только при этом условии приходим к уравнениям релятивистской
механики, которые при с-^-оо переходят в уравнения Ньютона.
Нетрудно убедиться, что с учетом (2.69) следующее конкрет¬
ное выражение удовлетворяет всем приведенным условиям и,
таким образом, приводит к выражениям для лагранжиана
2?dt=.—meds =J— тс2, У1—q2/c2dt. (2.148}
Из соотношений
»=і,а.з дс>і dt
следует (см. [88]), что энергия свободной частицы
_ тс3
~ У\-Ч31с3 '
Используя вариационные уравнения Лагранжа
d dSS dæ _ §
dt d (dxf/dt) dx*
и соотношение (2.148), получим
) = 0 (х‘ = а),
dt \ Г1-?2/Са /
(2.149)
(2.150)
(2.151)
т. е. уравнения движения Эйнштейна для свободной частицы.
Уравнениям движения можно придать также форму, предло¬
женную Г. Минковским [89J.
В качестве примера применения вариационного принципа
рассмотрим вывод уравнений движения заряженной частицы в
электромагнитном поле. Ниже предполагается, что читатель зна¬
ком с основами классической электродинамики Максвелла
(краткое изложение этой теории см. в следующем разделе).
8»
Наряду с рассмотренным случаем для заряженной частицы, дви¬
жущейся в заданном электромагнитном поле, должны ввести в
рассмотрение 4-вектор потенциал электромагнитного поля Ait
Пример 1. Согласно (2.147), (2.148) вариационный принцип (принцип
Гамильтона) записывается следующим образом:
Ь
ÔS = Ô J (—тс)ds. (2.152)
а
Если частица движется в электромагнитном поле, то вариационный принцип
(2.192) должен быть обобщен путем прибавления к подынтегральному выра¬
жению в формуле (2.152) членов, отражающих воздействие электромагнит¬
ного поля на движущуюся частицу. Уже известно, что воздействие электро¬
магнитного поля на заряженную частицу может быть описано с помощью
4-вектора потенциала электромагнитного поля Л<(і=0, 1, 2, 3), причем связь
с 3-мерными обозначениями следующая: Л0=іф°, Аі=Аі (і=1,2, 3).
Подынтегральное выражение (2.152) (лангранжиан) должно быть инва¬
риантом к преобразованиям Лоренца. Простейший инвариант, который можно
образовать из компонент 4-потѳнциала Ai и дифференциалов координат,
следующий:
AQdxfi+Aidx'+AiW+Asdx3, (2.153)
или
— qQcdt + A idx1 + Л2^х2 + A3dx3. (2.154)
Таким образом, естественно предположить, что вариационный принцип для за¬
ряженной частицы, движущейся в электромагнитном поле, можно записать
в виде
&S = ô П- meds + у (Ло^° + A^dx1 + A2dx2 + Л3Жс3)1 , (2.155)
где е — величина заряда (например, электрона) движущейся частицы.
Необходимо подчеркнуть, что на сформулированный принцип следует смот¬
реть как на гипотезу, которая, как известно, получила блестящее эксперимен¬
тальное подтверждение (современные ускорители заряженных частиц). Учиты¬
вая, что ds=c^l—q2/c2dtt вариационному принципу можно придать следую¬
щую форму:
6S=Ô
г е
— тс2 /1 — q2/c2 + — (Л^1 + A2q2 + Л3д3) — еф dt.
с _
Следовательно, лагранжиан для рассматриваемой задачи имеет вид
£ = — тс2 |<1 — q2/c2 + — (Л^1 + A2q2 + Л3д3) — е<р.
с •
(2.156)
(2.157)
Пространственно подобные компоненты вектора-импульса могут быть опре¬
делены как производные от лагранжиана по соответствующим компонентам
3-мерной скорости. Выполнив вычисления, получим
К1 - <7а/са
^7а«- = ^ + 7^-
(2.158)
87
Располагая лагранжианом (2.157), можно, воспользовавшись уравнениями
Лагранжа (2.150), написать следующее уравнение для движения заряженной
частицы в электромагнитном поле (подробно см. [88]):
dp е
Ht = е'Е + — [qH]' (2.159)«
где Е = (—1/c-dA/dt)—grad qp0—напряженность электрического поля;
H = rot А — напряженность магнитного поля.
Выражение, стоящее в правой части формулы (2.159), носит название*
силы Лоренца.
По аналогии с классической механикой функцию Гамильто¬
на при учете (2.158) можно вычислить следующим образом:
fc=l,2,3,0
с ]/ m2c2 + (Pi — -у-а)2+ ^2 — + [рз — 7Лз)2 +
+ е<р°. (2.160}
Для того чтобы перейти к уравнению Гамильтона — Якоби, не¬
обходимо заменить Н на dSfdct, а А— на dS/dx*. В результате
получим
dS . 1 f ,, , Г( àS
Н с I/ m2c2 + I —г
dt г \дх‘
е<р° = 0.
(2.161}
Ниже в п. 2.21 будет показан другой метод вывода реляти¬
вистских уравнений Гамильтона — Якоби и их связь с класси¬
ческими уравнениями.
2.18. 4-вектор энергии-импульса
В п. 2.8 было введено понятие вектора 4-скорости движущейся
частицы. Контрвариантные компоненты этого вектора определя¬
ются следующим образом:
u*=dx*lds (і=1, 2, 3,0), (2.162)
где ds — элемент мировой линии, по которой движется частица.
В 3-мерной записи компоненты 4-скорости записываются в виде
71 . 72 . 7з . [
с Y \ — q2!c2 ’ с V1 - q2[c2 ’ с Y1- q2!c2 ’ Y1 - 7а/са ’
(2.163)
Здесь q^dx^dt являются компонентами 3-мерной скорости дви¬
жущейся частицы. Заметим, что qi не являются компонентами
вектора в псевдоевклидовом пространстве СТО. Во избежание
недоразумений необходимо помнить это обстоятельство. По по¬
воду (2.163) А. Эйнштейн в [43] замечает, что этот 4-вектор яв¬
ляется единственным 4-вектором, который можно образовать из
88
компонент скорости материальной точки, записанных в 3-мерном
виде.
Если теперь при помощи формул, приведенных в п. 2.2 и вы¬
ражения для контрвариантных компонент 4-скорости (2.162) об¬
разовать ковариантные компоненты 4-скорости ut, то получим
(для xa=ict все и4=и*)
—1. (2.164)
Введем теперь по аналогии с классической механикой ко- и
контрвариантные компоненты 4-импульса частицы следующим
образом:
рі=тсиі\ р*=тси*. • (2.165)
Учитывая (2.164) и (2.165), легко получить соотношение
РіР1 + P2P2+Р>Р3+РоР° + т2с2=0. (2.166)
4-вектор с компонентами (pit р2, ра, р0) носит название век¬
тора энергии-импульса частицы.
В 3-мерной форме записи эти компоненты имеют вид
тда . mqt , mq3
Р1~ V1 - <?а/са ’ ^2-' V1 - 9а/са ’ Рз=< Y1 - 9а/са '
(2.167)
При с-»-оо три пространственные компоненты 4-импульса
тси‘ (і= 1,2,3) (2.168)
принимают ньютоновские значения. Четвертая компонента
p0=mcu0 (2.169)
имеет согласно (2.149) значение
сра = і&, p0 = iSlc. (2.170)
Здесь энергия частицы & равна (формула (2.149))
8 = ptfi/i = пи?/У 1 — <?2/с2. (2.171)
Выражение (2.170) является четвертой компонентой 4-векто¬
ра энергии-импульса в 3-мерной записи. Этот вектор имеет ис¬
ключительно важное значение в релятивистской динамике. Поэто¬
му остановимся на нем несколько подробнее.
Допустим, что q!c<^i 1. Тогда приближенно имеем
g~mc2 + 42mq2. (2.172)
Итак, в первом приближении полная энергия частицы склады¬
вается из так называемой энергии покоя <S = тс2 и кинетической
энергии частицы в ее классическом понимании (в случае, если
<?/сС1). В самом общем случае, если <7 = 0, приходим к фунда¬
ментальному соотношению вида
8 = тс2. (2.173)
89
Из соотношения (2.173) следует, что покоящаяся частица
необходимо обладает внутренней или собственной энергией,
равной <$.
2.19. Уравнения движения
По аналогии с классической механикой можно дать следующие
уравнения движения в 4-мерной записи:
Ft=dpjdv, r = s/c. (2.174)
Таким образом, здесь вводится вектор 4-силы Fit равный про¬
изводным от 4-вектора энергии-импульса частицы по собствен¬
ному времени частицы. В 3-мерной записи первые три компонен¬
ты для (2.174) имеют вид [103]
mqj mqqql
\—qt/c* + c2(l-ça/cV
(t = 1, 2, 3).
(2.175)
Нетрудно убедиться, что при (q/c) С 1 эти выражения переходят
в известные выражения классической механики Ньютона mq*.
Четвертая компонента уравнений (2.174) в 3-мерной записи
имеет вид
Fo=« —
0 (1 - д’ДѴ
(2.176)
При (?/с)<С1 выражение (2.176) стремится к величине работы,
совершаемой за единицу времени, взятой со знаком минус. Вме¬
сте с тем уравнениям движения можно, согласно Эйнштейну
1436, с. 44], придать следующую форму:
4- ) (і = 1, 2, 3), (2Л77)
dt\yi-qi/c3l ' ’ ' '
где К. — вектор 3-мерной силы.
Инвариантность уравнений (2.177) не является непосредственно очевид*-
ной, так как ни компоненты 3-мерной скорости Çô ни компоненты 3-мерной
силы Кі не являются векторами в псевдоевклидовом пространственно-времен¬
ном континууме СТО. Тем не менее эти уравнения правильны; однако, они,,
как замечает П. Бергман [103, с. 154], обладают весьма сложными трансфор*
мационньими свойствами, на которых не будем останавливаться. Отметим
только, что компоненты 3-мерной силы Кі в общем случае уже не совпадают
с направлением 3-мерного ускорения, за исключением случаев, когда направ¬
ление силы совпадает с направлением движения частицы или перпендикуляр¬
но к нему.
Еще раз обратим внимание, что в 4-мерном пространственно¬
временном континууме СТО ни компоненты сил Къ ни компо¬
ненты ускорения qi не являются компонентами каких-либо век¬
торов. Между компонентами Кі и компонентами 4-вектора Л cÿ-
90
ществуют следующие связи:
Fi = . Æf ; Fo = — JK.° .
Vï—qb/c* 0 caKl-<?a/ca
(2.178)
Приведем еще формулы преобразования компонент 4-векто¬
ра pt при переходе от одной инерциальной системы отсчета к
другой:
₽:+(»/«*)»' _ • +ѵр'і
Р1~ V1 -ü2/ca ’ Р*~Рг' ~ l^l-v3/c2
(2.179)
2.20. Момент импульса- и координаты
. центра тяжести системы частиц
Наряду с понятиями энергии и импульса в релятивистской меха¬
нике может быть введено понятие момента импульса. Моменту
импульса соответствует следующий антисимметричный 4-тензор
188]:
M,k=х’р*—хкр'. ( 2.180)
Для системы частиц
= ‘ (2-181)
Œ
Тензор (2.181) сохраняется для всякой замкнутой системы ча¬
стиц.
Рассматривая замкнутую систему частиц, можно доказать,
что точка с радиус-вектором
(2-182)
со 'а
движется прямолинейно с равномерной скоростью [88]
й=с^ра^Еа. (2.183)
со 'а
Здесь Еа и ра — энергия и импульс частицы, положение которой
определяется радиус-вектором га. Скорость, вычисленная по
формуле (2.183), есть скорость движения системы частиц как
целого.
Как при свободном движении системы взаимодействующих
материальных точек, так и при их столкновениях или распадах
имеет место закон сохранения 4-импульса. Этот закон будет рас¬
смотрен подробно в п. 2.22, посвященном приложениям теории
относительности к элементарным частицам.
91
2.21. Уравнение Гамильтона — Якоби
и метод характеристик
2.21.1. О характеристиках гиперболических дифференциальных
уравнений. В дальнейшем будем пользоваться понятием харак¬
теристик гиперболических дифференциальных уравнений в част¬
ных производных. Напомним, что под характеристической по¬
верхностью заданной системы дифференциальных уравнений
Ф = ф(х1, х2, ..., хп, t) (2.184)
понимают поверхность, на которой могут существовать разры¬
вы старших производных решений рассматриваемой системы
дифференциальных уравнений. При этом под старшими произ¬
водными понимаются производные, входящие в рассматривае¬
мую систему уравнений и определяющие ее порядок [104].
Характеристические поверхности являются уравнениями рас¬
пространения фронта волны нестационарного решения рассма¬
триваемой системы уравнений.
Приведем теперь уравнения характеристических поверхностей или характе¬
ристик для систем линейных уравнений в частных производных [99, 104, 105].
Рассмотрим систему уравнений первого порядка линейных относительно
неизвестных функций Uj следующего вида:
™ Л k диі
3 + tts) = 0 a=l,...,m). (2.185)
/=і6=і k -¬
Здесь коэффициенты ац зависят только от п координат х\, хп.
В данном случае задача Коши формулируется следующим образом. В про¬
странстве независимых переменных (*і, ..., хп) задается поверхность
©і(хі, ..., Хп) = 0. (2.186)
На этой поверхности задаются начальные значения искомых функций
Uj = uj(xlf ..., Хп) (/=1,2, ..., т). (2.187)
Требуется найти значения Uj в некоторой области, примыкающей к начальной
поверхности.
Рассмотрим вначале в качестве исходной поверхности (2.186) плоскость
Хі=0, т. е. положим
ш1=Хі=0. (2.188)
Запишем начальные данные на этой поверхности в следующем виде:
иі ІХ1=0 = Ф/ (/= 1. 2. ... , т). (2.189)
Очевидно, что приведенные начальные данные дают возможность вычислить на
поверхности *і = 0 все производные первого порядка dujldxk (6=1,2, ..., пу
j = 2, 3, ..., щ), кроме производных по координате Хі, т. е. dujldx\.
Подставим в (2.185) начальные данные искомых функций на поверхности
хі = 0 и их производных по координате (х2, ..., хп). Дальше может оказаться,
что полученная таким образом система уравнений (линейная относительно
dujldxy) разрешима относительно diijldx\. В этом случае будем иметь на по¬
92
верхности *1 = 0 значения всех производных ди^дхъ. В противном случае пло¬
скость хі = 0 называется характеристической или характеристикой рассматри¬
ваемой линейной системы уравнений.
Указанное определение обобщается следующим образом. Если поверхность
û)i (см. уравнение (2.186)) с заданными на ней начальными данными и исход¬
ными уравнениями (2.185) не дает возможности однозначно определить все
производные первого порядка от искомых функций на этой поверхности, то
такая поверхность называется характеристической или характеристикой (ха¬
рактеристическим многообразием) рассматриваемой системы линейных диффе¬
ренциальных уравнений.
Введем новую систему координат
х^ = соЛ(хь ... , хп) (k = 1,2, ... , п). (2.190)
Здесь предполагается, что последовательность (п—1) функций «2, ...» œn
выбрана таким образом, что приведенная система уравнений (2.190) однознач¬
но разрешима относительно хк. Очевидно следующее соотношение:
" диі д®*
dxk дхз dxk '
(2.191)-
Подставим (2.191) в (2.186). При этом ограничимся только членами уравне¬
ния, содержащими dujldx\, так как остальные производные известны из (2.191).
В результате получим ' .
m п л ди
3 + •■■=» «■І92>
/=1 Л=1 Л 1
Производные ди^дх^ не могут быть однозначно определены на поверхности
X* = CÛ! (*ь ... , хп) = 0, (2.193}
если определитель системы (2.192) тождественно равен нулю (здесь величины
dujldx\' рассматриваются как неизвестные).
Введем следующее обозначение:
VI А
""-3
(2.194)
В результате получим следующее нелинейное уравнение первого порядка для
характеристической поверхности соі =0:
(On
(Ом
• •
• “un
“і/1 =
CÙ21
(О22
• •
• “2m
= 0
(n
Ш2
(2.195)
Очевидно, что уравнение (2.195) первого порядка будет /n-й степени относи¬
тельно ПрОИЗВОДНЫХ ÔCùi/dXft.
Обратим внимание, что, выписывая уравнение характеристик, будем пи¬
сать вместо (Оі(хі, .., Хтѵ) функцию ф(Хі, ..., Хп).
93
Пример 1-. Рассмотрим систему двух линейных уравнений для двух не¬
известных функций Uj, зависящих от двух переменных х\, Х2. .
(аіі ■Д’+а» дД)мі+(а« +“«"Д')Иа + • • • " °:
(2.196)
/ ! д 2 д \ [ - д 2 д \ , Л
Воспользовавшись (2.194) и (2.119*5), получим следующее дифференциаль¬
ное уравнение для характеристик:
,1 \ („1 „2
11 Эхх + 11 дха ) \ “ дх, + 12 дха ,
21 дх, + 21 дха J \ 28 дХ, + 12 дХа ,
= 0.
(2.197)
В заключение отметим, что любое решение системы (2.185) можно предста¬
вить в виде cùi=kp(xi, ..., хп)=с, т. е. имеем не одну характеристику (когда
с=0), а семейство характеристик, соответствующих различным значениям по¬
стоянной с.
Перейдем теперь к рассмотрению случая линейных относительно старших
производных уравнений второго порядка
т п d2uf
S S аіі'л À +...=0. (2.198)
/=х 11 дх*дхі
Предполагается, что afi = а^.
Зададим начальные данные Коши на гиперплоскости *і = 0 в виде
ди •
“у L1=0 = ф/(*2- •••> хп>' —=^j^a, , хп) (/=1,2 т).
дхі *,=о
(2.199)
На этой гиперплоскости известны все производные первого порядка и все про¬
изводные второго порядка, кроме d2Ujldx\2. Если эти последние производные
не могут быть найдены из исходных уравнений, то плоскость *і = 0 будет ха¬
рактеристической.
Повторяя почти дословно рассуждения, относящиеся к уравнениям первого
порядка, можно записать уравнение для характеристического многообразия в
^следующем виде:
“À
•• “Ln
І“іуІ =
“m2 •
• • ®тт
= 0
где
(2.200)
11 дх
дсоі
dxt
(2.201)
94
Рассмотрим теперь общую систему линейных уравнений вида
7V
3 + ... + Л(«. *.)=о
,..,л »„ ы
(i,r=*\,2,...,N). (2.20Г>
Поверхность (см. Г. И. Петровский [99, 104])
Ф (х0> *і> • • • > Хп) = 0 (2.202>
будет характеристической поверхностью или характеристикой
уравнения (2.20Г), если в каждой точке этой поверхности
I 3 Л, X,.
' \ ôx° / \ dx2 J
(2.203>
Отметим, что. если характеристики системы дифференциаль¬
ных уравнений действительны, то такая система уравнений на¬
зывается гиперболической. Поэтому уравнения современной фи¬
зики, в которой описываются распространяющиеся в простран¬
стве и времени процессы, носят гиперболический характер, если
скорость распространения этих процессов не является бесконеч¬
ной. Понятие характеристических поверхностей для систем
(2.201') тесно связано с проблемой единственности решения за¬
дачи Коши.
Пусть задана поверхность в виде
ф(х1( х2, , хп, t) =0; (2.204>
скорость перемещения поверхности (2.204) может быть опреде¬
лена из уравнения [99, 104, 105]
ѵ — d(f/dt . (2.205)’
f п ■
У 2 (Эф/ôx,.)’
1=1
Выражение (2.205) справедливо для скорости распространения
любой поверхности.
Пример 2. Рассмотрим характеристическую поверхность
ф=<р(хі, х2, хз, х0)=с, (2.206>
заданную в 4-мерном пространственно-временном континууме. Поскольку
характеристическая поверхность является поверхностью разрыва старших про¬
изводных рассматриваемого дифференциального уравнения и, следователь¬
но, поверхности фронта волны, очень большое значение приобретает вопрос
о скорости распространения этой поверхности в пространственно-временное
континууме.
95
Пусть задана некоторая поверхность ф(*і, Х2, Хз, /)=0. Из (2.205) и
1104, с. 542] следует, что скорость распространения фронта волны будет
определяться в следующем виде:
j=l ' I •
Рассмотрим теперь нелинейное дифференциальное уравнение
в частных производных для одной функции S, зависящей от
л+ 1 переменных:
S = S(xn ..., хп, /). (2.208)
Введем обозначения
dSldt=p-t dSfdx^Pi. (2.209)
Допустим, что рассматриваемое дифференциальное уравнение
имеет первый порядок и ему можно придать вид
Р + Н(Хі хп, t, pt, ...» pn)=0, (2.210)
т. e. уравнение разрешено относительно dS/dt. В таком случае
можно показать 199], что уравнения характеристик имеют вид
(і=1, 2,
dt др. dt дх
(2.211)
dt дРі ' dt dt '
Уравнения (2.210), соответствующие функции Н(хь ..., хп, t,
pit ... t рп)2п+ 1 переменных, называются канонической системой
дифференциальных уравнений.
2.21.2. Об уравнениях Гамильтона — Якоби. Рассмотрим
поле движущихся в 3-мерном евклидовом пространстве невзаимо¬
действующих частиц. Предположим, что в начальный момент
времени t = 0 скорости двух бесконечно близких частиц отлича¬
ются друг от друга бесконечно мало как по величине, так и по
направлению.
Если описанное состояние имеет место в начальный момент
времени, то, исходя из уравнений как классической, так и реля¬
тивистской механики, оно сохранится на все последующие вре¬
мена. Другими словами, первоначально непрерывное распреде¬
ление координат и скоростей движущихся частиц останется не¬
прерывным в течение всего времени их движения. Это обстоя¬
тельство дает возможность рассматривать поток движущихся
невзаимодействующих частиц (поток экземпляров) как течение
некоторой экземплярной жидкости [106].
Предположим, что внешнее силовое поле, действующее на
каждую частицу, имеет потенциал 5, так что существует соот¬
96
ношение
Рі=*1Г = (2.212)
Подставив соотношение (2.212) в равенство
pî + pl + pl + pl + m2ca =* 0, (2.213)
получим
/ dS \2
+ (t"Ï + (1Г\ + °-
\ dx2 / \ dx3 J \dx0 J
(2.214)
Выражение (2.214) является релятивистским уравнением Га¬
мильтона — Якоби.
Пример 3. Рассмотрим теперь переход от релятивистского к классиче¬
скому случаю. В этом случае pi= (dS/dXi) <1, а поэтому при (и/с)<С1
импульс dS/dxi может быть записан в виде шѵі\ следовательно, в рассматри¬
ваемом приближении
(2.215)
(2.216)
Учитывая выражение (2.216), можно перейти к приближенному уравне¬
нию Гамильтона — Якоби при (ѵ/с) С 1 следующим образом:
Что касается члена тс2, то его можно не учитывать, так как добавление к
уравнению Гамильтона — Якоби аддитивной постоянной не влияет на выте¬
кающие из него уравнения движения.
Если произвести замену
S=S*—mc4, (2.218)
то последнее уравнение точно преобразуется для S* в классическое уравнение
Гамильтона—Якоби. Заметим, что такое преобразование вполне законно, так
как в классическом случае не только S*, но и t являются скалярами. В рас-,
сматриваемом случае, т. е. применительно к уравнению (2.214), преобразо¬
вание (2.218), конечно, было бы совершенно недопустимо.
При наличии электромагнитных полей уравнение Гамильто¬
на — Якоби принимает вид
2 (—— — ЛЛ2 + тѴ=«0, (2.219)
/=172.3.0 Ux' с )
4 Б. Н. Петров и др. 97
где Aj—4-вектор потенциал электромагнитного поля (см. п. 2.24).
Учитывая, что x0 = ict, А0=і<р0, уравнение (2.219) можно пред¬
ставить в виде .
S (— — — Л? — _L/-^- + e<p°y + mV = 0. (2.220)
/'=1,2,3 \ дХ1 С J С2 \ )
Разрешив (2.220) относительно dSjdt, получим
dSldt=H, (2.221)
где
Н 1 / 2 (— — A/Y + яЛ?2 + £ф°- (2.222)
V /=1,2.з \дх7 с )
Функция (2.222) носит название функции Гамильтона.
Заметим, что в классическом (дорелятивистском) случае
уравнение Гамильтона — Якоби для ІѴ взаимодействующих ча¬
стиц может быть записано в явном виде (см. ниже). Однако в
релятивистском случае эта проблема ждет своего решения [107J.
Отметим следующее. В механике сплошных сред различают лагранжевый
и эйлеровый подход описания среды [106]. При лагранжевом подходе к опи¬
санию среды следят за движением каждой частицы среды. Причем координа¬
ты частицы в каждый момент времени зависят от ее начальных координат
(т. е. момент /=0) и данного момента времени. При эйлеровом описании
движения среды наблюдают за тем, что происходит в данном элементе объема
3-мерного пространства. В этом случае наблюдают за различными частицами,
попадающими в данный элемент объема в разные моменты времени. При
лагранжевом описании скорость каждой частицы среды является функцией
ее начальных координат и времени. При эйлеровом описании скорость дви¬
жения каждой частицы среды является функцией времени и координат той
точки среды, в которой она в данный момент находится.
То же самое относится ко всем другим механическим функциям, описы¬
вающим движение среды.
В методе Гамильтона — Якоби пользуемся эйлеровым опи¬
санием потока экземпляров невзаимодействующих частиц.
Поэтому импульс частицы в этом методе оказывается функцией
координат точки пространства, в которой в данный момент ча¬
стица находится. Следовательно, в фиксированной точке прост¬
ранства импульс р{=д31дх{ относится не к одной частице, а к
различным частицам, которые в данный момент времени оказы¬
ваются в фиксированной точке.
Аналогичные замечания можно сделать относительно всех
других функций, входящих в уравнение Гамильтона — Якоби.
Пример 4. Рассмотрим уравнение
dS/d/-|-/7 = O. (2.223)
Здесь Н — плотность энергии, отнесенная к единице объема, расположен¬
ного в окрестности данной точки пространства. В случае свободной частицы
98
или движения частицы в консервативном поле энергия Н каждой частицы
должна сохраняться. Однако рассматривая плотность энергии Н в окрестно¬
сти данной точки, будем каждый раз иметь дело с новыми частицами, по¬
ступающими в данный элемент объема. Поэтому Н может меняться со време¬
нем даже в консервативном случае. Таким образом, член dSIdt учитывает это
изменение и, следовательно, уравнение Гамильтона—Якоби выражает закон
сохранения энергии в потоке «экземплярной жидкости» в эйлеровом представ¬
лении.
В релятивистской механике в случае свободных частиц или консерва¬
тивного поля возможно аналогичное толкование.
2.21.3. Характеристики уравнений Гамильтона — Якоби и их
физический смысл. Уравнению (2.213) можно придать вид
(2.22Г) при е=0: "
(2.224)
Таким образом, согласно (2.222) функция Гамильтона Н (...)
имеет вид
Воспользовавшись уравнением характеристик
общей системы, получим следующие уравнения:
d / mvj
\ p - Ц2/С2
d / mv2
dt~\ K 1 - Ü2/C2
(2.225)
(2.211) для
тѵ3
V 1 - ѵ2/с2
(2.226)
Пример 5. В качестве простейшего примера вывода (2.226) рассмотрим
одномерное движение частицы. Уравнение Гамильтона—Якоби в этом случае
имеет вид
Таким образом, можно написать уравнения характеристик, т. е. уравнения
движения
dx ___ дН cdS/dx
dt~~d (dS/dx) ~ у т2с2 + (dS/dx ? ’
d I dS \ dH '
— —— = — =0.
dt \ dx I dx
(2.228)
(2.229)
Из уравнения (2.228) видно, что dxjdt не является импульсом, поскольку при
выводе уравнения Гамильтона—Якоби было принято, что импульс равняется
p=dS/dx.
99
4*
Можно, однако, решить уравнение (2.228) относительно dS/dx и получен¬
ный результат подставить в (2.229). В результате получим
dS тѵ
дх ~ у 1 _ ѵг/сг ’
(2.230)
Здесь v=dxldt. Из формулы (2.230) видно, что dSIdx действительно рав¬
няется импульсу. Подставив полученное значение для dS/dx в выражение
(2.229), будем иметь
d ( тѵ \
— —==“ =0, (2.231)
Л \ /1 — Ѵ«/С« / ’
т. е. уравнение движения (2.226).
Аналогично получаются уравнения (2.226) для 3-мерного случая.
Таким образом, уравнения движения (2.226) для свободной частицы
являются одновременно уравнениями характеристик для уравнений Гамиль¬
тона—Якоби.
Следует отметить, что рассмотренный выше метод вывода уравнений
движения на основе характеристик уравнений Гамильтона—Якоби справед¬
лив и в классической области. В качестве иллюстрации рассмотрим следую¬
щий пример.
Пример 6. Классическое (нерелятивистское) уравнение Гамильтона—
Якоби имеет вид
ÔS , 1 'Z dS \а / ÔS \2 , dS \а1
— + — — + —I + — -4-t/ = 0,
dt ' 2m [дхЧ Удх^ ^Удх3
(2.232)
В данном случае
(2.233)
Уравнение для характеристик будет иметь вид
d? дН 1 / а$ \ ф
Л ~ д (dS/дх1) ~ m \дх‘ ) ’
d (dS/дх1)
Л ” dxz ~ дх1 '
откуда следует
(2.234)
(2.235)
(2.236)
&xl ~ dU
dt2 ~ ~ дх*
(i = 1,2, 3).
Таким образом, получили уравнение движения Ньютона. Итак, если зада¬
но уравнение Гамильтона—Якоби для некоторой механической системы, то
соответствующее уравнение для характеристик последнего совпадает с урав¬
нениями движения этой системы.
100
В заключение представим уравнение Гамильтона—Якоби _в иной, необ¬
ходимой при дальнейшем рассмотрении (см. гл. 4) форме
і (-ѵ - — Л‘У - 4 (тг+И2+т2сі=°- <2-237)
\ dxl с с» \dt
2.21.4. Модифицированное уравнение Гамильтона — Якоби и.
волновое представление классической механики. Рассмотрим ре¬
лятивистское уравнение Гамильтона — Якоби (2.214). Допустим,
что уравнение (2.214) имеет зависящее от одного параметра Qo
неявное решение
й(х„ х2, х3, і) =Q0 = const. •
Тогда
dû . dû dS _ о- dû . dû dS q
dxk + dS dxk ’ dt ' dS dt
Отсюда следует [109 J
dS dQ / dû . dS dû / dû
~dx~k ~ ~~dx^/ ~dS ’ ~dT~ ~dt~l~dS~‘
Подставив (2.240) в (2.214), получим
I dQ\2 . ( dQ\2 . / dQ\2 1 ( dQ \2 , , 2 / dû \2 n
I— + + 1 + m2c2 — 0.
\dxil \дхл I \dx3J c2 \ dt ] \dS )
(2.241)
(2.238)
(2.239)
(2.240)
Уравнение (2.241) будем называть трансформированным
уравнением Гамильтона — Якоби, которое можно рассматри¬
вать как уравнение характеристик для волнового уравнения
да<р , da<p . da<p 1_ da<p . m2c2 d2<p = 0
dxj dx2 дх23 àt2 dS2
(2.242)
Полученное волновое уравнение (2.242) будем называть
классическим (т. е. не квантовым) волновым уравнением. Так
как уравнением его характеристик является модифицированное
уравнение Гамильтона — Якоби, то, следовательно, его биха¬
рактеристики являются уравнениями траекторий движения ча¬
стиц. Получаем, таким образом, волновое представление клас¬
сической релятивистской механики (подробнее см. гл. 4).
* Пример 7. В классической (ньютоновской) механике уравнение Га¬
мильтона—Якоби для одной частицы, находящейся в заданном потенциальном
поле U(x\ х2, х3, /), имеет вид (2.232). Путем преобразования (2.240) урав¬
нение (2.232) представляется в модифицированном виде
__dû__dû_ , J_yi fd^\2-±U(x\x2,x3,t)(-?Q-''\ =0.
dS dt 2m £ ( dxi J \ dS )
(2.243)
101
Будем теперь рассматривать уравнение (2.243) как уравнение характе¬
ристического многообразия для линейного волнового уравнения, содержащего
только старшие производные. Нетрудно убедиться, что это волновое урав¬
нение будет иметь вид ,
— ^Р-+ —У + J!î-=o. (2.244)
dtdS 2т £ dS3
В ypàBHeHHH (2.244) функция ф(х’, х2, х3, /, S) зависит от пяти коорди¬
нат. Следует, однако, иметь в виду, что последняя, пятая координата
S=S(xI, X2, X3, t) не является независимой. Она является инвариантной
функцией четырех координат х1, х2, х3, t. Поэтому при преобразованиях Га¬
лилея функция S не изменяется.
Уравнение (2.244) является волновым представлением классической (нью¬
тоновской) механики, так как его характеристическим многообразием являет¬
ся модифицированное уравнение Гамильтона—Якоби, а его бихарактеристи¬
ками являются уравнения движения частиц.
Что касается функции ф, то ее физический смысл будет обсужден в гл. 4.
2.22. Уравнение Гамильтона — Якоби
в релятивистской динамике
и сила Лоренца
Наряду с 4-вектором dSIdx* для случая заряженной частицы,
движущейся в заданном электромагнитном поле, необходимо
ввести в рассмотрение 4-вектор потенциал электромагнитного
поля At (см. ниже). Как было показано, можно обобщить урав¬
нения Гамильтона — Якоби для свободной частицы на случай
частицы, движущейся в заданном электромагнитном поле. Это
приводит к следующему уравнению:
(2.245)
Если учесть, что Д0 = іф0 и x° = ict, то получим форму (2.237).
Приведем уравнение (2.245) к виду (2.221), (2.222), т. е.
dS .
dt
„ T /'(àS е . \2 , / dS е . \2 , (dS е . , Vs . Г7 . .
I/ ^7 А + П + TJ А3) + т2с2 + еА0.
V \дхх с ) \дх3 с ) \дх3 с )
(2.246)
Воспользовавшись (2.211), можно написать уравнения характе¬
ристик для выражения (2.246), т. е. уравнения движения заря¬
женной частицы в заданном электромагнитном поле. В 3-мер-
102
ных обозначениях они будут иметь вид
di с
(2.247)
совпадающий с (2.159).
Таким образом, вычисление характеристик уравнений Га¬
мильтона — Якоби (2.245) дает не только возможность написать
уравнения движения (2.247) для заряженной частицы, движу¬
щейся в заданном электромагнитном поле, но и вывести кон¬
кретное выражение для силы Лоренца: е Е + (1/с) [г>Я]. Сле¬
довательно, уже в рамках классической механики достигаем
полного описания механической системы с помощью одной функ¬
ции— действия S(x‘, х2, х3, t). Что касается уравнения Гамиль¬
тона — Якоби, то оно заключает в себе информацию не только о
движении частиц, но и о действующих на эти частицы силах; в
частности, о силах, носящих не механический характер, т. е. та¬
ких, как сила Лоренца.
Пример 1. В качестве примера рассмотрим движение заряженной ча¬
стицы в постоянном кулоновом поле, т. е. движение заряда е в поле, созда¬
ваемом зарядом е'. Для этого случая уравнение Гамильтона—Якоби прини¬
мает следующий вид [88]:
- _L Æ + Л V + W = 0; (2.248)
с2 \ dt г ) \ дг / г2 \ Эф /
здесь а=ее'; г — расстояние между центрами тяжести заряженных частиц.
Рассмотрим решение S в виде S=—#^+Mp+f(r), где <5 и М— по¬
стоянные энергия и момент импульса движущейся частицы.
В результате получим
s = - я/ + Мф + J "[/ -у _ -y-j2 + -у- - m№dr. (2.249)
В соответствии с общим методом уравнения Гамильтона—Якоби траектория
определяется из соотношения dSfdM=const [88]. В нашем случае это соотно¬
шение принимает вид
(саМа — аа) -у- =
( -1 Г d2 \
= с Y(MÏÏ)2 — т2с2 (М2с2 — аа) coslç |/ 1 — Q - — <£а,Л4>|а|;
х г саЛ1а /
(2.250)
(а2 - ЛИ2) — =
Г
- = ± с/(М Я)2 + т2с2 (а2 — Л12с2) ch (ф 1/ тлт— 1) +
\ г са/Иа /
+ #а, Мс<|а|; (2.251)
— Яа = Я2-тМ-<р2 ; М=|а|. (2.252)
г \сМ с
103
Подробный анализ полученных выражений показывает [88], что в то время
как в нерелятивистской механике финитное движение в кулоновом поле про¬
исходит по замкнутым орбитам, в релятивистской механике кулоново поле
теряет это свойство. В этом случае вместо эллипсов получаются орбиты в виде
незамкнутых «розеток».
2.23. Приложение теории относительности
к элементарным частицам.
Релятивистские катастрофы
2.23.1. Энергия движущегося тела, как уже знаем, будет равна
Ў=Мс7У1—W. (2.253)
Таким образом, она (в противоположность классической меха¬
нике) всегда положительна. Энергия тела как целого складыва¬
ется из внутренней энергии его составных частей, их кинетиче¬
ской энергии и энергии их взаимодействия [110J, т. е.
Мс2 2 (2.254)
где т{ — массы отдельных частиц, входящих в состав тела. Из
этой формулы следует, что
М =/= 2 т(. (2.255)
Итак, масса тела как целого не равна сумме масс его частей, т. е.
закон сохранения массы в его обычном понимании оказывается
несправедливым.
Представим себе сложное тело, распадающееся на две части,
скорости которых обозначим и ѵ2. Принимая, что части, на ко¬
торые распалось тело, не взаимодействуют друг с другом, из
закона сохранения энергии будем иметь
Мс2 - —^с2 . _| м*с* .. (2.256)
Ÿ 1 — t»,/c2 1 — ѵ|/с2
Приведенное уравнение справедливо, если выполняется не¬
равенство
ДМ = М—М — М2>0. (2.257)
Величина ДЛГ носит название дефекта массы. Итак, тело может
самопроизвольно распадаться на отдельные части, если дефект
его массы положителен. Если дефект массы тела отрицателен,
то тело может быть разделено на отдельные части при подводе
энергии не меньше, чем ДМс2.
Рассмотрим задачу о столкновениях элементарных частиц.
Представим закон сохранения энергии в следующем виде:
Е.+Е^Е.'+Е^ (2.258)
104
Здесь Еі и Е2— энергия сталкивающихся частиц, находящихся
на столь больших расстояниях, что энергией их взаимодействия
можно пренебречь; Е/ и Е2'— энергия разлетающихся частиц
после столкновения, когда они находятся на столь большом рас¬
стоянии друг от друга, что взаимодействие между ними практи¬
чески прекратилось.
Кинетическая энергия в теории относительности определяет¬
ся следующим образом [ 110J :
• Т = Е — тс* тс* ( — ■ - ■■■ — 1V (2.259)
\ / і _ t,3/ca /
По закону сохранения энергии (2.258) для двух сталкиваю¬
щихся частиц •
{т, + т2—т,—т2) с2 = — ( 7\ + Г2—Г/—Г/). (2.260)
Здесь ті и т2 — массы частиц; Ті и Т2 — кинетические энергии
частиц до столкновения; т/, /п2', Г/, Т2 —массы и кинетические
энергии частиц, образовавшихся в результате столкновения.
Из уравнения (2.260) следует, что при столкновении частиц
энергия покоя полностью или частично превращается в кинети¬
ческую энергию частиц, в частности, может случиться, что в ре¬
зультате столкновения общая кинетическая энергия частиц мо¬
жет увеличиться за счет уменьшения общей энергии покоя ча¬
стиц.
Легко убедиться, что энергия частицы может быть представ¬
лена следующим образом (см. (2.165) и (2.149)):
£ - /mV + с*р*, (2.261)
где импульс
р = тпѵ/уі—иг/сг. (2.262)
Если сталкиваются несколько частиц, то их полный импульс до
столкновения должен равняться их полному импульсу после
столкновения.
Для того чтобы проиллюстрировать применение законов со¬
хранения в теории элементарных частиц, рассмотрим следующую
задачу [110]. Пусть частица А, имеющая массу покоя m и об¬
ладающая импульсом р, падает на покоящуюся частицу Б, име¬
ющую массу М. Возможно ли, чтобы вся энергия частицы А
(включая и энергию покоя) превратилась в кинетическую энер¬
гию частицы Б? Для ответа на этот вопрос напишем условие со¬
хранения энергии и импульса [ПО]
Мс2+ут2с‘ + с2р2=уЛГс*+с2р2. (2.263)
Возведя это выражение в квадрат, после ряда преобразований
получим
/п2с‘+2Мс2^т2с1+с2р2=0.
105
Это равенство не может быть выполнено, так как все слагаемые,
стоящие в его левой части, положительны. Следовательно, рас¬
сматриваемая реакция невозможна, так как она противоречит
законам сохранения энергии.
В дальнейшем под термином «частица» будем понимать как
вещественную частицу (т. е. частицу с отличной от нуля массой
покоя) с 4-импульсом
pt mt>k (k— 1 > 2, 3);
Kl-fê
так и фотон с 4-импульсом [ 110J
Рк - — пь (k =* 1,2,3); Ро = — • (2.265)
С с
ітс IE
Ро ~~ /1 — ра с ’
(2.264)
Под термином «катастрофа» будем понимать процесс столк¬
новения нескольких частиц. Если катастрофа носит релятивист¬
ский характер, то, как известно, в результате катастрофы могут
возникнуть новые частицы, при-
ÿi чем их число может отличаться
I X от числа частиц до столкнове-
гг ния. П°Д термином «катастро-
Н — фа» будем понимать также
у3 самопроизвольный распад
(взрыв), в результате которого
одна частица распадается на
несколько частиц.
В качестве интересной иллюстра-
Рис. 2.26. К Эффекту Комптона ции Релятивистского закона сохране¬
ния энергии 4-импульса можно при¬
вести теорию эффекта Комптона [91].
Итак, рассмотрим «столкновение» свободного электрона и у-кванта- Задача
заключается в определении длины волны (или частоты) укванта и скорости
электрона после соударения.
Релятивистский закон сохранения 4-импульса дает возможность решить
эту задачу не зная характера сил взаимодействия в процессе столкновения.
Предположим, что в системе координат х, у электрон покоится, а у^вант дви-.
жется вдоль оси х (рис. 2.26). Очевидно, до соударения полная энергия и
полный импульс были равны
E=mc2+hv\ p=hv/c. (2.266)
Вместе с тем после соударения направление движения электрона изменится,
так же как изменится направление движения у-кванта. Оба эти направления
будут определяться углами а и <£, как это показано на рис. 2.26.
После соударения имеем
тс2 —
Е = . + Аѵ; (2.267)
/1 - <?а/с2
106
- Av mg _ дѵ tnq
P1- c cosp+ ri _9,/c,cosa; p, =- —sin₽+sina.
В соответствии с законом сохранения энергии и импульса следует запи¬
сать
тс2 4- Аѵ =
тс2 -
. + hv;
— q2/c2
Av Av п
— = — cos р 4
с с
(2.268)
mq
mq - Av . Л
r : cos a; 0 = — — sin 0 + — • sin a.
V1 — ФІС2 С у { __ Ç2/C2
Из приведенных уравнений легко получить следующее окончательное выра¬
жение:
Х-Х = —sin2 —.
тс 2
(2.269)
Здесь X — длина волны фотона до соударения; Л — длина волны фотона после
соударения.
Таким образом, приведенная формула дает длину волны Л в зависимости
от угла рассеяния.
Релятивистская теория эффекта Комптона получила, как известно, под¬
тверждение в весьма точных экспериментах, проведенных многими авторами.
Как видно из (2.269), при рассеивании у-кванта в обратном направлении
имеет место наибольшее изменение длины волны Л, которое равно удвоенному
значению так называемой комптоновской длины волны hlmc.
2.23.2. Рассмотрим теперь закон сохранения энергии и им¬
пульса более подробно. Этот закон может быть записан в следу¬
ющей аналитической форме [111]:
2- 3 -7.”*- + (2.270)
V1 — ѵ'2/с2 с /1 — и2/с2 с
+ ^- + Sftv. (2.271)
У 1 — V 2/c2 y 1 — v2/c2
Здесь суммирование в правой части ведется по всем части¬
цам (включая фотоны) до катастрофы, а в левой части — после
катастрофы. При этом, разумеется, число частиц до и после ка¬
тастрофы может быть различным. Понятно также, что левые и
правые части уравнений (2.270) и (2.271) относятся к частицам,
находящимся на столь больших расстояниях друг от друга, что
их взаимодействием можно пренебречь. Заметим, наконец, что
уравнение (2.270) выражает собой закон сохранения релятиви¬
стского импульса, а уравнение (2.271) —закон сохранения энер¬
гии.
2.23.3. Полезно рассмотреть релятивистскую катастрофу в
пространстве импульсов (рь р2, р3, р0), как это изложено
Дж. Л. Сингом [111]. В этом пространстве каждой частице со¬
107
Рис. 2.27, Процесс столкновения час¬
тиц
а — в пространстве-времени Минковского;
б — в пространстве-времени импульсов
поставляется вектор (рп р2, Рз, Ро)« Компоненты этого вектора не
являются независимыми. Они связаны, как уже знаем, следую¬
щими соотношениями:
для вещественной частицы (xQ = ict)
Pf+pS+pf+pf—mV-, (2.272)
для фотона
Р12+Рг2+Рз2+Ро2 = О. (2.273)
. Итак, пространство импульсов имеет ту же метрическую
структуру, что и пространство-время Минковского (рис. 2.27, а).
Однако начало координат в
этом пространстве не является
произвольным и оно может
быть физически выделено. Ре¬
лятивистская катастрофа в
пространстве импульсов мо¬
жет быть истолкована очень
просто, а именно равнодейст¬
вующий вектор системы ча¬
стиц до катастрофы должен
совпадать с равнодействующим
вектором системы частиц, об¬
разовавшихся после катастро¬
фы. На рис. 2.27, б этот про¬
цесс изображен наглядно.
Здесь две частицы (сплошные
линии) после столкновения распадаются на три частицы (пунк¬
тирные линии).
Заметим теперь, что для описания процесса столкновения
имеется только четыре уравнения (2.270) и (2.271). Таким об¬
разом, ни количество вновь образующихся частиц, ни их массы,
ни импульсы не могут быть, вообще говоря, предсказаны на ос¬
нове этих уравнений. Только в единственном случае, когда об¬
разуется одна частица, ее импульс и масса могут быть вычис¬
лены по уравнениям
Pk =* 2 Р*> A4' — — Pkp'k. (2.274)
Скажем еще несколько слов по поводу упругого и неупругого
столкновения.
В случае неупругого столкновения все сталкивающиеся ча¬
стицы образуют одну частицу с 4-импульсом р/ и собственной
массой A4', величины которых можно вычислять по уравнениям
(2.274). В случае двух сталкивающихся частиц а и b имеем
A4'2 =5 — (pür 4- pbr) (par + Pr) =*■ Ma + Ml — ^рагРЬг- (2.275)
Здесь Ма и Мь — собственные массы; рга и ргь—4-импульсы ча¬
стиц. Если две движущиеся частицы являются фотонами с ча^
108
стотами Va и ѵь и сталкиваются в направлении единственных
векторов пка и то
М'2 =* 2 (1 — naknk) = 4 sin2 -у. (2.276)
Здесь V — угол между направлениями движения сталкивающих¬
ся фотонов. Уравнение (2.276), очевидно, описывает рождение
вещественной частицы электромагнитным полем (вещественная
частица возникает в результате столкновения двух фотонов).
ЕСЛИ Ѵв = Ѵь = Ѵ и ѵ=л, то
М'сг=2Нѵ. (2.277)
В случае абсолютно упругого’ удара число частиц остается
неизменным и собственная масса каждой частицы тоже остает¬
ся неизменной. Видим, таким образом, какую громадную роль
играют идеи теории относительности в современной теории эле¬
ментарных частиц.
Отметим, что СТО сыграла основное значение в теоретическом предска¬
зании существования мезонов как квантов внутриядерных сил. Как следует
из теории относительности, средний импульс, переносимый полем, имеет ве¬
личину порядка произведения скорости света на массу кванта этого поля.
Исходя из размеров ядер атомов, Я. Юкава в 1935 г. предсказал, что долж¬
ны существовать частицы-кванты поля внутриядерных сил, имеющих массу,
примерно в 200- раз большую массы электрона. Эта величина позднее была
уточнена и, как известно, эти частицы были экспериментально обнаружены
К. Д. Андерсоном и С, Г. Неддермяном.
Теория относительности дала возможность предсказать существование
одной из самых удивительных элементарных частиц — нейтрино. Г. И. Копы¬
лов [112] указывает: «...отцом кинематики следует считать В. Паули. Откры¬
вая нейтрино, он открыл и кинематику. Он поверил в сохраняемость энергии
сильнее прочих людей — на ладони у него, как у фокусника, внезапно засвер¬
кала самая поразительная из частиц».
Сделаем одно принципиальное замечание. Классическая физика пыталась
свести все наблюдаемые явления к чисто механическим процессам, т. е. к
наглядным картинам движения ансамбля материальных частиц в пространстве
и времени. Вместе с тем теория относительности делает невозможным такое
сведение к механическим представлениям. Уже знаменитое соотношение между
массой и энергией $ = тс2 само по себе не наглядно и приводит к выводу, что
целое не состоит из частей (дефект массы и связанная с ним энергия связи).
Итак, подлинно физическая, наглядная, макроскопическая модель явле¬
ний, происходящих в микромире, невозможна.
Все подобные модели, как отмечалось выше, носят приближенный и отно¬
сительный характер. Этот вывод, вытекающий из основных положений тео¬
рии относительности, связан с характерной для современной физики взаимо¬
связи понятий массы и энергии, целого и части, элементарности и сложности,
обычной реальности и виртуальности применительно к частицам и т. д.
В заключение еще раз отметим, что в данном разделе огра¬
ничились только иллюстрацией применения релятивистских за¬
109
конов сохранения в теории элементарных частиц. Другие вопро¬
сы этой сложной' и исключительно важной теории современной
физики здесь не рассматривались.
2.24. Экспериментальное подтверждение
релятивистской динамики
2.24.1. Зависимость массы частицы от скорости ее движения. Из
изложенного выше следует, что масса движущейся частицы т
связана с массой покоя ги0 этой же частицы следующей форму¬
лой:
т =. nijÿX — fî. (2.278)
Эта формула проверялась в экспериментах многих исследовате¬
лей, изучавших движение заряженных частиц в электромагнит¬
ном поле (Н. Герлах, И. Кауфман, П. Бюхерер, Ф. Нейман,
И. Гюи и Н. Лаванши и др.). Вместе с тем наиболее полным
подтверждением (2.278) являются современные ускорители за¬
ряженных частиц. Таким образом, зависимость массы частицы
от скорости ее движения (2.278) является твердо установленным
фактом.
2.24.2. Упругое столкновение двух частиц. При упругом
столкновении двух частиц их массы покоя не меняются. В част¬
ном случае, когда одна из частиц покоится, траектории частиц
образуют угол, который может быть определен по формуле
(2.269).
Эксперименты, проводимые Г. Чампионом,'К. Кюри, Н. Леп-
ренс — Ринге и другими, подтвердили справедливость этой фор¬
мулы. В одном из экспериментов зафиксировано столкновение
движущегося электрона, для которого (и/с) =[3 = 0,968 с практи¬
чески покоящимся электроном; при этом угол, под которым рас¬
ходятся электроны, равен 60°; для [3 = 0,93 этот угол оказался
равным 72°. Полученные экспериментальные результаты нахо¬
дятся в хорошем согласии с теоретическими результатами [7].
2.24.3. Эффект Комптона. Как известно, при падении потока
рентгеновских лучей на металлическую пластинку происходит
рассеяние этих лучей в различных направлениях.
С классической точки зрения это явление объясняется следующим обра¬
зом. Падающая электромагнитная волна приводит к колебаниям электронов,
находящихся в металлической пластинке. По классическим представлениям
частота колебаний электронов должна совпадать с частотой падающей волны
и, так как колеблющиеся электроны сами являются источником излучения,
следовало бы ожидать, что рассеянные рентгеновские лучи имеют ту же ча¬
стоту, что и падающие. Вместе с тем опыт показывает, что частота рассеян¬
ных лучей зависит от угла рассеяния. Это явление, открытое в 1923 г., носит
название эффекта Комптона.
С релятивистской точки зрения (см. рис. 2.26) падающий фо¬
тон рассеивается под углом <р. Электрон также получает допол¬
110
нительный импульс и начинает Двигаться под некоторым углом ф
по отношению к направлению падающего фотона. Из реляти¬
вистских законов сохранения энергии и импульса можно выве¬
сти частоту расеянного фотона в зависимости от угла рассеяния.
Приведенные формулы для частоты или длины рассеянной
волны в зависимости от угла рассеяния хорошо подтверждаются
экспериментом. \
2.24.4. Дефект массы, ядерная энергия и баланс ядерных ре¬
акций. Как выше было показано, энергия & частицы определя¬
ется выражением
« =* тс2//Г^р. (2.279)
Для покоящейся частицы имеем ‘
г &=тс2. (2.280)
Предполагая, что имеем дело с малыми скоростями, будем поль¬
зоваться выражением (2.280). Закономерности, выраженные со¬
отношением (2.279), лежат в основе всех процессов, связанных с
освобождением внутриатомной энергии, что является блестящим
подтверждением одного из выводов теории относительности.
Пример 1. Рассмотрим одну из основных реакций, используемых в во¬
дородных бомбах. Как известно, ядра атомов состоят из положительно за¬
ряженных частиц (протонов) и нейтральных частиц (нейтронов). При весьма
высоких температурах (порядка ІО8 К) происходят реакция превращения ядер
атомов легких элементов в ядра атомов более тяжелых элементов. При
взрыве водородной бомбы происходит слияние ядра атома тяжелого водоро¬
да (дейтерия) и ядра атома сверхтяжелого водорода (трития); в результате
образуется ядро атома гелия и вылетает один нейтрон.
Эту реакцию можно записать следующим образом:
Я12+Я1з=Яе24+по1.
Масса ядра атома дейтерия mHt равна 2,014408 атомных единиц массы
(а. е. м.), масса атома трития тН1 = 3,01700 а. е. м., масса ядра атома гелия
тНе± =4,00390 а. е. м. и, наконец, масса нейтрона тн0 = 1,00893- а. е. м.
Таким образом, при этой реакции происходит следующее изменение мас¬
сы: Аги=2,014708+3,01700—4,00390—1,00893=0,0189 а. е. м.=3,0- ІО-26 г. Это
изменение массы, как мы уже знаем, называется дефектом массы. Следова¬
тельно, в соответствии с формулой (2.280) выделяется энергия, равная
ДЕ=3,0-10_26-9-1020»2,7-ІО-12 Дж.
При реакции слияния 1 г дейтерия и трития выделяется следующее количество
энергии: 2,7-10-5 (6,023-ІО23)/5 = 3,3-10й Дж. Эта энергия соответствует энер¬
гии, выделяющейся при сжигании 9 т угля [109].
Другие результаты экспериментальной проверки СТО можно найти в [7, 92,
113 и др.].
- Г л а в а 3
ФИЗИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ
РЕЛЯТИВИСТСКИМИ СИСТЕМАМИ
(Релятивистская теория электромагнитного
и гравитационного полей)
Физическую основу процессов управления релятивистскими си¬
стемами составляют законы СТО и ОТО (теории гравитацион¬
ного поля), которые обладают рядом специфических свойств и
требуют для их исследования соответствующего математическо¬
го аппарата.
В данном разделе излагаются основы релятивистской тео¬
рии элекгромагнитного и гравитационного полей и соответству¬
ющего в смысле проблемы Вундгейлера математического объ¬
екта. Приводятся некоторые результаты экспериментальной
проверки релятивистских эффектов, которые необходимо учи¬
тывать при разработке моделей процессов и алгоритмов управ¬
ления.
Модель управления релятивистскими системами иллю¬
стрируется на примере задачи инерциальной навигации с учетом
релятивистских эффектов.
3.1. Электромагнитное поле Максвелла.
Предварительные замечания
Основная физическая модель теории электромагнитного поля
приводит к уравнениям Максвелла, которые, как это было ус¬
тановлено только через несколько десятилетий, оказались ре¬
лятивистски инвариантными. Этот факт тем более замечателен,
что А. Максвелл, конечно, ничего не знал ни о преобразованиях
Лоренца, ни о релятивистской инвариантности вообще.
Таким образом, электромагнитная теория Максвелла явля¬
ется полностью релятивистской теорией. Следовательно, все
бесчисленные эксперименты, подтверждающие теорию Мак¬
свелла, подтверждают одновременно также теорию относитель¬
ности.
Любопытно отметить, что в свое время Г. Герц пытался ви¬
доизменить уравнения Максвелла таким образом, чтобы они
оказались инвариантными относительно преобразований Га¬
лилея. Однако уравнения Герца оказались в противоречии с из¬
вестными еще в то время экспериментами.
Здесь будет довольно подробно изложена основная модель
112
этой теории в традиционной, тензорной, внешней и спинорной
формах. Будут также приведены релятивистские формы преоб¬
разования для электромагнитных потенциалов, напряженностей
электромагнитного поля и т. д. [7, 88].
3.2. Уравнения Максвелла
в традиционной форме и обозначениях
Модель классической электродинамики основана на девяти
фундаментальных экспериментах и двух гипотезах Максвелла.
В книге Г. Скиллинга [114] эти девять фундаментальных экс¬
периментов описываются следующим образом: опыт 1) уста¬
новлено, что вокруг тела с электрическим зарядом существует
силовое поле; опыт 2) установлено, что электрическое поле по¬
тенциально (ротор равен нулю); опыт 3) дивергенция электри¬
ческого поля пропорциональна плотности заряда; опыт 4) уста¬
новлено влияние диэлектрической среды; опыт 5) установлен
закон Ома; опыт 6) установлено существование магнитного
поля; опыт 7) установлено, что изменение магнитного поля ин¬
дуцирует электрическое поле; опыт 8) установлено, что магни¬
тостатическое поле соленоидально (дивергенция равна нулю);
опыт 9) установлено, что ротор магнитостатического поля про¬
порционален плотности тока.
Кроме того, предполагалось, что дивергенция динамического
электрического поля пропорциональна плотности заряда и ди¬
вергенция динамического магнитного поля равна нулю. В опы¬
тах 3) и 4) эти предположения были доказаны только для ста¬
тических полей соответственно.
Отметим теперь следующее. Произведение е£ = D называ¬
ют током смещения. А. Максвелл высказал исключительно важ¬
ную гипотезу, что токи смещения создают магнитные поля так
же, как и обычные токи проводимости. В обычных условиях об¬
наружить токи смещения трудно ввиду крайне малой их вели¬
чины. Положение существенно меняется в случае, например,
приборов высокой и сверхвысокой частоты. В этих случаях
токи смещения и создаваемые ими магнитные поля принимают
большие значения.
Только введенная А. Максвеллом гипотеза о существовании
токов смещения и создаваемых ими магнитных полях дала воз¬
можность подтвердить закон сохранения энергии. В частности,
если пренебречь джоулевым теплом, то только благодаря гипо¬
тезе Максвелла удалось установить, что энергия, теряемая из¬
лучающей системой внутри замкнутой поверхности, в точности
равна энергии, излучаемой через эту поверхность. Таковы в об¬
щих чертах качественные особенности модели классической
электродинамики Максвелла.
Следует, однако, особо подчеркнуть, что существуют определенные праницы
применимости электродинамики Максвелла. Л. Д. Ландау и И. М. Лифшиц в
[88] указывают: «Заметим, что ввиду бесконечности получающихся из элект¬
113
родинамики «собственной» энергии и массы в рамках самой классической
электродинамики нельзя поставить вопрос о том, является ли вся масса элек¬
трона электромагнитной (т. е. связанной с электромагнитной собственной
энергией)... С чисто формальной точки зрения конечность массы электрона
можно трактовать путем введения бесконечной отрицательной массы неэлек¬
тромагнитного происхождения, компенсирующей бесконечность электромаг¬
нитной массы («перенормировка» массы). Мы увидим, однако, в дальнейшем
(§ 75), что этим способом не ликвидируются все внутренние противоречия
классической электродинамики».
Вместе с тем движущийся заряд создает электромагнитное поле, которое
jb свою очередь оказывает действие на движущийся заряд. Это действие на
движущийся заряд; называют силой торможения, которая вычисляется по
следующей формуле [88]:
f = (2е2/3с3) V.
По этому поводу в [88] указывается: «Надо, однако, иметь в виду, что
описание действия заряда «самого на себя» с помощью силы торможения
вообще не является вполне удовлетворительным и содержит в себе проти¬
воречия. Уравнение движения заряда в отсутствие внешнего поля, на кото¬
рый действует только сила (75,8), имеет вид
тѴ= (2е2/3с3) V.
Это уравнение имеет, кроме тривиального решения Ѵ=const, еще реше¬
ние, при котором ускорение V пропорционально exp {3mc2t/2e2}, т. е. неогра¬
ниченно возрастает со временем. Это значит, например, что заряд, прошед¬
ший через какое-нибудь поле, по выходе из поля должен был бы неограничен¬
но «самоускоряться». Абсурдность этого результата свидетельствует об огра¬
ниченной применимости формулы (75,8).
Может возникнуть вопрос о том, каким образом электродинамика, удов¬
летворяющая закону сохранения энергии, может привести к абсурдному ре¬
зультату, в котором свободная частица неограниченно увеличивает свою энер¬
гию. Корни этой трудности находятся в действительности в упоминавшей¬
ся ранее (§ 37) бесконечной электромагнитной «собственной массе» элементар¬
ных частиц. Когда мы пишем в уравнениях движения конечную массу заряда,
то мы этим, по существу, приписываем формально бесконечную же отрица¬
тельную «собственную массу» не электромагнитного происхождения, кото¬
рая вместе с электромагнитной массой приводила бы к конечной массе части¬
цы. Поскольку, однако, вычитание одной из другой двух бесконечностей не
является вполне корректной математической операцией, то это и приводит
к ряду дальнейших трудностей, в том числе и к указанной здесь...
Таким образом, формула (75,8) для торможения излучением применима
только в том случае, если длина падающей на заряд волны велика по сравне¬
нию с «радиусом» заряда е2/тс2. Мы видим, что расстояния порядка e2jtnc2
опять оказываются той границей, за которой электродинамика приходит в
противоречие сама с собой (см. § 3.7).
Во-вторых, сравнивая второй член в силе ,торможения с силой еЕ, нахо¬
дим условие
(75,12)
114
Таким образом, необходимо также, чтобы само поле не было слишком велико.
Поля порядка т2с4/е3 тоже являются границей, за которой классическая элек¬
тродинамика приводит к внутренним противоречиям. И здесь надо иметь в:
виду, что в действительности электродинамика становится неприменимой вслед¬
ствие квантовых эффектов уже при значительно меньших полях (при полях
порядка tn2c3lhe, где h — постоянная Планка)... Обратим внимание на сле¬
дующее интересное обстоятельство. В предыдущем параграфе было показано,
что полученные выражения для торможения излучением применимы лишь в
таких полях, величина которых в системе отсчета, в которой частица по¬
коится (система Ко) мала по сравнению с т2с*/е3. Пусть F есть порядок вели¬
чины внешнего поля в системе отсчета К, в которой частица движется со ско¬
ростью V. Тогда в системе Ко поле имеет порядок величины Ffl—и2/с2 (см.
формулы преобразования в § 24). Поэтому F должно удовлетворять условию
езр
<1. (76,5}
У1 — ѵ2/с2 -
Между тем отношение силы торможения (76,4) к внешней силе (~eF) по
порядку величины есть
e2F/
/ V2 '
ГП2С* h —
\ С2 t
и мы видим, что соблюдение условия (76,5) не препятствует тому, что сила
торможения может оказаться (при достаточно большой энергии частицы)
большой по сравнению с обычной лоренцевой силой, действующей на заряд в
электромагнитном Поле. Таким образом, для ультрарелятивистской частицы
может иметь место случай, когда торможение излучением является основной
действующей на нее силой».
В традиционных обозначениях фундаментальные уравнения
Максвелла могут быть записаны как в интегральной, так и в
дифференциальной формах [115].
В интегральной форме соотношение между токами и магнит¬
ным полем
ф HdS =*
(С)
(злу
закон индукции
J EdS =* - ( Bda; (3.2),
(С) dt s
вихревой характер поля Е (отдельные магнитные полюсы или
заряды не могут существовать) для любой замкнутой поверх¬
ности S
$ Bda = 0; (3.3).
(S)
соотношение между электрическими зарядами и электрическим
115
полем (невихревая часть поля)
$ DdS = J pdr (3.4)
и соотношения, отражающие электрические (е) и магнитные
(ц) свойства среды,
В = р,р0/7 и D = ee.0E. (3.5)
В дифференциальной форме .
rot Н / + dD/dt', div В =* 0 ;
rot£ = —dB/dt\ div£>=:p;
здесь В =|Л|ЛОЯ, D =гглЕ (для вакуума е = р,= 1).
Уравнения (3.6) — уравнения Максвелла; Е — напряжен¬
ность электрического поля; Н — напряженность магнитного
поля; В — вектор магнитной индукции; / — плотность тока;
р, — коэффициент магнитной проницаемости; в — коэффициент
электрической проницаемости (для вакуума е = р=1).
В заключение полезно привести одну цитату из упоминавшейся книги
Г. Скиллинга [114, с. 115], в которой с предельной ясностью характеризуется
сущность открытия А. Максвелла: «Известно из опыта, что ток проводимости
(курсив Г. Скиллинга) создает магнитное поле; математически общий ток
удобнее всего выражать в виде суммы тока проводимости и тока смещения,
поэтому возникает вопрос: не создает ли также и ток смещения, подобно
току проводимости, магнитное поле. Во времена Максвелла эксперименталь¬
ная техника не давала возможности с помощью непосредственного исследо¬
вания подтвердить или опровергнуть это положение, так как подлежащие
исследованию величины очень малы. Но эта гипотеза привела к фундамен¬
тально важному заключению, ибо Максвелл показал, что если она справед¬
лива, то энергия должна передаваться в виде электромагнитных волн».
3.3. Тензорная форма электродинамики
Максвелла
3.3.1. Прежде всего необходимо заметить, что три компоненты
напряженностей электрического поля Ех, Еѵ, Ег и три компонен¬
ты напряженностей магнитного поля Нх, Нѵ, Hz не могут рас¬
сматриваться как два вектора в 4-мерном псевдоевклидовом
пространстве СТО. В самом деле, в этом пространстве могут
существовать векторы, имеющие по четыре компоненты.
Электрическое и магнитное поля тесно связаны между со¬
бой. Так, хорошо известно, что чисто магнитное поле, покоя¬
щееся в заданной инерциальной системе отсчета магнита, ста¬
новится электромагнитным полем в другой инерциальной систе¬
ме отсчета, движущейся по отношению к исходной прямолиней¬
но и равномерно. Следовательно, как с физической, так и с ма¬
тематической точек зрения шесть компонент электрического и
116
магнитного полей естественно рассматривать как компоненты
антисимметричного тензора второй валентности.
Хорошо известно, что антисимметричный тензор второй ва¬
лентности в псевдоевклидовом пространстве имеет именно шесть
компонент и не существует другого тензорного объекта, кото¬
рый обладал бы этим свойством (ниже x° = ict, поэтому Fa=
= Fih).
Поэтому А. Эйнштейн сделал предположение, что компонен¬
ты электрического и магнитного полей могут быть представле¬
ны как компоненты антисимметричного тензора второй валент¬
ности 1
Теперь первую и вторую группы уравнений Максвелла (3.6)
можно представить в следующем виде:
dF.k dPki àFu ..
дх1 дх1 dxt
(3.8)
Н'
(3.9)
где jt — компоненты вектора 4-тока.
Первой группе уравнений Максвелла (3.8) можно также
придать вид
Э1Ш^=0, (3.10)
где ЭІЫт — единичный полностью антисимметричный псевдотен¬
зор.
Легко видеть, что написанные уравнения ковариантны относительно
группы преобразований Лоренца (см. п. 2.2.). При традиционной записи
уравнений Максвелла доказательство их ковариантности относительно груп¬
пы преобразований Лоренца требует крайне громоздких выкладок. При тен¬
зорной записи этих уравнений их релятивистская инвариантность становится
непосредственно очевидной. Отмеченное обстоятельство является одним
из существеннейших преимуществ использования тензорного аппарата в со¬
временной теории физических полей по сравнению с традиционным подходом
к этой теории. ’
1 Так как в дальнейшем взята мнимая координата xP — ict, то, как отмечалось
в главе 2, в этом случае различия между ко- и контрвариантными компо¬
нентами пропадают. Поэтому ниже для всех введенных величин (кроме коор¬
динат) индексы будем писать внизу.
117
Следует подчеркнуть, что уравнения (3.8) и (3.9) имеют
различную геометрическую природу: уравнения (3.8) никак не
связаны с наличием псевдоевклидовой метрики, в то время как
вторая пара уравнений Максвелла (3.9) требует для своего-
описания псевдоевклидовой метрики. Более подробно геометри¬
ческая природа уравнений Максвелла рассмотрена в п. 3.5.3.
Компоненты /< в (3.9) должны удовлетворять условию не¬
прерывности
' —— = 0 или^-+-^ + ^+-^ = 0, x°=uct (3.11)
дх1 дх1 дх2 дх2 дх
Если ток образуется движением одного точечного заряда, то
j(=evô(r—r0), /o=jceô(r—г0) (і=1, 2, 3), (3.12)
где г0 — координата заряда в данный момент; б(г—г0) —3-мер¬
ная дельта-функция Дирака; ѵ — 3-мерная скорость.
Решение уравнений Максвелла будем искать в виде
Ей= (dAJdx*—dAJdx<). (3.13)
При подстановке (3.13) в уравнения Максвелла первая их
группа удовлетворяется тождественно. Что же касается второй
группы уравнений Максвелла, то она приводит к следующим
уравнениям для потенциала А(:
dxf \ df
(3.14)
здесь □ =дгІдхіг+дгІдх22+дгІдхл—\/с?-d2/dt2 — оператор Да¬
ламбера.
Если взять дивергенцию от обеих частей равенства (3.14), то
нетрудно убедиться, что левая часть при этом обратится тождест¬
венно в нуль, т. е. приходим к уравнениям непрерывности для
тока (3.11).
В электродинамике [88] четыре уравнения для потенциалов
заменяют следующими пятью уравнениями:
□A=Â, (3.15)
дАп/дхп = 0. (3.16)
Здесь необходимо сделать следующее важное замечание. Для шести функ¬
ций Fik (напряженностей электромагнитного поля) существует восемь урав¬
нений Максвелла (четыре уравнения первой группы (3.8) и четыре уравнения
второй группы (3.9)). Нетрудно, однако, убедиться, что восемь уравнений
Максвелла не являются независимыми. В самом деле, если в Первой группе
(3.8) уравнений взять производную д/дх1 от первого уравнения, д/дх2 от
второго уравнения и д/дх3 от третьего уравнения и минус (1/с) (d/dt) от
четвертого уравнения и полученные таким образом уравнения сложить, то
эта сумма будет тождественно равна нулю. Из этого следует, что четвертое
уравнение первой группы Максвелла является дифференциальным следствием
118
первых трех этой группы. То же самое можно сказать о второй группе урав¬
нений Максвелла (3.9), если только соблюдается закон сохранения заряда
(3.11).
Для единичного заряда уравнения (3.15), (3.16) имеют ре¬
шение (Лиенар—Вихерт)
Ао = ; А{ — (I = 1, 2, 3).
0 (R—VR/cj c(R — VR/c) ѵ ’
(3.17)
Здесь /? — радиус-вектор, проведенный из точки нахождения за¬
ряда в точку наблюдения р; V — 3-мерная скорость; все вели¬
чины в правых частях равенств (3.17) должны быть взяты в
момент времени который определяется из уравнения
t'+R(t')!c=t, (3.18)
где t — момент наблюдения; R(t') — расстояние от заряда до
точки наблюдения, являющееся заданной функцией времени.
Отметим, что решение для потенциалов в виде (3.17) назы¬
вают потенциалами Лиенара — Вихерта.
Преобразования Лоренца для 4-вектора (х1, х2, х3, х°) дают
возможность написать формулы преобразования для любых век¬
торных или тензорных величин, встречающихся в релятивист¬
ской теории поля.
Пример 1. Рассмотрим законы преобразования для 4-вектора -элект¬
ромагнитного потенциала и тензора электромагнитного поля, в частности,
когда одна из инерциальных систем отсчета движется относительно другой
с постоянной скоростью V вдоль оси X.
Вначале запишем преобразования в 3-мерных обозначениях [88]
А’+(Ѵ/с) <р\ ' Ф' + (Ѵ/с)Л; .
Jt —, • лу лу> лг т —,
Y1 — v2/c2 Y1 — v2/c2
, . , (3.19)
■ H -H-, H _ H.+m s;
Y1 — Wc2 Yi — v2/c2
В 4-імерном представлении можно записать
Y1 — ѵ2/сз y 1 — v2/c2
(3.21)
Аналогично в 4-мерном представлении компоненты электромагнитного поля
запишутся как
р _ Лг-‘(Wc)F'2 f _F’l)2+i(V/c)F'li
J12 — — , г 02 — ;
Y1 — v2/c2 Y1 — v2/c2
(3.22)
р _fÎ3-i’(v/c)F;3. _f;3+»(Wc)f;3
Y1 — v2/c2 Y1 — v2/c2
119
3.3.2. Введем теперь важное понятие о тензоре энергии-им¬
пульса электромагнитного поля. Этот тензор можно определить-
следующим образом [88]:
Tik — ^FuFki FtmFimgikj . (3.23)»
Воспользовавшись уравнениями Максвелла (3.8), (3.9), не¬
трудно убедиться в справедливости существования следующих
четырех тождеств:
dTik/dxk =s О (U = 0,1,2, 3). (3.24>
Проинтегрировав (3.24) по 3-мерному объему Vt и восполь¬
зовавшись теоремой Гаусса—Остроградского, получим
"^7 $ FoodV — — (Т'оі^і + Fwn2 + T03n3)dF'\
b f ‘77’dv = - Ф{Tlkrh+Tîkni + Тзкпз} dF
Здесь Too имеет смысл плотности энергии поля,
смысл плотности импульса поля. В соответствии
жение
ГоіЯі + Т02И2 + Т0)П
(3.25}
(k^ 1,2,3).
а Тм имеет
с этим выра-
(3.26)
3
представляет собой вектор плотности потока энергии, т. е. век¬
тор Умова—Пойнтинга.
И соответственно выражение
Tiktii + Т2цП2 + Тзлп3 (k — 1,2, 3) (3.27)
— вектор плотности потока импульса.
Таким образом, уравнения (3.24), (3.25) представляют со¬
бой дифференциальную и интегральную формы законов сохра¬
нения энергии и импульса для электромагнитного поля соответ¬
ственно.
Другая запись законов сохранения в виде внешних форм
приведена ниже в п. 3.5.3.
В заключение приведем в развернутом виде в традиционных
обозначениях выражения для компонент тензора энергии-им¬
пульса и для вектора плотности потока энергии Умова—Пойн¬
тинга [88]:
Тхх = ±(Е2У + El- Е2 + Н2У +Н2г-НІ),
ОЛ
(3.28')
Тху = -^-(ЕхЕу + НхНу),
4л
Таз =* Г" (- EaEfi - HaHfi + JL (Е’ + №)\ . (3.28)
4л ( 2 )
120
Заметим, что тензор энергии-импульса (3.28) называют также
максвелловским тензором напряжений.
Вектор Умова—Пойнтинга в традиционных обозначениях
имеет вид
(3.29)
4л
3.4. Характеристики уравнений Максвелла
В соответствии с общей теорией, изложенной в главе 4, уравне¬
ние характеристик для уравнений Максвелла должно иметь вид
Уравнение (3.30) является уравнением эйконала, возведенного
в куб.
При составлении уравнений характеристик уравнений Мак¬
свелла (3.8), (3.9) возникают определенные трудности.
Из уравнения характеристик (3.30) следует, что волновое
поле для фотона должно описываться шестью функциями, нося¬
щими тензорный характер, т. е. уравнениями (3.8), (3.9). Каж¬
дая из систем уравнений (3.8), (3.9) состоит из четырех урав¬
нений, т. е. имеем восемь уравнений для шести функций Fih. Но,
как хорошо известно, последнее уравнение системы (3.8) и по¬
следнее уравнение системы (3.9) являются дифференциальными
следствиями первых трех. Поэтому, казалось бы, можно ограни¬
читься (так обычно и поступают) первыми тремя уравнениями
системы (3.8) и первыми тремя уравнениями системы (3.9).
Очень многие авторы выводили уравнение характеристического
многообразия для указанных шести уравнений Максвелла. Так,
в широко известной монографии Р. Куранта и Д. Гильберта
[99], а также монографиях многих других авторов, например
[104], приводится следующее характеристическое многообразие
для уравнений Максвелла:
1_ / dQ \2 Г/ dQ \2 / ÔQ \2 / dû \2 1_ / dQ \2
с2 k dt ) |Д дх') + \ д*2/ + \ д'*3 / са \ dt / .
Приведенное характеристическое многообразие (3.31) не совпа¬
дает с приведенным выше (3.30), т. е. оно не удовлетворяет
сформулированным нами в главе 4 требованиям. Кроме того,
как легко убедиться, оно релятивистски неинвариантно.
Вместе с тем, как это следует из самой физической модели, характери¬
стическое многообразие обязательно должно быть релятивистски инвариант¬
но. Чтобы понять, в чем здесь дело, следует обратить внимание, что первая
группа уравнений Максвелла (3.8) выражает равенство нулю четырех компо¬
нент псевдовектора или полностью антисимметричного тензора третьей ва¬
лентности, а вторая группа уравнений (3.9) выражает равенство нулю всех
компонент 4-вектора в псевдоевклидовом пространстве, причем, как отмеча¬
= 0. (3.31)
121
лось выше, последние уравнения обеих групп являются Дифференциальным»
следствиями первых трех уравнений обеих групп соответственно. При выводе
уравнения характеристического многообразия ограничивались, как видели,
только тремя компонентами псевдовектора (3.8) и тремя компонентами 4-век¬
тора (3.9). При этом не учитывалась четвертая времени-подобная компонен¬
та псевдовектора (3.8) и четвертая времени-подобная компонента 4-івектора
(3.9). Теперь становится совершенно ясным, почему в [99, 104], а также в
других работах не было получено релятивистски инвариантное уравнение ха¬
рактеристического многообразия уравнений Максвелла.
Имеется еще несколько возможностей составления дополнительных харак¬
теристических многообразий, которые совместно с приведенным выше (3.31)
образуют релятивистски инвариантное многообразие. Рассмотрим эти возмож¬
ности. В обеих группах уравнений (3.8) и (3.9) заменим первые уравнения
(т. е. компоненты векторов в направлении х1) последними уравнениями, т. е.
времени-подобными компонентами этого же вектора, и выведем для полу¬
ченной таким образом системы характеристическое многообразие. Затем по¬
вторим подобную же операцию, заменив вторые уравнения в обеих группах
времени-подобными компонентами векторов, т. е. последними уравнениями
каждой из групп. И, наконец, это же проделаем для третьих уравнений обеих
групп, заменив их времени-подобными векторами. Всякие другие комбинации
уравнений нарушали бы релятивистскую инвариантность.
С учетом приведенного выше характеристического многооб¬
разия (3.31) получим следующую систему из четырех характе¬
ристических многообразий:
1_ / Эй у Г/ Эй у . / Эй у / ЭЙ у 1_ / Эй \212 д. о-
с2 \ dt ) ІЛ Эх1 ) Эх2 / + к Эх9 / с2 \ dt / ’
эй у I / эй у , / эй у , / эй у і_ / эй у у 0
Эх9 ) ІД Эх1 / + \ Эх2 / + \ Эх9 J с2 \ dt / ]
Стоящие в левой части (3.32) выражения являются квадра¬
тами компонент 4-вектора. Сумма квадратов компонент 4-век¬
тора должна дать длину 4-вектора, т. е. инвариант. Складывая
приведенные выше соотношения в (3.32), получим
Это и есть истинное характеристическое многообразие уравне¬
ний Максвелла (3.8), (3.9), что отвечает сформулированному
общему требованию и совпадает с (3.30).
Итак, полученное соотношение (3.33) является действитель-
122
ом релятивистски-инвариантным характеристическим мно¬
гообразием уравнений Максвелла. Заметим, что изложенный
выше метод можно применять для нахождения характеристиче¬
ских многообразий аналогичных сверхопределенных систем.
Таким образом, характеристическое многообразие уравнений
Максвелла — уравнение Гамильтона—Якоби (т=0), возведен¬
ное в куб, что согласуется с квантовым постулатом, изложенным
в главе 4.
Отметим, что В. А. Фок [56] также получил (совершенно другим мето¬
дом) характеристическое многообразие в виде (З.ЗЮ), но не возведенное в
степень 3. Аналогичное (не возведенное в степень 3) характеристическое
многообразие уравнений Максвелла привёдено в работе В. Гийемина и
С. Стернберга [116, с. 127], в которой уравнения Максвелла рассматривались
с позиции внешних форм Картана (см. ниже п. 3.5). Вместе с тем в нашем
случае эта степень имеет принципиальное значение, так как указывает, что
уравнения Максвелла удовлетворяют требованиям квантового постулата (см.
подробнее гл. 4).
Вычислим теперь скорость распространения характеристиче¬
ской поверхности (т. е. фронта волны). Воспользовавшись об¬
щим методом, изложенным в гл. 2, получим из формулы (2.207)
ѵ2 (dQ/d/)2 = (дй/ді,* ^ с2 (3 Q4)
3 ï/c\dQ/d?j* ' ’ \ /
3 (дй/^)9
f=l
Таким образом, приходим к выводу, что скорость распрост¬
ранения фронта волны (характеристической поверхности) урав¬
нений Максвелла должна равняться постоянной с, входящей в
эти уравнения.
3.5. Заключительные замечания о модели
электромагнитного поля Максвелла
3.5.1. Выше была описана физическая модель классической
электродинамики Максвелла. Эта модель включает в себя опи¬
сание на содержательном физическом языке девяти основных
экспериментов и двух гипотез Максвелла, связанных с сущест¬
вованием и магнитными свойствами токов смещения. Были
также указаны физические границы применимости этой модели.
Полученные Ф. Максвеллом уравнения оказались релятивистски инвариант¬
ными. Этот факт тем более замечателен, поскольку во времена Ф. Максвелла
никакого представления о релятивистской инвариантности не было вообще.
Необозримое количество физических явлений, вытекающих из уравнений Макс¬
велла, в последующие годы полностью обнаруживались и подтверждались
экспериментами. -
Например, на основе уравнений Максвелла было предсказано существо¬
вание электромагнитных волн. Создание электродинамики Максвелла являет¬
123
ся одним из ярких примеров проявления гениальной интуиции за всю исто¬
рию науки. Можно с уверенностью сказать, что само создание теории относи¬
тельности было бы невозможным, если бы не существовала электродинами¬
ка Максвелла. Вместе с тем ввиду релятивистской инвариантности уравнений
Максвелла все явления и процессы, подтверждающие электродинамику Макс¬
велла, одновременно являются экспериментальным подтверждением теории
относительности.
Громадное значение теории Максвелла в истории науки заключается
также в том, что это первая физическая теория, не сводимая к механике.
Выше этот вопрос был подробно рассмотрен на основе математической моде¬
ли. Здесь ограничимся несколькими замечаниями по поводу физической ин¬
терпретации электродинамики Максвелла.
Электромагнитное поле не может быть наглядно представлено в виде
некоторой гипотетической среды, деформации которой были бы способны
объяснить электромагнитные явления.
Невозможность механического истолкования электромагнитных волновых
процессов, описываемых уравнениями Максвелла, была осознана только после
продолжавшихся несколько десятилетий безуспешных попыток дать механи¬
ческую модель среды, волновые процессы в которой могли бы быть истолко¬
ваны как электромагнитные явления (такие попытки были предприняты еще
самим Максвеллом). Нельзя представить себе распространение электромаг¬
нитных волн в виде волнового движения в упругой или какой-либо иной сре¬
де, которая может рассматриваться как чисто механическая система.
Для того чтобы это было вполне ясно, напомним об одном электромагнит¬
ном явлении. Как известно, чисто магнитное поле, созданное, например, покоя¬
щимся в системе отсчета Si постоянным магнитом, проявляет себя как
электромагнитное поле в системе отсчета S2, движущейся прямолинейно и
равномерно относительно системы отсчета Si. В этом отношении небезынте¬
ресно одно замечание А. Эйнштейна [4'3]: «Вначале физики еще не отдавали
себе полного отчета в революционизирующем характере теории поля. Сам
Максвелл еще был убежден в том, что электродинамические процессы можно
рассматривать как движение эфира, и даже использовал механику при вы¬
воде уравнений поля. Однако со временем стали все более отчетливо пони¬
мать, что сведение уравнений электромагнитного поля к уравнениям механи¬
ки невозможно. В этих условиях стремление к созданию единого фундамента
всей физики заставило изменить подход к проблеме на прямо противополож¬
ный и сводить уравнения механики к электромагнитным уравнениям». Поэто¬
му в настоящее время попытки построить подобные модели относятся к мни¬
мым проблемам науки.
3.5.2. Ранее отмечалось, что формальная сторона одной и
той же физической модели электродинамики Максвелла, т. е.
ее математическая модель, может быть представлена в различ¬
ных формах. Известны две традиционные так называемые век¬
торные модели (дифференциальная и интегральная), подробно
описанные в п. 3.2; в п. 3.3 была описана тензорная форма этой
же физической модели. Следует отметить, что тензорная форма
уравнений Максвелла ближе к сущности физической модели,
так как здесь электромагнитное поле описывается не с помощью
124
двух различных «векторов» Е и Я, а с помощью одного анти¬
симметричного тензора второй валентности.
Термин «вектор» брался в кавычки, так как, строго говоря, Е и Н не
являются векторами в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве теории от¬
носительности. В действительности (подчеркнем это еще раз) Е и Н являют¬
ся компонентами единого антисимметричного тензора второй валентности Fi к.
Только благодаря этому обстоятельству представляется возможным напи¬
сать правильные уравнения преобразований электромагнитного поля при пе¬
реходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
Таким образом, при построении математических моделей той или иной
теории совершенно необходимы строгие определения входящих в эти мо¬
дели величин (векторов, тензоров той или игіой валентности, спиноров и т. д.).
Это требование следует рассматривать как требование математической и фи¬
зической строгости, необходимые при построении физических и математиче¬
ских моделей любых теорий [7, 39'].
Помимо приведенных математических моделей электродина¬
мики Максвелла, существует так называемая спинорная мо¬
дель. В табл. 3.1, заимствованной из книги Ю. Б. Румера [109]„
приведены традиционная «векторная», дифференциальная, тен¬
зорная и спинорная формы записи модели электромагнитного-
поля (для читателя, знакомого с элементарными основами спи¬
норного исчисления). Отметим здесь,4 что основы спинорного-
исчисления можно найти в [ 116, 117].
3.5.3. Отмеченное в п. 3.3.1 различие в геометрическом со¬
держании первой и второй пар уравнений Максвелла нашло-
свое отражение при анализе модели электромагнитного поля,,
записанной на языке внешних дифференциальных форм [116,.
118,119].
Введение аппарата внешних дифференциальных форм в анализ модели
электромагнитного поля объясняется следующим обстоятельством. Исполь¬
зуемый при анализе физических законов тензорный аппарат требует введения'
несингулярных координатных систем, в которых задаются компоненты век¬
торов или тензоров. В общем случае, однако, задания только одной несингу¬
лярной координатной системы недостаточно для того, чтобы покрыть много¬
образие, не эквивалентное топологически открытому множеству в евклидо¬
вом пространстве. Этот факт непосредственно следует из определения диф¬
ференцируемого многообразия [116, 118—120]. Из этого следует, в частности,,
что в произвольном дифференцируемом многообразии невозможно описать,
электромагнитное поле, задав его компоненты Рц в какой-либо только одной
конкретной системе отсчета [119, с. 96].
Поэтому рассмотрим один из вариантов описания модели электромагнит¬
ного поля Максвелла в произвольном многообразии при произвольном выборе
координатных систем на основе перехода к беокоординатной записи полей на
многообразии через внешние дифференциальные р-формы [116, 118, 119].
С точки зрения представлений современной геометрии описание геометри¬
ческих свойств модели электромагнитного поля Максвелла можно условно раз¬
бить на три этапа, которые Ю. И. Манин в [121, с. 6] характеризует следую-
125
Таблица 3.1
Векторная форма
Напряжение поля
Е,Н
Тензорная форма
Спинорная форма
Fik fKu
Плотность заряда и тока
Р,7
Потенциалы
Первая система уравнений Максвелла
„ 1 ЭЕ 4тт.
rotH—— = —/,
с ot с >
(1іѵЕ=4лр
'Вторая система уравнении Максвелла
rotH+4«=0,
с dt
divH=0,
H=rot А
Соотношение между напряжением
поля и потенциалами, эквивалентное
второй системе уравнений Максвелла
с Л 1 ЗА
E’-grad,--^
Г
Ai
э^ + э^, +Э£}/ =о
Эх/ Эх1' Эх*
дЛ* ЬАі'
Flk = —т--г-
■ Эх1 Эх*
*2 (.d\<jfpa + àpofâ ) =sKp
Тензор энергии-импульса
Тхх =|(£’-Е2у -El ) +2 (Hl-Hl-Hl\
Тху=ЕхЕу+НхНу, Txz=ExEz+HxH2>
Туу=± (Ej-Егх-El) +| (HJ-Hl-Hl)
Ту^ЕуЕ.+НуИ.,
Ti2 = I (^2 - El -Егу)*^(Н1 -H2y -Hl\
fXpvp ^fkpfvp
тдр Tx, Tyt T. . компоненты
вектора Умова-Пойтинга
126
щіим образом: «Развитие представлений о том, как нужно математически опи¬
сывать классическое (не квантованное!) электромагнитное поле в вакууме,
можно схематически разбить на три этапа (я говорю лишь о периоде после
Максвелла).
Первый эт а п. Поле Максвелла — это совокупность двух полей в про¬
странстве, меняющихся со временем. Первое — поле векторов Е (электри¬
ческое), второе — поле аксиальных векторов В (магнитного потока).
Второй этап. Поле Максвелла — это замкнутая внешняя вторая фор¬
ма F в пространстве-времени.
Третий этап. Поле Максвелла — это связность на векторном рас¬
слоении над пространством-временем; связность, для которой F является
формой кривизны». •
Первый этап был рассмотрен в пп. 3.2 и 3.3. Обсуждаемая здесь модель
соответствует второму этапу.
Напомним предварительно некоторые математические определения и ре¬
зультаты исчислений кососимметрических тензоров и внешних форм [55, 116,
118, 119, 120], необходимых при анализе модели электромагнитного поля
Максвелла.
Согласно [118, с. 157] кососимметрическим тензором типа (0, к) назы¬
вается тензор 7\...< > такой, что выполняется соотношение
Ta(h= sgn (°) Л,... if (3.35>
В (3.35) знак перестановок sgn(o) = ±l. Отметим, что данное определе-
•ние не зависит от выбора системы координат, так как операция перестанов¬
ки индексов носит тензорный характер.
Кососимметрическому тензору Ті -.^соответствует внешняя дифферен¬
циальная форма, которая по определению имеет вид
...®ek = 2 Л....;/*'* Л ... hdx'k, (3.36).
І1< ... <ik
где выражение dxh кососимметрично относительно перестановки,
индексов, т. е.
dx^h Л • • • = sgH (Q) dxh Л - - - Л dx4* .
Нетрудно заметить, что операция внешнего умножения Л обобщает операцию*
векторного произведения на случай умножения векторов и антисимметричных
тензоров произвольного ранга таким образом, что после умножения получают¬
ся снова антисимметричные тензоры.
Определим теперь компоненты { кососимметрического тензора типа
(0, п) в n-мерном пространстве
(+1, при sgn (й,
с.* ,• — < ' (о.О/4
■" п 1 при sgn (h у = — 1.
В приведенных обозначениях
Ті, ... ІП = Т12 ... tfih - ІП
Определим оператор « *» (звездочка Ходжа), который вводится на диф¬
ференциальных формах любого многообразия с метрикой. Оператор Ходжа а
127
общем случае представляет собой комбинацию операторов, сопряженных к опе¬
раторам (левого и правого) Л внешнего умножения — левого внутреннего _J
и правого внутреннего L умножения [116]. Операции внутреннего умножения
рассматриваются как аналоги частного дифференцирования по і-й переменной
во внешней алгебре. Эти операции определяются через понятие операции спа¬
ривания <|> пространств ЛР(Ю и ЛР(У*) внешних р-форм [116] в виде
<*| и_І </*> = <« Л *іу*>; <*І_ «*|г/*> = <*|и* Л у*> (з.зв)
для всех и, X е л (Ю> У* G Л (V*).
Пример 2. Можно показать [116], что
«1 _і («» Л у*) = («» Л «і) J у*-, ві J («/ J у*) = - -I («і J «/*);
п
< Л (*,• J у*) = гу'. У* е лг (Ѵ);
1=1
х J (Уі Л у’2) = (X J ÿ*) л у\ + (— 1ЎУ*! Л (X J «/*), (3.39)
хеѴ; ^еЛр(Ѵ*); у2е Л’(Ѵ*).
С операцией внутреннего умножения на языке дифференциальной геометрии
непосредственно связано линейное отображение е1- : кото¬
рое определяется в виде
e-L(x)=x_Je*. (3.40)
Это отображение является изоморфизмом /\*(Ѵ) на An“h(^*), переводящее
разложимые элементы в разложимые (см. теорему 4.5 [116]).
Таким образом, выбор е определяет по (3.40) изоморфизм Ah(V)->
_>An“h(V*), а скалярное произведение определяет изоморфизм An-h(V*)
на /\п~к(Ѵ). Комбинация этих изоморфизмов приводит к оператору Ходжа
*ЛЧЮ->ЛП-ЧЮ. (3.41)
В нашем случае в присутствии метрики gu оператор ♦ отождествляет по
<3.41) кососимметрические тензоры типа (0, Æ) и (0,п—k). Пусть ^T=det (gu).
Если Tit ^—кососимметрический тензор типа (0, k), то означает косо¬
симметрический тензор типа (0, п—k), т. е. имеем
<3-42>
где Тіі ik=glih' jk—соответствующий тензору тензор типа
(£, 0); определяется по (3.37). Так как V|g|е^... в n-мерном простран¬
стве является тензором относительно замены координат с положительным яко¬
бианом, то * Т также будет тензором относительно таких замен. Из (3.42) не¬
посредственно видна кососимметричность тензора * Т.
Имеет место соотношение
*(*Л = (—l)*(n“h)sgn(g)T. (3.4'3)
Следует отметить, что квадрат оператора Ходжа* равен — 1.
Пример 3 [118]. Действие оператора *в 3-мерном евклидовом про¬
странстве (х, у, z) имеет вид
*dx=dy/\dz; * dy=—dx/\dz', *dz=dx/\dy.
128
В 4-мерном псевдоевклидовом пространстве имеем
* (dx^dy) = —cdz/\dt, « (dx/\cdt) =dy/\dz;
• (dx/\dz) = cdyf\dt\ *(dy/\cdt) =—dx/\dz-,
♦ (dy/\dz) = —cdxAdt; ♦ (dz/\cdt) = dxf\dy.
Пример 4. Любой ковектор (первая форма) имеет вид
œ = Pdx-± Qdy+Rdz.
Тогда
♦ u = Pdy/\dz+Qdz/\dx+Rdx/\dy; ♦ (*)<о=ю.
Если f —скаляр, то ♦ f=fdx/\dy/\dz является формой третьего ранга,
а * (fdx/\dy/\dz)=f. .
Пример 5, Допустим, что
= 3 А ••• А^‘₽;
А< ... <ір
= 3 Sit....ipdxk А ••• f\dxip-,
h< ... <fp
Тогда .
W1A»W1 = {<Q1,œ,} Kïïïldxl A • • • Adx"-'
Векторы электрического E и магнитного H полей, как следует из п. 3.3,
имеют вид
£Оа=Еоа, (а= 1, 2, 3) ; H' = F23, Я2=Е3і, №=Fi2. (3.44)
Матрица Fik имеет вид (3.7). На языке внешних дифференциальных форм вы¬
ражения (3.44) принимают компактный вид:
F = 2 А dxJ = ^adxQ Д dxa + H'dx* Д dx3 +
і<І
+ //W Д dx1 + H*dxl A dx*. (3.45)
Пример 6. Для формы (3.45) имеет место
з ‘
*F = - 2 ^dxf> Мх<Х + Eidjfl A dx* +
ot=i
+ Eadx3 Л dxl + Е^х1 A dx2- (3 -46)
Оператор * инвариантен относительно преобразований неодно¬
родной группы Лоренца. В частности, эти преобразования, как
отмечалось, сохраняют инвариантной квадратичную форму
<F, F), которая в терминах внешних форм записывается в сле¬
дующем виде:
(F, F> == — ♦ (Г Д ♦ + iF Д F) =; — х/2 (FzéFw + iéiklFliFkl).
(3.47)
5 Б. Н. Петров и др.
129
Форма (3.47) в координатах z?=Ea+iHa (<х=1, 2, 3) прини¬
мает вид '
(F, F) =s — Я2 + Е2 + 2і (Е, Н~)=-(Е + іН)* = (z«)2. (3.48)
<X=1
Из (3.48) следует, таким образом, что форма (3.47) является
скалярным квадратом комплексного 3-вектора Е + іН [118,
с. 188]. Величины Re<F, F)=E2—Я2, 1/2 Im<F, F> = < Е,Я >,
как отмечалось в п. 3.3, являются инвариантами электромагнит¬
ного поля.
В общем случае, если — кососимметрический по всем
индексам тензор в n-мерном пространстве с координатами
(х‘, ..., xn), iq= (1, ..., п), то его градиентом (dT)^ { , как
известно (см. Приложение 1), называется кососимметрический
тензор типа (0, k+1) с компонентами
*+і дТ- ■ ■ ■
(dT)h... ik+1^ 2 (- 1/ . (3.49)
,=і дх'о
Пример?. Допустим, что Т = (Т<)— ковектор. Тогда
дТ, дТ,
= (3.50)
дх1 дг
Таким образом, (dT)ij — ротор ковекторного поля — кососимметрический
тензор типа (0,2). Если п = 3 (пространство евклидово), то тензору (3.50) со¬
поставляют вектор т)Л= ♦ (б/Т) или т]*= l/2e^h(é/T) jfe. "
Тензору Л,... ik соответствует форма (3.36)
® 3 ть - h--, h dxtk. (3.51)
h<... <tk
Дифференцирование внешней формы (3.51) (форма da степени
k+1) определяется в виде
da =я 3 •"lk dx‘* Л ... Д dxk. (3.52)
Имеют место следующие важные соотношения:
da=* 3 (dT)h... /А+1 dxA Л • • • Л dxik” ; (3.53)
/»< ... </*+!
d(dT)=O, d(da)=0‘, (3.54)
d(ai/\a2) =dat/\a2+ (—l)’<thAd«)g. (3.55)
Можно определить в присутствии метрики giS дифференциаль¬
ную операцию на формах, понижающую ранг формы на едини¬
цу (дивергенция кососимметрического тензора), которую при-
130
нято обозначать через 5, т. е.
0 = *-^*. (3.56)
В общем случае, когда задана ограниченная область U с
гладкой границей в пространстве с римановой метрикой gib
можно задать пространство всех гладких р-форм Q^, которые
обращаются в нуль вне области U. На пространстве Qvp можно
задать скалярное произведение
(Юр ю2) = f CÙJ Л ♦ ©2.
и
Пространство Qtz” со скалярнцм произведением <©,, ©2>
евклидово, оператор * ортогонален (<*©,, *©2> = <©І( <оа>), опе¬
раторы d и б=(—l)np+"+‘*d* сопряжены (<d©,, ©2> = <©i, ô©2>),
квадрат оператора Ô равен 0 (66 = 0), оператор A=dô+6d са¬
мосопряжен (<Д©|( <o2> = <e>2, Д©2>; Д6=0Д, Д* = *Д).
Пример 8. Допустим, что <o=Tidx,+T2dx!-t-T3dxs. Так как операция
(3.56) понижает ранг формы на 1, то форма бы будет формой нулевого ранга
б (Т) = div Т = дТ1!дх1 (і= 1,2,3).
В свете изложенного уравнения Максвелла могут быть за¬
писаны следующим образом [116, 118, 119]. Введем согласно
(3.45) внешнюю форму второго ранга вида
F =< 3 Fafidx* Д dlfi. (3.57)
«<Р
Тогда первая система уравнений Максвелла (3.8), имеющая в
рамках принятых обозначений вид
(dF)llk +^L\ о, (3.58)
\ дх1 дх1 дх* )
запишется на языке дифференциала внешней формы согласно
(3.57) и (3.58) следующим образом:
dF = 0. (3.59)
Вторая пара уравнений Максвелла (3.9), как отмечалось, тре¬
бует уже введения псевдоевклидовой метрики и с учетом дей¬
ствия оператора (3.56) записывается через (3.57) в виде
ÔF в » d » F =s Anji/c. (3.60)
Отметим (используя свойства (3.54) и (3.50)), что уравнения (3.59) удов¬
летворяются тождественно, если .
F = dA, т. е. Fap = дА^дха — dAJdx^ , (3.61)
и получаем как следствие решение (3.13), принимаемое ранее в п. 3.3 в виде
предположения.
Таким образом, уравнения (3.59), (3.60) представляют со¬
бой искомую бескоординатную запись уравнений Максвелла в
131
5*
произвольном многообразии при произвольном выборе коорди¬
натных систем [119].
Согласно [118, 119], интегрирование на произвольном мно¬
гообразии, если оно применяется к произвольным тензорам, не
является вполне однозначной и определенной операцией. Инте¬
грирование однозначно и может быть приведено к скалярной,
не зависящей от системы координат величине, если оно приме¬
няется к р-форме на р-мерном пространстве.
В общем случае для любой внешней дифференциальной фор¬
мы Т типа (3.51) с гладкими коэффициентами любой
гладкой поверхности ^(z1, ..., z*), ограниченной на ней обла¬
сти U с гладкой границей Г, состоящей из одного куска, имеет
место обобщенная формула Стокса [118, теорема 3, с. 239]
± J T =. f dT. (3.62)
г и
Пример 9. Если X'— векторное поле в 4-мерном пространстве Минков¬
ского, то интеграл этого поля по 3-мерной гиперповерхности
определяется как интеграл от внешней формы 3-го ранга X{dSit
где dSi = l/6-i\g]zjbiidxj/\dxk/\dx1-, Zjkii — антисимметричный тензор 4-го
ранга. Из общей формулы Стокса (3.62) следует
Ç X‘dSi == f — dV,
дѴ V дх‘
где дѴ — граница для V.
Пример 10 [118]. Пусть задано 3-мерное пространство (х1, х2, х3). Если
Л=3, U — область, Г — граница области [/, то из (3.62) с учетом (3.57)
следует '
ffS THdX‘ bdx' =
Г Kl
Для евклидового пространства, если п — единичный вектор нормали к поверх¬
ности, имеем в окончательном виде формулу Остроградского—Гаусса
JJ <T,n> /|g|dzi /\dz* =
г
= JJ <T,n>4/a= JJJ (divT)dx1 Дб/х2 Дг/х3,
Г J J j
где z1, z2 — координаты на поверхности; dc= ^\g\dzl/\dz2 — элемент площади
на этой поверхности. .
Если k = 2, [/ — область на поверхности х*=х*(г1, z2), і= 1, 2, 3, Г —гра¬
ница этой области (в этом случае кривая). Тогда
132
&Tadxa = f f IY.ÉZ1 _ .ÊZiW л^2+f—Vх1 л^3 +
J(ÿ4\ôx2 дх') \dx* dxi)
Для евклидового пространства имеем формулу Стокса
(J) Tadxa = f f <rot T, n> KTFl dz> A di>,
г и
где rot T определяется no (3.50).
В случае 4-мерного псевдоевклидового пространства для
электромагнитного поля Максвелла первая пара dF=
= d(\Fijdxi/\dxi) =0 и 3-мерной евклидовой формы (3.6) имеем
(см. примеры 9 и 10)
J f j div Hdx1 A d*2 A dx? = f [ (Я, n) do = 0;
L/ ?
J f (rot E, n)da =s (j) Eadx“;
V г
- И \—V * пУda =* $
и X c 01 / г .
Для второй пары уравнений Максвелла (3.60) и (3.6)
JfJ 4npdx* A dx2 /\dx?= jj (£, nW;
и г
—7 П ^nd(J + И v ind° = Ф
с и 01 и с г
Таким образом, получены законы сохранения, описанные в
п. 3.2 и 3.3.
В [121] по поводу 2 и 3 этапов подчеркивалось следующее: «Инвариантная
запись уравнений Максвелла имеет вид dF=0, d *F=0 (в вакууме) или
d ♦ F = J, где J — 3-форма аксиального тока, определяемая движением зарядов.
Оператор Ходжа «звездочка» определен на дифференциальных формах любого
многообразия с метрикой. Действительно, на пространстве таких форм имеет¬
ся два скалярных произведения: одно унаследовано от метрики, другое по¬
лучается в результате внешнего умножения и деления на форму объема. Опе¬
ратор Ходжа, примененный ко второму аргументу, переводит одно из этих ска¬
лярных произведений в другое. Метрика на пространстве времени в обычном
изложении является фундаментальной структурой физики. В специальной тео¬
рии относительности она определяет главную группу симметрии мира, а в общей
ее искривление интерпретируется как гравитация. Запись в виде dF=0,
c*F=J годится и для неплоокого пространства-времени.
Осознание того, что форму F следует считать формой кривизны связности,
сильно затянулось. Отчасти причиной этого можно считать запоздалое матема¬
тическое оформление идеи связности на расслоении, «внешнем» по отношению
133
к базисному многообразию, в отличии от римановой связности на касательном
расслоении. С точки зрения физики, само расслоение, на котором электромаг-
нитвое поле действует как связности появилось в работах Дирака, но оно было
введено вместе с глобальной три анализ адией над пространством Минковского.
(Отсутствие языка для описания нетривиальных расслоений над пространством
Минковского без мировой линии монополя Дирака привело к длительной пута¬
нице относительно смысла «поверхностей разрыва фазового множителя».) Гер¬
ман Вейль еще в 1918 г. (прим, авт.: [122]) высказал идею о том, что электро¬
магнитное поле есть связность, но думал, что параллельный перенос в поле
меняет масштаб, против чего возражал Эйнштейн. (См. подробное обсужде¬
ние в очень интересной статье С. Стернберга (Прим, авт.: см. [116]).
Спрямляя все извивы исторического развития как математики, так и физи¬
ки, сейчас положение дел можно представить себе так. Математически будем
определять связность в расслоении Е-+М как способ поднимать любую кривую
в М до кривой в Е, если задан подъем ее начальной точки: это и есть парал¬
лельный перенос. Обычно это определение дополняется двумя условиями: а)
задаются подъемы лишь касательных векторов, линейные по этим векторам,
а общий параллельный перенос определяется интегрированием; б) рассматри¬
ваются лишь такие связности, параллельный перенос относительно которых
сохраняет некоторую структуру в слоях, скажем, векторного пространства или
главного однородного пространства над группой Ли, или метрику, или все
вместе.
Представим себе теперь, что М есть пространство-время, а в нем задана
мировая линия локализованной физической системы, у которой есть внутрен¬
ние степени свободы. Если их совокупность не меняется со временем, то мож¬
но вообразить расслоение Е->М, типичным слоем которого будет это простран¬
ство внутренних степеней свободы. Историей системы будет подъем ее миро¬
вой линии из М в Е: этот подъем учитывает не только ее движение в простран¬
стве времени, но и эволюцию внутреннего состояния. Если эта эволюция де¬
терминирована, то ее закон и есть в точности связность, заданная своими
параллельными переносами вдоль всех физически допустимых мировых линий
системы в М, скажем,.времени-подобных кривых. Физически записывают опе¬
ратор параллельного переноса в виде «упорядоченного экспоненциального ин¬
теграла» Гехр J A^dx», где A^dx* — первая форма связности, описывающая
инфинитезимальный параллельный перенос вдоль касательных векторов.
Кривизна связности измеряет отклонение оператора параллельного перено¬
са от тождественного вдоль маленьких петель. Если кривизна нетривиальна, то
перенести параллельно начальное состояние нелокализованной системы (дан¬
ные Коши) невозможно. Вместо этого применяется вариационный принцип,
требующий, чтобы отклонение сечения «мировая история системы» от горизон¬
тального минимизировало подходящий функционал. Аналогичный функционал,
например проинтегрированный квадрат модуля кривизны связности, управляет
эволюцией самой связности. Так, в общих чертах, описываются два фундамен¬
тальных классических поля — электромагнитное и гравитационное — и их взаи¬
модействие с материей».
Реализация намеченной программы описания третьего эта¬
па геометрического представления электромагнитного и грави¬
тационного полей и связь с другими моделями описания (на¬
134
пример, в рамках теорий калибровочных и киральных полей
[116, 118, 119, 121, 123—126] и др.).
В связи с отмеченным остановимся на традиционной модели
теории гравитационного поля (ОТО) [7].
3.6. Гравитационное поле.
Принцип эквивалентности
и риманов характер
пространственно-временного континуума
3.6.1. Прежде всего необходимо обратить внимание на то об¬
стоятельство, что отношение масс двух тел можно определить,
во-первых, как обратное отношение ускорений этих масс, вы¬
званное одной и той же ускоряющей силой, и, во-вторых, как
отношение сил, действующих на эти массы в одном и том же
гравитационном поле.
Вообще говоря, ниоткуда не следует, что отношение масс, найденных пер¬
вым способом (отношение инертных масс), должно равняться отношению
масс, найденных вторым способом (отношение гравитационных масс). Тем не
менее весьма точные эксперименты Дикке—Этвеша и Брагинского [127—133]
показали, что эти отношения равны друг другу. Из этих и других эксперимен¬
тов (см. ниже п. 3.21.1) следует равенство Инертных и гравитационных масс.
Если закон движения Ньютона записать в виде
(инертная масса) х (ускорение) =
напряженность
гравитационного
поля
X[(гравитационная масса)],
(3.63)
то, очевидно, только в случае равенства инертной и гравитаци¬
онной масс ускорение в гравитационном поле не будет зависеть
от природы рассматриваемого тела.
Рассмотрим теперь инерциальную систему отсчета 8, отно¬
сительно которой несколько тел, достаточно удаленных друг от
друга и от остальных масс, движутся прямолинейно и равно¬
мерно. Очевидно, эти тела будут обладать равными по величи¬
не и направлению ускорениями по отношению к другой системе
отсчета 8', которая сама движется по отношению к системе от¬
счета 8 равномерно ускоренно.
Однако ничто не мешает считать систему отсчета S' «покоя¬
щейся», а ускоренное движение тел по отношению к этой систе¬
ме объяснить действием на них однородного гравитационного
поля. -
Если временно оставить в стороне вопрос о «причине», со¬
здающей указанное гравитационное поле, то ничто не мешает
считать обе системы отсчета 8 и 8' физически равноправными.
Это представление указывает на единство природы инерции
и тяготения [43].
135
Из изложенных выше соображений вытекает также прин¬
цип эквивалентности гравитационных и инерционных сил, яв¬
ляющийся фундаментом релятивистской теории тяготения [7,
43, 88].
Рассмотрим теперь неинерциальную систему отсчета S', ось
которой совпадает с осью z инерциальной системы отсчета S.
Допустим далее, что система S' вращается вокруг оси z с по¬
стоянной угловой скоростью. В таком случае, для всякой окруж¬
ности, изображенной на координатной поверхности х', у' в си¬
стеме отсчета S' и имеющей центр в начале координат этой
системы отсчета, должно иметь место неравенство [43]
(С7/П) <jt, (3.64)
здесь U —длина упомянутой окружности и D — ее диаметр.
Убедиться в справедливости неравенства (3.64) можно, если
представить себе, что вдоль рассматриваемой окружности рас¬
положены маленькие стерженьки, которые должны испытывать
лоренцево сокращение своих длин, в то время как стерженьки,
расположенные вдоль диаметра, такого сокращения испытывать
не будут. Конечно, при этом предполагается, что имеющееся в
системе S' поле инерционных (или гравитационных) сил не
компенсирует полностью эффект лоренцева сокращения длин
[43].
Точно таким же образом можно убедиться в том, что часы,
расположенные на рассматриваемой окружности, будут идти
медленней, чем часы, расположенные в ее центре.
Итак, введение неинерциальной системы отсчета приводит к
представлению о неевклидовом характере пространственно-по¬
добных координатных поверхностей указанной системы отсчета.
Заметим, однако, что хотя координатные поверхности неи¬
нерциальных систем отсчета в псевдоевклидовом пространстве-
времени носят неевклидов характер, в целом пространственно¬
временной континуум сохраняет псевдоевклидов характер,
поскольку никакие преобразования координат не могут изме¬
нить метрические свойства этого континуума.
Вместе с тем реальные гравитационные поля не могут быть
в целом устранены (или скомпенсированы) никакими неинерци¬
альными системами отсчета. Сделать это можно, вообще гово¬
ря, только локально, а именно: гравитационное поле исчезает в
локальной системе отсчета, связанной со «свободно падающим»
без вращения в этом поле материальным телом достаточно ма¬
лой массы.
Изложенные причины приводят к необходимости введения
неевклидовой метрики в реальном пространственно-временном
континууме при наличии гравитационного поля.
Сделаем еще несколько замечаний по этому поводу. В гравитационном по¬
ле не может быть введена глобальная инерциальная система отсчета. В этом
поле в отличие от электромагнитного поля могут быть введены только локаль¬
136
ные инерциальные системы отсчета, которые ускоренно движутся друг относи¬
тельно друга, если только расстояние между ними не бесконечно мало. Таким
образом, в гравитационном поле имеет место только локальная лоренц-инвари¬
антность. Исходя из этого, а также из других хорошо известных соображений
и принципа эквивалентности, А. Эйнштейн сформулировал идею о кривизне
пространства-времени.
Здесь следует обратить внимание на то существенное обстоятельство, что
локальная инерциальная система отсчета в гравитационном поле может быть
реализована в виде достаточно малой по размерам системы отсчета, жестко
связанной с небольшим по размерам свободно падающим в этом поле телом
(например, со спутником), при условии, что это тело не совершает вращатель¬
ного движения. Подчеркнем (и это очень существенно), что в такой локальной
инерциальной системе отсчета ось времени должна быть ортогональна про¬
странственно-подобной координатной гиперповерхности этой системы отсчета 2.
В 1956 г. Р. Утияма [136], исходя из локальной лоренц-инвариантности
в гравитационном поле, т. е. из зависимости параметров группы Лоренца от
криволинейных координат, показал, что необходимым следствием этого обстоя¬
тельства является кривизна пространства-времени. Эта работа имеет большое
значение.
К сказанному следует добавить, что последовательная теория гравитации
должна носить нелинейный характер. В самом деле, поле двух тел на большом
расстоянии меньше суммы полей каждого тела в отдельности из-за гравита*
ционного дефекта массы. Отсюда следует неизбежность нелинейного характера
теории гравитации [43, 7].
Всем этим требованиям удовлетворяет теория гравитационного поля Эйн¬
штейна.
3.6.2. Свободно падающая в гравитационном поле частица
достаточно малой массы движется по геодезической линии ис¬
кривленного 4-мерного пространственно-временного контину¬
ума. Здесь также имеет место полная аналогия с классической
механикой Ньютона, согласно которой материальная точка, на¬
ходящаяся на поверхности, будет в результате начального им¬
пульса двигаться по геодезической этой поверхности (разуме¬
ется, в отсутствие каких-либо других внешних сил).
Так, планеты, движущиеся по своим орбитам вокруг Солн¬
ца в гравитационном поле Солнца, по существу движутся по
инерции, т. е. свободно падают в искривленном 4-мерном про¬
странственно-подобном континууме. Здесь, однако, может воз¬
никнуть вопрос, почему при очень тщательных измерениях по¬
ложения планет в Солнечной системе никаких отклонений от
2 Можно представить в гравитационном поле локальную систему отсчета, в
которой ось времени не будет ортогональной пространственно-подобной ги¬
перповерхности системе отсчета, но такая локальная система отсчета не бу¬
дет инерциальной (то же самое имеет место и в псевдоевклидовом простран¬
стве СТО). Здесь имеет место аналогия с двумерной неевклидовой поверх¬
ностью. На такой поверхности (например, на поверхности шара или эллип¬
соида) также можно ввести только локальную декартову систему отсчета,
но нельзя ввести подобную систему глобально.
137
евклидова характера 3-мерного пространства не было обнару¬
жено? На этот вопрос необходимо дать исчерпывающий ответ.
Основная метрическая форма псевДоевклидова пространства
(т. е. в отсутствии гравитации) имеет, как известно, вид
ds2 =* c2dt2 - {dx1* + dx2* + dx32). (3.65)
Поскольку пространственно-подобная гиперповерхность в пре¬
делах Солнечной системы должна носить (с большим прибли¬
жением) евклидов характер, то основную метрическую форму
пространственно-временного континуума в указанной области
можно представить только следующим образом:
ds2 = с2 (1 — dt2 — (dx12 + dx2’ + dx32), (3.66)
\ c2 /
причем [2Ф/с2]<С1, поскольку возможные отклонения от псев¬
доевклидова пространства в пределах Солнечной системы долж¬
ны быть весьма малыми.
В поле тяготения, описываемого формулой (3.66), матери¬
альная точка достаточно малой массы движется по геодезиче¬
ской пространственно-временного континуума, т. е. для дейст¬
вительной траектории должна обращаться в нуль первая вариа¬
ция интеграла
ÔJds=O. (3.67)
So
Учитывая выражение (3.66), можно уравнение (3.67) записать
в виде (С. Е. Дьяченко [137])
2Ф dx1* + dx3’ + dx3’ j/ _
с2 c2dt2
(3.68)
здесь v2 = (dxl/dty+ (dx2/dt)2+ (dx3/dt)2 — скорость движения
материальной точки.
Учитывая, что [2Ф/с2]<С1, можно написать
(3.69)
Подставив это разложение в интеграл (3.68), получим
ôl Пс2 —1ѵ2—(D)dZ^O.
с J \ 2 )
(3.70)
Итак, в первом приближении закон движения материальной
точки по геодезической пространственно-временного контину¬
138
ума сводится к принципу Гамильтона — Остроградского, если
только рассматривать функцию Ф как потенциал поля тяготе¬
ния в его ньютоновом смысле. Приняв это толкование функции
Ф, можно в качестве второго приближения принять уравнение
(3.68).
Исходя из (3.68), получим следующее уравнение движения
материальной точки:
dmvldt = m grad Ф, (3.71)
где
т = т0 ( 1—ѵ2/с2—2Ф/с2) "1/2, (3.72)
здесь т0 — масса покоя материальной точки.
Уравнения (3.71), (3.72) были получены Т. Леви-Чивита.
Итак, видим, что несмотря на весьма малые отклонения от
псевдоевклидова характера пространственно-временного кон¬
тинуума, геодезические в этом пространстве испытывают суще¬
ственные изменения: их проекции на пространственно-подобные
гиперповерхности превращаются вместо прямых линий в эллип¬
сы или гиперболы.
Следовательно, поток геодезических в псевдоевклидовом про¬
странстве весьма чувствителен к малым отклонениям от псевдо-
евклидовости. В этой своеобразной неустойчивости заключается
вся суть дела. Ничего подобного в евклидовых или римановых
пространствах с положительно-определенной метрической квад¬
ратичной формой не имеет места.
В заключение отметим, что сам принцип Гамильтона —
Остроградского является, в сущности, принципом геодезической
для слабых гравитационных полей.
3.7. О криволинейных координатах
и геометрических характеристиках
римановых пространств _
В данном разделе кратко напомним необходимые сведения тен¬
зорного исчисления в криволинейных координатах, предпола¬
гая, что читатель знаком с его основами. Более подробное из¬
ложение затрагиваемых вопросов дано в приложении 1 (см.
также [54—58, 106, 116—120] и др.).
3.7.1. Отметим в первую очередь следующее важнейшее об¬
стоятельство. В криволинейных координатах полностью сохра¬
няются определения тензоров различных ко- и контрвариантных'
валентностей, а также различные операции над ними, вводимые
при изложении элементов тензорной алгебры в псевдоевклидо¬
вом пространстве (см. гл. 2).
Возникает следующий фундаментальный вопрос. Какими
свойствами должны обладать компоненты метрического тензо¬
ра gih1 характеризующего метрическую систему отсчета, чтобы
139
основная фундаментальная форма
ds2 = giKdxidxk (3.73)
могла бы быть путем преобразования системы отсчета переве¬
дена в форму
ds2 c*dt* — (dxp + dx* + dx32)? (3.74
Другими словами, какими свойствами должны обладать ком¬
поненты метрического тензора gik, чтобы характеризуемое ими
пространство было плоским?
Совершенно очевидно, что если не существует преобразования координат,
переводящего форму (3.73) в форму (3.74), то пространство не может быть
плоским, т. е. оно должно быть искривленным, или, как говорят, носить ри¬
манов характер (по имени известного немецкого математика Бернгарда Рима¬
на, впервые исследовавшего поставленный выше вопрос).
Здесь не будем рассматривать подробно решение этого вопроса Б. Рима¬
ном (подробности см. Приложение 1, п. П1.14), а приведем сразу полученный
им результат. Введем так называемый тензор кривизны Римана—Кристоффеля
(см. Приложение 1, формула (П 1.108))
=17 rs* - г»₽ + ((> s> k'р = °’1 -2-3)¬
(3.75
Здесь функции Г*рв называются символами Кристоффеля и имеют вид (см.
Приложение 1, формула (П1.79))
rù = -L JS (^Р + - д^\. (3.76)
к 2 ® ах" <5*s )
Все указанные здесь индексы могут принимать значения 0, 1,2, 3.
Ответ Б. Римана на поставленный выше вопрос заключает¬
ся в следующем: если все компоненты тензора кривизны Рима¬
на—Кристоффеля (3.75), образованные с помощью метрическо¬
го тензора gik тождественно равны нулю, то существует преоб¬
разование координат, переводящее форму (3.73) в форму (3.74),
т. е. пространство будет плоским. Если же хотя бы одна из
компонент тензора Римана—Кристоффеля отлична от нуля, то
указанного преобразования координат не существует и прост¬
ранство будет искривленным или римановым.
Введем теперь еще некоторые обозначения (см. Приложе¬
ние 1), а именно тензор Эйнштейна
= Snnftk Л, п, /и = 0, 1,2,3) (3.77)
и скалярную кривизну пространства
* = *,**'* =Afc- (3-78)
Еще раз напомним, что во всех приведенных формулах по всем
140
одинаковым индексам, записанным сверху и снизу, проводится
суммирование.
3.7.2. В Приложении 1 (п. П1.6 и П1.16) будут определены важные для
ОТО операции ковариантного дифференцирования и параллельного переноса
тензоров.
В частности, из формул (П1.91) и (П1.93) следует
ТІІ = -^- + ГСТ*; Tz., = ^4. - Г* T*.
дх1 *' t<l дх‘ “ k
В приведенных выражениях символы Кристоффеля Г{у определяются по
(3.76) и часто в дифференциальной геометргии называется связностью, а опе¬
рацию ковариантного дифференцирования — дифференциально-геометрической
связностью. Отметим, что символы г{у преобразуются как тензор только при
линейных или аффинных преобразованиях.
Выражение
т‘ы= ГА/-ГМ= Г(А/Р (3.79
полученное операцией альтернирования (см. Приложение 1), образует тензор
и называется тензором кручения.
Связность Г^у называется симметричной, если тензор кручения (3.79)
тождественно равен нулю, т. е. Г^у = Гу^, \
Отметим, что понятие связности и понятие римановой метрики не тожде¬
ственны между собой, это две независимые структуры в рассматриваемой об¬
ласти пространства [118, с. 267]. Но существует способ сопоставления метрике
связности. Так, связность Г^- называется согласованной с метрикой gtj, если
ковариантная производная метрического тензора тождественно равна нулю,
т. е. \
(£, і,/= 1, ... ,n). (3.80)
Согласно теореме [118, с. 268], если метрика gu невырождена, то существует
и единственная связность, симметричная и согласованная с этой метрикой gij,
которая задается именно формулой (3.76). Таким образом, существует опре¬
деленная связь между связностью (или способом ковариантного дифференци¬
рования) и римановой геометрии gu, т. е. любая риманова геометрия порож¬
дает симметричный определенный способ дифференцирования тензоров, при
котором сама метрика считается постоянной [118, с. 270].
В общем случае для любого вектора справедлива формула
(V,VZ - VzVft) T. = - klT<>+ Т>ы , (3.81)
дхр
где тензор Римана R^ определяется по (3.75) и тензор кручения 1^ —по
(3.79).
Для произвольных векторных полей g, г), С, если обозначить
Г (t П)]' = [Л (Ê. п) (3.82)
справедливы следующие формулы для кривизны и кручения в инвариантных
141
обозначениях [118]:
Т& n)=v6n-vng-[g, ni;
R& п)С=(ѵлѵ6-ѵ6ѵл)С+ѵ[6,п]с,
(3.83)
где [g, т]] — коммутатор векторных полей определяется, в свою очередь, через
производную Ли тензорного типа Т*}'*ЛР (типа р, q)) вдоль векторного
h'-Jq
поля g следующим образом.
Допустим, что g=(g<) = -^-(Ft*)h-o, і=1, 2, ..., п — векторное поле
at
(поле скоростей); Ft*— соответствующая однопараметрическая группа диф¬
феоморфизмов; Т1- -Л.р — тензор типа (р, р) (см. подробнее Приложение 1,
п. П1.17). В силу того, что отображение Ft* взаимно однозначно определяет
поле gS однозначно определен и закон переноса тензора от координаты x*(t)
к х0< [118, с. 196]:
_ т і,...ір _ h...ip a?1 dxq àx^ дхір
t h.-ig дх^ дх‘1"' дх‘р ‘
(3.84)
Выражение
(3.85)
по определению измеряет скорость изменения тензора типа (р, q) при дефор¬
мации пространства, определяемое отображение Ft и называется производной
Ли тензорного типа (р, q) вдоль векторного поля g.
Пример 1. Для скаляра f
ч=ь1-^і=д^ (3.86)
т. е. получаем формулу для производной функции f по направлению £. Если
Lif=d6f=O, то говорят, что функция f является интегралом поля g, т. е. урав¬
нения х<= g» (х1, ..., Xм).
Пример 2. Для вектора (тензора типа (1, 0)) т]=(тр)
L П' = È' -^4 - г/ , (3.87)
6 дх1 дх1
т. е.
Пример 3. Допустим, что оператор LjT] действует на функцию f. Тогда
- дп < />
где [д$, дл] — коммутатор операторов ді и дл является дифференциальным
оператором первого порядка, т. е. векторным полем L$r] =—L^.
В силу приведенного векторное поле
[М]=Ь6П _ (3.88)
называют коммутатором полей £ и т], входящим в (3.83).
Отметим попутно некоторые полезные свойства производной Ли. Так,
справедлив аналог формулы Лейбница
(Л1) = /ЦП + ч (^/)-
142
Взятие производной Ли Ц перестановочно с операцией взятия дифферен¬
циала
L5(d/)=d(LÊ/).
П р и м е р 4. Для ковектора Tj (тензор типа (0,1)) имеем
(W = ^-Sr + ^V7-;
6 дх* дх1
для дифференциала Tj=df/dxi
(L.T)f = lk-^ + JL^.
5 ' дхкдхІ ôx* дх1
Для билинейной формулы gu (тензор типа (0,2)) имеем
, IS деЧ .
Lig‘i = 5 lF+8ki ~д7 + 8ік~дх^ йіі’
где иц называют также тензором малых деформаций.
Пример 5. Тензор Римана (3.75) в пространствах с вектором Киллинга
(см. Приложение 1, п. П1.18) удовлетворяет соотношению
= 0« (3.89
Пример 6. Допустим, что заданы две дифференциальные формы ©і и
(о2. Тогда
^(сэіЛшг) =L6(ùiA<û2+û)iA^®2.
> Приведенные соотношения (3.83), (3.88) позволяют получить ряд допол¬
нительных полезных для ОТО соотношений.
Пример 7. Допустим, что задана метрика gtj в области л-мерного про¬
странства. Квадратичную форму s2=gi£i& на касательных векторах можно
привести в каждой точке к главным осям, причем это приведение будет глад¬
ко зависящим от точки (см. Приложение 1). Следовательно, локально можно
выбрать п линейно независимых векторных полей (gb ..., gn) с таким свой¬
ством, что их попарное скалярное произведение [118, с. 277]
<М/>=¥>•/; «<=±і-
Так, в ОТО часто выбирают 4-вектор (g0, gh g2, ga), где go — времени-по-
добен, (gi, g2, g3)—пространственно-подобны, который называют тетрадой.
Попарные коммутаторы [gt, gj этих векторных полей разлагаются по
тому же базису (см. Приложение 1, п. П1.17)
где c^j — коэффициенты разложения.
Введенные понятия для симметричной связности, согласо¬
ванной с метрикой, приводят к полезным соотношениям
Г% — —(са/ + еіе/сі& +
где
Таким образом, получили тетрадный формализм ОТО.
143
3.7.3. Допустим теперь, что заданы ортонормированные век¬
торные поля Xt, ..., Хп в n-мерном римановом пространстве;
— дуальный базис 1-формы: ©i(XJ)=fi<J (см. подроб¬
нее Приложение 1). Введем 1-формы и 2-формы
©</ Q*/ == ^Rijkt^k Л (3.90)
где = Г/Л; (R (Xk, Хі), Х^ = Rum (суммирование по дважды
повторяющимся индексам).
Согласно (3.90) в обычной дифференциальной геометрии двухиндексные
формы являются линейными комбинациями одноиндексных главных форм и со¬
ответствуют простейшему варианту внешних форм и уравнений структур (о по¬
следних см. подробнее Приложение 1). Как и в п. 3.7.2, коэффициенты в
(3.90) называют коэффициентами связности, а формы Юл* — формами связно¬
сти; при этом в общем случае гД не связаны с метрикой и несимметричны;
Rijki — тензор кривизны. По своему физическому смыслу формы œ1’ опреде¬
ляют по Картану смещение начала координат dM = (ùieif а формы юл*— изме¬
нение базисных векторов (репера) при переходе от одной точки многообразия
к другой: dei = cùiMefc. Например, для ортогонального базиса в 4-мерном ри¬
мановом пространстве формы соі* определяют повороты Лоренца реперов [119].
Из (3.90) следует, что
œtj= —
а общие цепочки уравнений структуры приводят к двум урав¬
нениям
du1 =s <ùk д ©* + Tkfi>‘ Д (3.91)
d<ùlk — (ûft Д (ù/ + R^lm®"1 A <ûz, (3.92
где, как и в п. 3.7.2, Т{ы — тензор кручения.
Уравнения (3.91), (3.92) называют уравнениями структуры
пространства по Картану.
Уравнениям (3.91), (3.92) можно придать с учетом (3.90)
более компактный вид
d<àt=—d<ùtj=(3.93)
dÇl(j——Qii Д<йи+ (ù,(/\Qy.
Рассматривая в качестве многообразия какую-либо группу
Ли, получим, что над каждой точкой многообразия возникает
новое пространство (слой) с действующей в нем структурной
группой (см. Приложение 1). Само многообразие расслаивает¬
ся, т. е. становится расслоенным многообразием [118]. Связь
между такими слоями осуществляется различными полями,
подробное рассмотрение которых дано в главе 6. Здесь в каче¬
стве примера отметим, что если слой совпадает с касательным
пространством, то отображение слоев задается коэффициентами
144
связности (символами Кристоффеля), которые отождествляют¬
ся с гравитационным полем, т. е. получаем третий этап описа¬
ния полей [121].
3.8. Уравнения поля тяготения Эйнштейна
3.8.1. Согласно А. Эйнштейну, находящаяся в пространстве ма¬
терия является источником искривления 4-мерного пространст¬
венного континуума, которое, таким образом, оказывается ри-
мановым пространственным континуумом.
Свободная материальная частица достаточно малой массы»
так что ее влиянием на искривление пространственно-временно¬
го континуума можно пренебречь, будет двигаться по геодези¬
ческим линиям этого континуума, т. е. переход материальной
частицы из точки А в точку В будет совершаться по экстремаль¬
ному пути в этом континууме. Мы наблюдаем фактически про¬
екции этих траекторий в 4-мерном пространстве на простран¬
ственно-подобную гиперповерхность, т. е. на наше 3-мерное
пространство.
В этом, согласно А. Эйнштейну, заключается сущность тео¬
рии тяготения. Итак, задача сводится к нахождению геодезиче¬
ских в 4-мерном пространственно-временном континууме в пред¬
положении, что известны компоненты метрического тензора gih>
характеризующие метрические свойства этого континуума. Та¬
ким образом, для решения проблемы тяготения должны быть
решены две следующие задачи: 1) по заданному распределению
масс найти компоненты метрического тензора 2) зная компо¬
ненты метрического тензора g*, найти уравнение геодезической»
по которой будет двигаться свободная материальная частица
малой массы.
3.8.2. Первая задача, т. е. нахождение величины g^, сводит¬
ся к решению следующих гравитационных уравнений Эйн¬
штейна:
Rtk - у gikR = хТм (i, k « 0, • 1, 2, 3). (3.94)
Здесь х = 8лО/с4; G — гравитационная постоянная, равная 6,67¬
. ІО-8 см2 Г-7с2. '
Выражения для R& и R были приведены выше (формулы
(3.77) и (3.78)); Тік—феноменологический тензор энергии-им¬
пульса материи, который в простейшем случае определяется
следующим образом:
™ дх1 dxk
Tik =^р ——— •
ds ds
Естественно, что тензор Tih должен быть записан в криволи¬
нейных координатах, характеризуемых метрическим тензором
gib (который играет одновременно роль гравитационных потен¬
циалов).
145
Пример 1. Для идеальной сжимаемой жидкости или газа этот тензор
в случае адиабатических процессов имеет вид
Гіа= (nmQ+p)UiUk—pgik\ (3.95)
здесь п — число молекул в единице объема в пространстве, движущемся вме¬
сте со средой; — масса покоя среды (в энергетическом масштабе) при дан¬
ных термодинамических условиях, отнесенная к одной молекуле; р — давление
и, наконец, т — компоненты 4-мерной скорости, связанные тождеством
Аналогично может быть записан тензор энергии-импульса для идеально упру¬
гой среды и т. д.
Уравнения (3.94) можно записать также в смешанных ком-
лонентах
—(3.96)
Левые части уравнений (3.96) удовлетворяют следующим четы¬
рем тождествам:
(3-97)
Здесь Ѵѵ — символ ковариантной производной (см. Приложе¬
ние 1).
Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса Г/
должны удовлетворять четырем уравнениям
ѴѵТ^-0. (3.98)
Основным уравнениям гравитационного поля (3.94) можно
лридать также форму
= (3.99)
Здесь 7’=gi*7’i* — первый инвариант тензора энергии-импульса
вещества.
В заключении обсуждения первой задачи отметим следующее. Уравнение
Гамильтона — Якоби для гравитационного поля было введено А. Пересом
[133] в следующем виде:
<г‘ (ад, - (^) (^) + - ». <3.100)
где gij — коэффициенты метрики 3-геометрии; g — детерминант этих коэффи¬
циентов. Согласно [127], величина &>R означает внутреннюю скалярную ин¬
вариантную кривизну 3-геометрии.
По поводу уравнения (3.100) Дж. Уилер пишет [133]: «Функция Гамиль¬
тона — Якоби зависит только от 3-геометрии, а не от того, как эта 3-геометрия
выражается через метрические коэффициенты в некоторой системе координат,
146
хотя в (3.100) S входит таким образом, как если бы она зависела исключи¬
тельно от метрических коэффициентов: S=S(gu, g12, g33). В таком под¬
ходе ÔS/Ôgij представляет собой функциональную производную от S в зави¬
симости от изменения функций gij(x, у, z). Тот факт, что в конечном счете
координаты не играют никакой роли, позволяет нам записать уравнение
(3.100) в символическом виде
(V<S \а
+(8)/? = 0. (3.100
Это уравнение Эйнштейна — Гамильтона — Якоби содержит всю классическую
геометродинамику в тех областях, где никаких «настоящих» масс-энергий не
содержится. Оно заключает в себе все содержащие 10 уравнений Эйнштейна».
Это следует из того, что все 10 уравнений гравитационного поля Эйнштей¬
на можно получить по аналогии с п. 2.21 как характеристики надлежащим
образом расширенных уравнений (3.100). В другой форме это решение полу¬
чено в [134]. Таким образом, уравнения гравитационного поля также уклады¬
ваются в рассмотренную в п. 2.21 модель. t
Уравнения гравитационного поля Эйнштейна (3.94} обычно выводят из
уравнения Эйлера — Лагранжа при варьировании действия по Гильберту это¬
го поля. Так, имеют место тождества [118, с. 353]
6 f R KÎ7Î d*x ' !
J д = Ra - T RW
og4 z
Ô J G /HÏÏI= Rik - 7 ^èik,
где G = ^(гМп-Г/Л).
Уравнения Эйнштейна (3.94) следуют из принципа наименьшего действия
Гильберта
«(J WI+Ayji|)dQ=0,
где и — действия для гравитационного поля и материи |g| =
= | det (go) I соответственно. В нашем случае уравнения Эйнштейна получают¬
ся как характеристики соответствующего уравнения Гамильтона—'Якоби, ми¬
нуя решение вариационной задачи.
3.8.3. Для решения второй задачи необходимо найти диффе¬
ренциальное уравнение геодезических в пространственно-вре¬
менном искривленном континууме. Материальная частица, име¬
ющая достаточно малую массу (так что ее возмущающим влия¬
нием на заданное гравитационное поле можно пренебречь)^
движется в гравитационном поле по геодезической, т. е. ее
траектория определяется уравнениями (см. Приложение 1)
4т- + Г‘а-^-^- = 0; (3.102>
ds2 ds ds
здесь s — длина мировой линии частицы, отсчитываемая от не¬
которой начальной точки.
147
Таким образом, эта вариационная задача сводится к реше¬
нию дифференциальных уравнений (3.102), решение которых
дает уравнение геодезической в параметрической форме
^ = ^($) (и = 0, 1, 2, 3). (3.103)
Приведенные уравнения чрезвычайно сложны из-за нелиней¬
ного характера, и решение их очень трудно. Тем не менее в на¬
стоящее время известны несколько точных и большое количест¬
во приближенных решений этих уравнений. Здесь мы не можем
останавливаться на обзоре этих решений, так как это вывело
бы нас далеко за рамки настоящего раздела. Тем не менее
ниже будут приведены результаты некоторых из этих решений.
Компоненты метрического тензора g^v обычно мало отлича¬
ются от своих евклидовых значений. Так, например, на некото¬
ром расстоянии от обладающего сферической симметрией мас¬
сивного тела можно принять форму (3.70) и соответствующие
решения (3.71), (3.72).
3.9. Измерение промежутков времени
и пространственных расстояний
в гравитационном поле
В одной из своих работ А. Эйнштейн замечает [43]: «В общей
теории относительности пространственные и временные величи¬
ны не могут быть определены так, чтобы разности пространст¬
венных координат могли быть измерены непосредственно еди¬
ничным масштабом, а разности временных — посредством
стандартных часов».
В самом деле, если пространственно-временной континуум
носит неевклидовый характер, то разности пространственных и
временных координат не могут иметь непосредственного смыс¬
ла пространственных расстояний и промежутков времени. Здесь
можно провести аналогию с двумерной неевклидовой поверх¬
ностью. Как известно, пространственные расстояния на такой
поверхности, измеренные вдоль координатных линий, определя¬
ются соотношениями
dSi — Vgndx1 и ds2 =; /g22dx2,
причем величины dxl и dx2 не могут иметь одновременно смысл
пространственных расстояний. Как, однако, могут быть изме¬
рены при наличии гравитационного поля промежутки времени
и отрезки пространственных координат?
Будем оперировать со стандартными идеальными часами,
определение которых дано в гл. 2., Ход таких часов не должен,
в частности, зависеть от внешних сил, следовательно, маятни¬
ковые часы не допускаются. Согласно ОТО собственное (дей¬
ствительное) время, отсчитываемое движущимися часами, про¬
порционально длине пройденной ими времени-подобной миро¬
148
вой линии, т. е.
т - У Лі-104’
О
В частном случае, когда часы покоятся в заданной системе от¬
счета, будем иметь
т = J Vg^dx9. (3.105)
О
Заметим еще, что интегралы (3.104} и (3.105) инвариантны и
не зависят от того, с помощью каких координат произведена
параметризация пространственно-временного континуума.
Формулу (3.105) можно считать в настоящее время экспериментально до¬
казанной. Экспериментальные исследования, связанные с эффектом Мёссбауэ¬
ра (температурное красное смещение) показали, что релятивистское замедле¬
ние времени зависит только от скорости и не зависит от ускорения движу¬
щихся часов, если сравнивать их показания с показаниями неподвижных (в
инерциальной системе отсчета) часов, мимо которых они в данный момент
пролетают. '
Таким образом, изменение показаний часов может вычис¬
ляться по формуле
t
t=*J у 1 — —dt. (3.106)
О С
Формулу (3.106) следует считать справедливой до ускорений,
достигающих величины ІО14 g, а может быть, и вполне точной.
Пересчет формулы (3.106) к системе отсчета, в которой часы
покоятся, приводит к формуле (3.105).
В самом деле, как формула (3.105), так и формула (3.106) дают длину
одной и той же времени-подобной мировой линии в разных системах отсчета.
Но так как длина мировой линии является инвариантом, то справедливость
сказанного становится очевидной для случая псевдоевклидова пространствен¬
но-временного континуума. Естественно перенести этот результат на случай
неевклидова континуума. Отметим, что, как показал Е. Вигнер, использование
системы стандартных часов, зеркал и световых сигналов дает возможность из¬
мерять длины не только времени-подобных мировых линий, но и величины про¬
странственно-подобных интервалов, метрику и непосредственно кривизну про¬
странственно-временного континуума [138].
Работа Е. Вигнера крайне интересна, так как она является существенным
шагом вперед в решении рассматриваемой проблемы. Другие авторы для уста¬
новления связи между координатными параметрами хУ и действительными
промежутками времени и пространственными расстояниями предлагали тет¬
радный метод, метод одиночного наблюдателя и т. д. Обзор этих методов дан
в [7, 139]. Здесь не будем на них останавливаться. По вопросу о связи меж¬
149
ду наблюдаемыми величинами и измеряемыми координатными параметрами см.
п. 3.11, посвященный решению Шварцшильда.
В случае слабого поля можно принять
gik=Sik+hik- (3.107)
Здесь ôffe — псевдоевклидова метрика и
В рассматриваемом случае можно (с точностью до малых
более высокого порядка) производить «евклидовы измерения»
пространственно-временных координат, рассматривая как
компоненты поля в псевдоевклидовом континууме СТО.
Тем не менее проблема определения расстояний и проме¬
жутков времени по параметрам хѵ не может еще считаться пол¬
ностью разрешенной во всей ее общности. Здесь предстоит еще
работа.
3.10. Слабые гравитационные волны
Упруго-деформирующаяся среда способна генерировать (даже
в случае конечных деформаций нелинейно-упругих сред) только
слабые гравитационные волны, поэтому здесь рассмотрим об¬
щее решение линеаризированных гравитационных уравнений,
т. е. уравнений для слабого гравитационного поля. Это решение
изложено, например, в монографии Дж. Вебера [140].
Итак, прежде всего необходимо линеаризовать основные
уравнения гравитационного поля
R^-^g^R^^T^. (3.108)
2 с*
Для этой цели положим
giiv=Ô>iv4_A|iv; (3.109)
здесь бцѵ — метрический тензор псевдоевклидова пространства
и времени и /іцѵ — величины первого порядка малости, произве¬
дениями которых в дальнейшем будем пренебрегать. Далее
имеем
hl - 6VC6huoe ; h = ha « f>aKhaK. (3.110)
Если координатные условия выбрать в виде3 * * *
^-(4-yôu^O, (3.111)
то основные уравнения (3.108) запишутся следующим образом:
— 1 ôaX дУ\ + (6ЦѴ + Лцѵ) - Ô“x Тцѵ- (3.112)
2 дхадхк ѵ ц и 7 4 дхадхк с* и '
3 Принятые выше координатные условия (3.111) не уменьшают общности при¬
водимых ниже решений для слабого гравитационного поля, ибо, как показал
Д. Гильберт [9*9], они всегда могут быть удовлетворены путем бесконечно
малого преобразования координат.
150
Введем теперь новый тензор
фц sa /іц 0цЛ. (З.ЦЗ)
Заметим, что если известны компоненты тензора <р/, то из
уравнений (3.113) могут быть найдены компоненты тензора й/.
Координатные условия (3.111) теперь записываются в виде
-Ѣ Ф^°- (3.114)
ил
Учитывая далее уравнения (3.112) и выражение (3.113),
имеем
□ фѵ = 1^стѵ( (3.115)
' с*
где, как и ранее,
д2 д2 д2 1 д2
□ — —— Н 1 оператор Даламбера.
дх12 дх22 дх32 с2 dt2 Е н к
Решение уравнений (3.115), как известно, может быть пред¬
ставлено в виде
f (3.116)
с J I Г — го I
здесь г0 — расстояние от начала координат, расположенного
где-нибудь внутри системы, и символ «з», стоящий в виде ин¬
декса у компонент тензора энергии-импульса Г/, означает,/ что
значения этих компонент берутся в точке г для момента t—г/с.
Итак, если известны компоненты тензора энергии-импульса
Г/ деформирующейся упругой среды, то по формулам (3.113)
и (3.115) можно найти компоненты тензора Л/, описывающего
гравитационные волны, генерируемые этой средой.
3.11. Решение Шварцшильда
К. Шварцшильд получил точное решение уравнений Эйнштейна
для одного неподвижного тела сферической структуры [141].
Ясно, что созданное таким телом гравитационное поле должно
обладать сферической симметрией.
Не приводя здесь подробно всех промежуточных выкладок,
запишем сразу решение Шварцшильда4 для внешнего прост¬
ранства '
ds2 = — [(dx1)2 + (dx2)2 + (dX3)2] — ■■ 2mn - [xldxl +
• r2(r —2m)
"+ x2dx2 + jftix3]2 + (1 - -y-) (3.117)
где r2= (x*)2+(x2)2+(x3)2; т=СМ/сг — так называемая приве¬
4 Подробное изложение вывода решения Шварцшильда можно найти, напри¬
мер, в монографиях [139, 142].
151
денная масса; М — масса частицы; G — гравитационная посто¬
янная.
При значении г, равном гравитационному радиусу
rg=2m, (3.118)
решение Шварцшильда имеет сингулярность. Величину rg на¬
зывают гравитационным радиусом.
Заметим, что простым преобразованием координат, сохра¬
няющим сферическую симметрию, решению Шварцшильда
можно придать различные другие формы. Так, например, оно
может быть записано в виде
ds2 =* — г2 (d92 + sir.20dф2) + (1 — — ) А72. (3.119)
1 — Ътіг \ г I
Здесь t — координатное время, а координаты х‘, хг, Xs связаны
со сферическими координатами г, Ѳ и ф соотношениями х* =
= r sin0 cos ф; x2=r sine sin ф; x3 = rcos6.
Решение Шварцшильда (3.119) можно записать через гравитационный ра¬
диус гв\
( rc\ dr2
ds2 = ( 1 — —I c2dt2 — — r2 (sin2 0dcp2 + d№).
r 1--^
Помимо сферических пространственных координат г, Ѳ, ср, применяются
также изотропные сферические координаты р, Ѳ, ср; здесь
Г==р[і+А]а;
И 4Р_І
Гі-'ЛрГ / лЛ4
s c*dt2 — 1 + — I (dp2 + p2 (sin2 Odcp2 + d02)].
\ 4P/
ds2 =
L1 + У4Р J
В случае слабого поля, когда />/г<С1 (rgMp-C 1), имеет место разложение
/ Л, \ I ги \
ds2 = Il - уj c2dt2 -11+-^- + ... 1 dr2 - г2 (sin2 Odcp2 + d02);
Iff"2 \ / f \
d!?= 1- —+ OdP- 1+-«- + ... lx
\ P 2pa / \ P /
X №2 + p2 (sin2 Odtp2 + tft)2;].
Подобные выражения используются при проверке ОТО в слабых полях (см.
п. 3.20).
Из приведенных соотношений следует, что если масса М
обращается в нуль, то гравитационный радиус также стано¬
вится равным нулю, а элемент длины (3.119) совпадает с соот¬
ветствующим элементом пространства Минковского, выражен¬
ным через сферические координаты.
Аналогичное (3.119) решение Шварцшильда дает выраже¬
152
ние для внутренности шара [ 143, с. 142]
ds2 = , (dr]a- + г2 [(d0)2 + sin2 Ѳ (d<p)2] -
1 — г2/а2
где а — параметр, определяемый через радиус шара /?0 и гра¬
витационный радиус гg в виде a = Ros/rg.
Ввиду неевклидова характера пространственно-временного
континуума не существует такой формы решения Шварцшиль¬
да, в которой величины Дг=г2—G и Л/=/2—имели бы одно¬
временно смысл пространственных расстояний и промежутков
времени. Для того чтобы установить физический смысл вели¬
чин х1, х2/х3 и /, необходимо обратиться к выводам, изложен¬
ным выше.
Рассмотрим решение Шварцшильда при движении матери¬
альных точек пренебрежимо малой и конечной массы и лучей
света в поле Шварцшильда.
3.12. Движение материальной точки
пренебрежимо малой и конечной массы
в поле Шварцшильда
3.12.1. Материальная точка пренебрежимо малой массы долж¬
на двигаться в поле Шварцшильда по геодезической простран¬
ственно-временного континуума, метрика которого определяет¬
ся формулой (3.117).
Не останавливаясь на довольно громоздких выкладках, за¬
метим, что соответствующие подсчеты в нулевом приближении
дают результаты, совпадающие с ньютоновскими, т. е. в этом
приближении движение планет или других небесных тел проис¬
ходит по тем же законам, что и в механике Ньютона в предпо¬
ложении справедливости закона гравитации Ньютона. Однако
уже следующее приближение приводит к существенно иному
результату: эллипс, по которому движется планета вокруг
Солнца, сам должен совершать медленное вращение вокруг фо¬
куса, в котором расположено Солнце. Этот эффект (эффект
движения перигелия планеты) особенно велик для планеты
Меркурий.
, Расчеты показывают, что для величины смещения периге¬
лия за 100 лет справедлива формула
Дп = —Зцп , (3.120)
а (1 - е«) ’
где ц и а — гравитационный радиус Солнца и большая полу¬
ось орбиты планеты, выраженные в одних и тех же единицах
153
длины; е — эксцентриситет орбиты; п — среднее движение пла¬
неты, выраженное в угловых секундах за 100 лет.
Прежде чем перейти к анализу формулы (3.120), приведем следующую ци¬
тату из книги В. А. Брумберга [97, с. 323] относительно истории этого вопро¬
са: «Обработка нескольких десятков тысяч наблюдений с 1850 по 1892 г. при¬
вела Ньюкомба к заключению, что между теоретическими и наблюдательными
данными имеются расхождения лишь в вековых движениях перигелиев Мер¬
курия, Марса и узла Венеры. Для объяснения этих трех разногласий были
предложены самые разнообразные гипотезы, но ни одна из них не могла быть
признана удовлетворительной. В конце концов с целью устранения наибольше¬
го разногласия — в движении перигелия Меркурия — Ньюкомбу пришлось
включить в свои чисто гравитационные ньютоновские теории элемент эмпиризма
и заменить закон Ньютона F=ymm'lr2 для силы притяжения между частица¬
ми с массами tn и т' на закон Холла F=ymm'!r2*е, где е — малое число. На¬
личие е вызывает вековое движение перигелия орбиты и соответствующий вы¬
бор е ликвидирует невязку в смещении перигелия Меркурия. В дальнейшем для
уточнения ньюкомбовской теории движения Марса Россу пришлось внести до-
бавочйые эмпирические поправки. История создания и развития теорий Ле-
веррье и Ньюкомба подробно изложена в курсе Шази.
В середине 20 века интерес к теориям движения внутренних планет вновь
резко возрос. К этому времени накопился новый обширный наблюдательный
материал и открылись новые возможности усовершенствования планетных тео¬
рий в связи с развитием электронно-вычислительной техники. Клеменсом, Мор¬
ганом и Данкомом была заново проведена обработка наблюдений Меркурия,
Земли и Венеры соответственно (Clemence, 1943; Morgan, 1945; Duncombe,
1958). В последней из этих работ установлено, что найденная Ньюкомбом не¬
вязка в вековом движении узла Венеры в действительности не существует, и,
по-видимому, была обусловлена большими систематическими ошибками старых
наблюдений. В этой же работе приведена сводка теоретических (ньютонов¬
ских) и наблюдаемых значений вековых движений перигелиев Меркурия, Ве¬
неры и Земли. Позднее Клеменсом была создана новая гравитационная теория
движения Марса (Clemence, 1949, 1960). В результате этих работ теории дви¬
жения внутренних планет были освобождены от всех эмпирических членов и
единственные расхождения между теоретическими и наблюдаемыми значения¬
ми остались в вековых движениях перигелиев планет».
В результате вывода формулы (3.120) оказалось, что в тео¬
рии гравитационного поля Эйнштейна из трех законов Кеплера
остался лишь закон сохранения момента количества движения
с соответствующими релятивистскими поправками [143, 144].
Кривизна пространства-времени сказывается по отношению
к первому закону Кеплера в том, что за каждый оборот плане¬
та массы М вокруг Солнца описывает в своем движении не эл¬
липс, а некоторую «розетку» (см. рис. 3, 1, а, б [143, 144]), а
перигелий смещается на угол (3.120). Так, для планеты Мер¬
курий смещение перигелия за 100 земных лет равно 43,02", для
Венеры — 8,6", Земли — 3,8", Марса — 1,3"'.
Возникает следующий весьма важный принципиальный воп-
154
Рис. 3.1. Смещение перигелия Мер¬
курия
рос. Как отмечалось, координатные параметры не могут быть
непосредственно одновременно отождествлены с пространствен¬
ным расстоянием и временными промежутками. Как же в этих
условиях возможна проверка формулы (3.120) для смещения
перигелия планет? Более того, этот вопрос можно усилить.
А. С. Эддингтон [145, с. 160] показал, что решению Шварц¬
шильда можно придать такую форму, при которой будет строго
справедлив третий закон Кеплера. Однако при других формах
решения Шварцшильда этот закон не будет иметь места.
Сам А. С. Эддингтон по этому поводу замечает следующее [145, с. 162]:
«Этот результат не имеет никакого значения для наблюдений, так как он яв¬
ляется лишь простым следствием принятого нами определения величин г.
Можно было бы взять слегка отличные координатные системы, которые с та¬
ким же правом могли претендовать на соответствие полярным координатам в
плоском пространстве-времени, но в применении к которым третий закон Кеп¬
лера уже не был бы верен.
К результатам только что указанного типа нужно подходить с большой
осторожностью, так как они могли бы представлять интерес, например, только
в том случае, если бы радиус-вектор являлся не условной координатой, а вели¬
чиной, которую можно непосредственно измерить. Перемещение перигелия пред¬
ставляет собой явление совершенно другого порядка. Ясно, что число лет, необ¬
ходимое для того, чтобы орбита, имеющая эксцентриситет, не равный нулю, со¬
вершила полный оборот, вернувшись в свое прежнее положение, может быть
определено при помощи наблюдений, очевидно, независимо от того или иного
условия при определении точной длины радиус-вектора».
Следует добавить, что в формуле (3.120) величины а и е
могут быть получены из непосредственных астрономических на¬
блюдений в предположении, что 3-мерное пространство носит
евклидов характер. Это является следствием относительной
слабости гравитационного поля Солнца в области движения
планеты. Более того, ряд авторов [ 145, 108,7] показали, что фор¬
мула (3.120) может быть получена в предположении, что мет¬
155
рика пространственно-временного континуума имеет вид
ds2 « ( 1 — dt2 — [(dx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2], (3.121)
\ C2 /
где Ф — ньютонов потенциал, совпадающий с (3.70). При этом,
как выше было отмечено, можно с точностью до малых более
высокого порядка производить «евклидовы» измерения прост¬
ранственных промежутков, рассматривая Ф как внешнее поле,
заданное в плоском псевдоевклидовом пространстве.
Итак, имеется возможность проверить формулу (3.120) для
смещения перигелиев планет Солнечной системы. ч
Подробный анализ имеющихся экспериментальных данных
по релятивистскому смещению перигелия Меркурия и других
планет Солнечной системы производился многими авторами.
Несмотря на трудности наблюдения ц возможные ошибки в
наблюдениях и вычислениях, все имеющиеся здесь данные го¬
ворят совершенно определенно в пользу ОТО. Результаты рас¬
четов и наблюдений находятся здесь в очень хорошем согласии
друг с другом, причем не только для Меркурия, но и для дру¬
гих планет Солнечной системы (см. ниже п. 3.20).
3.12.2. Кратко рассмотрим теперь задачу о движении частиц
ненулевой массы т>0 в метрике Шварцшильда (3.119) для
тела массы Мо, создающего гравитационное поле [118, с. 682]
с гравитационной постоянной G на основе уравнений Гамиль¬
тона—Якоби.
Хорошо известно равенство, которому удовлетворяет 4-им¬
пульс свободной частицы массы т:
з
frfëab = (Р, р) = (Ро)2 — (р“)2 - т2с2, (3.122)
а=і
и которое задает массовую поверхность в линейном (кокаса-
тельном) пространстве импульсов (р“) с метрикой goi>. Это —
пространство Лобачевского с элементом объема do = d3plpa
[118].
Для рассматриваемой задачи гамильтониан
Н — — ё^РаРь (a, b — 0,1, 2, 3).
Согласно (3.119) имеем [88]
g00 = (£°°Г « (1 - grr = (grrY1 '=* (1 “ -7):
r
а само движение плоское, т. е. можно принять в (3.119) пара¬
метр Ѳ=л/2.
156
Тогда в координатах (Л г, ф, x° = cf) уравнение Гамильто¬
на—Якоби (см. гл. 2) примет вид [118, с. 682; 88, с. 390]
dS dS . 1 ! dS \a
— i Bfb « const = —— —
дх° dxb c2(l — rg/r) \ di
(3.123)
В уравнении (3.123) константа может быть приравнена tn2c2,
так как согласно (3.122) уравнение (3.123) есть уравнение мас¬
совой поверхности.
Действие S определяется
(см. главу 2) в виде
S = —£/+Мф+/(г, М, Е);
Е = Н, М=ру. (3.124)
Из уравнений dS/dE=const
и dSfdM=const определяются
функции r(t) и г(ф). Тогда, под¬
ставляя (3.124) в (3.123), нахо¬
дим траекторию
Рис. 3.2. Зависимость Ѵ(г)Ітсг
быть приравнена энергии ча-
где величина Е = Н = сра может
стицы.
Из (3.125) следует, что при т->0 получаем движение частиц
нулевой массы (световых лучей в метрике Шварцшильда), ко¬
торое рассмотрено подробно в п. 3.14.
Пример 1. Уравнение
(і - —V =V [£а - и* wl/,<
\ г / cat Е
где U (г) = тс2
М2
т2с2г2
— «эффективный
потенциал» при*
заданном моменте М) определяет зависимость r(t). На рис. 3.2 приведен гра¬
фик U(r)lmc2 [118]. Условие U(r)^E определяет допустимые области движе¬
ния по г при заданных М и Е. Из рис. 3.2 видно, что потенциал U(r) может
иметь максимум при величинах г~2а (в зависимости от М) , а при г->оо имеет
место С/(г)->1; в частности, видна возможность «притяжения» частиц гравита¬
ционным полем (движение
157
3.13. Закон гравитации Ньютона
Было показано, что принцип Гамильтона—Остроградского
можно рассматривать как следствие ОТО (в нулевом прибли¬
жении). Таким образом, если не учитывать диссипативных сил,
то классическая механика Ньютона является следствием ОТО.
Покажем теперь, что закон гравитации Ньютона также в
первом приближении является следствием гравитационных
уравнений Эйнштейна.
Возьмем слабое поле в виде
ds2 = ( 1 — dï2 — [(d%i)2 4- (dx2)2 + (dx3)2]. (3.126)
\ C2 /
В этом случае имеем g00= (1—2Ф/с2); ёч=ё^ёіз=—1; ёл=
= 0, если i^=k.
Далее, как это было показано, компонента тензора энергии-
импульса распределенной массы равна 1^ =—цс2. В этом слу¬
чае уравнения поля сведутся к виду
= (3.127)
С4
Все остальные уравнения обращаются в нуль.
Выкладка показывает, что в линейном приближении
Г° ~ _ — гИХІХ ^Sw> 1 дф
° ~ 2 ® дха сг дха’
•откуда следует
Яо= = — — Лф. (3128)
0 с2 дха с2 ' '
Подставив (3.128) в (3.127), получим, что
Лф = 4лС|х. (3.129)
Таким образом, получили уравнение Пуассона для потенциала
гравитационного поля Ньютона.
Итак, как принцип Гамильтона—Остроградского, так и за¬
кон гравитации Ньютона являются следствиями ОТО. Следова¬
тельно, все эксперименты, подтверждающие классическую нью¬
тоновскую механику и теорию гравитации, подтверждают одно¬
временно и ОТО [88].
Следует отметить, что условием применимости ньютоновского приближе¬
ния [67, с. 438] уравнения (3.129) является ( | ср |/с2) <1 и совпадает с усло¬
вием слабости поля.
Так, на поверхности Земли
I ф* I GM ± тв +
—р- = = = 7-10'10; М* =5,98-ІО2’г,
42 2rô ’ 5
158
г & =6,37- ІО8 см, rgt& =0,44 см,
где, как и ранее, rg = 2m=2GM/c2— гравитационный радиус.
Для Солнца (на его поверхности)
IФ® I ^^4® Gif»®
—= = 2,12-10“«, ra ^ = 2,94- 106см = 2,94 км,
** г0с« 2ГѲ <•© ’ - ’ ’
Л4Ѳ = 1,99-10аз г, гѳ = 6,96-1010см.
Отметим также, что для круговой орбиты планеты |<р|/с2=и2/с2; ѵ —
скорость планеты [67]. Тогда для орбиты Земли (ц = Э-10« см/с) имеем
|ф|/с2«10-8. С уменьшением радиуса тела или с ростом его массы потенциал
I <р[ возрастает, а поле становится сильным. В результате необходимо рассмат¬
ривать решения типа Шварцшильда (см. п. 3/11).
Пример 1. Простейшим решением уравнения Пуассона (3.129) вне соз¬
дающих поле масс Д<р=О является, как известно [118], стационарное симмет¬
ричное сферическое решение
з
<p = const/r, г2 = 0Ô2, (3.130)
0Г=1
а константа отождествляется с суммарной массой Л4 тела, создающего поле
(само тело тоже сферически симметрично) :
Ф=ЛК7/г. (3.131 >
Найдем аналог (3.131) в ОТО [118, с. 380]. Будем рассматривать сферически
симметричную метрику £аь, не зависящую от времени t=x<Jc. Искомая мет¬
рика имеет вид
ds2^=c2di2gQQ+gudr2-dQ2t (3.132)
где gbo=ev; £п=—е\ rfQ2= (б7Ѳ)2+sin2 Ѳ (с/ф2) — элемент длины на единич¬
ной сфере в сферических координатах (Ѳ, ф); ѵ и X — неизвестные переменные.
В силу принятых предположений goo=goo(r), gii=gi\(r)- Согласно формулам
(3.76) и (3.77) имеем (х°=с/, xl = rt х2=Ѳ, х3=ф)
. го __L±L
11 ~ 2 dr ’ 10 2 dr
Г° 1 Л-ѵ.
11 2 dt ’
р2 рЗ !_ .
1 12 13 “ г >
Г* = — sin 0 cos Ѳ;
оо
рі ге-ь. Г1 __L — еѵ-Х.
1 dv
rf3=ctgO; Гоо="^"^’:
pi _ JL Æ . pi _ _ , Sîna 0e~b
110 2 dt ’ M rsln e ’
. d\
Из условия Rab = 0 (решение Эйнштейна в пустом пространстве) имеем — = 0;
е~к (■? І+£) - ,т=°’ е"к (7 Т - £)+ =0 и интеграл ѵ+х=/(/)*
Функцию /(/) можно сделать нулевой путем замены /'=ф(0-
159
Искомое решение имеет вид [118, с. 381]
rg 1
Из (3.132) следует метрика Шварцшильда (3.119)
/ г \ 1
ds* = 1 _ -М c2rf/2 _ dr* — r*dQ*.
\ r) (l-rg/r)
При r->oo метрика становится слабой
Sab ~ Sab + "T dab + 0 (tJ- ) î S^ = ~ "7“ •
Отсюда следует rg = 2MG/c2.
Ранее отмечалась в п. 3.1 J особенность метрики Шварцшильда при r-+rg.
Эта формула корректна по определению при r>rg (область «внешнего наблю¬
дателя»). Оказалось, что формула (3.119) справедлива и при г<гв. Это об¬
стоятельство подробно рассмотрено в [118, с. 707; 146].
При больших г имеем [118, с. 382]
1 / г2 \
Sab ~ Sab + +° j »
г с2 г с2 ( 3 \ /•
g{$ dSdxb = - -2— (dx«)« 2_ I V (dxa)* = - -2— V (dx%a;
\a=i J a=o
dr*+r*dQ* = V (dx“)a; —— = 1 + — +0 (-І1
1 — rJr r \ Г2
a=i S 4 ' '
В результате получим (учитывая, что rgc2/r=2GM/r=2(p)
3 2 ( 8 \ / г2, \
g^dfdJ = 2 +7 з (dx“2 +° 17? ) • <3-133>
•Формула (3.133) является слабой метрикой с точностью до 0(1/с3). Отметим,
что связь с потенциалом Ньютона <р для слабой метрики имеется всегда, а не
только для метрики Шварцшильда.
Из (3.133) следует, что поправка к метрике Минковского пропорциональ¬
на евклидовой метрике в 4-мерном пространстве. Таким образом, результат не
инвариантен преобразованиям Лоренца, а инвариантен только относительно
группы вращений SO (3). '
3.14. Отклонение лучей света
в гравитационном поле Шварцшильда
Лучи света должны распространяться по линиям нулевой дли¬
ны. Следовательно, для случая поля Шварцшильда можно на¬
писать
160
, + Г2 (d& + sin2 Ѳгі<р2) — | 1 — — | dï2 =! О. (3.134)
1 “ Vr \ r /
Э. Картан [55] показал, что световые лучи, рассматриваемые
только с точки зрения пространства, определяются как кривые,
вдоль которых имеет экстремум интеграл
Ç 1 Г dr2. г2 (J92 -{-sin2 Qdy2)
r0 м *
Если принять, что распространение света, происходит вдоль
поверхности ф = 0, то задача сводится к нахождению экстрему¬
ма интеграла вида
С1 f dr2 r*dQ2 ~
J V (ï-rglr) •
Проводя вычисления, приходим к формуле Картана
При г^“>0 в качестве предела получаем прямую rcos<p=p. При
малых rg можно вычислить по (3.135) поправку к прямолиней¬
ному пути светового луча. Таким образом, зная метрику слабо¬
го поля, можно по формуле (3.133) изучить поправки к движе¬
нию быстрых частиц при больших г, в частности, безмассовых
частиц. .
Расчет по формуле (3.135) показывает, что отклонение лу¬
ча вблизи диска Солнца составляет — 43".
Отклонение луча света, проходящего вблизи диска Солнца,
при первых наблюдениях имело довольно «размытый» резуль¬
тат, но последние наблюдения (1968—1970 гг.) дают гарантию,
что ошибка не превышает 4%.
Наблюдение эффекта отклонений лучей света в поле тяготе¬
ния Солнца очень трудно; эффект этот мал и здесь возможны
различные случайные ошибки. Однако вся совокупность имею¬
щихся здесь экспериментов говорит определенно в пользу ОТО
как в качественном, так и в количественном отношениях. Ре¬
зультаты некоторых экспериментов последних лет описаны в
п. 3.20.2. '
3.15. Гравитационное смещение
В настоящем параграфе подробно остановимся на предсказан¬
ном теорией гравитации эффекте, который оказалось возмож¬
ным проверить в земных (лабораторных) условиях.
6 Б. Н. Петров и др.
161
3.15.1. Предварительные замечания. В статье «О принципе
относительности и его следствиях», опубликованной в 1907 г.,
А. Эйнштейн [43] предсказал существование явления гравита¬
ционного смещения частоты. К этому вопросу А. Эйнштейн
вновь возвращается в статье [43], опубликованной в 1911 г., в
которой дается новое обоснование существования эффекта гра¬
витационного смещения в неинерциальных системах отсчета.
В указанных статьях А. Эйнштейн получил следующие при¬
ближенные формулы для гравитационного смещения частоты:
ѵзЧ1+£); ѵ<1; (ЗЛ36)
ѵаѵ.ехр^-}. (3.137)
Здесь V — воспринимаемая частота при разности гравитацион¬
ного потенциала Ф между приемником и источником; ѵ0 — ча¬
стота при отсутствии разницы потенциалов. Формула (3.137)
значительно более точна, чем формула (3.136).
Еще в статье 1907 г. А. Эйнштейн [43] указывал, что открытое явление
гравитационного смещения относится не только к темпу хода часов, но и к ско¬
рости протекания всех физических процессов вообще. Он указал: «В этом смыс¬
ле мы можем сказать, что происходящий в часах процесс, и вообще любой
физический процесс, протекает тем быстрее, чем выше гравитационный потен¬
циал того места, где этот процесс происходит».
А. Эйнштейн возвращается к этому же вопросу в 1916 г. в своей фунда¬
ментальной работе «Основы общей теории относительности» [43]. В результате
проведенного анализа он приходит к следующему заключению: «Итак, часы
идут медленнее, если они установлены вблизи весомых масс. Отсюда следует,
что спектральные линии света, попадающие к нам с поверхности больших
звезд, должны смещаться к красному концу спектра».
В частности, еще в статье 1907 г. А. Эйнштейн указал, что спектральные
линии при наблюдении их на поверхности Земли должны быть сдвинуты по от¬
ношению к спектру тех же элементов, расположенных на поверхности Солнца,
на величину 2- ІО-6.
В последующие годы, вплоть до настоящего времени, от¬
крытое А. Эйнштейном явление гравитационного смещения было
подвергнуто дальнейшему теоретическому исследованию в ра¬
ботах многих авторов. Были также проведены обширные аст¬
рономические наблюдения для обнаружения и подтверждения
этого эффекта. Однако ввиду малости ожидаемого эффекта эти
астрономические наблюдения дали главным образом качествен¬
ное и только отчасти количественное подтверждение этого эф¬
фекта. Подлинный триумф предсказаний А. Эйнштейна был по¬
лучен в экспериментах, основанных на эффекте Мёссбауэра.
Здесь эффект гравитационного смещения был подтвержден с
точностью до 1 %.
162
Отметим, что А. Эйнштейн придавал исключительно большое значение эф¬
фекту гравитационного смещения. Книга А. Эйнштейна «О специальной и об¬
щей теории относительности» заканчивается словами: «Если красное смещение
спектральных линий под влиянием потенциала тяготения не существует — от
общей теории относительности придется отказаться».
Ниже освещены результаты наиболее важных работ, посвя¬
щенных эффекту гравитационного смещения.
3.15.2. Элементарная теория гравитационного смещения.
Если не ограничивать СТО только инерциальными системами
отсчета (ИСО), а включить в нее также рассмотрение неинер¬
ционных систем отсчета (НСО), движущихся заданным обра¬
зом относительно Инерциальных систем отсчета, то, как показал
А. Эйнштейн, элементарная теория гравитационного смеще¬
ния может быть построена в рамках СТО.
В статье 1911 г. А. Эйнштейн [43] вводит две системы отсчета: инерциаль¬
ную систему отсчета К и неинерциальную систему отсчета /<', равномерно уско¬
ренно движущуюся с ускорением у=const относительно системы К. Предпола¬
гается, что в системе К' в точке S2 покоится источник, а в точке Si — прием¬
ник излучения. Расстояние h между Si и S2 считается заданным. Далее Эйн¬
штейн рассуждает следующим образом: «Если излучение, испускаемое в рав¬
номерно ускоренной системе отсчета К' на S2, по направлению к Si имело от¬
носительно находящихся в S2 часов частоту ѵ2, то по прибытию в Si оно имеет
относительно находящихся там точно таких же часов уже частоту не ѵ2, а
большую частоту ѵі, которая в первом приближении равна
Ѵі = ѵ,(1+уУ (2)
В самом деле, если снова ввести неускоренную систему отсчета Ко, отно¬
сительно которой система отсчета К' в момент испускания света имела нулевую
скорость, то Si будет иметь относительно Ло в момент прибытия излучения в
Si скорость у (1г/с), откуда в силу принципа Доплера непосредственно получа¬
ется соотношение (2).
Согласно нашему предположению об эквивалентности систем отсчета К' и
К это соотношение справедливо и для покоящейся координатной системы К',
в которой существует однородное поле тяготения, в том случае, когда в этой
системе происходит описанный выше перенос энергии излучения. Таким обра¬
зом, получается, что луч света, испускаемый в области с определенным потен¬
циалом тяготения из S2 и имеющий при его испускании частоту ѵ2, измеренную
часами, находящимися в S2, обладает при его прибытии в Si другой частотой
Ѵі, если последняя измеряется с помощью таких же часов, находящихся в Si.
Заменим yh через потенциал тяготения Ф, взятый в S2 по отношению к Si,
потенциал который принят за нуль, и примем, что соотношение, полученное на¬
ми для однородного гравитационного поля, справедливо также и для полей
другого вида; в таком случае
Ѵі = ѵ2(1+Ф/с2). (2а)
Прежде всего этот результат (справедливый согласно его выводу в первом
приближении) можно применить следующим образом.
163
6*
Пусть Vo — частота некоторого элементарного источника света, измеренная
с помощью часов U, находящихся в том же месте, где и источник. Эта частота
не зависит от того, где установлен источник света вместе с часами. Представим
себе, что источник и часы помещены, например, на поверхности Солнца (там
находится наша система S2). Часть испускаемого там света доходит до Земли
(Si), где мы часами U точно такой же конструкции, что и упомянутые выше,
измеряем частоту ѵ приходящего света. Тогда согласно соотношению (2а)
имеем
ѵ = ѵ0(1+Ф/с2),
где Ф — (отрицательная) разность гравитационных потенциалов между по¬
верхностью Солнца и поверхностью Земли.
Таким образом, согласно нашим представлениям спектральные линии сол¬
нечного света должны несколько сместиться по сравнению с соответствую¬
щими спектральными линиями земных источников света в сторону красного
конца спектра, а именно на относительную величину
(ѵ0—ѵ)/ѵо=— Ф/с2=2- ІО”6.
Это смещение можно было бы измерить, если бы были точно известны ус¬
ловия, при которых испускается солнечный свет. Однако ввиду того, что дру¬
гого рода причины (давление, температура) также влияют на положение
спектральных линий, трудно установить, действительно ли существует выве¬
денное соотношение, в котором учитывается влияние гравитационного потен¬
циала.
При поверхностном рассмотрении может показаться, что соотношение (2)
или (2а) бессмысленны. Возможно ли, чтобы при непрерывном испускании све¬
та из S2t он прибыл в Si с другой частотой, чем свет, вышедший из S2? Одна¬
ко ответ на этот вопрос прост. Мы не можем рассматривать ѵ2 и Ѵі просто
как частоты (числа периодов в секунду), так как мы еще не установили вре¬
мени в системе отсчета К. Величина ѵ2 означает число периодов, отнесенное к
единице времени часов U в S2, а Ѵі — число периодов, отнесенное к единице
времени точно таких же часов U в Si. У нас нет никаких оснований допускать,
что часы, находящиеся в точках с различными гравитационными потенциала¬
ми, должны рассматриваться как одинаково идущие. Наоборот, мы непремен¬
но должны определить время в системе отсчета К так, чтобы число гребней и
минимумов волн между S2 и Si не зависело от абсолютного значения времени,
ибо рассматриваемый процесс по своей природе стационарен. Если это условие
не выполнено, то мы приходим к определению времени, которое будет явно
входить в законы природы, что, конечно, неестественно и нецелесообразно.
Итак, нельзя сказать, что оба часовых механизма в S2 и Si показывают пра¬
вильное время. Если мы определяем время в Si часами (7, то мы должны из¬
мерять время в S2 часами, которые идут в [1 + Ф/с2] раза медленнее, чем ча¬
сы (7, если их сравнить с часами U в одном и том же месте.
Это связано с тем, что измеренная подобными часами частота рассмотрен¬
ного выше луча света при его отправлении на S2 ѴгП+Ф/с2) в согласии с фор¬
мулой (2а) равна частоте ѵі того же луча света при его прибытии в Si.
Отсюда вытекает следствие фундаментального значения для теории. Если
скорость света измерять в различных местах ускорения системы отсчета К' в
отсутствие гравитационного поля, пользуясь одинаково идущими часами С7, то
164
всюду будет получаться одно и то же значение. Согласно нашему основному
допущению то же самое справедливо для системы К. Однако отсюда следует,
что в местах с различными гравитационными потенциалами при измерении вре¬
мени мы должны пользоваться по-разному идущими часами. В том месте,
которое относительно начала координат обладает гравитационным потенциа¬
лом Ф, мы должны при измерении применять часы, которые при перенесении
их в начало координат шли бы в (1+Ф/с2) раза медленнее, чем часы, кото¬
рыми определяется время в начале координат. Если мы обозначим через
скорость света в начале координат, то скорость света с в некотором месте с
гравитационным потенциалом Ф будет равна
(Ф \
1 + "7Г)• (3)
/ •
По этой теории принцип постоянства скорости света справедлив не в той
формулировке, в какой он кладется в основу теории относительности».
Мы привели эту длинную цитату из статьи А. Эйнштейна по¬
тому, что здесь с поразительной ясностью излагается не только
сущность гравитационного смещения, но и связанный с ним
вопрос об измерении скорости света в гравитационном поле.
Необходимо еще сделать следующее важное замечание. Ко¬
нечно, с точки зрения наблюдателей в инерциальной системе от¬
счета К стандартные часы, расположенные в точках Si и S2 не¬
инерциальной системы отсчета К', идут совершенно одинако¬
вым образом, так как рассматриваемые часы имеют одну и ту
же скорость и одно и то же ускорение по отношению к инерци¬
альной системе отсчета К. Однако с точки зрения наблюдателя,
расположенного в точке Si системы К', часы, находящиеся в
точке S2, будут идти быстрее, чем часы, расположенные в точ¬
ке Si. Таким образом, по мысли А. Эйнштейна, все дело в си¬
стеме отсчета.
В 1920 г. В. Паули [89] рассмотрел эффект гравитационно¬
го смещения в системе отсчета К, равномерно вращающейся с
угловой скоростью о относительно инерциальной системы от¬
счета К. _
Рассмотрим неподвижные в системе К часы, находящиеся
на расстоянии г от оси вращения. Для наблюдателя в инерци¬
альной системе К их скорость будет равна <ог. Таким образом,
имеем
t =, т/]/1 — -і-(о2г2, (3.138)
где t — время, отсчитываемое в инерциальной системе отсчета
Кит — время, показываемое движущимися часами. Приведен¬
ная формула (3.138) есть непосредственное следствие преобра¬
зования Лоренца или, что то же самое, поперечного эффекта
Доплера, если только темп хода движущихся часов не зависит
от их ускорения, т. е. если справедлива формула (3) в приве¬
денной выше цитате из статьи [43].
165
Для наблюдателя, находящегося вблизи оси вращения в не¬
инерциальной системе отсчета К, рассматриваемые часы будут
покоиться.
Поэтому наблюдаемый эффект не может объясняться как
поперечный эффект Доплера. Однако в неинерциальной систе¬
ме К существует поле гравитационных (центробежных) сил,
имеющее потенциал
Ф= —-ÿo>2r2. (3.139)
Наблюдатель в неинерциальной системе К сделает, таким об¬
разом, вывод, что изменение темпа хода часов, находящихся на
расстоянии г от него, зависит от гравитационного потенциала
Ф и что замедление времени в системе К может быть найдено
по формулам
/ = т/1Л1 +—, —== — — . (3.140)
/г с2 \ с2 / Т С2
Получается замедление времени, так как в рассматриваемом
случае потенциал Ф отрицателен. '
Итак, В. Паули, используя другой подход, пришел к той же
формуле, что и А. Эйнштейн в упоминавшихся выше работах.
В этой связи В. Паули [89] замечает: «Таким образом, поперечный эффект
Доплера и замедление времени вследствие тяготения являются двумя различ¬
ными способами выражения того факта, что часы всегда используют собствен¬
ное время »
т = —— С ds».
ic J
Сделаем еще несколько замечаний общего характера. Из при¬
веденного выше анализа с необходимостью следует, что темп
хода часов, а следовательно, и скорость всех процессов зависит
от величины гравитационного потенциала в том месте, где рас¬
положены часы.
Таким образом, гравитационное смещение частоты является
не кажущимся (как это иногда утверждают), а вполне реаль¬
ным эффектом. В этой связи рассмотрим следующий мыслен¬
ный эксперимент [7, с. 181, 151].
Пример 1. Пусть имеются трое совершенно одинаковых часов А, В, С.
Часы А покоятся в точке г=0 равномерно вращающейся системы К, а часы
В — на расстоянии г от часов А в той же системе К: Пусть часы С вначале по¬
коятся рядом с часами А, причем их показания совпадают. Затем часы С от¬
правляются в путешествие по прямой линии к часам В и, достигнув их, тотчас
же отправляются в обратное путешествие к часам А. В момент прибытия ча¬
сов С к часам А наблюдатель в К установит разность их показаний, равную
Д/Псут, затем эксперимент повторяется с тем, однако, различием, что часы С,
прибыв к часам В, остаются там на некоторое время (сколь угодно большое)
166
и затем возвращаются к часам А. Теперь наблюдатель в К убедится, что раз¬
ность показаний часов А и С будет больше, чем Д/£ут . Этот результат наблю¬
датель в Л сможет объяснить только тем, что часы С, находясь некоторое вре¬
мя в области более низкого потенциала, действительно шли медленнее часов А.
Этот (АВС) эксперимент инвариантен, поэтому он имеет объективное значение
(точно к таким же выводам^придут наблюдатели в инерциальной системе от¬
счета К).
Вывод формулы (3.140) для гравитационного смещения,
сделанный В. Паули, основывался на преобразовании Лоренца
и на твердо экспериментально установленном факте независи¬
мости темпа хода часов от их ускорёния по отношению к инер¬
циальной системе отсчета (по крайней мере, до ускорений
10“ g).
Следовательно, отрицание реальности эффекта гравитацион¬
ного смещения было бы равносильно отрицанию правильности
преобразования Лоренца и результатов известных эксперимен¬
тальных работ, основанных на эффекте Мёссбауэра (темпера¬
турное красное смещение).
Следует отметить различие в подходе А. Эйнштейна и В. Паули к выводу
формул для гравитационного смещения. В то время как А. Эйнштейн рассмат¬
ривал процесс передачи периодических сигналов от одних часов к другим ча¬
сам, В. Паули основывался непосредственно на преобразовании Лоренца.
Вывод формул для гравитационного смещения излагается вплоть до на¬
стоящего времени в том виде, как он был предложен А. Эйнштейном, В. Пау-
ди и др.
В весьма интересной статье А. Г. Баранов [147] отмечает, что корректное
обоснование гравитационного смещения должно быть инвариантным в отноше¬
нии скорости сигналов, передающих информацию о ходе сравниваемых часов.
■ А. Г. Баранов следующим образом обосновывает этот тезис: «Если грави¬
тационное смещение действительно следствие различного хода времени, зави¬
сящего от гравитационного потенциала, то этот объективный факт должен
проявиться при любом разумном способе сравнения часов. В частности, для
такого сравнения принципиально пригодны сигналы любой скорости. В каче¬
стве наглядного примера можно привести следующий мысленный эксперимент.
Пусть на горе установлен пулемет, стреляющий вниз с постоянной частотой.
Находясь у подножья горы, мы желаем определить частоту выстрелов. Для
этого мы можем сосчитать число выстрелов (вспышек) в секунду, которое мы
видим, это будет ѵь Мы можем также сосчитать число выстрелов в секунду,
которое мы слышим, ѵг. Наконец, мы можем сосчитать число пуль, пролетаю¬
щих мимо нас в секунду, ѵз. Физически очевидно, что три числа совпадают, т. е.
ѵ1=ѵ2=ѵз. Неравенство этих чисел означало бы, ввиду стационарности про¬
цесса, что часть пуль появилась неизвестно откуда, либо исчезла неизвестно
куда».
Приведем здесь вывод А. Г. Баранова для величины грави¬
тационного смещения, основанный на использовании реляти¬
вистского закона сложения скоростей.
167
Пусть относительно инерциальной системы отсчета К, кото¬
рую в дальнейшем будем называть лабораторной системой, рав¬
номерно ускоренно движется система отсчета К, в которой по¬
коятся совершенно одинаковые стандартные часы А и В. Так
как скорость и ускорение часов А и В относительно системы К
в заданный момент совершенно одинаковы, то и темп их хода
относительно этой системы должен быть совершенно одинаков,
т. е. для продолжительности каждого такта этих часов (изме¬
ряемых в системе К) будем иметь тА=тв. Однако описанная
картина будет выглядеть совсем другой с точки зрения системы
К. В этой системе действует гравитационное поле и между точ¬
ками, где расположены часы А и В, имеет место определенная
разность гравитационного потенциала. Нужно доказать, что
если из места, где расположены часы А, будут подаваться сиг¬
налы с интервалами, равными тА по этим часам, то в месте
расположения часов В эти сигналы будут восприниматься с ин¬
тервалами тА+Дт, измеряемыми с помощью часов В, ничем не
отличающихся от часов А. _
Итак, нужно доказать, что с точки зрения системы К темп
хода часов А и В различен, так как имеем здесь эффект грави¬
тационного смещения. _
Предположим теперь, что в системе К рядом с часами В
находится наблюдатель, который может непосредственно на¬
блюдать ход часов В. Для того чтобы судить о ходе часов Д,
наблюдатель должен получать от этих часов периодические
сигналы (которые могут передаваться, например, пулями), ско¬
рость которых относительно часов А принимаем равной w.
Рассмотрим сначала весь этот процесс, оставаясь в рамках ньютоновской
механики.
Скорость пули, вылетевшей из некоторого источника в инерциальной си¬
стеме отсчета К, будет равна
u=w + v, (3.141)
где V — скорость источника в момент посылки сигнала. Здесь применен клас¬
сический закон сложения скоростей. Так как в лабораторной системе отсчета
гравитация отсутствует, то, очевидно, скорость пули, испущенной источником,
будет в этой системе отсчета оставаться неизменной вплоть до момента встречи
с приемником. Если время полета пули от Л до В обозначить через /, то легко
видеть, что должно иметь место следующее соотношение:
u(t) = (w+v)t=l+vt+l/2gt2, (3.142)
где I — расстояние между часами А и В\ g — ускорение неинерциальной си¬
стемы К. Из уравнения (3.142) следует
(З.ИЗ)
Выражение (3.143) не зависит от скорости и. Это означает, что при любой ско¬
рости часов А интервалы времени между отправлениями двух последователь¬
ных сигналов источником, расположенным рядом с часами Д, будут в точно¬
168
сти равняться интервалу времени приема этих сигналов приемником, располо¬
женным рядом с часами В.
Таким образом, в рамках классической ньютоновской механики никакого
гравитационного смещения не существует. Этот вывод А. Г. Баранова можно
было бы предвидеть, так как в ньютоновой механике время носит абсолютный
характер.
Рассмотрим этот же процесс с точки зрения СТО [147].
Прежде всего отметим, что теперь вместо классического зако¬
на сложения скоростей (3.141) необходимо использовать реля¬
тивистский закон сложения скоростей (2.82), т. е.
ц= ю + р . 4
1 + wv/c2 С2 + WV
Примем далее, что скорость ѵ не очень велика, так что можно
пренебречь изменением расстояния I между часами А и В и
изменением периодов т часов А и В по отношению к инерциаль¬
ной системе отсчета К как величинами высшего порядка мало¬
сти. При указанных предположениях имеет место равенство
ut=l+wt+'lbg?, (3.145)
откуда
/ = —1/1 (3.146)
g \ ' (U— v)2]
Предположим теперь, что v/w^l. Заметим, что этого всегда
можно добиться, выбрав для рассматриваемого момента вре¬
мени надлежащую лабораторную инерциальную систему отсче¬
та К. Тогда приближенно имеем
t _ + = z /_L + м (ЗЛ47)
WC2 \ W С2 /
Так как за промежуток времени т, разделяющий посылку двух
последовательных сигналов, скорость неинерциальной системы
отсчета К увеличится и станет равной u+gx, то разность вре¬
мени прохождения двух последовательных сигналов будет
равна
Д/ = Дт =, I (-L + _ I [± + JLU ; (3.148)
\ W С2 J \ W с2 / с2
Дт/т= (gl)/c2.
Итак, А. Г. Баранов показал, что гравитационное смещение
не зависит от скорости сигналов, применяемых для сравнения
хода часов, и что оно — прямое следствие релятивистского за¬
кона сложения скоростей [7]. В приведенной выше работе [147]
А. Г. Баранов вывел формулу для неоднородного гравитацион¬
ного поля, полученную ранее А. Эйнштейном (формула (2)).
169
3.15.3. Гравитационное смещение и ньютонова механика.
При изложении предложенного В. Паули вывода формулы для
гравитационного смещения было показано, что отрицание ре¬
альности эффекта гравитационного смещения равносильно от¬
рицанию справедливости преобразования Лоренца и экспери¬
ментально установленного факта независимости хода стандарт¬
ных часов от их ускорения по отношению к инерциальной систе¬
ме отсчета (по крайней мере до ускорения ІО14 g).
Итак, гравитационное смещение не только является реаль¬
ным, но и существенно релятивистским эффектом.
Из предложенного вывода А. Г. Баранова также следует,
что при передаче периодических сигналов от одних часов к дру¬
гим (с помощью пулеметной очереди) при классическом подхо¬
де эффект гравитационного смещения отсутствует; приходим в
рассматриваемой ситуации к формуле А. Эйнштейна для гра¬
витационного смещения, если используется релятивистский за¬
кон сложения скоростей.
В связи с изложенным А. Г. Баранов замечает [147]: «Часто приходится
сталкиваться с мнением, что существование гравитационного смещения совме¬
стимо с классической (дорелятивистской) теорией. Такое утверждение мы на¬
ходим, например, у Петрова: «Дело в том, что эти формулы получаются и в
классической механике» (дрим. авт.: см. [148]). Однако совершенно ясно, что
в классической теории не может быть гравитационного смещения. Действитель¬
но, в ньютоновой теории время имеет.абсолютный характер, и ход идеальных
часов (ход времени) не может зависеть от гравитационного потенциала».
Некоторые авторы [149, 150] пытались, однако, вывести
формулу для гравитационного смещения, оставаясь в рамках
ньютоновой механики. Они получили формулу для гравитаци¬
онного смещения, исходя из соотношений & = тс2, m = hv/c\ и
предполагая, что гравитационное поле может быть взято в
ньютоновом приближении. Другими словами, они рассматрива¬
ют фотон как частицу, имеющую массу m = hvlc\ которая сво¬
бодно падает в гравитационном поле.
Пройдя разность потенциалов Ф, фотон должен изменить
свою энергию, а следовательно, и частоту; отсюда получается
формула
бѵ/ѵ = Ф/с2. ,
По поводу этого рассуждения следует заметить следующее. Прежде все¬
го отметим, что приведенный вывод противоречит изложенным выше резуль¬
татом А. Эйнштейна, В. Паули, А. Г. Баранова и других, так как он связывает
гравитационное смещение не с реальным характером зависимости хода часов
и всех процессов от гравитационного потенциала, а с изменением энергии фо¬
тона.
Остановимся на энергетическом выводе подробнее. Здесь
его авторы пользуются выражением СТО для инертной массы
фотона тп = /іѵ/с2, затем применяется слабый принцип эквива¬
лентности, считая инертную массу фотона равной его гравита¬
170
ционной массе, и, наконец, вводится гравитационное поле в
ньютоновом приближении. В то же время в ньютоновом при¬
ближении полная энергия частицы с отличной от нуля (хотя
и сколь угодно малой) массой покоя не меняется при свобод¬
ном падении этой частицы. Конечно, было бы нелепо приписы¬
вать фотону отдельно кинетическую и потенциальную энергии,
но вполне естественно в духе принципа соответствия считать,
что полная энергия фотона при его движении в ньютоновом гра¬
витационном поле не меняется. Следует также отметить, что
предположение об изменении энергии фотона при его движении
в ньютоновом гравитационном поле нарушает баланс энергии,
так как ньютоновому гравитационному полю энергия не припи¬
сывается.
Итак, по мысли А. Эйнштейна, фотоны, испущенные из ме¬
ста расположения часов А с частотой ѵА, будут приняты в месте
расположения часов В с частотой ѵВА, причем ѵА=#ѵВА, и это
произойдет не потому, что изменится энергия фотона, а пото¬
му, что темп хода времени, а следовательно, и хода часов в ме¬
стах расположения часов А и В различен, если между точками
расположения часов Л и В есть разность гравитационного по¬
тенциала. Это обстоятельство подчеркивается во многих рабо¬
тах [43, 89, 151, 7].
Так, А. Г. Баранов пишет [147]: «Согласно Эйнштейну, все дело в систе¬
ме отсчета. Часы приемника идут в (1+Ф/с2) медленнее, чем часы источника.
Именно поэтому частота фотона, измеренная часами приемника, оказывается
в (14-Ф/с2) раз больше, чем частота, измеренная часами источника... Таким
образом, гравитационное смещение — кинематический эффект, не связанный с
энергетическими соображениями».
Та же мысль, но в иной форме, подчеркивалась В. Паули
при рассмотрении вращающейся системы отсчета. Таким обра¬
зом, вопрос следует считать полностью разъясненным в рамках
СТО.
В действительности только ОТО дает возможность рассчи¬
тать изменение энергии фотона при его движении в гравитаци¬
онном поле. При этом расчеты показывают, что потеря энергии
фотоном на гравитационное излучение дает изменение частоты
на несколько порядков меньше, чем эффект гравитационного
смещения [7, 151]. Таким образом, энергетическое истолкова¬
ние гравитационного смещения нельзя считать правильным.
А. Эйнштейн неоднократно подчеркивал реальность грави¬
тационного смещения; он считал этот эффект существенно реля¬
тивистским, связанным с .реальным изменением хода времени,
и следовательно, и со скоростью протекания физических про¬
цессов в зависимости от изменения величины гравитационного
потенциала.
Таким образом, концепция А. Эйнштейна о сущности гра¬
витационного смещения несовместима с представлением об аб¬
солютном характере времени, принятом в ньютоновой механике.
171
3.15.4. Гравитационное смещение и эффект Доплера (эле¬
ментарная теория). Особый интерес представляет собой нало¬
жение эффекта доплеровского и гравитационного смещения.
В работе В. Л. Гинзбурга [67] показано, что в первом прибли¬
жении оба эффекта просто складываются:
Дѵ ~ ѵ . 1 ѵ2 Ф
у с 2 с2 с2
В [147] А. Г. Баранов, пользуясь изложенным в п. 3.15.2
методом, рассмотрел также ряд нестационарных процессов.
Рассмотрим некоторые из этих результатов. -
Пример 2. Источник и приемник жестко связаны и движутся с равно¬
мерной скоростью (по отношению к неинерциальной системе отсчета К).
В этом случае воспринимаемая частота — результат чисто гравитационного
смещения и этот процесс ничем не отличается от случая, когда источник и при¬
емник неподвижен.
Пример 3. Источник и приемник движутся равномерно, но с различны¬
ми скоростями (относительная скорость и0Тн). В этом случае к чисто гравита¬
ционному смещению Дѵ/ѵ = Ф/б2 добавляется доплеровское смещение, завися¬
щее от скорости цОтн и скорости принимаемых сигналов
/ Дѵ \ ~ üoth
V ѵ 'д = w '
Заметим, что к такому же результату пришел В. Л. Гинзбург [67].
Пример 4. Источник и приемник жестко связаны и свободно падают
в гравитационном поле. Такое движение эквивалентно инерциальному движе¬
нию в отсутствие гравитации. Гравитационное смещение равно нулю.
Пример 5. Приемник неподвижен, а источник падает. В этом случае
воспринимаемая частота равняется
ѵ = ѵ»(1 + і9’
где w — скорость сигнала. К этому добавляется доплер-эффект üoth/w, где
^отн — скорость источника относительно приемника в момент посылки сигна¬
ла. В случае, когда цотн = 0, w = —c, имеем, что воспринимаемая частота
ѵ=ѵо ( 14-gljc2), т. е. равна гравитационному смещению при неподвижном ис¬
точнике.
Пример 6. Источник неподвижен, а приемник свободно падает. Здесь
к гравитационному смещению и доплер-эффекту Vom/w (üOth относится здесь
к моменту посылки сигнала) добавляется еще дополнительный доплер-эффект
gllw2, так как скорость приемника за время полета сигнала изменяется на ве¬
личину (gl/w). Для случая, когда сигналы световые, дополнительный доплер-
эффект равен gl/c2 и этот фиолетовый дополнительный эффект компенсирует
красное гравитационное смещение. Таким образом, суммарный сдвиг равняет¬
ся Ѵотн/с. Суммарный сдвиг равняется нулю, если в момент посылки сигнала
Цотн = 0.
3.15.5. Гравитационное смещение в ОТО. Согласно ОТО соб¬
ственное (действительное) время, отсчитываемое движущимися
172
часами, пропорционально длине пройденной ими времени-по-
добной мировой линии, т. е.
’ = f + +
J у dx° dx° dx°
о
= 1,2, 3; n, m =U, 2, 3). (3.149)
В частном случае, когда часы покоятся в заданной системе от¬
счета, будем иметь
• (3.150)
Заметим, что интегралы (3.149) и (3.150) инвариантны и не за¬
висят от того, с помощью каких координат произведена пара¬
метризация пространственно-временного континуума.
Формулу (3.150) можно считать в настоящее время экспериментально до¬
казанной. Выше отмечалось, что экспериментальные исследования, связанные
с эффектом Мёссбауэра (температурное красное смещение), показали, что ре¬
лятивистское замедление времени зависит только от скорости и не зависит от
ускорения движущихся часов, если сравнивать их показания с показания¬
ми неподвижных (в инерциальной системе отсчета) часов, мимо которых они в
данный момент пролетают. '
Таким образом, изменение показаний часов может вычисляться по фор¬
муле из СТО, которую следует считать справедливой до ускорений, достигаю¬
щих величин до ІО14 g, а может быть, и вполне точной. Пересчет формулы СТО
к системе отсчета, в которой часы покоятся, приводит к формуле (3.150).
Эффект гравитационного смещения в поле тяготения подробно исследовал¬
ся В. Л. Гинзбургом [67] и другими авторами [7, 97].
Остановимся на этих работах.
Пример 7. Допустим, что движение источника 1 и приемника 2 сигна¬
лов заданы соответственно Хіг(0 и ^(0 G=0, 1, 2, 3). Если свет испускается
источником света 1 с периодом ô/i в координатном времени, тогда в собствен¬
ном (истинном) времени этот период может быть вычислен по формуле
<3151>
Указанные сигналы будут приниматься приемником 2 с периодом ôt2 в коорди¬
натном времени, а следовательно, с периодом 0т2 в собственном времени. Пе¬
риод 0т2 может быть вычислен по формуле
4 «■)»'■■ l3IS2)
Координатное время и t2 в местах расположения источника 1 и приемника 2
связано соотношением
/2 = /(<!>; (3153)
173
тогда для периодов 0/2 и Ô6 имеем
= (3.154)
at 1
Но периоды ôfi и 0/2 пропорциональны измеряемым на источнике 1 и приемни¬
ке 2 длинам волн Хі(Л) и Лг(/2), поэтому, учитывая (3.151) и (3.152), получим
X, (4) VgafS <dxa/dx») (dx^/dx°) 4 (4) df (ij)
7 e —~. (3.155)
M (/1) • y (dxa/dx<>) (dxfydx0) x{ (/1)
Для частот Vi и v2 имеет место обратное соотношение.
Пример 8. Допустим, что в примере 7 источник 1 и приемник 2 покоят¬
ся в постоянном гравитационном поле. В этом случае, как известно [97, с. 188],
é/f(fi)/dfi = 1 и, следовательно, из (3.155) вытекает формула гравитационно¬
го спектрального смещения.
va/v1=fô00(l)/^00(2)],/‘. (3.156)
В слабом гравитационном поле можно принять goo=l—2Ф/с2, откуда с той же
точностью следует '
ôv/vx = (ѵ2 — ѵх7ѵх = Ф/са. (3.157)
Это и есть приведенная выше формула Эйнштейна.
Пример 9. В случае поля Шварцшильда, описываемого метрикой
(3.119), т. е.
ds» = (1 - с»Л» — - drt- — г* (d&> + sin» Ѳ dq>«),
\ Г ) 1—2p/r
для неподвижного источника и приемника имеем
ôv/vi = p/r2—Н/П. (3.158)
Если ѵт — радиальная скорость источника света, а приемник неподвижен, то
[97, с. 188] 4
df (tl)/dtl= 1— ѵт/с+ ... (3.159)
и из формулы (3.155) следует
Ѵі 1 — ”Г/С u ' u
— = + -*-. - (3.160)
va y 1 _ vi/ci r\ rt
Полученная формула учитывает эффекты Доплера и гравитационного смеще¬
ния, причем в первом приближении (как отмечалось) оба эффекта просто
складываются.
174
3.16. Интегральный эффект
гравитационного смещения и сверхсветовые скорости.
Нарушение причинности и объекты 1-го и 2-го рода
в теории относительности
3.16.1. О существовании сверхсветовых скоростей в кинематике
теории относительности. Вопрос о существовании частиц, дви¬
жущихся со сверхсветовой скоростью (так называемых тахио¬
нов), рассматривался в очень многих работах (см., например,
[7, 153]). С другой точки зрения этот вопрос рассматривался в
[67], где шла речь об эффекте Вавилова — Черенкова и эф¬
фекте Доплера при движении источников со скоростью больше
скорости света в вакууме. В [67] речь идет, однако, не об от¬
дельных частицах, которые не могут двигаться со скоростью
а о некоторых совокупностях таких частиц, последователь¬
но являющихся источником излучения.
В настоящем разделе в продолжении и развитии п. 2.14 будет
показано, что в кинематике теории относительности для волно¬
вых процессов определенного типа существуют сверхсветовые
скорости. Однако никакого противоречия с принципами теории
относительности здесь нет, так как упомянутые волновые про¬
цессы не связаны с переносом энергий, импульса или информа¬
ции от одной точки пространственно-временного континуума к
другой. В этом случае имеем дело согласно классификации гла¬
вы 1 с объектом второго рода.
3.16.2. О возможности существования сверхсветовых скорос¬
тей в кинематике СТО. В п. 2.14 уже был приведен пример су¬
ществования сверхсветовых скоростей в кинематике СТО. Как
отмечалось, в рассматриваемом в п. 2.14 примере нет никакого
противоречия с теорией относительности, так как при этом от
лампочки к лампочке нет передачи ни энергии, ни импульса, а
следовательно, нет и передачи информации, т. е. имеем дело с
объектом второго рода по данной в главе 1 классификации.
Здесь в развитие результатов п. 2.14 рассмотрим более слож¬
ные примеры., имеющие принципиальный характер для понима¬
ния основ теории относительности и построения алгоритмов уп¬
равления релятивистскими системами.
Заметим, что из релятивистской инвариантности тех или
иных уравнений отнюдь не следует, что любая заданная поверх¬
ность
<р(х‘, х2, х’, 0=0 (3.161)
должна распространяться в 3-мерном пространстве со ско¬
ростью, равной скорости света с. Приведем пример, имеющий
принципиальное значение.
175
Пример 1. Определим скорость распространения поверхности
Sfx1, х2, X3, /)= const, (3.162)
где S удовлетворяет релятивистскому уравнению (2.214) Гамильтона—Якоби
(3.163)
Применяя формулу (2.207), получим
Из (3.163) и (3.164) следует
(3.164)
(3.165)
причем, как легко видеть из (3.163), всегда имеет место неравенство
(dSldt)2>m2c\ (3.166)
Таким образом, поверхность S=const, несмотря на то, что описывается строго
релятивистским уравнением Гамильтона — Якоби (3.163), распространяется со
сверхсветовой скоростью.
Легко видеть, что в примере 1 никакого противоречия с тео¬
рией относительности, конечно, нет. В самом деле, функция дей¬
ствия S является, как известно (см. п. 2.21), потенциалом для
энергии-импульса и с перемещением поверхности S=const не
связано перемещение каких-либо частиц, которые всегда дви¬
жутся со скоростью, меньшей скорости света (см. с. 28).
В самом деле, pi=dSldxi относится к различным частицам,
проходящим в каждый данный момент времени через точку с
координатами хі=хі(0 (і=1, 2, 3); другими словами, здесь
имеем дело с движением континуума экземпляров в эйлеровом
представлении. Таким образом, передача энергии и импульса
всегда происходит со скоростью, меньшей скорости света или
равной ей (последнее выполняется для фотонов при /и=0).
Следовательно, функция действия S также является объектом
второго рода.
Рассмотрим теперь еще один имеющий принципиальное зна¬
чение случай.
3.16.2. Интегральный эффект гравитационного смещения и
сверхсветовые скорости. Введем инерциальную систему отсчета
К, в которой покоятся системы часов . ..Л_ь Ло, Aif ..., снаб¬
женные ракетными двигателями, как это показано на рис. 3.3.
Примем также, что часы ...Л-t, Ло, Ait ... синхронизованы с
часами системы К.
Предположим, что на часах ..., Л_ь Ло, Ль ... в момент t=
= 0 (по часам системы отсчета К) одновременно включаются
ракетные двигатели. Допустим, что существует еще одна инер-
циональная система отсчета К(х, у), которая движется относи¬
176
тельно системы К с постоянной скоростью ѵ в положительном
направлении оси х системы К. Как будет выглядеть процесс
включения двигателей часов Л_ь Ло, Alf ... с точки зрения
наблюдателей в системе К?
Здесь имеет место полная аналогия с рассмотренным в
п. 2.14 случаем вспышек лампочек, одновременных по часам си¬
стемы SB. Приведем, однако, здесь подробно необходимые фор¬
мулы [7].
Воспользуемся преобразованием Лоренца. По часам систе¬
мы Æ часы ..., Л-і, Ло, Ль ... будут включаться в моменты вре¬
мени
(— ѵ/с2) /0 .
іа„ = 0; Ьаі —
(+ ѵ/с2) /о.
Рис. 3.3. Интегральный эффект
гравитационного смещения
В приведенных формулах /0 — расстояние между часами, изме¬
ренное в системе К.
Как и следовало ожидать,
процесс включения ракетных дви¬
гателей, одновременный по часам
системы К (предполагается, что
каждый двигатель включается в
тот момент, когда часы Ак пока¬
зывают время / = 0), оказывается
неодновременным с точки зрения
системы Æ, а именно: часы Л,
включаются раньше, чем часы Ло,
часы Ло включаются раньше, чем
часы Л—1, и т. д. Этот процесс с
точкиі зрения наблюдателей систе¬
мы К будет представляться в виде волны, распространяющейся
в отрицательном направлении оси х. Найдем скорость распрост¬
ранения этой волны. Ракетный двигатель часов Ah включается
(ло часам системы К) в момент
(—V/C2)klQ
Ak
(3.167)
а ракетный двигатель часов Л*-, включился (по часам системы
К) в момент
г = (-ѵ/с2) (* -1) /0 . (3.168}
/1-Р2
Разность между моментами включения часов Ak и Ак-, (по ча¬
сам системы К) будет равняться , .
(3.169)
Расстояние между часами Ак и ЛЛ_1, измеренное в системе К до
177
включения двигателей, равняется /oÿl—р2. Поэтому, учитывая
формулу (3.169), получаем
—- = — *-( 1 _£!_) = ._ + и. (3.170)
(- и/с») /0/К1 - Р2 ѵ \ с* / ѵ
Из (3.170) видно, что волна включения двигателей может рас¬
пространяться со сверхсветовой скоростью в отрицательном на¬
правлении оси X (скорость ее может меняться от 0 до оо).
Итак, получили сверхсветовую скорость распространения
волны включения двигателей непосредственно из преобразова¬
ния Лоренца. Нетрудно видеть, что, как и ранее в п. 2.14 и 3.16.1,
никакого противоречия «с теорией относительности здесь нет.
В самом деле, двигатель любых часов Ah включается независи¬
мо от включения других двигателей в тот момент, когда стрелка
часов Ah показывает время /=0 (для этого нетрудно придумать
простое техническое устройство, связанное с часами Ah). '
Таким образом, включение двигателей не связано с переда¬
чей энергии и импульса, а следовательно, и информации от од¬
них часов к другим (как отмечалось, двигатели включаются не¬
зависимо друг от друга). Поэтому сверхсветовая скорость рас¬
пространения волны включения двигателей в системе К ни в
коем случае не противоречит принципам теории относительно¬
сти. Здесь имеем дело как бы с «рекламной» скоростью (см.
п. 2.14), когда электрические лампочки включаются последова¬
тельно (и независимо) друг от друга. Таким образом, в данном
случае также имеем дело с объектом второго рода.
Предположим теперь, что все двигатели будут работать в те¬
чение одного и того же времени t (по часам системы /С), пока
их скорость не станет равной +ѵ (т. е. скорости движения сис¬
темы К относительно системы К). Итак, в момент выключения
всех двигателей (по часам системы К) все они окажутся покоя¬
щимися в системе К по часам системы К.
Так как все часы и все связанные с ними двигатели предпо¬
лагаются совершенно одинаковыми, то, очевидно, все часы бу¬
дут двигаться относительно системы К совершенно одинаково.
Из этого обстоятельства можно сделать два вывода: а) расстоя¬
ние между часами Zo (с точки зрения системы /<) не изменится
за время движения, поэтому расстояние между этими часами,
измеренное в системе Æ, после того как они в ней успокоятся,
должно увеличиться и равняться /0/уі— [J2; *б) все часы Ah в мо¬
мент выключения двигателей будут одновременно (по часам
системы /С) показывать одно и то же время т.
Из приведенных выводов можно, в свою очередь, вывести
важные следствия. Если все часы Ah в тот момент, когда они
успокоились в системе К (по часам системы К)^показывают од¬
но и то же время, то это значит, что в системе К они не синхро-
низованьр Для того чтобы эти часы были синхронизованы в
системе Æ, они должны иметь (одновременно с точки зрения
178
системы Æ) следующие показания:
. t — (v/c2) (Xp 4- U _ t — (v/c2) X0.
” ’ 1 ’ '4° ’
j _ t-(v/c2) (x0 — l0)
л-‘
(3.171)
Здесь x0 — координата часов Ao в системе К. в тот момент, когда
их скорость достигла +ѵи они успокоились.
Итак, часы Л, «ушли» по отношению к часам Ло вперед (по
часам системы К) на величину
^-/0/КГ^р, ■ (3.172)
а часы Ло, в свою очередь, «ушли» вперед по отношению к часам
Л_, на
са
(3.173)
и т. д. .
Результаты, записанные в формулах (3.172), (3.173), отно¬
сятся к тому времени в системе К, когда часы ..., Ль Ло, Л_1( ...
уже успокоились в этой системе.
Приведенные формулы (3.172), (3.173) дают точное значение
интегрального эффекта гравитационного смещения показаний
часов. В самом деле, для наблюдателя, связанного с часами Ло,
полученный результат может быть просто объяснен тем, что за
время действия гравитационного поля часы Л, шли быстрее, так
как находились в области более высокого гравитационного по¬
тенциала, а часы А-t шли медленнее, так как находились в об¬
ласти более низкого гравитационного потенциала.
Итак, интегральный подход к оценке влияния ускорения на
физические процессы дал возможность получить точное интег¬
ральное значение гравитационного смещения показаний часов
для рассматриваемого случая.
В приведенном анализе не вводилось каких-либо специальных дополни¬
тельных гипотез. В конечном счете полученный результат является прямым
следствием преобразования Лоренца. Конечно, приведенные формулы дают ин¬
тегральный результат влияния гравитационного смещения на показания часов
за время действия гравитационного поля. Интересно отметить, что этот интег¬
ральный результат не зависит от истории процесса, а зависит только от той
скорости ѵ = const, с которой движется система К по отношению к системе К.
Указанный результат относится только к интегральному эффекту гравита¬
ционного смещения показаний часов, т. е. к разности показаний часов Да и
Да-і в системе отсчета К в соответствии с установленной синхронизацией часов
в этой системе. Что же касается абсолютного значения показаний часов Да в.
момент, когда они останавливаются в системе К, то оно, разумеется, зависит
от истории процесса.
179
Рассмотрим теперь процесс выключения двигателей с точки
.зрения системы отсчета_Л\ Во-первых, следует отметить, что с
точки зрения системы К часы .... At, Ао, A-it ... останавлива¬
ются в ней неодновременно (в то время как^ точки зрения сис¬
темы К они останавливаются в системе К одновременно), а
именно часы .... 7U, Ло, Л_1( ... будут останавливаться в систе¬
ме К с точки зрения этой системы к моменту времени
.... fA = *-^1^ (Xo + V ) 'tA = t - fr/*2) Іо
’ ’ 1 /П7?5 ’ ° /ï77Ta ’
_ <—(ѵ/Са) (Х0-/р)
л-‘ /Г77^ ’ • • •
Таким образом, с точки зрения системы К выключение двигате¬
лей, связанных с часами, будет носить характер волнового про¬
цесса, распространяющегося со скоростью (см. формулы
(3.170))
- -т(3.174)
С2 1 __ 02 V
Эта волна будет распространяться в отрицательном направле¬
нии оси X со сверхсветовой скоростью. Заметим, что скорость
распространения волны выключения двигателей с точки зрения
системы отсчета К отличается от соответствующей величины в
системе К (в системе К они выключаются одновременно). Это
различие объясняется тем обстоятельством, что в первом случае
наблюдатели системы К измеряли расстояние между часами
Ahi покоящимися в системе /С, а во втором случае они измеряют
расстояние между этими же часами, но уже покоящимися в сис¬
теме К. Разумеется, в этом случае, так же как и в рассмотрен¬
ном случае волны включения двигателей, никакого противорёчия
с теорией относительности нет, несмотря на наличие сверхсвето¬
вой скорости распространения этой волны. Здесь, так же как и
в предыдущем случае, распространение волны не связано с пере¬
дачей энергии и импульса, а следовательно, и информации. Та¬
ким образом, получаем объект второго рода.
Сделаем еще одно замечание, имеющее принципиальное значение. По су¬
ществу, в рассматриваемом примере имели дело с тремя системами отсчета:
I) инерциальной системой К; 2) инерциальной системой К и 3) неинерциаль¬
ной системой, связанной с часами Ло-
Рассматриваемый процесс был подробно проанализирован с точки зрения
обеих инерциальных систем К и Л’. Однако с точки зрения неинерциальной си¬
стемы отсчета, связанной с часами Ло, можно судить об интегральном эффекте
гравитационного смещения показаний часов, вызванного действующим в этой
системе гравитационным полем. Никаких метрических соотношений (т. е. воп¬
росов измерения пространственных расстояний, промежутков времени, синхро¬
низации и т. д. ) в этой неинерциальной системе не устанавливалось. Наблюда¬
тель, связанный с часами Ло, может знать, что все двигатели, связанные с ча¬
180
сами ..., Д_ь До, Ai, ..., должны быть включены одновременно с точки зре¬
ния системы отсчета К. Однако после включения двигателей наблюдатель, свя¬
занный с часами До, оказывается в совершенно другой и притом неинерциаль¬
ной системе отсчета. Поэтому для него события, которые считались в систе¬
ме К одновременными, больше не могут рассматриваться как одновременные
(заметим, что хотя неинерциальная система отсчета, связанная с часами До,
существует конечное время, наблюдатель, связанный с часами До, может за
время существования этой системы судить о событиях, сколь угодно удален¬
ных во времени как в прошлое, так и будущее).
Наконец, когда часы До останавливаются в системе К, наблюдатель, свя¬
занный с этими часами, опять оказывается в новой пространственно-временной
ориентации. Теперь он должен судить о событиях, происшедших раньше или
позже, да и вообще обо всех метрических соотношениях уже с точки зрения
системы отсчета К. В частности, например, если для наблюдателей, находящих¬
ся в системе К время между включением и выключением всех двигателей ко¬
нечно, то для наблюдателя, связанного с часами До, после его «перелета» в
систему этот процесс, как видели, не будет конечным во времени: он примет
характер волны, распространяющейся со сверхсветовой скоростью, начавшейся
в бесконечно далеком прошлом и заканчивающейся в бесконечно далеком бу¬
дущем. .
Более подробно, в тот момент, когда часы До останавливаются в систе¬
ме К, все часы ..., Alt А2, Дз, • • • Уже будут покоиться в этой системе от¬
счета, причем в системе К часы Аі остановились раньше часов До на проме¬
жуток времени и2/о/с}'1—Р2, а часы Д2 остановились раньше часов До на тот
же промежуток времени и т. д. Что же касается часов Д—і, Д-2, Д-з, то в тот
момент, когда часы До остановились в системе К, эти часы еще будут двигать¬
ся, и следовательно, ракетные двигатели на них еще не будут выключены, а
стрелки этих часов еще не будут показывать время т. Так проявляется отно¬
сительность всех процессов, происходящих в природе. Все дело в системах от¬
счета, с точки зрения которых описываются происходящие в природе процессы.
В рассмотренных примерах не анализировались метрические
соотношения, существующие в неинерциальной системе отсчета,
связанной с часами Л», а ограничились только интегральной
оценкой гравитационного смещения. Вместе с тем детальный
анализ метрических соотношений в неинерциальных системах
имеет исключительно важное значение. В последние годы в этом
направлении появился ряд интересных работ.
Отметим, что в приведенном рассмотрении проявляется свое¬
образная относительность конечного и бесконечного. В самом
деле, в то время как в системе К между моментом включения
всех двигателей и выключения прошло конечное время, в сис¬
теме К этот процесс растягивается на время от —оо до оо.
Из изложенного следует, что наличие сверхсветовых скоро¬
стей в объектах второго рода СТО и ОТО не приводит к нару¬
шению закона причинности и находится в полном согласии с
постулатами теории относительности. Наличие подобных объек¬
тов уже в рамках классической релятивистской теории имеет
181
большое значение при построении модели и алгоритмов управ¬
ления релятивистской системой, так как управление связано с
передачей^информации. Таким образом, модель релятивистской
системы и алгоритм управления должны описываться в терми¬
нах объекта первого рода. Аналогичный вывод имеет место и
для квантовых релятивистских систем (см. гл. 4).
3.17. Космологические модели
В 1922 г‘ советский ученый А. А. Фридман показал, что гравита¬
ционные уравнения А. Эйнштейна имеют, помимо статических,
и -нестационарные решения, приводящие к выводу о возможно¬
сти расширения пространственно-замкнутой Вселенной (см.
подробнее [88, 97, 133, 136, 139—146, 155—169]). А. А. Фрид¬
ман искал решение ypàBHennfi Эйнштейна для однородной и изо¬
тронной замкнутой Вселенной в виде [156]
ds2 = dt2—R2(t) [dx2 + sin2%(d0 + r2sin20d(p2) ],
где величина радиуса Вселенной a(t) должна быть найдена из
соответствующих уравнений гравитационного поля.
В [155] было показано, что при выполнении некоторых усло¬
вий величина a(f) неограниченно возрастает. Так возникла мо¬
дель расширяющейся Вселенной.
Нестационарное решение гравитационных уравнений Эйнштейна получило
убедительное подтверждение в наблюдениях. В начале 20-х годов И. Слайфер
установил, что в спектрах всех галактик наблюдается красное смещение. Осно¬
вываясь на этом результате, Р. Хаббл в 1929 г. нашел, в свою очередь, что с
увеличением расстояния красное смещение увеличивается. Наблюдения
И. Слайфера и Р. Хаббла были продолжены рядом исследователей (Мильтон
и др.). При этом был использован, в частности, 508-сантиметровый рефлектор
Паломарской обсерватории. В результате новых наблюдений расстояния от
Земли до галактик пришлось сильно увеличить по сравнению с данными Хаб¬
бла, однако в целом закон Хаббла подтвердился. Таким образом, галактики с
огромной скоростью удаляются друг от друга. Были найдены космические
объекты (например, группа галактик в созвездии Гидры), удаляющиеся от нас
с гигантской скоростью — красное смещение этих галактик указывало на одну
пятую скорости света. Сравнительно недавно для ряда квазаров (ЗСУ и др.)
И. Шмидт нашел красное смещение, соответствующее трем пятым скоростям
света!
Для космологии принципиально важное значение наряду с открытиями
Р. Хаббла, имеет обнаружение А. Пензиасом и Р. Вильсоном реликтового из¬
лучения (теплового фонового космического излучения). Открытие теплового
фоновога излучения (за которое Арно Пензиас и Роберт Вильсон удостоены в
1978 г. Нобелевской премии) говорит в пользу «горячей» модели Вселенной
[158]. История этого открытия достаточно подробно рассмотрена в [143].
Наблюдения, таким образом, находятся в согласии с нестационарным ре¬
шением уравнений Эйнштейна. Следует заметить также, что такие космологиче¬
ские явления, как гравитационный коллапс, выделение грандиозных количеств
182
энергий и другие могут быть адекватно поняты на основе ОТО [88, 133, 156—
169 и др.].
Релятивистская астрофизика имеет громадное познаватель¬
ное значение. В связи с интенсивным освоением космического
пространства исследования космологических моделей приобре¬
тают громадное познавательное значение.
Более подробно затрагиваемые вопросы рассмотрены с пози¬
ции теории динамических систем в [118, 146].
В СТО законы сохранения энергии и импульса вещества и
электромагнитного поля записываются в виде четырех уравне¬
ний
дТ^/дх* = 0 (і = 0, 1,2, 3). ' (3.175;
В гравитационном поле эти уравнения принимают вид
VkTÏ-0. (3.176)
Однако, как известно [88, 133, 139], в таком виде уравнения
(3.176) не выражают собой закон 'сохранения каких-либо вели¬
чин в ОТО. Было сделано предположение, что в (3.176) не учи¬
тывается энергия-импульс самого гравитационного поля.
Многими авторами были сделаны попытки приписать грави¬
тационному полю такие значения энергии-импульса, которые
обеспечили 'бы сохранение полной энергии и полного импульса
вещества и гравитационного поля вместе взятых. Однако эти
попытки пока не привели к удовлетворительным результатам.
Эта проблема продолжает обсуждаться в специальной литера¬
туре до настоящего времени. Здесь можно указать на появив¬
шиеся в последнее время интересные работы [139, 171, 172
и др.].
3.18. О некотором возможном обобщении
уравнений гравитационного поля Эйнштейна
3.18.1. Как известно, в основу изложения теории гравитацион¬
ного поля Эйнштейна принимается принцип эквивалентности и
вытекающие из него равенства инертной и гравитационной масс
частицы. Далее показывается необходимость введения искрив¬
ленного (риманового) пространства и еще ряда допущений,
сформулированных в п. 3.6 и 3.8, после чего уравнения гравита¬
ционного поля выводятся почти однозначно. „ u
Вместе с тем, как показано в п. 3.13, из уравнений Эйнштей¬
на в нулевом приближении'может быть получен закон гравита¬
ции Ньютона, а также многие другие следствия, подтверждаю¬
щие ОТО. Эти следствия изложены в пп. 3.13—3.17. Однако
уравнения гравитационного поля Эйнштейна могут быть полу¬
чены путем довольно естественного обобщения уравнений тео¬
рии гравитационного поля Ньютона.
183
В осноЕе теории гравитационного поля Ньютона лежит сле¬
дующее уравнение для гравитационного потенциала (см. п. 3.13,
формула (3.129)):
д2ф/дх12 + д2ф/дх22 + д2ф/дх32 = хр, (3.177)
или
Ѵ2ф = хр, (3.178)
где р — плотность массы вещества; х — гравитационная посто¬
янная; гравитационный потенциал Ньютона. Однако в СТО
(и, следовательно, в ОТО) вещество описывается не только его
плотностью р, но симметричным тензором второй валентности
Tikf имеющим ГО компонент, причем Г00 = хр.
Следовательно, для описания гравитационного поля необхо¬
димо вместо скаляра <р (ньютонова потенциала) ввести симмет¬
ричный тензор второй валентности для потенциалов гравитаци¬
онного поля Далее, очевидно, в общем случае, когда рас¬
сматривается движение материальных частиц, необходимо
вместо оператора Лапласа V2 ввести оператор Даламбера □
(который релятивистски инвариантен). Таким образом, вместо
одного уравнения (3.178) в качестве первого обобщения теории
гравитации Ньютона приходим к системе 10 уравнений
d\ik дЧм 1 <Nik
Ox- + W ’
ИЛИ
□ фа=хГл. (3.180)
Полученные уравнения (3.179) по существу совпадают с
уравнениями (3.115) слабого гравитационного поля Эйнштейна,
т. е. с уравнениями для слабых гравитационных волн.
Однако поскольку в уравнениях (3.180) задан оператор Да¬
ламбера, написанный для плоского пространства, то события,
описываемые этими уравнениями, также должны разыгрывать¬
ся в плоском псевдоевклидовом пространстве СТО. Если в этом
пространстве ввести криволинейные координаты с метрическим
тензором gih, то уравнения (3.180) могут быть записаны в виде
gi.m д ^‘к = — ^Tik- (3.181)
дхпдхт
Здесь следует подчеркнуть, что при этом остаемся по-прежнему в плоском
псевдоевклидовом пространстве СТО, т. е. все компоненты тензора Римана —
Кристоффеля Rihnm, образованные с помощью компонент метрического тензо¬
ра gik криволинейной системы координат, равны нулю (см. Приложение 1).
Можно показать вместе с тем, что единственное линейное обобщение
уравнений второго порядка (3.181) может быть записано в виде
Г _ Г а2ф|ОТ _ц ... â2(p>* âa<Pnw 1 =ѵт (3 182)
gnm дхп dxk + дхі d}dn дхпдхт '
184
Здесь левая часть (3.182) является симметричным по индексам і, k тензором
второй валентности, что и требуется (это условие необходимо, так как
также симметричен по индексам /, k). Эти уравнения можно рассматривать
как второй этап обобщения теории гравитации Ньютона. Уравнения (3.182),
однако, не могут рассматриваться как уравнения гравитационного поля, так
как они линейны. В самом деле, как отмечалось, благодаря гравитационному
дефекту массы уравнения гравитационного поля должны быть нелинейными.
'іт I ^Snk ^S[k
]
Основное значение приобретает тензор Римана — Кристоф-
феля, имеющий вид (см. Приложение 1)
р.ь _ 1 Г д^і<п
2 ôx" дхк
дх!дхт дхпді/п дхкдх1 .
+ ёцѵ [Гйд7т — ГдапГ#].
(3.183)
Обратим внимание, что первое слагаемое, стоящее в квадрат¬
ных скобках (3.183) в тензоре Римана — Кристоффеля, является
линейной комбинацией от вторых производных метрического
тензора g(h (ср. с (3.182)). Введем теперь уже известный тен¬
зор Эйнштейна вида Rih=gnmRiknm. Если следовать указанной
идеи А. Эйнштейна о геометрическом характере гравитационно¬
го поля, отождествив тензор поля <ра с метрическим тензором
gih, то уравнения поля можно было бы попытаться записать в
виде '
R<k=KT(K. (3.184)
Уравнения (3.184) нелинейны (что, как отмечалось, является
обязательным требованием), а уравнения (3.182) являются ли¬
нейным приближением по отношению к (3.184). Однако уравне¬
ния (3.184) не могут считаться правильными уравнениями гра¬
витационного поля. В самом деле, в псевдоевклидовом простран¬
стве СТО должно выполняться требование (3.175), т. е.
—- = 0, (3.185)
дх1
выражающие закон сохранения энергии-импульса. В криволи¬
нейных координатах это выражение, как.отмечалось, принимает
вид (3.176), т. е.
Ѵ.Т^О, (3.186)
где Ѵ<— символ ковариантного дифференцирования. Естествен¬
но, что требование (3.186) должно выполняться и в римановом
пространстве ОТО.
Нетрудно убедиться, однако, что левая часть уравнения
(3.184) требованию (3.186) не удовлетворяет. Поэтому уравне¬
ния (3.184) не могут рассматриваться как правильные уравне¬
ния гравитационного поля. Правильные уравнения гравита¬
ционного поля, удовлетворяющие всем перечисленным требова¬
185
ниям (в том числе и требованию (3.186)) и содержащие стар¬
шие (вторые) производные только линейно, могут иметь только
следующий вид:
Ri*— -^gikR— nTik, (3.187)
т. e. уравнения Эйнштейна (3.94).
Рассмотрение уравнений гравитационного поля началось с
обсуждения теории гравитационного поля Ньютона и затем пу¬
тем последовательных обобщений, вытекающих из физической
сущности рассматриваемой проблемы, пришли к уравнениям
Эйнштейна, для которых, таким образом, теория гравитации
Ньютона является первым (или нулевым) приближением. Воз¬
можно, однако, дальнейшее обобщение уравнений Эйнштейна.
3.18.2. Рассмотрим 4-мерное риманово пространство с мет¬
рическим тензором gîà(x°, х1, X2, х3). Метрику рассматриваемого
пространства будем считать неопределенной, т. e. ds2 =
=gikdxidxh'^0,i причем, как обычно, элемент дуги мировой ли¬
нии ds будем считать времени-подобной, если ds2>0, изотроп¬
ным, если ds2=0, и пространственно-подобным, если ds2<.0.
С помощью тензора Эйнштейна Rik могут быть образованы диф¬
ференциальные инварианты второго порядка рассматриваемого
риманового'пространства следующего вида: -
Rt = gikRik, =* RikRik\ R3 = R^R^R^-, • • •
Rn = R^J®, • • • Ra'an- (3.188)
Очевидно, что таких инвариантов существует неограниченное
множество. Нетрудно, однако, показать (подробно это было по¬
казано Н. А. Розенсон [173]), что в рассматриваемом прост¬
ранстве существует только четыре алгебраически независимых
базисных инварианта второго порядка следующего вида (см.
Приложение 1):
7?! == gikR*; R, RikRik; R3 - R^J^R*1^
Ri = Raia,Ra‘,R^Ra,at. (3-189)
Другими словами, любой инвариант n-го порядка Rn может
быть представлен в следующем виде:
₽n- S A^RÏtâRlRÎ. (3.190)
a+2fJ+3V+4Ô=n
Здесь АаЭТ0 — некоторые скалярные числовые коэффициенты. Эти
коэффициенты могут быть найдены методом, подробно изложен¬
ным для 3-мерного прюстранства в [174].
В рассматриваемом римановом пространстве может быть об¬
разовано бесчисленное множество дифференциальных тензоров
186
второй валентности следующего вида:
<$=gikgafiR^ <tâ = RcJ& '
= RioJ^Rk'-, = Яа.С* • •. Я?'1- (3.191)
Совершенно аналогично тому, как это сделано для инвариантов,
может быть показано, что любой тензор со^ рассматриваемого
вида (3.191) может быть выражен в виде полинома с инвари¬
антными коэффициентами от трех базисных тензоров и оуз),
т. е.
<’=£,£„ + 3 • (3.192)
£=1,2,3
где (?,= (?<(/?„ R2, R3, Rt).
- Для доказательства этой теоремы достаточно отметить, что
любой тензор ©Й’ может быть получен с помощью взятия про¬
изводной от инварианта Rn+l по тензору 7?“п+1“‘, где i=alf k =
=an+l, и учета того обстоятельства, что инвариант Rn+l выра¬
жается через четыре базисных инварианта Rlt R2, R3, Rt по
(3.190).
Обобщая одну из основных идей А. Эйнштейна [43], можно
уравнения гравитационного поля записать в виде следующего
полинома (или даже бесконечного ряда):
иТік = Algik + A2Rik + A3RiaR% + A4RiaR$R& + ..., (3.193)
где коэффициенты As являются' функциями четырех базисных
инвариантов, т. е.
Л3=Д3(/?і, /?2, /?з, /?4).
Допустим, что ряд (3.193) равномерно и абсолютно сходит¬
ся. В таком случае ряд (3.193) может быть свернут в следую¬
щий полином:
хЛл Ylgik + WzRik + 43Ri«Rb + (3.194)
Здесь функции Ѵ,, — функции инвариантов Rit R2, R3, Rt, т. e.
4fk=4r(l(^1, R2, R3, Rt). Это утверждение (3.194) просто следует
из доказанной теоремы а том, что любой тензор вида Riai .
... Rkan может быть представлен в виде полинома с инвариант¬
ными коэффициентами через четыре базисных тензора второй
валентности вида (3.190). ° _
В соответствии с общей теорией относительности Эйнштейна
[43] должны тождественно выполняться соотношения (3.186).
Это требование (3.186) должно выполняться и в рассматривае¬
мом случае, т. е. функции не могут быть произвольными, а
должны быть выбраны так, чтобы тождественно выполнялись
187
следующию четыре уравнения:
+ V3Ri«Rk + VtRi'iRftâ) = о (3.195)
(i= 1, 2, 3,4).
Итак, в предлагаемой модели уравнения гравитационного поля
описываются уравнениями (3.194) и (3.195).
Уравнения Эйнштейна получаются из этой системы (3.194),
если принять
Т1--~Ri, У2 = 1; ¥3 = Т4=0, т. е. (3.196)
мТik~ — ëikRi “h Rtk-
Легко видеть, что если четыре функции Чг)1=
==4rfc(Z?1, R2, R3, Rt) известны, то можно записать в явном виде
систему уравнений (3.194). Вместе с тем, вычисляя с помощью
(3.188) четыре инварианта
7\ = gikTik; Т2 = TikTik; Т3 =. Таіа,7'£,Та‘“’;
Т4 = 7'ala27'a'7'a’7'°tl<X4, (3.197)
придем в конечном счете к соотношению
Tk =Ф(¥1, Т2, Т3, ¥4, Rp R2, R3, R4) (k = 1, 2, 3, 4). (3.198)
Из четырех уравнений (3.198) можно получить
= Тл(Л. Т2, Т3, Т4, Rx, R2, R3, R4). (3.199)
Итак, функции Т* как функции от инвариантов Rlt R2, R3, Rt
вполне станут известны, если будут заданы четыре функции
Tk = Tk (Ri, R2, R3, R4) или Rs = Rs ( Ti, T2, T3, T^)
(k, s = 1, 2, 3, 4). (3.200)
Следовательно, 4 алгебраические функции (3.200) однозначно
определяют систему дифференциальных уравнений (3.194).
В частности, в случае уравнений Эйнштейна (3.196) вторая
группа в уравнении (3.200) Rs имеет следующий вид:
Ri—Ti, R2=T2, R3 = -7’3 + |t2T1--1-T?;
(3.201)
R4 = Л + 2Т3Л -1 Т2Т\
В системе уравнений (3.201) базисные дифференциальные ин¬
варианты пространственно-временного континуума Rt, R2, R3, Rt
связываются простыми алгебраическими соотношениями (3.201)
с базисными инвариантами тензора энергии-импульса материи.
Таким образом, в рамках изложенного выше общего подхода
188
система четырех алгебраических уравнений (3.201) эквивалент¬
на^ системе 10 уравнений гравитационного поля (3.196) Эйнш¬
тейна. В линейном приближении для метрических потенциалов
поля система уравнений (3.194), (3.195) и уравнения (3.196)
Эйнштейна в линейном приближении совпадают друг с другом.
Нетрудно также убедиться, что распространение фронта гра¬
витационных волн для общих уравнений (3.194) 'будет происхо¬
дить со скоростью света с. Это просто следует из того, что если
ограничиться старшими производными, то уравнения (3.194)
примут вид
Л(П^)п-0. . (3.202)»
п
Вообще система (3.194) — (3.195) отличается от уравнений Эйнштейна
(3.196) присоединением новых нелинейных членов. Поэтому есть основания
предполагать, что в обычных задачах теории гравитации решения уравнений
(3.194) — (3.195) и уравнений (3.196) Эйнштейна будут очень близки друг к
другу. Однако возможно, что при рассмотрении космологических проблем
уравнения (3.194), (3.195) приведут к существенно отличительным резуль¬
татам, полученным из уравнений Эйнштейна типа (3.196).
Так, в работах [166, 167] было показано, что в метрике произвольной мо¬
дели Вселенной (в общем случае неоднородной и анизотропной) присутствуют
сингулярности, что свидетельствует о наличии сингулярностей в общем реше¬
нии уравнений Эйнштейна [168]. Для устранения наличия сингулярностей и
построения регулярных решений уравнений гравитационного поля предлагалось
выбирать нелинейный лагранжиан вида [175]
se (R) = 4R + BR* + CRikRik 4- DRMmRiklmERMmRMin, (3.203)-
где А, В, С, D, Е — произвольные постоянные; R — скалярная кривизна Рич¬
чи; Rih— тензор Риччи; Rikim — тензор Римана. В [156] показано, что квад¬
ратичная добавка в 3?(R) позволила устранить фридмановскую сингуляр¬
ность в момент максимального сжатия (при / = 0) в простейшем случае од¬
нородной и изотропной модели с плоским пространством, заполненным мате¬
рией [175]. При /->±оо полученное решение, регулярное в точке / = 0, при¬
водит к расходимостям [175].
В последние годы в теории поля также рассматриваются из соображений
общности всевозможные квадратичные комбинации по тензору калибровочного
поля Rum [176]. В частности, в [176] рассматривался вариант калибровочной
теории поля с лагранжианом вида
se = у +^RikRik + W?a +•••). 0.204)-
где Хь Х2, Хз ... — постоянные связи, а уравнения поля (комбинация моделей
Эйнштейна и Вейля) имели вид [176, с. 198]
Rik - у giltR+1 Wg* + t^RiiRk + 2RiiklR11 - gikRilRil') = O;
Z Z \ Ai /
^oV4.M = °. (3-205)'
189
где Лі = т]2(2ХХз—24ЛЛ1 +1/Зх); Хо = ^і + 1/4Лг; î]2=R/6X. Первые два слагае¬
мых в (3.205) соответствуют уравнениям Эйнштейна, а остальные — модели
Вейля.
В [177] рассматривался более общий лагранжиан с учетом квантовых эф¬
фектов
5? = (-г)‘Л
/2
R + A + BW+ -P-\n\Rl2D\
л2
Г2__ С3
р
(3.206)
где h—постоянная Планка; А и В допускают определенный произвол. Роль
квантовых эффектов в теории гравитационного поля рассмотрена в [166, 168,
176—183].
Нетрудно заметить, что модели типа (3.203) —(3.206) и типа (3.194),
(3.195) принадлежат одному классу математических моделей и более под¬
робно рассмотрены в гл. 5.
Модели (3.194), (3.195) отличаются от (3.203) —(3.205) и им подобных
тем, что в основе (3.194), (3.195) лежит теорема о возможности представле¬
ния любого тензора вида Ria^ . R в виде полинома с инвариант¬
ными коэффициентами через четыре базисных тензора второй валентности вида
(3.190) и законе сохранения энергии-импульса, в то время как остальные мо¬
дели основаны на феноменологических лагранжианах, выбор которых носит
интуитивный характер подбора и основан в конечном счете на принципе
устранения недостатков (типа расходимостей) предыдущих моделей.
3.19. О представлении теории
гравитации Эйнштейна
в 10-мерном-псевдоевклидовом пространстве
3.19.1. О вложении 4-мерного риманова пространства в 10-мер¬
ное псевдоевклидово пространство. Пусть в 10-мерном псевдо-
'евклидовом пространстве задана ортогональная система коор¬
динат с метрической формой
ds2 = cadz“’ (a = 1, 2 10). (3.207)
Здесь коэффициенты ca имеют значения ±1. Если все коэффи¬
циенты положительны, то пространство будет евклидовым. Если
хотя бы один из коэффициентов са равен (—1), то будем иметь
дело с псевдоевклидовым пространством.
Рассмотрим теперь некоторое 4-мерное многообразие
ds2=gikdxidxh, (3.208)
тде gib—метрический тензор системы координат в этом много¬
образии; (х‘, X2, X3, X4) —криволинейные координаты.
Если вложение 4-мерного многообразия (3.208) в 10-мерное
многообразие возможно, то должна существовать система 10
уравнений
za=<p“(x‘, X2, X3, X4) (3.209)
190
такая, что система уравнений [184]
дфа дд)а
=«'* <3'™>
имеет вещественное решение. При очень общих предположени¬
ях, на которых подробно здесь не будем останавливаться, систе¬
ма (3.210) имеет вещественное решение [184—190].
Сделаем только несколько замечаний по поводу задачи
(3.207)—(3.210).
По изометрическим вложениям наиболеё ранняя публикация принадлежит
К. Шлефли (1873 г.), который показал, что. всякое риманово многообразие
размерности п допускает изометрическое вложение в евклидово плоское про¬
странство размерности т= 1/2л(л+1). Г. Жане (1926 г.), А. Картан (1927 г.)
и К. Бурстин (1931 г.) более строго показали, что во всяком аналитическом
римановом многообразии размерности п (с отмеченной точкой) существует ок¬
рестность (с отмеченной точкой), допускающая изометрическое вложение в
плоское евклидово пространство размерности т\ при этом пространство раз¬
мерности т нельзя заменить на (т— 1) [187, 189].
Пример 1 [184, задача 8, с. 64]. Пусть уравнения
a„ft = O (се, ₽ = 1 т; i, j = 1, ... , п)
“₽ дх1 дх>
допускают решения типа (3.209), т. е. га —/а(%і, ..., хп). В [184, с. 65] по¬
казано, что для так определенного пространства Ѵп размерности п не суще¬
ствует метрики, индуцированной метрикой пространства Ѵт размерности т,
В общем случае такие пространства размерности п существуют, если
^п(п+1)/2. Следовательно, если определена метрика для пространства раз¬
мерности т, то существует возможность определения метрики и для подпро¬
странства.
С. Эйзенхарт в [184, с. 226] отмечает по поводу задачи (3.207) — (3.210)
следующее: «Так, например, один из постулатов Эйнштейна, относящихся к
пространственно-временному континууму Ѵ4 общего принципа относительности,
состоит в том, что в каждой точке пространства основная форма может быть
приведена к виду — (dx1)2—(dx2)2— (dx3)24- (dx4)2. Следовательно, для всякого
плоского пространства, в которое может быть вложено такое Ѵ4, один из
коэффициентов с должен быть положительным и три-отрицательными.
Если форма (3.208) определенная положительная и мы сделаем в форму¬
ле (3.210) все с равными +1, то получим п(п+1 )/2 уравнений для определе¬
ния всех z. Если положить т = п(п+1)/2, то получится система уравнений, ко¬
торая согласно общей теории дифференциальных уравнений с частными произ¬
водными допускает вещественные решения. Таким образом, пространство Ѵп
с определенной положительной формой может быть, вообще говоря, вложено
в евклидово пространство п(п +1)/2 измерений. Аналогичные результаты по¬
лучатся и в случае, если форма (3.208) не является определенной положи¬
тельной,-следует только числа са выбрать в соответствии с указаниями, сде¬
ланными выше.
Таким образом, согласно общим результатам, риманово многообразие
размерности п=4 с метрической формой (3.208) можно вложить в плоское
191
псевдоевклидовое пространство размерности m = n(n+l)/2= (4-5)/2= 10. Бо¬
лее подробное доказательство приведенной общей теоремы можно найти в
[184, с. 60; 225, 190, с. 222, 282].
Таким образом, если указанные условия выполняются, то
4-мерное риманово многообразие может быть вложено в 10-мер¬
ное псевдоевклидово пространство. Это утверждение вытекает
также прямо из того, что метрический тензор gih риманового
многообразия имеет 10 компонент, т. е. ровно столько, сколько
введено функций сра в (3.209).
Таким образом, все уравнения теории гравитации Эйнштей¬
на, так же как и все решения этих уравнений, могут быть пред¬
ставлены в 10-мерном псевдоевклидовом пространстве. Однако
некоторые из решений уравнений Эйнштейна могут быть пред¬
ставлены в пространстве меньшего числа измерений.
Так, С. Эйзенхарт в [184, с. 227] по этому поводу замечает: «Мы только
что указали, что Ѵп, вообще говоря, может быть вложено в плоское простран¬
ство, число измерений которого равно п(п+1)/2. Однако может оказаться, что
это же пространство может быть вложено в плоское пространство меньшего
числа измерений. Если наименьшее число измерений плоского пространства, в
которое может быть вложено Ѵп, равно п+р, то мы будем говорить, что Ѵп
есть пространство класса р».
Остановимся на этом вопросе подробнее и рассмотрим соот¬
ветствующий пример.
3.19.2. Представление решения Шварцшильда в 6-мерном
плоском псевдоевклидовом пространстве [184, с. 227]. Решение
уравнений гравитационного поля для сферически симметричной
массы m (решение Шварцшильда) имеет вид (см. формулу
(3.119))
ds2 = (1- —}dt2 ! dr2 — r2(d& + sin2 Odcp2), (3.211)
\ r / 1 — 2m/ r
где r>2m=rg. Если принять [184]
Г1 и y/r — 2m cos^. г2 __ |/r-2m 2з __ j
г4 = r sin Ѳ cos <p; z5 — r sin Ѳ sin <p ; z® = r cos Ѳ,
где для функции f (г) выполняется соотношение
( = —1— + 2m) ,
\аг ) г -~2т \ г3 )
то формула (3.211) примет вид
ds2 - (dz1)2 + (dz2)2 - (dz3)2 — (dz4)2 — (dz5)2 — (dz®)«. (3.2.12)
Следовательно, поле Шварцшильда (3.211) может быть вло¬
жено в плоское 6-мерное псевдоевклидово пространство.
В [119, с. 91] по поводу проблемы имбединга (вложения риманова про¬
странства-времени в плоское пространство большей размерности) отмечается
192
следующее: «Произвольное риманово пространство локально можно рассмат¬
ривать как поверхность, вложенную в 10-мерное евклидово пространство. При
этом возникает шесть дополнительных измерений, которые можно интерпрети¬
ровать как внутренние степени свободы элементарных частиц... Если Ѵ4 обла¬
дает некоторой степенью симметрии, его класс вложимости (число дополнитель¬
ных размерностей) может быть меньше шести. Так, статическое и сферически-
симметричное поле Шварцшильда, создаваемое точечной гравитирующей мас¬
сой, вложимо в плоское пространство шести измерений. Его класс вложимости
равен двум. Совокупность 15 генераторов ортогональной группы Об содержит
одно преобразование в 2-мерной плоскости, коммутирующее с группой Лорен¬
ца. Это преобразование можно рассматривать как внутреннюю симметрию.
Относительно некоторых типов полей тяготения можно указать нижнюю
или верхнюю границу класса вложимости. Например, не существует риманова
(или псевдориманова) многообразия Ѵ4 с /?цѵ=0, вложимого в 5-мерное пло¬
ское пространство. Единственное Ѵ4 с = (уравнение Эйнштейна с кос¬
мологическим членом), вложимое в 5-мерное пространство, есть пространство
постоянной кривизны. Единственный вид решений уравнений Эйнштейна с не¬
когерентной материей (р=0), который вложим в 5-мерное пространство,—
фридмановскйе космологические модели. Если материя вращается, Ѵ4 не мо¬
жет быть вложено в 5-мерное пространство. Таким образом, свойства внутрен¬
них симметрий, возникающих при имбединге, определяются свойствами мате¬
рии в римановом пространстве-времени.
Число дополнительных размерностей резко увеличится, если все простран¬
ство-время, а не только окрестность некоторой точки рассматривать как по¬
верхность в некотором плоском пространстве большей размерности. Для такого
глобального вложения Ѵ4 с гиперболической сигнатурой нужно пространство,
имеющее, вообще говоря, более 230 измерений. Однако часто число измерений
для глобального вложения современных космологических моделей гораздо
меньше...
Таким образом, использование имбединга позволяет интерпретировать по¬
явление внутренних симметрий элементарных частиц как следствие искривле¬
ния пространства-времени на малых расстояниях. Эта связь должна проявлять¬
ся сильнее в районах с большой кривизной. На этом пути возможна зависи¬
мость между космологическими свойствами Вселенной и свойствами элемен¬
тарных частиц».
С позиции теории динамических систем подробно космологи¬
ческие модели Эйнштейна, де Ситтера, Фридмана, Керра, Каз¬
иера, Тауб-НУТ-модели, Белинского — Лифшица — Халатнико-
ва и др., квантовые эффекты в космологических моделях и кван¬
товые модели в искривленном пространстве-времени рассмотре¬
ны в [56, 88, 97, 107, 116, 119, 120, 123, 132, 133, 155—169, 175—
183, 191—214], связь с теорией солитонов в [10, 121, 123—125,
215—300] и другие модели.
3.19.3. Заключительные замечания. Если бы 10-мерное псевдоевклидово
пространство существовало реально, то можно было представить себе, что на¬
ходящаяся в нем материя распределена по отдельным 4-мерным римановым
многообразиям. Одним из таких многообразий является известная нам Вселен¬
ная. Таким образом, Вселенная в более общем смысле этого термина являлась
7 Б. Н. Петров и др.
193
бы неким множеством таких 4-мерных римановых многообразий. Такое мно¬
жество могло бы иметь мощность континуума.
В этой достаточно экстравагантной космологической гипотезе Вселенная
(в более общем смысле этого термина) представляется в виде некоторого
«сэндвича», одним из элементом которого является известное нам 4-мерное
многообразие. В 10-мерном плоском псевдоевклидовом многообразии законы
сохранения энергии-импульса выполнялись бы точно. В этом случае несохра-
нение энергии-импульса в отдельных элементах этого многообразия (в том
числе в изрестной нам Вселенной) можно было объяснить обменом энергией,
импульсом и материей между различными элементами этого многообразия.
Однако обсуждение этой гипотезы выходит существенно за рамки настоящей
книги.
3.2.0. Экспериментальная проверка ОТО
Согласно [67], экспериментальная проверка СТО носит закон¬
ченный характер, а последние эксперименты [7, 92, 301] (см.
также гл. 2) только подтверждают гипотезы и следствия СТО с
все более высокой точностью. .
В отличие от СТО экспериментальная проверка ОТО явля¬
ется в настоящее время одним из центральных направлений в
экспериментальной и теоретической физике [4, 43, 67, 69, 97,
127—133, 138, 140, 142—145, 156, 159—167, 302—309] и в по¬
следние годы интенсивно развивается (свидетельством тому
'являются также представленные результаты на одной из послед¬
них Советских гравитационных конференций, проходившей с
1—3 июля 1981 г. в г. Москве, МГУ [305]).
Экспериментальная проверка ОТО, согласно [67], развива¬
ется по двум направлениям: 1) проверка основ ОТО; 2) про¬
верка следствий ОТО.
Так, В. Л. Гинзбург в [67, с. 439] отмечает: «Экспериментальная проверка
ОТО проводится в двух, хотя и нерезко разграниченных направлениях. Пер¬
вое из них связано с основами теории, ее предпосылками. Второе направле¬
ние — проверка следствий ОТО... Отмеченная выше асимметрия, характери¬
зующая пути проверки физической теории, побуждает считать первое направ¬
ление, во всяком случае, не менее значительным, чем второе. Конкретно это
относится прежде всего к принципу эквивалентности, на котором базируется
ОТО».
Если первое из указанных направлений концентрирует ос¬
новные усилия на проверке принципа эквивалентности [7, 43,
56, 67, 97, 127—133, 136, 139, 162, 308—3191, возможной зависи¬
мости гравитационной постоянной G от временных (согласно
гипотезам Дирака [44]) или пространственных вариаций [67,
320—322] и др., то второе направление было сконцентрировано
на проверке указанных А. Эйнштейном трех следствий [309]:
а) гравитационное смещение частоты спектральных линий;
б) отклонение лучей света, проходящих вблизи Солнца; в) по¬
ворот перигелия Меркурия.
194
В [131] В. Н. Руденко отмечает следующее: «Два направления характер¬
ны для современных гравитационных экспериментов в неволновой зоне. Пер¬
вое, связанное с именами Эдингтона и Шиффа, предполагает измерение тра¬
диционных и новых релятивистских эффектов для вычисления и уточнения
коэффициентов постньютоновского разложения в метрике в первом, втором
и т. д. порядках по параметру слабого поля. Это экспериментальное определе¬
ние геометрии пространства с возрастающей точностью должно позволить
произвести отбор между конкурирующими вариантами метрических теорий
тяготения. Второе направление, иногда называемое системой Дики, состоит в
постановке опытов, априори не связанных с определенной теорией и проверяю¬
щих основные постулаты, на которых базируются наши представления о гра¬
витации. К ним относятся, например, проверка, принципа эквивалентности, по¬
пытки обнаружения временных вариаций гравитационной константы или ло¬
кальной анизотропии пространства и т. п.».
Результаты экспериментов по проверке указанных эффектов
можно найти в [7, 67, 97, 127—133, 136, 139, 142—145, 156, 159,
160, 164—167, 302, 304—309, 323, 324]; дальнейшее развитие
экспериментальной проверки эффектов ОТО на основе радиоло¬
кации небесных тел см. в [325], а дополнительные вопросы тео¬
ретического обоснования анализа радиолокационных наблюде¬
ний см. в [326].
В последние годы особое внимание уделяется вопросам де¬
тектирования и обнаружения гравитационных волн [96, 140,
128—133, 303, 305, 327—343] с привлечением методов квантовой
теории [130—132, 305, 344—360] для повышения чувствитель¬
ности гравитационных антенн.
В настоящем разделе из множества полученных (и подго¬
тавливаемых по официальным международным проектам в рам¬
ках программы «Интеркосмос») в последние годы эксперимен¬
тальных результатов по проверке ОТО отметим ввиду ограни¬
ченного объема книги только некоторые, имеющие большое зна¬
чение при построении теории управления КЛА с учетом
релятивистских эффектов.
Более подробное описание последних результатов экспериментальной про¬
верки ОТО читатель может найти в [7, 67, 69, 97, 131—133, 143, 144, 156, 160,
305—307, 322] и цитированной литературе. Здесь отметим только, что
Б. Н. Петров уделял этому вопросу особое внимание, предполагая провести в
рамках программы «Интеркосмос» широкий круг экспериментов по инерциаль¬
ной навигации: КЛА с учетом релятивистских эффектов, КЛА с солнечным
парусом при солнечном ветре, управление квантовыми динамическими систе¬
мами в сильном гравитационном поле на спутниках без сноса и др.
Результаты некоторых исследований в этих направлениях
работ кратко рассмотрены в данном разделе и более подробно
будут обсуждаться в самостоятельной публикации.
3.20.1. Экспериментальная проверка принципа эквивалент¬
ности (127—133, 302—324]. Проверка справедливости принципа
эквивалентности в ОТО занимает особое положение.
195
7*
А. Эйнштейн считал проверку принципа эквивалентности
более важной по сравнению с проверкой следствий ОТО в сла¬
бом поле’, а в [43] по поводу самого принципа эквивалентно¬
сти отметил: «По моему разумению, моя теория покоится исклю¬
чительно на этом принципе».
Исторически результаты опытов Н. Этвеша были опублико¬
ваны в 20-х годах, в которых равенство инертной та и тяжелой
гравитационной тт масс, та=тТ, было подтверждено с точ¬
ностью ІО-9. В 1964 г. в [127] была достигнута точность 10_“,
а в 1971г. в [129] для платины и алюминия — точность 10-12.
В [314] было показано, что учет вклада слабого взаимодейст¬
вия в т„, а не в тт, привел бы в опытах [129] к эффекту
~2-10-19 (см. формулы (2) и (4) в [314]). Согласно [67,
с. 440], опыты [129] указывают на соблюдение принципа экви¬
валентности и для слабых взаимодействий с точностью 0,5%.
В [317] показано, что с большой точностью (10_2в вместо
требуемой 10-19) поляриметрические наблюдения отражатель¬
ных туманностей позволили проверить оптическую изотропию
космического пространства и провести прецизионную проверку
принципа эквивалентности применительно к электромагнитным
волнам.
Особое значение в проверке принципа эквивалентности имел
так называемый эффект Нордтведта [67, 131]: если бы учет
гравитационного взаимодействия нарушал равенство та=т,
для Земли, то лунная орбита осциллировала определенным об¬
разом. Следовательно, эффект Нордтведта связан с вопросом
о вкладе гравитационной энергии в массу тела. Если имеется
тело радиуса а, массы т, плотность тела р, то отношение энер¬
гии гравитационного взаимодействия E^Gm2!a к энергии покоя
тс2 составляет (р~ 5)
д <-’т rS . 4Wpaa 10'27а2
сга а Зс2,
для тел лабораторных размеров. Таким образом, в лаборатор¬
ных условиях отношение А мало, но при переходе к космическим
объектам положение существенно меняется. Так, для Земли
Д~4,6-10-10 (а~6-106 * 8 * см); для Юпитера Д~10~8 и для Луны
Д~2-10-“.
В [128] было отмечено: «В частности, вклады сильного взаимодействия,
электромагнитного взаимодействия, слабого взаимодействия и гравитации в
энергию тела относятся приблизительно как 1 : 10“2: 10“12: 1О“40 на каждый
атом (мы приравняли единице вклад от сильного взаимодействия). Для мак¬
роскопического тела, обладающего массой, равной примерно 1 г, и единич¬
6 А. Эйнштейн в письме к П. Бергману подчеркнул, что лишний раз важнее
проверить на опыте принцип эквивалентности, чем следствия ОТО: смещение
перигелия Меркурия или отклонение лучей света в гравитационном поле
Солнца.
196
ной плотностью, полная гравитационная энергия составляет около ІО-8 эрг, и
указанные выше отношения становятся равными 1 : 10“2 : ІО-12: 10“29.
Эксперимент Этвеша доказывает, что с точностью до 10“11 величина от¬
ношения инертной массы к тяготеющей одинаковы для различных материаль¬
ных тел. Поэтому с высокой степенью точности из сильного принципа эквива¬
лентности должно следовать постоянство электромагнитного и сильного взаи¬
модействия. Что же касается слабого и гравитационного взаимодействия, то
о них еще ничего нельзя сказать. Следовательно, эксперимент Этвеша исклю¬
чает возможность заметного изменения во времени и пространстве констант
связи для сильного и для электромагнитного взаимодействия. Этот экспери-
Рис. 3.4. К расчету эф¬
фекта Нордтведта
„ N
л, ' Л Орбита Луны
L Т вокруг Земли
Ѳ=ы3
Орбита Земли
вокруг Солнца
мент не исключает возможности такого изменения констант связи в случае
слабого и гравитационного взаимодействий. Реализация этого обстоятельства
может быть тесно связана с принципом Маха.
Одной из возможностей проверки выполнения принципа эквивалентности
для гравитации является наблюдение траекторий объектов, обладающих боль¬
шим значением собственной гравитационной энергии. Это осуществимо лишь
в отношении астрономических объектов. Ндпример, для Солнца указанные
выше отношения сил взаимодействий равны 1 : 10~2: 10~2: 10~6, а для Юпи¬
тера— 1 : ІО'2: 10“12 : ІО-8. Изучение движения Юпитера должно привести к
более точному определению пределов применимости сильного принципа эквива¬
лентности к гравитационной собственной энергии».
Благодаря относительно короткодействующим ядерным и сла¬
бым силам, электрической нейтральности атомов соотношение
первых трех энергий в ряде 1 : ІО"2: ІО"12: ІО"40 сохраняется тем
же и для массивных тел,' а доля внутренней гравитационной
энергии растет с увеличением массы тела. В связи с отмечен¬
ным, К. Нордтведт в 1968 г. обратил внимание на факт возмож¬
ности существования аномальных осцилляций орбиты Луны
из-за нарушения принципа эквивалентности для гравитационной
энергии Земли.
На рис. 3.4 изображена схематически система Солнце — Зем¬
ля— Луна с необходимыми обозначениями.
В [131] отмечено следующее: «Внутренняя гравитационная
энергия Земли составляет от полной энергии долю А3=4,6-
•ІО"10; для Луны Дл=2-10"11, поэтому при грубом расчете по¬
197
следней величиной можно пренебречь. Если гравитационная
энергия Земли не подвержена тяготению, то земная (гелиоцент¬
рическая) орбита для Луны («привязанной к Земле») уже не
будет той областью, где ее притяжение к Солнцу равно центро¬
стремительной силе. Луна, следовательно, не будет находиться
в состоянии свободного падения на Солнце».
Для оценки амплитуды колебаний радиуса, орбиты Луны от¬
носительно Земли имеем [131] следующее соотношение: |fir|«
«ІО3 т) (см.), где 0<т]<1—параметр Нордтведта. При т]=1
(нарушение принципа эквивалентности) имеем ~10 м, что при
достигнутой точности лазерной локации Луны с использованием
уголковых отражателей в несколько сантиметров позволило бы
обнаружить нарушение принципа эквивалентности.
В 1976 г. были осуществлены независимо двумя группами
эксперименты [311, 312] по лазерной локации Луны, в' резуль¬
тате’которых было обнаружено, что гравитационная энергия
Земли дает одинаковый вклад в ти и тт с точностью 2—3%,
т. е. отношения ти/тт для Земли и для Луны с точностью
~10-11 одинаковы. Таким образом, в пределах ошибки ±30 см
эффект Нордтведта отсутствует. Конкретные параметры Норд¬
тведта составляли т]=0±0,03 и т) = —0,001+ 0,015 соответствен¬
но [311, 312]. •
В [319] приведены дополнительные результаты теоретиче¬
ского анализа проверки нарушения принципа эквивалентности.
В связи с отмеченными достижениями лазерной локации от¬
метим некоторые радиолокационные эффекты в гравитационном
поле.
3.20.2. Радиолокационные эффекты в гравитационном поле.
Здесь кратко отметим результанты экспериментов по радиолока¬
ции планет Солнечной системы по проверке следствий ОТО:
1) отклонение лучей света и радиосигналов гравитационным по¬
лем; 2) задержка (запаздывание) радиосигналов гравитацион¬
ным полем; 3) определение орбит планет с помощью радиолока¬
ции.
Отклонение лучей света в гравитационном
поле. Допустим, что G — ньютонова постоянная тяготения,
М — масса источника поля, d — параметр столкновения. Соглас¬
но Эйнштейну [43], луч света, проходящий вблизи края солнеч¬
ного диска, должен отклоняться на величину
11 + V \ 4GM /1 + у \ J усу,
V 2 ) c2d к 2 ) *
Эта формула является следствием более общей формулы для
вариации углового расстояния
= +v)-^y(l + cos<p),
согласно которой определяется положение звезды, близкой к
краю солнечного диска во время затмения, а затем сравнивает¬
198
ся с положением той же звезды спустя полгода, когда угловое
расстояние <р Солнце—звезда максимально. При имеем
предыдущее выражение для 0<р.
Этот эффект впервые был экспериментально обнаружен в
1919 г. и начиная с этого момента многократно проверялся:
около 380 различных звезд были подвергнуты эксперименталь¬
ной проверке.
Отклонение от расчетной в ОТО величины 1,75" составляло
~20% ( 1,6"+2,2") и параметр -у определялся в интервале
0,9<7< 1,3. В 1973 г. были проведены экспедиции Техасским
университетом и Королевской гринвичской обсерваторией [304]
и наблюдалось отклонение ( 1,6±0,18)", что дает (0,95±
±0,11)ЛЭ, где £э=1,75". Во всех перечисленных опытах исполь¬
зовался оптический диапазон. С 1969 г. начались регулярные
эксперименты в радиодиапазоне, что позволило существенно по¬
высить точность эксперимента до 2—3%.
В частности, радиоизмерения проводились на двух группах
источников: 1) квазарах ЗС 273 и ЗС 279 (один из которых
8 октября каждого года проходит за Солнцем); 2) радиоисточ¬
никах 0116+08, 0119+11 и 0111+02.
В 1967 г. был осуществлен независимо И. Шапиро и Л. Мул-
маном эксперимент по наблюдению биений радиосигналов от
квазаров (сам эксперимент был предложен И. Шапиро). Сами
измерения в радиодиапазоне радиоизлучения от квазара ЗС 279,
около которого Солнце проходит в октябре, а репером служит
соседний (но более далекий от Солнца) квазар ЗС 273, нача¬
лись в 1969 г. Радиоинтерферометрия в отличии от классическо¬
го оптического метода не нуждается в затмении Солнца и пред¬
ставляет более точный инструмент для измерения угловых ко¬
ординат; в свою очередь, двухчастотные измерения обеспечива¬
ют возможность исключения электромагнитной рефракции
[131].
На интерферометрах с базой 2—т20 км в первых эксперимен¬
тах 1969—1972 гг. в диапазоне Х~12+6 см релятивистское от¬
клонение с эйнштейновским значением параметра 7 было полу¬
чено с точностью 12—15%. Группой И. Шапиро в 1974 г. были
опубликованы результаты экспериментов на интерферометре с
базой 800 км с точностью 6%; обработка измерений на квазарах
по наблюдениям 1972 г. дала значение у=|0,98±0,06. Уточне¬
ние проведенных в октябре 1973 г. данных измерений на кваза¬
рах ЗС 273 и ЗС 279 (К. А. Weiler и др.) дало точность 3% со¬
гласия с ОТО [304].
М. Фомало и И. Шрамек [131, 304] провели в апреле—мае
1974 г. на трех компактных радиоисточниках с угловыми разме¬
рами 0,1" измерения с у=1,030±0,22. Уточнение результатов
измерения у на основе дополнительных радиоизмерений в мар¬
те — апреле 1975 г. этих же авторов дало у=1,014±0,018 [ 304].
Радиоисточники 0116+08; 0119+11; 0111 + 1'2 лежат почти на
прямой линии, которая занимает 10°, а первый из указанных
199
радиоисточников подходит к Солнцу на 1,5° [131]. Интерферо¬
метр содержал семь антенн и работал на двух частотах с
~ 10 см и Л~3,6 см с максимальной базой 35 км. Таким обра¬
зом, достигнутая точность соответствия ОТО составляет ~2%.
В настоящее время, согласно [131, 164], действует интерферо¬
метр «Голдстоун» с базисом 4000 км и возможной точностью
измерения угловой координаты ~ 0,0001", что позволяет ожи¬
дать повышения разрешения за счет увеличенной базы.
Запаздывание
Эффект запаздывания
Ретранслятор
Земля
радиолокационных сигналов,
радиолокационных сигналов (электро¬
магнитной волны) в гравитационном
поле был указан И. Шапиро в 1964 г.
Был предложен метод, основанный на
эффекте запаздывания электромагнит¬
ной волны в поле тяготения Солнца.
Наблюдения производились следую¬
щим образом. Радиолокатор посылал
к Венере и Меркурию, когда они нахо¬
дились почти за диском Солнца, сиг¬
нал и далее с помощью атомных часов
наблюдалась задержка сигнала, про¬
ходящего вблизи поверхности Солнца
(см. рис. 3.5). Если обозначить через
г — ньютоновское расстояние от на¬
блюдателя до отражателя, rt— рас¬
стояние от отражателя до Солнца, г0 — расстояние от наблюда¬
теля до Солнца, а через А и В соответствующие углы (см.
рис. 3.5), то задержка радиосигнала
сДт = г + -1±2 іп^.+ Га+і- =
2 са Го + '! — '■
= r + -L±l
2
4GM
с2
In (ctgyctgy) •
Для случая, когда расстояние от Земли до Солнца г0 и от
планеты-рефлектора до Солнца много больше прицельного
параметра d радиолуча по отношению к Солнцу, имеем
а 2
Дт^ —
с
(1 + у) |п Ѵі .
2 с2 d2 .
При общем времени путешествия радиосигнала то=ЗО мин и
г0~ri~ 1013 см, d~RQ~l-ІО10 см имеем Дт^200 мкс и
Дт/то~1О“7. Задержка во времени эквивалентна дополнитель¬
ному расстоянию ~60 км.
В. Л. Гинзбург в [67, с. 443] следующим образом охарактеризовал опи-
сываемыц эффект: «Сравнительно недавно (в 1964 г.) начал рассматривать¬
ся [307] эффект той же природы, что и отклонение лучей, но совсем другой
200
по технике измерений. Речь идет о релятивистской задержке электромагнитно¬
го сигнала при его распространении в неоднородном гравитационном поле.
Практически эксперимент заключается в радиолоцировании Меркурия или
Венеры с Земли. При неучете эффекта ОТО сигнал дойдет до планеты и вер¬
нется обратно за время /о = 2г/с, где г — расстояние по прямой между Зем¬
лей и лоцируемой планетой (влиянием межпланетной среды пренебрегаем, оно
достаточно точно контролируется или исключается при работе с разными не¬
сущими частотами радиосигналов). Если же принять во внимание кривизну
пространства-времени, а в данном случае опираться на выражение (12), то
должно наблюдаться дополнительное запаздывание сигнала на величину 0/,
зависящую от взаимного положения планет и Солнца. Запаздывание макси¬
мально, когда сигнал проходит вблизи края. Солнца, т. _е. лоцируемая планета
находится в верхнем соединении. В таких и близких условиях
40л1® [, , р+ѵѴ
о/ — 1 + п
с3 L 1 V 2 /
4/у2
R2 .
(20)
где R — «прицельный параметр», и — расстояние от Земли до Солнца и
г2 — расстояние от Солнца до лоцируемой планеты (Меркурия, Венеры), по
предположению находящейся с другой стороны Солнца; разумеется, значение
(ôf)max достигается при В случае Меркурия (Ô/) max = 2,4- ІО-4 с
(при y=1, что отвечает ОТО), в то время как /о«23 мин (следовательно,
(ô/)max//o~2-10-7~0,1 |фф |/с2). Весьма существенно, что запаздывание St
изменяется при движении Земли и планеты, в силу чего можно производить
дифференциальные измерения и, в частности, выявить логарифмический член в
(20). Точность определения времени ôf, а тем самым и проверка ОТО ^аким
методом, определяется точностью, с которой известны положения планет (и
некоторые их параметры) или положения космических зондов (искусственных
планет или искусственных спутников планет). Известные нам предварительные
данные, основанные на использовании спутника Марса «Викинг», указывают
на то, что I у— 11 1 %’».
Поясним некоторые особенности проводимых эксперимен¬
тов.
В первых экспериментах в 1968—1970 гг. по изучению пла¬
нет Венеры и Меркурия было использовано ~300 начальных
траекторных параметров, 400 радарных и 6000 оптических. из¬
мерений. Относительная точность ~5-10“9, разрешение при
временных отсчетах ~10 мкс. На рис. 3.6 показаны результаты
измерений и теоретические результаты предсказаний ОТО [139,
307] (измерения задержки времени в системе Земля—Мерку¬
рий производились с апреля по сентябрь 1967 г., когда Мерку¬
рий проходил через точки минимального и максимального уда¬
ления от Земли, т. е. 11 мая и 24 августа соответственно). Сле¬
дует отметить, что точность измерений при отражении сигнала
от поверхности планеты примерно на два порядка хуже, чем
при использовании КЛА [304], и составляла ~20%; значение
( 1 +ч)/2>0,99 получилось с большой ошибкой. Измерения были
повторены и дали 7 = 1,03±0,04 [307]. Ошибка в экспериментах
по-прежнемѵ возникала из-за неточного знания положения цент-
201
180 -
ш-
I
a no -
I
§■120-
§
V00'
<3 80 -
60 -
20
; Верхнее соединение
L_
20
Апрель ( 1967] Mau Август ( f9B7) Сентябрь
Рис. 3.6. Результаты измерений времени запаздывания радиолокационных сиг¬
налов
ра масс планет, неточного знания протяженности и шерохова¬
тости поверхности планет и неточного знания орбиты планеты.
Как отмечалось, лучшую точность дает использование мето¬
да отражения радиосигнала от космического зонда с активным
ретранслятором [67, ІЗІ, 304, 307]. В качестве активных отра¬
жателей использовались космические станции «Маринер-6» и
«Маринер-7» при полете к Марсу [67, ІЗІ]. Здесь точность по¬
вышалась и составляла 4%, причем из них 3% составляла доля
неопределенности в оценке траекторий спутников из-за сноса
солнечным ветром (особенности последнего см. в [361, 362])в.
Еще более строгие измерения были проведены с Марсом, траек¬
тория которого оценивалась по данным его спутника «Мари¬
нер-9» [67, ІЗІ, 304] (здесь спутник «Маринер-9» жестко при¬
вязан к центру планеты Марс, а сама планета не подвержена
солнечному (Ветру). В этом случае имеем активную ретрансля¬
цию, учитывающую преимущества планетного и спутникового
эксперимента [ІЗІ]. В результате точность возросла и состав¬
ляла ~2%. Орбитальные модули «Викинг», как отмечалось,
дали точность ~1%, а ожидаемая от продолжающихся измере¬
ний с «Викингами» в течение полного марсианского года точ¬
ность ~'0,2%; использование двух синхронных разночастотных
6 Согласно [304], ошибка 4% бралась с запасом, чтобы учесть большую неоп¬
ределенность ошибки, вносимую поглощением радиоволн в солнечной коро¬
не: радиоволны (S-диапазон, 2300 мГц) сильно задерживаются солнечной
короной. Для повышения точности измерений отраженный сигнал посылался
в дальнейшем на частоте — 9600 мГц (Х-диапазон). В этом диапазоне сол¬
нечная корона меньше задерживает сигнал, а также двухволновая связь по¬
зволила уменьшить ошибку в определении расстояния до зонда < I м.
202
ретрансляторов на борту спутника может обеспечить уровень
точности ~0,1%. Дополнительные теоретические аспекты эф¬
фекта задержки радиосигналов можно найти в [363].
Определение орбит планет на основе радио¬
локационных наблюдений [325]. Рассмотренные эф¬
фекты позволяют существенно уточнить орбиты лоцируемых
планет и Земли. Для обеспечения полетов к таким планетам,
как Венера, Марс и др., целесообразно вместо классической тео¬
рии движения Земли и планеты использовать орбиты, опреде¬
ленные на основе радиолокационных наблюдений [325].
На рис. 3.7—3.11 показаны результаты радиолокационных
наблюдений и определения орбит Земли, Венеры и Марса.
В качестве критерия точности полученных решений выбиралась
разность фактического и расчетного времени запаздывания от¬
раженного от поверхности планеты сигнала (как наиболее точ¬
ная и непосредственно экспериментально определяемая характе¬
ристика движения планеты относительно Земли).
На рассматриваемых интервалах времени наблюдений ошиб¬
ки классических теорий движения Земли и Венеры достигают
500 км, для Марса — 80 км. На интервале в 20 лет для всех
планет ошибки в определении положения по методике [325] не
превышали 10 м. В качестве исходных данных для Венеры при¬
нимались значения времен запаздывания отраженного сигнала,
полученные в период 1962—1977 гг. (884 измерения) Институ¬
том радиотехники и электроники АН СССР [325], Аресибской
ионосферной обсерваторией (Пуэрто-Рико) в 1964—1965 гг.
(71 измерение), Николаевской обсерваторией АН СССР (1889
оптических измерений угловых координат Венеры и Солнца) в
1972—1975 гг., Лабораторией реактивного движения (США) в
1967 г. (15 измерений), морской обсерваторией (США) в I960—
1972 гг. (3590 измерений), а также радиотехнические измерения
дальностей КЛА «Венера-9» и «Венера-10» (306 измерений)
[325].
3.20.3. Экспериментальная проверка теории гравитационного
смещения. Предсказанный А. Эйнштейном эффект гравитацион¬
ного смещения почти сразу привлек к себе внимание астроно¬
мов, которые пытались его обнаружить, исследуя спектры Солн¬
ца и звезд (первое направление). Эти исследования, начатые
около шестидесяти лет назад, продолжаются вплоть до настоя¬
щего времени. Второе направление экспериментального иссле¬
дования эффекта гравитационного смещения связано с возмож¬
ностями, которые дают в этом отношении летательные аппараты
и радиофизика (спутники, самолеты и т. д.). И, наконец, третье
направление — исследования, основанные на эффекте Мёссба¬
уэра.
Ниже кратко освещены результаты наиболее важных иссле¬
довательских работ по указанным трем направлениям.
Астрономические наблюдения. В системе отсче¬
та, начало которой расположено в центре звезды, можно запи-
203
AD, AD, км
Ч
0
-ч
- ê
о 7
———
о о
Li 1
• 2
о
1 О 1
<ТЦ 1D7 1Y Ш.1977
Рис. 3.7. Отклонение из¬
меренных в 1977 г. даль¬
ностей до Венеры от рас¬
четных для двух вариан¬
тов
I — при уточнении только
элементов орбит Земля—Лу¬
на и Венера; 2 — при со¬
вместном уточнении элемен¬
тов радиуса Венеры и астро¬
номической единицы [325]
'1
so\-
~50
-100
-150
oZ
°°о£
+ J
&
Д oo°
oo
-200
&
O O
°o о
° oQP%
111975
111975
1Ш1975
0
Рис. 3.8. Отклонение от расчетных значений измеренных расстояний до ИСВ
«Венера-9» (1,2) и «Венера-10» (3,4) для двух вариантов определения орбит
планет Венеры и Земли
/, 3— по уточненным в [325] орбитам планет; 2, 4—по орбитам планет, вычисленным
с использованием данных Астрономического ежегодника СССР, 1960—1980 г.
А£)",км
7977 7378 1379 1980 1981 198?
Рис. 3.9. Отклонения ге¬
лиоцентрических расстоя¬
ний, полученных по уточ¬
ненным в [325] орбитам
планет
Рис. 3.10. Отклонения изме¬
ренных дальностей до Мар¬
са от расчетных значений,
вычисленных для двух вари¬
антов
/ — по орбитам Марса и Земли
по [325] (AD); 2 — по данным,
основанным на классических
теориях движения планет (AD')
Рис. 3.11. Отклонения гео¬
центрических дальностей
Марса, вычисленных по дан¬
ным, основанным на класси¬
ческих теориях движения
планет, от прогнозируемых
дальностей по [325]
ЛЛ к/ь
1972 1974 1976 1978 1980 198л
сать следующее значение для гравитационного потенциала при
г>г0:
Ф = СМ(Цг— 1/г0). (3.213)
Здесь Го — радиус звезды; г — расстояние до рассматриваемой
точки (например, до поверхности Земли); М — масса звезды;
G — гравитационная постоянная. Отсюда, используя формулы
Эйнштейна, получим '
/0ѵ\ _ GM / (3.214)
\ ѵ /гр сіго \ го )
К указанному гравитационному смещению следует добавить
205
смещение частоты, связанное с доплер-эффектом7
fôv} GM r \ - GM
\ V / Д с2г2 0 С2Г \. г /
Расчеты показывают, что для Солнца гравитационное смеще¬
ние ~2,12*10“в.
Проведенные наблюдения (см. [7]) в основном, по крайней
мере в качественном отношении, согласуются с результатами,
предсказанными ОТО. Наблюдения показали, что формула
(3.214) хорошо согласуется с результатами .наблюдений, полу¬
ченными у края диска Солнца; в центре диска Солнца наблю¬
даемый эффект составляет только одну треть от теоретического.
Однако в данном случае на гравитационное смещение должен
накладываться доплер-эффект, связанный с конвективным дви¬
жением излучаемых атомов в фотосфере Солнца.
В. Л. Гинзбург [67] следующим образом анализирует имеющуюся здесь
ситуацию: «Сразу ясно, что линия в целом будет из-за движения газа смеще¬
на в фиолетовую сторону. При этом, если скорость потоков чисто радиальная,
фиолетовое смещение будет пропорционально cos Ѳ, т. е. максимальное в цент¬
ре диска и равно нулю на его краю. Последнее обстоятельство, а также учет
других моментов, существенных при изучении света в солнечной атмосфере,
позволяет заключить, что вблизи края диска движения излучающих слоев
можно не учитывать и должен наблюдаться только гравитационный эффект.
Это и наблюдается на опыте. В то же время использование имеющихся дан¬
ных о солнечной грануляции легко позволяет объяснить наличие дополнитель¬
ного фиолетового смещения на остальной части диска.
Таким образом, данные о смещении спектральных линий на Солнце могут
рассматриваться как подтверждающие выводы общей теории относительно¬
сти».
Для белых карликов ожидаемая величина красного смеще¬
ния, как показывают расчеты, должна быть примерно в 30 раз
больше, чем для Солнца. Однако здесь возникают трудности,
связанные с наложением на гравитационное смещение допле¬
ровского смещения частоты, которое в данном случае обусловли¬
вается не только движением излучающих атомов в атмосфере,
но и движением самих звезд.
Проведенные М. Сент-Джоном, Дж. Адамсом, К. Адамом и
Л. Поппером наблюдения белых карликов, в частности спутни¬
ка Сириуса, в целом в качественном и в определенной мере в ко¬
личественном отношениях подтвердили ожидаемые эффекты [7].
В. Л. Гинзбург еще в работе [67] отмечал в связи с изло¬
женным выше, что «...помимо исследования спектра Солнца и
звезд, известные, весьма заманчивые перспективы открываются
в этом отношении с развитием радиофизики и, в частности, ра¬
диоспектроскопии».
7 Выше было отмечено, что эффекты Доплера и гравитационного смещения в
первом приближении просто складываются.
206
Не будем подробно останавливаться на астрономических на¬
блюдениях эффекта гравитационного смещения. Укажем здесь
только на последние работы в этом направлении (см. [7]).
Среди этих работ обращает на себя внимание дискуссия об ано¬
мальном красном смещении квазаров. По мнению ряда авторов,
аномальное красное смещение квазаров объясняется сверхмощ¬
ными гравитационными полями, создаваемыми этими объектами
(библиографические ссылки см. в [7]).
Использование летательных аппаратов для
исследования эффекта гравитационного сме¬
щения. В. Л. Гинзбург [67] предложил для изучения эффекта
гравитационного смещения частоты использовать летательные
аппараты. При этом для измерения гравитационного смещения
могут быть использованы сигналы, посылаемые летательным ап¬
паратом в радиотехническом диапазоне частот..
Так, например, если космический аппарат расположен на расстоянии
10 млн. км от Солнца, а приемник сигналов расположен на Земле, то грави¬
тационное смещение частоты ô/7f= 1,5-ІО-8; для частоты в 3000 мГц это со¬
ставляет ôf=45 Гц. Значительное гравитационное смещение частоты будет
наблюдаться, если излучение радиоволн будет происходить с космического ап¬
парата, опускающегося, например, на планету Юпитер.
Если частота передатчика космического аппарата задается по специальной
линии связи от наземного передатчика на близкой частоте, то гравитационное
смещение частоты также будет отсутствовать, Так как соответствующие сме¬
щения частоты на прямом и обратном пути имеют противоположные знаки
[364].
При использовании летательных аппаратов, в частности ис¬
кусственных спутников Земли, для исследования гравитацион¬
ного смещения необходимо при интерпретации результатов
измерений выделить влияние как продольного, так и попереч¬
ного эффекта Доплера. Это, как указал В. Л. Гинзбург [67],
является далеко не простой задачей. Поэтому он предложил ис¬
пользовать интегральную оценку эффекта гравитационного
смещения. В этом направлении был выполнен ряд эксперимен¬
тальных работ. В 1971 г. Дж. Хафеле и Р, Китингом был прове¬
ден весьма интересный эксперимент по прямой проверке интег¬
ральной оценки эффекта гравитационного смещения. На борту
самолета-лаборатории было установлено четверо атомных
(цезиевых) часов. Самолет облетел Землю вначале в западном,
а потом в противоположном, восточном направлении. Сравни¬
вался ход бортовых и эталонных часов, находившихся в Вашинг¬
тоне. и
В этом эксперименте по отношению к «неподвижной» систе¬
ме отсчета, ось которой совпадает с осью вращения Земли, оба
самолета должны были иметь различную скорость, что. должно
было привести к различным значениям поперечного доплер-эф-
фекта. Однако между траекториями, по которым летели самоле¬
ты, и поверхностью Земли существовала определенная разность
207
Таблица 3.2
Направление
полета
Эффект гравитационного смещения в наносекундах
собственно
от гравитации
(теоретическое)
собственно
от скорости
(теоретическое)
суммарный
(теоретическое)
суммарный
(экспсримсн тальнос)
Западное
179 ± 18
96 ± 10
275 ± 21
273 ± 4
Восточное
144 ± 14
-184± 18
- 40 ± 23
-59 ± 10
гравитационного смещения частоты. Кроме того, атомные часы,
находившиеся на поверхности Земли, имели по отношению к
неподвижной системе отсчета доплеровское смещение частоты.
Учет всех этих факторов приводит к формуле
Ат=.1+ £Л 2йѵ+^
с2 . 2с2
где Q — угловая скорость вращения Земли; ѵ — скорость самоле¬
та; h — высота полета. Причем ѵ>0 при движении на восток и
и<0 при движении на запад. В табл. 3.2 приведены разности
хода бортовых и эталонных часов, рассчитанные в соответствии
с условиями полета [143, с. 154].
Вращение Земли обусловливает асимметрию восточного и за¬
падного направлений полета. Результаты этих экспериментов
дали качественное и отчасти количественное согласие с теорией
(ошибка составила ~15°/о). Количественное расхождение в ре¬
зультатах может быть объяснено влиянием различных факто¬
ров, таких, как внешние электромагнитные поля и т. д.
Группой Мерилендского университета [365] был проведен
эксперимент по измерению разности временных показаний атом¬
ных часов, размещенных на самолете и в наземной лаборатории.
Часы были идентичные и хорошо экранированы.
Было проведено пять независимых полетов. Разность пока¬
заний времени двух идентичных часов измерялась прямым срав¬
нением до и после того, как одна из установок транспортирова¬
лась на самолете в сопровождении радиолокатором в течение
~ 15 ч и на высоте ~104 см (~10 км). Нарастание разности
времен телеметрически регистрировалось во всех фазах полета
при помощи лазерных импульсов длительностью 0,1 нс [365].
Такие условия эксперимента давали точность измерения Дѵ/ѵ~
~10-12 (в отличии от экспериментов Паунда Дѵ/ѵ~ ІО-15, опи¬
санных ниже). Для уменьшения специального релятивистского
эффекта изменения частоты самолет курсировал в заданном
квадрате с минимальной скоростью на постоянной высоте [131].
Согласно вычислениям, ожидаемый эффект ОТО составлял
+ 50 нс, а гравитационный эффект в рамках СТО имел ~—7 нс.
Согласно [365], типичные результаты измерения: +47±1,5 нс
(самолет — Земля); теория: +47,1±0,25 нс=52,8 нс (гравита¬
208
ционный потенциал) — 5,7 нс (относительная скорость) ; (изме¬
ренная разность)/(предсказания ОТО) =0,987±0,01.
На рис. 3.12 показаны все фазы измерения; ошибка наблюде¬
ний составила 1,6%. Ценность этого эксперимента составляет
также возможность наблюдения всей динамики процесса запаз¬
дывания [131].
Под руководством Р. Вессо группа физиков Смитсонианско-
го института провела летом 1976 г. измерение гравитационного
смещения атомными часами на баллистической ракете [323].
По сравнению с предыдущим экспериментом точность была по¬
вышена почти на два порядка. Гравитационный зонд с водород¬
ным стандартом частоты (относительная стабильность 2-10~10 с)
на борту был запущен в США 18 июня 1976 г. Атомные часы на
борту были синхронизованы с идентичными часами на поверх¬
ности Земли (ѵ= 1,42-ІО4 Гц). При удалении от поверхности
Земли на 10 000 км частота часов на борту должна была увели¬
читься и превышать частоту часов на Земле на величину Дѵ/ѵ»
»10-’. Ожидаемая точность эксперимента была 0,01%. На вы¬
соте ~160 км, где скорость была мала, проводилось сравнение
частоты; приемники были расположены на четырех наземных
станциях, [323]. Соответствующие условия эксперимента позво¬
лили при измерении положения ракеты с точностью до 1 м и ее
скорости с точностью до 6 см/с уменьшить существенно ошибку,
связанную с доплер-эффектом. На рис. 3.13 и рис. 3.14 показаны
результаты эксперимента [323]. Ошибка эксперимента не пре¬
вышала 0,04%.
Гравитационное смещение и эффект Мёс¬
сбауэра. При построении теории гравитационного смещения
принималось, что темп хода стандартных часов определяется
только их скоростью по отношению к инерциальной системе от¬
счета и не зависит от их ускорения. Это условие допускает не¬
посредственную экспериментальную проверку на основе эффек¬
та Мёссбауэра— речь идет о так называемом температурном
красном смещении.
По этой причине остановимся вначале иа кратком описании эксперимен¬
тальных результатов по температурному красному смещению, прежде чем пе¬
рейти к описанию экспериментов по гравитационному смещению. Оба этих яв¬
ления могли быть изучены на основе эффекта Мёссбауэра [7, 94]. Эффект
Доплера должен проявляться также и в случае беспорядочного теплового дви¬
жения атомов в кристаллической решетке. Как известно, при таких колебаниях
скорость движения атомов меняется с частотой 10І2-т-І01а с-1.
Таким образом, за время жизни ядерных уровней атомов, используемых
в экспериментах по эффекту Мёссбауэра, будет происходить большое число
перемены знаков скорости колеблющихся атомов. Теория этого явления при¬
водит к выводу [94], что смещение частоты ѵ квантов, излучаемых ядрами на
1 К, может быть найдено по следующей формуле:
д \ ср
дТ \ ѵ ) 2с2 ’
20»
. Л t р Перед полетом ^*—0 полете
После полета.
нс
«О
го
Предсказанный, эффект
47,1± 0,26 м
—1 1 1 I L
20 00 60
Часы
Рис. 3.12. Экспериментальное измерение эффекта гравитационного «замедле¬
ния» наземных атомных часов по отношению к часам на борту самолета [131]
I—I—1—J—I 1—I 1 1—I—J I I I I I
№0 48 60\0Ч 1Z 20 28 38 44 62 \60 08 18 24 32 40
1141 1200 1300
тстент пуска 18 июм, 1870 г.
Рис. 3.13. Результаты регистрации красного смещения [323]
где Ср — теплоемкость при постоянном давлении р.
Нетрудно показать [366], что при комнатной температуре смещение равно
2,2-ІО-15 на 1 К. Таким образом, температурное красное смещение на 1К
сравнимо с ожидаемым гравитационным красным смещением. Это обстоятель¬
ство должно учитываться как при планировании, так и при физической интер¬
претации экспериментов по гравитационному смещению. Результаты по тем¬
пературному красному смещению привели к крайне важному выводу, кото-
210
Д£| J*
f Vю ЦО
Two
Даннб/е эксперимента,
72 декабря, 7373 г.
Af= ЛФ
3 cz
I Эксперимент j
Atp
по Заннс/м предсказании
о
~К0
-\W
-U^
-% S0‘
^0
11 il 1Z 12 12 12 12 !2 13 13 13 13 13^
40 50 00 10 20 30 40 50 00 10 20 30 40
Зремя эксперимента 73 имея 7373 (Ги/мин)
Рис. 3. 14. Результаты измерения изменения частоты и гравитационного потен¬
циала [323]
рый может быть сформулирован следующим образом [94] : «Ускорения, испы¬
тываемые атомом в твердом теле, очень велики и превосходят в ІО14 раз гра¬
витационное ускорение у поверхности Земли, однако это никоим образом не
влияет на релятивистское замедление времени»..
Таким образом, положение о независимости темпа хода стандартных ча¬
сов от их ускорения по отношению к инерциальной системе отсчета получила
хорошее экспериментальное обоснование.
Перейдем теперь к эффекту гравитационного смещения.
В первоначальных экспериментах К. Ребка и Д. Паунда [367}
для обнаружения эффекта гравитационного смещения рассмат¬
ривалось движение фотонов в гравитационном поле Земли. Рас¬
четы показывают, что при перемещении фотона на 1 м пути
вблизи поверхности Земли его частота должна измениться на
величину 1,1 • 10“1в с"1.
В опытах К. Ребка и Д. Паунда излучатель и поглотитель
фотонов размещались в башне на расстоянии 22,6 м друг от
друга, что создавало определенную разность гравитационного
потенциала между генератором и приемником фотонов. Ожидае¬
мый в этой установке эффект гравитационного смещения оказа¬
лось возможным измерить благодаря применению некоторых
остроумных дополнительных приспособлений, на описании ко¬
торых мы останавливаться не будем. Опыты подтвердили ожи¬
даемый эффект гравитационного смещения с точностью до не¬
скольких процентов. Значительно более эффективным для ис¬
следования гравитационного смещения оказался метод создания
искусственных гравитационных полей во вращающихся с боль¬
шой угловой скоростью ультрацентрифугах.
В экспериментах (Н. Хей и др., И. Хенль, Дж. Бенневитц,
Л. Кюндиг, М. Крэншоу и др., Л. Чампни, К. Мун, Л. Чампни
211
и др.) указанный подход был практически реализован. В опытах
указанных авторов использовались быстровращающиеся центри¬
фуги, причем источник у-излучепия и поглотитель располагались
на оси вращения и периферии центрифуги. Разность гравитаци¬
онного потенциала между источником и поглотителем была,
таким образом, пропорциональна квадрату угловой скорости
центрифуги и расстоянию между ними. В установках упомяну¬
тых авторов угловая скорость вращения достигала 36 000—
54 000 об/мин, что при радиусе вращения, равном 10 см, созда¬
вало ускорение, больше чем в ІО5 раз превышающее гравита¬
ционное ускорение у поверхности Земли. Расчет показывает,
что при таких ускорениях ожидаемое гравитационное смещение
для спектральных линий Fe57 будет достигать ширины самой ли¬
нии, т. е. величины 7-Ю-1’. Эксперименты подтвердили это пред¬
сказание с точностью до 1 % •
Результаты экспериментальных работ по указанному на¬
правлению были также опубликованы в [7] и других работах,
которые также подтвердили результаты упомянутых авторов.
Остановимся несколько подробнее на работе Л. Чампни и
К. Муна [369]. Эти авторы воспользовались центрифугой, спо¬
собной вращаться со скоростью до 900 об/с. При размещении
источника и поглотителя соответственно в центре и на перифе¬
рии ротора эти авторы подтвердили полученные ранее Н. Хейем
и др. [7] результаты. Вместе с тем Л. Чампни и К. Мун провели
эксперимент, разместив источник и поглотитель 7-излучений на
периферии ротора на расстоянии 2r=D, т. е. диаметре ротора.
Эксперимент проводился при скоростях вращения ротора 100 и
600 об/с. Результат эксперимента был отрицателен, т. е. ника¬
кого гравитационного смещения не было обнаружено, что и сле¬
довало ожидать.
Эксперимент Л. Чампни и К. Муна был повторен в работе
Л. Чампни, М. Айзека и Дж. Хана [7]. Эти авторы пришли к
тому же выводу, что и в [369].
Результаты указанных экспериментов были подвергнуты критике со сто¬
роны некоторых авторов (например, [370]), которые утверждают, что якобы
результаты описанного эксперимента противоречат теории. Поэтому сделаем
несколько пояснений к рассмотренному эксперименту. В данном случае имеем
дело с двумя системами отсчета: инерциальной (лабораторной) системой от¬
счета К, относительно которой вращается ротор центрифуги, и неинерциальной
системой отсчета К, жестко связанной с ротором указанной центрифуги.
Представим теперь, что на периферии ротора на противоположных концах
его диаметра расположены двое совершенно одинаковых стандартных часов.
С точки зрения инерциальной системы отсчета К эти часы будут идти совершен¬
но одинаковым образом и совершенно одинаковым образом опаздывать по от¬
ношению к часам инерциальной системы (это станет ясным, если учесть, что
скорости упомянутых часов относительно системы /С равны и —ѵ соот¬
ветственно).
212
С точки зрения неинерциальной системы К указанные часы также должны
иметь одинаковый темп хода,поскольку в этой системе они неподвижны отно¬
сительно друг друга и находятся на одинаковом расстоянии от центра, т. е. в
области одного и того же значения гравитационного потенциала. Таким обра¬
зом, между обоими рассматриваемыми часами не существует гравитационного
смещения. Именно этот результат был подтвержден в экспериментах Чампни
и других.
Можно, однако, рассмотреть с точки зрения инерциальной системы К про¬
цесс передачи сигналов от часов, расположенных на одном конце диаметра
вращающегося ротора, к часам, расположенным ла другом конце этого же
диаметра.
Если, как это предлагал А. Г. Баранов, сигналы передаются с помощью
пулеметной очереди, то направление движения пуль, испущенных из точки рас¬
положения первых часов, должно образовывать определенный угол с радиусом
траектории движения этих часов для того, чтобы они попали в точку располо¬
жения вторых часов. Если учесть это обстоятельство, а также, как это делал
А. Г. Баранов, применить релятивистский закон сложения скоростей, то, как
нетрудно убедиться, в рассматриваемой ситуации никакого гравитационного
смещения не получается. Это и было подтверждено экспериментом.
Проведенные в последние годы новые эксперименты по гра¬
витационному смещению, основанные на эффекте Мёссбауэра,
полностью подтвердили результаты первых работ в этой области.
В [368] проводился усовершенствованный вариант опыта
Д. Паунда и К. Ребки. Было использовано мёссбауэровское резо¬
нансное поглощение в Fe57 7-лучей с энергией 14,4 кэВ для из¬
мерения влияния тяготения на вертикальном отрезке пути дли¬
ной 22,5 м. В качестве источника использовался Со57 и обога¬
щенный поглотитель — фольга диаметром 38 см. Для величины
2ghlc2 получено значение, равное (0,999±0,0076) значения
4,905• ІО*-15, вычисленного на основе принципа эквивалентности
[368]. Систематическая ошибка равнялась ~0,01.
В целом экспериментальные исследования, основанные на
эффекте Мёссбауэра, дали блестящее подтверждение теории
гравитационного смещения. •
В заключение приведем цитату из книги С. Вейнберга [164], в которой
четко сформулировано значение измерений гравитационного смещения частоты
для ОТО: «Даже если мы предположим, что эксперименты Этвеша — Дики мо¬
гут быть улучшены до неограниченной точности и что гравитационная масса
будет найдена в точности равной инертной массе, все же имеет смысл рас¬
сматривать гравитационное красное смещение спектральных линий как незави¬
симую проверку принципа эквивалентности».
213
3.21. Инерциальная навигация с учетом
релятивистских эффектов [4]
Задачей навигации в общем случае является определение коор¬
динат положения объекта относительно фиксированной системы
отсчета.
Для определения координат объекта наблюдатель, находя¬
щийся на этом же объекте, использует как наблюдения над по¬
ложением светил на небесной сфере (Солнца, Луны или звезд),
так и показания приборов, находящихся на самом объекте' (на¬
пример, акселерометров, с помощью которых можно определить
ускорение объекта в каждый данный момент). С помощью ука¬
занных процедур реализуется задача навигации.
В тех случаях, когда для определения положения объекта в
пространстве-времени используются исключительно показания
приборов, находящихся на объекте, и начальные сведения о по¬
ложении объекта в момент старта, говорят о задаче инерциаль¬
ной навигации. Здесь в качестве приборов используются исклю¬
чительно часы, акселерометры и гироскопы.
Задачей об инерциальной навигации занимались многие авторы. Причем,
как отмечено Седовым [4], было допущено немало ошибок в этой области.
Инерциальная навигация в самом общем виде с учетом релятивистских эф¬
фектов рассматривалась в работах Л. И. Седова [4], указавшего: «Можно
высказать общее положение о том, что целесообразно осуществлять исследова¬
ния и устанавливать основные физические соотношения путем измерений и по¬
строения теоретических моделей непосредственно в сопутствующей системе
отсчета теоретическим или экспериментальным путем, а после этого пересчиты¬
вать и переформулировать полученные результаты на точку .зрения заинтере¬
сованного наблюдателя. По существу, в простейших частных случаях, иногда
не совсем в явной форме, так и поступают в физических теориях.
Дальше покажем, что по своему существу результаты, добытые в сопут¬
ствующей системе отсчета, имеют более простой вид, чем результаты, получен¬
ные после указанной выше переформулировки, которая может быть произведе¬
на с помощью дополнительных довольно сложных математических операций,
составляющих содержание навигационных расчетов»8.
Рассмотрение задачи о инерциальной навигации с учетом ре¬
лятивистских эффектов может оказаться существенным при
расчете траекторий движения КЛА, направляющихся к плане¬
там Солнечной системы или за ее пределы.
8 В связи с этой задачей академик М. А. Лаврентьев [3711, с. 967] писал:
«В последнее время в рамках ОТО Л. И. Седов разрешил общую задачу об
инерциальной навигации с учетом релятивистских эффектов и деформаций
для малой подвижной частицы материальной среды. Иначе говоря, указаны
алгоритмы для определения законов движения частицы для любого наблю¬
дателя по данным измерений характеристик явлений в сопутствующей и соб¬
ственной для частиц системах отсчета. За эту работу Международная астро¬
навтическая академия присудила Л. И. Седову премию имени Д. и Ф. Гуг-
генхеймов за 1977 г., которая была вручена ему во время XXVIII конгрес¬
са Международной астронавтической федерации в Праге».
214
В дальнейшем придется пользоваться координатами Ферми
и репером Ферми — Уолкера [139].
Задачу инерциальной навигации Л. И. Седов [4] формули¬
рует следующим образом: требуется найти мировую линию С
движения малой частицы, которая может моделировать КЛА,
а также найти вращение малой частицы относительно инерци¬
ального репера Ферми— Уолкера (этот репер в дальнейшем
будет связываться с каждой точкой мировой линии С).
Введем систему координат х\ имеющую векторный базис
ЭД Закон движения рассматриваемой частицы в этой системе
координат может быть задан в виде
*’=х‘(Ѵ, Г, Г, Г), . (3.215)
где' £а (а=1, 2, 3)—лагранжевы координаты; g4 — время.
С помощью закона движения (3.215) можно вычислить длину
элемента дуги ds мировой линии С в координатах х\ координа¬
тах и в системе координат Ферми —Уолкера.
. Длину дуги мировой линии запишем в виде
ds2 = gik dx‘dxk = gikd^dlk =* c3dr2 — dP. (3.216)
Векторный базис в сопутствующей системе координат, т. е. сис¬
теме координат V, будем обозначать через Э< и векторный ба¬
зис в системе координат Ферми — Уолкера через ЭД
Из закона движения (3.215) могут быть определены время
dr и длина dl в системе координат Ферми — Уолкера, а также
вектор 4-скорости w’ и другие параметры, характеризующие дви¬
жение рассматриваемой частицы. С помощью этого же закона
движения (3.215) эти величины могут быть вычислены в любой
другой системе координат, в частности, в сопутствующей систе¬
ме координат.
Элемент длины мировой линии С в системе координат Ферми
записывается [139] в виде
ds2 — (?dP — dy1' — dy3' — dy3*, Г'* — О
(i, /, k = 1, 2, 3, 4). (3.217)
Согласно [4, 139], координаты z' точек частицы в базисе Э<*
можно ввести так, чтобы на С выполнялись равенства
ds2 = c2dt2 — dz1' — dz2’ — dz3’, Г*- =, 0 (i, /, k = 1, 2, 3, 4).
- (3.218)
Заметим, что базис Э< координат Ферми у* может совпадать с
базисом Эі репера Ферми— Уолкера с координатами zi только
в случае, когда мировая линия С является геодезической, т. е.
в том случае, когда КЛА свободно падает в космическом прост¬
ранстве, т. е. ракетный двигатель не работает.
Компоненты бесконечно малого 4-вектора dr в любой задан¬
ной точке кривой С в базисах системы координат Ферми и Фер¬
215
ми — Уолкера, т. е. компоненты dy{ и dz\ связаны между собой
преобразованием Лоренца.
Из определения базисов векторов Э* и Эъ следует, что век¬
торы Эа* движутся поступательно относительно базиса Эа с по¬
стоянной 3-мерной скоростью, т. е. имеем
V = ѵаЭа (dya/dt)3a; dt = dx/V\—v*lc*. (3.219)
Компоненты dyx и dzh связаны преобразованием Лоренца, опре¬
деляемого матрицей
Э* = 4ЭУ; и2 = (ѵ1)2 + (и2)2 + (а3)2;
1 + kv'v1
kyxy2
kvlÜ3
kv2vl
\+kv2v2
ky2y3
ktPv1
ky3y2
1 + kvfiy3
V1
У2
У3
Ус*-ѵг
j/^2 — V2
Y & —
d2Y/ds2 =* d^d^/ds2).
У С2 _ Ѵ2
V2
Ус2 —V2
т. е. имеем
dyî =* d'dz*',
(3.221)
В формуле (3.221) учитывалось, что вдоль кривой С dzi=ds и,
следовательно, d2z^/ds2=Q.
В [4] показано, что для 4-ускорения имеем
- du / d2xl , dJ dj „і \ d2yl ~ d2za
a =i — H Г% 3t- — —— 3.- 3a.
ds \ ds2 ds ds 1 J ds2 ds2
(3.222)
B [4] Л. И. Седов отмечает: «Четырехмерное ускорение М
определено независимо от выбора системы отсчета, векторы
трехмерного ускорения точки М зависят существенно от выбора
системы отсчета».
Из (3.221) следует, что вектор четырехмерного ускорения
(умноженный на с2) равняется вектору трехмерного ускорения
точки М относительно ортогонального базиса Эа*.
Для получения инерциальной информации можно принять,
что в СТО или в ОТО и во всех их обобщениях, когда физиче¬
ское пространство моделируется римановым пространством для
малой частицы локально, можно пользоваться механикой Нью¬
тона для описания в бесконечно малое время dx движения час¬
тицы относительно собственной системы отсчета, определенной
в данной точке М векторами базиса Ферми — Уолкера.
Пространственные базисные векторы Эа* при перемещении
вдоль мировой линии С определяют в каждый момент времени
216
d - v'
неизменно ориентированную в пространстве бесконечно малую
трехмерную движущуюся поступательно вместе с точкой М
платформу, которая может быть реализована физически при по¬
мощи трех идеальных малых гироскопов. Пусть на этой плат¬
форме установлены три некомпланарных малых акселерометра.
Эти акселерометры покажут трехмерное ускорение й*=а’аЭа‘=
= (d2z“/dr2) Эа* и, следовательно, четырехмерное ускорение со¬
гласно формуле (3.221).
На основании формул (3.219), (3.220) и (3.221) для опреде¬
ления ѵа по показаниям акселерометров получим для <х=
= 1, 2, 3 обыкновенные уравнения
„а _ dy . d2y 1 d • va __ ,а .3 /о ooo\
di ’ dt2 У1— v2/c2 dt K1 — v2/c2 ₽ ‘ ’
Легко проверить, что уравнение, соответствующее 4=4, являет¬
ся следствием (3.219) и (3.223).
По измерениям а*“ система уравнений (3.223) вместе с на¬
чальными данными дает решение общей задачи об определении
мировой линии в декартовых координатах в рамках СТО.
Далее Л. И. Седов переходит к рассмотрению задачи инер¬
циальной навигации в ОТО.
Для определения преобразования координат ук к х’ в ОТО в
[4] показано, что имеет место следующее соотношение:
сѵ dr dr dxk ъоЦг. <k dxk
Э'=57 = ^?Ѵ= А' = Ѵ
Очевидно, вдоль кривой С из (3.222) следует
d2xl , dx1 dxk , i d2yl 1 ,/ »b
-7T + ~7~ ~T~ T‘k W = = bi'd»a •
ds2 as ds ds2 c2
Учитывая, что вдоль кривой С имеем дЭі/дук=О, det | dxhldy'| =/=
У=0, получим
ds ds
(3.224)
(3.225)
(3.226)
В [4] отмечено: «Если систему осей гироскопов подчинить
принудительным вращениям, то по измерениям соответствую¬
щих гироскопических моментов и соответственно угловых ско¬
ростей осей гироскопов в этих случаях также можно установить
соответствующую систему уравнений, позволяющих . решить
проблему навигации как в СТО, так и в ОТО».
Решение уравнений (3.224)— (3.226) при соответствующих
начальных условиях дает решение задачи об инерциальной на¬
вигации в рамках ОТО. „
В п. 3.20 уже обсуждались вопросы экспериментальной про¬
верки ОТО с помощью КЛА. Было отмечено, что эксперименты
по проверке ОТО на космических аппаратах требуют специаль¬
ных мер, обеспечивающих геодезичность движения. Для этой
217
цели наиболее эффективными являются космические зонды и
спутники, свободные от сноса [131, 304]. Именно с ними связа¬
ны надежды будущих релятивистских экспериментов, так как
космические аппараты снабжены устройствами, обеспечиваю¬
щими им возможность двигаться вдоль геодезических траекто¬
рий без существенных отклонений.
Так, в [304] отмечалось: «При этом энергия была бы нужна только для пе¬
рехода с одной инерциальной траектории на другую, что можно было бы осу¬
ществлять либо с помощью двигателей (как обычно), либо с помощью «срл-
нечного паруса», отражающего нс воздушные струи, а потоки солнечных фото¬
нов. Таким образом, конфигурацию гравитационных космических аппаратов
можно использовать для «экономной» космической навигации».
Навигационный спутник ВМС США «Triad-1», свободный от
сноса (первый из серии спутников «Transit») был первым при¬
мером использования конфигурации гравитационного поля Зем¬
ли, основанный на идеи геодезического движения (общий вид
см. на рис. 3.15), был запущен в США 2 сентября 1972 г. и функ¬
ционировал в течение года [131, 304]. В основе создания такого
спутника лежит идея экранировки пробной массы сферической
оболочкой от внешних негравитационных воздействий (см.
рис. 3.16), представляющих развитие модели искусственной пла¬
неты, предложенной Шварцшильдом. Пробная масса была изго¬
товлена из диа- и парамагнетиков (сплава платины и золота).
Уровень компенсации негравитационных ускорений составил
— ІО-8 см/с2; высота орбиты —800 км; основные силы, сбиваю¬
щие спутник с геодезической, в средней были скомпенсированы
на уровне —10_3.
Центральным элементом в «Triad-1» является акселерометр
«Discos», помещенный в центре масс спутника, позволяющий
„Яіесое
Центр масс*
Акселеро¬
метр „
Антенна
ДЯа протяжных *
стержня, каждый
длиною fС фу mod
Гладный блок
электроники
Солнечная
батарея
сноса
Рис. 3.15. Общий вид спутника «Triad-1»
[304]
l Генератор
электроэнергии
Рис. 3.16. Схема спутника, свободного от
пробная
масса
Экрь
Микроэлементы
Дии^итана
коррекции
Датчики
смещения
*-Дабление
излучения
‘Сопротивление
атмосферы
Солнечнс/и
бетер
218
компенсировать негравитационные силы до уровня 5-10“® см/с2.
Положение спутника «Triad-1» прогнозировалось с точностью
100 м на две недели вперед (для обычных спутников суточная
поправка составляет сотни метров). Результаты’испытаний по¬
казали [304], что уход «Triad-І» составляет —200 м/месяц, что
позволило расширить вопрос о проверке влияния общереляти¬
вистских эффектов на орбиты спутников. Аналогичный спутник
«Кастор» (Франция) испытывался в мае 1975 г.
Геодинамический спутник Lageos (вес 411 кг, 0 60 см), за¬
пущенный 4 мая 1976 г. (США), снабжен 426 уголковыми отра¬
жателями и обеспечивает точность локации наземных объектов
до 2 см [304]. <
В проекте спутника «Гелиос» [131] достижимый уровень
компенсации должен составить —1-10’10 см/с2, а точность двух¬
недельного прогноза увеличивается до сантиметров.
Более подробный обзор можно найти в [130, 131, 132]. Здесь
только отметим подготавливающийся уже много лет экспери¬
мент с релятивистским гироскопом [131]. Такой гироскоп дол¬
жен иметь остаточный дрейф не- больше —ІО16 рад/с
(6-ІО-4 угл.с/год), а точность измерения «геодезической пре¬
цессии» достигнет 0,01%. Пробный полет для испытания всей
системы в целом предусмотрен программой на космическом ко¬
рабле «Shuttl-Ю». .
В целом ввод в практику космических полетов спутников,
свободных от сноса, дает возможность ввести качественно но¬
вый инструмент в реализацию задачи инерциальной навигации
КЛА.
3.22. Заключительные замечания
Существует обширная, практически необозримая литература,
посвященная ОТО. Здесь нет возможности хотя бы дать крат¬
кий обзор основных работ в этой области. Поэтому ограничим¬
ся перечислением только некоторых из числа наиболее важных
работ по ОТО.
Краткий (но весьма удачный в методическом отношении)
очерк СТО и ОТО (теории гравитации) дан самим А. Эйнштей¬
ном в его лекциях, прочитанных в 1921 г. в Принстоне (США)
[43]. Основные работы А. Эйнштейна, посвященные как теории
относительности, так и другим разделам современной физики,
изложены в четырехтомном издании его избранных работ [43].
Одной из лучших работ по теории относительности остается
до настоящего времени книга В. Паули [89], несмотря на то,
что она была впервые опубликована в 1920 г. Следует также
отметить ряд капитальных монографий, в которых дано доста¬
точно подробное изложение СТО и ОТО. К их числу относятся
монографии Э. Эддингтона [145], В. А. Фока [56], Р. Толмена
[142], П. Г. Бергмана [103], X. Меллера [139], М. А. Тоннела
[91], Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [88], Р. Утияма [136] и
многих других.
219
Среди монографий, специально посвященных теории грави¬
тации, следует отметить трехтомник Ч. Мизнера, К. Торна и
Дж. Уилера [133], Н. В. Мицкевича [159] и др.
Ряд интересных работ по общим вопросам теории относи¬
тельности опубликован В. Л. Гинзбургом [67], Л. И. Седовым
[171] и др.
Отмеченные выше работы предназначались в основном для
читателей-физиков, имеющих определенную подготовку. Здесь
можно упомянуть также книги, предназначенные для инжене¬
ров [7] и др.
Ряд специальных проблем теории относительности, таких,
как например, пресловутый «парадокс с часами», физическая
природа гравитационного смещения, возможность существова¬
ния сверхсветовых скоростей в теории относительности, экспе¬
риментальная проверка основ теории относительности и др.,
довольно оживленно обсуждались в литературе начиная с мо¬
мента создания теории относительности вплоть до настоящего
времени.
Что касается «парадоксов с часами», то этой мнимой проб¬
леме было посвящено громадное количество работ, несмотря
на то, что разъяснение этой проблемы было дано еще в первых
работах по теории относительности А. Эйнштейном [43] и
В. Паули [89].
Разъяснение В. Паули основывалось на сравнении длин двух
мировых линий рассматриваемых часов в 4-мерном пространст¬
венно-временном континууме (см. подробно гл. 2). Одни из рас¬
сматриваемых часов двигались в этом континууме по геодези¬
ческой (т. е. по прямой линии), а другие часы по ломаной; но в
4-мерном пространственно-временном континууме такая лома¬
ная линия короче прямой. На этом обстоятельстве и основано
разъяснение «парадокса» [7].
Разъяснение А. Эйнштейна основывалось на эффекте зависи¬
мости темпа хода часов от величины гравитационного потен¬
циала в той точке, где расположены часы, т. е. в конечном счете
на эффекте гравитационного смешения.
В указанных разъяснениях не было, однако, полного расчета
хода времени в сравниваемых системах отсчета.
Другой метод разъяснения «парадокса с часами» дан в так
называемом методе трех инерциальных систем отсчета [7, 95,
97]. В этом методе дается полный расчет хода времени в срав¬
ниваемых системах отсчета. Этот метод изложен в главе 2 нас¬
тоящей книги.
Связь эффекта гравитационного смещения с кинематикой
теории относительности была показана А. Г. Барановым [147],
а с более общей точки зрения — в [7, 151]. В [7] дана также
точная формула для интегрального эффекта гравитационного
смещения.
Вопрос существования сверхсветовых скоростей в теории
относительности рассматривался во многих работах с различ¬
220
ных точек зрения (здесь не идет речь о тахионах, сведения о
которых можно найти в [7, 152—154] и др.). Так, в частности^
этим вопросам посвящены работы В. Л. Гинзбурга [67]. В [7]
было показано, что сверхсветовые скорости следуют прямо из
преобразования Лоренца. Например, одновременная вспышка^
лампочек, расположенных на равных расстояниях вдоль оси
в системе отсчета будет в системе отсчета S, движущейся
относительно Sj вдоль оси прямолинейно и равномерно, пред¬
ставляться в виде волны, распространяющейся со сверхсветовой
скоростью. Однако никакого противоречия с СТО здесь нет, так:
как эта волна не сопровождается передачей энергии-импульса
и не может, следовательно, быть использована для передачи
информации. В этой же работе [7] было показано, что действие
S также может распространяться со сверхсветовой скоростью,
несмотря на то, что оно описывается релятивистски инвариант¬
ным уравнением Гамильтона — Якоби. Эта волна также не свя¬
зана с передачей энергии-импульса от частицы к частице в по¬
токе невзаимодействующих частиц, описываемого уравнением
Гамильтона — Якоби. Суть дела сводится к-тому, что уравнение
Гамильтона — Якоби дает эйлерово описание потока невзаимо¬
действующих частиц (т. е. описания того, что происходит в дан¬
ной точке пространства в различные моменты времени с различ¬
ными частицами). Таким образом, здесь также нет противоречия
с теорией относительности.
В заключение отметим, что уравнение Гамильтона — Якоби
играет совершенно особую роль как в классической, так и в
квантовой механике, что показано в главе 4. Здесь, в частности,
следует отметить, что уравнения характеристик уравнения Га¬
мильтона — Якоби являются уравнениями движения как в клас¬
сической, так и в релятивистской областях [7, 69]. Одной из
важнейших проблем, стоящих в ОТО (теории гравитации), яв¬
ляется проблема закона сохранения энергии-импульса. Интерес¬
ные работы в этом направлении были опубликованы Л. И. Се¬
довым [171], А. А. Логуновым с соавторами [172], X. Меллером
[149] и др.
В последние годы значительное внимание привлекает к себе
возможность использования топологических методов в теории:
динамических систем. Здесь следует отметить работы Л. А. Лю-
стерника, Н. П. Понтрягина, М. А. Красносельского и др. На¬
пример, в работах Л. А. Люстерника [376] исследованы топо¬
логические свойства поверхностей уровней функции п перемен¬
ных. Подробно эти свойства исследованы для функций одной,
двух, трех и т. д. переменных. Эти математические результаты
Л. А. Люстерника иллюстрированы примерами механических
систем в [39, 58] и др. Топологические методы нашли широкое
применение не только в теории гравитационного поля [133, 118,.
146], но и в теориях других физических полей, теории эволю¬
ции и равновесия динамических систем [39, 58], теории солито¬
нов [121, 124, 215, 222, 235, 253].
Глава 4
КВАНТОВЫЕ МОДЕЛИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Так как по квантовой теории существует обширная (к настоя¬
щему времени почти необозримая) журнальная и монографиче¬
ская литература (см. по этому поводу заключительные замеча¬
ния к настоящей главе), то здесь главное внимание уделяется
изложению принципиальных и методологических вопросов еди¬
ного подхода к построению моделей квантовых динамических
систем на основе квантового постулата [7].
Центральным в квантовом постулате является уравнение
Гамильтона—Якоби, записанное для соответствующих прост¬
ранственно-временных континуумов (в евклидовом, псевдоевкли-
довом, римановом, финслеровом и других пространствах). Такой
подход существенно отличается от известных моделей кванто¬
вой теории и позволяет объединить ранее разрозненные извест¬
ные квантовые динамические системы в единую систему. Этот
подход позволяет получить новые уравнения движения в общем
^случае релятивистских квантовых динамических систем с про¬
извольным спином.
4.1. Некоторые основные положения теории
математических моделей
классической квантовой механики
Исторически квантовая теория в отличие от теории относитель¬
ности возникла на основе математической модели и строилась
по аналогии с классической механикой на основе принципа
соответствия. После создания математических моделей кванто¬
вой теории стали искать физические интерпретации этих моде¬
лей на основе согласования с экспериментом. В отличие от
классической механики в квантовой теории имеем совершенно
другую картину описания явлений и процессов. Здесь микро¬
объекты (элементарные частицы и атомы) обладают свойства¬
ми, принципиально не допускающими наглядное описание на
макроуровне в виде единой физической картины. О свойствах
микрообъектов судят по их взаимодействию с измерительными
приборами, которые всегда являются некоторыми стандартными
222
макрообъектами. Как известно, основной экспериментальный
факт, установленный на основании всех наблюдений над микро¬
объектами, заключается в том, что в одних стандартных макро¬
условиях микрообъекты ведут себя как частицы (корпускулы),
а в других стандартных макроусловиях — как волновые про¬
цессы. ’
Этот дуализм «волна — частица» является характерной
особенностью микромира.
В. Гейзенберг [51] отмечает: «Ясно, что материя не может одновременно
состоять из волн и частиц,— оба представления чересчур различны. Скорее
разрешение трудности нужно искать в том, что обе картины (корпускулярная
и волновая) суть только аналогии, которые иногда имеют место, иногда нет.
В действительности, например, экспериментально только показано, что в
некоторых опытах электроны ведут себя как частицы, но при этом отнюдь не
доказано, что они обладают всеми признаками корпускулярного образования.
То же следует mutatis mutandis и для волновой картины. Оба представления
могут быть действительны как аналогии только в известных предельных слу¬
чаях».
Описанная ниже основная математическая модель квантовой
теории отражает этот основной фундаментальный факт, полу¬
ченный на основании всех проведенных наблюдений и экспери¬
ментов над микрообъектами различной природы. В квантовой
теории понятие вероятности не может рассматриваться как
следствие неполноты исходной информации или отсутствия в
квантовой теории некоторых «скрытых» параметров, явно ею не
учитываемых. Дело в том, что, как показал Дж. фон Нейман
[402], математическая структура квантовой теории не допускает
существования таких «скрытых» параметров [386].
Что же касается соотношений неопределенности Гейзенбер¬
га, то, как это подчеркивал сам В. Гейзенберг, их следует рас¬
сматривать как ограничения на области применимости класси¬
ческих понятий.
Прежде чем идти дальше, приведем принадлежащую Ван-
дер-Вардену [63] общую характеристику основных свойств
квантовых систем.
«I. Собственные значения образуют непрерывно возрастаю¬
щую бесконечную последовательность. •
II. Каждому собственному значению соответствует только
конечное число линейно независимых собственных функций, из
линейных комбинаций которых с комплексными коэффициента¬
ми образуются все другие функции. Если их число £>1, то го¬
ворят о ^-кратном вырождении. Эти k собственных функций
всегда можно выбрать так, чтобы они были взаимно ортогональ¬
ны. Если это сделать для всех значений энергии и расположить-
полученные функции по возрастающим собственным значениям,,
то получим систему из бесконечно большого числа взаимно ор¬
тогональных функций <рь ф2, ...
223
Таблица 4.1
Состояние системы
Волновая функция
Луч Ф функционального пространства
Физическая или
наблюдаемая
величина
Эрмитов оператор А,
действующий на Ф
Эрмитова матрица
отображения функ¬
ционального прост¬
ранства самого на
себя
Наблюдаемое
значение а
Собственное зна¬
чение опера¬
тора или характе¬
ристические посто¬
янные уравнения
А Ф=аФ
Собственное значе¬
ние матрицы, при¬
веденной унитарным
преобразованием
координат к диаго¬
нальному виду
Определенное
значение oq
Собственная функция
Ф| оператора
А , соответствую¬
щая собственному
значению cq
Луч функционального
пространства, ко¬
торый оператор А
умножает на а-
III. При непрерывном изменении входящих в оператор Н
параметров (например, массы или силы внешнего поля и т. д.)
собственные значения непрерывно и дифференцируемо зави¬
сят от этих параметров.
IV. Собственные функции <рь <р2, ср3, ... образуют замкнутую
систему функций. Это значит, что каждая непрерывная функция
ф может быть с любой точностью аппроксимирована «в сред-
п
нем» соответственно выбранной суммой 5 ^ѵфѵ, т. е. что для лю-
Ѵ=1
бого е можно выбрать сѵ и п так, чтобы среднеквадратичная
ошибка
п
ф 2 Сѵфѵ
ѵ=1
2
п
Ряд 2 гѵфѵ называется разложением ф по замкнутой ортого-
ѵ=і
нальной системе <рѵ».
Дополнительные вопросы можно найти в [388, 389, 401, 402,
403, 405] и др.
Достаточно общая ситуация, имеющая место в квантовой
механике, отражена в табл. 4.1, принадлежащей Е. Вигнеру [ 138].
224
Таблица 4.2 (к стр. 234)
Вид пре¬
образо¬
вания
Преобразование
операторов
рі~
Преобразование
компонент
Вращение
вокруг
оси
OZ
Pi =Picosa—Pysina;
P2 =P'2cosa+P;s ina;
Pз=Р3Î Pq-Pq
s §■ *
q <u a>
о о "o
* X X X
7. л ~ "
* X XX
'V w ~ w et
X X x
x, \
.7 <4 m о
7*
JL JU -'L . Л
■à- -Э- -à.
Вращение
вокруг
оси
ОУ
Pi =Pjcos0 +P3sin0;
Рз =РзСО80-Р/8ш0;
P2~P2> P0~PÔ
f Ѳ 0
Фі = Ф1СО$ — +tf/2sin — ;
! Ѳ 0
^2 = ^2 COS — — ^iSin — ;
2 2
^3 = ^эСО8у +^0Sin -J ;
ФІ =V/0COS -1Дз8ІП-|
Простое
преобра¬
зование
Лоренца
P3=P3'ch-y+Posh7;
Po=Pochy+P3sh7;
Pi=Pi'; p2=p,2
г-г-|сч г*|с4
•g -s ■§ -s
<n O w <4
-Э-
+ 1 + 1
H™ ^-|<N H™
•S -S •& -8
<4 л о
•dt -Э¬
И Il II II
" — - «s *-<»» -o
-a. -à. -a.
4.2. Квантовый постулат
и элементы единой системы
волновых уравнений квантовой теории
4.2.1. Вводные замечания. Одна из особенностей современной
математической модели квантовой теории заключается в ут¬
верждении, что из уравнений Шредингера при Й->0 может быть
получено уравнение Гамильтона — Якоби классической меха¬
ники.
Согласно [106, 389, 404], это достигается путем подстановки
в уравнение Шредингера
exp{iS/A},
(4.1)
которая приводит, как показано при некотором дополнитель-
8 Б. Н. Петров и др.
225
ном допущении к двум уравнениям
— + — (VS)2 + Ѵ(х) + —— = 0; (4.2)
dt 2т ' ’ ' ’ 2т R ѵ '
+ — (RV*S + 2 WS) = 0. (4.3)
dt 2m
Уравнение (4.2), действительно, при Л->0 приводится к урав¬
нению Гамильтона — Якоби в классической механике. Уравне¬
ние (4.3) интерпретируется при замене переменных Р=/?2(’|х)
как уравнение сохранения плотности вероятностей. В свою оче¬
редь, П. Дирак [420, с. 151] показал, что его система уравнений
в первом приближении приводится к уравнениям Шредингера.
Таким образом, устанавливается приближенная связь с класси¬
ческим (нерелятивистским) уравнением Гамильтона — Якоби
не только уравнений Шредингера, но и уравнений Дирака.
Указанная взаимосвязь лежит не только в основе математи¬
ческой модели современной квантовой теории, она лежит также
в основе физического истолкования этой теории, согласно кото¬
рому классическая механика является предельным частным
случаем квантовой механики, включая релятивистскую кванто¬
вую механику (при Л->0, с->оо).
В работе [472J по этому поводу отмечено: «Хорошо известно, что, строго
говоря, квантовая теория какого-либо явления, будучи более общей, не может
быть выведена из классической. Тем не менее одним из наиболее часто приме¬
няемых физиками-теоретиками эвристических приемов при построении кванто¬
вого описания является «квантование» классической системы, т. е. создание
и изучение сначала классической модели явления, а затем переход по тем или
иным рецептам к квантовой модели. Такой переход, естественно, неоднозначен,
причем природа неоднозначностей оказывается весьма разнообразной. Цель
данной работы — исследовать один из аспектов проблемы неоднозначности
«квантования» классической системы, связанный с существованием различных
лагранжианов, гамильтонианов или функционалов действия, приводящих к од¬
ним и тем же классическим уравнениям движения».
Другой особенностью математической модели релятивистской
квантовой теории является полная независимость друг от друга
уравнений этой теории для частиц с произвольными спинами.
Таким образом, уравнения современной квантовой теории для
частиц с произвольными спинами не являются элементами еди¬
ной системы.
В современной квантовой теории каждой динамической пе¬
ременной сопоставляется некоторый оператор в том или ином
представлении; причем вводимые таким образом операторы
должны удовлетворять определенным перестановочным соотно¬
шениям; введение электромагнитного поля в уравнения также
д. д д
производится по формальному правилу замены——г —
дх1 дх1
226
— — Aj и т. д. Все это вместе взятое составляет набор ничем
he
не связанных между собой формальных рецептов и правил.
В данном разделе будет показано, что между уравнением
Шредингера и классическим уравнением Гамильтона — Якоби,
соответственно между релятивистскими квантовыми уравнения¬
ми и релятивистскими уравнениями Гамильтона — Якоби суще¬
ствуют не приближенные, а совершенно точные связи.
Вместе с тем будет показано, что релятивистские квантовые
уравнения не являются независимыми друг от друга; наоборот,
все они оказываются элементами единой системы. Причем урав¬
нения классической и релятивистской механик не являются
предельным частным случаем квантовых уравнений, а наоборот,
уравнения квантовой теории получаются путем наложения
одного стандартного ограничения на классические уравнения,
представленные в особом волновом виде (сказанное относится
как к классическому, так и к релятивистскому случаю).
Одновременно будет показано, что упоминавшаяся система
независимых формальных правил квантовой теории (введение
некоммутативных соотношений, электромагнитных полей и др.)
может быть выведена из одного единого общего принципа.
В целом квантовый постулат приводит к единой математической
модели квантовой теории [7]. '
Все сказанное выше ни в коей мере не устраняет глубокого
принципиального различия между классической и квантовой
механиками. Это различие, связанное прежде всего с физической
содержательной интерпретацией таких понятий, как координата,
импульс частицы, волновое поле и т. д., полностью сохраняется.
Вместе с тем квантовый постулат имеет конструктивный харак¬
тер, так как он содержит в себе возможность получения физиче¬
ски правильных квантовых уравнений для частиц с высшими
спинами по единому алгоритму.
Ниже изложен некоторый общий принцип, который в [7]
был назван квантовым постулатом и которому подчиняются
уравнения Шредингера, ФКГ, Дирака, Максвелла, некоторые
уравнения для частиц со спином s=l и более высоким, уравне¬
ния Эйнштейна — Шредингера, уравнения Гинзбурга — Тамма
с внутренними переменными, нелинейные уравнения Шрединге¬
ра (S3) (Гинзбурга — Ландау и их аналоги), уравнения sine-
Гордона, Кадышевского, Тодорова и некоторые другие уравне¬
ния, записанные в соответствующих метриках пространственно¬
временного континуума Галилея. Минковского, Римана, де
Ситтера, Финслера и др.
Отметим, что квантовому постулату подчиняются также
очень интересные случаи релятивистских квантовых уравнений
с внутренними переменными, предложенных Гинзбургом и Там¬
мом [473], Гинзбургом и Манько [474] и др., некоторые модели
нелинейных уравнений квантовой теории и др. Это дает рснова-
227
8*
ние высказать гипотезу [7], что имеющие физический смысл
уравнения квантовой теории должны подчиняться квантовому
постулату.
Кроме того, ниже будет показано, что при некоторых совер¬
шенно естественных дополнительных предположениях упомяну¬
тый квантовый постулат может быть строго доказан.
Квантовый постулат, таким образом, приводит к некоторому
правилу отбора, позволяющему отличить физически правильные
уравнения квантовой теории. Квантовый постулат является
принципом, объединяющим все уравнения квантовой механики
в единую систему, и в этом заключается его не только физиче¬
ское, но и методологическое значение. Вместе с тем он приводит
к большому количеству следствий, имеющих общее значение
для всей квантовой теории.
Один из таких общих выводов заключается в утверждении,
что классической механике может быть придана форма, при ко¬
торой она становится в известном смысле этого слова классиче¬
ским аналогом квантовой механики. Причем переход от класси¬
ческой к квантовой теории совершается с помощью единой
стандартной процедуры. При этом связь между классической и
квантовой теорией становится более прозрачной, чем это обычно
предполагалось.
Центральным в квантовом постулате является уравнение Га¬
мильтона — Якоби, записанное для соответствующих простран¬
ственно-временных континуумов (в евклидовом, псевдоевклидо-
вом, римановом, де Ситтера, финслеровом и других пространст¬
вах). Такой подход существенно отличается от известных моде¬
лей квантовой теории и позволяет объединить ранее разрознен¬
ные известные квантовые динамические системы в единую
систему. Этот подход позволяет получить новые уравнения дви¬
жения в общем случае релятивистских квантовых динамических
систем с произвольным спином. Конкретные примеры квантовых
систем в теории управления рассмотрены в [398].
Мы- не хотели, чтобы читатель затрачивал дополнительные усилия, связан¬
ные с математическими аспектами излагаемого материала, а сосредоточил
свое внимание на физическом содержании излагаемых вопросов. Поэтому из¬
ложение материала данного раздела построено на использовании максималь¬
но простых математических средств, но не в ущерб математической и физиче¬
ской строгости изложения. Некоторые необходимые дополнительные математи¬
ческие методы, используемые в настоящем разделе (например, метод характе¬
ристик, спинорное исчисление и исчисление внешних форм Картана), изложены
в гл. 2 и приложениях 1, 2.
4.2.2. Общая математическая структура квантового посту¬
лата. Пусть задано релятивистское уравнение Гамильтона —
Якоби (см. гл. 2) вида
/ dS
\дх£
— Д-Y + /п2с2 =* О
с )
(1=^1, 2, 3, 0).
(4.4)
228
Введем функцию Q(x‘, хг, х3, х°, S) = const, с помощью которой
функция действия S выражается неявно, т. е. S=S(x‘, х\ х3, х°).
Воспользовавшись теперь известным преобразованием [109]
dS _ / ÔQ \ // dQ \ dS . . / dQ \ // dd \
dt ~ \ dt // \ ÔS ) ’ дх& \ dxk // \ ÔS / ’
уравнение Гамильтона —Якоби можем представить в виде
(ƱAi —У + mV (—= {Г — Я} = 0. (4.6)
(\ дх1 с dS / \ dS I }
Полученное уравнение (4.6) будем в дальнейшем называть
трансформированным уравнением Гамильтона — Якоби и обоз¬
начать символом {Г — Я}.
Дальше поступим следующим образом [7].
1. Трансформированное уравнение Гамильтона—Якоби воз¬
водится в целочисленную степень a(2s+l), где s — спин части¬
цы. Число сс=1, 2, 3, ... зависит от условий, указанных ниже.
2. Полученное уравнение (в том случае, когда можно при¬
нять а=1) рассматривается как характеристическое многообра¬
зие для .системы (4s + 2) линейных уравнений первого порядка
Lu=k(du/dS) (4.7)
для 4s+2 функций, которые в дальнейшем будем называть
фундаментальными. Эта совокупность 4s+ 2 фундаментальных
функций должна быть спинором для полуцелого спина (о спи¬
норах см. [117]) или тензором для целого спина. Если систему
уравнений (4.7), удовлетворяющую указанным условиям, невоз¬
можно написать, то выписывается система второго порядка,
имеющая вид
Lu=K(d2uldS2). (4.8)
При этом принимается а = 2 и т. д. Все полученные таким обра¬
зом уравнения должны быть релятивистски-инвариантными и
содержать только старшие производные. Перечисленная сово¬
купность требований однозначно определяет классические вол¬
новые уравнения с точностью до линейного преобразования, не
меняющего релятивистской инвариантности. Могут, однако, су¬
ществовать случаи вырождения. Так, например, в случае s = 0
(скалярные частицы) должны согласно принятому правилу су¬
ществовать две функции фь ф2. Но такие две функции не могут
образовать тензора в псевдоевклидовом пространстве. Следова¬
тельно, они должны быть скалярными, тождественно совпа¬
дающими друг с другом. Соответствующие волновые уравнения
также оказываются тождественными. Отметим, что все приве¬
денные линейные уравнения должны содержать только стар¬
шие производные и быть релятивистски-инвариантными (за
исключением уравнения Шредингера в классической Области).
Эти волновые уравнения можно рассматривать как классиче¬
ский аналог квантовых волновых уравнений.
229
3. Полученные в предыдущем пункте «классические» волно¬
вые уравнения подвергаются стандартному преобразованию
фЛ(хг, х2. X3, xf\ S) =; (х1, х2, X3, х°) ехр { — "Y} (4.9)
ИЛИ
«Мх1, X2, X3, х°, S) = ^(х1, X2, х3, x°)èxp |+ -у} , (4.10)
где ф(х, S) —вектор классических волновых функций; ф(х) —
вектор квантовых волновых функций. Полученные с помощью
трансформаций (4.9), (4.10) уравнения будут квантовыми урав¬
нениями для частиц с различными спинами. Эти уравнения бу¬
дут иметь вид
Lu=Xu; (4.11)
здесь L — линейный оператор; и — вектор-функция.
Может случиться, что не существует ни спинора, ни тензора,
имеющих в точности 4s+ 2 компонент. Тогда следует ввести спи¬
нор или тензор с п компонентами, причем ближайшее большее
целочисленное п должно удовлетворять соотношению n>4s + 2.
К полученной таким образом системе п уравнений для п волно¬
вых функций в соответствии с изложенной выше процедурой сле¬
дует добавить [п—(4s 4-2)] инвариантных алгебраических со¬
отношений. Тогд/З число независимых компонент волновых
функций 1 будет в точности равно 4s+ 2.
В качестве иллюстрации рассмотрим применение приведен¬
ной модели к выводу основных уравнений квантовой теории.
Пример 1. Уравнение Шредингера для одной частицы, движущейся в
заданном потенциальном поле. Классическое уравнение Гамильтона—Якоби
имеет вид (см. гл. 2)
dS 1 Д ! dS \а
-^-+— 2Ы WXx’) = 0. (4.12)
dt 2т \ дх1 1
I— 1
Трансформированное по (4.5) уравнение Гамильтона—Якоби записывается в
виде
dQ dQ
~ dS dt
1
2т
/ dQ \2
S (iTj +u <x'> *2> *3)
(4.13)
Соответствующее классическое волновое уравнение, для которого (4.13) явля¬
1 Иногда, для того чтобы уменьшить число независимых компонент волновых
функций до величины 4$4-2, к основным волновым уравнениям добавляют
некоторые дополнительные дифференциальные условия (например, типа
Лоренца в теории электромагнитного поля). Но таким способом число
независимых компонент волновой функции не уменьшается, а сама система
уравнений становится сверхопределенной. Отметим, что общая теория сверх¬
определенных систем, разработанная Викье, Жанэ, Томасом и др., изложена
в монографии С. П. Финикова [475].
230
ется уравнением характеристик, принимает вид
__É4_+J_4 =
dtdS 2т dx ÔS2
1=1
(4.14)
Применив трансформацию (4.9) и (4.14), получим уравнение Шредингера
дф Æa д2ф
' И ïrS ~^ + “ <«'•>:■,«>)*. (4-15)
/=1
Вывод уравнения (4.15) был опубликован И. И. Гольденблатом в 1964 г. и
повторен в 1965 г. И. С. Аржаных [476].
Уравнение Шредингера выводилось разными способами в [404, 389, 477]
и др. Приведенный вывод принципиально отличается от работ [404, 389, 477].
Пример 2. Уравнение Шредингера для N взаимодействующих заряжен¬
ных частиц (атом с зарядом ядра Ze). Если пренебречь всеми спиновыми взаи¬
модействиями электронов и всеми ядерными эффектами (в частности, конеч¬
ностью размеров и массой ядра), то в рассматриваемом случае классическое
уравнение Гамильтона — Якоби для N взаимодействующих электронов, дви¬
жущихся в поле ядра, будет иметь вид
— Zea V _!—+ V — = 0, (4.16)
і гі 1>і rU
здесь m— масса электрона; е — его заряд; — абсолютная величина радиус-
вектора /-го электрона; гц=\гі—г;|. Напомним, что суммирование во второй
и третьей суммах (4.16) ведется по всем W электронам. В последнем слагаемом
суммирование идет по всем параметрам (/=/=/), причем каждая пара встречает-
N і<-1
ся однократно [405]: 3 = 3
Преобразуя уравнение Гамильтона — Якоби (4.16) по (4.5), получим
дй дй 1 ГЛ 17 У ( dQ \2 , I dQ \al 1
“ dt dS + 2m I \ dx* J + UxJ J + \ дх^ ) +
(4.17)
Уравнение (4.17) есть уравнение характеристического многообразия для сле¬
дующего классического волнового линейного уравнения, содержащего только
старшие производные:
N
да<р
dtdS
1
2т
_Æ=1
д2<р
дх*'
даф , да<р ]
дх% дх*’ J
+ I- Ze2 V J- + У ^-]^ = о.
L І Ч Si 'H
(4.18)
231
Подвергнув уравнение (4.18) преобразованию (4.9), получим следующее
уравнение Шредингера:
= (4.19)
где
2т І І ГІ І>І rii
Для стационарного случая следует положить [405]
ф => ф exp
Яф = Еф,
(4.20)
где Е — полная энергия электронов. Здесь
гия электронов;
—•кинетическая энер¬
кулоновское взаимодействие электронов с яд-
Р°м; [ 2 ——1 — кулоновское взаимодействие электронов друг с другом.
rn J
Пример 3. Уравнение ФКГ для свободной частицы со спином s=0. Урав¬
нение Гамильтона — Якоби для рассматриваемого случая, как известно, имеет
вид
Подвергнув это уравнение преобразованию (4.5), получим
/ dQ \2 / dQ \2 / dQ \2 1 / ÔQ \2 / dQ \2
I I + 1 1 + 1 1 —— 1 + т2с2 I 1 =0
{дх1 / дх2 ) \ дх3 ) са \ ôf) { dS /
(4.22)
Последнее уравнение является характеристическим многообразием для сле¬
дующего линейного волнового уравнения, содержащего только старшие про¬
изводные:
^2. + -*2_ 4. -±2_ _ ^2.+т2С2 ^2. = о
дх1' + дхг' + дх3' с2 д/2 + dS2 ■
(4.23)
Нетрудно убедиться, что полученное уравнение релятивистски инвариантно,
если учесть, что S — инвариант.
Подвергнув теперь (4.23) трансформации (4.9), получим уравнение ФКГ
для свободной частицы со спином s = 0, т. е.
1 даф j даф ( даф ( даф т2с2
“”câ”dF + дх13” + дх2* + дх3’ ” Ла г*3 = °’
Пример 4. Уравнение ФКГ для частицы со спином s = 0, движущейся
в электромагнитном поле. Релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби для
рассматриваемого случая имеет вид (4.4)
/ dS е \2 1 / д8 \2
—у А:] -у-Н- + еф° +таса = 0.
\ дх' с с2 \ dt Y )
Подвергнув уравнение (4.25) преобразованию (4.5), получим трансформиро¬
(4.24)
(4.25)
232
ванное уравнение Гамильтона — Якоби
Г/ dQ У 2е _ôQ__ôQ_
ІД dx*/ с k dxk dS c»
^L_^+ea ».
dt dS T
(4.26)
Последнее уравнение (4.26) является уравнением характеристик для следую¬
щего линейного релятивистски инвариантного и содержащего только стар¬
шие производные волнового уравнения:
Г да<р 2е даф
[ дх]Я "" ~ А' dSdxi
’ e8 •
^■ = 0 (/=1,2,3,0).
ог>а
(4.27)
Применив обе указанные выше подстановки (4.9), (4.10), получим соответст¬
венно два комплексно-сопряженных уравнения
даф
а?’
21 е
he
dib \ 1 ( е2 а \
д2ф
.а?1
2іе
~hc
а*ф \ 1 / е2 о \
АІ^)-^ьА‘+тіт=0
(/ = 1, 2, 3, 0);
(4.28)
(/= 1, 2, 3, 0).
(4.29)
Остановимся теперь на одном весьма важном обстоятельстве. Классиче¬
ский аналог для уравнения ФКГ в случае отсутствия полей будет иметь вид
(4.23)
дх1
ааф __
dS2 =
0.
(4.30)
Подстановка (4.9) дает уравнение в отсутствии электромагнитного поля
= (4.31)
дх'1 ѵ ’
здесь x°=ict. Поэтому в традиционных обозначениях можно написать
— _ дф _|_ -І5_ щ2саір = 0. (4.32)
с2 dt2 h2
Можно получить уравнение ФКГ при наличии электромагнитного поля, т. е.
уравнение (4.28) из уравнения (4.32) с помощью хорошо известной в кванто¬
вой теории замены операторов'
д д Ѵ , іе
dxk dxk he k'
(4.33)
При этом уравнение ФКГ принимает вид [68, 422]
1 \2 _ P д л_ е
с2 \ i dt ~ “ \ і дх} + с
\2 1
Лу. I — т2с2 рф = 0
(/=1, 2, 3) или
233
Г Æ8 da 2eÆ &4o e2
L c8 dt2 ic2 dt + c2 °-
— (— h2-^ + Л2Ѵт2с2] ip = O, /=1,2,3.
\ dx>‘ ic dx1 c2 J! J
(4.34)
Отметим, однако, что для формы (4.34) уравнения ФКГ в уравнении клас¬
сического аналога появится соответствующий дополнительный член, но харак¬
теристическое многообразие сохранит свой вид, так как оно составляется на
основе только старших производных от функции ф.
В большинстве работ [68, 422], учитывая, что согласно условию Лоренца
dAjldxi = 0, (4.35)
переходят от формы (4.32) к форме уравнения ФКГ (4.28).
Таким образом, оба подхода приводят к одному и тому же результату.
Лагранжиан для уравнения ФКГ обычно записывается в следующем виде:
‘ / дф* іе \ / дф іе \ '
^ = -‘2 + Ѵ • (4.36)
\ С/Л C / \ UX C ]
Однако этот лагранжиан приводит к уравнению (4.34). Для того чтобы полу¬
чить уравнение (4.28), необходимо лагранжиан 3? записать в виде
х ~ ~сі [(^г+ѵ М’) (§г - -7 м)+hw] + X (-^г).
Ч (4.37)
где Л — множитель Лагранжа.
Пример 5. Уравнение Дирака для заряженных частиц со спином s =
= 1/2, находящихся в заданном электромагнитном поле. Для частиц со спи¬
ном s=l/2 число компонент волновой функции должно равняться 4s+2=4.
Как известно, объект, описываемый этими функциями в уравнениях Дирака,
является спинором. Компоненты спинора имеют своеобразные законы преобра¬
зования, представленные в табл. 4.2 на с. 225. Так как уравнения Дирака явля¬
ются уравнениями первого порядка, то а=1 и, следовательно, a(2s+l)=2.
Таким образом, в соответствии с квантовым постулатом для частицы со спи¬
ном s=l/2 трансформированное уравнение Гамильтона — Якоби следует воз¬
вести в степень 2. В результате имеем
{Г —Я}а =
dQ е л dQ \2 _ _
—г — — Л.- + таса
, дх1 с 1 dS /
(4.38)
Временно, как и при рассмотрении уравнения ФКГ, вместо 4-потенциала Aj
введем в рассмотрение так называемый «векторный» потенциал А\, А2і А3 и
«скалярный» потенциал ф°. В этих обозначениях нетрудно убедиться, что урав-
аналога уравнений Дирака будут иметь вид
(Ро — mcps) — (Pi — ір2) Рз \ / фі
О Рз (Рі + іРз) 1 / ф2
~ Рз 0 - (Po + ^Ps) II Фз
— (Рі + іра) (Ро + mcps) 0 / \ Фо
а (4.39)
д е д . , à іе л
ГДб Р> = “ ~ Alp^ . I = 1. 2, 3 ; po = — - - <P»PS.
нения классического
(О
— (Ро “ тср^
(Pi-iPa)
-Рз '
234
Для того чтобы получить в качестве характеристического многообразия
уравнений (4.39) трансформированное уравнение {Г—Я}2, необходимо после
выполнения всех выкладок (приведенных ниже) произвести замену t=
=хРГіс——ixQ/c. С помощью указанной выше подстановки вида
Ф/= Ф/ехр/уЛ (4.40)
из уравнения (4.39) получаем уравнения Дирака
где р.
0
(Pt — тс)
— (Рі — ІРъ)
Рз \
/ Ф1\
— (р0 — тс)
0
Рз
(Рі + 1Рг) J
Фа 1
1 = 0,
(Рі — іРъ)
~ Рз
0 -
-(Ро + тс) I
1 Фз 1
-Рз
h д
~~ і дх1
— (Рі + 1Рг)
(/=1,
с 1
(Ро + тс)
h
2, 3); Ро — .
іс
0 /
д е Л
—’ — — ф° .
ді с т
\ фо/ (4.41)
Докажем теперь, что уравнения (4.39) действительно имеют в качестве харак¬
теристического многообразия (4.38). Для этого перепишем их в виде
(4.42)
где dij имеют вид, представленный в табл. 4.3.
Таблица 4.3
а11
а12
а13
а14
а23
а24
а34
рі
ps
о
P0-mcps
- (Рі - ІР2)
Рз
Рз
Pi +iPj
-(Ро +mcps)
Э е А.
—г А]. р
3xJ с s
э
dS
Матрица (4.42), следовательно, кососимметрична. Э. Картан показал [55],
что кососимметричный определитель с элементами ац =—ац может быть
представлен в следующем виде (см. Приложение 2):
0 fli2 Û13 Û14
°21 0 ^23 °24 __ .л
= [fl12a34 — fl13a24 + а14Д2з]а* (4.43)
°31 Д32 9 Я34
a4i а42 Û43 0
Учитывая (4.43), легко получить уравнение характеристического многообразия
для уравнений классического аналога квантовых уравнений (4.39) Дирака
235
Учитывая, что нр°=—/10 и x°=ict, получим из (4.44) уравнение для характе¬
ристик, аналогичное уравнению (4.38).
Инвариантность классического аналога (4.44) уравнений Дирака следует
непосредственно из инвариантности самих уравнений Дирака и того обстоя¬
тельства, что переменная S является инвариантом. Таким образом, строго до¬
казано, что уравнения Дирака полностью удовлетворяют квантовому постулату.
Следует подчеркнуть, что приведенные в Приложении 2 другие формы уравне¬
ний Дирака также удовлетворяют квантовому постулату.
Система уравнений Дирака (4.41) является релятивистскц-инвариантной со
следующими законами преобразования компонент фл, представленных в При¬
ложении 2.
Нетрудно заметить, что преобразования компонент фл(£=1, 2, 3, 0) су¬
щественно отличаются от соответствующих формул преобразований для ком¬
понент векторных и тензорных объектов (см. подробнее Приложение 2). Та¬
ким образом, из требований релятивистской инвариантности и едином матема¬
тическом объекте с равноправными компонентами (фундаментальными функ¬
циями фд) следует, что имеем дело с новым (по сравнению е векторами И
тензорами) математическим объектом, который носит название спинора [55],
а соответствующее поле (4.41) называется спинорным.
Из (4.41), (4.43) легко получить выражение для характеристик системы
квантовых уравнений, которое будет иметь следующий вид:
что совпадает с известным результатом [104, 99]. Согласно (2.165) из (4.45)
имеем следующее выражение для скорости распространения фронта волны Ѳ:
„ (Wa). (4.46)
Уі (dtydx1)* -L
/=1.2,3 C
T. e. скорость распространения фронта волны Ѳ в точности равна скорости све¬
та с.
Пример 6. Уравнения Максвелла классического электромагнитного по¬
ля. Поле частиц со спином s=l и массой покоя /п=0, т. е. поле фотонов,
описывается уравнениями Максвелла (см. гл. 3).
Согласно квантовому постулату уравнения Максвелла для фотона, имею¬
щего массу т = 0 и спин s=l, должны иметь следующее характеристическое
многообразие:
Заметим, что уравнение (4.47) без возведения в степень 3 совпадает с урав¬
нением эйконала геометрической оптики.
В гл. 3 было показано, что характеристики уравнений Максвелла имеют
вид (3.33). Обращаем внимание читателя, что в указанном п. 3.5 приведена
уточненная форма характеристик уравнений Максвелла, полученная с учетом
того обстоятельства, что последнее уравнение каждой из групп уравнений
Максвелла является .дифференциальным следствием предыдущих уравнений
(см. п. 3.5).
236
Вместе с тем отбрасывание этих последних уравнений недопустимо, так
как при этом нарушается релятивистская инвариантность самих уравнений
Максвелла. Отметим, что именно в результате такой неинвариантной процеду¬
ры в [99, 104] получались неинвариантные уравнения характеристик уравне¬
ний Максвелла
(4.48)
Приведенное уравнение (4.47) характеристического многообразия уравнений
Максвелла является точным и релятивистски инвариантным.
Итак, полученное соотношение (4.47) является действительным релятиви-
стски-инвариантным характеристическим многообразием уравнений Максвел¬
ла. Заметим, что изложенный в п. 3.5 метод можно применять для нахождения
характеристических многообразий аналогичных сверхопределенных систем.
Таким образом, характеристическое многообразие уравнений Максвелла
для фотона — уравнение Гамильтона — Якоби в кубе, что согласуется с кван¬
товым постулатом.
Отметим, что В. А. Фоком [56] ив [116] также получено совершенно дру¬
гим методом характеристическое многообразие типа (4.47), но не возведенное
в степень 3. Этот показатель степени имеет принципиальное значение, так как
указывает, что уравнения Максвелла удовлетворяют требованиям квантового
постулата.
Таким образом, уравнения Максвелла также подчиняются квантовому по¬
стулату и являются элементом единой системы волновых уравнений квантовой
теории. '
Пример 7. О квантовании гравитационного поля. В книге Дж. А. Уи¬
лера [133] приведена следующая цитата из статьи de Witta [200]: «Никто не
сможет указать последовательный путь перехода от уравнения Эйнштейна —
Гамильтона — Якоби
(VS/ô3G)H3)fl=0
к уравнению Эйнштейна — Шредингера».
Уравнение Эйнштейна — Шредингера имеет следующий вид [133]:
Ѵ2ф/ (ô<3> G)2— (&>Rh2) ф=0. (4.49)
Вместе с тем, используя квантовый постулат, можно из уравнения (3.194)
легко вывести уравнение (4.49). Уравнение (3.194) в трансформированном ви¬
де имеет следующую форму:
( VQ/Ô<3> G )2+&R(dQ/dS)2=0. (4.50)
Волновое уравнение, имеющее в качестве характеристического многообра¬
зия (4.50), может быть записано следующим образом:
,Щп*Ф=0. (4.51)
(6(3)G)2 + « д& 1
Полагая далее в соответствии с квантовым постулатом
<р=ф ехр {—iSI h }, (4.52)
получим уравнение Эйнштейна — Шредингера (4.49)
Ѵ2гр/(0(3>С)2—(<3>ЯМ2)ір=0. (4.53)
237
Итак, уравнения Шредингера, ФКГ, Дирака, Максвелла,
Эйнштейна — Шредингера были получены на основе описанной
выше процедуры, которую кратко можно сформулировать сле¬
дующим образом.
1. Записывается уравнение Гамильтона — Якоби для рас¬
сматриваемого случая; это уравнение подвергается стандартной
трансформации (4.5). Полученное таким образом уравнение
возводится в степень a(2s+l), где s—спин частицы, а <х=
= 1, 2, 3, ... в зависимости от порядка производных, получен¬
ных в результате этой процедуры квантовых уравнений.
2. Трансформированное уравнение Гамильтона — Якоби,
возведенное в указанную выше степень, рассматривается как
характеристическое многообразие для системы линейных диф¬
ференциальных уравнений для (4s + 2) функций. Эти уравнения
являются классическим аналогом квантовых уравнений.
3. Уравнения классического аналога квантовых уравнений
подвергаются подстановкам (4.9) или (4.10).
В результате получаются искомые квантовые уравнения.
Отметим, что с помощью указанной процедуры можно полу¬
чить не только уравнения Шредингера, ФКГ, уравнения Дирака,
Максвелла, но также и другие уравнения для частиц с более
высоким спином, которые будут приведены ниже. Это дает осно¬
вание высказать гипотезу, что вообще все имеющие физический
смысл квантовые уравнения для частиц с различными спина¬
ми, массами и зарядами могут быть получены с помощью опи¬
санной процедуры. Будем в дальнейшем эту процедуру совмест¬
но с высказанной гипотезой называть квантовым постулатом
(однако ниже будет показано, что справедливость этой гипоте¬
зы может быть строго доказана).
В заключение приведем структурную схему рассмотренной
процедуры.
4.2.3. Квантовый постулат и нелинейные уравнения кванто¬
вой механики. Все известные линейные уравнения квантовой
238
механики могут быть записаны в следующем общем виде:
(4.54)
Здесь ф — вектор-функция; X — квантовый оператор, содержа?
щий только старшие производные.
К уравнению (4.54) можно, однако, добавить некоторую
функцию /, зависящую только от младших производных вектор-
функции ф и самой функции ф, т. е. это уравнение можно пред¬
ставить в виде
Хф=Хф + /. (4.55)
Введенная функция f может быть как линейной, так и нелиней¬
ной.
Тот факт, что обобщение квантовых уравнений (4.54) допус¬
тимо с точки зрения квантового постулата, становится очевид¬
ным, если учесть, что поскольку характеристики дифферен¬
циальных уравнений зависят только от старших производных,
то в уравнении классического аналога можно сохранить только
старшие производные. При этом нелинейные члены вводятся в
квантовые уравнения после того, как получена линейная форма
этих уравнений.
Для проверки соответствия системы (4.55) квантовому пос¬
тулату следует отбросить функцию f, так как по условию она
должна содержать только низшие производные, и путем замены
ф=срехр{±ь$/Й}, (1/АЛ)ф^д\р/дЗ*(ехр{±і£/Й}) и т. д. перейти
к классическому аналогу рассматриваемых квантовых уравне¬
ний. Этот классический аналог должен иметь в качестве своего
характеристического многообразия трансформированное урав¬
нение Гамильтона — Якоби, возведенное в степень a(2s+l).
Таким образом, квантовый постулат не только разрешает
введение ‘нелинейностей в квантовые уравнения, но и требует,
чтобы эти нелинейности охватывали только низшие производные
и саму функцию ф. Что касается старших производных функ¬
ций ф, то они должны входить в уравнения только линейно.
Это важное следствие из квантового постулата должно иметь
большое эвристическое значение, так как оно указывает грани¬
цы для возможного нелинейного обобщения уже известных ли¬
нейных квантовых уравнений.
В качестве примера приведем два известных нелинейных квантовых урав¬
нения: нелинейное уравнение Шредингера (S3) (уравнение Гинзбурга — Лан¬
дау) и нелинейное уравнение ФКГ (sine-Gordon). Первое уравнение имеет
вид • •
т — + О'І’ + А|ір|аф = О. (4.56)
dt 2m dxl
Второе уравнение записывается в виде
<4-57>
\ ді2 дх2 !
239
Заметим, что уравнения (4.56), (4.57) имеют большое значение в теории сверх¬
проводимости, в теории плазмы, теории элементарных частиц и других обла¬
стях современной физики, а также привели к открытию нового объекта — соли¬
тонов в квантовой области.
4.2.4. Квантовые волновые уравнения для частиц со спином
s =1.
Предварительные замечания. Квантовые волно¬
вые уравнения для частиц со спином s=l были предложены
Прока, Дэффином и Кеммером. Подробно эти уравнения рас¬
смотрены В. Паули [89]. Для свободных частиц эти уравнения
имеют следующий вид:
дВ, dBk
дх* dr
£*£+х2В, = 0.
дх*
(4.58)
Переход к случаю, когда имеют место электромагнитные поля,
проводится с помощью общеизвестной стандартной операции
замены операторов
д д le д * д іе л
d7~*Di:=~dJ+lnAl’ ~d7^Dl'=U~~hc Aj- (4,59)
В результате получим из (4.58), (4.59) следующие эквивалент¬
ные уравнения:
DkBit £>*фЛ+х2В(=0. (4.60)
Для уравнений (4.60) существует следующий лагранжиан:
S’ = — у ф,**ф,* + у ф** (DiBk — DkBt) +
+ + хГВ'іВі. (4.61)
В упоминавшемся выше обзоре В. Паули [89] приводится сле¬
дующее преобразование системы (4.60). Применяя оператор Д
ко второму уравнению системы (4.60) и используя перестановоч¬
ное соотношение
(о / дЛ, дАь \ іо
DiDk — DkDl^ — — [—i-—ZTl = — — F^ (4.62)
с \дхя дх1 / с
В. Паули получает
x2D.b. _ JL г(.Афм =, о. (4.63)
Л с
Далее, используя уравнения, совпадающие по существу с первой
группой уравнений Максвелла, т. е.
, д^и , п
дх1 дх!* дх1
(4.64)
240
и производя замену операторов (4.59), получаем
О/'фгл + Dityki + Dktyii = —у- (FiiBk + FikBt + FkiBi). (4.65)
Наконец, учитывая (4.60) и (4.63), имеем 2 * *
? = »•
(4.66>
Учитывая, что
Dftyre DfDrBs — DfDiBn . (4.67)
преобразуем уравнение (4.66) к следующему виду:
3 DlB, — Frs (DfDrBs - DfDsBr) — FfkB{ —
k 2cx2 c
І£_2^.^=о. (4.68)
2cx2 дх^
Приведенное уравнение Паули будет подробно проанализиро¬
вано в дальнейшем.
Квантовый постулат и некоторые другие
уравнения для частиц со спином s=l. Исключив
Bj из уравнений (4.60), получим
J_ - о (4 69)
Переход к случаю, когда частица находится в электромагнит¬
ном поле, производится при помощи обычной стандартной опе¬
рации дідх^дідх5—(ie/hc)Ah т. е.
DjD^ka—DhDrf)n+H2^jk=0. (4.70>
С чисто математической точки зрения системы уравнений
(4.69), (4.7Ô) являются следствием уравнений (4.60). Однако с
физической точки зрения рассматриваемые математические мо¬
дели существенно различны.
В самом деле, волновые уравнения (4.60) написаны для
10 неизвестных функций (шесть компонент) и Вг (четыре-
компоненты), в то время как согласно общим требованиям к
квантовым уравнениям (см. выше) общее число фундаменталь¬
ных функций должно равняться в данном случае 4s + 2 = 6. На¬
личие «избыточных» волновых функций в уравнениях (4.60)
является, как отмечено в [478], одной из причин появления
2 По поводу приведенных уравнений В. Паули замечает [89’]: «Следует отме¬
тить, что уравнения типа ((4.60) — примеч. авт.), которые можно непосред¬
ственно вывести из вариационного принципа, отличаются от ((4.63) — (4.66) —
примеч. авт.) тем, что не содержит членов, в которых явно встречается Fn^
241
«сверхсветовых скоростей в присутствии электромагнитного по¬
ля Fih.
Кроме того, уравнения (4.60) написаны не для одного, а дли
двух математических в смысле Вундгейлера объектов: для анти¬
симметричного тензора и 4-вектора Bjt что противоречит
изложенным выше общим требованиям к квантовым уравнениям.
И, наконец, последнее: характеристические уравнения дли
классического аналога системы (4.60) не удовлетворяют требо¬
ваниям квантового постулата, т. е. характеристическое много¬
образие для этого классического аналога не совпадает с транс¬
формированным уравнением Гамильтона — Якоби, возведенного
в степень a(2s+l). Это характеристическое многообразие про¬
сто превращается в тождество 0=0.
Остановимся теперь подробнее на уравнениях (4.69), (4.70).
Предположим, что в случае свободной частицы
bk=(dBJdx*-dBJdx>). (4.71)
Следует особо подчеркнуть, что введение подстановки (4.71) не
означает возвращение к уравнениям Прока (4.60) для свобод¬
ных частиц, так как в данном случае рассматриваются функции
фй (система (4.69)), либо функции В; (для которых уравнения
будут приведены ниже), но не одновременно с функциями и
Bj, входящими в систему уравнений (4.60) одновременно.
Подстановка (4.71) в (4.69) приводит к следующему урав¬
нению:
д д / àBf
ôx* дха \ дха
Ма\
дх^ /
д д / àBk
дх{ дх^ \ дх^
Y+
dBk\ д „ & „
—г = □ В,- — 777Т div В —
дх{ / dxk дх'дхк
Я а2 . I дВ,
—• —т— □ Bk -J- —г—у- div В + х21 —т-
dxf dxkdx> \ дхк
МИ
дх{ /
= 0
или
иВ
dBk
дх'
(4.72)
Учитывая соотношение (4.66) из (4.72), получим
0Фм=сО (М =І1,2, 3,0); (4.73)
<4-74)
Из (4.74) следует, что
0 В/ == gradO. (4.75)
Таким образом, любое решение уравнений (4.69) будет удов¬
летворять уравнениям (4.73), но не обратно.
242
В самом деле, для того чтобы решения системы (4.73) удов¬
летворяли исходной (4.69), необходимо, чтобы начальные усло¬
вия, которые задаются для системы (4.73), не противоречили
системе (4.69). На дальнейших математических подробностях
здесь останавливаться не будем.
Что касается вектора вихрь от которого равняется функ¬
циям ф5Л, то благодаря наличию в правой части (4-75) градиента
произвольной функции Ѳ его значение становится неопределен¬
ным. В том случае, если общее решение уравнения (4.75) может
быть представлено в виде
Bj=Bj+ grad л, (4.76)
где ЙВ>=0, указанная неопределенность не скажется на зна¬
чениях функций При этом связь между произвольными функ¬
циями л и Ѳ принимает следующий вид:
Й"=Ѳ. (4-77)
за исключением особых случаев, таким образом, решение систе¬
мы (4.69) можно искать в виде (4.71).
Остановимся теперь на вопросах о характеристиках уравне¬
ний (4.69).
Поскольку решения уравнений системы (4.73) при опреде¬
ленных начальных условиях, совместных с исходной системой
(4.69) (см. выше), будут одновременно удовлетворять (4.69) и
поскольку уравнение характеристического многообразия не за¬
висит от начальных условий, то можно утверждать, что харак¬
теристические многообразия системы (4.73) и системы (4.69)
будут совпадать друг с другом (по крайней мере для решений,
представленных в виде (4.71)). То же самое справедливо для
классических аналогов как системы (4.69), так и системы (4.73).
Итак, задача сводится к нахождению характеристического
многообразия системы
□ <Р/* + /пѴ-^ =0, (4.78}
ОСТ
где <pjftexp{iS//i} =фЛ; —trf-c2Характеристическое мно¬
гообразие для системы (4.78) имеет следующий вид:
û 0
о
+т*с* (А?ів = {г—яу = о,
\dxf ) \dS J 1 г '
(4.79}
где й + mV РЦ2 (/ = 0,1,2, 3).
f \dxf ) \dS ) J '
Итак, система (4.69) удовлетворяет квантовому постулату:
характеристическое многообразие представляется в виде транс¬
243
формированного уравнения Гамильтона—Якоби, возведенного
в степень a(2s + 1) =.-2-3=6 (а=2, 5=1).
Хотя система (4.69) является следствием (4.60), между ними
-есть существенное различие не только в физическом смысле
(о чем говорилось выше), но и в математическом. В самом деле,
система (4.60) не удовлетворяет квантовому постулату, в то
время как (4.69) ему удовлетворяет. Что касается системы
уравнения (4.75), то благодаря неопределенности функции 0
вообще не приходится говорить о характеристиках этих уравне¬
ний. В самом деле, если Ѳ принять в виде §=Рта(дВг1дх9), где
Fra — произвольный (но дифференцируемый) антисимметричный
тензор, то будем получать различные характеристические мно¬
гообразия в зависимости от выбора тензора Frs. К этому вопро¬
су вернемся ниже.
Отметим, что при наличии электромагнитных полей произво¬
дится следующая замена операторов в уравнениях (4.69)
dldxk-+dldxh±(ielhc)Ak и, следовательно, такая же замена опе¬
раторов производится в их классическом аналоге и характери¬
стическом определителе.
Отсюда следует, что квантовый постулат будет удовлетво¬
ряться для системы (4.69) и при наличии электромагнитных
полей.
В заключение отметим, что для частиц со спином s=l воз¬
можно обобщение уравнений (4.69) в следующем виде:
4 m -4 + _ о (4.80)
Э? \ дх* ' dxf\ дзР ' ѵ ’
ИЛИ
дхг \ dxa } дх' \ дхР /
Эти системы также будут удовлетворять квантовому постулату.
Подробно системы (4.80), (4.81) будут рассмотрены в другой
работе.
В соответствии с приведенным системы (4.80), (4.81) будут
удовлетворять квантовому постулату и при наличии электро¬
магнитных полей.
4.2.5. Несколько замечаний о возможной форме квантовых
волновых уравнений для частиц с целыми спинами. Рассмот¬
рим уравнения Масквелла
Эікпт(дРкп/дхт)=0; dF<Jdxk=j< (i=l, 2, 3,0). (4.82)
Полагая, как обычно,
Р(к=дА</дхк—dAJdxi (i, k=Q, 1, 2, 3), (4.83)
можно убедиться, что первое уравнение в (4.82) удовлетворяет¬
ся тождественно, а второе уравнение принимает вид
□Л(— (d/dxt) div A=jt. (4.84)
244
Если применить оператор d/dxt (4-мерная дивергенция) к левой
и правой частям (4.84), то получим '
□ div Я—□діѵЛ= (d/dxf)/i=0, (4.85)
т. е. закон сохранения тока.
Нетрудно показать, что уравнения (4.83), (4.84) градиентно
инвариантны, т. е. замена Лг-МН-дФ/дх, не меняет вид этих
уравнений. Для уравнения (4.83) это очевидно, а для уравне¬
ния (4.84) необходимо провести математические выкладки.
Далее, взяв 4-мерный вихрь от обеих частей (4.84) и учиты¬
вая (4.83), получим
□ Л*=д/</дх*—дд/дХі. . (4.86)
Естественно, что решение системы уравнений Максвелла
(4.82) будет удовлетворять системе уравнений (4.86), но не на¬
оборот. В действительности компоненты Л* не являются неза¬
висимыми, так как они должны выражаться через компоненты
4-вектора А{ по формулам (4.84). Другими словами, формулы
(4.83) допускают только те решения системы уравнений (4.86),
которые могут быть выражены через вихрь 4-вектора Д«. Это
значит, что в смысле Вундгейлера поле по-прежнему описывает¬
ся единым объектом — антисимметричным тензором второй ва¬
лентности ГЛ, подчиняющимся независимой системе уравнений
(4.86). Причем из всего множества решений системы уравне¬
ний (4.86) отбирается подмножество, удовлетворяющее усло¬
вию (4.83).
Заметим, что функции Fj*, удовлетворяющие соотношению (4.86), будут
тождественно удовлетворять первой группе уравнений Максвелла (4.82). Та¬
ким образом, уравнениям Максвелла можно придать вид
Эшт(<?Лт/дх*)=0 (первая группа);
nFik = dji/dxK—-dj/Jdxi (вторая группа). ’
Ниже будет показана эквивалентность форм представления уравнений
электромагнитного поля Максвелла (4.82) и (4.87). •
Закон сохранения тока (4.85), т. е.
div j=dji/dXi=O (4.88)
вместе со вторым уравнением системы (4.87) и (4.83) приводит¬
ся к следующей системе:
— div/^o. (4.89)
dxk дх. дхк dxt
Верно, однако, и обратное. В самом деле, подставив (4.83)
в (4.86), получим
□Ді=/і+дФ/^х<. (4.90)
245
Взяв дивергенцию от обеих частей (4.90) и учитывая (4.88),
получим
□ <ііѵД = СФ. (4.91Х
Из (4.91) следует, что Ф=<ііѵ А.
Следовательно, уравнение (4.90) принимает вид
□Д— (ô/dx,)div A=jt, (4.92)
т. е. совпадает с уравнением (4.84).
Таким образом, группа уравнений Максвелла (4.82), (4.83),
(4.88) и система уравнений (4.89) эквивалентны. Добавим, что
если к обеим частям уравнений (4.86) применить оператор-
д)дхк и просуммировать по индексу k, то получим
□ (дЛл/дх*) = □ ji или дР1к/дхк=](,
т. е. вторую группу уравнений Максвелла (4.82).
Подчеркнем, что в приведенных выше рассуждениях нигде
не использовалась гипотеза Лоренца
div4=d.4i/dxj=0. (4.93)
Здесь, как и ранее, оператор div носит 4-мерный характер. Если
принять условие (4.93), то уравнение (4.92) принимает вид
(4.94)
Полученные таким образом решения вполне законны, не¬
смотря на то, что ни условие Лоренца (4.93), ни уравнение
(4.94) не удовлетворяют требованию градиентной инвариантно¬
сти. Этого в данном случае не требуется, так как градиентная
инвариантность должна проверяться на общих уравнениях
(4.84) или (4.92), которые, как было показано, этому условию
удовлетворяют.
Теперь легко перейти к волновым уравнениям для частиц с
высшими целыми спинами. Для этой цели в уравнениях (4.89)
для свободных частиц следует принять /\=0, оператор Далам¬
бера заменить на оператор ФКГ, т. е. □-*-|/|, вектор-потенциал
А{-+В( и В результате получим
Й'Ь = 0; = dBildXk—dBkldxt, ф,-* = —ф«. (4.95)
Это и есть квантовое волновое уравнение для частиц со спином
s=l и /п#=0. Тогда уравнения для частиц с и $=1 с уче¬
том приведенного выше можно записать в виде
IXI Фм — 0» 'Biktm {д^іт/дх^) =• 0.
Прежде всего нетрудно убедиться, что квантовый постулат
удовлетворяется автоматически. В самом деле, характеристики
классического аналога этих уравнений, зависящие только от
старших производных (т. е. от производных функций ф«), не-
246
медленно приводят к трансформированному уравнению Гамиль¬
тона— Якоби в шестой степени {Г — Я}6, что и требовалось.
Здесь, как и в случае уравнений Максвелла, поле описыва¬
ется только с помощью функций фік, а выражение тензора
через 4-вектор В{ имеет характер дополнительных ограничений
на множество решений.
Лагранжиан для рассматриваемой системы (4.95) имеет вид
дВ. dBk \ ’
——4- -ф.* •
дхі / J
(4.96)
Отметим, что уравнения (4.96) можно было бы вывести из урав¬
нений Кэммера — Дэффина — Прока. Однако здесь они получе¬
ны заменой
Весьма интересен случай поведения поля фл при наличии
внешнего электромагнитного поля Л(. Здесь путем стандартной
замены операторов dldxh-+-dldxk±(ielhc)Ah для каждой компо¬
ненты поля получим уравнения ФК.Г при наличии внешних
полей.
Отсюда следует, что каждая из компонент рассматриваемого
поля распространяется в точности со скоростью света с. Здесь
следует помнить, что вектор В, не им^ет самостоятельного зна¬
чения и служит для отбора решений уравнений (4.95)
ся объектом второго рода (см. гл. 1).
В случае частиц со спином 2 могут быть написаны
ные уравнения
Йфм = 0; фм= —
dxk
<4* ) , m2ca . .« . .
1 + — ФілФ/л +
да
дхп
àCk
dBk
dxk
и являет-
аналогич-
, , Фм — ■
dxt
(4.97)
Здесь С{ — некоторый вектор, дающий возможность провести
отбор решений уравнений (4.97), имеющих физический смысл.
Легко видеть, что классический аналог указанных уравне¬
ний (4.97) удовлетворяет квантовому постулату. Лагранжиан
для (4.97) имеет вид
/ dÿik \ , т*с* . . • . .
S’ = I —: ;— ) + —— ф/*фм +
дхп дхп / Л2
дС, dCk
dxk ’ дх.
+ —— — Ф<* •
дхі / J
(4.98)
В общем случае для частиц со спином s необходимо найти
тензор валентности обладающий такими свойствами
симметрии или антисимметрии, которые наряду с условиями
приравнивания нулю некоторых его инвариантов привели бы к
существованию в точности (4s4-2) независимых компонент это¬
го тензора. В том случае, когда это достигнуто, квантовые урав¬
нения для частиц со спином s могут быть записаны в виде
ЙФщ...<„ = 0 (4.99)
с дополнительными условиями (4.95), (4.97) в зависимости от
247
симметрии или антисимметрии перестановок его индексов. Кро¬
ме того, должны быть добавлены упоминавшиеся выше алгеб*
раические соотношения, выражающие равенство нулю некото¬
рых инвариантов этого тензора.
Здесь необходимо сделать одно замечание. Когда приравниваются нулю
некоторые инварианты рассматриваемого тензора, то действительно уменьша¬
ется число независимых компонент. Так, в механике сплошных сред, приравни¬
вая нулю первый инвариант тензора напряжений, приходим к так называемому
девиатору напряжений, который имеет только пять независимых компонент, в¬
то время как сам тензор напряжений имеет шесть независимых компонент.
В квантовой механике в тех случаях, когда число введенных компонент волно¬
вой функции превышает (4s+2), вводят иногда в качестве дополнительных
ограничений не алгебраические, а дифференциальные соотношения. Этим, од¬
нако, цель не достигается, так как при этом просто превращаем исследуемую-
систему дифференциальных уравнений в сверхопределенную с тем же числом
неизвестных функций. Не вдаваясь в излишние подробности, отметим только,,
что общая теория сверхопределенных систем дифференциальных уравнений,
построенная Рикье, Жанэ, Томасом и др., достаточно подробно изложена в-
[475]. ’
Вернемся к уравнениям Максвелла. Было показано, что и»
этих уравнений следует
nFik=dji/dxk—djK/dxt (4.100>
при условии
Fih=dAJdx^dAJdXi. (4.101 >
Если принять вихрь от обеих частей второй группы уравнений
Максвелла
дРл1дхк=](, (4.102>
то, учитывая (4.100), нетрудно получить
(4.Г03)
дхі \ дха J dxk \ дха J
Отсюда следует, что множество решений системы (4.103), удов¬
летворяющее условию (4.101), охватывает как свободные элект¬
ромагнитные поля, так и поля, вызванные током.
Можно выделить подмножество свободных электромагнит¬
ных полей и полей, вызванных наличием тока jit а также опре¬
делить значение этого тока ^=ц(х1, х2, х3, х°) (і=1, 2, 3, 0) с
помощью (4.102), в которые следует подставить полученные ре¬
шения системы (4.103). Системой (4.103) можно воспользовать¬
ся для описания частицы со спином s=l и массой т=/=0, т. е.
Т“ ( “ Т" ( “гН “Й= 0: (4Л04)
дхі \ дха / dxk \ дха /
Эти уравнения не могут быть получены из уравнений Кэммера —
Дэффина — Прока для частиц со спином s—1. Аналогично мо¬
248
гут быть получены квантовые волновые уравнения для частиц
<о спином s=2 в виде
+ Фм=*Ф*. (4.105)
dxt \ dxa / dxk дха J —
Эта система уравнений существенно отличается от уравнений
-Фирца — Паули [89, 429] хотя бы потому, что здесь отсутствуют
дополнительные алгебраические соотношения. , -
Не будем здесь подробно обсуждать эти уравнения. Отме¬
тим, что если предположить, что имеем частицу со спином
3=1 и массой /и=0 (фотон), и произвести замену m2c2lh2—
=ѵ21с\ то из (4.95) получим .
ѵ2 dBf дВь
□ 0; ф.-* = —1- -±-. (4.106)
с2 dxk dxt
При ѵ->0 приходим к уравнениям Максвелла. При больших ѵ
будут обнаруживаться квантовые эффекты.
4.2.6. Основные требования к волновым уравнениям кванто¬
вой механики и их классическим аналогам. Само собой разу¬
меется, что как уравнения классического аналога, так и сами
квантовые уравнения должны быть релятивистски инвариант¬
ными (в релятивистской области). В случае тензорных полей
{для частиц с целочисленными спинами) релятивистская инва¬
риантность обнаруживается непосредственно на основе принци¬
пов тензорного исчисления. В случае спинорных полей (для час¬
тиц с полуцелыми спинами) релятивистская инвариантность
уравнений требует специального рассмотрения (И. М. Гельфанд
и А. М. Яглом [62]). Ниже следуем [62].
Введем следующие обозначения. Преобразование Лоренца
будем обозначать следующим образом:
xl^-xd =.lkXk- (4.107)
Преобразование компонент спинора (гиперспинора или спин-
тензора) будем обозначать
ф'=П8(ф). (4.108)
Преобразования П8 должны быть представлениями группы Ло¬
ренца (4.107).
Рассмотрим систему первого порядка
(рф/дх^) + іхф=0, (4.109)
где ф — вектор-функция с 2л компонентами. Матрица hL имеет
компоненты hLp\ Будем предполагать, что эти компоненты
могут быть действительными или комплексными числами. Пред¬
полагается, что вектор-функция ф преобразуется по 2и-мерному
представлению группы Лоренца (4.107), т. е.
Ф'=£ф, (4.110)
где S — 2л-мерная матрица.
249
Подставив (4.107) в (4.109) и (4.110), получим следующую
систему матричных уравнений [62, 65, 66]:
zL = Z'/S(/4)S-1. (4.111)
Итак, если коэффициенты матрицы таковы, что система
уравнений (4.111) тождественно выполняется, то и уравнения
(4.109) будут релятивистски инвариантными [62, 65, 66].
Задача может быть поставлена иначе. Допустим, что наряду
с преобразованиями Лоренца (4.107) известно преобразование
S функций ф и требуется найти коэффициенты матрицы
Очевидно, система матричных уравнений (4.111) приведет к ли¬
нейным однородным уравнениям для нахождения коэффициен¬
тов этих матриц. Задача может быть решена, если определители
этих линейных однородных уравнений равны нулю. В этом слу¬
чае часть неизвестных коэффициентов может быть задана, а
остальные определяются из (4.111). Таким образом, матричное
уравнение (4.111) для заданной вектор-функции ф приводит к
бесконечному множеству релятивистски инвариантных уравне¬
ний первого порядка для компонент функции ф.
Возникает фундаментальный вопрос: что такое компоненты
вектор-функции ф? Возьмем уравнение Кеммера— Дэффина
(4.60) для частицы со спином s=l, когда эти уравнения запи¬
саны в виде уравнений первого порядка. В эти уравнения, как
отмечалось, в качестве объекта входят антисимметричный тен¬
зор второй валентности (шесть компонент) и 4-вектор (четыре
компоненты). Таким образом, вопреки основному требованию
квантового постулата уравнения Кеммера — Дэффина записаны
не для одного, а для двух объектов, причем закон преобразова¬
ния для каждого из них имеет свою матрицу S. Следовательно,
матрица S распадается в этом случае на две независимые мат¬
рицы. Изложенное противоречит приведенным выше требова¬
ниям. Объект согласно квантовому постулату должен быть еди¬
ным, а матрица S не должна распадаться на независимые мат¬
рицы для отдельных компонент вектор-функции ф, состоящей
из отдельных объектов.
Для существования лагранжиана уравнений типа (4.109) не¬
обходимо и достаточно выполнения условий [62, 65, 66]
(І°фь ф2) = (фь (4.112)
Сам лагранжиан будет иметь следующий вид [62]:
*д'59)+х(ім')’ (4Ліз>
\ С/Л 7 \ С/А y J
а вектор тока и тензор энергии-импульса могут быть записаны
в виде
sk= (е/й) (л£ф, ф) ; (4.114)
250
соответственно. Плотность заряда для рассматриваемых урав¬
нений определяется как
p=S°/c= (s/he) (Л°ф, ф), (4.116)
а для плоских волн, если плотность энергии
ѵ - - ті = - -(* L‘ ^)}
будет положительной, полная энергия будет положительно опре¬
деленной. Для этого случая [62, 65, 66]
(ф(0), ф,0))>0. ’ - (4.118)
Напомним, что число компонент волновой функции ф долж¬
но быть 4s + 2, где s — спин частицы. В этом случае, если невоз¬
можно найти математический объект с требуемым числом ком¬
понент 4s+ 2, приходится вводить объект с большим числом
компонент 2n>4s + 2. В этом случае систему 2п волновых урав¬
нений необходимо дополнять органичивающими ее решения
условиями.
Из имеющих физический смысл квантовых уравнений долж¬
ны следовать уравнения сохранения вектора плотности потока
вероятности и тензора энергии-импульса. Эти законы сохранения
получаются автоматически, если для рассматриваемой системы
уравнений существует лагранжиан. Если лагранжиан не суще¬
ствует, то необходимо другим способом доказать существование
искомых уравнений.
Наконец, фундаментальным требованием является следую¬
щее: квантовые уравнения должны удовлетворять квантовому
постулату, сформулированному выше.
Здесь следует, однако, отметить, что если уравнения удов¬
летворяют квантовому постулату, то для них автоматически вы¬
полняются законы сохранения энергии и импульса.
В самом деле, для всякого решения уравнений Гамильтона —
Якоби эти законы выполняются. Следовательно, они будут вы¬
полняться и для классического аналога квантовых уравнений,
бихарактеристики которых описывают уравнения движе¬
ния частиц. Отсюда следует, что законы сохранения будут вы¬
полняться в классическом смысле для всякого частного решения
уравнений классического аналога вида
Ф*==<р*ехр {±iS/h}.
Отсюда следует, что эти законы будут выполняться в среднем по
некоторому множеству траекторий. Следовательно, они будут
выполняться и для квантовых уравнений, удовлетворяющих
квантовому постулату.
4.2.7. Градиентная инвариантность уравнений Гамильтона —
Якоби и квантовых уравнений. Релятивистское уравнение Га¬
мильтона — Якоби, как известно, в общем случае имеет вид
(тт — — Л/У + /пѴ = 0. (4.119)
\ дх1 с J
251
Приняв, что
А^А^дФ/дх^
получим
/ dS
\dxf
Положив
— Af _ + m2c2 = о.
c c dx1 )
S = S —-Ф,
c
получим
/ dS
\ dx*
— Aj I + mV = 0.
C I
(4.120)
(4.121)
(4.122)
(4.123)
Таким образом, градиентная инвариантность уравнений Га¬
мильтона — Якоби доказана, так как уравнения (4. 119) и
(4.123) имеют одну и ту же форму и, кроме того, характеристи¬
ки как уравнения (4.119), так и (4.123) (т. е. уравнения движе¬
ния) будут совпадать друг с другом.
Ясно также, что полные интегралы уравнений (4.119) и
(4.123) будут совпадать друг с другом. Следовательно, приме¬
нение метода Гамильтона — Якоби будет приводить к одним и
тем же уравнениям для траекторий движения частиц.
При переходе к трансформированной форме уравнений Га¬
мильтона — Якоби, когда неизвестной функцией является
Q = Q(x‘, х2, X3, Xй, S)=const, (4.124)
также будем иметь градиентную инвариантность.
В самом деле, решение уравнения (4.119) S=S(x‘, х2, х3, х°),
как видели, градиентно инвариантно. Поэтому градиентно инва¬
риантно будет и уравнение (4.124), являющееся решением
трансформированного уравнения Гамильтона — Якоби и пред¬
ставляющее функцию Q как функцию координат в неявном виде.
Очевидно, что из градиентной инвариантности уравнений Га¬
мильтона — Якоби следует градиентная инвариантность как
классического аналога квантовых уравнений, так и самих кван¬
товых уравнений. Это можно показать детально, но не будем ос¬
танавливаться на этом вопросе.
В. Паули показал, что если существует лагранжиан для кван¬
товых уравнений, то уравнения будут градиентно инвариантными
[89]. Очевидно, что в этом случае градиентно инвариантным бу¬
дет их классический аналог. В настоящей работе рассматрива¬
ются только уравнения, для которых лагранжиан существует и
его можно выписать в явном виде.
4.2.8. О гиперболическом характере релятивистских волно¬
вых уравнений, удовлетворяющих квантовому постулату. Ха¬
рактеристическое многообразие для классических аналогов
, квантовых уравнений, как выше было показано, должно иметь
252
следующий вид:
[Æ _ JL лЛ? + mV /^VY(2S+1) = 0.
dxt с dS ) |^S ) J
(4.125>
Отсюда следует, что при переходе к квантовым уравнениям
е л е
коэффициенты уЛі или 7" дх"" МОГУТ встретиться только у
низших производных или у самих функций фл, встречающихся в
этих уравнениях. Это обстоятельство было выше подробно разъ¬
яснено. '
Таким образом, характеристики квантовых релятивистских
уравнений, удовлетворяющих основному постулату, будут иметь,
следующий вид:
I дф\а , ZJty \2 , /JM2 , /Эф \21“(2S+1) _ о.
[дх1] \ Эх’ ) ’’’ \ Эх» ) Эх» / J
(4.126).
Эти характеристики (сопадающие по существу с уравнением
эйконала в геометрической оптике) будут действительны, что и
доказывает в общем виде гиперболический характер кванто¬
вых уравнений, удовлетворяющих основному постулату.
В простейшем случае характеристическое многообразие име¬
ет вид
дф \2 . 7 Эф \2 / Эф \2 . / Эд> \2 _ 0
дх1 J "Г \ Эх’ ; "Г \ Эх’ ) "Г” \ Эх° )
что соответствует волновому уравнению вида
д2ф I д2ф I д2ф I д2ф I
Эх12 дх22 дх32 дх°2
(4.127}
(4.128}
где тремя точками обозначены члены, содержащие низшие про¬
изводные или саму фунцию ф. Старшие производные соответ¬
ствуют волновому уравнению.
Из уравнения (4.126) следует, что скорость распространения;
фронта волны в релятивистских гиперболических квантовых,
уравнениях будет всегда строго равняться скорости света. Кро¬
ме того, всякое начальное возмущение, занимающее конечный
объем в пространстве, будет с течением времени асимптотически
приближаться к возмущению со сферическим фронтом волны.
В связи с изложенным уместно привести следующее замечание, принадле¬
жащее Р. Куранту [99, с. 512]: «Сферические волны для любых линий времен¬
ного типа существуют только в случаях двух и четырех переменных и притом
только для дифференциальных уравнений, эквивалентных волновому уравне¬
нию. Если удастся доказать это предположение, то этим будет установлена
особое, существенно важное отличительное свойство четырехмерного простран¬
ственно-временного многообразия. Однако уже то обстоятельство, что наше
утверждение справедливо в случае постоянных коэффициентов и нетрудно до-
253
•называется в этом случае, является, как мне кажется, само по себе довольно
-существенным отличительным свойством четырехмерного мира».
4.2.9. Некоторые замечания о работах по 5-мерному пред¬
ставлению волновых уравнений. Отметим, что в работах
В. А. Фока [56], Ю. Б. Румера [109] и др. уже приводились
классические волновые уравнения, записанные в 5-мерном ви¬
де, из которых путем стандартной трансформации типа (4.9),
(4.10) получались квантовые уравнения. Однако в работах
этих авторов не было никаких указаний, как получить класси¬
ческие волновые уравнения для частиц с различными спинами
и на их основе непосредственную связь с трансформированным
уравнением Гамильтона—Якоби, возведенного в степень
a(2s+l). Отметим также, что приведенные В. А. Фоком в [56]
5-мерное уравнение Гамильтона — Якоби и волновое уравнение
в 5-пространстве для частиц с нулевым спином (s=0) не явля¬
ются уравнениями классической релятивистской механики
(в эти уравнения вводится независимая 5-я координата и, фи¬
зический смысл которой не определяется).
Кроме того, В. А. Фок вводит своеобразную 5-мерную метри¬
ку
do2 = g^dx11 dxv — (Avdxv + du)2, (1.129)
m2c2
что вынуждает его ввести действие S, зависящее от пяти
координат (х1, X2, х3, х°, и), и действие W, зависящее от четы¬
рех пространственно-временных координат. При этом функции
S и W связаны соотношением
5=(е/с)ц+Г. (4.130)
Метрика (4.129), как отмечает В. А. Фок: «... подобрана так,
чтобы она могла дать уравнения движения заряженной частицы.
Поэтому естественно, что она не является универсальной, а за¬
висит от отношения заряда к массе частицы» [422, с. 55].
В рассматриваемом случае [7] уравнение Гамильтона—Якоби
записывается просто для функции Q(x\ х2, х3, хь, S)= const,
дающий действие S(x\ х2, х3, х°) в неявном виде. Кроме того,
роль пятой координаты, как указывалось, играет просто дейст¬
вие S.
Таким образом, в исследуемой модели в отличие от (4.129)
имеем 4-мерную метрику, как это принято в релятивистской ме¬
ханике, не зависящую от заряда частицы и наличия электро¬
магнитных полей. Поэтому, несмотря на внешнее сходство,
5-мерное уравнение Фока, записанное для частиц со спином
s=0, и рассмотренные уравнения имеют совершенно различный
механический смысл.
Вместе с тем весьма существенное различие между предла¬
гаемой структурой и структурой Фока заключается в следую¬
щем. В нашем случае трансформированное уравнение Гамильто¬
на— Якоби возводится в степень а(2$+1)
254
(4.131)
{Г—Я}а(2в+1) = 0.
Полученный таким образом полином от dQ/dx’’ и dÇl/dS рассмат¬
ривается как характеристическое многообразие для системы ли¬
нейных дифференциальных уравнений порядка а для (4s-|-2) фун¬
даментальных функций. Эта система является классическим
аналогом для квантовых уравнений. Причем в этих уравнениях
пятая координата является действием S в его действительном
механическом смысле.
Другими словами, если некоторая система линейных диффе¬
ренциальных уравнений порядка а для 4$-|-2 функций, завися¬
щих от пяти координат х1, х2, х3, х°, S, имеет в качестве харак¬
теристического многообразия не полином (4.131), а какой-то дру¬
гой полином от д&/дх* и dQ/dS, то эта система не может рассмат¬
риваться как классический аналог квантовых уравнений даж&
в том случае, если ее характеристическое многообразие пред¬
ставимо в виде f(dÇl/dx\ dÇl/dS) {Г—Я}=0, где /(...) —некото¬
рый полином, не сводящийся к трансформированному уравне¬
нию Гамильтона — Якоби.
Это основное положение в предлагаемой структуре полностью
отсутствует в структуре Фока. По указанным причинам между
концепцией Фока и нашей имеется существенное различие.
Отметим также, что в упоминавшейся работе В. А. Фока
имеется следующее утверждение [422, с. 57]: «Квантовомехани¬
ческое волновое уравнение (или система уравнений) должно
иметь в качестве уравнения характеристик классическое урав¬
нение Гамильтона — Якоби».
В действительности, однако, квантовые уравнения, удовлет¬
воряющие квантовому постулату (т. е. уравнения ФКГ, Дирака,
Максвелла, sine-Гордона, некоторые уравнения для частиц со
спином s —1 и др.) отнюдь не будут иметь в качестве характе¬
ристического многообразия уравнение Гамильтона — Якоби.
В действительности эти уравнения, как было показано, имеют
в качестве характеристического многообразия уравнения, ана¬
логичные уравнениям эйконала.
Характеристическое многообразие уравнения Шредингера,
Шредингера — Гинзбурга — Ландау (нелинейное уравнение
Шредингера (S3)), Эйнштейна — Шредингера также ничего об¬
щего не имеют с уравнением Гамильтона — Якоби.
Только классические аналоги квантовых уравнений, запи¬
санные в 5-мерном виде (роль пятой координаты играет дей¬
ствие S) имеют в качестве характеристического многообразия
трансформированное уравнение Гамильтона — Якоби, возведен¬
ное в степень а(2$+1), как это было подробно показано выше.
Возведение трансформированного уравнения Гамильтона —
Якоби в степень a(2s-(-l) имеет принципиальное значение, так
как только в этом случае, как уже отмечалось, могут быть най¬
дены классические волновые уравнения для 4s-f-2 функций, яв¬
ляющиеся классическим аналогом квантовых уравнений.
255
Приведенными соображениями определяется существенное
различие между изложенной ів настоящей работе теорией и ра¬
ботой В. А. Фока.
Модель квантового' постулата существенно отличается и от
модели Маслова [463]. Так, в [463, с. 13] В. П. Маслов и
М. В. Федорюк отмечают: «Мы поставили во главу угла не урав¬
нение Гамильтона — Якоби, а его решение S(x) и лагранжево
многообразие Лп».
4.2.10. Основные следствия из квантового постулата. Рас¬
смотрим некоторые следствия из квантового постулата. В тех
•случаях, когда имеем дело с уравнениями классического аналога
квантовых уравнений первого порядка, в них появятся члены
дф*. г - дфь ~
вида —7-Н—А/ —В результате подстановки
дх1 с dS
ф* = Ф*ехр
получим следующее выражение:
дх1 Ьс
Введем теперь два оператора
D;=—+—Д;
дх1 he дх] he
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что извест¬
ная в квантовой механике замена операторов д1дх3-+д1дх3±
:±.({е/Ьс)А} не является самостоятельным положением, а, как
отмечалось, непосредственно вытекает из уравнения Гамильто¬
на — Якоби и квантового постулата. Из квантового постулата
(7] нетрудно получить известные некоммутационные перестано¬
вочные соотношения
ІРг> <7*] = -Г 6М-
с
Рассмотрим теперь уравнения классического аналога второ¬
го порядка. В этих уравнениях будут встречаться члены вида
{ д . е . д \( d(fr , е А \ д\г е д\г
I г — Aj — I I —т—H — Ak I — ~ “T- — р
\дх' с dS J y-fa* с dS / дх1 dxk с dSdxk
+ -Ak
с
дх1 dS
е dAk
с fai dS
е2 ô2cp.
Н- «a А/Ац ■ .
С2 1 dS2
Следует особо подчеркнуть, что при выписывании уравнений
характеристик члены, взятые в рамку, не должны учитываться,
так как характеристики составляются только на основании
старших производных от неизвестных функций.
256
Этот результат находится в полном соответствии с кванто¬
вым постулатом, поскольку уравнение характеристик класси¬
ческого аналога, т. е. трансформированное уравнение Гамиль¬
тона— Якоби, не содержит производных от вектор-потенциа-
ла А}.
Здесь уместно напомнить, что уравнения характеристическо¬
го многообразия (или фронта волны), т.'е. уравнения поверхно¬
сти, на которой возможны разветвления решений (т. е. разры¬
вы старших производных) зависят только от коэффициентов
при старших производных рассматриваемой линейной системы
уравнений. .
О характеристиках квантовых уравнений.
Было показано, что характеристики • уравнений ФКГ, Дирака,
Максвелла и др. описываются следующими уравнениями:
г/ац2 + / *и2 + рм2 + рц2 ] = о (х° = ici). (4.132)
ІД дх1 ) \ дх* ) 1 \ дхз ) \ дх° ) J Ѵ 9 Ѵ 9
Уравнение (4.132) совпадает с уравнением эйконала в гео¬
метрической оптике. Таким образом, скорость распространения
фронта во всех упомянутых уравнениях в точности равняется
скорости распространения света с.
Докажем теперь, что все квантовые уравнения, удовлетво¬
ряющие квантовому постулату, сформулированному выше, будут
иметь скорость распространения фронта волны, в точности рав¬
ную скорости света с.
В самом деле, в уравнении характеристического многообра¬
зия для таких квантовых уравнений будут присутствовать толь¬
ко производные д<р/дх\ Внешние электромагнитные поля будут
отсутствовать, как это следует из изложенного выше.
Так как <р является скаляром, то dq/dxj будут компонентами
вектора. Но вектор ицеет только один инвариант
У ïl =°- (4.133)
(, дх ) с2 \ dt ) J ’
Следовательно, характеристики указанных квантовых уравне¬
ний должны иметь вид
(2n> a (2s + 1)).
(4.134)
Возможен, однако, совсем другой случай, когда характери¬
стический определитель рассматриваемой системы уравнений
тождественно обращается в нуль. В этом случае рассматривае¬
мая система уравнений не удовлетворяет квантовому постулату.
Более того, эта система уже не является гиперболической и с
точки зрения изложенной концепции эти уравнения не могут
9 Б. Н. Петров и др.
257
рассматриваться как физически правильные. Но уравнение
(4.133) является уравнением эйконала. Следовательно, скорость
распространения фронта волны для любых квантовых уравне¬
ний, удовлетворяющих квантовому постулату, будет в точности
равняться скорости света с как для свободных частиц, так и для
частиц, находящихся в электромагнитном поле. Теорема дока¬
зана.
Заметим, что в последнее время появился ряд работ [478,
479], в которых утверждается, что скорость распространения
фронта волны для уравнений Кеммера — Дэффина — Прока
(спин $=1), Рариты — Швингера (спин s=3/2) и т. д. может
быть больше скорости света при наличии электромагнитных по¬
лей. Эти уравнения имеют характеристический определитель,
тождественно обращающийся в нуль, и поэтому эти уравнения
не удовлетворяют квантовому постулату.
О характеристиках уравнений классического
аналога квантовых уравнений при наличии
электромагнитных полей. Докажем теперь следующую
теорему: если характеристическое многообразие классического
аналога квантовых уравнений в отсутствие электромагнитного
поля описывается уравнением
/ до \212г‘
+ т2с2— ) =0 (2n>af2s+1)), (4.135)
\ ÛS / J
dQ \
dx' /
то соответствующее уравнение характеристического многообра¬
зия при наличии электромагнитного поля будет иметь вид
г/ dQ « в л dQ \2 j » «/ dQ \2т2п . . о^\
И—н Л 1 + т2с*{ ) —0 (2п >a(2s+1)). (4.136)
II дхі с dS j y dS j ]
В самом деле, при введении полей в уравнении характери¬
стического определителя должна быть произведена замена опе¬
раторов
dQ dQ . р dû
>■ + _. A • — .
дх] дх] c 1 dS
(4.137)
Это следует из формулировки квантового постулата. Справед¬
ливость сформулированной теоремы доказана.
Таким образом, нет необходимости составлять уравнение
характеристик для указанных уравнений классических аналогов
при наличии электромагнитных полей. Как ясно из изложенно¬
го, достаточно ограничиться составлением уравнений характе¬
ристик классического аналога квантовых уравнений для свобод¬
ных частиц. В этом случае при наличии электромагнитных по¬
лей уравнение характеристик классического аналога квантовых
уравнений будет иметь вид (4.136).
Правило отбора. Допустим, что дана некая система ли¬
нейных дифференциальных уравнений для волновых функций
<pfe, зависящей от переменных х1, х2, х3, х°, S. Будем обозначать
258
эту систему
£(<р)=0.
Если в результате указанной выше подстановки
фа =; ф(х1, X2, X3, x°)éxp (± —1
(4.138)
(4.139)
получим какую-либо из известных систем квантовых уравнений,
то система (4.138) может рассматриваться как классический
аналог квантовых уравнений, если ее характеристики удовлетво¬
ряют квантовому постулату.
Допустим, что система (4.138) написана для свободных по¬
лей и, следовательно, коэффициенты у производных dq/dxj мо¬
гут иметь только числовые значения, не зависящие от потенциа¬
лов электромагнитного поля Ah а коэффициенты — у производ¬
ных dqk/dS, d2<ph/dS2 и т. д. могут иметь коэффициенты только
тс, т2с2 и т. п. Следовательно, характеристический определи¬
тель рассматриваемой системы классического аналога будет
зависеть только от компонент вектора dq/dxh и инварианта dq/dS
(напоминаем, что во всех рассматриваемых системах уравнений
пятая координата S является инвариантом преобразований ко¬
ординат х1, X2, X3, х°).
Выше уже было отмечено, что из компонент вектора можно
образовать только один инвариант^ 3 ( j — О- Но так
как характеристическое многообразие должно быть релятивист¬
ским инвариантом, следовательно, общее уравнение этого харак¬
теристического многообразия может быть представлено в общем
случае в виде полинома
(«>«<25 + 1)^
n.l / \ дх1 ) J )
(4.140)
Здесь коэффициенты Спі зависят от коэффициентов при произ¬
водных уравнениях классического аналога (4.138). Вместе с тем
в соответствии с требованиями квантового постулата, характе¬
ристическое многообразие для уравнений классического анало¬
га должно иметь вид
+ .-ОТ=о,
(4.141)
Таким образом, можно удовлетворить требованию квантово¬
го постулата, если потребовать, чтобы коэффициенты при про¬
изводных в уравнениях классического аналога были таковы,
что полином [4.140] свертывался в бином Ньютона {4.141) с
точностью до некоторого общего числового множителя. Все
известные квантовые уравнения для свободных частиц имеют
в качестве коэффициентов целочисленные значения (включая
компоненты) или значения различных степеней от тс. Если при-
259
9*
нять, что это условие является общим требованием, то остается
только конечное число возможностей для выбора коэффициен¬
тов при производных в уравнениях классического аналога, при
которых полином (4.140) свертывается в бином Ньютона (4.141).
Итак, существует только конечное число уравнений класси¬
ческого аналога, удовлетворяющих требованиям квантового по¬
стулата. Будем называть полученный результат правилом отбо¬
ра, Вместе с тем правило отбора приводит к конструктивному
методу получения квантовых уравнений из квантового посту¬
лата.
Следует отметить, что при использовании лагранжевого фор¬
мализма может быть получено, вообще говоря, неограниченное
множество квантовых уравнений, так как коэффициенты при
различных инвариантах, входящих в выражение лагранжиана,
могут иметь в общем случае любые значения. Ясно, что лагран-
жевый формализм приводит в общем случае к неограниченному
множеству уравнений и только некое конечное подмножество
этих уравнений будет удовлетворять квантовому постулату.
В этом заключается не только практическое, но и принци¬
пиальное значение установленного правила отбора. Поясним
это примерами.
Пример 8. Рассмотрим частицу со спином s = 2 и массой, отличной от
нуля, т#=0. Ограничимся случаем свободной частицы. Число волновых функ¬
ций в данном случае равно 4s+2=10. Очевидно, этому требованию можно
удовлетворить, если принять в качестве волновых функций фі^ симметричный
тензор второй валентности. С помощью этого тензора- и его производных по
координатам можно образовать следующие инварианты:
дФцу дФцѵ 3) •
dxK dxk ’ дхК дхц ’ дхи дхѵ dxv ôxu ’
4) ІьГ'аГ'' 5> ■*СЯ’Ѵ; 6) о»
UXV UXV
где Ф = 2 инвариант.
V
Если приведенные инварианты умножить на заданные числовые коэффи¬
циенты и сложить, то получим лагранжиан, который приводит к релятивистски
инвариантным уравнениям, носящим характер уравнений на собственные зна¬
чения. При этом инварианты типа 5 и 6 должны быть умножены на коэффи¬
циенты [m2c2/h2] и по крайней мере один из них должен войти в линейную
комбинацию. Очевидно, любые линейные комбинации указанных инвариантов
приводят к релятивистски инвариантным уравнениям, имеющим характер
уравнений на собственные значения.
Одна из таких линейных комбинаций приводит к уравнениям Фирца—Пау¬
ли для частицы со спином s = 2. Если взять 2?= (дф*^(дфцѵ/^л)+
+х2ф* фЦѵ, то получим другие уравнения вида □фцѵ+х2фИѵ=0.
260
При
дфцѵ fr|>Xv дфХѵ
àxK дх^ дхѵ дХц
+ «Чцѵ’І’м.ѵ
получим другие уравнения. При этом такие уравнения в отличие от уравнений
Фирца —Паули не накладывают ограничений вида ф = 0; &ф^/дхѵ=0.
Таким образом, вариационный принцип не дает единственную возмож¬
ность написать в действительности правильные уравнения для частиц с задан¬
ным спином, так как истинный лагранжиан остается неизвестным среди неог¬
раниченного множества возможных лагранжианов.
Так, И. М. Гельфанд и А. М. Яглом [62, с. 730] отмечают: «Если при этом
мы не будем требовать положительности заряда или энергии, то ни одно из
наших уравнений не будет иметь никаких преимуществ перед другими. В све¬
те этих замечаний нет никаких оснований приписать, как это сделал Баба,
протону типа а) с параметрами а=3/2 и (3 = уі5/2, дающее заряд и энергию
обоих знаков, поскольку это уравнение не обладает никакими преимуществами
по сравнению с бесчисленным множеством других уравнений».
Пример 9. Приведенные выводы могут быть усилены утверждением о
том, что одни и те же уравнения могут быть получены из различных лагран¬
жианов [472]. Так, уравнение ФКГ для скалярного вещественного поля мо¬
жет быть выведено не только из обычного полевого лагранжиана
С (Iдф \2 /дф \2 1
^1= Ш -т^(х,і) .
J I \ ot / \ ОХ / )
но и, например, из [472]
V f Иг f ty(-X,t) 0ф(Х,0
2 J I dt dt dx
дф (— x, /) . o 1
X — — (X, t) ф (- X, t) .
OX )
Приведенный выше квантовый постулат устраняет отмечен¬
ную неопределенность: согласно этому постулату правильным
лагранжианом является тот, который приводит к таким волно¬
вым уравнениям классического аналога, для которых возведен¬
ное в степень a(2s+l) трансформированное уравнение Гамиль¬
тона— Якоби является характеристическим многообразием. Это
приводит или к единственному решению задачи или к конечно¬
му числу возможностей. Следовательно, квантовый постулат
содержит в себе правило отбора, сформулированное выше, для
нахождения правильного лагранжиана среди возможных.
О необходимости квантового постулата. Если
принять предположение, что из классического аналога кванто¬
вых уравнений могут быть получены правильные квантовые
уравнения, то легко получить доказательство необходимости
квантового постулата, сформулированного выше.
В самом деле, предположим, что характеристическое много¬
образие классического аналога квантовых уравнений имеет вид
261
полинома от инвариантов (4.140), не сводящегося к трансфор¬
мированному уравнению Гамильтона — Якоби (4.141).
Этим самым в рамках классической релятивистской механи¬
ки вводится новый инвариант ф = ф(х\ х2, х3, х°, S), который уже
не является решением трансформированного уравнения Гамиль¬
тона— Якоби и поэтому не имеют физического смысла три не¬
зависимых базисных инварианта для свободной частицы: 1) дли¬
на мировой линии этой частицы; 2) длина 4-вектора энергии-
импульса р2=—т2с2\ 3) действие S=S(x1, х2, х3, х°). Поэтому
уравнение (4.140) не имеет физического смысла в классической
релятивистской механике, а уравнение Q(x\ х2, х3, х3, S)=const
не дает уже действия S.
Возникшее противоречие может быть устранено только в том
случае, если коэффициенты Cht в (4.140) допускают его сверты¬
вание к биному Ньютона (4.141), т. е. к трансформированному
уравнению Гамильтона — Якоби.
Этим самым доказывается необходимость квантового посту¬
лата.
В заключение отметит, что полученные результаты должны
иметь важное значение при нахождении волновых квантовых
уравнений для частиц с высшими спинами.
4.2.11.Общие выводы.
Вывод 1. Из сформулированного выше квантового посту¬
лата следует, что между механикой классической и механикой
квантовой существует не приближенная, а точная алгоритми¬
ческая связь.
Для системы квантовых уравнений (уравнения Шредингера,
ФКГ, Дирака, Максвелла, определенного типа уравнений со
спйном s=l и с высшими спинами, Эйнштейна — Шредингера и
др.) могут быть указаны такие классические волновые уравне¬
ния (аналог квантовых уравнений), из которых квантовые урав¬
нения получаются единой стандартной трансформацией (перио¬
дичность по действию) фЛ=фЛехр {±iS/h}.
Классические волновые уравнения (аналог квантовых урав¬
нений) должны иметь в качестве своих характеристик трансфор¬
мированное уравнение {Г—Я}п, п^а (2s-{-l), как отмечалось
выше. Таким образом, бихарактеристики таких уравнений долж¬
ны совпадать с уравнениями движения классических частиц.
Указанная связь между классической и квантовой механи¬
ками носит точный, а неприближенный характер, и поэтому она
существенно отличается от обычных интерпретаций этих свя¬
зей, в которых постоянная Планка й->0.
В то же время существование точной алгоритмической свя¬
зи между классической и квантовой механиками не нарушает
обычной физической интерпретации квантовой теории.
Вместе с тем благодаря наличию установленной связи меж¬
ду уравнениями Гамильтона — Якоби и квантовыми уравнения¬
ми эти уравнения оказываются элементами единой системы.
Вывод 2. Как выше было показано, только те уравнения,
262
рассматриваемые как классический аналог квантовых уравне¬
ний, имеют физический смысл в рамках классической механики,
характеристики которых удовлетворяют требованиям кванто¬
вого постулата. Это положение было названо правилом отбора.
Вывод 3. Замена операторов ± — Л/ в модифи¬
цированном уравнении {Г—Я} и классическом аналоге квантовых
« д
уравнении непосредственно приводит к замене операторов —-г ->
дх
—Л/ в самих квантовых уравнениях. Такая замена
дх1 he
является не каким-либо самостоятельным положением, а есть
следствие квантового постулата. Аналогичным следствием кван¬
тового постулата являются некоммутативные перестановочные
соотношения.
Вывод 4. Квантовый постулат допускает введение нелиней¬
ных функций (нелинейные квантовые уравнения типа Шредин¬
гера— Гинзбурга — Ландау, sine-Гордона и др.) от младших
производных или самих волновых функций; старшие производ¬
ные, определяющие характеристическое многообразие, должны
входить в уравнения линейно. Таким образом, квантовый посту¬
лат непосредственно указывает пути и допускает нелинейное об¬
общение квантовой теории.
Вывод 5. Квантовые уравнения, удовлетворяющие кван¬
товому постулату, должны иметь скорость распространения
фронта волны, в точности равную скорости света с, так как для
таких уравнений уравнение характеристик должно независимо,
от наличия или отсутствия электромагнитного поля совпадать
с уравнением эйконала, возведенное в степень nl>a(2s+l).
Вывод 6. Поскольку уравнение Гамильтона — Якоби для
замкнутых систем описывает обратимые процессы, то, учитывая
однозначную связь между уравнением Гамильтона — Якоби и
уравнениями квантовой теории, можно сделать вывод о принци¬
пиально обратимом характере процессов, описываемых кванто¬
выми уравнениями.
Вывод 7. Установленная точная связь между уравнением
Гамильтона — Якоби и уравнениями квантовой теории указы¬
вает на невозможность существования скрытых переменных в
квантовой теории, ее логическую непротиворечивость и замкну¬
тость. Эта теорема особым методом была доказана Дж. фон Ней¬
маном [402]. Обсуждение этого вопроса можно найти в [33, 386,
419,480]. •
Вывод8. Квантовый’ постулат допускает возможность
существования квантовых уравнений с внутренними параметра¬
ми типа Гинзбурга — Тамма—Манько [398]; позволяет по со¬
ответствующему уравнению Гамильтона — Якоби для взаимо¬
действующих частиц [481] вывести соответствующие квантовые
уравнения; вывести квантовые уравнения в пространствах-вре-
263
мени Галилея, Минковского, Римана, де Ситтера [195], «-мер¬
ном, Финслеровом [372, 388] и др. через соответствующее урав¬
нение Гамильтона — Якоби.
В связи с этой схемой остановимся еще раз на внутренней
структуре квантового постулата [7], элементами которой явля¬
ются квантовые уравнения для частиц с различными спинами.
Содержание структуры заключалось в следующем.
1. Выписывается уравнение Гамильтона — Якоби для рас¬
сматриваемой частицы, находящейся в заданном электромагнит¬
ном поле.
2. С помощью преобразования (формула (4.5)) уравнение
Гамильтона — Якоби представляется в так называемом транс¬
формированном виде и это уравнение возводится в степень
а (2s4-1). Здесь s — спин частицы, а а имеет целочисленное зна¬
чение.
3. Выписывается система линейных дифференциальных урав¬
нений для (4s-[-2) фундаментальных функций в 5-мерном прост¬
ранстве (х1, хг, X3, х°, S). Эта система должна иметь в качестве
своего характеристического многообразия модифицированное
уравнение Гамильтона — Якоби, возведенное в степень а(2$+1)-
При этом, если оказывается возможным написать эту систему в
виде дифференциальных уравнений первого порядка, то а при¬
нимается равным 1. Если же она может быть написана только
в виде дифференциальных уравнений второго порядка, то а=2
и т. д.
4. Полученная таким образом система дифференциальных
уравнений дает волновое представление классической механики.
В самом деле, характеристики этой системы уравнений совпа¬
дают с модифицированным уравнением Гамильтона — Якоби,
возведенным в степень a(2s-[-l), а бихарактеристики совпада¬
ют с уравнениями движения частиц. Так как в классической ме¬
ханике спин s не играет никакой роли, то возможны различные
волновые представления классической механики.
5. С помощью единой трансформации (формула (4.9)) клас¬
сические волновые уравнения для частиц с заданными спинами
переводятся в соответствующие квантовые уравнения.
В связи с описанной структурой необходимо подчеркнуть сле¬
дующий вывод. Элементами указанной структуры являются
уравнения Шредингера, ФКГ, Дирака, Максвелла, для частиц
со спином s= 1 и др. Это дало основание высказать гипотезу,
что вообще уравнения квантовой теории для частиц с различны¬
ми спинами также должны быть элементами указанной струк¬
туры. Вместе с тем, если указанная гипотеза подтвердится, то
она будет иметь большое эвристическое значение. Подтвердим
это примером. Так, В. Паули предложил два типа уравнений для
частиц со спином s=l. В уравнениях первого типа волновые
функции этих частиц представлены в виде антисимметричного
тензора второй валентности, но характеристики этих уравнений
тождественно равнялись нулю, а поэтому этот тип уравнений не
264
удовлетворяет описанной выше структуре. В уравнениях Паули
второго типа волновые функции представлены в виде тензора
третьей валентности, обладающий определенными свойствами
симметрии. Этот второй тип уравнений Паули также не подчи¬
няется описанной выше структуре. Таким образом, если эта
структура верна, то оба типа уравнений Паули не имеют фи¬
зического значения.
Заметим, что в случае электромагнитного поля, описываемо¬
го уравнениями Максвелла, число независимых компонент поля
должно равняться (4$+2) =6, что в действительности имеет
место. Характеристики уравнений Максвелла даются форму¬
лой (4.47). '
В случае описания электромагнитного поля с помощью
4-потенциала Д показатель степени 3 в уравнении характери¬
стик сохраняется, хотя компоненты 4-потенциала удовлетворя¬
ют уравнениям второго порядка. Это происходит потому, что
благодаря условию Лоренца имеется только три независимых
компоненты четырехпотенциала А{.
Аналогичное замечание может быть сделано также по пово¬
ду частиц со спином $=1 и отличной от нуля массы3.
4.3. К вопросу о квантовых
волновых уравнениях
для системы взаимодействующих частиц
4.3.1. Классические (дорелятивистские) квантовые уравнения.
В классическом (дорелятивистском) случае для системы N за¬
ряженных взаимодействующих электронов в поле ядра атома
имеет место .следующее квантовое уравнение:
ih (dtyldt) = Яф, (4.142)
где
,, ^3V-Ze> 2-^+3 <
2” , / '! ,>/ '«
Это уравнение приведено в работе Г. Бете [405] {см. уравнение
(4.19)). Напомним, что уравнение (4.142) получено в предполо¬
жении, что всеми спиновыми взаимодействиями электронов
можно пренебречь, можно пренебречь также ядерными эффек¬
тами (в частности, конечностью размеров и массой ядра). _
3 Не вдаваясь в дальнейшие подробности, отметим, что для исследования пред¬
ложенной структуры при любом значении спины s можно применить метод,
предложенный И. М. Гельфандом и А. М. Ягломом [62] или Ю. В. Новожи¬
ловым [НО] и др. Отметим, что в [НО], как в п. 5. 3, носящим название
«2(2$+1)-компонентные функции для спина $», так и на с. 121 [ПО] подчер¬
кивается: «Наиболее экономное построение приводит к спинорным полям,
имеющим 2(2$+1) компонент», что совпадает с положениями описанной
выше структуры.
265
Как показано в п. 4.2.2, уравнению (4.142) соответствует клас¬
сическое уравнение Гамильтона—Якоби вида
—+Г—V г /у + fâ,s V I (dS Г
Л 2m [ ( dxkt J \ ^ ) \ /
-Ze-3-+3--0.
j rj i>i rii
(4.143)
Здесь m— масса электрона; e — его заряд; rs — абсолютная ве¬
личина радиуса-вектора j-ro электрона; гц=|/\—г,|. Суммирова¬
ние во второй и третьей суммах (4.19), (4.142) ведется по всем
N электронам, в последнем слагаемом суммирование идет по
всем параметрам (і=/=/), причем каждая пара встречается одно¬
кратно.
Уравнение Гамильтона—Якоби обладает следующими двумя
важными свойствами.
1. Характеристики уравнения Гамильтона—Якоби (4.143)
являются уравнениями движения в механике Ньютона.
2. Имеет место теорема Гамильтона—Якоби [106]
dSldak=f(.Xt, хг, .... xn, t, аь а2, ..., а3п) =0ft=const,
где а*— постоянные интегрирования; [}—произвольная кон¬
станта.
Теорема Гамильтона—Якоби дала возможность утверждать,
что уравнение Гамильтона—Якоби является только промежу¬
точным моментом в методе интегрирования дифференциальных
уравнений механики.
В действительности уравнение Гамильтона—Якоби, как сле¬
дует из квантового постулата (см. п. 4.2), имеет гораздо большее
значение, которое опирается на первое из указанных его свойств.
Вместе с тем вместо одного уравнения Гамильтона—Якоби
(4.143), написанного для системы N взаимодействующих частиц,
можно написать более общую систему N уравнений Гамильто¬
на—Якоби для каждой из взаимодействующих частиц в отдель¬
ности; причем функция S,, написанная для і-й частицы, будет
зависеть только от переменных (хк, t), &= 1, 2, 3. Переменные х*р,
p=#t, будут входить только в выражения для потенциальной
энергии взаимодействия частиц, а для каждого отдельного і-го
уравнения Гамильтона—Якоби они могут рассматриваться как
параметры или как известные функции времени.
Следовательно, имеем следующую систему взаимосвязанных
уравнений Гамильтона—Якоби:
dt
dSi \2
дхг /
dS. ч2-
дх^ /
+
+ и(Xj, х‘, xj, ..., х[, х', xj, ..., x;, X", Л e+, е’) - 0.
(4.144)
266
Связь между уравнениями Гамильтона—Якоби осуществляет¬
ся с помощью потенциальной энергии взаимодействия V (...),
которая в точности совпадает с потенциальной энергией взаимо¬
действия в уравнении (4.143).
Нетрудно убедиться, что если написать уравнение для харак¬
теристик каждого из приведенных уравнений Гамильтона—Яко¬
би в отдельности, то оно будет совпадать с уравнениями движе¬
ния Ньютона.
Действительно, для любого уравнения вида
ду/ді + Ф^ду/дХі, ду/дхП1 хі9 ..., хЛ, 0=0, (4.145)
согласно гл. 2, имеет
[99,104]:
dxi = ЭФ .
dt д (dy/dxj ’
место следующее уравнение характеристик
d (Эср/Эх(.)
dt
дФ
дхі ■
(4.146)
Из (4.146) и (4.144) следует, что
dx. 1 / dS. \ d2S,
L — 1 1 * 1 * -
дѴ
(4.147)
dt ті \ дх. 1
дхі dt
dxi
Следовательно, имеем
„ дѴ
ftli —» ’ ,
dt2 дх.
(4.148)
т. е. уравнения движения Ньютона.
Второе условие, которому подчиняется уравнение Гамильто¬
на—Якоби, также выполняется. Хотя для рассматриваемого слу¬
чая существенно первое свойство этих уравнений.
Если теперь использовать квантовый постулат, то, воспользо¬
вавшись уравнением (4.143), придем к следующему особому
уравнению [405]:
Д2 д \ ! д ^ \ /7.2 V 1 е2 \ ,
— — —- + —- + — — ZèZj 2j —pl’+
2m [\ dxiJ \ dx2 j /J \ i ri ‘>1 r‘i)
+ ih(dq/dt) = O (i = l, 2, 3, .... N). (4.149)
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к (4.149).
Здесь не будем останавливаться на возможном физическом
истолковании полученного уравнения (4.149). Перейдем
теперь к краткому рассмотрению релятивистского случая.
4.3.2. Релятивистские квантовые уравнения для п взаимодей¬
ствующих частиц с заданными спинами St. Как известно, пробле¬
ма взаимодействия релятивистских частиц в классическом (до-
квантовом) случае широко обсуждается в современной литера¬
туре [88—90, 119, 168, 405, 427, 429, 460, 471, 481, 482, 489,
490—495]. В связи с тем, что в монографической литературе этот
267
вопрос практически не рассматривался, дадим краткий обзор ра¬
бот в этом направлении. - >
Так, Р. Фейнман в [490, с. 202] отметил следующее: «Нам удалось найти
такое выражение для действия, учитывающего только движение зарядов, что
его вариация давала уравнения движения этих зарядов. Это выражение для
действия А имеет вид
А=,Зті$ +
і '
+ 7 2 JJ 6 (/?/) («.) 4 (a/) dac da,, (1 )
i^i
где
= (4 («<) - 4 (a/)l.(4 (a.) - 4 (az)J ;
Х|?(а0 — четырехмерный радиус-вектор /-частицы как функция некоторого
параметра а», а Л'ц*(а<) Первый член этого выражения —
это просто интеграл от собственного времени, обычное действие релятивистс¬
кой механики свободных частиц с массой гпі (как обычно, здесь производится
суммирование по повторяющимся индексам ц). Второй же член описывает
электрическое взаимодействие зарядов. Суммирование производится по всевоз¬
можным парам зарядов (множитель 1/2 введен для того, чтобы каждую пару
учитывать один раз, а член с i=j отброшен для того, чтобы исключить дейст¬
вие зарядов на самих себя). Взаимодействие представлено в виде двойного ин¬
теграла от дельта-функции от квадрата пространственно-временного интерва¬
ла /2 между двумя точками, лежащими на пути интегрирования. Таким обра¬
зом, о взаимодействии можно говорить только в том случае, когда этот ин¬
тервал обращается в нуль, т. е. когда один из зарядов лежит на световом ко¬
нусе другого.
Благодаря тому, что взаимодействие было принято точно наполовину опе¬
режающим и наполовину запаздывающим, оказалось возможным сформулиро¬
вать такой принцип наименьшего действия, который не удается получить, если
считать взаимодействие лишь запаздывающим.
Итак, в столь простом выражении содержалась вся классическая электро¬
динамика». И далее: «Такая же идея была высказана ранее Френкелем, и по¬
этому мы назвали эти поля — полями Френкеля. Наша теория, учитывающая
лишь взаимодействие между разными частицами, была эквивалентной теории
полей Френкеля, использующей наполовину опережающие и наполовину за¬
паздывающие решения».
Несколько ранее подобная идея была высказана В. Е. Тиррингом в работе
[491, с. 37], в которой было отмечено: «Если мы рассматриваем систему за¬
ряженных частиц, характеризуемых греческими индексами, то оказывается,
что (1.1), (1.2) и (1.11) можно скомбинировать в интеграл действия Фокке¬
ра— Шварцшильда — Тетроде
W = 2 f dsil у + 2 éae3 Çdsds' (za (s) ip (s) D (za (s) - (s'))),
a J a>B J
(1.36)
268
Если варьировать мировые линии частиц, а W рассматривать как интеграл от
функции Лагранжа вдоль этих линий, то уравнения Эйлера
d dL dL
4s dza(s) ~dza(s)
(1.37)
действительно оказываются как раз уравнениями движения (1.11). Поле,
образованное другими частицами, в соответствии с (1.37) следующим образом
действует на движение данной частицы:
ma^ = eai^(s) 2 frfs'
3<a J
• , à
-z₽*(s')
d
dzla(s)
D (za (s) - zp (s')).
(1.38)
Поскольку (1.36) симметрично по индексам a и р, мы вынуждены исполь¬
зовать полусумму опережающего и запаздывающего взаимодействия. Выбрав
в двойной сумме (1.36) а>Р, можно устранить бесконечную собственную
энергию, но при этом теряется член, соответствующий обратному действию
поля излучения». Отметим, что в (1.36) D(x) — инвариантная функция.
Помимо указанных работ, в последние годы этой проблеме были посвя¬
щены работы [492—496]. Так, в работе А. Н. Гордеева [492] для двух взаи¬
модействующих электронов было приведено следующее уравнение движения:
d / т1с2Ѵ1 \
dxo J*
+ »1 X
Hz+Ht
2
(4.150)
Аналогичный вид имеет уравнение движения для второго электрона.
В (4.150) через Е2+ = — ду2+Ідх—dA2/ôxQ обозначена напряженность опере¬
жающего электрического поля второго электрона, ф2+ — опережающий ска¬
лярный потенциал второго электрона. Аналогично определяются остальные
величины.
В работе F. Rohrlich [493, с. 317] уравнение движения для взаимодейст¬
вующих электронов имеет вид
Shr— (4-151)
b J b
dx Wl-t’
где =Іа-Іь-, = dAvab/d£b - дА^/д^, = 2 A^.
b^a
Аналогичные (4.150), (4.151) уравнения приведены в [494].
На необходимость введения системы п уравнений Гамильтона — Якоби
для п взаимодействующих релятивистских частиц было указано в работе
Н. П. Клепикова и А. Н. Шатний [495].
В работе М. Раигі и G. М. Prosper! [481] дан обзор работ до 1976 г., а
в работе F. Rohrlich [493] приведен критический обзор работ до 1979 г.
Для системы п взаимодействующих заряженных релятивистских частиц
можно написать систему п совместных уравнений Гамильтона — Якоби сле¬
269
дующего вида:
/ dS, е, \ 2
—Г- —ЛИ +/ф2 = 0, £ = 0,1,2,3; і = 1,2, п. (4.152)
\ дхі с /
Здесь Ль1'—k-я компонента электромагнитного потенциала взаимодейст¬
вия, зависящая от координат всех частиц и скоростей всех частиц, кроме і-й
частицы. Координаты и скорости всех частиц, кроме і-й, должны быть заданы
в моменты времени t' и соответствующие запаздывающему и опережаю¬
щему потенциалу, а координаты і-й частицы рассматриваются в момент вре¬
мени /,
Нетрудно убедиться, что характеристиками системы уравнений Гамильто¬
на— Якоби (4.152) являются приведенные системы уравнений типа (4.150),
(4.151).
Применяя к системе уравнений Гамильтона — Якоби (4.152) для п взаи¬
модействующих частиц со спинами Si, 1=1, 2, ..., п, особый алгоритм, необ¬
ходимо прежде всего привести систему (4.152) к трансформированному виду
(см. п. 4.2)
дх* с k àS, J 1 dS.
2-ia(2s,+i)
I =o.
(4.153)
Здесь Si — спин t-й частицы.
Классические волновые уравнения, содержащие по 4$і+2 фундаменталь¬
ных функций, должны быть написаны для каждой отдельной частицы. Для
этого в соответствии с алгоритмом, указанным в [698], могут быть получены
квантовые квазирелятивистские волновые уравнения для взаимодействующих
частиц с различными спинами.
Пример 1. Рассмотрим в качестве иллюстративного примера взаимо¬
действие двух заряженных частиц со спином $і = 0 и $2=1/2 и ті^=0, m2^=0.
Квантовые релятивистские волновые уравнения будут иметь следующий вид:
Ьо(<Р, фі, фг, фз, фо, А19 =0,
L\(ф, фі, ф2, фз, фо, Л?)=0,
^(ф, фі, ф2, Фз, фо, Л2г')=0,
Мф, фі, фг, фз, фо, Л?) =0,
£4(Ф, фь ф2, фз, фо, Л?) =0.
Операторы L определены в указанной работе.
Напомним, что в потенциал входят координаты первой частицы, взя¬
тые в момент времени і, а также координаты и скорости второй частицы, взя¬
тые в момент времени /" и соответствующие опережающему и запаздываю¬
щему потенциалу. Аналогично записывается потенциал взаимодействия Л2>.
Благодаря этому обстоятельству система (4.154) становится совместной.
Приведенная система уравнений (4.154) объединяет в единую систему
уравнения ФКГ и Дирака. Потенциалы взаимодействия A}h и Л2* определены
выше. Для решения системы уравнений (4.154) предварительно должна быть
270
решена классическая задача и найдены в явном виде потенциалы взаимодей¬
ствия A\h и A2h. В дальнейшем возможно уточнение этого решения на основе
решенной на первом этапе квантовой задачи (4.154).
Таким образом, здесь имеется возможность построения алгоритма после¬
довательных приближений построения моделей взаимодействия.
Однако эти вопросы выходят за рамки настоящей книги и не будут рас¬
сматриваться.
4.4. Заключительные замечания
По квантовой механике и ее приложениям, как и по теории отно¬
сительности, существует почти необозримая литература. Здесь
не представляется возможным сделать хотя бы краткий обзор
в этой области. Поэтому ниже будут указаны в виде примеров
некоторые из числа наиболее интересных и имеющих отношение
к тематике книги публикаций в этой области.
Среди фундаментальных монографий, посвященных принци¬
пам квантовой теории, следует отметить небольшую монографию
В. Гейзенберга [51], в которой основное внимание уделяется фи¬
зическим принципам теории; математическому аппарату посвя¬
щена вторая часть этой работы.
Другой фундаментальной монографией, сохраняющей свою
актуальность и до настояпіего времени, является книга В. А. Фо¬
ка [422]. К этой же серии следует отнести книги В. Паули [89],
П. А. М. Дирака [44], Г. Бете [405] и др. Здесь следует особо
выделить прекрасную книгу Луи де Бройли [68], посвященную
теории Дирака.
Современное изложение квантовой теории можно найти в
[482—484] и др. Среди более популярных книг отметим работы
[НО, 388, 389].
Сжатое, но удачное в методическом отношении изложение
квантовой теории дано Хиллом [485] (главным образом благо¬
даря принятой последовательности рассмотрения основных по¬
ложений этой теории и важнейших выводов из них). Аналогичное
изложение дано в [42].
Качественным аспектам квантовой теории посвящена очень
интересная монография А. Б. Мигдала [486]. Принципиальные
вопросы квантовой теории обсуждались также в весьма интерес¬
ных работах М. А. Маркова [488], В. Л. Гинзбурга [67],
Д. И. Блохинцева [388], И. А. Малкина и В. И. Манько [398],
Б. Б. Кадомцева [10], Л. Д. Фаддеева [377], [269] и многих
других.
Большое значение, например для современной теории сверх¬
проводимости, имеют нелинейные обобщения уравнений Шре¬
дингера, полученные В. Л. Гинзбургом и Л. Д. Ландау [24].
Дальнейшее развитие квантовой теории на основе квантовых
уравнений с внутренними переменными отражено в работах
В. Л. Гинзбурга и Е. И. Тамма [473].
271
В последние годы особое внимание было уделено квантовой
теории поля. Здесь в первую очередь отметим работы H. Н. Бо¬
голюбова, А. А. Логунова и А. Т. Тодорова [487], H. Н. Боголю¬
бова и Д. В. Ширкова [427], В. В. Берестецкого [426],
И. М. Лифшица и Л. Д. Питаевского [426]. Отметим также ра¬
боты [428,429,489].
В [7], на основе которой был изложен квантовый постулат,
предлагалась другая модель квантовой теории. В этой модели
уравнения квантовой теории являются элементами единой систе¬
мы, причем связь с классической механикой становится не при¬
ближенной, а точной. Квантовый постулат приводит к принципу
отбора уравнений, удовлетворяющих всем физическим требова¬
ниям. В частности, уравнения, удовлетворяющие квантовому по¬
стулату, не могут привести к нарушению причинности.
Глава 5
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ МЕР
КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ
(обзор некоторых результатов по смежным проблемам)
В данной главе кратко рассмотрены некоторые вероятностные
модели и подходы к выбору количественных мер информации,
нашедшие свое применение в информационной теории управле¬
ния [34—40]. Особенности и взаимосвязь рассматриваемых
в данной главе мер (меры информации Хартли, Больцмана, Фа-
но, Котельникова и Фишера) обсуждаются в рамках математи¬
ческой статистики; мера количества информации Шеннона, ее
обобщения и применения иллюстрируются на примерах информа¬
ционной теории управления. Отмеченные взаимосвязи с процес¬
сами наблюдения, измерения и идентификации параметров дина¬
мических процессов и систем управления, а также связь с тер¬
модинамическими аспектами процессов обработки и сжатия
информации уточняются и обобщаются в рамках более общих
физических моделей.
5.1. Информационные модели в теории
динамических систем управления
В последнее время получили развитие информационные подходы
в анализе и синтезе систем автоматического управления (САУ),
которые отдельными авторами формулируются в виде информа¬
ционной теории управления [36—40]. Последнюю в первом при¬
ближении возможно охарактеризовать такими особенностями,
как разработка методов теории на основе: 1) энтропийной (ин¬
формационной) теории моделей и описаний процессов управле¬
ния; 2) информационных ограничений (пропускная способность,
пороги различимости состояний, предельные физические возмож¬
ности и физическая реализуемость); 3) информационных крите¬
риев управления (минимальная потеря информации, минималь¬
ная конечная энтропия и др.).
Область приложения информационной теории управления —
сложные системы управления, характеристики неопределенности
в которой, как и в теории информации, суть энтропийные (инфор¬
мационные) характеристики процессов управления [36, 37]. Ин¬
формационная теория управления соответствует и адекватна
управлению системами с неупорядоченными состояниями и в
273
идейном отношении разрабатывает точки зрения на управление
как на процесс искомого алгоритма упорядочения объекта
управления. Она создает свои концепции в теории сложности
систем управления.
На интуитивном уровне очевидна аналогия в преобразовании
сообщения (сигнала) в информационной системе и преобразова¬
нии состояния объекта в системе управления, Теория информа¬
ции, рассматривающая процессы передачи сообщений, и теория
управления, изучающая процессы преобразований состояний
объекта, имеют много качественных аналогий [39]. Несмотря на
различия в структурах, для систем передачи информации и
управления едины методология и результаты, достигнутые в ре¬
шении общих фундаментальных проблем: оптимизации, филь¬
трации, помехоустойчивости (робастности), квантования, рас¬
познавания, обучения и т. д.
Роль собственно информационных процессов и систем в управ¬
лении трудно переоценить в инженерном (физическом) плане:
они входят в общую систему управления, а информационные про¬
цессы сами по себе существенны для всех каналов систем управ¬
ления.
Замкнутость информационных процессов в системах управ¬
ления обусловливает особую проблему (в отличие от информа¬
ционных систем) поиска источников информации от объектов
управления, проблемы информационного контакта с объектом
управления с целью получения информации о его состоянии. Эта
проблема контакта очень сложна и отвечает теории отражения и
передачи материальных (физических, химических, биологических
и др.), энергетических (механических, термодинамических и др.)
и информационных состояний объекта. Задачи определения су¬
ществования и построения процессов отражения состояния объ¬
екта в сигнальную форму имеют самостоятельное значение с точ¬
ки зрения возможности физической реализуемости такого отра¬
жения в прямой или косвенной форме.
Кроме проблемы поиска источников информации в САУ суще¬
ствует «обратная» задача (другая особенность информационных
процессов в САУ), заключающаяся в реализации воспроизведе¬
ния сигнальной формы — маломощного информационного сигна¬
ла— в перемещение органа управления на новом уровне мощно¬
сти (проблема сервомеханизмов). 4
Рассмотрим еще несколько особенностей исследования дина¬
мических систем в информационной теории управления.
Так, дискретизация процесса путем квантования его по уров¬
ню и времени имеет ряд отличий в системах управления по срав¬
нению с информационными системами, в основном это связано
с особенностями объекта импульсного дискретного управления.
Такими особенностями являются, например, связь момента дис¬
кретизации с оптимизацией процесса по его ресурсам, игровые
ситуации с импульсными коррекциями, минимизация числа дис¬
кретных коррекций в связи с их стоимостью и т. п. Квантование
274
в информационной теории управления также связывают с фик¬
сацией условных порогов различимости состояний объекта [37].
Введение порога различимости объективно приводит к квантово¬
механическим аналогам принципа неопределенности в управле¬
нии [39].
Проблема предельных возможностей управляемых систем
связана с дальнейшим увеличением их разрешающей способно¬
сти и, в частности, скорости преобразования информации.
Однако существует физическое ограничение (зависящее от
физической природы носителя информации и фазового объема
системы) по количеству информации, передаваемой в единицу
времени, носящее релятивистский и квантовый характер [39].
Такие ограничения (предельная скорость переработки инфор¬
мации с учетом вырождения энергетических уровней в физиче¬
ских системах определяется соотношением Ilmt=c4l (Et), где
I — количество информации; т— масса; Е — энергия; t — время>
откуда в частном случае следует искомое ограничение — оценка-
p. Бремермана в виде с2/й= 1.35-ІО47 бит/с) оказываются лога¬
рифмически зависящими от кратности вырождения и аналогич¬
ны в пределе ограничению в релятивистской механике — скоро¬
сти света.,
Однако уже У. Р. Эшби показал, что для моделирования по¬
ведения системы с ІО6 двоичными рецепторами необходимо
устройство с памятью не меньше чеьі ІО3,105 бит информации.
В этом случае указанная граница Бремермана выступает уже
как реально оцениваемая величина. На необходимость учета по¬
добных обстоятельств указывалось неоднократно в работах по
теории управления [39]. С учетом этих обстоятельств разраба¬
тываются квантоворелятивистские аспекты управления, получив¬
шие в настоящее время развитие и первые результаты [29—35,
39, 69, 86, 87].
Предыдущие результаты позволяют говорить об управлении
на основании категории «определенность — неопределенность»
[37]. Эта концепция управления обычно трактуется в виде учета
всей имеющейся априорной информации (начальная неопреде¬
ленность), а также новой, возникающей в процессе управления.
На основании этой концепции достигаются в управлении более
существенные и содержательные результаты по сравнению с кон¬
цепцией «только неопределенность».
Информационная теория управления сложными системами
характеризуется не только как формально-математическая тео¬
рия, но и как содержательная теория. Новые факты и открытия
на основе чисто качественных наблюдений, а также роль кон¬
кретных исследований и эксперимента являются существенными
для управления объектами с неупорядоченными состояниями, их
моделями и описаниями [39].
По всей вероятности, наиболее трудной в информационной теории управ¬
ления является проблема верификации. Последняя представляет установлен
275
ние связей и соответствий между информацией о состоянии объекта в виде
определенного сигнала и реальными материальными и энергетическими про¬
цессами в объекте управления. Наиболее полное качественное и количествен¬
ное доказательство связи информации (сигнала) и конкретного материального
>и энергетического процесса в объекте управления представляет задачу распо¬
знавания «черного ящика» (задача о построении корректной модели), кото¬
рое, очевидно, должно совершаться с участием специалистов теории конкрет¬
ного объекта управления, за которыми остается оценка информативности того
или иного признака и всей проблемы верификации. Решение подобных задач
составляет одну из центральных проблем теории моделей процессов управле¬
ния [39].
Одним из значительных результатов теории информации явля¬
ется разработка адекватных структур прямых и корректирую¬
щих каналов систем передачи информации [497]. В сложных си¬
стемах управления с наличием не только обратных, но и прямых
связей, результаты по прямым связям в теории информации су¬
щественно обогащают теорию разомкнутых (формирующих и
компенсирующих) цепей систем управления. Теорема о прямом
и компенсирующем канале в теории информации имеет связь с
принципом двухканальности в теории инвариантности систем
управления [37, 39].
Ранние информационные подходы к сложности моделей ко¬
нечных объектов оценивались числом двоичных знаков в про¬
грамме описания объекта, зависящей от невязки или уклонения
существующего распределения его отдельных значений от нор¬
мального. В общем случае за меру сложности, по Колмогорову,
принимается ее энтропия, адекватная длине программы описа¬
ния системы. Каждой сложной динамической системе приписы¬
вается соответствующее значение энтропии. Оценка математиче¬
ских ожиданий и дисперсии системы в этом случае имеет рас¬
плывчатый характер, зависящий, в частности, от конкретной вы¬
борки, порога различимости и т. д. В настоящее время рассмат¬
риваются различные информационные подходы на энтропийной
основе в оценке сложности системы управления [71—73].
Одной из существенных информационных проблем в управле¬
нии является сжатие информации или редукция данных на осно¬
ве оценки потери информации. Информационные подходы в этой
области связываются с использованием обобщенных мер энтро¬
пии (энтропий Реньи и др.) [38].
В настоящем разделе кратко формулируются некоторые ос¬
новные результаты информационной теории управления и уста¬
навливается взаимосвязь информационных аспектов проблемы
построения структур инвариантных динамических систем с но¬
выми задачами общей теории управления: 1) информационная
оценка наблюдаемости динамических систем и взаимосвязь с за¬
дачей оптимизации структур процессов фильтрации; 2) информа¬
ционные и термодинамические критерии в теории инвариантных
нелинейных САУ; 3) нечеткая логика принятия решений и робаст¬
276
ность алгоритмов управления инвариантными САУ; 4) оценка
сложности по Колмогорову алгоритмов управления; 5) обобще¬
ние полученных результатов на новый класс динамических си¬
стем управления — квантовые и релятивистские системы.
В общей теории управления уже имеется определенный опыт
исследования взаимосвязей между отдельными из перечисленных
задач, что нашло свое отражение в опубликованных моногра¬
фиях, статьях и обзорах [38, 39, 42, 69, 72 и др.]. В настоящей
главе исследование взаимосвязей указанных задач основано на
единой мере — информационной энтропии и количестве инфор¬
мации (в смысле Шеннона и их обобщениях) как для классиче¬
ских (включая релятивистский случай), так и квантовых дина¬
мических систем управления.
В связи с этим рассмотрение указанных аспектов начнем с
описания возможных мер энтропии и количества информации.
5.2. Предварительные замечания о моделях
количественных мер информации
5.2.1. Теория информации (в узком смысле этого термина)
создана на основе прикладных задач передачи информации по
каналам связи. Для систем связи была разработана внутренне
непротиворечивая теория, основанная на общих законах пере¬
дачи информации, которые не зависят от частного вида рассмат¬
риваемых систем. Это было достигнуто на основе аксиоматиче¬
ского анализа новой величины, названной количеством информа¬
ции. Возможности использования этой величины существенно
выходят за рамки проблем передачи информации. Такое много¬
гранное понятие, как информация, естественно, не может иметь
единого и пригодного для всех ситуаций способа измерения ее
количества. Эта мысль была четко сформулирована в работе
К. Шеннона и У. Уивера [497] и многократно обсуждалась в на¬
учной и научно-популярной литературе [498—501].
В связи с отмеченным А. Н. Колмогоров в [502] подчеркивает следующее
обстоятельство: «В качестве итога исследований аксиоматического направле¬
ния можно считать выясненным, что никакой другой столь же естественной
скалярной сводной характеристики информации, содержащейся в одном слу¬
чайном объекте £ относительно другого случайного объекта т>, кроме /
(È, л)> существовать не может. Однако так как «информация» по своей при¬
роде не обязана быть (и в действительности не является!) скалярной величи¬
ной, то никакие аксиоматические исследования указанного направления не мо¬
гут ответить на вопрос о том,, сколь полно характеризует величина /
(Ê, т]) интересующую нас «информацию» и «вместе с тем надо понимать, что
при всей увлекательности идей теории информаций подобное стирание качест¬
венных особенностей информации имеет место только с известным приближе¬
нием и при определенных условиях». В [498—500] достаточно подробно осве¬
щены результаты дискуссий по поводу выбора количественных мер информа¬
ции.
277
Теория информации показала, однако, что для определенных
классов задач существуют общие принципы, присущие разным
подходам к измерению информации. В частности, весьма плодо¬
творной оказалась мысль К. Шеннона [501] измерять количество
информации как разность неопределенностей рассматриваемого
объекта до и после получения информации. В статистической тео¬
рии информации, таким образом, выбор соответствующей меры
сводится к выбору меры неопределенности, что можно сделать
многими равноправными способами. Можно, например, указать
на алгоритмический подход к измерению количества информации^
предложенный А. Н. Колмогоровым [502] и основанный на вве¬
дении меры неопределенности объекта через сложность задаю¬
щего этот объект алгоритма. Такой метод, как отмечалось вп.5.1,
имеет особое значение для задач теории управления [72, 73, 503].
Следует отметить также, что предложенный алгоритмический
подход дает возможность построить корректную и непротиворе¬
чивую теорию вероятностей, нестатистические варианты теории
информации, исследовать отдельные (не массовые) явления и
конечные объекты. Методологические особенности такого подхо¬
да можно найти в [72, 503—515].
Обоснованием необходимости и полезности понятия энтропии
и выраженного через нее количества информации является ука¬
занная Шенноном возможность выразить через эти величины
пропускную способность канала и эпсилон-энтропию (е-энтро-
пия) сообщения или энтропию при заданном уровне точности.
Последняя величина (менее используемая, чем пропускная спо¬
собность) полезна для непрерывных величин, энтропия которых
бесконечна. Пропускная способность и е-энтропия, согласно тео¬
ремам Шеннона [501], позволяют описывать условия, когда вве¬
дение соответствующих методов кодирования и декодирования
делает возможной передачу по заданным системам связи. В этих
задачах можно варьировать и выбирать оптимальным образом
методы кодирования и декодирования [529].
Довольно часты также ситуации, когда количество информа¬
ции вычислить и оценить проще, чем специальные характеристи¬
ки (более адекватные данной реальной задаче), а на основе зна¬
ния количества информации можно затем исследовать и эти спе¬
циальные характеристики. В качестве примера подобных ситуа¬
ций можно указать на задачи статистической оценки сигналов
[530]. В частности, по известному количеству информации мож¬
но оценить снизу среднеквадратичную ошибку оценки парамет¬
ра при заданной точности е. В довольно широком классе случа¬
ев эта оценка оказывается асимптотически точной при е->0.
Такая схема получения оценок распространяется и на более
сложные ситуации. На основе изменения количества информации
можно также получать оценки приращения риска при редукции
данных [516—528]. Очень полезным является использование по¬
нятия е-энтропия в более широкой классе задач теории управ¬
ления [528].
278
Сравнение понятий теории информации и теории управления
показывает, что и при передаче сообщений, и при управлении
имеем дело с информацией, которая лежит в основе функциони¬
рования информационных систем и систем управления. В послед¬
ние годы широко обсуждаются вопросы основ теории информа¬
ции и взаимосвязь с физическими теориями (см. [528, 534]).
Понятия современной теории информации предлагается рассмат¬
ривать как первичные, на базе которых возможно построить фи¬
зические теории. В частности, в [531, 532] предлагается вводить
понятия теории информации в качестве первичных и использо¬
вать их при построении статистической механики. Здесь можно
постулировать существование инвариантной меры вероятности
(безразмерный элемент фазового объема), а затем получить все
распределения Гиббса из условия максимума информационной
энтропии [532]. Другим примером подобного подхода могут слу¬
жить некоторые задачи молекулярной биологии [73]. Особенно
четко связь между методами и понятиями теории информации и
физическими теориями прослеживается в термодинамике. При
этом в ряде случаев в основу обеих теорий могут быть положены
основные положения теории автомодельных распределений веро¬
ятностей и автомодельных обобщенных случайных полей [533].
Многочисленные исследования взаимосвязи между информационным и
физическим содержаниями понятия энтропии привели в результате к едино¬
му мнению, что энтропия как функционал распределения вероятностей состоя¬
ний физической системы является одновременно и мерой количества информа¬
ции, которое может быть передано при заданных ограничениях, если рассмат¬
риваемая система используется в качестве носителя сигналов, и мерой неопре¬
деленности макросостояния этой системы, и характеристикой степени ее не-
равновесности. При заданной средней энергии этот функционал достигает
максимума на равновесном распределении, а достигнутый максимум имеет
смысл термодинамической энтропии [39]. Это обстоятельство существенно и
позволяет рассматривать ряд новых вариационных задач, решение которых
столь актуально для исследования сложных проблем оптимального управле¬
ния. Этот факт описан в работах Р. Л. Стратоновича [30], где показано, что
задачам теории информации можно дать классификацию в виде трех вариаци¬
онных задач. >
Таким образом, единство различных аспектов понятия энтро¬
пии проявляется для достаточно широкого круга задач, в кото¬
рых состояние физической системы может быть описано с по¬
мощью распределения вероятностей. К этому кругу задач отно¬
сятся задачи математической статистики, в частности, тех задач,
в рамках которых нет необходимости учитывать некоммутатив¬
ность различных переменных, а квантовый характер проявляется,
например, лишь в дискретности энергетического спектра. Иссле¬
дование подобных задач проводилось рядом авторов [30—35].
При последовательном квантовом описании физической си¬
стемы передачи информации, когда распределение вероятностей
279
заменяется оператором плотности, а соответствующий функцио¬
нал, характеризующий энтропию его естественным квантовым
обобщением, инвариантным по отношению к унитарным преобра¬
зованиям, ситуация значительно сложнее. Систематическое ис¬
следование свойств энтропии, заданной через оператор плотности,
было предпринято в работах Дж. фон Неймана [402] и С. Эль-
засера [535]. В последующих работах была выяснена роль кван¬
тового обобщения энтропии в физической теории информации и
роль физических измерений в процессах наблюдения и оценивания
параметров на квантовом уровне. И в этом случае квантовое
обобщение энтропии достигает максимума при заданной средней
энергии на распределении Гиббса, что позволяет внести форма¬
лизм матрицы плотности в равновесной термодинамике [402^
536—539].
Более сложным является исследование свойств неравновесных систем.
В этом случае часто за квантовым обобщением классической энтропии остав¬
ляют только его информационный аспект, не отождествляя с физической энт¬
ропией. Согласно [34], основной причиной подобного подхода является то об¬
стоятельство, что замкнутость физической системы не изменяется со временем
и, следовательно, не подчиняется //-теореме физической кинетики. Если систе¬
му можно представить в виде суммы большого числа N подсистем, то соот¬
ветствующая сумма от квантового обобщения энтропии отдельных подсистем
может со временем возрастать. Тогда становится целесообразным отожде¬
ствление этой величины с физической энтропией, хотя вопрос об определении
«истинной» энтропии сложной физической системы остается открытым [34].
Выяснение природы затронутых вопросов необходимо для
рассмотрения потерь информации и работы, обусловленных воз¬
растанием физической энтропии согласно термодинамике необ¬
ратимых процессов [39, 534]. Данные вопросы непосредственно
соприкасаются с проблемой построения корректных физических,
расчетных и математических моделей явлений и процессов [39,
42], обсуждаемых в главе 1.
Процесс измерений и извлечения информации по результа¬
там наблюдений происходит при взаимодействии физических си¬
стем и связан с обменом энергией. Вследствие этого обстоятель¬
ства одним из центральных вопросов при исследовании указан¬
ной проблемы является нахождение зависимостей между извле¬
каемым по результатам наблюдений количеством информации и
затраченной работой. Этим самым устанавливается однозначная
связь между понятиями «количество информации» и «физиче¬
ская энтропия».
Следовательно, одной из задач термодинамики информаци¬
онных процессов является установление связей (предельных со¬
отношений) между термодинамическими характеристиками (эн¬
тропия, энергия) и информационными (количество информации,
точность) [39,534].
Тогда информационные процессы — получение информации
(измерение), передача и обработка информации (вычислитель¬
280
ные процессы)—удобно рассматривать одновременно как еди¬
ную систему с тремя подуровнями. Понятие физической энтро¬
пии позволяет дать количественную формулировку второго зако¬
на термодинамики, который запрещает в изолированной системе
процессы, сопровождающиеся увеличением энтропии (ее произ¬
водством). Из этого следует заключение о необходимости энер¬
гетических затрат при фактическом измерении координат физи¬
ческой системы и регистрации этой информации.
, Второй закон термодинамики накладывает, согласно [30], дополнительные
ограничения на возможности физической реализуемости информационных си¬
стем. Так, если система находится при температуре Г, то для получения и за¬
писи количества информации di о ней необходимо потратить как минимум
Tdl энергии (ибо в противном случае измеритель и информационный преобра¬
зователь тепловой энергии в механическую при их объединении образовали
бы вечный двигатель). Отсюда следует также вывод о необходимости мини¬
мальных энергетических затрат для физических каналов с шумом, соответст¬
вующим заданной температуре Т. В этом заключается в данном случае термо¬
динамический критерий физической реализуемости информационных систем.
В [34] показано также, что процесс репродукцирования информации при взаи¬
модействии подсистем неизбежно связан с термодинамически необратимыми
процессами, сопровождается возрастанием энтропии и потерей суммы коли¬
честв полезных работ, содержащихся по отдельности в каждой из взаимодей¬
ствующих систем. Так как любая информация является результатом измерения
(сравнения) и взаимодействия по крайней мере Двух элементов, то перечислен¬
ные факты необходимо учитывать при исследовании физических моделей про¬
цессов передачи информации по заданной количественной мере информации.
5.2.2. Здесь сделаем несколько предварительных замечаний к
вопросу об исследовании вероятностных мер количества инфор¬
мации. В основу математической модели теории информации
(в ее статистическом варианте) положены результаты Р. Хартли
[540], Р. Фишера [541], К. Шеннона [501], А. Н. Колмогорова
[502], А. Я. Хинчина [542], М. С. Пинскера [543], Р. Л. Добру-
шина [544], И. М. Гельфанда и А. И. Яглома [545], А. Файнстей-
на [546], Р. Фано [547], Р. Галлагера [548], С. Кульбака [549],
их последователей [550—555] и мн. др.
Построенная А. Н. Колмогоровым аксиоматическая теория
вероятностей позволила получить единую количественную меру
информации, а развитие методов и понятий термодинамики (на
основе вероятностных концепций) и их применение в теории ин¬
формации позволило расширить возможности самой теории ин¬
формации. Например, метод математического анализа семанти¬
ческого и прагматического аспектов количества информации
опирается на известный из статистической механики и термоди¬
намики метод Гиббса, что еще раз подтверждает идеи К. Шен¬
нона [501] и А. Н. Колмогорова [502] о плодотворности мате¬
матических и физических аналогий в теории информации. Даль¬
нейшее развитие эта идея по мнению многих авторов получила
в релятивистской [29] и квантовой теориях информации [30—35]
281
и др. (методы и понятия которых начали разрабатываться со¬
всем недавно), учитывающих развитие идей и методов реляти¬
вистской и квантовой теорий, термодинамики и статистической
радиофизики. Создание подобных теорий потребовало перестрой¬
ки статистической теории информации (подобно перестройке
классической механики при построении релятивистской кванто¬
вой теории [7]) с учетом требований квантовых каналов связи,
релятивистских и квантовых эффектов при передаче инфор¬
мации.
Здесь, ограничимся рассмотрением в рамках математической
статистики некоторых подходов к построению вероятностных
мер количества информации (Хартли, Фишера и их разновид¬
ностей) с иллюстрациями вопросов исследования процессов на¬
блюдения, измерения и передачи информации.
5.3. Статистические и доминируемые
структуры
Прежде всего рассмотрим основные определения и понятия ма¬
тематической статистики [555], связанные с понятием статисти¬
ческой структуры, которое играет роль, аналогичную роли ве¬
роятностного пространства в теории вероятности.
Допустим, что задано пространство наблюдений Q, а самим
наблюдениям соответствует некоторая случайная величина хе
œXczSI с заданным распределением вероятностей р(х). Априо¬
ри предполагается, что распределение вероятностей принадле¬
жит известному семейству т. е. p(x)œ^, хеХ. Статистиче¬
ской структурой (экспериментом) в математической статистике
называется тройка (Q, Я, ^). Для семейства 3 с помощью введе¬
ния индекса Ѳ, называемого параметром, часто используется дру¬
гое обозначение: {Рѳ, Ѳ^Ѳ}.
Статистическая структура (Q, Я, 3) (семейство &) называ¬
ется доминируемой, если существует положительная о-конечная
мера р1 на (Q, Я), такая, что выполняется одно из двух эквива¬
лентных условий: 1) каждое распределение из 3 абсолютно не¬
прерывно относительно р; 2) каждое распределение из 3 имеет
вероятностную плотность относительно р.
Пример 1. Допустим, что в частном случае рассматриваемая домини¬
руемая статистическая структура задана с помощью параметра Ѳ и вероятно¬
стной плотности рѳ(х) =dPeld[i. В этом случае такая структура может быть
записана в следующем виде: [Q, St, {рѳ, ѲеѲ} ]. ‘
Допустим, что р доминирует структуру и абсолютно непре¬
рывна относительно меры р'. Тогда мера р' также доминирует
эту же структуру и [555]
dit
dfi' dp dp'
1 Напомним, что мера р называется о-конечной на (Q, St), если Q представимо
в виде счетного объединения измеримых множеств конечной меры р.
282
Таким образом, мера, доминирующая некоторую статистическую
структуру, не единственна. Однако для доминирующих структур
всегда возможно выбрать в качестве доминирующей меры ве¬
роятностную. Такую возможность устанавливается следующая
теорема.
Теорема 5.1 [555]. Статистическая структура (Q, 21,
является доминируемой тогда и только тогда, когда найдется
вероятностное распределение Р* на (Q, 21), называемое привиле¬
гированным, доминирующее (Q, 21, и обладающее следующи¬
ми свойствами: 1) распределение Р* абсолютно непрерывно от¬
носительно всякой меры, доминирующей (Q, Я, ; 2) распреде¬
ление Р* является строго выпуклой комбинацией мер из некото¬
рого не более чем счетного подмножества мер из 3>, Р* =
= 2 СрР (Cp>Qt Ср= l'j ; 3) распределение Р* эквивалент-
\ р£&>' /
но Р, т. е.
[Р(А) =0VPg=^]^P*(A) =0VAœ2(.
Таким образом, могут быть построены статистические струк¬
туры, обусловливающие вероятностные логические суждения.
Одна из таких структур — модель вероятностной логики — рас¬
смотрена в [556].
5.4. Некоторые основные положения
базовой, вероятностной и нечеткой логик
теории сложных систем
В теории управления в последние годы большое внимание
уделяется логическим вопросам исследования сложных САУ в
условиях неопределенности. Теоретической основой исследова¬
ния в зависимости от постановки задачи являются вероятност¬
ная или нечеткая логики [556, 39]. Здесь рассмотрим кратко не¬
которые модели вероятностной и нечеткой логик, используемые в
дальнейшем изложении, и возможные их обобщения в виде бо¬
лее общей модели [556]. Такое обобщение основано на выделе¬
нии общих постулатов, присущих как вероятностной, так и не¬
четкой логикам, и объединении их в базовую логику. Добавле¬
ние дополнительных гипотез позволяет получать модели веро¬
ятностной или нечеткой логики.
5.4.1. Вероятностная логика. Рассмотрим одну из моделей
вероятностной логики, предложенной в [556]. В терминах веро¬
ятностей р(х) над областью возможных состояний х^Х в про¬
позициональном исчислении’вероятностная логика введена на
основе следующих постулатов.
Ш. О^р(х) 1, VxœX.
П2. р(хѴ//) =Р(х)+р(у); если х и у взаимно независимые
события.
ПЗ. р(х) =р(у), X и у логически эквивалентны.
П4. р(х\/я) = 1 (закон исключения среднего).
283
Из постулатов Ш—П4 получены следующие результаты [556]:
0«^р(х)^1; (5.1)
p(F)=0, р(Г) = 1; (5.2)
P(х/\у) «С min(р(х), р(у) ) «Стах(р(х), р(у) ) «Ср(хѴу) ; (5.3)
р(х) == Г—р(х) ; (5.4)
р(х/\у)=р(х)+р(у) — р(х\/уУ, (5.5)
P(xz)y) =р(хѴу) =Р(х) +р(хДу) ; (5.6)
р(х==у) =р((х=>у) Д (у=>х)) =р((хѴу)Л(уѴх)) =
= 1—p(xVf/)+pUAy), (5.7)
где X — противоположное событие к х; T (True — истинно) —до¬
стоверное событие; F (False — ложно) — недостоверное событие.
Рассмотрим логические связки AND, OR, NOT с точки зре¬
ния приведенных результатов вероятностной логики. В этом
случае
z=xANDy=>Z=min(X, У), zœZ, xg=X, ўеУ; (5.8)
z=xORy=>Z=max(X, У); (5.9)
z=x NOT y^Z= 1 — У. (5.10)
Введенным определениям (5.8) — (5.10) соответствуют два экс¬
тремальных значения: TRUE = 1 и FALSE = 0. В данном случае
логическая переменная характеризуется функцией принадлеж¬
ности к соответствующим предельным точкам 0 и 1 интервала
[0, 1]. Если предположить, что логическая переменная, напри¬
мер X, характеризуется не только функцией принадлежности
интервалу [0, 1], но и характеризует одновременно вероятность
события X, то в этом случае можно рассмотреть соответствую¬
щие аналоги определений (5.8) — (5.10).
Предположим, что случайные события носят бинарный ха¬
рактер (т. е. происходит или не происходит). Тогда, например
для (5.10), имеем
z=NOTy, Z=p(z) =р(ў) = 1—р(у) = 1 —У. (5.11)
В терминах распределения вероятностей событий х и у можно
записать
Х=р(х)=р(хДу)+р(хДу); (5.12)
У=Р(у)=риДу)+р(хДу). (5.13)
Из соотношений (5.12), (5.13), с учетом неравенств 0^р(-)«С1
следует
0^р(хДуХтіп(Х, У); (5.14)
0«CXy<Jmin(X, У); (5.15)
284
. max(%, У)^р(хѴу)^1; (5.16}
max(%, Y)^X+Y—XY^\. (5.17)
Приведем здесь анализ двух других логических связок (5.8>
и (5.9). Так, для z=xAND у. Z=p(x/\y) имеем следующие след¬
ствия.
1. Z=(Rs=*-p(x/\y) =0-<=>xz)ÿ AND угэх, т. е. случайные со¬
бытия X и у взаимно исключают друг друга (противоположные
события).
2. Z=XY<=>p(x/\у) —р(х)р(у), т. е. х и у статистически не¬
зависимы.
3. Z=min(X, У)-$=$-р(хДў) =0, OR р(х Ду) =0-j=^x->y OR у->-
—►x, т. е. X и у строго имплицируют.
Для логической связки z=xORy, Z=p(x/\y) = \—p(x/\ÿ)
выполняются следующие условия.
1'. Z= 1-$=>-р(хДў) = 0-ФЗ-х=>уANDу^>х, т. е. должно про¬
изойти событие X или у.
2' Z=X-}-Y—XY-*=>p(x/\y)=p(x)p(y), т. е. х и у статисти¬
чески независимы.
3'. Z=max(X, У)-$=>р (х Дў) =0 OR р(х Ду) =(Н=Ф-х->-у OR у->-
->~х, т. е. имеет место импликация и в этом случае строгая им¬
пликация х-4-у дает необходимое условие х=>у.
В приведенных условиях имеет место соотношение р((х^>у)Ѵ
Ѵ(у=>х)) = 1.
Из изложенного следует, что условия 1 и Г независимы и
дают х=у. Условия 2 и 2' эквивалентны и отражают специфику
вероятностной логики, в которой атомарные [556] высказыва¬
ния предполагаются статистически независимыми, а сама логи¬
ка содержит в качестве составных элементов мультипликатив¬
ные и аддитивные связки. Условия 3 и 3' также оказываются
эквивалентными и непосредственно отражают тот факт, что ло¬
гическим связкам в вероятностной логике можно поставить в
соответствие (как и в нечеткой логике) операции max/min.
5.4.2. Базовая логика в условиях неопределенности. Допу¬
стим, что задана структура L (X, F, Г, V, Л) на множестве эле¬
ментов X с максимальным элементом Т и минимальным элемен¬
том F, удовлетворяющая следующим условиям.
PI. VxœL, х\/х=х,\х=х.
Р2. Vx, ÿe£, х\/у=у\/х, x/\y=yf\x,
P3. Vx, y, zç=L, xV = (АЛ/) хД (г/Дг) =
= (xAy)Az.
P4. Vx, y<=L, x\/(x/\y)=x, x/\(x\/y)=x.
P5. VxeL, x\/T=T, x/\T=x, x\/F=x, x/\F=F.
P6. Vx, y^L, x^y^^Rz^L : y = x\/z.
285
Предположим, что каждый элемент L характеризуется значе¬
нием истинности по степени принадлежности к интервалу [0, 1]
•с помощью отображения р : L->[0, 1] со следующими свойствами.
Р7. р(Г)=0, р(Т) = 1.
Р8. Vx, y<=L, xs^y^p(x)s^p(y).
Р9. Vx, y<=L, р(х/\у) +р(х\/у) — р(х) +р(у).
Функция р(х) обладает следующим свойством:
P (х/\у) ^шіп (р (х), р(у) ) s£max (р (х), р(у) )
<р(хѴр). (5.18)
Приведенные постулаты о структуре L дополняются еще
•одним
РЮ. Vx, pel, х=у-^р(х/\у) =р(х\/у),
что приводит к соотношению
Vx, у, z<=L, x=y^=>(x/\z) = (y/\z) AND(xVz) =
Mj№). (5.19)
Из (5.19) следует
Vx, у, ze=L, p(x/\y)=p(x\/y)=>p(x/\z) =
=P(!/A-2)ANDp(xVz)=p(pV2)- (5.20)
Рассмотрим метрические аналоги введенных постулатов. Вве¬
дем обозначение
Pli. Vx, peL, </(х, р) =р(хѴр)—р(хДр).
В [557, 558] показано, что d(x, р) является квазиметрикой
на L:
d(x, х)=0, 0^d(x, р)^1, d(x, y)+d(y, z)^d(x, z). (5.21)
Из (5.21) и постулата РЮ получаем
d(x, у) =0<=>х=у. (5.22)
Следует подчеркнуть, что приведенные свойства и постулаты яв¬
ляются основой как для вероятностной, так и для нечеткой ло¬
гики. Метрические свойства структуры L приводят к следующе¬
му свойству логической тождественности:
Р12. Vx, peL; р(х=у) = 1— d(x, у) = \—p(xVy) +р(х/\у).
Из Р12 следует, что два конгруэнтных элемента на L эквива¬
лентны со значением 1, а максимально неэквивалентные элемен¬
ты «эквивалентны» со значением 0. По аналогии с пропозицио¬
нальным [556] исчислением вводится постулат
Р13. Vx, p<=L, р(х=>р) =р(х=хДр) = 1— d(x, х/\у) =
= 1—р(х) +р(хДр) = 1 +р(р)—р(хДр) = 1— d(y, хѴу).
286
Тогда операция отрицания в терминах эквивалентности или им¬
пликации имеет вид
Р14. VxœL, p(f) = p(x=f) =р(х=)77) =1— р(х).
Аналогично
р(Г=х) = р(7=>х) =р(х). (5.23)
Постулат Р13 приводит к следующему свойству:
Vx, y<=L, р(у)=р (х\/у) — 1 +р (х=>у)
>Р(х)-(1-р(х=>у)). (5.24)'
Выражение (5.24) показывает нижнюю границу значения истин¬
ности для переменной у по соответствующим значениям для х
и х=>у и показывает ограничение формы правила modus ponens.
Из (5.24) следует, что из условия х^у вытекает условие р(у)^
^р (х) и р(у) ^шах(р(Хі)), где х^у. Последнее условие со¬
держит в себе важное правило вида if х< then у, широко используе¬
мое в теории нечетких систем и исследовании моделей нечетких
аппроксимаций и рассуждений [39]. Предположим теперь, что
элементами структуры L являются х=у, х^у, х. Из постулатов
РЮ и Р13 следует
р (хѴ (х=>у) ) +р (хД (х=>у) ) = 1 +р (ХДу), (5.25)
что приводит к условию
р(хѴх)+р(хЛх) = 1. (5.26)
Из (5.26) следует, что закон исключения среднего-
(р(хѴ^) =1) и закон противоречия (р(хЛх) =0) являются экви¬
валентными с точки зрения этой модели. Аналогично изложен¬
ному вводится постулат о дистрибутивности
Р15. Vx.y.z^L, x/\(yVz) = (x/\y)\/(хДг).
Рассмотрим подробнее постулат .
Р16. VxœL, р(хѴх) = 1.
Как отмечалось, постулат Р16 означает закон исключения
среднего. В работе [556] показано, что добавление постулата
Р16 к системе постулатов Р1—Р15 приводит к системе постула¬
тов П1—П4, т. е. к модели вероятностной логики. Таким обра¬
зом, добавление закона исключения среднего к системе постула¬
тов базовой логики Р1—Р15 позволяет вывести из последней мо¬
дель вероятностной логики.
5.4.3. Нечеткая логика. В основе простейшей модели нечеткой’
логики лежит система постулатов многозначной логики Лукасе-
вича для функции принадлежности р(х), удовлетворяющей ус¬
ловию
L1. 0^р(х) 1.
287
Для функции р(х) выполняется следующая система посту¬
латов.
L2. р(х) = 1—р(х).
L3. р{х/\у) =min(p(x), р(у)).
L4. р (х\/у) = шах (р (х), р (у) ).
L5. р(х=>у) =min(l, 1— р(х) +р(у)).
L6.. р (х=у) =min ( 1 — р (х) +р (у), 1 +р (х) —р (у) ).
Приведенная система постулатов L1—L6 составляет основу
многозначной логики Лукасевича LX1.
Рассмотрим теперь вместо постулата Р16 постулат
Р17. Vx, р(х=>у) = 1 ORp(yzz>x) = 1.
В [556] показано, что система постулатов Р1—Р15 совместно с
постулатом Р17 тождественна система постулатов L1—L6. Та¬
ким образом, система постулатов базовой логики Р1—Р15 со¬
вместно с постулатом Р17 приводит к модели нечеткой логики.
5.5. Количество информации Хартли
и его асимптотическая связь
с энтропией Больцмана
Допустим, что (Q, SC; Рѳ, ѲеѲ) — заданная статистическая струк¬
тура и задана некоторая упорядоченная группа /. Предположим,
что информация, содержащаяся в структуре, задается некоторым
элементом из группы /. В рассматриваемой ситуации на интуи¬
тивном уровне должны выполняться следующие условия [555]:
1) информация, доставляемая некоторой статистикой, совпадает
с информацией в структуре, индуцируемой этой статистикой;
2) информация, доставляемая статистикой, не превосходит ин¬
формации, содержащейся во всей структуре; 3) информация, до¬
ставляемая достаточной статистикой, равна информации всей
•структуры; 4) информация, доставляемая подобной статистикой,
равна нулю; 5) информация, доставляемая одной из эквивалент¬
ных статистик, одинакова; 6) информация, доставляемая парой
независимых статистик, равна сумме информаций от каждой из
них. Приведенные условия дают возможность ввести одновремен¬
но и понятие условной информации в терминах а-подалгебр а-ал-
гебры SI.
Традиционные меры количества информации в случае доми¬
нируемой структуры являются линейными функционалами от
log (х). В данном разделе рассмотрим меру количества инфор¬
мации Хартли [540, 555].
5.5.1. Допустим, что имеется М равновероятных (равноправ¬
ных) возможностей. Априорная неопределенность, связанная с
М исходами, определяется численной величиной Н, носящей на¬
288
звание энтропии
(5.27)
где /(■)—возрастающая неотрицательная функция от М.
Для определения вида функции f используется принцип ад¬
дитивности. Для сложной системы чиело равноправных возмож¬
ностей М равно произведению числа возможных исходов пг каж¬
дой из подсистем. В случае п испытаний число равноправных
возможностей равно пгп=М. Согласно принципу аддитивности
для функции f(M) должно выполняться следующее соотноше¬
ние:
f(mn) =nf(m). ' (5.28)
Вводя обозначение х=тп, имеем п = 1пх/1пт.
Тогда из (5.28) следует
f(x)=klnx, k = lnx/lnm. (5.29)
Логарифмическая мера
H^klnM (5.30)
называется хартлиевским количеством информации [548, 549].
В (5.29), (5.30) k— положительная постоянная, не зависящая
от X и определяет выбор единиц измерения количества информа¬
ции. Существует три основные единицы измерения информации:
1) при k=\ энтропия измеряется в натах (натуральные едини¬
цы) ; 2) при k= 1/ln 2 энтропия выражается в двоичных единицах
(битах); 3) при k—1,38-ІО-23 Дж/град (постоянная Больцмана)
энтропия соответствует физической шкале измерения.
Если равноправность возможностей заключается в условии,
что случайная величина § принимает одно из М значений, то
вероятность р(£) каждого ее значения равна р(£) = 1/М и фор¬
мулу для Н (5.30) в натуральных единицах измерения можно за¬
писать в виде
Я=-1прШ. (5.31)
Согласно идеи К. Шеннона [501], количество пришедшей ин¬
формации / измеряется величиной снятой неопределенности
/=//апр—#апос, (5.32)
где Яапр и Яапос—априорная и апостериорная меры неопределен¬
ности соответственно. В случае меры Хартли количество инфор¬
мации I совпадает, следовательно, с первоначальной энтропией,
т. е. апостериорная энтропия равна нулю и сообщение £, имею¬
щее энтропию /7, сможет передать количество информации /,
равное величине Н,
Формально выражение (5.31) сохраняет свой вид и для слу¬
чая, когда вероятности различных возможностей не равны.
В этом случае каждой реализации случайной величины § при¬
10 Б. Н. Петров и др.
289
писывается определенное значение энтропии, которую можно рас¬
сматривать как случайную величину. Поскольку апостериорная
энтропия для реализации равна нулю, то информация численно
равна первоначальной энтропии
/U)=H(g)—inpU). (5.33)
Из (5.33) следует, что при уменьшении априорной вероятно¬
сти p(J-) информация / и энтропия Н возрастают.
Пример 1. Информация по Хартли допускает алгебраическую интер¬
претацию [559]. Пусть М — конечное множество, |М|—его мощность. Ин¬
формация элемента определяется аналогично (5.30) в виде
Z(Ê)=log|M|. (5.34)
Если на множестве М задано отношение эквивалентности (рефлексивное, сим¬
метричное и транзитивное бинарное отношение [560]), то оно порождает раз¬
биение М на непересекающиеся классы. Фактор-множеством называется мно¬
жество классов эквивалентности и обозначается М/~. Если л: М-+М/~ —
каноническое проектирование, сопоставляющее каждому элементу его
класс эквивалентности л (g), то информация элемента 5 определяется как
/(g)=log|n(g)|. (5.35)
Если существует один класс эквивалентности, то информация каждого элемен¬
та максимальна и совпадает с хартлиевским количеством информации.
В [559] показано, что если число классов эквивалентности равно Af(M=
= | М/ ~ | ), то 4
2~(/të)+log7V) = 1. (5.36)
Из (5.36) следует, что величина
р(^) = 2“(/(5)+10gW) (5.37)
является нормированной мерой на М. Отношение эквивалентности не являет¬
ся произвольным, а образуется в результате передвижения элементов по неко¬
торым определяемым орбитам.
Пример 2. Допустим, что X — алфавит (конечное множество), Хп =
=М — множество слов длины п в алфавите X. Если на множестве X не зада¬
на структура, то первой мерой информации, которую допустимо ввести на ал¬
фавите X, является хартлиевская мера информации. Предположим, что на Хп
канонически действует симметрическая конечная группа Sn, переставляющая
позиции букв слова заданным образом. Множество Хп является Sn-подмно¬
жеством и существует количество информации разбиения. Если буква а<еХ
входит Ші раз в слово £eXn, f=l, 2, ..., |Х|=£, то разбиение п ~
і=і
определяет композицию (ть ...» ггц) слова £. Все слова одной и той же ор¬
биты имеют одну и ту же композицию и наоборот. В [559] величина /0(£) =
290
= log|G^|, G=Sn была названа 0-информацией слова g и равна
(6) = log .
П Л»,!
1=1
О-информация минимальна и равна нулю для слова, в которое входит только
одна буква, и максимальна, если буквы встречаются в слове одинаково часто
1559].
Число безусловных орбит, которое требуется для нахождения меры 0-ин-
п
формации, совпадает с числом всевозможных разбиений п=2 (Æ—
і=і
размер алфавита) и равно W=
Пример 3. Введенное развитие хартлиевского количества информации
на основе отношения эквиалентности было описано в [559], а величина /о в
[559] названа информацией по Фитингофу. Вес по Фитингофу произвольного
слова X с композицией (/пь ..., ті) обозначается через Ф(х) и имеет вид
(квазиэнтропия [561)]
2_ ті ті
ф w = - У — *°g—■ <5-38)
z-i п п
В [559] показано, что для любого слова длинм п
/0(х) =п(Ф(х)+0(1)); (5.39)
р(х)=2-п(ф<х)+0<1». (5.40)
Тогда из (5.39) следует другое определение для веса по Фитингофу (5.38)
Ф (х) = Ііш — /0 (х). (5.41 )
Л->оо п
Так как вес по Фитингофу определен для любого рационального стохасти¬
ческого вектора (mi/п, ...» гпьіп), (т</п)>0и 2 (ял/п) = 1, то это
і
определение продолжается по непрерывности на произвольный вещественный
стохастический вектор Р= (рі, ..., рк) в виде
k
Я(р) = -3 Pjogp.. (5.42)
і=і
5.5.2. Выражение (5.42) называется энтропией Больцмана и
согласно (5.41) является асимптотическим следствием информа¬
ции по Хартли. Другое доказательство асимптотической эквива¬
лентности меры Хартли и .меры Больцмана дано в [30] и крат¬
ко рассмотрено ниже в п. 5.6.
Таким образом, справедливо соотношение .между случайной
энтропией //(£) (5.31) и энтропией Больцмана
Я6=М[Я(|)], (5.43)
т. е. величина (5.42) является усредненной энтропией, которая
играет основную роль в теории информации Шеннона [501].
291
10*
5.6. Свойства
безусловной и условной энтропии.
Энтропийная устойчивость
5.6.1. Рассмотрим без доказательства некоторые свойства эн¬
тропии (5.42) и ее обобщения, которые будем использовать в
дальнейшем. '
Свойство 1. Средняя и случайная энтропия всегда неотри¬
цательны.
Свойство 2. Энтропия (5.42) имеет максимальное значе¬
ние, равное In М, когда Р(£) = 1/Л4.
Свойство 3. Совместная энтропия Н6л распадается на сум¬
му энтропий ЯЕл=Я6 + Яп, если случайные величины £ и т] неза¬
висимы. •
По аналогии с (5.42) условная энтропия имеет вид
-Ik-r = - 3 Р <Ь. • •U log P , En I Еі, . -Е*_х) =>
= M[H(U EnlEi, .... E^)J. (5.44)
Свойство 4. Для произвольного распределения р(|) и
q(X) выполняется неравенство
3pfê)log-^->0. (5.45)
Свойство 5. Энтропия (5.44) обладает свойством иерар¬
хической аддитивности
Ъі = + #5,15, + #5.ІЬЬ + • ■ • + (5.46)
Свойство 6. Условная энтропия (5.44) связана с безуслов¬
ной энтропией (5.42) следующим неравенством:
(5.47)
Из (5.47) следует, что при добавлении условий условная энтро¬
пия не увеличивается.
Введенные определения энтропий и их свойств получили свое
отражение в одной из фундаментальных теорем теории информа¬
ции, которая формулируется следующим образом.
Теорема 5.2 [30]. Все 2п реализаций т] можно разбить на
два множества Ап и Вп так, что 1) суммарная вероятность мно¬
жества Ап меньше е : р(Д„)->-0 при п-+оо; 2) вероятности реали¬
заций второго множества Вп становятся равновероятными в смы¬
сле
|1^1п>~1пр(т1,) I-»0, n'eft (5.48)
I In Р(т|) I
и удовлетворяют неравенству
I 1ПП/Р(Ф] я <8. (5.49)
292
Из теоремы 5.2 следует, что все реализации, за исключением
некоторой весьма маловероятной группы, имеют вероятности, за¬
ключенные между д-п(н+е) и а-п(н-в), -где а —основание системы
логарифмов.
Из (5.49) следует, что при и->оо, е->0
lim (Н (т])/п)
П->оо
т. е. получаем асимптотическое совпадение мер Хартли и Больц¬
мана. Из изложенного следует, что если принимает одно из т
значений, то имеется тп различных реализаций процесса т] =
=(£і, •••, £п) с независимыми значениями и только М=апНѵ
реализаций, являющихся равновероятными, следует принимать
во внимание. При p=\lm Hz=lnm и доля апНъ Ітп реализаций,
которые следует рассматривать, неограниченно уменьшается при
увеличении п. Следовательно, подавляющее большинство реали¬
заций является несущественным и его можно не принимать во
внимание. Этот факт является одним из центральных в теории
кодирования и имеет существенное значение при построении ал¬
горитмов обработки и сжатия больших массивов информации.
Пример 1. Предположим, что подлежащий кодированию текст являет¬
ся последовательностью букв, принадлежащих конечному алфавиту. Через т
обозначим число имеющихся различных между собой символов. Данный текст
будем рассматривать в виде простой цепи Маркова и предположим, что текст
кодируется в тот же алфавит. Кодируя более кратко наиболее часто встре¬
чающиеся цепочки и оставляя более длинную кодировку для более редких це¬
почек, имеем возможность сжатия кодированного текста по сравнению с пер¬
воначальным. Возможные размеры сжатия и выбор оптимального для этой це¬
ли кода зависят от статистической структуры текста.
Каждая n-членная цепочка £ символов входящего текста имеет опреде¬
ленную вероятность р(£) и определенную длину /(£) цепочки кодированного
текста, в которую она переходит после кодирования. В [542] отношение Z(g)/n
предложено рассматривать как «коэффициент сжатия» для данной п-членной
цепочки £. Применив к этому отношению операцию математического ожида¬
ния, получим «среднее сжатие» для цепочек длины п
’Яра)/® /'
L s j/
л.
(5.50)
Величина p = lim рп называется коэффициентом сжатия определенного
Л->00
текста при заданном коде и дает возможность измерять сжатие текста при
фиксированном способе кодирования. Необходимо определить по доминируе¬
мой статистической структуре наименьшее значение коэффициента сжатия, ко¬
торого можно достигнуть с помощью надлежащего кода. Ответ дает следую¬
щая теорема [542].
Теорема 5.3. Если энтропия поступившего текста равна Н, то нижняя
грань коэффициента сжатия р по всем возможным кодам равна Я/log ш, где
ш — число различных между собой символов текста.
293
Из теоремы 5.3 следут, что для определения нижней грани возможного
сжатия текста посредством кодирования нет необходимости в детальном изуче¬
нии его статистической структуры, а необходимо знать только его энтропию Н
и число различных входящих в него символов. Поскольку log/и есть макси¬
мальное значение для Н (свойство 2) при данном числе символов, то величину
HIÏQgm в [542] предложено называть «относительной энтропией» данного тек¬
ста. Варианты сжатия процессов обработки информации рассмотрены в [561].
5.6.2. Отмеченный факт асимптотической эквивалентности
мер Хартли и Больцмана тесно связан с понятием энтропийной
устойчивости, которое формулируется следующим образом [30]:
семейство случайных величин {тр} называется энтропийно ус¬
тойчивым, если отношение Н(х\п)ІНпп при п-+оо сходится по ве¬
роятности к единице
р (IH (ѵ^/Н^ — 11 > е) < Ьп (5.51)
при любом лг^А7(е, b), е>0, fr>0. В (5.51) предполагается, чго
0<Я „<оо, Пт н
Теорема 5.2 в терминах энтропийной устойчивости для асим¬
птотической эквивалентности рассматриваемых мер может быть
сформулирована в более общем виде.
Теорема 5.4 [30]. Если семейство случайных величин {т}"}
является энтропийно устойчивым, то множество реализаций каж¬
дой случайной величины можно разбить на два подмножества Аг.
и Вп таким образом, что 1) суммарная вероятность реализаций
подмножества Д„Р(Л„)->-0 при п->оо; 2) реализации второго
подмножества Вп становятся относительно равновероятными в
смысле соотношения
I In Р (Т)) — In Р (t] ) Q п оо е е Д,; (5.52)
I 1пР(т])
3) число Мп реализаций Вп связано с энтропией Нпп соотношени¬
ем
lim (In MnlH п) 1, (5.53)
rt-эоо 1
Из (5.53) следует асимптотическая эквивалентность рассмат¬
риваемых мер Хартли и Больцмана.
Пример 2. На практике свойство энтропийной устойчивости часто про¬
веряют путем вычисления дисперсии £>[Н(т]п)] случайной энтропии
D [Н (vf) 1 = М [№ (rf)] - Н^п. (5.54)
При предположении, что дисперсия (5.54) с ростом п растет не слишком
быстро, из неравенства Чебышева следует энтропийная устойчивость в смыс¬
ле (5.51). .
В [30] доказаны следующие теоремы, относящиеся к рассматриваемому
вопросу.
294
Теорема 5.5. Если существует равный нулю предел
lim {DIHtfWH*} =0, (5.55)
П—>оо 'I
то семейство случайных величин {гр} является энтропийно устойчивым.
Теорема 5.6. Если энтропия Н^п неограниченно возрастает и сущест¬
вует ограниченный верхний предел
.. D [Н (т]")1
lim sup - < С, (5.56)
П-+ОО П п
• тг
то семейство случайных величин энтропийно устойчиво.
Теорема 5.7. Если существуют конечные пределы (удельная энтропия
и удельная дисперсия)
Нг= lim (Я п/п); Dt= lim D [Н (т|я)]/п (5.57)
rwoo “П п-^оо
и Яі=/=0, то семейство случайных величин энтропийно устойчиво.
В [30] был рассмотрен характеристический потенциал ц0(а) энтропии
Я(П)
ехр {р0 (а)} = 2 еаН(т|)Р (п) = Р1~а (п)- . (5.58)
п п
В терминах (5.59) справедлива следующая термодинамическая интерпретация
теоремы 5.4. >
Теорема 5.8 [30]. Пусть потенциал (5.58) определен и дифференци¬
руем в отрезке si<a<s2 ($і <0; S2>0) и пусть уравнение
dp,Q(s)lda= (1+е)Яп (е>0) (5.59)
имеет корень sœ[0, s2] • Тогда подмножество А реализаций т], определенное
условием
Я(т])/Яя-1>е, (5.60)
имеет вероятность
р(А)^ ехр {—spo' (s) + Цо (5)}. (5.61 )
Остальные реализации, составляющие дополнительное подмножество В, имеют
вероятности, связанные соотношением
<-*- („.„'еВ); (5.62)
In р (я) 1 — 8 Ч
причем число М этих реализаций удовлетворяет неравенству
1 — е Ч- -у—In [1 — ехр {—sp' (s) + р0 (*)}] < “7^< 1 +е* (5-63)
Из (5.59) следует, что при е=0, dp,(0)lda=Hn и существует нулевой
корень s=0. При малых е производная po'(s) =dpo(s)/rfa допускает разло¬
жение в ряд Маклорена, из которого следует, что корень уравнения (5.59)
имеет вид
s = etfn/pj;(0) + 0(s3). (5.64)
295
Если разложить в ряд выражение, стоящее в экспоненте (5.61), то с учетом
(5.64) получим
р (Л) < ехр {- е2^/2И; (0)} (1 + 0 (е*)). (5.65)
В силу общих свойств характеристического потенциала Цо" (0) =Р[Я(т])] >0
и из (5.65) следует
р (Л) < ехр {- [Н (п)1} (1+0 (в*)). (5.66)
Из (5.66) нетрудно получить, в частности, условия типа (5.55). На основе
приведенных результатов могут быть получены такие понятия, как информа¬
ционная устойчивость, каноническая устойчивость и др., которые рассмотре¬
ны в [543, 544, 30].
5.7. Меры количества информации
Котельникова и Фано
Пусть хк, Уі — элементы ансамблей X и У соответственно; р(хк)—
вероятность элемента х*еХ; р(х*|«/<)—условная вероятность
элемента хк<=Х при условии У. Мера энтропии Нк по Котель¬
никову [562] определяется следующим выражением:
#к(Ра) = 1— Піахр*. (5.67)
k
Энтропия (5.67) удовлетворяет следующим аксиомам: 1) сим¬
метричная непрерывная выпуклая функция переменных от
pk\ 2) minHK(pft) =( HK(p'k), pk — (1, 0, 0 0); 3) max/7K(/u)=
Pk Pk
^HK(pk),pk = (\/k, ....
Аксиома выпуклости энтропии Нк(рк) накладывает условие по¬
ложительной определенности меры (5.67).
Соответствующая мера количества информации Котельнико¬
ва имеет вид
7 к (Pk, P (xk I уі)) = max pkp (xk | Уі) — rnaxp*. (5.68)
X k k
Таким образом, под мерой информации Котельникова понимает¬
ся средняя разность апостериорной и априорной максимальных
вероятностей случайных событий. В качестве последних могут
быть, например, вероятности правильного распознавания неко¬
торой ситуации.
Р. Фано в [547] предложил меру / количества информации в
Уі относительно xh в виде
. 7(х*, yt)=log[p(xk, «л)/р(хк)]. (5.68)
Выражение (5.68) показывает, что информацию доставляют те
сведения, которые меняют вероятность элемента хк<=Х.
296
5.8. Энтропия непрерывных случайных величин.
Меры информационного расхождения
и различающей информации
5.8.1. Обобщение выражения (5.42) на непрерывный случай
имеет определенные особенности [543, 544, 30]. Формальное
обобщение (5.42) в виде
^6==^ —jp(Ê)logp(ê)dg (5.69)
является неинвариантной величиной по отношению к невырож¬
денному преобразованию типа л = £(ё). Величина (5.42) в отли¬
чии от (5.69) является инвариантной по отношению к указанно¬
му преобразованию.
В [30] вместо (5.69) рассмотрена величина, определяющая
энтропию Нь в виде
(5.70)
J v (s)
X
где v(x) —вспомогательная мера плотности распределения веро¬
ятностей, которая предполагается заданной и обладает следую¬
щим свойством:
$v(£)dt~N, (5.71)
X
где N — величина конечная. Вводя нормированную плотность
вида
ç(É)=v(m (5.72)
получим из (5.70) ,
Я5-1пЛГ — Cp(£)ln£gU. (5.73)
X q *
Величина (5.73) допускает возможные обобщения на ком¬
бинированные случаи (когда непрерывная случайная величина
имеет концентрации в отдельных изолированных точках и т. п.) и
на более абстрактные модели [543, 544]. Выражение
яГ = р(5)1п^Е <5-74)
является неотрицательным и определяет энтропию распределе¬
ния вероятности р(£) относительно распределения вероятности
<?(£). Из (5.70) как частный случай следует (5.69) при равно¬
мерной единичной плотности ѵ0(Ю =dv/di = l.
Энтропия (5.74) используется в математической статистике
как показатель степени различия мер Р и Q и называется мерой
Кульбака. При несовпадении мер Р и Q величина (5.74) поло¬
жительна, а при Р(-) = (?(•) она равна нулю.
297
В более общем случае так называемая обобщенная энтропия Больцмана —
Гиббса определяется следующим образом [30] : пусть существует на задан¬
ном измеримом пространстве и абсолютно непрерывна производная Радона —
Никодима dvjdp. вероятностной меры ѵ по соответствующей мере ц; тогда
обобщенная мера энтропии Больцмана — Гиббса имеет вид
Сdv dv z
Я =- —log —dp. (5.75)
J dp dp
Свойства меры (5.75) и ей аналогичных (типа меры энтропии Сегала)
рассмотрены более подробно в работах, приведенных в [735—738].
Пример 1. Отмеченными свойствами обладает также другая мера раз¬
личия
Q
s (P, Q) = inf ds; (5.76)
р
- 2 J J"» ₽ <5'77)
Мера (5.76) является «расстоянием> между Р и Q. Выражение (5.77) может
быть записано в эквивалентном виде [30] (разлагая в ряд функцию
In (1±ÔP/P) по ÔP/P)
*а = j[ôlnP(</Ç)]2P(d£). (5.78)
При сближении Р и Q энтропии Нр^, Н<^р и величина Q) совпа¬
дают.
Теорема 5.9 [30]. Квадрат «расстояния» (5.76) ограничен сверху сум¬
мой энтропий
s2(P, Q)^Hp^+HQ\p. ' (5.79)
Энтропию (5.74) можно интерпретировать как дефект энтропии (нехват¬
ка до максимального значения In М). Аналогичным образом определяется
условная энтропия непрерывных случайных величин.
5.8.2. Рассмотрим некоторые особенности и следствия инфор¬
мационных мер типа (5.74) —(5.75) [549].
Информационные меры
/ (2 :1 ) = f р2 (х) log dl (х); (5.80)
J Pl {X)
/(1:2) = CP1(x)log^dMx) (5.81)
J Ръ W
называются направленными расхождениями.
Выражение
J (1, 2) = / (1:2) + / (2 :1 ) = С (Р1 (х) - р2 (X)) log dK (х)
J Рі (ж)
(5.82)
было названо С. Кульбаком [549] расхождением.
Выражения (5.80), (5.81) являются несимметричными функ-
298
одами и в авяз<и с этим получили соответствующее наименование.
Мера (5.82) обладает всеми свойствами метрики ((расстояния),
кроме неравенства треугольника [30]. *
Меры (5.80) — (5.82) нашли свое применение в задачах
математической статистики, в частности, при распознавании
сложных гипотез [38, 518, 519, 563—568].
Пример 2. Предположим, что задано выборочное евклидово простран¬
ство двух измерений с элементами Х=(ху у) и имеются две гипотезы: Н\—х
и у являются зависимыми переменными с совместной плотностью распреде¬
ления вероятностей р(х, у)\ Н2—ху у являются независимыми переменными
с соответствующими плотностями распределения вероятностей рі(х), р2(#).
В данном случае выражение (5.81) принимает следующий вид:
I (1 : 2) = f С р (X, у) log —^(Х’У) dx dy. (5.83)
- JJ Pi(x)p2(y)
Выражение (5.83) определяют как среднюю информацию в х относитель¬
но у или наоборот и характеризует меру информационной связи между х
и у (по Шеннону). Более подробно свойства меры (5.83) рассмотрены в
[543, 544].
Если гипотеза Н\ задает двумерное нормальное распределение с плот¬
ностью
, . 1 Г 1 / Л *У , */2\1
2ла^(1-р»Л’ ( 2(1— v 0хоу jjj
(5.84)
где р — коэффициент корреляции случайных величин х и у, а гипотеза Н2
задает произведение частных нормальных плотностей распределения вероят¬
ностей
1 f х2 ) 1 Г у2 у
Рі (х) = — exp J — —-I , рг (у) = —- ехр | , (5.85)
ох К2л [ 2<jx J оу V 2л ( 2о^ f
то из (5.83) с учетом (5.84), (5.85) следует
/(1 : 2) = — 1/2 log (1 -р2). (5.86)
Таким образом, величина I (1:2) зависит только от коэффициента корре¬
ляции р.
Для рассматриваемого случая расхождение J (1, 2) по (5.82) принимает
вид
2 <і. 2> = <«. й -а«р. (й) і»г '
(5.87)
Примерз. Предположим теперь, что
Р (.*, У) = Pi (X) Pt (УІ*) = Pi (*) Pt (У —x) = Pi (X) pt (£). (5.88)
В этом случае x можно интерпретировать как сигнал с уровнем мощно¬
сти S на входе канала связи, у — выход канала связи и равен і/=х+£, g —
аддитивный независимый шум в канале связи с уровнем мощности N. Мера
(5.83) характеризует свойства канала связи. Плотность двумерного нормаль¬
299
ного распределения p(xt у) с учетом (5.88) может быть записана в виде
1
1 ( X2
р (х, у) = —ехр ) — I — X
2ожК2л ( 2ах J 2аі/К2л (1 — р2)
1
2о2(1-р2)
о2 S+W
(5.89)
где S=E(x2) —средняя мощность сигнала на входе канала связи.
Из (5.83), (5.84) с учетом (5.88) — (5.89) получим
1 / «S \ 1 I S \
/(1:2) = -Tlog(l-—) = 7log(l+-), (5.90)
S/(S + N) _S
1-[S/(S+AOJ N •
(5.91)
В теории информации максимальная величина выражения (5.90) интер¬
претируется как пропускная способность канала, выражение (5.91) характе¬
ризует отношение полезного сигнала к шуму и часто используется для опре¬
деления характеристики канала связи [530, 548, 554].
Пример 4. В дискретном варианте меры энтропии Шеннона и Куль-
бака имеют соответственно вид
п,
Ящ (Pk) = - 3 lnp* = <hïPkl>’
п
. нк W = - 3 Pkln IMi -Pkiï =#ш + <in (i-Pk)>-
k<=l
Соответственно в данном варианте меры количества информации Шеннона и
Кульбака могут быть выражены через дискретный вариант направленного
расхождения 1 (рі . Рі) = Рі(х) \п [р1(х)/р2(х)] в следующем виде [562]:
’ X ‘
п
7ш (₽*• %) = <z (Pk : tP. % = 3 PkPk (xk I Уі) = <Pk (* I </)>»
k=i
Ik(Ph, <fk)=<J(Ph : <Pfc)>,
где
n
Vk = S p^ (xk 1 у) - PkP (xk \yW-Pk)
*=1
— вероятность того, что признак х принимает значение х< при условии, что
у=/=Уі^У. Отметим, что меры Котельникова и Шеннона ограничены сверху,
а мера Кульбака ограничена только в случае, когда вероятностные меры
Pk(xk\yi) абсолютно непрерывны относительно друг друга.
300
Пример 5. Допустим, что в (5.83) случайная величина у является па¬
раметром Ѳ(=Ѳ (Ѳ —заданное пространство), р(х, 0) — совместная плотность
распределения вероятностей х и Ѳ, Рз(*|Ѳ) — условная плотность распреде¬
ления X при фиксированном О, рх (х) = J ра (Ѳ) р3 (х | Ѳ) dQ.
ѳ
При априорно известной мере р2(Ѳ) величина
I (1 : 2) = С С р (X, Ѳ) log - dx М (5.92)
JJ PiWPa(O)
определяет количество информации в эксперименте #=(Ѳ, р3(х|Ѳ)) по Линд¬
ли [569, 570].
5.8.3. Рассмотрим кратко понятие .различающей, информации
/(Ѳ,—*-Ѳ2; х), которое имеет вид [572]
/(Ѳ^; х) =1п[р(х|Ѳ1)/р(х|Ѳ2) ], (5.93)
где р(х|Ѳ{) (і=1, 2) —вероятность гипотезы Ѳ< при наблюде¬
нии хеХ. Мера (5.93) определяет количество информации для
различения в пользу гипотезы Ѳ, против гипотезы Ѳ2 в наблюде¬
нии X.
Мера (5.93) связана с мерой Фано (5.68) следующим обра¬
зом:
I(Ѳ,->Ѳ2; X) = I (Ѳ„ х) -I (Ѳ2, x). (5.94)
Проверим соотношение (5.94). По определению количество ин¬
формации (5.68) по Фано дает возможность записать правую
часть (5.94) с учетом теоремы Байеса в виде
I (ѳх, X) -1 (Ѳ2, X) = In _ ln = ln . (5.95)
P (^i) P (üa) P \x I üa)
Выражение (5.95) совпадает с (5.93).
Если применить оператор усреднения к количеству различаю¬
щей информации (5.93) по ансамблю (X, р(х, Ѳ<)), і=1, 2, то по¬
лучим меру Кульбака. В частности,
AW> [/(Ѳх ->Ѳ2; X)] = 7(1:2), Mp(.|0,) [/(Ѳ2 ->ѲХ; x)] = /(2 :1).
(5.96)
Тогда расхождение (5.82) с учетом (5.96) примет вид
У (1, 2) =AW, [/(ѲХ->Ѳ2; x)] 4-AW, [/ (Ѳ2->ѲХ; x)]. (5.97)
Приведенные примеры и выражения устанавливают взаимосвязь
мер количества информации Фано, различающей информации и
направленных расхождений по Кульбаку, энтропии и количества
информации Котельникова и-Шеннона
301
5.9. Мера и некоторые экстремальные
свойства количества информации Фишера
5.9.1. Предположим, что Ѳі — векторный параметр, связанный с
Ѳ2 соотношением вида Ѳ2=Ѳі + ДѲ. В этом случае р(х|Ѳі) и
р2(х|Ѳ2) =р(х|Ѳ1 +ДѲ) принадлежат одному семейству с близки¬
ми значениями на множестве своих параметров. Допустим, что
размерность пространства параметров равна п. Множество зна¬
чений параметров считается открытым и выпуклым.
При дополнительных условиях регулярности р(х|Ѳ) [549]
имеют место следующие соотношения:
1 "
Мр(.і9.)И(Ѳі->Ѳі + АѲ;л] = /(1:2) = у2 <РцМ(Мг, (5.98)
2 ;./=і
Ф = ІЫІ> /(1,2) = /(ѲІ,Ѳ1+ДѲ)^ 2 <р//ДѲ,ДѲ/, (5.99)
где Ф —информационная матрица Фишера,
J Лр(х|Ѳі) j
(5.100)
Прип=1 (скалярные параметры) имеем
Л1р(.ѵм [/(Ѳі ->0ï + ДО; х)1 = MP(.19l) КРІМ]^!). (5.101)
Равенство (5.101) в развернутом виде
J(0x)« f р(х| Ѳ0 (5.102)
J V p (X I dJ j
û ' •
называется количеством информации по Фишеру [549, 573]. До¬
казательство соотношения (5.98) можно найти в [549].
Соотношения (5.98)—>(5.101) показывают взаимосвязь мер
различающей информации, направленного расхождения и коли¬
чества информации по Фишеру.
Рассмотрим некоторые полезные для информационной теории
управления оценки меры количества информации по Фишеру.
Пример 1. Предположим, цто функция плотности распределения веро¬
ятностей р(у\х) является гауссовой со средним значением щЦх) и диспер¬
сией т2(х)=£0. В этих условиях выражение (5.100) имеет вид [574]
J(x) = — № (Х) У -С (Х)]8
2 \гПі (х) / та (х) '
(5.103)
Если ті(х) — вектор средних значений, зависящий от х, а т2 — невырожден¬
ная ковариационная матрица, не зависящая от параметра, то
Р(у\х) = (2n)“Z/2 I m2 Г*/> exp у {у - (х))Т nÇ1 (у-тх (х))1 (5.104)
302
и из (5.103) следует
. , ч (х) \Т -1 дпи (х)
7 х ~ті " • - (5.105)
\ дх / дх '
Для скалярных параметров /п2=аж2 и из (5.105)
J (X) = 1/а2. (5.106)
Допустим, что F(x)—функция распределения вероятностей нормальной
случайной величины с параметрами (0, 1). Тогда [575]
а= Ç rfxas0,904.
J F(x)
*-оо
Следует отметить одно важное обстоятельство для выражения (5.106).
Дело в том, что в классе всех распределений, зависящих от параметра сдвига
(при дополнительных условиях гладкости) и имеющих заданную дисперсию,
минимум информационного количества Фишера достигается на гауссовском
распределении вероятностей случайных величин. Из этого следует, что оцен¬
ка параметра сдвига ухудшается для выборок из гауссовской совокупности.
В свою очередь гамма-распределение выделяется по аналогичному признаку
среди всех распределений на R+\ зависящих от параметра масштаба [576].
5.9.2. Обсудим кратко некоторые экстремальные свойства ин¬
формационного количества Фишера. Допустим, что задано се¬
мейство распределений на зависящих от параметра сдвига
0Œ/?1, по мере Лебега плотностями р(х—Ѳ). Предполагается, что
р(х) непрерывно дифференцируема; |х|р(х)->€ при х->-±оо и
а2= J x2p(x)dx<oo. Тогда, согласно данному определению, ин¬
формационное количество Фишера для заданного семейства
плотностей р(х—Ѳ) имеет вид
/₽(Ѳ) J(-°^ ~ e)yp(x-9)dx J p(x)^=Jp(0)=Jp.
Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема 5.10 [576]. В классе всех плотностей с заданной
дисперсией о2, удовлетворяющих приведенным условиям, min7p
достигается на гауссовском распределении.
Пусть теперь на полупрямой задано семейство распреде¬
лений по мере Лебега плотностями р(х/о)/о, зависящих от пара¬
метра масштаба Допустим теперь, что р(х) удовлетворя¬
ет дополнительным условиям к приведенным ранее вида х2р(х)->
—>0 при х->оо; хр(х)->0 при х->0.
В этом случае информационное количество Фишера для се¬
мейства p(x/o)Ja имеет вид
Ма) =*
зоз
Для рассматриваемого случая справедлива следующая теорема.
Теорема 5.11 [576]. В классе всех плотностей с заданными
со
моментами ос.= Jx‘p(x)dx, і=1, 2, удовлетворяющих приве-
О
денным условиям, min достигается на гамма-распределении.
Приведенные теоремы являются прототипами вариационных
задач теории информации [30].
5.9.3. Приведенные оценки полезны тем, что согласно [577]
произвольную плотность распределения вероятностей можно ап¬
проксимировать суммой гауссовых плотностей с заданной точно¬
стью. Если принять для неизвестной плотности такую аппрокси¬
мацию, то можно получить апостериорную плотность в виде га¬
уссовой суммы с большим числом слагаемых, для которых будут
выполняться приведенные соотношения. Одновременно можно
получить и оценку точности аппроксимации на основе неравен¬
ства Рао—Крамера и его обобщений, основанных на количестве
информации Фишера [573, 574, 578]. Количество информации
Фишера можно представить, следовательно, в терминах момен¬
тов распределений.
П р и м е р 2. Предположим, что
Хг=Ѳ + Ёі,
где g, — независимые случайные величины с одинаковой функцией распреде¬
ления F(x), для которой существуют моменты
И2* = ^.«2*dF(x)<oo.
В этом случае можно показать [579], что количество информации Фи¬
шера определяется как предел
J (х) = lim Jk(x)t (5.107)
Л-»оо
где Jk = det CA/det Ck; Ck = k , Cu = g2; Cu = C(l = g1+1 —
/=1,2,...,Л
Cij = Pj+i—HïHj——/M'ï+iM'j-i+OP'j-iM-i-iM'2; (5.108)
Ck* — алгебраическое дополнение Сц. Если F(x) имеет более чем k точек
роста, то знаменатель в (5.108) заведомо отличен от нуля.
Обобщение (5.107), (5.108) дано в [563], где показано, что если функции
gi= j* x’dFe(x), Z=l, 2, ..., 2k, дифференцируемы (po=l), а матрица
/ 1 pi (Ѳ) ... (Ѳ).
Р1(Ѳ) р2(Ѳ) ... РЛ+1(Ѳ) \
\НЛ (®) Мл+і (Ѳ) • • • И2л (ѳ) /
неособенная при всех ѲеѲ, то информация, несомая линейными функциями
304
от наблюдения, равна
J1 (Ѳ) = (Mi (0)]2/[р2 (Ѳ) - и (Ѳ)*]. (5.11О>
В более общем случае для конечного пространства Эв
У(Ѳ; ^) = /Л(Ѳ) = -|Л(Ѳ)|/Аи(Ѳ), (5.111>
где
0 0 m (Ѳ) ... (Ѳ)^
0 1 Hi (0) ... и* (Ѳ)
Л(Ѳ) =
Hi (Ѳ) Мі (0) На (Ѳ) • • • Нж (0)
• (5.112>
ІМл(0) МЛ(Ѳ) Нл+1(Ѳ) ... М2; (Ѳ)>
(5.113>
(5.114>
наблю-
Из (5.111) как частный случай имеем (5.110). Если <^={фь фт}, причем
вероятности Ри(Ѳ) = (фі, ф^)е=0, і’¥=/; ѲеѲ, pa>Q, i=l, 2,
m ■
2 Р"(ѳ) = 1> то ПРИ Ф1+Ф2+ ... +фт = 1 имеем р<(0)=рн(0) и
/■=1 . ,
(0 Pi (Û) .. . Рт (Ѳ)\
Рі(Ѳ) Рі(Ѳ) ...-О I
I •
Pm (®) 0 ...рт(Ѳ)/
Тогда
m P,- (ѳ) m Г Pi (0) T
'<ѳ’ж>-3 km M»>
/=і 1 i—i L 7 _
и совпадает с количеством информации по Фишеру, содержащейся в
дении, имеющем конечное число исходов с вероятностями Ді(Ѳ), р2(Ѳ),
...,рт(Ѳ) [563].
5.10. Свойства меры количества
информации Фишера и W-дивергенция
5.10.1. Допустим, что задана статистическая структура [Q,,
й; dPildv=p«, ѲеѲ], которая доминируется мерой ѵ; Ѳ являет¬
ся подпространством Rn. Зададим на рассматриваемой структуре
(£2, й, ре) со значениями в (Rn, &яп) случайный вектор Йѳ сле¬
дующего вида:
Ve = gradelogpe(cû), V(ù<=Q.
Если вектор Ув(ш) определен для всех Ѳ, центрирован и квадрат
его нормы интегрируем, то количество информации Фишера сов¬
падает [555] для всех Ѳ с ковариационной матрицей для вектора
Ѵѳ. Следует отметить, что значение информации Фишера не за¬
висит от выбора меры ѵ. Действительно,
dP9 dv
dv’ dv dv'
таким образом, вектор Ѵй одинаков для мер ѵ и ѵ'.
305
Рассматриваемые варианты информационного количества
Фишера обладают следующими свойствами. Предположим, что
заданы два регулярных статистических эксперимента и ^2 с
информационными количествами Фишера J (Ѳ; #\) и/(Ѳ; #2) и
доминируемыми статистическими структурами соответственно.
Тогда для эксперимента &=3\Х&2 имеем
У(Ѳ; #)=7(Ѳ; #,)+/(Ѳ; #2). (5.115)
Из (5.115) следует, что если &<п) — эксперимент с повторной
выборкой Xt Хп объема га, а эксперимент регулярен и име¬
ет информацию /(Ѳ), то
(5.116)
Если эксперимент^ есть часть эксперимента & при введенных
обозначениях, то <8 имеет конечную информацию /(Ѳ; во всех
точках [555] ѲеѲ:
У (Ѳ; (0; »). (5.117)
Предположим теперь, что заданы две статистики X и У, та¬
кие, что существует условная плотность р»(х\у) статистики X от¬
носительно Y по мере, не зависящей ни от Ѳ, ни от у. Пусть
УеІГ (®) - gradg log рв (х | у).
Поскольку ре (х, у) =рв (у) рь (х I у), то
V*'Y = Ѵву+
Нетрудно проверить, что из условия
J Рѳ (х I у) dvx W = 1 - уу
при достаточно общих предположениях следует, что
МР9 (ѴГІ У} = о.
Отсюда следует, что случайные векторы Ѵѳу и V некоррелирова-
ны. Рассмотрим разность количества информации Фишера 7(Х,
У) и 7 (У), которая с учетом приведенных выражений имеет вид
=^(Х|У)= [v*iyvP,y)7J,
где Т — зінак транспонирования.
Таким образом, рассматриваемое соотношение для разности
можно интерпретировать как условную информацию Фишера.
Пример 1. Предположим, что случайные величины £п= (£ь ..., £п)
и Ѳ принимают свои значения из соответствующих пространств Хп и Ѳ с сов¬
местным распределением
р (Çn, Ѳ) = J л (u) du J p(^\ u) vn (dxn), (5.118)
«0
306
где Я и зФп — измеримые пространства; л (и) — плотность распределения Ѳ;
р(хп\и)—условная плотность распределения £п по мере ѵп при Ѳ = и. До¬
пустим, что р(хп\и), п=1, 2, ... абсолютно непрерывна по иеѲ и для
ѵп-почти всех значений хп определена производная р'(хп\и) =др(хп\и) /
/ди. В этом случае информационное количество Фишера
(и) = $ІР' '“)/р 1 и)г> р (х" Iи) ѵ"(5-119>
Jÿ (и) = J* [л' (и)/я (и)]2 л (и) du. (5.120)
Для случая независимых и одинаково распределенных наблюдений с абсолют¬
но непрерывной плотностью распределения согласно (5.116) имеем J^n (и) =
= и/^ (и). В более общем случае [543, 580]
\п (и) = ф (и) р (и) + г (и, и)], и е Ѳ, (5.121)
где J (и) ^0 и г (и, и)— измеримые по и функции, и
Ф (л) оо; J л (и) I г (л, и) I du 0, л оо. (5.122>
Обозначим через рѳ+б(2) —плотность распределения суммы Ѳ+£; peie+s(z|u) —
условную плотность распределения Ѳ при условии 0+£=z; /Ѳ|ѳ+б=г — услов¬
ную информацию Фишера. Предположим, что 5 — гауссовская случайная ве¬
личина с нормальным законом распределения и параметрами (0, а2). В этом
случае имеет место следующее неравенство [530, 543]:
У Р^ (*) + 1/<А (5.123)
Согласно (5.106) в этом случае Л=1/о2 и, следуя теореме 5.10, последнее
неравенство можно записать в виде
У Рѳ+£ (Z) ^Ѳ|Ѳ+Ё=2
В частности, имеет место следующее соотношение:
J ѵ <dx>] =7ѳ+Jя (“)du +
+ 2 J я' (и) du Jp' (и| x) V (dx). (5.124)
Если функция Л(л) непрерывна по и, то, согласно [530],
J р’ (x\ü)v(dx) =0.
Пример 2. Предположим, что эксперимент порожден независимы¬
ми наблюдениями Xït ..., Хп, каждое из которых принимает значения 0, 1
с вероятностями 1—Ѳ, Ѳ, О^Ѳ^І- соответственно. Эксперименту соответ*
ствует Хі. Плотность распределения вероятностей р(х; Ѳ) величин Хі относи¬
тельно меры V с единичными нагрузками в точках 0 и 1 имеет вид р(х; Ѳ),=
= (1—Ѳ)1“ХѲЖ. Тогда [576]
,_сl£js®lLadv = ІР'(°:°)Іа .1PZ(ü°>Ia__J
J р(х;Ѳ) p (0; Ѳ) р(1;Ѳ) Ѳ(1 — Ѳ)
at
307
•Согласно приведенному следствию
J (Ѳ; 8(п)) = —— .
' ' Ѳ(1 -0)
п
Предположим теперь, что статистика п~х = Хі порождает эксперимент &
и имеет биномиальное распределение вероятностей
рв {пХ = k} = p (А; Ѳ) = ф* (1 -
В этом случае
/(0;^")) =
Л=о
-|р9 (пХ;Ѳ)|2 1
рѳ(пХ;Ѳ) J
(А6*"1 (1 - О)""* - (п - А) 0* (1 - Ѳ)'1-*"1)2 _ п
Ѳ*(1—0)"“* ~Ѳ(1- 0)
и совпадает с предыдущим выражением, т. е. /(Ѳ; #)=/(Ѳ; #<п)). Таким об¬
разом, X — достаточная статистика.
Предположим теперь, что возможными значениями Хі служат векторы
cq= (0 0), ві= (1,0, ..., 0), ..., еь= (0, ..., 0,1) из Rn+i. При этом зна¬
чение в] принимается с вероятностью 0j, 0j = l, fy>0, т. е. dp$ldv=
= р(х; Ѳ) =0j, если В данном случае мера ѵ на {е0, ві, ..., еА} приписы¬
вает единичную нагрузку каждой точке ej. Параметры Ѳь ..., Ѳ* считаются
неизвестными. Тогда [530]
7
п/Ѳ0,
n/Ѳо +л/Ѳу,
* =f=
i = j.
Пример 3. Предположим, что т — конечный марковский момент отно¬
сительно системы {X1, X2, которая порождена множествами вида {£п}.
В этом случае т — целочисленная случайная величина и для любого п=1,
2, ... событие (т^п}еХп. Допустим, что для условной плотности распре¬
деления Р(хп|хп“1, и) =р(хп\и)Ір(хп~1\и) (р(*і|А и)=р(х1\и) выполняют¬
ся принятые условия: она абсолютно непрерывна по иеѲ и для ѵ-почти всех
значений хпеХп существует производная р'(хп\хп~\ и)=др(хп\хп~1, и)/
jdu, такая, что Ми[ (p'(Zn |£n-1, и)Ір(£п |£n-1, u)) |Çn“1=xn~1] =0. Согласно
[581, лемма 2.2], в рассматриваемом случае
\х(и) = Ми [(р' I и)/р I и))2] = Ми
~ т “
3 «) ;
-
(5.125)
Jk&k-\ и) = Ми
(5.126)
Если £і, ... — независимые и одинаково распределенные случайные величи¬
ны, то
(u) = n(u)J(u), (5.127)
308
где n(u) =Ми [т] и
J («) = J [р' (** |-«)/Р (X1 I «)Р Р (X1 I и) V* (4P).
(5.128)
Допустим, что £і = <7*”1Ѳ+£і, Г=1, 2, где — независимые между собой
и от Ѳ одинаково распределенные случайные величины с абсолютно непрерыв¬
ной плотностью распределения и фишеровским количеством информации Ц,
0</$<оо; q — положительное число. Тогда [581]
q^1 -1
(5J29)
Если £п+і = Ѳ£п+6п+і, где |Ѳ| < 1—е, е>0, £2, £з, • • • — независимые между
собой и от (Ѳ, £і) гауссовские случайные вёличины с параметрами (0, а2);
Si — гауссовская случайная величина с параметрами (0, а2/(1—Ѳ2)), то [581]
^(и) = 4тг^г+о(1)1’ п^°°-
(5.130)
Пример 4. Наблюдение Х(/), 0^/^1, порождает эксперимент & и
удовлетворяют уравнению
dX(f) = s(t;b)dt-\-dw(t), (5.131)
1
где w(t) —стандартный винеровский процесс; J $2 (t\ 0) dt < оо, а параметр
о
ѲеѲсТ?*. Процесс w(t) порождает в пространстве непрерывных функций рас¬
пределение вероятностей ѵ. В этом случае [582]
р (X; Ѳ) = exp
(5.132)
Если функция s(«; Ѳ) непрерывно дифференцируема в пространстве 3?2 (0,1),
то эксперимент <5 регулярен, а информационная матрица Фишера имеет вид
[530]
Г д Ід \Г1 С д / д \т
-1пр(х;Ѳ) -1пр(х;Ѳ) = - s (<; Ѳ) - s (t; Ѳ) Л.
ou \ou /J J ou \ou /
0
(5.133)
В частном случае, когда Ѳс/?1, из (5.133) следует [530]
1
^(û) = $|s0(/;O)|2dt (5.134)
о
Пример 5. Рассмотрим случай, когда наблюдения XjœR1 имеют вид
[530]
= 5(7,0)+^. (5.135)
В (5.135) 5і, ?2, ... — независимые одинаково распределенные случайные вели¬
чины с абсолютно непрерывной плотностью распределения р(х). Предполо¬
жим, что функции s (/, Ѳ) абсолютно непрерывны по Ѳ при всех / и
J= f [Р-^Ьх<оо. (5.136)
J L Р (х) J '
{х:р(х)і±о}
309
В теории связи модель (5.135) имеет следующую интерпретацию: функция
s(/, Ѳ) — сигнал, передаваемый в момент времени /, а gj — аддитивный шум
в канале связи. В этом случае р(х, Ѳ)=р(х—s(j, 0)), JДѲ) = [$'(/> ^Не¬
допустим, что $(/, Ѳ)=$(/, Ѳі, Ѳ2) =Ѳі sin Ѳ2/. Здесь параметр 0і — ам¬
плитуда, а 02 — частота колебания, передаваемого по каналу связи. Тогда
[530] •
Pj (*, О) = Р (* — Ѳі «in (Ѳ2/));
/ sin2 (Ѳ2/) /Ох sin (Ѳ2/) cos (Ѳ2 /)
Jf \/Ѳі sin (Ѳ2/) cos (Ѳ2/) /202 cos2 (Ѳ2/)
При п->оо, 02=#=£л имеем [530]
„ /у+ 0(0 °(n) \
f=1 \ 0(n) —L + 0(n2)/
\ о /
(5.137)
(5.138)
Для /-го наблюдения /ДО) =0i2/2cos2 (Ѳ2/)Л (5.139)
Пример 6. Рассмотрим наблюдаемый процесс Хо($), дифференциал ко¬
торого имеет вид
dX0 (s) = So (s, 0) ds + cfdb (s), 0 s < T. (5.140)
B (5.140) функция So дифференцируема по ѲеѲ для почти всех sr So и dS0/
/дѲе^2[0, Г]. Предполагается, что вектор dSQ/dQ непрерывен по 0 в
2>2[0, Г] Обсудим два варианта (5.140): слабый шум (а-Ч), T=const)
и большое время передачи (cr=const, Г-*оо) [530].
В первом случае о=е->0, T=const и уравнение (5.140) путем замены
переменных Se(/, 0) =8“1T1/tso(tT> ѳ) может быть приведено к виду (5.131).
Тогда
т
4(Ѳ) = е'2У
о
ds0(S,e)(ds0(s,e)\T
Если о=const, а Т->оо, то е=Т“1 и
Г zfix , ,Т ах _L Г (S- Ѳ)
/е(Ѳ) = /(т,ѳ)= (—
0
Рассмотрим частные случаи (Ѳ= (a, PJœ/?1) функции S(/, Ѳ):
1) S0(s, Q)=A(T)f(s— (0—a')î/(P'—a')); Л(Т'), f(s) — заданные функции;
/(s)œ2?2(—oo, oo); —oo<a'<a<p<P'<oo;
2) So (s, 0) = f (s + 0m/(P - a)); 3) So (s, 0) = / (s0).
Следуя терминологии теории связи, перечисленные частные случаи описы¬
вают временную (время-импульсную), фазовую и частотную модуляции соот¬
ветственно [530].
В первом случае
оо
A2 (Tl T2 С
, Z(r-0) = /(T)=^^TJ ІГ(И),Ш
310
Аналогично во втором случае (f — периодическая функция с периодом т>т)
т
•'(r’e) = jr^W (’+кгт)] d’-tfT^''’+0<1);
О
T
7'а = -7 J (Г (s)]2 Л.
о
В третьем случае
т .
1 С Т3 -
J {Ѳ- Г) = 77 I/' (s0)!’*** = TT Г + О (П-
J За*
о
Предположим, что 0œF3 — параллелепипед [530]
а1<Ѳ<1><Р1; а2<Ѳ<2)<ра; а3<Ѳ(3)<р3; <xf > 0 (*=1,2,3),
Р3<2л; Ѳ = (Ѳ(1), Ѳ<2>, Ѳ<3>);
So (t, Ѳ) = Ѳ(1) sin (Ѳ<2>/ + Ѳ<3>). (5.141)
Тогда для модели (5.141) имеем
/772 4-0 (1) 0(Т) 0(1) \
J (Ѳ, T) = I О (Т) Ѳ(1)2Т3/6 + О (Та) Ѳ(1)2Та/4 + О (Г) I.
\0(1) Ѳ(1)2Т2/4 + О (Г) Ѳ(1)2Т/2 +0(1) /
5.10.2. Количество информации Фишера является одновремен¬
но мерой чувствительности распределения вероятностей или
функционалов от него к изменению исследуемого параметра
[573]. Это свойство нашло широкое применение в задачах теории
управления при построении робастных адаптивных алгоритмов
управления, 'идентификации параметров динамических систем
и т. п. [40]. Данные вопросы освещены в [40, 583, 584]. Здесь
рассмотрим некоторые полезные информационные оценки в тер¬
минах количества информации по Фишеру.
Пример 7. Допустим, что {Fh} — произвольное абсолютно дифферен¬
цируемое Æ-мерное семейство распределений, для которого FQ=F и
ф(ГЛ)=ф(Г)+Л+0(|Л|), (5.142)
Предположим, что существует матрица /(F) для любого гладкого ^-мерного
семейства {Fh}, удовлетворяющего условию (5.142) и Jf^J(F) в матричном
смысле. В этом случае матрица /(F) называется информационной матрицей
в задаче оценивания O(F). В [590, 591] показано, что если функция O(F)
слабо дифференцируема и ср — ее градиент в точке F, то выполняется следую¬
щее соотношение:
/(F)>4A"1(F). (5.143)
Из (5.143) следует, что если множество достаточно регулярно в точке F,
то информационная матрица непосредственно связана с геометрическими свой¬
311
ствами оцениваемой функции Ф(F), матрица ’/-/(F) является обратной к
матрице Грама градиента Ф(Г), а в одномерном случае обратна к квадрату
нормы градиента Ф(Г).
Если наряду с пространством допустимых распределений заданы значения
функционалов фь ..., фг от распределения F (задача условного оценивания
*P(F) = ((фі (F), •••> 'Ф’-(Г))г = а), функции Ф, ф дифференцируемы и
ф= (фь • • •, фл)г, ф= (фь ..., фг)т — их градиенты соответственно, то при
условии, что А=А (F) = MF[cpi|)T]; B = B(F) = Мг[ффт]; A(F) = MF[(pcpT] и
матрица В невырождена, имеем обобщение (5.143) в виде
Z(F)>4(A(F)—ЛВ-МТ)-1. (5.144)
В частном случае, когда рассматривается гладкое параметрическое семей¬
ство, то предполагается, что ЗГ— семейство распределений, описываемое плот¬
ностью f(x, Ѳ) в виде гладкой функции от Ѳ. В этом случае f(x, Ѳ) абсолют¬
но дифференцируема по Ѳ:
Ѵ"= 1 + ^Гл + а (X, Л). (5.145>
В (5.145) обозначено Іі = 'І2(Нх, О)1/. ) (<Э//<ЭѲ); Л4в[а2(х, Л)]=О(|Л|); Л—0;
/о(Ѳ) =4Afe[gigj] (f, /=1, k)—информационная матрица Фишера плотно¬
сти f(x, Ѳ). Если матрица /о(Е) невырождена, то /о-1 (Ѳ)£ — производная функ¬
ции Ф и, следовательно, /o(F) =/0(Ё).
Из определения гладкого семейства распределений следует, что матрица
J (F) не зависит от топологии при условии, что рассматриваемая топология
не сильнее топологии, индуцируемой на множестве ЯГ нормой || • || = || • ||^2
[590]. Этому условию удовлетворяет, например, топология, соответствующая
метрике
Pa(F,G) = J|^dG-^dïT. а>1. (5.146)
Другим примером может служить множество распределений определяемое
плотностями f=dFld}i относительно некоторой измеримой меры ц. Если при
Fœ#" равномерно сходятся интегралы f f*d\i (а^І), то топология, индуци¬
руемая на расстоянием ( J |f“g|a^|x) » также эквивалентна топологии
на
Пример 8. В принятых обозначениях допустим, что фі(х, /), xœX,
—оо</<оо, /=1, 2, ..., г —некоторые известные действительные функции
И для любого Fœ^F выполняются следующие условия:
1) функция
Л(Г) = J if (х, 0 dF (X)
дифференцируема в точке Ф(Е), причем |a(F) | ¥=0;
“ = dâ
2) матрица
Д(г) = f ір (х, /) 1|)г (X. о dF (х)
312
имеет конечную норму в некоторой окрестности точки а=Ф(х), непрерывна
в этой точке и det A(F)=?^0, A (F) =Д(р)(а).
Обозначим через А (Г) составную матрицу
В [592] показано, что для рассматриваемого случая
J (F) = det A (F)/det A (F). (5.148)
Таким образом, из (5.147), (5.148) следует [590—592]
= [V (Ф (F))]2/J V (ж, Ф (F)) dF (х)._
Пример 9. Предположим, что задано расстояние Хеллингера
(0, Ѳ + h) = j I р'/г (x; Ѳ + h) - pVt (x; Ѳ) |2 dv (5.149)
X
для регулярного эксперимента со статистической структурой <§Г = {Х, U, Ре,
ѲеѲ}, где Ѳ —выпуклое подмножество Rh. Для (5.149) справедлива следую¬
щая оценка [530]:
1
' I h I2 Г
г* (Ѳ; 0 + ft) «S 4 Sp J (Ѳ + sft) ds. (5.150)
0
В компактном подмножестве К множества Ѳ равномерны
lim I h Га СI рѵ* (х; Ѳ 4- ft) — рѴг (х; Ѳ) |2dv > -L Inf (J (Ѳ) u, u). (5.151 )
h-и) J 4
x
Из (5.151) следует, что любому компакту Æœ0 можно сопоставить две по¬
стоянные а, Д>0, для которых при OœÆ
ГТтЬ < 4 (0; Ѳ + й) с 41 л р. (5.152)
1 + I л г
Если р(х; Ѳ) непрерывна в точке х=Ѳ, то из (5.151) следует
lim-T’ Ç (У р (х, Ѳ + и) —- Yp (x, 0))2dv = -7 J(0). (5.153)
и-+о и2 J 4
Таким образом, как и отмечалось ранее, количество информации Фишера явля¬
ется одновременно мерой чувствительности распределения вероятностей к
бесконечно малому изменению параметра Ѳ.
Рассмотрим метрику р пространства в виде расстояния Хеллингера
/(рѳ, Рѳ') между двумя распределениями, имеющего вид
* (рѳ- рѳ ) = arccos f 1X— dl>"
d V dp dp
(5.154)
Согласно [33], получим
/ (Pe> Pe.) arccos [1 - ÿ J (Ѳ) (Ѳ' — Ѳ)з J ;
(5.155)
313
при Ѳ'-+Ѳ, Z(Ѳ) = J (p02/pe)dp — количество информации Фишера.
Аналогично при дополнительных ограничениях [593] имеют место следую¬
щие полезные в дополнение к (5.145), (5.153) информационные оценки (е->0) :
г р (х, Ѳп + е) е2
log п/у ДЧ ~ Р Ѳ«) V (dx) = - — J (Ѳо) + 0 <е») ;
J Р (х> Ип) 2
f р (х, Ѳ + е)
10g’ п, дС P v (</х) = еѴ <Ѳ»> + 0 <е’):
J р (Я, ѵп)
Ç Ур (х, Ѳ + е)р(х, Ѳ)ѵ (dx) = 1 — — J (Ѳо) е2+0 (е2), 1ішѲЛ = Ѳо. (5.156)
J 8 п-*х>
Предположим, что р(х)—априорная плотность параметра Ѳ относитель¬
но лебеговой меры в Rh и для Ур(х) существует градиент в т. e.
существует функция со значениями в Rh, такая, что при |/|->0
J [ ГЙГ0- /Ям - (grad /рСМ))21 dx = О (111«).
Rk
Из этого условия следует, что информационная матрица Фишера для плот¬
ности р(х)
J = 4 J grad КрСх) (grad У р (x))Tdx
Rk
конечна.
Обозначим
Ф(0 = J I grad /р (х + /) — grad /р (х) |2dx;
Rk
К (n) = min [n‘/e, ф”*/* (л‘,/4)]; g (х) = grad Vр (х)/р (х) ;
Х(п) = {х: |g(x) |<Х(п)}
и предположим, что для р(х) выполняются приведенные условия.
Пусть Xït ..., Хп — независимые гауссовские наблюдения со средним Ѳ
' п
и ковариационной матрицей и Х=п-'^Хі. В [575] получены следующие
1=і
асимптотические соотношения:
limM[g(X)gr (Х)Х„(Х)] = 1/Ѵ;
lim М [ng (X) (X - Ѳ)г Xn (X)J = - 1/2J.
П->оо •
В более общем случае справедлива следующая лемма.
Лемма [543, 580] : пусть в окрестности точки /еѲ для ѵ-почти всёх
значений xœX функция р(и, х) абсолютно непрерывна по и и определена про¬
изводная У (и, х)=др (и, х)1ди. Тогда для достаточно малых значений |^|
314
справедливо неравенство
У P (t + У. *) In [р (t + У. Х)/Р (Л X)) V (dx) < l/2ÿ3 [J (0 +
+ 6 КДО’НЛ у) + Зф (Л у)] + J [р (t + у, х) — р (Z, X)] V (dx),
(5.157)
которое переходит в асимптотическое равенство при ф (/, у)-+0, если
J (0 = У [р' «, Х)/Р (Л Х)]3р (/, X) V (dx) < «>,
где
■ф (t, у) = sup ( Ç [р' (t + a, x)/yp(t + b,x) —
-Р' (/,x)/rF(M)Jav(dx)}. •
5.10.3. Исследование свойств меры количества информации
Фишера и его обобщение при возможных ослабленных регуляр¬
ных условиях на функцию плотности распределения вероятно¬
стей проводилось во многих работах (см., например, [530]).
Здесь кратко остановимся на некоторых обобщениях меры коли¬
чества информации Фишера.
Пусть вероятностные меры Pt и Р2 задаются плотностями рас¬
пределения вероятностей pi=dPJdv (і=1, 2) относительно
некоторой меры ѵ. В качестве такой меры ѵ можно взять, напри¬
мер, Рі + Р2. В [563] была введена ^-дивергенция между двумя
распределениями Р, и Р2 следующим образом:
f [1-^ЖР1(х)^ (5-158)
(/>,(х)>0( L Р1ЛХ)1
и аналогично
UZ(P2;Pi)^ у (5.159)
<р,(х»о> L р» Ml
В общем случае W(Pt; Р2)ф W(Р2; Pt).
Дивергенция (5.158) обладает следующими свойствами:
1) Г(Р,; Р2)=0 только при Р,=Р2; 2) если 1F(P,; Р2<п))-Ч) при
п->-оо, то ѵаг|Р,—P2(”J->-0. В общем случае обратное утвержде¬
ние неверно; 3) если Р( и Р2 —сужение мер Pt и Р2, то W(Pt-,
P2)^U7(P(; А); 4) если Pt и Р2 «взаимно абсолютно непрерывны
и Р/п> — прямое произведение меры Р, на себя п раз (і=1, 2),
то ^(Р,(п>; Р2(п))>пГ(Рі: Р2).
Рассмотрим параметрическое семейство Р={р(х|Ѳ); ѲеѲ},
задаваемое по некоторой мере ѵ плотностями р(х|Ѳ), завися¬
щими от параметра Ѳ. В [563] была введена величина
И7(9,е + Де)_^ J [1
{р(х|Ѳ)> 0}
(5.160)
1Г(Ѳ) = liminf IF(O, Ѳ+ДѲ). (5.161)
ДѲ-М)
315
Выражение (5.161) является аналогом информационного коли¬
чества Фишера /(Ѳ) в тех случаях, когда оно не существует. Для
регулярных и достаточно гладких параметрических семейств вы¬
полняется равенство W(Q)=J(Q). Если семейство Р однородно
(что означает взаимную абсолютную непрерывность входящих в
него распределений), то справедливы следующие свойства №(9)
[563]. Если
Г'”'(Ѳ.Ѳ+ДѲ)« 1 J J
X X
1 -
n —
Пр(*(|Ѳ + аѳ)
1=1
n
П₽ cm0)
1=1 _
2
X
X П Р (Xi 1Ѳ) dp (xj... dp (xrt),
1=1
то
(5.162)
W(n) (Ѳ) lim inf Н7("> (0, ѳ + Д0),
ДѲ—>0
lt7<rt) (0) == nU7(0).
(5.163)
(5.164)
Пусть параметрическое множество Ѳ является «-мерным па¬
раллелепипедом, 0 = (Ѳь ..., 0,), тогда
Wlf (0) =s Пт inf
|дѳ|->о
1 СГ Р(х|Ѳ+ДѲр
Ae^O/JL1 р(х|Ѳ)
X
р(*|Ѳ) ]
(5.165)
Ц7 (Ѳ) = (Ц7і7), і,/=4 1,2,..., s. (5.166)
Если Ѳ — открытое подмножество нормированного простран¬
ства, то
W(Q) =. lim inf —1— ÇГ1 -Р(Х|Д1А--]ар^І9)^- (5-167)
|Дв|-»о (AO)’J L P (х IѲ) J
В более общем виде 117-дивергенция между скалярным про¬
изведением (•, -)а, а=1, 2, или двумя соответствующими опе¬
раторами Л, и Л2 определяется следующей формулой [563]:
щ(1 :2)=щ(Л, :Л2) = (Лг‘(Л2—Л,)!),2. (5.168)
Величина (5.168) различает значение операторов Л, и Л2 на эле¬
менте /(х) = 1. При этом возможны различные модификации
(5.168) типа дополнительных операций минимизации и др. [576],
которые эффективно применяются в задачах математической
статистики [573].
5.10.4. Предположим теперь, что на измеримом пространстве
с семейством вероятностных мер {Рв, Ѳ<=Ѳ} ; Ѳ — открытое под¬
316
множество в Rn, р(х, Ѳ) =dPeld\n, ц— доминирующая а-конеч-
ная мера, заданы
Ji = Ji(x, Ѳ) (др(х, Ѳ)/дѲі)/р(х, Ѳ), і =s 1,.. ,,k;
~ k
ѳ Ox,...» ѳ&), jі~ ji Ma [Jj I .>Jk\ J1—2 ^iJf"
t=i
(5.169)
В [594] величина
[Л1==МѲ[7П (5.170)
была названа количеством информации Фишера о параметре 0t
при наличии мешающего параметра /=(Ѳ2, Ѳ*), /,— моди¬
фицированный информант. Для введенной величины (5.169) сох¬
раняются приведенные ранее результаты.
Меры количества информации Фишера нашли широкое при¬
менение в задачах математической статистики [555, 563, 576».
578, 595—618] и др. Эти вопросы рассмотрены в [619].
5.11. О некоторых взаимосвязях
статистических мер количества информации
5.11.1. Следуя [549], рассмотрим функцию
— ~ J р(х) log p(x)dx, (5.171)
-00
где Ѳ — параметр плотности распределения р(х); 0œQ(0, Ѳ0)е
œQxQ.
Если р(х) удовлетворяет условиям регулярности, то, согласно
[549], функция Н(Ѳ, Ѳо) имеет относительный максимум
Я(Ѳ0, Ѳо) при Ѳ=Ѳ0, вторая производная разности, с одной сто¬
роны, ЛН=Н(Ѳ0, Ѳо)—Н(Ѳ, Ѳо) при Ѳ=Ѳ0 равна J(Ѳо), т. е. равна
количеству информации Фишера. С другой стороны, функция
Я(Ѳ, Ѳо)=Нв3 является мерой энтропии Шеннона для плотности
распределения р(х), а функция ДН имеет вид
ДЯ = Яе.ео-Явво=, С р(X, Ѳо) logр-^ dx. (5.171')
J P (X, 0)
X
Таким образом, (5.171') есть -информационное расхождение по
Кульбаку — Леблеру. Приведенные результаты указывают на
непосредственную взаимосвязь рассмотренных мер количества
информации и энтропии. *
5.11.2. Представляет существенный интерес взаимосвязь меж¬
ду отдельными мерами количества информации для практиче¬
ски важных ситуаций. Это объясняется тем, что на практике до¬
вольно часты ситуации, когда количество информации вычислить
и оценить проще, чем специальные характеристики, более аде¬
317
кватные данной реальной задаче. На основе знания количества
информации можно затем исследовать и эти специальные харак¬
теристики. Так, например, в задаче статистической оценки сигна¬
ла, принимающего значения Ѳь ..., Ѳт с вероятностями p(0j,
î= 1, 2, ..., т при п независимых наблюдениях é=l, 2, ...
,п количество (информации представляется в виде [522]
I (Ѳ, (?ѵ...» W) = //—-^=0(1), n -> oo. (5.172)
V n
Здесь H — энтропия, a
X = max min Ç (x | fy) p™ (x | 0/) dx; i, j = 1,2,..., m;
0<06^1 •'
~°° (5.173)
p(x|0f) —условное распределение при условии, что 0=0,.
Используя подобные соотношения, можно получить границы
для моментов оценок параметра 0. Ниже на конкретных приме¬
рах рассмотрим взаимосвязи между некоторыми из приведенных
мер количества информации.
Пример 1. Предположим, что проводится оценка непрерывного сигна¬
ла Ѳ на фоне шума £<, не зависящего от Ѳ при п независимых одинаковых на¬
блюдениях
£і = Ѳ+£і» і=1,2, ...,п.
Требуется найти количество информации Шеннона /(0, (5(1), ..., £(п))).
Для рассматриваемого случая, когда п — фиксированное положительное
число или значение марковской случайной величины ѵ с условием Л4[ѵ] =
= п<сю, М. С. Пинскер в [543] показал, что при п=М[ѵ]<оо выполняется
следующее неравенство:
/(Ѳ, (Ul)....,Uv),v))^J(0,O + W+O(l) =
= h (Ѳ) + 1/2 In (nJ) - In (K2nê) 4-0 (1), (5.174)
где Ço — независимая от Ѳ гауссовская случайная величина с параметрами
(0, 1/п7); величина 7— информационное количество Фишера случайной вели¬
чины Çi, а Л(Ѳ) — дифференциальная энтропия случайной величины Ѳ, т. е.
j = J (Р (х)/Р (*))’ Р («) dx; h (Ѳ) = — J Pg (X) log Pg (x) dx,
TW p (x) и рѳ (x) — соответственно плотности распределения величин £; и Ѳ.
Используя это равенство, можно получить границы для моментов оценок па¬
раметра Ѳ. Здесь рассмотрим частные случаи (5.174): 1) если Ѳ — гауссовская
«случайная величина, 7)[Ѳ] =Оѳ2<«>, то /(Ѳ, (5(1), ...» 5(ѵ), ѵ)) log (1 +
H-n/оѳ2); 2) если плотность ре(х) непрерывна и 7(0) <оо, то 7(0, (5(1), •••
..., 5(ѵ), ѵ)) ^Л(0)+72 log (7(0)+п7)— logf2ne; 3) если при каком-либо
-s>0 выполняется соотношение М[|v—n|8] =0(n“e/logп), п->со, то соотно¬
шение (5.174) переходит в равенство вида
/(0, (5(1), ...» 5(n)))=1/2log(n7)+/i(0)-V2logV2“^ (5.175)
318
4) при условии, что Ѳ—гауссовская случайная величина, независимая от
имеем [543]
/(Ѳ, Ѳ+Êi) 1/2ro2/(Êi). (5.176)*
Оценки типа (5.176) были также получены для конкретных задач в [530, 580].
Так, в [530] было показано, что для определенного семейства случайных
величин S, для которого выполняется соотношение |$—М [S] | <k2Vs2, k=
= const, Af[S]=x0, информация Шеннона между сигналом на входе S канала
связи и сигналом г) на выходе канала при Os2->0 удовлетворяет следующему
соотношению:
/(S, q) = 1/2Т(a*s)aas + 0(оа). (5.177}
Для канала без памяти соотношение (5.177)* имеет место равномерно по всем
S при as2—Из (5.177) как следствие получаем оценку для пропускной спо¬
собности С(е) канала без памяти при ограничениях M[S2]^e2, |S|<Æe при
8—>0 вида
8а
С(е) = у J(0)+0(ea). (5.178)
Асимптотическая оценка пропускной способности непрерывного канала с
неаддитивным большим шумом, задаваемого условной плотностью р(х\у) при
тех же ограничениях, была получена в [615] следующего вида:
Le W
С(е)< sup е, (5.179)
*€Ѵ(е) |х|а
где
ieW = J Р I У) logp <*У- (5.180)
Rn
Если условная плотность p(xt y)=p(xït ..., хп\у), задающая рассматривае¬
мый канал, дважды непрерывно дифференцируема по х= (*і, ..., хп), а ин¬
теграл (5.180), определяющий /(х), можно дважды дифференцировать по х
в окрестности точки (0, ..., 0), то
1іт ~ SUp /3
*-*> |аТ . '
’ (5.181)
где
Для одномерного случая ро=/= j {[Px(Q\y)]2/p(Q\y)}dy и совпадает с вы¬
ражением количества информации Фишера (см. п. 5.5).
Отметим, что в терминах неравенства (5.163) при р(и, х)=р(х|и) функ¬
ция Ле(х) может быть записана в виде
{2 С
— \Р (X 11 + у) In [р (х 11 +у)/р (х I 01V (dx)
У2 J
319
<и будем считать, что 7(/)<оо, ф(/, у)-+0 при |*/|->0. Тогда в условиях сфор¬
мулированной леммы п. 5.8 имеем Le=Z(/)+0(l), 8-М), т. е. асимптотиче¬
ски Le совпадает с количеством информации Фишера, а сама лемма дает
достаточно простые для практики условия проверки выполнения такой асимп¬
тотики [580].
Обобщение полученных результатов дано в [616] на случай, когда име¬
ется канал без памяти с аддитивным шумом вида -q=S+S и существует
плотность р(х) для х=(хь ..., хп) со свойством р(хк—Q)=qht р(хЛ+0) =
= pk, £=0, 1, ..., п, для некоторого b<Z 1:
b
J рм
Xk
рМ
р(х)
dx < оо,
£ = 0,1,
п.
Для случайной величины входного сигнал S с функцией распределения Fb(x)
іи р>0, д>0 задается функционал Bp,q(x) вида
ВР.Я = j ФР.<7 dx'
фр.я (S) = w>inp + (i — y)qinq— [py + q(i — ÿ)l іп(рр + <? (i — y)).
В этом случае
I(S, î]) = B(S) +o ((M[|S |v])1/?), Af[|S|T]-»O, T-»l;
n
Пример 2. Рассмотрим более подробно модель примера 1. Предполо¬
жим, что Zî независимые случайные переменные с плотностью распределения
f(x) и конечным значением количества информации /=М[ (f (Zi)If (£f))2l> за’
даны плотность распределения вероятностей л(Ѳ) и условная плотность рас¬
пределения вероятностей f(x, у) при й=у, £(&).=—J л(Ѳ) log л(Ѳ)б/Ѳ.
В [530] показано, что при заданных условиях имеет место асимптотическая
•формула
/ (Хп, Ѳ) = Со logn + (Ѳ) + Сх + 0 (1) (п^ оо). (5.182)
В (5.182) Со>7г и зависит от степени гладкости функции f(x, у) наблю¬
дений Хі при условии Q=y.
Постоянная Ci = M[J \ogZ(u)du], где Z(а)—предельный процесс для
оценки отношения правдоподобия при заданном условии нормирования. При¬
ведем некоторые частные результаты для (5.182). Пусть, как и ранее, Хі, ...
..., Хп и Ѳ —случайные переменные (X(=Rl, Ѳе/?1) с. функцией распределе¬
ния
Р (Х1G А Хп е А„, О € 40) = J л (у) dy Ц J f (xit ys) v (dx.).
До /в1 Ai
(5.183)
B (5.183) мера v определена на подмножестве R1. Мера количества информа¬
320
ции Шеннона в принятых обозначениях имеет вид [530]
/(Х",Ѳ) = И f(x{,y) X
П f (Xf, y)
X log } 1 vtdjtydy,
J П ^-*7’
/—1
(5.184)
где v(dxn) =yj(dxx) ... v(dxn). Обозначим функцией
z„(«) =
" /(xz,e + M/<p(n))
H H*/-®)
(5.185)
нормированный процесс отношения правдоподобия. В терминах процесса Zn
(5.185) выражение (5.184) примет вид
/ (Хл, Ѳ) = log ф (л) + h (Ѳ) - М
Zn(и) du
(5.186)
В [530, 543] показано, что при введенных предположениях lim <р(л)-*-оо,
\ П->оо
lim Zn(u)-+Z(u). Тогда выражение (5.186) в пределе будет иметь вид
П—> оо "
/ (Хл, Ѳ) = logq> (л) + Л (Ѳ) — Л4 [log Jz (u) du]+0(1), л-><х>. .
(5.187)
Допустим, что ф(л) =Уи. Тогда
Z (и) = ехр {иЛ* (0) £ — -у- ДО)} , (5.188)
где £ — независимая от Ѳ гауссовская случайная величина с параметрами (0,1),
а ДѲ), как и ранее, количество информации Фишера для плотности f(x, у)1.
f(.x, у)
J (X, у).
» с [ д г \а
/ {X, у) V (dx) = 4 j Vf(x,y)j V (dx).
(5.189)
Из выражений (5.187), (5.188) следует обобщение (5.175) при п-^оо в виде
/ (Хл, О) = log 1/"—— + Ç я (g) log^4^dy+°(l).
г 2ле J л (y)
(5.190)
В частном случае, когда f(x, y)=fi(x—у) и интеграл в (5.189) абсолютно схо¬
дится для произвольных п, ср (п), имеет место неравенство
I (Хл, 0)>log<₽ (л) + h (Ѳ) - Afe [log J Z„ (u) du]. (5.191)
Равенство в (5.191) достигается при ф(п)=уп или ф(и)=л при дополни¬
тельных ограничениях [530, 543] и п->оо.
11 Б. Н. Петров и др.
321
При ср(п) =Уп log п имеем
/ (Хп, Ѳ) = 1/2 log л + 1/2 log logn + Ci + 0 (1), n->oo. (5.192)
Аналогичные выражения имеют место для. многомерного параметра ѲеЯ*
с плотностью распределения вероятностей л(Ѳ)
/ (^П,Ѳ) = k log ф (n) + h (0) — M flog J ... J Z (u) dui.. .du^ +
+ 0(1), n->oo. (5.193)
B (5.193) Z(u)=Z(«i Uk) — случайное поле, определяемое как предел
для отношения правдоподобия для заданных гипотез. При ф(п)=Уп имеем
[530]
Z (и) = exp (0) ц, £) — -^- (J (0) и, и)} ;
(5.194)
/ (хп, о) = у log -577 + ^1^7^1+0(1).
2 2ле L л (о) J
5.12. Понятие е-энтропии
и процессы передачи информации
В п. 5.1 отмечалось, что необходимость введения понятия энтро¬
пии и выраженного через него количества информации связана
с указанной Шенноном возможностью выразить через эти вели¬
чины пропускную способность канала и эпсилон-энтропию сооб¬
щения или энтропию при заданном уровне точности. Эта послед¬
няя величина полезна для непрерывных величин, энтропия кото¬
рых бесконечна. Она определяется в виде вариационной задачи
Яе(Ѳ) = іп1 у-/(Ѳ, Ѳ), (5.195)
где нижняя грань берется по парам случайных величин (Ѳ, Ѳ) =
= {Ѳ(0> Ѳ(0; (Г — время передачи), отличающихся
друг от друга в некоторой метрике р(Ѳ, Ѳ) не более чем на задан¬
ную конечную величину е. Например, при
М[р2(Ѳ, Ѳ) ] =М[ (Ѳ(0 —0(0)2] s£e2. (5.196)
Пример 1. Предположим, что исследуются способы приближенной пере¬
дачи сообщения о положении точки при помощи указания точки ê'œX
и в пространстве X задано расстояние p(g, £')> удовлетворяющее, например,
условию
Р(р(5, (5.197)
или (5.196). А. Н. Колмогоров [620] для случая (5.197) соответствующую
величину предложил обозначать через //е(0). При е=0
. V<°> (g) = sup// (6) = log
(5.198)
322Г
где Nx — число элементов множества X. При е>0 выполняются следующие
оценки [620]:
log^(2e)^/f“(X)<log^(8), (5.199)
где N& (е) и N* (в) являются характеристиками пространства X [620].
Есліи X является n-мерным эвклидовым пространством и су¬
ществует гладкая функция Рі(х), то [620]
Не (g) =* п log 1 + lh (g) - n log ]^2м] +0(1), (5.200)
Л(£) =« — J Pt (х) log Pi (х) dXi... dû.
X
Из (5.200) следует, что в л-мерном пространстве асимптоти¬
ческое поведение Яе(|) для гладких распределений Рі(х) опре¬
деляется размерностью пространства и дифференциальной эн¬
тропией h(g) [620].
М. С. Линекер [621] показал, что для вектора £=(£і, £2, ...
..., Вт) и В'= (Вт+1, .... Вт+п) при заданных ограничениях на
центральные вторые моменты </у(0^і, /^m + n) величин Вь
Вг, ■ • •, Bm+n выполняется неравенство вида ,
1/2 log (ДВ/С) (5.201)
в обозначениях п. 5.2. Из (5.201) следует, что Не(В) максимальна
при гауссовских величинах.
Рассмотрим некоторые примеры вычисления 8-энтропии для
гауссовских величин и процессов. Ряд .конкретных дополнитель¬
ных примеров вычисления е-энтропии для определенных классов
случайных величин и процессов приведен в [621—624].
Пример 2. Величина е-энтропии для непрерывных гауссовских процес¬
сов £(/) с заданной корреляционной функцией R(s, t) можно определить сле¬
дующим образом. Допустим, что задан оператор [622] R в 2?2[0, Г]:
т
Rf (0 ■= J R (s, t) f (s) dst f e æ* [o, t], t e [o,n
0
Используя собственные значения {Х<} оператора R, Rf=kf, величина е-энтро¬
пии случайного процесса £(/) определяется как
1 __ / \ \
Яе(В)=-21птах -^-,1 , (5.202)
где Ѳ определяется из следующего уравнения:
г2 = min (X,, Ѳ). (5.203)
323
11*
Так, в случае броуновского движения £(/)
P (s, f) = min(f, s);
4Т2
л2 (1 + 2n)2
T2 1
л2 и2 ’
Яе fê) =
2Т2 1
л2 е2
1-0
При е->0 можно уточнить оценку (5.201) [622, 623]
2Т2 1 1
(5.204)
•(5.205)
где 0(1) —log (У2л3/187'2)-1/36+Оз(1)-02(1/2)+0(1).
В n-мерном пространстве (эвклидовом или гильбертовом) n-мерный век¬
тор £=(£і, ..., Вп), где координаты взаимно независимы и распределены
нормально, при заданном е параметр Ѳ определяется из уравнения [620, 621]
еа = 2 min <02’ аІЛ
Для нормально распределенного вектора [621]
, о?
^еЙ) = - 2 ,0«— • (5.206)
2 / 02
<Т5,>Ѳ.
- Из (5.206) следует, что аппроксимирующий вектор £'= (£/, ...» Ên')
следует выбирать из следующего условия:
прионе2, і'. - 0;
приа|;>02, = + а^ = 0а, <т^ = <т|й — ѳа
и векторы и Ла взаимно независимы.
Пример 3. Допустим, что случайный процесс £(/) имеет вид
d%t = — a^tdt + ad(ùt, (5.207)
Для данного процесса
2а
где Ьі определяется из решения трансцендентного уравнения [623, 624]
Тогда
гаРЛ/л2 2аРГ/л2
((аТ + л)/л)’ + (1-1)» < 1< (<>№) +(І-ІР ’
Существует несколько оценок для Яе(£) в данном случае [622—624].
Нижняя и верхняя границы для Яе(£) имеют (Ь = аТ, у=&2/РТ) соответ¬
ственно вид [623]
324
He (5) '
4b 1 f Г 4 л / , л \
^</ + 4 ІПі1+1л(1+л/*)У
я 1*1 Л , я , 1 . Q\ b (b + л)2
(5.208)
He®'
_ 4Ь . 1 . /і ï ( 4 ï Зя VI ь .
" пгу + 4 ІП Ѵ + 1лу + 2b) f 2 +
+ (б + 2 In2) + 10fr + (4/Ьу) - (пгу/2Ь) - (п^Ь2) ’ {5’209)
Более точная оценка Не(%) для (5.207), занимающая промежуточное зна¬
чение между верхней (5.209) и нижней (5.208) оценками, имеет вид [624]
(о2 — 2е2а)
не® = - гН + 0(е'2), е2->0- <5.210)
Пример 4. Пропускная способность и эпсилон-энтропия, согласно тео¬
ремам Шеннона [501], позволяют описывать условия, когда введение соот¬
ветствующих методов кодирования и декодирования делает возможной пере¬
дачу по системе связи вида
Передача с погрешностью е оказывается возможной, если Яе(Ѳ) меньше про¬
пускной способности канала С(Яе(Ѳ)<С), и невозможна, если Яе(Ѳ)>С.
В связи с этим рассмотрим кратко вопросы оптимального кодирования
и декодирования при передаче информации на примере передачи гауссовского
сигнала по каналу с бесшумной обратной связью.
Предположим, что сообщение Ѳ, которое требуется передать, является
гауссовской случайной величиной с ЛЦѲ]=/и, £>Ѳ = ае2>0. Параметры т и
Оѳ2 считаются известными как на передающем, так и на приемном концах.
На выходе передающего устройства принимаются сигналы
которые предполагаются удовлетворяющими стохастическому дифференциаль¬
ному уравнению
dlt=A(t, g, W)dt+dwt, £o=0, (5.211)
где Wt — винеровский процесс, не зависящий от Ѳ. Как и ранее, неупреждаю¬
щий функционал Л(/, £, Ѳ) задает кодирование и предполагается таким, что
уравнение (5.211) имеет единственное сильное решение [582] и
Р
T Ï
pa(s.Ê.O)</s<ool = 1
о J
с ограничениями
1 / .
— J A4 [Л2 (s, Ѳ, g)] ds P = const,
о
(5.212)
325
Кодирование, удовлетворяющее перечисленным условиям, называется до¬
пустимым [582]. По принятому сообщению go* = {ge, в каждый момент t
строится сообщение Ѳ< (g) ; задающий декодирование неупреждающий функ¬
ционал Ѳе(£), должен быть выбран так, чтобы в некотором смысле
оптимальным образом восстанавливал сообщение Ѳ.
Пусть
Д(/) = inf 2И [(Ѳ — Ѳ*(g))*],
d(/,g,e)
Ѳ/(5)
Задача состоит в том, чтобы найти оптимальные кодирование, декодирование
и минимальную ошибку воспроизведения A(f) сообщения Ѳ при передаче по
каналу (5.211) за время t.
При заданном кодировании имеем
Л4 [(Ѳ - Qt (£))2]>М [(Ѳ — m/g))2].
Поэтому Д(/) =inf Л4[(Ѳ—/и«)2] и, следовательно, оптимальное декодирова-
А
нне по g0* определяется средним mt. Таким образом, поставленная задача
сводится к отысканию лишь оптимального кодирования [582].
Допустим, что
А (t, Ѳ, g) = Ао (Z, g) + A. (t, g) Ѳ, (5.213)
t. e. рассмотрим подкласс допустимых кодирующих функций Л(/, Ѳ, g), ли¬
нейно зависящих от Ѳ. В (5.213) Ао(/, g) и Аі(/, g)—неупреждающие функ¬
ционалы и
Д*(0= inf A4[(0-mz)2]. (5.214)
ДоЛі .
Требуется найти величину Д*(/) и оптимальные кодирующие функции (Ло*,
А!*), на которых достигается inf в (5.214).
В [582] доказана следующая теорема 5.12. В классе допустимых ли¬
нейных кодирующих функций (5.213) оптимальное кодирование существует
и задается формулами
Л;(/) = Vp/^ept/i, (5.215)
Л’(0 = -ЛХ- (5-216)
При этом оптимальное декодирование mt* и передаваемый сигнал gt*
удовлетворяют уравнениям
dmt = yp^e~Ptli<^t, m* = m, (5.217)
/““р"
= у — ePtli (Q — tnt) dtdwt, go* = O. (5.218)
Ошибка воспроизведения
Д* (/) = . (5.219)
Из (5.218) следует, что оптимальное кодирование заключается в том, что
посылаются все время расхождения (Ѳ—mt*) между величиной 0' и ее опти¬
326
мальной оценкой tnt* с коэффициентом пропорциональности уР/оѳ2, а не само
сообщение Ѳ.
Если Использовать класс линейных кодирующих функций (Л0(/)+Лі (/)Ѳ)
без обратной связи, то для кодирующих функций
Ai (О = VР/^І, Aq (t) = — Ai (/) m
среднеквадратичная ошибка
A (0 =<4/(1 +P/).
Обозначим
It = supIt(G,ï). (5.220)
Êo .
Кодирование (Ло*, Лі*) дает наибольшую информацию /<(Ѳ, g) о Ѳ в прини¬
маемом сообщении go* = {Ь, для каждого t, 0^/^Г, и в этом смысле
является оптимальным.
При этом согласно (5.55), (5.59) имеем
t t
If — IP Pt
Ш = Т ИМ2^Ѳ’5)~ЛЧ5,5)]^<--\М[Л2(5,Ѳ,5И^^— ;
о 0
. t
It (Ѳ, £•) = y J M [(Л* (s, 0) + л; (s) 0)2J ds = Y . -
0
Таким образом, процесс g*, удовлетворяющий уравнению (5.218), является
также оптимальным в том смысле, что для него, согласно [582], выполняется
/г = Л(Ѳ, g*)=P//2, (О^/^Т).
Пример 5 (оптимальность линейного кодирования). Допустим, что за¬
даны гауссовская случайная величина Ѳ, Ѳ~тѴ(т, оѳ) и некоторая случайная
гауссовская величина Ѳ. Пусть е2 = A4 [ (Ѳ—Ѳ)2] и е-энтропия Яе(Ѳ) =
= inf{/(0, Ѳ): М [(Ѳ—Ѳ)2] ^е2}. Согласно (5.202), (5.206) для гауссовской
случайной величины Ѳ е-энтропия Яе(Ѳ) определяется как
Яе(Ѳ) = ÿlnmax (oj/e2,1). (5.221)
Тогда из (5.221) следует [582]
2 2
■ <5222>
Следовательно [582],
М [(0 - Ѳ)2] > alé~2'^. (5.223)
Неравенство (5.223) является в определенном смысле аналогом неравенства
Рао —Крамера и позволяет доказать следующую теорему.
Теорема 5.13 [582]. Пусть Ѳ — гауссовская случайная величина, пере¬
даваемая по каналу связи, описываемому уравнением (5.211). Тогда A(t) =
= à*(t) =0e2e~pt и, следовательно, в классе всех допустимых кодирований
оптимальным является линейное кодирование (Л0*, Лі*) по (5.215), (5.216).
327
Пример 6. Допустим теперь, что передаваемое сообщение 0«,
является гауссовским процессом с дифференциалом
= a (t) Btdt + b (t) dwt, (5.224)
где винеровский процесс Wt, 0^/^Г, не зависит от гауссовской случайной
величины Ѳо с заданными Л4[Ѳ0]=т, D[0o]=Y>0, |а(/)І^Я, 1^(0
Процесс g/, получаемый на выходе канала, является единственным сильным
решением [609] уравнения
^=[Л0(/, g)+4i(/, ï)Gt]dt+dwt, go=O, (5.225)
где винеровский процесс Wt, не зависит от wt go; неупреждающие
кодирующие функции Ло(/, g) и Лі(/, g) удовлетворяют условиям
т
J ОС
о
Р
= 1,
sup I A,, (t, £) I < oo,
хбС
M ІИ, (t, g) + At (t, g) Ѳ,)’] P = const;
Д»(/)= inf Af[(0z-fy (£))’] = inf Af [(Ѳ^—m^J = inf Л1 (vj;
(Л.Л.е^» Мо.л,) <л0.А,)
Для изложенной модели передачи информации справедлива следующая
теорема.
Теорема 5.14 [609]. При передаче по схеме (5.225) гауссовского слу¬
чайного процесса 0«, подчиняющегося уравнению (5.224), оптимальная пере¬
дача описывается уравнением
<= рЛу + С=°> (5.226)
где оптимальное декодирование /ие* = ЛЬ[Ѳ/] определяется из уравнения
dmt = а (t) mLdt + m* = m; (5.227)
(2a(/)-P] + *’(/), ïÔ = V- (5.228)
Минимальная ошибка воспроизведения
А* (/) = у ехр
Ь2 (s) ехр
- — du \ds . (5.229)
Из (5.229) при a(/)=ô(/)=0 как следствие имеем a s А, что совпадает
с (5.219) (при о2=у).
В частном случае, когда обратная связь не используется, из теоремы 5.14
следует, что оптимальные кодирующие функции задаются:
(0 = /P/D6t, Яо (0 = — Я, (0 М [00;
S (/) = 2а (ОД (0 + 6» (0 - Д’ (0. â (0) = Ѵ.
328
Допустим, что
dQt =— Qtdt+ dwt, Ѳо~7Ѵ(0, 1/2). (5.230)
В этом случае a(t)= — 1; ô(f)ssl; у = 1/2; m = 0; M0ée=0; Z)0É= 1/2; Д(/) =
= —2Д(/) + 1-2РД2(/); Д(0) = 1/2.
Следовательно,
А„ = 1 im А (/) = (КГ+2Р- 1 )/2Р.
Р »оо •
Из теоремы 5.14 следует, что
д*(0 = —!— +е“<2+р)'
' 2 + Р
1
2 + Р
2
Таким образом, ДР* = 1іт Д*(/) = 1/2-J-P, и поэтому [582]
/—>оо
Др 2Р
ДР “(2 + Р)(ГГ+2Р-1) :
асимптотика приводит к следующим выражениям:
(5.231)
Из (5.231) следует, что использование обратной связи при больших Р дает
ошибку воспроизведения, существенно меньшую, чем без использования об¬
ратной связи; при малых Р ошибки воспроизведения асимптотически эквива¬
лентны.
Таким образом, несмотря на то, что пропускные способности каналов пе¬
редачи информации с обратной связью и без нее совпадают (см. пример 1
п.5.2) качество передачи информации может существенно отличаться: исполь¬
зование обратной связи при больших Р приводит к существенному улучше¬
нию качества передачи информации.
5.13. е-энтропия
без предвосхищения и с прогнозом
в задачах теории управления
Очень важным представляется использование 'понятия эпсилон-
энтропии в широком классе задач теории управления. Однако
здесь имеются определенные трудноети. Так, в обычной поста¬
новке задач теории передачи информации допускается, что вос¬
становление сообщения 0='{Ѳ(/), —оо</<оо} на приемнике бу¬
дет произведено не сразу в момент передачи, а со сколь угодно
большим запаздыванием; в то же время в теории управления су¬
щественно, чтобы Ѳ(/) определялось по Ѳ(з) без предвосхищения
(т. е. по его значениям для s^t) или даже с прогнозом (т. е. по
значениям s^.t—т). Такая ситуация возникает, например, в
329
задаче, где Ѳ(/) интерпретируется как задающее воздействие, а
Ѳ(/)—как регулируемая величина и требуется так преобразо¬
вать входные и выходные величины, или, говоря языком теории
информации, ввести такие кодирование и декодирование, чтобы
Ѳ(/) удовлетворяло заданным условиям.
Например, предположим, что Ѳ(/) должно воспроизводить
сигнал Ѳ(/) со среднеквадратичной погрешностью вида (5.196)
при условии, что Ѳ(0 зависит лишь от поведения 0(s) до момен¬
та t (т. е. восстановление задающего воздействия Ѳ(/) без пред¬
восхищения) или от поведения Ѳ(/) до момента времени t—т,
т>0 (т. е. восстановление с прогнозом т). Для решения этой но¬
вой задачи нужно модифицировать понятие эпсилон-энтропии и
ввести понятие эпсилон-энтропии без предвосхищения Яе°(Ѳ) или
эпсилон-энтропии с прогнозом //ет(Ѳ), т>0. Величины //е°(Ѳ) и
//ет(Ѳ) при среднеквадратичном критерии точности определяются
как нижняя граница количества информации, вычисленная при
том ограничении, что Ѳ(/) и Ѳ(/) удовлетворяют приведенному
выше условию и дополнительному, состоящему в том, что значе¬
ния Ѳ(/) восстанавливаются по значениям 0(s) до 'момента вре¬
мени t или t—т соответственно (в более точных математических
терминах jto значит, что последовательность трех случайных
величин {0(s), s^t}, {Ѳ(г), r^t—s} и {Ѳ(и), О^и^Т} для
—s и Vt образует цепь Маркова).
Оказывается, что если Ѳ(/) — гауссовский процесс, то при на¬
хождении эпсилон-энтропии //ет(Ѳ), т>0 (так жекак и для обыч¬
ной эпсилон-энтропии) достаточно рассматривать лишь гауссов¬
ские пары процессов (Ѳ, Ѳ) [625]. Следуя [625, 626], рассмотрим
несколько примеров.
Пример 1. Пусть |(/)=оѲ(/), е2(/)=е2>0, />0, где Ѳ— стандартный
винеровский процесс. В этом случае
Œ) = о2/2е2; Нхе = а2/2 (в2 - а2т).
Пример 2. Допустим, что рассматривается стационарная гауссовская
марковская последовательность %(k) = c%(k— 1)+оѲ(£), — оо<£<оо e2(k) =
= е2>0. Тогда
и о /f-\ 1 . / с2е2 -|- о2 \
(Ê) = У In max , 1 j ;
1, /с2 (е2 - ô2) + а2с2т \
(У = J I" max — , 1J ,
если -
о2
ô2=—2(1_с3Г)<е2. ,
Пример 3. Пусть g — одномерный стационарный гауссовский марков¬
ский процесс вида d$(t} =— b£(t)dt+<jdQ(t); Af[&2(/)] = a2/2ô>е2, где Ѳ —
330
стандартный винеровский процесс; д, о>>0. В этом случае
а2-2е2Ь а2 exp {—2Ьт) — 2 (в2 — Ô2) Ь
(?) = (У = 2 (е2 — ô2) ’
если ô2= (o2/2b) ; (1—exp {—2ôt}) <e2.
Пример 4. Для стационарного марковского гауссовского процесса Ѳ(/)
при
М [Ѳ (/) Ѳ (t + s)] = A exp {- P I s I ) ; A, p > 0 (5.232)
получаем, в частности, простую расчетную формулу [625, 626]
Нхе (Ѳ) = р (Л - е2)/(е2 - А (1 - е^)), т>0,
Л(1 —е'₽т)<е2<Л, Т-*оо. (5.233)
и эпсилон-энтропия с прогнозом оказывается в л2/2 раз больше обычной эн¬
тропии 7/е(Ѳ), характеризующей ситуацию, когда Ѳ(/) восстанавливается по
всему процессу Ѳ($), — oo<s<oo.
Если £=.(êi, ..., Èn)—многомерный марковский случайный процесс с
независимыми составляющими gj, j.= l, п и корреляционными функциями
м = Луехр {-р, |$|}, Лу>0. ₽/>0
и мерой верности воспроизведения
/=1
то соотношения (5.233) обобщаются следующим образом [626]:
(п \ 2 п
S (Л/Р/)7, 8-2-3₽а> -
/=1 J - k=l
(п \ 2 / п \-1 п
2 (Л/Р,)’/* ехр {- рут) le2 - 2 (1 - е"2р‘Т) - 2 Р*-
/=1 / \ 1=1 / *=1
«Пример 5. Предположим, что одномерный стационарный гауссовский
марковский процесс £(/) описывается уравнением
' о2
(0 = - ^ (0 dt + <Jdw (Z), М [g2 (/)] = — > в2, (5.234)
2d
где до (/)—стандартный винеровский процесс, Ь, <т>0. Согласно результатам
примера 3, имеем
#е (5) == (о2 - 2е2д)/2е2;
е-энтропия по (5.195), (5.196) имеет вид [625] Яв(6) = (о2—2е20)/л2е2+
+0(е-2), е2->0. Следовательно, '
Я®(Ё)/Я8(У = ўл2(1 +0(D), е2->0.
И в этом примере эпсилон-энтропия без предвосхищения оказывается в л2/2
больше классической е-энтропии.
331
Новые варианты понятия эпсилон-энтропии приводят к обобщениям основ¬
ных результатов теории передачи информации. Так, имеет место обратная
теорема [626].
Теорема 5.15. Если Н ?(§)>€, то никакие методы кодирования и де¬
кодирования не позволяют вести передачи по каналу, когда сигнал на входе
T\(t) определяется по значениям Ѳ($/ т и сообщение ü(t) определяется
по сигналу на выходе канала г| (s) до момента времени t, чтобы погрешность
воспроизведения этого управляющего сигнала была меньше е.
В достаточно общих ситуациях верна и прямая теорема. Рассмотрим, на¬
пример, важный частный случай, когда управляющий сигнал Ѳ(/) моделируется
как произвольный гауссовский стационарный случайный процесс (с дискрет¬
ным или непрерывным временем) и передача ведется по каналу с гауссовским
белым шумом £(/) мощности N при ограниченной Р мощности на входе пере¬
датчика, так что
n(0=îl(0+5(0; W(0 ^>0 (5.235)
и имеется бесшумная мгновенная обратная связь. В такой ситуации при
Я*(Ѳ)<С, т>0, т-*оо, (5.236)
где C=P[2N пропускная способность канала непрерывного времени (анало¬
гично С= 1/2 1п(1+Р/УѴ) в случае дискретного времени), можно определить
линейные преобразования f и ф
n(O=f(0(s). МП. S^t—т, Ѳ=ф(МП. '■«). (5.237)
так что выполнены приведенные условия (5.235). Процедура нахождения для
гауссовских процессов Ѳ(/), явных выражений т](0 и Ѳ, а также величины
Яет(0) аналогична процедуре нахождения оптимальных фильтров в задачах
оптимальной линейной фильтрации Колмогорова — Винера.
Пример 6. Допустим, что Ѳ(/) — марковский гауссовский стационарный
процесс с корреляционной функцией (5.232). Для (5.237) можно записать сле¬
дующие выражения:
0(0 — g(0
П(Ѳ-Ѳ(0)
ГР;
t
0 (Z) = |/ Р ~~ J dq (s),
*—ОО
(5.238)
где е2 определяется из равенства 7/ет(Ѳ) =Р/2М.
Таким образом, мож/но утверждать, что взаимное влияние друг
на друга теории управления и теории передачи информации ока¬
зывается плодотворным. Проблемы теории управления приводят
к новым оригинальным постановкам задач в теории информации.
Решения этих задач перспективны для применений в теории уп¬
равления.
Дополнительные результаты информационной теории управ¬
ления можно найти в [36—40, 42, 72, 73, 613, 619, 649] и др.
332
5.14. Термодинамические ограничения
на процессы физических измерений
5.14.1. Вводные замечания. Процессы измерения параметров фи¬
зических систем или систем управления сами являются сложны¬
ми физическими процессами взаимодействия объекта, парамет¬
ры которого подлежат измерению, и измерительных приборов.
В соответствии с общими' принципами построения -моделей для
конкретных процессов измерения должны быть построены физи¬
ческие, расчетные и математические модели, которые, в свою
очередь, сами должны основываться на известных в настоящее
время физических законах. ,
Существуют некоторые общие положения или принципы, ко¬
торым должны удовлетворять все процессы измерения. Вместе с
тем, несмотря на достигнутые в последние годы определенные ус¬
пехи в разработке общей теории измерений, эта теория еще да¬
лека от той полноты и общности, которая вытекает из требова¬
ний современной науки о процессах управления.
В современных системах управления приходится проводить
массовые измерения как параметров управляемых объектов, так
и внутренних измерений параметров состояний управляющих си¬
стем. '
В настоящем разделе рассматриваются некоторые особенно¬
сти процессов измерения только в доквантовой области и отдель¬
ные вопросы в области квантовой макрофизики. Более подробное
рассмотрение процессов измерения в квантовой области дано в
[345—359, 627, 39].
Любое измерение вносит изменение в состояние объекта, так
как процесс измерения является процессом взаимодействия изме¬
рительного прибора с объектом, параметры которого подлежат из¬
мерению. Совершенно очевидно, что это изменение должно быть
достаточно мало, чтобы с ним можно было практически не счи¬
таться. Вместе с тем в современных системах управления при
обработке больших массивов информации накопление даже весь¬
ма -малых изменений в состоянии САУ может привести к боль¬
шим ошибкам. Примеры таких явлений были описаны в [39].
Поэтому вопрос о точности измерения в данных условиях
имеет принципиальное значение для теории управления. С тер¬
модинамической точки зрения процесс измерения как физиче¬
ский процесс имеет две особенности. Во-первых, на точность из¬
мерения оказывают влияние тепловые флуктуации, происходя¬
щие как в самом объекте измерения, так и в измерительном при¬
боре. Во-вторых, всякий процесс измерения, который по необхо¬
димости происходит с конечной скоростью, является неравновес¬
ным и, следовательно, в определенной мере необратимым процес¬
сом. Каждый процесс измерения приводит к увеличению энтро¬
пии как оібъекта, так и самого измерительного прибора. Следо¬
вательно, обработка больших массивов информации в современ¬
ных САУ неизбежно связана с дополнительным накоплением эн¬
333
тропии, вызванным массовыми «измерениями как параметров объ¬
екта, так и состояния самой управляющей системы [627].
В связи с этим рассмотрим некоторые вопросы, связанные с
предельными возможностями измерений с позиций термодина¬
мики.
5.14.2. О термодинамических ограничениях на точность физи¬
ческих измерений. Вопрос о термодинамических пределах точно¬
сти физических измерений рассмотрим на примере эксперимента
с классическим механическим осциллятором [130, 321, 534, 627].
Задача ставится следующим об-разом: необходимо обнаружить
воздействие конечной во времени силы F(t) на массу т, которая
связана с лабораторией жесткостью k и обладающая диссипа¬
цией с коэффициентом трения (}. Предполагается, что F (х) — ре¬
гулярное воздействие (для «конкретности гармоническое) и дей¬
ствует стационарная флуктуационная сила F$. Для тепловых
флуктуаций спектральная плотность F^ равна (/7ф)ш2 = 4хТ[і, где
X — постоянная Больцмана; Т — температура. Исследуется толь¬
ко уровень достижимой чувствительности при обнаружении регу¬
лярных воздействий ^(т), т. е. квазистатичесние измерения, в ко¬
торых уровень чувствительности определяется дрейфом стабиль¬
ности элемента жесткости, дрейфом температуры и т. п., не ис¬
следуются.
Осциллятор изолирован от нетепловых шумов типа акустиче¬
ских, сейсмических и т. д., а тепловые флуктуации в механиче¬
ском осцилляторе принципиально неустранимы.
В первом приближении условие обнаружения F(x) имеет вид
/7(т)Х4хГрД/),\ (5.239)
где Д/— полоса частот, внутри которых лежит основная часть
спектра F(x).
Из (5.239) следует, .что для повышения пороговой чувстви¬
тельности необходимо уменьшать Т и 0. В оценке (5.239) не со¬
держится способа измерения реакции осциллятора на F(x).
Далее предполагается, что при 'измерении /7(т)+/7ф(т) ис¬
пользуется идеальный прибор, позволяющий регистрировать
сколь угодно малые перемещения осциллятора, не дающий вкла¬
да в /%; такое предположение не противоречит классическим
пред ст ав л ен и ям.
Введем следующие обозначения: тр = 2т/^ — время релакса¬
ции осциллятора, ти—время, затрачиваемое на измерение, тв —
время воздействия F(x), |Л(тв)—А (0) | і-а — границы, в преде¬
лах которых может изменяться амплитуда колебаний осциллято¬
ра под воздействием F$ с заданной степенью вероятности (1—а),
а — статистическая ошибка первого рода. Пусть ц=2тв/тр<С 1.
В этом случае осциллятор будет вести себя как консервативная
система с медленно изменяющейся амплитудой колебаний по
квазигармоническому закону.
Наименьшее значение амплитуды, которое еще можно обна¬
ружить в случае тепловых флуктуаций, существенно зависит от
334
т„ Тр и р. Так, ® случае, когда Л(0)=0, имеем [130, 321]
[Л (тв)]^а =. а /2тв/тр /2 In (1/а); о3 =; (Л (т)]3. z (5.240)
При Л(0)=о [130]
[Л(тв)] -Л^Ь-а^ а/р Ы1_а; (5.241)
_ Іа(тв)-а(0)]х а А (гв) А (0)
Иц а °
Величина вкладываемой или извлекаемой энергии Д£ из ос¬
циллятора внешним воздействием при Л(0)=0 имеет вид
Д£=4 In (1/а) U'(a, ₽,)}2хГ, (5.242)
а при Л (0) =о
ДЕ 2 /2 £ (a, P,) и^хТ /rJÇ (5.243
Здесь £=Г/[Л(тв)—Л(0)]|_в, Г — заданная амплитуда. Разли-
чіимые порции энергии в (5.242) и (5.243) составляют части рав¬
новесного значения хГ. Если tp/tbS> 1, то имеем неравновесный
процесс, за время тр энергия осциллятора изменится на величину
порядка хГ, так как осциллятор, находящийся в тепловом рав¬
новесии с лабораторией, имеет среднюю энергию хТ.
Для случая Е(т) =É0 sin от при (о = (оОСц, 0^т^тв мини¬
мально обнаружимая величина силового воздействия F(t) на
механический осциллятор для случая тепловых флуктуаций име¬
ет вид [321 ]
[Fokin Ѳ р/= Ѳ . (5.244)
где _
0_ lÊfa.px) )/21n(l/a), приЛ(0)<сг/р;
[£' (a, Рх) Ux-a, при Л (0) ~ о,
р! — статистическая ошибка второго рода.
Выражение (5.244) отличается от (5.241) числовым множите¬
лем и показывает, что для увеличения пороговой чувствительно¬
сти необходимо увеличивать как тр, так и тв.
Таким образом, минимально обнаружимая сила слабо зави¬
сит от начального значения амплитуды колебаний осциллятора
при выбранном методе измерений, а величина энергии, вклады¬
ваемой или извлекаемой из осциллятора обнаружимым детерми¬
нированным воздействием, наоборот, существенно зависит от на¬
чальной амплитуды колебаний осциллятора.
Справедливость приведенных соотношений ограничена клас¬
сическим подходом к постановке задачи и тем обстоятельством,
что не учитывались влияния флуктуаций индикатора малых ко¬
лебаний осциллятора. Нетрудно заметить, что в общем случае при
больших тр и малых р это влияние может существенно проявить¬
ся. Однако в определенном смысле данная процедура измерений
является оптимальной [627].
335
Более корректное описание предельных соотношений и усло¬
вий, необходимых для достижения предельной чувствительности
при измерении силы, действующей на механический осциллятор,
можно получить из физической модели квантового уровня описа¬
ния [627].
Из приведенных результатов следует, что в тепловом равно¬
весии с термостатом вероятное изменение энергии осциллятора
Д£ за время тв тем меньше, чем меньше отношение тв/тр. Мини¬
мально достижимое за время тв значение энергии осциллятора
имеет вид
Д£^хТтв/тр.
Нижняя граница изменения энергии осциллятора с точки зре¬
ния квантовой теории существенно связана с наличием дискрет¬
ных разрешенных уровней энергии
Еп=Йш(1/2 + и), ’
если время существования осциллятора на этих уровнях станет
больше времени наблюдения тв. Согласно [321, 627], несмотря
на то, что на осциллятор действует случайная сила (удары моле¬
кул в термостате) его энергия в течение времени наблюдения
будет оставаться неизменной, что существенно отличается от
классического случая.
В этом случае для одномерного осциллятора, находящегося в
термостате при температуре Г, определяются соотношения ме¬
жду т, (ûk и Г, при которых он в течение заданного времени тв
с вероятностью, близкой к единице, остается на начальном энер¬
гетическом уровне (л0 или и). При действии на осциллятор де¬
терминированной силы /(т) в течение времени тв вероятности
перехода осциллятора с нулевого уровня на л-й или с m-го на
л-й равны соответственно
Роп ~-1-упехр{— у}-,
пі
ут+1е^у
Ртп :——
п! ml
з (-УГ*
ml nt
kl (m — k)l (n-k)l
(5.245)
X 2
0
Если (1—a)—выбранный уровень вероятностей poo^l—a и
Pnn^l—a, то с достоверностью (1— 7) эти неравенства, согласно
[321], эквивалентны следующим:
для п — 0 иТ —— —-— Л(і)л (5.246)
. тр 1п(1/у) 0 ' ’
a
и для п ~ 1 или п I
пкТ —
ТР
Й©(>.
(5.247)
ззв
Соотношение (5.247) при td=t0 (период собственных колеба¬
ний осциллятора) можно рассматривать как разграничение меж¬
ду классическим и квантовым поведением осциллятора.
Этот пример одновременно указывает на существование та¬
ких условий измерений, в которых поведение осциллятора будет
существенно квантовьш [321, 627, 353].
В реальном эксперименте с пробным телом влияние тепловых
флуктуаций (влияние трения р) и флуктуационное воздействие
системы индикации присутствуют одновременно и приводят к уве¬
личению энергии колебаний осциллятора по сравнению с хТ в
равновесном состоянии. Для светового индикатора стационарная
случайная сила, действующая на осциллятор, состоит из суммы
флуктуаций светового давления и тепловых флуктуаций. Диспер¬
сии этих флуктуаций F2 = 8Whvc~2\f и F22=4nT$Af соответст¬
венно. Здесь —поток светового излучения, падающий на мас¬
су осциллятора. Из теоремы Найквиста [130] можно получить,,
что увеличение равновесной температуры равно
Д Т=2 Why/(хс2р) (р >2 W/c2). (5.248)
Так, для пг=\ г, 5=1 см2, W= ІО7 эрг/с, тр = 2т/р= 10і0 с (ос¬
циллятор находится в гелии при Г=4,2 К, Р[=10“8 Торр) увели¬
чение температуры ДГ=2 К. '
Согласно [321, 627], механический' осциллятор, помещенный
в световой поток мощностью №, испытывает в этом потоке трение
$2=2W/c2. В идеально эвакуированном термостате, имеющем
температуру Г,
р2= (4л5х4Т45)/(14с4Л3), (5.249)
где S— площадь. Соотношение (5.249) определяет теоретический
предел добротности макроскопического механического осцилля¬
тора. Так, для 5=1 см2, Т=4,2К, ш=\ г, û)0=2nc"1, постоян¬
ная времени осциллятора равна МО21 с, а добротность Q0^1021.
Соотношения (5.247) остаются справедливыми и для моды
колебаний электромагнитного резонатора.
Для û)e = 2-1010 рад/с и тер = 50 с имеем Qe = 5-1011, что уже
достигнуто на практике [627]. Тогда с помощью соотношений
(5.247) нетрудно получить [321], что при Г=2 KJ вероятное вре¬
мя пребывания на основном уровне п=0 такой моды «Зс, ана
«наиболее» вероятном уровне ит=хТ/йа)е= 15 это время «0,2 с.
Для емкостного датчика, используемого в регистрирующем
датчике при флуктуационных тепловых воздействиях минималь¬
ное значение смещения осциллятора
{х(т)]т1п~£/~, (5.250)
а для оптического
[х(т)]т1п~Г-\ (5.251)
где — амплитуда электрического напряжения на контуре дат¬
чика. Так как [F(T)ïmm^ [х(т) ]тіо> то для обнаружения мень-
337
иіих величин [/’(т)]тщ необходимо увеличивать согласно (5.250),
(5.251 ) U или W, которые приведут к увеличению флуктуацион¬
ных сил сю стороны датчика на массу т. Таким образом, необхо¬
димы оптимальные стратегии измерения (оптимальные U и №),
которым соответствует истинное наименьшее [^(т)]тіп.
Так, для емкостного датчика с характерной полосой спектра
Дшо наименьшее смещение [х(т)]тіп, которое может быть обна¬
ружено, равно
[х(т)]т1пМ>1/^^. (5.252)
г л
где U~— амплитуда электрического напряжения между пласти¬
нами емкости; d0— среднее расстояние между пластинками; Те —
температура контура; г — активное сопротивление контура. Фор¬
мула (5.252) справедлива при предположении, что флуктуации
частоты и амплитуды автогенератора полностью скомпенсиро¬
ваны.
Из (5.252) следует, что при уменьшении Те и г уменьшается
[*(т) ]пііп. Формула (5.252) справедлива и при A©o>coe/Qe =
= ше2Сег, где û)e — собственная частота колебаний электрическо¬
го контура с добротностью Qe; Се— средняя емкость. В настоя¬
щее время большое применение нашли сверхпроводящие СВЧ-
резонаторы с малым г, для которых Çe>5-10“.
Изменение 0(і7Шр+Шо), вызванное ôx0 от воздействия Л sin cûot,
равно
0((/Шр+Шо)-
1 j, Л 2хТг
8Г2 Р “о V \
(5.253)
и является одниім из условий обнаружения амплитуды силы Fo с
помощью такого способа регистрации.
.Здесь Шр — частота электрического генератора и связана со¬
отношением
(Û0 + (ûp — û)e.
Флуктуационное силовое воздействие емкостного датчика на
механический осциллятор, вызванное тепловыми колебаниями в
резонаторе, оценивается в виде [321]
[Folmin - 1 — 1/
ТР Г
= (5.254)
тер * QeTp
при
[tAùp]opt = V 2/nû)0û)eL. (5.255)
При выводе (5.254) полагалось (5 = 0, а при Q0/T0 = QJTe выра¬
жение (5.254) совпадает с (5.239). Отсюда следует, что шум элек¬
трической части системы играет роль аналога шума механиче¬
ской части. Полученные выражения дают оценку резерва чувст¬
338
вительности, определяемой датчиком оо сверхпроводящим резо¬
натором с Qe^5- ІО11.
Если Aû)0<C(ùe/Qe, то для емкостного датчика [321]
- .. 4 , /~ _ пмТ.шв
[F0]min~g — у • (5.256)
Поскольку выражения (5.254), (5.256) получены при учете
(5.255), то они определяют оптимальные стратегии измерений.
Выражения (5.254), (5.256) следует рассматривать как предель¬
ные, так как они получены при [3 = 0 и ограничивают примене¬
ние классической формулы Найквиста (5.239).
В квантовой области при 0^т^тр
[F0]kb ~ ê JL (5.257)
с вероятностью, близкой единице, квантовый механический ос¬
циллятор перейдет с начального уровня пи на один из ближай¬
ших. При этом [Е0]кв из (5.257) никогда не превысит (5.256) и не
может быть больше (5.254), так как х7’е>Й©е- Таким образом,
данный метод измерения позволяет достигнуть при Тр<Сте чув¬
ствительности, определяемой дискретностью энергетических уров¬
ней механического осциллятора [321, 627].
В принятых обозначениях
[Fo]min =* І — 1 f ; ni = . (5.258)
тр V пте
Из (5.258) следует, что на фане квантовых флуктуаций в
электрическом резонаторе можно достигнуть в принципе чувст¬
вительности, соответствующей (5.258) при условии пет>2пн. Бо¬
лее того, для достижения чувствительности в соответствии с
(5.258) достаточно увеличивать (начальную амплитуду колебаний
в электромагнитном резонаторе без увеличения равновесной тем¬
пературы Ге и, следовательно, пет [321, 627], так, чтобы выпол¬
нялось пе>2пн.
Как выше было показано, при Qe^S-lO11, û)e=2-1010 с”\
Ге=2 К время пребывания в основном состоянии «Зс, а при
пет=15 оно составляло «0,2 с. Следовательно, при достигнутых
величинах Qe и не слишком малых температурах тр в (5.254) и
(5.258) может быть порядка единиц секунд и меньше.
Тогда неопределенность в определении энергии в моде резо¬
натора может быть порядка й/тр«10-27—ГО"26 эрг, тогда как
йо)е«2-10"17 эрг. Следовательно, боровское соотношение неопре¬
деленностей при тр—1-т-0,1 с не ставит ограничений для созда¬
ния устройства, определяющего, не возмущая электромагнитный
осциллятор, на каком квантовом уровне он находится. Особенно¬
сти таких устройств рассмотрены в [130, 321, 627, 345—351, 357]..
339
Таким образом, оптимальная стратегия принятия решения,
несмотря на рассогласование приемника относительно сигнала,
обеспечивает обнаружение почти предельного порогового сигна¬
ла, а передаваемая энергия U приемнику может быть в т раз
меньше хГ. Однако пороговая энергия сигнала Ес при этом не
уменьшается, так как только часть этой энергии (точнее, 1/т-я
часть) передается приемнику, из-за того что приемник имеет в
т раз более узкую полосу, чем спектр сигнала. Основная часть
энергии сигнала рассеивается, не попадая в приемник, и погло¬
щается в термостате. Вследствие этого данный способ приводит
не к уменьшению энергии передатчика, а лишь к неполному ис¬
пользованию ее в приемнике [321]. Такой подход особенно ва¬
жен в физических экспериментах по обнаружению так называе¬
мых тонких эффектов. Так как передаваемая приемнику энергия
U может быть в т раз меньше kT, то квантовые ограничения на¬
чинают сказываться существенно раньше, при U=kTItnœhv.
5.15. Термодинамические модели
информационных процессов управления
Основная проблема исследования термодинамических моделей
информационных процессов, согласно [39, 534], состоит в уста¬
новлении связей (предельных соотношений) «между такими тер¬
модинамическими характеристиками, как энергия, энтропия, и
информационными, к которым относятся точность, количество
информации и др. Для процессов измерения первичных инфор¬
мационных процессов выделяются три основных вопроса: 1) свя¬
зано ли получение информации с уменьшением статистической
энтропии системы и какова эта связь; 2) каково компенсирующее
увеличение энтропии в системе за счет диссипации энергии; 3) за
счет чего удается после измерения обеспечить дополнительное
уменьшение энтропии в системе посредством управляющего воз¬
действия.
Здесь кратко будут рассмотрены, следуя [39, 534], некоторые
из взаимосвязей указанных вопросов.
5.15.1. Информационные характеристики процессов измере¬
ния. Согласно результатам п. 5.14 в первом приближении для
решения поставленных вопросов достаточно ограничиться клас¬
сической частью измерительного прибора, что дает возможность
рассмотреть все основные информационные процессы как полу¬
чение информации (измерение), передача информации и обра¬
ботка информации (вычислительный процесс) с единой точки
зрения.
Первичный информационный процесс — физическое измере¬
ние— с точки зрения термодинамики рассматривается как про¬
цесс перехода из одного равновесного состояния в другое и пред¬
полагается, что измеряемая физическая величина является внут¬
ренним параметром исследуемой системы. В качестве регистри¬
340
рующего параметра выбирается физическая величина, характе¬
ризующая состояние измерительного прибора, что позволяет ис¬
пользовать ее в качестве управляющего параметра. Предполага¬
ется также, что в процессе взаимодействия исследуемой системы
и измерительного прибора устанавливается новое стационарное
значение регистрирующего параметра, однозначно связанное с
измеряемой величиной. Согласно [534], процесс измерения мож¬
но представить в виде цепочки преобразований
Z->X-^F->t/->x, (5.259)
где I—измеряемый параметр; À — параметр датчика преобразо¬
вания; F — обобщенная сила, действующая на измерительный
прибор, приводящая к изменению координаты х; у — согласую¬
щий параметр.
Предполагается, что исследуемая система и измерительный
прибор помещены в термостат с температурой Т. Причиной по¬
грешности измерения являются неустранимые тепловые флуктуа¬
ции параметров F, у, х, причем предполагается линейная связь
между этими параметрами.
Рассмотрим кратко основные информационные характеристи¬
ки измерения [534, 608]. Погрешность AZ данного измерения оп¬
ределяется как разность истинного значения измеряемой Z и из¬
меренного значения I' величин: Z—Z'=AZ.
Предполагается, что заранее известна область L длины Zm=
= Zmax—Zmln, Zram^Z^Zmax, в которой измерение как оценка
случайной величины задается с априорным распределением P(Z).
Критерием качества данной реализации измерения является ве¬
личина, усредненная по совместному распределению P(Z', Z) =
— P (I) P (І' IZ), при этом выполняется условие однородности фи¬
зического измерения, т. е. P(Z'|Z) =Р( | Z'—Z])=P(|AZ|) и не за¬
висит от Z.
Измерение также часто характеризуется минимальным раз¬
решимым интервалом AZP (или ценой деления), который являет¬
ся неоднозначной характеристикой. Процесс измерения характе¬
ризуют также линейным преобразованием типа x/xw= (Z—Z0)/Zw
отрезка L в отрезок X длины хт. При этом распределения х и Z
будут принадлежть одному и тому же классу и отличаются мас¬
штабным Zm/xm и центрирующим Zo параметрами. Данное преоб¬
разование связано с использованием в датчике некоторой эта¬
лонной обобщенной силы F3T, которая совместно с F (Г) дает
+ (Z)> = 0, для симметричного измерения Z0 = (Z), —xm/2^
^x^Xm/2, хеХ+ и FaT-|-F(Zmln) =0, для асимметричного изме¬
рения Z0 = Zmln, O^x^Xm, хеХ--здесь операция (••^—усредне¬
ние по априорному распределению Р(1).
Формально относительная точность определяется как обрат¬
ная относительной погрешности величина. Эта величина играет
определяющую роль в термодинамических моделях информаци¬
онных процессов.
341
Относительная точность 1/ая однократного измерения опреде¬
ляется как
1/ах == х/ /д? - (/ — /0)//ÂF2 • (5.260)
Здесь чертой обозначается усреднение по Р( | Л/| ), т. е. по всем
флуктуациям.
Величина (5.260) является характеристикой одной реализа¬
ции измерения в области. Для характеристики всего процесса
измерения вводится средняя относительная точность I/o
— 1 / = 1 Г (5.261)
° V <Дх2> V <Дх2>
она является отношением среднеквадратической погрешности к
апостериорной.
Если обозначить через %=х/хт= (I—то выражение
(5.261) преобразуется к виду
1/а2=<0^>/<Д^2> = <0Г>/Оо2. (5.262'*
Относительный (приведенный) разрешающий интервал е оп¬
ределяется в віиде
е = Д^р=Дхр/хт, Р((х—х')/хт>е/2)—<а>0. (5.263)
Величина 1/е называется разрешающей способностью, 1/со — на¬
дежностью, а I/o — точностью измерения.
Известно, что равномерное распределение на отрезке дает
максимальное значение информацианнюй энтропии, а при задан¬
ном среднем значении и дисперсии максимальную энтропию име¬
ет нормальное распределение, которое в приведенных обозначе¬
ниях имеют вид ■
Р(х) = const = l/xm, хе/; (5.264)
P (XIX') =5 Р ( IX — X’ I ) = —L— ехр (— -^-1 (-эо<х—х'<*=)-
/2лст0 I 2<т2 J
(5.265)
Здесь <бх2> = хт/12; о02=о2/12.
Для точных измерений о02С1. Если пренебречь отличием
Р(х') от Р(х), а количество информации вычислить по (5.264),
(5.265), то в результате получим [534]
І(Х,Х’) = — In — + — Inf—In —, о2<1. (5.266)
2 a2 2 \ ле / a
Из (5.266) следует, что при высокой точности измерения
(5.262) количество информации определяется ее логарифмом.
Поскольку было использовано отношение дисперсий столь раз¬
ных распределений, как «равномерное «и нормальное, то (5.266)
достаточно точно. Если определять точность как 1/е, то / =
= 1п (1/е), которое в силу условіи я (5.263) со>0 является неодно¬
значным.
342
Для случая а2^1 необходимо учесть краевой эффект и
Цх,х')^ — In / =_L lnf-Ç+ 1) . (5.267)
2 \ Д№ / 2 \ oa /
Для очень грубых измерений 1/о2<С 1 и [534] І(х, х') « 1/2а2 при
1 / о2—>0.
5.15.2. О связи термодинамических пределов точности физи¬
ческого измерения с информационными характеристиками.
Пусть X — переходный процесс в регистрирующем устройстве, а
У — переходный процесс в исследуемой системе с согласующим
устройством. Точность измерения однозначно определяется пере¬
данной от тела У телу X энергией Ü. Допустим, что переходный
процесс в регистрирующем устройстве (тело X) описывается
уравнением
цх + ах + kx—cy—f (/), х(0) =і(0) =0, (5.268)
а переходный процесс в теле У, если у — обобщенная скорость,
описывается уравнением
Mÿ + Hy=F—ci, ÿ(0)=0. (5.269)
Если у—обобщенная координата, то соответственно имеем
Hy+Bÿ = F+cx, ÿ(0)=0. (5.270)
В (5.268) —(5.270) обобщенные коэффициенты инерции |і, М;
сопротивления а, Н\ жесткости Z>=d2L7dx2, В; с — коэффициент
связи подсистем У и X.
Из (5.260) следует
а* Д?/Я — хГ/Ыо =; x772é/, (5.271)
а для симметричного измерения в области .из (5.261)
1/о2 = <х2)/Дх2=2<(/>/х7’, (5.272)
где (JJ)—среднее по Р(х) значение переданной энергии от тела
У телу X. Тогда, согласно [534], получим
/(х,«/) = 7(х,х')^ ѵ1п(4 + 1') -4,np-^L +4- <5-273)
2 \ аа / 2 \ иТ J
Из (5.273) следует, что количество информации характеризу¬
ет.степень связи между подсистемами Y и X и равно уменьшению
энтропии, а основная задача анализа модели заключается в оп¬
ределении допустимой диссипации энергии в процессе измерения.
Диссипативные потери Qx в теле X равны U при быстро нара¬
стающей силе f(t). Для диссипативных сил Qy в теле У выпол¬
няется QV>U, так как коэффициент связи с и безразмерные ко¬
эффициенты 6 = с2/аН и \ = c2lkB ограничены сверху. Уменьше¬
ние 6 и А относительно верхней границы возможно только при
увеличении Qv. Энергетически оптимальные значения б и Д імож-
343
но определить из соотношения оѵ2—ох2- Тогда
QS=QV+QX=2QX=2U-, <з2=сх2 + оѵ2 = 2<зх2. (5.274)
Согласно [534], нижняя грань оценки для o2Qs достигается в
случае двух степеней свободы в виде
<52Q^2kT. (5.275)
Для одной степени свободы U и
a2Q2>~-x7\ (5.276)
Оценки (5.275), (5.276) относятся к необратимой реализации
процесса измерения. Уменьшение диссипации при измерении
можно достигнуть за счет введения третьего тела z — регулято¬
ра, который изменяет параметры Н или В. Поскольку сам регу¬
лятор z участвует в тепловом движении, то при заданной величи¬
не U (точности I/o) уменьшение Qx ограничено.
Так, и рассматриваемой -модели предельная оценка для «об¬
ратимой» реализации процесса измерения
ôQx^4xT, (5.277)
а для модели с одной степенью свободы оценка
aQz^2xT (5.278)
улучшается уже не в 4 раза, как в случае (5.276), (5.275), а
только вдвое.
Из (5.276), (5.278) следует, что «минимальный рост энтропии
за счет диссипации полностью определяется точностью измере¬
ния и способом его реализации. В необратимом случае
ДДгН) > Qs/xT =5 1 /2а2, (5.279)
а в предельно «обратимом»
AM” >2/о = 2 Ÿ2SH™. (5.280)
Дефект энтропии, согласно [31, 34], определяется в общем
случае выражением
ЬНху = Нх + Ну-Нху, (5.281)
где Нх, Нѵ — энтропии тел X, Y и Яяѵ — совместная энтропия тел
X и У. Для рассматриваемой модели дефект энтропии равен
[534] '
— ДЯі = у). (5.282)
Согласно (5.273) имеем
!=/(., (5-283)
Информационный коэффициент полезного действия опреде-
344
л яегс я в виде
«*<»• <5-284>
ДЯ2тах Д"2т1п 2 а 2
Возможность эффективного управления процессом измерения
без нарушения второго закона термодинамики обеспечивается
соотношением [30, 534]
ДЯ2 - I ДЯі Н ДЯ2 (1 - Гинфmax) > | ДЯ31 > 0. (5.285(
Соотношение (5.285) характеризует условия, при которых проис¬
ходит упорядочение системы за счет получения информации.
Механический КПД гкп равен '
(5-28б)
и полностью характеризует достигнутый результат.
Приведенные результаты относятся к модели, в которой пе¬
реданная энергия U полностью определяет информационные ха¬
рактеристики.
Оценки (5.276), (5.278) — (5.280), (5.285) позволяют дать
оценки энергетической цены точности еа и единицы количества
информации éi [534]. Так, из (5.278) следует
^п = 2хТ (5.287)
Таким образом, цена точности при оптимальном замедлении
процесса является постоянной величиной. При необратимой реа¬
лизации процесса энергетическая цена точности
— хт(—1 (5.288)
2 \ а /
и растет пропорционально точности. Аналогично из (5.283) и
предыдущего [534]
~ 0smin = 2xT 1 -2хТ—, а*<1; (5.287')
/ 1
а In —
' \ а /
ѵТ
“(н) _ = — ехр {2/}, о- < 1, (5.288-)
Iw""/ I 1хГ. а’>1.
Из (5.287), (5.288) следует, что энергетическая цена единицы
информации I в обоих вариантах процесса реализации растет
относительно 1 по экспоненте. Для процессов обнаружения с точ¬
ностью 1/а0 порядка разрешающей способности 1/е необходимо,
чтобы вероятность ошибки
w ~ —— w е, ш_~е2, (5.289)
е “
345
где w-—вероятность ложного выброса в одном акте обнаруже¬
ния. Энергия Ео порогового уровня для обнаружения сигнала
Ео ж иТ In— =; 2хТ In — (5.2S0)
w_ е
и значение энергии сигнала
Ес ~ 2Е0 == 4x7’ In — « 4x7’7.
6
(5.291)
Следовательно, на первом этапе измерения достигается по
порядку величины минимальная цена единицы информации.
5.15.3. О термодинамических моделях процесса обработки ин¬
формации и энергетическом критерии сложности процесса обра¬
ботки информации. Математические модели теории сложности
освещены в [72, 502, 503] и п. 5.16. Здесь кратко рассматривают¬
ся физические ограничения на процессы обработки информации.
Под процессом обработки информации понимается однознач¬
ное отображение Г множества элементов х^Х в множество эле¬
ментов Vx=f^Xh когда оба множества X, Xf являются подмно¬
жествами заданного множества чисел.
Физически процесс обработки информации представляется
процессом косвенных измерений. Задача состоит б задании ото¬
бражения Г и его реализации.
В [39, 534] рассмотрены две термодинамические модели об¬
работки информации.
Процесс косвенных измерений, характеризующий процесс об¬
работки информации, эквивалентен схеме преобразований
х^уЛг+f. (5.292)
В (5.292) X — измеренная физическая величина; у — пред¬
ставляющий ее сигнал; z—представленный в том же виде сиг¬
нал, соответствующий значению функции f (х). Здесь у и z харак¬
теризуют амплитуду сигналов, а их квадраты—энергию. Сред^
ние энергетические затраты пропорциональны
= (5.293)
X
где Hfli —норма функции в гильбертовом пространстве .2%, а рас
стояние p(f, g) между функциями f и g
P2 (A g) ~ ІИ — ёII2 - j Р (х) [f (X) — g (х)]2 dx. (5.294)
X
Считаются заданными требования к точности реализаций
f(x). . м
Требования к точности представления исходной переменной
X определяются из требований к точности <j0/:
Oof = Оох f р (х) V dx = а02х I4LI2
X \dx) U dx I
(5.295)
346
При р(х) =const имеем
1/Oox>l/Oof. (5.296)
Пусть
Z=<Bfy у But U => СХу С>\у
(5.297)
Согласно [534], могут быть выбраны энергетически оптималь¬
ные значения
Сдс =: j/”3 (Тох» 3 <Tof £х. (5.298)
Тогда энергетическая сложность данной модели обработки
информации
=* Sf + Sx'y
+ I , C const. (5.299)
Близость функций z и у из (5.297) характеризуется расстоя¬
нием p2(f., и) и согласно (5.294) имеет вид
р2 (f, и) =5 Jp(x)[f (х) — cxfdx. (5.300)
X ‘
Если f(x)—сх==ф(х), то
Р2(А и) МІФ«- (5.301)
При ||<p||<Cl|f(х) II в устройстве обработки информации ис¬
пользуется энергия каждого і-го входного сигнала у(, реализуя
энергетические скачки
G = W В2 (А - сх,)2. (5.302)
В такой модели обеспечивается непрерывный переход от об¬
работки информации к измерению при ІІфІІ=р(/, ы)-И). Энерге¬
тическая сложность
S* = Зф 4~ Sx;
5? И IP (1 + ІЫ|2 + ||4г| ) ■ (5.30?)
V и2 '
Из (5.299), (5.300) определяется общая энергетическая слож¬
ность Sx> ! реализации функции f (х) в виде
Sx.f = min{S',S?}. (5.304)
Допустим теперь, что сигнал у=Всх поступает на вход «чер¬
ного ящика», помещенного в термостат с температурой Т.
В этом случае существует ненулевая вероятность произвольного
347
перехода у в заданное обработкой z=Bf. Чем выше эта вероят¬
ность, тем проще процесс обработки информации.
Конечные значения вероятностей перехода точки сХі в ^-от¬
резок принимаются в виде
Wi (ft I Ui) = exp {— В2ф? (x)} eh (5.305)
у л
а среднее по p(x) значение логарифма от (5.306) имеет вид
1/е
<-lnW|u)> = 3 Pi
І=1
где Be/ = const. Тогда
Вг<р*(х) + 1п-^А. , (5.306)
lim - р2 (д и\ ± и ф ||2 Т-^0. (5.307)
<- In W(1 |0)> ’ 711 ѵ '
Согласно [30, 534], величина минимальной работы, которую не¬
обходимо произвести над системой для перевода ее из исходно¬
го равновесного состояния в другое, равна показателю в экспо¬
ненте, описывающей вероятность соответствующей флуктуации.
Таким образом, выражение (5.307) определяет значение средне¬
го энергетического скачка для заданной обработки. В необрати¬
мом случае среднее значение роста энтропии будет пропорцио¬
нально p2(f, и), а при оптимальной замедленной реализации сче¬
та — расстоянию р (f, и).
Для энергетической меры сложности SXJ обработки косвенно¬
го измерения справедливо соотношение
SXtf^Sfy-, г< 1, (5.308)
где S/ — энергетическая сложность обработки непосредственного
наблюдения, т. е. коэффициент 1/г характеризует относительную
сложность процесса обработки информации. С его, помощью мо¬
жно оценить увеличение сложности воспроизведения f(x) по кос¬
венной информации об X, доступной прямому измерению [534].
5.16. Информационная и алгоритмическая
сложность процессов управления
В данном разделе кратко рассмотрим информационный и алго¬
ритмический подходы к оценке сложности процессов управления
динамическими системами, полагая последние как конечный объ¬
ект [72].
5.16.1. Энтропийные оценки алгоритмической сложности ди¬
намических систем управления. Возможные подходы к опреде¬
лению алгоритмической сложности конечного объекта описаны в
[71, 72, 502, 503] и імн. др.
Согласно [629], можно определить сложность конечного объ¬
екта по Колмогорову Ла(х(и) |и), по Шайтану Сц(х) и по Кове-
348
ру Еи(х) следующим образам:
Кд (х (n) I п) =; min Г(р); С(х)= inin 1(р);
А(р,п)=х(п) U(p)=n
Ес/(х)= min 1(р). (5.309>
с/(р)сп ' '
Здесь 1(р) —длина последовательности р; А можно рассматри¬
вать как вычислитель, р — как программу и х — выход. Рекур¬
сивная функция А : {0, 1}хЛЛ-^{0, 1}, где ïV—^последователь¬
ность натуральных чисел; U : {0, 1}->~{0, 1}.
По Колмогорову, сложность К(х) конечного объекта х опре¬
деляется .минимальным числом двоичных знаков (минимальной
длиной программы Z(p)), содержащих всю информацию о зада¬
ваемом объекте, достаточную для его восстановления. Слож¬
ность К(х) интуитивно определяет количество информации, не¬
обходимой для восстановления объекта х.
Существует связь между сложностью К(х) по Колмогорову
и ин формационной энтропией Шеннона [502]
К (х) -< i (H (c/k) + а (0), (5.310)
где
2Г
— 3 а(і)=Сг(1пі)/і->-0, і->оо.
bl (
Следовательно, энтропия Шеннона — коэффициент при линейной
части одной из частных сложностей.
Для введенных мер сложности (5.309) справедливы [6291
следующие соотношения:
Е(х) +cQ^C(x) С^(х) +log/(x) +g; (5.311)
K(x\l(x))+c0^C(x)^K(x\l(x))+\og K(x|Z(x))+log Z(x) +
+^Г,
H (x) M [ C (x) I n] H (x) + C.
Используя методы теории ценности информации [38, 39, 30]
и соотношения (5.309)—<(5.311), можно показать [39], что наи¬
более ценная информация дает минимальную сложность описа¬
ния конечного объекта. Примеры другого подхода построения
оценок информационной сложности в теории управления можно
найти в п. 5.15.2.
Особенности взаимосвязи теории информации и теории управ¬
ления освещены в [38, 39]. Смежные вопросы данного раздела
рассматривались в [628, 630-^635].
Приведенные результаты описывают качественный подход к.
решению первой из указанных частей проблемы — задачи пост¬
роения корректных моделей динамических систем управления:
высокого уровня сложности как физических систем.
Рассмотрим теперь особенности возможного подхода к реше¬
нию второй части указанной задачи.
349
5.16.2. Информационная сложность и эффективность рандо¬
мизации процессов управления. Принцип минимальной сложно¬
сти в задачах управления. В теории сложности показано (см.
[72]), что эффекта понижения сложности можно достигнуть за
счет расширения возможностей базиса, что позволяет в каждой
практической ситуации соизмерять возможности имеющихся
средств и сложность поставленных задач. Можно дать оценку
изменения сложности выполнения поставленной задачи при ис¬
пользовании другого базиса, если хотя бы для одного из имею¬
щихся базисов как набора средств известны оценки сложности.
Этот подход весьма важен- для приложений теории управления.
В терминах математического программирования для класса
задач принятия решения объекты управления представляют со¬
бой задачи вада [71, 72]
fo(x)->min|xeGc=/?n, fi(x) (і= 1, 2, ..., т). (5.312)
Предполагается, что G — замкнутое подмножество Rn, fi непре¬
рывны на G. Множества объектов управления 91 являются неко¬
торым семейством задач вида (5.312) с общими G и т и отож¬
дествляются с некоторым семейством 0* непрерывных ги+1-мер¬
ных вектор-функций на G, а объект управления с функцией f=
= (fo, ■ ■ , fm).
Физические модели задач вида (5.312) рассмотрены в [39].
Здесь рассмотрим кратко вопросы реализации управления как
численных методов, энергетические оценки сложности для кото¬
рых даны в il. 5.15.3.
Сущность численного метода заключается в последователь¬
ности наблюдений задачи f и последующем формировании ре¬
зультата. Последовательность наблюдений задачи f состоит в
вычислении значений функционалов задачи и их производных в
тех или иных точках G, а результатом может быть как точка G
(приближенное решение задачи f), так и ответ * о несовместимо¬
сти f. Работа прекращается после выдачи результата. Управ¬
ляющими воздействиями метода оптимизации (согласно
(72]) при пошаговом наблюдении являются те точки, в которых
наблюдались функционалы задачи. Сформированным результа¬
том является управляющее воздействие на шаге, следующем за
шагами-наблюдениями, а так называемый символ бездействия
Ф выдается на всех последующих шагах как некоторое фиктив¬
ное управление.
Формальное выражение «реализации метода управления на за¬
даче f как последовательности элементов имеет вид xif х2, ...
..., XïŒX=GU{*}[J{0}. Последний член последовательности
х°°, отличный от Ф, является результатом реализации х°°. Тру¬
доемкостью реализации х°° называется число отличных от Ф чле¬
нов этой последовательности и -равно числу шагов до выдачи ре¬
зультата.
350
Погрешность е(х, f) определяется в следующем виде:
e(x, f)=^
'+ оо, / совместна, х-*;
,0, f несовместна их—*;
w Kfi (х) — fi* (/)] — в остальных случаях.
0 і т
(5.313)
В (5.313) Гі{{) >0 — заданные нормирующие множители,
/<#=0 при і>1, /0. равно оптимальному значению целевого функ¬
ционала задачи/. Содержательной интерпретацией (5.313) явля¬
ется следующая трактовка: если хеб используется в прибли¬
женном решении /, то его погрешность равна максимальному
превышению функционалами задачи в точке х требуемых от ис¬
тинного решения значений, а сами превышения измеряются в за¬
данных единицах г<(/).
Ответ оракула [71], соответствующего данному типу методов
решения задач нелинейного программирования заданного клас¬
са, на вопрос является той информацией, которую получает ме¬
тод, наблюдая задачу в точке х; сам оракул считается стационар¬
ным с полной памятью. Соответствующая функция наблюдения
ф(/, со, х) при х=* или х=Ф принимает некоторое фиксирован¬
ное значение а. ■
ТакиМ-Образом, классом задач математического программи¬
рования Я является набор G, т, ф (Q, F„) — пространства шу¬
мов оракула и функции наблюдения ф(/, со, х) и соответствий
(O^U’^/n). Через 8(Я) обозначается класс всех стоха¬
стических ^-методов, а через 8(Я) —подкласс, соответствующий
детерминированным методам с фиксированной остановкой.
В [71] множество Q= {со} сведений, которое может получить
исследователь, задавая вопрос или ставя эксперимент, названо
информационным пространством, а отображение ф:ОхЯ->2°,
ставящее в соответствие паре (х, /) множество ф(х, /)=/=0 из Q,
названо информационным отображением. Информационное ото¬
бражение предполагается локальным: при /(1), /(2)с=Я и /^1)=/(2>
в некоторой окрестности х выполняется всегда ф(х, /(1)) =
=ф(х, /<2>).
При фиксированном классе задач Я и информационном ото¬
бражении ф данной априорной информации соответствует стра¬
тегия исследователя в виде ЛЬшагового метода Вм решения за¬
дач класса Я, под которым понимается набор решающих пра¬
вил, устанавливающих зависимости между результатами прове¬
денных экспериментов и выбором очередной точки, в которой мо¬
жет быть получена информация о функционалах, определяющих
задачу.
ЛІ-шаговым методом В решения задач класса Я, отвечающим
информационному отображению ф, назван набор Af+l отобра¬
жений
351
qc. (QXG)’-‘->G (t=l, 2, . . ., M);
p: (Qx G)M->-G|J{*}-
(5.314)
B (5.314) через (QxG)s обозначено декартово произведение
(QxG) на себя S раз.
Реализацией метода Вт на задче fe5t по аналогии с изло¬
женным выше называется последовательность xit х2, ©2, ...
Хм, ©м, Х\ в которой X^q^*), ©,= ф(х„ f); xf=qi(xl, ...
• * * fXf—i, (ùj—t) (Z—1,2, ..., Л4) j X —p(x2, ©J, ..., xm, (Om) X
результат метода Bm на задаче f. Множество раэультатов всевоз-
мюЖных реализаций метода Вм на задаче f обозначено через
Х'(ВМ, f).
Невязка е(х, f) для точки xeG определяется по (5.313). От¬
ношение е(х, f) к нормирующему множителю r(f) названо отно¬
сительной погрешностью v(x, f) точки xeG в качестве решения
задачи f:
V (Вм, Я) = sup {v (Ви, f) I fœSI} .
По аналогии с (5.313) относительной погрешностью метода Вм
на задаче называется величина [71 ]
ѵ(ВМ, f)^
+ °о> если f совместна, Х*(ВМ, f)9*J
О, если f несовместна, X* (8м, /)=<{*};
sup {v (х, f) IX € G ("I X* (B4, f)} — в остальных случаях.
Относительной погрешностью метода Ви на классе 51 задач
называется величина
ѵ(Вм, 51) = sup {ѵ(Вм, f) |/e=5l}.
Потенциальные возможности методов решения задач 51 оцени¬
ваются при помощи функций сложности классов 51 следующим
образом:
JV(e)=inf{Z|SBe©(â) :/(£, <)^/, е(В, Й)<е],
y(e)=inf{/|3BeS3câ) :/(В, Й)</, е(В, й)^е}. (5.315)
По (5.315) сложность 7Ѵ(е) определяет минимальную трудоем¬
кость, для которой найдется стохастический 51-метод. Для по¬
следнего выполняется точность е в решении задач при указанной
трудоемкости. Аналогично функция N (е) определяет минималь¬
ную трудоемкость для детерминированных методов с фиксиро¬
ванной остановкой.
Для (5.313) выполняется важное соотношение [71]
ЛГ(е)<Х(е). (5.316)
Информационная сложность класса St, отвечающая информа¬
ционному отображению ф и относительной погрешности ѵ, опре¬
деляется как функция [71]
352
N*(v)^ 1 + inf{M|3BM:v(BM, 5I)^v} =
= 1 +sup{M|VBM:v(BM,2l)>v}. (5.317)
B (5.317) можно использовать и абсолютные величины погреш¬
ности.
Таким образом, информационная сложность Af^(v) опреде¬
ляет наименьшее A4, для которого существует М-шаговый метод
Вм решения задач класса Я, обеспечивающий на каждой задаче
из §1 относительную погрешность не выше ѵ. В информационной
сложности не учитываются, -следовательно, реальные затраты ре¬
сурсов как это делается в (5.315), а оценивается метод управле¬
ния числом его шагов A4, обеспечивающим накопление информа¬
ции, достаточной для синтеза управления заданного качества ѵ
в любой задаче рассматриваемого класса.
Таким образом, если трудоемкость, связанная с обработкой
результатов эксперимента и выбором условий постановки оче¬
редного эксперимента, мала в (5.315) по сравнению с трудностя¬
ми проведения эксперимента, то информационная сложность яв¬
ляется объективной характеристикой- трудоемкости решения за¬
дач управления данного класса.
Для рассматриваемых классов задач точное вычисление
функций сложности получить трудно, но возможны удовлетвори¬
тельные оценки, а расхождение между верхней оценкой 2Ѵ(е) и
нижней оценкой 7Ѵ(е) согласно (5.316) определяет сверху потен¬
циальный эффект рандомизации.
Детерминированный метод в [71] назван правильным, если
он на всякой задаче при любом шуме формирует последователь¬
ности одного из следующих трех типов:
Ф, Ф, ...,Ф; Хі, х2, . ; хгеО (і=1, 2, ...);
хѵ х2, ...» Xk+ъ Ф, Ф, ... , Ф, ... ; Хі, ... , Xk (= G, Xk+i eG U {*}•
Оказалось, что в принципе при выборе метода можно ограничить¬
ся смесями правильных методов [71]. Это означает, что для вся¬
кого Я-метода S3 найдется смесь правильных методов В=
о
и j* B'dt, эквивалентная Б в том смысле, что на всякой зада-
t
че класса распределения трудоемкостей (погрешностей) методов
В и В совпадают.
Пусть далее G — компакт в /?п, Л>0, k— натуральное число,
a F состоит из сужений на G всех k—1 раз непрерывно диффе¬
ренцируемых вектор-функций f, для которых
^—fi{x + th)^Dk^fi(:x)h
dt*-1
лиіпшицевы по % с константой L|h\h~l при всех h^Rn. Соответст¬
вующий класс задач есть набор Sft(G, n, m, L). Оракул имеет де¬
ло с точками G. сообщая в них значения fi и их частных произ¬
12 Б. Н. Петров и др. 353
водных до порядка k—<1 включительно (предполагается, что шум
отсутствует).
Нормирующий множитель принимается равным г{(/)=г=
= (pftL)/£!, р — радиус наименьшего шара, содержащего G. Ас¬
феричностью G не выше а называется ситуация, когда есть пара
концентрических шаров W, W' с отношением радиусов а и Wcz
ciGœWI.
Теорема 5.16 [71]. Пусть асферичность G не выше а. Тог¬
да сложности классов S=Sk(G, п, пг, L) допускают оценки
С_(а, п, п, k) ] (е"1)^].
(5.318)
В (5.318) значения постоянных таковы, что если G — шар при
а=1, е=10-3, k=2, п^20, 7V(e) > (3/2)п. При k=l, s=10~2
tf(e)>3n [71].
Для оценки информационной сложности имеем [71, 503]
IG(22+1/Лр ( G) v1/A) ^NB(ѵ) (р(G) v1/A), (5.319)
где /G(ô)—fi-энтропия G и определяется при каждом б>0 как
наименьшее число точек G, таких, что замкнутые б-шары с цент¬
рами в этих точках покрывают все G. В (5.319) нижняя оценка
справедлива при любом локальном информационном отображе¬
нии.
Рассмотрим кратко влияние вида области G на информаци¬
онную сложность [71, 72].
Пример 1. Следуя [71, 503], рассмотрим класс С (G, Нп\ m, V) задач
вида (5.312), определяющийся непрерывными и выпуклыми на выпуклом зам¬
кнутом множестве G функциями ft(x), х^Нп (/=1, 2, ..., т) с колебанием
на G, не превышающим V:
[шах /, (х) — min f (х)] < V, Vf. (5.320)
G G
Информационное отображение фс сопоставляет паре (х, f) вектор f(x)
при хедб, при xŒint G — вектор f (х) и набор опорных к компонентам f в
точке X функционалов. В качестве нормирующего множителя для задач feC
принимается величина V колебания f на G.
Необходимо оценить информационную сложность задач класса C(G, Нп\
m, V) при трех различных областях G определения функционалов f. В первом
варианте G — произвольное выпуклое замкнутое ограниченное множество в
Нп, не содержащееся ни в какой гиперплоскости. В этом случае [71, 503]
-^-ЛІпѵ-^Л^ООСЗпІпѵ-1. (5.321)
Во втором варианте область G — параллелепипед в Нп (п<оо). Тогда
(п \
— In21 In (28V)’1 — 1 ^Nc ^Зп In v’1. (5.322)
о /
Таким образом, в (5.322) изменилась нижняя оценка по сравнению с (5.321).
В третьем варианте G — выпуклое тело асферичности а имеем
354
max ln2^ In (28 Кk av)'1 — 1 < Nc (v) ] 16aa/v*[; (5.323)
min {n^aV]-1}—lCNc(v)^3nlnv-1. (5.324)
Выражения (5.321)— (5.324) позволяют дать количественные оценки чув¬
ствительности Л/с(ѵ) как к изменению параметров внутри фиксированной об¬
ласти G, так и к изменению самого базиса G.
Приведем некоторые результаты для подобных задач с учетом (5.315)
более общего вида [71].
Пример 2. Пусть G — выпуклое ограниченное тело в Rnt Go— его вну¬
тренность, Ѵо Ѵп>0. Далее, пусть Ф состоит из всех покомпонентно вы¬
пуклых функций на G таких, что sup ft— int V». Оракул в точках Go сооб-
G G
щает f(x) и набор fo'W опорных к fi в х функционалов, в точках
границы G сообщается только f(x). Нормирующие множители r«(f)ss Верх¬
ние границы функции сложности по всем оракулам класса называются слож¬
ностями N(z) й М(е).
Класс общих выпуклых задач C(G, п, т\ Ѵо, ..., Vm), а соответствую¬
щие методы — методы выпуклого программирования первого порядка.
Теорема 5.17 [71]. Сложности У(е) и N (г) класса C=C(G, п, т;
Ѵо, ..., Vm) допускают следующую оценку:
С nine'1
— — N (е) С N (е) С+п In е'1 при е е (G), (5.325)
In In е"1 _
e(G)>0, С+, С_>0. Если же G — параллелепипед, то уже при е^ 10“2
■,С-П,1Пе * «S Я (е) sS N (е) «S С+п In е'1. (5.326)
In (n In е'1)
Из (5.325), (5.326) следует, что и в этом случае при изменении G меняются
существенно нижние оценки.
Для параллелепипедов G имеем У(е) =0(W(e)/ln W(e)).
Аналогичные оценки для общих выпуклых задач большой размерности
были получены в [71]. Оценка (5.326) дает асимптотику сложности класса
общих выпуклых задач на параллелепипедах как по п->оо, так и по е-Ч). Для
произвольного выпуклого G оценка (5.325) дает такую асимптотику только
по е-М). Оказалось, что поведение сложности при п->оо также существенно
зависит от геометрии G. Для параллелепипедов имеет место рост сложности
со скоростью 0(п/1пп), а для областей типа эллипсоидов сложность ограни¬
чена равномерно по п.
Теорема 5.18 [71]. Пусть G — выпуклое тело в Rn асферичности не
выше а. Тогда для сложностей классов C(G, п, пг\ Ѵо, ..., Ѵт) в асимптоти¬
ке по п-+(х> справедливы оценки
]С_/а2е2[^лГ(е) ^ЛГ(е) СС+а2/е2, (5.327)
<?_, С+>0 — абсолютные постоянные.
В (5.327) правая часть практически не меняется при всех п, а левая часть
при п>0 как (Іпе-’/е6). Так, для G при а=1 (шар) в асимптотике п->оо
ÎV(e)«W(e)»e-2.
Пример 3. Пусть теперь вычисления проводятся в присутствии помех.
355
12*
Для задач вида f(x)—чпіп\x^GczRn, где G — выпуклое замкнутое ограничен¬
ное тело в Rn, a f —выпуклая липшицева функция на G, функция наблюде¬
ния ф(/, со, х) = (ф0(Д о), х), о, х) принимает значения в RXRn со сле¬
дующими свойствами:
J to (/. ®.х) dFa> = f (*). J ti (Л œ. *) dFÿ> = ф (*) e f (x) (5.328)
при всех xeG и всех выпуклых липшицевых f. Точность стохастического ора¬
кула ф, отвечающего этой функции наблюдения, оценивается верхними гра¬
ницами дисперсий величин ф0(Д о, х) и фі(f, ш, х). Вводится параметр £>0+,
такой, что Cl^(G) состоит из всех выпуклых на G функций f, для которых
при всех хеб
J t*U,®,x)dFB><L>. (5.329)
В частности,
J ф* (/, со, X) dFa < L2p2, f е cf (G), (5.330)
где p— радиус G. Следовательно, можно имитировать оракула с оценками
(5.329), (5.330).
Нормирующий множитель r=pL.
Теорема 5.19 [71]. Сложность У(е) любого класса Ci*(G) допускает
оценку (еСЮ-1)
Гг/Ч сі to2*5'1
W(e)^ — .
v 7 С2 (Inin е'1)2
(5.331)
Вместе с тем для всякого е<10"2 при всех G и L>0 найдется оракул
ф8 указанного выше типа, для которого
^(8)>С2/е2. (5.332)
Здесь Сі, С2 — абсолютные константы.
Здесь не требуется никакой регулярности минимизируемой функции.
При некоторых предположениях о регулярности выпуклой функции ре¬
грессии в теории стохастической аппроксимации доказывается, что для соот¬
ветствующих процессов средняя точность N-ro приближения О(1/УМ), а в
асимптотике по 0(1/7Ѵ). Для приведенной оценки имеем 0(ln Af/jW).
Для выпуклого программирования, когда вычисляются только значения
f(x) (оракул нулевого порядка), надлежащий случайный поиск позволяет по¬
лучить оценку сложности класса C(G, п, m\ Vo, ..., Vm) вида 0(п21п8“1),
тогда как для детерминированных лучшая из известных оценок 0(л71пп
In е-1).
Таким образом, рандомизация процессов управления для конкретных
классов задач может принести существенный выигрыш. Более того, примене¬
ние методов стохастического программирования показало, что использование
стохастических методов оправдывается с точки зрения организации вычисли¬
тельных процессов.
В конечно-шаговых методах Вм, рассмотренных выше, число
шагов было одно и то же для всех задач данного класса. В [71,
356
503] был рассмотрен случай, когда числю шагов не ограничива¬
ется, а момент остановки и выдачи результата определяется ав¬
томатически в процессе применения метода. Приведем соответ¬
ствующие определения и результаты.
Пусть Gcz//n(n^oo) —выпуклое замкнутое тело радиуса р;
£(G, НПІ L) —класс задач вида (5.312), у которых /<(х) (і=
= 0, 1, ..., т) —липшицевы с константой L на G и локально
выпуклые на int G функции. Далее предполагается, что при ре¬
шении задач класса С используется информационное отображе¬
ние фс, а в качестве нормирующего множителя, как и ранее, ис¬
пользуется r=2ph.
Задача Нп, L) называется е-выпуклой существенной
размерности k, если найдется покомпонентно выпуклая вектор-
функция f° той же размерности, что и f, зависящая в надлежа¬
щем базисе Нп лишь от k координат, такая, что для всякого / и
XŒint G и всякого опорного к fi в X функционала Р найдется
спорный к fj° в X функционал Р', что | Р—Р'| ^2eL.
Рассматривается случай выпуклых задач, у которых число
«существенных переменных» меньше размерности задачи. Для
е-выпуклой задачи C(G, Нп, L) существенной размерности k при
условии е<ѵ/80 ее приближенное решение, удовлетворяющее за¬
данному ограничению на точность, определяется не более чем за
ln(40/v) -1п(2& In 40ѵ“7ѵ) шагов, где С=const. Для 0-выпуклых
существенной размерности k задачи решаются адаптивным ме¬
тодом Д, разработанным в [71] за С&1п(2&/ѵ) шагов.
Согласно приведенным выше оценкам задачи класса С, кото¬
рый является подклассом класса С выпуклых задач, асимптоти¬
чески по ѵ->0 не могут быть решены с точностью ѵ быстрее чем
за С'^іпѵ"1 шагов. Это означает, что при заданных для каждой
такой задачи числах «существенных» переменных можно обеспе¬
чить требуемую точность за С"&1пѵ-1 шагов. Тогда увеличение
сложности до 0 (&1п2&/ѵ) метода А по сравнению с 0 (&ІПѴ1)
может быть интерпретировано как цена «априорного незнания»
существенных переменных.
В основу оценок сложности методов решения задач класса Я,
рассмотренных с позиции информационной сложности, было по¬
ложено требование, чтобы эти методы обеспечивали при задан¬
ных затратах необходимую точность решения любой задачи
класса. Если в классе задач или на множестве значений инфор¬
мации, накапливаемой от эксперимента к эксперименту о функ¬
ционалах f, задана мера, то можно ослабить требования к выбо¬
ру метода и даже допускать в ряде случаев нарушение условий,
которым должен удовлетворять метод, на множестве малой меры
или заменить жесткую оптимизацию. Это дает возможность раз¬
работать разновидности подходов к оценке сложности и проек¬
тирования .методов управления [71, 503].
M-шаговый метод (решения задач класса 31 можно рассматри¬
вать как набор решающих правил
хм=хм(шм-1) = {xit х2(ы')9 ...» МсіЛ1)}.
357
Это позволяет связать подход к оценке информационной сложно¬
сти класса % с выбором, оптимальных решающих правил много¬
этапной задачи стохастического программирования, в которой
требуется оптимизировать некоторую статистическую характери¬
стику качества решения задач jœSI при заданных статистических
ограничениях на затраты и другие характеристики качества ре¬
шения [71]. Здесь качество решения каждой задачи зависит
только от точки Хм, принимаемой за приближенное решение f, а
затраты на процесс решения зависят от всей траектории хм=
= Ui, ..., Хм).
5.17. Релятивистские аспекты
информационной теории управления
5.17.1. Предварительные замечания. Отметим одну особенность
приведенной выше оценки пропускной способности дискретного
канала передачи информации при гауссовских сигналах
C=\n(l+P/N). (5.333)
Если в (5.333) при Р=const принять N='0, то С=оо, что физи¬
чески неосуществимо и приводит в этом случае к противоречию.
Отмеченный недостаток исправляет квантовая теория информа¬
ции [30—35, 39]. В отличие от классического случая в кванто¬
вых каналах связи скорость передачи информации при заданной
мощности Р полезного сигнала даже в отсутствие помех N яв¬
ляется конечной величиной. Так, для заданных уровней мощно¬
стей полезного сигнала Р и шума N семейства гауссовских со¬
стояний для квантового аналога соответствующая формула [30,
33] имеет вид
С=1п[ 1+Р/(Л7+1) ] (5.334)
и при N=0 величина С в (5.334) конечная. Здесь замена N на
ЛГ+1 обусловлена учетом квантовых эффектов [33]. В классиче¬
ском случае при Af->oo различие между приведенными формула¬
ми (5.333), (5.334) исчезает.
Во многих случаях общей теории динамических систем для га¬
уссовских полей оптимальные статистические процедуры оказыва¬
ются, как правило, линейными. Так, например, для стационарных
полей линейные статистические задачи приводят к уравнению
вида '
b(t)^ \ B(t— s)x(s)ds, IeT. (5.335)
т
Соответствующие задачи для квантовых процессов приводят так¬
же к интегральному уравнению, но в отличие от (5.335) оно име¬
ет следующий вид [33] :
b(i)=t А X (0 + J B(t — s)x(s)ds. (5.336)
T
358
Таким образом, учет физической (в данном случае квантовой)
природы поля приводит одновременно к более корректной мате¬
матической модели регуляризации некорректного (по Тихоно¬
ву) классического уравнения (5.335).
Выше было отмечено, что при отсутствии шума N скорость
передачи информации по Шеннону равна оо. Это обстоятельство
находится в противоречии с основным положением теории отно¬
сительности о конечной скорости распространения всякого сигна¬
ла, несущего информацию, а следовательно, энергию и импульс.
Скорость передачи информации становится конечной величи¬
ной в квантовой классической (нерелятивистской) теории инфор¬
мации, что объясняется естественным наличием квантовых (не
тепловых) флуктуаций.
Практические задачи управления требуют разработки реля¬
тивистской (не квантовой) теории информации, в которой ско¬
рость передачи информации удовлетворяла бы основному реля¬
тивистскому требованию, т. е. была бы конечной величиной.
Один из возможных вариантов подобной теории был раз¬
работан в [29], который следует рассматривать как первую по¬
пытку построения релятивистской теории информации.
Вместе с тем развитие релятивистской теории информации
имеет существенное значение для таких отраслей новой техни¬
ки, как космическая радиосвязь и управление космическими объ¬
ектами. Характер изменения количества информации с точки
зрения различных систем отсчета в теории относительности мо¬
жет оказаться существенным в инерциальной навигации с уче¬
том релятивистских эффектов [4].
Здесь ограничимся кратким изложением основ релятивист¬
ской теории информации и ее взаимосвязи с общей теорией ди¬
намических систем [29, 39]. .
Статистическая теория информации Шеннона основана на
идее существования абсолютного количества информации, не за¬
висящего от наблюдателя, который использует эту информацию.
В таком виде теория информации использует только синтаксис,
не учитывая в явном виде смысловое и ценностное содержание
передаваемой информации.
Для исследования отмеченных ситуаций в [29] было введено
понятие релятивистского количества информации, основанное на
идеях теории относительности и общей теории динамических си¬
стем [29, 7].
Рассмотрим некоторые основные особенности такого подхода
к классическим понятиям теории передачи информации. Более
полное изложение отмеченного подхода и основные следствия
можно найти в [29].
5.17.2. Релятивистские меры количества информации. Следуя
идеям теории относительности, извлекаемая из объекта инфор¬
мация характеризуется теперь тройкой (S, /,/?), где 3 — систе¬
ма отсчета, характеризующая исследуемый объект; / — количе¬
ство информации, извлекаемое из объекта в данной системе от¬
359
счета, R—/наблюдатель, получающий информацию I. Пусть за¬
дано в системе отсчета S множество U однородных физических
объектов и зафиксирован наблюдатель R. Исследуемые объекты
для наблюдателя R в системе отсчета 5 образуют динамическую
систему вида (S/R)cz[7.
Информация, извлекаемая из системы (S/R) относительно си¬
стемы (S/S), характеризуется четырьмя параметрами состояния:
1) внутренняя энтропия H^S/R), которая характеризует количе¬
ство информации, извлекаемое наблюдателем R в системе от¬
счета S (внутренняя структура системы (S/R)); 2) внешняя эн¬
тропия H0(S/R), характеризующая количество информации, из¬
влекаемое наблюдателем R из системы (S/R) с точки зрения си¬
стемы отчета 5, т. е.
H0(S/R) — Hi(S/S/R). (5.337)
3) величина v(S/R), характеризующая объективное со¬
стояние системы (S/R), например, в смысле минимизации задан¬
ного функционала или качественная оценка принадлежности за¬
данному классу; 4) величинѣ w(S/R), характеризующая пре¬
дельные возможности передачи информации внутри системы
(S/R).
Так как все четыре параметра зависят от наблюдателя R, то
они являются относительными и, согласно [29], выполняется сле¬
дующее соотношение:
я. (U/U)= сН0 ( U/U), (5.338)
где с—заданная постоянная величина, которая зависит от при¬
нятых единиц измерения.
Следуя результатам главы 3, рассмотрим выражение для ин¬
формационной метрики [29]
do2 (S/R) - fdft (S/R) — dtf (S/R) - dv2 (S/R) - dw2 (S/R).
(5.339)
Тогда информационное описание эволюции системы (S/R) из со¬
стояния Фі в состояние Ф2 будет определяться по аналогии с тео¬
рией относительности как
Ф,
о (Ф2/Я) - а (Фі/R) = f (da (S/R)). (5.340)
Фі
Если обозначить через
,р = (1 — «а/с2)^*, . (5.341)
то с учетом (5.341) преобразование Лоренца можно записать в
следующем виде:
Н'і —p(Ht-\- иН0), ѵ' — V, w' = а>, fi'o — р (Ho + //A ;
(5.342)
360
или
Hi = р (Hi — uH0), V — v', w = w',
Параметр
u^u (R/R") = dHi (R/R')/dH0(R/R')
(5.343)
(5.344)
характеризует степень упорядоченности (организационной спо¬
собности) системы (S/R) с точки зрения наблюдателя R'.
Внутреннее релятивистское количество информации I(S/R/
IR'), .извлекаемое из системы (S/R) наблюдателем R с точки зре¬
ния наблюдателя R', определяется с учетом (5.342) в виде
іі (S/R/R') ± Hi (S/R' ) - р (R/R') Hi (S/R) = р (R/R') и (R/R') х
xH0(S/R). (5.345)
Внешнее релятивистское количество информации I0(S/R/R'),
извлекаемое из системы (S/R) наблюдателем R с точки зрения
наблюдателя R' в системе отсчета S, определяется с учетом
(5.338) и ,(5.337) по аналогии с (5.345) в виде
/о (S/R/R')± fiQ (S/R') — р (R/R') Ho (S/R) - -Ç p (R/R') и (R/R') x
X Ht (S/R). ‘ (5.346)
Тогда ^метрику (5.339) для (релятивистского количества инфор¬
мации 'можно представить в следующем виде:
dP(S/RIR')^dIi(S/RlR’)-c4I<)(SlRlR') = (p — ) do2 (S/R).
\ c Jr/R'
(5.347)
Приведенные результаты могут быть обобщены на заданное мно¬
жество косвенных наблюдателей. Так, для трех наблюдателей
R, R', R" внутреннее количество информации It(S/R/R'/R"), пе¬
редаваемое от системы наблюдателей (R/R') наблюдателю R" о
внутренней структуре системы (S/R), определяется в виде
іі (S/R/R’/R") ± H] - рр' (1 + ) Hi. (5.348)
Но так как
Н"і = Hi (S/R"), H"o = Ho (S/R"), u’^u (R'/R"),
_ 1 ■
Г r/2 1 2
p'~ 1--У . (5.349)
I
to (5.346) преобразуется к следующему виду:
h (S/R/R'/R") = рр' (и + и')Н0.
(5.350)
361
Аналогично внешнее релятивистское количество информации
I0(S/R/R'/R"), передаваемое системой (R/R'), имеет вид
/0(S/W')^//0'-pp'(l + рр' (5.351)
\ с2 / с2
Тогда метрика dI2(S/R/R'IR") имеет вид
dP (S/R/R'/R")±dl- (S/R/R’/R") — (S/R/R'/R") =
(I f ' 2
pp,'î4rL) d°2(S/₽)- (5.352)
Полученные обобщения являются следствием применения пре¬
образований Лоренца к соответствующим вариантам (5.345) —
(5.347).
Приведенным соотношениям можно дать следующую лингвистическую ин¬
терпретацию [29] :
система ^-^предложение,
наблюдатель /?—^субъект, высказывающий предложение,
косвенный наблюдатель /?'->субъект, оценивающий предложение,
внутренняя энтропия Я»-^синтаксис предложения,
внешняя энтропия Я0->семантика (смысловое содержание) предложения.
Тогда в лингвистической системе S будут выполняться следующие соот¬
ношения для внутреннего количества информации Ц и внешнего количества
информации /о:
liiS/R/R') = (pu)R/R,Ht(S/R),
/0 (S/R/R') = Rrl Hi (W-
5.17.3. Информационные аспекты релятивистской теории динами¬
ческих систем. Введем, следуя [29], понятие условной релятиви¬
стской структурной энтропии E(S/R/R') как величины, опреде¬
ляемой соотношением
dE(S/R/R')— — р(R/R')и(R/R')=. •
(5.353)
Тогда величина dE (S/R/R') определяет из (5.353) прямую реля¬
тивистскую структурную энтропию.
Допустим, что задан набор систем отсчета SA^S,, S2, . ■ ■, Sn}
и пусть {Rf} (i=l, 2, ..., п) — набор заданных косвенных на¬
блюдателей, так что {R/} =È=Ri'IR2/ ... /R” — последовательность,
с помощью которой наблюдатель R' получает информацию в S(.
Через Е (Si/Rt/R') обозначим условную релятивистскую структур¬
ную энтропию системы (SdRÏ) с точки зрения системы ({RJ/R ").
п
Тогда E(S/ \JRi/R') определяется как
і=і
п п
dE (S/ U {Ri}/R') ^dE (Sd{Ri}/R') (5.354)
l= 1 .
362
и характеризует потенциальную информацию. Это значит, что
если рассматривать систему (S/R'} как информационную после¬
довательность, то наблюдатель/?' может извлечь максимальное ко¬
личество информации I(R'/R'/S), определяемое из соотношения
di (R'/R'/S) = о (/?'//?') dE (S/S//?'). (5.355)
Из выражения (5.355) можно получить эволюционный прин¬
цип, характеризующий информационные условия поведения ди¬
намических систем [29] : развитию динамических систем соот¬
ветствует максимальное значение прямой структурной реляти¬
вистской энтропии Е (S/S/R'). :
Рассмотрим теперь следующую ситуацию. Допустим, что п
косвенных наблюдателей /?/, извлекают информацию
п
I(S/R/ R/) о системе (S/R), образуя общую систему
1 = 1
(5/S) ~ (S/R/Ri + ... + Rn).
п
Количество информации /(S/RI^Rt) определяется из следую-
z=i
щего уравнения [29] :
/ п \ Г п T
dl [S/R/% Ri = 2 К (R/R') do (S/R),
(5.356)
где
R(R/R'i) p (R/R^utR/R'i). (5.357)
c
Тогда, учитывая уравнения (5.354), (5.353), получим из (5.356),
(5.357) следующее соотношение:
(Л
S/Л/З R¬
t=i
о (S/R)
п п
= K.RRI. dojsm
а (ЭД)
(5.358)
В частности, в приведенных обозначениях для лингвистиче¬
ской системы S, рассмотренной выше в п. 5.17.2, будет выпол¬
няться следующее метрическое соотношение:
I2(S/R/R') = Ka(R/R')o2(S/R).
Рассмотрим теперь обобщение полученного соотношения
(5.356) на случай, когда косвенные наблюдатели являются рас¬
пределенными dR'. Уравнение (5.356) при сделанных допущени¬
ях преобразуется к виду [29]
dHS/R/% Ri
\ /=і .
1 Ç и UO
с J /1 - u2(R’)/c2
du(R') do(S/R) = '
= cdo(S/R).
(5.359)
363
или
(п \
SIRR'l
——— = с.
du (S/R)
(5.360)
Из (5.360) получаем непосредственно следующее важное след¬
ствие: величина с определяет максимальную скорость передачи
информации о состоянии (S/S) в системе (S/S) и не зависит от
системы отсчета. Такой же результат другим методом был полу¬
чен непосредственно из анализа основных положений теории от¬
носительности в главах 2, 3 и из уравнений релятивистской кван¬
товой теории в гл. 4.
Таким образом, ограничения на процессы передачи информа¬
ции, полученные из информационной и физической моделей, сов¬
падают.
Рассмотрим теперь некоторые следствия релятивистской тео¬
рии информации.
5.17.4. О связи со статистической теорией информации Шеннона.
Предположим, что множество (7 состоит из двух случайных экс¬
периментов а и р и зафиксирован наблюдатель R'. Условная за¬
пись этого факта имеет вид U=a.fi.R'. При этом наблюдатель
R' определяет результат эксперимента р по результатам экспери¬
мента а.
В системе (S/R/R'), определяющей іпроцесс наблюдения, сде¬
лаем следующую подстановку: S = y, /? = р, R'=at где а, р, у —
случайные независимые эксперименты, т. е. (^/р/а) = (ѴРа),
(у/р/ос) =т/(у/₽а).
Информация, извлекаемая наблюдателем R' из эксперимен¬
та р по результатам эксперимента а, есть внутренняя релятиви¬
стская информация
Ц fë/a/R') = Н{ (Р/Я') — р (а/R') H{ (P/а)
=;р(а/₽')и(а/7?')/70(р/а). (5.361)
Величина #0(Р/а) определяется из уравнения
#о(Р/а) = &R'/а₽) — Ні (а/аР) + Hi: (₽'/аар) =
Н (а/р) 4- Ht (7?'/ар). (5.362)
Здесь H^R'/aÿ) означает количественную меру неопределенно¬
сти наблюдателя R' о результате эксперимента р при заданном
а и характеризует меру возможности определения результатов
эксперимента р по результатам эксперимента а.
Тогда
h (Р/а/Я') = р (a/R') и (а/7?') [H (а/Р) + Ht (Я'/аР)], (5.363)
где
« (а//?') = . (5.364)
' ’ dH (₽/a)+^(R7Pa) ’
364
Из (5.363), (5.364) следует
d/t(P/a/7?')sd/7 (а/R')
dH(aft) + dHt (R'/a$)
dtf (p/а)+<///,. (Я'/а₽) ‘
Предположим, что
dH{ (7?'/Ра) t
гіЯ(Р/а) ’
р(а/₽') — 1-
(5.366)
Тогда
dH (Р/а)
Эквивалентная форма уравнения (5.365) имеет вид
dh^/a/R')^dH(a/R') [1 + •
L dH (P/а) J
В силу первого условия [dH^R'la^) IdH(p/а) ] < 1 и из
следует
dIi$lalR')^dH (а/7?') .
или
Из (5.345) и (5.367) при сделанных предположениях следует
/(Р/а)^Я(Р)-Я(р/а), (5.368)
что совпадает с результатами К. Шеннона [501].
Следует отметить, что из сделанных предположений вытекает
следующее условие:
Л(Р/а/Я') = с70 (P/а//?'). (5.369)
Аналогичным образом исследуются вопросы оценки пропуск¬
ной способности каналов передачи информации в релятивистской
постановке задачи [29].
В заключение рассмотрим два примера применения меры ко¬
личества информации Шеннона в теории динамических систем
управления.
Пример 1. Информационные условия инвариантных линейных С АУ.
Следуя [636], рассмотрим кратко информационные условия инвариантности
линейных САУ. Задается процесс £ж(х, /), принимающий значения на ограни¬
ченном множестве X с заданной метрикой р(х) = |хі—Xj|, х2^Х, который
должен воспроизводиться автоматической системой при условии помехи в виде
воздействия g/(f, t) (f^F ограничено), приложенной к другой точке. Процесс
на выходе САУ %х'(х\ t) принимает значение на ограниченном множестве с та¬
кой же метрикой. Многие САУ приводятся к подобной постановке задачи, если
требуется предварительное функциональное преобразование управляющего
воздействия £.
(5.365)
(5.366)
365
В случае реализации условия абсолютной инвариантности
х' = х\ (5.370)
где / -—номер реализации процесса ансамбля g.
При такой общей постановке можно рассматривать САУ как систему пе¬
редачи информации. В силу того что воздействия приложены к системе в раз¬
ных точках и САУ линейна, передачу каждого воздействия можно рассматри¬
вать отдельно. Для рассматриваемого случая уравнение передачи информации
(баланс энтропий выходной координаты САУ, возмущающего и управляющего
воздействий) имеет вид [636]
+ log IФ (/о) |« do>, (5.371)
где W — полоса частот ансамбля g; Я/ (g) —энтропия ансамбля £ на степень
свободы; Н2'(£')—энтропия на степень свободы сигнала выхода; Ф(/со) —
частотная характеристика фильтра (частотная характеристика замкнутой
САУ).
Из условий абсолютной инвариантности (5.370), как следствие, неиска¬
жающаяся информация равна
я;(5)=я;а'), (5.372)
J log IФ (/и) 1« dû) = 0. (5.373)
ir
Условие (5.373) является информационным условием абсолютной инвариант¬
ности, учитывающим полосу частот ансамбля сигналов. Из (5.373) следует»
что частотная характеристика САУ должна обладать свойством
|Ф(/ю) I = 1 при 0<œ<U7. (5.374)
Из (5.374) следует, что частотная характеристика абсолютно инвариантной
САУ должна иметь прямоугольную форму. Как известно, такие фильтры фи¬
зически не реализуемы, поэтому в одноконтурной системе условия абсолют¬
ной инвариантности в общем виде при произвольном сигнале не могут быть
достигнуты даже при ограничении полосы частот сигнала.
Для двухканальной системы частотная характеристика Ф может быть
представлена уже в виде двух характеристик: Ф^/ш)—передаточной функции
замкнутого цикла и Ф2(/ю)—передаточной функции корректирующей цепи.
В этом случае условие (5.373) принимает вид
|Фі(/ю)+Ф2(/ю) I =1 при 0<œ<IF. (5.375)
Условие (5.375) не накладывает столь жестких требований прямоугольности
(5.374) на каждую частотную характеристику Фі(/ш) и Ф2(/ю), а поэтому
можно найти физически реализуемую систему, удовлетворяющую этому усло¬
вию. Условие (5.375) можно представить в более сильной форме
Фі(/©)+Ф2(/©) = 1, (5.376)
что накладывает дополнительные требования на фазочувствительные харак¬
теристики. Из (5.376) следует, что частотная характеристика второго канала
для выполнения условий абсолютной инвариантности должна быть
ф2(/(о) = 1—Фі (/©). (5.377)
366
Из (5.377) следует, что по первому (основному) каналу передается информа¬
ция, а по второму — коррекция ошибки. Таким образом, можно подобрать та¬
кие два физически осуществимых фильтра с частотными характеристиками
|Фі(/о) I2, IФ2(/со) 12, которые осуществляют реализацию условий абсолютной
инвариантности.
В воспроизводящих системах, следовательно, условия абсолютной инва-
риатности при произвольном сигнале общего вида реализуемы тогда и только
тогда, когда имеются как минимум два канала передачи информации, отве¬
чающие поставленным условиям. Таким образом, информационный критерий
приводит к принципу двухканальности при физической реализации абсолютно
инвариантных систем, полученный Б. Н. Петровым [637].
Аналогичным образом рассматриваются условия абсолютной инвариант¬
ности при стабилизации от воздействия £/(£ t) с точки зрения информацион¬
ного критерия. В этом случае на выходе системы не должна наблюдаться
информация о приложении воздействия
О - Hf (g) + f log IV (/<o) I» (5.378)
где v(jto) —частотная характеристика замкнутой по воздействию £/(f, t)
системы.
Из (5.378) следуют условия абсолютной инвариантности для системы ста¬
билизации при произвольном сигнале общего вида:
j log|v(/<û)|«4to .
(5.379)
Если f(t) — детерминированный сигнал, то коррекция осуществляется за счет
выбора оптимального оператора Фопт(/<о) и достигается с помощью K(D)~
изображения, т. е. K(D)f(t)=O. Для стационарных процессов и систем с бес¬
конечной памятью при бесконечном интервале наблюдения передаточная функ¬
ция оптимальной по Винеру системы характеризуется ошибкой е2:
оо
-00
I фопт (/®) I’ Sf dù)>
(5.380)
где 5/(ш) —спектральная плотность /(/); Sh (<о) — спектральная плотность же¬
лаемого сигнала.
При оптимальной фильтрации 82=0, 5л(о)=0 и
I Фогтг (М) I2 = °- (5.381)
В частном случае, когда /(/)—детерминированный сигнал и Ф(П)^0, f(/)^0,
из (5.381) следует
Фопт(^)/(0=0>
т. е. Фопт (D)—K(D)-изображение или содержит его в качестве-сомножителя.
Следовательно, оптимальная по Винеру система удовлетворяет оптимальному
решению, полученному на основе информационного критерия инвариантности.
367
Пример 2. Информационный критерий фильтрации и оценивания пара¬
метров С АУ. Рассмотрим традиционную модель дискретной системы вида
ХА+і = СЛ + Gkuk- (5.382)
= Л = 0, 1,..., (5.383)
где Xk — n-мерный вектор состояния; Zk—m-мерный вектор измерения; Uk—r-
мерный вектор шума; V*—m-мерный вектор шума в канале измерения;
Bk и G*—(лХл)-, (/пхп)- и (пХП -мерные матрицы соответственно. Предпо¬
лагается, что Uk, Ѵл и Xq — взаимно независимые белые гауссовские шумы
с нулевыми средними и ковариантными матрицами
м lUkU'] = QA/Î [Vkv;.] = Rkôki-,
(5.384)
М [XoX'] = A^o>O; Л>0, В>0.
Предположим, что оценка Xk текущего состояния Xk дается по состоянию
(наблюдению) Zo* вида
Xk = F(Z*)=M (5.385)
где Zo* —выборка наблюдений Zn от n=Q до n=k\ Af[-|Zofc]—условное
математическое ожидание по Zo* и F(«)—отображение пространства наблю¬
даемых в пространство оценок.
Допустим, что эволюция во времени оценки Xk описывается уравнением
**« = »Л + Sk+1Zk+v (5.386)
где Ак и Вл+і—(пХ^)- и (пХ^)-мерные неизвестные матрицы, соответствен¬
но. Ошибку оценивания между состояниями Хк и их оценками Xk обозначим
Xk=(Xk-Xk).
Рассмотрим определение неизвестных матриц Л* и S*+i по информаци¬
онному критерию, следуя [639, 640].
Если оценка Xk задается в виде (5.385), то количество взаимной инфор¬
мации і(Хкі между оценкой X* и ошибкой оценивания Xk равно нулю,
т. е.
1 (Xk, Xk) =0. (5.387)
Получаем информационный критерий инвариантности оценки наблюдаемого
процесса от ошибки и возмущающих воздействий. Так как процессы гауссов¬
ские, то для доказательства (5.387) достаточно доказать, что Л4[ХАХ/]=0.
Отметим, что соотношение (5.387) является уравнением Винера — Хопфа в
теории информации. Можно также показать, что [639]
î (Хк, Хк) = I (Хк, Z*') - Л/к; (5.388)
A!k = /(Xk,Zk)-/(Xk,Xk). (5.389)
Тогда максимизация количества взаимной информации 7(ХА, Xk) между со¬
стоянием ХЛ и оценкой Xk эквивалентна минимизации энтропии Я(ХА) оцен¬
368
ки ошибки X*, т. е.
шах I(Xk,Xk)& min Н (Хл); (5.390>
max 1 (Хк, Xk) = I (Xk, Z*). (5.391 >
Ak*sk+i
Приведенные результаты позволяют доказать следующее утверждение [639]:
оптимальный фильтр для линейной системы (5.382), (5.383), при котором ко¬
личество взаимной информации /(Ха, Ха) максимально по (5.391), совпадает
с фильтром Калмана — Бьюси. Оптимальные значения ЛА° и S°+1 матриц
и Sa+i имеют соответственно вид
sî+1 = p^B'k+1P'k^ Pk = M ixkxk].
(5.392}
Отметим, что здесь Ха — несмещенная оценка Ха, т. е. М[Ха]=0. При этом
минимум энтропии Я(Хд) ошибки Ха определяется в виде
н (^+і)=-у *og (2яе)п det (5-з9з>
где Р£+1 —минимум от соответствующей ковариационной матрицы, характе¬
ризующей ошибку.
Аналогично может быть рассмотрена система
dX (t) = с (t)X (/) dt + G (t) da (/), (5.394)
dZ (t) = B (t)X (t) dt + dp (/), (5.395)'
где a(t) и P(/) предполагаются взаимно независимыми процессами Винера;
min(/,s) min(^s)
Af[<x(Oa'(s)]= j M [₽(П₽'(s)l= J /?(т)гіт; Q(t)>0;
h h
P(t)>0.
Оценку X(/) текущего состояния X(t) обозначим через X=A4[X(f) |Z0*J, где
Zof— значение процесса Z(x) от т=0 до т=/. Эволюция оценки во времени
описывается уравнением
dX (t) = A (t)X (t) dt + S (/) dZ(t). (5.396)
Тогда, аналогично соотношению (5.390), максимум количества взаимной ин¬
формации между состоянием X(t) и оценкой X(t) эквивалентен минимуму
энтропии ошибки оценки X—X=X(f), т. е.
max / (X (/), X (/)) <=> min H (X (/)). (5.397}
Оптимальный фильтр для линейной системы (5.394), (5.395), который макси¬
мизирует количество взаимной информации /(Х(/), Х(/)) (5.397), совпадает
с фильтром Калмана. Оптимальные значения А°(/) и S°(/) для неизвестных
матриц A(t) и S(t) имеют в этом случае следующий вид:
А°(/)=с(/)-$о(/)В(/); S°(/)=P(/)B,(/)P-1(/),
(5.398>
369
Таким образом, оптимальный фильтр, который доставляет максимум взаим¬
ному количеству информации /(%(/), Х(/)), имеет вид
dX(t)=c(t)X(t)dt+P(t)B'(t)P-l(t)[dZ(t)--B(t)X(t)dt], (5.399)
где P(t)—ковариационная матрица ошибки, определяемая из уравнения
dP(t)/dt=c(t)P(t)+P(t)c'(t) + G(t)Q(t)G'(t)-P(t)B'(t)P^(t)B(t)P(t).
(5.400)
Приведенная модель является обобщением рассмотренного ранее дискретного
варианта. Аналогичным образом можно исследовать задачу построения опти¬
мального фильтра для нелинейных систем [639, 640].
Пример 3. Информационное неравенство Рао — Крамера и некоторые
его обобщения. При осуществлении ограниченного по времени и затратам
эксперимента стремятся извлечь из него максимальную информацию. Поэто¬
му в первую очередь интересуются оценкой точности неизвестного параметра,
располагая конечной выборкой.
Независимо друг от друга М. Фреше (1943 г.), С. Рао (1945 г.) и Г. Кра¬
мер (1946 г.) получили так называемое информационное неравенство или, как
его часто называют в математической статистике, неравенство Рао—Крамера
[573, 574, 576, 578].
Рассмотрим некоторые варианты вывода этого неравенства.
Допустим, что gn(x|0)=g(Xi, хп|Ѳ) —совместная плотность распре¬
деления Хі, ..., хп, дифференцируемая по Ѳ в-некотором открытом интервале
Но, в котором содержится истинное значение Ѳо неизвестного параметра Ѳ.
Для несмещенной оценки Ѳп параметра Ѳ имеем
0)dx = O, (5.401)
X
■a после дифференцирования по Ѳ и алгебраических преобразований
f (Ѳ„ - Ѳ) îln g.i (* I 0)І£п (* I ѳ№=1 • <5-402)
J L J
X
Применяя неравенство Коши — Буняковского к (5.402), получим [573]
ае>1/ЛѲ), (5.403)
где
J (Ѳ) = [ /alngn(^|0)\ gn (х I Ѳ) dx (5.404)
й дѲ 1
Величину (5.404) Р. Фишер назвал информацией, содержащейся в выборке,
а в математической статистике величина J (Ѳ) называется, как отмечалось,
количеством информации по Фишеру. Неравенство (5.403), таким образом,
утверждает, что дисперсия оценки одномерной величины Ѳо ограничена снизу
информационным числом, зависящим от функции распределения f(x, Ѳ) слу¬
чайной величины X, по которой оценивается параметр Ѳо, и объема выборки п.
С вероятностью единица знак равенства имеет место в том и только в том
случае, когда
Л[Ѳп—Ѳ] =д In gn (х\Ѳ)/дѲ. (5.405)
370
В (5.405) величина k может зависеть от Ѳ, но не зависит от х. Если в (5.403>
достигается равенство, то оценка Ѳп параметра Ѳ называется эффективной;
в этом случае говорят, что информация, содержащаяся в выборке, был»
использована полностью.
Допустим, что оценивается математическое ожидание нормальной функ¬
ции плотности распределения вероятностей
И°° д In f (х, Ѳ) \2 , 1
сю / •
—ОО
а для дисперсии любой несмещенной регулярной оценки Ѳп* выполняется
а2#>аа/п. (5.406>
Ѳп
Но среднее арифметическое суммы независимых равноточных нормально
распределенных случайных величин имеет, как отмечалось выше, как раз дис¬
персию о2/и; следовательно, среднее арифметическое есть наиболее точна»
оценка математического ожидания. ,
Для рассмотренного выше примера оценки параметра Ѳ по совокупности
нормально распределенных величин с единичной дисперсией и со средним зна¬
чением Ѳ^’имеем [574] /(Ѳ) = (1/9)Ѳ^8, а нижняя граница для дисперсии
составляет, следовательно, (9/и)Ѳ*\
Для оценки [547] Ѳ = 17— У хД — 3 5} хД 1 имеем
ІЛ л / \п / J
Таким образом, эта оценка больше (9/п)Ѳопределяемой информаци¬
онным неравенством, но при увеличении п быстро приближается к ней.
Отношение
e^a|-/aj (5.407}
минимально возможной дисперсии к ее фактическому значению (Те2 на¬
зывается эффективностью оценки Ѳп. Эта величина О^еС 1. Равенство е=1
выполняется, когда выполняется условие (5.405).
В случае, когда выборка хь ..., хп состоит из независимых случайных
величин, имеем *
' gn(xlt ... ; Хп|Ѳ) = ]~[ f(xz|0), 1п£п(х|Ѳ) =
,==1 ‘-1 (5.408}
J (Ѳ) « n J (-1П^х’ ѳ) y f (X, Ѳ) dx.
371
•Следовательно,
dlnf (х, Ѳ)
дѲ
2
I f(x, tydx
(5.409)
Отметим, что из условия lim /(Ѳп) =0 не следует несостоятельность оценки.
П->оо
Если, например, в качестве оценки среднего значения взять вместо эффектив-
_ ! п
ной оценки хп = —х- (для которой дисперсия равна <J2/n) полусумму
Лі=і
(*min+xmax)/2, то ее дисперсия, согласно [574], будет пропорциональна о2/
/1п п. При п->оо эффективность е= (Іи и)/и будет lim е(и)->0, а сама оценка
П—> оо
•является состоятельной. Напротив, эффективность несостоятельных оценок
всегда будет стремиться к нулю [574].
Рассмотрим теперь смещенные оценки
оо
f (Qn-Q)gn(x\Q)dx = bn(b), (5.410)
-ОО
где Ьп (Ѳ) — смещение оценки Ѳ, зависящее в общем случае от объема вы¬
борки. В рамках сделанных относительно £п(х|Ѳ) предположений после диф¬
ференцирования (5.410) имеем
оо
J (0„-Ѳ)
—оо
aingn(xfo)
дѲ
g„(x[0)dx = 1+^(0).
(5.411)
Если применить к (5.411) неравенство Коши — Буняковского, то получим
[530]
^>[1+^(Ѳ)Р/-/(Ѳ). (5.412)
где J (Ѳ) определяется по (5.404), а в случае независимых равноточных изме¬
рений— по (5.408).
Если проинтегрировать условие (5.405) по Ѳ, то получим
gn(x|0)=exp {Л(Ѳ)Ѳ„+В(Ѳ)}Л(х). (5.413)
В (5.413) первый сомножитель зависит только от Ѳ и Ѳп, а второй — только
от X. Следовательно, если функция плотности распределения вероятностей мо¬
жет быть представлена в виде (5.413), то в (5.403) будет выполняться ра¬
венство, т. е. Ѳп будет эффективной оценкой.
Если условная функция плотности распределения вероятностей £п(х|Ѳ)
представима в виде (5.413), то Ѳп называется достаточной оценкой парамет¬
ра Ѳ или достаточной статистикой по Фишеру.
Таким образом, функция или набор функций L(xit ..., хп) от результа¬
тов наблюдений хь ..., хп представляет собой достаточную статистику для
оценки параметра Ѳ (о котором принимается окончательное решение), если
условное распределение для Ѳ при данных значениях хь ..., хп зависит от
Хи ... t хп лишь посредством L(xït х2, ..., хп).
Усложним условия задачи. Пусть на измеримом пространстве существует
372
семейства вероятностных мер {Рѳ, ѲеѲ}, Ѳ — открытое подмножество в Rkt
существует мера ц, для которой dP& = f(x’t 0)dp(x). Введем следующие обо¬
значения:
Cj = Cj(x; 0) = [df(x; 0)/d0]/f(x; 0), /=1, ..., k\
k
О = (Ѳ1 о*); Сг = сх - м9 (Ct I с2 СЛ) = сх - 2 і]с/е
/=2
Величина Ji(O)=Af0Ci2 — информационное количество Фишера о парамет¬
ре Ѳі при наличии мешающего параметра о= (02, ...» Ѳь), Сі — модифициро¬
ванный информант.
Допустим, что /tj(0) =Af0CJj2<oo, /=1* ..., kt (^(0)>О, ѲеѲ и выпол¬
нены введенные ранее предположения относительно свойств f(x; 0). Пусть
Xi, ...» Хп — повторная выборка из совокупности с функцией плотности рас¬
пределения вероятности f(x; 0), 0n(1)=0n(i) (xb xn) — оценка параметра
n
Ѳі и Вп = ЛІѳ(Ѳп(1)—On). Если соотношение JJ f(xjt O)dg(xj) =ВП+Ѳі
X /=і
можно дифференцировать под знаком интеграла, то для оценки Ѳп(1) при на¬
личии мешающих параметров о имеем аналог неравенства Рао — Крамера
следующего вида [594]:
(5.414)
а смещение оценки Ьп(в)=М&п—
оценки
Пусть Sn (0) =Мѳ(Ѳп—Ѳ)2, Кп(Ѳ)=Л1ѳѲп,
Ѳ=Кп(Ѳ)— 0. В [530] показано, что если ѲіеѲ, Ѳ2еѲ, то для любой
0 выполняется неравенство
(Ѳх) + Sn (в,) > j (Кп (Ѳа) - Кп (Ѳі))*х
( 1
Х I П J ( К/ (X, о,) - Vf (x, Ѳх))2 dv 1 ) + bn (Ѳ1) + bn (Ѳа)'
Применяя неравенство Коши — Буняковского, можно показать, что
2
(5.415)
’Ѳі
J (Vf ѳ,) - Vf (X, Ѳх))2 dv = j J (К/ (X, Ѳ;)ѳ df) dv <
_Ѳі _
Ѳ1
I J(u)du
^(02-0!)* ѳ\
4 Од — Ѳі
Переходя к пределу в (5.415) и учитывая (5.416), получим
4-(В„(Ѳ)+ lim S„(0))>
2
(5.416)
lim
(u-0)
; и—ѳ J n
(5.417)
373
Если Sn(0) и /(0) ограничены на Ѳ, то КП(Ѳ) и ôn(0) абсолютно непрерывны
на Ѳ и из (5.417) следует неравенство Рао — Крамера
\ (0) > (1 + b'n (Ѳ)+ b*n (0). (5.418)
Пусть задано гильбертово пространство L2, в котором yP0eLv2 и ||yp0|| = L
Для случайной величины g с конечным вторым моментом относительно Р*
справедливо £уРѳе£ѵ2; математическое ожидание и дисперсия g определяют¬
ся как
М0)=(Р£ Я(Ѳ) = И-т(Ѳ)Ѵ7М2- (5.419)
В [33] на L2 было введено расстояние
Р(Ѳ1,Ѳ2) = |/р;-/^ II =[2(1 -(/ï\. р /таГ*- (5.420)
В этом случае выполняется неравенство [33]
, z—г ! И (0і) — « (0?J [1 — ра (Ѳі, Ѳ2)/2] \з
(ГР(Ѳ1) + КР(02))2>J а / . (5.421)
\ Р (“1, “г) /
Неравенство (5.421) совпадает с (5.415). Если теперь потребовать выполне¬
ния условий: 1) 4р2(Ѳі Ѳ2) ~/(Ѳ) (Ѳ2—Ѳі)2(Ѳг-ИЭі); 2) функция /п(Ѳ), диф¬
ференцируемая в точке Ѳ, а D(0) непрерывна в точке 0, то, переходя к пре¬
делу в (5.421) при 02“>0i, получим обобщенное неравенство Рао — Крамера
D (Ѳ)> [т' (Ѳ)]а/ЛѲ). (5.422)
Первое условие заведомо выполняется, если в Lv2 существует средне¬
квадратичная производная (УР0)' функции УР0 в точке 0, тогда
j(0)=4j[(|/p;)'rdv
и совпадает с информационным количеством Фишера. При этом существует
такое ѲіГ, что [530, 543, 574]
рѳ{/п(0„ — Ѳ)<х] f expf— i/a]u(i/, T)dy. (5.423)
г 2л J <• 2 )
—oo
Примеры использования оценок типа неравенства Рао — Крамера в ин¬
формационной теории адаптивных систем управления можно найти в [40, 574,
583, 584].
Приложение 1
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 1
П1.1. Векторы и тензоры в криволинейных координатах. Элемент длины
в трехмерном евклидовом пространстве в декартовых координатах определя¬
ется в виде
ds2=dx12dx22+dx32, (П1.1)
а в сферических координатах — формулой
ds2=dr2+r2(d62+sin2 ѲЖр2). (П1.2)
Координаты в дальнейшем будем обозначать, как это принято, буква¬
ми X с проставленными сверху индексами. Если положить г=х!; Ѳ=х2; ф=х3,
то (П1.2) можно записать в следующем виде: (П1.3)
^s2=£n (^x1)2+£22(^x2)24-£f33(dx3)2; (П1.4)
£11 = 1; £22=(х1)2; £зз=(х1)26іп2 (х2). (П1.5)
Если преобразовать систему координат (П1.3) х1, х2, х3 в другую систему
х'1, Xх2, х'3 в виде
х'^р(х1, X2, X3), (П1.6)
где f* — некоторые функции, то элемент длины в координатах х'1, х72, х'3 мо¬
жет быть записан как
= (П1.7)
і k
где g'ik — некоторые функции от координат х'1, х'2, х'3.
Введем теперь важное правило записи суммы, а именно: если один и тот
же индекс входит дважды в какой-нибудь член, причем один раз как верх¬
ний индекс, а другой раз как нижний, то этому индексу следует придать все
значения от 1 до 3 (в n-мерном пространстве от 1 до л) и полученные члены
сложить. В соответствии с этим правилом формула (П1.7) может быть за¬
писана без знаков суммы, т. е.
ds1 = g,tdx''djA (П1.8)
Формула (П1.8) относится к трехмерному евклидовому пространству,
так как характер функций gik в этой формуле таков, что с помощью надле-
1 В Приложении 1 использованы источники [184, 743, 57].
375
жащегр преобразования координат она может быть приведена к виду
ds2= (dxl)2+(dx2)2+(dx3)2.
Риман обобщил понятие трехмерного евклидова пространства; было вве¬
дено понятие n-мерного риманового пространства, линейный элемент которого
определяется формулой
ds2=£<ftdxfdx\ (П1.9)
где i, k= 1, 2, ..., п, причем характер функций gik(x', ..., хп), вообще гово¬
ря, таков, что не существует преобразования координат, переводящего форму
(П1.9) в сумму квадратов дифференциалов координат. В тех частных слу¬
чаях, когда такое преобразование возможно, риманово пространство вырож¬
дается в n-мерное евклидово пространство. Простейшим примером двумер¬
ного риманового пространства является поверхность шара. Линейный элемент
этой поверхности может быть записан в виде
ds2=R2(dQ2+sin2 Ѳгіф2) (ШЛО)
или в виде
ds2=gikdxidxht i, k=l, 2, (П1Л1)
где х^Ѳ; х2=ф; gu = R2-, gt2=R2 sin2^; gi2=0.
He существует преобразования координат, переводящего форму (П1.10)
или (П1.11) в сумму квадратов дифференциалов координат.
Переход от системы координат х1, ..., хк к другой системе координат
производится при помощи формул
х'* = фі(хі, ..., х*). (П1.12)
При этом предполагается, что якобиан
дф1 dq>k
~ f дх1 дх1
дф1 дф*
17'” дЛ
Как координаты х1, ..., х\ так и получающиеся при помощи уравнений
(П1.12) координаты х'1, ..., х/к относятся к одной и той же точке простран¬
ства. Другими словами, они определяют одну и ту же точку в разных си¬
стемах координат.
В силу уравнения (П1.13) должны существовать обратные преобразова¬
ния
хі=уі(х'\ ..., х'п), (П1.14)
переводящие координаты х'1, ...» х'п в координаты х1, ..., хп.
При преобразовании координат (П1.12) их дифференциалы преобразуют¬
ся по закону
dxk
376
Всякую совокупность п величин, которые преобразуются по закону
A'l = -^-Ak, (П1.16)
ОХК
т. е. по тому же закону, что и дифференциалы координат, назовем контрва¬
риантным вектором.
Компоненты контрвариантных векторов принято обозначать при помощи
верхних индексов. Так как в соответствии с формулой (П1.15) дифферен¬
циалы координат сами являются компонентами контрвариантного вектора,
то они в соответствии с приведенным условием имеют индексы сверху.
Рассмотрим теперь, как преобразуются производные скалярной функции
<р (х1, ..., хк) при переходе к новой системе координат. Очевидно, имеем
_É5L = Jîp а/. (П1.17)
дх'1 дх' dxfi
Всякую совокупность величин, которые преобразуются по закону
А\ = -^4 Аь <П1Л8>
дх'
т. е. по тому же закону, что и производные скалярной функции ф(х!, х2, ...
..., х*), назовем ковариантным вектором. Компоненты ковариантных векторов
принято обозначать при помощи нижних индексов.
В прямоугольных декартовых координатам в евклидовом пространстве за¬
коны преобразования компонент контрвариантных и ковариантных векторов
совпадают между собой. Поэтому в декартовых координатах в евклидовом
пространстве исчезает различие между контрвариантными и ковариантными
векторами. Различие между контрвариантными и ковариантными векторами
имеет, таким образом, место в криволинейных координатах пространства лю¬
бого типа (т. е. в евклидовом и римановом пространстве).
Если составить всевозможные произведения Л**ѵ компонент двух векторов
А» и Лѵ, заданных в n-мерном пространстве,
Л^Ѵ=Л^АѴ, ц, ѵ=1, 2, ..., и, (П1.19)
то в соответствии с формулами (П1.16) величины Л^ѵ удовлетворяют закону
преобразования
а ,<т А 'т
л'ат = 44“ • 44“<П1 -2°)
дхц дх
Объект, который по отношению к любой координатной системе в п-мерном
пространстве описывается при помощи п2 величин (функций), удовлетворяю¬
щих закону преобразования (П1.20), называется контрвариантным тензором
второй валентности. Следует заметить (и это очень существенно), что не вся¬
кий тензор второй валентности можно составить по формуле (П1.19), т. е. при
помощи составляющих, двух векторов. Однако можно показать, что любой
тензор второй валентности Л^ѵ может быть представлен в виде сумм
лиѵ = ливѵ + лцвѵ [_ лцвѵ (П1.21)
11 2 2 П П
от и пар надлежаще выбранных n-мерных векторов. Если составить п2 про-
377
изведений Дцѵ из компонент двух ковариантных векторов
АцѴ=АцАѵ, (П1.22)
то в соответствии с формулами (П1.18) для этих величин справедлив закон
преобразования
(П1.23)
дх' дх'
Объект, который по отношению к любой координатной системе в п-мерном
пространстве описывается при помощи п2 величин (функций), удовлетворяю¬
щих закону преобразования (П1.23), называется ковариантным тензором вто¬
рой валентности. Наконец, можно составить п2 произведений Дй из ковари¬
антных В* и контрвариантных компонент двух векторов
Д* = ДИВѴ. (П1.24)
В соответствии с уравнениями (П1.16) и (ГН.18) величины Дйѵ удовлетворяют
закону преобразования
(П1.25)
дл-Р дх'°
Объект, который по отношению к любой координатной системе в п-мер¬
ном пространстве описывается при помощи п2 величин (функций), удовлет¬
воряющих закону преобразования (П1.19), называется смешанным тензором
второй валентности.
По аналогии с изложенным можно дать определения контрвариантных,
ковариантных и смешанных тензоров любой валентности. Наиболее общее
определение может быть сформулировано следующим образом. Если некото¬
рый объект в системе координат (х1, х2, ... хп) задан п?+« величинами
(функциями)Д^”^ и в какой-либо другой системе координат (х'1, х'2, ...
..., х'п) величинами (функциями)
4,'СХ (П1.26)
и если
А
kj^..
ip =
•kQ
dxfi дх'1*
дхГі dxr*
dx'ip dxSi dxs*
дхГр dx,kl dxfk*
дгіг*—гр
дх' 4
(П1.27)
то этот объект называется смешанным тензором контрвариантной валентно¬
сти р и ковариантной валентности q. Величины и назы¬
ваются компонентами этого тензора в системах координат (х1, х2 хЛ) й
(х'1, х'2, ..., х'*) соответственно.
Если тензор имеет только контрвариантную валентность, его называют
контрвариантным тензором, соответственно тензор, имеющий только ковари¬
антную валентность, называется ковариантным тензором. Повторим замеча¬
ние, сделанное относительно законов преобразования компонент контрварианФ-
ных и ковариантных векторов, а именно: в декартовых координатах евклидова
378
пространства законы преобразования контрвариантных, ковариантных и сме¬
шанных тензоров совпадают между собой. Только в криволинейных коорди¬
натах пространства любого типа законы преобразования тензоров различных
типов существенно различаются между собой.
Если в некоторой системе координат (х1, х2, ..., хЛ) элемент длины да¬
ется формой
ds2=
.... x*_)d№
dxk,
(П1.28)
а в другой системе координат формой
ds'’=
* / Z1 J fi J fk
= gik (x > • •. , * ) ax dx ,
(П1.29)
то должно выполняться равенство
ds'=
-ds.
(П1.30)
Из условия уравнения (ГН.30) вытекает
z dxs дх1
(П1.31)
&pk ь ,Р ' п Sst-
дх дх
Таким образом,
gck(xl, №, ... ,xk)
(П1.32)
являются компонентами ковариантного тензора.
Ввел
іем теперь следуют
£11 £12 • • • gyi
£21 £22 • • • £2п
^ee обозначение:
g =
gril gn2 • • ’ gfin
•
(П1.33)
Если предположить, что форма (П1.29) положительно определена, можем
ввести следующие величины:
(алгебраическое дополнение gik в g)
І =
(П1.34)
(П1.35)
g
Из теории определителей следует, что должно быть
!1 для S = k't
О для s #= k.
Нетрудно показать, что gik=ghi и Ф являются компонентами контрва¬
риантного и смешанного тензора соответственно.
Из закона преобразования, с одной стороны,
' _ dxs dxf „
Stk т ' ь 8«
дх'1 дх’
(П1.36)
следует
Ѵё
дх I г-
дх I
(П1.37)
379
С другой стороны,
dx'^dx'* ... dx’k = I I dxxdx2 ... dxk- (П1.30)
Из двух последних уравнений получаем
Yg'd^dx’* ... dx'k = Y g dx'dx2 ... dxk- (П1.39)
Итак, величина
dü=ygdx'dx2 ... dxk (П1.40)
является инвариантом. Очевидно, этот инвариант представляет собой элемен¬
тарный объем пространства в криволинейных координатах.
П1.2. Тензорная алгебра в криволинейных координатах. Основные опера¬
ции тензорной алгебры определяются следующим образом.
Сложение и вычитание. При сложении или вычитании соответ¬
ствующих компонент двух тензоров одинаковых типов (т. е. имеющих одну
и ту же контрвариантную и ковариантную валентность) получается тензор
того же типа. Например,
Apk + 5рЛ = cpk- (П1 -41)
Доказательство этой теоремы непосредственно следует из приведенного выше
определения тензора.
Умножение. Из тензора контрвариантной валентности р и ковариант¬
ной валентности q и тензора контрвариантной валентности s и ковариантной
валентности t можно образовать тензор контрвариантной валентности p-J-s
и ковариантной валентности q+t. Для этой цели нужно умножить каждую
компоненту первого тензора на каждую компоненту второго. Например, если
Ар1 и Bki являются компонентами тензоров двух типов, то
(П1-42>
являются компонентами тензора, тип которого определяется положением ин¬
дексов. Доказательство этой теоремы непосредственно следует из закона пре¬
образования составляющих тензоров.
Свертка смешанного тензора. Из смешанного тензора контрва¬
риантной валентности р и ковариантной валентности q можно образовать тен¬
зор контрвариантной валентности р—1 и ковариантной валентности q—1.
Для этой цели один какой-либо значок контрвариантного характера следует
приравнять одному значку ковариантного характера и по этому значку про¬
извести суммирование. Например,
= <э = 4 (П1.43)
Из последнего тензора путем повторного свертывания можно получить тен¬
зор нулевой валентности или инвариант
Л|=Л. (П1.44)
Доказательство приведенной теоремы непосредственно следует из общего за¬
кона преобразования составляющих тензоров (П1.28). Операции умножения
и свертки могут быть объединены. Например, из контрвариантного тензора
первой валентности А* и ковариантного тензора второй валентности Воѵ мо¬
380
жем образовать сначала смешанный тензор
л И о = лі*
Свертывая далее по индексам р, и ѵ, получим ковариантный тензор первой*
валентности или вектор
- ап
Если оказывается возможным произвести полное свертывание смешанного
тензора по всем контрвариантным и ковариантным индексам, то приходим к
тензору нулевой валентности или инварианту. Напримр, gikd^dx11. Здесь,
происходит полное свертывание по индексам і и k ковариантного тензора gih
и контрвариантного вектора поскольку дифференциалы координат явля¬
ются компонентами контрвариантного вектора.
Полученный инвариант является квадратом элемента длины ds2.
Приведем еще примеры образования инвариантов: gihAiAh (длина векто¬
ра Аг); AikBih; gihAiTBrh\ AikBirCrh и т. д.
Поднятие и опускание индексов («жонглирование» индекса¬
ми). Если компоненты контрвариантного вектора Xе перемножить с компонен¬
тами ковариантного тензора gik, то в соответствии с изложенным величины
gihK3 образуют компоненты смешанного тензора. Если теперь произвести
свертку по индексам k и s, то получим ковариантный вектор, компоненты ко¬
торого обозначим через Х<, т. е.
U = gik^ \ (П1.45)
Аналогично, если являются компонентами ковариантного вектора, можем,
с их помощью образовать контрвариантный вектор
цЛ==^Лацв (П1.46}
Легко видеть, что если
Ив=Хв = ^лХ\ (П1.47)
то и
ц* = Х*. (П1.48)
Последнее обстоятельство дает возможность определить объект, который
назовем просто вектором. Этот объект может быть представлен контрвариант¬
ными X* или ковариантными Х< компонентами по нашему выбору. Обращаем:
внимание на вводимую здесь терминологию. Раньше говорилось о контрва¬
риантном X1' и ковариантном Х< векторах, как о различных объектах. Сейчас
говорим о векторе, как об едином объекте (в смысле проблемы Вундгейлера),
который может быть по нашему желанию представлен контрвариантными X*
или ковариантными компонентами Х< по нашему выбору. Право на такое опре¬
деление дают равенства (П1.47) и (П1.48).
Итак, переход от контрвариантных компонент некоторого вектора к его
ковариантным компонентам и наоборот дается следующими равенствами:
Хв=£вЛХ*; Х*=£*‘Хв. (П1.49)
Аналогичные соображения могут быть высказаны относительно любого-
тензора. Итак, в дальнейшем будем говорить о тензоре как об объекте, ко¬
торый может быть по нашему желанию представлен контрвариантными, ко¬
вариантными или смешанными компонентами. Сказанное иллюстрируется сле-
381
дующими примерами:
Apk Atpk = ËîsApk* ^ipk A(p = ^ips^ (П1.50)
Oi T. д.
В дальнейшем величины
(П1.51)
назовем ковариантными, контрвариантными и смешанными составляющими
фундаментального метрического тензора.
Приведенные примеры (П1.51) показывают, что с помощью фундаменталь¬
ного метрического тензора можно поднимать и опускать индексы и при этом
иметь дело с компонентами одного и того же тензора.
Эта операция поднятия и опускания индексов, или, как иногда говорят,
-«жонглирования» индексами, имеет важнейшее значение в тензорной алгебре.
Приведем еще несколько примеров этой операции:
SlkAiP = Apk’ glkApS = Aips',
Л т. д.
Симметрирование и альтернирование. Операции симметри¬
рования или альтернирования для тензоров, заданных в декартовых коорди¬
натах, полностью сохраняются и для тензоров, заданных в криволинейных
координатах, с одним только различием, а именно: для смешанных тензоров
симметрирование или альтернирование может производиться по нескольким
верхним или нескольким нижним индексам; симметрирование или альтерни¬
рование по индексам, среди которых имеются как верхние, так и нижние, не
имеет никакого смысла, так как в результате этой операции не получим
тензора.
Длина вектора. Угол между векторами, заданными в криволиней¬
ных координатах. Можно считать, что основная фундаментальная форма про¬
странства
ds2=gikdxidxh (П1.53)
определяет длину ds вектора, имеющего контрвариантные компоненты dx8.
Аналогично этому длина вектора, имеющего компоненты V, определяется
следующим образом:
(Х)2=ЯмѴХ\ (П1.54)
.Эта формула, очевидно, совершенно аналогична следующей:
= (П1.55)
Вектор называется единичным, если длина его равна единице.
Рассмотрим два единичных вектора к* и рЛ, т. е. два вектора, компонен¬
ты которых удовлетворяют условиям '
gitiKikh= 1 и gMp,<p* = l. (П1.56)
Основываясь на уравнениях (П1.56), можно доказать, что
(£мѴр*)2^1. (П1.57)
косинус угла между двумя единичными векторами к* и р* определяется при
382
помощи формулы
cos 0 = gi*Vg*. (П1.58>
Выражение, стоящее справа в этой формуле, является инвариантом, т. е.
величиной, не изменяющейся при преобразованиях координат. В декартовых
координатах (если переход к ним возможен, т. е. если пространство евкли¬
дово) формула (П1.58) принимает вид
cos Ѳ = білХіХл. (П1.59)
Эта формула в двух- и трехмерном евклидовых пространствах действительно'
дает величину косинуса угла (в соответствии с его обычным геометрическим
смыслом) между двумя единичными векторами.
Если заданы два произвольных вектора и1 и ѵ*, то косинус угла между
ними определяется по формуле
cos ѳ = г . (П1.60>
И gikU^gnm^
Из формулы (П1.60) следует, что если два вектора ортогональны друг
другу, то
giktévk = Q. (П1.61>
П1.3. Некоторые важные формулы. Приведем вывод некоторых важных;
формул тензорного исчисления, которыми вбспользуемся в дальнейшем.
Дифференцируя соотношения ’
(П|-62>
получаем
г|1#ѵ+Л),ѵ=0- (П|-63)
Далее, дифференцируя соотношения
WV° = Ôv. t <П1-64)
имеем
g^° = -gvadg^ (П1.65)
и соответственно
Йца = - g™ <П1 -66>
ц дхк дхк
Умножив уравнение (П1.65) и (П1.66) на g»x или gvx, получим
^ѵт = _ g^dg ■ = - g^g* (П1.67}
д>г дхк
и соответственно
-тѵ = - Wvt -S • (П1 -68>
дх* дх*
Отметим еще, что в соответствии с правилами дифференцирования опре¬
делителей
dg=gv*gdgliV (П1.69)-
383
или, учитывая уравнение (П1.63),
dg= — g^gdg^.
(П1.70)
П.1.4. Тензорный анализ (предварительные замечания). В п. П1.1 было
показано, что частные производные инвариантной (скалярной) функции
А^ду/дх* (П1.71)
являются ковариантными компонентами тензора первой валентности grad ср.
Вместе с тем нетрудно убедиться, что в криволинейных координатах вто¬
рые и (последующие) производные скалярной функции не образуют, вообще
говоря, никакого тензора.
Существует, однако, в криволинейных координатах особая дифференци¬
альная операция — так называемое ковариантное дифференцирование, приме¬
няя которую из заданных тензоров можем получить новые тензоры. Эта опе¬
рация при переходе к декартовым координатам превращается в обыкновенное
дифференцирование. Следует отметить, что только благодаря этой новой опе¬
рации получаем возможность составлять общековариантные дифференциаль¬
ные уравнения, т. е. уравнения, сохраняющие свой общий вид в любой кри¬
волинейной системе координат.
П 1.5. Уравнения геодезической линии. Длина кривой линии
х'=х*(Г), (П1.72)
•соединяющей две точки РіС-*1^) ... *п(^і)] и ДгСхЦ/г) • •• может
■быть вычислена с помощью интеграла
Pi G -
PS= fl/ (П1.73)
t/ ü y at at
Pi ti
Кривая, для которой интеграл (П1.73) при постоянных значениях /і и
принимает экстремальное значение, называется геодезической линией рассма¬
триваемого пространства.
Если в качестве параметра вдоль геодезической линии взять длину дуги s,
то, как это нетрудно показать методами вариационного исчисления, диффе¬
ренциальные уравнения геодезической линии будут иметь следующий вид:
d2xl fp дхр dxk
ds2 { i) ds d s
{D
K l определяются формулой
i)
(p gis ( dgSp » d&sk dgpk \
I ij 2 g \ dxk dxp dxs )
(П1.74)
(П1.75)
Эти коэффициенты называются символами Кристоффеля второго рода.
Выражения вида
Гр k'
T>sp ■
?~ дхр
(П1.76)
называются символами Кристоффеля первого рода. Очевидно, имеет место
«соотношение
384
(Р 1 is \Р *1
1 J 2 Is ] ’
(П1.77)
Для символов Кристоффеля первого и второго родов употребляются также
следующие обозначения:
Г = Р Н 1 ( dgsp ' d8sk _ dgpk 'І
s'pk [ sj 2 \ dxk + dx” dx* / ’
W *1 1 ■‘(dg°P I dg*k _
pk 1 ij 2 g \ dx* T dxp dx* ) '
(П1.78)
(П1.79)
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что символы
Кристоф-
феля удовлетворяют следующим тождествам:
^Pk pS pS __ л.
а / Ssk^pl êps^kl ~ 0»
u*ip
^■+Л + Л = 0;
dx®
(П1.80)
(П1.81)
rs _ dVg _d\ogVg
p* Kg dx” dxp '
(П1.82)
Учитывая далее, что левые части уравнения (П1.74) являются компонен¬
тами контрвариантного вектора (так как ds — инвариант), можем получить
следующий закон преобразования символов Кристоффеля второго рода
при преобразованиях координат:
d2xr dxr i dxs dx* r
_ ,p_ ,k ~~ ,i Г ь p k
dx dx dx p dx dx
(П1.83)
d2x,{ __ dxfi pг _ dx,P dx,k pS
dxsdxt dx2 st dx5 dx* pk
(П1.84)
Таким образом, символы Кристоффеля не являются компонентами тензора.
П1.6. Ковариантное дифференцирование (абсолютное дифференциальное
исчисление). Допустим, что /(х1, ..., хп) является скалярной (инвариантной)
функцией. В таком случае
df = TT dxk
dxR
(П1.85)
также является скаляром. Что же касается производных df/âxh, то они явля¬
ются компонентами ковариантного вектора.
В дальнейшем df и df/dxh назовем соответственно ковариантным диффе¬
ренциалом и ковариантной производной скаляра. Примем следующие обозна¬
чения для ковариантного дифференциала и ковариантной производной скаляра:
Df = df,
f.k = df/d^-
(П1.86)
(П1.87)
13 Б. Н. Петров и др.
385
Итак, между ковариантным дифференциалом и ковариантной производ¬
ной скаляра f и обыкновенными дифференциалом и производной этого же ска¬
ляра нет никакого различия.
Допустим теперь, что
... , хп) (П1.88)
являются компонентами контрвариантного вектора. В таком случае величины
= (П1.89)
вообще говоря, не являются компонентами контрвариантного вектора. Вме¬
сте с тем, комбинируя закон преобразования для dA{ с законом преобразо¬
вания для Гр^, можно доказать, что
D А1 = dA1 + (П1.90)
являются компонентами контрвариантного вектора и
дді
(П1.91)
являются компонентами смешанного тензора.
DA* называется ковариантным дифференциалом вектора А* и Afk — ко¬
вариантной производной этого же вектора.
Если Аі(х1, ..., хк) являются компонентами ковариантного вектора, то
dAi не являются, вообще говоря, компонентами какого бы то ни было кова¬
риантного вектора. Однако можно доказать, что
DAp = dAp - A^dx* (П1.92)
являются компонентами ковариантного вектора и
ЭЛ .
Лр;* = тт-А‘Гр* (П1.93)
дх
являются компонентами ковариантного тензора второй валентности.
DAP называется ковариантным дифференциалом вектора Ар и Ар- л — кова¬
риантной производной этого же вектора.
Операция вычисления ковариантного дифференциала и ковариантной про¬
изводной может быть определена для любого тензора. Например,
DA‘pk =4А‘рк + А^х1 - Alskrspldxl- А*,Г^;
а^=+ л₽*г'' - А*Ъ ~ АЛ- (П1 -94)
дх1
Обращаем внимание на то, что ковариантный дифференциал DAlpk тензора
Alpk является тензором того же типа, что и сам тензор Apk. Что же касается
ковариантной производной Apk.i тензора Alpki то она является тензором, имею¬
щим на один ковариантный индекс больше, чем тензор Alpk.
Общее правило ковариантного дифференцирования для любого тензора
определяется следующей формулой:
386
ддГі гт I т
дГх"--'гт sit...,sp f ^гі ra-ikra+vrm г/œ
+ 2j л«і sp lki
ил a
- 3 (ПІ-95)
Воспользовавшись общим правилом вычисления ковариантной производ¬
ной любого тензора, нетрудно убедиться, что
^•' = 0; «$ = 0; «^ = 0. (П1.96)
Таким образом, тензоры gik, gih и ÔP’ являются «постоянными» по отно¬
шению к ковариантному дифференцированию.
Операция ковариантного дифференцирования была введена чисто фор¬
мально. Ниже будет вскрыт глубокий геометрический смысл этой операции.
Отметим еще, что в декартовых координатах ковариантное дифференци¬
рование совпадает с обыкновенным дифференцированием.
П1.7. Основные правила абсолютного дифференциального исчисления. Лег¬
ко проверить, что ковариантное дифференцирование суммы, разности и про¬
изведения тензора подчиняется правилам обычного дифференцирования. На¬
пример, ,
(AipBkl).m = AipB^ + BklAlKm-
(AipkBkl);m=Aipk;lnBkl + AipkB^.
П1.8. Вихрь антисимметричного ковариантного тензора. Если Ді(х\ ...
..., хп) является ковариантным вектором, то, как нетрудно убедиться, анти¬
симметричный тензор
А — А - дАр - dAk
p’k k-p дх* дх’
(П1.97)
вихрем кова-
тензором, то
не зависит от символов Кристоффеля. Этот тензор называется
риантного вектора.
Если А1і{ ... ір (xl, ...» ?) является антисимметричным
можно образовать новый антисимметричный тензор
дД, .• dAt,/ г дА£ kt- i
(Р + 1)ЛК1
ltl р’ J dxk dxit dxit
дхр 9
(П1.98)
который, как нетрудно убедиться, не зависит от символов Кристоффеля. Этот
тензор называется вихрем антисимметричного тензора А£і
П1.9. Дивергенция тензора.. Если ДЧ*1» •••» **) является контрвариант¬
ным вектором, то, как нетрудно убедиться, скаляр
і __ дАі « дргі _ 1 dŸgA1
зависит только от g, Д’ и их обыкновенных производных по координатам. Этот
скаляр называется дивергенцией контрвариантного вектора Д’.
387
13*
Аналогично дивергенцией ковариантного вектора А{ называется скаляр
e^k(Ap,k). (П1.99)
Дивергенция ковариантного тензора At-,... ^определяется как тензор
^Ам„.Лр.'к. (П1.100)
П1.10. Градиент скалярного поля. Как уже отмечалось, ковариантный век¬
тор dfldxk, где /(х1, ...» xh) — скаляр, называется градиентом скалярного
поля. Квадрат длины этого вектора может быть вычислен по формуле
А1/(П1.101)
Aif называется дифференциальным параметром Бельтрами первого рода.
Если вычислить дивергенцию градиента f;t-, то получим
(П1.102)
à2f называется параметром Бельтрами второго рода.
Дифференциальный параметр Бельтрами второго рода называется также
лапласианом от f(x). Лапласиан обычно обозначают следующим образом:
= (П1.103)
П1.11. Контрвариантное дифференцирование. Контрвариантная производ-
О0і...аг
ная тензора А^ р определяется следующим образом:
^...аг;Л = ^п а, а,. ' (П.104)
Pl...Ps 6 Pl..«Ps»n
Таким образом, если известна ковариантная производная тензора, легко
может быть вычислена его контрвариантная производная. Пользуясь форму¬
лой (П 1.104), нетрудно показать, что
= 0.
П1.12. Тензор кривизны. Тождества Риччи и Бианки. Итак, вторая кова¬
риантная производная от скаляра f(x\ ...» хп) может быть вычислена по
формуле
f ;p;k = dxPdxk — Гр*' (П1.105)
Из формулы (П 1.105) следует, что
/;р:Л-/;*;р=0. (П1-106)
Однако последовательное ковариантное дифференцирование векторов и тен¬
зоров не является в общем случае перестановочным. Так, например, нетрудно
убедиться, что для контрвариантного вектора А1’ имеет место формула
^р-^^р, (П1.107)
где
«и - п» - п,+- г;л- <П| • ■««
Величины Rlspk являются компонентами смешанного тензора, который но¬
388
сит название тензора кривизны Римана — Кристоффеля. Заметим, что неко¬
торые авторы введенные здесь компоненты Rpks обозначают через — Rpks.
Непосредственным вычислением нетрудно получить следующие формулы,
аналогичные формуле (П 1.107):
Ap-,k,s Ap,s\k= (П1.109)
Apk;l;m ^pk;m;l= Apk^slm ^sk^plm ^ps^klm* (П- 110)
В общем случае имеют место следующие формулы:
і...т
—Ari>-ro.-1hra+v..rmR-rakl' (П1.111)
a *
1...P
s\...Sp\k\ t Si--sa-i^a+i- -sp sa^
a
1...Ш
- .3 (П1.112)
Формулы (П1.111) и (П 1.112) носят название тождеств Риччи.
Из тензора Римана — Кристоффеля Rpk[ можно путем свертывания
получить новый тензор, который носит название тензора Риччи
Rpk=-üpks. (П1.113)
Тензор Риччи имеет большое значение в теории гравитационного поля.
Умножив тензор Риччи RPk на фундаментальный тензор gal и произведя свер¬
тывание по всем индексам, получим инвариант, который носит название ска¬
лярной кривизны
R = gpkRpk. (П1.114)
Нетрудно убедиться, что тензор Римана — Кристоффеля удовлетворяет
следующим тождествам: <
Rpk^ - RlPlk> (П.-И5)
^/ + ^/P + ^U = 0- (П1П6)
Ковариантные компоненты тензора Римана — Кристоффеля определяются
следующим образом:
Нетрудно убедиться, что ковариантные компоненты тензора Римана —
Кристоффеля удовлетворяют следующим тождествам:
Rtpk^-Riptk-, <пі.іі8)
Ripu + Rwp+Rapk^- (П1119)
Тождества (П1.116) и (П1.119) носят название тождеств Бианки первого
рода.
389
Если применить формулу (П1.111) к метрическому тензору gip, то по¬
лучим
Sip,ki êip,i\k= Ssp^iki Si3Rpki = 0 • (П1 -120)
Из формулы (Р 1.120) следует, что
Rit>ki = -RPM. (пі.121)
Нетрудно также убедиться, что
Ripki = Rkiîp. (П1.122)
Свертывая тождества (П 1.116) по і и I и учитывая формулы (П1.115) и
(П1.121), получим
ЯрЛ-/?Ар = 0. (П1.123)
Итак, тензор Риччи является симметричным тензором.
Непосредственным вычислением можно убедиться в том, что смешанные
компоненты тензора Римана — Кристоффеля удовлетворяют следующему тож¬
деству: '
4*/;ш+ Ъіт-.к = 4m*;/ = 0 • (П1.124)
Тождество (П 1.124) носит название тождества Бианки второго рода.
В заключение приведем еще следующие важные формулы:
Rpki,s = Rpk,i — Rpi,k\ (П1 • 125)
fls.s= l/2fl;Z. (П1.126)
Формула (П 1.125) получается из выражения (П 1.124) свертыванием по
индексам і и ш, а формула (П 1.126) получается из выражения (П 1.125)
умножением на gph и свертыванием по р и k.
П1.13. Кривизна в двумерном направлении. Рассмотрим двумерную по¬
верхность, фундаментальная метрическая форма которой имеет вид
- ds2=gx 1 (dxl ) 2+2Яі2^1^2+Я22 (dx2)2. (П1.127)
Нетрудно убедиться, что для этой поверхности единственными нулевыми ком¬
понентами тензора Римана — Кристоффеля будут следующие:
#1212 = —#1221 =—#2112 — #2121. (П1.128)
Гауссова кривизна рассматриваемой поверхности может быть вычислена по
формуле
#=—#1212/^. (ГН.129)
Вернемся теперь к общему случаю Риманова пространства п измерений.
Предположим, что в некоторой точке (X1, ..., Хп) этого пространства задано
два контрвариантных вектора:
ХЦх1,..., хп), Х2(х\ ..., хп), ..., Ѵ^1,..., хп)\
(П1.130)
цЦх1, ..., хп), ц2(х\ ..., xn)t..., цп(Д ..., хп).
Векторы (П 1.130) определяют в рассматриваемой точке пучок направлений
= (П1.131)
где аир — параметры.
390
, Совокупность векторов g* определяет в рассматриваемой точке некоторое
зависящее от параметров аир двумерное линейное многообразие, которое
можно рассматривать как двумерную плоскость, натянутую на векторы
и у*. Далее совокупность геодезических, проведенных в направлении всех
векторов пучка (П 1.131), образует так называемую двумерную геодезиче¬
скую поверхность. Можно сказать также, что эта поверхность образована
всеми геодезическими, которые проходят через рассматриваемую точку (х1, ...
..., хп) и касаются двумерной плоскости, натянутой на векторы V и рА
Нетрудно показать, что в соответствии с формулой (П 1.129) кривизна
геодезической поверхности в рассматриваемой точке (х1, ..., хп)
к = RipklWW = yW (П1 )32)
(Sitépt - gilgpk) WW (gpkga - gplgtk) WW '
Величина К носит название кривизны в двумерном направлении, исхо¬
дящем из точки (х1, ..., хп) и натянутом на векторы (X1, ...» Хп) и
(н1 н")-
Если векторы (Л1, ..., Хп) и (ц1, ..., цп) будут единичными взаимно
ортогональными векторами, то формула (П1.132) упрощается и принимает
вид
K = -RipkWW- (П1.133)
Рассмотрим теперь в точке (х1, ... хп)п рзаимно-ортогональных единич¬
ных контрвариантных векторов
Xj(i= 1, ... , п); (s= 1, ... , п). (П1.І34)
Так как векторы X/ единичны и ортогональны, то должно быть
gipWm^nm. (П1.135)
Следовательно,
giP=i>Ws- (П1.136)
S=1
Вычислим теперь кривизну в двумерном направлении, исходящем из точки
(х1, ..., хп) и определенном двумерной плоскостью, натянутой на вектора
Кр* И ХдЛ
В соответствии с формулой (ГН. 133) эта кривизна
ѵ-мЖ
(ПІ.137)
Из формулы (П1.137) следует
S Ѵ-яЖ’';
<7=1
(ПІ.138)
3 Kpq = ^р^
(П1.139)
391
Эта величина называется кривизной Риччи в направлении единичного век¬
тора Лр\ Из формулы (П 1.139) следует
п п ’
5J Хр<7 = Я. (П1.140)
п п
Итак, Kpq равняется скалярной кривизне пространства в рассма-
Р=1 <7=1 ,
триваемой точке.
П1.14. Плоские пространства. Если рассматриваемое пространство допус¬
кает существование координатной системы, в которой все gik — постоянные
величины, то это пространство называется плоским. Очевидно, что евклидово
и псевдоевклидово пространства будут плоскими пространствами.
Далее, если все величины gik постоянны, то, как это следует из форму¬
лы (П1.108), все составляющие тензора Римана — Кристоффеля обратятся
в нуль. Но, если все составляющие тензора Римана — Кристоффеля обраща¬
ются в нуль в какой-либо из координатных систем, то, как это следует из
закона преобразования тензоров, они будут равны нулю в любой другой
координатной системе.
Итак, обращение в нуль тензора Римана — Кристоффеля является необ¬
ходимым условием для того, чтобы пространство было плоским, т. е. чтобы
можно было посредством надлежащего выбора координатной системы сделать
все gik постоянными.
Можно показать, что это условие является также и достаточным.
П1.15. О физических составляющих тензоров. При пользовании только
прямоугольными системами координат различие между ковариантными и
контрвариантными составляющими векторов исчезает, так как в этом случае
оба преобразования эквивалентны друг другу. При переходе к криволиней¬
ной системе координат, например к полярной системе координат на плоскости,
появляются как ковариантные, так и контрвариантные составляющие вектора,
причем размерность этих составляющих будет отличаться от их размерности
в первоначальной прямоугольной системе координат. Вместе с тем в элемен¬
тарной механике при переходе к полярной системе координат размерность
составляющих вектора (например, векторы силы или векторы перемещения)
сохраняется. Это объясняется тем, что в элементарной механике не рассма¬
триваются действительные полярные составляющие вектора, т. е. ковариант¬
ные и контрвариантные составляющие, а рассматриваются лишь прямоуголь¬
ные компоненты вектора, но в трех новых направлениях — в радиальном и
поперечном.
Во многих случаях оказывается необходимым перейти от ковариантных
или контрвариантных составляющих вектора к его физическим составляющим,
т. е. к таким составляющим, которые при любых преобразованиях координат
сохраняют ту же размерность, которую они имели, в исходной прямоугольной
системе координат. Аналогичная задача возникает нередко также по отноше¬
нию к составляющим тензоров различных валентностей. Этой задачей зани¬
мался еще Леви-Чивита, наиболее подробно ее рассмотрел Трусдел.
Приведем основные формулы, по которым могут быть найдены физиче¬
ские составляющие векторов и тензоров (во всех следующих формулах настоя-
392
іцего параграфа суммирование по одинаковым индексам не производится).
Физические составляющие векторов находятся по формулам
^i = V'ëïiki- (П1.141)
Физические составляющие тензоров второй валентности имеют две формы:
а) левые составляющие
= (П1142>
б) правые составляющие
Aik= ŸgulSkkAk-
Заметим, что следы матриц
(П1.143)
• ь Л п
(ЛУ; (Л*); (Aik) и (Aik)
совпадают друг с другом. В ортогональных координатах
Âik = Âik = VSu/SkkA' «ли Yêkk/giiA*, или
или A{k/ygiigkk. (П1.144)
Физические составляющие тензоров любой валентности могут быть вычислены
по формулам
или YgMl ■■■ gkfyA1'-^, или
(П1.145)
Ygiih ' ' ' Œkjtq
П1.16. Параллельное перенесение векторов и тензоров. Остановимся на
некоторых специальных вопросах тензорного анализа. Рассмотрим вопросы
о параллельном переносе векторов и тензоров и о нахождении группы дви¬
жений риманового пространства.
Содержание этого раздела имеет большое значение для ряда приложений
тензорного исчисления к проблемам механики и физики.
Рассмотрим вектор (Л1, Л2), заданный в декартовых координатах на евкли¬
довой плоскости в точке р\. Если этот вектор перенести в точку р2 таким об¬
разом, чтобы он все время оставался параллельным самому себе, то, оче¬
видно, его компоненты Л1 и Л2 во время этого переноса сохранят свои зна¬
чения, которые они имели в точке р\. Совершенно иная картина будет в кри¬
волинейных координатах. Совершим, например, преобразование координат по
формулам ’
х'1 =х1+а(х2)2; х/2=х2+Ь(х1)2. (П1.146)
В таком случае имеем
Л'* = -^-т- Аг = Л1 + 2ах2Л2; Л'* = Аг = 26х*Ла1 + А3. (П1.147)
дх дх
393
Допустим, что точки Р1 и р2 имеют координаты (х1, х2) и (x’+dx1, x2+dx2)
соответственно. Воспользовавшись формулами (П 1.146), легко получить также
штрихованные координаты этих точек
х'1 = X1 +а (X2)2 1
V для точки рх;
х' =х2 + 6(х1)2 J
X'1 + dx'1 = X1 + а (X2)2 + dxl +2ax2dx2 )
1 I к / I I I для точки pa. (П1.148)
х'* + dx'* = X2 + b (X1)2 + ïbx'dx1 + dx2 J
Воспользовавшись теперь формулами (П 1.147), нетрудно убедиться в том,
что
A'1(x'1+dx'1; x'2+dx'2)=/=A'l(x/l; х'2),
(П1.149)
A'2(x'1+dx'1; x'2-)-dx'2) =^А'2(х'1; х'2|,
в то время как в системе координат (х1, х2)
ЛЦхЧгіх1; x2+dx2)=Al(xl, х2),
(П1.150)
A2(x1+dx1; x2+dx2) =А2(х1, x2).
Итак, в криволинейных координатах в результате параллельного переноса
компоненты вектора получают некоторые приращения. Нетрудно показать, что
в общем случае криволинейных координат на евклидовой плоскости прира¬
щения компонент вектора при его параллельном переносе определяются фор¬
мулой
А4'= —Г^АР</Л (П1.151)
Следовательно, при параллельном переносе вектора
DA‘ = dAl + Г^ДР d/ = О, (П1.152)
где і= 1, 2.
По аналогии с этим результатом будем говорить, что в римановом про¬
странстве любого числа измерений вектор А* в точке (х1, ..., хп) и вектор
АІ+^АІ в точке (хЧ-гіх1, ..., xn+dxn) параллельны между собой, если
dA‘ = dAl + Г^р dxk = О, (П1.153)
где 4=1,..., п.
При выполнении условия (П 1.153) будем говорить также, что вектор
A*+dA* в точке (x^dx1, ..., xk-j-dxk) получен из вектора А' в точке
(х1, ..., хп) параллельным перенесением.
Аналогичное определение параллельного перенесения может быть дано
для любого тензора.
Фундаментальное значение понятия параллельного перенесения заключа¬
ется в том, что оно инвариантно относительно преобразования координат.
Для того чтобы перенести вектор из точки р0(хь1, ...» хоп) в другую
точку рі (хі1, ..., Хіп), необходимо прежде всего выбрать кривую
х<==х<(/), (П1.154)
где 4=1, ...» п, соединяющую точки ро и рі, т. е. кривую, для которой
х<(/о)=хоі и х^/^—хЛ (П1.155)
394
где 4=1, ...» п, и затем проинтегрировать систему уравнений
dAl . dxk
(П1.156)
при начальных условиях Л*(/о)=Ло*-
Если вектор A(t) является решением системы уравнений (П 1.156) при
указанных начальных условиях, то вектор Л* (6) будет тем вектором, кото¬
рый получается в результате параллельного перенесения вектора Лоі из точ¬
ки ро в точку рі вдоль кривой (П 1.154).
Итак, параллелизм векторов зависит, вообще говоря, от кривой, соеди¬
няющей начальную и конечную точки.
Однако в евклидовом (или псевдоевклидовом) пространстве параллелизм
векторов не зависит от кривой, вдоль которой производится параллельное
перенесение вектора.
Итак, в каждой точке евклидова (и псевдоевклидова) пространства су¬
ществует только один вектор ДЦх1, ...» хп), параллельный данному
•••» *оп).
Сравнивая уравнение (П1.156) с уравнением геодезической
+ Г‘рі JïL = О, (П1.157)
ds2 P ds ds
видим, что в любом римановом пространстве вектор dx^ds, касательный к
геодезической, переносится параллельно вдоль геодезической.
П1.17. Некоторые свойства непрерывных групп. Точечное преобразование
в римановом пространстве, зависящее от одного параметра, может быть
описано системой уравнений
Х<=р(х\ ..., хп; а), (П1.158)
где і= 1, 2, ..., п и а — параметр.
Если в уравнении (П 1.158): 1) последовательное выполнение двух таких
преобразований равносильно выполнению одного преобразования того же
типа; 2) в системе преобразований (П 1.158) содержится тождественное пре¬
образование и преобразование, обратное каждому из данных, то совокупность
преобразований (П 1.158) называется однопараметрической непрерывной груп¬
пой преобразований.
Первое из сформулированных условий равносильно утверждению, что для
каждой пары параметров а и b всегда найдется такой третий параметр с, что
/фЦх1 хп\ «); f2(x>, ..., хп\ а); ... fn(x\ ... хп\ а); Ô] =
=Р(х\ х2, ..., хп, с), (П1.159)
Второе условие равносильно утверждению, что всегда найдутся такие пара¬
метры а° и а, что
х*=р(х\ X2, ..., X", а0); (П1.160)
х^/Цх1, X2, ..., хп, а), (П1.161)
если X* определяется по уравнениям (П 1.158).
Определение однопараметрической непрерывной группы преобразований
может быть обобщено, если вместо уравнений (П 1.158) рассматривать урак-
395
нения, зависящие от г параметров:
х1 = р(х', ... хп\ а1, ..., аг), (П1.162)
где і= 1, ..., п и а1, ..., аг — параметры.
Для того чтобы совокупность уравнений (П 1.162) определяла группу,
необходимо, чтобы она удовлетворяла условиям, аналогичным условиям,
сформулированным для однопараметрических групп. В дальнейшем будем
считать правые части уравнений (П 1.158) и (П 1.162) аналитическими функ¬
циями всех своих аргументов.
Если уравнения (П 1.158) определяют однопараметрическую группу, то
все х', рассматриваемые как функции параметра а, должны удовлетворять
системе уравнений вида
dxl/da = ф (а) (х1, ..х"). (П1.163)
Допустим, что ао есть значение параметра, соответствующее тождествен¬
ному преобразованию. В таком случае, положив
/ = J ip (a) da, (П1.164)
а»
приведем уравнение (П 1.163) к виду
dx‘/dt = l‘(xl хп), (П1.165)
причем тождественному преобразованию теперь соответствует значение пара¬
метра t=Q.
Если функции ЁЦх1, ...» хп) регулярны в некоторой области определе¬
ния переменных х\ то интегралы уравнений (П 1.165) можно представить в
виде
X1 = х‘ + V (X1 Хп) t + (л-1 хл) -ÉÉ- — + ... (П1.166)
дхр 2
Введем теперь обозначения
. àf
(П1.167)
Xrf = X...Xf. (П1.168)
г раз
С помощью этих обозначений равенства (П 1.166) можно записать в виде
- /а . f
xi = xl+ tXx‘+— Х3х1 + ■■■ — Xrxl ... (П1.169)
Нетрудно также убедиться, что, вообще говоря, любая регулярная в области
определения х* функция F(x\ ..., хп) может быть представлена в виде
F (x1, , xn)=F (x1, ... , xF) + tXF (X* хл) +
f
+ •••+— XrF(x\ x")+ ... (П1.170)
В теории непрерывных групп преобразований большое значение имеют
инфинитизимальные или бесконечно малые преобразования. Эти преобразо-
396
вания получим, если в формуле (П1.169) заменим параметр t бесконечно ма¬
лым 0/ и отбросим все члены, имеющие порядок малости выше первого. Итак,
имеем
? = + (П1.171)
При бесконечно малом преобразовании группы координаты испытывают бес¬
конечно малое изменение
ôx< = gi(xi, хп)0/. (П1.172)
Кроме того, как это видно из формулы (П 1.170), любая функция
F(x, ..., хп) испытывает при этом бесконечно малое изменение
ÔF=XFÔt. (П 1.173)
Согласно предложенной Ли терминологии ‘ оператор Xf называют символом
бесконечно малого преобразования группы. Этот оператор в соответствии с
формулой (П 1.169) дает возможность построить также конечные уравнения
группы. Принято говорить, что группа порождена оператором Xf, и сам этот
оператор называется оператором, порождающим группу.
Из формул (П1.165) видно, что функции (х«, хп) являются контр¬
вариантными компонентами некоторого вектора. Ковариантные компоненты
этого вектора могут быть вычислены с помощью обычного приема опускания
индексов.
Совершим теперь преобразование координат
Xй =ф'(х‘ Z), (П1.174)
где і=1, ..., п; ср1 удовлетворяет уравнению
6 дхі =1> (П1.175)
а Ф2, ..., Ф” — независимые решения уравнения
Ê‘Ï!₽_=Û. (П1.176)
дх1
Нетрудно видеть, что в новой системе координат контрвариантный вектор
будет иметь компоненты
е'*=1; = ... =ѵ"=о. (Ш.177)
Итак, в новой системе координат уравнения группы (П 1.165) примут
следующий вид:
dx'1 dx,k
“^"=0 (* = 2, ...,п). (П1.178)
dt dt
Следовательно, в этой системе координат конечные уравнения группы
будут иметь следующий вид: •
? = х'+/; и = (ft = 2, . ..,п). (П1.179)
Рассмотрим теперь г бесконечно малых преобразований
Ха/ = ?а-^Г (а = 1,....г). (П1.180)
397
Будем говорить, что эти преобразования линейно независимы, если не
существует системы постоянных с®, для которых выполняются равенства
Л£ = 0. (П1.181)
Допустим теперь, что символы Xaf бесконечно малых преобразований
удовлетворяют условиям
Vff - XfiXoJ = <П1 • 182>
где р, a, у= 1, ...» г; константы удовлетворяют условиям:
соф + с$а = О’»
(П1.183)
са^суб + = 0 (а, ₽, у, ô, 8= 1, ... , г).
В теории непрерывных групп доказывается, что операторы Xaft удовлет¬
воряющие упомянутым условиям, порождают некоторую г-параметрическую
группу Сг, образованную из всех однопараметрических групп, порожденных
бесконечно малыми преобразованиями
c«Xaf, (П 1.184)
где все с® — произвольные постоянные.
Верна также обратная теорема: каждая /--параметрическая группа сг мо¬
жет быть порождена г линейно-независимыми бесконечно малыми преобразо¬
ваниями Xaf, удовлетворяющими условиям (П 1.182) и (П 1.183). Заметим, что
константы называются структурными константами группы.
Операторы (П 1.184) порождают инфинитизимальное преобразование
X’1 = X1 + хп)Ы (а=1 г, і=1 п). (П1.185)
Инфинитизимальные преобразования (П 1.185) в свою очередь порождают, по
терминологии Ли, конечные преобразования группы
хт
X’1 = х‘+ іс*Хах1 + ... + —с^...сатХаі...ХатХ1+...
(П1.186)
Разумеется, преобразования (П 1.186) имеют смысл только при тех зна¬
чениях с® и t, при которых ряды (П 1.186) сходятся.
Параметры а®, входящие в конечные уравнения группы (П 1.162), могут
быть представлены в виде *
а® = ф®(и1, ..., zr); u®=c«f. (П1.187)
Не будем более подробно останавливаться на основных свойствах непрерыв¬
ных групп преобразований. Более подробное изложение приведено в [743].
В заключение приведем один пример. Пусть однопараметрическая группа
на плоскости задана оператором
Xf = х1 - х» • (П1.188)
' дха дх1 ' ’
Следовательно, в этом случае бЦх1, х2) =— х2; *2) =*1.
Итак, в соответствии с формулами (П 1.171) получим следующие беско¬
398
нечно малые преобразования группы, порожденной оператором (П1.188):
? = х1—x2ÔZ; 72=х2+х10Л (П1.189)
Аналогично в соответствии с формулами (П 1.169) получим следующие
конечные уравнения группы:
- t2 і3
X1 = xl — x2t — X1 — + x2 — + ... = X1 cos t — X2 sin f ;
- t2 t3
x2 = X2 + xlt — X2 — — X1 — + ... = X1 sin t + X2 cos t. (П1.190)
Z ô
Итак, оператор (П 1.190) порождает группу вращений плоскости.
П1.18. Группы движений. Уравнения Киллинга. Допустим, что в рассма¬
триваемом римановом пространстве существуют две системы координат хі
и X1, обладающие тем свойством, что для каждой из них компоненты метри¬
ческого тензора gik и gik являются одними и теми же функциями от х* и хі
соответственно. Допустим, далее, что уравнения преобразования координат
х^х^х1, ..., хп, а1, ..., аг) (П1.191)
зависят от одного или нескольких параметров. В таком случае эти уравнения
можно рассматривать, как уравнения, определяющие непрерывное движение
пространства в самом себе.
Пусть бесконечно малое движение в нашем пространстве задается урав¬
нениями
? = х' + £ (х1 x") èt. (П1.192)
В таком случае должно иметь соотношение
gik (х1, ..?*)</? dx* = gtk (x1, ..х") dé dx* (П1.193)
или, учитывая уравнение (П 1.192),
fgik + f(dx* + — dx4t'І =
\ dx / \ dxr / \ dxv /
(П1.194)
Так как уравнение (П 1.194) должно удовлетворяться для любых dxi с
точностью до членов высшего порядка малости относительно ôf, получим
Ъ dx“ dx‘ dx***“ ’
(П1.195)
+ =0-
(П1.196)
Уравнения (П 1.196) называются уравнениями Киллинга, а контрвариант¬
ный вектор — вектором Киллинга.
Итак, если пространство допускает бесконечно малое движение (П 1.192),
то вектор Киллинга удовлетворяет уравнению (П 1.196). Предположим, что
выбрана такая координатная система, что вектор Киллинга имеет компоненты
gi = l,£2 = g3 = ... =Г = 0. (П1.197)
В этом случае уравнение Киллинга (П 1.195) принимает вид
dgik/dx' =0. (П1.198)
399
Итак, если система координат выбрана таким образом, что компоненты
метрического тензора не зависят от х1, это пространство допускает порож¬
даемую вектором & однопараметрическую группу движений
? = ? + (П1.199)
В заключение приведем без доказательства одну теорему, имеющую важ¬
ное значение в теории групп движений.
Теорема. Всякое n-мерное пространство постоянной кривизны допус¬
кает непрерывную группу движений, зависящую от [п(п+1)]/2 параметров.
Пространства постоянной кривизны являются единственным типом про¬
странств, допускающих группу движений, содержащую [n (n+1 ) ] /2 парамет¬
ров. Доказательство этой теоремы можно найти в [743].
П1.19. Тензорные методы в механике консервативных систем с конечным
числом степеней свободы [57]. Остановимся на некоторых приложениях тен¬
зорных методов к проблемам механики. Приведенные примеры приложений
этих методов, разумеется, не могут дать исчерпывающего представления о
роли тензорного исчисления в механике. Вместе с тем, ознакомившись с эти¬
ми примерами, читатель сможет в известной мере оценить их высокую эффек¬
тивность при рассмотрении конкретных проблем, освещенных в настоящей
книге.
Рассмотрим консервативную механическую систему, конфигурация кото¬
рой определяется значениями координат х*. Будем считать, что вариации этих
координат могут иметь произвольные значения.
Действующие на систему внешние обобщенные силы Хі определяются
равенствами
dw-Xidx*-,
здесь w — работа, произведенная этими силами над системой на перемеще¬
ниях dx\
Так как силы Хі предполагаются консервативными, то должно быть
Xi = dw/dxi. (П 1.200)
Кинетическая энергия рассматриваемой системы задается формулой
Г=1/2аІЛ(х)х»х\ (П1.201)
Уравнения движения системы по Лагранжу должны иметь вид
J dT_dT_
dt дх1 дх‘ ~ 1’
Пространство конфигураций системы может быть метризовано при по¬
мощи линейных элементов следующих типов:
ds2=2Tdt2=aihdx *dx* (aih = ahi) (П1.202)
или
ds2=(E— V)aihdx<dx*-, '
здесь Е — полная и V — потенциальная энергии системы.
В дальнейшем, если это не будет оговорено, будем пользоваться линей¬
ным элементом (П 1.202). Следует обратить внимание на то, что в простран¬
стве конфигураций коэффициенты aafx1, ...» хп) играют роль метрического
400
тензора. Итак, рассмотрим пространство конфигураций как некое риманово
пространство, характеризуемое линейным элементом (П 1.202).
В этом пространстве ковариантный дифференциал и ковариантная про¬
изводная вектора Аі определяются следующими формулами:
DA1 = dAl + = дХ/дх* + Г^ДР.
Здесь символы Кристоффеля Vlpk вычисляются при помощи метрического тен¬
зора aik. По аналогии с обычным дифференциальным исчислением можно
определить ковариантную производную вектора А' вдоль кривой х<=х-(а),
где <т — параметр, при помощи следующих формул:
ÔO do pk^ do ’ •
В частном случае параметр о может иметь смысл времени, в этом слу¬
чае будем вместо а писать /, т. е., другими словами, будем считать, что <j=t
Скоростью рассматриваемой системы в римановом пространстве конфи¬
гураций будем называть контрвариантный вектор В соответствии
с этим ускорение системы определяется как ковариантная производная век¬
тора и' вдоль кривой х* (/), т. е. при помощи формулы
. Sv1 d2xl . dxp
î = ô't = dt2 + pk dt dt '
Само собой разумеется, что с помощью фундаментального метрического тен¬
зора üih можем от контрвариантных компонент векторов и1’ и р перейти к их
ковариантным компонентам, т. е. выполнить следующую операцию: Ѵі=аіРѵ?-9
fi = aipfp.
Первый инвариант (квадрат длины) вектора скорости механической системы,
может быть вычислен по формуле v2==ViVi = aikVivh= (ds/dt).
Пусть — единичный вектор касательной; ѵ* — единичный вектор глав¬
ной нормали к траектории x8(s) и k — кривизна этой траектории, тогда в со¬
ответствии с первой формулой Фрейе имеем '
ôs ds pk ds
Далее, учитывая, что имеем
> Ô (ѵЛ/) dv . ÔX* dv ,
= — = ——— = — 2? 4- V — = — к
‘ ôt 0/ dt ôt dt
ôV ds dv . t
= — V + kv2vt.
ôs dt dt
(П1.203),
Итак, ускорение, как и в элементарной динамике, складывается из компонен¬
ты dvldt, направленной по касательной, и компоненты Ли2, направленной по.
главной нормали к траектории в пространстве конфигураций.
Нетрудно убедиться непосредственным вычислением, что
_d_dT_ дТ
dt дх1 дх1
Учитывая приведенные выше формулы, имеем fi=Xi или
Таким образом, приходим к выводу, что в римановом пространстве кон¬
фигураций ускорение равно силе — замечательное, как говорит Дж. Л. Синдж.
401
[57], обобщение второго закона Ньютона. Учитывая формулу (П1.203), мо¬
жем уравнения движения записать также в виде
dv t tt
— кс + kv2v! = X1
dt
и, учитывая формулу (П 1.201), в виде
d»xl . dxp dxk .
I pl — yl
Л» pk dt dt
Наконец, если выбрать s в качестве независимой переменной, уравнения дви¬
жения могут быть представлены в следующем виде:
V2
К1
= i.
ds ’
Тензорные методы могут быть с успехом применены при изучении вопросов
устойчивости рассматриваемой динамической системы. Для этой цели введем
множество траекторий, определяемое уравнением х’=х’(о, т). Здесь о —
параметр, меняющийся вдоль каждой траектории, и т — параметр, постоян¬
ный для всех точек данной траектории. Далее, обозначив через вектор бес¬
конечно малого смещения (вектор возмущения), можем написать
^ = -dr.
Если ввести в рассмотрение единичный вектор рЛ, имеющий то же направ¬
ление, что и вектор gS то, очевидно, g<=gji<; = где g=fg<g<.
В зависимости от физических соображений термину «устойчивость» могут
быть даны различные определения. Однако во всех этих определениях основ¬
ное значение имеет характер изменения длины вектора смещения, g’, т. е. ха¬
рактер изменения величины g, определяемой предыдущей формулой. Можно
доказать [57], что длина вектора возмущения g удовлетворяет дифференци¬
альному уравнению
=°- (ш-204)
Здесь все величины, стоящие в круглых скобках, относятся к невозмущенной
траектории.
Отметим, что приведенные формулы относятся собственно не только к
классу консервативных голономных систем, но и к более широкому классу так
называемых склерономных голономных систем, кинетическая энергия которых
определяется той же формулой (П1.201), но силы ^(х1, хп) уже не явля¬
ются больше консервативными. [Другими словами, в случае склерономных, но
ле консервативных, голономных систем, уравнения (П 1.200) для сил Хі уже
не имеют места].
Если ограничиться консервативными голономными системами, то вместо
линейного элемента (П 1.202) можно воспользоваться также линейными эле¬
ментами
ds2= (E—V)aikdxidxh. (П1.205)
Траектория движения системы будет геодезической в римановом пространстве,
402
метрика которого определяется линейным элементом (П 1.205), т. е.
_|_гі dxk п
ds2 рк ds ds '
(П1.206>
Длина вектора возмущения g в рассматриваемом случае будет удовлетворять.
уравнению
Л ôs ôs
(П1.207>
Здесь К — риманова кривизна в двумерном направлении, определенном векто¬
рами £< и V, где — единичный касательный вектор к невозмущенной траек¬
тории.
В заключение отметим, что теории координат Ферми и переноса Ферми —
Уолкера изложены в [139].
Существуют две формы записи смешанных тензоров: №
T*1*1 ‘“{п . в последнее время более распространенной стала вторая
... Лд ,
форма, так как здесь сразу видно, в каком порядке и на какие места должны
опускаться верхние индексы (или подниматься нижние индексы). Если пользо¬
ваться этим правилом, то можно применять первую форму как более компакт¬
ную. '
Приложение 2
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
В РЕЛЯТИВИСТСКИХ И КВАНТОВЫХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
П2.1. Представления наблюдаемых в квантовой теории в форме Дирака.
П. Дирак ввел следующие обозначения в квантовую теорию [44]: |ф } —
кет-вектор (вектор-столбец), Q ф| — бра-вектор (вектор-строка, сопряженная
столбцу |ф}), СФ/хЭ — бракет (круглые скобки, означающие скалярное
произведение ф и %). Эти обозначения и их свойства нашли широкое примене¬
ние при описании динамических моделей квантовых систем. Отметим некото¬
рые свойства введенных векторов.
1. Если Ci и С2 — произвольные комплексные числа, то существует такой
вектор
ІЮ=СііЮ +Са|^.
2. Если кет-вектор зависит от параметра <?', то для непрерыв¬
ного набора состояний
Ъ
;| іО = с (/) I q’ 3 dq'-,
3. СіІаЭ +С2|а^ =(CX + C,)|a).
Отметим, что кет-векторы +|а } и —|а} представляют одно и то же со-
«стояние, т. е. между состоянием системы и «направлением» кет-вектора в про¬
странстве кет-векторов существует взаимно-однозначное соответствие. Данное
утверждение не имеет аналогов в классической механике и показывает, что
классический и квантовый принцип суперпозиции отличаются друг от друга.
Пример 1. Если в классической физике складывать два типа колебаний
струны, отличающихся только амплитудой друг от друга, то в результате обра¬
зуется новый тип колебаний с новой амплитудой, т. е. в классической механике
различные амплитуды соответствуют различным состояниям системы. В кван¬
товой механике все три амплитуды будут соответствовать одному типу колеба¬
ний, так как в квантовой механике отсутствует понятие, аналогичное классиче¬
ской амплитуде; существенным является только направление кет-вектора. Если
(Сі + С2) = 0, то в классической механике имеем состояние покоя, которое яв¬
ляется одним из состояний системы; в квантовой механике вообще нет состоя¬
ния, в котором отсутствует движение, так как отсутствие движения вообще
ничему не соответствует в квантовой механике. Такая ситуация особенно про¬
является при исследовании так называемого вакуумного состояния в квантовой
теории, о котором речь пойдет ниже.
404
4. Скалярное произведение двух векторов £6| и |а} имеет следующие
свойства:
а) (СМ+СМІЮ = СМЮ+ С*а|<О;
б) (сС*І)ІЮ = cQb\a).
5. Допустим, что g(t) = -lL-f(t)=Df(t). Тогда
а) |à)=D|a3;
б) Р(ИО= +^1^3; в) D(c|<O) = cD|<O.
Если D=I— оператор тождественного преобразования, то І\а } = |Ю .
Коммутатор двух операторов Di и й2 записывается в указанном выше виде
Р1, Æ2] с помощью соотношения [Db D2] =DXD2—D2Dit При этом, если D\D2=
=D2Dit то операторы коммутируют между собой (имеем аналог классических
переменных); в общем случае D[D2^D2Di (имеем аналог квантовых перемен¬
ных).
Рассмотрим два кет-вектора | а} и |b} и соответствующие им бра-вектора
СаІ и Qb\. Из этих векторов можно образовать четыре Комбинации чисел:
ОІЮ> CNaD> CalaD и • В общем случае числа С а I и С^Ю
будут комплексными. В квантовой теории делается предположение
ОІЮ = С*1Ю% C*l<O>0.
Допустим, что L+ — линейный оператор, э]рмитовски сопряженный операто¬
ру L. Тогда бра-вектор, связанный с кет-вектором |Ю = L , записывается
так:
С<7|= СрН+ = (СЧЮ)+ = (ІЮ)+.
Следовательно, если СаІ = С P I и ІЮ = L\P 5 > то
CpIL+ІЮ = Qb\L\py.
Если некоторая величина может быть измерена, то ее собственные кет-век¬
торы образуют полную систему собственных векторов. В случае дискретных
собственных значений наблюдаемой величины имеется система собственных
кет-векторов {(/}}; это означает, что любой кет-вектор |*ф } можно разложить
по собственным кет-векторам
э с /|фD, Зю СИ=/.
I I
Допустим теперь, что операторы наблюдаемых величин Л и В не коммути¬
руют между собой и удовлетворяют условию коммутации
[Л, В]=іС, (П2.1)
где С — постоянная или оператор. Квантовое среднее значение величин А и В
для большого числа измерений равно
<4> = С 4 I А I г|О , <£> = С4' I5 I 4? » С4 I 4D = 1 » Тогда квантовые
флуктуации
<Ла> = С4Ма 14D. <s2> = С41В214.
Среднеквадратичные отклонения при измерении величин Л и В, имеющие кван¬
405
товую природу, равны соответственно
< (ДА)2>=<А2>-<А>2, < (ДВ)2>=<В2>-<В>2.
В рассматриваемом случае наблюдаемые переменные А и В не могут быть од¬
новременно измерены с любой степенью точности, их среднеквадратичные от¬
клонения удовлетворяют неравенству
<(ДА)2><(ДВ)2»Ѵ2|<С>|2, <С>=С^|С|і|О . (П2.2)
Таким образом, получили математическое выражение принципа неопределенно¬
сти Гейзенберга.
Обозначим а=А—<А>, $ = В—<В>. Так как величины <А> и <В>— обык¬
новенные числа, то операторы а и 0 удовлетворяют условию (П2.1) [а, 0] =
= іС. Так как <а> = <0> = О, то <(ДА)2> = <а2> = <(Да)2>, < (ДВ)*>=< (Д0)2>.
Следовательно, в силу (П2.2)
< (Да)2 (Д 0) 2> = < (ДА)2 ( ДВ)2» ‘Л I <С> 12. (П2.3>
Знак равенства в соотношениях неопределенности (П2.1), (П2.2) достигается
при условии
а|г|О =С0|іЮ, СФI («Р + М IЮ =0, (П2.4)
где С — постоянная.
Таким образом, если кет-вектор |-ф 3 удовлетворяет условиям (П2.4), то
произведение оказывается минимальным, (ДА) (ДВ) = 1/г<С>. Состояния с ми¬
нимальной неопределенностью рассмотрены подробно в [398] и др. В п. П2.2
приведены элементарные примеры подобных состояний.
П2.2. Состояния с минимальной неопределенностью в квантовой теории.
Состояния, для которых в (П2.2) выполняется соотношение типа (ДАДВ) =
= Ѵг<С>, будем называть состояниями с минимальной неопределенностью. Так,
для квантовой системы, описываемой в терминах переменных (q, р), имеем
àqàp=K /2.
* Рассмотрим несколько наиболее распространенных примеров нахождения
состояний квантовых систем с минимальной неопределенностью [388, 389, 408,
409], имеющих самостоятельный интерес.
Пример 1. Рассмотрим свободную частицу. Предположим, что А = р,
B = q и необходимо найти состояние системы, в котором произведение (ДрДр)
минимально.
Поскольку операторы А и В имеют р- и ^-представления, то необходимо
иметь соответствующие правила работы с этими представлениями и перехода
от одного представления к другому. В квантовой теории оператор р при пере¬
ходе из р-представления к ^-представлению преобразуется по следующему пра¬
вилу [389, 408, 409] :
Л Кд Кд
С (ВД
I dq I oq
Аналогично оператор q при переходе к р-представлению преобразуется по пра¬
вилу
~ К д К д ' .
С р’ і?ір’ D = --~гт С р' ір' ? = --ТТ С Р ір'О-
I др I др
Тогда искомое состояние системы соответствует минимальной степени локали¬
406
зации частицы в импульсном пространстве, когда ее координата находится в
интервале &q координатного пространства.
Уравнения типа (П2.4) эквивалентны уравнению
і , ( h d \
— (? — «7»'|’(<7) = (уТТ—</’>1'1’ Ü (П2.6)
<’=»1. t (<?') = Cfl'lt)-
Решение (П2.6) имеет вид
t (<?') = Ci exp (y (P) <?' — (<?' - «7»’} . (П2.7)
IЛ 2л£ )
где С2 — постоянная интегрирования. Так ка$
оо оо
С'1’1’1’) = J І'І’(<7')РЛ7'= I. <(A<7)2>=JJ I'і’(<?') I2 (<7'— (Aqypdq',
—оо * —оо
то имеем
hl = 2 <(Д<7)’> ; I с, I» = [2л < (&q)*>r'A.
Следовательно,
t <?'). 1 У ехР №г~ - (<?4мУ ) • <П2-8>
[2л <(Д<7)2>] '* I й 4<Д<7)2> J
Таким образом, выражение (П2.8) описывает волновую функцию с минималь¬
ной неопределенностью в координатном представлении. Среднеквадратичная
флуктуация величины р определяется через заданную среднеквадратичную
флуктуацию <(Д<7)2> в виде -
<(Ар)Ъ = Л><(А^)а>/4.
Так как вектор состояния |ф } в р-представлении и ^-представлении имеет со¬
ответственно вид
оо
ФО?') = С<7'It} = Г 4р'ехр[‘-^-| 0'1’1’ 3 —L_ . (П2.9)
J { h ) у2пЛ
<р(р')= Ср' |ф) =—— \ dq’ exp (— С<7' It 3. (П2.10)
V2nh J I h J
*-oo
то из (П2.8), (П2.10) следует.
, ,ч 1 ( i
Ф (P ) = ; — exp — — <q> (pf — <p>)
[2я <(Др»)>]‘^« I
_ (/>' - <P»2 1
4<(Др)’> J
(П2.11)
Таким образом, получили выражение для волновой функции с минимальной
неопределенностью в импульсном представлении.
Согласно вероятностной интерпретации квантовой теории вероятность того,
что частица локализована между q' и q'+dq't равна |ф(/) |2J/. Используя
(П2.8), получим
I t (<?') I2 dq’ = - dq' exp [-
/2n«(Aç)2» I 2<(Aç)a>
(П2.12)
407
В импульсном представлении |ф(р')|2 также гауссовская функция с центром
р'=<р> и нормальным отклонением Ѵ<(Ар)2>=^/2-У<(Др)2>. Функция ф(р')
представляет собой волновой пакет, а соотношение (П2.8) определяет волновой
пакет с минимальной неопределенностью.
Пример 2. Рассмотрим теперь поведение волновых пакетов с минималь¬
ной неопределенностью во времени на примере той же свободной частицы, у ко¬
торой потенциал U(q)=0. Гамильтониан такой системы
Я=р2/2/и=Я+. (П2.13)
Так как для консервативной системы величина Н является интегралом движе¬
ния, а [р, Н] =0, то величина р также является интегралом движения для сво¬
бодной частицы. Оператор р удовлетворяет уравнению для собственных зна¬
чений
рірО =р' I/O; (П2.і4>
Нр\р'^ =рН\р'-) = р'Я|р'3- (П2.15)
Из (П2.15) следует, что вектор Н\р'^) также является собственным кет-
вектором оператора р с собственным значением р' и отличается от кет-вектора
согласно его свойствам только постоянным множителем Е. Тогда
Н\р'^=Е\р"),
т. е. £=р2/2/п. Отметим, что —р и +р дают одинаковые значения энергии при
движении частицы направо и налево, т. е. имеют пример вырождения в кван¬
товой системе.
Кет-вектор состояния системы |ф(0 Э с гамильтонианом Н подчиняется
уравнению Шредингера
d
ih =яіч>(оэ, (П2.іб>
(П2.18)
которое дает решение
|ф(0? = /о)ІФ('о)3> ё/(Л/о)=ехр[-гЯ(/-/о)А]; (П2.17>
вектор ф(/о) представляет состояние системы в момент времени /о- В рассмат¬
риваемом случае уравнение Шредингера (П2.16) принимает вид
д I ф (П Э Ра
ІЛ J =
ot Ztn
и из (П2.17) следует
| ф (О } = exp [- ip2t/2mh] I ф (0) ). (П2.19)
В координатном представлении волновая функция, зависящая от времени, име¬
ет, согласно изложенному выше, вид
Ф (</'. О = С Я' I ’І’ (0 ) = С Я' I ехр [— /ра//2тй] | ір (0) . (П2.20)
Из условия полноты для собственных векторов |р'Э уравнение (П2.20)
можно записать в виде
Ф (?', 0 = J С<Z' I «P (— V2//2mft] | p' ) dp' O' I (0) ) =
= J exp [— ip2t/2mh] Qq' | p'~) dp'у (р', 0).
(П2.21)
408
Так как
1 [ ір'ц' 1 1
Ср'1^0 =—т=-ехр-——, С^'ІР'З = ~7= exp [ip'q'/h]
У 2nh I h ) У 2лН
(П2.22)
и является собственной функцией оператора координаты в импульсном пред¬
ставлении и оператора импульса в координатном представлении соответствен¬
но, то уравнение (П2.21) принимает вид
оо f
Ф (<?'. О = -1 f exp [— exp 1 ‘Р ’ °) dp' ■ (П2.23)
1<2лй J 1 2тП) I л )
*-oo t
Таким образом, уравнение (П2.23) дает выражение для волновой функции
(<?',/) в координатном представлении через начальную волновую функцию
<р(р', 0) в импульсном представлении.
Предположим, что в (П2.23) начальная волновая функция <р(р', 0) с ми¬
нимальной неопределенностью имеет вид (П2.11); для упрощения выкладок
примем <р(0) >=<р(0) >=0. В состоянии с минимальной неопределенностью вы¬
полняется соотношение ■/< (Др)2>і=0= h /2-(Др)2>«=0. В рамках принятых
обозначений из (П2.23) имеем
'> - е"РI” 4 «Л,)’> + »»“■
(П2.24)
В (П2.24) обозначено
оо
<(Д7)а> = 1 ctwimm г = J с/.о)і2л?'.
*-оо
Из (П2.24) следует
оо
<<?><= j l^(9'.0l2<7'd<?'=0. (П2.25)
*-оо
Таким образом, частица в среднем все время остается в точке р'=0. Средне¬
квадратичное отклонение
оо
Г* Й2/2
= j I * (,'. О |>■ (П2.26)
*-оо .
Из (П2.26) следует, что волновой пакет с течением времени расплывается в ко¬
ординатном пространстве. Из (П2.26) следует также, что чем меньше У<(Др)2>
в начальный момент /=0, тем быстрее происходит расплывание такого волно¬
вого пакета с возрастанием времени.
Среднее значение импульса такой частицы в любой момент времени / равно
нулю:
7 , , d\b(q', t) J
<p>t = Ф (я > t) ~а, (П2.27)
J I oq
*-оо
409
а среднеквадратичное отклонение импульса от р'—0 в момент времени t равно
Г д2 Я2
■<р,>' " “ 1 " së ’ ’ 0
”°° (П2.28)
При выводе (П2.27), (П2.28) использовалось соотношение
оо
Г I л д \
<f (р, <?)> = Ct(O|f (P. ff)lt(O) = I ’!’*(/. Of --Гт• х
J \ 1 dq !
X ф (<?', t)dq' (П2.29)
и уравнение (П2.24).
Тогда произведение неопределенностей в момент времени t равно
h2 г h2 12 h2
<(Д,);> _ - + . (П2.3О)
Из (П2.30) следует, что произведение неопределенностей, которое было мини¬
мальным в начальный момент, с течением времени увеличивается.
Пример 3. Рассмотрим классический гармонический осциллятор, описы¬
ваемый координатой q и импульсом р; функция гамильтона
H = 1/i(p2 + (ù2q2). (П2.31)
Классические уравнения движения в гамильтоновой форме имеют вид
dq/dt = дН/др = р; dpldt = - dHldq = — œap. (П2.32)
Если ввести обозначения
п = —~г(û)ç + tp); а* = “(œp — ір), і (П2.33)
/2(0 / 2co
то уравнения (П2.32) примут еще более простой вид
da/dt = — іам\ da*/dt = іоа*. (П2.34)
Соотношения (П2.33) разрешаются относительно р и q в виде
1 1Г <•) " «
q=—— (а*+а); р = і I/ ~(а* — а). (П2.35)
/2<о Г 2
По аналогии с классическим случаем для квантовой системы вводятся два не¬
эрмитовых оператора â и â+ соотношениями
а = —-— (сор + ip)> я+ — ——— (œç — tp); (П2.36)
y2h(û У 2h(ù
q = "j/"“ (û++e); P = i — (П2.37)
Оператор â называется оператором уничтожения, a оператор d+ — оператором
рождения.
Для квантовой системы
[qf р] = (П2.38)
я = 1/а (р2 + со2^2) = я+. (П2.39)
410
Согласно изложенному определения векторов состояния системы в пред-
ставлении Шредингера и Гейзенберга связаны соотношением
І’І’шСОЗ =u(t, <o)Hr(/o)^.
(П2.40)
При t=t0 имеем U(t0, /о) = 1, т. е. в этом случае векторы состояний в обоих
представлениях совпадают друг с другом.
Согласно (П2.16), (П2.17) имеем для (П2.40)
( iHt 1
1 = ûf (/, 0)|фг(0)} =ехр^-— ||фг(0)>
(П2.41)
Операторы [а, а+] = 1 и .
Яг (0 = и+ ('> °) ЯцР У, 0), рг (Z) = С/+ (/, 0) рши (/, 0).
(П2.42)
Если подставить (П2.37) в (П2.39), получим
Z4 К® ~ /ч /уч ~ 1 \
Н =— (аа+ + а+а) = 1 а+а + “ •
2 \ 2 /
В классическом осцилляторе (П2.35), (П2.36) имеем
(П2.43)
H = соа*а.
(П2.44)
Таким образом, уравнение (П2.43) отличается от (П2.44), так как операторы
â+ и â здесь не коммутируют; величина Лш/2 называется нулевой энергией
осциллятора.
Для операторов â+ и â выполняются дополнительные правила коммутации
[а, а+а] = а, [а+, а+а] = — а+.
(П2.45)
Уравнения в форме Гейзенберга применимы как к эрмитовым, так и к не¬
эрмитовым операторам. Поэтому уравнения для âr (0 и df (/) принимают вид
dOp 1 л X л dOp іуч/ч /ч
~dT= ІП Рг’ Яг1 = “ ,шаг: ~dT = 7п [аГ’ = ішаг-
(П2.46)
Решение уравнений (П2.46) имеет вид
ôr (Z) = U+ (/, 0) аши (/, 0) = (П2.47)
5+ (/) = 1/+ (/, 0) âyj (t, 0) =
При этом
U (t, 0) = eiat 0ШОІѴ‘“'/*. (П2.48)
Здесь и d£j — операторы уничтожения и рождения в представлении Шре¬
дингера.
Оператор d+d=W=W+ называется оператором числа частиц. Тогда соот¬
ношения (П2.45) примут вид
Na = a(N Na+ = а+ (N + 1), (П2.49)
а оператор М и гамильтониан Н связаны соотношением
N = -LH-~. (П2.50)
h® 2
411
Приведем сводку важнейших соотношений:
N\rQ=n\rQ, а 10 2> =0, а\п~)=Уп\п- 12) » а+\п^ =
= Yn~+l\n+ 1}. (П2.51)
Рассмотрим последнее соотношение в (П2.51). Если п раз применить â+ к со¬
стоянию |0 ) , то
(а+)п
|Ю = (П2.52)
У п\
Отметим, что выполняются следующие условия ортонормированности:
c«'l«'D = ôn^ (П2.53)
и соотношение полноты
3 ІЮ С«І = /- <П2-54)
п=о
Собственные значения энергии равны
£„=Л<о(п + 1/2), (п = 0, 1, 2, . . .). (П2.55)
Из (П2.55) следует, что в квантовой теории значения энергии дискретны.
При больших п квантовые эффекты сглаживаются и квантовые соотношения
переходят в классические.
Согласно (П2.53), (П2.54), собственные кет-векторы {| п } образуют пол¬
ную систему. Поэтому произвольный вектор состояния |ф? в фиксированный
момент времени можно разложить
оо
ІЮ=3С"ІЮ. (П2.56)
где коэффициенты разложения сп являются с-числами. Пусть
хп
сп= — е~х,/2. (П2.57)
У пі
Согласно (П2.52) имеем
оо ОО л
ІЮ =е~х!/2у jL = е-*’/2у 0} = е“*’/2ехр {*«+} |0),
„=оГ^І п=о «I
где |0 D — состояние вакуума.
Вектор состояния (П2.58) представляет собой волновой пакет
ной неопределенностью
= Д/2.
(П2.58)
с минималь-
(П2.59)
Обозначим â+â=x2 и
Н = “ (P2 + <û2?) = Ла (â+â + Ѵа).
Решение уравнения Шредингера для (П2.60) имеет вид
1 ір (0 ) =- 1 If (0) 2) -
(П2.60)
(П2.61)
412
Пусть |ф(0) 2)—волновой пакет с минимальной неопределенностью (П2.58)<
Тогда из (П2.61) следует
I Ц, (/) } = е-№//2еЧа>/2+2е-х>/2 I л -) (П2.62>
п=о п\
Так как d+d— среднее число квантов в волновом пакете и f(d+d)|n} =
=f (п) \ п^), то из (П2.62) следует
II (0 ? = е~^е-х*1г 2 I п =е-Ы1*е-*г1* ехр (хе~іа> а+) |0 ).
п=о У ni
• . (П2.63>
Тогда для |ф (/) ) имеют место
- l/~2h zs ~ h
<q> = X у — cos со/, <р2> = <р>2 + — ,
F (о 2(ù
(П2.64)'
~ г ~ л Дсо
КР> — X у 2h(ùsm со/, <р2> = <р>2 +“ ,
~ ~ h
àpàq= — . (П2.65>
Из (П2.64), (П2.65) следует, что если в начальный момент времени волновой
пакет для гармонического осциллятора обладал минимальной неопределенно¬
стью, то и для всех других моментов времени выполняется (П2.65), т. е. вол¬
новой пакет не расплывается в отличие от волнового пакета для свободной
частицы (П2.13). Дополнительно отметим, что из (П2.64) следует, что центр
волнового пакета совершает простые гармонические колебания как классиче¬
ский осциллятор; квадраты модулей волновых функций в координатном и им¬
пульсном представлениях — | Qqf | ф (/) |2 и | Qp' | ф (/) } |2 — являются также
гауссовскими распределениями вероятностей с центрами <р> и <р> соответ¬
ственно.
Приведенные результаты показывают, что последовательность нормиро¬
ванных собственных векторов оператора. (П2.39) можно задать в виде
~ (0+)" 4'0 (л = о, 1,2, . . (П2.66>
/лі
где в координатном представлении [377, с. 80]
(Cù W4 ( сор2 ]
г) ехрГ~Г
п
/ю\1/4 (2œ) 2 / d \п Г (Dp2 1
%(?) = (— ) 7=—-зт) ехр ~ ’ (П2.67>
\л / /лі \ “9 / L 2 J
или в компактном виде через полиномы n-степени Чебышева—Эрмита Hп (Vœp)
= (П2.68>
Согласно изложенному функция |фп(<7)|2 является плотностью функции рас¬
413
пределения координаты в п-м состоянии осциллятора. Для классического ос¬
циллятора (П2.31) — соответствующая функция распределения координаты
F(q) = ô(q—q(t)). В [377] показано, что типичным пределом квантового со¬
стояния является классическое смешанное состояние, которое суть выпуклая
комбинация решения уравнения классического осциллятора (П2.31) в виде
q(/) =А sin(œ/+(p) со случайными фазами <р. Для такого состояния плотность
распределения координаты имеет вид [377, 401]
F(q)
Из приведенных результатов следует важное отличие функций F(q) и |фп (q) |2:
функция F(q)=Q при |^|>Л, а функция |фп|2 не обращается в нуль. Это
означает, что классическая частица всегда находится между точками (—А, А).
Область (—Л, Л) является классически разрешенной. Квантовая частица мо¬
жет быть обнаружена в силу свойств |фп(<7)|2 с конечной вероятностью в
классически запрещенной области. Эта область для произвольного потенциала
V(q) определяется из условия, что полная энергия E<V(q). Этому условию
«физически соответствуют отрицательные значения классической кинетической
энергии.
В более общем случае для осцилляторов, волновая функция которых сим¬
метрична относительно попарных перестановок операторов а и а+, существует
правило коммутации 4
атап~апат = 6тп/. (П2.69)
Такие частицы называют бозонами. Если волновая функция антисимметрична
относительно попарных перестановок, то —
^< + <^ = 0^/. (П2.70)
(П2.71)
Такие частицы называют фермионами. Если f(p*, <?/,) является целой функцией
операторов р^, qi, то имеют место соотношения
„ ~ dî - ~ df
[Pk,fl = —i^-~; [qk, Л = in .
дЯк dPk
Допустим, что H(âkt â+k) есть целая функция операторов d*, â+h. Тогда
из (П2.36) и (П2.71) следует
[ak, Я] =дН/даІ. (П2.72)
Таким образом, уравнения Гейзенберга для операторов уничтожения и
рождения для бозонов (П2.69) можно записать в виде [87]
„ &k дН
th =
dt da+k
Введенные соотношения позволяют в ряде случаев ввести феноменологические
модели, в которых релаксация может быть учтена с помощью дополнительно¬
го диссипативного члена В этом случае [87, 411] имеем из (П2.73) сле¬
дующее уравнение:
dak ~
^г+^=
(П2.73)
і дН
h ’
(П2.74)
414
Термодинамический анализ классических систем приведен в [39]; термо¬
динамический анализ квантовых систем с учетом диссипации рассмотрен в
[397].
Пример 4. Рассмотрим в качестве динамической системы LC-контур &
отсутствие потерь с последовательно включенным генератором напряжения e(t)
вида
d*q 9 1
-^-+“о<? = ре(0. (П2.75)
где q — заряд; ©02=(LC)-1 — резонансная частота контура. Ток p(t) в конту¬
ре равен dq!dt=p(t). Гамильтониан имеет вид
н = 4-(Р’ + “о<72)-7-е(О<7. • (П2.76)
£ L
В квантовой системе для рассматриваемого случая [q, p] = i ft, [4, Æ*] = 1 и
И (/) = (а+а + —'І - —(2+ + а). (П2.77>
\ 2/ £У2Ло>о -
Состояние контура в момент времени t и его состояние в момент /о=О связаны
соотношением
IФ (О У = еА We~i<->o(2+S)teC(t)^eB(f)â I ц, (0) Э, (П2.78)
где
t t .
A (t) = - J dt'C* (Г) J dt"C (Г), '
0 0
t
= — C* (t), C (0 = i (L Ÿïiiüj-1 J e (f ) ez“«r df. (П2.79)
0
Если исходным состоянием контура является состояние вакуума |*ф(0)^ =
= |0 }, d|0 }=0, то имеем из (П2.78)
11 (і) 5 = е™ exp [С (0 ече*а+] | 0 ). (П2.80)
Так как соотношение (П2.58) описывает волновой пакет с минимальной неоп¬
ределенностью, то можно показать [408], что (П2.80) обладает таким же свой¬
ством:
<2> = Сір (О I о| ф (/)} = г*; <â2> = z*; <â+> = г; <ô+2>=z2;
<a+â> = |z|2 =|С(/)|а; <іш+> = 1 +|г|2; (П2.81)
<Р> = » V(г — г*); <<?> = VЛ/2ш0 (г +г*);
<р2> =(2|zI2 + 1 — z2-z*’), <<?2> = (21zI2 + 1 +z2 + z’’);
(Др)2= ЛШо/2; (Д7)2=Л/2<Оо. (П2.82>
Тогда ^püq== П /2.
Уравнение (П2.82) представляет собой волновой пакет в переменных «за¬
ряд — ток» с минимальной неопределенностью; при этом соотношение (П2.82)
выполняется в любой момент времени независимо от действующей на кванто¬
вый контур вынужденной силы = —e(t) /Lf2 ft(ùo, т. е» состояние квантовой
415
-системы инвариантно к внешнему возмущению. Отмеченный факт выполняется,
когда напряжение генератора возбуждает контур, находящийся в вакуумном
состоянии. Именно в этом случае состояние с минимальной неопределенностью
возникает независимо от формы действующего внешнего возмущения е(/).
Рассмотрим в связи с отмеченным свойства предполагаемого состояния ва¬
куума. До включения генератора напряжения
//=1/2- (p24-(Do2ç2) =Д œ0(d^d+l/2). (П2.83)
Если |ф(0) 3 = |0 ) , то из (П2.81) следует
<Ъ = CO|ç|O } =0; <р> = СО |р I 03 =0;
<<72>=fc/2(Doî <р2> = До0/2; <а+а> =0, (П2.84)
<Я> = Д(оо/2; (Aç)2 = Д/2соо; (Ар)2 = /*соо/2 и kpkq = h/2.
Из (П2.84) следует, что в состоянии вакуума средние заряда и тока равны
нулю, а средние квадраты отличны от нуля. Так как соотношение (АрАр) = h /2
есть прямое следствие коммутационного соотношения [р, р] = h /2, то нулевые
флуктуации величин q и р возникают как следствие квантования контура.
В данном случае имеем непосредственный квантовый аналог условия инвари¬
антности, полученного Б. Н. Петровым для классических динамических систем.
Пример 5. Рассмотрим кратко одну из моделей открытых квантовых
•систем [413]. Предположим, что при взаимодействии квантовой системы с ок¬
ружающей средой средние значения импульса и координаты изменяются ли¬
нейно, и будем искать нижние оценки для соответствующих дисперсий.
Обозначим через 3?\ гильбертово пространство состояний |/3Œ^i> задан¬
ной квантовой системы. Как и ранее, канонические координаты q и импульсы р
удовлетворяют правилам коммутации [q, p]=ihl. Состояния в простран¬
стве 3?2 внешней системы играют роль окружающей среды по отношению к вве¬
денной квантовой системе.
В пространствах и 3?2 вводятся полные ортонормированные базисы
{\п")}(=2\ и {|рЗ В расширенном пространстве операторы
<7 и р изображаются блочно-диагональными матрицами
= с«1 Сп!*ІРІтѵ 3 = OIPI mJ 6цѴ.
Ч (П2.85)
Предполагается, что исходные состояния рассматриваемых систем независимы.
Это означает, что | /фЗ = ІО 1 ФЗ • В результате взаимодействия квантовой
системы с окружающей средой получаем унитарное преобразование |/'ф' 3 =
= £/|/ф 3» которое в общем случае нарушает независимость исходных состоя¬
ний, т. е. I /'ф' 3 ¥= |/ф 3 • Это в свою очередь приводит к изменению средних
значений С /1 PI О - W I ) Î С l\P I О - С І’Ѵ IP I l'VJ •
В силу принятого предположения о линейном характере подобных измене¬
ний можно написать
С/'Г = Qblp\ Û+qÛ \ tyj =g1Ql]q\iy,
(П2.86)
ОѴІРІИО = =& СЛрЮ-
416
В (П2.86) gi — коэффициенты пропорциональности для любого \13
Операторы P=U+pO, Q—U^qU в (П2.86) означают эволюцию^ и р под
влиянием взаимодействия в картине Гейзенберга, и в 3? по-прежнему выполня¬
ются соотношения [P, Q]=‘Af. Если представить операторы Р и Q в виде
Q = + £і» ? = £'іР + (П2.87)
то коммутатор
[Q, = gigi lq, р] + gi [q, с2] + g2 [Clt p] + (Сь CaJ. (П2.88)
В силу эрмитового характера C< имеем Q /ф | Ct1 /ф} =0 и | Сі | /пф} =0«
Тогда С^|[£Са]|/ф} = С/ф|[Сь Р]ІАЮ=0 и С I | /ф } = 0-3
В результате имеем ’
<[С1, Са]>= с ЬН Къ Са] I/ФЭ =іЛ(1-^а). (П2.89)
Аналогично
Д2
<ф ~ (П2.90)
Обозначим дисперсии канонических переменных системы после взаимодействия
с окружающей средой через
= + <CÎ>> Ъ = £$ + <<%>> (П2.91)
а2 — исходные дисперсии.
Рассмотрим минимизацию произведения ap2oq2 при фиксированном значе¬
нии <Сі2><С22> по (П2.90). В результате имеем
<^0 = 777-11-^1 (П2.92)
и из (П2.91), (П2.92) следует [413]
~~ h
OqOp > glgiap^9 + 7 11 - gig* I • (П2.93)
Соотношение (П2.93) является обобщенным соотношением неопределенностей
для открытой системы. Из (П2.93) следует, что при £i=£2=g>l дисперсии
возрастают, т. е.
Vp>*a(v<z + y)-7- (П2.94)
Для случая, рассмотренного ранее, когда исходные дисперсии минимизируют
произведение а9ор = ^/2 при g<l (уменьшение средних значений) имеем со¬
отношение неопределенностей Гейзенберга одоР^/2. Если ^^2=1,
то имеем чистый случай воздействия на осциллятор. В этом случае, как извест¬
но из предыдущего примера, произведение квантовых неопределенностей не воз¬
растает. Из (П2.93) следует этот же результат при унитарном преобразовании
&=ехр {gi(â+â+—ââ)/2} с операторами рождения и уничтожения. В результа-
14 Б. Н. Петров и др. 417
те имеем параметрическое усиление колебаний осциллятора, не сопровождаю-
щееся квантовой необратимостью [408].
Пример 6. Рассмотрим, следуя [414, 415], динамическую
примера 2, описываемую уравнением Шредингера
. дф h д2ф
dt 2tn dq2
при условии
1|>(<7,0) = Ai (В<?/Я,/»)1
систему из
(П2.95)
(П2.96)
где В — постоянная, a Ai — функция Эйри [416, 417].
Решение (П2.95) с условием (П2.96) имеет вид [414]
z X < В / B3t2\l (iB3t Z B3t2
♦ <"• ° “ A11^7 - w Я “f - w Л •
(П2.97)
В интегральном представлении функции Эйри [417] решение (П2.97) можно
представить [414] в виде
t (q, t) =
M J
—oo
h2k3Y\
3B8/J
dk.
(П2.98)
имеет глубокую связь с
эта связь была установ-
Из (П2.97) следует, что |ф|2 в отличие от рассмотренного в примере 2 случая
не расплывается, но равноускоренно движется в виде нерасплывающегося вол¬
нового пакета со скоростью B3t2/2m2.
Такое на первый взгляд парадоксальное решение
принципами симметрии волновых уравнений. В [415]
лена следующим образом.
Уравнение Шредингера (т=1, ^=1)
. дф д2ф
1 dt dx2
(П2.99)
соответствует 7-мерная фактор-алгебра Ли с базисом из операторов (н=Неф,
ц = Ітф):
d d d д
Zj = “7“ ; ; Z3 = х ~~ + 2t —■ ;
dx dt dx dt
d d d d d
Zl = 2t — + xv — -xu—- Ze = u— + v — ;
dx du dv du dv
d d d d d
Z? = v — — u— ; Z3 = 4/2 — + 4tx — — (2tu — x2v) — —
du dv dt dx du
d
- (x2u + 2tv)— . (П2.100)
Операторы (П2.100) получены факторизацией по идеалу, который образуется
преобразованиями, переводящими любое решение уравнения (П2.99) фі в ре¬
шение фі+Аф2. При этом ф2 есть любое решение (П2.99), А — произвольная
постоянная.
В (П2.100) операторы Z, порождают следующие конечные преобразования
[415, с. 1549]: Z\ и Z2 — сдвиги по пространственной переменной и времени;
418
Z3 — преобразование подобия в двумерном евклидовом пространстве-времени
x'=kx, t' = k2t, 'ф,='ф; Z4— галилеев перенос (при надлежащем преобразова¬
нии ф) x'=x+2vt, f = t, i|)z=i|)exp{—i(xa + ta2)}-f Z5 — преобразование инвер¬
сии 4b/)-1, x' = x(l—4 b/)-1, ф'=фУ1—4b/exp- {— ix2b/(ï — 4b/)}; Ze —
преобразование подобия в пространстве решений ф'=Лф; Z7—гиперболический
поворот в пространстве (Иеф, Іптф) :ф'=е-іаф.
Для сравнения приведем базис соответствующей алгебры Ли для простей¬
шего уравнения х
d
Y3 = xTt'
dt
0:
d
l~~ dt ;
__ /d
d
Xa = x - ;
dx
„ d d d
Х* = х2т + Іх^7> ' Y* = txT +/2^T • (n2101)
dx dt dx dt
X3 = tl~’
dx
dx
dx
d .
Здесь конечные преобразования имеют следующие значения: Х\—сдвиг по
х(х'=х+а); Х2— преобразование подобия x'=kx\ Хз— галилеев перенос
/'=/, x'=x+vt\ Х4— преобразование инверсии х'=х(1 — 0/)"1; /'=/(1—р/)’1.
Преобразования У, получаются из преобразований, порождаемых операторами
Хі при замене /->х. Нетрудно заметить, что порождаемые алгебрами группы и
сами алгебры Ли (П2.100) и (П2.101) не совпадают.
Рассмотрим из (П2.100) комбинацию операторов Z2 и Z4 в виде
Z2 bZ&.
Оператору (П2.102) соответствует [415] сопряженная система [418]
dt dx dty
1 2bt ibxty ’
(П2.102)
(П2.103)
Первый интеграл первого равенства (П2.103) имеет вид Ц = х—bt2. Второй ин-
2
теграл /2=фехр {ibt(x—— bt2)}. Следовательно, (Z2+bZ4)-HHBapnaHTHOe реше-
о
ние уравнения (П2.99) имеет вид
ф = exp
Ф (X - bt2).
(П2.104)
В (П2.104) Ф(-)—пока неизвестная функция. Из (П2.99), (П2.104) следует
уравнение для функции Ф вида
ф —Ь£Ф=0; % — x — bt2. (П2.105)
Уравнение (П2.105) называется уравнением Эйри [417, 56]. Нетрудно заметить,
что из (П2.104), (П2.105) следует (П2.97). *
Приведем еще два примера подобных решений [415] .
В двумерном пространстве х, у базис алгебры Ли (П2.100) пополнится
операторами
d d d d d d
—, y — — x—; 2t -Т- + уѵ — -Уи— ; (П2.106)
dy dy dy dy du dv
оператор Zs перейдет в оператор вида
d d d d d
4t2 — + 4tx — + 4ty — [4tu — (x2 + y2) ü] — — [ (x2 + y2) и + 4tv\ —
419
14Ф
л d d d
Оператор x — + y — + 2t— порождает
dx dy dt
преобразование подобия; оператор
d d
У7~х7
dx dy
порождает поворот; их комбинация порождает движение по спирали.
Их совместный инвариант имеет вид g= (x2 + y2)/t. Если искать решение урав¬
нения Шредингера в виде
^ = Ф(В), (П2.107)
то для (П2.107) имеем уравнение
Л2ф d(D
— 4g + (4 + ^)—=0. (П2.108)
Следовательно,
с exp I— — іг) I dx\
. (П2.109)
Решение (П2.109) имеет вид так называемой SiCi-спирали (Reip — интеграль¬
ный синус, Іптф— интегральный косинус).
Если сделать замену х= (рі—р)/р в радиальном уравнении с потенциа¬
лом отталкивания [56]
(Pu
dp2 +
то (П2.110)
d2u
dx2 ~
, 2п 1(1+1)!
1 — — —
Р
Р2
u=0,
(П2.110)
примет вид
ѵх 1(1 + 1)!
V— X ѵ(ѵ —
и = 0,
(П2.1І1)
где р=Ѵвг/а, 8=Е/Еі, r] = Z/ye, ѵ=рів/в, а=Л2//ие2=0,529-10~8 см, Е=
= me4/2b2=13f55 МэВ; рі—наибольший корень уравнения р2—2rjp—1(1+1) =0
и имеет вид p = rj± (ï\2+l(l+ 1))*Ч u(r)=rR(r). "
При V->оо уравнение (П2.111) переходит в уравнение типа (П2.105)
й(х)—хи(х)=0, решением которого являются функции Эйри
//« Г /2 \ /2 з, \1
аі (х) = Т г-*/» Ѵз* / “ И х /] ’если х > 0;
(П2.112)
Ві (Х) = у
если х<0.
Функции Эйри (П2.112) имеют при х>0 профиль затухающей экспоненты
и при х<0 вид синуса. Таким решениям соответствует движение частицы из
бесконечности к центру сил и обратно в бесконечность; точке поворота соответ¬
ствует максимум функции, а решением для R(r) является стоячая сферическая
волна.
Таким образом, в потенциале отталкивания образуются стоячие волны, ко¬
420
торые формируют так называемую сферическую оболочку вокруг центра с ра¬
диусом, превышающим в 2 Z раз орбиту Бора для атома водорода [415, с. 1551].
Приведенные примеры позволяют максимально близко подойти к изложе¬
нию еще одного квантового объекта — когерентных состояний, нашедших ши¬
рокое применение в квантовой теории. Эти состояния обнаружены как в нере¬
лятивистских, так и в релятивистских динамических системах. Поэтому предва¬
рительно рассмотрим традиционные модели релятивистской квантовой теории.
П2.3. Волновые уравнения релятивистской квантовой теории для частиц со
спином s=0 и s = 1/2. В данном разделе кратко рассмотрим две традиционные
модели релятивистской квантовой теории: 1) уравнение ФКГ для частицы со
спином s = 0; 2) уравнение Дирака для частицы со спином s=l/2.
П2.3.1. Спин частицы и квантовая статистика. Предварительно дадим основ¬
ные определения.
Спин частицы. Каждый электрон в атоме согласно гипотезе Уленбека
и Гаудсмита обладает механическим моментом Л/2л=^, с которым связан маг¬
нитный момент, по величине равный ehlfaimc=eh !2тс.
Отметим, что отношение магнитного момента к механическому моменту,
равное е/2/nc, называется гиромагнитным отношением.
Собственные магнитные моменты электронов, взаимодействуя с магнитным
полем, созданным движением электронов в атоме, приводят к смещению и рас-
щёплению энергетических уровней системы электронов в атоме, что позволяет
объяснить в конечном счете наблюдаемые спектры многоэлектронных химиче¬
ских элементов.
Гипотеза Уленбека и Гаудсмита была подтверждена в опытах К. Штерна
и И. Герлаха. Эти авторы рассматривали движение атомов серебра в сильном
неоднородном магнитном поле; при этом пучок атомов серебра разделялся на
два пучка. Движение каждого из этих пучков можно было объяснить, предпо¬
ложив, что валентные электроны в одном пучке имеют магнитный момент
еД/2глс, ось которого совпадает с направлением силовых линий магнитного по¬
ля, а в другом пучке валентные электроны обладали таким же магнитным мо¬
ментом, но ось которого была направлена прямо в противоположном направ¬
лении. Таким образом, опыты К. Штерна и И. Герлаха не только впервые под¬
твердили существование спина у электрона, но и дали возможность непосред¬
ственно измерить его величину.
Любопытно отметить историю становления этого понятия. В [44] Дирак
отметил следующее: «Когда Шредингер получил это уравнение (речь идет об
уравнении Фока — Клейна — Гордона (ФКГ)—примеч. авт.) первое, что он
сделал, конечно, было применение его к задаче об электроне в атоме водорода.
Он вычислил уровни энергии водорода и получил неверный результат. Причина,
из-за которой он пришел к неверному результату, заключалась в том, что его
уравнение не учитывало спина электрона. .
Но в то время о спине электрона и понятия не было. Некоторые физики
думали об этом. В частности Крониг думал об этом и сообщил о своей идее
Паули. Крониг работал тогда в «школе» Паули. Паули сказал: «О, нет, спин
электрона абсолютно невозможен». Паули часто вначале неверно оценивал но¬
вую идею. И вот, бедный Крониг был полностью подавлен авторитетным мне¬
нием Паули.
Независимо идея о спине электрона пришла к Гаудсмиту и Уленбеку, рабо¬
тавшим тогда в Лейдене. Они написали об этом небольшую статью и показали
421
ее своему профессору — Эренфесту. Эренфесту идея очень понравилась. Он вос¬
принял ее очень горячо, посоветовал Гаудсмиту и Уленбеку поехать к Лоренцу
в Харлем, чтобы обсудить ее с ним. Так они поехали в Харлем и поговорили с
Лоренцем, и Лоренц сказал: «Нет, это невозможно. Я сам работал над идеей
о том, что у электрона есть спин, и я обнаружил, что при этом поверхность
электрона должна была бы двигаться со скоростью больше скорости света, а
потому и вся идея абсолютно невозможна». Лоренц ошибся. Он чересчур серь¬
езно относился к классической модели электрона.
Гаудсмит и Уленбек были абсолютно обескуражены критикой Лоренца.
Они вернулись к Эренфесту и попросили его не публиковать их статьи. Эрен-
фест ответил: уже слишком поздно, я уже отправил ее в журнал. Таким обра¬
зом, идея о спине электрона оказалась опубликованной. Итак, энтузиазму
Эренфеста и его напористости мы в действительности обязаны тем, что статья
увидела свет.
Шредингер ничего не знал об этом. Он обнаружил, что его волновое урав¬
нение приводило к результатам, не согласующимся с опытом, и был очень разо¬
чарован этим. На некоторое время он даже оставил работу.
- Однако несколькими месяцами позже он вновь вернулся к ней и тут заме¬
тил, что если бы он поубавил свои претензии и просто записал свое уравнение
в нерелятивистской форме, то, применив его к конкретным задачам, он пришел
бы к результатам, совпадающим с наблюдаемыми всюду, кроме тонкой струк¬
туры водородного спектра, которая зависит от релятивистских поправок».
Для того чтобы объяснить результаты экспериментов К. Штерна и И. Гер¬
лаха, необходимо принять, что электрон обладает собственным механическим
моментом с квантовым числом Z=l/2 и, соответственно, /п= + 1/2 и tn =—1/2.
В связи с этим, согласно Паули, можем ввести спиновые операторы Sx, Sv, St
и S2, совершенно аналогичные введенным ранее операторам момента импульса
Мх, Мѵ, Mz и М2. Спиновые операторы должны удовлетворять тем же соотно¬
шениям, что и операторы момента импульса (см. работу Я. И. Френкеля [106]).
Таким образом, в соответствии с полученными ранее результатами [377]
получим, что для S2 существует только одно собственное значение 1/2(1-F 1/2) Да,
h h
а для Sz имеются только два собственных значения — и — — соответствен¬
но. Для общей спиновой функции используют квантовое число S и для соб¬
ственных значений Sz имеем SÆ, так что для электрона S имеет значения ±1/2.
Если обозначить через а спиновые собственные функции, соответствующие
5 = +1/2 и S=—1/2, то можем написать для спиновых собственных функций
следующие уравнения:
S«a = yft2a; S2₽ = уЛ2Р;
Sza = у Ла; Sz0 = - у
(П2.113)
Спином, равным 1/2, помимо электрона обладают протоны и нейтроны. Все эти
частицы могут, таким образом, иметь в магнитном поле только два положения
вектора спина: вдоль и напротив направления силовых линий этого поля.
Частицы со спином 1 могут занимать три положения в магнитном поле
(для этих частиц вектор спина имеет направление вдоль силовых линий этого
422
поля, против и перпендикулярно силовым линиям магнитного поля). Спином 1
обладают фотон, ядра атома дейтерия, азота и др.
Необходимо теперь обратить внимание на следующее. Полный момент им¬
пульса электрона, движущегося в атоме, должен, очевидно, представлять век¬
торную сумму орбитального момента количества движения электрона и соб¬
ственного механического момента количества движения электрона (т. е. спина).
То же самое относится к полному магнитному моменту электрона. Необхо¬
димо подчеркнуть, что, согласно Гааз [420], «...векторный остов атома должен
быть построен так, чтобы результирующий вектор тоже удовлетворял кванто¬
вым условиям».
Как уже отмечалось, протоны, нейтроны и электроны обладают спином,
равным 1/2, в то время как фотоны имеют спин, равный 1. Сложная частица,
образованная из нечетного числа частиц, имеющих полуцелый спин, также будет
обладать полуцелым спином.
Если сложная частица образована из четного числа частиц, имеющих полу¬
целый спин, то она будет обладать целым спином. Если сложная частица обра¬
зована из произвольного числа частиц, имеющих целый спин, то она будет
иметь также целый спин.
Волновая функция Шредингера обладает существенно различными свой¬
ствами в зависимости от того, описывает ли она систему частиц, каждая из
которых обладает полуцелым спином, или систему частиц, каждая из которых
имеет целый спин. Свойства эти следующие [88, 138]: 1) если каждая из двух
идентичных частиц, входящих в состав квантовомеханической системы, облада¬
ет полуцелым спином (например, если каждая из этих частиц представляет
собой молекулу, состоящую из нечетного числа нейтронов, протонов и электро¬
нов), то при взаимном обмене в ф (ç, t) координат этих двух частиц функция
ф (ç, t) меняет знак, оставаясь в остальном неизменной; 2) если каждая из
двух идентичных частиц, входящих в состав квантовомеханической системы,
обладает целым спином (например, если каждая из этих двух частиц представ¬
ляет, как и выше, молекулу, но состоящую из четного числа нейтронов, прото¬
нов и электронов), то при взаимном обмене в ф(д, /) координат этих двух ча¬
стиц функция ф(<7, t) остается неизменной не только по величине, но и по знаку.
Заметим, что принцип Паули является частным случаем этих положений
(антисимметрия волновой функции для системы электронов).
Квантовая статистика. В отличие от классической статистики
Максвелла — Больцмана в квантовой статистике исходят из постулата о нераз¬
личимости тождественных частиц [421].
Представим себе систему, состоящую из N неразличимых частиц. Допу¬
стим, что эти частицы обладают полуцелым спином (частицы этого типа назы¬
ваются фермионами). Волновая функция для этой системы, как показано вы¬
ше, должна быть антисимметричной. Системы этого типа подчиняются стати¬
стике Ферми — Дирака.
В том случае, когда система состоит из п неразличимых частиц, обладаю¬
щих целом спином (такие частицы называют бозонами), волновая функция,
как это было показано выше, должна быть симметричной.
Довольно сложные расчеты приводят к следующему распределению в слу
чае статистики Ферми — Дирака:
(П2.114)
423
аналогично в случае статистики Бозе — Эйнштейна
nk = i//'J-eEk/1'_ Л (П2.115)
/ /
Здесь rik — число частиц, находящихся в k-м энергетическом состоянии Е. За¬
метим, что постоянные А в случае статистики Бозе — Эйнштейна и Ферми —
Дирака различны; они зависят от общего числа частиц и температуры.
Более подробно вопросы квантовой статистики рассмотрены в [388, 389].
П2.32. Волновое квантовое уравнение ФКГ для частицы со спином s=0 во
внешнем электромагнитном поле. Обсуждаемое уравнение ФКГ имеет вид [56,
419, 422]
а — Дф + 77- 77 + л 6rad Р"2*2 + 7Г<Л2~<₽°,>14,=0>
с2 dt2 he \ с dt / h2 L с2 J
(П2.116)
где А= (4і, А2, 4з) —векторный потенциал внешнего электромагнитного поля;
<р° — скалярный потенциал внешнего электромагнитного поля; е — заряд части¬
цы (по поводу обозначений см. гл. 3).
Здесь умышленно приведены традиционные обозначения и форма записи
[422] ; в гл. 4 при изложении квантового постулата приведены и другие формы
записи для (П2.116).
Уравнение (П2.116) было первым релятивистски-инвариантным уравнением
в квантовой механике.
По поводу уравнения (П2.116) П. Дирак в [44] отметил: «Согласно Эйн¬
штейну теория должна быть полностью симметрична по отношению ко времени
и трем пространственным координатам. Но вы видите, что здесь (в уравнении
Шредингера — прим, авт.) нет такой симметрии. В уравнении в форме Гейзен¬
берга стоит dlàt без соответствующих d/dxb d/dx2, djdxz. В уравнении Шредин¬
гера опять-таки есть dldt, но нет соответствующих операторов дифференциро¬
вания по пространственным координатам. Таким образом, перед нами встала
проблема такой модификации теории, которая бы сделала теорию релятивист¬
ской.
Большинство физиков пыталось решить эту проблему путем возвращения
к уравнению (П2.116), обобщенному уравнению де Бройля. Это — релятивист¬
ское уравнение. Впервые оно было предложено Шредингером, но он не опубли¬
ковал его, потому что вытекающие из этого уравнения результаты не согласо¬
вывались с данными эксперимента о спектре водорода. Независимо оно было
переоткрыто Клейном и Гордоном, они и опубликовали его. Их не смутило
расхождение с опытом. Так это уравнение стало известно как уравнение Клей¬
на— Гордона. Конечно, его следовало бы назвать уравнением Шредингера, но
у Шредингера не хватило мужества опубликовать его».
П2.3.3. Уравнение Дирака для частицы со спином s =1/2 во внешнем элек¬
тромагнитном поле. В данном разделе, как и в п. П2.3.2, будем использовать не
общепринятую форму [44], а эквивалентную форму, которая будет использо¬
вана при изложении квантового постулата. Эта форма уравнений Дирака име¬
ет вид [69, 68, 423]
(Ро—тс) фі—(Рі—іР2) фо—Рзфз = 0;
(Ро—/пс)ф2— (Р1+4’Р2)фз + ^зфо=О;
424
(Pq+тс) ф3— (Pl—ІР2) ^2—Рзфі = 0;
(Pq+тс) “фо— (Pi + 4 Р2 ) ф 1 + Рз^2=0,
(П2.117)
где
п h [ д е \ h/д \
Р, = т —; ——Л|; /=1,2,3; Ло =—( —+ еф°І.
1 і \dxf с Ч іс \ді Y )
Система уравнений Дирака (П2.117) является релятивистски инвариантной со
следующими законами преобразования компонент фА [68], представленных
в главе 4. Видно, что преобразования компонент фл (6=1, 2, 3, 0) существен¬
но отличаются от соответствующих формул преобразований для компонент
векторных и тензорных объектов [44, 56,’68]. Таким образом, из требований
релятивистской инвариантности и едином математическом объекте.в смысле
Вундгейлера с равноправными компонентами (фундаментальными функциями
фл) следует, что имеем дело с новым (по сравнению с векторами и тензорами)
математическим объектом, который носит название спинора [55, 63, 68, 117],
а соответствующее поло'(П2Л17) называется -спинорным.
Решение уравнений Дирака и связанные с ним объяснения эффектов тон¬
кой структуры хорошо известны [44, 56, 388, 389, 419, 423, 424 и др.]. Поэтому
здесь приведем несколько особенностей уравнений Дирака [7], которые будут
использованы при описании квантового постулата. Форма уравнений Дирака,
которая следует из (П2.117) после соответствующих преобразований с помо¬
щью матриц типа матриц Паули, приведена в п. П2.4.
Общее решение уравнений Дирака для свободных по¬
лей. В теории линейных уравнений в частных производных известен следую¬
щий метод [425]. Пусть дана однородная система линейных дифференциаль¬
ных уравнений (обыкновенных или с частными производными) с постоянными
коэффициентами следующего вида:
2 eijuj = 0 («=1,2 п), (П2.118)
/₽1
где Uj — искомые функции любого числа независимых переменных Хі, ..., xm;
ец — операторы дифференцирования по этим переменным любого порядка и
структуры.
Требуется выразить uj через п функций <рі, фг, ...» фп, каждая из которых
определяется независимо от другой из своего дифференциального уравнения
(связь между функциями ф< сохраняется в граничных условиях).
Полагая в (П2.118) для t=2, 3, ..., п
И<Л = Л(1>Ф1 (/ = 1,2 п), (П2.119)
неизвестные операторы дифференцирования определим как решения ли¬
нейной системы (/1—1) алгебраических уравнений
п
2 e(jk^ = 0 (1 = 2,3 п).
7=1
(П2.120)
425
Из этой системы определяем
Ь1?=ЕцСі,
(П2.121)
где Ец (і=1, 2, и, /=1, 2, п) обозначает алгебраическое дополнение
элемента ец определителя-оператора
еи е12
Е =
(П2.122)
еП1 еП2
В формуле (П2.121) через Сі обозначен оператор, который можно считать
1, что сводится к замене Сіфі на фь т. е.
(П2.123)
Складывая все w/®) (s=l, 2, ...» п), получаем
п еіі еі2 • • • Фі • • • еіп
иі = S =
(П2.124)
eni еП2 • * • ert(/-l) Фп • • • enn
причем все фв (s=l, 2, n) удовлетворяют одному и тому же дифферен¬
циальному уравнению
Еф5 = 0.
(П2.125)
Применяя этот метод к уравнениям Дирака (П2.117) при Л< = 0, легко полу¬
чить, что функции фі, ф2, фз, фо должны представлять собой некоторые линей¬
ные комбинации производных четырех линейно независимых решений следую¬
щего линейного волнового уравнения четвертого порядка:
(П2.126)
где □ — оператор Даламбера.
Другими словами, функции ф> должны удовлетворять уравнению, в левой
части которого оператор уравнения ФКГ применяется дважды.
Отсюда следует также, что из четырех линейно независимых решений ФКГ
можно образовать четыре линейно независимые комбинации их производных,
которые будут решениями уравнений Дирака.
Действительно, согласно соотношениям (П2.117), (П2.122), (П2.125) не¬
трудно получить следующие соотношения для компонент фундаментальных
функций Фа через решения ф> соответствующих уравнений ФКГ:
Фі = КІ {(+ Ро + М Фа + (Pi + «Ра) Фз — РзФо);
ta = |\| {— (Ро + тс) фл — р,фз — (pt — »Ра) <р0)
(П2.127)
ta = Ы {— (Ро — тс) <р0 — (рі + ірг) фі + р3фа} !
Фо = П {(Ро — тс) фз + Рзф! + (Рі + іра) ф2},
где фі, фз, фз, фо — линейно независимые решения уравнения (П2.125). В на¬
шем случае уравнение (П2.125) принимает вид
(П2.128)
426
где оператор уравнений ФКГ вида
S = PÎ+₽2+p1 + Po +'п2са; р,= Ь-Д- (/ = 1,2,3);
дх‘
h д
(П2.129)
Формулы (П2.127), (П2.128) дают своеобразное представление компонент фА
спинора через производные четырех линейно-независимых скаляров qpj, каждый
из которых удовлетворяет уравнению ФКГ (П2.128).
Рассмотрим другие формы уравнений Дирака. По аналогии с уравнениями
Дирака (П2.117) можно написать другие релятивистски инвариантные кванто¬
вые уравнения спинорного поля, форма которых приведена в табл. П2.1. Пре¬
образования компонент спинора ф^, оставляклцих релятивистски инвариантны¬
ми перечисленные квантовые уравнения, приведены в той же табл. П2.1. Как
будет показано при изложении квантового постулата, эти формы, как и форма
уравнений Дирака, удовлетворяют законам сохранения плотности вероятно¬
сти, энергии и градиентной инвариантности. Подробно для уравнения Дирака
перечисленные свойства исследованы де Бройлем [68].
Общее решение любой из перечисленных форм для свободных полей также
может быть представлено в виде, аналогичном (П2.127). В табл. П2.2 приве¬
дены зависимости фл от ф, для систем, представленных в табл. П2.1.
Нетрудно убедиться, что формулы для тонкой структуры водородоподоб¬
ного атома могут быть получены для любой из приведенных систем аналогично
уравнениям Дирака.
Следует подчеркнуть, что формы, представленные в табл. П2.1, отражают
требование о равноправности компонент фундаментальных функций фл.
В заключение отметим следующее. В уравнениях Дирака выделена преиму¬
щественная ось oz [68, 423, 427], т. е. квантовая система движется относи¬
тельно оси oz. Так Л. де Бройли в [68, с. 11] отмечает: «Уравнения Дирака
приписывают особенную роль оси oz и волновые функции, так же как и в тео¬
рии Паули, дадут ответ на вопросы, в которых играет роль ось oz». Это нашло
свое отражение в распределении комбинаций операторов вида (pQ±mc), (р\±
iÙM» Рз. Изложенный выше подход, основанный на требовании о единстве ма¬
тематического объекта, равноправности его компонент и координат простран¬
ственно-временного континуума, позволяет непосредственно написать системы
квантовых уравнений относительно других направлений пространственно-вре¬
менного континуума, аналогичные изложенным в настоящем разделе. Так, на¬
пример, уравнения Дирака для случая, когда система движется в направлении
оси оу, принимают следующий вид:
(Ро—тс)фі—(р,—ір3)^о—р2фз=0;
(Ро—тс)ф2—(Рі+«Рз)фз+Р2фо=О; (П2.130)
(р0+тс)ф3— (pi—ірз)і|>2—Pïtyi =0;
(Po+me) фо— (Pi+ІРз) фі+Р2Ф2=0.
Аналогично для случая, когда система движется в направлении оси ох, имеем
(ро—тс)фі—(р2—('Рз)фо—Р1фз=0;
(Ро—тс) ф2—(Рг+іРз) Фз+Ріфо=0;
427
Таблица П2.1
№
Преобразование компонент фк
л/п
уравнения
Поворот вокруг
оси OZ
Поворот вокруг
оси О Y
Простое нре образование
Лорснпа
(Ро+тс) фі + (рі+/р2) Фз +
+ Рз^о=О
Ѳ ! • Ѳ
^l-V/lCOSytf/2Sin-2
’/'!=^iCh^ + V/osh^
1
(Ро +М ф2 - (Рі -ір2) ф0 +
+ РзФз=®
02=^2ехр|-у J.
ф2 = ф2СО5-^ + V/1Sin-
^2 = ^2СЬу-^38Ь^
(р0-тс)ф3 + (рі -ір2)фг +
+ РзФ2=О
Ф'з=Фзыр^ J-
Фз = Фз<Х>3- ФоБіП^
Фз = ^зсЬ^ + i//2sh^
(Ро - тс) фо - (р 1 +ір2 )ф2 +
+ р3фі=О
і//і=0оехр-Г у|
Фо=ф0со$-+ф3$т-
Фо=ФоС^~ Ф> Shy
(Ро -тс) фі - (р! +ір2)ф2-
- РзФз=0
^; = ^іехр|-у^
Фі~ФіСОЗ— - tf/oSiry
V/l = ^ich^+^3sh^
2
(Ро+тс)ф2- (рі — ір2)фі —
— РзФо=Ѵ
^i = iA2exp|yJ
Ф2= Ѵ'гСОБ^ -i//3sin-|
^2=^2ch^-^osh^
(Ро +тс) ф3 + (р ! +ір2 )фо-
— РзФі=в
Фз = ^зехр^-
Фз=Фз<х>ь^ + Ф2$т j
^з=^зсь2_^18ь2
(Ро -тс) фо + (рі —/р2) ф3 ~
— РзФ2=Ѵ
^і = ^оехр|уУ
Фо= </'oCOS^ + J sin 0
^;=^0ch-?+^2sh|
(Ро -тс)фѵ - (рі-ір2) ф3 -
- РзФ2=0
^ = ^ехр{_^}
t Ѳ Ѳ
Ф1~Ф1СОЗ- + ф0ЗІП^
^; = ^ich^-^2sh|
о
(Po+M’h-(Рі+/р2)^0-
- Рз0і=О
02=^2exp|-yJ
! Ѳ Ѳ
^2=^2COS- + ^3sinj
J
(Ро-тс) ф3-(р!—ір2) ф1 +
+ РзФо=Ѵ
іАІ=^3ехр|у|
, Г Q
ф3=ф3соз--ф2з\п^
Фз= ^зсЬ^-^osh2
(Ро+тс)фо- (Рі~ір2)Ф2 +
+ РзФз=в
^; = і//оехр|у|
Фо = фосоз--ф1зт^
i//J = i//och^ + 03sh^
(ро-тс)ф1-(р1+ір2)фо+
+ р3ф2=0
^; = ^іехр{-у^
Ф^ФіСОЗ-і-фзЗіП-
i//; = i//ich^-^2sh^
4
(Ро+тс) ф2 + (Рі+ір2)ф3 +
+ РзФі=®
^ = іМхр{-Ю|
. Ѳ . . Ѳ
Ф2 = Ф2СОЗ- ФоЗІП-
i//; = ^2ch2 + ^1Sh2
(Ро-тс)ф3+(рі-ір2)ф2 +
+ Рз0о=О
0i = 03exp^yj
,, , Ѳ . . Ѳ
ф3 = ф3соз-~ф1зіп-
Фз = ^зсЬу- ^osh j
(Ро+тс)фо- (Рі-ір2)Фі +
+ РзФз=й
Фо = і//оехр{-у}>
фо = ф0соз-+ф2зт-
Фо = і//осЦ+ ^3sh^-
(р0-тс)ф1^(р1-¥ір2)ф2-
— РзФо=в
<К = ^іехр|-^|
,, . Ѳ , . Ѳ
Фі = ФіСОЗ^ ^3Siny
^; = ^ich|+tf/oshj
5
(Ро-^-тс)ф2+(р1-ір2)ф1 +
+ РзФз=в
Ф2 = Ф2^Р
,, , Ѳ . . Ѳ
ф2 = ф2соз~- tf/oSinj
V/J = V/2ch^-^3sh^
(Ро~тс)ф3+(р1-ір2)фо^
+ Рз^2=0
ф3 = ^зехр^у}
ф3 = ф3соз- + фізт—
^3 = ^3Ch-^+V/2shl
(Ро+тс) Фо+(Рі +ІР2 )Фз~
— РзФі=0
^; = V/oexp|-yJ
Фо= ФоСОЗ-+ф2ЗШ—
^ô = ^och^-^1sh2
(Ро+тс) ірз— (Pi— іРз) ip2—Ріф i=0;
(Po+me) ф0— (P2+»Рз) Ф i + Pi фг=0. (П2.131)
Для полученных систем нетрудно выписать преобразования компонент ф* и
общие решения для свободных частиц через оператор ФКГ подобно результа¬
там, полученным в табл. П2.1 и табл. П2.2. Так, для системы (П2.130) имеем
= ІЗ {(+ Pt + тс) ф2 + (Рі — ІРз) Фз — Рзфо) ;
Фа = N (~ (+ Ро + тс) фх — (Рі + ірз) ф0 — рафз);
. —< , , (П2.Г32)
Фз = КІ {- (+ Ро — тс) ф0 — (рх — ірз) Ф1 + Рафа} ;
Фо = N1 { (+ Ро — тс) фз + (Рі + ірз) фа + Рафі};
соответственно для системы (П2.131)
Фі =*= Ш К+ Ро + тс) фа + (Ра — ір3) ф3 — рхф0};
Фа = NÏ {— (Ро + тс) фх — (ра + ір3) фо — РіФз};
_ (П2.133)
Фз = N1 (— (Pt — тс) ф0 — (Ра — ірз) фх + рхф,);
Фо “ NI {(Pt — тс) Фз + (Ра + ‘Рз) Фа + Ріфі).
Аналогично табл. П2.1 можно выписать соответствующие законы преобразова¬
ния компонент для систем (П2.130) и (П2.131).
Таким образом, приведенные математические объекты полностью облада¬
ют свойствами, присущими модели Дирака.
О ковариантности уравнений Дирака и симметрич¬
ные типы уравнений для частиц со спином s = 1/2. Общее тре¬
бование релятивистской ковариантности уравнений Дирака сам автор провел
следующим образом [44, 68, 402].
Рассматривалась исходная система координат (oxyz)t которую будем обо¬
значать через S, и система координат (o'x'y'z') (система S'), которая движется
равномерно и прямолинейно вдоль оси ozr относительно системы координат S.
Дирак совершает переход от системы координат S к системе координат S'
следующим образом. Вначале совершается поворот системы S вокруг оси oz на
определенный угол а (см. гл. 4, табл. 4.2). Эту промежуточную систему коор¬
динат будем обозначать Sa. Показывается, что при переходе от $ к $а урав¬
нения остаются ковариантными, причем функции фл (£=1, 2, 3, 0) преобра¬
зуются при этом по особому закону, не имеющему ничего общего с преобра¬
зованиями векторных или тензорных величин. Далее совершается поворот си¬
стемы Sa на угол р вокруг оси ох. Полученную таким образом вторую проме¬
жуточную систему координат будем обозначать через Sap. Далее показывается,
что уравнёния также остаются ковариантными при переходе к системе коорди¬
нат Sap. При этом четыре функции ф^ подвергаются новому преобразованию,
также ничего не имеющего общего с преобразованиями векторных или тензор¬
ных величин и отличного от предыдущего преобразования (см. гл. 4, табл. 4.2).
И, наконец, совершается преобразование к системе координат S', движу¬
щейся равномерно и прямолинейно по отношению к системам координат S, Sa
429
Таблица П2.2
Компоненты
Общий вид решений системы квантовых уравнений
Система 1
в табл. П2.1
Система 2
в табл. П2.1
Ф1 =
И |-(ро-'пс)ѵ’2 +
+ Рз'Рз-ІРі+іРгУ'Ро ]•
(Ро+шс)^о*Рэ^2 + (Рі +Ф2)‘/’з^
^2 =
0 ((Ро-'”с)¥’і +
+ (Рі-#’2)¥,з~РэіА>У
0 ((Ро-тс)ч>з-(Рі-ірз^о+РзУч]-
^3=.
0 I (po+w)^o +
+ (Pi -іРі)Ч>з -РэѴ>і I
0(- (Ро-мс)^ - (рі +зра ) <Рі -РзЛ> J-
^0 =
0 (-(Ро+"»)м>э +
+ РэѴ’з + (Рі+4’і)<Рі}
0 ^(Ро+тС)^1 + (Р1 -Ф2)^2+Рз^3^
и Sap. Причем ось ozr этой системы совпадает с соответствующей осью коор¬
динат Sap.
Дирак показывает, что если функции ф преобразуются по определенному
указанному выше закону, то в системе координат S' уравнения будут сохра¬
нять тот же вид, который они имели в системах координат S, Sa и Sap. Други¬
ми словами, уравнения Дирака являются общековариантными.
П. Дирак [44], а позже в более общей форме Дж. Нейман [402] показали
также, что каждое из введенных преобразований может рассматриваться как
элемент некоторой группы. Таким образом, был открыт новый в смысле Вунд-
гейлера математический объект, изучение которого привело Ван дер Вардена
к созданию спинорного исчисления. Впрочем вне связи с квантовой механикой
Э. Картан еще в 1913 г. разработал основы спинорного исчисления [55].
Обратим теперь внимание на следующее существенное обстоятельство. Пе¬
реход от системы координат S к системе координат S' производится в следую¬
щей последовательности: S->Sa->Sap->-S'. Изменение указанной последователь¬
ности недопустимо ввиду некоммутативности введенных преобразований. Если
бы, например, совершить сначала переход к системе координат, движущейся
равномерно и прямолинейно вдоль оси oz системы S (причем оси этой системы
координат остаются все время параллельными осям системы S), а затем со-
430
для свободных частиц СО СПИНОМ 5=1/2
Система 3
в табл. П2.1
Система 4
в табл. П2.1
Система 5
в табл. П2.1
0-[-(Ро+'пОа> +
+ Рз<Рз~(Рі+іРі^2^
И |(Po+mc)<^3-
-Рз‘/>О-(Рі+'Рі)Ѵ’2|
0 1 (Ро+тс)<р3 -рзФг -
-(Рі+іРз)^]-
0 -[(Po-wc)^-
— РзФо + ІРі+іРіІѴі J-
0 1 (Ро ~тс) ѵ>о-
- РзЧ>з + (Рі +‘Рі)Ѵі ]•
0 {(Ро-'Мѵ’о+Рэ'/’і-
- (Рі-іРзУЧ’з }
0 |-(Po-Wf)*2-
- рзч>і-(рі-ірз)іе<і}
0 1 -(Рѵ+тс)^*
+ Рз'Р2-(Рі-'₽2)¥’о }
0 {-(Ро+'пс)*’і-
— Рэ'Ро + СРі -іРзУ'Рз }
0 |фо+'”с)ѵ>1 +
0 |-(Po-mc)*2 +
+ РзѴ’і+(Рі—'РгЭ'Рз }
0 •[-(Ро-'«с)Ѵ’2 +
+ Рэ*>3 + (Рі +'р2)^1 У
вершить два указанных выше поворота, то пришли бы к системе координат, не
имеющей ничего общего с системой координат S'. Таким образом, матрицы
операторов преобразований к системам координат Sa, Sep и S' оказываются
некоммутативными.
Вместе с тем операторы импульсов рь р2, Рз, Ро входят в уравнение Дирака
неравноправно. Так, операторы рі и р2 входят в виде комплекса (pi±tp2), в то
время как оператор р3 входит самостоятельно, а оператор р0 также входит
в виде комплекса (ро±/ис). Эта неравноправность операторов как будто бы
противоречит равноправности всех направлений в пространстве и противоре¬
чит вытекающей из теории относительности симметрии между іространствен-
ными координатами и координатой времени.
Тем не менее остается фактом, что уравнения Дирака остаются инвариант¬
ными относительно групп преобразований Se, SaSap и SaS^S'. Причем направ¬
ление оси oz' в системе координат S' может иметь любой угол по сравнению
с начальной системой координат S. Поэтому Л. де Бройли совершенно прав,
когда сделал в [68, с. 111] утверждение: «Комбинируя три типа преобразова¬
ний 1, 2 и 3, можно получить преобразование Лоренца наиболее общего типа».
Вместе с тем в [68, с. 229] Луи де Бройли отмечает: «Тем не менее совершенно
невозможно претендовать на то, чтобы теория Дирака в ее нынешнем состоя-
431
нии целиком согласовывалась с концепциями относительности. Одной из веду¬
щих идей теории относительности является то, что она всегда заставляет про¬
странственные и временные координаты входить в уравнение симметрично. Но
в теории Дирака эта симметрия переменных xyzt не осуществляется».
Таким образом, уравнения Дирака производят впечатление таинственного
и загадочного объекта.
Невольно возникает вопрос: не существует ли аналогичная уравнениям
Дирака система уравнений, в которую операторы рі входили бы равноправно,
была бы релятивистски-инвариантной и удовлетворяла квантовому постулату?
Если бы эта система уравнений приводила к тем же результатам для спек¬
тра атома водорода (тонкая структура), что и уравнения Дирака, а также
к другим физическим эффектам (существование позитрона и др.), то такая си¬
стема уравнений могла бы быть конкурентоспособной по отношению к уравне¬
ниям Дирака. Уравнения эти имеют следующий вид:
(Ро—іРз)фі—(Рі—/рг)фо—^сф3=0;
(Ро—іРз)гр2—(Рі + 4р2)фз + ^сфо=О;
/ .ч / . ч л (112.134)
(Ро + ірз) фз— (Pi—tp2) фг—юсфі = 0;
(Ро+ірз) фо— (Pi + fp2) фі + ^сф2 = 0;
(Ро—ірг)фі— (Рі—і*Рз)фо—тсфз=0;
(Ро—іРг)ф2— (Рі + ірз)фз+тсфо=О;
(Ро + іРі) фз— (Рі—і’Рз) Фа—^сфі = 0; ’
(Ро+іРг) фо— (Рі + ірз) фі + mcip2=0,
_ д іе л h д іе
где р,= п г — — Л.-; р0 = т—— — —До.
дхІС ІС dt с
Нетрудно показать, что такие системы релятивистски-инвариантны и что
они приводят к тем же собственным значениям, что и уравнения Дирака при
рассмотрении задачи о спектре атома водорода. Возможно, однако, что в не¬
которых других задачах между решениями уравнений Дирака и предложенны¬
ми уравнениями возникнут существенные различия.
Здесь ограничимся приведенными замечаниями, так как рассмотрение упо¬
мянутых вопросов выходит за рамки настоящей работы. Обоснование приве¬
денных уравнений дано в гл. 4 на основе квантового постулата [7].
П2.4. Элементы релятивистской квантовой теории поля. В современной фи¬
зике изучаются различного рода поля, с помощью которых описываются взаи¬
модействия между различными типами материальных частиц. Особенно глубо¬
ко и подробно изучено электромагнитное поле. Значительно менее подробно
изучены поля ядерных и гравитационных сил.
В квантовой теории поля показывается, что каждому полю соответствуют
частицы с определенной массой покоя. Так, электромагнитному полю соответ¬
ствуют фотоны, масса покоя которых равна нулю. Гравитационному полю со¬
ответствуют так называемые гравитоны, масса покоя которых также равна
нулю. Что же касается поля ядерных сил, то ему соответствуют частицы, по¬
лучившие название мезонов, масса покоя которых отлична от нуля.
Квантовая теория поля приобрела в современной физике большое значение,
так как она дает возможность объяснить целый ряд явлений, для которых не
существовало ранее адекватной физической интерпретации. Так, квантовая
432
электродинамика дает объяснение таким явлениям как аннигиляция электрон¬
но-позитронных пар или рождение новых пар, лэмбовский сдвиг энергетических
уровней электронов в атомах и т. д.
В современной квантовой теории поля существует два традиционных на¬
правления. Первое направление строится по аналогии с квантовой механикой
отдельных частиц, т. е. на основе гамильтонова (или лагранжевого) форма¬
лизма. Второе направление носит более формальный характер, причем здесь
имеется два подхода. Первый подход основан на введении системы аксиом,,
которым должны подчиняться операторы поля, а второй подход основан на
введении так называемой S-матрицы (матрицы рассеяния). Здесь ограничимся
изложением квантовой теории поля в ее гамильтоновой форме.
Начнем с рассмотрения свободных полей,- т. е. полей в отсутствии внешних
воздействий. Свободные поля могут быть описаны с помощью системы волно¬
вых функций фл=фл(Хо, Хі, х2, Хз), (£=0, 1, 2, ..., л), где х0=ісі; xit х2, х3 —
пространственные прямоугольные координаты.
Для получения уравнений поля наиболее удобно воспользоваться принци¬
пом Гамильтона — Остроградского
ô J ædx1dx2dX3dxQ = 0, (П2.136)
здесь предполагается, что лагранжиан 2? зависит только от волновых функций
фл и их производных по координатам дфл/дхг (r=0, 1, 2, 3). Естественно, лаг¬
ранжиан должен быть инвариантен относительно преобразования Лоренца.
Если это условие выполнено, то полученные с помощью вариационного прин¬
ципа (П2.136) уравнения движения поля также будут инвариантны относи¬
тельно преобразования группы Лоренца. Эти уравнения будут иметь следую¬
щий вид:
Заметим, что лагранжиан обладает так называемой градиентной инвари¬
антностью. Это значит, что если функция 2? подвергнута следующему преобра¬
зованию:
VI dfk
+ Z -т*', (П2.ізв>
k= о, 1,2,3 ^xk
где fk — компоненты произвольного 4-вектора, зависящего только от коорди¬
нат, то уравнение движения поля не изменится.
С помощью лагранжиана 2? могут быть получены компоненты тензора,
энергии-импульса поля при помощи следующих формул:
_ sn дзе дФг , ,п„1Ч0.
Т..= >і — SSo-ъ. (П2.139)>
lk *=м.2.з à(d^r!dxk) dxt ‘k
На физическом смысле тензора энергии-импульса остановимся несколько,
ниже. Нетрудно убедиться, что тензор энергии-импульса, вычисленный по фор¬
муле (П2.139), удовлетворяет следующим уравнениям сохранения:
S — = о. (П2.140),
* дхк
433
«ели учесть уравнения движения поля (П2.137). Введенный (П2.140) тензор
энергии-импульса не симметричен, поэтому, вообще говоря, его нельзя рассмат¬
ривать как тензор плотности потока вектора энергии-импульса. Однако Бели-
фанте [427] показал, что тензору энергии-импульса можно придать симметрич¬
ный вид. Тензор энергии-импульса, согласно [427], записывается следующим
образом:
т.к = у,(и'.<г> + -^-иФ +^-иігЛ - æbik. (П2.141)
В этом случае компоненты Тік для t=l, 2, 3 представляют собой поток
л-й компоненты импульса через площадку, перпендикулярную оси, а Гоа пред¬
ставляет собой поток энергии через ту же площадку. В рассматриваемом слу¬
чае уравнение (П2.141) выражает закон сохранения энергии-импульса для
рассматриваемого поля.
Наряду с тензором энергии-импульса вводится антисимметричный тензор
•момента количества движения [428]
Mii.k xi^lk 3 d^r/dxk (П2.142)
Тензор момента количества движения также удовлетворяет уравнению со¬
хранения вида
ь
-Т-2- = 0- (П2.143)
k °xk
При наличии внешних электромагнитных полей рассматриваемое поле опи¬
сывается с помощью комплексно-сопряженных функций фЛ и фЛ*. При этом
вместо оператора d/dxk вводится два комплексно-сопряженных оператора
Dk = djdxk— iAk; Dk = d/dxk-{-iAk. (П2.144)
Вектор тока в этом случае вводится по следующей формуле:
—« Г д£ * д& 1
<n214S)
где е — постоянная, зависящая от знака заряда. Вектор тока удовлетворяет
уравнению сохранения
У,-^- = 0. (П2.146)
Л àxk
Пример 1. Рассмотрим однокомпонентное поле, описываемое лагран¬
жианом
дф* дф
X = —г~ —— - х2ф*ф, (П2.147)
дх[ dx<
где K=mc/h\ т— масса покоя. Если теперь воспользоваться вариационным
.принципом
ô J ^dx^x^dx^dx* = О, (П2.148)
434
то получим следующее уравнение поля:
□ ф — хф = 0, (П2.149)
где □ — оператор
□ = (âW2). (П2.150)
1=0,1,2,3
По приведенной выше формуле (П2.145) вектор тока имеет вид
/ дф* дф \
= (П2.151)
где е — заряд частицы в единицах (hс) У». Этот вектор тока удовлетворяет
уравнению сохранения (П2.146) ‘
dsk/dxk=Q. (П2.152)
Воспользовавшись лагранжианом (П2.147) и выражением для тензора энергии-
импульса (П2.139), получим
_ дф* дф дф* дф
ік~ дх. dxk + dxk dxt
(П2.153)
В рассматриваемом случае тензор энергии-импульса (П2.153) симметричен.
Нетрудно также убедиться, что Тіа удовлетворяет закону сохранения
SÔTik
-7- = 0. (П2.154>
k dxk
Кроме того, нетрудно убедиться, что плотность энергии W=—Tqq положитель¬
но определенная. Она выражается следующим образом:
дф* дф
= - Т’оо = - “7““' -7е + grad ф* grad ф + хаф*ф =
OXq OXq
дф* дф '
= — — + grad ф* grad ф + хаф*ф. (П2.155>
OXq OXq
Во многих случаях бывает удобным вместо одного уравнения второго по¬
рядка ввести систему уравнений первого порядка
Фл = <ty/dxk, dtyk/dxk = хаф. (П2.156>
Эта система может быть получена из лагранжиана
дф* * дф *
& = -T— Ф, +Ф{ -T— - Ф,- + **Ф*Ф-
ох. ох^
(П2.157>
Пример 2. Рассмотрим для свободного поля уравнения Дирака
(П2.117) в традиционной форме [44, 389]
уЛ (дф/дхЛ) + хф = 0, (П2.158>
где ф — четырехкомпонентная функция; ул — четырехрядные матрицы ул (Л=
= 0, 1, 2, 3), удовлетворяющие соотношениям
-у (ViVk + ѵл) = ôifr (П2.159>
435
Как известно, функция ф удовлетворяет волновому уравнению
□ ф —х»ф=0. (П2.160)
Вводятся дополнительно сопряженные функции ф-+, удовлетворяющие урав¬
нению .
(dÿ+/dxk) — хф+ = 0. (П2.161 )
Волновые уравнения в виде (П2.158) можно получить из следующего лагран¬
жиана [89, 427] :
1 / дф дф+ \
^='Тг+ѵАЛ^-“д^" Ѵа'|’і + ’<Г4- (П2.162)
Теперь имеем возможность написать следующие уравнения для вектора тока:
5а = 8»Ф+УаФ, (П2.163)
.а для тензора энергии-импульса (2, = 0):
1 / дф дф+ \
Л. = т ’’•*) ■ ™1 «>
Тензор (П2.164) не симметричен. Однако можно ввести симметричный тензор
. ѲІА = 1/2(Т<Л + ГЛі), (П2.165)
удовлетворяющий уравнению сохранения. Плотность энергии имеет следующее
выражение:
1 / дф дф* \
Г="Г*=ѴГ*’17+Т"* • <П2166)
Z» \ C/Aq VXq ]
Заметим, что энергия здесь не является положительно определенной. Та¬
ким образом, теория Дирака допускает существование частиц с отрицательной
энергией. Этот вопрос много обсуждался в литературе. Возможность существо¬
вания частиц с отрицательной энергией послужила основанием для предсказа¬
ния существования позитрона.
Перейдем теперь к гамильтоновой форме описания классических волновых
нолей. Для этой цели введем поле, канонически сопряженное с полем, описы¬
ваемом функциями фд. Это поле вводится с помощью формулы:
л І = дЯ/д (дф j/dt ). (П2.167)
Функции называют также обобщенными импульсами рассматриваемого поля.
По аналогии с классической механикой образуем гамильтониан поля'
ffî = J H dx1dx2dx3dxQ\
Н = 2«/*/-^. (П2.168)
і
Здесь Л— плотность гамильтониана поля.
Исключая ф, из (П2.167), плотность гамильтониана поля можно предста¬
вить как функцию от ф,, grad ф./ и л^:
Я=Я(фі, grad фь лі; фа, grad ф2, л2; ...). (П2.169)
В квантовой теории, как известно [377], канонически сопряженным пере¬
менным qt и pt, т. с. координатам и импульсам механической системы, сопо-
436
ставляются некоторые эрмитовы операторы, удовлетворяющие следующим пе¬
рестановочным соотношениям:
fapfj =°; iPpP/J =°î = Чт/t. (П2.170)
В соответствии с этим в квантовой теории поля канонически сопряженным
переменным поля, т. е. функция ф;- и nj, сопоставляются некоторые эрмитовы
операторы, удовлетворяющие следующим перестановочным соотношениям:
[ф/, Ф/J = 0; [лу, ,] = 0; [фу, nj,] = bôy7,/û (П2.171)
Поскольку плотность гамильтониана Н и полный гамильтониан поля за¬
висят от канонически сопряженных поля ф^ и л,, представляется возможным
плотности гамильтониана и полному гамильтониану также сопоставить некото¬
рые эрмитовые операторы. В квантовой теории поля, таким образом, вводимые
операторы зависят от координат. Зависимость этих операторов от времени
устанавливается при рассмотрении вопроса о релятивистской инвариантности
перестановочных соотношений (П2.171) [427].
Конкретный вид операторов, сопоставляемый перестановочным переменным
фі и л<, для некоторых типов полей будет рассмотрен ниже.
По аналогии с квантовой механикой системы материальных частиц имеют
место следующие соотношения:
Ф/ = ~ [Н, ф ]; лу- = 4" [Я, л,]. (П2.172)
1 h 1 1 h 1
Ниже будет показано как из квантовых уравнений (П2.172) могут быть найде¬
ны собственные значения Н и других переменных поля.
Уже указывалось (и это следует подчеркнуть еще раз), что всякая функция
Лагранжа, инвариантная относительно группы Лоренца, автоматически приво¬
дит как к классическим, так и квантовым уравнениям поля, также инвариант¬
ным относительно группы преобразований Лоренца.
Пример 3. Рассмотрим квантование волнового поля, удовлетворяющего
уравнению ФКГ, т. е. полю с одной волновой функцией. Для рассматриваемого
поля выше были вычислены тензор энергии-импульса и вектор плотности тока.
В соответствии с приведенным выше формализмом вычислим функцию л, ка¬
нонически сопряженную с функцией ф, т. е. плотность импульса поля и плот¬
ность гамильтониана Я. Проведя соответствующие выкладки, получим
л = д%1д (д^іді) = ф, (П2.173)
Я= V2{n2+c2|grad ф|2+с2ц2ф2}. (П2.174)
В соответствии с (П2.172) эрмитовы операторы ф = ф*, л = л* должны
удовлетворять следующим перестановочным соотношениям:
h
[ф, ф'] = [л, л'] = 0; [л, ф'] = — Ô (х — х').
В соответствии с (П2.172) получим
ф = 4“ Ф] = л, л = 4" Iя» л] = с2 {Дф - наф}. (П2.175)
п п
Исключая из (П2.175) л, получим
ф = л = с2 {Дф — р,2ф}. (П2.176)
437
(П2.180>
(П2.181)
(П2.182)
(П2.183)
(П2.184)
Операторы гр и л можно представить в виде следующего пространственно¬
го разложения Фурье:
t (*) = Ѵ~’/г 3 q^k* ; Л (х) = V*-'/* 3 pke~it>x , (П2.177>
k k
причем эрмитовы операторы рь и Çk должны удовлетворять перестановочным
соотношениям
4~k=4k> P-k^Pï (П2.178>
Чк'І = ІРк’ Pk’l = 0; [Pk> Pk'l = (П2.179>
Если операторные ряды Фурье (П2.177) подставить в оператор гамильто¬
ниана (П.169), то получим
я (X) = -^-3 3 {р^,^ + са ( - kk' + и») q#k,<№'*}■,
= f HdXjdx^dxgdx^ = — 3 {PkPk +
V 2 k
где .
uk = cfÿ + k* (>0).
Введем теперь вспомогательные матрицы
(0 /Г 0 0 ... ч /0 0 00...
о о У 2 о... |. а»=І КГ 0 00...
ооо Уз ... Г к I 0 КГ о о...
оооо.../ \ о о КГ о ...
Элементы этих матриц можно записать следующим образом:
Nk*Nk k Nk'Nk-l
Нетрудно проверить, что элементы матриц (П2.183) удовлетворяют перестано¬
вочным соотношениям
[а^, ak,\ = [akt = 0; [ak, ak,] = àkk,. (П2.185)
С помощью введенных матриц операторы qk и pk можно представить в следую¬
щем виде:
Ѣ/2о)Л (ak + û^); pk = hcù^/2 (ak — а^). (П2.186)
Теперь нетрудно проверить, что перестановочные соотношения (П2.178),
(П2.179) автоматически удовлетворяются. Подставив (П2.186) в (П2.180), по¬
лучим в результате -
Я = 3 (akak + а^). (П2.187)
2 k
Матрицу-оператор (П2.187) можно, пользуясь методом Гейзенберга — Паули,
438
привести к диагональному виду. После чего получим собственные значения мат¬
рицы Я, т. е. собственные значения энергии квантов рассматриваемого поля
в следующем виде:
HNilN =-|-S<û*(2^+l). (П2.188)
z k
Следует остановиться несколько подробнее на выражении (П2.188). Значе¬
ние энергии при Wâ=0
//o = 42œ4. (П2.189)
2 k
Легко видеть, что Hq принимает бесконечное значение, т. е. оно лишено физи¬
ческого смысла.
Исходя из интуитивных представлений [427—429], запишем энергию поля
в виде
... - Я. = 3 N^k. (П2.190)
k
Из приведенного соотношения (П2.190) можно сделать следующий вывод:
стационарное состояние поля, с одной стороны, имеет ту же энергию в объеме
V, что и частиц с энергией h(ùi, N2 частиц с энергией/гю2 в том же объеме
и т. д. С другой стороны, согласно релятивистской квантовой механики частиц
htok равна энергии частиц, имеющих массу m=h(ù!c и импульс p=hk. При
этом справедливо релятивистское соотношение
ЬшА = he +*2 = с Ут№ + р*. (П2.191 )
Из изложенного следует, что квантование рассматриваемого поля ф приводит
к корпускулярным системам частиц, причем целое число указывает, сколько
имеется частиц с импульсом/г#.
Далее, так как собственные значения энергии системы частиц учитываются
при суммировании по одному разу, то при статистическом рассмотрении каж¬
дому такому состоянию надо приписать вес 1. Такой подход соответствует ста¬
тистике Бозе — Эйнштейна.
Рассматриваемое поле является частным случаем так называемых мезон¬
ных полей. Заметим, что мезоны с целочисленным спином, подчиняющиеся ста¬
тистике Бозе — Эйнштейна, называются, как отмечалось, бозонами, а соответ¬
ствующие поля — бозонными полями. Рассмотренное скалярное поле является
простейшим случаем такого рода полей. Более общие бозонные поля носят век¬
торный характер.
Следует также отметить, что частицы с целочисленным спином подчиняют¬
ся статистике Бозе — Эйнштейна вследствие симметрии перестановочных соот¬
ношений (П2.178), (П2.179). Наоборот, частицы с полуцелыми спином подчи¬
няются статистике Ферми — Дирака вследствие того, что им соответствуют
следующие антисимметричные перестановочные соотношения:
ІФ/, Я/Л+ = »hô3 (г - г') 6{j.-, [ф;> ф;-,]+ = (л;., я,-,]+ = 0, (П2.192)
где введено обозначение [Д, В] + =АВ+ВА.
439
Если символом fi обозначить плотность распределения частиц в фазовом?
пространстве, то можно написать [427—429]
)’ (п2і9?>
Wi — энергия і-й частицы; k — постоянная Больцмана; Т — температура; А —
постоянная; пг — масса частицы.
В (П2.193) знак « + » соответствует статистике Ферми — Дирака, а знак
«—» — статистике Бозе — Эйнштейна. При достаточно высоких температурах
выражение (П2.193) переходит в классическую формулу для плотности Больц¬
мана— Гиббса. С понижением температуры квантовые эффекты становятся все¬
более и более существенными.
В случае, если имеем дело с системой взаимодействующих полей, лагран¬
жиан такой системы может быть представлен в виде суммы лагранжианов от¬
дельных полей и лагранжиана взаимодействия этих полей. В частности, для
двух полей имеем
2 = 2.+^2+^12, (П2.194)
здесь 3?\ и — лагранжианы первого и второго поля; — лагранжиан
взаимодействия этих полей.
Изложенный выше формализм полностью сохраняется применительно к об*
щему лагранжиану 3? взаимодействующих полей.
Перейдем теперь к краткому изложению квантовой электродинамики. Огра¬
ничимся рассмотрением здесь только свободных полей. Как известно, такие
поля описываются следующей системой уравнений [426, 427] :
□ Ац = 0 (и = 0, 1,2,3), (П2.195>
где Лц— компоненты 4-мерного вектора потенциала, удовлетворяющие усло¬
вию Лоренца
дА/дх. = 0. (П2.196)
И И
Векторы напряженности электрического и магнитного полей Е и Н следую¬
щим образом выражаются через компоненты Ац:
1 А
Н = rot А, Е = - — + ѴФ. (П2.197>
с dt
Здесь «вектор» А образуется с помощью трех пространственных компонент че¬
тырехмерного вектор-потенциала At, Аг, Аз, а «скалярный» потенциал ф сле¬
дующим образом связан с временной компонентой вектор-потенциала іф=А0-
Как известно, 4-мерный вектор-потенциал обладает градиентной инвари¬
антностью
Л->Л'=Л-ѴХ; <р + ф' = <р+ (П2.198>
Причем в силу условия Лоренца (П2.196) для функции X выполняется условие
□Х=0.
Нетрудно убедиться, что преобразование (П2.198) не изменяет Н и Е.
Плотность лагранжиана электромагнитного поля имеет вид
Х = — — У V . (П2.199)
|і,ѵ \ /
440
В соответствии с изложенным выше общим формализмом (П2.167) обоб¬
щенные импульсы Лц, канонически сопряженные с 4ц, имеют следующее зна¬
чение:
• _ __ __ 1
ісд (дАц/дхо) 4ліс дх0 ’
(П2.200)
Теперь можно записать гамильтониан плотности
н =
1 Г / A4 \2
-<г=— +
L Ц \ &xk /
(П2.201)
В соответствии с общими положениями, изложенными выше, при переходе
к квантовой электродинамике компоненты 4-вектор потенциала 4ц должны рас¬
сматриваться как операторы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям
! г â4v(r',O]
(г, /), лѵ (Л /)] = — 4Ц (г, о, —■ ■ = V (г - г');
ЧЛІ/ I C/l J
(П2.202)
f4g (г, /), 4Ѵ (г', /)] = [лц (г, 0, (г', /)] =0.
Как отмечалось, кванты электромагнитного поля, т. е. фотоны, подчиняются
статистике Бозе — Эйнштейна и, следовательно, не подчиняются принципу за¬
прета Паули. Электромагнитное поле, таким образом, является бозонным по¬
лем.
Учитывая выражение (П2.201) для плотности гамильтониана, можно за¬
писать оператор энергии электромагнитного поля
Н = Ііш На = lim — f Ç fa (r, г') I — _^м_22_ +
а-хх0 а-ххо 8л J J L dx0
дЛц(г) дЛц(г') -
d*k dx'k
dVdV,
(П2.203)
Учитывая зависимость операторов поля от координат, можно представить
эти операторы в виде рядов Фурье (с операторными коэффициентами), кото¬
рые являются квантовыми аналогами решений волновых уравнений (П2.195)
(О
JH) pl(kr~(ùt)
ekKe ’
(П2.204)
где —вектор поляризации; k — волновой вектор. Если ввести обозначения
k = k^=(ky i(ù/c) = (k, і£(0)); х=Хц=(г, ict), то kx=k^^=kr—at и выраже¬
ние (П2.204) можно записать в виде
(,) _ ѵ-у. у
Ли) pikx
&kKe •
(П2.205)
441
После подстановки (П2.205) в (П2.195) получим дисперсионное соотно¬
шение
= 0. (П2.206)
Из (П2.206) следует |&|=œ/c. Далее в качестве ортов системы координат вы¬
берем векторы поляризации, т. е. положим
<’ = Ѵ (П2.207)
Направим ось х3 вдоль k, что же касается осей *і, *2, то их направим пер¬
пендикулярно к k и друг к другу. В этом случае Х=1,2 будут соответствовать
поперечной’ и Х=3 продольной поляризациям. При Х=0 будем иметь дело с
«временной», т. е. «скалярной» поляризацией
Теперь имеем возможность следующим образом записать условия попереч-
ности, продольности и ортогональности:
І’ 0, если X = 1, 2;
/,.ч И k I, если Л = 3;
<4 = U (П2.208)
I — , если X = 0;
I с
= = (П2.209)
Выражение ортогональности (П2.209) можно также записать в виде
<4’ Ч' > = (4И). 4Ѵ)) = V (П2.210)
Операторы А» внутри куба объема V могут быть представлены следующими ря¬
дами Фурье по функциям (П2.205) с операторными коэффициентами ak^ и ak£
= 5J <ЧЛМх + ЧЛМ?Л (П2.211 >
k,K
Очевидно, суммирование по к является суммированием по состояниям поляри¬
зации. Учитывая (П2.205), получим
Ли = (ak^x + (П2.212)
k.K V
Из (П2.212) и (П2.202) получим следующие выражения для перестановочных
соотношений: '
lakK> ak\A = akfKS = ІалХ’ ak’K] = (П2.213)
Из соотношений (П2.213) следует ал = dj (I = 1,2, 3), = іа^ ak== iak^
где ak^ и (/ = 0,1,2,3) — эрмитово-сопряженные операторы. При этом пер¬
вое из перестановочных соотношений (П2.213) примет вид
(/ = 0J»2,3). (П2.214)
Отсюда можно сделать следующие выводы: а) собственные значения опе-
паторов числа частиц Nkl = a'klakl Ь 2» 3) равны 0, 1,2, ...; б) опе-
442
раторыа^ h (Z=0, 1, 2, 3) являются соответственно операторами погло¬
щения и рождения поперечных, продольных и скалярных фотонов.
Теперь имеем
a+ki<t>n(---. •••) = /% + 1 Фп+1(.... «w+1. •••);
(П2.215)
. «Л/. = .«W-1. ...) (/=0, 1,2,3),
где Ф„ (na,...,na„...) = (na!...na,!...)-‘/* (а*)Ѵ..(<,)"а...Фѵ; Фѵ-
вектор, удовлетворяющий условию аЛ/Фѵ = 0 (/=0, 1,2,3).
Если условие Лоренца (П2.196), накладываемое в классической теории на
4-вектор потенциал переписать в операторном виде, то нетрудно показать, что
это приводит к противоречию в теории. Поэтому в некоторых вариантах кван¬
товой электродинамики ограничиваются требованием, чтобы для любого со¬
стояния Ф в среднем выполнялось условие *
/ дАЦ \ / &4„ \
ІФ,—=-ф|^< — \=0. (П2.216)
\ дхц / \ /
В этом случае можно показать, что имеет место соотношение
(о, (М. - 4%’ф) = °- <П2-217)
Если теперь воспользоваться перестановочными соотношениями (П2.214), то
условие (П2.217) запишется в следующем виде:
<4%>_<aV*.> = + 1;
(П2.218)
<4,%> - <<ч> = -1-
Из полученных соотношений можно сделать важные выводы, в частности,
что в действительности не могут реализоваться такие состояния, в которых
одновременно равны нулю числа продольных и скалярных фотонов с одним и
тем же волновым числом k. В действительности могут существовать только
такие состояния, для которых абсолютное значение разности числа скалярных
и числа продольных фотонов с одним и тем же волновым числом k равно еди¬
нице. '
Подставим теперь (П2.212) в выражение для плотности оператора энергии;
в результате получим
Н = ~2~ PlШк + : (П2’219)
аналогично для плотности оператора импульса
<П2-220>
Учитывая (П2.217) и (П2.219), получим выражение для собственных значений
443
оператора энергии
2
w¬
k 1=1
(П2.221)
-îî-û) —энергия электромагнитного вакуума.
2 *
Аналогично можно получить собственные значения для оператора импульса
поля (П2.220). В этом собственно и заключается квантование электромагнит¬
ного поля внутри рассматриваемого объема V.
В несколько иной ситуации [427, 428], которая здесь не будет рассматри¬
ваться, приходим к следующему выражению для собственных значений опе¬
ратора энергии:
Е = 3 S М пкк + V + 5} V (П2-222>
k 1=і ' 7 k 1=з 2
где
Анализ выражений для собственных значений операторов энергии и им¬
пульса электромагнитного поля позволяет сделать следующие выводы: энергия
и импульс поля определяются только поперечными фотонами (Х= I, 2) и энер¬
гия поля принимает минимальное значение, когда поперечные фотоны отсут¬
ствуют.
Не будем здесь останавливаться на трудностях квантовой электродинамики
(например, на бесконечном значении минимальной энергии, т. е. вакуума) и на
способах устранения этих трудностей [426, 427].
Заметим, что принятое выше разделение фотонов на поперечные и продоль¬
ные не является релятивистски-инвариантным. Последовательную релятивист-
ски-инвариантную теорию можно найти в работе [426, 427].
Здесь нет возможности более подробно останавливаться на квантовой тео¬
рии поля вообще и на квантовой электродинамике в частности. Подробное и
детальное изложение можно найти в [426—430].
П2.5. Когерентные состояния квантовых систем. Состояния (П2.58) с ми¬
нимальной неопределенностью называются когерентными [398, 401, 408, 409,
431—436]. Математически когерентные состояния были введены для квантовых
систем с квадратичными гамильтонианами (т. е. для систем, представленных
в виде конечного или бесконечного набора гармонических осцилляторов). Ко¬
герентные состояния для таких квадратичных систем согласно [431] определя¬
лись как собственные состояния неэрмитовых бозонных операторов уничтоже¬
ния и минимизируют согласно данному определению произведение неопреде¬
ленности координаты и импульса гауссовскими волновыми пакетами, вид ко¬
торых сохраняется с течением времени. Важное для дальнейшего построения
теории определение когерентных состояний для произвольных квантовых в ви¬
де собственных функций интегралов движения можно найти в [398]. В этом
случае строятся операторы уничтожения — интегралы движения на основе опе¬
ратора эволюции рассматриваемой системы. Обобщенные когерентные состояния
на группах Ли были рассмотрены [436]. Здесь в отличие от фоковских состоя¬
ний, получающихся действием на вакуум операторами рождения частиц, коге¬
рентные состояния образуются применением к вакуумному состоянию операто¬
444
ров представления некоторой группы, алгебра Ли которой порождена операто¬
рами рождения и уничтожения.
В данном разделе приведены некоторые основные определения и резуль¬
таты теории когерентных состояний, следуя [398, 401, 408, 409, 431—443]. Ос¬
новное внимание уделяется связи теории когерентных состояний с динамиче¬
скими симметриями [398].
Когерентное состояние |а } характеризуется комплексным числом а=
= |а|еіф, a его разложение по n-квантовым состояниям имеет вид, аналогич¬
ный (П2.58), т. е.
оо „
п
la?=e(-%)WS
(П2.223>
Если, например, гармонический осциллятор колеблется в состоянии с отно¬
сительно точно определенной фазой, то ему должно соответствовать большое
квантовое число п, которое в общем случае точно не определено (ДпДф^Ѵг).
Состояния с минимальной неопределенностью фазы рассмотрены в [444] и об¬
суждаются ниже. Когерентное состояние (П2.223) для |a J описывает, как.
следует из приведенных примеров, нерасплывающийся волновой пакет для-
осциллятора; величина |а| задает амплитуду колебаний, а ф—фазу колебаний»
Необычцым свойством этой системы является неортогональность когерент¬
ных состояний; система когерентных состояний является, кроме того, сверх¬
полной (т. е. содержит больше состояний, чем это необходимо для разложения'
произвольного состояния) [398, 431, 432, 436]. При исследовании подобных си¬
стем применение стандартных методов часто оказывается недостаточным [398,.
408, 409, 436].
Из приведенных примеров в‘п. П2.2 следует, что когерентные состояния
обладают рядом замечательных свойств. Например, разлагая поле по этим со¬
стояниям, можно перейти к классическому пределу, оставаясь в квантовой об¬
ласти. Эта возможность связана, как было показано в примере 4 п. П2.2, с тем,
что когерентные состояния минимизируют соотношение неопределенностей Гей¬
зенберга, т. е. они являются Квантовыми состояниями, свойства которых мак¬
симально близки к классическим.
Особенно отчетливо особенности когерентных состояний проявляются при
их описании на языке теории групп [398, 436, 437]. Отметим предварительно-
некоторые из этих особенностей. Допустим, что T(g), g^G— операторы пред¬
ставления группы G; |0Э —вакуумное состояние. Тогда согласно данному оп¬
ределению когерентное состояние можно определить как |g J =T(g) |0 } . При¬
менение когерентных состояний особенно удобно при описании динамики кван¬
товых систем, когда гамильтониан является элементом алгебры Ли представле¬
ния T(g) (т. е. H=T(h), А —элемент алгебры Ли группы G). В этом случае-
эволюция когерентного состояния записывается в виде ехр{—iHt}\gJ =
= T(e~ihtg) 10 3 > где e~iht(—оо<£<оо)—элементы однопараметрической под¬
группы Go. Таким образом, в этом случае закон умножения в группе G опре¬
деляет динамику системы, а его определение сводится к построению орбиты
подгруппы Go в группе G. Это особенно отчетливо видно при описании дина¬
мики квантованного осциллятора, рассмотренного в п. П2.2. Здесь динамика-
сводится к эволюции комплексного параметра z= 1/У2со-(&q+ip) когерентного*
состояния по окружности (классическая траектория) по формуле z(t) =
445
= z(Q)e~iü>t. Следовательно, согласно [437] можно разделить задачи динамики;
и квантования: описание эволюции квантованной системы сводится к описанию
эволюции классической системы по определенной орбите в группе G; кванто¬
вание сводится к построению определенного представления группы, где пара¬
метры классической системы отождествляются с определенными параметрами
группы G.
Следует отметить, что система когерентных состояний была по существу
введена и использована еще в 1926 г. Э. Шредингером для описания нерасплы¬
вающихся волновых пакетов осцилляторов, а понятие когерентного состояния
в сформулированном виде (П2.223) было введено в 1963 г. К. Глаубером [431].
По определению [431] когерентное состояние |а 2) обычно определяют как
•собственное состояние бозонного оператора уничтожения
a|oQ = а|а}. (П2.224)
Из (П2.224) следует, что при любом комплексном а такое состояние су¬
ществует и его разложение по n-квантовым состояниям
|я} = (п!)-*/* (а+) л|0 D , аIОЭ =0 (П2.225)
имеет вид (П2.223). Таким образом, действительно обычное когерентное со¬
стояние характеризуется комплексным числом а.
Пример 1. Рассмотрим связь когерентных состояний с группой Гейзен¬
берга — Вейля. Операторы уничтожения а и рождения а+, координаты q и им¬
пульса р и единичный оператор / удовлетворяют перестановочным соотношени¬
ям Гейзенберга
[а, а+] = /; [а+, /] = [а, /] = 0; а+ = (q — ір)/ /2І;
(П2.226)
a = (q + ip)^2h.
Соотношения (П2.226) образуют, как известно, алгебру Гейзенберга — Вейля
или алгебру Ли Wi. Пусть t— вещественное, а а — комплексное число. Общий
элемент алгебры Гейзенберга — Вейля имеет вид
tl+i (âa—аа+ ). (П2.227)
Из (П2.227) следует, что операторы
T (t, а) = e{iD (а) ,£>(«) = (П2.228)
•образуют группу. Если для двух операторов А и В выполняется условие
[Л, [Л, В]]='[В, [Л, В]]=0, (П2.229)
то выполняются следующие тождества [408] :
eAeB==e(r/t)[A, в^а+в, (П2.230)
еА + В = еАеВе(-Г/в)[А, B] = eBeAe(r/s)[A, В]. (П2.231)
Соотношения (П2.230), (П2.231) являются частным случаем теоремы Беке¬
ра— Хаусдорфа из теории групп. Из (П2.228), (П2.230), (П2.231) следует
D (а) В (р) = (а+,р). (П2.232)
Таким образом, получили трехпараметрическую группу Ли W\—группу
Гейзенберга — Вейля, впервые исследованную Вейлем [64].
446
Рассмотрим кратко метод построения системы когерентных состояний, свя¬
занной с полученной группой Wf. Допустим, что в гильбертовом пространстве
выбран фиксированный вектор |ф<0 • Элемент g группы ІГі определяется дей¬
ствительным числом t и комплексным a: g= (t, а), a операторы T(g)=T(t, а)
действуют в этом же пространстве и образуют унитарное неприводимое пред¬
ставление группы Wi. Действуя на вектор |ф0 Э операторами T(g), получаем
множество состояний {| ot D }:
I а 3 =Р(а)|фо D, (П2.233>
которое и определяет множество когерентных состояний. Если в качестве |фо ?
выбрать вакуумный вектор |0}, а|0} = 0, то из (П2.233) следует обычная
система когерентных состояний. В связи с этим система состояний (П2.233)
названа в [436] обобщенными когерентными состояниями.
Пример 2. Пусть |ф0? =|0 Э • Используя (П2.230), запишем оператор*
D(a) в нормальном виде: '
D (а) = е^е^- (П2.234>
Из (П2.234) и (П2.233) следует
I а ~) = )|а|‘ е“а+ 10 } (П2.235>
и получаем разложение типа (П2.58), (П2.233).
Преобразование операторов алгебры Wi под действием группы Wi приво¬
дит к следующим соотношениям:
T(t, а)аГ+(/, а) =Р(а)а£И(а) =а—а/; . (П2.236)
Г(/, a)a+T*(t, а) =D(a)a+D+(a) = a+-âl. (П2.237)
Применяя соотношение (П2.236) к когерентному состоянию |а) , получим
(П2.224). Следовательно, определение когерентных состояний с помощью-
(П2.224) и (П2.233) эквивалентны в данном случае.
В табл. П2.3 перечислены основные свойства [436] полученных когерент¬
ных состояний.
В более общем случае когерентные состояния могут быть определены на*
группе G в виде матричного элемента To^go*”1) [437]:
I go ? = t (gg-ol) = Т° (gg;1), Qgo\ = t (gog’1), g, go e g, (П2.237>
где T (G)—неприводимое унитарное, квадратично-интегрируемое представле¬
ние группы G, а в качестве пространства представления выбраны линейные
комбинации матричных элементов первой строки матриц 7\’(g), Æ=0, 1,2,...,
представления 7(G). В (П2.237) элемент go^G играет роль «номера» когерент¬
ного состояния, элемент g^G играет роль аргумента соответствующей функции
на группе G [437].
Согласно [437], основные свойства введенных когерентных состояний по>
аналогии с табл. П2.3 могут быть выражены следующими соотношениями:
J * (gog-1) 1 (ggî1) dg = * (gogi^i J t (gog'1) Ф (g) dg = <P (go). (П2.238>
где <p(g) = Ig }—функция линейных комбинаций элементов первой строки
матрицы dg — правоинвариантная мера Хаара; J dg=l-, / — размер¬
ность пространства представления (формальная размерность пространства
представления [445]). Формулы (П2.238) являются следствием свойства орто-
447
Таблица П2.3
Основные математические
соотношения
Характеристика когерент¬
ного состояния
T(f,«)l0> =е‘* |0+а >,
Ѵ=/+Іш(а0)
Оператор представления
Г(^) =Г(г, а) перево¬
дит одно когерентное со¬
стояние в другое; система
когерентных состояний
полна
< а|0) < 0o|D(0-a)|0o > ,
^=Im(50); ^=24 (0, а, 0) ;
при |0О > =|0 > (обычные КС)
<а|0) =ехр[-1(|а|2 + |0|2-2а0)])
1 < а|0 > |2=ехр(- |а-0|2)
Система когерентных со¬
стояний неортогональна.
Фаза равна удвоенной
площади треугольника с
вершинами (0, а, 0)
а) для обычных КС
/Іа ) ( а|ёд(а) =/, d/i(a) = d2a ;
б) для обобщенных КС
А АЛ
Л=/<і2а|а ) < a\,A=cl f
c=JI Ç а||3> |2d2a=Je-l“-ffl!d2a=ff
Разложение единицы
1“ > =ІР, <? > ;
dpdq л
J „ t ІР. <7 > < Р. Я \~I
2irh
Разложение единицы в пе¬
ременных (р, q)
а) для обобщенных КС
(Др)а (Д</)а= (Аро) (Д<7о) ;
б) для обычных КС
(Др)а(Д<7)о= у
Когерентные состояния
обладают минимальной не¬
определенностью
|0 > =/dg(a)0(a)|a ) , 0(а)= < а|0 ) ;
< V/1102 > =/Фі (а) 02 (а)dM(а)
Разложение произвольного
состояния |0> по коге¬
рентным состояниям ;
0(5) - символ вектора |0>
0(а^=е |а|2 ф(а) ;
( 01102 > =/0і (а)02 (а)е _,al’d^(o)
при ортонормированном базисе
|и> =(«!)-1/2(ИлЮ ),
*■*' — ап
ЗК<О=-7Г
уи!
Представление>Фока-Барг-
мана гильбертова простран¬
ства для простых когерент¬
ных состояний; 0(a) —
целая функция переменной
а
448
тональности [445]
J Tk (g->) Tis {g) dg = 6k6i. ro (gog-1} = 2 (го) n (г-1).
i
Из (П2.238) следует
f СйІЛ)СЛІФ)4й = СлЮ- (П2.239)
Таким образом, интегральный оператор с ядром |gi } Ç gi | играет роль единич¬
ного оператора, а формулу (П2.239) называют [437] обобщенным соотношени¬
ем полноты.
Рассмотрим кратко применение введенных понятий к исследованию дина¬
мического поведения квантового осциллятора (см. ранее в примерах 3 и 4
п. П2.2)
Пример 3. Допустим, что, как и ранее, гамильтониан системы имеет вид
2m
Аналогично имеем выражения для операторов рождения и уничтожения
а = (2Ь)~'/г (À? + tX-ïp) ; X = /mû;
а+ = (2Ь)-'/г (Х<? - ік~1р) ; [а, а+] = 1 ; а 10 } = 0.
Волновая функция в координатном ^-представлении
ф (х) = (mœ/nh)1/* exp [— (Xx)2/2hJ. (П2.240)
В состоянии (П2.240) имеем минимальную согласно примеру 3 п. П2.2 неопре¬
деленность АрД<7=/г/2. Согласно (П2.224) когерентное состояние определяется
как собственное состояние оператора уничтожения
а|а } =а|а } . (П2.241)
Решение дифференциального уравнения первого порядка (П2.241) дает явный
вид нормированного когерентного состояния
/ X \1/4 f / \2 а2 |а|2)
|0°=Ы 2 }• <П2-242)
Состояние (П2.242) согласно правилу (П2.233) может быть получено из основ¬
ного состояния (П2.240) с помощью оператора сдвига D(a):
D(a) =exp{aa+—a*a}. (П2.243)
Оператор сдвига D(a) по (П2.243) унитарен и обладает свойствами [436]
D+ (a) = D"1 (а) = D (— а); D (а) = е_|а|,/2 е“°+ е~а"а. (П2.244)
Этот оператор, кроме того, сдвигает операторы û и а+ на комплексные числа
Z)-1 (a)aD(a) =a+a; D~l (a)a+D(a) =a++a*. (П2.245)
Для операторов сдвига D(a) закон умножения принимает следующий вид:
D(a)D(P)=D(a + P)exp{V2(ap*—a*₽)}. (П2.246)
Из (П2.243) когерентное состояние a получается следующим образом:
|cQ =D(a)|0}. (П2.247)
15 Б. Н. Петров и др.
449
Однако когерентное состояние [а 2) можно найти в виде разложения по
нормированным стационарным состояниям осциллятора (фоковским состояни¬
ям) |пЭ > удовлетворяющим условию а+а | nJ = п\ nJ:
о© п
I а ) = V I п 3. (П2.248)
п=о ' п|
Скалярное произведение двух когерентных состояний (П2.242) имеет вид
С ₽I а ? = J dx С рIX X Х| = ехр {- Iар/2- I р р/2 + аР*}.
-ОО '
(П2.249)
Таким образом, действительно получили, что когерентные свойства неортого¬
нальны (см. табл. П2.3, ...). Модуль скалярного произведения двух когерент¬
ных состояний равен (см. табл. П2.3, п. 2)
I СРІЮ I2 = exp {—| а — 012}. (П2.25)
Величина (П2.250) мала, если |а—0|2}> 1. Это означает, что комплексные чис¬
ла лежат далеко друг от друга. Аналогично величина d2a связана с элементом
фазового объема
л'М2а s n~xd (Re a) d (Іш а) = dpdx/2nh. (П2.251)
Когерентные состояния образуют полную систему функций (см. табл. П2.3, п. 1)
л-1 Jj С «1*0 С а|*' ? <fa = ô(x-x'). (П2.252)
-00
При этом любое состояние |f } можно разложить согласно (П2.252) по-коге¬
рентным состояниям (см. табл. П2.3, п. 6):
IX = л-1 I а X а I / 3 ^а. (П2.253)
-оо
Однако когерентные состояния не являются линейно независимыми, т. е. одно
когерентное состояние |а Сможет быть выражено через другие состояния:
I °°=я-1 П1 р}етр {р’а “ di₽> (п2254)
-00
Следовательно, когерентные состояния образуют переполненную систему функ¬
ций и разложение по ним произвольного состояния не является однозначным
[436].
В свою очередь любой оператор А может быть также разложен по коге¬
рентным состояниям ’
Л = Л-» f I а } Л (а*, Р) С PI exp -f (П2.255)
где Я (а*, Р) = £ а IЛ IР Э. .
Аналогично можно ввести (кроме обычных когерентных состояний) чет¬
ные и нечетные когерентные состояния [398].
450
Если рассматриваемый квантовый осциллятор (при т=\) находится под
воздействием внешнего возмущения, то эволюция системы во времени опре¬
деляется уравнением Шредингера (см. примеры 3 и 4 в п. П2.2)
d
‘Ь—1^(0 ) = (^о + ^і)|Ч>(О 3: (П2.256)
^?о=Ьш(а+а+1/2), = - f (t) q = - f (t) (a + a+).
(П2.257)
Слагаемое в уравнении Шредингера (П2.257) можно исключить, переходя
к представлению взаимодействия ’
I ф (0 з = е-а/Л)Л.(Ч I ф (<)}. (П2.258)
В результате получим
d ~ ~ ~
} = (П2.259)
Эгг, (/) = <Я71е‘чх«//Л =—f(t) ]/"(ae~ie>t + c^eie,t ). (П2.260)
Уравнение (П2.259) можно преобразовать к более'удобному виду
d п - ~
=(Р(/)а+-0(/)а)|гНПЭ; (П2.261)
₽ (/) = — f (0 eto<. (П2.262)
Игьсо
Гамильтониан выражается линейно через операторы алгебры Ли Wit а по¬
этому оператор эволюции 5 (/): | ф (/) 3 = •$(/) | ф (0) является оператором
представления группы Wlt т. е.
S (/) = T (g (t))= D (Y (0). (П2.263)
Таким образом, из (П2.262) следует сразу, что если начальное состояние яв¬
лялось когерентным, то оно останется когерентным в любой момент времени,
т. е. с минимальной неопределенностью и инвариантно по отношению к внеш¬
нему возмущению. Следовательно, принцип инвариантности, отмеченный в при¬
мере 4 п. П2.2, является следствием наличия когерентного состояния системы.
Таким образом, существует решение |ф(/)| в виДе
| $ (/) D = I а (0 ) • (П2.264)
Дифференцирование соотношения (П2.264) по t с использованием уравнения
(П2.261) приводит к следующему уравнению [436]:
t
à = P; а (0 = а0 + j P (t')dt'. (П2.265)
о
При из (П2.261) получим
|^а + Д0 ? =D(P(/)A0lt(0 5. (П2.266)
15*
451
Подставив в (П2.266) уравнение (П2.264) и учитывая, что оператор представ¬
ления T(g)=T(t, а) переводит одно когерентное состояние в другое (см. табл.
П2.3, п. 1), получим в результате
Ф = Im (0а) = Гт (аа). (П2.267)
Уравнения (П2.265) являются классическими уравнениями движения для ос¬
циллятора под действием внешней силы. Из (П2.267) следует, что величина
ф(/) равна удвоенной площади, описываемой радиус-вектором при движении
точки по фазовой плоскости, т. е.
4t
V(t) = —\ pdq
П J
<7o
(П2.268)
и, следовательно, имеет простой квазиклассический смысл [436].
Таким образом, данный пример показывает, что состояние системы остает¬
ся когерентным в любой момент времени t и инвариантно по отношению к
внешнему возмущению. Классический вид уравнений (П2.265), (П2.266) пока¬
зывает следующее: чтобы переход из одного состояния в другое квантовой си¬
стемы был инвариантным по отношению к внешнему возмущению /(/), необхо¬
димо иметь как минимум два канала: по управлению и возмущению. Следова¬
тельно, принцип двухканальности Петрова, полученный для классических си¬
стем, выполняется и для квантовых систем.
Аналогичный результат имеет место для нестационарных систем. Рассмот¬
рим кратко отмеченные факты на примере нестационарного квантового осцил¬
лятора [398].
Пример 4. Рассмотрим нестационарную квантовую систему, описывае¬
мую гамильтонианом
" Г Р’ 1 1
^ = 2 “£г+ѵт*й*(М’ (П2-269)
л=1 L Я J
где □*(/)—произвольные непрерывные функции времени. Пусть /ил=1. Вол¬
новое уравнение имеет вид
’ д J N
Н + <4 (0 $ • Ф = °-
(П2.270)
Используем метод интегралов движения при построении когерентных состояний
[398]. В этом случае операторы (интегралы движения) должны удовлетворять
только условию, что полная производная во времени от них равна нулю, т. е.
квантовомеханическое среднее от таких операторов не зависит от времени и
эквивалентно коммутативности с оператором idldt—ÿfé . Так, операторы
Ak (t) = І2'ѵ‘ [8а (/) pk - гк (t) qk\ (k = 1. 2 N), (П2.271)
где функции e* (/) — определенные решения уравнений
Il I- f dx
е*=І'*|ечТ.М'
коммутируют с оператором id/dt— и, следовательно, являются интегралами
ë.+ QKO 8, = 0;
(П2.272)
452
движения. При этом имеют место следующие соотношения коммутации:
= л/] = о.
(П2.273)
Уравнения (П2.272) эквивалентны уравнениям [398]
d2 1
— |8j +О^(0| eft|- — =0. (П2.273')
Когерентные состояния определяются свойствами операторов Лд, Лл+, по¬
этому определим унитарный оператор
N
о (а) = П ехР {«И* - aÂ4) ; а =*= (“I (П2.273 ")
где а* — произвольное комплексное число. Построим нормированное состояние
|0,0 = я-’/^У’ехр !і е*е(/) 1 ; Ak (0, t) = 0. (П2.274)
Ь—1 I k \ )
Тогда, действуя на вакуумное состояние (П2.274) унитарным оператором сдви¬
га (П2.273"), получим выражение для волновой функции когерентного со¬
стояния
Д 1/ tek f К2ал
I а. / ? = 2 п" ^j/’exp На - ‘ —:—
а=і еА
(П2.275)
Само когерентное состояние определяется из соотношений вида
Ak Iа» О = ak I а» ’» (П2.276)
и выполняется соответствующее соотношение полноты.
Когерентные состояния |а, О являются производящими функциями для
собственных состояний самосопряженных операторов /А=ЛлЛь+:
, I „ |2 ч °° „ПМ
1 , Г & I VI I j
|a,O = exp-^-—2 £!_|n>Q.
Пі. n^=Q (пг\ . . . nN\y*
(П2.278)
453
Сами функции |n, t 3 удовлетворяют условиям
Ik\nJ Э =nk\ntt Crntt\nttJ=ônm. (П2.279)
N
В выражениях (П2.278), (П2.279) принято |a|2=^ Іа*І2» п=(пи -, nN).
k=i
Собственные состояния |п, О строятся на основе линейных интегралов движе¬
ния Ad в следующем виде:
N N (A+}nk
|я.о=П I"*-о = П <П2-28°)
k=i k=i j/"nk\
Разложение в ряд когерентного состояния |а, t } по переменным а^:
I «. О = П (—k («л' е^^Г’/’ехр (H /. (П2.281 )
*=i\2eJ k2e* / \1е*І7
Таким образом, когерентное состояние |а,/}и собственные функции |л, О
оператора /д для Af-мерного нестационарного осциллятора получаются как про¬
изведение соответствующих состояний для одномерного осциллятора. Нетрудно
заметить, что когерентные состояния одномерного нестационарного осциллятора
являются решениями гауссовского вида, т. е. экспонентой от квадратичной
формы. Следовательно, когерентные состояния для квантового нестационарного
осциллятора описывают максимально классическое состояние в том же смысле,
что и когерентные состояния стационарного гармонического квантового осцил¬
лятора. Следовательно, если начальное состояние нестационарного осциллято¬
ра было когерентным (с минимальной неопределенностью), то в процессе эво¬
люции параметрические возмущения не разрушают этого состояния. Следова¬
тельно, когерентные состояния нестационарного квантового осциллятора также
инвариантны к параметрическим возмущениям. Здесь также прослеживается
аналогия с эффектом двукратной параметрической инвариантности динамиче¬
ских систем, открытый Б. Н. Петровым и В. Ю. Рутковским. Рассмотрим здесь
этот аналог подробнее на примере одномерного квантового осциллятора. При¬
менение нестационарного осциллятора к квантовым неразрушающим измере¬
ниям можно найти в [354].
Пример 5. Для одномерного нестационарного квантового осциллятора
из (П2.269) имеем .
р2 CD2 (/)
= — + —— а2
2 2 4
и уравнение Шредингера
d
іл — t(<) ) =Л?(/)Н(О
dl
Учитывая, что операторы координаты и импульса выражаются через бозон¬
ные операторы рождения и уничтожения, имеем
h h
— (1 - cd2 (/)) (а2 + а+2) + — (со2 (/) + 1 ) (аа+ + а+а). (П2.282)
4 4
Предварительно обсудим математический прием. Алгебра Ли группы SU (1,1)
454
может быть образована тремя генераторами Кі, Кг, Ко. Перестановочные соот¬
ношения для них имеют вид
1К1, Кгі = - ІК* [К3,Ко] = іКі, Ио. Æ1J = ІК3. (П2.283)
Можно перейти к новым генераторам
К± = Кі±і'К2. (П2.284)
Тогда перестановочные соотношения (П2.283) примут с учетом (П2.284) сле¬
дующий вид:
[Ко» KJ ± К±; '[К-, К+] = 2К0. (П2.285)
Тогда оператор
С3 = - Æî - = Æj - 71К+*- + *-*+! (П2.286)
является инвариантным оператором и носит название оператора Казимира, т. е.
оператор (П2.286) коммутирует со всеми операторами К<. По теореме Шура
такой оператор для неприводимого представления кратен единичному опера¬
тору .
C3 = k(k- 1)/. (П2.287)
В силу приведенных результатов гамильтониан (П2.282) можно записать те¬
перь в виде
Ж (О = h (4Æ+ + + В Ко) ; .
(П2.288)
= у (а+)а; К- = у а2; Ко = у (аа+ + а+а)
или
&е (/) = Wo (0 Ко - Wi (/) Ki; Go (0 = 1+ œ2 (/); Qi = 1 - œ2 (/),
(П2.289)
где Ko, Ki — генераторы представления дискретной группы серии SU (1,1), а ее
индексы k из (П2.287) имеют вид £=1/4 и £ = 3/4. ’
Решение уравнения Шредингера
IW Э = e-W’lUO ш<1. (П2.290)
где Ю — когерентное состояние с £=1/4 или £=3/4. Подставляя (П2.290)
в уравнение Шредингера, получим
£ = А + Л£2 + BÇ; ф = k (At + + В). (П2.291 )
Таким образом, уравнения (П2.291) описывают движение классической си¬
стемы (осциллятора) на фазовой плоскости. При этом плоскость £ является
в этом случае плоскостью Лобачевского [118] и представляет фазовую пло¬
скость для данной системы. Квантовое когерентное состояние ]£(/) 3 сохраняет
свойства когерентности в любой момент t (т. е. инвариантно по отношению к
параметрическому возмущению) и при этом в точности следует классическому
движению. Таким образом, для выполнения условий инвариантности квантовой
динамической системы по отношению к внешним и параметрическим возмуще¬
ниям необходимо применить принцип двукратной параметрической инвариант¬
ности [446]. Это возможно в силу того, что когерентные состояния позволяют
455
свести исследование динамического поведения квантовой системы к исследова¬
нию соответствующей классической системы, к которой этот принцип применим.
Так как когерентные состояния — это состояния с минимальной неопределен¬
ностью, то управление по импульсу (по возмущению) или по координате (по
отклонению) будет осуществляться для таких состояний с минимальной неоп¬
ределенностью. Именно поэтому эффект инвариантности может быть достигнут
на когерентных состояниях.
Для квантовых систем это подтверждается еще и тем, что любое состояние
|ф(/) } в силу указанных в табл. П2.3 свойств может быть разложено по коге¬
рентным состояниям.
Отсюда следует, что принцип инвариантности приобретает характер все¬
общности и для квантовых систем. С этой точки зрения можно построить еди¬
ную теорию моделей динамических систем. Кратко остановимся теперь на во¬
просе применения когерентных состояний в задачах оценки устойчивости кван¬
товых систем [436]. Другие примеры оценки устойчивости и чувствительности
квантовых динамических систем приведены в [447—449] с позиции теории слу¬
чайных процессов и теории нелинейных динамических систем.
Пример 6. Допустим, что зависимость со(/) является периодической от
времени, т. е. <d(/+t) =©(/). В этом случае существует решение уравнения
Шредингера с определенной квазиэнергией. По определению [450—452], квази¬
энергией называется такая функция, для которой выполняется условие
t*(' + T)= e-lFk\k(t). (П2.292)
Если выделить гармонический множитель, то ее можно записать [450] в виде
'f* (0 = e~‘PltT<f>k (0.
где фл(/+Г) =фл(0- Сама функция ф< может быть разложена в ряд Фурье
И=оо,/^ОО
= 3 cinkVk(x)e’tlFk+mi>)t; Ü> = 2n/T.
Пс=-оо, Æ=0
В [450—452] приведены уравнения для определения коэффициентов сіпк и ква¬
зиэнергии Fk. Таким образом, существуют состояния в решении уравнений
Шредингера, для которых имеет место соотношение [436]
" 4"еГ
|%а + Т)’?==е п |Ч>(і)Э- ' (П2.293)
Проанализируем спектр квазиэнергии. Для этого рассмотрим оператор эволю¬
ции системы U(t, to) : f/(t, t0) |ф(/0) ) = |ф(/) > С его помощью можно образо¬
вать унитарный оператор
S(to) = t/(to+r,to). (П2.294)
В силу свойства унитарности оператор (П2.294) можно представить в виде
і ~
*~-ТН
S=e п , (П2.295)
где Н — эрмитов оператор. Спектр оператора (П2.295) совпадает со спектром
квазиэнергии [436]. Оператор S —оператор конечного преобразования, а эрми¬
тов оператор Н принадлежит представлению алгебры Ли той же группы. Сле¬
456
довательно, оператор Н можно представить в следующем виде [436] :
Н= ^(QoKo—Û1K1—й2Кг). (П2.296)
Таким образом, в зависимости от вида вектора Q=(Q0, Qh Q2) могут осуще¬
ствляться различные случаи динамического поведения квантовой системы и
аналогичной ей классической системы. В (П2.296) сохранены обозначения пре¬
дыдущего примера 5. Допустим, что
Q2=q02_q12_q22>0> qo>o. (П2.297)
Оператор Н с помощью унитарного преобразования Н-+Н'= UHU+ можно
представить в виде
Я' = hQÆ0- (П2.298)
В уравнении (П2.298) спектр квазиэнергии дискретен, ограничен снизу и имеет
вид
8Л = hQ(k + n). (П2.299)
В этом случае состояние такого гамильтониана является когерентным состоя¬
нием. Если в (П2.297) выполняется условие Q2>0, но Q0<0, то имеем Я'=
«=-— /Ш/Со; спектр квазиэнергии в этом случае также дискретен, но ограничен
уже сверху [436] :
8Л = — hQ(k + n), (П2.300)
а состояние такого гамильтониана также является когерентным состоянием.
Пусть теперь Q2=—Л2<0. Тогда оператор Н можно привести к виду
Я' = -тх. (П2.301)
В этом случае спектр квазиэнергии непрерывен и заполняет всю ось —оо<8<
< + оо. В классическом случае это соответствует неустойчивому движению.
Рассмотрим еще несколько практически интересных случаев. Если Q2=0,
Q0>0, то
Я' = hQ0(Æ0-^i)- (П2.302)
Здесь спектр квазиэнергии непрерывен и заполняет полуось 0<8<оо. Если
Q2=0, Q0<0, то
Я' = - hQ0 (Æo ~ tfi)- (П2.303)
Здесь (П2.303) отличается от (П2.302) знаком и, следовательно, спектр квази¬
энергии также непрерывен, но заполняет ось —оо<8<0. Рассмотренные случаи
(П2.302), (П2.303) отвечают границам зоны неустойчивости для классического
осциллятора [436].
Рассмотренные динамические системы допускают термодинамический ана¬
лиз устойчивости [38, 39]. .
Следует отметить, что в интересных частных случаях — свободное движе¬
ние (Я=1/2 р2), перевернутый маятник (Я=1/2 (р2—р2), рассмотренный в
классической постановке П. С. Капицей и В. А. Челомеем,— спектр гамильто¬
ниана также не дискретен. Тем не менее в этих задачах существуют и вакуум¬
ные, и когерентные состояния.
457
Так, например, в случае перевернутого маятника можно получить эффект
Капицы — Челомея [453, 454]. В классическом случае [453, 454] для неустой¬
чивого перевернутого маятника П. С. Капица [453], а затем В. А. Челомей
[454] показали, что подбором соответствующих параметрических возмущений
œ(Z) можно перевести маятник из неустойчивого состояния в устойчивое. В слу¬
чае соответствующего квантового осциллятора, применяя изложенный метод,
нетрудно показать, что такой эффект достигается за счет принципа двукратной
инвариантности: выбирая когерентным начальное состояние (управление по
возмущению) такого осциллятора, получим все эволюционные состояния коге¬
рентными в силу полученных результатов в примерах 2, 3, что является первым
каналом управления по внешнему возмущению; вторым каналом управления
является параметрическое возмущение, по отношению к которому, как было
показано в примерах 4 и 5, когерентное состояние также является инвариант¬
ным. Выписывая классические уравнения движения такого осциллятора, полу¬
чаем условия Капицы — Челомея. Таким образом, получили аналог классиче¬
ского осциллятора Капицы — Челомея с эффектом двукратной параметрической
инвариантности. Примеры подобного рода имеют особое значение в задачах
управления квантовыми релятивистскими системами, в которых необходимо
осуществлять управление неустойчивыми состояниями типа удержания плазмы
и др.
Отметим теперь некоторые особенности построения когерентных состояний
для квантовых релятивистских систем [438, 441].
Пример 7. В рамках квазипотенциального подхода [438] рассмотрим
две одномерные модели релятивистского осциллятора в квантовой теории поля.
Предварительно дадим основные определения и постановку задачи, а затем
приведем основные результаты и выводы.
Для волновой функции одномерное квазипотенциальное уравнение в
р-представлении (см. пример 3, п. П2.2) в случае равных масс можно записать
в следующем виде: /
(£р - Ея) ф? (р) = -J- Ç у (р, k; Е) ф (Л) dQk. (П2.304)
ZJv J
В (П2.304) введены следующие обозначения: dQk = dk/^l + k2lm2c2—инвариант¬
ный элемент интегрирования в р-представлении; Eq = cf/nV-hр2; Ѵ( • ) — ква¬
зипотенциал, вид которого определяется для каждой конкретной задачи.
С помощью разложения по матричным элементам представлений группы
движений Лобачевского [118] в виде [438]
і
- —тех
/Ер - тс\ л
\ тс* ]
Ep = mc2ch%-, p=mcshx; х=In[ (ЕР+рс) /тс2] — быстрота [107, 455], динами¬
ческая переменная, канонически-сопряженная релятивистскому относительно¬
му расстоянию, осуществляется переход к релятивистскому конфигурационно¬
му ^-представлению
% М = J(Р. X) фр (р). (П2.305)
458
Для локального квазипотенциала V=V[(p—k)2\ Eg] можно записать следую¬
щее уравнение [438, 455] :
[Я0(х) + Ѵ(х)-£д]фд(х)=0, (П2.306)
где свободный гамильтониан Ht>(x) = mc2ch/-^—— \и функция £(р, х) яв-
\ тс dx /
ляются собственной функцией Н0(х), т. е. Я0(х)£(р, х)=Ер%(р, х). При этом
- ( ih d \
оператор импульса свободной частицы рх = — тсI и Яо удовлет¬
воряют соотношениям коммутации с релятивистской координатой х следующего
вида [438]:
ih ih ~
[*,РХ] =“^7Яо(*); ^’Яо(*)] = у Рх- (П2.307)
Следуя [438], рассмотрим два случая: 1) потенциал взаимодействия Ѵ(х) в
(П2.306) имеет вид
,, t v mw2 /<и f ih d ] ,оч / ih \
V (х) = —- л* 2 exp J — , х(2) = XIX + 1 ; (П2.308)
2 ( тс dx J \ тс J
2) квазипотенциал V является дифференциальным оператором, зависящим от
быстроты kp = 2mcsh(xp/2)t и имеет вид
у (k \ тсо2Л2 d2 h2®2 I / d2 1 Xp d \
P ~~ 2 dk2p~ 2mc2 cha (xp/2) Vty2 2 2 d%p / '
(П2.309)
где величина kp при c->oo совпадает с нерелятивистским импульсом, а энергия
движения &р = Ер—тс2 имеет в терминах kp нерелятивистский вид р =
= kp2!2m.
В первом случае (П2.308) для оператора релятивистской координаты х
имеют место следующие коммутационные соотношения:
ih / ~ 1 \ Г ~ 1 1 ' і’Л ч
[х.Н (X)] = — ( рх - — V (x)j ; |х, Рх - - V (х)] = —; Н (х);
[[х,Н (х)],Н(х)]=П^х. (П2.310)
В (П2.310) в соответствии с (П2.307) имеем Н (х) = рх — V (х), который,
согласно [438], назван оператором обобщенного импульса; в (П2.310) двойной
коммутатор совпадает с рассмотренным в примере 3, п. П2.2, уравнением дви¬
жения нерелятивистского осциллятора в представлении Шредингера Ѵ(х)->
-+т®2х212.
Уравнение (П2.306) для (П2.308) принимает в р-представлении следующий
вид [438]:
Г L 1 (h(ù\2 d2 d \ I
chx — T ~r e “chx %W = 0.
[ 2 \mc2 J \dx2 d%/ J v
которое заменой переменной Ç= [2/nc2/^o]ex(0^Ç<oo) сводится к уравнению
459
Уиттекера
Г d2 1 À 1/4 — ll21
7+T + ~рЬ® = °> (П2.3П)
A mC2 . 1/1 ( À2
где параметры X — -т— ch x; Ц = 1/ — + .
ncù r 4 \ h(ù /
Уравнение (П2.311) дальнейшей заменой переменной т=Ѵ£ переписывает¬
ся в виде
Г d2 g 1
h2-rr+^- Uq(T)=4W4^). (П2.312)
[ ат2 т2 J 4 4
В (П2.312) сделана замена переменных фд (?) =^Uq (т), g=4g2—l/4=3/4+
+ 4(mc2/A(ù)2. В этом случае исследование (П2.312) возможно методом реше¬
ния уравнения для сингулярного квантового осциллятора [398]. Вводятся опе¬
раторы рождения и уничтожения
1 / d\ 1 / *d\
а+ = -7= Т-— ; а = -7= т + — , (П2.313)
/2 \ du) 9 К 2 \ dx) ’ ' '
которые действуют на функцию Uq (т) и [а, а+] = 1. Если ввести величину
h(ù ( 1 g 1
Я(т)=ЯО(т)+-^ = - а+а + - + ^ , (П2.314)
то, используя [а, а+] =1, можно показать справедливость следующих соотно¬
шений:
[Л,Я] = Д<йЛ; [Л+, Н] = — ЛшЛ+; [Л.Л+] =-^Н; (П2.315)
Л (т) =-А" --Vh л+(т) = --г-[(а+)а — А) ;
' 2Л \ 2т2 / 2Л V 2т2 J
■і/ 2тсг
Л — Г До ’
„ h(ù „ „ h(ù „
[а. Н0 (?)] = — па"; [(а+)", Я» (т)] = - — п (а+)".
Операторы Д(т) и Л+(т) являются интегралами движения (инвариантами) для
Н(х) по (П2.314). Когерентное состояние |у} для релятивистского квантового
осциллятора с потенциалом (П2.308) определяется из соотношения типа
(П2.224)
Л|ѵЭ =ѵІѵ?
и имеет вид
/тс / V t \ ,
— Nv — — exp іЛу - — HS /а(1 (2 КЩ),
(П2.316)
где Afv= {/2ц(2Л|y| )} • Операторы А и А+ в ^-представлении имеют вид
л ( х)=тМ КТ’х+ѵАгя wl -
F 2 L г V J
(П2.317)
460
і
735" «j-
Из (П2.317), (П2.316) и (П2.305) следует после соответствующих преобразо¬
ваний [438] х-представление собственных функций |у} оператора А в виде
I ѵэ _ 1/<2Л 1VI)" е-/ліѵі2.7г ( , ±
У ПП Г(2ц + 1)е 2 2
X ф ( р, + — — іX, 2р + 1 ; 21 Ау j ,
(П2.318)
где Ф(а, b\ £)—вырожденная гипергеометрическая функция; х= (тс/й)х—.
со
безразмерная величина, Г(г)= e-^-'dt; (Rez>0) — гамма-функции,
о
Операторы А и А+ при с->оо переходят в соответствующие операторы для
нерелятивистского осциллятора, а состояния |\ ) в этом случае совпадают с ко¬
герентными состояниями для нерелятивистского линейного осциллятора типа,
рассмотренного в примере 3, п. П2.2 [438].
С помощью операторов А и Л+ можно построить соответствующую дина¬
мическую группу симметрии рассматриваемого релятивистского осциллятора
(П2.306). Для этого вводятся [438] операторы
Л1+= ЛЛ+; ЛС = -ЛЛ+; М3 = Н/Па,
которые согласно (П2.315) образуют алгебру Ли
[Л4+, М_] = 2М3; [М3, М±] = ± Л4±.
(П2.319)
(П2.320)
Из (П2.320) следует, что операторы М±, Мз являются генераторами группы
SU (1,1) и оператор Казимира
М2 = + і/2 (М+ЛС + М,Л4+) (П2.321 )
кратен единичному
М2 = (mc2/h(ù) I = (|х2 -Ѵ4) /
(П2.322)
как в X-, так и р-представлениях [438].
Для оператора Н—Л(йМ3 можно получить соответствующий спектр и, так
же как и для нерелятивистского осциллятора, динамической группой 'симмет¬
рии релятивистского линейного осциллятора является группа SU(1,1).
Для рассматриваемого случая собственные значения оператора Л4з=Я/
равны — si+n= (ц+Ѵг/Ч-п, n=0, 1, 2, ... и ограничены только снизу.
Во втором случае (П2.309) для линейного осциллятора постулируется сле¬
дующее уравнение в р-представлении [438] :
(Л) = 0
2т 2 dk*p 2тГч(р’
(П2.323)
461
решения которого выражаются через полиномы Эрмита в виде
, <0 Г % 1 / kp \
{kp> = 7^гехрJНпI,J ’
( 1 \ ( п \*Л
48 =Л<й(п + —- , (л = 0,1,2,..с0 =
п \ 2 ) \nm(ù ]
(П2.324)
Функции (П2.324) удовлетворяют условиям ортогональности и полноты.
Квазипотенциал (П2.309), уравнение (П2.323) и решение (П2.324) перехо¬
дят в нерелятивистском пределе соответственно в потенциал, уравнение Шре¬
дингера и его решение для нерелятивистского линейного осциллятора [438].
Для определения когерентных состояний вводятся операторы рождения и
уничтожения
[а, а+] = 1.
d -
dkp) '
(П2.325)
Соотношения (П2.325) в терминах быстроты х имеют следующий вид:
у 1 d y I d
fl = Лsh \ u z y ; a+ = Ash^-——— — . (П2.326)
2 Ach(x/2)dx 2 Ach(x/2)dx
При с—>oo соотношения (П2.325), (П2.326) переходят в операторы рождения
и уничтожения линейного нерелятивистского осциллятора.
Когерентные состояния для рассматриваемого случая строятся стандарт¬
ным путем как собственные функции оператора а, т. е. а|а ) = а|а}, где а —
произвольное комплексное число. Используя оператор Вейля £>(а) =ехр{аа+—
—<х*а} в р-представлении, получим
-Т(«2 + |а|2)—7-Ê—+ а 1/ “Г*,
2 2тп(д г mn(ù
(П2.327)
и в х-представлении
( 1 i d 1
СXI 00 = г|) (х; а) = ехр — — (аа + | а |2) — 2aAsh — і|>0 (х).
[2 2 ахJ
(П2.328)
Если подействовать конечно-разностным оператором sh(ûf/2dx) в (П2.328), то
получим
t (х; а) = Соте ехр М- (Ла—аа—|а|а)] V -—V х
п=о
(\2\
— , (П2.329)
2 /
оо
где (х) = J e-zcht+vt fa—-функция Макдональда. Когерентные состояния
-оо
(П2.327), (П2.328) неортогональны и образуют переполненную систему функций.
При с-*оо функции (П2.327), (П2.328) переходят соответственно в р- и х-пред-
462
ставлениях в когерентные состояния нерелятивистского линейного осциллято¬
ра [438]
lim і|) (х; а) = $ (р ; а) = -—ц- ехр (ô> +1 а I»)-
с-x» (л/n/îœ)'♦ [ 2 1
lim ір (х; а) = $ (х; а) ==
с-»оо
~ р . 1/та)
а = lim а = — I I/ х.
с->оо Ÿ 2ma)h * 2h
Для осциллятора (П2.323) динамической группой симметрии также является
группа SU (1,1). Полный гамильтониан
Н = Гіш ^а+а + “ + тс2/Па), (П2.331 )
а операторы а, а+ определяются по (П2.325). Соответствующие операторы
М±, 2И3, удовлетворяющие (П2.321), выражаются через операторы а, а+ в виде
М±=1/2(а+)2; М_=—1/2а2; М3==1/2(а*а+1/2) = (Н—тс2)/2йю. Инвариантный
оператор Казимира M2=s(s+1) =—3/іб.
Для собственных значений оператора ограниченных снизу, имеем два
представления: 1) — S\+n= l/4+n; H=mc2+h(ù(2n+1/2); 2) — Sa+n=3/4 + n;
H=mc2+h(ù(2n+1 + 1/2).
В заключение .рассмотрим уравнение для релятивистского гармонического
осциллятора [455]
Æa d2 œ2 п Л
-^-^+тТгг-тс^)ч^ = 0-
Вводя обозначения операторов
~ i//nœ - д і/ 2т - т/ 2Я d
q = I/ г; л = — і = с I/ —— % = — I у — ;
V 2h dq " hay f ma) dr
[JT, g] = — i
и операторы рождения и уничтожения
а+ = у=(<7-іл); a = y=(q + in)', [а*,а] = 1,
для исходного уравнения получим эквивалентную запись
= 7 (п2 + <р?. = -1 /2.
Все возбужденные состояния осциллятора могут быть получены из исходного
состояния х2фо(О,= (хв<°>)2фо(О); афо(О)=О путем л-кратного действия оператора
463
рождения а+, т. е.
Ф(П)(<7) = ^ ф(о)( )= yexpf-çVZ)
0 w /П| W 2 К2Ш/ЛГ (п + 3/2)
Энергетический спектр
%п = 2тс2 ch ( 1/" І2п + — ))
п \Ѵ тс2 \ 2//
переходит при с->оо в спектр состояний нерелятивистского изотропного осцил¬
лятора
%п — 2тса -> h(ù (2п + 3/2).
При этом произведение средних квадратичных отклонений релятивистского от¬
носительного расстояния аг2 и быстроты ах2 в основном состоянии
h2
°'°х=3/4^‘
т. е. имеем минимальное соотношение неопределенностей Гейзенберга.
Пример 8. В данном примере, следуя [441], приведем конкретный вид
когерентных состояний для уравнения ФКГ и уравнения Дирака, рассмотрен¬
ных в п. П2.3 и П2.5.
Если ввести координаты нулевой плоскости и* (ц=0, 1, 2, 3) через коор¬
динаты пространства — времени Минковского в виде
ио = (х°-х8)/К2; «* = х1; «2 = х2; и* = (х° + х3)іѴ2,
(П2.332)
то уравнение ФКГ можно записать в терминах координат (П2.332) в виде
«W = я 1 =—ло + т '^31 (+ &Î + + « - Fозі ;
с 2 \ с J
(П2.333)
~ e „
= даА& - д&Аа’ = ІПда ~ ~ А<х’ да = Ядй .
Поскольку уравнение (П2.333) является уравнением первого порядка по пере¬
менной и0, то для него можно ввести оператор эволюции £/(u°, u/0), а с его
помощью построить интегралы движения, т. е. операторы вида
І(и°) = U(u°, 0). (П2.334)
Для построения когерентных состояний в качестве (П2.334) необходимо взять
операторы уничтожения вида ап = а(дп+уип), где а,у — размерные постоян¬
ные, т. е. интегралы движения в этом случае — операторы а (и0).
В качестве потенциалов внешнего электромагнитного поля можно выбрать
потенциалы достаточно общего вида [441]
Ло = 0; Л1 = Д (и°) + -у и°;
е 2
ch H ch
Л,= /а(«°)--Г 4> = -/в(«0). (П2.335)
е 2 е
В (П2.335) функции fi(ufi) (f=l, 2, 3) —произвольные функции от «времени»
464
uQ и составляют комбинацию произвольных электрических и постоянных маг¬
нитных Н составляющих, направленных вдоль оси x3=z и поля плоской вол¬
ны, распространяющейся вдоль оси z. При fo=O имеем так называемую кон¬
фигурацию Редмонда. Уравнение (П2.333) имеет в качестве интеграла движе¬
ния для (П2.335) оператор ідз. Тогда решение (П2.333) будет собственной
функцией ф этого оператора
/д3ф = ^з'Ф; Ф = ехР {— <’М8} ф (и0, и1, и2). (П2.336)
Если ввести бозевские операторы рождения и уничтожения вида
а = Й[Э1 + І“І + ,'е(02 + І “’)]:
(П2.337)
1 Г V / ѵ \1 •
h = F^r+TB’“‘’er+T ’
принять их в качестве начальных операторов для операторов уничтожения —
интегралов движения А (/), B(t) по (П2.334) вида
• Л(0 = ехр{(>/}+B(t)=b; (П2.338)
t
Q (0 - J dxt^ [i4ft (t) - Д (t)]; t = t (u3) = J qdu3-, q = (k3- f3)-'
0
и потребовать, чтобы функция ф была собственной для операторов (П2.338) с
. а
собственными значениями а/У2у и 0/У2у соответственно, т. е. A (t) ф = —— ф>
/2т
Р
В (/) ф = —— ф, то в результате получим когерентное состояние по пере-
/2Ѵ
менным и1, и2— волновую функцию вида [441]
ф (ц°, и1, и2, и3) = N VqeD, (П2.339)
где
D = у -Поф {1 — exp (— iyt)} — ■— (у + Л2) t — y [(u1)2 + (u2)2] — iK3u3 +
+ y (рн1 — ievu2) + 2pQ (t) exp (— iyt) + 2aQ* (t) — 2y J QQ*dt —
-xfa + fÿdt; v = p-2₽; p = (a - yQ) exp (- iyt) + P;
Г8я к ( (|a|2 + l₽P + 2ap) |е|Я
Af = I h exp < —!—5 !! И ; y = J ; e = sgn e.
L Y l 2y JJ me
С помощью (П2.339) можно вычислить средние значения координат и1, и2
в виде
<и1> + іе <u2> = y (a — yQ (0) + ₽*• (П2.340>
Уравнения (П2.340) совпадают с решением классических уравнений движения.
465
В частном случае при /< = 0 получим волновую функцию (когерентное со¬
стояние) в однородном магнитном поле; здесь |a|=yR и 7? — радиус класси¬
ческой траектории, arg а определяет начальную фазу, a Rep, Imp задают центр
окружности, которая и определяет классическую траекторию. В свою очередь,
функции (П2.339) сохраняют минимальным соотношение неопределенностей
Гейзенберга для координат и1, и2 и импульсов — — ihdal, Рц2 = — іѣди2 по
всем ц°. Согласно [441], решения уравнения Дирака фі в рассматриваемом
поле (П2.335) можно выразить через соответствующие решения уравнения ФКГ
(П2.333) в виде
фі = ѴгѴѴФ» (П2.341)
тде у3, у0 — соответствующие матрицы Дирака [44].
В явном виде решение (П2.$41) записывается следующим образом:
К /Л.і +dL; (П2.342)
\(*о — /2 ç-1) <j3 — 12 J
Г Kk3 ’/*
+ ê, (ev — iy (u3 + ieu’) + /,].
В (П2.342) обозначено ei, — единичные орты вдоль осей и1, и2, соответствен¬
но; и— произвольный постоянный двухкомпонентный спинор; а, а3 — соответ¬
ствующие матрицы Паули [44], все остальные обозначения сохранены как и для
><П2.333).
В частном случае при /0->0 решение (П2.341), (П2.342) дает решение
Волкова для электрона в поле плоской волны [441], которое не является коге¬
рентным состоянием.
В заключение отметим, что рассмотренные когерентные состояния относят¬
ся по классификации [436] к классу выделенных и являются наиболее близ¬
кими к классическим системам (см. [436, с. 1694—1695]). Дополнительные к
рассмотренным примеры можно найти в [394—398, 401, 408, 409, 431—444].
П2.6. Представление Вигнера в квантовой теории. Рассмотренные в преды¬
дущих разделах возможные модели квантовой теории оперируют различными
операторами по тем или иным правилам. Для коммутирующих переменных в
операторных выражениях безразличен порядок применения операторов.
Ситуация резко меняется, когда в операторные выражения входят неком¬
мутирующие переменные. Так, например, в рассмотренных операторах АВ, ВА
и (АВ+ВА)і2 для некоммутирующих переменных получим три различные си¬
туации. Таким образом, понятие функции от нескольких некоммутирующих пе¬
ременных необходимо доопределить правилом упорядочения действия операто¬
ров. В квантовой теории нашли наиболее широкое распространение три прин¬
ципа упорядочения [432, 433, 430]: 1) нормальное упорядочение; 2) антинор¬
мальное упорядочение; 3) вигнеровское упорядочение. При нормальном упо¬
рядочении операторов, которое обозначается в литературе символом Л9 или
заключением операторного выражения в двоеточие, последние представляются
через операторы рождения и уничтожения и разлагаются в ряд Тейлора с пере¬
становкой всех операторов уничтожения правее операторов порождения.
466
Пример 1. Так, согласно введенному правилу имеем [408, 409, 430]г
- ~ 00 (— I)" - Z4 Л .
а) Жехр {za+ — z*a} = ——— (| z І*1 а+п a) = exp (za+) exp (— z*a);
n=0
- - /|z|2\ - ~
б) Жехр [za+ — z*a} = exp I -y I exp (za+ — z*a);
в) Ж exp (— a+a) = PQ — проектор на вакуумное состояние.
Антинормальное упорядочение обозначается через А и противоположно к Л*
по порядку применения операторов.
Остановимся подробнее на вигнеровском упорядочении операторов [138]
и соответствующей форме представления динамики в квантовой теории [430].
П2.6.1. Вигнеровское упорядочение операторов. Для вигнеровского упоря¬
дочения операторов [138] вводится обозначение W. Оно определяется по отно¬
шению к функциям, выраженным через набор операторов с числовыми комму¬
таторами (например, через рассмотренные канонические операторы и импуль¬
сы) и заключается в симметричном по отношению к перестановкам любой пары
операторов в определении их произведения [430]. Например, для оператора
Wq2p= (q2p+qpq+pq2)l3.
В общем случае упорядочение любой функции осуществляется с помощью
соотношения [430]
Ргіп f (Л, В) = У j f(a, b) Ргіп6(Я — а. В —b) dadb, (П2.343>
где А= (d-|-d+)/y2, В = —i(d—d+)/f2, [/f, B]=i, a, oo, oo). Для ô-функ-
ции имеем
OO
Wô (A — a, B — b) = 1 ■ f Ç exp [іХі (A — a) + ix2 (B — b)] dx1dx2.
(2я) J J
~°° (П2.344>
Из приведенных соотношений в примере 1 и фурье-образа 0-функции сле¬
дует непосредственно связь между нормальным и вигнеровским упорядочением
следующего вида [430, с. 38] : '
~ ~ 1 / д2 д2 \
^А-а,В-Ь) = ыр
Wô (А — а,В — Ь).
(П2.345)
Важным следствием приведенных способов упорядочения операторов яв¬
ляется возможность экономного способа вычисления следа операторных соот¬
ношений. В этом случае имеют место следующие зависимости:
ТгЖ/(а+, a) Ag (а, а+) = у JJ f (a*, a) g (a, a*) d2a;
(П2.346>
f P) g (<Ь P) 4pdq.
Из (П2.346) следует, что использование операций упорядочения операторных
выражений сводит вычисление следа Тг к классической операции интегриро¬
вания.
TrWf(q,p)Wg(q,p) = -z~ ff
2яп JJ
467
Пример 2. Рассмотрим связь введенных нормальных Л9 и анзднормаль-
иых А упорядочений с когерентными состояниями. Как показано в п. П2.5, ко¬
герентные состояния описывают чистые состояния, у которых волновые функ¬
ции имеют вид (У(г)фо, ф0 описывает вакуумное состояние осциллятора, U(z)
описывает оператор сдвига d->d+z, который добавляет к нормированным им¬
пульсу и координате классические добавки y2Imz* и f2Rez* соответственно
,[430]. Как известно из результатов п. П2.5, этот оператор имеет вид
U(z) =ехр {zâ+—z*â}. (П2.347)
Матрица плотности когерентных состояний есть проектор Po(z) = Щг)фо>
фо+(7+(г) = |z} £z[, который был исследован в п. П2.2, П2.5 и имеет пред¬
ставление в антинормально упорядоченном виде. Для таких состояний наибо¬
лее удобно применение нормального упорядочения операторных выражений
[430]. Так, вычисляя след ТгЛ7(<2+, â)PQ(Z) = Q z\JFf(â+, d)|z}, имеем
J(z*, z). Матрицу плотности можно описать в глауберовском (диагональном)
представлении согласно п. П2.5 в виде
Р = j P (z) P» (z) dz.
Средние значения
ТгЖf(a+, а) р = (z*, z) р (z) d2z.
Таким образом, из (П2.346) и представленных выражений следует, что матрица
плотности когерентных состояний описывается антинормально упорядоченным
выражением. Следовательно, имеем
— Ро (?) = AÔ (Л — /FRe?♦, В — /Firn ?♦), (П2.348)
2л
т. е. проекторы на когерентные состояния образуют базисный набор антинор¬
мально упорядоченных 0-функций. Тогда весовую функцию p(z) в последнем
выражении можно отождествить с квантовым аналогом совместного распреде¬
ления вероятностей операторов А и В. Такая функция обладает одной отличи¬
тельной особенностью от классической функции распределения вероятностей:
она может быть не всегда положительной.
Для того чтобы избежать таких аномальных явлений, используют распре¬
деление вероятностей, соответствующее упорядочению Ргіп типа (П2.343) [430]
Рргіп (г) = 2 ТгРгіпÔ (4 — /2Re?♦. В - У 2 Іш?*).
Это выражение получается путем усреднения упорядоченного индикатора
Ргіпб(е) элементарного события (X/f2 = Rez*, B/y2 = Imz*). Но согласно
(П2.347) глауберовскому представлению соответствует упорядочение Ргіп=Л,
а поэтому распределение вероятностей в глауберовском представлении можно
описать в виде Рд (z) =2ТгрЛ6(Л—y2Rez*, В—y2Imz*) =Trp?0(z)/n, которое
имеет все свойства классического распределения вероятностей.
Непосредственной аналогии с классическим распределением вероятностей
можно достичь и с помощью вигнеровской функции распределения, которая вво¬
дится с помощью матрицы плотности и является определенным аналогом функ¬
ции распределения на фазовом пространстве (г, у) следующего вида [457]:
468
* v ! m \*N Ç I г' , г' \ ( im ï ,N
Z(r,v,O = [—) ]рЦл- Г + Т’ ) expvrSrAf dr ■
(П2.349)
В этом случае формулы для средних значений совпадают с классическими фор¬
мулами.
В общем случае для сближения квантового описания с классическим пере¬
ходят от функций — матричного элемента Ло(<7і» <7г) и матрицы плотности
Ро(^2, Çi) к вейлевскому представлению операторов с-числовыми функциями
Л(р, q) и к вигнеровской матрице плотности р(р, q) линейным невырожденным
преобразованием [458] ч
dpdqA (p, q) exp p (qt — <?,)] ô [q — (<h -b qt)\ ,
{ n ) \ Z J
(П2.350)
Po (<7a. 41} = ÿdpdqexp {y p (q2 — q^ ô (q — ~ (qt + ç2)j p (p, q).
Согласно [458], преобразования (П2.350) обладают следующими свойствами,
сближающими новые функции Л, р с соответствующими классическими величи¬
нами: 1) переменные p, q функций Л(р, q) сопоставлены соответственно опера¬
торам p, q импульса и координаты; 2) для любой наблюдаемой Л(р, q) кван¬
товым скобкам Пуассона (ift)-l[X, р], (^)“1[Л, q] сопоставлены функции
dAldq, —дАІдр\ 3) функции Л(р, p), р(р, q) действительны, если они сопостав¬
лены самосопряженным операторам Л, р; 4) выражение для среднего прини¬
мает одинаковый вид с классическим.
Однако вигнеровская матрица плотности не всегда положительна.
Несмотря на это, вигнеровское представление нашло успешное применение,
на котором кратко остановимся ниже.
Из предыдущих выражений для p(z) и рл(г) следует, что pA(z) и p(z)
связаны сглаживанием с весовой функцией ехр{—\z—/|2}. Эта связь и обес¬
печивает компенсацию неположительных значений в случае нормального и ан-
тинормального упорядочения выражений. Сама функция p(z) по Глауберу сов¬
падает с функцией Pjf(z), так как из предыдущих выражений и (П2.346) сле¬
дует
Pjf(Z) = 2 Тг рЖ0(А - /2Re г*, В - /Пт г») =
= J ТгЖ0(-)р (z) 4Ô (•)</?= p(z).
Приведенные результаты показывают, что «наилучшим» из классических рас¬
пределений вероятностей для некоммутирующих квантовых канонических пере¬
менных является pA(z), так как она положительна и не имеет сингулярностей.
Другим «наихудшим» распределением является Рд (z) =p(z), так как оно не
положительно и может иметь сингулярности.
Вигнеровское представление плотности занимает промежуточное положе¬
ние [430]. Из (П2.346), (П2.350) следует, что матрицу плотности можно выра¬
зить через вигнеровскую плотность вероятности (в представлении Вигнера)
Pw(q, p)TrpU7ô(p—q, р—р) в следующем виде: р = 2лй Wpw (q, р). В этом
случае матрица плотности гауссовского распределения для квантового набора
469
Х=(ХЬ Хп) имеет «классический» вид многомерного гауссовского распре¬
деления [430]
- I det (2л С) - т ~
Р = Idet (2n K)k W “P {_ (Х “ <Х>) - <Х>)/2}- (П2 351>
где К и С — корреляционная и коммутационная матрицы; <Х>—вектор сред¬
них значений. Формула (П2.351) описывает также и когерентные состояния.
В пределе при (К—|С|/2)->0 имеем описание смещенного вакуума [430].
Также имеет место вигнеровское представление |z} Cz|=2№exp {—[(Л—
—y2Rez*)2+ (В—y2Imz*)2]}, так как |0} С^І является пределом гауссовской
матрицы плотности р = ехр{Г(0)—0d+d} при р=й<о/А:Т->оо.
П2.6.2. Представление Вигнера в квантовой динамике. Допустим, что кано¬
нические переменные заданы операторами Хі(і=1, 2, ...» г) для системы с г сте¬
пенями свободы. На рассматриваемом множестве операторов обычно вводится
на основе (П2.343) базис
|е(Х)) = WX-X),
где ^t = Prin — некоторый принцип упорядочения, а любой оператор соответ¬
ствующей неоператорной функции f^(X) можно отображать в виде
&iî(X) = J (Х)|е(Х)3 dX.
Для описания возможных состояний системы можно вводить свой базис для
матриц плотности независимо от е(Х), т. е. С f(X) | =Лг^20(Х—X); Л=2л/и
Множитель hr делает этот базис безразмерным и благодаря этому свойству
функция р дъ (X), представляющая матрицу плотности в соответствии с форму¬
лой разложения р = С р | = J Р&>2 (X) С f (X) | dX, будет иметь размерность
плотности вероятности [430]. Функция рд> (X) будет описывать классическую
плотность распределения вероятностей, если упорядочения и согласованы
[430] таким образом, что выполняется соотношение
С f (X) I е (У) 3 = hr Тг (X - Y) (X - X) = ô (X - У). (П2.352)
Из (П2.346) следует, что это условие выполняется при ^1=^2= W7, а случай
^i=Æ, &2=A отличается от (П2.352) константой 2л.
В вигнеровском базисе физические переменные и матрицы плотности опи¬
сываются, следовательно, классическими функциями, имеющими согласно
(П2.352) вид
fw (X) = hr Tr f ô (X - X), (X) = Trp ô (X — X); (П2.353)
</> = Tr/pJ/ir (X)Pjy (X)dX.
При использовании вигнеровского упорядочения операторных выражений
квантовый характер системы проявляется в правиле слияния вигнеровски упо¬
рядоченных операторных выражений [430]
== xtdidxfw + ЭХ^) (П2.354)
В (П2.354) через (Л) w обозначена функция, соответствующая оператору А
470
в представлении Вигнера; С — коммутационная матрица канонических перемен¬
ных X; Nx, д (дх — упорядочение, при котором все операторы д/дХ действуют
' раньше умножения на X. Представлению (П2.354) эквивалентно представление
вида
-- Г / 1 д \1
№) & = д/дХ&у j fw W • (П2.355)
Для вигнеровского представления справедливы также дополнительные соотно¬
шения [430, 138]
± у с I' -1' + = ~У Sj/j ’
?+7%-7Нх-ТсМН' (mæ6)
где W означает вигнеровское упорядочение операторов X и д!дХ.
Из (П2.353), (П2.354) следует важный вывод [430]: в вигнеровском пред¬
ставлении некоммутативность операторов X, между собой отображается неком¬
мутативностью классических фазовых переменных X с соответствующими опе¬
раторами дифференцирования dfdX по фазовым переменным.
Используя уравнения Гейзенберга для замкнутой динамической системы с
гамильтонианом Н уравнение эволюции для вигнеровского представления опе¬
ратора Г можно записать с учетом (П2.354), (Щ.355) в виде
Т ^х.д/ах (х + - С
dt ~
— Hw 2 С fw(x> 0-
(П2.357)
Уравнение (П2.357) описывает, как и в классической теории, эволюцию
динамической системы в фазовом пространстве, но содержит эволюционный
оператор с постоянной Планка й. Разлагая этот оператор в ряд по степеням
Х?=і^Со, имеем
" àf іѵ/ дН ікг / д3// гиА
“дГ = 1хс°^+0Г (П2,358)
Поскольку Со есть матрица вида ””о)’ то соответствующая ей квадратичная
форма дает в первом слагаемом в (П2.358) классическую скобку Пуассона.
Значение записи (П2.358) для квантовой теории Б. А. Гришанин [430]
отмечает следующим образом: «Остаточный член... (прим. авт.— см. уравнение
(П2.358) ) в сокращенном виде имеет по h второй порядок малости, причем
.соответствующий безразмерный параметр определяется ангармоничностью си¬
стемы, т. е. кубическим членом разложения гамильтониана по каноническим пе¬
ременным. Это свойство является привилегией вигнеровского упорядочения,
поскольку в общем случае даже для линейной системы уравнение эволюции
для нелинейной функции канонических переменных не обязано иметь классиче¬
ский вид. Таким образом, в представлении Вигнера квазигармонические систе¬
мы на строго квантовом уровне полностью описываются классическими уравне¬
ниями. Вся квантовая специфика заключена при этом в расчете вигнеровских
471
функций fw, представляющих соответствующие операторы, т. е. отображается
соотношением (П2.354) при вычислении вигнеровской функции, соответствую¬
щей произведению физических величин. Другими словами, квантовый характер*
системы влияет лишь на соотношение между физическими событиями, услож¬
няемое некоммутативностью, но не влияет на временную динамику физических
переменных».
В связи с изложенным интересно отметить связь вигнеровской функции
распределения вероятностей с коррелированными когерентными состояниями,,
рассмотренными в п. П2.5, пример 7.
Пример 3. В [394, с. 230] показано, что коррелированные когерентные
состояния имеют следующий вид:
. -s 1 ( X2 I \
“рГ170-7^)+
+ —+ (П2.359>
где T) = yô^ и г=<уАВ/(огАав)— коэффициент корреляции. Коэффициенты
разложения состояния |а, г, -q} по степеням параметра а являются собствен¬
ными состояниями оператора
~ > г ~~ 1
“с, -чѵ + <•'’ + ”>- т :
37 + |П<1. (П2.360>
собственные значения которого равны л=0, 1, ... Гамильтониану (П2.360) со¬
ответствует гармонический осциллятор ç+ç=O, так как изменением масштаба
координаты и введением другого обобщенного импульса типа ç=V2qQ; р=
= 1 /У2г] • р—г/V2 ( 1 —г2) гамильтониан (П2.360) сводится к обычному осцилля¬
тору (Ф + р2)^. л л
Аналогично зависящее от времени каноническое преобразование q=QeMt*,
pts^pe-**' к=—г/уі—г2 приводит к уравнению движения осциллятора с зату¬
ханием [394] Q + 2xQ + Q/(l— г2)=0. Следовательно, состояния (П2.360) име¬
ют непосредственное отношение к квантованию затухающего осциллятора.
Состояние (П2.360) в представлении Вигнера имеет следующий вид [394 J
С а.'.îl I <7-=
•-ОО
— <р>. ? = ?—<?>
и является нормальным классическим распределением с дисперсией <т« = Л2»
ар= [4т)2(і— г2)] —1 и коэффициентом корреляции г.
В связи с отмеченной особенностью функций Вигнера общее нормальное
472
распределение t
f = І exp {- І ~qî - M pt + T’ ~q~p} ’ д = a»a< ~ °”
может быть функцией Вигнера при условии 1/4.
Из определения коррелированных когерентных состояний следует, что со¬
отношение неопределенностей Гейзенберга ород^а/4 при ртличном от нуля
коэффициенте корреляции г сдвигается в сторону больших значений, т. е.
оРод^2/(4(1—г2)), и квантовые флуктуации в состояниях с г=/=0 становятся
сильнее, чем при г=0. Это сказывается существенно на классических эффектах
квантовой теории. Так, если имеется потенциальный барьер между двумя по¬
тенциальными ямами, то вероятность туннелирования через барьер из состоя¬
ния с г=/=0 может быть больше, чем из состояния с г=0.
П2.7. Квазиклассические пределы и обобщенные модели квантовой теории.
В данном разделе рассмотрим кратко некоторые взаимосвязи различных форм
перехода от квантовой теории к классической механике с различными формами
квантования классической механики на примерах моделей Гейзенберга, Шре¬
дингера, Фейнмана, Вейля, Маслова, Широкова, Манько и др.
П2.7.1. Квазиклассические модели перехода от квантовой теории к класси¬
ческой механике. Вопросы соответствия между квантовой теорией и классиче¬
ской механикой рассматривались с самого начала создания квантовой теории
£459, 460].
Здесь рассмотрим одну из традиционных интерпретаций перехода от кван¬
товой теории к классической механике на основе предельного перехода h ->0.
Предварительно рассмотрим несколько математических определений и ре¬
зультатов [377].
Рассмотрим два оператора
V (и) = ; V (и) = e~t’<ülQ1+üeQe+t'8Qs), (П2.362)
где u(uit и2, и3), u(ult ü2, ѵ3) — вещественные параметры. В координатном пред¬
ставлении оператор Ѵ(о) есть оператор умножения на функцию
Ѵ(и)(р(Х) = е-^жф(Х).
Оператор U(u) в координатном представлении является оператором сдвига ар¬
гумента функции <р(х) на величину — huf т. е.
і/(и)(р(Х)=ф(х—uh).
Перестановочные соотношения для унитарных операторов U(u) и Ѵ(р) в
координатном представлении имеют вид
V(v)U(u)<p(x) =e-ivxq(x—uh)-t U(и) Ѵ(о)ф(х) = e~iV(x~uh^(x—uh).
Таким образом, имеем
L/(u) Ѵ(ѵ) = V(v)U (u)eivuh. (П2.363)
Аналогично .
U(Ui) U(u2) = U(u\ + и2), Ж) V(ü2) = V(^i + u2). (П2.364)
Следовательно, множества операторов U(u), Ѵ(ѵ) образуют группы U и V со¬
ответственно. В этом случае, если U и V — однопараметрические группы уни¬
тарных операторов U(u) и V(ü), действующих в гильбертовом пространстве^
и удовлетворяющих условию (П2.363), то пространство можно представить
в виде прямой суммы <^=<^іѲ^2Ф ...» где каждое éfâi переводится в себя всеми
473
операторами U(и) и Ѵ(ѵ) и каждое 3tëi можно отобразить унитарно на L2(R)
таким образом, что операторы Ѵ(о) переходят в операторы ф(х)->е~<1,жф(х),
а операторы U(u) переходят в операторы яр(х)-^ф(х—uh). Следовательно, в
пространстве действует представление соотношений (П2.363) унитарными
операторами; если это представление неприводимо, то разложение пространства
Зв содержит только одно слагаемое. В этом заключается содержание теоремы
Неймана — Стоуна, с помощью которой нетрудно доказать неприводимость ко¬
ординатного представления для Р и Q [377].
Пример 1. Перестановочные соотношения Гейзенберга с помощью вве¬
денных операторов в форме Вейля имеют обобщенный вид
— eiciïgipqgiap '
Допустим, что классическое фазовое пространство является линейным про¬
странством М конечной размерности с фундаментальной невырожденной косо¬
симметрической формой В (г, z') (z, z'eM). Пусть задана каноническая система
P, Q на фазовом пространстве М, а для произвольного вектора z= (u, f) из М
определен самосопряженный оператор 7? (z) как инфинитезимальный оператор
непрерывной однопараметрической унитарной группы S(t) (—оо</<оо), где
S (/) = exp {UP(и)}exp {UQ (f )}exp{—^-i2f (и)}.
Из определения R(z) непосредственно следует обобщение соотношения
Вейля
eiR^elR(z’) = Д iB^eiR(z+Z')t в (г> 2>) = f, (и) _ f (иЭ.
В инфинитезимальной форме обобщенное соотношение Вейля принимает
вид [33, 461, 462]
[P(z),P(z')]C-iB(z, z').
Если пространство М вводится как множество всех векторов (рі рп,
Çi,..., çn) с 2п компонентами, a B(z, z') имеет вид (р/ўл—Pkqk'), то опера-
k
торы Pb = R(eK) и Qà = /?(f*), где еь и fk образуют естественный базис в М,
удовлетворяют обычным перестановочным соотношениям Гейзенберга. Для
отображения z-+U(z) в системе Вейля (М, В) имеем
£/(z)£/(z')=exp[i-B(z, z7) j(/(z+z7).
і th
Для унитарных операторов при В (z, z') = — Im (z, z') = — {z, z'} имеем
[33,461] 2
ü (z) U (z') = exp — {z, z'}j t/(z + z).
Введенные операторы U(и) и Ѵ(ц) позволяют рассмотреть одну из моде¬
лей предельного перехода от квантовой теории к классической механике на ос¬
нове предела
Процедура перехода состоит в следующем [377, с. 65]. Вещественным функ¬
циям на фазовом пространстве f(p, q) сопоставляются по некоторым правилам
самосопряженные операторы Af(f-+Af). Затем определяется формула об1
ращения, позволяющая по оператору Af восстановить функцию f(p, q) (Af-+f).
474
Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между веще¬
ственными функциями на фазовом пространстве и самосопряженными операто¬
рами в гильбертовом пространстве Ж В этом случае справедлива формула
м
Далее определяется вид функций на фазовом пространстве, соответствующий
произведению и квантовой скобке Пуассона {Ау, Ag}n. Такие функции
•оказываются не совпадающими с произведением fg и классической скобкой Пу¬
ассона {f, g}, но в пределе стремятся к ним. Следовательно, алгебра на¬
блюдаемых квантовой механики неизоморфна алгебре наблюдаемых классиче¬
ской механики. Однако при взаимно однозначное соответствие f++Af ста¬
новится изоморфным.
Оператор Ду (/) удовлетворяет, согласно [377], уравнению dAf(t)ldt=
= {Я, Ау(/)}л. Из линейности соответствия f++Af следует, что приЙ->0 клас¬
сическое уравнение dfldt=- {Я, /} является следствием квантового уравнения.
Самосопряженный оператор Ду может быть построен в форме Вейля с помощью
введенных операторов (П2.363) и имеет вид
= 2л' ü) V (U) U (U) einUV/2dudv’
Ri
где 7 — фурье-преобразование функции f(pt q)t a дополнительный множитель
связан co свойством некоммутативности операторов Z7(u), Ѵ(ѵ) по
(П2.363) и обеспечивает самосопряженность оператора Ду.
Аналогичный вид имеют операторы Ду°Д^ и {Ду, Дл. Таким образом,
построена модель взаимно однозначного соответствия между квантовой и клас¬
сической механиками и предельный переход Л->0.
Здесь следует отметить, что нередко прямой переход h-+0 оказывается бес¬
смысленным. Таким примером является уравнение Шредингера в координатном
представлении. . , - -
Такие парадоксальные ситуации были учтены Л. Д. Фаддеевым, подразде¬
лившим постоянную Планка на «внешнюю» и «внутреннюю», а квазиклассиче¬
ское разложение проводится по внешней h .
В работах В. П. Маслова [463] используются глобальные асимптотические
разложения по степеням h для нелинейных квантовых уравнений и переход
/г-4) к классическим уравнениям.
В работах Ю. М. Широкова [458] построена обобщенная алгебра наблю¬
даемых, содержащая как частный случай классическую или квантовую механи¬
ки. Соответствие же между обеими механиками устанавливается также на ос¬
нове предельного перехода Й->0.
П2.7.2. Квантование уравнений, классической механики. Представленные
модели квантовой теории кратко можно охарактеризовать следующим обра¬
зом [463].
1. Квантование Гейзенберга. Пусть х(/), p(t)—решение урав¬
нений Ньютона
х=р, р=—дѴ(х)/дх,
удовлетворяющие начальным условиям х(О)=хо, р(О)=ро.
475
Соответствие (х(/), p(t))-+(X(f), P(t)) с соотношением коммутации
[%(/), P(t)}=ih называется квантованием Гейзенберга.
2. Квантование Шредингера — переход от уравнений Ньютона к
уравнениям Шредингера.
3. Квантование Фейнмана. В этом случае рассматривается опера¬
тор 7д*, действующий по формуле
T\tu (х) = JJ exp Iу |р (х - у) - (lyL 4- V д*]} “ (У) dydP-
Полагая
■ф (х, t) = lim (7\/jV)wip0 (х),
можно этот предел интерпретировать как континуальный интеграл по траекто¬
риям
{і
fjp (т) dq (т) - + V {q (T))\ , te {q (0)).
0 -
Функция ф(х, t) удовлетворяет уравнению Шредингера и начальному условию
ф(х, О)=фо(х) [52].
Следовательно, все представленные способы квантования эквивалентны.
В общем случае эти способы зависят от действия операторов р и х [464, 463].
В модели В. П. Маслова [463] используются для квантования не уравнения
или гамильтонианы, а поверхности в фазовом пространстве, названные лагран¬
жевыми. При этом центральным пунктом является использование не уравнения
Гамильтона — Якоби, а его решения — действия S(x) и лагранжевого многооб¬
разия. Отметим, что в модели Фейнмана используется также функция действия .
S(x).
Разновидности представленных моделей можно найти в [62—66, 401, 405,
427, 430, 458, 463—472] и др.
В работе [472] дан критический анализ процедур квантования классиче¬
ских уравнений движения. В частности, отмечена неоднозначность процедуры
квантования, связанная с некоммутативностью операторов типа координат и
импульсов, либо неоднозначностью процедуры предельного перехода в конти¬
нуальных интегралах модели Фейнмана, либо существованием бесконечно мно¬
гих лагранжианов, приводящих к эквивалентным уравнениям движения. В ка¬
честве критерия выбора эквивалентного лагранжиана предложен эвристический '
принцип аддитивности, согласно которому следует выбирать лагранжиан, рас¬
падающийся при выключении взаимодействия между частицами системы на
сумму лагранжианов свободного движения этих частиц. Этот принцип аддитив¬
ности следует из основ самой квантовой теории.
Существование целого класса лагранжианов привело в [472] к расширению
понятия симметрии уравнений. Под преобразованием симметрии в [472] пред¬
ложено понимать преобразования, переводящие траектории классической си¬
стемы в другие траектории той же системы. В этом случае лагранжиан или га¬
мильтониан могут переходить в другие лагранжианы или гамильтонианы из
класса эквивалентности.
ЛИТЕРАТУРА
1 Бугровский В. В., Жуков В. П., Преображенский С. С., Солнечный Э.
Уланов Г. М., Чупрун Б. Е. Динамика и управление ядерным ракетным?
двигателем/Под ред. Б. Н. Петрова. М.: Атомиздат, 1974.
2. Бугровский В. В., Винцевич Н. А., Вишнепольский И. М., Уланов Г. М.
и др. Основы автоматического управления ядерными космическими энер¬
гетическими установками/Под ред. Б. Н. Петрова. М.: Машиностроение,
1974'.
3. Бугровский В. В., Жаров В. К-, Ковачич Ю. В., Мартьянова T. С., Потапов
В. Н., Преображенский С. С., Уланов Г. М., Шевяков А. А. и др. Инфор-
мационно-управляющие системы космических энергетических установок/
/Под ред. Б. Н. Петрова. М.: Атомиздат, 1979.
4. Седов Л. И. Об уравнениях инерциальной навигации с учетом релятиви¬
стских эффектов.—Докл. АН СССР, 1976, т. 231, № 6, с. 1311—1313;
О естественной теории сплошных сред.— ПММ, 1977, т. 41, вып. 6, с. 971 —
984.
5. Сингатулл'ин P. С. Построение метрики римгінова пространства-времени по<
заданным свойствам движения пробных частиц.— Докл. АН СССР, 1978,.
т. 242, № 2, с. 3120—323; То же.— В кн.: Проблемы теории гравитации и
элементарных частиц. М.: Атомиздат, 1980, вып. 19, с. 66—69.
6. Гольденблат И. И., Николаенко Н. А. Температурные напряжения в ядер-
ных реакторах. М.: Атомиздат, 1962.
7. Гольденблат И. И., Ульянов С. В. Введение в теорию относительности и
ее приложение к новой технике. М.: Наука, 1979.
8. Петровский В. И., Пожидаев О. А. Локаторы на лаізерах. М.: Воениздат,.
1969'.
9. Богданов А. Д. Гироскопы на лазерах. М.: Воениздат, 1973.
10. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плааме. М.: Наука, 1976; Виль-
хельмссон X., Вейланд Я. Когерентное нелинейное взаимодействие волн в
плазме. М.: Энергоиздат, 1981.
11. Лазеры и термоядерная проблема: Сб. статей/Под ред. Б. Б. Кадомцева.
М.: Атомиздат, 1973. .
12. Проблемы лазерного термоядерного синтеза: Сб. статей/Под ред. А. А. Фи-
люкова. М.: Атомиздат, 1976.
13. Квантовая макрофизика: Сб. статей/Под ред. В. Т. Хозяинова. М.: Наука„
1967; Квантовая метрология и фундаментальные константы: Сб. статей.
М.: Мир, 19811. и
14. Лукьянов С. Ю. Горячая плазма и управляемый термоядерный синтез.
М.: Атомиздат, 1975.
15. Бракнер К-, Джорна С. Управляемый лазерный синтез. М.: Атомиздат,.
1977.
16. Петросьянц А. М., Логунов А. А. Физика высоких энергий и ускорите¬
лей заряженных частиц. М.: Наука, 1973. „ „
17. Хеглер М., Кристиансен М. Введение в управляемый термоядерный син¬
тез. М.: Мир, 1980. и
18. Сверхпроводящие машины и устройства: Сб. статей/Под ред. С. Фонера^
Б. Шварца. М.: Мир, 1977.
19. Веников В. А., Зуев Э. Н., Околотин В. С. Сверхпроводники в энергетике.
М.: Энергия, 1972.
477
’20. Зенкевич В. Б., Сычев В. В. Магнитные системы на сверхпроводниках.
М.: Наука, 1972.
21. Волков А. Ф., Заварицкий Н. В., Надъ Ф. Я. Электронные устройства на
основе слабосвязанных сверхпроводников. М.: Сов. радио, 1978.
22. Солимар Л. Туннельный эффект в сверхпроводниках и его применение.
М.: Мир, 1974.
23. Уильямс Дж. Сверхпроводимость и ее применение в технике. М.: Мир,
1973.
24. Буккелъ В. Сверхпроводимость. Основы и приложения. М.: Мир, 1975.
25. Слабая сверхпроводимость. Квантовые интерферометры и их применения:
Сб. статей/Под ред. Б. Б. Шварца, С. Фонера. М.: Мир, 1980.
26. Престон К. Когерентные оптические вычислительные машины. М.: Мир,
1974'. '
27. Тарасов Л. В. Физические основы квантовой электроники (оптический
диапазон). М.: Сов. радио, 1976.
28. Усынин Г. Б., Карабасов А. С., Чирков В. А. Оптимизационные модели
реакторов на быстрых нейтронах. М.: Атомиздат, 1981.
.29. Jutnarie G. Some technical applications of relativistic information, Shannon
information, fuzzy sets, linguistics, relativistic sets and communication.—
Cybernetica, 1977, vol. 20, N 2, p. 91—128; New results in relativistic in¬
formation and general systems. Observed probability, Renyi entropy, rela¬
tivistic fuzzy sets, generative semantics.— Cybernetica, 1979, vol. 22, N 2,
p. 131—158; Futher advances in relativistic information and general sy¬
stems. Interference of observers.— Cybernetica, 1978, vol. 21, N 1, p. 93—
123; A survey a relativistic information and its applications.— In: Informa¬
tion and Systems/Ed. Du Buisson and Menahem. N. Y.: Acad, press, 1979,
р. 121—126; Relâtivity, information, and catastrophe, sybjectivity. A uni¬
fied approach to general systems.— Cybernetica, 1979, vol. 22, N 4, p. 267—
308; A subjectivistic calculus.—Cybernetica, 1980, vol. 23, N 1, p. 47—87.
30. Стратонович P. Л. Теория информации. M.: Сов. радио, 1974; Количество
информации, передаваемое квантовым каналом связи. I. II.— Изв. вузов.
Радиофизика, 1975, т. 8,, № 1, с. 115’—141; Оптимальное различение неор¬
тогональных квантовых сигналов при малых гауссовых помехах.— РЭ,
1976, т. 21, №2, с. 538—545; Один приближенный метод расчета опти¬
мального различения квантовых сигналов на фоне малых помех.— РЭ,
1976, т. 21, № 4, с. 744—751; Стратонович Р. А., Полякова М. С. Элемен¬
ты молекулярной физики, термодинамики и статистической физики. М.:
Изд-во МГУ, 1981.
31. Лебедев Д. С., Левитин Л. Б. Перенос информации электромагнитным
полем.— В кн.: Теория передачи информации. М.: Наука, 1964, с. 5—20;
Максимальное количество информации, переносимое электромагнитным
полем.—Докл. АН СССР, 1963:, т. 149, № 6, с. Г299—1302.
Зі2. Хелстром К. Квантовая теория проверки гипотез и оценивания. М.: Мир,
1979; Perfomance of quantum signals in unimodal and bimodal optical
communications.— In: IEEE Intern. Symp. on Inform. Theory, Santa Mo¬
nica, California, 1981, Febr. 9—12. N. Y., 1981, p. 39; Optimum quantum
decision between a pure and mixed state with application to detection of
TCS signals.—IEEE Trans, on Inform. Theory, 1979, vol. 25, N 1, p. 69—
76; Quasiprobability distributions and the analysis of the linear quantum
channel with thermal noise.—J. Math. Phys., 1979, vol. 20, N 10, p. 2063—
2068; Nonclassical states in optical communication to a remote receiver.—
IEEE Trans, on Inform. Theory, 1980, vol. 26, N 3, p. 378—382; Detection
theory and quantum mechanics.— Inform, and Contr., 1967, vol. 10, p. 254—
291; Ibid., 1968, vol. 13, p. 156—171; The minimum variance of estimates
in quantum signal detection.—IEEE Trans, on Inform. Theory, 1968,
vol. 14, N 2, d. 234—242.
33. Холево A. (J. Информационные аспекты квантового измерения.— ППИ,
1973, т. 9, № 2, с. 31—42; Некоторые оценки для количества информа¬
ции, передаваемого квантовым каналом связи.— ППИ, 1973, т. 9, вып. 3,
с. 3—11; Об одном обобщении неравенства Рао-Крамера.— Теория вероят¬
ностей и ее применения, 1972, т. 17, вып. 2, с. 360—365; Вероятность и
478
квантовая физика: (Метод характеристических функционалов).— Теория
вероятностей и ее применения, 1972, т. 17, вып. 2, с. 388—390; Statistical
problems in quantum physics.—In: Proc. 2nd Japan —USSR Symp. on
Probab. Theory. Kyoto, 1972, vol. 1, p. 22—40. (См. также: Leet. Notes-
Math., 1973, vol. 330, p. 104—119); Оптимальные квантовые измерения.—
ТМФ, 1973, т. 17, № 3, с .319—326; Statistical decision theory for quantum
systems.— J. Multivar. Anal., 1973, vol. 3, N 4, p. 337—394; К теории
статистических решений на операторной алгебре.— Докл. АН СССР,
1974, т. 218, № 1, с. 54—57; Some statistical problems for quantum gaus¬
sian states.— IEEE Trans, on Inform. Theory, 1975, vol. 21, N 5, p. 563—
584; Исследования по общей теории статистических решений.— (Труды
МИАН СССР им. Стеклова В. А., Т. 74) ; М.: Наука, 1976; Минимаксные
измерения параметра квантового состояния.— В кн.: Тез. докл. 5 Между-
нар. симпоз. по теории информации. М.; Тб.: Наука, 1979, ч. II; Estima¬
tion of shift parameters of a quantum stdtes.— Repts Math. Phys., 1978r
vol. 13, N 3, p. 379—399; О пропускной способности квантового канала
связи.— ППИ, 1979, т. 15, № 4„ с. 3—11; Вероятностные и статистические
аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980.
34. Митюгов В. В. Физические основы теории информации. М.: Сов. радио,
1976.
35. Ingarden R. S. Quantum information theory.— Repts Math. Phys., 1976,.
vol. 10, N 1, p. 43—72.
36. Петров В. В., Усков А. С. Информационная теория синтеза оптимальных
систем контроля и управления (непрерывные системы). М.: Энергия,
1975; Основы динамической точности автоматических информационных,
устройств и систем. М.: Машиностроение, 1976.
37. Уланов Г. М. Статистические и информационные вопросы управления по
возмущению. М.: Энергия, 1970.
38. Петров Б. Н., Уланов Г. М., Ульянов С. В., Хазен Э. М. Информационно¬
семантические проблемы процессов управления и организации. М.: Нау¬
ка, 1977.
39. Петров Б. Н., Уланов Г. М., Гольденблат И. И., Ульянов С. В. Теория
моделей в процессах управления (информационный и термодинамиче¬
ский аспекты). М.: Наука, 1978; Информационные аспекты эволюцион¬
ных динамических систем.— Техн, кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1978,
т. 10, с. 2—74. (Итоги науки и техники).
40. Цыпкин Я. 3. Оптимизация в условиях неопределенности.—Докл. АН
СССР, 1976, т. 228, № 6, с. 1306—1309; Стабилизация и регуляризация
оценок оптимальных решений при наличии неопределенности.— Докл. АН
СССР, 1977, т. 236, № 2, с. 304—307; О некоторых свойствах случайного-
поиска.—АиТ, 1977, № 11, с. 89—94; Адаптивные алгоритмы оптимизации
при априорной неопределенности.— АиТ, 1’979, № 6, с. 94—108.
41. Теллер Э. Современные двигатели внутреннего сгорания.— В кн.: Про¬
блемы лазерного термоядерного синтеза. М.: Атомиздат, 1976.
42. Петров Б. Н., Уланов Г. М., Толъденблат И, И., Кочубиевский И. Д.,
Хазен Э. М., Ульянов С. В. Информационные аспекты качественной тео¬
рии динамических систем.— В кн.: Техн, кибернетика. М.: ВИНИТИ,
1976, т. 7, с. 5—206. (Итоги науки и техники).
43. Эйнштейн А. Собрание научных трудов в 4-х т. М.: Наука, 1965—1968;
Сущность теории относительности. М.: Изд-во иностр, лит., 1956.
44. Дирак П. А.-м. Лекции по квантовой теории поля. М.: Мир, 1968; Реля¬
тивистское волновое уравнение электрона.— УФН, 1979, т. 128, вып. 4^
с. 681—692. . ■
45. Моррис У. Наука об управлении. Байесовский подход. М.: Мир, 1971.
46. Заде Л., Дезоер Г. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970.
47. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории си¬
стем. М.: Мир, 1971.
48. Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1962.
4'9. Огибалов П. М., Мирзаджанзаде А. X. Механика физических процессов..
М.: Изд-во МГУ, 1976.
50. Кубо Р. Термодинамика. М.: Мир, 1970.
479
51. Гейзенберг В. Воспоминания об эпохе развития квантовой механики.—
В кн.: Теоретическая физика 20 века. М.: Изд-во иностр, лит., 1962.
52. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. М.:
Мир, 1968. „ о
53 Вундгейлер А. Объекты, инварианты и классификация геометрии.— В кн.:
Труды семинара по векторному и тензорному анализу с их приложения¬
ми к геометрии, механике и физике: (I Междунар. конф, по тензорной
дифференциальной геометрии и ее приложениям)/Под ред. В. Ф. Кагана.
М.; Л.: ОНТИ, 1937, вып. 4, с. 375-385.
54. Вагнер В. В. Теория дифференциальных объектов и основания дифферен¬
циальной геометрии: Доп.— В кн.: Веблен О., Уайтхед Дж. Основания
дифференциальной геометрии. М.; Л.: ОНТИ, 1949, с. 135—223.
55. Картан Э. Интегральные инварианты. М.: Гостехиздат, 1940.
56. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Гостехиздат,
1955.
57. Синдж Дж. Л. Тензорные методы в динамике. М.: Изд-во иностр, лит.,
1947.
58. Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред.
М.: ГТТИ, 1955; Некоторые вопросы качественной теории устойчивости
упругих систем.— В кн.: Проблемы устойчивости в строительной меха¬
нике. М.: Стройиздат, 1965, с. 53—67.
59. Тупин Р. А. Теории упругости, учитывающие моменты напряжения.—
В кн.: Механика, 1965, № 3.
60. Меликов К. В. О касательных преобразованиях: Доп. к кн.: Франк Ф.,
Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической
физики. М.; Л.: ОНТИ, 1937, ч. II, с. 209—223.
61. Наймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца. М.: Физматгиз,
1958.
62. Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления группы вра¬
щений и группы Лоренца. М.: Физматгиз, 1959.
63. Ван-дер-Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике.—
Харьков: ДНТВУ, 1938.
64. Вейль Г. Теория групп и квантовая механика. Харьков: ДНТВУ, 1938;
Классические группы, их инварианты и представления. М.: Изд-во иностр,
лит., 1947.
65. Федоров Ф. И. Группа Лоренца. М.: Наука, 1979.
66. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. М.:
Мир, 1980. Т. 2. ч
67. Гинзбург В. Л. Об экспериментальной проверке общей теории относи¬
тельности.— УФН, 1979, т. 128, вып. 3, с. 435—458; О физике и астрофи¬
зике: Какие проблемы представляются сейчас особенно важными и инте¬
ресными? М.: Наука, 1980=; О теории относительности. М.: Наука, 1979;
Космические исследования и теория относительности.— В кн.: Эйнштей¬
новский сборник, 1967. М.: Наука, 1967; Что подтверждают измерения
гравитационного смещения частоты? — УФН, 1963, т. 81, вып. 4, с. 473—
489; Экспериментальная проверка общей теории относительности.— УФН,
1956, т. 59, вып. 1, с. 3—28; Теоретическая физика и астрофизика: (Доп.
главы). М.: Наука, 1981.
68. Бройли Л. Магнитный электрон (теория Дирака). Харьков: ОНТИ, 1936.
>69. Гольденблат И. И., Уланов Г. М., Ульянов С. В. Управление релятиви¬
стскими и квантовыми динамическими системами.— В кн.: Техн, кибер¬
нетика. М.: ВИНИТИ, 1981, т. 14, с. 3—158. (Итоги науки и техники).
70. Солодовников В. В., Бирюков В. Ф., Тумаркин В. И. Принцип слож¬
ности в теории управления. М.: Наука, 1977.
71. Немировский А. С., Юдин Д. Б. Сложность задач и эффективность опти¬
мизации. М.: Наука, 1979; Слисенко А. О.— УМН, 1981, т. 3, вып. 6,
с. 21 — 103.
72. Петров Б. Н., Уланов Г. М., Ульянов С. В. Сложность конечных объек¬
тов и информационная теория управления.— В кн.: Техн, кибернетика.
М.: ВИНИТИ, 1979, т. 11, с. 77—147. (Итоги науки и техники).
480
73. Волькеніитейн М. В. Общая биофизика. М.: Наука, 1978; Биофизика. М.:
Наука, 1981.
74. Блюменфельд JI. А. Проблемы биологической физики. М.: Наука, 1977.
75. Эйген М. Самоорганизация материи и эволюции биологических макро¬
молекул. М.: Мир, 1973.
76. Эйген М„ Винклер Р. Игра жизни. М.: Наука, 1979.
77. Николае Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах:
от диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.:
Мир, 1979. ч
78. Сѳирежеѳ Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сооб¬
ществ. М.: Наука, 1978.
79. Бакутова И. Л. Эволюционное моделирование и его приложения. М.:
Наука, 1979.
80. Шноль С. Э. Физикохимические факторы биологической эволюции. М.:
Наука, 1979. *
81. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. Введение
в теорию диссипативных структур. М.: Мир, 1979.
82. Иваницкий Г. Р., Кринский В. И., Селъков Е. Е. Математическая био¬
физика клетки. М.: Наука, 1978.
83. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. 4
84. Бурков В. Н. Основы математической теории активных систем. М.: Нау¬
ка, 1977.
85. Опойцев В. И. Равновесие и устойчивость в моделях коллективного по¬
ведения. М.: Наука, 1977.
86. Красовский А. А. О предельной точности микроуправления.— АиТ, 1973,
№ 12, ,с. 27—39; Предельная точность микронаблюдения.— Изв. АН
СССР. ТК, 1974, № 3, с. 177—187; Фазовое пространство и статисти¬
ческая теория динамических систем. М.: Наука, 1974.
87. Бутковский А. Г., Самойленко Ю. И. Управление квантовыми объек¬
тами. I, II.— АиТ, 1979, № 4, с. 5—25; № 5, с. 5—23; Управляемость
квантовых объектов.—Докл. АН СССР, 1980, т. 250, № 1, с. 65—69.
88. Ландау Л. Д„ Лифшиц И. М. Теория поля. М.: Наука, 1973.
89. Паули В. Теория относительности. М.:. Гостехиздат, 1947; Релятивистская
теория элементарных частиц. М.: Изд-во иностр, лит., 1947.
90. Ферми Э. Конспект лекций по квантовой механике. М.: Мир, 1965.
91. Тоннелла М.-А. Основы электромагнетизма и теория относительности. М.:
Изд-во иностр, лит., 1962.
92. Newman D., Ford G. W., Rich A., Sweetman E. Precision experimental
verification of special relativity.— Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 40, N 21,
p. 1355—1358.
93. Минковский Г. Пространство и время.— В кн.: Принцип относительно-
сти./Под ред. В. К. Фредерикса, Д. Д. Иваненко. М.: ОНТИ, 1935.
94. Вертхейм Г. Эффект Мёссбауэра: Принципы и применения. М.: Мир,
1966.
95. Гольденблат И. И. Парадоксы времени в релятивистской механике. М.:
Наука, 1972.
96. Гольденблат И. И. Некоторые вопросы нелинейной теории упругости.
М.: Наука, 1969. .
97. Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972.
98. Скобельцын Д. В. Парадокс близнецов в теории относительности. М.:
Наука, 1966. .
99. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.: Гостех¬
издат, 1945. Т. 2.
100. Лоренц Г. А. Электромагнитные явления в системе, движущейся с лю¬
бой скоростью, меньшей скорости света.— В кн.: Принципы относитель-
ности/Под ред. В. К. Фредерикса, Д. Д. Иваненко. М.: ОНТИ, 1935.
101. Пуанкаре А. О динамике электрона.—В кн.: Принцип относительности/
/Под ред. В. К. Фредер*икса, Д. Д. Иваненко. М.: ОНТИ, 1935.
102. Холтон Д., Эйнштейн, Майкельсон и «решающий» эксперимент.—В кн.:
Эйнштейновский сборник, 1972. М.: Наука, 1974.
16 Б. н. Петров и др.
481
103. Бергман П. Г. Введение в теорию относительности. М.: Изд-во иностр,
лит., 1947.
104. Смирнов В. Н. Курс высшей математики. М.; Л.: Гостехиздат, 1941, Т. 4.
105. Вебстер А., Сеге Г. Дифференциальные уравнения в частных производ¬
ных математической физики. М.; Л.: ГТТИ, 19341. Ч. 2.
106. Френкель Я. И. Курс теоретической механики на основе векторного и
тензорного анализа. М.; Л.: ГТТИ, 1940.
107. Черников Н. А. Геометрия Лобачевского и релятивистская механика.—
Физика элементар. частиц и атом, ядра, 1973, т. 4, вьгп. 3, с. 773—810;
Геометрия Лобачевского как физическая наука.— В кн.: 150 лет гео¬
метрии Лобачевского: (Пленарные докл. Всесоюз. науч. конф, по неев¬
клидовой геометрии). М.: ВИНИТИ АН СССР, 1977, с. 146—1'53.
108. Гольденблат И. И. О парадоксе с часами в теории относительности.—
Изв. вузов. Физика, 1961, № 6, с. 3)8—42.
109. Ру мер Ю. Б. Исследования по 5-оптике. М.: ГТТИ, 1956.
ПО. Новожилов Ю. В. Элементарные частицы. М.: Наука, 1972.
111. Синг Дж. Л. Классическая механика. М.: Мир, 1968.
112. Копылов Г. И. Основы кинематики резонансов. М.: Наука, 1970.
113. Анисович К. В. К экспериментальным основаниям специальной теории от¬
носительности.— В кн.: Эйнштейновский сборник, 1973. М.: Наука, 1974,
с. 360—395. .
114. Скиллинг Г. Г. Введение в теорию электромагнитных волн. М.: Связь-
издат, 1947.
115. Россель Ж. Общая физика. М.: Мир, 1964.
116. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970;
On the role of field-theories in our physical concept of geometry.—
Leet. Notes Math., 1978, vol. 76, p. 1—80; Гийемин В., Стернберг С.
Геометрические асимптотики. М: Мир, Г981.
117. Румер ІО. Б., Фет А. И. Теория групп и квантованные поля. М.: Наука,
1977; Румер Ю.. Б. Спинорное исчисление. М.: ОНТИ, 1936.
118. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия:
(Методы и приложения). М.; Наука, 1979.
119. Коноплева Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. М.: Атомиздат, 1972.
120. Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика.
М.: Мир, 1973.
121. Манин Ю. И. Калибровочные поля и голоморфная гометрия.— В кн.:
Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 19Ф1, т. 17, с. 3—55.
(Итоги науки и техники).
122. Weyl Н. Gravitation und Elektrizitàt.—S.—Ber. Kôniglich Preufîischen
Akad. Wiss. Berlin, 1918, H. 26, S. 465-480.
123. De Alfaro V., Fubini S., Furlan G. Gauge theories and strong gravity.—
Nuovo Cimento, 1979, vol. 50A, N 4, p. 523—554.
124. Чередник И. В. Алгебраические аспекты двумерных киральных полей.
I.— В кн.: Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1981,
т. 14, с. 175—218. (Итоги науки и техники): Алгебраические аспекты
двумерных киральных полей. II.— В кн.: Алгебра. Топология. Гео¬
метрия. М.: ВИНИТИ, 1981, т. 18, с. 73—150. (Итоги науки и техники);
Релятивистски-ин вариантные кваэиклассические пределы интегрируе¬
мых двумерных квантовых моделей.— ТМФ, 1981, т. 47, № 2, с. 225'—
229.
125. Pak N. К, Tze Н. С. Chiral solitons and current algebra.—Ann. Phys.,
1979, vol. 117, N 2, p. 117—194.
126. Wu T. T. Introduction to gauge theory.—Leet. Notes Math., 1978, vol.
676, p. 161—169. , •
127. Дикке P. Об экспериментальном базисе общей теории относительности.—
В кн.: Гравитация и относительность/Под ред. X. Цзю и В. Гоффмана. М.:
Мир, 1965, с. 49—72; Dike R. Е., Roll P. G., Krotkov I. The equivalence of
inertial and passive gravitational mass.— Ann. Phys. (N. Y.), 1964, vol. 26,
p. 442.
128. Цзю X., Гоффман В. Введение.— В кн.: Гравитация и относительность/Под
ред. X. Цзю, В. Гоффмана. М.: Мир, 1965, с. 15—48.
482
129. Брагинский В. Б., Панов В. И. Проверка эквивалентности инертной и
гравитационной масс.— ЖЭТФ, 1971, т. 61, вып. 3, с. 873.
130. Брагинский В. Б., Манукин А. Б. Измерение малых сил в физических
экспериментах. М.: Наука, 1974.
131. Руденко В. Н. Релятивистские эксперименты в гравитационном поле.—
УФН, 1978, т. 126, вып. 3, с. 361—401.
132. Брагинский В. Б. Экспериментальная проверка теории относительности.
М.: Знание, 1977.
133. Мизнер К-, Торн К., Уилер Дж. Гравитация. М.: Мир, 1973, т. 3.
134. Лапчинский В. Г., Рубаков В. А. Сферически-симметриічный коллапс в
суперпростріанственной трактовке квантовой гравитации.— В кн.: Про¬
блемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат, 1979,
т.' 10, с. 99—1Г5; Спонтанное нарушение симметрии в открытой вселен¬
ной.— ТМФ, 1980, т. 42, № 1, с. 37—44; Красников Н. В., Рубаков В. А.,
Токарев В. Ф. Динамическое спонтанное нарушение симметрии.— ТМФ,
1978, т. 37, № 3„ с. 319—325; Веряскин Л. В., Лапчинский В. Г., Руба¬
ков В. А. О спонтанном нарушении симметрии в замкнутой космологи¬
ческой модели Фридмана — ТМФ, 1980, т. 45, № 3, с. 407—420.
135. Андерсон Дж. Квантование общей теории относительности.— В кн.: Гра¬
витация и относительность. М.: Наука, 1965, с. 435— 467.
136. Утияма Р. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1979.
137. Дьяченко С. Е. Об орбитах планет.— В кн.: Тр. 2-го математ. съезда.
М.: ОНТИ, 1936.
138. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971.
139. Меллер X. Теория относительности. М.: Атомиздат, 1975; On the crisis
in the theory of gravitational and the possible solutions.— In: Math. Fys.
Skr. Dan. Vid. Selsk., 1978, vol. 39, N 13, s. 3—18.
140. Вебер Дж. Общая теория относительности и гравитационные волны.
М.: Изд-во иностр, лит., 1962.
14’1. Шварцшильд К. О гравитационном поле точечной массы в эйнштейнов¬
ской теории.— В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир,
1979, с. 199—207.
142. Толмен Р. Относительность: Термодинамика и космология. М.: Мир, 1974.
143. Шмутцер Э. Теория относительности: Современные представления. М.:
Мир, 1981. •
144. Боулер М. Гравитация и относительность. М.: Мир, 1979.
145. Эддингтон А. С. Теория относительности. Л.: ОНТИ, 1934.
146. Богоявленский О. И. Методы качественной теории динамических систем
в астрофизике и газовой динамике. М.: Наука, 1980.
147. Баранов А. Г. Гравитационное смещение.— В кн.: Эйнштейновский сбор¬
ник, 1967. М.: Наука, 1967.
148. Петров А. 3. Понятие энергии в общей теории относительности.— В кн.:
Учен. зап. КГУ, 1963, т. 12, кн. 12, с. 14—23.
149. Вертхейм Г. Эффект Мёссбауэра: Принципы и применения. М.: Мир,
1966. .
150. Бриллюэн Л. Новый взгляд на теорию относительности. М.: Мир, 1972.
151. Гольденблат И. И. По поводу книги Л. Бриллюэна «Новый взгляд на
теорию относительности».— В кн.: Эйнштейновский сборник, 1973. М.:
Наука, 1974, с. 214—223.
152. Киржниц Д. А., Сазонов В. Н. Сверхсветовые движения и специальная
теория относительности (вводная статья).— В кн.: Эйнштейновский сбор¬
ник, 1973. М.: Наука, 1974, с. 84—111.
153. Биланюк О., Сударіиан Е. Частицы за световым барьером.— В кн.: Эйн¬
штейновский сборник, 1973. М.: Наука, 1974, с. 112—133; Фейнберг Дж.
О возможности существования частиц, движущихся быстрее скорости
света.— Там же, с. 134—177; Чонка П. Л. Причинность и сверхсветовые
частицы.— Там же, с. 178—188.
154. Барашенков В. С. Тахионы: частицы, движущиеся со скоростью больше
скорости света.— УФН, 1974, т. 114, вып. 1; Проблемы субатомного про¬
странства и времени. М.: Атомиздат, 1979; Файнгольд М. И. К вопросу
483
16*
о черенковском излучении тахионов.— ТМФ, 1981, т. 47, вып. 3, с. 305—
406.
155. Фридман А. А. О кривизне пространства.— В кн.: Альберт Эйнштейн
и теория гравитации. М.: Мир, 1979, с. 320—329; О возможности мира
с постоянной отрицательной кривизной пространства.— Там же, с. 330—
336.
156. Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Релятивистская астрофизика. М.: Нау¬
ка, 1975; Новиков И. Д. Эволюция вселенной. М.: Наука, 1981.
Г57. Современные представления астрофизики. М.: Мир, 1981.
158. Белинский Б. А., Лифшиц Е. М., Халатников И. М. Колебательный ре¬
жим приближения к особой точке в релятивистской космологии.— УФН,
1970, т. 102, вып. 3, с. 463і—494. .
159. Мицкевич Н. В. Физические поля в общей теории относительности. М.:
Наука, 1969.
160. Рис М., Руффини Р., Уилер Дж. Черные дыры, гравитационные волны
и космология: Введение в современные исследования. М.: Мир, 1977.
161. Черные дыры: Сб. статей. М.: Мир, 1978.
162. Зельдович Я. Б., Блинников С. И., Шакура Н. И. Физические основы
строения и эволюции звезд. М.: Изд-во МГУ, 1981.
163. Ryan М. р., Shepley L. С. Homogenous relativistic cosmologies. Princeton:
Princeton Univ. Press, 1975. '
164. Вейнберг С. Гравитация и космология. M.: Мир, 1975.
165. Гуревич Л. Э-, Чернин А. Д. Введение в космологию. М.: Наука, 1978.
166. Хоккинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-вре¬
мени. М.: Мир, 1977; Хоккинг С. Рождение частиц на черных дырах.—
В кн.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979, с. 479—512.
167. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.: Мир, 1972.
168. Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в ин¬
тенсивных внешних полях (методы и результаты, не связанные с теорией
.возмущений). М.: Атомиздат, 1980; Гриб А. А., Мостепаненко В. М.,
Фролов В. М. Спонтанное нарушение CP-симметрии в нестационарной
изотропной метрике.—ТМФ, 1978, т. 37, № 2, с. 2Г2—223; Нарушение
конформной симметрии и квантование в искрийленном пространстве-вре¬
мени.— ТМФ, 1978, т. 37, № 3, с. 347—354; Мамаев С. Г., Трунов Н. Н.
О зависимости вакуумных средних тензора энергии-импульса от геомет¬
рии и топологии многообразия.— ТМФ, 1979, т. 38, № 3, с. 845—354;
Поляризация вакуума и рождение частиц в нестационарном однородном
электромагнитном поле.— ЯФ, 1980, т. 30, вып. 5(11), с. 1301—1311;
Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Изотропные космологические модели,
определяемые вакуумными квантовыми эффектами.— ЖЭТФ, 1980, т. 78,
вып. 1, с. 20—27; Мамаев С. Г. Вакуумные средние тензора энергии-
импульса квантовых полей в однородном изотропном пространстве-вре¬
мени.— ТМФ, 1980, т. 42, № 3, с. 350—361; Мостепаненко В. М. О влия¬
нии квантованных полей на метрику пространства-времени в космоло¬
гии.— ЯФ, 1980, т. 31, вып. 6, с. 1690—1695; Рождение частиц и поляри¬
зация вакуума нестационарным электрическим полем.— ТМФ, 1968,
т. 45, № 2, с. 210—218; Гриб А. А., Мостепаненко В. М. Спонтанное на¬
рушение калибровочной и дискретных симметрий в искривленном прост¬
ранстве-времени.— В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных
частиц. М.: Атомиздат, вып. 10, с. 74—91.
169. Фролов В. П. Метод Ньюмена — Пенроуза в общей теории относитель¬
ности.— В кн.: Проблемы общей теории относительности и теория пред¬
ставлений групп. М.: Наука, 1977, с. 72—180. (Тр. ФИАН СССР им. Ле¬
бедева; Т. 96); Алексеев Г. А., Хлебников В. И. Формализм Ньюмена-Пен-
роуза и его применение в общей теории относительности.— Физика эле-
ментар. частиц и атом, ядра, 1978, т. 9, вып. 5, с. 790—870.
170. Бернштейн И. Н., Шварцман В. Ф. О связи между размерами Вселен¬
ной и ее кривизной.— ЖЭТФ, 1980, т. 79, вып. 5 (11), с. 1617—1628.
171. Седов Л. И. О локальном уравнении энергии в гравитационном поле.—
Докл. АН СССР, 1978, т. 240, № 3, с. 568—571; Об описании динамиче¬
484
ских свойств гравитационного поля в вакууме.— ПММ, 1980, т. 44,
вып. 2, с. 195—204.
172. Логунов А. А., Денисов В. И.» Власов А. А. и др. Новые представления
о пространстве—времени и гравитации.—ТМФ, 1979, т. 40, № 3, с. 291 —
328; Гравитационные эффекты в полевой теории гравитации.— ТМФ,
1980, т. 43, № 2, с. 147—186; Денисов В. И., Логунов А. А. Имеет ли
общая теория относительности-классический ньютоновский предел? —
ТМФ, 1980, т. 45, вып. 3, с. 291—301; Денисов В. И., Логунов А. А.,
Мествиришвили М. А. Движутся ли протяженные тела по геодезическим
риманова пространства—времени? — ТМФ, 1981, т. 47, вып. 1, с. 3—28.
173. Розенсон Н. А. Дифференциальные инварианты риманова пространства.
II.—В кн.: Тр. Ленингр. индустр. ин-та, 1936, № 4, вып. 2, с. 59—84.
174. Гольденблат И. И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука,
1969; . '
175. Николаенко В. М. Двойственность гравитации в проблеме квантования.—
ТМФ, 1978, т. 34, № 3, с. 334—340; Квадратичные лагранжианы в кван¬
товой гравитации и проблема перенормируемости.— В кн.: Проблемы тео¬
рии гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат, 1979, вып. 10,
с. 66—74; Хиггсовские мезоны в калибровочной гравитации.— ТМФ,
1980, т. 42, № 2, с. 195^-203.
176. Пономарев В. Н. Сингулярности и кручение.— В кн.: Теория относи¬
тельности и гравитации. М.: Наука, 1976, с. 167—176. Пономарев В. Н.,
Пронин П. И. Рождение безмассовых скалярных частиц полем круче¬
ния.— ТМФ, 1979, т. 39, № 3, с. 425—428.
177. Гурович В. Д., Старобинский А. А. Квантовые эффекты и регулярные
космологические модели.—ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 5(11), с. 1683—
1700.
178. Новиков И. Д., Старобинский А. А. Кв а нтовоэлёктр о динамические эффек¬
ты внутри заряженной черной дыры и проблема горизонтов Коши.—
ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 1, с. 3—18.
179. Карманов О. Ю.> Менский М. Б. Пропагаторы и рождение пар в одно¬
родной изотропной Вселенной.—ТМФ, 1979, т. 41, № 2, с. 245—255;
О рождении частиц вблизи космологической сингулярности.—ТМФ, 1980
т. 42, № 1, с. 23—36.
180. Верешков Г. М., Гришкин Ю. С„ Иванов H. М., Полтавцев А. Н. Влия¬
ние квантовых гравитационных процессов на эволюцию изотропной Все¬
ленной.—ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 5, с. 1665—1676.
181. Мальцев В. К. О ВКБ-приближении для задачи Толмена (коллапсирую¬
щая пыль).—ТМФ, 1981, т. 47, № 2, с. 177—183.
182. Лукаш В. Н. Рождение звуковых волн в изотропной Вселенной.— ЖЭТФ,
1980, т. 79, вып. 5 (11), с. 1601—1615. '
183. Парновский С. Л. Электромагнитное и скалярное поле вокруг бесконеч¬
ной нити и других голых особенностей казнеровского типа.— ЖЭТФ,
1979, т. 76, вып. 4, с. 1162—1171; Квантовое излучение голых сингуляр¬
ностей керровского типа.—ЖЭТФ, 1981, т. 80; выл. 4, с. 1261—1270.
184. Эйзенхарт С. Риманова геометрия. М.: Изд-во иностр, лит., 1947.
185. Яненко H. Н. Некоторые вопросы теории вложения римановых метрик
в евклидовы пространства.—УМН, 1953, т. 8, № 1, с. 21—10О.
186. Фридман А. Изометрическое погружение римановых многообразий
в евклидовы пространства.— В кн.: Гравитация и топология. М.: Мир,
1966, с. 182—188.
187. Громов М. Л., Рохлин В. А. Вложения и погружения в римановой гео¬
метрии.— УМН, 1970, т. 25, выл. 5 (155), с. 3—62.
188. Позняк Э. Г., Соколов Д. Д. Изометрические погружения римановых
пространств в евклидовы.— В кн.: Алгебра. Топология. Геометрия. М.:
ВИНИТИ, 1977, т. 15, с. 173—211. (Итоги науки и техники).
189. Фавар Ж- Курс локальной дифференциальной геометрии. М.: Изд-во
иностр, лит., I960.
190. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.:
Наука, 1981. T. I, II.
191. Chernikov N. A., Tagirov Е. A. Quantum theory of scalar field in de Sitter
485
space-time.—Ann. Inst. Henri Poincaré sect. A: Physique théoreque, 1968,
vol. 9, N 2, p. 109—141; Tagirov E. A. Consequences of field quantization
in de Sitterr type cosmological models.—Ann. Phys., 1973, vol. 76, p. 561 —
579.
192. Smalley L. L. Gravitational radiation in asymptotic de Sitter space.—
Intern. J. Theor. Phys., 1978, vol. 17, N 1, p. 5—20.
193. Moffat J. W. Space-time structure in a generalization of gravitation theo¬
ry.—Phys. Rev., 1977, vol. 15, N 12, p. 3520—3529; Kunstatter G„ Mof¬
fat J. W. Maximal extension of a nonsingular solution in a generalized
theory of gravitation.—Phys. Rev., 1978, vol. 17, N 2, p. 396—403.
194. Drechsler W., Sasaki R. Soluttions of invariant field equations in the (4, 1)
de Sitter spaces.— Nuovo Cimento, 1978, vol. 46A, N 4, p. 527—568.
195. Кадышевский В. Г. Квантовая теория поля и импульсное пространство
постоянной кривизны.— В кн.: Проблемы теоретической физики. М.:
Наука, 1972, с. 52—73; Новый подход к теории электромагнитных взаи¬
модействий.— Физика элементар. частиц и атом, ядра, 1980, т. 11, вып. 1,
с. 5—39; Волобуев И. П., Кадышевский В. Г., Матеев М. Д., Мир-Каси¬
мов Р. М. Уравнения движения для скалярного и спинорного полей в че¬
тырехмерном неевклидовом импульсном пространстве.— ТМФ, 1979,
т. 40, № 3, с. 363—372; Кадышевский В. Г., Матеев М. Д., Чижов М. В.
К вопросу о разности масс мюона и электрона.— ТМФ, 1980, т. 45, № 3,
с. 358—364; Волобуев И. П. Плоские волны на сфере и некоторые их
применения.— ТМФ, 1980, т. 45, № 3, с. 421—426.
196. Il-Tong Cheon. Hypothesis of the fundamental length and quantum ele¬
ctrodynamics.—Intern. J. Theor. Phys., 1978, vol. 17, N 8, p. 611—629.
197. Легкий А. И. Точное статическое сферически-симметричное решение
5-мерных уравнений Эйнштейна.— В кн.: Проблемы теории гравитации
и элементарных частиц. М.: Атомиздат, 1979, вып. 10.
198. Кречет В: Г„ Шикин Г. Н. Закрытая фридмановская космологическая
модель с нелинейным скалярным полем типа поля Борна-Инфельда.—
В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атом¬
издат, 1979, вып. 10, с. 91—99; Анизотропная космологическая модель с
взаимодействующими скалярным и электронным полями.— Там же. М.:
Атомиздат, 1980, вып. 11, с 84—95.
199. Рубин В. А., Ушаков А. Ю., Чернин А. Д. Размыкание причинного го¬
ризонта частиц в анизотропных космологических сингулярностях.—
ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 3, с. 816—8'29.
200. Де Витт Б. С. Квантовая теория поля в искривленном пространстве-вре¬
мени.—В кн.: Черные дыры: Сб. статей. М.: Мир, 1978, с. 66—168.
201. Иваненко Д. Д. Перспективные обобщения эйнштейновской гравидина¬
мики.—В кн.: Всесоюз. науч. конф, по неевклидовой геометрии «150 лет
геометрии Лобачевского». М.: ВИНИТИ, 1977, с. 107—122.
202. Зельдович Я. Б., Соколов Д. Д., Старобинский А. А. Некоторые вопросы
геометрии в целом в общей теории относительности.— Там же, с. 122—
133; Кадомцев С. Б. и др.— В кн.: Проблемы геометрии. М.: ВИНИТИ,
1982, т. 13, с. 157—188.
203. Белинский В. А., Никомаров Е. С., Халатников И. М. Исследование кос¬
мологической эволюции вязкоупругой материи с каузальной термоди¬
намикой.—ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 2 (8), с. 417—43'2.
204. Adler S. L., Lieberman J.t Ng Y. J., Tsao H.-S. Photon pairing instabilit¬
ies: A microscopic origin for gravitation.—Phys. Rev., 1976, vol. 14, N 2,
p. 359—378.
205. Пелихов H. В. Ранние стадии эволюции пространственно-неоднородных
моделей Вселенной.—ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 3 (9), с. 785—800.
206. Харьков А. А. Регуляризация тензора энергии-импульса и. рождение ча¬
стиц в сильном переменном гравитационном поле —ЖЭТФ, 1981, т. 80,
вых. 1, с. 19—34.
207. Deser S. Quantum gravitation: Problems and prospects.—Ann. Acad.
Sci. N. Y., 1975, vol. 262, p. 292—295.
208. Hu B. L., Parker L. Anisotropy damping through quantum effects in the
early universe.—Phys. Rev., 1978, vol. 17D, N 4, p. 933—945.
486
209. Ford L. H., Parker L. Creation of particles by singularities in asymptoti¬
cally flat spacetimes.—Phys. Rev., 1978, vol. 17D, N 6, p. 1485—1496.
210. Brout R., Englert F., Gunzig E. The creation of the inverse as a quantum
phenomenon.—Ann. Phys., 1978, vol. 115, p. 78—106.
211. Калашников О. К., Климов В. В. Калибровочные модели единого взаи¬
модействия и очень ранняя Вселенная.— ЯФ, 19-81, т. 33, вып. 6, с. 1572—
1580-.
212. Воронов Б. Л., Тютин И. В. К перенормировке эйнштейновской грави¬
тации.—ЯФ, 1981, т. 33, вып. 6, с. 1710—1722.
213. Christensen S. М., Fulling S. A. Trace anomalies and the Hawking effect.—
Phys. Rev., 1977, vol. 15D, N 8, p. 2088—2104.
214. Зельдович fl. Б., Клыпин А. А., Хлопов М. Ю.» Чечеткин В. М. Астро¬
физические ограничения на массу тяжелых стабильных нейтральных леп¬
тонов.— ЯФ, 1980, т. 31, вып. 5, с. 1286—1294.
215. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория
солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наўка, 1980.
216. Белинский В. А., Захаров В. Е. Интегрирование уравнений Эйнштейна
методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных солитонных
решений.— ЖЭТФ, 1978, т. 75, вып. 6(12), с. 1953—1971; Стационарные
гравитационные солитоны с аксиальной симметрией.— ЖЭТФ, 1979, т. 77,
вып. 1 (7), с. 3—19.
217. Белинский В. А. Односолитонные космологические волны.— ЖЭТФ, 1979,
т. 77, вып. 4 (10), с. 1239—1254; Алексеев Г. А., Белинский В. А. Стати¬
ческие гравитационные солитоны.— ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 4, с. 1297—
1313.
218. Алексеев Г. А. Ѵ-солитонные решения уравнений Эйнштейна— Максвел¬
ла.—Письма в ЖЭТФ, 1980, т. 32, вып. 4, с. 301—303.
219. Поляченко В. Л., Фридман А. М. Равновесие и устойчивость граівити-
рующих систем. М.: Наука, 1976. 4
220. Корепин В. Е., Фаддеев Л. Д. Квантование солитонов.— ТМФ, 1975, т. 25,
№ 2, с. 147—163; Quantum theory of solitons.—Phys. Repts, 1978. vol. 42C,
№ 1, p. 1 — 125; Кулиш П. П., Манаков С. В., Фаддеев Л. Д. Сравнение
точных квантовых и квазиклассических решений для нелинейного урав¬
нения Шредингера.—ТМФ, 1976, т. 28, № 1; с. 38—45; Склянин Е. К.,
Фаддеев Л. Д. Квантовомеханический подход к вполне интегрируемым
моделям теории поля —Докл. АН СССР, 1978, т. 243, № 6, с. 1430—
1433; Корепин В. Е, Надбарьерное отражение солитонов.— ТМФ, 1978,
т. 34, № 1, с. 3—'14; Непосредственное вычисление спинорной матрицы
в массивной модели Тирринга.— ТМФ, 1979, т. 41, № 2, с. 169—189;
О квантовании неабелевой цепочки Тода.— В кн.: Вопросы квантовой тео¬
рии поля и статистической физики. 2. М.: Наука, 1981, с. 90—100. (Зап.
науч, семинаров ЛОМИ АН СССР; Т. 101); Тахтаджян Л. А., Фад¬
деев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи и XKZ-модель Гейзенбер¬
га.— УМН, 1979, т. 34, вып. 5 (209), с. 13—63; Гамильтонова система,
связанная с уравнением u^+sin u = 0.— В кн.: Тр. МИАН СССР
им. Стеклова.* М.: Наука, 1976, т. 142, с. 254—266; Склянин Е. К., Тах¬
таджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи. I.— ТМФ,
1979, т. 40, № 2, с. 194—220; Будагов А. С„ Тахтаджян Л. А. Нелинейная
одномерная модель классической теории поля с внутренними степенями
свободы.— Докл. АН СССР, 1977, т. 235, № 4, с. 805—808; Захаров В. Е.»
Тахтаджян Л. А. Эквивалентность нелинейного уравнения Шредингера
и уравнения ферромагнетика Гейзенберга.— ТМФ, 1979, т. 38, № 1,
с. 26—35; Тахтаджян Л. А. Квантовый метод обратной задачи и алге-
браизованный матричный Бете-анзатц.— В кн.: Вопросы квантовой тео¬
рии поля и статистической физики. М.: Наука, 1981, с. 158—183< (Зап.
науч, семинаров ЛОМИ; Т. 101). Maki К., Takayama Н. Quantum-statisti¬
cal mechanics of extended objects. Pt I. Kinks in the one-dimensional sine-
Gordon system.— Phys. Rev., 1979, vol. 20D, N 8, p. 3223—3232; Pt. IV.
Correlation functions in the one-dimensional kink-bearing systems.— Phys.
Rev., 1980, vol. 21 B, N 10, p. 4558—4562.
221. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977; Скотт Э. Вол¬
487
ны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.:
Сов. радио, 1977.
222. Makhankov V. G. Dynamics of classical solitons (in non-integrable
systems).—Phys. Repts, 1978, vol. 35C, N 1, p. 1—128; Маханьков В. Г.,
Федянин В. К. Новый вид коллективных частице-подобных возбуждений
в одномерных системах с резонансным взаимодействием.— ТМФ, 1979,
т. 39, № 3, с. 381—392; Солитоноподобные решения уравнений, описы¬
вающих возбуждения в одномерных молекулярных кристаллах.— Докл.
АН СССР, 1977, т. 236, № 4, с. 83&-891.
223. Скотт А., Чжу Ф., Маклафлин Д. Солитон — новое понятие в прикладных
науках.—ТИИЭР, 1973, № 10, с. 79—123; Хирота Р., Судзуки К. Тео¬
ретическое и экспериментальное исследование солитонов решетки в не¬
линейных цепях с сосредоточенными параметрами.— Там же. с. 124—
132; Солитоны в действии: Сб. статей. М.: Мир, 1981.
224. Гапонов-Грехов А., В., Рабинович М. И. Мандельштам и современная тео¬
рия нелинейных колебаний и волн.— УФН, 1979, т. 128, вып. 4, с. 579—
624; Хаотическая динамика простых систем.— Природа, 1981, № 2, с.
54—65; Нелинейные волны/Под ред. А. В. Гапонова-Грехова. М.: Наука,
1981, Кадомцев Б. Б., Рыдник В. И. Волны вокруг нас. М.: Знание, 1981.
225. Ребби К. Солитоны.— УФН, 1980, т. 130, вып. 2, с. 329—356.
226. Доброхотов С. Ю.» Маслов В. П. Конечнозонные почти периодические ре¬
шения в ВКБ-приближениях.— В кн.: Современные проблемы математики.
М.: ВИНИТИ, 1980, т. 15, с. 3—94. (Итоги науки и техники).
227. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.:
Наука, 1977; К теории возмущений для солитонов во втором приближе¬
нии.—ТМФ, 1980, т. 42, № 3, с. 362—373; Карасев М. В., Маслов В. П.
Квазиклассические солитонные решения уравнения Хартли. Ньютоновское
взаимодействие с экранировкой.— ТМФ, 1979, т. 40, № 2, с. 235—414.
228. Карпман В. И. Нелиненйые волны в диспергирующих средах. М.: Наука,
1973; Система солитонов под действием возмущения: Осциляторные
ударные волны.— ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 1 (7), с. 114—123; Эффекты
взаимодействия ионно-звуковых солитонов с резонансными частицами
плазмы.— ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 4(10), с. 1382—1395; Карпман В. И.,
Маслов Е. М. Теория возмущений для солитонов.— ЖЭТФ, 1977, т. 73,
вып. 2 (8), с. 537—559. *
229. Горшков К. А., Островский Л. А., Папко В. В. Турбулентность солитонов
в системе со слабой дисперсией.—Докл. АН СССР, 1977, т. 235, № 1, с.
70—73; Горшков К. А., ГІапко В. В. Динамические и стохастические ко¬
лебания решеток солитонов.— ЖЭТФ, 1977, т. 73, вып. 1(7), с. 178—187;
Островский Л. А., Папко В. В., Степанянц Ю. А. Солитоны и нелинейный
резонанс в двумерных решетках.— ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 2, с. 831—
840.
230. Давыдов А. С. Влияние электрон-фононного взаимодействия на движение
электрона в одномерной молекулярной системе.— ТМФ, 1979, т. 40, № 3,
с. 408—421; Элементарные возбуждения типа солитонов в биологии.—
В кн.: Методологические и теоретические проблемы биофизики. М.: Нау¬
ка, 1979, с. 243—255; Движение солитона в одномерной молекулярной
решетке с учетом тепловых колебаний.— ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 2, с.
789—796; Иерархия времен релаксации в теории твердого тела и одно¬
мерных молекулярных систем.— УФЖ, 1980, т. 25, №7, с. 1057—1070; Не¬
линейные колебательные явления в биологии.— В кн.: Нелинейные волны:
Распространение и взаимодействие. М.: Наука, 1981, с. 42—61; Давы¬
дов А. С., Энольский В. 3. Движение избыточного электрона в молекуляр¬
ной цепи при учете взаимодействия с оптическими фононами.— ЖЭТФ,
1980, т. 79, вып. 5(11), с. 1888—1897. .
231. Козлов В. А., Литвак А. Г., Суворов Е. В. Солитоны огибающих реляти¬
вистских сильных электромагнитных волн.— ЖЭТФ, 1979, т. 76, вып. h
с. 148—157.
232. Синицын Ю.А, Рассеяние электромагнинтых волн ленгмюровскими соли-
тонамш—Физика плазмы, 1979, т. 5, вып. 6, с. 1345—1349. -
488
233. Симонов Ю. А. Многомерные стабильные релятивистские солитоны.— ЯФ,
1979, т. 30, вып. 5(11), с. 1457—1472.
234. Алиев Ю. М., Кузнецов С. В. Солитоны огибающих электромагнитных
волн в магнитоактивной плазме.— Физика плазмы, 1980, т. 6, вып. 2, с.
372 376 *
235. Physica Seripta, 1979, vol. 20, N 3/4.
236. Bâcklund Transformation the Inverse Scattering Method, Solitons, and
their Applications.— Leet. Notes. Math., 1976, vol. 256.
237. Extended Systems in field theory, Proc, of the meet, held at Ecole Normale
Supérieure, Paris, 1975, June 16—21.— Phys. Reps, vol. 23C, N 3, p. 237—
374.
238. Lüscher M., Pohlmeyer K- Scattering of massless lumps and non-local
charges in the two-dimensional classical non-linear o-model.— Nuclear
Physics, 1978, vol. B137, N 1, p. 46—54.
239. Omnes R. A new geometric approach to the relativistic string.— Nucl.
Phys., 1979, vol. B149, N 2, p. 269—284. *
240. Crampin M., Pirani F. A. E., Robinson D. C. The soliton connection.— Lett.
Math. Phys., 1977, vol. 2, N 1, p. 15—19.
241. Буслаев В. С. Решения типа «двойного солитона» для многомерного урав¬
нения □ w=F(u).—ТМФ, 1977, т. 31, № 1, с. 23—32.
242. Zakharov V. Е.» Mikhailov А. V. On the integrability of classical spinor
models in two-dimensional space-time.— Communs Math. Phys., 1980, vol.
74, N 1, p. 21—40.
243. Джорджадзе Г. П., Погребков А. К., Поливанов М. К. Сингулярные ре¬
шения уравнения ПсрЧ- (т2/2)ехр ср = О и динамика особенностей.— ТМФ,
1979, т. 40, № 2, с. 221—234; Докл. АН СССР, 1978, т. 243, № 2, с. 318—
320; Джорджадзе Г. П. Регулярные решения уравнения Лиувилля.—
ТМФ, 1979, т. 41, № 1, с. 33—39; Погребков А. К. Полная интегрируе¬
мость динамических систем, порождаемых сингулярными решениями Лиу-
вйлля.— ТМФ, 1980, т. 45, № 2, с. 161—170. '
244. Барбашов Б. М., Коиікаров А. Л., Нестеренко В. В. Релятивистская стру¬
на в постоянном однородном электромагнитном поле.—ТМФ, 1977, т. 32,
№ 2, с. 176—186; Барбашов Б. М., Нестеренко В. В., Червяков А. М. Со¬
литоны в некоторых геометрических теориях поля.— ТМФ, 1979, т. 40,
№ 1, с. 15—27 (J. Phys. A: Math. Gen., 1980, vol. 13, N 2, p. 301—312);
Барбашов Б. M., Кашкаров A. Л. Геометрический подход к динамике ре¬
лятивистской струны.—ТМФ, 1979, т. 39, № 1, с. 27—34; Обобщение мо¬
дели релятивистской струны в рамках геометрического подхода.— ТМФ,
1980, т. 45, № 3, с. 365—376 (см. также: Lett. Math. Phys., 1979, vol. З^
p. 359—365) ; Нестеренко В. В. О геометрической интерпретации уравнения
фэн—<Рэ22—еф—е-2ф. Preprint of the Joint Institute for Nuclear Research.
P2—80—342. Dubna, 1980.
245. Nambu Y. QCD and the string model.— Phys. Lett., 1979, vol. 80B, N 4K
5, p. 372-376.¬
246. Gervais J.-L., Neveu A. The quantum dual string wave functional in
Yang —Mills theories.—Phys. Lett., 1979, vol. 80B, N 3, p. 255—258.
247. Gava E., Jengo R., Omer о C. The 0(5) nonlinear o-model as a SU (2)
gauge theory.—Phys. Lett., 1979, vol. 81B, N 2, p. 187—189.
248. Polyakov A. M. .String representations and hidden symmetries for a gauge
fields.— Phys. Lett., 1979, vol. 82B, N 2, p. 247—250; Gauge fields as rings
of glue.—Nucl. Phys., 1979, vol. B164, p. 171—188.
249. Durand L., Mendel E. Functional equations for path-dependent phase fac¬
tors.— Phys. Lett., 1979, vol. 85B, N 2/3, p. 241—245.
250. Kafiev Yu. M. Four-dimensional-o-model on quaternionic projective space.—
Phys. Lett., 1979, vol. 87B, N 3, p. 219—221; Четырехмерная о-модель с
инстантонами.—ЯФ, 1980, т. 32, вып. 4(10), с. 1091—1097.
251. Gürsey F., Jafarizadeh M. A., Tze H. C. Quaternionic multi S4»HP (1) gra¬
vitational and chiral instantons.— Phys. Lett., 1979, vol. 88B, N 3/4, p.
282—286.
252. Zamolodchikov Al. B., Zamolodchikov A. B. Factorized S-Matrices in two*
dimensional as the exact solutions of certain relativistic quantum field theo-
489
ry models —Ann. Phys., 1979, vol. 120, p. 252—291; Замолодчиков А. Б.
Точная двухчастичная S-матрица квантовых солитонов модели sine-Gor¬
don.— Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 25, вып. 10, с. 499—502.
253 Kumar А„ Nisichenko V. Р., Rybakov У. Р. Stability of charged solitons.—
Intern. J. Theor. Phys., 1979, vol. 18, № 6, p. 425—432; Кунду А., Рыба¬
ков Ю. П.» Санюк В. И. О структуре топологических солитонов.— В кн.:
Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат,
1980, вып. 11, с. 14—22.
254. Лычагин В. В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные
уравнения второго порядка.— УМН, 1979, т. 34, вып. 1(205), с. 137—
165; Рубцов В. Н. О законах сохранения и симметриях нелинейных
уравнений типа Клейна — Гордона.— Там же, с. 159—164.
255. Семенов-Тян-Шанский М. А., Фаддеев Л. Д. К теории нелинейных кираль-
ных полей.— Вести. ЛГУ, 1977, № 13, с. 81—88.
256. Изергин А. Г., Корепин В. Е., Семенов-Тян-Шанский М. А., Фадеев Л.Д.
О калибровочных условиях для поля Янга — Миллса.— ТМФ, 1979, т. 38,
№ 1, с. 3—14.
257. Frohlich J. New super-selection sectors («Soliton-states») in two dimensio¬
nal Bose quantum field models.— Communs Math. Phys., 1976, vol. 47,
р. 269—310.
258. Pohlmeyer K. Integrable Hamiltonian systems and interactions through
quandratic constraints.— Communs. Math. Phys., 1976, vol. 46, p. 207—
221.
259. Neveu A., Papanicolaou N. Integrability of the classical [ф<фі]2 and
['фі'фіЬ2— ['фг'Уб'фі]г2 interactions.—Communs Math. Phys., 1978, vol. 58,
N 1, p. 31—64.
260. Боголюбский И. Л., Маханьков В. Г. О времени жизни пульсирующих
солитонов в некоторых классических моделях.— Письма в ЖЭТФ, 1976,
с. 24, вып. 1, с. 15—18; Динамика сферически-симметричных пульсонов
большой амплитуды.— Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 25, вып. 2, с. 120—123;
Динамика сферически-симметричных пульсонов в нелинейных скалярных
моделях теории поля.— В кн.: Программирование и математические мето¬
ды решения физических задач: (Тр. совещ. по программированию и мате-
мат. методам решения физ. задач). Дубна: ОИЯИ, 1978, с. 43—45; Чис¬
ленное исследование столкновений одномерных и двумерных пульсонов в
модели нелинейного уравнения Клейна — Гордона.— Там же, с. 33—37.
261. Коноплич Р. В. О вероятности распада метастабильного вакуума.— ЯФ,
1980, т. 32, вып. 4(10), с. 1132—1137.
262. Тюпкин Ю. С., Фатеев В. А., Шварц А. С. Частицеподобные решения урав¬
нений калибровочных теорий поля.— ТМФ, 1976, т. 26, № 3, с. 397—402;
О связи частицеподобных решений классических уравнений с квантовыми
частицами.— ЯФ, 1975, т. 22, с. 622—631; Романов В. Н., Фролов И. В.,
Шварц А. С. О сферически-симметричных солитонах.—ТМФ, 1978, т. 37,
№ 3, с. 305—318; Магнитные монополи в единых теориях электромагнит¬
ного, слабого и сильного взаимодействий.— ЯФ, 1980, т. 32, вып. 4(10),
с. 1138—1141; Гайдук А. В., Романов В. Н., Тюпкин Ю. С. и др. Сим¬
метричные поля в калибровочных теориях и соответствующие им реше¬
ния.— В кн.: Теоретико-групповые методы в физике: (Тр. Междунар. се¬
минара, Звенигород, 28—30 ноября 1979 г.). М.: Наука, 1980, т. II,
с. 205—210; Тюпкин Ю. С., Фатеев В. А., Фролов И. В., Шварц А. С.
Квантовые флуктуации инстантонов в различных моделях.— Там же, с.
211—216; Квантовые флуктуации инстантонов в двумерной нелинейной
анизотропной сг-модели.—ЯФ, 1980, т. 32, вып. 1(7), с. 299—300; Фро¬
лов И. В. Квантовые флуктуации инстантонов в обобщенных нелинейных
а-моделях.— ЯФ, 1981, т. 33, вып. 2, с. 506—515.
263. Гетманов Б. С. Интегрируемая модель нелинейного комплексного ска¬
лярного поля с нетривиальной асимптотикой солитонных решений.— ТМФ,
1979, т. 38, № 2, с. 186—194; Уравнение «sine-Gordon» как модель нели¬
нейного скалярного поля в формализме Дэффина — Кеммера.— ЯФ, 1980
т. 32, вып. 1(7), с. 293—296.
490
264. Майер В., Салье Н. К общерелятивистской феноменологической теории
сверхпроводимости.— ТМФ, 1979, т. 38, № 3, с. 408—416.
265. Ольшанецкий М. А., Переломов А. М. Явные решения некоторых вполне
интегрируемых гамильтоновых систем.— Функцион. анализ и его прил.,
1977, т. 11, вып. 1. с. 75—76; Квантовые системы, связанные с системами
корней, и радиальные части операторов Лапласа.— Там же, 1978, т. 12,
вып. 2, с. 57—65; Explicit solutions of classical generalized Toda models.—
Invent, math., 1979, vol. 54, p. 261—269; Цепочка Тода как редуцирован¬
ная система.— ТМФ, 1980, т. 45, № 1, с. 3—18.
266. Шварц А. С. Эллиптические операторы в квантовой теории поля.— В кн :
Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1981, т. 18, с. 113—
173. (Итоги науки и техники); Романов В. Н., Шварц А. С. Аномалии и
эллиптические операторы.— ТМФ, 1979, т. 41, № 2, с. 190—204; Худавер-
дян О. М., Шварц А. С. Мультипликативные функционалы и калибровоч¬
ные поля.— ТМФ, 1981, т. 46, № 2, с. 187—198; Гайдук А. В., Худавер-
дян О. М., Шварц А. С. Мультипликативные функционалы на кривых, ад¬
дитивные функционалы на поверхностях; их роль в квантовой теории по¬
ля.— В кн.: Теоретико-групповые методы в физике: (Тр. Междунар. се¬
минара, Звенигород, 28—30 ноября 1979 г.). М.: Наука, 1980, т. II, с.
201—204.
267. Coleman S. Quantum sine-Gordon equation as the massive Thirring mo¬
del.—Phys. Rev., 1975, vol. HD, N 8, p. 2088—2097.
268. Dashen R. F., Hasslasher B., Neveu A. Particle spectrum in model field
theories from semiclassical functional integral techniques.— Phys. Rev.,
1975, vol. HD, N 12, p. 3424—3450.
269. Фаддеёв Л. Д. Некоторые замечания о многомерных солитонах.— Lett.
Math. Phys., 1976, vol. 1, p. 289; В поисках многомерных солитонов.—
В кн.: Нелокальные, нелинейные и ненор^ируемые теории поля. Дубна:
ОИЯИ, 1977, с. 207; Квантовые вполне интегрируемые модели теории по¬
ля.— В кн.: Проблемы квантовой теории поля: (Тр. 5-го Междунар. со¬
вет. по нелокальным теориям поля, Алушта, 1979). Дубна: ОИЯИ, 1979,
с. 249—299; Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Спектр и рассеяние возбуж¬
дений в одномерном изотропном магнетике Гейзенберга.— В кн.: Диффе¬
ренциальная геометрия группы Ли к механике. IV. М.; Л.: Наука, 1981,
с. 134—178. (Зап. науч, семинаров ЛОМИ; Т. 109).
270. Каир D. J., Newell А. С. Solitons as particles, oscillators, and in slowly cha¬
nging media: a singular perturbation theory.— Proc. Roy. Soc. London,
1978, vol. A361, p. 413—446; Каир D. J. The Estabrook — Wahlquist method
with examples of application.— Physica, 1980, vol. 1A, N 4, p. 391—411.
271. McLaughlin D. W., Scolt A. C. Perturbation analysis of fluxon dynamics.—
Phys. Rev., 1978, vol. 18A, N 4, p. 1652—1680.
272. Scott A. C. Magnetic flux annihilation in a large Josephson function.—
Leet. Notes Phys., 1979, vol. 93, p. 118—174.
273. Christiansen P. L., Olsen O. H. Réflection of fluxons on a Josephson line
cavity.— Physica, 1980, vol. ID, N 4, p. 412—419.
274. Chinea F. J. On the intrinsic geometry of certain nonlinear equations: The
sine-Gordon equation.—J. Mat. Phys., 1980, vol. 21, N 7, p. 1588—1592.
275. Leibbrandt G., Morf R.t Wong S.-S. Solutions of sine-Gordon equation
in higher dimensions.—J. Math. Phys., 1980, vol. 21, N 7, p. 1613—1624.
276. Кулиш П. П., Решетихин H. ІО. Обобщенный ферромагнетик Гейзенберга
и модель Гросса — Невье.—ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 1, с. 214—228; Кван¬
товая линейная задача для уравнения синус-Гордон и высшие представ¬
ления.— В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистической физики.
2. М.: Наука, 1981, с. 101—110. (Зап. науч, семинаров ЛОМИ; Т. 101).
277. Кулиш П. П., Цыпляев С. А. Суперсимметричная модель cos Ф2 и метод
обратной задачи.— ТМФ, 1981, т. 46, № 2, с. 172—186.
278. Герджиков В. С., Кулиш П. П. Вывод преобразования Беклунда в фор¬
мализме обратной задачи теории рассеяния.— ТМФ, 1979, т. 39, № 1, с.
69—74; Разложение по «квадратам» собственных функций матричной ли¬
нейной системы.— В кн.: Вопросы квантовой теории поля и статистиче¬
491
ской физики. М.: Наука, 1981, с. 46—63. (Зап. науч, семинаров ЛОМИ;
Т. 101); Кулиш П. П. Реализация алгебры Замолодчикова — Фаддеева.—
В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. IV. Л.: Нау¬
ка, 1981, с, 83—92. (Зап. цауч. семинаров ЛОМИ; Т. 109).
279. Склянин Е. К. Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния.—
В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. III. Л.: Нау¬
ка, 1980, с. 55—128. (Зап. науч, семинаров ЛОМИ; Т. 95); О полной
интегрируемости уравнений Ландау — Лифшица: Препринт ЛОМИ АН
СССР. N = E=3=1979. М., 1979.
280. Кулиш П. П., Склянин Е. К. О решениях уравнения Янга — Бакстера.—
В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. III. М.:
Наука, 1980, с. 129—160. (Зап. науч, семинаров ЛОМИ; Т. 95).
281. Докторов Е. В. Вполне интегрируемые нелинейные уравнения и соответ¬
ствующий им класс калибровочных полей.— В кн.: Теоретико-групповые
методы в физике: (Тр. Междунар. семинара, Звенигород, 28—30 ноября
’ 1979). М.: Наука, 1980, т. II, с. 323—329. .
282. Ахундова Э. А., Додонов В. В., Мань ко В. И. Интегралы движения и не¬
линейные формы линейных уравнений.— В кн.: Теоретико-групповые мето¬
ды в физике: (Тр. Междунар. семинара, 28—30 ноября 1979). М.: Нау¬
ка, 1980, т. II, с. 348—354. -
283. Лезнов А. Н., Савельев М. В. Точные цилиндрически симметричные реше¬
ния классических уравнений калибровочных теорий для произвольных
компактных групп Ли.— Физика элементар. частиц и атом, ядра, 1980,
т. 11, вып. 1, с. 40—91; Cylindrical configuration of classical Yang — Mills
fields and its symmetrical properties.— Phys. Lett., 1978, vol. 76B, N 1,
p. 108—110; Spherically symmetric equations in gauge theories for an ar-
betrary semisimple compact Lie group.— Phys. Lett., 1978, vol. 79B, N 3,
p. 294—296; Cylindrically symmetric instantons for the gauge groups of
rank 2 (SU(3), 0(5) and G2)\— Phys. Lett., 1979, vol. 83B, N 3/4, p. 314—
316; Representation of zero curvature for the system of nonlinear partial
differential equations xa, zz = exp(£xa) and its integrability.— Lett. Math.
Phys., 1979, vol. 3, p. 489—494; Теория представлений и интегрирование не¬
линейных сферически-симметричных уравнений калибровочных теорий.—
В кн.: Теоретико-групповые методы в физике (Тр. Междунар. семина¬
ра, Звенигород, 28—30 ноября 1979). М.: Наука, 1980, т. II, с. 308—316;
Лезнов А. Н. О полной интегрируемости одной нелинейной системы диф¬
ференциальных уравнений в частных производных в двумерных простран¬
ствах.— ТМФ, 1980, т. 42, № 3, с. 343—349; Лезнов А. Н., Савельев М. В.,
Смирнов В. Г. Общие решения двумерной системы уравнений Вольтерра,
реализующих преобразования Бэклунда для цепочки Тода.— ТМФ, 1981,
т. 47, № 2, с. 216—223.
284. Гельфанд И. М., Дикий Л. А. Резольвента и гамильтоновы системы.—
’ Функцион. анализ и его прил., 1977, т. 11, вып. 2, с. 11—27; Интегрируе¬
мые нелинейные уравнения и теорема Лиувилля.— Там же, 1979, т. 13,
вып. 1, с. 8—20; Исчисление струй и нелинейные гамильтоновы системы.—
Там же, 1978, т. 12, вып. 2, с. 8—23; Асимптотика резольвенты штурм-лиу-
виллевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега-де Фриза.— УМН,
1975, т. 30, вып. 5, с. 67—100; Дикий Л. А. Функция Грина дифферен¬
циальных операторов и гамильтоновы системы.— В кн.: Нелинейные вол¬
ны. М.: Наука, 1979, с. 36—44. *
285. Веселов А. П. О гамильтоновом формализме для уравнений Новикова —
Кричевера коммутативности двух операторов.— Функцион. анализ и его
прил., 1979, т. 13, вып. 1, с. 1—7.
286. Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Обобщенный метод Лиувилля интегриро¬
вания гамильтоновых систем.— Функцион. анализ и его прил., 1978, т. 12,
вы. 2, с. 46—56; Интегрирование гамильтоновых систем с некоммутатив¬
ными симметриями.— В кн.: Труды семинара по векторному и тензорно¬
му анализу с их приложениями к геометрии, механике и физике. М.:
Изд-во МГУ, 1981, вып. 20, с. 5—54.
287. Шабат Г. Б. Об одной системе уравнений С. П. Новикова.— Функцион.
анализ и его прил., 1980, т. 14, вып. 2, с. 89—90.
492
288. Кричевер И. М. Интегрирование нелинейных уравнений методами алгеб¬
раической геометрии.— Функцион. анализ и его прил., 1977, т. 11, вып. 1,
с. 15—31; Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных урав¬
нений—УМН, 1977, т. 32, вып. 6(198), с. 183—207; Коммутативные коль¬
ца обыкновенных линейных дифференциальных операторов.— Функцион.
анализ и его прил., 1978, т. 12, вып. 3, с. 20—31; О рациональных реше¬
ниях уравнения Кадомцева — Петвиашвили и об интегрируемых систе¬
мах N частиц на прямой.— Функцион. анализ и его прил., 1978, т. 12,
вып. 1, с. 76—78.
289. Кричевер И. М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над римановы-
ми поверхностями и уравнения Кадомцева — Петвиашвили (КП). I.—
Функцион. анализ и его прил., 1978, т. 12, вып. 4, с. 41—52; Голоморфные
расслоения и уравнение Кадомцева — Петвиашвили (КП).— УМН, 1978,
т. 3, вып. 5(203), с. 209—211.
290. Гельфанд И. М.г Дорфман И. Я. Гамильтоновы операторы и связанные с
ними, алгебраические структуры.— Функцион. анализ и его прил., 1979,
т. 13, вып. 4, с. 13—30; Препринт ИПМ АН СССР им. М. В. Келдыша. М.,
1979.
291. Виноградов А. М., Купериімидт Б. А. Структура гамильтоновой а меха¬
ники.— УМН, 1977, т. 32, вып. 4(196), с. 175—236; Виноградов А. М.
Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений.— В кн.: Проблемы
геометрии. М.: ВИНИТИ, 1980, т. 11, с. 89—134. (Итоги науки и тех¬
, ники).
292. Гельфанд И. М., Манин Ю. И., Шубин М. А, Нелинейные уравнения в ча¬
стных производных и гамильтоновы струкуры.— УМН, 1977, т. 32, вып.
3(195), с. 209—210. .
293. Богаевский В. Н., Мазур Н. Г., Повзнер А. Я. «Об интегрируемых» не¬
линейных уравнениях в частных производных.— УМН, 1977, т. 32, вып.
3(195), с. 212—213.
294. Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А., Френкель И.- Е. Градуирован¬
ные алгебры Ли и вполне интегрируемые динамические системы.— Докл.
АН СССР, 1979, т. 247, № 5, с. 802—805; Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шан¬
ский М. А. Семейство гамильтоновых структур, иерархия гамильтониа¬
нов и редукция для матричных дифференциальных операторов первого
порядка.— Функцион. анализ и его прил., 1980, т. 14, вып. 2, с. 77—78;
Reduction of hamiltonian systems, affine Lie algebras and Lax equations.—
Invent. Math., 1979, vol. 54, № 1, p. 81—100; Рейман А. Г. Интегрируе¬
мые гамильтоновы системы, связанные с градуированными алгебрами
Ли.—В кн.: Дифференциальная геометрия групп Ли и механика. III. М.:
Наука, 1980, с. 3—54. (Зап. науч, семинаров ЛОМИ; Т. 95).
295. Ибрагимов H. X., Шабат А. Б. Уравнение Кортевега—де Фриза с группо¬
вой точки зрения.— Докл. АН СССР, 1974, т. 244, № 1, с. 56—61; Жи-
бер А. В., Шабат А. Б. Уравнения Клейна—Гордона с нетривиальной груп¬
пой.—Докл. АН СССР, 1979, т. 247, № 5, с. 1103—1107; Жибер А. В.,
Ибрагимов H. X., Шабат А. Б. Уравнения типа, Лиувилля.— Докл. АН
СССР, 1979, т. 249, № 1, с. 26—29; Алгебры Ли—Беклунда нелинейных
дифференциальных уравнений.—УМН, 1979, т. 34, вып. 2, с. 148—149.
296. Ибрагимов H. X. К теории групп преобразований Ли—Беклунда.— Ма-
тем. сб., 1979, т. 109(151), №2(6), с. 229—253; Ибрагимов H. X., Ша¬
бат А. Б. Эволюционные уравнения с нетривиальной группой Ли—Бек¬
лунда.— Функцион. анализ и его прил., 1980, т. 14, вып. 1, с. 25—36.
297. Соколов В. В., Шабат А. Б. (L, А)-пары и замена типа Рикатти.— Функ¬
цион. анализ и его прил., 1980, т. 14, вып. 2, с. 79—80.
298. Елеонский В. М., Кирова И. И., Кулагин И. Е. О случайном вырождении
самолокализованных решений уравнений Ландау—Лифшица.—ЖЭТФ,
1978, т. 75, вып. 6(12), с. 2210—2219; Новый закон сохранения для урав¬
нений Ландау — Лифшица —ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 1(7), с. 409—413;
О точных решениях уравнений Ландау—Лифшица для слабых ферромаг¬
нетиков. ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 1, с. 357—363.
299. Боровик А. Е., Робук В. И. Линейные псевдопотенциалы и законы сохра¬
нения для уравнения Ландау—Лифшица, описывающего нелинейную ди¬
493
намику Ферромагнетика с одноосной анизотропией.— ТМФ, 1981, т. 46»
№ 3, с. 371—381.
300. Прикарпатский А. К- Геометрическая структура и преобразования Бэк-
лунда нелинейных эволюционных уравнений, обладающих представлением1
Лакса.— ТМФ, 1981, т. 46, № 3, с. 382—393; Почти периодические реше¬
ния модифицированного нелинейного уравнения Шредингера.— ТМФ, 1981»
т. 47, № 3, с. 323—332.
301. Mansouri R., Sexi R. U. A test theory of special relativity. Pt I. Simultai-
neity and clock synchronization.— General Relativity and Gravitation.—
1977, vol. 8, N 7, p. 497—513. Pt II. First order test.—Ibid., 1977, vol. 8,.
N 7, p. 515—524. Pt III. Second-order test.—Ibid., 1977, vol. 8, N 10,.
p. 809—814.
302. Иваницкая О. С., Костюкович H. Н. Классификация некоторых гравита¬
ционных эффектов, предсказанных общей теорией относительности.—
В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиз-
дат, 1979, вып. 10, с. 154—169; Иваницкая О. С. Лоренцев базис и грави¬
тационные эффекты в эйнштейновской теории тяготения. Минск: Наука и
техника, 1979.
303. Гршцук Л. П. Гравитационные волны в космосе и в лаборатории.— УФН»
1977, т. 121, вып. 4, с. 629—656.
304. Коноплева Н. П. Гравитационные эксперименты в космосе.— УФН, 1977,.
т. 123, вып. 4, с. 537—563; О структуре физических теорий.— В кн.: Тео¬
ретико-групповые методы в физике. М.: Наука, 1980, т. I, с. 337—345.
305. Тезисы докладов 5-й Советской гравитационной конференции. М.: Изд-во-
МГУ, 1981.
306. Власов А. А., Денисов В. И., Логунов А. А., Мествириіивили М. А. Гра¬
витационные эффекты в полевой теории гравитации.— ТМФ, 1980, т. 43,
№ 2, с. 147—186.
307. Shapiro 1. Testing general relativity: progress, problems and prospects.—
General Relativity and Gravitation, 1972, vol. 3, N 2, p. 135—148.
308. Braginsky V. B., Caves С. M.f Thorne K. S. Laboratory experiments to test
relativistic gravity.— Phys. Rev., 1977, vol. 15D, N 8, p. 2047—2068.
309. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979.
310. Haugan М. Р., Will С. М. Weak interactions and Eôtvôs experiments.—
Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 37, N 1, p. 1—4; Principle of equivalence, Eôtvôs
experiments, and gravitational red-shift experiments. The free fall electro¬
magnetic systems to post-post-Coulombian order.—Phys. Rev., 1977, voL
15, p. 2711—2720.
311. Williams J. G., Dicke R. H., Bender P. L. et al. New test of the equivalence
principle from lunar laser ranging.— Phys. Rev. Lett, 1976, vol. 36, N 11»
p. 551—554.
312. Shapiro Counselman С. C., Ill, King R. W. Verification of the principle
of equivalence for massive bodies.— Phys. Rev. Lett., 1976, vol. 36, N 11»
p. 555—558.
313. Brecher K. Possible test of the strdbg principle of equivalence.— Astrophys.
J., 1978, vol. 219, N 1, p. LI 17—LI 18.
314. Hsu J. P. Analysis of weak interactions and Eôtvôs experiments.— Phys.
Rev., 1978, vol. 17D, N 12, p. 3164—3167.
315. Enosh M., Kovetz A. Is active gravitational mass equal to inertial mass?—
Intern. J. Theor. Phys., 1978, vol. 17, N 7, p. 549—555.
316. Дирак П. A. M. Общая теория относительности. M.: Атомиздат, 1978.
317. Найда О. Н., Смородинский Я. А. Оптическая изотропия пространства и
ее связь с принципом эквивалентности.— ЖЭТФ, 1979, т. 76, вып. 4, с»
1153—1160.
318. Тредер Г. Теория гравитации и принципы эквивалентности. М.: Атомиз¬
дат, 1973; Сб. науч, трудов: Классическая и квантовая теории гравита¬
ции; Релятивистская астрофизика; Гравитационный эксперимент. Минск:
Изд-во Ин-та физики АН БССР, 1976.
319. Колосницын Н. И., Осипова А. В. Нарушение принципа эквивалентности
и аномальные вековые движения планет.— В кн.: Проблемы теории гра¬
витации и элементарных частиц. М.; Атомиздат, 1979, вып. 10, с. 175—
494
181; Аномальные движения планет при нарушении принципа эквивалент¬
ности.— В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.:
Атомиздат, 1980, вып. 11, с. 149—151.
320. Панов В. И., Фронтов В. Н. Эксперимент Кавендиша на больших расстоя¬
ниях.— ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 5(11), с. 1071—1077.
321. Брагинский В. Б. Физические эксперименты с пробными телами. М.: Нау¬
ка, 1970; Гравитационные эксперименты от Кавендиша до наших
дней —Природа, 1981, № 12, с. 70—75.
322. Определение постоянной тяготения и измерение некоторых тонких грави¬
тационных эффектов/Под ред. Ю. Д. Буланже, М. У. Сагитова. М.: Нау¬
ка, 1973.
323. Vessot R. F. С., Levine М. W. A test of the equivalence principle using a
space-Born clock.— General Relative and Gravitation, 1979, vol. 10, N 3»
р. 181—204.
324. Hellings R. W. Testing relativistic theories of gravity with spacecraft-Dop-
pler gravity-wave detection.— Phys. Rev., 1978, vol. 17D, N 12, p. 3158—
3163.
325. Кислик M. Д., Колюка Ю. Ф., Котельников В. А. и др. Определение ор¬
бит Земли и Венеры, астрономической единицы и радиуса Венеры на ос¬
нове радиолокационных наблюдений Венеры в 1962—1977 г.— Докл. АН
СССР, 1978, т. 241, № 5, с. 1046—1049; Определение орбит Марса и
Земли на основе радиолокационных наблюдений Марса в 1964—1977 гг.—
Докл. АН СССР, 1979, т. 249, № 1, с. 78—80; 1980, т. 255, № 3 и № 6.
326. Брумберг В. А., Финкелыитейн А. М. Проблемы сопоставления результа¬
тов наблюдений и теоретических данных при проверке релятивистских
эффектов в солнечной системе.— ЖЭТФ, 1979, т. 76, вып. 5, с. 1474—
1487.
327. Брагинский В. Б., Рутман Г. И. О возможности регистрации гравитацион¬
ного излучения в лабораторных условиях.—tЖЭТФ, 1962, т. 41, вып. 1(7),.
с. 15—26.
328. Герценштейн М. Е., Пустовойт В. И. К вопросу об обнаружении грави¬
тационных волн малых частот.— ЖЭТФ, 1962, т. 43, вып. 2, с. 341—349.
329. Гольденблат И. И. Взаимодействие упруго-деформирующейся среды с гра¬
витационным полем.— В кн.: Тез. докл. III Всесоюз. съезда по теорет. и
прикл. механике. М.: Изд-во МГУ, 1968.
330. Брагинский В. Б., Зельдович Я. Б., Руденко В. Н. О приеме гравитацион¬
ного излучения внеземного происхождения.— Письма в ЖЭТФ, 1969,
т. 10, вып. 2, с. 437.
331. Брагинский В. Б., Руденко В. Н. Релятивистские гравитационные экспери¬
менты.— УФН, 1970, т. 100, вып. 3, с. 395; Gravitational waves and the de¬
tection of gravitational radiation.—Phys. Repts, 1978, vol. 46, N 3, p. 165.
332. Захаров В. Д. Гравитационные волны в теории тяготения Эйнштейна.
М.: Наука, 1972.
333. Глинер Э. Б., Митрофанов И. Г, Асимметричный ротатор как детектор
монохроматического гравитационного излучения.— ЖЭТФ, 1979, вып. 6,
с. 1873—1880.
334. Сидоров В. М. Воздействие плоских гравитационных волн произвольной,
частоты на осциллятор — Докл. АН СССР, 1979, т. 249, № 5, с. 1107—
1111.
335. Борисова Л. Б., Владимирова Л. Ф. Монадные критерии гравитационно¬
инерциальных волн; воздействие гравитационно-инерциальных волн раз¬
ных типов на детектор.— В кн.: Проблемы теории гравитации и элемен¬
тарных частиц. М.: Атомиздат, 1979, вып. 10, с. 181 —187.
336. Борисова Л. Б. К методике детектирования гравитационных волн.— В кн.:
Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат,
. 1980, вып. 11, с. 142—148.
337. Billing H. et al. Results of the Munich—Frascati gravitational-wave experi¬
ments—Lett. Nouvo Cimento, 1975, vol. 12, N 11, p. Ill; The Munich
gravitational-wave detector.— Nuovo Cimento, 1976, vol. 33, N 2, p. 665.
338. Levine J. L., Garwin R. L. Absense of gracity-wave signals in a bar at
1695 Hz.—Phys. Rev. Lett., 1973, vol. 31, N 3, p. 173.
495
339. Lee M. et al. Gravitational-radiation-detector observations in 1973 and
1974.— Phys. Rev., 1976, vol. 14D, N 4, p. 893.
340. Narihara K-, Hirakawa H. Gravitational radiation detectors at 145 Hz.—
Jap. J. Appl. Phys., 1976, vol. 15, N 5, p. 833.
341. Pizzella G. On the data analysis algorithm for gravitational-wave experi¬
ments.— Lett. Nuovo Cimento, 1976, vol. 15, N 14, p. 501.
342. Kafka P., Schnupp L. Final results of the Munich-Francati gravitational ra¬
diation experiments.— Astron, and Astrophys. 1978, vol. 70, N 1, p. 97.
343. Алексеев А. Д.г Колосницын H. И., Московкин В. M. Нелинейный алго¬
ритм для обработки данных граватиционно-волновых измерений.— В кн.:
Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атомиздат, 1980,
вып. 11, с. 152—164.
344. Владимиров Ю. С. Квантовая теория гравитации.— В кн.: Эйнштейнов¬
ский сборник, 1972. М.: Наука, 1974, с. 280—340.
345. Брагинский В. Б., Воронцов Ю. И. Квантовомеханические ограничения в
макроскопических экспериментах и современная экспериментальная техни¬
ка.— УФН, 1974, т. 114, вып. 1, с. 41—53.
346. Брагинский В. Б., Воронцов Ю. И., Халили Ф. Я. Квантовые особенно¬
сти пондемоторного измерителя электромагнитной энергии.— ЖЭТФ, 1977,
т. 73, вып. 4(10), с. 1340—1343; Оптимальные квантовые измерения в де¬
текторах гравитационного излучения.— Письма в ЖЭТФ, 1978, т. 27,
вып. 5, с. 296—301.
347. Брагинский В. Б., Халили Ф. Я. Оптико-магнитные эффекты и невозму¬
щающий-счет квантов.— ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 5, с. 1712—1717. (См.
также: Обратный эффект Фарадея и счет одиночных фотонов.— Природа,
1981, № 2, с. 105—106).
348. Брагинский В. Б., Колесов В. В. О чувствительности различных методов
измерения магнитных іюлей.—Докл. АН СССР, 1978, т. 239, № 2, с. 305—
307. (См. также: Лазер измеряет сверхмалые СВЧ-поля.— Природа,
1980, № 5, с. 112).
349. Брагинский В. Б., Вятчанин С. П. Гравитационные волны и предельная
стабильность частоты автогенераторов.—ЖЭТФ, 1978, т. 74, вып. 3,
с. 828—832.
350. Брагинский В. Б., Вятчанин С. П., Панов В. И. О предельной стабильно¬
сти частоты автогенераторов.— Докл. АН СССР, 1979, т. 247, № 3,
с. 583—585.
351. Гусев А. В., Руденко В. Н. Гравитационная антенна со сверхпроводящими
элементами.— ЖЭТФ, 1977, т. 72, вып. 4, с. 1217—1230; Квантовый интер¬
ферометр как регистрирующий элемент гравитационной антенны.— ЖЭТФ,
1978, т. 74, вып. 3, с. 819—827; Квантовомеханический анализ чувстви¬
тельности гравитационной антенны.— ЖЭТФ, 1979, т. 76, вып. 5, с. 1488—
1499.
352. Менский М. Б. Квантовые ограничения на измерения параметров движе¬
ния макроскопического осциллятора.— ЖЭТФ, 1979, т. 17, вып. 4(10),
с. 1326—1339.
353. Додонов В. В., Мань ко В. И., Руденко В. Н. Невозмущающее измерение
в гравитационно-волновом эксперименте.— ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 3,
с. 881—886; Квантовая электроника, 1980, т. 7, № 10, с. 2124—2135.
354. Гршцук Л. П., Сажин М. В. Квантовый электромагнитный осциллятор в
поле гравитационной волны и проблема неразрушающих измерений.—
ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 4, с. 1249—1260.
355. Grafe N., Dehnen Н. The interaction of quantum mechanical oscillator with
gravitational radiation.— Intern. J. Theor. Phys., 1976, vol. 15, N 6, p. 393—
409.
356. Thorne K S., Drever R. W. P., Caves С. M. et al. Quantum nondemolition
measurements of harmonic oscillators.— Phys. Rev. Lett., 1978, vol. 40,
N 11, p. 667—671; Thorne K. S. Gravitational waves research.—Rev. mod.
phus., 1980, vol. 52, N 2, p. 285—296.
357. Unruh W. G. An analysis of quantum-nondemolition measurement. Univ, of
Brit. Columbia Prepr., 1977; Quantum nondemolition measurement and co¬
herent states.— Phys. Rev., 1978, vol. 17D, N 4, p. 1180—1181; Ibid., 1978,
496
vol. 18D, N 6, p. 1764; Quantum nondemolition measurement and eravitv-
wave detection.— Ibid., 1979, vol. 19D, N 10, p. 2888—2896.
358. Moncrief V. Coherent states and quantum nonperturbing measurements.—
Ann. Phys., 1978, vol. 114, p. 201—214.
359. Hollenhorst J. N. Quantum limits on resonant-mass gravitational-radia¬
tion detectors.— Phys. Rev., 1979, vol. 19D, N 6, p. 1669—1679.
360. Корниенко Л. С., Штейншлейгер В. Б. Квантовые усилители и их приме¬
нение в космических исследованиях.— УФН, 1978, т. 126, вып. 2, с. 287—
309.
361. Белоцерковский О. М. Новые численные модели в математической физике
и задачи взаимодействия солнечного ветра с космическими объектами.—
УФН, 1977, т. 121, вып. 4, с. 727—729.
362. Гослинг Дж., Хундхаузен А. Волны в солнечном ветре.— УФН, 1978,
т. 124, вып. 4, с. 685—696.
363. Davidson W. Tests of gravitational theories using space probes.— Intern.
J. Theor. Phys., 1978, vol. 17, N 8, p. 651—662.
364. Яковлев О. И. Распространение радиоволн в Солнечной системе.— М.:
Сов. радио, 1974.
365. Аллей Ч., Катлер Л., Рейссе Р. и др. Измерение при помощи атомных
часов общерелятивистских разностей времени при авиаполетах путем пря¬
мых сверок времени, а также телеметрических сверок, проводимых посред¬
ством лазерных импульсов.— В кн.: [309, с. 575].
366. Джозефсон Б. Температурный сдвиг энергии квантов, испущенных твер¬
дым телом.—В кп.: Эффект Мёссбауэра. М.: Изд-во иностр, лит., 1962.
367. Паунд Р., Редка Г. Гравитационное смещение в ядерном резонансе.—
В кн.: Новейшие проблемы гравитации.— М.: Изд-во иностр, лит., 1961;
Эффективный вес фотона.— Там же.
368. Паунд Р., Снайдер Дж. Действие гравитации на гамма-измерение.—
В кн.: [309, с. 574].
369. Чампни Д., Мун П. Отсутствие доплеровского смещения в опыте с источ¬
ником и детектором у-лучей, вращающимися по одной и той же круговой
орбите.— В кн.: Эффект Мёссбауэра. М.: Изд-во иностр, лит., 1962.
370. Essen I.. A time dilatation experiment based on Môssbauer effect.— Proc.
Phys. Soc., 1965, vol. 86A, p. 671.
371. Лаврентьев M. E. Леонид Иванович Седов: (К семидесятилетию со дня
рождения).— ПММ, 1977, т. 41, вып. 6, с. 963—970.
372. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.:
Наука, 1981.
373. Hoag D. G., Wrigley W. Navigation and guidance in interstellar space.—
Acta Astronaut, 1975, vol. 2, N 5/6.
374. Досыбеков К. Релятивистские эффекты в динамике космических летатель¬
ных аппаратов.— В кн.: Математика и механика. Алма-Ата: Изд-во Каз.
ун-та, 1979, вып. 14, с. 114—120.
375. Писаренко В. Г. Проблемы релятивистской динамики многих тел и нели¬
нейной теории поля. Киев: Наук, думка, 1974.
376. Люстерник Л. А. Топология функциональных пространств и вариационное
исчисление в целом. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1947. (Тр. МИАН СССР
им. Стеклова; Т. 19).
377. Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для сту¬
дентов-математиков. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
378. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Нау¬
ка, 1979; Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975.
379. Мозер ІО. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.
380г Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.
381. Brattelli О., Robinson W. D. Operator algebras and quantum statistical
mechanics. I. C* and W*-algebras, symmetry groups, decomposition of sta¬
tes. N. Y.; B.: Spring. Verl., 1979.
382. Шнолъ Э. Э. О группах, соответствующих простейшим задачам механи¬
ки.—ТМФ, 1972, т. 11, № 3, с. 344—353.
383. Зайцев Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретической
физики. М.: Наука, 1974.
17 Б. Н. Петров и др.
497
384. Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой
теории поля. М.: Мир, 1976.
385. Максимов В. М. Макроскопические наблюдаемые в алгебраической стати¬
стической физике.— ТМФ, 1974, т. 20, № 1, с. 18—27; Динамика в про¬
странстве и уравнение Гейзенберга.— ТМФ, 1976, т. 26, № 3, с. 382—
386.
386. Ахиезер А. И., Половин Р. В. Почему невозможно ввести в квантовую ме¬
ханику скрытые параметры.— УФН, 1972, т. 107, вып. 3, с. 463—487.
387. Гэрни Р. В. Введение в квантовую механику. Л.; М.: ОНТИ, 1935.
388. Блохинцев Д. И. Классическая статистическая физика и квантовая меха¬
ника—УФН, 1977, т. 122 вып. 4, с. 745—757; Квантовая механика: Лек¬
ции по избранным вопросам. М.: Атомиздат, 1981.
389. Мессиа А. Квантовая механика. М.: Наука, 1978, 1979. T. 1, 2.
390. Вик Д. Проблема измерений.—УФН, 1970, т. 101, вып. 2, с. 303—329.
391. Friedrichs К. О. Remarks on the notion of state in quantum mechanics.—
Foundations of Phys., 1979, vol. 9, N 7/8, p. 515—524.
392. Cini M., Maria M.t Mattioli G., Nicolo F. Wave packet reduction in quantum
mechanics: a model of a measuring apparatus.— Found. Phys., 1979, vol. 9,
N 7/8, V. 479—500.
393. Мороз Б. 3. Формальные системы, возникающие при анализе физических
теорий.—Докл. АН СССР, 1971, т. 198, № 5, с. 1018—1020.
394. Додонов В. В., Курмышев Е. В., Манько В. И. Уточненное соотношение
неопределенности и коррелированные когерентные состояния.— В кн.:
Теоретико-групповые методы в физике. М.: Наука, 1980, т. 1, с. 227—232.
395. Свиньин И. Р. Квантовомеханическое описание трения.— ТМФ, І975>
т. 22, № 1, с. 97—108.
396. Messer J. Friction in quantum mechanics.— Acta physica austr., 1979».
vol. 50, N 1, p. 75—91.
397. Dodonov V. V., Man’ko V. I. Coherent states and the resonance of quantum
damped oscillator.— Phys. Rev., 1979, vol. 20A, N 2, p. 550—560.
398. Малкин И. А., Манько В. И. Динамические симметрии и когерентные со¬
стояния квантовых систем. М.: Наука, 1979.
399. Prosperi G. M. Macroscopie physics and problem of measurement in quan¬
tum mechanics.— In: Proc. Intern. Sch. Enrico Fermi, Cource IL, N. Y.:
Acad. Press, 1971, p. 97. -
400. Эйринг Г., Уолтер Д., Кимпбалл Д. Квантовая химия. М.: Изд-во иностр,
лит., 1948.
401. Давыдов А. С. Квантовая механику. М.: Наука, 1973.
402. Нейман Дж. Математические основы квантовой механики. М.: Наука»
1964.
403. Тарасов Л. В. Квантовая механика. М.: Высш, школа, 1977.
404. Бом Д. О возможности интерпретации квантовой теории на основе пред¬
ставления о «скрытых параметрах», ст. 1, 2.— В кн.: Вопросы причинно¬
сти в квантовой механике. М.: Изд-во иностр, лит., 1955, с. 34—94; Галь-
перн О. О новой интерпретации квантовой механики.— Там же, с. 95—96.
405. Бете Г. Квантовая механика. М.: Мир, 1965.
406. Сарры М. Ф. О перестановочной симметрии волновых функций системы
тождественных частиц.— ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 4(10), с. 1348—1351.
407. Каплан И, Г, Постулат симметрии и его обоснование в рамках квантовой
механики.—В кн.; Теоретико-групповые методы в физике. М.: Наука,
1980, т. 1, с. 175-181. - •
408. Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике. М.: Наука,
1972.
409. Лэке М. Флуктуации и когерентные состояния. М.: Мир, 1974.
410. Барабаненков Ю. И., Озрин В. Д., Шелест А. В. К теории стохастических
процессов в квантовых динамических системах.— ТМФ, 1980, т. 42, № 2,
с 232 242
411. De Ar an jo Cid В., Rezende S. M. Saturation and coherence properties of
three-magnon nonlinear processes.— Phys. Rev., 1974, vol. 9B, N 7, p. 321—
335.
498
412. Петров Б. Н., Уланов Г. М., Ульянов С. В. Информационные модели в
теории инвариантности.— В кн.: Труды Всесоюз. совещ. по теории устой¬
чивости, чувствительности и инвариантности динамических систем. Баку:
Ишыг, 1981.
413. Крестьянинов А. С., Митюгов В. В. Минимальные неопределенности в от¬
крытой системе.— РЭ, 1980, т. 28, № 5, с. 1030—1036.
414. Berry М. Y., Balazs N. L. Nonspreading wave packets.— Ann. J. Phys.,
1979, vol. 47, N 3, p. 264—267.
415. Данилов Ю. А., Кузнецов Г. И., Смородинский Я. А. О симметрии клас¬
сических и волновых уравнений.— ЯФ, 1980, т. 32, вып. 6(12), с. 1547—
1552.
416. Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. М.: Мир, 1974. T. 1, 112 с.
417. Abramowiiz М., Stegun I. A. Handbook of mathematical functions. US
Nat. Bureau of Standards, Wash. D. C., 1964, p. 446—448.
418. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.:
Наука, 1978; Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилиней¬
ных уравнений. М.: Наука, 1978.
419. Бьёркен Дж. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. Реляти¬
вистская квантовая механика. М.: Мир, 1978. T. 1.
420. Гааз А. Введение в теоретическую физику. М.: ОНТИ, 1935. Т. И.
421. Гельфер Я. М., Любоіииц В. Л., Подгорецкий М. И. Парадоксы Гиббса
и тождественность частиц в квантовой механике. М.: Наука, 1975.
422. Котельников А. П., Фок В. А. Некоторые применения идей Лобачевского
в механике и физике. М.: Гостехиздат, 1956.
423. Соколов А. А., Тернов И. М. Квантовая механика и атомная физика. М.:
Просвещение, 1970; Galehouse D. С. Geometrical derivation of the Klein—
Gordon equation.— Intern. J. Theoret. Phys., 1981, vol. 20, N 6, p. 457—
479. .
424. Schwebel S. L. Interaction theory: Relativistic hydrogen atom and the
Lamb shift — Intern. J. Theor. Phys., 1978, vol. 17, N 12, p. 931—939.
425. Лурье А. И. К теории систем линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами.— Тр. Ленингр. индустр. ин-та, 1943, № 6,
вып. 3.
426. Берестецкий В. Б. Проблемы физики элементарных частиц. М.: Наука,
1979.
427. Боголюбов Н. Н., Широков Д. В. Квантовые поля. М.: Наука, 1980.
428. Кушниренко А. Н. Введение в квантовую теорию поля. М.; Высш, школа,
1971.
429. Вентцель Р. Введение в волновую механику. М.: Изд-во иностр, лит.,
1947.
430. Гришанин Б. А. Квантовая электродинамика для радиофизиков. М.: Изд-
во, МГУ, 1981.
43\. Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов.— В кн.:
Квантовая оптика и квантовая радиофизика. М.: Мир, 1966, с. 91—280;
Когерентность и детектирование квантов.— В кн.: Когерентные состояния
в квантовой физике. М.: Мир, 1972, с. 26—70.
432. Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики. М.: Мир, 1970.
433. Перина Я. Когерентность света. М.: Мир, 1974.
434. Статистические и когерентные методы исследования физических систем.
М.: Наука, 1980. (Тр. ФИАН СССР им. Лебедева; Т. 124).
435. Jannussi A. D. Generalized Glauber operators and their coherent states.—
В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. М.: Наука, 1980, т. I,
с. 308—321.
436. Переломов А. М. Замечание о полноте системы когерентных состояний.—
ТМФ, 1971, т. 6, № 2, с. 213—224; Рождение пар фермионов в перемен¬
ном однородном внешнем поле.— ТМФ, 1974, т. 19, № 1, с. 83—96; Cohe¬
rent states for arbitrary Lie group.—Communs Math. Phys., 1972, vol. 26,
p. 222—236; Coherent states and symmetric spaces.— Communs Math.
Phys., 1975, vol. 44, p. 197—210; Обобщенные когерентные состояния и
некоторые их применения.—УФН, 1977, т. 123, вып. 1, с. 23—55; Описа¬
ние обобщенных когерентных состояний, наиболее близких к классиче¬
499
17*
ским.— ЯФ, 1979, т. 29, вып. 6, с. 1688—1696. (См. также [471, с. 321 —
327]); Монастырский М. И., Переломов А, М. Когерентные состояния и
ограниченные однородные области.— Докл. АН СССР, 1972, т. 207, № 6,
с. 1303—1305; Coherent states and symmetric spaces. II.— Ann. Inst. Henri
Poincaré, 1975, vol. 23, N 1, p. 23—48.
437. Новиков Л. Ф. Когерентные состояния на группах Ли и оператор эво¬
люции системы взаимодействующих бозонов и фермионов.— ТМФ, 1977г
т. 30, № 2, с. 218—227.
439. Атакишев H. М., Мир-Касимов P. М., Нагиев Ш. М. Квазипотенциаль-
ные модели релятивистского осциллятора.— ТМФ, 1980, т. 44, № 1,
с. 47—62.
439. Зверев В. В. Унитарная динамическая симметрия в системе сверхизлу-
чающих молекул и классический предел.— ТМФ, 1976, т. 29, № 3, с. 401—
410.
440. Вакарчук И. А. Представление когерентных состояний в теории много¬
бозонных систем.—ТМФ, 1978, т. 35, № 1, с. 76—88.
441. Багров В. Г., Бухбиндер И. Л., Гитман Д. М. Построение когерентных
состояний релятивистских частиц во внешних полях.— В кн.: Теоретико¬
групповые методы в физике. М.: Наука, 1980, т. I, с. 232—239.
442. Иванова Е. В. Применение метода когерентных состояний к задачам из¬
лучения некоторых периодических систем.— Там же, с. 358—362.
443. Агаева Р. Г. Неадиабатическое параметрическое возбуждение систем
типа осциллятор.— Там же, с. 362—368; Non-abiabatic parametric exci¬
tation of oscillator-type systems.— J. Phys. A: Math, and Gen., 1980,
vol. 13, p. 1685—1699.
444. Волошин И. А., Герценштейн M. E. О состояниях с минимальной неоп¬
ределенностью фазы.—ЖЭТФ, 1978, т. 75, вып. 5(11), с. 1584—1588.
445. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1978.
446. Петров Б. Н., Рутковский В. Ю. Двухкратная инвариантность в беспоис-
ковых самонастраивающихся системах автоматического управления.—
Докл. АН СССР, 1965, т. 161, № 3, 4.
447. Пухов Н. М., Чернавский Д. С. О неустойчивости фазы при рассеянии
на случайном потенциале.—ТМФ, 1971, т. 7, № 2, с. 219—229.
448. Чернавская О. Д., Чернавский Д. С. Проблема возрастания энтропии и
устойчивость движений в квантовой механике.— В кн.: Термодинамика
и кинетика биологических процессов. М.: Наука, 1980, с. 28—43.
449. Берман Г. П., Заславский Г. М. Статистическое описание движения час¬
тиц, захваченных нелинейной волной.— ТМФ, 1976, т. 26, № 2, с. 234—
245; Стохастическая неустойчивость нелинейного квантового осциллято¬
ра.— Докл. АН СССР, 1978, т. 240, № 5, с. 1082—1085; Condition of sto-
chasticity in quantum nonlinear systems.— Physica, 1978, vol. 91A,
р. 450—460; Белобров П. И., Берман Г. П., Заславский Г. М., С ливий¬
ский А. П. О стохастическом механизме возбуждения молекул, взаимо¬
действующих с собственным полем излучения.— ЖЭТФ, 1979, т. 76,
вып. 6, с. 1960—1968; Абдуллаев С. С., Заславский Г. М. Нелинейная ди¬
намика лучей в неоднородных средах.—ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 2,
с. 524—536; ЖЭТФ, 1981, т. 81, вып. 2(8), с. 506—516.
450. Зельдович Б. Я. Рассеяние и излучение квантовой системы в сильной
электромагнитной волне.— УФН, 1973, т. ПО, вып. 1, с. 139—151.
451. Рит ус В. И. Квантовые эффекты взаимодействия элементарных частиц с
интенсивным электромагнитным полем.— В кн.: Квантовая электродина¬
мика явлений в интенсивном поле. М.: Наука, 1979, с. 5—151. (Тр.
ФИАН СССР им. Лебедева; Т. 111); Сдвиг массы ускоренного заряда.—
ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 4, с. 1288-1306.
452. Никишов А. Н. Проблемы внешнего поля в квантовой электродинами¬
ке.— В кн.: Квантовая электродинамика явлений в интенсивном поле.
М.: Наука, .1979, с. 152—275. (Тр. ФИАН СССР им. Лебедева; Т. 111).
453. Капица П. С. Параметрические колебания и устойчивость перевернутого
маятника.— ЖЭТФ, 1938, т. 18, вып. 3, с. 837—843.
454. Челомей В. А. Об устойчивости перевернутого маятника при параметриче¬
ских возмущениях.—Докл. АН СССР, 1956, т. 121, № 4, с. 924—9275
500
455. Амирханов И. В., Груша Г. В., Мир-Касимов P. М. Трехмерная форму¬
лировка релятивистской проблемы двух тел в терминах быстрот.— ТМФ,
1977, т. 30, № 3, с. 333-345.
456. Квантовая оптика и квантовая радиофизика: Сб. статей. М.: Мир, 1965;
Delbourgo R. Minimal uncertainty states for the rotation and allied gro¬
ups.—J. Phys. A: Math. Gen, 1977, vol. 10, N 11, p. 1837—1846; Chand P.
Time evolution of coherent states.—Nuovo Cimento, 1979, vol. 50, N 1,
р. 17—20.
457. Шелепин Л. А. Неравновесная статистическая физика и когерентные со¬
стояния.— В кн.: [434, с. 3—13]; Теория когерентных кооперативных явле¬
ний— новая ступень физического знания.— В кн.: Физическая теория. М.:
Наука, 1980, с. 439—461.
458. Широков Ю. М. Аксиоматика гамильтоновых теорий общего вида, вклю¬
чающих классическую и квантовую как частные случаи.— ТМФ, 1975,
т. 25, № 3, с. 307—312; Объединенная алгебра для квантовой и класси¬
ческой механики.— ТМФ, 1976, т. 28, № 3, с. 308—319; Различные кван¬
тования и различные классические пределы квантовой теории.— ТМФ,
1976, т. 29, № 3, с. 309—321; Единый формализм для квантовой и клас¬
сической теорий рассеяния.— ТМФ, 1979, т. 38, № 3, с. 313—320; О до¬
пустимых канонических механиках.— ТМФ, 1977, т. 30, № 1, с. 6—11;
Теория возмущений по постоянной Планка.— ТМФ, 1977, т. 31, № 3,
с. 327—332; Квантовая и классическая механика в представлении фазо¬
вого пространства.—Физика элементар. частиц и атом, ядра, 1979, т. 10,
вып. 1, с. 5—50; Толоконников Г. К. Об ассоциативных гамильтоновых
алгебрах.— ТМФ, 1977, т. 31, № 2, с. 250—255; О гамильтоновых алгеб¬
рах.—ТМФ, 1978, т. 37, № 3, с. 336—346. Антонец М. А. Классический
предел квантования Вейля.— ТМФ, 1979, т. 38, № 3, с. 331—344; О класси¬
ческом пределе в квантовании Вейля.-т- Функцион. анализ и его прил.,
1978, т. 12, вып. 1, с. 62—63; Hepp К. The classical limit for quantum
mechanical correlation functions.— Communs Math. Phys., 1974, vol. 35,
p. 265—277; Grgin E., Petersen A. Duality of observables and generators
in classical and quantum mechanics.— J. Math. Phys., 1974, vol. 15, N 6,
p. 764—769; Algebraic implications composability of physical systems.—
Communs Math. Phys., 1976, vol. 50, p. 177—188.
459. УФН, 1977, t. 122, вып. 4.
460. 50 лет квантовой механики: Сб. статей. М.: Наука, 1979.
461. Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики. М.: Мир,
. 1968.
462. Макки Дж. Лекции по математическим основам квантовой механики. М.:
Мир, 1965.
463. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для урав¬
нений квантовой механики. М.: Наука, 1976; Лере Ж. Лагранжев ана¬
лиз и квантовая механика: Математическая структура, связанная с
асимптотическими разложениями и индексом Маслова. М.: Мир, 1981.
464. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1965; Кванто¬
вание.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1974, т. 38, № 5, с. 1116—1175; Кван¬
тование в комплексных симметрических пространствах.— Изв. АН СССР.
Сер. мат., 1975, т. 39, № 2, с. 381—402.
465. Говорков А. Б. Унитарное квантование.— ТМФ, 1979, т. 41, № 3, с. 318—
329; The principle of the indistinguishability of identical particles and the
Lie algebraic approach to the field quantisation.—J. Phys. A: Math. Gen.,
1980, vol. 13, p. 1673—1684.
466. Маринов M. С., Терентьев M. В. Функциональный интеграл на унитар¬
ной группе.— ЯФ, 1978, т. 28, вып. 5(11), с. 1418—1434.
467. Татарский В. И. Представление решения некоторых дифракционных за¬
дач в форме гауссовских континуальных интегралов.— Докл. АН СССР,
1978, т. 241, № 2, с. 333—336; Сабельфельд К. К., Татарский В. И. О при¬
ближенном вычислении винеровских континуальных интегралов.— Докл.
АН СССР, 1978, т. 243, № 4, с. 905—908; Янович Л. А. Приближенное
вычисление континуальных интегралов Ію гауссовым мерам. Минск: Нау¬
ка и техника, 1976; Гельфанд И. М., Яглом А. М. Интегрирование в
501
функциональных пространствах и его применение в квантовой физике.—
УМН, 1956, т. XI, вып. 1 (67), с. 77—114.
468. Угланов А. В. Об одной конструкции фейнмановского интеграла.— Докл.
АН СССР, 1978, т. 243, № 6, с. 1406—1409.
469. Алимов А. Л. О континуальном интеграле Фейнмана на нелинейном фа¬
зовом пространстве.— ТМФ, 1977, т. 30, № 2, с. 159—167.
470. Шереиіевский И. А. Квантование в кокасательных расслоениях.— Докл.
АН СССР, 1979, т. 249, № 6, с. 1057—1060.
471. Теоретико-групповые методы в физике: (Тр. Междунар. семинара, Зве¬
нигород, 28—30 ноября 1979 г.). М.: Наука, 1980, T. I, II.
472. Додонов В, В., Манько В. И., Скаржинский В. Д. Произвол в выборе
действия и неоднозначность квантования заданных классических уравне¬
ний движения.— В кн.: [471, с. 262—273].
473. Гинзбург В. Л., Тамм И. Е. К теории спина.—ЖЭТФ, 1947, т. 17, вып. 3,
с. 227—237; О релятивистских волновых уравнениях для частиц со спи¬
ном и теории наклонного магнитного ротатора.— В кн.: Проблемы тео¬
ретической физики. М.: Наука, 1972, с. 192—199.
474. Гинзбург В. Л., Манько В. И. Релятивистские волновые уравнения с вну¬
тренними степенями свободы и партоны.— Физика элементар. частиц и
атом, ядра, 1976, т. 7, вып. 1, с. 3—29; Малкин И. А., Манько В. И. Ди¬
намические симметрии и когерентные состояния квантовых систем. М.:
Наука, 1979, с. 238—243.
475. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной гео¬
метрии: Теория совместности систем дифференциальных уравнений в пол¬
ных дифференциалах и в частных производных. М.; Л.: ГИТТЛ, 1948.
476. Аржаных И< С. Поле импульсов. Ташкент: Фан, 1965. _
477. Крейнович В. Я. Вывод уравнения Шредингера из условия масштабной
инвариантности.— ТМФ, 1976, т. 26, № 3, с. 414—418.
478. Никитин А. Г., Фушич В. И. Пуанкаре-инвариантные дифференциальные
уравнения для частиц произвольного спина.— ТМФ, 1978, т. 34, № 3,
с. 319—333; О группе инвариантности квазирелятивистского уравнения
движения.— Докл. АН СССР, 1978, т. 238, № 1, с. 46—49; Уравнения
движения для частиц произвольного спина, инвариантные относительно
группы Галилея.— ТМФ, 1980, т. 44, № 1, с. 34—46; Пуанкаре-инвари¬
антные уравнения движения частиц произвольного спина.— Физика эле¬
ментар. частиц и атом, ядра, 1978, т. 9, вып. 3, с. 501—553; Ваклев И. С.,
Иванов М. И., Николов А. В. Уравнения поля для барионов с произволь¬
ным спином (обобщение уравнения Дирака).—ТМФ, 1979, т. 40, № 1,
с. 64—76; Пестов А. Б. Релятивистские уравнения, определяемые опера¬
торами внешнего дифференцирования и обобщенной дивергенции.— ТМФ,
1978, т. 34, № 1, с. 48—58; Волновое уравнение для дейтрона.— ЯФ, 1979,
т. 30, вып. 2(8), с. 336—338; Желнерович В. А. О тензорном описании
полей полуцелого спина.— Докл. АН СССР, 1979, т. 249, № 1, с. 85—89;
Ставраки Г. Л. О релятивистских уравнениях безмассовых полей.—
В кн.: Проблемы теории гравитации и элементарных частиц. М.: Атом-
издат, 1980, вып. 11, с. 181—187.
479. Vélo G., Zwanzinger D. Propagation and quantization of Rarita — Schwin¬
ger Waves in an external electromagnetic potential.— Phys. Rev., 1969,
vol. 186, N 5, p. 1337—1341; Noncausality and other defects of interaction
Lagrangians for particles with spin one and higher.— Phys. Rev., 1969,
vol. 188, N 5, p. 2218—2222; Acausality and other defects of equations for
interacting higher spin particles.— In: Troubles in the External Field Pro¬
blem for Invariant Wave Equations/Ed. by E. S. Wightman. Tracts in
Mathematics and Natural Sciences. N. Y.: Gordon and Breach, 1971, vol. 4;
Khalil M. A. K. Relativistic Wave equations without Velo-Zwanzinger patho¬
logy.—Progr. Theor. Phys., 1977, vol. 58, N 5, p. 1538—1554; Becker W.
Solutions of higher-spin equations in external electromagnetic plane-wave
fields.—J. Phys. A: Math. Gen., 1976, vol. 9, N 1, p. 149—157; Ma¬
thews P. M. Stationary states of a spin-1 particles in a homogeneous mag¬
netic fields.— Phys. Rev., 1974, vol. 9D, N 2, p. 365—369; Tsai W., Yildiz A.
Motion of charged particles in a homogeneous magnetic fields.— Phys.
502
Rev., 1971, vol. 4D, N 12, p. 3643—3648; Goldman T., Tsai W. Motion of
charged particles in a homogeneous magnetic field. Pt II.—Phys. Rev.,
1971, vol. 4D, N 12, p. 3648; Goldman T., Tsai W., Yildiz A. Consistency
of spin-one theory.— Phys. Rev., 1972, vol. 5D, N 8, p. 1926—1930; Fisk C.,
Tait W. Skew-symmetric tensor-spinor formulation of the spin 3/2 field.—
J. Phys. A: Math. Nucl. Gen., 1973, vol. 6, N 3, p. 383—392; Mainland G.B.,
Sudarshan C. G. Heisenberg equations of motion for the charged spin —h
3/2 field.— Phys. Rev., 1973, vol. 8D, N 4, p. 1088—1090; Seetharaman M.t
Prabhakaran J., Mathews P. M. Rarita-Schwinger particles in homogeneous
magnetic fields, and incosistencies of spin —3/2 theories.—Phys. Rev., 1975,
vol. 12D, N 2, 'p. 458—466; Prabhakaran J., Couindarajan T. R., Seethara¬
man M. Causality of propagation of the Bhabha-Gupta field coupled to
external electromagnetic and gravitational fields.—Nucl. Phys., 1977,
vol. B127, N 2, p. 537—547; Garuccio A., Vigier J. P. Description of spin
in the causal stochastic interpratation of» Proca-Maxwell waves: theory of
Einstein’s «chost waves».— Lett. Nuovo Cimento, 1981, vol. 30, N 2, p. 57—
63; Жулего В. Г., Радюк А. Ф., Федоров Ф. И. Векторный мезон в кван¬
тованном электромагнитном поле.— ТМФ, 1978, т. 35, № 3, с. 401—405.
480. Belifante F. I. A survey of hidden variables theories.— Pergamon Press,
1973; Gadder S. A generalized measure and probability theory for the phy¬
sical, sciences.— In: Foundations of Probability Theory, Statistical Inference
and Statistical Theories of Science/Ed. Harper and Hooker. Dordrecht, Holl¬
and, 1976, vol. 3, p. 121—141; Hockney D. The significance of a hidden
variable proof and the logical interpretation of quantum mechanics.— Int.
J. Theor. Phys., 1978, vol. 17, N 9, p. 685—707; Левин A. X. Структура
квантовой механики и проблема скрытых параметров.— Вопр. философии,
1977, № 2, с. 75—85.
481. Pauri М., Pros péri G. М. Canonical realization of the Poincare group. II.
• Space-time description of two particles interacting at a distance, Newto¬
nian-like equatioss of motion and approximately relativistic Lagrangian for¬
mulation.— J. Math. Phys., 1976, vol. 17, N 8, p. 1468—1495; Bel L., Mar¬
tin J. Approximate solutions of predictive relativistic mechanics for short¬
range scalar interactions.—Phys. Rev., 1974, vol. 9D, N 10, p. 2760—2766;
Foldy L. L., Krajcik R. A. Separable solutions for directly interacting par¬
ticles systems.—Phys. Rev., 1975, vol. 12D, N 6, p. 1700—1710; Lapier-
de R., Mas L. Time-symmetric classical electrodynamics for two particles
up to order 1/c5.— Phys. Rev., 1976, vol. 13D, N 10, p. 2805—2810; Mar¬
tin J., Sanz J. L. No-interaction theorem of Corrie, Jordan and Sudarshan.
Expansions in c-1.— J. Math. Phys., 1978, vol. 19, N 4, p. 780—788; Slow
motion approximation in predictive relativistic mechanics. Pt I. Approxi¬
mated dynamics up to order c-4.—J. Math. Phys., 1978, vol. 19, N 9,
p. 1887—1891; Komar A. Classical formalisms of quantization.—General
Relativity and Gravitation, 1976, vol. 7, N 1, p. 13—20; Space-time orbits
for interacting relativistic particles: syntactic versus semantic observables.—
Phys. Rev., 1978, vol. 18, N 10, p. 3617—3623; Giachetli R., Sorace E.
Nonexistence of two-body interacting Lagrangians invariant under inde¬
pendent reparametrizations of earch world-line.— Lett. Nuovo Cimento,
1979, vol. 26, N 1, p. 1—4; Гайда P. FL, Ключковский Ю. Б., Третях В. И.
Лагранжева классическая релятивистская механика системы прямо взаи¬
модействующих частиц. I, IL— ТМФ, 1980, т. 44, № 2, с. 194—207; Там
же, т. 45, № 2, с. 180—198; Карманов В. А. Как экспериментально об¬
наружить зависимость релятивистской волновой функции дейтрона от
дополнительной переменной.— ЯФ, 1979, т. 29, вып. 5, с. 1179—1190.
482. Новожилов Ю. В. Введение в теорию элементарных частиц. М.: Наука,
1972.
483. Кемпбелл А. Квантовая механика. М.: Мир, 1967.
484. Липкин Г. Квантовая механика (новый подход к некоторым проблемам).
М.: Мир, 1977.
485. Хилл Т. Статистическая механика. М.: Изд-во иностр, лит., 1960.
486. Мигдал А. Б. Качественные методы в квантовой теории. М.: Наука, 1975.
503
487. Боголюбов H. Н., Логунов A. A., Тодоров И. T. Основы аксиоматического
подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969.
488. Марков М. А. Строение материи. М.: Наука, 1976.
489. Нелипа Н. Ф. Физика элементарных частиц. М.: Высш, школа, 1977; Ка¬
либровочные поля и элементарные частицы.— В кн.: Теоретическая фи¬
зика и физика элементарных частиц. Неканонические методы в кванто¬
вой теории поля. М.: ВИНИТИ, 1980, т. 1. (Итоги науки и техники).
490. Фейнман Р. Характер физических законов. М.: Мир, 1968.
491. Тирринг Г. Введение в квантовую теорию. М.: Изд-во иностр, лит., 1962.
492. Гордеев А. Н. Описание электромагнитного взаимодействия релятивист¬
ских частиц с помощью единого лабораторного времени.— ТМФ, 1978,
т. 36, № 1, с. 53—63. ,
493. Rohrlich F. Relativistic Hamiltonian dynamics. I. Classical mechanics.—
Ann. Phys., 1979, vol. 117, N 1, p. 292—322.
494. Takabayasi T., Kojima S. Relativistic mechanics of interacting particles
and multi-local theory: Pt. I, II.— Progr. Theor. Phys., 1977, vol. 57, N 6,
р. 2127—2143; vol. 58, N 4, p. 1299—1315.
495. Клепиков И. П., Шатний А. Н. О формулировке релятивистской механики
систем взаимодействующих частиц.— ТМФ, 1981, т. 46, № 1, с. 50—63;
О ковариантном отделении переменных центра инерции системы реляти¬
вистских частиц.— ЯФ, 1980, т. 31, вып. 3, с. 841—844.
496. Соколов С. Н. Свойства разделимости и инвариантности в нерелятивист¬
ской и релятивистской квантовой механике.— ТМФ, 1975, т. 23, № 3,
с. 355—365; Релятивистское сложение прямы* взаимодействий в точеч¬
ной форме динамики.— ТМФ, 1978, т. 36, № 2, с. 193—207; Соколов С. Н.,
Шатний А. Н. Физическая эквивалентность трех форм релятивистской ди¬
намики и сложение взаимодействий во фронтовой и мгновенной фор¬
мах.—ТМФ, 1978, т. 37, № 3, с. 291—304.
497. Shannon С. Е., Weaver W. The mathematical theory of communication.
Urbana: Univ. Illinois Press, 1949.
498. Урсул А. Д. Информация: Методологические аспекты. M.: Наука, 1971;
Проблемы информации в современной науке: Философские очерки. М.:
Наука, 1975; Синтез знания и проблема управления. М.: Наука, 1978.
499. Тюхтин В. С. Отражение, системы, кибернетика. М.: Наука, 1972.
500. Гришкин И. И. Понятие информации: Логико-методологический аспект.
М.: Наука, 1973.
501. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: Изд-во
иностр, лит., 1963.
502. Колмогоров А. Н. Три подхода к определению понятия «количества ин¬
формации».— ППИ, 1965, т. 1, вып. 1, с. 3—11; К логическим основам
теории информации и теории вероятностей.— ППИ, 1969, т. 5, вып. 3,
с. 3—7; Теория передачи информации.— В кн.: Сессия АН СССР по на¬
учным проблемам автоматизации производства 15—20 октября 1956 г.:
Пленарные доклады. М.: Изд-во АН СССР, 1957, с. 66—99.
503. Юдин Д. Б., Горяшко А. П. Теория сложности и задачи управления.—
Изв. АН СССР. ТК, 1974, № 3; 1975, № 2; 1976, № 4.
504. Петров Б. Н., Уланов Г. М., Ульянов С. В. Ценность информации: Семио¬
тические аспекты информационной теории управления и кибернетики.—
В кн.: Техн, кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1973, т. 5, с. 128—365. (Итоги
науки и техники); Динамические системы со случайной и нечеткой струк¬
турами.— В кн.: Техн, кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1979, т. 11, с. 3—76.
(Итоги наѵки и техники).
505. Звонкий А. К., Левин Л. А. Сложность конечных объектов и обоснование
понятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов.—
УМН, 1970, т. 25, вып. 6, с. 85-128.
506. Shnorr P. К. Zufâlligkçit und Wahrscheinlichkeit. В.: Spring. Verl., 1970.
507. Проблема математической логики: Сб. статей. М.: Мир, 1970.
508. Гач П. О сложности случайных последовательностей: Препринт. Буда¬
пешт, 1971; О симметрии алгоритмической информации.— Докл. АН
СССР, 1974, т. 218, № 6, с. -1265—1267.
504
509. Левин Л. А. Законы сохранения (невозрастания) информации и вопросы
обоснования теории вероятностей —ППИ, 1974, т. 10, вып. 3, с. 30—35;
О принципе сохранения информации в интуиционистской математике.—
Докл. АН СССР, 1976, т. 227, № 6, с. 1293—1296; О различных мерах
сложности конечных объектов: (Аксиоматическое описание).— Докл. АН
СССР, 1976, т. 227, № 4, с. 804—807.
510. Borodin A. Computational complexity: theory and practice. Currents in the
theory of computation/Ed. Aho. N. Y.: Prentice-Hall, 1973.
511. Сложность алгоритмов и вычислений: Сб. статей. М.: Мир, 1974.
512. Chaitin G. J. Information-theoretic computational complexity.—IEEE Trans,
on Inform. Theory, 1974, vol. 20, N 1, p. 10—15; A theory of program size
formally identical to information theory.—J. Assoc. Comput. Mach., 1975,
vol. 22, N 3, p. 329—340.
513. Брудно А. А. Топологическая энтропия и сложность по А. Н. Колмого¬
рову.— УМН, 1974, т. 24, вып. 6, с. 157—158; О сложности траекторий
динамической системы.— УМН, 1978, 33, вып. 1, с. 207—208; Энтро¬
пия и алгоритмическая сложность траекторий динамических систем.—
Препринт. М.: ВНИИ системных исследований, 1980.
514. Гладкие динамические системы: Сб. статей. М.: Мир, 1978.
515. Боуэн Р. Методы символической динамики. М.: Мир, 1979.
516. Aczel J., Daroczy Z. On measures of information and their characterization.
N. Y.: Acad, press, 1975; Matai A., Rathie P. Basic concepts in information
theory and statistics. N. Y.: John Wiley, 1975.
517. Csiszar I. Information measures: A critical survey. Preprint. Budapest,
1974, N 98.
518. Петров Б. H., Уланов Г. M., Ульянов С. В., Хазен Э. М. Ценность ин¬
формации: Семиотические аспекты информационной теории управления
и кибернетики.— В кн.: Техн, кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1975, т. 6, кн. 1,
с. 63—365. (Итоги науки и техники).
519. Хазен Э. М. Методы оптимальных статистических решений и задачи оп¬
тимального уравнения. М.: Сов. радир, 1968; Информационные оценки
для риска в задачах последовательного анализа.— Изв. АН СССР. ТК,
1969, № 6, с. 38—46; Определение потенциальной точности решения не¬
которых задач распознавания и оценивания.— Изв. АН СССР. ТК, 1971,
№ 3, с. 184—192; Информационные оценки для возрастания риска в за¬
дачах последовательного анализа и оптимального управления.— В кн.:
Всесоюз. совещ. по информ, мет. управления и измерений. Владивосток:
Изд-во ДВНЦ АН СССР, 1972, кн. 1, с. 214—222.
520. Renyi A. Some fundamental problems on information theory.— Magyar tud.
akàd. Mat. fiz. oszt kôzl., 1960, k. 10, old. 251—282; On some problems
of statistics from the point of view of information theory.— In: Proc, of
Colloq. on Inform. Theory, Debrecen (Hungary), 1967, old. 343—357.
521. Perez A. Information, e-sufficiency and data reduction problems.—Kyber-
netika, 1965, roc. 1, N 4, s. 297—323; Information-theoretic risk estimations
in statistical decision.— Kybernetika, 1967, roc. 3, N 1, s. 1—21; Risk esti¬
mates in terms of generalized f-entropies.— In: Proc, of Colloq. on Inform.
' Theory, Debresen (Hungary), 1967, old. 299—315. ’
522. Vajda I. vMivergence and generalized Fisher’s information.— In: Trans¬
actions of the 6-th Prague Conf, on Inform. Theory and Statistic. Decision,
Prague 1971. N. Y.; L.: Acad. Press, 1973, p. 873—886; On the amount
of information contained in a sequence of independent observations.— Ky¬
bernetika, 1970, roë. 4, N 5, s. 306—323; Vajda L, Eckschlager K. Analysis
of measurement information.— Ibid., 1980, roc. 16, N 2, s. 120—144.
523. Уланов Г. M., Ульяндв С. В., Хазен Э. М. Информационные оценки для
риска в задачах обработки больших массивов информации.— Докл. АН
СССР, 1973, т. 210, № 2, с. 43—45.
524. Бараш М. М., Фридман В. Г. Оценка качества субоптимальных алгорит¬
мов управления объектами с неполной информацией.— Изв. АН СССР.
ТК, 1976, № 2, с. 23—29.
525. Бараш М. М., Мееров М. В., Фридман В. Г. Один метод приближенного
505
решения задач дуального управления.— В кн.: Системы многосвязного
управления. М.: Наука, 1977, с. 15—20.
526. Канканян Л. Г. Информационные оценки для дисперсии риска и вероят¬
ностей ложных решений в задачах оптимальных статистических реше¬
ний:—Изв. АН СССР. ТК, 1977, № 4, с. 181—1-85.
527. Канканян Л. Г., Хазен Э. М. Информационные оценки для возрастания
риска в задачах об оптимальной остановке наблюдений.— Изв. АН СССР.
ТК, J.978, № 2, с. 161—174.
528. Petrov В. N., Dob rushin R. L., Pinsker M. S., Ulanov G. M., Uljanov S. V.
On some interrelations between, the theories of information and control.—
Probl. Control. Inform. Theory, 1976, vol. 5, N 1, p. 31—38.
529. Зигангиров К. Ш. Методы последовательного декодирования. М.: Связь,
1974.
530. Ибрагимов И. А., Хасъминский Р. 3. Асимптотическая теория оценивания.
М.: Наука, 1979; Передача слабого сигнала по каналу без памяти.— ППИ,
1972, т. 8, вып. 4, с. 28—39; Об оценке плотности распределения.— В кн.:.
Исследования по математической статистике. IV. М.: Наука, 1980, с. 61—
85 (Зап. науч, семинаров ЛОМИ; Т. 98). On the information in a sample
about a parameter.— In: Proc. 2-nd Intern. Symp. on Inform. Theory, Thah-
kadsor, 1971. Bp., 1973, old. 295—309; Об информационных неравенствах
и суперэффективных оценках — ППИ, 1973, т. 9, вып. 3, с. 53—67; То
же.—Докл. АН СССР, 1972, т. 204, № 6, с. 1300—1302.
531. Jaynes Е. Т. Information theory and statistical mechanics.^- In: Statistical
Phys. (Brandeis Lectures), 1963, vol. 3, p. 160—176; Where do we stand
on maximum entropy? — In: The Maximum Entropy Formalism. Cambrid¬
ge (Mass.); MIT Press, 1979, p. 15—67.
532. Зубарев Д. И. Неравновесная статистическая термодинамика. M.: Hay-
ка, 1971. .
533. Синай Я, Г. Автомодельные распределения вероятностей.— Теория веро¬
ятностей и ее применения, 1976, т. 21, вып. 1, с. 63—80; Теория фазовых
переходов: строгие результаты. М.: Наука, 1980; Ст'охастичность дина¬
мических систем.— В кн.: Нелинейные волны. М.: Наука, 1979, с. 192—
212; Случайность неслучайного.—Природа, 1981, № 3, с. 72—80; Корн-
фельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. М.: Наука,
1980.
534. Поплавский Р. 77. Термодинамические модели информационных процес¬
сов.— УФН, 1975, т. 115, вып. 3, с. 465—501; Об энергетически оптималь¬
ных каналах и эффективном кодировании.— Изв. АН СССР. ТК, 1979,
№ 4, с. 66—76; Термодинамика информационных процессов. М.: Наука,
1981.
535. Elsasser R. S. Quantum measurement and statistical method.— Phys. Rev.,
1937, vol. 52, N 9, p. 987—1001; The physical foundation of biology: An
analytical study. L., 1958.
536. Szillard L. Ober die Entropievermindlung in einem Thermodynamischen
System bei einbegriffen intelligenter Wessen.—Ztschr. Phys., 1929, Bd. 53,
H. 6, S. 840—846.
537. Demers P. Les demons de Maxwell et le second principe de la thermody¬
namique.—Canad. J. Res., 1944, vol. A22, N 1, p. 27—41; Second law and
the quantum theory.— Canad. J. Res., 1945, vol. 23, N 1, p. 47—56.
538. Rothstein T. Information, measurements and quantum mechanics.— Sci¬
ence, 1951, vol. 114, N 1, p. 171—178; Information and thermodynamics.—
Phys. Rev., 1952, vol. 85, N 1, p. 135—142.
539. Гельфер Я- M., Любоішщ В. Л., Подгорецкий М. И. Парадокс Гиббса и
тождественность частиц в квантовой механике. М.: Наука, 1975.
540. Хартли Р. Передача информации.— В кн.: Теория информации и ее при-
ложения/Под ред. А. А. Харкевича. М.: Физматгиз, 1959, с. 5—35.
541. Fisher R. А. On the mathematical foundations of theoretical statistics.—
Phil. Trans. Roy. Soc. London A, 1922, p. 122—138.
542. Хинчин А. Я. Понятие энтропии в теории вероятностей.— УМН, 1953,
т. 8, вып. 3, с. 3—20; Об основных теоремах теории информации.— УМН,
1956, т. 11, вып. 1, с. 17—75.
506
543. Пинскер М. С. Информация и информационная устойчивость случайных
величин и процессов.— В кн.: Проблемы передачи информации. М.: Изд-во
АН СССР, 1960, вып. 7; Вычисление скорости создания сообщений ста¬
ционарным случайным процессом и пропускной способности стационар¬
ного канала —Докл. АН СССР, 1956, т. 111, № 4, с. 753—756; Энтропия,
скорость создания энтропии и энтропийная устойчивость гауссовских слу¬
чайных величин и процессов.—Докл. АН СССР, 1960, т. 133, № 3, с. 863—
867; Информация, содержащаяся в наблюдениях, и асимптотически до¬
статочные статистики.— ППИ, 1972, т. 8, вып. 1, с. 45—61.
544. Добрушин Р. Л. Общая формулировка основной теоремы Шеннона в тео¬
рии информации — УМН, 1959, т. 14, вып. 6, с. 3—104.
545. Гельфанд И. М., Яглом А. М: О вычислении количества информации о
случайной функции, содержащемся в другой такой функции.— УМН,
1957, т. 12, вып. 3, с. 3—52; Гельфанд И. И., Колмогоров А. Н., Яг-
лом А. М. К общему определению количества информации.— Докл. АН
СССР, 1956, т. 111, № 4, с. 745—748.
546. Файнстейн А. Основы теории информации. М.: Изд-во иностр, лит., 1960.
547. Фано Р. Передача информации: Статистическая теория связи. М.: Мир,
1965.
548. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь.— М.: Сов. радио,
1974.
549. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967.
550. Гольдман С. Теория информации. М.: Изд-во иностр, лит., 1957.
551. Бриллюэн Л. Наука и теория информации. М.: Изд-во иностр, лит., 1960.
552. Турин Дж. Лекции о цифровой связи. М.: Мир, 1972.
553. Сакрисон Д. Лекции об аналоговой связи. М.: Мир, 1974.
554. Berger Т. Rate distortion theory. A mathematical basis for data compres¬
sion. Englewood Cliffs (N. J.); Prentice-Hall, 1971.
555. Барра Ж-P. Основные понятия математической статистики. М.: Мир, 1974.
556. Gaines В. R. Fuzzy and probability uncertainty logics.— Inform, and Con¬
trol., 1978, vol. 38, N 2, p. 154—169.
557. Rescher N. Many-valued logic. N. Y.: McGraw Hilt 1969.
558. Birkhoff G. Lattice theory.—Amer. Math. Soc. Me. Providence, R. I., 1948.
559. Гоппа В. Д. Информация слов (начальное приближение—информация
без памяти).— ППИ, 1978, т. 14, вып. 3, с. 3—17; Невероятностная вза¬
имная информация без памяти.— Проблемы управления и теории инфор¬
мации, 1975, т. 4, № 2, с. 97—102. -
560. Шиханович И. М. Методы современной математики. М.: Наука, 1965.
561. Фитингоф Б. И. Оптимальное кодирование изменяющейся и неизвестной
статистики сообщений.— ППИ, 1966, т. 2, вып. 2, с. 3—11; Сжатие дис¬
кретной информации.— ППИ, 1967, т. 3, вып. 3, с. 26—36; Универсаль¬
ные способы описания информации с кодированием блоков разной длины
в блоки одинаковой длины.— В кн.: Теоретические основы информации:
Междунар. симпоз. стран-членов СЭВ. М.: ВИНИТИ, 1970, с. 37—42.
562. Вагапов А. М., Косенко Г. Г. Общий подход к мерам радиолокационной
информации Котельникова, Шеннона и Кульбака.— РЭ, 1972, т. 17, № 7,
с. 1524—1526.
563. Каган А. М. К теории информационного количества Фишера.— Докл. АН
СССР, 1963, т. 151, № 2, с. 277—278; Некоторые статистические задачи,
относящиеся к одному типу наблюдений.— Вести. ЛГУ, 1963, № 19,
с. 142—143; Фишеровская информация, содержащаяся в конечном линей¬
ном пространстве, и корректный вариант метода моментов.— ППИ, 1976,
т. 12, вып. 2, с. 20—42; On measure of divergence between two scalar pro¬
ducts and its statistical application.—Sankhya. Ser. A, 1975, vol. 37, N 4,
p. 211—228. . .
564. Герлейн О. В., Пинкус Р. Критерии согласия, основанные на одной мере
дивергенции между двумя скалярными произведениями.— Теория вероят¬
ностей и ее применения, 1978, т. 23, вып. 2, с. 263—273.
565. Мешалкин Л. Д., Сердобольский В. И. Ошибки при классификации мно¬
гомерных наблюдений.— Теория вероятностей и ее применения, 1978,
т. 23, вып. 4, с. 772—781. ‘
507
566. Володин И. И. О числе наблюдений, необходимых для различения двух
близких гипотез.— Теория вероятностей и ее применения, 1967, т. 12,
вып. 3, с. 575—582; Оценки необходимого объема наблюдений в задачах
статистической классификации. T. II.— Теория вероятностей и ее приме¬
нения, 1977, т. 22, вып. 2, с. 347—357; т. 22, вып. 4, с. 749—765; Нижние
границы для среднего объема выборки и эффективность процедур стати¬
стического вывода.— Теория вероятностей и ее применения, 1979, т. 24,
вып. 1, с. 119—129; Нижние границы для среднего объема выборки в
критериях согласия и однородности.— Теория вероятностей и ее приме¬
нения, 1979, т. 24, вып. 3, с. 637—645.
567. Сердобольский В. И. Об ошибках классификации по выборочным дан¬
ным.—Теория вероятностей и ее применения, 1979, т. 24, вып. 1, с. 130—
143; Влияние информационного шума на распознавание.— В кн.: Тез.
докл. 5-го Междунар. симпоз. по теории информации. М.: Наука, 1979,
ч. 2 ,с. 129—132; Дискриминантный анализ наблюдений большой размер¬
ности. М.: Препринт, 1979.
568. Амосов А. А., Колпаков В. В. Скалярно-матричное дифференцирование
и его приложения к конструктивным задачам теории связи.— ППИ, 1972,
т. 8, вып. 1, с. 3—15; Информационные меры различия для случайных
величин и процессов.— В кн.: Тез. докл. 4-го Междунар. симпоз. по тео¬
рии информации (г. Ленинград). М.: Наука, 1976, ч. 1, с. 14—16; Упо¬
рядочение информационных критериев различия вероятностных распре¬
делений.— ППИ, 1976, т. 12, вып. 4, с. 5—9.
569. Линдли Д. В. О мере информации, даваемой экспериментом.— Матема¬
тика, 1959, т. 3, № 3, с. 87—104.
570. Сакагучи М. Заметки по статистическим приложениям теории информа¬
ции. III.—Там же, 1959, т. 3, № 3, с. 105—113.
571. Петров Б. Н., Уланов Г. М., Ульянов С. В. Ценность информации: Се¬
миотические аспекты информационной теории управления.— В кн.: Техн,
кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1973, т. 5, с. 63—376 (Итоги науки и техники).
572. Плетнев И. Л., Рембеза А. И., Соколов Ю. А., Чалый-Прилуцкий В. А.
Эффективность и надежность сложных систем. М.: Машиностроение, 1977.
573. Рао С. Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Нау¬
ка, 1968.
574. Невелъсон М. Б., Хасьминский Р. 3. Стохастическая аппроксимация и
рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1972.
575. Трищенко Е. К. Об оценке среднего в многомерной нормальной совокуп¬
ности при разрывной априорной плотности.— ППИ, 1979, т. 15, вып. 1,
с. 56—60; Асимптотическое поведение риска байесовской оценки для мно¬
гомерных гауссовских наблюдений.— В кн.: Методы передачи и обработ¬
ки информации. М.: Наука, 1980, с. 73—80. ,
576. Каган А. М., Линник Ю. В., Рао С. Р. Характеризационные задачи ма¬
тематической статистики. М.: Наука, 1972.
577. Sorenson H., Alspach D. Recursive bayesian estimation using gaussian
sums.—Automatica, 1971, vol. 7, N 4, p. 465—480.
578. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Изд-во иностр, лит.,
1948.
579. Финтушал С. М. Представление фишеровской информации в терминах
моментов распределений.— ППИ, 1975, т. 11, вып. 3, с. 95—97.
580. Ефроймович С. Ю. Локальная асимптотическая нормальность для зави¬
симых наблюдений.— ППИ, 1978, т. 14, вып. 3, 73—84; Информация, со¬
держащаяся в последовательности наблюдений.— ППИ, 1979, т. 15,
вып. 3, с. 24—39; Ефроймович С. Ю., Пинскер М. С. К вопросу об асимп¬
тотически достаточных статистиках.— В кн.: Методы передачи и обра¬
ботки информации. М.: Наука, 1980, с. 55—73.
581. Левит Б. Я., Хасьминский Р. 3. Последовательное оценивание парамет¬
ра цепи Маркова.— Теория вероятностей и ее применения, 1973, т. 18,
вып. 3, с. 571—582.
582. Ширяев А. Н., Липцер Р. Ш. Статистика случайных процессов: Нелиней¬
ная фильтрация и смежные вопросы. М.: Наука, 1974.
583. Цыпкин Я. 3., Поляк Б. Т. Адаптивные алгоритмы оценивания.— АиТ,
508
1979, № 3, с. 71—84; Стабильное оценивание в условиях неполной ин¬
формации.— В кн.: Вопросы кибернетики. Адаптивные системы управле¬
ния. М.: Науч, совет по кибернетике АН СССР, 1977, с. 6—15; Оптималь¬
ные псевдоградиентные алгоритмы адаптации.— АиТ, 1980, № 8, с. 74—
84; Робастные псевдоградиентные алгоритмы адаптации.— АиТ, 1980,
№ 10, с. 91—97; Robust identification.— Automatica, 1980, vol. 16, N 1,
p. 5«5—64.
584. Ершов А. А. Стабильные методы оценки параметров: (Обзор).—АиТ,
1978, № 8, с. 66—100; Красненкер В. М. Стабильные методы обнаруже¬
ния сигналов на фоне помех.— АиТ, 1980, № 5, с. 65—80.
585. Blachman N. М. The convolution inequality for entropy process powers.—
IEEE Trans. Inform. Theory, 1965, vol. 11, N 2, p. 267—271.
586. Hajek J. Local asymptotic minimax and admissibility in estimation.— In:
Proc. 6-th Berkeley Symp. Math. Stat, and Probl. Berkeley; Los Angeles,
1972, vol. 1, p. 175—194. .
587. Андреев H. И. Смещенные оценки параметров процессов управления.—
АиТ, 1977, №9, с. 30—44.
588. Хасьминский Р. 3., Шевердяев А. Ю. Об одном классе оценок парамет¬
ра сдвига.— ППИ, 1977, т. 13, вып. 2, с. 55—61.
589. Kailath Т. The divergence and Bhattacharrya distance in signal selecti¬
on.— IEEE Trans. Commun. Technol., 1967, vol. 15, N 1, p. 52—60.
590. Кошевник Ю. А., Левит Б. Я. О непараметрическом аналоге информа¬
ционной матрицы.— Теория вероятностей и ее применения, 1976, т. 21,
вып. 4, с. 764—774.
591. Левит Б. Я. Бесконечномерные информационные неравенства.— Теория
вероятностей и ее применения, 1978, т. 23, вып. 2, с. 388—394; Исполь¬
зование обобщенных байесовских оценок при ’ передаче информации по
каналам с обратной связью.— ППИ, 1972, т. 8, вып. 3, с. 9—20; О пове¬
дении обобщенных байесовских оценбк в случае марковских наблюде¬
ний.— Теория вероятностей и ее применения, 1974, т. 19, вып. 2, с. 340—
354.
592. Невельсон М. Б. Об одной информационной нижней границе.— ППИ,
1977, т. 13, вып. 3, с. 26—31.
593. Wolfowitz J. Asymptotic efficiency of the maximum likelihood estimator.—
Теория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, вып. 2, с. 267—281;
Maximum probability estimators in the classical case and in the «almost
smooth» case.— Теория вероятностей и ее применения, 1975, т. 20, вып. 2,
с. 372—379.
594. Клебанов Л. Б., Меламед И. А. Несколько замечаний о фишеровской ин¬
формации при наличии мешающих параметров.— В кн.: Тез. докл.
IV Междунар. симпоз. по теории информации. М.; Л.: Наука, 1976, т. 1,
с. 81—82.
595. Бакут П. А., Логинов В. П., Шумилов Ю. П. Методы определения границ
точности в задачах оценивания неизвестных параметров. I, II.— Заруб,
радиоэлектроника, 1978, № 5, с. 3—36; № 6, с. 5—28.
596. Зяблое В. В., Самаров А. И., Хасьминский Р. 3. Задачи оценивания при
ограниченных ресурсах статистик.— ППИ, 1977, т. 13, вып. 3, с. 32—44;
Самаров А. И., Хасьминский Р. 3. Оценивание с помощью статистик,
принимающих конечное число значений.— ППИ, 1977, т. 13, вып. 4,
с. 22—28. .
597. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио¬
нального анализа. М.: Наука, 1976.
598. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969.
599. Bernardo T. М. The use of information in the desigh and analysis of sci¬
entific experimentation: Thés. L.: Univ., 1975.
600. Information and Systems.—In: Proc, of the IFAC Workshop Compieque,
France 23—27 October, 1977/Ed. B. du Buson. N. Y.; L.: Pergamon Press.
1979.
601. Siforov V. I., Zinoviev V. A., Suchov Yu. M. On some problems in the in
formation theory and related areas.— Probl. of Control and Inform. Theory,
1978, vol. 7, N 6, p. 407—427.
50Ў
602. Bobrovsky B. Z., Zakat M. A lower bound on the estimation error for cer¬
tain diffussion processes.— IEEE Trans. Inform. Theory, 1976, vol. 22, N 1,
p. 26—34. *
603. Segal A. Lower estimation error bounds for gaussian-poisson processes.—
Leet. Notes in Control and Inform. Sci., 1979, vol. 16, p. 559—565.
604. Голубев Г. К-, Хасьминский P. 3. Об оценивании с помощью конечного
числа линейных статистик.— Теория вероятностей и ее применения, 1979,
т. 24, вып. 1, с. 234—235.
605. Бурнашев М. В. Асимптотические разложения функций распределения и
моментов оценок параметра сигнала в белом гауссовском шуме.— В кн.:
Тез. докл. 5-го Междунар. симпоз. по теории информации. М.: Наука,
1979, ч.. I, с. 68—70; Исследование свойств статистических оценок в схе¬
ме независимых наблюдений.— Теория вероятностей и ее применения,
1979, т. 24, вып. 1, с. 229—230; Асимптотические разложения интеграль¬
ного риска статистических оценок параметра сдвига в схеме независи¬
мых наблюдений.— Докл. АН СССР, 1979, т. 247, № 4, с. 783—785; Ис¬
следование свойств второго порядка байесовских оценок параметра сиг¬
нала в белом гауссовском шуме.— ППИ, 1981, т. 17, вып. 2, с. 57—68.
606. Бурнашев М. В., Кутоянц Ю. А. Асимптотические разложения, связан¬
ные с оценками параметра сигнала в гауссовском шуме.— В кн.: Тез.
докл. 5-го Междунар. симпоз. по теории информации. М.: Наука, 1979,
ч. I, с. 71—73.
607. Дьячков А. Г. О детектирующих матрицах.— В кн.: Тез. докл. 4-го Меж¬
дунар. симпоз. по теории информации. М.: Наука, 1976, ч. I, с. 46—49.
608. Blackwell D. The entropy of functions of finite-state Markov chains.— In:
Trans, of the I Prague Conf, on Inform. Theory. Prague, 1957, s. 13—20.
Рус. пер.: Блекуэлл Д. Энтропия функций на цепи Маркова с конечным
числом состояний.— Математика, 1959, т. 3, № 3, с. 143—150.
508. Кавалеров Г. И., Мандельштам С. М. Введение в информационную тео¬
рию измерений. М.: Энергия, 1974.
609. Глонти О. А. О взаимной информации сигналов в случае передачи по
каналу с обратной «шумящей» связью.— Теория вероятностей и ее при¬
менения, 1978, т. 23, вып. 2, с. 395—397.
610. Campbell L. L. Characterization of entropy of probability distributions on
the real line.—Inform, and Control., 1972, vol. 21, N 3, p. 329—338.
611. Câcs P., Kôrner J. Common information is far less than mutual informa¬
tion.—Probl. of Control and Inform. Theory 1973, vol. 2, N 2, p. 149—162.
612. Wyner A. D. A theorem on the entropy of certain binary sequence and appli¬
cations. IL—IEEE Trans. Inform. Theory, 1973, vol. 19, N 6, p. 772—777.
613. Буканов H. П. Информационный критерий оптимальности систем автома¬
тического управления.— АиТ, 1972, № 2, с. 57—62.
614. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967.
615. Прелое В. В. Об асимптотике пропускной способности непрерывного кана¬
ла с неаддитивным большим шумом.— ППИ, 1972, т. 8, вып. 4, с. 22—27;
Исследование асимптотики пропускной способности непрерывного канала
с большим гладким шумом.— ППИ, 1980, т. 16, вып. 2, с. 3—17.
616. Burnashev M. V., Chasminsky R. Z. Asymptotic expressions for information
in discontinuons-noise density channel.— Probl. Control and Inform. Theo¬
ry, 1973, vol. 2, N 2, p. 1—15.
617. Тараскин А. Ф. Связь шенноновской и фишеровской информаций в диффу¬
зионном процессе.— ППИ, 1979, т. 15, вып. 1, с. 14—26.
618. Гихман И. И., Скороход А. В. О плотностях вероятностных мер в функцио¬
нальных пространствах.— УМН, 1966, т. 21, вып. 6, с. 83—152.
619. Петров Б. Н., Уланов Г, М., Ульянов С. В. Информативность признаков и
сжатие информационных процессов управления.— В кн.: Техн, кибернети¬
ка. М.: ВИНИТИ, 1980, т. 13, с. 3—120. (Итоги науки и техники).
620. Колмогоров А. Н., Тихомиров В. М. е-энтропия и е-емкость множеств в
функциональных пространствах.— УМН, 1959, т. 14, вып. 2, с. 3—86.
621. Пинскер М. С. Гауссовские источники.— В кн.: Проблемы передачи инфор¬
мации. М.: Изд-во АН СССР, 1963, вып. 14, с. 48—103.
510
622. Posner E. C., Rodemich E. R., Rumsey H., Jr. Epsilon entropy of gaussian
processes.—Ann. Math. Statist., 1969, vol. 40, N 4, p. 1272—1296.
623. Binia J., Zakai M., Ziv J. On the e-entropy and the rate-distortion function
of certain non-gaussian processes.— IEEE Trans. Inform. Theory, 1974, vol.
20, N 4, p. 517—524; Bounds of the e-entropy of Wiener and 7?C-processes.—
Ibid., 1973, vol. 19, N 3, p. 359—362.
624. Binia J. On the e-entrppy of certain gaussian processes.— Ibid., 1974, vol. 20,
N 2, p. 190—196.
625. Горбунов A. К., Пинскер M. С. Эпсилон-энтропия и скорость создания со¬
общений без предвосхищения л с прогнозом.—ППИ, 1973, т. 9, вып. 3,
с. 12—21; Эпсилон-энтропия с прогнозом гауссовского сообщения и гаус¬
совского источника.— ППИ, 1974, т. 10, вып. 2, с. 5—25; Эпсилон-энтропия
без предвосхищения и с прогнозом.— В кн.: Информационные методы в
системах управления, измерений и контроля. Владивосток: ДВНЦ АН
СССР, 1976, т. I, с. 5—14. .
626. Горбунов А. К. Скорость создания сообщений стационарным источником
непрерывного аргумента без предвосхищения и с прогнозом.— В кн.: Тр.
МФТИ. Сер. РЭ. М.: Изд-во МФТИ, 1973, с. 45—54; Кодирование источ¬
ника без предвосхищения и с прогнозом: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат.
наук. хМ.: МФТИ, 1979.
627. Брагинский В. Б., Митрофанов В. П., Панов В. И. Системы с малой дис¬
сипацией. М.: Наука, 1981; Чельцов В. Ф. Измерение сверхмалых переме¬
щений.—Природа, 1981, № 12, с. 95—96. '
628. Киржниц Д. А., Фролов В. П. Черные дыры, термодинамика, информа¬
ция.— Природа, 1981, № 11, с. 2—14.
629. Leung-Yan-Cheang Sik К., Cover Т. Some equivalence between Shannon
entropy and Kolmogorov entropy.— IEEE Trans. Inform. Theory, 1978, vol.
24, N 3, p. 331—338.
630. Lempel A., Ziv J. On the complexity of an .individual sequence.— Ibid., 1976,
vol. 22, N 1, p. 75—81; A universal algorithm for sequential data-compressi7
on.— Ibid., 1977, vol. 23, N 3, p. 337—343.
631. Heim R. On the algorithmic foundation of information theory.— Ibid., 1979,
vol. 25, N 5, p. 557—566.
632. Maciejowski J. M. Model discrimination using an algorithmic information
criterion.—Automatica, 1979, vol. 15, N 5, p. 579—593»
633. Шоломов Л. А. Информационные свойства функционалов сложности для
систем недоопределенных булевых функций.— В кн.: Проблемы кибернети¬
ки. М.: Наука, 1978, т. 34, с. 133—150; Основы теории дискретных логиче¬
ских и вычислительных устройств. М.: Наука, 1980.
634. Pippinger N. Information theory and the complexity of Boolean functions.—
Math. Syst. Theory, 1977, vol. 10, N 6, p. 631—648.
635. Горяшко А. П., Немировский А. С. Оценки информационной стоимости
вычисления булевых функций в комбинационных схемах.— ППИ, 1978,
т. 14, вып. 1, с. 38—42.
636. Уланов Г. М., Кочубиевский И. Д. Информационные условия инвариант¬
ности линейных систем автоматического управления.— Докл. АН СССР,
1963, т. 148, № 6, с. 1268—1270.
637. Петров Б. Н. Принцип инвариантности при расчете линейных и нелиней¬
ных систем.— В кн.: Тр. I конгр. ИФАК. М.: Изд-во АН СССР, 1961; Из¬
бранные труды. М.: Наука, 1982.
638. Tomita Y., Ohmatsu S., Soeda T. An application of the information theory
to estimation problems.—Inform, and Control, 1976, vol. 32, N 2, p. 101 —
1 fl; Omatsu Kikuchi A.,.Miyashita T., Soeda T. Оптимальная фильтра¬
ция, основанная на мере взаимной информации.— Trans. Inst. Electron,
and Comm. Eng. Jap., 1978, vol. A61, N 9, p. 820—827 (on Jap.); Oe S.,
Tomita Y., Omatsu S., Soeda T. On the information structure on the optimal
smoothing estimator.— Bull. Fac. Eng. Tokushima Univ., 1979, vol. 16,
p. 61—72.
639. Ishii N.f Iwata A., Suzumura N. Evaluation of an autoregressive process by
information measure.—Intern. J. Syst. Sci., 1978, vol. 9, N 7, p. 743—751.
640. Городецкий А. Я. Текущее количество информации для непрерывной оцен-
511
ки в задачах нелинейной фильтрации (гауссовское приближение).— АиТ,
1979, № 11, с. 76—81.
641. Лебедев А. Т. Информационный метод синтеза структур автоматического
управления промышленными установками.— АиТ, 1976, №5, с. 44—52;
Информационные основы выбора оптимальных параметров настройки про¬
мышленных регуляторов.— АиТ, 1977, № 10, с. 16—22; Информационный
метод расчета каскадных систем автоматического регулирования.— АиТ,
1980, №6, с. 188—191.
642. Akaike H. Information theory and an extension of the maximum likelihood
principle.— In: 2-nd Intern. Symp. on Inform. Theory, Bp., 1973, old. 267—
281; New look at the statistical model identification.— IEEE Trans, on Auto¬
mat., Control., 1974, vol. 19, N 6, p. 716—723; Ogata Y. Maximum likelihood
estimates of incorrect Markov models for time series and the derivation of
AIC.— J. Appl. Probl, 1980, vol. 17, N 1, p. 59—72.
643. Титов A. M. Оценка параметров линейной модели на основе информаци¬
онного критерия.— Космич. исслед, 1979, т. 17, вып. 1, с. 24—31.
644. Емельянова H. М. Оптимизация процессов поиска экстремума функций
с использованием априорных данных.— АиТ, 1967, № 5, с. 160—165.
645. Неймарк Ю. И., Стронгин Р. Г. Информационный подход к задаче поиска
экстремума функций.— Изв. АН СССР. ТК, 1966, № 1, с. 36—45; Строн¬
гин Р. Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М.: Наука,
1978; Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. М.:
Наука, 1978.
646. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М.:
Наука, 1979.
647. Сифоров В. И., Добруиіин Р. Л., Самойленко С. И., Цибаков Б. С. и др.
Теория информации и ее приложения.— В кн.: Кибернетику — на службу
коммунизму. М.: Сов. радио, 1978, т. 11, с. 28—57.
648. Jones W. Е., Smith W. Entropy, information flow and variance in regula¬
tory control systems.— Intern. J. Control, 1976, vol. 24, N 2, p. 239—246.
649. Солодов А. В. Теория информации и ее применения к задачам автомати¬
ческого управления и контроля. М.: Наука, 1967; Солодов А. В., Пет¬
ров А. П. Автоматические системы с переменными параметрами. М.: Физ-
матгиз, 1971.
650. Abu Bakr El Sayed. The independence inequality and its application to in¬
formation theory.— Inform, and Control. 1977, vol. 35, N 3, p. 229—245.
651. Guiasu S. Information theory with applications. N. Y. etc.: McGraw — Hill,
1977; On entropie measure of connection and interdepence between the sub¬
systems of a given large systems.— In: 3-nd Format. Symp. Math. Anal.
Large-Scale Syst, Prague, 1979, s. 113—124; Guiasu S, Reischer C. Some
remarks on entropie distance entropie measures of commexion and Hamming
distance.—RAIRO. Theor. Inform, 1979, vol. 13, N 4, p. 395—407.
652. Eckschlager K., Stèpânek V. Information theory as applied to chemical ana¬
lysis. N. Y.: J. Wiley, 1979.
653. Schlôgl F. Stochastic measures in nonequilibrium thermodynamics.— Phys.
Rept. (PRPLCM), 1980, vol. 62, N 4, p. 267—380.
654. Grandy W. T.t Jr. Principle of maximum entropy and irreversible proces¬
ses.—Phys. Rept. (PRPLCM), 1980, vol. 62, N 3, p. 175—266; Shore J. E.,
Johnson R. W. Axiomatic derivation of the principle of maximum entropy
and the principle of mininum cross-entropy.— IEEE Trans.. Inform. Theory,
1980, vol. 26, N 1, p. 26—37; Properties of cross-entropy minimization.—
Ibid, 1981, vol. 27, N 4, p. 472—482; Rouces S. E.t Childers D. G. A two¬
dimensional maximum entropy spectral estimator.— Ibid, 1980, vol. 26, N 5,
р. 554—560.
655. Логозинский В. H., Павлоцкий И. П. Выбор меры и уравнение Лиувилля
в слаборелятивистской статистической механике.— ТМФ, 1979, т. 39, №3,
с. 417—424.
656. Летохов В. С.; Чеботаев В. П. Принципы нелинейной лазерной спектро-
скопиии. М.: Наука, 1975.
657. Применение лазеров в атомной, молекулярной и ядерной физике: (Тр.
512
I Всесоюз. школы, Вильнюс, 21—31 августа 1975 г.). Сб. статей. М.: Нау¬
ка, 1979.
658. Лосев С. А. Газодинамические лазеры. М.: Наука, 1977.
659. Носов В. Г. Макроскопические квантовые эффекты в атомных ядрах. М.г
Атомиздат, 1980.
660. Проблемы магнитного резонанса: Сб. статей. М.: Наука, 1978. Уо Дж.
Новые методы ЯМР в твердых телах. М.: Мир, 1978.
661. Brown А. V. An overview of Josephson packaging.— IBM J. Res. and Deve¬
lop., 1980, vol. 24, N 2, p. 167—171; Anacker W. Josephson computer techno¬
logy: an IBM research project.—Ibid., p. 107—112; Tsui F. F. JSP — a re¬
search signal processer in Josephson technology.— Ibid., p. 243—252; Afa-
tisoo J. Overview of Josephson technology logic and memory.— Ibid.,
р. 113—129; Guéret P., Moser A., Wolf P. Investigations for a Josephson
computer main memory with single-flux-quantum cells.— Ibid., p. 155—166;
Faris S. M., Henkels W. H., Valsamakis E. A., Zuppe H. H. Basic design of
a Josephson technology cache memory.— Ibid., p. 143—154.
662. Мюллер Э. В., Цонг T. T. Полевая ионная микроскопия. Полевая иони¬
зация и полевое испарение. М.: Наука, 1980.
663. Жданов Г. С., Илюшин А. С., Никитина С. В. Дифракционный и резо¬
нансный структурный анализ. М.: Наука, 1980.
664. Кузнецова Л. А., Кузьменко H. Е., Кузяков Ю. Я. и др. Вероятности оп¬
тических переходов двухатомных молекул/Под ред. Р. В. Хохлова. М.:
Наука, 1980.
665. Новиков Л .Н.г Показаньев В. Г., Скроцкий Г. В. Когерентные явления
в системах, взаимодействующих с резонансным излучением.— УФН, 1970,
т. 101; вып. 2, с. 273—302; Новиков Л. Н., Скроцкий Г. В. Нелинейные и
параметрические эффекты в атомной радиоспектроскопии.— УФН, 1978,
т. 125, вып. 3, с. 449—488.
666. Дыхне А. М., Юдин Г. Л. «Встряхивание» квантовой системы и характер
стимулированных им переходов.— УФН, т. 125, вып. 3, с. 377—407.
667. Карлов Н. В., Крынецкий Б. Б., Мишин В. А., Прохоров А. М. Селектив¬
ная фотоионизация атомов и ее применение для разделения изотопов и
спектроскопии.— УФН, 1979, т. 127, вып. 4, с. 593—620; Акулин В. М.,
Карлов Н. В. О перераспределении колебательной энергии при лазерном
возбуждении высоких колебательных уровней многоатомных молекул.—
ЖЭТФ, 1980. т. 79, вып. 6(12), с. 2104—2118; Карлов В. Н. Селективное
многоступенчатое лазерное воздействие на атомы и молекулы.— В кн.:
[657, с. 392—412].
668. Летохов В. С. Применение лазеров в ядерно-физических исследованиях.—
В кн.; [657» с. 413—431]; Беков Г. И., Летохов В. С., Матвеев О. И., Ми¬
шин В. И. Ионизационное детектирование единичных атомов лазерным из¬
лучением через ридберговские состояния.— ЖЭТФ, 1978, т. 75, вып. 6(12),
с. 2092—2101; Баграташвили В. Н., Должиков В. С., Летохов В. С. Кине¬
тика спектров ИК поглощения молекул SFe, колебательно возбужденных
мощным импульсом СО2-лазера.— ЖЭТФ, 1979, т. 76, вып. 1, с. 18—25;
Князев И. Н., Кудрявцев Ю. А., Кузьмина Н. П., Летохов В. С. Изотопи-
чески-селективная фотодиссоциация молекул CF3I при многофотонном ко¬
лебательном и последующем электронном возбуждении лазерным излуче¬
нием.—ЖЭТФ, 1979, т. 76, вып. 4, с. 1281—1292; Баграташвили В. Н.,
Должиков В. С., Летохов В. С. и др. Многофотонное инфракрасное воз¬
буждение и диссоциация молекулы CF3I: эксперимент и модель.— ЖЭТФ,
1979, т. 77, вып. 6(12), с. 2238—2252; Баграташвили В .Н., Должиков В .С.,
Рябов Е. А. Многофотонное возбуждение и релаксация высоких колеба¬
тельных состояний многоатомных молекул.— В кн.: [657, с. 359—373]; Ба¬
лыкин В. И., Летохов В. С., Мишин В. И. Лазерное флуоресцентное детек¬
тирование единичных атомов.—ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 6(12), с. 2221 —
2236; Охлаждение атомов натрия резонансным лазерным излучением.—
ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 4, с. 1376—1385; Балыкин В. И., Беков Г. И., Ле¬
тохов В. С. и др. Лазерное детектирование единичных атомов.— В кн.:
[657, с. 41—59] ; Баграташвили В. Н., Вайнер Ю. Г., Должиков В. С. и др.
Меж- и внутримолекулярное распределение колебательной энергии моле¬
513
кул при многофотонном возбуждении ик лазерным излучением.— ЖЭТФ,
1981, т. 80, вып. 3, с. 1008—1025; Балыкин В. И., Летохов В. С., Мино-
гин В. Г. Радиационное перераспределение скоростей свободных атомов
натрия резонансным лазерным излучением.— ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 5,
[657, с. 41—59]; Багратаіивили В. Н., Вайнер Ю. Г., Должиков В. С. и др.
Лазерная спектроскопия узких двукратно возбужденных автоионизацион-
ных состояний атома иттербия.— ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 3, с. 866—87'7.
€69. Макаров В. П., Федоров М. В. Вращательный спектр двухатомных моле¬
кул в поле интенсивной электромагнитной волны.— ЖЭТФ, 1976, т. 70,
вып. 4, с. 1185—1196; Делоне Н. Б., Федоров М. В. Поляризация фотоэлек¬
тронов, образующихся при ионизации неполяризованных атомов.— УФН,
1979, т. 127, вып. 4, с. 651—681; Друкарев Г. Ф., Объедков В. Д. Поляри¬
зационные явления в электронных и атомных столкновениях.— Там же,
с. 621—650; Федоров М. В. Колебательно-вращательные спектры и процесс
возбуждения молекулы в поле интенсивной резонансной волны.— ЖЭТФ,
1977, т. 73, вып. 1(7), с. 134—145; Резонансная ионизация атомов в режи¬
ме адиабатического инвертирования уровней.— ЖЭТФ, 1979, т. 74, вып.
6(12), с. 2200—2210.
670. Авербух И. Ш., Коварский В. А., Перельман Н. Ф. Оптическая мультиста¬
бильность и автомодуляция света при двойном резонансе.— Письма в
ЖЭТФ, 1980, т. 32, вып. 4, с. 277—281; Колебательная стабильность в не¬
равновесном молекулярном газе при оптическом возбуждении.— ЖЭТФ,
1980, т. 79, вып. 1(7), с. 21—32; Штарковская неустойчивость и коопера¬
тивные пороговые явления при двойном оптическом резонансе.— ЖЭТФ,
1981, т. 80, вып. 1 ,с. 80—95; Перельман Н. Ф. Штарковское уширение спек¬
тральных линий атомов в поле многомодового лазерного излучения.—
ЖЭТФ, 1980, т. 79, вып. 3(9), с. 775—786.
671. Миногин В. Г. Кинетическое уравнение для атомов, взаимодействующих
с лазерным излучением.— ЖЭТФ, 1980, т. 79, вып. 6 (12), с. 2044—2056.
672. Бонч-Бруевич А. М., Пржибельский С. Г., Чигирь Н. А. Двухквантовое
резонансное возбуждение двухуровневой системы стохастическими поля¬
ми.—ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 2, с. 565—578.
673. Шуряк Э, В. Нелинейный резонанс в квантовых системах.— ЖЭТФ, 1976,
т. 71, вып. 6(12), с. 2039—2056.
674. Сазонов В. Н, Вывод и исследование усредненного квантового уравнения
движения для нелинейного осциллятора в поле гармонической силы.—
ТМФ, 1977, т. 31, № 1, с. 107—117; Квазикласснческая теория раскачки
квантового нелинейного осциллятора.— ТМФ, 1978, т. 35, № 3, с. 361—370;
К статистике ансамбля квантовых нелинейных осцилляторов, возбуждае¬
мых внешней периодической силой.— ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 5 (11),
с. 1751—1755; О кинетическом механизме лазерохимических реакций.—
ЖЭТФ, 1980, т. 79, вып. 1 (7), с. 39—45; Горчаков В. И., Сазонов В. Н.
Классическая гетерополярная молекула в поле лазерного излучения с цир¬
кулярной поляризацией.— ЖЭТФ, 1976, т. 70, вып. 2, с. 467—776; Заце¬
пин С. В., Сазонов В. Н. О функции распределения физической системы,
находящейся в термостате и в поле гармонической внешней силы.— ТМФ,
1979, т. 41, Яз 1, с. 111—123; Сазонов В. Н., Финкельштейн В. Ю. Анализ
моделей радиационной диссоциации многоатомных молекул в поле лазер¬
ного излучения.— ЖЭТФ, 1977, т. 73, вып. 4 (10), с. 1306—1316; Кузь¬
мин М. В., Сазонов В. Н. К теории раскачки квантового нелинейного ос¬
циллятора гармонической силой.— ЖЭТФ, 1977, т. 73, вып. 2(8), с. 422—
429; Полная инверсия населенности в многоуровневой квантовой системе
при адиабатическом включении внешнего резонансного поля.— ЖЭТФ,
1980, т. 79, вып. 5(11), с. 1759—1768.
€75. Манаков И. Л., Рапопорт Л. П., Файниітейн А. Г. Квазиэнергетические
состояния плоского ротатора в поле циркулярно-поляризованной волны.—
ТМФ, 1977, т 30, № 3, с. 395—406; Рапопорт Л. П., Зон Б. А., Мана¬
ков Н. Л. Теория многофотонных процессов в атомах. М.: Атомиздат,
1978; Агре М. Я., Рапопорт Л. П. Нерезонансные переходы и ионизация
атомов при медленных столкновениях в лазерном поле.— ЖЭТФ, 1979,
т. 77, вып. 1 (7), с. 74—86; Преображенский М. А., Рапопорт Л. П. Квази-
514
стационарные состояния атома водорода в поле сильной монохроматиче¬
ской волны.— ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 3, с. 929—935; Манаков Н. Л.,
Файнштейн А. Г. Распад слабосвязанного уровня в монохроматическом
поле.—ЖЭТФ, 1980, т. 79, вып. 3(9), с. 751—763; Манаков Н, Л., Овсян¬
ников В. Д. Нелинейные восприимчивости высших порядков для генера¬
ции гармоник оптического излучения в атомарных газах.— ЖЭТФ, 1980,
т. 79, вып. 5(11), с. 1769—1778.
676. Финкельштейн В. Ю. К поведению квантовых систем в немонохроматиче¬
ском поле.— ЖЭТФ, 1979, т. 76, вып. 1, с. 91—106; Намиот В. А., Фин¬
кельштейн В. Ю. Метод псевдокогерентных состояний в нелинейных кван¬
товых системах.—ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 3(9), с. 884—898.
677. Долгов А. Д.» Елецкий В. Л., Попов В. С. Новый подход к теории возму¬
щений для дискретного спектра (ангармонический осциллятор).— ЖЭТФ,
1980, т. 79, вып. 5(11), с. 1704—1718; Турбинер А. В. О теории возмуще¬
ний и вариационном принципе в квантовой механике.— ЖЭТФ, 1980, т. 79,
вып. 5(11), с. 1719—1734.
678. Соколов В. В. Адиабатическая теория возмущений для квазиуровней.—
ТМФ, 1978, т. 35, № 3, с. 339—351; Нелинейный резонанс квантового ос¬
циллятора: Препринт. Красноярск: ИФСО—78Ф, 1978.
679. Дыкман М. И., Кривоглаз М. А. Теория флуктуационных переходов меж¬
ду устойчивыми состояниями нелинейного осциллятора.— ЖЭТФ, 1979,
т. 77, вып. 1 (7), с. 60—73.
680. Браун П. А. Метод ВКБ для трехчленных рекуррентных соотношений и
квазиэнергии ангармонического осциллятора.—ТМФ, 1978, т. 37, № 3,
с. 355—370; Квазиэнергии ангармонического осциллятора при параметри¬
ческом резонансе.—ТМФ, 1979, т. 41, № 3, с. 336—345.
681. Израилев Ф. М., Шепеленский Д. Л. Квантовый резонанс для ротатора
в нелинейном периодическом поле.— Докл. АН СССР, 1979, т. 249, № 5,
с. 1103—1107; То же.—ТМФ, 1980, т. 43, № 3, с. 417—428; Casati G., Chi¬
rikov B. N., Izraelev F. M., Ford J. Stochastic behaviour of a quantum pen¬
dulum under a periodic perturbation.— Lectures Notes in Phys., 1979, vol.
93, p. 334—352; Заславский Г. M.— УФН, 1979, t. 129, вып. 2, c. 211—238.
682. Неймарк Ю. И. Динамические системы и управляемые процессы. М.: Нау¬
ка, 1978; Особые интегральные многообразия и возникновение стохастич-
ности в динамических системах.— В кн.: Проблемы устойчивости движе¬
ния, аналитической механики и управления движением. Новосибирск: Нау¬
ка, 1979, с. 128—134; О возникновении стохастичности в динамических
системах.— Изв. вузов. Радиофизика, 1974, т. 17, № 4, с. 39—46.
683. Странные аттракторы: Сб. статей. М.: Мир, 1981.
684. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее прило¬
жения. М.: Мир, 1980.
685. Васильев В. А., Романовский Ю. М., Яхно В. Г. Автоволновые процессы
в распределенных кинетических системах.— УФН, 1979, т. 128, вып. 4,.
с. 625—666; Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф. М.: Мйр, 1980.
686. Синай Я. Г. Асимптотика числа замкнутых геодезических на компактных
многообразиях отрицательной кривизны.— Изв. АН СССР. Сер. мат, 1966,.
т. 30, вып. 6, с. 1275—1296; Динамические системы с упругими отражения¬
ми: эргодические свойства рассеивающих бильярдов.— УМН, 1970, т. 25.
вып. 2(152), с. 141 —192; Стохастичность динамических систем.— В кн.:
Нелинейные волны. М.: Наука, 1979, с. 192—212; Случайность неслучай¬
ного.— Природа, 1981, № 3, с. 72—80; Вул Е. Б., Синай Я. Г. Об одном
структурно-устойчивом механизме появления инвариантных гиперболиче¬
ских множеств.— В кн.: Многокомпонентные случайные системы. М.: Нау¬
ка, 1978, с. 104—112; Бунимович Л, А., Синай Я. Г. Стохастичность ат¬
трактора в модели Лоренца.— В кн.: Нелинейные волны. М.: Наука, 1979,
с. 212—226.
687. Нелинейные волны: Сб. статей. М.: Наука, 1979; Нелинейные волны: (Рас¬
пространение и взаимодействие). Сб. статей. М.: Наука, 1981; Многоком¬
понентные случайные системы: Сб. статей. М.: Наука, 1978.
688. Рабинович М. И. Стохастические автоколебания и турбулентность.— УФН,.
1978, т. 125, вып. 1, с. 123—169.
515
<589. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и
структуре аттрактора Лоренца.— Докл. АН СССР, 1977, т. 234, № 2,
с. 336—339; О притягивающих негрубых предельных множествах типа ат¬
трактора Лоренца.— В кн.: Тр. ММО. М.: 1981, т. 44, с. 68—93; Пустыль-
ников Л. Д. Неограниченный рост переменной действия в некоторых фи¬
зических моделях и проблема стохастичности.— Докл. АН СССР, 1978,
т. 241, № 5, с. 1035—1038.
690. Дихтяр В, Б., Кислов В. Я. Автомодуляционный механизм стохастических
колебаний автогенераторов с запаздыванием.— РЭ, 1979, т. 24, № 8,
с. 1564—1572; Кислов В. Я. Теоретический анализ шумоподобных колеба¬
ний в электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыванием
и сильной нелинейностью.— РЭ, 1980, т. 25, № 8, с. 1683—1690; Кис¬
лов В. Я., Мясин Е. А., Залогин H. Н. О нелинейной стохастизации авто¬
колебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной
связью.— РЭ, 1980, т. 25, № 10, с. 2160—2168; Дихтяр В. Б., Кислов В. Я.,
Парамонов Б. М. Автоволновые многочастотные процессы в цепочках из
последовательно соединенных идентичных нелинейных усилителей.— РЭ,
1980, т. 25, № 11, с. 2419—2432.
691. Заславский Г. М. Статистическая необратимость в нелинейных системах.
М.: Наука, 1970; Заславский Г. М., Чириков Б. В. Стохастическая неустой¬
чивость нелинейных колебаний.— УФН, 1971, т. 105, вып. 1, с. 3—39; Chi¬
rikov В. У.—Phys. Rept., 1979, vol. 52, N 3 р. 263.
692. Пиковский А. С., Рабинович М. И. Простой автогенератор со стохастиче¬
ским поведением.—Докл. АН СССР, 1978, т. 239, № 2, с. 301—304;
О странных аттракторах в физике.— В кн.: [224, с. 176—192]; Кияш-
ко С. В., Пиковский А. С., Рабинович М. И. Автогенератор радиодиапазо¬
на со стохастическим поведением.— РЭ, 1980, т. 25, № 2, с. 336—343;
Езерский А. Б., Рабинович М. И., Степанянц Ю. А., Шапиро М. Ф. Стоха¬
стические колебания параметрически возбуждаемой нелинейной цепоч¬
ки.— ЖЭТФ, 1979, т. 76, вып. 3, с. 991—999; Рабинович М. И., Фабри¬
кант А. Л. Стохастическая автомодуляция волн в неравновесных сре¬
дах.—ЖЭТФ, 1979, т. 77, вып. 2(9), с. 617—629.
693. Stochastic Behaviour in Classical and Quantum Hamilton Systems.— Leet.
Notes Phys., 1979, vol. 93.
694. Casati G., Ford J. Stochastic transition in the unequal-mass Toda lattice.—
Phys. Rev., 1975, vol. 12A, N 4, p. 1702—1709; Casati G.t Diana E., Scotti A.
On the relation between the divergence of trajectories and the Kolmogo¬
rov — Sinai entropy.— Phys. Lett., 1976, vol. 54A, N 1, p. 5—6; Casartel-
UM., Diana E., Galgani L. Scotti A. Numerical computations on a stochastic
parameter related to the Kolmogorov entropy.—Phys. Rev., 1976, vol. 13A,
N 5, p. 1921—1925; Carotta M. C., F err air о C., Vecchio G. L., Galgani L.
New phenomenon in the stochastic transition of compled oscillators.— Phys.
Rev., 1978, vol. 17A, N 2, p. 786—794; Contopoulos G., Galgani L., Giorgil-
li A. On the number of isolated integrals in Hamiltonian systems.—Phys;
Rev., 1978, vol. 18A, N 3, p. 1183—1189; Shimizu T., Morioka N. Chaos and
limit cycles in the Lorenz model.—Phys. Lett., 1978, vol. 66A, N 3, p. 182—
184; Transition between turbulent and periodic states in the Lorentz model.—
Ibid., N 6, p. 447—449; Rpssler О. E. Horseshoe-mapchaos in the Lorenz
equation.— Phys. Lett., 1977, vol. 60A, N 5, p. 392—394; An equation for
continuous chaos.— Phys. Lett.,1976, vol. 57A, N 5, p. 397—398; Nagashi-
ma T.t Shimada I. On the C-system-like property of the Lorentz model.—
Progr. Theor. Phys., 1977, vol. 58, p. 1318—1320; Fujisaka H.t Yamada T.
Trajectory instability and strange attractors in a discrete model exhibiting
behaviour.— Phys. Lett., 1978, vol. 66A, N 6, p. 450—452; Benettin G.f Gal¬
gani L., Strelcyn J.-M. Kolmogorov entropy and numerical experiments.—
Ibid., vol. 14A; N 6, p. 2338—2345; Benettin G.t Strelcyn J.-M. Numerical
experiments on the free motion of a point mass moving in a plane convex
region: stochastic transition and entropy.— Phys. Rev., 1978, vol. 17A, N 2,
p. 773—785; Benettin G., Froeschle C., Schneidecker J. P. Kolmogorov en¬
. tropy of a dynamical system with an increasing number of degrees of free-
516
dom.— Phys. Rev., 1979, vol. 19A, N 6, p. 2454—2460; Saito N., Ichimura A.
Ergodic components in the stochastic region in a Hamiltonian systems.—
In: [693, p. 137—144]; McDonald S., Kaufman A. N. Spectrum and eigen¬
functions for a Hamiltonian with stochastic trajectories.— Phys. Rev. Lett.,
1979, vol. 42, N 18, p. 1189—1191.
695. Churchill R. C., Pecelli G.» Rod D. L. A survey of the Henon-Heiles Hamil¬
tonian with applications to related examples.—In: [693, p. 76—136]; Tres¬
ser C., Coullet P., Arneodo A. Topological horseshoe and numerically obser¬
ved chaotic behaviour in the Henon mapping.— J. Phys. A: Math. Gen., 1980,
vol. 18, N 1, p. L123—L127.
696. Асташкина Ê. В., Михайлов А. С. Стохастические автоколебания при па¬
раметрическом возбуждении спиновых волн.— ЖЭТФ, 1980, т. 78, вып. 4,
с. 1636—1646. .
697. Rolfe Т., Rice S. A. Simulation studies of the scattering of solitary wave by
a mass impurity in a chain of nonlinear oscillators.— Physica, 1980, vol. ID,
N 4, p. 375—382.
698. AU M. K., Somorjai R. L. Reappearance of orded motion in some non-inte-
grable Hamitonian systems.—Physica, 1980, vol. ID, N 4, p. 383—390.
699. Уланов Г, M., Ульянов С. В. Динамические системы со случайной и пере¬
менной структурой. II: Стохастические колебания и солитоны в класси¬
ческих, релятивистских и квантовых системах.— В кн.: Техническая ки¬
бернетика. М.: ВИНИТИ, 1982, т. 15, с. 5—114. (Итоги науки и техники).
700. Глушков В. М., Иванов В. В, Яненко В. М. О новом классе динамических
моделей и его приложении в биологии. I.— Кибернетика, 1979, № 4,
с. 131—139.
701. Елюхин В. А. Образование и устойчивость диссипативных структур.— Био¬
физика, 1979, т. 24, вып. 6, с. 1085—1088.
702. Маркман Г. С., Уринцев А, Л, К теории Диссипативных структур, возни¬
кающих в модели Тьюринга — Пригожина.— Биофизика, 1980, т. 25,
вып. 1, с. 148—151. •
703. Маркман Г, С. Автоколебательные диссипативные структуры в модели
Тьюринга — Пригожина.— Биофизика, 1980, т. 25, вып. 4, с. 713—715;
О возникновении стационарных диссипативных структур в одномерной мо¬
дели Тьюринга — Пригожина.— Там же, с. 697—699.
704. Кернер Б. С., Осипов В. В. Стохастически неоднородные структуры в не¬
равновесных системах.— ЖЭТФ, 1980, т. 79, вып. 6 (12), с. 2218—2239.
705. Розанов И. Н. Гистерезисные явления в распределенных оптических си¬
стемах.— ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 1, с. 96—108.
706. Львов В. С., Предтеченский А. А., Черных А. И. Бифуркации и хаос в си¬
стемах вихрей Тейлора: натурный и численный эксперимент.— ЖЭТФ,
1981, т. 80, вып. 3, с. 1097—1121; Львов В. С. О статистическом описании
цепочки взаимодействующих вихрей Тейлора в приближении прямых взаи¬
модействий.— ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 5, с. 1969—1980.
707. Басеян Г. 3., Матинян С. Г., Саввиди Г. К. Нелинейные плоские волны в
безмассовой теории Янга — Миллса.— Письма в ЖЭТФ, 1979, т. 29, вып.
10, с. 641—644; Басеян Г. 3., Матинян С. Г. Решения классических урав¬
нений Янга —Миллса, содержащие инстантоны и мероны.— Там же, 1980,
т. 31, вып. 1, с. 76—77; Матинян С. Г., Саввиди Г. К., Тер-Арутюнян-Сав-
види Н. Г. Классическая механика Янга — Миллса. Нелинейные колеба¬
ния цвета.— ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 3, с. 830—838; Письма в ЖЭТФ,
1981, т. 36, вып. 11, с. 637—641.
708. Gordon J. Р Quantum effects in communication system.— Proc. IRE, 1962,
vol. 50, N 9, p. 1898—1908. ’
709. Takahasi H. Theory of quantum mechanical channels.— In: Adv. Commur
Syst. N. Y:. Acad, press, vol. 1, 1965. Рус. пер.: Такахаси. Применение тео¬
рии информации к квантовомеханическим каналам связи.— В кн.: Стати¬
стическая теория связи и ее приложение. М.: Мир, 1967, с. 160—257.
710. Хелстром К., Лиу Дж., Гордон Дж. Квантовомеханическая теория свя¬
зи.— ТИИЭР. Оптическая связь, 1970, т. 58, № 10, с. 136—207.
711. Левитин Л. Б. О квантовой мере количества информации.— В кн.: Тр.
517
IV конф, по теории кодирования и передачи информации. Секция II. М.г
Ташкент, 1969; Существует ли фундаментальный предел скорости пере¬
работки информации? — В кн.: Тез. докл. симпоз. по теории информации.
(Дубна, 1969). М.: АН СССР, 1969, с. 55—56; То же.—В кн.: Докл..
III Междунар. симпоз. поновости в радиоэлектрониката. Варна, 1970, 3 ч.,.
с. 1—15; Direct and inderect quantum measurements yield equal maximum
information.— In: IEEE Intern. Symp. on Inform. Theory: Santa Monica,.
California, 1981, Febr. 9—12. N. Y., 1981, p. 39; Перенос информации в иде¬
альном фотонном канале.—ППИ, 1965, т. 1, вып. 3, с. 71—80.
712. Bretnertnann H. I. Quantum noise and information.— In: Proc. 5-th Berke¬
ley Simp, on Math. Statistics and Probability Theory. N. Y.: Acad, press,.
1967, vol. 4, p. 15—22.
713. Гришанин Б. А. Некоторые методы решения квантовых задач обнаруже¬
ния и измерения.—Изв. АН СССР. ТК, 1973, № 5, с. 127—137; Асимпто¬
тические гауссовы методы в квантовых задачах оценивания классических
параметров.—РЭ, 1973, т. 18, № 4, с. 789—795. .
714. Дриккер А. С. Гомодинный прием квантового электромагнитного сигна¬
ла.— ППИ, 1976, т. 12, вып. 3, с. 57—68.
715. Бе лав кин В. П. Оптимизация обработки квантовых сигналов.—Зарубеж.
радиоэлектроника, 1975, № 5, с. 3—29; Об обобщенных соотношениях не¬
определенности Гейзенберга и эффективных измерениях в квантовых си¬
стемах.— ТМФ, 1976, т. 26, № 3, с. 316—329; Оптимальное наблюдение бо¬
зонных сигналов в квантовых гауссовских каналах.— Probl. of Control and
Inform. Theory, 1975, vol. 4, N 2, p. 241—257; Оптимальная квантовая
фильтрация марковских сигналов.— Ibid., 1978, vol. 7, № 5, p. 345—360;
Оптимальное нелинейное оценивание в негауссовых квантовых каналах.—
В кн.: Тез. докл. 4-го Междунар. симпоз. по теории информации. М.; Л.:
Наука, 1976, ч. I, с. 17—19; Оптимальная динамическая фильтрация гаус¬
совских диффузионных процессов в квантовых бозонных каналах.— В кн.:
Тез. докл. 5-го Междунар. симпоз. по теории информации. М.; Тбилиси:
Наука, 1979, ч. I, с. 37—39; Оптимальное оценивание некоммутирующих
квантовых гауссовых переменных при поэтапном неточном их измере¬
нии.— РЭ, 1972, № 12, с. 2527—2532; Линейное оценивание некоммути¬
рующих квантовых переменных при косвенном их измерении.— Там же,.
1972, № 12, с. 2533—2540; Optimal linear randomized filtration of quantum
boson signals.—Probl. of Control and Inform. Theory, 1974, vol. 6, № 1,
p. 47—62; Квантовая фильтрация марковских сигналов на фоне белых
квантовых шумов.— РЭ, 1980, № 12, с. 1445—1453; Оптимальное различе¬
ние неортогональных квантовых сигналов.— РЭ, 1975, № 6, с. 1177—1185;
Разрешение квантовых оптических полей.— Там же, 1976, № 1, с. 95—104.
716. Ванцян А. Г., Асташкина Е. В. Количество информации, передаваемое по
квантовому каналу связи при различных методах деквантования.— ППИ,
1977, т. 13, вып. 4, с. 66—71.
717. Вайнштейн В. Д. Перенос информации квантовым электромагнитным по¬
лем в поглощающей среде.— ППИ, 1975, т. 11, вып. 1, с. 3—14.
718. Белавкин В. П., Гришанин Б. А. Исследование задачи оптимального оце¬
нивания в квантовых каналах методом обобщенного неравенства Гейзен¬
берга.—ППИ, 1973, т. 9, вып. 3, с. 44—52; Оптимальное измерение кван¬
товых переменных.— ППИ, 1972, т. 8, вып. 1, с. 103—109.
719. Белавкин В. П., Стратонович Р. Л. Об оптимизации обработки квантовых
сигналов по информационному критерию.— РЭ, 1973, № 9, с. 1839—1895.
720. Гришанин Б. А., Стратонович Р. Л. Оптимальная фильтрация квантовых
переменных при квадратичном критерии качества.— ППИ, 1970, т. 6,
вып. 3, с. 15—23.
721. Ванцян А. Г., Стратонович Р. Л. Методы различения близких квантовых
сигналов.—РЭ, 1976, № 1, с. 105—111; Об асимптотически безошибочном
декодировании в чистых квантовых каналах.— Probl. of Control and In¬
form. Theory, 1978, vol. 7, N 3, p. 161—173. .
722. Дерюгин И. А., Курашов В. H., Мирзаев Ac. T. и др Пороговое обнару¬
жение двоичных оптических сигналов в системе квантового счета. РЭ,
518
1979, № 10, с. 2021—2026; Дерюгин И. А., Кураіиов В. Н., Мащенко А. И.
Квантовый прием дискретных фазовомодулированных сигналов в оптиче¬
ском диапазоне.— Там же, 1980, № 10, с. 2088—2098.
723. Аниіелевич В. В. Центральная предельная теорема в «некоммутативной»
теории вероятностей —Докл. АН СССР, 1973, т. 208, № 6, с. 1265—1267.
724. Сарымсаков Т. А. Некоммутативные вероятностные пространства на
О*-алгебрах.—Докл. АН СССР, 1978, т. 241, № 2, с. 297—300.
725. Партасарати К. Р. Теория вероятностей на замкнутых подпространствах
гильбертова пространства —Математика, 1970, т. 14, № 5, с. 102—122.
726. Varadarajan V. S. Probability in physics and a theorem on simultaneous ob¬
servability.—Communs Pure and Appl. Math., 1962, vol. 15, N 2, p. 189—
217.
727. Davies E. B., Lewis J. T. An operational approach to quantum probability.—
Communs Math. Pnys. 1970, vol. 17, N 2, p. 239—260.
728. Gordon J. P., Louisell W. H. Simultaneous measurement of noncommuting
observables.— In: Physics of Quantum Electronics/Eds P. L. Kelley, B. Lax
and P. E. Tannewald. N. Y.: McGraw-Hill, 1966, p. 833—840.
729. Davies E. B. Information and quantum measurement— IEEE Trans. Inform.
Theory, 1978, vol. 24, N 5, p. 596—599; Quantum communication systems.—
Ibid., 1977, vol. 23, N 5, p. 530—534.
730. Liu J. W. S. Reliability of quantum-mechanical communication systems.—
IEEE Trans. Inform. Theory, 1970, vol. 16, N 3, p. 319—329.
731. Personick S. D. Application of quantum estimation theory to analog commu¬
nication over quantum channels.— IEEE Trans. Inform. Theory, 1971, vol.
17, N 3, p. 240—246.
732. Yuen H. P., Lax M. Multiple-parameter quantum estimation and measurement
of nonselfadjoint observables.— IEEE Trans. Inform. Theory, 1973, vol. 19,
N 6, p. 740—750; Yuen H. P., Kennedy R. S., Lax M. Optimum testing of
multiple hypotheses in quantum detection theory.— Ibid., 1975, vol. 21, N 2,
p. 125—134; Yuen H. P., Shapiro J. H. Optical communication with two-pho¬
ton coherent states. Pt. I. Quantum-state propagation and quantum-noise
reduction.—Ibid., 1978, vol. 24, N 6, p. 657—668; Shapiro J. H.t Yuen H. P.t
Mata J. A. M. Photoemissive detection and structurel receiver perfomance.
Pt IL— Ibid., 1979, vol. 25, N 2, p. 179—192; Yuen H. P.f Shapiro J. H.
Quantum measurements realized with photoemissive detectors. Pt III.—
Ibid., 1980, vol. 26, N 1, p. 78—92; Yuen H. P. On the capacities and error
perfomance of the free-space optical channel.— In: IEEE International Sym¬
posium on Information Theory, Santa Monica California, 1981, Febr. 9—
12, N. Y., 1981, p. 40; On far-field quantum states in optical communicati¬
on.— IEEE Trans. Inform. Theory, 1980, vol. 26, N 3, p. 382—385.
733. Baras J. S., Harger R. O. Linear filtering with quantum mechanical measu¬
rements.— В кН.: Tp. 4-го Междунар. симпоз. по теории информации: Тез.
докл. М.; Л.: Наука, 1976, ч. I, с. 173—179; Conditional expectations and
Fock space representations in quantum filtering.— Там же, c. 180—185; Ba¬
ras J. S., Harger R. O.t Park Y. H. Quantum-mechanical linear filtering of
random signal sequence.—IEEE Trans. Inform. Theory, 1976, vol. 22, N 1,
p. 59—64; Baras J. S. Noncommutative probability models in quantum com¬
munication and multi-agent stochastic control.— In: IEEE Intern. Symp. on
Inform. Theory, Santa Monica, California, 1981, Febr. 9—12. N. Y., 1981,
p. 37.
734. Lindblad G. Entropy, information and quantum measurements.—Communs
Math. Phys., 1973, vol. 33, N 4, p. 305—322; Completely positive maps and
entropy in equalities.—Ibid.,- 1975, vol. 40 N 2, p. 147—151; Dissipative
operators and cohomology of operator algebras.— Lett. Math. Phys., 1976,
vol. 1, N 2, p. 219—224; On the generators of quantum dynamical semi¬
groups.— Communs Math. Phys., 1976, vol. 48, N 2, p. 119—130.
735. Wehr I A. General properties of entropy.—Rev. Mod. Phys., 1978, vol. 50,
N 2, p. 221—260; Penrose O. Foundations of statistical mechanics —Rept.
Progr. Phys., 1979, vol. 42, N 11, p. 1939—1997; Goldstein S., Penrose O.
A nonequilibrium entropy for dynamical systems.— J. Statist. Phys., 1981,
vol. 24, N 2, p. 325—343.
519
736. Ochs W., Spohn H. A characterization of the Segal entropy.— Repts. Math.
Phys., 1978, vol. 14, N 1, p. 75—87.
737. Uhlmann A. Relative entropy and the Wigner — Yanase — Dyson — Lieb
concavity in an interpolation theory.—Communs Math., Phys., 1977, vol. 54,.
N 1, p. 21—32.
738. Araki H., Sewell G. L. KMS conditions and local thermodynamical stability
of quantum lattice systems.—Communs Math. Phys., 1977, vol. 52, N 2„
p. 103—109.
739. Spohn H. Entropy production for quantum dynamical semigroups.—J. Math.
Phys., 1978, vol. 19, N 5, p. 1227—1230.
740. Greenberg D. M. A critique of the major approaches to damping in quantum
theory.—J. Math. Phys., 1979, vol. 20, N 5, p. 762—770; A new approach to
the problem of dissipation in quantum mechanics.—Ibid., p. 771—780; Sa-
riet UZ. Invariance and conservation laws for Lagrangian systems with one
degree of freedom.— Ibid., 1978, vol. 19, N 5, p. 1049—1054; Mar mo G., Sa-
let an E. J., Simoni A. A general seting for reduction of dynamical systems.—
Ibid., p. 856—860.
741. Smirnov Yu. F., Shustov A. P. Group theory of pseudo-oscillators.—J. Phys.
A: Math. Gen., 1979, vol. 12, N 12, p. 2399—2406.
742. Prugovecki E. Fuzzy sets in the theory of measurement of incompatible ob¬
servables.— Found. Phys., 1974, vol. 4, N 1, p. 9—18; Measurement in quan¬
tum mechanics as a stochastic process on spaces of fuzzy events.— Ibid.,
1975, vol. 5, N 4, p. 557—571; Probability measures on fuzzy events in pha¬
se space.—J. Math. Phys., 1976, vol. 17, N 4, p. 517—523; Ali S. T.,
Etnch G. G. Fuzzy observables in quantum mechanics.— Ibid., 1974, vol. 15,
N 2, p. 176—182; Morato L. M. A note on fuzzy observables.— Intern. J.
Theor. Phys., 1977, vol. 16, N 9, p. 707—713; Grabowski M. A-entropy for
generalized observables.— Ibid., 1978, vol. 17, N 8, p. 635—641.
743. Эйзенхарт К. Теория непрерывных групп. М.: Изд-во иностр, лит., 1974.
744. Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1978.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ 3
Глава 1
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ МОДЕЛЕЙ ДИНА¬
МИЧЕСКИХ СИСТЕМ 9
1.1. Предварительные замечания 9
1.2. Физические, расчетные и математические модели динамических
систем 11
1.3. Проблема Вундгейлера и некоторые общие вопросы теории мо¬
делей релятивистских и квантовых динамических систем ... 20
1.4. О качественной теории моделей процессов управления .... 29
Глава 2
РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МОДЕЛИ В ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ (пространственно-временной континуум, кинематика и ди¬
намика СТО) 33
2. 1. Предварительные замечания. Основные постулаты теории от¬
носительности 33
2. 2. Псевдоевклидово пространство 38
2. 3. Метрические свойства пространственно-временного континуума.
Преобразование Лоренца 46
2. 4. Относительность пространственных расстояний и промежутков
времени 52
2. 5. Мировые линии движущихся материальных частиц. Собствен¬
ное время 55
2. 6. Несколько замечаний об инвариантах группы Лоренца .... 57
2. 7. Строение пространственно-временного континуума. Связь с за¬
коном причинности 58
2. 8. Компоненты 4-скоростей . • 60
2. 9. Теорема сложения скоростей 61
2.10. Общее преобразование Лоренца 62
2.11. Преобразование волнового вектора и частоты. Продольные и
поперечные эффекты Доплера 63
2.12. О «парадоксе с часами» [7, 95, 108] 65
2.13. Неоднородная группа Лоренца [7, 95] 76
521
2.14. О возможности существования сверхсветовых скоростей в кине¬
матике СТО 82
2.15. Об общем источнике «парадоксов», бозникающих в теории от¬
носительности 88
2.16. Замечания общего и исторического характера 84
2.17. Вариационный принцип в релятивистской динамике [88] ... 86
2.18. 4-вектор энергии-импульса 88
2.19. Уравнения движения . . 90
2.20. Момент импульса и координаты центра тяжести системы частиц 91
2.21. Уравнения Гамильтона—Якоби и метод характеристик ... 92
2.22. Уравнение Гамильтона—Якоби в релятивистской динамике и
сила Лоренца 102
2.23. Приложение теории относительности к элементарным частицам.
Релятивистские катастрофы 104
2.24. Экспериментальное подтверждение релятивистской динамики 110
Глава 3
ФИЗИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКИМИ
СИСТЕМАМИ (релятивистская теория электромагнитного и гравита¬
ционного полей) 112
3. 1. Электромагнитное поле Максвелла. Предварительные замеча¬
ния 112
3. 2. Уравнения Максвелла в традиционной форме и обозначениях 113
3. 3. Тензорная форма электродинамики Максвелла 116
3. 4. Характеристики уравнений Максвелла 121
3. 5. Заключительные замечания о модели электромагнитного поля
Максвелла 123
3. 6. Гравитационное поле. Принцип эквивалентности и риманов ха¬
рактер пространственно-временного континуума 135
3. 7. О криволинейных координатах и геометрических характеристи¬
ках римановых пространств. Связь с внешними дифференциаль¬
ными формами и структурные уравнения Картава 139
3. 8. Уравнения поля тяготения Эйнштейна 145
3. 9. Измерение промежутков времени и пространственных расстоя¬
ний в гравитационном поле . . 148
3.10. Слабые гравитационные волны 150
3.11. Решение Шварцшильда 151
3.12. Движение материальной точки пренебрежимо малой и конечной
массы в поле Шварцшильда (. 153
3.13. Закон гравитации Ньютона 158
3.14. Отклонение лучей света в гравитационном поле Шварцшильда 1-60
3.15. Гравитационное* смещение 161
3.16. Интегральный эффект гравитационного смещения и сверхсвето¬
вые скорости. Нарушение причинности и объекты 1-го и 2-го
рода в теории относительности 175
522
3.17. Космологические модели 182
3.18. О некотором возможном обобщении уравнений гравитацион¬
ного поля Эйнштейна 183
3.19. О представлении теории гравитации Эйнштейна в 10-мерном
псевдоевклидовом пространстве 190
3.20. Экспериментальная проверка ОТО 194
3.21. Инерциальная навигация с учетом релятивистских эффектов 214
3.22. Заключительные замечания 219
Глава 4
КВАНТОВЫЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 222
4.1. Некоторые основные положения теории математических моделей
классической квантовой механики 222
4.2. Квантовый постулат и элементы единой системы волновых урав¬
нений квантовой теории . 225
4.3. К вопросу о квантовых волновых уравнениях для системы взаи¬
модействующих частиц 265
4.4. Заключительные замечания 271
Глава 5
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ МЕР КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМА¬
ЦИИ (обзор некоторых результатов по смежным проблемам) . . 273
5. 1. Информационные модели в теории динамических систем управ¬
ления 273
5. 2. Предварительные замечания о моделях количественных мер ин¬
формации 277
5. 3. Статистические и доминируемые структуры 282
5. 4. Некоторые основные положения базовой, вероятностной и не¬
четкой логик теории сложных систем 283
5. 5. Количество информации Хартли и его асимптотическая связь с
• энтропией Больцмана 288
5. 6. Свойства безусловной и условной энтропии. Энтропийная устой¬
чивость 292
5. 7. Меры количества информации Котельникова и Фано .... 296
5. 8. Энтропия непрерывных случайных величин. Меры информаци¬
онного расхождения и различающейся информации 297
5. 9. Мера и некоторые экстремальные свойства количества инфор¬
мации Фишера 302
5.10. Свойства меры количества информации Фишера и W-дивер¬
генция 305
5.11. О некоторых взаимосвязях статистических мер количества ин¬
формации 317
5.12. Понятие е-энтропии и процессы передачи информации .... 322
5.13. 8-энтропия без предвосхищения и с прогнозом в задачах теории
управления 329
5.14. Термодинамические ограничения на процессы физических изме¬
рений 333
523
5.15. Термодинамические модели информационных процессов управ¬
ления 340
5.16. Информационная и алгоритмическая сложность процессов
управления 348
5.17. Релятивистские аспекты информационной теории управления 358
Приложение 1
ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИ¬
НАТАХ 375
Приложение 2
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ В РЕЛЯТИВИСТСКИХ И КВАНТО¬
ВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 404
ЛИТЕРАТУРА 477
Борис Николаевич Петров
Иосиф Израилевич Гольдейблат
Георгий Михайлович Уланов
Сергей Викторович Ульянов
ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
РЕЛЯТИВИСТСКИМИ И КВАНТОВЫМИ
ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
Физические и информационные аспекты
Утверждено к печати
Институтом проблем управления
(автоматики и телемеханики)
Академии наук СССР
Редактор издательства В. В. Ященко
Художник А. Г. Кобрин
Художественный редактор H. Н. Власик
Технический редактор В. Д. Прилепская
Корректоры Н. Б. Габасова, И. А. Талалай
ИБ № 24460
Сдано в набор 11.05.82
Подписано к печати 31.09.82
Т-12554. Формат 60Х'90’/ів
Бумага книжно-журнальная
Гарнитура литературная
Печать высокая
Усл. печ. л. 33,0. Усл. кр.-отт. 33,0.
Уч.-изд. л. 36,1 л. Тираж 1250 экз. Тип. зак. 4152
Цена 4 р. 20 к.
Издательство «Наука»,
117864, ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90
2-я типография издательства «Наука»,
121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10