Текст
Методы
математической физику,
и
специальные функции
Лрсенин
517.2
A 85
УДК 517.5
Методы математической физики и специальные функ-
ции. В. Я. Арсенин. Главная редакция физико-мате-
матической литературы изд-ва «Наука», 1974.
Книга предназначается для студентов инженерно-
физических, физико-технических и других специально-
стей с повышенной физико-математической подготовкой и
инженеров этих профилей. В ней достаточно подробно
излагаются основные методы решения задач математи-
ческой физики (методы Фурье, функций Грина, харак-
теристик, потенциалов, интегральных уравнений и др.)
и специальные функции — цилиндрические, сферические,
ортогональные полиномы, гамма-функция и начальные
сведения о гипергеометрических функциях. Метод харак-
теристик излагается для систем линейных и квазилиней-
ных уравнений. Рассматривается понятие корректно и
некорректно поставленных задач. Для интегральных
уравнений первого рода дается устойчивый метод при-
ближенного решения (метод регуляризации). Книга яв-
ляется результатом существенной переработки книги
того же автора «Математическая физика» (1966 г.).
Илл. — 47. Библ. — 35.
© Издательство «Наука», 1974.
20203—056
053 (02)-74 '74
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................ 7
Из предисловия к книге «Математическая физика»............. 8
Часть I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Глава I. Классификации линейных уравнений с двумя независи-
мыми переменными и приведение их к канонической форме 9
Задачи................................................ 18
Глава II. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям раз-
личных типов. Постановка краевых задач................. 19
§ 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны ... 19
§ 2. Уравнение малых продольных колебаний упругого
стержня............................................... 21
§ 3. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны. . 23
§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики............... 26
§ 5. Уравнения для напряженности электрического и маг-
нитного полей в вакууме............................... 29
§ 6. Уравнения теплопроводности и диффузии............ 30
§ 7. Кинетическое уравнение........................... 31
§ 8. Типы краевых условий. Постановка краевых задач 37
Задачи................................................ 42
Глава III. Метод характеристик............................ 44
§ 1. Характеристическое направление и характеристики
оператора И [f] ....................................... 45
§ 2. Характеристическая форма оператора h [и, о] —
_ „ = + ................................ 46
§ 3. Характеристическая форма пары операторов \ [и, о]
и Л2 [и, о] ........................................... 47
§ 4. Гиперболические системы с постоянными коэффици-
ентами ................................................ 50
§ 5. Решение задачи Коши для одномерного .волнового
уравнения. Формула Даламбера........................... 53
§ 6 Решение задачи Коши для неоднородного волнового
уравнения.............................................. 54
3
§ 7. Устойчивость решения задачи Коши для одномерного
волнового уравнения к входным данным. Обобщен-
ное решение............................................. 57
§ 8. Решение краевых задач на полупрямой.............. 61
§ 9. Отражение воли на закрепленных и на свободных
концах.................................................. 64
§ 10. Решение задачи о распространении краевого режима
на полупрямой .......................................... 65
§ 11. Решение задачи Коши для трехмерного и двумерно-
го волновых уравнений. Формула Пуассона............... 66
§ 12. Физическая интерпретация формулы Пуассона ... 73
§ 13. Системы квазилинейных уравнений.................... 75
§ 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений. . 75
§ 15. Образование разрывов в решении..................... 77
§ 16. Одномерные плоские адиабатические течения газа. . 79
§ 17. Численное решение систем квазилинейных уравнений
методом характеристик................................... 80
Задачи................................................... 81
Гласа IV. Метод Фурье решения краевых задач (метод разделе-
ния переменных) ........................................... 83
§ 1. Предварительные понятия............................ 83
§ 2. Сущность метода Фурье. Собственные функции и соб-
ственные значения....................................... 84
§ 3. Основные свойства собственных функций и собствен-
ных значений............................................ 92
§ 4. Некоторые свойства совокупности собственных функ-
ций .................................................. 108
§ 5. Решение неоднородных краевых задач методом Фурье 112
§ 6. Применение метода Фурье к решению краевых задач
для уравнений эллиптического типа....................... 117
Задачи.................................................. 120
Глава V. Метод Дюамеля решения задач о распространении кра-
евого режима.............................................. 124
Глава VI. Метод функций Грина решения краевых задач и за-
дачи Коши для уравнений параболического типа.............. 130
§ 1. Сущность метода функций Грина решения краевых
задач н задачи Коши для уравнений параболического
типа................................................... 130
§ 2. Построение функции Грииа задачи Коши на прямой 136
§ 3. Решение задачи о распространении тепла на беско-
нечной прямой (задача Коши) и на полупрямой . . . 140
§ 4. Решение задачи о распространении тепла в трехмер-
ном (двумерном) пространстве ...................... 149
§ 5. Устойчивость решения задачи Коши к малым измене-
ниям входных данных.................................... 152
Задачи.................................................. 155
Г лава VII. Метод функций Грииа решения краевых задач для
уравнений эллиптического типа............................. 156
§ 1. Вторая формула Грина. Простейшие свойства гармо-
нических функций....................................... 156
4
§ 2. Сущность метода функций Грина. Некоторые свойст-
ва функций Грина ..................................... 162
§ 3. Построение функций Грина. Интеграл Пуассона ... 168
Задачи................................................. 179
Дополнение к главам VI и VII. О методе функций Грина ре-
шения краевых задач и задачи Коши для уравнений гипер-
болического типа...................................... 179
Глава VIII. Едииствеииость решения основных задач.......... 182
§ 1. Единственность решения краевых задач для уравне-
ний гиперболического типа............................. 182
§ 2. О единственности решения задачи Коши для волно-
вого уравнения........................................ 185
§ 3. Единственность решения краевых задач для уравне-
ний параболического типа.............................. 186
§ 4. Принцип максимума и минимума для решений урав-
нения теплопроводности................................ 188
§ 5. Едииствеииость решения задачи Коши для уравнения
теплопроводности..................................... 191
§ 6. Единственность решения краевых задач для уравне-
ний эллиптического типа ......................... 193
Глава IX. Интегральные уравнения........................ 198
§ 1. Классификация линейных интегральных уравнений. . 198
§ 2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами . . 199
§ 3. Существование решений.......................... 200
§ 4. Понятие о приближенных методах решения интеграль-
ных уравнений Фредгольма второго рода................. 205
§ 5. Теоремы Фредгольма................................ 206
Глава X. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям.
Потенциалы............................................ 212
§ 1. Объемный потенциал................................ 212
§ 2. Потенциал простого слоя........................... 220
§ 3. Потенциал двойного слоя........................... 223
§ 4. Применение потенциалов к решению краевых задач 230
§ 5. Другие задачи, сводимые к интегральным уравнениям 232
Задачи................................................. 234
Глава XI. Интегральные уравнения с симметричными ядрами. . 235
§ 1. Простейшие свойства собственных функций и собст-
венных значений ядра X (х, в)......................... 236
§ 2. Спектр итерированных ядер......................... 241
§ 3. Разложение итерированных ядер..................... 244
§ 4. Теорема Гильберта—Шмидта.......................... 246
§ 5. Разложение решения неоднородного уравнения .... 250
§ 6. Теорема Стеклова.................................. 252
§ 7. Классификация ядер................................ 253
§ 8. Спектр симметричных ядер, заданных на бесконечном
промежутке............................................ 254
5
Глава XII. Понятие некорректно поставленных задач. О прибли-
женном решении интегральных уравнений первого рода . . . 258
§ 1. Понятие корректно поставленных и некорректно по
ставленных задач...................................- 258
§ 2. Кратко о некоторых методах решения некорректно
поставленных задач................................... 263
Часть II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава XIII. Гамма-функция. Бета-функция................. 270
§ 1. Гамма-функция и ее свойства..................... 270
§ 2. Бета-функция.................................... 279
Глава XIV. Цилиндрические функции........................ 282
§ 1. Поведение решений уравнений с особыми точками в
окрестности особых точек............................. 283
§ 2. Функции Бесселя и Неймана....................... 286
§ 3. Ортогональность функций Бесселя................. 291
§ 4. Нули цилиндрических функций..................... 295
§ 5. Функции Ганкеля................................. 302
§ 6. Модифицированные цилиндрические функции (цилин-
дрические функции мнимого аргумента)................. 310
§ 7. Асимптотические представления цилиндрических
функций.............................................. 312
§ 8. Функции Эйри.................................... 328
Задачи............................................... 329
Глава XV. Ортогональные многочлены ...................... 332
§ 1. Некоторые общие свойства ортогональных много-
членов .............................................. 332
§ 2. Многочлены Лежандра..........................ч . . 335
§ 3. Многочлены Чебышева—Эрмита ..................... 349
§ 4- Многочлены Чебышева —Лагерра.................... 359
Г лава XVI. Сферические функции.......................... 369
§ 1. Простейшие сферические функции.................. 369
§ 2. Присоединенные функции Лежандра................. 370
§ 3. Фундаментальные сферические функции............. 374
Задачи............................................... 378
Глава XVII. Начальные сведения о гипергеометрических функ-
циях ................................................... 380
Дополнение. Понятие обобщенных функций. 6-функция...... 385
Ответы к задачам......................................... 401
Литература............................................. 430
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга предназначается для студентов инженерно-
физических, физико-технических и других специальностей
с повышенной физико-математической подготовкой и инже-
неров этих профилей.
Она является результатом существенной переработки
моей книги «Математическая физика», выпущенной изда-
тельством «Наука» в 1966 г. В наибольшей степени пере-
работке подверглись следующие разделы: метод характе-
ристик решения задач для уравнений гиперболического
типа, метод функций Грина, единственность решения кра-
евых задач и задач Коши и вся вторая часть книги, по-
священная специальным функциям.
Изменилось и построение книги. В основу положены
методы решения простейших задач математической физики
и их возможности в применении к уравнениям (системам)
различных классов (типов). Такое расположение матери-
ала, по нашему мнению, позволяет лучше усвоить прак-
тические алгоритмы получения решений основных задач.
Имея в виду практические потребности обработки ре-
зультатов физического эксперимента, в книге вводится
понятие корректно поставленных и некорректно постав-
ленных задач. Для многих основных задач рассматривается
устойчивость изучаемых методов их решения к малым
изменениям «исходных данных». В приложении к интеграль-
ным уравнениям первого рода алгоритмически описывается
и метод нахождения приближенных решений некорректно
поставленных задач, устойчивый к малым изменениям
«исходных данных» (метод регуляризации).
В отличие от прежней книги, в этой книге метод ха-
рактеристик излагается для систем линейных и квазили-
нейных уравнений и показывается возможность образова-
ния разрыва в решении при сколь угодно гладких «исход-
ных данных».
7
Содержание книги почти полностью совпадает с курсом
лекций, который я читал в течение многих лет на факуль-
тете экспериментальной и теоретической физики Москов-
ского инженерно-физического института.
А. Г. Свешников прочитал рукопись и высказал мно-
гочисленные важные замечания и ценные советы по содер-
жанию книги и изложению, которыми я воспользовался.
Полезные замечания, позволившие устранить упущения
и улучшить изложение, были высказаны А. Ф. Никифо-
ровым, Е. А. Волковым и редактором А. С. Чистополь-
ским. Всем этим товарищам выражаю глубокую благо-
дарность.
Автор
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
К КНИГЕ «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА»
Этот курс складывался под непосредственным влия-
нием А. Н. Тихонова, определившего основное содержа-
ние программы курса. С А. Н. Тихоновым и А. А. Са-
марским я неоднократно обсуждал многие вопросы и поль-
зовался их ценными советами. В. С. Владимиров и
Т. Ф. Волков прочитали рукопись и высказали ряд важ-
ных замечаний и советов, которыми я воспользовался.
Многочисленные полезные замечания были высказаны ре-
дактором С. А. Широковой. Всем этим товарищам выра-
жаю глубокую благодарность.
Автор
Часть I
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Г лава I
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ
НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ И ПРИВЕДЕНИЕ
ИХ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Большое число физических задач приводит к диффе-
ренциальным уравнениям с частными производными вто-
рого порядка относительно искомой функции. Такие урав-
нения можно написать в виде соотношений между неза-
висимыми переменными хи хп, искомой функцией и
и ее частными производными первого и второго порядков
Uxi’ Uxn> UxiX2......•••’ UxlX!> “W
Ф(х1( Xz, .... xn; u, UX1, Ux2.
Ux-x.....uxx......« ) = 0.
11 i j n nr
Очень часто эти уравнения являются линейными относи-
тельно старших производных — производных второго по-
рядка, т. е. имеют вид
2 У ahuXjXl+F(Xj, .... хп, и, иХ1.....и*„) = 0>
1=1,=i
где коэффициенты при старших производных а^ являются
функциями только независимых переменных xlt х2,.... х„.
Если функция F (х1г и, uXi, ..., иХп) линейна
относительно аргументов и, uXi, их^, то уравнение
называется линейным (без указания, относительно чего).
Линейные уравнения имеют вид
Z У ^их.Х1 + У, biux. + cu = f(x1.....хп), (*)
1 = 1
9
где коэффициенты a,-,, bit с являются функциями только
независимых переменных хг, хп.
Если /(х2......х„) = 0, уравнение (*) называется ли-
нейным однородным, в противном случае — неоднородным.
Если коэффициенты aijt bt, с постоянны, уравнение (*)
называется линейным уравнением с постоянными коэффи-
циентами.
Все многообразие линейных относительно старших про-
изводных (или просто линейных) уравнений может быть
разделено на три класса (типа). В каждом классе есть
простейшие уравнения, которые называют каноническими.
Решения уравнений одного и того же типа (класса) имеют
много общих свойств. Для изучения этих свойств доста-
точно рассмотреть канонические уравнения, так как другие
уравнения данного класса могут быть приведены к кано-
ническому виду. Свойствами решений канонических урав-
нений и методами построения их решений мы и будем
заниматься в последующих главах.
Принадлежность уравнения к тому или иному классу
(типу) — классификация уравнений — определяется коэффи-
циентами при старших производных. Мы произведем клас-
сификацию прежде всего для уравнений, в которых иско-
мая функция и зависит лишь от двух переменных: и —
= и (х, у). В этом случае уравнения, линейные относи-
тельно старших производных, можно записать в виде
anUxX + 2a12uXy + a22u!/!/ + F (х, у, и, их, иу) = 0, (1)
а линейные —в виде
а11ихх + 2а12иху + аггиуу + Ь]их + Ь21иу + си = }(х, у), (2)
где Пу, bt, с — функции только независимых переменных х,
у. Любое такое уравнение ((1) или (2)) с помощью замены
независимых переменных может быть приведено к более
простому — ка но ни ческ ом у виду (форме).’Поэтому
при изучении уравнений с двумя независимыми перемен-
ными можно ограничиться в дальнейшем лишь канониче-
скими уравнениями.
Произведем в. у равнении (I) замену независимых пере-
менных по формулам
£ = ф(*. У), П = Ф(*. У), (3)
устанавливающим взаимно однозначное соответствие между
точками (|, т]) и (х, у) соответствующих областей. Мы
будем требовать, чтобы функции <р(х, у) и ф(х, у) были
10
непрерывными вместе с нх частными производными первого
и второго порядков. Тогда
Их = фл«£ + 1рхИ11> иУ = ЧуиЪ + ФЛ’
UXx — Ф?м^ + 2фх'фх^11 + ФхмЩ1 + фл-.vWfc + ФхЛ)»
иуу = Ф«М^Ь + 2<P^l|31/U^ + + фдаи^ + ^«1).
иХу = Фхф(/И^ + (ф/Фг/ + Фуфл) итм+MW + Ф-чА + Фч/Мщ
Подставляя эти значения производных в уравнение (1) и
объединяя члены с одинаковыми производными, получим
преобразованное уравнение
амИй+ЗаиЧп + ^йМпч+ЛК» «ф «• В. Л) = 0, (4)
где
«н = аиф^ + га^фхфу + а22ф^,
«12 = «пФхфх + Q12 (ф-А + Фщфх) + «22ФЛ> (5)
«22 = «пФ^ + 2а12ФЖ + а22Ф>-
Непосредственной проверкой устанавливаем справед-
ливость тождества (используя при этом формулы (5))
«12 «11«22 — (fll2 аи°22) [ D ] • (6)
Теперь мы можем принять следующую классифи-
кацию уравнений вида (1).
Если в некоторой области D дискриминант Д = а^2—
— °иа22 положителен, Д>0, то уравнение (1) называется
гиперболическим в D (гиперболического типа в D).
Если Д<0в области D, то уравнение (1) называется
эллиптическим в D (эллиптического типа в D).
Если Д = 0 во всех точках области (множества) D,
то уравнение (1) называется параболическим в D (парабо-
лического типа в D).
Из тождества (6) следует, что при замене независимых
переменных по формулам (3) тип уравнения (1) не изме-
няется *).
Мы воспользуемся заменой независимых переменных
для упрощения уравнения (1), для приведения его к кано-
нимеской форме. Для каждого типа уравнений существует
своя каноническая форма.
1- Если уравнение (1) гиперболично в области D, те
в D существуют такие функции ф(х, у) и ф(х, у), что
*) При взаимно однозначном преобразовании (3) якобиаи
О (Ч>; Ф)/О (х', у) не обращается в нуль. См. Фихтенгольц Г. М.,
Основы математического анализа, т. II, изд. 5-е, «Наука», 1968.
11
заменой переменных (3) уравнение (1) приводится к про-
стейшей форме
«^+Л(«Ь «ц. «. 5, П) = 0. (7)
называемой канонической.
Опишем процедуру отыскания функций <р(х, у) и ф(х, у),
не вдаваясь в обсуждение условий их существования.
1) Если ои = а22 = 0 в D, то 77ц не обращается в нуль
в точках области D. Разделив обе части уравнения (1)
на 2ai2, мы получим каноническую форму (7).
2) Пусть (7,1+а|2 не обращается в нуль в точках обла-
сти D. Мы ограничимся здесь рассмотрением случая, когда
хотя бы один из коэффициентов ап, а22 не равен тожде-
ственно нулю ни в какой области Dlt принадлежащей D.
Пусть это будет ап.
Возьмем в качестве <р(х, у) и ф(х, у) в формулах (3)
такие функции, которые обращают в нуль коэффициенты
Иц и а22 преобразованного уравнения (4), т. е. являются
решениями уравнений
«пФ* + 2а12ц>хц>у + 7722<р^ = О,
«пФл+ЗОцфхФк +022^ = 0. ( '
Разрешая эти уравнения относительно трх/ф^ и фх/ф^,
получим _aiaiKA фх.-*12±/Д.
•Pji «11 ’ Ф41 71ц
Следовательно, каждое из уравнений (8) распадается на
следующие два уравнения:
Ф*+Ма '/)ф!У = 0, фх+М*> 7/)Ф1/ = 0, (9)
где
т/) = ^А, Л2(х, т/) = ^±^-. (Ю)
Уравнения (9) эквивалентны соответственно уравнениям
% = Ъ(х,У), % = Ъ(х,У)*). (П)
*) Эквивалентность означает, что левая часть общего интеграла
dy , , ,
уравнения — = {х, у) является решением уравнения д>х -|-
+ X, (х, y)<fy=O (i=l, 2); обратно, всякое решение уравнения q>x+
+ X,- (х, у) <fy=0, приравненное произвольной постоянной, дает общий
интеграл уравнения ^“ = ^7 (я. У) (« = 1, 2)- (См. Степанов В. В.,
Курс дифференциальных уравнений, гл. VIII, Физматгиз, 1959.)
12
Пусть <р (х, у) = q и ip (х, у) = с2 суть общие интегралы
уравнений (11). Левые части этих интегралов и есть иско-
мые функции <р(х, у) и ф(х, у).
Таким образом, в рассматриваемом случае мы найдем
функции <р(х, у) и ф(х, у}, обращающие в нуль коэффи-
циенты аи и а22. При этом «12 не обращается в нуль ни
в одной точке области D, что немедленно следует из
тождества (6). Разделив преобразованное уравнение на 2а12
(и заменив переменные х, у переменными ц по форму-
лам (3)), мы и получим искомую каноническую форму.
Общие интегралы уравнений (11) <р(х, z/) = q и
ф(х, У) — Сг образуют два семейства кривых, называемых
характеристиками уравнения (1). Уравнения (11) назы-
ваются дифференциальными уравнениями характеристик.
Заметим, что никакие две характеристики из разных се-
мейств не касаются друг друга, поскольку Xj =/=Х2. Поэтому
упомянутые семейства характеристик образуют криволи-
нейные координатные сетки. В связи с этим рассмотрен-
ное упрощение уравнения (1) посредством преобразования
независимых переменных иногда называют преобразованием
уравнения (1) к характеристикам.
2. Если уравнение (1) эллиптично в области D, то
в D существуют такие функции <р(х, у) и ф(х, у), что
заменой переменных (3) уравнение (1) приводится к кано-
нической форме
+ «ц. и, |, т]) = 0. (12)
Снова ограничимся описанием процедуры отыскания функ-
ций ф(х, у) и ф(х, у).
Сначала формально, как в предыдущем случае, приво-
дим уравнение к виду
ы> Ь г1) = 0. (13)
При этом новые переменные | и >] будут комплексно со-
пряженными *):
£ = <р(х, i/) + np(x, у), Ц — ф(х, у) — гф(х, у),
поскольку дифференциальные уравнения характеристик
в рассматриваемом случае имеют вид
dp _ Ди t- /—A dp _ оц . . /—А
dx Оц Оц ’ dx Оц ' оц
*) Это утверждение справедливо лишь при некоторых условиях,
которым должны удовлетворять коэффициенты аи, а12 и ass уравне-
ния (1). См. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с част-
ными производными, «Наука», 1965.
13
Следовательно, уравнение эллиптического типа имеет лишь
мнимые (комплексные) характеристики.
Произведем новую замену независимых переменных по
формулам р = 0,5(£ + т]) = <р(х, у), о= — 0,51 (£ — т]) =
= ф(х, у), в результате которой уравнение (13), а следо-
вательно и уравнение (1), приводится к искомой канони-
ческой форме (с точностью до изменения обозначений)
«рр + «сс + ^2 («р> «о> и, р, о) = 0.
3. Если уравнение (1) параболично в области D, то
в D существуют такие функции <р(х, у) и ф(х, у), что
заменой переменных (3) уравнение (1) приводится к ка-
нонической форме
ип> и> 11) = 0. (14)
Процедура отыскания функций <р(х, у) и ф(х, у) со-
стоит в следующем.
Сначала находим такую функцию <р(х, у), которая
обращает в нуль коэффициент аи преобразованного урав-
нения, т. е. является решением уравнения
«пФ* + 2а12<рх<(>у + а22ц>1 = 0. (15)
Как и в случае гиперболического уравнения, мы предпо-
лагаем, что ап не равно нулю тождественно ни в какой
области £>i, содержащейся в D. Затем разрешаем уравне-
ние (15) относительно ф*/фв. В отличие от гиперболиче-
ского случая (см. (9)), получаем лишь одно уравнение
Фх + М*. {/)фв = 0, (16)
где Х(х, у) = а12/аи.
Пусть ф(х, у) = с есть общий интеграл уравнения (16).
Левую часть этого интеграла, не равную тождественно
постоянной, и берем в качестве функции ф(х, у). Тогда
коэффициент а12 преобразованного уравнения также обра-
тится в нуль, как это следует из условия па'раболично-
сти уравнения (1) и из тождества (6). В качестве функции
ф(х, у) можно взять любую дважды непрерывно диффе-
ренцируемую функцию, не обращающую в нуль коэффи-
циент а22. Разделив преобразованное таким образом урав-
нение на а^, мы и получим искомую каноническую
форму. Уравнение параболического типа имеет лишь одно
семейство характеристик
| = Ж У).
14
Если исходное уравнение (1) линейное, то и преобра-
зованное уравнение, очевидно, будет линейным.
Итак, канонические формы линейных уравнений имеют
следующий вид:
ubi+Piufc+p2uii-l~Tu=:f (£• т1) (гиперболическое),
и^ + иГ|Я+р1ы^ + р2и1) + уи = /Q, г]) (эллиптическое), (17)
urm+ Pi*4 + p2ui)+W = f (L Я) (параболическое).
4. Если исходное уравнение было линейным и с по-
стоянными коэффициентами, то и в соответствующем кано-
ническом уравнении коэффициенты р1( р2, у будут посто-
янными *). В этом случае уравнения (17) допускают
дальнейшее упрощение при помощи замены неизвестной
функции по формуле
U=v^+V\ (18)
где р, V —числа, подлежащие определению.
Вычисляя производные функции и и подставляя их,
например, в первое из уравнений (17), получим
v^+(v+Pi) ^^h+P2)^+(hv+hPi+vP2+y)v=
= fd, П)е-^”.
Если мы положим р =— р2, v =— Pi, то преобразованное
уравнение примет вид
Vtn+W>=fid> Ч). (19)
где Т1 = у-р1Р2, fid, i]) = f(t Ti)e^+₽*”.
Аналогичным образом уравнение эллиптического типа
приводится к виду
V& + Vrm+=fid, ч). (20)
где V1 = у - 0,25 (Р? + р»), fi = fert-*, р = - О.бРь v = 0,5₽2.
В уравнении параболического типа выбором р и v
нельзя обратить в нуль коэффициенты при и vn, поскольку
преобразованное уравнение имеет вид
Рчл + + (2v + Р2) Vn + (V® + vp2 + ppi + у) v = fi d, Ч).
Полагая v = — 0,5Р2, р = 4-(0,25р® — у), получим
rl
= П)- (21)
*) Характеристиками гиперболического уравнения в этом случае
будут прямые.
15
Имея в виду описанные возможности упрощения уравне-
ния (1), достаточно рассмотреть лишь методы решения
задач, сформулированных для канонических уравнений,
а в случае линейных уравнений с постоянными коэффици-
ентами—для уравнений вида (19), (20), (21).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. ихх —уиУу = 0.
Здесь Оц=1, 012 = 0, о22=—У> Д=о?2—o1iO22 = (/. Следователь-
но, в области у >0 уравнение гиперболично, в области у<0—эл-
липтично.
а) Рассмотрим сначала область гиперболичности. Дифференциаль-
ные уравнения характеристик имеют вид -~ =—]fy, а
их их
x—2\ry=c1, — их общие интегралы. Производя замену
независимых переменных
Z = x—2Vy, г] = х+2Уу,
получим каноническую форму преобразованного уравнения
u&n+0’5 («&-«ц)=0.
Характеристиками являются правые и левые ветви семейства
парабол (х—с)2 = 4 г/ (рис. 1, сплошные и пунктирные кривые). Вер-
шины парабол, лежащие на оси х, ие принадлежат характеристикам,
так как в этих точках уравнение не является гиперболическим (Д=о).
б) В области эллиптичности (у <_ 0) производим замену перемен-
ных р=0,5(5+г))=х, о =—0,5i(ц—5)=2У —у.
Канонический вид уравнения:
1
upp + uaa— —О'
Пример 2. хихх—2Ухуиху+уиуу+0,5иу=0.
Здесь аи = х, а12=—Уху, ci.22=yt Д = а|2—ацО22=0. Следова-
тельно, это уравнение всюду параболического типа. Оно имеет одно
16
семейство характеристик, описываемых дифференциальным уравнением
^ = _-|/Т (или-^^Л
dx г х \ У у Ух /
Общий интеграл этого уравнения Ух-}-Уу=с. Поэтому полагаем
г] можно положить равной любой функции ф (х, у), не
обращающей в нуль коэффициент а22 преобразованного уравнения.
Полагаем г\ = Ух.
Канонический вид уравнения:
“rm- ^ (“£+ “’))= °-
5. Принадлежность к тому или другому типу линей-
ного уравнения второго порядка, не содержащего смешан-
ной производной от искомой функции, т. е. уравнения вида
ai1uxx + a22uUy + bjtix + b^iy+cu =f (х, у), (22)
очевидно, определяется знаками коэффициентов atl и а22.
Точнее, если (х, у) и о22 (х, у) всюду в области D имеют
разные знаки (и в D не обращаются в нуль), то уравне-
ние (22) гиперболично в D; если аи(х, у) и а22(х, у)
всюду в области D имеют одинаковые знаки (и в D не
обращаются в нуль), то уравнение (22) эллиптично в D.
Если же всюду в D один из коэффициентов оц, а22 равен
нулю, то уравнение (22) параболично в D.
Аналогичный признак может быть положен в основу
классификации линейных уравнений вида
У, ацих.х.+ bkuXb + cu=f(xl, х2.....хп) (23)
4=1 *=|
со многими независимыми переменными (xlt х2, ..., хп),
где an, bk, с суть функции переменных (х1( х2, х„).
Уравнение (23) называется:
эллиптическим в точке (xj, х2, ..., Уп), если все коэф-
фициенты аи (xf, х2, ..., х£) в этой точке, во-первых, не
равны нулю, во-вторых, имеют один и тот же знак;
гиперболическим в точке (х,, х2, .... х„), если коэффи-
циенты аи (xj, х%, .... хУ) в этой точке, во-первых, все
не равны нулю, во-вторых, все, кроме одного (напри-
мер, a^ij, имеют один и тот же знак, а (х?, х2, .... хУ)
имеет противоположный знак;
параболическим в точке (х{, х2, ..., х„), если коэффи-
циенты аи (х{, х2, Хп) в этой точке все, кроме одного
17
(например, а^, не равны нулю и имеют один и тот же знак,
(xf, xl........х„) = О и bi, = (xf, xj, ..., А) Ф 0 *).
Если уравнение (23) эллиптично (соответственно гипер-
болично, параболично) в каждой точке области D, то оно
называется эллиптическим (соответственно гиперболическим,
параболическим) в D. Например:
+ + — f (х, у, г) всюду эллиптично
(«==« (х, у, z)),
+ + — k2Ulf = f (X, у, Z, t) ВСЮДу ГИПербоЛИЧНО
(и = и (х, у, г, t)),
^xx + ^yy-V^tz — k2ut—f(x, у, z, t) всюду параболично
(и—и (X, у, Z, /)).
Здесь k — вещественное число.
ЗАДАЧИ
1. Привести к каноническому виду уравнения:
а) х*ихх—угиуу = 0;
6) Угихх+х^иУу = 0;
в) x2uxx+2xj,uJCB+b-2uBB=0;
О ихх +уиуу + 0,5ив=0.
2. Привести к простейшему каноническому виду уравнения:
a) uxx+2uxy + uyy + 3ux—5uB4-4u=0;
б) ихх-[-4иХу-[-Зиуу}-5их-[-иу-}-4и=0',
в) 2uxx4-2uxb4-ubb4-4ujc-|-4ub-|-u = 0.
*) Возможны и другие распределения знаков коэффициентов.
См. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными про-
изводными, «Наука», 1965.
Глава II
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЯМ
РАЗЛИЧНЫХ ТИПОВ. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Мы рассмотрим ряд физических задач, приводящих
к уравнениям указанных в гл. I типов. При выводе урав-
нений, описывающих соответствующие процессы, мы будем
пользоваться основными законами сохранения.
§ 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны
Струной мы будем называть упругую нить, не сопро-
тивляющуюся изгибу, но оказывающую сопротивление
растяжению *). Отсутствие сопротивления изгибу мате-
матически выражается в том,
что напряжения, возникаю-
щие в струне, всегда на-
правлены по касательной к
ее мгновенному профилю
(рис. 2).
Будем рассматривать стру-
ну, расположенную вдоль
оси х. Колебания каждой
точки струны с абсциссой х
описываются тремя компонентами вектора смещения
{«i(x, I), и2(х, t), и3(х, /)}• Мы будем рассматривать только
такие колебания, в которых смещения струны лежат в
одной плоскости (х, и), а вектор смещения перпендику-
лярен в любой момент времени к оси х (поперечные коле-
бания). Мы ограничимся рассмотрением лишь малых коле-
баний, т. е. таких, в которых можно пренебречь квадратом
их в сравнении с единицей.
*) Например, нитью иногда можно считать стержень, два изме-
рения которого малы в сравнении с третьим—длиной.
19
Из предположения о малости колебаний следует, что
величина натяжения Т, возникающего в струне, не зави-
сит от времени t.
В самом деле, рассмотрим участок (хи х2) невозмущенной
струны. Его длина в начальный момент равна х2 —Хц
а в момент t она равна
Xs ____________
J 1 + и'х dx.
Xi
Для малых колебаний
ха ______ ха
J V 1 + u‘idx^ 5
1 dx — x2 —xt.
Таким образом, с точностью до членов второго порядка
малости по их длина фиксированного участка струны не
меняется со временем, т. е. этот участок не растягивается.
Отсюда в силу закона Гука следует, что величина натя-
жения Т не меняется со временем (с точностью до членов
второго порядка малости относительно их). Следовательно,
Т может быть функцией только х: Т = Т (х). Поскольку
мы рассматриваем поперечные колебания, нас будет инте-
ресовать лишь проекция вектора натяжения на ось и.
Обозначим ее через Т„.
Очевидно,
Ти = Т sin а = Т tg а cos а = Т r^L— Тих,
Р+4
где а — угол касательной к кривой и — и (х, /) с осью х
при фиксированном t (рис. 2).
Количество движения участка (хи х2) в момент вре-
мени t равно
Хг
Xi
где р —линейная плотность струны. Пусть f(x, ^ — плот-
ность равнодействующей внешних сил, действующих на
струну в направлении оси и.
По второму закону Ньютона изменение количества
движения участка (xt, х2) за время txt = t2 — tt равно
импульсу действующих сил, которые в рассматриваемом
20
случае складываются из сил натяжения Тих, приложен-
ных к концам участка, и внешних сил $/(£,
$ [«/ (5, /2) - ut (I, /,)] р (g) d? = 5 [Т (х2) их (х2, т) -
xt /1
G хх
-Т(Х1) их (хъ Т)] dT+ Ц /(?, т) d?dT. (1)
/, X,
Это и есть уравнение малых поперечных колебаний участка
струны между точками Xj и х2 в интегральной форме.
Если и(х, t) имеет непрерывные производные второго
порядка, а Т (х) — непрерывную производную первого
порядка, то, применяя теорему Лагранжа о приращении
функции и теорему о среднем для интегралов в уравне-
нии (1), получим
««(Bi. *1) Р (Si) ~ \Т (х) Д/ Ах + f (?з, т3) М Ьх,
i — т2
(2)
где Bi, Вг. 1зG I-Vi» х2], Tj, т2, т3 е [/lt /2]. Разделив обе части
равенства (2) на Д/Дх и перейдя к пределу при Д/-»-0 и
Дх->0, получим дифференциальное уравнение малых по-
перечных колебаний струны
£lTux]+f(x,t) = P(x)utt. (3)
В случае, когда Т = const и р = const, уравнение обычно
пишут в виде
a2uxx + F (х, t) = uth (4)
где a2 — Tip, F(x, t)—f(x, t)/p. Уравнение (4) называется
одномерным волновым уравнением.
§ 2. Уравнение малых продольных колебаний
упругого стержня
Мы будем рассматривать стержень, расположенный
вдоль оси х. Введем следующие обозначения: S(x) —пло-
щадь сечения стержня плоскостью, перпендикулярной
оси х, проведенной через точку х; k (х) и р (х) — модуль
Юнга и плотность в сечении с абсциссой х; и (х, t) — вели-
чина отклонения (вдоль стержня) сечения с абсциссой х
в момент времени t; при этом мы предполагаем, что вели-
21
чина отклонения всех точек фиксированного сечения оди-
накова *). Очевидно, продольные колебания полностью опи-
сываются функцией и (х, t). Малыми мы будем называть
такие продольные колебания, в которых натяжения, возни-
кающие в процессе колебаний, подчиняются закону Гука.
Подсчитаем фигурирующее в формулировке закона Гука
относительное удлинение участка (х, х+Дх) в момент вре-
мени t. Координаты концов этого участка равны х + и (х, /),
х + Дх + «(х + Дх, t). Следовательно, относительное удли-
нение участка равно
Ux+Дх+и (х+Дх, 01-[х-Щ (х, <))} —Дх = {х + е Дх> 0
(0<6< 1).
Таким образом, относительное удлинение в точке х в мо-
мент времени t равно их (х, t), а величина натяжения Т
по закону Гука равна T — k(x)S(x)ux(x, t).
Пусть f (х, t) — плотность равнодействующей внешних
сил, действующих на сечение с абсциссой х вдоль оси х.
Применяя второй закон Ньютона к участку стержня (хп х2)
(за время Д/ = (2 — получаем
Х1
^2
— $ {S (х2) k (х2) их (х2, т) — S (Xj) k (Xj) их (Xi, т)} dr +
iiX!
+ 5 5 f(l,x)dldr.
it X,
Это и есть уравнение малых продольных колебаний участ-
ка стержня в интегральной форме. Предполагая существо-
вание непрерывных производных второго порядка у функ-
ции и (х, t) и непрерывной первой производной у функций
k(x) н S(x), легко находим дифференциальное уравнение
малых продольных колебаний стержня:
[S (х) k (х) их (х, /)] +/ (х, t) = р (х) S (х) utl (х, /). (5)
*) Здесь х—абсцисса рассматриваемого сечения стержня, когда
последний находится в покое. Таким образом, движение фиксирован-
ного сечения стержня описывается в координатах Лагранжа (см.
К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В., Теоретическая гидро-
механика, ч. I, Физматгиз, 1963).
22
Если S(x), k(x) и p(x) постоянны, то уравнение (5) при-
водится к виду
a2uXx + F(x, t)=uu,
где
a2 = k!p, F (х, t) = f(x, t)/pS.
Уравнения (3) и (5) по существу одинаковы и разли-
чаются лишь обозначениями(Sk — вместо Т, a pS — вместо р).
Оба они всюду гиперболического типа, поскольку по са-
мому смыслу Т(х), S(x) и k(x) положительны.
§ 3. Уравнение малых поперечных колебаний мембраны
Мембраной называется натянутая плоская пленка,
не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу, но оказывающая
сопротивление растяжению*).
Мы будем рассматривать малые поперечные колебания
мембраны, в которых смещение перпендикулярно плос-
кости мембраны (х, у) и в которых квадратами величин
их и иу можно пренебречь. Здесь и=и{х, у, t} — величина
смещения точки (х, у) в момент времени t.
Пусть ds —элемент дуги некоторого контура, лежа-
щего на поверхности мембраны, М — точка этого элемента.
На этот элемент действуют силы натяжения Т ds. Отсут-
ствие сопротивления мембраны изгибу и сдвигу матема-
тически выражается в том, что вектор натяжения Т лежит
в плоскости, касательной к поверхности мембраны в точ-
ке М, и перпендикулярен элементу ds, а величина натя-
жения Т в этой точке не зависит от направления элемента
ds, содержащего точку М. Из предположения о малости
колебаний следует:
1) Проекция Тпр вектора натяжения Т на плоскость
(х, у) равна Т.
Действительно, Тпр — Т cos а, где а —угол между век-
тором Т и плоскостью (х, у). Но а не больше угла у
между касательной плоскостью к поверхности мембраны,
в которой лежит вектор Т, и плоскостью (х, у): а у.
Поэтому
_ 1 ,
cos а cos у = г . - — <=« 1.
Следовательно, cos а 1 и, значит, Дф Т.
*) Например, мембраной иногда можно считать плоскую пластину,
толщина которой мала в сравнении с двумя другими измерениями.
23
2) Натяжение Т не зависит от времени t.
В самом деле, рассмотрим участок S невозмущенной
мембраны. Его площадь равна dxdy. Площадь этого
s
участка в момент времени t равна
S S
Таким образом, площадь
Уг
У/
Рис. 3.
ограниченный отрезками,
осям (рис. 3).
фиксированного участка мем-
браны не меняется со време-
нем, т. е. этот участок не рас-
тягивается. Поэтому в силу
закона Гука и Т не меняется
со временем. Из того, что Т
направлен по перпендикуля-
ру к элементу дуги ds, сле-
дует, что Т не зависит также
от х и у. Действительно,
рассмотрим участок невозму-
щенной мембраны Д1В1В2Д2>
параллельными координатным
На этот участок действует сила натяжения, равная
Zds-I- $ Tds+ J Tds-f- $ T ds.
AiAg AgBg BtBt BtAt
Вследствие отсутствия перемещения точек мембраны вдоль
осей х, у проекции этой силы на оси х и у равны нулю.
С другой стороны, ее проекция на ось х равна
Уг Уг
$ Tt/s-J- $ Тds= $ Т(x2,y)dy — (хх,y)dy —
AgBg Bi Ai у i yi
Уг
= 5 y^~T у)1 dy=°> (6)
У1
а на ось у
хя
J Т ds + 5 т ds = J [T (x, yd — T (x, y2)] dx = 0. (7)
AjAg BtBt Xi
Ввиду произвольности промежутков (хь х2) и (ylf у2)
из (6) и (7) следует, что Т (х1г у) = Т (х2, у) и Т (х, уА) =
= Т (х, у2), ч. т. д.
24
Пусть S — участок мембраны в момент времени t, огра-
ниченный контуром С. Обозначим через Sj и Сг проекции
S н С на плоскость (х, у) (рис. 4).
Рис. 4.
Сосчитаем величину вертикальной составляющей Ри
силы натяжения, действующей на С. Для этого рассмот-
рим элемент dl на С и точ-
ку М иа нем. Пусть Тм—
вектор натяжения в точке М,
перпендикулярный dl. Через
Тм проведем плоскость, пер-
пендикулярную плоскости
(х, у). Эта плоскость пере-
сечет плоскость (х, у) по
нормали п к Сх в точке
(рис. 4). На рис. 5 изоб-
ражен профиль L сечения
Рис. 5.
поверхности S. Очевидно,
Ти = Т sin а — Т
Следовательно,
ди
„ ди dlj
dncosf’
tga
Vl-f-tg’a
25
где Р — угол между элементами dl и dl1. Поскольку Р у
(см. стр. 23), то cos р 2г cos у = 1 аГ-ру 1 • Поэтому
Cl
Применяя к этому интегралу формулу Остроградского,
получаем
PU=^T \\(uxx + Uyy)dxdy = T\\budxdy.
st s,
Теперь нетрудно получить уравнение малых попереч-
ных колебаний мембраны.
Обозначим через f(x, у, t) плотность равнодействую-
щей внешних сил, действующих на мембрану в точке
М (х, у) в момент времени t вдоль оси и, а через р (х, у) —
поверхностную плотность мембраны.
Применяя второй закон Ньютона к участку Sx мемб-
раны (за время Д? = /2 —^), получаем искомое уравнение
в интегральной форме:
И lut(x, у, t2)-ut(x, у, G)] Р(*. y)dxdy —
St
^2 ^8
= J Ц Т Д« dx dy di + $ J f(x, у, x)dx dy dx.
It St tt St
Предполагая существование и непрерывность соответ-
ствующих производных, легко получить дифференциаль-
ное уравнение малых поперечных колебаний мембраны'.
T&u+f(x, у, t) = puu.
Это уравнение, очевидно, гиперболического типа.
Если р = const, то его можно написать в виде
а2Д«4-Е(х, у, t) = uu, (8)
где а2 = Т!р, F(x, у, t)=f(x, у, 0/Р- Уравнение (8) назы-
вается двумерным волновым уравнением.
§ 4. Уравнения гидродинамики и акустики
Движение сплошной среды характеризуется вектором
скорости ®(х, у, z, t}, давлением р(х, у, z, t) и плотно-
стью р(х, у, z, t). В качестве такой среды мы будем рас-
сматривать идеальную жидкость (газ).
26
Рассмотрим некоторый объем жидкости D, ограничен-
ный поверхностью S. Давление, действующее на этот
объем, равно
к S.
движения
уравнение
(9)
Hpnds,
s
где п — единичный вектор внутренней нормали
По формуле Остроградского получим
$$pwds = -$$$Vpd-r,
S D
где Vp —градиент р.
При отсутствии внешних сил уравнение
объема D можно написать в виде
D D
Из него в силу произвольности D получаем
движения в форме Эйлера:
pf + VP = 0‘
Здесь — ускорение частицы, равное
dv । „ dv i dv . ди
’аГ I "а—I ^2 Т' ”1 V» •
dt 1 1 дх 1 2 ду 1 sdz
Если внутри D нет источников (стоков), то
в единицу времени количества жидкости, заключенной
внутри D, равно потоку жидкости через границу S, т. е.
—$$₽«>•»>*
D S
Применяя к правой части формулу Остроградского, полу-
чаем п „ п „ ,
П S [8 + diV <P®)]dT=0>
v b
откуда следует уравнение неразрывности среды
g+div(p®) = 0. (10)
Рассмотрим адиабатические движения газа, для которых
справедливо соотношение
P = Po(p/Po)v.
изменение
(Н)
27
где у = cf/cv, ср, с-о — удельные теплоемкости соответственно
при постоянном давлении и постоянном объеме; р0, р0 —
начальные значения давления и плотности. Нелинейные
уравнения (9) —(11) образуют полную систему уравнений,
описывающих адиабатические движения идеального газа.
Они называются уравнениями газодинамики
Введем в рассмотрение уплотнение газа о:
<* = (Р-Ро)/Ро. Р = Ро(1+<О- (12)
Если ограничиться рассмотрением малых колебаний,
в которых можно пренебречь вторыми (и более высокими)
степенями уплотнения, скорости и градиентов скоростей
и давлений, то уравнение (9) и (11) допускают сущест-
венные упрощения (линеаризацию).
Действительно, при указанных допущениях имеем
-1- = --г4—= -(1-<т + <т2-...)^-(1-о),
Р Ро 1 +а Ро' Ро'
p = Po(l+tf)Vj=«Po(l 4-70), (13)
— Vp^ — (1 — о) Vpp»(l — Vo (если p0 = const),
Р Ро Ро
div(p»)^podiv[(l+<т)©] ^podiv (©) (если р0 = const).
Поэтому, отбрасывая в уравнениях (9) и (10) члены более
высокого порядка малости, получаем
©z4-a2Vff = ° (о2 = ТРо/Ро). 0/4-div (®)=*0. (14)
Применим к первому уравнению (14) оператор div, а ко
д
второму — ^. Результаты вычтем один из другого —по-
ЛУЧИМ с2До = а„. (15)
Из соотношений (12), (13) и (14) находим аналогичные
уравнения для р и р:
а2 Др = р//< а2 Ьр = ри. (16)
Уравнения (15) и (16) называются уравнения акустики.
Они, очевидно, гиперболического типа. Такие уравнения
называют также трехмерными волновыми уравнениями.
Далее, из первого уравнения (14) находим
v(x, у, z, t) =
= 1){х, у, z, 0) — a2jVocfr = ©(x, у, z, 0) —vKtftrdT].
о \о /
28
Предположим, что в начальный камент (t = 0) поле
скоростей имеет потенциал f(x, у, z), т. е. =
= —V/(x, у, z). Тогда v(x, у, z, t) = —V{f(x, у, z) +
t i
+ а2 § о dal = —V«; следовательно, поле скоростей имеет
о J
потенциал и и для />0
t
u — f{x, у, z) + a2\odi.
о
Дифференцируя это соотношение по t, находим ut — a2a,
uu = a2Gt. Заменяя во втором уравнении (14) а, и в их
выражениями через и, получаем
а2Д« = ««. (17)
Таким образом, и потенциал поля скоростей удовлетво-
ряет волновому уравнению.
§ 5. Уравнения для напряженности электрического
и магнитного полей в вакууме
Напишем уравнения Максвелла в вакууме для области,
в которой нет электрических зарядов:
rotE=^^, divE=0, divtf=0, rottf=-^',
с ot' с ot ’
(18)
где И— напряженность магнитного поля, Е— напряжен-
ность электрического поля.
Применяя операцию rot к первому уравнению, получим
rot rot Е = — rot Н. (19)
с di ' '
По известной формуле векторного анализа
rot rot Е = V (div £) — ДЕ.
В нашем случае rot rot Е= — ДЕ, поскольку div Е = 0.
Подставляя это значение в формулу (19) и используя
последнее уравнение системы (18), получаем волновое
уравнение для Е:
с2ДЕ=Е«. (20)
Аналогично (путем применения оператора rot к обеим
частям последнего уравнения системы (18)) получается
уравнение c2\H=Htt.
29
§ 6. Уравнения теплопроводности и диффузии
Выведем уравнение, описывающее распределение тем-
пературы в теле.
Пусть и(М, /) —температура тела в точке М в момент
времени t. При выводе уравнения будем пользоваться
законом Фурье для плотности потока тепла w в направ-
лении п в единицу времени:
,ди
w — — k^.
on
Здесь k — коэффициент теплопроводности. Он может быть
функцией температуры, точки и времени: k — k(u, М, t).
Рассмотрим часть тела D, ограниченную поверхностью S.
Обозначим через f(M, t) плотность источников тепла.
Подсчитаем баланс тепла для D за малое время Д/:
= t) du At — приход за счет источников;
В
Q2 = — \ ? du AZ — расход за счет выходящего
’У ” из D потока;
ди л
здесь производная берется по направлению внешней
нормали к S;
Qs = cput du AZ — расход на изменение температуры,
в где с—коэффициент теплоемкости,
р —плотность вещества.
Закон сохранения энергии требует, чтобы Qj = Q2+Qs-
или
5 $ $ S $ !>Л- $ $ $ W*.
SB в
Применяя к первому интегралу формулу Остроградского,
получаем
§ [div (k /)] cf-r — J S cPut
В В
откуда, ввиду произвольности области D, следует иско-
мое уравнение теплопроводности-.
div (Л Vu)+f(M, t) = cput. (21)
30
Совершенно аналогично выводится уравнение диффу-
зии. При этом надо пользоваться законом Нернста для
потока вещества w в направлении п:
Здесь и = и(М, /) —концентрация диффундирующего веще-
ства (газа, жидкости), D — коэффициент диффузии. В фор-
муле для <23 вместо ср надо написать коэффициент пори-
стости с среды, в которой происходит диффузия. Уравне-
ние диффузии имеет вид
div(DVu)+/(Af, t) = cut. (22)
По физическому смыслу k и D положительны. Поэтому
уравнения (21) и (22) параболического типа.
Задачи об отыскании установившейся температуры или
концентрации приводят, очевидно, к уравнению эллипти-
ческого типа div {k yu)==_f (М)>
если k, с, p и f (соответственно D и с) не зависят от t.
§ 7. Кинетическое уравнение*)
1. Впервые кинетические уравнения были введены Больцманом
в кинетической теории газов.
В 30-х годах, с возникновением задач нейтронной физики, ки-
нетическое уравнение нашло приложение в вопросах прохождения
нейтронов через вещество.
В настоящее время оно находит разнообразные применения в за-
дачах, связанных с прохождением через вещество элементарных
частиц и различных видов излучения (в последнем случае его назы-
вают уравнением переноса).
Гидродинамические уравнения Эйлера и Навье —Стокса являются
приближениями к строгому кинетическому уравнению Больцмана.
Рассмотрим кинетическое уравнение, описывающее процесс рас-
пространения нейтронов в некотором веществе. Это уравнение выво-
дится при следующих предположениях.
1) Внешние силы не действуют на рассматриваемые частицы (на
нейтроны). Нейтроны не имеют электрического заряда, и поэтому,
если даже вещество ноннзоваио, действие электромагнитного поля
на нейтроны равно нулю. Если бы мы выводили кинетическое урав-
нение для электронов в плазме, то такое предположение было бы
неверным.
2) Частицы (т. е. нейтроны) между собой не сталкиваются (кон-
центрация нейтронов гораздо меньше концентрации ядер в реакторе).
3) Ядра среды считаем неподвижными. Пренебрегаем химиче-
скими связями.
‘) Этот параграф написан с участием А. Ф. Никифорова.
31
Прн этом возможны следующие процессы:
а) Рассеяние нейтронов на ядрах Пусть as — вероятность рас-
сеяния одного нейтрона на единице длины его пути в заданной среде
(по-английски рассеяние — scattering).
б) Поглощение (захват) нейтронов ядрами. Пусть ас — вероят-
ность поглощения нейтрона на единице длины его пути (ло-англнйскн
захват— capture).
в) Поглощение с последующим делением ядра, в результате ко-
торого из осколков ядра в момент захвата нейтрона ядром испу-
скаются в среднем v нейтронов (запаздывающими нейтронами, кото-
рые вылетают из осколков через некоторое время после деления,
будем пренебрегать). Пусть а/ — соответствующая вероятность вызвать
деление (по-английски деление — fission).
Примечание 1. Значение as и соответствующее эффектив-
ное сечение рассеяния нейтрона на ядре ол связаны соотношением
as = /Vos, где N — концентрация ядер, и т п.
2. Пусть ¥ (г, v, t)—функция распределения нейтронов по ко-
ординатам и по скоростям, так что ¥ (г, v, t) dr dv—число нейтро-
нов в элементе объема dr — dx dy dz со скоростями, лежащими в «интер-
вале» (®, ®-|-До), где Ao = (dox, duy, doj —вектор с компонентами
dvx, dt>y, dve:
dv = dvx • dvy • dvs.
Согласно определению функции V концентрация нейтронов л
в точке г в момент времени t равна
л = j ¥ (г, v, t) dv.
V
Подсчитаем изменение за время dt числа нейтронов, имеющих
скорости, лежащие в «интервале» (®, »-|-Д®), в некотором фиксиро-
ванном элементе объема dr. Этот элемент объема dr будем предпо-
лагать неподвижным в рассматриваемой «лабораторной» системе ко-
ординат. Кроме того, будем считать, что в элементе объема dr содер-
жится достаточно большое число нейтронов и ядер.
Итак, имеем:
1) ¥ (г, о, t) dr dv нейтронов уйдут из рассматриваемого эле-
мента объема dr, так как они имеют отличную от нуля скорость;
¥ (r—v dt, v, t) dr dv нейтронов придут в элемент dr (по инерции);
полагаем при этом, что vdt^> d(dr), где d(dr)—диаметр элемента
объема dr.
2) Прн взаимодействии с ядрами произойдет уменьшение числа
нейтронов в рассматриваемом объеме соответственно на величины:
У (г, v, f) dr dv as (v) v dt
¥ (r, v, f) dr dv ac (o) v dt
V (r, v, t) dr dv Of (o) v dt
(за счет рассеяния);
(за счет поглощения);
(за счет деления).
Общее уменьшение за счет всех трех упомянутых процессов бу-
дет равно
У (г, v, t) dr dv а (о) v dt.
Здесь а (о) v dt — [as (о)-f-ac (o)-j-ay (о)] v dt дает суммарную вероят-
ность провзаимодействовать одному нейтрону с ядрами на пути
длины vdt.
32
3) Пусть ws (o' — о) dv есть вероятность нейтрону, имеющему
скорость о', рассеяться после соударения с ядром в «интервал» ско-
ростей (о, v 4-До), т. е. получить скорость из «интервала» (о, о-|-До).
Короче будем выражать это словами: при рассеянии скорость
нейтрона изменилась с о' на о.
Тогда число нейтронов, скорость которых о' в результате рас-
сеяния на ядрах, содержащихся в dr, изменится по величине н на-
правлению так, что станет равна о, будет равно следующему инте-
гралу по всем возможным значениям скоростей •&':
J dv’ [Y (г, ч>', 0 dras (o') v’ dt ws (o' —» o) do].
4) Число нейтронов co скоростью о, появившихся в результате
делении ядер нейтронами со скоростями о', из аналогичных сообра-
жений равно
J do' [Т (г, o', 0 dr а/ (o') v' dt Wj (v' —*v)dvv (o')].
V'
Здесь Wf (o' — o) do есть вероятность иметь испущенному осколком
нейтрону скорость в «интервале» (о, о-|-До), если деление вызвал
нейтрон со скоростью o'; v(o')—среднее число вторичных нейтронов,
возникающих от одного поглощенного нейтрона, имевшего скорость о'.
5) Посторонние источники нейтронов дают количество нейтронов,
равное F (г, v, t) dr dv di.
Напишем закон сохранения числа нейтронов (баланс нейтронов).
Общее изменение числа нейтронов со скоростью из «интервала»
(о, о-|-До) в фиксированном элементе объема dr за время dt по опре-
делению частной производной по времени равно
^V(r, V, tjdrdvdt.
dt
Следовательно, баланс нейтронов запишется в виде
Т (г—о dt, v, t) dr dv—Ч (r, v, 0 dr do —
— ¥ (r, o, t) a (v) dr dv-vdt +
+ J ¥ (r, o', t) as (o') ws (v' — o) dr dv • v' dt dv’ +
v'
+ J W (r, o', t) af (o') v (o') Wf (o' — o) dr dv • о dt dv' -|-
Vе
4-F (r, o, f) dr dv dt = ~V (r, v, tjdrdvdt.
Так как
v, t)—4(r—vdt, v, 0=^od/=(o graded/,
то после суммирования и сокращения на drdvdt получим кинети-
ческое уравнение, описывающее процесс распространения нейтронов
в среде, в виде
ачг,
"gfgrad ¥=— аоТ 4-F (г, о, 0 +
+ J [«s (o') ti)s (o'—* o)+v (o') ay (o') иу (o'—о)] Т (г, o', 0 о'do. (23)
2 В. Я. Арсенин
33
Вероятности ws и uy, входящие в (23), очевидно, должны быть Нор-
мированы следующим образом:
J uis (o' —- -о) d®=l, »®)d® = l.
V V
Замечание. При рассмотрении переноса излучения уравне-
ние будет иметь аналогичный вид. Роль скорости частиц будет играть
частота со, так как импульс фотона p = tus>lc (К — постоянная Планка,
с—скорость света)*).
3. При исследовании уравнения (23) возникают серьезные мате-
матические трудности. Поэтому часто ограничиваются рассмотрением
случая, когда скорости всех нейтронов одинаковы по величинё (одно-
•скоростное кинетическое уравнение). Точнее, рассматривают уравне-
ние при дополнительных предположениях:
Рассеяние происходит без изменения величины скорости, и при
делении возникают нейтроны той же энергии, что и вызывающие
деление.
Для упрощения уравнения предположим дополнительно, что
распределение нейтронов после рассеяния и деления равномерно по
направлениям скоростей в рассматриваемой системе координат, или,
как говорят, изотропно.
Поскольку величина скорости всех нейтронов одна и та же (о),
то величины as (о), ас (у), a.f (о) и v (о) в этом случае будут посто-
янными.
Примечание 2. Рассеяние нейтронов может быть как упру-
гим (в основном на легких идрах), так и неупругим (на тяжелых
ядрах). Это связано с энергией нейтрона и характером расположе-
ния уровней возбужденных состояний ядер по отношению к основ-
ному состоянию. В системе центра тяжести нейтрона и ядра упру-
гое рассеяние сферически-симметрично, если длина войны нейтрона
гораздо больше размеров ядра. В лабораторной системе отсчета при
этом условии рассеяние можно считать изотропным, если лаборатор-
ная система практически совпадает с системой центра тяжести, т. е.
рассеяние нейтронов происходит на тяжелых ядрах, которые мы
предполагаем в лабораторной системе покоящимися.
Проще всего односкоростное кинетическое уравнение можно по-
лучить, если повторить вывод кинетического уравнения для односко-
ростиого случая при перечисленных дополнительных предположениях.
Так как скорость нейтрона в этом случае изменяется только по на-
правлению l=v/v (величина скорости v постоянна для всех нейтро-
нов), то вместо величин tos (®' —> ®) dt> и Wf (o' —» о) do надо, очевидно,
использовать величины ws (I' -»I) dQ и l)dQ, где dQ —эле-
мент телесного угла в направлении I, причем для изотропного случая
(см. дополнительное предположение) к>5=1/4л, оу=1/4л. Функцию
распределения Т (г, I, f) в одиоскоростном случае по определению
вводят таким образом, что ¥ (г, I, I) dr dQ есть число нейтронов
в элементе объема dr со скоростями, направления которых содер-
жатся в телесном угле dQ, охватывающем вектор I.
*) Подробный вывод уравнения переноса можно нацти в книге
Д. А. Франк-К амеиецкого «Физические процессы внутри
звезд». Фисматгиз, 1959.
34
В результате для функции V (г, f, 0 получим следующее урав-
нение:
1 ОТ 6 С
- -^+(1, Гф)=-аф+^ J ¥(r, I', t) dQ'. (24)
£Г
Здесь a=as+ac-\-af, f=as-|-vay. Кроме того, мы предположили
здесь для простоты, что источников нейтронов нет.
Если в уравнении (24) функция ¥ (г, I, 1} зависит по простран-
ству лишь от одной переменной х, а зависимость- от I характери-
зуется лишь углом в между осью X и направлением скорости I (ази-
мутальной зависимости от угла <р нет), то возможны дальнейшие
упрощения. Так как dQ = sin в do dtp, то после интегрирования в пра-
вой части (24) по углу <р получим
я
1 aw а«г ВС
+cos6 =— аУ+у J Y (х, в, I) sin в de. (25)
О
Если произвести в (25) замену переменной p=cos6, то уравне-
ние (23) можно записать также в виде
1
1 д'У ВС
Т 7)7 +4 \ Y <х> Н. О Ф- (26)
U С/t С/Л л. J
- 1
Так как уравнение (26) является однородным, то можно принять
следующую нормировку для функции V (х, р,, 0;
1
j У (х, р,, 0 dp==n,
где «—концентрация нейтронов.
4. В задачах, связанных с расчетом ядерных реакторов, пред-
ставляет интерес решение стационарного кинетического уравнения,
ОТ /
когда -^-=0. В этом случае уравнение (26) принимает вид
1
ОТ R С
р, =— аЧ + -Р- Т (х, р) dp. (27)
— 1
Введем моменты функции распределения
1
,М*)= J р.*У(х, р) dp (fe = 0, 1, ..).
Умножая (27) на р* и интегрируя по р, будем иметь
<28>
Полагая в (28) последовательно fe=0, 1, 2, ..., можно выра-
зить каждый из моментов через 4f0. Однако полученная система
уравнений не замкнется, т. е. число уравнений будет меньше числа
неизвестных. Для ее решения введем дополнительные предположения.
2* 35
Будем считать, что распределение нейтронов по пространству
имеет вид (близко к равновесному) (х, р)=а (х)-|-6 (х) р. Здесь
второе слагаемое носит характер поправки к первому (Ь а). В этом
приближении
1
Отсюда
¥0=2а, Ух=46’ Чгз=4«=4-Ч'о.
•J о о
Полагая в (28) k—0, 1, получим
§=(₽-<№ (29)
Подставим в (29) Ч,2 = 4 Ч^. Получим
5 = (₽-«)%, — (30)
Мы получили систему двух уравнений для двух функций Ч^ и Ч^.
Удобно перейти от функций Ч^ и ЧГ1 к концентрации нейтронов я и
плотности потока нейтронов / в направлении х. Имеем
я = J Чг (х, р) dp = ЧТо, 7 == J орЧг (*» В) Ф =
Перепишем систему (30), вводя функции я и / вместо % и Ч,1:
di ,D . v dn
£ = v(fi-a)n, ^ = -Ч,
или
v dn v <Рп ,в .
l~~todi’ -3^d^ = ^₽-a)n-
Положим o/(3a) = D. Тогда первое из уравнений дает закон
Периста, где D — коэффициент диффузии, а второе—уравнение диф-
фузии в одномерном стационарном случае:
i = og+o(₽-a)«=o. (31)
Член о(р — а) я представляет источники.
Заметим, что полученные уравнения справедливы и в анизотроп-
ном случае, когда а^Ь, но 4е = a-(-ftp-
Если в рассмотренном приближении повторить весь вывод для
пространственного нестационарного случая, то мы придем к системе
уравнений, аналогичной (31):
/ = — О grad я, ^ = D Дя-|-о(Р —а)я.
(32)
36
§ 8. Типы краевых условий. Постановка краевых задач
1. При решении задач физики или других областей
науки математическими методами необходимо прежде всего
дать математическую постановку задачи, а именно:
а) написать уравнение (или систему уравнений), кото-
рому удовлетворяет искомая функция (или система функ-
ций), описывающая исследуемое явление;
6) написать дополнительные условия, которым должна
удовлетворять искомая функция на границах области ее
определения.
При решении каждой конкретной физической задачи
математическими методами надо ставить вопрос не о реше-
нии соответствующего уравнения, а о решении математи-
ческой задачи в ее полной постановке, вместе с соответ-
ствующими дополнительными условиями. Обычно интере-
сующие нас явления имеют однозначный характер, в то
время как описывающие их уравнения имеют множество
решений. Поэтому при математической постановке задачи
недостаточно написать уравнение (или систему), которому
удовлетворяет искомая функция (система функций). Надо
также указать дополнительные условия, позволяющие
выделить лишь одно интересующее нас .решение, описы-
вающее конкретное явление, процесс. Дополнительных
условий должно быть «не слишком много», чтобы суще-
ствовало решение, удовлетворяющее им. Таким образом,
дополнительные условия должны обеспечить существование
и единственность решения.
Характер дополнительных условий мы покажем на
примерах задач, рассмотренных в предыдущих параграфах.
Например, в случае колебаний струны или стержня
(уравнения (3) и (5)) надо задать начальный профиль
и(х, 0) = <р(х)
и начальную скорость
ut(x, 0)=ф(х)
точек струны (стержня).
Это начальные условия. Аналогичный вид они имеют
для любого волнового уравнения.
Кроме того, надо записать режим на концах (краях)
струны (стержня).
Так, если задан закон движения концов (х = 0 и х = 1)
и (О, О — Р-1 (0» 0 = На (О»
37
то мы будем называть такие дополнительные условия
краевыми (граничными) условиями первого типа.
Если задан закон изменения силы, приложенной к концу
струны (стержня) и действующей в направлении колеба-
ний, то режим на концах можно записать следующим
образом:
£m*|*-o = A(0. Etix\x_i = f2(t)
или
их (0, f) = Vj (/), их (I, t) = va (f).
Это краевые условия второго типа.
Пусть к концу стержня (х = 1) прикреплена пружина,
действующая вдоль оси х. Тогда сила натяжения Еих на
конце будет уравновешиваться силой действия пружины,
равной аи. Краевой режим на этом конце можно записать
следующим образом:
Еих(1, /) =— аи(/, f),
где а — коэффициент жесткости пружины, или
их(/, t) + hu(l, 0 = 0.
Если пружина в свою очередь движется по закону
х = Р(0, то краевой режим запишется в виде
ux(l, f) + h[u(l, 0-₽(0] = 0.
Это краевое условие третьего типа. На левом конце
(х = 0) оно запишется -в виде
их (0, 0 - h [и (0, 0 - р (0) = 0.
Для дву- и трехмерного случаев рассмотренные типы
краевых условий имеют следующий вид:
«|з=и(М, 0 (первый тип), (33)
£|s=v(^’0 (второй тип), (34)
^+Ли)|5 = Р(Л1, 0 (третий тип). (35)
о ди
Здесь — производная по внешней нормали к поверх-
ности S.
Такие же краевые условия встречаются и в задачах,
приводящих к уравнениям параболического типа. Так,
если задается температура на поверхности тела, то имеем
краевое условие первого типа. Если задается плотность
38
Потока тепла —через поверхность т,ела 5, то имеем
краевое условие второго типа. Если же на поверхности
тела происходит теплообмен со средой, имеющей темпера-
туру Р(М, f), по закону Ньютона —k^ = h[u — 0]|$, то
имеем краевое условие третьего типа.
Встречаются и другие типы краевых условий. Неко-
торые из них мы рассмотрим позднее. Рассмотренные типы
краевых условий являются линейными, поскольку искомая
функция или ее производные входят линейно. Они назы-
ваются однородными, если правые части (р, v, Р) тожде-
ственно равны нулю, и неоднородными в противном случае.
Очевидно, такие же краевые условия встречаются и
в задачах, приводящих к уравнению эллиптического типа.
Физическое истолкование каждого из них не представляет
никаких трудностей.
Краевые условия определяются физической постановкой
задачи и могут иметь разнообразный характер. В част-
ности, они могут быть и нелинейными.
Теперь мы приведем постановку соответствующих трех
типов краевых задач для уравнений вида
div(feVu) — qu+f(M, t) = puu (36)
div(feVu) — qu-\-f(M, f) = put, (37)
где k, q, p —функции точки M.
Все рассмотренные нами выше уравнения принадлежали
к этому виду с <7 = 0.
Первая краевая задача. Найти функцию и (М, t),
удовлетворяющую в области В = (М е D, t > 0) уравне-
нию (36) (соответственно (37)) и дополнительным условиям:
а) начальным
и(М, 0) = <р(Л1), ut(M, 0)=ф(Л4) для M^D
(соответственно и(М, 0) = <p(Af)),
б) краевым
и(М, 01з = Н(^И. 0 Для #>0.
Вторая (третья) краевая задача ставится аналогично с за-
меной краевого условия первого типа условием второго
(третьего) типа.
Замечание. Все рассмотренные типы краевых усло-
вий можно записать одним соотношением
{Ti(M)g+Ta(M)u}s=₽(M,0.
39
При Т! = 0 получим краевое условие первого типа, при
= О — краевое условие второго типа, а при ^Ои
у2 ф 0 — условие третьего типа.
Частным случаем этих задач является задача о рас-
пространении краевого режима:
Найти функцию и(М, t), удовлетворяющую в В урав-
нению (36) (соответственно (37)) и дополнительным усло-
{TiWg+Ta(24)u}s==₽(24, 0, />0,
и(М, 0) = ut(M, 0) = 0 (или и(М, 0) = 0).
Легко представить себе задачи, в которых нас будут
интересовать значения искомой функции в точ-
ках М, настолько удаленных от границы области S, что
влиянием граничного режима на эти точки можно пре-
небречь. Это оправдывает постановку следующей задачи.
Задача Коши. Найти функцию и(М, t), удовлет-
воряющую при />0 уравнению (36) (соответственно (37))
в любой точке М пространства, а также начальным усло-
виям и (Af, 0) = <p (Al), ut (М, 0) = ф (М)
(соответственно и(М, 0) = <p(Af)).
Более общая форма задачи Коши для уравнения
ацихх+2а12иху+а2!1иуу+^ (х, у, и, их, иу) = 0, (38)
где и = и (х, у), состоит в следующем.
Пусть С—гладкая кривая и ^(х, у), <р2(х, у) —заданные на ней
функции. Задача Коши состоит в нахождении решения уравнения (38)
в некоторой области, примыкающей к кривой С, удовлетворяющего
условиям
u|c = <Mx,0. g |с = Фа (*.!/)•
о ди „ _ „
Здесь —производная по нормали к кривой С в точках этой кривой.
Аналогичную постановку можно указать и для многомерного
случая, когда функция и зависит более чем от двух переменных.
Для уравнения эллиптического типа краевые задачи
ставятся следующим образом: найти функцию и (М), удов-
летворяющую в области D уравнению
div [fe (Af) Vu] — q (Af) u = — f (Af),
а на границе S краевому условию
{Ti(M)g+T2(Af)t/}s = ₽(Al).
40
Если Yi = O, то имеем первую краевую задачу, если
у2 = 0 —вторую, а при у2 56 0 —третью.
Замечание. Замкнутая поверхность S ограничивает
две области: внутреннюю D и внешнюю Dx. При по-
становке краевых задач надо оговаривать, для какой
из двух областей (по координатам) требуется искать
решение.
В соответствии с этим различают внутренние и внешние
краевые задачи. Это существенно прежде всего для урав-
нений эллиптического типа.
В последующих главах мы будем рассматривать глав-
ным образом методы решения указанных классов задач.
Вопросы единственности решения этих задач рассматри-
ваются в гл. VIII.
2. В задачах, описывающих реальные физические про-
цессы, явления, связи, величины, образующие «исходные
данные» («исходную информацию») —например, начальные
и граничные значения искомого решения (или результатов
заданных операций над ним) и другие — обычно полу-
чаются путем измерений и потому являются приближен-
ными.
Обычно эти приближенные значения мало-отличаются
от точных значений соответствующих величин и погреш-
ность имеет случайный характер. Возникает вопрос: как
эти «малые» изменения исходных данных (например, на-
чальных значений) будут сказываться на решении? Если
«малые» изменения исходных данных могут приводить
к «большим» изменениям решения, то часто становится
затруднительным (или даже невозможным) дать физиче-
скую интерпретацию такого решения. Для однозначной
физической интерпретации решения задачи необходимо,
очевидно, чтобы малым изменениям «исходных данных»
задачи отвечали малые изменения решения. Точнее, реше-
ние должно непрерывно зависеть (в заранее определенном
смысле) от «исходных данных». Это свойство решения часто
называют устойчивостью решения к малым изме-
нениям «исходных данных». Для каждой задачи математи-
ческой физики, кроме существования и единственности ее
решения, надо выяснить, обладает ли свойством устойчи-
вости к «исходным данным» предлагаемый способ построе-
ния решения (точного или приближенного). Вопросы устой-
чивости рассматриваются при изложении методов решения
соответствующих задач. Этим вопросам посвящена также
глава XII,
41
ЗАДАЧИ
1. Верхний конец упругого, однородного, вертикально подвешен-
ного тяжелого стержня длины I жестко прикреплен к потолку сво-
бодно падающего лифта, который, достигнув скорости Ц),,мгновенно
останавливается. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях
этого стержня.
2. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях
струны в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, пред-
полагая, что концы струны закреплены жестко.
3. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях, вызван-
ных начальным возмущением, для упругого стержня (0 х /) пере-
менного сечения S (х), концы которого упруго закреплены (с помощью
пружины). Плотность массы равна р (х), модуль упругости равен Е (х).
Деформациями поперечных сечений пренебречь.
4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой
струны относительно вертикального положения равновесия, если ее
верхний конец (х = 0) жестко закреплен, а нижний свободен.
5. Рассмотреть задачу 4 в предположении, что струна вращается
с угловой скоростью со = const относительно вертикального положе-
ния равновесия.
6. Невесомая струна при вращении вокруг вертикальной оси
с постоянной угловой скоростью <о находится в горизонтальной пло-
скости, причем один конец струны (х = 0) прикреплен к некоторой
точке оси, а другой свободен. В начальный момент времени / = 0
точкам струны сообщают малые отклонения и скорости по нормалям
к этой плоскости. Поставить краевую задачу для определения откло-
нений точек струны от плоскости равновесного движения.
7. Упругий однородный цилиндр выводится из состояния покоя
тем, что в момент времени t = 0 его поперечные сечения получают
малые повороты в в своих плоскостях относительно оси цилиндра.
Поставить краевую задачу о малых крутильных колебаниях этого
цилиндра, если концы его жестко закреплены (или свободны).
8. По струне Osgjxfg/ с неподвижно закрепленными концами
и пренебрежимо малым сопротивлением, находящейся в постоянном
магнитном поле И, с момента t = 0 пропускается ток силы I (1).
Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях этой струны под
действием пондеромоторных сил.
9. Два полубесконечных однородных упругих стержня с одина-
ковыми поперечными сечениями соединены торцами и составляют
один бесконечный стержень. Пусть рь £х— плотность массы и модуль
упругости одного из них, а р2, Е2—другого. Поставить задачу
о малых продольных колебаниях этого стержня под действием началь-
ного возмущения.
10. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны с за-
крепленными концами, нагруженной в точкех0сосредоточенной массойт
11. Поставить задачу о поперечных колебаниях бесконечной
струны под действием силы F (1), приложенной, начиная с момента
t = 0, в точке х = х0, перемещающейся вдоль струны со скоростью t>0.
12. Вывести уравнения для определения силы и напряжения
переменного тока (систему телеграфных уравнении), идущего вдоль
тонкого провода с непрерывно распределенными по длине: омическим
сопротивлением R, емкостью С, самоиндукцией L и утечкой G, рас-
считанными на единицу длины. Указание: воспользоваться зако-
ном Ома и законом сохранения количества электричества,
42
13. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях
в проводе с пренебрежимо малыми сопротивлением и утечкой, если
концы провода заземлены: один — через сосредоточенное сопротивле-
ние а другой —через сосредоточенную емкость Со.
14. Рассмотреть задачу 13, предполагая, что один конец про-
вода (х = 0) заземлен через сосредоточенную самоиндукцию L'„l,
а к другому приложена э. д. с. Е (t) через сосредоточенную само-
индукцию £02.
15. Поставить задачу об электрических колебаниих в бесконеч-
ном проводе без утечки, полученном соединением двух полубесконеч-
ных проводов через сосредоточенную емкость Со.
16. На боковой поверхности тонкого стержня происходит конвек-
тивный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура кото-
рой иСр = <р (<)• Поставить краевую задачу об определении темпера-
туры стержня, если на одном конце его поддерживается температура
fa (t), а на другой подается тепловой поток q (t).
17. Поставить краевую задачуоб определении температуры встерж-
не, по которому пропускают постоянный электрический .ток силы I,
если на поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со
средой нулевой температуры, а концы его зажаты в массивные клеммы
с заданной теплоемкостью и очень большой теплопроводностью.
18. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся со ско-
ростью v(x) в направлении оси х, если поверхностями равной кон-
центрации в каждый момент времени являются плоскости, перпенди-
кулярные оси х.
19. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде для веще-
ства, частицы которого: а) распадаются (например, неустойчивый
газ) со скоростью, пропорциональной концентрации; б) размножаются
(например, нейтроны) со скоростью, пропорциональной их концен-
трации.
20. Поставить задачу об определении температуры бесконечного
стержня, полученного соединением двух полубесконечных стержней,
сделанных нз разных материалов, если эти стержни соединены,
а) непосредственно, б) с помощью массивной муфты с теплоемкостью Со
и очень большой теплопроводностью.
21. Поставить краевую задачу о нагревании полубесконечного
стержни, конец которого горит, причем фронт горения распростра-
няется со скоростью v н имеет температуру ф(<).
22. Поставить задачу о нагревании бесконечного тонкого стержня,
по которому скользит со скоростью г»0 плотно прилегающая электро-
печь мощности Q, если внешняя поверхность печи, не прилегающая
к стержню, теплоизолирована, а теплоемкость печи пренебрежимо
мала.
23. Поставить краевую задачу об остывании тонкого круглого
кольца, на поверхности которого происходит конвективный тепло-
обмен по закону Ньютона со средой, имеющей температуру и^.
Неравномерностью распределения температуры по толщине пренебречь.
24. Вывести уравнение для процесса распространения плоского
электромагнитного поля в проводящей среде (т. е. в среде, в которой
токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами прово-
димости).
25. Исходя нз уравнений Максвелла,
а) вывести уравнение для потенциала электростатического поля;
б) вывести уравнение для потенциала электрического поля постоян-
ного электрического тока.
43
Глава III
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
Одним из эффективных методов построения решений
и исследования свойств решений уравнений в частных
производных и систем таких уравнений является метод
характеристик. На его основе строятся также приближен-
ные методы получения численного решения систем урав-
нений.
Для простоты изложения мы ограничимся рассмотре-
нием задач, в которых искомые решения являются функ-
циями от двух переменных *).
Как известно, производная функции f(x, у) в фикси-
рованной точке (х, у) по направлению единичного век-
тора I с компонентами cos a, cosP равна
4r = (W. 0 = cosa^4-cosP^.
al ' ' ' ox ' r ду
Выражение
A df_ . df_
N dx N dy ’
где
W = -|/A2 + B2,
можно рассматривать как производную функции f(x, у)
в точке (х, у) по направлению единичного вектора с ком-
понентами A/N, B/N.
*) Обстоятельное изложение метода характеристик, в том числе
и для многомерных задач, имеется в книге Б. Л. Рождествен-
ского и Н. Н. Яненко «Системы квазилинейных уравнений»
(«Наука», 1968).
44
§ 1. Характеристическое направление и характеристики
оператора "[/]
1. Рассмотрим оператор
Н [/] = А (х, y)fx+B (х, у) fy,
. df t df
ГДе ?х~~дх’ ^~ду"
Принимая во внимание сказанное выше, оператор Н [/]
во всякой фиксированной точке (х, у) можно рассматри-
вать как производную от f(x, у) по направлению вектора
l — (AlN, B/N), умноженную на N = ]/Л24-В2, т. е.
Направление l = (A/N, B/N) называется характеристи-
ческим направлением оператора Н [/] в фиксированной
точке (х, у).
Кривая, в каждой точке которой ее касательная имеет
характеристическое направление оператора Н [f], назы-
вается характеристикой оператора Н [/].
Согласно определению, в каждой точке характеристики
выполняется соотношение
dу = В
dx А
(О
Это соотношение является дифференциальным уравнением
характеристик оператора Н. Это уравнение эквивалентно
системе
(2)
2. Применим понятие характеристик к изучению урав-
нт-А1,+В1,-.О.
Эти понятия изучались в курсе обыкновенных дифферен-
циальных уравнений. Цель нашего рассмотрения состоит
в том, "чтобы перенести эти понятия на системы урав-
нений и с их помощью изучить некоторые важные свой-
ства решений.
Характеристиками уравнения Н [f] = 0 будем назы-
вать характеристики оператора Н [/].
Теорема 1. Если функция f (х, у) удовлетворяет
уравнению Н [/] = 0, т. е. Н [/] s 0, то на каждой харак-
теристике оператора Н f(x, у)^ const.
45
Действительно, вдоль каждой характеристики имеем
df=fxdxA-fydy=^fx~
ние уравнения характеристик (2), получим df = (Afx +
+ Bfy) dx = H [/] dx = 0. Отсюда
и следует, что на каждой харак-
теристике f(x, #)== const.
Физическая интерпретация
этого факта. Если у — время
(y = t), то теорема 1 означает,
что начальное состояние f (х, 0)
распространяется по характери-
стикам. Чтобы найти f(x0, t0)
в произвольной фиксированной
точке (х0, 4), надо через точку
Рис. 6.
(x0, t0) провести характеристику, найти ее точку пересе-
чения с осью t = 0. Пусть это будет точка (Хо, 0). Тогда
f (x0, t0) = f(x0, 0) (рис. 6).
Пример 1. Рассмотрим.уравнение auxA-ui=0. Для оператора
H[u] = auxA-ut дифференциальное уравнение характеристик имеет
= const. Эти характеристики заполняют всю плоскость (х, 0. Вдоль
каждой характеристики и(х, 0 = СХ = const. При этом Ci имеет раз-
ные значения вдоль разных характеристик, т. е. C1=f(d), или
и (х, t) = f (х—at) Функция f (г) может быть произвольной дифферен-
цируемой функцией. Выбирая функцию /(г) надлежащим образом,
можно решить задачу Коши.
Решение задачи Коши для уравнения aux-j-U( = 0 с начальным
условием и (х, 0) = ф(х) имеет вид
и(х, t)=ff(x — at).
§ 2. Характеристическая форма оператора
k[u, ©>ЛЦю]+Я8[©1
Наша цель —ввести понятие характеристик и изучить
их свойства для систем уравнений. Для простоты выкла-
док мы ограничимся системой двух уравнений (хотя основ-
ные факты, которые мы получим для систем двух уравне-
ний, справедливы и для систем любого числа уравнений).
Для этого предварительно рассмотрим оператор h[u, ц]
над двумя функциями h[u, v] = [w] + #2 [v], где
Нх [«] = Аих-\-Виу, Н2 [v] = CvxA-Dvy, А, В, С, D — задан-
ные функции от (х, у).
Операторы /7П [«] и Н2 [и] над функциями и, v можно
рассматривать как умноженные соответственно на Nx =
46
= A2В2 и N$= У С2 + D2 производные по направле-
ниям l± = (AINx, B/Ny) и l? = (CIN2, D/Nz), т. е. [и] =
N^, H2{v\ = N2%-.
Направления дифференцирования 1г и 12 совпадают
В D
только в случае, если = или BC—AD = 0, т. е.
, /1 с
А С
В D
li И ^2
В этом
совпадают только в том случае, когда
в D CD
случае из -д = следует, что = -д-
= 0.
— k, откуда
C = k A, D=k B, k — k(x, у). Следовательно,
h[u,v] = %+k^. (3)
Здесь -^ — дифференцирование вдоль кривой ~ =А,
UL UL
%- = В, т. е. -%- = А 4~+в тг-
dt ’ dt дх 1 ду
Правую часть формулы (3) будем называть характе-
ристической формой оператора h\u, о).
§ 3. Характеристическая форма пары операторов
h^u, г>| и /^[и, г»]
1. Рассмотрим два оператора
hj, [и, о] = Агих + В^у + Cxvx + Dxvy
и
fiz[u, v] = A2ux-(-B2Uy-l-C2vxA-D2Vy.
В каждом из этих операторов, согласно предыдущему,
дифференцирование производится по двум направлениям.
Из операторов 7^ и /г2 можно составить еще один опера-
тор h:
h[u, о}==Л14-Х/г2 =
=(Лх + ХЛ2) ux-j- (Bt+ХВ2) Uy + (Ci + XC2) vx+(Di -J- W2) Vy,
где K — K(x, #) —некоторая функция.
Поставим задачу:
Найти такие значения X, чтобы в операторе h дифферен-
цирование каждой из функций и но производилось только
9 Одном направлении.
47
В операторе h [«,»] дифференцирование функции и произ-
водится в направлении = {(Л14-АЛ2)/Л^, (B1+IB2)/N1},
а дифференцирование функции о — в направлении
Z2 = {(Cx + AC2)/M2, № + №№,},
Ni = V №+Ч)2ШЖ)2,
м2=ЯСх+щ^-н^+ад.
Чтобы эти направления совпадали, необходимо и доста-
точно, согласно предыдущему (§ 2), чтобы выполнялось
условие |Д1+м2 B1+1BJ f4.
I Ci -f- ХС2 Di -f- XD21
Из этого условия находим X.
2. Для определения X мы имеем квадратное уравне-
ние. Из него находим два значения: Ах, А2. Эти значения
называют характеристическими значениями пары опера-
торов (hlt h2). Каждое из этих значений определяет
направление, к дифференцированию вдоль которого сво-
дится оператор h. Для каждого из полученных значе-
ний X получим свой оператор Л:
~h^u’ ^ = ^ + К{х, у)^,
v^ = ^ + k^x-
где
ki (х> У) - д1+м2 “ Вх+М2 - 1 2)’
Таким образом, из двух исходных операторов hi и
можно получить два других оператора hi и hi, в каждом
из которых дифференцирование функций и к v произво-
дится лишь в одном направлении. Эти направления назы-
ваются характеристическими направлениями пары опера-
торов hi и hi. Мы будем называть их первым (для АД и
вторым (для АД характеристическими направлениями.
1. Если А± и А2 вещественны и различны, пара опера-
торов Лх и называется гиперболической,
48
2. Если Xj и Л2 комплексны, пара операторов и h2
называется эллиптической.
3. Если Х1 = Ла, пара операторов и Ла называется
параболической.
Кривая, в каждой точке которой ее касательная
имеет первое характеристическое направление пары опе-
раторов (hlt h^, называется характеристикой первого
семейства пары операторов (Н1г h2). Кривая, в каждой
точке которой ее касательная имеет второе характеристи-
ческое направление пары операторов (hlt h^, называется
характеристикой второго семейства пары операторов
(/h, h2). Таким образом, в гиперболическом случае мы
имеем два семейства характеристик, дифференциальные
уравнения которых имеют вид
dx dy dx _____ dy
Ai 4“ “b ^2^2 “b ^2^2
В параболическом случае имеется одно семейство
характеристик, в эллиптическом—два мнимых семейства.
Замечание. В рассмотренном нами случае опера-
торы Лх и hi — линейные и их характеристики не зави-
сят от функций и и V.
3. Рассмотрим систему линейных уравнений
v]=g1(x, у), h2[u, v] = S2(x, у). (6)
Она называется гиперболической, если пара операторов
(hlt hi) гиперболична, т. е. если и Ла вещественны и
различны.
Система (6) называется эллиптической, если пара опе-
раторов (hlt h2) эллиптична. Аналогично определяется
параболическая система. Мы в дальнейшем будем рассмат-
ривать только гиперболические системы.
Характеристиками системы (6) будем называть харак-
теристики пары операторов /гх[и, о], йа[ы, о].
Замечание. Понятие характеристик системы (6)
вместе с их дифференциальными уравнениями (5) остается
неизменным, если правые части системы и £а являются
функциями х, у, и, V.
Систему (6) можно заменить эквивалентной ей системой,
называемой характеристической формой системы (6):
^+k2{x, y)-^ = $i + hK
49
4. Если в уравнении второго порядка
#и (^> У} ^хх “h 2^2 (•**> У} иху -|- G22 (*"> у) Uyy =
=f(x, у, их, иу) (8)
положить ux — w, Uy==v, то оно сведется к эквивалент-
ной системе
auwx + a1^Vy + a12vx + a^uu = f(x, у, w, v),
Wy-vx = 0. (9)
Возникают вопросы: 1) Если уравнение (8) гипербо-
лично (эллиптично, параболично) в некоторой области D, то
будет ли гиперболичной (эллиптичной, параболичной) в D
система (9)? 2) Будут ли характеристики уравнения (8),
определенные в гл. I, совпадать с характеристиками сис-
темы (9)?
Нетрудно дать утвердительные ответы на эти вопросы
и доказать, таким образом, -эквивалентность понятий
характеристик уравнения (8) и эквивалентной ему сис-
темы (9). В самом деле, уравнение для нахождения
характеристических значений системы (9) имеет вид
1«н а12+М = о или Z2 = а212 — аиа^ = А.
|°12—Л °22 I
Следовательно, Х1,2 = ±]/ГА. Отсюда следует утвердитель-
ный ответ на первый вопрос.
Дифференциальные уравнения характеристик системы
(9) согласно (5) имеют вид
dy _^а12+У& и = с12 —УЛ
dx atl dx йц
и совпадают с уравнениями характеристик (II) гл. I
уравнения (8). Мы получили утвердительный ответ и на
второй вопрос.
§ 4. Гиперболические системы с постоянными
коэффициентами
1. Пусть ^ = ^2 = 0, a Alt А2; Blf В2, Clt С2; Dlt D2 —
постоянные. Тогда, очевидно, и Xi. Z2—постоянные. Диф-
ференциальные уравнения характеристик в этом случае
имеют вид
dy Bi + ^1^2 1 dy -J- X2B2 1
dx 1 dx tig *
50
где аг и ^ — постоянные. Следовательно, характеристики
суть прямые х—aly = dl, x—a.ly = d2.
Характеристическая форма системы имеет вид
+ kt (и + М = 0,
dxx 1 1 dx-t dXiK 1 1 ' ’
%-+к =4- («+м=°*
(л 1<2 и 12 12
(10)
где
kl = = COnst’ = ХЛ*' = COnst
Полагая г = и+А1о, s = « + A2v, систему (10) можно запи-
сать в виде
-£. = 0, -^ = 0.
dx1 dx2
Следовательно, вдоль каждой характеристики 1-го семей-
ства (т. е. вдоль линии х — aty = dt) r — u + kLv = bt = const.
Таким образом, г —инвариант на характеристиках 1-го
семейства. Вдоль каждой характеристики 2-го семейства
(т. е. вдоль линии х — а2у = d2) s = и + k2v = b2 — const.
Таким образом, s —инвариант на характеристиках 2-го
семейства. При этом для каждого значения константы dt
будет свое значение инварианта г, т. е. константы Ь^.
r = u+k1v = F(d1).
Аналогично s = « + A2v = O(J2), или
u + k1v—F(x—сщ), u-\-k2v = ®(x — a2y).
АиФ могут быть произвольными дифференцируемыми
функциями. Так как kt^=k2, то
и = k2F (х—aty)—^ХФ (х—аау) f (х—а^)—Ф(х—Сгу)
—kt
Пример 2. Рассмотрим уравнение
e^uxx = utt'
Это уравнение эквивалентно системе
aux = vt, avx=Uf.
kl — k2
(11)
Таким образом, в этом случае
ht [и, о] = аих—V/
h2[u, v]^aox—ut
Уравнение для X:
(Л!=а, Вх = 0, C!=0, Dt = — 1),
(Л2=0, Bg=—1’
I ° —X|_
|cX
0.
51
Следовательно, Ха=1, т. е. Xi=l, Л2=—1. Эта система гиперболи-
ческая
l _Ci+XiC2 . , С1 + Л2С2 .
1 Лг+Мз- ’
Дифференциальные уравнения характеристик:
dx dx
dt~~a’ dt~a'
Таким образом, имеем два семейства характеристик:
x-)-at=d1 — const и х—a/=d2=const.
Вдоль прямых x+at=di имеем u-j-fe1t>=u+v=2F(x-|-ai). Вдоль
прямых х—at=d2 имеем u-f-k^o=u — ц=2ф (х — at), где F (г) и
Ф (г)—произвольные дважды дифференцируемые функции. Отсюда
и (х, t)=F (x+at)+<D (x—at). (12)
2. Обратимся к физической интерпретации решения
и = Ф(х — at). Функцию и(х, t) будем называть отклоне-
нием в точке х в момент времени t. Рассмотрим точку х0.
Вообразим, далее, что из этой точки в положительном
направлении оси х в момент времени / = 0 начинает дви-
гаться наблюдатель со скоростью а. В момент времени
он окажется в точке х1 = х0+а/1. Величина отклонения,
которую наблюдатель будет видеть в точке х1 в момент
времени 4, будет равна и = Ф(х1 —а/1) = Ф(х0). Таким
образом, наблюдатель в любой момент времени будет ви-
деть в точке, где он находится, одну и ту же величину
отклонения, равную Ф(х0). Следовательно, начальный
профиль и(х, 0) = Ф(х) будет двигаться со скоростью а
в положительном направлении оси х, как жесткая система,
не изменяя формы (рис. 7).
52
Ввиду этого решение и = Ф(х — at) называют прямой
бегущей волной. Аналогичное истолкование можно дать
и решению u=F (x-\-at). Оно называется обратной бегу-
щей волной. При этом профиль движется, как жесткая
система, в отрицательном направлении оси х со ско-
ростью а.
Таким образом, любое решение уравнения (11) пред-
ставляется в виде суперпозиции (наложения) прямой
и обратной бегущих волн.
§ 5. Решение задачи Коши для одномерного волнового
уравнения. Формула Даламбера.
1. Пусть требуется найти решение задачи Коши
а2ы^ = и«,
и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ф(х),
(13)
(14)
непрерывное в замкнутой области
Вг = { — оо<сх<соо; /ЗгО}.
Решение будем искать в виде суперпозиции прямой и
обратной бегущих волн (см. пример 2 в § 4)
и(х, t) = F(x+af) + (£>(x — af) *).
(15)
Среди решений вида (15) найдем такое, которое удов-
летворяет заданным начальным условиям (14):
и(х, 0) = <р(х) = Ф(х)-|-Г(х),
щ (х, 0) = ф (х) SS — аФ' (х) + aF' (х).
Интегрируя последнее тождество, получим два урав-
нения для определения функций Ф (z) и F (г):
Ф(У)+F (у) = <р (у), - Ф (у) +F (у) = Ф (г) dz+C, (16)
*) К представлению решения в форме (15) можно прийти и иначе.
Предположим, что и(х, t) — решение уравнения (13). Для него вы-
полняется тождество а2ихх = иц. Производя в нем замену независи-
мых переменных по формулам £=ж — at, i]=x-}-at, получим тож-
дество = 0-. Интегрируя его последовательно по переменным и
получим формулу (15), в которой F (г) и Ф (г) — произвольные
функции (их можно предполагать дважды дифференцируемыми).
53
из которых находим
F(!/)=^ + 2a J 1НгМг + 4.
х0
У
Ф(у)=^-~^(г)дг-^
хо
Подставляя эти функции в формулу (15), получим фор-
мулу Даламбера
x-\-at
U (х> Z) = + + . (г) dz (17)
х at
2. Таким образом, предположив существование реше-
ния задачи Коши, мы пришли к заключению, что оно
должно представляться формулой (17). Следовательно,
оно единственно. Если функция <р (х) обладает производ-
ными первого и второго порядков, а функция ф(х) —про-
изводной первого порядка, то формула (17) дает искомое
решение задачи Коши (13) —(14). В этом можно убедиться
непосредственной подстановкой правой части формулы (17)
в уравнение (13) и в соотношения (14). Построив реше-
ние задачи Коши, мы тем самым доказали его существование.
Описанный выше метод построения решения задачи
Коши называется методом характеристик нли методом
бегущих волн.
§ 6. Решение задачи Коши для неоднородного
волнового уравнения
1. Научившись строить решение задачи Коши для
однородного волнового уравнения (13), легко построить
решение этой задачи для неоднородного волнового урав-
нения.
Метод построения одинаков для всех линейных урав-
нений гиперболического типа, поэтому мы будем рассмат-
ривать более общее уравнение
div(feVu) — qu + f(M, f)=pu/t, (18)
где k, q и p —известные функции точки М.
Итак, пусть требуется решить задачу Коши для урав-
нения (18) с начальными условиями
и(М, 0) = <р(7И), щ(М, 0)=ф(М). (19)
54
Эту задачу разбиваем на две задачи:
1) задача Коши для однородного уравнения
div(feVn) — qv = pvtt (20)
с заданными начальными условиями
v(M, 0) = tp(M), vt(M, 0) = ф(Л1), (21)
2) задача Коши для исходного уравнения
div(feVw) — qw + f(M, — (18J
с нулевыми начальными условиями
w(M, 0) = 0, wt(M, 0) = 0. (22)
Очевидно, и = v + ш.
Предположим, что мы умеем решать задачу Коши
(20) —(21). Тогда решение задачи Коши (181), (22) стро-
ится следующим образом.
Построим такую функцию Щ(М, t, т), которая удов-
летворяет однородному уравнению (20) для / >т и началь-
ным условиям
Щ|м = 0, = (23)
По предположению мы умеем решать эту задачу. Тогда
искомое решение задачи Коши 2) будет иметь вид
t
w(M, () = \Щ(М, t, x)dx. (24)
о
Действительно, по правилу дифференцирования интеграла
с переменным верхним пределом по параметру находим
t
wt(M, 1)=Щ |t_z + mf (М, t, х) dx.
о
Воспользовавшись первым из условий (23), получим
t
wt(M, = t, x)dx. (25)
о
Из формул (24) и (25) непосредственно следует, что
w(M, t) удовлетворяет начальным условиям (22). Диф-
ференцируя соотношение (25) по t еще раз и используя
второе из условий (23), получаем
t
= Hit |« + J Щи (м, t, х) dx =+ J Ща (M, t, x) dx.
о 0
55
Следовательно, t
pwtt=f(M, 1) + \рЩи<1т. (26)
о
Вычислим div(^Vm) — qw. При этом, очевидно, опера-
цию div (k V) можно выполнить под знаком интеграла.
Получим
div (k Vw) — qw = j {div (k ЧЩ) — qllQ dr. (27)
о
Поскольку функция Щ(М, t, т) является решением
уравнения (20), то из формул (26) и (27) следует, что
функция ш(Л4, /), определяемая формулой (24), является
решением уравнения (18), а следовательно, и решением
задачи Коши 2).
Замечание. Такой способ нахождения решения
неоднородной задачи по решению соответствующей одно-
родной задачи применим и для нахождения решения
краевой задачи для неоднородного уравнения с однород-
ными краевыми условиями. В этом случае вспомогатель-
ная функция Щ(М, t, т) должна быть решением соот-
ветствующей однородной краевой задачи.
2. Применим описанный метод к одномерному урав-
нению; требуется решить задачу Коши
и(х, 0) = <р(х), иДх, 0)=ф(х). '
Разбиваем ее на две задачи:
1) задача Коши для однородного уравнения с задан-
ны м и начальными условиями
v(x, 0) = <p(x), vt(x, 0) = ф(х);
2) задача Коши для заданного уравнения с нуле-
выми начальными условиями
aewxx+f(x, t) = wu,
w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = 0.
Тогда u = v-\-w.
Функцию v (х, t) можно записать по формуле Даламбера
x+at
v(x, 0 = Ф(^)+<Р(*+°Э + ^ J ^(z)dZt
x—at
56
Согласно предыдущему
w(x, t) = ^IH(x, t, x)dx,
о
где функция Щ (х, t, т) является решением задачи Коши
аЧЦхх=--Щи,
ZtfU = 0, Ult\t_x = f(x, т)
и, следовательно, может быть записана по формуле Да-
ламбера т)
Щ(х, t, т)=~ J f(z, x)dz.
x—a(/—t)
П()ЭТ0МУ t x+att-V
w (x, t) = f (z, t) dz dx. (29)
O x—a(t—t)
§ 7. Устойчивость решения задачи Коши
для одномерного волнового уравнения
к входным данным. Обобщенное решение
1. Как указывалось в гл. II, § 8, одним из важней-
ших требований к методам нахождения решений задач
математической физики является требование устойчивости
решения к малым изменениям входных данных. Покажем,
что как решение задачи Коши для однородного волнового
уравнения, представляемое формулой Даламбера, так и
Рис. 8.
решение задачи Коши для неоднородного уравнения,
представляемое формулой (29), удовлетворяют этому
требованию.
2. Формула Даламбера (17) дает решение задачи Коши
(13) —(14) в предположении, что начальные функции <р(х)
и ф(х) имеют производные <р' (х), <р" (х), ф' (х). Однако
нетрудно указать задачи, в которых начальные функ-
ции Ф (х) и ф(х) этими свойствами не обладают; доста-
точно, например, задать начальное отклонение струны
в виде ломаной, изображенной на рнс. 8.
57
Для того чтобы понять, как строить решение задачи
Коши в этих случаях, докажем следующую теорему:
Теорема о непрерывной зависимости ре-
шения задачи Коши от начальных значе-
ний. Пусть (х, t) и и2 (х, О суть решения задачи Коши
(13) —(14) с начальными условиями
М*. 0) = <р1(х), ии(х, 0)=%(х)
и
и2(х, 0) = <р2(х), и2((х, 0)=ф2(х).
Тогда, каковы бы ни были е>0 и
такое 6 >0, зависящее от е и tlt S=6 (е,
неравенств *)
существует
ti), что из
|<Р1 (х) — <р2(х)|<6, |"Ф1 (х) — ip2(х)|<6 для —оо<х<оо
следует неравенство
|«х(х, 0 — и2(х, 01 <е для —оо<х<оо,
Доказательство. Используя формулу Даламбера
для щ(х, t) и и2(х, t), получим
Их(х, t) — ut(x, 0=1[Фт(х- af)—y2(x— «0] +
x+al
+ |-[ф1(* + а0-Фг(*+«0]+^ [’Мг)“1Мг)]‘/г-
х—at
Следовательно,
|«1(х, t) — u2(x, 01=®5у|ф1(х—G0 —Фа(х —«01 +
x-\-at
+ ^|ф1(* + «0-ф2(* + «01+^ § |ф1(г)-фа(г) I dz <
х—at
x-±at
<4e + Te+i $ 6rfz=6+«<6(l+/1).
x— at
Если взять 6 = e/(I+0), то неравенство
|и1(х, 0 — иг(х, 01 sCe
будет выполнено для всех — оо<х<соо, Ч. т. д.
*) Во избежание недоразумений в этом и следующем пункте мы
будем считать, что х, /—безразмерные переменные.
58
Замечание. Если начальные значения ^(х), <р2(х),
ФДх), ф2(х) удовлетворяют неравенствам
I Ф1 (х) — Фа (х) I < 6 ДЛЯ — ОО < X <С оо,
со
J |Ф1(х)~ i|>2(x)|dx<S,
— ОО
то, очевидно, для соответствующих решений задачи Коши
иг(х, t) и и2(х, /) будет выполняться неравенство
|Ы1(х, /)-и2(х, 01<(Ч-^)б
для всех х, — оо<х<оо, и Это позволяет утвер-
ждать, что для одномерного волнового уравнения имеет
место непрерывная зависимость решения задачи Коши
от начальных данных и для разрывных начальных ско-
ростей (в указанном смысле оценки уклонения начальных
данных).
Содержание этой теоремы можно кратко выразить
словами: малым изменениям начальных значений соответ-
ствуют малые изменения решения задачи Коши.
Таким образом, устойчивость решения задачи Коши
к малым изменениям начальных данных показана.
В практических задачах начальные значения полу-
чаются в результате измерений и, следовательно, не
являются точными. Доказанная теорема создает- уверен-
ность, что небольшие погрешности, допущенные в опре-
делении начальных значений, приводят к небольшим
изменениям в решении задачи Коши. Эта теорема указы-
вает также на один из возможных путей построения
решения задачи Коши в случаях, когда начальные функ-
ции <р(х) и ф(х) не обладают соответствующими произ-
водными (см. рис. 8).
3. Обратимся снова к задаче Коши (13) —(14). Мы
будем полагать, что начальные функции <р(х) и ф(х) не
равны нулю лишь на конечных отрезках, непрерывны
всюду, а функция <р(х) имеет производную первого по-
рядка. Эти функции можно равномерно аппроксимировать
дифференцируемыми функциями <рп(х) и ф„(х) так, что
Фл(х)=^<р(х) (п->оо), фи(х)^ф(х) (п->оо),
причем <р„(х) имеют первую и вторую производные,
8 % (х) — первую производную.
59
Если в качестве начальных функций в задаче Коши
взять функции <р„ (jc) н фп(х), то онн определят единст-
венное решение задачи u„(x, t).
Оценим разность решений un+k(x, t) — un(x, t). В силу
равномерной сходимости последовательностей {<р„ (х)} и
{ф„ (х)} для произвольных е > 0 и > 0 найдется такое N,
что для любых n^>N и любых целых положительных k
будут выполняться неравенства
I % W - (х) | < и | ф„+* (х) - (х) J <
для всех — оо < х < оо. Тогда по доказанной теореме для
всех fsg/j и — оо<х<соо будут также выполняться
неравенства
|«n+fe(X, t)-ua(x, /)|<е
для любых п > N и любых целых положительных k. Но
это означает, что последовательность решений {и„(х, /)}
равномерно сходится в указанной области изменения пере-
менных х, t к некоторой функции м(х, t). Эта функция
называется обобщенным решением задачи Коши (13) —(14).
При этом
и (х, t) = Игл ип (х, 0 =
12—> СО
x+ai
= У lim [<р„ (х - at) + <р„ (х+а/)]+Нт \ (г) dz,
лл-*со ш п--со ,
x—at
ИЛИ
ы(х,0 = ^^4^±^- + i|>(z)dz.
x—at
Эта функция и (х, t) и ее производная ut (х, t) принимают
заданные значения <р(х) и ф(х). Таким образом, в рас-
смотренном случае формула Даламбера также дает реше-
ние (обобщенное!) задачи Коши. Рассмотренную задачу
можно решить и иначе, если воспользоваться обобщенными
функциями и их свертками (см. Дополнение, п. 1).
4. Теперь покажем устойчивость решения задачи Коши
к малым изменениям неоднородности в уравнении.
Очевидно, достаточно рассмотреть решение с нулевыми
начальными данными. Такое решение представляется фор-
мулой (29).
60
Теорема 2. Пусть и (х, t) и v(х, /) суть решения
задач Коши:
и: аГи^+Ых, f)=ult,
I С\\—С\ди\ п
и(х, 0)—0, д( |/=о-О.
v: a2vxx+f2(x, t) = vu,
v (х, 0) = 0,-J-| =0. (3I)
' ' dt |z=o
Тогда, каковы бы ни были положительные числа е и Т,
существует такое 6 > 0, зависящее от е и Т, 6 = 6 (е, Т),
что из неравенства
\fi(x,f)-f2[x,f)\<6{e,T) (32)
для всех значений х и для O^t^T следует неравенство
| и (х, t) — v (х, t) | < е
для тех же значений х и t.
Доказательство. Пользуясь формулой (29) для
решения задач (30) и (31) и неравенством (32), находим
|u(x, t) — v(x, /)|^
t (f—т)
\ IA&*)-/«& т)дат<
0 х—av—г)
Z *+a«—t) t
i к С C . 6 f „ . . 6/« вт2
<-^-6^ = 2a(/-T)dT=—.
0 x—a (S—t) 0
Если 6 = 2e/T2, to fu(x, t) — v (x, t) | <e. Теорема доказана.
§ 8. Решение краевых задач на полупрямой
1. Обратимся к рассмотрению краевых задач на полу-
прямой. Предварительно докажем две леммы.
Лемма 1. Если в задаче Коши (13) —(14) начальные
Функции ср(х) и ф(л) нечетны относительно х = 0, то
решение этой задачи и (х, t) равно нулю при х = 0>
tz(O, /) = 0.
61
Доказательство. Полагая в формуле Даламбера,
дающей решение задачи Коши (13) —(14), х = 0, получаем
at
„(О, <)в ?<—О+фМ. С
— at
Поскольку <р (х) — нечетная функция, то ф (— at) = — ф (at).
Поэтому <р(—at) + <р (at) = 0. В силу нечетности функу
ции ф (х) интеграл J ф (z) dz также равен нулю. Поэтому
—at
и(0, 0 = 0-
Лемма 2. Если в задаче Коши (13) —(14) начальные
функции <р (х) и ф (х) четны относительно х — 0, то
производная ик (х, t) решения этой задачи равна нулю при
х = О’
их(0, 0 = 0.
Доказательство этой леммы проводится аналогично*).
2. Рассмотрим однородную краевую задачу
osuxx = uUt
(33)
п(х, 0) = ф(х), и^(х, 0) = ф(х) для 0^х<оо,
и(0, t) = 0.
Полагаем ф(0) = ф(0) = 0.
Для ее решения нельзя непосредственно воспользо-
ваться формулой Даламбера, так как входящая в эту
формулу разность х — at может быть и отрицательной,
а для отрицательных значений аргумента начальные функ-
ции ф(х) и ф(х), согласно (33), не определены.
Мы будем действовать следующим образом. Продолжим
функции <р (х) и ф (х) нечетным образом на отрицательную
часть оси х и обозначим через фх (х) и фх (х) продолжен-
ные таким способом функции:
, ч ( ф(*). -v^O, ( ф(х), - xS==0,
Ф1(*) = { , . Фх(*)={ .
( — ф(— х), х<0, I — Ф(— х), х<0.
Тогда функция
x-^at
и(х, o=!MX.-ao+<MX+<rf)+j j tl(z)dz
x—at
и будет решением краевой задачи.
Действительно, она удовлетворяет однородному волно-
вому уравнению, поскольку является суперпозицией пря-
*) Использовать нечетность производной (л).
62
мых и обратных волн. Краевому условию она удовлетво-
ряет в силу леммы 1. Проверим начальные условия:
0) = 51М±Ф1М. + ^ Jih(z)dz = g>1(x) = q>(x)
для х^О,
Ut(X, 0) = - (*) + ± [сф1 (X) +сф1 (X)] =
= Ф1 (х) =г ф (х) для Х^О.
Таким образом, начальные условия также удовлетворяются.
Краевая задача
а^ихх = ии, (34)
и(х, 0) = ф(х), ut(x, 0) = ф(х) для 0<х<оо,
их (0, о = о
решается аналогично, но при этом начальные функции
Ф(х), ф(х) продолжаются четным образом на отрицатель-
ную часть прямой.
3. Методом характеристик можно также построить
решения однородных краевых задач на конечном отрезке
с краевыми условиями первого и второго типа. Для
определенности рассмотрим первую краевую задачу
и(х, 0) = ф(х), Ut(x, 0) = ф(х), O^x^l, (35)
и(0, t) = 0, и(1, 0 = 0,
Для построения решения продолжим начальные функ-
ции ф(х) и ф(х) на всю прямую нечетным образом отно-
сительно точек х=0 и х — 1. Обозначим через ф2(л) и
ф2 (х) продолженные таким способом функции *). Тогда
функция x+at
и(х, 0 = ^^)-+ф2^+д<) j ^(z)dz
_____________________________________ x—al
*) Если функция <р(х) нечетна (четна) относительно двух точек-
х = 0 и х=1, то она периодична с периодом 21 Действительно, по
свойству нечетности функции <р(х) относительно х=/ имеем тожде-
ство ф(/—z)=—<р(/+г) Полагая здесь г=х-\-1, получим <р(—х) =
-<р(х-|-2/) Так как <р(—х) s —<р(х), то <р (х-|-2/) = <р(х) Поэтому
начальные функции <р (х) и ф (х) следует продолжить нечетным обра-
зом на отрезок (—I, 0), а затем периодически, с периодом 21, на
всю прямую.
63
и будет решением краевой задачи. Краевым условиям эта
функция удовлетворяет в силу леммы 1. Начальные усло-
вия проверяются непосредственно, как в задаче на полу-
прямой.
§ 9. Отражение волн на закрепленных
и на свободных концах
Решение краевых задач (33) и (34) можно написать
в форме (15):
и(х, 0 = Ф(х — at)-\-F (x-\-at).
Будем интерпретировать и как отклонение. Вдоль харак-
теристики х—at = C! отклонение, обусловленное прямой
волной, постоянно: Ф(х—а1) — Ф(с1). Вдоль характери-
стики х+at = с2 откло-
нение, обусловленное
обратной волной, по-
стоянно: F (х+at)
= F (с2). Таким образом,
возмущения распростра-
няются по характери-
стикам.
Для нахождения ве-
личины отклонения
и t0) в фиксирован-
ной точке (х0, t0) области
В = {х>0, />0} через точку (Xq, t0) плоскости (х, t) про-
ведем две характеристики х—at =х0 — at,, и х4-о£=х0~Ь
+ «4> пересекающие ось х соответственно в точках —хх
и х2 (рис. 9). Отклонение и(х0, /0) в точке х0 в момент
времени /0 можно рассматривать формально как сумму
отклонения, обусловленного обратной волнрй, пришед-
шей из точки (х2, 0), и отклонения, обусловленного пря-
-мой волной, пришедшей из точки (—хХ1 0). Но точка
(—хп 0) не принадлежит области S={xS=0, /^=0} и
начальные условия в задачах (33) и (34) не заданы в
точке —хх.
Однако из краевого условия задачи (33) следует, что
Ф(—z) =—F(z).
Следовательно, Ф(—хх) =—F (xY). Поэтому вместо пря-
мой волны, идущей из точки —х1( можно рассматривать
обратную волну, вышедшую в момент t — 0 из симметрич-
64
ной точки xt. Эта обратная волна за время дойдет до
точки л = 0. С момента t = tx ее надо заменить прямой
волной, вышедшей из точки х=0 в момент / = /х и несу-
щей величину отклонения, равную —Ф(—хх). Таким
образом, при соблюдении краевого условия и (0, t) = 0 на
конце х—0 происходит явление отражения с сохранением
величины отклонения, но с изменением его знака на про-
тивоположный.
Аналогичным образом устанавливается, что при соблю-
дении краевого условия их(0, t) — 0 на конце х== 0 проис-
ходит явление отражения с сохранением величины н знака
отклонения.
§ 10. Решение задачи о распространении
краевого режима на полупрямой
Рассмотрим неоднородную краевую задачу на полу-
прямой
Ф^ХХ ~ tytt
и(х, 0) = ф(х), пх(х, О)=-ф(лг), х>0,
и (0, f) = р (/), t > 0.
Ее можно разбить на две задачи:
1) однородная краевая задача
v(x, 0) = ф(х), ц(х, O) = ip(x), х>0, о(0, 0 = 0;
2) задача о распространении краевого режима
a2wxx = wtt,
w(x, 0) = 0, wt(x, 0) = 0, w(0, 0 = р(О, f>0.
Тогда u = t> + te>.
Задачу для o(x, t) мы уже умеем решать. Займемся
задачей о распространении краевого режима.
Поскольку единственной причиной возникновения воз-
мущений является краевой режим, будем искать решение
в виде прямой волны
w(xt f) — Q)(x—at).
Из начальных условий находим w(x, 0) = Ф(х)^0 для
х > 0. Очевидно, условие wt (х, 0) = — аФ' (х) = 0 для
3 В. Я, Арсенин
65
Ф(г) =
х>0 также будет выполнено. Из краевого условия нахо-
дим Ф(—— t>0. Таким образом,
О, z>0,
ц(— г/a) z<0,
или Ф (z) = т) (— г/а) р (— г/а), где ц (£) — единичная функ-
ция, равная единице для £>0 и нулю для £<0. Сле-
довательно,
w(x, 0 =
Аналогично решается задача о распространении крае-
вого режима второго типа: их(0, f) — v(f).
Используя явление отражения, рассмотренное выше,
легко решить задачу о распространении краевого режима
первого или второго типа на конечном отрезке*).
Методом характеристик можно было бы решить еще
ряд задач, относящихся к одномерному неоднородному
волновому уравнению. Однако рассмотренные задачи уже
дают ясное представление о возможностях метода харак-
теристик, поэтому мы ограничимся этими задачами.
§ 11. Решение задачи Коши для трехмерного
и двумерного волновых уравнений.
Формула Пуассона
Ряд задач, относящихся к дву- и трехмерному волно-
вым уравнениям сводится к задачам, уже разобранным
в предыдущих параграфах. Мы рассмотрим некоторые
из них.
1. Задача Коши для однородного волнового уравне-
ния в трехмерном пространстве:
а?&и = ии, (36)
и(М, 0) = ф(М), Ut(M, О) = ф(Л0. (37)
Для ее решения введем в рассмотрение вспомогатель-
ную функцию й(г, /) —усреднение искомого решения по
сфере с центром в точке М и радиусом г:
= 4^ S 5 “(Р’ dap> (38)
SM
где Р — переменная точка интегрирования.
*) Читателю предлагается самостоятельно решить эту задачу.
66
Если обозначить через da элемент телесного угла,
Под которым виден из точки М элемент площади du, то
Йо = г2 da. Поэтому й можно также записать в виде
“(г, Г) = ±^и(Р, t)da. (39)
SM
Применяя к интегралу в формуле (38) теорему о сред-
нем значении и устремляя затем г к нулю, получим
й(0, = t). (40)
Таким образом, для нахождения функции и(М, t) доста-
точно найти функцию й(г, t). Чтобы поставить задачу
для функции й(г, t), нам потребуется
Лемма. Справедливо соотношение
Ли — &г (и).
[Здесь в левой части лапласиан Ди берется по коор-
динатам точки Af, а в правой части, т. е. Дг(й), —по
переменной г. В дальнейшем мы будем опускать значок г
у оператора Д.[
Доказательство. Пусть DrM — область, ограничен-
ная сферической поверхностью SrM. По формуле Остро-
градского имеем
Ш4**’И
Dr.. Sr,„ SC
Af м м
SM SM
Применяя к последнему интегралу формулу (39), получаем
Дийт = 4лг2^.
С другой стороны,
J Ди йт = П J J Диdp = (4лр2Ди)dp.
Пг 0 \ cP I о
3»
67
Следовательно,
р2Д«йр=га^.
о
Дифференцируя это соотношение по г, получим
Ди=^^(г2“Л) = А^-
Лемма доказана.
Предположим теперь, что решение задачи (36) —(37)
существует. Тогда, применяя операцию усреднения по
сфере SrM к тождеству a2Au = utl и используя лемму,
получаем
й2Айей„, или a2^~(r2ar) = att,
или
о2 (тгг+2йг) ss гаи.
Если ввести новую функцию о=гй, то последнее соот-
ношение можно записать в виде (flvrr=vH. Таким обра-
зом, функция о (г, t) удовлетворяет одномерному волно-
вому уравнению.
Применяя операцию усреднения к соотношениям (37),
получим
«О'» O) = q>(r) = ^J J ф(Р)й<Г,
SM
о) = ф(г)=^ J J ф(Р)йо.
5м
(41)
Пусть Ф1(г) = гф(г) и фх (г) = гф (г). Очевидно, что
о (г, 0) = ф!(г), о, (г, 0) = фх(г), о(0, /) = 0.
Таким образом, для о (г, t) мы имеем следующую задачу
на полубесконечной прямой:
аЧг=ой,
о (г, 0) = Ф1(г), vt(r, 0) = ф1(г), о (0, 0 = 0-
Для ее решения начальные функции фх(г) и фх(г)
надо, согласно § 8, продолжить нечетным образом на
полупрямую (—оо, 0) и для продолженных функций
Ф2(г) и фа(г) написать формулу Даламбера. При этом
68
функции ф(г) и ф(г) будут продолжены четным образом
(мы сохраним для продолженных функций прежние обо-
значения: <р (г) и ф(г)). Решение задачи для о (г, f) будет
иметь вид
г 4-о/
г—at
Следовательно,
«(<. f) + Т\(г)ф.
г—at
Если в этой формуле положить г=0, то получим
й(0, /) = -§-•
Для вычисления й(0, t) применим правило Лопиталя
(учитывая также определение <р2 и ф2):
й (О, 0 = у {ф (а0 + Ф (— +^ф' (яО — о/ф' (— а/)} +
+ {а/ф (at) + ahj> (— a/)}.
Поскольку функции ф(з) и ф(г) четные, а функция
ф' (г) нечетная, то
й (0, 0 = ф(а/) + а/ф' (а/) + £ф(а/) =
= £{tq(at)} + ty(at). (42)
Если мы воспользуемся формулами (40) и (41), то из
соотношения, (42) получим формулу Пуассона для иско-
мого решения задачи Коши (36) —(37):
1 (43)
v ’ 4лай/ J J at 1 4ла j У at v
<.at Kal
“JU ° JU
Таким образом, из предположения о существовании
решения задачи Коши для трехмерного пространства сле-
дует, что оно должно представляться формулой (43). Сле-
довательно, оно единственно.
2. Теперь мы можем решить задачу Коши в трехмер-
ном пространстве для неоднородного волнового уравнения:
a2Au+f(M, t)^uu,
и(М, 0) = ф(Л4), ut(M, 0)=ф(Л4).
69
Разбиваем ее на две задачи:
а) а2 До = vt(,
v(M, O)-q(M), vt(M, 0)=ф(Д4).
Решение этой задачи представляется формулой Пуас-
сона.
б) аг =
w(M, 0) = 0, wt(M, 0) = 0.
Очевидно, u = v-\-w.
Задачу б) будем решать методом, описанным на стр. 55.
А именно, сначала решаем вспомогательную задачу
а*ЫЦ=Щи,
По формуле Пуассона
Щ(М, t, т) = ^- И Т, du.
’ ’ 7 4.то JJ a(t—т)
(/ — Т)
* м
Тогда, как было показано на стр. 55,
t
w(M, 0 = t, t)Jt,
о
или
w(M, = U du\dT.
v ' ’ 4ла J I J J a(t—t)
0 \ I
/
Во внешнем интеграле произведем замену переменной
интегрирования a (t — т) = г, получим
w(M, t) =
где г — расстояние от точки М до переменной точки ин-
тегрирования Р, г = гмр. Этот интеграл можно, очевидно,
70
записать как интеграл по области D^, ограниченной сфе-
рой Sm- 1 г к
<44)
им
Если внешний возбуждающий фактор /(Л4, t) отличен
от нуля лишь в одной точке АД, в которой он равен /(/),
то в этом случае волновое уравнение можно написать
в виде
a2Au+f(t)6(M, М0) = и„,
где 6(/Vf, Л1(1) — 6-функция с особенностью в точке Мй
(см. Дополнение)
Решение этого уравнения, удовлетворяющее нулевым
начальным условиям (следовательно, обусловленное лишь
действием точечного фактора f(t)), можно написать со-
гласно формуле (44) в виде
лад
----a_L--------dv.
ГМР
Используя основное свойство 6-функции *), получаем
°.
если
at < Гммо,
и(М, 1) =
1___J_f G гммЛ
4nasrMMJ ( а /
если at f
(45)
3. Из формулы Пуассона можно также получить реше-
ние задачи Коши для однородного волнового уравнения
в двумерном пространстве:
с2 Д« = utt,
и(х, у, 0)=<р(х, у), (46)
«,(х, у, 0) = ф(х, у).
*) Для любой непрерывной функции ф (М)
$$$Ф(Р)С(Р, M0)dv =
D
О,
ф (Л1о).
если Мо ф D,
если Л1о е D.
71
В самом деле, если в формуле (43) функции <р(Р)
и ,ф(/3) не зависят от переменной г, то интегралы по
поверхности сферы можно свести к интегралам по
большому кругу этой сферы лежащему в плоскости
(х, У) (Рис- 10)- Интеграл по верхней половине сферы
равен
J J at J J at cosy ’
верх
где у—угол между нормалями к плоскости (х, у) и
сфере S1^ в точке Р. Очевидно,
спс-V-Iffd - yW-UW _ ^(^-(x-gy-fy-^ *)
r | MP | “ at ~~ at
Поэтому
f f t ? ф(£>
' J at J J
верх8^ 2%
Аналогично находим
f C 1(f) dr = ( V ф(£>
'j at J J ^a-(x-Ua-fe-T])2’
нижн
*) Здесь g, T]—координаты точки Plt являющейся проекцией
точки Р на плоскость (х, у}, х, у—координаты точки наблюде-
ния М.
72
Применяя аналогичное преобразование для второго
интеграла в формуле Пуассона, получим решение задачи
Коши (46) в виде *)
и(х и а = 2_£ С С Ф(^. t))d£dn ,
I 1 f f 4>(ё. TpdEdti (47)
2ла р<да/а_(л:_уа_^_т])а ’ ' '
2М
Теперь нетрудно решить задачу Коши в двумерном
пространстве и для неоднородного уравнения. Она сво-
дится к только что рассмотренной задаче и к задаче Коши
для неоднородного уравнения с нулевыми начальными
условиями. Эта последняя решается методом, описанным
на стр. 55. Мы не будем повторить всех выкладок**),
напишем лишь результат:
w (х, у, t) =
t
1 С / С С _______________f (ё, П. Т) dg dT)_______
2ла '( ''
о
v м
Из этой формулы читатель легко может получить решение,
обусловленное действием точечного фактора /(/).
§ 12. Физическая интерпретация формулы Пуассона
Обратимся снова к формуле Пуассона. Пусть началь-
ные функции <р (Л1) и ф (М) не равны нулю лишь в области
D, ограниченной поверхностью S (рис. 11). Будем наблю-
дать за состоянием среды в фиксированной точке М.
Для достаточно малых значений t поверхность сферы Хм
с центром в точке М не пересекает область D. Поэтому
интегралы в правой части формулы Пуассона будут равны
нулю; следовательно, для таких значений t имеем и (М, () = О
(возмущения не дошли до точки М). Обозначим через dt
расстояние от точки М до ближайшей точки поверхности
*) Описанный метод получения формулы (47) называется мето-
дом спуска. Аналогичным путем из формулы (47) можно получить
формулу Даламбера.
*•) Читателю рекомендуется провести все выкладки самостоя-
тельно.
73
S, а через d2 — расстояние от Л! до наиболее удаленной
от нее точки поверхности S. Для значений t е (4, ^2)
(Z1 = d1/a, t2 = dja) поверхность сферы Sm будет пересе-
кать область D. Поэтому интегралы в формуле Пуассона
будут отличными от нуля, и, следовательно, для таких
значений t имеем и (М, t) Ф 0. Для t > t2 сфера S“m не
будет пересекать область D, и, следовательно,
снова станет равной нулю. Если мы представим себе
теперь, что из каждой точки области D по всем направ-
лениям распространяются возмущения со скоростью а
(принцип Гюйгенса), то описанные выше изменения функ-
ции и(М, I) со временем физически можно интерпрети-
ровать следующим образом.
Для t<zti возмущения не дошли еще до точки М\
в момент / = 4 передний фронт волны возмущений дости-
гает точки М; в течение промежутка времени
через точку М проходит волна (зона) возмущений; в
момент t — t2 через точку М проходит задний фронт волны
возмущений, и с этого момента среда в точке М остается
в покое.
Пусть в двумерном случае начальные функции <р (х, у)
и ф (х, у) не равны нулю лишь в области D, ограниченной
кривой S (рис. 12). Для t<.ti круг 2м не содержит
точек области D, поэтому интегралы в формуле (47) равны
нулю, следовательно, и и (х, у, t) = 0. Для любых / >
круг Ем содержит область D или ее часть, и поэтому
и(х, у, для таких значений t *). Таким образом,
в двумерном случае есть передний фронт волны (он дости-
гает точки М в момент времени t = но нет заднего
*) fi и i2 имеют прежний смысл.
74
фронта. Принцип Гюйгенса й этом случае не выполняется.
Это легко понять, если иметь в виду, что рассмотренная
двумерная задача фактически представляет собою трех-
мерную задачу, в которой область ненулевых значений
начальных функций <р(2И) и ф>(Л4) является бесконечным
цилиндром, образующие которого параллельны оси г.
Очевидно, сферическая поверхность при любых значе-
ниях будет пересекать этот цилиндр, и поэтому
интегралы в формуле Пуассона не будут равными нулю
для всех значений
§ 13. Системы квазилинейных уравнений
В §§ 1—12 мы рассмотрели метод характеристик в при-
менении к линейным уравнениям и системам. В последую-
щих параграфах будет рассмотрено применение метода
характеристик к широкому классу нелинейных уравнений
и систем.
Рассмотрим уравнение
аишхх ф- 2а12шхг, ф- a22wyy ф- d = О,
где on, а12, а22, d — функции от х, у, wx, wy. Такой вид
имеют многие уравнения математической физики с двумя
независимыми переменными.
Если положить и = wx, v = wy, то это уравнение будет
эквивалентно системе
«11«л- + «12«4/ + «1аУл-+«22^ + ^ = 0, uy — vx — 0. (49)
Это система нелинейных уравнений. Она является частным
видом системы
AxUx-[- B1tiy-\-Clvx-\-D1vy = Elt .j.q.
А2их ф- В2иу ф- C2vx ф- D2vy = Ео,
где Ait Bh Ci, D„ Ei суть функции от (х, у, и, и).
Системы вида (50) называются квазилинейными. Система
(49) является также квазилинейной.
§ 14. Характеристики систем квазилинейных уравнений
Понятие характеристик без всякого изменения в опре-
делениях и в формулах переносится и на квазилинейные
системы (см. §§ 1—3).
Так, характеристическое направление оператора
Н [и] = А (х, у, и)ихА~В (х, у, и) иу определяется вектором
75
l = (A/N, B/N), зависящим от самой функции и. Диффе-
ренциальное уравнение характеристик для оператора И
имеет вид
dx du dx А
А (х, у, и) В (х, у, и) dy В
Очевидно, чтобы определить характеристики, надо фикси-
ровать функцию и(х, у). Таким образом, для каждой
функции и(х, у) будут свои характеристики. Поэтому
говорят о характеристиках на данной функции и(х, у).
Для оператора
h[u, v]=H1[u]A-H2 [v] = Aux + Buy + Cvx+Dvy,
где А, В, С, О —функции от х, у, и, v такие, что
характеристиками будут линии, определяемые уравнением
~ . Оператор Л [и, о] приводится к характеристи-
ческому виду
h[U, »] =-3~+k-j-,
1 ’ J dx 1 dt ’
где
= л- = ~B=k=k{x,y, и, V).
Из пары операторов
hi [и, v] = A^xA- B^yA-CitixA-D^y,
h2[u, v J A2ux -J- B2uu Ц- C2vx 4~ D2vy
можно получить пару других операторов:
Г, л du . . dv т . , du . , dv
»] = *-+*! л-, =
где
t t t у Cj-f-XiCa /• i
hi — kt (x, y, u, v) - Л1+х.Лг — в1+х,вг (* = 1 •2)’
а определяются из уравнения
Mi+^^8 В14-ХВг I___________________
I Cj+XC2 D} |
Очевидно, X,- — X-j (x, y, u, v).
76
Классификация проводится совсем аналогично.
Дифференциальные уравнения характеристик для пары
операторов й4) имеют вид
dx _ dy
AjAy Bl “I-
0=1,2).
Отметим еще раз, что на каждой паре функций (и, v)
характеристики свои.
§ 15. Образование разрывов в решении
Понятие характеристик для квазилинейных уравнений
и систем позволяет обнаружить существенно новые явле-
ния (например, образование разрывов), присущие процес-
сам, описываемым квазилинейными уравнениями (систе-
мами), а также дает эффективный метод приближенного
(численного) решения систем квазилинейных уравнений.
Пример 3. Рассмотрим уравнение
ut+uux=0. (51)
_ . , dx „
Дифференциальное уравнение характеристик имеет вид — = и. '-•ле-
довательно, в левой части уравнения (51) дифференцирование произ-
водится вдоль характеристик, т. е. уравнение (51) можно написать
Рис. 13.
в виде = 0. Следовательно, вдоль каждой характеристики и (х, t) =
. dx
= const. Отсюда и из уравнения характеристик — и следует, что
характеристики суть прямые.
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (51) с начальным значе-
нием и(х, 0)=ф(х). Если ф (х) имеет вид указанный на (рис. 13),
то на участке (0, Xj) характеристики будут расходящимися (угловые
коэффициенты их растут с ростом х), а на участке (х), х2) они будут
сходящимися (их угловые коэффициенты убывают с ростом х) и,
следовательно, пересекутся (рис. 14). Но так как каждая характе-
ристика несет свое постоянное значение функции и (х, t), то в точке
пересечения характеристик (х0, /„) мы будем иметь два значения.
77
Очевидно и — в (х0, t0) будут равны оо. Таким образом, в момент
t0 производная их обращается в оо— наступает градиентная катастрофа
(в качестве t0 надо брать наименьшее значение t, прн котором про-
изойдет пересечение характеристик).
Аналогичная ситуация может иметь место и для систем квазили-
нейных уравнений.
Пример 4. Рассмотрим систему уравнений
Uf (аи + ро) их=0, vt + (ао+Р«) vx=0, (52)
в которой а н р — постоянные, а>р.
Дифференциальные уравнения характеристик имеют вид:
dx
-^-=а« + Ро —1-е семейство,
dx
——= ao-4-Pu —2-е семейство.
at г
Следовательно, систему (52) можно записать в виде
*L=o, -^=0,
где 4г=4+(а“+м =4+(au+pu)4-Таким обра-
зом, вдоль каждой характеристики 1-го семейства u=const, вдоль
каждой характеристики 2-го семейства 0=const.
Задача Коши для этой системы. Будем искать реше-
ние системы (52), удовлетворяющее начальным условиям и (х, 0)=ф1(х),
V (х, 0) = ф2 (*) Пусть фх (х) и ф2 (х) имеют вид, изображенный на
рис. 15.
Таким образом, фх (х) > 0, фг (х) = const < 0. Очевидно =
= аф1 (х) Рф2 (х) > 0. Следовательно, начальное возмущение функ-
ции и будет распространяться вправо по постоянному фону v=—u0.
Таким образом, для любого t>0 .на каждой характеристике 1-го
семейства выполняется соотношение
dx „
~dt =аи—р«0-
Поскольку вдоль каждой характеристики 1-го семейства u = const,
то угловой коэффициент каждой характеристики 1-го семейства будет
78
вдоль всей этой характеристики постоянным. Следовательно, каждая
характеристика 1-го семейства есть прямая.
На участке (х0, характеристики расходятся, а на участке
(*!, х2) —сходятся. Следовательно, последние пересекаются. Пусть
(xf', f0)—низшая точка пересечения. В точке (xj, t0) производные их
и и/ равны оо, т. е. происходит градиентная катастрофа. С этого
момента в решении образуется разрыв.
§ 16. Одномерные плоские адиабатические течения газа
К рассмотренной системе (52) сводится система урав-
нений газодинамики для плоского одномерного движения
политропного газа
Vt + VVх + ~ рх = 0, (53)
Pt + vpx+pvx = О, р = — р\
(Это адиабатическое движение.)
Полагая = cz2pv-1 = с2, получим
2 л»_1
^ + ОТл-+^7ГГссх = °. ct + vcx+^—cvx = O. (54)
Приводя эту систему к характеристической форме, получим
dv 2 de _« dv______2 de „
dTt у— 1 dTi ~~ ' dT2 y — 1 dts~~ ’
где
d_d drt dt ' , , . д d д , , , д -^ + СЬх- С>дх'
Следовательно, семейства вдоль каждой характеристики 1-го 2 i о 4 гс = const, т у-1
а вдоль каждой характеристики 2-го семейства 2 . V =- с ~ const. у-1
Полагая г = v 4- 2 2 г с, s = o г с, из системы (54) Y— 1 7 — 1 х 7
получим эквивалентную ей систему в инвариантах:
r/ + (ar + ps)rx = O, sz 4- (as 4- ₽r) sx = 0,
1 . V---------1 O 1 V— 1 „
где a=~2 +4—> P —ту— 4— ^TO и есть система ви’
да (52).
79
Если начальные профили г и s суть <Pi (х) и <р2 (х), то
в решении г наступит разрыв в момент t0. Следовательно,
и v = 0,5 (г 4- s0) будет разрывной. Образование разрыва
можно интерпретировать иначе.
Формула v = 0,5 (г ф- s0) показывает, что точки г-волны
с большими значениями г будут двигаться быстрее, чем
точки с меньшими значениями г. Следовательно, при
движении г-волны передний фронт становится круче, а
задний — положе. В некоторый момент времени t0 произой-
дет опрокидывание волны. Это и есть градиентная ката-
строфа.
§ 17. Численное решение систем квазилинейных
уравнений методом характеристик
Рассмотрим один класс гиперболических систем ква-
зилинейных уравнений вида
(и, о) иу + Ci (и, v)vx+D!(u, v)vy = Q,
А2(и, v)ux+B2(u, v)uy + C2(u, v)vx + D2(u, v)vy = Q,
в которых коэффициенты A[t Bh Cit Dt не зависят от x, у.
Эту систему можно привести к характеристической
форме
0-^ = 0, V) * =0. (55)
Рассмотрим на оси х дискретную последовательность
точек. Будем называть эти точки узловыми точками нуле-
вого слоя. В каждой из этих точек известны значения
функций и и v (начальные значения). По этим значениям
можно определить в каждой точке нулевого слоя направ-
ления характеристик обоих семейств по формулам
^1 + Х.1Да dx Л1 + ХгДа /ту,
dy Bi + KiB2’ dy Bi + Мг*
Через каждую узловую точку нулевого слоя проводим
в найденных направлениях прямые до их пересечения
с соседними прямыми. Точки пересечения будем называть
узловыми точками первого слоя сетки (на рис. 16 они
отмечены кружочками). Покажем, как можно определить
значения функций и и v в узловых точках первого слоя.
Рассмотрим произвольную точку первого слоя (на
рис. 16 она отмечена цифрой 3) и соответствующие точки
(/ и 2) нулевого слоя. Пусть ult Г/ —значения функций
80
и и v в точке i (/= 1, 2, 3). Очевидно, система (55) экви-
валентна системе
ti)cfo = O (вдоль характеристик 1-го семейства),
Ju4-A2(u, v)dv = O (вдоль характеристик 2-го семейства).
Заменяя в этой
du «з — иъ
du^ua — и2.
системе дифференциалы приращениями:
dv ^Va — Vi —в первом уравнении
dv vs — па — во втором уравнении,
получим систему
«з + М«1, fl)U3 = «l + *l(Ml. »1)W1,
«з + М«2> vJ)Va — U2-{-k2{u2, V^V2.
Из нее находим us и vs. И так для произвольной точки
первого слоя.
Рис. 16.
Определив значения функций и и v во всех точках
первого слоя, такой же процедурой определяем значения
функций и и v в точках второго слоя. И так далее
(рис. 16).
ЗАДАЧИ
1. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, от-
личным от нуля лишь на интервале (с, 2с) и имеющим форму лома-
3
иой с вершинами в точках с, -х- с, 2с. Построить (начертить) профиль
струны для моментов времени tk — ^k (k = l, 2, 3).
2. Решить задачу 1, если начальное отклонение отлично от нуля
лишь на интервалах (— 2с, — с) и (с, 2с) и имеет форму ломаной
с вершинами в точках —2с, —1,5с, —с, с, 1,5с, 2с -
3. Бесконечной струне сообщена только на отрезке — с х с
поперечная начальная скорость оц—const. Решить задачу о колеба-
нии этой струны. Построить профиль струны для моментов времени
(fe = l, 2, 3).
4. Полубесконечная струна с жестко закрепленным концом воз-
буждена начальным отклонением, отличным от нуля лишь на
81
отрезке (с, Зс), имеющим форму ломаной с вершинами в точках с, 2с,
С
Зс. Начертить профиль струны для моментов времени
(fe = 2, 4, 6).
5. В начальный момент времени /=0 полубесконечиая струна
с жестко закрепленным концом получает в точке х=х0 поперечный
удар, сообщающий струне импульс Р. Решить задачу о колебании
струны под действием этого импульса.
6. Бесконечный упругий стержень получен соединением в точке
х=0 двух полубесконечных однородных стержней с плотностями
массы и модулями упругости pj, Е^, р2, Е2. Пусть из области х<0
(X \
t-----. Найти отраженную и
а1)
преломленную волны. Всегда ли они существуют? Исследовать реше-
ние при Е2 —-0 и при Е2 —-со.
7. К концу х=0 полубесконечного провода линии без искаже-
ний (GL=CR) была приложена постоянная э. д. с. Ео в течение
достаточно длительного промежутка времени, так что в проводе уста-
новилось стационарное распределение напряжения и силы тока.
В момент времени t = 0 конец провода был заземлен через сосредо-
точенное сопротивление /?0. Найти напряжение и ток в проводе при
t>0.
8. Концы струны х=0 и х=1 закреплены жестко. Начальное
31
отклонение и (х, 0) = 4sin-^-x (O^x^Z), а начальная скорость
равна нулю. Построить профиль струны для моментов времени
'»-s‘
9. Решить задачу о колебании бесконечной струны под дейст-
вием сосредоточенной поперечной силы F (/) (для t > 0), если точка
приложения силы скользит вдоль струны с постоянной скоростью ц,
из положения х=0, :причем оо<а.
10. Конец х=0 полубесконечного провода с пренебрежимо ма-
лыми сопротивлением и утечкой' на единицу длины в момент вре-
мени Z=0 присоединяется к источнику э. д. с. E—f(t). Найти на-
пряжение и (х, t) в этом проводе.
11. Конденсатор емкости Со, заряженный до потенциала V, раз-
ряжается в момент времени Z=0 на бесконечный провод с парамет-
рами (£, Q. Найти ток в проводе.
12. В газе, находящемся в состоянии покоя, создано в момент
времени Z=0 уплотнение So, локализованное в объеме, ограничен-
ном заданной поверхностью а. Найти уплотнение S (М, t) как функ-
цию площади ot части поверхности сферы S^, которая заключена
внутри о.
13. Какие линейные уравнения с постоянными коэффициентами
вида
апихх + 2П12Нхт +в2гы//+^1их+^2ut+си == 0
имеют решения в виде произвольных бегущих волн f(x —at), где
а=const? (Нет дисперсии.)
14. Какие уравнения задачи 13 имеют решения в виде произ-
вольных бегущих волн с затуханием f(x—afp
Г лава IV
МЕТОД ФУРЬЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
(метод разделения переменных)
Одним из наиболее широко применяемых в математи-
ческой физике методов является метод Фурье.
Типичными задачами, к решению которых применяется
этот метод, являются краевые задачи в ограниченных
областях для уравнений гиперболического и параболиче-
ского типа. Существо метода, состоящего в представлении
.искомого решения в виде ряда Фурье по некоторой орто-
гональной системе функций, связанных с рассматривае-
мой задачей, лучше всего можно понять на простейших
из них — на однородных краевых задачах. Мы будем рас-
сматривать параллельно краевые задачи для уравнений
гиперболического и параболического типа.
Вопросы существования решения задач, рассматривае-
мых в этой главе, мы, как правило, не будем рассмат-
ривать. Вопросы единственности их решений рассматри-
ваются в гл. VIII.
§ 1. Предварительные понятия
Если каждой функции f из множества поставлена
в соответствие функция <р из множества Н2, то говорят,
что на множестве определен оператор Т со значениями
из множества Н2, и пишут <f = Tf или <p = 7’[f]. Напри-
мер, оператор
Tf = \f(l)dl, О^х^а,
о
определен на всех функциях, интегрируемых на отрезке
[О, а], и функции <р (х) = Tf непрерывны на отрезке [0, а].
83
Пусть оператор Т определен на множестве Нг и
Tf е Нг для всякой функции f из Нг. Будем полагать,
что множества Нг и Я2 принадлежат некоторому множе-
ству (пространству) И, для любых двух элементов кото-
рого <р! и <р2 определено понятие скалярного произведе-
ния (<plt <р2), обладающее свойствами *):
1) (Ф1. <Рг) = (Фг. Фх):
2) (ф1 + ф2. <Рз) = (<Р1. <Рз) + (<Рг. <Рз);
3) (tapi, Фг) — A (q>i, ф2), где Л — произвольное число;
4) (ф> ф)3=0, причем (ф, ф) = 0 только ^ля ф = 0.
Пространство И предполагается линейным, т. е. та-
ким, что:
а) если ф! s Н и ф2 е И, то ф1 + ф2 е И;
б) если ф е Н и Л — число, то Хф е Н.
Оператор Т*, определенный на множестве Н2, со зна-
чениями из множества Нг называется сопряженным опе-
ратору Т, если для всяких f е Нг и ф е Н2 справедливо
равенство
(Ф, = Т*ф).
Если Т = Т*, то оператор Т называется самосопря-
женным или эрмитовым.
§ 2. Сущность метода Фурье. Собственные функции
и собственные значения
1. Пусть требуется найти функцию и(М, t), удовлет-
воряющую для />0 уравнению
div (k Vtz) — qu = ( (1)
I
в области D, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой
поверхностью S, непрерывную в замкнутой области В =
= {M^D; /Э=о}, где D = D-[-S, и удовлетворяющую
дополнительным условиям:
краевому
(vi£ + Hs=° (2)
*) Н—гильбертово пространство.
84
и начальным
и(М, 0) = <p(M), ut(M, 0) = <р1(М)
(соответственно и (М, 0) = <р(Л4)). (3)
Если ввести обозначение L[u] = div (k Vu) — qu, то
уравнение (1) можно написать в виде*
г г 1 ( Z1,\
iM"u. (1>
Это уравнение и краевое условие (2) —линейные и одно-
родные. Следовательно, если и щ, суть решения урав-
нения (1), удовлетворяющие условию (2), то и функции
u = c1u1+c2u2, где и с2 — константы, будут также реше-
ниями уравнения (1), удовлетворяющими условию (2).
Попытаемся с помощью суперпозиции всех линейно
независимых частных решений описанного типа (т.е.
удовлетворяющих краевому условию (2)) удовлетворить
и начальным условиям (3) *). Для этого будем искать
нетривиальные**) частные решения уравнения (1), удов-
летворяющие краевому условию (2), в классе функций
вида ©(ЛДЧ^/), где Ф(Л4) непрерывны в D, V (/) непре-
рывны в 0=sg/<oo. Подставляя функцию Ф(М)¥'(/)
в уравнение (1) и деля обе части уравнения на р(М)Х
X Ф (М) ¥ (0. получаем
= ^соответственно
Чтобы это равенство было тождественным (т. е. чтобы
функция Ф(2И)¥(/) удовлетворяла уравнению (1) при
всех (М, В), необходимо и достаточно, чтобы обе
дроби Т£Ф]/рФ и ¥"/¥ были равны одной и той же
константе:
МФ]_ ,4"'
рФ Л V •
Таким образом, должны выполняться тождества
¥"+Х¥ = р (¥'+>.¥ = 0) и 1[Ф]+ХрФ^0.
*) По аналогии с решением задачи Коши для обыкновенного
линейного однородного дифференциального уравнения
**) То есть не равные тождественно нулю.
85
Следовательно, в качестве функций Т (/) и Ф (М) надо
брать нетривиальные решения уравнений
Чг" 4- ХЧ' = 0 (соответственно Ч*' + ЛЧ* = 0), (4)
£[Ф]+АрФ = 0, (5)
причем функция Ф(М) должна удовлетворять краевому
условию
(Т1^-+Т2Ф)5 = О. (6)
Задачу (5) — (6) называют задачей Штурма — Лиувилля.
Она имеет нетривиальные решения не при всех значе-
ниях X.
Определение. Те значения X, при которых задача
(5) — (6) имеет нетривиальные решения, называются соб-
ственными значениями (с. з.) краевой задачи (5) —(6),
а соответствующие им нетривиальные решения Ф(Л4)
уравнения (5) — собственными функциями (с. ф.) краевой
задачи (5) —(6).
2. Для каждой краевой задачи (однородной или неод-
нородной), поставленной в области £>’, ограниченной по-
верхностью (линией) S, определим класс А функций Ф (М).
При рассмотрении краевой задачи первого типа
к классу А отнесем все непрерывные в замкнутой об-
ласти D функции Ф (М), обращающиеся в нуль на поверх-
ности (линии) 5. При рассмотрении краевой задачи вто-
рого или третьего типа к классу А отнесем все непре-
рывные в D вместе с частными производными первого
порядка по координатам точки М функции Ф(М), удов-
летворяющие на границе S условиям:
йФ I „
-^-1=0 для краевой задачи второго типа
и
(ti^+T2®)s = 0 для краевой задачи третьего типа.
Здесь коэффициенты у, (М) и у2 (Л4) те же самые, что и
в краевом условии рассматриваемой задачи.
В дальнейшем будем предполагать, что функции k (Л-1),
<7(Л1), р(Л1) непрерывны' в области D и &(Л4)>0,
р(Л4)>0вП.
При этих условиях справедлива
86
Теорема 1. Существует бесконечное (счетное) мно-
жество собственных значений {Л„}, и=1, 2, ..., и соот-
ветствующих им собственных функций {Ф„(Л4)} краевой
задачи (5) —(6), принадлежащих классу А.
Доказательство этой теоремы мы опускаем.
Замечание 1. Если заранее ограничиться рассмот-
рением функций класса А, то вместо слов «собственные
значения и собственные функции краевой задачи (5) — (6)»
можно говорить: «собственные значения и собственные
функции оператора £».
Замечание 2. Указанные выше условия на коэф-
фициенты k(M), q(M), р(М), Т1(Л4) и у2(Л4) являются
лишь достаточными для существования собственных зна-
чений и собственных функций. В дальнейшем будут рас-
смотрены примеры краевых задач, в которых некоторые
из этих условий не выполнены. В этих случаях сущест-
вование с. з. и с. ф. будет установлено фактическим на-
хождением их.
3. Напомним, что рядом Фурье функции f(M) по ор-
тогональной с весом р (М) > 0 системе функций {Фп (Л4)}
называется ряд
5 с&ъ (М),
Л=1
в котором коэффициенты ck вычисляются по формулам
Ck=WF V(Р) р (Р) Ф*(Р) drp'
J ' b
||<M= J p(P)®i(P)dxP.
D
Собственные значения и собственные функции краевой
задачи (5) — (6) обладают рядом свойств, из которых мы
сформулируем прежде всего следующее.
Теорема разложимости (Стеклова). Всякая
функция f (М) из класса А разлагается в ряд Фурье по
собственным функциям краевой задачи (5) — (6), абсолютно
и равномерно сходящийся в области D.
Доказательство этой теоремы мы опускаем*).
4. Вернемся к рассмотрению задачи (1) —(3). Ее ре-
шение можно построить методом Фурье. Его называют
*) Для одномерного случая эта теорема будет доказана в гл. XI.
87
также методом разделения переменных. Сущность этого
метода состоит в следующем.
а) Ищем решения уравнения (1), удовлетворяющие
только краевым условиям (3), среди функций вида
и(М, 1) = Ф(М)У¥ (t). Для функции Ф(Л4) получаем за-
дачу Штурма — Лиувилля (5) — (6).
б) Решаем задачу Штурма— Лиувилля. Пусть Oj(A4),
Ф2(Л1), ..., Ф„(2И), ... суть собственные функции этой
задачи, a Z2, .... ... — отвечающие им собственные
значения.
в) Для каждого собственного значения находим
решение уравнения (4). Общее решение его имеет вид
Ч'п (/) = С„ cos V "im t -\-Dn sin ]/Z„ t
для уравнения (1) гиперболического типа и
для уравнения (1) параболического типа.
г) Таким образом, частными решениями уравнения (1),
удовлетворяющими только краевым условиям (2), яв-
ляются функции вида
ип (М, t) = (Сп cos У^п 1sinугп t) Ф„ (А4)
для уравнения (1) гиперболического типа и
ип(М, =
для уравнения (1) параболического типа.
д) Возьмем сумму таких частных решений по всем
собственным функциям
« (М, О = Z (Ся cos t + Dn sin Vln t) Ф„ (Af) (7)
n ~ 1
ИЛИ
Ц (M, 0 = z Cne~Ч Ф„ (M). (7J
n=l
Возникает вопрос: нельзя ли так выбрать коэффици-
енты Сп и Dn, чтобы эти суммы были решением задачи
(1) —(3)? Положительный ответ дает
Теорема 2. Непрерывное в замкнутой области
В ={Л1 eD, /SsO} решение задачи (1) —(3), принадле-
жащее соответствующему классу А при всяком фиксиро-
88
ванном значении для уравнения гиперболического
типа представляется в виде ряда (7), где
Сп = WF J Р Ч5 ф« (р) dxP'
||Фл||2= ^Р(Р)ФИ^) d*P.
D
для уравнения параболического типа —в виде ряда (7х).
Число ||ФП|| называется нормой функции ФП(М).
Для доказательства этой теоремы нам понадобится
следующая
Лемма. Оператор L [Ф] == div (A VO) — <?Ф является
самосопряженным на функциях класса А.
Доказательство. Скалярное произведение функ-
ций Фх и Ф2 определим как интеграл
(Фх, Ф2) = $ ФА^т.
D
Используя известную формулу векторного анализа
р div (Е) = div (рЕ) — (Е, Vp) для р = Фх> Е=кЧФ2,
скалярное произведение (Фп L [Фа]) можно записать
в виде
(Ф1. £[Фа]) = $ oiL[°JdT==
D
= J div (/гФх V®2) dx — J k (VOj, ?Ф2) dx — J <?Ф1Ф2 dx.
ODD
Первый интеграл правой части равен АФХ da,
s
поэтому
(Фх, ЦФ2]) =
= - С k (?Фх, ?Фа) dx - J <тФхФ2 dx + J ^Фх da. (8)
D D S
Эту формулу часто называют первой формулой Грина.
Аналогично получим
(Ф2, ЦФх]) =
= - J k (?Ф2, ?Фх) dx - J 9ФхФ2 dx + Jj /гФ2^ da. (8j)
D D S
89
Если мы имеем дело с первой или второй краевой
задачей, то АФТ^ da= йФ2^1</о = 0, так как
J С'П J ип
S S
Ф, Is = Ф? Is = 0, или соответственно I = I = 0.
1 ‘1 on |s on |.S
В этих случаях из (8) и (8j) справедливость равенства
(Фн £[Ф2]).= (Ф2, L [Ф1]) следует непосредственно. В слу-
чае третьей краевой задачи из краевых условий находим
Is = “ i Ф1 и ?Г |s = “ J Фг- п°Дставляя эти зна-
чения производных по нормали в формулы (8) и (8^,
получаем требуемое равенство.
Замечание. Из формулы (8) (или (8Х)) следует, что
для функций Ф из класса А (Ф, L [Ф]) 0.
Доказательство теоремы 2. Пусть и(М, t) —
искомое решение. Поскольку оно при всяком />0 при-
надлежит классу А, по теореме Стеклова его можно пред-
ставить в виде ряда Фурье
ОО
и(м, t)= X адфДМ), (9)
n= 1
где
(Z) = ГО $ р {Р) и [Р> V Фп {Р) dTp • (10)
Используя уравнение (5) для Ф„ (М), последнюю фор-
мулу можно преобразовать к виду
ip (А — f UT Гф 1 dx = ~(ц>
я (° II ф„ IP J UL L nJ а КII ф„ II2
D
или, согласно лемме,
'Ря = Мфл11а 5 Ф” •
D
Используя уравнение (1), получаем
Ч/" ® = Х„(1Ф„||2 $ рФя“" dt
D
[или (/) = рФяМ/ dx\t откуда, сравнивая по-
I II 11 J /
\ О /
лученный результат с формулой (10), имеем
»Ря(/) = -тап, т. е.
(или Ч';-|-АлТп = 0).
90
Таким образом, функция Y„(0 является решением
уравнения Чг"4-Л„Чг = 0 и, следовательно, может быть
записана в виде
(/) = Сп cos Vlnt 4- Dn sin Vlnt (или V„(Z) = C„e V).
где C„ = Y„(0),
Используя формулу (10), находим
Сп = ^п(0) = р£|р$р(Р)«(Р, 0)Ф„(РИт =
" D
= ^$Р(Р)ф(Р)Фп(Р)^.
" D
V' (0) 1 с
Dn = -7=- = -7=-----\ Р (^) Ч>1 (р)ф» (И dx>
Ч. Т. Д.
Предположив существование решения задачи (1) —(3),
мы пришли к заключению, что оно представляется ря-
дом (7), следовательно, оно единственно*).
Для уравнения гиперболического типа функции ип(М, t)
можно записать в виде
ип = Вп sin (Vln t + 6 J-Фп (М),
где Вп — V Сп 4-Пл> 6л — arctg .
ип
Движения, описываемые такими функциями, назы-
ваются собственными колебаниями, а также стоячими вол-
нами-, иг(Л1, t) — основной тон, а и2(М, t), и3(М, /),...—
обертоны. Числа ]/Л.г, V^ ••• называются частотами
собственных колебаний (основного тона и обертонов).
Частоты собственных колебаний не зависят от начальных
условий. Физически это означает, что частоты собствен-
ных колебаний не зависят от способа возбуждения их.
Они характеризуют свойства самой колеблющейся системы
и определяются материальными константами системы
(например, скоростью звука в среде), геометрическими
факторами (формой, размерами) и режимом на границе.
Собственная функция В„Ф„(Л4) дает профиль ампли-
туды стоячей волны.
’) Мы при этом опирались на теорему разложимости.
91
§ 3. Основные свойства собственных функций
и собственных значений
1. Обратимся к рассмотрению следующих свойств соб-
ственных функций и собственных значений.
Свойство 1. Если Ф есть собственная функция,
отвечающая собственному значению X, то и СФ (С —кон-
станта) есть собственная функция, отвечающая тому же
собственному значению.
Свойство 2. Если Oi и Ф2 —собственные функции.
Отвечающие собственному значению X, то и любая линей-
ная комбинация С1Ф1-)-С2Ф2 есть собственная функция,
отвечающая тому же “к.
Справедливость этих утверждений очевидна.
Свойство 3. Собственные функции Oj и Ф2, отвеча-
ющие различным собственным значениям и k2 (Xj у= Х2),
ортогональны в области D с весом р(М), т. е.
$р(Р)Ф1(Р)Фа(Р)4т=0.
D
^Доказательство По определению собственных
функций и собственных значений имеем тождества
е [Ф1] И- ^aP^i=е [Ф2] И- ^-2рф2=о.
Умножим первое из них на Ф2, второе на Фг и резуль-
таты вычтем один из другого. Интегрируя тождество
Ф2^- [Ф1] Ф^Е [Ф2] == (^2 — рФ^Ф2
по области D, получим
(Ф2> Е [Ф1]) (Ф1> Е [Ф2]) = (Х.2 рФ]Ф2 dx.
D
В силу самосопряженности оператора Е *) левая часть
этого равенства равна нулю. Следовательно, и
^рФ1Ф2Л = 0, ибо Хгу=Х2, ч. т. д.
D
Если собственному значению X отвечают г линейно
независимых собственных функций Фх, Ф2, Фг, то эти
функции не обязаны быть попарно ортогональными. Однако
мы можем заменить их другими собственными функциями
Фь Ф2, ..., Фг, являющимися их линейными комбина-
’) Собственные функции принадлежат классу А.
92
цнями и притом попарно ортогональными. Действительно,
полагаем ФХ = ФХ. Если £рФхФ2г/т = 0, то полагаем Ф2 =
D
= Ф2, если же $ рФ1Ф2 dr =/= 0, то полагаем Ф2 = Фх 4- ВХФ2.
D
Константу В± находим из условия ^рФ1Ф2Л = 0, т. е. из
D
уравнения
^рФ?г/т+Вх §рФхФ2<к = 0.
D D
Если Ф3 ортогональна функциям Фх и Ф2, то полагаем
фа = ф3, в противном случае полагаем фя = ф1-|-В12ф2-|-
+ В88Ф3. Константы В82 и В83 находим из условий
$рФхФ3с?т = 0 и |рФ2Ф3с?т=0, т. е. из уравнений
D D
J рФ, dx + В32 J рФхФ2 dr+В33 J рФхФ3 dr — О,
D D D
J рфхф2 dr+В82 J рФ| dr+В33 $ рф2ф3 dr = 0 *)
D D D
И Т. Д.
Продолжая этот процесс ортогонализации, мы по-
строим г собственных функций Фх, Ф2, .... Фг, отвечаю-
щих тому же собственному значению X и уже попарно
ортогональных. Предполагая в дальнейшем, что такой
процесс ортогонализации проведен (если в нем была на-
добность), мы можем утверждать, что любые две линейно
независимые собственные функции краевой задачи (5)—(6)
ортогональны в области D с весом р.
Свойство 4. Все собственные значения задачи (5)—(6)
вещественны.
Действительно, предположим, что Х = а-|-ф (₽¥=0)
является собственным значением, а Ф = Фх + /Ф2 — отве-
чающей ему собственной функцией. Тогда выполняется
тождество
L [Ф1 + 1’Ф2] + (а + ф) р (Фх + 1'Ф2) = 0.
*) Если Ф3 ортогональна Фх, но не ортогональна Ф2, то пола-
гаем Ф3=Ф2-|-В3Ф3 и В3 находим из условия
f рФ3Ф2 dr = ( рф2 dr+Bs С рФ3Ф2 dr=0.
ODD
93
Следовательно,
L [ф1] + аРф1 — ₽Рф2 = °, ‘ {L [фг1 + «Рф2 + ₽Рф1} = О,
Вычитая почленно эти тождества, получим
L [Ф^ — 1’Ф2] "Ь (® — Ф) Р (Ф1 — *фг) — 0.
Таким образом, к —а — ф и Ф = Ф! — 1‘Ф2 являются собст-
венным значением и собственной функцией той же задачи.
По свойству 3
J р (Ф14- 1'Ф2) (Ф1 — 1'Ф2) dr = 0, или J р (Ф? + Ф|) dr — 0,
D D
что невозможно.
Свойство 5. Все собственные значения задачи (5)—(6)
неотрицательны.
Для доказательства умножаем тождество L [Ф„] 4-
4- ^прфп=0 на Ф„ и результат интегрируем по области D.
Получим J ФпЬ [Ф„] dr 4- кп J рФ^ dr = 0, откуда
_-(Ф„, £[Ф„])
||ФП|Р
Поскольку — (Фп, £[Ф„])^0 (см. стр. 90), то%„^0.
Замечание. Для первой и третьей краевых задач
все собственные значения положительны. Для второй
краевой задачи с q(M) = 0 Х = 0 является собственным
значением, а Ф = I - отвечающей ему собственной функ-
цией.
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих при-
менение метода Фурье решения краевых задач и задач
Штурма — Лиувилля.
Пример 1. Пусть требуется найти решение задачи *)
а?ихх=Utt (11)
и(х, 0)=<p(x), ut(x, 0) = <р1(х); и(0, 0=0, (Их)
непрерывное в замкнутой области B^{0^x^l; f£:0}.
*) Напомним, что эту задачу мы решили в гл. III методом ха-
рактеристик. Тогда мы продолжали начальные значения <j> (х) и <pj (х)
нечетно относительно точки х=0 на отрезок (—/, 0) и затем перио-
дически на всю прямую. Затем к продолженным значениям приме-
няли формулу Даламбера. Читателю предлагается непосредственно
показать, что решение, полученное методом характеристик, совпадает
с решением, полученным методом разделения переменных.
94
Заметим, что из условия непрерывности решения в замкнутой
области В и краевых условий следует, что начальные значения ре-
шения ф(х) должны удовлетворять соотношениям g> (0) = <j> (0=0
(условия согласованности).
Решение. Среди функций вида Ф (х) V (0 ищем такие решения
уравнения (11), которые удовлетворяют только краевым условиям
задачи. Подставляя Ф (х) Т (0 в уравнение, получим
ф" _ Ф» _
Ф ~ а2У
Следовательно, 4f"+a2X4f=0 и
ф"+АФ=0, Ф(0) = Ф(0=0. (12)
Это — первая краевая задача. Все ее собственные значения положи-
тельны. Поэтому общее решение задачи (12) можно записать в виде
Ф(х) = Д cos В sin l^Xx.
Из краевого условия на левом конце находим Л = 0. Следова-
тельно, Ф (х)=В sin иВ#=0. Из краевого условия на правом
конце находим BsinprX(=O. Следовательно, sin (' Х 1=0, откуда
УХ1—пп и
Х„=п2л2//2 (п=1, 2, 3, ...).
Таковы собственные значения. Соответствующие им собственные функ-
- , . .пл
ции суть Ф„ (х) = sin -j- X.
Для каждого находим
1ТГ апп 4 I г. • апп 1
Чп(1)=СпСоь— t+D„ sin — t.
Согласно теореме 2 (§ 2) искомым решением задачи будет функция
со
, „ V алп , алп,\ . лп
и (х, 0= Д (Сп cos—j-t+Dn sin —j-11 sin -j-x,
n—1
где
I I
„ 2 C m t л r. 2 C -
C«=7- \ Ф (5) sin D„ = — \ Ф1 g) sin -j- E dg,
t A t UJlil A I
о 0
ибо
i
||Ф„1Р=Рт2^^=1.
о
Пример 2. Пусть требуется решить задачу
aiuXx=ut> и(х, 0)=ф(х), их(0, t)=ux(l, 0=0.
Как и в предыдущем примере, находим
Ф" + ХФ=0, Ф'(О)=Ф'(0=О,
Ч"+а2кЧг=0. ( )
95
Здесь мы имеем дело со второй краевой задачей и q s 0. Следова-
тельно, Х=0 будет собственным значением, а Ф(х)э= 1—отвечающей
ему собственной функцией.
Остальные собственные значения и собственные функции нахо-
дим, как и в примере 1:
Ф (х) = A cos У К х+В sin х.
Из условия Ф'(0)=0 находим В—0. Следовательно, Д#=0 и Ф(х)«
= 4cosV^*- Из условия Ф'(/)=0 находим sin ^Х(=0, следов-
тельно, У1Л=лп и Х„=л2п2//2 (п=1, 2, 3, ...).
Таким образом,
д2 4ц2 ЛаПа
°, ........—собственные значения,
. я 2л лп , .
1, cospx, cos-px.......cos-px, ...—собственные функции.
- Для каждого находим соответствующие функции (/):
л (0 - С„е-а!Х" (и=0, 1, 2, ...).
Искомым решением задачи будет, согласно теореме 2 (§ 2),
функция
00
. „ V _ — a‘KJ пп
и (х, I) = / Спе « cos -р х,
л=0
где
l I
Co = 4-J<pG)d£, C„ = pJ<p©cos^Edg (n=l, 2, 3, ...)
О о
I
ЦФо112=/. 1<М2= ^С05аЯр^=|- (л=1, 2, ...).
о
Пример 3. Решить задачу о температуре однородного стержня
длины I, боковая поверхность которого теплоизолирована, а на кон-
цах его происходит конвективный теплообмен со средами, имеющими
соответственно постоянные температуры и и2. Начальная темпера-
тура произвольная.
Математическая постановка задачи:
а2ихх—и(, (14)
их(0, 0-М«(О, 0-И1]=0, (15)
их(1, 1)+Ъ[и(1, /)-иа]=0, (16)
ц(х, 0)=<р(х). (17)
Ищем решение в виде и (х, f)—v (x)-|-w (х, t), где v (х) — реше-
ние уравнения (14), удовлетворяющее краевым условиям (15) и (16),
т. е.
о"=0, (14J
f'(0)-Ai[o(0)-M1]=0, (15J
v'(0+M*(0-“21=о. (i6j
96
Для функции w (х, t) задача ставится следующим образом:
a4i>xx^wh (14а)
wx (0, /)—hjWfO, 0=0, (15а)
wx(l, 0=0, (16а)
w (х, 0) = <Р1 (х) = <р (х) — V (х). (17а)
Функция о(х) описывает стационарный режим, а ш(х, /)—отклоне-
ние от него.
Решаем сначала задачу для v (х). Общее решение уравнения (14,)
имеет вид
V (х) = С,х + Са.
Постоянные С, и С2 определяем из краевых условий (15,), (10,):
С,—А, (Са—u,)=0, С,-j-A2 [С,/-|-б?2—на]—
откуда
Р _ АгА, (и2— Uj) „________ С,
1 Ax+Aa+AjAjZ ’ 2 1+А, ‘
Таким образом, стационарный режим найден. Задачу для ш(х, t)
решаем методом разделения переменных. Среди функций вида ®(xyV(t)
ищем решения уравнения (14а), удовлетворяющие лишь краевым усло-
виям (15а), (162)- Подставляя функцию Ф (х) 1'(f) в уравнение (142) и
в краевые условия (15г), (162), получим
ф'' + Х,Ф=0, (18)
Ф'(0)—А,Ф(0)=0, (19)
Ф'(/)+АаФ(/)=0, (20)
Ч"+а2М'=0. (21)
В силу свойства 5 задача (18)—(20) имеет лишь положительные соб-
ственные значения. Поэтому общее решение уравнения (18) можно
написать в виде
Ф (х) = A cos Vk х+В sin V'hх.
Из краевого условия-(19) находим ВугЛ=А,Л. Следовательно,
ф (x) = ^(/Xcos/Xx+A1 sin /Хх). (22)
«г
Множитель В/А, отнесем за счет функции ¥ (/)- Подставляя функ-
цию (22) в соотношение (20), получим уравнение для определения
собственных значений:
. 1 / А,А2/2\
еИ-((А,+А2) Г И )’
где р.=КХ1. Пусть pi, Ц2. •••, Рп. ... — положительные корни этого
уравнения. Тогда собственными значениями будут числа Хя = р^//а.
Собственные функции будут иметь вид
Ф„ (x) = ipcos^p x-f-A, sin ^х.
4 В. Я. Арсенин
97
Они ортогональны на Отрезке [0, /] с весом р = 1. Обратимей к урав-
нению (21). Его общее решение при Х=ХП имеет вид
ч'п(0=спе_Лп<.
Тогда
°0 „21 t
w(x,t)=^Cne "Ф„(х).
П-1
Коэффициенты Сп находим из начального условия, пользуясь орто-
гональностью собственных функций Фп(х):
1
Сп = |ф^|р- j Ф1 (В)cos+*1 «пl) dl,
I
||ФП II2 = 5 (^cos^ + Min^ydS.
о '
Замечание. Описанный в этом примере способ построения
решения путем выделения стационарного режима и последующего
нахождения отклонения от него применяется к широкому классу
краевых задач со стационарными (т. е. не зависящими от времени)
неоднородностями, содержащимися в уравнении или в краевых усло-
виях (или и в уравнении н в краевых условиях).
Пример 4. Решить задачу о поперечных колебаниях струны,
один конец которого жестко закреплен, а другой свободен, если на
свободном конце имеется сосредоточенная масса т0 и начальное воз-
буждение произвольно.
Математическая постановка задачи
\ Ро/
и(х, 0)=<p(x), и;(х, 0) = ф1(х); <р(0)=0,
и (О, /)=0, Tux(l, t).
В классе функций Ф (х) Т (0 ищем решения, удовлетворяющие
лишь краевым условиям. Разделяя переменные, находим
T+rfW=0, (23)
ф" + ХФ=0, (24)
Ф(0)=0. (25)
Краевое условие на правом конце запишется в виде
ТФ' (/) У (0-ЩоФ (О Т" (0=0.
Заменяя в нем Чг" (0 из уравнения (23) через У (0 и деля обе части
равенства на Т (0, получим
Ф'(0+ЛХФ (0=0, (26)
где h — cflmJT.
98
Решения уравнения (24), удовлетворяющие условию (25), имеют
вид Ф (х) = sin КХ х. Из условия (26) находим уравнение для опре-
деления собственных значений > 0:
tgp=—1/(йр), ц=)/М.
Им соответствуют собственные функции
Ф„ (x) = sin
Нетрудно непосредственно убедиться, что они не ортогональны
друг другу с весом р (х) s 1. Этот факт не противоречит общей тео-
реме об ортогональности собственных функций, поскольку краевое
условие (26) не является обычным краевым условием третьего типа:
оно содержит явно (а не через собственную функцию) собственное
значение X. Чтобы понять, какая ортогональность будет иметь место,
заметим, что уравнение для и (х, /) можно записать в следующем
виде:
Тихх=[р0+«06 (х—()] utt.
Следовательно, уравнение для собственных функций можно написать
в виде
ТФ"+Zp (х) Ф=0, где р (х)=Ро+т06 (*—0-
Поэтому собственные функции Фп (х) будут ортогональны с весом
р(х). Легко проверить это и непосредственными вычислениями.
Далее действуем по обычной схеме. Находим Wn (/), тогда
СО
и (х, 0=2 (С« C0S {+ Dn sin Z)
I п=1 '
sin X.
Из начальных условий определяем коэффициенты Сп и О„, поль-
зуясь ортогональностью собственных функций с весом р=р0 +
+ «об(х—/):
С« = пЪ на’К РоФ © фл © й?+«оФ (0фл (0>,
II II I J I
10 J
( 1 1
Dn = СИ„||ф„||2 j j P«fl © Ф» © d?+fft0<Pl (0 Ф« (О).
п п (о J
I
11фл112 = Ро^ф«©^+тофп(0-
о
2. Вернемся к рассмотрению свойств собственных зна-
чений и собственных функций. Пусть /?[Ф, Г] =
= -(Ф, £[Л]).
Заметим прежде всего, что так как для функций Ф
класса А имеем R [Ф, Ф] 0, то существует
. с R [Ф, Ф] л
Jnf. ikdip —
4*
99
Свойство 6 (экстремальное свойство) выражает
Теорема 3. Если ц = inf достигается на
Г * Ф г
ф6д И 11
некоторой функции Ф из класса А, то Ф есть собственная
функция, а р — отвечающее ей собственное значение задачи
(5)—(6). При этом р будет, очевидно, наименьшим соб-
ственным значением.
Доказательство. Для всякой функции Ф из
. R [Ф Ф1
класса А имеем ~~Дфца—р^О; в частности, лп =
= д(ф’д?”^Н- Следовательно, для ФеЛ
ЧГ[Ф] = /?[Ф, Ф]-р||Ф|2=гО,
в то время как
тр[ф] = /?[ф, ф]-р|ф||г = 0.
Таким образом, функционал Ч'фФ] достигает минимума
на функции Ф. Это равносильно тому, что функция <р (сс) =
= ^[Ф4-а/], где f^A, достигает минимума при сс=О.
Но тогда <р' (0) = 0. Подсчитаем эту производную:
<р'(°)= tra{R 1ф+“А M-i#WlVo=
= — §(Ф + а/Н[Ф + а/Мт4-р ^р(Ф+а/=)24т|
= —$ {/Цф] + Ф£И}с?т-2р$рФ/А =
D D
= - 2 5 /{т[ф] + ррф}б?т.
D
Мы воспользовались здесь самосопряженностью опера-
тора L на функциях класса А.
Таким образом, для произвольной функции f из А
имеет
$Н£[ф] + ррф}Л = 0.
D
Отсюда следует*), что в точках непрерывности функ-
ции £[Ф] выполняется тождество
L [ф] 4- ррФ = 0,
ч. т. д.
*) По основной лемме вариационного исчисления.
100
Если минимум того же функционала искать в классе
функций Л*, принадлежащих А и ортогональных с весом р
в области D собственным функциям-Фц Ф2, Ф*-1, то
этот минимум будет k-м по величине собственным значе-
нием а функция, на которой он достигается, — соответ-
ствующей ему собственной функцией Ф*. Доказательство
этого предложения проводится аналогично.
Замечание. Свойства 1—6 справедливы для собствен-
ных значений и собственных функций любого линейного
эрмитова оператора. Доказательства их остаются преж-
ними, так как при их проведении мы пользовались лишь
свойством самосопряженности оператора L. В дальнейшем
будем предполагать, что функция k (М) непрерывна вместе
с частными производными первого порядка в D.
Свойство 7. С ростом k (М) собственные
значения не убывают. Точнее, если k± (М)k2(М) в D,
то
Проведем доказательство для Л1.
Для любой функции Ф е Л
ДДФ, Ф1
||ФЦ2 " |Фр ’
где 7?! и R2 — функционалы R, соответствующие функ-
циям кЯ2(М). Следовательно,
W =
inf
Фел W
Т?2 [Ф> Ф] J(2>
11ФЦ2 1 ’
Для случая q1(M)^q2(M) доказательство почти дословно
повторяется.
Свойство 8. С ростом р(М) собственные значения
не возрастают. Точнее, если рх (М) ^р2(Л1) в D, то
Проведем доказательство для
Для всякой функции Ф из Л выполняется неравенство
Я[Ф, Ф]^Я[Ф. Ф]
|ф11р. IMP, ’
где || Ф |Р1 и || Ф — нормы
Тогда
функции Ф с весами pj и р2.
ч. т. д.
li*’ = inf
Фе А
Р[Ф, Ф]
1|ф|1р.
inf Ф.1 =
Фе л |Ф|&,
А1,3’,
101
Из свойств 7 и 8 следует, что в одномерном случае
собственные значения "кп с ростом п растут, как п2. Дей-
ствительно, наряду с уравнением
± [k (х) Ф' (х)] - q (х) Ф (х) + Хр (х) Ф (х) = 0 (27)
рассмотрим уравнения
й2ф" + (Хр1-(?2)Ф = 0 (28)
и
й1Ф" + (?ф2-91)ф = 0, (29)
где k2, q2, р2 — максимальные значения функций k(x),
q(x), р(х) на отрезке [0, /], klt qlt рх — их минимальные
значения (или sup и inf).
Для определенности рассмотрим первую краевую за-
дачу, т. е. будем искать решения уравнений (27), (28) и
(29), удовлетворяющие краевым условиям
Ф(О) = Ф(/) = О. (30)
Поскольку уравнения (28) и (29) имеют постоянные коэф-
фициенты, то собственные значения задач (28), (30) и
(29)—(30) легко находятся; они равны
По свойствам 7 и 8 собственные значения задачи (27)-
(30) заключены между и т. е.
Хп.
Отсюда и следует справедливость высказанного утверж-
дения.
Свойство 9. С уменьшением основной области D
собственные значения первой краевой задачи не убывают,
т. е. если D'ccD", то
Мы проведем доказательство
X ~7—' этого свойства лишь для
( Каждой из областей D' и ГУ'
\. соответствуют свои классы функ-
---------ций А', А", Пусть некоторая
Рис. 17.-функция Ф' принадлежит классу
А'. Она равна нулю (в силу крае-
вого условия на границе области £>') на той части S'
границы области D', которая содержится на ГУ' (рис. 17).
102
Функция Ф", равная Ф' в области D' и нулю в об-
ласти D" — D' (заштрихованная часть), очевидно, принад-
лежит классу А”.
Если мы проделаем такую операцию с каждой функ-
цией класса А, то получим новый класс функций А',
содержащийся в А". Для всякой функции ФеЛ' имеем
Я"[Ф, ф]=— $ Ф£[Ф]й=— $Ф£[Ф]сД = ./?' (Ф, Ф]
D" D’
И
J рФ2<Д — § рФМт,
D" D’
ибо эта функция тождественно равно нулю в D" — D’.
Поэтому
г- inf R' 1ф’ ф1- inf Я'1ф-ф1> inf Ф]_1?
Фел- «ф11? “фел- ||ф® ^фЙ-
Здесь IIФ [|г и ||Ф||3 суть нормы функции Ф в областях D'
и D".
3. Определение. Собственное значение X будем
называть r-кратным, если число всех линейно независимых
собственных функций, которые ему соответствуют, равно г.
Определение. Собственное значение 1 будем назы-
вать простым, если любые две собственные функции,
соответствующие этому Л, линейно зависимы.
Свойство 10. Все собственные значения одномерной
краевой задачи (5)—(6) простые.
Доказательство. Пусть Фх(х) и Ф2(х) — собствен-
ные функции, отвечающие одному и тому же собственному
значению Л. Тогда обе эти функции являются решениями
одного и того же уравнения
^х[£Ф']-<7Ф-Н.рФ = 0
и удовлетворяют одним и тем же краевым условиям на
левом конце:
ftOJ (0) — у2Ф1 (0) = о, 7^2 (0) — у2Ф2 (0) = 0.
Эти равенства можно рассматривать как систему линейных
уравнений для ft и ft. Поскольку yi + yl^O, то опреде-
литель этой системы равен нулю. Но этот определитель есть
определитель Вронского W (лг) для решений Фх (л:) и Ф> (х)
103
в точке х = 0. Известно*), что определитель Вронского,
составленный из решений одного, и того же линейного
однородного дифференциального уравнения, либо тожде-
ственно равен нулю, либо нигде ле обращается в нуль.
Так как в нашем случае 11^(0) = 0,что W (х) = 0. Отсюда
и следует линейная зависимость решений Фх (х) и Ф2 (х).
Заметим, что для многомерных краевых задач это утвер-
ждение неверно.
Пример 5. Рассмотрим задачу о колебаниях квадратной мемб-
раны с закрепленными краями под действием начального возбужде-
ния. Стороны квадрата направлены по осям координат.
Математическая постановка задачи:
аа Ди — utt, и — и(х, у, t), (31)
и (0, у, = у, 0 = 0, (32)
и (х, 0, Z) = и (х, I, t) = 0, (33)
и (х, у, 0) = <р (х, у}, ut (х, у, 0) = <р! (х, у). (34)
В классе функций вида Ф (х, у) V (Z) ищем решения уравнения
(31), удовлетворяющие лишь краевым условиям (32), (33). Подставляя
такую функцию в уравнение (31) н в соотношения (32), (33) и раз-
деляя переменные, получим следующую задачу Штурма—Лиувилля:
ДФ+ХФ=0, (35)
Ф(0, {/)=Ф(/, у)=0, (36)
Ф(х, 0) = Ф(х, Z)=0. (37)
Эту задачу также можно решать методом разделения переменных.
Будем искать решения в классе функций вида Ф (х, у) = А (х) В (у).
Подставляя такую функцию в уравнение (35) н разделяя переменные,
получим
Чтобы это равенство было тождеством, необходимо, чтобы -^-=—р
и -g- + X=p, т. е.
Д"+рД=0, (38)
В"+(к—р)В=0 или В'4-аВ=0. -(39)
Из условий (36), (37) находим
Д(0) = Д(/)=0, (40)
B(O)=B(Z)=O. (41)
Таким образом, мы имеем первые краевые задачи (38), (40) и (39), (41).
*) См. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений,
гл. V, Физматгиз, 1959.
104
Собственные значения [Л и X—[Л должны быть положительными (по
свойству 5). Как и в примере 1, находим
Рп=-р- (п=1,2,...),
. , . . лп
Ап (х) = sm у- х,
а также
л2А2
«Л=— (А=1,2, ...),
В*(р) = япу у.
Но aft = X—рге. Следовательно, Хп.л = а* + 11п, или
где k и п независимо друг от друга принимают
Таким образом, мы нашли собственные значения
Им соответствуют собственные функции
Фл, k (х, у)=sin х sin у.
Ki.k—р (г^Ч-А2),
значения 1,2, ...
задачи (35)—(37).
Собственные значения Xn.fe и Хд.п, очевидно, совпадают, а отвечаю-
щие нм собственные функции
. . пп . nk _ . nk . пп
®n,fe = sin -j-xsm-j-y и ®ft,„=sm j-xsm
Л2
линейно независимы. Например, X1,2=X2,i=5y-)
_ . л . 2л _ . 2л . л
Ф1,2=яп-уХЯПу-{/ и Ф2,! = sm -j- х яп у- у.
Таким образом, в этой задайе собственные значения не являются
простыми.
Решение задачи (31)—(34) представляется рядом
и (х, у, I) =
со со ____ ________________
= 5 5 (Cn,ftcosaF%,ft +Dn,ftsinaVxn,feOsin-rzsin— у,
n = lfe = l
в котором коэффициенты Cn,k и Dn,h вычисляются по формулам
I I
cn,k~^^ § Ч>(1, n)sin™gsin^i]dg<fti,
о о
У У *ь ”” Т6 ”
о о
4. Метод Фурье применяется и для решения краевых
задач (1)—(3), в которых коэффициент k(M) имеет точки
105
разрыва в области D. При определенных условиях, кото-
рые будут указаны ниже, остаются справедливыми все
свойства собственных функций и собственных значений
задач вида (5)—(6) с разрывным коэффициентом k(M).
При доказательстве свойств с. з. и с. ф. мы опирались
на первую формулу Грина, которая получается непосред-
ственно из формулы векторного анализа
div (р • Е) = р div Е+(Vp, Е)
и формулы Остроградского
div (k VO) di = k da.
d s
Если для задач вида (5)—(6) с разрывным коэффициен-
том k(M) мы укажем условия, при которых справедлива
формула Остроградского, то при этих условиях верна
будет первая формула Грина и, следовательно, все рас-
смотренные нами свойства собственных функций и соб-
ственных значений. При этом в доказательстве этих свойств
ничего не изменится.
Пусть S — множество точек области D, ограниченной
поверхностью S, в которых функция k (М), входящая
в оператор div(^VO), разрывна. Будем полагать, что
множество S представляет собой совокупность точек конеч-
ного числа поверхностей (линий в двумерном случае) Sit
принадлежащих области D, разбивающих область D на
конечное число попарно не пересекающихся подобластей Dit
ограниченных поверхностями S,- и таких, что
D = Di + + ... + Dn.
При этом в каждой из подобластей Dt коэффициент k(M)
непрерывен вместе с частными производными первого по-
рядка по координатам точки М.
Как и прежде, полагаем, что q (М) и р (Л1) непрерывны
в D и для М е D q(M)^0, p(M)>0.
Такие коэффициенты k(M), q(M), р(Л1) будем назы-
вать допустимыми, а области D, —областями гладкости.
Таким образом, каждой тройке допустимых коэффициентов
отвечает некоторое разбиение области D на конечное число
подобластей гладкости D,. В частности, если коэффициент
k(M) непрерывен вместе с частными производными пер-
вого порядка в D (и q(M), р(Л4) непрерывны в D), то
это «разбиение» состоит из одной области D.
106
Будем говорить, что при заданном допустимом коэффи-
циенте k(M) и отвечающем ему разбиении области D на
подобласти гладкости О,- функция Ф(Л1) удовлетворяет
условию Остроградского в области D, если
1) Ф(Л1) непрерывна в D;
2) в каждой подобласти гладкости Di функция Ф (М)
имеет частные производные первого и второго порядков
по координатам точки М, непрерывные в £>г;
3) на общих границах Sf7(S,/CzD) прилегающих друг
к другу подобластей гладкости D, и Dj выполняются
соотношения
. дФ I l дФ I
где производная берется по нормали к поверхности Sy,
kt и kj — значения k(M) в областях D, и Dj соответственно.
Для функции Ф(Л1), удовлетворяющей при заданном
допустимом коэффициенте k(M) условию Остроградского
в области D, очевидно, справедлива формула Остроград-
ского „ „
i div (k ГФ) dx— \k^du.
d s
Обозначим через А класс функций Ф(Л1), которые удов-
летворяют условию Остроградского в области D и одно-
родным краевым условиям
(v,^+rs®)s-0 (6)
на границе S.
Очевидно, для каждой области £>, каждого допусти-
мого коэффициента k(M) и заданного краевого условия
вида (6) существует свой класс А.
Для задач вида (5)—(6) с допустимыми коэффициен-
тами k(M), q(M), р(М) справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Существует бесконечное множество соб-
ственных значений {Хл}, п — 1, 2, ..., и отвечающих им
собственных функций {Фп (М)} краевой задачи (5)—(6),
принадлежащих классу А.
Теорема 2. Непрерывное в замкнутой области В =
= {M^D, решение задачи (1)—(3), при всяком
фиксированном значении t^O принадлежащее классу А,
представляется рядом (7) (соответственно (7J).
Соответствующие изменения в формулировках ряда дру-
гих утверждений очевидны.
107
§ 4. Некоторые свойства совокупности собственных
функций
Здесь'мы рассмотрим некоторые свойства совокупности
собственных функций {Фя}.
Определение. Система попарно ортогональных в об-
ласти (с весом р) функций {Ф„} называется полной в D,
если для всякой функции f(M), интегрируемой с квадра-
том в D, выполняется равенство
СО
5 р/Мт =2 СЭДФ*Р,
D k = 1
(42)
где Ck — коэффициенты Фурье функции f(M) по функ-
циям системы {Ф*}.
Достаточный признак полноты системы
{Ф„}. Если для всякой непрерывной в D функции F(M) и
для любого е > 0 существует линейная комбинация S„ =
= ахФ! +... + а„Ф„, для которой § р (F — S„)2 dx < е, то
D
система {Ф„} полна.
Мы приведем лишь схему доказательства этого при-
знака. Зафиксируем е>0. Для всякой функции f(M)
с интегрируемым квадратом в D найдется такая непре-
рывная в D функция <р (Л-1), что $р(/ — <р)2йт<е/4*).
D
Для функции <р (Л4) и для выбранного е по условию най-
дется такая линейная комбинация 5„ = а1Ф1-|-...4-аяФ„,
для которой
§ Р(ф- Sn)*dx<^.
D
Оценим интеграл
/ П \2
W - £ С*Ф* dx,
D ' fe=l '
♦) Это утверждение требует доказательства, на котором мы не
будем останавливаться Заметим лишь, что для одномерного и дву-
мерного случаев такая функция <р (Ж) строится простоем Тол-
стов Г. П , Ряды Фурье, Физматгиз, 1960).
108
в котором 2 — частичная сумма ряда Фурье функ-
*=i
ции f(M). Очевидно,
/ п \2
W-.S с*ф*) dT =
D k = l 1
= Jpf dx-2 S Ck $р/Фл</т+ 2 а||Ф*|р.
D *=1 D fc=l
Мы при этом воспользовались ортогональностью функ-
ций Ф*. Поскольку jjр/ф*d-r = С*||ф*II2, ТО
D
(' Л \2 п
f- s с»ф* dT= №2(h~ 2 СМФЛ|12-
i й=1 / D
Известно, что квадратичное отклонение 6n = Jp(/ — Sn)2dx
D
п
будет минимальным, если в качестве S„ взять 2 СЛФА *).
fe=i
Поэтому
и / п \2
ОС $pf2dr- 2 ^|]ФЛ||2 = $Р /- £ С»Фл dxc
D k=\ D \ fe = l /
< Jp(f-S„)2drC $p(/-<p + <p-Sn)2dtC
D D
^2 b(/-<₽)2dt + 2 Jp(<p-S„)2dT<2 ® +2 ° =b.
D D
Мы при этом воспользовались хорошо известным нера-
венством
(Л + В)2С2Л2 + 2В2.
Таким образом,
п
СЦ|Ф42<е,
откуда и следует условие полноты:
со
Jpf2dT=2 «11фИ2-
D k = 1
*) См Фихтенгольц Г М , Основы математического ана-
лиза, т И, изд 5-е, гл XXVIII, «Наука», 1968
109
Ряды Фурье по полным системам функций {Ф„} обла-
дают следующим замечательным свойством:
Теорема 1. Если система функций {Ф„} полна
в области D, то ряд Фурье для всякой функции с инте-
грируемым квадратом в D можно почленно интегрировать
независимо от того, сходится он или расходится, т. е.
для любой области D' cz D справедливо равенство
СО
£ С„ $ ФП(М) Л.
D’ п=1 D'
Доказательство. Оценим разность 6„ = J fdx —
D’
— У, Ck $ Фкйт.
*= I D’
f- 2 C&k
k = l
dx.
Для оценки последнего интеграла воспользуемся неравен-
ством Коши — Буняковского:
dr
Кр
Последний интеграл ограничен, а разность
п
Jp/Мт- 2^||Фл||2
D k= 1
при п->со стремится к нулю по условию полноты. Сле-
довательно, 6„->0 при n-э-со, ч. т. д.
Теорема 2. Система собственных функций краевой
задачи (5) — (6) полна.
110
Доказательство. Возьмем произвольную, непре-
рывную в D функцию f(M). Тогда, каково бы ни было
число е>0 в классе А (см. § 1) найдется такая функ-
ция g(M)*), что
Jp(/_g)2dT<|. (43)
D
Функция g(M) представляется рядом Фурье по собствен-
ОО
ным функциям, g(M) — У, С*Ф*, равномерно сходящимся
fc = i
в D. Следовательно, для всякого EjX) найдется такое
N (ej, что
п
g— У С/гФ*
* = 1
< Ej ДЛЯ n>N (El).
(44)
(П \2
f— У С*Ф*,! cfr<e. Тогда со-
k= 1 /
гласно достаточному признаку полноты система {Ф„}
будет полной. Очевидно,
/ П \2
Jp(f- У, слф*) сд= $р
D \ 6=1 i D
! п \2
f-g+g-X с*ф*
< k= 1 /
(п \2
g~ X СьФк] dr.
*=1 !
Используя неравенства (43) и (44), получим
/ П \2
А С*Ф*1 dT<^ + 2е* § pdz<e,
D \ Л=1 ' D
если взять е, где В = \ р dt.
2f/B J
D
Эта теорема вместе с предыдущей позволяет интегри-
ровать почленно ряды Фурье по собственным функциям
краевой задачи (5) —(6) для всякой функции, интегри-
руемой с квадратом, не заботясь не только о равномер-'
ной сходимости этих рядов, но даже вообще об их схо-
димости в каждой точке.
*) См. Толстов Г. П., Ряды Фурье, Физматгиз, 1960.
Ill
§ 5. Решение неоднородных краевых задач
методом Фурье
Знание системы собственных функций {Ф„} и соответ-
ствующих им собственных значений {Хп} позволяет решать
и неоднородные краевые задачи. Рассмотрим некоторые
из них.
1. Пусть требуется найти решение задачи
Л[и]-|-/(Л4, /)=ры« (соответственно put), (45)
и(М, 0) = 0, Ut(M, 0) = 0, (46)
(47)
непрерывное в замкнутой области В = {Л4 е D; t о} и
принадлежащее классу А при всяком фиксированном зна-
чении />0.
Так как искомое решение и(М, t) принадлежит
классу А, согласно теореме Стеклова оно может быть
представлено в виде ряда Фурье по собственным функ-
циям {Ф„} соответствующей однородной задачи (5) —(6):
и(М, t)= 2 ЧМОФЛМ), (48)
п= 1
где 1 с
(/)=йт (Р- ° ф«(Р) dx- (49)
Выражая рФ„ под знаком интеграла (49) из уравнения (5),
получим
чг (О — zJ f ui Гф I dr = —
" W К. II IF J 1 aJ КII IP
#|Ф«. и] — 1___ С ф £ Г 1 J
МФП1Р МФП|Р J " 1 J т-
D
Выражая L[u] из уравнения (45), получим
® ~ Мфл1Р S ры'<Ф" dT+х„||Ф„[р S (5°)
D D
Первое слагаемое в правой части формулы (50) равно
— Второе слагаемое представляет известную функ-
цию, обозначим ее через Таким образом,
%,(о=5^+£.
лл лл
112
Следовательно, Тя (t) есть решение уравнения =
= fn(t) (соответственно Ч/^4-ХпЧ/„=/„) с дополнительными
условиями
(0)=пЬ $ри {р'0) Фп (Р) dT=0>
D
(0)=иЬ Sput {Р< 0) Фп (Р) dT=°-
" D
Решение такой задачи имеет вид
t
(0=-А= (sin Vk (t - 6) fn (6) de
n о
I 1 \
I соответственно (f) = ё~Кп^~^(п (6) de j.
\ о I
Подставляя полученные функции Y„(<) в формулу (48),
получим искомое решение в виде ряда Фурье по соб-
ственным функциям. Если, в частности, f(M, t) =
= f(t)6(M, Мо), то
fn ® = йЬ5 S f {t} 6 (P’ Mo) Ф” (P) dT = W f (t)
b
и t
(0 = -^(Mo) f sin VK (t-6)f (6) de
w П„||Ф„|рЗ
(i <
соответственно (/) = -e>/ (6) de ].
II II .) I
0 /
Если требуется решить задачу
L [«]+/(Af, 0 = P«« (P“/).
и (M, 0) = <p (M), ut (M, 0) = (Pi (M); (Y1 g 4- y2u}s = 0,
то будем искать решение в виде суммы двух функций
и{М, t) = v(M, t) + w(M, t),
являющихся решениями следующих задач:
v: L [t>] - pvit (ро,),
v(M, 0) = <p(Af), vt(M) = ^{M\, +
w. L[ap]4-/(M, t) = pwlt (pwt),
w(M, 0) = wt(M, 0) = 0; (Vig4-y2w)s = 0.
Каждую из этих задач мы уже умеем решать.
113
2. Пусть требуется найти решение задачи
L[u]+f(M, t) = puu (put), (51)
(yi^ + Y2«)s = ₽(M, t); (52)
u(M, 0) = <p(M), «ДМ, 0)=ф1(М), (53)
непрерывное в замкнутой области В = е D; /$г0}.
Мы рассмотрим следующий способ решения этой
задачи. Среди_ функций v(M, t), непрерывных в замкну-
той области В и имеющих в этой области непрерывные
частные производные первого и второго порядков, возь-
мем какую-нибудь функцию (М, t), которая удовлетво-
ряет заданным краевым условиям (52). Будем искать
функцию и(М, t) в виде суммы u = t>i(M, t),
где для функции w(M, t), непрерывной в области В,
задача ставится следующим образом:
t) = pwtt (pwt),
w(M, 0) = ф(М), wt(M, 0) = ф1(М); + Ya^)s = 0,
где
A(M, O + LfaJ-pt-in,
ф(Л4) = <р(Л1)-с1(ЛГ, 0), Ф1(М)=Ф1(Л4)-г>«(Л1, 0).
Эту задачу мы уже рассмотрели в п. 1. Функцию
Vx(M, t) или угадывают, или же находят методом Дюа-
меля (см. гл. V).
Пример 6. Требуется решить задачу
a2uxx=utt,
и(х, 0) = <р1(х), ut(x, 0) = q>2(x), “(°, 0 = щ (0, и(/, 0=р2(0. (*)
В качестве функции иДх, 0, удовлетворяющей краевым усло-
виям (*), берем функцию *)
V1 (X, 0=Ц±И1(0+* р2(0.
*) Мы предполагаем, что функции щ (0 и р2 (0 дважды диффе-
ренцируемы.
114
Решение и(х, /) ищем в виде суммы и(х, f)=vi(x, /)4-ю(х, /).
Функция w(x, I), очевидно, будет решением следующей задачи:
а^хх+^- Pl' (0 — у (t)=wn,
w(x, O) = <p1(x)+^ip1(O)— ^-М0) = Ф1(*).
uiz (х, 0) = <f2 (х)+^- pl (0)—у pl (0)=ф2 (х),
ui(0, t) = w(l, t) — Q.
Функцию w(x, t) ищем также в виде суммы w — R(x, Z)+Q(x, t),
где R (х, t) есть решение однородной краевой задачи
^Rxx=Rtt>
R{x, 0) = $!(x), Rt(x, 0)=<f.2(x); R(0, t) — R(l, t)=0
и имеет внд (см. пример 1)
СО
R(x, /) = (Сп cos а Укп t-i-Dn sin a VX t) sin x,
n = l
l
, jt2n2 _ 2 f _ _ . nn r ...
Ki = ~p-< Cn = ~\^© sm у
0
I
0
a Q(xt t) есть решение следующей задачи:
a2Qxx+f(x, t)=Qtb
Q(*, 0)=Q,(x. 0)=0; Q(0, 0=Q(/, /)=0,
где f(*, П = ^и1'(0 —у Pz'W-
Согласно п. 1 решение имеет внд
Q(x, 0= ^nfflsinyx.
Л = 1
Функции Vjj (0 вычнслнются по формулам
t
(/)=-7L ( sm FX (<- 6) fn (6) rfe.
где
l
fn ©=4 J f Й, 6) sm [(—!)« p? (6) — рГ (6)].
0
115
Замечание 1. Если краевые условия имеют вид
«1«х(0, 0- ₽i«(0, 0 = И1(0, «2«л (Л 0 + ₽2«G. 0 = М0.
то в качестве функции иг(х, t) (удовлетворяющей этим
краевым условиям) можно взять функцию
Vi(x, /) = Рхгр2(0 —С (х —/)2pi(0,
где С = 1/(2^/ 4- р,/2), D = 1/(2cc2Z + ₽2Z2).
Замечание 2. Иногда легко найти функцию tij(х, t),
удовлетворяющую не только заданным неоднородным крае-
вым условиям, но также и заданному уравнению.
Пример 7. Требуется решить задачу
a^uxx^utt, (54)
и(х, 0) = <р1 (х), ut(x, 0) = ф2И: (55)
и(0, /)=0, u(l, t) — A sin at (56)
Средн функций вида F (х) sin at нетрудно найти решение урав-
нения (54) Vi(x, /), удовлетворяющее краевым условиям (56). Действи-
тельно, подставляя такую функцию в уравнение (54) и деля обе части
равенства на sin at, получим уравнение Для F (х):
a2F" + co2F=O. (57)
Из краевых условий (56) находим, что
Т(0)=0, F(f) = A. (58)
Решение задачи (57)—(58), очевидно, имеет вид
. <о
sm —х
_ . . . а
Следовательно,
. <о
sin — х
t>t (х, /)= А--------------------------sin at.
sin — I
a
Решение задачи (54)—(56) будем искать в виде
п(х, 0=П1(х, Z)+ai(x, Z),
где w (х, t) является решением следующей задачи:
a2WxX—wt(,
щ(0, /)=0, w(l, t)=0;
а
sin — х
w(x, 0)=ф!(х), wt(x, 0) = <f>2 (x) —Дсо •—=<p2(x).
sin — I
a
Это однородная краевая задача, которая решается методом раз-
деления переменных.
116
§ 6. Применение метода Фурье к решению краевых задач
для уравнений эллиптического типа
Метод Фурье можно применять также и при решении
краевых задач для уравнений эллиптического типа. Мы
проиллюстрируем это в настоящем параграфе на двух
примерах. Во второй части книги приводятся другие при-
меры, требующие использования специальных функций.
Пример 8. Найти функцию и (г, <р), гармоническую в круге DR
радиуса R, непрерывную в замкнутой области DR и принимающую
на границе этой области (г = 7?) заданные значения /('₽), т- е-
Ди = 0, (59)
«(/?, <₽)=/('₽)• (60)
В силу однозначности искомого решения и (г, ф) оно должно
быть периодическим по ф с периодом 2л, т. е.
и(г, <р+2л) = и(г, ф). (61)
Из непрерывности решения в замкнутой области DR следует его
ограниченность в DR.
Средн функций вида Ф(г)Ч'(ф) ищем ограниченные в О/? и
периодические по ф (с периодом 2л) решения уравнения (59). Запи-
сывая лапласиан в полярных координатах
7 (rUr)+7* uff=0 <591)
и разделяя переменные, получим
г-^г(гф')-Хф=О, (62)
Ч"' + ХЧ'=0. (63)
Из условия (61) находим
Ч' (ф+2л) == V (ф). (64)
При X < О уравнение (63) не имеет решений, удовлетворяющих
условию (64). Следовательно, Х>:0. Для Х>0 находим
Ч' (ф) = Д sin КА.ф+бсов^Хф.
Из условия (64) находим, что |/х2л=2лп. Отсюда Хп=п2, где
п — произвольное целое неотрицательное число. Таким образом, соб-
ственные значения задачи (63)—(64)'суть
k„ = n2 (п=0, 1,2,...),
а им соответствующие собственные функции суть
1, sin ф, cos ф, ..., sin «ф, cos мф, ...
117
При Х=0 общим решением уравнения (63) будет
(Ч’) — ^о<р+Зо-
лишь при До = О оно будет удовлетворять условию (64). Таким
образом, Х=0 соответствует собственная функция Ч,0(<р)=1.
Обратимся к уравнению (62). При Х=п2 имеем
г2Ф''-|-гФ'-п2Ф=0.
Общее решение этого уравнения имеет внд
Фп(О=С„г»+-^- (п>0), (65)
Фо (г) = Со+Do In j- (п=0). (66)
В силу ограниченности искомого решения в формулах (65) и
(66) надо положить D„=0 (n=0, 1,...).
Таким образом, ограниченными решениями уравнения (59j) вида
Ф (г) ’К(<р)> удовлетворяющими условию (61), будут функции
ып = г" (Ап cos ntf + Bn sin n<p).
Решение задачи (59)—(61) представится в виде ряда
СО
и {Г, <р) = У rn (Ап cos п<р+В„ sin л<р). (67)
п=0
Коэффициенты Ап и Вп находим из условия (60):
f (ф) = S C0S Л<р+ sin n<f) t68)
п=О
пользуясь ортогональностью собственных функций на отрезке [0, 2л]
с весом р= 1:
2л 2л
Л«= 2S S ® = (£) C0S
о о
2л
(69)
Вп~ лР«
f (С) sin d?
о
(п=1,2,...).
Замечание 1. Ряд (67) с коэффициентами, вычисляемыми
по формулам (69), нетрудно просуммировать. Однако мы не будем
здесь этого делать, так как в гл. VII задача (59)—(61) будет решена
другим методом, позволяющим получить результат в конечном виде.
Замечание 2. Решение краевой задачи (59)—(61) для внеш-
ности круга представляется рядом
СО
« О', ф) = 2 ГУГ (Ап cos n<f+B„ sin tuf),
n=o
118
коэффициенты которого определяются из условия (60). Для кольцевой
области, образованной двумя концентрическими окружностями радиу-
сов /?! н /?2, решение представляется рядом
оо
« = 2 (С«г" + Т’’) л TOS + fi" sln + Ло + б0 1ПЛ
п= 1
коэффициенты которого (Ло, 0О, CnAn, CnBn, DnAn и DnBn) опре-
деляются нз краевых условий *)
"№?)=/i(<f). м(Т?2, <р)=Ы<р).
Пример 9. Решить краевую задачу
Ди=0, (70)
и (0, у) = и (I, у) = 0, (71)
и(х, 0)=М*). и(х, b) = f2(x) (72)
в прямоугольной области {0=^х=^/; 0у^Ь\.
В классе функций вида Ф (х) V (у), ищем решения уравнения (70),
удовлетворяющие лишь однородным краевым условиям (71). Подстав-
ляя такую функцию в уравнение (70) и разделяя переменные,
получим т„
-ф- + ~ЧГ==0-
Чтобы это равенство было тождеством, необходимо, чтобы Ф"/Ф =
— — ЧГ"/ЧГ=Х, где X—постоянное число.
Таким образом, получаем уравнения для функций Ф(х) и У (г/):
ф"-|-»ф=0, (73)
'К"-ХЧ'=0. (74)
Из условий (71) находим, что
Ф(0)=Ф(/)=0. (75)
Задача (73), (75) имеет лишь положительные собственные значения
Х„=л2л2//2 (п=1,2,...).
лп
Им отвечают собственные функции Ф„ (х) = sin-^—х **). Обра-
тимся к уравнению (74). При Х = ХП оно имеет общее решение вида
’i'n (у)=Cn ch |/ b.ny+Dn sh V Kny.
Следовательно, решения уравнения (70), удовлетворяющие лишь
краевым условиям (71), имеют вид и„ (х, у) — фп (х) (у).
Решение задачи (70)—(72) представляется рядом
СО
U (X, у) = 2 (сл ch У^пУ+Dn sh V kny) sin x,
n = 1
*) Читателю рекомендуется написать соответствующие формулы
для определения этих коэффициентов.
**) См. гл. IV, § 3, пример I.
119
коэффициенты которого определяем из краевых условий (72):
ОО
fi(x)= 2, c„sm—х
п— 1
и
со
( Сп ch — b 4- Dn sh — b} sm — x.
n~l
Отсюда
l
Cn=2r^h(f) sin-^d£
0
и
t
„ V nn , . „ , ЯП , 2 f . лп
Cnch —h+D„sh —6=y \ f2(£) sin —
о
В гл. XIV, XVI (§§ 1, 3) приводятся другие примеры примене-
ния метода разделения переменных к уравнениям эллиптического
типа, требующие использования специальных функций.
ЗАДАЧИ
1. Решить задачу о колебании струны O-^x^l с жестко закреп-
ленными концами, если до момента t=0 она находилась в состоянии
равновесия под действием поперечнрй силы Fo=const, приложен-
ной в точке х=Хд струны перпендикулярно к невозмущеиному по-
ложению струны, а в момент 1=0 действие силы Fo мгновенно пре-
кращается.
2. Решить • задачу о колебании струны с жестко закрепленными
концами под действием импульса Р, сообщенного струне в момент
времени t=0 в точке х=х0.
3. Стержень с жестко закрепленным концом (х=0) находится
в состоянии равновесия под действием продольной силы Ао=const,
приложенной к концу х=/. В момент 1=0 действие силы Fo мгно-
венно прекращается. Решить задачу о продольных колебаниях этого
стержня.
4. Одни конец стержня (х=1) закреплен упруго, а другой (х=0)
в начальный момент времени получает продольный нмпульс Р. Решить
задачу о колебании стержня.
5. Найти температуру шара радиуса R, на поверхности которого
происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой
нулевой температуры. Начальная температура шара равна f (г).
6. Решить задачу об остывании сферической оболочки Rt si г sg /?2,
на внутренней н внешней поверхностях которой происходит конвек-
тивный теплообмен со средой нулевой температуры; и (г, 0)=/(г),
7?! <г<7?2.
7. В замкнутом сферическом сосуде 0 г R происходит диф-
фузия вещества, частицы которого размножаются, причем скорость
размножения пропорциональна концентрации. Найти размеры сосуда
(критические размеры), при которых процесс будет иметь лавинный
120
характер, если: а) на поверхности сосуда поддерживается концентра-
ция, равная нулю; б) стенка сосуда непроницаемая; в) стенка сосуда
полупроницаемая.
8. Найтн собственные значения и собственные функции прямо-
угольной мембраны с краевыми условиями первого (второго, третьего)
типа. Показать в случае квадрата, что одному с. з. могут соответст-
вовать две с. ф.
9. Определить собственные значения и собственные функции
прямоугольного параллелепипеда при краевых условиях первого
(второго, третьего) типа.
10. Найти собственные частоты акустических резонаторов*),
имеющих форму: а) прямоугольного параллелепипеда: б) шара.
11. Решить задачу 1 гл. II
12. Решить задачу о продольных колебаниях стержня 0-^.x^l,
один конец которого закреплен жестко, а к другому с момента t = 0
приложена сила £0 = const.
13. Решить задачу о температуре стержня O^x^Z, концы
которого поддерживаются при постоянной температуре («1 и и2), а на
боковой поверхности его происходит конвективный теплообмен по
закону Ньютона со средой, температура которой равна u3 = const.
Начальная температура произвольная.
14. Решить задачу о температуре стержня 0 х sj I, на концах
и боковой поверхности которого происходит конвективный теплообмен
со средами, имеющими постоянную температуру. Начальная темпера-
тура произвольна.
15. Давление'и температура воздуха в цилиндре 0 г? xs;/ равны
атмосферным; один конец цилиндра с момента t = 0 открыт, а другой
остается все время закрытым. Концентрация некоторого газа
в атмосфере равна u0 = const. С момента t—О газ диффундирует
в цилиндр через открытый конец. Найти количество газа Q(t), про-
диффундировавшего в цилиндр, если его начальная концентрация
в цилиндре равна нулю.
16. Решить задачу 15, предполагая, что диффундирующий газ
распадается со скоростью, пропорциональной его концентрации.
17. Найти электрическое напряжение в проводе 0 х I с пре-
небрежимо малыми утечкой и самоиндукцией, один конец которого
изолирован, а к другому приложена постоянная э. д. с. £0. Начальный
потенциал равен о0=const, а начальный ток равен нулю.
18. Найти электрическое напряжение в проводе с пренебрежимо
малыми утечкой н самоиндукцией, если его конец х=/ заземлен, началь-
ный ток и начальный потенциал равны нулю, а к концу х = 0 прило-
жена постоянная э. д. с. £0 через сосредоточенное сопротивление /?0.
19. Проводящий слой OsJxsjZ был свободен от электромагнит-
ных поЛей. В момент / = 0 всюду вне слоя возникло постоянное
однородное магнитное поле Но, параллельное слою. Найти магнитное
поле в слое при t>• 0.
20. Найти температуру стержня O^xsjZ с теплоизолированной
боковой поверхностью, если его начальная температура равна нулю,
один конец поддерживается при нулевой температуре, а другой
теплоизолирован и с момента I = 0 в точке х0, 0 < х0 < Z, действует
источник постоянной мощности Q.
*) Акустическими резонаторами называются замкнутые объемы
с отражающими звук стенками, предназначенные для усиления зву-
ковых колебаний.
121
21. Найти температуру однородной пластины с нулевой началь-
ной температурой, через грань х=0 которой подается, начиная
с Z — О, тепловой поток постоянной плотности q, а грань х=1 под-
держивается при температуре и0 = const.
22. Через проводник, имеющий форму плоской пластины тол-
щины /, пропускается, начиная с момента t = 0, постоянный ток,
выделяющий тепло с плотностью <2 = const Найти температуру пластины
при t > 0, если на границах ее происходит отдача тепла в окружающую
среду по закону Ньютона. Температура среды равна u0=const.
Начальная температура пластины равна нулю.
23. Начальная температура шара OairsjZ? равна uQ — const, а на
его поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, име-
ющей температуру «i = const. Найти темпера гуру шара при Z>0.
24. Поток тепла (за единицу времени) <2 втекает через плоскую
часть поверхности бруса полукруглого сечения и вытекает через
остальную часть его поверхности Найти стационарное распределение
температуры по сечению бруса, считая, что втекающий и вытекающий
потоки распределены с постоянными плотностями.
25. Стрелка прибора укреплена иа конце стержня длины Z,
закрепленного в сечении х = 0. Решить задачу о крутильных коле-
баниях стержня, если в начальный момент 1=0 стрелка была закру-
чена иа угол а и отпущена без начальной скорости. Момент инерции
стрелки относительно оси вращения равен /0.
26. К струне Os£xs_Z с жестко закрепленными концами
с момента t — 0 приложена непрерывно распределенная сила с линей-
ной плотностью: а) Ф=Ф0 sin coZ; б) Ф = Ф0созсо/, где Фо = const.
Решить задачу о колебании струны.
27. Решить задачу о колебании струны O^x^l с жестко за-
крепленными концами под действием силы F=FosinwZ (и /•'„ cos coZ),
приложенной к точке х0 с момента Z=0, при отсутствии резонанса.
28. Найти температуру стержня O-sjx^Z с теплоизолированной
боковой поверхностью, если с момента Z = 0 начинают действовать
тепловые источники, распределенные по стержню с плотностью
®(Z)sin ~ х. Начальная температура равна нулю. Концы поддер-
живаются при нулевой температуре.
29. По стержню OsixsSiZ, иа боковэй поверхности' которого
происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры,
движется печь со скоростью о0=const. Поток тепла (в единицу вре-
мени) от печи к стержню равен q=Ae~ht, где h — коэффициент
теплообмена, входящий в уравнение теплопроводности для стержня
ut=a2uxx— hu. Найти температуру стержня, если его начальная
температура равна нулю, а концы поддерживаются при нулевой
температуре.
30. Решить задачу о продольных колебаниях стержня O^x^Z,
если конец х=0 стержня закреплен жестко, а к концу х=1,
начиная с момента i =0, приложена сила F=A sincoZ (и 4coscoZ),
А = const.
31. Решить задачу о температуре шара O^r^R, если его
начальная температура равна и0 — const, а внутрь шара, начиная
с момента Z = 0, через его поверхность подается постоянный тепло-
вой поток плотности q=const.
32. Стержень 0 х Z с теплоизолированной боковой поверх-
ностью и постоянным поперечным сечением составлен из двух одио-
122
родных стержней 0^х^хо, xos^x^l с различными физическими
свойствами. Найти температуру в стержне, если его начальная тем-
пература равна f (х), а концы поддерживаются при нулевой тем-
пературе.
33. Найти температуру однородного стержня с теплоизолирован-
ной боковой поверхностью, в точке х0 которого находится сосредо-
точенная теплоемкость Со. Начальная температура произвольна,
а концы поддерживаются при нулевой температуре.
34. Найти напряжение в проводе с пренебрежимо малыми само-
индукцией и утечкой, если один конец его (х=/) заземлен через
сосредоточенную емкость Со, а к другому (х=0) приложена посто-
янная э. д. с. £0. Начальный потенциал и начальный ток равны
нулю.
35. Найти решение первой внутренней краевой задачи в круге
радиуса R для уравнения Лапласа с краевыми условиями: а) и (R, ф)=
= 4cosq>; б) и (R, ф)=Д+В sin <р; в) и |л=/? = Аху, г) и (R, ф) =
= A sin2 q> -f- В cos2 ф.
36. Решить вторую внутреннюю краевую задачу в круге радиуса R
для уравнения Лапласа с краевыми условиями: а) ^|с=^>
б)£ |с=в) Й |с=л (*2 “у2): Г) |с=А sin ф + В s№Ч)-
Отметить неправильно поставленные задачи.
37. Решить первую внутреннюю краевую задачу в кольце PL <
< г < R2 для уравнения Лапласа с граничными условиями и |г_=
= ui> и lr=7}!===u2- Пользуясь решением задачи, найти емкость
цилиндрического конденсатора, рассчитанную на единицу длины.
38. Найти емкость сферического конденсатора, заполненного
диэлектриком с диэлектрической постоянной е=б! для а<г<с и
е=е2 для с<.г<Ь.
39. Найти потенциал электростатического поля сферы радиуса R,
заряженной до потенциала и0 и помешенной в неограниченную среду
с диэлектрической постоянной е, равной 6=6! для /?<г<с и е=
= е2 для г>с. Рассмотреть частные случаи: а) с=оо; б) е2=оо;
в) 6i = e2=e.
40. Найти решение внутренних краевых задач в кольце Pi<
<г</?2 для уравнения Ли—А с краевыми условиями: а) и |,.=yj =
= “1, и \r=Ri = u2; б) «|г=л = ult £ | = = U2.
41. Найти решение краевой задачи Ди=1, и t—Я,—°’ "Ir-T?,—
= 0 в сферическом слое Rt<r < R2.
42. Найти распределение потенциала электростатического поля
и (х, у) внутри коробки прямоугольного сечения — а < х < а,
— b<ty<b, две противоположные грани которой (х=±а) имеют
потенциал Ро, а две другие заземлены.
Г лава V
МЕТОД ДЮАМЕЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О РАСПРОСТРАНЕНИИ
КРАЕВОГО РЕЖИМА
Метод Дюамеля применяется к решению задач о рас-
пространении краевого режима, т. е. задач вида
(1)
( ut
и
и(М, = 0) = 0 (соответственно и(М, 0) = 0), (2)
/ яи \ ( 1, t За О,
+ = П(0 = { л (3)
\ М I Ur I <Z. v,
и состоит в следующем.
1) Сначала решаем задачу (1) —(3) со стационарной
неоднородностью в краевом условии, т. е. с краевым
условием вида
+ = т)
(стационарная неоднородность р(Л4, т) в краевом режиме
включается с момента t = 0), где т — фиксированное число.
Пусть w(M, t, т) —решение этой задачи, непрерывное
вместе с производными первого порядка и с производной
wlt в области (М е£>; /^0) *).
Тогда решением задачи (1) —(3) с краевыми и началь-
ными условиями вида
(“Й + ₽«)5 = П«-т)н(М, т), u|z_T = uz|z_T = 0
(стационарная неоднородность р(М, т) включается с мо-
*) Решение этой задачи надо трактовать как обобщенную функ-
цию, поскольку т] (/) ц (Л/, т) есть обобщенная функция.
124
мента t = t) будет функция w(M, t — t, т)т](/ —т). Заме-
тим, что во внутренних точках М области D выполняются
тождества
w(M, 0, = 0, /) = 0. (4)
2) Решением задачи (1) —(3) с краевыми и начальными
условиями вида
u |/-t = Н/ |<_т = 0,
(аЙ+Р“)х = и(М’ T)[n(f-T)-n(*-t-<fr)]
(стационарная неоднородность р(М, т) в краевом режиме
действует лишь в течение промежутка времени от t = t
до / = т + «/т) будет функция
w (М, t — t, т) т] (t — т) — w (М, t — т—dt, т) т] (t — т — dt) =
— ^[w(M, t — t, —
3) В исходной краевой задаче (1) —(3) неоднородность
в краевом режиме действует в течение промежутка вре-
мени от 0 до t. Поэтому можно ожидать, что решением
задачи (1) —(3) будет функция
t
и(М, t)= t — t, t)т](t — т)]dt. (**)
о
Непосредственной проверкой убеждаемся в справедли-
вости этого предположения. В самом деле, эту функцию
можно записать также в виде
t
и(М, t) — ^x\(t — t)wt(M, t — t, t)dt +
о
t
+ ^ю(Л4, t — t, t)f>(t — t)dt,
о
ибо — t) = 6(t — t). Поскольку п(/-т) = 1 для всех
t от 0 до t, то, используя основное свойство 6-функции,
получим
t
и(М, t) = ^wt(M, t — t, t)dt-]-w(M, 0, /). (5)
о
125
Из этой формулы, а также из формулы для произ-
водной
t
ut(M, = t — t, t)dt + wt(M, 0, t) (6)
о
непосредственно следует, что начальные условия (2) удо-
влетворяются (w(M, 0, t)^wt(M, 0, /)=0 для внутрен-
них точек области D). Краевое условие (3) также удовлет-
воряется, так как
(“й+н=U((“^+Hs’i(/-T)}dT=
о
t i
= ~ {ц(М> x)T]2(t-"0}dt = т)11(/-т)}</т =
о 0
i t
= § MM, —t)«/t= р(Л4,т)6(/ —т)с/т = р(Л4,/).
о 0
Подставим выражение (**) для и(М, t) в уравнение (1),
для чего воспользуемся формулами (5) и (6). Для внут-
ренних точек области D в силу (4) имеем
t
и (М, — t—t, т) dt,
о
t
ut (М, /) = J wtt (M, t — т, т) dt.
о
t
Следовательно, utt = t — t, t)dt + wtt(M, 0, t).
о
Из тождества L[u»(M, t — t, т)] = р(М)шй (M, t — t, t),
пользуясь непрерывностью wtt в области (Л4 е D, t^ 0),
находим (при t — т-»-0)
L[z£)(M, 0, 0] = Р (М) wtt (Л1, 0, о = о,
поскольку w(M, 0, 0 = 0 для внутренних точек обла-
сти D, и, следовательно, L[w(M, 0, 0] = 0.
Таким образом,
Utt(M, t) = ^wiit(M, t — t, t)dt.
о
126
Поэтому
L[u]- putl = § {L [w] - pwlt} dx a 0,
0
так как L[w] = pwtt по построению. To есть выражение
(**) дает решение задачи (1) —(3).
Рассмотрим частный случай, когда р,(Л4, —
Аналогично предыдущему-решение можно построить сле-
дующим образом.
1) Решаем уравнение (1) с краевым условием вида
\аЙ+Ри)=г’(О.
т. е. для Q(i)= 1.
Пусть R(M, t) — решение этой задачи. Тогда реше-
нием задачи с краевым условием вида
(a^+₽«)s = n(0Q(*)>
где т —фиксированное число, будет функция Q(t)/?(Л1, /).
2) Решением уравнения (1) с краевыми и начальными
условиями вида
(«£ + ₽«)s = Q(T)ri^-'r).
u — ut |/-t = 0
будет функция Q(r)R(M, t — т)т](£ — т). Замётим, что
в силу начальных условий для всех внутренних точек
области D выполняются тождества
R(M, 0) = Rt(M, 0) = 0.
3) Решением уравнения (1) с краевыми и начальными
условиями вида
(“ J+₽«)s=QW[nP-^)-n(*-T-dT)],
u |/-t = ut |/-t = 0
будет функция
Q(t)[#(М, t — т)т] (t — т) — R(M, t — т — dx)r\(t — т — dx)] =
= /-T)nU-T)]dT.
127
4) Решением исходной краевой задачи будет функция
t
и(М, f)= t — i)dx.
о
В справедливости этого убеждаемся непосредственной про-
веркой, как и в предыдущем случае.
Таким образом, в этом случае достаточно найти реше-
ние /?(М, 0 задачи с очень простой (стационарной) неод-
нородностью в краевом условии Q (?) == 1.
Пример. Найти решение задачи
а2ихх=и/, и (х, 0)=0, и(0, /)=0, и (I,
Сначала находим решение задачи R(x, t) для Q(t)ss I. Функ-
цию R(x, t) ищем в виде суммы R = v(x)~i-P (х, t), в которой v(x)
описывает стационарный режим, а Р(х, t)—отклонение от него.
Для о(х) задача ставится следующим образом:
о"=0, ц(0) = 0, о(/)=1.
Решением будет функция х/l. Для Р (х, t) задача ставится сле-
дующим образом:
<PPXx=Pt, Р(х, 0) = ~х/1, Р(0, f) = P(l. /) = 0.
Решая эту задачу методом разделения переменных (см. пример 1
гл. IV), находим
СО
DZ А V П ПП 1 П2П2
Р(х, f)= Спе п sin-jX, Х„ = -р—.
П = 1
Коэффициенты Сп определяются из начального условия
СО
— х V . зтл
— = 2СпМПтх
П—1
„ 2 (— 0я
и равны С„ = — -----
Таким образом,
ео
п . .. X . 2 VI (— 1)” — а»Л t . ЯП
R(x,t) = -,-\---7 -----—е n sva-r-x.
' ' I 1 Л п I
П = 1
Следовательно, решением исходной задачи будет функция
1)1^.
о
128
или
t i
u(x, t)*= Q(t) — R(x, t—t)c!t+ Q(t)R(x, t—t)6(Z—т)^т=г
о 0
t
= § <2(T)R (x, /-T)dT+Q(OR(x, 0).
о
Функция R(x, 0) равна нулю для внутренних точек отрезка [0, /]
и для х=0, а при х=1 имеем R(x, 0)=1.
Если надо решить задачу
a2uxx = ut, и(х, 0) = 0, и (0, f)=Q1(t), u(l, t) = Q2(t),
то решение ищем в виде суммы двух функций u = v-]-w,
где для v и w задачи ставятся следующим образом:
v: a2vxx = vl, v(x, 0) = 0, и(0, 0 = Qi(0> v(l> 0 = 0;
w. a2wxx = wt, w (x, 0) = 0, w (0, /) = 0, w (I, t) = Q2 (0-
Каждая из этих задач решается методом Дюамеля, как
показано на примере.
Этот метод применяется и для решения краевых задач
на полубесконечной прямой.
б
Глава VI
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
И ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Одним из наиболее употребительных методов решения
линейных задач для дифференциальных уравнений является
метод функций Грина. Он состоит в том, что сначала
находят некоторое специальное решение задачи того же
типа и через него в квадратурах выражают решения ис-
ходной задачи.
Подробнее опишем метод на примерах решения крае-
вых задач и задач Коши. Вопросы единственности реше-
ния этих задач рассматриваются в гл. VIII.
§ 1. Сущность метода функций Грина решения
краевых задач и задачи Коши для уравнений
параболического типа
1. Пусть требуется найти решение однородной крае-
вой задачи в области В = {М D; />0}
£[u]~p«e, (1)
(Tig + T2«)s = 0. (2)
м(М, 0) = <р(М), (3)
непрерывное в замкнутой области В ss {М eD; /SiO}.
Предположим, что, .какова бы ни была точка Р из
области D (Р eD), мы можем найти ной однородной задачи решение специаль-
£[G] = pG,, (4)
(5)
G|(-0=6(M, Р), (6)
130
непрерывное всюду в замкнутой области В, кроме точки
(Р; 0). Здесь 6 (Л4; Р) — 6-функция с особенностью в точке Р.
Решение этой последней задачи будет функцией точек
М, Р и переменной t, т. е. G = G(M, Р; t). Оно назы-
вается функцией Грина исходной задачи (1) —(3).
Итак, предположим, что нам известна функция Грина.
Тогда решение задачи (1) —(3) и(М, t) выражается через
функцию Грина в квадратурах:
и(М, 0 = j G(M, Р\ t)q(P)dxP. (7)
D
В самом деле, в предположении, что правую часть в (7)
можно дифференцировать под знаком интеграла надлежа-
щее число раз по координатам точки М и по переменной
t, имеем
L [и] == $ ф (Р) L [G] drP = $ ф (Р) р (М) Gt dtp = puf
D D
и
и (M, 0) = J G |<=оФ (P) dtp = 6 (M, P) ф (P) drP = ф (M) *).
D D
Таким образом, задача (1) —(3) сводится к нахождению
функции Грина и к проверке законности дифференциро-
вания под знаком интеграла необходимое число раз по
координатам точки М. и по переменной t правой части
формулы (7).
2. Если требуется найти решение неоднородной крае-
вой задачи вида
L [и] + / (М, t) = put, (8)
(»я+Ц"<1 (9)
и(М, 0) = ф(Л1), (10)
непрерывное в В, то решение ищем в виде суммы двух
функций и = v -|- w, являющихся непрерывными в В реше-
ниями следующих задач:
L[v] = pv<1
(ti T2^)s = 0; V (М, 0) = ф (М),
LM+fW 0 = Р^. (Н)
(ti^+T2№)s = 0; (12)
________ w(M, 0) = 0. (13)
*) Функцию <р (М) предполагаем непрерывной в D.
б*______131
Согласно п. 1 функция v(M, I) имеет вид
v (ДО, 0 = $ G(M, Р; t)<p(P)dxP.
D
Решение задачи для w(M, t) методом, описанным в
гл. III § 6, сводится к решению однородной задачи. Дей-
ствительно, если Щ(М, t\ 6) есть решение однородной
краевой задачи (14)
(у^+ум)-о. (15)
р(М)’> (16)
то /
ад(М, t\ e)de. (17)
В самом деле,
о
w(M, O) = ^de=O,
О
/ t
L [ад] = \L[ZZ/J de = $рЩ(de,
О о
£[ад]+/(М, = t).
о
По правилу дифференцирования интеграла с переменным
верхним пределом по параметру находим
t
w(=iq\e_t+\lUt(M, t; 6)de.
О
Используя начальное условие (16), получим
о
Следовательно,
pwt=f(M, t) + \Pmtdb=L[w]+f(M, t).
о
Таким образом, функция ад(Л1, t) является решением
неоднородного уравнения (11). Справедливость краевых
132
условий (12) для функции (17) проверяется непосред-
ственно.
Функцию Щ (М, t; 6) с помощью функции Грина можно
написать в виде
Щ(М, t-, 6)= J G(M, Р; t-6)f-^-drP.
D
Следовательно,
/
w(M, t) = ( ( G(M, P; t-6)f-^^dTpdG.
J J P z
0 D
&. В случае произвольной неоднородной-краевой задачи
L[u]+f(M, t) = put, (18)
(т1^+Тг«)з=Ф(Л1, 0. (19)
и(М, 0) = ф(Л1) (20)
решение надо искать в виде суммы двух функций и =
— «! + и2, где (М, /) — какая-нибудь функция, удовлет-
воряющая краевому условию (19), для которой опреде-
лены L[uJ и ии. Тогда для и2(М, t) задача сводится
к рассмотренной в п. 2.
4. Определим понятие функции Грина задачи Коши
L[«]+f(M, f) = put, (21)
и(М, 0) =ср(Л1). (22)
Определение. Функцией Грина задачи Коши
(21) —(22) называется решение однородной задачи Коши
L[G] = pGz,
6|<=о=6(М, Р),
непрерывное всюду в замкнутой области В = {М — любая
точка пространства, t ^0}, кроме точки (Р\ 0)еВ.
Предположим, что нам известна функция Грина для
любой фиксированной точки Р. Тогда решение задачи
Коши (21) —(22) для однородного уравнения (f(M, 0 —Q
имеет вид
и(М, f) = \...\G(M, Р; t)^(P)drP, (23)
—со
где интегрирование по координатам точки Р производится
по всему пространству.
133
Проверка справедливости этого утверждения сводится
к проверке законности производить операции L[ ] и ~
под знаком интеграла в формуле (23).
В самом деле,
L [и] в $ ... $ L [G] <р (Р) dtp = J . $'pG,<p (Р) dtP at рие,
u(M, 0) = \...^G(M, P; 0)<p(P)drP =
‘—co
= $...$6(M, P)q>(P)dTP = q>(M).
—co
5. Если речь идет о нахождении решения задачи Коши
для неоднородного уравнения
L[u]4-f(Al, f) = pu,
с начальными условиями и (М, 0) = <р (Л1), то, аналогично
вышеописанному, решение следует искать в виде суммы
двух функций u — v+w, являющихся решениями следую-
щих задач:
v: L[u] = puz, v(M, 0) — ср (Л4);
w: L [ьу] + f (М, t) = pwt, w(M, 0) = 0.
Решение последней задачи сводится к решению однород-
ной задачи Коши: если Щ (М, t; 6) есть решение задачи
Коши
Ь[Щ]=РЩ(,
то t
w(M, = t-, 0)de.
0
Проверка справедливости этого равенства производится
совершенно так же, как и в случае краевой задачи.
Пусть нам известна функция Грина задачи Коши
G(M, Р; t); тогда
СО
Щ(М, t; 0) = J ... J G(M, Р; t-b)f-^^drP
—оо
И t оо
w(M, 0= Д G(M, Р-, t-e)f-^^dtpde.
J J V P \* )
0 —00
134
Интегрирование по координатам точки Р производится
по всему пространству. Таким образом, решение краевых
задач и задачи Коши для уравнения L (uj+f (М, f) = put
сводится к нахождению соответствующих функций Грина.
6. Функция Грина краевой задачи может быть най-
дена методом разделения переменных. В самом деле, фор-
мальное применение метода, разделения переменных к на-
хождению решения задачи (4) —(6) дает нам ряд
G(M, спФп(М)е~Ч,
п = 1
где — собственные значения, а Ф„ (М) — отвечающие им
собственные функции оператора L. Коэффициенты ряда сп
находим, пользуясь начальным условием для G и орто-
гональностью собственных функций:
Cn==FoSG(M’ Р; °)р(^)фД^)^=
D
Таким образом, для краевых задач функция Грина пред-
ставляется рядом Фурье по собственным функциям задачи
G (М, Р; 0 = J Р (р) е~4 •
П = 1
Легко убедиться в том, что решение краевой задачи
(!) —(3), полученное с помощью этой функции Грина по
формуле (7), имеет такой же вид, как и решение этой
задачи, полученное в § 2 гл. IV методом Фурье *).
Для некоторых уравнений параболического типа
удается найти и функцию Грина задачи Коши. Это можно
сделать, например, для простейшего уравнения теплопро-
водности а2 Ди = и, в пространстве любого конечного числа
измерений. Построению функции Грина для такого урав-
нения и решению задачи Коши посвящены последующие
параграфы этой главы.
') Читателю рекомендуется доказать это.
135
§ 2. Построение функции Грииа задачи Коши
на прямой
1. Определение. Функцией Грина G (х — g, t) задачи
Коши для простейшего уравнения теплопроводности на
бесконечной прямой называется решение задачи Коши
a*uxx = ut, (24)
и(х, 0) = ср(х) = 6(х — S), (25)
непрерывное всюду в области
Вх = {— оо<х<оо; /^0}, кроме точки (£, 0).
Построим эту функцию G(x — £, f). Для этого решим
сначала следующую специальную задачу Коши:
a2uxx = ut, (26)
/ х ( 0, х<0,
и(х, 0) = ср(х) = т1(х) = { (27)
( 1, х^О. '
Будем искать автомодельное решение этой задачи *), т. е.
решение в классе функций вида f(x/ta), где число а назы-
вается показателем автомодельности.
Подставив функцию u = f(x/ta) в уравнение (26), по-
лучим х
paf = (2). где 2 = ^.
Чтобы это равенство было тождественным относительно 2,
необходимо, чтобы а =1/2. Уравнение для f(z)
иметь вид ,
Г(2) + ^Г(2) = 0.
Из начальных условий (27) для u(x, Z) находим
И-оо) = 0, Н+оо) = 1.
будет
(28)
(29)
Таким образом, задача для /(г) поставлена.
Интегрируя соотношение (28), получим
Inf (г) = =^-+1пС, или f (г) = Се-г2/(4ач,
Отсюда
г г/(2а)
/(г) = С $ e-WW)(% = 2aC j e-v'dy.
— со —со
*) Об автомодельных решениях см. Седов Л. И., Методы по-
добия и размерности в механике, «Наука», 1972.
136
Эта функция удовлетворяет первому из условий (29); из
второго условия находим соотношение для определения С:
1 = 2аС $ е-чг dy = 2aC\rn.
—со
Отсюда С=1/(2а ]Аг). Таким образом, решение задачи
(26)—(27) имеет вид
и (к, = = ? e~y2dy.
WtJ /я J
Его можно записать также в виде
О x/V 4a2t
и(Хг 0 = ^dy+±= $ e-v'dy
— со О
ИЛИ I г / v \1
и(х. О-зр+Ф^)], (30)
Z
2 р
где Ф(г) = —= \ е~у2 dy — интеграл ошибок. Эта функция
Г Я J
удовлетворяет уравнению (26) и имеет непрерывные в Вх
производные иххх и uxt. Дифференцируя тождество с?ихх=
= ut по переменной х, получим тождество
d? (Цх)хх---
которое означает, что производная их функции (30) яв-
ляется решением уравнения (26). Она удовлетворяет на-
чальному условию
М*. 0) = т/(*-£).
где производная единичной функции понимается как произ-
водная обобщенной функции (см. Дополнение). Поскольку
т]'(х) = 6(х), то их(х, 0) = 6(х — £). Таким образом, про-
изводная их функции (30) является решением уравнения
(26), удовлетворяющим начальному условию (27). Очевидно,
она непрерывна всюду в замкнутой области Blt кроме
точки 0; 0). Согласно определению функции Грина
G(x — £, 0 функция их совпадает с нею, т. е.
G (х-g, /) = . (31)
У 4а2л/
Нередко функцию
1 е— xytn&t)
У 4ла2/
137
называют фундаментальным решением уравнения тепло-
проводности (26).
Если в условии (27) функция <р (х) = ад (х — хх), то
решением задачи (26)—(27) будет функция
и(х, о=^Ги-ф(^М|.
' ' 2 L VKldV/J
Если же и(х, 0) = ыо['П(х —Xi) —т)(х —х2)], то
<32>
Представим себе теперь, что на отрезке [хх, х2] в на-
чальный момент времени (/ = 0) выделилось количество
тепла Q, равномерно распределенное по отрезку. Это
равносильно заданию начальной температуры
“0) = cpfo-xi) t11 (х “ ~ Ъ)1
Такому начальному значению соответствует, в силу (32),
решение задачи Коши
'х—хЛ _ ф / х—х2 ’
У4a2t / \У4а2<,
и(х> =
Если мы теперь будем стягивать отрезок [хх, х2] в точ-
ку х0 и сохранять при этом количество тепла Q, то функ-
ция (33) будет стремиться к пределу, равному
_ 0- — Ф / г I — 0. —! е- (х - х,)«/(4оЧ)
ср бг ) |г=Хо ср /4яо2/
Таким образом, функция G (х—£, t) дает температуру в точ-
ках бесконечной прямой (например, бесконечного тонкого
стержня) при t>0, обусловленную мгновенным выделе-
нием в начальный момент времени (< = 0) в точке х = £
количества тепла Q = cp; поэтому вполне оправдано ее вто-
рое наименование как функции влияния мгновенного точеч-
ного теплового источника. Если Q=/=cp, тр температура равна
^С(х-6,0.
Замечание. Если в точках и |2 в начальный
момент времени мгновенно выделились количества тепла,
равные соответственно Qx и Q2, то температура на бесконеч-
ной прямой, обусловленная этими источниками, равна
§с(л-{„о+йс(«-5„ t).
138
2. Функцию Грина G(x—t) можно также построить
следующим способом. (Указывается лишь алгоритм по-
строения, без его обоснования.)
Допустим, что функция G (х, I) является решением
задачи Коши
a2uxx = ult и(х, 0) = S(x).
Тогда выполняются тождества
a2Gxx = Gt, G(x, 0)==6(х).
Применяя к этим тождествам преобразование Фурье и
вводя обозначение
g(u>, /)= $ G(x, t)e~ixU>dx,
—со
получим
gt+a2a2g=0, (34)
g(W, 0)=1, (35)
так как преобразование Фурье от производной k-ro по-
рядка /(/г) (х) функции f (х) равно произведению (ia)k на
преобразование Фурье функции /(х) и преобразование
Фурье дельта-функции 6(х) равно 1.
Очевидно, решением задачи (34)—(35) является функция
g(<£>, —
Применяя к ней обратное преобразование Фурье, находим
G(x, t):
СО
G(*> 0=-^ $
Мы при этом воспользовались тем, что
СО
I g—asa>+tax _ У л g—
J а
—со
Так как уравнение (26) инвариантно относительно пре-
образования сдвига, функция Грина с особенностью в точ-
ке х = £ будет равна
G (х -1, 0 = -—J=e~u-6)«/(4e«O.
J/ 4ля2/
139
§ 3. Решение задачи о распространении тепла
на бесконечной прямой (задачи Коши)
и на полупрямой
1. Теперь мы можем построить решение задачи Коши.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
a2u^ = uz, (36)
и(х, 0) = <р(х), (37)
где <р (х) — непрерывная функция.
Согласно рассуждениям § 1 настоящей главы (п. 4) и
формуле (23) решением будет функция
СО
и(х, t) = J G(x-|, 0ф©< (38)
— со
Надо лишь показать законность вычисления производных
ихх и иг путем дифференцирования по этим переменным
под знаком интеграла. Мы это сделаем позже.
Формулу (38) можно получить и из наглядных сооб-
ражений. Для этого воспользуемся температурной интер-
претацией задачи. На прямой t = 0 возьмем отрезок длины
d|, содержащий точку х = |. Количество тепла, выделив-
шегося в момент t = 0 на этом отрезке, равно ср<р (g) dg.
Это количество тепла можно отнести к точке Таким
образом, мы будем иметь точечный источник, в котором
мгновенно в момент времени t = 0 в точке х = §,выдели-
лось количество тепла dQ = cp<pQ)dg. Температура на
бесконечной прямой для £>0, обусловленная действием
этого источника, равна
§G(x-l, O = q>®G(x-g, t)<%.
И так для каждого отрезка длины dg прямой 1 = 0. Имея
в виду замечание на стр. 138, естественно предположить,
что температура, обусловленная действием всех таких от-
резков, т. е. обусловленная заданием начальной темпера-
туры и(х, 0) = <р(х), будет равна
со
и(х, t) = $ <p®G(x-g, t)d£. (39)
—со
140
Если это верно, то функция (39) и будет решением задачи
Коши (36)—(37). Чтобы убедиться в справедливости по-
следнего, достаточно доказать, что функция (39) удовлет-
воряет уравнению (36) для всех —оо<х<оо и t~>0,
а также начальному условию (37).
Проверим сначала условие (37). Согласно формуле (39)
и учитывая также, что G (х — 0) = 6 (х — £), имеем
СО со
«(х, 0) = $ <p(g)G(x-g,O)dg= 5 <p(g)6(x — В)^ = <р(х).
—оо —со
Последний интеграл равен <р (х) согласно основному свой-
ству 6-функции. Таким образом, функция (39) действи-
тельно удовлетворяет условию (37).
Чтобы установить, что функция (39) является реше-
нием уравнения (36), достаточно доказать, что эту функ-
цию можно дифференцировать по х (дважды) и по t под
знаком интеграла. Действительно, если
СО
ихх = $ ф (0 Gxx (х — t) dl
— со
И
со
«/= $ <f©Gt(x-l, f)dl,
— со
ТО
со
а2ихх — щ = $ ф© {a2G^-G<} </£== 0,
— со
так как функция G(x —g, t) является решением уравне-
ния (36).
Очевидно, достаточно показать, что интеграл (39) схо-
дится, а интегралы
5 4(l)Gtdl,
<P®Gxdl
СО
и $ 4>(l)Gxxdl (**)
—со
равномерно сходятся в области ВЕ = {—оосхСоо;
с произвольным е>0.
Для упрощения выкладок будем предполагать при этом,
что ф(х) ограничена, т. е. |ф(х)|^Л1. В интеграле (39)
141
произведем замену переменной интегрирований: <Х =г
= (В — х)/У 4а2/. Тогда (см. формулу (31), стр. 137)
ОО
и(х, (p(x4-2ca]/F)^~a2 da,
Ул J
— со
со
|«(х, /)|=С-^= С |<p(x + 2aa]//)fe~a2da=c
У л J
со
Таким образом, интеграл (39) сходится, притом равно-
мерно, в области Вх и |и|^Л4. Если предположить до-
полнительно, что ф(х) непрерывна всюду, то из этого
следует также непрерывность функции (39) в замкнутой
области Bj *).
Замечание. Из неравенства (40) следует, что если
начальные значения срг (х) и фа (х) отличаются меньше чем
на е, т. е. | ф1 (х) — Фа (х) | < е для всех х, то соответст-
вующие им решения задачи Коши и± (х, /) и «2 (х, /) также
отличаются друг от друга меньше чем на 8, т. е.
|(х, /) —и2(х, /)|<е.
Таким образом, решение задачи Коши непрерывно зави-
сит от начальных значений.
Рассмотрим теперь первый из интегралов (**):
ОО оо
J V(£)G,d£ = - § ^>G(x-B, /)г?В +
—оо —со
+ $
—со
Первый интеграл заменой переменной a = (£ — х)/У 4a2/
сводится к интегралу
СО
f —-^Ф (x-|-2aa ]/7)е~“2 c/a.
J 2 у л t
*) При дополнительном предположении об ограниченности функ-
ции ф(х). Если <£(х) кусочно-непрерывна, то функция (39) непре-
рывна всюду в Sj, кроме точек прямой /=0, в которых ф(х) раз-
рывна.
142
Этот интеграл равномерно сходится в области ВЕ
с произвольным е>0, поскольку подынтегральная функ-
ция мажорируется в этой области функцией е~а1,
2у nt
интеграл от которой сходится. Второй интеграл (***) той
оо
f а2
же заменой переменной сводится к интегралу \ -у=— X
J ynt
Хф(х4-2са]//)е7се2 da. Этот интеграл равномерно схо-
дится в области Ве с произвольным е>-0, поскольку под-
интегральная функция мажорируется в этой области функ-
цией —^=-а2е~“2, интеграл от которой сходится. Анало-
еУ п
гично поступаем с третьим интегралом (**). Таким образом,
мы доказали, что формула (39) действительно дает реше-
ние задачи Коши (36)—(37). Этот результат верен и для
функций ф(х), неограниченно возрастающих при х—>сю,
например для таких, для которых существуют постоян-
ные b и N такие, что | ф (х) | Ate6*.
2. Аналогично строятся решения задач:
a) a2uxx = ut, «(х, 0) = ф(х) (Osgx<oo), и (0, 0 = 0,
и(х, 0 = [ф®С*(х, В;
о
(41)
б) a2uxx = ut, «(х, 0) = ф (х) (Osgx< сю), их(0, 0 = 0,
«(X, 0=fc**(*, В; Оф(ВМВ.
о
3. Функция Грина задачи
a2uxx+f(x, t) = ut,
«(х, 0) = ф(х),
и(0, 0 = ф(0,
х, / 0,
(42)
(43)
(44)
(45)
определяется следующим образом.
Функцией Грина G* (х, Е; 0 задачи (43)—(45) называется
решение задачи
cPG*x = Gf,
G* (х, g; 0) = 6(x-g),
С*(°> В; 0 = 0, х, t>0,
143
непрерывное всюду в замкнутой области
В2={х^0, /3=0},
кроме точки (В, 0).
Для нахождения этой функции Грина воспользуемся
следующим свойством решения задачи Коши.
Для решения задачи Коши
о2«лл = «/.
(46)
и(х, 0) = ф(х) (47)
с нечетной функцией <р (х) выполняется тождество
и(0, /) = 0, />0.
Действительно, решение задачи (46)—(47) имеет вид
и(х, 0= Г G(x —В, /)Ф©С
— со
где G(x — I, 0 = -7===е_(х_й2/(4<Л)- Полагая здесь х = 0,
V 4na2t
получим
е-5!/(4^)ф
—со
«(о, о=-?2..._
К 4ла2/
(М = 0,
так как подынтегральное выражение есть нечетная функция.
Решение задачи Коши
a2GJx = G?,
G*(x, В; 0) = 6(х —В) —6(*+B)> В>0,
непрерывное всюду в области В1г кроме точек (—В, 0) и
(В, 0), согласно упомянутому свойству и будет искомой
функцией Грина. Очевидно,
4. Функция Грина задачи
a2uxx+f(x, t) = uh (48)
и(х, 0) = ф(х), (49)
их(0, /) = ф(0 (50)
определяется следующим образом,
144
Функцией Грина G** (х, g; t) задачи (48)—(50) назы-
вается решение задачи
a2G** = G**,
G** (х, I; 0) = 6(х-|),
g;*(o, В; 0=0, х, I, t>0,
непрерывное всюду в замкнутой области В2, кроме точки
(а, о).
Для нахождения ее воспользуемся следующим свойст-
вом решения задачи Коши (46)—(47).
Для решения задачи Гоши (46)—(47) с четной
функцией <р (х) выполняется тождество
их(0, /) = 0, />0.
Действительно, дифференцируя функцию
и(Х, t)= f g(x-i, о<р(амв
—со
по переменной х и полагая затем х = 0, получим
МО.
так как подинтегральное выражение есть нечетная функ-
ция.
Решение задачи Коши
0*0** = GT,
g**(x, a, o)=6(x-g)+6(x+a), а>о,
непрерывное всюду в области Blt кроме точек (—а, 0) и
(а, 0), согласно упомянутому свойству и будет искомой
функцией Грина. Очевидно,
G** (х £• Л--- * — /ехв Г— —1 + ехоГ—
° t Р L 4^ | + еХР[ 4аЧ ]/•
5. Доказательство того, что функции (41) и (42) яв-
ляются решениями задач а) и б), проводится совершенно
аналогично предыдущему.
Замечание 1. Из формулы (39) следует, что тепло
распространяется вдоль стержня мгновенно. Действительно,
пусть начальная температура <р (х) положительна иа конеч-
ном отрезке (xlt х2) бесконечного стержня и равна нулю
₽це (Хр х2). Тогда температура произвольной точки х
145
стержня равна
и(х, O=?«P©G(x-g, t)dl.
Xi
Очевидно, при сколь угодно малых />0 эта функция
положительна для любого х. К такому выводу мы пришли
вследствие неточности физических предпосылок, которыми
мы пользовались при постановке задачи Коши (например,
при написании уравнения (36)).
Замечание 2. Полученную формулу (39) можно
рассматривать как свертку (см. Дополнение) фундаменталь-
ного решения
G(x, t) = —L=e-^^
]/ 4ла2/
с начальной функцией <р (х), т. е.
и(х, f) = G(x, /)*<р(х).
Если в этой формуле в качестве начальной функции <р (х)
брать произвольную финитную обобщенную функцию, то
и(х, t) будет также решением задачи Коши.
6. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить задачу Коши
( и,, х < О,
&uxx = ufi и (х, 0) = <р (х)=<
По формуле (38)
и (х, f) =
= °f<p©G(x-£, J G(x-g, t)di+uA G(x-l, ()<%.
—co —co 0
Производя замену переменной a = (x—4d?t, получим
x/V 4a2t —co
u(x, t) — - t e~aS da f e~a*da =
Кэт ' Кэт J_
00 x/K 4a2/
Пример 2 Решить задачу Коши
^ихх=“6 и (*> 0)=Аё~*\
По формуле (38) имеем
u(x,t) = A J e~^G (х—g, t) d£.
— co
Произведя замену переменной a=(g — x)/K4a2/, получим
e-(x+iaa^i)‘e-a‘ da=:
Д„—Х2 (* r-
\ e— 4xaa V t — (4a*Z + 1) a2 =
— co
4л*оЦ
_ Ae~x‘ [+4n^
+4a‘t
da.
Произведя в последнем интеграле замену переменной по фор-
муле д—+1 + 4д2< a=ft, получим
03
и(х, t)=A-xW+™} J С e-₽*d₽ =
/л Vl+4a4 J
— со
= А Р-#А 1 +4а'О
К1+4а2/
7. Обратимся к неоднородному уравнению. Решение
задачи Коши
a2uxx+f(x, t) = ut, (51)
и (х, 0) = <р (х) (52)
будем искать в виде суммы двух функций и (х, t) — v (х, t) +
4-ьу(х, t), являющихся решениями следующих задач:
v. azvxx = vt, v(x, 0) = <р (х);
w: a2wxx + f(x, t) = wt, (510
w(x, 0) = 0. (53)
Функция v (х, t) дается формулой (39). Решение задачи
(51х), (53) можно получить методом, описанным в гл. III,
147
§6, п.1. Это решение равно интегралу
t
w(x, t) = § Щ {х, t, т) dr,
о
где Щ(х, t, т) есть решение однородной задачи Коши
аЧЦхх = Щь Ul\t_x = f(x, т).
Согласно § 1 настоящей главы оно равно
СО
Щ(х, t, т)= $ G(x-B,Z-T)/(g, т)<£.
— оо
Следовательно,
I со
w(x, t) = \ J G(x-l, x)d£dx. (54)
0 — co
Эту функцию можно также получить, если воспользоваться
температурной интерпретацией функции Грина и урав-
нения (511).
В этом уравнении cpf(x, t) есть плотность тепловых
источников в единицу времени *). Следовательно, на
отрезке длины dt,, содержащем точку за промежуток
времени (т, т + dx) выделится количество тепла dQ —
— cpf (I, т) dx. Если это количество тепла считать выде-
лившимся в точке | мгновенно в момент времени т, то
температура, обусловленная действием этого источника
будет равна
^G(x-l, t-x) = f& t)G(x —g, t-x)dldx.
Имея в виду замечание иа стр. 138, естественно предполо-
жить, что температура, обусловленная действием всех
таких источников (распределенных по всей прямой) в тече-
ние промежутка времени от 0 до t, будет равна
t со
w(x, t) = \ J x)G(x — l, t — x)dt,dx.
0 — co
Если, в частности, тепловой источник действует лишь
в точке £о, но изменяется со временем, то функция f (х, t)
в уравнении (51) будет иметь вид
f(x. t) = f(t)8(x — l0).
♦) См. вывод уравнения теплопроводности (стр. 30).
148
Тогда решение задачи (51х), (53) с такой неоднородностью
будет иметь вид
t со
w{x,t) = \ $ 8(&ЧН(т)6(г-М-т)<От =
О — со
t
= \f(r)G(x-l0, t — r)dx.
о
Мы здесь воспользовались свойством 6-функции.
Замечание 3. Решение задачи Коши для неодно-
родного уравнения с нулевыми начальными значениями
а2ихх + f (х, t) = ut, и (х, 0) = 0
также можно записать в виде свертки (по двум перемен-
ным!) фундаментального решения G (х, t) с функцией f (х, t):
t со
u(x, Z) = G(x, 0*7(*. 0 = 5 $ G(x-%, T)d^dx.
0 —co
Замечание 4. Решение задачи (51i), (53) на полу-
прямой с краевым условием да (0,/) = 0 (или даЛ(0, /) = 0)
строится аналогично и дается формулой
t со
да(х, t) = \ $/(£, t)G*(x, £,, t — x)dt,dx
0 0
/ 00 \
(или да = J J fG** d% dtj.
\ oo /
§ 4. Решение задачи о распространении тепла
в трехмерном (двумерном) пространстве
Теперь обратимся к рассмотрению задачи Коши для
уравнения теплопроводности в двумерном и трехмерном
пространствах.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
а® Ди = ut. (55)
Определение. Функцией Грина G(М, Мо; I) задачи
Коши для уравнения (55) называется такое его решение,
которое:
а) удовлетворяет начальному условию
и(М, 0) = 6(М, Л40); (56)
149
б) непрерывно всюду в замкнутой области
£>з = {—оо<х, у, z<oo; f^O},
кроме точки (х0, у0, г0, 0).
Здесь х, у, z и х0, у3, г0 — координаты точек соответст-
венно М и Ме, 6(М, Мо) есть 6-функция с особенностью
в точке Мо. Для нахождения G(M, Мо; t) докажем сна-
чала лемму.
Лемма. Если в задаче Коши
а2Ки = иь и(М, 0) = <р(М)
начальная функция <р{М) представляется в виде
Ф (М) = ф! (х) ф2 (у) ф3 (г),
то решением задачи будет функция
и (М, t) = Ui (х, t) иг (у, t) и3 (z, t),
где щ(х, t), и2(у, t), u3(z, t) —решения соответствующих
одномерных задач:
с^и^ = «1Ъ «! (х, 0) = фх (х)
и т. д.
Доказательство. В силу условий леммы
а2Д (и^гИз) = и2и3а2и1хх++и1и2а2и3гг =
s Щи^/у -j- UXU3U2/ 4“ UyU^Usi = (UiU^3)t.
Таким образом,. и = щи2и3 удовлетворяет данному урав-
нению и, очевидно, также начальному условию.
Заметим, далее, что 6(М, М0) = 6(х — х0)б(у —у0) х
X 6(г —г0). Поэтому, применяя доказанную лемму к задаче
(55)—(56), получим искомую функцию Грина в виде
G(M, Мо; t) = G(x — x0, t)G(y — y0, t)G(z — z0, t).
Используя формулы для одномерных функций Грина
G(x — х0, t) ит. д., получим
»л Л I 1 \3 Г (*—*о)* + (у — M>)2 + (z~ г<|)21
G (М, Мо; 0 = 1 —г- ехр — т* <!>_
для трехмерного пространства и аналогично
/ 1 \2 Г (х — Х0)* + (у — J/o)2 1
G (М, М0‘, t) = .. ехр Г — Д
для двумерного пространства. Эти решения называют также
фундаментальными решениями уравнения теплопровод-
ности a2Ku = ut.
150
По причинам, о которых мы говорили в § 1 (стр. 138),
эти функции называют также функциями влияния мгно-
венного точечного теплового источника. Если в точке Л40
в начальный момент t = 0 мгновенно выделится количество
тепла, равное Q, то температура в произвольной точке М
пространства, обусловленная действием этого источника,
равна (для t>0) — G(M, Мо; /).
ср
Легко построить решение задачи Коши для однород-
ного уравнения
a2Au = uz, и(х, у, г, 0) = <р(х, у, г).
Решением будет функция
и (х, у, г, t) =
= $ Т Т Ф & Ч. □ G (х, у, г, ё, П, t) dl <%. (57)
— 00 — 00 — co
Решением задачи
a2Au-|-/(x, у, z, t) = ub
и (х, у, z, 0) = О
будет функция
t оо оо оо
и(х, у, Z, /) = $ J $ $ f(l, п, Т) X
X G(x, у, г, ч, g; t — т) dl di\ dl dr. (58)
Решение задачи Коши для неоднородного уравнения
а2Аи+/(Л1, t) = ub
и(М, 0) = <р (Л4)
равно сумме функций (57) и (58).
Доказательства последних утверждений проводятся
почти дословно так же, как это делалось для одномерного
случая. Поэтому мы их не будем приводить.
Замечание. Решение задачи Коши
o2Au = u/, и(М, 0) = <р(х, у, г)
можно также записать в виде свертки (по трем перемен-
-ным!) фундаментального решения
~ , ,, / 1 \8
X2+j/2+za-
4аЧ
151
с начальной функцией <р (х, у, г):
и (х, у, z, t) — G (х, у, г; t) * <р (х, у, г) —
= Ш У~^ z~l> Л.
— со
Мы проиллюстрировали применение метода функций
Грина к решению задач в бесконечном пространстве или
в полупространстве. Как указывалось в § 1, этот метод
можно применять также и к решению краевых задач в
ограниченных (по пространственным переменным) областях.
Так, если определить функцию Грина первой краевой
задачи как решение задачи
t^tlxx =
и (О, /) = 0 = и(/, t), и(х, 0) = 6(х —х0),
непрерывное всюду в области Dt== {O^x^l; /^0}, кроме
точки (х0, 0) (обозначим это решение через G (х, х0; /)) *),
то решение задачи
аъихх = иь
и (0, 0 = и (I, 0 = 0, и (х, 0) = ср (х)
можно записать в виде
i
и(х, /)=$<p(g)G(x, Odg.
о
Аналогично обстоит дело в случаях второй и третьей
краевых задач. Однако этот метод не характерен для
ограниченных областей и обычно не применяется.
§ 5. Устойчивость решения задачи Коши к малым
изменениям входных данных
Пользуясь формулами (38) и (57), (54) и (58), нетрудно
показать устойчивость решения задачи Коши для простей-
шего уравнения параболического типа к малым измене-
ниям входных данных: начальных значений <р(х), <р (М)
и неоднородностей в уравнениях (плотностей источников)
/(х, 0. f(M, t).
*) Решая эту задачу методом разделения переменных, находим
СО
•х. 2 V гиг . пп. . mint
G(x, х0; t)= У, sin-j-x-sin-j-x0-sin—.
п = 1
152
Мы докажем соответствующие теоремы для одномерного
случая. Для двумерного и трехмерного случаев они форму-
лируются и доказываются совершенно аналогично.
Теорема 1. Если в задачах Коши
a2uxx = ut,
U a2vxx = vt,
для начальных
венство
и(х, 0) = <р1(х), —оо<х<оо, (59)
и (х, 0) = <р2 (х), — со < х < со, (60)
значений (рДх) и <ра(х) выполняется нера-
|«>1(*)-ф8(*)|=Се (61)
при всех значениях х, то для решений этих задач и (х, t)
и v (х, t) выполняется неравенство
[ и (х, t) — v (х, 01 е
при всех значениях х и t 0.
Доказательство. Используя формулу (38) для
решения задач (59) и (60), а также неравенство (61),
получим
|и(х, t)-u(x, 0|< $ G(x-g, 0|ф1(5)-фаЙ)|^=С
— оо
=Се J G(x-g, 0dg = e,
— 00
так как J G (х — £, 0 = 1.
— 00
Справедливость последнего равенства устанавливается
непосредственным вычислением интеграла. Производя в нем
замену переменной интегрирования по формуле g=x-j-
+ a]/r4ast, получим dg=pr4a2/ da и
СО со
( G(x-g, 0^=-!= e~a'da=l.
J Fn J
— ОО — 00
Теорема доказана.
Для доказательства устойчивости решения задачи Коши
к малым изменениям неоднородности в уравнении, очевидно,
достаточно рассмотреть решение с нулевыми начальными
значениями.
Теорема 2. Каковы бы ни были положительные числа е
и Т, существует такое 6 = 6 (е, Т), что если в задачах
Коши
а2ихх+А (х, t) = ut, и (х, 0) = 0 (62)
153
и
a2vxx-\-f2(x,t) = vt, v(x, 0) = 0 (63)
функции fi (x, t) и (x, t) при всех значениях x uO^t^T
удовлетворяют неравенству
IA(X, 0|<6(е, Т),
(64)
то для решений этих задач и (х, t) и v (х, t) выполняется
неравенство
|и (х, t) — v(x, /)|^е
при всех значениях х и Q^t^T.
Доказательство. Используя формулу (54) для
решения задач (62) и (63), а также неравенство (64), для
O^t^T получим
|u(x, t) — v(x, /)|=^
$ G(x-l, /-т)|Л(|, T)-/2(g, T)|dgdT<
О — со
t со t
J G(x-l, f-T)dgdT = 6j 1 -dx^8-T.
0 — co 0
Положив 6 = e/T, для всех значений x и для О t Т
будем иметь
| и (х, t} — v (х, t) | е.
Теорема доказана.
Мы здесь воспользовались равенством
СО
J G(x-§, <-T)dg=l,
— со
справедливым при любых значениях т<?. Оно устана-
вливается непосредственным вычислением путем замены
переменной интегрирования | = х-|-а)/4а2(/— т).
Замечание. В трехмерном случае для доказательства
соответствующих теорем надо использовать равенство
y-xi, г-& t)dld^d^ = l,
— со
154
справедливость которого устанавливается непосредствен-
ным вычислением с использованием замены переменных
ё = х+а)/4а2/, г] = у + Р )/4а2/, ^ = г-\-уУ 4аЧ.
Все остальные выкладки и оценки остаются прежними.
ЗАДАЧИ
1. Начальный ток и начальное напряжение в полубесконечном
однородном проводе 0 sc x sg со равны нулю. Самоиндукция единицы
длины провода пренебрежимо мала. С момента t—О к концу провода
приложена постоянная э. д. с. Ео. Найти напряжение в проводе.
2. Найти распределение температуры в неограниченном простран-
стве, вызванное тем, что в начальный момент /=0 на сферической
поверхности радиуса г0 выделилось мгновенно Q равномерно распре-
деленных единиц тепла. (Построение функции влияния мгновенного
сферического источника тепла.)
3. Найти концентрацию диффундирующего вещества в неогра-
ниченном пространстве, начальная концентрация которого равна
и |/_0=U0 = COnst ДЛЯ Ог<Г</? И U |;_о = О ДЛЯ Г > R.
4. Решить задачу 3 для полупространства z > 0, предполагая,
что z0<R, (0, 0, г0)—координаты центра сферы, в которой началь-
ная концентрация равна и0. Рассмотреть случаи, когда: а) плоскость
z=0 непроницаема для диффундирующего вещества; б) на плоскости
г—0 поддерживается концентрация, равная нулю.
5. Найти температуру полубесконечного стержня Osj;x<ot
с теплоизолированными концом и боковой поверхностью, обуслов-
ленную действием тепловых источников плотности Q(/) на отрезке
(а, Ь) (0<а<Ь) начиная с момента t=t0.
6. С помощью функции источника, найденной в задаче 2, решить
краевую задачу
/ 2 \
a2(uzvH—~ иг) f(r> 0 — иь 0<г, /<оо,
и(г, 0)=<р(г), |u|<oo, ra = x2+y2+z2.
7. Найти распределение температуры в неограниченном простран-
стве, вызванное тем, что в начальный момент /=0 на каждой еди-
нице длины бесконечной цилиндрической поверхности радиуса г0
выделилось Q равномерно распределенных единиц тепла. (Построение
функции влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.)
8. С помощью функции источника, найденной в задаче 7, решить
краевую задачу
a2^urr + -^-ur^+f(r, = 0<г, /<оо,
u(r, 0) = <p(r), |u|<co, r2=x2-f-t/2.
9. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника
на бесконечной прямой для уравнения
а2илл—hu — Uf.
Глава VII
МЕТОД ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
Метод функций Грина, описанный в гл. VI, приме-
няется к решению весьма широкого круга линейных задач.
В настоящей главе мы рассмотрим применение его к
решению краевых задач для уравнений эллиптического
типа.
Простейшим и наиболее часто встречающимся в прило-
жениях уравнением этого типа является уравнение Лап-
ласа Ди = 0. Его решения —гармонические функции —
обладают рядом специфических свойств, которые пона-
добятся нам при изучении свойств функций Грина. Поэтому
мы рассмотрим прежде всего некоторые свойства гармони-
ческих функций.
§ 1. Вторая формула Грина. Простейшие свойства
гармонических функций
Все результаты, к которым мы придем в этой главе,
будут получены из небольшого числа формул и соотно-
шений.
Выводом этих формул мы и займемся прежде всего.
1. Пусть функции и(М) и v(M) обладают следующими
свойствами:
1) непрерывны вместе с частными производными пер-
вого порядка всюду в замкнутой области D, ограниченной
поверхностью S, кроме, может быть, конечного числа
точек;
2) интегрируемы вместе с частными производными пер-
вого порядка в области D;
3) имеют интегрируемые в области D частные произ-
водные второго порядка.
156
Тогда, как известно,
R [и, и] = — vL [и] dr =
D
= k(^u, Vr)dr-|- quo dr — kv^dr*). (I)
D D S
Здесь L[u] = div(fe Vu) — qu. Вычитая 7?[u, и] из R [v, u],
получим вторую формулу Грина'.
{vL [u] —uL[v]}dr=^k(v^i — u^j do. (2)
D S
Для одномерного случая вторая формула Грина имеет вид
t
J {vL [«] - uL [о]} dx = k(vd£ - u$ j'. (3)
0
Следствие. Пусть L [u] = div (k Vw). Если для такого
оператора L [и] в формуле (2) положить v = 1, а в каче-
стве и(М) взять решение уравнения L[u]=f(M), непре-
рывное вместе с частными производными первого порядка
в области D = D-\-S, то получим
Jf(Af)dT. (4)
S D
Для двусвязной области D', ограниченной двумя кон-
центрическими сферами <$/? и < R) с центром
в точке Л40> формула (2) запишется в виде
J {vL [u] — uL [и]} dr =
D'
ди dv\ , f , / du dv\ ,
R tn—и ч- do — \ k и д—Мд- do. (5)
\ dr dr] J \ дг дг) 1 '
SR
Минус перед интегралом по появился потому, что на
е д д
поверхности Sa, выполняется равенство д~ — — дг-
Замечание. При произвольных функциях <р(Л1) и
f(M) (даже непрерывных) вторая краевая задача может
не иметь решения. Действительно, пусть L[u] = div (k Vu).
Тогда для решения второй краевой задачи и (М), непре-
рывного вместе с частными производными первого порядка
') См. формулу (8) гл. IV.
157
в D = D + S, должно выполняться соотношение (4). По-
скольку = ф (М), то получим
f(M)dz = k^do = ^kq>(M)do. (6)
d s s
Таким образом, функции f(M) и <р (М) должны быть свя-
заны соотношением
jj f (М) dr = ^k<p (М) do.
d s
(7)
В частности, если /(Л4) = 0, то функция <р(Л4) должна
удовлетворять условию
J ktp do = 0. (8)
s
Легко понять физический смысл соотношений (7) и (8),
если и(М) интерпретировать как стационарную темпера-
туру, a k (М) — как коэффициент теплопроводности. Тогда
соотношение (7) выражает следующий очевидный факт:
для того чтобы существовало стационарное решение, необ-
ходимо, чтобы количество тепла, образующееся в области D
за промежуток времени At от действия внутренних источ-
ников, было равно суммарному потоку тепла, уходящего
через границу области S за тот же промежуток времени.
2. Функция и (М) называется гармонической в области D',
если она непрерывна в О и в каждой точке области D
удовлетворяет уравнению Лапласа Аи = 0.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что в трех-
мерном пространстве функция 1/гМР является гармониче-
ской всюду, кроме точки, где гЛ1Р = 0.
В двумерном случае функция In (1/гмР) является гар-
монической всюду, кроме точки, где гЛ1Р = 0.
В m-мерном пространстве (т^2) функция l/z^p2
является гармонической всюду, кроме точки Р.
Функции Inp/r^p), 1/гМРг 1/г^2 называются также
фундаментальными решениями уравнения Лапласа.
Применяя формулу (4) к гармоническим в области D
функциям (непрерывным вместе с их частными производ-
ными первого порядка в D-f-S), получим
(«*-«• (9)
158
Теорема о среднем значении. Значение в цент-
ре Мо шаровой области Dr функции и(М), гармонической
в Dr и непрерывной вместе с частными производными пер-
вого порядка в Dr = Dr-\-Sr, равно среднему арифмети-
ческому ее значений на сфере Sr, т. е.
“(Л1о) = 4^ J u(M)do. (10)
Доказательство. Воспользуемся формулой (5),
полагая в ней L[u] = Ди (й (/И) = 1),
и = (гМо м = У(х- х0)2 + (// - Йо)2 + (г - г0)2);
гм„м
в качестве и (М) возьмем функцию, гармоническую в шаро-
вой области Dr, ограниченной поверхностью Sr, и непре-
рывную вместе с их, иу, иг в При этих условиях
интеграл по D' (D' с. Dr) равен нулю. Интегралы по
и по Sr, от произведения в силу соотношения (9)
также равны нулю (функция v равна на этих поверх-
ностях соответственно 1/7? и 1/7?х, k=l). Таким образом,
будем иметь
f и)da— f и(—)da = 0. (11)
J or \r) J dr \ r J ' '
s/?i
Вычисляя производные и применяя к последнему инте-
гралу теорему о среднем значении интеграла, получим
-^2 и (М) da = -^- 4nRi -и(М*), М* е Sr,.
SR
Устремляя теперь 7?х к нулю, получим формулу (10).
Мы рассматривали гармонические функции в трехмер-
ном пространстве. Для двумерного пространства (плоскости)
теорема о среднем значении записывается соотношением
u(M0) = ~\u(M)ds. (12)
Здесь Cr — окружность с центром в точке 2И0. Для полу-
чения этой формулы надо в соотношении, аналогичном (5),
взять v = In (1/гмом).
159
Для m-мерного пространства теорема о среднем зна-
чении гармонической функции выражается соотношением
“(M») = srt=i 03)
где Sx —площадь единичной сферы.
Справедлива также
Обратная теорема. Пусть и(М) непрерывна в ко-
нечной области D. Если для любого шара Dr az D, огра-
ниченного сферой Sr (Sr az D), справедливо соотношение (13),
то функция и (М) гармонична в области D.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы.
Эти теоремы позволяют дать другое, эквивалент-
ное прежнему, определение гармонической в области D
функции.
Функция и (М) называется гармонической в области D,
если она непрерывна в D и для всякой шаровой области
Dr, ограниченной сферой с центром в точке M0^D
и принадлежащей вместе с области D, выполняется
соотношение (13).
Пользуясь таким определением, его легко перенести
на широкий класс функционалов *).
3. Для гармонических функций справедлива
Теорема о наибольшем и наименьшем зна-
чении. Функция и(М), гармоническая в конечной области
D, ограниченной замкнутой поверхностью S, и непрерыв-
ная в D = D-\-S, достигает своего наибольшего и наи-
меньшего значений на границе S.
Доказательство. Если и (М) = const в области D,
то справедливость теоремы очевидна. Поэтому будем пола-
гать, что и (М) ф. const в D.
Обозначим через H's наибольшее значение -функции и
на S, а через Hd — наибольшее значение функции и в D.
Нам надо доказать, что HD =Hs- Предположим, что это
неверно. Тогда Hd>Hs и в некоторой точке M0(M0^D)
имеем и (Л40) — Hd-
Рассмотрим вспомогательную функцию
v(M) — u (М) -1--2^. [(х - х0)2 + (у - у0У + (г - г0)2],
*) См. Леви П., Конкретные проблемы функционального ана-
лиза, «Наука», 1967.
160
где d—диаметр области D, т. е. верхняя граница рас-
стояний между точками области D; (х0, Уо, го)> (х, у, г)
— координаты точек Мо и М. Очевидно, для всех то-
чек М е D
(х - х0)2 -ь (у - у0)2 + (г- z0)2 < d2,
v (Мо) = и (Мо) = HD. С другой стороны, в точках Л4 гра-
ницы области S имеем
v (М) <HS+ - = -Р~7 5- < HD.
Следовательно, непрерывная в D функция v(M) должна
достигать наибольшего значения в некоторой внутрен-
ней точке Мг области D. В этой точке должно быть
Aw«gO, так как в точке максимума ни одна из произ-
водных vxx, vyy, огг не может быть положительной. С дру-
гой стороны,
Нп — Н<. Нп — Нк
До = Д« + 3 D . ? = 3 д ,2 5>0.
а* ал
Полученное противоречие заставляет отказаться от гипо-
тезы, что Hd>Hs- Следовательно, Hd—Hs- Приме-
няя полученный результат к функции —и, мы получим
доказательство теоремы и для наименьшего значения.
Следствие. Гармоническая в области D функция
и (Л4), не равная тождественно постоянной, не может иметь
локальных максимумов и минимумов внутри D.
В самом деле, пусть в точке Мо е D функция и (М)
имеет, например, локальный максимум. Обозначим через
шаровую замкнутую область с центром в точке Мо
и радиуса R, целиком лежащую в D. Радиус R можно
взять настолько малым, чтобы для всех точек М области
, не совпадающих с Мо, выполнялось неравенство
и(М)<и(М0).
Применяя доказанную теорему к функции и (М) для
области Dm,’ получим противоречие с предположением.
Из этой теоремы легко следует единственность реше-
ния первой внутренней краевой задачи для уравнения
Д« = /(М).
Теорема единственности. Решение первой вну-
тренней краевой задачи
hu = f(M), «|$ = <р(М),
непрерывное в замкнутой области D = D-[-S, единственно.
6 В. Я. Арсенин
161
Док аз ател ьство. Пусть две функции щ н и2 явля-
ются решением этой задачи. Тогда их разность и = и1 — и2
является гармонической в D функцией, непрерывной в D
и равной нулю на S. По теореме о наибольшем и наи-
меньшем значении наибольшее и Наименьшее значения и
равны нулю. Следовательно, « = «,-^ = 0 всюду в D.
Легко также доказать теорему о непрерывной зави-
симости решения первой внутренней краевой задачи от
граничных значений для уравнения Ди =
Теорема 1. Пусть щ (М) и щ, (М) — решения первой
внутренней краевой задачи для уравнения &u = f(M), не-
прерывные в D и принимающие на границе S области D
значения и <р2(7И). Тогда, если всюду на S выпол-
няется неравенство | <j>i — <р21 < е, то всюду в D выпол-
няется неравенство
|И1(М) —и2(М)|<е.
Доказательство. Функция и = щ — щ, гармони-
ческая в D, непрерывна в D, и и |s = <рх — <р2. Поскольку
— е < <рг — фг < е, то по теореме о наибольшем и наимень-
шем значении наибольшее и наименьшее значения функ-
ции и(М) заключены между —е и е. Следовательно,
| и | < е, т. е. | щ (М) — u2 (М) | < е.
Верна также
Теорема2. Если последовательность непрерывных в не-
которой замкнутой и ограниченной области D и гармо-
нических в D функций щ, и2, ..., ип, ... равномерно схо-
дится на границе области, то она также равномерно
сходится в D. При этом предельная функция и (М) будет
гармонической в D*).
§ 2. Сущность метода функций Грина. Некоторые
свойства функций Грина
1. Будем рассматривать краевые задачи
L[u] = f(M) (в D), (14)
(ai^+a2«)s = 0 (15)
*) Читателю рекомендуется самостоятельно доказать первое
утверждение этой теоремы, используя достаточный' критерий Коши
сходимости последовательности и принцип максимума и минимума.
Подробнее о свойствах гармонических функций см. книгу И. Г. П е т-
ровского «Лекции об уравнениях с частными производными»
(«Наука», 1965).
162
внутренние или внешние. Здесь а1 = а1(Л4), а2 = а2(М),
“i> «2^=0 и а!-|-с4^0.
Метод функций Грина решения таких задач состоит
в следующем. Сначала находят решение задачи (14) —(15)
при специальных значениях функций f(M) и <р(Л4). Именно,
решают задачу
L(G) = — 6(М, Р), (16)
(a/? + а2 = 0. (17)
Это решение называют функцией Грана задачи (14) —(15).
Мы будем требовать, чтобы искомая функция G(M, Р)
была непрерывной (вместе с частными производными пер-
вого порядка, если а2 0) всюду в замкнутой области D,
кроме, быть может, точки Р, в которой G может иметь
особенность.
Если функция Грина найдена, то с ее помощью легко
найти и решение исходной задачи (14) —(15). Для этого
применим вторую формулу Грина к функциям v = G(M, Р)
и к искомому решению и (Л4):
J {GL [и] — uL [G]} dx = О8)
D S
Поскольку в области D имеем L[u]=f(M), a L[G] =
= — 6(Л1, Р), то соотношение (18) можно записать в виде
\f(M)G(M, P)dtM+ Ju(Al)6(Al, P)dxM =
D D
f ,(„ du dG\ ,
= \ ft G,— Ыч-]doju.
J \ dn dnj m
s
Второй интеграл левой части по свойству 6-функции ра-
вен а (Г). Поэтому последнее соотношение можно запи-
сать в виде
а(Р)= J k(G^-u^\doM- ( G(M, P)f(M)dxM. (19)
S D
Здесь интегрирование производится по координатам точ-
ки М.
Для первой краевой задачи (qsl.ajsO)
_________________ G|$ = 0, и |$ = <р,
*) Здесь и в дальнейшем производная Д берется по направле-
нию внешней нормали к 3.
6*
163
и из формулы (19) получаем решение задачи (14) — (15)!
“(Р) = ~ S k(f (М) dzM. (20)
s s
Для второй краевой задачи (^ = 0, а2=1)
*11 =0, Jd = <р(М),
дп |s дп |s v v '
и из формулы (19) получаем решение задачи (14) —(15) * *):
и(Р) P)dnM- \G(M, P)f(M)di:M. (21)
S D
Для третьей краевой задачи (ах 0 и а2 0)
=_Д1д| <^| «1Ц| Ф(Л;)|
дп|з «г Is’ |s а2 “(s’1" а2 |$‘
В этом случае формула (19) дает
и (Р) = J G (М, Р) d<jM—^G(M,P)f (М) dzM. (22)
S D
Таким образом, исходная краевая задача (14) —(15) сво-
дится к задаче о нахождении функции Грина. О спосо-
бах нахождения функций Грина мы будем говорить позже.
2. Отметим некоторые свойства функций Грина.
Функции Грина обладают свойством симметрии, т. е.
G(M, P) = G(P, М).
Для доказательства этого применим вторую формулу
Грина к функциям G1 = G(M, и G2 = G (М, Р2), где
и Р2 — произвольные фиксированные точки области D.
Получим
$ {G.L [G2] - G2L [GJ} d^ = (Gx g - G2 g) doM.
D S
Левая часть равна
-\{G(M, Pi) 6 (M, Ps) - G (M, P2) fi (M, Px)} dtM =
° =G(Plr P2)-G(P2, PJ.
*) Следует отметить, что для второй краевой задачи так опре-
деленная функция Грина не всегда существует. См. замечание иа
стр. 157.
164
Следовательно,
G (Л, Р8) - G (Р2, Л) = р(gx § - G2 §) <foM.
s
Интеграл в правой части равен нулю. Действительно,
если мы имеем дело с первой (или второй) краевой зада-
чей, то это следует из граничных условий для Gx и
G2 ^G|s = 0 или — oj- Если мы имеем дело с третьей
„ „ dGi dGo
краевой задачей, то, выражая и ~ из краевых усло-
вий через Gx и G2 и подставляя эти значения в подын-
тегральное выражение, получим
(gA^-G,^ = -^ад+^GjGjsO.
\ 1 дп 2 dnjs «2
Таким образом, G(Pi, P2) = G(P2, PJ.
3. Теперь займемся изучением особенности функции
Грина в точке Р. При этом мы ограничимся случаем,
когда Р[и]==Ди. Для этого случая функция Грина имеет
в точке Р особенность вида *) -т--— для трехмерного про-
4ПГМР
1 1 / 1 \ 1
странства, к- In— для плоскости, --------—я-для/п-мер-
2я Ы $ггмр2
ного пространства (S1 — площадь единичной сферы).
Исходя из структуры уравнения ДС =— & (М, Р), ко-
торому удовлетворяет функция Грина, можно ожидать,
что функцию Грина можно представить в виде
С(М, Р) = Ф(гмр) + у(М, Р),
где v гармонична в D (как функция точки М), а функ-
ция ф (гМР) имеет особенность в точке Р, т. е. при Гмр — О,
и должна удовлетворять уравнению Дф =— б(Л4, Р).
Рассмотрим для определенности трехмерный случай.
Обозначим через шаровую область с центром в точке Р
радиуса R, ограниченную поверхностью S£. Проинтегри-
руем тождество
Дф = — 6 (М, Р)
по области Dp^DpezD). Получим J Дфйтд{ =—1. По
*) Это верно и для операторов вида L [u] == bu-\-qu, где q =
= const.
165
формуле Остроградского интеграл в левой части равен
d^M = daM.
J дп * Д аг т
г>р Ър
Таким образом,
------1.
На сфере S* функция имеет постоянное значение,
поэтому
зН-Л !•
Отсюда ф(2?) = 1/(4лР). Таким образом, функция Грина
G(M, Р) имеет вид
G(M. P) = ^—+v(M, Р)
*лгмр
(23)
и, следовательно, имеет в точке Р особенность вида
1/(4лгМР).
Для плоскости G(M, Р) имеет вид
G (М, Р) = i In М-)+v (М, Р). (24)
Мы не будем повторять соответствующие выкладки. Функ-
ция v(M, Р) определяется как решение задачи
До = 0, («iw + “2^-)s =
д(1/гмр)\ _L
дп /s 4л •
Она единственна для первой (и третьей) краевой задачи
(см. стр. 161).
Для внешних краевых задач функция Грина опреде-
ляется аналогично. Она также обладает свойством сим-
метрии и для L[u]=Au-\-qu имеет те же особенности.
Из определения функции Грина как решения уравне-
ния Дб =— 6(2И, Р) и формул (23) и (24) следует, что
Д
'-M = —4nfi(M, Р)
/ мр/
(25)
166
для техмерного пространства и
Д {In —\ = — 2лб (М, Р) (26)
\ rMPj
для двумерного пространства.
4. Пользуясь формулой (23), нетрудно дать физиче-
скую интерпретацию функций Грина для оператора Д«.
Мы это сделаем для первой краевой задачи.
Пусть поверхность S, ограничивающая область D,
сделана из проводника и заземлена. Поместим в точке Р
внутри D электрический заряд величины 1/(4л). Этот
заряд индуцирует некоторое распределение зарядов на
поверхности 5. Потенциал электростатического поля в
области D будет равен сумме:
1) потенциала поля, созданного точечным зарядом; он
равен 1/(4лгЛ1Р), и
2) потенциала поля, созданного индуцированными заря-
дами; он равен v(M, Р). Эта сумма и равна G(M, Р).
Таким образом, G (М, Р) можно интерпретировать как
потенциал поля, созданного точечным зарядом, помещен-
ным внутри заземленной замкнутой проводящей поверх-
ности. При такой интерпретации свойство симметрии
функции Грина выражает принцип взаимности точки
заряда и точки наблюдения.
Замечание. Определенная таким образом функция
Грина не всегда существует. Так, функция Грина второй
внутренней краевой задачи для оператора Лапласа L [и] н=
= Дп не существует, поскольку не существует соответ-
ствующей функции v (М)(б = -^—|- v\, гармонической в
D, непрерывной в D вместе с частными производными
первого порядка и удовлетворяющей условию
дп |s- 4л дп
ибо не выполняется необходимое условие $ <р do = 0. В этом
s
случае функцию Грина можно определить как решение
краевой задачи
де—км.Р),
где So —площадь поверхности S. Такая функция суще-
ствует и определяется с точностью до аддитивной посто-
янной.
167
Пользуясь формулой (19), находим решение и(Р) вто-
рой краевой задачи (14)—(15):
u(P) = \k(M)G(M, P)<p(M)doM-
s
- G(M, P)f(M)dtM-^-do,
J J ‘-’o
D S
ИЛИ
и (P) = \k (M) G (M,P) <P (M) doM — \G(M,P)f (M) dTM+C,
S D
где
C = const (c = — k (M) douj.
s
§ 3. Построение функций Грина. Интеграл
Пуассона
1. Одним из методов построения функций Грина
является метод отражения. Мы поясним его на при-
мерах.
Пример 1. Построить функцию Грина первой краевой задачи
для полупространства, ограниченного плоскостью Q (без ограничения
общности ее можно считать совпадающей с координатной плоскостью
г=0).
Пусть Р—особая точка функции Грина. Поскольку
<?(М,Р)=4±_+щ
задача сводится к отысканию функции о, гармонической в рассматри-
ваемом полупространстве (например, г>0) и равной —l/(4nr^pj
на его границе. Такой функцией, очевидно, является функция
о=— 1/(4лггде Рг—точка, симметричная точке Р относительно
плоскости Q. Действительно, функция — 1/(4лг^р ) гармонична в
полупространстве г>0 и равна 1/(4лгЛ1р) в точках М eQ, ибо для
таких точек • Таким образом, искомой функцией Грина
будет функция
G(M, P)=-r-l------------•
4лгмр 4nrMPt
Такой способ построения функции Грина для полу-
пространства, ограниченного плоскостью, подсказывается
приведенной в § 2 физической интерпретацией -функции
Грина. В самом деле, если мы поместим в симметричных
точках Р и Р1 точечные заряды .величины 1/(4л) и — 1/(4л),
168
то потенциал электростатического поля, созданного этими
зарядами, будет функцией, гармонической всюду, кроме
точек Р и Pi, и равен нулю
на плоскости Q. <?
Аналогично для полуплос- $
кости, ограниченной прямой I, Д £
функция Грина имеет вид х.
б(М, Р)= ----------
= ‘2гГ1ПТ”-----
2л гмр 2л гмр
где точка Pi симметрична точ-
ке Р относительно прямой I.
Рис 18
Пример 2. Построить функ-
цию Грина первой краевой задачи
для прямого угла D на плоскости, ограниченного прямолинейными
лучами II и
Пусть Р—особая точка функции Грина. Симметричных ей отно-
сительно границ точек будет две: Рг и Ра (рис. 18).
Пусть Р3—точка, симметричная точкам Рг и Ра относительно
продолжения сторон угла. Тогда функцией Грина будет следующая
функция:
G(M, Р) =
^л гмр гмр, 2,1 гмр, 2л гмр, ’
Действительно, здесь функция v равна
д In-----------Д— In---------д— In -------.
2л rMPi 2л rMPs 2л гМРг
Она гармонична в прямом угле D (как функция точки Af) и равна
— 1 , 1 „
-=—1п----- на его сторонах. Последнее следует из того, что если
2л г^р
Af eZi, то гмр=гМР1, гМРа=гМРз- если М <= 4, то rMP=rMPit
rlHPt=rMP,-
Пример 3. Построить функцию Грина первой внутренней
краевой задачи для круга
G(M, Р)=2-1п -Д—Ь*.
• ляп
Задача сводится к построению функции v, гармонической в круге
Пусть Р—особая точка функции Грина. Обозначим через Pt
точку, симметричную точке Р относительно границы области (окруж-
ности С). (Точка Р} называется симметричной точке Р относительно
169
окружности С, если обе эти точки лежат на одном луче, выходящем
из центра круга, и произведение их расстояний р1 и р от центра
Рис. 19.
равно квадрату радиуса, т. е.
РР1=/?а). Если точка М лежит
на окружности С, то, как вид-
но из рис. 19,
р
гМР1=~^гмР, (27)
так как треугольники OMPt
и ОМР подобны. Поэтому
функция
1 1 R
v=— о- In-------
2л pr MPt
и будет искомой. Следователь-
но, функция Грина первой внутренней краевой задачи для круга
имеет вид
1 j 1 р
G(M, Р)=2~1п------. (28)
2л гмр 2л Pr MPt
Пример 4. Решить первую внутреннюю краевую задачу для
уравнения Лапласа Ди=0 в круге.
Искомое решение дается формулой
И(Р)=— ? (p(S)^£ds,
(29)
получающейся из формулы (20) при f (Af) s0. В рассматриваемом
случае функция Грина С определяется формулой (28).
Вычислим ;
дп
dG —dG . .
_ = c°s(„, г)=
=i-7^cos("’ '•лпО-гл f£;cos(w- rMPt).
Из треугольников ОМР и OMPt (рис. 19) находим
v *a+^p-P2
C0S («’ ГЛ1Р)=-2^---
cos (я, rMPi) =
^+r2MP1-Pl
MPt
поэтому
dG | _ 1 Z^ + ^p-P2 ^a+r2HP1-P?\
дп |c 2л \ 2/?Гд|р 2/?r^{p^ J
Заменяя г MP по формуле (27), а р! по формуле р1=Ра/р, получим
dG I 1 /?а—(Я
дп |с“ 2л/? ’
170
Из д ОРМ находим г‘^р = /?2-|-р2—2/?pcos(6—ф), поэтому
dG I _J_____________R*—(P________
дп |с ~ 2nR 7?2+р2 — 2Rpcos(e — ф) ’
Подставляя это значение в формулу (29), получим интеграл Пуассона
2П
о
(7?2—р2) <р (е)
/?а_|_р2_ 27?pcos(6— -ф) ’
(30)
где р, -ф—полярные координаты точки Р, R, 6—полярные коорди-
наты точки М на С.
2. Функцию Грина первой краевой задачи для урав-
нения Лапласа на плоскости иногда можно построить
с помощью конформных отображений. Пусть требуется
построить функцию Грина краевой задачи
&u = f(M), M<=D, (31)
«|s = <p(Af), (32)
где D — односвязная область, ограниченная кривой S.
Область D плоскости (х, у) можно конформно отобра-
зить на единичный круг | w | sg 1. Пусть функция w = ¥ (г, t)
осуществляет это отображение и точка z = t переходит
при этом в центр круга w = 0, т. е. УР(/, /) = 0.
Тогда функцией Грина краевой задачи (31)—(32) будет
функция
GW. (33)
в которой z = x + iy, t=5 + ЙЬ х, у — координаты точки
М, I, т] — координаты точки Р.
В самом деле, поскольку функция w = W (z, t) осу-
ществляет конформное отображение области D, то она
аналитическая в области D и W (z, t) Ф 0 при z Ф t, а
Ф 0 всюду в D, включая точку г = t. Следовательно,
z = t является нулем первого порядка функции ¥ (z, t).
Поэтому справедливо представление
V(z, t) = (z-t)F(z, t), (34)
где F (г, ^ — аналитическая в области D функция пере-
менной z и F (t, t) -ф 0. Функция In F (z, t) = In ] F (z, t) | -f-
4-iargF также аналитическая в области D.
Ее вещественная часть In | F (z, t) | — гармоническая
в области D функция.
171
Следовательно, функция
1 1 1
2л 1П |F(z, <)|
также гармоническая в D.
Пользуясь формулой (34), находим
1 1 1 1,1,1. 1
2л*П|¥(г, 0| 2л |Z—< | + 2л 1П |F(z, 01 ’
или
1 1„ 1 1.1,1, 1
2л ln IV (г, 01 “ 2л ,П ГМР + 2л n|F(z, 0Г
Поскольку
Д (in—V —2л6(2И, Р)
\ ГМР /
и | F (z^ 01—гармоническая в области D функция,
то для М е D и Р eD
Д {гл 1п 1^(2, о} = — 6Р)- (35)
Поскольку при отображении &у = Ч,(г, t) граница области
D, т. е. кривая S, переходит в границу круга |ta|sgl,
то | ¥ (г, t) |s = 1 и, следовательно,
{йя 1п|¥(г, 0|Ь=0-
Это равенство вместе с- формулой (35) и означает,
что функция Грина задачи (31)—(32) определяется фор-
мулой (33). Непрерывность функции ~ In j-у । всюду
в замкнутой области D, кроме точки М = Р, есть след-
ствие непрерывности отображения ш = Ч'(г,/) вО и нера-
венства W (г, t)^0 при z^=t.
Пример 5. Построить функцию Грина первой краевой задачи
для уравнения
Ди=) (Л0
в полосе —со<х<со, 0<у<л плоскости (х, у).
Функция
ег_ et
w— ——^•=ЧГ(г, 0
ег — &
осуществляет конформное отображение этой полосы на круг | w | < 1
и точку г = / переводит в центр круга щ=0.
172
Поскольку
I ег — е< I =е<х+В)/2 у2 {ch (х — g) — cos (у — т)>} */2,
| ег - j | =е«х+6)/2 У 2 {ch <х - g) - cos (у + т])}1/2.
то функция Грина имеет вид
G (М, Р) = ^- In - In +
7 2л |¥(z, i)| 4л ch(x —g) — cos
3. Можно также указать способ построения функций
Грина для одномерных задач вида
— {&(х)/}-<7(х)# = /(х), 0=Сх=С/, (36)
«14/' (0)-₽1^(0) = 0, а2у' (Z) 4-Pat/(Z) = 0, (37)
где/г(х)>0, <7(х)5=0, <%!, а2, ₽!, ₽2^0 HaJ + pj^O,
+ Pi У0. Сначала сформулируем
Определение. Функцией Грина G(х, з) краевой
задачи
L[y] =ic[k(x)y’]-q(x)y= — f(x)*),
оцУ (0) - Р^ (0) = 0, а2/ (/) + р^ (/) = 0
называется решение краевой задачи
Lly] = ~ 6(x-s),
а#’ (0) - рд£/ (0) = 0, ощ’ (/) + р^ (/) = 0,
непрерывное На отрезке [0, /].
Докажем некоторые свойства функции Грина G(x, s).
1) Функция Грина обладает свойством симметрии, т. е.
G(x, s) = G(s, х).
Доказательство. Применим формулу Грина для
одномерного случая (гл. VI, § 1) к функциям о = С2=
= G(x, Sj) и и = G2 = G (х, s2). Получим
i
J {G (х, s2)6(x — s1) — G(х, Si)6 (х — s2)} dx =
о
os»
По свойству 6-функции интеграл в левой части ра-
венства (38) равен G(su s2) — G(s2, sr), в то время как
*) Функция k (х) предполагается непрерывной на отрезке [0, I]
вместе с производной k' (х), a q (х) непрерывна на [0, Ц.
173
правая часть равна нулю. Для первой и второй краевых
задач это прямо следует из обращения в нуль функций
dGi dGo >
Gx и G2 или и-. на концах промежутка (при х = 0
At At '
и х = 1). Для третьей краевой задачи выражаем значения
dGi dG%
производных -™- и на концах промежутка через
~ С/А С/А “
Gj и G2:
и подставляем эти значения в правую часть равенства (38),
получим
- & G (/, S1) G (/, s2) + Ь G (/, s,) G (/, S1) +
«2 ^2
+ fe G (0, S1) G (0, s2) - J G (0, s2) G (0, sj = 0.
Таким образом, действительно
G(s2, s1) = G(s1, s2).
2) Частная производная функции Грина Gx (х, s) имеет
разрыв первого рода при x = s со скачком, равным —l/k(s),
tn. е.
Gx (s+0, s) - Gx(s - 0, s) =—\/k (s). (39)
Для доказательства этого проинтегрируем тождество
L[G] = -6(x-s)
по переменной х от s —е до s + е, где е>0. Йолучим
s+e s+e
J L[G]dx= § {^[A(x)Gx(x, s)]-q(x)G(x, s)}dx=—1,
s—e s—e
ИЛИ
k (x) Gx (x, s)il±| — J q(x)G(x, s)dx = — 1.
s —e
Переходя в этом равенстве к пределу при е-*-0, получим
Gx(s + 0, s)-Gx(s-O, =
s-f-e
поскольку lim 5 q (x) G (x, s) dx = 0.
e->0 s—e
174
Теорема 3. Существует единственная функция
Грина.
Предварительно докажем две леммы.
Лемма 1. Существует решение yt (х) уравнения
£ [у] = 0, удовлетворяющее краевому условию cqt/' (0)
-0tf(O) = O.
Доказательство. Известно, что существует реше-
ние задачи Коши для уравнения L [у] = 0 с любыми
начальными значениями у (0) = у0, if (0) = г/д *). В част-
ности, следовательно, существует решение с такими на-
чальными значениями у (0) и у' (0), которые связаны
соотношением а# (0) — (0) = 0. Лемма доказана.
Лемма 2. Всякие два решения г/Дх) и У1(х) уравне-
ния L [г/] = 0, удовлетворяющие одному 'и тому же краевому
условию, отличаются друг от друга лишь постоянным
множителем, т. е. У1(х) = С1у1(х).
Доказательство. Функции у^(х) и уДх) являются
решениями линейного уравнения второго порядка L[y] =
= 0 и удовлетворяют условиям
aij4(0)-₽il/i(0) = 0,
(40)
«1 t/I (0) — Pit/i (0) = 0.
Эти соотношения можно рассматривать как систему урав-
нений для и 01Ф Поскольку хотя бы одно из чисел at
и ₽г не равно нулю, определитель системы (40) равен
нулю:
u,(0) = |?I(0) f1(0)| = 0.
1 7 М (0) й(0) I
Этот определитель является значением определителя Врон-
ского при х = 0 для решений уг(х) и ^(х). Известно*),
что определитель Вронского, составленный из решений
одного и того же линейного однородного уравнения, либо
тождественно равен нулю, либо нигде не обращается
в нуль. Так как в нашем случае ш(0) = 0, то определи-
тель Вронского для уг (х) и (х) тождественно равен
нулю. Отсюда *) следует линейная зависимость решений
йМ и &(х), т. е. У!(х) = Су1(х).
*) См. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений,
изд. 8-е, Фнзматгиз, 1959,
175
Перейдем к доказательству теоремы. Мы будем пред-
полагать, что Х = 0 не является собственным значением
краевой задачи
+ =
«1/ (0) - (0) = 0, а# (/) + р21/ (!) = 0. W
Пусть уг (х) — решение уравнения £[г/] = 0, удовлетво-
ряющее краевому условию аху' (0) — Р (0) = 0. По лемме 1
такое решение существует. Всякое другое решение, удо-
влетворяющее тому же краевому условию, по лемме 2
имеет вид С1у1(х). По этим же соображениям существует
решение у2 (х) уравнения L [у] = 0, удовлетворяющее крае-
вому условию ct2y' (/) -j- р2у (/) = 0. Всякое решение урав-
нения L [у] = 0, удовлетворяющее тому же краевому усло-
вию, имеет вид С2у2(х).
Функции «л(х) и у2(х) линейно независимы. Если бы
это было не так, мы имели бы ya(x) = Cyi(x). Но тогда
функция у2(х) была бы решением уравнения jL[i/J = O,
удовлетворяющим обоим краевым условиям. Следова-
тельно, Х, = 0 было бы собственным значением краевой
задачи (#), что противоречит исходному предположению.
Выбирая констднты Сг и С2 надлежащим образом, мы
построим из функций Ciyt(x) и С2</2(х) функцию Грина.
Положим
„ . ( С1У1 (х), x^s,
G(x, «)={/ (41)
( С2у2(х), x^ss.
Из свойства непрерывности функции Грина при x = s
находим
C1«/1(s) = C2f/2(s),
откуда
Ct __ с2___q
Следовательно, Ci = Cy2 (s), C2 = Cy1(s). Коэффициент С
определяем из условия (39), которому должна удовлетво-
рять функция Грина:
С [г/i (s) у2 (s) - у2 (s) у\ (s)] = —i/k (s). (42)
Выражение в квадратных скобках есть вронскиан
решений У1(х) и у2(х), равный D/k(s) (О = const). По-
скольку функции уг (х) и у2 (х) определяются с точностью
до постоянных множителей, то их можно выбрать так,
чтобы вронскиан решений «/x(s) и y2(s) был равен —\[k (s),
176
т. е. считать D =—1. Тогда соотношение (42) прини-
мает вид
— С _ —1
k (s) k (s)
Отсюда C = l. Таким образом, функция Грина имеет вид
x==gs,
x>~s.
(43)
Из формул (43) и (39) непосредственно следует, что
Gx(x, x — 0) — Gx(x, x-f-O) =—1/Л(х). (44)
4. Теперь докажем две теоремы Гильберта
1-я теорема Гильберта. Какова бы ни была
интегрируемая функция f(x), решение у(х) краевой задачи
L[y} = -f(x), (45)
“У (0) - ₽1У (0) = 0, a2i/' (/) + ₽2{/ (/) = 0 (46)
представляется формулой
y(x) = \G(x, £)/®dg. (47)
о
Доказательство. Применим формулу Грина для
одномерного случая (§ 1) к функциям и = у (х) и v =
= G(x, s). Получим
${G(x, S)Lh/]-i/(x)L[G]}dr =
о
= &(x)[G(x, s)y'(x)-y(x)Gx(x, s)]',
или
I I
— J G (x, s) f (x) dx + \y(x) 8 (x — s) dx —
о 0
= k (x) [G (x, s) y' (x) - у (x) Gx (x, s)]'.
Из краевых условий (46) для у(х) и G(x, s) (см. опре-
деление) следует, что левая часть этого равенства равна
нулю. Следовательно,
i
jG(x, s)f(x)dx = y(s).
о
177
Изменяя обозначения переменной интегрирования и поль-
зуясь симметрией функции Грина, получим объявленную
в теореме формулу.
2-я теорема Гильберта. Какова бы ни была
непрерывная функция (х), функция
у(х) = \с(х, (48)
о
является решением краевой задачи (45) — (46) с функцией
/(х)=А(х’) 6 правой части уравнения (45).
Доказательство. Очевидно, функция у(х) непре-
рывна на отрезке [О, I] и
i
y'(x) = \Gx(x,l)f1(l)dl. (49)
о
Следовательно,
i
ad/ (0) - рху (0) = $ « (0, g) - ₽XG (0, g)} А (g) dl = 0,
о
так как по определению функции Грина подынтегральное
выражение тождественно равно нулю. Аналогично,
«#(0 + ₽2//(0 = 0. (50)
Таким образом, функция у(х) удовлетворяет краевым
условиям (46). Вычислим L[y], Имеем
i i
L [у] - $ L [G] К (g) dl = - J 6 (х - g) A (g) dl == - A (x).
о 0
Таким образом, y(x) удовлетворяет уравнению (45). Тео-
рема доказана.
5. Мы рассмотрели случай, когда Х = 0 не является
собственным значением краевой задачи (*).
Если Х = 0 является собственным значением краевой
задачи (#), то функцией Грина G(x, s) краевой задачи
L[y]= — f(x),
«14/'(0)-₽1«/(0) = 0, а# (04-Рг!/(0 = 0
назовем решение краевой задачи
£ Ы = — 8 (х - s) 4-Ф0 (х) Фо (s),
аУ (0) - (0) = 0, щу' (/) 4- ₽2у (Z) = 0,
непрерывное на отрезке [0, I] и ортогональное собствен-
на
ной функции Ф0(х), соответствующей собственному зна-
чению Х, = 0, т. е. такое, что
i
5 фо (х) О (х, s) dx = 0.
о
Соответствующие свойства функции Грина в этом слу-
чае доказываются аналогично.
ЗАДАЧИ
1. Построить функцию Грина первой внешней краевой задачи:
а) для круга, б) для шара (L [uj = Au).
2. Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи
для кругового сектора OsSrpsg (£ (u] = Au).
3. Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи:
а) для шарового слоя R^-r^-R^; б) для кольца Rl^r^R2-
4. 'Построить функцию Грина первой внутренней краевой задачи
для плоского слоя 0 А (£ [и] Ди)
5. Пользуясь принципом максимума и минимума для гармони-
ческих функций, доказать, что функция Грина первой краевой задачи
для области D положительна в D (£ [и] Ди).
6. Доказать, что линии (поверхности) уровня функции Грина
задачи 5 суть замкнутые линии, охватывающие особую точку и не
пересекающие друг друга.
7. Пользуясь интегралом Пуассона, доказать теоремы:
а) Всякая гармоническая функция, положительная во всей плос-
кости, есть постоянная.
б) Теорема Гарнака. Пусть {и,(х, у)}, (=1, 2, ...,—
гармонические функции в конечной области D, ограниченной конту-
ром Г, и непрерывные в D. Тогда, если ряд У ut(x, у) равномерно
i = i
сходится на контуре Г, то он равномерно сходится в D и его сумма
есть гармоническая функция в D.
Дополнение к главам VI и VII
О МЕТОДЕ ФУНКЦИЙ ГРИНА РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ЗАДАЧИ
КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Мы достаточно подробно рассмотрели применение метода функ-
ций Грина к решению задач для уравнений параболического и эллип-
тического типа.
Можно определить понятие функций Грина краевых задач и
задачи Кошн также для уравнений гиперболического типа и показать
применимость метода функций Грина к решению этих задач. Однако
в применении к уравнениям гиперболического типа этот метод не
является столь же эффективным и удобным, как для уравнений
параболического и эллиптического типа. Поэтому мы ограничимся
здесь рассмотрением применения этого метода к решению задачи
Коши для одномерного волнового уравнения.
179
Определение Функцией Грина G (х, /) задачи Коши для
волнового уравнения а2ихх=и^ назовем решение задачи Коши
a2Gxx=Gtl, G(x, 0)=0, Gt(x, O) = d(x).
Нетрудно установить непосредственной проверкой, что
G(x, 0=^Ь](*+«0— п(*—“01.
fl, z>0,
где т] (z) = < —единичная функция. В самом деле (см. Допол-
10, z <С 0
некие, п. 1),
Gx(x, t)=~[8(x+at)—8(x—at)],
Gxx(x, t)=^[6' (x+ai) — 6' (x—at)J,
Gt(x, <)=^-[6(л:+«/)+б(л:-в/)],
Gtt (x, 0=y [^' (*+«0—(*—«01.
Следовательно,
&Gxx{x, t)s=Gtt(x, t),
G(*, °)=^h(*)-’i(*)l=o,
Gt(x, 0)=-|[6(х)+6(х)] = 6(х).
Решение задачи Коши
а2охх=Он, o(x, 0)=0, Vf(x, 0)=ip(x)
будет представляться в виде свертки
v(x, t) = G(x, f)*i|>(x). (1)
Действительно, вычисляя производные свертки (см. Дополнение, п 1),
получим
vxx=Gxx*q, olt=Glt*ip.
Следовательно,
a2vxx—v(t (^Gxx—Gtt) &1|>эз0*4е=0,
v(x, Q)=G(x, 0)*i|)(x)=0*i|)(x)=0,
v( (x, O)=Gj (x, 0) *i|) (x)=6 (x) *i|) (x)=i|) (x).
Свертку G * i|) можно также записать в виде
v(x, 0= J GQ, J
— co — at
180
произведя в последнем интеграле замену переменной интегрирования
по формуле х—£=г, получим
x+at
и(х’ 5 A|>(z)dz. (2)
x—at
Заметим, что в формуле (1), а следовательно и в формуле (2), функ-
ция ф(х) может быть любой интегрируемой (н даже любой обобщен-
ной!) функцией
Если 7?(х, /) есть решение задачи Коши
&Rxx = Rtt> R(*. 0)=0, Rt(x, О) = ф(х),
то функция w(x, R(x, 0 есть решение задачи Коши
a2wxx=wtt, w(x, 0) = <p(x), wt(x, 0)=0.
Действительно, дифференцируя тождество
a‘Rxx = Rtt
по t, получим a2 (Rt)xx = (Ri)tt< т- е.
= wtt.
Далее,
w(x, O)=Rt(x, 0)=<p(x),
Wt(x, O) = Rtt(x, 0) = Gff(x, 0)*<p(x)=0*<p(x)=0.
Если функция <р (г) непрерывна, то w (х, /) можно записать в виде
/ x+at \
, „ г, . ,, dll С . <р(х—о/)4-ф(х-4-оЛ
w(x, f)=Rt(x, 0=^^ J Ф(2)М = —---------------- 2 ,
( x—at J
т. е.
w(x, t)
Решением произвольной задачи Коши
агихх—и(1, и(х, 0)=<p(x), ut (х, О)=ф(х),
где <р(х)—непрерывная функция, а ф (х) — интегрируемая (в частности,
кусочно-непрерывная), будет сумма
u=v-j-w=G(x, ()*ф(х)+С/(х, <)*<р(х),
или
x+at
. <р(х—a/)+q>(x4-a/) , 1 С , , . ,
и(х, 0 = 3^----- +2а J Ф(гМг- (3)
x—at
Таким образом, решение в этом случае также записывается по
формуле Даламбера. При этом производные от него трактуются как
производные обобщенных функций, совпадающие с обычными произ-
водными там, где эти последние существуют.
Заметим, что формула (3) дает решение задачи Коши и для про-
извольных обобщенных начальных функций <р (х) и ф (х).
Глава VIII
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
Существуют разнообразные методы доказательства
единственности решения краевых задач. Обычно поль-
зуются разными методами доказательства единственности
для уравнений гиперболического, параболического и
эллиптического типов. В настоящей главе приводятся
доказательства, основанные (для всех трех типов урав-
нений) на первой формуле Грина:
5Ф11[Фа]^ =
D
= -\k (?Ф1, ?Фа) di - J du + J АФХ da.
D D S
§ 1. Единственность решения краевых задач
для уравнений гиперболического типа
1. Рассматриваются краевые задачи вида
div(AVu) — qu + f(М, t) = puu, (1)
(т1^ + Таи)5 = Н(Л!, t), (2)
и(М, 0) = <р(Л1), щ(М, 0) = <р1(Л1) (3)
для области B = {MeD; где D — конечная об-
ласть, ограниченная поверхностью S.
Функции k(M), q(M) и р(Л1) непрерывна в области
D, k(M) имеет непрерывные в D частные производные
первого порядка по координатам точки М, и
k = k(M)>0, q(M)^0, р(М)>0 в D;
для всякой точки М е S.
182
Теорема единственности. Решение краевой за-
дачи (1) —(3), непрерывное в замкнутой области В вместе
с частными производными первого порядка по переменной t
и по координатам точки М, единственно.
Доказательство. Пусть щ.(М, t) и и2(М, <) —Два
решения, удовлетворяющие условиям теоремы. Покажем,
что Ui(M, t) = u2(M, t) в области В.
Для доказательства воспользуемся первой формулой
Грина.
D
= _ VOa)dt- J J ЛФг5г<йг
D D S
для функций Ф1 = Ц = М1 — U2 И Ф2 = Ц/.
Получим
5 vtL [i>] dx = — \k (Vi>, Vvt) dx - J qvvt dx+^kvtfn da.
D D D S
(4)
Функция ц = м1 —м2, очевидно, является решением задачи
L[v] = pptt, (5)
(ti^ + T2»)s = 0> (6)
v(M, 0) = 0, vt(M, 0) = 0. (7)
Так как L[v] = pvtt, то из формулы (4) получим
( pvtvtidx = — k(?v, Vvt)dx — qvvtdx-\- kv^da,
о d d s
или
D
= - J J q^(v*)dx+2 $ kvt^da. (8)
DOS
Так как для первой краевой задачи i»/|s = 0, а для
163
второй краевой задачи g^|^=0, то для первой и второй
краевых задач формула (8) имеет вид
J Р^-(^)^т = — J A^-(Vr)2dT- J q^-dx. (9)
D D D
tt - - ЙО I Та I
Для третьей краевой задачи |s = ~' т и |s ’ ПОЭТОМУ из
формулы (8) получим
J Р^(»?)^ =
= 0°)
D D S
Интегрируя тождества (9) и (10) по переменной t на
промежутке [0, 7] и пользуясь тождествами v(M, 0) = 0,
Vn|,_o = O, vt(M, 0) = 0, получим соответственно
J pvt (М, T)di = —\k (Vr)2 - J qv2 (Af, T) dx (11)
D "D D
И
J pv2t {M, T)dt= W \t_rdT -
D D
- J qv2 (M, T) di- jj v? (M, T) do. (12)
D S
Так как левые части в формулах (11) и (12) неотрица-
тельны, а правые положительны, то каждый интеграл
равен нулю. Следовательно, в случае первой и второй
краевых задач для произвольного значения Т>0и лю-
бой точки М е D
рц?(М, 7) = 0, Vo|/_r=0, (/ц2(Л1, 7) = 0. (13)
Если </7^0, то отсюда следует, что v(M, t)=0. Если
<7 = 0, то v(M, t) = const. В силу свойства непрерывно-
сти функции v(M, t), пользуясь начальными условиями
(7), получаем v(M, t)^0. В случае третьей краевой
задачи кроме равенств (13) получим также v(M, Т)|$ = 0.
Следовательно, как и в рассмотренном случае, получим
v(M, /) = 0. Теорема доказана.
184
2. Замечание. Часто единственность решения крае-
вых задач для уравнений гиперболического типа доказы-
вают, пользуясь интегралом энергии колебаний, отвечаю-
щих соответствующей однородной задаче. Именно, рас-
сматривают функцию времени
£(0 = 4 J + +
D
где v = иг — и2. Непосредственным вычислением, с исполь-
зованием уравнения для v и формулы Остроградского,
доказывают, что Е' (t) н= 0. Отсюда следует, что Е (t) =
= const = Е (0). Так как Е (0) = 0, то Е (0 s 0, откуда
и следует, что v = u1 — и2 = 6.
§ 2. О единственности решения задачи Коши
для волнового уравнения
Мы отмечали в § 5 гл. III, что если существует решение
задачи Коши для одномерного однородного волнового урав-
нения с?ихх — ии, непрерывное вместе с частной производ-
ной первого порядка ut в замкнутой области Вг = {—оо <;
<х<оо, /Э=0}, то оно представляется формулой Далам-
бера. Аналогично, в § 11 гл. III было показано, что если
существует решение задачи Коши для трехмерного (дву-
мерного) однородного волнового уравнения а2Дп = ий,
непрерывное вместе с частной производной первого по-
рядка и} в замкнутой области В3 == {At, t 0} (At —любая
точка трехмерного (двумерного) пространства), то оно
представляется формулой Пуассона (или ее двумерным
аналогом). Из этих фактов непосредственно следуют тео-
ремы единственности.
Теорема 1. Решение задачи Коши для одномерного
волнового уравнения
a2uxx+f(x, t) = utt,
и(х, 0) = <р(х). ut(x, 0) = ф(х),
непрерывное вместе с частной производной первого порядка
ut в замкнутой области Bt = {— оо < х < оо, t 0}, един-
ственно.
В самом деле, пусть щ.(х, t) и и2(х, t) — два решения
задачи, удовлетворяющие условиям теоремы. Тогда их
185
разность v (х, t) = tii (х, t) — и2 (х, I) является решением
задачи Коши для однородного волнового уравнения
c»(x, 0) = 0, vt(x, 0)=0,
непрерывным вместе с частной производной vt в замкну-
той области Вх. Согласно § 5 гл. III функция и(х, t)
выражается формулой Даламбера, которая дает, очевидно,
о(х, 0)е=0.
Теорема 2. Решение задачи Коши для трехмерного
(двумерного) волнового уравнения
a2 hu-\-f(M, f) = utt,
и(М, 0) = <р(Л1), ut(M, О)=ф(Л1),
непрерывное вместе с частной производной первого порядка
ut в замкнутой области 53={Л1, (М —любая
точка трехмерного (двумерного) пространства), един-
ственно.
Доказательство этой теоремы совершенно аналогично
доказательству-теоремы 1, только вместо формулы Далам-
бера надо пользоваться формулой Пуассона.
§ 3. Единственность решения краевых задач
для уравнений параболического типа
Рассматриваются краевые задачи вида £[м] + /(Л1, t) = put, (yi^+V2«)s = H(A1, t), и(М, 0)=<р(Л1) (14) (15) (16)
для области В = {М sD; £^0} при тех же предположе-
ниях относительно области D и функций k(M), q(M),
р(М), У1(М), Уг(М), что и в § 1.
Теорема единственности. Решение краевой
задачи (14) —(16), непрерывное в замкнутой области В
вместе с частными производными первого порядка по коор-
динатам точки М и частной производной первого порядка
по переменной t, единственно.
Доказательство. Пусть и^М, t) и и2(М, t)— два
решения, удовлетворяющие условиям теоремы, и v = — и2.
Покажем, что v(M, t)s=0 в области В. Для этого при-
186
меним первую формулу Грина для функций Фг = v и Ф2 = v.
Получим
vL [о] dx = — A(Vo)2 dr — qv* dx + kv do. (17)
D d d s
Функция v, очевидно, является решением однородной
задачи L[v] = pvt, (18)
v(M, 0) = 0. (20)
Так как L [о] = pvt, то из формулы (17) получим
pvvt dx = — k (Vo)2 dx — qv* dx + kv da. (21)
D D D S
Для первой и второй краевых задач формула (21) имеет
pvvt dx = — (Vo)2 dx — qv* dx (22)
D D D
ИЛИ p , c -
J Pdf (°2) ~ — 2 \ ^v)* dx — 2 \ qv*dx. (23)
D D D
Для третьей краевой задачи из формулы (21), используя
краевые условия (19), получаем
р ~ (о2) dx = — 2 k (Vo)2 dx — 2 qv* dx — 2 ~v* da.
d d d s
(24)
Интегрируя тождества (23) и (24) по переменной t на
промежутке [0. Г] и пользуясь тождеством o(Af, 0)=0,
получим соответственно
т т
$ ро2(Л4, T)dx = — 2j \k(Vv)*dxdt-2 j J qv*(M, T)dxdt
D 0 D 0 D
(25)
и
Г r
J pv2 (Af, T) dx = — 2 J J k (Vo)2 dx dt — 2 J J qv* dt dx —
D 0 D 0 D
T
-2 Ц №v*dadt. (26)
187
Так как правые части в формулах (25) и (26) неположи-
тельны, а левые части неотрицательны, то
J рг2(Л1, T)dr = 0.
D
Отсюда следует, что v (М, Т) = 0 для произвольного
7’>0. Теорема доказана.
Замечание. Требование непрерывности решения в
замкнутой области В существенно, так как при невыпол-
нении его единственности нет. Действительно, если мы
прибавим к решению, например, первой краевой задачи
функцию й(Л1, t), тождественно равную С (С — const)
внутри области В и равную нулю на ее границе, то полу-
чим решение той же краевой задачи при любом значе-
нии С. Конечно, это замечание относится и к краевым
задачам для уравнений гиперболического типа.
В ряде случаев теорему единственности решения крае-
вой задачи для уравнений параболического типа можно
доказать в более слабых предположениях. Это можно
сделать, пользуясь, например, принципом максимума и
минимума для решений уравнения теплопроводности. Ему
посвящен следующий параграф.
§ 4. Принцип максимума и минимума для решений
уравнения теплопроводности
1. Пусть D — произвольная конечная область, огра-
ниченная поверхностью S, и Т — произвольное фиксиро-
Для решения уравнения
ванное положительное число.
Рассмотрим замкнутую об-
ласть Вг= {М D,
sg Т}. Это цилиндр с основа-
нием D и образующими,
параллельными оси t. Когда
D—двумерная (плоская) об-
ласть, Вг изображена на
рис. 20.
Для одномерной- области
D (отрезок [Q, /]) Вг — пря-
моугольник {о х sg I, о =g
теплопроводности
div(AV«) = pn/,
(27)
в котором k — k (М) >0 и р=р (/И) > 0, справедлива
188
Теорема о максимуме и минимуме. Всякое
решение и_(М, t) уравнения (27), непрерывное в замкнутой
области В?, принимает наибольшее и наименьшее значе-
ния или на нижней границе области Вт (при t = 0), или
на боковой поверхности {Л'1еЗ,
Доказательство. Пусть и(М, t) — решение урав-
нения (27). Если и (М, t) = const, теорема очевидна. Поэтому
будем полагать, что и(М, const. Для определенности
будем доказывать теорему для наибольшего значения *).
Пусть иГ — наибольшее значение решения и(М, t) на
границе Г области Br, {Л1 е S, 0^/^Т} + {Л1 е
е/), = 0}, а ив — наибольшее значение его в области ВГ.
Требуется доказать, что иг = ив.
Очевидно, что ив^иг. Предположим, что ив>иГ.
Рассмотрим вспомогательную функцию v(M,t) = u (М, t) +
+ а (Т — 0, где число а>0 и а < (ив — иГ)/(2Т).
Функция v (М, t) непрерывна в области Вт. Следова-
тельно, она достигает в Вт наибольшего значения в неко-
торой точке (Mlf <i)eBr. Очевидно, v(Mit tj)^uB, так
как v(M, f)^>u(M, t) всюду в Вт.
Точка (М1г /J не может лежать на границе Г, Дей-
ствительно, для любой точки М е D и t = 0
v(M, 0) = и(М, 0)4-а7,<иг+у(ив —Мг)<«д
и для любой точки М еS и
v (Л1, f) иг-|-а (Т — t) МгЧ- ctTUr-|--2‘(wB — Up) <Z.uB.
Таким образом, для любой точки (Л4, t) е Г v (М, f)
^ив, в то время как v(Mlt ti)^uB.
Итак, точка (Afx, 4) принадлежит открытой области Вт
и поэтому в ней функция и(М, t) должна удовлетворять
уравнению (27). Однако поскольку
VB = Vu и Vi>|M=:M1 = 0, а Ап|м=м,«£0,
то
div (k Vu)|m=m, = div (k =
= {(VA, Vn) + &An} |m=m,sS0.
*) Доказательство теоремы для наименьшего значения сводится
К рассматриваемому случаю заменой и (Л4, f) на — и (Л4, /).
189
С другой стороны,
ut(Mlt tjj — Vf(Mj, ^)4-а>0, ибо vt(Mu t^^O.
Таким образом, во внутренней точке (Ми области Вт
функция и(М, I) не удовлетворяет уравнению (27), что
противоречит условию теоремы. Следовательно, нельзя
полагать ив>и?, и поэтому ив = иг. Теорема доказана.
Ее часто называют принципом максимума и минимума.
2. Эта теорема является выражением того физически
очевидного факта, что тепло (или диффундирующее веще-
ство) перемещается лишь от мест с большей температурой
(концентрацией) к местам с меньшей температурой, т. е.
«растекается».
С заданием начальной температуры (концентрации
вещества) на границе £ = 0 области Вт с момента £ = 0
начнется процесс «растекания» тепла (вещества) во внут-
ренние точки области. Очевидно, в силу отмеченного выше
факта, при этом температура во внутренних точках не
может стать выше температуры на границе t = 0. То же
можно сказать и о случае, когда задается температура
на границе {Af е S, 0<^<7’}.
3. Следствие 1. Если решения уравнения
div(AV«)+f(Al, t) = put (28)
иг{М, t) и и2(М, t), непрерывные в области B = [MgD,
t 5г 0}, на границе области Г = {Л1 е S, t 5г 0} + {Л1 е D,
£ = 0} удовлетворяют неравенству иг{М, f^u^M, t), то
и всюду в В выполняется неравенство иг(М, f)^u2(M, t).
Действительно, функция и(М, t) = u2(M, t) — Ui(M, t)
является решением уравнения (27), непрерывна в В и на
Г положительна. Следовательно, для любого Т>0 наи-
большее и наименьшее значения функции и(М, t) в обла-
сти ВТ положительны. Поэтому всюду в области ВТ
и(М, 0>0. Ввиду произвольности числа Т неравенство
и(М, t)>0 справедливо всюду в области В.
Следствие 2 (теорема о непрерывной зависимости
решения первой краевой задачи от краевых и "начальных
значений). Если в краевых задачах
div (Л Vu)+f(M, t) — put,
«|$=Ф1(Л1, t), и(М, 0) = ц>1(М)
и
div (k Vu)+f (М, t) = put,
«1$=Ф2(Л1, 0> «(Л1, °) = Ч’а(л^)
190
для функций <Pi, <р2, ф,, ф2 выполняются неравенства
IФ1 (Л4) - <р2 (М) | е
во всех точках области D, ограниченной поверхностью S,
и
l4i(M, /)-ф2(М, 01^е
для всех М е S и t^O, то для непрерывных в области В
решений Щ^М, t) и и2(М, /) этих задач выполняется
всюду в В неравенство
[ (Л4, t) — и2(М, Z)|sge.
Это непосредственно вытекает из следствия 1.
4. Очевидно, из принципа максимума и минимума сле-
дует единственность решения первой краевой задачи для
уравнения (28), непрерывного в области В.
§ 5. Единственность решения задачи Коши
для уравнения теплопроводности
1. Здесь мы будем рассматривать простейшее уравне-
ние теплопроводности (одномерное или многомерное с чис-
лом измерений по пространственным переменным т)
а2Дм4-/(А4, t) = ut. (29)
Теорема единственности. Решение задачи Коши
для уравнения (29) с начальными значениями и (М, 0) =
= <р(Л4), непрерывное и ограниченное в замкнутой области
Вт = {—оо-схц х2, .... хт<оо; /^0}, единственно.
Здесь (*!, х2, ..., хт) — координаты точки М простран-
ства т измерений.
Проведем подробное доказательство для одномерного
случая. Пусть и^х, t) и -м2(х, t)—два решения задачи.
По условию теоремы существует такое число N, что
| «1 (х, t)\^N и | иг (х,Р) |agN всюду в области
£! = {—оо<х<оо; /ЭгО}.
Рассмотрим функцию v (х, t) = иг (х, tj — u^ (х, t). Эта функ-
ция является решением задачи Коши
a2vxx = vt, (30)
v(x, 0) = 0, (31)
непрерывным в В1, и |v(x, t) | 2N всюду в В1, Введем
191
в рассмотрение область В£ = {|х| sS.fi; /Э=0} и вспомо-
гательную функцию
47V /х2 .
W = W\2+at)-
Очевидно, w(x, t) является решением уравнения (30),
непрерывным в области В}?. Кроме того, на границах
области В« выполняется неравенство | v (х, t).
Действительно,
|и(х, 0)| = 0^^хг = и)(х, 0),
|v(±fi, t)\^2N^(^ + a4) = w(±R, t).
Таким образом, к функциям v(x, t) и w(x, t) в области
B# применимо следствие 1 теоремы о максимуме н мини-
муме (§ 4). Согласно этому следствию | v (х, t) | w (х, t)
всюду в области В«.
Рассмотрим теперь произвольную точку (Хх, 4) обла-
сти В1. При любом достаточно большом значении fi эта
точка принадлежит области В%. Следовательно,
4)1^ яЦу+^1)-
Взяв произвольное число е>0 и достаточно большое
fi, мы будем иметь
I v (хь tj | sC < е.
Следовательно, и(хх, 4) = 0- Ввиду произвольности точки
(*ъ ti) равенство и(х, t) = 0, т. е. и^х, t) = 'u2(x, t),
выполняется всюду в В1. Теорема доказана.
2. В случае пространства произвольного числа изме-
рений т вместо Bj? надо взять области В« = {м е D#;
/5=0}, где Ох? —шаровая (замкнутая) область радиуса fi
с центром в начале координат.
Вспомогательную функцию надо взять равной
0=^(£+«2*),
где г —расстояние точки М от начала координат. Далее
все рассуждения в доказательстве повторяются почти
дословно *).
*) Читателю рекомендуется провести доказательство самостоя-
тельно.
192
Замечание. Требование ограниченности решения
в области не является необходимым для единственности.
В-значительно более слабых ограничениях на рост реше-
ния теорема единственности была доказана А. Н. Тихо-
новым *).
§ 6. Единственность решения краевых задач
для уравнений эллиптического типа
1. Будем рассматривать сначала лишь внутренние
краевые задачи для конечных областей. Они состоят, как
известно, в нахождении функции и(М), удовлетворяющей
уравнению L эд _ div (k Viz) - qu (M) (32)
в области D, ограниченной поверхностью S, и краевому
условию / ди V
(Ti^+T2«)s = 4(M)
(33)
на поверхности S.
Функции k(M), q(M), к (Л1) и ?2(Af) удовлетворяют
таким же условиям, как и в §§ 1 и 2:
Т1(М)^0, ?2(М)^0
на- S и (у|+у|)$ Ф 0. Поверхность S предполагаем кусочно-
гладкой. В этих условиях справедлива
Теорема 1. Решение первой и третьей внутренних
краевых задач (32) —(33) единственно в классе функций
и (М), непрерывных в D вместе с частными производными
первого порядка по координатам точки М.
Доказательство. Пусть iz^Af) и iz2(Af) —два ре-
шения задачи (32) —(33). Покажем, что их разность
v (М) = иг (М) — и2 (М) равна нулю. Для этого применим
первую формулу Грина'к функциям (Af) = v (Af) = Ф2 (Af).
Получим
vL[v]dv =— A(Vy, Vv)dT— qv2dr + kv^da. (34)
D D D S
Поскольку функция c»(Af) является решением однород-
ной краевой задачи
L[u] = 0, (35)
(ti^+T2»)s=0, (36)
*) См. Тихонов А. Н., Матем. сб. 42, №2 (1935), стр. 199—216.
7 В. я. Арсенин 193
то из формулы (34) получаем
&(Vt>)adT4- qv2dx — kvda = 0.
d d s
Для первой краевой задачи (yt = 0, у2=1) интеграл по
поверхности <$ равен нулю и, следовательно,
k(Vv)2 t/r+J <7иМт = 0.
D D
Отсюда следует равенство нулю каждой из подынтеграль-
ных функций, т. е.
/e(Vw)2 = O, <7»2 = О.
Если q Ф 0, то v (М) = 0 в области D. Если q (М) == О,
то из равенства нулю градиента, Vu = 0, в области D
следует, что v (М) = const. А так как решение v (Л1) не-
прерывно в замкнутой области D и ц|5 = 0, то всюду
в D
п(Л1) = 0.
Для третьей краевой задачи из (34) и (36) получаем
&(Vn)2dT-t- gv2dr4- ~ kv2da = 0.
d d s
Следовательно, каждый интеграл равен нулю. Отсюда и
следует, что v (Л1) = 0 в D. Теорема доказана.
Замечание. В § 1 гл. VII единственность решения
первой краевой задачи для уравнения Лапласа была
доказана в более слабых предположениях: требовалась
непрерывность решения в замкнутой области D, но не
требовалась непрерывность его частных производных пер-
вого порядка в замкнутой области.
2. Для второй краевой задачи справедлива
Теорема 2. Любые два решения иг(М) и и2(М) вто-
рой внутренней краевой задачи, непрерывные в Ь вместе
с частными производными первого порядка по координатам
точки М, могут отличаться лишь на аддитивную постоян-
ную, т. е.
«1(Л1) — u2 (Al) == const.
194
Доказательство. Как н при доказательстве пре-
дыдущей теоремы, для функции v = иг (Л1) — и2 (М) получим
J k(Vv)2 qv2dx — j
d d s
kv^-do — O
дп
Поскольку ^|s=0> то
§ k (Vn)2 dx+J qv2 dx = 0.
D D
Из этого соотношения следует:
k (Vu)2 = 0 и gv2 s=e 0 всюду в D.
Если q ф 0, то v (М) ^0, и теорема доказана. Если q (Л1)
= 0, то Vn = 0 и, следовательно, w(7H)= const. Теорема
доказана.
3. Для единственности решения внешних краевых
задач от рассматриваемых решений надо требовать выпол-
нения некоторых условий на бесконечности.
В самом деле, если для уравнений Дм = 0 искать реше-
ние первой внешней краевой задачи вне круга радиуса^,
т. е. в области г >7?, с краевым условием и\г-л = С, где
С — постоянная, то решениями будут функции «i (М) = С,
«2 (М) = С — и и3 (М) = Л«1 + Ви2, где А и В — произволь-
ные постоянные такие, что Л4~В=1.
Приведем одну из теорем единственности решений
внешних краевых задач.
Функцию f(M), определенную в области Dlt внешней
к замкнутой поверхности S, будем называть регулярной
на бесконечности, если при стремлении точки М к беско-
нечности сама она равномерно стремится к нулю, как
А1гмме, а ее частные производные первого порядка стре-
мятся к нулю, как В/г5им„. Здесь гЛ/л/0 —расстояние от
точки М jip некоторой фиксированной точки Л10. Для
трехмерного пространства справедлива
Теорема 3. Решение внешней краевой задачи
div (kVu) = f(M),
(b^n + w]s = <P(M),
непрерывное в замкнутой области вместе с частными
производными первого порядка и регулярное на бесконеч-
ности, единственно.
7*
195
Доказательство. Пусть иг (М) и u2 (М) — два ре-
шения задачи и о (Л1) = «j (М) — иг(М).
Из некоторой точки Мо, лежащей внутри поверхно-
сти S, как из центра опишем сферу Sr настолько боль-
шого радиуса R, чтобы Sr целиком
лежала в области Dlr Пусть Dr — об-
ласть, ограниченная поверхностями
S п Sr (рис. 21).
Применим первую формулу Гри-
на для функций Фх (Л4) = v (Л1) и
Ф2 (Л1) — v (М) в. области Dr. Полу-
чим (при д(Л4) = О)
odiv(feVu)dT =—k(Vv)2dr-{-
dr dr
+ kv^-dc-\- kv^-da. (37)
j дп 1 j дп 4 '
Sr s
Функция о (TH) является решением задачи
div (fc Vo) = О (в DJ, (38)
(ti£+w)s=O. (39)
Поэтому из (37) получаем
A(Vo)2dr — kv^da— Av^d<j = 0.
Dr s Sr
Для первой и второй краевых задач интеграл по S равен
нулю, поэтому
J Л (Vo)2 dr = J kvfnda. (40)
Dr Sr
Для третьей краевой задачи, пользуясь краевыми усло-
виями (39), выражаем через o|s. Получим
£(Vo)2dT-(-£^o2dcr= kv^dc. (41)
Dr S Sr
Формулы (40) и (41) справедливы для любых доста-
точно больших значений R. Поэтому в них можно перейти -
к пределу при /?—>оо. Оценим интеграл по SR. В силу
196
регулярности функции v и ограниченности k (М) (k (М) N)
имеем
f kv^da ^N\АВ\_^=Н\АВ\^.
J on L'mm, к
SR SR
Переходя в формулах (40) и (41) к пределу при /?->оо
и учитывая оценку для интеграла по Sr, получим
$Л(?ц)Мт=0, (42)
Di
k (Vu)a dr 4- k~ & da = 0. (43)
Di s
Из (42) следует, что v = const. А так как ц(Л4)-»-0 при
Л1 -> оо, то v (М) = 0 в Dx. Из (43) следует, что v (М) =
= const в Г\ и v |s — 0. Из непрерывности v(M) в Dt
следует, что ц(Л1)==0 в Du Теорема доказана.
4. Заметим, что решение второй краевой задачи также
единственно, поскольку в этом случае фиксируется зна-
чение решения на бесконечности (равное нулю).
Свойство регулярности решения на бесконечности по-
надобилось нам для оценки интеграла по вспомогательной
поверхности Sr.
Замечание. Для двумерного случая требование ре-
гулярности решения на бесконечности слишком сильно.,
так как решения, удовлетворяющего ему, может и не
существовать. В двумерных задачах достаточно потребо-
вать, чтобы искомое решение было ограниченным на бес-
конечности, а частные производные первого порядка рав-
номерно стремились к нулю, как В!г2мм0-
Глава IX
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе мы изложим некоторые начальные све-
дения о линейных интегральных уравнениях второго рода.
Для простоты записи мы всюду, кроме § 1, будем рас-
сматривать одномерный случай. Все результаты верны и
для многомерного.
§ 1. Классификация линейных интегральных уравнений
Уравнения вида
<р(М)-Х\К(М, P)4>(P)drP = f(M),
D
где <р (Р) — искомая функция,, f(M) н К (М, Р) — известные
функции, D — фиксированная область, к—числовой пара-
метр, называются интегральными уравнениями Фредгольма
второго рода. Если f (М) = 0, уравнение называется одно-
родным, в противном случае — неоднородным.
Уравнения вида
Ф(Л1)-Х J К(М, P)q>(P) dxp = f(M),
D (М)
где D (М) — переменная область, зависящая от точки М,
называются интегральными уравнениями Вольтерра вто-
рого рода. Например, в одномерном случае
< р (х) — К J К (х, s) <р (s) ds=f (х)
а
есть уравнение Вольтерра второго рода.
Если = уравнение называется однородном,
в противном случае — неоднородным.
198
Уравнения вида
$ К(М, P)<jp(P)dTP=f(M),
D
где D — фиксированная область, называются интеграль-
ными уравнениями Фредгольма первого рода.
Уравнения вида
J К(М, P)^(P)drP=f(M)
D (М)
называются интегральными уравнениями Вольтерра пер-
вого рода. Функция К(М, Р) называется ядром интеграль-
ного уравнения.
Замечание. Уравнения Вольтерра являются частным
видом уравнений Фредгольма. Так, если в одномерном
случае положить
„ . . ( 0, x<s<b,
Ki(x, s) = <
( л (х, s), a<Zs^x,
то уравнение Вольтерра
< р(х) — 7^К(х, s)<р(s)ds=f(х)
а
можно записать как уравнение Фредгольма с ядром Kjjx, s):
ь
< р (х) — К \Ki (х, s) <р (s) ds=f(x).
а
Ядра Ki (х, s) указанного вида иногда называют ядрами
Вольтерра.
§ 2. Интегральные уравнения с вырожденными ядрами
Ядро К (х, s) называется вырожденным, если оио имеет вид
п
К(х, s)=^ia,(x)bl(s), (1)
t=i
где а/ (х) — линейно независимые функции.
Решение уравнения Фредгольма второго рода с вырож-
денным ядром сводится к решению системы линейных
алгебраических уравнений. В самом деле, подставляя в
уравнение ъ
<Р (х) = X (х, s) <р (s) ds+f (х) (2)
а
199
ядро (1), получим
+ (3)
«= 1
ь
где С, = J bi (s) <p (s) ds — неизвестные числа.
а
Таким образом, решение уравнения (2) с вырожденным
ядром надо искать в виде (3). Подставляя эту функцию
в уравнение (2) и сравнивая коэффициенты при одних и
тех же функциях О/(х) справа н слева, получим систему
линейных алгебраических уравнений относительно С(:
п
Ci^kX + ₽• 0=1.2.л), (4)
/=1
где
ь ь
ah = ^cii (s) bj (s) ds, ₽f = J f (s) bt (s) ds.
a a
Решив эту систему, мы найдем Ct, а следовательно, н
решение уравнения (2) ф(х).
§ 3. Существование решений
1. Если ядро вырожденное, то вопрос о существовании
решения интегрального уравнения Фредгольма сводится
к вопросу о существовании решения соответствующей
системы алгебраических уравнений (4). В более общем
случае мы докажем существование решения уравнения (2)
(при достаточно малых значениях |Х|) методом после-
довательных приближений.
Для простоты выкладок будем предполагать, что: 1) ядро
К(х, s) непрерывно в квадрате а^х, s^jr, тогда оно
ограничено некоторой константой А, | К| А; 2) функция
f(x) непрерывна . на отрезке [а, 6], следовательно, она
ограничена на этом отрезке некоторой константой В,
Построим последовательность функций Фх(х), <ра(х), ...
..., <р„ (х), ... по следующему правилу:
ь
<Pi (х) = f (х) + $ К (х, s) <ро (s) ds, (5)
а
где ф0 (s) —произвольная фиксированная интегрируемая
200
функция,
b
Фг (x) = f (x) + A J К (x, s) <Pi (s) ds, (6)
a
b
фп (x) — f (x) + X J к (x, s) <p„_! (s) ds, (7)
a
Теорема 1. При значениях 1^! < 4(/_0) последова-
тельность (5)—(7) функций ф„(х) равномерно сходится
на отрезке [а, Ь] к функции <р (х), являющейся решением
уравнения (2).
Доказательство. Преобразуем формулы для полу-
чения функций ф„(х). Подставляя функцию фх(х) в фор-
мулу ДЛЯ ф2 (х), получим
Фг(х)=/(х) + ЦК(х, s)f(s)c?s+
а
Ь Ь
+ X2 J К (х, s) J К (s, t) фо (/) dt ds.
а а
Меняя в последнем слагаемом порядок интегрирования,
получим
ь ь
ф2 (х) = / (х) + Ц /С1 (х, s) f (s) ds + X2 J K2 (X, 0 фо (0 dt,
а а
где
Ki (х, s) = К (х, s),
ь
К2 (х, 0 = J Ki (х, s) Ki (s, 0 ds.
а
Аналогично находим
ь ь
Фп (х) = f (х) + X $ Ki (X, s) f (s) ds+X2 J Ki (x, s) f (s) ds +...
a a
b b
...+X" 1 $ Kn-x (x, 8) f (s) ds+X" $ Kn (X, t) Фо (0 dt,
a a
201
a
где Kn(x, f) = $ Ki(x, s)Kn-i(s, t) ds. Предел функции <pn(x),
ь
если он существует, равен сумме ряда
ь
4>(x)=f(x)4-AjK1(x, s)f(s)ds + ...
a
b
...+Kl\Kn(x,s)f(s)ds + ... (8)
a
и функции
b
ф (x) = lim X" J Kn (x, t) ф0 (0 dt.
n->-co a
Функции Kn (x, s) называются итерированными ядрами.
Докажем равномерную сходимость этого ряда. Для
этого оценим интегралы
ь
$ Кп (х, s) f (s) ds.
а
Очевидно,
ь
IКг (х, 01$ | Kt (х, s)Kt {s, t)\ds^ A2 (b — a),
a
b
|K3(X, 0|«s£ J|/G(x, s)K2(s, t) \ds^A3(b — a)2,
a
b
I Kn (X, t) I JI Kt {X, s) Kn-t is, t)\ds^ A" (b - a)"-1,
a
поэтому
\Kn(x, s)f(s)ds
a
b
^An(b- a)"’1 J | f (s) | ds AnB (b - a)n.
a
Следовательно, числовой ряд
У BAn\K\n(b-a)n (9)
n=l
является мажорантным для ряда (8). Если I < д ,
то ряд (9) сходится. Следовательно, при таких X ряд (8),
а вместе с ним и последовательность функций фп(х),
202
равномерно сходится к функции <р (х) *). Эта функция явля-
ется решением уравнения (2). В самом деле, переходя
в формуле (7) к пределу при п->со, получим
ъ
Ф(х)е=Ц/((х, s)<p(s)ifc+f(x).
а
Переход к пределу под знаком интеграла здесь законен,
так как последовательность сходится равномерно.
Заметим, что предел lim фп(х) = ф(х) не зависит от
п->со
выбора функции ф0($) (нулевого приближения). Из этого
легко следует единственность решения уравнения (2).
В самом деле, если существует еще одно решение ф(х)
уравнения (2), то, полагая в процедуре построения функ-
ций (5)—(7) ф0(х)=ф(х), получим
Ф1(х) = ф(х), <р2(х) = ф(х), ..., ф„(х) = ф(х), ...
Эта последовательность имеет пределом функцию ф(х).
Но вместе, с тем очевидно, что
lim Ф„(х)=^(х).
и-* со
Таким образом,
Ф(х) = ф(х).
2. Поскольку ряд (8) сходится при —г, то
Л (О а)
со
при таких же X сходится и ряд Лл|Х|я~1(6 — а)"-1. Но
со
этот ряд является мажорантным для ряда ХЯ-1К„ (х, s).
л=1
со
Следовательно, ряд У (х, s) сходится равномерно.
1
Поэтому ряд (8) можно записать в виде
Ь ( оэ \
Ф (X) = f W + Ь $ £ (х, S) / (s) ds
а чг — 1 *
ИЛИ
Ъ
ф (х) =f(x) + A$/?(x, s, K)f(s)ds, (ГО)
а
') Так как ifsO.
203
где функция R (х, s, Л) = У1 Xя 1Кп(х, s) называется резоль-
вентой уравнения (2).
Таким образом, если нам известна резольвента уравне-
ния (2), то по формуле (10) мы получим его рещение.
Мы определили резольвенту лишь для малых значений |Л|.
Однако ее можно определить на любой конечной области
комплексной плоскости переменной X путем аналитического
продолжения (кроме, может быть, конечного числа особых
точек этой области). Если это сделано, то по формуле (10)
мы получим решение уравнения (2) для любых значений X,
кроме упомянутых особых точек. Мы не будем подробно
на этом останавливаться *).
3. Если мы применим описанную выше процедуру к
уравнению Вольтерра
Ф (х) = Х $ К (х, s) ф (s) Л + 7(х) (a^x^b), (11)
то получим последовательность функций
Ф1 (х) = / (х) + Л J К (х, s) ф0 (s) ds,
а
X
Фг W = f W + $ К (х, s) Ф1 (S) ds,
4>п (х) = f (х) + X J К (х, 8) ф„_! (s) ds,
Эта последовательность равномерно сходится на [а, Ь]
при любых значениях параметра X. В самом
деле, очевидно, справедливы неравенства
1 Ч>1 W1 17 WI + |Ь 151 К(Х, 8) 11 Фо(8) I dsm
В +1X | АВ0 (х — а),
♦) См. Мих ли и С. Г., Интегральные уравнения и их прило-
жения к некоторым проблемам механики, математической физики и
техники, ч. I, гл. I, Гостехиздат, 1949.
204
где | ф0 (s) | «S Bo,
I Фа W1 =s£ 1 f W1 +1 15 । K s) 11Ф1 (s) Ids
a
^В + |Х|Л J{B + |X| ЛВ0(8-й)}й =
a
= В + |Х|ЛВ(х-а) + |Л|МгВ01£^г!-
Вообще,
|ф„(х)|^В + |Л| AB(x-a) + ...
• • • +1 1 Ап~ЧЗ +1X I" АпВ0 .
СО
2(Х___________а\п
В11 |п /г к равномерно сходится
П=1
на отрезке [а, Ь] и его частичные суммы являются мажо-
рантными для функций ф„ (х), то последовательность {ф„ (х)}
также сходится равномерно; ф(х)= lim ф„(х), очевидно,
п->со
является решением уравнения (11), и притом единственным.
§ 4. Понятие о приближенных методах решения
интегральных уравнений Фредгольма второго рода
Описанный в § 3 метод последовательных приближений
построения решения может служить приближенным мето-
дом решения интегральных уравнений Фредгольма второго
рода. В качестве приближенного решения надо брать
функции ф„(х), определяемые формулами (5)—(7).
Второй метод нахождения приближенного решения
интегральных уравнений состоит в том, что ядро уравне-
ния К. (х, ,s) аппроксимируют с надлежащей точностью
вырожденным ядром
К(х, $)= У ai(x)bt(s).
t=i
Решение уравнения с ядром К (х, s) и будет приближен-
ным решением исходного уравнения *).
Третий метод, его называют методом сеток, состо-
ит в следующем.
*) Михл ии С. Г., Лекции по линейным интегральным урав-
нениям, Физматгиз, 1959.
205
Отрезки [а, b] изменения переменных х и s разбивают
на п одинаковых частей точками деления х„ s} Интеграл
ь
J К (х, s) q> (s) ds в интегральном уравнении заменяют интег-
а
ральной суммой.
Получают соотношение
п
Ф (*) Ь У К (X, Sj) фу bs, +f(x).
/=1
Полагая здесь х равным х, (г= 1,2...и), рассмотрим
систему уравнений
Ф,- = Х У К,уф7(i=l,2.............и), (12)
/=1
где
ф, = ф(Х.), Ку = К(Х„ Sy), f.-=f(X,), bs^S^-Sj.
Решая эту систему относительно ф„ получим значения
приближенного решения в узловых точках. Мы не будем
останавливаться на подробном изложении этих и других
методов приближенного решения, отсылая читателя к спе-
циальной литературе *).
Особого рассмотрения требуют приближенные методы
решения интегральных уравнений первого рода. Это сде-
лано в гл. XII.
§ 5. Теоремы Фредгольма
В этом параграфе мы будем рассматривать лишь инте-
гральные уравнения Фредгольма второго рода
ь
Ф (х) — X $ К (х, s) ф (s) ds = f (х). (13)
а
1. Однородное уравнение
6
Ф (х) = X J К (х, s) ф (s)ds (14)
а
при любых значениях параметра X, очевидно, имеет три-
*) Канторович Л В и Крылов В И, Приближенные
методы высшего анализа, изд 5 е, гл II, Физматгиз, 1962.
206
виальное решение ф(х) = 0. Однако при некоторых зна-
чениях X оно может иметь и нетривиальные решения.
Определение. Значения параметра X, при которых
уравнение (14) имеет нетривиальные решения (т. е. не рав-
ные тождественно нулю), называются собственными зна-
чениями (с. з.) уравнения (14) (ядра КДх, s)), а соответ-
ствующие им решения ф (х) — собственными функциями
(с. ф.) уравнения (ядра).
Справедлива следующая
Теорема 1. Если в уравнении (13) X не равно соб-
ственному значению соответствующего однородного урав-
нения (14), то уравнение (13) может иметь лишь един-
ственное решение.
Доказательство. Пусть Ф1(х) и ф2(х) —два ре-
шения уравнения (13). Тогда справедливы тождества
*
Ф1 (х) — X J К (х, s) (s) ds =f(x),
а
b
Фг (х) — X J К (х, s) ф2 (s) ds = f (х),
а
откуда
6
(Ф1 — Фг) — Ц # (х, s) (ф! — ф2) ds ав 0.
а
Следовательно, разность ф (х) = фх (х) — ф2 (х) является ре-
шением однородного уравнения. Поскольку X не является
собственным значением, то ф (х) = фх (х) — ф2 (х) ss 0. Тео-
рема доказана.
2. Для дальнейшего напомним некоторые теоремы
о системах линейных алгебраических уравнений.
Теорема А. Для того чтобы однородная система
уравнений
^\al]xJ = Q (< = 1,2.....п) (15)
/=1
имела лишь тривиальное решение (т. е. решение, состоя-
щее только из нулей), необходимо и достаточно, чтобы
определитель этой системы был отличным от нуля.
Теорема Б. Если определитель однородной системы
(15) равен нулю, то эта система имеет р = п —г линейно
независимых решений, где г —ранг матрицы системы.
207
Теорема В. Если однородная система уравнений (15)
имеет лишь тривиальное решение, то соответствующая
ей неоднородная система уравнений
'^1aljxj = bl (t=l,2....п) (16)
;=1
имеет единственное решение при любых значениях правых
частей Ь,.
Матрица В, полученная из матрицы А = {atJ} системы
(16) путем присоединения к ней столбца элементов, стоя-
щих в правых частях этой системы, называется расши-
ренной матрицей системы (16).
Теорема Г. Для того чтобы система (16) была раз-
решима, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширен-
ной матрицы В системы (16) был равен рангу матрицы А
этой системы.
3. Как указывалось в § 4, приближенное решение
уравнения (13) можно получить, заменяя это уравнение
соответствующей системой линейных алгебраических урав-
нений
4>т — У Kjnffj &Sj=fm (т =г-1, 2......п) (17)
/=1
и решая затем эту систему.
Таким же путем известные теоремы о системах линей-
ных алгебраических уравнений переносятся на интеграль-
ные уравнения Фредгольма второго рода. Для интеграль-
ных уравнений эти теоремы называются теоремами Фред-
гольма. Ниже мы укажем один из способов получения
теорем Фредгольма, не вдаваясь в подробные доказатель-
ства.
Функцию <р„(х), равную решению системы (17) в соот-
ветствующих узловых точках и линейную между ними,
будем называть полигональной функцией, соответствую-
щей решению системы (17). Справедлива
Теорема 2. Полигональная функция фп(х), соот-
ветствующая решению системы (17), равномерно стре-
мится при п-*-оо к решению интегрального уравнения (13).
Мы опускаем доказательство этой теоремы. Теперь
опишем способ получения теорем Фредгольма.
Пусть X не является собственным значением ядра
К(х, s) Тогда однородное уравнение (14) имеет лишь
тривиальное решение. Поэтому, имея в виду теорему А
208
п. 2, можно утверждать, что соответствующая система
алгебраических уравнений, которой заменяется интеграль-
ное уравнение (14), т. е. система
т
— к У Kjm(pjkSj=0 (т = 1,2.........и),
1=1
имеет не равный нулю определитель. Следовательно,
система уравнений
п
— = (m=l,2......и),
z=l
которой заменяется неоднородное интегральное уравне-
ние (13), имеет единственное решение. Соответствующая
этому решению полигональная функция ф„(х) при п->оо,
по теореме 3, равномерно стремится к решению уравне-
ния (13). Таким образом, справедлива
1-я теорема Фредгольма. Для всякрго К, не рав-
ного собственному значению, уравнение (13) имеет реше-
ние, и оно единственное.
Замечание. Поскольку определители системы (17)
и транспонированной системы
п
Фт ^т/Ф/ =fm (ni = 1> 2, ..., п)
7 = 1
совпадают, то для всякого X, не равного с. з. ядра К. (х, s),
сопряженное интегральное уравнение
ь
ф (х) — Л J К (s, х) ф (s) ds = f (х)
а
также имеет единственное решение
Теперь обратимся к рассмотрению случая, когда X
совпадает с одним из собственных значений. Справедлива
2-я теорема Фредгольма. Если X является соб-
ственным значением ядра К. (х, в), то как однородное инте-
гральное уравнение (14), так и сопряженное'ему уравне-
ние имеют конечное число линейно независимых решений.
Эта теорема следует из того, что однородная система
алгебраических уравнений, соответствующая уравнению
(14), имеет, согласно теореме Б, конечное число линейно
независимых решений.
3-я теорема Фредгольма. Пусть к является соб-
ственным значением ядра К.(х, s). Тогда, для того чтобы
209
уравнение (13) имело решение, необходимо и достаточно,
чтобы функция f(x) в правой части уравнения (13) была
ортогональной всем собственным функциям сопряженного
однородного уравнения, соответствующим этому собствен-
ному значению.
Необходимость условия доказывается просто. Действи-
тельно, если ф(х) есть решение уравнения (13), то спра-
ведливо тождество
ъ
Ф (х) — X jj К (х, s) ф (s) ds ==f (х).
а
Умножаем это тождество на собственную функцию ф(х)
сопряженного уравнения и результат интегрируем (по х)
по отрезку [а, Ь]. Получим
ь ь ъ ь
j f (х) ф (х) dx — J ф (х) ф (х) dx — X § ф (х) J К (х, s) ф (s) ds dx.
а а а а
Поскольку
ь ь ъ ь
X § ф (х) $ к (х, s) ф (s) dsdx— £ ф (s) X $ (х, s) ф (х) dx ds
а а а а
И
Ь
I. J К (х, s) ф (х) dx = ф (s),
а
ТО
Ь b b
(х) ф (х) dx = J ф (х) ф (х) dx — J ф (s) ф (s) ds — О,
а а а
И. Т. Д.
Доказательство достаточности более громоздко. Его
можно провести, например, сначала для соответствующей
системы алгебраических уравнений, а потом Предельным
переходом в полигональных функциях распространить
результат и на интегральное уравнение. Мы не будем
останавливаться на этом доказательстве *).
Пусть собственному значению X отвечает г линейно
независимых собственных функций. Тогда, очевидно, спра-
ведлива
*) См., например, Петровский И. Г., Лекции по теории
интегральных уравнений, изд. 3-е, «Наука», 1965.
210
Теорема 3. Если в уравнении (13) Z совпадает с одним
из собственных значений и выполняется условие существо-
вания решения уравнения (13) (т. е. f(x) ортогональна
соответствующим собственным функциям сопряженного
уравнения), то решением уравнения (13) будет всякая
функция
Г
<р (*) = Фо W + Qp9 (х),
<7 = 1
где ц0(х) —решение уравнения (13), (х) — собственные
функции ядра К (х, $), отвечающие собственному значе-
нию К, Сд — произвольные постоянные.
Замечание. В§ 4 было показано, что неоднород-
ное уравнение Вольтерра имеет единственное решение
при любых значениях параметра X. Следовательно, со-
гласно теорема^ Фредгольма, уравнение Вольтерра не
имеет собственных значений.
Глава X
СВЕДЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.
ПОТЕНЦИАЛЫ
В ряде случаев краевые задачи или задачи Коши для
дифференциальных уравнений можно свести к задачам
нахождения решений соответствующих интегральных урав-
нений. Возможность такой редукции нередко исполь-
зуется для нахождения приближенного численного реше-
ния задачи на электронных вычислительных машинах
(ЭВМ). В частности, такая редукция возможна для задачи
нахождения собственных значений и собственных функ-
ций краевой задачи.
Идея сведения краевых задач к интегральным уравне-
ниям состоит в том, что решение краевых задач ищется
в виде Некоторых интегралов специального вида, напри-
мер потенциалов с неизвестными плотностями распреде-
ления масс, зарядов и пр.
В этой главе мы рассмотрим простейшие свойства по-
тенциалов и применение их к решению краевых задач.
Сведение краевых задач на собственные функции к инте-
гральным уравнениям производится с помощью функций
Грина.
§ 1. Объемный потенциал
1. Потенциал электростатического поля .(в простран-
стве), созданного зарядом величины е, находящимся в точ-
ке Р, равен (в произвольной точке Л4)
u(M)=e/r^P,
где гМр — расстояние между точками М и Р.
Если в точках Plf Р2........ Рп находятся заряды
би е2, ..., е„, то потенциал электростатического поля,
212
(1)
созданного этими зарядами, равен
Ц(М)=-Л-+-^-+...+-А
rMP^ ТМР'
Пусть в области D распределены заряды с плотностью
р(Р). В малом объеме dtp, содержащем точку Р, заклю-
чен заряд величины p(P)drP. Потенциал поля, создан-
ного этим зарядом, приближенно равен
^тР.
'МР
Потенциал поля, созданного зарядами, содержащимися
в области D, равен
и (М) = ? dtp.
J ГМР
(2)
Интеграл (2) называется объемным потенциалом. Для дву-
мерного пространства (плоскости) объемный потенциал
имеет вид
и (М) =\р(Р) In f——dsP.
о VmpI
(3)
2. Таким образом, объемный потенциал представляется
несобственным интегралом. Рассмотрим несобственный
интеграл более общего вида:
и (М) = J f (М, Р) dtp, (4)
D
где /(Л1, Р) — непрерывная функция двух точек М и Р,
М^Р, обращающаяся в бесконечность при М = Р*).
Будем называть интеграл (4) .равномерно сходящимся
в окрестности точки Мо, если для любого е>0 сущест-
вует такое б, что: 1) для всякой области D6M, содержа-
щей точку Л10, с диаметром, меньшим б, d(£>5r.)<6; и
2) для веек точек М, отстоящих от точки Мо на расстоя-
нии, меньшем б, МЛ1О<6, выполняется неравенство
$ f(M, P)dxP <е.
Это понятие лежит в основе доказательства ряда свойств
*) О несобственных интегралах и признаках их сходимости см.,
например, См и р н о в В. И., Курс высшей математики, «Наука», 1967.
213
потенциалов. Основное свойство равномерно сходящегося
несобственного интеграла выражает
Теорема. Несобственный интеграл, равномерно схо-
дящийся в окрестности точки Мо, непрерывен в этой
точке.
Доказательство. Оценим разность
и(М)-и (Мо) = щ (М) - щ (Мо) + {«2 (М) — Щ (Мо)},
где
Ki(M)= jj f(M, P)drP, и2(М) = J f(M,P)dxP.
Поскольку интеграл (4) равномерно сходится в окрест-
ности точки Мо, то для произвольного е>0 найдется
такое б, что для области с d (D6M^ < б и для всех
точек М, отстоящих от Мо на расстоянии, меньшем б,
будут выполняться неравенства
I «1 (Af) | < е/3, | щ (Мо) | < е/3. (5)
Так как M0<£D — D6Mo, то функция и2(М) непрерывна
в точке Мо. Следовательно, для того же е найдется такое
6lt что для всех точек М, отстоящих от точки Мо на рас-
стоянии, меньшем бп выполняется неравенство
| иа (М) — и2 (Мо) | < е/3. (6)
Пусть 62 = min {б, 6t}. Тогда для всех точек М таких,
что ММ0<б2, выполняются неравенства (5) и (6), а сле-
довательно, и неравенство
|u(M)-u(M0)|<e.
Теорема доказана.
Заметим, что из равномерной сходимости несобствен-
ного интеграла следует его сходимость в точке Мо.
3. Рассмотрим простейшие свойства объемного потен-
циала с ограниченной плотностью р(Р), |p(P)|sgH.
Свойство 1. Объемный потенциал определен и не-
прерывен всюду.
Если точка Мо не принадлежит области D, интеграл
и(М0) не является несобственным. Поскольку подынтег-
ральная функция, как функция точки М, непрерывна
в точке Мо, то непрерывен в этой точке и интеграл и (М).
Если Л10ей, то, согласно теореме п. 2 и замечанию
в конце п. 2, достаточно доказать равномерную сходи-
214
мость интеграла в окрестности точки Л1о. Для этого оце-
ним интеграл
Очевидно,
где 7^ — шаровая область с центром в точке М. радиуса 26 *).
Переходя в последнем интеграле к сферическим коорди-
натам, получим
dx Я 2л
А у —— = А У У У г sine dr de гйр = 8Ллб2 (r — rMP).
т26 ООО
‘ м
Таким образом,
ГМР
<8Лл62. Чтобы этот ин-
теграл был меньше наперед заданного числа е, достаточно
взять б
Свойство 2. Объемный потенциал имеет всюду не-
прерывные частные производные первого порядка по коорди-
натам точки М.
Если Мо D, интеграл и (Мо) не является несобствен-
ным. Поскольку подынтегральная функция, как функция
точки М, имеет в точке Мо непрерывные частные произ-
водные первого порядка по координатам точки М, этим
свойством обладает и интеграл и (М), причем производные
вычисляются путем дифференцирования под знаком инте-
грала:
Ох J rMP °У J ГМР
D D
D
где |, т], £ — координаты точки Р.
Г) 6 г— Т2Ь
) иМ<, С,М'
215
Если MQ ^D, to нам достаточно доказать равномер-
ную сходимость в окрестности точки Мо интегралов от
производных в правых частях формул (7). Тогда законно
дифференцирование под знаком интеграла, причем для
производных и справедливы формулы (7)*). Для
определенности рассмотрим интеграл
(Е-х)р(Р)
МР
Очевидно,
С G-x)
^p(P)<hP
J ГМР
°6м.
(£—*) dTp
ГМР ГМР
1. Далее,
Чтобы выполнялось неравенство
26 п 2п
А § j* sin 6 dr d6 dtp = 8лЛ6.
ООО
J ГМР
°бм.
достаточно взять б<е/(8лЛ).
Свойство 3. Объемный потенциал является гармо-
нической функцией вне области D, в которой расположены
заряды (массы).
Это свойство следует из того, что для точек M^D
интеграл (2) не является несобственным, и поэтому опе-
ратор Лапласа можно вносить под знак интеграла:
Ди = Д / С dtP\ — С р (Р) Д f—М dxP=О,
\J гмр / J \ГМР/
'О ! D
так как для точек M<£D имеем Д(1/Оир)^0.
Если предполагать, что р(Р) непрерывна в D и имеет
ограниченные и интегрируемые частные производные пер-
др др др
вого порядка то справедливо
*) См. Фихтенгольц Г. М., Основы математического ана-
лиза, т. И, гл. XVIII, изд. 5-е, «Наука», 1968.
216
Свойство 4. В точках области D объемный потен-
циал удовлетворяет соотношению
&и = —4лр (М).
(8)
Доказательство. Вычисление вторых произвед-
ши Ши Ши , ,
ных -д^, д-j, путем дифференцирования правых частей
формул (7) под знаком интеграла здесь неприменимо, так
как мы получим при этом расходящиеся интегралы, на-
пример:
- с^-Л,+
J rMP J ГМР
D D
Для доказательства существования вторых произ-
водных поступим следующим образом. Пусть Мо <= О;
Тмь — шаровая область радиуса б с центром в точке Л40,
ограниченная сферической поверхностью причем
a D. Тогда для точек М области Тм„ можно написать
и(ЛГ) = и1(ТИ)+«2(Л1),
где
^Р.
ГМР
«1(Л1)= С и2(М) = С
J гмр J
•г^ Г) Т&
1 Мо D 1 Мо
Интеграл и2 (Л4) не является несобственным и по свой-
ству 3 представляет гармоническую в точке Мо функцию,
т. е. Ди2|м = мо = 0. Следовательно,
Д«|м=м0 = Лн1|м=м0.
Поэтому нам достаточно рассмотреть функцию щ(Л1).
Производную
ах J rMP J аХ\ГМР/
тО, то
1 Мо ' Мо
можно также записать следующим образом:
С?
dzp = •
гб
1 Мо
_
дх
Л10
Т°
1 Мо
217
Применяя ко второму интегралу формулу Остроград-
ского, получим
5р
^•= -^-dxp— ? cos a daP, (9)
дх J гмр О гмр k
то сО
1 ме
где а — угол между направлением внешней нормали к по-
верхности Хм» и осью х.
Первый интеграл правой части формулы (9) предста-
вляет собой объемный потенциал с плотностью зарядов
(масс) Pi(P) = ^ и поэтому, по свойству 2, имеет непре-
рывную производную первого порядка по х. Второй инте-
грал не является несобственным и поэтому имеет непре-
рывную производную первого порядка по х во всякой
внутренней точке М. области Т6М„. Следовательно, имеет
непрерывную в Тмс производную При этом
^«il С , f р(Р) ч ,
-д-Л = \ —;----------dtp— \ х0) cos а аор.
дх* |м = м0 3 г fa ' 1 г fa v= w
тм0
Но -—— = cosct, поэтому
ГМ„Р
d*U1 I С
дх* |м=м„- J г fa Гр
уО
р <Р> cos2 ct daP.
ГМеР
(Ю)
Аналогично находим
д*^
ду*
&<h I
дг* |m=m0
n О') Jfo) С р (Р) а о j
\ —8------'dtp- \ -^-cos2₽cfap,
V ГМ„Р rM0P
ТМ0 SMC
С K-Zo)aL
Т0
MQ
(11)
(12)
^~cos2y daР,
J М°Р
*М0
где Р и у —углы между нормалью к 5м0 и осям у и г
соответственно.
218
Складывая формулы (10), (11) и. (12), получим
др
Д«|л1=л10 = Ди1|л1 = л<0= \ -Д-cosadTp-b
7°
J Ado
др др
+ уД-cospdrp-b С -Д-cosydTp- (13)
j rM„P J ГМ„Р J гМаР
'гО «гО оО
мЛ ‘мс
Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве
свойства 2, найдем, что каждый из интегралов по обла-
сти Тм„ в формуле (13) не превосходит 4лВ6, где В —верх-
няя граница функций |^|, |^|, |^|, т. е.
(14)
ТМ<>
Применяя к последнему интегралу формулы (13) тео-
рему о среднем значении, получим
? <&Гр = 4лр (Р*),
J ГМаР
S9,
о
где Р* <= Зм0. Переходя в формуле (13) к пределу при
6->0 и учитывая неравенства (14) и формулу (15), получим
|м=м„ = — 4лр (Л40).
В двумерном случае аналогом формулы (8) будет соотно-
шение
(15)
Ди = —2лр(Л1). (16)
Замечание. Соотношение (8) можно получить фор-
мально, перенося оператор Лапласа под знак интеграла
в формуле (2) и используя соотношение (25) гл. VII, § 2.
Свойство 5. При стремлении точки наблюдения
к бесконечности объемный потенциал стремится к нулю
(в трехмерном случае-, D — ограниченная область).
Для доказательства этого свойства применим теорему
о среднем значении к интегралу (2). Получим
и (Л4) = —— р dtp т
rMP* J
D
rMP*'
219
где P* e D, m = ^p dtp — суммарный заряд. Отсюда и сле-
дует свойство 5.
Пример 1. Найдем объемный потенциал равномерно заряжен-
ного шара D радиуса R. Очевидно, искомый потенциал есть функция
расстояния г от центра шара до точки наблюдения:
и (М)—и (г).
с
Вне шара D Ди=0, следовательно, и——+С2. По свойству 5
и (г) —- 0 (г —» со). Следовательно, С2=0. Внутри шара D Ди=— 4лр,
__________________________________________2 А
нлн -^(г2и’)=—4лрг2. Следовательно, и(г)=-д-лг2р4- — -|-В для
r^R. Поскольку объемный потенциал ограничен всюду, то Д=0.
Из условия непрерывности потенциала и его производных первого
порядка находим
^лР2р+В=§ и _|лЯр = =£-*,
О 1\ О 1\
4
откуда С1 = -«-л7?3р, В=2лР2р. Таким образом,
О
9
л (3/?2 - г2) р, r^R,
M(r) =
Замечание. Объемный потенциал можно записать
в виде свертки (по переменным х, у, г) фундаментального
решения (х2+у2,+z2)~0>s уравнения Лапласа Ди = О
(д = — б (х, у, г)^ с функцией 4лр (х, у, г):
и(М) = (у*р} =
ШР(Е. т). Qdjctydt, _ £ р(Р)dtp
K(x-4)a + (j/-^+(z-£)2 ” J гмр *
§ 2. Потенциал простого слоя
Пусть заряды (массы) распределены по поверхности S
с плотностью р(Р). Потенциал поля, созданного этими
зарядами, равен
o(M) = f ^-daP. (17)
J rMP
s
Этот интеграл называется потенциалом простого слоя.
В дальнейшем мы будем считать, что функция р (Р) огра-
220
ничена, | р (Р) | =С Н, а поверхность S является поверх-
ностью Ляпунова. Поверхность S называется поверхностью
Ляпунова, если она обладает следующими свойствами:
1) в каждой точке поверхности S существует каса-
тельная плоскость;
2) для каждой точки Р поверхности S существует
такая окрестность SP, что всякая прямая, параллельная
нормали в точке Р, пересекает SP не более одного раза;
3) угол у(Р, Р]) = (пР, пР,), образованный норма-
лями пР и nPl в точках Р и Plt удовлетворяет следую-
щему условию:
у(Р, Р1)<Аг6РР1,
где А и б — некоторые постоянные и 0 < б =С 1.
Рассмотрим некоторые свойства потенциала простого
слоя.
Свойство 1. Потенциал простого слоя определен
всюду.
Для точек М, не принадлежащих несущей поверх-
ности S, это очевидно. Если МеЗ, то интеграл (17)
является несобственным по двумерной области S. Изве-
стно, что несобственный интеграл по двумерной области
f dap
',rMP
абсолютно сходится, если а<2 *). В нашем случае а= I,
следовательно, интеграл (17) сходится.
Свойство 2. Потенциал простого слоя непрерывен
всюду.
Если Мф8, то интеграл (17) не является несобствен-
ным и его непрерывность непосредственно следует из не-
прерывности подынтегральной функции l/r^p.
Если Мо е S, то достаточно доказать равномерную
сходимость интеграла (17) в окрестности точки Мо. Оценим
интеграл
Р (Р)
\ мр
св
по части поверхности Sm„ (Sm„ cz S), содержащей точку Мо
и имеющей диаметр, меньший б, d(S%„) <6- Для этого
*) См. Толстов Г. П., Курс математического анализа, т. II,
гл. XX, Гостехиздат, Г957.
221
воспользуемся системой координат с началом в точке Мо,
ось г которой направлена по нормали к поверхности S
в этой точке. Пусть М (х, у, г) — произвольная точка,
отстоящая от точки Мо на расстоянии, меньшем 6,
Обозначим через проекцию поверхности на пло-
скость (х, у), а' через Qm, —круг на плоскости (х, у)
с центром в точке Mx(x, у, 0) радиуса 26. Очевидно,
SmoczQm,- Проекция на плоскость (х, у) элемента поверх-
ности du равна ds = du -cos у, где у—угол между нор-
малью к поверхности S и осью г. Очевидно,
4,
. d2_____=н f —. -
J К(Ж—6Р+(У—nF V cosy/(x—5)2 + G/— Т])2’
с.О уО
^м0
По третьему свойству поверхности Ляпунова 6 можно
взять настолько малым, чтобы для точек Р е иметь
cos у ^1/2. Поэтому будем иметь
ММ)1^
^2Н \ Г dS.. & —
v /<*-£)2+(г/-п)2 й. Я*-£)2+(//—п)2
уи
Вводя полярную систему координат с началом в точке М
легко вычислить последний интеграл, он равен
28 2п
2Н J y = Jdrd<p = 8nW6.
n26 0 0
Чтобы интеграл | ог (М) | был меньше заданного числа е,
достаточно взять 6 < 1/(8л//).
Свойство 3. Потенциал простого слоя является
гармонической функцией всюду, кроме точек несущей поверх-
ности S.
Это свойство очевидно, так как для точек M^S инте-
грал (17) не является несобственным, поэтому
До = ( р (Р) Д /— ^rf<ip=0.
J \гмр/
222
Свойство 4/ Если несущая поверхность S ограни-
чена, то потенциал простого слоя стремится к нулю,
когда точка М стремится к бесконечности.
Для доказательства этого применим к интегралу (17)
теорему о среднем значении:
v(M) = 7^-\p(P)doP^-^-, (18)
j ГМР*
где Р* S, т = р do — суммарный заряд.
•S
Из формулы (18) непосредственно следует свойство 4.
Свойство 5. Нормальные производные потенциала
простого слоя имеют разрыв первого рода в точках поверх-
ности S со скачком, равным 4лр(Л4).
На доказательстве этого свойства мы останавливаться
не будем*).
Для двумерного случая (плоскости) потенциал простого
слоя имеет вид
v (Л4) = р (Р) In (——dsP.
J \гмр /
Для него справедливы свойства 1—3. При стремлении
точки М к бесконечности он стремится к оо, как InгМР.
Скачок нормальных производных в точках кривой С равен
2лр(Л4). Доказательства всех этих свойств проводятся
аналогично трехмерному случаю, поэтому мы не будем
повторять их.
§ 3. Потенциал двойного слоя
1. Пусть в точках Рх и Р2 (рис. 22) расположены
заряды величиною — е и е. Потенциал электростатического
поля, созданного этим диполем, равен
w(M) = е(—!-----------------------—
' 7 \гМРг ГМР,
или
w(M) = eh ~ (-г—
°п \ гмр } |р=р»
где Р* — некоторая точка отрезка РХР2 и производная
берется по направлению п отрезка от Рх к Р2 (оси диполя),
*) См. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными
производными, изд. 4-е, «Наука», 1965.
223
h — расстояние между точками Рг и Р2. Величина eh = v
называется моментом диполя. Если мы будем сближать
точки Pi и Р2, сохраняя момент диполя v (увеличивая
при этом величину зарядов е), то в пределе (при Л->0)
получим точечный диполь, расположенный в точке Р,
потенциал которого равен
где производная берется по координатам точки Р в напра-
влении оси диполя.
Пусть S —двусторонняя поверхность с непрерывно
меняющейся касательной плоскостью. Это означает, что если
в некоторой точке Р этой поверхности выбрано положи-
тельное направление нормали пР
к поверхности и точка Р движется
р у1' по любой замкнутой кривой (ле-
, жащей на S), причем направление
\ нормали меняется при этом непре-
/ \ рывно, то при возвращении в ис-
X___________ходную точку направление норма-
-е ли совпадает с исходным. На этой
Рис. 22. поверхности можно в каждой точ-
ке одно из направлений нормали
принять за положительное, так что единичный вектор
этого направления п будет непрерывным на поверхности.
Мы будем предполагать, что такое положительное напра-
вление выбрано.
2. Если на двусторонней поверхности S распределены
диполи с плотностью моментов v (Р) так, что оси их
в каждой точке совпадают с положительным направлением
нормали, то потенциал поля, созданного этими диполями,
равен
w(M}^\v{P}W-\doP. (19)
J on \ГМр1
Этот интеграл называется потенциалом двойного слоя.
Такое название связано с тем, что к интегралу (19) при-
водят также следующие рассуждения. Пусть S —двусто-
ронняя поверхность с фиксированным положительным
направлением нормали. Вообразим теперь, что на положи-
тельном направлении нормали в каждой точке мы отло-
жили отрезки длиною h. Геометрическое место концов
этих отрезков образует поверхность Sb отстоящую от S
224
на расстоянии h. Пусть на поверхности S распределены
отрицательные заряды с плотностью ^v(P), а на поверх-
ности — положительные заряды с той же плотностью
(рис. 23).
Мы будем иметь «двойной слой» зарядов противопо-
ложных знаков, который можно рассматривать также как
совокупность диполей, распределенных по поверхностям S
и S1 с плотностью ^(Р). Потен-
циал поля, созданного диполем,
«опирающимся» на элементы do
поверхностей S и Slf равен
v (Р) д (——do. Потенциал поля,
оп\гмр1
созданного всеми диполями, равен
? v(P) \doP.
SJ k ’дп\гмр/
Если МЫ устремим h К нулю, то Рис- 23.
получим «двойной слой» на поверх-
ности S, потенциал которого вычисляется по формуле (19).
Поверхность S будем называть несущей поверхностью.
Поскольку
д / 1 \ cos <р
^Умр1~Л}р ’’
где <р — угол между положительным направлением нормали
к поверхности S в точке Р и отрезком РМ, то потенциал
двойного слоя можно также написать в виде
w (М) = \ V (Р) doP.
•> ГМР
(20)
Если мы обозначим через d<£>MP телесный угол, под кото-
рым из точки М виден элемент поверхности doP, то
гмр da>MP = cos <p doP.
Эта формула непосредственно следует из того, что по
определению d&MP есть площадь элемента единичной сфе-
ры с центром в точке М, высеченного конусом с верши-
*) См., например, Смирнов В. И., Курс высшей математики,
т. II, «Наука», 1967.
8 в. Я- Арсенин
225
ной в точке М, опирающимся на элемент поверхности
doP (рис. 24); d<nMP имеет положительный знак, если
угол <р острый, и отрицательный, если угол <р тупой.
Поэтому потенциал двойного слоя
можно также написать в виде
s w(M)=\v(P) daMP. (21)
I i 3. Из формулы (21) следует,
\ J sei что потенциал двойного слоя опре-
X. делен и в точках М несущей по-
верхности. Таким образом, имеем:
Рис- 24- Свойство!. Потенциал двой-
ного слоя определен всюду.
Свойство 2. В точках М, не лежащих на несущей
поверхности S, потенциал двойного слоя является гармо-
нической функцией.
Для доказательства воспользуемся формулой (20).
Если M^S, то интеграл (20) не является несобствен-
ным и поэтому
J ап ( \ГМР/)
Свойство 3. При стремлении точки наблюдения М
к бесконечности потенциал двойного слоя стремится
к нулю. Мы предполагаем при этом, что поверхность S
имеет конечную площадь и расположена в конечной
области.
Для доказательства воспользуемся формулой (20). При-
меняя к интегралу теорему о среднем значении, получим
№(M) = v(P)^|
ГМР |Р = Р*
dopf
где Р* е S. Отсюда и следует справедливость свойства.
В последующем будём полагать, что несущая поверх-
ность S замкнутая. В качестве положительного направ-
ления нормали возьмем внутреннюю нормаль к поверх-
ности S.
Рассмотрим частный вид потенциала двойного слоя —
потенциал с постоянной плотностью моментов v0. Для
226
такого потенциала w (М) справедливы формулы
w (М) =
4nv0, если точка М расположена внутри S,
2лт0, если точка М расположена на S,
О, если точка М расположена вне S.
Для доказательства этого воспользуемся формулой (21).
Пусть точка М расположена внутри S. Предположим
сначала, что всякий луч, проведенный' из точки М, пере-
секает поверхность S лишь в одной точке. Тогда интег-
рал ^du>MP равен полному телесному углу, под которым
s
видна внутренняя сторона поверхности S. Очевидно, этот
угол равен 4л. Следовательно,
в этом случае w (Л4) = 4лт0.
Если часть лучей (или все), /"'у
проведенных из точки М, Пересе- / \ )
кает поверхность S в конечном / \
числе (s£&) точек, то телесные / /
углы d<£MP, под которыми видны I NA /
элементы поверхности daP, пересе- \
каемые лучами изнутри S (напри- \ V/
мер, dap, лежащие на и S3, \ )
рис. 25), будут положительными, )
а телесные углы dco^p, под кото- -------
рыми видны элементы поверхности рис 25
dap, пересекаемые лучами извне S
(например, dop, лежащие на S2,
рис. 25), будут отрицательными, так как в этом случае
угол <р между внутренней нормалью и направлением от-
резка РМ будет тупым и, следовательно, cos <р—- отрица-
тельным. В силу этого, очевидно,
S3 S2
Поэтому алгебраическая сумма всех телесных углов d<DMp
будет также равна 4л. Таким образом, и в этом случае
w (М) = 4лт0.
Если точка М лежит вне поверхности S, то телесные
углы damp, отвечающие элементам duP поверхности Sj
(рис. 26), будут отрицательными, а телесные углы с/а>Л1Р,
8* 227
отвечающие элементам doP поверхности S2 (рис. 25),
будут пЬложительными. Поэтому
$ d&MP = $ daiMp + § d<i>Mp = 0.
s st s,
Таким образом, если точка М лежит вне S, то w (М) — 0.
Аналогично устанавливается, что й> (М) = 2лл>0, если M^S.
Рис. 26.
Теперь мы можем выяснить по-
ведение потенциала двойного слоя
в окрестности точки М, лежащей
на несущей поверхности.
Свойство 4. Если плотность
моментов v(P) непрерывна на S,
то потенциал двойного слоя w(M)
имеет разрыв первого рода в точ-
ках несущей поверхности S со скач-
ком, равным 4т (М):
wBn (Мо) - (Мо) = 4nv (Мо),
MosS.
Здесь &увн (Мо) — предел функции &у(М) в точке Мо,
когда точка М стремится к Мо изнутри поверхности;
к>н (Мо) — предел функции ш(М) в точке'Мо, когда точка
М стремится к Мо снаружи.
Для простоты мы будем предполагать, что каждый
луч, проведенный из точки М, пересекает S не более чем
k раз (хотя утверждение верно для произвольной по-
верхности Ляпунова). Пусть Мо — фиксированная точка
поверхности S. Рассмотрим вспомогательную функцию
w (М) — $ {v (Р) — v (Мо)} dtojup = w (М) — w (М). (22)
s
Лемма. Функция w(M) непрерывна в точке Мо.
Доказательство. Обозначим через S' часть поверх-
ности S, содержащуюся в некоторой 6-окрестности DbM
точки Мо, а через S" — остальную часть S. Тогда w(M)
можно записать в виде
w (М) = W! (М) + w2 (М),
где
(М) = \ {v(P)-v (Мо)} dvMp,
S'
w2(M)= J {v(P)-v(M0)}d®^p.
S"
228
Функция w2(/H) непрерывна в точке Мо. Поэтому для
произвольного е > 0 величина | w2 (М) — w2 (Мо) | будет
меньше е/3, если ММ0 достаточно мало. Далее,
| (М) | = | J {v (Р) - v (/Ио)} duMP |
5\v(P)-v(M0)| |d«MP|.
S'
Пусть лучи, проведенные из точки М, пересекают поверх-
ность S не более чем k раз.
В силу непрерывности v(P) в точке Мо величина
| v (Р) — v (Мо) | будет меньше е/12йл, если 6 (радиус
окрестности точки Мо) будет достаточно мал. Далее,
| dt£>Mp | < 4лй.
S'
Следовательно,
1®1(М)|< J|v(P)-v(M0)||^p|<y и |®1(/И0)|<|.
S'
Поэтому
I w (М) — w (/Ио) I I (/И) 1 +1 Wi (/Ио) | +
+1®2 (/И) — (/И„) | < е,
если точка М достаточно близка к /Ио. Лемма доказана.
Доказательство свойства 4. Перейдем в фор-
муле (22) 'к пределу, устремляя точку М к /Ио изнутри
и снаружи поверхности S; тогда получим соответственно
®bh (Л40) = ^вн (Л40) - 4лv (/Ио) = w (/Ио) =
= w (/Ио) — 2т (/Ио) = (/Ио) = а>н (/Ио) — О,
где w(/H0) и w (/Ио) — значения функций й>(/И) и w (/И)
в точке /Ио на S. Из этих равенств находим
О’вн (/Ио) = W (/Ио) + 2лх> (/Ио), (23)
wH (/Ио) = w (/Ио) — 2т (/Ио). (24)
^вн(/Ио)-^н(/Ио) = 4лг(/Ио). (25)
Для двумерного случая потенциал двойного слоя опре-
деляется с помощью интеграла
w (/И) = V (Р) ГшШ] dsP,
£ ОП L \ тир/J
229
где С —контур, на котором расположены диполи. Для
него также справедливы свойства 1 и 2. Рассуждениями,
совершенно аналогичными приведенным, можно устано-
вить, что в точках Мо несущей кривой С имеем
^вн (Мо) = w (Мо) + nv (Мо), (26)
(Мо) = U'(Мо) - ,nv (Мо), (27)
^BH(Mo)-ra„(Mo) = 2.nv(Afo). (28)
§ 4. Применение потенциалов к решению краевых задач
Рассмотренные свойства потенциалов позволяют поль-
зоваться ими как удобным аппаратом для решения кра-
евых задач. Мы покажем это на примере первой внут-
ренней краевой задачи:
Ди = /(М) в D, (29)
u|s = q>(M), (30)
и и(М) непрерывна в D = D-\-S.
Частным решением уравнения (29) является, очевидно
(по свойству 4 § 1), объемный потенциал
«i(M) = ^J f^dip.
т J гмр
Поэтому естественно искать решение задачи (29) — (30)
в виде суммы u (M) = Uj (М)Н-Мг(М), где для функции
«а (М) краевая задача будет ставиться следующим образом:
Ди2 = 0, (31)
u2\s = 4>(M)-u1(M)\s = F(M). (32)
Попытаемся искать решение этой задачи в виде потен-
циала двойного слоя
и2 (М)=а>(М) =Д v (Р)^ dap
g ГМР
с надлежаще подобранной функцией v(P). При любом
выборе функции v(P) этот потенциал гармоничен в D
(по свойству 2 § 3). Чтобы удовлетворить краевому усло-
вию (32), надо, чтобы в точках МeS выполнялось соот-
ношение wBB(M)—F (М). Пользуясь формулой (23) § 3,
это условие можно написать в виде
w (М) + 2т (M) = F (М)
230
или
v дп d°P + 2т (М) = F (М).
оп \ГМР)
(33)
Решением краевой задачи (31) —(32) будет потенциал
двойного слоя с такой плотностью v(P), которая удов-
летворяет условию (33).
Таким образом, наша краевая задача сводится к реше-
нию интегрального уравнения (33) относительно v(P).
Пр име р 2. Решим первую краевую задачу для круга ради-
уса/?, ограниченного окружностью С.
Ди=0, и |c = F (s),
где s—длина дуги окружности.
В точках М окружности (рис. 27)
ГМР
Решение ищем в виде потенциала двой-
ного слоя
ц(а) =
I .... cos ф
J V (I) -2- <%,
с
п
Рис. 27.
С учетом формулы (34) краевое условие дает интегральное уравнение
для определения v(s):
§ 2^ v @ dl+nv (s) = F (s). (35)
c
Будем искать решение этого уравнения в виде
v(s) = ^F(s) + 4,
где А — неизвестная постоянная. Подставляя эту функцию в уравне-
ние (35), получим
§ © + («) + лЛ = Г (s),
С
откуда
и Л=4=^- p(B)d§.
с с
Таким образом,
с
231
Следовательно, решение краевой задачи имеет вид
.... С ...COSffi „ 1 С F (s) cos <р ...
и (М)= v (?) —-<%=— у -'-^—-Xdg-
С с
1 С г л? С cos Ф л 1 С cos <Р г л-
— л ап \ ? Й) \ --------- ~ — \ -----“ F Й) dl —
4л2/? J J г ь л J г
С с с
или
с с
Из Д ОРМ (рис. 28) находим (ОЛ1=р)
2Rr cos q>—г2
2^2
Я2 —p2
~ 27? [Я2 + p2—2tfp cos (8 —1|>) ] ’
поэтому
u(M) =
2л
___1_C (j?2—p2) F (7? • 6) da
—2n J 7?2-)-p2 — 27?p cos (8 — i|?)'
0
Мы получили интеграл Пуассона.
Решение второй краевой за-
дачи для уравнения Лапласа
надо искать в виде потенциала простого слоя с неизвест-
ной плотностью р (Р).
§ 5. Другие задачи, сводимые к интегральным
уравнениям
1. Задача Коши для линейного обыкновенного диффе-
ренциального уравнения n-го порядка может быть све-
дена к интегральному уравнению Вольтерра второго
рода. Для определенности рассмотрим уравнение второго
порядка
у’’ + а(х)у' +b(x)y = f(x), (36)
У (0) = У о, У' (0) = у о . (37)
Введем обозначение
/(х) = <р(х).
(38)
232
Тогда
У' W = У» + $ ф (s) ds, (39)
О
У(х)=у0+1у' (g)dg. (40)
о
Заменяя производную у' (g) в формуле (40) ее значением
по формуле (39), получим
х 6
У W = У о + ху'„ + Ц ф (s) ds dg.
о о
Изменяя в этой формуле порядок интегрирования, по-
лучим
У(х) = у0+ху'9 + \(x-s)q>(s)ds. (41)
о
Таким образом, мы выразили функцию у(х) и ее про-
изводные у’ (х) и у” (х) через функцию <р (х) по формулам
(38), (39), (41). Подставляя эти значения в уравнение
(36) и внося под знак интеграла функции а(х) и &(х),
получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода
ф (х) + $ {а(х) + (х - s) Ь (х)} ф (s) ds = fi (х) (42)
о
с ядром К(х, s) = a(x) + (x — s)b(x), где
fi (х) = f(x) — у'па (х) - у0Ь (х) - ху'^Ь (х).
Для уравнений n-го порядка процедура сведения задачи
Коши к интегральному уравнению аналогична.
2. Покажем теперь, что задача Штурма — Лиувилля
на конечном отрезке может быть сведена к интеграль-
ному уравнению Фредгольма второго рода.
Применим теоремы Гильберта к задаче Штурма —Лиу-
вилля
L Ы + Хр (х) у = 0, (43)
<*1У' (0) — ₽iZ/ (0) = 0, а2у' (/) 4- р2у (/) = 0. (44)
По 1-й теореме Гильберта решение этой задачи дается
формулой
i
y(x)=k\G(x, s)p(s)y(s)ds, (45)
о
233
т. е. искомое решение удовлетворяет интегральному урав-
нению Фредгольма (45). Обратно, по 2-й теореме Гиль-
берта решение уравнения (45) является решением задачи
Штурма — Лиувилля (43) —(44). Таким образом, задача
Штурма —Лиувилля эквивалентна интегральному урав-
нению (45).
ЗАДАЧИ
1. Найти объемный потенциал масс, распределенных с плотностью
р(г) в сферическом слое R^^r-^R^- Рассмотреть также случай
p(r)=Po=const.
2. Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоян-
ной плотностью ро на сфере.
3. Найти электростатическое поле объемных зарядов, равномер-
но распределенных внутри шара, расположенного над идеально про-
водящей плоскостью z=0.
4. Найти логарифмический потенциал круга с постоянной плот-
ностью зарядов.
5. Найти логарифмический потенциал простого слоя отрезка с
постоянной плотностью зарядов.
6. Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с
постоянной плотностью моментов.
7. С помощью потенциала двойного слоя решить первую краевую
задачу для уравнения Лапласа: а) вне круга; б) в полуплоскости.
Глава XI
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧНЫМИ ЯДРАМИ
В этой главе мы будем рассматривать уравнения Фред-
гольма только ссимметричн ы.м и ядрами. Ядро К (х, s)
называется симметричным, если для всех х и s из квад-
рата а^х, s^b выполняется тождество
К (х, $)=/( (s, х).
Если ядро К (х, s) симметрично, то, очевидно, и все ите-
рированные ядра Кп(х, s) также симметричны. Напомним,
что для простоты изложения мы ограничиваемся рас-
смотрением лишь непрерывных в квадрате а^х, s^b
ядер.
Уравнения с симметричными ядрами чаще других
встречаются в задачах математической физики. Они обла-
дают целым рядом специфических свойств, главное из
которых выражает
Теорема 1. Всякое непрерывное симметричное ядро,
не равное тождественно нулю, имеет по крайней мере одно
собственное значение.
Мы не будем приводить доказательство этой теоремы *).
Отметим лишь, что среди несимметричных ядер имеются
такие, у которых нет собственных значений. Таковым,
например, является ядро К (х, s)=sinxcoss, Osgx,
ssg2n, а также все ядра Вольтерра (см. замечание на
стр. 211).
Совокупность всех собственных значений уравнения
(ядра) будем называть спектром собственных значений
уравнения (ядра), короче — спектром уравнения (ядра).
*) См. Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных
уравнений, изд. 3-е, «Наука», 1965, и Михлин С. Г., Лекции по
линейным интегральным уравнениям, Физматгиз, 1959.
235
§ 1. Простейшие свойства собственных функций
и собственных значений ядра /<(х, s)
Очевидно, справедливы следующие два свойства.
Свойство 1. Если <р(ху есть собственная функция,
соответствующая собственному значению Л, то Су (х), где
С — произвольная постоянная (С =£ 0), также является соб-
ственной функцией, соответствующей тому же Л.
Постоянный множитель С можно выбрать так, чтобы
норма собственной функции Сф (х), т. е.
Гь
11сф|| = 1/ \C^(x}dx,
г а
была равна единице, || С<р || = 1. В дальнейшем будем
предполагать, что все собственные функции нормированы
указанным образом к единице.
Свойство 2. Если две собственные функции <Pi(x) и
<р2 (х) соответствуют одному и тому же собственному зна-
чению Л, то, каковы бы не были постоянные Сг и С2 (С, -f-
-|- С2 =/= 0), функции Cjtfj (х) + С2<р2 (х) также являются
собственными функциями, соответствующими тому же
собственному значению Л.
Докажем
Свойство 3. Собственные функции <fi(x) и Фг(х),
соответствующие различным собственным значениям If и Х2,
ортогональны на отрезке [а, &], т. е.
ь
$ ф! (х) ф2 (х) dx = 0.
а
Доказательство. По условию справедливы тож-
дества
ь ь
фх (х) = /С (х, s) ф! (s) ds, ц ф2 (х) = К (х, s) ф2 (s) cfs.
а а
Первое из них умножим на ф2(х), второе —на Ф1(х) и по-
членно вычтем результаты один из другого. Полученное
тождество интегрируем (по х) по отрезку [а, Ь]:
ь
/ 1 1 \ С Z ч Z ч .
3 Ф1 W 4)2 W dx =
ьь а bb
= jj $ К (х, s) фх (s) ф2 (х) dsdx—^K (х, s) ф2 (s) (х) ds dx.
а а а а
236
Меняя порядок интегрирования во втором члене правой
части равенства и учитывая симметричность ядра, получим
ьь ьь
\\ К (х, s) <р2 (s) ф г (X) ds dx = J $ к (х, s) Фх (X) ф2 (s) dx ds =
aa aa
b b
= J J К (x, s) <px (s) <p2 (x) ds dx.
Следовательно,
ь
S fiW<P!W^=O.
a
Отсюда и следует ортогональность.
Если ортогонализировать собственные функции, соот-
ветствующие одному собственному значению Л*), то можно
утверждать, что любые две линейно независимые собствен-
ные функции фх (х) и ф2 (х) ортогональны.
В дальнейшем мы будем предполагать, что такая орто-
гонализация произведена всюду, где она необходима. Сле-
довательно, семейство собственных функций можно счи-
тать ортонормированным.
Свойство 4. Все собственные значения интегральных
уравнений с симметричными ядрами вещественны.
Доказательство. Предположим, что Х. = а-НР>
Р=#=0,-есть комплексное собственное значение, а ф(х^ =
= Фх (х) + /фа (х) — соответствующая ему собственная функ-
ция. Тогда
ь
фх (х) + /фа (х) = (a + zp) J К (х, s) [фх (s) + /ф2 (s)] ds.
а
Отсюда следуют тождества
ь ь
фх (х) =е a J К (х, s) фх (s) ds — р J К (х, s) ф2 (s) ds,
а а
b b
ф2 (х) == a J К (х, s) ф2 (s) ds + Р jj К (х, s) фх (s) cfs.
а а
Умножим второе из этих тождеств на i и результат
вычтем из первого, получим
ь
Фх (х) - /ф2 (х) = (а - Ф) $ к (х, S) [ф1 (S) - <ф2 (S)] ds.
а
') См. стр. 93.
237
Таким образом,
X = а — ф и ф (х) = ip! (х) — гф2 (х)
также являются соответствующими друг другу с. з. и с. ф.
Поскольку (ибо Р=/=0), то по свойству 3 функции
<р (х) и <р (х) ортогональны, т. е.
$ <Р (*)<Р (х) dx = jj {ф2 (х)+ф2 (х)} dx = 0.
Отсюда ввиду непрерывности функций ф! (х) и ф2(х) сле-
дует, что 4’!(х)=4’г(х) = 0. А тогда ф(х) = 0, что невоз-
можно. Таким образом, свойство доказано.
Свойство 5. На каждом конечном отрезке [А, В]
содержится лишь конечное число (оно может быть равным
нулю) собственных значений.
Доказательство. Допустим, что на некотором от-
резке [Ао, Во] содержится бесконечное множество собствен-
ных значений. Выберем из этого множества некоторую
бесконечную последовательность собственных значений
{Ц. Пусть {<р„(х)} — последовательность соответствующих
им собственных функций. Поскольку семейство функций
{<Рл(*)} является ортонормированным, а коэффициенты
Фурье ядра К (х, s) по функциям этого семейства равны
4 фл (-><)> то справедливо неравенство Бесселя
Следовательно, для любого целого р>0
Интегрируя это неравенство (по х) по отрезку [а, Ь],
получим
р b ь
«л 1 Р <•
№ (х, s) ds dx.
Поскольку все лежат на конечном отрезке [Ао« Во],
то все числа не больше числа В2, Х2^сВ2, где В2 =
238
р
= max {Ло, В^}. Заменив в сумме У все 1л большим
п = 1
числом В2, для любого целого р получим
р Ь ь
У g2 < 5 $ K4x,s)dsdx,
n=l а а
со
что невозможно, ибо ряд расходящийся, и, следо-
П=1
р
вательно, для достаточно больших р сумма будет
п=1
b ь
больше числа J J К2 (х, s) ds dx.
а а
Из свойства 5 непосредственно следует, что: а) все
собственные значения можно занумеровать в порядке роста
их абсолютных величин, т. е.
б) если спектр собственных значений бесконечный, то
|к„|->оо при п-*-оо.
Свойство 6. Каждому собственному значению X соот-
ветствует конечное число q линейно независимых собст-
венных функций Ф1(х), ф2(*).ф9(х).
Доказательство. Допустим, что некоторому соб-
ственному значению X соответствует бесконечная последо-
вательность линейно независимых собственных функций
<PiW. <М-г). • ••. Фл(х), ...
Из неравенства Бесселя следует, что для всякого
целого р>0 выполняется неравенство
<рп (х) Г
X2 J
а
К2 (х, s) ds.
Интегрируя это неравенство (по х) по отрезку [а, Ь]
и учитывая нормированность собственных функций, для
любого целого р>0 получим
6 ь
К2 (х, s) ds dx, или р Z2 К2 (х, s) ds dx,
а а
239
что невозможно. Следовательно, каждому с. з. Л соответ-
ствует лишь конечное число с. ф.
Из изложенного в § 2 гл. IX следует, что вырожден-
ное симметричное ядро имеет лишь конечный спектр (в нем
могут быть и кратные с. з.). Действительно, для того что-
бы однородная система линейных уравнений ((4) при 0/ —
= 0, гл. IX) для определения коэффициентов С,- имела
ненулевое решение, необходимо, чтобы определитель этой
системы Z)(Z) был равен нулю: D(Z) = 0. Из этого урав-
нения мы находим собственные значения. Очевидно, оно
имеет лишь конечное число корней. Верно и обратное:
если симметричное ядро К (х, s) имеет конечный спектр,
то оно вырожденное. Действительно, пусть Х2, ..., —
спектр ядра, а (х), <р2 (*)> • • •, фп (х) — совокупность всех со-
ответствующих собственных функций ядра (полная система).
Рассмотрим симметричную непрерывную функцию
п
К(п) (х, 8) = К (х, s) - £ Фр W Фр (s).
р=1 р
Если она не равна тождественно нулю,1 K(n) (х, s)=£0,
то по теореме 1 она имеет по крайней мере одно собствен-
ное значение р и соответствующую собственную функцию
ф(х): ь
ф (х) = р $ К1"’ (х, s) ф (s) ds.
а
Функция ф(х) ортогональна всем собственном функциям
Ф9(х) ядра К(х, s), ибо
ъ ь ь
J ф (х) <р9 (х) dx = р (х) ^(n) (х> s) Ф (s) ds dx —
а а а
b Ь
= р J J К1я) (х, s) <р9 (х) ф (s) ds dx.
Меняя здесь порядок интегрирования, получим
b ь
J J К(п) (х, s) ф (s) <р9 (х) ds dx =
а Л
ь b Г п
= 5 Ф (8) 5 I* (*• S) -
а а I р=Н
<Рр (*) <Рр (s)
Ар
<р9 (х) dx ds.
240
Поскольку функции (рр (х) ортонормированы, то послед-
ний интеграл равен
ь гь
\ ф (s) • \ К (х, s) (х) dx — ds —
a a '
b
a
p и i|)(x) суть с. а. и с. ф. ядра К(x, s), ибо
p К (x, s) ф (s) ds = p |/<(n) (x, s) + 2 (X}JP (S) ’ X
a a V p = !
b
X ф(з) ds = p J /C<n) (x, s)i|)(s)ds = i|)(x).
a
Мы при этом воспользовались ортогональностью функции
ф(х) к функциям фр(х). Поскольку ф(х) есть с. ф. ядра
К(х, s) и функции фг(х), ф2(х), ...» ф„(х) образуют пол-
ную систему собственных функций ядра К(х, s), то ф(х)
должна быть линейной комбинацией функций фг(х),
ф2 (х), ..., ф„ (х). Но это невозможно, так как ф (х) орто-
гональна всем этим функциям. Таким образом, нельзя
предполагать, что K(n) (х, s) ^0. Следовательно, K(n) (х, s) =
= 0, или
п
К(х, s)= 2 Фр (-0 Фр (s)»
p=i р
т. е. ядро /<(х, s) является вырожденным. Таким обра-
зом, справедлива
Теорема 2. Для того чтобы спектр симметричного
ядра был конечным, необходимо и достаточно, чтобы ядро
было вырожденным.
§ 2. Спектр итерированных ядер
ь
Для интегрального оператора j К (х, s) ф (s) ds введем
а
краткое обозначение
Лф = (х, s) ф (s) ds.
а
241
Из определения итерированных ядер следует, что
ь
А (Л<р) = Л2ф = (х, s) ф (s) ds,
а
вообще
6
Л"ф = А (Лп-1ф) = \Кп (х, s) ф (s) ds.
а
Для собственных функций <рр(х) и собственных зна-
чений справедливы равенства
ФР (х) = ХрЛ фр = ХрЛ (ХрЛфр) = Х^Л2фр =...
ь
... = Х^Л”фр = (х, s)фр(s)ds,
а
из которых следует
Теорема 3. Если фр(х) и У.р суть собственные функ-
ции и собственные значения ядра К (х, s), то фр (х) и №р
будут собственной функцией и собственным значением
ядра Кп(х, s).
Справедлива также
Теорема 4. Если р есть собственное значение ядра
Кп(х, s), то собственным значением ядра К(х, s) будет
по крайней мере один из корней (вещественных]) п-н сте-
пени числа р.
Для доказательства нам понадобится
Лемма 1. Если hlt h2, ..., hn —корни уравнения
hn = p, то
/г| + ^+.-.+^ = 0
для s=l, 2, ..., п — 1.
Доказательство. Как известно, йт = улр^т, где
л — ;2л
у р — какой-нибудь корень уравнения й" = р, g=e ".
Тогда
*’+/?+-+ч=ГР(1+г+е'+. ••+гл-*’ г=
так как gSn = 1.
Доказательство теоремы. Пусть ф(х) —собст-
венная функция ядра Кл (х, s), соответствующая собствен-
ному значению р.
242
Определим функции фр (х) по формулам
Фр(*) = -^-(ф4-ЛРЛф4-Л2Л2ф ф... + й"~1Лп-|ф). (1)
Суммируя эти равенства по ротр=1дор = л и при-
нимая во внимание лемму 1, получим
МН^ФрМ-
p=i
Из этого тождества следует, что среди функций Фр(х)
имеется хотя бы одна, не равная тождественно нулю.
Нетрудно видеть, что фр (х) =s hpAqp. В самом деле, при-
меняя оператор А к тождеству (1) и умножая результат
на hp, получим
йрЛфр = ± (ЛрЛф+Л2ф+• • •+Л"-1 Л"-’ф)+± h”Anty,
или
МФр =-Фр (*) ~ ~ Ф (*) + Л"Ллф = фр (х),
поскольку й" = р, и рЛлф = ф.
Таким образом, не равные тождественно нулю функ-
ции фр(х) являются собственными функциями ядра
К (х, s), a hp — соответствующими им собственными зна-
чениями. По свойству 4 ядро К (х, s) имеет лишь вещест-
венные собственные значения. Следовательно, функции
Фр(х), отвечающие комплексным корням hp, тождественно
равны нулю. Если п нечетно, то имеется лишь один ве-
щественный корень ц = /гр, который и должен быть соб-
ственным значением ядра К(х, s), а <рр (х) = ф (х) — его
собственной функцией. Если п четно, имеются два вещест-
венных корня. Пусть <рх (х) и ф2 (х) — отвечающие им соб-
ственные функции. Тогда
ф(х)эф1(х)+ф!(х). (2)
Таким образом, при нечетном п каждая с. ф. ядра Кп (х, $)
будет также с. ф. ядра К (х, s). При четном п каждая
с. ф. ядра Кп(х, s) будет либо совпадать с с. ф. ядра
/<(х, s) (одна из функций фх(х) или ф2(х) в формуле (2)
может быть тождественно равной нулю), либо являться
линейной комбинацией собственных функций ядра /<(х, s).
243
Это означает, что если {Хр} и {<рр(х)} суть совокупности
всех собственных значений и собственных функций ядра
К(х, s), то и {фр(х)}—совокупности всех собствен-
ных значений и собственных функций ядра Кп (х> s)-
§ 3. Разложение итерированных ядер
В этом параграфе мы докажем, что для всякого
справедливо разложение
„ /V а V Фр W Фр (»)
Кп(х, s)= У-------------, (3)
Л КР
в Котором ряд сходится абсолютно и равномерно в квад-
рате а^х, s^b,
Докажем сначала, что ряд, стоящий в правой части (3),
сходится абсолютно и равномерно в квадрате а^х, s^b.
Для этого оценим отрезок ряда
т+?
р—т
I п 1 V
|фр(*)фр(5)|<Л£ГГ2| 2 П7"
I т I р=п Р
Мы при этом воспользовались неравенством | А • В | sg
^~^(Az-j-B2) и тем, что |ХР| монотонно стремятся к бес-
конечности при р->оо. По неравенству Бесселя
°О „ . . Ь
К2{х- s^ds^D>
р=1 р а
где D = const и D>0. Поэтому при q>0
m+q
2
p=m
Фр W<Pp(s)
лр
(5)
Так как |Хт|—>оо при т->оо*), то из неравенства (5)
по критерию Коши и следует абсолютная и равномерная
сходимость ряда (3). Пусть
СО
Ф(х, s) = 2 v фр w фр ф-
p=i лр
*) См. следствие б) из свойства 5.
244
Функция Ф(х, s) непрерывна в квадрате аsgх, s^b.
Нам надо доказать, что Кп(х, з) = Ф(х, s). Предположим,
что это неверно. Тогда симметричная функция Q(x, s) =
= Кп (х, s) — Ф (х, s) по теореме 1 имеет с. з. р и с. ф. ф (х),
т. е.
ь
ф (х) == pjj Q (х, s)i|>(s)cfc.
а
M-U=o,
к" >
Функция ф(х) ортогональна всем собственным функциям
q>r(x) ядра К(х, s), так как
ь ьь
J ф (х) <pr (х) dx = р J J Q (х, s) ф (s) <pr (х) ds dx =
а а а
Ь b оо
= Н § Ф(s) § {/<«(*, S)- 2 ^Фр(х)фр(фг(х)Ф^ =
а а р=1 Р
Ь b
ф (s) { § s)tpr(x)dx-
а а
поскольку
Ь
фг (s) 5= х; J Кп (х, s) фг (х) dx.
а
Функция ф (х) является собственной функцией ядра Кп (х, s),
поскольку
ь
ф(х) = р$3(х, 5)Ф(5)Г?ЗЕ=
а
Ь . оо
SEP 1Кп(Х, S)- 2 - -[ф(5)г/х =
а I р=1 Р '
b
= р^/(„(х, з)ф(5)г/в.
а.
Мы воспользовались при этом ортогональностью функ-
ции ф(х) ко всем собственным функциям фр(х).
Следовательно, как показано было в § 2, ф (х) должна
быть линейной комбинацией функций фр(х). Но это не-
возможно, так как ф (х) ортогональна всем функциям
Фр(х). Таким образом, нельзя предполагать, что
Q(x, s)^0.
245
Замечание. Разложение (3) справедливо и для
К2(х, s) (п = 2), а также, при некоторых дополнительных
условиях, и для К х, s). На доказательстве этого мы не
будем останавливаться *).
§ 4. Теорема Гильберта — Шмидта
Теперь мы докажем одну из фундаментальных теорем
теории линейных интегральных уравнений, имеющую мно-
гочисленные приложения, — теорему разложим ос ти.
Теорема Гильберта —Шмидта. Если функция
f(x) может быть представлена в форме
ь
f(x) = ^K (х, s) h (s) ds, (6)
а
где h(s) кусочно-непрерывна на [а, Ь], то она представ-
ляется рядом Фурье по собственным функциям ядра К (х, з),
т. е.
СО
f(x)=Xfp4’p(x), (7)
р-i
где
ь
fp = \f(x)(pp{x)dx,
а
и этот ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке
[а, Ь].
Для доказательства нам понадобится
Лемма 2. Для того чтобы непрерывная функция Q (х)
была ортогональной ядру К (х, s), т. е.
ь
$ К (х, s) Q (s) ds = 0, (8)
а
необходимо и достаточно, чтобы она была ортогональной
каждой собственной функции ядра, т. е.
ь
5Q (х) ц>р(х) dx = 0 (р=1, 2, ...). (9)
а
*) См М и х л и н С Г., Лекции по линейным интегральным урав-
нениям, Физматгиз, 1959.
246
Доказательство. Необходимость.
ь ьь
$ <2 (*) Фр (х) dx = К (х, s) фр (з) Q (х) dsdx —
а а а
Ь ,Ь \
= Xp$q>p(s)H К(х, s)Q(x)dx Ws = 0,
а \ a J
так как внутренний интеграл равен нулю.
Достаточность. Рассмотрим вспомогательный ин-
теграл
ь ь
Л = J § К] (х, s) Q (х) Q (s) ds dx.
a a
Он равен нулю, так как, используя разложение (3) для
п = 4 и равенства (9), получим
а а р*= 1 Р
оо b Ь
фр WQ Wdx фр(s)Q(s) ds == 0.
а
b
Поскольку (Х, S) == $ #2 (х> t) К2 (Л $) dt, то
а
b Ь г Ь \
0 = 71 = Щ \К2(х, t) K2(t, s)dt\Q(x)Q(s)dsdx =
а а\а )
ь 1ГЬ
J К2 (х, 0 Q (х) dx Кг (t, s) Q (s) ds И dt =
JL« JJ
K2(x, Z)Q(x)rM dt.
Следовательно,
ь
^K2(x, t)Q(x)dx = 0. (10)
a
Мы при этом воспользовались симметричностью ядра
К2(х, s). Умножая тождество (10) на Q(t) и интегрируя
результат (по t) по отрезку [а, Ь], получим
ьь
J jj К2 (х, t) Q (х) Q (t)dx dt = 0.
а а
247
b
Заменяя в этом равенстве К2 (х, t) интегралом J К (х, £) X
а
X К (|, 0 dl и производя преобразования, аналогичные
произведенным выше, получим
6
\К(х, l)Q(x)dx==0.
а
Лемма доказана.
Замечание Коэффициенты Фурье [р функции f (х)
равны hpl'kp, где hp — коэффициенты Фурье функции h (s)
Действительно,
ь ь ь
fP=\f (•*)Фр Wdx—\yp (х) J К(х, s)h(s)dsdx =
a a a
ъ ь ь h
= h (s) К (x, s) фр (x) dx ds = h (s)^j^—ds — £,
a a a P
поэтому вместо ряда (7) можно рассматривать ряд
Нх)=2^Фр(х). (11)
р-1 р
Доказательство теоремы Докажем сначала
абсолютную и равномерную сходимость ряда (11) По нера-
венству Коши—Буняковскбго имеем,
п+‘7| h . Гп+<> Г«+?
214фрм|<]/ 2л₽]/ (12)
р= п р—п р=п ^р
По неравенству Бесселя
оо b со Ь
2 h°p^ J ft2 (s) ds и 2 j № (x, IS) ds^D.
P=1 a p=^l p a
co
Следовательно, ряд У hp сходится, поэтому его отрезок
р=1
п+ч
У, hp может быть сделан меньшим e,2/D (где е — произ-
р=п
вольное число), если п взять достаточно большим. Отсюда
248
для достаточно больших п
п+9 h |
Zj <е для всех &!•
Р=п Р
что и означает абсолютную и равномерную сходимость
ряда (11). Пусть
°° h
<?W = J-jJ'PpW-fW-
Р=1
Функция Q(x) непрерывна на [а, Ь]. Она ортогональна
всем функциям фр(х). Действительно,
b b ( со . }
SC vi *^р I
ф(х) фг (х) dx = И 2, V Фр (*) -f Wf 4>r (X)dx =
a a Ip — I P '
= ^-Л = 0.
rvf
Следовательно, согласно лемме она ортогональна ядру
К(х, s), т. е
ь
\К(х, s)Q(x) dx = 0. (13)
а
Далее, в силу ортогональности функций Q(x) и фр (х)
b Ь со ч
^Qa(x)dx = Q(x). У у^фР(х) —f(x)ldx =
a a lp= 1 Р )
b
= — \Q(x)f(x)dx.
а
Заменяя здесь f(x) по формуле (6) и используя формулу
(13), получим
ь ь ь
J Q2 (х) dx = — $ Q (х) J К. (х, s) h (s) ds dx =
a a a
b b
= — J ft (s) (x, s) Q (x) dx ds = 0.
a a
Следовательно,
QW = 2 ^ФР(х)-/м = о.
p=i p
Теорема доказана.
249
§ 5. Разложение решения неоднородного уравнения
Пусть в уравнении
= s)<p(s)ds+f(x) (14)
а
X не равно ни одному из собственных значений. Тогда
по 1-й теореме Фредгольма это уравнение имеет единст-
венное решение, которое можно записать в виде
ф(х)=/г(х) + ^(х), (15)
ь
где g (х) = $ К (х, s) ф (s) ds.
а
По теореме Гильберта —Шмидта функция g(x) может1
быть представлена рядом по собственным функциям ядра
К(х, s):
СО
g(x)= 2 Ср(рр(х). (16)
Р = 1
Подставим в уравнение (14) вместо ф(х) ее выражение
по формуле (15), получим
СО
f (*)+* 2]срфр(х)=
р-1
fez ОО \
= f(x) + l\K(X,S) f(s) + A Срфр(5) ds,
а I Р=1 )
ИЛИ
оо b оо b
2 Срфр (х) = \К (х, s)F(s)ds+h S СР (х> s) Фр (s)ds-
р=1 а р—1 а
Применяя теорему Гильберта — Шмидта к функции
ь
\К(х, s)f(s)ds
а
Ь
и заменяя J К (х9 s) (s) ds через фр (х)/Хг, получим
а
2 срфрм= 2 *^фр^+^ 2 1р *
p=i p=i р p=i *
250
откуда
fp I X „„„ z”’ fp
CP~Tp + lpCP’ ИЛИ CP~Kp-k-
Таким образом, искомое решение уравнения (14) пред-
ставляется следующим абсолютно и равномерно сходящим-
ся рядом:
<р(х)=/(х) + Х J _^Фр(х). (17)
p=i р
Если X равно некоторому собственному значению Хг, кото-
рому отвечают собственные функции qv (х), <рг+1 (х), ...
• • • > qV+g (Л)» то Ху = ^г+1 — • - • — ^r+g.
В этом случае, как видно из формул для определения
коэффициентов Ср, должны выполняться равенства fr =
= Л+1 = --- = Л+? = О. или
ь
\f(x)tprH(x)dx = Q (/ = 0,1,2,..., q),
а
т. е. функция f(x) должна быть ортогональной всем соб-
ственным функциям ядра, сбответствующим собственному
значению кг. При этом коэффициенты Сг, Сг+1, ..., Сг+?
не определяются (остаются произвольными), и решение
уравнения (14) может быть записано в виде
<р (х) = Crqr (х) + Cr+1qv+1 (х) +... + Cr+g(fr+q (х) +
+ ^24^r^(x)+/W. (18)
р
где означает суммирование повеем значениям р, кроме
р = г, г+1.....r + q.
Замечание. Уравнение с несимметричным ядром
вида
ь
<р (х) = X К (х, s) р (s) <р (s) ds,
а
где р (s) — известная функция, р (s) 0 на [а, &], и
К(х, s) — симметричная функция, очевидно, приводится
к уравнению с симметричным ядром относительно функ-
ции ф (х) = q> (х) У р (х):
ь ________
Ф (х) = X $ К (х, s) Кр (х) р (s) ф (s) ds.
251
§ 6. Теорема Стеклова
В § 5 гл. X было показано, что краевая задача
£[Ф]+ХрФ = А^ф']_9ф + ХрФ = 0, (19)
ахФ' (0) - 01Ф (0) = 0, а2Ф' (I) + 02Ф (!) = 0, (20)
эквивалентна интегральному уравнению
ь
Ф (х) = X $ G (х, s) р (s) Ф (s) ds, (21)
а
Или
b
W(x) = XjKj(x, s)4(s)ds, (22)
а
где Ki(x, s) = G(X, s) lp(x)p(s), Чг(х) = Ф(х)ф/р(х),а
G(x, s) — функция Грина краевой задачи (19)—(2Q).
Следовательно, с. з. и с. ф. краевой задачи (19)—(20)
совпадают с с. з. и с. ф. ядра (х, s). Это обстоятель-
ство позволяет получить теорему Стеклова из теоремы
Гильберта — Шмидта. Действительно, пусть f (х) есть функ-
ция класса А (см. гл. IV, § 2), тогда
будет интегрируемой функцией и по 1-й теореме Гиль-
берта (см. гл. VII, § 3)
ь
f(x) — ^G(x, s)F(s)ds.
а
Следовательно, по теореме Гильберта — Шмидта f(x) может
быть представлена абсолютно и равномерно сходящимся
рядом Фурье по собственным функциям {Фр(х)} краевой
задачи (19)—(20):
= S СрФр(х).
p=i
Таким образом, доказана теорема разложимости Стеклова
для одномерного случая (гл. IV, § 2).
252
§ 7. Классификация ядер
Рассмотрим еще одно применение теоремы Гильберта —
Шмидта. Среди симметричных ядер особый интерес пред-
ставляют положительно определенные (соответственно от-
рицательно определенные) ядра. Ядро К (х, $) называется
положительно определенным (соответственно отрицательно
определенным), если для всякой кусочно-непрерывной функ-
ции h(x) интегральная форма
ь ь
J = $ J К (х, s) h(x)h (s) ds dx (23)
a a
положительна (соответственно отрицательна).
Нетрудно показать, что необходимым и достаточным
условием положительной (отрицательной) определенности
ядра К (х, s) является условие, чтобы все его собственные
значения "кр были положительными (отрицательными).
ь
Действительно, функция f(x) = ^K(x, s)h(s)ds потео-
а
реме Гильберта —Шмидта представляется равномерно схо-
дящимся на [а, 6] рядом:
f (X) = к (X, s) h(s)ds=^^фр (х). (24)
а Р=1 Р
Умножая обе части этого равенства на h (х) и интегрируя
результат (по х) по отрезку [а, &], получим
J = К (х, s) h (s) h (х) ds dx= (25)
a a p=l P
Следовательно, если все с. з. положительны (отрица-
тельны), то и форма (23) положительна (отрицательна).
Если форма (23) положительна для всякой кусочно-непре-
рывной функции h(x), то для h(x) = qn(x) формула (25)
дает
ь ь
^К(х, s)<pn(s)qn(x)dsdx = l-.
а а
Следовательно, Л„>0. Аналогично для отрицательной
формы. Для положительно определенных (отрицательно
определенных) ядер справедлива
253
Теорема 5. Если ядро К(х, s) положительно (отри-
цательно) определенно и непрерывно по совокупности пере-
менных х, s в квадрате а^х, s^b, то оно определяется
равномерно сходящимся рядом
К(х, s)= J
p=i
<Рр (*) <Рр (s)
Хр
где <рр и Хр — собственные функции и собственные значения
этого ядра.
Мы не будем проводить доказательство этой теоремы *).
Следует отметить, что все теоремы и факты, относя-
щиеся к уравнениям Фредгольма, описанные в этой главе
и в § 5 гл. IX, справедливы также для произвольных
самосопряженных операторов Л и, в частности, для мно-
гомерного случая и притом для ядер вида
К(Р, Q) = H(P, Q)/]PQ\a, a<d/2,
где Н (Р, Q) — непрерывное ядро, | PQ | — расстояние между
точками Р н Q, d — размерность пространства *).
§ 8. Спектр симметричных ядер, заданных'
на бесконечном промежутке
Мы рассмотрели интегральные уравнения с конечным
промежутком (областью) интегрирования [а, 6]. Для ин-
тегральных уравнений с бесконечным промежутком интег-
рирования изложенные выше результаты, вообще говоря,
не имеют места. Так, для симметричных ядер, заданных
в ограниченной области, были установлены следующие
факты:
1) спектр такого ядра дискретный;
2) спектр невырожденного ядра бесконечный;
3) каждому собственному значению соответствует
конечное число линейно независимых собственных
функций.
Для симметричных ядер, заданных на бесконечном
промежутке, эти утверждения, вообще говоря, уже не-
верны, как показывают приводимые ниже примеры.
*) См. Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных
уравнений, изд. 3-е, «Наука», 1965.
254
Пример 1. У равнение
<р (х) = X \ sin (xs) ф (s) ds
(26)
имеет лишь два собственных значения- Х1 = )^2/л, Х2=—V 2/л,
и каждому из них соответствует бесконечное множество линейно
независимых собственных функций.
Для доказательства этого воспользуемся известными формулами:
sin(xs)e
ОО
С s sin (xs)
J as+ss
о
ds = e~ax.
где x > 0 и a > 0. Складывая и вычитая эти формулы, получим
оо г _______ _ __ ____
$sin |Уу e"as ds=- V % [К? e~ax~^i
о
Таким образом, Х1=|/Л2/л и Х2=—)/2/л суть собственные значе-
ния уравнения (26), а
<p1W = /'^--+^ и
при любом значении параметра а—отвечающие им собственные функ-
ции. Функции ф1 (х) (равно как и функции фа (х)), отвечающие раз-
личным значениям параметра а, очевидно, линейно независимые. Сле-
довательно, каждому из собственных значений Хг и Х2 отвечает бесконеч-
ное множество линейно независимых собственных функций. Теперь пока-
жем, что уравнение (26) не имеет других собственных значений. Для
этого в правую Часть уравнения (26) подставляем ф(л), определяемое
этим уравнением. Получим
Ф (х) = Xs
СО
sin (xs) J sin (st) ф (t) dt ds.
о
Сравнивая эту формулу с интегралом Фурье
ф(х) =
со оо
sin (xs) sin (st) ф (t) dt ds,
о о
находим, что Х2 = 2/л.
255
Пример 2. Рассмотрим уравнения вида
Ф (х) = X j Я (| х— s ) ip (s) ds, (27)
—оо
где Н (г) обладает следующими свойствами:
1) непрерывна и положительна для всех гЭгО;
2) существует такое положительное число Л (Л =£ со), что иитег-
СО
рал Н (г) ch az dz сходится для всех положительных а, меньших А
(а<А), и расходится для а = А.
Для такого уравнения можно найти все с. з. и с. ф. Будем
искать решение в виде ф(х)=еах. Подставляя эту функцию в урав-
нение (27), получим
ea* = X J й(х—s)easds + xj Й (s —х) eai ds,
— ОО X
или, после замены переменной интегрирования (х—s=z в первом
интеграле и s—x=z во втором),
еа*=Ц Яфе01*-®1 dz + Ц й (г) еа,х+г> dz,
О б
откуда
l=2Xj й (z) ch az dz.
Таким образом, при
/ СО \ ~1
X = X (a) — (2 J й (z) ch az dz j (28)
\ о /
функция q>(x)=eax, где a<A, будет решением уравнения (27), т. е.
его собственной функцией, отвечающей собственному значению X =
= X (а).
Аналогично находим, что для a < А функция е ах также будет
собственной функцией уравнения (27), отвечающей тому же собст-
венному значению Х=Х(а)=Х(—а).
Поскольку ch az монотонно возрастает по а, то Л (а), определя-
емое формулой (28), монотонно и непрерывно убывает в интервале
/ ОО \ -1
0^а<А от значения Х(0) = 12^ й(г^г] до значения Х(А)=0.
\ о /
Таким образом, каждому значению X g [О, X (0)] соответствует вполне
определенное значение a (а>: 0), определяемое из формулы (28),
а следовательно, и решения уравнения (27), равные
С^+Сее-^,
где Ct и С2—произвольные постоянные. Собственному значению
X (0) отвечает решение
еах_________________________________е~ах
Ф(х)= lim ----5----= х,
а_о 2а
в чем легко убедиться и непосредственной подстановкой.
256
(оо \~1
2 J H(z)dz] , то надо искать решение в виде e+i₽*.
о /
Тогда подстановкой этих функций в уравнение (27) находим, что
значениям Х=Х(«Р)=Х(—i₽), где
х (.₽)=х (- »₽) = 1 --------> -^-1-------,
2 f Н (z) cos az dz 2 J Н (z) dz
о 0
отвечают вещественные решения уравнения (27) cos Рх и sin Рх.
Таким образом, спектр уравнения (27) сплошной: все неотрица-
тельные X являются его собственными значениями. Так, если взять
уравнение
<р(х)=Х J е~Iх-s'<p (s) ds, (29)
— ОО
то здесь H(z)=e~“, Х(а)=0,5(1—а2), Х(0)=0,5 и Л=1.
Следовательно, для X е (0; 0,5) решениями уравнения (29) будут
функции а— 2Х*, дЛЯ Х=0,5—функция <р(х)=х, а для Х>0,5—
функции cos(/2X— 1 х) и sin (V2X—1 х), так как Х(«Р)=0,5(1+Р2).
Мы не рассматривали здесь сингулярные интег-
ральные уравнения, имеющие многочисленные приложе-
ния. Читателя, интересующегося такими уравнениями,
отсылаем к специальной литературе *).
•) Михлин С. Г., Интегральные уравиеиия н их приложения
к некоторым проблемам механики, математической физики и техники,
Гостехиздат, 1949. Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интег-
ральные уравнения, «Наука», 1968.
9 В. Я. Арсенин
Глава XII
ПОНЯТИЕ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ.
О ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО РОДА
§ 1. Понятие корректно поставленных и некорректно
поставленных задач
1. Будем рассматривать задачу нахождения решения х
уравнения Лх = и, в котором оператор А и правая часть и
известны.
Различают корректно поставленные и некорректно по-
ставленные задачи. Впервые эти понятия ввел в рассмот-
рение Жак Адамар.
Задача определения х (решения) из множества F по
«исходным данным» и из множества U, x = R(u), назы-
вается корректно поставленной на множествах (F, U),
являющихся метрическими пространствами с расстояни-
ями Pf(xi, х2) и pu(ult и^), где xlt x2ef, ult
если удовлетворяются требования:
1) для всякого элемента u^.U существует решение х
из F;
2) решение определяется однозначно;
3) решение должно непрерывно зависеть от входных
данных, т. е. для всякого е>0 можно указать такое
6(e), что если p^Uj, «2)=Сб и х1 = 7?(и1), х2 = ₽(«г)> то
рг(хп х2)^8. Свойство 3) называют также свойством
устойчивости задачи.
Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требова-
ниям, называются некорректно поставленными.
Ниже приводятся примеры некорректно поставленных
задач, представляющих как основной математический аппа-
рат, так и приложения, позволяющие судить о широте
этого класса задач и о его прикладном значении.
258
Пример 1. Интегральное уравнение Фредгольма Пер-
вого рода со сколь угодно гладким ядром К (Л у) (даже
аналитическим):
ь
\K(t, y)x(y)dy = u(t), c^t^d. (1)
а
Решение ищется в классе непрерывных функций (F). Укло-
нение правой части u(t) будем оценивать в метрике L2,
а уклонение х(у) — в метрике С, т. е.
М А1/2
«2) = U|ui(0-«a(0la<#| •
Рг(Х1. Х2)= sup |Х10/)-Х2&)|.
vela, 6]
Пусть для некоторой правой части и = иг (f) функция
хх(у) является решением уравнения (1). Если вместо функ-
ции (/) нам известно лишь некоторое ее приближение,
мало отличающееся (в метрике L^) от иг (/), то речь может
идти лишь о нахождении приближенного к Xj (г/) решения
уравнения (1). При этом правая часть u(t) может не
обладать достаточной гладкостью. Она может быть полу-
чена в эксперименте, например, с помощью самописца и
иметь угловые точки. При такой правой части уравне-
ние (1) не имеет решения, так как ядро К (t, у) является
гладкой функцией. Следовательно, в качестве приближен-
ного к хх(г/) решения уравнения (1) нельзя брать точное
решение уравнения (1) с приближенно известной правой
частью и (/) #= «1 (О- В этих условиях не выполняется тре-
бование 1) корректности задачи. Возникает принципиаль-
ный вопрос: что надо понимать под приближенным реше-
нием уравнения (1) с приближенно известной правой
частью? Кроме того, задача (1) не обладает свойством
устойчивости, т. е. не выполняется требование 3) коррект-
ности задачи. В самом деле, функция х2 (у) = xt (у) +
4-Bsinwt/ будет решением уравнения (1) с правой частью
ь
и2 (/) = Их (/) В $ к (t, у) sin ay dy.
а
Очевидно, каково бы ни было число В, при доста-
точно больших значениях а уклонение
fd р "]2 11/2
рц(«1, «2) = |В|К $ К(/, у) sinaydy dt\
’с La J J
9*
259
можно сделать сколь угодно малым, в то время как для
соответствующих решений Xi(y) и х2(у)
Рг(х1г х2) = sup | В sin = | В |.
Ь]
Таким образом, задача (1) является некорректно постав-
ленной. К таким уравнениям приводятся многие задачи
физики и техники, например задачи спектроскопии (опре-
деление распределения .плотности энергии излучения по
спектру по результатам измерения экспериментального
спектра), обратные задачи астрономии и другие.
Описанная в примере 1 ситуация является типичной
для некорректно поставленных задач.
Пример 2. Задача численного дифференцирования функции
и (0, известной приближенно. Пусть хг (t) есть производная функции
ut(0. Функция ua(i) = ui(i)-|-B sincof в метрике С отличается от
Ui (t) на величину pc(ui, ua)=| В | при любых значениях <о. Однако
производная х2 (0=и'2 (t) отличается от «j (0 в метрике С на вели-
чину | <оВ |, которая может быть произвольно большой при доста-
точно больших значениях о.
Таким образом, эта задача не обладает свойством устойчивости
и, следовательно, является некорректно поставленной.
Пример 3. Численное суммирование рядов Фурье, когда коэф-
фициенты известны приближенно в метрике /2. Пусть ft (0 =
ОО
= V ап cos nt. Если вместо ап брать коэффициенты сп=ап + —
л=о "
ОО
для п>:1 и с0=о0, получим ряд )2(0= 2 'cosпЛ Коэффициенты
п=о
этих рядов отличаются (в метрике/а) на величину
которую выбором числа е можно сделать сколь угодно малой. Вместе
ОО
с этим разность f2 (0—ft (0 = е /, — cosvif может быть сколь угодно
П=1
большой, а при /==0 последний ряд расходится. Таким образом,
если уклонение суммы ряда брать в метрике С, суммирование ряда
Фурье не является устойчивым.
Пример 4- Задача Коши для уравнения Лапласа в двумерном
случае (пример Адамара). Онй состоит в нахождении решения урав-
нения Дн(х, у) = 0 по начальным данным, т. е. в нахождении реше-
ния, удовлетворяющего условиям
u(x,O)=f(x), =<р(х),
где f(x) и <р(х)—заданные функции.
— СО < X < со,
260
Если положить fi(x)==O, <Р1(х)—— sinox, то решением задачи
Коши будет функция иг (х, У)=~^ sin ах • sh ay (а> 0).
Если положить f2 (х)=<р2 (х) == 0, то решением такой задачи Ко-
ши будет функция и2(х, У) = 0-
Если уклонения начальных данных и решений оценивать в мет-
рике С, то будем иметь
₽с f2)=suP I fl W-fi (x) 1=0,
X
Pc (Vl> 4>2)=sup,| ф! (x) —<p2 (X) 1=1/0.
X 1
Последняя величина при достаточно больших значениях а жякег
быть сделана сколь угодно малой. Однако уклонение решений
Рс («!.«»)“ su р |(х, у) — о2 (х, у) | =
х;
= ^o|iSin^’^4=iSh‘4'
может быть произвольно большим при достаточно больших значени-
ях числа а. Таким образом, эта задача не обладает свойством устой-
чивости и, следовательно, ивляется некорректно поставленной.
Пример 5. Задача аналитического продолжения функции,
изнестной на части области, на всю область.
Пусть D — конечная область, Е — замкнутая подобласть, при-
надлежащая области D. Тогда задача аналитического продолжения
функции, заданной на множестве Е, на всю область D является
неустойчивой и потому некорректно поставленной. В самом деле,
пусть г0 — точка на границе области D, расстояние которой до Е
равно d >• 0. Пусть (г) — аналитическая в D функция, ограничен-
ная по модулю. Функция -----—, где е — заданное по-
z — г0
ложнтельное число, также аналитична в D. На множестве Е эти
функции отличаются одна от другой на величину е/(г — г0), модуль
которой на Е не превосходит e/d, т. е. | f2 (г) — fx (г) | sc e/d. Величина
e/d может быть сделана произвольно малой путем выбора соответст-
вующего значения числа е. Однако в области D разность функций
(г) — fi (г)=е/ (г — г0) не ограничена по модулю.
Некорректно поставленной является также задача
решения системы линейных алгебраических уравнений
в условиях равного нулю определителя системы (плохо
обусловленные системы) и многие другие.
2. Широким классом некорректно поставленных задач,
возникающих в физике и технике, являются так называ-
емые обратные задачи. К ним относятся задачи определе-
ния физических величин по результатам измерения их
проявлений.
261
Пусть изучаемый объект (явление) характеризуется
элементом хт (функцией, вектором), принадлежащим много-
образию F (xt^F). Часто хт недоступен для прямого
изучения и изучается некоторое его проявление Ахт — ит,
ut^AF, где AF — образ множества F при отображении,
осуществляемом оператором А. Очевидно, уравнение Ах = и
имеет решение, принадлежащее F, только для таких эле-
ментов и, которые принадлежат множеству AF. Элемент ит
обычно получается путем измерений и потому известен
нам приближенно. Пусть и — это приближенное значение.
В этих случаях речь может идти лишь о нахождении
приближенного (к Хт) решения уравнения
Ах = и. (2)
При этом и, вообще говоря, не принадлежит множеству AF.
Оператор А во многих случаях является таким, что обрат-
ный ему оператор Д-1 не является непрерывным (напри-
мер, когда А — вполне непрерывный оператор, в частно-
сти интегральный оператор примера 1). В этих условиях
нельзя в качестве приближенного решения брать точное
решение уравнения (2) с приближенной правой частью,
т. е. нельзя в качестве приближенного решения брать эле-
мент х = Д-1«, так как:
а) такого решения может не существовать, поскольку
и может не принадлежать множеству AF (не выполняется
требование 1) корректности);
б) такое решение, если даже оно существует, не бу-
дет обладать свойством устойчивости, поскольку обрат-
ный оператор Д-1 не является непрерывным, в то время
как условие устойчивости решения задачи (2) обычно
является следствием ее физической детерминированности,
и потому приближенное решение должно обладать этим
свойством. Таким образом, не выполняется требование
3) корректности. Следовательно, задача (2) является
некорректно поставленной. Отсутствие устойчивости во
многих случаях делает невозможной физическую интерпре-
тацию результатов измерений. Выполнение этого условия
необходимо также для использования численных методов
решения задачи по приближенным «исходным данным».
Таким образом, для некорректно поставленных задач возни-
кает принципиальной важности вопрос: что надо понимать
под приближенным решением таких задач? Если дан от-
вет на этот вопрос, то возникает также задача нахожде-
ния таких алгоритмов построения приближенных решений
262
некорректно поставленных задач, которые обладают свойст-
вом устойчивости к малым изменениям «исходных данных».
В основе возможности нахождения таких алгоритмов
лежит идея использования различной дополнительной
информации об искомом решении, позволяющей сузить
класс допустимых функций (возможных приближенных,
решений) так, что задача нахождения приближенного
решения в таком суженном классе Fr (Fi cz F) становится
устойчивой к малым изменениям «исходных данных».
§ 2. Кратко о некоторых методах решения некорректно
поставленных задач
1. Приближенные решения многих некорректно поста-
вленных задач вида (2) строились давно. Основным спо-
собом построения решений был метод подбора. Он состоит
в том, что вычисляется левая часть уравнения (2) Ах для
некоторого подмножества (набора) Fj элементов х, при-
надлежащих F, т. е. решается «прямая задача», — и в ка-
честве искомого приближенного решения выбирается такой
элемент из Flt для которого невязка р^(Лх, и) мини-
мальна (на Fr). Обычно в качестве Fi выбирается семей-
ство элементов х, зависящих от конечного числа число-
вых параметров так, что Fi является замкнутым множес-
твом конечномерного пространства. Если дополнительно
известно, что искомое решение хт eFx и и = ит, то в этом
случае infpt/fZlx, ит) = 0 и достигается эта нижняя грань
на точном решении уравнения Ах — ит- При этом возни-
кает вопрос: если {х„} есть последовательность элементов,
на которой невязка Ри(Ахп, и г) стремится к нулю при
п->оо, то будет ли последовательность {х„} сходиться
к точному решению хг? Если дополнительно известно,
что каждый параметр изменяется в конечных пределах,
то Fx будет компактным и |х„} будет сходиться к хт, т. е.
метод подбора позволяет получить в этом случае прибли-
женное решение.
В других условиях метод подбора, вообще говоря,
не годится для построения приближенных решений. Выяс-
нить условия применимости метода подбора можно, опи-
раясь иа следующую топологическую теорему.
Теорема о непрерывности обратного ото-
бражения. Если отображение F-+U компактного мно-
жества F непрерывно и взаимно однозначно, то обратное
отображение U->F также непрерывно.
263
Поэтому, если подмножество Ft является компактным
и отображение и = Ах непрерывно и взаимно однозначно,
то из ри(Ахп, ит)п^а>0 следует pF (х„, хг)->0 при
—> оо.
Таким образом, если решение ищется на компактном
множестве, то метод подбора устойчив и им можно поль-
зоваться для нахождения приближенных решений урав-
нения (2).
В 1963 г.( А. Н. Тихонов разработал новый подход
к решению некорректно поставленных задач, позволяю-
щий решать широкий круг таких задач.
В основе этого подхода лежит принадлежащее
А. Н. Тихонову *) фундаментальное понятие регуляризи-
рующего оператора.
Если задача (2) является некорректно поставленной
(не обладает свойством устойчивости) и вместо точного
значения правой части ит мы имеем элемент «6, для кото-
рого ри(ит, то очевидно, что приближенное
решение х6 не может быть определено как точное решение
уравнения (2) с приближенной правой частью и = и&.
Элемент х& можно определить только с помощью опе-
ратора, зависящего от параметра, значения которого надо
брать согласованными с точностью «исходных данных» ««.
Эта согласованность должна быть такой, чтобы при при-
ближении правой части «в уравнения (2) к точному зна-
чению ит, т. е. при 6->0, приближенное решение хе, стре-
милось бы к искомому точному решению хт уравнения
Ах — ит.
Определение. Оператор /? (и, а), зависящий от пара-
метра а, называется регуляризирующим для уравнения (2),
если он обладает свойствами:
I) определен для всякого а>0 и любого и е U;
2) если Ахт — ит, то существует такое а (б), что для
любого е>0 найдется такое 6(e), что если ри(ит, и6)^
sg6(e), то рр(хт, хц)--Се, где ха = /?(и6, а)иа = а(6).
2. По Тихонову, в качестве приближенного решения
уравнения (2) надо брать элемент ха = /? («е, а), получен-
ный с помощью регуляризирующего оператора R (и, а),
где а = а (6) согласовано с точностью «исходных данных»
«6 и ри(Цт, «е)^6. Это решение называется регуляризован-
ным решением уравнения (2). Числовой параметр а назы-
вается параметром регуляризации.
*) Тихонов А. Н., ДАН СССР 151, № 3 и 153, № 1 (1963).
264
Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор
вместе с выбором параметра регуляризации а, согласован-
ного с точностью «исходных данных» 6, а = а (б), определяет
устойчивый метод приближенного построения решений
уравнения (2).
Если известно, что ри (и т, Ив) «S б, то, согласно опреде-
лению регуляризирующего оператора, можно так выбрать
значение параметра регуляризации а — а (6), что при 6->0
регуляризованное решение Ха = /? («а» а (б)) стремится
к искомому точному решению хт, т. е. рг(хт, х^ (?>)-> О
(в метрике F). Это и оправдывает предложение брать в каче-
стве приближенного решения уравнения (2) регуляризован-
ное решение.
Таким образом, задача сводится:
а) к нахождению регуляризирующих операторов;
б) к оценке параметра регуляризации а по дополни-
тельной информации о задаче, например по величине
уклонения правой части «в от ее точного значения.
В математической литературе описанный метод постро-
ения приближенных решений называется методом регуляри-
зации.
3. А. Н. Тихонов указал и способ построения регуляри-
зирующих операторов /?(«, а). Он основан на вариацион-
ном принципе и состоит в следующем.
Пусть £2 [х]—некоторый неотрицательный функционал,
определенный на подмножестве множества F и такой,
что для всякого числа d>0 множество Fd элементов х,
для которых О [х] sg d, компактно в F. Нетрудно видеть,
что выбор функционала £2 [х] неоднозначен. Пусть известно,
кроме того, что хт-еЛ и уклонение правой части ы6 от
точного значения ит не превосходит б, т. е. ри(Цт, и^^
Тогда приближенное решение надо искать в классе Qe
элементов х, для которых рЬ(Ах, «6)^б2. Но это множе-
ство Qc не является компактным. Оно слишком широкое.
Его надо сузить. Поэтому будем рассматривать только
такие элементы множества Q6, на которых определен задан-
ный функционал £2 [х], т. е. будем рассматривать лишь
элементы множества F2 = Q6 Fj.
Среди элементов этого множества найдем такой (такие),
который минимизирует функционал £2 [х]. Задача нахожде-
ния такого элемента есть задача на условный экстремум,
и она сводится к минимизации функционала.
Ма[иб, x] — pl/(Ax, «б)2 + а£2 [х]. (3)
265
Пусть Ха—элемент, на котором функционал Ма дости-
гает минимума. Элемент ха можно рассматривать как ре-
зультат применения к правой части и = и^ уравнения (2)
некоторого оператора зависящего от параметра а, т. е.
ха = ^1(и6, а).
Для широкого класса уравнений (2) А. Н. Тихонов
показал *), что оператор (и, а) является регуляризиру-
ющим, и, следовательно, в качестве приближенного реше-
ния уравнения (2) с правой частью и = и/, можно брать
элемент
xa = /?i(w6, а). (4)
Мы не будем приводить доказательства этого утверж-
дения.
Таким образом, в качестве приближенного решения
задачи (2) берется решение другой задачи (задачи на
минимум функционала Ма), «близкой» в некотором смысле
к исходной (поскольку число а мало).
Следует отметить, что, в то время как исходная за-
дача (2) не обладает свойством устойчивости, задача мини-
мизации функционала Ма[и, х] обладает устойчивостью
к малым изменениям «исходных данных» и. Устойчивость
(при переходе от задачи (2) к задаче минимизации функ-
ционала Ма) была достигнута с помощью введения в рас-
смотрение функционала О[х]. Он играет, таким образом,
стабилизирующую роль. Функционалы О [х] называют
стабилизаторами задачи (2).
4. Применим этот метод к интегральному уравнению
Фредгольма первого рода.
Пусть А есть интегральный оператор с ядром Д'(t, s).
Тогда уравнение (2) имеет вид
ь
J К. (i, s) х (s) ds = и (t), c sg / d. (5)
a
В качестве О [x] возьмем функционал вида О [х] =
ъ
= § {ft(s)[-^)2+<7o(s)*2jds, где (s) и q0(s) — заданные
а
неотрицательные функции, 9i(s)3=0, 9o(s)^O**). В этом
*) Тихонова. Н., ДАН СССР 151, № 3; 153, № 1 (1963) и 156,
№ 3 (1964).
**) В вычислительной практике обычно полагают (s) = 1 н
<7o(s)= 1 или <7o(s)sO.
266
случае условие равенства нулю первой вариации функ-
ционала Ма[и, х] имеет вид
$ (- a{i [?i <s) £] - % (s) *(«>} +
а
b _
+ J К (s, у) х (у) dy - В (s)] V (s) ds + a.qr (s) У (s) v (s) g = 0. (6)
£
Здесь v (s) — произвольная вариация функции x(s) такая,
что x(s) и x(s)-f-u(s) принадлежат классу допустимых
функций
d d
К (s, у) = $ к (t, S) к {t, у) dt, B(S) = \K (t, S) и (0 dt. (7)
С с
Условие (6) выполняется, если
ь
-4i[<3'1(s)'£]-<7o(sH+ УУх^аУ = в^ <8>
а
И
?1(s)xr(s)u(s)|* = 0. (9)
Так, если иам известны значения искомого решения
x(s) уравнения (6) на одном или обоих концах отрезка
[а, 6], то допустимыми функциями при нахождении мини-
мума функционала Ма[и, х] можно брать лишь функции
x(s), имеющие обобщенную производную, интегрируемую
вместе с ее квадратом, и принимающие заданные значе-
ния на этих концах. В этом случае функции v(s) обра-
щаются в нуль на этих концах и условие (9) выполня-
ется.
В описанном случае задача нахождения регуляр изо-
ванного решения ха (s) сводится, таким образом, к нахож-
дению решения интегро-дифференциального уравнения (8),
удовлетворяющего условиям
х(а) = хъ х(Ь) — х2, (10)
где Xi и х2 —известные числа.
Если значения искомого решения х (s) на концах s = а
и s = b неизвестны, то условию (9) можно удовлетворить,
полагая
х'(о) = х'(*) = 0. (11)
267
В этом случае в качестве регуляризованного решения
уравнения (5) надо брать решение уравнения (8), удов-
летворяющее условиям (11).
Возможны, очевидно, и другие краевые условия, кото-
рым должно удовлетворять решение уравнения (5), напри-
мер условия вида
x(a) = xj ,/(6) = 0 (12)
или
У(а) = 0, х(Ь) = хй. (13)
Замечание. Искомое решение уравнения (5) может
не удовлетворять условиям (11), которым мы подчиняем
решение уравнения (8). Надо иметь в виду, что мы строим
приближенное решение уравнения (5). Если производная
искомого решения уравнения (5) нам известна, например,
при s = а и равна g, то, полагая в уравнении (5) х (s) =
= ^(s)+g-s, получим уравнение такого же вида (но
с другой правой частью) для функции х (s). Искомое реше-
ние x(s) будет удовлетворять условию х'(а) = 0.
Задача (8), (10) или (8), (11) решается численно на
ЭВМ. При этом уравнение (8) заменяется его конечно-
разностной аппроксимацией на заданной сетке.
Если брать равномерную сетку с шагом h, то уравне-
ние (8) заменяется системой конечноразностных уравне-
ний вида
— ^2 {<7i, + <71, *+Л+1— (<7i, k + ?1, л-i) %k — h2q0i 4-
+ = А =1,2.........п. (14)
г=0
Здесь fe = <7x_(sft), qa, к = q0 (sfe), Bk = В (s*), sk = k h,
s6=a, sn — b, Кк, r~ коэффициенты интеграционной фор-
мулы, по которой интеграл в уравнении (8) заменяется
интегральной суммой. Если искомое решение уравнения
(8) должно удовлетворять краевым условиям (10), то
полагаем в системе (14) x0 = Xi и х„ = х2.
Если же искомое решение подчинено условиям (11),
то в системе (14) число k должно принимать значе-
ния k = 0,1,2,..., п. При этом полагаем х^ = х0 и
^п+1 = Хп.
Мы описали сведение уравнения (8) к системе линей-
ных алгебраических уравнений при нахождении решения
на равномерной сетке с шагом h.
268
Иногда целесообразнее искать решение на неравномер-
ной сетке с узловыми точками sk и с не равными друг
другу расстояниями менаду соседними узловыми точками
hk = sk+1 — sk и hk^hk+1. В этих случаях уравнение (8)
аппроксимируется системой линейных алгебраических
уравнений вида
„ f <71. k .. f <71. A-I „ / <71. A I <71. А-1 \ 1 |
~ а\~h^~Xk+1 Т" TTh Х*~1 ~ “fts <" ~h~h Xh( <
I nk nhnk-l \ nk nknk-l/ )
п
+ a<7o,kXk + rXr — Bk. (15)
r=0
Краевые условия для решения этой системы запишутся
так же, как в случае равномерной сетки.
Часть II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Специальные функции находят применения в широком
круге задач. В части II мы изложим основные свойства
и простейшие приложения цилиндрических, сферических
и гипергеометрических функций, интегралов Эйлера (гам-
ма-функция и бета-функция), а также некоторых спе-
циальных полиномов. Все перечисленные функции, кроме
интегралов Эйлера, являются решениями дифференциаль-
ных уравнений с особыми точками вида
-^{k(x)y'}-q(x)y = 0,
в которых коэффициент k{x) обращается в нуль в одной
или нескольких точках промежутка изменения перемен-
ной х, конечных или бесконечных.
Глава XIII
ГАММА-ФУНКЦИЯ. БЕТА-ФУНКЦИЯ
§ 1. Гамма-функция и ее свойства
1. Гамма-функцией (или эйлеровым интегралом второго
рода) называется функция
r(z)=fr/^-1t/t (1)
о
Она обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Г (г) определена и непрерывна в обла-
сти Rez>0.
Доказательство. Рассмотрим замкнутую область
D = {0<'6=С RezsgA'}, где 6 и А — произвольные фик-
270
сированные числа. Для всех zeD выполняются нера-
венства
|V'|для O=sg£=sgl,
111 | =Сe~4N~l для 1 -С t < оо.
Следовательно, функция
1,
1 < t < оо,
является мажорантной для 11‘ *е 11 на промежутке 0
СО
^/<оо для всех гей Поскольку интеграл \f(t)dt =
о
1 со со
= сходится, то интеграл J t^e^dt
0 1 о
сходится равномерно относительно z£D. Отсюда следует,
что Г (г) определена и непрерывна*) в области D, а тем
самым, ввиду произвольности 6 и N, и в области 0<
<Rez<oo.
Свойство 2. Г (z) аналитична в области Rez>0.
Для доказательства этого свойства достаточно пока-
зать, что интеграл J Г (z) dz, взятый по произвольному
с
кусочно-гладкому^ замкнутому контуру С, лежащему в об-
ласти D, равен нулю. Тогда по теореме Морера**) Г(г)
будет аналитической в области D, а следовательно, и
в области Rez>0:
СО
dz= J ё~‘
о
Jf-1dz)dZ = O,
fi /
так как по интегральной теореме Коши **)
\tg-idz = Q.
с
*) Фихтенгольц Г. М., Основы математического анализа,
т. II. Изд 5-е. «Наука», 1968.
**) Лаврентьев М. А. иШабатБ. В., Методы теории
функций комплексного переменного, «Наука», 1973.
271
Перемена порядка интегрирования здесь законна, так
ОО
как интеграл ^tz~1e~tdt сходится равномерно для zeD.
о
Свойство 3. Для всех г из области Rez>0 выпол-
няется тождество
Г(г+1)=гГ(г). (2)
Справедливость этого свойства устанавливается непо-
средственно путем интегрирования по частям:
Г (z+ 1) = J tze~‘ dt = —е~Чг 1“ + z J dt =
о 0
= zJ/2-1e-'d/ = zr(z).
0
Применяя последовательно тождество (2), находим
формулу
1 z(z + l)...(z + n-l)(z+n) • ™
Свойство 4. Функцию Г (г) с помощью формулы (3)
можно аналитически продолжить на всю плоскость пере-
менной г, кроме точек г = 0, —1, —2 — п,в ко-
торых Г (г), очевидно, имеет полюсы первого порядка
с вычетами, равными
Re Г (—п) = (—1)”/«!.
Действительно, правая часть формулы (3) есть функ-
ция, аналитическая всюду в полуплоскости Re (г 4- п +
4- 1)>0, кроме точек zo = O, zr — — 1...гп = —«. Эту
функцию и принимаем в качестве аналитического продол-
жения функции Г(г) на полуплоскость Rez> —(«4-1).
Поскольку число п можно взять произвольным, свойство
4 доказано.
Свойство 5. Г(«4-1) = «1-
Непосредственным Вычислением находим Г(1) = 1.
Тогда из формулы (3) получдем
Г («4-!) = «!. (2J
Таким образом, Г(г) можно считать распространением
факториальной функции на произвольные комплексные
числа.
Свойство 6. Имеет место соотношение
Г (г) Г (1 — г) == л/sin лг.
(4)
272
Замечание. Нам достаточно установить справедли-
вость свойства 6 для г = х, где 0<х<1. Тогда по тео-
реме единственности аналитических функций оно будет
верным для всех г.
Д'о казате л ьство.
о
Г(1— х) — J т хе xdt.
о
Следовательно,
dt dt
Произведя замену переменных интегрирования в этом
интеграле по формулам
*+*=£, т/<=₽,
получим
Р(Е. Р) 0 + Р)
D (/, т) t
Следовательно, dt dT = -j-q-g-dgdp. Поэтому
ОО ОО со
Г(х)Г(1— х)= f ^^.б/р = _Д_
JJ 1 + р jl+B sin лх
оо о
Последний интеграл вычисляется с помощью вычетов.
Ч. т. д.
Свойство 7. Г(г) не имеет нулей.
Действительно, пусть z0—нуль гамма-функции. Оче-
видно, z0 не равен ни целому отрицательному числу, ни
нулю. Из формулы (4) находим
lim Г(1—z) = Я--------= оо.
' Лг» Г (г) 8Ш JK
Таким образом, z0 есть особая точка для Г(1 — г).
Но по свойству 4 особыми точками гамма-функции явля-
ются только целые неположительные числа. Следовательно,
1 — z0 = — п, где п — целое и п Js 0, a z0 = 1 ф- п. Тогда
Г(го) = Г(пф-1) = п!^О.
*) См. Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории
функций комплексного переменного, гл. I, «Наука», 1973.
273
Таким образом, предположение о существовании нуля z0
функции Г (г) противоречиво.
Свойство 8. Справедлива формула
Г (г) =\f-4r‘dt, (5)
v
где у есть контур, изображенный на рис. 29.
Рис. 29.
Для доказательства спра-
ведливости формулы (5) дока-
жем лемму.
Лемма. Справедливо ра-
венство
Vi Та
где Yj и у2 — контуры, изображенные на рис. 30.
Для доказательства рассмотрим интеграл по контуру
С, изображенному на рис. 31. Контур С ограничивает
Рис. 30.
Рис. 31.
односвязную область, в которой функция анали-
тична. Следовательно, по интегральной теореме Коши
\e~it^1dt = O.
с
Вместе с тем
Q^e-tt^dt =
с
= e-V-1 dt + $ e-tf-1 dt + J dt + $ dt,
vj y; /л
где Vi> Та показаны на рис. 31, a Zft = a-|-/pft (A=l,2,
3,4, aft = a).
Перейдем в этом равенстве к пределу при a —> оо,
сохраняя постоянными. Интегралы $ и J будут стре-
ла т;
274
миться при этом к 5 и — соответственно. Если мы
То То
докажем, что интегралы и , взятые по отрезкам
44 и 44. будут стремиться при этом к нулю, то лемма
будет доказана. Оценим учитывая, что z = x-\-iy:
t,t,
I J e^t^dt I J | e^f-111 dt | =
I GG I GG
=e~a J |/г-1||Л] = е"“ 5 U'r'e-v^dt.
tit, tit,
Так как 111 < 2a и arg t sg 2л, то
e~a |Jf"1e-«'are'|df |<ra(2a)*"1e2«l‘'i|4-4|.
tit.
При всяком фиксированном z последнее произведение
стремится к нулю при a -> оо. Таким образом,
при а->оо. Точно так же доказывается
t,t,
стремление к нулю интеграла по отрезку 44- Лемма
доказана.
Пользуясь этой леммой, мы можем взять в интеграле
F (z) = $ е Чг 1 dt
у
в качестве контура у контур, составленный из окруж-
ности у0 радиуса г с центром в точке t — О и из верх-
него и нижнего берегов разреза вдоль вещественной оси
от г до оо:
F(z) = [e-'t^dt- f e-‘F~ldt+ f e'H^dt.
To r r
(верхи, берег) (ннжн. берег)
Интеграл Fo (z) = § е *tz 1 dt является аналитической всюду
То
функцией z. Действительно, F0(z) непрерывна во всей
плоскости и интеграл § Fo (z) dz = J e~f J tz~l dz dt, взятый
C To c
по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру С, ра-
вен нулю. Поэтому по теореме Морера Fo (z) аналитична
всюду.
275
Интеграл
Л(г)= f e-^dt
Г
(верхи, берег)
можно записать в виде суммы двух интегралов:
1 со
F.W-J+S-
Г I
1
Интеграл ^e^t^dt не является несобственным и пред-
Г
оо
ставляет непрерывную функцию от z. Интеграл J е'Ч*"1 dt
1
сходится равномерно в любой полосе — AT^Rez^AT,
так как для всех t > 1 выполняется неравенство | е'Ч^11 sg
ОО
^e~'tN~l, а интеграл $ 1 dt сходится. Следовательно,
1
со
интеграл $ dt также представляет непрерывную
1
функцию переменной z в любой полосе — АГ Re z АГ,
а тем самым и во всей плоскости переменного z. Отсюда
следует, что функция Fj (z) непрерывна во всей плоскости
переменной z.
Далее, с помощью теоремы Морера устанавливаем
аналитичность всюду функции Ft(z). Интеграл ^F1(z)dz,
с
взятый по произвольному кусочно-гладкому замкнутому
контуру С, равен нулю, так как /г-1 является аналити-
ческой функцией от z и
jFx(z)dz =
С
1 со
=j (S ®^г-1 dz)dt+J (S dz^dt=°-
Перемена порядка интегрирования здесь законна, так как
СО
интеграл J e~‘t21dt сходится равномерно в любой полосе
1
276
— Nz^Rezs^N. Наконец,
F2(z) = f e~if~1dt=eialz f e^'dt^
(нижи. берег) (верхи, берег)
= e2”teF1(z).
Таким образом, F(z) = F0(z) + (e2lt'2’—l)Fj(z) аналитична
всюду. Поэтому для доказательства формулы (5) нам
достаточно доказать ее для z=x>0*).
Доказательство. Имеем
F (х) =F0 (х) + (а2™- 1)Л (х). (6)
Заставим у0 стягиваться в точку. Тогда Рг (х) будет стре-
миться к Г (х), a F0(x) будет стремиться к нулю, так как
2л
I (*) I $ I 11 dt | sC J e~rrx dtp sg гхе~'2л -> О
% о '•-°
(t = re‘i‘ на у0).
Следовательно, осуществляя предельный переход в соот-
ношении (6) при г->0, получим формулу (5).
) См. замечание к свойству 6.
277
Свойство 9. Из свойств 6 и 8 следует соотношение
1 е'Я* (•
—!_______ _ \ е~Ч~г~1 dt
Г(а+1) 2л( J
v
Действительно,
1
Г (г 4-1)
sin (лг-|-л) г (___ — sin яг р _
д“1 Л2 __ plft# f* «IJt? Г*
2т' (е*2Л,г— 1) 1 al 2т Je 1 а1'
у у
На рис. 32 приведен график гамма-функции.
2. Разложение функции Г (z) в ряд Лорана в окрест-
ности особой точки г = — п (п — целое, пЭ=0) имеет вид
,'«-Чг17Тт+«<г+'1).
где Q(z-J-n) —степенной ряд по степеням z-f-n. Следова-
тельно, функция
<р(2) = Г(2)- У
т \ / \ nl (z-|-n)
п=0
аналитична всюду, кроме z = oo. Таким образом,
СО
ГФ=
п=0
где <p(z) —целая функция.
Так как
У _ у (-1)" С dt _
Li nl(z-l-n) “ Li nJ J
n—Q n~Q 0
1 f co \ f
= X -Чг-/П dt=\ t^dt,
J \ n* / J
0 'n=0 / "0
TO
ф (z) — J dt.
i
Поэтому
co co
r<2>=2Jra-+5w«-
n=0 1
278
Это представление гамма-функции справедливо для
любых z.
3. Вместе с гамма-функцией часто используется ее
логарифмическая производная
^2)=Яг
Так как особыми точками Г (z) (полюсами) являются
лишь точки г = — п, где п = 0, 1,2.и Г(г) не имеет
нулей, то особыми точками ф (г) будут лишь точки z = — п,
притом —полюсами первого порядка. Очевидно, лоранов-
ское разложение функции ф (г) в окрестности точки z = — п
будет иметь вид
Ф(2)=т^+Ж2+п),
где R (z п) — степенной ряд по степеням г+п.
Вычисляя логарифмические производные от обеих час-
тей тождеств (2) и (4), получим тождества
ф(2+1)=14-ф(2), (8)
ф(1 — г) — ф(г) snctgnz. (9)
Число С = — ф(1) называется постоянной Эйлера и равно
С = 0,57721566....
Многократное применение формулы (8) дает
ф(п + 1) = -С+ JI п=1,2,...
*=|
§ 2. Бета-функция
Бета-функцией (или эйлеровым интегралом первого рода}
называется функция
1
В (х, у) = ( tx~l (1 - /Г» dt. (10)
Произведя замену переменной интегрирования в этом
интеграле по формуле
t=-£
ы==тЫ’
279
получим
(|1)
о
Бета-функция обладает следующими свойствами.
Свойство 1. Функция В(х, у) определена и непре-
рывна в области Rex>0 по переменной х и в области
Re у > 0 — по переменной у.
Доказательство. Пусть х = а-ЬФ и y = y-\-io —
фиксированное число с у>0. Рассмотрим замкнутую
область De = {0 <_ 6 Re х} изменения переменной х.
Очевидно, для всех xefij выполняется неравенство
| tx~l | sg /®-1, если 0 sg t sg 1. Следовательно, функция
f(/) = t6“1(l — t)v~* является мажорантной для подынтег-
ральной функции —О?'1 на промежутке
для всех х е Dt, и фиксированного у. Поскольку интеграл
1
$ /8-1 (1 _ t)V~l dt
О
сходится, то интеграл (10) сходится равномерно отно-
сительно х е De. Отсюда следует, что В (х, у) определена
и непрерывна (по х) в области Dt, а тем самым и всюду
в Rex>0. Доказательство свойства по переменной у
проводится совершенно аналогично.
С в о й с т в о: 2. В(х, у) аналитична по х в области
Re х>0, а по у —в области Rei/>0.
Для доказательства этого свойства, например, по х
достаточно показать, что для произвольного 6>0и при
любом фиксированном у из области Ret/>0 интеграл
В (х, у) dx, взятый по произвольному кусочно-гладкому
с
замкнутому контуру С, лежащему в области Dt, равен
нулю. Тогда по теореме Морера В(х, у) будет аналити-
ческой в области De, а следовательно, и в Rex>0.
Для CczDe имеем
, Z*-1 (1 - У’1 dt] dx =
е# = 0,
280
так как по интегральной теореме Коши J/JC-1dx=O.
с
Перемена порядка интегрирования здесь законна, так как
интеграл
1
о
сходится равномерно относительно x^D&.
Свойство 3. Для всех х из области Rex>0 и
любых у из области Ret/>0 выполняется тождество
<12>
Доказательство. Рассмотрим функцию
₽(т)=ф*-1(т-0у-1<й,
о
зависящую от х и у как от параметров. Ее можно рас-
сматривать как свертку функций tx~x и Р1-1.
Найдем преобразование Лапласа этой функции. Пре-
образования Лапласа функций tx~x и tyi равны соответ-
ственно Г(х)/р* и Г(у)/ру. В самом деле,
со со
о о
Г(Ц)
р“
(13)
Поэтому преобразование Лапласа свертки р(т) равно
Г(х)Г(у) . Г(х)Г(у) Г(х+у)
Р**У г (*+{/) рх+У •
Тогда оригинал, т. е. функция Р(т), будет, согласно
формуле (11), равен
В м = £ W_r кд -т-х+у-i
PW Г(л-н/)т *
Полагая здесь т — 1, получим (12).
Глава XIV
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теперь мы будем рассматривать специальные функции,
являющиеся решениями обыкновенных дифференциальных
уравнений вида
fx{k(x)y'}-q(x)y = 0,
в которых функция k(x) обращается в нуль в одной или
нескольких точках (конечных или бесконечных) и пред-
полагается дифференцируемой внутри рассматриваемых
промежутков.
Многие задачи приводят к необходимости решать
уравнение
zW' + zw' + (z2 — v2) w = 0, (1)
в котором V —числовой параметр. Его можно написать,
очевидно, в виде
^{zu)'} + (z-y)u) = 0. (2)
К такому уравнению мы придем, например, при реше-
нии задач, рассмотренных в ч. I, методом разделения
переменных, если будем пользоваться цилиндрическими
(или полярными) координатами (задача о колебании круг-
лой мембраны, об остывании круглого цилиндра и др.).
Так, пусть требуется решить задачу о малых поперечных
колебаниях однородной круглой мембраны .радиуса I,
закрепленной по краям, под действием начального возму-
щения. Если использовать полярные координаты (г, ф),
то искомая функция (отклонение) и —и (г, ф, /) будет
решением следующей краевой задачи:
а2Дц = цй, (Bj)
u(Z, ф, 0 = 0, |u[<oo, ц(г, ф4-2л:, t) = u(r, ф, t), (Ва)
и (г, ф, 0) = /(г, ф), щ(г, ф, 0) = F(r, ф). (Вэ)
282
Условие ограниченности | и | < оо является естествен-
ным следствием физической постановки задачи, а условие
периодичности по <р является следствием условия одно-
значности решения. Для решения задачи (BJ —(Ва) при-
меним метод разделения переменных. Будем искать реше-
ния уравнения (Bj), удовлетворяющие только краевым
условиям (В2), в классе функций вида
ц = Ф(г, q>)T (/).
Разделяя переменные, получим
T'' + aW = 0, (В4)
ДФ4-ХФ = 0, (В5)
Ф(/, <р) = 0, |Ф|<оо, Ф(г, <р + 2л) = Ф(г, <р). (В,)
Задачу (ВБ)—(Вв) также можно решать методом разделе-
ния переменных. Полагая Ф (г, <р) = А (г) В (<р) и исполь-
зуя запись оператора Лапласа в полярных координатах,
получим
В" + рВ = 0, (В7)
В(<р4-2л) = В(<р), (В8)
г2Л''4-гЛ' + (Хг2-р)Л = 0, (В8)
Л (0 = 0, |Л|<оо. (В1о)
Решение задачи (В7) —(В8) и возможные значения пара-
метра р легко находятся:
H = k = 0,1,2..........
Bft (<р) = Ck sin fap 4- Dk cos fap.
Таким образом, задача (BJ — (B3) сводится к нахождению
решений уравнения (В9), удовлетворяющих условиям (В10).
Заменой г = }/Хг уравнение (Вв) приводится к уравне-
нию (1), в котором v2 = A2, ay (г) = Л (]/1 г).
Решения уравнения (1), не равные тождественно нулю,
называются цилиндрическими функциями. Изучение свойств
цилиндрических функций и будет предметом рассмотрения
этой главы.
§ 1. Поведение решений уравнений с особыми точками
в окрестности особых точек
Рассмотрим уравнение
fx{k(x)y'}-q(x)y = G, (3)
283
в котором функция k(x) обращается в нуль в конечной
точке х — а и в окрестности этой точки имеет вид
k (х) — (х — а)а <р (х), ф (а) 0, а > О,
причем функция <р(х) непрерывна в точке х — а и в ее
окрестности.
Теорема. Пусть у1(х) — (х—а)ти1(х), «1(0)^ О,
т^О, есть решение уравнения (1) и Ui(x) непрерывна
в точке х — а и в ее окрестности. Тогда любое другое
решение уравнения (1) у2(х), линейно независимое с У1(х),
в окрестности х — а имеет вид
У г (*) = Ф2 (*) + (х—и2 (х), если 2т+а 1,
^2(х) = ф2(х)4-и2(х)1п(х —а), если 2/п4-а=1.
Здесь ф2(х) и и2(х) ограничены в окрестности х — а и
«2 (а) Ф 0.
Доказательство. По формуле Остроградского для
определителя Вронского имеем
Уз W У1 (х) - yt (х) у\ (х) = C[k (х), С =£ 0 *),
откуда
d Гй1 _ С
— k(x)yl(x}'
Интегрируя это тождество по отрезку [х, xj, a<Zx<Zxlt
получим
*1 1
С Cdt
Здесь Xi —такое фиксированное число, , что на проме-
жутке [a, xj функции ф (х) и их (х) непрерывны н не
обращаются в нуль.
Рассмотрим первый случай: уг (х) = (х — а)т Ui (х). Тогда
р I _______ш________
Ь J (<-о)2т+“ф(/)^(0
X
Применим к этому интегралу теорему о среднем зна-
чении. Получим
и (х\ = У* и М — f
Уг{ ’ Л(*1) У1' ' ФЙ1)«1(В1) J
*) См. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений,
Физматгнз, 1959.
284
или
U (х\ — и (х} 4- °)m (f _ пХ-гт-а+11**
Здесь х^Ь^Хц ?i = 5i(x). Таким образом,
Уг (х) = А, (х) У1 (х) + В, (х) (х - а)~т~а+1,
где
д ______________С _____________
1 W У1М (Zm+a-lH^-apm+a-iyfo)^)’
О (г\_______— Си-L (х)__
C1 w - (2т+а -1) ф (g,) ul (gj) •
Поскольку /Ij (х) и Bi (х) не имеют особенностей в точке
х = а и Вх(х) не обращается в нуль на отрезке [a, xj,
для первого случая теорема доказана. Во втором случае
аналогичные вычисления приводят нас к следующему
результату:
Уг W = Л (х) У1 (х) 4- В2 (х) In (х - а),
где
А Clnfa-д) д . . _ С
sW Л(*1) ф(5а)«Ю’ 2W <р(Ег) «?(&)’
x^2^xlt Е2 = Е2(х).
Поскольку функции А2 (х) и В2 (х) не имеют особенностей
в точке х = а и В1(х) не обращается в нуль на отрезке
[a, xj, теорема доказана и для этого случая. Пусть,
в частности, а=1, т. е. Л(х) = (х —а)<р(х). В этих усло-
виях справедливо
Следствие. Если одно решение уравнения (1) ограни-
чено и имеет вид У1 (х) = (х — а)т и (х), где т^О, и (а) =/= О
и и(х) непрерывна в точке х —а и в ее окрестности, то
любое другое решение уравнения (1), линейно независимое
с yi(x), неограничено в окрестности х — а и имеет вид'
у2(х) = ф2 W + (х—а)~ти2 (х), если т> О,
Уг М = Фа W + «a W In (х — а), если т — 0.
Устанавливаемый этим следствием факт имеет сущест-
венное значение при постановке краевых задач для урав-
нения (3) на отрезке [а, &], один или оба конца которого
являются особыми точками рассмотренного вида этого
уравнения. Если по самому смыслу задачи требуется
найти ограниченное на отрезке [а, решение У1(х), то,
записывая общее решение в виде
У=С1у1(х) + Сгу2(х),
285
мы найдем одну из произвольных постоянных из условия
ограниченности: С2 = 0. Таким образом, в таких случаях
условие ограниченности играет роль краевого условия н
потому его надо формулировать в математической поста-
новке задачи (как одно из краевых условий).
§ 2. Функции Бесселя и Неймана
1. Существует несколько классов цилиндрических
функций.
В настоящем параграфе мы определим два класса:
функции Бесселя и функции Неймана.
Один класс цилиндрических функций мы построим
следующим образом. Будем искать решение уравнения
z2w" 4- zw' 4- (г2 — Vs) w = 0 (1)
в виде обобщенного степенного ряда
w = za{a0+a1z+a2zi+...)t (4)
где о0=#0. Тогда
zw' = г" [с0о 4-01 (о4-1) 24-02(0 4-2) z2 4-...],
z?w" = 20 [а0о (o-l)4-oi(o4-l)oz4-
4-а2(а4-2)(о4-1)г34-...].
Подставим эти значения w, zw' и z2w" в уравнение (1)
и соберем члены с одинаковыми степенями:
г° [о0о2 — OoV2] 4- z°+1 [oi (<т 4- 1 )2 — Oj-v2] 4-
4- zo+2 [а2 (о 4- 2)2 - a2v2 4- «о]+• • .
... 4- га+п [а„ (о 4- n)2 - a„v2 4- ап~2] 4- • = 0.
Чтобы ряд (4) был решением уравнения (1), необходимо
выполнение равенств
о0 (<т2 — v2) = О, Oi[(o4-l)2-v2] = 0,
а2 [(о + 2)2 - v2] 4- Оо = 0.о„[(о4-л)2-*2]+о„_2=0,...
Из первого равенства находим o = ±v, так как о0=/=0.
Возьмем o=4V. Тогда из второго равейства находим
01 = 0. Далее,
Так как o = v, то
~ °П-2
" (2v4-n)n‘
286
Очевидно,
°2ft+l = О
для всех целых неотрицательных k, а
д — ~д2*-г______________________(—до_____________
22(^4-Л)й 22*(г4-й)(^4-Л—1)...(v+1)W
Полагая = Т'п и используя формулы (2) и (2J
предыдущей главы, получим
а,
2«*+vr (*4-v +1) Г (Л +1) ’
Таким образом мы построили формальное решение урав-
нения (1) в виде обобщенного степенного ряда
(~1)Чг/2у^ _
Л = 0
или
Jv(z) = zvPv(z), (6)
где
р (2)= У_______(—(z/2)2fe____
2*Г (/г 4-1) Г (V-H4-1) • I >
k—0
Эта функция является фактическим решением уравне-
ния (1) в области сходимости ряда (5). Легко проверить,
пользуясь, например, признаком Даламбера, что этот ряд
сходится всюду, кроме, может быть, z = 0. Следовательно,
функция Jv(z) является решением уравнения (1) всюду,
кроме, может быть, г = 0. Эту функцию называют функ-
цией Бесселя порядка v (иногда — функцией Бесселя первого
рода). Если v — нецелое число, то функция Бесселя неодно-
значна (из-за множителя zv). В этом случае, т. е. при
v нецелом, однозначную ветвь функции Бесселя выделяют,
ограничивая z областью, где |argz|<n, т. е. производя
разрез вдоль отрицательной части вещественной оси. Для
целых v = n функция Бесселя определена всюду и одно-
значна. Очевидно, Jn (г) есть целая функция.
Замечание. Так ,как члены ряда (5) суть целые
функции переменной v и ряд сходится равномерно отно-
сительно v при каждом фиксированном г, то Jv(z) есть
целая функция переменной v. Поскольку уравнение (1) не
меняется при замене v на —v, то функция J_v(z) также
287
является решением уравнения (1). Если v не есть целое
число, то функции Jv(z) и J_v(z) линейно независимы,
так как одна из них в окрестности z = 0 ведет себя, как
zv, а другая —как z-'1. Поэтому для нецелых значений v
общее решение уравнения (1), а следовательно и произ-
вольную цилиндрическую функцию порядка v, можно
записать в виде
Ух (г) = (v) (z) + C2 (v) J_v (z),
где Ci (v) и C2 (v) — постоянные, зависящие от индекса v.
Если же v равно целому числу п(у = п), то
J_n(z) = (^l)"J„(z).
Докажем это. Имеем
у (-l)fe(z/2)2fe-» _ у (-1)* (z/2pfe-"
£ Г(Л—«4-1)Г(Л4-1) Zu r(fe-п4-1)Г(й4-1)’
й=0 k~n
поскольку Г (k — п 4-1) = оо для всех k = 0, 1,2..п — 1.
В последней сумме произведем замену переменной сум-
мирования k=s + n. Получим
СО
у (-ir4z/2)^
s=0
2. Таким образом, для целых значений v (у — п) функ-
ции Jv(z) и J_v(z) линейно зависимые, и, следовательно,
с их помощью нельзя получить общее решение уравне-
ния (2), т. е. произвольную цилиндрическую функцию
порядка v. Чтобы получить для этого случая линейно
независимое с Jv(z) решение уравнения (2), вводят в рас-
смотрение функцию Неймана
N & = £v(z)cos vn-J v(z)
Очевидно, она является решением уравнения (1).
Подстановка в формулу (8) вместо v целого числа п
О
дает справа неопределенность так как sinnn = 0,
Jr-»(z) = (—1)" Jn(z) и cosnn = (—1)л. Для таких значе-
ний v (у — п) функция Неймана Nn(z) определяется как
предел
Nn (z) = lim Nv (z) = lim •M2)cos wt-J v(z).
V—П V->n sinvit
288
Справедлива
Теорема. Функции Jv(z) и Nv(z) линейно независимы
при любых значениях v.
Для доказательства теоремы вычислим определитель
Вронского IF [Д, Nv] для функций Д(г) и Nv(z).
Для любых дифференцируемых функций f (г), <р (г), ф(г)
IF [/, <p4-ij)] = IF[A <p]4-IF[/, ф].
Поэтому IF[JV, ЛД| = ctg vnIF [Д, Jvj- * IF[JV, J_v].
Oil J VJv
Так как IF [Д, Д] =0, то для нецелых v
^Pv>^]=^IF[7v, J_v]. (9)
Для вычисления IF [Д, J_v] воспользуемся формулой (5).
Согласно этой формуле
Jv(z) = Zv{«o + 22QV(2)b (10)
J_v(z) = z“v{b04-z2Q_v(z)}, (11)
где Qv(z) и Q_v (г) — степенные ряды по г. Следовательно,
J'v (г) = vzv-1 {а0 4- z2Rv (г)}, (12)
JLV (z) = - vz-"-1 {&0 + z2R_v (г)}, (13)
где Rv(z) и R_v (г) — степенные ряды по г.
Далее, по определению определителя Вронского
IV7 Г Г Г 1 ~V
ZW[JV, J_V]=Z , , =
J Jv(2) J-v(z)
= z {Д (z) J—v (z) Д (z) J(z)}.
Пользуясь формулами (10) и (11), находим
zIF [Jv, J_v] = — 2va0&0 4- z2Sv (z), (14)
где Sv(z) — степенной ряд. Согласно формуле Остроград-
ского (для определителя Вронского) для нецелых v
IF[JV, j_v] = C/z, где С —не равная нулю постоянная.
Следовательно,
zW[Jv, J_V] = C.
Поскольку это соотношение есть тождество, то С =
= {zIF [Д, Ду]}г-о- Пользуясь формулой (14), находим
C = {zIF[Jv, /_Л}г_о = —2аЛ\>.
10 В. я. Арсенин
289
т 1 , 2V
Так как а0 sytcv+I)’ ^о—Г'1—v)’ то
С —______~2v_____
r(v4-l)r(l— v) *
Пользуясь формулами (2) и (4) гл. XIII, получаем.
___—2 sin vn
л
Таким образом, для нецелых v
W [Jv, J~v] — ~2 sin vn.
L * TtZ
Следовательно, согласно формуле (9) для нецелых v
[Jv, = (15)
Так как W„] = lim U7 [Jv, Mv], то из (15) еле-
v-*n
дует, что
W[J„, ivn]=^.
Итак, определитель Вронского W [Jv, Mv] не равен
нулю для любых индексов v. Следовательно, функции
Jv(z) и Mv(z) линейно независимы при любых значениях
индекса V. Теорема доказана.
3. Поскольку Jv (г) и Nv (г) — линейно независимые
решения уравнения (1) при любых значениях индекса v,
общее решение этого уравнения, а следовательно и про-
извольную цилиндрическую функцию индекса v, можно
записать в виде
Уч (г) = С^у (г) 4- C2Nv (г).
Очевидно, к решениям Jv(z) и Му (г) уравнения (1) при-
менимо следствие теоремы § 1, согласно которому
в окрестности особой точки уравнения (1) г —О функция
Mv(z) ведет себя, как A/zv, если v^O, и как Л1пг,
если v = 0. В частности, функция Неймана Mv (г) с индек-
сом v^=0 неограничеиа в окрестности г = 0.
4. Пользуясь представлением функций Бесселя в виде
ряда (5), непосредственной проверкой устанавливается
справедливость тождеств
(г). (16)
290
Производя в этих формулах дифференцирование, получим
Л(г)^|А(г)-/м(г) (17)
j'v(z)^jv(z) + jv_1(zy (18)
Отсюда следует рекуррентная формула
(19)
С использованием определения функций Неймана и соот-
ношений (17), (18), (19) непосредственно устанавливаются
такие же соотношения для функций Неймана
+ (20)
y;(z)^2>v(z)-yv+1(z). (21)
Если v равно целому числу п, то по формулам (19) и
(20) мы сможем последовательно выразить все функции
>„(z) и jV„(z) (»Э=0) соответственно через J0(z), Jt(z)
и JV0(z), Ni(z). Ввиду этого в таблицах приводятся лишь
значения функций j0(z), А(г); N0(z), N^z).
Непосредственным суммированием ряда (5) устанавли-
вается справедливость формул
Г 2 Г'%
^i/a(z)= I/ -sinz и J_1/2 (г)= I/ -cosz.
Пользуясь этими формулами и рекуррентной форму-
лой (19), находим
<+|(z) = {Q"(t) sinz+/?«-i(l)COSz}^^’
<„+1 (z) = {*«-> (т)sin z - & (I) cos z}V^>
где Qn(P)> Rn-i(P) суть многочлены степеней n и n— 1
Относительно p.
§ 3. Ортогональность функций Бесселя
1. Уравнение
х2у"+ху' + (Х2х2-^2) у = 0 (22)
10* 291
или
%х[ху']--* У + №ху = 0 (220
заменой переменной Хх — г приводится к уравнению (2).
Следовательно, функция Jv (Кх) является решением урав-
нения (221). Это уравнение имеет такой же вид, как и
уравнения для собственных функций в одномерном слу-
чае (А (х) = х, q (х) — v2/x) *).
Типичные краевые задачи для уравнения (22) состоят
в нахождении таких значений параметра А, при которых
это уравнение имеет нетривиальное, ограниченное на
заданном промежутке (0, Z) решение, удовлетворяющее
краевому условию вида ау' (Z) + by (Z) = 0 на правом
конце. К таким задачам относится, например, задача
(Вв) — (Вщ) этой главы. Это задачи типа задач Штурма —
Лиувилля, рассмотренных нами в гл. IV. Возникает воп-
рос: не будут ли ортогональными на промежутке (0, /)
решения уравнения (22г), удовлетворяющие краевым усло-
виям вида ay' (!) + Ьу(1) = 0, т. е. функции Бесселя Jy^x)
и Jv (Х2х), в которых значения и Х2 параметра X, опре-
деляются из краевого условия at/ (Z) + by (/) = 0? При
этом естественно ожидать ортогональности с весом р (х) =
= х, как это видно из уравнения (22х). Ответ на этот
вопрос дает
Теорема (об ортогональности). Функции Бесселя
(Хх) обладают свойством ортогональности с весом р (х) = х.
Точнее, для всякого v>— 1
i
xJvx^Jv^t х) dx = 0, если а ф |3,
о
где оба числа а и р суть корни одного из трех уравнений'.
«Мт)=о, Л(т)=о, (Т)+лЛ(т)=о.
Доказательство. Напишем два тождества:
х £ Jv (Хх) + £ Jv (Хх) + (х2х - Д<Хх) 0,
x-^Jv№) + ~Jv (рх) + (р2х — Jy (рх) SS 0.
Первое из них умножим на Jv (рх), второе — на Jv (Хх),
*) См. гл. IV, § 3.
292
затем вычтем почленно одно из другого и результат про-
интегрируем (по х) по отрезку [0, /]. Получим
х] Jv (рх) Jv (Хх) Jv (Хх) Jv (рх) | dx +
0 /
+ S {Л i ~ i М =
о
I
= (р2 — X2) $ xJv (Хх) Jv (рх) dx,
о
или
S £ ИJv d~x Jv ^]} dx =
О
I
= (р2 — X2) § xJv (кх) Jv (рх) dx. (23)
о
Произведя интегрирование, получим
{х[ Jv (РХ) Jv (Хх) - Jv <№ Jv (рх)]}' =
I
— (р2 — Х2)$ xJv (Хх) Jv (рх) dx. (24)
о
Покажем, что при v > — 1 и X = oc/Z, р = |3// левая
часть равенства (24) обращается в нуль. Для этого заме-
тим, что, пользуясь формулой (5), Jv (fa) и ^Jv (^-х)
можно записать в виде
ММ-^+Л,и,
^A(Xx) = TI^r)+x-Qx(x),
где Р^(х) н Qx (х) — степенные ряды. Используя эти фор-
мулы, находим
’’54^1>+r<l‘W' -
- x,v*W1 W+№”4RS (»),
293
гтат!)+"'”^«
где /?1(х) и Т?2(х) — степенные ряды. При v>—1 послед-
нее выражение обращается в нуль для х = 0. Полагая
в равенстве (24) ‘к — аЦ, р = получим
dx =
р2_а2 (Р) fa Jv («) РА (а) Jv (P)j-
(26)
Из равенства (26) немедленно следует ортогональ-
ность прн указанных выше значениях аир*).
2. Вычислим квадрат нормы | Jv х\||2. Для этого
Воспользуемся формулой (26). Переходя в ней к пределу
при Р->а, получим
/2
~ 1«т рГ^ Л W Л <а> - ₽ Л (а)Л (Р)].
Непосредственный переход к пределу в числителе и зна-
о
менателе дает -g-.
По правилу Лопиталя находим
Р
= 2а [а Л («) Jv (а) — Jv (а) Л (а) — а Jv(a) J"v (а)]. (27)
Далее из тождества
г2 Д (г) + zJ'v (г) + (г2 - v2) Jv (г) ss О
находим
—Л (а) = |Л(а) + (1 -J) А(а).
*) Для третьего случая в правой части формулы (26) произве-
dJv (а) о Mv (₽) , , , .
дения а —и р —хзгд над0 заменить соответственна на —йJv(a)
cZCC czp
и —hJv@).
294
Подставляя это значение производной Jy (а) в фор-
мулу (27), получим
| А ( “ х) f = у {[Л (а)]2 + (1 - Л (а)} *> • (28)
§ 4. Нули цилиндрических функций
1. В § 3 мы видели, что ортогональность функций
Бесселя связана с нулями функций Бесселя и их про-
изводных. В настоящем параграфе мы рассмотрим основ-
ные свойства Hyjjefl функций Бесселя и других цилинд-
рических функций.
Теорема 1. Нули всякой цилиндрической функции
простые, кроме, может быть, г = 0.
Доказательство. Пусть г0 0 есть нуль крат-
ности п (п^2) решения yv(z) уравнения (1), не равного
тождественно нулю. Тогда yv (г0) = уС (z0) = 0. В силу
теоремы единственности решения задачи Коши **) для
уравнения (1) yv(z)^0. Это противоречит условию.
Поэтому предположение о кратности нуля z0 неверно.
Следствие 1. Все нули функций Бесселя и функ-
ций Неймана простые, кроме, может быть, г = 0.
Замечание. Из формулы (5) следует, что если z0
есть нуль функции Бесселя Jv(z), то н —z0 является ну-
лем этой функции. Из этой же формулы следует свойство
*) Квадрат нормы на отрезке [a, fc] любой функции Kv(Ax),
удовлетворяющей уравнению (22J, вычисляется по формуле
ь
j «г; М |[^f + (' -'J) >'< й) |“.
Для доказательства этого надо использовать очевидное соотношение
ь
J xYv (>.х) Yv (рх) dx =
а
и перейти в нем к пределу прн р — А. При вычислении предела пра-
вой части следует воспользоваться правилом Лопнталя и уравне-
нием (22j), как и прн вычислении нормы
**) См. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений,
Фнзматгнз, 1959.
295
четности функций Бесселя с целыми индексами, т. е.
Jn(-г) = Jn (г).
Следствие 2. Все нули цилиндрических функций
с индексами v^O изолированные.
Действительно, любая цилиндрическая функция yv(z)
может быть представлена в виде
yv (г) = СХД (г) + C2N v (г).
Если ^(г) = С1Д(г), то, пользуясь формулой (5), эту
функцию можно записать в виде yv(z) = C1zvfp(z), где
Ф (г) непрерывна всюду и <р (0) ф 0. Существует такая
окрестность точки z = 0, ни в одной точке которой <р (г)
не обращается в нуль. Отсюда и следует, что z — О явля-
ется изолированным нулем функции yv(z). Если yv(z) =
= CiJv (z) 4-CiNv (г), где С2 ф 0, то г = 0 не может быть ну-
лем такой функции, так как функция Неймана Л\, (г), согла-
сно теореме § 1, обращается в бесконечность в точке 2 = 0.
Пусть z0 Ф 0 является точкой накопления нулей
цилиндрической функции у^ (г) и yv (г0) = 0. Тогда можно
выделить сходящуюся к г0 последовательность нулей
{г„}->-г0. Очевидно,
Уч (z0) = lim yv(^)-yv(zo) = о
П-*СО 2П 20
Таким образом, имеем yv(z0) = 0 и y'(zo) = 0. Это озна-
чает, что г0 является нулем второй кратности, чего не
может быть по теореме 1.
Очевидно, указанное утверждение эквивалентно сле-
дующему: в любой ограниченной области переменной z
всякая цилиндрическая функция yv (г) может иметь лишь ко-
нечное число нулей. Это утверждение справедливо для ци-
линдрических функций с любым индексом v.
2. Теорема 2. Все нули функций Бесселя Jv(z)
с вещественным индексом v>—1 вещественны.
Для доказательства нам понадобится
Лемма. Если а = ге1<е есть корень уравнения Jv (у) = 0,
то и сопряженное ему число a. = re~‘v является корнем
того же уравнения.
Доказательство. Функцию Бесселя, очевидно,
можно записать в следующем виде:
со
А (г) = zv bkz2k, где bk = gv+aftr^+v-H) Г(£-|-1)
Л=0
296
Тогда
jv (re1*) = rve'v” У, bkrikel2k<f =
й=0
= rveZv<ffy 6*r2ft cos 2Aq> + г У bhr2k sin 2£<p\
\*=o *=o /
или
Д (re-'f) = rVv” [A (г, <p) + /Dv(r, q>)],
Jv (re~l<e) = rve~‘v<e [A(r, q)-iDv(r, q>)], ( '
где
Av (r, <p) = 2 bkr2k cos 2A<p, Dv (r, <p) = У sin 2£ф.
k=0 fe = 0
Из формул (29) лемма следует немедленно. Действи-
тельно, пусть а = ге’’’ есть корень уравнения Jv (у) = 0.
Тогда
Jv (а) = Л (ге’Ч’) = rYlV<f [A (г, <р) + tDv (г, у)] = 0.
Следовательно, ?lv(r, <p) = Dv(r, <р) = 0. Тогда и Jv (а) = 0
Доказательство теоремы. Пусть а = ге1<р есть
нуль функции Бесселя Д(г). По лемме а = ге~,<р также
является нулем этой функции. Тогда по свойству ортого-
нальности имеем
xJv Jv[j-x^dx = 0,
о
или
i
0=^xJv^r-t xe~,4>\dx =
о
i
= ^х(т)2 [^*(т х’ Ч)) + ^(тх> Ч5)]^- (30)
о
Мы воспользовались при этом формулами (29) Однако
подынтегральная функция в последнем интеграле непре-
рывна и не равна тождественно нулю. Следовательно, и
интеграл не может быть равен нулю. Таким образом,
предположение о существовании комплексных корней
у функции Бесселя приводит к противоречию.
297
Теорема 3. Всякая цилиндрическая функция yv (z),
принимающая вещественные значения на вещественной оси,
имеет бесконечное множество нулей.
Доказательство этой теоремы будет дано позже,
в § 7, п. 7.
Следствие. У всякой функции Бесселя Jv (z) и функ-
ции Неймана Nv (z) с вещественными индексами v
имеется бесконечное множество нулей.
3. На основании доказанных теорем положительные
корни уравнения Jv(ct) = O (где v — вещественное число)
можно перенумеровать в порядке их роста натуральными
числами:
Ctj < CCj <С •. • <С <Х &т+1 <С • • •
Очевидно, эти корни являются функциями индекса v, т.е.
~= % (v).
Теорема 4. Нули функций Jv(z), J^(z) и q\(z) =
= zJ'v(z)-\-hJv(z) с положительным индексом v растут
с ростом V.
Проведем подробное доказательство для функции Jv (г).
Для доказательства теоремы достаточно установить, что
q
Cv
Доказательство. Для любого фиксированного т
имеем
Jv (v)J = 0. (31)
Дифференцируя это тождество по v и опуская для упро-
щения записи индекс т, получим
Штрихом мы будем обозначать производную по г. Дялрр,
из формулы (17) находим
zJy (z) — vJv (z) = — zJv+1 (z),
откуда, с учетом тождества (31), получаем
Jy(z)\z-a— ^v+i(®). (33)
Первое из тождеств
^2{гД(г)}+(г-^ Jv(z) = 0,
^{zJ'(z)}+^z-^Jo{z)^0
298
умножаем на Ja(z), второе на Jv(z) и результаты вычи-
таем один из другого. Получим
{z[Jo (z) J у (z) J v (z) Jq (z)]} =--— Jy(z) Jo (z).
Следовательно,
[j'o (x) Jv (x) - j; (X) Jo (X)] = jj /о(г)Л(г) (34)
0
так как для v и a > 0 выражение г [J'a (z) Jv (z) —
— Jv (z) Jo (z)] равно нулю при г = 0. При а = v левая
часть в (34) имеет вид -д-. Вычисляя ее при а = v по пра-
вилу Лопиталя, получим
1Z— X
Полагая здесь x = a(v), получим
-« . dJv(z)
“х J-у (О*) ч =
2v ' ’ dv z=a
С W ,
\-------az.
») Z
Q
(35)
о
Выражая ^Jv(z) |2_^ через Jу (а) и а’ из тождества
(32) и исключая затем JJv(a) с помощью (33), получим
da 2v с J*„ (z)
= l (a) S dz>°'
1 о
Теорема доказана.
Для функций Jy (z) и <pv (z) доказательство проводится
аналогично, но при этом надо тождество (31) заменить
соответственно тождествами
Л(РМ) = 0 и y(v) j;(y(v))-|-ftJv(Y(v)) = 0.
Здесь р (v) — нуль функции J’v (г), у (v) — нуль функции
q>v (г)-
4. Теорема 5. Функции Jv(z) и Jv+1 (z) не имеют
общих нулей, кроме, может быть, г = 0.
Справедливость теоремы легко установить, пользуясь
формулами (17) *). Нетрудно также показать, что нули
функций Jv(z) и Jv+i(z) разделяют друг друга.
') Читателю рекомендуется это сделать самостоятельно.
299
5. Проиллюстрируем применение функций Бесселя и
ряда их свойств к решению краевых задач.
Пример Решите задачу об остывании однородного бесконеч-
ного круглого стержня радиуса /?, на поверхности которого все
время поддерживается нулевая температура Начальная температура
внутренних точек^ стержня задана и равна ср (г)
Математическая постановка задачи требуется найти решение
и (г, 7) уравнения для />0 и Osjr</?, удовлетворяю-
щее следующим начальным и краевым условиям:
и (г, 0) = <р (г), и (/?, 0—0. | и (0, /)|<оо.
Решение Разделяя переменные и (г,/)=Ф (г)Чг (/), находим
Ф -|-уФ'+1Ф=0, Ф(/?)=0, |Ф(0)|<оо,
Чг(0=Се~Ло\ где Х>0.
Общее решение уравнения для Ф (г) можно записать в виде
Ф (r) = AJ0 (ГМ+^о (ИМ-
Здесь 7V0 (ИМ —линейно независимое с Jo (ИМ решение уравне-
ния для Ф (г) По следствию из теоремы § 1 7V0 (ИМ неограничена
в окрестности г=0 Поэтому из условия ограниченности искомого
решения находим В = 0
Следовательно, Ф (r) = AJ0 (ИМ- Очевидно, можно положить
А = 1 Из краевого условия при г —7? находим уравнение для опре-
деления собственных значений:
Jo(p)=O, р=ИПВ-
По теоремам 1 — 3 это уравнение имеет бесконечное число простых
вещественных корней щ < < 11п < По ним определяем
собственные значения 7>n = |i2//?2 и собственные функции задачи
J (11п _
Мы будем предполагать полноту этой системы собственных функ-
ций и разложимость функции ф (г) в ряд по собственным функциям
/ /Ига \
Решение исходной задачи ищем в форме ряда
00 2^Л,
ц(г, 0=
п= 1
Коэффициенты ряда находим, используя начальные условия
и свойство ортогональности функций Бесселя
«(,, 0)=<р (r) = 'I-
\ А /
П-^ 1
300
Умножаем это тождество на и по пученный результат
интегрируем по г иа промежутке [0, 7?] С учетом ортогональности
функций Бесселя и формул для квадрата их нормы получим
R
J гф (г) г) dr =Q ф [ J'(p*)f.
О
Следовательно,
Я
С*=Я2|^(М12 S r4<r'>J^r'\dr-
о
Замечание Для приближенного решения задачи достаточно
ограничиться несколькими первыми членами ряда, например.
и (г, t) Сге Я2 /о(^г)+С2е &
Pi и р2 находим в таблицах значений 70 (х):
Pi—2,4048, р2 = 5,5201.
6. Приведем без доказательства некоторые теоремы
о разложении функций в ряды Фурье по функциям Бес-
селя. Эти теоремы уточняют общую теорему Стеклова
(гл. IV, § 2) о разложении функции в ряд Фурье по соб-
ственным функциям для частного случая, когда собствен-
ными функциями являются функции Бесселя.
Предварительно напомним одно определение.
Функция f(x) называется абсолютно интегрируемой
ь
на промежутке (а, Ь), если интеграл | f (х) | dx имеет ко-
а
нечное значение.
Теорема 6. Если функция f(х) кусочно-непрерывная
и кусочно-гладкая на [0, /], то ее ряд Фурье по функциям
Бесселя Jv xj (v 2= — 0,5) сходится к [f (х + 0)-|-f (х — 0)]
в каждой точке х е (0, /). Для х = 1 он сходится к f (I — 0).
При v>0 для х = 0 он сходится к нулю.
Теорема 7. Пусть функция f(x) обладает свойст-
вами: а) абсолютно интегрируема на промежутке (0, /);
б) непрерывна на отрезке [a, fe] (0^ц<; bsg/); в) имеет
абсолютно интегрируемую на (а, Ь) производную. Тогда
ряд Фурье этой функции по функциям Бесселя Jv х]
(v 2s —0,5) сходится равномерно к f(x) на всяком отрезке
301
[a4-6, 6 — 6], где 0<z8<Z(b — a)/2. Если b = l и f(t) = O,
то сходимость будет равномерной на всяком отрезке
[«4-6, /]•
Здесь р„ — положительные корни уравнения Jv(z) = 0.
Замечание. Утверждения теорем 6 и 7 справедливы
также в случаях, когда р„ — положительные корни урав-
нения
г Jv (z) 4- A Jv (г) = О,
если дополнительно потребовать, чтобы v = — h, а в тео-
реме 7 опустить условие =
Теорема 8. Если f(x) непрерывна и дважды диффе-
ренцируема на отрезке [О, I] и (0) = 0, ajf (/)4-
4- a2f (/) = 0, то ее ряд Фурье по функциям Бесселя Jv х^
порядка v > О сходится равномерно к f (х) на отрезке [О, I].
Здесь р„ — положительные корни уравнения
a±zJv (г) 4- «2 Jv (z) = 0.
§ 5. Функции Ганкеля
1. Третий класс цилиндрических функций мы построим
следующим образом. Будем искать решение уравнения (1)
в виде контурного интеграла
w(z)= jK(z, g)»(g)dg, (36)
с
где К. (г, g) — некоторая заданная функция, a v (g) — не-
известная функция. Подставляя эту функцию w (г) в левую
часть уравнения (1), получим
L [W] = $ {г*Кгг 4- гКг 4- z2K - v2K} v (g) < (37)
c
Мы полагаем при этом, что контур С и функция
К (z, g) выбраны так, что все проделанные выше операции
были выполнимы.
Если в качестве К (z, g) выбрать решение уравнения
z27Czz 4“ z/Cz 4- z27C 4- Kq, — 6, (38)
то L [щ] можно записать в следующем виде:
L[№] = - J(v2K4-^)«(l)rf| =
с
= - К {v"4- v*v} dl4- {KV - К^}ВА.
302
Эта формула получена путем двукратного интегрирования
по частям второго слагаемого; А и В —концы контура
интегрирования.
Возьмем в качестве К (г, |) функцию — е-12 sin^, а в
качестве v (?) — решение уравнения
v’ 4- v2u = О,
например e'vK Контур С выберем так, чтобы все упомя-
нутые выше операции были законными и чтобы выраже-
ние Kv' — К^у на концах' контура С, т. е. в точках А и В,
обращалось в нуль. Тогда
w (?) = е~iz s,n Е+dg. (39)
с
2. Принимая за С контуры Сг и С2 (рис. 33), мы по-
лучим две цилиндрические функции:
НУ (г) = Х e-izsinE+M dg,
с,
Н'У (?) = -^ e-«sin6-Hv6 4
с,
(40)
называемые функциями Ганкеля.
Выкладки, приведшие нас к определению функций
Ганкеля, носили формальный характер. Поэтому нам надо
показать, что функции Н'У (z) и
Н'У (г), определенные формулами
(40), действительно являются
решениями уравнения (1), т. е.
имеют производные первого и
второго порядка, и что при под-
становке функций НУ (?) и Н'У (?)
в уравнение (1) дифференциро-
вание (первого и второго поряд-
ка) можно производить под
знаком интеграла. Надо дока-
зать также, что при указанном выборе контуров Сг и С2
выражение Kv' — Ку обращается в нуль на концах этих
контуров.
Докажем ряд свойств функций Ганкеля.
Свойство 1. Функции Ганкеля определены
рывны в области Rez>0,
и непре-
303
Для доказательства этого достаточно *) установить
равномерную сходимость интегралов, определяющих функ-
ции Ганкеля, в области- D& =s Re zSs 6 > 0, где 6 —любое
положительное число.
Рассмотрим для определенности функцию H'J' (z).
На верхней части контура
| = — л + Ф (₽>0), sing = — Zshp.
На нижней части контура С±
| = ф (₽<0), sin| = Zshp.
Следовательно, на этих частях контура функции
e-eshp-sp+л? и eeshp—ps соответственно будут мажорант-
ными для модуля подынтегральной функции (y = s-}-iq).
СО
Вместе с тем интегралы от этих функций $ sp+ng
о
о
и J e6sh₽—sP сходятся. Следовательно, исходный интег-
— со '
рал по контуру С± равномерно сходится в области Re z Sa
^6>0. Аналогично устанавливается равномерная схо-
димость интегралов
$ Кгод£, J K^vdl, J K^vdl (p=l, 2).
cp cp cp
Замечание 1. При всяком фиксированном значе-
нии z из области HJ‘ (z) и Н'4’ (z) суть функции пере-
менной V. ФуНКЦИИ e-eshp+pm-Hig и efishp—тр будут
мажорантными для подынтегральной функции в (40) соот-
ветственно на верхней и нижней части контура С\, если
v принадлежит замкнутой области Gm=^ {Rev=Cm}. Так
как интегралы по верхней и нижней частям контура Сг
от указанных мажорантных функций сходятся, то интег-
рал, определяющий HJ’ (z), равномерно (относительно v е
eGm) сходится в Gm. Отсюда следует непрерывность Ну' (г)
по v всюду. То же верно и для Hy'(z). Таким образом,
функции Ганкеля являются непрерывными всюду функциями
индекса v.
Свойство 2. Функции Ганкеля аналитичны в обла-
сти Rez>0.
*) См. Фихтенгольц Г. М., Основы математического ана-
лиза, т. II, гл. XVIII, изд. 5-е, «Наука», 1968.
304
Для доказательства этого заметим, что интеграл
$ Hv' (z) dz, взятый по любому кусочно-гладкому замкну-
тому контуру L, лежащему в области RezS&6>0, равен
нулю. Действительно,
$ НУ (z) dz=$$ e-<zsinE 4-zvg dz = 0,
L CtL
так как функция e~lzsinl при любом фиксированном |
аналитична всюду по г, и поэтому по интегральной тео-
реме Коши
e~izsintdz = 0.
Перестановка порядка интегрирования здесь была закон-
ной в силу равномерной сходимости интеграла по кон-
туру Сх. Тогда по теореме Морера *) НУ (г) аналитична
в области Rez^6>0. В силу произвольности 6 Н‘У(г)
аналитична в области Rez>0. Аналогично доказывается
аналитичность НУ(г).
Замечание 2. Совершенно аналогично устанавли-
вается аналитичность всюду функций Ганкеля по пере-
менной v. Таким образом, функции Ганкеля суть целые
функции индекса v.
Поскольку интегралы J KzVdl- и J сходятся
ср ср
равномерно в области Rez^fi (6>0), то при вычисле-
нии производных функций Ганкеля дифференцирование
можно производить под знаком интеграла.
Свойство 3. Справедливы предельные соотношения
lim {К (z, Д) v' (£) -
Е=—л-Н₽-»~ л+й»
—g)v(g)}=0,
lim {К (z, g) v' (g) -
Rez>0. (41)
<a>
Докажем первое из них. На верхней части контура Cj
К (z, E) v' (|) | = | e-'«in6-Hv6/v | = | v | е~*sh₽-s₽+"« -► О
*)См. Л аврент ье вМ. А., Шабат Б. В., Методы теории функ-
ций комплексного переменного, «Наука», 1973.
305
при ₽->со;
| Ki (z, I) v (£) | = | — iz cos ge-<’*sinE+ <4 | =
= I z I ch ₽e~ *sh₽-s₽+n<7 _>0,
при ₽->CO.
Отсюда следует справедливость первого соотношения.
Второе доказывается аналогично. Таким образом, функ-
ции Ганкеля являются решениями уравнения (1), анали-
тическими в полуплоскости Rez>0.
3. Путем непосредственного вычисления убеждаемся
в справедливости рекуррентных формул
Н™! (г) + Ну_х (г) у Ну (г) (k = 1, 2), (42)
НУ+, (г) - Ну_, (г) - 2 Ну (z) (k = 1, 2). (43)
Действительно,
НУц (z)+H^l (г) = у J e-'^sinE(^(v+i)&_|_e<-(v-i)E)rf| =
" ck
= у e-fzsinfc-Hv? (giS-|_e-Z&) =
ck
= — \ e-fesing+ivg cosgdg = X ( e£VM(e~fesin£).
71 J IJTZ J
ck ck
Производя интегрирование по частям, получим для
Ну'(г)
—?. С eivld(e~<zsin£) = —izsing+wjp <0° i
inz j v ' im |g=—n+it» 1
Ct
-1-2VJL f e-izsinJ + M^E _2y_L C e-£ZsinJ4-<X (ft =— W(D lz\
г я J ® г л j » z v '
Cl Cl
так как подстановка пределов в проинтегрированную часть
дает нуль (см. стр. 305). Для Н'* (?) выкладки те же.
Далее,
ну+х(2)-ну_х(г);=~ e-tosinE+'^2isiHgdg.
Я ck
С другой стороны,
2 ну (z) = у J e-«sinE-HV6 (_ i sin g) d%.
П ck
306
Следовательно, верна и формула (43). Легко установить
также соотношения
Z/2.’v(z) = e'V3l//;I,(z), (44)
H'*v (z) = е^НУ (z). (45)
Первое из них получается заменой переменной интегри-
рования | = — л — а в интеграле
Ну (z) = е~ й si" rfg.
с,
Действительно, при такой замене переменной интегриро-
вания контур С± перейдет в тот же контур, но с проти-
воположным обходом.
Таким образом, получим
//«> (г) = — ( е-«zsina+fva . giw = (z\
—v' ' л J v ' '
Ct
Формула (45) устанавливается аналогично заменой пере-
менной интегрирования £ = л — а.
Поскольку функции Jv(z) и A^v(z) суть линейно неза-
висимые решения уравнения (2), функции Ганкеля должны
быть их линейными комбинациями.
Докажем, что в области Rez>0 справедливы фор-
мулы
Д V1 (z) = Jv (z) + IN v (z), (46)
Н'У (z) = Jv(z) — iNv(z). (47)
Для их доказательства достаточно установить спра-
ведливость формулы
Ну (г)+Ну> (г)
Jv(z)^ -v v . (48)
Действительно, заменяя здесь v на —v и используя тож-
дества (44) и (45), получим
(г) = 4 (г) + е-(г)}. (49)
Разрешая соотношения (48) и (49) относительно НУ (?)
и /ДГ(г), находим
НУ (г) = i (50)
' ’ sin wt ’ ' ’
Ну (г) = i -^У.(г)-е^.7у(г) 5 j
V 1 SinVJl v }
307
Следовательно,
Н'" (г) - Я?’ (г) = {jv (г) cos ул- J_v (z)}=2tIVv(z). (52)
Из (48) и (52) следуют формулы (46) и (47).
Докажем справедливость формулы (48). Поскольку
функции Jv(z) и H^(z) (k= 1, 2) аналитичны в области
Rez>0, нам достаточно доказать формулу (48) для
z — x>0.
Доказательство. Обозначим через /v(z) правую
часть формулы (48). Тогда
JvW=i J
Со
(53)
где Со —контур, изображенный на рис. 34.
Произведем в этом интеграле замену переменной интег-
рирования
При этом полупрямая (— л + too, — л) контура Со перей-
дет в полупрямую (+ оо, х/2) вещественной оси (в ее
нижний берег), полупрямая (л, л +
4-too) — в ту же полупрямую
(х/2, 4- оо) вещественной оси, но
проходимую в противоположном
направлении (в ее верхний бе-
рег); отрезок [— л, л] — в окруж-
ность |й|=^х/2.
Таким образом, при выбран-
ной замене переменной интегри-
рования контур Со перейдет в кон-
Рис. 34.
тур у (гл. XIII, стр. 274), обходимый в обратном на-
правлении. Следовательно,
Xs
; (х) = ~ е4а — ae,ltv ( х V —=-
/VW 2л J е е \2)
у
X2
_____pl Jtv / V X V С „ , — -
= —н— I ( о ) \е a v da.
2л \ 2 / j
у
30S
Разлагая в ряд Лорана по степеням а и произ-
водя почленное интегрирование ряда, получим
• z \ — ieiv!t IX V V MV* 1 С -а -ь-v-i
/vW— 2я [2) \2/ kt J e a da~
Л=0 Y
2(-1)*(х/2)»*** ,
r(fe-|-v-|-l)r(fe+l)
*=o
Здесь мы воспользовались формулой (7) гл. ХШ для
вычисления интеграла J ё~а a~k~v~1 da. Таким образом,
у
формула (48) доказана. Мы получили также интегральное
представление функции Бесселя Jv(z):
Jv = d^. (54)
с.
Разбивая этот интеграл на три интеграла, получим
Jv^~2n J
О
gizsin^pi + rvit—vfl
i
2л
со
Jz sin (ф) — Mtv—v₽ jp _[_
О
g—jzsina-{-iva
(5 = a + i₽),
или
CO Л
Jv(z) = -i-(eim-e-ivn) ?e-zsh₽-vMP + 4- ? e-fesin«+/v“da,
0 —л
ИЛИ
оо л
Jy (г) = ~ S1?.^ f £>-* sh fj-vfj rfp + _L C e-<z Sin a-Mva (55)
71 J J
О — л
В частности, при v =n (n-целое) получим
Л
Jn (г) — е~,г sin a+/ла
—Л
(56)
Из этих формул немедленно следует, что для любого це-
лого п
|J„(z)|«Sch^ (z = x+iy)
и
309
Из формул (46) и (47) и из линейной независимости
функций Jv(z) и Nv(z) следует линейная независимость
функций Ганкеля между собой и каждой из них — с функ-
цией Бесселя Jv(z) и с функцией Неймана Nv(z).
Следовательно, общее решение уравнения (2), а также
и любую цилиндрическую функцию можно написать как
линейную комбинацию функций Ганкеля или пар функ-
ций gv(z), И? (г)}, {Nv(z), Hy(z)} (Л=1, 2).
§ 6. Модифицированные цилиндрические функции
(цилиндрические функции мнимого аргумента)
Если в уравнении (2) z заменить на £ = iz, то полу-
чим уравнение
22ui" 4- zw' — (г2+v2) w = 0, (57)
в котором дифференцирование производится по перемен-
ной z.
Нетривиальные решения уравнения (57) тоже относят
к цилиндрическим функциям. Их называют также моди-
фицированными цилиндрическими функциями.
1. Определим наиболее употребительные из них. По-
лагаем
Iv (z) (iz), (58)
KV(Z)S|W(|)(4 (59)
Из линейной независимости функций Jv (z) и Ну (z) сле-
дует линейная независимость функций Iv(z) и Kv(z). Они
являются решениями уравнения (57). Функции (z) часто
называют функциями Бесселя мнимого аргумента, а
Ку (г) — функциями Макдональда. Из формул (58) и (5)
непосредственно следует, что
СО
/ (z) - У <*/2)v+2fe
г(^-|-1)г(v-j-й +1)
fe=o
В области Y<argz<— функция Iy(z) однозначна и
аналитична всюду. Если v — целое число (v = и), то 1п (г) —
целая функция. Из линейной независимости функций
/v(z) и Ку (г) и из теоремы § 1 следует, что в окрест-
ности z = 0 функция Ky(z) вёдет себя, как Az~v, если
v Ф 0, и как A In z, если v — 0.
310
Из формул (16), (17) и (19) непосредственно следуют
соотношения
£(«,(*))—
(г) — l-r-i (г) * —-— Л(г)| v+i (г).
Из (42) и (43) получаем
Kv+i (г) — Kv~i (г) = Kv (г)>
-2Kv(z)^K^1(z)+K^1(z)^)
Из теорем о нулях функций Бесселя следует, что каж-
дая функция lv(z) имеет бесконечно много нулей. Все
они простые, кроме, может быть, г = 0, и чисто мнимые.
2. В приложениях встречаются также следующие ци-
линдрические функции:
Ьегп(г), bei„(z), kern(z), kein(z).
Для вещественных значений аргумента х они опреде-
ляются следующим образом:
ber„ (х) = Re (х p^z)], Ье1„(х) = 1ш[/„(хУ^7)], (60)
кег„ (х) = Re [К„ (х У^Т)], kei„ (х) = Im [/Cn (х У^Т)], (61)
а затем аналитически продолжаются на всю плоскость
переменной г.
Из этих определений легко вывести свойства, анало-
гичные соответствующим свойствам функций /v (г) и Kv (z).
Читатель легко может сделать это сам.
Приведем представления некоторых из этих функций
степенными рядами:
ber,W-2(-lC^. (62)
п=0
(63)
п=0
|кг-и=Г5^—av-Fh.- - (64>
'«,(_,)«!<»+ »n(£V“+'
«42 — <®>
М—О
£ [у]—целая часть числа у.
*) Читателю рекомендуется проделать соответствующие выкладки.
311
§ 7. Асимптотические представления
цилиндрических функций
1. Во многих задачах физики требуется изучать уста-
новившиеся режимы явлений. Математически это приво-
дит к изучению поведения функций при больших значениях
аргументов — к изучению асимптотического поведения
функций при стремлении их аргументов к бесконечности.
В сущности, найти асимптотическое поведение функции f (х)
при стремлении х к бесконечности — значит найти более про-
стую функцию ср (х), мало отличающуюся (в определенном
смысле) от функции f(x) при достаточно больших значе-
ниях переменной х. Часто в качестве простых функций
берут суммы
co + ci + Ci + ...+C^.
Определение. Ряд с0+у+...4-^ + ... называют
асимптотическим разложением функции f (г) на множестве
содержащем последовательности, сходящиеся к беско-
нечности, если
п
2C_k
г*
k=0
Употребляют запись:
f(*Wo+^ + ...+^+...
или
/(2) = c0+&- + .,.+J+o(l).
Легко показать, что если асимптотическое разложение
существует, то оно единственно.
В самом деле, из определения следует, что при п = 0
lim {/(г) — со} = 0, откуда cq=lim/(z). При п=1 имеем
Z-ОО ' 2-»ОО
Jim (г) — с0 — у| = 0, откуда
lim г {/(г)—с0},
Z-»oo
lim г"
Z-*co
— О для п = 0, 1,2,...
с„ = lim z”
2->СО
-£?>}•
I /г=0 /
312
Однако различные функции могут иметь одно и то же
асимптотическое разложение. Действительно, если
/(х)<~с0 + у 4-... + ^ + ...,
то и
f(x)+e~x~c0 + ^. +...4-^ + ... (для х>0).
Если
ТО
ф(г) = <р(г)[с04-^ 4-...4-^4-о(1)]
будем называть асимптотическим представлением функции
ф(г). Обычно асимптотические разложения
являются расходящимися рядами.
2. Найдем асимптотическое представление интеграла
ошибок
X
ф(Л)=-1: С e-“dt
у 31 *)
при больших х>0. Очевидно,
оо
X
Поэтому достаточно иайти асимптотическое представление
ОО
функции /(x) = J e~t2dt. Имеем
X
оо со оо
с 1 с —1 с d (?**"**)
е*7(х)= $ e*~tldt = ± J d(/2)==^l J
X X X
Применяя несколько раз интегрирование по частям, по-
лучим
(х) =
— 1 - 1 I 13 Пл-1 1 - З 5...(2п—3) „ . .
2х 22х3 т 23хБ */ onran-i -r^nVAj.
313
Для остатка
со *
(х) = (-1)“ 1 Э'5 -2п(2П~1) $ dt
X
получаем оценку
1-3 5 ... (2л-1) / 1 \
lAevvi^ 2л+1х2и+1 \х2п+1/
Следовательно,
f (х\ — g~ х‘ Р_*----I 1,.? _ I
' w 12х 22х3 т 23х6 ’' ’
(- l)"-i(2n-3)!1 ( 1 '
“Г 2пх2п~1 _ги1Лал+1
Ф(х)=1—^е-хЧ-- — + —- ...
v ' /л (2х 22х3 23х5
(- 1)п1(2п — 3)!| ( 1 \)
•••т г"*2"'1 "г \х2«+1Д
Заметим, что асимптотическое разложение функции ех5/(х),
т. е. ряд
J____1 । । /___1 yi-1 1 • 3 • 5 ... (2п 3) .
2х 22х3~г ”• 'т'х */ 2пх2п-1 ‘
является расходящимся всюду рядом.
3. Для асимптотических представлений цилиндрических
функций yv(x) при больших положительных значениях
переменной х справедлива следующая теорема.
Теорема. Всякое вещественное решение уравнения
< 1
dx2 "г" х
У=0
при больших положительных значениях переменной х имеет
асимптотическое представление вида
f/v(x)=Asin(x+fio)+o(J_j> (66)
где Ло и 60 — постоянные, зависящие, вообще говоря, от
параметра v.
Доказательство. Введем в рассмотрение функ-
цию У1(х) по формуле
314
Для yY (х) получим дифференциальное уравнение
I
+ ------^-jy^O. (67)
При больших значениях х это уравнение мало отли-
чается от уравнения
общее решение которого имеет вид
w = A sin (х+6), (68)
где А и 6 — постоянные.
Поэтому при больших значениях х будем искать реше-
ние уравнения (67) в виде
У1W = А (х) sin [х+6 (х) ],
где Л(х) и 6 (х) —искомые функции.
Следует ожидать, что А (х) и 6 (х) будут медленно
меняющимися функциями при больших значениях х (х > 0),
близкими к постоянным значениям.
Поскольку искомых функций две, а связаны они лишь
одним условием (требованием, чтобы А (х) sin [х + 6 (х)]
удовлетворяла уравнению (67)), мы можем подчинить их
еще одному условию. Выберем это условие таким обра-
зом, чтобы производная от у^ (х) вычислялась так, как
если бы Л (х) и 6 (х) были постоянными. Поскольку
у\ = A cos (х + 6) -J- Л6' cos (х+6) + Л' sin (х + 6),
то полагаем
Д6' cos(x-|-6)-|-X' sin (х +6)^0. (69)
Тогда
у{ = A cos (х + 6). (70)
Вычисляя производную y'i и подставляя ее в уравнение
(67), получим
А' cos (х + 6) — А ^6' + sin (х + 6) = 0, (71)
где
Т = т2-т.
Исключая из соотношений (69) и (71) А и А', получим
б' (x)=^sin2(x+6), (72)
315
откуда
ь
6(£>) = 6(х)-J Jsii?K+6(g)]di.
X
(73)
При фиксированном x и при b-^co правая часть фор-
мулы (73) имеет предел; следовательно, и левая часть
имеет предел
lim 6(6) = 6О.
£-*ОО
Таким образом, имеем
Но
ОО
fi(x) = fio+^sin2lg + fi(g)]dg.
X
] |sin*(g + fi)4 ^1т1 =
X X
поэтому 6(х) = 60 О
Из соотношений (69) и (72) находим
(In А)' = sin 2 (*+ 6),
и, следовательно,
ь
In А (Ь) = 1п А (х) у
X
sin2(g+6)
I2
Повторяя рассуждения, приведенные для 6(х) и 6(6),
приходим к заключению, что существует предел
lim In A (b) = In Ао
Ь-*со
1пЛ(х) = 1пЛо + о(4).
Следовательно,
Л(х) = Л0[1 + 0(1)].
Поэтому
У1 (х) = Л0[1 + O^j]sin[x+6o + O (у)!=
= Ло sin (х + 60)4-С>(у)
316
и
^(x)=7Tsin(x+eo)+o(^).
Таким образом, достаточно простой анализ уравнения
(2) позволил нам получить представление о характере
поведения вещественных цилиндрических функций yv(x)
при больших положительных значениях переменной х. Но
при этом мы не смогли определить числа Ло и 60. Оче-
видно, полученный результат справедлив для функций
Бесселя Jv(x) и функций Неймана Nv(x). Но он непри-
меним к функциям Ганкеля.
4. Обратимся к рассмотрению функций Ганкеля. Для
определенности все рассуждения и выкладки будем про-
водить для функции H'v (г). Поставим задачу получить
асимптотическое представление для Н‘у(г) при больших
положительных значениях переменной г. Будем полагать,
что v — фиксированное число и zj> | v|.
Согласно формуле (40) Н'у (г) можно записать в виде
H'v (г) = BltV (г) -J- B2,v (г) + Вх (г), (74)
где
Bi,v(?) = | $ easing+ «5^
с1, и
^2,v(z) = -^ § e-Z2sing + *vgd|f
с1,в
о
Bv(2)=i ( e-i2sing + iV5^
Здесь CljH — нижняя часть контура интегрирования в
формуле (40), С11В — верхняя часть контура Сг. В интеграле
Bv(z) интегрирование производится по отрезку [—л, 0]
вещественной оси. Легко получить оценки интегралов
B1>v(z) и В2д(г) при больших положительных значениях г.
В самом деле, на С1>в | = — л-|-/р, 0=сР<оо и sing =
= — i sh р. Следовательно,
B2V (2) = е~iv" е~ <2Sh Р+ VP> dp.
о
317
Так как zj>|v | и shpSsP, то
ОО
О
Таким образом, при г->-+оо
|B2,v(2)|^0(y). (75)
На С1,н i = i‘P, Р<0, и sing = zshp. Поэтому
— со со
^i,v(z) = 4 5 ^sh₽_vM = ^ § e-*sh₽+vPdp.
о о
Следовательно,
оо
|В1 v(z)|=C - (е-РР-'Мр = - , 1 ,.
I l.v \ / J л J г л | 2_v|
О
Таким образом, при г-^+оо
|Bl.v(2)|^0(l/2).
5. Для оценки Bv(z) при г-> + оо нам потребуются
две леммы.
Лемма 1. Если в интеграле
Р
F(z)= $е/г№<р(В)^ (76)
а
функции и ц> (§)//' (g) имеют непрерывные на отрезке
[а, р] производные и f (g) не обращается в нуль на [a, PJ,
то при г-> + °°
F(z)=O(\lz).
Доказательство. Очевидно,
Р
fw=iSr®^[c“''5']‘'E=
а
_ 2 I ФЦ) |₽ _ f _«Г(6) d Гф©1 _ / 1\
XX
так как последний интеграл и результат подстановки
чисел а и р в проинтегрированную часть ограничены по
модулю константами, не зависящими от г.
Лемма 2. Пусть функции /(g) и tp(g) аналитичны
всюду, a f(g) вещественна при вещественных значениях
3!8
переменной t, и монотонно убывает на отрезке [а, ₽],
У (ё) #= 0 при £ ф а, у (а) = О и f" (а) <; 0. Тогда при
2-> + 00
Г(г>=={=2™Н’Р(«)Л(,1>-^ + 0(1). (77)
Доказательство. Очевидно,
«+е р
Fz)= j <₽(£)<£ + J <^><p(g) rfg.
а а+е
Второй интеграл по лемме 1 есть О(1/г) при любом е>0.
В дальнейшем будем считать, что е —малое число. Рас-
смотрим интеграл
а
Произведем в нем замену переменной интегрирования по
формуле
u = V/(a)-/(g),
беря арифметическое значение квадратного корня. Точка
g = a перейдет при этом в точку и = 0. Соотношение
/(1)=/(а)-«2
можно разрешить относительно Так как функция /(£)
аналитична в окрестности g = a, то £ = £ (и) — аналитиче-
ская функция в окрестности и = 0 и |(0) = а. Произведя
указанную замену, получим
Fx (г) = eizf <“> е~ ,г“2 ср [| (u)] du,
О
где Ui = V/(a)— /(a-f-e). В силу аналитичности функ-
ции <р (|) и произвольной малости числа е можно считать,
что функция Ф(м) = <р[I(«)] аналитична в круге |u|=CWj.
Из соотношения и2=/(a) — /(£) находим
2(Й)2+2ы? = -Г©- (78)
Так как u(a) = 0, то из (78) получаем
319
Отсюда
.SL-o “К-/'(а)'
В силу аналитичности функции £ (и) в окрестности
и —О ее производную можно представить в виде
9u = V=Тй+“М<*>.
где 0! (и) аналитична в области | и | иг. В силу анали-
тичности функции ф (и) в круге | и | ее можно пред-
ставить в виде
Ф («) = ф [g (и)] = ф (а) + «02 (и),
где 0а (и) аналитична в круге | и | «с иу. Следовательно,
Ф [g («)] g = ф (а) У-£_-) + ив3 (и), (79)
где Gs(u) аналитична в круге Jul^Ui. Пользуясь фор-
мулой (79), получаем
___________«1
Л (г) = ф (а) у & e,zf <“> § е~ ““2 du +
О
«1
е1гд«) Не~'г“2 03 (u) du. (80)
о
Второй интеграл равен
U1
-2^j0s(«)d(e—*) =
О
«1
\ 0з(и)е-'г“2йи
о
так как последний интеграл и результат подстановки
чисел 0 и Uj в проинтегрированную часть ограничены по
модулю константами, не зависящими от г.
Далее,
Ml ViZUl Г ОО 00
Je-12“2du = ^ e-02d₽ = pLHe-P2d₽- e-₽2d₽
о о 'о
320
или
так как
оо
e~₽"dp = O^-J. Таким образом,
VlZUt
U1 ____ л
о
(82)
Заменяя интегралы в формуле (80) их значениями (81)
и (82), получим формулу (77). Лемма доказана.
6. Обратимся к оценке интеграла Bv(z):
0 я
Bv(z)=~
— я 0
Функцию Bv(z) можно представить в виде
Bv (z) = Av (z) + A2v (z),
где
Av(z) = -^ e/zsin^-fvMg, 42v(z)=-^- е*г8’пе-*М.
О Я/2
В интеграле Av (z) f (B) = sin g, a = л/2, p = л, <p (£) = e~iv^
и все условия леммы 2 выполнены. Согласно этой лемме
В интеграле 4lv(z) сделаем замену переменной интегри-
рования по формуле g = y — t. Получим
Alv (z) = \ ei2COS‘ е v ‘v 2 dt.
о
Для этого интеграла а = 0, Р = у, / (0 = cos Ф (0 = gUv
и все условия леммы 2 также выполнены. Согласно этой
лемме
11 В. Я. Арсенин
321
Таким образом,
= v" "Uo(4). (83)
Из формул (74), (75), (76) и (83) получаем
Совершенно аналогично устанавливается формула
WB’W'H-j) +°>(т)- <85)
Используя соотношения (48) и (52), получаем для
больших положительных значений z
<*> - /й с“ (2 - ” ? - т)+т [о. (4) + °« (1)] <86>
и
/ J sin (2 - г i - -J) +1 [о, (±) - О. (1)]. (87)
Замечание. Формулы (84)—(87) справедливы для
всех комплексных значений г таких, что | z | | v | и
1 arg г | sg л — 6 *), где 6 — произвольное малое положи-
тельное число. Но в п. 3 мы установили, что асимпто-
тика функций Бесселя и Неймана при z->4-oo имеет вид
А81„(г+ад+о^
при соответствующих значениях постоянных Ао и 60 для
Jv(z) и Nv(z).
Отсюда и из формул (86) и (87), используя единствен-
ность асимптотического представления, находим, что доба-
вочные члены O1(l/z) и O2(l/z) в формулах (84) и (85)
убывают при z->-|-oo, как 0(z~*/s).
*) См. Лебедев Н. Н., Специальные функции и их приложе-
ния, Изд 2-е, Физматгиз, 1963.
322
Таким образом, при z->4-oo справедливы следующие
асимптотические представления:
H‘v-' (?) = е~ ‘ (*" + О (г~ ,
Jv (г) = ]/% cos (z - v | - -J) + О (г“ , (88)
Л\(г) = jA^sin(z--^) + o(z^). (89)
Так как функция ег не имеет нулей, то асимптотиче-
ские представления для функций Ганкеля можно записать
в виде
W(z) = |^H* V" "И,+°(В]’ (90)
(г) = У[1 + О (1)]. (91)
7. Из асимптотических представлений непосредственно
следует теорема 3 § 4, а также утверждение: расстояние
между двумя соседними нулями функций Бесселя Jv(z)
(а также функций Неймана) стремится к л с неограни-
ченным ростом абсолютных величин нулей.
На рис. 35 приводятся графики функций Бесселя,
ах на рис. 36 —графики функций Неймана. Если восполь-
зоваться формулами (58) и (59) (§ 6), то легко получить
следующие асимптотические представления функций Zv (z)
и Kv(z) при больших |z| и |argz|<y —6:
/vW-/^«'{1+0(l)b (92>
KvW-/g<-'{l+o(|)}. (93)
На рис. 37 и 38 приведены графики функций Kv(x)
и lv(x).
8. Одним из наиболее употребительных методов по-
лучения асимптотических представлений является метод
перевала. Сущность этого метода состоит в том, что при
11*
323
324
больших значениях переменной х величина интеграла
интегрирования С, на котором ) ® | = е* Re "Р© велик по
сравнению со значениями этого модуля на остальной части
контура С. При этом интеграл по участку Сп оценивается
тем легче, чем меньше этот участок и чем круче падает
величина х Re <р (|). При применении метода перевала ста-
325
раются деформировать путь интегрирования С в наиболее
выгодный, в указанном выше смысле, контур С. По тео-
реме Коши такая деформация, если оиа не выводит за
пределы области аналитичности функций ф (|) и ф (£) и
области существования интеграла, не меняет значения
интеграла. В силу аналитичности функции ф (£) = и (а, р) -ф
-|-zw(a, Р), g = a-|-zP, направление наибыстрейшего изме-
нения функции и (а, Р) совпадает с направлением линии
ц(а, р) = const. Контур Си должен содержать точку Ео =
= ao+zPo, в которой и (а, р) достигает наибольшего зна-
чения (среди значений этой функции на С).
Нетрудно показать, что ф' (£0) = 0. Действительно, про-
изводная от и (а, Р) вдоль линии С, взятая в точке g0,
равна нулю, =0, так как в точке £0 функция и (а, р)
достигает максимального значения (вдоль С).
Далее, = 0, поскольку в окрестности точки £ =
имеем v = const (вдоль С). Поэтому
, I । dv I
= 0.
Точка для поверхности и = и(а, р) является, очевидно,
точкой перевала (седловой точкой).
Таким образом, при применении метода перевала
к асимптотической оценке интеграла J ф (g) ехч> dg путь
с
интегрирования С надо деформировать в путь С, прохо-
дящий через точку |0, в которой ф' (£0) = 0, ив окрест-
ности этой точки совпадающий с линией v (а, Р) = const =
— v(a0, ро)*).
*) Заметим, что окрестность точки перевала g0 разбивается
линией уровня и (а, 0) = и(а0, 0О) на 2л секторов (л 5? 2, где (л— 1) —
кратность нуля функции <р'(|) в точке go), над которыми поверх-
ность и=и(а, 0) находится попеременно то выше, то ниже своей
касательной плоскости в точке (ас, 0О, л0). Линия v(a, 0)=о(ао, 0О)
в окрестности точки состоит из л линий, проходящих через точку |0
в направлении биссектрис упомянутых секторов. Одну из таких линий
и следует взять в качестве С. Если u=u(a, 0) имеет несколько
точек перевала |о, то в качестве С надо выбрать линию наиболее
крутого перевала.
326
Оценка интеграла
Си
производится следующим образом.
Функции ф (£) и /(g) заменяются их приближенными
значениями
м)~ш)+(в-BoW (io). /(в)~/(в0)+<Ц^г (Во),
а интеграл по контуру Си заменяется интегралом *)
$ Ф (Во) exf «•> £ (6 ~ 6о)‘Г (Ь) dl =
сп
= Ф(ёо)е '(5о) j е dg.
сп
Последний интеграл соответствующей заменой переменной
интегрирования приводится к интегралу
о(х)
в котором о(х)->оо при х->оо. Он равен
Следовательно,
сп
Здесь указана лишь идея получения асимптотических
представлений интеграла $ф(В)е*А6)^ при х^-со. Под-
с
робное обоснование метода перевала смотрите, например,
в книге А. Г. Свешникова и А. Н. Тихонова **).
*) При этом пренебрегаем слагаемым (g—5о)Ч,/ (Во), малым в срав-
нении с ф(|0).
**) Свешников А. Г., Тихонов А. Н., Теория функций
комплексной переменной, «Наука», 1967.
327
§ 8. Функции Эйри
Ряд задач физики (например, задача о движении заря-
женной частицы в однородном электрическом поле и др.)
приводит к уравнению
у" — ху — 0. (94)
Произведем замену неизвестной функции по формулам
XZ (х) ДЛЯ X О,
#(*)={ г—
[]/— xz(x) для х<0.
Для функции z(x) получим уравнение
z" + yz'W-(i + x)z = 0- <95>
Для построения общего решения этого уравнения про-
изведем в нем замену независимой переменной по фор-
мулам
ДЛЯ
/= 2 2
у(—х)з/2 = у | X |з/2 ДЛЯ х<0.
При этом уравнение (95) перейдет в уравнения
d2z 1 dt* + t dz dt /2 1 1 z = 0 для X; ^0,
d*z 1 dt* + t dz , dF + 4 i/9: z = 0 для x< ^0.
Это — уравнения цилиндрических функций Их общие
решения можно записать в следующем виде:
z(0 = C1Z_i/3(04-C2Zi/3(0 для х=гО,
z (0 = J_ i/3 (/) 4- D2Jlfs (Л для х < 0.
Следовательно, общее решение уравнения (94) можно запи-
сать в виде
х [cj-1/3 (у х^ 4- С2/1/3 (у х3/2)] для х =& 0,
У Х х|3'2) + O2J1/3(y|x|3/2)] для х<0.
Если произвольные постоянные Clt С2, Du D2 взять рав-
ными
Сх = —С2 = £>!== О2= 1/3 и C1 = C2=D1 = —Р2=1/3,
328
получим функции Эйри At (х) и Bi (х):
Ai (х) = (г *“)] 4^ [/_ (11X |«)+/1й 1 XI •/.)] ДЛЯ ДЛЯ xSsO, х<0,
jBz (х) — [/_,л (4 х«)+/,л(|-*>/>)] ДЛЯ ДЛЯ х^О, х<0.
Из представления функций /v(/) и Jv(t) в щенных степенных рядов следует, что виде обоб-
A l (x) -> ту— 1--------, Bl (x) -> ту---1-----------.
x2o |/Т8 Г (2/3) ,/18 Г (2/3)
Применяя приведенные в § 7 рассуждения (с очевидными
несущественными изменениями) к функциям Z_v(/)qz Iv(t)
и J_v (t) ± Jv (/), нетрудно получить следующие асимпто-
тические представления функций Эйри:
1 — — *3/2
At(x) =—у=х-^е 3 [14-О(х~з/2)] для
2 у л
Al (х) = ~у— Л—!/4 sin
у л
X
X [14-0 (|х|-’/4)]
1/-Г — *3/2
Bi (х) = ^7= х~>/*е3 [14-0 (х“:,/2)] для
у л
Bi (x)=^lx-1/4sin
v ’ /л
для
для X -> — со.
X
X [1+0(|х|-’А>]
Имеются таблицы функций Эйри.
ЗАДАЧИ
1. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра, начальная
температура которого равна и (г, 0) = А
а
на
поверхности
его поддерживается температура, равная нулю
2 Цилиндрический однородный проводник радиуса R длительное
время нагревался постоянным током силы I Исследовать процесс
остывания проводника после выключения тока, если в течение всего
процесса на поверхности проводника происходил теплообмен по
закону Ньютона со средой нулевой температуры
329
3. Вне бесконечного круглого проводящего цилиндра O^rs^R
в момент (=0 мгновенно установилось постоянное магнитное поле Не,
параллельное оси цилиндра. Найти напряженность магнитного поля
внутри цилиндра при нулевых начальных данных. Найти поток маг-
нитной индукции через поперечное сечение цилиндра.
4. Найти температуру цилиндрической трубы R^rs^Rz, если
с момента 1=0 через ее внешнюю поверхность подается снаружи
тепловой поток плотности д, а внутренняя поверхность поддержи-
вается при нулевой температуре. Начальная температура нулевая.
5. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны с закреплен-
ными краями под действием равномерно распределенной нагрузки
Q=const, приложенной с одной стороны с момента / = 0.
6. Решить задачу 5 для случаев: a) Q = A sin ы/; б) <2 = Лсо8ы/;
в) нагрузка Q распределена по площади кольца Ri^r^Rz (рас-
смотреть также случай /?1 = Т?2).
7. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны O^gr^R,
вызванных движением ее края для />0 по законам: a) u(R, t) =
= A sin со/; б) u(R, /) = Acoscot Начальное возбуждение отсутствует.
8. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны Ogir^gR
с закрепленным краем под действием точечного импульса Р, сообщен-
ного мембране в момент /=0 в точке (г0, <р0).
9. Найти распределение потенциала электростатического поля
внутри полого цилиндра радиуса R и высоты Л, нижнее основание
(z=0) и боковая поверхность которого имеют потенциал Уо, а верх-
нее основание — потенциал Vx.
10. Постоянный ток силы I поступает через один торец цилинд-
рического проводника, изготовленного нз материала с проводимостью
о и отводится с противоположного торца. Определить распределение
токового потенциала внутри проводника, считая, что подводящие
контакты суть диски радиуса 7?х < R (R — радиус цилиндра) и ток
по ним распределен с постоянной плотностью.
11. Через цилиндрический образец радиуса R н высоты h про-
пущена тонкая проволока, нагреваемая постоянным током, выде-
ляющим тепло Q на единицу длины. Найта распределение темпера-
туры в образце, считая, что боковая поверхность цилиндра поддер-
живается прн нулевой температуре, а на его основаниях' происхо-
дит теплообмен по закону Ньютона со средой нулевой температуры.
12. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра 0s£
grgR, если его начальная температура равна иа=const, а на его
поверхность с момента t=0 извне подается постоянный тепловой
поток плотности q.
13. Решить задачу о собственных колебаниях (т. е. найти с. з.
и с. ф.) круглого цилиндра длины h при граничных условиях
первого, второго и третьего типов.
14. Решить задачу о собственных колебаниях мембраны, имею-
щей форму кругового сектора (r*gR, при условиях
первого, второго н третьего типов..
15. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора
Osgr^gR, 0^<р^а, если на его поверхности поддерживается
нулевая температура, а начальная температура произвольна.
16. Найти температуру конечного круглого цилиндра, поверх-
ность которого поддерживается при нулевой температуре, а началь-
ная температура произвольна.
17. Круглая мембрана радиуса R нагружена сосредоточенной
массой т в ее центре. Найти собственные значения этой мем-
330
браны. Сравнить их с собственными значениями ненагруженной мем-
браны. Рассмотреть два случая: а) т мало; б) т велико.
18. Найти коэффициенты разложения функции ег ' по це-
лым степеням t.
19. Вычислить /_ц/2(х), K+l/2 (х), N1_l/2(x'i.
20. Найтн стационарное распределение концентрации неустой-
чивого газа внутри бесконечного круглого цилиндра, если на его
поверхности поддерживается постоянная концентрация и0.
21. Решить задачу 20 для области, внешней к цилиндру.
22. Найти электростатическое поле внутри цилиндра (0 г -g R,
торцы и боковая поверхность которого имеют соответст-
венно потенциалы Uj, u2 и ий.
23. Найти стационарную температуру круглого цилиндра вы-
соты й, нижиее основание которого теплоизолировано, на верхнем
происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой
нулевой температуры, а боковая поверхность поддерживается при
температуре и |Л _ =/ (г).
24. Стенка цилиндрического канала, просверленного в неограни-
ченной плоской пластине толщины й, поддерживается при темпера-
туре u0=const. Найти стационарное распределение температуры в
пластине, если ее грани поддерживаются прн нулевой температуре.
25. Найти температуру в цилиндре (0^R, O^z^h), если
его начальная температура равна нулю и начиная с момента /=0
основание цилиндра z=h поддерживается при температуре иа = const,
а остальная часть поверхности — при нулевой температуре.
Глава XV
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Мы уже отмечали, что к специальным функциям отно-
сятся также некоторые классы ортогональных многочле-
нов. В настоящей главе мы рассмотрим наиболее употре-
бительные из них в задачах математической физики.
Сначала рассмотрим некоторые общие свойства таких мно-
гочленов, а затем, более подробно, — каждый класс в от-
дельности.
§ 1. Некоторые общие свойства
ортогональных многочленов
1. Пусть система мйогочленов {<?„(х)} является орто-
гональной (с весом р(х)>0) системой на промежутке
(а, Ь), т. е. для любых целых чисел и выпол-
ь
няется равенство $ qn (х) qk (х) р (х) dx = 0 (п Ф k).
а
Здесь qn (х) — многочлен степени п. Отметим простей-
шие свойства многочленов qn(x) этой системы.
Свойство 1. Всякий многочлен Qm(x) степени т
является линейной комбинацией многочленов q0(х), q1(x),...
..., qm (х), т. е. существуют такие постоянные числа с0,
Ci....ст, что выполняется тождество
Qm(x)= Лед*(х). (*)
k=0
В обеих частях соотношения (*) —многочлен т-й сте-
пени. Для тождественного равенства их в обеих частях
(*) должны быть равными коэффициенты при одинаковых
степенях х. Из этих условий (их т -j-1) находятся все
332
числа ct. Их можно также определить, пользуясь свойст-
вом ортогональности многочленов qk(x), по формулам
ь
K=-^ff\Qm(x)qk(x)p(x)dx, k = 0, 1, т,
а
где
ь
а
Свойство 2. Всякий многочлен Qm(x) степени т
ортогонален с весом р(х) на промежутке (а, Ь) всем мно-
гочленам системы {</n(-v)} степени т-\-г, где г 3=1, т. е.
ъ
\Qm(x)qm+r(x)P (x)dx=o для г=1, 2, ...
а
Действительно, пользуясь тождеством (*) и ортогональ-
ностью многочленов 9ft(x), находим
J Qrn (*) 9m+r (X) р (х) dx = ^lck\qk (х) (х) р (х) dx=0.
a k~Q а
Будем говорить, что многочлены {qn (х)} образуют нор-
мальную систему, если среди них имеются многочлены
всех неотрицательных степеней.
Свойство 3 выражает следующая
Теорема о нулях многочленов. Если много-
члены {qn (х)} (% (х) === 1) попарно ортогональны на проме-
жутке (а, Ь) с весом р(х)>0 и образуют нормальную
систему, то у всякого многочлена уя(х) этой системы все
нули простые, вещественные и расположены внутри про-
межутка {а, Ь).
Доказательство. Пусть л — произвольное фикси-
рованное целое положительное число. В силу ортогональ-
ности многочленов qn (х) и q0 (х) s 1 имеем
ь
\qn(x)-1 p(x)dx = 0.
а
Следовательно, qn(x) меняет знак на промежутке (а, Ь)
в некотором числе k различных точек (k^ 1). Пусть это
происходит в точках хь х2, ..., xk (х, е (а, Ь) и х, =# х}
при Тогда qn(x) = (x — x1)(x — xz)...(x — xk)(pn(x),
где фл (х) не меняет знак на (а, Ь). Очевидно, для
333
доказательства теоремы достаточно показать, что k = n.
Предположим, что k<n. По свойству 1 для многочлена
Rk (х) = (х—Xi).. - (х — Хц) справедливо разложение
Rk(x)=a0q0(x) + aiq1(x)+...+akqk(x), в котором а*#=0.
По свойству 2
ь
\qn(x)Rh(x)p(x)dx=Q.
а
С другой стороны,
ь ь
0 = ^qn (х) Rk (х) р (х) dx = $<₽„(х) Rl (х)р (х) dx> О,
а а
так как функция <рл (х) (х) р (х) не меняет знак на (а, Ь).
Получили противоречие. Следовательно, k = n. Теорема
доказана.
Так как между двумя нулями дифференцируемой функ-
ции f (X) имеется хотя бы один нуль ее производной f (х),
то из этого сврйства и теоремы получаем
Следствие. Все нули производных всякого многочлена
qn (х) из нормальной ортогональной системы {qn (х)} про-
стые и расположены внутри промежутка (а, Ь).
2. Для промежутка ортогональности (а, Ь) многочле-
нов семейства {qn (х)} допустимы три возможности:
1) Промежуток (а, Ь) конечный.
Линейным преобразованием переменной х его можно
преобразовать в промежуток (—1, 1).
2) Промежуток (а, Ь) полубесконечный.
Линейным преобразованием переменной х его можно
преобразовать в промежуток (0, оо).
3) Промежуток (а, Ь) бесконечный в обе стороны, т. е.
(а, Ь) есть (—оо, оо).
Имея это в виду, достаточно изучить семейства мно-
гочленов, ортогональных на промежутках (—1, 1),.(0, оо),
(—оо, оо).
В этой главе мы рассмотрим, три семейства таких мно-
гочленов. Каждое из этих семейств можно определить
несколькими способами (мы укажем их). Мы определим
их с помощью производящих функций. Хотя этот способ
выглядит несколько формальным, но он позволяет про-
ще и короче получить основные свойства этих многоч-
ленов.
334
§ 2. Многочлены Лежандра
1. Функция Т(х, t) = (l — 2xt-f-t2)~>/2 аналитична по
переменной t в окрестности t = 0. Поэтому ее можно раз-
ложить в степенной ряд по степеням t. Получим
Т(х, 0 = PoW+P1(x)f+-..+P„(*)^+-- (О
Ниже будет показано, что коэффициенты этого разложе--
ния Рп(х) являются многочленами, называемыми много-
членами Лежандра.
Функция Т(х, f) называется производящей функцией
многочленов Лежандра.
Полагая в разложении (1) х=1, получим
^(1, 0=-гт=1+*+-"+*я+--
Следовательно, Рп(1)=1. Полагая в разложении (1)
х =—1, получим
^(-1, 0=Т£7=1-г+---+(-1)я*я + -..
Следовательно, Р„(—!) = (—!)". Очевидно,
<2)
дп1¥
С другой стороны, производная n-го порядка от
функции при t = 0 вычисляется по формуле *)
I nl П(и).л _
dtn |<_о ~ 2ni J gn+i s’
где С—замкнутый контур, охватывающий точку £ = 0.
В интеграле (2Х) произведем замену переменной интегри-
рования
У 1 - 2^+g8= 1 - U
Получим
«I е
(3>
Здесь Cj — замкнутый контур, охватывающий точку г = х.
*) Лаврентьев М. А. н Шабат Б. В., Методы теории
функций комплексного переменного, гл. I, «Наука», 1973.
335
Используя формулу для n-й производной интеграла
Коши, получим
т
Таким образом, Рп(х) действительно является много-
членом, и притом n-го порядка. Формулу (4) часто назы-
вают формулой Родрига.
Из формулы (4) следует свойство четности многочле-
нов Лежандра: P2ft (г) —четная функция, P2fe+1 (г) — нечет-
ная. Очевидно,
PoW=l, Р1(х) = х, Р^(х)=~Х2
2. Нетрудно получить дифференциальное уравнение,
решением которого является Рп(х). Для этого рассмотрим
функцию w = (х2 — 1)". Очевидно,
w's 2пх (х2 — I)”-1 s=s 2nxwJ(x2 — 1),
или
(л2 — 1) w' — 2nxw = 0.
Дифференцируя это тождество п+1 раз, получим
(х2 — 1) + 2х [кЛя)]' — п (п + 1) w(n) = 0.
Таким образом, функция ги,я) (х), а следовательно и Рп (х)
(поскольку Рп (х) — w(n> (*)) > удовлетворяет уравнению
(1 — х^у" — 2ху'+&у — 0 (при Z = n(n+ !)).• (5)
Оно называется уравнением Лежандра. Его можно напи-
сать также в следующем виде:
^[(1-ха)/]+^ = 0. (5Х)
Второе, линейно независимое с Рп(х) решение урав-
нения (5), по теореме гл. XIV, § 1 имеет в точках х=±1
логарифмическую особенность.
Замечание. К построенью многочленов Лежандра
можно подойти и иначе: искать ограниченное на отрезке
[—1, 1] решение уравнения (5) в виде степенного ряда
ОО
У, cr.xk. При Х = п(п-}-1) этот ряд обрывается на члене
*=о
с п-й степенью, т. е при К = п(п+1) решением будет
многочлен п-й степени Р„ (х). Он отличается от многочлена
336
Лежандра n-й степени лишь постоянным множителем. Этот
множитель выбирается так, чтобы иметь Р„(1) = 1.
Формулу Родрига также можно Принять в качестве
определения многочленов Лежандра.
3. Пользуясь определением (1) многочленов Рп(х),
легко можно доказать справедливость двух рекуррентных
соотношений:
(л + 1) P«+i (*) - (2n + 1) хР„ (х) + пРп\ (х) s= 0, (6)
(7)
Для этого продифференцируем по переменным t и х раз-
ложение (1). Получим тождества
”=rag. - ₽.++• •+”р«'"+ •
или
(X - t) (Ро + Pvt +... + Pntn +...) =
(1 _ 2xt + Р) (Рг + 2P2t +...+nPJT-1+.. )г
t(P0+P1t+... + PnP + ...)^
= (1 -+ Р) (P't+P[t +...+P'nP+...).
Сравнивая в последних тождествах коэффициенты при
одинаковых степенях t, получим тождества
(п + 1) Pn+i (х) - (2п + 1)хРя (х) + пР^ (х) = 0 (6)
и
Рп (х) = Р'п+1 (х) - 2хР'п (X) + PL1 (X). (8)
Дифференцируя тождество (6), получим
(П + 1) Рп+1 (х) - (2п + 1) 'Рп (х) —
— (2п + 1) хР'п (х) + пР'п_! (х) 0.
Исключая из этого соотношения и соотношения (8) про-
изведение хР'п(х), получим тождество (7).
Замечание 1. С помощью соотношения (6) и фор-
мул Ро (х) 1, Рг (х) = х, очевидно, можно определить все
многочлены Лежандра.
•) Читателю предлагается самому доказать законность почлен-
ного дифференцирования разложения (1) по переменной х:
337
Замечание 2. Соотношение (7) позволяет выразить
интеграл от многочлена Лежандра J Рп (х) dx через мно-
гочлены Рп+1(х) и Рл^(х).
4. Теорема 1. Многочлены Лежандра ортогональны
на отрезке [—1, 1] с весом р(х) = 1, т. е.
1
J Рп (х) Pk (х) dx = 0, если n=/=k.
—1
Действительно, напишем два тождества:
[(1 - х2) Р^ п (п +1) Ря (х) О,
[ (1 - х2) РД + k (k + 1) Pk (х) = 0.
Первое из них умножим на-Рй(х), второе —на Рп(х); ре-
зультаты вычтем один из другого и полученную разность
проинтегрируем (по х) по промежутку [—1, 1]. Получим
1
$ к1 - х^ £ [(1 - х*) Мdx=
= [А (А-Ь 1) - п (п + 1)] $ Р„ (х) Pk (х) dx,
—1
или
1
J ~ {(1 - X2) (P'nPk - РпР'к)} dx =
— 1
1
= (Л-п)(Л + п+1) $ Рп(х) Pk (х) dx.
— 1
Следовательно,
1
$ Pk(x)P„(x)dx =
—1
I
- (k-n)(k+n+l)
{(1-х2)(р;рй-р„рш^г=о
при n=^=k.
Таким образом, семейство многочленов Лежандра
{Р„(х)} есть нормальное семейство ортогональных много-
членов, и/ следовательно, к ним применима теорема § 1
и ее следствие, т. е. верна
338
Теорема 2. Все нули всякого многочлена Лежандра
Рп{х) с п>0 и его производной любого порядка г<.п
Р%> (х) простые, вещественные и расположены внутри про-
межутка (—1, 1).
1
5. Вычислим квадрат нормы ||Pnf= $ Pn(x)rfx. Для
—' 1
этого один из множителей подынтегральной функции Р„ (х)
выразим через Рп_г и Рл_2 по формуле (6), заменив в ней п
на п— 1. Получим
1 1
|| Рп В8 = $ РпРп dx= ^Рп хРы - P„_2} dx =
-1 —1
1
= ^PnP.^dx.
—1
Мы здесь воспользовались ортогональностью многочленов
Рп и Рп^.' В последнем интеграле произведение хРп выра-
зим по формуле (6) через Рп+1 и PnJ. Получим
IIР» II8 = „ § Рп-i Pn+l+2п+Т />n1} dx ~
— 1
1
— 2”—* С р2 ях
~2п+1
— 1
или
(9)
При этом мы снова воспользовались ортогональностью
многочленов Рп_г и Pn+i-
Если соотношения (9) написать для п = 2, 3, k и
затем перемножить их, получим
II р. ip — 3' IIР1 II3. = —? /10)
11 м 2*4-1 2*4-1 ’
так как || Рг Ц8=2/3.
6. Теорема 3. Всякое решение уравнения (5J у(х),
отвечающее параметру Л = Х=/=п(п-|-1) (п — произвольное
фиксированное неотрицательное целое число) и непрерывное
на отрезке [-1. 1]. ортогонально многочленам Лежандра
Рп(х) на промежутке (—1, 1) с весом р(х)=1.
339
Доказательство. Исходя из тождеств
^-[(1 - SWB1+V4M,
где Zn = n(n+l), как и при доказательстве теоремы 2,
находим
X
Рп © у ® dl = -L- [ф (X) - ф (0], (11)
J Лп — Л
где
Ф(г)=(1 -г2)[/ (г) Р„(г)—у(г) Р'п(г)]и — 1</<х<1. (12)
Переходя в (11) к пределу по переменным х и t при
х->1, —1, получим
1
( Рп (?) У (?) = —Цт Him ф (х) - lim ф (01.
VMx-i o-i J
Таким образом, для доказательства теоремы доста-
точно показать, что справедлива
Лемма. Имеют место’соотношения
lim ф (х) = 0 и lim ф (0 = 0.
х-И 0—1
х<1 0—1
Доказательство. Из (11) имеем
Ф(х) = ф(0 + (Х„-А) ^Pn(l)y(l)dl (13)
t
для любых х и t, —1<^<х<1. Зафиксируем t. По-
скольку правая часть в (13) непрерывна по х на отрезке
[0 1], то ф (х) также непрерывна на [0 1]. Следовательно,
существует конечный предел
1ЙПф(х) = ф(1).
X -1
*<1
Покажем, что ф(1) = 0. Допустим, что ф(1)=#0. Тогда на
некотором отрезке [хх, 1] функция ф(х) не обращается
340
в нуль. Так как /’„(!)= 1, то существует отрезок [х0, 1],
на котором ф(х) и Рп(х) не обращаются в нуль.
Из (12) получаем
d J у (z) X = <p(z)
dz (Pre(z)J— (1-Z2) P‘n(zy
Следовательно, для x0<x< 1
y(x) = Pn(x).
UM
?П (xo)
. <p (z) dz
(1-Z2)PS(Z)
Применяя к интегралу теорему о среднем значении, по-
лучим
X
ф (a) f dz
(l+a)P»n(a) J 1=1
Xo
где Xo^a^x, или
Поскольку при фиксированном x0 a = a(x)^x, то при
любом х из отрезка [х0, 1] функция
Ф (° (*))
[1+aWJ />(*))
не обращается в нуль. Следовательно, согласно (14) функ-
ция у(х) неограничена в окрестности х=1. Так как это
противоречит условию о непрерывности у(х) на отрезке
[—1, 1], то допущение, что <р(1) #= 0, неверно.
Для <р (/) доказательство совершенно аналогично. Лемма
доказана.
Замечание. Из теоремы 3 непосредственно следует
теорема 1.
Теорема 4. Всякая функция f(x), непрерывная на
отрезке [—1, 1] и ортогональная с весом р(х)= 1 на про-
межутке [-1. 1] всем многочленам Лежандра, тождест-
венно равна нулю, f(x)==0.
Доказательство. Пусть
^[-i, и,
h{) (0, х&[—1, 1].
341
Напомним, что если функция Ф(х) интегрируема
с квадратом на промежутке (—оо, со), то к ней приме-
нимо (т. е. для нее существует) преобразование Фурье *).
Очевидно, функция Д (х) интегрируема с квадратом на
промежутке (—оо, оо). Ее преобразование Фурье имеет
вид
со 1
F1(co) = $ Д(х)е-‘хюйх= \ f(x)e~txe>dx. (15)
— со —1
Так как e~txa — аналитическая всюду функция перемен-
ной со, то и Fx (со) аналитична всюду, поскольку интеграл
(15) не является несобственным и производная от него
по со существует при любом со. Функцию Fx (со) можно
представить степенным рядом, сходящимся к ней всюду:
Л (<->)=Л (O)+cof; (0)+•. .+^+...
Все коэффициенты этого ряда равны нулю. В самом деле,
1 1 ( k 1
F<*> (0) = (— z)* J xkf (x) dx = (— z)ft J f (x) K] crPr (x) [ dx=0,
—1 — 1 V=o J
так как по условию теоремы f (х) ортогональна всем мно-
гочленам Лежандра. Мы здесь использовали также свой-
ство 1 (§ 1) многочленов Лежандра. Таким образом,
Fx (со) ss 0. Применяя обратное преобразование Фурье
к функции fi(to), получим /1(х). Таким образом,
ОО
/iW=^ § fi(t°)^xadtosO-
— оо
Следовательно, и f(x) = 0. Теорема доказана.
Замечание. Пусть {/„(х)} (n = 0, 1, 2, ..^ — семей-
ство функций, определенных на промежутке (а, Ь) и по-
парно ортогональных на (а, Ь) с весом р(х). Е,сли для
всякой функции /(х), принадлежащей семейству В, из
ортогональности f (х) (с весом р (х)) всем функциям семей-
ства {/„(х)} следует, что /(х)==0, то говорят, что семей-
ство {/„(*)} замкнуто относительно семейства В.
Теорема 4 устанавливает замкнутость семейства мно-
гочленов Лежандра относительно семейства всех непре-
рывных на [—1, 1] функций.
*) См. Смирнов В., И., Курс высшей математик^, т. И,
«Наука», 1967.
342
7. Многочлены Лежандра можно также рассматривать
как собственные функции следующей краевой задачи: найти
значения параметра X и отвечающие им решения уравнения
^[(1-^)Л+^ = 0, (5J
непрерывные и, следовательно, ограниченные на отрезке
[—1, 1]. Числа Xn = n(n4-1), где п — целые неотрицатель-
ные числа, являются собственными значениями этой за-
дачи, а Рп (х) — отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпываются ли совокупностями
{Х„} и {Ря(х)| все собственные значения и собственные
функции вышеприведенной краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно
следует из теорем 3 и 4. Таким образом, совокупность
многочленов Лежандра исчерпывает все непрерывные и огра-
ниченные на отрезке [—1, 1] решения уравнения Ле-
жандра (5J.
8. Для многочленов Лежандра справедливо также ин-
тегральное представление для значений х е (—1, 1}:
2л
Рп W = 2^ Ь" + ‘ 81П ’₽1" (16)
О
Для получения его в формуле (3) настоящей главы
в качестве контура Ci возьмем окружность радиуса /?,
/? = ]/ 1 — х2 (|х|< 1), с центром в точке г = х и произ-
ведем замену переменной в интеграле г — х-\- К1 — х2е’ф;
при этом
dz = i V 1 — х2 е'ф dtp,
z2 — 1 = х® — 1 -|- (1 — х2) е2‘ф -|- 2х У1 — х2 е'ф =
= У 1 — х2 е‘ф [2х 4- У1 — х2 (е'ф — е~'ф)] =
= 2У^ 1 — х2е'’ф[х4-1’У^1 —х2 sin
Подставляя значения г —х, z2—1 и dz в формулу (3),
получим
2Л
S + -X2sin<p]"rf<p.
О
Из этой формулы непосредственно следует оценка
|ДП(*)|<1 Для хе(-1, 1). (17)
343
На рис. 39 приведены графики многочленов Лежандра.
Рассмотрим несколько примеров применения многочле-
нов Лежандра (и их простейших свойств) для решения
задач математической физики.
9. Пример 1. Определить потенциал внутри полой сферы ра-
диуса R, составленный из двух полусфер, изолированных друг от
друга тонкой прокладкой и заряженных до потенциалов О] и о2.
Математическая постановка задачи: требуется найти решение
и (г, 6) уравнения Ди.=0 в области 0^г<7?, удовлетворяющее кра-
евым условиям
| и (р, 6) 1 < оо,
u(R, 6) =
»1, 0 0 < л/2,
о2, л/2 < 0 < л.
Решение. Сначала найдем решения уравнения Ди=0 вида
u=f (г)ф(0), удовлетворяющие только условию ограниченности. Раз-
деляя переменные, получим
') — (Ф' s>n 6)
dr' ' ' sin 6 d0T ’
— — г • — д.
f ф
Следовательно,
В последнем уравнении произведем замену переменной g = cos6.
Получим уравнение
+^=°-
иЬ
которое при X=n(w-|-1) имеет ограниченное на [—1, 1] решение
в виде многочлена Лежандра Рп g). При таких значениях X уравне-
ние длн f (г) имеет ограниченное решение вида f (г)=гя. Решение
344
исходной задачи ищем в виде
« ('> 6) = cnrnpn (cos 6). (18)
п=0
Коэффициенты сп определим из второго краевого условия, пользуясь
свойством ортогональности многочленов Лежандра:
л
сп = —и (R. е) рп (cos в) sin е de=
с ° 1 -j
= ?пг41’2 $ J ^©dd.
1—1 о J
Последние интегралы вычисляем, пользуясь формулами (7) и (6) этой
главы. Получим
_и2-п1 2п-Ц „ ,П1
я— 2 п Рп^>‘
В этой задаче мы воспользовались следующей теоремой разло-
жимости функции ср© в ряд Фурье по многочленам Лежандра:
Если функция ср© кусочно-непрерывна вместе с производной пер-
вого порядка <р' g), то в каждой точке непрерывности <р g) ее ряд
Фурье по многочленам Лежандра сходится к вшой функции.
Мы не будем приводить доказательства этой теоремы.
Пример 2. Разложить плоскую волну o=e<^ в ряд по мно-
гочленам Лежандра и функциям Бесселя.
Решение. Функция и=е‘Хг=е‘>'л<:о5® является решением урав-
нения Дп-|-Х2п = 0. В сферических координатах оно запишется в виде
-i- • -f- (r2vr) -f- -г- -—g • X (vq sin 8) + Х2п = 0.
г2 дг ' " 1 г2 sm 8 00 ' 1
Будем искать решение этого уравнения в классе функций вида
о=/(г)ф(6). Разделяя в последнем уравнении переменные, получим
4- • 4 м’)+fa —f=о,
г2 аг \ г2 ]
—Ц • (ф' sin 8)+рф=0.
sin е dfl 71
Ограниченные решения уравнения для ф будем иметь при p=n(n-f-l)
в виде многочленов Лежандра ф (8) — Рп (cos в). Уравнение для f(r)
после замены переменной f (r) = qi (r))V г примет вид
Ограниченным решением этого уравнения будет функция (М-
Таким образом, уравнение, которому удовлетворяет рассматриваемая
345
плоская волна, имеет семейство решений(V) Рп(cos6).
V г "* '*
Поэтому естественно положить
СО
е.-р cos е = 2 Jn+Vi (р) рп (cos е). (19)
л —О
Пользуясь ортогональностью многочленов Лежандра, находим
= _^±L f aWP„ (Е)
Vp 2 Л
Производя п раз интегрирование цо частям в правой части, получим
2c„ Jn , ,, (р) 1 . в 1
----«---_ Ге'р£р„ (g)]i-------------------Ге'Рбр' (Е)у _1_ ...
2п +1 /р ip I (ip)2 *• " *-1
Это соотношение справедливо при любых р. Для больших р мы
можем заменить функцию 2п_р/£(р) ее асимптотическим представле-
нием. Получим
Из этого соотношения следует равенство главных членов:
2/2
2n+ 1
1 [е'Р — (—ijne-ipj,
или
2/2
/л
c„sin(p-n-5-
2л 4-1
= ~ \i~n^ — ine“‘P] =
! Я \
= 2in sin (р — л -g- ).
Отсюда
находим
сп
(20)
346
Пример 3. Решить задачу о возмущении плоской акустической
волны «о (Л/, t), обусловленном наличием сферы радиуса R с абсо-
лютно твердыми стенками, т. е. задачу о рассеянии звука на сфере.
Будем полагать, что центр сферы находится в начале координат.
Движение вне сферы будет описываться функцией и(Л4, t), равной
и (М, t) = и0 (М, /) + о (М, t), где v (М, t) — искомое возмущение.
Поскольку функции и(М, t) и иа(М, t) являются решениями урав-
нения а2 Ьи — иц, то v (М, t) будет также решением этого уравнения.
Функции и, и0 и о будем интерпретировать как потенциалы скорос-
тей. Тогда — -------------- ------ -------- ------------ --------
Й =°-
дп |г=я
разом:
на поверхности сферы должно выполняться условие
Таким образом, задача для v ставится следующим об-
а2 До = vtt для г > R,
Ы . |v
дп |г=«’
йа I =
дп —
Очевидно, декартову систему координат можно выбрать так, чтобы
плоская волна и0 записывалась в виде
и0 = • e~ikat.
Будем искать v (М, t) в виде v — Ф (М) e~ikal. Тогда для ф (М)
задача будет ставиться следующим образом:
ДФ -|- й2Ф = 0 для r> R,
йФ I й<р0 I ,»,
дп [г=я дп |г=Л’ 1 1 ’
где фо = etkz.
Имея в виду разложение (19) плоской волны <jp0 (без временного
фактора), естественно искать Ф(Л1) в виде ряда
ф= U <Ьт(М);
т=0
Фт(Л1) будет решением следующей задачи:
ДФ,\ + А2Фт = 0 для г > R,
(21)
|Фт[<со, (22)
где Лт(г)Рт(cos6)—член номера т в разложении (19). Ищем Фт(Л1)
в виде произведения Фт = Вт (г) 4% (в). Тогда, очевидно, в силу
краевого условия (22) функция (в) должна быть равной Рт (cos в).
Подставляя Фт = Вт (г) Рт (cos 6) в уравнение (21), получим
уравнение для Вт (г):
В’^ + у В',п + [k2 --т-<т±1^ Вт = 0.
Если положить Вщ — Dm/Yft то для Dm(r) получим уравнение
~ D’m [ft* - j Dm = о.
(23)
347
Это уравнение цилиндрических функций с индексом v = т -|- Va-
По физическому смыслу задачи функция v(M, i) должна представ-
ляться в виде суперпозиции сферических расходящихся воли
— e,k Поскольку при больших значениях г подходящую асимп-
тотику имеет только функция Ганкеля Н!" (kr):
Hv'(kr) =
л \
4 [1+°(4)]’
то общее решение уравнения (23) надо написать в виде
Dm (О = атНт+ч, &) + P^m+v, (kr)
и сохранить лишь член с функцией *). Таким образом,
получим
вт (г) = amhm (kr), где hv (kr) = Н!}> (kr).
V kr '
Коэффициент <xm находим из краевого условия (22), которое дает нам
В^(7?)= — A'm(R). Отсюда находим
~A'm(R) i'm(kR)
am h'm(kR)k Cmh’m(kR) V 3
гДе 7m(P) = y=-Jm+I/j(p). Следовательно,
И j'm(kR)
^}h'm(kR) ’
w MJ
ф (M) = 2 2 (m+4)im ^S)hm
r:=0 /n==0
10. Приведем без доказательства одну из теорем раз-
ложимости функций в ряд Фурье по многочленам Ле-
жандра, утоняющую теорему Стеклова (гл. IV, § 2)
в случае, ког, а разложение производится по многочленам
Лежандра.
Теорема 5. Если функция f(х) и ее производная
f'(x) кусочно-непрерывны на отрезке [—1, 1], то в каж-
дой точке х е [-1, И ее ряд Фурье по многочленам
Лежандра
оо 1
2 jj f (|) рп © di,
п— 0 —1
сходится к числу
|[f(x+O) + f(x-0)].
*) Функция H'^tit(kr) дает сходящуюся волну.
348
Если функция f(x) и ее производные f'(x), (х) непре-
рывны на отрезке [-1. 1], то сходимость к f(x) будет
равномерной на отрезке [—1, 1].
§ 3. Многочлены Чебышева — Эрмита
Мы определим два новых класса ортогональных мно-
гочленов, имеющих многочисленные приложения. Их
можно определить несколькими способами. Мы восполь-
зуемся таким методом, который позволяет проще всего
получить основные свойства определяемых многочленов.
Этому требованию удовлетворяет определение с помощью
производящей функции.
1. Возьмем в качестве производящей функции функ-
цию Н (х, 1) = е2х‘-{‘ и разложим ее в степенной ряд по
степеням t:
ОО
Н(х, t) = 2 #»(*)£. (24)
п =0
Ниже будет показано, что коэффициенты разложения
Нп(х) являются многочленами, называемыми многочленами
Чебышева —Эрмита. Очевидно,
> 5Z" V-o'
- д"Н ,
С другой стороны, производная n-го порядка функ-
ции Н при t — 0 вычисляется по формуле
а»я| _ «I
dtn |z=o 2ni J Z«+> m
C
где замкнутый контур С охватывает точку / = 0. Следо-
вательно,
с
Произведем в последнем интеграле замену переменной
интегрирования х—/ = |. Получим
п\ Се
с,
где контур Ct охватывает точку |=х. Используя формулу
349
для n-й производной интеграла Коши *), получим
Яя(х) = (-1)«^-^-(е-’). (25)
Из этой формулы следует, что Нп(х) есть многочлен и-й
степени, обладающий свойством четности:
Hik (х) — четная функция, H2k+1 (х) — нечетная функция.
Очевидно, WOWS1> Н1(х) — 2х, Я2(х)=4х2 —2 и т. д.
2. Покажем, что многочлен Нп(х) является решением
уравнения
у' — 2xt/ -}-'ky = O при 1 = 2и. (26)
Действительно, продифференцировав функцию w — е~х*
один раз, w'= — 2хе~х\ находим тождество и)'+2хйУ = 0.
Дифференцируя это тождество п 4-1 раз, получим
[иИ'О]’’ -f- 2х 4- 2nwM = 0. (27)
Теперь, подставляя в это тождество, согласно формуле (25),
а>(я) = (— 1)я н„ (х) е~х\
получим следующее тождество:
Нп (х) — 2хН'п (х) 4- 2пНп (х) s 0.
Уравнение (26) можно записать в виде
4(е~хУ)+^г/=°- (28)
Рассмотрим некоторые свойства многочленов Нп(х).
3. Теорема 1. Многочлены Чебышева — Эрмита орто-
гональны на промежутке (—со, со) с весом p(x)=e~x*:
J Н„ (х) Нр (х) е~х‘ dx = 0, если п^=р. (29)
—ОО
Доказательство. Напишем два тождества:
[ег^Н'п (х)] + 2пе~х2Нп (х)« 0,
[ег^Н'р (х)] 4- 2ре-х*Нр (х) 0.
*) Лаврентьев М. А. иШабатБ. В., Методы теории функ-
ций комплексного переменного, гл. I, «Наука», 1973.
350
Первое из них умножим на Нр(х), второе —на Нп(х),
результаты вычтем один из другого и полученную раз-
ность проинтегрируем (по х) по промежутку (—оо, оо).
Получим
С©
$ (я₽ i dx=
—со
= 2 (р - п) У Нп (х) Нр (х) е~* dx.
—оо
Левую часть этого равенства, очевидно, можно записать
в виде
со
^{(HpHn-HnH^e-^dx.
--DO
Следовательно,
оо
2 (р — «) $ //„Яре-*' dx = (НрН'п - НпН'р) =0.
—СО
Поскольку р^п, то отсюда непосредственно следует
равенство (29).
Найдем норму ]Яя|. Предварительно докажем спра-
ведливость двух рекуррентных *соотношений:
Ня+1 (х) - 2хНп (х) + 2ПНП.Г (х) 0, (30)
Н'п(х) = 2пНп^1(х). (31)
Для^ этого установив связь между производящей функ-
„ ,,, .. дН дН
циеи Н (х, t) и ее частными производными -&• и .
Непосредственным вычислением находим
~^2(x-t)H н ~ = 2tH.
ot ' • ох
Подставляя в эти тождества вместо Н(х, f) ее разложе-
ние (24), получим
ОО оо
2 Нп W frSji = 2 (х - f) 2 нп (х) , (32)
п — 1 п = 0
оо оо
^H'n(x)^^2t Jw„(x)J. (33)
п — 0 п = 0
351
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t
в тождествах (32) и (33), получим соответственно рекур-
рентные формулы (30) и (31).
Тождество (31) позволяет вычислить интеграл
J Нп (х) dx = Нп+1 (х).
Тождеством (30) мы воспользуемся для вычисления квад-
рата нормы || Нп ||2 = $ е~х2Нп dx:
—со
оо оо
IIНп II2 = $ е~х’Нп (X) dx = \Нп (х) Нп (X) е~х' dx.
—со —со
Один множитель Нп(х) в подынтегральном выражении
выразим по формуле (30) через Hn-i и Н„ ?, заменив в ней
п на n — 1. Получим
оо
II Нп IIе = J е-х‘Нп (х) {2хНп^ (х) — 2 (я — 1) Яя_а (х)} dx =
—со
оо
= $ е-х'НП-1 (х) 2хНп (х) dx.
—оо
При этом мы воспользовались ортогональностью много-
членов Я„_2 и Нп- Выразим 2хНп(х) через Hn-i(x) и
Hn+i(x) по формуле (30), получим
СО
|| Нп IP == $ e~x‘Hn-i (х) {Яя+1 (х) + 2пНп^ (х)} dx =
—GO
— 2п $ е~х2Н~п _ I (х) dx,
—оо
ИЛИ
|)//я||2 = 2и||Яя_1|р.
(34)
При этом мы воспользовались ортогональностью много-
членов Нп-1 и Из формулы (34) следует
оо
II Нп II2 = 2n~im ||Hj,IP=2я • я! $ 2х2е~хг dx = 2яп! Ул. (35)
—со
Таким образом,
|| Нп |Р = 2яп! У^.
(36)
352
4. Очевидно, многочлены Чебышева — Эрмита образуют
нормальную систему многочленов. Следовательно, к мно-
гочленам Чебышева — Эрмита приложима теорема § 1
(стр. 333).
Таким образом, все нули многочленов Нп (х) — про-
стые и вещественные.
В дальнейшем функции, интегрируемые вместе со своим
квадратом, будем называть квадратично интегрируемыми
5. Теорема 2. Всякое решение уравнения (28) у (х),
отвечающее параметру К = }.^2п (п — произвольное фик-
сированное неотрицательное целое число), непрерывное и
квадратично интегрируемое (с весом р(х)=е--*2) на проме-
жутке (— оо, оо), ортогонально многочленам Чебышева —
Эрмита Нп (х) на промежутке (— оо, оо) с весом
р(х)==е-жг.
Доказательство. Исходя из тождеств
^[e-^H'n^)]+kne-i‘Hn(l)^0, где Х„ = 2п,
как и при доказательстве теоремы 1, находим
X
£ Нп © у © = —U {ф (х) - Ф(()}, (37)
Y к <
где
ф(г) = е-г>[у'(z)Hn(z)-y(z)H'n(z)] и t<x. (38)
Переходя в (37) к пределу при /-> —оо и х->4-оо,
получим
оо
$ Нп (?) у (?) <г~* Ю}-
— со
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно
показать, что справедлива
Лемма. Имеют место соотношения
lim ф(х) = 0 и Итф (f) = 0.
Л->4-°о — со
Доказательство. Очевидно,
Ф(х) = ФЮ + (^-Х) l^Hn(l)y(l)dl. (39)
t
12 В, Я. Арсении
353
Зафиксируем t. Поскольку правая часть в (39) непре-
рывна по х на промежутке [/, оо), то ф(х) также непре-
рывна на [/, оо). Существует конечный предел
lim е~V Нп (В) ~У (В) (40)
В самом деле, по неравенству Коши—Буняковского имеем
\<г*Нп®~у
t
^e-qtf„©lli(B)|^
t
CD CO
e-*1|//„G)ll4(B)l^= J e-WIHn®le-wly
— co —oo
f DO co Л 1/2
И e~ (?) 5e-E' y2 © <%} =
l— CO —СО J
( DO 11/2
“IIWnllH
Так как по условию теоремы последний интеграл суще-
ствует и равен конечному числу, то отсюда и следует
существование конечного предела (40).
Из существования предела (40) следует, очевидно,
существование предела lim ф (х) = ф(+оо). Покажем,
Л-*+оо
что ф(+ оо) = 0. Допустим противное. Тогда существует
такое число xlt что на промежутке [хъ оо] функция ф (х)
не обращается в нуль. Так как Нп(х) — многочлен, то
можно полагать, что на промежутке [х1( оо) Нп(х) также
не обращается в нуль. Из (38) получаем
d Г У(г) 1 = ф(г)ег*
dzl#n(z)f /^(z)
Следовательно, для
I лп W J Нп (?) I
Применяя к последнему интегралу теорему о среднем
значении, получим
~у (х) = Нп (х) U^-4-ф (В) ( (41)
I ЛП 1*1) J НП (?) ]
* Х1 *
354
где Xjsggsgx. Поскольку интеграл
С dz
) Hn(z)
растет при х->4-°°. как х-1//^ (х) е*’, а функция ф(|)
не обращается в нуль и ограничена на промежутке
[хъ сю), то из (41) следует, что у (х) растет при х->сю,
как х^Нп (х) ех“, и поэтому у (х) не является квадратично
интегрируемой на (—сю, сю) с весом р(х)=е~х\ Это
противоречит условию теоремы. Таким образом, предпо-
ложение ф (4- сю) Ф 0 противоречиво, и, следовательно,
я|: (4- сю) = 0.
Совершенно аналогично доказывается, чтоф(—сю) = 0.
Лемма доказана.
Замечание. Из теоремы 2 непосредственно следует
теорема 1.
6. Теорема 3. Всякая функция f(х), непрерывная
и квадратично интегрируемая с весом p(x) — e~x* на про-
межутке (—сю, оо), ортогональная всем многочленам
Чебышева —Эрмита с весом р(х) = е~*2 на промежутке
(—сю, оо), тождественно равна нулю, f(x) = 0.
Доказательство. Поскольку по условию теоремы
функция fi (х) — f (х) е~хЧ2 квадратично интегрируема
с весом р (х) =s 1 на промежутке (— оо, оо), то тем более
функция f2 (х) — f (х) e~xS квадратично интегрируема с весом
p(x)s 1 на том же промежутке. Следовательно, функция
Д(х) имеет преобразование Фурье F2(a):
Г2(и)= J [2(х)е~,хюдх = J f(x)e~x2-ix,adx. (42)
— оо — со
Функция F2 (<о) аналитична в полосе | Im и | =g: N произ-
вольной ширины 2N, и ее производные произвольного
порядка k можно вычислять дифференцированием под
знаком интеграла, т. е. по формулам
FW (Ю) = (— if f f (х) е-*«- w> х* dx. (43)
В самом деле, функции
Фа (х) = | х|* | f (х) | е"И-*2 (k=0,1, 2,...)
являются, очевидно, мажорантными в полосе j Im со | N
12* 355
для функций
(— t)ft xft f (x) e-x‘~txta.
Интегралы
f №(x)dx
— co
сходятся, так как, представляя (х) в виде произведения
= 2 )(l*TeN|X'~ 2)
и используя неравенство Коши—Буняковского, получим
(х)dxJ |/(х)|2е~х'‘dx $ | х |2fte2JV>xl~x!!dx\ .
— ОО '—оо —оо J
Поскольку последние интегралы сходятся, то сходится
оо
и интеграл J ipfe(x)dx.
—00
Так как функция F2(&) аналитична в полосе 1Im со
то в круге DR с центром в точке со = 0 и радиуса Я < N
ее можно представить степенным рядом
. ь FW (0)
F2 (со) = F2 (0) + coF£ (0) + •••+<•>* ~^Г- + •• •
Все коэффициенты этого ряда равны нулю, ибо
Гр) (0) = (— i)k f xV (х) е~х‘ dx =
00 / k 1
= (— О* $ Ju crHr(x)\f(x)e~xtdx = 0.
— CD V=0 '
Мы здесь воспользовались свойством 1 (§ 1) многочленов
Чебышева—Эрмита и их ортогональностью (с весом р (х) =
— е~х‘) к функции f (х).
Таким образом, всюду в DR Г2(ы)^=0. По теореме
единственности аналитических функций из этого следует,
что всюду в полосе | Im to | N F2 (ю) s 0.
Применяя обратное преобразование Фурье к функции
Г2(ю), получим /2(х). Таким образом,
оо
—оо
Следовательно, и Нх)—0. Теорема доказана.
356
Замечание. Мы установили замкнутость семейства
многочленов Чебышева — Эрмита относительно семейства
всех функций, непрерывных и квадратично интегрируемых
с весом р(х)=е~ха на промежутке (—оо, оо).
7. Многочлены Чебышева — Эрмита можно рассматри-
вать как собственные функции следующей краевой задачи'.
Найти значения параметра к и отвечающие им реше-
ния уравнения
~(е~^у') + ке-^у=О, (28)
квадратично интегрируемые с весом р(х)=е~хг на проме-
жутке (—оо, оо).
Числа X.„==2n, где п — целые неотрицательные числа,
являются собственными значениями этой краевой задачи,
а Нп(х)~отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпывают ли совокупности {Хя} и
{Нп (х)} все собственные значения и собственные функции
этой краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно
следует из теорем 2 и 3.
Таким образом, совокупность многочленов Чебышева —
Эрмита исчерпывает все решения уравнения (28), квадра-
тично интегрируемые с весом р(х) = е~хг на промежутке
(—оо, оо).
8. Приведем без доказательства одну из теорем -разло-
жимости функций в ряд Фурье по многочленам Чебы-
шева — Эрмита, уточняющую теорему Стеклова (гл. IV, § 2)
в случае, когда разложение производится по многочленам
Чебышева — Эрмита.
Теорема 4. Если функция f(x) и ее производная f'(x)
кусочно-непрерывны на любом конечном отрезке [— а, а]
и интеграл
$ e~x‘f2(x)dx
— со
имеет конечное значение, то при любом вещественном
значении х ее ряд Фурье по многочленам Чебышева — Эрмита
СО со
^с„Н„(х), ^Г®е^Нп®<11,
П=о —оо
сходится к числу
|[/(^ + 0)+/(х-0)].
857
9. В приложениях чаще применяются функции
Чебышева — Эрмита
<«)
обращающиеся в нуль на бесконечности. Эти функции,
очевидно, образуют ортогональную систему с весом
р(х) = 1:
СО
$ Фп (*)Ф₽ (x)dx=0, если п Ф р\ (45)
II Фп 11=1. (46)
Из уравнения (28) для многочленов Нп(х) легко полу-
чается дифференциальное уравнение для функций ф„(х):
ф"-}-(Х—х2)ф = 0 (Ь = 2и+1). (47)
Обычно для уравнения (47) задача ставится следую-
щим образом:
Найти такие значения параметра к, при которых
уравнение (47) имеет решение ф (х), непрерывное и квадра-
тично интегрируемое (с весом р (х) s 1) на промежутке
(—оо, оо), обращающееся в нуль на концах этого про-
межутка.
Из свойств задачи, решением которой являются мно-
гочлены Чебышева — Эрмита (см. стр. 357), следует, что
упомянутая задача для уравнения (47) имеет решения
только для значений X, равных Хп = 2п4-1 (n = 0, 1, ...),
и этими решениями будут функции фя(х).
Рассмотрим пример применения многочленов Чебы-
шева-Эрмита (и их простейших свойств) для решения
конкретных задач.
Пример 4. Определить, при каких значениях Е уравнение
Шредингера для линейного гармонического осциллятора
Ф' + {^-^}ф=О (48)
имеет ограниченное на промежутке —со < х < со решение. Здесь
т, соо, £—масса, собственная частота и полная энергия осциллятора,
Й —постоянная Планка.
Заменой переменной г = ~^/~ х уравнение (48) приводится
2Е
к виду (47), в котором Х=—г-:
<а0«
+ г2)ф=°. (49)
358
При —jr=2n+l, где n—целое число, т. е. при Е=шой (n-J- -й-| =
ШдП \ Z f
=Еп, уравнение (48) имеет ограниченное на промежутке —оо<
< z < со решение ф„ (г)=фя х^.
Функции Чебышева — Эрмита появляются при решении уравне-
ния Лапласа Ди=0 методом разделения переменных в параболиче-
ских координатах. Действительно, если ввести параболические коор-
динаты <?, Р, 2, связанные с декартовыми координатами х, у, г соот-
ношениями
х=у(а2—Р2), г/==сар, г=г (50)
(здесь с—размерный множитель, — оо<а<оо, Ог<р<оо, —оо<
<2<оо), то Ди=0 в этих переменных будет иметь вид
а—<«»
Будем искать решение уравнения (51) в классе функций вида
и=А (a)B(P)D (г). Разделяя переменные, получим уравнения
A' -J-(р — KW) А =0, (52)
В'-(р+?А2Р2) В=0, (53)
D’ + k2D=0,
где X? и р—неизвестные параметры. В переменных g=VTca и
4=i Икср уравнения (52) и (53) принимают вид
4f+(£—
совпадающий с уравнением (48).
§ 4. Многочлены Чебышева—Лагерра
1. Как было указано в § 1, мы определим многочлены
Чебышева — Лагерра с помощью производящей функции.
Возьмем в качестве производящей функцию
La (*• 9 =7idym-e-x'/(1-°. «> - К
и разложим ее в степенной ряд по степеням h
L°(x, (55)
п = 0
Ниже будет показано, что коэффициенты разложения
(х) являются многочленами, называемыми многочленами
359
Чебышева—Лагерра *). Очевидно,
гаАЛ 1 <W«(x. 0| 1
nW~nl’ dt" к = о 2га J t"+i
с
где С—замкнутый контур, охватывающий точку f = 0.
Произведем в этом интеграле замену переменной интегри-
рования t — 1 —у. Получим
„ I (* ,п+аР-г 1 лп
L" W = 2S J = ж i" (^п+“^) •
С,
Контур Сг охватывает точку г — х. Мы при этом восполь-
зовались формулой для производной интеграла Коши.
Таким образом,
Л“(х)=1х^£(хя+“е-). (56)
Из этой формулы следует, что Ln (х) действительно
является многочленом n-й степени. Очевидно, Lj(x)^l,
L° (х) = 1 + а — х.
2. Покажем, что многочлен Л„(х) является решением
уравнения
х/ + («+1 -х)у'+Ку=0, (57)
или
(х“+1е-*#') + Хх“е-*# = 0 при Х = п. (58)
Действительно, продифференцировав функцию w =
_ Хп+ае-х ОдИН j)a3;
w' = (и+a) xn+“-1e_JC — хЛ+“е^х,
находим тождество
хи/ — (п 4- а — х) w ss 0.
Дифференцируем это тождество «+1 раз. Получим
х [to(n)]" + (х+ 1 — а)’[ш(я)]' +(п+ 1)ш(п) = 0.
Подставляя в это тождество вместо ш(я) его значение
согласно формуле (56):
и,(я) = Л«е-^“(х)п!,
*) Иногда эти многочлены называют обобщенными многочленами
Чебышева —Лагерра, а многочлены L" (х) = £п (х)—многочленами
Чебышева—Лагерра.
360
получим тождество
х (L“)" + (а + 1 - х) (!“)' + = 0.
Рассмотрим некоторые свойства многочленов L%(x).
3. Теорема 1. Многочлены Чебышева—Лагерра
ортогональны на промежутке (0, оо) с весом р (х) = х?е~х:
Ln (x)Lp (x)xae~xdx — 0, если п^=р и а>—1. (59)
о
Доказательство. Напишем два тождества:
d Г . dL% (х)1
yx+lfi-x + n^e~xLn (х) s= 0,
dx [ dx J 1 " ' '
^>1 + p^e~xLap (х) 0.
ил I ил I
Первое из них умножим на Lp(x), второе —на L%(x),
результаты вычтем один из другого и полученную раз-
ность проинтегрируем (по х) по промежутку (0, оо).
Получим
= (р — n) § L„ (х) Lp (х) х?е х dx.
о
Левую часть этого равенства, очевидно, можно записать
в виде
со
J [£“ (!“)' - (b“)' L“]} dx.
о
Следовательно,
\Ln(x)Lp(x)xae *dx —
о
{Л’Ж)' Lap - (L“)' Т“]}г = 0.
При х = 0 проинтегрированная часть обращается в нуль
за счет x“+1 (а>—1), а при х = оо —за счет е~х.
Поскольку р^п, то отсюда непосредственно следует
равенство (59).
361
4. Найдем норму ||L“||. Предварительно докажем спра-
ведливость двух рекуррентных соотношений:
(л4-1)£“+1 (x) — (2n+l + a—x)L“(x) +
+ (n + a)L“_!(x)^0, (60)
±Lan(x)^-Lan±{(x). (61)
Для этого установим связь между производящей функ-
dLa dLa
цией и ее частными производными и —Непосред-
ственным вычислением находим
(1 - 2t + Н = [a + 1 _ х _ (a +1) /] L“ (х, t)
и
дх ' ’
Подставляя в эти тождества вместо La (х, t) и La+1 (х, t)
их разложения (55), получим
(1-2^ + ^) J nLan(x)tn-1^
п=\
= [a+1 _х_(a+1)/] 5 L“(x)tn (62)
И
со л г a / \ 00
2 f (*)• (63)
П=О П = О
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t
в тождествах (62) и (63), получим соответственно фор-
мулы (60) и (61).
Из формулы (61) следует, что
\Lan(x)dx = — L“+J(x). (64)
Соотношением (60) мы воспользуемся для вычисления |]LS||*:
|| £“ ||2 = $ Хае~х [Ln (х)]2 dx = J xae~xLan (х) L“ (х) dx.
о о
Один множитель L“ (х) в подынтегральном выражении
362
выразим по формуле (60), заменив в ней п на п — 1. Получим
И"||2= $ xae~xL"(x){(2n- 1 4-a-x)U_1(х)-
о
- (п - 1 + a) L“ _ 2 (х)| 1 dx =
=4 $ (*) [— xLn (*)]dx-
о
Мы при этом воспользовались ортогональностью много-
членов L“ и £“-2, а также L“ и LS-p Выразим —х£“(х)
через L“+l(x), L“(x) и /.“-Дх) по формуле (60). Получим
lL“ II2=4 $ Л’Л£“-1 (*) {("+0 L"+i w -
— (2п 4-14- a) Ln (х) 4- (п 4- а) L“_! (х)} dx =
СО
= п|а $ Л-1£а_1 (х)]2йх = -ф-||Г„_1|2,
о
или
||^Г = ^|^-1||3. (65)
При этом мы воспользовались ортогональностью много-
членов Ln-i и L“+i» £“-i и £“• Из формулы (65) следует:
J Ln ||2 = (n+g)(n+ct~1) — <ct+2) || £“ ||2 —
со
=!Ж^Р1+“-‘>’Лг'Л“
о
_ Г (л+а + 1) р , 1 р\_Г (n-f-a-f-l)
— л!Г (а+2) „I
Таким образом,
^||2 = Г(лЧ-а+0. (66)
Очевидно, многочлены Чебышева — Лагерра образуют
нормальную систему многочленов. Следовательно, к мно-
гочленам Чебышева — Лагерра приложима теорема § 1.
Таким образом, все нули многочленов L” (х) — простые,
вещественные и расположены на интервале (0, оо).
363
5. Теорема 2. Всякое решение уравнения (58) у(х),
отвечающее параметру К =\^п(п — произвольное фиксиро-
ванное неотрицательное целое число), непрерывное и квадра-
тично интегрируемое (с весом р(х)=хае~х) на промежутке
[О, оо), ортогонально многочленам Чебышева—Лагерра L" (х)
на промежутке (0, оо) с весом р(х)=хае~х.
Доказательство. Исходя из тождеств
-А (g)] + (g) о,
< L“ +®s°’
где Кп = п, как и при доказательстве теоремы 1, находим
f У (Ю Ln © gV dl = —U- {f (x) - f (<)}, (67)
J Лл —Л
ГДе
f (z) = Za+1e-z (z) 4г1 - £ (*) 4 L“ (*)] (68)
и 0<Zt<Zx<Zoo. Переходя в (67) к пределу при /->0
и х->оо, получим
оо
f 1аел~у(1)L“(g)dg = —Ц-1lim f (х)-limf(t)\. (69)
J (x->co f->0 j
0
Таким образом, для доказательства теоремы достаточно
показать, что справедлива
Лемма. Имеют место соотношения
limf(x) = 0 и Hmf(t) = O.
х-юо /-+0
Доказательство первого равенства проводится совер-
шенно так же, как и доказательство равенства lim ip (х) = 0
Х~*со
в лемме на стр. 353, а доказательство второго равенства —
как доказательство равенства lim<p(x) = 0 в лемме на
__ *”* 1
стр. 340. Поэтому мы не будем снова повторять их *).
6. Теорема 3. Всякая функция f (х), непрерывная и
квадратично интегрируемая с весом р(х)=х°ех на про-
*) Читателю рекомендуется провести подробно все выкладки
доказательств.
364
межутке [О, оо), ортогональная всем многочленам Чебы-
шева—Лагерра с весом р(х)=х“е~* на промежутке [0, оо),
тождественно равна нулю, -f (х) s 0.
Для упрощения доказательства полагаем а > — 0,5.
Доказательство. Поскольку по условию теоремы
функция (х) = f (х) x“/V*/a квадратично интегрируема
с весом р(х)==1 на промежутке [0, оо), то тем более
функция (*) — xae~xf (х) квадратично интегрируема с весом
р (х) = 1 на том же промежутке. Следовательно, функция
( хае~хг (х), х>0,
'•“Но. х<0.
квадратично интегрируема с весом р (х) es 1 на промежутке
(—оо, оо) и потому имеет преобразование Фурье F3(a>):
F3(®) = J /з(*)е~>хо>(*)х“е-*е_рсиdx. (70)
— со О
Функция F3(<b) аналитична в полуплоскости 1т<в^6< 1/2,
и ее производные произвольного порядка k можно вычи-
слять дифференцированием под знаком интеграла, т. е. по
формулам
FW (ю) = (— /)* J f (х) xMk^-ixn dx (71)
О
В самом деле, функции
<Рл (*) = I f (х) I x^e-^1-6' (k = 0, 1, 2,...)
являются, очевидно, мажорантными в полуплоскости
lmw=c6 для функций
(— i)kf{x)x^ke~xe-ixe>.
Интегралы
5 <Рй (*) dx
о
сходятся, так как, представляя (х) в виде произведения
/ а _£\ / к , . __ А 1 л \
<Рл(х) = \|/:(х)|х2е 2Дх2 е 2 J
и используя неравенство Коши — Буняковского, получим
J <pfe (х) dx | $ | f (х) |2 хае~х dx J x“+2fee~* (1-2й) dx| .
о U о J
365
Поскольку последние интегралы сходятся, то сходится и
интеграл
СО
$ 4>k (х) dx.
о
Так как функция F3((o) аналитична в полуплоскости
1mm <6 <0,5, то в круге DR радиуса R <6 с центром
в точке (о = 0 ее можно представить степенным рядом
Fs (со) = Fa (0) + <oF3 (0) +... + (оk .
Все коэффициенты этого ряда равны нулю, ибо
F& (0) = (— i)k J xkf (х) х?ё~х dx =
о
= (- О* J S C'L* (*)| f (X) хае~ж dx=0
0 V = 0 '
Мы здесь воспользовались свойством 1 (§ I) многочленов
Чебышева — Лагерра и их ортогональностью к функции /(х).
Таким образом, всюду в DR Fa(a>)==0. По теореме един-
ственности аналитических функций из этого следует, что
F3(m)^0 всюду в полуплоскости Im т< 6 <0,5.
Применяя обратное преобразование Фурье к функции
Fs (со), получим /3(х). Таким образом,
со
— со
Следовательно, и f(x)== 0. Теорема доказана.
Замечание.'Мы установили замкнутость семейства
многочленов Чебышева — Лагерра относительно семейства
всех функций, непрерывных и квадратично интегрируемых
с весом р(х) = х“е~* на промежутке [0, оо).
7. Многочлены Чебышева—Лагерра можно рассматри-
вать как собственные функции краевой задачи-.
Найти значения параметра X и отвечающие им реше-
ния уравнения
— ^е~ху')+hxae~xy=0, (58)
непрерывные и квадратично интегрируемые с весом р(х)=
=хае~х на промежутке [0, оо).
366
Числа Х„ = л, где п — целые неотрицательные числа,
являются собственными знамениями этой краевой задачи,
a Ln (х) — отвечающими им собственными функциями.
Возникает вопрос: исчерпываются ли совокупностями
{Л„} и {£“(*)} все собственные значения и собственные
функции этой краевой задачи?
Утвердительный ответ на этот вопрос непосредственно
следует из теорем 2 и 3.
Таким образом, совокупность многочленов Чебышева —
Лагерра исчерпывает все решения уравнения (58), ограни-
ченные в окрестности х — 0, непрерывные и квадратично
интегрируемые с весом р(х)=хае~х на промежутке [0, оо).
8. Приведем без доказательства одну из теорем раз-
ложимости функций в ряд Фурье по многочленам Чебы-
шева—Лагерра, уточняющую теорему Стеклова (гл. IV,
§ 2) в случае, когда разложение производится по мно-
гочленам Чебышева — Лагерра.
Теорема 14. Если функция f(x) и ее производная
f (х) кусочно-непрерывны на любом конечном отрезке [0, а]
и интеграл
$ ё~жхаР (х) dx
о
имеет конечное значение, то при любом значении х>0
ее ряд Фурье по многочленам Чебышева — Лагерра
СО со
cnL» (х), сп (g) e~^L- ® <%,
сходится к числу
|[/^+0)+/(х-0)].
9. В приложениях чаще применяются функции
La ЬЛ
= (72)
обращающиеся в нуль на бесконечности (х=4-оо). Эти
функции обладают следующим свойством ортогональ-
ности:
Ф“(х)Ф“(х)dx = 0, если п^р и а>—1. (73)
о
Из уравнения (58) для многочленов (х) легко следует,
367
что функция Ф“(х) является решением уравнения
<74»
при
« 1 а+1
л=«Н—.
Многочлены Чебышева — Лагерра применяются при
решении задач о распространении электромагнитных волн
вдоль длинных линий, о движении электрона в кулоно-
вом поле и в других задачах.
Пример 5. Разложить функцию f(x)=e~-x в ряд Фурье по
многочленам Чебышева—Лагерра.
Решение. В искомом разложении
коэффициенты сп вычисляются по формулам
Производя л-кратное интегрирование по частям, получим
nl i dn~1 |со
с"~Г(л4-а+1) Г е)|о +
СО
+е~Х 5^ (*п+“е“*) |“-+ - + J х^-ьх
О
Подстановка пределов в проинтегрированные слагаемые дает нуль.
Поскольку
со
J хп+ое~2л г («+«+ о,
о
то
л!
2«+а+1 •
Замечание. Существует связь мещду многочленами
Чебышева—Эрмита и многочленами Чебышева — Лагерра
вида
Н2п (х) = (—1)« п!2ап£71/2 (х2)>
Я2л+1 (х) = (-1)" ti\2^xL^ (х2).
Глава XVI
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сферические функции столь же употребительны в мате-
матической физике, как и цилиндрические функции. Необ-
ходимость пользоваться ими появляется, например, при
решении задач, рассмотренных в ч. I, методом разделе-
ния переменных, если использовать сферические коор-
динаты.
Если мы будем искать решения уравнения Лапласа
Ди = 0, записанного в сферических переменных г, б, <р,
в классе функций вида Е(г)У(б, ф), то для функций
f(r), У (б, <р) получим уравнения
^(г2У')-АУ =0, (1)
1 д I -лОдУ\ .1 дгУ , . v „ ,о.
-7-г • az Sin 6 дГ Н~ о д- • -д-5 + ХУ = 0. (2)
sin б дб \ дв) sin2 б д<р2 ' '
Определение. Непрерывные в области О^б^я
0^ф^2л решения уравнения (2), такие, что У (б, ф-|-2л)н=
== У (б, ф), называются сферическими функциями.
Мы рассмотрим сначала семейство сферических функ-
ций, не зависящих от переменной ф.
§ 1. Простейшие сферические функции
Если сферическая функция У (б, ф) не зависит от
переменной ф, то уравнение (2) принимает вид
(3)
Произведя в нем замену независимой переменной по
13 В, Я. Арсенин 369
формуле g = cos0, получим
(4)
Это уравнение Лежандра.
Непрерывные на отрезке [—1, 1] решения этого урав-
нения, как мы видели в § 2 гл. XV, имеются только
при значениях А.=«(«+!), где « — произвольное целое
неотрицательное число, и этими решениями являются мно-
гочлены Лежандра Р„(£). Следовательно, сферическими
функциями, не зависящими от переменной <р, являются
многочлены Лежандра от cos 6, Pn(cos0), и только спи.
Эти функции иногда называют зональными сфери-
ческими функциями. Мы подробно рассматривали свойства
многочленов Лежандра, поэтому нет необходимости пере-
числять свойства простейших сферических функций
P„(cose).
§ 2. Присоединенные функции Лежандра
1. Если ограниченные решения уравнения (2) искать
в классе функций вида W (0) Ф (ф), Ф(ф4-2л)==Ф(ф), то
для функций 4f(0) и Ф(ф) получим уравнения
а <4" sin«)+(’—aSn)’-* и
ф"+рф = о. (6)
Из условия периодичности функции Ф (<р) находим
р —А2 (где k — целое число). Поэтому
Ф (<р) = A cos Аф 4- В sin k<p.
В уравнении (5) произведем замену переменной cos 0 =
= g. Получим уравнение
0-^)^-2^ + [^-Г^-]'Р=0. (7)
При k = 0 оно совпадает с уравнением Лежандра. Нам
требуется найти непрерывные на отрезке [—1, 1] реше-
ния этого уравнения. Пусть (£) — такие решения. Тогда
функции (cos 0) cos Аф+ВЧ\ (cos 0) sin fap и будут
искомыми сферическими функциями.
Рассмотрим подробнее решение уравнения (7).
370
Определение. Непрерывные на отрезке [—1, 1]
решения уравнения (7) называются присоединенными функ-
циями Лежандра.
Для отыскания их произведем замену функции по
формуле
= (8)
Для функции z(g) получим уравнение
(1 -|2)z" —2£(fe+l)z' + [*“fe(fe + D] z = 0 (9)
или
[(1 -12)‘+1 J] + [Ь - k (Л+ 1)] (1 - gy z = 0. (10)
Такое же уравнение мы получим из уравнения
Лежандра (5) (гл. XV), если продифференцируем его k
раз.
Но уравнение Лежандра имеет непрерывные и k раз
дифференцируемые на отрезке [—1, 1] решения только
при значениях X, равных'Хя = п (n-f-1), где л —произ-
вольное целое неотрицательное число. Этими решениями
являются многочлены Лежандра zPn(£). Следовательно,
только при значениях = уравнение (10) имеет непре-
рывные на отрезке [—1, 1] решения. Этими решениями
являются производные fe-ro порядка от многочленов
Лежандра Рп(£).
Следовательно, присоединенными функциями Лежандра
будут функции вида
dk
^а)=а-1Т/2^л.(|). л id
Очевидно, Рп (£) s Рп (5). Поскольку производная fe-ro
jfe
порядка является решением уравнения (10), то,
следовательно, справедливо тождество
L^-X^^PA^
- [П (п + 1) - k (k+ 1)] (1 -X*)k~h Рп (х)
s _ („ _ k) {п+k + 1) (1 - £ Рп (X). (12)
Замечание. Согласно теореме § 1 гл. XIV всякое
решение уравнения (7) при Х = п(л+ 1) (п — целое, nS=0),
линейно независимое с присоединенной функцией Лежандра
13* 371
Р*(^) (^>0), имеет в точках £ = ±1 особенности вида
ЛЛ!-!)-*'2 и Л,(1 +1)~*/2.
2. В дальнейшем нам понадобится только одно свой-
ство этих функций—ортогональность.
Присоединенные функции Лежандра ортогональны на
промежутке [-1, 1] с весом р (х) = 1:
1
J Рп W Pks (*) dx = 0 при n^s.
—1
(13)
Доказательство. Введем следующее обозначение:
4* g = i Pkn(x)P*(X)dx.
—1
Используя формулу (11) для Р*(х) и Pks(x), получим
1
С Н Г 1
Мы здесь произвели интегрирование по частям. Резуль-
тат подстановки пределов интегрирования в первом сла-
гаемом, очевидно, равен нулю. Поэтому
j г£₽.«йГ(| «к-
— 1 L J
Второй множитель подынтегрального выражения преоб-
разуем, пользуясь тождеством (12) (заменив в нем k на
k— 1). Получим
^Х*=^~Л+1ИЛ+^Х
1
X f ^Ps (X) (1 - х2)*-1 Рп (х) dx,
J ахк 1 ахк 1
ИЛИ
4*., = (»“*+ !)(«+*)
(14)
372
Применяя фоРмУлУ О4) к Л*-', и т* д-' ПОЛУЧИМ
Лк _(” + fe)] до zir\
An,s-(n-k)lAn‘s- <1Й)
Поскольку
1
An. s = $ Рп (X) Ps (х) dx = 0, если п Ф s, (16)
—1
А°п, п = Рп (х) dx = 2^1,
—1
то
Ап S= S Р* (х) Р* (х) dx = О при n^s
—1
\k _ II рк № _ (w + fe)l _ 2
1Л. Я II ЯII (и—k)t 2п + 1 •
Замечание. Из формул (13) и (11) следует, что
производные fe-ro порядка многочленов Лежандра орто-
гональны на промежутке [—1, 1] с весом р(х) = (1 — х2)к.
На рис. 40 приведены графики присоединенных функ-
ций Лежандра.
373
§ 3. Фундаментальные сферические функции
1. Согласно § 2 функции (cos 0) cos kip и (cos 6) х
X sin fap являются сферическими функциями. Здесь Ч\(£)—
непрерывные на отрезке [—1, 1] решения уравнения (7)
(§ 2). В § 2 мы нашли все возможные решения этого
уравнения. Это суть присоединенные функции Лежандра.
Таким образом, функции
У* (0. ф) = Р„ (cos 0) sin fap
и
У~*(0, ф) = (cos 0) cos fap,
Yn (0> ф) = Pn (cos 0) = Pn (cos 0)
являются сферическими функциями. Их называют также
фундаментальными сферическими функциями п-го порядка.
Очевидно, что функции
п(е, ф)= Е ад(0, ф) (17)
ft== —п
будут также сферическими функциями. Они называются
сферическими функциями п-го порядка.
При Х, = п(п4-1) уравнение (1) имеет решения
Л(г) = л" и Г2(г)=7^5.
Следовательно,
«1(Л 6> Ч>) = гпУп(е> ф), и2(г, 0, ф) = ^иУп(0, ф) (18)
являются гармоническими функциями. Они называются
шаровыми функциями п-го порядка.
Таким образом, сферические функции п-го порядка
Ул (6. ф) являются значениями шаровых функций п-го
порядка на единичной сфере.
2. Сферические функции обладают свойством ортого-
нальности на единичной сфере:
J $УП(0, ф)У«(6. ф)</о = 0, если n^s,
или
$ Т) М6, ф)8Ш0Й0Йф = О.
О о
(19)
374
Для доказательства этого заметим, что свойством ор-
тогональности обладают фундаментальные сферические
функции:
2л л
$ $У*(0» Ф) W «р) sin 6 de dtp = 0 при (л, fe)^(s, р),
о о
(20)
ибо
2пл
J $У*(0, <р)У£(0, ср) sin 0 d6 dtp =
0 0
2л 1
= $ cos fe<p cos р<р dtp 5 Pkn(l) P₽(g)dg = o
о -i
при (n, k) (s, p) (мы для определенности положили
k~>0, р>0). Если р, то первый интеграл правой
части равенства равен нулю. Если же k = р, но п Ф s,
то второй интеграл равен нулю.
Из ортогональности фундаментальных сферических
функций и из формулы (17) следует ортогональность (19).
Вычислим квадрат нормы
2л л
= J №(0. ф)]2 sin е de dф =
о о
2я 1
= cos2 fap dф J [Д£(Ю]2^-
о -1
Следовательно,
Г»12 = 2ттт
(n+fe)! _П.
(n-k)ie’ e“|2l fe = 0.
(21)
3. Теорема. Шаровые функции гпУпф, ф) являются
однородными гармоническими многочленами п-й степени
по переменным х, у, г.
Доказательство. Поскольку
т„(е, ф)= £ ckYkn(t, ф),
k=—п
нам достаточно доказать теорему для функций rnY„(6, ф).
37Б
Для определенности полагаем Л>0. Тогда
Ykn (6, <р) = R* © cos Л<р = (1 - Рп (g) cos fep =
dr
= О - I2)*'2 5 У ag™ cos Аф =
d&\=o
= (1 - l2)A/2 J] bg™™ cos fcp,
«=0
где g = cos6. Очевидно, достаточно доказать теорему для
функций вида rn sin* 6 (cos S)n~29~* cos fap. Для таких функ-
ций мы имеем
rn sin* 6 (cos s)n-29-* cos fap =
= Г* Sin* 6 Re (e'*4') rWrn-24-k (cos gjn-M-k =
= Re (x + iy)k (x2+z/2+z2)2’z"-2’-ft.
Очевидно, это однородный многочлен n-й степени.
Фундаментальные сферические функции можно рассмат-
ривать как собственные функции краевой задачи-
Найти значения параметра X и отвечающие им реше-
ния уравнения
1 д [ . 0 dY\ . 1 &Y . . v n /о.
sinfi 'дб \Sin0 dfl) + sin26 * деря (2)
непрерывные в области 0^6^ л, 0^ф^2л и такие,
что У (6, ф + 2л) = У(6, ф). Числа Х„ = п(п+1), где л —
целые неотрицательные числа, являются собственными
значениями этой краевой задачи, а фундаментальные сфе-
рические функции У ° (6, ф), У„(6, ф), ¥пк (6, ф), А=1,
2, ..., п, — отвечающими им собственными функциями.
Совокупность фундаментальных сферических функций
исчерпывает все линейно независимые решения уравне-
ния (2), непрерывные в области 0=^6^ л, 0^ф=^2л
и такие, что
У (6, ф + 2л) = У(6, ф).
Эта совокупность замкнута относительно семейства всех
непрерывных в области 0s£6=^л, 0=^ф^2л функций
таких, что У (6, ф4-2л)=У(6, ф). Мы опускаем доказа-
тельства этих утверждений.
Пример. Определить температуру внутренних точек однород-
ного шара радиуса /?, если на поверхности его поддерживается нуле-
вая температура, а начальная температура равна f (г, 6, <р).
376
Математическая постановка задачи: требуется найти решение
уравнения Ди = ~и; в области Ог£г</?, О^б^л, 0=g<f>=g2n,
Z>0, удовлетворяющее краевым условиям
и (К, 6, ф, 0=0, | и (0, 6, ф, /)|<со,
и (г, 0, ф+2я, Z)==u(r, 6, ф, Z)
и начальным условием и (г, 0, ф, 0)=f (г, 6, ф).
Решение. В классе функций вида А (г) Y (б, ф) В (f) найдем
решения уравнения Ди=^- и/, удовлетворяющие только краевым
условиям. Разделяя переменные, находим
В'+а2ссВ=0,
1 д / 5У\ , 1 d2Y , Л (23)
-г-т- • дг I Sin 0 -==• ) -f- . • -Д-5-+ ХУ=0, ' '
sin 0 56 \ 56 J 1 sin2 6 5ф2 1
| Y (б, ф) | < со, Y (б, ф+2л) s Y (б, ф),
^(г2Л')+(аг2-Х)Д=0, |Д(0)|<со, Д(Я)=0. (24)
Решениями задачи (23) при Х=п(п-}-1) являются сферические функ-
ции Yn (б, ф1- Если в уравнении для А (г) произвести замену функ-
ции по формуле Д (r)=z(ij/|/r, то для г'(г) получим уравнение
z=0,
общее решение которого можно записать и виде
г (r)=A!Jn+1/2 (/a r)+NJ_n_l/2 (/а г).
Следовательно,
Jп , , /9 ()/ ОС Z*) Jп « /п (К^ос г)
A (г)=»М-я+1/2^-------+N-n-'/2.2L-----
Vr yr
Из условия ограниченности А (0) находим М=0; М можно положить
равным I.
Таким образом, A(r) — ~
(Кос г). Из условия Л(/?)=0
получим уравнение для определения а:
Jn+i/2(P)=°> Р=Кос/?.
Пусть положительные корни этого уравнения суть
Рьп» Р2.л» ••• » Ps,n> •••
Тогда осЛп=р2>п//?2. Решения задачи (24) имеют вид
А"’ S<r)==j/^J"+1/2 г) •
377
Обращаясь к уравнению (23),। находим
Bs,n~Cs.lfi R
Следовательно, искомыми частными решениями исходной задачи,
удовлетворяющими только краевым условиям, будут функции
ог<п
R* Jn+ J Y* С®» Я».
Решение исходной задачи можно написать в виде
со оо п
и(Гг е, ф, 0=2 2 2
n = 0s = lA=OF ' '
аг^,п(
x[cs,n,ftr«(e. ч>)+оЛЯ,г7‘(в. ф)]* R! •
Коэффициенты Cs,n,h и Ds,„, Л определяем из начальных условий,
используя ортогональность функций У*(0, ф) и функций Бесселя.
Получим
С (n-fe)l(2n+l)
ne(«+fe)l [Jn+l/2(ps,n)]2/?a
К 2п n
X (r- 0- Ф) Jn+1/2 r) Yn (0> Ф) sin 0 dr & d<P
0 0 0
D (n-fe)l(2n+l)
s’"‘ ne/?2 («+fe)l [Jn+1/2 (ps.n)]2
R 2л n
г, 0. q>) Л.+1/2 r) Yn k <e> ф) sm 0 dr d0 Лф
X
0 0 0
где e=l, если k^Q, и e=2, если k=0.
ЗАДАЧИ
1. Вычислить Pn(0).
2. Ортогональны ли на отрезке [0, 1] производные fe-ro порядка
многочленов Лежандра Р2п (х) (k фиксировано)? Если да, то с каким
весом?
3. Решить задачу 6 гл. П при произвольных начальных данных,
поместии начало координат в закрепленный конец струны.
4. Найти напряженность электростатического поля внутри и вне
полой сферы, верхняя половина которой заряжена до потенциала Vj,
а нижияя—до потенциала Уа-
5. Найти разложение по сферическим функциям поверхностных
зарядов, индуцированных на идеально проводящей заземленной сфере
точечным зарядом е, находящимся- а) внутри Сферы; б) вне сферы.
378
6. Решить задачу о поляризации диэлектрического шара радиуса R
в поле точечного заряда, если диэлектрическая постоянная e=ei
при r<R и 8=82 при r~>R.
7. Найти потенциал простого слоя, равномерно распределенного
по круглому диску.
8. Вычислить потенциал во всех точках проводящего шара
с проводимостью а в случае, когда ток / входит в один его полюс
(6=0) и вытекает из полюса 6=п.
9. Внутри сферы, на поверхности которой происходит теплообмен
со средой нулевой температуры, помещен точечный источник мощ-
ности Q. Найти стационарное распределение температуры внутри
сферы.
10. Найти потенциал точечного заряда, помещенного между про-
водящими заземленными концентрическими сферами r=Rt и r=Rs.
Определить также плотность поверхностных зарядов.
11. Найти стационарное распределение температуры в шаре ра-
диуса R, часть поверхности которого Sx (6 =5 а) имеет температуру
u0=const, а остальная часть S2— нулевую температуру.
12. Шар радиуса R нагревается плоскопараллельным потоком
тепла плотности q, падающим иа его поверхность, и отдает тепло
в среду с нулевой температурой по закону Ньютона. Найти стацио-
нарное распределение температуры.
13г Решить задачу о колебаниях газа в сферическом сосуде,
вызванных малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента
1=0, если скорости частиц стенки направлены по радиусам и вели-
чина их равна Рп (cos 6) f (/), где f (0)=f (0)=0.
14. Найти собственные колебания сферы прн краевых условиях:
первого, второго и третьего типа.
15. Решить задачу об остывании шара радиуса R, на поверх-
ности которого поддерживается нулевая температура. Начальная
температура равна f (г, 6, ф).
Г лава XVI
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
Широкий класс специальных функций дают решения
гипергеометрического уравнения
z(l — z)K>’ + [y — (аф-Рф- l)zjw' — аРк> = 0. (1]
Это уравнение имеет три особые точки: zx = 0, za=l
и za = oo.
Построим фундаментальные системы решений уравне-
ния (1) в окрестности каждой особой точки. Полагаем,
НТО у:# 0, —I, —2, ...
1. В окрестности особой точки г1 — 0 будем искать
решение в виде обобщенного степенного ряда
w (z) = z° (1 ф- a1z + azz2+.. ,+anzn+...).
Подставляя этот ряд в уравнение (1) и приравнивая
нулю коэффициенты при всех степенях z в левой части
уравнения, найдем о и ап. Из равенства нулю коэффи-
циента при z°-1 находим ох = 0 и сг2 = 1 — V- Если взять
о=о1, то из равенства нулю коэффициентов при степе-
нях z, za, ... в левой части уравнения найдем
где (х„) = х(хф-1) ... (хф-п—1), (х)0=1. Таким образом,
при о = 0 получим формальное решение в виде степен-
ного ряда
СО
Р,У, (2)
380
Этот ряд сходится в круге | г | < 1. Следовательно,
в этом круге функция F (а, р, у, z) является фактическим
решением уравнения (1). Она называется гипергеометри-
ческой функцией.
Итак, одним из решений уравнения (1) в окрестности
особой 'точки z = 0 является гипергеометрическая функция
w1(z)=F[a, р, у, г).
2. Чтобы найтн второе решение уравнения (1) в окрест-
ности особой точки Zj = 0, произведем замену функции
по формуле tw = z1-vu(z). Подставляя это выражение
в уравнение (1), получим уравнение для функции u(z):
z(l — z) u* + [y' — (а'+ Р' + l)z] «' — а'Р'ы = 0,
где а'=а+1—у, Р'=р+1 — у, у'=2—у. Его реше-
нием в окрестности точки г = 0, согласно предыдущему,
является функция
u{z)=F{a-\-1 — у, Р+1—у, 2 —у, г).
Следовательно, функция
w2 (z) = z1~yF (а+ 1 — у, р + 1—у, 2 — у, г)
является решением уравнения (1) в окрестности точки
z = 0. Очевидно, w2(z) является линейно независимым
с и»! (z) решением. Таким образом, функции (z) и цу2 (z)
образуют фундаментальную систему решений уравнения (1)
в окрестности особой точки zl = 0.
3. Для построения фундаментальной системы решений
уравнения (1) в окрестности особой точки z2= 1 произве-
дем в уравнении (1) замену независимой переменной z =
= 1 — Получим уравнение
Ul-5)5+[/-(a + P+l)B]J-aPw=0,
где у' = a + Р +1 — у. Следовательно, фундаментальной
системой решений уравнения (1) в окрестности особой
точки z2 = 1 будут функции
sys(z)=F(a, Р, a + P+l-y, 1-z)
и
K’4(z) = (l-z)v-“-₽F(y-P, у —a, у+1—a —р, 1 —г).
4. Фундаментальная система решений в окрестности
особой точки z = оо строится так. Сначала в уравнении (1)
381
производится замена независимой переменной £ — 1/z,
а затем замена функции w — ^au. Тогда для «(g) полу-
чим уравнение
g(l-g)g + [/ + (a' + P' + l)g?^-a'P'«=O,
где а' — а, р' = 1 + a — у, у' = 1 + « — Р- Следовательно,
одним из решений уравнения (1) будет функция
и’б(г)=^/’(а, 1+а-у, 1+а-р.
Так как уравнение (1) симметрично относительно а и р,
то функция
№e(z)=ipF(₽, 1+Р-У. 1 + Р-а,
также будет решением уравнения (1). При а р ю6 (z) и
we(z) образуют фундаментальную систему решений.
Очевидно,
F(a, Р, у, z) = F(P, а, у, z).
Непосредственно устанавливаются формулы
|*F(a, р, у, ^^AF(a + k, p + fc, y+Vz).
5. Из представления F(a, р, у, г) в виде ряда (2) не-
посредственно следует, что для целого положительного
числа п F(—п, р, у, z) есть многочлен степени п.
Так,
f(—л, я+1, 1, 1=^/>п(г),
Через гипергеометрическую функцию при соответст-
вующих значениях параметров a, р, у выражаются эле-
ментарные и другие функции. Например,
F(—v, 1, 1, z) = (l-z)v, F(l, 1, 2, z) = =^ln(l-z).
6. Для Rey>ReP>0 справедливо интегральное
представление
1
F(a, р, у, zJ^rTpjrei-P) $ -0^-41 -tz)-adt.
(3)
382
Действительно,
(Р)*. Г(р+Л) Г(т)_Г(Р-Н)Г(у-р) Т(Т) _
(т)л Г^-НО'НР)- Г(т4-й) ‘Г(Р)Г(т-р) —
sr(P)fft- p)B(₽ + fe’ т-₽) =
Г
= —. —- W f fl+k-i л _лт-₽-1л#
— Г (0) Г (у—Р) J 1 а1'
о
т. е.
1
(₽>*=---________ С /Р+й-1/1 _ Av-P-iz// /4)
(y)ft~ Г (Р) Г (т-р) l> at‘ W
О
Заменяя в ряде (2) по формуле (4) и меняя порядок
суммирования и интегрирования, получим
F(a, ₽, у, z) =
1. со
—-----г М_____С fP-1/1 _ AV-P-1 У (Й* zf\kdt
гф)Г(у-р)У V L fei ° -
о fe = 0
Поскольку
00
fe = O
то из последней формулы и следует (3). Заметим, что
правая часть формулы (3) является аналитической функ-
цией переменной z во всей плоскости с разрезом по лучу
(1, оо). Следовательно, формула (3) дает аналитическое
продолжение гипергеометрической функции на всю пло-
скость с разрезом по лучу (1, оо).
7. Функции F (а, у, z) = lim Д(а, Р, у, z/P) называются
₽— +со
вырожденными гипергеометрическими функциями. Под-
ставляя в уравнение (1) z/P вместо z и переходя затем к
пределу при Р-»-оо, получим уравнение^ решением ко-
торого являются вырожденные гипергеометрические функции
zw*-|-(y—z)wr — au> = 0.
Совершая такую же процедуру в ряде (2), получим пред-
ставление F (а, у, z) степенным рядом
СО
г(а’ ь ^)= 2 Лт/"’
* = 0
который сходится всюду.
383
Очевидно,
gf(a, у, z)^^F(a + ft, y + k, г), fc=l,2, ...
Так же, как и для F (а, р, у, z), получается интеграль-
ное представление для F (а, у, z):
F(a, у, ; \
v ’ ' ’ 1 Г (а) Г (у — а) J ' 7
о
8. Через вырожденные гипергеометрические функции
выражаются многие функции. Например,
//2n(z) = (-l)n^f(-n, |, 2®),
Я2п+1(г) = (-1)»^^2гР(-л, |, г2),
£“(г)=(-^М-п, а 4-1, z),
Jv(z) = (l)Vr^iiyF(v+T’2v+!> 2/z) (v>-4)’
2v+b 2z)*>-
*’ Более подробные сведения о гипергеометрических функциях
читатель найдет в книге Н. Н. Лебедева «Специальные функции
и их приложения» (Физматгиз, 1963).
Дополнение
ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ. 6-ФУНКЦИЯ
1. Мы введем понятие обобщенных функций методом, аналогич-
ным методу введения действительных чисел с помощью последова-
тельностей рациональных чисел. Введение действительных чисел
имеет целью выполнимость таких операций, как извлечение корня и
взятие логарифма. Введение обобщенных функций имеет целью сде-
лать всегда выполнимой операцию дифференциро-
вания.
Последовательность рациональных чисел {а„} называется фунда-
ментальной, если для любого рационального е>0 существует та-
кое п0, что для всех п и т>п0
I °п ат I < е-
Фундаментальные последовательности {ап} и {Ь„} называются
эквивалентными, если
lim |а„—Ьп|=0.
П —- со
Эквивалентные последовательности определяют действительное
число. Представителем этого числа является любая из эквивалентных
последовательностей.
2. При определении обобщенных функций мы за исходные возь-
мем непрерывные, функции, определенные в интервале (Л, В),
— со^, А<В ^со. Последовательность {/я(х)} непрерывных на
(Л, В) функций называется фундаментальной на (Л, В), если сущест-
вует целое число k^O и другая последовательность непрерывных
на (Л, В) функций {Fn (х)} такие, что выполняются следующие два
свойства:
1) W=f„(x);
2) последовательность {Вя(х)} равномерно сходится на всяком
отрезке [а, 0] с (Л, В) (Вя (х) =з).
Из определения фундаментальной последовательности следует
Теорема 1. Если последовательность непрерывных на (Л, В)
функций {fn(x)\ равномерно сходится на всяком отрезке [а,
с: (А, В), то она фундаментальна.
В самом деле, здесь Fn (х) ss fя (х) и £=0.
Теорема 2. Если {fnW}—фундаментальная последователь-
ность функций, обладающих непрерывными производными т-го по-
385
рядка (х), то последовательность (х)} также является фун-
даментальной
Доказательство. Для {/„ (х)} существует число 4^0и
последовательность {Вп (х)}, \ обладающие свойствами 1) и 2). Для
(*)} вместо k берем k-}-m и ту же последовательность (х)}.
Они, очевидно, обладают свойствами 1 и 2). Следовательно,
{/Г (•*•)}—фундаментальная последовательность.
Последовательность функций (х)} называется равномерно огра-
ниченной на (Д, В), если существует такое число М, что | fn (х) | М
для всех п и для всех хе (Д, В).
Теорема 3. Если последовательность непрерывных на (Д, В)
функций равномерно ограничена на (А, В} и равномерно сходится на
всяком отрезке [а, р] с: (Д, х0) и на всяком отрезке [а, Р] cz (х0, В),
то она фундаментальна на (А, В). Здесь х0 s (Д, В)
Доказательство. Возьмем в качестве Fn (х) интеграл
X
Fn(x)=. ^fn(f)dt, a fe=l. Тогда свойство 1), очевидно, будет вы-
Хо
полнено. Докажем справедливость свойства 2). Возьмем е>0 и
fa, Р] с: (А, В). Пусть Д<а<х0<Р<В По условию | fn (/) | М.
Нам надо доказать равномерную сходимость последовательности {В„(х)}
на отрезке [а, Р]. Следовательно, надо рассматривать х е [а, р].
Для таких х имеем
I Fn (x)—Fm (х) |= f {f„ (t)-fm (/)} dt
1*0
* p
J I fn (t)-fm (0 I dt < \ I fn (f) | dt =
Xq a
х° + £й в
\fn~fm\dt+ J \fn~fm\dt+ J | f„-fm | dt.
e e
X° 6M X,,+6M
В силу равномерной сходимости последовательности {fn (/)} на отрез-
ках [a, х0— и [х, ₽] найдется такое целое положитель-
ное число По, что на этих отрезках будут выполняться неравенства
I fn (t)~fm (0 | < -3-^1.№) для всех m’ n 23 n<>-
Тогда для n, m^rio
I Fn (x)—Fm (x) I <3ф_аД*о —ёМ — a
<«•
386
Пусть [а, р] cz (Л, Хо). Тогда
*0
) Fn (x)~Fm W1 =£ J I fn V-fm (0 I
a
в
*“ 4M x„
= J lf»(0-fm(0l<K+ J
По условию теоремы последовательность {fn (/)} равномерно сходится
на отрезке [а, х0—Следовательно, существует п0(е) такое,
что для п, т Ss «о (е)
на отрезке рх, •*<> — Поэтому для п, т^п0(г) и хе [а, 0]
IFn (x)—Fm (х) | < (*» ~Г а) +
е
Х°~4М
Если [а, р] с: (х0, В), то аналогично получаем
6
I Fn (х)-Fm (х) | =£ J | f„ W I Л=
*0
, e
X° *" 4M ₽
= J IMO-fmV) I dt+ 5
X° x I e
° + 4M
<2M‘iM + 2(P-x0) (Р~Х°^4Л1)<8
Следовательно, последовательность {F„ (x)} равномерно сходится на
всяком отрезке [a, Р] с: (Л, В). Таким образом, свойство 2) выпол-
няется. Теорема доказана.
Замечание. Если последовательность {fn (х)} фундаменталь-
ная, то и последовательность
fn (0 фундаментальна.
1*0 J
Пример 1. Рассмотрим последовательность функций {gn(x)}:
и интервал (—со, со) (рис. 41).
387
Эта последовательность равномерно ограничена числом 1. На
всяком отрезке [а, 0] с. (—со, 0) она равномерно сходится к нулю.
На всяком отрезке [а, 0] с: (0, со) она равномерно сходится к еди-
нице Таким образом, выполняются условия теоремы 3. Следова-
тельно, последовательность {gn (х)} фундаментальна.
Пример 2. Рассмотрим последовательность функций (х)}:
и интервал (— со, со) (рнс. 42). На всяком отрезке [а, 0] с (—со, 0)
или [а, р] с: (0, со) эта последователь-
ность равномерно сходится к нулю. Од-
нако она не является равномерно огра-
ниченной. Последовательность функций
х
{F„(x)}, где F„(x)= J также
—оо
равномерно сходится на всяком отрезке
[а, Р), принадлежащем интервалам (—со,
0) или (0, со), и равномерно ‘ограничена
(числом 1) на интервале (—- со, со).
Следовательно, по теореме 3 она фун-
даментальна. А тогда по теореме 2 по-
следовательность {fn (/)} также фундаментальна.
Пример 3. Рассмотрим последовательность функций {фя(х)},
где фп (х)—кусочно-линейная непрерывная функция, равная нулю
вне интервала (—1/л, 1/п) (рис. 43). На всяком отрезке [а, р], при-
надлежащем интервалам (—со, 0) или (0, со), она равномерно схо-
дится к дулю. Однако она не является равномерно "ограниченной.
Последовательность функций {Фя(х)}, Фя(х) = J фя (0 dt, также
— со
равномерно сходится на всяком отрезке [а, Р), принадлежащем ин-
тервалам (—со, 0) или (0, со), и равномерно ограничена (числом 1)
иа интервале (—со, со). Следовательно, по теореме 3 она фундамен-
тальна. А тогда по теореме 2 последовательность {фя (х)| также
фундаментальна.
Пример 4. Рассмотрим последовательность функций {фя (х)}:
Vn W (!/«)»+*»’
388
и интервал (— со, со) (рис. 44). Поскольку последовательность функ-
ций (Ч'п (х)}, где !Fn(x)= J удовлетворяет условиям тео-
—00
ремы 3, она фундаментальна. Следовательно, по теореме 2 фундамен-
тальна и последовательность {фп(х)}.
3. Две фундаментальные последовательности {fn (х)} и {gn (х)}
называются эквивалентными, \fn (х)} — {gn (х)}, если существует це-
лое число и две другие по-
следовательности (х)}, {б„ (х)} та-
кие, что:
П ^’(х)=/„(х), (x)=g„ (х);
2) на всяком отрезке [а, ₽] сг (А, В)
последовательность {Fn (х) — Gn (х)}
равномерно сходится к нулю:
/?л(х)-Сл(х)^0.
Так, последовательности примеров 2, 3, 4 эквивалентны друг
другу. Они эквивалентны также последовательности (х)} (при-
мер 1).
Определение. Каждый класс эквивалентных фундаменталь-
ных последовательностей определяет обобщенную функцию f (х), пред-
ставителем которой является любая из последовательностей этого
класса. Мы будем также говорить, что фундаментальная последова-
тельность {f„ (х)} определяет обобщенную функцию f (х) и писать:
f W - {fn Mb
Так, последовательность {gn (х)} (пример 1) определяет единич-
ную функцию
О, х<0,
Следовательно, единичная функция т] (х) является обобщенной
функцией.
В силу леммы на стр. 392 и теоремы 1 всякая непрерывная на
(Л, В) функция также является обобщенной функцией.
Последовательности {g'(x)(, {fn (х)}, {<рп (х)}, {ф„ (х)} примеров
1—4 определяют обобщенную функцию б (х) (с особенностью в точке
х=0), которая называется б-функцией Дирака. Очевидно, 6-функция
6 (х) является четной функцией: 6(—х)=б(х).
4. Линейной комбинацией af + 0<р (а и 0—постоянные) двух обоб-
щенных функций f (х) и <р (х), определяемых фундаментальными по-
следовательностями {fn (х)} и {<рл(х)}, называется обобщенная функ-
ция F (х), определяемая фундаментальной последовательностью
№(х)+₽фп(х)}-
В частности, сумма и разность двух обобщенных функций f (х)
и ф (х) есть также обобщенная функция.
Произведением обобщенной функции т](х—х0) (т. е. единичной
функции) на непрерывную на отрезке [а, Ь] функцию ф (х),
(х—х0)ф(х), будем называть обобщенную функцию, определяемую
фундаментальной последовательностью {gn (х—Хц) ф (х)}, где gn(x) —
389
функции примера 1, а
{Ф (6), х Ь,
Ф (х), а =£ х Ь,
Ф (а), х а
Очевидно,
{Ф (х), х > х(
О х<-х
и, X <_ хс
Произвольную
ками разрыва
писать в виде
кусочно-непрерывную на [а, 6] функцию <р (х) с точ-
Xi, Х2, -., Xk (а С X! < х2 <... < х^ < Ь) можно за-
ф W = In (х—а)—Т] (х—xj] ф0 (х)+ ...
—-НП (х—х,)— ц (х—х1+1)] ф, (х) +... + [t] (х—xft)—ц (х — £>)] qk (х),
где
{ф(х1+1)> х^х^, | «=0 1 2 ... /г)
ф(х), х/^х^х,+115 ’ ’ ’
ф(х,)> х^х, ) х°~а’
Ф/(х) — непрерывные на всей прямой (—со, со) функции. Их произ-
ведения на единичные функции т] (х—х,) суть обобщенные функции.
Следовательно, произвольная кусочно-непрерывная функция есть ли-
нейная комбинация обобщенных функций и потому также является
обобщенной функцией.
5. Пусть {е„}—последовательность положительных чисел, стре-
мящихся к нулю.
Определение. Последовательность непрерывных функций
{6П (*)} называется ^-последовательностью, если эти функции обла-
дают следующими свойствами:
а) 6„ (х) > 0 в интервале {— е„, е„) и равна нулю вне его;
б) 6„(х) имеет всюду производные всех порядков;
ОО
в) J 6„(/)dZ=l.
—00
Приведем пример d-последовательности. Определим функцию а (х)
следующим образом:
Эта функция имеет производные всех порядков. Функция
Рп W=« (*+U а (е„—х)
положительна на интервале (—е„, е„), равна нулю вне его и имеет
производные всех порядков. Пусть
1Ы= Г ₽»(0^
—оо
Тогда
ОО
S гам‘“-'
—оо
390
Следовательно, последовательность {р„ (х),'|| р„ ||} есть 6-последова-
тельность.
Теорема 4. Всякая (>-последовательность фундаментальна.
Доказательство. Последовательность функций
V„(*)= J б И dt
— со
равномерно ограничена, так как 0^ уп (x)=g 1, и на всяком отрезке
[а, Р], не содержащем точку х=0, равномерно сходится к нулю,
если [а, р] с. (— со, 0), и к единице, если [а, Р] с. (0, со). В самом
деле, в первом случае ([а, Р] а (— оо, 0)) найдется такое п0, что
для всех п > п0 имеем е„ < | р |. Следовательно, отрезок [а, р] будет
лежать левее всех интервалов (— е„, е„), п > п0. Поэтому все функ-
ции б„ (х) с п > «о будут равны нулю на [а, 0]. Отсюда следует,
что 7пМЕ0 на [a, PJ для п>пй. Во втором случае ([а, 0] с.
с. (0, со)) найдется такое п0, что для всех п > п0 имеем е„ < а.
Следовательно, отрезок [а, 0] будет лежать правее всех интервалов
(— еЯ1 ея), п > п0. Поэтому для х е [a, 0] и п > п0
X 8
TnW= J f 6„(/)d/=l.
-ея
Таким образом, мы находимся в условиях применимости теоремы 3,
согласно которой последовательность {уя (х)} фундаментальна. А тогда
по теореме 2 последовательность {б„ (х)} также фундаментальна.
Теорема доказана
Замечание. Очевидно, какова бы ни была константа С, по-
следовательности {С6Я (х)} также фундаментальны.
Легко показать, что все б-последовательиости эквивалентны друг
другу и последовательностям примеров 2—4 *). Следовательно, вся-
кая б-последовательность {бя (х)} определяет б-функцию б (х); б-по-
следовательность {бя (х—х0)} определяет б-функцию б(х—х0).
Многомерные б-последовательности определяются аналогично.
Например, о-последовательность в трехмерном пространстве опреде-
ляется как последовательность вида
{бя (х) • б„ (у) • 6„ (г)},
составленная из произведений бя (х) • бя(у) • бя (г), а б-функция в трех-
мерном пространстве определяется б-последовательностями такого
вида. Поэтому, по самому определению, б (М) = б (х) - б (у) • 6 (г) и
б (М, Ме) {бя (х—х0) б„ (у—у0) б„ (г—г0)} =
= б(х—х0)б(у—у0) б (г—г0).
Здесь х, у, z —координаты точки М, х0, у0, г0 — координаты точки Af0.
Выше мы показали, что последовательности {Аб„ (х—х0)} фунда-
ментальны. Можно доказать более общее утверждение: какова бы ни
была функция <р(х), непрерывная в окрестности О (х0) точки х=х0,
*) Читателю рекомендуется провести доказательство этого утвер-
ждения самостоятельно.
391
последовательность {ф(х) • 6Л (х —х0)} фундаментальна на О(хо) и
эквивалентна последовательности {ф (х0) • 6Л (х—х0)}.
Доказательство. Рассмотрим функции
Fn(x) = j 4>(06n(t—xB)dt и Фл(х) = J <p(x0)6„(f — x0)dt.
Очевидно, F'n (x)=<p (x) 6„ (x—x0), Фл (x) — ф (ль) 6Л (x—x0) для всех
точек окрестности О (х0). Для всякого в > 0 найдется такое п0 (е),
что
I <р (х)— <р (х0) | < в для х <= (х0— е„, х0+в„) и п > п0.
Тогда для всякого хеО(х0) и для п>п0
ИлМ— Фл(л)|= J {<р(0—Ф(*о)} 6„(Z—x0)dt sg
—со
X
J |q>(0—ф(*о)|6я(; — x0)dttS
aS J |ф(0~ф(*о)1 бл x0)dt<z j 6„ (/—х0) d/=e,
т. е.
Ил (*) — ФП(*)| <8.
(1)
Так как последовательность {Ф„ (х)} равномерно сходится
(Ф„ (х)=<р(х0) • у„ (х—х0), см. доказательство теоремы 4), то и после-
довательность {F„ (х)} равномерно сходится иа всяком отрезке
[a, PJ с: О (х0). Отсюда и из неравенства (1) следует, что последова-
тельность {ф(х)6л(х—х0)} фундаментальна на О (х0) н эквивалентна
последовательности {ф (х0) 6Я (х—х0)}.
Произведением непрерывной в окрестности точки х=х0 функции
ф(х) на 6-функцию 6 (х—х0) будем называть обобщенную функцию
<р(х)б(х—х0), определяемую фундаментальной последовательностью
{ф(х)6„(х—х„)}.
Доказанное выше утверждение означает, что
Ф W 6 (х—Х„) = ф (х0) 6 (х—х0).
6. Теорема 5. Среди эквивалентных фундаментальных последо-
вательностей, определяющих обобщенную функцию f (х), имеются фун-
даментальные последовательности, дифференцируемых функций (поли-
номов!).
Докажем сначала лемму.
Лемма. Для любой непрерывной на (Л, В) функции F (х) суще-
ствует последовательность полиномов {Рл(х)}, которая равномерно
сходится к F (х) на всяком отрезке [а, 0] с: (А, В).
Доказательство. Пусть {Лл}—убывающая последователь-
ность чисел, сходящаяся к А, {Вп}—возрастающая последователь-
ность чисел, сходящаяся к В. По теореме Вейерштрасса существует
такой полином Рп (х), что | F (х)—Рп (х) | < 1/п для всех точек х
отрезка [Л„, Вл]. Последовательность таких полиномов обладает ука-
занным в лемме свойством. Действительно, каковы бы ни были по-
392
ложительное число е и отрезок [а, р] с: (Я, б), найдется такое целое
положительное число п0, что для всех п > п0
и [а, 0] [Ап, Ёп].
Тогда по самому выбору полиномов Рп (х) для всех п > п0 и для
всех х е [а, 0] будет выполняться неравенство
означающее равномерную сходимость последовательности {Р„(х)}
к функции F (х) на отрезке [а, 0]. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. Пусть {fn (х)} — фундамен-
тальная последовательность, определяющая обобщенную функцию
f(x). Тогда по определению фундаментальной последовательности
существует целое число /г:>0 и сходящаяся на (Д, В) к некоторой
функции F (х) последовательность непрерывных функций {Вп (х)}
таких, что
Функция F (х) непрерывна на (Д, В), так как последовательность
{F„ W} равномерно сходится к F (х) на всяком отрезке [а, 0] с:
с. (Д, В). По лемме существует последовательность полиномов
{Рп(х)}, равномерно сходящаяся к F (х) на всяком отрезке [a, 0]cz
cz (Д, В). Поэтому согласно определению эквивалентных фундамен-
тальных последовательностей последовательность полиномов
{РлМ}. где рп(х) = Р<® (х),
будет фундаментальной последовательностью, эквивалентной после-
довательности {fn(x)}. Теорема доказана.
Таким образом, мы всегда можем считать, что обобщенная функ-
ция f (х) определяется фундаментальной последовательностью диффе-
ренцируемых функций {fn (х)}.
Определение. Производной т-го порядка обобщенной функ-
ции f (х) aa {f„ (х)} называется обобщенная функция
определяемая фундаментальной последовательностью производных
/п-го порядка {/{J”* (х)}. Так, в частности, 6-функция 6 (х) имеет про-
изводные всех порядков. Например, 6' (х) определяется фундамен-
тальной последовательностью (х)|. Производная единичной функ-
ции т] (х) есть обобщенная функция, равная 6 (х):
П' (х) = 6(х),
так как последовательность примера 1 эквивалентна последова-
тельности {fn (х)} примера 2, определяющей 6-функцию. Следова-
тельно, мы можем написать, что
«(*)= J 6(t)dt.
— ОО
393
7. Интегралом произведения ^-функции б(х—х0) на произвольную
непрерывную функцию ф(х)
b
J Ф (х) 6 (х—х0) dx,
а
мы будем называть предел
b
lim f q> (х) 6п (х—х0) dx,
л — оо J
где {бя(х—х0)} —любая б-последовательность, определяющая б-функ-
цию б(х—Xq) Покажем, что этот предел существует и что справед-
лива формула *)
г . , А . . . ( <Р (М> если хо е (а, Ь),
(ф(х)о(х—xB)dx = < „ , ,, (1)
J I 0, если х0 <£ (а, 6]
Пусть хв [а, 6]. Тогда найдется такое пв, что для всех п > па
имеем ел < гшп {| х0—а |, |х0 —-£> | } . Следовательно, для п>пв
имеем 6л(х—хо) = О на [а, 6].
b
Поэтому J ф (х) 6„ (х—хв) dx=0. Следовательно,
а
b
J Ф (х) 6 (х—х0) dx = 0.
а
Пусть х0 (а, Ь). Тогда найдется такое п0, что для п > п0 интер-
валы (х0—e„, х0-|-ея) будут целиком лежать на отрезке [а, б] Сле-
довательно, для таких п
ь х«+еп
\<f(x)dn(x—x0)dx= J ф(х)б„(х—xB)dx.
а х„-ел
Применим к последнему интегралу теорему о среднем значении
Получим
х» + х» + еп
J ф(х)6я(х—x0)dx = tf(ln) j 6я(х — x0)dx = <f(ln),
х.-е„ *0-ея
где £яе[хо—ея, х0+ел]. При п —оо имеем £я-—xq. Поэтому,
*) Можно полагать, что функции бл (х—х0), составляющие б-после-
довательность, четны относительно х=х0 Тогда для х0=а или х0 = б
ь
Ф (х) б(х—х0) dx = 2 Ф (х0) (доказать').
а
394
учитывая непрерывность функции g (х) иа (а, />], получим
ь
hm (ф(х)6„(х—x0)dx = lim ф (|я) = <р (х0).
П-ЮЭц п-»оо
Утверждение доказано. В частности, для ф (х) = 1 имеем
? „, , [ I, t„e[a, ft],
\ б (х—х0) dx — <
i ’ I 0, х0 [а, 6].
Совершенно аналогично доказывается формула
с ... , (Ф®о), если MosD,
о> если w
для всякой непрерывной в D функции ф (/И).
Замечание Если обратиться к последовательностям {/„},
{ф„}, {фп} примеров 2—4, определяющим 6-функцию 6(х), то уви-
дим, что каждая из иих сходится к нулю в любой точке х^ЬО
и к бесконечности в точке х=0 Имея это в виду, можно написать, что
р о, х^ео,
6W=1 А
I оо, х — 0.
При этом 6(х) в точке х=0 обращается в бесконечность так, что
а
J 6 (х) dx = 1 для любого а > 0. Часто выражение (*) кладут в основу
— а
определения 6-фуикций как функционала *).
8. Функцию <о (х) будем называть финитной, если она тожде-
ственно равна нулю вне некоторого интервала (а, Ь). Финитную
функцию будем называть вполне гладкой, если она всюду непрерывна
и имеет всюду непрерывные производные всех порядков.
Определим понятие свертки двух функций, имеющее много-
численные применения Пусть f (х) — непрерывная или локальио-
интегрируемая (т. е интегрируемая на всяком конечном промежутке)
функция Тогда сверткой f (х) с ф (х) называют функцию
/(х)*ф(х)= J f(x — t)<f(t)dt. (2)
— co
Очевидно,
f (х) #ф(х)=ф(х) (х) = J f (Оф(х — f)dt. (3)
— co
Поскольку финитная функция, то свертку можно также запи-
сать в виде интеграла
ь
f*(f=\f(x—t)<(l(f)dt (4)
*)См Гельфанд И. М и Шилов Г. Е., Обобщенные функ-
ции и действия над ними, Физматгиз, 1959.
395
по промежутку, вне которого ф (х) = 0. Отметим простейшие свойства
свертки.
Свойство 1. Если функция ф(х) имеет всюду непрерывные
производные до k-го порядка, то и свертка f * ф имеет всюду произ-
водные до k-го порядка и
dP
[f (х) * ф (х)1 = [f * фГр> =f W * ф,₽’ W (p = . 2.k). (5)
Это прямо следует из формулы (3) и фннитиости функции ф(х).
Если функция f (х) имеет непрерывные всюду производные до
fe-ro порядка, а ф (х) интегрируема и финитна, то
(f , ф)<Р>=f >Р> (х) • ф (х) (р = 1,2.k). (6)
Свойство 2. Если последовательность непрерывных функций
{/„ (х)} равномерно сходится на отрезке а0—b ^х^Ь0—а к функ-
ции f (х), то для всякой непрерывной финитной функции ф (х), тож-
дественно равной нулю вне интервала (а, Ь), последовательность
{fn (х) * ф (х)} равномерно сходится на отрезке [ав, 60] к функции
{(х)*ф(х).
Справедливость этого непосредственно следует из формулы (4).
Обозначим через (Д', S') интервал, состоящий из таких точек х',
что отрезок [х'—6, х'—а] сс. (Д, В).
Свойство 3. Если последовательность {/„ (х)} фундаментальна
на (Д, В), а ф(х) — финитная и непрерывная функция (<p(x)sO вне
(а, ДО), то последовательность {fn (х)»ф (х)} фундаментальна на
(Д'. S').
Доказательство. Пусть [а, 01 cz (Д', В'). Тогда отрезок
[а — Ь, 0—а] принадлежит (Д, В). Так как {fn (х)}—фундаменталь-
ная последовательность, то существует целое число и другая
последовательность {Еп (х)} такие, что F^ (х) =f„ (х) и {Ея(х)} равно-
мерно сходится на отрезке [а—б, 0—а]. Вычислим {„(х)»ф(х). Имеем
fn (х) * Ф (х) = F&> (х) » ф (х).
Применяя формулу (6), получим
fn (х) * Ф (х)=(х) * ф (х)]<4 (7)
По свойству 2 последовательность {Вп(х) »ф(х)} равномерно сходится
иа отрезке [а, 0]. Отсюда и из соотношения (7) следует, что после-
довательность {/л(х)*ф(х)} фундаментальна.
Замечание. Если ф(х)—вполне гладкая функция, то фор-
мулу (7) можно записать в виде
{„(х)*ф(х) = Е„(х)*ф<*>(х). (8)
Поскольку последовательность {Fn (х)} равномерно сходится иа
всяком отрезке [а, 0] cz (Д, В), то по свойству 2 последовательность
{Вп(х)*ф,А|(х)} равномерно сходится на всяком отрезке [а-|-б, 0-|-а],
принадлежащем (Д', В'). Таким образом, справедливо
Свойство 4. Если последовательность {fn (х)} фундаментальна
на (Д, В), а ф(х)— вполне гладкая финитная функция (ф(х) = 0 вне
(а, 6)), то последовательность {f„ (х)» ф(х)}. равномерно сходится на
всяком отрезке [а', 0'J cz (Д', В'). 1
396
Теперь естественно принять следующее
Определение. Сверткой произвольной обобщгнной функции
f (х), определяемой фундаментальной последовательностью {/„ (х)},
с финитной непрерывной функцией ф(х) будем называть обобщенную
функцию f (х) » <р (х), определяемую фундаментальной последователь-
ностью {fn (х) * ф (х)}.
Очевидно,
f (х)*ф(х)=ф(х)*/:(х).
Так/ же определяется свертка обобщенной функции f (х) с произ-
вольной финитной интегрируемой функцией ф(х). При этом справед-
лива формула для производных (/* ф)'Р'=рР'* ф, где рР' —произ-
водная р-ro порядка обобщенной функции. В частности, определена
свертка 6-функции и произвольной финитной всюду непрерывной
функции ф (х):
б (х) » ф (х) = ф (х) » 6 (х).
Свойство 5. Для финитной и всюду непрерывной функции
ф (х) справедливо тождество
Ф (х) * б (х) = ф (х).
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Пусть {6Я (х)} есть ^-последовательность, а ф(х)—не-
прерывная на (Д, fi) функция. Тогда последовательность {ф (х) » бя (х)}
сходится к ф(х) равномерно на всяком отрезке [а, 0] е. (Д, В).
Доказательство. Пусть [а, 0] cz (Д, В). Для любого в > О
найдется такое п0 (в), что при п > п0 для всех х из [а, 0] и всех t
из (—вя, вя) выполняется неравенство
|ф(х—t)—ф(х)|<в.
Оценим разность ф (х) * 6„ (х)—ф (х):
|ф(х)*б„(х)—ф(х)|= J ф(х—ф(х) =
= J ф(*—t)6„(t)dt— J ф (х) 6Я (/) sZ
— со — со
С° е„
J |ф(х — t) — ф(х) |6„(t)dt = J |ф(х—Г) —ф(х)1бя (t) dt.
-СО -еп
Для указанных выше п > пв (в) и любых х е [а, 0] последний инте-
грал меньше, чем
еп
8 j 6„(t)dt = 8.
~еп
Таким образом, для п > п0 (в) и хе [а, 0]
|ф(х)*6„(х)— ф(х)|<8.
Лемма доказана.
Доказательство свойства 5. Поскольку функции
Ф (х) * б„ (х) непрерывны на (Д, В) и по лемме последовательность
397
{ф (х) » 6„ (х)} равномерно сходится к функции ф (х) на всяком от-
резке [а, р] а (Л, В), то по теореме 1 она фундаментальна и опре-
деляет обобщенную функцию, равную ф (х). С другой сто-
роны, по определению свертки фундаментальная последовательность
{ф (х) * 6„ (х)} определяет свертку ф (х) * б (х). Поэтому
ф(х) »б(х)=ф(х).
Кроме того,
со
ф(х) = lim [<p (х) * 6n (х)]= lim f ф (х — f) д„ (/) dt—
п->т п-*со —Jcq
= J ф(х — t) б (<) dt = J ф (t) б (х—t) dt.
— co — со
Мы при этом воспользовались определением интеграла от произведе-
ния непрерывной функции иа б-фуикцию.
Таким образом, свертка б-фуикции с произвольной непрерывной
функцией ф(х) может быть записана в виде интегралов:
ф(х)*б(х)= J ф(х — t) б (<) dt= J ф(0 6(х—f)dt.
— со — со
Свойство 6. Свертка произвольной обобщенной функции f (х)
с вполне гладкой функцией ф (х) имеет непрерывные производные всех
порядков.
Доказательство. Пусть обобщенная функция f (х) опре-
деляется фундаментальной последовательностью {fn (х)}. По свойству 4
последовательность {/»(х)*ф(х)} равномерно сходится на всяком
отрезке [а', Р'] cz (А', ’В’) к непрерывной функции. Из формулы (8)
и свойства 4 следует, что последовательности {(fп « ф)"1} из произ-
водных i-ro порядка (i=l, 2, ...) также равномерно сходятся к непре-
рывным функциям. Тогда по теореме о почленном дифференцировании
последовательностей *) отсюда и следует свойство 6.
Можно определить свертку произвольной обобщенной функции
f(x) и б-фуикции как обобщенную функцию f (х) * б (х), определяемую
фундаментальной последовательностью
{f(x)*t>n (х)},
где {6П (х)} —произвольная б-последовательность. При этом справед-
лива формула
ffx)»i>(x)=f(x).
Приведем сводку наиболее употребительных формул и соотношений,
содержащих б-функцию. Доказательство многих из них читатель легко
проведет самостоятельно или найдет в специальной литературе **).
*) См. Фихтенгольц Г. М., Основы математического ана-
лиза, т. II, гл. XVI, изд. 5-е, «Наука», 1968.
**) Г е л ь ф а н д И. М. и Ш и л о в Г. Е., Обобщенные функции
и действия над ними, Физматгиз, изд. 2-е, 1959; Микусинский Я-,
Сикорский Р., Элементарная теория обобщенных функций, вып. II,
ИЛ, 1963.
398
1. б (— х) — б (х).
2. б (ах) =-^ б (х).
3. б(ф(х))=У у(* *">
” I ф' (х„) |
п
если ф (х) имеет только простые нули хп.
4. хб (х) =0, ф (х) б (х) = ф (0) б (х), ф (а ± х) О (х)=ф (и) 0 (х).
со
5. j Ф(х)д(х—Хо)</х=ф(хо).
— со
6. J б(х — i)6(s — t)dt = d(x—s).
— СО
7. 6'W=^6(x).
ОО
8. J ф (х) б'(х—Xq) rfx=—ф'(х0), если ф'(*) непрерывна при
— со
Х = Х0.
со
9. б'(х- /) б (s— Z)d/ = 6'(x—s).
— оо
Ю.^б(х) = (-1)"^б(х).
00
С дп‘
11. \ ф (х) б (х—s) dx=(— 1)л ф(л’(s), если ф(л) (х) непре-
— 00
рывиа при x=s.
12. J J J ф (М) б (М, Мо) Лм=ф (Мо).
— 00
13. Фурье-преобразование 6-функции б (х—х0) имеет вид
со
— оо
следовательно,
СО 00
б(х —х0) = -^= V б(5)е_,£х<!£ = ?- e~ii(x~^ dl.
у 2л. J -*зь J
— со —оо
399
Для трехмерного случая
б(М, М„) =
g—iR(*—*o)+W —wo+tt* —*«)1 4g 4q 4g —
' С е-^(х~х^ dl-~ ( e-^-MdriX
2л J J
co
xj- e~li{z~z‘} d^=t>(x—Xo)-f> (у —уй)Ь(г—z0).
2л J
— co
Таким образом,
6 (M, М„) = б (х—х0) б {у—уо) б (г—г0)
в декартовых координатах.
14. б (Л4, М0) = у б (г—г0) 6 (<р—<ро) в полярных координатах
на плоскости.
15. б (М, Л10) = б (г—г0) 6 (6 — 60) б (ф—ф0) в сферических
координатах.
16. б (М, Л40) = ^-^1—в (<7в—(Те) в произвольных
ортогональных криволинейных координатах (qit qt, q3). Здесь hlt hit
hs—коэффициенты Ламэ
Встречаются также обобщенные функции б+ (х) и б_ (х), которые
мы определим формально с помощью представления
со 0 со
6-^) = 2^ J e-^dl^^dl.
О — со О
Очевидно, б+(х)4-б_(х)=б(х) и б+(—х) = б_(х).
ОТВЕТЫ к ЗАДАЧАМ*)
Глава I
1. a) ug^—0,5 ~ ug=O (%=ху, 1)=—): б) Ди —«g—un=0
£ \ х /
(?=р2. п=*2); в) “ф1=° Й=7> »)={/);г) и&п+гЦг(«б-«п’ =
= 0 в области у <0 (^=х+2рЛ—у, т]=х—2]/—у); &и = 0
в области £/>0 (£=х, т]=2)Лу).
2. а) иЧТ|—2ug=0, н=мен1+'П, р= 1,1875, v=0,25 (i—y — x,
i]=j/+x); б) t)gn+^o=0, u=v-e>Ji+vrl, p= —0,25, v==—$~
Q=y—3x, ч\=у —x); в) ugg+onn—1,5u=0, u=v-e~^ (g =
= 2y—x, T]=x).
Глава II
1. a2uxx+g=utt; u(x, 0)=0, u<(x, O)=o0; u(0, t) = ux(l, t) = 0.
2. a2uxx—f>Ul=utt-, u(x, 0)=ф(х), ut (x, 0)=<f>i (x); и (0, t) =
= u(l, 0=0.
3- S uxx)=pSutt; u(x, 0) = ф(х), и<(х, 0) = ф!(х);
aiUx(0, t)-hu&, 0=0, a^ux(l, t)+^u(l, 0=0.
4. *)ux] = -uw; и (x, 0)=ф(х), ut(x, 0) = ?1(x);
u(0, 0=0. | и (I, 0|sSM.
x)uv]+<i>2u = U//, дополнительные условия задачи 4.
6. <o2^[(la—*2) uxl=P“«. дополнительные условия задачи 4.
7. а26хх—6у> 6(х, 0) = ф(х), бДх, 0)=ф!(х); 6(0, 0 = 6(0 0=0.
8. a2Uxx+^I(t)=utt, и(х, 0)=u,(*. 0)=0; u(0, O=u(Z.O =
= 0, с—скорость света.
*) Большая часть задач заимствована из |2] и [13], (см. Лите*
ратуру в конце книги).
14 В. Я. Арсенин 401
9‘“(х’°“{мх’о, x>o’ (‘-I.2);
£.
и (х, 0) = ф (х), Uf (х, 0)=<Р! (х); «1 = ~ (»= 1.2); “1 (0, t) = и2 (0, /),
£1“1х(0. 0 = £2«2х(0. 0-
10. Тихх = [()+m06(x—х0)] Utt’, и(х, 0) = ф(х), ut(x, 0) = w. (х);
u(0, — t) = 0. Или:
x>x’ °2 (i = 1. 2),
I £/2 V*> *7» x > x0>
и (x, 0) = ф (x),
Ut(x, 0) = ф!(х); ui(0, 0=0, Uz(l, /)=0;
u2 (xOl t) = u2 (x0, /)> T[u2x(x0, t) U\x(XQt /)]=mautt (Xq, t).
11. Tuxx+F (/)6(x—vot)—putt-, u(x, 0) = uz(x, 0)=0.
12. vx~t~L • i^+Л t—0, ix-j-C • V/-j-Gv—0;
i (x, 0)=ф1 (x).
13. vx+L-if=0, ix+C ve=0; v(x, 0) = ф(х),
— u(0, t) = RBi(0, t), covt<l, t).
14. vx+L-it=0, ix+Cvt=0-, v(x, 0) = ф(х),
-v(0, t)=L'"it(0, 0, v{l, f).
1>(х, 0)=ф(х),
i(x, 0)=ф1(х):
i(x, 0) = Ф1(х);
v2(x, t), x>0, ’ li2(x, t), x>0;
('i).v+c* (°x)/=°, 0(*, 0) = ф(х),
^2/(0. Z) = J-i1(O, t)
c0
Mx+L* (ik)t 4- Rk • ik — °>
i(x, 0) = ф1(х), tl(0, Z) = f2(0. Z),
(A=l, 2). Для силы тока i (x, 1):
(,’*)xx = C*ifc(,k)rt + Cfc^*'fc; 'if0- 0 = '2(°. t)\
-4-'ix(°> 0—7^'2x(°. 0; 0)=4>‘(x),
Cj u0
ikl(x>
Lk
16. k-uxx—h[u — tf{t)} = cput\ u(x, 0)^f (x); и (0, /) = й (0.
kux(l, t) = q Щ-
17. k uxx—hu+Q /2=cput, и (x, 0) = f (x); kux (0, Z) = C1u< (0, /),
kux(l, t)=C2ut(l, t), где Cj, C2 —теплоемкости клемм.
18‘ fix(DUx^ ~ Fx(V ’=CUt'
IS- a) ^x(Dux) — fiu=cu(; 6) ~(D-ux) + ftu=cuf.
20. u(x, 0=( U1(X’ 2’ K<'°’ al(.4i)xx = (ul)l (1 = 1, 2)s
I u2(x, t), x>0, ‘1 i,xx ' Ш "
u(x, 0) = ф(х); ^(O, /)=U2(0, t);
a) ^2“sx(0. 0—0=0; 6) k2u2x(0, 0—^i“ix(0, 0 =
= Cou,(O, 0-
21. ~(kux)=cput; u(x, 0)=0; u(yt, =
402
22. ^(fe«x)+Q6(x—v(/)=cpu<; u(x, 0) = <p(x).
23. a!>uee—h(u — uB) = ul;
k
0—полярный угол, a3 — t
24.
dt 4л»|х dg2 ’
и (e, 0)=<p(e); u(e+2n, /)=«(e, o:
R—радиус кольца,
дН fi &H
аГ = 4^--^> где с-ск°р°сть
света, о—проводимость среды, р—магнитная проницаемость, g—
расстояние, отсчитываемое от фиксированной плоскости, Е=Е(Ь. О.
Н = Н(£, t). '
25. а) Д« =—4лр; б) Дц=О.
Глава III
1. См. рис. 45. Указание. Воспользоваться формулой Да-
ламбера.
2с Зс
Рис. 45.
~2с -с О
~4с ~3с ~2с -с 0 с 2с Зс 4с
Рис. 46.
О с 2с Зс 4с
О ''.ст'Зс Зс 4с 5с 6с
К-6
Рис. 47.
2. См. рис. 46.
3. и(х, t)=^{E(x+at)—F(x—at)}, где
{О, Z&S—с,
Ц>(г+С). ~
2Vffl, г^с.
4. См. рис. 47.
14*
403
5. u(x. t) = ^~ {F (x+ai)—F (x—а/)}, где
«»(*, 0=f
ail’
F(z)=^ {T) (z-x0>—q (z+x0)}.
Указание. Решать задачу: a2uxx=ut(; и (0, t)=0; и (х, 0) =
= О, ut(x, 0)= б (х—х0), 0^х<оо.
6. Для —оо<х<0 имеем
KpIfT—. / х \.
V PiA + V P2F2 \ «1 / ’
преломленная волна: и2 (*. О = 7—Р1^1 f (t —
VpiEi+Vp^' [ Ь
отраженная волна: u0TD=^^——У-2^2
Р VP1F1 + УрА
uOip отсутствует при PiFi=p2Z?2-
v(x, О)=£ое_Гс/гх, i(x, O)=£oj/
t>(x, /) = £ое— ^CRzt] (x—at), 0<
-YGRx,
7.
— YGRx , „
e Ц (x—at).
8.
9.
и (x, <i)^0, и (x, Z2) = — u(x, 0), u(x, tt)=u(x, 0).
x-j-ai
ча~ки°
^2^ J F(g)dg, -at<x<vnt,
0
0,
ui (x, 0 =
и lx P
a(’ f)~~2dTT
a — va
0,
x> at,
t>of < x < at.
x>at.
To—начальное натяжение струны.
1
Vlc'
11. / (x, 0=T)
~C
L '
i
a=c'
Co
12. S(Mt 0=So^
10. u(x, 0=Т)
So д fo
4na2 dt\t
404
13. Только уравнения гиперболического типа вида
а11ихх + + °22u« = О-
Скорость а определяется из уравнения
О22О2 — 2«12а + Оц = О-
14. Только уравнения гиперболического типа с коэффициентами,
удовлетворяющими соотношениям
а&а2 — 2а12а4-а11 = 0, b2a—2ц (а12—а^а) —О,
(tyifl* — цЯ2 4-0=0.
Глава IV
i Л — 2й/2 vi 1 . лп . лп лпа
LU(X- <)= яЧ(г-х0) 2 ^«n-j-xo-sm-j-xcos— /,где
Я Fq * х0 (I x0).
2. u(x, = V
лар
1 . пп . пп . пап .
— sin х0 sin -г- х • sin —;— t.
п I и I I '
р
Указание. и(х, 0)=0, ut(x, 0)= — б (х—х0).
„ . Л &Л> V (—0" - 2п+1 _ 2п + 1
3. и(х, 0—n2ES 2j (2«+l)2sln 2/ mt.
n = C
p
Указание, и (x, 0) — x, ut (x, 0)—0.
с о
cos Jp- x • sin iy- at
~TT. h
где рЛ — положи-
тельные корни уравнения
5. и(г, 0=2 Спе ° у sin г, где цп = У%> R,
п = 1
2 p^n + {ph-iy-l* f ц„
Cn~R' R^n+(Rh-l) Rhl* r rdr’
0
* p
pn—положительные корни уравнения tg p — | •
Указание. u=^v[r и a2vrr
405
2— a2}._t 1
Cne " у фп(г), где
n —1
Ф„ (г) = (1 —fiiRi) sin уКп г+УХ cos FX Г,
R2 *3
Cn==i^F Srf0Фл0dr’ ||Флl|2= j ф"0dr’
Ri «i
Xn — положительные корни уравнения
i^l,T<n D\ . ^2 (1— hiRi) — (1— h2T?2)
tg F x (Я2-Я1) ~ R2K+{i_hiRi}(i_hiR2y
7. а)Л’кр=-~7=; 6) RKp=0; в) RKp равно наименьшему поло-
TP _ __
жительному корню уравнения (1 — hR) tg R=R.
8. Для краевых условий первого типа:
^.р=п2(^+^). Фп.Р(х, l/) = sin ^x-sin^-y (л, р= 1, 2,...).
В случае квадрата (l=k) кп,р=^ (л2+р2), М, 2=^2.1= но
. . 2л . л , . . л . 2л
Ф1, 2 (*, У) = sm -у х ‘sm у У ¥= ®2.1=sin -j- х • sm — у.
_ „ . 5л2
Таким образом, одному собственному значению д.=-^~ соответ-
ствуют две линейно независимые собственные функции.
Для краевых условий второго типа:
^n.p=^\-p+^j, Фп,р(х, y)=cos-j-x-cos-^y
(nt р=0, 1, 2, ...);
третьего типа:
р = Р'п “Ь ССр»
Фге.р(х,Й=“
= (У рл cos V|ХЛ *+hx sin к х) (Иар cos У ар y+h3 sin у),
|in и ар являются положительными корнями уравнений
tg1 = -^+^)Уц tg /afe=-^+/14)^«.
, hJh— ц й3й4—а
9. Для краевых условий первого типа:
An, р. q — Л р -Ь & -I- тг j,
®n.p,9(x. У, Z) = sin —x-sin-^-ysin-^-z (п, р, <7=1,2,...);
второго типа:
^п, р. q—Я2
Р2
Л2
406
фл.р.д (*. У, z)=cos —- x • cos ^-y-cos ^-г (n,p, q—Q, 1,2,...);
i r, m
третьего типа:
, ^-л. p. д = Ил + ®р + Р9»
®л, р. q (^. У, г) =
= (ИМл cos Х4-Й1 sin х) (К«7 cos /«р У+лз sin у) X
X (r₽7cos/₽7z4-ft5 sin Kp^z),
Мл* ар, ₽?—положительные корни уравнений
tg/м/= А+МХЙ.,
“1^2 — Р “3^4 ~
tg)/p
ЛБ“6 — Р
10. a) 0)p>p>9— O ^n>p*q —
(п, р, 9 = 1,2,...);
б).........^n,p=^n.p-^t гДе Уп.р~корень номера р уравнения
Jn+1/2<M)— 2jf 7л+1/2^)=0’ Л—РаДиУс сферы, n=0, 1, 2, ...;
р=1,2 Здесь Jk (z) —бесселевы функции Л-го порядка (см.
гл. XIV).
,, / Л & V 2«+l . ,
11. u(x,t) ——- 7 1—; ° cos—~f—af+
' ал3 (яс (2л 4-1)3 2/
л=0
v0 . 2п-}-1 .
+ (2/14-1)3 Sln 21 at
/ n Fo V
*2. и (x, t) £S x ESn2
. 2n-|-l
sm —— nx—
(—1)" . 2п4-1
_ (2^Г,П-^~3и:Х
п=0
2п+1 .
X cos—— ла1.
Указание к задачам 12—23. Искать решение в виде суммы
двух функций и = v (х) 4-4» (х, t), где v(x) удовлетворяет уравнению
и краевым условиям рассматриваемой неоднородной краевой задачи,
a w—решение соответствующей однородной краевой задачи; о(х)
описывает стационарный режим, ш—отклонение от него.
13. и(х, 0 = и34-о (х)4- У] Спе г'п+ЛИ. sin -^-х, где
п= I 1
(ui—u3)sh x)4-(u2—u3)sh^-x|,
1
v (x) =-----=
. i Vh
sh—1—-
a
nW 2 [ ... ... , . лп .
^п=~р~, cn=~i tf©-P(&)-«s} sin-y-gdj.
о
407
14. u(x, 0 = us+»W+S Спе (а ^п+^з)1 х
п= 1
X (Л1 sin VKn x+Vln cos х),
\'hT Vh,
-—- X---------= X
где v (х) = 4te ° + А2е а . Коэффициенты Дх и Д2 определя-
ются из уравнений
Л,-Л,-%Ь=М.«.
ул8—aht
/ ,/т-\ Y^-i / ~^i
Ai[hi+a)e ° +МА2~‘а Г ° =
I
с"=]Г^р j
Фя (x)=*jsin *+F%cos У?.пх;
Кп—положительные корни уравнения tg .
I
15. Q(0 = S^u(x, l)dx, гДе 5 —площадь поперечного сечеиия
цилиндра,
ОО
2 4zzo —а'М . 2и4-1
___е
л = 0
t
л? С
Ля=^(2п+1)2, или <?(/)=—D иА(0. т)4т.
О
I
16. Q (/) = S и (х, t) dx (а2ихх—ри = и^,
где
оо
2_ — аЪ„1 . 2И4-1 а,
СпВ Sin —лх • е ₽<,
п = 0
®—л £t (,-«>.
п(х)=-------=-
VfTch
г а
I
— 2 С
С„=—j- \ v g) sin
О
2п + 1
2i
408
17. v(x, 1) = Ее--^
Л
, л* (2n 4-1)2
Ля---------------
2(—1)" -Mt 2л4-1
2MTe " cos-J—лх.где
л = 0
------ —
4/2 ’ RC •
18. v(x, t)=E°R«X) +2EeR* V e-Q’X"'x
AO Al jU
П = 1
sin (/—•*) , 1
X Wn [R (R0+Rl)+lRM cos FX / ’ rflea=^C’ Л”-положи-
тельные корни уравнения 7?tgj/X„ / =—Ro .
<n ил и 4Я0 V 1 -o’V 2n-M
19. H (x, f)=H0-— -^T e sm ~^—лх’ гда
л=0
„2_ с2 1 _Л2(2«4-1)2
° “ toqT ’ А"------4/2 •
20. и (х, t) = J {± Ф„ (х0) (1 -е-°М| ф„ (х), где =
п~ 1
= -^-(2"4-1)“. фл W=cos 2”2^~ лх; tojeje4-Q6(x-x0)=cpu6
k—коэффициент теплопроводности.
21. «<«. +(-,).^^]х
п=0
-огм 1 2л+1 , (2л4-1)2 t
Хе « '(2мЛр’СО8—2Г~ПХ’ ГДе Кп = ~'4Р • *-к°эФФиЦН-
ент теплопроводности.
22. и (х, t) = v (х) 4- У Спе ° Кп‘ Ф„ (х), где
Л = 1
р(х)=_й?'х:+со(х+л)> со=Т'(1 + т)1+й+^’
I
С”=Йфп IP S V ® Ф" ® d%' Ф" = C0S Х sin х-
0
Хя—положительные корни уравнения tg = У .
Л—
“ r -a‘^Lt
23. ji (г, t) = U14-2 (л, - л0) й/?2 ^ (- 1)л ^Le ‘2 Sin r,
„ К^ + (Л/?-1)2
где ся = 4-Л2Д2 —й7?) ’ Нл~положительные корни уравнения
409
tg p = , h—коэффициент
ur (R, t)+h[u (R, f)—U1]=O.
24. Au=O, ur(R, ф)=^,
теплообмена в краевом условии
«<₽ (г, “<р л)='а^_;
, . Qr .
<p)='iU-sir"lp
со
Q VI / г \2«+ 1 cos (2 л +1) <р
’’’ 2лЛ jU\RJ л(л-|-1)
п = О
Указание. Сначала -найти решение уравнения Лапласа вида
О • F
г.о(ф), удовлетворяющее только условиям «<р (г, 0)=-^^-,
_____________Qf'
uw(r, л) = р-, и отклонение w(r, ф) от него. Тогда и=гп(ф)4-
+ вр(Г, ф).
25. а26хх=6«, 6 (х, 0)=-^, в,(х, 0)=0; 6(0, 0=0; вх(1, t) =
ет (11—!»Рп) яп ~ х
1 *rn> I аип .
---J-35-----s-----г- COS t,
!oP-n (fyn sm 2pn) I
п=1
где I—полярный момент инерции поперечного сечения стёржня,
G—-модуль сдвига, —момент инерции стержня, р—линейная плот-
. А
ность стержня, ря—положительные корни уравнения tgp=—s—.
'0‘Р
л fi coZ sin —j— ant—(2n -4-1) na sin ot
. 4аФ01а VI I
2b. a) u(x, 0- n2T 2j (2л +1)« 1Ы2/2 -(2л +1)2 nW] X
r.~- 1
~ • 2я+1
X sm ——лх’
б) Заменить в
Л=1,2, 3,...).
предыдущей формуле sin со/ на cos со/
( , kn
27. и (х, 0
nc < „ wi sin -^г- at—ла л sin со/
2гоа/ VI I .пп.
пТ 2* (aW—nWrPyn sm~f-rX
п~1
X sm -j- x
/ , nn
(“*T:
n=l, 2, ...j. Аналогично для f0cosco/.
410
t л2а2 .. ,
__тту Р-------------77—V— Т)
28. и (х, f) = —— sin -у- \ е 1 Ф (т) d?+
Ti . ЛП
sm ~ х,
П=1
2 р
где Аг—коэффициент теплопроводности, Сп~ ~ \ f (%) sin -у-
о
. лтп ,
sm—-j-2-t
29. и(х,
£о£сол/+
лп I
X
. лп
sin — х
X
1го£-Ь-л2п2а2 ‘
Указание. Уравнение для и (х, /) имеет вид
д
аЧ«—Л“ + ~ М = “б O<t<l/vo.
ср
30. а) При софпа (л^°» 5,2,...)
/ Л / v • # । V п • 2л-Н , . 2п4-1
ц (х, t) = v (х) sm tot 4- Сп sm —— ло/ • sm —~—х,
п=о
где
. со >
Л sin-X . Д г. , ,
/ч а •— 4ш V . 2п4-1
v(x)~ES О’ Ся~ яа(2п + 1) V®sin—гГ-31^:
cos — / ' S
а
б) прн о=——ла
и (х, i)—v1 (х) sin о/4-о2 (х) • /cosof J-
л 2п4-1 2л ~1“ 1
+ 2i С" sm 21 П9('Sm ~ 2~ПХ>
п = 0
пфпа
где
i
Ся=ла(Гп4+1) $ ^©+Ma]sin-^^,
о
. . А , (х о , 5а . о , За Зо 1
vi О io~C0S — х+-=—sin — *+-о— sm-xk
Л IES v ' Д 2 a 1 8o a 8o a J ’
. . 2aA , ,чПа . о
‘slnVx-
411
Аналогично для А = A cos tot
Указание. Искать решение в случае а) в виде u=ti(x)sinco/ +
+ и> (х, t); в случае б) в виде ZZ^=Oi (х) sin <о/+о2 (х) *cos со/-|-ш(х, /),
где и (х) sin со/ (соответственно (х) sin со/-|-о2(х) /cosсо/) удовлетво-
ряет уравнению и краевым условиям задачи.
о 2 j
со о |ЛП^
31. u(r, /) = F1(r) + /-F2(r)—У ----------е X
' ’ 1' £ ’ kjT Z_J р* cos pn
n==i
Xsin^-r; p„—положительные корни уравнения tgp=p,
l\
- . . , qR 3tf2-5r« _ . . 3qa*
fl<r)—“o+ fei • l07?2 . f2(r) kiR-
Указание. Искать решение задачи cflvrr=vt, v(r,0)=uor,
k1[Rvr(R,f)—v(R,t)] — q (u=v/r) в виде o=fj (r) + Z-f2 (r)+u>(r,/),
где —установившийся режим, удовлетворяющий уравнению
и краевым условиям задачи, a w/r — отклонение от него; со есть реше-
ние однородной краевой задачи.
32. и(х, t) есть решение задачи -^-[^(x)uJC]=p(x)u/, и (0, /) =
= и(/, /)=0, и(х, 0)=/(х), где
. , . ( *i. О<х<хо, ( Р1, 0<х<х0,
к(х)={ . . Р(Х) = <
I k2, х0 < X < /, I Рг, Хо < X < I,
или
. Л /«1(^.0. 0s=xsCxo,
U Х’ I и2 (х, /), Xo^X^Z,
ki
Я1 (ui)xx ~ (“1)/’ а1 (“г)хх=(“г)/’ ai= р7 (*’ = 1 • 2),
“i (0. /)—0, и2 (/, /)=0, их (х0, /)=и2 (х0, /);
kiulx (х0, /)=k2u2x (хо, /), и (х, 0)=f (х);
и(х, /)= J Спе“М"'фп(х),
п= t
где
фя(*)=
1
sin хо
01
sin -^2- х,
О1
О х ь? х0,
--------------sin (I—х), Хо "й. х Z,
sin ~ (!-Хо)--°2
а2
I
Сп== ii'dLll2 V№р Фп 4X1
412
ky . Ц ka , Ц
pn—положительные коряи уравнения — -ctg“-x0=--ctg- “ (x0—l).
01 Oj 02
Собственные функции Ф„ (х) ортогональны на отрезке [О, Z] с весом р (х).
33. и (х, I) есть решение задачи
а2“хх=[1+^? б(х—x0)ju(,
я (О, 0 == и (I, t)=0, и (xt 0)~f (х),
или
, „ ( Ui(x,t), 0 < х < х0,
tt(x, 0«=<
(. и2 (х, t)> Xq < X <
о2 (“i)xx=(“«)z (i= 1, 2), (0, Z)=0 = u2 (I, t).
«1 (*o. 0 — (*o, 0. и (x, 0)=f (x);
ku2x(x0, t) — kulr(xo, l)=Cout (x0, t),
u(x,t) = 2 С^“!ц"(ф»(х).
0=1
I
гДе cn = P W f W ф« W
0
Ф„(х) =
0^x^xe,
sin p„x0
sinpn(Z-x) „
7i V“ * x0 x == • t
sinp„(/-x0) ’
p-n — положительные корни уравнения
Q
ctg px0—ctg p (I—x0) = p.
Собственные функции Фп (x) ортогональны на отрезке [0, /] с весом
р(х) = 1+-^°-б(х—Хо).
34. и (х, I) =
___________________Copn sin p„
= Eo + 2lEoC J e
n= t
Cl cos ря
(z.c.co+w+qp’)p„sinp„ ’
. Cl
где рл — положительные корни уравнения pigp=^-
Ьо
Указание. Собственные функции задачи ортогональны на
С
отрезке [О, I] с весом p(x)=l+ J 6(х~1).
А А В
35. а) и (г, <р) = г cos ср -= х; 6) и=^А-^ у; в) и — Аху\
г) „=±^.4.-^.^-^.
Указание к задачам 35—41. См. пример 8 гл. IV, § 6.
413
36. Задача а) поставлена неправильно, так как необходимое усло-
вие ds = 0 не выполняется; б) u = ARx-j-D; в) и= % R(x2—y2y,
с
г) и = (л + 1~В^У—+ 4</sl+O, где D—произволь-
ная постоянная.
37.
U — Ui + (!,2 — и1)
1П Д!
in*2
«1
. Емкость единицы длины цилиндри-
ческого конденсатора равна С = -— -----;
1пЯ2 — |г|”1
Указание. Емкость С проводника, ограниченного поверхностью
S, равна для трех измерений
С =-2-^- do,
4JIUq j on
для двух измерений С = -=---\ ds, где L — контур, иа — потен-
J On
L
ди _
циал проводника, —Еп есть нормальная составляющая вектора
напряженности электрического поля.
Указание. Решить задачу:
Дн1 = 0 для аСгСс, Дп2 = 0 для с<г<6,
и1(п) = н0, u2(fc) = 0, u1(c) = u2(c),
дил
дп
ди2
дп
иа — разность потенциалов на обкладках конденсатора.
1 . et —еа £
г ' е*> с _
39. и = и0 -=-------т- для R < г < сг
2 j. ei~~e2 X
Я "п е2 с
Г1 . £
“-“о 1"Л;-^т для г>с-
R е-2 с
\ ,Л/2 гич l«i-«2+0,254(/?1-₽D 1л%’.
40. а) и=«а_Ь--(^_/?0 +----]пД2_1пД1----In-;
б) u=ui+— (г2-Ri)+R2 (и2+ Ая2)1п
414
41. u = |(r2_R1)_.1riR2(R1+R2) ^~y).
, 2n+l 2n4-l
ch nx cos —~ ity
(2n +1) ch ~ла
co
42. u(x, = J (-1)"
n = 0
У казаииe. См. пример 5 гл. IV, § 3.
Глава VI
1. «0-1” {1 -ф («у- /^)} +
г (с-С)’ (Л+ <-<,)*]
2. С (г, г0; 0 =-Ц=-|е 4°2< —е 4а‘1 ]‘
8лгг0 ]' л(
Указание. Заменой и = v/r свести задачу к одномерной:
a^vrr = vt, =
3. и (г, 0 = ^-Гф/’С±Л\_ф/2_А\1 ,
2 [ W^Dtj
ГН? Г - ('-*?>• _ У + ДИ
I ц0 1 / ££ е 4аЧ _ е ЬаЧ
’’ Г V л L
4. а) и(х, у, г, t) = u (K*2+l/3 + (z — z0)a, /) +
+ и(]/х^+у^ + (г+гв)\ t);
б) и(х, у, г, /) = u(/*a+y2 + (z — гп)2, <) —
-u(K*s 6 * + </2 + (z + z0)2, 0.
где и (г, f) — решение предыдущей задачи.
5. и(х, /)=-|- ? /ф(- 27х =\+ф(—
2 J (. \}^4а2(<—т)/ \|/4а2(/ — т) /
*0
_/ а4-х \ _/ а — х
— Ф ( ___— Ф г-------— 1Q (т) &х.
\У4а2(<—т)/ 4а8
“ Г _ ('-£)* _ (^ + В)а1
6. «(г, 0 = -т==Д U24>(de 4а2/ -е ia4 Jdg +
|/4аал/ r J
t со г (л —(с+5)’ 1
+ * Ц т) [c-w^>-c-^>1 Л.
г |^4ne2 J J
415
e~ Ja (Xr) Jo (Xr0) X dX=
0
1 _______!—»
1 e J
4m2te 0
и.
Указание. Решить задачу: a2
°)=^lr«>’ l“l<co-
и (г,
Решение ищется
в виде и (г, /)U (р, t) Ju (Хр) Jo (Xr) X dX dp
(см. гл. XIV).
«•«fr.o-».
c° |3
J &P®<T®4
0
, 4аЧ
4а» (/ —- т) /
о 0
e~ht -.fry*»)’
9-G(x'x°->^^e 404
Глава VII
1. a) G(M, P)—„ (in----In-------1 где Px —точка, сим-
2п\ гмр Г/МР,Г
метричная точке P относительно окружности, r0—расстояние точки Р
1/1 R \
от центра круга; б) G(M, Р)=г I---------).
4Л \rMP r(f mpJ
п — 1
2. G(M, Р)= 5 [GKp(Al, Pm)-GKp(M, Рт)], где GKp (М, Р)-
т — 0
функция Грииа для внутренности круга, Рт и Рт—точки с поляр-
I , 2т \ / 2т \
ными координатами I г0, Фо+“^"я) и (г<и —я—фо! соответственно,
(г0, фо) —координаты точки Р.
СО *
3. a) G(M, Р)= V [—---------— ], где Рп—точки с коор-
“о\гмрп гмр'п]
динатами (р„, Во, ф0), Рп—точки с координатами (рп, е0, ф0),
(Й)*й пр"
”р" -2‘+'-
(р0, Оо, Яро) — ксордииаты точки Р,
при n=2k,
еп —
PAk+1
при п=2^4-1,
.^1/
416
Ро при n = 2k, при n*=2k,
___ \А2/ » ___ \/'2/ Ро
Р I (йГ3 р»при ^+1’ i (йН п₽и л=2й+1-
о° #
б) G (М, Р)=~ V [ In —— — In —— j, гдеР„—точкискоор-
л=о\ Гмрп Гмр’п/г
динатами (р„, <р0), Рп—точки с координатами (рп, %), (р0, <р0)—коор-
динаты точки Р, р„, рп, е„ и еп определяются по тем же формулам,
что и в случае а).
оо
4. G(M, Р)=-т~ V J---------------V где Р„—точки с коор-
Лп^ооГл1Ря rMP'nf
дииатами (х0, у0, г0+2пЛ), Рп—точки с координатами (х0, уй, г0 —
— (2л-|-1) /г), (х0, уа, г,,)—координаты точки Р.
Глава X
В,
1. u(r) =
-to J
Я1
D
где
Рэ Pi
D = 4n |2pg)dg, В=С=^- + 4л j
R1 Al
В2Р©^-
2. и (г) —
4?гЛр0,
4пР2р0
3. н(г) =
где Af=-^- лР3р0, r = K%2+y2 + (z—, ri=)^x3+j/2+(z+h)2 ,
po—плотность зарядов, (0, 0, h) — координаты центра шара радиуса R.
Указание. Для вычисления влияния идеально проводящей
плоскости z=0 надо зеркально отразить исходную сферу относи-
тельно плоскости z=0. Решение в этом случае представится в виде
_ 2 „ М
С— -„-JW2——, г<р,
□
1 \
И(г) =
С определится из условия сопряжения решений при r = R.
417
4. u(r) =
Afln —
г ’
rs^R,
где М=лЯ2р0, ро —
плотность зарядов, R—радиус круга.
5. Потенциал простого слоя отрезка
O^x^l с плотностью
равен
Po
v(x, w)=Po \ In ->- 1 dt.
I I
6. a»(Af)=v0 ( ———^~d^p—vjy J . .
} r*p P
2л
, . , .if (p2-/?2)f(e)de
7. a) a»(p, <p) 2JJ J /?2 4-pa_2flpcos(6 —<p)’
0
co
0 w(x, y)=~
— co
rf®dl
(l-W+y2'
Глава XIV
ет
1. u(r, 0=8Д У - ,e R‘ Jo
£ayja.n)
где an—поло-
жительные корни уравнения Jo(a)=O.
2. ц(г,0= J Спе~~^*
п~ 1
корни уравнения aJ„ (a)4-/i7?J0 (a)=0,
где a„—положительные
R
Ьпг$'®Е''"(т!
я г/| 0
f (г) — ограниченное решение задачи: Af+“=O,
Сп=
f’(R)+hf(R)=O, fW=^(*!3-'-3)+^, <2i=t-
ю ag«n<
3. H(r,t) = H0-2H0 У 1 e где a„-
anJi(an) /’
n = 1
положительные корни уравнения Jo (a)=0. Поток магнитной индукции
«2я
через поперечное сечение цилиндра равен t)rdrdq>,
где р—магнитная проницаемость.
418
4. u(r, t)=f(r)+ У C„-e Л,1/Ф„(г), где Ф„(г) =
п— 1
= Jo (УК, Ri) No (Г V) ~ No (УК, Rj) Jo (ГX„ r),
«2
Ri
Xn—положительные корни уравнения ®n(R2) = 0.
5. aaAu-|-—=utt, u(R,t)=0, и (r, O) = Ut (г, 0), | и | <со-,
Р
п = 1
где а„ — положительные корни уравненяя Jo (а) = 0, f (г) —
= Q—стационарный режим.
aan л
008 V*’
- \ 7 Л £ / ч • . , 2ЛС0/?2 V
6. a) u(r, <) = /(>•) sin of+ - -p-- 2j
n — 1
sin ~~ at
К
(«„)
сс„
со не совпадает ни с одним из собственных значений а
. , 2AR V Jo^r^cos " t
6) U(r, W(r)cos<o/+— 2, ^W_fl2^Ji(an)
где
в) «(r,0= 2 J°(^ r^n(t).
n~l
t
Vn(t)=Bn bin^
V t\
0
2A
в случае /?г=/?2 Вя=—-Л (^.)./.,
(t—т) sin сот dx,
419
7. a) и (r, t)=f (г) sin at— sin^T *’ где C« =
n = 1
an — положительные корни уравнения Jo(a)=O;
co
б) и (r, t)=f (r) cos at— 2 DnJ0 гj cos 1, где Dn =
Л = 1
= c aROn
" co
8. и (r, <p, t) есть решение задачи
с2Ды = и//, и (R, <р, /)=0, и (г, <р, 0)=0,,
ut(r, ср, 0) = Р-у б (г—гг)6(<р—(fl),
и (г, <р, /)=
/а(«) \
2Р v V C0S'l(4>-4’i)M-r'V fa’n) <za<">
_ А А ^п,рп(«г)г Jn 1 х sm
I *» »* ~Т~ V,
где en=| g Q ak~ положительные корни уравнения
J„(a) = 0. ’
“ sh^z. J0(^-r\
9. и (г, 2) = vo—2(V0— Vj) У — гдеая —no-
ri = 1 sh-----------------------h • a,nJ j (ocn)
ложительиые корни уравнения Jo(a)=O.
•“r’z) n^aZ ch^.h.a2.Jt(a }
n~l Ln R n an Jo(an)
-}-const,
где ая — положительные корни уравнения J1(a)=0.
11. u(r,z) — £- У - -yj-----
2л* a2Ji(a„)
n — l
Я/h ch г
t\
1 —
c^shgft+^chgft
где an —корни уравнения Jo(a)=0.
420
Указание. Искать решение и(г, г) в виде u=u(r)+tc(r, г).
Постановка задач для о(г)-и о» (г, г):
V. Д»+^-^-^=0, I v | < со, v(R)=0;
2л г ' '
w. Ьш—§, |tw|<oo, w(R, z)=0,
f — h\ i, I ~h\ .
W*(r’ ^)+^т[г’ |) = -MW.
Начало координат взять в центре цилиндра.
со j (r\ &ап/
12. u(r, t^F^+t-F^r)- V °.А* ^^ТгдеГ0(г) =
", k anJ0(an)
= U°—4F (1 —2^)’ ^1^ = ^а2 а"~положительнь!е корни
уравнения (а)=0.
. о \ 1 /л1А2 * * * б) , {^т \ (п)
13. a) Kn,m,k= I jj- I + ). о-т — положительные корни урав-
нений J„(a)=0,
nk /«m* \ ( sinnqj,
<bn,m.k(r, <р. z)=sin^Z-J„ -^-гН
п,т.я\ т > п\ R ylcosrap;
, /Л*\2 , \ /„)
б) Ал,т,й = \~fi-j + )’ am ^-положительные корни урав-
нений J'n (a) = 0,
\ ( cos n<p,
/ I sin n<p;
_ ч э1« , /
^>n.m,k(r, <f, z)=cos^-z-/Ц— г
/а{т ?
в) ^n,m,k=vl+(-^~l > aJ"1 —положительные корни уравнений
aJ'n (a)JrRhJn (a) = 0, v* — положительные кории уравнения tgvA =
V2—’
/“т* \ Г cos ”*Р>
фп.т.ь(г,
Ъ (2)=vft cos v^z+h! sin vtz.
/v(n) \ /v<rl)\2
14. а) Ф„,т(г, <f)=JnJ-~rj sin^P, = -
a
положительные корнв уравнений /яя(‘у)=0;
a
б) Фп.т(г, <Р) = 7лп(^- r)cos^4>. = • Т^-ПОЛО-
a
жительные корни уравнений J'nn (у) == 0;
~а
421
/у<"> \ /v(n) \2 * 4
в) ®n.m(r. ф) = r J Й’)’ ^n,m = ^_j=rJ • Vn? — положи-
тельные корни уравнений
yJv W)+R-hJv (y)=o,
n rn
vn—положительные корни уравнения
tg va =
(Ai4-/i2)
v2—Ma
v.
V V —ask{n,r /У^ \ п„
15. «(г,ф,9=2 2 c»-*e
n=i k~i a
________4
Г J пл
Я a
0 0 a
, 3Trt j « (n\
sm — <pdrd>p, yp — поло-
, /v(n)\2
жительные корни уравнений Уя^(у) = О, Xkn)=l_I
iUL VI/ /2 I i
16. u(r, tp, z, t)— 2 2 2 (Pn,m,k cos n<p+Dn.ni.* sin иф) X
n—0 k~ 1 m= 1
, /vV' \ . mi — a2l _ .t
X/nl r j sin z e n.m.k где
R h гл
c'”*"^«s4p;(rf’)r$ J J ф| ')4 (t r) x
Xcos n<p dr dz d<f,
R h 2л . .
4 f C ylУ \ . mi
J J "<' * ') -T -x
Xsin иф dr dz dtp,
y^ и определяются, как в задаче 13.
19. /ц2 (*) = Sh Х’ I— */2 ~ х;
^±1/2 2хе Х; ^1/2 W=—^—l/s(x)=~ j/~--COSX,
^_1/2(x) = ^i/2 W = ’|/r sinx; У ~e‘^,
^/2^=/я® w=-i/^e-4
422
20. “(г)=7^^/о(₽'')> Д« — ₽’u=0, «1,„д = и0-
ОО
__ / ч «2 —«1 . . 2 V х, - / ПП \ . пп
22. и(г, z)=2 г+ц1+ — Д Сп1°\~г)8Ш~г' где
П= I
Сп~~ {(t/0-Ul) [(- 1)"-1] + (- 1)" («2-«х)} ~А . ,
<')
и (г, г) —потенциал поля Е, т. е. Е——Vu.
Указание. Искать решение в виде
и—А (г)+В (г, г), ДЯ=О, 4(0)=^, A(/t)=us.
24. и (г, г) У
Л
П = I
/л(2п-1) \
°\ h г) я!_л(2«-1)
Ко(^>₽)
“ “ -s/'-s яг*г А.
25. и (г, г, f)=v(r, г)+ J? J? Сп, if А " *! / х
п = 1 й = 1
_ - / а» \ . nk
х/Л^Тт“й-г’
я л
с- *= Л7Ж J J °(г’г) rJo r)sin г dz dr'
где ап—положительные
корни уравнения Jo (а) =0,
Указание. Искать решение в виде
и (г, г, t)=v (г, г) -j-w (г, z, I),
где v (г, г) есть решение задачи (см. задачу 22)
До=0, v(R, г)=0, о (г, 0)=0, v(r,h)=utt, |t»|<oo.
423
Глава XVI
2. Ортогональны с весом (1— xa)k. Это следует из ортогональ-
ности присоединенных функций Лежандра.
3. и (х, 0=2 cos а К2п (2л — 1) /+
п = 1
+Dn sin а /2п(2п —1) /} P2n-i ,
Сп = (4«—1) J
О
/
® Рал-1 (I)
ау2п(2п — 1) J \l J
о
4. Е——Vu, где и (г, 0)—потенциал поля:
Р&1+1 (cos в),
r^R,
и (г, 0) =
2 Cn(^-yn+2pazl+1(cose).
4л+3 (—1)я(2л)1
" 2п+2 22" («1)2 ’
ОО
2гпгП
^нГ рл <c6s в):
/1=0
б) и (г, 0) = — е У ^РП(СО8 6).
п=0 Г» Г
Указание- Искать суммарный потенциал V(г, 6)чсозданный
точечным зарядом и индуцированными зарядами, в виде сумпы
У (г, е)=~+и(г, 0),
где
оо
2 с«(т)п p"(cose)- г</?’
«(г, 0)= ”=°
2 Dn {rf+l Рп ^°s еьr > r*
я = 0
424
Здесь гх —расстояние от точки (г, 6) до точки (г0, 0), где расположен
заряд.
Воспользоваться разложением
1
Г1
СО
£2ШЛрп(со8е)-
п—0
г<г0,
Г>ГО.
Коэффициенты Сп и Dn находятся из условия V (R, б)=0:
erg
£0+1.
eRn
Гп + 1 •
'о
6. а) Если заряд находится вне сферы в точке (г0, 0), r0 > R,
то потенциал электростатического поля равен
u(r, е)=
“1(г, 6), r^:R,
(г, 0), г Э: R,
где
Ui(r, 0)=е
2п + 1
—0«е1 + (п+1)е2
7+rP«<cose>.
«а (г, 0) = — -j-e ——-
е2Г1 е2
п_________/?»»+!
ne1+(n+l)e2rg+1r"+1
P„(cos6).
Указание. Коэффициенты разложения находятся из условий
сопряжения
Ui(R, 0)=и2(Я, 0),
₽ дцт
81 дг
dual
дг |г-«’
Г] — расстояние от точки (г, 6) до точки (г0, 0), где расположен
заряд;
6) если заряд находится внутри сферы (г0<Л), то
«1(г,
е , 31—8а V е(«4-1) rgr"
61^1 8j ne1 + (n+l)e2 P2n+1
n=0
P„(COS0),
u2 (r, 0) =e V —i------------(cos 8)"
ne1+(n + lie2 rn+1 '
n—0
425
7.
CO
? X 6йп [₽л (0)+Pn-2 (0)1 Pn (cos 6) -
n=0
9pf
Pi (cose).
r^R,
CO
i 2 (t)"+1 [P"(0)+Pn-2 (0)1 Pn (cos e)i r R-
n=0
Указание. Решать задачу методом разделения переменных.
Тогда
со
2 C„r«P„ (cos 6),
п=0
v(r, 0) =
оо
У Dn^rPn(cos6), r^R.
л=0
Коэффициенты Сп и Dn находятся из сравнения этих формул с раз-
ложением по степеням z потенциала в точках оси г (перпендикуляр-
ной Диску и проходящей через его центр), который вычисляется не-
посредственно:
V(z, 0)=^{Г^+^-г}-
А
со
8. v(r, У
' ' 2nuR
л=0
4»+3 / г \8n+i
аГиЛя;
P2n+i(cose).
Указание. В силу симметрии задачи v -g-J = 0. Поэтому
в разложении
оо
° (г, 6) C/>rkPk (cos 6)
п=0
коэффициенты С2п с четными индексами должны обращаться в нуль.
Остальные коэффициенты определяются из условия
— cvr (R,
8) =
1 6(6)
2л/?2 sin6
n . „ Q , Q V »+•!—/?Л г"гп „ . ..
9. и (г, 6)- 4jlferi +4з1ц. 2; n+Rh R^ Pn(coiB)t
п=о
где г! — расстояние от точки (г, 6) до источника (г0, 0).
426
Указание. Искать решение в виде суммы
u(r- e>=sk+°<r’
где v (г, 6) есть решение задачи
До=0,
Воспользоваться разложением 1/гх в ряд по многочленам Лежандра.
ю. и (г, е) =
+
р2л -[-1 „2п -|- 1 р2п 1 х
th________:zJh_______Л.________Ip (cos0)
Плотность индуцированных зарядов
-eV (2n+l)(^n + 1-r02n + 1) W~l
1 |г=Л*-4л £ p2n + i_^« + i r?+i
₽n(cose),
а-оI - e У (2п+1)(го” + 1-^я + ‘) p ,cos0)
аа-а|г==Л1-4я ^+1_л?п+1 r?+1 Pn(cose).
n = 0
Здесь rx — расстояние от точки (г, 0) до заряда, расположенного
в точке (г0, 0).
Указание- Искать решение в виде
u=i-+v(r, 0),
г 1
_1_/5и\
4л \5n Jr=Ri
0 = 1, 2).
И. и (г, 6)=Л°-
1 —cos a— [Pn+1 (cosa) —
п = I
—₽„_1 (cos a)] Рп (cos 6)
,2- “(r> °)=S
1 , г cos 6
2hjR T+ATi-
У (4п+1)Рап(0)гапргя(со5б) 1
Zi (2n+*/?)(2n—1)(2»+2)^" I
n = l J
427
Указание. Краевое условие задачи имеет виД
иг(/?, 0) + Ли(/?, 0) =
7 cos 6, '0^6^,
к I ’
О, s'i 0 я.
13. и (г, 6, /) =
==-₽f(Z)Pn(cos0) +p"<cose> 2 ^*(/)•''+«/*(7')•
где ak—положительные корни уравнения
а^п+1/2 (“) Л»+ 1/г(а)=®»
Ф* W=^- § f" (О sin (/-т) di,
о
R
С гп + 3/2 , (?*r\dr
J ' Jn + 1/2 ( rjar
я.^ ~2 0_________________________
пР"+1^ /а>Г, ”<”+»)] '
Jn + l/2 (а*)1 1 аг
Здесь и (г, 0, /)—потенциал скоростей;
о2Ди = и«, и (г, 0, 0) = и/(г, 0, 0) = 0,
ur(R, 0, t)=Pn(cos0)f(t), |u|<oo.
14. ^n.m.fc=^2 [am)]2+ft2—собственные значения,
1 la<m \ t ( COS &P,
Фп.т.^Г, 0, <P) = -p= /n+1/2 JP*(COS0)t sinfeq,
— собственные функции. Здесь положительные корни урав-
нений:
а) ^п + 1/2(а)=0>
б) ^л+1/2(“)—2^ ^п + 1/2(“)—°;
в) 2a J „ q_ 1/2 (a) О Jn ^2 (ос) = 0;
Л—константа в условии vr(R, 0, <р) + /10(R, 6, <р)=0.
15. и (г, 6, <р)= 2 У, У, {Сп, m, cos ft<p+Dn,m,ft sin feiptX
tn = 1 л=0 Л —0
1 /a<n) \ t
X-^/n+^l-f-J^CcosO-e Я- ,
428
где —положительные корни уравнения
•^n + 1/2 (а) = 0,
R я 2я > (n)
Сп, т, k — An,m,k f (г, 6, ф)^2 Jn^_1/2(—
'ООО '
X Р„ (cos 6) cos fttp • sin 0 dtp de dr,
a(n)
am
R
X
R я 2я
Dn. m. k — An, m. k 1 (r. 6> ф) r3S2 Jn + 1/2
0 0 0
X
X (cos 6) sin fap • sin 6 dtp dB dr,
(2n+1) (n—fe) I
m. k—
n₽4«+*)leftJ® + 1/2(a^’) ’
f 2, k = 0,
’* I 1, ft=#=0.
21. Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. II, «Наука»,
1967 и т. IV, Физматгиз, 1958.
22. Снеддон И., Преобразование Фурье, ИЛ, 1955.
23. Соболев С. Л., Уравнения математической физики, изд. 3-е,
Гостехиздат, 1954.
24. Сонин Н. Я., Исследования о цилиндрических функциях и
специальных полиномах, Гостехиздат, 1954.
25. Таблицы значений функций Бесселя от мнимого аргумента, под
ред. Виноградова И. М. и Четаева Н. Г., изд-во
АН СССР, 1950.
26. Таблицы функций Бесселя дробного индекса, тт. I и II,
ВЦ АН СССР, 1959.
27. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математи-
ческой физики, изд. 4-е, «Наука», 1972.
28. ТолСтов Г. П., Ряды Фурье, изд. 2-е, Физматгиз, 1960.
29. Трантер К- Дж., Интегральные преобразования в математи-
ческой физике, Гостехиздат, 1957.
30. Фадеева В. Н., Гавурин М. К., Таблицы функций Бесселя
целых номеров, Гостехиздат, 1950.
31. Янке Е., Эм де, Таблицы функций с формулами и кривыми,
Физматгиз, 1959.
32. Сегё Г., Ортогональные многочлены, Физматгиз, 1962.
33. Владимиров В. С., Уравнения математической физики, изд.
2-е, «Наука», 1971.
34. Джеффрис Г., Свирлс Б., Методы математической физики,
вып. 1—3, «Мир», 1970.
35. Годунов С. К., Уравнения математической физики, «Наука»,
1971.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белоусов С. А., Таблицы нормированных присоединенных
полиномов Лежандра, изд-во АН СССР, 1956.
2. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонова. Н., Сбор-
ник задач по математической физике, «Наука», 1972.
3. Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, ч. I и II, ИЛ, 1949.
4. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции и
действия над ними, изд. 2-е, Физматгиз, 1959.
5. Г рэй Э., Мэтьюз Г. Б., Функции Бесселя и их приложения
к физике и механике, изд. 2-е, ИЛ, 1953.
6. Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, ИЛ,
1948.
7. ЗоммерфельдА., Дифференциальные уравнения в частных
производных фнзнки, ИЛ, 1950.
8. Кошляков Н. С.,.Г л и н е р Э. Б., См н р н о в М. М., Основ-
ные дифференциальные уравнения математической физики, Физ-
матгиз, 1962.
9. Кузьмин Р. О., Бесселевы функции, изд. 2-е, ОНТИ, 1935.
10. К у р а н т Р., Уравнения с частными производными, ‘ «Мир»,
1964.
11. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики,
тт. I и II, Гостехиздат, 1951.
1-2 . Лебедев Н. Н., Специальные фуниции и их приложения,
изд. 2-е, Физматгиз, 1963.
13. Лебедев Н. Н., Скальская И. П., Уф л я ид Я. С., Сбор-
ник задач по математической физике, Гостехиздат, 1955.
14. ЛовиттУ. В., Линейные интегральные уравнения, Гостехиз-
дат, 1957.
15. Люстерник Л А., Акушский Н. Я., Диткии В. А.,
Таблицы бесселевых функций, Гостехиздат, 1949.
16. Микусинский Я., Сикорский Р., Элементарная теория
обобщенных функций, вып. II, ИЛ, 1963.
17. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными произ-
водными, изд. 3-е, Физматгиз, 1961.
18. Петровский И. Г., Лекции по теории интегральных уравне-
ний, изд. 3-е, «Наука», 1965.
19. Привалов И. И., Интегральные уравнения, изд. 2-е, ОНТИ,
1937.
20. Розет Т. А., Элементы теории цилиндрических функций с при-
ложениями к радиотехнике, «Советское радио», 1956.
430