А. Б. Ми глад
ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ
ФЕРМИ-СИСТЕМ
И СВОЙСТВА
АТОМНЫХ ЯДЕР
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1МЗ

22.31
M. 57
УДК 539.1
МИГДАЛ А. Б. Теория конечных ферми-систем н свойства атомных ядер.—2-е изд,,
перераб. и доп. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы,
1983. —432 с.
Изложенная в первом издании этой книги теория конечных ферми-систем (ТКФС)
стала основой расчета ядерных явлений. Эта теория определила, в частности, правильное
понимание и развитие метода Хартри — Фока с эффективным взаимодействием. Резуль-
Результаты этого метода могут быть получены из ТКФС в пренебрежении запаздыванием эффек-
эффективного взаимодействия между квазичастицами, что в некоторых случаях приводит к
большим неконтролируемым ошибкам.
После издания книги появились новые направления, значительно расширяющие
круг задач, исследуемых теорией конечных ферми-систем. Была разработана последова-
последовательная теория поверхностных степеней свободы, рассчитывающая их влияние на одиоча-
стичные и коллективные возбуждеиня. Это позволяет, например, найти энергии связи и
распределение плотности нуклонов в ядрах.
В последние годы методами ТКФС были количественно рассмотрены явления, свя-
связанные с пиониой степенью свободы ядерного вещества н с пиоиной коиденсацней. Этими же
методами исследуется возможность существования сверхплотного состояния ядерной
материи, предсказанного теорией пиоиной конденсации.
Все эти результаты включены во второе издание книги.
.. 1704020000—061 ,„ п оо о„ © Издательство «Наука»
М пы,по\ ач КБ-9-38—82 w Главная редакция
[)Oo(\L)-lio физико-математической литературы
с изменениями, 1983

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 8
Из предисловия к первому изданию 11
I. ВВЕДЕНИЕ 13
1.1. Физические свойства конечных фермн-систем 13
Системы снльновзаимодействующих частиц A3). Возбужденные со-
состояния ферми-систем A4). Метод взаимодействующих квазичастиц
A5). Пионы в ядерном веществе и пионная конденсации A9). Поверх-
Поверхностные степени свободы B1). Условие согласования B1)
1.2. Метод квазнчастиц в конечных системах (ТКФС) 23
Применение метода квазичастиц в ядерной физике. Функции Грина.
Графический метод B3). Одночастичные возбуждения. Обоснование
и уточнение модели оболочек B9). Нахождение самосогласованного
поля C2). Системы во внешнем поле. Уравнение для эффективного
поля в ядре C3). Изменение матрицы плотности от добанления ча-
частиц C5). Квазиклассические оценки матричных элементов C6).
Взаимодействие между квазичастицами C7). Пионный вклад в эф-
эффективное нзаимодействие квазичастиц C9).
1.3. Применение ТКФС в ядерной физике 40
Статические моменты ядер D0). Одночастичные переходы D2). Не-
Неколлективные частично-дырочные состояния D5). Коллективные воз-
возбуждения D5). Влияние поверхностных степеней свободы на кол-
коллективные колебания D7). Лагранжиан квазичастиц. Вычисление
масс ядер D8). Пионная степень свободы. Неустойчивость пнонного
поля в нуклонной среде D9). Модель я-конденсацин E2). Возмож-
Возможность существования сверхплотных нейтронных и сверхзаряженных
ядер E3). Схема последовательной теории ядерного вещества E4).
Развитие ТКФС и сравнение с другими подходами E6).
II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА. . 58
II. 1. Функции Грииа н графический метод 58
Функция Грина одной частицы E9). Функция Грнна частицы во
внешнем поле F1). Функция Грина для двух взаимодействующих
частиц F3). Амплитуда рассеяния. Импульсное представление F7).
., Связанные состоянии G0). Функция Грина системы взаимодей-
взаимодействующих частиц. Соотношения унитарности G2). Одночастичиая
и двухчастичная функции Грина в системе из N частиц G4). Ре-
Рекуррентные соотношения между функциями Грина G8). Графики
Фейнмана (81). Разложение по точным функциям Грина. Уравне-
Уравнение Дайсона (86). Энергия основного состояния (88).

1 ОГЛАВЛЕНИЕ
11.2. Аналитические свойства функций Грина фермн-снстем 90
Спектральное разложение (90). Физический смысл и характер осо-
особенностей функции Грнна (94). Спектральное разложение дли
собственно-энергетической части (97). Мнимая часть функции Грина
(99). Вид функции Грина вблнзн поверхности Ферми A00). Энергия
и затухание квазнчастиц A01). Скачок в распределении частиц по
импульсам A02). Аналитические свойства двухчастичной функции
Грина A03).
11.3. Одночастичные функции Грина в бесконечной системе 106
Система без парной корреляции A06). Одночастичная функции Гри-
Грина в случае сверхтекучести A07).Одночастнчный спектр и распреде-
распределение по импульсам в системе с куперовской парной корреляцией
A11). Уравнение для ДA>г) A12). Перенормировка взаимодействия
A13). Выражение дли перенормнрованного взаимодействия. Условие
сверхтекучести A15).
11.4. Одночастичные функции Грина в конечных системах 119
Уравнение дли одночастичных собственных функций A19). Одно-
частичная функция Грина в случае спаривания A24). Правила об-
обхода полюсов в системах с четным н нечетным числом частиц A25).
Распределение частиц и квазичастиц по состояниям A28). Форм-
фактор квазичастицы A28).Равенство между числом частиц и квази-
квазичастиц A29). Уточнение функций Грина в конечных системах A32).
Уравнение дли Д A36).
11.5. Взаимодействие между квазичастицамн 141
Уравнение дли двухчастичной функции Грина A41). Уравнение для
амплитуды рассеяния по двум каналам A43). Перенормировка ам-
плнтуды рассеяния A45). Кулоновское взаимодействие A48). Взаи-
Взаимодействие между квазичастицами A49). Функция распределения
для двух типов квазнчастиц. Коллективные возбуждения A51).
Условия устойчивости A54). Уравнение для амплитуды рассеяния
в конечной системе A55).
11.6. Лагранжиан взаимодействующих квазнчастиц 160
Вычисление масс ядер в различных подходах A60). Лагранжиан
квазичастиц A61). Самосогласованное поле, вычет функции Грнна
и эффективная масса A64). Равенство энергии частиц и квазичастнц.
Вычисление масс идер A65). Взаимодействие между квазнчастица-
ми A66). Связь амплитуд Ajf локального взаимодействия квази-
квазичастиц A66).
III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 168
III.1. Системы без парной корреляции . . . 168
Изменение функции Грнна в поле. Функция Грнна дырки в поле
A69). Уравнение для вершины. Перенормировка A72). Уравнение
для вершины в однородной бесконечной системе. Импульсное пред-
представление A74). Уравнение для эффективного поля в конечной
системе. Я-представлеине A76). Координатное представление. Ко-

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
роткодействующая и дальнодействующая части пропагатора
А (г, г', и) A77). Уравнение для функции распределения квазича-
квазичастиц во внешнем поле. Эффективное поле и зарид квазичастиц A78).
Лагранжиан квазичастнц во внешнем поле A81).
111.2. Системы с парной корреляцией 182
Изменение функций Грина в поле. Сильные и слабые поля A82).
Изменение функций Грина в поле. Графический вывод A86). Урав-
Уравнение для эффективного поля. Перенормировка A87). Соотношения
между эффективными полями частицы и дырки A89). Изменение Д
во внешнем поле. Уравнения для вершин тA> и тB) A92). Уравне-
Уравнение для эффективного поля в бесконечной системе. Импульсное
представление A93). Уравнения для эффективного поля в конеч-
конечной системе. Х-представлелие A96). Сохранение числа квазичастиц
B00). Система уравнений в случае скалярного поля B01). Дефор-
Деформированные идра B04). Изменение матрицы плотности во внешнем
поле B07).
111.3. Эффективные поля и законы сохранения. Заряды квазичастиц. . 208
Калибровочная инвариантность B09). Тождество Уорда B12).
Нейтронное и протонное эффективные поля B13). Конечные си-
системы B15). Системы с парной корреляцией B16). Эффективные
поля в случае диагональных возмущений B17). Заряд квазичастиц
для различных полей B19). Эффективные поля в системах со спон-
спонтанно нарушенной симметрией. Условие согласовании B24).
111.4. Вероятности и частоты одночастичных, иеколлективиых и коллек-
коллективных переходов 226
Классификация возбужденных состояний B27). Уравнение для
собственных состояний. Энергия частично-дырочных возбужде-
возбуждений B28). Уравнение для собственных частот и собственных состоя-
состояний в системе с парной корреляцией B29). Амплитуда перехода
B31). Перенормировка выражения для амплитуды перехода B32).
Другой вывод формулы для амплитуды перехода B35). Неколлек-
Неколлективные частично-дырочные переходы B36). Вероитность неколлек-
неколлективных переходов для слабого взаимодействия между частицами
B38). Изменение характеристик возбужденных состояний B40). По-
Поверхностные колебания B43).
111.5. Изменение матрицы плотности от добавления частиц 254
Поле добавленной частицы как слабое возмущение B55). Уточнение
теории возмущений B56). Связь между матрицами плотности для
частиц и квазичастиц B58). Изменение собственно-энергетической
' части. Эффективное поле, вызываемое перераспределением частиц
B61). Вычисление средних значений B64). Малое изменение взаимо-
взаимодействия между частицами. Кулоновские поправки к изотопиче-
изотопическим мультиплетам B65). Парная корреляция B66). Изменение
распределения плотности и радиуса системы прн добавлении ча-
частиц B68). Сильные возмущения B72).

I, ОГЛАВЛЕНИЕ
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ 273
IV. 1. Обоснование н уточнение модели оболочек 273
Структура основного состояния B74). Модель оболочек B75).
Эффективная масса B79). Влияние близких уровней B80). После-
Последовательное «улучшение» квазичастиц B82). Взаимодействие
одночастичных возбуждений с коллективными B83).
IV.2. Пионные степени свободы в ядерном веществе 285
Применение методов ТКФС B85). Диаграммы, определяющие по-
поляризационный оператор B87). Резонансная часть поляризацион-
поляризационного оператора B89). Учет S-рассеяния. Локальная часть поля-
поляризационного оператора B92). Полюсная часть поляризационного
оператора B95). Учет нуклонных корреляций B97). Однопион-
ный обмен в амплитуде взаимодействия квазичастиц C00).
IV. 3. Взаимодействие между нуклонами в ядре 304
Локальное взаимодействие между нуклонами C05). Локальное
взаимодействие при больших передаваемых импульсах C08). Ло-
Локальное взаимодействие вблизи поверхности ядра C10). Сведе-
Сведение взаимодействия через «остов» к локальному взаимодей-
взаимодействию C13). Нахождение констант из опыта C15).
IV.4. Свойства ядерного вещества в основном состоянии 319
Энергия связи ядерной материи C19). Поверхностная энергия
C21). Энергия симметрии и сжимаемость ядерного вещества C22).
IV.5. Ядерные моменты 325
Схема вычисления ядерных моментов C26). Вычисление магнитных
моментов C28). Квадрупольные моменты. Изотопическое смещение
C40). Моменты инерции C47).
IV.6. Возбужденные состояния ядер 351
Свойства одночастичных возбуждений C51). Неколлективные ча-
стичио-дырочные состояния C55). Коллективные возбуждения
ядер C61). - Взаимодействие одночастичных степеней свободы с
коллективными C75).
IV. 7. Слабое взаимодействие в ядрах 380
Гамильтониан возмущения C81). Эффективное поле Р-перехода
C82). Классификация р-переходов C85). Сверхразрешеиные
фермиевские р-переходы C85). Гамов-теллеровскне Р-переходы
C88). Запрещенные Р-переходы C92). ^-захват C94). Несохра-
Несохранение четности, в электромагнитных ядерных переходах C96).
Двойной Р-распад C97).
IV.8. Конденсация пионов в конечной системе 399
Конденсатное поле в конечной системе C99). Деформация и мо-
моменты инерции D01). Голдстоуновские ветви колебаний D03).
Квантовый характер конденсатного поля в конечной системе, Cq-j
хранение четности D06).

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
IV.9. Близость ядер к точке пионной конденсации 408
Существует ли конденсат в обычных ядрах? D08). Эксперименты,
устанавливающие близость ядер к конденсации D10). Оптический
потенциал пионов D12).
IV. 10. Возможное существование аномальных ядер 415
Сверхплотные ядра D15). Нейтронные ядра D16). Сверхзаряжен-
Сверхзаряженные ядра D17). Неустойчивость нуклонного поля (модель Ли)
D19). Возможные пути обнаружения аномальных ядер D21).
Приложение 423
Литература 425

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
За пятнадцать лет, прошедшие после издания этой книги,
в теории ядра произошли серьезные изменения. Прежде всего
была создана количественная теория поверхностных степеней
свободы в конечных системах (Ходель, 1972—74), что значительно
расширило возможности теории конечных ферми-систем, разра-
разработанной в этой монографии.
Было показано, что поверхностные степени свободы вносят
важнейший вклад во все явления, в которых деформация по-
поверхности разрешена законами сохранения. Тем самым появи-
появилось количественное объяснение больших максимумов в плот-
плотностях переходов у поверхности ядра, наблюденных в много-
многочисленных экспериментах. Эта теория позволила установить но-
новые связи между константами нуклон-нуклонного взаимодействия
вне и внутри ядра и дала возможность построить лагранжиан
квазичастиц в конечной системе, что позволяет последовательно
рассчитывать как плавную, так и флуктуативную части энергии
связи ядер, а также изменения в распределении плотности нукло-
нуклонов от ядра к ядру (Саперштейн, Ходель, 1981). При этом резуль-
результаты расчетов выражаются в отличие от метода Хартри—Фока
с эффективным взаимодействием через те же универсальные
константы, которые входят во все остальные ядерные яв-
явления.
Важный технический прием, позволивший осуществить эту
программу, — это переход к координатному представлению функ-
функции Грина. Этот прием избавляет от суммирования по огромному
количеству одночастичных состояний и свободен от ошибок,
связанных с «урезанием» базиса.
Другой круг вопросов ядерной физики последнего времени
составляют явления, связанные с пионной степенью свободы
ядерной материи. Методами ТКФС удалось построить количе-
количественную теорию возбуждений с квантовыми числами пионов
и рассчитать влияние пионной степени свободы на ядерные явле-
явления (Мигдал, Маркин, Мишустин, 1974). Оказалось, что взаимо-
взаимодействие, связанное с однопионным обменом, играет определя-
определяющую роль из-за смягчения пионных возбуждений в ядерном
веществе. Было показано, что при плотности порядка ядерной
должна наступить неустойчивость пионного поля («пионная кон-
конденсация»), а возможно, и неустойчивость ядерного вещества,

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ 9
которая привела бы к существованию аномально плотных ядер
(Мигдал, 1971).
Эти и другие работы последних лет по развитию ТКФС и по
ее приложениям к ядерной физике включены по второе издание
книги.
Структура книги такова. Первая часть представляет собой
наглядное изложение всех физических результатов, рассмотрен-
рассмотренных в книге. Эта часть значительно расширена по сравнению
с «Введением» первого издания. Помимо популярного изложения
работ последнего времени, в этой части дается наглядное описание
свойств функций Грина и графиков Фейнмана в конечных и
бесконечных системах.
Читатель, не интересующийся деталями расчетов, может огра-
ограничиться чтением только первой части монографии.
Вторая часть посвящена изучению общих свойств ферми-
систем с сильным взаимодействием методами функций Грина.
В конце этой части добавлена глава, в которой найден лагран-
лагранжиан системы взаимодействующих квазичастиц, эквивалентной
по своим свойствам системе частиц, и развит метод определения
энергии связи через константы, параметризующие взаимодействие
между квазичастицами. Все другие ядерные явления опреде-
определяются через эти же универсальные константы. Заметим, что
константы, входящие в энергию связи в методе Хартри—Фока
с эффективным взаимодействием, не универсальны и отличаются
от констант, определяющих свойства возбужденных состояний,
поскольку в этом методе не учитывается запаздывание взаимо-
взаимодействия.
В третьей части изучаются свойства ферми-систем во внешнем
поле. В отличие от второй части первого издания, посвященной
этим же задачам, в новом издании функции Грина и уравнения
для эффективного поля получены также и в координатном пред-
представлении, найден лагранжиан системы квазичастиц во внешнем
поле, введены разделы «Эффективные поля в системах со спон-
спонтанным нарушением симметрии» и «Поверхностные колебания».
Полной переделке под влиянием результатов последних лет
подверглась глава «Изменение матрицы плотности от добавления
частиц».
Четвертая часть монографии содержит применений теории
в ядерной физике (в первом издании эти задачи рассматривались
в третьей части). Эта часть претерпела наибольшие изменения.
Прежде всего в нее включены четыре новых главы, в которых
рассматривается пионная степень свободы в ядре, ее влияние
на свойства ядер, возможные следствия пионной конденсации
в ядерном веществе и возможное существование сверхплотных
ядер.
Совершенно переделаны главы, посвященные статическим свой-
свойствам и возбужденным состояниям ядер. Практически заново

Ш ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
написана глава, содержащая теорию ядерных явлений, связанных
со слабыми взаимодействиями. Работы же различных авторов,
входившие в четвертую часть первого издания, изложены в со-
сокращенном виде в соответствующих местах книги.
Таким образом, книга подверглась коренной переработке.
Вряд ли мне удалось бы это сделать без постоянной и неоце-
неоценимой помощи моих учеников и друзей Э. Е. Саперштейна и
В. А. Ходеля. Много ценных советов по поводу изложения пион-
ных глав я получил от И. Н. Мишустина. Огромный труд про-
проделали Е. В. Нечёсова и другие мои друзья, взявшие на себя
оформление и просмотр рукописи.
Выражаю им всем мою глубокую благодарность.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В последние годы методы квантовой теории поля интенсивно
применяются для изучения систем взаимодействующих частиц.
Появилось несколько очень хороших книг, в которых рассматри-
рассматриваются приложения этих методов к теории твердого тела, теории
сверхпроводимости, теории жидкого гелия и т. д. Для всех этих
приложений достаточно рассматривать только однородные не-
неограниченные системы, для которых разработаны методы иссле-
исследования, не предполагающие малости взаимодействия и учиты-
учитывающие многочастичные столкновения.
Применение современных полевых методов к системам конеч-
конечного размера таким, как атомное ядро или электронные оболочки
атомов и молекул, значительно усложняется неоднородностью
этих систем и сильным взаимодействием между частицами в слу-
случае ядра.
Эти трудности являются, по-видимому, причиной того, что
применение современных методов изучения систем многих частиц
к атомному ядру значительно задержалось по сравнению с теорией
твердого тела, где эти методы давно являются основным орудием
всех теоретических работ.
Между тем теория конечных систем, развитая в этой книге,
приводит к очень простым результатам. Оказалось, что для всех ,
процессов с энергиями, малыми по сравнению с энергией границы
Ферми, система ведет себя как газ взаимодействующих квази-
квазичастиц, помещенных в потенциальную яму. Поэтому достаточно
учитывать только парные соударения квазичастиц. Тем самым
обосновывается и уточняется так называемая модель ядерных
оболочек. Многократные столкновения частиц строго учитываются
и приводят к существенному отличию взаимодействия между
квазичастицами от взаимодействия свободных частиц. В неко-
некоторых случаях взаимодействие даже изменяет знак, т. е. вместо
притяжения возникает отталкивание.
Взаимодействие между квазичастицами характеризуется не-
несколькими константами, которые не вычисляются в теории,
а должны быть найдены из сравнения теории с опытом.
Теория дает простые уравнения для эффективного поля,
действующего на квазичастицы и возникающего при наложении
внешнего поля или при добавлении к системе нескольких частиц.
Решение этих уравнений позволяет рассчитать практически все

I.' Ill Ш'НДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
интересные свойства системы: частоты и интенсивности пере-
переходов, магнитные и квадрупольные моменты, сечения простейших
реакций и т. д. . ¦
Таким образом, после введения нескольких констант теория
позволяет установить точные соотношения между большим числом
разнородных явлений. В этом смысле теория строится аналогично
дисперсионной теории элементарных частиц, где массы частиц
и константы, характеризующие взаимодействие, берутся из опыта,
после чего получаются строгие соотношения между различными
наблюдаемыми величинами.
Здесь рассматриваются приложения теории только к ядерной
физике, хотя методы, развитые в книге, могут быть использованы
и в других областях, например для построения количественной
теории электронных оболочек сложных молекул, когда суще-
существенно взаимодействие между электронами.

I. ВВЕДЕНИЕ
1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ФЕРМИ-СИСТЕМ
Приводятся физические основания, позволяющие рассматривать воз-
возбужденные состояния системы сильновзанмодействующих частиц как газ
простейших возбуждений — квазичастиц, напоминающих по своим свой-
свойствам возбуждения в идеальном ферми-газе. Взаимодействие между квази-
квазичастицами отличается от взаимодействия свободных частиц и параметри-
параметризуется несколькими константами. Взаимодействие между квазичастицами
приводит к появлению коллективных колебаний, которые можно интер-
интерпретировать как связанные состояния квазичастицы и квазидырки.
Обсуждаются особенности конечных систем — влияние отражения
частиц от края и поверхностных колебаний на эффективное поле, возни-
возникающее в системе под действием внешнего поля. В конечной системе объ-
объемные коллективные колебания смешиваются с поверхностными.
Показано, что в конечной системе, удерживаемой в равновесии вну-
внутренними силами, возникает важное соотношение — «условие согласова-
согласования», позволяющее связать самосогласованное поле, действующее иа
квазичастицу, с константами взаимодействия.
Рассматриваются возбуждения в ядерном веществе с квантовыми чис-
числами пиона (пионная степень свободы).
Обсуждаются возможность образования пионного конденсата (пион-
иая конденсация) и связанная с этим явлением возможность существова-
существования аномальных ядер.
Описанная в 1.1 физическая картина лежит в основе количественного
метода расчета конечных ферми-систем, развиваемого в книге.
Системы сильновзаимодейотвующих чаотиц
Системы многих тел, существующие в природе, как правило
состоят из сильновзаимодействующих частиц. Атомное ядро —
пример подобной системы. Для количественного исследования
ядер нельзя пользоваться какой-либо формой теории возмущений,
так же как нельзя ей пользоваться при описании жидкостей или
твердых тел. Для качественного изучения ядра принесли боль-
большую пользу разновидности теории возмущений, такие как метод
случайных фаз, или метод Хартри—Фока. Анализ этих методов
показывает, что отбрасываемые члены того же порядка, что и
удерживаемые.

И I. ВВЕДЕНИЕ
В системах сильновзаимодействующих частиц количественные
соотношения между наблюдаемыми величинами можно получить
только с помощью подхода, аналогичного методу дисперсионных
соотношений в теории элементарных частиц, где некоторые ве-
величины вводятся, как эмпирические константы, например, массы
и константы, характеризующие взаимодействие частиц. После
этого между остальными величинами получаются точные соот-
соотношения.
В применении к ферми-системам (например, к 3Не или к ядру)
в качестве таких величин следует взять константы, характери-
характеризующие свойства простейших возбуждений, и константы, параме-
параметризующие взаимодействие этих возбуждений между собой. Для
большой системы достаточно рассматривать только парные взаимо-
взаимодействия возбуждений. Вклад более сложных взаимодействий
будет содержать обратные степени объема системы (мы не рас-
рассматриваем случаи, когда более чем два возбуждения образуют
связанные состояния).
Для однородных несверхтекучих систем из одного типа частиц
эта программа была выполнена в теории ферми-жидкости Ландау
[1, 2, 3]. В конечной системе задача несравненно сложнее, по-
поскольку эффективное поле, в котором движется заданная частица,
неоднородно в пространстве. Возникает много задач, важных для
ядерной физики, которых не существует в бесконечных системах,
как, например, задача о первых энергетических уровнях, или
об изменении свойств системы при добавлении одной или несколь-
нескольких частиц.
Возбужденные оостояния ферми-оистем
Простейшие возбуждения в ферми-системах—это частично-
дырочные возбуждения, аналогичные возбуждениям в идеальном
ферми-газе. Взаимодействие между частицами изменяет распре-
распределение частиц по импульсам по сравнению с распределением
в идеальном газе. Однако, так же как и в идеальном газе, в системе
взаимодействующих частиц имеется скачок в распределении
по импульсам при некотором импульсе р = pF [4]. Этот импульс/v
играет роль граничного импульса Ферми в системе с сильным
взаимодействием. Можно ввести квазичастицы, представляющие
такую суперпозицию частиц, что распределение квазичастиц по
импульсам совпадает с распределением в идеальном газе.
Физически эти результаты очень естественны. Частица, дви-
двигаясь в среде, вовлекает в движение прилегающие к ней частицы.
При слабых возбуждениях, когда энергия частиц близка к энер-
энергии Ферми, характер распределения вовлеченных в движение
частиц мало зависит от состояния рассматриваемой частицы.
Поэтому при слабых возбуждениях частица и ее окружение вы-
выступают как стабильное образование, которое и называется ква-

I.I. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ФЕРМИ-СИСТЕМ 15
зичастицей. Поскольку спин сохраняется, спин всего конгломе-
конгломерата, образующего квазичастицу, такой же, как и спин чаотицы.
Следовательно, когда квазичастицы выступают как целое, они
должны подчиняться статистике Паули, как и любая система
со спином 1/2. Итак, во всех случаях, когда участвует малое
число квазичастиц и квазидырок, они ведут себя, как возбужде-
возбуждения в идеальном ферми-газе.
Рассмотрим квазичастицы с энергиями, близкими к границе
Ферми, как газ на фоне остальных частиц. Тогда эти квазичастицы,
поскольку они подчиняются принципу Паули, в основном состоя-
состоянии должны быть распределены по Ферми.
В конечной системе следует различать переходы последней
частицы с энергией возбуждения а», = е*, — ех„ (мы будем на-
называть их одночастичными) и переходы квазичастицы из запол-
заполненного состояния в свободное, что эквивалентно появлению
квазичастицы и квазидырки. Такое состояние будем называть
неколлективным частично-дырочным возбуждением.
В конечной системе взаимодействие между квазичастицами
изменяет энергию возбуждения, и для определения правильной
энергии и правильной ^-функции возбуждения следует решить
задачу, напоминающую уравнение Шредингера для частицы
и дырки. Энергия взаимодействия частицы и дырки обратно про-
пропорциональна объему системы. Поэтому в больших системах или
при больших энергиях одночастичных возбуждений взаимодей-
взаимодействием можно пренебречь.
Однако, когда образуется связанное состояние квазичастицы
и квазидырки, или двух квазичастиц (квазидырок), координаты
этих частиц коррелированы и взаимодействие играет определя-
определяющую роль при любых размерах системы. Связанное состояние
квазичастицы и квазидырки соответствует тому, что принято
называть коллективным возбуждением, например нулевой звук
в ферми-жидкости.
Случай, когда возможно связанное состояние двух квазича-
квазичастиц, представляет особый интерес — при этом происходит пере-
перестройка распределения у границы Ферми и в одночастичном спек-
спектре бесконечной системы появляется щель, т. е. минимальная
энергия для рождения частицы и дырки отлична от нуля (куперов-
ская парная корреляция). Как известно, при этом система делается
сверхтекучей (или в случае заряженных частиц — сверхпрово-
сверхпроводящей).
Метод взаимодействующих квазичастиц
В бесконечной системе для определения спектра квазичастиц
достаточно ввести одну невычисляемую константу — эффектив-
эффективную массу квазичастиц. Импульс pF, характеризующий обрыв
3 распределении квазичастиц, выражается через плотность

Id I. ВВЕДЕНИЕ
системы формулой идеального газа
Это замечательное соотношение удается доказать для любого
взаимодействия между частицами [1, 5].
В конечной системе для характеристики одночастичных воз>-
буждений приходится вводить помимо эффективной массы квази-
квазичастицы еще параметры эффективной потенциальной ямы, в ко-
которой движутся квазичастицы. Для систем с короткодейству-
короткодействующими силами радиуса г0 к таким параметрам относятся глубина
и ширина ямы и ширина слоя (~г0), на котором плотность пере-
переходит от своего значения внутри системы к нулю.
Для всех этих параметров существуют ряды теории возмуще-
возмущений, что позволяет делать грубые оценки величин даже в тех
случаях, когда взаимодействие не мало. В первом порядке по
взаимодействию между частицами эффективный потенциал пре-
превращается в самосогласованное поле Хартри—Фока.
Спектр коллективных возбуждений (звук, спиновые волны)
и реакция системы на внешнее поле определяются амплитудой
рассеяния на угол нуль квазичастиц вблизи границы Ферми.
Эта амплитуда зависит от угла между входными импульсами
квазичастиц и, как функция этого угла, хорошо описывается
двумя-тремя первыми полиномами Лежандра. Коэффициенты при
полиномах Лежандра и являются константами, вводимыми в тео-
теорию. В этом состоит идея теории ферми-жидкости Ландау: Теория
легко обобщается на системы, состоящие из двух типов ча-
частиц [6].
Для систем с куперовской парной корреляцией (связанные
состояния двух квазичастиц с энергией,близкой к границе Ферми),
приходится вводить еще амплитуду рессеяния квазичастиц с сум-
суммарным импульсом, равным нулю, которая зависит от переда-
передаваемого импульса. Сферическая гармоника этой функции по углу
отклонения квазичастиц определяет ширину щели 2Л в одноча-
стичном энергетическом спектре 12, 7].
Значительно сложнее нахождение спектра коллективных воз-
возбуждений и реакции системы на внешнее поле в системах конеч-
конечного размера 18]. Однако окончательный результат выглядит
чрезвычайно просто.
Чтобы определить реакцию системы на внешнее поле (интен-
(интенсивности и частоты переходов, магнитные и квадрупольные мо-
моменты и т. д.), нужно решить задачи о поведении в этом поле
газа взаимодействующих квазичастиц, помещенных в потенциаль-
потенциальную яму. При этом достаточно учитывать только парные соударе-
соударения квазичастиц. Многократные соударения частиц учитываются
теорией точно, но приводят только к перенормировке взаимодей-
взаимодействия между квазичастицами и к появлению эффективного «за-
«заряда» для взаимодействия кразичастиц с внешним полем. Эффек-

1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ФЕРМИ-СИСТЕМ П
тивный «заряд» в большинстве случаев удается найти из общих
соображений (из калибровочной инвариантности и законов сохра-
сохранения).
Простейший пример этого — взаимодействие квазичастиц с ка-
калибровочным полем, когда из калибровочной инвариантности вы-
вытекает совпадение заряда квазичастиц с зарядом частиц.
Все эти результаты имеют очень простое и наглядное объясне-
объяснение. Пусть на систему действует не очень сильное поле так, что
изменение энергии каждой частицы в этом поле мало по сравне-
сравнению с ее кинетической энергией. Тогда состояние системы соответ-
соответствует появлению нескольких квазичастиц и нескольких квази-
квазидырок. Число возникших квазичастиц составит при этом малую
долю от полного числа частиц в системе. Если среднее расстояние
между частицами порядка радиуса действия сил, то среднее рас-
расстояние между возбужденными квазичастицами будет значительно
больше, чем радиус сил взаимодействия, и, следовательно, эти
квазичастицы образуют газ, т. е. можно пренебрегать случаями,
когда одновременно сталкиваются три и более квазичастиц.
Взаимодействие между квазичастицами такого же порядка, как
и взаимодействие между частицами, но существенно от него отли-
отличается. Как мы увидим (II.5), в некоторых случаях притяжение
может заменяться на отталкивание за счет влияния остальных
нуклонов среды, которые имеются в большом количестве и на-
находятся рядом с рассматриваемыми двумя квазичастицами.
Таким образом, хотя взаимодействие между квазичастицами
и не мало, получается огромное упрощение задачи, так как
достаточно рассматривать только парные соударения квазича-
квазичастиц.
Что касается «заряда» квазичастицы по отношению к внеш-
внешнему полю, то этот «заряд» описывает взаимодействие с полем
того конгломерата частиц, который образует квазичастицу и
приводит к отличию ее эффективной массы от массы частицы.
Допустим, например, что есть электрическое поле, которое дей-
действует только на заряженные частицы, скажем, протоны. Так как
при взаимодействии протона с остальными частицами ядра заряд
сохраняется, то весь конгломерат, образующий протонную квази-
квазичастицу, имеет тот же заряд, что и протон. В таком случае заряд
квазичастицы равен заряду частицы.
В случае других внешних полей, например для магнитного
поля, взаимодействие квазичастицы с полем отличается от соответ-
соответствующей величины для частицы. Движущийся в пустоте нейтрон
взаимодействует с магнитным полем только за счет своего внутрен-
внутреннего магнитного момента, тогда как нейтронная квазичастица
вовлекает в свое движение также и протоны, в результате чего
возникает электрический ток и взаимодействие с магнитным полем
изменяется. У нейтронных квазичастиц возникает орбитальный
магнетизм, т, е. магнетизм, связанный с их движением на орбите,

IK I. ВВЕДЕНИЕ
В отсутствие взаимодействия орбитальный магнетизм есть только
у протонов.
Взаимодействие между квазичастицами в ядре, так же как
и в бесконечной системе, характеризуется несколькими констан-
константами, которые одинаковы для всех ядер и всех типов переходов
с такой же точностью, с какой постоянна средняя плотность ядер-
ядерного вещества.
Под влиянием внешнего поля движение квазичастиц изме-
изменяется и возникает дополнительное поле, которое выражается
через взаимодействие между квазичастицами. Каждая квазича-
квазичастица движется в эффективном поле, состоящем из внешнего и
поляризационного полей. Магнитные, квадрупольные и другие
моменты ядер и вероятности переходов определяются соответ-
соответствующим эффективным полем, а следовательно, выражаются
через константы, параметризующие взаимодействие между кваг
зичастицами.
Эти константы берутся из опыта — их вычисление без при-
применения приближенных методов невозможно и, во всяком случае,
представляет независимую задачу.
Постоянство констант по таблице Менделеева превосходно де-
демонстрируется на примере константы спин-спинового взаимодей-
взаимодействия между нуклонами. Из совпадения теоретических и наблю-
наблюдаемых магнитных моментов можно заключить, что эта кон-
константа меняется очень мало. После введения констант взаимодей-
взаимодействия теория позволяет связать широкий круг разнородных явле-
явлений. Так, например, положение максимума кривой дипольного
резонанса [9] выражается через константу энергии симметрии
(=Р (N — ZJ/A) в формуле Вейцзекера для массы ядер.
Эти же константы определяют вероятности р4- переходов и
электромагнитных переходов. Теория позволяет выразить через
те же константы такие явления, как флуктуации в массах и ра-
радиусах ядер при добавлении одной или нескольких частиц, энер-
энергии и интенсивности одночастичных и коллективных перехо-
переходов и т. д.
Иными словами, многие ядерные явления, которые качественно
изучены на простых физических моделях, можно рассчитать и
количественно связать между собой после введения нескольких
универсальных констант.
В бесконечной системе с короткодействующими силами между
частицами эффективное поле имеет ту же координатную зависи-
зависимость, что и внешнее поле.
. В конечной системе это не так. Даже в однородном внешнем
поле эффективное поле неоднородно внутри системы. Одна из
причин этого — отражение частиц на границе системы. По этой
причине собственные функции частиц представляют собой стоячие
волны с разбросом импульса 8р ~ pF, где pF — импульс границы
Ферми. Во внешнем поле с волновым вектором q эффективное

1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ФЕРМИ-СИСТЕМ 19
ноле имеет два слагаемых: слагаемое с волновым вектором q от
локального возмущения среды и слагаемое с импульсами (q + р),
где р ~ pF от возмущения среды, пришедшего после отражения
от границы. Это второе слагаемое будет иметь фазовый множи-
множитель вида exp (i\ q + p\R). Если система достаточно велика, то
при суммировании по состояниям частиц, участвующих в возму-
возмущении, второе слагаемое обратится в нуль и эффективное поле
будет таким, как в бесконечной системе. Однако ядро — недоста-
недостаточно большая система. В большинстве физических приложений
возмущение среды определяется малым числом промежуточных
состояний и отраженные волны вносят важный вклад. В бесконеч-
бесконечной системе для внешних полей с волновым вектором q эффектив-
эффективное поле определяется взаимодействием с передаваемым импуль-
импульсом, также равным q. В однородном внешнем поле может быть ис-
использовано взаимодействие при q = 0. В конечной системе тре-
требуется знать взаимодействие при волновых векторах не внешнего,
а эффективного поля, т. е. в интервале волновых векторов
~q-r-pF. На это явление впервые обратили внимание Саперштейн
и Ходель в 1967 г. 110].
Каков характер зависимости взаимодействия между нукло-
нуклонами от передаваемого импульса?
Если бы во взаимодействии не участвовали я-мезоны, то харак-
характерный импульс был бы порядка mNc, где /nN — масса нуклона,
взаимодействие между квазичастицами было бы б-образным вплоть
до передаваемых импульсов q ~ mNc. Такое б-образное взаимо-
взаимодействие заметно перенормируется только при плотностях по-
порядка pN <~ Ю2р0, где р0 — ядерная плотность, и, следовательно,
взаимодействие в ядре мало отличалось бы от пустотного. Един-
Единственная причина, по которой взаимодействие между квазича-
квазичастицами сильно отличается от пустотного взаимодействия нукло-
нуклонов — это обмен я-мезонами.
Взаимодействие между квазичастицами в ядре состоит из
двух частей: одна из них существенно зависит от передаваемого
волнового вектора на масштабах ~т„с, а другую можно считать
б-образной вплоть до mNc ~ 7тлс. Ниже это свойство взаимо-
взаимодействия используется для приближенных расчетов (с параме-
параметром приближения тл1тн).
Пионы в ядерном вещеотве и пионная конденоация
Для того чтобы вычислить пионный вклад во взаимодействие
квазичастиц, необходимо найти изменение в нуклонной среде
энергии пиона со (k) как функции его импульса k. Как мы увидим,
в среде энергия пиона при импульсах k ~ pF уменьшается и даже
при достаточной плотности нуклонов может при некотором k = k0
обратиться в нуль, что означало бы неустойчивость пионного
поля в ядерном веществе. При такой плотности нуклонов проис-

20 I. ВВЕДЕНИЕ
ходит «пионная конденсация» [11—14], т.е. фазовый переход
с появлением дополнительного пионного поля и с выделением
энергии. Действительно, при ю2 < 0 возможно самопроизвольное
. рождение пионов, или, точнее, энергия системы понижается при
увеличении амплитуды пионного поля с волновым вектором k0.
Этот процесс останавливается, только когда пионное поле пере-
перестраивается, так что отталкивание между пионами делает энер-
энергию to (k) положительной при всех k.
Как показывают расчеты, критическая плотность, при которой
наступает пионная конденсация [13, 14], порядка ядерной плот-
плотности. Поэтому не исключена возможность того, что в ядре есть
пионный конденсат. Пока нет убедительных экспериментов, гово-
говорящих за или против этого предположения, но есть бесспорные
факты, доказывающие близость ядерной плотности к плотности,
при которой должна начаться пионная конденсация. Энергия,
выделяющаяся при пионной конденсации, растет с увеличением
плотности нуклонов и может при некоторой плотности превысить
энергию, .идущую на сжатие ядерного вещества. Это означало бы,
что возможно еще одно, более плотное состояние ядерного веще-
вещества и, следовательно, могут существовать, помимо обычных
ядер, ядра сверхплотные. Для проверки этой возможности необ-
необходим анализ экспериментальных данных, указывающих на бли-
близость ядер к пионной конденсации.
Сильное уменьшение энергии пиона в ядре, предсказываемое
теорией, проявляется в ряде экспериментальных фактов. Так, из
спектральных данных я-атома определяется оптический .потен-
.потенциал пиона в ядре (т. е. эффективная потенциальная яма пиона).
Получается разумное согласие теоретического оптического по-
потенциала с экспериментальным. Сравнение позволяет уточнить
константы, входящие в теорию.
Существенным для уточнения констант является сравнение
с опытом энергии уровней, имеющих пионную симметрию. К таким
состояниям относятся уровни 0"; 1 + ; 2"; ... Сдвиг энергии этих
уровней по сравнению с их значениями, полученными в модели
оболочек, в большой мере определяется взаимодействием нукло-
нуклонов за счет обмена «смягченным» пионом. Получается удовлетво-
удовлетворительное согласие с опытом.
Существенную информацию даст незаконченный еще анализ
влияния однопионного обмена на магнитные моменты, /-запре-
/-запрещенные Л1/-переходы (переходы с изменением орбитального мо-
момента на 2 единицы) и на вероятность гамов-теллеровских Р-пере-
ходов.
Представляют большой интерес поиски аномалий в рассеянии
нуклонов на ядрах [15], а также анализ магнитных форм-факто-
форм-факторов ядер, извлекаемых из опытов по рассеянию электронов на
большие углы [16]. В этих экспериментах могла бы проявиться
спиновая структура нуклонной матрицы плотности (в отличие

J.I. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ФЕРМИ-СИСТЕМ 21
от электрического форм-фактора, который определяется структу-
структурой плотности заряда).
Можно думать, что более тщательный анализ имеющихся фак-
фактов, а также данных, полученных в опытах по рассеянию, позво-
позволит дать окончательный ответ на вопрос о существовании кон-
конденсата в ядрах и во всяком случае, даст возможность уточнить
константы, вводимые в теорию, настолько, чтобы сделать более
определенными предсказания о возможном существовании сверх-
сверхплотных ядер.
Поверхностные отепени овободы
Главный источник неоднородности эффективного поля — это
возбуждение поверхностных степеней свободы ядра. Это явление
было обнаружено и исследовано В. А. Ходелем в 1972 году.
Причина такой существенной роли поверхностных степеней
свободы состоит в том, что поверхностные колебания с небольшим
числом узлов имеют частоту со, падающую с увеличением радиуса
системы. Этот факт есть следствие теоремы Гольдстоуна — в си-
системе, которая удерживается внутренними силами, появление
границы означает нарушение трансляционнойсимметрии. Частота,
связанная с колебаниями границы, должна стремиться к нулю
при увеличении длины волны. Из-за малой частоты первых по-
поверхностных колебаний их вклад в поляризацию системы внеш-
внешним полем может оказаться сравнимым со вкладом одночастичных
состояний. Таким образом, даже однородное внешнее поле вызы-
вызывает эффективное поле, имеющее узкий максимум у поверхности
ядра. Это явление было предсказано [17] и наблюдалось в экспе-
экспериментах по неупругому рассеянию быстрых частиц с возбужде-
возбуждением коллективных состояний [18—20]. По зависимости^ сечения
от волнового вектора можно было воспроизвести координатную
зависимость плотности перехода — резкий максимум в поверх-
поверхности ядра полностью подтвердился.
Из-за резкой неоднородности эффективного поля суммы по
собственным состояниям нуклонов, содержащие матричные эле-
элементы поля, плохо сходятся. Во многих работах для упрощения
суммирование искусственно обрывают, ограничиваясь суммиро-
суммированием по нескольким оболочкам, что вносит неконтролируемые
ошибки. Для того чтобы избавиться от этой трудности, понадо-
понадобилось разработать методы расчета эффективного поля в коорди-
координатном представлении (Осадчиев, Ходель, 1970).
Условие ооглаоования
Представим себе, что система, удерживаемая собственными
силами, сместилась как целое на малое расстояние 8R. Тогда
изменение самосогласованного поля 61/ (г) можно представить

22 I. ВВЕДЕНИЕ
двумя способами. С одной стороны, 6?/ (г) — VU-8R, а с дру-
другой, — это же изменение можно выразить иначе: 6U — #р,
где #" характеризует взаимодействие между частицами, а измене-
изменение плотности 6p = V|>'6#. Приравнивая оба выражения, по-
получим
W =
Таким образом, в системе, которая удерживается собственными
силами, есть строгое соотношение между самосогласованным
полем и силами взаимодействия. Будем называть это условие
«условием согласования» [21, 22].
Интегрирование условия согласования позволяет выразить
параметры самосогласованного поля через константы, параметри-
параметризующие взаимодействие #". Зная самосогласованное поле, можно
вычислить энергии связи нуклонов и воспроизвести константы
формулы Вейцзекера [23].
В последнее время появились эксперименты, определяющие
характеристики энергетических уровней составных ядер, такие
как магнитные моменты и изомерные сдвиги. Для анализа этих
экспериментов потребовалось развить ТКФС для конечных тем-
температур (Г. Г. Бунатян, 1977) [24, 25].
Итак, теория позволяет выразить все наиболее интересные
характеристики ядер через параметры, определяющие взаимо-
взаимодействие квазичастиц, единые для всех ядер.
Описанный метод расчета конечных систем может быть при-
применен и в ряде других задач, например для определения коллек-
коллективных колебаний атома или электронных свойств сложных моле-
молекул в тех случаях, когда существенно взаимодействие между
электронами.
Недавно методы ТКФС были успешно использованы в ряде
задач теории твердого тела для уточнения теории псевдопотен-
псевдопотенциала и исследования взаимодействия электронов проводимости
с электронами атома примеси.
Дальше рассматриваются только приложения к теории ядра.

1.2. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ (ТКФС)
Поясняются основные идеи графического метода, позволяющего при-
придать понятию квазичастиц строгий количественный смысл. Графический
метод используется для уточнения модели независимых частиц в потен-
потенциальной яме. Указывается способ вычисления параметров потенциаль-
потенциальной ямы через эффективное взаимодействие между квазичастицами.
Обсуждается уравнение для эффективного поля, действующего на ква-
квазичастицы, при наложении слабого внешнего поля.
Определяется изменение матрицы плотности под влиянием изменения
числа частиц в системе.
Рассматривается взаимодействие между квазичастицами и вклад
в него, вызываемый обменом пионным возбуждением.
Применение метода квазичастиц в ядернсй физике.
Функции Грина. Графический метсд
В теории элементарных частиц широко применяется метод
графиков Фейнмана. Этот же метод используется и в задачах
многих тел, в частности, в том подходе к теории ядра, о котором
пойдет речь дальше.
Начинается с того, что в виде рисунков изображают различные
физические процессы, которые могут происходить с частицами.
Движение квантов света изображается пунктиром
движение частицы — линией
Такая картинка
означает, что заряженная частица, допустим электрон, испустила
квант света.
Две невзаимодействующие частицы изображаются так:
Когда же они взаимодействуют, рисуют такой график:

24 I. ВВЕДЕНИЕ
Если их взаимодействие осуществляется с помощью квантов
света (это значит, что взаимодействие кулоновское), тогда линии
частиц соединяют пунктирной линией:
Если это два нуклона и взаимодействие осуществляется переда-
передачей какой-либо частицы, например л-мезона, тогда рисуют волно-
волнообразную линию между линиями частиц:
I.
Этот график показывает, что два нуклона один раз взаимо-
взаимодействовали между собой. Если они взаимодействовали два раза,
то график выглядит так:
Такой график
изображает более сложный процесс — нуклон испустил я-мезон,
который затем распался на нуклон и антинуклон. Эти две ча-
частицы превращаются опять в я-мезон, который затем поглощается
вторым нуклоном.
Аналогично можно изобразить и более сложные процессы,
происходящие с частицами.
Для того чтобы эти рисунки имели не только иллюстративный,
но и количественный смысл, будем понимать под каждым графиком
амплитуду перехода из одного состояния в начальный момент
в другое состояние в конечный момент времени. Квадрат ампли-
амплитуды перехода дает вероятность нахождения системы в конечном
состоянии в конечный момент времени. Так например, приведен-
приведенный график испускания кванта означает амплитуду перехода
заряженной частицы с импульсом р в состояние, в котором имеются
крант с импульсом к и частица с импульсом р—к,

1.2. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ (ТКФС) 25
Согласно принципу суперпозиции, полная амплитуда пере-
перехода, или, как ее обычно называют, «функция Грина», представ»
ляет собой сумму всех возможных физически различных ампли-
амплитуд перехода. Как мы сейчас увидим, можно, используя принцип
суперпозиции и классифицируя графики тем или иным способом,
получать соотношения между различными амплитудами перехода.
Для того чтобы записать эти соотношения в обычной аналитиче-
аналитической форме, следует только установить соответствие между про-
простейшими элементами графиков и аналитическими выражениями.
Поясним, как это делается, на нескольких примерах, которые
далее рассматриваются более подробно и строго. Прежде всего
получим графическим способом известное соотношение, связы-
связывающее амплитуду рассеяния двух частиц с потенциалом взаимо-
взаимодействия. Графически амплитуда рассеяния изобразится, согласно
принципу суперпозиции, суммой графиков:
-Т+ТТ+ТГТ+™
Первый график в сумме справа изображает однократное взаимо-
взаимодействие между частицами, второй соответствует двукратному
взаимодействию частиц и т. д. Между актами взаимодействия
стоит амплитуда перехода двух невзаимодействующих частиц.
Будем сопоставлять первому графику потенциал взаимодей-
взаимодействия между частицами
а линии — функцию Грина, т. е. амплитуду перехода G свобод-
свободной частицы. Тогда второй график условно запишется так:
и-
Действительно, амплитуда перехода двух свободных частиц Ко
равна произведению функций Грина каждой из частиц. Для ампли-
амплитуды рассеяния получится ряд
Г = <V + <VGGV + <VGG<VQG<V Л
Выражение, стоящее во втором и следующих членах справа от GG,
снова образует сумму, дающую Г. Для Г получается уравнение
Г = <V + <VGGT. A)

2li I. ВВЕДЕНИЕ
Функция G, входящая в это уравнение, как мы увидим, легко
находится. Если ^-функция частицы в начальный момент есть
суперпозиция различных собственных функций, то задача на-
нахождения G сводится к задаче о расплывании волнового пакета.
Если же частица в начальный момент находилась в состоянии
с определенной энергией, то амплитуда перехода определяется
совсем просто.
Очевидно, что выражение для Г представляет собой символи-
символическую запись известного из квантовой механики уравнения для
амплитуды рассеяния (здесь и далее й*=с= 1):
Сравнивая уравнения для Г и /, можно установить точное соот-
соответствие графических и аналитических выражений.
Аналогичным образом можно связать функцию Грина частицы
во внешнем поле G с функцией Грина свободной частицы Go.
Функция- Грина в поле G изобразится суммой частных амплитуд
перехода
i i i
i i i
i i i
1t
где точка с пунктиром изображает акт действия внешнего поля V
— i
i
Собирая все графики, стоящие в G справа от V, получаем опять G.
Таким образом,
Сравнивая поправку к Go в первом порядке теории возмущений
по V:
GO> = G0VG0
с известным квантовомеханическим выражением, легко устано-
установить, в каком смысле следует понимать умножение в символиче-
символической формуле для G.
Рассмотрим теперь графическое описание поведения частицы,-
добавленной к системе. Будем изображать амплитуду перехода
частицы, движущейся в среде, с помощью жирной линии:

1.2. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ (ТКФС) 27
Тогда для G можно написать следующий графический ряд:
13 4 2
Первый график изображает амплитуду перехода из состояния 1
в состояние 2 без актов взаимодействия с частицами среды, т. е.
свободную функцию Грина Go. Остальные графики изображают
все возможные процессы взаимодействия со средой.
Так, второй график означает упругое рассеяние частицы на
частицах среды, а третий представляет процесс двукратного рас-
рассеяния, когда в промежуточном состоянии имеется, кроме рассма-
рассматриваемой частицы, еще одна частица и дырка.
Если изобразить прямоугольником 2 совокупность всех про-
процессов, не имеющих в разрезе одной линии, то все графики G
можно изобразить в виде
G —-
Но отсюда следует соотношение для G:
G = G0 + G0VG.
Это уравнение, применительно к электродинамике, было по-
получено Дайсоном. В аналитической форме это уравнение при-
принимает вид
0A, 2) = О0A, 2)+JGOA, 3JC. 4HD, 2)йх3йх,. C)
Знак интеграла условно означает суммирование по состояниям
3 и 4. Преимущество введения «собственно-энергетической части»
2 состоит в том, что она имеет более простые свойства, чем G,
и может быть параметризована небольшим числом констанг.
Как мы увидим, функция Go представляет собой функцию
Грина одночастичного уравнения Шредингера
Яо) 00--=6 (*-*') 6 (г-г'). D)
Аналогично, функция G имеет смысл функции Грина «уравнения
Шредингера» для частицы, движущейся в среде. Умножая соот-
соотношение для G слева на GJT1 = idt — #0, получим в символиче-
символической записи
(idt _ я0 - 2) О = /. E)
Мы увидим, что величина 2 определяет эффективную потенциаль-
потенциальную яму для частицы, движущейся в среде. Функция Грина, опи*

2H I. ВВЕДЕНИЕ
сывающаи поведение добавочной частицы, может быть также
представлена, как среднее по основному состоянию системы
G(r, r', x) = { Jp
где W+, W — операторы рождения и уничтожения частицы в точ-
точках г', f и г, t. Таким образом, функция Грина есть амплитуда
вероятности найти частицу в момент t в точке г, если она была рож-
рождена в момент f в точке г'. Аналогичное выражение может быть
написано и для функции Грина дырки
(Г (г, r',t'~ t)f-t>0 = - i <W (г', Г) W (г, О Фо).
Обычно обе функции записываются в виде одной, определенной
следующим образом:
}+, т>0
т<0; Х = *-Г-
Функция G непосредственно связана с одночастичной матрицей
плотности
р(г', г) = —Ю|т^_о, F)
позволяющей вычислить одночастичные характеристики системы.
Так, среднее значение одночастичного оператора Q (г, р) равно
(Q (г, Р)) = {Q (г, р) Р (г, г') V'^rdr. G)
Пусть на систему наложено внешнее поле W Под влиянием Va,
поле, действующее на частицу в среде, изменится. Это изменение
поля будем называть «эффективным полем». Нетрудно получить
графически уравнения для эффективного поля V, действующего
на квазичастицу:
I
I
Черный кружок обозначает «заряд» квазичастицы по отношению
к полю VV «Заряд» eq представляет собой локальную перенорми-
перенормировку поля VV
Черная полоска изображает «неприводимое» взаимодействие #".
Процессы, входящие в #", не содержат частей, соединенных только
частицей и дыркой.
Графики, изображающие V, можно собрать двумя способами:.

1.2. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ (ТКФС) 29
или в символической записи
V = eqV0 + TGeqV0G = egV0 + TGVG, (8)
где Г — полная амплитуда взаимодействия. Амплитуда Г свя-
связана с &" соотношением, которое вытекает из приведенных гра-
графиков:
Г = Г + TGGY. (9)
Как мы увидим, величина &", в отличие от Г, плавно изменяется
в интересующей нас области изменения переменных и может
быть параметризована несколькими константами, одинаковыми
для всех ядер. Приведенные соотношения позволяют выразить
эффективное поле через константы, параметризующие неприво-
неприводимое взаимодействие &".
На этих примерах хорошо проявляется основная идея метода
взаимодействующих квазичастиц. В графиках, изображающих
такие величины, как одночастичная функция Грина G или эффек-
эффективное поле V, выделяются блоки, медленно изменяющиеся в инте-
интересующей нас области переменных (как 2 или^"). Эти блоки пара-
параметризуются несколькими константами. В результате для вели-
величин, определяющих свойства системы, получаются уравнения,
в которые входят константы, определяемые из сравнения теории
с опытом.
Таким образом, идея графического метода состоит в том, чтобы
на простых примерах установить соответствие между элементами
графиков и аналитическими выражениями, после'чего можно
научиться расшифровывать любые графики, состоящие из этих
элементов.
Получение соотношений графическим методом настолько проще,
чем аналитические выводы, что удается легко разобраться в слож-
сложных задачах, которые при аналитическом подходе кажутся не-
неразрешимыми.
Дальше мы установим аналитическое соответствие для всех
графиков, описывающих процессы, происходящие в системе
взаимодействующих частиц.
Одночаотичные возбуждения.
Обоонованне и уточнение модели оболочек
С помощью функций Грина можно придать строгий смысл
понятию квазичастицы в системе с сильным взаимодействием
и тем самым обосновать и уточнить модель оболочек [28].
В (П.4) будет показано, что из приведенного в предыдущем
разделе уравнения для функции Грина вытекает уравнение Шре-
дингера для квазичастицы с энергией, близкой к поверхности
Ферми,

30 I. ВВЕДЕНИЕ
Эти результаты относятся как к нейтронам, так и к протонам.
Отсюда следует, что в ядре существуют две ветви возбуждения —
протонная и нейтронная.
Отношение эффективной массы т* к массе свободного нуклона
и параметры потенциальной ямы (глубина, радиус и ширина пе-
переходного слоя) выражаются через величину 2, которая по усло-
условию согласования определяется взаимодействием &~.
Таким образом, параметры потенциальной ямы в описываемой
теории выражаются через константы, характеризующие взаимо-
взаимодействие $Г.
Однако можно определить параметры непосредственно из
опыта, а условие согласования использовать для уточнения кон-
констант теории. Параметры потенциальной ямы можно определить
путем сравнения собственных значений уравнения Шредингера
для квазичастицы с наблюдаемыми одночастичными энергиями:
Ч = Ек (N ± 1) - Ео (N),
где Ео — энергия основного состояния магического ядра, а
Ex (N ± 1) — точные энергии основного и возбужденных состоя-
состояний нечетных ядер.
Остается сделать несколько небольших уточнений.
Прежде всего об эффективной массе.
В опыты по дифракционному рассеянию нейтронов входит вы-
выражение У m*Uom , тогда как в энергию масса входит следующим
образом:
en =* U @) -
Малое различие потенциалов U и ?/опт, которое получается, если
пренебречь разностью т* — т, означает, что эта разность мала:
= 0,1.
Такая.же оценка получается из плотности уровней у границы
Ферми.
Кроме того, эффективная потенциальная яма содержит спин-
орбитальное слагаемое и поверхностные члены, содержащие
квадрат орбитального момента
а (г) ol + р (г) / (/ + 1).
Эти слагаемые мало влияют на функции <рх, но могут изменить
порядок следования уровней, особенно в случае близких состояний.
Для магических и соседних с ними ядер матрица плотности
частиц имеет вид (для ех вблизи eF)

1.2. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ (ТКФС) 31
A е^, < EF
где гц = \ ; величина а лежит в пределах 0 < а < 1
и выпадает из большинства наблюдаемых явлений; п% — плавная
функция от е^. Выражение
можно назвать матрицей плотности квазичастиц. Для остальных
ядер должны быть учтены парные корреляции, т. е. тот факт, что
нуклоны соединяются в пары с нулевым суммарным моментом.
Для матрицы плотности частиц в этом случае получается вы-
выражение
где
Ех, &х отсчитаны от величины ц. — V2 [Ео (N + 2) — Ео (N) ];
А — энергия парной корреляции. Матрица плотности квази-
квазичастиц
При подходе с помощью функции Грина в отличие от обычно
применяющегося канонического преобразования [29, 30] взаимо-
взаимодействие между частицами учитывается точно, и единственным
приближением является отбрасывание членов порядка А/е^
(-—-1/40 в ядре).
Кроме того, в отличие от метода канонического преобразова-
преобразования, рассматриваются системы с фиксированным числом частиц,
что позволяет получить формулы для матрицы плотности и для А
вблизи мест заполнения подоболочек, где, как показывает расчет,
обычный подход приводит к ошибке порядка единицы [31 ].
Матрицы плотности частиц и квазичастиц часто удобнее за-
записывать в координатном представлении
р°(г, г') = ар(г, г') + р« (г, г').
Матрица плотности квазичастиц находится из функции Грина
Gq (г, г', е) уравнения A0) (для е^, = е):
р (г, г') = — i J [Gge-*1*de/2n. A1)
т->~о
В сферической системе функция Gq может быть разложена по
полиномам Лежандра РЛ —р-)- Коэффициенты этого разложения
выражаются через два линейно независимых решения yt и у

32 I. ВВЕДЕНИЕ
одномерного радиального уравнения, получающегося из A0)
после отделения угловых переменных:
Функции г/i и у2 удовлетворяют следующим граничным условиям:
уг @) = 0, г/2 (°°) ограничена. Эти функции нормированы так:
(т/т* (г)) W(r)=l, где W (г) = у{ (г) у'2 (г) - у\(г) у2 (г) -
вронскиан двух решений. Функции ух и г/2 легко находятся чис-
численным интегрированием.
В принципе имеется возможность сформулировать вычисление
матрицы плотности и функции отклика (см. III. 1), не находя соб-
собственных функций (рк. Одночастичные возбуждения рассмотрены
подробно в (II.4), и применительно к ядру — в (IV.6).
Нахождение самосогласованного поля
Поясним, как определяются параметры эффективной потен-
потенциальной ямы через параметры взаимодействия. Для упрощения
пренебрежем запаздыванием взаимодействия и предположим, что
оно б-образно.
Тогда из условия согласования можно получить
du qr <*Р
# — сфгрическая часть изоскалярного взаимодействия:
*° ° \ 9@) /+ ° Р(О) •
Интегрируя уравнение для dUldr, получим
U [Г) - (#"'" - Г?) -g|g- + 0-1-9 (г).
В этом и состоит основная идея вычисления U (г).
В общем случае для U получается интегральное уравнение,
которое удобно численно решать методом итераций. Сначала, ис-
исходя из известных собственных функций частиц в потенциальной
яме обычной модели оболочек, вычисляется правая часть усло-
условия согласования. Затем по ней определяется новое, более точ-
точное выражение для U, после чего вычисляется матрица плотности
в этом, уже новом потенциале и т. д. Таким образом, мы получаем
возможность рассчитать одночастичные спектры возбуждений и
определить химические потенциалы ядер с учетом оболочечных
эффектов.

t.i. МЕТОД КВАЗЙЧАСТЙЦ В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ (ТКФС) 33
Системы во внешнем поле. Уравнение
для аффективного поля в ядре
Как уже упоминалось, с помощью метода функций Грина
удается показать, что ферми-система с сильным взаимодействием
эквивалентна при малых возбуждениях газу взаимодействующих
квазичастиц, в котором существенны только парные соударения.
Многократные соударения частиц учитываются теорией точно
и приводят к перенормировке взаимодействия между квазича-
квазичастицами и к изменению «заряда» квазичастиц по отношению
к внешнему полю.
Добавка матрицы плотности квазичастиц во внешнем поле V0
удовлетворяет уравнению (без парной корреляции)
(со + 8а,, — еО p'KXl =
= (я*, — «О ((<?,W. + S <ЬЫ9'\М-'>ры), A5)
где со — частота внешнего поля. Сравнивая это уравнение с ана-
аналогичным уравнением для неидеального ферми-газа [32, 33],
убеждаемся, что величина eq играет роль эффективного заряда
квазичастиц по отношению к внешнему полю, а величина &~ —
роль взаимодействия между квазичастицами. Под полем V0 мы
понимаем произвольный оператор, действующий на координаты
квазичастицы. В случае калибровочного внешнего поля (V0 =
= Vй (г, t)) «заряд» не перенормируется: eq = 1 (Ш.З).
В случае векторного поля V0 = рА, действующего на про-
протоны, получается
где величина /JP определяется взаимодействием нейтронов с про"
тонами (II.5). Таким образом, у нейтронов появляется «заряд»
по отношению к внешнему полю, хотя его и нет в затравочном
взаимодействии.
В большинстве случаев удается найти заряд квазичастиц из
соображений калибровочной инвариантности и из законов сохра-
сохранения (Ш.З).
Позже мы приведем выражение для эффективного взаимодей-
взаимодействия $Г между квазичастицами.
Вместо уравнения для матрицы плотности удобно написать
уравнение для величины
S ( | & | u') pi» A6)
которая представляет собой матричный элемент от эффективного
поля V, действующего внутри ядра на квазичастицы. •
2 А. Б. Мигдал

34 ' I. ВВЕДЕНИЕ
Из уравнения A5) для матрицы плотности получаем урав-
уравнение для V:
) еЛ7+т
Уравнение A7) можно записать в символическом виде:
V =e9V° + &-AV. A8)
Уравнение A7) соответствует приведенному раньше графическому
уравнению.
Уравнение A7) позволяет находить собственные частоты си-
системы cov из условия обращения V в бесконечность при со = cov,
т. е. из уравнения
V = PAV.
Знание V позволяет также получить точные выражения для
интенсивностей переходов и, кроме того, при со = 0 найти изме-
изменения энергии системы в статическом внешнем поле, откуда опре-
определяются, в частности, магнитные и квадрупольные моменты
ядер (IV.5).
В случае систем с парной корреляцией уравнение для эффек-
эффективного поля значительно усложняется.
Получается система связанных уравнений для V и для ве-
величины d (r, t),-представляющей собой изменение энергетической
щели А во внешнем поле. Величина d мала только в исключитель-
исключительных случаях, и без введения этой величины нарушается закон
сохранения числа частиц.
Каноническое преобразование, написанное в первоначальном
виде для системы без внешнего поля, не содержало d.
Для случая внешнего поля позже было введено интегральное
каноническое преобразование [34, 26, 35], которое эквивалентно
введению величины d.
В методе функций Грина величина d возникает естественным
путем и может быть сравнительно просто найдена.
Система уравнений для V и d дана в (III.2). Там же дается
выражение для изменения матрицы плотности квазичастиц, во
внешнем поле в случае парной корреляции.
Коллективные частично-дырочные возбуждения должны на-
находиться из условия обращения V в бесконечность при со = cov.
Парная корреляция заметно влияет только на колебания
с частотами cov ^ А, причем подвержены влиянию парной кор-
корреляции те колебания, для которых не равны нулю диагональные
матричные элементы эффективного поля или матричные элементы
Vaa'C I еь — е*/| < А.

1.2. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ (ТКФС) 35
Изменение матрицы плотности от добавления частиц
В системе конечного размера возникает задача, не имеющая
аналога в бесконечной системе, об изменении функции Грина,
а следовательно, и матрицы плотности при добавлении одной
частицы. Зная это изменение, можно найти целый ряд важных
свойств ядра: магнитные моменты, изотопическое смещение, изме-
изменение квадрупольных моментов при переходе к нечетному ядру
и др.
Из уравнения A5) (при V0 = 0) получаем уравнение для изме-
изменения матрицы плотности квазичастиц от добавления одной ква-
квазичастицы в состояние к0:
У~У У (^21 g" I Ш)(бр)г,A - бг,). A9)
Неоднородность соответствует появлению одной квазичастицы
в состоянии %0 (см. III.5). Изменение среднего значения какой-
либо величины [л (например, магнитного момента) при добавлении
квазичастицы в состояние к0 определяется выражением
<!*>*" = <M-eff>wi. = S (*A*. (бРКд,- B°)
гдее? — «заряд» квазичастиц по отношению к полю ц (перенор*
мировка «заряда»). Величина \ieil играет роль эффективного'поля V
и подчиняется уравнению A8). Его удобно решать в координатном
представлении
V(r) = eqV0(r) + Jg"(r, rJAir» r2. u)V(r2)dridr2. B1)
Для простоты в B1) сохранена только нулевая гармоника g".
Соответствующее уравнение для изменения плотности квазича-
квазичастиц таково:
бр (г) = боР (г) + | А (г, гъ со) Г (Гъ Гг) бр (Гв) dn dr2. B2)
Здесь бор (г) = (pi (r) — квадрат волновой функции добавленной
квазичастицы.
Функция отклика
Л (г, г', co)=jG(r, r', e + -|-)G(r, r', e - -f-) -gg- B3)
имеет простой физический смысл: она дает изменение плотности
невзаимодействующих квазичастиц в точке г, когда в точке г'
на систему действует единичное внешнее поле. Формулу B3)
можно переписать в более удобном для вычислений виде, исключив
вклад непрерывного спектра:
А (г, г', <о)= S пЛ(г)ф,(г')[С(г, г', е>. + со) +
+ G(r, r', ех- со)]. B4)

36 I. ВВЕДЕНИЕ '
Квазиклассические вцвнки матричных элемвнтвв
Мы встретились с суммами матричных элементов, взятых по
одночастичным состояниям.
Для вычисления этих сумм существенно знать, какие матрич-
матричные элементы вносят в них наибольший вклад.
Рассмотрим матричный элемент
Мк1ь, = (cpXl, Уфя2),
где V (г) заметно изменяется на расстояниях порядка радиуса
ядра.
Покажем, что ближайшие уровни, расстояние между которыми
в сферическом ядре благодаря вырождению по проекции момента
порядка zFA-'!*, как правило, не комбинируют между собой
(дают малую величину М),^,). При изменении главного кванто-
квантового числа п на Ьп ~ 1 и / на Ы ~ 1, изменение энергии уровня ert/
вблизи границы Ферми eF имеет порядок Ьеп[ ~ д&п11дп~ деп!/д1~
~ ЕрА-1!*. Поэтому уровень, ближайший к данному, получается,
как правило, за счет больших изменений Ы и Ьп, таких, чтобы
&4i = (дгп!/дп) Ьп -\- (дгп1/д1) Ы было минимально. Можно так
выбрать Ы и Ьп ~ А*1*, что Ьгп1 будет порядка sFA~2iz.
Следовательно, ближайшие уровни сферического ядра, как
правило, сильно различаются по числу узлов радиальной и угло-
угловой части функций (р^, ф^г и дают малое значение матричного
элемента М%^г. Уровни, отличающиеся по энергии на величину
I ех, — еха | > ЪрА-1/*, также дают малое значение М^ь,, так
как функции cpXl и ф^2 сильно отличаются по числу узлов.
Таким образом, матричный элемент М\^ заметно отличен
от нуля только для %х — к2 (если он при этом не равен строго
нулю из-за правил отбора) и для | е^ — e^2 | — eFA~i/3, когда
числа узлов функций фь, и ф^8 мало отличаются.
Аналогичные соображения могут быть использованы и для
оценки интеграла
J ф?, (г) фх, (г) ц>1, (г) Фь4 (г) dr.
Однако при kt = Х2 и к3 = Я4 этот интеграл не содержит осцилли-
осциллирующих множителей и, как правило, не мал при произвольном
различии в состояниях кх и к2.
В случае деформированных ядер расстояние между уровнями
имеет порядок ef А'1 за счет расщепления уровней с различными
проекциями момента частицы на ось симметрии. Если У%^г ф О
для кг и кг, отличающихся только значениями ту и т2 (как, на-
например, в случае оператора момента), то разность энергий, соот-
соответствующая большим значениям Ухд2, имеет порядок гР^А~1/г,
где р — параметр деформации. Если же оператор V меняет не
только значения т, то все сказанное о порядке | е^( — е^ | остается
в силе и для деформированных ядер.

1.2. МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ (ТКФС) 37
Взаимодейотвие между квазичаотицэми
Начнем с выражения для эффективного взаимодействия между
квазичастицами в бесконечном ядерном веществе и затем введем
поправки, возникающие в реальных ядрах.
В импульсном представлении, когда энергии квазичастиц
лежат вблизи поверхности Ферми, центральная часть эффектив-
эффективного взаимодействия #", входящая в уравнение для действующего
в среде поля V, может быть записана в виде (см. II.5)
0" = (/
Здесь предполагается изотопическая инвариантность (N —
С 1). Величина #" зависит от угла между вх'одными импульсами
частиц (ръ р2) и от передаваемого при взаимодействии 4-импульса
q = {к, со):
Рг РгЧ
В уравнении для эффективного поля в бесконечной среде
передаваемый импульс (импульс по каналу частица—дырка),
совпадает с импульсом внешнего поля, т. е. с волновым вектором,
характеризующим зависимость внешнего поля от координат.
Для длинноволновых полей с малой частотой k <^ pF, со <^ гР
величина SF может быть взята при значении q = 0. Как уже гово-
говорилось, иначе обстоит дело в конечной системе: эффективное поле V
даже при постоянном в пространстве внешнем поле зависит от
координат и в уравнение входит &"{q) для q < pP. Для анализа
характеристик к SF следует добавить тензорные слагаемые, из
которых главное — амплитуда #"„ однопионного обмена [14].
Для процессов с большими передаваемыми импульсами q > pF
нужно учитывать конечный радиус сил.
Другая, более существенная поправка, возникающая при пере-
переходе к конечным системам, это учет того обстоятельства, что
величина #" вблизи поверхности ядра должна переходить от зна-
значения & внутри ядра (близкого к значению в бесконечном ядер-
ядерном веществе) к значению, соответствующему взаимодействию
двух частиц вне ядра.
Амплитуда рассеяния вне ядра #"ех существенно отличается
(при г — R < R) от амплитуды рассеяния свободных нуклонов
из-за искажения нуклонных ?-функций волнами, отраженными
ОТ поверхности ядра (см. JV-3),

38 I. ВВЕДЕНИЕ
Для учета этого обстоятельства достаточно написать любую
разумную интерполяционную формулу, например:
Р W Р ^ B6)
где #"ех — амплитуда рассеяния вне ядра, р (г) — плотность ядер-
ядерного вещества.
Это выражение для &" используется при вычислении изотопи-
изотопического смещения и' квадрупольных моментов ядер (IV.5).
Величины f, /', g, g', входящие в выражение B5) для &", за-
зависят от угла между входными импульсами ръ р.г и могут быть
разложены в ряд по полиномам Лежандра:
<27>
Не следует путать это разложение с разложением амплитуды по
шаровым гармоникам, зависящим от угла отклонения.
По-видимому, в ядрах сильно представлены только нулевые
и первые гармоники разложения функций f, /', g, g', что означает
слабую зависимость эффективного взаимодействия 3" от скоростей
взаимодействующих квазичастиц.
Величины /,, /;, gi, g\ и являются константами, которые не
вычисляются в теории, а должны быть взяты из опыта. Они вы-
выражаются через соответствующие величины для рассеяния ней-
нейтронов и протонов:
/=х (/пп + /пр), г=4- (/пп - /пр)>
B8)
!
= х (§п
1
Помимо этих констант, в уравнение для А входит константа у§,
равная сферической гармонике (в обычном смысле) амплитуды
рассеяния двух квазичастиц с нулевым суммарным импульсом.
Величины /;, //, gi, g\ связывают большое количество совер-
совершенно разнородных явлений в ядре. Например, энергия симме-
симметрии ядра (слагаемое |J (N — 7,)г/А в формуле Вейцзекера) и
объемная жесткость ядерного вещества Н (плотность энергии ¦=
= К (п — поJ/2п0) выражаются через нулевые гармоники f0 и
/о (IV-4):
P = -f(l+2/;), А" з^A + 2/0). B9)
Коэффициенты Р и К должны быть положительны. Это наклады-
накладывает ограничения на возможные значения констант f0 и f'o.
Из требования положительности энергии возбуждения, соот-
соответствующего появлению частицы и дырки, подучаются условия

1.2. метод КвАзиЧастйц в Конечных системах <ткфс) 39
устойчивости ядерного вещества4
2/0>-1, 2/о>-1. 2go>-l, 2g;>-l,
73/i>-l, 2/з/;>-1- 2/3gi>-l, '/,?!>-1.
которые обобщают аналогичные условия, полученные для ферми-
жидкости из одного типа частиц 136 ]. Первые два условия обеспе-
обеспечивают положительность |$ и К,. Эти условия относятся к устой-
устойчивости системы по отношению к длинноволновым возмущениям.
Тензорные силы, обусловленные однопионным обменом, могут,
как мы видели, привести к неустойчивости ядерного вещества
при волновом векторе возмущения k0 ~ pF.
Пионный вклад в эффективное взаимодейотвие квазичаотиц
Для описания взаимодействия при передаваемых импульсах
k ~ pF к выражению B5) следует, прежде всего, добавить тензор-
тензорные силы, вызванные однопионным обменом, как в аннигиляцион-
ном, так и в обменном каналах, что соответствует рисункам
Рл-?>А
где а1J, р1J —спиновые и изоспиновые индексы.
В первом случае импульс пиона равен передаваемому импульсу
q —*¦ со, k. Именно этот процесс вносит наиболее существенную
зависимость &" от q. Его вклад в &~ равен (IV.2):
дгя = е2/ (о,*) (а2к) (т,т2) &' (со, к), C0)
где &)' = [со2 —A + k2 + П')]" —функция Грина пиона
в среде без учета частично-дырочных возбуждений, поляризацион-
поляризационный оператор П' не содержит частично-дырочной петли. В обмен-
обменной диаграмме вместо импульса q стоит р2 — ру — q, и входит
полная функция Грина пиона (IT заменяется на полный поляри-
поляризационный оператор П {рг —pt —q)). Из-за уменьшения энергии
пиона со (к) в ядерном веществе эти процессы усилены по сравне-
сравнению с пионным обменом в пустоте. Замена пионного пропагатора
на пустотный, которая делается во многих работах, совершенно
недопустима для количественных расчетов. Как мы увидим, обмен-
обменное слагаемое &~"л дает вклад не только в тензорные силы, но и во
все остальные слагаемые Т (ри р2. к).
Можно думать, что изменение амплитуды /0 от большого отри-
отрицательного значения у поверхности ядра до положительного
значения внутри обусловлено, в основном, вкладом #"„. Эта же
причина усиливает зависимость амплитуд взаимодействия /,
/'> §> 8' от передаваемого импульса.

1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТКФС В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Показано, что статические моменты ядер (магнитные и квадруполь-
ные моменты, изотопический сдвиг распределения заряда ядра н т. д.)
в результате решения уравнения для эффективного поля выражаются через
параметры, определяющие взаимодействие между частицами. Через эти же
параметры выражаются также энергии и вероятности переходов в частичио-
дырочные неколлективиые и коллективные состояния. В ядре коллектив-
коллективные объемные состояния сильно смешиваются с поверхностными степенями
свободы, что приводит к важным наблюдаемым следствиям, предсказан-
иым теорией.
Показано, что вычисление масс ядер находится в области применимо-
применимости теории. Построен лагранжиан квазичастиц, дающий энергию, совпа-
совпадающую с энергией системы, и позволяющий рассчитывать массы ядер без
приводящего к неточности разделения на регулярную часть и оболочеч-
ные поправки.
Анализируются влияние пионных возбуждений на ядерные явления
и неустойчивость пионного поля в нуклонной среде, а также возможность
возникновения аномальных ядер.
Приводится схема последовательной теории ядерного вещества и об-
обсуждается связь ТКФС с другими подходами.
Статические моменты ядер
Статические моменты ядер выражаются через диагональный
матричный элемент по состоянию Ко нечетной частицы от величины
V (г), удовлетворяющей уравнению A.2.18), в котором под Vo (r)
следует понимать оператор соответствующего момента. В случае
магнитного момента этот оператор равен
i+^ -!^T«o, A)
где ур и 7я — гиромагнитные отношения протона и нейтрона.
Уравнение A8) разбивается на два уравнения для спиновой и
орбитальной частей величины jieff (спин-орбитальное взаимодей-
взаимодействие вносит лишь малую поправку в эти уравнения). В уравнение
для спиновой части (xeff входит только слагаемое (g0 +
+g'o*i4) ffiff2 взаимодействия A.2.25), тогда как уравнение для
орбитальной части содержит только коэффициент /i + /Itit2 при
первой гармонике разложения .У по углу между входными импуль-
импульсами. Для магнитного момента нечетного протона и нечетного
нейтрона получается [37]
. 1<т,1 + УпП*. [ог] + A - a,) jz;
B)
где
у [аг] = Vxaz + V2 (an) пг, п == г/г, C)
at выражается через константу взаимодействия /JP и константу
спин-орбитального взаимодействия х; сх/ определяет эффективный
множитель Ланде нейтронов.

1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТКФС В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ 41
Величины Vx и V2 Определяются уравнением вида A.2.21),
в котором содержится слагаемое (go + goT№) 0i<*2 взаимодействия
A.2.25), а также тензорные и спин-орбитальные силы. Решение
этого уравнения позволяет найти теоретические значения магнит-
магнитных моментов. Как показано в работах [37—43], получается хоро-
хорошее согласие с опытом. Аналогичным образом вычисляются и
магнитные октупольные моменты [44], а также изотопический
сдвиг сверхтонкого расщепления атомных уровней [45].
Изотопическое смещение спектральных линий атомов и мезо-
мезоатомов определяется изменением величины
D)
при добавлении одного или двух нейтронов, а изомерный сдвиг —
изменением той же величины при возбуждении ядра. Квадруполь-
ный момент сферического ядра определяется изменением величины
<r2/>2 (cos 9)) = J Рр (г) r2P2 (cos 9) dr. E)
Все эти величины могут быть вычислены, если известно изменение
матрицы плотности протонов при добавлении частиц или при
возбуждении ядра
в <Q> = Е (врр)и- Qvx, F)
М.'
где Q == г2 в случае изотопического смещения, и Q = г2Р2 в случае
квадрупольных моментов. Как мы видели, для нахождения сред-
средних удобно пользоваться уравнением A.2.21), которое представ-
представляет собой уравнение для эффективного поля, когда в качестве
внешнего поля взята интересующая нас величина. Получаются
следующие формулы для изменения среднего значения Q при
добавлении нейтрона и протона соответственно:
S(Q) = (V"[Qp]Koxo; б (Q) = (Vp [QP]W.. G)
где V" [Qp ] означает эффективное поле, действующее на нейтроны,
которое возникает под действием внешнего поля Qp, приложенного
к протонам.
В уравнение для эффективного поля, как в случае изотопиче-
изотопического смещения, так и в случае квадрупольного момента, входят
константы взаимодействия /0 и f'o. Обе эти константы должны вне
ядра перейти в соответствующие амплитуды рассеяния двух нукло-
нуклонов /ох, /оех. Во всех этих явлениях области на краю ядра вносят
существенный вклад, и следует пользоваться приведенной выше
интерполяционной формулой для амплитуды.
Моменты инерции ядер до появления ТКФС вычислялись без
учета взаимодействия ЗГ; учитывалось только взаимодействие у|,

42 I. ВВЕДЕНИЕ
приводящее к спариванию. Задача решалась следующим образом.
Было найдено изменение матрицы плотности под влиянием поля
V0 = Жх?, (8)
где Ttx — сумма проекций орбитальных моментов нейтронов и
протонов на направление, перпендикулярное оси симметрии. Это
поле соответствует возмущению гамильтониана при переходе
в систему координат, вращающуюся с угловой скоростью Q.
Затем, с помощью матрицы плотности, найденной с учетом парной
корреляции, определялось среднее значение орбитального момента
ядра
где & —момент инерции.
Момент инерции оказался равным
с., jggl „ V (Е А- -
Последнее слагаемое не получается, как мы уже упоминали, при
пользовании простым каноническим преобразованием [29, 30].
Как показывает расчет [46, 47], второе слагаемое момента инерции
для осцилляторного потенциала составляет 30 %.
Для учета взаимодействия следует, прежде всего, найти
эффективное поле V и подставить его в матрицу плотности вместо
V».
В уравнении для V главную роль играет коэффициент ft при
первой гармонике разложения по полиномам Лежандра выраже-
выражения A.2.27) для #". Эта же величина входит, какмы увидим, в фор-
формулу для эффективной массы (стр. 220).
Одночастичные переходы
Энергия одночастичного перехода, т. е. перехода последней
частицы в нечетном ядре, равна
со = г%' — е*.
Вероятность перехода выражается по обычным квантовомехани-
ческим формулам через матричный элемент Vxx' (ш) эффективного
поля.
Очень простой результат получается для одночастичных ди-
польных переходов при малых частотах (со <<( vF/R < 10 МэВ).
Приближенное решение уравнения A.2.21) для деформированных
ядер дает следующее правило: вероятность перехода, рассчитанная
по модели оболочек (с учетом парной корреляции), умножается на
величину
• е\п = (e,/6P)8.

1.3. Применение -ткфс ё ядерной физике 43
Интересным объектом теории являются так называемые
«/-запрещенные переходы». Это — одночастичные переходы, при
которых орбитальный момент одночастичного состояния изменя-
изменяется на две единицы; /-запрещенные переходы наблюдаются как
в |3-распаде, так и в магнитных ^-переходах.
С точки зрения одночастичной модели, такие переходы строго
запрещены. Теория дает естественное объяснение этому явлению
[48, 49]. Действительно, эффективное поле, вызываемое полем оа,
матричный элемент которого определяет вероятность магнитного
у-перехода, имеет вид
V[aa] = 4/1(r)aa + 4/i(r)^^. A0)
Матричный элемент *2/2 и определяет интенсивность /-запрещенных
переходов. В последние годы эти переходы стали объектом при-
пристального изучения [50], их вероятности, вычисленные без учета
я-мезонных степеней свободы и спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия, оказались в десятки раз меньше наблюдаемых. Это противо-
противоречие обсуждается в (IV. 6).
Аналогичным образом' рассчитываются вероятности одноча-
стичных |3-переходов. И в этом случае учет взаимодействия квази-
квазичастиц необычайно важен. В вероятности разрешенных фермиев-
ских |3-переходов взаимодействие между квазичастицами вносит
малый вклад, однако точные его вычисления позволяют надежно
рассчитать значения угла Кабибо [51 ].
В запрещенных переходах учет взаимодействия в десятки и
сотни раз изменяют оболочечные результаты.
Для того чтобы учесть влияние взаимодействия между нукло-
нуклонами, нужно написать уравнение для эффективного поля, дей-
действующего на квазичастицы и возникающего под влиянием пере-
перехода нейтрона в протон и электрон с нейтрино.
Графическое уравнение для матричных элементов перехода
имеет вид
Здесь кружок изображает матричный элемент перехода без
.учета взаимодействия (т. е. по модели оболочек), а треугольник —¦
точный матричный элемент перехода.
Написанное графическое уравнение совпадает с рассмотренным
выше уравнением для эффективного поля. Роль внешнего поля
играет электронно-нейтринное поле с вакуумными константами
векторного Gy и псевдовекторного G°a взаимодействий.

44 I. ВВЕДЕНИЕ
Задача сводится, как известно, к вычислению фермиевского и
гамов-теллеровского матричных элементов. Вероятность распада
пропорциональна величине
Что касается фермиевского матричного элемента
Аи = (Фо,
то он выражается через проекцию полного изотопического момента
системы (тх, ту — изотопические матрицы; сумма берется по всем
частицам). Матричный элемент MF с точностью до кулоновских
поправок не зависит от взаимодействия. Расчет этих поправок
важен для определения угла Кабибо 9, поскольку Gp = Gv cos 9.
Такой расчет методом ТК.ФС был выполнен в [51 ]. Для 9 полу-
получилось хорошее согласие с результатом других методов.
Гамов-теллеровский матричный элемент равен
и может быть связан с выражением, которое возникает при вычис-
вычислении спиновой части магнитного момента или интенсивностей
магнитных переходов
Величина заряда квазичастиц eq в уравнении для поля
{хх±: hy/2) а равна ед — 1—2?s, где ?s —константа, определяю-
определяющая перенормировку гиромагнитного отношения нуклонов в ядре
(см. Ш.З).
Перенормировка аксиальной константы слабого взаимодей-
взаимодействия
G^GVl-2^) A1)
выражается, таким образом, через константу ?s, которая может
быть определена из магнитных моментов. Было найдено, что ?s =
= 0,05 -=-0,01 [38, 41 ]. Величина ?s входит также в перенормировку
константы я1\[-взаимодействия в ядре.
Особенно простой результат получается для зеркальных пере-
переходов, когда состояния Хо и Хг совпадают. В этом случае матрич-
матричный элемент Мат выражается через спиновую часть магнитного
момента материнского или дочернего ядра.
Сейчас имеется уже большое количество расчетов интенсивно-
интенсивностей одночастичных разрешенных и запрещенных у- и Р-переходов,
выполненных методами ТК.ФС [41, 43, 52—54]. В большинстве
случаев получается удовлетворительное согласие в экспериментом.
Можно ожидать, что уточнение эффективного взаимодействия
^" (учет тензорных и спин-орбитальных сил, а также запаздывания)
позволит устранить имеющиеся разногласия.

1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТК.ФС В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ 45
Неколлективные частично-дырочные состояния
В ферми-системах, даже при сильном взаимодействии, остается
ветвь частично-дырочных возбуждений, аналогичных частично-
дырочным возбуждениям в идеальном ферми-газе. Такие возбужде-
возбуждения характеризуются двумя значками Хг и Х2, нумерующими соот-
соответствующие квазичастицу и квазидырку.
Энергии таких состояний всегда мало сдвинуты относительно
величины ч>1,х2 = &х, —&х2 = Щ, даваемой моделью невзаимо-
невзаимодействующих частиц, —это их характерный признак, позволяю-
позволяющий на эксперименте отличить неколлективные состояния от
коллективных, даже если неизвестны вероятности их возбуждения.
При увеличении объема системы сдвиг энергии частично-дырочного
возбуждения Acos = со^ — w^v = cos — соо стремится к нулю.
Этот сдвиг целиком определяется взаимодействием квазичастиц:
Асо5=-(^2|Г'К)|^Л). A2)
где амплитуда Г' есть полная двухчастичная амплитуда взаимо-
взаимодействия квазичастиц, урезанная в том смысле (см. III.4), что
в уравнении для нее (уравнение типа A.2.17)) вычеркнуто состоя-
состояние А,^.
Частоты неколлективных возбуждений, в отличие от коллектив-
коллективных, очень чувствительны к деталям эффективного взаимодействия,
и часто оказываются важны даль недействующие в поперечном
частично-дырочном канале компоненты Г', которые не учитыва-
учитываются в уравнении.
Существуют интересные случаи, когда уравнение для Г'
нужно развивать именно в поперечном канале [55]. Анализ этих
случаев позволяет достаточно надежно определить параметры
амплитуды &".
Особый интерес представляют состояния с аномальной чет-
четностью 0", 1 + , 2", ... Сдвиг энергии этих состояний особенно чув-
чувствителен к параметрам пионного слагаемого амплитуды взаимо-
взаимодействия. Анализ неколлективных состояний аномальной четности
в 208РЬ, произведенный с учетом однопионного обмена [56, 57 ],
позволил найти параметры зависящих от спинов компонент #".
Помимо возбуждений типа частица—дырка возможны и другие
неколлективные возбуждения, в которых участвует большее число
квазичастиц, например, состояние околомагических ядер с тремя-
четырьмя квазичастицами. Теория позволяет рассчитать спектр
этих состояний, вероятности переходов между ними и их стати-
статические моменты.
Коллективные возбуждения
Несколько сложнее нахождение частот и вероятностей частично-
дырочных коллективных и неколлективных переходов. Частоты со,
таких переходов определяются полюсами эффективного поля V (со)

46 I. ВВЕДЕНИЕ
или же полюсами полной амплитуды рассеяния Г = @~ + @~АГ.
Вычеты Г даются однородным уравнением
gs = #M(cos)gs A3)
с условием нормировки
Вероятности переходов выражаются через gs следующей фор-
формулой:
W0s = 2nel(V°A(oh)gsf. A5)
Вероятность переходов может быть также выражена через переход-
переходную плотность р0, (г) = (W* (r) W (r))Os:
WOs = 2n(V°, p0sJ. A6)
Этой же величине пропорционально сечение неупругого рассеяния
в борновском приближении. Фурье-анализ амплитуды неупругого
рассеяния позволил найти переходные плотности р0, (г) для боль-
большого числа состояний. В ТК.ФС pOs (r) выражается через квази-
квазичастичную переходную плотность
Pi, = e<Ags. A7)
Сравнение экспериментальных и теоретических функций pOs (r)
представляет собой одну из самых убедительных проверок ТК.ФС.
Впервые коллективные колебания ядер были рассмотрены
в классической модели жидкой капли в [58, 59]. Оценка частоты
в классической капельной модели дает заниженное значение,
потому что не учитывается дополнительная жесткость, обуслов-
обусловленная изменением энергии квазичастиц при деформации.
Другое коллективное возбуждение ядра, предсказанное в [60]
(Мигдал, 1944) и исследованное экспериментально, это — колеба-
колебания протонов относительно нейтронов — гигантский дипольный
резонанс. Для положения максимума кривой гигантского резо-
резонанса в [60] с помощью правила сумм было получено выражение
где Со = 4,7; eF = p2F;2m.
При учете зависящего от скорости взаимодействия между ква-
квазичастицами это выражение умножается на
/ 1 + У»П \'/«
V 1 + 2hh 1 ¦
Заметим еще, что теория дает замкнутое выражение для диполь-
ного правила сумм при наличии обменных сил (в пренебрежении
тензорным взаимодействием) [61 ]:
I d I (? ?)

1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТКФС В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ 47
Для более детального описания этого явления необходимо
решить на ЭВМ уравнение для эффективного поля A.2.21). По-ви-
По-видимому, для полной картины нужно учитывать, зависимость эффек-
эффективного взаимодействия от энергии. Попытка в этом направлении
предпринята в [62], где для согласования расчетов с эксперимен-
экспериментальными данными вводится зависимость эффективной массы от
энергии возбуждения. Для окончательного выяснения вопроса
необходимо поступить следующим образом: ввести запаздывания и
другие уточнения в эффективное взаимодействие ЗГ\ найти из
условия согласования изменение одночастичного потенциала и
эффективной массы, обусловленное изменением #", и только после
этого решать уравнения для эффективного поля. Эта программа
не так сложна, как кажется с первого взгляда.
В последнее время было обнаружено несколько новых гигант-
гигантских резонансов, например квадрупольный и монопольный.
В 1961 году в работе [63] в сечении (р, п)-реакции был обна-
обнаружен узкий резонанс с энергией, близкой кулоновской энергии
протона. Этот резонанс был впоследствии назван «аналоговым».
Объяснение этого явления было дано в [64—67 ] и состоит в сле-
следующем.
Рассмотрим ядро с достаточно большим избытком нейтронов.
Заменим один из нейтронов протоном. Тогда среди возбужденных
уровней нового ядра будет состояние с изоспином, равным изоспину
исходного ядра. Энергия этого состояния в силу изотопической
инвариантности ядерных взаимодействий будет отличаться от
энергии исходного ядра на разность кулоновских энергий. Вероят-
Вероятность такого перехода пропорциональна (N—Z). В тяжелых
ядрах это состояние оказывается в непрерывном спектре и поэтому
имеет конечную ширину. Количественное определение протонной и
нейтронной ширин аналоговых резонансов методами ТКФС было
дано в работах [68, 69].
Нейтронная ширина аналогового резонанса непосредственно
связана с амплитудой взаимодействия квазичастиц с большим
передаваемым импульсом. Поэтому анализ таких экспериментов
представляет интерес для уточнения констант теории.
Влияние поверхнестных степеней свебоды
на коллективные колебания
В отличие от классической капли, в ядрах частоты объемных и
поверхностных колебаний примерно одинаковы. Оба типа колеба-
колебаний заметно влияют друг на друга, и поэтому разделение на
чисто объемные или чисто поверхностные колебания невозможно.
Для пояснения рассмотрим уравнение для переходной плот-
плотности, отвечающей коллективному возбуждению для 8-образных,
незапаздывающих сил взаимодействия:
Pos (г) *= J А (г, п, со5) ВТ (г,) Ро, (Г!) drv B0)

48 I. ВВЕДЕНИЕ
После отделения угловых переменных оно принимает вид
Pl (г) = \ AL (г, п, Щ) Fl (л) Pl (/-i) Л dru B1)
где AL (rlt rt, ш.) = J 4 (Г!, r2> cos) PL{nu n,) dn\^ . Для I = 1 наи-
наинизшее решение этого уравнения имеет простой смысл. Оно соот-
соответствует сдвигу системы как целого и, следовательно, (иг = О
и Pi (r) = &R dp'dr. В этом случае B1) эквивалентно условию
согласования.
Пропагатор А (гх, г2, со), как можно видеть из A.2.24), состоит
из локальной и дальнодействующей частей. Последняя обязана
вкладу состояний вблизи поверхности Ферми. Если бы
A (ru r2, &)) можно было заменить на б-функцию, то AL не зависе-
зависело бы от L и частота coL равнялась бы нулю, а для pL получилась бы
формула такая же, как в случае несжимаемой жидкой капли pL =
= aLdp/dr. В действительности вклад дальнодействующей части А
в pL интегрально сравним с локальным вкладом, и поэтому в pL
появляется объемная часть, что представляет собой проявление
сжимаемости квантовой системы.
Частоты (aL, благодаря влиянию дальнодействующего слагае-
слагаемого А, оказываются значительно выше частот классических
поверхностных колебаний. По этой причине квадрупольный
гигантский резонанс сдвигается с величины ~ 1 МэВ в тяжелых
ядрах в область com ~ ер/41/".
Переходная плотность, рассчитанная для низколежащих 2+- и
3~-колебаний и других возбуждений нормальной четности, имеет
большой поверхностный пик, что хорошо подтверждается экспе-
экспериментом (см. ниже рис. 8, 9 на стр. 363).
Лагранжиан квазичастиц. Вычисление масс ядер
В большой системе, удерживаемой внутренними силами, суще-
существует простое соотношение, связывающее полную энергию си-
системы с химическим потенциалом. Положим, энергия системы
имеет вид Е = Nf (p). Поскольку система удерживается внутрен-
внутренними силами, давление Р = —(dEldV)N равно нулю. Следова-
Следовательно, fs (р) = 0. Химический потенциал р. == Е (N + 1) —
— Е (N) = f + f'N — f. Таким образом, Е = \iN, т. е. энергия
системы не зависит от спектра одночастичных возбуждений вдали
от поверхности Ферми.
В ядре — системе с относительно небольшим числом частиц —
такого простого соотношения между Е и ц нет, но и в этом случае
масса ядра, как мы покажем в A1.6), определяется свойствами
квазичастиц у поверхности Ферми. Поясним это утверждение.
Энергия связи ядра есть сумма капельной энергии, представ-
представляющей собой гладкую функцию N и Z (формула Вейцзекера), и

1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТКФС В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ 49
нерегулярно изменяющейся с N и Z оболочечной поправки, кото-
которая определяется ходом одночастичных уровней вблизи поверх-
поверхности Ферми. Условие согласования позволяет выразить через
константы ТКФС как объемную, так и поверхностную часть
вейцзекеровской энергии. Причем, для вычисления поверхностной
энергии необходимо учитывать зависящую от энергии часть одно-
частичного потенциала, отсутствующего в подходе Хартри—Фока
с эффективными силами. Следовательно, вычисление масс ядер
лежит в рамках теории конечных ферми-систем. Вспомним, что
в первом издании книги эти задачи считались лежащими за пре-
пределами возможностей теории.
Для вычисления масс конструируется лагранжиан квазичастиц,
дающий вблизи поверхности Ферми уравнение с правильным само-
самосогласованным потенциалом, приводящим к наблюдаемым одно-
частичным энергиям.
Показано, что энергия квазичастиц, найденная из этого лагран-
лагранжиана, с достаточной точностью совпадает с энергией частиц,
т. е. с массой ядра.
Такой подход представляет собой более последовательный
метод вычисления масс ядер, чем метод Хартри—Фока с эффектив-
эффективными силами.
Выясним теперь, как влияет на рассмотренные явления «пион-
ная степень свободы» в ядерном веществе.
Пионная отепень овободы. Неустойчивость пионногс поля
в нукяонной среде
Энергия пиона со как функция импульса k может быть получена
из известного соотношения (ft — с = тя = 1)
ш2 = 1 + k* - 4nPrnN (k) = 1 + Л» + рА (k), B2)
где р — плотность нуклонов, а Г„к (k) — амплитуда рассеяния
пиона на нуклоне на угол нуль, A (k) — амплитуда в «энергети-
«энергетической» нормировке. Первые 2 слагаемых дают энергию свободного
пиона, а 3-е слагаемое представляет собой то эффективное поле,
которое действует на пионы в нуклонной среде. Для простоты мы
опустили изотопические значки. Амплитуда рассеяния А, как для
п+-, так и для лГ-мезонов, имеет знак, соответствующий притяже-
притяжению (Л < 0), и поэтому при достаточной плотности частота может
обратиться в нуль, что означает неустойчивость пионного поля.
Однако A (k) мала при малых k и неустойчивость возникает при
k = &o> которое соответствует минимальному значению величины
№ + рА (k). Условие неустойчивости:
со — 0, или 1 + Щ — —рЛ (k0).
При выполнении условия со2 = 0 для какого-нибудь из 3-х типов
пионов на соответствующем уровне (k = &0) будут накапливаться
пионы данного тцпа,

50 I. ВВЕДЕНИЕ
Соотношение B2) не учитывает возможности возбуждения
нуклонной среды двигающимся пионом — нуклоны рассматрива-
рассматриваются, как внешнее поле («газовое» приближение). Такой подход
дает только грубые черты явления. Для более точного расчета
необходимо учесть частично-дырочные возбуждения нуклонной
среды. При этом энергия пионов как функция импульса записыва-
записывается в виде
со2 = 1 + & + П (k, со), B3)
где величина П (k, со), называемая поляризационным оператором,
содержит, наряду со слагаемыми типа B2), также слагаемое, учи-
учитывающее возможность виртуального образования частиц и дырок
в нуклонном ферми-распределении.
Как показывает теоретический анализ, поляризационный опе-
оператор определяется следующими процессами:
'< 1) 5-рассеяние пионов нуклонами среды; эта часть поляриза-
поляризационного оператора изображается в виде B2);
2) Р-рассеяние пиона на нуклоне с образованием Л%-резонанса
в промежуточном состоянии; это слагаемое поляризационного
оператора также изображается в виде B2). Однако амплитуда
резонансного рассеяния Ац не совпадает с наблюдаемой на опыте,
а должна быть теоретически найдена вне «массовой поверхности»
т. е., когда со2 Ф 1 + &2;
3) Р-рассеяние пиона на нуклоне с одним нуклоном в промежу-
промежуточном состоянии. Эта «полюсная» часть поляризационного опера-
оператора после учета принципа Паули в промежуточном состоянии
оказывается сложной функцией со и /г.
После подстановки этих трех слагаемых соотношение B3)
превращается в трансцедентное уравнение для определения
энергий to (k) для всех возможных возбуждений с квантовыми чис-
числами пиона. Помимо возбуждений, которые можно интерпрети-
интерпретировать как «пионные» возбуждения с энергией, искаженной взаимо-
взаимодействием с нуклонами среды, имеются и другие ветви возбужде-
возбуждений, представляющие собой возбуждения нуклонной материи
с квантовыми числами пиона @", Т = 1).
Наиболее существенны для дальнейшего две ветви решений.
Одна из ветвей соответствует пионным возбуждениям, энергия
которых при выключении яй-взаимодействия переходит в энергию
свободных пионов (со2 = 1 + №). Вторая ветвь при выключении
itN-взаимодействия переходит в коллективное возбуждение
нуклонной среды с квантовыми числами я-мезона, которое может
быть названо спин-изоспин-звуковым возбуждением. Для поясне-
пояснения напомним, что в ферми-системе при отталкивательном взаимо-
взаимодействии частиц с энергией у границы Ферми имеются коллектив-
коллективные возбуждения, которые называются «нулевой» звук и которые
можно интерпретировать как связанные состояния частицы и
дырки. Эти возбуждения могут быть 4-х типов: 1) скалярные —

1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТКФС В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ 51
обычный звук, 2) спиновые, представляющие собой волну спино-
спиновой плотности, 3) изотопические, соответствующие волне изотопи-
изотопического спина, и, наконец, 4) спин-изоспиновые волны, имеющие
квантовые числа пиона (О", Т = 1).
Неустойчивость пионного поля при N = Z проявляется в том,
что при определенной плотности нуклонов частоты спин-изоспино-
вой ветви со*'0 для определенного k = k0 обращаются в нуль.
(Для того чтобы отличать спин-изоспин-звуковую ветвь от пион-
ной, будем снабжать соответствующие величины индексом s.)
Это означает, что при большой плотности в среде образуется пе-
периодическая неоднородность спиновой плотности нуклонов с вол-
волновым вектором k0. Как будет показано в дальнейшем (IV.2),
в конечной системе амплитуда этой волны совершает нулевые
колебания, так что в основном состоянии среднее значение поля
равно нулю и отличны от нуля только средние значения от четных
степеней поля.
Таким образом, неустойчивость пионного поля в среде с N = Z
соответствует переходу через нуль величины cos (k) одновременно
для всех трех типов пионов.
Гораздо сложнее выглядит картина неустойчивости в среде
с Z < N (нейтронная звезда). В этом случае уравнение B3) для
нейтральных пионов сохраняет такой же вид, как и в случае среды
с Z = N, и неустойчивость поля нейтральных пионов ((со"J < 0)
проявляется в образовании стоячей волны спиновой плотности
нуклонов с волновым вектором k0. Неустойчивость возникает при
р ~ р0. Для заряженных пионов, как это и должно быть в случае
уравнений, описывающих релятивистские частицы, при решении
уравнения B3) возникают лишние ветви спектра, которые следует
интерпретировать как взятые со знаком «—» решения для анти-
античастицы.
В результате анализа решений уравнения B3) получаются
следующие результаты. Начиная с некоторой плотности возникает
спин-звуковая ветвь л$ с волновыми векторами k вблизи pF и
cosf < 0, при плотности р > pj си 0,4р0 энергия этой ветви cot <
< —ej?n) (e^n) — граница Ферми нейтронов), что означает неустой-
неустойчивость по отношению к реакции р -*¦ п + л?. Как мы увидим
дальше, при этом возникает «конденсат» я^-мезонов. Или, на
языке нуклонных возбуждений, образуется конденсат частиц,
представляющих собой связанные состояния протона и нейтронной
дырки с энергией связи | cos |.
Для лГ-мезонов спин-звуковая ветвь отсутствует. При дальней-
дальнейшем увеличении плотности при р = р* ~ р0 сумма энергий
со" + со! обращается в нуль, что означает возникновение
неустойчивости по отношению к рождению пар я^я'-ме-
зонов.

52 1. ВЬЁДЕЯИЁ
Модель я-конденсации
Выясним теперь, как происходит перестройка пионного поля,
после того как возникает неустойчивость. Для этого рассмотрения
нам несущественно, в каком поле возникла неустойчивость. Суще-
Существенно только, что частота какой-либо степени свободы проходит
через нуль. Поскольку конденсация состоит в том, что поле срА,
отвечающее этой степени свободы, велико, можно пренебречь
влиянием полей, соответствующих всем другим степеням свободы.
Тогда энергию конденсата можно записать в виде
¦ B4,
При <й2 = 1 + k2, к = 0 B4) переходит в известное выражение для
энергии свободного мезонного поля. Мы ввели феноменологически
эффективное отталкивание между пионами в нуклонной среде
(Я' = Ьф*/4, к > 0).
Взаимодействие между пионами в нуклонной среде складыва-
складывается из их взаимодействия в пустоте и взаимодействия за счет
обмена возбуждениями нуклонной среды. Нахождение этого взаи-
взаимодействия представляет собой сложную задачу, которой посвя-
посвящена отдельная глава. Вблизи точки перехода, когда поле ср*
не очень велико, в предположении, что конденсатное поле харак-
теризуется одним волновым вектором k, реальное яя-взаимодей-
ствие имеет вид, принятый в B4), с константой Я,, зависящей от
параметров NN-взаимодействия (К ~ 1—10).
Вблизи точки неустойчивости частота рассматриваемой степени
свободы может быть записана в виде
«а =я (Ре — р), т) >0.
Величина ц просто связана с поляризационным оператором. При
р > рс, когда со2 < 0, возникает статическое конденсатное поле,
которое можно получить, минимизируя B4) по ер2. Используя
B3), получим
<«pf> <ррЛ
Плотность энергии конденсата <ВЛ найдется подстановкой B5)
в B4):
*> w4 _ Р(Р —Рс)а
Заметим, что именно по такой схеме строилась теория фазовых
переходов второго рода Ландау, в которой свободная энергия
разлагалась в ряд по степеням параметра «порядка». Фазовому
переходу соответствовало обращение в нуль коэффициента при
линейном члене. В нашем случае величина ер2 играет роль пара-
параметра «порядка», а Я — роль свободной энергии. Поскольку

1.3. применение ткфс в ядерной физике 53
параметр порядка ер2 вырастает от нулевого значения, мы имеем
дело с фазовым переходом второго рода.
Внесем уточнения в простую модель конденсации, рассмотрен-
рассмотренную выше. Как известно, учет возрастающей роли флуктуации
вблизи критической точки вносит существенные изменения в про-
простую теорию фазовых переходов Ландау. Аналогично этому вблизи
точки л-конденсации существенное влияние на константу яя-
взаимодействия оказывает обмен «мягкими» возбуждениями, ча-
частота которых обращается в нуль в критической точке.
Оказывается, что вблизи точки перехода при р < рс константа
Я- изменяет знак. При этом должны быть учтены следующие члены
разложения энергии яя-взаимодействия по степеням поля ф. Как
нетрудно видеть, в точке перехода возникает конечное поле ф.
Таким образом, происходит фазовый переход не второго, а первого
рода. Однако в результате накопления численных множителей
скачок в величине поля ф2 оказывается малым, и формулы, полу-
полученные в предположении фазового перехода второго рода, искажа-
искажаются только в непосредственной близости к критической точке.
Поэтому для оценок можно пользоваться соотношениями B4)
и B6), забывая об этом уточнении.
Полная плотность энергии может быть записана в виде
*Ы(Р) + *Я(Р)- B7)
Согласно B6), при р = рс происходит скачок сжимаемости (скачок
d^ff/dp2). Если этот скачок превысит по модулю сжимаемость
ядерного вещества до конденсации, то после конденсации сжимае-
сжимаемость окажется отрицательной, и система будет сжиматься, пока
не перейдет в более плотное устойчивое состояние. При дальнейшем
увеличении плотности начинает играть все большую роль отталки-
отталкивание между нуклонами на малых расстояниях, и, кроме того,
когда пионное поле делается достаточно большим, рост конденсат-
ной энергии замедляется, в результате чего знак сжимаемости
восстановится.
Таким- образом, при некоторой плотности р = pmln может
возникнуть минимум на кривой зависимости & (р), что соответ-
соответствует сверхплотному состоянию ядерного вещества.
Вовможнооть существования сверхплотных нейтронных
и сверхзаряженных ядер
Помимо сверхплотных ядер с N ~ Z не исключена возможность
возникновения сверхплотных нейтронных и сверхзаряженных
ядер. Рассмотрим сначала возможность существования сверхплот-
сверхплотных нейтронных ядер. Как мы видели, на кривой & (р) при р ~
~ C—5) ро может возникнуть минимум, что означало бы существо-
существование сверхплотного состояния ядерного вещества. Для того чтобы
ядро с такой плотностью нуклонов было устойчиво, необходимо,

54 I. ВВЕДЕНИЕ
чтобы его энергия была меньше суммы энергий свободных нукло-
нуклонов.
Как показывают расчеты, устойчивому состоянию соответ-
соответствуют разумные значения констант NN- и я1Ч-взаимодействий, но
вместе с тем никакого определенного заключения о существовании
такого устойчивого состояния нельзя сделать, поскольку энергия
ядра представляет собой малую разность двух больших чисел:
нуклонной энергии и конденсатной. Для определенного заключе-
заключения требуются либо прямые опыты по поискам таких аномальных
ядер, либо эксперименты, уточняющие константы, введенные
в теорию.
Расчеты показывают, что сверхплотные ядра с N ~ Z должны
были бы иметь большую энергию связи, чем ядро с Z <^ N. Поэтому
нейтронные ядра должны в результате каскада Р-распадов пере-
переходить в ядра с N ~ Z. Энергия р-электронов в начале каскада
порядка 100 -i-200 МэВ, что соответствует времени жизни 1(Пв -s-
н-1СГ8 с.
При некоторых предположениях о константах могут полу-
получиться «нейтронные» ядра, устойчивые относительно Р-распада и
деления, с Z <^ N при N > 103 ч-105. Такие ядра могли бы наблю-
наблюдаться в космических лучах в виде больших фрагментов.
Когда кулоновская потенциальная яма глубже, чем тлс2,
делается возможной я-конденсация в электрическом поле ядра. Это
явление могло бы происходить в сверхзаряженных ядрах с зарядом
Ze3 > 1, что соответствует Z > 1600. Если выигрыш энергии от
конденсации превышает потерю энергии от кулоновского отталки-
отталкивания, то такие ядра могли бы оказаться устойчивыми. Вопрос об
устойчивости таких ядер с учетом экранировки кулоновского поля
вакуумными электронами и лг-мезонами рассматривается в (IV.8).
Показано, что электрическая конденсация не приводит к устойчи-
устойчивому состоянию. Однако учет нуклонного поля может, по-види-
по-видимому, привести к стабильности ядер с обычной плотностью и
с зарядом Z ;> 1600.
Схема последовательной теории ядерного вещеотва
Движение пионов в ядерном веществе, как мы видели, сильно
искажается взаимодействием с нуклонами. Как было показано
в [13, 14], это искажение не учитывается в обычном подходе к
теории ядерного вещества. Этот подход основан на предположении,
что ядро можно рассматривать как газ нуклонов с парным взаимо-
взаимодействием, полученным из анализа нуклон-нуклонного рассеяния
в вакууме. Между тем часть вакуумного нуклон-нуклонного взаи-
взаимодействия, соответствующая графикам однопионного обмена,
искажена за счет изменения пионного пропагатора в среде. При
N ~ Z, когда можно пренебрегать s-волновым и nN-рассеянием,
существенно искажение пионного пропагатора за счет резонанс-
резонансного я1Ч-рассеяния.

1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТКФС В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ 55
Действительно, графики вида
описывающие распад пиона на частицу и дырку, учитываются
в обычном подходе, поскольку эти графики соответствуют взаимо-
взаимодействию двух выделенных нуклонов за счет виртуального воз-
возбуждения нуклона ферми-заполнения. Однако все графики,
содержащие пионные линии, исправленные 1Ч*-резонансом, совер-
совершенно теряются в обычных методах расчета ядерного вещества.
Правильная теория ядерного вещества должна была бы стро-
строиться по следующей схеме. Из парного пустотного взаимодействия
следует вычесть график однопионного обмена. Оставшаяся часть
взаимодействия включается в гамильтониан в качестве парного
NN-взаимодействия. Наряду с этим взаимодействием, в гамиль-
гамильтониан системы добавляется я1Ч-взаимодействие с вакуумной
константой / (см. аргументацию на стр. 19). Кроме того, добавля-
добавляется гамильтониан п ионного поля, содержащий вакуумное
яя-взаимодействие. Разумеется, такая задача о взаимодействую-
взаимодействующих нуклонных и пионных полях не может быть точно решена.
Учитывая соображения о равенстве локальных величин в среде их
вакуумным значениям, можно существенно упростить постановку
вопроса и разработать последовательную теорию, пригодную
вплоть до достаточно больших плотностей.
Все графики NN-взаимодействия, кроме графика однопионного
обмена, считаются 6-образными и сводятся к константам, которые
могут быть найдены из пустотного взаимодействия после вычита-
вычитания из него графика однопионного обмена. К полученному таким
образом б-образному взаимодействию добавляется график обмена
одним пионом, но с учетом искажения пропагатора пиона в среде.
В качестве первой задачи следует выразить спин-спиновое
NN-взаимодействие в ядерном веществе через его вакуумное зна-
значение и через взаимодействие, соответствующее обмену одним ис-
искаженным пионом. Качественно ситуация сформулирована в
обзоре М. Рб: «Ядро представляет собой не газ нуклонов, а пион-
ный суп» [70].
Для того чтобы убедиться, что речь идет не о малых поправках,
а о существенном изменении теории ядерного вещества, приведем
вытекающее из формул для поляризационного оператора выраже-
выражение для пионной энергии при малых k и со в ядерном веществе:
Ш2 = а _|_ bk2 _|_ СAд B8)
¦ а= 1 + 0,35-5-, Ь^ 1 — 0,4-^-, с-.=—0,2-5-.
Ро Ро Ро

56 I. ВВЕДЕНИЕ
Это соответствует пропагатору D = 1/[A — с) со2 — (а + bk2)].
Обмен таким «пионом» на расстояниях г > 1 приведет к взаимодей-
взаимодействию между нуклонами, которое сильно отличается от пустотного.
Рассматривая упругое рассеяние двух нуклонов
Р'~9
соответствующее обмену одним «пионом» с q = @, k < 1), и пере-
переходя в координатное представление, нетрудно получить
V (Г1 - Г,) = 4" Р () <^ 7 " '
Это выражение отличается от вакуумного множителем и ~ 1,5
в показателе экспоненты и множителем 1/?> ~ 1,7 перед всем
выражением.
Развитие ТКФС и сравнение с другими подходами
За десятилетия, прошедшие после опубликования работ по
ТКФС, появилось много статей советских и иностранных авторов,
развивающих теорию.
Прежде всего был снят запрет на рассмотрение явлений с боль-
большими передаваемыми импульсами k > ph.
Для этого пришлось ввести в амплитуду дополнительные
слагаемые, описывающие рассеяние квазичастиц на большие углы.
Наиболее существенное из них — это взаимодействие за счет одно-
пионного обмена. Оказалось, что основные константы этого взаимо-
взаимодействия в ядре либо мало отличаются от пустотных, либо вычисля-
вычисляются методами ТКФС (А. Б. Мигдал, 1972) [11].
Теория получила большой толчок, после того как была дока-
доказана важная роль поверхностных степеней свободы ядра
(В. А. Ходель, 1972) [171. Для количественного рассмотрения
влияния этих степеней свободы понадобилось сформулировать
уравнения теории в координатном представлении. Основное пред-
предсказание теории о резком максимуме плотности перехода вблизи
поверхности ядра подтвердилось экспериментально (Rothhaas
и др., 1974) [18], (Алхазов и др., 1975) [19].
В приближении случайных фаз было обнаружено, что в ядре
существуют ограничения на константы взаимодействия, вытекаю-
вытекающие из обращения в нуль частоты первого дипольного колебания
системы (Брениг, Микешка, 1969) [230]. Независимо методом
ТКФС было доказано, что в системах, удерживаемых в равновесии
внутренними силами, существует строгая связь между одночастич-
ным потенциалом и взаимодействием квазичастиц («условие согла-
согласования», Ходель, Фаянс, 1973) [22],

1.3. ПРИМЕНЕНИЕ ТКФС В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ 5?
Условие согласования чрезвычайно расширило возможности
ТКФС. Параметры потенциальной ямы перестали быть дополни-
дополнительными константами теории — они определились через пара-
параметры взаимодействия. Это позволило рассчитать химические
потенциалы нуклонов и константы массовой формулы Вейцзекера
(Саперштейн, Ходель, 1977) [23]. Таким образом, современная
ТКФС в состоянии количественно рассчитать все явления низко-
низкоэнергетической ядерной физики средних и тяжелых ядер.
Что касается легких ядер, то для расчета их свойств был
предложен ряд количественных методов: метод Фаддеева, метод
ТС-гармоник и т. д.
Эти методы практически применимы для систем из 3—4 нукло-
нуклонов. Анализ этих подходов выходит за рамки книги.
Параллельно с развитием ТКФС и во многом под ее влиянием
видоизменялся и совершенствовался хартри-фоковский подход.
В первоначальном виде, в методе Хартри—Фока, разработанном
для атомных расчетов, использовались пустотные силы взаимодей-
взаимодействия. В применении к ядру такое приближение не годится.
Следующий шаг состоял в использовании идеи теории ферми-
жидкости об эффективном взаимодействии (Vautherin, Brink,
1972) [84]. Однако логическая стройность и обоснованность
первоначального подхода при этом исчезла.
Этим методом впервые удалось рассчитать энергии связи и
радиусы ядер. Значения, близкие к эксперименту, получаются при
использовании принятой в ТКФС зависимости сил от плотности.
Отклик системы на внешнее поле находится в этом подходе
с помощью приближения хаотических фаз. Получающиеся уравне-
уравнения представляют собой приближенную форму строгих уравнений
ТКФС. В методе Хартри—Фока, как и в приближении хаоти-
хаотических фаз, пренебрегается запаздыванием взаимодействия между
квазичастицами. Этот недостаток хартри-фоковского подхода
приводит к ошибкам, которые частично компенсируются подбором
констант. Однако не удается объяснить все явления е помощью
единых констант.
В последнее время точность экспериментов так сильно воз-
возросла, что описать их могут только точные уравнения.
Если удастся ввести запаздывание, однопионный обмен и т. д.
в хартри-фоковский подход, то оба метода сольются. Такой «метод
Хартри—Фока» можно будет называть «теорией конечных ферми-
систем».

И. ИЗУЧЕНИЕ ФЁРМИ-СИСТЁМ
МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
11.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
В начале этой главы определяются функции Грина прежде всего для
простейших случаев свободной частицы, частицы в поле и двух взаимо-
взаимодействующих частиц. Показано, что теории возмущений в терминах функ-
функций Грина выглядит проще, чем в форме уравнения Шредингера. Резуль-
Результаты записываются в виде рисунков, которые легко расшифровываются
(графики Фейнмана).
Таким образом, на этих примерах вводятся простейшие графики, ко-
которые возникают как условная запись аналитических результатов. На
этих же примерах делается переход от координатного представления к им-
импульсному, вводится амплитуда рассеяния, дается графический вывод
уравнения для амплитуды рассеяния и находится вид двухчастичной функ-
функции Грина для связанных состояний двух частиц.
Затем вводится М-частнчная функция Грина в системе N частиц, ко-
которая позволяет находить волновую функцию системы в произвольный мо-
момент времени через ее начальное значение. Из условия унитарности нахо-
находятся соотношения для матричных элементов этой функции, которые будут
затем использованы при изучении аналитических свойств функций Грина.
Далее определяются величины, с которыми больше всего придется
иметь дело в дальнейшем — одиочастичная и двухчастичная функции
Грина в системе N частиц. Эти функции представляют собой частный
случай n-частичиой функции Грина (п ^ N), когда начальное и конечное
состояния представляют одну (две) частицу, добавленную к системе из N
частиц, и дают возможность описать поведение одной (двух) частицы, до-
добавленной к системе.
Одночастичная и двухчастичная функции Грина позволяют находить
средние значения различных физических величин и вероятности пере-
переходов.
Получена система уравнений,, связывающих между собой одночастич.
ную, двухчастичную и т. д. функции Грина.
С помощью этой системы уравнений показано, что «-частичная функ-
функция Грина в системе нз N частиц изображается в виде суммы рисунков
(графиков Фейнмана), которые расшифровываются так же, как в разоб-
разобранных сначала простых примерах.
Для читателей, знакомых с обычным способом введения графиков
(с теоремой Вика), заметим, что при таком подходе не возникают несвязан-
несвязанные графики и, кроме того, этот подход годится и в том случае, когда при

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 59
включении взаимодействия основное состояние перестраивается (например,
при куперовском спаривании). Между тем в этом случае при обычном
подходе приходится искусственно усложнять задачу (вводить связанные
состояния частиц).
Кроме того, приведенный ниже способ введения графиков горится не
только для основного, но и для возбужденных состояний системы, а также
для недиагональных матричных элементов от произведений ^-операторов.
Наконец, в последнем разделе приводится разложение функций Грииа
по степеням взаимодействия, при котором вводятся точные одночастичные
функции Грина. Там же получено уравнение, связывающее одночастич-
ную функцию Грина с амплитудой рассеяния (уравнение Дайсона), кото-
которое в дальнейшем будет широко использовано.
На этом исчерпываются сведения о графическом методе нахождения
функций Грина, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Все соотношения (с точностью до знаков отдельных членов) применимы
и к бозе-системам. Однако формулы (если не делается оговорок) написаны
для ферми-систем, поскольку приложения к бозе-системам в этой книге не
рассматриваются.
По той же причине не приводится графическое описание температур-
температурных функций Грина, которые не понадобятся в дальнейшем.
Функция Грина одной чаотицы
Уравнение Шредингера
.."-ЯФ-0
может быть записано в интегральной форме с помощью функции
Грина Go:
( )
t>t'
ф&г -ьо,о = ФоA, О; A)
| — совокупность переменных, описывающих состояние частицы,
например координата г и спиновая переменная s; в этом случае
интеграл по d% означает суммирование по s и интегрирование по г.
Так как в это уравнение входит Go только для t > f, то можно
положить
G0 = 0.
t<r
Соотношение A) вместе с этим условием можно взять за определе-
определение функции Грина Go.
.Часто оказывается более удобным вместо уравнения Шредин-
Шредингера решать уравнение для функции Грина Go, которое мы сейчас
получим, и затем находить волновую функцию из интегрального
выражения A).
Для того чтобы функция Ф, даваемая выражением A), удовлет-
удовлетворяла уравнению Шредингера, потребуем, чтобы для t > t'

60 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
функция Go по переменным ?, t также подчинялась уравнению
Шредингера
i
При t = f + 0 равенство A) должно давать Ф (?, f + 0, f) =
= Фо (Si О- Поэтому при t -*¦ f + 0 потребуем, чтобы Go удовлет-
удовлетворяла начальному условию
Go (I, f + 0; I', Г) = -ib {I - ?').
(Под б (? — g') следует понимать, например, б (г — г') 6SS'.)
Оба эти требования выполняются, если записать уравнение
для Go в виде
(i -А - Я) Со (|, <; ?', f) = б (| - I') б (f - Г). B)
Действительно, интегрируя это уравнение по бесконечно малому
интервалу t, включающему f, и пользуясь тем, что Go = 0 для
t < г, получаем правильное начальное условие дляО0. Уравнение
B) могло бы быть взято за определение Go (обычное определение
функции Грина в теории линейных дифференциальных уравнений).
Следует отметить, что функция iG0 (г) представляет собой запись
Г f 1 при т>0]
оператора S =е-'Нтв(т), в (г) = j ^ с\\ в координат-
координатном представлении. Действительно, интегральное соотношение A)
можно записать в виде
Ф = ЯФо, (Г)
где оператор S удовлетворяет уравнению, аналогичному B):
i 3S—HS = П. B')
Ниже мы вернемся к этому выражению и будем определять свой-
свойства функции Грина по свойствам оператора S.
Предположим теперь, что гамильтониан Н не зависит явно от
времени (зависящую от времени часть гамильтониана мы будем
в дальнейшем рассматривать как внешнее поле).
Тогда можно ввести систему собственных функций фх:
и перейти в уравнении B) для Go к энергетическому представлению.
Определим Go в энергетическом представлении соотношением
Gxvtf, Г) = \G0(l, t; I', П
Уравнение B) для Go принимает вид

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 61
АН
Так как -^- = 0, то Go не должна зависеть от начала отсчета
времени и поэтому Go — функция только от т = t — f. Обозначим
фурье-образ Go по т через 6м/ (е):
Уравнение для Ом» переходит в
(е - е*,) G%v (г) = 6ЛГ.
Выберем решение этого неоднородного уравнения так, чтобы
G (т) обращалась в нуль для отрицательных т. Тогда выражение
о
может иметь особенности только в нижней полуплоскости е, и
поэтому решение уравнения для G\%' (e) надо взять в виде
где v ->¦ + 0.
Функция Грина частицы во внешнем поле
Во внешнем поле, когда к гамильтониану Н добавляется
зависящий от времени оператор V E, t), функция Грина G удовлет-
удовлетворяет уравнению
Запишем это уравнение в операторном виде
G5S-VO=I,
где G^1 определяется соотношением
Умножая уравнение для G слева на Go, получим в операторной
форме:
G = G0+G0VG, C)
или в аналитическом виде:
G(|, t;l',f) =
^Gfl(I, t; Г, t') + JGOA, t; %x, t^VH,, tJGfo, tx; %', t'

62 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
В дальнейшем произведение операторов понимается в этом же
смысле.
Операторное уравнение для G позволяет легко находить любой
порядок теории возмущений по V.
В первом порядке имеем
8A) = G0VG0,
во втором порядке теории возмущений находим
G<2' = G0VG0VG0
и так далее.
Ряд теории возмущений можно иллюстрировать графически,
сопоставляя операторам Go сплошные линии, а оператору внешнего
поля V точку с пунктиром
I
i
Тогда первые два члена ряда теории возмущений графически
изобразятся так:
i
i
i i
i i
Функция Грина в поле (Г изображается в виде
i
i
где жирная линия означает
I i I
i i I
— сумму всех порядков теории возмущений.
Последовательность элементов в графиках совпадает с после-
последовательностью операторов в операторных произведениях.
Аналитический вид выражений для G и для членов ряда теории
возмущений заметно упрощается, если перейти к энергетическому

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 63
представлению по |, |' и к компонентам Фурье по t, f. В таком
представлении для величины Gw (е, е')
Gu-(e, e')= JG(|, I; I', t')^{l)qb{i')e^*'f dld\'dtdt
получаем вместо операторного уравнения C)
Gxx- (e, е') -
= 2лЙ,гСх (е) б (е - г') + Gk (г) J V%u (е - е,) GXlV (e,, е') ^-.
По повторяющимся значкам ^ предполагается суммирование,
К (со) — компонента Фурье функции V (?, /):
Выражения для G в первом и втором порядке теории возмущений,
изображаемые операторными формулами или графическими выра-
выражениями, расшифровываются следующим образом:
ОД- (е, г') = Gx (е) Ухя- (е - e')Gr (e'),
G^ (е, е') - Gx (e) j VUl (e - еа) GXl (8l) Vuv (et - г') Gv (e') ^J-.
Итак, правило расшифровки графиков или операторных формул
в энергетическом представлении следующее: наружным концам
соответствуют функции Gx (e) с входными и выходными индексами;
по значкам ^ внутренних линий нужно суммировать, а по значе-
значениям гг интегрировать с весом 1/2п.
В дальнейшем мы убедимся, что это правило сохраняется и
в более сложных случаях.
Функция Грина для двух взаимодействующих частиц
Для расшифровки графиков (или операторных формул), изобра-
изображающих взаимодействие между частицами, сравним аналитическое
и графическое изображение взаимодействия в системе, состоящей
из двух частиц.
Прежде всего определим функцию Грина для двух частиц,
аналогично случаю одной частицы, как ядро интегрального
оператора, дающего Ф (t) по значениям Фх (^):
• Ф(Еь h. U П = - J )
Для упрощения дальнейших выражений это определение отлича-
отличается множителем i от определения функции Грина для одной
частицы. Для t > I' К должно, как и Ф, удовлетворять (по пере-
переменным ?ь ?а, f) уравнению Шредингера, а при t = f + 0 давать

64 11. Изучение <t>Ef>MH-cHcfEM методом функций гринА
начальную функцию Фа. Поэтому аналогично одночастичной функ-
функции Грина для К имеем уравнение
(» ±-Н,-Н2- Vi2)K = - Й (|, - й) S Fа - 6а) в (t - Г),
Kt^t'+o = - в F1 - 61) в F2 - 6а). D)
В нулевом приближении по взаимодействию Vn получаем
Решение этого уравнения выражается через одно частичные
функции Грина
tfo = GoFi, f; Ei, i')G0(h, t; 6a, О-
Действительно, при t > t' такое решение удовлетворяет уравнению
Шредингера, а при t -*¦ f + О получается правильное начальное
условие для Ко-
Это выражение для Ко справедливо и в случае тождественных
частиц. Правильная симметрия .функции Ф достигается тем, что
функция Фа предполагается имеющей правильную симметрию
<Di Fi, У = ±Ф2 Ft, Е0-
Знак «-г» соответствует целому спину частиц, знак «—» полу-
полуцелому. Так как выражение для К не меняется при одновременной
замене |х +± |2, 1[ ч* %'2 (это сразу видно из уравнения для К), то
из симметрии Фх вытекает такая же симметрия Ф. Однако для более
простой графической интерпретации формул в случае тождествен-
тождественных частиц удобно ввести симметризованную функцию Грина,
а именно
Величина Ks связана с несимметризованным выражением форму-
формулой
*.Fi, 6a,*;6i, 1ъ Г)-=КAи 6а, f; 6i, К, П±^СAь Еа. t; E5, Еь <')
причем симметризация по выходным значкам дает автоматически и
правильную симметрию Ks по входным значкам.
Симметризованная функция Грина в нулевом приближении
KOs запишется в виде
*о. = 00(Еь *' %' 0°o(E2, t; Ea, O±G0(Ei, t; 6а, П°ь(Еа. f; li, Г).
Будем изображать Л'о графически:

II.I. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ MKTUM 00
Для тождественных частиц симметризованную функцию Kos
можно изобразить так:
— /С
Для того чтобы находить поправки любого порядка по Vi%,
удобно, как и в случае внешнего поля, записать уравнение D)
для К в операторном виде
Умножим это уравнение слева на iK0, тогда
К = Ко + iKoVuK. E)
В аналитической форме второе слагаемое этого уравнения имеет
вид
J К0(Ъи h, t; T)i, %, ^i)iVi2(Tlb r\2)K(r\u Чъ h; l\, 1ъ t^d^dr^dtx.
Мы записали взаимодействие между частицами в виде V^ (%, ч\г);
если взаимодействие не зависит от спиновых переменных, то
Vn (tii, %) =V(r1 — г2).
Можно упростить аналитическую запись дальнейших формул,
если обобщить выражения для /Со и /С. Обе одночастичные функции
Грина в Ко брались с одинаковыми t и ?. Мы откажемся от этого
ограничения и будем писать, например, вместо прежнего выраже-
выражения для Ко
K0(h, h, h, к, Ни ti, &, t'i) = Ко(хи х2; х[, х2) = G0(xu x[)G0(x2, x'2),
где х = (I, t).
Соответственно обобщается и выражение для К- Разумеется,
в интегральном выражении для Ф по-прежнему должно стоять К.
при ti = U и t[ = t'2.
Для того чтобы уравнение E) оставалось верным и при новом
определении К, введем вместо V величину V (хи х2; х3, лг4), которую
мы сейчас найдем для незапаздывающего взаимодействия между
частицами V (гх — г2). Второе слагаемое в уравнении E) в обоб-
обобщенных Ко и К имеет вид
i \ Ко(х\, х2; |8. ^з, 14, (з)У(Гз — г$К(Ъз, h, li, tz, x[, x^dl^dl^dtz.
Если записать это же выражение с помощью W, то
К — Ко = i j Ко (*i, x2; xs, xt) x
X V (х3, Xi; хв, х6) К (х5, х6; х[, х'2) dx3 dxi dx5 dx6.
3 А. Б. Мигдал

66
II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Сравнивая эти две формулы, находим связь между оператором °V и
потенциалом взаимодействия V:
V {хъ х2; х3, xt) =
— г2) б (xt — х3) S (х2
t2).
Поправки 1-го и 2-го порядка теории возмущений по °V запи-
запишутся так:
= GoGoi<VGoGo,
= GoGoi<VGoGoiVGoGo.
Нужно заметить, что в этих выражениях Go не умножаются друг
на друга в операторном смысле. Например, выражение КA>
в аналитической форме равно
ь х2\ х[, 4) = tJ G0(xu лг3)Go(лг2, x4)<V(x3, x4; x5, х6) X
х G0(x5, x[)G0(x6, X2)dx3dx4dx5dx6.
Формулы для /СA> и Кт можно изобразить графически. Вспоминая
график для Ко, получаем
к®=
Здесь мы обозначили
т
1..
Можно записать графически и операторное уравнение для К
К=
Для тождественных частиц, введя Ks, получим в операторном виде
Ks = KOs + iGoGoVKs, F)
или графически
Ж
ш

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 67
Так же как и в случае одной частицы, функция Грина К пред-
представляет собой запись в виде интегрального оператора выражения
Амплитуда рассеяния. Импульсное представление
Мы введем величину, которую будем называть амплитудой
рассеяния. Эта величина в импульсном представлении с точностью
до нормировки совпадает с амплитудой рассеяния частиц.
Введем амплитуду рассеяния Г по формуле
/C=/Ce-r-*oir/fo. G)
Сравнивая это выражение с уравнением для К, сразу же на-
находим операторное уравнение для Г
К-Ко = iKoTKo = iK0V (Ко + KoWKo) (8)
или
Г = <V + iVK0T,
которое в графическом виде запишется так:
гТ. =
(8')
Короткие концы на графике для Г подчеркивают тот факт, что
выходные и входные линии не включены в определение Г.
Для тождественных частиц мы введем симметризов энную
величину Г5
Ks = KOs + GoGoiTsGoGo-
Из уравнения F) для Ks получаем
G0G0T5G0G0 = GOGOVKS = GoGoVKOs + iG0G0VG0G0TsG0G0.
Используя связь /Cos с G0G0:
Kos = G0G0 ± G0G0,
находим
T, = <V±&+i<irGfijrt, (9)
где <V" означает °17 с переставленными выходными концами.
Чтобы установить, как связана величина Г с амплитудой рас-
рассеяния, перейдем к импульсному представлению.
Функция фь в этом случае равна
%а — спиновая функция.
\ Выражение для функции Грина в импульсном представлении
найдется из полученной ранее формулы
GhV (е) - ^

68 II- ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
заменой
т. е.
яKб (р - р) = Gp (е) 6аЭBяK8(р - р),
о Ср -у » г
где гр = -|^-.
Для сокращения записи будем пользоваться обозначением
Gp (г) = Go (p),
где р обозначает 4-вектор
Р = (р, е).
Величина ^ в импульсном представлении легко находится из
выражения для V в координатном представлении
= j у (Га _ Гг) б (^а - t2) е1 (р.-р.) *.+' (Pi-p.) ** rfx! dr, =
= BяIв(Л + Л-Л-Л)УDг),
где
V(q) = \ V{r)e-t*'dr, q = p3-p1 = p2-Pt.
Если представить график для Г в виде ряда теории возмущений
'г= 1 +|! + И! + (8")
то из выражения для V видно, что во всех членах сохраняется
сумма 4-импульсов обеих частиц.
Естественно выделить б-функцию из выражения для °V в виде
общего множителя
Г = BлL 8 (/?! + р% — ръ — р4) F (/ja, p2; /jx + g-, /?2 ¦— Ч),
где ^ — передаваемый в процессе рассеяния 4-импульс. Для
величины F получается уравнение
q,Pt-q) = V(д) + i\vШGo(Pi + <7i)Go(p*-qj x
+ q p q\ p + qp- Ф-щг

и.1. функции грина и графический метод оа
Обозначим четвертые компоненты входных и выходных 4-векторов,
от которых зависит F, следующим образом:
ех = Е/2 — е, е2 = Е/2 + е,
е; = Е/2~г', г'2 = Е/2 + г'.
Видно, что F не зависит от е и е'; действительно, заменяя перемен-
переменную интегрирования щ (четвертая компонента qt) на coj + e.
убеждаемся, что F не зависит от е, и так как F, как это видно из
графика (8"), симметрично по входным и выходным концам, то F
не зависит и от е'. Это обстоятельство является следствием того,
что мы предположили незапаздывающее взаимодействие между
частицами (V (q) не зависит от четвертой компоненты q), Интегри-
Интегрирование в правой части уравнения для F по <»а сводится к вычисле-
вычислению простого интеграла от произведения двух функций Грина
Используя выражение для Go (р) и сдвигая контур интегрирования
в комплексную плоскость, находим
Г
) Е/2 +
/
r\- Epi+qi + iy' Е/2 - т) - ep;_gi + iy 2ni
.. + '¦?
Величина Е и суммарный импульс g:
— входят в уравнение для F в качестве параметров, которые
можно выбирать по желанию. Возьмем четвертые компоненты
входных концов при значениях, равных энергии частиц с данным
импульсом:
si = ерь е2 = ер,, Е — ePt + еРг
(по терминологии теории дисперсионных соотношений — «входные
концы на массовой поверхности»). При g — О (система центра
инерции), подставляя выражение / в уравнение для F, найдем
dpi
W
т т
Мы получили известное уравнение для амплитуды рассеяния,
что подтверждает правильность нашей расшифровки графиков.
Уравнение для F мы могли бы получить и сразу, собирая графики
(8") в импульсном представлении.

70 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Заметим, что можно при этом собирать графики (8") в блок F
и так, чтобы блок F оказался слева от V:
"I
Такое собирание графиков приведет нас к формуле
F = V + iFG0G0V,
которая после расшифровки дает
|3 '
т т
Для тождественных частиц из выражения для симметризован-
ного четырехполюсника Fs мы получили бы известный результат
Здесь F — амплитуда с переставленными выходными концами
(для бесспиновых частиц F = F (п — 8)).
Как и везде выше, знак «+» соответствует бозе-, а знак «—»
ферми-частицам.
Связанные сестояния
Функцию Грина К (хъ хг; х[, х'2) для одинаковых времен
tx — t2 = t, t[ = t's = t' можно изобразить в виде суммы по соб-
собственным состояниям системы
(Н, + Я2 + У12) Ф8 = Е,Ф$.
Так как при т =t —1>0 К удовлетворяет уравнению Шредин-
гера, то
K(li, h, t\ lu 5a. О = SC.fe', 6а)Ф.Aь h)e-iE*\
s
При т = +0
/Cx—w «(li — El)«(Ea — Ю-
Умножая выражение для К на Ф8* (llt %2) и интегрируя, получим
-Kilt, U II, й; т)= S Ф,&, ЫФГШ. 5а)в-'?'т.
Перейдем к фурье-представлению по т:
U \u U, Е) =
A1)

11.i. ФУНКЦИИ ГРИНА Й ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ?1
Если среди состояний s присутствуют связанные состояния, то
каждому такому s соответствует полюс функции К (li, ?2l E) при
вещественном Е, равном энергии связанного состояния.
Вычет в полюсе Е = Es равен
Ф.Йь Ь)Ф.*(К. й)
и, следовательно, выражается через функцию связанного состоя-
состояния. Так как Ко не имеет полюса при Е — Es, где Es — энергия
связанного состояния, то полюс К означает полюс у Г. Из выра-
выражения G), связывающего /С с Г, легко найти соотношение между
вычетами Г и К- Для функции К (хг, х2; х\, х'2) с отличающимися
временами можно написать выражение
НС № '% т ¦ %' %' т' F\ \^ ^s (Sf 1з> xi> Si- ?2> Ti) /io\
4\ lei> S2, Ti, fei, §2, т^ь Щ = 2ц E — Es f t"v ' " '
h, Ti; li, li, x'u t — t')t<f = 0.
Здесь мы обозначили
t\—U = Ti, t\ — t'2 = r[,
ti + ta = 2t, t\ + t'2 = 2t'
и перешли по / — t' к фурье-представлению (Е). Это выражение
при хг = Tj = 0 должно переходить в полученную раньше фор-
формулу A1).
Вычет в полюсе 2f6s Цъ |а, тх; \\, 1'2, т[) для связанного состоя-
состояния можно, как и в случае тх = х[ = 0, записать в мультиплика-
мультипликативной форме
ж* = % Aи i2, n) ti; (gi, к, т,'). A3)
Действительно, вблизи полюса, соответствующего связанному
состоянию, в уравнении для /С
/С = Ко + iKo'VK
можно пренебречь /Со, а получающееся однородное уравнение
допускает решение A3), причем функция т). (?:, |2, тх) удовлетво-
удовлетворяет уравнению
1
Запишем это уравнение в импульсном представлении. Имеем
Is (A. Pa, e) = jT|,(flt |2, T1)e^.'.+'ft'-.+"««dridrIdT1.
/Со в импульсном представлении при Е = Es равно
tf0 = Go(Pl, EJ2 - е) Go (рг, EJ2 + е).
Для t)s (Pi, P2, е) получаем уравнение
Ч> (ръ Рг, е) = iG0 (plt EJ2 - е) Go (р2, ?s/2 + е) х
X JV(*)T|S(A+*, P,-*, е')^-^г. A4)

72 п. Изучение ферми-систем методом функций грима
Интегрируя это уравнение по е, получаем для величины
Ф* (A. АО = j Tls (A. P2, е) -^- уравнение
которое есть уравнение Шредингера в импульсном представлении.
Это естественный результат, поскольку из сравнения A2) и A1)
видим, что
и функция Os-t(Pi, p2) есть собственная функция в импульсном пред-
представлении. Слагаемое суммы A2), соответствующее связанному
состоянию, можно изобразить графически:
где волнистая линия изображает множитель -р—р——^-,
а блоки равны t|s (р1( рг, е) и г|* (pj + к, рг —к, е).
Функция Грина системы взаимодействующих частиц.
Соотношения унитарности
Определим функцию Грина 3S системы из N частиц соотноше-
соотношением
= j S?(?,,...,ls, t- %,.. .Лк ОФхЙь- • -Лк f)d&... d&. A5)
Функция Ф должна удовлетворять для t > t' уравнению Шредин-
Шредингера с гамильтонианом системы Н, который равен
п=\ п,
Для определенности мы предположили парное взаимодействие
между частицами. В начальный момент (t ~ f + 0) функция Ф
должна совпадать с Фг:
Ф<=г+о = Ф1-
Для этого достаточно, чтобы функция 9? подчинялась уравнению
N
(t -L - н) з> = i П.б (?»- In) б (t - п. A6)
1
п=1

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 73
Начальное условие для S? получается интегрированием этого
уравнения по бесконечно малому интервалу t, включающему
точку t'
N
(Как и выше, мы положили 9? для t < f равным нулю.)
Покажем, что функция Ф имеет такую же симметрию, как Фь
т. е. что правильная симметрия Ф (симметричность по \п для
бозе-частиц и антисимметричность для ферми-частиц) достигается
правильной симметрией начальной функции Фх. Так как оператор
Н не меняется при перестановке двух координат ?х ч=*= ?2, а правая
часть уравнения для 9? остается неизменной, если одновременно
заменить \х *±- ?2 и Si ч=* \'2, то можно выбрать оператор & так,
чтобы выполнялось соотношение
3S Aь \ъ • • •. %n, t\ \[, %,ъ ¦ ¦ ¦, Vn, t') =
для любой пары координат. Отсюда сразу вытекает, что симметрия
Ф в A5) совпадает с симметрией Фх. Функция 9?, которую мы ввели,
представляет собой матричный элемент оператора
в координатном представлении.
Действительно, для S имеем соотношения
Ф = SQ>lt
д
которые являются операторной записью соотношений A5) и A6).
Для того чтобы получить оператор S в координатном представле-
представлении E"), следует умножить S слева и справа на собственные функ-
функции координат и проинтегрировать
2 (I, I', t, t') = \6(r\-t)S (т|, t, Г) б (п - I'
Здесь у\ — совокупность координат, на которые действует опера-
оператор Н, входящий в S:
8(л-&)=2: б(|„-п„).
Некоторые свойства функции 3S удобнее находить в операторной
форме из свойств оператора S.
Для Н, не зависящего явно от времени, находим
Sit-f) = е-1» <*-*'> 9 У-Г) =
t>ti>t'

74 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Отсюда вытекает аналогичная формула для 9? и, в частности,
Юо (|, V, t, V) = J Юо (Z, \ъ t, h) Юо fo, Г, tlt t') d\,. A7)
t:t,>t'
Можно получить явное выражение для 3? в виде разложения по
собственным функциям системы аналогично тому, как это было
сделано для двух частиц. Так как для т>0 2! удовлетворяет по \
и t уравнению Шредингера, то 3! = 2 Cs (?') Ф^ (!) е~~'?*т (сово-
S
купность 1 = !х ... liV). При т = 0 ^ = б(^ — !•'). Умножая
на Ф8* (!) и интегрируя по |, получаем (т > 0)
5>=?Ф8A)Ф8*(Пе-'?»х. . A8)
S
Отсюда для матричного элемента S? по произвольным функциям
находим
3?аЬ - ? (ФЖ
s
или в фур ье-представлении по т
3?аЬ (е) = I 2 (Ф^Ф5) (Ф.'ФЬ) B_
здесь Р — символ главного значения.
Для диагональных матричных элементов получается
B0)
ч
Эти выражения определяют аналитические свойства матричных
элементов &аЪ (е) в комплексной плоскости е.
Выражение B0) содержит, в частности, так называемую опти-
оптическую теорему, которая связывает мнимую часть амплитуды
рассеяния вперед с полным сечением. Соотношения A9) и B0)
возникли как следствие унитарности оператораеШх и эквивалент-
эквивалентны соотношениям унитарности дисперсионной теории.
Одночаотичная и двухчастичнаи функции Грина
в сиотсме из N чаотиц
Нахождение функции 9? эквивалентно решению уравнения
Шредингера в системе из Af частиц, т. е. представляет сложную
задачу даже при слабом взаимодействии между частицами. Для
практических применений теории достаточно знать частный вид
матричных элементов (O2.2^i) для фиксированных начальных
и конечных состояний. Для этих матричных элементов получаются
гораздо более простые уравнения, чем уравнения для S?.

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 75
Прежде всего рассмотрим случай, когда начальная и конечная
функции описывают систему из одной свободной частицы и N
тождественных взаимодействующих частиц.
Если добавленная частица отличается от остальных частиц,
то начальная и конечная функции могут быть взяты в виде
где ?х — координаты добавленной частицы.
Если же добавленная частица не отличается от остальных ча-
частиц, то в качестве возможных начальных состояний рассматри-
рассматриваем симметризованные функции
здесь Фо — точная собственная функция основного состояния
системы; ?+ (?')—оператор рождения частицы в точке ?'=(г', s')
Л
где ах — оператор уничтожения частицы в состоянии "к, <р^ —
пока произвольная полная система состояний одной частицы.
Интересующие нас конечные состояния будут того же типа:
Ф2 = ^ (I) Фо-
Таким образом, нам понадобится величина
(Ф2Ф) = (Ф^Фх) = (Фо? (I) 3?W+ (Г) Фо).
Функция Ф в момент т > 0 найдется из выражения
ф = riftft (?') ф0>
где Н — полный гамильтониан системы.
Матричный элемент (Ф2Ф) запишется так:
(Ф2Ф) = (Фо?(!) e-iH*W+ (Г) Фо).
Мы введем величину, отличающуюся от этой несущественным
множителем:
iG* = (Фо? (|) е-"^?+ (Г) Фо) eiE°*,
где Ео — энергия основного состояния системы.
Эта величина играет роль функции Грина одной частицы,
помещенной в среду из N остальных частиц. Множитель i мы
ввели для того, чтобы функция G+ переходила в наше прежнее
выражение, когда система состоит из одной частицы.
В представлении <р^ получаем
)
т>0

76 И. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Введенная нами величина представляет собой частный случай
функции Грина 3? для выбранных нами начальных и конечных
состояний. Ее можно было бы изобразить графически:
Штрихованный прямоугольник описывает все возможные взаимо-
взаимодействия N + 1 частиц между собой.
Вертикальные линии, замыкающие концы, изображают функ-
функции основного состояния. G* зависит только от входной и выход-
выходной координат добавленной частицы.
Так как состояние остальных частиц в начале и в конце фикси-
фиксировано (основное состояние системы N взаимодействующих ча-
частиц), то можно изображать G+ проще:
Мы снабдили график для G* стрелками, так как нам придется
наряду с G* ввести еще функцию Грина, описывающую поведение
дырки в системе. Эту величину можно было бы определить анало-
аналогично G*
ЮТ = (Фо?+ (?) <ГШх? (I') Фо) eiE"x.
т>0
Обе функции G+ и G\ равны нулю для т < 0. Однако удобнее
функцию Грина частицы и функцию Грина дырки объединить
в одну функцию, определенную как для т > 0, так и для т < 0.
Для этого введем вместо G\ несколько другое выражение:
—КГ = (Ф„?+ (?') е№? (?) Фо) e~iE°\
Величина С определена для т < 0 и равна нулю при т > 0.
Эту величину будем изображать так:
Функция С представляет собой (так же как и функция G+) ча-
частный вид функции Грина 9? всей системы для того случая, когда
в момент t состояние системы есть основное состояние N частиц
плюс 1 дырка (точнее, Фх = ? (|) Фо) и надо найти примесь со-
состояния такого же типа (Ф2 = ? (I') Фо) в момент времени С
(t < t').
Обе величины G* и С могут быть записаны в виде одной функ-
функции
G (I, t; V, О = -i (Ф„Г? (|, t) ?+ (Г, О Фо), B1)
где
?(|, t) = eiH*W (I) e~lHi
— оператор уничтожения в гейзенберговском представлении,

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 77
а Т — символ упорядочивания во времени (хронологическое
(Т)-произведение)
""" " l)W+(l', f) при *>*',
, f)?(I, t) при t<Ct'.
Выражение B1) дает G+ при т > 0 и G" при т < 0.
Перейдем в B1) к представлению Ф*.. Получаем
— i (Фой„е-Шта?ф0) е''?°т при т > 0,
=F i (ФоаЬе1Н%акФо)е~'Е"х ПРИ т < 0;
верхний знак для бозе-, нижний для ферми-частиц. Величина G
называется одночастичной функцией Грина.
С помощью функции G можно вычислить средние значения
по основному состоянию операторов вида однократной суммы по
всем частицам:
А = 2 At (lt, pt),
i
т. е. таких, как, например, плотность частиц в точке г, равная
или полный орбитальный момент количества движения
L = S rt х pt.
Действительно, оператор А во вторичном квантовании имеет вид
А =
Поэтому его среднее значение по основному состоянию системы
выражается через G при t = t' — 0, т. е. при т = t — ?. -*¦ —0:
G(l, l',x)= 1(Ф„?+(Г)^(|)Ф0).
х->-0
Фо, как и выше, означает точное основное состояние.
Среднее значение оператора А будет равно
т->—о
Таким образом, GT_>_0 совпадает с точностью до множителя i
с матрицей плотности
р (Г, I) - (фо^+ (V) V&) Фо) = -;сх+-о • B3)
Для определения средних значений операторов вида
В — 2j &lh (?i> Pi\ ?fc> Ph)>
таких, как, например, энергия взаимодействия частиц, необхо-

?8 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЁРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
димо знание величины более сложной, чем G, которая называется
двухчастичной функцией Грина.
Эта величина определяется аналогично B1)
/С2A, 2; 3, 4) = (ФОТ?A)?B)?+C)?+D)ФО). B4)
Оператор Т означает, что все величины, стоящие справа от Т,
располагаются в порядке убывания времен в аргументах ?, *F+;
перед всем выражением ставится знак «+» или «—» (для фермл-
систем) в зависимости от того", четной или нечетной перестановкой
получается упорядоченное выражение из написанного в B4).
/С2 представляет' собой частный вид 9?', когда начальное и конеч-
конечное состояния соответствуют в зависимости от соотношения вре-
времен tx, t2, ts, U либо двум частицам, либо двум дыркам, либо ча-
частице с дыркой. В /С2 также содержатся и случаи, когда в началь-
начальный момент есть частица, а конечное состояние соответствует двум
частицам и дырке. Мы для краткости говорим о двух частицах
(дырках), подразумевая, что остальные N — 2 (N + 2) частиц
в начальный и конечный моменты находятся в основном состоянии.
Одночастичная и двухчастичная функции Грина содержат
наиболее существенную информацию о системе. Иногда возни-
возникают вопросы, требующие знания трехчастичной или четырех-
частичной функций Грина. Они могут понадобиться, например,
для вычисления энергии связи в системе с непарным взаимодей-
взаимодействием. Такие функции в этой книге не рассматриваются.
Рекуррентные соотношения между функциями Грина
Для одночастичной и двухчастичной функций Грина в си-
системе N частиц можно получить выражения в виде ряда теории
возмущений по взаимодействию между частицами, аналогичные
тем, которые были получены для одной частицы в поле и для двух
взаимодействующих частиц.
Для этой цели мы получим рекуррентные соотношения, свя-
связывающие между собой различные функции Грина. Введем
я-частичную функцию Грина (в системе N частиц)
*„¦ A ... я; 1'...п') =
= - @я (Ф07ТA) .. . ?(п) ?+ (Г) ... ?+ (п') Фо).
Здесь Фо — точное основное состояние, ?, Ч*4 — операторы унич-
уничтожения и рождения в гейзенберговском представлении.
Функция Кп аналогично G и /С2 означает амплитуду вероят-
вероятности нахождения я «голых» частиц над фоном в точках 1 ... п,
если начальная функция соответствовала п «голым» частицам
в точках Г, ..., п' (в зависимости от соотношения времен 1—Г,
..., п —¦ п' частицы заменяются на дырки).
Для получения рекуррентных соотношений между функциями
Грина Кп (G = Ki) нам прежде всего нужно найти уравнение для

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 79
изменения во времени оператора
W (x) — оператор уничтожения в гейзенберговском представлении.
Запишем гамильтониан системы в виде
п п, т
+ ^г\У(I- V)Ч+ (I)^+ (Г) V(Г) ?(I)dk (%.
Составим коммутатор № (|), Я], используя условия коммутации
операторов ? (?) и ?+ (|'):
Т ® ?+ (Г) + ^+ (Г) ? (|) = S (| - Г).
Получаем
[У Ц), Н] = Я»? (|) + J V (|, Г) У+ E') ? F') Т
Умножив это равенство на eiHt слева и на e~iHt справа, получим
Применяя операцию i-щ Н\ к одночастичной функции Грина
G A, Г), получим
B5)
l, 2; 1'
0); U(I, 2) = V(g
6A, Г) = в(|,
Поясним, как эта формула получается.
Запишем G A, Г) в виде
f 1. ^>о,
Функции 0 (t) — { „ ,^Л заменяют знак Т-произведения.
Дифференцируя множители 0 по tly получим
+ (Г) + ?+ (Г) ? A)] Фр) б (*, _ «) = б A, Г),

80 II- ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
t[, подставляя выражение для {}
находим
*?-//1HA,1') =
При t1>t[, подставляя выражение для {}-щ Я*Л ? A),
Выражение, стоящее справа, можно привести к функции /С2:
Кг = (Ф0ГТ A) V B) ?+ C) ?+ D) Фо),
если выбрать 4 = Г, 3 = 2+, tx = /2 — 0. Это и достигается обо-
обозначениями формулы B5). Несколько сложнее, но в принципе
так же, получается уравнение, связывающее Къ с G и К3'
(fjL_//?)/C2(l, 2; 1', 2') = GB, 2'NA, Г)-
-GB, rN(l,2') + »Jf/(l, 3)/С3A, 2, 3; Г, 2', 3+)dx3. B6)
Приведем также результат для функции К„-
...n; l'...n') =
B.../!; 2'.../1'NA, Г)},Утт +
f/(l, m)/Cnti(l ...«, т; Г . ../t', m+)dxm. B7)
Знак }symm означает симметризованную сумму: с плюсом берется
написанное выражение и со знаком минус (для ферми-систем) —
все возможные перестановки координаты Г с координатами 2',
3', ..., п'. Нетрудно убедиться, что первое слагаемое B7) (так же
как и второе) антисимметрично относительно перестановки любой
пары штрихованных координат.
Изобразим эти соотношения графически. Для этого введем
функцию Go, которая определяется соотношением
и, следовательно, совпадает с функцией Go одной частицы, которую
мы ввели раньше. Условия обхода полюса, который имеется у Go,
например, в импульсном представлении, не будут играть роли
в нашей задаче (см. ниже). Функцию Go будем изображать в виде
тонкой линии.
Умножая уравнение B5) для G на Go, получим
!') = GOA, l') + »jG0(l, 2I/B, 3)Л:2B, 3; Г, V)dxtdx3 B5')

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
81
или графически
G
\ i \ 1' ' f г \'
7 +
Волнистая линия, как и выше, обозначает величину iU, /Сг изоб-
изображено в виде треугольника, чтобы подчеркнуть, что два аргу-
аргумента этой функции совпадают. Теперь запишем графически
уравнение B6). После умножения на Go имеем
/С2A,2; Г, 2') = GB, 2')G0(l, l')-GB, l')G0(l, 2') +
+ i JGOA, 3I/C, 4)/C3C, 2, 4; 1'. 2', 4+)dT3dt4. B6')
Это соответствует следующему графику:
¦г'
¦2'
1-
Короткие концы, как всегда обозначают место входа и выхода
частицы (аргументы функции /Сз). тогда как длинная -Гонкая
линия означает функцию Go.
Наконец, изобразим графически уравнение для Кп
¦Я' V/W/\^\
¦ А +. 2
24
symm
1-
B7')
получающееся из B7) умножением на Go.
Графики Фейнмана*)
Мы покажем, что введенные нами функции Грина Кп (G = Ki)
представляют собой сумму всех возможных связанных графиков
Фейнмана, т. е. графиков, переводящих п «голых» частиц из на-
начальных координат в конечные и описывающих взаимодействие
этих частиц между собой и с частицами фона.
Так называемые несвязанные графики, описывающие переход
частиц фона из основного состояния в основное, при нашем под-
подходе вообще не войдут в задачу.
На рассмотренных выше примерах одной частицы в поле и двух
взаимодействующих частиц мы убедились, что функции Грина
действительно равны сумме графиков Фейнмана по всем процес-
процессам, переводящим систему из начального состояния в конечное,
*) Этот раздел может быть пропущен прн первом чтении,

82 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
причем суммируются (с одинаковым весом) только графики, отве-
отвечающие различным физическим процессам; так, например, гра-
графики вида
соответствуют одному физическому процессу B частицы 2 раза
провзаимодействовали), и поэтому учитывается один из этих
графиков. Кроме того, для получения Кп каждый график сим-
метризуется по выходным концам, т. е.
х-х-
Таким образом, утверждение, которое нам предстоит доказать,
представляет собой лишь естественное обобщение полученных
результатов на большее число частиц (п вместо 2) и на случай,
когда роль внешнего поля играет взаимодействие добавленных
частиц с фоном.
Изображение функций Грина с помощью графиков Фейнмана
позволит построить ряды теории возмущений по взаимодействию
между частицами, а также получить общие соотношения, справед-
справедливые и при сильном взаимодействии.
Убедимся сначала, что первые члены разложения функций Go
и Кг по степеням взаимодействия V действительно описываются
совокупностью всех графиков Фейнмана того же порядка.
Функция Кг в нулевом приближении равна
- X '
-1' i/V
т. е. по определению совпадает с симметризованным графиком
Фейнмана нулевого порядка.
Первый порядок для G получится, если в уравнение B5')
подставить JQ ¦ Находим
, 1') = (JgoA, 2I/B, 3)G0C, 3+)G0B, l')dr2dx3-
~i JGOA, 2I/B, 3)G0C, l')G0B,

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 83
Графически это можно изобразить в виде
I 2 f 12
Кружок на графике означает величину Go C, 3+).
Заметим, что —Ш A, Г) = (Фо?+ (?) Y (?) Фо) = р (г, s), т. е.
совпадает с плотностью частиц в основном состоянии. Эти два
графика исчерпывают графики Фейнмана первого порядка —
единственный процесс, переводящий частицу из точки 1 в Г,
состоит в том, что частица переходит из 1 в 2 без взаимодействия,
затем происходит акт взаимодействия и затем опять свободное
движение. Единственное отличие от рассмотренного выше движе-
движения частицы в поле состоит в том, что благодаря тождественности
добавленной частицы с частицами фона наряду с прямым взаимо-
взаимодействием возникает еще обменное (второе слагаемое в формуле
для GA>). Если бы мы нарисовали также график частицы фона
(который при нашем подходе рисовать не нужно), то первое и вто-
второе слагаемые изобразились бы в виде
(пунктиром мы отделили фон).
Оба графика выражения для GA) можно записать в виде одного
члена
а%)=
где квадратик означает разность обычного и обменного взаимо-
взаимодействий.
Читатель легко убедится, что в импульсном представлении
GA> (р) = Go(р) |pl/0 -%p(p-q) V,}Go (p),
где р — плотность (р= 2]p(p)Y Vg — компонента Фурье потен-
потенциала взаимодействия, который для простоты предположен не
зависящим от спина.
Для получения следующего приближения в G следует найти
/Сг1'. В символической записи получим
GB) = i

84
II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
причем /Сз0) равно
/Cio)(l, 2, 3; 1', 2' 3') = Go(l, Г)GoB, 2')G0C, 3')}symm.
Знак } symm означает, как и выше, симметризацию по штри-
штрихованным координатам.
Подставляя /CJ,0) в выражение для /С<1}, а Ki" в формулу для
GB), нетрудно получить выражения для /С"' и GB) (для понима-
понимания дальнейшего очень полезно проделать эти выкладки; чтобы
упростить выкладки, разумно не симметризовать /Сз0) по знач-
значкам Г и 2', а сделать эту симметризацию после получения /Cj1').
В графической записи получаем
Знак симметризации относится ко всем слагаемым слева от него.
Это выражение опять-таки "представляет симметризованную
сумму всех фейнмановских графиков данного порядка.
Ясно, что, продолжая дальше такой итерационный процесс,
мы получим изображение функций Кп (Ki = Go) в виде суммы
фейнмановских графиков, т. е. в виде суммы рисунков, состоя-
состоящих из тонких линий, соединяющихся между собой волнистыми
линиями и соединенных хотя бы с одной из п входных (выходных)
линий. Графики вида
Ф
не связанные с входными линиями, не возникают.
Расшифровка этих рисунков, т. е. написание аналитических
формул, соответствующих каждому графику, состоит в сопоста-

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
85
влении тонкой линии величины Go, а волнистой линии — вели-
величины Ш, и интегрирования по координатам внутренних линий,
как это видно из приведенных примеров.
Остается вопрос, все ли фейнмановские графики, переводящие
п начальных точек в п конечных, входят в выражение для Кп-
Обозначим симметризованную сумму всех таких фейнмановских
графиков через К?п и покажем, что KFn удовлетворяет той же си-
системе рекуррентных соотношений, что и Кп. Отсюда можно будет
заключить, что К?п = Кп- Итак, мы хотим доказать, что Кп удо-
удовлетворяет уравнению
B7")
Все графики, переводящие п линий в п линий, можно классифи-
классифицировать следующим образом:
1) все графики, в которых линия 1 не соединяется с осталь-
остальными; такие графики по определению исчерпываются первым
слагаемым уравнения;
2) графики, когда волнистая линия, испущенная частицей 1,
кончается петлей;
3) волнистая линия, исходящая из 1, кончается на какой-либо
из остальных п — 1 линий.
Убедимся, что все графики типа 2) и 3) содержатся во втором
слагаемом графической формулы B7").
Так как К^+i — симметризованная сумма графиков, то для
выходной линии с координатой V (V Ф Г, [' ф т') имеются
два графика вида
т .
п -
1 -
, т' т i
•V
B8)
На графике B7") точка т' = т* и точка т совпадает с оконча-
окончанием волнистой линии. Первый из двух графиков B8) при под-
подстановке в B7") даст графики вида
Так как Kn+i по определению означает сумму всех графиков
Фейнмана, то на последнем рисунке содержатся все графики,

86 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
скрепляющие петлю с KFn, и, в частности, графики вида
-п'
Таким образом, в предыдущем рисунке содержатся все фейнманов-
ские графики типа 2) (волнистая линия кончается петлей).
Второе слагаемое рисунка B8) содержит все графики, в кото-
которых волнистая линия кончается на линии i — i'. Действительно,
после соединения точек т и т' (как это требуется формулой B7"))
точка т, на которой оканчивается волнистая линия, оказывается
на линии i — V.
Так как это справедливо для любой линии, то тем самым мы
показали, что правая часть B7") действительно изображает сим-
метризованную сумму всех графиков Фейнмана, переводящих
п линий в п линий, т. е. Кп- Таким образом, равенство B7") до-
доказано и Кп удовлетворяет тем же рекуррентным соотношениям,
что и Кп. Так как эти соотношения однозначно определяют ряды
теории возмущений, то тем самым доказано, что Кп представляет
в каждом порядке теории возмущений симметризованную сумму
всех графиков Фейнмана.
Разложение по точным функциям Грина.
Уравненио Дайсона
Каждому графику Фейнмана можно сопоставить график, в ко-
котором все тонкие линии заменены жирными. Это означает, что все
графики, уточняющие одночастичные функции Грина, учиты-
учитываются во всех порядках теории возмущений.
Графики с точными функциями Грина G имеют смысл даже
в тех случаях, когда ряды теории возмущений, содержащие Go,
расходятся. С помощью полученных выше рекуррентных соотно-
соотношений можно построить (аналогично тому как это делалось для
первых членов обычной теории возмущений) ряды для функ-
функций /(„, в которых вместо тонких линий (Go) стоят жирные линии
(G); при этом вопрос о сходимости ряда по тонким линиям вообще
не возникает.
Напишем выражение для /С2, вводя точные функции Грина.
Прежде всего, собирая все графики, уточняющие Go в первом
члене уравнения B6 ) для /B, получим для всех графиков, не со-
содержащих взаимодействие между входными линиями, выражение
X

II.1. ФУНКЦИИ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
87
Сумму всех графиков, содержащих взаимодействие между вход-
входными линиями, изобразим в виде
м
-2'
-1'
Согласно этому определению величина Г представляет симметри-
зованную сумму всех графиков Фейнмана, которые начинаются
и кончаются актом взаимодействия.
В первом порядке теории возмущений
ч
symm
\.
Во втором порядке (собирая все графики, уточняющие вну-
внутренние линии) по числу актов взаимодействия между линиями
получаем
J symm
symm
Таким образом, величина Г совершенно аналогична введенной
в случае системы из двух частиц амплитуде рассеяния и предста-
представляет (с точностью до нормировки) амплитуду рассеяния двух
частиц в среде.
Второй из графиков 2-го порядка описывает экранировку
взаимодействия за счет поляризации среды и аналогичен изме-
изменению кулоновского взаимодействия благодаря диэлектрической
поляризуемости. Естественно, что этого слагаемого не было в си-
системе из двух частиц.
Запишем выражение для /B
кг =
X
4-
B9)
в аналитической форме
Я2 A, 2; Г, 2') = G A, Г) G B, 2') - G A, 2') G B, Г) +
+ i JG A, 3) G B, 4) Г C, 4; 5, 6) G|E, 1') G F, 2')dx3 dxt dx5 dx6
B9')
Это выражение дает в первом порядке теории возмущений, полу-
полученный выше результат (с заменой Go на G).

88
II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Подставляя выражение для /Са в формулу B5') для G, получим
графически
I Г 1
или в аналитической форме
G(l, l') = G0(l, 1')+JGOA, 2JB, 3)GC, V)dx,dxa,
2B, 3) = jrA)B, 4; 3, 5)GE, A)dxtdxt +
+ P Jf/B, 5)GB, 7)GE, 6)GD, 5)Г G, 6; 3, 4)dxtdxtdxtdx7. C0')
Величина 2 A, 2) называется собственно-энергетической частью.
Уравнение C0), или C0'), называется уравнением Дайсона.
Запишем теперь уравнение для G в другой форме
, 2HB.
;=вA, 1').
При такой записи функция Go не входит ни в одно из соотноше-
соотношений, и вопрос об обходе полюса этой функции не возникает, о чем
мы выше упоминали. Аналитические свойства функции G будут
выяснены в следующем разделе.
В простейших случаях [когда 2 A, 2) = V A) 6 A, 2)] функ-
функция 2 A, 2) приводит к изменению одночастичного гамильтони-
гамильтониана Я? = pV2tn:
Итак, в первом порядке теории возмущений учет 2 эквива-
эквивалентен введению самосогласованного потенциала Хартри— Фока.
Одночастичная функция Грина сводится в этом приближении
к функции Грина одной частицы в самосогласованном поле. Свой-
Свойства собственно-энергетической части 2 будут ниже подробно
рассмотрены.
Энергия ооновного ооотояния
Энергия системы определяется как среднее по состоянию опе-
оператора энергии системы, в котором для определенности будем
предполагать парное взаимодействие:
* E)-?-
\ \ V (?, V) ?+ (|) Т+ (Г) V {V) V (?) d\ 4'.

П.1. ФУНКЦИЙ ГРИНА И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД 89
Первое слагаемое выражается через одночастичную функцию
Грина G (I, |', т) для т -* — 0.
Второе слагаемое Выражается Через двухчастичную функцию
Ki й представляет собой как раз то выражение, которое содер*
жится в правой части уравнения B5), связывающего С? с Яг и,
следовательно, может быть записано в виде 2G.
В импульсном представлении для однородной системы полу-
получаем
ЯФ0)= J (-?- + 4- 2 (р, г)) G(p,
0
т->—0
Отрицательное значение т обеспечивает расположение Т, Т*
в обоих членах, совпадающее с расположением в Я.
Для конечной системы, переходя к ^-представлению, находим
\ D
XX- %->—0
Здесь Фо определено как то состояние, по которому усред-
.няются функции G и /f2. Поэтому, если функции G и /С2 определены
для возбужденного состояния системы, то и Ео будет давать энер-
энергию этого возбужденного состояния.

H.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ГРИНА
ФЕРМИ-СИСТЕМ
Для изучения аналитических свойств функций Грииа используется
метод, примененный впервые в квантовой электродинамике: функция Грина
представляется в виде суммы матричных элементов по точным состояниям
системы (спектральное разложение Лемана).
После перехода к фурье-представлению е по времени функция Грина
изображается в виде интеграла типа Коши с положительной весовой функ*
цией, что определяет ее аналитические свойства в комплексной плоскости е.
Как показано в этой главе, полюса одночастичной функции Грина
соответствуют квазичастичным возбуждениям, т. е. возбуждениям, анало-
аналогичным тем, которые имеются в идеальном ферми-газе. Полюса двухчастич-
двухчастичной функции Грина соответствуют возбуждениям с четным числом частиц,
а также коллективным возбуждениям типа звуковых волн. Таким образом,
полюса функций Грина определяют энергию и характер возбуждений.
Далее находится спектральное разложение для обратной функции
Грина и показано, что имеется логарифмическая особенность вида е3 In e,
исчезающая вблизи границы Ферми (8 = 0).
Иа вида одночастичной функции Грина вблизи границы Ферми опре-
определяется энергия и затухание квазичастиц.
Показано, что скачок в распределении частиц по импульсам в основ-
основном состоянии сохраняется и при сильном взаимодействии.
Выясняются аналитические свойства двухчастичной функции Грина
и дается ее вид вблизи полюса, соответствующего образованию частицы
и дырки или коллективному возбуждению. Это выражение понадобится
при вычислении вероятностей переходов (III.4). Более подробно свойства
одночастичной функции Грина вблизи границы Ферми с учетом куперов-
ского спаривания рассматриваются в (П.З, II.4).
Спектральное разложение
Для изучения аналитических свойств удобно представить функ-
функцию Грина G в виде суммы по собственным состояниям системы
, Г, х) = -»•<*& 0^№', П) =
t=(-f>0
= -i 2 (Т ©)os (V* №'
Операторы вторичного квантования в гейзенберговском предста-
представлении ? (t, t) связаны с операторами ? (?) соотношением
Так как оператор W+ (?) увеличивает, а оператор W (|) уменьшает
на единицу число частиц в системе, то состояние s при т > 0

II.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ГРИНА 91
соответствует системе из N + 1 частиц, а при т < 0 — системе
из N — 1 частиц:
(^ Ш)ао = (Ф. (N + 1) W+ (g) Фа(М)),
где Ф5 (N ± 1) — точные собственные функции системы N ± 1
частиц. Такое разложение было впервые использовано в кванто-
квантовой электродинамике (разложение Лемана) для выяснения анали-
аналитических свойств функции Грина электрона.
Введем химический потенциал
ц+ = Ео (N + 1) - Ео (N).
Выражение в показателе экспоненты при т > 0 есть
Es (N + l)~ Ео (N) = ц+ + Es (N + 1) - Ео (N + 1) = ц+ + е+,
где величина esf — энергия возбуждения системы из N + I ча-
частиц — по определению положительна.
Для т < 0 получим
Es (N-l)- EQ (N) = -ix- + es,
где ej = Es (N — 1) — Eo (N — 1) — энергия возбуждения си-
системы из AT — 1 частиц, а химический потенциал
у,- = Еа (N) -Ea(N- 1).
Для конечных систем \i~ может заметно отличаться от \i+. Как мы
увидим ниже, в случае сферических ядер вблизи мест заполнения
оболочек это отличие весьма существенно.
Перейдем к представлению <р^ (?):
()SWG)
к
G (I, Г, т) = 2 Gu- (т) Фя (S) Фх- (Г).
Для бесконечной однородной системы удобнее всего использовать
в качестве ф^ собственные функции
Фя =
а для конечной системы — собственные функции в потенциальной
яме, вид которой выбирается так, чтобы функция Gxv была дйаго-
нальна по X (вопрос о выборе гамильтониана для ф^ рассмотрен
подробно в II.3).
Выражение для О приобретает вид
A)
при т<0,

92 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Введем функции
А (К Е) = 2 | (atU |а 6 (? - в+), е+ > 0;
S
и перейдем в выражении для G*, к фурье-представлению по т.
Получаем
l + } B)
А-В, ц->е>|1+, C)
о
Эта формула позволяет получить соотношение между веществен-
вещественной и мнимой частью функции Грина Gk (e).
Из равенства
= г—— = Р б infi (е — Е — а)
(Р — символ главного значения) вытекает
А (к, в — \i+), е>ц+, \i~,
ImG^(e) = —п
—В (к, \1' —в), е<ц+, уГ.
Для большой системы, когда (i+ = \Г — \i, отсюда следует, что
Im G меняет знак в точке е = \i (А, В > 0). Подставляя выра-
выражение для А я В через Im G в формулу для G*, (е), получим
Jt . J 8 — 6
— оо
Из определения функций А я В следует, что
Здесь (пх,) — среднее по основному состоянию числа частиц в со-
состоянии X. Поэтому при е ->¦ оо
Ох(е)-4"-
Выражение для Gx, (e) и последняя формула представляют со-
собой частный случай найденных выше (II. 1) соотношений для
произвольных матричных элементов оператора S =е-Шт9 (т);
Sba (е) «= У, (Ф»Ф«) (Ф«Фв) \п6 (е — Es

П.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ГРИНА
Так, например, для т > О
Gt(r) = -ieiE'x (Фааке-Шха?фа) = -ieiE°xSaa (т),
где Фа = а?Ф0 и
(в) = -iSaa (в + ?в) = ? '(ai)s012 e~? + zro + n>
что совпадает с первым слагаемым формулы B) для G.
Аналогичным образом находим
где Фь = ахфо, или
GI(е) = iSM№ - в) =
что дает второе слагаемое формулы B) для G. Объединим оба сла-
слагаемых разложения Лемана для G&, (е), вводя определение:
А {%, —Е) = В {%, Е). Тогда G% (е) запишется (для \i+ => уГ — \i):
с
где контур С для е < ц идет выше вещественной оси, а для
е > ^ ниже вещественной оси (рис. 1). Это выражение пред-
представляет собой интеграл Коши, который, как известно из теории
функций комплексного переменного, опреде-
определяет две аналитические функции G\ и Gn по
обе стороны контура, т. е. в верхней и ниж- ШШ
ней полуплоскостях, причем аналитическое
продолжение Gt в нижнюю полуплоскость
не совпадает с Gn, и наоборот. i к '
Таким образом, Gx (е) не является анали- ис' ' 1ЧонтУР •
тической функцией е; на вещественной оси
при е < (i Gx, (e) = Gji (е), при е > ц G*, (е) = Gi (e). Покажем,
что Gf (e) = Gn (e), т. е. что
Действительно, при любом конечном значении мнимой части е
можно опустить iy в знаменателе формулы B) и тогда веществен-
вещественность А приводит к
GH)
, Перейдем в функциях Gx и Gn к представлению т
Gi,a(T) = jGIfII (в) *-<«.?-.
Так как Gi аналитична в верхней полуплоскости, то при т<0,
сдвигая контур интеграла с вещественной оси в верхнюю полу-

94 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
плоскость, получаем Gi (т) = 0. Аналогично Gn (т) = 0. Таким
Т<0 Т>0
образом, Gi и Gn совпадают с введенными выше функциями ча-
частицы и дырки:
t
Физический омыол и характер
особенностей функции Грина
Предположим, что в системе есть одночастичный спектр воз-
возбуждений, или, иначе, спектр квазичастиц. Эти слова означают,
что среди возбужденных состояний системы имеются такие со-
состояния, которые полностью определяются заданием совокупно- ,
сти величин, описывающих состояние одной частицы, т. е. опре-
определяются заданием значка X.
В случае бесконечной однородной системы это соответствует
возбуждению с заданным импульсом и заданной проекцией спина.
Для конечной сферической системы — это состояния, которые
можно определить заданием момента, орбитального момента,
проекции момента и радиального квантового числа.
Заметим, что в квантовой электродинамике роль квазичастицы
играет наблюдаемый электрон, тогда как частицам соответствуют
«голые» электроны, которые вводятся до включения взаимодей-
взаимодействия. Разница по сравнению с задачей многих тел состоит лишь
в том, что «голые» электроны не наблюдаемы, между тем как «го-
«голые» частицы в задаче многих тел можно наблюдать, вынув их
из системы.
Есть, разумеется, и более сложные состояния, которые нельзя
описать заданием одного или нескольких чисел X, например зву-
звуковые возбуждения — фононы.
Мы увидим ниже, что каждому типу возбуждений с нечетным
числом квазичастиц (точнее, с числом квазичастиц на единицу
большим или на единицу меньшим, чем число квазидырок) в об-
области дискретного спектра конечной системы соответствует полюс
функции Грина Gk (e), лежащий на вещественной оси комплексной
плоскости е. Возбуждения с числом квазичастиц, равным числу
квазидырок, дают полюса в двухчастичной функции Грина и будут
рассмотрены позже. Возбуждения типа звуковых колебаний (кол-
(коллективные возбуждения) могут быть интерпретированы как свя-
связанное состояние частицы и дырки и также дают полюса в двух-
двухчастичной функции Грина.
Возвращаясь к одночастичной функции Грина, прежде всего
заметим, что полюса, соответствующие одночастичному возбужде-
возбуждению, занимают особое место; имеется один полюс при е = е^,,
где ъ% — энергия квазичастицы, и один полюс при е = е*,, где
ex,—энергия квазидырки, тогда как полюса, соответствующие,
допустим, двум квазичастицам и одной квазидырке е = е^ +

It.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ГРИМА д5
+ еЛ2 — е^3 (для простоты опускаем энергию взаимодействия
между квазичастицами) в системе из большого числа частиц,
густо расположены в широкой области значений е в соответствии
со всеми возможными значениями A,x, 7^, Xg. Вклад всех полюсов,
отвечающих сложным возбуждениям, дает в среднем плавную
функцию от е. При переходе к бесконечной системе с непрерывным
спектром возбуждений полюс, соответствующий одной квази-
квазичастице, перемещается в комплексную плоскость, полюсные же
слагаемые в G% (e) для трех и большего числа квазичастиц, кроме
того, сгущаются так, что получается интеграл от этих слагаемых,
приводящий вблизи е = 0 к точке ветвления вида е3 In e (е от-
считывается от [i).
Перемещение одночастичного полюса в комплексную плоскость
означает, как мы увидим, затухание квазичастиц. Иными словами,
в бесконечной системе одночастичный спектр существует только
приближенно — одночастичное возбуждение представляет собой
расплывающийся пакет точных собственных состояний. При
малой энергии возбуждения затухание мало; как мы увидим,
коэффициент затухания пропорционален квадрату энергии воз-
возбуждения еЦ, (отсчитанной от границы Ферми). Следовательно,
одночастичное возбуждение тем точнее описывает соответству-
соответствующее точное состояние системы, чем меньше энергия возбуждения.
В конечной системе в области дискретного спектра затухание
отсутствует и состояние с одной квазичастицей есть точное со-
состояние системы.
Рассмотрим сначала систему конечных размеров. Спектральное
разложение B) запишется так:
а /»ч V J К^ЬоГ , |(fljjsol' [ D)
ll'~ Zj I e — ?s + Eo + iy f e + Es — Ee — iy }' W
s
Состояния s в этой сумме можно классифицировать по числу
участвующих в возбужденном состоянии квазичастиц или воз-
возбуждений другого типа, например фононов.
В разложении функции
по точным функциям системы присутствуют все состояния, совме-
совместимые с законами сохранения. Так, например, момент и проекция
момента количества движения в состоянии Ф8 отличаются от их
значений в состоянии Фо на величину, определяемую значком К.
В t частности, в этой сумме, а следовательно, и в первом члене
спектрального разложения присутствует состояние с одной квази-
квазичастицей, характеризуемой значком К. Так как взаимодействие
между частицами не изменяет полного числа частиц, то число
квазичастиц в состояниях s на единицу больше, чем число квази-
квазидырок, в соответствии с тем, что число частиц в состоянии Ф5 на

96 П. ИЗУЧЕНИЕ ФЁРМИ'СИСТЁМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРЙНА
единицу больше, чем в состоянии Ф<>. Аналогично во втором члене
лемановского разложения состояния s соответствуют числу квази-
квазичастиц на единицу меньшему, чем число квазидырок. В частности,
есть состояние с одной квазидыркой, характеризуемой значком X.
Спектральное разложение D) можно изобразить так:
А,
Первое слагаемое соответствует состоянию s с одной квазичастицей
(или одной квазидыркой), второе — состоянию с двумя квази-
квазичастицами и одной квазидыркой и т. д. Последнее слагаемое изоб-
изображает одну квазичастицу и возбуждение типа фонона.
Аналитически Gj, (e) запишется в виде
аа) „щ ^-у ь[Ч ,
и; e_8jL + {T-r8_ei_fT-r т. в_в 8 +8
где ex, — энергия квазидырки. В знаменателе третьего члена
опущена энергия взаимодействия квазичастиц.
• Величины а\к) и al2k) и е^, е^, как видно из сравнения с D),
равны
{" +)
вь = Eh (N+l)-E0 (N), гк = EQ (N) - Es[ (N - 1),
где sx —состояние с квазичастицей X, s[ —состояние с квази-
дыркой К.
Таким образом, а^ представляет собой вес состояния с одной
квазичастицей в функции а?ф0, а а'*1' — вес состояния с одной
квазидыркой в функции акФ0.
Удобно выделить из чисел a^> и а^> множитель, зависящий
от чисел заполнения квазичастиц в состоянии Фо:
где пк — число квазичастиц в состоянии %\ а^ представляет собой
вес состояния с одной квазичастицей в функции а?Фо при условии,
что в состоянии Фо нет квазичастиц X (пк = 0). Величина а'^> слабо
зависит от X (см. II.4).
Таким образом, функция Грина вблизи поверхности Ферми
может быть записана в виде
где Gj? (e) в большинстве случаев может быть заменена плавной
функцией от е. Влияние близких по энергии неодночастичных
состояний на G^ (e) рассмотрено в IV. 1.

11.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ Г>ИНА §?
Для простоты мы не рассматривали случай, когда две частицы
образуют связанное состояние; при этом состояние дырки на вто-
втором графике определяется законами сохранения (куперовское спа-
спаривание). Ниже этот случай будет рассмотрен подробно (П.З, II.4).
Итак, мы убедились, что каждому возбуждению системы с чис-
числом на единицу большим, чем число дырок, соответствуют полюса
на вещественной оси одночастичной функции Грина, а одночастич-
ным возбуждениям соответствуют изолированные полюса G^ (e),
положение которых определяется значком К и дает энергию квази-
квазичастицы или квазидырки.
Спектральное разложение
для ооботвенно-знергетичеокой чаоти
В бесконечной однородной системе функция Грина GaP (p)
диагональна по спинорным значкам и одинакова для обоих зна-
значений проекции спина, поэтому в дальнейшем мы будем для крат-
краткости опускать спинорные значки.
Введем собственно-энергетическую часть 2 (р, е), связанную
с G соотношением
Е
,, е),
и выясним ее аналитические свойства в комплексной плоскости.
Как мы видели, 2 определяется совокупностью графиков, не
содержащих частей, соединенных одной линией (П.1, стр. 88).
Г ~
Первый график не зависит от е. Покажем, что функция 2 (е)
может быть изображена в виде, аналогичном разложению Лемана:
где отсутствует слагаемое с состоянием s, соответствующим одной
квазичастице. Предположим, что G не имеет нулей на веществен-
вещественной оси (случай, когда у 2 появляется полюс, осуществляется при
куперовском спаривании и будет ниже подробно рассмотрен);
тогда аналитические свойства 2 совпадают с аналитическими
свойствами G, а именно, существуют две функции 2Х и 2П, ана-
аналитические в верхней и нижней полуплоскости соответственно:
2(е) = 21(в),
?>0
в го
4 А. В. Мигдал

98 II- ИЗУЧЕНИЕ ФЕЙМИ-СИСТЁМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Пользуясь аналитичностью 2Г, получаем обычное соотношение
между мнимой и вещественной частью функции 2Х (е) — 2t @):
Re [2Г (е) - Sx @)] = ±- Р [ Im '* <f >_~ ?l <°" Л'. E)
—оо
Как мы покажем, ImSj @) = 0. Тогда из соотношения E) сле-
следует, что
J_p Г In, Si (в') =
п J б'
—оо
Вычитая это выражение из формулы E), находим
ReSI(e)-2I@) = fP
f Im2 (e), e>0
Так как Re2r = Re 2, a Im 2r(e) = | „.. _, то для
R 2
I О О
Свяжем теперь Im 2 (е) и Im 2 (—е) с величинами А я В спек-
спектрального разложения (формула B)):
Im2(e)= *_imG(e) = —™-Л,
1т 2 (—е) = -j-^y Im G (—е) = -^ В.
Окончательно получаем выражение, аналогичное разложению
Лемана:
Re 2 (р, е) =
ОО
VI г /\v F4 I I л\ \Ci J ¦ U yet f
0
или
2 (p, e) = 2 (p, 0) -
oo
g I / ^ ——_A „ ¦,.—. —j— I ¦
о
Подставляя сюда выражения для А я В через суммы по точным
состояниям системы, получим

II.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ГРИНА 99
где
г _ 1КЫ2 n 1Ы»о
Как мы видим, в сумме по s отсутствует состояние, соответству-
соответствующее одной квазичастице и одной квазидырке, так как для этих
состояний
G (р, et) = °°. G(P, —Bj) = «з.
Мнимая чаоть функции Грина
Рассмотрим вклад в мнимую часть 2 от слагаемого, соответ-
соответствующего рождению трех квазичастиц. Для е > 0 имеем из F)
6s, = bi + еР2 ~гР,< Р = Р\ + Р% — РЗ-
Мы обозначим через ръ р2 импульсы квазичастиц, а через р3
импульс квазидырки. Это выражение можно записать в виде
Im Е3 = J IГ (ри Ръ рз) I2 б (е - е^ — вРг + ePl+Pl-p) &px йръ.
Зависимость этой величины от е определяется зависимостью от е
статистического веса возбужденного состояния.
Так как каждая из величин e/,i, ePi, —гРа положительна, то
интервал интегрирования по dpt и dp2 ограничен требованием
еРи 2 = v (I Pi, 21 ~ Pf) < е И) таким образом,
Im 23 = ае2,
или, так как 1га 2 должна менять знак при изменении знака е, то
Im23 = а | е| е.
е->-0
Кроме этого слагаемого, в Im 23 имеются члены типа в3 и е21 е |,
которые возникнут, если мы учтем следующие степени в стати-
статистическом весе. Статистический вес сложным образом зависит от
соотношения е nv(\p\—pF) [33]. Для простоты ограничиваем-
ограничиваемся случаем р = pF. Слагаемые типа еа| е | появляются из-за не-
несимметрии частиц и дырок (различное фазовое пространство
для р > pF и р < pF), Im 23 меняет не только знак, но и абсо-
абсолютную величину, когда е меняет знак.
Статистический вес состояний из большего числа квазичастиц
начинается с более высоких степеней; так в выражении Im26»
соответствующем трем частицам и двум дыркам, старший член
разложения по е равен

100 11. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Действительно, по сравнению с ImS, добавляется два интегри-
интегрирования по dpi и dpb, причем модули |/>4| —Pf, \Рь\ —Pf огра-
ограничены условием v (| р^ 51 — ро) < е. Таким образом, разложе-
разложение Im 2 при е -> 0 имеет вид
Im 2 = а | е | е + Ре3 + уе21 е | + О (е4).
Подставляя Im2 в формулу, связывающую Re 2 с Im 2, не-
нетрудно получить
Re 2 -- 2« (е) + ^1 рЛ (е) In J^L + О (г%
причем 2# (е), |3Л (е) разложимы в ряд при е -> 0, и $R @) = р\
2* (р, 0) = 2 (р, 0).
Еще проще этот результат получить конструктивно. Слагаемое
|3е3 в выражении для мнимой части аналитической функции 2t (e)
имеет вид |3е2|е| и, следовательно, нужно найти аналитическую
функцию, .имеющую скачок мнимой части при е -»• 0, равный
2|3е3; такой функцией является
2If+Peln^ 2f+peln + /pe|e|,
что и дает приведенную выше логарифмическую особенность.
Если две частицы могут образовать связанное состояние с сум-
суммарным импульсом, равным нулю (куперовская пара), то состо-
состояние дырки определяется однозначно и мнимая часть 2 получится
вида
Im 2 = Д*6 (е + еД
что приведет к полюсу у 2. Ниже этот случай будет рассмотрен
подробно (П.З).
Вид функции Грина вблизи поверхности Ферми
В однородной системе 2 (р, г) не зависит от углов вектора р.
Введем величину рР по формуле
p2F/2m + 2 (pF, 0) = ц
Величина рР, как мы увидим, играет роль граничного импульса
Ферми для системы взаимодействующих частиц.
Разлагая 2 (р, е) в ряд по р —pF и е, получим выражение
для G (р, е) вблизи границы Ферми (слова «вблизи границы Ферми»
здесь и в дальнейшем означают: е -»• 0 и р -> pF)\
°" -' - тк + f - 2 <"• °)

II.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ГРИНА Ю1
или в другой форме
е) = .-P(p-p") + to|.|. + GR<* е). G)
где GR (р, е) не имеет полюса вблизи границы Ферми. Здесь мы
обозначили
дг )Р- \~дГ1Р'
If „
а
)f \ dp
= —
дг If \ дг )Р
При р -*¦ рР мнимая часть полюса стремится к нулю как (р —рРJ,
т. е. полюс стремится к вещественной оси. Как мы видели, полюс
G, лежащий на вещественной оси, означает одночастичное воз-
возбуждение с энергией вр. Так как вычет в полюсе G положителен,
то a(pF) > 0. Наличие мнимой части у полюса означает, что
состояние, соответствующее полюсному слагаемому G (р, 'в), не
есть точное собственное состояние системы. При р -*¦ pF это со-
состояние стремится к точному одночастичному состоянию системы
с энергией ер = v (р —рР).
Энергия и затухание кввзичаотиц
Перейдем в выражении G) к временному представлению
t)= \G(p, e)e-'«-g-.
При интегрировании первого слагаемого нужно сдвигать контур
интегрирования для т > 0 в нижнюю, а для т < 0 в верхнюю
полуплоскость е, заменив е | е | на значение мнимой части в полюсе,
равное иа (р —рР) \р —pF\.
Получаем
G(p, т) = \
_. iae-iv С-М х~^ [ 1 _ я0 (р)], х > 0,
iae~lv С-"") T+Vtn° (р), т < 0,
где
как
функция GR (/?, е) слабо зависит от р и в (G* заметно

102 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
меняется в области е ~ eF = -^-рр, \р — рг\ ~ рЛ, то первое сла-
слагаемое при т -»• оо быстрее убывает, чем второе слагаемое (для
значений р, достаточно близких к pF).
С другой стороны, функция Грина G (р, т) имеет смысл ампли-
амплитуды вероятности обнаружить начальное состояние Ф @) = «рФ0
через время т (т > 0). Здесь Фо, как и выше, точное основное со-
состояние системы. Действительно,
и амплитуда вероятности нахождения Ф @) есть
(Ф @) Ф (т)) = (Фоарв-'^а+Фо) = ШЕ»Ю (р, т).
Таким образом, в результате действия оператора а\ на основное
состояние возникает функция, содержащая слабо затухающий
волновой пакет, который и следует интерпретировать как квази-
квазичастицу с энергией е = v (р — pF) и затуханием у =
= a {p-pP)\v\
Аналогичные результаты можно получить для пакета, описы-
описывающего квазидырку, рассматривая начальную функцию Ф @) =
Ф
Скачок в распределении частиц по импульсам
Как это следует из определения A) (стр. 91) функции Грина,
распределение частиц по импульсам па (р) = —Ю (р, т) |т^_0.
Из "выражения G) для G (р, т)
получаем
/
Здесь через nR (p) обозначена плав-
плавная функция р вблизи р = pF
Рис. 2. Распределение частиц по
импульсам.
Таким образом, скачок в распре-
распределении частиц по импульсам сохра-
сохраняется и при наличии взаимодей-
взаимодействия.
Единственное ограничение на характер взаимодействия, кото-
которое налагалось при получении этого результата, это предположе-
предположение, что функция Грина не обращается в нуль (S не обращается
в бесконечность) вблизи поверхности Ферми. Ниже мы увидим,
как изменяется полученный нами результат в том случае, когда 2
имеет полюс (куперовская парная корреляция).
Существование скачка па (р) при р = pF (рис. 2) дает возмож-
возможность ввести понятие импульса границы Ферми в случае сильно
взаимодействующих частиц.

11.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТЁА ФУНКЦИЙ ГРИНА 1(K
Из спектрального разложения функции Грина мы видели, что
а > 0. Так как среднее значение оператора па лежит между его
собственными значениями 0 и 1, то для а получаем 0 < а < 1.
Аналитичвокие свойотва двухчаотичной функции Грина
Мы определили двухчастичную функцию Грина выражением
(стр. 80)
К (*i, x2; х3, Xi) = (TV (х,) У (*2) Т (*3) ?+ (*4)>,
причем
Ч? (x) = elHi4> (I) e-'«.
Рассмотрим случай, когда t3 = tt + 0, tt = t2 + 0. Тогда
К будет зависеть только от двух времен tt и /2:
К = -(ТУ (Xl) Ч^+ (лг3) V (дсО ?+ (х4)),
где
*i = (Еь У, *з = (i3, ^i + 0), хг = (Е„ у, х4 = (I,, /8 + 0).
Перейдем к представлению ф^ и рассмотрим функцию
Ккк (U, U) = — (Так (U) at {U + 0) ак (t2) at (t2 + 0)).
Разложение по собственным функциям системы дает
или переходя к фурье-представлению:
Кк к (е) = _ i У | (а а~г \ |2 [ I 1 |
Здесь в матричных элементах (a^at)^ = (Ф^л,,<з12Фо) состояния
Ф8 относятся к системе с тем же числом частиц, что и состояние Фо.
Поэтому состояния s соответствуют числу квазичастиц, равному
числу квазидырок. Величину /Сяд, можно изобразить графи-
графически:
Первый рисунок изображает слагаемое, соответствующее одной
квазичастице и одной квазидырке, последний соответствует со-
состоянию Ф5 с возбуждением типа звукового возбуждения.
Если энергия этого возбуждения Es — Ео = сом, то 1/Сяд2
вблизи е = ±05ц имеет вид
-о
- 2

104 И. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Таким образом, t'/Cjt,*,, имеет полюса в точках е = ±^ц с одина-
одинаковым вычетом, равным
|(*хЛу>|2.
Из выражения для /С*,,*,, следует, что
-Re /Схж*. - п 2 | K<)so |2 |S (?, - Ео - е) + S (Ей - Ео + е)}.
Все эти соотношения можно получить также из формулы для
спектрального разложения оператора
5 = е-'н*е (т); Sab (е) = i Ц (Ф^Ф5) (Ф;ФЬ) [е - Es + iV]-'
s
аналогично тому, как это было сделано для случая одночастичной
функции Грина.
Аналогичный результат получается для двухчастичной функ-
функции Грина общего вида
<
Обозначим
V. (*! + «) = '. V.(fc+«) = /',
t — t' = X, U — t[= Ть ^ — & = Т2.
Зависимость от времени матричных элементов
легко находится, если вспомнить, что а% (t) = eiHia^e^iHt. По-
Получаем
К Ся) «J (^о = e? (?s-?o) '• х; (х,. л; т2).
Перейдя к фурье-образу по т = t — V, при tlt t[ > t2, t't найдем
выражение
ь 'к'и ti; hi, h\, т2; e) =
которое переходит в полученную раньше формулу при х1 -*¦ 0,
т2 ->¦ 0. Если бы мы перешли к фурье-образу также по тх и т2,
то вместо xs (^i. Ч» Ti) возникло бы выражение xs (^ii K> 8i)»
причем
Вычет в полюсе К равен произведению функций, зависящих
от входных (А,х, Х[, Bj) и выходных (^2, %'2, е2) индексов.

11.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ ГРИНА 105
Рассматривая К при tt > /2, t[ > t'2, мы придем к сумме,
содержащей матричные элементы вида
в которых состояния s соответствуют системе с числом частиц
N -\- 2, если основное состояние системы соответствует числу
частиц N.
Обозначая теперь
получим, переходя к фурье-образу по t —1'\
A.!, A.2, т2; e) =
¦
где
(ox, UO ox. (У)о. - е-' (?S-?o)' T)S (т,).
В первом члене в фигурной скобке состояния s относятся к си-
системе из N + 2 частиц, во втором — к системе из N —2 частиц.
Связанному состоянию двух частиц (двух дырок) соответствует
изолированный полюс функции К при tx > tz, t[ > t'3.

11.3. ОДНОЧАСТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
В БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
Здесь и в дальнейшем ставится задача получения соотношений между
наблюдаемыми величинами без предположения о малости взаимодействия
между частицами,, поскольку в реальных системах такое предположение
не выполняется. Теория возмущений нужна была нам лишь для того,
чтобы развить графический метод, которым мы будем пользоваться. Для
этой цели будем выделять из всей совокупности графиков части двух типов:
быстро изменяющиеся вблизи поверхности Ферми, которые вычисляются
точно, и мало меняющиеся вблизи поверхности Ферми, которые в первом
приближении можно заменять константами. Эти константы не могут быть
вычислены теоретически, если в задаче нет малого параметра, позволяю-
позволяющего развить теорию возмущений", они должны быть взяты из опыта.
В некоторых системах две частицы с энергиями, близкими к границе
Ферми, могут образовать связаииое состояние (куперовская парная кор-
корреляция). Такие связанные состояния, как известно, приводят к сверх-
сверхтекучести (или в случае заряженных частиц к сверхпроводимости).
В этом случае собствеиио-энергетическую часть нельзя изображать
(как это выше делалось) первыми членами разложения по степеням р ~ рр
и к. Нужно предварительно выделить из ? слагаемое, имеющее полюс
и соответствующее переходу частицы в дырку и коррелированную пару.
Приходится вводить еще одну константу — неприводимую амплитуду тако-
такого перехода Д. Ниже этим методом получено выражение для функции Грина
вблизи поверхности Ферми. Полюс этого выражения дает энергию одно-
частичных возбуждений в случае сверхтекучести. Интеграл от Gs no de дает
матрицу плотности и, следовательно, распределение частиц по импульсам.
Наряду с функцией Грина Gs получается также и функция F, равная
сумме всех графиков, переводящих частицу в дырку и коррелированную
пару. Эта функция понадобится в дальнейшем для определения влияния
внешнего поля на систему в случае сверхтекучести.
Для Д получается уравнение, выражающее эту величину через ам-
амплитуду взаимодействия квазичастиц с нулевым суммарным импульсом.
Уравнение для А аналогично уравнению для амплитуды рассеяния в слу-
случае связанного состояния (II. 1). Уравнение для Д приводится к такому
виду, что в него входят взаимодействие и функции Грина только для зна-
значений риг, близких к границе Ферми (перенормировка амплитуды взаимо-
взаимодействия).
Найдено выражение для перенормированиой амплитуды взаимодей-
взаимодействия, входящей в уравнение для Л, из которого для слабого взаимодействия
между частицами получается условие перехода в сверхтекучее состояние.
Система без парной корреляции
Задача выделения медленно изменяющихся блоков в случае
одночастичной функции Грина осуществляется уравнением Д
сона
G = G9

ti.3. Функции Грина в бесконечной системе 107
Собственно-энергетическая часть 2 (р) содержит блоки, соединен-
соединенные тремя и более линиями с суммарным импульсом р. Интегри-
Интегрирование по импульсам этих линий делает, как мы видели, 2 (р, е)
медленно изменяющейся функцией рие вблизи поверхности Ферми
{\P\=Pfi e = 0). Это позволило нам изобразить 2 первыми
членами разложения в ряд вблизи поверхности Ферми и получить
выражение для G (см. П.2):
— в — и (р — р^) -Ь tot | 8 | е +
Константа а здесь равна
Эффективная масса квазичастиц, равная
1 _ v I (dG
т* - pF - Рр (дв
а также константа а не вычисляются теоретически, а должны
быть определены из опыта.
В том случае, когда в системе есть куперовская парная кор-
корреляция (связанное состояние двух частиц с импульсами, близ-
близкими к поверхности Ферми), собственно-энергетическая часть
имеет полюс и не может быть разложена в ряд вблизи поверхности
Ферми. Выделением медленно изменяющихся блоков, которые
можно заменять константами в случае спаривания, мы сейчас
и займемся.
Одночастичная функция Грина в случае сверхтекучести
Под системами с парной корреляцией будем понимать такие
системы, в которых комбинируют состояния: одна частица на
фоне N частиц и одна дырка на фойе N + 2 частиц. Иначе говоря,
в таких системах есть «конденсат» спаренных частиц и поэтому
отлична от нуля амплитуда перехода частицы в дырку и «конден-
сатную» пару, аналогично переходам в бозе-системе, Примерами
таких ферми-систем являются сверхпроводники и атомные ядра.
Изобразим амплитуду перехода частицы в системе N частиц
в дырку в системе N + 2 частиц графиком
под линиями помечено число частиц фона.
Изображенный здесь блок представляет совокупность всех
графиков, переводящих частицу в дырку, и по определению не
содержит частей, соединенных одной линией любого направления.

108 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Амплитуда Д<2) обратного процесса
комплексно сопряжена амплитуде ДA>.
Предположим, что коррелированные пары имеют суммарный
спин и суммарный импульс, равные нулю. Именно такой случай
осуществляется в сверхпроводниках. (Коррелированные пары
в ядрах образуются с полным моментом, равным нулю; этот слу-
случай мы разберем ниже, когда перейдем к конечным системам.)
Как будет видно ниже из уравнений для ДО и Д<2), эти величины
медленно изменяются при изменении р и е.
Переходы рассмотренного типа приводят к появлению полюса
в собственно-энергетической части 2. Действительно, когда две
частицы в слагаемом 2
образуют связанное состояние (коррелированную пару) с полным
импульсом, равным нулю, импульс дырки фиксируется (= —р)
и мы получаем график вида
дающий полюсное слагаемое в 2. Графики вида
когда две из линий образуют пару, не дают полюса, так как ин-
интегрирование по импульсам остальных линий сглаживает функ-
функцию S (вместо полюсного слагаемого получается интеграл типа
Кэши).
Рассмотрим более подробно полюсную часть Sft.
Для перехода частицы в дырку имеем
Поскольку импульс пары равен нулю, импульс дырки отличается
знаком от входного импульса, между тем как 4-я компонента от-
отличается на разность энергий основных состояний системы
Ео (N + 2) —Ео (N) = 2ц,?. Эти соотношения делаются очевидными,

tti. ФУНКЦИЙ ГРИНА В БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ М
если написать вместо графика, переводящего частицу в дырку,
эквивалентный график превращения двух частиц в коррелирован-
коррелированную пару
Энергия пары равна разности энергий основных состояний си-
системы из N и N + 2 частиц. Для перехода дырки в системе из
N частиц в частицу в системе из N — 2 частиц мы получили бы
-Р.-*
где 2ц," = Ео (N) —Ео (N —2). Если предположить, что ц.2 -=
= \i+ = \i и отсчитывать е от ц,, то можно объединить оба случая
в одну формулу, подставляя для G между блоками А выражение
G(—р, —е) (G —для обращенного времени):
Ниже мы получим точные выражения для G без предположения,
что ^ = цг-
Заметим, что линия между блоками А не содержит спарива-
тельных уточнений —все графики с такими уточнениями входят
в точное Gs, следующее в уравнении Дайсона после 2:
Gs = G0 + G0B + Eft)Gs,
где Gs —функция Грина с учетом спаривания.
Полюсная часть th, таким образом, имеет вид
2h(p) = -A^(p)^(p)G(-p),
где G — функция Грина без графиков, переводящих частицу
в дырку (эти графики учтены в Gs).
Собственно-энергетическая часть 2 (не содержащая переходов
частицы в дырку) по определению содержит только части, соеди-
соединенные тремя и более линиями. В интегралах по 4-импульсам
этих линий область интегрирования вблизи поверхности Ферми
играет малую роль.
Поэтому при А ^ eF (А определяет область искажения функ-
функций G) величина 2 в системе со спариванием мало отличается от
соответствующей величины в задаче без спаривания и может быть
вблизи границы Ферми заменена первыми членами разложения
в ряд по р — рр и е.

U6 П. ИЗУЧЕНИЕ ФЁРМИ-СИСТЁМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРЙНА
Используя уравнение Дайсона для G
G = Go + GqZG,
получаем
p)Gs(p), C)
или
G (р) -(- о (—р) д1 ' д( '
Подставляя в это выражение полюсные части G (р), получим
для полюсной части Gs (p) выражение
=a
в-*ц, р+рр е2 - е* — Д2 + »v
Здесь е и ер отсчитаны от ji; мы обозначили
Для дальнейшего нам удобно ввести величины F*1* и /г<2>:
представляющие полную совокупность графиков, переводящих
частицу в дырку (Я1*) и дырку в частицу (Т7'2*).
Величины Я1* и FB> содержат части, соединенные одной ли-
линией, например такие:
Кроме того, будем считать, что в F (в отличие от А) включены
входные и выходные линии.
Таким образом, величина Л1' (или аналогично Я2)) предста-
представляет собой амплитуду вероятности нахождения состояния с одной
частицей на фоне N — 2 частиц, если в начальный момент было
состояние с одной дыркой на фоне N частиц. Аналогично тому,
как это делалось при определении G (стр. 76), функция F может
быть определена следующими выражениями:
( '
Мы в дальнейшем будем пользоваться графическим определе-
определением F. Однако в некоторых случаях аналитическое выражение
может оказаться удобнее (см. П.4, стр. 125).

II.3. ФУНКЦИИ ГРИНА В БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
Графически уравнения для Gs и F запишутся так:
Здесь тонкие линии уже означают не функции Грина свободных
частиц, а функции G (р) и G (—р), где учтены все графики, кроме
тех, которые переводят частицу в дырку и наоборот. Эти уравне-
уравнения представляют собой графическую иллюстрацию уравнения
C) для Gs (p), записанного в виде двух равенств
(p)V(p)(p).
>(p)G.(p). ( }
Аналогично можно записать
Уравнения такого типа были впервые получены при изучении
системы бозе-частиц [71 ] и применялись к теории сверхпроводи-
сверхпроводимости [72].
Одночастичный сиектр и распределение по имиульсам
в системе с куперовокой перной корреляцией
Выражение для функции Грина D) можно записать следу-
следующим образом:
0.-а{т^_+-гф^} + 0", G)
где
U2 — ЕР+ЕР ,? _ ЕР~~ЕР Р2 2 , д2
2? ' ~ 2Я ' Р ~~ Р ~*~ '
В этом виде первое слагаемое в фигурной скобке Gs соответ-
соответствует одночастичному члену спектрального разложения 11.2.2,
и одночастичный спектр дается выражением
Ер =
Наинизшему возбуждению соответствуют значение р = pF и энер-
энергия ЕРр = А, т. е. одночастичный спектр имеет щель шириной Д.
Энергия дырок, как это видно из второго слагаемого в фигурной
скобке в G), дается той же формулой. Минимальная энергия
возбуждения, соответствующего рождению частицы и дырки,
равна 2А.
Найдем распределение частиц по импульсам вблизи границы
Ферми;

112 П- ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Так как при отрицательных т контур интегрирования можно
сдвинуть в верхнюю полуплоскость, то интегрирование первого
2Л слагаемого в Gs сводится к определению
вычета в верхней полуплоскости. Тогда
находим
(8)
Рис. 3. Распределение
частиц по импульсам Множитель при а представляет собой сгла-
в сверхтекучей си- I к *
стеме. женную в области порядка А скачкообраз-
скачкообразную функцию п° (р). Таким образом, вместо
распределения п° (р) получаем кривую, изображенную на рис. 3.
При А -* 0 функция
*,1п\— р~~вр s. \ер\~ер __ ^о/^\
Уравнение для А<12>
Так как АО (р, е) описывает амплитуду перехода частицы
в дырку и коррелированную пару (или двух частиц в коррелиро-
коррелированную пару), то уравнение для дA'2) должно быть аналогично
уравнению для амплитуды рассеяния в случае связанного со-
состояния.
Блок АA) равен сумме всех таких графиков, переводящих
частицу в дырку и пару, которые не могут быть разбиты на части,
соединенные одной линией любого направления. Все графики
такого типа имеют следующую структуру: сначала происходит
взаимодействие (поскольку в А") по определению не включены
концы). Затем идет полная совокупность графиков, изменяющих
направление частицы, т. е. F. Так как в F по определению вклю-
включены концы, то все графики взаимодействия, которые можно
разбить на части, соединенные двумя линиями любого направле-
направления, входят в F. Поэтому оставляем только те графики взаимодей-
взаимодействия, которые не содержат частей, соединенных двумя линиями
любого направления, тогда
(9)
Здесь G[ (р) = Gs (—p).
Блок V не содержит частей, соединенных двумя вертикальными
линиями любого направления, так как такие графики входят в F;

II.3. ФУНКЦИИ ГРИНА В БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ ИЗ
чтобы подчеркнуть это, мы изображаем 47 в виде узкого прямо-
прямоугольника. Первые члены ряда теории возмущений для 47 равны
+ ...
Перечеркнуты графики, не входящие по определению в блок 47.
Уравнение (9) в аналитической форме принимает вид
Блок 47 слабо зависит от 4-импульсов входных и выходных концов.
Величина 47 заметно меняется в области | р | ~ pF и е ~ гР. Это
относится ко всем величинам, не имеющим особенностей вблизи
поверхности Ферми. В самом деле, в системе, находящейся в рав-
равновесии без внешних сил, устанавливается такая плотность, что
область заметного изменения потенциала взаимодействия Vq
и обратное расстояние между частицами имеют порядок величины
импульса на границе Ферми pF. Поэтому все медленно изменя-
изменяющиеся величины заметно изменяются в области (pF, eF). Итак,
ЛA>2> (р, е) слабо зависит от (р, е) и в левой части уравнения (9)
может быть заменена на А"-2> (pF, 0). Однако в правой части
этого уравнения в интегралы по промежуточным 4-импульсам
входят области как близкие, так и далекие от поверхности Ферми.
В этом легко убедиться следующим образом. В области ePl ^> А,
6l» A
G (pi) Gs (— рт) ~ е2_е2 .
Вблизи поверхности Ферми №рх ~ dzxpFd&Pl, и так как интеграл
/ =
логарифмически расходится, то в (9) действительно играют роль
области как близкие, так и далекие от поверхности Ферми.
Перенормировке взаимодейотвия
Можно произвести такую перенормировку блока Я/, чтобы
в уравнении для A<''2> осталось интегрирование только по обла-
областям, близким к поверхности Ферми, что позволит использовать
в правой части (9') вместо G и G, полюсные слагаемые этих функ-
функций и заменить А'1-2) (р^) на А"' 2> (/v).

114 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Для этого разобьем GGTS на два слагаемых:
GGj = G(p1)Gs(-p,)= A+B,
А Ы = G (Pl) Gs (~Pl) 0 (I),
В (Рг) = G (pj О5(-Рг) [1 -в (Б)],
где
причем А <^ | <^ eF. (Вспомогательная величина ? не войдет
в окончательные формулы.)
Таким образом, в области | гР1 | > | будет Л = 0. Чтобы исклю-
исключить далекие от поверхности Ферми области интегрирования,
нужно привести уравнение для A(l- 2> к такому виду, чтобы в его
правой части А'1'2' стояло рядом только с А. Для этого подста-
подставляем в правую часть уравнения
<1. 2)
(здесь и далее операторное произведение означает f 0 f. Л вмес-
то величины Д <'•2) ее выражение через правую часть. Повторяя
эту операцию, получим
*\ (Ю)
где Г связано с *V уравнением
Уравнение A1) выражает переномированную амплитуду взаимо-
взаимодействия Г» через блок V. Интегрирование в уравнении A0) проис-
происходит только вблизи поверхности Ферми. ••я
Поскольку входные и выходные концы Г? (р, рх) лежат вблизи
поверхности Ферми (\р\ = \рх\ = рР, в = ъг =0), то П в урав-
уравнении A0) зависит только от угла между векторами р и рх. Вели-
Величину Р \~^г\ можн0 разложить в ряд по шаровым функциям
В уравнении A0) А и Д не зависят от углов вектора ру, поэтому
Остается только нулевая гармоника Г|. Уравнение A0) по прави-

11.3. ФУНКЦИИ ГРИНА 'В БЕСКОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ Ц5
лам расшифровки операторных равенств запишется после под-
подстановки выражений для G и Gs так:
dp
Bя)« } 2ш е2_
.
Интегрирование по е сводится к вычету в полюсе подынтеграль-
подынтегрального выражения.
Получаем
^ 2Ef #¦ In-f , A2)
4 J k> 4- Л2 2 йгг Д
6
где
rfp __ 9
/•'
Мы для простоты опускали спиновые индексы.
Пусть амплитуда взаимодействия Г? имеет вид
Г1 == Г1 + Г|<ца2,
где Г| и Т\ не зависят от спиновых переменных.
Оператор агаа находится из соотношения
(»! + o2f = а\ + а\ + 2аха2 = 4s (s + 1). Oiff2 = 2s (s + 1) — 3,
где s — суммарный спин двух частиц.
Для синглетного состояния (s = 0), в котором, как мы пред-
предположили, только и существует парная корреляция, а^ = —3.
Поэтому в формулах для Д и Г? под <2/ и Г? следует понимать диаго-
диагональное по спиновым переменным выражение
1 = 1 а — <Э1 ь> U — О а — о с/ Ь-
Так как GG.^ также диагонально по спиновым переменным, то
в формулах для Д и П спиновое состояние внутренних линий опре-
определено заданием внешних спиновых индексов и суммировать по
спиновым индексам внутренних линий не нужно.
Выражение для перенормированного взаимодействия.
Условие сверхтекучести
Покажем, что из уравнения A1) для Г5 вытекает
—V' A3)
in4-

116 ii. изучение фёрМй-сйстем методом функций грима
где С/ — константы, характеризующие взаимодействие между
частицами с суммарным спином и суммарным импульсом, равными
нулю. Для этого запишем уравнение A1), определяющее Г?,
двумя эквивалентными способами:
г1 = [1 - г1 [1 - е (i)i gg!) <v,
г1' = ^[i-GG,T[i-e(E')lrE'].
Умножим первое из уравнений справа на оператор
1 — GGf [1 — Э (!')] П'. Находим
г1 [1 - <?Gf и - е (О] г1'] - г1' - г1 [1 - е т ggJt1',
-e(i')] г5'(р.. р')
Здесь нет суммирования по спиновым индексам; под Г? следует
понимать Г5 = Г| —ЗГ|. Так как ?, ?' по условию много меньше,
чем гР, то в интеграл по рг входят только значения \рх\ — pF <
<^ pF. Так как, кроме того, произведение двух полюсных частей
функции Грина
\Р) \~~Р> — 8 _ е^ + iy sgn np e + ep — iy sgn zp
достаточно быстро убывает с е, то медленно изменяющиеся функ-
функции Г5, Г?' можно вынести в точке рх = рг, 6 = 0 и считать их
функциями только угла между векторами р и р'. Функции Грина
G (Pi)* б (—pi) можно заменить их полюсными частями.
Разлагая, как и выше, Г? (рр^рУ) по шаровым функциям,
получим
Т, - Т, = -2а -gj^-j-
x
Г dp С dz1—1
Х )
2ni ч-чр + iy sgn гргА-гр — iy sgn ep
|„|
aaPfOT* ГЕГЕ' Г
2B/ + 1) Х/1' \
2|е_|
1«,1=6
Пусть I' -> |; тогда получаем дифференциальное уравнение для
да dp
dV%l &F /Г|Ч2 J
d\ 2Bl +

и.з. функции грима в бесконечной системе и?
решение которого будет (см. A3))
1Г _|_
С,
Подставляя это выражение в формулу A2) для А, получим
А = 2С0. A4)
Выясним связь Со с потенциалом взаимодействия V для достаточ-
достаточно слабого 8-образного потенциала взаимодействия
V = Vob (г, - га), Ко -» 0.
Путем несложных вычислений можно получить из уравнения
A1) для П
где в! — число порядка sF, которое мы не будет определять.
С другой стороны, формула A3) для ГЦ дает при Со -*0
1 ~2 dp „е
е. ~Т~ / в- \ 2 ~Г
Сравнивая оба выражения для П, получаем связь Со с Vo
1„! Ф V _ !_
2 ^ """ mi'
Со
Из формулы A2) получаем в качестве условия сверхтекучести
Vo <0.
В противном случае уравнение A0) имеет только нулевое решение
А = 0. Для Со это условие означает
При сильном взаимодействии между частицами (когда неприме-
неприменима теория возмущений) не удается установить простого со-
соотношения, выражающего критерий сверхтекучести через свой-
стра потенциала взаимодействия.
Таким образом, А выражается через нулевую гармонику
амплитуды взаимодействия П. Величина П, как мы увидим,
входит также в уравнения для спектра коллективных возбужде-
возбуждений и в поляризационный оператор, определяющий реакцию
системы на внешнее поле. Амплитуда взаимодействия П опреде-

П8 и. изучение фёрми-систем методом функций Грина
ляется сложной совокупностью графиков и может быть вычислена
только при слабом взаимодействии в виде ряда теории возмущений.
Можно, однако, отказавшись от вычисления Г?, определить
эту величину из сравнения теории с экспериментом. Найденное
значение П может быть затем использовано для интерпретации
различных экспериментальных фактов.
Кроме того, уравнение A0) для А особенно полезно в случае
ядра. Действительно, в Г?, как видно из ее определения, несуще-
несущественна область вблизи поверхности Ферми, и поэтому вели-
величина Г? должна быть приблизительно одинаковой для всех ядер,
тогда как А, определяемое из A0), существенно зависит от струк-
структуры уровней вблизи поверхности Ферми и заметно меняется от
ядра к ядру.

11.4. ОДНОЧАСТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ
В этой главе для нахождения функции Грина в конечной системе вво-
вводятся одночастичиые функции (р^ (г, s), которые выбираются так, чтобы
функция Грина вблизи границы Ферми была диагональна по X в Х-пред-
ставлении. Из этого требования получается одночастичный гамильтониан,
собственными функциями которого являются ср^:
Эффективная масса т* и потенциал U (г) выражаются через собственно-
энергетическую часть ? и могут быть представлены в виде ряда теории воз-
возмущений по взаимодействию между частицами. В первом порядке теории
возмущений получается самосогласованный потенциал Хартри — Фока.
Если взаимодействие не мало (как, например, в случае ядра), то по-
потенциал U (г) выражается через несколько параметров (как это делается
в модели оболочек), которые определяются из опыта.
Найденная с помощью фа, функция Грина имеет полюса при 8 = вд.
С другой стороны, из спектрального разложения видно, что полюса функ-
функции Грина определяют одночастичные возбуждения в системе.
Таким образом, энергяи одночастичиых возбуждений в системе опре-
определяются собственными значениями гамильтониана Н. Тем самым дается
обоснование так называемой модели ядерных оболочек при сильном взаимо-
взаимодействии между частицами (см. также1 IV.1).
В случае спаривания получаются уравнения для функций G и F, ана-
аналогичные уравнениям для бесконечной системы.
Сравнение полученного для G выражения со спектральным разложе-
разложением позволяет найти правила обхода полюсов в системах с четным и не-
нечетным числом частиц.
Из выражения для функции Грииа находится распределение частиц
по состояниям X. Полюсная часть функции Грина определяет распределение
квазичастиц.
В тех случаях, когда разность химических потенциалов при добавле-
добавлении и вычитании двух частиц сравнима с Д, выражения для G и F услож-
усложняются. Примером такого случая могут служить сферические ядра вблизи
мест заполнения подоболочек. Чтобы получить уравнения для G и F, в этом
случае приходится рассматривать G и F отдельно при т > О (G+, F*) и при
т<0 (G-, F-).
Получена система уравнений для величин G*, F*, А*. Решение этой
системы позволяет определять дефекты масс вблизи магических ядер.
Уравнение для одночвстичных собственных функций
В случае бесконечных систем явные выражения для функций
Грина вблизи поверхности Ферми удалось получить после пере-
перехода к импульсному представлению.
В случае конечных систем сразу же возникает вопрос о вы-
выборе наиболее удобных одночастичных функций фл, (г, s).

120 II- ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Мы увидим, что можно так определить одночастичный гамиль-
гамильтониан для функций фх, чтобы полюсная часть функции Грина G
в представлении ф^ была диагональна по К.
Уравнение Дайсона в координатном представлении можно
записать в виде
Здесь ? = (г, s) — пространственная и спиновая координаты,
8ft-?') = 8(r-r'N,,..
В представлении пока еще произвольных функций <р?, это
уравнение приобретает вид
S(E,|',e)]Ui}Ox1v = eu.. A)
(Предполагается суммирование по Х^)
Пусть, система функций щ выбрана так, чтобы выражение
в квадратной скобке было диагонально
1^ + 2A, |',e)]u=ZMe)8u, B)
Тогда и функция Грина становится диагональной по Я,
Функции фя, диагонализирующие G, удовлетворяют уравнению
-?- Фь (?, е) + J 2 ft, ?ь е) ф^ (|ь е) d?x == ?k (e) ф^ ft, e).
Введем 2 (|, р, е) — собственно-энергетическую часть в сме-
смешанном представлении
где оператор р — — у действует только на функции, стоящие
справа от 21 ft, р, г). Уравнение для фя (Е, е) примет вид
[ J? + Б ft, р, е)] q ? ft, e) = ?fc (e) Ф^ ft, e).
(Оператор 21 действует и на спиновые переменные.)
Для нахождения одночастичных энергетических уровней,
которые определяются полюсами G, и для нахождения полюсной
части в координатном представлении достаточно знать функции
фя (I. в) при е = ех. Действительно, полюсная часть функции
Грина дается выражением, которое следует из формул A) и B):

11.4. ФУНКЦИИ ГРЙНА В КОНЕЧНЫЙ СИСТЕМАХ
где е^ определяется соотношением
а величина ук -* 0; вопрос о выборе знака у-л как функции X
будет ниже подробно рассмотрен.
Вычет G в полюсе
ах 1 м)
Из уравнения для фя (?, е) следует, что
ч 52
52 , ,«. ч\ / 52
-вгФх(Б, «О) = (-вг
Итак, е^ — энергия одночастичных состояний и ая — вычет
в полюсе G определяются значениями функций ф^ (|, е) при е =
= е^. Поэтому для конечных систем следует пользоваться систе-
системой функций
<К (I) = Чк И, Ч),
которые удовлетворяют уравнению
+ S & )} ' ® ^№)• E)
Для энергий возбуждения, близких к границе Ферми, это урав-
уравнение можно упростить. Предположим сначала, что 21 (?, р, г),
как и в бесконечной системе, не зависит от углов вектора р и от
спиновых переменных.
Введем величину р2Р (г), определяемую уравнением
^?2+2 (г, Mr), V) = V-
В бесконечной системе pF не зависит от г и совпадает с импульсом
на границе Ферми.
Разлагая 21 в ряд по р2 — р\ и е^ — ]х, получим
х = 0. F)
Здесь ( )F означает, что выражение взято при е = [i и р —
= рР (г). Так как дЯ/др2 зависит от г, то выражение (д^/др2) рг
следует понимать как р (dZ/др2) р. Тогда оператор, действующий
на гр>. в F), будет эрмитовым.
Функции \|>ь ортогональны с весом 1 —д21/де = а (г). Мо-
жно ввести волновые функции квазичастиц ф^ = (l/>/ a(r))\|v
которые ортогональны, как обычно, с весом 1.
Справедливость приведенного разложения внутри ядра опре-
определяется малостью радиуса взаимодействия по сравнению с ра-
радиусом системы. На поверхности, где характерная длина изме-
изменения плотности сравнима с радиусом сил, отклонение от этого

122 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ'СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
разложения учитывается членами, содержащими градиенты плот-
плотности. После учета таких членов, энергии квазичастиц гх и, сле-
следовательно, их химические потенциалы будут отличаться от точ-
точных одночастичных энергий в членах ~-Л-2/з.
В ядрах величины а (г) и (т* (г)/т) мало отличаются от 1
и зависят от г только на поверхности ядра. Поэтому для боль-
большинства явлений они могут быть заменены своими значениями
в ядерной материи с точностью ~ A — а) Л~1/з, {(т*/т) — 1) Л—1/».
Тогда уравнение E) может быть записано в более привычной
форме:
{ } G)
где
т
т*
Слабое непостоянство функций U, а, т* внутри объема вызы-
вызывается частицами последних оболочек и кулоновскими силами.
Зависимость /и* и я от г на краю ядра нужно учитывать в тех
задачах, где поверхность играет существенную роль, например,
при вычислении энергии ядра, при расчете переходных плотно-
плотностей или при точном нахождении одночастичных энергий. Вблизи
поверхности системы, где плотность неоднородна, величина
^ (**> Р> М-) зависит от углов вектора р через скалярные комбина-
комбинации:
Учет этой зависимости приводит к дополнительным членам
в потенциале. Поскольку эти члены велики только у поверхности
ядра, они вносят поправки порядка А—1!».
Первая из этих величин приводит к спин-орбитальной связи
и классификации функций по полному моменту. Вторая и третья
величины пропорциональны квадрату радиального импульса
p^p,
где / — орбитальный момент.
Как и выше, р2 можно заменить на pF (r) и полученную функ-
функцию от г считать включенной в эффективный потенциал у поверх-
поверхности ядра. Поэтому одночастичный гамильтониан принимает
вид
Учет членов порядка р4 привел бы к слагаемому у (г) /4.

II.4. ФУНКЦИИ ГРИНА В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ 123
Эти добавочные члены малы и мало изменяют функции ф^,
но существенно влияют на ход уровней.
Ниже, в приложениях к ядру, будем предполагать, что e>,
взяты из экспериментальных данных или из какой-либо расчетной
схемы, приводящей к хорошему согласию с экспериментальным
ходом уровней.
Так как соотношения, полученные в этой главе, справедливы
как для нейтронов, так и для протонов, то имеются две ветви одно-
частичных возбуждений — нейтронная и протонная — с отли-
отличающимися эффективными потенциалами.
Функция Грина в представлении ф^ (г) имеет вид
Величина G*y (e) не имеет полюса, соответствующего одночастич-
ным возбуждениям. Функция G%\- (г) содержит суммы полюсных
слагаемых, соответствующих рождению трех, пяти и т. д. квази-
квазичастиц (см. II.2).
Суммирование по состояниям квазичастиц сглаживает функ-
функцию G\i>, так что она в среднем мало отличается от аналогичной
функции в бесконечной системе. Это замечание относится ко всем
величинам, которые определяются суммами по многим одночастич-
ным состояниям системы. Так как (д/дг) Е (г, р, е) зависит
от г только вблизи поверхности, то с^ слабо зависит от Л. (баЛ ~
~ A —ак) А~1/"), поэтому в дальнейшем значок Л. у ах будет
опущен.
Функция Грина уравнения G) в сферическом ядре вычисля-
вычисляется в замкнутом виде в координатном представлении. Разло-
Разложим G (r, s, r', s'; e) по шаровым функциям со спином Ф^/т(я, s)
G(r, s, r', s'; e) = 2 Gu(r, r'; г)Ф}1т(п,з)ФПт(п', s').
Ijm
Здесь Gtj выражается через два независимых решения уравнения
Id m d , ,,
где
следующей формулой:
УЛг)УАП, г<г\
УЛПуЛП, г>г',
где ух и у2 удовлетворяют следующим граничным условиям:
Ух @) = 0, ух (°о) ограничено. Их нормировка выбрана так, чтобы
(т/т* (г)) W (г) — 1, где W (г) = W [г/1( у2] — вронскиан двух
решений. Эти выражения будут использованы при решении урав^-
нения для эффективного поля.

124 И. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Одночастичная функция Грина в случав спаривания
В случае спаривания собственно-энергетическая часть, так же
как и в бесконечной системе, содержит полюс, соответствующий
переходу частицы в дырку и конденсатную пару, и поэтому про-
процедура разложения в ряд вблизи поверхности Ферми, выполнен-
выполненная выше, может быть проведена только после выделения этого
полюсного слагаемого [72]. Графическое уравнение для функций
Грина в случае спаривания имеет такой же вид, как и в бесконеч-
бесконечной системе (Н.З):
_ ^Ч IF®
Здесь тонкие линии означают точное G задачи без спаривания
(П.З). Аналитически имеем
где GT означает G транспонированное (в координатном представ-
представлении Gr(l, 2) = G B, 1), см. ниже (III.2). Переходя к Х-пред-
стайлению и используя выражение для полюсной части G, полу-
получаем (значок s дальше опускается)
(е - е,) Gu- == a FU<
Матричный элемент
А&Г = J Ф*. (ii) ДA> 2) &, 1а, е) ф*
можно записать в более удобной форме, если ввести величину
АAг2)(?> р, е) в смешанном представлении, аналогичную
2 F, р, е):
ДA' 2) Aъ Р, е) =
и результат действия оператора р" на ф^, для е^ вблизи границы
Ферми заменить, как мы делали выше, умножением на число рр;
тогда
j п' 2) (I, Pf, Ц) Фх,
= Ц) = j
В бесконечной системе А*1-2) E, ^F, fi) не зависит от г. В ко-
конечной системе, в тех случаях, когда AA-2) (|, pF, \i) мало изменя-
изменяется на длине волны частицы, т. е. представляет собой плавную
функцию, к ее матричным элементам применимы приведенные выше
квазикдассические оценки (см. стр. 36). Поэтому можно считать,

II.4. ФУНКЦИИ ГРИНА В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ 125
что недиагональные матричные элементы Дм'2) заметно отличны
от нуля, только если
Таким образом, недиагональные слагаемые в сумме по %i
в (9) заметно отличны от нуля только для | е»,— er | ~ 8/.А~1/* >
» А и вносят малый вклад по сравнению с диагональными из-за
больших знаменателей Ffci1 и Gxtx-:
(е - ex) Gxv « а (8U. - ДЙЖ), (е
Обозначая аДм 2) = Д11>2), получим
П г, 8 +е^ - „ Iе*- + **¦ 1 , Д^-е^ 1 \
UU »82_82_д^ «1 2?^ -в-Е>. + 1у'Г 2ЕХ s+Eb-iyl>
A0)
F . - А^ _ аАя / 1 1 \
U 82-^-А^ 2?xb-?fc+«"Y e + Ex-tyl'
где
Правила обхода полюсов мы обсудим в следующем разделе.
Уравнение, определяющее Дь будет получено ниже.
Для достаточно большой системы, где на ширине Д укладыва-
укладывается несколько уровней, Д (г), как мы увидим, слабо зависит
от г, т. е. Д^ слабо зависит от X.
Нетрудно получить также и недиагональные значения F и G.
Так как недиагональные матричные элементы Д^, или малы,
или появляются вместе с большим знаменателем ({е^ — е^2 | ~
~ ЕрА^1!' ^> Д), то можно найти недиагональные значения F
и G, рассматривая в (9) недиагональное Д>,д2 как малое возму-
возмущение. Тогда легко получить
Gxx' (е) = — Gkk (e) Au'/Va/ (e) — FXx (e) bwGw (г),
Fkk' (e) = Gm, (- в) Дхх-Gvv (е) - FKX (г) A^Fvv (е). ( '
Если энергия, входящая в одну из функций Грина в правой части
A1), лежит у границы Ферми, то вторая функция из-за большого
знаменателя ([е*, — &%> \ ~ гРА~1^ > Д) становится малой. От-
Отсюда мы заключаем, что недиагональные значения Gxv и Fu'
меньше диагональных в отношении —Ахк'А4' "С 1.
8F
Правила обхода полюоов в системах
о четным и нечетным чиолом чаотиц
Уравнения (9) определяют функции G и F с точностью до
слагаемого, представляющего решение однородного уравнения,
что соответствует произволу в способе обхода полюсов в форму-
формулах A0) для G и F, Эта неоднозначность устраняется сравнением

126 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
A0) для G со спектральным разложением для функции Грина
(II.2, стр. 95):
I Кк I2 , I К)
- Es + Ео + (А + /V B + Es — Eo + p — i.
S
Здесь
№. = (Ф«а?Фо)-
Знак мнимой части в полюсных слагаемых G определяется тем,
из какого члена в фигурной скобке возник полюс. Полюсы G
происходят из тех слагаемых в разложении а1Ф0 и а^Фо по точ-
точным функциям системы, которые соответствуют одночастичному
состоянию, определенному значком X. Как мы видели, каждое
неодночастичное возбуждение дискретного спектра, совместимое
с законами сохранения, дает полюс вСс малым вычетом (см. II.2).
(Ниже под полюсом G понимается полюс с вычетом порядка еди-
единицы.)
Рассмотрим сначала функцию а{Ф0. В разложении
могут присутствовать два слагаемых, дающих полюс в G: одно,
соответствующее квазичастице в состоянии К = v, m, добавлен-
добавленной к системе iV частиц, и второе, соответствующее квазидырке
в состоянии —X = v, —т в системе N + 2 частиц, где т — проек-
проекция момента на ось симметрии системы, v — совокупность осталь-
остальных квантовых чисел. С малым весом будут присутствовать также
полюсные слагаемые, соответствующие спариванию с разными v,
т. е. слагаемые с квазидыркой в состоянии —Хх = vx, —т. Дей-
Действительно, мы видели, что такие слагаемые присутствуют в сумме
по %i в уравнении (9), но дают малый вклад в G по сравнению
с диагональными слагаемыми, которые соответствуют, случаю
%i = X. Аналогично этому в разложении
также имеются два члена, которые могут дать полюса в G%\ сла-
слагаемое, соответствующее квазидырке К в системе из N частиц,
и слагаемое, соответствующее квазичастице —X в системе N — 2
частиц. Сравним выражение A0) для G% со спектральным разло-
разложением. Так как величина Es (N + 1) — Ео (N) — [г положи-
положительна, то полюс при е > 0 соответствует первому члену в фигур-
фигурной скобке спектрального разложения и должен обходиться сверху.
Полюс при е < 0 возникает из второго члена в фигурной скобке
и поэтому обходится снизу (лежит в верхней полуплоско*
сти).

11.4. ФУНКЦИИ ГРИНА В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ 127
Здесь пока не делается различия между химическими потен-
потенциалами для добавления и вычитания одной и двух частиц:
)ii = Eo(N + \)-Eo{N), vT = E0(N)-E0{N-l),
|4 = 4- iEo(N + 2)~E0(N)\, 1*2 = ||?o№ - E0(N-2)\.
(В следующем разделе правила обхода будут получены без пре-
пренебрежения разницей ц^'~, \*?'~¦)
Особого рассмотрения требуют состояния Ко и —Хо [28],
в которых находятся квазичастица и квазидырка нечетной систе-
системы. Предположим, что при добавлении нечетной частицы в основ-
основном состоянии системы появляется одна квазичастица Ко. (Заме-
(Заметим, что в некоторых ядрах добавление нечетного нуклона вызы-
вызывает перестройку в распределении квазичастиц, и основное состоя-
состояние такого ядра не есть состояние с одной квазичастицей сверх
фермиевского заполнения.) Тогда в состоянии Ко нельзя образо-
образовать еще квазичастицу, а в состоянии — Ко нельзя образовать еще
квазидырку. Таким образом, для состояния Ко первое слагаемое
в спектральном разложении не дает полюсного вклада и оба по-
полюсных члена в G возникают из второго слагаемого и, следователь-
следовательно, имеют полюса в верхней полуплоскости.
Наоборот, в состоянии —Хо оба полюсных члена G возникают
из первого слагаемого спектрального разложения и, следователь-
следовательно, оба полюса находятся в нижней полуплоскости.
Итак, для всех X в четных системах и для всех К, кроме Ко
и —Я,о в нечетных, имеем для полюсной части функции Грина
(см. A0) на стр. 125)
G г + гх [ 4 . 4
A2)
Для состояний %0 и —Ко в нечетной системе получаем
8 + 8, D 4
(г — ?, — iy)(s-\-Ei — iy) le — ?, — iy ' 8 + Е% —iy\ '
A3)
-Exo+iy + в + Ех[ + iy) '
где 7 -> +0. Очевидно, что такие же обходы полюсов будут и
У /\-

128 ii- изучение фёрмй-сйстём методом ФУккцйи грйНА
Распределение частиц и квазичастиц пс состояниям
Так же как и в случае бесконечной системы, интеграл от
Gj, (e) no d& дает число частиц в состоянии Я,
nl = (Ф„а? ахФ„) - — Шх (т) | ^ _0 = \ G% (е) е~'« ^.
т-> —о
Добавляя к выражению A2) 'неполюсную часть GR и интегри-
интегрируя по de, получим
* ? ^. A4)
Из выражения A3) для состояний "к0 и —Хо нечетной системы
находим
< - < + fl (u*. + О - nl + a, nix, = n« v
Величина п^, получившаяся от интегрирования неполюсной
части G, слабо зависит от значка "к, поскольку GR в координатном
представлении — 6-образная функция
Величины Пх определяются так:
и представляют собой числа заполнения квазичастиц (II.2, стр. 102).
В нечетном ядре имеется одна квазичастица в состоянии Хо и одна
квазидырка в состоянии —Хо.
Число квазичастиц в состоянии к равно
Фсрмфактср квазичастицы
В однородном веществе из равенства числа частиц и квазича-
квазичастиц имеет равенство плотностей п° = п. Это равенство сохранится
и в случае достаточно медленно изменяющейся плотности. Найдем
поправку к этому соотношению, связанную с формфактором ква-
квазичастицы, т. е. с тем, что квазичастица представляет собой облако
частиц с размером порядка радиуса сил взаимодействия. Из-за
симметрии функции преобразования от частиц к квазичастицам
в состоянии с одной квазичастицей с весом а присутствует частица,
и распределенное облако частиц и дырок имеется с весом 1 —а.
Это означает, что формфактор квазичастицы при больших импуль-

tt.4. функций гринА в конечных системах 123
сах есть aF (&), где F (k) — пустотный формфактор нуклона Для
импульса k (F @) = 1). Запишем плотность квазичастиц 6 виде
П° (#•) = П(г)+\% (Г, гг) (п (п) - Я (г)) йГ1.
Второе слагаемое имеет порядок 1 — а.
Для медленно изменяющейся плотности это выражение можно
записать в виде, не противоречащем теореме о равенстве чисел
частиц и квазичастиц:
где г\ — константа, которую следует находить из эксперимента.
Это соотношение должно быть использовано при анализе экс-
экспериментов по рассеянию быстрых электронов с большими переда-
передаваемыми импульсами к. Действительно, в этих опытах определя-
определяется величина
= \ eikrn<>(r)dr,
тогда как вычисляется не плотность частиц п°(г), а плотность
квазичастиц
п{г)= Ц
Для того чтобы найти п° (k), следует вычисленную величину я (к)
умножить на формфактор Fq (k) квазичастицы.
В методе Хартри—Фока с эффективными силами этот форм-
фактор полагается равным единице, так как частицы и квазича-
квазичастицы считаются идентичными (а — 1). Именно поэтому эта
теория не согласуется с экспериментами по рассеянию при боль-
больших к. Величина Fq (k) должна учитываться при вычислении ку-
лоновской энергии ядра и проявляется в разности масс зеркаль-
зеркальных ядер. Метод Хартри—Фока в этих случаях не согласуется
с опытом (аномалия Нолена—Шиффера).
Равенство между числом частиц и квазичаотиц
Пользуясь тождеством
dG de,
Которое мы ниже докажем, можно найти связь между числом
частиц и квазичастиц, о которой говорилось в предыдущем, раз-
разделе. Этот вывод почти без изменения повторяет аналогичные
выкладки для бесконечной системы [5].
Число частиц равно
5 А. Б. Мнгдал

130 ti. Изучение фё^мй-сйстём методом фуНКцйй грйНА
С другой стороны, из приведенного тождества, используя равен-
равенство
получаем
o = -sP{
или, иначе
X
де
^ d2 dz
т->—о
00
Л —00
т->—0
*¦*¦' де '
,я?- ЛА+Sp ) б
т->-о
—ОО
de
Здесь G следует понимать как матричный оператор. Введем
функцию. Gi, регулярную в верхней полуплоскости и совпадаю-
совпадающую с G при е> 0 (е отсчитано от fx). Как мы видели (П.2, стр. 93),
Gj = G* при ё < 0. Так как G\ аналитична в верхней полупло-
полуплоскости, то
2nt de
Вычитая это равенство из выражения для N, находим
где ф—фаза G-функции (G — | G | el4p).
Предположим, что система функций ф^ выбрана так, чтобы
Gu.' была диагональна при е = 0. Выше (II.4, стр. 121) мы вы-
выбирали систему функций ф>, так, чтобы G была диагональна при
г — гк. Вблизи границы Ферми (при | ех — еР\ < eF) оба оп-
определения фь совпадают.
Тогда фаза G-функции при е ->• —0 имеет вид
(О, ReG,(-0)>0,
:=-о U'~ **'1я, ReOfc(— 0)<0.
Мы использовали следующее соотношение (П.2, стр. 92):
Im GK | Е < о > 0.
Найдем ф (—оо). Как мы видели в П.2, стр. 95, функция Грина
равна сумме полюсных слагаемых с положительными вычетами.
После каждого полюса следует нуль G (е). При движении по от-

II.4. ФУНКЦИИ ГРИНА В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ 131
рицательной оси е вещественная часть G изменяет знак в каждом
полюсе и нуле, тогда как знак мнимой части не изменяется
(Im G}, > 0). Поэтому фаза ф (е) изменяется на ±я при прохож-
прохождении каждого полюса или нуля. Однако при переходе через
полюс и нуль фаза восстанавливается. Следовательно, ф (—оо)
определяется знаком Re G при е = —оо. Так как
то ф ( —оо) = ябм'- Поэтому
ф(_0)-Ф(-ао) = 6и,@1 ReGfc(_0)<0>
Для числа частиц получаем
N = ? 1.
ReG^ (— 0)>0
Вблизи границы Ферми
и, следовательно,
sgn Re С (— 0) = — sgn гк.
Вблизи границы Ферми величина (р2/2т* + 2)м', определяю-
определяющая G при е = 0, с точностью до множителя а совпадает с энер-
энергией уровня е^, в яме. Естественно предположить, что вдали от
границы Ферми знак этой величины совпадает со знаком еь
т. е. последнее соотношение соблюдается при всех е^.
Тогда
Парная корреляция (при Д <^ е^) изменяет числа заполнения
в узком слое (~2Д) вблизи гР, симметричном относительно гр
так, что
S (Я* -«0 = 0. '
поэтому и в случае спаривания получим
N = S п% = S ль 2=S^=Snx.
п п р р
Потенциальная яма модели оболочек отличается от того выраже-
выражения (зависящего от е^), которое надо использовать при точном
подходе. (При энергиях, близких к границе Ферми, эти величины
совпадают.) Естественно ожидать, что разность этих двух выраже-
выражений представляет достаточно малое возмущение, не изменяющее
хода следования уровней. Тогда формулы для N и Z сохранятся
и в том случае, если под ср^ понимать собственные функции мо-
модели оболочек.
5*

132 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Докажем теперь использованное нами тождество. Рассмотрим
какой-либо из графиков 2, например
и замкнем концы этого графика. Получим
Изменение этой величины при изменении отсчета е у всех функ-
функций G, входящих в ^<3), очевидно, равно нулю. С другой стороны,
Аналогичный результат получается, как можно убедиться на
нескольких примерах, для всех типов графиков в более высоком
порядке:
бе
Отсюда и вытекает использованное равенство
:~dx = 0.
де
Предоставляем читателю провести более строгое графическое
доказательство этого тождества с учетом двух типов частиц [5].
Уточнение функций Грина в конечных системах*)
Более точные выражения для функций G и F можно полу-
получить, отказавшись от объединения функций G* и (Г (функций
частицы и дырки) в одну функцию G (II.1).
Действительно, частица, добавленная к системе N частиц
(G+), и дырка, образованная в этой системе (G~), могут оказаться
в разных условиях.
Рассмотрим, например, магическое ядро с одной нечетной
частицей. Частица, добавленная к этому ядру, может образовать
пару с имеющейся нечетной частицей, между тем как дырка в со-
состоянии нечетной частицы (уничтожение нечетной частицы),
соответствует магическому ядру с нормальным ферми-заполне-
нием квазичастиц (пх — 1 для е>, < ц, и пк = О для е^, > ц).
Благодаря этому функции G* и (Г могут в некоторых случаях
сильно отличаться от простых выражений, найденных выше.
*) Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.

II.4. ФУНКЦИИ ГРИНА В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ 133
Получим систему уравнений для функций G+ и G'. Для функ-
функции Gt, имеем во временном представлении
Под линиями написано число частиц фона. Это выражение, по
существу, не отличается от написанного выше (стр. 124) графиче-
графического уравнения для G. Поскольку рассматриваются т > О,
слагаемое с б (т) не входит в правую часть.
Здесь изображены графики, соответствующие только спарива-
тельному взаимодействию. Это означает, что под Go понимается
полюсная часть точной функции Грина задачи без спаривания
(а не функция Грина свободных частиц).
Функция Грина, стоящая между блоками ДA), и Д<2>, не со-
содержит спаривательных графиков, поскольку они включены в
функцию G+ справа от ДB>.
Используя выражения для Sfe, полученные в (II.3, стр. 109)
с заменой р на X, получим для функции Грина между блоками
ДО. 2) в е-представлении
Аналогично в уравнение для G~ между блоками Д*1' и ДB> входит
величина
где 2|ii = Ео (N + 2) - Ео (N), 2цг = Ео (N) - Ео (N - 2).
Для простоты пренебрегаем малыми относительными измене-
изменениями величин 8х''~ \/А при добавлении и вычитании одной й
двух частиц.
Полюс функции Gjt (е) при е = Е\\ означает, что в т-представ-
лении
t_\ Gt(O)er-t?fo, т>0,
к~~\ 0 , т<0.
Поэтому в уравнениях для G+, F* нужно i-^- заменять на Et\.
После этих замечаний нетрудно получить уравнения для G и F
с учетом различия \i% и цг:
A7)

134 И. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Здесь обозначено
Ft = F<2) (N + 2, Л/); П = Fiu (N - 2, N);
M = AJt" (Л/, tf -f 2); Д? = Ai1' (Л/ _ 2, Л/).
Поясним эти обозначения. В уравнение для G% входят
тогда как в G? входили
Таким образом,
Величины А+ и А" находятся из F* и F~ (см. ниже, стр. 136).
Из уравнений A7) находим энергии Е\% и ?Т
fl^A^'Al" = (AtI.
Через А" обозначена величина, аналогичная А+, только сдвину-
сдвинутая на две единицы по N. Действительно, в уравнение для Gl
входят АA> и Д<2>, связывающие числа частиц N и N — 2. Четыре
величины G+, С, F+, F~, входящие в уравнения A7), связаны
соотношениями
i[GUN; т = 0) - Gl(N, х = 0)] = а,
Ft(N; т = 0) = Fi(N +2, т = 0).
Первое соотношение следует из выражений для полюсных частей
G* и О" (П.2). Второе соотношение вытекает из формулы A8)
для А (как мы увидим, А = F (т = 0)). Второе соотношение A9)
связывает между собой величины, относящиеся к системам с N
и N + 2 частицами. Поэтому уравнения A7) вместе с соотноше-
соотношениями A9) суть рекуррентные уравнения, связывающие между
собой функции Грина в системах с различным числом частиц.
В случае ядер эти уравнения сравнительно просто решаются,
если стартовать от магического ядра, в котором функции Грина
известны. При этом удобно использовать аналитическое определе-
определение F (П.З, стр. ПО) [72J,

H.4. ФУнкцйй г|>йна в конечных системах i3S
Вернемся к выражениям для энергий ?ix, Е\%. Из спектраль-
спектрального разложения следует, что
?fx = Es (N + 1) - Ео (N); ?Гх = ?<> (N) -ES(N~ 1);
Elx > nt; E\x < ht.
Поэтому
± V(Mf + (ex - Ц2J < цГ - 1^.
В четных системах благодаря спариванию
Mi>M-2; И-Г < м-2 •
Эмпирические значения химических потенциалов в ядрах всегда
удовлетворяют этим неравенствам. Поэтому для четных систем
V& + V (AtJ + (ex - H2J = HJ + ?3t,
?a = M-2 — J/ (Aj:J + (e^ — Ц2J г nJ — El.
Что же касается нечетных систем, то для них второй знак
корня не может быть исключен. Однако если при добавлении не-
нечетной частицы не происходит перестройки остальных квазича-
квазичастиц, то для всех значений, кроме состояний Яо и —Хо, функции
Грина мало отличаются от функций четной системы и следует
брать тот же знак корня (Ко — состояние нечетной частицы).
Для состояния %0 имеем G?o = Fjto = 0; —Ю%0 (т = 0) = а,
и функция Грина имеет вид
<20>
и аналогично для X = —Х,о
Для А. ^= ±^о функции Грина имеют вид
г, - „ / 2^ | ! —
*" \At(e-^-^ + 'V) AjC (« — 1*2
Нетрудно убедиться, что из второго условия A9) при замене
F (N + 2) на F (N) и пренебрежении ц|" — fxj получается преж-
прежнее выражение для /г>„.

136 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЁРМЙ-СИСТЁМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРЙНА
Действительно, из полученного для Fx выражения следует,
что
Приравнивая эти два выражения и опуская значки «+, —»,
получим прежнее выражение
_
С помощью приведенной системы уравнений можно решать такие
задачи, как изменение Д& от ядра к ядру и при возбуждении ядер.
Уравнение для А
Как мы видели, спаривание существенно изменяет одночастич-
ные уровни: е^ заменяется на Е%—, 1/А1-\-г%. Величина А^
существенно зависит от структуры уровней вблизи поверхности
Ферми, т. е. заметно меняется от ядра к ядру. Можно получить
уравнение, выражающее Д^ для основных и возбужденных состоя-
состояний системы через две константы, приблизительно одинаковые
для всех ядер и всех уровней [31].
Для этого в блоке АA> 2), определяемом совокупностью графиков
с двумя входящими (или двумя выходящими) концами, выделим
графики, соответствующие Fih 2). Только они будут чувствительны
к структуре уровней у поверхности Ферми. Таким образом, полу-
получим уравнение такого же вида, как и в бесконечной системе:
Здесь G — функция Грина задачи без спаривания, Gs — функция
Грина спаривательной задачи.
Блок °V не чувствителен к структуре уровней вблизи поверх-
поверхности Ферми и приблизительно одинаков для всех ядер. Дей-
Действительно, блок Ф по определению не может быть разбит на
части, соединенные двумя вертикальными линиями, следовательно,
определяется далекими от поверхности Ферми областями интегри-
интегрирования (см. аналогичное рассуждение для бесконечной системы).
В координатном представлении блок W определяется взаимодей-
взаимодействием двух частиц через посредство ближайших соседей и по-
поэтому универсален для всех ядер стой же точностью, что и средняя
плотность ядерного вещества.

II.4. ФУНКЦИИ ГРИНА В КОНЕЧНЫХ СИСТЕМАХ 137
В уравнении для А содержится интегрирование и суммирова-
суммирование по областям как близким, так и далеким от поверхности
Ферми. Произведем перенормировку блока 'V так, чтобы остава-
оставалось только суммирование и интегрирование вблизи границы
Ферми.
Как и в случае бесконечной системы, разобьем GGS на два
слагаемых:
GGS = A + B,
где
0, | е*. | > I или
причем А <^ | <^ eF. Вспомогательная величина | выпадает из
окончательных формул. Таким образом, А — О в области |е^ | >
> 5 или | е^ | > |. Чтобы исключить далекие от поверхности
Ферми интегрирования, нужно привести уравнение к такому
виду, чтобы Г? в правой части стояло рядом только с А. Анало-
Аналогично случаю бесконечной системы получаем
Д = -WAA + VBVAA - WBVBVAA ~\ = — ПАА, B3)
где П связано с V уравнением
Г5 = V — 'V'BV + 'VBVB'V -\ = V —
Для бесконечной системы блок Г& соответствует рассеянию
двух квазичастиц с суммарным импульсом, равным нулю, и с нуг
левым суммарным спином. Кроме того, модули импульсов входя-
входящих и выходящих частиц лежат на поверхности Ферми, т. е.
А; 'Л. Л) = гЧ/>. Р'У
Таким образом, в бесконечной системе П зависит только от
угла между р и р'. Разложим Г6 в ряд по шаровым функциям
этого угла:
Запишем уравнение для А в представлении ф^. Используя
определение А, получим
fy('|4)l№. B4)
Здесь Ffa, = FmA,*., E). символ 9^Л, (|) ограничивает сум-
суммирование по Я1( Я? значениями |в^, |, |б^| < |.

138 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
В сумме B4) существенны значения Ях = Я2 и среди значений
^i Ф К — такие, которые мало отличаются по числу узлов и со-
соответствуют разности энергий |е^ — ъ%2 | ~ eFA~4> (см. стр. 36).
Это обстоятельство можно использовать для вычисления интеграла
node'. Действительно, при е*,,, близком или равном е^2, F^x, (e'),
согласно A0) или B2), имеет резкий максимум по е' при е' ~ еь,,
е^2. Кроме того, благодаря множителю 9^д2 (|) оба эти значения,
отсчитанные от поверхности Ферми, близки к нулю. Поэтому функ-
функцию Г^, медленно зависящую от е', можно вынести за знак инте-
интеграла по е' в точке е' = 0.
Интеграл по de от диагонального значения Fm, даваемого
A0), легко вычисляется
Из A1), сохраняя главный член по А'/з, получим
Вычисление этого интеграла с Gn» даваемыми уравнениями A0),
приводит к выражению
Поэтому уравнение для А принимает вид
Аи- = — V (М
Предположим, что Г^ в импульсном представлении сводится
как функция от углов между р и р' к нулевой гармонике П = ГЦ.
Тогда уравнение B5) дает
Аи- = ~a2Tl J] 6^,, (|) | ф! (г) ер*, (г) ф1, (г) Фх, (г) dr x
чу
Отсюда нетрудно перейти к координатному представлению
Д(г) = -Л1 \K{r, r')A(r')dr',
К (г, г') = ^ е^. (?) Я*. (г) У*> С) Фм (г') Ф^. (О х
• B6)

ti.4. Функции грйнА fe конечных системах 13э
Величина Г|, входящая в B6), согласно (II.3), определяется вы-
выражением а2 -^- Г| = —1п ,./с . . Как можно убедиться, In ?
выпадает из окончательного выражения и уравнение B6) содержит
только одну константу, одинаковую для всех ядер.
Можно пренебречь более высокими гармониками Г*, так как
уже нулевая гармоника логарифмически мала (Со ~ А <^ е^),
а первая и следующие гармоники будут дополнительно ослаблены
из-за центробежного барьера.
Для достаточно большой системы А слабо зависит от г, и урав-
уравнение B6) можно упростить.
Предположив, что А (г) под интегралом можно заменить
константой А = А, найдем условие постоянства левой части B6)
А (г) = —tf*r§A V ф?, (г) фь, (г) %^-. B7)
Если на ширине А (область заметного изменения ?\) уклады-
укладывается несколько уровней, то
V4 » 1 п ,*\ „^ dp (г) _1_ f dz
Здесь
— производная от плотности квазичастиц по энергии Ферми ef.
Так как р (г) слабо зависит от г, то мы подтвердили предполо-
предположение о приближенном постоянстве А (г). Сокращая B7) на А,
находим
где
Из уравнения, связывающего Г? с V, аналогично случаю
бесконечной системы можно получить
21+1 - In (l/Ci) '
Это выражение отличается множителем 2 в левой части от соот-
соответствующего выражения (см. стр. 115) в бесконечной системе.
Разница возникла из-за того, что в случае конечной системы
изучаются состояния с суммарным моментом, равным нулю.
В случае бесконечной системы рассматривались состояния с сум-

140 И. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
марным спином, равным нулю,"что в два раза уменьшает фазовый
объем промежуточных состояний.
Подставляя B9) в уравнение B8), получим для деформирован-
деформированных ядер
А « 2Са
— результат, совпадающий со случаем бесконечной системы.
В случае ядер вычисление А несколько осложняется тем, что
величина у\ имеет положительный знак внутри ядра и принимает
большое отрицательное значение вне ядра. Это означает, что пар-
парная корреляция в ядрах может отличаться от парной корреляции
в бесконечном ядерном веществе (IV.3).
Для вычисления А можно использовать выражение [231 ]
аналогичное тому, которое используется для амплитуды &~ (IV.3).
Константы (Y!)in и (у})ех можно найти из сравнения теоретиче-
теоретических и наблюдаемых значений масс околомагических ядер. Для
последовательного учета зависимости у| от г удобно решать урав-
уравнения для &~ и G в координатном представлении.

iii. взаимодействие между квддичАСТиЦАмИ
Амплитуда рассеяния частиц в среде определяет многие физические
свойства системы — реакцию на внешнее поле, частоты собственных коле-
колебаний, энергию основного состояния и т. д. Для нахождения амплитуды
будем, как и выше, выделять блоки графиков, медленно изменяющиеся
в интересующей нас области переменных.
Когда суммарный импульс двух рассеивающихся частиц близок к нулю,
целесообразно выделять блок Т, который нельзя разбить на части, соеди-
соединенные двумя линиями частиц. При малом суммарном импульсе и больших
передаваемых импульсах этот блок может быть заменен константой. С та-
таким случаем мы уже сталкивались при выводе уравнения для А (II.3).
Для задач, связанных с малым передаваемым импульсом (например,
для изучения поляризуемости в длинноволновом поле), удобно писать урав-
уравнение для амплитуды рассеяния Г, выделяя блок °U, который нельзя раз-
разбить на части, соединенные двумя линиями по каналу частица — дырка
(по каналу передаваемого импульса). Производится такая перенормировка
уравнения для Г, что в результате все величины входят при значениях
4-импульсов на поверхности Ферми. Вместо блока If в перенормированное
уравнение входит блок Г°\ который зависит только от угла между вход-
входными импульсами частиц и определяется несколькими константами, ко-
которые должны быть взяты из сравнения теории с опытом. Величина Ги
определяет взаимодействие между квазичастицами (более подробно взаимо-
взаимодействие между квазичастицами рассмотрено в IV.3).
Получены также уравнения с блоком Ж, который нельзя разбить на
части, соединенные двумя линиями ни по каналу двух частиц, ни по каналу
частица — дырка.
Уравнения для малого передаваемого импульса проверяются иа при-
примере кулоновского взаимодействия. Получено уравнение для функции рас-
распределения в случае системы из двух типов квазичастиц. Уравнение для
функции распределения квазичастиц совпадает с уравнением для газа со
взаимодействием F = а2Гш. Из уравнения для функции распределения на-
находятся собственные частоты коллективных возбуждений. Условие поло-
положительности энергии возбуждений (условие устойчивости) накладывает
ограничения на значения коистант, входящих в F.
В случае конечной системы вводится величина, аналогичная амплитуде
рассеяния. Для этой величины также получается перенормированное урав-
уравнение, в которое входят величины, определенные вблизи поверхности Ферми.
В качестве коэффициентов это уравнение содержит константы, характери-
характеризующие величину F.
Здесь не рассматриваются явления, свизанные с парной корреляцией.
Влияние спаривания на уравнение для функции распределения рассматри.
вается ниже (II 1.2).
Уравнение для двухчастичной функции Грина
Для двухчастичной функции Грина в системе N частиц можно
получить уравнение, напоминающее уравнение для функции
Грина в системе из двух частиц. Двухчастичная функция Грина
К = (ТЧ AL BL* CIГ(А)) A)

142 it. изучение фермй-сИстеМ методом функций грина
определяется суммой всех графиков, переводящих две частицы
из точек A,2) в точки C, 4).
Эта совокупность графиков может быть классифицирована
следующим образом:
Прежде всего, можно выделить графики без взаимодействия
между двумя частицами, но со всеми возможными взаимодействи-
взаимодействиями каждой из двух частиц с фоном. Эту часть графиков обозна-
обозначим Ко'-
}symm
Очевидно, что каждая из линий содержит совокупность графиков,
дающую точную одночастичную функцию Грина G.
Как мы видели (II.1),
/Со— \G A, 3) G B, 4) - G A, 4) G B, 3)}.
Все остальные графики, входящие в К, имеют такую струк-
структуру: до определенного момента частицы не взаимодействуют
между собой, затем происходит взаимодействие, после чего чере-
чередуется свободное движение и акты взаимодействия.
Обозначим через V совокупность таких графиков взаимодей-
взаимодействия, которые не могут быть разделены на части, соединенные
двумя линиями:
(перечеркнуты те графики, которые по определению не входят
в блок V).
Уравнение для К запишется в виде
К = Ко — GGVK, B)
так как сумма всех графиков, следующих после W, образует К-
Формула B) аналогична уравнению для функции Грина в системе
из двух частиц, и нормировка второго слагаемого должна совпа-
совпадать с найденной выше. Заметим, что здесь и всюду ниже оператор-
операторное умножение означает интегрирование по четвертой компо-
компоненте с весом 1/2п(.

II.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ КВАЗИЧАСТИЦАМИ 143
Уравнение для амплитуды рассеяния по двум канвлам
Введем аналогично тому, как это делалось выше (II. 1,
стр. 67), амплитуду рассеяния Г:
/С — /Со = —GGTGG. C)
Амплитуда Г представляет собой сумму всех графиков, начина-
начинающихся и кончающихся взаимодействием между частицами, т. е.
в Г не включены входные и выходные концы.
Подставляя это выражение в B), получим
К-Ко = —GGTGG = —GGWK = —GG<VK0 + GGWGGYGG.
Используем очевидное соотношение
где Ф1 означает °U с переставленными выходными концами.
Тогда из выражения для К — Ко после умножения справа и
слева на (GG)'1 получаем
Г = V - Ф1 - <VGGr. D)
Уравнение D) совпадает с полученным выше для системы из
двух частиц, если блок °1/ заменить на потенциал взаимодействия
частиц, а под Г понимать симметризованную амплитуду рассея-
рассеяния (II.1, стр. 67). Из определения Г и К следует, что
Г A,2; 3,4) = -Г B,1; 3,4) - -Г A,2; 4,3).
Кроме того, любой из графиков, входящих в /С, симметричен от-
относительно перестановки начальных и конечных точек, поэтому
Г A,2; 3,4) = Г C,4; 1,2).
Уравнение D) для Г может быть получено непосредственно
без уравнения для К,- Выделяя блок °17, найдем
У/А
iV
У//.
+
у/,
Симметризация этого равенства и дает уравнение D).
Получим уравнение для Г в другой форме. В уравнении D)
мы выделяли блок °1/, содержащий в любой момент более двух
линий по каналу двух частиц; можно поступить иначе: из совокуп-
совокупности графиков Г выделять блок 41, который нельзя разбить на
Части, соединенные двумя линиями по каналу частица:—дырка,

144 П. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Первые члены ряда теории возмущений для этого блока имеют вид
Зачеркнуты графики, не входящие по определению в блок <U;
для простоты опущен знак симметризации по выходным (или вход-
входным) концам.
Совокупность всех графиков, входящих в Г, может быть клас-
классифицирована следующим образом:
''//Ж
У/Ш
или в аналитической форме
Г = <U + liGGV.
E)
Нормировочный множитель в E) проверяется по первому члену
теории возмущений.
В импульсном представлении разность 4-импульсов, входя-
входящих в функции G, равна передаваемому импульсу q {=рг — р3 =
= Pi — р2), который есть суммарный импульс по каналу ча-
частица—дырка и одинаков в каждом сечении этого канала.
В уравнении D) сумма импульсов, входящих в G, равна пол-
полному импульсу частиц (=/»i + Рг = р3 + Pi) и одинакова в каж-
каждом сечении канала двух частиц.
Выделение тех или иных блоков удобно в том случае, когда
выделенный блок оказывается слабо зависящим от переменных
и может быть заменен константой в интересующей нас области
аргументов. Блок 41 целесообразно вводить для изучения свойств Г
при-малых передаваемых импульсах. Действительно, как мы уви-
увидим, от передаваемого импульса существенно зависят только гра-
графики, содержащие две линии (частицы и дырки), и блокф/, как
не содержащий таких линий, при малых передаваемых импульсах
может быть заменен константой.
Выделение блока °17, т. е. написание уравнения для Г в форме
D) удобно, когда мал суммарный импульс частиц. Пример этого
мьг видели выше при получении уравнения для Д (II.3, стр. 113),

И.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ КВАЗИЧАСТИЦАМИ
145
В некоторых случаях (например, для уточнения уравнения для
Г в конечных системах) удобно ввести блок Ж, не содержащий
двух линий как по каналу двух частиц, так и по каналу частица—
дырка 174]. Тогда наряду с уравнениями D) и E) можно написать
еще уравнения, связывающие блоки <U и V с блоком Ж. Нетрудно
получить следующие соотношения:
W.
i-v.
/
¦Ж
ш
IP
Как видно из первого уравнения, под Ж мы понимает симметри-
зованное выражение, т. е. для ферми-частиц разность Жа&, ve iP\,
Ра. Рз> Pi) —%°a$, 6v (pi> Pz> Pi> Ра)- В аналитической форме имеем
_ ф- = w + qiGGT,
F)
Используя уравнение для Г в форме E), получим из первого соот-
соотношения
этот же результат получается из второго соотношения, если ис-
использовать уравнение для Г в форме D). Эти уравнения позволяют
выразить амплитуду Г через блок W. Получается нелинейное
уравнение для Г
Г =
т 2
- -L TGG(r + Ж) GGT.
G)
Блок Ж в импульсном представлении слабо зависит от входных
и выходных импульсов, тогда как, согласно уравнениям F),
блок 41 при суммарном импульсе, близком к нулю, существенно
зависит от суммарного импульса, а блок V существенно зависит
от передаваемого импульса q при q -> 0.
Перенормировка амплитуды расоеяния
В уравнении для амплитуды рассеяния
второе слагаемое в правой части содержит интегрирование по
областям как близким, так и далеким от поверхности Ферми
(\р\ = ро, е = ц).
Как было показано Ландау [1] при малых передаваемых им-
импульсах можно получить уравнение для Г с импульсами вблизи

146 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ.СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
поверхности Ферми, не содержащее далеких от поверхности Ферми
интегрирований, т. е. получить замкнутое уравнение для Г на
поверхности Ферми.
Для этого запишем уравнение E) в импульсном представлении
Г(р, р\ q) = <U(p, pf, q)-
г(p, р", q)G(p" + q/2)G(p"-q/2)T(p", p', q^
B — означает суммирование по спиновым индексам внутренних
линий. Для простоты мы не пишем здесь спинорных значков.)
Здесь обозначено
г (Л, Рг, Р* Pi) = Г (р, р', q) BпL б (рг + р2 — ра — р4),
<U {рг, Pi, Рг, Pt) = <U (Р, Р', Я) BяL б (Pl + рг — р3 — Pi);
входные (/?х, р2) и выходные (р3, pt) 4-импульсы связаны с р и р'
соотношениями
Pi = Р + ?/2, /j, = р' — я/2,
Рг = Р — ^/2, Pi = p' + q/2,
так, чтобы передаваемый импульс равнялся q = (А, со) (к, со —
пространственная и временная компоненты вектора q) и выпол-
выполнялся закон сохранения 4-импульса рг + р2 = Рз 4- /^4-
В первом порядке теории возмущений по взаимодействию по-
получаем
<Н (/>, Р'. 0 - V* = J V (Г! - г,) е-1" с.-г.) d (Г1 _ Г2)
(ниже мы проверим нормировку наших уравнений на примере
кулоновского взаимодействия).
Функция Грина в импульсном представлении G (р) содержит
полюсное слагаемое
,_, ?{%(.) +о*(р).
При <7 -> 0 полюса двух функций Грина в уравнении для Г сбли-
сближаются и в подынтегральном выражении возникает fi-образный
максимум вблизи поверхности Ферми.
Произведение GG можно записать в виде
~ а2 (р) б (е - гР) j Go (р + <7/2) Go (р - ^/2) de + В (р, q);
G9 (P) = [е - ер + fy sgn Ер], у

11.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ КВАЗИЧАСТИЦАМИ 147
Вычисление интеграла дает
j Go (p + q/2) G0(p - q/2) «fe = -2ni „."ff^ffi ~^~t*^nt0 .
где
j 1, \p\<pF,
n(p- io, \p\>pF.
Из последнего выражения легко получить
где v = -^- = -?¦ -у — скорость квазичастиц на границе
Ферми; т* — эффективная масса; функция В (р, q) не содержит
б-образной зависимости от р и с точностью до членов порядка
k2/pF, со2/е^ может считаться не зависящей от q.
Возвращаясь к амплитуде рассеяния, запишем уравнение E)
в форме
Г = <U + TGG<U = <U + Y{A + B)<U. E')
Это равенство получается из графического уравнения для Г,
если собирать графики в обратном порядке.
Введем амплитуду Гш, определяемую соотношением
Г» = (<U + <UBY«>) = <U-\- Y<»B<U. (8)
Умножая равенство E) слева на 1 + Г^В, получим
Г = Ги -f ГИЛГ = Ги + ГЛГ°\ (9)
Функция Гш зависит от величин рг, (р')г, рр', е, е' (мы пока
отвлекаемся от спиновой и изотопической зависимости Гш, которая
будет рассмотрена в следующем разделе). На поверхности Ферми
dpi = \P' I = Pf> е = е' = 0) Ги — зависит только от угла
между р и р'. Величина Г на поверхности Ферми зависит по-
помимо этого угла еще и от передаваемого импульса.
Так как в (9) интегрирование происходит на поверхности
Ферми, то при \р\ — \р'\ = pF, г = г' = 0 оно представляет
собой замкнутое уравнение для определения амплитуды Г на
поверхности Ферми.
При получении уравнения (9) мы предполагали, что блок 41
не имеет особенности, когда передаваемый импульс k стремится
к, нулю. В случае кулоновского взаимодействия в 41 содержится
слагаемое порядка l/k2, и поэтому наш способ перенормировки
здесь не годится. Для ядра из-за конечных размеров наименьшие
существенные k имеют порядок 1/R, и кулоновское взаимодействие
протонов вносит не очень большую добавку к чисто ядерному
взаимодействию.

146 II. ЙЗУ^ЁЙЙЕ ФЁРМЙ-СЙСТкм МЕТОДОМ ФУЙкЦЙЙ
Запишем уравнение (9) в раскрытом виде, ограничиваясь слу-
случаем малых q.
Рассмотрим сначала случай, когда Гш не зависит от спиновых
значков частиц. Тогда суммирование по спиновым 'индексам
внутренних линий (частицы и дырки) означает умножение на 2.
Используя выражение для А, получим
Г(я, я', <?) = Г»(я, «') + —Ъ~ X
где v (со) = у sgn «, у —> +0; п, п', пх — единичные векторы на-
направлений р, р' и Vj,. Интегрирование происходит по углам век-
вектора vx.
Рассмотрим в виде примера случай, когда Гш (я, я') не за-
зависит от угла между я и я'. Тогда и Г не зависит от этого угла
и сразу же находится из уравнения A0)
1 „, f kvx
со — kvx 4- t'v (ш)
—l
Интеграл, входящий в это выражение, легко вычисляется
рш
Кулоновокоо взаимодейотвив
В случае газа с кулоновским взаимодействием между частицами
функция Г (q) должна иметь полюс при плазменной частоте
2 2
со =СОо=
Это позволяет легко проверить правильность нашей норми-
нормировки уравнений E) и A0). В случае кулоновского взаимодействия
при k —» 0 среди графиков, определяющих блок <U, следует оста-
оставить единственный график, обращающийся в бесконечность при
k —> 0 (чтобы в этом убедиться, достаточно нарисовать несколько
графиков теории возмущений):

li.s. взаимодействие мёжДУ квАзИчАстйцАмй 14д
Полагая а = 1 и отбрасывая неполюсные части в GG, получим
Г(<7) = ~
гт Г, со
F 1
у,
Г, со,
1 jn— In
со + ко
Ц
со —
6 (&о — со
при (о ^> ко получаем
что и подтверждает правильность коэффициентов в уравнениях
E), E') и A0).
При ко > со получаем экранированное с дебаевским радиусом
взаимодействие
Взаимодействие между квазичастицами *)
Как мы убедимся ниже на нескольких примерах, величина
ИГрает роль энергии взаимодействия между квазичастицами.
Эти слова означают, что в некоторых случаях систему можно
описывать как газ квазичастиц с энергией взаимодействия, равной
2Г
Заметим, что величина Ги при со -*¦ 0 вещественна (или, точ-
точнее, эрмитова по спиновым индексам).
Действительно, Гш представляет собой амплитуду рассеяния
двух частиц в среде на нулевой угол (ku<^ eF). Мнимая часть ам-
амплитуды рассеяния вперед по оптической теореме выражается
через полное сечение рассеяния частиц. Но сечение рассеяния ча-
частиц обращается в нуль, когда импульсы частиц стремятся к гра-
граничным импульсам (стремится к нулю фазовый объем конечных
состояний). С этим обстоятельством мы уже сталкивались при
изучении мнимой части 2 (II.2, стр. 99). Для системы из частиц
двух типов функция 9~ ~ а2Ги является матрицей не только по
спиновым, но и по изотопическим переменным. В ядре с точностью
до —-.— можно считать, что #* изотопически инвариантна.
Имея в виду дальнейшие приложения к ядру (IV.3), будем
рассматривать &~ вида
Величины /, /', g, g' зависят только от угла между р и р'; а,
а' и т, т' — матрицы спина и изотопического спина взаимодей-
взаимодействующих частиц.
•) Взаимодействие между квазичастицами в ядре с учетом влияния конеч-
конечности системы подробно рассматривается в IV.3.

156 tl. ИЗУЧЕНИЕ ФЁРМИ'СЙСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Мы не включили в A1) тензорные силы, главная часть которых
определяется однопионным обменом, а также спин-орбитальные
слагаемые. Эти компоненты взаимодействия детально рассматри-
рассматриваются при обсуждении взаимодействия между квазичастицами
в ядре (IV.3).
Нетрудно видеть, что константы /, g, f, ^ связаны с соот-
соответствующими слагаемыми в амплитудах рассеяния двух одина-
одинаковых и двух разных частиц соотношениями:
faa = fw = f + f', /пр = /-/'.
gnn = gpp = g _|_ g't
Действительно, чтобы получить из A1) амплитуду рассеяния
двух одинаковых частиц, следует взять диагональный матричный
элемент по изотопическим индексам с одинаковыми проекциями
изотопического спина обеих частиц
^ 'aa>) т»т" = {f + П +ig + ё>) аа''
тогда как в случае рассеяния разных частиц они имеют различные
проекции изотопического спина:
Как видно из этих выражений, /пр и ?пр соответствуют ам-
амплитуде рассеяния нейтрона на протоне для случая, когда по
каналу передаваемого импульса заряд не переносится.
В тяжелых ядрах, где изотопическая инвариантность не очень
хорошо соблюдается, можно уточнить выражение для &~ за счет
увеличения числа констант, считая, что #"пп Ф #"рр.
Величины f, f, g, g' на поверхности Ферми (\р\ = \р'\ =
— pF, г = е' = 0) зависят только от угла между импульсами
р и р' и могут быть разложены в ряд по полиномам Лежандра
f'lXt>
В случае ядра ^" практически определяется одним-двумя членами
разложения по полиномам Лежандра.
Величины ft, gi, ft, g\ и являются феноменологическими кон-
константами, которые должны быть определены из сравнения теории
с опытом.

П.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ КВАЗИЧАСТИЦАМИ 151
Между коэффициентами #"; имеется соотношение, вытекающее
из антисимметрии ^(рхръ PaPi) ПРИ <7 = О и Pi — Рг '75, 761:
V f
2fl л- 2f'
\ + 2fi/Bl + D "•" 1
+ 1 + 2^/B/+ 1)) = Ol
Эта формула является частным случаем общих соотношений между
#"ь справедливых при цфОн с учетом тензорных слагаемых [77].
Формула для амплитуды рассеяния на поверхности Ферми
с учетом спина и изотопического спина запишется аналогично A0):
Г(», »', д; а, а'.т, V)^r4-J-SP«'.SpJ5Si^^
A2)
где
Коэффициент при втором члене выбран так, чтобы для Г и Гю,
не зависящих от спина и изотопического спина, получилось вы-
выражение A0) (SpTSp° = 4).
Если решение для Г искать в виде, аналогичном A1):
Г = Ф + Мрев' + ф'тт' + f (во') (хх'), A3)
то для каждого из слагаемых при малых k получаются уравнения
одинакового вида:
(И)
где я — единичный вектор импульса; аналогичные уравнения
получаются для q/ и i|/.
Функция распредэления для двух типов квазичвстиц.
Коллективные возбуждения
"Коллективные возбуждения в системе, как мы видели (II.2),
определяются полюсами двухчастичной функции Грина по ка-
каналу частица—дырка.
Так как слагаемое Ко в равенстве
К = Ко + GGTGQ C)

152 II- ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
имеет полюс, соответствующий только суммарной энергии двух
свободных частиц, то полюсы К для коллективных возбуждений
соответствуют полюсам Г. Вблизи полюса можно в уравнении E)
для Г пренебречь неоднородным членом и написать
Г = <UGGY.
Если ограничиться возбуждениями с малым импульсом (k <<(
< pF, со <^ ер), то можно воспользоваться уравнением для Г
в перенормированном виде
Г==ГВ + ГМГ. (9)
Решение этого уравнения следует искать в форме A3). Тогда
спиновые и изотопические переменные разделяются, и для каждого
слагаемого получаются независимые уравнения, отличающиеся
только тем, что в качестве ядра стоит соответствующее слагаемое
формулы A1) для Гю.
В соответствии с этим в системе возможны четыре типа кол-
коллективных возбуждений. Функции ср и гр описывают звуковые и
спиновые волны; функции <р' и г|э' соответствуют движениям ней-
нейтронов относительно протонов без поворота и с поворотом спи-
спинов.
В ядрах благодаря конечным размерам и спин-орбитальной
связи возникает другая классификация возбужденных состояний.
Звуковые колебания в ферми-жидкости при абсолютном нуле
температур были названы Ландау нулевым звуком.
Рассмотрим более подробно уравнение для звуковых волн.
Из A4) получаем вблизи полюса
Вблизи полюса, как мы видели (стр. 103), ф должно иметь вид
Ф(», п', q)= ^"L*^ 2<0й-
Для х (я) получаем
Y (Л^ = I / \П, Пл) г~—;—:—;—г~ Y (Hi) —.—- .
AV/ J'v 'со — kVi + iy (со) Л v " 4л
Введем величину
Р (я) = fe0 х («)•
Уравнение для р («)
"й- A5)
можно интерпретировать как уравнение для изменения функции
распределения квазичастиц в самосогласованном поле, возник-
возникшем от ?того изменения.

ИЛ. взаимодействие мЙЖДУ КвАзйчАстЙЦАмй 153
Изменение функции распределения ферми-газа при малых k
подчиняется уравнению
Самосогласованное поле V* (р) связано с изменением функции
распределения соотношением
где U (р, р') — амплитуда взаимодействия между частицами
в импульсном представлении. Подставляя вместо -?- и fk (p)
их выражения
получим
A6)
при \рх\ = |р| = pF.
Сравнение с A5) дает
значок и означает бесспиновую часть.
Аналогично можно рассмотреть и другие типы возбуждений,
соответствующие остальным членам выражения A3) для Г.
Объединим все типы коллективных колебаний, записав Г
вблизи полюса в виде
Где в зависимости от типа возбуждения % будет иметь вид
* = Xi.(«). Ъ{п)а, %3{п)х, хЛп)га.
Тогда из A2) получим для величины р (которую следует понимать
в том же смысле, что и %) уравнение
Сравнивая это уравнение с уравнением для функции распределе-
распределения в случае, когда изменяется также спиновое и изотоп-спиновое
распределение, получим, что эффективный потенциал на поверх-
поверхности Ферми всегда выражается через !Г = а2Гю:
U {п, 'Их, ааг, ттх) = &~ (», »i). A8)
Таким образом, частоты коллективных возбуждений при точном
учете взаимодействия между частицами определяются из решения

154 ii. изучение Ферми-систем методом функций №кнА
уравнения A7), которое можно интепретировать как уравнение
для функции распределения газа квазичастиц с эффективным вза-
взаимодействием, даваемым A8).
С уравнением для функции распределения квазичастиц мы
еще встретимся при изучении поведения системы во внешнем поле.
Вернемся к уравнению A5) и найдем его решение для случая,
когда / (и, «') = /0 — константа. Из уравнения A5) находим
4я *
kv
Интегрируя г- по углам между k и v (этот интеграл мы уже
СО — RV
вычисляли на стр. 148), получим равенство для нахождения ча-
частоты звука cos
/о 2kv ln
(Ok + kV
COft — kv
Вещественная частота (отсутствие затухания колебаний) со-
соответствует |cofc| > kv, или, если обозначим coft = suk,
Нетрудно видеть, что правая часть положительна, поэтому зву-
звуковые колебания возможны, только если /0 > 0. В предельных
случаях получим
s = 1 + 2е-М; s = VJJ3.
f0 f
Условия уотойчивооти
Найдем ограничения, накладываемые на взаимодействие F
тем условием, что частоты возбуждений в системе должны быть
положительны, т. е. условием устойчивости.
Из уравнения A7), раскладывая Ф и р в ряд по полиномам
Лежандра, получаем
kv{\
т),
где т — единичный вектор произвольного направления.
При отсутствии взаимодействия со = kv для любых р,. Воз-
Возбужденным состояниям соответствуют kv > 0 и со > 0.
Потребуем, чтобы при kv > 0 взаимодействие оставляло а
положительным.
Из последнего равенства, используя произвольность направ-
направления т, находим

И.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ КВАЗИЧАСТИЦАМИ 155
Беря поочередно р; = 1, а, т, то, получим из условия устой-
устойчивости (ы/kv > 0)
1 + ^ ^
Эти условия представляют собой обобщение аналогичных
соотношений, полученных [36] для одного типа частиц.
Эти неравенства обеспечивают устойчивость системы по от-
отношению к длинноволновым возмущениям. В некоторых случаях
может возникнуть неустойчивость при конечном k = k0. Усло-
Условием такой неустойчивости является появление полюса у Г (со, k)
при со = 0, k = k0. Примером этого может служить явление
я-мезонной конденсации в ядерной среде, которое подробно рас-
рассмотрено в (IV.8). Частота возбуждения с пионными квантовыми
числами при достаточной плотности ядерного вещества обращается
в нуль при k = k0 ~ pF.
Уравнение для амилнтуды раеееяния
в конечной оиотеме *)
Полученные выше уравнения для Г в символическом виде
справедливы и в конечной системе — меняется только вид функций
Грина. Остается справедливой и операция перенормировки, если
только заново определить разбиение произведения GG на два сла-
слагаемых GG ~ А + В в перенормированных уравнениях для Г.
В конечной системе следует пользоваться представлением одноча-
стичных собственных функций ср^, в эффективной потенциальной
яме, которые были введены в II.4.
В этом представлении функция Грина вблизи поверхности
Ферми (ех да zF, еда ц) диагональна. Будем понимать под А
произведение полюсных частей двух функций G% и Gy со значе-
значениями е*, и ex/, лежащими по разные стороны границы Ферми.
Как и в случае импульсного представления при е^, близком к гу,
это произведение имеет б-образный максимум по е. Поэтому для
(I g g \
——— <^С 1).
&р I
медленно зависящие от е функции Г и Г" вынести из-под знака
интеграла по е в точке вР. Интеграл от произведения полюсных
частей вычисляется аналогично случаю импульсного представ-
представления:
1 ! de =
fe + w/2 — е^ + *Y S8n ея е — w/2 — 8v + *Т S8n ev
можно
*) Амплитуда рассеяния применительно к ядру рассматривается в IV.3.

156 И. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Поэтому для А получаем
А = 2лш2 пь~пУ 6 (е)
Ъ% — 8^, — (О — I у Sgn СО v '
Мы видим, что единственное изменение по сравнению со случаем
импульсного представления состоит в том, что величина kv заме-
заменяется на ъ% — г\> и разность чисел заполнения np+k/2 — Я/>-*/2
заменяется на п% — П\-.
Для явлений с большим передаваемым импульсом k ^> 1/R,
например для исследования пионной степени свободы, конечность
системы не играет роли, и можно пользоваться импульсным пред-
представлением. Во всех остальных случаях следует пользоваться
координатным или Х-представлением.
Переходя в уравнении (9) к представлению фь получим для Г
при е = гР выражение
Энергии е&. входных и выходных состояний близки к поверхности
Ферми, поэтому и модули импульсов, входящих в фурье-разло-
жение функций ф^г (г) будут близки к pF. Поскольку направ-
направление этих импульсов не определено, в матричные элементы
(ХХХ21Г | XsX4) входят передаваемые импульсы в интервале 0 — Чрр.
Именно поэтому для конечных систем необходимо знать поведение
амплитуды #" при k < рР. Однако мы встретимся со случаями,
когда, благодаря особенностям матричных элементов в уравнении
A9), главный вклад вносят малые передаваемые импульсы. Тогда
в сумме существенны только значения е^ и г\>, близкие к гра-
границе Ферми. Действительно, благодаря множителю tiy. — п^,
г% и ev лежат по разные стороны границы Ферми. Кроме того,
сильно отличающиеся значения г% и г%> возможны только при
большом различии в числе узлов функций ф^ и (ру. Поэтому
соответствующие матричные элементы (к^ | &~ \ М/) и (к'к | а2Т \ Х3Х4)
малы и вносят малый вклад в сумму по XX'. С оценками такого рода
мы уже сталкивались — существенные в сумме слагаемые соот-
соответствуют разностям е* — e^< ~ vF/R A0 Мэв для средних ядер).
В общем же случае уравнение для Г удобнее решать в координат-
координатном представлении.
Выясним характер величины #" в координатном представ-
представлении. Мы предполагаем, что исходный потенциал взаимодействия
между частицами V {гх — г2) имеет конечный радиус много мень-
меньший, чем размеры системы. Тогда величина <U, входящая в урав-
уравнение для Г, в импульсном представлении слабо зависит от импуль-
импульсов (если исключить область малого суммарного импульса по

П.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ КВАЗИЧАСТИЦАМИ 157
каналу двух частиц). Так как помимо радиуса потенциала V в <М
входит еще только величина pF, то область существенного изме-
изменения 41 по импульсам будет Ьр ~ рР ~ 1/г0, где г0 — радиус
потенциала. Поэтому при переходе к координатному представле-
представлению It отлична от нуля только при разностях координат концов
порядка Го ~ 1//V. т. е. много меньших, чем размеры системы.
Из уравнения для #" видно, что оно обладает такими же свой-
свойствами.
Поскольку все графики, входящие в Щ и #", определяются
областями, далекими от границы Ферми (опять-таки ~pF, ef),
что в координатном представлении соответствует малым расстоя-
расстояниям, то величины такого рода определяются локальными свой-
свойствами вещества. Иными словами, если размеры системы много
больше, чем r0 ~ \/рр, то такие величины мало отличаются от
своих значений в бесконечной системе.
Применительно к ядру величина &~ в координатном или им-
импульсном представлениях должна быть одинаковой для всех ядер,
кроме самых легких, с такой же точностью, с какой выполняется
постоянство плотности ядер.
Поэтому мы будем характеризовать #" теми же параметрами,
что и в бесконечной системе, а именно коэффициентами разложе-
разложения в ряд по полиномам Лежандра (II.5, стр. 150), коэффици-
коэффициенты которого суть функции передаваемого импульса. Запишем
первые члены этого ряда в координатном представлении. Для
того чтобы перейти в #" от импульсного представления к коорди-
координатному, нужно величину #" (р, р') умножить на собственные
функции импульсов входных и выходных концов и проинтегри-
проинтегрировать по этим импульсам с учетом закона сохранения
(гг, г2; г8, г4) = | е~1 .<* + *т г, -м (р - */»> г. х
е
X <У(п о'
X & (р, р
<2я)»-Bя)*Bя)
» '¦'
входным импульсам частиц соответствуют сопряженные функции.
Спиновые индексы для краткости опущены. Обозначения поясне-
пояснены на рисунке ,.
т
Запишем в явном виде нулевую и первую гармоники ЗГ в ко-;
ординатном представлении, предполагая для простоты, чго &~ не
зависит от k.
Нулевая гармоника. У равна
- 0VCi. '*«; га< г4) = *'ов('*1-г,N(г1—гвN(г8-г4).

158 П. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Следующее слагаемое в #" (р, р'), имеющее вп&!Г1Щ—, дает
0"i (г1у г2; г„ г4) = ^i J е-' (" + */2) г' +'(" ~ */2) '¦ X
X PSL е' (/>' + */2) ', - с (р' - */2) г4 dpdp'dk =
рЗ? Bл)"
Аналогичным образом, чтобы получить #" в ^-представлении,
нужно помножить ^"(р, р') на одночастичные собственные функ-
функции фх (р) в импульсном представлении [фХ (р) = J ф^, (r)e-iprdr)
с импульсами, соответствующими входным и выходным концам,
т. е. на функции Ф?, (р + */2), <pXl (р — А/2), Фя,3 (р' + А/2),
фЛ. (Р' — */2) (сопряжены функции, соответствующие входным
линиям) и проинтегрировать по р, р' и k. Можно также перейти
к %-представлению из координатного, умножая #" (г1; га, г3, г4)
на фХ, (ri) фя,2 (г2) ф^з (г3) фХ4 (г4) и интегрируя по гь г2, г3, г4.
Получаем
| ^3^4) —
о j Ф^ С") Ф.г И Ф*. С) Ф^ W dr + ± Г, J /^, (г) У-^ (г) А-,
где
Мы не выписываем следующих членов разложения, которые
получаются таким же образом, но имеют более громоздкий вид.
Для систем, в которых в ro/R не очень мало (т. е. даже для са-
самых тяжелых ядер), существенную роль играет тот факт, что
величина #" на поверхности системы должна перейти от значения
внутри к значению вне системы. Так как этот переход происходит
в сравнительно узком слое, #" можно изобразить с помощью ин-
интерполяционной формулы
Г = ?"ех + (#•'" - #™) р@)~р(г) , B0)
где #"ех — амплитуда вне системы, р (г) — плотность. Ниже этот
вопрос будет рассмотрен подробно (IV.3). Запишем уравнение
для Г в смешанном представлении:
«A; 3)ЛC; 4) Г D;
где dx = еРгеРуо de, 1 = (г1( ри %). Здесь А — б-образная часть
произведения GqGq в смешанном представлении
А A, 2) = б (е, - |1) 8 (82 - ц) б (р! - р\ (г,)) б {р\ - р\ (га)) X
X J Gq (гь г„ е + со/2) G, (гг, га, е - со/2) -^.

tl.5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ КВАЗИЧАСТИЦАМЙ 1§9
Интеграл по е здесь выражается суммой конечного числа членов:
V
= V n^l (п) Ф^ (га) [G,(г,, г2; вх + со/2) + G,(г,, г2; вх - со/2)].
B1)
Эта сумма для сферического ядра легко вычисляется, так как
после отделения угловых переменных (Приложение 1) возникает
выражение, содержащее лишь функции Грина Gtj (г, г'; е) од-
одномерного уравнения Шредингера, a Gu по известным формулам
(стр. 123) выражается через два независимых решения уг и у2
этого уравнения.
Уравнение для Г в смешанном представлении используется
при вычислении масс ядер и при нахождении спектров неколлек-
неколлективных частично-дырочных возбуждений.

li.e. Лагранжиан взаимодействующих квАзичастиц
Показано, что энергия связи в системе, удерживаемой внутренними
силами, определяется свойствами квазичастиц вблизи границы Ферми
и поэтому может быть вычислена методами ТКФС Последовательный метод
вычисления масс ядер состоит в определении энергии системы без разбие-
разбиения на регулярную вейцзекеровскую и оболочечную части.
Конструируется лагранжиан Lq квазичастиц, дающий правильное
уравнение для ^-функций квазичастицы вблизи границы Ферми. Лагран-
Лагранжиан Lq является функцией одночастичных функций Грииа квазичастиц Gq.
Доказано, что энергия системы квазичастиц совпадает с энергией ча-
частиц с точностью, достаточной для вычисления энергии связи ядер, вклю-
включая поверхностную энергию и оболочечные поправки.
Установлена связь параметров, входящих в Lq с константами локаль-
локального взаимодействия.
Находятся самосогласованный потенциал, вычет функции Грииа и эф-
эффективная масса квазичастиц.
Включение в Lq внешнего поля (стр. 181) позволяет выразить все ядер-
ядерные характеристики через параметры, входящие в Lq. Метод функций
Лаграижа представляет собой удобный способ учесть запаздывание в ло-
локальном взаимодействии н в самосогласованном поле.
Вычисление маоо ядер в различных подходах
До недавнего времени в ТКФС, как и в теории ферми-жидко-
сти, рассматривались лишь задачи, так или иначе связанные с из-
изменением распределения квазичастиц у поверхности Ферми.
Существовало мнение, что вычисление таких величин, как энергия
основного состояния Ео и самосогласованный потенциал ядра,
вообще невозможно в рамках этого подхода, так как в ответ не-
неизбежно входят суммы по состояниям, далеким от поверхности
Ферми, которые не могут быть устранены с помощью стандартной
перенормировочной процедуры.
Однако это не так. Для систем, находящихся в равновесии
под действием одних только внутренних сил, давление равно нулю.
Из этого условия немедленно вытекает, что энергия системы оп-
определяется энергиями квазичастиц и их взаимодействием у по-
поверхности Ферми. Особенно ясно это видно на примере макроско-
макроскопической системы, где Ео (N) — \iN. Химический потенциал ц,,
совпадающий с граничной энергией квазичастиц, определяется
массовым оператором 2 (ц,), который по условию согласования
выражается через константы взаимодействия квазичастиц у по-
поверхности Ферми.
В ядре, где число частиц не очень велико, энергия Ео (JV, Z)
включает поверхностное слагаемое Es = ($Л*/я, а также нерегу-
нерегулярные оболочечные поправки.
Оболочечные поправки целиком определяются квазичастицами
последних заполненных уровней.

И.6. ЛАГРАНЖИАН ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ КВАЗИЧАСТИЦ 161
Константы формулы Вейцзекера могут быть найдены из хими-
химических потенциалов (д.п и (д,р, которые с помощью условия со-
согласования определяются через взаимодействие у поверхности
Ферми.
Итак, задача вычисления масс ядер лежит в области примени-
применимости ткфс.
Чтобы избежать неопределенности подхода, предложенного
в [82, 83], которая связана с разделением энергии на регуляр-
регулярную капельную и нерегулярную оболочечную части, необходимо
иметь метод расчета полной энергии с абсолютной ошибкой,
меньшей, чем оболочечные поправки. Вычисление энергии ядра
без разделения на регулярную и нерегулярную части было вы-
выполнено в методе Хартри—Фока с эффективными силами [84].
Однако при этом полностью пренебрегалось зависимостью само-
самосогласованного поля и сил взаимодействия от энергии частиц,
т. е. пренебрегалось разницей между частицами и квазичастица-
квазичастицами. Между тем помимо теоретических есть и прямые эксперимен-
экспериментальные указания на заметное отличие частиц от квазичастиц.
Это следует, например, из анализа реакций срыва и подхвата.
Кроме того, этот метод, в отличие от обычного метода Хартри—
Фока, лишен теоретических оснований: ищется минимум величины,
не совпадающей с гамильтонианом системы. Хорошее воспроизве-
воспроизведение масс ядер в этом подходе объясняется специальным под-
подбором констант, компенсирующим неточность теории.
Этот недостаток теории проявляется при попытках описания
других явлений с помощью тех же параметров. В большинстве
вариантов эффективных сил получаются несовпадающие с опытом
одночастичные спектры, а иногда даже нарушаются условия устой-
устойчивости (спиновый коллапс). При дальнейшем увеличении точ-
точности измерений противоречия этой теории с экспериментом будут
нарастать.
ТКФС позволяет развить метод вычисления масс ядер, теоре-
теоретически обоснованный и свободный от недостатков метода Хартри—
Фока с эффективными силами.
Лагранжиан квазичастиц
Найдем эффективный лагранжиан Lq .квазичастиц, требуя,
чтобы уравнения Лагранжа совпадали с уравнением движения
квазичастиц [85]. Энергия системы квазичастиц, найденная из Lq,
совпадает, как будет показано, с полной энергией системы. Это
утверждение аналогично теореме о равенстве числа частиц и ква-
квазичастиц.
Лагранжиан Lq проще конструировать не во вторичном.кван-
вторичном.квантовании, а с помощью волновых функций 4V
Рассмотрим сначала однокомпонентную систему без спаривания.
Тогда числа заполнения квазичастиц п% равны единице при
Ч < И, JX = N.
6 А. Б. Мигдал

162
II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Разобьем Lq на свободный лагранжиан Lq и на лагранжиан
взаимодействия L'q. Уравнение (II.4.7) получится в результате
вариации Lq (t) —
(x) dr, если
Е «Ж(х) (idt - е«) Yx(х),
• = 2 (г, р,
где
svi a
Покажем, что L'q есть функционал от квазичастичной матрицы
плотности. Введем оператор уничтожения квазичастиц
^ (*)=?№(*)•
Действие одного или нескольких операторов Ъ% и Ъ\ на основное
состояние по определению переводит систему в единственное
собственное состояние с одной или несколькими квазичастицами.
Пользуясь этим свойством, легко убедиться, что среднее по
основному состоянию от любого произведения W-операторов раз-
разбивается на произведение средних от Чг+^", т. е. на произведение
одно-квазичастичных гриновских функций Qq (хъ хг). Например,
К =
+,(х2) Т (х3) Y (х,)) =
, (х2) Тх, (х8) ^Л< (х*)
Среднее отлично от нуля только в двух случаях: 1) ^ = Я,4;
= А,3; 2) %! = %з; %г = V Поэтому
, (xi) Tx
J, (х2) Тх: (х8)
Изобразим 1^ в виду суммы парных, тройных и т. д. взаимо-
взаимодействий квазичастиц, т. е. средних по основному состоянию
от ЧГ+ЧГ+ЧГЧГ, W*Y*WT и т. д. Тогда, как мы только что видели,
L'q будет состоять из парных, тройных и т. д. произведений функ-
функций Gr Графически функционал L'q можно изобразить
о

II.6. ЛАГРАНЖИАН ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ КВАЗИЧАСТИЦ 163
Первый из этих графиков для незапаздывающего взаимодействия
V (гг — г2) внесет в Lq вклад
Ц2) (t) = \v (n - гг) (v0 (r,F t) vo (r2, t) - v2 (n, r2, t)) dn dr2,
где
v(n, r2> 0 = -»G,(ri, r2; *-0, *) = 2>ЖС-ь 9?ь(г2, <),
• vo(r, «)=2лЛ(г, 0^(Л 0- C)
При учете запаздывания в Ц возникнут слагаемые, содержащие
производные Gq по времени. Из графического представления L'q
следует
Для дальнейшего достаточно ограничиться разложением 2 вблизи
поверхности Ферми, использованным в (И.4). Тогда уравнение
для WK содержит только слагаемые линейные по р2 и е = idt.
Нетрудно убедиться, что в этом приближении SEq может зависеть
только от трех величин:
vo (г, t), v, (r, t) = 2 niVY* (r, 0 V4\ (r, 0» E)
v2 (л *)=- 4-
которые просто выражаются через Gq. Обозначим
?0 = 1; 5i = VV; ?2=е, G)
где
SiG,(r, r; *) = VG,(r, r;
I2G?(/-, r, 0 =t-^-(r, r;
Тогда
v,.(r, 0 = -^G,(r, r; <, t).
Включение других величин в Lq привело бы к появлению в 2
более высоких степеней е и р2. Так, например, если бы в Lq
входила величина J^n^WlW^, то в уравнении (II.4.7) возникло бы
слагаемое с 4V
Мы покажем, что взаимодействие между квазичастицами оп-
определяется через вторые производные от S"q no v;.
Предполагая, как мы обычно делали, линейную зависимость
амплитуды взаимодействия от плотности, достаточно сохранить
в 2?q только квадратичные по v{ и кубичные по v0 члены:
= \\'kik (г и r2) v{ (n) vft (r2) dn dr2 +
-g- J
g J га, г3) v0 (гх) v0 (r2) v0 (г3) drx dr2 dra. (8)
6*

164 II- ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Функции Xih и у — локальные (б-образные) функции от разностей
координат. Для большинства приложений достаточно ограни-
ограничиться приближением эффективного радиуса
Аоо (г,, г2) = Х«, A + ''ооА) б (п - г2). (9)
В остальных, менее существенных слагаемых, можно ограничиться
только первым членом.
Самосогласованное псле, вычет функции Грина
и аффективная масса
Запишем 2 в виде
2 = 20 +/»2г/> + 22е = |,2,. A0)
Из принятой нами функции 5?'q вытекает следующее выраже-
выражение для 2: '
Включение в 2 спин-орбитальных слагаемых приводит к тому,
что 3?q помимо v0, vlt v2 содержит еще и величину
Соответствующая часть 2 — 23 (г) связана с L'q соотношением
-з gv3 -з»-о.
а соответствующее ?3 = [p X <r].
Аналогично можно включить и другие поверхностные по-
поправки. Из того требования, что 2г являются вариационными про-
производными L'qs вытекают определенные ограничения на зависи-
зависимость 2г от Vft.
Итак, самосогласованное поле 2 находится из соотношения
2 — |г2г, где 2г = —bL'qlb\i. Из лагранжиана (8) следует
20 =
22 = %2k^h, 2g = — tA,3Vv0.
Отсюда легко находятся вычет функции Грина
а (г) = A - 2а (г))
и эффективная масса внутри ядра
т* @)//п = A — 22 @))/A + 2/п2х @)).
Для ядра —- системы из двух типов частиц — все выражения со-
сохраняют силу с тем только изменением, что Kk, у становятся ма-
матрицами в изотопическом пространстве.

II.6. ЛАГРАНЖИАН ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ КБАЗИЧАСТИЦ 165
Равенство энергии частиц и квазичастиц.
Вычисление масс ядер
Плотность энергии системы квазичастиц связана с плотностью
лагранжиана известным соотношением
В нашем случае, пользуясь тем, что производные по t входят
только в v2, и притом линейно, имеем
*« = V«4I*--SV A3)
Таким образом, энергия квазичастиц Eq равна
Для лагранжиана (8) имеем следующее выражение для плотности
энергии:
Пользуясь этим выражением, находим энергию связи квазичастиц,
которая, как мы сейчас покажем, с точностью А-2/> совпадает
с энергией связи Ео частиц.
Энергия Еч, как и E0(N, Z), представляет собой сумму ка-
капельной энергии Eq = aqA + Р?Л*/з -\—• и оболочечной по-
поправки Esq. В силу того, что говорилось выше, оболочечные энер-
энергии Esq и El совпадают, поскольку вблизи поверхности Ферми
свойства реальных одночастичных возбуждений и квазичастиц
тождественны. Очень близки между собой и капельные энергии
Ej и Ё?. Разницу между ними можно оценить, сравнивая их
производные— химические потенциалы (д,г = а + 2/3 M~1/s ••• и
[if = а„ + 2/зР7Л"~'/з... Как было отмечено в (II.4), расхо-
расхождение (д. и цд начинается в членах А~г1\ т. е. а = ач и р = Р?.
Поэтому вейцзекеровские энергии Ej и Ej совпадают с .той же
точностью. Если мы хотели бы увеличить эту точность, то должны
были бы включить в 2 следующие производные. Тогда лагран-
лагранжиан Lq оказался бы функционалом большего числа переменных,
но схема вычислений не претерпела бы.существенных изменений.
Задав универсальные параметры, определяющие квазичастич-
квазичастичный лагранжиан Lq, мы получаем возможность рассчитать одно-
частичные спектры возбуждения ядер вблизи поверхности Ферми
и вычислить энергию связи.
Как мы увидим, параметры Lq однозначно связаны с констан-
константами локальной амплитуды взаимодействия квазичастиц у по-
верхноети Ферми.

166 II. ИЗУЧЕНИЕ ФЕРМИ-СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА
Нетрудно обобщить доказательство равенства энергий на тот
случай, когда существенно влияние близких уровней, например
влияние спаривания или низколежащего коллективного 2+-со-
стояния.
Взаимодействие между квазичастицами
Из лагранжиана L'q легко найти амплитуду Л локального
взаимодействия между квазичастицами. Эта амплитуда в коорди-
координатном представлении равна
Сопоставляя с диаграммой для L'q (стр. 162), находим графиче-
графический вид Л:
Для дальнейшего удобнее пользоваться смешанным представ-
представлением гь г3, т13 ->¦ гъ pi, &i, г2, г4, т24 -> г2, р2, е2. В L'q входят
Gq и их производные при одинаковых временах и координатах,
т. е. величины v;. Тогда
Л(гь Л, ei; г„ рг, е,) = h (\)h B) 6v, Aб}^ B) = ?,ЬЛЦ. A7)
Напомним, что ii=/?2 и выражение |ХЛ следует понимать, как
%! A) Л = рАр!.
Для лагранжиана (8) имеем
Аоо (гъ гг) = ^0(г1, га)+ J7(rb га, r3)v0(r3)dr3, A8)
а остальные компоненты Лгй равны
ЛйСч. г2) = М(г,-г2). A9)
Связь амплитуд Аи J лекального взаимодействия
квазичастиц
Установим связь амплитуды взаимодействия Л, полученной
из L'q, с введенной ранее амплитудой ST.
Для этого получим уравнение для амплитуды рассеяния Г
через Л и сравним это уравнение с аналогичным уравнением,
содержащим Гш. Графически получаем
Г = Л + AGqGqT. B0)

11.6. ЛАГРАНЖИАН ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ КВАЗИЧАСТИЦ 167
С другой стороны,
Г = Гш + ГМГ = Г» + ГЛГШ.
Отсюда, умножая обе части равенства на &GqGq и используя B0),
находим
A = r°> + T°>(A — GqGq)A. B1)
Это уравнение и устанавливает связь между константами, входя-
входящими в $Г = а (г!)Гш (гь г2) а (г2), и параметрами лагранжиана
L'q. В пренебрежении запаздыванием GqGq = А и Л = Ги ¦ Во вну-
внутренней области разность А ¦— GqGq локальна (б-образна) и урав-
уравнение B1) превращается в алгебраическое. В поверхностной об-
области требуется численное решение.

III. ФЁРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
111.1. СИСТЕМЫ БЕЗ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ
Целый ряд важных физических явлений, возникающих под действием
внешнего поля, определяется изменением одночастичной функции Грина
во внешнем поле.
В этой главе изменение функции Грина в поле выражается через сумму
графиков, переводящих частицу (дырку) из одного состояния в другое.
Такая совокупность графиков называется вершиной.
Вершина 3" имеет простой физический смысл: эффективное поле V,
действующее на квазнчастицы во внешнем поле V0, связано с вершиной
соотношением
Получено уравнение для вершины, которое при частотах ю < гр
перенормнруется аналогично уравнению для амплитуды рассеяния Г
В перенормнрованное уравнение для вершины или для эффективного
поля входят величины с 4-нмпульсамн вблизи границы Фермн. В символи-
символическом виде уравнение для эффективного поля записывается следующим
образом:
V=eqV°+TaAV,
где eq — заряд квазичастиц по отношению к внешнему полю V0, Гш —
введенное в II.5 эффективное взаимодействие между квазичастнцамн, ве-
величина А — произведение полюсных частей функций Грнна (см. .11.5,
стр. 156).
С помощью уравнения для эффективного поля найдены уравнения для
функции распределения квазичастиц в поле для бесконечной и конечной
систем. Функция распределения квазичастиц удовлетворяет простому урав-
уравнению, совпадающему с уравнением для функции распределения газа
взаимодействующих частиц, в котором достаточно учитывать только пар-
парные соударения. Многократные соударения учитываются теорией точно,
но приводят лишь к перенормировке эффективного взаимодействия Гш
и к отличию заряда квазнчастице? от единицы.
Таким образом, задача нахождения функции Грина во внешнем поле
в системе с сильным взаимодействием сводится к сравнительно простой
задаче о поведении в поле газа взаимодействующих квазичастнц, помещен-
помещенных в потенциальную яму.

III.1. СИСТЕМЫ БЕЗ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ 169
Изменение функции Грина в поле.
Функция Грина дырки в поле
Для того чтобы найти изменение одночастичной функции
Грина под действием поля, удобно ввести величину, представля-
представляющую собой совокупность графиков, переводящих частицу в поле
V0 из одного состояния в другое:
а +ДА+А
Короткие концы, как всегда, означают, что линии частиц началь-
начального и конечного состояний не включаются в график.
Тем самым*7"V° не содержит частей, соединенных одной линией,
так как такие графики входят в примыкающие к W~VU функции
Грина.
В координатном представлении величина 0~ зависит от трех
мировых точек — координат входа и выхода частицы и коорди-
координаты поля. Выражение ?TV° означает
l2, x)VQ(x)d%
или в импульсном представлении в однородной системе
TV0 = Г (plt р2, q) V° (q) = Т (р, q) V° (q),
Pi — Рч = 4, Pi. = P + q/2, рг = р — q/2.
Величина 9~ называется вершинной частью или вершиной.
Изменение функции Грина в первом порядке по внешнему
полю запишется через TV0 в виде
Эту формулу можно сразу же обобщить на случай сильных
полей, подобно тому как мы это делали, рассматривая одну ча-
частицу в поле (П.1).
Обозначим через G функцию Грина в поле. Тогда все графики,
входящие в. G, могут быть классифицированы следующим обра-
образом: 1) имеется совокупность графиков, на которые поле не дей-
действует — G, 2) в остальных графиках для G поле сначала не дей-
действует, затем идет график &~V°, а затем сумма всех графиков, пере-

170 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
водящих частицу в поле из одного состояния в другое, т. е. G.
Иными словами,
G = G + GTV°G. A)
При этом сама величина Т тоже зависит от поля.
Как видно изA), TV представляет собой изменение обратной
функции Грина. Действительно, умножая A) справа на G,
а слева на G~\ получим
g — G = — TV0.
Вблизи поверхности Ферми, когда функции Грина можно заме-
заменить полюсной частью (О~1 — — (i:-^—^))> получаем
(
t ^--H- aTV°\G= a\,
где Я — гамильтониан квазичастицы.
Мы видим, что изменение гамильтониана квазичастиц опреде-
определяется величиной aTV°, диагональные матричные элементы кото-
которой дают (в слабых полях) изменение энергии квазичастицы.
Таким образом, величина a2TV° играет роль эффективного поля,
действующего на квазичастицу.
Найдем эффективное поле, действующее на дырку. При вы-
выводе уравнения для функции Грина в случае парной корреляции,
когда учитывался переход частицы в дырку и коррелированную
пару, вводилась функция Грина дырки GT , равная G (—т) во вре-
временном или G (—е) в е-представлении (стр. ПО)
QT (е) = а (—г).
Функция GT (т) отлична от нуля как для т > 0, так и для т < О
(не следует путать GT с функцией G", отличной от нуля только
при т < 0).
Во внешнем поле, зависящем от спиновых матриц, выражение
для функции Грина дырки несколько изменяется.
Рассмотрим функцию Грина в поле вида аЖ для системы
невзаимодействующих частиц. Так как к гамильтониану в таком
поле добавляется слагаемое
Н' =
то уравнение для операторов I и I' будет
i -g- = [Я, ?] = Яо? + вЖЧ, -i ij- = ЯД+ +
Уравнения для функций Грина Go A,1') и Go (Г,1) = GJ" примут
вид
(i А - Яо - аЖ) Go = 6 (т),
ог = б(т), где % = t-t\

Ш.1. СИСТЕМЫ БЕЗ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ - 171
Введем функцию 5* = ауЩау. Уравнение для этой функции
получается умножением уравнения для Gl справа и слева на оу.
Используя очевидное равенство
—ОуО*оу = а,
получим
В это уравнение поле входит именно так, как оно должно
входить в уравнение Шредингера для дырки, т. е. с противопо-
противоположным знаком заряда по сравнению с уравнением для частицы,
что и доказывает правильность нашего определения Go-
Для всех полей, не содержащих а,
§S=G0(-e).
Умножение операторов W и Ч*4, входящих в Go (—т), на оу пред-
представляет собой нерелятивистскую аналогию операции зарядового
сопряжения. Если частица описывается функцией фъ то дырке
соответствует функция
Аналогичным образом для системы взаимодействующих частиц
во внешнем поле введем величину
fjh (] О\—ПГГ(П ]\п _ ia /ТШ @\\1Г+ (П\ fr
\J I 1 j ?* j — \J yU I ?i у 1 I Uy v\J и \ 1 x \**f I V//W
уравнение для которой вблизи полюса имеет вид
( i " j-j a?7~hV°) Gh = al
где величина ^"ft, характеризующая изменение Gh в поле, полу-
получается из 0~ операцией
Поясним это равенство для первого порядка теории возмуще-
возмущений по внешнему полю
SO" 0-2) о 60 B. 1) _aG/2 о^^ГЗ 4ШГ4 Па -
(Здесь предполагается суммирование (интегрирование) по повто-
'ряющимся значкам.)
Как мы увидим, в случае парной корреляции 0~t определяет
изменение в поле функции F, введенной в П.З. Соотношение
между 0~h и 0~ будет рассмотрено более детально для ряда случаев
на стр. 189—191.

172
III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Уравнение для вершины. Перенормировка
Уравнение для &~ получается совершенно аналогично урав-
уравнению для Г (П.5).
Обозначим график 3"', не включающий взаимодействия между
частицами, через 0~й:
¦*= А
Тогда все графики 9" классифицируются следующим образом:
1) имеется один график, не содержащий взаимодействия, —9~0,
2) остальные графики содержат 9~0 и все возможные взаимодей-
взаимодействия между частицей и дыркой. Следовательно,
B)
Используя уравнение для Г (П.5)
Г = <U + <UGGT,
получаем из B)
Г --= То + <UGGTo + 'UGGTGGTo
Запишем уравнение C) графически:
i
<UGGT.
C)
Это и есть уравнение для вершины, которое нам надо было по-
получить.
Величина 9~0 зависит от характера внешнего поля и опреде-
определяется тем, что
т. е. &~0V° представляет собой изменение гамильтониана свобод-
свободной частицы в поле. Для скалярного электрического поля (от-
(отвлекаясь пока от изотопической зависимости &~)
Для векторного поля
= еА0.
e
тс

Ш.1. СИСТЕМЫ БЕЗ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ 173
В этом случае целесообразно писать отдельно два уравнения
для i7" в соответствии с двумя слагаемыми в 0~й — векторным и
спинорным.
Для бесконечной системы при переходе к импульсному пред-
представлению (V0 = V%, а,е1Ьг-ш) можно выбрать 3~й = 1 для ска-
скалярного поля, 0~й (р, q) = ра для векторного (р = Pl ^ P2 J и
?Г„ = оа для спинорного полей.
В координатном представлении и в представлении собствен-
собственных функций ф^ одночастичного гамильтониана конечной системы
в вершину следует включать множитель eikr, где k — волновой
вектор поля.
Таким образом, в ^-представлении !7~0 соответственно для ска-
скалярного, векторного и спинорного полей запишется в виде
Вообще, если изменение гамильтониана в поле равно
то в качестве вершины ?Г0 можно взять
^"о = Qm.'
или величину, отличающуюся от нее множителем.
Например, в однородном поле
V° = —E{t)r
изменение гамильтониана равно
и в качестве вершины &~0 удобно взять
^"о = гх%'.
Перенормировка уравнения C) для вершины делается ана-
аналогично перенормировке уравнения для Г (П.5).
Введем величину ?Га (локальную вершину), определяемую
уравнением
&~ A
где В — медленно изменяющаяся часть произведения GG =
= А + В (II.5, стр. 147).
Вспоминая соотношение (II.5, стр. 147)
Ги = <U + ШВТ® = 11 -f- ТаВШ = A + ГИВ) <М
и умножая уравнение C) слева на 1 + ГИВ, получим
A + ГИВ) Т = {1+ Т<»В) То + Y<*GGT
или
. D)

174 III. ФЁРМИ-СИСТЁМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
где А — полюсная часть произведения GG, равная в импульсном
представлении (см. П.5, стр. 147)
А = 2яш*б (в) "
у (со) = (+0) Sgn со.
В представлении квантовых чисел X, характеризующих одно-
частичные состояния фх, для А имеем (стр. 156)
А = 2яш26(е) "*-""*-' ¦ / ч • E')
В уравнении D), так же как и в перенормированном уравнении
для Г, отсутствует интегрирование по областям, далеким от по-
поверхности Ферми, и уравнение определяется заданием Ги и 9~т
на поверхности Ферми.
Величины, определяющие взаимодействие Ги (II.5, стр. 149),
должны быть взяты из опыта. Что же касается вершины 9~а,
то, как мы увидим (III.3), она в большинстве случаев не вносит
новых констант, а определяется теоретически из законов сохране-
сохранения и калибровочной инвариантности.
Уравнение для 9" может быть записано и в другом виде. Из
уравнения для 9" в форме C), используя уравнение для Г (Г =
= Ги + ТаАТ) и выражение для локальной вершины 9~ш =
= 9~0 + ТаВ9~0, находим
4- Т0ВТа) AT = Т® + 9~°>АТ. D')
Умножая уравнение D) на aV°, получим уравнение для эффектив-
эффективного поля в системе
a9-V° = V = eQV° + ГИЛ V, F)
где е„ = а9~ш — заряд квазичастиц по отношению к полю V.
(Ниже величины V и eq рассматриваются более подробно.)
Уравнение для вершины в однородной беоконечной оиотеме.
Импульсное представление
Каждый из графиков теории возмущений, входящих в вер-
вершину в однородной системе, содержит в импульсном представле-
представлении множитель б (р! — р% — q), где рг, р2 — входной и выход-
выходной 4-импульсы частицы, a q — 4-импульс поля. Чтобы отделить
этот множитель, введем вместо 9" (рь р2, q) величину 9" (р, q):
Т (Pl, pt1 q) = BяL б (/?! — рг—ц)Т (р, q),
где р! = р + q/2, р2 = р — q/2.

III.1. СИСТЕМЫ БЕЗ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ 175
Подставляя в D) выражение E) для А и повторяя простые
выкладки, проделанные при выводе уравнения для Г (стр. 148),
получим для &" (р, q) такое же уравнение (при малых q)
Т{р, Ч) = Г«(Р, Ч)+\Ф(П, n')a_J^iyHT(p', q)d?, G)
где у (со) = (+0) sgn со.
Модули векторов р и р' можно положить равными pF, Под Ф,
&~ и ZT® следует понимать матрицы, действующие на спиновые и
изотопические значки.
Матричный вид Ф дается выражением (П.5, стр. 147)
Ф = / + ?аог' + (f + g'aa')xx'.
Вид ?ГИ, а следовательно, и 3" зависит от характера внешнего
поля. Так, например, для скалярного поля, действующего только
на протоны, &~а имеет вид
Здесь I означает единичную матрицу по спиновым переменным.
Для (J-распадного поля, вызывающего переход нейтрона в про-
протонную дырку или протона в нейтронную дырку, имеем
^-ю ^ хх ± ix«.
(Более подробно различные типы полей будут рассмотрены
в Ш.З).
Уравнение G), так же как и аналогичное уравнение для Г,
написано для системы из частиц двух типов. Чтобы перейти к слу-
случаю одного сорта частиц, достаточно в выражении для Ф подста-
подставить тт' = TfjTjf = 1, и считать все величины не зависящими от
изотопического спина.
Из уравнения G) получается простая связь между локальной
и статической вершинами. Обозначая 3~a,<^kv через 9~к, получим
из G)
В частности, для скалярной и векторной вершин (&~@, = 1, ра)
находим
er-k .— а
J а ~ 2 '
1 + 2/0
l+T/i
4где /о и fx — нулевая и первая гармоники /.
В уравнении G), так же как и в уравнении для Г, предполо-
предположено для простоты, что произведение полюсных частей функций
Грина, а следовательно, и величина А не зависят не только от спи-
спиновых, но и от изотопических значков. В случае бесконечной си-
системы это означает, что рассматривается случай, когда оба типа

176 III- ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
частиц имеют одинаковые массы и одинаковые энергии границы
Ферми.
В случае ядра функции Грина нейтронов и протонов у поверх-
поверхности Ферми могут сильно отличаться по квантовым числам даже
при малой относительной разности —-т-—.
Для таких ядер, как мы увидим, диагонализация уравнения
для 9" по изотопическим значкам несколько усложняется.
Уравнение для эффективнсгс псля в кснечнсй системе,
^-представление
В системе конечного размера функции Грина зависят от двух
импульсов — входного и выходного, — и поэтому импульсное
представление неудобно (G = G (ръ рг, г)). В ¦%-представлении,
как мы видели (II.4, стр. 120), функция Грина диагональна по i
вблизи поверхности Ферми, что очень упрощает уравнение для 9".
Единственное изменение при переходе к конечной системе,
состоит в недиагональности G в импульсном представлении,
поэтому все результаты, не использующие конкретного представ-
представления, остаются справедливыми и в конечной системе. Остается
справедливой и операция перенормировки, если заново опреде-
определить разбиение GG на два слагаемых
GG = А + В.
Как мы видели в II.5, под А следует понимать произведение
полюсных частей функций Грина G>, и Gv с е>, и ег , лежащими по
разные стороны границы Ферми, т. е. выражение E'). Подставляя
это выражение в уравнение F), получим уравнение для V в
^-представлении
ЛЛ
Переход к ^-представлению для Ги был проведен.в П.5, стр. 158.
Что же касается величины eq = а?Га ,то, как видно из ее опреде-
определения (стр. 174), в ^"и входят графики, в которых существенно
интегрирование вдали от границы Ферми. Поэтому можно, по-
повторяя аналогичные рассуждения о Ги, утверждать, что 9~а
в координатном представлении определяется свойствами среды
в области ~1/р/,- около точки воздействия поля. Отсюда следует,
что в ядрах, где \lpF в несколько раз меньше радиуса ядра,
локальная вершина 5Га должна мало отличаться от соответству-
соответствующей величины в бесконечной системе и во всяком случае мало
меняться от ядра к ядру.
Величина eq зависит от типа внешнего поля. Ниже мы полу-
получим вид ед для различных полей, пользуясь требованием калибро^
вочной инвариантности и законами сохранения (см. III.3),

Ш.1. СИСТЕМЫ БЕЗ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ 177
В уравнении (8) величины (ХгХ2| Ги \к%'), eq представляют
собой матрицы по изотопическим переменным. Поскольку состоя-
состояния % и %', по которым происходит суммирование в формуле (8),
вблизи поверхности Ферми для нейтронов и протонов могут сильно
отличаться, то следует различать суммирование по нейтронным
и протонным уровням, что усложняет диагонализацию уравне-
уравнения (8) по изотопическим переменным по сравнению со случаем
бесконечной системы, где мы для простоты считали функции
Грина обоих типов частиц совпадающими.
Заметим, что ед в изотопическом смысле может отличаться от
заряда свободных частиц е0. Если заряд е0 отличен от нуля, до-
допустим, только для протонов, то перенормированный заряд eq
будет, вообще говоря, отличен от нуля как для протонов, так и для
нейтронов, т. е. нейтроны приобретают «заряд» по отношению
к полю. По этой причине, как мы увидим ниже, нейтроны в среде
вносят вклад в орбитальный магнетизм, т. е. нейтронный ток
взаимодействует с магнитным полем, хотя заряд е0 для такого
взаимодействия равен нулю. Исключение составляет лишь слу-
случай скалярного поля, для которого ед = е0, т. е. ед в изотопиче-
изотопическом смысле не отличается от е0.
Координатное представление. Короткодействующая
и дальнсдействующая части прспагатсра А (г, г', ю)
В эффективное поле существенный, а иногда и определяющий
вклад вносит смещение я точек поверхности ядра под действием
внешнего поля. Эффективное поле разбивается на поверхностную
и объемную части:
V--=-%rU + Vl (9)
где U — среднее ядерное поле.
Из-за «мягкости» поверхностных степеней свободы и велико
и первое слагаемое оказывает важное влияние на матричные эле-
элементы Vxv- Особенно существенно влияние поверхности на
квадрупольное слагаемое V (коэффициент при Y2m (я) в разло-
разложении V) вблизи области деформированных ядер, где квадруполь-
ная жесткость поверхности стремится к нулю. Выделение поверх-
поверхностного слагаемого в У и уравнения для смещения и во внешнем
поле изучены в III.4, стр. 245. Формально уравнение для V в
Х-представлении содержит поверхностную часть. Однако первое
слагаемое (9) б-образно по г и соответствующие матричные эле-
элементы Vw отличны от нуля даже при большой разнице _'в числах
узлов состояний X, %'.
Поэтому решение в Х-представлении требует суммирования
по большому числу оболочек и использование «урезанного»
базиса состояний ф/, совершенно недопустимо. Для правильного

178 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
учета поверхностных степеней свободы следует найти ядро К =
= &~А в координатном представлении.
В приложениях ТКФС &~(г, г') берется в приближении эффек-
эффективного радиуса, а функция влияния А (г, г') определяется
после разложения по шаровым функциям численно для каждого
ядра.
Однако для наглядности результатов и для оценок полезно
иметь качественную картину поведения функции А (г, г').
Величина А имеет резкий пик при г -*-г с шириной rA ~ \lpF
и дальнодействующую часть Л(;), слабо зависящую от \г — г'\
и г. Короткодействующую часть A{s) можно оценить по формулам
бесконечной системы [3, 92]. Используем выражение
л /, - р\ 2mexp{t>(e, rt) | rt — г» |}
О (г„ Г„ 8) - [?—7-1 .
Тогда несложные вычисления дают для Л<!!)
где rA ~ \lpF.
Оценим величину Л"'. Запишем А (гх, г2, ю) в виде
(Г,, г2, со) = V .e"l7?+
В А({\ дают вклад слагаемые с V', близким по числу узлов к Я,
что соответствует | е^,— е^- | ~ efA~1/s. Число таких членов
~Л2/". Следовательно,
Эти соотношения используются в III.4 при анализе поверх-
поверхностных колебаний.
Уравнение для функции распределения кваэичаотиц
во внешнем поле. Эффективное поле
и заряд квазичастиц
Из уравнения для вершины легко получить уравнение для
функции распределения квазичастиц во внешнем поле, явля-
являющееся естественным обобщением уравнения для функции рас-
распределения, которое было получено в П.5 при рассмотрении
коллективных возбуждений.
Сначала рассмотрим случай бесконечной однородной среды.
Введем величину ¦
Р*(Р)=??^1/(р> к, со).

III.1. СИСТЕМЫ БЕЗ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ 179
Тогда из уравнения G) для 9~ в импульсном представлении по-
получаем
{ j (л, я')р4(я')^1}. A0)
Соответствующее однородное уравнение совпадает с получен-
полученным в П.5 при рассмотрении коллективных возбуждений. Сравним
это уравнение с кинетическим уравнением для ферми-газа при
абсолютном нуле. Для &-й компоненты Фурье от функции рас-
распределения
h(p)=\f(r, P)e
во внешнем поле V0 имеем уравнение
(со - kv) ft (р) = Ц?1 egkaVl + ЦШ. kaV'h,
где eq — «заряд» частиц по отношению к полю Vго; самосогласо-
самосогласованное поле Уь вызвано изменением функции распределения и
равно (для простоты мы пока рассматриваем бесспиновое поле)
Здесь U (р, р') — амплитуда взаимодействия между частицами
в импульсном представлении.
Если обозначить
(п — единичный вектор направления р), то кинетическое урав-
уравнение совпадает по виду с уравнением A0)
(со - kv) р* (р) = kv [eqVl + igp J рк (»') U (п, п')^].
Сравнение с уравнением A0) дает, как и в 11.5,
U(n, п') = ^
pFm
Величина 0~& играет роль заряда квазичастиц
е„ =
Таким образом, изменение обратной функции Грина в поле,
равное —!7~У°, выражено через решение неоднородного уравне-
уравнения A0), которое может быть интерпретировано как кинетическое
уравнение для квазичастиц, взаимодействующих между собой
с потенциалом t
U(p, p'\ о, а'; т, т') = й2Г»
и взаимодействующих с полем с зарядом eq =

180 III- ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Уравнение A0) можно также интерпретировать как уравнение
для функции распределения идеального газа в эффективном поле
eqV° +\Ф(П, п')р(«') -^-} = a9-V° = V,
так как величина a&~V°, как мы уже упоминали, имеет смысл
эффективного поля, действующего на квазичастицу, причем пер-
первое слагаемое в фигурной скобке соответствует той части эффек-
эффективного поля, которое лишь численным множителем отличается
от внешнего поля (переход от ?7~0 к &~а), тогда как второе слагаемое
описывает запаздывающую (зависящую от со) часть эффективного
поля, вызываемую поляризацией среды.
Для конечной системы легко получить уравнение, аналогич-
аналогичное A0).
Введем матрицу плотности квазичастиц во внешнем поле
в ^-представлении
п — п
Р^2 е _ е 4-со
Аг Ai '
Из уравнения (8) для эффективного поля в конечной системе
получаем
(со - eAl + eA,) pAlA2 = («А2 - «Al) (eqVllU + ? (hh | a2Ta | U') P
A1)
которое является аналогом кинетического уравнения в ^--пред-
^--представлении.
Нетрудно убедиться, что уравнение для матрицы плотности
разреженного газа в ^-представлении имеет вид, совпадающий
с A1), если в качестве взаимодействия между частицами взять
величину а2Гы, а в качестве «заряда» ед для взаимодействия
с внешним полем — величину а?7~и.
Выражение в фигурной скобке A1) представляет собой эффек-
эффективное поле V, действующее на квазичастицы. Оно определяется
тем же уравнением, что и ?TV°
где Т = аТи.
Ниже уравнения A2) и A1) будут использованы для опреде-
определения частот и вероятностей переходов в системе под влиянием
внешнего поля.

Ш.1. СИСТЕМЫ БЕЗ ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ 181
Лагранжиан квазичастиц вс внешнем поле
Во внешнем поле Vo к плотности лагранжиана 9?q следует
добавить слагаемое
где ёд — заряд квазичастицы, который отличается от введенного
ранее заряда eq из-за того, что в 3?q учитывается запаздывание.
Введем величину 0~^, связанную с eq соотношением а?Г®У0 =
= egV0, и найдем ее связь с введенной ранее вершиной 0~а. Для
вершины 0~ из 3?'q графическим методом, примененным к квази-
квазичастицам, получим
T = T^ + AGqGqT, A3)
тогда как графический метод для частиц дает
д- = д-<* + Y^AT. A4)
Используем полученное ранее соотношение, связывающее Л с Гы,
Л = ГЮ + ГИ(Л — GqGq)-\.
Умножая уравнение A4) слева на Ym (A — GqGq) и используя
приведенные соотношения, легко находим
rqa = ra + T"(A-GqGq)rq>. A5)
Умножая уравнение A4) для 0" слева на Л (А — GqGq), нетрудно
получить
A6)
Соотношения A5) и A6) позволяют найти изменение эффективного
заряда eq квазичастиц при учете запаздывания. В пренебрежении
запаздыванием имеем GqGq = А2Г^ = &~а и ё„ — eq. С помощью
приведенных соотношений эффективное поле V, определяющее
статические моменты ядер и вероятности переходов, выражается
через константы, входящие в лагранжиан. Таким образом, ла-
лагранжиан Lq позволяет определить все низкоэнергетические
характеристики ядер, выразив их через универсальные, одинако-
одинаковые для всех ядер, константы. В тех случаях, когда учет запазды-
запаздывания несуществен, обычное вычисление дает результат, совпа-
совпадающий с тем, что получается из Lq. Однако, при учете запазды-
запаздывания, как это понадобилось для вычисления масс или при исполь-
использовании следующих членов разложения в 2 по р2 — р% и е — (х,
метод лагранжиана позволяет получать более точные результаты
в виде ряда по степеням А~2/<>.

111.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ
В системах со спариванием задача определения реакции системы на
внешнее поле заметно усложняется, во-первых, из-за более сложного урав-
уравнения для Gs (система уравнений, связывающих Gs и F) и, во-вторых,
из-за изменения блоков АA) и Д(а) во внешнем поле.
В этой главе получена система уравнений для величин Gs, F(l>>B),
ДA), B) как в слабых, так и в сильных полях. Под сильными полями пони-
понимаются поля, сравнимые с расстоянием между уровнями или большие,
ио все же достаточно малые по сравнению с sf.. Для полей, сравнимых
с г^, все локальные характеристики системы изменяются, и задача нахо-
нахождения функций Грииа делается практически неосуществимой. Дается
простой графический вывод уравиеиий для фуикций Грииа в слабых полях.
В уравнения для функций Грииа входят блоки, которые по аналогии
с квантовой электродинамикой названы вершинами Э~. Вершины, как
и в задаче без спаривания, имеют простой физический смысл. Эффективное
поле V, действующее иа квазичастицы, связано с внешним полем V0 через
вершину V = a&~V°. Таким образом, вершина характеризует поляризуе-
поляризуемость вещества во внешнем поле. Наряду с Т в уравнение входит также
вершина для дырки &~h, которая определяет эффективное поле, действую-
действующее на дырку. Между У и 3~h существует соотношение, вытекающее из ин-
инвариантности гамильтониана относительно отражения времени.
Получено уравнение для вершины в импульсном представлении, опре-
определяющее реакцию бесконечиой однородиой системы иа виешиее поле.
Для коиечной системы удобнее вместо вершины вводить эффективное
поле. Получается система уравиеиий, связывающая эффективное поле V
с d(l) и dB) — изменениями блоков ДA) и АB) в поле. В случае деформиро-
деформированных ядер, так же как и в бесконечной системе, уравнения упрощаются —
вместо двух величии dcl) и dB) остается одна dA) = d (dB) = —d(l)), и,
кроме того, существенно упрощается суммирование по A,j и Я, в промежу-
промежуточных состояниях.
Изменение матрицы плотности частиц и квазичастиц просто выра-
выражается через эффективное поле V.
Полученные для изменения матрицы плотности в поле выражения су-
существенно отличаются от тех, которые обычно выводились в ядерной физике
с помощью канонического преобразования. При таких расчетах не учиты-
учитывали взаимодействие Гю между квазичастицами, ие делали различия между
блоками Д'1' и Дс2> и пренебрегали изменением ДA) и ДB) в поле.
Изменение функций Грина в поле. Сильные и олабые поля
Вернемся к графическому выводу уравнения для G = Gs
в случае парной корреляции (II.3). Уравнение для Gs при х > О
записывалось в виде

III.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 183
где ДA) и Д<2) — блоки, которые не зависели от спиновых ин-
индексов, GT A,2) = G B,1) — транспонированная функция Грина
без парной корреляции.
Во внешних полях, действующих на спиновые переменные,
уравнение для Gs несколько изменяется. Согласно принципам
построения графиков Фейнмана теперь вместо блоков Д*1' и ДB)
должны стоять зависящие от спиновых индексов амплитуды пере-
перехода из одного состояния в другое. Введем амплитуды соответ-
соответствующих переходов ДA> и Д<2>. Пусть спариваются частицы
с суммарным спином, равным нулю. Тогда амплитуды ДA> и Д<2>
должны быть антисимметричны по спиновым индексам, т. е. про-
пропорциональны матрицам оу.
Уравнение для Gs надо было бы, согласно принципам построе-
построения графиков, писать в виде
В отсутствие внешних полей оно переходит в наше прежнее урав-
уравнение, если блоки Д*1', ДB>, не зависящие от спиновых индексов,
связаны с ДA> и Д<2) соотношениями
,, Д<2> =
Действительно, подставляя их в уравнение для Gs, находим
В отсутствие спин-орбитальной связи и внешних полей, дей-
действующих на спиновые переменные, oyGToy = GT и оба уравне-
уравнения для Gs совпадают.
В общем случае между блоками Д<'> и ДB), не зависящими от
спиновых индексов, стоит функция Грина дырки Gh (III. 1)
Gh = oyGToy.
Записывая уравнение для Gs, как и в II.3, в виде двух уравнений,
получим
G^G I
Аналогично для величины iF^\ связанной с полной амплитудой
получается выражение
Блоки ДA> и ДB> определяются уравнением
), B) = _. f rSfd). <2>е A) d8'
2ni
Изменение функции Грина Gs в поле определяется не только
изменением функций G и Gh, но и изменением в поле величин Z7'1'
и F<2>.

184 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Обозначим по-прежнему (III.1, стр. 172)
где 0~н связана с 0" формулой
0~^ — Р0~ = i
Ниже мы покажем, что между 0~h и 0" существует соотношение
где знак «+» соответствует внешним полям, не меняющим знака
при обращении времени, а знак «—»— нечетным по отношению
к обращению времени полям (таким, как, например, магнитное
поле).
Напомним, что эффективные поля, действующие на квази-
квазичастицу и квазидырку, выражаются через 0" и 0~h соотношениями
т. е. вершины 0~ и 0~н характеризуют поляризуемость вещества
в поле.
Запишем уравнения для функций Грина во внешнем периоди-
периодическом поле частоты <о. Для сокращения записи полагаем, что
&~V° сдвигает четвертую компоненту импульсов, стоящих справа
от 0~V°, на со, т. е., в частности, 0~V°Gs означает
= 0-{е, co)FGs(e + to, е').
Тогда первое уравнение для функции Грина запишется так:
(ГЧЗ, (е, е') - 0~V°Gs (е + со, е') =
= I _ д<1)^ <2> (е, е') — (Д<>) — ДО) f<2> (8 + ш 8')
где Gs, F, А — соответствующие величины в поле. Аналогичным
образом запишется второе уравнение.
Мы ограничимся случаем, когда Д <^ sF. Тогда все эффекты,
связанные с парной корреляцией, сказываются только вблизи
границы Ферми (е — eF ~ А, ех — eF ~ Д), где функции Грина
могут быть заменены их полюсными частями. (В дальнейшем
опускаем значок s у G.)
Для функций G и F получаем уравнения:
(е _ Н - aTV*) G = а -
— (е + Я - 2ц + aerhVu) oyGToy = a~ a
¦ _ (е + Н — 2ц + a9~hV°) F<2> == Д<2>5,
.. (.2)= —

П1.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 185
где Н — одночастичный гамильтониан с эффективной массой и
эффективной потенциальной ямой; — =1 g—.
Последнее из уравнений A) получается в пренебрежении
влиянием поля на величину П. Так как Г& определяется ин-
интегралами по областям, далеким от поверхности Ферми, то отно-
относительная поправка от изменения Г? имеет порядок Д/ег.
Между тем изменение функций G и F в поле определяется
отношением энергии частицы в поле к расстоянию между уров-
уровнями. Поэтому существует широкий интервал для величины
внешнего поля, когда можно пренебречь влиянием. поля на ло-
локальные характеристики среды, но следует учитывать во всех
порядках влияние внешнего поля на функцию Грина. Такие поля
будем условно называть «сильными». Для еще более сильных
полей, когда меняются локальные характеристики среды, построе-
построение теории так усложняется, что делается практически невоз-
невозможным.
Рассмотрим сейчас более подробно случай слабых полей, когда
можно ограничиваться первым порядком по изменению функций
G, F и Д в поле.
Из уравнений A) получаем:
(е _ щ G' = aTG - тО>Л2> - ДО) (Л2>)\
(е — Я)'(^О))' = a^-fd) + ДО) (Gh)' + tO>G\
~_ (е 4- Н) (Gh)' = aST4ih — x<2>FO) _ дB)
Здесь G, F0)> B), ДО)' B) — значения величин без поля, G', F' —
поправки первого порядка в единичном поле, а величины т.0)
и т<2> означают
(П
Величины е и Я отсчитаны от ц. Мы пока не делаем уточнения
уравнений, связанного с различием химических потенциалов
для добавления и вычитания частиц (см. II.4, стр. 127).
Из системы (Г) с помощью простых преобразований находим:
= G' = QTG —
= (fB))' = _f B)T(!)fB) | + +
^ = (Fd))' = —F(i)TB)f(i) _|_ G%WGh + GTFM +¦
|^- = (G'V = G'0~hGl
or '
B)

186
т. фёрми-сйстемы во внешнем Поле
а уравнения для тA) и т'2> получаются из равенства
т<1>. B) = _ j п (ЛП. B))' L
Под G следует понимать функцию Грина задачи с парной корре-
корреляцией (значок s у G, как и раньше, опущен).
Эту же систему равенств получим теперь графически.
Изменение функций Грина в поле. Графический вывод
Формулы предыдущего раздела можно получить графически,
сопоставляя, как и выше, графикам
величины. tf' и iF<2>, а графикам
-О * О
величины гД"> и tAB>. Этот вывод полезно проследить, прежде
всего, для приобретения свободы в обращении с графиками.
Кроме того, как мы увидим, графический вывод оказывается
гораздо проще аналитического. Ответ получается прямо в виде
формул B), минуя вспомогательную систему равенств (Г), кото-
которая предшествовала этим формулам.
Уравнение для G графически имеет вид
В соответствии с этим, во внешнем поле получаем
что совпадает с соответствующим выражением в B).

III.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ
Получим еще выражение для
I
187
I
что опять-таки совпадает с B).
Предоставляем читателю проверить оставшиеся два равенства.
(Разумеется, везде стоят функции Грина задачи со спарива-
спариванием.)
Уравнение для эффективного поля. Перенормировка
Мы определили (III.1, стр. 172) вершину 3~ соотношением
6 [-(¦?
или, иначе,
где 0~о — вершина для свободных частиц.
В величину 2 не включены переходы частицы в дырку и кон-
денсатную пару — такие переходы входят в А и в F, т. е. 2 не
содержит графиков, соединенных одной линией частицы (в си-
системе N частиц) или дырки (соответственно в системе N + 2 ча-
частиц).
Поэтому вершина &~ также не содержит частей, соединенных
одной линией любого направления.
Совокупность графиков, входящих в 62/61/°, можно класси-
классифицировать следующим образом: частица с дыркой взаимодей-
взаимодействуют через блок °U, не содержащий частей, соединенных двумя
линиями (см. II.5), затем идет совокупность всех графиков,
включающих концы и переводящих частицу в поле из одного
состояния в другое.
Поясним это на рисунке:
32
6V0

188 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Сумма всех графиков, переводящих частицу из одного состояния
в другое в поле, есть изменение G, поэтому
62 = Ш№. C)
Это соотношение справедливо не только при изменении G во внеш-
внешнем поле, но и в том случае, когда изменение G вызывается дру-
другими причинами, например изменением числа частиц в системе.
Правильность нормировки этого равенства сразу же прове-
проверяется на случае, когда парная корреляция отсутствует. При от-
отсутствии парной корреляции SG = G?TGl/°, и формула C) при-
приводит к полученному выше уравнению (III. 1, стр. 173) для вер-
вершины.
В рассматриваемом случае изменение G в поле дается более
сложным выражением B).
Уравнение для вершины на основании C) будет
Т = Т0 + Ш-^. D)
Перенормировка уравнения D) делается так же, как и для
системы без спаривания, с помощью уравнения для Ги (П.5)
Умножая уравнение D) слева на оператор 1 + ГИВ, получим
Г = Г*+?*(¦§?-ВТ). E)
Запишем произведение двух функций Грина GG в правой части
первого из уравнений B), как и прежде, в виде
GG = А + В,
где А — произведение полюсных частей функций G задачи со
спариванием, а В — часть произведения GG, которая приводит
в D) к интегрированиям по областям, далеким от поверхности
Ферми. Величина В совпадает (с точностью до величин порядка
Д/б/г) с соответствующей величиной задачи без спаривания.
Последнее замечание в одинаковой мере относится ко всем
величинам, в которых свойства функций G существенны лишь
вдали от поверхности Ферми. Такими величинами, в частности,
являются ?7~<° и Гю. Таким образом, перенормировка уравне-
уравнения D), т. е. замена ^"она ^"и и Щ на Ги одновременно означает,
что после подстановки SG/fil/0 из B) в уравнение E) вместо GG
остается произведение полюсных частей GG, что приводит к ин-
интегралу от GG только по области, близкой к поверхности Ферми.
Что же касается остальных членов выражения bGlbV0, то они
падают по мере удаления от поверхности Ферми быстрее, чем
е~2, и не содержат интегрирований по далеким областям. Вынося,
как и выше, медленно изменяющиеся с е функции Гю, 9~ и Д
из-под знака интеграла в точке 6 — 0, придем к интегралам по е

III.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 189
от величин GG — В, FF, GF, FG. Эти интегралы легко берутся
в комплексной плоскости аналогично знакомому нам интегралу
от GG.
Приведем выражение для 9~, которое получается после под-
подстановки 8G/8V0 из B) в уравнение E) для &~:
^-=.0-»-|_Гв J -^ {[GG -В- F<i>F<2)pj g-—GFVhO) _ F^Gx^\.
F)
(Вершины тО, т<2> были введены на стр. 185, а оператор Р — на
стр. 184).
Для получения замкнутой системы уравнений нам предстоит
еще написать уравнение для величин т'1) и т<2>, определяющих
изменение ДО и Д<2> в поле.
Ниже мы приводим таблицу (стр. 197) интегралов, входящих
в F), а также тех, которые понадобятся нам дальше для вычисле-
вычисления т*1", т<2> в ^представлении. Переход от ^-представления к им-
импульсному настолько прост, что нет смысла выписывать соответ-
соответствующие формулы.
Сеотношония можду эффективными полями
чаотицы и дырки
Вершина #"*, входящая в уравнение для F, была определена
следующим образом (стр. 184):
Th{\, 2, х) = оуТB, 1, х)оу = РТ{\, 2, х),
где х — (г, i) — точка приложения поля.
Мы получим сейчас более удобное соотношение между 9~h
и &~ и затем поясним его на нескольких примерах.
Для физического внешнего поля изменение одночастичного
гамильтониана (т. е. величина &~V°) должно даваться эрмитовым
оператором. Это означает, что величина
, 2) = J^"(l, 2, x)Vu{x)dix
должна быть эрмитовым оператором по переменным частицы 1 и 2,
следовательно,
V(l, 2)= \Т{\, 2,
= (J^-B, I, x)V* {x)#x)* = \Т*{2, 1,
откуда находим, что
Г = (\, 2, х) = Г*B, 1, х).

190 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Для компоненты Фурье получаем
Т{\, 2, <7) = JVA, 2, x)eb*d*x = &"B, I, —q),
Т? = ГB, 1, q) = T'{\, 2, -q). G)
Будем переходить к компоненте Фурье только по 4-й переменной,
тогда
ГB, 1, г, (o) = JT*(l, 2, г, -со). (У)
Особенно просто выглядит применение операции Р к пере-
перенормированной вершине^5, которая при малых частотах (со <
<^ гР) не зависит от со.
Покажем, что
= ауТ* B, 1)стг/ = ст!/^"а*A) 2)оу=Т$-'»A, 2),
где Г — оператор обращения времени; Т = 1 для вершин, не
изменяющих знака при замене ?-на —t. Для вершин, нечетных по
отношению к обращению времени (таких как ?Га ~ о, г X р
и т. д.), Т = — 1.
Действительно, пусть ?Га имеет вид вещественной функции
от операторов г, р = —i-g—
Т* = Гх (г, р) + Га (г, р) аа,
тогда
РГ° - ст^Г (г, р) оу + оуТ*а (г, р) о*аоу =
= Тх{г, -р) - Тл (г, -р) са = ТТ*.
Заметим, что вещественность Тш как функции эрмитовых
операторов, следует из условия (У).
Поскольку произведение 0~aV° не меняется при обращении
времени, то
причем знаки «+» или «—» ставятся соответственно для четных
или нечетных по отношению к операции Т полей У0.
Из уравнения для $Г в форме
2Г = Та +
где Ги = Г" + Г"оо' (см. II.5), находим
причем (Гш)й определяется выражением
у)бг6 =
TaOj,) \OyOa, Оу

III.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 191
Таким образом, для Th получаем уравнение
Тн = ±Та + ГМ (—о) Th. (8)
Это же уравнение можно получить и из выражения STh — ay3~r ay,
если учесть, что
ЛA,2; 3,4; со) = ЛB,1; 4,3; —со).
Итак, ?ГЛ удовлетворяет уравнению, совпадающему с уравнением
для Т (—со) с точностью до знака при ?ГШ (ТТа — ±_Т№).
Следовательно,
Тк(\, 2, г, со)- ±Г(\, 2, г, -со). (9)
Такое же соотношение можно вывести и из уравнения F). Поясним
полученные формулы на нескольких примерах.
Пусть ?Г0 = г, что соответствует однородному электрическому
полю. Тогда из соображений симметрии получаем
&- = аг + фар + iyar X а + fip x о,
где операторы риг в координатном представлении равны
Pi2 = -j- \ 8 (ri - г) -|г б (г - г,) dr = -~ (vi - v«) б (ri - гг),
ги = J * (ri - г) гб (г - г2) dr = ^- (гг + г2) в (Г! - г2);
а, Р, V. * — функции от квадратов величин г, /7, со. Из (У) выте-
вытекает вещественность а, р, у, б. «Соображения симметрии» в дан-
данном случае означают, что все слагаемые в этом выражении должны
иметь одинаковую четность по отношению к пространственным
и временным отражениям.
Легко видеть, что
Т'л = оиТ B, 1, со) оу = аг + фсарт + iy&r x оуатау +
+ Ьрт х ауатоу = аг — ipcop — iyar Xo + 8pxo = &~ (—со).
При получении последнего равенства использованы следующие
соотношения:
Рт = -Р, (о)х,; = (от)х,г; Wu = -{oT)y.
Рассмотрим теперь случай ^ = р, что соответствует также
однородному электрическому полю, но записанному в форме
векторного потенциала.
В данном случае 0~\ — —&~0. Из соображений симметрии
ZT имеет вид
Т A, 2, со) = ар 4- фаг + уг X а + (бщо X р,
а, р, у, б опять на основании G') — вещественные функции от
р2, г2, со2. Аналогично случаю &~й = г получаем
оуТB, 1, оо)о,=
= —ар + ip<or - vr X (Т + t6(o0 XJ9 = —^" (—со).

192 m. фёрмй-сйстёмы ёо внешнем поле
Изменение А во внешнем поле. Уравнения
для вершин т<>> и т<2>
Изменение величин
во внешнем поле дается вершинами
уравнение для которых получается из последнего равенства
системы A), связывающего А с F. Подставляя в равенство
). B) _
- ¦ 6Vo
). B)
величину —Т775— из выражения B), находим
A0)
тB) ^ __гад (?) j -^r- |G4<2>G -
Можно показать, что между вершинами тA> и т<2' существует
соотношение, аналогичное соотношению эрмитовости {!').
Легко показать, что
. г<»A, 2, С0) = т<2>*B, 1, г, -со),
тП)'B, 1, —со) = т<2)A, 2, г, со). ( }
Для этого следует написать уравнения, определяющие величины
т<2>*B, 1, г, -со) и т»)*B, 1, г, -со),
используя то, что Г? не изменяется при одновременной пере-
перестановке входных и выходных точек. Перестановка выходных
точек означает замену в фигурной скобке величин ^G на GGh,
FG на GF, GhF на FGh, с заменой со на —ю и с соответствующей
перестановкой входных и выходных точек у ть т2, 2Г, Тн. Кроме
того, следует учитывать, что П (так же, как и Г") — веществен-
вещественная функция.
В результате для этих величин получаются уравнения, совпа-
совпадающие с A0), что и доказывает соотношения A1). Другое до-
доказательство состоит в том, что соотношения A1) приводят, как
это и должно быть, к выполнению условия эрмитовости G ) для
тех слагаемых^", которые содержат тA) и т<2>.

III.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 193
Так как т<2> получается из тA) обращением времени, то между
и т<2> существует также соотношение (аналогичное (9)):
т<2>A, 2, г, (о) = ±т<1)A, 2, г, -со).
Изменение знака со соответствует замене испускания кванта
на поглощение. В результате система уравнений A0) сводится
к двум уравнениям для четной и нечетной частей функции т<!) (со)
-т<1'(—со)),
Эти уравнения рассматриваются ниже (стр. 201) на при-
примере скалярного внешнего поля.
Дальнейшие упрощения системы уравнений A0) будут сделаны
ниже. Так, мы покажем, что в бесконечной системе и в деформиро-
деформированных ядрах, кроме соотношений A1), существует еще соотноше-
соотношение т<!) A, 2, г, со) == — т<2) A, 2, г, со), так что система A0) сво-
сводится к одному уравнению.
Уравнение для аффективного поля в беоконечной оиотеме.
Импульсное предотавление
В бесконечной системе величины т<'>, т<2), Т, Th представляют
собой медленно изменяющиеся функции от р, где р = Pl "tPa .
(Здесь, как и раньше, рг = (ръ гг) и р2 = (ръ е2) — входной и
выходной 4-импульсы.) Это следует из того, что величины Гш
и Г& суть медленно изменяющиеся функции р, р' и е, е'. Между
тем интегрирование по йг', йг'р в уравнениях A0) и F) длят<'»,
т<2) и 2Г происходит в узкой области вблизи поверхности Ферми.
Поэтому во всех интегралах можно медленно изменяющиеся
функции Гш, 2Г, тA), т<2' вынести в точке |р| == Рр, е = еР и
выполнить интегрирование по йг', йг'р, оставив только интегралы
по углу между р и р', от которого зависят Гш и П. Таким обра-
образом, возникают интегралы по йг, йгр от всех комбинаций G и F,
стоящих в формулах A0) для т<!> и т<2) и в формуле F) для 0".
Мы приведем результат вычисления этих интегралов [86]
31 = % \ тнг- [°° - в - ^
— о
dp f dedep
n I fttt—
lp_ С
в,. J
deF J 2ni ~~ de,, J 2ni
7 А. Б. Мигдал
_ dp 2 и — kv
- ds a 2E—

194 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
где
Arshx
Мы видим, что I GF de dep = —I FG йг йгр, поэтому в урав-
уравнение F) для ?7" входит только комбинация тA) — тB). Кроме того,
так как I GGh ёг <Хгр — четная функция со, то I GC1 йгйгр =
= \ GhG йг d&p.
Складывая уравнения A0), получим однородное уравнение
для т<4 4- t<2) • Это однородное уравнение имеет только нулевое
решение. Существование при какой-либо частоте решения одно-
однородного уравнения означало бы, что есть собственные колебания,
которые нельзя возбудить никаким внешним полем. Во всяком
случае, существование такого решения не оказало бы влияния
на интересующие "нас уравнения для вершины.
Обозначая -у (т<'> — т<2>) = У, получаем из уравнения F)
для 0" и уравнений A0) для тA> и тB)
Т = Т* + Г» {[GG - В - FFP] Т + 2GFT),
0- = гв |[— GG»Q(l) + FF\r - [GF + FG*P\ T\,
или иначе
+ ЖТ\,
В уравнениях A2') интегрирование происходит только по
углу между р и р'. Вспоминая уравнение для Д в бесконечной
системе (П.З, стр. 115)
видим, что из второго уравнения системы A2') (если сохранить
только нулевую гармонику П) член, содержащий In B?/Д),
сокращается с левой частью. Из этого же соотношения видно,
что величина аа-т^-Го логарифмически мала (~1/1п (гР/А)).

III.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 195
Естественно ожидать, что следующие гармоники Г& будут
меньше нулевой из-за влияния центробежного потенциала. Легко
видеть, что критерием пренебрежения следующими гармониками
в Т является малость величины а2 -~ Г} < 1 для I Ф 0. Нуле-
Нулевая же гармоника ?Г не мала из-за указанного сокращения. 1Ъ>
этому во втором уравнении A2') можно оставить только нулевую
гармонику ?Г', после чего уравнение принимает вид
(NKT = — {ОТ),
где ( ) означает усреднение по углу.
Уравнения A2') определяют реакцию системы на внешнее
поле и позволяют находить частоты собственных колебаний си-
системы из условия обращения ?Г и 0" в бесконечность..
Найдем решение уравнения A2') для скалярного внешнего
поля. Ищем 0" в виде
¦Г = а + р (fcv).
Из уравнения A2'), используя выражения для N и (У, получаем
2Д (аи + 6fe2»J./3)
сп- _
со2 - 4*4/3
Подставим это выражение в первое из уравнений A2'). После
несложных, но длинных выкладок, получаем
or _q-a и2 ~ Ф2
где с] = (vp/3) A + /УЗ), с2 есть скорость звука, равная
с2 = -у-<1+ /о) (l+fi/3). A3)
Используем соотношение [3 ] для сжимаемости К = р (n
и, заменяя в нем / = 2/0 на /0 (один тип частиц!), получим
Подставляя это выражение в A3) и используя формулу Ландау
т* = т (\ +-^-f^j (см. III.3), получим
О _ ТТ _1 1 dL\l
*м п " dp '
что совпадает с известным термодинамическим выражением для
скорости звука.
7*

196
III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Уравнения для аффектнвнеге пеяя
в кенечней снетеме. Я-нредставленне
Как и в случае задачи без спаривания, для получения урав-
уравнений в конечной системе следует перейти от координатного
представления к представлению собственных значений одноча-
стичного гамильтониана (Х-представление).
Как мы видели на примере бесконечной системы, уравнения
значительно усложняются по сравнению с задачей без парной
корреляции — возникает система уравнений для вершин 0~, тA),
т<2> (уравнения F) и A0)).
В этих уравнениях можно выполнить интегрирование по е,
вынося, как мы это уже много раз делали, слабо зависящие от е
функции 0~, тA), тB>, Ги, Г? в точке е = е^-, т. е. вблизи макси-
максимума подынтегрального выражения.
В случае конечной системы удобнее писать уравнение для
эффективного поля: V = aTV\ aZTaV° = eqV°. Обозначим из-
изменения А в поле: <2A) = атA)У°, d<2) = атB'У°. Тогда для ма-
матричных элементов эффективного поля получим уравнение *)
VKK = еУи. 4-
- S
XX') 0, (i,
(соL
') 0x (I) {Л
A4)
JC^,
J
обозначены интегралы
где через
An
по -х^- от пар функций Грина, стоящих в формулах F) и A0):
Х = -5Г J
- ^х,
.s (е + (о
= 4- J F^
1 = -i- JGk,(в
' (e +
l(-e - ш)
= - ^r J |Gxt (e
со)
Xl (e)Gx. (-e - a)P\.?
*) Ниже (стр. 202) будет получено простое соотношение для day и rfta), выте-
вытекающее из закона сохранения числа частиц, и дается система уравнений для слу-
случая скалярного поля,

Ш.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 197
Эти интегралы легко вычисляются в комплексной плоскости:
de
,
J Он, (в)Ох, ("в"-
Здесь щ = —-2? г% , El = AJ, + г\. Интегралы j FG de
A5)
de получаются из приведенных заменой Хг *± Х3, со ->.
-> —со. Для состояний Xj, 2 = л0 или —Ко, в которых находятся
нечетная частица и дырка в системе с нечетным числом частиц
данного сорта, эти выражения следует изменить, использовав
для Gb Fx полученное выше (II.4, стр. 135) выражение для по-
полюсных частей функции Грина в нечетном ядре. Получающиеся
при этом интегралы приведены на стр. 198.
Используя выражеиия A5), получим для коэффициентов урав-
уравнений A4) следующие выражения:
,м (Ei + E%. )<Et, Е%. — 8я. 8
-л
- Ал,

198 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
«О) _. (ЕК + ЕК) (ЕКЕК + еУ%) - ю (ЕКеК + Екгх>)
A6)
Приведем еще значения интегралов, когда одно из значений
%ъ Х2 совпадает с состоянием Хо, в котором находится нечетная
частица (оба обхода полюсов G),,, Fx0 ниже вещественной оси):
-1- J GXo (e) G^ (е + со)
Г('-"х,)('-яа.) , (t-^,)^. 1
[ Ек~Ек-а Ек+Ех,-°>
~ 2?j ?, + Е, —
' — «1
Ко
j
ш "г Е, — Е. — ш '
(Когда одно из значений Хх, Хг совпадает с состоянием дырки —Ко
(оба обхода выше вещественной оси), результат получается за-
заменой в приведенных выражениях п% ** A —Щ)Лпи -*п—\,)-)
Для коэффициентов 2^, JT'1', Jf^, ЛС<2>, G<°) из этих формул
получаются следующие выражения:

III.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ
Al I Ло I Ло
Почти во всех случаях уравнения A4) можно значительно
упростить. Прежде всего, если для изучаемой вершины нет ано-
аномально близких комбинирующих уровней, то в членах вида F^Fx^,
Fxfixi достаточно оставить только диагональные матричные эле-
элементы. Действительно, недиагональные элементы в таких членах
содержат по крайней мере один большой знаменатель, поскольку,
как правило, большие матричные элементы ^~к,х2 соответ-
соответствуют уровням с разностью энергий |e^t — е^2 | ~ е^Л"~'/з
(стр. 36). Что же касается недиагональных матричных элементов
в членах вида GG, то они могут быть заменены своим значением
в задаче без спаривания.
Исключение составляет тот случай, когда уровни, лежащие
вблизи поверхности Ферми в узком слое шириной порядка А,
вносят большой вклад в суммы формул A4).
С этими оговорками получаем
'\%

200 Ш. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
A7)
где (см. стр. 184)
VUt (со) = PVKK (со) - ± Vw, (-co).
Если требуется учесть влияние уровней, непосредственно
прилегающих к поверхности Ферми, то следует пользоваться
уравнениями A4), подставляя точные значения коэффициентов
из A5).
Из уравнений A7) непосредственно следует важный резуль-
результат — спаривание не влияет на вершины, не имеющие диагональ-
диагональных элементов, например на такие, как дипольные или октуполь-
ные вершины, поскольку из наших уравнений в этом случае
<2<i) =.d<2) = 0 и первое из уравнений переходит в уравнение для
вершины без спаривания.
Такой же результат получается и для статического (со = 0)
спинорного поля (V0 = а).
Так как A + Р) V [а] = 0, то из второго уравнения получаем
d<i) = d<2> = 0 и первое из уравнений переходит в уравнение
задачи без спаривания. Этот результат будет использован при
вычислении магнитных моментов ядер. Уравнения A7) для Т-чет-
ных или для Т-нечетных полей могут быть сведены к системе
двух уравнений [89 ].
Сохранение чиола квазичаотиц
Так как вблизи поверхности Ферми изменение матрицы плот-
плотности квазичастиц бр отличается только множителем от изменения
матрицы плотности частиц 8р°, то из закона сохранения частиц
следует закон сохранения квазичастиц. А именно,
^ 0, A8)
где р' (г) — изменение плотности, а / — плотность тока квази-
квазичастиц.
Символически изменение матрицы плотности квазичастиц за-
запишется в виде
8р =

III.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 201
Изменение плотности квазичастиц р' (г) равно
Плотность тока квазичастиц дается выражением
(fiPH.», ~2ш*- (т*. а^ Ф*2 - Ф^2 -^ Ф
Вычислим div j = djjdra. Из уравнения для ср^ получаем
ф, фь2 — фх2 Дф?, = 2m* (eXl — е^) ф^ф^2.
Таким образом,
div/ = -i S FpK^2 (e,t - е,2) ф^Ф,2. A9)
Подставляя это выражение в уравнение непрерывности, получим
Е \2V + JrA'dA) + jrB)dB)U,,2 (о) + ex, - ех2)ф^ (г) Ф,2 (г) = 0.
B0)
Это равенство представляет собой соотношение между dA> и d<2>
и в некоторых случаях позволяет, как мы увидим, найти эти ве-
величины без решения полной системы уравнений A7). При этом
следует использовать соотношение A1).
Мы используем уравнение B0) для определения dA) и dB>
при изучении коллективных колебаний.
Система уравнений в случае скалярного поля
Для иллюстрации полученных соотношений рассмотрим более
подробно случай скалярного внешнего поля. Мы приведем урав-
уравнения для V и d<')-B) к более удобному виду, в котором они будут
использованы при вычислении квадрупольных моментов и при
изучении коллективных колебаний.
Будем пренебрегать зависимостью сил взаимодействия от
скорости, а также спин-орбитальными слагаемыми в &~'. Тогда
Мы обозначили через f0 и ?0 соответствующие изотопические ма-
матрицы. В случае скалярного поля слагаемое g0Oi<J2 не входит
в уравнение для эффективного поля. Действительно, это слагаемое
дало бы добавку к эффективному полю вида
в бр,

202 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
которая равна нулю, так как скалярное поле не вызывает измене-
изменений в распределении частиц по спинам.
Уравнение для эффективного поля принимает вид
F ' u
S (чйч'ь.
где 8р равно (см. стр. 207)
(«P)vx = (SPV + ur«')d<») + urP)d<2))vx, B2)
a d<'> и dB) определяются из уравнения A7). Мы пока опускаем
изотопические индексы. f0 (г) будем считать функцией от г, чтобы
учесть переход f0 от значения внутри к значению вне ядра (см.
стр. 313).
Умножая B1) на фл,,ф?, и суммируя по Х^, получим
V (г) = V0 (г) + (-^г) ?о (г) ? qtf (г) Фх. (г) (вр)хх' =
)' fo(r) бр(г), B3)
где 8р (г) — изменение плотности квазичастиц. Для того чтобы
выразить 6р (г) через V и, таким образом, получить уравнение
для V, необходимо выразить через V величины d*1' и dB), входящие
в 8р. Для этого упростим выражение B0), связывающее dA)
и d<2> с V.
Так как поле не меняется при Г-преобразовании, то согласно
)
1 i
Введем обозначения
df2 (со) = 4" № (со) - d[? (-co)), df2 = 4
Индексы 1, 2 заменяют А-i и Я,а.
Тогда, подставляя в B0) выражения A6), после простых алге-
алгебраических преобразований получим
? Ф*(г)ф2(г) X
1. 2
X {соУ12 [(Ег + ?2) (ЯА - ад, + Д^,) + (El -
+ [(?, + Е2) (ei - вз) (A2e, - Д,в2) - со2 (?,Д2
+ <o[[(?i + ?2) (Дав, + Дща) - (ei - е2) (?2Д, - ?,Aj)] 4} Д^1 = 0.
B4)
Здесь D12 = 2Е1Е2 [(Ег + ?аJ — со2]. Мы использовали четность
функции V (со) = V (—а>), которая будет ниже очевидна. Это
позволило положить оператор Т, входящий в SB, равным единице.

III.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 203
Действительно, для скалярного поля (четного при замене t на
—t) имеем
TV (со) = V (—со) = V (со).
В выражение B4) входят две неизвестные величины da и dP.
Однако при <Р стоит выражение, изменяющее знак при переходе
через поверхность Ферми (eh 2 отсчитаны от границы Ферми).
В сумму существенный вклад вносят уровни, лежащие в слое 2А
по обе стороны от границ Ферми. Поэтому в тех случаях, когда
на энергетическом интервале ~2А укладывается несколько уров-
уровней, слагаемое с d$ вносит вклад, значительно меньший, чем
член с da. Нетрудно получить уравнения для da и dP из B4).
При этом оказывается, что в уравнение для cfP величины da и V
входят с множителями, меняющими знак при переходе через
поверхность Ферми, и, таким образом, dP <^ da. В дальнейшем
будем полагать d® = 0. Для точных расчетов необходимо решать
уравнения для da и dP, которые получаются из B0).
Интегрируя B4) по объему, получим
^*- B4'>
Из этого соотношения следует, что диагональные элементы da
имеют полюс при со -»-0. Добавление константы к V изменяет
вычет в этом полюсе. Будем отсчитывать V от величины V, выбран-
выбранной так, чтобы da не имело полюса при со = 0.
Добавление к V константы V вызывает, как видно из B4')>
добавление к da величины BAx/u3) V. Поэтому
1 1
Выберем V из условия обращения в нуль величины J] (V'^E^yDn),
тогда d'a не будет иметь полюса при со = 0. Получаем
v = 2j Vn fixcW-co^ I 2j "щ^г ¦ B5)
Поскольку d'a — нечетная функция со, не имеющая полюса при
со = 0, то при малых со d'a~ со и может быть отброшена. Поэтому
для статического поля можно положить da — 0, но отсчитывать V
от величины, даваемой формулой B5). С примером определения da
для нестатических полей мы столкнемся при изучении коллек-
коллективных колебаний.

204 III- ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Итак, уравнение для скалярного поля имеет вид B3), где
бр (г) дается выражением
? 1
-со^ ДА + *Ах айфГияьИ- B6)
12 2
Здесь V = V — V, a da уже не имеет полюса при со = 0 (мы опу-
опустили штрих у d'a) и определяется из B4) при dP — 0.
В том случае, когда Л*, слабо зависит от X, выражение B4)
заметно упрощается. Получаем
A@yi
12
Деформированные ядра
В деформированных ядрах для внешнего поля вида г X р
существуют недиагональные матричные элементы с энергиями
| вя.' — вх| » f>eFA-lf' « А, где Р — параметр деформации ядра.
Поэтому для вершины У [г X р] нельзя отбрасывать недиагональ-
недиагональные матричные элементы в членах вида FF и GF. Однако в дефор-
деформированных ядрах можно и без этого упростить уравнение для
вершины, используя тот факт, что на ширине 2А укладывается
несколько уровней. Предположим, кроме того, что Ах не очень
сильно зависит от к и значок X может быть опущен. Далее, матрич-
матричные элементы Ух,х,1 djj.k,, di?k> слабо зависят от суммы энергий
в*.! + 8х2 (хотя могут заметно зависеть от ех, — ех2), в чем легко
убедиться, например, для осцилляторного потенциала, где матрич-
матричные элементы обычно легко вычисляются.
В суммах по Хг и К2 с фиксированной разностью ех, — ех2
величина ех, + ех2 меняет знак при переходе через поверхность
Ферми. Это заметно уменьшает те слагаемые уравнений для V,
dA>, dB), которые содержат ех, + ех„ в нечетных степенях. По-
Поскольку ширина существенного интервала суммирования, как
нетрудно видеть, порядка 2А, то слагаемые с нечетными степенями
8я, + Ех2 уменьшены в отношении Ilk, где k — число уровней,
укладывающихся на ширине 2Д.
Пренебрегая этими малыми - слагаемыми, получим из A4)
более простую систему уравнений
гигг'

Ш.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 205
(^21 o2rg| U') 8E) X
x
Ы21 a2Yl | %%') Э (I) x
mum
I IF. F. . -
X
<оД (?, + ?^,) -I- A 4. p, _ (?x + ?v) д (ejl _ 8v) -i- (I _ p,
4 Z5^
где
flu- = 2?»,?v K^ + ?vJ - со2].
Мы отбросили слагаемые порядка (?\, — ?*,,)> поскольку
т. е. такие слагаемые содержат нечетную степень eXi + e^2 при
фиксированной разности е^, — е%г. Складывая уравнения для
dA) и d*2>, сразу же получаем, что dA» + dB) удовлетворяет одно-
однородному уравнению, поэтому полагаем (см. замечание на стр. 202)
Таким образом, уравнения для dA» и dB> сводятся к одному. Это
уравнение можно привести к более красивому виду, если исполь-
использовать уравнение для Л в большой системе (II.4, стр. 139):
2
С помощью этого уравнения получаем
Действительно, суммирование по % или по А/ приводит на основании
полноты функций фх к уравнению для А. Подставляя это выраже-
выражение в уравнение для d вместо левой части и пренебрегая в Г&
всеми гармониками, кроме Г|, получим
V = eqV° + а2Г« \&*V + ЖЧ\,
0 = S Фь (г) ФЛ. (г) j A-dji-x +

206 HI. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
где 3?d, Жй, JCd, Od заданы соотношениями
иГ^. = <оД-
D>.i' '
D,
-Р)
B9)
Во втором уравнении системы B8) опущена 9^ (?), так как теперь
суммы сходятся в области е^, е^ « А, как это легко видеть из
выражения для ./Trf.
Таким образом, для деформированных ядер (в грубом прибли-
приближении) можно пользоваться уравнениями B8). Дальнейшее упро-
упрощение можно получить,- если использовать тот факт, что в слагае-
слагаемых вида FF и FG существенны значения е^ и е^-, лежащие вблизи
поверхности Ферми в слое ж2А. Это позволяет выполнить сумми-
суммирование по одному из значков X или %', аналогично тому, как
в случае бесконечной системы мы произвели интегрирование
по dsp.
Получается результат, совершенно аналогичный формулам
для случая бесконечной системы:
+ ^
где величины ^, ^#, Л9, С аналогичны соответствующим величи-
величинам бесконечной системы:
е> — е,,
¦я, ~ bv
_
2Д
4Д2
4Д
Arsh*
:УТТ~Л
"+" 4Д
4Д2
C1)

III.2. СИСТЕМЫ С ПАРНОЙ КОРРЕЛЯЦИЕЙ 207
Сохраняя только нулевую гармонику Г| и используя для А
приближенное уравнение
получаем
? Ф* (г) Фь< (г) {^u'4'fc + ^u'^-xl - 0. C2)
Уравнения C0) и C2) используются при вычислении моментов
инерции ядер- (IV.5).
Уравнения A7), а для деформированных ядер уравнения C0)
и C2), могут быть использованы для нахождения частот и интен-
сивностей одночастичных и. коллективных переходов в ядрах.
Каждое возбуждение, как мы увидим (III.4), определяется полю-
полюсом в вершине соответствующей симметрии. Вычеты в полюсе
просто связаны с интенсивностью перехода. Из сказанного выше
вытекает, что возбуждения дипольного и октупольного типа
имеют, как правило, те же частоты, что и в системе без спаривания.
Вообще спаривание не влияет существенно на частоты коллектив-
коллективных колебаний, если поле, возникающее при колебаниях, не
имеет больших матричных элементов с разностями энергий порядка
и меньше А.
Изменение матрицы плотности во внешнем поле
Первое из выражений B) дает изменение G во внешнем поле
Интегрируя это выражение по -„—г, получим изменение матрицы
плотности частиц
Fрв)ь,ь, - а {.<?1Х (to) Vw, + jtfX, (со) 4\{, + UffA. (и) 41) =
= *(8р)*,л,. C3)
где i?'1', ^C), B) определяются формулами A6). .
Эффективное поле V и изменение А'1'2', равное d'1'2', опреде-
определяются уравнениями A4).
Выражение в фигурной скобке будем называть изменением
матрицы плотности квазичастиц. Оно отличается множителем а
от изменения матрицы плотности частиц (см. стр. 128).
В отличие от случая, когда нет парной корреляции, нельзя
получить замкнутое уравнение для изменения матрицы плотности
квазичастиц Fр)я,д, — оно определяется формулой C3) после
решения системы уравнений для V и dA-2).
Знание матрицы плотности в поле позволит вычислить средние
значения различных физических величин в основном состоянии и
интенсирности переходов (III. 4, 5; IV.6, 7),

111.3. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ.
ЗАРЯДЫ КВАЗИЧАСТИЦ
В этой главе с помощью законов сохранения и калибровочной ин-
инвариантности получены соотношения, определяющие заряды квазичастиц
для различных внешних полей.
Основная идея получения соотношений состоит в том, что на систему
накладывается либо фиктивное поле, в котором не происходит физических
изменений (например, фиктивный векторный потенциал Л, = -J-, возни-
OXi
кающий прн изменении калибровки), либо такое поле, в котором происхо-
происходит простое изменение состояния системы. (Например, в однородном в про-
пространстве и переменном во времени электрическом поле система из одного
сорта частиц качается как целое.) Для таких полей легко иайти изменение
обратной функции Грина. Приравнивая это изменение формальному выра-
выражению через вершину
6G = —
получаем соотношения между различными вершинами.
В частности, из калибровочной инвариантности получается, что для
скалярного поля, действующего на протоны,
т. е. эффективные заряды протонной и нейтронной квазичастиц е? = 1,
Для векторного поля, действующего иа протоны (V° = Ра^а)< поЛУ"
чается
т. е. сумма зарядов е? и е? не перенормируется.
Из калибровочной инвариантности следует выражение для эффектив-
эффективной массы квазичастиц у поверхности Ферми
где /"п и f"p, введенные выше (II.5, стр. 150), — первые гармоники разло-
разложения амплитуды взаимодействия по полиномам Лежандра от косинуса
угла между импульсами взаимодействующих частиц.
Для систем с парной корреляцией получаются соотношения для вели-
величии dA) и dB) (изменения ДA) и ДB) в поле), в частности, в фиктивном
скалярном поле частоты со
d<D = —d<2) = 2Д/ш.
Целый ряд полезных соотношений возникает для диагональных воз-
возмущений, т. е. для возмущений, оператор которых коммутирует с гамиль-
гамильтонианом системы и которые, кроме того, диагональны в ^.-представлении
(в представлении собственных функций ср^ одночастнчиого гамильтониана).

Ш.З. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 20Э
Заряд квазичастиц по отношению к таким полям не изменяется при вклю-
включении взаимодействия между частицами.
Полученные соотношения в последнем разделе этой главы сведены
в таблицу, дается также таблица зарядов квазичастиц по отношению к раз-
различным полям.
Для систем со спонтанным нарушением симметрии (конечные сфериче-
сферические и несферические системы, находящиеся в равновесии под действием
внутренних сил) требование инвариантности по отношению к сдвигу или
повороту приводит к важным соотношениям (условиям согласования),
позволяющим выразить самосогласованный потенциал и параметры де-
деформации через параметры взаимодействия.
Калибровочная инвариантность
Мы получим ряд соотношений между вершинами из требования
калибровочной инвариантности. Условие калибровочной инва-
инвариантности мы сформулируем таким образом, чтобы оно относи-
относилось не только к протонным, но и нейтронным вершинам.
Под калибровочной инвариантностью будем понимать следую-
следующее свойство системы:
преобразование *Р-операторов нейтронов и протонов
приводит к следующему изменению плотности лагранжиана:
/;-g--/'p-^-, A)
где /п, р = (/п, Р; /п, Р) — ток протонов и нейтронов.
Можно убедиться, что это соотношение есть следствие законов
сохранения электрического и нуклонного зарядов. Мы ограни-
ограничимся получением этого соотношения для лагранжиана достаточно
общего вида. Рассмотрим лагранжиан для произвольного парного
взаимодействия:
L== --T
¦ -4-J (**¦?-Т*)*-
(Мы положили массу частицы т = 1.) Варьируя J L dt no 4f+,
получаем
что и доказывает правильность выбора лагранжиану.

210 HI. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Для двух типов частиц ?-оператор имеет вид
т ™р
Взаимодействие V может содержать обменное слагаемое
где S = (г, s) — пространственная и спиновая координата.
Произведем преобразование Т-операторов:
0 fa(x)
~ 2 V/p-h/nl-r 2 Up — /n;T2-
Изменение первого слагаемого в лагранжиан? равно (сохраняем
только линейные по /„, р члены)
2i \ТР дга ' дга *
Когда V не содержит обменного взаимодействия (Ve = 0), второе
слагаемое лагранжиана не изменяется при нашем преобразовании.
Изменение же третьего слагаемого равно
Таким образом, изменение плотности лагранжевой функции будет
где
чем и доказывается утверждение A).
В случае, когда есть обменное взаимодействие, изменение
второго слагаемого в функции Лагранжа для малых f, как нетрудно
убедиться, дается выражением
, 2), 1(П1)т? + ГB)т|)]
A. 2)(т1Хт2)г?B)ТA)(ГA)-ГB)),
где /~ =-к-(fp — fn). Если f" мало меняется на расстояниях
порядка радиуса сил, то можно подставить /"(гг)—f~ (г?) =

Ш.З. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 211
= (гх — г2)а-{Г—• Тогда изменение функции Лагранжа, вызван-
вызванное обменным взаимодействием, равно
^(l)W*B)Ve(U 2)(тххт2J?B)?A)х
X (Г! - г2)а -|?- J = _ jdgj d&P* A) ?+ B) х
xVe(h ?
Это приводит к выражениям для протонного и нейтронного токов:
-4-1^2^ A)^B)^A. 2)(т1хт2)г?B)?A)г1а.
С другой стороны, коммутируя величину г\ =- гх —-у^- или
оператор г\ — гх ~2Т1г с оператором взаимодействия, записан-
записанным в форме
получим
переходя к операторам вторичного квантования, находим
[Я,„ь rP]=4
Поэтому и в присутствии обменных сил получаем соотношение
A), но с измененным оператором тока
/a _
дга дг*
= [Н, га -Ц
w\ _!_ Г// г } ± Тг 1 -
-±
т. е. оператор импульса протона или нейтрона в выражении для
тока заменяется на оператор скорости протона или нейтрона

212 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Тождеотво Уорда
Как видно из соотношения A), переход от Y к F = е1г*?
эквивалентен наложению фиктивного поля ~-, поэтому можно
получить тождества, приравнивая изменения каких-либо величин
от преобразования W тому изменению, которое получается от
добавления к гамильтониану (или с противоположным знаком
к лагранжиану) слагаемого
,« df df _ df .
; + р 1
Разумеется, при этом изменяются только вспомогательные,
а не наблюдаемые величины — поле ¦—- не вызывает физических
изменений.
Рассмотрим изменение одночастичной функции Грина от
преобразования Т-операторов, сохраняя только линейные по /
члены
8GA, 2)- i/(l).G(l, 2)-iG(l, 2)f{2),
или для изменения обратной функции Грина
6G = —(r^GG-1 = — i [G A, 2) / A) — f B) G'1 A, 2) ].
Рассмотрим сначала систему бесконечных размеров и перейдем
к импульсному представлению; тогда изменение обратной функции
Грина равно
6G (р, р') = i [С (р) f(p-p')-f{p- р') С (р1) ].
Для гармоники f (q), где q = (k, a>), получаем
8G-i = if(q) [С1 (р) - G1 (p - q)l
С другой стороны, изменение обратной функции Грина от внешнего
поля равно
или в импульсном представлении
6O-^ = -iTUt]qinq) = i{aT(q, [l])-kaT(q, \r*])f(q).
(Через W [1 ¦], 9" [га] мы обозначили вершины для скалярного и
векторного полей.)
Приравнивая оба изменения, получаем
G (р) - G (р - q) = Г (?, [ 1]) со - Т (q, [ra]) ka. B)
Это соотношение было получено впервые в применении к кван-
квантовой электродинамике (тождество Уорда).

Ш.З. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 213
Для малых q имеем
Т Ю + "^Г К-Г {q, [У])®-Г (q, [?„)) ka. C)
Из этого соотношения нельзя (в отличие от аналогичного равенства
в квантовой электродинамике) получить равенства &~а = 5—,
?Г4 = -д—, так как величина ?Г; = 0~ [/'] в нашем случае за-
Об
висит от способа стремления к нулю q (ka, со), т. е. зависит от
отношения со/& при k, со ->¦ 0. Из C) получаем
T{q, il]) = ^-»[ii = igL при ±-,0, ю-0;
Т (q, Щ) = Г* [га\ = - -^- при ^-^0, k-+0.
Как мы видели, поле, действующее на квазичастицы, определяется
величиной a&~V°= (-gr-) ^"K°, причем а^"и играет роль заряда
квазичастиц. Из первого соотношения D) для поля, действующего
только на нейтроны, получаем
dG~l
1 ^ 1
Иными словами, заряд квазичастицы по отношению к скаляр-
скалярному полю совпадает с зарядом частицы как для нейтронов, так
и для протонов. В таких случаях будем говорит, что вершина не
перенормируется.
Изображая функцию Грина вблизи поверхности Ферми в виде
получим
/ эо-1 \ v_ 1 _ dG l _
\ фа /е=о ~ p Ра а ~ дг т* Ра ~"
_ 1 _ dG-1 l _ во-1
е=о ~ pF Ра а ~ дг т* Ра ~" дв
где т* — эффективная масса. Соотношение C) можно тогда запи-
записать в виде
T{q, [ 1 ]) а - <Г (q, \/a\) ka = ^- (со - kv). C')
' Нейтронное и протонное эффективные поля
Пусть поле действует только на нейтроны. Существуют две
вершины: нейтронная ^~n[Qn] и протонная ^"p[Qn], где Q —
оператор затравочной вершины. Напишем для этих вершин графи-
графические уравнения, которые представляют собой прежнее уравне-

214
III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
ние для вершины с расшифрованными изотопическими значками:
Однако под действием фиктивного поля, приложенного к нейтро-
нейтронам, преобразовываются только нейтронные Y-операторы, поэтому
из соотношений D) получаем
dG~l dG~l
it ?
Аналогичные соотношения получаются, если мы подействуем
фиктивным полем на протоны
D")
Таким образом, мы получили важный результат — для скалярного
поля (Q = 1), действующего на протоны, функция Грина нейтро-
нейтронов при /г/и ->¦ 0 не изменяется. То же самое относится к вектор-
векторному статическому полю (га); оно влияет только на тот тип частиц,
для которого не равна нулю затравочная вершина.
Если считать, что нейтронные вершины равны соответствующим
протонным, то из этих соотношений получаем (считая также, что
дра.
-* ^ ЭР;» \
а. дра )
Если на протоны и нейтроны действует одинаковое векторное
поле, то затравочная вершина определится выражением
0~ -— гр 4- г" = рР 4- рп
"'о ot i^ ot Га Т^ Га-
ДеЙСТВИТеЛЬНО, величина
1 + Т» , 1 — Тг _ , -

Ш.З. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 215
коммутирует с оператором взаимодействия, а коммутатор с кине-
кинетической энергией равен
IT, г] = [Тп, г„] + [Тр, гр1 = рп + pp.
Получим
Конечные системы
Выражения для ^~ш [1] и 0~к [га] легко получить и в случае
конечных систем. Как и выше, приравняем изменение функции
Грина от преобразования Ф — A + if) W тому изменению, кото-
которое получается от векторного поля At = dfldxi.
Изменение С от преобразования W-операторов легко полу-
получится, если в формуле для 6G (стр. 212) перейти к Х-представле-
нию
Л fK%' - fxx, (G-1)^-]-
С другой стороны, это же изменение для f = exp \ikr — iu>t\
равно
Мы включили периодический множитель eikr в определение затра-
затравочной вершины. Переходя к фурье-представлению по времени,
получим
Когда е близко к поверхности Ферми и со «^ е^, функция Грина
диагональна по X и может быть заменена своим полюсным выра-
выражением
Тогда для Э~ получаем аналог равенства C')
= - Яс (в?,' — г% + ю) (е'*г)и'- E)
t Co
Как мы видим, вершина обращается в нуль в точке со = г% — ея<.
Кроме того, {&~i)%\'qt, как видно из правой части, не имеет
особенностей как функция &>, что, как мы увидим ниже, соответ-
соответствует отсутствию реальных процессов в фиктивном поле

216 III.. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Для kr <^ 1, разлагая экспоненту в ряд, получим
" W l^a] I С0«/ %Х' \1"а,\ == уа,)ХК' —
а
Сохраняя следующий член разложения, можно также получить
Так как все соотношения справедливы как для протонных, так и
для нейтронных функций Грина, то результаты относятся как
к протонным, так и нейтронным вершинам при произвольном
соотношении нейтронных и протонных затравочных зарядов по
отношению к полю.
Скалярная вершина
СТ".., fpikr] „. , — <7"<а Ipikrl (pikr\ *
«/ u- [е Jo) » | ex-eK, i — «/ u, ie 1 — ^ )u, —.
Таким образом, так же как и в случае бесконечной системы,
скалярные вершины для частот ги > со > | гк — гу | не пере-
перенормируются при включении взаимодействия между частицами.
Сиотвмы с парной корреляцией
Изменение функции Грина от преобразования Т-операторов
имеет в случае парной корреляции такой же вид, как и раньше:
-таг *•
тогда как изменение G под действием поля существенно усложня-
усложняется. Из полученного выше (III.2, стр. 207) выражения для изме-
изменения G в поле получаем
Ц- q, - (GG - FFP) ^J9f + (GF
Используя выражение для полюсных частей функций G и F и
приравнивая функции от е и гр в левой и правой частях этого
равенства (%Г и # не зависят от е), нетрудно получить калибровоч-
калибровочные условия
_ (о — kv Z. 2Д .„,
Ftfi = -а > ^i?i = -J- • F)
Эти соотношения очень полезны при проверке правильности полу-
получаемых результатов.
Для конечной системы зависимость поля от координат (eikr)
следует включать в определение вершин. Повторяя переход к фор-
формулам конечной системы задачи без спаривания, получим
[G^(e)-Gv(8 + to)](e'*')^' =
= lGfc (e) Gv (e + со) - Fx (e) FK, (е + со) Р] Гм [ешП] qt +
-Ь 4V- [e'*'M ^C^ (e) Fy (е + со) 4- UV- [ef *'M qfi (в) Gv (в + со).

1II.3. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 217
Приравнивая функции от е в правой и левой частях, получим
дс =¦¦ -тй!' [е'*'г,] q, =
Из этого равенства вытекает соотношение
+ A . G>
где f (г) — произвольная, но достаточно плавная функция (т. е.
в разложении Фурье / (г) заметно представлены только k < pF).
Для k = 0 получаем
т[кЧ1] = -т[1>, [11=^6^, (Г)
т. е. изменение А в фиктивном поле при и -> 0 обращается в беско-
бесконечность.
Эффективные поля в случае диагональных возмущений
Мы получим простое выражение для вершины в тех случаях,
когда возмущение, вызываемое полем, коммутирует с гамильто-
гамильтонианом системы и когда, кроме того, оператор возмущения диаго-
диагоналей в представлении собственных функций одночастичного
гамильтониана. Итак, предположим, что возмущение имеет вид
Н' = Е QKK{t)a+aK = ? Qua+V<, [H, Н'\ = 0.
Мы получим, что
l = Т Qu- (8)
Найдем изменение функции Грина, вызываемое оператором Н'.
Операторы й^ (t), фигурирующие в определении функции Грина
в поле
Gwi = Gx = -i (Фо | Гая (<i) к (t2) | Фо>,
равны
а% (t) = exp i J H' dt\ ax (t) exp —t \ H'dt).
Изменение же функции основного состояния можно записать
,в виде
/ о \ / о \
Фо = ехр — i \ H'dt\(t>0 = ехр — i | H'dt\Фо,
где черта над Я' означает усреднение по основному состоянию
системы — действие функции от оператора Н' на Фо сводится

218 Ш. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
к фазовому множителю. Этот множитель сокращается с возни-
возникающим в Фо-
Поскольку действие оператора ак на функцию от чисел заполне-
заполнения п% означает уменьшение % на единицу, получаем
\
и для функции Грина в поле имеем
\ и
( г2
G^expl —/ J QxxdtNxt,,, U<t2.
Предположим теперь, что частота поля ю -+0, и перейдем
к фурье-представлению по т = ti — t2
С другой стороны, изменение функции Грнна под действием поля
можно записать в виде
Gv,
откуда для малых Qxx находим
Для конечной системы этот результат можно усилить. Обра-
Обратимся к уравнению для вершины. Когда нет парной корреляции,
в сумме по состояниям в уравнении
не содержится диагональный элемент, и для диагонального возму-
возмущения получаем
Для бесконечной системы, как мы увидим в следующем разделе
на примере оператора импульса, получается
<у<й [ „ 1 — _L п
•7 \Ра\ — а Ра>
тогда как
Для системы с парной корреляцией получим (см. стр. 216)
@->0

III.3. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 219
(Мы опустили здесь аргумент [Q] у вершин.) Сравнивая левую и
правую части как функции е @~ и т<'ь <2> не зависят от е), находим
J XX' - ^ xx- — a
.) Sf _ л если поле ^ изменяет знак при
»'•-"> \ обращении времени;
со-И)
I если поле Q не изменяет знака
lim со (т$. - т*2*,) = 4AUQU6U,, при обращении времени.
со>О I
Подставляя эти соотношения в уравнения для 2Г и т<'>' <2> или V
и d*1''B', нетрудно получить, что в случае поля Q, изменяющего
знак при замене t на —t, т<') = т<2) = 0 (d*1) = d<2* = 0). Так
как в уравнении для 0~ (или V) в сумме по %и %2 нет диагональных
членов, то сумма в правой части не вносит вклада в 0".
В том случае, когда поле Q не изменяет знака при замене t
на — t, будет т^ = — т$/ = ^ u 6U', и, как нетрудно
убедиться, в уравнении для 3~%t в сумме по къ Х2 диагональные
члены с тA)<2) сокращаются с диагональными членами &~{[хг, и
в результате опять-таки сумма не дает вклада в
Таким образом, и в случае парной корреляции получаем
или, иначе, заряд квазичастиц
cq— Q — '.
т. е. заряд квазичастиц по отношению к диагональному полю не
перенормируется при включении взаимодействия между частицами.
Все формулы верны как для протонных, так и для нейтронных
вершин.
Заряд квазичаотиц для различных полей
Мы применим результаты предыдущих разделов к нескольким
конкретным случаям.
Рассмотрим прежде всего бесконечную систему. Так как опе-
оператор полного импульса коммутирует с гамильтонианом, то
возмущение
Я'=2 а+а (рА)е^
п+р . к н • . ¦ . ¦...:.:.. i .
представляет пример диагонального оператора. Значок h-HP'pr
у суммы означает, что суммирование происходит как по нейтрон-
нейтронным, так и по протонным операторам.

220 Ш. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Волновой вектор k возмущения сразу же взят точно равным
нулю, тогда как частота со устремляется к нулю только в оконча-
окончательной формуле. Поэтому у вершины следует ставить значок со.
В соответствии с прежними обозначениями (стр. 213) запишем
*г% VI + >g]= г* [pi + pi ] = -g- Pa = -LPa.
Если в системе плотность нейтронов и протонов одинакова и
можно пренебречь влиянием кулоновского взаимодействия, то
и из выражения A0) получаем
т. е. сумма нейтронной и протонной векторных вершин для поля,
действующего на один тип частиц, не перенормируется.
Используя уравнение для вершины, получим еще одно соотно-
соотношение для вершин ?ГИ [г].
Вершина 0~н [г], как легко видеть из формул (III.2, стр. 194),
удовлетворяет уравнению
[г] = Т* [г] + Y*ATst \'r)
независимо от того, есть парная корреляция или нет.
Из этого равенства нетрудно получить (см. уравнение G")
в III.1, стр. 175)
= О + "Г
(И)
где /fP, и /{ч> — первые гармоники разложения. по полиномам
Лежандра амплитуд рассеяния одинаковых и разных частиц
(см. II.5, стр. 150).
Складывая уравнения A1), получим
&% VI + Ъ) = [ 1 + X (^Р + Я"")] У» = Ра-
Последнее равенство вытекает из формулы A0) для ?Гю[га + га1>
Таким образом, для эффективной массы квазичастиц у поверхности
Ферми получаем выражение х

Ш.З. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 221
Для одного типа частиц эта формула переходит в выражение,
полученное Л.Д.Ландау [1]. К обсуждению выражения A2)
мы еще вернемся в IV. 1.
Получим соотношения для спиновых вершин.
Если в системе спин-орбитальное взаимодействие мало по
сравнению с другими взаимодействиями (в ядре эта малость по-
порядка Л-1/а), то полный спин системы есть интеграл движения и
неперенормируемость диагональных вершин дает (см. (9))
Пренебрегая влиянием кулоновского взаимодействия и предпола-
предполагая одинаковую плотность нейтронов и протонов, получим
Для спиновых вершин нейтрона и протона можно, таким
образом, написать
] = A-с)^«, «*";?К] = ?.<*«,
Константа ?s не определяется из общих соображений и должна
быть найдена из опыта. Как показывает совпадение магнитных
моментов некоторых легких ядер с магнитными моментами, рассчи-
рассчитанными для свободных нуклонов, величина ?s, по-видимому,
пренебрежимо мала (;S0,05).
В качестве примера соотношений между вершинами в конечной
системе рассмотрим оператор полного момента
п р
Из выражения (8) имеем для вершины в случае диагональных
возмущений
аТ*1 р I/S + /?J = /а = U + -у <**•
(Мы здесь перешли от матричных элементов по состояниям К
к одночастичным операторам.)
, Из уравнения для вершины, независимо от того, есть ли парная
корреляция (см. формулу (9)), получаем
aTst I/S + /?] = аГа [Ц + /?] - /„ = la +
как для нейтронных, так и для протонных вершин,

222 ПЬ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Записывая оператор полного момента в виде
I=L'n+L'v + 1/t(an + ap),
где ап и <Гр — операторы полного спина нейтронов и протонов,
а операторы L'n, P равны
?п,Р = ? (П X г(), где in = i[H, n].
п, р
В отсутствии обменных сил г% = р% и оператор Ln. P есть опе-
оператор орбитального момента нейтронов или протонов.
Для соответствующих вершин получим
a \Tt р [(г" X ^)] + Tt, р [(гр х ;р)] +
+ \Г1 р [<гп] + V.0"?, р [ар]} = / + V2a
или, используя выражения A3) для 9~® [а], находим
rZv[l^ + ^n,vU'P] = -^-l. A4)
Далее нетрудно убедиться (см. [37]), что с точностью порядка
Л-'/.
Г[(гхг)] = гхГ[г]. A5)
Величина ?ГИ [г] связана с далекими от поверхности Ферми
интегрированиями, что в координатном представлении соответ-
соответствует областям ~г0 в окрестности точки действия поля. Поэтому
?ГИ, как и все величины этого рода, мало отличается от своего
значения в бесконечной системе.
Используя выражение A1) для ?ГИ [г] и формулу A2) для т*,
получаем
t Ш - ' +2* ?Р Схр) = {\- VJ?" -±
т \ m
Аналогичные соотношения получатся для 0~w [l'n]. В согласии
с формулой A4) имеем
Получим выражения для локальных вершин в случае р-распада.
Ограничимся разрешенными переходами. Тогда затравочные
вершины для р-распада имеют вид (см. IV.7)
^"о = 1х ± ^у, &~0а = (*х ± Яу) <Уа,
где т — матрицы изотопического спина.
Рассмотрим сначала вершину ?Г0 = хг. Так как оператор
проекции полного изотопического спина коммутирует с оператором
Гамильтона и %г диагонально, то из формулы (9) для диагональной

Ш.З. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
223
вершины, получаем
В силу изотопической инвариантности этот результат сохраня-
сохраняется для любой проекции т.
Рассмотрим теперь оператор xzoz. Этот оператор не диагоналей,
поскольку 2]тгСГг не коммутирует с гамильтонианом системы.
п, р
Однако вершину ?7~и в этом случае удается связать с величиной
ts, введенной в формуле A3). В самом деле, записывая
1 -[- %i 1 — Т» п п
Ъг<Уг = -^-°г %-*- Oz = OVZ — Ог,
получим, используя A3),
аТ% \хгоА = аТ% [о? - о2п] - A - 2?s) a ,
Следовательно,
Или, в силу изотопической инвариантности,
а#~т [т+,_(тг] = т+,_ о, A-2?.)-
В конечной системе, как это следует из формулы (9), имеет место
также соотношение
аГ« [хг] = xz.
Из полученных выше выражений для локальных вершин ЗГ®
находим заряды квазичастиц eq = а?7~и.
Заряды квазичастиц для различных полей даются в таблице
(табл. 1) (для краткости заряды даны только для поля, действую-
действующего на протоны).
Этими выражениями исчерпываются все типы зарядов, которые
встретятся в приложениях.
Таблица 1
Тип поля
Скалярное
Векторное
Спинорное
Орбитальное
Р-распадное
«Р
(Гр X Гр)
(тж ± Ну)
(хх ± ixy)aa
Заряд
*Р=1
e» = o
i
p" —г

224 m. ферми-систёмы во внешнем поле
Эффективные поля в системах со спонтанно
нарушенной симметрией. Условие согласования
Особый класс соотношений получается для систем со спонтанно
нарушенной симметрией [22]. Спонтанное нарушение означает,
что имеется аддитивный оператор Q = ? Q'**» коммутирующий
с гамильтонианом системы Н, тогда как QW не коммутирует
с одночастичным гамильтонианом Hsp. Простейший пример:
оператор Р — 2/?(fe) полного импульса, который в системе, удер-
удерживаемой в равновесии внутренними силами, коммутирует с Н,
а коммутатор IP, Hsp] Ф 0. То же самое относится и к оператору
поворота, если система несферическая.
Рассмотрим сначала операцию сдвига. Для получения соотно-
соотношений будем по-прежнему сравнивать вершину Т [S27] с измене-
изменением обратной функции Грина. Прежде чем находить изменение
лагранжиана, введем внешнее поле v0 (r), снимающее вырождение
системы относительно сдвига центра тяжести, но настолько малое,
что оно не влияет на внутреннюю структуру системы. В оконча-
окончательном ответе его можно устремить к нулю.
^Произведем в ? преобразование W-операторов:
У = et/ Юрч ~ A _|_ if{t) p) xfr
Изменение лагранжиана имеет вид
С другой стороны,
SG--t [G, fp).
Отсюда для вариации обратной функции Грина
Grl = idt-Bp-2(r, p, Щ
получаем
Приравнивая эту величину вершине 3~\Ь9?\ и используя произ-
произвольность f(t), получим два соотношения
Г»[р) = -%?-р, A7)
riv».] = -!?-. A8)
Первое соотношение совпадает с ранее полученным на стр. 218.
А из второго, используя уравнение для вершины, получим

Ш.З. ЭФФЕКТИВНЫЕ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 225
Устремляя к нулю vOi находим условие согласования [221
GT»A
^L q?G~GTA — (№
дг " дг' дг' " [ ^
Это соотношение можно рассматривать, как уравнение для опреде-
определения массового оператора. Оно выражает эффективный квази-
квазичастичный потенциал через параметры взаимодействия Ги у по-
поверхности Ферми. При этом находятся также величины т* (г)
и а (г).
Решение уравнения A9) строится методом итераций.
Задав нулевое приближение 2° в правой части, например
в виде потенциала Вудса—Саксона, находим функцию Грина O'q.
Вычисляем А@) и после интегрирования получаем дЪпIдг и
2A) = — I (d2tl'/dr) dr. Затем процедура повторяется. Этот
г
процесс быстро сходится.
Еще одно условие согласования вытекает из спонтанного нару-
нарушения вращательной симметрии в деформированных ядрах. Оно
позволяет рассчитать параметры деформации несферических ядер,
т. е. связать их с константами взаимодействия Ги. Преобразова-
Преобразование W в этом случае имеет вид
Ч" = A +Ш (t) L)V,
где L — оператор поворота, L = Ln + Lv.
Повторяя те же рассуждения, найдем два тождества:
B0)
T[L, yo] = [L,S].
Первое условие совпадает с полученным ранее, а второе дает новое
условие согласования
[I, 2] = «Л?[1, 2]0=--ГМ[1, 2]. B1)
В несферических ядрах коммутаторы [Lt, 2] пропорциональны
параметрам деформации рг. Поскольку уравнение B1) нелинейно,
оно допускает ненулевое решение для рг-. Деформация ядра возни-
возникает, когда ненулевое решение отвечает меньшей энергии системы.
В обратном случае нетривиальное решение уравнения B1) описы-
описывает метастабильное состояние системы.
8 А. Б. Мигдал

111.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ ОДНОЧАСТИЧНЫХ,
НЕКОЛЛЕКТИВНЫХ И КОЛЛЕКТИВНЫХ ПЕРЕХОДОВ
В этой главе получены выражения, позволяющие вычислять вероят-
вероятности и частоты одночастичиых и коллективных переходов в конечных
системах с точным учетом взаимодействия между частицами.
Из условия обращения в бесконечность эффективного поля при ча-
частоте внешнего поля оз = cos = Es — Ео получается однородное уравнение
для вычета v в полюсе V ( V = —):
где А — интервал от произведения полюсных частей фуикций^Грина,
входящий в переиормироваииое уравнение для амплитуды рассеяния и для
вершины. Все вычисления делаются с учетом парной корреляции, что при-
приводит только к изменению вида А. Из уравнений для % определяются как
собственные частоты 03s, так и собственные функции %s возбужденных со-
состояний.
Для амплитуды перехода в возбужденное состояние Mos во внешнем
поле. V0 как графический, так и аналитический методы дают выражение
Mos = V°GGg,
где g—вычет в полюсе амплитуды рассеяния, который определяется из
уравнения для амплитуды рассеяния вблизи частоты ш = ws. После пере-
перенормировки в формуле для Mos вместо произведения двух функций Грина
GG возникает произведение полюсных частей А, и выражение для амплиту-
амплитуды перехода принимает вид
М V°Ax° - с V°Ps —
Л/ ( (dA\ \
где Xs — произвольно нормированное решение уравнения
а величина ps = A%s с точностью до нормировочного множителя совпадает
с матрицей плотности квазичастиц.
Число переходов за единицу времени W связано с амплитудой Mos
обычным соотношением
Для слабого взаимодействия между частицами (Г"° = 0) уравнение
матрицы плотности А~гр — Гир тривиально решается, и формула для
Mts дает обычные выражения для амплитуды перехода как в случае сво-
свободных частиц, так и в модели, где учитывается только спаривательное
взаимодействие.
В ядрах взаимодействие Гм немало, и формулы, полученные при Ги =
= 0,- имеют только качественный смысл.

ИМ. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 227
Классификация возбужденных соотояний
Мы будем разделять возбужденные состояния системы на три
группы: одночастичные, многочастичные и коллективные.
Неколлективными частично-дырочными возбуждениями есте-
естественно называть те возбуждения, которые можно определить
двумя значками Я.о> ^i, соответствующими появлению квазичастицы
в состоянии Хх и квазидырки в состоянии Ко.
Из-за взаимодействия между квазичастицами энергия такого
состояния в конечной системе не есть сумма энергий квазичастицы
и квазидырки, а волновая функция возбуждения не есть произве-
произведение соответствующих волновых функций. Значки Я,о и %i только
указывают, из какого состояния возникает данное состояние при
включении взаимодействия.
Ниже мы получим уравнение для собственной функции состоя-
состояния (к0, ^i), которая представляет суперпозицию квазичастичных
состояний.
Помимо одночастичных состояний, возможны возбужденные
состояния, описывающиеся несколькими парами индексов —¦
(ki, %[), (%2, К'2) ... Их можно интерпретировать как появление
нескольких квазичастиц и квазидырок (разумеется, взаимодей-
взаимодействующих между собой).
Амплитуда вероятности перехода в такие многочастичные
состояния определяется рисунком
и содержит матричный элемент
уменьшающий вероятность многочастичных переходов в N раз
на каждую дополнительную пару (%i, Щ (N — число частиц
в системе).
Переходы в многочастичные состояния ниже не рассматри-
рассматриваются.
Наконец, коллективными возбуждениями будем называть
состояния, которых нет в системе свободных частиц и которые
Можно интерпретировать как связанные состояния частицы и
дырки. В отличие от одночастичных состояний, коллективные
состояния представляют собой такую суперпозицию квазичастиц,
которая не связана с какой-либо определенной парой Ко, %г.
В бесконечной системе роль коллективных колебаний играет,

228 Ш. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
например, нулевой звук, когда нет куперовского спаривания
(II.5, стр. 152), или звук в сверхтекучей системе [87, 7].
Возбуждения, соответствующие связанным состояниям более
чем двух частиц имеют большие энергии. Действительно, такие
возбуждения должны соответствовать полюсам величины, в кото-
которую отнесены части, соединенные четырьмя линиями. Поскольку
интегралы по относительным импульсам четырех или более линий
определяются, областями, далекими от границы Ферми, полюса
таких блоков либо имеют малый вычет (~Ы~г, см. выше), либо
лежат в области энергий ~eF.
Уравнение для собственных состояний.
Энергия частичнс-дырочных возбуждений
Собственные состояния и энергии этих возбуждений определя-
определяются условием обращения в бесконечность эффективного поля V,
возникающего под действием внешнего поля V0 при частоте со =
— Es — Ео = cos, где Es и Ео — энергии возбужденного и
основного состояний системы.
Запишем уравнение для эффективного поля в таком виде
V = eqV° + T«>AV.
d&
Здесь А означает интеграл по -~^т- от произведения полюсных
частей GG для системы без парной корреляции. Выражение для А
в случае парной корреляции приводится в следующем разделе.
Частоты переходов должны находиться из однородного урав-
уравнения
X = rMsx, As = А (и = и8). A)
Для пояснения формулы A) запишем это уравнение в явном
виде для случая, когда парная корреляция несущественна:
8 ^
(Г)
где через v обозначена совокупность значков ()
В некоторых случаях удобно решать уравнение для матрицы
плотности квазичастиц. При отсутствии спаривания уравнение
для р имеет уже знакомый нам вид (стр. 180)
(ех - ех» + и) р (X, %') =
= («х - «х-)
В случае частично-дырочных переходов можно получить более
удобное выражение для энергии перехода.

III.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 229
Запишем уравнение для % в виде
х (v) = 23' Гш (v, vi) А К) х К) + Г» (v, v0) A (v0) x(v0).
co=cov
Из суммы выделено слагаемое со значением vx = v0 = (X0^i)>
соответствующим изучаемому возбуждению. Введем теперь вели-
величину
г' <v v \ — X(v)
Подставляя в последнее уравнение, получим
Г' (v, v0) = Г» (v, v0) + I]' Г» (v, vi) Л К) Г' (vlf v0); C)
в сумме отсутствует член vL = v0.
Из равенства B) получаем формулу, определяющую энергию
неколлективного частично-дырочного возбуждения:
1=Г>0> vo)A(vo).
Для энергии возбуждения получается неявное соотношение
' (v0, v0; cos
Таким образом, величина Г', определенная уравнением C),
дает сдвиг энергии возбуждения по сравнению с одночастичными
значениями (равными е*,, — e^0).
В сферических ядрах, где имеется вырождение по проекции
момента, можно также ввести величину Г' по уравнению C),
в этом случае в сумме 2' отсутствуют все 2/ + 1 состояний, отли-
отличающихся только проекцией момента, а выражение для tos не-
несколько усложняется.
Для получения сдвига надо взять матричный элемент по
функциям с заданным значением полного момента.1
Уравнение для соботвенных чаотот
и ооботвенных ооотояний
в оиотеме о парной корреляцией
Собственные частоты и собственные состояния определяются из
условия обращения в бесконечность эффективного поля при
частоте со = cos, т. е. из системы уравнений, связывающих V
(или, иначе, Т) с dA) и dB> (или т'1), тB>), в которых отброшено
„ слагаемое, содержащее V.
Обозначим
@. B) _ Л.A), B)
o->cos — л
(О-

230 Ш. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Уравнения для V и <2A)> B) (III.2, стр. 196) дают:
+ ./Г<2>хB> + С(О))С}, D)
). C)> Л"*1)- <2>, СТ<°> получены в III.2 (формула A6)
на стр. 197), а Л.л, = Л9*,*. (-«>). ^°Д, («>) = #$, (-«>)•
Предположим, что найдено решение второго и третьего уравне-
уравнений
Тогда формулы предыдущего раздела будут верны и в случае
спаривания, если понимать под А величину
Как видно из выражения для С(°> для полей, не имеющих
диагональных матричных элементов и матричных элементов
с малыми энергиями е*, — г%- ~ А, получаются однородные,
т. е. не содержащие х, уравнения для хA) и хB) • Предположим, что
эти уравнения имеют только нулевое решение (см. замечания на
стр. 200) хA) = ХB) = 0. Примером таких полей могут служить
поля при дипольных или октупольных колебаниях.
Для таких случаев
А
Для квадрупольных колебаний диагональные матричные элементы
Хм не равны нулю и хA) -ХB) нельзя отбрасывать.
В деформированных ядрах уравнение для собственных состоя-
состояний существенно упрощается. Используя систему уравнений для
У и d (стр. 205), получаем
ХХ.Х, = S (hh | sr
0 = S Фя (г) «рv[(r
S
Дальнейшее упрощение уравнений возможно за счет использова-
использования, как это было сделано выше (см. стр. 206), резких максимумов
в выражениях Sd, Md, Jfd, 0d в функции от &% вблизи границы
Ферми. Получающиеся при этом уравнения, разумеется, менее
точны, чем E), и отличаются от E) заменой 3?d, Jtd, Jfd, Od на
более простые выражения 9?, JC, JC, V (см. там же).

Ш.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 231
После нахождения решения системы E) с определенной сим-
симметрией (например, с симметрией % (г) = / (г) Ylm @, ср)) опреде-
определяются величины
КК = ^>.,>.2 + -«ХЛ -^——.
через которые, как мы увидим, выражается вероятность перехода.
Амплитуда перехода
Нам предстоит решить следующую задачу.
Пусть найдено решение уравнения A) для собственного состоя-
состояния х- Как выражается вероятность перехода через % (v) и cos?
Прежде всего, получим выражение для амплитуды перехода гра-
графически, а затем тот же результат найдем и другим более формаль-
формальным путем. Амплитуду перехода можно изобразить так:
где пунктир означает внешнее поле, а волнистая линия — возбуж-
возбужденное состояние. Если внешнее поле имеет вид
TJI __ V1
то амплитуда перехода равна
Здесь s — изучаемое возбужденное состояние; Es — Ео = cos.
Число переходов за единицу времени Ws связано с величиной MOs
известным соотношением
Величину
P
Pu- =
будем называть матрицей плотности перехода частиц или кратко
матрицей плотности. Блок амплитуды перехода раскрывается
следующим образом:
Выражение g представляет сумму графиков, переводящих частицу
и дырку в связанное состояние.

232 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Перенормировка выражения для амплитуды перехода
Амплитуда перехода
MOs = V°GGg
содержит интегрирования как вблизи, так и вдали от поверхности
Ферми. Можно произвести перенормировку этого выражения,
аналогичную перенормировкам для амплитуды рассеяния и для
вершины так, что получится выражение, содержащее интегрирова-
интегрирования только вблизи поверхности Ферми.
Разобьем GG на два слагаемых GG = А + В и воспользуемся
уравнением для g, которое совпадает с уравнением для %:
Мн = V°Ag+ V°BT<»Ag.
Как мы видели (стр. 173), перенормированная локальная вершина
&~а определяется соотношением
или, вводя заряд квазичастиц по отношению к внешнему полю V0
получим
MOs =¦ &~aV°Ag = —t
здесь р — матрица плотности перехода квазичастиц.
Теперь выражение для MOs содержит только интегрирования
вблизи границы Ферми.
Из последней формулы с помощью условия нормировки для g
(см. ниже формулу G)) можно получить выражение для MOs через
вычет х эффективного поля V. Имеем
или, так как % ~ g, то
V-
dA
(Так как А ~ а2, то а не входит в это выражение.)
Вводя величину pNi— A%, которая отличается от р только
нормировкой, получим окончательное выражение для амплитуды
перехода
2v°(v)pV)
Mos = eq v =Veq (V°p"). F)

III.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 233
Каждому возбужденному состоянию s соответствует свое решение
уравнения для р (os, cos). Ниже мы убедимся, что выражение F)
при слабом взаимодействии между частицами переходит в обычные
выражения для амплитуд одночастичных переходов, получаемые
в модели оболочек.
Та же самая величина входит в амплитуду Г вблизи по-
r(e,v; e',v') = Vя
eo-Wj
причем g удовлетворяет тому же уравнению, что и %:
g^T-Ag. (Г)
Этот результат вытекает из уравнения для Г:
Г = Га + ГМГ = Г<° + ГЛГ<°.
Действительно, полюсная часть Г (v, v') удовлетворяет как по
левому, так и по правому индексу тому же уравнению, что и %.
Найдем нормировку блока g, входящего в Г. Для этого под-
подставим в уравнение для Г выражение
Г = Г« 4- ?(v' e>g(v'> e')
¦" @ — 0)s
Находим
(v, у') = Г» (v, V) + 2 Г- (v, vx) As К) Г* К, v'
Умножим это уравнение слева на g (v) Л, (v) и просуммируем
по v. Используя уравнение для g в форме
получим
Отсюда

234 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Здесь обозначено
Ан алогичным способом можно получить нормировку вычета
в полюсе V. Подставляя в уравнение для V выражение
у — vr л Ъ ¦
и умножая уравнение для VR слева на %А, получим
Величину
будем называть матрицей плотности перехода квазичастиц. Как
мы увидим, для состояний XX', лежащих вблизи поверхности
Ферми, р совпадает (с точностью до множителя а) с матрицей
плотности перехода частиц
P«L' = №*')<*•
Нашу исходную графическую формулу для MOs можно полу-
получить и аналитически, если написать связь между полюсной частью
двухчастичной функции Грина и полюсной частью амплитуды
рассеяния.
Вблизи полюса двухчастичная функция К для одинаковых
времен у частицы и дырки равна (см. II.2, стр. 103)
(о — cos J
= [ GGFGG
Используя выражение для Г, вблизи полюса находим
' = (а?ах')о* = J -Щ- GxGve%x>-
При X и X', близких к.поверхности Ферми, Gi и G%- могут быть
заменены полюсными частями и ри< с точностью до множителя а
совпадает с матрицей плотности квазичастиц
1 л la
9п> = — Axx-gn,- = — Pu-
По определению MOs получаем MOs = VGGg — результат, совпа-
совпадающий с графическим выражением MOs.

iii.4. Ькк>ятности и частоту 235
Другой вывод формулы для амплитуды перехода
Напишем известное квантовомеханическое выражение для
среднего значения от возмущения У0 по возмущенному основному
состоянию системы
M°s
= /уо\
(8)
С другой стороны, среднее значение возмущения У0 можно
вырязить через изменение матрицы плотности частиц во внешнем
поле
(У°) = Sp У°ра = V^GGTV0 = -i- V°GGV.
Так как У вблизи полюса удовлетворяет тому же уравнению, что
и g, то из последнего уравнения, аналогично сделанной выше
перенормировке выражения для MOs, получаем
Подставим в уравнение для У выражение для Г вблизи полюса
V = egV° + Г®AV = eqV° + eqVoAT -,eq ^
Отсюда для (У0) находим при со -*¦ cos
CO — (Os
что соответствует прежней формуле для
Заметим, что полюс (У0) соответствует полюсу V, а не полюсу А.
Как видно из уравнения для V, в полюсе Л величина У обращается
в нуль. Только при отсутствии взаимодействия (Гш* = 0) полюс
(У0) определяется полюсом А. Мнимая часть (У0) (или вычет в по-
полюсе) по формуле (8) непосредственно связана с вероятностью
перехода соотношением
Wos = 2 Im (У0)8 = 2яе? (V°4" Agf б (со - cos) =
°(v) p"(v)J 8(ю-ю8) = 2яеДУ°ЛХ). (9)
Таблица значений е„ для различных полей дана выше (III.3,
стр. 223).

236 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Неколлективные чаотично-дырочные переходы
Полученные выше выражения годятся как для коллективных,
так и для неколлективных переходов с возбуждением пары ча-
частица-дырка в фиксированных состояниях Ко, Кг. Однако для таких
переходов можно получить выражение для вероятности перехода
в более наглядной форме, которая особенно упрощается для малых
частот переходов.
Введем вспомогательную амплитуду Г', определенную выше
(стр. 229)
Г' (v, v') = Г» (v, v') + ? Т» (v, Vl) A (Vl) Г' (vb v').
В этой сумме отсутствует член с V]. = v0, где v0 = (^-i) соответ-
соответствует изучаемому переходу.
Амплитуда рассеяния Г просто выражается через Г':
где Ао означает, что в сумме остается только один член с V]. = v0.
Эта формула получается из выражения
Г = Г(й + ГмЛГ
после умножения слева на множитель A + Г'Л'), где А' означает,
что в соответствующей сумме вычеркивается член с vx = v0.
Введем величину Г" в уравнение для эффективного поля. Уравне-
Уравнение для V
V = е/о + Г"» Л У = е„ \ У° + ГЛ V0}
переписывается с помощью нового уравнения для Г в виде
V = eqV° + е„ГЛТо + ечГЛ0У« + Г'Ло (V - е/°) = V + Г A0V,
где через V обозначена величина
(В V, так же как и в Г', не входит член с v = v0.)
Из этого уравнения получаем
V (v) = V (v) + Г' (v, v0) A (v0) V К)
ИЛИ ДЛЯ V = Vo
Для задачи без парной корреляции имеем
v = vUl(v>-ex,+
В точке полюса (нуль знаменателя) V остается конечной. V обра-
обращается в нуль при со = еа,, — 8^0. Положение полюса определяет
частоту неколлективного перехода. Вероятность перехода очень

ША. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 237
просто выражается через величину V. Действительно, найдем
выражение для (V0) (стр. 235):
вблизи изучаемого полюса.
Это выражение можно, используя последнее уравнение для V,
переписать в виде
4 + eqV°A'V + eqV°AT'A0V\ =--
причем второе слагаемое в фигурной скобке вблизи интересующего
нас полюса можно отбросить.
Итак, используя A0), получаем
\К / а? 1 — Г' (vovo) A (v0) •
Чтобы найти вероятности перехода, следует определить мнимую
часть (V0) или, что эквивалентно, вычет этого выражения в точке
полюса
Itn (У°) = я 1 V Ы Р а , dAzl' dV, > 6 (to - со,). A2)
Для случая, когда парная корреляция несущественна, имеем
где ю6 дается формулой
Для малых частот переходов
Действительно, Г' — четная функция частоты и -^- =
= 2ю--г-г, поэтому при достаточно малых частотах переходов
(предоставляем читателю убедиться, что критерием является
со <^ &FA-X>3) формула A2) отличается от формулы для вероятности
одночастичных переходов без взаимодействия только заменой
матричного элемента внешнего поля У/.Д, на матричный элемент
«статического», эффективного поля УЦ.д1( поскольку в уравнении
для V можно положить со = 0.

238 III- ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Вероятность неколлективных переходов
для олабого взаимодействия между частицами
Чтобы пояснить выражение G) для амплитуды перехода MOs
и проверить нормировочные множители, рассмотрим неколлектив-
неколлективные переходы в случае слабого взаимодействия Гш между части-
частицами. Если парная корреляция несущественна, то уравнение для
матрицы плотности р будет
А~1р = 0 или (ъ% — ъ%' -\- cos) ръх' .= 0.
Собственная частота
«S = 4t — ЪХ„ > О,-
и решение можно выбрать в виде
Матричный элемент перехода равен (см. G))
MQs =
У
__
как и должно быть для невзаимодействующих частиц. Тем самым
мы проверили правильность нормировки.
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда существенна
парная корреляция, а взаимодействием Гш можно пренебречь.
Как мы видели (стр. 231),
Ра.*/ = — {a?av)s0- '
Пусть состояние s характеризуется двумя значками Ко и Klt что
соответствует проекции момента в этом состоянии, равной т1 — т0
(К = г, т). При отсутствии взаимодействия Г<° матричный элемент
\ata\>) отличен от нуля в двух случаях: 1) % = Klt %' = ^„; 2) X =
= —Хо, X' = —Хъ где —Хо = г, —т. Действительно, первый
случай соответствует непосредственному рождению частицы в Хг
и дырки в Хо, а второй — уничтожению парного партнера в —Хг
и рождению партнера в —Хо. И то и другое соответствует переходу
квазичастицы из Хо в Хг (см. аналогичные рассуждения при выясне-
выяснении правил обхода полюсов G в П.З на стр. 125 и дальше).
В соответствии с этим имеются два решения уравнения для р,
соответствующие одной частоте cos:
Это вырождение соответствует инвариантности относительно отра-
отражения времени и сохраняется при включении взаимодействия.
Вероятность перехода определяется суммой

III.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 239
Рассмотрим сначала случай перехода четной частицы. (Случай,
когда состояние Хо соответствует нечетной частице, рассмотрим
позже.) Предположим для простоты, что А не изменяется (х(!) =
= хB) = 0; см- замечание на стр. 200). Тогда А = i?@> (там же).
Уравнение для р
превращается при Г<° = 0 в
и допускает оба приведенных решения.
Выражения
легко вычисляются:
А. ЧА/ кк Л, А.
(р<2> —2— рB)) получается заменой Я.о, Я^. на —Я,!, —Я.о; наиниз-
наинизшая частота перехода со = 2А.
Выражение для Я?®), которое мы использовали, соответствует
переходу четной частицы — при вычислении i?(°> обходы функций
G\o, G%x, F%0, Fx, брались в предположении, что состояния "к0, Кг
не относятся к нечетной частице. Подставляя полученную формулу
в выражение F) для MOs, находим
=|i/x,oXi| ШГЁ
(Р = ±1 в зависимости от четности внешнего поля относительно
замены t на —t). Это выражение совпадает с тем, которое получа-
получается при пользовании каноническим преобразованием Боголюбова.
Рассмотрим Теперь переход нечетной частицы. Выражение для
j?@) в этом случае было найдено выше (стр. 198); (В этом случае
изменяются обходы полюсов функций G\o и F^o)
<Т7@)
+ ° e'+E.-o

240 HI. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Из уравнения для р
видно, что в этом случае возможны переходы с малой частотой
(со < 2А)
«s = Ек — Ек.
Вычисляя р<''2>——j—-—р'1'2) при cos = E\t — Ei0, полу-
получим для перехода нечетной частицы
?A + lfxf Kx^P . A6)
Это выражение также совпадает с тем, которое получается из
канонического преобразования. Заметим еще раз, что в ядрах вза-
взаимодействие Гм не мало и пользование полученными при Г<° = 0
формулами имеет смысл только для качественных оценок.
Изменение характеристик возбужденных состояний
Характеристики возбужденных состояний многочастичной си-
системы определяются параметрами системы: взаимодействием ча-
частиц, числом частиц в системе, температурой, затуханием частиц,
наличием внешнего поля и т. д. Изменения параметров системы
приводят к вариациям взаимодействия 6#~ = &" — #"(#"= а2!"")
и вариациям двухчастичного пропагатора невзаимодействующих
частиц б/Со = /Со — ^Со (Ко = G0G0). Вследствие обобщенного
тождества Уорда происходят согласованные изменения 6^7" и б/С0.
В случае малых вариаций ЬЗГ, б/С0 характеристики возмущен-
возмущенной системы (щ, gs, TR) выражаются через характеристики невоз-
невозмущенной системы (o)s, gs, TR). Найдем вначале решение для
регулярной части амплитуды Гк, а затем искомые соотношения
для изменения характеристик возбужденных состояний [87],
ограничившись случаем статических вариаций 6#", б/С0.
Разложив амплитуду Г (со) в ряд Лорана по степеням (со — cos),
получим из уравнения для Г уравнения для коэффициентов разло-
разложения Г = 8s8s + Tf + (Г% (со - ©,):
со — cos
A7)
A8)
A8')
Уравнение A7) есть однородное уравнение на собственные значе-
значения с ядром Фал. Уравнения A8, 18') — неоднородные с тем же
ядром. Для существования решений A8, 18') необходимо, чтобы

HI.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 241
неоднородности уравнений были ортогональны решению сопря-
сопряженного уравнения
решение которого есть %s = Asgs. Из существования решения
уравнения для rf следует условие нормировки вычета G). В свою
очередь, из существования решения уравнения для (TR)'S вытекает
условие нормировки для rf:
s) = О
или, после умножения справа на A'sgs,
(gsA'sr?A'sgs)--=-t-(gsA"sgs)- A9)
Решение A8) равно сумме частного решения неоднородного уравне-
уравнения и решения однородного уравнения
Г? = Y?+ -§-&•!?.¦ A7')
Константа Сх определяется дополнительным условием A9). Част-
Частное решение удовлетворяет модифицированному интегральному
уравнению, не обладающему особенностью
причем yf не зависит от С2 ф 0. Вычитательная процедура удаляет
из у? примесь решения однородного уравнения; после умножения
(у?) слева на gsAs получаем условие ортогональности: (gsy^) = 0.
Решение A8') для (Г*)^ находится аналогичным путем.
Обратимся теперь к выводу выражения для изменения характе-
характеристик возбужденной системы с точностью до второго порядка
по 6#", предполагая 6#" незапаздывающим и полагая пока ЬК0 = 0.
Представим уравнение для двухчастичной функции Грина новой
системы через функцию Грина старой системы
Запишем выражения для К и К в виде сумм регулярных и полюс-
ных^частей
Здесь as (as) — вычет в полюсе функции К (К):
as = K0 (б„) gs ¦ §SKOFS), аа = Ко (ws)g3-gsKQ

242
III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Тогда имеем
аа (со — cos) + KR (со — cos) (со — <x>s) =
= as (to — (os) + KR (со — cos) (со — cos) -f KR8&~KR (to — tos) (to — tos) +
+ KR8Sr~as(«)-«)s) + as8<rKR{«)-as) + as8g-Za. A9)
Положив здесь поочередно to = cog, to = to3 и to = 1/г (^а + ю8),
найдем поправки первого порядка к частоте, вычету и регулярной
части функции Грина
Ao)(sU[8&-) = gsK0s8SrKosgs, B0)
Да'1' [6SH = Kashas + as№KRs, B1)
Д/Cft' № = KR?STKRs +. /C«.e^a, + а,б^-/С«,. B2)
Графически B0, 21) поясняются следующим образом:
B0')
B1')
пунктиром обозначена вариация взаимодействия 6^7", произведе-
произведению вычетов gs-gs соответствует пара кружочков.
Для поправок второго порядка по 6#" имеем
B3)
B4)
Регулярные части функции Грина выражаются через регуляр-
регулярные части амплитуды A7, 18)
s /Cos + (Kogs • gsKoYs,
KRs = /Cos + (KorRKoYs + 4- (Kogs-gsKofs-
B5)
B6)
Зная новые (вообще говоря, комплексные) характеристики (ws,
as, YR), можно вычислить вероятность возбуждения системы
полем У0 (© ~ ©s):

tll.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 24$
Аналогично B0—24) можно получить выражения для изменения
характеристик при изменении (запаздывающего) частично-дыроч-
частично-дырочного пропагатора 6/@ (со), предполагая 8SF = 0. Так, например,
B7)
Да><2) [б/Со] = g,e/Co,rfe/Co.ff. + (gs8K0sgs) (gs8K'osgs). B8)
Таким образом, мы видим, что изменения характеристик возбу-
возбужденных состояний системы от малых возмущений могут быть
вычислены через стандартные параметры ТКФС. В частности, ста-
статические моменты возбужденных состояний связаны с величиной
Ao)s1} [б/С01, определяемой формулой B7) [88]; асимметрия
кривой поглощения для низколежащих коллективных уровней
выражается через величины Aasn 16^7"] и бсо^2' [8&~], даваемые
формулами B1) и B3) [87]. Заметим, что если вариации Ь@", ЬК0
привносят изменение симметрии (четности, момента, изоспина),
то эффект квадратичен по вариациям ЬТ и 8К0- В этом случае
помимо членов Aas'2) [8&~] и 6а!;2' [б/Col необходимо найти смешан-
смешанную поправку Aas2' \Ь&", б/СоЬ которая также может быть выра-
выражена через параметры ТКФС.
Поверхностные колебания
В квантовой системе конечных размеров существует ветвь по-
поверхностных колебаний, аналогичная классическим капиллярным
волнам. Однако для первых возбуждений с длиной волны, сравни-
сравнимой с радиусом системы, коэффициент жесткости с и массовый
параметр В, а следовательно, и частота ю = i/ с/В не имеют ничего
общего с соответствующими величинами, найденными из класси-
классических гидродинамических уравнений.
Последовательная теория квантовых поверхностных степеней
свободы была построена В. А. Ходелем [141].
Оказывается, что классическая гидродинамика неприменима
для квантовой жидкости. В конечной квантовой системе, даже
при 6-образных силах взаимодействия, всегда есть нелокаль-
нелокальность — внешнее поле, приложенное в какой-либо точке, вызывает
заметное возмущение на расстояниях порядка размеров системы.
Или, иными словами, в конечной системе функция влияния
А (г,г') нелокальна. Причина этой нелокальности в многократных
отражениях частиц от границы; ее легко увидеть из выражения
III.1, стр. 178 для А (г, г') (при \г — г' | > г0):
Л(г,г')=ЛЮ~ ^L-^. B9)
Нелокальная часть Л<'> слабо зависит от \г — г' |.
Предположим, что произошло изменение поверхности системы
SS. Тогда изменение энергии будет наряду с классическим локаль-

244 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
ным поверхностным членом ~Л2/з содержать также и нелокаль-
нелокальный ~А, которого нет в классической гидродинамике. В резуль-
результате этого жесткость поверхности в квантовой системе в среднем
в А4» раз превышает классическую капиллярную жесткость, да-
даваемую поверхностным натяжением. Как мы увидим, нелокальное
слагаемое жесткости сильно флуктуирует и даже может изменить
знак, что и является причиной ядерной деформации.
Что касается массового коэффициента, определяющего кинети-
кинетическую энергию колебаний, то отличие его от классического начи-
начинается, когда частота поверхностного колебания делается меньшей,
чем расстояние между комбинирующими уровнями (со < е^/Л1/»).
Особенно сильное изменение массового коэффициента по сравне-
сравнению с гидродинамическим происходит у немагических ядер для
первых уровней с со < А.
При больших амплитудах возмущения, когда возникающее
эффективное поле превышает расстояние между одночастичными
уровнями и радиус кривизны траекторий частиц делается мал по
сравнению с размерами системы, вклад отражений исчезает, оста-
остается только локальная часть функции влияния А (г, г') и в энергии
деформации выживает только гидродинамическое поверхностное
слагаемое.
Другой предельный случай, когда эффекты нелокальности не
существенны, — это деформации с длиной волны, много меньшей
R — г0А1/'. Действительно, как нетрудно убедиться (см. Прило-
Приложение), шаровая гармоника Л1'} падает с ростом L; Л['>1 ~ AOIL.
Как мы увидим, локальный вклад в энергию пропорционален ZA
Он уравнивается нелокальным, который больше в Л1/» раз, при
L? ~ Л'/». При больших L нелокальным вкладом в энергию дефор-
деформации можно пренебречь.
Будем определять частоты поверхностных колебаний, как
полюса амплитуды рассеяния Г. Для величины g (г, ш) (стр. 233)
имеем
g = 9-A{ai)g~Xg. C0)
Выделим из ядра Ж поверхностное слагаемое Жг:
<v/> / t ч dU (г) dp (г') 1
dr dr )
где
I dU d9 \ r dU dp ..
\W dr )- J dr dr Г ar
и функция и, зависящая от угла между гиг', равна
<32>
На первый взгляд такое разбиение ядра Ж может показаться
искусственным. Это разбиение следует из того факта, что, на осно-

III.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 245
вании условия согласования, dU/dr есть собственная функция
ядра Ж с собственным значением 1. Действительно, в символи-
символической записи
W М C3)
дг ~ "" дг'
Заметим, что сопряженная к dU/dr собственная функция ядра Ж
есть др/дг, так как
Ф _ Л1ди
~ЬТ ~ л-~дТ ~ л* дг' ~M~5F'
где Ж — ядро, сопряженное к Ж.
Если пренебречь малыми нелокальными слагаемыми в Ж, то
у такого локального ядра функции (dU/dr) YLm также будут
собственными функциями Ж с тем же собственным значением.
В этом случае ядро можно было бы представить в виде разложения
по его собственным функциям
X = ?Lp-±fLb(n - п')\Ж\ C5)
где использовано соотношение
S Л*(я)>^* (я') = 6(я-я').
Lm
Ж" содержит вклад только объемных собственных функций ядра.
Учет нелокальности приводит к тому, что Ь (п— п') заменяется
на х (пп') и несколько изменяется ядро Ж".
Т
Ж =- Ж* + Ж\ C5')
причем
Выделим поверхностные и объемные части g:
g=u<n\^L + g C7)
Определим и {п) условием
/ "P re i П /QQ\
^-^r gf» / = U, C8)
откуда следует
Как мы увидим, величина и(п) есть матричный элемент оператора
смещения й (п) точек поверхности и (п) = {й)Оз. Подставим C5')
и C1) в уравнение для g. Имеем

246 tli. фёрмй-сйстемы во внешнем йоЛЁ
Введем величину ?2, которая определяет, как будет видно,
изменение самосогласованного поля, возникающее при деформа-
деформации поверхности
?2 = ^-+-И. D1)
Умножая уравнение D0) слева на A — Ж1)'1, получим
«-°(?-«)/Dг-?)-
Разложим и (га) и g (r, п) по шаровым функциям Ylm {n):
«(я) = 2 *шУ
LM
Тогда из D2) получаем
L(r) = QL(r)>cLaL,
J ^, D5)
«(я) = 2 *шУш (я), * (г) = 2 ?lm @ П,и (я). D3)
LM LM
gL(r) = QL(r)>cLaL, D4)
где
Таким образом, ^ (г) пропорционально QL (r).
Умножая D4) на (dp/dr) и интегрируя по dx = r2dr, находим,
используя D5), D6), дисперсионное уравнение
1 = (dU dp_\
Величины Qt (со) и %L (со), входящие в дисперсионное урав-
уравнение, определяются через свойства ядра Ж в координатном пред-
представлении и легко находятся с помощью ЭВМ, после чего числен-
численное решение дисперсионного уравнения дает частоту колебания (»?,.
Для выяснения физической картины найдем решение уравне-
уравнения D4) в адиабатическом пределе, т. е., предполагая, что частота
со мала по сравнению с характерными энергиями частично-дыроч-
частично-дырочных переходов.
Разложим QL (со) в ряд по со2, ограничиваясь первыми двумя
членами: 9L (©) = 0L @) + (d9L/doJ) o>2. Тогда
. 1 - QL @) /до.
w = ¦ D8)
Покажем, что 0^, @) близка к единице:
е;.@)=

Ш.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 247
Из D5) следует, что хх @) = 1. Действительно, в силу условия
согласования
МО) = J?.* (Г, ?)*%r
Нетрудно видеть, что для малых L (L Ф 1) значения xL @) отли-
отличаются от единицы на величину ~Л~1/з.
Ядро Ж содержит большую локальную часть, равную §"А^,
и малую дальнодействующую компоненту ?"Л<'> ~- f/R3. Найдем
L-гармонику локальной части Ж:
Для малых L при интегрировании локальной части PL (г) можно
разложить вблизи г = 1
PL (z) = I -A — z)L(L+ l)/2.
Получаем
-V/» -V/» ^ (^ "Ь 1) /W W1
*i — ло 2 I1* о ~~ л г)'
Величина (Жо — ЖХIЖО равна среднему квадрату (92) угла ме-
между г и г'. Так как \г — г'\ ~ г0, г и г' — /?, то @2) ^/R2
Аг/
Таким образом, вклад локальной части в xL равен
8xL - Л-2/з. .
Оценим отличие kl от единицы, вызываемое дальнодействием.
Подставляя в выражение D5) Л о из B9), получаем оценку
Итак, отличие х от единицы определяется дальнодействием
xL @) = 1 + О (Л-1/3). E0)
Покажем теперь, что величина x\L, входящая в дисперсионное
уравнение, имеет такую же оценку:
r,L = 1 + СЧЛ-'/З). E1)
Для этого убедимся, что поверхностная часть функции Q (г),
определяющая r\L, имеет оценку
| E2)
Интегральное слагаемое в D1) вносит в Q поправку
Действительно, интегрируя D1), имеем

248 III. ФЕРМЙ^-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Отсюда видно, что объемная часть QL (г) (г —- вне поверхности)
определяется дальнодействующей частью А{1). Используя B9),
получаем
Подставляя результат первой итерации в
с помощью C6) находим r\L = 1. Отличие т^ от единицы полу-
получается при использовании второй итерации. Подставляя оценку &v
в правую часть уравнения для Q, получим поправку к значению Q
вблизи поверхности:
или
Отсюда r\L @) = 1 + О (Л""'/3), и после использования оценки
E0) для kl @), получим
0@)= 1+<?(Л-'/3).
Оценим теперь величину dG/dco2. Для этого достаточно оценить
отношение
dco2 е2
Легко видеть, что
1 dQ 1
1 — 9 йш2 'A(D
откуда следует (см. D7), D8)):
Найдем жесткость CL и массовый коэффициент BL поверхно-
поверхностного колебания. Для этого запишем энергию колебания в виде
Et = \Bjfl\ + ±CLa\. E3)
Входящий в нашу задачу матричный элемент (а^H8 = aL связан
с амплитудой нулевых колебаний. Из E3) находим Bto)aal =
= со/2, откуда
2aLBLal=l. E4)
С другой стороны, из условия нормировки g (стр. 233) с уче-
учетом D4) имеем
^) ( ^I=-1. E5)

Ш.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 249
Сравнивая соотношения E4) и E5), находим
Коэффициент жесткости определяется из E4) после подстановки
о2 = С/В.
Получим простое выражение для CL. Для этого наложим
на систему статическое внешнее поле, действующее на поверхность,
т. е. поле V0, имеющее вид
У> = -^-и°(я). E7)
Разобьем V на поверхностную и Объемную части:
<58)
Смещение м определим аналогично тому, как было сделано выше,
заменяя g на V. Имеем
и, кроме того,
Напомним, что ( ) означает интегрирование только по dx = r2 dr.
Тогда уравнение для эффективного поля запишется в виде
Умножая E8) слева на A—Ж11)'1 и используя уравнение D1)
для Q, получим
V = Й (и0 + хм). F0)
После умножения на dp/dr находим
u = i\ (м° + хм), F1)
где т] определено так:
(?)/(??) <62>
Из F1) после разложения по сферическим функциям получаем
"<- = -йг «*• F3)
Как мы видели, величины т]^ и 9L близки к 1. Величина м! есть
гармоника смещения поверхности, которое было бы без взаимо-
взаимодействия. Учет взаимодействия в системе, удерживаемой внутрен-
внутренними силами, увеличивает смещение в Л1/а раз, так как
1 6 Л'/

250 111. ФЁРМИ-СИСТЁМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Чтобы получить выражение для С, найдем уравнение для и,
варьируя по и энергию во внешнем поле, которую запишем в виде
Е = ~ J и (п) С (пп1) и (я') dn dn' -f- J У0 бр dr, F4)
где Sp — изменение плотности во внешнем поле. Мы опустили
слагаемое j V°p dr, которое не содержит варьируемой величины и.
В конце этой главы будет рассмотрено изменение плотности,
возникающее при добавлении частиц к системе. Там вводится
следующее определение смещения и:
U da \ /сс.
-зг)- F5)
Легко убедиться в том, что это определение и совпадает с опре-
определением C9), вследствие того, что бр удовлетворяет уравнению
с транспонированным ядром —Ж = А&~ вместо Ж = &~А.
Используя определение F5) и вид V0, получим
Варьируя Е по и, находим
о—(т
Для шаровых гармоник получаем
*—(#*
Сравнивая с D7), находим
L \ dr dr J r\L ¦ \ t
С точностью до А~Ч* можно положить rji, = 1. Тогда соотно-
соотношение F8) можно записать в угловом пространстве:
С(я-й') = -(^-^)(б(я-я')-0(»-»')), F9)
или в эквивалентной форме, вводя г = пп':
Это выражение позволяет находить энергию деформации, не пере-
переходя к шаровым гармоникам.
Получим выражение для жесткости CL, удобное для оценок.
Пренебрегая величиной t\L—1 и используя условие 0Х = 1,
находим из G0)
с—(?¦?)№-ад»-(#*

Ш.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ 251
Так как в CL при L3 < А11* главную роль играет дальнодейству-
ющая часть А, при вычислении х можно считать взаимодействие
#" S-образным. Тогда
dU _ dp
dr ~* dr
и выражение G1) принимает вид
Р)%) G2)
Это выражение позволяет проследить, как изменяется CL по мере
заполнения оболочки, анализируя соответствующее изменение А.
Оценка изменения CL и BL по мере заполнения оболочки, дается
в IV.5 (стр. 344), где изучается изменение величины
при заполнении оболочки.
Эта оценка вблизи магических ядер дает CL ~- KFA^'/rl.
Найдем выражение для жесткости в предельном случае боль-
больших L или больших деформаций поверхности. В этих случаях,
как мы уже говорили в начале этого раздела, нарушаются условия
интерференции волн, отраженных от поверхности, и дальнодей-
ствующая часть Л<'> пропагатора А обращается в нуль. Во всех
выражениях остается только вклад короткодействующей части
пропагатора А.. При этом T[L = 1 и 0д = xL = xls). Жесткость CL
определяется короткодействующей частью величины х.
Записывая i4(s) (г, г') и У в приближении эффективного ра-
радиуса, получим из определения х выражение вида
где Дя — угловой лапласиан.
Или для С<5>
C(s) = - ("IF w) (} - а "
Так как первая гармоника С равна нулю, после умножения на пп'
и интегрирования по dn' получаем
а = 1 + 20.
Подставляя G4) в выражение для поверхностной энергии, полу-
получаем
Интеграл в этом выражении представляет собой изменение пло-
площади поверхности системы при деформации
65 = ^ J dn' (и Аи + 2ы2). G6)

252
III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Для смещения системы, как целого, и (п) ~- п и Лы + 2ы = О,
т. е. SS == 0. Множитель при SS равен коэффициенту поверхно-
поверхностного натяжения а:
du dp \
~~dTHF)-
G7)
Коэффициент Р вычисляется из соотношения для к и может быть
связан со средним значением 1 — пп' = 1 — г:
J xsB)(l -z)dz=2p.
Таким образом, коэффициент поверхностного натяжения выра-
выражается через короткодействующую часть ядра Ж соотношением
а = — [^- Ж^ (г, г', z){\-z)^rdxdx' dz. G8)
J dr v ' ' dr v '
Значение L = 1 соответствует движению системы, как целого,
без внутренних изменений, поэтому Сх = 0, В^ = ЗМ/4я, где М —
полная масса системы.
Нетрудно убедиться, что прямое вычисление В по формуле
E6) действительно дает этот ответ.
В табл. 2 даны результаты вычисления квантовых жесткостей
[91J Со, С2 и С3 (в скобках — классические значения Cll).
Таблица 2
Жесткости С/, магических ядер (в МэВферми 2)
0+
2+
з-
«Са
29 C,0)
18 C,9)
6,9 @,7)
«•Sr
42,5 E,7)
8,5 C,4)
7,4 (9,9)
»"Sn
50,5 F,7)
19,7 C,2)
14,5 (9,6)
208 pb
61,5A2,3)
28,0 B,0)
9,9 (8,0)
Классические гидродинамические значения жесткостей полу-
получаются по известной формуле:
где а — коэффициент поверхностного натяжения, взятый из фор-
формулы Вейцзекера.
В табл. 3 приведены значения массовых коэффициентов для
первых 2+ и 3" коллективных возбуждений в магических ядрах.
Эти значения существенно отличаются от гидродинамических
получающихся в капельной модели для безвихревого течения
идеальной несжимаемой жидкости. Эти значения даны в скобках.

III.4. ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ
253
Таблица 3
Массовые параметры В^ магических ядер (в МэВ ферми)
2+
з-
«Са
0,03@,11)
0,25 @,08)
3,5 @,25)
1,05@,17)
Sn
0,55 @,38)
0,55 @,25)
208 pb
0,44 @,60)
1,33 @,40)
Из формулы E6) легко получить оценку для BL при L3 < А1'':
где А — энергия спаривания. Вблизи магических ядер А следует
заменить на величину ~грА~л1'.
Таким образом, частоты коллективных колебаний в магических
ядрах со ~ eF/A—'/*, а в немагических уменьшаются до величины
порядка А. Особенно сильные изменения происходят с квадру-
польными колебаниями. Для них жесткость С2 сильно умень-
уменьшается или даже изменяет знак по мере приближения к области
деформированных ядер.

III.S. ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
ОТ ДОБАВЛЕНИЯ ЧАСТИЦ
Изменения, происходящие в системе при добавлении одной или не-
нескольких частиц, относительно малы — порядка 1/N. Тем ие менее теория
позволяет найти эти изменения с достаточной точностью. С помощью фор-
формул для изменения матрицы плотности, найденных в этой главе, можно
вычислить магнитные моменты ядер, изотопическое смещение, квадруполь-
ные моменты, изменение моментов инерции при переходе к соседнему ядру
и т. д.
Формула для изменения матрицы плотности получается особенно про-
просто, когда поле добавленной частицы рассматривается как слабое возму-
возмущение. Более точная формула, учитывающая изменение одиочастичиых
энергий и перераспределение частиц, получается при уточнении теории
возмущений. Идея уточнении состоит в том, что поправки к разностям
энергий в знаменателях теории возмущений учитываются точно, тогда
как в остальных членах сохраняется только первый порядок теории воз-
возмущений. Такое уточнение особенно существенно, когда имеются знамена-
знаменатели с малой разностью энергий.
Те же результаты получаются с помощью уточненной теории возму-
возмущений для функции Грина в поле добавленной частицы. Такой подход,
позволяет выяснить связь между матрицами плотности для частиц и квази-
квазичастиц. Кроме того, попутно получается полезное соотношение, выража-
выражающее изменение собственно-энергетической части б? вблизи поверхности
Ферми через изменение бор диагональной части матрицы плотности квази-
квазичастиц
аб? = а2Г60р = а^бр,
где Г — амплитуда рассеяния в новой системе у поверхности Ферми,
бр — изменение матрицы плотности квазичастиц.
Величина аб? представляет собой изменение эффективного гамиль-
гамильтониана квазичастиц.
Для матрицы плотности квазичастиц получается уравнение
бр = б„р + ЛГ^бр,
где А — произведение полюсных частей функций Грина (или несколько
более сложное выражение в случае спаривания), которое входит в уравне-
уравнение для амплитуды рассеяния и для эффективного поля. В ^.-представлении
величина
должна определяться как изменение чисел заполнения квазичастиц /ij,
в задаче без взаимодействия Гш (но с учетом спаривательиого взаимодей-
взаимодействия). В простейшем случае, когда добавляется нечетная частица \,
к замкнутой оболочке
FоР)ш = 6M'6UO.
Получена формула, позволяющая вычислять изменение энергии ква-
знчастиц, вызываемое включением слабого добавочного взаимодействия
между частицами.

Ш.5. ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 255
В качестве примера рассматривается кулоновское взаимодействие ме-
между частицами. Полученные уравнения часто используют для вычисления
разностей масс зеркальных ядер.
Получено простое соотношение, позволяющее вычислить изменение
средних значений при добавлении частиц (нли при перераспределении ква-
знчастиц по уровням). Изменение среднего значения выражается через
изменение матрицы плотности квазичастиц
S (Q) = QSpa - eqQ89,
где бра — изменение матрицы плотности частиц. Изменение средних зна-
значений выражается также через эффективное поле, вызываемое затравоч-
затравочным полем Q
е «г> = v [Q] вор.
Эта формула используется для вычисления магнитных квадрупольных мо-
моментов ядер н для расчета изотопического смещения.
Поле добавленной частицы как слабое возмущение
Найдем изменение матрицы плотности при добавлении одной
частицы, учитывая сначала поле добавленной частицы в первом
порядке теории возмущений и пренебрегая парной корреляцией.
В следующих разделах мы получим более точные формулы.
Предположим пока, что при добавлении частицы к четной си-
системе появилась одна квазичастица в состоянии Хо. Как уже упо-
упоминалось (II.4, стр. 132), в некоторых ядрах добавление одного
нуклона может вызвать перестройку в распределении квазичастиц;
в таком случае возникает состояние более сложное, чем одна квази-
квазичастица сверх фона.
Изменение матрицы плотности вызывается двумя причинами:
во-первых, происходит изменение в числах заполнения (по-
(появляется квазичастица в состоянии %0) — это изменение матрицы
плотности существует и без взаимодействия между квазичасти-
квазичастицами, — во-вторых, добавленная частица своим силовым воздей-
воздействием вызывает перестройку в распределении квазичастиц. По-
Поэтому изменение матрицы плотности квазичастиц состоит из двух
слагаемых:
(вр)хх- = вхх-вхх. + ПУ'У
причем второе слагаемое представляет собой полученное выше
изменение матрицы плотности под действием поля. В данном слу-
случае частота со равна нулю, поскольку добавленная частица создает
статическое поле.
Во внешнем поле V" мы имели простую формулу для V
Vxx- = eqViv + I! (М' | & | А.,Ла) (вр)х,х,,
где #" = с3Гм .

256 iii. Фёрмй-сйстемы ёо ёнешНем Поле
Второй член дает часть эффективного поля, вызванную поля-
поляризацией среды.
В нашем случае внешнего поля нет, и эффективное поле опре-
определяется вторым слагаемым, т. е. выражается через изменение
матрицы плотности квазичастиц. Таким образом,
_^ ¦|bl*2)FP)x1X,-
Теперь нашей ближайшей задачей будет получить более точ-
точное уравнение для бр с учетом перераспределения частиц, проис-
происходящего от добавления частицы, а также с учетом парной кор-
корреляции.'
Уточнение теории возмущений
Получим выражение для изменения матрицы плотности из
того условия, что матрица плотности новой системы должна быть
диагональна по новым функциям, так же как исходная матрица
плотности диагональна по исходным функциям.
Новые функции ф\ в поле V будем выражать через старые щ
с помощью уточненной теории возмущений, в которой поправки
к энергии учитываются точно.
Матрица плотности новой системы после добавления частиц,
т. е. в поле V, по определению диагональна в представлении новых
функций ф\, так же как и старая матрица плотности в предста-
представлении ф».:
Пусть новые функции выражаются через старые соотношением
фа, = S Cv%4>%'-
X'
Тогда
Обозначим порядок недиагональных (к ф %') коэффициентов
через |. Тогда
| Си |2=1- I!'|Cu'|2,
Сохраняя только главные члены, получим
а при кф%'
B)
Коэффициенты С%%>, описывающие изменение собственных
функций в поле V, определяются выражениями
(Я + V) ф *, =

tii.S. изменение матрицы пЛотностй 25?
откуда
Используя обычную формулу теории возмущений в первом по*
рядке
"я "х-«х-
мы получили бы уравнение A) предыдущего раздела. Чтобы полу-
получить более точное выражение, следует добавить к энергии &х-
слагаемое VVx-. перенеся его из правой части уравнения для Сх-х-
Смысл этой операции состоит в том, чтобы первая поправка к энер-
энергии гх' учитывалась во всех выражениях точно, поскольку она
стоит рядом с малой разностью гх — е^. Можно было бы анало-
аналогичным образом переформулировать теорию возмущений во всех
порядках [92]. Нам достаточно ограничиться первым порядком.
Действительно, поле, возникающее от одной частицы, имеет поря-
порядок efIN. Учет первого порядка в энергии означает, что мы сохра-
сохраняем члены порядка -,—^—\"~КГ> но пренебрегаем членами
*F 1
В качестве оценки | е^ — &хг I следует взять расстояние между
уровнями, мало отличающимися по числу узлов (иначе будет мал
Матричный элемент Vxx'), которое имеет порядок е^ЛМ/», поэтому
отбрасываемые члены вносят ошибку ~N~2/>. Итак, наше улуч-
улучшенное выражение для Сх'ъ имеет вид
Подставляя это выражение в формулу B) для р^< и вычитая
&получим
я я
= (пк — пх) <
Таким образом, уточнение выражения A) состоит в том, что во
втором слагаемом следует брать новые числа заполнения и новые
энергии.
Ниже мы получим этот же результат другим путем, исходя
из матрицы плотности частиц.
9 А. В. Мигдал

256 Ш. ФЫ>мй-сйстёмЫ вб ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
В случае двух типов все величины, входящие в (Г), являются
изотопическими матрицами. Если, например, к ядру добавлены
нейтроны, то в символической записи имеем
(Sp)n = (Sop)n + Л"#-™ (8р)п + ЛП#""Р (бр)р,
(8р)Р = Лр#"рр (Sp)P + Ар&-рп (Sp)n,
где #"nn, #"пр связаны с изотопическими компонентами амплитуды
взаимодействия соотношениями, полученными в П.5, стр. 150.
Свяаь между матрицами ялетнеети
для частиц и квазичаетиц
Будем, в отличие от предыдущего раздела, исходить из матрицы
плотности частиц
и получим другим путем выражение (Г) для изменения матрицы
плотности квазичастиц. Такой подход поможет выяснить связь
между свойствами матриц плотности для частиц и квазичастиц.
Кроме того, попутно будет получено (в следующем разделе) полез-
полезное соотношение, выражающее изменение собственио-энергети-
ческой части 82 через изменение диагональной части матрицы
плотности.
Изменение функции Грина, связанное с вариацией собственно-
энергетической части 2 равно (по определению 2)
G - G = SG = G82G.
В присутствии внешнего поля в правую часть добавляется
слагаемое GV°G. В представлении функций щ исходной системы
(в котором G диагонально)
)uAv (е).
Для изменения матрицы плотности частиц имеем
= 8хх' (ЯЦ - n
диагональная часть (8р)?>/ по определению равна разности чисел
заполнения частиц по состояниям qv
Убедимся, что диагональные матричные элементы G^ могут
сильно отличаться от G^, между тем как недиагональные эле-
элементы G%%>, возникающие от добавления частицы, относительно
малы.

III.6. ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 259
Напишем уравнение для G%%-, выделяя диагональные элементы
- = GAv + G%(82)UGU- + GkF2)^, Gvk(l - 6U-) +
+ G% (82)Ui Gx,v A - K%) A - «*,*•),
последним слагаемым, как мы увидим, можно пренебречь.
Тогда для % = %', отбрасывая это малое слагаемое, получим
р; G% 1
Вблизи поверхности Ферми aGl1 = e — е>, -+0, поэтому выра-
выражение для Gx\ нельзя разлагать по степеням F2)u.; таким обра-
образом, G)^ существенно отличается от G*,.
Для недиагональных элементов получаем
G%%> f ^ i — Gi F2)u ^2и'5я,'Я. «=* Gn, ($Ц%.х' Gx>%.. C)
Таким образом, недиагональные элементы содержат малую вели-
величину F2)*,*,-.
Относительные изменения всех физических величин при до-
добавлении одной частицы, как правило, имеют порядок N~l. Исклю-
Исключение составляют величины, чувствительные к структуре уровней
у поверхности Ферми. Такой величиной является G^ — G\,
разложение которой в ряд по 82 привело бы к ошибкам порядка
~Х~^-у где Ае — расстояние между уровнями с близким числом
узлов.
Недиагональные матричные элементы Gus имеют малость
порядка Ы~'1ж по сравнению с диагональными, тогда как отбро-
отброшенное нами слагаемое в выражении для G мало как N~l/'.
Итак, для недиагональных (к Ф %') матричных элементов
)L получаем из C)
- J GKV -Й" = J
Если ex и е.%- лежат вблизи границы Ферми, то функции Грина
под интегралом можно заменить их полюсными частями, а 62
взять при е = BF. Получаем
J (Т^^
+ ^?Ы)
F , D)
где йк — числа заполнения квазичастиц в новой системе, ёх —
одночастичные энергии новой системы, равные ё^, » в% + а ^
9*

260 Ш. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ЙО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Как мы увидим в следующем разделе, величина а 2
играет роль эффективного поля, действующего на квазичастицу,
и изменение матрицы плотности квазичастиц определяется выра-
выражением
(8р)хх'= >~gV
*» еХ ~ eV
С помощью D) находим для X Ф %'
Для % — %', как мы сейчас увидим, получается это же соотно-
соотношение.
Для диагональных элементов матрицы плотности, как мы
видели,
где
Этот же результат получается и в форме
Подставляя выражение для G*xx и сохраняя, как и выше, только
полюсные части G>, и Gjo, (учет неполюсных частей G дает, как легко
видеть, поправку —— ~-»г)» находим для еь близких к границе
Ферми:
(бр)°и - аг (8S)g {Ь- «х) = fl (Ях _ Лх) ^ Дх _ п1
Поясним последнее равенство. Матрица плотности исходной си-
системы по определению диагональна в представлении функций фя,
(см. II.4, стр. 120):
Р =
Диагональная часть матрицы плотности новой системы прибли-
приближенно равна (см. B))
Р
Поэтому с точностью до малых поправок, определяющихся изме-
изменением средних характеристик системы от добавления одной ча-
частицы, т. е. с точностью порядка 1/ЛГ, получаем
= ul - nl = а (йх - лх) + Я? - nf = а (пх - пх).
Последнее равенство связано с тем, что изменение регулярной
части чисел заполнения п1* порядка 1/N (при переходе к системе
с близким числом частиц), между тем как первое слагаемое для
одного или нескольких значений % порядка единицы,

HI.5. ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 261
Разумеется, в сумме по X нельзя пренебрегать слагаемым
Я? — ях, и
где К. — число добавленных частиц.
По закону сохранения числа частиц, если добавлена' одна ча-
частица, то
53(ял-4)=2(Ял-яо=1.
Чтобы получить уравнение для бр, остается найти связь изме-
изменения 2 с изменением матрицы плотности.
Как это и должно быть — согласно теореме о скачке чисел
заполнения частиц на границе Ферми (стр. 102),—матрица
плотности частиц имеет разрыв
РХ,Х, |8xt=ej?—бе Ркг^г и^ а
где бе — малая, но превышающая расстояние между уровнями
величина.
Изменение ссбственно-внергетическсй части.
Эффективнее пелв, вызываемое
перераспределением частиц
Мы получим сейчас полезное соотношение, связывающее изме-
изменение 62 с изменением диагональной части матрицы плотности.
Выше было получено выражение (III.2, стр. 187)
bZ—VSG—
где<2/ не содержит частей, соединенных двумя линиями по каналу
частица — дырка.
Запишем изменение G в следующей форме:
б - G = 8G = G82G = 60G + G62G. E)
Подставляя в предыдущую формулу, получим уравнение
62 = <U\G + <2/G82G.
Сравним это уравнение с уравнением для статической амплитуды
рассеяния в новой системе
f='

262 Ш. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Изменением величины Ш при добавлении частиц можно пренеб-
пренебречь {b<Ul<U~ 1/N). Замыкая свободные концы Г величиной 60G,
получим
(f60G) = №0G + Ш (f 80G) G,
т. е. уравнение, совпадающее с уравнением для 82.
В ^.-представлении в уравнении для статической амплитуды
рассеяния возникает неопределенность. Действительно, величина
входящая в уравнение для амплитуды рассеяния Г, имеет при
% = %', со ->• О неопределенность, для устранения которой под
статической амплитудой рассеяния следует понимать предел при
со ->• 0. Это означает, что G, стоящие слева и справа от Г, имеют
четвертые компоненты импульса, отличающиеся на величину со,
которая в окончательных выражениях полагается равной нулю.
Таким образом, замыкая свободные концы Г величиной 80G,
получаем уравнение, совпадающее с уравнением для 82, если
считать, что четвертые компоненты G слева и справа от 82 сдви-
сдвинуты на величину со —у 0.
В результате имеем
82 = f80G. F)
Остается выяснить свойства величины 60G. По определению E)
60G = (G-G) 82G.
В представлении ср^, сохраняя главный член по 82, находим
Мм = (G% (в) - Gxx (в)) (82 (e))u Gxx (e + со).
Это выражение, как функция е, имеет резкий максимум вблизи
е = е^ и может быть (как это уже часто делалось) записано в виде
Приравнивая интеграл по de от обоих выражений (S0G)u'. имеем
(е) - G^(e))GkX (е + ю) ¦*- = Г
J
Используя последнее соотношение, получаем
(Щи = 2nia {пк - щ) б (е - вх). G)
Мы пренебрегаем недиагональными элементами F0G)u' на основа-
основании равенства C)
' = Gw — G;a(fi2)U' G%.v — 0.

ltl.5. ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ fLfiOfHOCtH 2ёЗ
Подставляя выражение G) в формулу F) для 82, находим
' = a S Г(%, %>, гх; h, h, ^(n^ - пк), (8)
В р-представлении эта формула приобретает вид
62 (р, е) = а J Г (р, е; />', е,,) (пр, - пр.) 0^. (8')
Таким образом, получился естественный и наглядный резуль-
результат. Величина аб2, определяющая изменение одночастичного
гамильтониана при добавлении частицы, равна выражению
V = a2f80G,
которое играет роль эффективного поля, вызванного появлением
частицы (или нескольких частиц). Мы получили обобщение изве-
<стной формулы для энергии частицы в среде в газовом прибли-
приближении
'-'р ~ ер i 1р, рР>
где fPtP — амплитуда рассеяния на угол нуль на рассеивающих
центрах, распределенных с плотностью р. Изменение энергии ча-
ютицы при изменении плотности
:и является аналогом нашего выражения (8').
В случае, когда добавляется нечетная квазичастица в состо-
состояние Хо, выражение (8') просто изобразить графически:
1 3
Как было показано в предыдущем разделе, вблизи границы
Ферми бр<°) = абр. Поэтому из формулы D) получаем для матрицы
плотности квазичастиц выражение
= (й>„ — п%) Ь%%> -f-
В символической записи, используя (8), находим
между тем как уравнение для Г в новой системе имеет вид
f = ГИA + ЛТ).
Таким образом,
6S - аГбо9 = аГабр. (9)

264 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ! ПОЛЕ
Используя уравнение для Г, получаем перенормированное урав-
уравнение для 82:
связывающее между собой величины, лежащие вблизи поверх-
поверхности Ферми. Это уравнение позволяет вычислять эффективное
поле, возникающее при перераспределении квазичастиц, V =
= аб2. В ^-представлении имеем
= У. (XX' | Т | Х{ХХ) Ьпк + V(XX' | Г | ВД ^ **' Ук%1. A0)
к
Подставляя выражение (9) для 82 в формулу для бр, получаем
уравнение A) для матрицы плотности квазичастиц
SL В
Вычисление средних значений
Покажем, что изменение среднего значения аддитивной вели-
величины Q (Q = Jjata^Qn.') при изменении р выражается через
эффективное поле, возникающее при добавлении Q к гамильто-
гамильтониану системы.
Изменение среднего значения равно
б (Q) = Q6po.
Согласно полученным выше формулам
бр° = абоР + J G 62G^- = fl (l + J СТО JEL) 6о(Э
и, следовательно,
Q6pc = aQ60p + aQGTG60p.
Рассмотрим уравнение для вершины 9" [Q] соответствующей
затравочному полю Q. Как мы видели (III. 1, стр. 174),
9" [QJ = Q + GfGQ = Т<* [Q] + Т«>АТ [Q] = Та [Q] + f AT<» [Q].
Уравнение для соответствующего эффективного поля V (V =
= а&~ [Q]) записывалось в виде
Из уравнения для вершины получаем
6(Q) = a^[Q]6oP = V[Q]6op. A1)
Таким образом, изменение среднего значения можно вычислить
с помощью решения уравнения для V. Особенно простой резуль-
результат получается, когда изменение матрицы плотности вызвано

III.5. ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 265
добавлением нечетной частицы к замкнутой оболочке. Тогда
в ^представлении бор = би„; б (Q) = V%0%0, т. е. изменение сред-
среднего значения выражается через диагональный матричный эле-
элемент эффективного поля. Из уравнения для вершины в перенор-
перенормированном виде находим также
б (Q) = Q8p° = аТ [Q] боР = аГ<* [Q] A + At) 60р = egQ6p. A1')
Формула AГ) выражает изменение среднего значения через
изменение матрицы плотности квазичастиц.
Малое изменение вваимодейотвия
между чаотицами. Кулоновские поправки
к изотопическим мультиплетам
Найдем изменение полученного выше выражения для 82
при включении добавочного взаимодействия между частицами,
например кулоновского или спин-орбитального.
Изменение величины 62 определится как
а(82)<? = ^T'60G = а2Г'80р.
где Г' — изменение амплитуды при включении дополнительного
взаимодействия Г4?. Предположим, что влияние дополнительного
взаимодействия на одночастичные функции Грина учтено; тогда
Г' = Г<? + ГМЛГ' + Г^ЛГо.
Здесь Г<? — часть дополнительного взаимодействия, не содержа-
содержащая поляризационных графиков, т. е. величина, аналогичная
Гм; Г° — амплитуда рассеяния без учета взаимодействия Г4?:
Г° = ГМ + ГМ
Для кулоновского взаимодействия
7! .У
(симметризованное кулоновское взаимодействие), где х = (г, s, t).
Подставим выражение Г' в формулу для (S2) и обозначим
(а82)<? = 8?<?, тогда
8EQ = a2 |r«60G + ГмАЕЧ + r«4r°80G}.
Заметим, что ЬЕ® есть поправка к изменению кулоновской энер-
энергии, вызванная изменением взаимодействия между добавленными
квазичастицами. Введем величину (fip)°, означающую изменение
матрицы плотности без учета дополнительного взаимодействия
(8р)° = 8Qp + ГМ (бр)° = A + Г«4) «,р.

266 III. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Тогда для б?<? получаем уравнение
6?<? = а2Г<? (8р)° + ГМ8?<?.
Полученные формулы позволяют находить изменения в энер-
энергиях изотопических мультиплетов, вызываемые кулоновским вза-
взаимодействием. Поправки к энергетическим уровням определяются
как диагональные матричные элементы величины Е®.
Эти выражения используются для определения кулоновской
поправки к разности масс зеркальных ядер.
Заметим, что кулоновская энергия протона в поле ядра, опре-
определяющая разность масс зеркальных ядер, есть диагональный
матричный элемент по состоянию протона %0 эффективного куло-
новского поля V (г), вызванного внешним полем Vo (r), равным
V (г) - f pp (r>) dr'
Для V имеем
Парная корреляция
Изменение матрицы плотности может быть найдено аналогично
тому, как это было сделано выше. Сначала находим изменение
матрицы плотности квазичастиц при выключенном взаимодей-
взаимодействии между квазичастицами (сохраняя спаривательное взаимо-
взаимодействие)
Предполагая, что при добавлении одной частицы к четному ядру
появляется одна квазичастица в состоянии %0 = (а0, т0) и одна
квазидырка в состоянии —%0 = (а0, —/п0), имеем (см. II.4 стр. 128)
для состояний %0 и —\0
пк=1, й_х0 = О,
тогда как в старой системе мы имели
Числа заполнения для Я. ф Я.о. —^о получаются из формулы
где Ёх и ex, следует отсчитывать от измененного химического по-
потенциала, который находится из условия сохранения числа частиц
(fix - nh) = 1 - (8n)h - Fn)_v
Я

1H.5. ИЗМЕНЕНИЙ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 267
Для получения более точных выражений следует использовать
уточненные выражения для п^, Пу, (ИЛ, стр. 132), а также учесть
изменение Д при добавлении частицы.
Изменение матрицы плотности квазичастиц благодаря взаимо-
взаимодействию имеет вид
где dA) и dB> определяются через V уравнениями, полученными
в III.2, стр. 196, а коэффициенты^"», JT'1», JT<2> даются в Ш.2,
стр. 197.
Статическое эффективное поле, возникающее при добавлении
частицы, можно разбить на два слагаемых: четное и нечетное —
относительно замены t на —t. Предположим, что в выражении
для амплитуды взаимодействия ST слагаемые, зависящие от ско-
скоростей, малы. Тогда четная часть V в основном представляет со-
собой скалярное поле, а нечетная — спинорное в соответствии
с двумя главными членами выражения для амплитуды взаимодей-
взаимодействия 3". Что касается спиновой части V, то как мы видели для
ш = 0 изменения А в таком поле не происходит (dA> = dB> = 0).
Скалярная же часть поля V = Vsc при и ->0 приводит к d<'>
и d<2>, равным (см. III.3, стр. 203)
где Fsc — изменение химического потенциала, вызванное полем
Vsc. Величина Vsc (см. III.3) определяется из условия сохранения
числа частиц и равна
После подстановки в выражение для Fp)inf получается не завися-
зависящий от и член
Выражение для i?@), равное при ш = 0
1м ?» ?» —8» 8j + д. д. р
при Р ——1 не имеет диагональных элементов, а при Р = 1
Окончательно получаем
где V = V — Vsc.
Е%Е%, г%ъ%, + Д^Д^.Р ,
ЩЖ^ЩРГЩ Ухх'>

268 Ш. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
К равенству A2) следует добавить прежнее соотношение,
выражающее эффективное поле V через изменение матрицы плот-
плотности квазичастиц
Подставляя сюда выражение для бр из формулы A2), находим
В выражении A2) можно сделать такое же уточнение, какое было
сделано в случае задачи без парной корреляции, а именно перейти
от энергий е^, к энергиям ё*,, учитывающим поправку ех от поля V
в первом порядке (а также изменить химический потенциал и ве-
величину Дя,). Нетрудно получить уравнение для V, аналогичное
уравнению A0).
В случае двух типов частиц все величины являются изотопи-
изотопическими матрицами.
Вблизи мест заполнения оболочек в сферических ядрах выра-
выражение для i?<0) должно быть вычислено с учетом разности бц =
= Ht — м-2 (см. II.4, стр. 135).
Изменение распределения плотнооти и радиуоа системы
при дсбавлении частиц
Наиболее точно распределение плотности нуклонов опре-
определяется из данных по зависимости сечения упругого рассеяния
быстрых частиц от переданного импульса. Для нахождения рас-
распределения протонов используется рассеяние электронов на
ядрах, а для нейтронного распределения — быстрые протоны
и К>мезоны. При этом определяется не только радиус ядра (точка
перегиба на кривой р° (г)), но и детали распределения р„ и рр
[19, 20, 232].
Опыт подтвердил приблизительное постоянство плотности ядер
по периодической таблице (R = г0Л'/»). Такой результат есте-
естественно ожидать для всякой большой системы с отталкиванием
между частицами на малых расстояниях. Соотношение R = г0А'/*
справедливо только при усреднении по достаточно большим ин-
интервалам ядер, в то время как изменения радиуса от ядра к ядру
значительно отклоняются от формулы 8R/R ==¦ У36А1А.
Найдем изменение плотности нуклонов при небольшом изме-
изменении числа частиц. Уравнение для изменения плотности квази-
квазичастиц бр (г) = v (г) запишем в виде
vo + ^'v) A4)

ill.6. ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ 269
где v0 — плотность добавленных квазичастиц. Для частицы, до-
добавленной в состояние Хо, v0 = ф?0 (г) сря0 (г).
Поскольку система сама себя держит, т. е. наружное давление
равно нулю, изменение плотности на краю системы vs =
= (dp/dr) и (п), где и (га) — радиальное смещение точек поверх-
поверхности ядра.
Если плотность v0 добавленных квазичастиц сферически сим-
симметрична, то и не зависит от углов и есть просто изменение ра-
радиуса ядра. Если v0 содержит квадрупольную компоненту, то
часть и (га), пропорциональная Уо (и), описывает квадруполь-
квадрупольную деформацию поверхности системы.
На изменение распределения плотности и изменение радиуса
системы важное влияние оказывает смещение поверхности, проис-
происходящее при добавлении частиц. Поэтому при решении уравне-
уравнения A4) следует выделить поверхностные степени свободы, ана-
аналогично тому, как это делалось при изучении коллективных ко-
колебаний (стр. 243). Свойства ядра Ж = AT не отличаются от
свойств транспонированного ядра Ж = &~А, входящего в уравне-
уравнение для эффективного поля. Из условия согласования следует,
что Ж имеет собственную функцию dp/dr с собственным значе-
значением 1. Действительно, из условия согласования
д" -**¦?¦ A5)
дг ~ ^ " дг
после умножения на А слева и интегрирования получаем
Л дг ~ дг - Л* дг' - М дг' ш
Сопряженная к dp/dr функция (собственная функция ядра Ж)
есть dU/dr.
Разобьем ядро Ж на поверхностную и объемную части, анало-
аналогично тому, как это делалось при изучении поверхностных коле-
колебаний Ж = Ж5 + Ж°, где
Из последнего условия следует
U х„ dp
ГЖ1Р
Обозначения те же, что и на стр. 244. Нетрудно видеть, что й =
= и.

270 Ш. ФЁРМЙ-СЙСТЁМЫ ВО 6НЁШНЁМ ПОЛЕ
Определим смещение и (п) поверхности, вызываемое измене-
изменением плотности. Для этого представим v в виде
g , B0)
где v° подчинено условию
f) B1)
Тогда смещение точек поверхности и (в) будет связано с реше-
решением уравнения A4) для v соотношением
и(п)-
dr dr \ dr dr
Подставляя Ж = Ж11 + Ж" и используя A9), получим
(l-j^)v = vo + -M-x«, B3)
где х« = J y.(nn')u(n')dn'.
Введем теперь величину Q, сопряженную к величине Q, вве-
введенной на стр. 246:
4
Й = -42- + Т«Й. B4)
Умножая B3) слева на A — Ж")'1, получим
v^Vi + йиа, B5)
где vx определяется уравнением B4) с заменой неоднородности
dp/dr на v0:
v^vo + ^vx. B6)
Получим уравнение для смещения и (п). Для этого умножим
B5) на dU/dr, проинтегрируем по г2 dr и разделим на \-j~-^-) •
Получаем
и — иг + щи = иг -\- бы, B7)
где, как легко видеть,
4
\ dr dr ) \ dr dr )
Символическое выражение бы равно
бы = J 9 (пп1) и (nr) dn', 6 (пп1) = J т] (bbi) х («!«') d«!.

III.6. ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
271
Неоднородное слагаемое иг определяется соотношением
dU
\ dr dr )
Пренебрегая поправками ~Л~1/», получаем
B9)
\ dr dr )
После разложения по шаровым гармоникам, уравнение B7) пре-
превращается в алгебраическое:
uL = <xL = .\ . C0)
Как мы видели (стр. 250), величина 1 — QL просто связана
с жесткостью L-ro поверхностного колебания.
Для малых L имеем 1 — QL ~ А~^>. Вблизи области деформи-
деформированных ядер 1 — 02 ->¦ 0, что объясняет рост квадрупольных
моментов по мере заполне-
заполнения оболочки.
После нахождения и (п)
из B7) изменение распреде-
распределения плотности v = бр на-
находится из уравнения B5).
Изменение среднего ква-
квадрата радиуса протонного
распределения определяет
изотопическое смещение спе-
ктральных линий при доба-
добавлении одного или двух
нейтронов
C1)
при добавлении протона
Рис. 4.
к ядру а08РЬ.
Аналогичным образом на-
находятся и квадрупольные
моменты, возникающие при добавлении нечетной частицы в основ-
основное или возбужденное состояния.
На рис. 4 для примера приведена кривая, дающая изменение
распределения плотности протонов при добавлении к 208РЬ про-
протона на уровень \к»/г.
Квадрупольные моменты и изотопические смещения, вычислен-
вычисленные с помощью приведенных соотношений, даны в IV-§>

272 Ш. ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
Сильные возмущения
Рассмотрим изменение матрицы плотности в случае сильных
возмущении, вызванных либо добавлением большого числа ча-
частиц, либо сильным внешним полем.
Обратимся к уравнению B) для изменения матрицы плот-
плотности квазичастиц. Введем эффективное поле V и опустим значки
~ над п и е^, в А, тогда
( ) + l (U)
Как видно из выражения для Gxx (стр. 258), % отличается от пх
только заменой е^ на ё^ = ех + Vxx- Если Vxx меньше расстояния
между уровнями, то целочисленная функция hx — пк (е^ + Vxx)
совпадает с пх (ч) и изменение р определяется только вторым
слагаемым.
Рассмотрим обратный предельный случай, когда V^x много
больше, чем расстояние между уровнями. Тогда
Найдем изменение плотности
пХ ~ пХ'
Выражение может быть с квазиклассической точ-
еХ — ЪХ'
ностью заменено на dnxld^x, причем первое слагаемое в правой
части бр (г) дает недостающий во втором слагаемом диагональный
член. (Предполагается, что на интервале е>, — е^ ~ eF/Al/' укла-
укладывается много уровней. В сферических ядрах и особенно возле
пх — пХ' dn% *
магических ядер замена —— > -~- может привести к ошибкам.)
Я, Я,' л
В результате получаем
6р W = 2 Ж v»"*"b ^Zt^WVH^-^v (г).
Заметим, что в этом подходе было поставлено требование
минимальности энергии системы, что выразилось в том, что числа
их Яовой системы предполагаются такими же функциями от ёх,
как и пх (е*.). Условие минимальности энергии заменяет гранич-
граничное условие макроскопического подхода.
Таким образом, мы убедились, что наше уравнение для бр
переходит в макроскопическое уравнение для матрицы плотности
при полях V, много больших, чем расстояние между уровнями
систему.

IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
IV.1. ОБОСНОВАНИЕ И УТОЧНЕНИЕ МОДЕЛИ ОБОЛОЧЕК
В конечной системе взаимодействие между частицами усложняет ос-
основное состояние системы. В некоторых случаях в основном состоянии ие
все одночастичные уровни заполнены квазичастицами. Добавление нечет-
нечетного нуклона может вызывать такую перестройку в распределении уровней,
что основное состояние будет, например, смесью квазичастицы и коллектив-
коллективных состояний. Такие случаи встречаются сравнительно редко и возникают
при аномальной близости энергий двух состояний.
В этой главе сначала рассматриваются те случаи, когда такой пере-
перестройки уровней не происходит. Тогда метод функций Грина позволяет
получить соотношения, дающие строгое обоснование модели оболочек.
Показано, что разность энергий околомагических и магических ядер
равна соответствующей энергии частицы в потенциальной яме. Потенциаль-
Потенциальная яма определяется условием диагоиальности функции Грина в представ-
представлении одночастичных состояний в этой яме. Соотношение между энергиями
ядер и одиочастичными состояниями сохраняется и для возбужденных со-
состояний нечетной частицы и позволяет определить параметры, характери-
характеризующие потенциальную яму. Для остальных ядер получаются аналогич-
аналогичные соотношения, только осложненные парной корреляцией (которая не-
несущественна в магических и околомагических ядрах).
Обоснование модели оболочек использует доказанную в (II.4) теорему
о равенстве чисел частиц и квазичастиц. Согласно этой теореме одночастич-
одночастичные уровни заполняются квазичастицами так же, как в идеальном газе,
несмотря на сильное взаимодействие между частицами. На этом утвержде-
утверждении основывается порядок следования одночастичных состояний при пере-
переходе от одного ядра к другому, что определяет, в частности, положение
магических ядер. Для бесконечной системы эта теорема приводит к из-
известному соотношению, связывающему плотность частиц с граничным им-
импульсом [ 1 ], [5 ]
р *= p3F /Зя2
как для протонов, так и для нейтронов.
Рассматриваются усложнения модели оболочек, связанные с суще-
существованием близких уровней. Одним из примеров этого является подробно
изученная выше парная корреляция. Помимо парной корреляции, искаже-
искажения одночастичной модели могут вызываться в некоторых случаях близко-
лежащими коллективными уровнями- Указывается метод последовательногр

274 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
«улучшения» квазичастнц, при котором сначала вводятся вспомогательные
функции Грина Gcl>, найденные без учета «опасных» графиков, а затем точ-
точные функции G определяются через этн вспомогательные
гДе Е* — часть S, содержащая только «опасные» графики. Этим способом
мы пользовались при введении парной корреляции.
Блок g, описывающий связь квазичастиц с коллективным состоянием
связан с вычетом Г в полосе, соответствующим данному коллективному
состоянию, и определяется через универсальные константы взаимодействия.
В одночастичный гамильтониан, определяющий функции ср^, входит
эффективная масса квазичастиц т*, которая обычно в расчетах модели обо-
оболочек полагается равной массе нуклона в пустоте т.
Из малого отлнчия вещественной частн оптнческого потенциала от по-
потенциала модели оболочек следует, что
.1 ч-0.2.
m
Константа flt входящая в формулу для эффективной массы
входит также в выражение для момента инерции ядра (IV.5).
Структура ооновного соотояния
Взаимодействие между частицами в конечной системе может
привести к изменениям в порядке заполнения одночастичных
уровней. Состояние с просветом может оказаться энергетически
более выгодным за счет большей энергии взаимодействия частиц
на более высоких одночастичных уровнях. Такое состояние можно
интерпретировать как состояние с определенным числом квази-
квазичастиц и квазидырок (сверх фона).
Рассмотрим этот вопрос на примере основных состояний ядер.
Наиболее простую структуру основного состояния имеют маги-
магические ядра. Числа заполнения частиц п% имеют скачок величины а
при переходе через границу Ферми; числа же заполнения квази-
квазичастиц щ, равны
f 1, е^<(л,
Образование просвета в числах заполнения квазичастиц ниже
границы Ферми невыгодно, так как первое одночастичное состо-
состояние отделено от осцового широким интервадом (в несколько

1V.1. ОБОСНОВАНИЕ И УТОЧНЕНИЕ МОДЕЛИ ОБОЛОЧЕК 275
МэВ), а энергия взаимодействия между частицами в сферическом
ядре порядка 0,5-;-1 МэВ.
Таким образом, в основном состоянии магического ядра нет
квазичастиц и квазидырок сверх фона.
Эта ситуация сохраняется и для ядер, ближайших к маги-
магическим.
Если же близко от оболочки с малым моментом /г находится
уровень с большим моментом /2, то для четного числа рассматрива-
рассматриваемых частиц может оказаться выгоднее образовать две квази-
квазидырки в состоянии с меньшим моментом Д и две квазичастицы на
уровне с большим — /2 — потеря в одночастичных энергиях
компенсируется большей энергией парной корреляции в состо-
состоянии с большим /. Впрочем, это явление учитывается нашими
формулами для парной корреляции и может быть легко рассчи-
рассчитано.
Как известно, в некоторых ядрах осуществляется именно такая
структура основного состояния (например, для 64 < N < 82)
[93]. При добавлении нечетного нуклона к такому ядру уничто-
уничтожается одна из квазидырок парного состояния, при добавлении
следующего нуклона получаются опять две дырки и две добавоч-
добавочные квазичастицы на уровне с более высоким /.
В некоторых случаях нечетный нуклон, добавленный к ядру,
может вызвать перестройку в распределении частиц. Тогда момент
состояния будет отличаться от значения, предписываемого одно-
частичными уровнями, и основное состояние соответствует двум
квазичастицам и квазидырке или квазичастице и коллективному
возбуждению. Таким образом, определение структуры основного
состояния представляет собой сложную задачу — требуется найти
энергии нескольких пробных состояний и определить, какое из
них наинизшее. Многие свойства ядер не зависят от этой неболь-
небольшой перестройки в числах заполнения. Однако те явления, кото-
которые определяются последними нуклонами (например, изменением
матрицы плотности при добавлении частицы), не могут быть рас-
рассчитаны без выяснения структуры основного состояния. Более
подробно эти вопросы рассмотрены в IV.5.
Ниже, например, при вычислении магнитных моментов отби-
отбираются те случаи, где основное состояние имеет простую струк-
структуру. Остальные ядра (их гораздо меньше) требуют в каждом слу-
случае отдельного рассмотрения [39].
Модель оболочек
Модель оболочек представляет собой попытку описания не-
некоторых свойств ядер в предположении, что ядро есть газ слабо
взаимодействующих частиц, помещенных в самосогласованную
потенциальную яму. С теоретической точки зрения хорошие ре-
результаты, получаемые в модели оболочек, долгое время казались

276 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗЙкЁ
крайне удивительными, поскольку взаимодействие между нукло-
нуклонами немало.
Ситуация очень похожа на ту, которая существовала в теории
металлов — модель свободных электронов объясняла очень мно-
многие явления, несмотря на сильное взаимодействие между элек-
электронами.
Разгадка этих парадоксов состоит в том, что в ферми-системах
даже прн сильном взаимодействии для слабых возбуждений
остается квазичастичная ветвь возбуждений, аналогичная воз-
возбуждениям в идеальном ферми-газе.
Интуитивно такое объяснение давалось задолго до применения
функций Грина к задаче многих тел, однако доказательство этих
утверждений и их уточнение стало возможным только в последнее
время.
Как мы видели из спектрального разложения (II.2, стр. 95),
одночастичная функция Грина имеет полюса, соответствующие
появлению в системе одной квазичастицы или одной квазидырки.
Наряду с этими полюсами, имеются полюса, которые соответ-
соответствуют более сложным возбуждениям системы. Этими полюсами
мы займемся позже.
Положение одночастичного полюса связано с энергией системы
следующим образом:
ех, = ?&•(#+1)-?„(#)•
Мы предположили, что N — четное, а основное состояние си-
системы N + 1 частиц можно интерпретировать как появление сверх
фона одной квазичастицы в состоянии Хо. Если основное состояние
нечетной системы имеет более сложную структуру, т. е. состояние
с одной квазичастицей лежит выше основного, то в выражении для
положения полюса под ?^° (N + 1) следует понимать энергию
этого возбужденного состояния.
С другой стороны, вблизи границы Ферми функция Грина
в диагональном представлении (II.2, стр. 96) имеет вид
где G% не имеет полюсов, соответствующих одной квазичастице.
Сравнивая положение полюса здесь и в спектральном разло-
разложении, получаем
Efr (N + I) - E0(N) = их., A)
где еА.о — энергия в потенциальной яме U (г) (отсчитанной от
U (oo)); U (г) полностью определяется условием диагональности
Gu< (II4, стр. 120).
Левая часть этого соотношения дается хорошо измеренной
разностью масс ядер. Правая часть (&},„) зависит от параметров,
которыми определяется потенциальная яма (глубина, радиус,

IV.1. ОБОСНОВАНИЕ И УТОЧНЕНИЕ МОДЕЛИ ОБОЛОЧЕК 27?
ширина диффузного края и константа спин-орбитальной связи).
Поскольку такое простое соотношение между массами и энергиями
в потенциальной яме имеется только в пренебрежении парной
корреляцией, параметры ямы следует определять из разностей
масс магических и соседних с ними ядер, где нет парной корре-
корреляции.
Можно без труда получить формулы с учетом парной корреля-
корреляции, которые позволят уточнить параметры ямы (при этом войдет
еще константа Г|, характеризующая парную корреляцию).
Для некоторых задач, например для вычисления масс ядер,
требуется использовать вместо упрощенного уравнения (II.4.7)
более точное [85], учитывающее зависимость т* и а от г. Запишем
квазичастичный массовый оператор, входящий в уравнение
(П.4.5):
2 Б() + 2() + 22(г). B)
Величина Г2 (г) связана с перенормировочным множителем
а (г) соотношением 22 (г) = A — а (г)).
Уравнение для квазичастичной функции Грина Gq (r, г')
имеет вид
[е - е« - 2,(г, р, г)] GQ(r, г', г) = б (г - г'). C)
Решение C) может быть записано через собственные функции Ч^
однородного уравнения:
°а = У У*(г)Чгь(г) D)
* ^J е — ед, 4- 'V S6n (еА — V)
%
Уравнение для Ч^, отличается от уравнения Шредингера тем, что
потенциал содержит слагаемое, зависящее от энергии и учитыва-
учитывающее запаздывание сил взаимодействия:
Собственные функции Wx (r, t) = Т^, (г) е~'е*' ортогональны с ве-
весом а (г). Эти функции использовались в (II.6) для построения
лагранжиана системы взаимодействующих квазичастиц.
Энергия системы, определенная этим лагранжианом, дает
значения масс ядер с учетом оболочечных поправок.
Функции Т*. (г) — а1/г (г) ф*. (г), где фа, (г) нормированы на
единицу.
Уравнение для ф^, и е^ (П.4.5) мало отличается от того, которое
используется в модели оболочек:
В модели оболочек обычно полагают т* = т и пренебрегают
членом а (г) I (I + 1), который, как мы видели (стр. 122), возни-
возникает в U (г) наряду со спин-орбитальной поправкой, а также

278 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИЙ Б ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
пренебрегают зависимостью V (г) от е^. Хорошее согласие пред-
предсказаний модели оболочек с экспериментом (энергии связи иечет-
иых нуклонов, положение магических ядер, расстояния между
оболочками, рассеяние нуклонов ядрами), по-видимому, означает,
что эти поправки практически не очень существенны. К вопросу
об отличии т* от т мы еще вернемся.
Для обоснования модели оболочек необходимо доказательство
еще одного важного факта — все одночастичные уровни в потен-
потенциале U (г) (изменяющиеся с изменением N и Z) заполняются
квазичастицами в соответствии с принципом Паули, так же как
в идеальном ферми-газе.
В бесконечной системе это соответствует следующей теореме,
которая была доказана Латтинжером и Уордом [5] и независимо
Ландау 11]. Плотность частиц в бесконечной однородной системе
определяется через граничный импульс pF той же формулой, что
и в идеальном газе:
р = р^/Зл2. F)
Аналогично этому в конечной системе, как было показано
в (П.4), энергия и порядок уровней у границы Ферми опреде-
определяются тем условием, что все предыдущие уровни ямы заполнены
(по одной квазичастице на каждое невырожденное состояние)
N нейтронами и Z протонами.
Уточним это утверждение.
Число частиц «° в состоянии % имеет скачок величины а при
переходе от последнего значения е^ < ц к значению е*,, > ц.
Этот скачок значительно превышает небольшие (порядка А~2/»
в сферических и порядка А в деформированных ядрах) измене-
изменения nl при переходе от одного уровня к другому для энергий
еа. > ?*.„ и ея, < ея,,. Место скачка определяет энергию поверхности
Ферми в конечной системе.
При переходе к распределению квазичастиц имеем для вели-
величины пх
(Пока отвлекаемся от парной корреляции, которая размазывает
скачок п^ по слою шириной ~2Д.)
Доказанное в (II.4) утверждение состоит в следующем:
Соотношения G) позволяют установить порядок следования одно-
частичных состояний при переходе от одного ядра к другому

IV.1. ОБОСНОВАНИЕ И УТОЧНЕНИЕ МОДЕЛИ ОБОЛОЧЕК 27Й
и определяют, в частности, N и Z магических ядер. В теории обо-
оболочек эти соотношения используются без доказательства.
Таким образом, хотя сходство квазичастичных возбуждений
с одночастичными справедливо только для состояний, не очень
далеких от границы Ферми, заполнение уровней, согласно G),
происходит так же, как в идеальном газе.
Для бесконечной однородной системы сумма в G) заменяется
интегралом и получается соотношение F), умноженное на объем
системы.
Эффективная масса
Из калибровочной инвариантности (Ш.З) вытекают соотно-
соотношения
* [гр] = v,
$ [п] = 0.
С другой стороны, для диагональной вершины (стр. 220) имеем
аТ<* [гр + гп] = р.
Таким образом, эффективная масса
т* = I. =
<Tst [гр + г„]
Но для связи 9~&i и Э"а в бесконечной системе мы нмели соотноше-
соотношение (стр. 220)
* [Гр +/„I _ 1'
где Д = Va (/fp + /Гр) — первая гармоника в разложении без-
безразмерной амплитуды взаимодействия по полиномам Лежандра
от угла между входными импульсами частиц (II.5, стр. 150).
Здесь пустотная масса т принята за единицу, таким образом
В качестве эффективной массы в конечной системе можно
взять эту же величину, тем более, что отличие т* от т, как мы
увидим, невелико (ошибка из-за конечности ядра будет порядка
А
т
Оценка величины т* — т может быть получена из 'сравнения
«оптического» и одночастичного потенциалов.
*) Для системы, состоящей из одного типа частиц, это выражение переходит
р формулу, полученную Л. Д. Ландау [1],

280 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
В задачу об упругом рассеянии медленных нуклонов входит
величина —^- U (г) = Uopl. В энергию связи нуклона эффектив-
эффективная масса входит в другой комбинации:
т
т*
где е°р — энергия границы Ферми, рассчитанная для т* = т.
При вычислениях энергии Ферми ъР и при определении потен-
потенциала из рассеяния (оптический потенциал) обычно полагают
/п* = т. Тем не менее оба потенциала с большой точностью совпа-
совпадают. Глубина потенциала Uo @) в модели оболочек подбирается
из условия
(А = е
С другой стороны,
т* 0 /п* .. _ 0 ..
171 Ш I Pi
и, следовательно,
(-,*) ^=2- = Uo @) - t/opt ~ 1 - 2 МэВ.
Таким образом, находим
|т ~т| ^0,1 ч-0,2.
Как мы увидим (IV.5) величина f± входит также в теоретиче-
теоретические выражения для моментов инерции.
Влияние близких уровней
При определении одночастичных энергий и в уравнениях для
амплитуды рассеяния и эффективного поля мы выделяли полюс-
полюсную часть одночастичной функции Грина (или произведение
полюсных частей). При этом предполагалось, что остающаяся
неполюсная часть (Gja')BHOCHTBKJI?W только в перенормировочные
множители, которые не входят в окончательный результат.
Между тем в конечной системе функция Giv состоит из суммы
полюсных выражений, отвечающих всем возбуждениям более
сложным, чем одночастичные. Это означает, что в строгой форму-
формулировке задача не сводится к определению одночастичных воз-
возбуждений в потенциальной яме. Вместе с тем очевидно, что если
число частиц в системе достаточно велико (Af ^> 1), то неполюсная
часть функции Грина, так же как и в бесконечной системе, может
в большинстве случаев считаться плавной функцией е вблизи
границы Ферми.
Сейчас мы выясним, в каких случаях GR существенно изменяет
одночастичиый спектр.

1V.1. ОБОСНОВАНИЕ Й УТОЧНЕНИЕ МОДЕЛИ ОБОЛО^Ёк 281
Собственно говоря, один из таких случаев был уже выше
подробно изучен. Если в системе имеется парная корреляция
с Д « ef, то приходится из GR (или, что эквивалентно, из 2) вы-
выделить еще один полюсной график
отвечающий переходу частицы в дырку и коррелированную пару.
Аналогичная ситуация, хотя и сильно смягченная, получается
в том случае, когда в системе имеется коллективное состояние
с малой энергией такое, что нечетная частица может переходить
в состояние частица плюс возбуждение.
Тогда из совокупности полюсных членов, входящих в 2,
следует выделить график
где волнистая линия означает коллективное возбуждение. Этот
график следует учитывать вместе с основным полюсным членом,
а сумму остальных полюсных выражений в 2 считать гладкой
функцией, подобно тому как мы поступали в случае парной кор-
корреляции. Однако отличие от парной корреляции состоит в том,
что блок g, определяющий вклад добавочного полюсного слага-
слагаемого, мал (порядка А-1''), и это слагаемое играет существенную
роль только в исключительных случаях аномальной близости
энергий исходного и промежуточного состояний.
Действительно, матричный элемент g содержит функцию трех
возбуждений (двух одночастичных и одного коллективного).
Каждая из этих функций нормирована на объем системы. По-
Поэтому матричный элемент имеет порядок
I
В случае спаривания аналогичный матричный элемент умножается
на корень квадратный из числа коррелированных пар, что ком-
компенсирует множитель А-1/*. Поэтому парная корреляция остается
и в бесконечной системе, а поправки к одночастичным состояниям
от связи с отдельным возбуждением равны нулю, и рассматрива-
рассматриваемые графики дают в 2 добавку только за счет суммирования
по всем промежуточным состояниям. Эта добавка представляет
собой плавную функцию е и потому включена в перенормировоч-
перенормировочный множитель.
Особенно существенна связь одночастичных и коллективных
состояний для вращательных возбуждений в деформированных
ядрах. Из-за малой энергии вращательных уровней последние
должны учитываться вместе с одночастичными состояниями.

282 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Последовательное «улучшение» квавичаотиц
Итак, способ уточнения одночастичных возбуждений состоит
в следующем. Сначала отбрасываются «опасные» члены и опре-
определяются полюсные части вспомогательной функции Грина по
уравнению Дайсона
где 2* — вклад «опасных» членов. Величина
2* = 2 - 2*
обладает теми свойствами, которые мы предполагали у 2 в задаче
(без парной корреляции (т. е. 2« может быть разложена в ряд по
«степеням е — \л). Поэтому GA) будет иметь тот вид, который пред-
предполагался у G при отсутствии спаривания.
Из точного уравнения для G
получаем (умножением слева на 1 + GA) B — 2*))
G<1>2*G. (8)
Здесь G<J> вблизи границы Ферми можно заменить полюсной
частью. 2* включает в себя как графики парной корреляции,
так и графики тех возбужденных состояний, которые сильно
комбинируют с исходным состоянием.
Нахождение полюсной части GA> соответствует переходу от
частиц к «предварительным» квазичастицам, между тем как реше-
решение последнего уравнения соответствует переходу к более «точ-
«точным» квазичастицам.
Такое «улучшение» квазичастиц может делаться последова-
последовательно несколько раз. Предположим, что сначала учтена только-
парная корреляция и получены квазичастицы «первого улучше-
улучшения» с функцией Грина
где 2* соответствует графикам парной корреляции. Тогда «окон-
«окончательные» квазичастицы получатся из равенства
где 2* соответствует учету «опасного» возбуждения.
Эти уточнения одночастичной функции Грина могут про-
проявиться в сдвиге одночастичных возбуждений и в изменений
структуры основного состояния. Их влияние на коллективные
возбуждения и на поведение системы в поле, как правило, не

IV.1. ОБОСНОВАНИЕ И УТОЧНЕНИЕ МОДЕЛИ ОБОЛОЧЕК 283
существенно, поскольку эти явления определяются большим
числом уровней, а уточнение из-за связи с возбуждениями, если
сказывается, то только на одном из них.
Случаи одиочастичных уровней, испорченных «опасными» воз-
возбуждениями, как правило, хорошо известны, и в каждом случае
можно сделать уточнение как одночастичных, так и коллективных
состояний по указанному выше способу.
В следующем разделе мы рассмотрим вопрос об учете связи
с коллективными уровнями более подробно.
В8аимсдсйотвие одночаотичных возбуждений
о коллективными
Блок g, который мы ввели для учета близких («опасных»)
уровней
совпадает с той совокупностью графиков, которая определяет
вычет в полюсе Г, соответствующий переходу в коллективное
состояние (волнистая линия)
Этот блок определяет интенсивность переходов в коллективное
состояние.
Как мы видели, блок g удовлетворяет однородному уравнению
g = T°Ag
и нормирован следующим образом:
Итак, мы получаем возможность выразить блок взаимодей-
взаимодействия «предварительных» квазичастиц с коллективными возбужде-
возбуждениями через универсальные константы, входящие в Г40. После
подстановки в равенство (8), имеем
где тонкие линии означают функции Грина «предварительных»
квазичастиц. Таким образом, получаем уравнение для определе-
определения точной функции Грина с учетом «опасного» уровня. Полюса

284 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ. ФИЗИКЕ
этой функции дают уточненные значения энергии уровней и соот-
соответствуют «окончательным» квазичастицам.
Часто g заменяют феноменологической константой, своей для
каждого ядра, которая определяется из опыта. ТКФС позволяет
рассчитать g через универсальные константы теории. Вопрос
о связи одночастичных и коллективных степеней свободы в маги-
магических ядрах, где энгармонизм мал, рассмотрен подробно в IV.6.
Особого внимания требует случай, когда имеется много кол-
коллективных уровней, прилегающих к основному состоянию. На-
Например, если в системе есть 2+ уровень с малой энергией, то
поблизости находятся также и возбуждения с двумя и более
фононами. Из-за сильного ангармонизма этих колебаний в задачу
вовлечено много степеней свободы. Дальше других в решении
этой проблемы продвинулись Беляев и Зелевинский [94].
Аналогичная задача возникает при учете взаимодействия ме-
между ротационными состояниями деформированных ядер. Коли-
Количественное рассмотрение этих явлений методами ТКФС — одна
из предстоящих задач.

IV.2. ПИОННЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЯДЕРНОМ ВЕЩЕСТВЕ
В этом разделе анализируется возможность применения методов за-
задачи многих тел для изучения возбуждений с пионными квантовыми чис-
числами (пионные степени свободы). Детально исследуются все процессы, су-
существенные для вычисления поляризационного оператора пнонов. Получено
выражение для поляризационного оператора с учетом нуклонных кор-
корреляций, N*-pe3OH3Hca и S-рассеяния.
Уравнение для частоты пиоиного возбуждения определяется через
полюса пионного пропагатора. Тождественно совпадающее выражение по-
получается через полюс амплитуды рассеяния Г, если во взаимодействие У
добавить слагаемое, отвечающее однопионному обмену. Для этого следует
в (II.5.11) заменить константу g' на g't:
а _а J
s' s "•" def (Ф - A + k* -f П' (k, со))'
где 2g' = g~ = gnn — gnp; П' = П — Tip — поляризационный оператор
за вычетом полюсного члена.
Применение методов ТКФС
В 1.2 мы видели, как определяется спектр пионов в газовом
приближении. Здесь эта задача рассматривается в более реалисти-
реалистической постановке с учетом всех существенных возбуждений
среды. Энергия пиона со как функция импульса k в однородном
ядерном веществе записывается в виде
©а = 1 + k2 + П (k, ю). A)
Величина П (k, со) учитывает поляризацию среды. (В этой главе
приняты единицы т„ = с = й = 1.)
В случае электромагнитного поля аналогичная величина не-
непосредственно связана с диэлектрической проницаемостью, по-
поскольку в этом случае
«2 *2
Эта аналогия часто используется для того, чтобы получить
в случае пионов формулу, напоминающую формулу Лорентца—
Лоренца [95]. При этом приходится предполагать, что ампли-
амплитуда виртуального яН-рассеяния (т. е. вие массовой поверхности)
б-образна и не отличается от реальной амплитуды. Эти предполо-
предположения заведомо не выполняются в ядерном веществе. Между тем,
как мы увидим, существует последовательный метод нахождения
поляризационного оператора, свободный от этих ограничений.
Разумеется,точное вычисление поляризационного оператора в среде
сильно взаимодействующих частиц — задача неразрешимая.
Однако легко выделить медленно изменяющиеся величины, кото-
которые можно считать константами и определять из опыта, выражая

286 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
через них другие величины, существенно изменяющиеся в интере-
интересующей нас области.
Этот метод основан на том, что все виртуальные процессы,
определяющие П (k, со), можно разделить на 2 класса: происходя-
происходящие на расстояниях, меньших или порядка 1/otn, и на расстоя-
расстояниях порядка 1 в пионных единицах. Процессы первого типа
в среде с плотностью малой по сравнению с /n?i ~ 300 происходят
так же, как в пустоте, тогда как процессы второго типа суще»
ственно искажаются средой. Так, например, локальная вершина
взаимодействия пиона с нуклоном, как можно убедиться, оцени-
оценивая входящие в нее графики, определяется малыми расстояниями
г0 ~ 1/тр, Мтп и, следовательно, константа яЫ-взаимодействия
в среде с ядерной плотностью мало отличается от константы взаи-
взаимодействия в пустоте.
Сделаем несколько напоминаний о графическом методе расчета.
Графики или диаграммы представляют собой прежде всего
удобный способ иллюстрации происходящих процессов. Им можно
придать смысл количественных соотношений, считая, что каждый
график описывает определенную амплитуду перехода. Тогда,
согласно принципу суперпозиции, полная амплитуда перехода
есть сумма всех возможных физически различных амплитуд и,
кроме того, любая амплитуда может быть получена как сумма по
всем промежуточным состояниям произведений амплитуд пере-
перехода из начального состояния в промежуточное и. из промежуточ-
промежуточного в конечное, проинтегрированная по всем промежуточным
моментам времени. Если вводить амплитуды, не зависящие от
времени, то этому утверждению соответствует известная квантово-
механическая формула:
л _ V BolCii
01 ~ 2
Любой самый сложный процесс составляется из последователь-
последовательного использования нескольких простых амплитуд, которые
можно раз и навсегда получить, сравнивая соответствующий
элемент графика с теорией возмущений. Таким образом, графиче-
графический метод в той форме, в какой мы будем им пользоваться, пред-
представляет простое использование формул обычной квантовой ме-
механики. Так, например, полюсная часть амплитуды рассеяния впе-
вперед я+-мезона на покоящемся нейтроне может быть записана в виде
в промежуточном состоянии имеется протон с импульсом k. Со-
Согласно B) эта амплитуда равна
At- п - 'Г1а
р

IV.2. ПЙОННЫЁ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ Ё ЯДЁ*>НОМ ВЕЩЕСТВЕ 287
где Г — амплитуда поглощения пиона нуклоном, со — энергия
пиона, Е (k) — энергия нуклона. При полюсном рассеянии п~-
мезона на нейтроне возможен только график
V
который соответствует тому, что сначала испускается конечный
мезон, а затем поглощается начальный. Амплитуда в этом случае
равна
Щ2Г2
А Щ=
р Lco 4- /tin — Bш + Е (?)) — w + mN — E (k) "
Диаграммы, определяющие поляризационный оператзр
Перейдем к рассмотрению метода выделения существенных
диаграмм и к вычислению поляризационного оператора.
Добавка к квадрату энергии пиона, вызванная средой, в газо-
газовом приближении выражается через амплитуду рассеяния на
угол нуль. Поскольку поляризационный оператор и представляет
эту добавку, то в газовом приближении имеем
П (k, со) = рА (k, со). C)
Нормировка амплитуды А определяется тем, что в борновском при-
приближении А переходит в интеграл по объему от энергии возмуще-
возмущения, вызванного одним нуклоном. Для того чтобы освободиться
от газового приближения, следует ввести вместо полной плотности
нуклонов функцию распределения Ферми п (р) для нейтронов
и протонов и учесть при вычислении А принцип Паули и взаимо-
взаимодействие между нуклонами в промежуточных состояниях. В ре-,
зультате сама амплитуда А окажется зависящей от распределе-
распределения п (р).
Прежде чем приступить к вычислению П (k, со), выясним,
какие процессы определяют амплитуду nN-рассеяния в пустоте.
Как известно, nN-рассеяние при энергиях пионов со ~ 1 прибли-
приближенно описывается следующими процессами:
D)
Первый из графиков соответствует одному нуклону в промежуточ-
промежуточном состоянии («полюсное» слагаемое рассеяния). Вторая диа-
диаграмма соответствует переходу в Ыз3-резонанс (резонансная
часть рассеяния). Как мы увидим, оба эти слагаемые дают вклад
в Р-рассеяние. Последнее из слагаемых D) отвечает S-рассеянию.

•Щ tv. применение теории в яДёрной физике
Наряду с вкладом от далеких резонансов по s-каналу, S- рас-
рассеяние содержит, в частности, слагаемое; отвечающее обмену
^-резонансом в «-канале. Поскольку это слагаемое обуслов-
обусловлено промежуточными состояниями, имеющими большие 4-им-
пульсы, то его можно рассматривать как локальное и считать не
зависящим от импульса пиона. В этом случае S-рассеяние можно
изобразить точкой. По тем же причинам изображены точками
и вершины NnN и NjiN*, которые, как нетрудно убедиться, со-
содержат 4-импульсы >тпс в промежуточных состояниях. Однако
вклад в Р-рассеяние не исчерпывается этими процессами н, кроме
того, рассеяние существенно изменяется при уходе с массовой
поверхности. Ниже дополнительный вклад в амплитуду рассея-
рассеяния от этих величин будет определен из экспериментальных дан-
данных по nN-рассеянию с использованием низкоэнергетических
теорем алгебры токов, позволяющих определить изменения ампли-
амплитуды при уходе с массовой поверхности.
Вершина NjiN записывается в виде (см., например, [96])
Г(ШЭД=/?уЛ5таЧЧ<ра, E)
где ? — волновая функция нуклона, 7v — матрица Дирака,
ха — матрица изотопического спина нуклона, фа — компонента
пионного поля. Поля л+-, я~-, я°-мезонов связаны с <ра соотноше-
соотношением
ч*-3^. ф°-ч* F)
Константа f = glim, где g — безразмерная константа взаимо-
взаимодействия; ?2/4я я* 14,6, в пионных единицах /nN = 6,7; f an 1,0.
Для нерелятивистских нуклонов E) упрощается:
f&, G)
аа — спиновая матрица нуклона.
Как следует из G), вершина пропорциональна импульсу пиона
и первое слагаемое D) описывает Р-рассеяние. Поскольку спин
N*-H3o6apbi равен 3/2 (резонанс N33 A232)), второе слагаемое
также соответствует Р-рассеянию и его вершина тоже пропор-
пропорциональна волновому вектору пиона; коэффициент пропорциональ-
пропорциональности может быть найден достаточно точно из сечения рассеяния
пионов с энергией, близкой к резонансу.
Соответственно 3-м слагаемым D), определяющим амплитуду
nN-pacceflHHfl, поляризационный оператор при 4-импульсах пиона
ю ~ 1, k ~ 1 определяется такими же механизмами jiN-рассея-
ния в среде.
Итак, оператор П изображается суммой трех графиков
(8)

IV.2. ПИОННЫЁ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЯДЕРНОМ ВЕЩЕСТВЕ 289
Линия со стрелкой, направленной налево, изображает дырку,
а направо — частицу. Заштрихованными треугольниками изобра-
изображены вершины, учитывающие NN- и ЫЫ*-корреляции в ядерном
веществе. Выражения для этих вершин, связывающие их с кон-
константами NN- и ЫЫ*-взаимодействий, даются ниже. Первое сла-
слагаемое, обозначенное П^, соответствует рождению нуклонной
дырки в ферми-заполнении и изобары Щз («резонансное слагае-
слагаемое»). «Полюсной» член ПР соответствует возбуждению в среде
типа частица—дырка; третье слагаемое учитывает S-рассеяние.
Все остальные диаграммы, не имея частей, соединенных частицей
и дыркой или дыркой и изобарой, определяются большими 4-
импульсами промежуточных состояний (~/nN) и либо вносят
малый вклад, либо мало отличаются от соответствующих вакуум-
вакуумных графиков, которые уже учтены в наблюдаемой массе пиона,
либо, наконец, содержатся в эффективной массе т* нуклона,
которая использована ниже (т* я* 0,9т).
Иными словами, такие графики характеризуются простран-
пространственными размерами ~l/mN и мало искажаются в нуклонной
среде, где расстояние между частицами порядка 1/тя. Эти гра-
графики слабо зависят от 4-импульсов входных концов, поскольку
нас интересуют 4-импульсы ~тп. Поэтому их можно заменить
константами, которые должны быть взяты из опыта.
Таким образом, использование методов задачи многих тел
позволяет выделить и рассчитать диаграммы, сильно изменяющиеся
в интересующей нас области переменных, а остальные диаграммы
заменить константами, которые берутся из опыта.
Резонансная часть поляризационного оператора
Изотопическая структура вершины NnN* несколько сложней,
чем в случае ЫяЫ-взаимодействия. Рассмотрим сначала ампли-
амплитуду резонансного я+п-рассеяния. Прежде всего, второе сла-
слагаемое в D) нужно записать подробно, поскольку оно состоит
из двух членов
Обозначим матричный элемент вершины через У a k.
Первое слагаемое соответствует поправке к энергии второго
порядка и равно квадрату вершины, деленному на разность энер-
энергий начального и промежуточного состояний:
(A%+n)i = а _ Ш/? (9)
10 А Б. Мигдал

290 iv. применение теории в ядерной физике
Здесь учтено затухание резонанса и отброшена кинетическая энер-
энергия ]М*-частицы в промежуточном состоянии:
(oR^mn* — тп + k%/2mn* **« 2,4. A0)
Знаменатель второго графического слагаемого равен
со - iyo&
В вершинах второго графика, как нетрудно убедиться из законов
сложения изотопического момента, возникает множитель, рав-
равный ]/ 3. В результате
^)- О1)
Заметим, что второе слагаемое обычно опускается, поскольку
при to « &>я оно составляет ~1 % от первого слагаемого. Однако,
вдали от резонанса, когда ю <^ а>%, его необходимо учитывать.
«Оптическая теорема» (условие унитарности) устанавливает
связь между мнимой частью амплитуды рассеяния на угол нуль
и соответствующим проинтегрированным по углам сечением.
Из этого соотношения следует, что a (k) = 4пу0 (к). Функция
a (k) выбирается так, чтобы выражение A1) описывало наблюдае-
наблюдаемое резонансное рассеяние. Обычно используют эмпирическое
выражение (параметры взяты из [97]):
<ь\ л 0,08 _ 1,01
Зависимость от /г2 в этом выражении не соответствует тому, что
получалось бы теоретически из формфактора g* (k2) для вер-
вершины NnN*. Теоретически разумная оценка зависимости при
малых k2 имеет вид
где величина Л2~ A—;—2) /п2^. Поэтому зависимость от k2 в эмпи-
эмпирической формуле A2) следует рассматривать как способ учета
дополнительного Р-рассеяния. Для того чтобы отделить Я-рассея-
ние, обусловленное 1Ч*-резонансом, мы в дальнейшем используем
эмпирическое значение a (k2 = ft]?) « 0,5, пренебрегая слабой
зависимостью формфактора от №.
Нас будут интересовать значения ю < wR, k <, 1, при которых
в выражении A1) можно опустить затухание.
В результате резонансная часть поляризационного оператора
я+-мезона в нейтронной среде примет вид
ття+n 4рпа&2и# A — со/2(о«) ,1О.
П« 4-со2 • A3)
Поляризационный оператор для я"-мезона может быть найден
из Пя+П , если использовать требование перекрестной симметрии.

IV.2. ПИОННЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЯДЕРНОМ ВЕЩЕСТВЕ 291
Перекрестная симметрия означает, что любая амплитуда перехода
(и, в частности, поляризационный оператор) не должна изме-
изменяться, если перейти от частицы к античастице и одновременно
изменить знак энергии и импульса (поглощение частицы с им-
импульсом k эквивалентно рождению античастипы с импульсом —k).
Используя, кроме того, изотопическую инвариантность, полу-
получаем следующие соотношения:
Пя+П (со, k) = Пя~п (—со, —k) = IT"" (-co, k),
Пя+П (со, k) = Пя"р (со, k). (И)
Здесь использован тот факт, что поляризационный оператор
является функцией k2. В среде с произвольным отношением ZIN
в согласии с A3) и A4) можно получить
1. A5)
Мы ввели в A5) множитель TR, учитывающий изменение вер-
вершины NnN*, благодаря ММ*-взаимодействию в ядерном веществе.
Фактор Г^ может быть приближенно записан в виде
A6)
^ 1 + pv
где v—константа, характеризующая ММ*-взаимодействия, а р =
— Рп + РР- Мы получим A6) и поясним смысл величины v после
расчета влияния NN-взаимодействия на полюсную часть поля-
поляризационного оператора. К сожалению, теоретически трудно
не только оценить множитель TR, но даже установить, больше
он или меньше единицы (т. е. установить знаку). Если предпо-
предположить, что взаимодействие NN* того же порядка, что в NN, то
при р = Ро = 0,5 будет TR ~ 0,8ч-0,9. Если же NN* не содержит
отталкивания на малых расстояниях, а определяется однопион-
ным обменом, то TR « 1,1ч-1,2. В пользу этого предположения
говорит большое сечение реакции pn; nN* при больших переда-
передаваемых импульсах, при которых отталкивание NN* на малых
расстояниях должно было бы сказаться [98].
Заметим, что использованное нами выражение для амплитуды
резонансного рассеяния при малых энергиях пионов оказывается
меньше, чем полная амплитуда .Р-рассеяния. Это означает, что
к резонансной части поляризационного оператора следует доба-
добавить вклад от далеких Р-резонансов. Этот вклад можно учесть,
изображая амплитуду Р-рассеяния при малых энергиях пионов
в виде
Arr' — Ан~\~ Ar'>
10*

292 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Для определения ARR- можно использовать выражение для
амплитуды Р-рассеяния на угол нуль, найденное в [99] из де-
детального анализа экспериментов по яЫ-рассеянию:
где
As = ±(An+n +ЛЛ"П), Аа^-^-(Ап+п -Ап~п) A7)
— изотопически симметричная и антисимметричная амплитуды.
Имеем при со < соЛ
URR. « Щ - 0,6р&2.
Таким образом, поправка от далеких резонансов, пренебре-
пренебрежимо малая при со я^ wR, оказывается весьма существенной
при малых и < 1.
Учет 5-рассвяния. Лекальная часть
леляриаациеннего еяератсра
Поскольку амплитуда S-рассеяния б-образна, она не должна
заметно изменяться в среде и, следовательно, можно использо-
использовать формулу
П?с = (рп + Рр) А* + (Рп - рр) Аа, П?ос = (Рп + рр) Л8. A8)
Здесь As'a — амплитуда рассеяния в пустоте в энергетической
нормировке. На массовой поверхности (со2 = 1 + k2) As< a должна
переходить в найденную на опыте амплитуду рассеяния. Най-
Найдем As' a (со, k) вне массовой поверхности. Из перекрестной сим-
симметрии следует, что разность амплитуд п+п- и лГп-рассеяний есть
нечетная функция со:
Аа =
Как следует из соображений алгебры токов, разложение идет по
степеням mJmN.
Величина Ах, найденная из рассеяния п* и п~ на протоне
при k <^ mN, слабо зависит от k и равна
Л, =• -2я ^±1 (Ff* {тя) - F™ (тя)) = _2я.0,21 = -1,3.
Здесь Fs+n Ия) — амплитуда в обычной нормировке.
Заметим, что теоретическое значение Аи найденное из сообра-
соображений алгебры токов [100], хорошо согласуется с этим:

IV.2. ПИОННЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЯДЕРНОМ ВЕЩЕСТВЕ 293
Таким образом, имеем
П| (Рп - рр) Л" = 1,4(рп - рр) а».
Для того чтобы определить Л|—изотопически четную часть
амплитуды S-рассеяния, необходимо воспользоваться резуль-
результатами, полученными в алгебре токов для амплитуды яМ-рассея-
ния вне массовой поверхности. Однако более удобно обсуждать
амплитуду вообще, не выделяя S- и Р-волновые части.
Обозначим входные и выходные 4-импульсы пиона и нуклона
через q, q' и р, р' и введем обычные обозначения:
s= (p + #= (p' + q'f, t=(q-q'J, u={p-q'f.
Пусть нуклон находится на массовой поверхности р2= р'2 = т2.
Амплитуда рассеяния может рассматриваться как функция пере-
переменных
где со — энергия мезона в лабораторной системе.
Согласно «условию самосогласованности» [101 ] амплитуда
рассеяния за вычетом полюсной части должна обращаться в нуль
при q2 = 1, q' -*¦ 0, т. е.
А = (А — Ан) = 0 при t = 1, v = 0, v = 1/2. A9)
Полюсное слагаемое Ар а легко вычисляется:
/ \ ~ Zm '(vs-v vs+vt
fp pb
где
qq' e>2 — ft.ft'
2т ~ 2т
Так как из А вычтено единственное быстро изменяющееся (по-
(полюсное) слагаемое, то можно ограничиться в А линейными по t
и v членами.
В [99] амплитуда А при v = 1 изображается в виде (введен-
(введенная в [99] величина С отличается знаком от А)
As = o^ + (°oi + Onv2) t + (a% + a^v2) v2 + a (v — 1),
V Л = Oqo ~r ^«01 T" &\\У ) I T~ \ Ю T" ^20v / v •

294 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Коэффициенты атп приближенно равны:
Ъ
"оо
1,5
—1,5
«01
-1.2
0.1
en
—0,15
0
°10
-1.1
0.2
«20
—0,2
0
Значение ай> выбрано так, чтобы получалось правильное значе-
значение Аа на пороге. Выражение для As позволяет выделить вклад
М*-резонанса. Если предположить, что зависимость от v2 » со2
определяется М*-резонансом, то А можно изобразить в виде
(при v = 1)
а1ОаУ> B1)
Действительно, вычисление графика, отвечающего Ы*-резонансу
[102], приводит к выражению вида
"Г
В соответствии с этим отношение коэффициентов а^^Ого с хорошей
точностью равно 1/со^.
Вклад резонанса в слагаемое ~* определяется из значения а1х
и экспериментального значеиия длины Р-рассеяния на пороге а$:
= -2,6.
После добавления полюсного слагаемого в Р-рассеянии, рав-
равного — 2/V/n « 0,3, эта цифра соответствует эксперименталь-
экспериментальному значению tip = 0,21.
Находим
а?' = -0,3; < = -0,8.
Если бы рассеяние целиком определялось Ы*-резонансом, зна-
значение а^ было бы на 40-Г-50 % больше, в согласии с тщательным
анализом, проведенным в работе [103]. Сравнивая значение а&
с величиной а, введенной в амплитуду Ы*-резонанса (см. A5)),
находим
вместо значения a (k = kR) = 0,5, приведенного выше. Причина
расхождения состоит в том, что простое резонансное выражение,
использованное нами, благодаря большой ширине резонанса
портится задолго до приближения к точке Ц = k^.

1V.2. ПЙОННЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ Ё ЯДЕРНОМ ВЕЩЕСТВЕ 295
Для нахождения константы а воспользуемся условием само-
самосогласованности A9):
a = 2(aoo + aii)^°.8'
где
Выражение для S-рассеяния получится из B1) заменой t на —2?2.
Для простоты приведем только значение А% при со = 0:
^11@=0 = 0,7+ 1,4?2.
Получим выражение для входящей в поляризационный оператор
амплитуды рассеяния на угол нуль (t = 0) без разбиения на
S- и А-амплитуды. Из B1) получаем
As (t = 0) = — (ago + 2aoi) — 2 (aoo + o60 & +
Мы использовали тот факт, что амплитуда на пороге мала и де-
делается еще меньше после вычитания полюсного слагаемого
(=/»/т = 0,15), т. е.
Подставляя численные значения коэффициентов, имеем
As (t = 0) = 0,7 - 0,8ft2 + [0,8 - ,J;2>2J со2. B2а)
Это выражение в интересующей нас области мало отличается от
значения As (t = 0), полученного без учета дополнительного
вклада в Р-рассеяние [12].
Для Аа (t = 0) получаем
со-1Ла^ = 0) = -1>5 + 0,2со2. B26)
Полюоная чаоть поляризационного оператора
Полюсная часть поляризационного оператора без учета кор-
корреляции дается графиками
ц[Л, Ш)= -5^<^К1 + {?***> B3)
Рассмотрим сначала нейтронную среду. Для Пр+П получаем
а*

296 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Второй из графиков B3) по закону сохранения заряда возможен
только, если в среде есть протоны (необходимо образовать про-
протонную дырку).
Пользуясь B) и G), легко находим
Р ~"f )a>E?(p + k) + E"(p)!W B4)
Мы ограничились случаем нерелятивистских нуклонов.
Формула B4) приобретает строгий смысл, если понимать под
промежуточным состоянием не состояние свободных нуклона
и дырки, а состояние с квазичастицей и квазидыркой. Тем самым
мы учтем все графики, исправляющие движение нуклона в среде,
например графки вида
Графики
где волнистая линия изображает не исправленный средой пион,
уже учтены в наблюдаемой массе нуклона.
Аналогично этому графики типа
где линии соответствуют нуклону и антинуклону (а не частице
и дырке) учтены в наблюдаемой массе пиона. Переход к квазича-
квазичастицам усложняет зависимость Е (р), но в облатсях импульсов,
не очень далеких от границы Ферми, можно характеризовать
нуклонные возбуждения двумя числами: энергией Ферми и эффек-
эффективной массой нуклона. В среде с N Ф Z эти величины различны
у нейтрона и протона. В среде с N « Z эти величины достаточно
хорошо известны из ядерных данных. Эффективная масса нук-
лонной квазичастицы т* « 0,9 т, энергия Ферми определяется
плотностью ядерного вещества и равна
Для грубой оценки можно положить, что и в нейтронной среде
т* « т, а разность химических потенциалов нейтронов и прото-
протонов при Z <^ N (отвлекаясь пока от кулоновского поля) можно

IV.2. ПИОННЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЯДЕРНОМ ВЕЩЕСТВЕ 297
определить из расчетов ядерного вещества [104]. Формулу B4)
можно записать в виде
, со),
где
при | а|> b имеем
а 4- Ь
а — а — k2/2m*, b = kuF\
т*рр « —
B5)
B6)
B7)
Учет нукленных корреляций
Учет взаимодействия между нуклонами приводит к тому, что
следует одну из вершин каждого из графиков B3) заменить точ-
точной вершиной. Действительно, чтобы учесть NN-взаимодействие,
следует просуммировать графики
B8)
Здесь заштрихованный треугольник означает точную вершину,
не содержащую частей, соединенных одной пион ной линией.
Уравнение для вершины 9~ в ядерном веществе подробно иссле-
исследовалось в III. 1 как для случая системы конечного размера (ядро),
так и для случая неограниченного ядерного вещества. Ограни-
Ограничимся здесь лишь кратким пояснением способа нахождения вер-
вершины. Для 0~х можно записать символическое уравнение
=^> +
B9)
Здесь 9~й — «затравочная» вершина, #"х — локальное взаимодей-
взаимодействие квазичастиц в ядерном веществе, А — амплитуда перехода
квазичастицы и квазидырки (произведение функции Грина ква-
квазичастицы и квазидырки). Амплитуда А совпадает с выражением
B4), деленным на квадрат затравочной вершины (т. е. на вели-
величину 2f2k2). Таким образом, в нашем случае А на основании B5)
сводится к величине
A = —^-<Ih(k,d). C0)

298 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Локальное взаимодействие # записывается через безразмерные
константы, которые должны быть найдены из опыта или вычис-
вычислены из теории ядерной материи. Эти константы вводятся сле-
следующим способом:
(r1-r,), C1)
pF=P0
Ti> тг — изотопические, а а1г щ — спиновые матрицы двух нукло-
нуклонов, р0 — импульс Ферми в ядре, р0 = 1,92. Здесь локальное
взаимодействие предполагалось б-образным. Единственной при-
причиной заметного отклонения от 6-образности этого взаимодействия
является вклад однопионного обмена. Но по определению поля-
поляризационного оператора графики, соответствующие однопион-
ному обмену по частично-дырочному каналу, не входят во взаимо-
взаимодействие, изображенное заштрихованным прямоугольником в B8).
При б-образном взаимодействии уравнение B9) сводится
к алгебраическому. Так как в нашем случае затравочная вершина,
согласно G), пропорциональна спиновой и изоспиновой матрицам
нуклона, то в уравнение B9) входит только спин-изоспиновое
слагаемое C1). Используя B9), C0) и C1), нетрудно получить
<Ti = ~ • C2)
Ро
Здесь g~ = g"n — g"P = 2g' « 2. Это численное значение найдено
из анализа данных по магнитным моментам и вероятностям М\-
переходов в ядрах—соседях 208РЬ [41], а также из расчетов спек-
спектров состояний аномальной четности [56, 57]. Оно отличается
от использованного в этих работах из-за несколько иной норми-
нормировки взаимодействия (см. IV.3).
В среде с Z«Af соответствующая константа неизвестна „и
может быть оценена только из теории ядерного вещества. Однако
в случае нейтронной звезды будут существенны значения со и k,
при которыхФх < 1 и влияние корреляций не очень существенно.
В качестве разумной оценки можно взять значение g~ в пустоте,
которое не очень сильно отличается от значения в ядерном ве-
веществе с N = Z.
Выражение, аналогичное C2), может быть получено и для
вершины TR [105], введенной в A6). Для этого достаточно заме-
заменить в B9) величину А на Л(л)
Предполагая, что сол ^ kvF, ©, получим
AlR) =—

IV.2. ПИОННЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЯДЕРНОМ ВЕЩЕСТВЕ 299
Считая NN*-B3aHMOfleiicTBHe б-образным и обозначая коэффи-
коэффициент при б (гх — г2) через v, получим
г 1
1 + р —
что соответствует выражению A6) с v = и/соЛ. Отталкиванию
(и > 0) соответствует положительный знак v (ГЛ < 1), тогда
как притяжение (и < 0) дает v < 0 и ГЛ > 1. Как упоминалось
(стр. 291), и как свидетельствуют данные поя-мезоатомам (стр. 414),
можно ожидать, что TR лежит в интервале TR ~ 0,7-М ,2.
Записывая B8) в аналитической форме и подставляя C2),
получим *)
W = -2/-*- Ob ^^ • C3)
" 1+?--^Ф1(ш, к)
Ро
Выражение для поляризационного оператора я~-мезона можно
получить аналогичным способом, учитывая, что в этом случае
присутствует только 2-й из графиков B3). Однако вместо этого
достаточно использовать перекрестную симметрию и получить Щг'
непосредственно из C3):
Щг> (со, к) .= Щ>н (—со, — к) = W (—со, к). C4)
Найдем теперь поляризационный оператор я°-мезона в нейтрон-
нейтронной среде. В этом случае участвуют оба графика B3). Без учета
NN-взаимодейств и я имеем
л"
п
Поэтому без учета NN-корреляций вместо B5) получаем
где
Ф (со, k) = Ф1 (со, k) + Ф1 (—со, k). C5)
Учет нуклонных корреляций, как нетрудно получить из выкла-
выкладок, аналогичных приведенным в случае я+-мезона, дает
Щ?> = -/»#-^1 ф <¦"'*> . C6)
1 + gnn —— Ф (ю, k)
Ро
*) Здесь и ниже Пя+, Пя~, Пя° для краткости обозначено П(+), П(-», П(о»
соответствеиио.

300 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Рассмотрим случай среды с N = Z. В этом случае в поляри-
поляризационном операторе л+- и л"-мезона, так же, как и для зт°-мезона,
будут присутствовать оба графика B3). Так как среда изотопи-
чески инвариантна, то
IT*"' (ш, k) = П<-' (со, k) = П«» (со, *).
Выражение для П<°) (со, k) будет отличаться множителем 2 от
выражения C6) и, кроме того, в знаменатель войдет вместо gnn
та же комбинация, что и в случае я± в нейтронной среде, а именно,
п~ = апп gnv.
Итак, при N = Z имеем
П<±.о> = _2/V^- Ф <»' *> . C7)
1 + g-ф (<D, Д) Ц-
Мы положили /?" = р% == рр- Величина Ф (со, k) дается форму-
формулами C5) и B6). Выражение для полюсной части поляризацион-
поляризационного оператора в случае произвольного отношения NIZ дается
в [12].
По поводу приведенных выше выражений для ПР делалось
возражение [106], что 2-й из графиков B3) не должен учитываться,
поскольку он уже учтен в ПЛ. В [12] показано, что использованный
нами резонансный вид ПЛ получается только после исключения
второго из графиков B3) из резонансного рассеяния. Этот гра-
график практически не входит в наблюдаемое рассеяние вблизи
резонанса и должен учитываться именно в полюсной части.
Ограничимся здесь замечанием, что без второго из графиков B3)
выражение для Пя противоречит перекрестной симметрии.
Однопнонный обмон в амплптудо
взаимодействия квазнчаотнц
Уравнение A) для спектра пионных возбуждений может быть
также найдено из рассмотрения полюсов амплитуды Г нуклон-
нуклонного рассеяния в среде (корреляционная функция).
В символическом виде имеем
Г = Т + ТАТ. C8)
Здесь У — сумма всех графиков, не содержащих частей, соеди-
соединенных одной парой, А —¦ пропагатор частицы — дырки.
Идея такого написания состоит в том, что в блок^* выделены
все графики, нечувствительные к величине импульса k. Вели-
Величина &"', определяемая через графики, содержащие более одной
пары, характеризуется большими импульсами промежуточных
состояний и существенно изменяется при k ~ /nN. Исключение
составляет только график однопионного обмена, существенно
изменяющийся на импульсах k ~ тл.

IV.2. ПЙОННЫЁ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЯДЕРНОМ ВЕЩЕСТВЕ 301
Для случая очень малых импульсов этот график не дает
вклада, поскольку вершина яЫ-взаимодействия пропорцио-
пропорциональна k. Однако для импульсов k порядка тл, которые нас инте-
интересуют, следует выделить график однопионного обмена и сводить
к константам только оставшуюся, более слабо зависящую от k
часть #".
Заметим, что аналогичное выделение сильно зависящей от k
части взаимодействия делается при учете кулоновской экрани-
экранировки в плазме.
Взаимодействие #" может быть записано в виде C1) с заменой
константы g' на функцию g't (k, со), учитывающую однопионный
обмен в рассматриваемом канале:
. _ , , / dp_\ (Ч? ,„оч
gt ~ g "' \d&F j0co2-(l+?2 + IT (k, со))" ^
По определению величина #", а следовательно, и g't, не содержит
графиков частицы и дырки. Поэтому П' = П — ПР (см. следу-
следующий раздел).
Поскольку взаимодействие ЗГ в координатном представлении
б-образно по всем входящим в эти величины разностям коорди-
координат, Г в бесконечной однородной системе зависит только от раз-
разности входных и выходных координат. При переходе к импульс-
импульсному представлению уравнение C8) превращается в алгебраиче-
алгебраическое. Используя для А при N = Z выражение аналогичное C0)
и подставляя в C8) взаимодействие C9), получаем
Г =
+ 2g't (k, со) Ф (k, со)"
Полюс этого выражения соответствует условию
1 + 2g't(k, со) Ф (k, (о) = 0. D1)
Величина g', введенная выше, равна g' = 42g~.
Соотношение D1) с учетом C9) тождественно совпадает с урав-
уравнением A) для частоты пионных возбуждений (после подстановки
в него C7)). Из формулы D1) следует, что для плотностей порядка
ядерной плотности р0 функция g't (k, 0) при k » 1 меняет знак
(g't = 0 при k = 0,8 для р = р0 и g' = 0,8).
Такое поведение g't (k, со), как мы увидим в IV.6, подтверж-
подтверждается экспериментальными данными.
В IV.5, IV.6 будет рассмотрено влияние однопионного обмена
на уравнение для эффективного поля, приводящее к усилению
вероятностей переходов, имеющих пионную симметрию. Поскольку
эффективное поле может быть выражено через величину Г, учет

302 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
однопионного обмена можно сделать так же, как и в рассмотрен-
рассмотренной задаче.
Однако удобнее, особенно для обобщения на случай конечной
системы, записывать амплитуду Г в другой форме. Будем соби-
собирать в блоки все графики, не содержащие пионной линии по ка-
каналу частица — дырка (канал с барионным зарядом, равным
нулю). Тогда амплитуда NN-рассеяния запишется в виде
D2)
где 1\ — амплитуда рассеяния, не содержащая пионного воз-
возбуждения в рассматриваемом канале, &~г—вершина, переводящая
частицу — дырку в пионное возбуждение и тоже не содержащая
пионного полюса, a D — пропагатор пиона в ядерном веществе.
Подобное выделение слагаемого, содержащего полюс, отвечающий
определенному возбуждению, часто используется в ТКФС для
изучения коллективных уровней.
Вершина д~х определяется соотношением C2). Аналогично
этому, уравнение для Тх отличается от уравнения для Г заменой
полного взаимодействия У на взаимодействие &~х, не содержащее
однопионного обмена в рассматриваемом канале.
Переходя в D2) к импульсному представлению, получаем
Г (k, со) = I\ (k, со) + I ^"i (*, со) |2 D (k, со). D3)
Для Тх и 9~х имеем
, со)'
Второе слагаемое имеет плюс при со->0, k — kf,. При со -»- 0
знаменатель D, как можно убедиться из C7), принимает вид
D = A — |§Л со2 - й2 (k) - i Im П, й2 (jfe) = 1 + № + П (k, 0).
Таким образом, полюс в D отвечает мнимым со, т. е. не соответ-
соответствует реальным колебаниям. В конечной системе соотношения
C2) и C8) представляют собой интегральные уравнения. Эти
уравнения для полей различной симметрии решались на ЭВМ
[57]. Поскольку наблюдаемые величины выражаются через ма-
матричные элементы вершин типа 9~х (когда отсутствует однопион-
ный обмен), то сравнение с опытом позволяет определить кон-
константы f, /', g, g', входящие в теорию.
В однородной бесконечной системе величины 1\ и 9Г1 зависят
только от разности входных и выходных координат. В конечной

IV.2. ПИОННЫЕ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ В ЯДЕРНОМ ВЕЩЕСТВЕ 303
системе это не так: А зависит от двух переменных А = А (г, г').
То же самое относится к величинам 1\ и &~х. Тем не менее для
интересующих нас волновых векторов k ~ pF соотношение D3)
сохраняет свой вид и в конечной системе. Действительно, при
расстояниях \г — г' |< г, что соответствует & > 1/./?, все ве-
величины делаются функциями только от г—г'. Однако Т^ и Г\
должны определяться не из соотношений D4) и D5), а из соответ-
соответствующих интегральных уравнений, записанных с учетом конеч-
конечности системы, как это и делается в ТКФС. Кроме того, конеч-
конечность системы вносит существенное изменение в вид D вблизи
полюса. А именно, если со меньше энергий первых частично-дыроч-
частично-дырочных возбуждений, то в П (k, со) отсутствует мнимая часть. Как
следует из дисперсионного уравнения для П (со), в области ма-
малого затухания дП/дсо2 < 0. Величину <Ш/дсо2 нельзя вычислять
из выражения B5). Это выражение отвечает большому затуханию,
связанному с рождением частицы—дырки, и дает неверный знак
(дП/дсо2)«,=о. Полюс в D определяется соотношением
A — дП/дсо2) со2 — S2 (k) = 0,
т. е. соответствует реальной ветви колебаний. Мы увидим, что
в ядре, даже если оно близко к конденсации, наинизшая частота
этой ветви, по-видимому, значительно выше одночастичных воз-
возбуждений.

IV.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ НУКЛОНАМИ В ЯДРЕ
Амплитуда рассеяния нуклонов в ядерном веществе отличается от ам-
амплитуды рассеяния свободных нуклонов прежде всего за счет уменьшения
области возможных импульсов рассеивающихся частиц, вызываемого прин-
принципом Паули. Это изменение амплитуды рассеяния существенно дажз при
слабом взаимодействии между нуклонами. По этой причине мнимая часть
амплитуды рассеяния в ядерном веществе стремится к нулю, когда энергии
сталкивающихся частиц приближаются к границе Ферми.
Другая причина изменения амплитуды рассеяния в ядерном веществе
по сравнению с амплитудой рассеяния свободных нуклонов состоит в том,
что появляется новый механизм взаимодействия — взаимодействие за
счет обмена нуклонными парами — нуклоном и нуклонной дыркой. Это
дополнительное взаимодействие можно разбить на две части — взаимодей-
взаимодействие локальное и взаимодействие на расстояниях, больших по сравнению
с г0. Это последнее взаимодействие возникало, как мы видели (II.5), при
выделении полюсных частей одночастичных функций Грина, тогда как
неполюсные части и графики с обменом более чем двумя линиями приво-
приводили к перенормировке локального взаимодействия между частицами.
Иначе говоря, перенормировка локального взаимодействия означает учет
многократных соударений, причем нет никаких теоретических оснований
считать их влияние малым. Как будет ниже показано, локальное взаимо-
взаимодействие в ядре очень существенно отличается от взаимодействи т свободных
нуклонов. В этой главе изучаются свойства вэличины Г (II.5, стр. 143),
которую по аналогии с бесконечной системой назовем амплитудой рассея-
рассеяния в ядре. При этом, так же как и в бэсконечной системэ, в уравнениэ длл
Г в качестве коэффициентов входят матричные элементы пергнормирован-
ного локального взаимодействия. Локальное взаимодействие мало отли-
отличается от взаимодействия в бесконечном ядерном веществе и характеризует-
характеризуется несколькими константами, одинаковыми для всех ядер и всех типов пе-
переходов. Для явлений, протекающих вблизи поверхности ядра, существенна
зависимость локального взаимодействия от координат. Дается простая ин-
интерполяционная формула, описывающая переход амплитуды локального
взаимодействия от значения внутри к значению вне ядра, которая удовлет-
удовлетворительно согласуется с экспериментом. При этом оказывается, что пере-
переход от внутреннего значения амплитуды рассеяния к значениям вне ядра
происходит в узком слое порядка г0. Поскольку функции фд,, по которым
берется матричный элемент от амплитуды рассеяния вблизи поверхности
ядра, йе очень сильно изменяются на ширине г0, результат мало зависит
от детального хода амплитуды рассеяния в переходном слое. Кроме того,
искажение Ч'-функций нуклонов за счет отражения от поверхности ядра
приводит к перемещению полюса амплитуды рассеяния. Поэтому амплитуда
рассеяния вне ядра (при г — R < R) заметно отличается от амплитуды
рассеяния свободных нуклонов.
Суммирование в уравнении для амплитуды рассеяния происходит по
всем возможным состояниям частицы и дырки, которыми обмениваются
рассеивающиеся частицы. Ниже показано, что уравнение для амплитуды
рассеяния можно привести к такому виду, чтобы суммирование происхо-
происходило только по состояниям той оболочки, в которой находятся рассеива-

IV.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ НУКЛОНАМИ В ЯДРЕ 305
ющиеся нуклоны (предположим для простоты, что рассеиваются нуклоны
одной оболочки). В качестве коэффициентов в этом новом уравнении стоят
матричные элементы не локального, а более сложного взаимодействия, ко-
которое выражается через локальное другим уравнением, где суммирование
происходит по всем оболочкам, кроме той, к которой принадлежат рассеи-
рассеивающиеся частицы.
Поскольку часто в ядерных расчетах суммирование производят только
по состояниям оболочки, к которой принадлежат рассеивающиеся частицы,
то в уравнение следует вставлять нелокальное взаимодействие. В этом
причина того, что приходилось вводить большое число не связанных между
собой коистаит: квадруполь-квадрупольного, дипольно-дипольиого, ок-
туполь-октупольного и других взаимодействий.
Все эти взаимодействия или, точнее, то, что им в действительности со-
соответствует, могут быть выражены через константы локального взаимодей-
взаимодействия и таким образом связаны с другими явлениями. Ниже приводится
уравнение для вычисления амплитуды взаимодействия через «остов»,
куда входят в качестве коэффициентов константы перенормированного
локального взаимодействия.
Для многих задач требуется знать локальное взаимодействие при боль-
больших передаваемых импульсах. Показано, что главный вклад в это взаимо-
взаимодействие определяется однопиоиным обменом. Локальное взаимодействие,
вызываемое однопионным обменом, добавляет к локальному взаимодей-
взаимодействию при q = 0 тензорные силы и изменяет также скалярные и спиновые
члены взаимодействия. Это изменение в основной части учтено эмпириче-
эмпирическим выбором констаит/, /', g, g'.
Из требования положительности энергий возбуждения получаются
ограничения, накладываемые иа константы взаимодействия (условия устой-
устойчивости ядерного вещества). Эти условия не выполняются для взаимодей-
взаимодействия свободных нуклонов. Это означает, что взаимодействие между нук-
нуклонами в ядре существенно изменяется.
Приводятся значения коистант локального ядерного взаимодействия,
найденные из сравнения теории с различными экспериментальными дан-
данными. Из этих значений, так же как и из условий устойчивости, видно,
что локальное взаимодействие в ядре существенно отличается от взаимодей-
взаимодействия свободных нуклонов — в некоторых случаях притяжение между ну-
нуклонами заменяется иа отталкивание.
Локально» взанмодойотвно между нуклонами
Поскольку локальное взаимодействие в ядре мало отличается
от локального взаимодействия в бесконечном ядерном веществе
той же плотности, удобно выяснить свойства взаимодействия
в импульсном представлении. Некоторые поправки возникнут
только на поверхности ядра, где плотность резко меняется.
В процессы, происходящие вблизи границы Ферми, входят
два разных локальных взаимодействия. Влияние внешнего поля
на систему (II 1.1), изменение свойств системы при добавлении

306 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
частиц (III.5), вероятности переходов (III.4) определяются ло-
локальным взаимодействием Гю, тогда как парная корреляция
определяется локальным взаимодействием Г?.
Рассмотрим более подробно величину а2Гю. Эта величина
зависит от входных импульсов рх и /?2 и от передаваемого им-
импульса q:
Рг Я.-7
В уравнение для эффективного поля в бесконечной системе вхо-
входит Гю с величиной q, равной 4-вектору внешнего поля. Поэтому
для достаточно однородных полей можно в Гю (но не в Г!) поло-
положить 9=0.
Иначе обстоит дело в конечной системе. Даже при однородном
внешнем поле К0 действующее поле V не будет однородно, а будет
существенно изменяться на расстояниях порядка R, поэтому
при малых частотах (со < е^ яг; 40 МэВ) можно опускать 4-ю
компоненту q — (со), но следует учитывать пространственную
часть q = (k). Когда klpF мало (~A-li>), достаточно учитывать
в Гю только слагаемые, содержащие первые степени k (спин-
орбитальное взаимодействие), и пренебрегать членами ~№.
Взаимодействие Гю при больших передаваемых импульсах k,
а также тензорные силы, рассматриваются в следующем разделе.
Опуская пока поправки (см. ниже), введем безразмерную ам-
амплитуду (II.5, стр. 151) при q — 0:
ф ^
Величины /, /', g, g' зависят от импульсов pi и р2- Вместо вели-
величин /, /', g, g' можно ввести величины /nn, /np, gnn, gftp, представ-
представляющие амплитуду взаимодействия двух одинаковых и соответ-
соответственно двух разных частиц, причем под /пр и gnv будем понимать
необменную часть взаимодействия нейтрона с протоном (по
каналу частица — дырка заряд не переносится).
Для получения Фпп следует заменить в Ф величину тхта на
(*l)«« Ыаа = (Tlz)aa (Ta2)aa = 1, а ДЛЯ получения ФПР ЗЭМе-
ним XjX2 на (тОаа (т2)рВ = (т1г)аа (т2г)рр — — 1. Таким образом,
находим
ИЛИ

IV.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ НУКЛОНАМИ В ЯДРЕ 307
В случае Р-распада, когда по каналу частица-дырка пере-
переносится заряд (см. IV.7), в уравнение для эффективного поля
входит обменная часть взаимодействия двух разных частиц.
Соответствующая амплитуда равна
ФеПхРсЬ = (/' + Я'ОЮ2) (Т1)ар (Т2)ра = 2 (/' + g'C4O2). C)
Константы /, /', g, g' вблизи поверхности ядра должны переходить
в значения, соответствующие амплитуде рассеяния вне ядра.
(Напомним, что Г<° содержит лестничные графики по каналу
двух частиц и переходит отнюдь не в потенциал, а в амплитуду
рассеяния (см. ниже)).
В уравнение для матрицы плотности или эффективного поля
входят матричные элементы &", взятые по функциям фх,с энергией
еь лежащей вблизи поверхности Ферми. Действие оператора
р2 — 2m*EF на функции ср^ представляет собой малую величину
(~А~'/'). Это позволяет в качестве первого приближения считать
в У квадраты импульсов р\ и р\ равными 2/71*8^-, тогда функция У
будет зависеть только от угла между импульсами рх и р2я может
быть разложена как функция этого угла в ряд по полиномам
Лежандра
=2 *•'
Сравнение теории с экспериментом (см. ниже) показывает, что
наиболее существенна нулевая гармоника разложения. Это озна-
означает, что локальное взаимодействие слабо зависит от скоростей
взаимодействующих частиц. Во избежание недоразумений заме-
заметим, что это разложение по Pt не имеет ничего общего с разложе-
разложением по полиномам Лежандра амплитуды рассеяния как функции
угла отклонения (в ST угол отклонения равен нулю). Замена р\
и р\ на 2/п*8/7 соответствует в координатном представлении 8-об-
разным силам. (Частично, конечность сил учитывается зависи-
зависимостью^* от угла между импульсами рх ир2-) Не составляет труда
учет конечности радиуса сил за счет введения констант, характе-
характеризующих зависимость У от р2 — 2m*eF.
Наибольшее влияние конечность радиуса сил должна оказы-
оказывать на явления, происходящие у поверхности ядра, где величина^*
и без того содержит поправки, связанные с переходом в ее зна-
значение вне ядра (см. ниже).
Приведем выражение для локального взаимодействия, соответ-
соответствующего линейной по передаваемому импульсу q = (k; со = 0)
поправке
4L ^L *L _ р2) х щ. E)
F F F
Величина й, которую мы будем считать не зависящей от им-
импульсов, имеет различные значения для взаимодействия одина-

308 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
ковых (чпп) и разных (ипр) частиц. Как мы увидим (IV.5), ве-
величина
и = -i- (ипп + и"Р)
в случае ядер с N = Z определяет спин-орбитальную добавку
к одночастичному гамильтониану
При N Ф Z спин-орбитальный потенциал зависит также и от
константы х' —- V2 (xnn — хпр). Ниже выражение для ^*s' будет
использовано для определения спин-орбитальных поправок к ма-
магнитному моменту (IV.5).
Локальное аааимедейстаие
при больших передаваемых импульсах
Существует много ядерных явлений, для анализа которых
нужно знать 8T{k) при больших передаваемых импульсах k == pF.
Такие передаваемые импульсы существенны в задачах рассеяния
при изучении пионной степени свободы в ядре, а также для рас-
расчета магнитных моментов и спектров неколлективных частично-
дырочных состояний.
Общее выражение для инвариантной амплитуды NN-рассея-
ния в пустоте содержит 5 слагаемых: скалярное, спин-спиновое,
спин-орбитальное и два тензорных: {ojt) (a2k) и (а1 (р± — р2 +
+ к)) (°а (Pi — Р2 + *))• Эти слагаемые возникают, например, при
обмене п-мезоном. Второе слагаемое получаем из первого при
перестановке выходных импульсов. При обмене р-мезоном воз-
возникает слагаемое вида (к X о^ (k X аа) = о^й2 — (kcii) (ke^,
которое сводится к уже учтенным, если в амплитуду g ввести
зависимость от k. Слагаемое от р-мезонного обмена заметно меньше,
чем п-мезонное, несмотря на то, что константа #рШ-взаимодей-
ствия заметно больше, чем константа ёпып- Отношение этих
двух вкладов при k ~ pF во взаимодействие имеет в продольном
канале порядок
^Р gpNN т\
&~л ~ fnNN mp
а в поперечном канале это отношение умножается на фактор
определяющий смягчение пионов в ядерной среде.
Первая попытка учесть р-мезонный вклад была сделана в [107].
К сожалению, в этой работе зт-мезонный вклад вычислен неверно:
пренебрегалось смягчением пионной степени свободы в ядре,

IV.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ НУКЛОНАМИ В ЯДРЕ 309
вызванным А-резонансом и поляризацией среды. При последова-
последовательном рассмотрении одновременно с р-мезонным вкладом необ-
необходимо учитывать и другие мезоны, а также зависимость всех
локальных вершин от У, т. е. вводить формфакторы, которые
в некоторых случаях могут заметно отличаться от пустотных.
Разумное приближение состоит в том, что л-мезонная часть взаи-
взаимодействия рассматривается строго, тогда как влияние остальных
мезонов и изменение формфакторов учитывается добавлением
слагаемого, пропорционального k2 с новой эмпирической констан-
константой. Таким образом, полная амплитуда локального взаимодей-
взаимодействия имеет вид
& = Г + Г*1 + &¦„, F)
где 3F дается формулой A) с константами /, /', g, g', зависящими
от k2, причем для k2 ~ pF достаточно ограничиться линейными
по k2 членами. @"s! дается выражением E), а Уп состоит из прямого
и обменного слагаемых:
+к,У
Первый график дает
РР = -A - 2С8J/2(о1А)(О2А)т,т2^' (к), G)
где Ф' {k) = (ml, -f k2 + ГГ (к, О)), ГГ — поляризационный
оператор при со = 0, не содержащий частично-дырочных петель,
?s ~ 0,05 (см. стр. 357). Во втором, обменном, слагаемом @"Т им-
импульс к заменяется на р2 — рх — к, а ГГ — на полный поляри-.
зационный оператор П. Во второе слагаемое входит комбинация
(aiv<Tpe -\- осетра), которую мы должны переразложить на ска-
скалярную и спиновую части в канале частица—дырка, т. е. выра-
выразить через величины вида Лай-?Рг Несложные преобразования
дают
Аналогично произведение матриц тЦт^р запишется в виде
т' т' — — ft ft Lx' гi
Мы видим, что обменный пионный график дает вклад не только
в тензорное слагаемое, но и во все остальные компоненты. Вклад
этого графика в скалярную часть амплитуды равен
<Г* = 1 A - 2?sJ f (p, - р2 + kf C - т,т2) SD (р, - р2 + к), (8)
где ЗЬ(к) = (т\ + k2 + П (к, О))-1.

310 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Спиновая часть &"$ имеет вид
^я = - j A - 2tsf f (Pl - р2 + kfoKh C - т,т2) 3> (р, ~р2 + к).
(9)
Наконец, обменная тензорная часть #"я2), которая складывается
с тензорной частью !Гп\ равна
= j A - 2Ц2 f (Pi ~P2 + k)av (/», -p2 + k)a2x
fa-ib + k). A0)
Отсюда видно, что обменное слагаемое дает отталкивание
в изоскалярную часть скалярной амплитуды взаимодействия !FSC
втрое большее, чем обусловленное им притяжение в изовекторной
части &~sc. Все эти слагаемые в значительной степени учтены при
эмпирическом выборе констант /, /', g, g'.
Другой круг задач, для которых необходим учет конечного
радиуса сил, — это нахождение самосогласованных полей и масс
ядер. В этих задачах, как мы видели (II.6), важнейшую роль
играет поверхностная область ядра, где резко меняются все ядер-
ядерные характеристики. Использование в таких задачах сил нуле-
нулевого радиуса приводит к значительным ошибкам. Сюда же при-
примыкают задачи определения свойств поверхностных колебаний
ядер, изменения радиусов ядер при добавлении частиц и вообще
все задачи, которые определяются скалярной амплитудой &~.
Последовательный способ решения таких задач, разработан-
разработанный в [85] (см. II.6), использует эффективный квазичастичный
лагранжиан, задание которого эквивалентно заданию локальной
амплитуды Л (II.6.16), которая связана с амплитудой &" по фор-
формулам раздела II.6. Амплитуда Л — запаздывающая (т. е. за-
зависит от энергии) и нелокальная (т. е. имеет конечный радиус •~г0).
Можно думать, что конечный радиус этих сил в основном обус-
обусловлен именно однопионным обменом в поперечном канале.
Однако для простоты можно рассматривать все параметры ампли-
амплитуды Л как феноменологические константы, связанные урав-
уравнением (II.6.21) с соответствующими параметрами амплитуды ^".
Упрощенные варианты такого подхода, в которых при расчете
самосогласованного поля ядра не учитывалось запаздывание
(при этом амплитуды Л и ^"совпадают!), но учитывался конечный
радиус сил, использовались в [91, 108], а также в [109] (см.
IV.4 и IV.6).
Локальное взаимодействие вблизи поверхности ядра
Амплитуду взаимодействия ^"вблизи поверхности ядра можно
вычислить без введения дополнительных констант в теории, если
использовать приближенный метод, который применяется в тео-
теории нуклон-нуклонного рассеяния при малых энергиях. Взаимо-

IV.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ НУКЛОНАМИ В ЯДРЕ ' 311
действие между нуклонами описывается с помощью граничного
условия в точке гх — г2
d In (nt)
= Л-
r=r,—r2=0
dr
Тогда задача определения #" сводится к нахождению ампли-
амплитуды рассеяния двух нуклонов, помещенных в потенциальную
яму, причем величина х\ внутри и вне ямы имеет разные значения.
Внутри ямы ц выбирается так, чтобы давать амплитуду взаи-
взаимодействия в ядерном веществе, а вне ямы г\ соответствует взаимо-
взаимодействию свободных нуклонов. Характер перехода ц (r) к значе-
значению вне ядра не очень сильно влияет на результат и можно,
например, взять
Ц (г) = riex + (т|,п §
где т]1п внутреннее, a tiex — значение г\ вне ядра.
Действительно, в уравнения для эффективного поля входят
матричные элементы взаимодействия по функциям ер*, с энергиями,
близкими к поверхности Ферми. Эти функции меняются вблизи
поверхности ядра на расстояниях, в несколько раз больших,
чем ширина переходной области {~гй), поэтому характер перехода
от tiin к Т1ех не очень сильно влияет на матричные элементы. На
первый взгляд может показаться, что вне ядра амплитуда рассея-
рассеяния #" должна переходить в амплитуду рассеяния двух свободных
нуклонов. Нетрудно убедиться, что даже на расстояниях, сравни-
сравнимых с радиусом ядра, амплитуда #" заметно отличается от пустот-
пустотной амплитуды.
Физическая причина отличия &~ вне ядра от амплитуды рассея-
рассеяния свободных частиц состоит в том, что о|;-функции сталкива-
сталкивающихся нуклонов сильно искажены волнами, отраженными от
поверхности ядра. Искажение т|?-функций изменяет резонансное
условие, приводящее у свободных частиц к полюсу амплитуды
рассеяния энергии, равной нулю.
Это искажение о|>функций делается несущественным только
на расстояниях, значительно превышающих радиус ядра. Для
пояснения приведем уравнение для амплитуды рассеяния свобод-
свободных нуклонов
(Для простоты здесь опущены спиновые индексы.)
Обозначим через а0 значение амплитуды рассеяния при | р |,
. р' | < 1/г0, где г0 — радиус сил. Тогда из уравнения для ампли-
'туды найдем
flo -- U0 + Uoao

312 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Решая это уравнение относительно а0, получим
где
Ъ ~ Ua/Uoao.
Интеграл в этом выражении легко вычислить
00 со
г dx J_ Г dx _ J_
J \—x* + iy~T J 1 - x* + iy 2"
0 —oo
Обозначим
Тогда выражение
а0 =
ц+iVE
совпадает (с точностью до спиновых множителей) с амплитудой
рассеяния двух свободных нуклонов. Полюс в амплитуде а0
при малых энергиях (малое значение г\) в известном смысле слу-
случайное явление. Для того чтобы полюс соответствовал малой
энергии, требуется сокращение двух больших величин, стоящих
в скобке выражения для а0
U0=\U{r)dr~Ur*~p-*.
Чтобы найти амплитуду рассеяния вблизи ядра (поскольку
нас интересуют расстояния от поверхности ядра много меньшие,
чем радиус ядра), можно рассмотреть задачу о рассеянии частиц,
движущихся в поле:
— Uo, х<0,
0, х>0.
Однако даже в этом упрощенном виде задача определения ампли-
амплитуды рассеяния достаточно сложна. Здесь эта задача не рас-
рассматривается.
Ниже приводятся значения амплитуды рассеяния внутри и вне
ядра, найденные из сравнения теории с экспериментом. Особенно
сильно отличается от внутреннего значения величина f0:
Таким образом, вне ядра величина f0 имеет большое отрица-
отрицательное значение. Поэтому все явления, в которых участвует ам-
амплитуда /0, должны рассматриваться с учетом переходной области,

1V.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ НУКЛОНАМИ В ЯДРЕ 313
В качестве разумного приближения будем вместо намеченного
выше теоретического определения #" использовать для #" интер-
интерполяционную формулу
дг (г) = ^ + (ЗГ _ ^) Щ.
с константами #"ех и #"in, определяемыми из опыта. Такой способ
действия привел к хорошим результатам.
Разумеется, в дальнейшем сравнение с опытными данными
должно делаться с помощью теоретического выражения для #"
без введения дополнительных констант.
Сведение взаимодейотвия через «остов»
к локальному взаимедейотвию
Как известно, для описания коллективных переходов, для
определения энергетических уровней и в ряде других явлений
в ядре обычно вводится некое эффективное взаимодействие с раз-
различными для разной симметрии константами. Наиболее часто
используется квадрупольно-квадрупольное взаимодействие, кото-
которое определяет квадрупольные возбуждения. Вводятся также
дипольно-дипольное, октупольно-октупольное и т. д. взаимодей-
взаимодействия.
Квадрупольное взаимодействие в Х-представлении записы-
записывается следующим образом:
где
т. е. Qxtx2 — матричный элемент квадрупольного момента ча-
частицы.
Аналогично записываются и другие виды взаимодействия.
Все эти взаимодействия сыграли существенную роль для каче-
качественной систематизации экспериментального материала. Для
количественного подхода мы должны прежде всего выяснить
связь этих взаимодействий с введенным выше универсальным
локальным взаимодействием. Мы покажем, что все эти взаимо-
взаимодействия представляют собой приближенную запись аналогичных
взаимодействий, которые строго выводятся из уравнения для
амплитуды рассеяния и выражаются через константы локального
взаимодействия.
Чтобы быстрее прийти к цели, пренебрежем парной корреля-
корреляцией, которая вносит только алгебраические усложнения, и най-
найдем эффективное взаимодействие между частицами, принадлежа-
принадлежащими к одной оболочке.

314
iv. Применение теории в ядерной физике
Пусть, кроме того, в результате рассеяния частицы переходят
в свободные состояния этой же оболочки.
Запишем уравнение для амплитуды рассеяния
Г (v, v') = Г* (v, v') + ? Г* (v, vO A (vO Г (v1( v'). A4)
В этом уравнении v означает совокупность значков %х, Х2, опреде-
определяющих состояние одной частицы до и после столкновения,
a v' = (к{, ^2) соответствует тому же для второй частицы. По
каналу частица — дырка v определяет начальное, a v' — конеч-
конечное состояние частицы и дырки; vx определяет промежуточные
состояния Х3, Х4. Графически имеем
А,
= Ц
a;
^' 4-
A2
Суммирование в уравнении A4) производится по всем состоя-
состояниям Х3, Х4, из которых одно ниже, а другое выше границы Ферми.
Можно произвести такую перенормировку уравнения для ампли-
амплитуды Г, что суммирование будет производиться только по проме-
промежуточным состояниям той оболочки, к которой принадлежат
взаимодействующие частицы. Зато в качестве коэффициентов
уравнения вместо простой величины Г<° войдет нелокальное взаи-
взаимодействие Г'.
Нелокальное взаимодействие Г' подчиняется уравнению, в ко-
котором суммирование происходит по состояниям всех остальных
оболочек, и состоит из двух слагаемых: локального взаимодей-
взаимодействия и взаимодействия через остальные оболочки. Второе слагае-
слагаемое и есть строгое выражение того, что обычно называют взаимо-
взаимодействием через остов.
Перенормировка производится аналогично тому, как это де-
делалось в уравнении для Г (переход от <U к Г® (см. стр. 147).
Введем величину Г' по формуле
Г' =* Т» + Г А,Т*.
A5)
Значок 2 у Л показывает, что из суммирования исключены состоя-
состояния оболочки, в которой находятся рассеивающиеся частицы.
Умножим уравнение
Г = Г* + ГМГ
слева на 1 -j- Г'Ла. Тогда
Г + Г'Л2Г = Г + ГМГ, Г = Г + Г'ЛХГ, A6)
где Л, означает суммирование только по последней оболочке.

IV.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ НУКЛОНАМИ В ЯДРЕ 315
Если при учете взаимодействия суммировать только по послед-
последней оболочке, то в формулы должна входить сложная величина Г'
вместо простой (локальной) величины Г<°.
Этим и объясняется то обилие взаимодействий, которое при-
приходится вводить в каждом отдельном случае заново для различ-
различных процессов. Между тем величина Г<° с хорошей точностью
одинакова для всех ядер и всех явлений.
Когда знаменатель величины А
велик (это обычно бывает, когда е%3 и е^4 отличаются на две обо-
оболочки), то уравнение A5) можно решать методом итераций. В ну-
нулевом приближении Г' = Гш, т. е. совпадает с локальным взаи-
взаимодействием. В следующем приближении Г' = Г® 4-Г@Л2Г<0.
Второй член, как нетрудно убедиться, при малых ю отрицателен
и соответствует притяжению между частицами за счет обмена
возбуждениями остова.
Введение квадруполь-квадрупольного взаимодействия иска-
искажает радиальную зависимость величины Г', что может привести
к заметным ошибкам, поскольку существенны внешние области
ядра.
Нахождение конотант иэ опыта
Прежде чем приступить к обсуждению численных значений
параметров взаимодействия, сделаем замечание о нормировочной
константе Со = (dp/ds/,)'1 = nVpFm*. В различных работах даже
одни и те же авторы используют различные значения Со, которые
довольно равномерно заполняют интервал от 437 МэВ-ферми3
[55] до 302 МэВ-ферми3 [107]. Это затрудняет сравнение пара-
параметров &", используемых различными авторами, и часто приводит
к недоразумениям. Мы будем считать, что в выражении для Со т* =
= m, a pF будем определять по формуле р0 = 2/?/г/Зя2, где р0 —
плотность ядерной материи.
В выборе ро = 3/4я/^ имеется некоторая неопределен-
неопределенность: для г0 используют различные значения в интервале
1,1+1,2 ферми. Это отвечает интервалу для константы Со =
= 295+322 МэВ-ферми3. Будем использовать значение Со =
^=300 МэВ-ферми3 (ему отвечает г0 = 1,117). Остается пожелать,
чтобы все последователи ТКФС использовали в расчетах это легко
запоминающееся значение Со. Значения параметров взаимодей-
взаимодействия, даваемые различными авторами, будем пересчитывать
на это Со.
Как мы видели, со времени первого издания книги представ-
представления об эффективном взаимодействии квазичастиц значительно
изменились. Так, оказалось, что для бодыцинстэа явлений нужно

316 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
знать амплитуду взаимодействия для больших передаваемых
импульсов. Кроме того, для теории открылась совершенно новая
область применения, включающая расчеты энергий связи ядер,
одночастичные спектры и т. п. Для последовательного проведения
такого рода расчетов необходим учет энергетической зависимости
амлитуды 2Г (или амплитуды Л (II.6.17)).
Все эти новые результаты теории уже используются в конкрет-
конкретных расчетах [91, 57, 108], хотя и не в полном объеме.
В то же время существует громадное количество расчетов,
в которых теория применялась в простейшем варианте — с уче-
учетом только нулевых гармоник #". Эти расчеты теперь представ-
представляются излишне упрощенными, однако уже они позволили систе-
систематизировать громадный экспериментальный материал. Их можно
разбить на две группы, в зависимости от того, какие компоненты
амплитуды &" определяют рассматриваемое явление.
К первой группе относятся расчеты характеристик «магнит-
«магнитного типа» (магнитные моменты, частоты и вероятности магнитных
переходов и т. п.), ко второй — электрического типа (изомерные
и изотопические сдвиги атомных и мезоатомных линий, квадру-
польные моменты, частоты и вероятности электрических пере-
переходов и т. п.).
В этих расчетах использовалось ^-представление и производи-
производилось обрезание при суммировании по X в выражении (II 1.1,5")
для частично-дырочного пропагатора A (rlt r2, со) на одной—двух
оболочках по обе стороны от поверхности Ферми. Не удивительно,
что значения параметров взаимодействия, полученные различными
группами, отличаются друг от друга. Из работ этой серии наи-
наиболее детальны исследования в области 208РЬ, выполненные
И. Шпетом с сотрудниками (см. [52] и ссылки в этой работе).
Ими найдены два набора параметров #", которые приблизительно
одинаково успешно описывают совокупность экспериментальных
данных. Они приведены в табл. 3, где производится сравнение
наборов констант, даваемых в различных работах. Оба набора
параметров амплитуды #" несколько отличаются от значений,
принятых в первом издании книги, а также в [55]. В особенности
это относится к константам /|х, /'п, что объясняется различным
выбором функции р (г) в интерполяционной зависимости этой
амплитуды от плотности.
В более современных расчетах явно учитывался однопионный
обмен в аниигиляционном канале в случае состояний магнитного
типа [56, 57, 42]. В случае явлений электрического типа в ска-
скалярную амплитуду / вводился радиус сил, параметризуемый
эмпирической константой, при этом использовалось условие со-
согласования (III.3.19) [91, 108, 109]. Для этой серии расчетов
характерно использование координатного представления, в кото-
котором частично-дырочный пропагатор А вычисляется точно (без
урезания базиса).

IV.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕЖДУ НУКЛОНАМИ В ЯДРЕ
317
Таблица 3
Нулевые гармоники амплитуды
1
/in
/ex
/'in
4
g
g'
*)
1
—0,09
—2,23
0,89
0,06
0,7
0,83
Пересчитанные
[52]
Варианты
11
2
+0,09
—2,59
0,42
0,54
0,7
0,83
на С, = 300
[108]. [57]
3
0,25
-2,5
0,95
= /|п
-0,5
1,0
МэВ-ферми".
[109]
4
-0,5
2,7
-0,93
= fin
—
[ill]
5
—
—
—
—
0,7
0,75
или 0,9
Скалярные константы /, f, приведенные в табл. 3 в столб-
столбцах 3, 4, находились из расчетов одночастичных спектров маги-
магических ядер на основе условия согласования, а также из анализа
характеристик низколежащих коллективных возбуждений в этих
ядрах. Расчеты производились в координатном представлении.
В [108] (столбец 3) использовалось юкавское взаимодействие
~е-*г/г с одинаковым для fin и fe* радиусом 1/х ~ 0,57 ферми.
В [109] использовалось приближение эффективного радиуса,
причем только для независящей от плотности части амплитуды /.
Соответствующий коэффициент перед Аб (гх — г2) равен
0,135 ферми2. Незначительное различие констант столбцов 3 и 4
объясняется различным способом введения конечного радиуса
сил.
Константы g и g' (столбец 3) брались из работ [57, 41, 42],
где они находились из анализа обширного экспериментального
материала, относящегося в основном к ядру 208РЬ (магнитные
моменты, вероятности Ml-переходов, спектры состояний аномаль-
аномальной четности, сечения возбуждения их протонами и др.). В ампли-
амплитуду !Г был включен член #"л в аннигиляционном канале, при
этом он определяется двумя параметрами: константой ?а, опреде-
определяющей отличие локального заряда eq [в] от 1 (см. G)), которая
бралась равной ?« = 0,05, и константой в вершине яА/Д, которая
полагалась равной пустотной. В основном, анализ производился
с целью нахождения константы g', которая определяет степень
близости ядер к точке я-конденсатной неустойчивости (критиче-
(критическое значение g'c = 0,85). Отбирались случаи, наиболее чувстви-
чувствительные к значению константы g'. Константа g найдена гораздо
менее надежно.

318 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
В [107] учитывался также однопионный обмен в поперечном
канале и вводился в &" явно обмен р-мезоном, который моделирует
локальные тензорные силы. Однако эти расчеты обладают целым
рядом существенных недостатков. Так, и в прямом, и в попереч-
поперечном канале производится обмен пустотным пионом, что неверно
(см. стр. 358). Кроме того, в расчете использовался урезанный
i-базис, что приводит к ошибкам при больших переданных им-
импульсах, которые существенны в рассматриваемых явлениях.
Наконец, часто анализировались случаи, мало пригодные для
нахождения констант теории (см. стр. 357). Так что в настоящее
время наиболее правдоподобными следует считать константы
столбца 3. Разумеется, более последовательные расчеты с учетом
эффектов запаздывания и однопионного обмена в поперечном
канале приведут к небольшому изменению и этих констант.

IV.4. СВОЙСТВА ЯДЕРНОГО ВЕЩЕСТВА
В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ
Плотность энергии в одиородном ядерном веществе вычисляется с по-
помощью упрощенного лагранжиана квазичастиц, в котором опущено за-
запаздывание.
Получено выражение для химического потенциала |х0 бесконечной си-
системы (коэффициент при А в формуле для масс Вейцзекера) через константы
/'п и /ех, а также соотношение между этими константами в бесконечной
ядерной материн.
Приводится результат вычисления поверхностного натяжения о", ис-
использующего соотношения, полученные в (III.4) (стр. 252).
Дается соотношение между константами /1П и /ех в конечной системе,
учитывающее поверхностное давление, равное 2alR.
Для |х0 получается
ц0--= 8F A+2 (/in +Г).'3).
а соотношение между /1п и /ех принимает вид
Эти соотношения хорошо согласуются с экспериментом.
При изменениях концентрации или плотности частиц возникает изме-
изменение химических потенциалов нейтронов и протонов.
Изменение химического потенциала вызывается изменением плотности
частиц данного сорта и изменением глубины потенциальной ямы из-за
взаимодействия частиц между собой; с другой стороны, химические потен-
потенциалы нейтронов и протонов могут быть выражены через сжимаемость ядер-
ядерного вещества k (плотность энергии = k (р — РоJ/2ро) и энергию симметрии
в формуле Вейцзекера (= Р (N — гJ/Л). Получаются очень простые фор-
формулы, связывающие Р и k с константами f (p) и f (p):
Учет конечности ядер пряводит к тому, что в формулах для Р и k
следует вместо f (p) и /' (р) подставлять эффективные константы по формуле
f=r—?r(f-n-
А ''
Энергия связи ядерной материи
Получим химический потенциал ц.о материи, пренебрегая
поверхностными явлениями и кулоновской энергией, т. е. опреде-
определим коэффициент а при слагаемом формулы Вейцзекера, пропор-
пропорциональном А.
Для этого используем выражение для плотности энергии си-
системы, полученное из лагранжиана квазичастиц (II.6, стр. 165).
Для простоты пренебрежем нелокальностью и запаздыванием,

320 iv. применение теории в ядерной физике
т. е. оставим в плотности энергии только степени v0 = ар (г).
Это внесет относительную ошибку ~Л~'/», которую затем можно
учесть при нахождении поверхностного члена формулы Вейц-
зекера. Действительно, 8а-Л ~ аЛ2/»~ Es. Тогда плотность
энергии
где Т — плотность кинетической энергии квазичастиц.
Перейдем от v0 к плотности квазичастиц р = аГЧ0. Плотность
энергии запишем в виде
Первая вариация по р дает химический потенциал
СоР + сх-^-+ еА-(р) = цо{р). B)
Вторая вариация плотности энергии взаимодействия (первые два
члена <§) по р определяет амплитуду взаимодействия ЗГ
откуда с0 = ^"ех; сг = (^"'" — ^"ех)/р0. Здесь р0 — равновесная
плотность, которая определяется из равенства давления в системе
наружному давлению. При р = р0 амплитуда &~ = T'xn. Под &"
следует понимать У = #"|jn + ^?р •
Если система удерживается внутренними силами, то давление
равно нулю:
р==_^ + р__ = 0)
откуда находим соотношение
НГ+НГ + 4-е' = °- D)
Обозначая, как обычно,
из B) и D) получим, после исключения ?0 и съ выражение для
химического потенциала:
и соотношение между константами /'" и /еХ:
/ех + 2/»» = -9/5. F)
Принимая /1п = 0,25 (см. табл. 3 на стр. 317), получим /ех =
= —2,3 в удовлетворительном согласии с эмпирическим значе-
значением /ех = —2,5. В следующем разделе будет получено более

1V.4. С&ОЙСТВА ЯДЕРНОГО ВЕЩЕСТВА В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ 321
точное соотношение между /in и /ех с учетом поверхностной энер-
энергии, которое дает лучшее согласие с эмпирическими значениями.
Подставляя значения /'" и /ех в E) и принимая гР = 34,8 МэВ
[ПО], получим \i0 = —17,6 МэВ достаточно близко к эмпириче*
скому значению \i0 = —16 МэВ [ПО].
Вторая производная от плотности энергии по плотности дает
коэффициент жесткости
— (l + 2fin)
Ниже это соотношение будет получено другим способом, без ис-
использования явной зависимости плотности энергии от плотности
частиц.
Поворхноотная энергия
Запишем поверхностную энергию ядра в виде
Es = ainR2 = ysFA2lb. G)
Эмпирическое значение у из формулы Вейцзекера у = 0,59 [110].
В II 1.4. (стр. 251) было получено выражение для изменения
поверхностной энергии при добавлении частиц. Это выражение
связывает поверхностное натяжение ст с константой взаимодейст-
взаимодействия / и с эффективными радиусами взаимодействия rf и функции
влияния гА:
r)+r\ \ I dU др
о = —
/ аи dp \
\ дг дг ) '
В [108] из анализа коллективных низколежащих состояний
и одночастичных спектров магических ядер было найдено rf =
=0,32 фм2 (см. IV.3, стр.317). Величина Л легко вычисляется
внутри ядра, где r\ = (lUp^)'1, но в (8) входит эффективное значе-
значение гА в поверхностной области, где аналитически вычислить эту
величину невозможно. В [111] был выполнен ..численный расчет
коэффициента поверхностного натяжения по формуле (III.4.78),
который привел к хорошему согласию с экспериментальным зна-
значением ст. Результативно он эквивалентен использованию формулы
(8) с ?А = D/*)-1.
Учет поверхностной энергии позволяет уточнить соотношение
между константами /in и /ех. Давление в системе нужно прирав-
приравнивать не нулю, а поверхностному давлению, равному 2g/R.
Тогда вместо F) получим
/ex _|_ 2/in _|_ 9/5 = 9a/RpeF = Зу/А1'3. (9)
Это соотношение показывает, что амплитуда /in несколько Изме-
Изменяется при переходе от легких ядер к тяжелым. Истинными кон-
константами являются коэффициенты с0 (=#"ех) и сг в формуле A).
11 А. Б. Мигдал

322 IV. Применение теории б яДерной физиКё
Определяя, как обычно, амплитуду выражением C), мы видим,
что амплитуда Т'т содержит явно плотность р внутри ядра, а эта
величина благодаря поверхностному давлению отличается от плот-
плотности ядерной материи р0 и, хотя и незначительно, меняется с ро-
ростом А, приближаясь к р0. Это и приводит к слабой (~Л-1/а) за-
зависимости амплитуды fin от А.
Наиболее удобный способ задания констант ТКФС — это вве-
введение параметров Ktk квазичастичного лагранжиана Lq (И.6.8). Эти
параметры не зависят от Л и являются точными универсальными
константами теории.
Энергия оиииотрии и ожимаомооть ядорного вощоотва
Вычислим изменение энергии границы Ферми при переходе
от ядра с N = Z к ядру N > Z при том же \А.
Изменение энергии Ферми вызывается двумя причинами:
изменением плотности частиц данного сорта и повышением дна
ямы, т. е. эффективным полем, вызванным изменением концен-
концентрации.
Увеличение плотности нейтронов и протонов равно
t> N — Z ,ov 4я г.о с. N— Z
ар <г^ ^3 бр
Это изменение плотности по своему действию на квазичастицы
эквивалентно внешнему полю, равному (III.5, стр. 263).
л = а1 nnOpn + а 1 „рОрр = а Ц пп — 1 пр; 2у = а 1
(Мы написали только поле, действующее на нейтроны.)
Это поле постоянно по объему ядра, если считать однородной
плотность добавленных частиц, что верно при достаточно боль-
большом N — Z. Но постоянное по объему внешнее поле не поляризует
вещество (в интегральном члене уравнения для V содержится
только недиагональные матричные элементы, равные нулю, когда V
постоянно), поэтому V = V0, и изменение энергии Ферми нейтро-.
нов от действия поля равно
Итак, новая энергия Ферми нейтронов равна
йгпр N — Z . 4 ,, N — Z ,2 ... OS.,.N-Z

IV.4. СВОЙСТВА ЯДЕРНОГО ВЕЩЕСТВА В ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ 323
Аналогично для протонов получаем
Разность этих величин дает со знаком минус разность химических
потенциалов нейтрона и протона, которая получается дифферен-
дифференцированием формулы Вейцзекера по N при постоянном А:
- (Ми - М-р) ="
dW \ __/ d о (JV — ZK \
dN )д ~ {dN P Л ^л ""
Отсюда
Р=4р-A+2/')- A0)
Изменение энергии при небольших изменениях концентрации
вычисляется гораздо сложнее, так как в этом случае плотность
добавленных частиц неоднородна по объему ядра и зависит от
структуры незаполненной оболочки. Приходится решать уравне-
уравнение для эффективного поля, возникающего при добавлении частиц
(III.5, стр. 264).
Найдем таким же способом изменение энергии Ферми при
N = Z от изменения плотности вещества. Получаем
причем
вРР = fiPn = Р — Ро-
Находим
где
С другой стороны, изменение химического потенциала от измене-
изменения плотности получается при дифференцировании плотности
энергии сжатия
_бц = д k (P" + Pp~2p°J _ ti РП~Р"
М'п Фп 4р0 ре
Приравнивая это выражение изменению энергии Ферми, находим
± A1)
Так как амплитуда в заимодействия f вне ядра имеет, как мы
видели (IV-3, стр. ,317), большие отрицательные значения, то по-
поверхность, ядра вносит существенные изменения в (|юрмулу для

324 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
сжимаемости ядра k. Аналогичные изменения происходят и в вы-
выражении для энергии симметрии р". Для оценки влияния поверх-
поверхности ядра введем в формулы для k и р* эффективные константы f
и f, которые определим как средние по ядру от выражения
-п рУ
точнее,
[fp(r)dr f[p(O)-p(/-)]P(r)dr
t =¦• Л = /in + (fex - /in)J—f •
)9(r)dr jp(A)drp(O)
Для р (г) возьмем известное выражение:
где а = 1,7-1013 см, и подставим в выражение для /:
f = /in-^-(/in-fex)- A2)
Формулы для р и k принимают вид
^ ^ A3)
Таким образом, теория позволяет связать все параметры фор-
формулы Вейцзекера для масс с константами взаимодействия. Куло-
новская энергия, которая здесь была опущена, мало изменяется
при учете взаимодействия между квазичастицами. Это малое из-
изменение существенно для расчета разности энергий зеркальных
ядер и также вычисляется в ТКФС. Для более точных расчетов,
дающих также оболочечные поправки к значениям масс, следует
учитывать эффекты запаздывания и пользоваться выражением
для энергии, полученным в II.6 (стр. 165).

IV.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ
Как было показано в II 1.5, стр. 264, задача вычисления средних зна-
значений какого-либо оператора Q сводится к задаче определения эффектив-
эффективного поля, вызываемого полем Q. Ниже получено уравнение для эффектив-
ноголюля, вызываемого орбитальной и спиновой частью оператора магнит-
магнитного момента. Магнитный момент равен сумме диагональных матричных
элементов этих двух эффективных полей по состоянию %0 добавленного
нуклона, если состояние нечетного ядра описывается одной квазнчастн-
цей V
Орбитальное эффективное поле мало отличается от затравочного. Ор-
Орбитальная часть магнитного момента равна
верхнее значение соответствует нечетному протону, а нижнее — нечетному
нейтрону, /\0 — момент в состоянии Ко:
С/—5-/'Р==-Г^~/1>-
Итак, благодаря взаимодействию f"p, орбитальный множитель Ланде
нейтронов отличен от нули.
Спиновое эффективное поле определяется равенством
V [аа] = fagag,
где иар — тензор парамагнитной восприимчивости ядра. Решение уравне-
уравнения для иар имеет вид
функции Vi (r) н v2 (r) находятся численным решением одномерных инте-
интегральных уравнений. Приближенные аналитические выражения для vt
и vz даны на стр. 333. Угловая зависимость v объясняет /-запрещенные пе-
переходы (IV.6, IV.7).
Показано, что в системе, состоящей из одного типа частиц, в прибли-
приближении нулевого радиуса для спин-орбитальной амплитуды, нет спин-
орбитальной поправки к магнитному моменту. В системе, состоящей из
протонов и нейтронов, спин-орбнтальная поправка возникает как для
нечетного протона, так и для нечетного нейтрона, причем для N = Z
нейтронная поправка отличается только знаком от протонной.
Сумма гиромагнитных отношений нейтрона и протона 7п 4" Vp B не"
релятивистской задаче не изменяется при включении взаимодействия. Это
следствие теории с большой точностью подтверждается экспериментальными
данными.
Аналогично рассчитываются октупольные моменты и моменты возбу-
возбужденных состояний.
Задачи определения квадрупольного момента ядра и изотопического
смещения спектральных линий сводятся к нахождению изменения среднего
значения величины Q при добавлении нуклонов

326 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
где Q = г2 в случае изотопического смещения и Q = ггРг (cos 0) в случае
квадрупольного момента, а брр — изменение матрицы плотности протонов.
Уравнение для изменения матрицы плотности при добавлении частиц было
получено в (III.5). Однако удобнее вместо этого уравнения решать уравне-
уравнение для эффективного поля V, вызываемого внешним полем Q. Среднее зна-
значение величины Q просто связано с эффективным полем (III.5, стр. 264):
где 6я^ — изменение чисел заполнения квазичастнц. В том случае, когда
добавление нечетного нуклона соответствует появлению одной квазича-
квазичастицы в состоянии Я„ и парная корреляция несущественна, получаем
Аналогично вычисляются и моменты инерции ядер.
Показано, что момент инерции может быть вычислен через среднее
значение момента Шх в поле 2K*Q:
х—направление, перпендикулярное оси симметрии ядра; Шх—проек-
Шх—проекция полного момента количества двяжения на это направление.
Это соотношение позволяет выразить момент инерции через изменение
матрицы плотности в поле —9Jt*Q:
Изменение матрицы плотности выражается через эффективное поле (ор-
(орбитальное и спиновое), возникающее под действием внешнего поля —2К*О.
В работе [113] моменты инерции вычислялись без учета спиновой
части 501* и в пренебрежении различием эффективного и внешнего орби-
орбитальных полей. Указано, как следует изменить эти расчеты для получения
точных значений моментов инерции.
Схема вычиоления ядерных моментов
Изменение энергии ядра в статическом внешнем поле, например
в электрическом или магнитном поле атомных электронов, опреде-
определяется различными ядерными моментами. Изменение энергии
в однородном магнитном поле определяется дипольным магнит-
магнитным моментом ядра, который принято называть просто магнитным
моментом. В случае,. когда существенна неоднородность магнит-
магнитного поля, приходится вводить октупольные магнитные моменты,
Взаимодействие ядра с электрическим полем атомных электронов
определяется двумя ядерными моментами — средним квадратом
электрического радиуса ядра, который входит в формулу для
изотопического смещения атомных спектральных линий, н квад-
руподьннм моментом, который находится из сверхтонкого расщеп»

1V.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ 327
ления.Всеэти величины выражаются как среднее по основному со-
состоянию ядра от соответствующего оператора. Поэтому произволь-
произвольный момент Q равен
или с помощью операторов вторичного квантования
- = Sp p°Q, A)
X. A/
где р° — матрица плотности частиц.
Как мы видели (стр. 264), изменение средних при изменении
числа частиц в ядре можно вычислять через изменение матрицы
плотности квазичастиц бр или, еще проще, найдя эффективное поле,
создаваемое внешним полем Q (т. е. добавкой к гамильтониану
вида Н' = Sa^X' Qaa/)> и определив изменение в числах запол-
заполнения квазичастиц, которое произошло при переходе от одного
ядра к другому.
Изменение момента Q равно
8Q = Sp (е„ 6р Q) = ? V^ [Q] 8пх, B)
где eq — заряд квазичастиц по отношению к полю.
Так как четно-четные ядра не имеют магнитных моментов,
то для вычисления магнитного момента четно-нечетного или не-
нечетно-четного ядра достаточно найти изменение матрицы плот-
плотности при добавлении к четно-четному ядру одной частицы. Ква-
друпольные моменты в области сферических ядер для четно-
четных ядер равны нулю, поэтому для вычисления квадруполь-
ного момента соседнего ядра тоже достаточно знать изменение
матрицы плотности при добавлении одной частицы.
Таким образом, схема вычисления ядерных моментов такова.
Находится по уравнениям, полученным в III.1 или III.2, эффек-
эффективное поле V [Q], соответствующее полю Q. Поле Q равно ве-
величине r2P2 (cos ¦&) в случае квадрупольных моментов, величине г2
в случае изотопического смещения и, наконец, оператору магнит-
магнитного момента одной частицы, когда определяется магнитный мо-
момент ядра. Далее определяется по соотношениям II 1.5 (стр. 255)
изменение числа квазичастиц на уровне К при добавлении одной
частицы. После этого Q вычисляется по формуле B).
В простейшем случае при добавлении одной частицы к дважды
магическому ядру имеем
где к0 —состояние, в котором появляется нечетная квазичастица.
В этом случае
Q = Vk.k. [Q]. C)
Раскроем изотопические индексы в этих соотношениях.

328 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Пусть оператор Q действует, как это происходит в случае ква-
друпольных моментов и изотопического смещения, только на
протоны. Тогда
8Q = 6QP = eqQp брр = 2 Пк [Qp] 8п% + ? Vj\ [Qp] 6я?. D)
Аналогично вычисляются и магнитные моменты, вклад в которые
вносит как протонная, так и нейтронная части оператора мо-
момента.
Моменты инерции выражаются через среднее значение вели-
величины V 1ШХ], где 2R* —проекция полного момента на направле-
направление, перпендикулярное оси симметрии деформированного ядра.
Для этого следует решать отдельно уравнения для орбитальной
и спиновой частей эффективного поля.
Вычисление магнитных иоионтов
Магнитные моменты ядер первоначально вычислялись в пре-
пренебрежении взаимодействием между квазичастицами.
Полученные таким образом магнитные моменты (кривые Шмидта)
для большинства ядер, за исключением самых легких, сильно
отличаются от наблюдаемых значений.
Причина этого отличия состоит в следующем. Как известно,
четно-четные ядра не имеют магнитных моментов. При добавлении
нечетного нуклона, помимо магнитного момента самого добавлен-"
ного нуклона возникает добавочный магнитный момент за счет
поляризации остальных ядерных частиц полем добавленной ча-
частицы. При этом оказывается, что главную роль играет поляриза-
поляризация, вызванная спин-спиновым взаимодействием добавленной
частицы с частицами ядра (член^а^ в выражении для взаимодей-
взаимодействия #"). Так как спин-спиновое взаимодействие достаточно ве-
велико, то парамагнитная восприимчивость ядерного вещества сильно
отличается от единицы.
Были сделаны попытки учесть спин-спиновое взаимодействие
по теории возмущений [48, 112]. Однако сравнение наблюдаемых
и шмидтовских значений магнитных моментов показывает, что
взаимодействие в некоторых случаях изменяет спиновую часть
магнитного момента в 2 раза и, следовательно, применение теории
возмущений совершенно недопустимо.
Как мы увидим, последовательный учет взаимодействия между
квазичастицами приводит к хорошему согласию теоретических
и наблюдаемых магнитных моментов. В некоторых случаях функ-
функции Грина частиц в незаполненной оболочке искажаются влиянием
близких уровней (см. стр. 280). Тогда расчет эффективного поля
усложняется по сравнению с простой схемой, развитой в (III.5).
Расчет магнитных моментов для этого случая производится в ра-
работе [39].

IV.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ 329
Оператор дипольного магнитного момента одного нуклона
можно записать в виде суммы двух слагаемых:
j, |»« = [-Ц^ ( Yp _ J_ ) + _Ц1^ Tn] a, E)
где A + т2)/2, A —т2)/2 — матрицы, соответствующие протон-
протонному и нейтронному состояниям; полный момент j = I -\- 1/г"г>
где / — орбитальный момент; ур и уп ¦— протонные и нейтронные
гиромагнитные отношения.
Первое слагаемое будем называть орбитальной, а второе —
спиновой частью магнитного момента.
Необходимо найти эффективное поле V [ц], соответствующее ц,
и вычислить момент по формуле
(ц)=Е^[|ш]б%. F)
Покажем, что (ц) определяется диагональным матричным эле-
элементом V [ц] по состоянию Ко нечетной системы не только вблизи
заполненной оболочки, где 6л*, = б^0, но и при учете парной кор-
корреляции, когда (стр. 266)
где 6X% = Sii_x,- Используя то обстоятельство, что ц^ и V%x [\i ]
изменяют знак при изменении знака проекции момента, получим
(р) = I! V^
Эффективное поле удовлетворяет, как обычно, уравнению
V = eqV° + T AV. G)
Магнитный момент ядра равен диагональному матричному
элементу V по состоянию Хо добавленной частицы.
В бесконечной системе в однородном магнитном поле Ж спи-
спиновая часть эффективного поля V отличается от внешнего
V0 = уоЗ№ лишь множителем, который равен магнитной восприим-
восприимчивости среды.
В конечной среде V, и тем самым магнитная восприимчивость,
даже в однородном внешнем поле представляет собой сложную
функцию координат, которая определяется уравнением G). Как
мы видели, статическое поле, изменяющее знак при замене t
на —t (Р = —1), не вызывает -изменений A (dA) = dB) = 0),
если малы матричные элементы поля с |е^ —е^ | < А. Именно
таким свойством обладает неоднородный член в уравнении G),

330 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
а следовательно и V. Поэтому величина А в G) сводится к
(см. III.2, стр. 197 и III.5, стр. 230):
1 . Е1Е1_—е1е,—А,Аг_
Диагональный элемент этой матрицы равен нулю. Нетрудно убе-
убедиться, что для уровней Ки Х2, удаленных от границы Ферми на
расстояние много большее, чем А, эта формула переходит в обыч-
обычное выражение для А в системе без парной корреляции
Л, Лг
Как мы увидим, при вычислении магнитных моментов вклад со-
состояний, лежащих непосредственно вблизи границы Ферми, не-
невелик, и, таким образом, парная корреляция оказывает малое влия-
влияние на магнитные моменты.
Структура квазичастичного оператора магнитного момента.
Запишем оператор магнитного момента (в единицах ядерного маг-
магнетона) в виде
V = eil + уо, (8)
где gvi = 1; g? = 0; / = 2,793; / = -1,913.
Локальные заряды квазичастиц по отношению к полям ~1
и ~ог вычислены в III.3 в предположении об отсутствии спин-
орбитального взаимодействия. Мы пока будем придерживаться
этого же предположения, а спин-орбитальные слагаемые магнит-
магнитного момента рассмотрим отдельно. Тогда
Используя (9) и выделяя в (8) полный угловой момент / квазича
стицы, получим
= (eg)tf + (е,ц)? = A - Ш Р
где
Величины yJ, y* — спиновые гиромагнитные отношения для
квазичастиц.
В работах [116, 52, 43] к оператору у„о в A0) был добавлен
тензорный член е\ ~ (or) r.
С* §Такая структура оператора локального заряда противоречит
трансляционной инвариантности и имеет неправильный предел

1V.6. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ 331
при Л —v оо. Такой «заряд» квазичастиц растет как А2'*, вместо
того чтобы стремиться к константе или падать. На самом деле
в бесконечной системе единственная возможная в однородном
магнитном поле (k — 0) структура е\ ~ (ор)р. В конечной системе
возникают дополнительные поверхностные слагаемые е\у содержа-
содержащие производные плотности. Так, спин-орбитательные силы ин-
индуцируют член ед ~ (aVp) tl [118, 59]. Эти члены сравнительно
невелики и вносят незначительный вклад в величину магнитных
моментов. К обсуждению их мы вернемся при рассмотрении
/-запрещенных ,М1-переходов, для которых эти члены важны.
Орбитальная часть магнитного момента. Орбитательной ц7-
и спиновой ц8 частям магнитного момента будем называть решения
уравнения G), соответствующие затравочным полям ~J и ~<т
соответствен н о.
Для орбитальной части затравочный член в G) имеет вид
Поскольку недиагональные матричные элементы j\h' равны
нулю, интегральный член в G) отсутствует. Поэтому для орби-
орбитальной части магнитного момента получаем
= /0 ( ? .
где /0 — значение /, отвечающее Хо.
Верхнее значение соответствует нечетному протону, а нижнее —
нечетному нейтрону. Таким образом, благодаря взаимодействию
возникает орбитальный множитель Ланде у нейтрона, равный
На такую же величину уменьшается протонный орбитальный
множитель Ланде (=1 -—?/).
Спиновая часть магнитного момента. Рассмотрим теперь спи-
спиновую часть магнитного момента, когда роль внешнего поля
в G) играют, вторые слагаемые A0), пропорциональные <jp и от":
Из соображений симметрии очевидно (см. также Приложение),
что в уравнении G) останутся только слагаемые У, зависящие от
спинов. Временно выключим однопионное и спин-орбитальное
взаимодействия, ограничиваясь вкладом одних нулевых гармоник

332 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Уравнение G) следует решать в координатном представлении,
используя формулы раздела III.3. Для качественного анализа
структуры решения удобнее Х-представление, в котором G) вы-
выглядит так:
Y' "~" г)(фЬ Увфх.). A3)
Для краткости мы опустили очевидные изотопические индексы,
штрих в сумме A3) означает отсутствие члена Я, = Я,'. Простой ана-
анализ показывает, что в сумме A3) выделенную роль играют состоя-
состояния (А,, Я,'), принадлежащие к таким спин-орбитальным дублетам,
уровни которых лежат по разные стороны границы Ферми (таких
дублетов, как правило, оказывается один—два, редко — три, а
в легких магических ядрах — ни одного). Действительно, будем
решать уравнение A3) по теории возмущений и подставим в ин-
интегральный член вместо Va затравочное поле eQaa. Но все матрич-
матричные элементы (do)u' отличны от нуля только для состояний к, А/
с одним и тем же полным угловым моментом / = /" и главным
квантовым числом п = л'. Такие Я,, К' принадлежат одному спин-
орбитальному дублету с уровнями, лежащими по разные стороны
от поверхности Ферми *).
Поэтому, в частности, если подходящих дублетов нет, то ин-
интегральный член в A3) равен нулю и магнитный момент такого ядра
отличен от шмидтовского значения только благодаря локальному
заряду ёд. Тот факт, что магнитные моменты легких околомаги-
околомагических ядер близки к шмидтовским, показывает, что константы ?,
и ls малы {it < 0,05; ?s < 0,1).
Если же дублеты нужного типа имеются, то интегральный член
в A3) становится сравнимым с затравочным, хотя, как правило, он
несколько меньше. В следующем порядке теории возмущений мат-
матричные элементы (ц>%, VA) (r) qv) ф 0 и для состояний, отличаю-
отличающихся числом узлов, но их вклад численно мал.
Удобно произвести операцию, аналогичную той, которая была
проведена в IV.2 при построении эффективного взаимодействия
в последней оболочке. Разобьем сумму по (к, А,') на две части: по
выделенным дублетам и по остальным уровням. Записывая в соот-
соответствии с этим А — Ах + Аг, получаем, так же, как на стр. 229,
V = V + Y'AXV, A4)
Г' = ?- + ?М2Г', A5)
V = e4Vo + 0-AuV. A5')
*) Строго говоря, это утверждение справедливо только в отсутствие спии-
орбитальиого члена в самосогласованном потенциале. Однако, как показывают
расчеты, возникающий при учете спин-орбитальных поправок интегральный
член ~1-г-2 % от аа.

IV.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ 333
Поскольку Л2 не содержит выделенных дублетов, то V'a =
= ^а. так что окончательно имеем
У[Оа\ = ё1,аа + ГА1У[аа\, A6)
где Г' определяется из A5), причем А1 содержит суммирование
только по выделенным дублетам. Отделение угловых частей в урав-
уравнении A6) можно производить по стандартным формулам Прило-
Приложения, а можно использовать специально разработанную для за-
задачи о магнитных моментах технику [37, 38]. Общая структура
решения A6) такова:
У[аа1 = 1>ов(г)ар, A7)
где
va&(r) = v^(rNa&-\-v^(r)nan^ A8)
Член о<2)«а«р может изменять орбитальный момент нуклона на
два и ответствен за /-запрещенные М 1-переходы.
Заменим временно в A6) Г" на &~, т. е. будем считать, что ин-
интегральный член в A5) мал. Тогда уравнение A6) может быть ре-
решено аналитически [38]. Приведем результат решения для про-
простейшего случая, когда имеется один дублет рассматриваемого
типа:
^ev0 — квантовые числа нечетного нуклона, a v — нижнего уров-
уровня дублета (Rv слабо зависит от / = / + 1/2). Величина x^v равна
J Rl(r)RW)r2dr. A9)
Здесь Av — величина расщепления уровней спин-орбитального
дублета. Величина^ = gpp, если нечетная частица и рассматри-
рассматриваемый дублет относятся к одному типу частиц. В обратном слу-
случае gMV = gnp. Фактор kv приближенно равен числу частиц на
нижнем уровне дублета, если верхний уровень полностью свобо-
свободен. В противном случае он равен числу дырок на верхнем уровне.
Более точное определение kv дано в [38]. Там же приведены фор-
формулы, обобщающие A7') и A8') на случай двух и трех спин-орби-
спин-орбитальных дублетов.
Структура решения в форме A7') и A8') сохраняется и при
учете недублетных слагаемых (Г' ф <Г).
Выражение A9) заменяется на формулу
К r2r'2
('-)Г'('-. r')RUr')r2r'2drdr>, A9'
где Г' дается уравнением A5). Кроме того, несколько изменяете*,
знаменатель A7') и A8').

334 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Найдя эффективные поля о<'> [ар] и »<'> [ап], определяем спи-
спиновую часть магнитного момента
ъ + VZ0 ((ОП) Пг),0,0, B0)
где Vll) = уУ1)№}+ yn«vli)№], a
(ог)ик = (-)'«-'°-1/2 -gj^-p • B0')
Покажем, что учет однопионного взаимодействия мало изменяет
спиновую часть магнитного момента. В случае одного подходя-
подходящего спин-орбитального дублета легко получается [38] аналити-
аналитическое решение, аналогичное A7') и A8'),
B2)
где 4Vv имеет вид, аналогичный A9), но с заменой С0/тхт2 —> #"„.
Приведенные формулы показывают, что однопионный обмен мало
влияет на магнитные моменты: как видно из B0), (|lis)>.0 в основ-
основном определяется полем иA), а вклад у<-> содержит малость
—¦ 1 /B/о + 2). Из B1) следует, что учет #"л в vw приводит лишь
к изменению знаменателя в A7'), где <pvv входит рядом с большой
величиной 1 + %Xvv Матричные элементы <pvv, как правило,
меньше, чем Xw
Спин-орбитальные поправки к магнитному моменту. Для
получения более точных выражений следует наряду со слагаемыми
взаимодействия fu g0, @~n, учтенными выше, ввести еще и спин-
орбитальное слагаемое &1. Будем пока считать, что оно имеет
нулевой радиус, т. е. в импульсном представлении имеет вид
P' p'+q
Это слагаемое взаимодействия отсутствует в амплитуде рассеяния
на угол нуль (k = 0).
Константа х непосредственно связана с константой спии-
орбитальногорасщепления. Взаимодействие #"s/вносит следующую
добавку в протонную потенциальную яму (см. II.5):
(абЕ)р = хррог (р х Vpp) + *"Ра (Р X VPn) = — й -у- -$- о/,
Z N
где й = хРр -т- + х' р -j-, р = рп + Рр- Эт° выражение получено
без учета остальных слагаемых взаимодействия. Их влияние,

IV.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ 335
в основном, сводится к перенормировке констант хрр и хпр. Ана-
Аналогичное выражение получается для нейтронного потенциала.
Введенное нами взаимодействие изменяет гамильтониан квази-
квазичастиц на величину
Н> = "Т S ((<Г; + °h) Х Vi6 (Г; ~ Гй)) {pi ~ ph)-
ik
При усреднении по импульсам и спинам всех частиц, кроме одной
выделенной, мы получаем приведенное выражение для спин-
орбитальной добавки к гамильтониану одной квазичастицы. Для
получения спин-орбитальной добавки к магнитному моменту в
спин-орбитальном слагаемом для протонов
заменяли вектор р на р А. Таким способом было получено
неправильное выражение для спин-орбитальной поправки к маг-
магнитному моменту. Магнитное поле нужно вводить до усреднения
по импульсам частиц среды.
Рассмотрим слагаемое Н', соответствующее двум протонам:
-?г ((<h + Ъ) X Vi6 {Гх — r2)) (Pi — р2).
К этому слагаемому в магнитном поле возникает добавка
ЬН\2 = -? ((ai + аа) X Vi6(ri - Ъ))±(А (г2) - А(п)),
которую нужно затем усреднить по функции Фо основного состоя-
состояния системы. Слагаемые вида
J (oi + о.) б (гг - г,) \(А (г,) - А (п)) X у21 Фо I2] dri ^г2
равны нулю. Остаются слагаемые вида
(Фо, (а, + 0,) б (п - ra) (v« X А (г,)) Фо>.
Но в силу принципа Паули функция Фо обращается в нуль, если
взять две одинаковые частицы в одной точке с параллельными
спинами, т. е. (ах + а2) б (rx — г2) Фо = 0. Поэтому в системе
из одного типа частиц спин-орбитательная поправка равна нулю,
если спин-орбитальная амплитуда имеет нулевой радиус. Для
спин-орбитательных сил конечного радиуса это не так: и для од-
одного типа частиц имеется ненулевая спин-орбитальная поправка
к магнитному моменту [117]. Для двух типов частиц и для сил
нулевого радиуса существует спин-орбитальная поправка, обус-
обусловленная нейтрон-протонным взаимодействием, причем поправки
для нейтронного и протонного магнитных моментов равны по ве-
величине, но противоположны по знаку.

336 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Помимо этой поправки, возникает еще одна более существенная
поправка, связанная с тем, что спин-орбитальное взаимодействие
вызывает изменение спиновой магнитной восприимчивости. Все
эти поправки подробно рассмотрены в [118].
Следует добавить еще замечание о гиромагнитных отноше-
отношениях уп и ур. Эти величины отличаются от пустотных значений за
счет поправок ?/ и ?s. Соответствующее изменение Vh и Тр можно
записать в виде
°^P -2A- 2?s) ' Oy" ~ 2A -2E.) - ~°yv
при этом t,[ и ?s не предполагаются малыми. Таким образом, по-
показано, что в нерелятивистской системе с произвольным взаимо-
взаимодействием величина уп + yv не изменяется при включении взаимо-
взаимодействия. По-видимому, с этой теоремой связан тот факт, что ме-
зонное взаимодействие мало изменяет эту величину (уп + ур =
= 0,88 вместо 1). Этот результат с большой точностью (порядка
1—2 %) подтверждается йа примере магнитного момента дейтона
и для суммы магнитных моментов (Не3, Н3) и (С13, N13). Сумма
магнитных моментов О15 и N15 дает заметно отклоняющееся зна-
значение уп + ур, что, по-видимому, следует объяснить неточностью
измерения магнитного момента О15.
Значит, можно записать
Тр ="¦ 7р + 71 = 2,8 + уь уп = 7°п — у\ =¦¦ —1.9 — у\.
Величина уг, по-видимому, не превосходит 5 Ч- 10 % от ур.
Октупольнш магнитные моменты. Анализ сверхтонкого рас-
расщепления спектральных линий позволяет определить не только
дипольные, но и октупольные магнитные моменты ядер [44],
а также изотопический сдвиг сверхтонкого расщепления атомных
уровней [45]. Вычисление октупольных магнитных моментов про-
производится по той же схеме, что и расчет дипольных магнитных
моментов. Определяется среднее по состоянию нечетной частицы
от эффективного поля, возникающего при добавлении к гамиль-
гамильтониану величины, пропорциональной оператору октупольного
момента. Оператор мультипольного магнитного момента имеет
вид
При L = 1 получаем приведенный выше оператор дипольного маг-
магнитного момента, L = 3 соответствует октупольному магнитному
моменту,

IV.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ 337
Так же как и в случае дипольного магнитного момента, орби-
орбитальная часть эффективного поля мало изменяется от включения
взаимодействия между частицами. Уравнение для спиновой части
эффективного поля
V (Ly Г
после отделения угловых переменных (см. Приложение), так же,
как и в случае дипольных моментов, сводится к системе уравнений
для двух функций Vr (г) и V2 (г).
Приближенное решение этих уравнений найдено в [44].
Октупольный магнитный момент равен диагональному матрич-
матричному элементу эффективного поля по состоянию Хо нечетной ча-
частицы. Получается хорошее согласие экспериментальных и тео-
теоретических октупольных моментов при тех же значениях констант
спинового взаимодействия, которые найдены из дипольных маг-
магнитных моментов. Изотопический сдвиг сверхтонкого расщепле-
расщепления был рассчитан в [45].
Сравнение с экспериментом. Первые расчеты магнитных момен-
моментов в ТК.ФС [37, 38] производились по формулам A7'), A8'),
т. е. игнорируя отличие Г' в A4) от 9" и не выделяя в Ф однопион-
однопионного взаимодействия. По этим формулам была рассчитана боль-
большая часть известных тогда магнитных моментов сферических ядер.
При этом почти во всех случаях получилось хорошее согласие
с экспериментом. Результаты [38] приведены в табл. 4.
Для сравнения даны шмидтовские значения Цшм.
Последующие расчеты в более широком базисе [115] ив полном
базисе [41 ] (в координатном представлении) показали, что учет
состояний, не принадлежащих к выделенным дублетам, т. е. учет
отличия Г' в A4) от &~, как правило, мало меняет результат.
Главная причина большинства имеющихся в табл. 4 расхож-
расхождений с экспериментом в том, что основные состояния некоторых
ядер нельзя считать одноквазичастичными. Обычно это случается,
когда нейтроны и протоны заполняют один /-уровень. Уравнение
G) может быть изменено [39 ] так, чтобы учесть многоквазичастич-
ную структуру основного и первых возбужденных состояний.
В табл. 5 приведены магнитные моменты ядер оболочки \fyt,
рассчитанные с учетом вклада многоквазичастичных конфигура-
конфигураций. В работе [114] аналогичные расчеты проведены для ядер
с различными незаполненными оболочками для нейтронов и про-
протонов.
Расчеты последних лет, проведенные в координатном пред-
представлении и с учетом однопионного обмена, к сожалению, прове-
проведены только для ядер—соседей 208РЬ [41 ] (см. табл. 6).
В работе [43 ] учитывался также и вклад однопионного обмена
в поперечном канале, а также вклад обмена р-мезоном. Однако при
этом использовался урезанный базис (две оболочки над и две под
поверхностью Ферми). Эти расчеты имеют и другие недостатки;

338
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Таблица 4
Магнитные моменты сферических ядер (в ядерных магиетонах)
Ядро
33S
3SS
37C1
39 K
«Ca
43Ca
«Sc
«Ti
5ly
57Mn-
57Co
67Zn
e8Rb
"Rb
91Zr
95Mo
97Mo
135Ba
187 Ba
141Nd
201Hg
205T1
«"Bi
Состояние A,o
1 3/2Jn
I do ;л|и
\ 0/ i)Xl
V 0/2)p
( 3 /91 n
('7/2 In
(/7/2)n
(Mp
(/7/2)n ¦
(/7/2)p
(Wp
(Mp
(/5/2)n
(/б/г)р
(P3/2)p
(ds/2)n
(d5/2)n
(d5/2)n
(d3/2)n
(rf3/2)n
(Mnn
(j°3/2)n
(Sl/2)p
(Л9/г)р
М'эксп
0,64
1,00
0,68
0,39
—1,59
—1,31
4,75
—1,10
5,15
5,05
4,65
0,88
1,35
2,75
— 1,30
—0,93
—0,95
0,84
0,93
—1,00
—0,61
1,62
4,08
1,14
1,14
0,12
0,12
—1,91
—1,91
5,1
—1,91
5,8
5,8
5,8
1,36
0,86
3,8
— 1,91
—1,91
—1,91
1,14
1,14
—1,91
-1,91
2,79
2,62
Мтеор '•38^
0,90
1,05
0,65
0,30
—1,71
—1,35
4,5
—1,10
5,25
5,10
4,95
0,90
1,40
2,70
— 1,45
—1,20
—1,00
0,85
0,95
— 1,05
—0,70
2,2
3,40
в ^"л не учитывался вклад от виртуального возбуждения А-изо-
А-изобары, а в &"я (однопионный обмен в поперечном канале) не учтено
смягчение пионной степени свободы. Кроме того, произвольно
введен тензорный член в ёч вида и (or) r с неразумно большим зна-
значением xi?2 (см. обсуждение на стр. 330). Из этих расчетов можно
извлечь только качественное утверждение о малом влиянии тен-
тензорных однопионных и р-мезонных сил на магнитные моменты, что
совпадает с заключением работ [40, 41].
Остается пожелать, чтобы были рассчитаны магнитные мо-
моменты столь же систематически, как в [37, 38], но на современном
уровне, т. е. в координатном представлении и с корректным уче-
учетом однопионного обмена.

IV.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ
Магнитные моменты (в ядерных магнетонах)
ядер оболочки 1/7;2 *)
339
Таблица 5
Ядро
«Са
«Са
43Sc
«Sc
«Sc*
46Sc
«Sc
47Sc
«Ti
49Ti
«y
50y
Biy
51y *
HMn
62Mn*
53Mn
6BCr
*) Рассчитанные
Спнн J
7/2
7/2
7/2
2
6
7/2
4
7/2
5/2
7/2
7/2
6
7/2
5/2
2
6
7/2
7/2
Мтеор
— 1,7
— 1,3
4,7
2,4
3,95
5,05
3,60
5,35
—0,55
—0.8
4,75
3,25
5,15
3,7
0,1
3,05
4,9
4,75
М-эксп
— 1,59
— 1,31
4,61^=0,04
2,56±0,04
3,8 ±0,01
4,75
3,03
5,31=1=0,06
—0.79
— 1,10
4,46±0,05
3,35
5,15
4,22±0,73
0,007
3,08
5,05
4,32=0,43
с учетом многоквазичастичных конфигураций [39].
Таблица 6
Магнитные моменты (в ядерных магнетонах) ядер
в области 208РЬ с учетом и без учета однопиоиного обмена [41 ]
Ядро
207Pb
207pt, *
°07Pb*
209Pb
207Tl
20»Bi
209gj*
Состояние
К
3РГ/2
Щ2
1 — П
3/2
2^"/2
OS l/o
1/lq in
l'?3/2
Расчет
без учета
0,43
0,76
—1,22
— 1,36
1,96
3,66
8,01
с учетом
0,52
0,73
—1,26
— 1,26
1,97
3,82
8,01
Эксперимент
0,59
0,79±0,03
— I,00=t0,03
— l,33=t0,06
1,83
4,08
8,07=t0,19

340
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Таблица 7
Октупольные магйитные моменты сферических ядер
Ядро
147 J
116In
113In
83Kr
"Br
70Br
"Ga
e»Ga
36C1
«Cl.
Состояние Я„
(^5/2)p
(g9/2)p
(p-i/2)p
(P3/2)p
(p3/2)p
(¦D3/2)p
(d3/2)n
(d3/2)n
оболоч. мод
2,8
4,7
4,7
—?,l
1,7
1.7
1,7
1,7
—0,1
—0,1
Q/r* эксп
0,7
2,1
2,1
—0,7
0,6
0,6
0,7
0,9
—0,15
—0,15
Q/r* [44] теор
1,5
2,9
2,9
—0,9
0,85
0,85
0,8
0,8
~0
~0
В табл. 7 дается сравнение теоретических [44] и экспе-
экспериментальных значений октупольных магнитных моментов.
Квадрупольные моменты. Изотопическое смещение
Как известно, четно-четные ядра не имеют квадрупольных мо-
моментов. При добавлении нечетной частицы к сферическому ядру
возникает квадрупольный момент, который наряду с магнитным
моментом ядра определяет расстояние между компонентами сверх-
сверхтонкого расщепления атомных спектральных линий.
Найденные таким образом квадрупольные моменты ядер за-
заметно отличаются от квадрупольного момента нечетной частицы.
Причина этого отличия, так же как и в случае магнитных момен-
моментов, состоит в том, что добавленная частица, взаимодействуя с ос-
остальными частицами ядра, изменяет распределение протонов,
что приводит к появлению дополнительного квадрупольного мо-
момента того же порядка, что и квадрупольный момент добавленной
частицы.
Как было показано в III.4, при добавлении небольшого числа
частиц определяющий вклад в эффективное поле вносит переме-
перемещение свободной поверхности ядра. Количественные результаты
можно получить, выделяя явно поверхностную часть эффектив-
эффективного поля. Формально уравнения ТКФС для эффективного поля
в ^-представлении содержат это явление. Но поскольку поверхност-
поверхностная часть эффективного потенциала Vs = и (dU/dr) (где и (¦&, ф) —
радиальное смещение точек поверхности) б-образно зависит от г,
использование А,-представления требует суммирования по боль-

IV.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ 341
шому числу оболочек (без урезания базиса). Гораздо удобнее
использовать уравнения ТКФС в координатном представлении,
что и делается при вычислении квадрупольных моментов и изо-
изотопического смещения.
В некоторых работах дополнительный квадрупольный момент
остова рассчитывался с помощью квадруполь-квадрупольного
взаимодействия. Как было показано в IV.3, введение такого взаимо-
взаимодействия приводит к заметным ошибкам и для получения количе-
количественных результатов не рационально.
Следует отметить еще одно явление, которое может оказать
влияние на величину квадрупольных моментов и изотопического
смещения в легких ядрах. Можно ожидать, что среди возбужден-
возбужденных состояний сферического ядра есть такое, которое соответствует
деформированному.
Тогда при добавлении нечетной частицы наряду с состояниями,
соответствующими одночастичным возбуждениям остова, войдет
с определенным весом и это деформированное состояние. В тяже-
тяжелых ядрах примесь такого состояния будет пренебрежимо мала,
так как \[-функции большого числа частиц для сферического и
деформированного состояний сильно отличаются [59, 119].
Для вычисления квадрупольных моментов сферических ядер
необходимо найти эффективное поле, создаваемое внешним ска-
скалярным полем, равным V0 = r2P2 (cosd).
Как известно, изотопическое смещение спектральных линий
вызывается двумя причинами: изменением массы ядра при пере-
переходе к соседним изотопам (изменяется приведенная масса электро-
электронов) и изменением распределения заряда в ядре (изменяется по-
поправка к уровням электронов, обусловленная конечным радиусом
ядра).
Первая причина играет заметную роль только в легких эле-
элементах, и соответствующее ей смещение спектральных линий не
зависит от структуры ядра. Что же касается второй части изото-
изотопического смещения, которая определяет эффект в средних и тя-
тяжелых ядрах, то она существенно зависит от взаимодействия
между нуклонами в ядре. Действительно, добавление нейтронов
к ядру может вызвать перераспределение электрического заряда
только за счет взаимодействия нейтронов с протонами. Как мы
увидим, изотопическое смещение определяется частью взаимодей-
взаимодействия, не зависящей от скоростей и спинов, т. е. константами /Jn
и /»р.
Смещение спектральных линий выражается через изменение
среднего квадрата электрического радиуса ядра
где рр(г) — распределение плотности протонов.

342 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Экспериментальное определение изотопического смещения дает
изменение величины (г2)р; с другой стороны, эта величина выра-
выражается через изменение матрицы плотности протонов и может быть
найдена теоретически.
Таким образом, изотопическое смещение, так же как изменение
квадрупольных моментов, представляет собой хороший объект
для проверки теории и уточнения констант взаимодействия.
Отметим, что задача об изотопическом смещении спектральных
линий была впервые рассмотрена теоретически именно в рамках
ТКФС [120].
Как мы увидим, получается достаточно хорошее согласие тео-
теоретических предсказаний с экспериментом.
Изотопическое смещение определяется эффективным полем,
возникающим при наложении внешнего поля Vй = г\. Уравнения
для скалярного эффективного поля были получены в II 1.2. В ста-
статическом поле da — 0 и
¦ VKK = VliK + Е, (hh | Го | U') 2п.. (V - V)%v, B3)
где V определяется формулой (III.2.25) (стр. 203) и представляет
собой среднее значение V%% по состояниям, прилегающим к гра-
границе Ферми. В случае квадрупольных моментов, как нетрудно
видеть, V равно нулю. В случае изотопического смешения, так как
V%.\ слабо зависит от К, вычитание величины V практически экви-
эквивалентно вычеркиванию диагональных членов в сумме по X и %'.
Так как поле V0 действует только на протоны, то, раскрывая
изотопические индексы, получим
vp = v° + tVsv (V - ~vf f д-1аз?п (V - vf,
Vn = 9-T2* (V - V)n + ?SP2'P (V - Vf.
Скалярная амплитуда ST0 (г) задается интерполяционной формулой
(IV.3.13), описывающей переход констант взаимодействия от зна-
значений внутри к значениям вне ядра.
Изменение квадрупольного момента или величины (г2) при
добавлении протона или нейтрона соответственно равно
у п п I25)
Изменение чисел п^ при появлении квазичастицы в состоянии ^
равно (III.5, стр. 329):
Ьпх = A — п%„) би„ — ti%ab%t -%а + A — 6mJ A — б?,, _?„„) i
1 = У1 бди = 1 -

IV.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ 343
где 6x«x равно
Штрихи у знака суммы означают, что в ней нет состояний
и —Ко. Тогда
6Q =
В случае изотопического смещения Vu слабо зависит от К, и
из формулы 2^л>. — 1 получается
даже при учете парной корреляции.
Решение уравнения для эффективного поля. Если затравочное
поле — скалярная функция и не изменяется при замене t на —t,
то эффективное поле в координатном представлении при частоте
поля со= 0 будет также скалярной функцией, т. е. не будет за-
зависеть от нечетных степеней импульсов и спинов (см. аналогичные
соображения при вычислении магнитных моментов).
Общий вид эффективного поля дается выражением (скалярная
функция, инвариантная относительно замены t на —t и зависящая
от векторов г, р, а)
V = Ф1 (Г) + ф2 (Г) О [Г X р] + ф3 (Г) {rpf +
4- (более высокие степени р). B6)
Второе слагаемое может возникнуть за счет спин-орбитальных
взаимодействий в среде, а третье — из-за скоростной зависимости
сил, т. е. из-за гармоники /2 в амплитуде взаимодействия. Однако,
оба эти слагаемые обычно вносят малый вклад в V. Поэтому из
всех слагаемых взаимодействия сохраним только члены /J" и
/ур (IV.3, стр. 306).
В уравнении для эффективного поля, возникающего при до-
добавлении небольшого числа частиц, как показанов (III.1, стр.'178),
существенна дальнодействующая часть функции влияния .А<г),
сильно изменяющаяся от ядра к ядру. Поэтому квадрупольные
моменты и изотопическое смещение заметно флуктуируют.
Кроме того, квадрупольные моменты резко вцзрастают при
заполнении оболочки. Причина этого — в уменьшении поверх-
поверхностной квадрупольной жесткости по мере приближения к области
деформированных ядер. Это явление легко проследить с помощью
соотношений (III.4.72) и (Ш.4.73).
Изменение распределения плотности при добавлении частиц
(стр. 270) состоит из поверхностного и объемного слагаемых
6p = v(r) = -^-uC«) + v". B7)
Причем, главный вклад вносит первое «поверхностное» слагаемое.
Смещение поверхности и{п) увеличивается при уменьщенич по-

344 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
верхностной жесткости, /.-гармоника смещения и равна (стр. 250)
где а\ — смещение поверхности, которое получается в модели
оболочек без учета взаимодействия между квазичастицами.
Увеличение квадрупольного момента при заполнении оболочки
определяется уменьшением С2.
В III.4 (стр. 251) было получено приближенное выражение CL,
удобное для оценок:
= ai — aL, B9)
где через А[1) обозначена L-я гармоника дальнодействующей части
пропагатора Л (г, г') (Alt AL < 0).
Оценим сначала CL вблизи магического ядра (при этом | Л[г> | <
<|i4{/)|). Пренебрегая величиной АЧ) и используя оценку Л<г)
на стр. 178, легко получить
CL ~ -J- Л'/3. C0)
Запишем величину aL = ((dUldr) Л['> (dU/dr1)) в виде суммы по
состояниям:
2 П, —П%,
Для L = 0 в этой сумме присутствуют только состояния К и
отличающиеся на две оболочки. Поэтому величина а0 =
мало изменяется по мере заполнения оболочки. То же относится
и к величине щ = aL=\, в которой состояния К, %' отличаются по
четности и принадлежат к соседним оболочкам. Поэтому сфериче-
сферическая жесткость, которая определяет изменение (г2) и, следова-
следовательно, изотопическое смещение, мало изменяется по мере запол-
заполнения оболочки.
Для Со оценка C0) справедлива и в немагических ядрах. Со-
Совершенно иначе ведет себя С2. По мере заполнения оболочки в
сумме по % и %' формулы C1) для L = 2, появляются слагаемые,
соответствующие К и X' внутри незаполненной оболочки с малыми
энергетическими знаменателями. Поэтому величина я2 сначала
растет с ростом числа частиц в заполненной оболочке, а затем но-
чинает падать. Для изменения С2 при заполнении оболочки до
половины получается оценка
вС, (-Нг-У4
Итак, изменение С2 отрицательно и того же порядка, что и в
магическом ядре. Это означает, в согласии с опытом, что С2 —» 0

1V.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ 345
по мере приближения к области деформированных ядер. Эти ка-
качественные результаты подтверждаются экспериментальными зна-
значениями квадрупольных моментов и изотопических смещений.
К сожалению, до сих пор не существует систематических рас-
расчетов квадрупольных моментов и изотопических смещений, по-
последовательно выполненных современными методами ТКФС для
немагических ядер.
Изотопические смещения при добавлении двух или одного ней-
нейтрона заметно отличаются, так как два нейтрона спариваются и
распределяются по разным состояниям, тогда как нечетный нейтрон
садится в одно-единственное состояние Ко.
В величину (г2) вносят вклад нулевые колебания. Если при
добавлении нейтронов происходит непертурбативное изменение
амплитуды этих колебаний, то изотопическое смещение будет за-
заметно отличаться от вычисленного по формулам,предполагающим
линейный отклик системы на добавление частиц. Такая ситуация
возникает, как правило, вблизи магических ядер. В магических
ядрах отсутствует низколежащее 2+ состояние, тогда как в сосед-
соседних ядрах это колебание вносит заметный вклад в (г2). Если при
добавлении двух нейтронов происходит замыкание оболочки и пере-
переход к магическому ядру, то уменьшение (г2), вызванное исчезно-
исчезновением нулевых 2+-колебаний, может скомпенсировать эффект
увеличения (г2) от добавления частиц.
На роль нулевых колебаний в изотопическом смещении впервые
было указано в [121]. Количественные расчеты методами ТКФС
выполнены в [122].
Сравнение с экспериментом. Существует большое число расче-
расчетов изотопических смещений спектральных линий и квадруполь-
квадрупольных моментов сферических ядер, выполненных старыми методами —
в урезанном ^-базисе и без учета условия согласования (II 1.3.19)
[120, 123, 124]. Свободные от этих недостатков расчеты, основан-
основанные на решении уравнения для эффективного поля в координатном
представлении, выполнены только для магических ядер [91 ].
Результаты для квадрупольных моментов приведены в таблице 8.
При вычислении изотопических сдвигов удобнее использовать
другой метод, основанный на согласованном вычислении квази-
квазичастичного массового оператора и ядерной плотности в соответ-
соответствии со схемой, описанной в 11.6. Такое вычисление выполняется
для ядер, отличающихся двумя нейтронами, и составляется раз-
разность протонных плотностей этих ядер:
)-р?(г), C2)
после чего рассчитывается искомая величина
= jr28pp(r)dr. C3)
Этот метод имеет определенные преимущества перед методом,
использующим решение уравнения для эффективного поля —

346
iV. применение Теории в ядерной физике
Таблица 8
Квадрупольиые моменты Q основных состояний
околомагических ядер [91 ]
Ядро
«к
39Са
41Са
«Sc
e'Rb
8'Sr
8'Sr
209pb
«-B1
Состояние Ло
ldi7"
1/7%
2/fyf
lg^-Д
2^5/2
2^9/2
1^/2
Q, ферми »
расчет
6,3
3,1
6,3
-14,1
20,7
49,1
—30,6
-25,1
—37,6
эксперимент
6,16±0,35
—
—
12,9±0,4
—
—
-28,0±2,2
—37,9
проще учесть спин-орбитальные и скоростные члены эффективного
взаимодействия. Этими малыми компонентами взаимодействия
квазичастиц, при решении уравнения для эффективного поля обыч-
обычно пренебрегают в связи с тем, что их учет в этом уравнении тех-
технически очень сложен. В то же время, например, спин-орбиталь-
спин-орбитальные силы для больших орбитальных моментов / вносят довольно
значительный B0ч-30 %) [125] вклад в величину брр (г), так как
она в основном сосредоточена^ поверхности ядра, где спин-
орбитательные силы велики. ^ g§
В прямом же методе вычисления б (гр), основанном на реше-
решении задачи «согласования», учет этих компонент взаимодействия
не составляет труда. Этот метод использовался в работе [126]
при вычислении 6 (гр) для ряда сферических ядер. Для немаги-
немагических ядер учитывались эффекты спаривания, однако не рассчи-
рассчитывался вклад нулевых поверхностных колебаний. Результаты
приведены в табл. 9.
Оценки показывают [126], что вклад нулевых колебаний как
раз того же порядка, что и имеющиеся в табл. 9 расхождения между
теорией и экспериментом. Количественные расчеты этого эффекта
выполнены пока только для 48Са — 40Са [122], они объясняют
наблюдающуюся на опыте отрицательную или близкую к нулю
величину б (гр). Для немагических изотопов Sn, где вклад нуле-
нулевых колебаний поверхности в б (гр) невелик, расчеты [126]
хорошо согласуются с экспериментом.

IV.8. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ
Относительные 6 (/-р) без учета вклада
нулевых колебаний поверхности
347
Таблица 9
Пара изотопов
«Са-4иСа
<*Са—«Са
*8Са—««>Са
88Sr_»OSr
.зев,—и«Ва
iiesn—»esn
120Sn_118Sn
122Sn_120Sn
12*Sn-122Sn
6<'р>/в('р> кап>>
расчет
[126]
0,01
0,06
0,132
0,38
0,58
0,51
0,51
0,51
0,52
эксперимент
0,58±0,04
0,36±0,04
—0,10± 0,02
—0,19^0,02
0,26±0,06
0,60±0,01
0,52±0,01
0,45±0,02
0,45±0,01
•) в {гр)кап = -zr%A~ 6A отвечает изменению радиуса капли при добавлении
частиц по закону R = гдЛ1/3.
Моменты инерции
Пусть ядро, аксиально симметричное относительно оси г,
вращается вокруг оси х с угловой скоростью Q.
Перейдем в систему координат, в которой ядро покоится. Урав-
Уравнение Шредингера в новой системе координат имеет вид
. дФ'
dt
= Я'Ф'.
При повороте на угол ср вокруг оси х функция преобразовывается
по закону
Ф' = Г1**"'©,
где Ш — оператор полного момента системы. Так как ф = Ш, то
Н' = Я - 2R*Q. C4)
Среднее значение 9Я* по возмущенным функциям равно
Энергия
б (Н\ —. i
/41
вращения
2R*>Q + 8
|>*\ _ 0 ^
системы
<//>«
> г
J Es — E0
равна
Q
2
s

348 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Мы рассматривали вращение системы в рамках классической
механики. Квантование вращательного движения может повлиять
на связь между энергией и угловой скоростью (т. е. на &) только
за счет зависимости момента инерции от угловой скорости. Пре-
Пренебрегая такими эффектами (неадиабатичность вращения), полу-
получаем следующее выражение для момента инерции:
Es-E0 '
где Шх — проекция на ось х полного оператора момента.
Таким образом, задача определения момента инерции сводится
к нахождению среднего значения (Ж") под действием возмуще-
возмущения — 2R*Q. Спиновая часть оператора fflx вносит малый вклад
по сравнению с орбитальной частью (~Л~'/»), однако для получе-
получения точных результатов должна учитываться (в работе [113]),
спиновая часть 3R* была опущена).
Изменение матрицы плотности. Для определения среднего зна-
значения (ЗЯХ) следует найти изменение матрицы плотности квазича-
квазичастиц 6? в поле 9Jl*Q. Среднее значение ЗЯХ найдется по формуле
(Шх) = Spe96p2K* = Sp брЗГС*.
«Заряд» квазичастиц eq по отношению к возмущению — Ш.*0,
равен единице (III.3, стр. 223), поскольку Шх есть сумма нейтрон-
нейтронного и протонного моментов.
Изменение матрицы плотности в поле — 3Jl*Q = У0 дается
формулой (II 1.2, стр. 200)
бр = #«»V + ЛГОДО» + JC^dW, C6)
где V — эффективное поле, вызванное полем V°, a d'1*- <2> — из-
изменение Л*1'- <2) в этом поле. Для краткости ниже пишем: ?*1)^1
+ MWdW JC^d
Уравнения для эффективного поля следует писать отдельно
для орбитальной и спиновой частей оператора возмущения.
Орбитальная часть эффективного поля. Рассмотрим эффектив-
эффективное поле V1, вызываемое орбитальной частью Шх, т. е. возмуще-
возмущением 2 [гр]х. Так как заряд ед, соответствующий такому полю,
п+р
равен единице, то в символической записи (см. III.2, стр. 205)
y/t=/* + #"(.2'<0>V' +ЛГсад1). Л"«»# + 0(О)У' = О. C7)
Как было выяснено в [131], вклад спин-орбитальных поправок
в V1 пренебрежимо мал, и из всех слагаемых @~ следует сохранить

IV.5. ЯДЕРНЫЕ МОМЕНТЫ 349
только член, содержащий /х-Щ-¦ Решение следует искать в виде
V = <VX (r) Iх.
Впрочем, так как М как это следует из оценки т ~~ т на стр.280)—
малая величина, то уравнение C7) можно решать методом итера-
итераций. (В работе [113] было взято V1 = Iх, т. е. пренебрегалось fx.)
Для нахождения первой итерации следует подставить в пра-
правую часть C7) изменение р в поле К0, найденном в [113].
Спиновая часть эффективного поля. Так как эффективный за-
заряд для поля 2а*равен единице (III.2, стр. 223), то для спиновой
п+р
части эффективного поля получаем
V = ах + Т (ZWV* + .#«»#). C8)
В пренебрежении спин-орбитальными добавками в У следует со-
сохранить только спиновую часть взаимодействия g0oa'.
Уравнение для ds в символической записи имеет вид (III.2,
стр. 205)
Ж<°Ы° + 0lO)V' = 0. C9)
Главный вклад в суммы вносят слагаемые с К и %', отличающимися
только проекциями момента, поскольку таким слагаемым соответ-
соответствует малая разность энергий (см. ниже):
|е», — е%-\ ~-е^Р — ~ А-
Остальные члены суммы содержат большие знаменатели и мо-
могут быть отброшены.
При вычислении моментов инерции ядер А заменялась кон-
константой. Между тем спаривание в ядрах в большой мере обуслов-
обусловлено притяжением нуклонов вблизи поверхности ядра. (см.
[231]), т. е. П, а следовательно, и А заметно изменяются вблизи
поверхности ядра. Благодаря этому А^ зависит от К и должно быть
найдено из соответствующего уравнения, (II, 4, стр. 138) с учетом
зависимости П (г).
Переход к нечетным ядрам. В нечетных ядрах происходит
увеличение момента инерции, связанное с уменьшением А при до-
добавлении нечетной частицы. Этот эффект учтен в работе [46].
Помимо этого эффекта, появление нечетной частицы в состоянии %0
изменяет функции Грина G%0, G_a,0, /%, F^%a. В соответствии с этим
изменяются и коэффициенты 9Е%^', Л^2), Л?Ц"'2), €?$¦, когда зна-
значения % и %' совпадают с ^0 или — %0 (III.2, стр. 198).

350
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Это обстоятельство учитывалось в [129] и давало наряду с из-
изменением А качественное объяснение больших скачков в моментах
инерции при переходе к нечетным ядрам.
Сравнение с экспериментом. Наиболее последовательные рас-
расчеты моментов инерции ядер, в которых учтены основные из пере-
80
29,
МэВ"'
ВО
' ' ' L-L-
l ! , I . I I Mi
I I I I I
150 t52MH5* ISO 156 160№ 160 1Bt I6SW16S172 176 172 I7SIS0 180 186IS61S8 /J
Рис. 5. Моменты инерции редкоземельных ядер, рассчитанные в [130]. Кре-
Крестики, светлые кружки и темные кружки означают, соответственно, расчет без
взаимодействия, с взаимодействием 9" и с взаимодействием 9" и Г .
Квадратиками изображены экспериментальные значения.
численных эффектов, выполнены в работе [130]. Ее результаты
приведены на рис. 5. Отметим также работу [131], где было вы-
выполнено последовательно согласование в канале частица —
дырка.

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТбЯНИЯ ЯДЕР
Приводятся результаты расчетов по формулам ТКФС частот и вероят-
вероятностей возбуждений различного типа: одночастичных, неколлективных
и коллективных. Дается сравнение с экспериментальными данными. По-
Полученные теоретически переходные плотности р*г (г) для коллективных
низколежащих возбуждений имеют резкий максимум на поверхности ядра
и хорошо согласуются с экспериментом. Обсуждаются расчеты и экспери-
экспериментальные данные по положениям и ширинам гигантских резонансов.
Рассматривается взаимодействие нечетной частицы с коллективными
колебаниями в нечетных ядрах.
Свойотва одночаотичных возбуждений
Простейшими возбуждениями нечетных ядер являются одно-
частичные возбуждения, обусловленные переходами последней
нечетной квазичастицы из основного состояния %0 в следующие
одночастичные состояния. В первоначальных расчетах по ТКФС
спектры е^ одночастичных состояний либо брались из опыта, либо
рассчитывались с помощью потенциала типа Вудса—Саксона.
В последние годы использование условия согласования [22,
91] позволило рассчитывать самосогласованный потенциал ядра
и тем самым одночастичные энергии гк через амплитуду взаимо-
взаимодействия квазичастиц. Как мы видели в разделе II.6, при строгом
подходе с учетом запаздывания — энергетической зависимости
этого взаимодействия, в задачу входит амплитуда Л, отличающаяся
от обычно используемой в ТКФС амплитуды^", но связанная с ней
однозначно. Пока, к сожалению, нет завершенных вполне после-
последовательных расчетов такого рода*). В существующих расчетах эф-
эффектами запаздывания и скоростной зависимостью взаимодействия
пренебрегалось, тогда амплитуда Л совпадает с Т. Глубина само-
самосогласованного поля внутри ядра определяется лишь амплитудой
рассеяния на угол нуль и не зависит от радиуса сил. Однако ко-
конечный радиус существенно влияет на вид U (г) у поверхности
ядра. Предположение, что радиус сил равен нулю, приводит к слиш-
слишком малой толщине поверхностного слоя, что дает неправильный
порядок уровней у поверхности Ферми и даже неправильные зна-
значения магических чисел. Расчеты с силами конечного радиуса
[91, 108, 109] приводят к разумному воспроизведению эксперимен-
экспериментальных одночастичных уровней. При этом расчеты, в которых ис-
использовалась различная форма задания конечного радиуса (силы
с юкавсной радиальной зависимостью в [108] и приближение
эффективного радиуса в [109]), дают мало отличающиеся резуль-
результаты. Точность воспроизведения эксперимента, несомненно, воз-
возрастет в более последовательном подходе с использованием квазй-
частичного лагранжиана (см. II.6).
*) В настоящее время такие расчеты выполнены [233]. Учет эффектов за-
запаздывания привел к существенному улучшению согласия с экспериментом.

352
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Статические моменты одночастичных возбужденных состояний
рассчитываются так же, как и моменты основных состояний:
момент возбужденного состояния % определяется матричным эле-
элементом эффективного поля V|Q]:
Известно довольно много магнитных моментов возбужденных
одночастичных состояний ядер, особенно для соседей 208РЬ (см.
табл. 6 на стр. 339).
Трудным для теории объектом являются изомерные сдвиги
атомных и мезоатомных линий в нечетных ядрах, которые для воз-
возбуждения Xq —-> % определяются разностью *)
Матричные элементы Vkk, как правило, очень близки друг другу,
так что разность A) на порядок меньше каждого из членов. По-
Поэтому даже незначительная погрешность при вычислении V (г)
может приводить к большой ошибке в ответе, и неудивительно,
что стандартные расчеты по ТКФС здесь часто оказываются не-
неудовлетворительными (см. табл. 10). Основной причиной ошибки,
общей для [91] и [52], является, по-видимому, неучет спин-
орбитального взаимодействия. Кроме того, в отдельных случаях
могут оказывать влияние низколежащие коллективные колебания.
Таблица 10
Изомерные сдвнгн Д? мезоатомных линий
в ядрах—соседях 208РЬ
Ядро (основное со-
состояние Ко)
209Bi AЛ?/2)
м'РЬ(Зрйя)
Возбужденное
состояние X
ll'l3/2
2/5/2
3?3/2
2/7/2
д?, кэВ
расчет
[52]
8,11
0,675
0,412
0,442
расчет
[91]
7,!4
0,!9
-0,07
0,34
эксперимент
[127]
3,6=±0,7
—0,09±0,22
0,74±0,20
3,21±0,8
Наконец, как показано в [127], существенный вклад в сдвиг
мезоатомных линий вносит спин-орбитальное взаимодействие ц-
мезона с ядром, которое и в [52] ив [91] не рассматривалось
и корректный учет которого представляет самостоятельную за-
задачу.
*) В случае тяжелых мезоатомов сдвиг уровня определяется не только (г2),
но н более высокими моментами.

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР
353
Вероятности электромагнитных переходов Хх —> К2 между одно-
частичными состояниями выражаются (стр. 235) через эффектив-
эффективное поле V (cos). Матричный элемент перехода
= V%1%1 (cos),
где tos = е^ —
A)
Таблица 11
В (EL) для одночастичных переходов в ядрах—соседях 208РЬ
Ядро
207Т|
20врЬ
207РЬ
209Bj
20врЬ
10
2/7/2
2/5/2
ЗРз/2
2d3/2
3rf5/2
4sl/2
2/5/2
3Рз/2
1*13/2
'/l5/2
1/l9/2
1Л9/2
2/7/2
3*1/2
2«9/2
Щ,2
3^1/2
ЗР1/2
1/l9/2
2fi9/2
Энергия
перехода
0)s, МэВ
0,897
2,822
1,219
0,351
1,566
0,466
0,570
0,898
1,609
1,422
В (?2), ^-ферми*
расчет
1-частич-
1-частичная
модель
2,7
79,7
19,8
57
229
583
69,8
91,4
[52 3
18
672
725
199
145
128
85,7
82,3
[91]
11,2
296
560
150
132
123
71,2
76,6
эксперимент
30±3
480±170
9002:600
2903=40
185±45
156±8
71±3
62±3
В (F3), е2-фермив
0,38
5,96
9,80
79
—
—
9,45
67
Сейчас имеется обширный экспериментальный материал по
одночастичным переходам, особенно в ядрах—соседях а08РЬ.
В табл. 11 приведены вероятности переходов электрического
типа из работ [91] и [52, 132]. Как видно, в отдельных случаях
возникает заметное различие между расчетами в координатном
представлении [91] (полный базис) и в ^-представлении [52]
(урезанный, хотя и довольно широкий базис). Интересно отметить,
что В (?3) значительно (на порядок и более) превышают одно-
частичные оценки. Это объясняется близостью сильно коллектив-
коллективного полюса V (со) симметрии 3" (со3- = 2,61 МэВ). В то же время
В (Е2) порядка и часто даже меньше одночастичных значений.
Объясняется это тем, что полюс 2+ значительно дальше (со2+ =
12 А. Б. Мигдал

354
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Таблица 12
Вероятности разрешенных All-переходов в ядрах—соседях 2°epb
Ядро
209Bi
»07Pb
10
2/5/2
3^3/2
2/7/2
10
2/7/2
3Pl/2
2/5/2
Энергия
перехода
@s, МэВ
1,93
0,90
1,77
В (All), (ядерный магнетонJ
расчет
[52] | [41]
0,84
0,35
0,37
0,73
0,36
0,35
[43]
0,70
0,28
0,29
эксперимент
0,7&±0,15
0,41=t0,07
0,49=Ь0,16
= 4,06 МэВ) и его коллективность значительно меньше. Табл. 12
содержит вероятности разрешенных магнитных переходов.
В [52, 133] расчеты производились со взаимодействием (IV.3.1)
без явного выделения однопионного обмена. Расчеты [41, 42]
с выделением однопионного обмена @~л в аннигиляционном канале
показали, что в вероятности разрешенных ЛЛ-переходов, как и
в магнитные моменты, @~п вносит сравнительно малый вклад. В ра-
работе [43] выделялся явно также однопионный обмен в поперечном
канале, однако без учета изменения пионного пропагатора в ядре,
а также обмен р-мезоном. Эти компоненты У после выделения
тех их частей, которые уже включены в g и g', также слабо влияют
на значения В (Ml).
Интересным для теории объектом являются /-запрещенные
ЛП-переходы. Это — одночастичные переходы с изменением орби-
орбитального момента / на 2. В модели невзаимодействующих частиц
они полностью запрещены и осуществляются только благодаря
взаимодействию между квазичастицами. Этот факт был впервые от-
отмечен в старой работе Арима, Хори и Сано [134], однако в ней ис-
использовалась теория возмущений по взаимодействию. В рамках
ТКФС, без использования теории возмущений, /-запрещенные пере-
переходы впервые были рассмотрены в [135]. Как видно из (IV.5.18),
эффективное поле V [оа] (а именно оно определяет ЛЛ-переходы)
состоит из двух частей: vx (г) аа и у2 (г) (on) na. Второй член может
изменять орбитальный момент частицы на 2 и объясняет /-запре-
/-запрещенные Ml-переходы. Поскольку v2 (r) пропорционально взаимо-
взаимодействию, /-запрещенные переходы очень чувствительны к струк-
структуре зависящих от спинов членов &"'. Расчеты с взаимодействием,
содержащим только нулевые гармоники, в области 208РЬ приводят
к заниженным по сравнению с экспериментом на порядок и более
значениям В (ЛИ). На это обстоятельство было обращено внимание
в [136], где было отмечено, что вероятности /-запрещенных пере-
переходов сильно меняются при учете &"я. Действительно, величина у2
имеет полюс в критической точке я-конденсации (см. IV.2). По-
Поскольку ядро близко к критической точке, у2 велико и расчеты

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР 355
чувствительны к выбору констант взаимодействия. Количествен-
Количественный расчет показал [41 ], что учет Тп только в аннигиляционном
канале недостаточен для полного объяснения вероятностей /-
запрещенных переходов. В работе [118] показано, что /-запрещен-
/-запрещенные переходы очень чувствительны к вкладу спин-орбитальных
сил. Так что для окончательного решения этой проблемы необхо-
необходим совместный учет однопионного обмена в обоих каналах и
спин-орбитальных сил.
В последние годы появился обширный и непрерывно растущий
экспериментальный материал по дифференциальным сечениям воз-
возбуждения одночастичных состояний электронами и протонами.
Эти данные содержат неизмеримо более богатую информацию о
структуре состояний, чем полные вероятности возбуждения.
Их теоретическое описание — задача ближайшего будущего.
Неколлективные чаотично-дырочные ооотояния
В системе невзаимодействующих ферми-частиц все возбужде-
возбуждения имеют энергию сом- = е^ — е^>, где е^ — энергия воз-
возбуждения частицы, г\- — дырки. Включение взаимодействия
приводит к смешиванию таких состояний и сдвигу их энергий.
Это перемешивание может привести к образованию коллективного
состояния, представляющего собой когерентную суперпозицию
большого числа частично-дырочных состояний. Коллективные
состояния рассматриваются в следующем разделе.
Большинство частично-дырочных состояний остаются некол-
неколлективными, т. е. представляют собой суперпозицию, в которой
доминирует вклад одного частично-дырочного состояния (К, к').
Это означает, что состояние (X, К') представлено с весом порядка 1,
тогда как каждое из остальных состояний имеет малый вес, содер-
содержащий степени А в знаменателе.
Энергии cos неколлективных состояний мало сдвинуты относи-
относительно со* = «"я- — это характерная черта неколлективных со-
состояний, позволяющая легко отличить их экспериментально. В по-
последние годы резкое улучшение разрешения протонных и электрон-
электронных ускорителей позволило обнаружить и исследовать громадное
число неколлективных состояний. Особенно тщательно изучено
ядро а08РЬ, где в интервале энергии возбуждения до 6ч-7 МэВ
стало известно более ста частично-дырочных состояний, большин-
большинство из которых неколлективные.
При расчете характеристик неколлективных состояний удобно
использовать формулы раздела III.4 (стр. 236). Так, сдвиг А<оа
энергии юга- относительно a>xv дается матричным элементом
) B)
с фиксированным моментом / частицы и дырки, где Г' (©а) оп-
определяется решением уравнения AУ.5.15)для амплитуды взаимсь

356 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
действия. Характерная величина матричного элемента Г' в за-
зависимости от углового момента возбуждения колеблется в интер-
интервале ~tFA~l—sFA—2/*, и, как правило, меньше расстояния до
следующей частично-дырочной разности. Тогда, приближенно,
можно в правую часть B) подставить вместо (os величину <ох\. —
ошибка будет незначительна. Можно этого и не делать, рассматри-
рассматривая B) как уравнение для cos (напомним, что это уравнение явля-
является точным), и решать его итерациями: o)s0) = ^12; «s1' = o>i2 +
+ (l2|r'(cof»)|l2); cof> = со?2+A2|г'(соГ))|12) и т. д. Опыт
расчетов показывает [57], что такой способ часто рациональнее
обычного метода нахождения собственных частот уравнения для
эффективного поля.
Задача о спектрах неколлективных состояний представляется
естественной для определения констант теории, так как сдвиг
собственной частоты пропорционален взаимодействию. Однако
она содержит и определенные трудности. Дело в том, что Acos
определяется индивидуальным матричным элементом Г'. В таких
случаях не всегда можно пренебрегать дальнодействием в попереч-
поперечном частично-дырочном канале и считать ЯГ локальной функцией
координат, а в некоторых случаях следует рассматривать систему
паркетных уравнений для Г (стр. 143).
Действительно, глядя на диаграмму
л; i *
Ч
Л Л
трудно сказать, в каком канале — в прямом или поперечном —
следует развивать уравнение для Г'. На самом деле, как правило,
и в этой задаче есть преимущество у прямого канала, так как
матричный элемент Г' выражается через сумму в общем случае
большого числа (~А11>) матричных элементов (|M,}L|r" | \X'X'\L)
с фиксированным моментом L в поперечном частично-дырочном
канале;
2 min (/,/')
/Ill'l ir'llll'l \ V Г" l\\\\ IF'lll'l'l \ A\
(|ЛЛ \j \ 1 I |ЛЛ }/) = 2j WL \\"'"\l I -I I {Л Л }/J. (О)
L=Q
Коэффициенты CJL приведены в [55]. Суммирование по L до
?<max ~ А1/а в импульсном представлении эквивалентно интегри-
интегрированию по q до <7max ~ Pf. так что область малых q ~ pFA-lf>,
для которых существенно дальнодействие в поперечном канале,
вносит малый вклад. Тогда можно использовать обычное уравне-
уравнение (IV.5.15) для Г" с обычной амплитудой @~.
Однако, если один из одночастичных моментов (/, /') мал,
такого интегрирования нет. Если же второй велик, то вообще

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР 357
следует развивать уравнение именно в поперечном канале, так
как дальнодействие в прямом канале несущественно. Действи-
Действительно, в этом случае волновые функции фх (г) и qv (r) сильно
различаются по числу узлов и их произведение фх (г)ф^ (г)
быстро осциллирует с изменением г. Поэтому в интеграле
* (г) q>v (г)Г (г, г') ф* (г') q* (r')dr dr'.
остается только б-образная по аннигиляционному каналу часть Г'.
На это обстоятельство впервые обратили внимание Осадчиев и
Троицкий [55]. Такие случаи часто встречаются в магических
и околомагических ядрах. Использование для их анализа обычного,
способа собирания графиков в прямом канале (IV.3) дает непра-
неправильные значения констант взаимодействия.
В тяжелых ядрах неприменимость обычных уравнений
ТКФС — редкое явление. В легких ядрах наоборот, как правило,
осуществляются случаи, когда требуется применение паркетных
уравнений (П.5.6).
Константы, получаемые из анализа спектров легких ядер
О1в, С12 с помощью уравнения для Г' в аннигиляционном канале
[107], не имеют отношения к универсальным параметрам теории.
В работах [56, 57] был предпринят анализ спектров аномаль-
аномальной четности ядра 208РЬ с целью нахождения спиновых констант
амплитуды^" с учетом @~п в аннигиляционном канале. В [56]
были выделены чистые случаи, когда такая аппроксимация Т
законна, — это уровни 21, 07 и It- Результаты расчета а>а
приведены в верхних строках табл. 13. Расчет проводился с кон-
константой ?8 = 0,05 и с поляризационным оператором Рд, отве-
отвечающим неперенормированной вершине jtNA. При этом наилуч-
наилучшее согласие с опытом достигается при константе g' = 1,0 (крити-
(критическое значение g'c = 0,85). Это значение подтверждается также
еще одним частным случаем из поперечного канала — это один
из дублетов, рассмотренных в [55],—дублет 5+, 4+ в 208Bi,
расщепление которого определяется матричным элементом ампли-
амплитуды Г' с квантовыми числами 1+ в поперечном канале. Экспери-
Экспериментальное значение этого расщепления равно АЕ = —77 кэВ,
а расчет с g' = 1,0 дает АЕ = —74 кэВ.
В нижней части табл. 13 приведены результаты расчетов энер-
энергий других состояний аномальной четности в 208РЬ. Как видно,
наилучшее согласие с опытом достигается в среднем при тех же
константах ?g = 0,05, g' — 1. Чувствительность положения ис-
исследованных уровней к величине изоскалярной спиновой кон-
константы g очень слабая: расчеты с g си 0,8 и с g ~ 0,4 [42] при-
приводят к очень близким результатам.
Значение константы g, опредяющей близость ядер к точке
пионной конденсации, установлено достаточно надежно. Согласно
[57] g1 лежит в интервале g1 = 1 ± 0,06 (при ?s = 0,05, fnNA =

358
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ Ц ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Таблица 13
Энергии частично-дырочных состояний
аномальной четности в 208РЬ
2Г
«Г
1?
2?
4Г
4?
4J
6Г
61
63
12i'
12?
иэксп- МэВ
4,23
5,28
7,2
5,04
3,48
3,92
4,13
3,99
4,21
4,39
6,42
7,06
со12, МэВ
4,00
5,46
5,57
5,00
3,43
4,00
4,21
4,00
4,21
4,33
6,49
7,22
соте0р, МэВ; а
g = 0,36
4,20
5,15
7,24
5,07
3,50
4,06
4,17
4,03
4,22
4,36
6,65
7,45
= 0; ls = 0,05
1,02
g = 0,78
4,27
5,23
7,07
5,13
3,52
4,09
4,20
4,04
4,24
4,42
—
—
сах к
- Это значение приводит к comin = 0,25т2п. При импуль-
импульpF, которые существенны для рассмотренных спектров,
квадрат энергии свободного пиона равнялся бы со* ~ т2п + р% =
= 5/Пя. Квадрат пионной энергии уменьшается в 20 раз!
Именно поэтому однопионный обмен играет важную роль в ядер-
ядерных процессах в спектрах аномальной четности, и совершенно
недопустимо заменять обмен смягченным пионом на обмен сво-
свободным.
Близость ядер к конденсации подтверждается не только кон-
конкретными расчетами, но и общей картиной спектров аномальной
четности: все они очень мало сдвинуты относительно невозмущен-
невозмущенных положений сои-, причем некоторые даже сдвинуты вниз,
наиболее сильно — уровень 0". Это возможно только в том слу-
случае, если сильное б-образное спин-спиновое отталкивание почти
полностью компенсируется однопионным притяжением ЗГЯ, что,
в свою очередь, возможно только, если вклад @~п усилен близо-
близостью к неустойчивости.
Важной характеристикой неколлективных состояний явля-
является их «волновая функция» — так называют компоненты р^'
переходной плотности pir (r) в X,-представлении:

1V.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР
359
Матричные элементы р[^ нормированы условием
') I Рхх» Iя 1 •
E)
Согласно вышесказанному, среди рм- имеется один член ~1.
Среди остальных малых слагаемых всегда имеется несколько
членов, вес которых усилен влиянием конфигураций, близких
по энергии. Эти усиленные слагаемые (с весом --'0,1) в отдельных
случаях извлечены из опыта непосредственным анализом данных
по Р- и 7-переходам [137]. В табл. 14 приведены значения pj&.,
полученные с теми же параметрами, что и при расчете спектров.
Как видно, получается разумное согласие с опытом, причем для
«чистого» состояния 2f расхождение меньше.
Таблица 14
Главные компоненты pjj^, переходных плотностей
первых состояний аномальной четности в 208РЬ
2Г
4Г
6Г
эксперимент
теория
эксперимент
теория
эксперимент
теория
0,98
&
0,92
B)
0,98
0,87
0%
0,21
F)
0,24
0,24
C)
0,09
0,35
(9)
0,01
0,05
(8)
0,11
0,12
(9)
0,04
0,33
D)
0,08
0,03
G)
0,04
0,06
E)
0,05
0,10
C)
0,09
В скобках указаны номера частично-дырочных конфигураций, пронумерованных
следующим образом: A) 2«jJ/2-2/-'1; B) 2gg/2 - Зр"": <3> 2Sg/2 ~3 pJ/2: D> ИП/2
- щп2; E) 2412 - *ф <6> M\i ~37": <7> Ы%ч ~аФ (8) Mh -3"^2П;
О) 1"Р/2 - KV2°-
Остальныг, еще меньшие компоненты p[v вносят большой
когерентный вклад в формфактор возбуждения с аномальной чет-
четностью из-за близости ядер к критической точке. Фурье-образ
переходной плотности
Ptr(*) =
приобретает выраженный максимум при k ~ k0 (k0 — критический
импульс), амплитуда которого растет при g' -»- g*v (рис. 6).

360
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Если ядра действительно близки к критической точке, такой мак-
максимум должен проявляться в ядерных реакциях при передаваемых
импульсах k ~ k0 ~ рР. Удобный способ для изучения этого яв-
явления представляет неупругое рассеяние протонов с возбуждением
состояний аномальной четности [138].
Как показывает анализ [139], эффект делается значительным
при Ер $z 100 МэВ (см. рис. 7).
к.рерш'
Рис. 6. Переходная плотность р (k) для состояния 0~ в ядре РЬ, рассчитан-
рассчитанная для различных значений константы g': кривая / — для g' = 0,98; кривая
2 — для g' = 1,03 и кривая 3 — Для g' = 1,08.
К сожалению, для таких энергий сечения пока не измерены.
Для энергии же Ev = 35 МэВ, для которой измерения существуют
[140], эффекты искаженных волн настолько значительны, что
от картины с выраженным максимумом практически ничего не
остается. В этом случае близость к точке неустойчивости сказы-
сказывается лишь в увеличении абсолютной величины сечения. При
этом опять-таки сравнение с экспериментом свидетельствует в поль-
пользу g' ~ 1,0. Плохое воспроизведение экспериментального сечения
на малых углах объясняется тем, что в 1139] не выделен явно
однопионный обмен в поперечном канале. При больших углах та-
такое приближение вносит малую ошибку.
В [139] аналогичные расчеты проведены для состояний 47
и 6J — , и там ситуация та же. Для Ер — 35 МэВ известны диф-
дифференциальные сечения для возбуждения девяти различных состоя-
состояний аномальной четности в 208РЬ. Во всех случаях наилучшее опи-
описание эксперимента соответствует g' = 1,00.

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР
361
Таким образом, совокупность данных по неколлективным со-
состояниям аномальной четности подтверждает сделанное при
анализе магнитных моментов и ЛП-переходов заключение о бли-
близости ядер к точке я-конденсатной неустойчивости.
О 20 '¦О 60 80 0 20 4/7 ВО 80 100 КО В°Ц.»
Рис. 7. Сечения иеупругого рассеяния протонов на ядре 208РЬ с возбуждением
состояния 2f D,23 МэВ), рассчитанные в [139]. Расчеты проведены для значений
константы g =0,96 (штриховые линии), g' = 1,02 (сплошные) и g'= 1,20
(штрих-пунктириые). В левом верхнем углу результаты расчета в плосковолно-
плосковолновом бориовском приближении. Остальные кривые получены в рамках метода
искаженных волн (детали расчета см. в [139]). Экспериментальные данные для
Ер = 35 МэВ взяты из [140].
Коллективные возбуждения ядер
Первым теоретическим подходом к описанию коллективных
возбуждений ядер была классическая модель жидкой капли, в ко-
которой ядерное вещество несжимаемо и все колебания поверхност-

362 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
ные. Эта модель привела к совершенно неправильным значениям
частот и вероятностей переходов, к заниженному правилу сумм
и обладала многими другими недостатками. Тем не менее коорди-
координатная зависимость переходной плотности ptr (/•), даваемая этой
моделью: ptr (r) ~ dp/dr, приводила к разумным угловым рас-
распределениям ядерных реакций. Это было косвенным указанием
на важную роль поверхности в структуре низколежащих коллек-
коллективных состояний. Модель оболочек того времени описывала толь-
только неколлективные состояния ядер.
В конце 50-х годов начали развиваться микроскопические под-
подходы в теории ядра, основанные на методах задачи многих тел.
Полученные в работах того времени коллективные возбуждения
были похожи на нулевой звук в ферми-жидкости (нормальной
или сверхтекучей, в зависимости от того, какое ядро — магиче-
магическое или немагическое — рассматривалось). Соответствующие пе-
переходные плотности не содержали поверхностного слагаемого
вида dp/dr, которое диктовалось гидродинамической моделью и
опытом. Как впоследствии выяснилось, причина этого крылась
в плохом способе решения уравнений ТКФС: они решались не-
некорректно — в урезанном Л-базисе, ограниченном ближайшими
к поверхности Ферми оболочками. Такой расчет правильно опи-
описывает свойства длинноволновых полей, для которых матричные
элементы V%%> быстро убывают с ростом | гх — е%' \. Для по-
поверхностной компоненты эффективного поля У11ОВ (г) ~ dU/dr
спадание матричных элементов (dU!dr)xx' начинается лишь с
| е^ — Е%' \ > eF и идет очень медленно. Поэтому корректное
решение уравнений ТКФС в ^-представлении требовало бы учета
состояний непрерывного спектра вплоть до энергий —-100 МэВ,
чего, разумеется, не делалось. Единственным разумным методом
решения уравнений ТКФС в такой ситуации является метод, ис-
использующий координатное представление, в котором частично-
дырочный пропагатор А вычисляется точно (стр. 159).
Существенный вклад в понимание проблемы внесли работы
В. А. Ходеля 1972—74 годов [17, 141], в которых уравнения
теории были с помощью условия согласования преобразованы так,
что поверхностная часть эффективного поля выделялась явно
(см. стр. 249). Позже прямое решение уравнений ТКФС в коорди-
координатном представлении с учетом условия согласования для низко-
лежащих состояний магических ядер [142, 91, 143] показало,
что в амплитудах gs (r) рождения таких состояний действительно
имеется большая поверхностная часть ~dlf/dr. Соответственно
этому в переходной плотности ptr = Ags возникает гидродинами-
гидродинамическое слагаемое ptr ~ dp/dr.
Эти колебания не являются чисто поверхностными. Благодаря
дальнодействию, обусловленному перерассеянием квазичастиц,
близких к поверхности Ферми, они заметно смешиваются с объем-
объемными колебаниями. При этом частоты и вероятности В (EL) воз-

IV.6. ВОЗБУЖДЁННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР
363
буждения этих состояний в некоторых случаях определяются объ-
объемным вкладом — в этом причина неудачи модели жидкой капли
при расчетах этих величин.
Общее рассмотрение этого вопроса проведено в главе III.4
(стр. 252). Здесь мы приведем результаты расчетов [144], [108],
подтверждающих описанную там качественную картину. В этих
работах рассчитывались характеристики состояний нормальной
-г
ферми
Рис. 8. Переходная плотность ptr (г)
состояния 3" в ядре 208РЬ. Сплошная
и штриховая линии — самосогласован-
самосогласованные расчеты [108] для двух вариантов
сил с учетом квазичастичных форм-фак-
форм-факторов. Пунктиром показан результат
расчета [52] в урезанном базисе. За-
Заштрихованная область обозначает экс-
экспериментальную переходную плот-
плотность, [18].
о
8 ферш
Рис. 9. Переходные плотности состоя-
состояний 5j и 5J в ядре 208РЬ. Сплошными
линиями показаны экспериментальные
данные [20]. Штриховая и пунктирная
линии отвечают двум вариантам рас-
расчета [108].
четности в магических ядрах. Использовались силы конечного
радиуса сюкавской радиальной зависимостью (стр. 317, табл. 3,
столбец 3). В этих расчетах по заданной амплитуде #" находился
самосогласованный потенциал U (г) (см. стр. 32), который затем
использовался при описании коллективных колебаний. Все рас-
расчеты производились в координатном представлении, в соответ-
соответствии со схемой, описанной в разделе III.4 (стр. 243).
На рис. 8 и 9 приведены переходные плотности состояний 37
и 5г, 5? в 208РЬ. Результаты расчетов сравниваются с эксперимен-
экспериментальными переходными плотностями. При расчетах учитывался
локальный формфактор квазичастицы в форме (II.4, стр. 129)
с параметром г\ — 0,1 ферми2. Как и ожидалось, эти переходные
плотности имеют большие поверхностные максимумы (форма

364
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
их близка к др/дг), но имеются и заметные объемные «хвосты» —
особенно у состояний 5~. Такая же в точности картина справедлива
и для состояний 2+, 4+, 6+ в 208РЬ, а также в других исследованных
ядрах [91, 108]. В табл. 15, 16 приводятся рассчитанные coL
и В (EL). Для сравнения приведены результаты расчетов [52],
которые производились для 20ФЬ в урезанном Л-базисе с силами
нулевого радиуса (вида IV.3.1). Как видно, на частотах и вероят-
вероятностях переходов дефекты такого расчета мало заметны —¦ ошибка
от б-образности сил частично компенсирует погрешность от уре-
урезания базиса. Именно благодаря этому согласие с опытом в слу-
случае переходной плотности в [52] заметно хуже, чем в [108]
(рис. 8). Отметим, что расчеты [143] с силами конечного радиуса
другой формы (столбец 7 таблицы 15) приводят, в среднем,
к результатам, очень близким к результатам работы [108]. Во
всех расчетах возникает систематическая ошибка — общий
сдвиг вверх на -~0,5 МэВ уровней положительной четности
в ядре 208РЬ. Причины этого обсуждались в [108].
Таблица 15
Частоты <t>L низколежащнх коллективных возбуждений магических ядер
Ядро
208pb
»°Zr
48Са
¦ «Са
182Sn
e«Sr
з-
и
2*
4*
6+
з-
2+
2+
з-
з-
5"
2+
з-
2*
3"
№L (МэВ)
эксперимент
2,61
3,19
3,71
4,08
4,32
4,61
2,74
3,84
3,83
4,51
3,74
4,49
1,84
2,74
расчет
[108] I
2,60
3,25
3,80
4,43
4,74
4,90
[145] I
1,4
4,51
3.21
4,58
3,71
5,56
[91]
4,00
4,18
1,37
2,16
[108] II
2,59
3,27
3,83
4,44
4,77
4,94
Г145]И
2,16
4,16
3,28
4,09
4,21
5,65
—
[52]
2,63
3,39
3,82
4,49
4,69
4,78
—
—
—
—
[143]
2,64
3,33
4,18
4.98
5,15
—
4,16
3,99
3,42
5,86
—

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР
365
Таблица 16
Вероятности В (EL) (е2 ферми2') возбуждении низколежащих
коллективных состояний в магических ядрах
ЯДРО
»°Zr
48Са
*°Са
132Sn
eeSr
Ln
3"
57
5,"
2+
4+
6+
3-
2+
2+
3"
3-
5"
2+
3-
2+
3"
В (EL)
эксперимент
6,9^0,5-10*
4,6±0,5-108
3,3-108
2,96-103
1,29-10'
2,3-10"
1,09-10*
2,24-102
1,0-IO2
6,7-103
1.6-104
2,4- 10е
8,22-102
6,2-IO4
расчет
[108] I
5,70-10*
3,66-IO8
2,34-IO8
1,90-IO3
0,76-10'
1,62-10"
[145] I
0,82-10*
1,94-IO2
0,45- IO2
7,08- IO3
1,45-10*
1,58-10е
[91]
6,77-IO2
1,15-10*
7,30- IO2
6,80-1С4
[108] 11
6,96- IO5
4,73-IO8
3,85-10»
2,24- IO3
1,04-10'
2,22-10"
[145] II
0,94-10*
1,81 -102
0,35- IO2
8,13-IO3
1,48-IO4
1,8-10"
—
[52]
5,46- IO5
2,85- IO8
3,01-108
3,07-IO3
0,76-10'
2,L1010
—
—
—
[143]
7,88-10*
16,7-10s
2,83- IO8
3,10-IO3
1,40-10'
1,04-IO2
1,63-10*
3,2-10е
—
На рис. 10, 11 приведены сечения рассеяния быстрых электро-
электронов и протонов на 208РЬ с возбуждением нормальной четности из
работы [145].
При расчете сечений в случае электронов применялся метод
искаженных волн, а в случае протонов — метод Глаубера. Ис-
Использовались переходные плотности, рассчитанные в [91]. Анало-
Аналогичные расчеты для рассеяния протонов выполнены в работе
[143]. При этом формфактор квазичастиц не вводился. Как видно,
при малых переданных импульсах k согласие с опытом хорошее,
но с ростом k разногласия растут (при k ~ 2 ферми разногласие
в 1,5—2 раза). Такая же картина наблюдается и в упругом рас-
рассеянии электронов (рис. 8) и протонов (рис. 12). Эти разногласия —
свидетельство существенной роли формфактора квазичастиц, ко-
который не вводился в [145]. Как видно, современный эксперимент
требует повышения точности расчетов, для чего необходимо вво-
вводить формфактор квазичастицы (стр. 129), а также учесть скорост-

366
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
е*208РЬ
IFI'
10
ную и энергетическую зависимость амплитуды взаимодействия.
Для проведения такой программы удобно использовать лагран-
лагранжиан квазичастиц (II. 6.8).
До сих пор рассматрива-
рассматривались коллективные колебания
в магических ядрах, где спа-
спаривание отсутствует. Сложнее
картина в немагических ядрах,
где появляется еще один ха-
характерный энергетический пара-
параметр — величина щели А в
спектре одночастичных возбу-
возбуждений. Влияние спаривания
на коллективные колебания
ядер впервые рассматривалось
С. Т. Беляевым [26], который,
пользуясь моделью одного
/-уровня, показал, что при
наличии сверхтекучести в ядре
возникают 2*-колебания, лежа-
лежащие ниже щели 2А в энергии
частично-дырочных возбужде-
возбуждений. В [26] была получена
качественно правильная зави-
зависимость положения и вероят-
вероятности возбуждения первых
2+-состояний от числа частиц
в оболочке. Однако в этих, как
и в более реалистических по-
последующих расчетах, в уре-
урезанном Х-базисе потеряна по-
поверхностная часть колебания.
Анализ 2*-колебаний в немаги-
немагических ядрах с правильным
учетом поверхностных степе-
степеней свободы ядра был выпол-
выполнен В. А. Ходелем [90]. Соот-
Соответствующих численных расче-
расчетов, к сожалению, пока нет.
Однако недавние эксперименты
Лихтенштадта и др. [146] под-
подтвердили, что в переходных
плотностях 2+-состояний в не-
немагических ядрах имеются
nS
30
во
90
120 0 е
Рис. 10. Формфакторы неупругого рас-
рассеяния электронов на 208РЬ. Экспери-
Экспериментальные данные взяты из работы
[226] (?е= 183 МэВ). Теоретические
кривые — из [145]. В случае состоя-
состояния 3~ показаны три варианта расчета:
полностью согласованный расчет
(сплошная кривая) и два варианта с
приближенным учетом условия согла-
согласования.
большие поверхностные мак-
максимумы, предсказанные в [90]. Вероятность 2+-переходов воз-
возрастает, а частота падает по мере приближения к области

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР
367
10й _
Рис. 11. Упругое (верх) и неупругое с возбуждением состояния 3 (низ) рассея-
рассеяние протонов с энергией Ер = 1,04 МэВ на ^08РЬ. Три кривых, как и на рис. 10,
отвечают трем вариантам расчета. Экспериментальные данные взяты из [228]
(светлые кружки) и [229] (темные кружки).

368
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
деформированных ядер. Это объясняется уменьшением жесткости С2
(стр. 253) и связанным с этим увеличением смещения поверх-
поверхности (а2 (d2)Os).
70
-7
Рис. 12. Дифференциальное сечение упругого рассеяния электронов (?е =
= 248 МэВ) на 208РЬ. Экспериментальные данные взяты из [228], расчет—из
[145]. Три варианта расчета те же, что и в рис. 10.
2*-колебания — йе единственные возбуждения сверхтекучих
ядер, лежащие ниже 2Д. Интересный пример таких возбуждений —
спин-орбитальные колебания 0+. Они были предсказаны С. Т. Бе-
Беляевым и Б. А. Румянцевым в работе [147]. Позднее они были об-
обнаружены экспериментально,

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР 369
В 1944 году (Мигдал [60]) было предсказано коллективное
возбуждение другого типа по сравнению с поверхностными коле-
колебаниями жидкой капли — колебание нейтронов относительно
протонов, так называемый «гигантский дипольный резонанс».
В этой работе с помощью правила сумм, практически без исполь-
использования моделей, было получено соотношение, связывающее по-
положение максимума кривой гигантского резонанса с константой
Р энергии симметрии в массовой формуле Вейцзекера. Это явление
было обнаружено экспериментально в 1947 году [148]. Положение
максимума гигантского резонанса, полученное теоретически, до-
достаточно хорошо подтвердилось.
Идея вычисления состоит в том, что статический дипольный
момент d ядра в электрическом поле, найденный с помощью фор-
формулы Вейцзекера, примененной к малому объему ядерной материи,
приравнивается квантовомеханическому выражению для диполь-
ного момента. Это соотношение позволяет найти «центр тяжести»
<вт дипольных переходов:
F)
Числитель этого отношения выражается через статический ди-
дипольный момент, а знаменатель вычисляется с помощью правила
сумм. Для сот получается
В тяжелых ядрах com ~ 15 МэВ.
В 1948 году Гольдхабер и Теллер [149] предложили другую
интерпретацию этого явления на основе модели, в которой колеб-
колеблются друг относительно друга две несжимаемые сферы нейтро-
нейтронов и протонов. В этом подходе зависимость сот от массового числа
ядра оказывается иной: com ~ А~1/>. Систематика эксперименталь-
экспериментальных данных для сот хорошо описывается выражением сот =
= C1,2 А~Чг + 20,6Л~'/§) МэВ. Возможно, что учет сжимае-
сжимаемости ядерного вещества в подходе [60] даст объяснение этой
зависимости.
Гигантский дипольный резонанс был одним из первых явлений,
рассмотренных в ТК.ФС [9]. Поскольку внешнее поле Vo. дейст-
действующее в системе центра ядра (именно оно вызывает переходы),
имеет вид
то в ядре с N = Z оно вызывает чисто изовекторные переходы и
эффективное поле определяется только амплитудой /' (при N Ф Z
будут и небольшие слагаемые от амплитуды /). Константа /'

370
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
просто связана с константой р (см. 323). При учете этой связи
в [9 ] при квазиклассическом решении уравнения для V для поло-
положения центра тяжести резонанса сот получено то же выражение,
что ив [60] (если учитывается вклад /х, то происходит просто
3000
I
8-
2000
woo
J I
8
Ш
1Z МдВ
Рис. 13. Распределение сил ?2-переходов, рассчитанное в [52] в урезанном \-
базисе. В области 11—12 МэВ расположен гигантский квадрупольный резонанс
замена т на эффективную массу т.*). Несколько модифицируется
при учете ненулевых гармоник и правило сумм:
J
(9)
Численные расчеты интенсивностей дипольных переходов в ТК.ФС,
к сожалению, до последнего времени производились только в уре-
урезанном ^.-представлении [ 150—-153 ]. При этом интеграл по состо-
состояниям непрерывного спектра заменяется суммой по квазидиск-
квазидискретным уровням. Такого рода расчет приводит к появлению груп-
группы дискретных уровней, которые, разумеется, имеют лишь малое
отношение к реальной картине, где в сечении дипольного фото-
фотопоглощения наблюдается просто широкий максимум, и лишь в лег-
легких ядрах различимы отдельные пики. На рис. 13 для примера
приведены результаты расчета в урезанном базисе квадруполь-
ного резонанса [52]. Аналогичные результаты получаются и для
дипольного резонанса [154]. При сравнении с экспериментом
встает проблема «размазывания» пиков на рис. 13 для получения
непрерывной кривой — проблема ширины гигантского диполь-
дипольного резонанса. Мы вернемся к этой проблеме несколько позже,
а сейчас коротко рассмотрим ситуацию с резонансами других
мультипольностей.

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР 371
В работе [60] были рассмотрены также квадрупольные коле-
колебания ядер, которые, в основном, носят поверхностный характер.
Методом, сходным с тем, который применялся в дипольном слу-
случае, получено выражение для положения ют квадрупольного ре-
резонанса, куда входит жесткость квадрупольных колебаний С2.
В [60] предполагалось, что она может быть вычислена через ко-
коэффициент поверхностного натяжения а, взятый из формулы
Вейцзекера, что привело к значениям оо0 ~ 1 МэВ. Как мы ви-
видели (стр. 253), жесткость квадрупольных колебаний, благодаря
квантовым эффектам, часто в 10—20 раз превышает гидродинами-
гидродинамическое значение. Подстановка правильной квадрупольной жест-
жесткости в полученное в [60] выражение для сот приводит к более
разумным значениям.
Сейчас экспериментально обнаружены самые различные ги-
гигантские резонансы, как изовекторные, так и изоскалярные. Для
существующих расчетов их характеристик на основе ТКФС и
близких подходов (см. обзор И. Шпета и Дж. Вамбаха [154])
характерны те же методические погрешности, что и в случае ди-
польного резонанса, т. е. использование ^.-представления с уре-
урезанным базисом.
Вернемся теперь к вопросу о ширинах гигантских резонансов —
он является общим для всех мультипольностей. Ширина резонанса
вызывается двумя причинами. Первая из них, более простая, но
менее важная, связана с уходом из ядра частиц непрерывного
спектра. Первый расчет, учитывающий «выходную» ширину ги-
гигантского резонанса, был выполнен в работе [155]. Эта «выходная»
ширина автоматически учитывается, если частично-дырочный
пропагатор А (гх, г2, ю) рассчитывается прямо в координатном
представлении по формулам (II.5.21). При этом, если ю > | ц |,
то в А((й) появляется мнимая часть, которая и приводит к возник-
возникновению выходной ширины у отдельных частично-дырочных
состояний. Такого рода расчеты впервые были проведены методом
Хартри—Фока с эффективными силами в [156, 157]. Сейчас
появились первые аналогичные расчеты, выполненные методом
ТКФС [158]. Эти расчеты показывают, что учет одной только вы-
выходной ширины явно недостаточен.
Сложнее учесть другой источник ширины резонанса — разме-
размешивание «входного» частично-дырочного состояния по более сло-
сложным конфигурациям. Это так называемая «спредовая» ширина.
Пока не существует последовательной теории спредовой ширины.
До последнего времени все попытки ее расчета сводились к тому,
что в уравнении для эффективного поля V (ю) мнимая часть вводи-
вводилась только через функции Грина G посредством учета, тоже
приближенного, в массовом операторе Б диаграммы

372
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Такого рода расчеты приводят к тому, что каждый пик в первона-
первоначальной картине расщепляется на группу более мелких (см. рис. 14).
Огибающая этих трех пиков качественно правильно дает ширину
резонанса. Однако такой рецепт расчета спредовой ширины, когда
учитывается только мнимая часть 2, но игнорируется мнимая
часть амплитуды взаимодействия &", не может претендовать на
количественную точность. Это было показано Элиашбергом [159]
О 5 10 15 20 25 30 35 40
a)
10 15 20 25
б)
Рис. 14. В (ЕО) вядреа°8РЬ [154]: а) с учетом только состояний частица — дырка-
\\p-\h); б) с учетом состояний \p-\h + 2p-7h.
при рассмотрении сходной задачи о затухании нулевого звука
в бесконечной ферми-жидкости. Наиболее последовательная тео-
теория ширины гигантского резонанса была развита Б. А. Румянце-
Румянцевым [160], но она, к сожалению, не доведена до сравнения с экспе-
экспериментом. Первая попытка учесть 1т^"в численных расчетах
содержится в работе Дж. Берча и др. [161]. Более подробный
обзор существующих расчетов гигантских резонансов дан Й. Шпе-
том и Дж. Вамбахом [154].
Рассмотрим теперь гигантские резонансы в зарядово-обменном
канале. Сюда в первую очередь относятся открытые в начале
60-х годов [63 ] изобарические аналоговые резонансы — узкие
максимумы в функциях возбуждения (р, п)-реакций на тяжелых
ядрах.
Для объяснения их природы предположим, что и при N Ф Z
изоспин в ядре является хорошим квантовым числом.
Основное состояние ядра имеет полный изоспин Т, равный
проекции Т3 = (N — Z)/2 = Го. Тогда в соседнем («дочернем»)
ядре с Т3 = То — 1 имеется возбужденное состояние с Jn = 0+,
получающееся из основного состояния «материнского» ядра
заменой нейтрона на протон, т. е. действием понижающего изо-
изоспин оператора Т_. Оно является когерентной суперпозицией
большого числа (N — Z) частично-дырочных состояний, входящих
с равным весом, и сильно коллективизировано. Такое состояние и

lV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР
373
208
получило название аналогового, так как оно является «аналогом»
основного состояния материнского ядра.
На первый взгляд, большое кулоновское поле в тяжелых яд-
ядрах должно приводить к значительному нарушению закона со-
сохранения изоспина. Но этого не происходит, и причина этого ана-
анализировалась и в рамках ТКФС [65, 66], ив рамках других под-
подходов (см. обзор [162]). Она заключается в том, что в случае
аналоговых состояний мера несохранения изоспина определяется
не полным кулоновским по-
потенциалом, а лишь его не-
непостоянной частью vc (r) =
= Ус (г) - Vc где Vc -
среднее значение Vc (r), при-
причем v'c значительно мень-
меньше VI. Так как несохране- в
ние изоспина — эффект вто- т t0
рого порядка по кулонов- -с 8
скому взаимодействию, ре-
результативное несохранение
изоспина оказывается малым.
Что касается кулоновской
амплитуды взаимодействия,
то ее влияние на несохране-
несохранение изоспина в аналоговых
состояниях меньше, чем
влияние поля vc [162].
Эти оценки относятся
только к коллективным со-
состояниям. Большинство не-
неколлективных частично-ды-
частично-дырочных
I I I
18,8
19,0
19,2
Рис. 15. Силовые функции 5 (со) =
= lm(V0AV) в области аналого-
аналогового и гамов-теллеровского резоиаисов
для перехода 208PbjB — 208Bi во виеш-
иих полях VB = —т=х+ и ох+,
у 4я у 4п
соответственно [166]. Приведены выход-
возбуждений не иые ширины Ге5С и квадраты матричных
имеют определенного ИЗО- элементов. Соответствующие полные ши-
спина. Определенный изо- рины равны r'^f ^ 230 кэВ и г°хтр ^
спин имеют только симме- ^4,1 МэВ.
тризованные суперпозиции
нейтронных и протонных частично-дырочных состояний.
Соседние с аналоговым состояния дочернего ядра имеют изо-
спин Т = То — 1 и плохо смешиваются с аналоговым состоянием,
имеющим Т = То. Поэтому для аналоговых состояний спредовая
ширина, как правило, значительно меньше выходной и расчеты,
учитывающие только выходную ширину, имеют количественную
точность (см. рис. 15).
В ТКФС положение аналогового резонанса и функция возбу-
возбуждения определяются решением уравнения для эффективного
поля в зарядово-обменном канале. Квантовые числа возбуждения
в этом случае отбирают компоненту /' амплитуды &".

374
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Имеет много общего с аналоговым резонансом так называемый
гамов-теллеровский резонанс в (р, п)-реакциях, имеющий Jn =
= 1 + . Он был предсказан теоретически в 60-х годах [163, 164]
и открыт экспериментально в 1975 году [165]. Он расположен
по энергии выше аналогового состояния, и поэтому по соседству
to
-2
SIR
10
20
30
Рис. 16. Силовые функции зарядовообменных возбуждений 1+ во внешнем поле
Vo = стт+ для перехода 208РЬ — 20eBi [166]. Пунктирная линия — расчет
у 4л
в модели оболочек (без учета взаимодействия квазичастиц), штриховая — расчет
с взаимодействием (IV.3.1) при g' = 1,1, сплошная линия — расчет с учетом одио-
пнонного обмена. Все расчеты проведены в координатном представлении с вве-
введением затухания квазичастиц (у ~ 250 кэВ). Цифры со стрелками показывают
вклад в правило сумм в интервале от нуля до указанной энергии. Вверху гори-
горизонтальной чертой показано наблюдаемое положение и ширина гамов-теллеров-
ского резонанса. Энергия возбуждений отсчитывается от основного состояния
208РЬ
с ним имеется достаточное число состояний с таким же, как у него,
изоспином Т — То. Они сильно смешиваются с рассматривае-
рассматриваемым состоянием. В результате спредовая ширина гамов-теллеров-
екого резонанса становится значительной и в основном определяет
полную его ширину (:> 1-^-2 МэВ). Квантовые числа гамов-тел-
леровского резонанса отбирают компоненту g' амплитуды &~0
и однопионную амплитуду &~п. На рис. 16 изображена функция

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР 375
возбуждения (р, п)-реакции на ядре 20sPb в области гамов-тел-
леровского резонанса, рассчитанная в [166]. В этом случае рас-
расчет может претендовать только на воспроизведение положения
резонанса.
Взаимодэйствив сдчочастичных степэней свободы
с коллэктивными
Первым подходом к описанию взаимодействия коллективных
степеней свободы с одночастичными была так называемая «обоб-
«обобщенная модель» Бора—Моттельсона, в которой коллективные
возбуждения ядер рассматривались как поверхностные колебания
жидкой капли. Динамическая деформация формы самосогласован-
самосогласованной потенциальной ямы U (г) является источником возмущения,
действующего на частицы. Гамильтониан взаимодействия в этой
модели имеет вид
bt/лЬш, A0)
где Ь*, Ь — операторы рождения и уничтожения квантов колеба-
колебания, а вершина взаимодействия частицы с колебанием
(г) =-- aL (dU/dr) YLM (я) = gf~K (r) YLM (я),
где aL — феноменологический параметр, выражающийся через
частоту колебания и вероятность В (EL) его возбуждения. Совре-
Современный вариант этой модели — так называемая «полевая теория
ядра» [168, 169] — учитывает не только поверхностные колеба-
колебания, но суть подхода остается прежней: и одночастичные, и кол-
коллективные возбуждения ядер рассматриваются как элементарные
объекты, а характеризующие их взаимодействие параметры бе-
берутся непосредственно из опыта.
В ТКФС вершина gL (r) определяется уравнением (III.4.Г)
(см. стр. 233), символическая запись которого имеет вид
A1)
и может быть рассчитана микроскопически, т. е. выражена через
универсальные константы.
В случае низколежащих коллективных колебаний — а именно
о них идет речь, — эта величина действительно имеет большой
поверхностный пик, повторяющий по форме функцию (dU/dr),
и сравнительно небольшие объемные добавки, вклад которых
в матричные элементы, как правило, не более 10—20 %. Сущест-
Существенней оказалась другая поправка к gL — вклад спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия [170], который часто значителен именно
из-за того, что gL (r) велика на поверхности ядра, где сосредото..
чен вклад спин-орбитальных сил.
В магических ядрах параметр aL мал, и поэтому можно ис-
использовать, теорию возмущений по #!nt- Обусловленные этим

376
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
взаимодействием эффекты, как правило, малы. Однако во многих
случаях они могут быть выделены из экспериментальных данных,
а нередко и прямо измеряются на опыте. Рассмотрим сначала за-
задачу именно такого типа — о возбуждении коллективного состоя-
состояния в нечетном ядре. При этом возникает мультиплет уровней
со спинами | /0 — L\ <: / < /0 + L, где /0 — спин основного
состояния ядра, и с энергиями, близкими к энергии coL коллек-
коллективного возбуждения четного ядра. Расщепление уровней этого
л
б)
Рис. 17. Диаграммы взаимодействия квазичастицы с низколежащим колебанием.
мультиплета обусловлено взаимодействием #int во втором по-
порядке. В теории Бора—Моттельсона рассматриваются только
полюсные диаграммы а) и б) (см. рис. 17).
Поскольку взаимодействие квазичастиц не мало, охватываю-
охватывающие диаграммы типа в) малости не имеют, и возникающая при
их отбрасывании ошибка — порядка изучаемого эффекта.
Существует способ, аналогичный требованию калибровочной
инвариантности, для проверки теории взаимодействия одноча-
стичных и поверхностных степеней свободы. Поскольку сдвиг
системы как целого не изменяет ее внутреннего состояния, то
для случая L = 1, со = 0 теория должна давать нулевое рас-
расщепление уровней. Нетрудно убедиться [170], что это возможно,
только если к полюсным графикам а) и б) (рис. 17) добавить охва-
охватывающие диаграммы типа в), компенсирующие вклад полюсных
диаграмм. Таким образом, охватывающие диаграммы играют ре-
решающую роль при L = 1. При L ф 1 они сокращают полюсные
диаграммы, только не полностью, но существенно изменяют их
вклад. Все диаграммы а), б), в) могут быть рассчитаны в ТКФС
без введения дополнительных констант.
В ТКФС сдвиг bsj относительно соь как это видно из рис. 17,
определяется через вторую вариацию 6<2>2 массового оператора
квазичастицы в поле колебания:
беДТц,, L) = {\KL\jW^\\KL\j). A2)
Величина 8B>2 может быть^найдена следующим образом. Так
как 6A)Е = gL, то из уравнения Дайсона имеем
$(«(? = G§LQ. A3)

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР 377
Варьируя это соотношение по полю колебания еще раз, полу-
получим
= G (e) gLG (е + ©t) gLG (e)
+ G (e) gLG (в - ©t) gLG (e) + G (в). 8gL G (в), A4)
где SgL — вариация вершины gL в поле колебания, отвечающая
совокупности всех диаграмм вида в). Отсюда
6m2=gLG(e + <aL)gL + gLG(B-v>L)gL + 6gL. A5)
Для нахождения 8gL проварьируем уравнение A1) для gL:
A6)
Это уравнение для 8gL имеет точно ту же структуру, что и урав-
уравнение для эффективного поля (III. 1.6), так что основная трудность
заключается в вычислении первых двух членов в правой части,
играющих роль затравочных. Вычисление 8#" представляет собой
наиболее трудную задачу и в общем случае требует рассмотрения
условий согласования, связывающих двухчастичную амплитуду
@~ с трехчастичным коррелятором. Вводить новые константы
при этом не приходится, так как можно использовать то об-
обстоятельство, что для L = 1 известно точное решение уравнения
A6):
b
Этот метод вычисления вклада всех охватывающих диаграмм
в ангармонические эффекты был разработан В. А. Ходелем в ра-
работе [171] и применен в [170] к расчету спектров мультиплетов
в районе 208РЬ.
Что касается второго члена $Г FА) gL = 2&~Gg,GgLG, то
здесь трудности чисто технические. Они преодолены в работе
[170], где развит метод точного вычисления треугольника TLL =
= GgLGgLG в координатном представлении. Этот метод является
обобщением метода, использованного ранее при вычислении
А = GqGq, и, в свою очередь, может быть распространен на выс-
высшие n-угольные диаграммы. После вычисления затравочных
членов, уравнение A6) решается стандартным способом, разуме-
разумеется, в координатном представлении. Приведем результаты рас-
расчетов, выполненных в'работе [170] для нескольких мультиплетов
рассматриваемого типа в нечетных соседях 208РЬ, где имеются на-
надежные экспериментальные данные. Они представлены в табл. 17,
где дано сравнение с экспериментом и с результатами расчетов,
выполненных в рамках «полевой теории ядра». Как видно, всего
в одном случае (уровень 7/2+~в 209Bi) имеется значительное расхо-
расхождение расчетов с опытом.
Рассмотрим влияние нулевых поверхностных колебаний на
свойства основного состояния ядер. Особый интерес представ-
представляет влияние нулевых колебаний на средний квадратичный ра-

378
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Таблица 17
Расщепление мультиплетов, образованных нечетной частицей
(дыркой) и коллективным состоянием 3" в ядрах—соседях 208РЬ
бе, кэВ
эксперимент
расчет
[170]
[168]
(Лэ/2 X 3-)Jn в 209Bi
3/2+
5/2+
7/2+
9/2+
11/2+
13/2+
15/2+
— 120
4
—29
—49
— 14
— 14
130
— 144
3
25
—61
—6
—12
131
— 190
7
6
—89
-31
—63
156
(p^l2X 3-)Ул в 2o'Pb
5/2+
7/2+
2
42
25
47
69
119
(s-ХЗ-^в-т,
5/2"
7/2"
95
61
152
119
95
86
диус протонной плотности (г'р). Изменение (гр) при добавлении
одного или двух нейтронов определяет изотопический сдвиг
атомных уровней. Вклад нулевых колебаний в этот сдвиг обычно
невелик, но в тех случаях, когда при добавлении двух нейтронов
происходит резкое изменение амплитуды нулевых колебаний,
этот эффект сравнивается с тем, который обусловлен изменением
в распределении протонов, вызванным их взаимодействием с до-
добавленными нейтронами. Если при добавлении двух нейтронов
образуется магическое ядро, то амплитуда нулевых 2+-колебаний
падает практически до нуля. Это является причиной отрицатель-
отрицательных изотопических смещений вблизи магических ядер. По этой
же причине изотопическое смещение растет при приближении
к области деформированных ядер. В этой области амплитуда ну-
нулевых 2+-колебании растет и, следовательно, существенно изменя-
изменяется при добавлении частиц. На этот эффект впервые обратили
внимание Соренсон и Уэр [121]. ТК.ФС позволяет рассчитать эту
величину, не вводя дополнительных констант, по формуле
, r,
A7)

IV.6. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ЯДЕР
379
Таблица 18
Сдвиги
одиочастичиых уровней,
обусловленные вкладом
коллективного состояния 3" [172]
нейтроны
состояние | *8V M38
2/5/2
Зр1/2
1*11/2
1/15,2
2*9/2
2*1/2
1/7/2
2Pi/2
20вРЬ
—0,14-
—0,18
—0,13
0,08
—0,82
—0,28
40Са
-1,05
0,12
—1,41
—0,31
протоны
состояние
С
2*5/2
2*V2
3sl/2
lh9/2
1«13/2
2/7/2
»*5/2
1*3/2
2*1/2
1/7/2
8^, МэВ
0,25
—0,21
—0,28
0,06
—0,59
—0,48
0,05
0,04
—1,01
0,02
где {t%)q — вклад в (гр), обусловленный нулевыми колебаниями,
a bQGj — изменение протонной функции Грина, вызванное этими
колебаниями. Расчет изотопического смещения с учетом нулевых
колебаний по описанной схеме выполнен в [122]. Таким же
методом были вычислены аналогичные поправки к самосогласован-
самосогласованному полю [172]. Соответствующие смещения одночастичных
состояний даны в таблице 18. Эти поправки необходимо учитывать
при нахождении магических чисел в области гипотетических ост-
островов стабильности [173].

IV.7. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЯДРАХ
Теория Р-переходов с учетом взаимодействия между нуклонами стро-
строится аналогично теории электромагнитных переходов.
Роль внешнего поля играет электронно-нейтринное поле, умноженное
на изотопическую матрицу т_ (или т+), переводящую протон в нейтрон
(или нейтрон в протон).
Гамильтониан возмущения упрощается для случая разрешенных пере-
переходов, когда ток легких частиц не зависит от пространственных координат.
Тогда задача сводится к вычислению матричных элементов
MF = (T±ho
Здесь Т — оператор полного изотопического спина.
Эти выражения заменяют фермиевский и гамов-теллеровский матрич-
матричные элементы одночастичной модели.
Матричные элементы Мр и Mqt просто связаны с эффективными
полями, вызываемыми операторами т+ и т+са- Уравнения для этих эффек-
эффективных полей аналогичны уравнениям для электромагнитного поля. За-
Заряды квазнчастиц равны соответственно
(eq)F= 1. (e,)er = l-2?s.
Эффективное поле в случае фермиевских переходов отличается от внешнего
только за счет кулоновской поправки. Как показано в этой главе, куло-
новская поправка входит только во втором порядке и приблизительно равна
MF "> 30
Это значительно меньше, чем относительное различие векторной константы
Р-распада, найденной из Р- и |х-распадов. Остающееся различие позволяет
определить значение угла Кабибо, которое хорошо согласутеся с найденным
из распадов странных частиц.
Для гамов-теллеровских переходов эффективное поле подчиняется урав-
уравнению, совпадающему (при N = Z) с уравнением для поляризуемости ядра
в поле а, с которым мы сталкивались в теории магнитных моментов.
Решение для эффективного поля имеет вид
wa == W! (г2) аа
где п<х — единичный вектор направления г, aij и ai2 находятся так же,
как н функции vx (r), v2 (r) в (IV.5).
Матричный элемент перехода Mqj, входящий в известную формулу
для периода полураспада, выражается через wa формулой
Для краткости приведен случай, когда спаривание несущественно.
В случае переходов между зеркальными ядрами в Мот входит диаго-
диагональный матричный элемент (wa)^o^o, который может быть выражен через
магнитный момент ядра (кд — состояние нечетного нуклона). Таким спо-

IV.7. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЯДРАХ
381
собом получаются значения времени полураспада зеркальных ядер, хо-
хорошо согласующиеся с наблюдаемыми временами для всех случаев. Ана-
Аналогичное вычисление приводится в книге [174], где, однако, используется
неточная связь Мет с магнитным моментом.
Приведенное выражение для поля wa, дает объяснение так называе-
называемым /-запрещенным переходам, которые невозможны в модели свободных
нуклонов. Из-за второго слагаемого выражение для (wa)%\> имеет матрич-
матричные элементы с отличающимися на две единицы значениями орбитального
момента.
Методами ТКФС находятся вероятности |х-захвата с переходом ядра
в различные состояния, и рассчитывается влияние взаимодействия между
квазичастицами на несохранение четности в электромагнитных переходах.
Вычисление ядерных матричных элементов в ТКФС дает возможность оце-
оценить верхнюю границу массы майорановского нейтрино (mv < 50 эВ).
Гамильтониан возмущения
Как известно из теории слабого взаимодействия [1751 Р-пе-
реходы ядер (р-распад, /(-захват) обусловлены следующим воз-
возмущением гамильтониана системы:
Я' = Gv J
75) <Pv dr.
A)
Здесь ? = 4f+Y4, Ч*4, Y — операторы рождения и уничтожения
нуклона, (ре, (pv — электронная и нейтронная функции. Множи-
Множитель сг равен отношению псевдовекторной GA и векторной Gy кон-
констант взаимодействия:
с\ =
т± — изотопические матрицы, переводящие нейтрон в протон и
обратно:
0 1
0 0
X —
— 1%
у
0 о
1 0
Будем пренебрегать релятивистскими поправками для нукло-
нуклонов. Тогда нуклонная часть взаимодействия запишется так:
где а = 1, 2, 3.
Перейдем к операторам рождения и уничтожения нуклонов
в представлении <рх. Возмущение Я' запишется в виде
Я' = Gv
— с\
где jt = (/„, /0) — ток легких частиц.
Ограничимся рассмотрением разрешенных переходов. Это
означает, что мы будем пренебрегать зависимостью от г тока лег-

382 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
ких частиц //(г), заменяя кулоновскую функцию электрона ее
значением на поверхности ядра. Тогда ток легких частиц не вхо-
входит в нуклонные матричные элементы.
Обозначим
? Тн> = MF,
B)
= Мат.
(Т — оператор полного изотопического спина).
Эти выражения заменяют фермиевский и гамов-теллеровский
матричные элементы одночастичной модели. Матричные элементы
(a?av)io берутся по функциям нового и старого ядер. Можно ис-
использовать хорошо известное соотношение между периодом полу-
полураспада т и матричными элементами MF и МОт
где D выражается через Gv (е = % = с — 1):
Численное значение найдено из времени жизни нейтрона. Функ-
Функция / (Z, Е) определяется током легких частиц, и взаимодействие
между нуклонами, усложняющее матричные элементы MF и Мот,
на ней не сказывается.
Таким образом, учет взаимодействия между нуклонами сво-
сводится к нахождению матричных элементов B). Эти матричные эле-
элементы просто связаны с эффективным полем, вызываемым внешним
полем т.)- или t±oa.
Эффективное поле Р-перехода
Эффективное поле в случае Р-переходов представляет собой
с точностью до перенормировочного множителя вершину
p
в которой учтены все графики взаимодействия между протоном
и нейтроном.
Уравнение для V имеет вид
V =* e,V° + PAY,

IV.7. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЯДРАХ 383
Когда парная корреляция несущественна (для определенности
рассматривается случай распада нейтрона), А равно (множи-
(множитель а2 в А опущен)
Здесь первый значок относится к нейтронным, а второй к про-
протонным состояниям, о» — энергия, уносимая электроном и ней-
нейтрино.
Отличие нейтронной энергии eJJ от протонной е? (при N — Z)
с хорошей точностью сводится к разности химических потенциа-
потенциалов, так как за вычетом этой разности потенциальные ямы для
протонов и нейтронов мало отличаются друг от друга. Поэтому
знаменатель выражения А можно записать в виде
ЕХ — ЕЛ' + 6{А — О),
где 8ц — разность химических потенциалов, равная энергии пере-
перехода. При переходе из основного состояния в основное о = 6(д.
мы приходим к уравнению для статического поля.
Такой же результат получается и в случае парной корреля-
корреляции. Для того чтобы учесть парную корреляцию, необходимо
прежде всего вычислить величину i?°, которая отличается от ана-
аналогичной величины для электромагнитных переходов только раз-
разными химическими потенциалами в нейтронных и протонных функ-
функциях Грина.
Если отсчитывать величину е в Gp (в), Fp (e), Gn (e), Fn (е)
от протонного химического потенциала, то в знаменатель нейт-
нейтронных функций войдет выражение
е — бц, -)- си + El,
и формула для 2\v принимает вид
%4'-ЧЧ>ЧК'р ....
где
Вклад изменения Д в уравнение для V в данном случае соот-
соответствует графику

384 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
и означает изменение в поле блока Апр, характеризующего спари-
спаривание нейтрона с протоном. В легких элементах, где имеются ней-
нейтроны и протоны на одном и том же незаполненном уровне, та-
такое спаривание может оказаться существенным. Но даже в том
случае, когда спаривания нейтрона с протоном не происходит,
приведенный выше график для dnp отличен от нуля, и приходится
решать, как и в случае полей, не содержащих т+, систему урав-
уравнений, связывающих эффективное поле V с величиной dnp.
Ниже мы ограничимся только случаем, когда спаривание не-
несущественно.
Для интересующих нас полей (V°)F = т± и (V°)GT = т±а
заряд квазичастиц равен соответственно (eg)F = 1 и (eqHT =
= 1 — 2?g. Величина ?s ~ 0,05. В ^-представлении получаем
(III. 1, стр. 176)
V&- = (Фхт+qv) + Е (W 19" | Ы2) AK%ylt%x,
КК E)
S = A - 2ts) (Фхт+афхО + ? (U' | Т \ UU) Акк V &,.
Поскольку взаимодействие @" изотопически инвариантно, изо-
изотопические переменные в этих уравнениях отделяются и решение
следует искать в виде
VF - W (Г2) Т+, VZT = W^ (Г) (ТРТ+ = Wa (r) T+. F)
Сохраним в Т только главные члены
9" /о + g<Pl<J2 + (/6 + g'oOM) TlT2.
В уравнения для VF и VGT входит последнее слагаемое
этого выражения. Подставляя выражение F) в уравнения E)
для V и переходя к координатному представлению (см., например,
стр. 178), получим
wa{r) = eqaa + 2fo (-^-)~' ^p У] Фх
2
Ли' дается выражением D).
Мы пренебрегли малыми спин-орбитальными поправками,
которые оценивались при вычислении магнитных моментов (IV.5),
а также амплитудами @~л и #^я однопионного обмена в прямом
и поперечном каналах. Последние две амплитуды в случае раз-
разрешенных гамов-теллеровских переходов вносят незначительный
вклад, как и в случае магнитных моментов и разрешенных Ml-
переходов. К обсуждению их вклада в /-запрещенные и некоторые
другие типы запрещенных Р-переходов мы вернемся позже.

IV.7. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЯДРАХ 385
Классификация ^-переходов
Р-переходы разделяются на несколько групп, в зависимости
от матричного элемента перехода или, что эквивалентно, вели-
величины ft. Наименьшее значение ft имеют разрешенные Р-распады.
В них четности начального и конечного ядерных состояний сов-
совпадают, а полный момент изменяется не более чем на единицу.
Имеются три типа разрешенных Р-переходов: сверхразрешенные,
нормально-разрешенные и /-запрещенные. В сверхразрешенных
переходах изотопические спины Tit Tf и полные моменты Jt
и Jf начального и конечного ядра одинаковы и матричный элемент
оператора (i ] т+ | /) = MF порядка единицы.
Для сверхразрешенных Р-переходов lg (ft) < 3,6. В нормально
разрешенных переходах изоспины Т, и Tf не равны, и поэтому
фермиевский матричный элемент MF обращается в нуль.
Эти переходы определяются гамов-теллеровским матричным
элементом, который, подобно спиновой части магнитного момента,
заметно ослабляется в ядерной среде. Для этих переходов lg (//)
лежат в интервале 4 < lg (ft) <. 6. В нормально разрешенном
Р-распаде орбитальный момент не изменяется, а момент / одно-
частичного состояния изменяется не более, чем на единицу. Раз-
Разрешенные переходы с изменением орбитального момента на две
единицы называются «/-запрещенными». В оболочечной модели
без взаимодействия между квазичастицами они запрещены:
Переходы с изменением четности состояния и с lg (ft) ~ 7
относятся к запрещенным переходам первого порядка. Они воз-
возникают при учете следующих членов разложения лептонного
тока по степеням kr (k — импульс, уносимый лептонами). Для
вычислений матричных элементов первого запрета требуется
решать уже не два, а больше уравнений. Так, вероятность 0+ —
0~-переходов определяется матричными элементами j уь и J or,
а для вычисления вероятностей перехода с ДУ = 1 нужно знать
матричные элементы I a, r, j а х г.
Возможны и переходы с ДУ = 2. Они называются уникаль-
уникальными и определяются единственным матричным элементом
i + а*г* ~ Т (
Как правило, величина lg (ft) для уникальных переходов су-
существенно больше, чем для других Р-распадов первого запрета.
J Вч = J
, Сверхразрешенные фермиевские Р-переходы
Сверхразрешенными называются Р-переходы между состоя-
состояниями соседних ядер, принадлежащими одному изотопическому
мультиплету. Среди них особое место принадлежит 0 —0+ -пере-
-переходам. Их исследование сыграло важную роль в выяснении во-
13 А. Б. Мигдал

386 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
проса об универсальности слабого взаимодействия. Дело в том,
что гамов-теллеровский матричный элемент Мвт для 0+—0+-
перехъдов обращается в 0 и вероятность распада определяется
только фермиевским матричным элементом MF. Если пренебречь
кулоновскими силами, то в силу изотопической инвариантности
ядерных взаимодействий, оператор т+ будет коммутировать с ядер-
ядерным гамильтонианом. Поэтому эффективное поле V [т+] не пе-
перенормируется: V [т+] = т+ (см. стр. 223) и
)-T'tTr» (8)
где Т, Тг — изоспин ядра и его проекция. Типичный 0+—0+-пе-
реход, детально изучавшийся на протяжении многих лет — Р-
распад основного состояния ядра "О (Т = 1, Тг = 1) с образо-
образованием возбужденного ядра 14N (Т = 1, Tz — 0). Для этого слу-
случая MF — 1/2. Значение векторной константы G^, найденное
с учетом радиационных поправок из этого распада, оказалось по-
почти на 2 % меньше величины Gv, извлеченной из анализа данных
по ц-распаду. Разница того же порядка возникает и при анализе
других р-переходов 0+—0+.
Если слабое взаимодействие универсально, т. е. G^ = Gv>
то это различие должно быть обязано ядерным эффектам: куло-
новскому взаимодействию, нарушающему изотопическую инвари-
инвариантность, и влиянию поправок второго порядка, возникающих
лри разложении лептонного тока / (г) по степеням kr, где k — им-
лульс, уносимый лептонами. Однако оценки, произведенные раз-
разными авторами, показали, что различие между G\ и Gv не объ-
объясняется ядерными причинами. Н. Кабибо [176] предложил но-
новую формулировку универсальности слабого взаимодействия,
согласно которой в векторном токе без изменения странности G$
и G{/ связаны соотношением.
G? = G? cos ft,
а' в токе с изменением странности Gv = Gv sin Ь. Из анализа
распадов элементарных частиц было получено значение 'Sin Ь =
= 0,221 ± 0,004 [175]. ТКФС позволяет надежно рассчитать все
ядерные эффекты, ответственные за перенормировку фермиевских
матричных элементов Мр, НЮ дает возможность независимым
образом определить значение.угла Кабибо.
Покажем, что кулоновская поправка входит в МР только
во втором порядке. Действительно, поправка первого порядка
может возникнуть только в матричных элементах ши- с Я, Ф Я,'.
Из второго из уравнений G) имеем в первом порядке:
Ш %— • • (9)

IV.7. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЯДРАХ'
387
Таблица 19
Поправки к значениям ft сверхразрешениых ^-переходов [51 ]
Родитель-
Родительское ядро
"О
26Д1*
«С1
«Sc
4ву
80Мп
иСо
ft, эксперим.
3040,7±10,9
3041,5± 4,9
3103±19
3084±9
3095== 8
3086±9
3091=1= 18
•¦) Эффективное значение в^учитывает, i
радиационные
поправки.
эффективное значение
Су-10", эрг-см» •)
1,4137^0,0025
1,4164±0,0012
1,4046=? 0,0043
1,4118*0,0020
1,4106±0,0018
1,4142=!= 0,0020
l,4143=t 0,0041
сак это принято, «внутреиние>
Это выражение антисимметрично относительно перестановки
% зр* Я' (поскольку w не изменяет проекции момента, функции ц>к
можно считать вещественными). Подставим (9) в G). Все осталь-
остальные множители в сумме второго уравнения G) не меняются при
этой перестановке, и поэтому сумма равна 0. Из G) нетрудно по-
получить оценку второго порядка: w — 1 ~ f'o 1/30 (Z/40J.
Детальные вычисления кулоновских поправок, а также вкла-
вклада в Мр следующих членов разложения лептонного тока прове-
проведены методами ТКФС в работе [51] (см. табл. 19). Найденное
в результате вычислений значение угла Кабибо sind = 0,23±
riz 0,01 хорошо согласуется с результатами, полученными из ана-
анализа распадов элементарных частиц.
Р-переходы 0+—0+ между состояниями ядер с различным изо-
изотопическим спином в отсутствие кулоновского взаимодействия
запрещены, но уже в первом порядке по е2 матричный элемент
Мр отличен от нуля. Расчеты вероятностей этих переходов мето-
методами ТКФС проведены в работе [177]. В табл. 20 дано сравнение
результатов расчетов, выполненных в [177] для Р-переходов ядер
оболочки 1Д/, с имеющимися экспериментальными данными.
Таблица 20
Запрещенные по изоспину (ДГ = 1)
фермиевские матричные элементы М/? [177]
Переход
<MSc—44Ca
«Sc—46Ti
48Sc—48Tj
52Mn_52Cr
Мр X 10»
эксперимент
8,4=t3,0
4,0±1,8
1,7±2,5
4,2±0,4
теория
6,8 •
1,7
1,4
3,2
13*

388 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Гамсв-теллеровокие р-пврвходы
В сверхразрешенных переходах, в которых хотя бы один из
моментов ядер Jt или Jf отличен от 0 (например, в Р-распаде
зеркальных ядер), наряду с фермиевским, вносит вклад и гамов-
теллеровский матричный элемент Мвт. В незеркальных Р-пере-
ходах обычно изоспины начального и конечного состояний раз-
различаются на единицу, фермиевский матричный элемент обращается
в нуль и вероятность перехода определяется только гамов-тел-
леровским матричным элементом Мвт.
Исследования разрешенных гамов-теллеровских ^-переходов
сыграли важную роль для выяснения природы слабых взаимодей-
взаимодействий: именно в них впервые было обнаружено, что электроны
Р-распада продольно поляризованы и, следовательно, закон со-
сохранения четности нарушается.
Вычисление матричных элементов MGT во многом аналогично
расчетам магнитных моментов ядер. Так же как и при вычислении
магнитных моментов в сумме первого из уравнений G) основной
вклад вносят уровни % и X', отличающиеся только значениями
j = I ± 1/2. При этом Аш Ф 0, только если уровень с / = / +
+ 1/2 лежит ниже, а уровень с / = I — 1/2 — выше поверхности
Ферми. Для наиболее часто встречающегося случая, когда есть
только один дублет такого типа, решение имеет вид (см. стр. 333)
где п = r/r, y_ = ^(^-yl^r\g-Rlir)Rl(r)^dr, Д - вели-
чина спин-орбитального расщепления, g~ = gnB — gnp.
Матричные элементы MF и Мвт> через которые по формуле
C) выражается интенсивность перехода, просто связаны с эффек-
эффективным полем перехода.
Как было показано в (III.4) (стр. 238), для одночастичных
переходов с малой частотой матричный элемент перехода с точ-
точностью до множителей, связанных с числами заполнения квази-
квазичастиц пь, совпадает с матричным элементом соответствующего
эффективного поля.
Все эти результаты применимы к случаю |J-переходов с основ-
основного на основное состояние или с небольшой энергией возбужде-
возбуждения (^EfA—1/'), что соответствует почти статическому эффектив-
эффективному полю. Используя формулу для перехода нечетной частицы
(II 1.4.16) (стр. 240), получаем
о»

IV.7. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЯДРАХ
389
(для определенности рассмотрен переход протона в нейтрон).
В случае, когда парная корреляция несущественна, находим
Мат = | Фя^аФл, |2 лК. A - пЪ). A2)
Матричный элемент для фермиевского перехода с точностью
до малых кулоновских поправок определяется обычным выраже-
выражением (8).
Таким образом, матричные элементы перехода выражаются
через решение уравнения G) для эффективного поля.
Результаты расчетов вероятностей ^-переходов между зеркаль-
зеркальными ядрами приведены в табл. 21.
Таблица 21
В-переходы между зеркальными ядрами оболочек \р и 2s—Ы [53]
Переход
14С—"В
13N_l3C
«о—"N
"F—17О
18Ne_19F
21Na_21Ne
a5Ai_25Mg
«»Si—«Al
aep_2»s
3is_sip
31C1_33S
35A1_35C]
з?к—37Ar
39Ca-9K
lPa/2
lPl/2
]Pl/2
1^5/2
^5/2
W8/2
w8/2
ld5/2
ld5/2
2sl/2
4/»
ld3/2
ld3/2
W3/2
'g /'эксп
3,62
3,67
3,64
3,36
3,25
3,59
3,74
3,63
3,64
3,68
3,71
3,72
3,75
3,66
3,64
^эксп
М„
0,44±0:01
0,83±0,02
0,92±0,02
0,93±0,04
l,03±0,05
0,63±0,07
0,31±0,02
0,4&±0,03
0,45±0,02
0,26±0,03
0,21^=0,01
0,43±0,12
0,34±0,15
0,62±0,07
0,70±0,03
Mreop
м„
0,39
0,90
0,90
0,82
0,69
0,60
0,54
" 0,49
0,47
0,57
0,60
0,48
0,54
0,64
0,77
Простые формулы A1), A2) для матричных элементов перехода
получаются, только когда переход является чисто одночастичным,
а это, как правило, бывает, лишь если на последнем одночастичном
уровне %0 имеется всего одна квазичастица. При большем числе
Квазичастиц на этом уровне значение М получается интегрирова-
интегрированием эффективного поля V с волновыми функциями Wt и Wf
системы квазичастиц, заполняющих последний уровень [39].
Как правило, структура Tj и ?/ не определяется однозначно
значением полного момента и изоспина. Базисных функций Wv
оказывается несколько, и чтобы определить коэффициенты, с ко-

390
IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
торыми эти функции входят в ^?t и Wf, нужно решить уравнение
Шредингера для квазичастиц последнего незаполненного уровня.
Эффективный потенциал определяется амплитудой взаимодействия
квазичастиц у поверхности Ферми и выражается через константы
ТКФС [39]. В табл. 22 приведены результаты вычислений вероят-
вероятностей р-переходов между состояниями ядер оболочки 1Д/а •
Из таблицы видно, что интерференция вкладов различных базис-
базисных состояний в (Vt | V | Ч/) приводит к резкому уменьшению
величины Мат.
Таблица 22
Igft разрешенных гамов-теллеровских переходов
для ядер оболочки 1/7/2 [39]
Переход
«Sc—43Са
44Sc_44Ca
46Са—*6Sc
45Ti_48Sc
46Sc_46Ti
47Са—4'Ti
47Sc_47Tj
4»y .49XJ
*»Sc—4»Ti
51Cr—"V
51Mn—61СГ
MMn- 6aCr
B3Fe_63Mn
y(. - /,
/ 7/2—5/2t
t 7/2—5/%
f 2—2
I 6—6
7/2—7/2
7/2--772
4—4
/ 7/2—7/2
\ 7/2—5/2
/ 7/2—7/2
\ 7/2—5/2
7/2—7/2
7/2—7/2
7/2—7/2
7/2--772
/ 2—2
\ 6—6
I 7/2-7/2
\ 7/2—5/2
left
теория
4,5
4,0
5,0
5,7
5,6
4,8
6,3
6,8
5,5
5,8
6,1
6,0
6,4
5,9
5,1
5,7
5,9
5,2
5,1
эксперимент
4,9
5,0
5,3
5,8
6,0
4,6
6,2
8,5
6,0
5,3
6,1
6,2
5,7
5,4
5,1
5,5
5,5
5,4
5,2
Особенно простые результаты получаются для переходов между
зеркальными ядрами, когда состояние щ0 нуклона не изменяется.
Так как при N = Z уравнение для wa совпадает с аналогичным
уравнением для магнитной восприимчивости (с заменой g0 на g'o),
то матричный элемент Р-распада может быть выражен через спи-
спиновую часть магнитного момента ядра с нечетным нуклоном в со-
состоянии Я.о. Небольшая неточность такой операции возникает из-за
спин-орбитальных поправок.

IV.7. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЯДРАХ 39F
Магнитный момент ядра для нечетного протона или нейтрона
соответственно связан с wa соотношением
1 / , , Тп — Тр г \
Тр 5" V ' v - 1/9 " /
»(Тр— 1/2) (фх„,
Ур —Уп-1/2 ,.
И*, = Yn fZT^ (Ф*°> ^фХ.) « Yn (фл„,
— 1/2 **
« —2). Таким образом, матричный элемент MGT равен
Мат = /п\о ^07- = т^г—^гоМет = С'оМ^г, A3)
где Мот означает значение Мет для свободных частиц.
Так как состояния зеркальных ядер соответствуют Т =
— -S-, Т2 = ± -д-, то, согласно (8), М% = 1 и период полурас-
полураспада по формуле C) определяется выражением
f% ^ 6200
Особенный интерес представляют /-запрещенные переходы.
В одночастичной оболочечной модели, в которой взаимодействие
нуклонов учитывается только в форме самосогласованного поля
ядра, такие переходы строго запрещены. При включении взаимо-
взаимодействия между квазичастицами этот запрет снимается [135].
Из формулы A0) видно, что /-запрещенные Р-переходы имеют
простое объяснение, аналогичное объяснению /-запрещенных
Ml-переходов (стр. 333): слагаемое эффективного поля (ап)па
отлично от нуля не только для обычных переходов Ы = 0, бу- = 0,1,
но еще и для переходов б/ = 2, 6^ = 1. Как видно из A0), вели-
величина матричного элемента перехода пропорциональна амплитуде
спин-спинового взаимодействия квазичастиц, причем, как показы-
показывают расчеты, матричный элемент весьма чувствителен к форме
спин-спиновой амплитуды, в частности, к вкладу однопионного
обмена. Это делает /-запрещенные переходы одним из тонких
инструментов для уточнения параметров однопионного обмена.
В принципе /-запрет может быть снят и иным путем. Если в ло-
локальный заряд eq [<хт+ ] кроме обычного слагаемого е\ = A —
— 2Cs)ot+ (стр. 223) добавить член Я, (ор)рг+, то вероятность
/-запрещенного 0-перехода будет, очевидно, отлична от нуля и
при g~ = 0. Поправка такого рода была впервые выведена в ра-

392 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
боте [133]. Однако значению константы К, найденному в этой
работе, нельзя доверять, поскольку не учитывалось смягчение
мезонной степени свободы в ядерном веществе.
Запрещенные ^-переходы
Теоретический анализ запрещенных р-переходов значительно
сложнее, чем анализ разрешенных. В матричный элемент перехода
дают, как правило, вклад несколько разных слагаемых. Так,
переход первого запрета 1~—0+ определяется тремя матричными
элементами: \ г, I ox r и |а(а — матрица Дирака). Нередко
их вклады оказываются разного знака и настолько компенсируют
друг друга, что в матричном элементе перехода начинают играть
роль следующие члены разложения лептонного тока по степеням kr,
изменяющие характер энергетического спектра вылетающих элект-
электронов. Искажение формы электронного спектра наблюдается во
многих запрещенных Р-переходах. Одним из примеров является
Р-распад RaE — переход 1"—0+ между основными состояниями
ядер 210Bi и 210Ро. Расчет электронных спектров в таких переходах
представляет одну из наиболее серьезных проблем количественной
теории р-распада ядер. Описание этих явлений требует исполь-
использования точных уравнений ТКФС для трех компенсирующих
друг друга эффективных полей. Кроме того, результат чувствите-
чувствителен к виду взаимодействия между квазичастицами, и поэтому
сравнение расчетов с опытом дает возможность уточнить вклад
однопионного обмена и другие детали взаимодействия.
Расчеты, правильно учитывающие однопионный обмен и не-
ненулевые гармоники спин-спинового взаимодействия, проведены
в координатном представлении в работе [178]. В таблице 23 да-
дается сравнение теоретических и экспериментальных вероятностей
(lg ft) и параметров At, характеризующих формы электронных
спектров р-переходов 0+—0" вблизи 208РЬ. Как обычно, при ана-
анализе Р-спектров, вводится фактор формы S, представляющий собой
отношение интенсивности изучаемого спектра к интенсивности раз-
разрешенного Р-перехода. Величина S записывается в виде
S = A1 + AZW+A3/W,
где W — полная энергия электрона.
Согласие теории с экспериментом достигается при g\ = —0,3,
что уменьшает противоречие в соотношении между константами
теории, которое дается правилом сумм (стр. 151).
Большой интерес представляет изучение уникальных Р-пере-
ходов, в которых орбитальный момент меняется на единицу, а
полный — на двойку. Вероятность уникального Р-перехода оп-
определяется единственным матричным элементом
Bih = atrk + ahn - 2/3 {or)

IV.7. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЯДРАХ 393
Таблица 23
206Hg
206-Г]
210p[j
Переход
(О+)_2О6Т1
@-)_20ept
@+)_-aiOBi
Теоретические
= 0,95 и
g[ = -0,3
Запрещенные ^-переходы
(О")
>@+)
(О')
экспе-
эксперимент
5,4
5,2
5,3
теория
5,3
5,23
5,0
значения взяты из [178] для
. Коэффициент А 2 рассчитан
0+—0" и 0"—0+
коэффициент А г фактора формы S
эксперимент
—0,001± 0,0003
значений параметров Js
прн *)вр/вА = 0,1 и *"
теория
—0,0007*)
—0,0010 **)
= 0,05; g' =
)GplGA = 0,2.
В интегральный член уравнения для эффективного поля V [Btk]
в этом случае входит много переходов, и поэтому перенормировка
V [Blk] определяется значением амплитуды g' при переданном
импульсе q = 0. Поэтому сравнение расчетных значений ft
с экспериментом дает еще один способ для нахождения
констант спин-спиновой амплитуды g'. В работе [179] было полу-
получено значение g' = 0,96. Результаты этой работы даны в табл. 24.
Уникальные ^-переходы 1179]
Таблица 24
Материнское
ядро
37S
38С1
3»Аг
41Аг
43К
91Sr
81 у
93у
123Sn
125Sb
12'Sb
127Tc
Igft
эксперимент
8,17
8,26
9,00
8,61
8,69
8,23
8,50
7,78
8,83
8,62
7,98
9,04
модель
оболочек
7,32
7,00
7,32
7,31
6,99
7,36
6,86
6,86
7,01
6,80
6,76
6,97
ТКФС [179]
8,11
7,87
8,20
8,17
7,92
8.13
7,75
7,55
7,91
7,60
7,59
7,83
До сих пор речь шла о ядерном р-распаде. Но в ближайшее
время в распоряжении экспериментаторов окажутся нейтринные
пучки с энергией Ev ~ 100 МэВ, и тогда начнется изучение об-
обратного р-распада — процесса захвата нейтрино каким-то из

394 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
нуклонов ядра с испусканием заряженного лептона. В этих про-
процессах существенную роль будут играть коллективные возбужде-
возбуждения ядер с зарядом Q = 1. Эти состояния интенсивно изучаются
сейчас в (р,п)-реакциях. Наиболее хорошо изучены аналоговые
@+) и гамов-теллеровские A+) резонансы. Если бы спин-орбиталь-
спин-орбитальное расщепление отсутствовало, энергия этих резонансов была бы
одинаковой. Учет спин-орбитальных сил приводит к сдвигу вверх
положения 1+-резонанса относительно аналогового состояния.
Расчеты характеристик гамов-теллеровского резонанса, прове-
проведенные в рамках ТКФС в работах [166, 167], для большинства
ядер хорошо согласуются с экспериментальными данными.
м-захват
В отличие от Р-распада, при [х-захвате импульс, уносимый
нейтрино, велик: kv ~ [хс, и ядру в среднем передается энергия
порядка 10^-15 МэВ. Поэтому в токе легких частиц надо учиты-
учитывать зависимость от г. В случае ^.-захвата, наряду с обычным
V-—А взаимодействием, следует учитывать процесс, идущий
с образованием я-мезона в промежуточном состоянии:
?¦ > п
Этот процесс можно описать введением эффективного псевдоска-
псевдоскалярного взаимодействия с константой GP. Вероятность Л-за-
хвата мюона в /С-оболочке определяется известным соотношением:
= TST
<15>
В матричные элементы входит ток легких частиц/ (г) ~ ф№ (г)е{кг,
где фц (г) — функция ^-мезона на /С-оболочке.
Константа GP («индуцированный псевдоскаляр») в пустоте
определяется соотношением Гольдбергера—Треймана
2M A6)
= 2
тл~Я
вытекающим из частичного сохранения аксиального тока.
В ядерном веществе связь GP с GA усложняется: перенорми-
перенормируется вершина яЫ-взаимодействия; модифицируется пионный
пропагатор, и, наконец, меняется вершина я — \iv. Первые два
эффекта уже были обсуждены. Вершина я — [xv в ядерной мате-
материи определяется следующими диаграммами:

IV.7. СЛАВОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЯДРАХ
395
где первый график описывает рождение частицы и дырки; второй
соответствует рождению А-резонанса и нуклонной дырки; третий
описывает локальные процессы, содержащие более одной частично-
дырочной пары.
Описанные процессы модифицируют теорию частичного сохра-
сохранения аксиального тока в ядерном веществе. Анализ показывает
[180], что отношение GP!GA в ядре значительно уменьшается
по сравнению с A6) по мере приближения ядра к критической,
точке. Уменьшение вершины я — ц/v превышает эффект увеличе-
увеличения пионного пропагатора.
Таблица 25
Вероятности ц-захвата сферическими ядрами [181]
Ядро
i«O
«С1
»'С1
«Са
«Са
«Ti
51у
*>Сг
юСг
63Сг
"Сг
55Мп
MFe
мСо
"Ni
eoNi
62Ni
ЮЗДа
U2Cd
uaSn
n'Sn
iMSn
1MSb
201Hj
aoePb
готрь
2оарь
аюрь
2oeBi
модель оболочек
2,15
37,00
26,64
45,21
31,92
43,04
52,02
70,65
63,18
60,61
58,04
71,36
89,62
90,83
113,40
103,30
88,60
260,66
254,50
280,00
224,12
179,87
222,20
468,81
464,50
451,30
442,50
435,40
459,02
Вероятность ЛХ105, с
ТКФС
0,89
16,55
11,47
22,73
16,03
22,16
26,99
36,51
32,64
31,19
29,74
37,61
46,15
46,68
58,50
53,40,
45,40
111,00
109,30
119,30
95,69
75,80
94,36
127,51
126,4
121,62
120,12
117,31
124,6
эксперимент
0,97±0,03
18,02±0,49
12.52=1=0,52
24,44±0,23
17,93±0,40
26,3=!= 0,6
33,7=!= 0,6
38,25±0,5
34,52±0,47
32,97=!= 0,45
30,97±0,42
36,7±0,8
45,3±1,0
46,4±0,3
61,1±1,0
55,6=Ы,0
47,1±1,0
114,5=t5,7
94,5±5,9
—
112±7
—
116^10
134±8
136,1
129-.5
129,8
—
122±7,5

396 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Полная вероятность ц-захвата при этом мало изменяется,
тогда как парциальные переходы, например, ц-захват с перехо-
переходом ядра из состояния 0+ в состояние 0", изменяются существенно.
Псевдоскалярное взаимодействие оказывает особенно сильное
влияние на характеристики радиационного ^-захвата: на распре-
распределение интенсивности у-спектров и на угловое распределение
нейтронов, вылетающих при захвате поляризованных ц-мезонов.
Экспериментальное исследование этих явлений пока только на-
начинается. Сравнение теоретических и экспериментальных значе-
значений вероятностей [х-захвата дается в табл. 25, взятой из [181],
где уравнения для эффективных полей решались численно. В ра-
работе [182] найдено квазиклассическое решение этих уравнений.
Получена формула для вероятности [х-захвата в зависимости
от N и Z, дающая разумное согласие с экспериментом.
Иессхранение четнести
8 электромагнитных ядерных переходах
Существование слабого V—А нуклонного тока приводит к по-
появлению не сохраняющих четность, слабых сил взаимодействия
между нуклонами. Эти силы, несмотря на их малость, проявляются
в электромагнитных ядерных переходах. Измерена асимметрия
в угловом распределении 7"квантов, излучаемых ядрами, образо-
образовавшимися при захвате поляризованных нейтронов, относительно
направления поляризации [183]. Наблюдена круговая поляриза-
поляризация у-квантов, испускаемых неполяризованными возбужденными
ядрами [184]. Эти явления возникают в результате смешивания
электрических и магнитных мультипольных переходов одного
порядка. Наблюдаемый эффект определяется отношением матрич-
матричных элементов запрещенного и разрешенного у-переходов.
Чтобы получить оценку эффекта, найдем величину вклада сил,
не сохраняющих четность в самосогласованном поле ядра. Из вы-
выражения для гамильтониана слабого взаимодействия
где ток Jw есть сумма векторного и аксиально-векторного членов,
получим амплитуду несохраняющего четность взаимодействия
нуклонов в пустоте:
Отсюда нетрудно оценить величину не сохраняющей четность по-
поправки bwU ^самосогласованному полю ядра

IV.7. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В ЯДРАХ 397
Подстановка численных значений дает
Вклад такого же порядка вносит и слабый магнетизм — сла-
слагаемое в слабом векторном токе, обусловленное разностью ано-
аномальных магнитных моментов нейтрона и протона.
Матричный элемент запрещенного сохранением четности пере-
перехода ^пропорционален отношению 8WU к характерному расстоя-
расстоянию между одночастичными уровнями противоположной чет-
четности е^А-1/'. Если разрешенный у-переход магнитный ML,
то запрещенным будет электрический переход EL. Их отношение
~l/MR гораздо меньше единицы, что приводит к дополнительному
увеличению наблюдаемого эффекта. В итоге получается такая
оценка:
¦ <?L> ....
(ML)
Разумеется, для получения точных результатов надо решать
строгие уравнения ТКФС. Обсудим, как изменяются эти уравне-
уравнения при включении слабых сил. Во-первых, в амплитуде рассеяния
квазичастиц &" появляются члены, не сохраняющие четность-
Простейший из них был выше явно выписан: (Г—#"vac. Во-вторых,
меняется вид самосогласованного поля — в нем возникают псевдо-
псевдоскалярные поправки. В-третьих, не сохраняющие четность сла-
слагаемые добавляются и в гамильтониан взаимодействия квази-
квазичастиц с электромагнитным полем, т. е. в локальный заряд ква-
квазичастицы. В первых работах, выполненных методами ТКФС;
[185], все эти эффекты рассматривались как независимые, и для
описания каждого из них вводились свои константы.
Поправка к самосогласованному полю выражается по формуле
ь,„и =
8W
через амплитуду &"w несохраняющего четность взаимодействия..
Поправка к локальному заряду Ь^еч находится из тождества
Уорда:
Эта поправка, по-видимому, очень мала.
Двсйнсй р-распад
Двойной Р-распад — процесс второго порядка по константе-
слабого взаимодействия, в результате которого ядро меняет
заряд сразу на две единицы. Будем считать для определенности,
что он увеличивается. Тогда в конечном состоянии имеются еще-
два электрона. Если лептонный заряд строго сохраняется, то»

398 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
вместе с ними должны испускаться два антинейтрино. Если закон
сохранения лептонов нарушается, то возможен и безнейтринный
распад: антинейтрино, испускаемое в одном акте слабого взаимо-
взаимодействия, может поглотиться в другом. Однако, и в этом случае
лроцесс строго запрещен, если нейтрино — полностью поляри-
поляризованная безмассовая частица. Если нейтрино является истинно
нейтральной (майорановской) частицей, то вероятность безней-
безнейтринного двойного Р-распада будет определяться только одним
лараметром — массой нейтрино mv. Отличительная особенность
этого процесса — появление двух электронов в конечном состоя-
состоянии с точно фиксированной энергией, равной разности энергий
лачального и конечного ядер.
Несмотря на интенсивные поиски, такой процесс до настоя-
настоящего времени ие обнаружен. В результате этих исследований
.нижняя экспериментальная граница времени жизни многих ядер,
устойчивых по отношению к обычному 6-распаду, существенно
возросла. Рекордное время Tfiip = 1,6-Кг1 лет получено группой
By [186] для перехода 48Са -> 48Ti + 2е (?2)} = 4,5 МэВ). Чтобы
да основе измеренного периода Т™2П сделать заключение о верх-
верхнем пределе mv, необходимо вычислить ядерные матричные эле-
элементы перехода. До недавнего времени методы их расчета были
разработаны плохо, и ошибка в 1-г-1,5 порядка считалась вполне
допустимой. Применение методов ТКФС к этой проблеме позво-
позволяет количественно рассчитывать необходимые ядерные матрич-
¦ные элементы [187] и тем самым надежно установить верхний
лредел массы нейтрино.
Вычисление матричных элементов сводится к рассмотренной
на стр. 265 задаче об изменении амплитуды рассеяния при вклю-
включении малого дополнительного взаимодействия (в данном случае
это нейтринный обмен между нуклонами). Такие расчеты были
яроведены в [188] для распада 48Са -*¦ 48Ti + 2e. Из оценки
Т™'2П = 1,6-1021 лет, была найдена верхняя граница массы майора-
иовского нейтрино /nv •< 50 эВ.

IV.8. КОНДЕНСАЦИЯ ПИОНОВ В КОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
Обсуждаются следствия, к которым привел бы пионный конденсат,
если бы он существовал в ядрах.
Решено уравнение, описывающее конденсатное поле в конечной системе.
Выясняется влияние коиденсацни на деформацию и моменты инерции ядер.
Показано, что конденсация способствует вытянутости ядер и могла бы при-
привести к изомерии формы. Исследованы голдстоуновские низкочастотные
¦ ветви, возникающие в результате конденсации. Оцениваются частоты наи-
наинизших колебаний. Показано, что конденсация в конечной системе не на-
нарушает сохранения четности.
Конденоатное поле в конечной оистеме
Уравнение для частоты пиона без учета конденсации при
а <^ 1 и для N ~ Z, когда П (k, со) есть четная функция со, можно
записать в виде
где
й! = 1 + к2 + П (к, 0), A - дП/д<о2)ш=о > 0;
Эти соотношения определяются гармонической частью функции
Лагранжа пионного поля в ядерном веществе. Ангармоническое
слагаемое при слабых полях имеет вид
Поэтому для достаточно слабых полей и малых частот (со <^ 1)
эффективный лагранжиан пионов может быть записан в виде
а, _ A — ап/ааJ)ф2_ф62(й)ф cp2A(ft)(pg ,п
*я— 2 4 ' ' '
Для простоты опущены изотопические значки. В координатном
представлении, к которому мы перешли, под со (k) и Л (k) сле-
следует понимать дифференциальные операторы, которые получаются
после замены k -*¦ -г- V.
Функция Лагранжа A) дает следующее уравнение для ср:
A - дП/дсо2) ф + со2 (к) ф + Л {к) ср3 = 0. B)
Мы будем рассматривать конечную систему с размерами R ^>
> 1/&0, где к0 — волновой вектор, соответствующий конденсат-
ному полю бесконечной системы.- Тогда фурье-образ поля ср (г, /)
в конечной системе будет содержать волновые векторы к = к0 +
+ Ак, где А& ~ 1/R. Поэтому функции ю2 (к) и Л (Л) могут быть
.разложены в ряд около k = k0. Для Л (k) достаточно ограничиться
нулевым членом Л (к) = Л (к0) = Я, тогда как ю2 (k) можно пред-
представить в виде
^ (*'*8)' , со^>О, х>0. C)

400 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Для статического конденсатного поля (предполагаем N си Z,
и, следовательно, конденсат статический) получаем из B)
й2 (k) сро + Wo = 0. D)
Используя C), получаем [189]
(А+ Iff (/) = e(/(r')-V3/3(r')), D'>
где
_
8 ~
Как мы видели, а0 представляет собой амплитуду периодиче-
периодического конденсатного поля в бесконечной системе. Вблизи крити-
критической точки е <^ 1. Ниже мы используем малость этой величины
для приближенного решения уравнения D').
Нас будут интересовать решения уравнения D'), имеющие
вдали от поверхности ядра постоянную амплитуду, равную аа
(только такие решения позволяют минимизировать энергию).
Мы рассмотрим две возможности: сферические и плоские слои
/ = sin я|>о, где % = г' или г' соответственно. Тогда
/ = a sin (t0 + %), E)
s 1 1
где а и % заметно меняются на расстояниях г порядка о ~ —=-т~.
Поскольку ширина слоя, на котором меняется амплитуда конден-
конденсатного поля, велика по сравнению с расстоянием между нукло-
нуклонами го ~ 1/^о. характер поведения плотности на краю ядра мало
влияет на решение. Для простоты можно считать, что ядро имеет
резкую границу. Подставляя E) в D') и используя малость е,
нетрудно получить уравнения второго порядка для величин а и %.
Граничные условия к уравнению можно найти, сшивая наше ре-
решение с решением уравнения Клейна—Гордона—Фока в вакууме.
Легко показать, что медленно меняющаяся фаза % несущественна
для вычисления^энергии, а амплитуду с достаточной точностью
можно найти из условия а = 0 на поверхности системы. Для
энергии системы находим после интегрирования по частям
В сферическом ядре с радиусом R ^> б сферически симметрич-
симметричное решение D') при е <^ 1 имеет вид
F)
^V— —
Нетрудно проверить, что это решение удовлетворяет уравнению
D') с точностью до членов ~}/ &. Оно соответствует сферической

IV.8. КОНДЕНСАЦИЯ ПИОНОВ В КОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ 401
слоистой структуре конденсата. Решению F) соответствует энер-
энергия конденсации
Е = 80V + &SS,
где 8й — объемная плотность энергии
#о = — сооМ, G)
у — объем ядра, S — площадь поверхности, <gs — поверхностная
плотность энергии:
gs = ±b\80\. (8)
Решение, переходящее в глубине в плоские слои, имеет вид
/ = thi^gl^i sin (*' + *) (9)
при
rlR » у "в, VR2 - Р2 » в, р' = К (х* + уУ2.
Энергия, соответствующая (9),
E = &0V + 2&sSe, A0)
где Se — площадь экваториального сечения ядра. Выражения G)
и A0) справедливы и для сфероидальных ядер.
Согласно A0) в деформированном ядре минимальная поверх-
поверхностная энергия соответствует ориентации волнового вектора
слоев вдоль большей оси.
Как видно, в достаточно больших системах (R ^> б) реали-
реализуется решение с плоскими слоями (9), так как ему соответствует
меньшая поверхностная энергия. Вклад конденсата в объемную
энергию не зависит от формы слоев.
Для легких ядер (R ~ б) такой «макроскопический» подход
не годится. Как показано в [190], в этом случае пионная неустой-
неустойчивость (как функция плотности нуклонов) наступает сначала
для состояний с нулевым угловым моментом. При вычислении
поляризационного оператора пионов, вместо интегрирования по
импульсам нуклонных состояний (как это делалось в бесконечной
системе), производилось суммирование по квантовым числам
нуклона в сферическом ядре и определялось значение константы
g' — g'c при котором наступает неустойчивость. В средних и
тяжелых ядрах получаются приблизительно те же значения g'c,
что и в бесконечной системе.
Деформация и моменты инерции
Рассмотрим тяжелое ядро, в котором возникла структура
плоских слоев. Так как конденсатная добавка к поверхностной
энергии пропорциональна поперечному сечению ядра (см. A0)),
наличие конденсата будет способствовать вытягиванию ядер
вдоль направления волнового вектора слоев.
И А. Б. Мигдал

Ш IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИЙ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Поскольку поперечное сечение содержит линейное по деформа-
деформации ядра слагаемое, зависимость энергии ядра от параметра
квадрупольной деформации р имеет вид
Е (Р) = а (Р) р2/2 - 4я/?2<Г8р/3. A1)
Следует учитывать хорошо известный факт, что жесткость по
отношению к малым деформациям (Р<М~1/3) определяется рас-
расстройством оболочечной структуры и имеет порядок а @) ~ eFA,
тогда как жесткость по отношению к большим деформациям
(Р > А~1'3) определяется поверхностной энергией системы и,
как это следует из полуэмпирической формулы для энергии связи
ядер, а ф) ~ 1/берЛ2/3, т. е. значительно меньше, чем а @).
Легко видеть, что Е (Р) имеет минимум при малой деформации
Ро=—?—-, а при о > ( \t ) образуется второй
о«о о \ ар / min
минимум при большой деформации, который мог бы привести
к изомерии формы. Отметим, что, если второй минимум суще-
существует по оболочечным причинам, конденсат его углубит. Однако
минимум может появиться и тогда, когда оболочечные расчеты
его не дают. Отметим здесь же, что начальная жесткость ядра
может оказаться настолько большой, что в силу малости равно-
равновесной деформации р0 соответствующая ротационная полоса по-
попадает в область одночастичных энергий, т. е. станет ненаблюдае-
ненаблюдаемой. Выбрав для оценки значения к =* 8 (см. [13]) и воспользо-
воспользовавшись для оценки (Р ~ . значением | о>„ | ~ 0,2 (см. ниже),
получим р0 ~ 1(Г2-=-1(Г8 для А = 100.
Однако даже при р0 -*• 0 образование плоских слоев приведет
к нарушению сферической симметрии и, следовательно, к появ-
появлению момента инерции у сферических ядер. Для образования
заметного момента инерции необходимо, чтобы расщепление по
проекции момента одночастичных энергий нуклонов в поле слоев
было сравнимым либо с энергией спаривания, либо, для дважды
магических ядер, с расстоянием до первых уровней [191 ].
Воспользовавшись результатами работы [113], нетрудно по-
получить оценку отношения момента инерции / к твердотельному /0:
, | „ о |2
/ | Bv, m Ч, т±\ |
То Д2
где ev, m — 8V, m±i — разность энергий для соседних проекций
момента частицы на направление слоев, А — энергия спарива-
спаривания или энергетическая щель в дважды маге. Разность одноча-
одночастичных энергий находится из выражения для энергии нуклона
в, периодическом поле <p0:
Ф\ Рг) = -t- +

IV.8. КОНДЕНСАЦИЯ ПИОНОВ В КОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ 403
В квазиклассическом приближении нетрудно связать р\ с про-
проекцией момента М. Направляя ось z вдоль радиус-вектора ча-
частицы, имеем
откуда
pl = p2sin4^^ = ±p2(l-m2/i2). A4)
Из A3), A4) получаем
Последний множитель учитывает взаимодействие между нукло-
нуклонами.
Воспользовавшись оценкой а2, приведенной выше, получим
VWo~0,leF/jb. A6)
В случае обычной деформации У'II/0 ~ Pef//A. Таким образом,
мы видим, что слоистая структура эквивалентна в смысле момента
инерции деформации р" ~ 0,1. Разумеется, эти цифры имеют
только иллюстративный смысл.
Голдотоуновские ветви колебаний
Появление поля ф0 означает нарушение различных симметрии.
В силу координатной зависимости (ср0 (г) = a sin kot) нарушается
трансляционная симметрия. Существование выделенного направ-
направления означает нарушение ротационной симметрии. И, наконец,
в случае изотопически несимметричного поля ф^а> нарушается
изотопическая симметрия. Как известно, нарушение непрерывной
симметрии в бесконечной системе приводит к появлению ветви
собственных колебаний с равной нулю минимальной частотой
(теорема Голдстоуна). В конечной системе эта теорема приводит
к колебаниям с частотой, стремящейся к нулю как некоторая
степень радиуса системы. Так, например, нарушение ротационной
симметрии в деформированном ядре приводит к появлению рота-
ротационного спектра с минимальной частотой
ш ~ 1// ~ 1/R5.
Проследим механизм возникновения голдстоуновских ветвей.
Для этого получим уравнение для поля колебаний. Чтобы полу-
получить это уравнение в простой форме, следует в уравнении B)
представить ф в виде ф = Фо + ф' и ограничиться первым членом
разложения по степеням ф'. Действительно, если колебание
определенного вида, например фиксированного волнового век-
14*

404 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
тора, слабо возбуждено, то его амплитуда порядка амплитуды
нулевых колебаний для одной степени свободы, т. е. она содержит
корень из объема системы в знаменателе. Из B) получаем
A - дП/дсо2) ф' + S2 (*) ф' + ЗХфоф' =0. A7)
Здесь к =-- A/i) V. Если волновые числа, существенные в ф',
значительно меньше, чем k0, то в 3-м слагаемом в A7) можно
заменить <$1 на его среднее значение. Используя полученные
выше соотношения, имеем
ЗЯ,ф1 = 3%а2/2 = | 2а>о .
В результате получается уравнение, не зависящее от г. Частота
колебаний, как функция волнового вектора q, будет *)
и (9) ——
Таким образом, наличие конденсата стабилизирует колебание
(со2 > 0). Это выражение соответствует конечной минимальной
частоте (о2 ~ ш^) и не имеет отношения, к голдстоуновской ветви
колебаний. Рассматриваемые колебания существуют и до, и после
конденсации; их частота сильно уменьшена множителем
A — дП/дю2) (см. ниже). Чтобы увидеть, как возникают голдсто-
уновские ветви [192], продифференцируем уравнение D) для ф
по координате х(х\\к):
Здесь опять к = A/i) V. Сравнивая уравнение A9) с A7), нахо-
находим, что при ф' ~ д(ро/дх частота колебания ф' обращается в нуль.
В конечной системе волновой вектор колебания может быть подо-
подобран равным k0 только с точностью до величины Ak ~ 1/R. По-
Поэтому минимальная частота колебаний обращается в нуль только
при R -»- оо, а при конечном R, как мы увидим, зависит от R
степенным образом.
Для того чтобы оценить частоту колебаний, представим ф'
в виде
»¦-%¦*
где х — медленно изменяющаяся функция. Умножая A9) слева
на х и подставляя в A7), получаем
( Цт^1-^(^ = 0. B0)
*) Это выражение не учитывает затухание поляризационного оператора П.
Поэтому оно справедливо, когда <в0 меньше частоты первых возбуждений пионной
симметрии в конечной системе. См. замечание на стр. 303.

IV.8. КОНДЕНСАЦИЯ ПИОНОВ В КОНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ 405
Рассмотрим сначала случай бесконечной системы, и пусть %
характеризуется волновым вектором q. Тогда, используя C),
нетрудно получить из B0) следующее выражение для частоты
колебаний:
а _ <?4 + 4 (qkgJ
00 ~~ х 4A—ЭП/дш2) kl '
При малых q частота существенно зависит от угла между q и кй.
При q\\k0
ю» =01 -Гп/асо* ' <21)
а при q _L k0
„2 _ *<?4
В конечной системе наинизшее колебание соответствует
~ R'1, причем q\\ ~ qx ~ n/R, поэтому минимальная частота
колебаний определяется слагаемым, содержащим q ц,
2 У, Я2
Mmin ~ ~
Для х — 0,4, 1 — EП/5со2 ~ I П| -г^д- > где Л — среднее расстоя-
расстояние между уровнями пионной симметрии (точное значение дП/дю2
можно получить только методами ТКФС; мы используем А ~
— Юн-20 МэВ), имеем
0,2 30 ,, D
«mm ~ -J[j3 ~ -JiJF МэВ-
Таким образом, этот тип колебаний перемешивается с ча-
частично-дырочными возбуждениями той же симметрии и не сможет
быть наблюден. В [193] оценивались частоты для различных
типов голдстоуновских колебаний, которые должны были бы
появиться в ядре, если бы существовал конденсат. Авторы при-
приходят к заключению, что наинизшая минимальная частота коле-
колебаний соответствует колебаниям направления слоев относительно
оси вытянутости. Дается следующее выражение для частоты
таких колебаний:
2 — ^Р К 2/х | ф B3}
где р — параметр деформации.
' Для р = 0,2, «о = 0,2 (более точное значение со^ « 0,25 по-
получается из анализа спектров ядра 2°8РЬ, см. стр. 358)
получаем а>^ ~ 0,4 МэВ. Следует иметь в виду, что выражение
B3) справедливо только, пока corot больше частоты вращательных
уровней (ш^ > Ml). Обнаружение такого уровня было бы серь,-
еэным аргументом в пользу существования конденсата,

406 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Квантовый характор кондоноатного поля
в коночной системе Сохранение чотнооти
В бесконечной системе конденсатное поле может рассматри-
рассматриваться как классическое, т. е. имеет в каждой точке пространства
определенное значение (с точностью до небольшого разброса,
вызванного небольшими колебаниями остальных степеней сво-
свободы).
В конечной системе основное состояние системы характери-
характеризуется волновой функцией с равным нулю средним значением
поля [14]. Конденсация проявляется в том, что большое значе-
значение имеет средний квадрат поля — положительные и отрицатель-
отрицательные значения поля в данной точке равновероятны. Действительно,
изобразим оператор поля ф в виде ф = q^?, где W (г) дает коорди-
координатную зависимость поля в основном состоянии (решение урав-
уравнения КГФ в поле, соответствующее наинизшему состоянию).
Тогда основное и возбужденные состояния определяются, как мы
видели, волновой функцией % (q), описывающей движение в двух
одинаковых ямах, разделенных потенциальным барьером. Основ-
Основному состоянию соответствует симметричная волновая функция
Xos) (?)> а первому возбужденному — антисимметричная %{оа) (q),
которые представляют собой приближенно симметричную и анти-
антисимметричную суперпозицию наинизших состояний в каждой
из ям.
Как можно показать [14], энергия первого возбужденного
состояния экспоненциально мала:
(«*) B4,
В достаточно большой однородной системе
и, следовательно, энергия первого возбуждения экспоненциально
падает с объемом системы. Таким образом, в достаточно большой
системе возникает вырождение и в качестве основного состояния
можно вместо %os) взять
A, 2) ЛО ^ ло
Одно из этих состояний соответствует преимуществу положи-
положительных, а другое — отрицательных значений q. Средние значения
поля ф в каждом из этих двух состояний не равны нулю и отли-
отличаются знаком.
Соотношение B4) позволяет сделать оценку энергии первого
возбуждения (аналогичного %<а>) и для случая ядра. В качестве Y

1V.8. Конденсация Пиойов в Конечной системе 40?
следует взять нормированное на единицу объема решение:
отсюда 1Х = -у- -J-.
В качестве константы % можно взять величину, которая полу-
получается из приведенных выше оценок (см. [14]): К ~ 10. Вместо ша
следует подставить величину в>1 = | ю (k0) |2. Так как величина ш0
неизвестна, то для определенности здесь и ниже все оценки, со-
содержащие ш0, делаются в предположении существования конден-
конденсата с а>о = 0,2 (стр. 405). Приблизительно такое же значение
соответствует (ю* ~ 0,1), как мы увидим, предположению, о том,
что аномалии в рассеянии электронов на ядрах вызваны рассея-
рассеянием на слоистой конденсатной структуре.
Подстановка этих чисел в B4) дает
ю<а> = O,2Oe-'-o/i/ioo = 2&r-'.<Wioo МэВ.
При А = 50 получаем ю<а> = 17 МэВ, т. е. достаточно большую
величину. При такой энергии распад на частично-дырочные воз-
возбуждения привел бы к размытию этого уровня и его было бы
трудно установить. Однако уже при А = 200 энергия ю<а> ~
~4,4 МэВ и уровень мог бы проявиться (состояние с квантовыми
числами пиона). Разумеется, приведенная оценка имеет только
иллюстративный смысл, поскольку использованное значение соо
совершенно произвольно, а величина А, была оценена с точностью
до множителя ~ 1.
Как основное, так и возбужденные состояния конденсата,
если они существуют, имеют определенную четность, и поэтому
присутствие конденсата с (ср) = 0 не нарушало бы классификацию
ядерных уровней по четности.

IV.9. БЛИЗОСТЬ ЯДЕР К ТОЧКЕ ПИОННОЙ КОНДЕНСАЦИЙ
Показано, что экспериментальные факты свидетельствуют о близости
ядер к критической точке.
Согласование положения уровней 0~, 1+, 2~,... позволяет уточнить
константы nN- и NN-взаимодействий. Принятые в [11, 12] константы не
противоречат этим данным. Анализ /-запрещенных Ml-переходов поэво*
ляет оценить близость ядер к критической точке;
Показано, что аномалии в рассеянии электронов ядрами могли бы быть
объяснены слоистой структурой плотности протонов, вызванной конден*
сацией. Обсуждаются возможные эксперименты по рассеянию нуклонов
н пионов ядрами, которые могут дать информацию о параметрах, определя-
определяющих конденсацию.
Сущеотвует ли конделоат в обычных ядрах?
Сделанная в [11] оценка показала, что ядра близки к точке
я-конденсатной неустойчивости. При этом, поскольку ответствен-
ответственные за конденсацию параметры взаимодействия были недостаточно
надежно- определены, с самого начала обсуждались две возмож-
возможности: 1) я-конденсат в ядрах существует; 2) я-конденсата нет,
но пионная степень свободы сильно смягчена. В [14] проанали-
проанализированы аргументы за и против существования конденсата
в обычных ядрах. Коротко их перечислим.
Начнем с явления, которое обсуждалось в предыдущем пара-
параграфе. Мы видели, что я-конденсация в конечной системе приво-
приводит к своеобразному удвоению уровней. Так, если основное со-
состояние ядра имеет Jn = 0+, то на высоте и<а> должно существо-
существовать сильное коллективное возбуждение с J" = (Г. Такие же
«аналоги» должны быть и у возбужденных состояний: 3"—3+
и т. д. Была дана оценка со^ ~ 4 МэВ для А ~ 200.
В настоящее время очень хорошо изучен спектр ядра 208РЬ
вплоть до энергии возбуждения порядка 7-н8 МэВ. Никаких
состояний непонятной природы, тем более коллективных, там
нет. Хотя приведенная оценка со<а) очень груба, тем не менее
этот факт является некоторым аргументом против существования
в ядрах я-конденсата. Убедительность этого аргумента усили-
усиливается, если учесть тот факт, что если даже со(а> > 8 МэВ и об-
обсуждаемый уровень 0" находится в непрерывном спектре, он все
равно должен был бы проявляться в ядерных реакциях как очень
интенсивный резонанс. Такого рода резонансов не обнаружено.
Другой эксперимент, предложенный в [194] в качестве теста
наличия я-конденсата в ядрах, — это упругое рассеяние электро-
электронов на ядрах с большими передаваемыми импульсами. Действи-
Действительно, вызываемая я-конденсацией модуляция плотности нукло-
нуклонов оказывает влияние на электрический формфактор ядра. Для
простейшей конфигурации конденсатного поля вида стоячей
волны плотность как нейтронов, так и протонов, имеет вид [14]

IV.9. БЛИЗОСТЬ ЯДЕР К ТОЧКЕ ПИОННОЙ КОНДЕНСАЦИИ 409
где |2 дается выражением
I2 = 5,9а2 ~ р ~ рс .
Ре
В IV.8 мы убедились, что этот результат, полученный для
бесконечной системы, должен был бы сохраниться в средних и
тяжелых ядрах и искажается только в слое б <^ R вблизи поверх-
поверхности ядра. Направление слоев скреплено с направлением дефор-
деформации ядра. В основном состоянии происходит усреднение по
направлению деформации и направлению слоев. Действительно,
волновая функция деформированного ядра представляет собой
произведение волновой функции от внутренних переменных на
волновую функцию углов, определяющих ориентацию ядра.
Поэтому в опытах по упругому рассеянию, когда не возбуждаются
ротационные уровни, будет проявляться распределение плот-
плотности, усредненное по углам вектора k0, а именно
B5)
Оценим вклад таких модуляций плотности в амплитуду рас-
рассеяния электронов ядрами.
В борновском приближении B5) приводит к появлению в форм-
факторе слагаемого
'3 ?2 sinKff-2feo)fl] *
(q-2ko)R •
Анализ экспериментальных данных, выполненный в [195—т
198], в котором р (/¦) аппроксимировалась 3-параметрической функ-
функцией, указывал на наличие некоторой аномалии именно в области
q ~ 2pF, что и наводило на мысль о существовании я-конденсата
сравнительно небольшой амплитуды (?2~5-1(П2) с волновым
вектором k0 ~- pF. Более последовательные расчеты электронных
сечений [199], проведенные с плотностями, рассчитанными на
основе ТКФС, показали, что расхождение с опытом носит более
регулярный характер: оно возникает при q ~ pF и дальше си-
систематически растет. Причиной этого расхождения является
неучет в [195-—198] квазичастичного формфактора (стр. 128).
Его введение в расчеты [144, 145] позволяет устранить расхожде-
расхождение с экспериментом. Так что теперь следует электронные данные
также считать аргументом против существования зт-конденсата
в ядрах. Разумеется, и этот аргумент нестрогий: небольшая мо-
модуляция при q ~ 2/v не исключается.
В работе [199], а также [200] было обращено внимание на
тот факт, что процесс поглощения медленного пиона ядром с вы-
вылетом одного нуклона очень чувствителен к факту существования
я-конденсата в ядре. Действительно, такой процесс в ядерной
материи без конденсата строго запрещен законами сохранения
энергии и импульса, а в ядрах разрешается только благодаря

410 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
конечным размерам. Существование я-конденсата, т. е. периоди-
периодической структуры, приводит к процессам переброса, что делает
возможным выполнение законов сохранения. В [199] было по-
показано, что п-конденсат даже не очень большой амплитуды (а2 =
= 0,05) увеличивает вероятность процесса на 2—3 порядка.
Имеющиеся экспериментальные данные [201 ] приводят к заклю-
заключению об отсутствии я-конденсата. Следует отметить, что точность
этих экспериментов недостаточно велика, так что и этот аргумент
против я-конденсации в ядрах нельзя считать вполне надежным.
Таким образом, имеющиеся экспериментальные данные гово-
говорят скорее против существования я-конденсата в ядрах, чем за
него. Однако нет ни одного надежного доказательства отсут-
отсутствия конденсата, и нужны дальнейшие экспериментальные ис-
исследования.
Эксперименты, устанавливающие близость ядер
к кенденеации
Предположение о близости ядер к конденсации [11] вызвало
ряд возражений [202], которые анализировались в [12] и [203].
Перечислим наиболее существенные из этих возражений. Выска-
Высказывалось утверждение, что учет отталкивания нуклонов на малых
расстояниях должен привести к сильному уменьшению nNN-
взаимодействия в ядре и к изменению той оценки рс, которая
была сделана в [11]. Как мы видели, NN-взаимодействие учиты-
учитывается в поляризационном операторе введением константы g~.
Это означает, что вершина яЫИ-взаимодействия считается ослаб-
ослабленной:
Это ослабление и вызывается отталкиванием нуклонов на малых
расстояниях. Но вместо того чтобы вычислить это отталкивание
с помощью NN-взаимодействия в пустоте, соответствующая кон-
константа определяется в ТКФС эмпирически из сравнения с другими
процессами, куда входит взаимодействие той же симметрии, что
и в случае nNN. Действительно, константа g~ входит в перенор-
перенормировку в среде всех вершин, имеющих симметрию пиона (вер-
(вершина -~(татр). Такой способ гораздо надежнее, чем вычисления
по теории ядерного вещества, поскольку последняя не учитывает
искажения однопионного обмена, вызванные многочастичными
взаимодействиями (см. IV.2). Приходится удивляться, что зна-
значение g~, получаемое в таких расчетах [202], оказывается не очень
сильно отличающимся от эмпирического значения (g~ = 1,45—=—1,7
вместо g~ = 2,1).
В качестве примера, опровергающего принятое в [11] яЫ-
взаимодействие, приводился сдвиг уровня 0", 1 в 16О. Энергия

IV.9. БЛИЗОСТЬ ЯДЕР К ТОЧКЕ ПИОННОЙ КОНДЕНСАЦИИ 411
уровня е = 12,78 МэВ, тогда как энергия частично-дырочного
возбуждения, найденного из разностей масс ядер соседних с О1в,
равна 12,42 МэВ. Таким образом, в результате взаимодействия
возникает положительный сдвиг энергии Ае = 0,36 МэВ. Была
сделана оценка сдвига с помощью графика однопионного обмена
Значение Ае = 4,8 МэВ [202] рассматривалось как противоре-
противоречащее принятому в [11] взаимодействию. При этой оценке не
учитывалось отталкивание на малых расстояниях. Сдвиг уровня
определялся двумя типами графиков:
B8)
Второй из этих графиков дает вклад однопионного обмена с учетом
отталкивания на малых расстояниях (см. B7)), которое уменьшает
по модулю приведенное выше значение Ае = 4,8 МэВ
Первое слагаемое в B8) представляет собой сумму всех взаимо-
взаимодействий, не содержащих однопионного обмена по рассматривае-
рассматриваемому каналу. Именно из-за отталкивания на малых расстояниях
первое слагаемое B8) дает положительный вклад в сдвиг уровня
Ае ~ 1 МэВ.
В результате получается разумная оценка наблюдаемого сдвига
[204]. Выше (стр. 358) приводилось несколько примеров количе-
количественного расчета сдвигов энергий в различных ядрах методами
ТК.ФС, которые показывают, что принятые константы взаимодей-
взаимодействия позволяют объяснить наблюдаемые сдвиги энергий.
Отметим, что в более поздней работе [43], один из авторов
которой тот же, что и у работы [202], произведен более реалисти-
реалистический анализ положения уровня 0" в 16О и используемая там
константа g' не сильно отличается от принятого нами значения.
Другое возражение состояло в том, что притяжение, вызывае-
вызываемое однопионным обменом, должно было бы привести к увеличе-
увеличению спиновой части магнитного момента, тогда как на опыте
наблюдается подавление. В [41 ] дается подробный анализ влия-

412 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
ния однопионного обмена на магнитные моменты. Оказалось, что
найденный выше поляризационный оператор со слегка ослаблен-
ослабленной константой взаимодействия (/* = / A — 2?s) (?, = 0,05)) дает
хорошее согласие с опытом. То же относится к влиянию однопион-
однопионного обмена на положение и сечения возбуждения неколлективных
состояний аномальной четности и к влиянию однопионного обмена
на All-переходы.
Что касается /-запрещенных переходов (стр. 354), то их ве-
вероятности вообще невозможно объяснить, не предположив бли-
близости ядер к точке неустойчивости. Хотя сильное влияние на
них оказывает и спин-орбитальное взаимодействие [118], что
затрудняет анализ, тем не менее сам факт связи их усиления с бли-
близостью к неустойчивости не вызывает сомнения. В этой связи
представляет большой интерес анализ /-запрещенных р*-переходов
и переходов 0+—СГ (например, 20вРЬ—206Т1), вероятности которых
также значительно больше, чем получается в стандартных рас-
расчетах.
Таким образом, экспериментальные факты подтверждают при-
принятые константы пионного обмена и указывают на близость ядер
к конденсации. Согласно оценке, приведенной на стр. 358, квадрат
энергии пиона при k ~ рР на порядок меньше, чем вакуумное
значение.
Вместе с тем никаких определенных экспериментальных ука-
указаний на существование конденсата в ядрах пока нет. Если при-
принять константу /* = 0,9/ и^ = 1, то критическая плотность ока-
оказывается большей, чем ядерная — рс ~ 1,5р0- Если верить этой
оценке, то конденсата в ядрах нет.
Оптический потенциал пионов
Информацию о поляризационном операторе в ядре можно
получить, анализируя данные по спектрам я-атома.
Из этих данных с большой точностью определяется как ве-
вещественная так и мнимая части оптического потенциала пиона.
Поскольку в волновой функции я-мезоатома существенны только
малые импульсы, достаточно ограничиться в этом потенциале
постоянным слагаемым, связанным с S-волновым jtN-рассеянием,
и слагаемым, содержащим квадрат волнового вектора пиона
(т. е. А?я), которое обусловлено Р-рассеянием. Оптический по-
потенциал пиона выражается через поляризационный оператор
П (k <?. 1. ю ~ !)• Волновая функция пиона подчиняется урав-
уравнению К.ГФ:
А?я + [(ш - Vf - П(к, И - V) - 1] Уп = 0, B9)
где V — потенциал электрического поля, а ? = —V. При ма-
малых k и © ~ 1 полюсное слагаемое ПР вносит малый вклад,

IV.9. БЛИЗОСТЬ ЯДЕР К ТОЧКЕ ПЙОННОЙ КОНДЕНСАЦИЙ 413
поскольку ,Ф (& <С 1, со ~ 1) = /г2у?/3со2 (см. IV.2). Поэтому при
N = Z
1, со~1) =
где Г^ представляет собой введенную выше вершину NnN*-B3anMo-
действия в среде, IV — аналогичная вершина для второго
слагаемого, которое учитывает вклад в Р-рассеяние далеких ре-
зонансов. Если в ядрах существует конденсат, то к поляриза-
поляризационному оператору добавляется слагаемое ЗЛ (k, k0) cpjj. Как мы
видели, Л ~ к2 при малых k, так что добавляемое слагаемое имеет
тот же вид, что и член, обусловленный Р-рассеянием, но отли-
отличается от него по знаку. Если бы оказалось, что значение Г^
противоречит другим экспериментальным данным, то это было бы
аргументом в пользу существования конденсата [205].
Для простоты ограничимся случаем N — Z. .
Для того чтобы определить эффективный оптический потен-
потенциал пиона, разложим П в ряд по степеням k2 и (со2 — 1):
П(?, со)^П@, 1)+ -|П-(«о*-1)+ -|g_tf.
Обозначая со — V — со и подставляя разложение II (k, со) в урав-
уравнение B9), получим
^я + (б2 - 1) ^я = 0. C0)
Для того чтобы выделить главный эффект, мы пока рассматри-
рассматриваем оператор k2 как число, т. е. пренебрегаем изменением плот-
плотности на краю ядра (учет зависимости р (г) внесет поправки по-
порядка Л~1/3). В выражении C0) мы использовали тот факт, что
П @, со = 1) пренебрежимо мал в силу малости амплитуды рас-
рассеяния на пороге. Выражение C0) можно переписать в виде
б2
Переходя к нерелятивистскому пределу, получаем
ДУя + 2(?-г/)?я = 0,
т. е. уравнение Шредингера с энергией
? 2
и потенциалом, равным
и L1/2 i v д. ди/дк2 + ди/да>2
2 v ~т~ v г" 2A
где V — кулоновский потенциал,

414 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
1
Роль оптического потенциала играет величина (мы пренебре-
пренебрегаем малым слагаемым =- 1
= Р 7" "^ Г" TRk-
Мы использовали соотношение П = pAsTR. Из выражения
(IV.22а) получаем
3As/dk2 = —0,8, дА$/дш = —1,2.
В результате коэффициент при k2l2 равен —1,9рГЛ/A + 1,1рГЛ)=
= —0,7 при р = Ро и Гд, = 1,2.
Между тем эксперимент дает —@,7-нО,9). Таким образом,
расчет, сделанный в предположении ГЛ = 1,2, дает удовлетвори-
удовлетворительное согласие с опытом. При обычном методе анализа прене-
брегалось зависимостью П (и) и использовалось неправильное
выражение
Сравнение с экспериментальным значением дает Г^ —• 0,6ч-0,7.

IV.10. В08М0ЖН0Е СУЩЕСТВОВАНИЕ АНОМАЛЬНЫХ ЯДЕР
Показано, что при разумных предположениях о свойствах плотной
ядерной материи я-конденсация делает нуклонное вещество неустойчивым—
сжимаемость делается отрицательной. При этом помимо обычных ядер
могли бы оказаться устойчивыми ядра с аномально большой плотностью
Р ~ 5р0 как с Z — N («сверхплотные» ядра), так и с Z <§; N («нейтронные»
ядра).
Обсуждается вопрос о возможной устойчивости ядер с зарядом Z >
>. 1373/2 («сверхзаряженные» ядра).
Анализируется возможность неустойчивости нуклонного вещества
относительно рождения нуклон-антинуклонных пар (модель Ли). Дается
оценка критической плотности для этого процесса: рс = 100р0-
Обсуждаются возможные пути обнаружения аномальных ядер.
Сверхплотные ядра
Покажем, что учет я-конденсации может привести к 2-м мини-
минимумам на кривой зависимости плотности энергии & (р) от плот-
плотности р. Запишем плотность энергии ядерного вещества с учетом
я-конденсации в виде
где |fN (р) — плотность нуклонной энергии без учета я-конден-
сата, а &п (р) — плотность энергии конденсата, которая при плот-
плотностях 0 < р — рс «С рс имеет вид
Как мы видели в (IV.2), рс ~ р0, Р о* 1 (в единицах й = тл =
= с= 1).
Первое слагаемое |fN (p) рассчитывалось в многочисленных
работах по теории ядерного вещества (см., например, [104]).
При этом оказывалось, что при Z » N кривая |fN (p) имеет ми-
минимум при плотности pi), близкой к ядерной р0. л-конденсатное
слагаемое может привести к неустойчивости ядерного вещества,
когда появляется область р с отрицательной объемной жесткостью
К = pcP&ldp*.
Если неустойчивость наступает при р = рс, то условие не-
неустойчивости имеет вид
В случае, когда 0 < рс~Ро < 1, кривая & (р) имеет максимум
Ро
вблизи р = Рс, положение которого ршах дается выражением

416 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
При увеличении плотности рост конденсатной энергии ослабляется,
a <^n(p) возрастает более резко, и поэтому на кривой SB(р) появ-
появляется второй минимум (рис. 18).
Если обычным ядрам соответствует первый минимум, то ядра
должны иметь плотность р0 ~ р° и не имеют конденсата. Тогда
несовпадение наблюдаемой плотности р0 с расчетным значением
Ро связано не с конденсатом, а с неточностью расчетов. При этом
второй минимум соответствует сверхплотным ядрам. Если же
более устойчив второй минимум, то
должно быть заметное неравен-
неравенство р0 > р". При этом в ядрах
должен был бы существовать разви-
развитый конденсат, чего, по-видимому,
нет. В этом случае могли бы суще-
существовать метастабильные ядра с ано-
аномально малой плотностью (с р =
Рис. 18. Кривые зависимости = Ро < Ро — «сверхразрежен ные»
плотности энергии ядра (с N = ядра). Качественные аргументы про-
= 7) от плотности п с учетом тив существования таких ядер со-
конденсации. J , rorvc i
держатся в работе 1206J.
Предположим, что осуществляется первый случай и рс > р0-
Определение положения второго минимума, который соответ-
соответствует сверхплотным ядрам, требует знания нуклонной и конден-
конденсатной энергий при больших плотностях и может быть сделано
только очень грубо [207]. Оценка дает pmln ~ 5р0.
Нейтронные ядра
Для простоты отвлечемся от сложной зависимости энергии
конденсата от плотности, возникающей в нейтронной среде из-за
nf-конденсации [14], и запишем плотность энергии <??лп) в той же
форме, что и в случае ядерного вещества с Z^ JV:
&nn) (p) --= — Р7^J , C4)
где рп — 1, р^ < Рс < р*; pt, p* — критические плотности nf-
и я+я~-конденсации, рс ~ р0. Функция <?Г^п) в отличие от случая
N = Z не имеет минимума — без учета конденсатной энергии
нейтронных ядер не существует. Из расчетов энергии нуклонного
вещества имеем
( dff/ ) =20МэВ^0,14.
Тогда &{п) (р) = &№ (р) + <?Гяп) (р) имеет максимум при р = ртах,
где ртах определяется условием
d^(n) (р) „ ртах —Рс dSjdp nn ,ог.\
. -j—-— = U, — = —д ~ У),о. \^О1
dp ро PnPq ¦ '

IV.10. ВОЗМОЖНОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ АНОМАЛЬНЫХ ЯДЕР 417
При дальнейшем увеличении плотности рост конденсатной
энергии ослабится, и, кроме того, вступят в строй отталкиватель-
ные силы. В результате возникнет минимум при р = pmln > pmax
(рис. 19). Таким образом, при плот-
плотности р = рш1п существует состоя-
состояние ядерного вещества с положи-
положительной сжимаемостью (вопрос об
устойчивости этого состояния об-
обсуждается в [207]). Это означает,
что при достаточном числе нейтро-
нейтронов, когда можно пренебречь по-
поверхностными эффектами, возможно
существование нейтронных ядер J^JS. S™-- 5S
С плотностью р ~ Pmin- ядер от плотности и с учетом
Чисто нейтронное состояние конденсации,
будет приобретать заряд за счет
процесса п -»- n + nt + е + % и, как показано в [207], может
перейти в Р-стабильное состояние с Z <^ N (N S Ю5).
Сверхзаряженные ядра
Сделаем несколько замечаний о возможном существовании
сверхзаряженных ядер. В первоначальной форме идея сверхза-
сверхзаряженных ядер основывалась на следующем [11].
В сверхзаряженном ядре при Ze2/R > тяс, что соответствует
Ze3 > 1, может возникнуть я+лГ-конденсация, причем выигрыш
энергии при достаточном превышении Z над критическим значе-
значением оказывается большим, чем кулоновская энергия нуклонов.
В результате такое ядро может оказаться устойчивым. Однако
в поле такого ядра рождаются е+е~-пары — позитроны улетают
на бесконечность, а электроны распределяются внутри и вне ядра,
экранируя его заряд. Распределение вакуумных электронов вблизи
сверхзаряженного ядра найдено в [208]. Оказалось, что как раз
при Ze3 ~ 1 начинается сильная экранировка заряда ядра, а при
Ze3 > 1 заряд протонов экранируется внутри ядра так, что не-
скомпенсированным остается только заряд в слое, прилегающем
к поверхности ядра. Таким образом, кулоновская энергия сильно
ослабляется этой экранировкой, однако кинетическая энергия
электронов, которая добавляется к энергии системы, делает такое
ядро нестабильным. Гораздо больший выигрыш энергии полу-
получается, если учесть однопионную конденсацию, при которой за-
заряд протонов экранируется лГ-мезонами. Однако и в этом случае
энергия системы больше нуля [209]. Существование сверхзаря-
сверхзаряженных ядер возможно только, если учесть влияние нуклонов
и рассматривать конденсацию с волновым вектором k0, соответ-
соответствующим наименьшей пионной энергии и2

418 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Если критическая плотность рс мало превышает р0) то п~-
конденсация может возникнуть и в стабильных ядрах.
Действительно, рассмотрим для простоты ядра с N — Z. Тогда
энергия лГ-мезона в ядре определяется из уравнения
A + Л« + П(*, со) ~ со2) ? = О,
где к — -4-V, со = со — V.
Разлагая П {к, со) в ряд и ограничиваясь первыми членами
(что допустимо при [ V\ < kv/.), получим *)
[A - <Ш/<9со2) со2 - й2 {&)} У = 0, C6)
где б2 (fe2) = 1 + k? + П (k, 0) имеет минимум при k = k0.
Умножая C6) на ? и интегрируя, легко получить
+ V = 0. C7)
Черта сверху означает усреднение по W2 (| W |2 предполагается
нормированным на 1). Из C7) имеем
1
Легко видеть, что V2 — V* -С V2, V^ —F/5) ZeVR **). Пренеб-
Пренебрегая этой разностью и беря б качестве оценки
~2 2
со = со0
где Сх — число порядка 1, получим (используя то, что а>1 =
= Л (Рс ~ р))
¦ V \ V ^
со
Возникновение л~-конденсата начинается при со = 0. Поэтому
при достаточно малом превышении рс над р0 может возникнуть
лГ-конденсация уже в области устойчивых ядер, если
V Ci '
Для ядер с большим зарядом делается существенной неустой-
неустойчивость относительно деления. Эта неустойчивость может исчез-
исчезнуть в том случае, если кулоновская энергия ядра будет заметно
ослаблена. Для этого заряд я~-мезонов должен быть порядка Z.
Как показывает расчет при А ~ 1, Zn ~ Z при условии Ze3 -~ 1.
*) По поводу знака 1 ^-у- см. замечание на стр. 303.
**) Предполагая амплитуду Т постоянной по объему ядра, получаем
К? — Т2 ~ 0,0127»; V= —F/5).

IV.10. ВОЗМОЖНОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ АНОМАЛЬНЫХ ЯДЕР 419
Таким образом, значительное ослабление кулоновской энер-
энергии может сделать сверхзаряженные ядра (Ze3 > 1) устойчивыми.
Остается открытым вопрос о соотношении энергии таких ядер
с энергией сверхплотных ядер того же заряда (см. [210]).
Неуотойчивость нуклонного поля (модель Ли)
В [211] рассматривалась система нуклонов, взаимодейству-
взаимодействующих с полем скалярных мезонов. Соответствующий гамильто-
гамильтониан имеет вид
Предполагалось, что существуют скалярные мезоны с массой
Л4Ф ~ MN и константой взаимодействия g ~ 15. Разумеется, при
такой громадной константе взаимодействия не может быть речи
о нахождении энергии системы в аналитическом виде, возможны
только наводящие соображения. В качестве таковых в [211] рас-
рассматривалось выражение для энергии системы в приближении
самосогласованного поля, которое применимо для g << 1. Основ-
Основной результат подхода [211] состоял в том, что при р = рс =*
<=*¦ MNM%/g2 вещество делается неустойчивым по отношению
к рождению нуклонных пар, что приводит к появлению нового
устойчивого состояния ядерного вещества с плотностью р =*
^ Р? ~ 2р0.
Мы сначала повторим результаты [211] в удобной для даль-
дальнейшего форме, а затем покажем, что более реалистическое рас-
рассмотрение сдвигает критическую плотность в область pf ~ 100р0,
где отталкивание на малых расстояниях играет решающую роль.
Для упрощения будем рассматривать нерелятивистские ну-
нуклоны. Тогда наши результаты будут точными при плотностях
порядка ядерных и будут верны по порядку величины в области,
где появляется неустойчивость нуклонного поля. Введем плот-
плотность энергии как функцию ф0 и р (<р0 — статическое поле):
% (Р. Фо) = #N (Р) + ?РФо + МфФо/2.
Минимизируя по ф0, получим
фо = — gp/Мф, &(p) = &N(p)-gy/2Ml = #N + a\p, D0)
что соответствует учету взаимодействия между нуклонами за счет
обмена ф-мезоном (в наинизшем порядке по §?). Эффективный
потенциал, действующий на нуклон, благодаря полю ф0, равен
V = д$
Неустойчивость наступает, когда это поле «съедает» массу ну-
нуклона и, следовательно, критическая плотность ре равна
pc~MvMl/g2. D1)

420 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
Эта формула совпадает с выражением, полученным в [211].
Такое рассмотрение неубедительно по многим причинам.
Прежде всего в среде происходит сильнейшая перенормировка
взаимодействия. Найдем параметры, характеризующие эту пере-
перенормировку.
Рассмотрим в виде примера один из графиков, определяющих
поляризационный оператор мезонов в среде со = 0, k -*- 0. По-
Получаем
П@,*-*-0) =
Перенормировка массы мезона дается выражением
М% = МI - g-2 dp/deF = Мф A - |). D2)
Таким образом, роль параметра, определяющего перенорми-
перенормировку, играет величина
82 <е- «ю.
Между тем из выражения D2) следует, что условием равновесия
является Е < 1 • При ? = 1 наступает неустойчивость мезонного
поля и вещество начинает сжиматься. Действительно, в D0)
в знаменатель второго члена войдет, вместо М%, величина
М%{\ — I), обращающаяся в нуль при g = 1, и cp&ldp2 станет
меньше нуля (отрицательная сжимаемость).
При константе g = 15 и | = 0 следует отказаться от попытки
вычисления энергии системы. Однако можно оценить р?\ исполь-
используя свойства ядерного вещества при плотностях р ~ р0.
Дадим грубую оценку нижней границы р^, вытекающую из
условия равновесия ядерного вещества при ядерной плотности р0.
Записывая полную плотность энергии вблизи р = р0 в виде
получим из условия устойчивости
= 2ef/3p0 - у > 0,
где -у включает все ядерные взаимодействия при р ~ р„ (для вве-
введенного выше взаимодействия у = g2/M\).
Для критической плотности имеем
—Veff = ТР
или

IV.10. ВОЗМОЖНОЕ СУЩЕСТВОВАНИЕ АНОМАЛЬНЫХ ЯДЕР 421
Более подробно ограничения, накладываемые условием устойчи-
устойчивости ядерного вещества при р = р0, рассмотрены в [14]. Согласно
этим оценкам нет оснований ожидать нуклонной неустойчивости,
по крайней мере до очень больших плотностей, при которых
могут появиться новые явления (например, конденсация тяжелых
резонансов или образование кварковой материи).
Возможные пути обнаружения аномальных ядер
Сделаем теперь несколько замечаний о возможных эксперимен-
экспериментах по обнаружению аномальных ядер.
В случае, если сверхплотные ядра существуют, не ясно, каким
ядрам — нормальным или сверхплотным — соответствует боль-
большая энергия связи. В принципе возможно, что большую энергию
связи имеют сверхплотные ядра. В этой связи представляет инте-
интерес экспериментальное ограничение на спонтанные переходы
нормальных ядер в сверхплотное состояние. Отметим, что пока
поиски ядер с аномально высокой энергией связи не дали резуль-
результата [212—214].
Представляют интерес поиски стабильных или короткоживу-
щих Р-активных аномальных ядер небольшого размера (А =^ 100)
в продуктах деления обычных ядер.
Возможно, сверхплотные ядра могут образовываться при столк-
столкновениях тяжелых ионов с энергиями порядка и выше нескольких
сот МэВ на нуклон *). Возникающая при этом ударная волна
может привести к значительному уплотнению ядерного вещества.
Весьма вероятно, что при р = рс сжимаемость системы становится
отрицательной. Поэтому достаточно сжать систему до плотности
рс, чтобы начала образовываться сверхплотная фаза [215].
Независимо от того, существуют или нет устойчивые сверхплот-
сверхплотные ядра, я-конденсатный фазовый переход должен существенно
повлиять на динамику столкновения и проявился бы в угловых
и энергетических распределениях продуктов реакции. Такая
возможность в последнее время интенсивно исследуется в много-
многочисленных работах [215—219]. Центральным вопросом здесь
является выяснение особенностей пионной конденсации при ко-
конечной и достаточно высокой (~100 МэВ) температуре [220—224].
Экспериментальное и теоретическое изучение столкновений
тяжелых ионов высоких энергий позволит получить ценную ин-
информацию об уравнении состояния адронного вещества при боль-
больших плотностях и тем самым приблизиться к решению проблемы
возможного существования сверхплотных ядер.
И, наконец, можно надеяться обнаружить аномальные ядра
в космических лучах, как это отмечалось еще в работе [11].
*) Такой эксперимент был предложен Б. М. Понтекорво в 1971 г. при обсу-
обсуждении работы [11].

422 IV. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ В ЯДЕРНОЙ ФИЗИКЕ
-В связи с этим интересно отметить, что необычный трек, который
приписывался магнитному монополю [225], может быть интер-
интерпретирован как след аномального (нейтронного) ядра. Возмож-
Возможность наблюдения в космических лучах стабильных аномальных
ядер или их fJ-активных осколков с аномальным ZIA, образу-
образующихся при взаимодействии с ядрами атмосферы, должна учи-
учитываться при постановке и анализе экспериментов. Представ-
Представляют интерес также поиски сверхплотных ядер космического
происхождения, накопившихся за космологические времена в по-
поверхностных слоях лунного грунта и в метеоритах.

Приложение
ОТДЕЛЕНИЕ УГЛОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
В УРАВНЕНИИ ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОГО ПОЛЯ
В уравнении для эффективного поля
в сферическом ядре удобно все величины разложить по спин-
угловым тензорам
TjLSM (Я, О) = ? &ММ-т, S. mYL, М-т («) [Omf, (П.2)
т
где Cimtsm2 — коэффициенты Клебша—Гордана, Y!m (n) — сфе-
сферические функции, a [<rm]s равно бт0 для S = 0 (скалярное поле)
и сферическим матрицам Паули ат для S = 1 (спиновое поле).
Система функций (П.2) является полной и ортонормированной
[591:
Sp J dnT}LSM (я, a) Tj>l>s>m' (я, а) = bjj-bLL.bSs'bMNL' (П>3)
и
I! ThsM («, <г«р) TjLSm (п', ара-) = б (я - п') 8а«>. (П.4)
Поэтому можно, записать:
V(r; a) = fS VJLS(r)TJLSM(tl, а), (П.5)
JLMS
& (П, oi\ r2, а2) =
= Е 9ilLtSlSt [ru r2)TfLlSlM{nu ol)TjLts,u(ih, о,) (П.6)
м
и
Л (г1( а^, г2) а2; со) =
= S ^'LlSlS'(/-i, Н, b>)TtLlSiM(nu oi)TJLtS,M(ih, o2). (П.7)
JL,L,StSz
М
Электромагнитные переходы разделяются на два типа. К пер-
первому относятся так называемые электрические переходы (ЕО,
El, ...), для которых изменение четности равно Дл = (—)J.
В этом случае в (П.5) всегда L = J, a S = 0,1 (за исключением
ЕО-переходов, где возможно только S = 0). Для переходов ма-
магнитного типа Ал = (—)J+l, и поэтому в (П.5) L = J ± 1,
a S = 1.
В (П.6) скалярная часть амплитуды 9е" отвечает S1~S2 = 0,
спин-спиновая и тензорная — Sx = S2 = 1 и, наконец, спин-

424 ПРИЛОЖЕНИЕ
орбитальная — St = 0, S2 = 1 или наоборот. Явный вид коэф-
коэффициентов (П.6) для амплитуды вида
где #"„ дается выражением (IV.3.1), а#"я — выражением (IV.3.7),
следующий:
&i}L'SlSl (п, г2) =
= Св НГ1Г~Г*] KLfislSi Hf + Гт1Т2) SSlo + (g + g'Tir2) 6Sll], (П.8)
= -Co/2 A - 2^J ^sfis^TtC^'fk11" (Л, /-2), (П.9)
где угловые коэффициенты CL'Ls равны
^-i.j-i J rJ+i,j+\ _ J + 1
= 2У + 1> "!L+1> (П10)
/+1,7-1 _ V J (J + 1)
/ ~ 2/ + 1
а величина
^lLs (Л, r2) = J /tl (*r,) jL, (kr2) f* (k?) k2dk.
Действуя аналогично, для пропагатора А получим
Ь 2У+ 1 Х
ЧУ Г
X | ^ bnifrRnijx{r\)Rnifx(r2)Gl'r (пг2; е„//т — (о
^ J
n' J
(П.12)
где (// li TjLs \\ j'I') — приведенные матричные элементы, а
Gl/ (n, r2; snijx — со) — функции Грина одномерного уравнения
Шредингера, которые стандартным образом выражаются через
два независимых решения уг (г, в) и у, (г, е).

ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д. — ЖЭТФ, 1958, т. 35, с. 97.
2. Абрикосов А. А., Горькое Л. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой тео-
теории поля в статистической физике. — М.: Физматгиз, 1962.
3. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика, часть 2 — М.:
Наука, 1978.
4. Мигдал А. Б. — ЖЭТФ, 1957, т. 32, с. 399.
5. Luttinger J. М., Ward J. С. — Phys. Rev., I960, v. 118, p. 1417.
6. Мигдал А. Б. — ЖЭТФ, 1962, т. 43, с. 1940.
7. Ларкин А. И., Мигдал А. Б. — ЖЭТФ, 1963, т. 44, с. 1703.
8. Мигдал А. Б., Ларкин А. И. — ЖЭТФ, 1963, т. 45, с. 1036.
MigdalA. В. — Nucl. Phys., 1964, v. 51, p. 561.
9. MigdalA.B.,ZaretskyD.F.,LushnikovA.A. —Nucl.Phys., 1965,v.66,p. 193.
10. Саперштейн Э. E., Ходель В. A. — ЯФ, 1967, т. 6, с. 256.
П. Мигдал А. Б. — ЖЭТФ, 1971, т. 61, с. 2209.
Мигдал А. Б. —ЖЭТФ, 1972, т. 62, с. 1972.
12. Мигдал А. Б., Маркин О. А., Мишустин И. Н. —ЖЭТФ, 1974, т. 66,
с. 443; ЖЭТФ, 1976, т. 70, с. 1592.
13. MigdalA. В. — Rev. Mod. Phys., 1978, v. 50, p. 107.
14. Мигдал А. Б. Фермионы и бозоны в сильных полях. — М.: Наука, 1978.
15. Саперштейн Э. Е., Толоконников С. В., Фаянс С. А. — Письма в ЖЭТФ,
1977, т. 25, с. 548.
16. Ericson M., Delorme J. — Phys. Lett., 1978, v. 76 В, р. 182.
17. Ходель В. А. — Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 16, с. 410.
18. RothaasH. et al. — Phys. Lett., 1974, v. 51B, p. 23.
19. Alkhazou G. D. et al. — Phys. Lett., 1975, v. 52B, p. 40.
20. Heisenberg J. — Lect. Notes Phys., 1979, v. 108, p. 33.
Lichtenstadt J., Heisenberg J., Papanicolas С N. et al.— Phys. Rev., 1979,
v. C20, p. 497.
21. Gross D. H. E. —Phys. Lett., 1969, v. ЗОВ, р. 16.
22. Фаянс С. А., Ходель В. А. — Письма в ЖЭТФ, 1973, т. 17, с. 633.
23. Саперштейн Э. Е., Ходель В. А. — Письма в ЖЭТФ, 1977, т. 25, с. 22.
24. Бунатян Г. Г. — ЯФ, 1977, т. 27, с. 979; 1977, т. 26, с. 44.
25. Бунатян Г. Г. — ЯФ, 1979, т. 29, с. 10; Препринт ОИЯИ, Р4—80—712.
26. Baranger М. — Phys. Rev., 1960, v. 120, p. 957.
27. BelyaevS. Т. — Mat.-Fys. Medd. Kgl. Dan. Wid. Selsk,, 1959, v. 31, p. 11.
Беляев С. Т. — ЖЭТФ, 1960, т. 39, с. 1387.
28. Мигдал А. Б. —ЖЭТФ, 1961, т. 40, с. 684.
29. Боголюбов Н. Н., Толмачев В. В., Ширков Д. В. Новый метод в теории сверх-
сверхпроводимости.— М.: Изд. АН СССР, 1958.
30. Соловьев В. Г. Теория сложных ядер. —М.: Наука, 1971.
31. Крайнев В. П. — ЯФ, 1966, т. 3, с. 804.
32. Гатцкий В. М., Мигдал А. Б. — ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 139.
'33. Гатцкий В. М. — ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 151; т. 34, с. 1011.
34. Боголюбов Н. Н. — УФН, 1959, т. 67, с. 549.
35. Belyaev S. Т. — Nucl. Phys., 1961, v. 24, p. 322.
Беляев С. Т. —ЖЭТФ, 1961, т. 40, с. 672.
36. Померанчук И. Я- — ЖЭТФ, 1958, т. 35, с. 524.
37. Мигдал А. Б. — ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 1680.

426 ЛитерАт^ФА
38. Троицкий М. А., Ходель В. А. — ЯФ, 1965, т. 1, с. 205.
39. Саперштейн Э. Е., Ходель В. А. — ЯФ, 1966, т. 4, с. 701.
40. Саперштейн Э. Е., Троицкий М. А. — ЯФ, 1975, т. 22, с. 257.
41. Саперштейн Э. Е., Толоконников С. В., Фаянс С. А. — Известия АН СССР,
сер. физ., 1977, т. 41, с. 2063.
42. Борзое И, Н., Саперштейн Э. Е., Толоконников С. В., Фаянс С. А. — ЭЧАЯ,
1981, т. 12, с. 848.
43. SpethJ., KlemtV., WambachJ. andBrownG. E. — Nucl. Phys., 1980, v. A343,
p. 382.
44. Троицкий M. A. — ЯФ, 1965, т. 2, с. 796.
45. Троицкий M. А. — ЯФ, 1965, т. 1, с. 758.
46. Медведев Б. И., Худяков С. В. — ЯФ, 1966, т. 3, с. 17.
47. Meyer J.,Speth J., Vogeler J. H. — Nucl. Phys., 1972, v. A193, p. 60.
48. Aritna А., Нот'щН. — Progr. Theor. Phys., 1954, v. 11, p. 567.
49. Ходель В. А. — ЯФ, 1965, т. 2, с. 24.
50. Саперштейн Э. Е., Троицкий М. А. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 138.
51. FayansS. A. — Phys. Lett., 1971, v. 37В, p. 155.
52. Speth J., Werner E., Wild W. — Phys. Rep., 1977, v. 33C, p. 127.
53. Гапонов Ю. В. — ЯФ, 1965, т. 2, 1002.
54. Рапопорт Л. П., Крпытин И. В. — ЯФ, 1966, т. 3, с. 21.
55. Осадчиев В. М., Троицкий М.'А. — ЯФ, 1967, т. 6, с. 961.
56. Саперштейн Э. ?., Толоконников С. В., Фаянс С. А. — Известия АН СССР,
сер. фкз., 1977, т. 41, с. 1573.
57. FayansS. A., Sapersiein E. E., Tolokonnikov S. V. — Nucl. Phys., 1979, v.
A326, p. 463.
58. Bohr A. — Mat.-fys. medd. Kgl. danskevid. selskab, 1952, v. 26, No. 14, p. 1.
Bohr A., Mottelson B. R. —Mat.-fys. medd. Kgl. danske vid. selskab, 1953,
v. 27, No. 16, p. 1.
59. Бор. О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра, т. 1. —М.: Мир, 1971.
60. Migdal А. В. — J. Phys. (USSR), 1944, v. 8, p. 331.
Мигдал А. Б. —ЖЭТФ, 1945, т. 15, с. 81.
61. Lushnikov A. A., Zaretsky D. F. — Nucl. Phys., 1965, v. 66, p. 35.
62. Brown G. E.,Dehesa J. S., Speth. J. — Nucl. Phys., 1979, v. A330, p. 290.
63. Anderson J. D., Wong С — Phys. Rev. Lett., 1961, v. 7, p. 250.
64. Fox J. D., Moore С F., RobsonD. — Phys. Rev. Lett., 1964, v. 12, p. 198.
65. Бирбраир Б. Л. — ЯФ, 1967, т. 5, с. 1198.
66. Зарецкий Д. Ф., Урин М. Г. — ЯФ, 1967, т. 5, с. 983.
67. Шапиро И. С. — Письма в ЖЭТФ, 1968, т. 8, с. 158.
68. Зарецкий Д. Ф., Урин М. Г., — Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 4, с. 379.
Зарецкий Д. Ф., Урин М. Г., ДевяткоЮ, Н. — ЯФ, 1968, т. 7, с. 1021.
Зарецкий Д. Ф., Урин М. Г. — ЯФ, 1970, т. 12, с. 515.
69. Губа В. Г., Урин М. Г., Зарецкий Д. Ф. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21,
с. 386.
70. Rho M. High-Energy Physics and Nuclear Structure, IAIP Conference Proce-
Proceedings 26, p. 666, 1975.
71. Беляев С. Г. —ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 417.
72. Горькое Л. П. — ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 735.
73. Дроздов С. И., Зарецкий Д. Ф. —ЖЭТФ, 1961, т. 40, с. 286.
74. Тер-Мартиросян К. А., Дятлов И. Т. — ЖЭТФ, 1956, т. 30, с. 416.
75. Mermin N. D. — Phys. Rev., 1967, v. 159, p. 161.
76. Backman S.-O. — Nucl. Phys., 1969, v. A136, p. 427.
77. Саперштейн Э. Е., Ходель В. А. — ЯФ, 1969, т. 11, с. 322.
78. Friman В. L. — Phys. Lett. 1980, v. 49 B, p. 1.
79. Friman B. L.,Dhar A. K. — Phys. Lett., 1979, v. 83B, p. 1.
80. Backman S.-0., SjobergO., Jackson A. D. — Nucl. Phys., 1979, v. A321, p. 10.
81. Backman S.-O., Brown G. E., KlemtV., Speth J. — Nucl. Phys., 1980, v. A345,
p. 202.
82. Swjatecky W. J., Myers W. D. —Nucl. Phys., 1965, v. 81, p. 1.

ЛИТЕРАТУРА 427
83. Струтинский В. М. — ЯФ, 1968, т. 7, с. 78.
84. VautherinD., Brink D. — Phys. Rev., 1972, v. C5, p. 626.
Decharge J., Gogny D. — Phys. Rev., 1980, v. C21, p. 1568.
85. Саперштейн Э. E., Ходель В. А. — ЖЭТФ, 1981, т. 81, с. 22.
86. Вакс В. Г., ГалицкийВ. М.,Ларкин А. И. —ЖЭТФ, 1961, т. 41, с. 1956.
87. Корнеев А. А., Осадчиев В. М. — ДАН, 1982, т. 263, с. 1351.
88. Троицкий М. А., Симонов А. Я- — ЯФ, 1973, т. 17, с. 1168.
89. BelyaevS. Т. — Nucl. Phys., 1965, v. 64, p. 17.
Birbrair В. L. — Nucl. Phys., 1968, v. A108, p. 449.
90. Ходель В. A. — ЯФ, 1976, т. 23, с. 282.
91. Саперштейн Э. Е., Фаянс С. А., Ходель В. А. — ЭЧАЯ, 1978, т. 9, с. 221.
92. Морс Ф. и Фешбах Г. Методы теоретической физики, т. II. — М.: ИЛ, 1961.
93. Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра, 2. — М.: Мир, 1977.
94. Беляев С. Т. — ЯФ, 1965, т. 1, с. 1;
Беляев С. Т., Зелевинский В. Г. — ЯФ, 1965, т. 1, с. 13.
95. Ericson M., Ericson Т. Е. О. —Ann. Phys. (USA), 1966, v. 36, p. 323.
96. Газиорович С. Физика элементарных частиц.—М.: Наука, 1969.
97. Carter A. A., Williams J. R., BuggD. V. etal. — Nucl. Phys., 1971, v. B26,
p. 445.
98. Mountz I. D., SmithG. A., Lennox A. J. et al. — Phys. Rev., 1975, v. D12,
p. 1211.
99. NagelsM. M.,de Swart J. J., NielsenH. et al — Nucl. Phys., 1976, v. B109,
p. 1.
100. Weinberg S. — Phys. Rev. Lett., 1966, v. 17, p. 616.
101. AdlerS. I. — Phys. Rev., 1965,'v. 137, p. B1022.
102. Osypovski E. T. — Nucl. Phys., 1970, v. B21, p. 615.
103. HohlerG., JakovH. P.,StraussR. — Nucl. Phys., 1972, v. B39, p. 237.
104. Бете Г. Теория ядерной материи. — М.: Мир, 1974.
105. Bookman S-O. and Weise W. — Phys. Lett., 1975, v. 55B, p. 1.
106. BarskayS., VagradovG. M., Brown G. E. — Phys. Lett., 1973, v. 43B, p. 359.
107. Speth J. et al. — Nucl. Phys., 1980, v. A343, p. 382.
108. Khodel V. A.,Saper$tein E. E. — Nucl. Phys., 1980, v. A348, p. 261.
109. Алхаэов Г. Д., Бирбраир Б. Л. и др. — ЯФ, 1978, т. 27, с. 333.
Бирбраир Б. Л., Садовникова В. А. — ЯФ, 1974, т. 20, с. 645.
Бирбраир Б. Л.,ЛапинаЛ. П., СадовниковаВ. А. — ЯФ, 1976, т. 24, с. 491.
110. Myers W. D., Swiatecki W. J. — Ann. Phys. (USA), 1969, v. 55, p. 395.
111. Иванов Ю. Б. — ЯФ, 1977, т. 26, с. 36.
112. Freed N., Kisslinger L. S. — Nucl. Phys., 1961, v. 25, p. 611.
113. Мтдал А. Б. —ЖЭТФ, 1959, т. 37, с. 249.
114. Саперштейн Э. Е., Ходель В. А. — ЯФ, 1965, т. 2, с. 433.
115. Speth J. — Nucl. Phys., 1969, v. A135, p. 445.
116. Bauer R., Speth J., Klemt V. et al. — Nucl. Phys., 1973, v. A209, p. 535.
117. Пик-Пичак Г. А. — ЯФ, 1967, т. 6, с. 265.
118. Садовникова В. А. — ЯФ, 1980, т. 32, с. 321.
119. Бор О., Моттельсон Б. Структура атомного ядра, т. 2. —М: Мир, 1975.
120. Бунатян Г. Г., Микулинский М. А. — ЯФ, 1965, т. 1, с. 38.
121. Sorensen R. A., Uher R. А. — Nucl. Phys., 1966, v. 86, p. 1.
122. Khodel V. A., PlatonovA. P.,Saperstein E. E.—J. Phys. G., 1982, v. 8, p. 967.
123. Микулинский М. А., Осадчиев В. М., — ЯФ, т. 3, с. 639.
Беляков В. А., Худяков С. В. — ЯФ, 1965, т. 1, с. 744.
Беляков В. А. — ЖЭТФ, 1965, т. 49, с. 832.
Бунатян Г. Г. — ЯФ, 1966, т. 4, с. 928.
124. Rinker G. A., Jr. — Phys. Rev. С, 1971, v. 4, p. 2150.
125. Касымбалинов Р. Н., Саперштейн. Э. Е. — ЯФ, 1982, т. 35, с. 1489.
126. Платонов А. П., Саперштейн Э. Е., Ходель В. А. — Препринт ИАЭ-30б7ь
1978.
127. Anigstein R., BudickB., Kast J. W. — Phys. Rev. Lett., 1980, v: 44ye. 1484.
128. Саперштейн Э. Е., Троицкий M. A. — ЯФ, 1965, т. 1, с. 400.

428 - ЛИТЕРАТУРА
129. Гринь Ю. Т., Дроздов С. И.,ЗарецкийД. Ф. — ЖЭТФ, 1960, т. 38, с. 1297.
130. Meyer J.,Speth J., Vogeler J. H.,~ Nucl. Phys., 1972, v. A193, p. 60.
131. Митропольстй И. A. — ЯФ, 1979, т. 29, с. 1466.
132. Speth J., Zamick L., Ring P. — Nucl. Phys., 1974, v. A232, p. 1.
133. Bauer R., Speth J., Klemt V. et al. — Nucl. Phys., 1973, v. A209, p. 535.
134. Arima A., Hory H., Sano M. — Progr. Theor. Phys., 1957, v. 17, p. 567.
135. Ходель В. А. — ЯФ, 1965, т. 2, с. 28.
136. Саперштейн Э. Е., Троицкий М. А. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 21, с. 138.
137. Heusler A., von Brentano P. — Ann. Phys. (USA), 1973, v. 75, p. 381.
138. Саперштейн Э. E., Толоконников С. В., Фаянс С. А. — Письма в ЖЭТФ,
1977, т. 25, с. 548.
139. FayansS. A., Saperstein E. E., Tolokonnikov S. V. —Phys. Lett., 1980,
v. 92В, p. 33.
140. Wagner W. Т. et al. — Phys. Rev. 1975, v. C12, p. 757.
141. Ходель В. А. — Письма в ЖЭТФ, 1973, т. 18, с. 126;
Ходель В. А. — ЯФ, 1974, т. 19, с. 792.
142. СаперштейнЭ. Е. и др. — Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 23, с. 220.
143. Бирбраир Б. JI., Алхазов Г. Д. и др. — ЯФ, 1978, т. 28, с. 625.
144. FayansS. A., Khodel V. A., Saperstein Е. Е. — Nucl. Phys., 1979, v. A317,
p. 424.
145. Саперштейн Э. Е., Стародубский В. Е. — ЯФ, 1979, т. 30, с. 70.
146. Lichtenstadt J. et al. — Phys. Rev., 1979, v. C20, p. 497.
147. BelyaevS. Т., Rumiantsev B. A. — Phys. Lett., 1969, v. ЗОВ, р. 444.
148. Baldwin G. C, Klaiber G.S. — Phys. Rev., 1947, v. 71, p. 3.
149. Goldhaber M., Teller E. — Phys. Rev., 1948; v. 74, p. 1046.
150. Бунатян Г. Г. — ЯФ, 1966, т. 4, с. 920.
151. Камерджиев С. П. — ЯФ, 1972, т. 15, с. 481.
152. Ring P., Speth J. — Phys. Lett., 1973, v. 44B, p. 477; Nucl. Phys., 1974,
A235, p. 315.
153. Rinker G. A., Speth J. — Nucl. Phys., 1978, v. A306, p. 360.
154. Speth J., Wambach J. — Nucl. Phys., 1980, v. A347, p. 389.
155. Бунатян Г. Г., Фаянс С. А. — ЯФ, 1971, т. 13, с. 1209.
156. BertschG. F., TsaiS. F. — Phys. Rep., 1975, v. 18C, p. 125.
157. Liu K- F., Brown G. E. — Nucl. Phys., 1976, v. A265, p. 385.
158. ГареееФ. А. и др. — ЯФ, 1981, т. 33, с. 645;
Борзое И. Н., Фаянс С. А. —Препринт ФЭИ-1129, 1981 г.
Пальчик В. В., Пятое Н. И., Фаянс С. А. — Препринт ОИЯИ-Р4-81-475,
1981 г.
159. Элиашберг Г. М. — ЖЭТФ, 1962, т. 42, с. 1658.
160. Румянцев Б. А. — Препринт ИЯФ СОАН 76-29, 1976 г.
161. Bertsch G. F. et al. — Phys. Lett., 1979, v. 80B, p. 161.
162. Auerbach N. et al. — Rev. Mod. Phys., 1972, v. 44, p. 48.
163. Ikeda K.,FujUS.,FujitaF. I. —Phys. Lett., 1962, v. 2, p. 169; 1963, v. 3,
p. 271; — Phys. Rev. 1964, v. 133, p. B549;
Ikeda K. — Prog. Theor. Phys. 1964, v. 31, p. 434.
164. Гапонов Ю. В., Лютостанский Ю. С. — Письма в ЖЭТФ, 1973, т. 18, с. 130;
ЯФ, 1974, т. 19, с. 62.
165. Doering R. R., Galonsky A., PattersonD. M. and Bertsch G. F. — Phys. Rev.
Lett., 1975, v. 35, p. 1961.
166. Пятое! Н. И., Саламов Д. И., Фаянс С. А. — Препринт ОИЯИ Р4-80-630;
ЯФ, 1981, т. 34, в печати.
167. Гапонов Ю. В., Лютостанский Ю. С. — ЭЧАЯ, 1981, т. 12, с. 1324.
168. Hamamoto I. —Phys. Rep., 1974, v. CIO, p. 63.
169. Bortigton P. F. et al. — Phys. Rep., 1977, v. C30, p. 306.
170. Khodel V. A., Platonov A. P., Saperstein E. E.—J. Phys. G., 1980, V. 6,
p. 1199;
Платонов А. П. — ЯФ, 1980, т. 32, с. 1237.
171. Ходель В. А. - ЯФ, 1976, т. 24, с 704,

ЛИТЕРАТУРА 429
172. Платонов А. П. — ЯФ, 1981, т. 34, с. 612.
173. Bernard V., Nguyen Van Giai — Nucl. Phys., 1980, v. A348, p. 75.
174. Гепперт-Майер M., Иенсен И. Т. Д. Элементарная теория ядерных оболо-
оболочек. — М.: ИЛ, 1958.
175. Окунь Л. Б. Слабое взаимодействие элементарных частиц. —М.: Физмат-
гиз, 1964.
176. СаЫЪЬо N. — Phys. Rev. Lett., 1963, v. 10, p. 531.
177. Нерсесов Э. А. — Известия АН СССР, 1974, т. 38, с. 831.
178. Гапонов Ю. В., Толоконников С. Ф., Фаянс С. А., Хафизов Р. У. — Преп-
Препринт ИАЭ —3537/2, 1982.
179. ГапоновЮ. В., Тихонов В, Н., ФаянсС. А. — Препринт ИАЭ-2177, 1971 г.
180. Ахмедов Е. X., Гапонов Ю. В. — ЯФ, 1979, т. 30, с. 1331.
181. Бунатян Г. Г. — ЯФ, 1966, т. 3, с. 833.
182. Урин М. Г., НовиковВ. М. — ЯФ, 1966, т. 3, с. 419.
183. Abov Y. С, Krupchitsky P. A., Oratovsky Y. А. — Phys. Lett., 1964, v. 12,
p. 25.
184. Лобашов В. Н. — Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 3, с. 173.
185. Гапонов Ю. В., Фурсов Ю. С. — ЯФ, 1969, т. 9, с. 963.
186. Bardin R. К- et al. — Phys. Lett., 1967, v. 25B, p. 112.
187. Khodel V. A. — Phys. Lett., 1970, v. 32B, p. 589.
Ходель В. А. — ЯФ, 1970, т. 12, с. 916.
188. FayansS. A., Khodel V. А. — .т. Phys. G: Nucl. Phys., 1977, v. 3, p. 359.
189. Migdal А. В., Kirichenko N. A., Sorokin G. A. — Phys. Lett., 1974, 50B,
p. 411.
190. Саперштейн Э. Е., Толоконников С. В., Фаянс С. А. — Письма в ЖЭТФ,
1975, т. 21, с. 138.
191. Migdal А. В. — Phys. Lett., 1974, v. 52В, p. 264.
192. Migdal А. В. — зт-condensation in nuclei and neutron stars. Preprint. Cherno-
goloyka, 1973.
. 193. Kirichenko N. A., Sorokin G. A. Exited statesof pion condensed finite sys-
systems. Preprint. Chernogolovka, 1976; Phys. Lett., 1976, v. 52B, p. 162.
194. Мигдал А. Б. — Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 19, с. 539.
195. Bellicard J. et al. — Phys. Rev. Lett., 1967, v. 19, p. 539.
196. Heisenberg J. et al. — Phys. Rev. Lett., 1969, v. 23, p. 1402.
197. Sinha B. et al. — Phys. Rev., 1973, v. C6, p. 1657; v. C7, p. 1930.
198. Li G. et al. — Phys. Rev., 1974, v. C9, p. 1861.
199. Троицкий М. А., Колдаев М. В., Чекунаев Н. И. — ЖЭТФ, 1977, т. 73,
с. 258.
200. PirnerH. — In: Int. Conf. on High Energy Phys. and Nucl. Str. 7th Zurich,
1977.
201. Butsev V. S., Chultem D. — Phys. Lett., 1977, v. 67B, p. 33,
202. BarshayS., Brown G- E. — Phys. Lett., 1973, v. 47B, p. 107.
203. Migdal A. B. Are there any reasonable objections to зт-condensations? Pre-
Preprint, Chernogolovka, 1973.
204. Саперштейн Э. Е., Толоконников С. В. — Изв. АН СССР, Сер. Физ., 1978,
т. 42, с. 1890.
205. Саперштейн Э. Е., Троицкий М. А., МаркинО. А. идр. — ПисьмавЖЭТФ,
1975, т. 21, с. 96.
206. Мишустин И. Н., Карнюхин А. В. — ЯФ, 1980, т. 32. с. 945.
207. Мигдал А. Б., Маркин О. А., Мишустин И. Н. и др. — ЖЭТФ, 1977, т. 72,
с. 1247; Phys. Lett., 1976, v. 65В, p. 423.
20&. Muller В., Rafelski J. — Phys. Rev. Lett., 1975, v. 34, p. 349.
Мигдал А. Б., Попов В. С., Воскресенский Д\ Н. — Письма в ЖЭТФ, 1976,
т. 24, с. 186; ЖЭТФ, 1977, т. 72, с. 634.
209. Воскресенский Д. Н., Черноуцан А. И. — ЯФ, 1978, т. 27, с. 1411.
210. Воскресенский Д. Н., Сорокин Г, А,, Черноуцан А. И. — Письма В ЖЭТФ,
1977, т. 25, с 495.

430 ЛИТЕРАТУРА
211. LeeT.D. — Rev. Mod. Phys., 1975, v. 47, p. 267.
Lee T. D., Wick G. C. — Phys. Rev., 1974, v. D9, p. 2291.
212. Price P., Stevenson J. — Phys. Rev. Lett., 1975, v. 34, p. 409.
213. Holt R. etal. — Phys. Rev. Lett., 1975, v. 36, p. 183.
214. FrankelS. etal. — Phys. Rev., 1976, v. C13, p. 737.
215. Galitskii V. M., Mishustin I. N. — Phys. Lett., 1978, v. 72B, p. 285.
216. Hofmann J. et al. — Phys. Rev. Lett., 1979, v. 36, p. 88.
217. Gyulassy M., Greiner W. — Ann. Phys., 1977, v. 109, p. 485.
218. Slocker H., Maruhn J. A., Greiner W. — Phys. Lett., 1979, v. 81B, p. 303.
219. Nix J. R., Strottmann ?>., Sierk A. — Preprint LA-UR-1280, Los-Alamos,
USA, 1980.
220. Ruck V., Gyulassy M., Greiner W. — Z. Phys., 1976, v. A277, p. 391.
221. Воскресенский Д. Н., Мишустин И. Н. — Письма в ЖЭТФ, 1978, т. 26,
с. 486.
222. Бунатян Г. Г. — ЯФ, 1979, т. 30, с. 258; ЯФ, 1980, т. 31, с. 1186.
223. Hecking Р. — Nucl. Phys., 1980, v. A348, p. 493.
224. Baym G. — Nucl. Phys., 1981, v. A352, p. 365.
225. Price P. et al. — Phys. Rev. Lett., 1975, v. 35, p. 487.
226. Nagao M., Torizuka Y. — Phys. Lett., 1971, v. 37B, p. 383.
227. Friar J. L., Negele J. W. — Nucl. Phys., 1973, v. A212, p. 93.
228. Bertini R. et at. — Phys. Lett., 1973, v. 45B, p. 119.
229. Алхазов Г. Д. и др. — Препринт № 224, ЛИЯФ, 1976.
230. MikeskaH. J., Brenig W., Z. Phys., 1969, v. 220, p. 321.
231. Саперштейн Э. Е., Троицкий M. A. — ЯФ, 1965, т. 1, с. 310.
232. Alkhazov G. D. et al., Phys. Rep., 1978, v. 42C, p. 89.
233. Chodel V- A., Superstein E. E., Phys. Rep., 1983 (в печати).

Аркадий Бейнусович Мигг)ал
ТЕОРИЯ КОНЕЧНЫХ ФЕРМИ-СИСТНМ
И СВОЙСТВА АТОМНЫХ ЯДЕР
Редактор В. Я- Дубнова
Техн. редактор Е. В. Морозова
Корректор 7". С. Вайсберг
ИБ № 11763
Сдано в набор 26.11.82. Подписано к печати 01.03.83. Т-02997.
Формат 60х907ш- Бумага тип. № 2. Литературная гарни-
гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 27. Уч.-изд. л. 27.И.
Тираж 3200 экз. Заказ № 226. Цена 4 р.40 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 6 ордена Трудового Красиог.)
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга»
им. Еагеннн Соколовой Союзполиграфпрома при Государствен-
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 193144, г. Ленинград, ул. Монсеенко, 10.