ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
пллзлы
Под редакцией М. А. ЛЕОНТОВИЧА
ВЫПУСК 2
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ
ПО АТОМНОЙ НАУКЕ И ТЕХНИКЕ
ГОСУДАРСТВЕННОГО КОМИТЕТА
ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ АТОМНОЙ ЭНЕРГИИ СССР
Москва 1963

Второй выпуск серии сборников «Вопросы теории плазмы»
является продолжением работ первого выпуска.
Во втором выпуске освещаются в основном вопросы теории,
связанные с проблемой удержания высокотемпературной
плазмы электромагнитными полями. Производится система-
систематическое исследование структуры магнитных полей. Изла-
Излагаются методы и результаты решения уравнений движения
зарядов в заданном электромагнитном поле. Освещается
гидродинамическая теория удержания плазмы, которая вклю-
включает в себя проблемы равновесия и устойчивости плазмы
в квазистационарном магнитном поле.

ГЕОМЕТРИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
А. И. Морозов, Л. С. Соловьев
§ 1. Общие замечания
Решение проблемы управляемых термоядерных реакций впер-
рые выдвинуло задачу — найти конструкционный материал, спо-
способный удерживать вещество, нагретое до температур, достигаю-
достигающих многих миллионов градусов. Очевидно, что таким материалом
в условиях Земли может быть только электромагнитное поле.
Перспективность использования электромагнитных полей раз-
различных видов для устойчивого удержания плазмы требует де-
детального изучения свойств этих полей.
Настоящая работа посвящена рассмотрению квазистационар-
квазистационарных и статических магнитных полей, которые для краткости мы
будем называть в дальнейшем магнитными полями. Особый инте-
интерес, который проявляется именно к магнитным полям, объяс-
объясняется тем, что электрическое квазистационарное поле вообще
не может удерживать в равновесии плазменную конфигурацию,
а волновые электромагнитные поля (СВЧ, свет), хотя в принципе
и могут удерживать плазму, однако трудности получения таких
полей большой амплитуды еще слишком велики.
Как конструкционный материал магнитное поле резко отли-
отличается от обычных материалов — дерева, стали, бетона и т. п.
И дело здесь даже не в том, что обычные материалы видимы и
осязаемы, — существенной является невозможность изготовле-
изготовления из поля «кирпичей», при помощи которых можно было бы
создавать любые заданные конструкции. Магнитное поле высту-
выступает как единое целое, поскольку локальные возмущения могут
существенно исказить его структуру в целом. Это, в частности,
особенно сильно проявляется у тороидальных магнитных полей,
которым посвящена основная часть настоящей работы.
Практическое использование магнитного поля для удержания
плазмы требует решения ряда вопросов. В первую очередь необ-
необходимо выяснить, какие именно свойства поля определяют устой-
устойчивое удержание как отдельных частиц, так и плазмы.
Исследование условий удержания отдельных частиц в дрейфо-
дрейфовом приближении и условий существования и устойчивости ряда
1* 3

классов равновесных плазменных конфигураций в гидродинами-
гидродинамическом приближении показало, что удерживающие свойства маг-
магнитного поля зависят, прежде всего, от геометрии его силовых ли-
линий и поведения в пространстве модуля его напряженности В=\ В |.
Геометрия силовых линий может выступать в критериях рав-
равновесия и устойчивости различно: в выпуклости или вогнутости
силовых линий, в величине градиента удельного объема магнитных
трубок, в существовании магнитных поверхностей и угла прокру-
прокручивания и в ряде других характеристик, о чем подробно рассказы-
рассказывается в § 2. Дальнейшее развитие теории равновесия и устой-
устойчивости плазменных конфигураций, особенно кинетической тео-
теории, может выявить новые важные характеристики силовых линий.
Все это выдвигает задачу детального исследования структур,
образуемых магнитными силовыми линиями. И эту область
теории естественно было бы назвать морфологией магнитного поля.
Если напряженность поля В является локальной величиной,
то силовые линии являются интегральными характеристиками
поля, и это резко усложняет их изучение. Тем не менее к настоя-
настоящему времени изучен большой класс конкретных полей, и общая
картина морфологии магнитных полей значительно прояснилась.
Успех дальнейшего развития морфологии магнитного поля во мно-
многом будет зависеть от разработки новых эффективных методов
исследования дифференциальных уравнений магнитных силовых
линий.
При изложении материала мы придерживались принципа
последовательного описания полей все возрастающей сложности
(§ 4, 5, 7), связывая их по возможности с конкретными магнит-
магнитными системами, удерживающими плазму. Эти системы несколько
условно могут быть разделены на две группы:
а) системы, в которых требуемая геометрия поля создается
в основном токами, текущими в плазме; к таким системам отно-
относятся Зета и Токамак;
б) системы, в которых магнитное поле определяется внешними
токами, а собственным полем токов, текущих в плазме, можно
либо пренебречь (стеллараторы, ловушки с магнитными проб-
пробками), либо учесть наличие токов в плазме с помощью граничного
условия (Вп) = 0, тир n — нормаль к поверхности плазмы (ло-
(ловушки со встречными полями).
Конкретные выражения для поля в системах первой группы
можно найти только путем совместного решения уравнений поля
и уравнений магнитной гидродинамики. Этим полям и соответ-
соответствующим им конфигурациям плазмы посвящена работа В. Д. Шаф-
ранова, публикуемая в этом же выпуске.
В системах второй группы, называемых магнитными ловуш-
ловушками, магнитное поле в первом приближении является безвихре-
безвихревым и определяется поэтому только уравнениями поля. Рассмот-
Рассмотрению таких полей и посвящена в основном иллюстративная часть
настоящей работы.

Ряд изучаемых в настоящее время магнитных ловушек изобра-
изображен на рис. 1. Эти ловушки делятся на тороидальные, в которых
основная часть силовых линий не пересекает стенок камеры, и тор-
торцовые, у которых все силовые линии пересекают стенки камеры.
ж
Рис. 1
К тороидальным ловушкам относятся левитрон, использующий
магнитное поле кольца с током (рис. 1, а), стелларатор в виде
восьмерки, использующий квазиоднородное поле с осью двоякой
кривизны (рис. 1, б), стелларатор с винтовым полем (рис. 1, в),
система с гофрированным полем (рис. 1, г).

К торцовым ловушкам относятся система с магнитными проб-
пробками (рис. 1, д), система со встречными полями (рис. 1, е), а также
системы с комбинированными полями (рис. 1, ж).
При практическом осуществлении магнитных ловушек большое
значение имеет устойчивость структуры выбранного поля относи-
относительно малых возмущений. Это особенно важно для тороидальных,
систем, где проблема устойчивости приобретает нетривиальный
характер. Исследованию устойчивости полей посвящен §6.
В настоящей работе мы лишь в малой степени касаемся практи-
практически важного вопроса об отыскании токов, создающих заданные
безвихревые поля, поскольку
в принципе он решается просто.
Не рассматриваются в ней и
такие технические вопросы, как
расчет катушек [25] или выбор
оптимальной геометрии поля для
тех или иных задач.
Несколько слов об истории
предмета.
В течение длительного вре-
времени широко обсуждались лишь
простейшие виды полей — поля
прямой нити, плоских контуров,
а также постоянных магнитов.
Изучение этих частных полей
привело к весьма распространен-
распространенному мнению о том, что магнит-
магнитные силовые линии в силу условия div B=0 или замыкаются, или
уходят в бесконечность. И. Е. Тамм A928) на примере поля кольца
и прямого тока показал [1], что существуют силовые линии, кото-
которые не замыкаются и не уходят в бесконечность (рис. 2). Потом
стало ясно, что эти силовые линии являются наиболее общими.
Следующий крупный шаг был сделан Л. Спитцером [2], дока-
доказавшим, что существуют тороидальные безвихревые поля, силовые
линии которых непрерывно обвивают кольцевую тороидальную
ось (так называемую магнитную ось) и с большой точностью ло-
ложатся на тороидальные поверхности, называемые магнитными
поверхностями *.
Исследуя равновесие и устойчивость плазмы в тороидальных
системах, Спитцер с сотрудниками показали важность понятия
магнитной поверхности, скорости обвивания (характеризуемого
параметром прокручивания ш) силовой линией магнитной поверх-
поверхности, а также зависимости со от расстояния до магнитной оси.
Эти работы Спитцера и его сотрудников легли в основу теории
стеллараторов.
Рис. 2
* В примере И. Е. Тамма [1 ] в силу симметрии силовые линии точно ложатся
на магнитную поверхность.

В последующих работах была изучена точная структура сим-
симметричных полей, для которых удается свести задачу нахождения
силовых линий к квадратурам [3 ], и с помощью метода усреднения
выяснено влияние различных малых возмущений на структуру
магнитного поля [4, 5]. В работе [3] установлено также понятие
сепаратрисы (см. § 2). В работах [6, 7, 8] описано впервые обна-
обнаруженное с помощью численного счета разрушение магнитных
поверхностей, на основе чего дана общая качественная картина
поля при отсутствии симметрии [9]. Наконец, в работах [10, 11 ]
изложен характер разрушения сепаратрисы при возмущениях.
В свою очередь исследования по теории равновесия и устой-
устойчивости плазмы [12, 13, 14, 15] привели к понятию удельного
объема магнитной трубки и удельного объема магнитной поверх-
поверхности.
§ 2. Основные понятия
/. Уравнения квазистационарного магнитного поля
Напряженность статического, или квазистационарного, маг-
магнитного поля В определяется из уравнений Максвелла
divB = 0; B.1)
jot В = -?- j, ' B. 2)
где j — плотность электрического тока, ас — скорость света.
Если плотность тока j всюду задана, то при расчете поля
удобно использовать векторный потенциал А:
В = rot A, B. 3)
который при введении добавочного условия
div A = 0 B. 4)
удовлетворяет простому уравнению
-^.j. B.5)
Хорошо известно решение этого уравнения
А
= 4" f
" f
откуда непосредственно следует формула Био — Савара для опре-
определения напряженности поля по заданным токам
B = 4-f-45L^'; B-7)
R = r —г'.
Здесь г — радиус-вектор точки наблюдения, а г' —радиус-вектор,
пробегающий всю область интегрирования, где j' ф 0.
7

Определением поля В мы, как правило, не будем заниматься,
считая напряженность поля В известной величиной.
В областях, где j = 0, поле, как это следует из уравнения B. 2),
можно описывать скалярным потенциалом .
B. 8)
Рис. 3
который в силу уравнения B. 1) удовлетворяет уравнению
АФ = 0. B. 9)
В случаях, когда в некотором объеме известно поле (например,
безвихревое), часто бывает важно подобрать токи, с помощью
которых данное поле может быть по-
получено. Эта задача решается неодно-
неоднозначно, поскольку для получения за-
заданного поля можно взять провод-
8 ники разных размеров и форм.
Поясним сказанное примером.
Пусть внутри тора прямоуголь-
прямоугольного сечения необходимо получить
безвихревое поле, имеющее лишь
азимутальную компоненту, спадаю-
спадающую как Vr (рис. 3). Это поле мы мо-
можем получить как с помощью прямого проводника, идущего вдоль
оси г, так и с помощью коробчатого проводника или прямоугольной
катушки, у которой магнитное поле существует лишь внутри ин-
интересующей нас области, а также множеством других способов.
Однако способ коробчатого проводника-экрана или аналогич-
аналогичной по форме катушки наиболее интересен, так как при этом поле
создается только в нужном объеме. Этот метод можно распростра-
распространить на безвихревые поля любой геометрии, для чего необходимо

использовать касательные к полю (рис. 4) экраны (катушки),
в каждой точке которых должен течь поверхностный ток, равный
на основании уравнения B. 2)
|. B.10)
2. Силовые линии и магнитные трубки
Знание напряженности поля В как функции координат еще
не дает ясного представления о свойствах магнитного поля как
ловушки для плазмы и отдельных частиц. «Ловушечные» свойства
поля определяются прежде всего геометрией силовых линий поля
и характером зависимости В = | В | от координат.
Большая роль силовых линий обусловлена тем, что и плазма,
и частицы легко перемещаются вдоль силовых линий магнитного
поля. Если, например, плазма подчиняется уравнениям магнит-
магнитной гидродинамики, то в состоянии равновесия справедливо урав-
уравнение
Умножая его на В, получим
(BVP) = 0,
т. е. давление плазмы вдоль силовой линии в состоянии равновесия
постоянно. Поэтому равновесную гидродинамическую конфигу-
конфигурацию, удерживаемую только магнитным полем, можно получить
лишь в тороидальной системе, когда силовые линии не пересекают
стенок камеры.
Значение В = | В | как функции координат в проблеме удержа-
удержания частиц и плазмы отчетливо проявляется, например, при рас-
рассмотрении движения частиц в дрейфовом приближении [27]. Изве-
Известно, что при наличии большой поперечной составляющей ско-
скорости частица отражается от областей с большой напряженностью
поля. На этом основаны так называемые ловушки с пробками (см.
рис. 1, д и ж).
Уравнение силовых линий
dx _ dy _ dz /о 1 n
вх--гу-т; v- [[>
имеет два интеграла:
/ (х, у, z) = cv g {х, у, г) = с2,
каждый из которых представляет собой поверхность, состоящую
из силовых линий. Пересечение двух таких поверхностей опре-
определяет одну силовую линию.
Очевидно, что способы задания поля с помощью В = [Вх,
Ву, Вг\ и с помощью В и силовых линий (Д g) формально экви-
эквивалентны, так как одно однозначно определяет другое и наоборот.

Однако практически они не эквивалентны, поскольку нахожде-
нахождение силовых линий при известном В требует решения нелинейных
дифференциальных уравнений B. 11), тогда как определение
в
направления вектора поля т = -g- по заданным силовым линиям
сводится к дифференцированию
-[V/Vgl -,. B. 12а)
Рис. 5
В связи с этим укажем на интерес-
интересный способ задания поля, данный в ра-
работе [26 ]. Из уравнения непрерывности
следует, что произвольное магнитное
поле может быть задано двумя функ-
функциями. В частности, можно записать
В =
B. 126)
Тогда уравнение непрерывности удовлетворяется автоматически.
Подставляя выражение B. 126) в уравнения B. 11), получим инте-
интегралы системы B. 11):
F = const, G = const.
Обратное, очевидно, несправедливо: не всякие интегралы / и g
системы B. 11) дают свое поле при их подстановке в формулу
Рис. 6
B. 126). Задание поля формулой B. 126) удобно при некоторых
теоретических исследованиях, поскольку в принципе это наиболее
адекватное описание для наших целей, однако фактическое опре-
определение F и G даже для безвихревого поля наталкивается на зна-
значительные математические трудности.
Наряду с силовой линией часто рассматривается магнитная
трубка, под которой понимают трубку бесконечно малого сечения
dS, образованную силовыми линиями (рис. 5).
Из уравнения B. 1) следует, что внутри трубки магнитный
поток dO = В dS сохраняется * и она не может неожиданно обо-
оборваться. Однако трубка может расщепиться на две или на большее
* Магнитную трубку иногда удобно представлять заключенной в идеально
проводящую оболочку, совпадающую с поверхностью трубки. Поле в такой трубке
определяется из уравнения B. 9) при граничном условии на поверхности пВ = 0.
10

число (рис. 6). Это,ведет к расщеплению в особой точке и силовых
линий. В § 9 рассмотрено несколько таких примеров.
Если силовая линия не расщепляется, то она не имеет ни
начала, ни конца. Поэтому априор-и возможны три типа нерасще-
пляющихся силовых линий:
а) силовые линии, начинающиеся в бесконечности и уходящие
в бесконечность;
б) силовые линии (замкнутые или незамкнутые), все время
остающиеся в ограниченном объеме;
в) силовые линии, приходящие из бесконечности и «запуты-
«запутывающиеся» в конечном объеме.
Нетрудно видеть, что перечисленные типы силовых линий дей-
действительно могут иметь место.
3. Удельный объем магнитной трубки
Знание силовых линий и модуля напряженности позволяет
вычислить ряд характеристик поля, которые играют важную роль
в теории равновесия и устойчивости плазменных конфигураций.
Простейшей характеристикой является удельный объем [12,
13 ] магнитной трубки U, под которым понимается отношение
геометрического объема трубки dV к магнитному потоку йФ,
проходящему внутри нее, т. е.
и B13)
Учитывая сохранение потока внутри трубки, получим
Здесь dSn — площадь нормального сечения трубки. Интеграл
в выражении B. 14) берется вдоль всей силовой линии, если она
замкнута, или между условными точками, соответствующими
началу и концу трубки. При рассмотрении плазменных конфигу-
конфигураций начало и конец трубки определяются областью, занятой
плазмой. Применение понятия удельного объема к бесконечной
силовой линии требует иного подхода, о чем будет сказано ниже.
Поясним теперь смысл понятия «удельный объем» на примере
редкой плазмы (р1 = -^?- <С 1), находящейся в поле с замкнутыми
силовыми линиями. Как всякий газ, имеющий конечную темпера-
температуру, плазма в магнитном поле стремится расшириться. Однако
при высокой проводимости она не может двигаться независимо
от магнитного поля. Поэтому при достаточно быстром расширении
плазмы вместе с ней будет расширяться и содержащая ее магнит-
магнитная трубка, вытесняя или меняясь местами с другими магнит-
магнитными трубками без плазмы, имеющими равный магнитный поток *.
* Равенство потоков следует из условия Р < 1.

Из рис. 7 видно, что плазма, расширяясь, перемещается в область
поля, характеризуемую большим удельным объемом. В частности,
если удельный объем магнитных трубок по направлению к стенкам
камеры возрастает, то оторванная от стенок плазменная конфи-
конфигурация будет гидродинамически неустойчивой и, наоборот, если
удельный объем убывает, то система устойчива.
f>0
Рис. 7
Пусть, например, редкая плазма находится в поле бесконечной
прямой нити [13 ]. В этом случае существует равновесная плазмен-
плазменная конфигурация в виде бесконечного полого цилиндра (рис. 8, а).
Однако достаточно хотя бы немного возмутить внешнюю поверх-
поверхность плазменного цилин-
цилиндра, как на ней станут
у быстро расти кольцевые
/ желобки, выступающие ча-
у сти которых начнут непре-
Л рывно двигаться по напра-
/ влению к стенкам камеры
/ (см. рис. 8, б). В то же
время возмущение внут-
внутренней поверхности ци-
I
/
/
/
/
•
'/
'А
/.
/
/
/
/.
/
Рис 8
линдра не приведет к раз-
развитию неустойчивости. Это
обусловлено тем, что в данном случае удельный объем
В = Щ- B.15)
тсс
возрастает с увеличением радиуса.
' Неустойчивость, связанна : с возрастанием удельного объема
по направлению к стенке камеры, получила название желобковой
или конвективной неустойчивости.
В работе [16] показано, что зависимость удельного объема
от координат определяет не только устойчивость, но и равновесие
плазмы в полях с замкнутыми силовыми линиями и в про-
12

бочных ловушках. Оказывается, что поверхности равного давле-
давления плазмы р = const должны в состоянии равновесия совпадать
с поверхностями U = const.
4. Тороидальные магнитные поля
Выше было отмечено, что при гидродинамическом равновесии
давление плазмы вдоль силовой линии постоянно. Этот вывод
будет практически всегда справедлив, если поле удерживает пла-
плазму в течение заметно большего времени, чем время столкнове-
столкновения *. Поэтому особый интерес для удержания плазмы предста-
представляют ловушки тороидального типа, где основная часть силовых
линий не пересекает стенок камеры. Более строго — под торо-
тороидальными полями мы будем понимать поля, содержащие торо-
образную область У,-, внутри которой силовые линии не расще-
расщепляются и делают неограниченное или практически неограни-
неограниченное число оборотов
вдоль большой окружно-
окружности тора (рис. 9, О — на-
направление).
Объем V( будем назы-
называть внутренней, а осталь-
остальную часть пространства
Ve — внешней областью
тороидального поля. По-
Поверхность, разделяющую
эти области, назовем сепа-
сепаратрисой Sc. Очевидно, Рис- 9
наибольший практический
интерес представляет внутренняя часть тороидального поля.
Определения Vh Ve и Sc требуют пояснений. Тороидальные
поля могут быть в принципе созданы двумя способами: с помощью
системы линейных проводников (см. рис. 9), по которым текут
известные токи, и с помощью нужным образом «мятой» тороидаль-
тороидальной поверхности с проводимостью а -> оо, по внутренней стороне
которой в тонком скин-слое текут токи**, устанавливающиеся
в соответствии с условием пВ = 0.
Во втором случае вся область, занятая полем, является вну-
внутренней, тогда как в первом случае поле существует и во вну-
внутренней области Vit где силовые линии «обобществлены», и во
внешней области Ve, где силовые линии замыкаются около «своих»
проводников.
Ниже мы увидим, что сепаратриса, как правило, имеет щели
и поэтому происходит частичный обмен силовыми линиями
* Под столкновениями здесь понимаются любые процессы, ведущие к мак-
свеллизации.
** Формально математически в первом случае мы определяем поле по фор-
формуле B. 6), а во втором — решаем задачу Неймана при заданном полном потоке
через сечение Э = const.
13

между Vt и Ve. Однако величина магнитного потока, проходящего
через эти щели, может быть весьма небольшой, и таким потоком
можно пренебречь.
Наряду с собственно тороидальными полями, периодичными
по координатам 0 и ср (см. рис. 9), мы будем также рассматривать
«прямые» поля, напряженность которых является периодической
функцией декартовой координаты г (рис. 10). Внутренняя область
V[ этих полей представляет собой бесконечный «мятый» цилиндр.
Изучение прямых полей обычно проще изучения тороидальных,
и роскольку прямые поля также являются двояко-периодическими
Рис. 10
Рис. 11
(по z и ф), то многие закономерности, свойственные тороидальным
полям, могут быть выяснены на прямых полях *.
О характере поведения силовой линии во внутренней области Vt
тороидального поля удобно судить по множеству точек пересече-
пересечения рассматриваемой силовой линии с произвольной фиксирован-
фиксированной плоскостью Р, перпендикулярной направлению 9 (рис. 11).
Эти точки мы будем называть изображающими [2 ]. Если силовая
линия тороидального поля замыкается после одного, двух или п
обходов вдоль тороида, то множество изображающих точек состоит
соответственно из одной, двух или п точек. Если же силовая линия
не замыкается сама на себя, то мы имеем бесконечное множество
изображающих точек: {xk} — {х0, х1( . . .}.
При каждом обходе тора множество изображающих точек пере-
переходит само в себя **. Поэтому естественно ввести понятие о пре-
преобразовании обхода N, подразумевая под этим соответствие перво-
первоначального положения изображающих точек их положению после
одного обхода. Если в плоскости Р ввести полярную систему коор-
координат, то это преобразование может быть представлено системой
функций R и Q
(г2, фа) = N (rv фх) = (R (rv фх), Q (r1
* Период прямого поля топологически эквивалентен тору.
** Очевидно, переходит само в себя и подмножество точек, лежащих внутри
сепаратрисы, если в ней нет щелей.
14

Отметим одно свойство рассматриваемого преобразования.
Если через 2 х обозначить некоторую область в плоскости Р, а че-
через 2 2 — область, в которую переходит 2 i после преобразова-
преобразования обхода, то, очевидно, в силу уравнения B. 1)
B.16а)
или в дифференциальной форме
Вп (Гг, фг) д(га,ф2)
где а(/-хф/) ~ якобиан-
5. Тороидальные магнитные поверхности
Важным является вопрос о типах множеств изображающих
точек незамкнутых силовых линий тороидальных полей.
Известно, что в случае симметричных полей (см. § 3) множе-
множество изображающих точек точно ложится на замкнутую кривую
в плоскости Р. Это соответствует наличию так называемой маг-
магнитной поверхности, т. е. поверхности, эргодически покрываемой
незамыкающейся силовой линией. Иными словами, такая силовая
линия подходит сколь угодно близко к любой точке магнитной
поверхности.
В случае тороидальных несимметричных полей множество
изображающих точек, как правило, не ложится на замкнутую
кривую и, следовательно, магнитных поверхностей не существует
(см. § 6). Однако ниже, в § 3, мы покажем, что магнитные поверх-
поверхности, по крайней мере в рамках «адиабатического» приближения,
существуют у весьма широкого класса несимметричных торои-
тороидальных полей. Эти приближенные магнитные поверхности мы
будем называть адиабатическими.
Отметим, что силовая линия, окруженная магнитными поверх-
поверхностями и переходящая сама в себя при каждом обходе тора,
называется магнитной осью. Таких осей может быть несколько.
Если мы рассматриваем прямые поля, то в принципе магнит-
магнитные поверхности становятся условным понятием, поскольку из
уходящих в бесконечность силовых линий можно составить
поверхности различных форм. Однако, учитывая, что период
прямого поля топологически эквивалентен тору, мы можем выде-
выделить класс «истинных» магнитных поверхностей прямого поля.
Очевидно, эти поверхности должны иметь период, равный периоду
поля.
Тороидальные поля, состоящие из системы вложенных одна
в другую магнитных поверхностей (рис. 12), представляют большой
интерес для проблемы удержания плазмы [2, 17]. Связано это
с тем, что на такой поверхности в состоянии равновесия давление
плазмы постоянно, поскольку поверхность всюду плотно покры-
покрывается силовой линией, на которой, как указывалось выше,
15

p=const. Задавая на поверхностях р = р (v) *, где v — «номер»
магнитной поверхности, мы можем построить широкий класс
плазменных шнуров с плавно меняющимся давлением, оторван-
оторванных от стенок камеры.
Каждую магнитную поверхность можно охарактеризовать сле-
следующими так называемыми поверхностными величинами.
Угол прокручивания. При каждом обходе тора изображаю-
изображающая точка силовой линии перемещается в плоскости Р по замкну-
замкнутой линии-следу «своей» магнитной поверхности, обходя изобра-
изображающую точку О магнитной оси. Это вращение можно изобразить
графически, показав, на-
например, во что деформи-
деформируется пучок лучей, вы-
выходящих из точки О после
одного обхода (рис. 13).
Рис. 12
Рис. 13
В качестве аналитической характеристики вращения изобра-
изображающей точки можно взять среднее значение угла поворота изо-
изображающей точки после п -> со обходов тора
i = lim
B-17)
Эту величину мы будем называть углом прокручивания. Когда
параметр прокручивания на данной магнитной поверхности
B. 18)
со =
является рациональным числом, вся эта поверхность состоит
из замкнутых силовых линий или на этой поверхности имеются
замкнутые силовые линии, к которым асимптотически прижи-
прижимаются остальные линии данной поверхности (см. п. 3§ 3).
Как отмечалось выше, вложенные одна в другую тороидальные
магнитные поверхности, обвиваемые силовыми линиями (т. е.
* Чтобы не исказить рассматриваемое поле, р должно быть достаточно малой
величиной.
16

при со Ф 0), можно получить не только вокруг замкнутого про-
проводника с током, но и при его отсутствии, хотя это на первый
взгляд противоречит условию rot В = 0. В этом случае мы имеем
не аксиально-симметричные, как в примере с кольцевым током,
а деформированные тем или иным образом магнитные поверхности
(сечения подобных поверхностей приведены на рис. 30 и после-
последующих). При удалении от магнитной оси деформация магнитных
поверхностей возрастает, и на некотором расстоянии от оси, при
переходе через сепаратрису, поле распадается на области, замы-
замыкающиеся вокруг отдельных проводников, создающих поле (при-
(примером может служить поле, схематически изображенное на рис. 9).
Продольный и азимутальный пото-
потоки. Введем на магнитной тороидальной
поверхности координаты 6 и ф (см.
рис. 9 и 11), причем будем считать,
что линии ср = const проходят, не обви-
обвивая тора, в направлении 0 . Продольный
магнитный поток Ф (v) внутри данной
поверхности—это поток поля через 51;
т. е. через поперечное сечение 0 =const.
Азимутальный поток % (v) — это
магнитный поток, проходящий через
поверхность 52, натянутую между ма-
магнитной осью и линией ф = const.
Используя % (v) и Ф (v), можно
дать еще одно определение для угла
прокручивания, по всей вероятности
эквивалентное выражению B. 18):
Bfl
</'=const
i = 2я-
Рис. 14
Покажем эквивалентность этих определений i на простом при-
примере поля однородного тока /2 = const в присутствии однород-
однородного продольного поля Во (рис. 14).
Поле тока равно Вф = В9а -~ , и поэтому внутри проводника
dz ~~ гВ0 аВп
Если L—" длина тора, то
С другой стороны,
Ф = лг2В0,
аВп
B. 20)
I-
2a
и, следовательно, определение B. 19) приводит к выражению
ф
которое совпадает с выражением B. 20).
Вопросы теории плазмы. Вып. 2
17

Удельный объем магнитной поверхности. Если известен гео-
геометрический объем магнитной поверхности V (v), то мы можем
ввести удельный объем этой поверхности, определив его как
и = -Ж> B-21>
что является естественным обобщением удельного объема магнит-
магнитной трубки для того случая, когда силовая линия эргодически
покрывает поверхность.
Роль данной величины в проблеме устойчивости тороидальных
шнуров с прокручиванием аналогична роли удельного объема
в системах типа ловушек с пробками или гофрированного тора.
Однако, как показывают расчеты и физические соображения,
большую роль здесь наряду с U играет изменение угла прокру-
прокручивания i от поверхности к поверхности, которое называется
сдвигом или перехлестом силовых линий [14].
6. Обратные задачи по геометрии поля
Выше мы рассмотрели задачу об определении силовых линий
для заданного поля В (г, t). Здесь мы остановимся на обратной
задаче — на определении поля по заданным силовым линиям.
Это позволит отчетливее представить специфику связи поля с гео-
геометрией силовых линий.
1. Пусть в некотором объеме V задана произвольная система
гладких непересекающихся линий, каждая из которых начи-
начинается и оканчивается на стенках объема. Такую ситуацию мы
имеем в торцовых ловушках (см. рис. 1, д). Найдем поле, для кото-
которого эти линии будут силовыми. В общем случае поле будет вихре-
вихревым., и поэтому для его определения мы можем использовать только
уравнение непрерывности div В = 0.
Задание силовых линий в данном случае эквивалентно заданию
поля направлений, которое можно характеризовать единичным
вектором т = t (г). Подставив в уравнение непрерывности
В = fit, B. 22)
получим следующее уравнение для В:
Bdivt + tvB = 0,
ИЛИ Л In R
*i?*=_divt, . B.23)
где dl — элемент дуги силовой линии.
Следовательно, задавая В в одной точке на каждой силовой
линии, мы определяем поле во всем объеме V *. Отсюда видно, что
поле в объеме V определяется неоднозначно.
* Если, однако, в рассматриваемом объеме содержится замкнутая силовая
линия С, то в ее окрестности силовые линии не могут быть заданы произвольно.
Действительно, в силу однозначности В на этой линии должен быть равен нулю
интеграл
S diy xdl = 0.
18

- 2. Возникает вопрос: каким условиям должно удовлетворять
множество силовых линий, чтобы соответствующим выбором В
можно было получить безвихревое поле. Чтобы избежать гро-
громоздких выкладок, ограничимся плоским случаем. Возьмем
уравнение силовых линий в виде
/ (*, у) = const.
Очевидно, компонента векторного потенциала Az в таком случае
равна
A, = F(f(x,y)), B.24)
а компоненты Ах = Ау — 0. Если j = 0, то ДЛг = 0 и, следо-
следовательно,
Отсюда получаем условие для /:
== ~р~ = " (/)' B- 25)
где G (/) — в принципе произвольная функция. Если / удовлет-
удовлетворяет этому условию, то после двух интегрирований находим
B. 26)
"о б
причем Аг определяется теперь только двумя константами. Если
учесть, что постоянная с2 не влияет на величину поля В, а сг
пропорциональна амплитуде поля, то мы приходим к выводу,
что поле определяется однозначно с точностью до амплитуды.
§ 3. Уравнения магнитных поверхностей
Уравнения магнитных поверхностей в аналитической форме
могут быть легко получены в трех случаях. Во-первых, если поле
обладает симметрией, то существует точный интеграл уравнений
силовых-линий B. 11), который и является уравнением магнитной
поверхности. Во-вторых, для периодических полей, обладающих
большой продольной составляющей, система уравнений B. 11)
имеет приближенный интеграл, что соответствует существованию
так называемых адиабатических магнитных поверхностей. В-тре-
В-третьих, уравнения магнитных поверхностей могут быть получены
также в малой окрестности замкнутых силовых линий.
1. Симметричные поля
JlycTb поле обладает какой-либо симметрией — трансляцион-
трансляционной, аксиальной или винтовой. Если ввести цилиндрическую
систему координат (рис. 15) с осью г, связанной с симметрией, то
в первом случае поле будет зависеть от г и ф, во-втором — от г и 2,
а в третьем случае — от г и ф — аг, где а = -—¦, a L — шаг винта.
Подставляя в уравнение силовой линии
dr rd<p dz c\ \\
Вг 5ф Вг
2* 19

компоненты магнитного поля, выраженные через компоненты век-
векторного потенциала,
дАг
п 1 ЦПг О/1ф
В = — -^- /
г . г дг
"~" аг ~ 5л '
±1-
r д<р '
C. 1а)
и учитывая симметрию, легко получить интегралы
Аг (г, ф) = const; C. 2а)
г Аф (г, г) = const; C.26)
А-г (г> Ф — «2) + агА9 (г, ф — az) = const, C. 2в)
соответствующие трансляционной, аксиальной
и винтовой симметрии. Они определяют поверх-
поверхности, обладающие той же симметрией, а сле-
следовательно, той же периодичностью, что и само
поле. Таким образом, уравнения C. 2) являют-
являются уравнениями магнитных поверхностей. Зна-
Знание интегралов позволяет также выразить ре-
решение системы C. 1) в квадратурах.
Из трех интегралов C. 2) только второй мо-
Рис. 15 жет описывать ограниченные конфигурации.
2. Усредненные магнитные поверхности
Существует широкий класс полей, для которых магнитные по-
поверхности могут быть найдены приближенно методом усреднения.
В этот класс входят поля, периодичные вдоль оси z, вдоль ази-
азимута ф или вдоль винтовой линии, имеющие большие продольные
компоненты вдоль соответствующих направлений. Для таких
полей метод усреднения позволяет в общем виде получить уравне-
уравнения усредненных магнитных поверхностей с точностью до вели-
/ в± V
чин --~ —б— ) > где В± и Я, — характерные величины попе-
поперечного и продольного полей. Рассмотрим сначала вывод усред-
усредненных магнитных поверхностей для «квазипрямого» поля, а затем
проведем вычисления в криволинейных координатах, чтобы полу-
получить магнитные поверхности для «квазитороидального» и «квази-
«квазивинтового» магнитных полей [28].
1. Пусть магнитное поле имеет большую составляющую
Во (г, ф), направленную вдоль оси z цилиндрической системы
координат г, ф, z, и малое (по сравнению с Во) поле b (r, ф, г),
периодическое по координате z *. Уравнения силовых линий
* Для применимости метода усреднения необходимо, чтобы период поля L
был порядка или менее наименьшего масштаба неоднородности поля.
20

какого поля с точностью до членов порядка \-ъ—) могут быть
записаны в виде
dr
dz
br
Во
Bo
fi2
C.3)
dz
r B0+bz
rB0
Здесь Br = bn Бф = 6ф, Вг = Bo + bz, причем Во выбирается
таким образом, чтобы среднее значение bz равнялось нулю. Обо-
Обозначая через г и ф усредненные координаты силовой линии и ис-
используя усредненные уравнения (см. приложение I на стр. 242)
dxk __ Г |
dz /*"r
C.3')
мы можем с интересующей нас точностью записать
dr br brbz д I br
rB0
C.4)
где чертой сверху и знаком Д обозначены операции усреднения и
интегрирования по переменной z:
s= -j- \ a dz, a = adz, а = а — а.
Заменяя в уравнениях C. 4) производные — и -т-2 их значе-
значениями из условия div В = —-^-rbr-\ 7Г^~~^!Г = ^' после
простых преобразований с учетом тождеств -т— = a, ab -\- аЬ = 0,
получим
dr
dtp
17
br
\ д
— -^__j_ -LJL (Ьгьч>\
rB0 rB0 дг \ Вп ) '
C.5)
21

Вводя векторный потенциал А и подставляя вместо br и Ьф их
г 1 дА, -г дА, . /п , . ,
выражения br = ———•, оф = -^f- [см. C. 1а)], запишем
уравнения C. 5) в виде
_ _
dz ~ rB
0 ,9m
dz
C.6)
где
C.7)
Уравнением усредненных магнитных поверхностей является,
очевидно, интеграл системы C. 6)
•ф G, ф) = const.
C.8)
Истинный ход силовых линий с учетом периодических поправок
первого порядка малости по -к- определяется формулами (см.
приложение I на стр. 242):
и для определения магнитных поверхностей с точностью до чле-
членов -5- достаточно вместо аргументов г и ф подставить в уравне-
уравнено
ние C. 8) их выражения через г и ф из формул C. 9).
Отметим, что, согласно уравнениям C. 6), если функция я|>
зависит только от г, она выражается через среднюю скорость про-
прокручивания силовой линии вокруг оси г:
Если поле периодично по азимуту ф, т. е. является не прямым,
а тороидальным, то аналогично получим
dz
fr
C
где
22
=гАф+

a Bq,o — усредненное по азимуту поле, большое по сравнению
с поперечными составляющими Вг и Вг. Усреднение и операция Д
производятся здесь по аргументу <р. Уравнения усредненных маг-
магнитных поверхностей г|5 (r, z) = const зависят теперь от коорди-
координат гиг.
2. Выведем теперь уравнение усредненных поверхностей в кри-
криволинейных координатах xh из которого, в частности, вытекают
выражения C. 7) и C. 12). Пусть магнитное поле В имеет квази-
квазиоднородную продольную компоненту В3 и малое по сравнению
с ней возмущающее поле Ь. Уравнение силовых линий запишем
в криволинейных координатах хх, х2, xs, в которых координатные
линии х3 совпадают с силовыми линиями поля:
4? <* 1;2> <313>
Здесь и далее через В' обозначены контрвариантные компо-
компоненты поля, а через Bt — ковариантные компоненты. Будем счи-
считать, что поперечные поля В1 = Ь1 и В2 = Ь2 малы, а продольное
поле В3 =В% + Ьъ содержит большую квазиоднородную часть
В\ (хи х2), не зависящую от xs, и малую поправку Ь3. Уравне-
Уравнения C. 13) с точностью до членов порядка Ь2 запишем в виде
fk (xt, x3); i.k = l;2. C. 14)
dx3 в* [ B\
Предположим, что поле b является периодической функцией аргу-
аргумента х3 и выберем bs таким образом, чтобы его среднее значение
по х3 равнялось нулю. Усредненные силовые линии описываются
уравнениями C. 3')
ik-l 2 C.15)
где усреднение и операция Д производятся по аргументу х3.
Поведение силовой линии с учетом ее колебаний около среднего
положения с точностью до членов более высокого порядка малости
дается формулами
** = ** + fk (xi, xs); k=\;2. C.16)
Подставляя в уравнения C. 15) конкретные выражения для fk
из уравнений C. 14) и преобразуя полученные соотношения.
с учетом уравнения
23.

получим (в предположении, что определитель метрического тен-
тензора g = \gik\ не зависит от х3) с точностью до членов второго
порядка малости по b *
dxx si 1 а Л а— "'" s
dx3
dx2
Bl
VgBl
ъчг
C. 17)
Выражая b1 и b2 через векторный потенциал магнитного поля В,
VI
и принимая во внимание, что
dxy _ ^
" Bl 6
¦ — 0, получим
C. 18)
Интегрируя выражения (З. 18), находим окончательно уравнение
усредненных магнитных поверхностей
1 В2 = const.
C. 19)
Если выразить векторы В и А через их физические составляю-
составляющие, то из формулы C. 19) получим усредненные магнитные
поверхности для квазипрямого, квазитороидального и квазивин-
квазивинтового полей, для которых выполнено принятое выше условие
о независимости g от продольной координаты.
а. Если поле В3 имеет прямые силовые линии, направленные
вдоль оси z, то в декартовых координатах хх = х, хг = у, х3 = г
¦ф (х, y) = Az — 2- BxBy , C. 20)
а в цилиндрических координатах х± = г, х2 = ф, х3 = z полу-
получим выражение C. 7), где, как и в выражении C. 20), усреднение
и операция Л производятся по аргументу г.
б. В случае, когда В3 имеет силовые линии, направленные
по азимуту ф, используя цилиндрические координаты хх = z,
х2 = г, х3 = ф, получим формулу C. 12).
Мы опускаем далее черту сверху у усредненных координат
24

в. Если силовые линии основного поля В3 являются винто-
выми линиями: 0 = <р — az — const (где L = -— = const —
шаг винта), то, выбрав в качестве xt координаты хх = г, х2 = 0,
х3 = z, получим
^ C.21)
вг
где усреднение и операция Д производятся по аргументу z вдоль
линий 9 = const. Так как Вф = аг Вг и вдоль линий 9 = const
имеем В? = аВгг , то формула C. 21) может быть представлена
также в виде
г|> (г, 0) = Аг + агЛф ~^-Вг (В9 - агВг), C. 22)
Вг
где усреднение и операция Д производятся по аргументу ср вдоль
линий 0 = const, а координатами xt являются хх = 0, х% = г,
х3 = ф.
Приведенные выше выражения C. 7) и C. 12) для прямого
и тороидального полей получаются из выражений C. 21) и C. 22)
предельными переходами а->-0и а-*оэ. Отметим еще, что для
полей, обладающих трансляционной, аксиальной и винтовой сим-
симметрией, формулы C. 7), C. 12) и C. 22) дают точные выражения
для магнитных поверхностей, обладающих соответствующей сим-
симметрией. В случае же квазисимметричных полей истинные магнит-
В'
ные поверхности с точностью до членов порядка —g определяются
уравнением C. 19), в котором аргументы функции i|) заменены
на правые части выражений
Х1 = Х1 " ^з~' ХЪ = ХЪ ЫГ * \ '
Вопрос о точности полученных выше соотношений рассмотрен
в приложении I на стр. 242. Однако в нашем случае особый интерес
представляет поведение силовой линии в целом, т. е. при бесконеч-
бесконечном числе ее обходов вдоль тора. Учитывая, что по своему характеру
приближенные интегралы силовых линий подобны адиабатическим
инвариантам, следует ожидать, что для полей с замкнутыми сило-
силовыми линиями они дают качественно правильный ответ о поведе-
поведении магнитной поверхности в целом, тогда как для полей с прокру-
прокручивающимися силовыми линиями они имеют экспоненциальную
точность типа ехр (— 1/и). Следует отметить, кроме того, что
используемый метод усреднения не применим вблизи сепара-
В,
трисы, где —г^- представляет собой значительную величину.
и
25

3. Магнитные поверхности вблизи замкнутой силовой
линии
Если вблизи замкнутой силовой линии магнитного поля попе-
поперечные компоненты являются линейными функциями по отклоне-
отклонению от этой силовой линии, то в ее окрестности существуют маг-
магнитные поверхности, причем сечения этих поверхностей на изо-
изображающей плоскости представляются эллипсами, гиперболами
или системой параллельных прямых.
Рассмотрим магнитное поле вблизи прямой силовой линии.
Направив вдоль нее ось г, запишем уравнения силовых линий
в окрестности х = у = 0 в виде
^_Вх_ ' ( дВх г I дВх и \ ¦
dz Bz — Bz(z) \ дх л~г ду у) '
dz ~ Вг — Вг(г) \
дх
дВ
у
дх
ду
C. 24)
тде напряженность продольного поля Вг и производные от попе-
поперечных компонент в рассматриваемом приближении берутся при
х = у = 0 и, следовательно, являются функциями только от z.
Пусть поле является периодической функцией z с периодом L.
В этом случае уравнения C. 24) будут системой двух линейных
уравнений с периодическими коэффициентами. Обозначим через
Хх (z), X2 (z), Yi (z) и Y2 (z) решения, удовлетворяющие началь-
начальным условиям Хх @) = Y2 @) = 1, Yt @) = Х2 @) = 0; тогда
решение системы C. 24) на п + 1 периоде будет
C. 25)
В силу периодичности коэффициентов уравнений C. 24) функции
Хг, Х2, YI, У'2 достаточно определить на интервале @, L). По-
Поэтому из соотношений C. 25) получаем систему разностных
уравнений с постоянными коэффициентами alk
= «
и
j
C. 26)
апУп, _
Уп+г = <% хп + а22 уп; (aik) - { Yx (L), Y2 (L)
Эти уравнения связывают координаты изображающих точек на
плоскостях z = nL и z = (п + 1) L *.
Используя равенство нулю div В, легко убедиться в том,
что D (L) = | aik
C. 24), имеем
dD(z)
dz
= 1. Действительно, согласно уравнениям
дВх
дВу
D(Z)
х*
Y2
B)
B)
D (г)
Bz
dBz .
dz '
* Если рассматривать поле в окрестности замкнутой силовой линии, то эти
плоскости сливаются в одну изображающую плоскость.
26

Отсюда D {z) Bz (z) = const и из периодичности Вг (г) и началь-
начальных условий для Xt и Уi следует, что D (L) = 1.
Решение системы разностных уравнений C. 26), аналогично
решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений [18],
имеет вид хп = сх к", уп = с2АЛ Подстановка в уравнения C. 26)
приводит к характеристическому уравнению
№ - («и + а22) К + 1 = 0, C. 27)
корни которого удовлетворяют условию
Общее решение уравнений C. 26) имеет вид
хп =
C. 28)
C.29)
где at и Ь{ — постоянные, определяемые из начальных условий.
Решение C. 29) удобно записать через тригонометрические
или гиперболические функции. С этой целью полагают Х1,2 —
= е* 'ц , где ц — так называемый характеристический показатель,
определяемый равенством
f«22
COS U, =
C.30)
Если определить постоянные а,- и bt через начальные значе-
значения х0, у0, то получим решение системы C. 26) в виде
11 — «22 „ 1
2 sinp.
sin (x
¦Уо)
sin \m;
C.31)
При мнимом jj, тригонометрические функции переходят в соот-
соответствующие гиперболические. Для ц = 0 и fx = я решения
C. 31) теряют смысл, однако соответствующие решения могут
быть получены предельными переходами ц -> 0 и \х -> я. Таким
образом при ц -^- 0 получаем
«22
C.32)
а при |i ->я
an — a2.
Уп - (- 1)" {</о -
<¦ п П > •
C.33)
27

Формулы C. 31) — C. 33) определяют положение силовой линии,
вышедшей из точки (х0, у0) в плоскостях г = nL, расположен-
расположенных одна от другой на расстоянии периода L, или в изображаю-
изображающей плоскости, если рассматривается окрестность замкнутой сило-
силовой линии длины L. Уравнение для сечения магнитных поверхно-
поверхностей изображающей плоскостью получается из выражений
^_____^ C. 31), если мы определим cos \m
~^Г^—- -~ и sin \m и приравняем единице
"~\>* сумму их квадратов
% \ а31х2п — а12у2п — (au —
' / — a22) *„?/„—const. C.34)
sy Условие положительной опре-
^ деленности квадратичной формы
C. 34)
—4 a12 a21 > (au — a22J
эквивалентно условию |cos fi|< J. Таким образом, из уравнения
C. 34) следует, что при |ccs fx | << ! точка О, в которой замкну-
замкнутая силовая линия пересекает изображающую плоскость,
является особой точкой эллиптического типа, так что последова-
последовательные изображающие точки ложатся на эллипсы с центром
в точке О, двигаясь вокруг этой точки (рис. 16). При |cos [i\ j> 1
у
/ *
I '
'•Л
Рис. 16
Рис. 17
точка О является гиперболической особой точкой и изображаю-
изображающие точки либо двигаются по «своим» ветвям гипербол, как это
показано стрелками на рис. 17, а, либо после каждого обхода
по периоду L перескакивают с одной ветви на другую (см. поло-
положение /, 2, 3, 4 на рис. 17, б), причем, как это следует из выраже-
выражений C.28) и C.29), первый случай имеет место при К > О,
а второй — при К < 0. Точки, попадающие на одну из асимптот,
движутся к центру О, а по другой — от центра в бесконечность.
Приведенные рассуждения теряют смысл в вырожденных
случаях, когда ц = 0 и ц. = я (или Я, = 1 и К = — 1). Как видно
из формул C. 32) и C. 33), в этих случаях начальные точки,
лежащие на прямой
°П — «22
у0 = 0,
C.35)
28

которая в силу соотношения C. 30) и равенства единице детерми-
детерминанта | alk | совпадает с прямой 2 ~ "" уо+ а21 х0 = 0, при об-
обходе периода переходят сами в себя или в точки, симметрич-
симметричные относительно начала координат. Таким образом, в рассма-
рассматриваемых случаях существует магнитная поверхность, полностью
состоящая из замкнутых силовых линий и пересекающая изобра-
изображающую плоскость по прямой линии C. 35). Уравнения сечений
соседних магнитных поверхностей мы получим, исключая п из
уравнений C. 32) и C. 33). Отсюда следует, что
ип — .'/о _ «и — а22
хп — хо 2cii2
О'
Рис. 18
т. е. последовательные изображающие точки ложатся на прямые,
параллельные сечению особой магнитной поверхности C. 35).
При этом, как нетрудно убедиться на основании уравнений
C. 32) и C. 33), в случае К = 1 эти точки движутся по «своим»
прямым (рис. 18, а) со скоростью, растущей при удалении от 00'.
При Х= — 1 точки перескакивают на зеркальную прямую после
каждого периода (см. рис. 18, б) в полной аналогии с соответст-
соответствующими выводами для гиперболической точки.
Полученные результаты основываются на двух предполо-
предположениях: на равенстве единице детерминанта aiK и на возмож-
возможности линеаризации уравнений силовых линий в окрестности
замкнутой силовой линии. Если первое предположение всегда
выполняется в силу равенства div В = О (см. §2), то второе
предположение может и не выполняться. Примером замкнутой
силовой линии, допускающей линеаризацию в своей окрестности,
является магнитная ось двухзаходного винтового поля (см. §5).
В случае же трехзаходного винтового поля линеаризация
в окрестности его оси невозможна, так как в разложении попереч-
поперечных компонент поля отсутствуют члены, линейные по удалению
от оси.
§ 4. Поля с замкнутыми силовыми линиями
/. Поле кольца с током
Единственным примером симметричной конфигурации с сило-
силовыми линиями, лежащими в ограниченной области, может слу-
служить система, созданная коаксиальными кольцевыми токами.
29

Как известно, магнитное поле кольца с током, расположен-
расположенного в плоскости 2 = 0, описывается одной компонентой вектор-
векторного потенциала [20]
1.9. 4аг
D. 1)
Здесь а — радиус кольца, а Е и К — полные эллиптические
интегралы. Вблизи проводника k ~ 1, и поэтому, пользуясь
выражениями для функций Е и К при k я= 1 [21 ]
7=L
1 A-?2) +
D.2)
получим следующие выражения для магнитных поверхностей:
^=--{r-af + z\ D.3)
Как и следовало ожидать, в этом приближении магнитные поверх-
поверхности представляются в нормальном сечении окружностями q =
= consts центром которых является кольцевой ток. На больших
расстояниях поле кольца приближается к полю диполя с момен-
моментом М = — па2, а его магнитные поверхности описываются
выражением
гЛф = М (r* + z*fU = C°nst'
D.4)
которое получается из формул C. 26) и D. 1) подстановкой
вместо Е и К их разложений при малых k [21 ]:
D.5)
Отсюда следует также, что поле вблизи оси кольца г ^ а описы-
описывается потенциалом
АЩ = М ^—_. D.6)
На рис. 19 изображены силовые линии поля кольца с током,
возмущенного однородным полем, направленным вдоль оси z.
Если задать однородное поле компонентой векторного потен-
потенциала
Ло)==2-5ОГ) D.7)
то уравнение этих магнитных поверхностей будет г (Лф + Лф) =
= const.
30

Если же на поле кольца наложить поле прямой нити с током,
текущим вдоль оси z, то уравнение магнитных поверхностей
C. 26) не изменится, поскольку поле прямого тока описывается
2-компонентой векторного потенциала
л LJ
/1- — —
D.8)
не входящей в уравнение C. 26) магнитных поверхностей (см.
рис. 2).
Выше мы рассматривали только поле бесконечно тонкого
кольца с током. Однако в ряде случаев представляет интерес
поле тора кругового сечения с поверхностным током i. Соответ-
Соответствующая краевая задача сводится к решению уравнения B. 5)
с граничным условием на по-
поверхности пВ = 0. Она была
решена Фоком [22], который
получил следующие выражения
для плотности тока на поверх-
поверхности тора со средним радиу-
радиусом R и радиусом сечения а
COS0) \3/,
<=const(l--arB-)
-2 2'
11 I '
-, г- • г-ж- cos па}.
П—\
Рис. 19
Здесь
(--Н
A_е-2*J г,<2> ,AI.
20 , 2n-2 2 40
е + 2n - 1 Т е
Bя-2)Bя-4) 2-4
— 3) 1-3
D.9)
21п 2 _ао_а„
cos <»=
! + a cos Ф '
ф — полярный угол в сечении тора, а числа ап определяются
следующим образом:
.... . 1 1
«о
с0 =
2п ~2п-
D. 10)
31

2. Пом двух колец с током
Системы с магнитным полем, эквивалентным полю двух колец
с токами, текущими в одном направлении, используются для
пробочных ловушек, которые удерживают частицы с относительно
малой продольной составляющей скорости вследствие отраже-
отражения частиц от областей с большой напряженностью поля.
Если же токи в витках имеют противоположные направления,
то мы получаем магнитное поле, возрастающее от центра системы
во все стороны. Такие поля используются для удержания плазмы
и носят название системы со встречными полями. Поля этих
ловушек определяются выписанными выше формулами.
! г
Рис. 20
Действительно, выбирая начало координат в точке, равно-
равноудаленной от центров обоих колец, получим векторный потенциал
в виде
где
_
± (а + г? + (/ ± гJ
D.11)
D. 12)
а / — расстояние центров колец от начала координат (рис. 20).
Знаки ± между квадратными скобками соответствуют токам J,
текущим в одну или в противоположные стороны.
Для определения поля вблизи оси z можно воспользоваться
формулой
-^H (z), D. 13)
Ар = | Ь (г) -? Ь" (z)+...^J
где b (z) = Ф' (г) — поле на оси z; Jx (x) — бесселева функция
первого порядка. Формула D. 13) дает выражение для вектор-
векторного потенциала произвольного безвихревого магнитного поля
32

с известной напряженностью Ь (z) на оси. Согласно выражению
D. 6), поле на оси г, создаваемое одним кольцевым током, равна
ом
b(z) = —=^-57-, D.14)
причем последнее выражение является точным. Соответственно
для поля двух витков получаем
b± (z) = 2М \[а2 + (I + zf]°u + [а2 + (/ — zf]~*и\. D.15)
При z < Y°2 + Р поле на оси z определяется формулами
~b+(z)- Ш \l I 3 4/2""а2
¦z2
\2Mlz
1. у \ l^fiTltiC
^Z'~ (a2 + /2M/2 '
D. 16)
а в окрестности оси z с учетом первых двух членов разложения
D. 13) имеем
6Л4/ / * 1 г»\
= — r—rz. D. 18)
Ф (аа + /2M/2 v f
Если а <С 2/, то поле D. 17) в окрестности z = 0 имеет минимум
и является моделью поля пробочной ловушки. Поле D. 18) нара-
нарастает от начала координат во все стороны и является типичным
для систем со встречными полями. Отметим, что магнитные поля
D. 17) и D. 18) точно удовлетворяют уравнению rot В = 0.
3. Прямые гофрированные поля ,
Примеры тороидальных полей с замкнутыми силовыми линиями
изображены на рис. 1. Прямые периодические поля, являющиеся
предельным случаем тороидальных полей, мы будем относить
к полям с замкнутыми силовыми линиями, если поперечные коор-
координаты силовой линии в точках, отстоящих одна от другой на рас-
расстоянии периода, совпадают.
Приведем два примера прямых гофрированных полей с замкну-
замкнутыми силовыми линиями.
а. Простейшим является прямое аксиально-симметричное поле,
созданное системой бесконечно тонких колец с током (рис. 21).
Если обозначить радиус колец через а, то отличная от нуля
компонента векторного потенциала Лф такого поля будет пред-
представлять собой бесконечную сумму выражений D. 1). Эту сумму-,
удобно представить в виде рядов Фурье по координате z (см. за-
задачу в конце § 4).
flK1(nka)I1(nkr)cosnkz\; r<a; D.19a)
д = Ша_ |] / tnka) K (nkr) cos nkz; r > а. D. 196)
с п = \ ¦ ¦ ¦ ¦ . . ¦'
3 Вопросы теории плазмы. Вып. 2. • 33-'

Здесь и далее 1п(х) и /С„ (х) — модифицированные функции Бес-
Бесселя.
Используя соотношения B. 3) и B. 8), можно от векторного
потенциала D. 19) перейти к скалярному. Он равен:
ф = Щ. L + 2а 2 Кг {nka) I0(nkr) sin nkz }; г < a; D. 20a)
Ф =
4Jka
-s.
л=1
sin nfez; , r > a. D. 206)
цами, определяющими
Ilk D
= Bo — напряженность
Здесь L =-?— расстояние между коль-
период поля, а
постоянной
•составляющей поля. Уравнения силовых
линий такого поля [см. C. 26)] имеют вид
Ф = const; rA4(r, z) = const. D.21)
Последнее соотношение выражает сохра-
сохранение потока внутри аксиально-симметрич-
аксиально-симметричной магнитной поверхности *.
рис, 21 На рис. 21 жирными линиями изобра-
изображена сепаратриса, отделяющая собственно
прямое поле, «принадлежащее» всей системе
проводников, от поля, силовые линии которого «принадлежат»
одиночным проводникам. В данном случае сепаратриса состоит
из системы поверхностей, уходящих в бесконечность.
Вблизи оси гофрированное поле может быть аппроксимиро-
аппроксимировано однородным полем Во и одной гармоникой «переменного»
поля:
Вог —
sin кг.
D. 22)
D. 23)
Силовые линии поля D. 22) изображены на рис. 22 для Во > Ьо
и Во <С Ьо. В рассматриваемом случае сепаратриса имеет острые
ребра, где напряженность поля обращается в нуль **. Поле D. 22)
может быть создано с помощью азимутальных токов, текущих
по бесконечно тонкой цилиндрической оболочке радиуса а,
плотность которых синусоидально зависит от г.
Рассмотрим изменение удельного объема силовых линий без-
безвихревого гофрированного поля при удалении от оси z.
* Действительно, в силу теоремы Стокса fBdS= <р A dl = 2ягДф.
** Ниже на примере винтового поля мы увидим, что обращение поля в нуль
на ребрах сепаратрисы не является обязательным.
34

В настоящее время даже для аксиально-симметричного поля
общее доказательство возрастания удельного объема силовых
линий безвихревого поля при приближении к сепаратрисе неиз-
неизвестно, хотя это и не вызывает сомнения. Поэтому мы ограни-
ограничимся исследованием области, близкой к оси z, в которой произ-
произвольное аксиально-симметричное магнитное поле может быть
описано двумя членами разложения D. 13) векторного потен-
потенциала Лф:
Л, = -^(z)—?-fc" (*)+••• D-24)
Рис. 22
В этом приближении
L L
D. 25)
где интеграл берется по периоду L изменения поля вдоль г.
Величина г2, входящая во второе слагаемое выражения D. 25),
г? 6@)
г? 6@
может быть взята в первом приближении равной г2 = ~ь .
так как уравнением силовой линии является rA^ = const. Под-
Подставляя г2 в выражение D. 25) и интегрируя по частям, получим
dz
— J b{z)
о
@)
D. 26)
Последнее соотношение показывает, что удельный объем в рас-
рассматриваемом случае является возрастающей функцией г.
В частном случае поля D. 22), т. е. поля, описываемого одной
гармоникой, нетрудно написать в явном виде точное выражение
для-, удельного объема. Действительно, используя уравнение
силовой линии для поля D. 22)
2_ 2 26_ 1 ... ,
35

где r0 = г при kz = -~-, и исключая с его помощью зависимость
от г в компоненте
Бг = blt(kr)sin &г,
получим
м
U = \ ~ = 2 \ ~ = 2
Ф = Вог +
Ьп
rfr
. D-27)
Здесь г,
— значения г,'
при которых корень под инте-
интегралом обращается в нуль.
Полученный интеграл, одна-
однако, может быть определен только
численно.
б. В качестве второго при-
примера прямого поля с замкну-
замкнутыми силовыми линиями рас-
рассмотрим прямое волнистое поле
(скэллопс). Подобное поле может
быть создано двумя сдвинутыми
одна относительно другой на
расстояние / системами колец
радиуса а, находящихся на рас-
расстоянии L (рис. 23). Используя
выражения D. 20), скалярный
потенциал такого поля можно
записать в виде
л=1
!)sin nkz
s\n n(kz — я)] =
= Boz + 2 4 [/0 {nkrj +(- 1)" /0 (nkr,)] sin nkz, D. 28)
„¦е, 2
где
D.29)
Считая / малым и подставив выражения D. 29) в формулу D. 28),
разложим полученное выражение по степеням /:
оо
Ф = Boz+ 2 -FrUo(nkr)(l +(—!)") —
s— cos ф 1 — (—
smnkz.
D. 30)
36

Вблизи оси 2 это поле может быть аппроксимировано однородным
полем и полем двух гармоник:
ф = Boz — у bxklcosф lx(kr) sin kz + b0f0Bkr)sm2kz. D. 31)
Здесь наиболее характерной является гармоника, содержащая
Ix(kr), которая дает не обращающуюся в нуль на оси г=0 составляю-
составляющую поперечного поля Вх, что и вызывает поперечные колебания
силовых линий. На рис. 24 в плоскости xz изображены сепара-
сепаратриса и силовые линии поля этой гармоники при наложении на
него продольного поля Во:
ф = Boz -f -г1-Z^&r) cos ф sin kz. D.32)
Ребра сепаратрисы определяются соотно-
соотношениями
kz = тя; т = О, ±1, ±2
/х (&r) cos ф = ^—-тр-, D.33)
и напряженность поля на них обращается
в нуль. Поскольку поле D. 31) не обла-
обладает симметрией, его силовые линии мож-
можно найти только приближенно, например
методом усреднения, если -тр<^1. Учи-
Учитывая, что в данном случае ty = 0, мы
можем уравнения силовых линий C:9)
записать в виде
г=7+-^+ ..-; Ф = Ф +
Рис. 24
D. 34)
В § 7 исследовано изгибание рассмотренных выше полей в тор
достаточно большого радиуса.
Задача. Рассчитать магнитное поле соленоида, состоящего из равноудален"
ных кольцевых токов.
Решение. Азимутальный ток, текущий по поверхности круглого ци-
цилиндра радиуса а и распределенный по косинусу /ф = cos nkz, создает магнит-
магнитное поле, описываемое внутри и вне цилиндра одной гармоникой скалярного
потенциала, удовлетворяющей уравнению Лапласа и условиям конечности
соответственно при г ->• 0 и г->оо:
Ф( = щ10 (nkr) sin nkz; Фе = аеК0 (nkr) sin nkz. D. 35)
Коэффициенты ai и ае определяются из граничных условий при г = а:
В1.
Bz —
В'г — Вег = 0;
Используя формулу 1'0 (х) К0(х)— К'о (х) /0(х) =
найдем
Ana .,'.,,
Щ = -у- Ко (nka);
4яа
/„ (nka).
D. 36)
37

Для получения потенциала сиетемы колец достаточно разложить плотность тока
в ряд Фурье:
2 ;, б (г + L) = Ь (г) D.36')
/г=1 J
и сложить соответствующие гармоники потенциалов. Учитывая, что однородный
азимутальный ток создает только однородное продольное поле внутри цилиндра,
получаем
_2Л:
' с
\ ' 1
>j Ko (nka) /0 {nkr) sin nkz \;
=1 J
Фе = ^ ¦'о (nka) Ко (nkr) sin nkz.
D. 37)
:)= .
г .
Т +
4Jka
с
h (*);
оо
л=1
ОО
/1=1
nka,
w-
-Кг (х);
(nkr) cos пйг \ ;
/fer) cos пйг.
Магнитное поле системы колец с токами часто удобнее описывать с помощью
векторного потенциала А, имеющего одну компоненту Лф. Соответствующие
выражения для Лф легко получаются из выражений D. 37), если учесть, что
D. 38)
§ 5. Прямое поле с винтовой симметрией
/. Магнитные поверхности винтового поля
Примером прямого безвихревого поля с незамкнутыми сило-
силовыми линиями может служить магнитное поле, создаваемое вин-
винтовой токовой обмоткой [2] с конечным шагом L (рис. 25). Такое
поле обл-адает винтовой симметрией и в цилиндрической системе
координат зависит только от г и 9 = ф — az, где а = —.
Безвихревые винтовые поля удобно описывать с помощью ска-
скалярного потенциала, разложенного в ряд по гармоникам, удовле-
удовлетворяющим уравнению Лапласа:
Ф = Boz + 4- J2 6Л (nkr) sin «6. E. 1)
Вследствие симметрии уравнение силовых линий имеет интеграл
C. 2в). Подставляя в уравнения C. 1а) компоненты поля, выра-
выраженные через Ф, и полагая Аг равным нулю *, получаем
6Ф дЛ^. _1__5Ф аАг
дг дг ' г д<р dz
* Последнее возможно, поскольку к А мы можем добавить градиент произ-
произвольной функции F, удовлетворяющей уравнению Д^ = 0.
38

Отсюда следует, что поле E. 1) описывается векторным потенциа-
потенциалом с компонентами
— ^7 2, bJn(nar) sin
2
bnln (nar) cos n 6; Az =
E.2)
и уравнением его магнитных поверхно-
поверхностей является уравнение
== const, т. е. [3]
? = агЛф =
*P (r, 6) = Bo -x r 2j bnln (nar) cos «0 = |
= const E. 3) |
•§§
Рассматривая ранее характеристики ^е
тороидального поля, мы ввели продоль- |
ный и азимутальный магнитные потоки Ф
и % внутри магнитной поверхности. В слу-
случае прямого винтового поля эти потоки
равны:
§
Ф = J
, Q)rdrdy; 'E.4)
ф(г, Q)drdz = l
Рис. 25
E. 5)
и связаны с Y соотношением
Ф + X = 2л?. E. 6)
Действительно, из уравнений В = rot А и C. 2в) следует, что
агВ,
Вт = а —
дАг
дг
E.7)
Складывая выражения E. 4) и E. 5) и подставляя в полученную
сумму формулу E. 7), получим соотношение E. 6). Таким обра-
образом, если в аксиально-симметричном поле магнитная поверхность
определяется постоянством продольного потока Ф = const, в пло-
плоском поле— сохранением азимутального потока [см. C. 2а, б)]
X = const, то винтовая магнитная поверхность определяется
сохранением их суммы Ф + х-
Рассмотрим подробнее суммарное поле п-й гармоники и одно-
однородного поля Во, направленного вдоль z.
Такое поле называется п-заходным, поскольку для его соз-
создания требуется п пар винтовых проводников с чередующимся
направлением тока*.
* Разумеется, поле п тонких проводников содержит бесконечное множество
Гармоник (см. задачу к этому параграфу), однако вблизи оси поле обычно можно
аппроксимировать одной гармоникой.
39

Скалярный потенциал и уравнения магнитных поверхностей
в этом случае имеют вид:
Ф = Boz + — /„ (ne) sin n (ф — az), Q = ar; E.8a)
-az)} = А <>§• E.86)
Здесь е0 — «средний» радиус магнитной поверхности. Для того
чтобы получить представление о характере сечений магнитных
поверхностей плоскостью z = 0, рассмотрим уравнение E. 86)
при малых и больших q. Если q -> 0, то
E.9)
и уравнение E. 86) приводится к виду
q2 — YQ"cos Щ — const;
26 1 In \л —i ,e tm
Отсюда видно, что следует различать три случая: п = 1, п — 2
и п > 3. Если и = 1, то при г = О
S E.11)
т. е. в окрестности начала координат сечения магнитных поверх-
поверхностей представляют собой смещенные окружности (рис. 26, а).
Однако этот вывод справедлив лишь при -g- С 1, поскольку
в противном случае центр окружности перемещается в область
больших х, где аппроксимация E. 9) недостаточна.
При п = 2 уравнение E. 10) сводится к
r2(l— ^-cos2q> ) = const. E.12)
Отсюда видно, что если -^- < 1, то начало координат является
Ь
эллиптической точкой (см. рис. 26, б), тогда как при -д- > 1
начало координат является гиперболической точкой (см. рис. 26,б)
с асимптотами, проходящими под углом срл, определяемым из
равенства
^ E.13)
Наконец, при п > 3 уравнение E. 10) можно переписать в виде
г2A — y (ar)"~2 cos n ф) = const, • E.14)
и, как нетрудно видеть, при любых у и достаточно малых г сечение
магнитных поверхностей имеет вид возмущенных окружностей,
охватывающих начало координат (см. рис. 26, г).
40

В другом крайнем случае, когда г-у со [21],
/„(on) ~ -гт==^ со,
E, 15)
и, следовательно, в уравнении E. 86) можно пренебречь членом
с Во:
Ql'n (q«) cos п (ф — az) =- const.
E.16)
Выражение E. 16) характеризует магнитные поверхности при
Во = О, т. е. магнитные поверхности одной винтовой гармоники
без продольного однородного поля.
гт!
Рис. 26
Очевидно, линии q = q (<р) при z = 0, определяемые уравне-
уравнением E. 16), имеют асимптоты в виде прямых, проходящих под
углами ц>А, для которых
соБ/гфл = 0. E.17)
Сечения магнитных поверхностей E. 16) плоскостью z = О
при разных п изображены на рис. 27, где схематически показаны
также токи, создающие эти поля *, и области вблизи начала
* Строго говоря, эти токи нужно было разместить на окружности R = а =
= const с плотностью ~sin лф.
41

координат, которые искажаются при Во =? О так., как было ука-
указано выше. Переход замкнутых при Во ф О магнитных поверх-
поверхностей в окрестности начала координат * к полю в бесконеч-
бесконечности, разбитому прямыми линиями из 2п групп, происходит
на сепаратрисе.
Из сказанного очевидно, что на сепаратрисе должны быть
угловые точки, куда упираются асимптоты, имеющиеся при
Рис. 27
q -> оо. Координаты особых точек уравнения E.86) при z=0
определяются из условий:
¦f=«; f-0.
Используя уравнение для бесселевой функции /„ (по)
E.18,
из условий E. 18) получим:
sin /гф = 0;
E. 20)
Отсюда следует:
1) при п > 1 начало координат является особой точкой
эллиптического типа и ось z представляет собой магнитную ось;
2) при п > 1 число особых точек вне оси равно п;
3) расстояние qmc от начала координат до особой точки связано
ь
,с -б— соотношением
В° 2
Ь Ямс E 22)
n[l+Q2MC)ln(tlQMC)
При п= 1; 2 для этого требуется еще, чтобы — было невелико.
42

График этой зависимости при разных п приведен на рис. 28,
из которого видно, что если п > 2, то при любых ¦=- существует
"о
сепаратриса, тогда как при п = 2 она имеется лишь при -д- < 1.
ь
Из хода кривой для п = 1 следует, что если ¦=— > 0,9, то сепа-
ратрисы также не существует, но если -=- < 0,9, то имеются
/
/
• " /
-*~
у
/
Л
п.г
10
Рис. 28
две особые точки qx и q2. Нетрудно видеть, что первая точка
эллиптическая, а вторая гиперболическая и является следом
ребра сепаратрисы.
Теперь можно схематически изобразить сечение магнитных
поверхностей при разных п и -^~ (рис. 29). Графики, полученные
с помощью точного расчета при определенных -g- , приведены
на рис. 30.
До сих пор мы рассматривали магнитные поверхности поля,
содержащего одну гармонику. Поля, содержащие две гармоники
и более, могут иметь очень сложную структуру.
В качестве примера рассмотрим поле, содержащее две гармо-
гармоники, одна из которых является гармоникой двухзаходного поля:
Ф = Вог + bnln (no) sin л (<р — аг) + b2l2 Bq) sin 2 (<р — az).
43

Рис. 29
П'1
Рис. 30

В этом случае уравнение магнитных поверхностей W = const
вблизи оси z представляется выражением
Q2 + а (Q2 + -g-Q4Jcos2((p —az) + qQn cos n (ф — az) = const.
При n = 3, <7>-0, a<0, 1 < | a | <C 3 сечение магнитных по-
поверхностей показано на рис. 31, причем все изображение вращается
вокруг оси z с шагом L =
= — . Координата центра О
Рис. 31
Рис. 32
к —2A+а) ,-, л
винтовых магнитных трубок есть Qk= ^ . Ьсли п — 4, то
oq
при <7>1, 1< | а | <2 и а<.0 сечение магнитных поверхностей
имеет вид, представленный на рис. 32. Это изображение также
вращается вокруг оси z с шагом L. В этом случае мы имеем две
системы магнитных поверхностей в виде винтовых трубок, обви-
обвивающих одна другую. Центры этих трубок находятся на расстоя-
НИИ Qk =-¦
ОТ ОСИ Z
2. Усредненные магнитные поверхности
и силовые линии
Знание магнитных поверхностей.еще не определяет однозначно
поведения магнитной силовой линии. Для этого нужно найти
второй интеграл системы B. 11).
Используя уравнение магнитных поверхностей, мы можем
выразить его в квадратурах (см. ниже), однако получающиеся
формулы оказываются очень громоздкими. Поэтому приходится
прибегать к приближенным методам. Особенно эффективным ока-
оказывается метод усреднения, справедливый при г <^ гс, где гс —
характерный радиус сепаратрисы (практически он пригоден
при r<S-rcy
45

Уравнение магнитных поверхностей в рамках метода усредне-
усреднения дается формулой C. 7)
у = Lfirfl E-23)
о
Здесь учтено, что Аг ~ 0.
Подставляя сюда компоненты Вт и бф произвольного безвихре-
безвихревого винтового поля E. 1)
г = ^Ьпп щ /„ (по) sin п (ф —
Jcos п1Ч> —(
получим
E. 24)
и, следовательно, усредненные магнитные поверхности имеют вид
окружностей г = const.
Используя соотношение C. 10), находим выражение для угла
прокручивания за период
4В20
Уравнения силовой линии с точностью до членов — Ъп даются
формулами C. 9) и в случае поля E. 1) имеют вид
^ =" ^o + ^2 bJ'n ("e) cos" е
sin /г е + о (^) ( ' 7)
где в = (со — 1) az, a Or (b2n) и Оф (б«) — члены порядка b\,
среднее значение которых по z равно нулю.
Для n-й гармоники выражение E. 26) для со в окрестности
оси можно записать в более обозримом виде, используя разложе-
разложение / ()
Отсюда видно, что при п = 1 и п = 2 угол прокручивания
п.ри г = 0 не равен нулю, тогда как при п>2 он равен нулю
при г = 0.
Ход силовой линии отдельной гармоники можно представить
весьма наглядным образом, если ввести отклонения
7 * 1 E-29>
У = г0 (ф — a«z) J
46

Как следует из выражений E. 27), отклонения удовлетворяют
уравнению
4 + -?-=1, E.30)
где
а =
b=bnln
Таким образом, силовая линия магнитного поля одной винтовой
гармоники представляет собой спираль с шагом К —¦ — эллипти-
эллиптического сечения, навитую на ось, которая в свою
очередь является винтовой линией с шагом Л— —,
навитой на круговой цилиндр радиуса г0 (рис. 33).
Используя приближенные уравнения для силовых
линий E. 27), вычислим основные характеристики
магнитных поверхностей прямого винтового поля.
I. Объем магнитной поверхности в пределах
одного шагг с
тельно равен
2я
точностью до членов — Ъ\ включи-
включи2я
= 4 1 d<p(
о
ro+
Рис. 33
E.31)
2. Продольный магнитный поток внутри магнитной поверх-
поверхности находится следующим образом:
2л г(ф) 2л ;• (ф)
|| Bzrdr= jdcp j rdr(B0 — ^nbjncosn6) =
0 0
о о
2я
= Bo -^ - J dcpS Yn (г
cos n 6,
E.32)
где
Уп(г)= ]ln(r)rdr.
о
Подставляя сюда выражения E. 27), получим
V (г) =Y (г ) 4- г
и, следовательно,
E. 33)
47

Если п >1, то магнитная ось прямая, и аналогично преды-
предыдущему можно найти азимутальный магнитный поток
L r (z) L г (г)
Г j Г С Г V ьп
%=\dz \ Bvdr =const = I dz \ dz /, п ~ /„. (по) cos n 6 =
оо оо
9
= 42^7/"/"- E-34)
Используя полученные формулы, находим удельный объем:
E. 35)
Отсюда видно, что удельный объем магнитных поверхностей при
удалении от оси поля непрерывно возрастает. Подобное же воз-
возрастание удельного объема к периферии мы наблюдали раньше
на примере гофрированного поля.
Наконец, продифференцировав % по Ф, мы получим в полном
соответствии с соотношением B. 19) выражение для со, совпа-
совпадающее с выражением E. 26), найденным ранее другим методом.
3. Точное выражение для угла прокручивания
В заключение параграфа рассмотрим поведение силовых линий
вблизи сепаратрисы, где метод усреднения непригоден. Для этого
получим еще один точный интеграл (первым интегралом является
уравнение магнитных поверхностей) системы уравнений силовых
линий для n-заходного поля E. 8а), взяв за основу одно из урав-
уравнений силовой линии
?-?. E.36,
Подставляя сюда значения Вф и Вг, найденные с помощью
потенциала E. 1), получим
rdq> /.„ со$ п (ф —' az)
arl'n sin л (ф — ог)
E.37
Уравнение магнитных поверхностей E. 86) дает следующие
выражения:
Q1 - бо
cos п (ф — az) = -^ ; E. 38а)
48
E. 386)
/\ ( ^2-^o \
sin л (ф — az) = | / 1 — Ть—;
I/ I ~ Q^n (nQ) I
? 0

Подставляя выражения E. 38) в уравнения E. 37), находим
искомый интеграл
E. 39)
С помощью этого интеграла можно лолучить точное значение
и = со (р0), т. е. выражение для скороста прокручивания силовых
линий, лежащих на магнитной поверхности со средним радиу-
радиусом г0. Действительно, если мы проинтегрируем выражение
E. 39) в пределах от qmhh до QMaKC, определяемых из условий
cos пб = —1 и cos пб = +1, то получим изменение бср при
изменении Э на .
п
При этом изменении бг опре-
определяется равенством
бф — абг = — -?-. E.40)
Если учесть, что 2лсо — угол
поворота за период
и
US
0,6
НА
0.2
п
¦
Г
1
J
0,02 ОМ 0,06 0,08 0,10 0,12
а
т0
со =
я + nl
E. 41)
0,8
0,6
44
0,1
0
-
-—
\
Рмс'ОМ
)
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
6
Когда
6J
0.1
06
ол
0,2
О
Рис. 34
-
, -
Л-
0,1 02 0.3 0,<t 0.5 06
Для сравнения значений со, вытекающих из точных формул
E. 39) и E. 41), со значениями, даваемыми формулой E. 26),
был найден численно интеграл E. 39) при разных значениях —^-.
Результаты расчетов приведены на графиках рис. 34. Там же
Вопросы теории плазмы. Вып. 2.
49

штриховой линией изображены значений, даваемые формулой
E. 26). Видно, что вплоть до q0 < -^-Qoc совпадение значений со,
полученных разными способами, очень хорошее.
Исследуем теперь поведение силовых линий вблизи ребра
сепаратрисы. Прежде всего убедимся, что ребро сепаратрисы
является силовой линией, т. е. что ребра сепаратрисы
re = const, ф — аг ¦= 0 E. 42)
удовлетворяют уравнениям силовых линий
dr_ _ Вг . rd^ _ 5Ф _ .„.
dz - тг' dz - 67" ( '
Из формул E. 42) и E. 43) следует, что
?,. (гс, 0) = 0; ar = ~jp^-. E.44)
Но эти соотношения эквивалентны условиям E. 18), если учесть
формулу E. 7), что и доказывает наше утверждение.
Для того чтобы рассчитать поведение силовых линий вблизи
ребра гс, 9—0, разложим уравнение E. 37) по степеням 6 и % =
= q — qc и ограничимся первыми неисчезающими членами:
Лр /n (n.Qc) N (qc) ,r <r,
С другой стороны, разлагая уравнение магнитной поверхности
по степеням 1 и в и учитывая условия E. 18), получим
^ (rc°) + -5 шг~l e +-o- Д1/ I = const. E. 46)
Здесь
26
Qcin(nQc)n°j = -t--^-;
E.47)
_ J_ Во 1 26
' ~ 9 9г. ^ ~R
2 2a[' fi0 ao2 ^'«| 62 •
Отрицательность последнего выражения на ребре сепаратрисы
следует из соотношения E. 22).
Из формул E. 47) и E. 46) вытекает
-|-5- = const. E.48)
а
Если силовая линия лежит на сепаратрисе, то правая часть урав-
уравнения E. 48) равна нулю и
9 •= ± -у I- E.49)
50

Подетавдяя выражение E. 49) в уравнение.-E. 45), получим
g = const-exp (±-^ф) = const-exp (±^аг). E.50)
Отсюда видно, что при z -> оо величина I = Q—Qc стремится
к нулю или к бесконечности. Это означает, что если при z -> + оо
силовая линия прижимается к ребру, то при z -*¦ —со она отходит
от ребра (рис. 35).
Задача. Найти магнитное поле n-заходной винтовой
спирали из проводников, навитых на круглый цилиндр.
Решение. Рассмотрим сначала поле одной гар-
гармоники тока, текущего по поверхности цилиндра в на-
направлении винтовой линии ф — аг = const. Поверхност-
Поверхностная плотность тока имеет компоненты
h = *n cos п (ф — аг); »ф = in tgy-cos n (ф—az), E. 51)
где у угол, образованный винтовой линией с осью г.
Если радиус цилиндра есть а, то tg у = аа. Внутреннее
и внешнее поля описываются скалярными потенциалами
0i—alnIn(nar)s\nnQ; Фе = аепКп (/гаг) sin n 9. E.52)
Коэффициенты а'п и аеп определяются из граничных усло-
условий
с т
E. 53)
Рис. 35
откуда, используя известную формулу для вронскиана / (х) Кп (х) —
— Кп (х) 1п (х) — — , получаем
4паа2Сп
К'п (пал); аеп =
4naa2in
l'n (naa)-
E. 54)
Из найденных гармоник винтового поля построим теперь поле тонкого винтового
проводника с током /. Поверхностная плотность тока имеет в этом случае со-
составляющие
cos N (<р - аг)
E.55)
/ф = J- ааЬ (ф - аг) = -^- 11 + 2а ^ cos N (ф — аг)|. E:56)
Нулевые гармоники этих разложений соответствуют однородным токам, текущим
в продольном и азимутальном направлениях. Они создают поля, согласно усло-
условиям E. 53), равные
Ко = — —
<Р°
4*
51

Остальные гармоники поля находим, суммируя выражения E. 52). В'результате
получаем следующие формулы для скалярных потенциалов внутреннего и внеш-
внешнего поля спирали:
2 +2а
{Naa)
sinN (Ф-
^ 2^. |JL + 2a V 4 (JVaa) ATjv (War) sin Л/ (ф - аг) 1.
C [ a N=i J
E. 57)
Найдем теперь поле /г-заходной токовой спирали, образованной 2га-винтовыми
проводниками с чередующимися направлениями токов. Потенциалы такого поля
можно получить сложением потенциалов E. 57) отдельных проводников. Исполь-
Используя формулу суммирования синусов
2п—1
-niV
т—0
Ф-^) -аг]
где верхнее значение имеет место, когда N = Bр -\- \) п при целом р, а ниж-
нижнее — во всех других случаях, получаем:
4>i =
K'N (Nad) IN (Nar) sin N (ф — аг);
о
5-59)
iV = Bр + 1) п.
Таким образом, n-заходное винтовое поле складывается из гармоник с нечет-
нечетным N, кратных числу заходов п.
§ 6. Устойчивость магнитного поля
/. Определение устойчивости поля
Если на поле Во наложить малое возмущение Ь, то структура
поля в той или иной степени изменится. Если ловушка нето-
нетороидальная, т. е. не содержит силовых линий, все время остаю-
остающихся в области, занятой плазмой (рис. 36), то возмущения сило-
силовых линий остаются малыми при малой амплитуде возмущающего
поля.
Действительно, уравнение силовых линий можно записать
в виде
dr В /с 1\
где В = |В|, a dl— элемент дуги силовой линии. Если В =
= В0 + Ь, то
г = г0 + 1
и в первом приближении получим
dl
5п
52

откуда. [23]
" t-dl. F.3)
Поскольку в пределах нетороидальной ловушки (см. рис. 36)
длина силовой линии конечна,
А
постольку и смещение удовлетворяет неравенству
?>о мин
т. е. может быть сколь угодно малым. Исключение составляют
лишь те силовые'линии, которые проходят вблизи точек нулевого
поля Во = 0, но при достаточно малом
b роль этих силовых линий в общей кар-
картине поля будет мала.
Совсем иначе ведут себя тороидаль-
тороидальные поля. Здесь силовая линия неогра-
неограниченно долго «движется» внутри торо-
тороидальной области, и поэтому даже малые
возмущения могут увести силовую ли-
линию в бесконечность или вызвать ка- р
чественную перестройку всей системы
магнитных поверхностей. В этом проще всего убедиться на
примере полей с замкнутыми силовыми линиями. Действи-
Действительно, наложив, например, на гофрированное тороидальное
поле (см. рис. 1, г) или на поле прямой нити сколь угодно малое
практически произвольно направленное однородное поле, мы пре-
превратим замкнутые силовые линии в спирали, неограниченно уда-
удаляющиеся от первоначальной плоскости. Таким образом, эти
поля следует считать неустойчивыми.
По иному реагирует на возмущения поле кольца с током. Если
на него наложить однородное поле, перпендикулярное плоскости
кольца, произойдет лишь небольшая деформация силовых линий
(см. рис. 19). Если же мы возмутим магнитное поле кольца полем
прямой нити, пропущенной вдоль оси кольца (см. рис. 2), то сило-
силовые линии превратятся в спирали, лежащие на тороидальных
магнитных поверхностях, но в бесконечность не уйдут.
В этом смысле поле кольца оказывается устойчивым по отно-
отношению к рассматриваемым возмущениям. Есть основания думать,
что поле кольца устойчиво и по отношению к любым другим
малым возмущениям и, как следует из приведенных примеров, эта
устойчивость связана с тем, что силовые линии прокручиваются
вокруг кольца с током.
Ниже мы увидим, что при возмущении силовые линии могут
не уходить в бесконечность, но, несмотря на это, изменение гео-
геометрии магнитных поверхностей может быть весьма существенным.
53

Это заставляет нас при определении устойчивости прежде всего
следить за отклонением силовой линии, а не за изменением топо-
топологии магнитных поверхностей.
Поэтому мы дадим следующее определение устойчивости поля:
поле устойчиво, если любые малые возмущения не уводят силовую
линию далеко от ее первоначального положения или от ее перво-
первоначальной магнитной поверхности. Здесь под магнитными по-
поверхностями понимаются как точные, так и адиабатические по-
поверхности (см. § 3).
В заключение отметим, что большой интерес представляет
вопрос о соотношении устойчивости поля и устойчивости равно-
равновесных плазменных конфигураций в данном поле. По всей види-
видимости при весьма слабых ограничениях из устойчивости торои-
тороидального поля следует устойчивость в гидродинамическом при-
приближении идеально проводящей плазмы с достаточно малым
давлением р <? -6—, и наоборот.
OJt
2. Устойчивость прямого поля в адиабатическом
приближении
Исследуем сначала устойчивость прямого магнитного поля
с помощью метода усреднения. Усредненные по z магнитные по-
поверхности такого поля определяются уравнением
а|) (/-( ф) = А2 + д ф = const. F. 4)
"о
Пусть невозмущенное поле содержит большую продольную
составляющую В„ = Во (г) и малое по сравнению с ней поле Ьо.
Если возмущающее поле bi мало по сравнению с Ьо, то уравнение
F. 4) примет вид
oj, = Аог +^ф* + а + Ь.Лф + ьпгьщ = const < F_ 5)
Если усредненные магнитные поверхности основного поля зави-
зависят только от г, то, пользуясь соотношением C. 10), можно урав-
уравнение F. 5) записать в виде
г
Ъ = — [Воао (г) г dr + ~A[Z + -L [bA] g = const, F. 6)
о °
где ao(/-) = -7^= acoo — средняя скорость прокручивания сило-
силовой линии основного поля вокруг оси г. Продольная компонента
векторного потенциала возмущающего поля определяется соотно-
соотношениями
Д1ф дг ' а1г~ г д<? • К '
54

1 Из однозначности - поля вытекает, что В1г — периодическая
функция <р, и если В1г не содержит постоянной составляющей,
то А1г также является малой периодической функцией ф. Равен-
Равенство же нулю среднего по ф значения В1г следует из равенства
нулю магнитного потока через цилиндрическую поверхность *.
Таким образом, последние два члена в уравнении F. 6) малы,
и если сечение невозмущенной магнитной поверхности было
окружностью радиуса г0, то сечение возмущенной магнитной
'поверхности описывается уравнением г = г0 + Лг, где Лг мало
по сравнению с г0 и на основании уравнения F. 6) равно
^ %^ F.8)
B2Qar0<x>0
Отсюда следует, что при отличном от нуля угле прокручиваний
силовых линий Лг -*- 0 при Ьг -> 0. В том случае, когда соо (г)
на каком-нибудь радиусе обращается в нуль, а &'о (г) на этом
радиусе не равна нулю, из формулы F. 6) аналогично получим,
что устойчивость поля в окрестности этого радиуса определяется
величиной первой производной со^ (г) и смещение Лг будет про-
пропорционально
"i/Л и т. д. ¦
г (J
Из формулы F. 8) вытекает, в частности, и устойчивость пря-
прямого винтового поля, средний угол прокручивания которого опре-
определяется выражением E. 26). Рассмотрим теперь три конкретных
примера возмущений магнитного поля, в которых существенно
меняется характер магнитных поверхностей, но силовые линии
не уходят в бесконечность.
а. Пусть винтовое поле возмущается однородным полем,
перпендикулярным к оси z и направленным, например, вдоль
оси х. Такое поле описывается векторным потенциалом
Аи = Bxr sin ф. F. 9)
Подставляя его в уравнение F. 6), получаем
г
Вхг вшф — Во§ ao(r)rdr = const. F. 10)
Для однозаходного и двухзаходного винтового магнитного поля
(п = 1; 2) величина о)о (г) в окрестности оси z постоянна
(см. § 5), и из уравнения F. 10) следует, что магнитные поверх-
поверхности, оставаясь цилиндрическими, смещаются вдоль оси у, т. е.
в направлении, перпендикулярном как к основному, так и к воз-
возмущающему полю
* Постоянная составляющая В, ~ приводит к бесконечному нулю на
оси г— 0.
55

Если л > 3, то магнитные поверхности также остаются замкну-
замкнутыми и смещаются вдоль оси у, но их сечения имеют более слож-
сложный вид.
б. В качестве второго примера рассмотрим возмущения л-за-
ходного винтового поля гофрированным полем. Результирующее
поле может быть описано скалярным потенциалом
Ф = Boz + -^-/„ (лаг) sin л (ф — az) +
+ А /0 (шаг) sin таг. F. 12)
В этом случае Аг равно нулю и уравнением усредненных магнит-
магнитных поверхностей является
ib — BrB<p — — nbnln(nar)
T R г>„2,-R
)(таг)со5тф } = const; F. 13a)
1 r
I j fit Tl9
О, т^л.
Здесь первый член равен невозмущенному значению г|;0 (г),
а второй учитывает возмущение, которое в среднем отлично
от нуля только при п = т, т. е. при своеобразном резонансе
полей. В случае резонанса, разлагая бесселевы функции в ряд
в окрестности оси z, можно представить уравнение F. 13а) в виде
. „2В-2 / , , «Q2 \ , 2" (п-1)! , л
= const, F.136)
L 1
где за единицу принята длина -=—= —.
Из уравнения F. 136) вытекает, что возмущение однозаходного
поля (п = 1) приводит лишь к смещению магнитных поверхностей *
h Ч h
на расстояние -~. В случае л = 2 при -г- Ъг >• Ьо > -?- в окрест-
окрестности г = 0 появляется двухлепестковая розетка (рис.. 37, а).
При л > 3 и любых 60 в окрестности оси 2 появляется невра-
щающаяся л-лепестковая розетка (см. рис. 37, б, в), размеры
которой пропорциональны амплитуде возмущающего поля Ьо.
в. Аналогичные розетки получаются и при возмущении вин-
винтового поля мультипольным полем, которое может быть создано
проводниками с током чередующегося направления, параллель-
56

ными оси z и расположенными вокруг этой оси. Такое поле опи-
описывается скалярным потенциалом *'
ф = Boz + bnln («q) cos n (ф — z) + bQm cos /mp, F. 14a)
а его усредненные магнитные поверхности определяются формулой
¦ф = — -gg-y /„ (ng) /^ (пр.) + Ь^т sin тф = const,
разложение которой в окрестности оси z имеет вид
>J"-2 Л , т
(л-1I» \ + 2
,&тт В715Й+^
= const. F.146)
Ограничиваясь случаем трехзаходного стелларатора (п = 3),
получаем
sin
YQ4
~2~ б2 ) =
. Из уравнения F. 14в) следует, что для т = 2
где у = -09
<2 °l0
и 3 при любом сколь угодно малом возмущении около г — О
появляются двух- и трехлепестковые розетки. Если т = 4, то
существует критическое значение величины возмущения Ьыр,
определяемое соотношением
Ь -^L
°1кр — 29В *
При Ьх < Ь1кр в окрестности г = 0 розетка отсутствует. Она
появляется, когда Ьх > &1кр (см. рис. 37., в). Если же m > 4,
то розетка в окрестности г = 0 не появляется ни при каком йх.
г. Интересные конфигурации магнитных поверхностей могут
быть получены при рассмотрении безвихревого магнитного поля,
периодического как по z, так и по х. Пусть, например, магнитное
поле задается скалярным потенциалом [10]
Ф = Boz
b (sin^xsh h2y sin z -fcos^xchLjycosz), F. 15)
где Ц— ^2 = 1. Такое поле удовлетворяет уравнению Лапласа
и, как нетрудно убедиться,' может быть описано векторным
57

потенциалом без компоненты Аг. Поэтому при
вп
1 усреднен-
ными магнитными поверхностями для поля F. 15) согласно фор-
формуле C. 20) будут
' — sin2 Ktx) = const.
Эти поверхности имеют вид цепо-
цепочек и изображены на рис. 38 *.
Zx 3. Усредненные магнитные поверх-
поверхности слабо непериодического
магнитного поля
рис_ 38 Метод усреднения магнитных
поверхностей, рассмотренный в § 3,
легко распространяется на случай, когда магнитное поле
В = В (xlf хг, х3, гх3) F. 16)
является периодической функцией третьего аргумента х3 и, кроме
того, зависит еще от ех3, где е — малый параметр порядка отно-
отношения поперечного поля к продольному. Формула усреднения
C. 15) сохраняет свой вид и при наличии добавочного аргу-
аргумента гх3. При выводе формулы C. 19) усредненных магнитных
поверхностей для преобразования членов —s2 использовалось
только уравнение divB = 0. Так как с принятой точностью произ-
производная по х3 в этом уравнении может быть взята по третьему
аргументу В [см. F. 16)], то и уравнения магнитных поверх-
поверхностей C. 19) для рассматриваемого поля F. 16) сохраняют свою
форму.
Вращающаяся розетка. В качестве примера рассмотрим усред-
усредненные магнитные поверхности прямого поля, описываемого ска-
скалярным потенциалом
Ф = BQz + Ып (пр.) cos п (ф — z) + bjo (ynq) cos ynz, F. 17)
где у = 1 + E> K< '• Это поле представляет собой /г-заходное
прямое винтовое поле, к которому добавлено гофрированное
поле с периодом, немного отличающимся от периода винтового
поля. Усредненные магнитные поверхности согласно формуле
C. 7) описываются уравнением
= const, F. 18)
отличающимся при т = п от уравнения F. 13а) заменой аргу-
аргумента ср на <р -f- гг.
* Пример поля, образующего магнитные поверхности, изображенные на
рис. 38, впервые приведен в работе [4].
58

Следовательно, розетки, появляющиеся от воздействия гофри-
гофрированного поля на стеллараторное, начинают медленно прово-
проворачиваться, если периоды стеллараторного и гофрированного
полей не совпадают.
4. Устойчивость магнитного поля токового шнура
Общий вывод, который можно сделать в результате рассмотре-
рассмотрения устойчивости поля с помощью метода усреднения для квази-
квазипрямого поля, сводится к тому, что достаточно малые возмущения
не уводят силовые линии в бесконечность, поскольку силовые
линии невозмущенного поля прокручиваются вокруг некоторой
оси. Следует, однако, подчеркнуть, что этот вывод относится
только к таким конфигурациям полей, к которым применима
формула F.4) для усредненных магнитных поверхностей, а именно:
возмущающие поля должны быть малыми по сравнению с про-
продольным полем, а их период — величиной меньшей или порядка
наименьшего масштаба поля.
Как мы увидим ниже, в слу-
случае, когда не выполнено послед-
последнее условие, устойчивость маг-
магнитных поверхностей опреде-
определяется не углом прокручивания,
а его производной, т. е. сдвигом
силовых линий на соседних маг- Рис- 39
нитных поверхностях (рис. 39).
а. В качестве иллюстрации сказанного рассмотрим влияние
винтовых возмущений на силовые линии магнитного поля, соз-
созданного цилиндрическим током / = jz(r), текущим вдоль магнит-
магнитного поля В = Вг (г). Невозмущенные магнитные поверхности
в этом случае представляют собой систему вложенных концентри-
концентрических цилиндров, а силовые линии являются винтовыми ли-
лиги г. ГВ,
ниями с шагом L., = — = 2л -^, навитыми на эти цилин-
дры. Невозмущенное поле описывается А9 (г) и Аг (г) компо-
компонентами векторного потенциала
B = ±rA B = FЛ9>
Для определенности возмущающее винтовое поле возьмем без-
безвихревым. Тогда
А1(р = — -^/;(nar)cosn6; 6 = ф — az. F.20)
Рассматриваемое поле обладает винтовой симметрией, и поэтому
задача нахождения его магнитных поверхностей решается точно.
Интеграл силовых линий C. 2в) имеет вид
¦ф(г, 6) = Аг + <хгЛф — rV^(«ar)cosn6 = const. F.21)
59

Если ток и продольное магнитное поле однородны, т. е. Вф —
= 5фа-^-; Вг — Во = const, то вместо уравнения F. 21) получим
i|> = ^- (а — ц) г2 — rbxl'n (лаг) cos п9 = const. F. 22)
Отсюда следует, что при совпадении шага винта возмущающего
поля L = — с шагом винта силовых линий невозмущенного
поля L^ = —— = const структура вложенных магнитных поверх-
поверхностей разрушается при сколь угодно малой амплитуде возмуще-
возмущения, в результате чего получаем картину поля, изображенную
на рис. 27. Разрушение поверхностей связано с одинаковостью
шага винта невозмущенного поля на всех цилиндрах г = const.
Если же шаг винта возмущения совпадает с шагом силовой линии
на каком-либо радиусе rs (т. е. jx (rs) = а) и в окрестности этого
радиуса существует сдвиг силовой линии (ц' (rs) =j= 0), то, раз-
разлагая уравнение F. 21) вблизи г = rs, получим
<ф = — ц'г$Вг {r ~JS? — rbxl'n (nar) cos «9 = const. F. 23)
Таким образом, при наличии в окрестности rs сдвига силовых
линий возмущение магнитных поверхностей для малых Ьх конечно
и обратно пропорционально производной \х,' (rs).
Метод усреднения квазипрямого поля для резонансного слу-
случая а = \л не применим, поскольку Вф, рассматриваемое в этом
методе как возмущение прямого поля Bz, должно быть малой
величиной (<~е), а для резонанса нам необходимо наложить воз-
возмущающее поле F. 20) с большим периодом ( ).
б. Выше была показана устойчивость поля тока при ц' =h 0
относительно винтовых возмущений. Рассмотрим теперь устой-
устойчивость поля цилиндрического тока относительно произвольных
малых возмущений магнитного поля. Будем исходить при этом
из формулы C. 22)
ф т^ F.24)
описывающей усредненные по азимуту q> магнитные поверхности
поля с большой винтовой составляющей. Цилиндрические компо-
компоненты поля Вг, Вф и Bz (ось z является осью тока) будем считать
зависящими от 6 = ф — az, r и ф, причем усреднение и опера-
операция Д в уравнении F. 24) производятся по ц> при фиксирован-
фиксированных г и 0, а 5ф0, Аг и Лф зависят только от г и 0.
Рассмотрим поле в окрестности некоторой винтовой силовой
линии с шагом L, = —— и положим а = и. Поле тока вблизи
этой силовой линии можно представить как поле однородного
60

тока, имеющего винтовые силовые линии с постоянным шагом
L = — и малую добавку, обусловленную неоднородностью
тока. Пусть, кроме того, имеется произвольное малое возмущаю-
возмущающее поле b = rot а. Так как в силу однозначности b является
периодической функцией ф и размерный период поля вдоль ср,
равный 2пгт, сравним с наименьшим характерным масштабом
поля, равным гт, к данному случаю применима формула F. 24).
Продольная компонента векторного потенциала Аг (г) +
+ агЛф (г) связана с поперечной составляющей поля Вф (г) —
— arBz (r) соотношением
Вф-агВг = --|гИ2 + огЛф); Вг = 0. F.25)
Аналогичные соотношения имеют место и для усредненных компо-
компонент возмущающего магнитного поля:
; F.26)
^ J F.27)
Разлагая невозмущенное поле по г в окрестности рассматриваемой
цилиндрической магнитной поверхности г = г (на которой ц, =
= —?- = а) и учитывая соотношение F. 25), запишем урав-
нение F. 24) в виде
а|з = — гВг\1' 2r$) +az + агаф — -^-br Fф — arbz) = const.
По аналогии с предыдущим из этого выражения следует, что
при \i' ф 0 возмущения магнитных поверхностей малы при до-
достаточно малых Ь, коль скоро величина аг + агаф мала и не со-
содержит члена, линейного по 0. Поскольку нас в основном инте-
интересуют тороидальные поля, то, не ограничивая общности, можно
считать b периодической функцией z и, следовательно, периоди-
периодической функцией Э. Продольная компонента векторного потен-
потенциала az + <хгаф, найденная из формул F. 21)—F. 27), будет
периодической функцией Э, не содержащей линейного по 9 члена,
если среднее по 0 значение Ъг равно нулю. Но это условие уже
выполнено в силу равенства нулю потока J В dS через тороидаль-
тороидальную поверхность, окружающую кольцевой токовый шнур.
Таким образом, на примере плазменного шнура с током мы
показали устойчивость винтовых магнитных силовых линий при
\л' ф 0. Можно думать, что и любое тороидальное магнитное поле
тоже будет устойчиво, если существует сдвиг силовых линий.
Попытка доказательства этого утверждения в общем случае была
предпринята Скорняковым [23].
61

5. О типичной структуре несимметричного тороидального
магнитного поля
При рассмотрении симметричных полей, описываемых несколь-
несколькими гармониками, и возмущенных несимметричных полей,
исследованных с помощью метода усреднения, было показано,
что магнитное поле может иметь весьма сложную структуру.
Остановимся теперь на некоторых общих свойствах несимметрич-
несимметричного тороидального магнитного поля, не делая упрощающих
предположений и исходя из точных уравнений силовых линий.
Для этой цели рассмотрим силовую линию, замыкающуюся
после N обходов тора *. Уравнение этой линии будем считать
известным: х = х0 (г), у = у0 (г) и предположим, что система
уравнений B. 11) может быть линеаризована в окрестности этой
силовой линии:
Здесь 2- = х — х0 и ц = у — у0 — координаты, отсчитываемые
перпендикулярно к направлению рассматриваемой силовой ли-
линии, a at (г) и b,- (z) — периодические функции с периодом NL,
где L — период тора. В § 3 п. 3 было отмечено, что перемещение
точки в изображающей плоскости характеризуется матрицей
(ui/fe), собственные значения которой %lt k2 связаны соотношением
Я,^ =1. F. 29)
Если Х± и Я,а — вещественны и различны, то неподвижная точка
является гиперболической, причем в зависимости от знака Я,
неподвижная точка может быть двух родов. Если Я, >> 0, то в
окрестности неподвижной точки движение изображающей точки
происходит по одной ветви гиперболы. Если же Я, <С 0, то движе-
движение происходит по двум ветвям гиперболы с перескоком с одной
ветви на другую (см. рис. 17).
Если Я,1J — комплексны, то изображающая точка нашей
замкнутой силовой линии будет эллиптической и в ее окрестности
точки движутся по эллипсам (см. рис. 16). Наконец, если Кх =
= Я2 = +1, мы имеем вырожденный случай, и в окрестности
неподвижной точки происходит сдвиг с инверсией или без инвер-
инверсии (см. рис. 18).
Таким образом, структура поля вблизи замкнутых силовых
линий, в окрестности которых могут быть линеаризованы урав-
уравнения B. 11), известна.
* Если в качестве примера взять поле с одной магнитной осью и со = со (v),
то через ./V обходов линии будут замыкаться на всех тех поверхностях, у кото-
рых. (а = — (т к N целые числа).
62

Линии, замыкающиеся после N обходов, мы будем называть
магнитными осями порядка -ту-.
В полях, впервые рассмотренных Таммом и Спитцером,
имеется одна ось, окруженная системой вложенных магнитных
поверхностей. В этом случае в изображающей плоскости невы-
невырожденным является лишь след этой оси (эллиптическая точка),
тогда как все остальные замыкающиеся силовые линии вырождены,
поскольку силовые линии, лежащие на соседних магнитных по-
поверхностях, могут только сдвигаться одна относительно другой.
По всей вероятности, точные магнит-
магнитные поверхности мы имеем лишь в слу-
случае симметричных полей, тогда как при
возмущении симметричного поля поля-
полями, не обладающими нужной симмет-
симметрией, вырождение снимается, т. е. по-
появляются эллиптические и гиперболи-
гиперболические точки.
Поскольку магнитными осями поряд-
порядка -тг являются силовые линии, лежа-
лежащие на поверхностях с ю = -^, то мно-
множество магнитных поверхностей, содер-
содержащих магнитные оси, будет всюду
плотным. Однако практически наиболь-
наибольшее значение имеют оси низших поряд- Рис. 40
ков (таких, как 1; У2; V3 . . ¦)' так как
около них можно ожидать наиболее широких зон влияния.
В результате снятия вырождения у поля должна возникать
волокнистая структура, образованная зонами влияния замкнутых
силовых линий.
Простейшая мыслимая структура, очевидно, имеет вид, изо-
изображенный на рис. 40. Здесь каждый слой имеет свой период NL,
где L — период тора, a N целое число, изменяющееся от слоя
к слою.
Особый интерес представляет структура сепаратрисы при нали-
наличии возмущений. Как мы видели на примере симметричных полей,
а также полей с адиабатическими магнитными' поверхностями,
сепаратриса характеризуется в изображающей плоскости нали-
наличием гиперболических неподвижных точек и состоит из силовых
линий, асимптотически прижимающихся к ее ребрам. В работе [10 ]
было показано, что поведение линий, образующих сепаратрису,
аналитически зависит от амплитуды возмущения, если возмущение
достаточно мало. Это позволяет использовать для расчета сепара-
сепаратрисы метод возмущений [11]. Однако конкретные расчеты с по-
помощью этого метода оказываются весьма трудоемкими, и мы огра-
ограничимся лишь качественной картиной.
63

Рассмотрим для примера симметричное двухзаходное по.,
сечение магнитных поверхностей которого изображено на рис. 30.
Для удобства нарисуем сепаратрису этого поля в трех измере-
измерениях, взяв в качестве координат г,
Э = Ф — az и z. При таком выборе
координат вращение исключается.
^ак видн0 на Рис- 41, силовая
линия Г, лежащая на сепаратрисе,
при 2->+о° прижимается к ребру А,
а при z -> — со — к ребру В. Здесь,
как показано в работе [101, имеется
вырождение, обязанное симметрии
и состоящее в том, что одна и та же
линия прижимается к обоим ребрам.
Если наложить малое возмуще-
возмущение, то ребра несколько деформиру-
деформируются. Однако существенным теперь
является то, что совокупность ли-
линий Si", прижимающихся при z->-—оо
к ребру В, будет отлична от совокупности линий SJi, прижима-
прижимающихся при z-э- + оо к ребру А. В силу такого расщепления
Рис. 41
г-ъ°
Рис. 42
сепаратрисы возникают щели, через которые' во внутренний
объем тороидального поля будут входить силовые линии и вы-
выходить из него.
Характер поверхностей S~b и S^ может быть различным,
но наиболее типичными, по всей вероятности, являются весьма
сложные поверхности, куски которых показаны на рис. 42. Из се-
сечения этих поверхностей плоскостями 0 = const и z = const
64

видно, что сепаратриса, идущая к ребру Л, размыкается в окрест-
окрестности ребра В и, наоборот, сепаратриса, идущая к ребру В, раз-
размывается в окрестности ребра А. В любом сечении (например,
Э = const) совокупность двух возмущенных сепаратрис даст це-
цепочку из пересекающихся следов (рис. 43). Очевидно, через одни
ячейки этой цепочки поток силовых линий при z ->¦ + °° вте-
втекает во внутренний объем, а при z -> — оо вытекает. Для других
ячеек картина обратная.
Следует, однако, подчеркнуть, что расщепление магнитных
поверхностей, как правило, экспоненциально мало и для полей,
достаточно близких к симметричным, им
можно пренебречь.
Изложенные выше общие соображе-
соображения о структуре поля и сепаратрисы
можно проиллюстрировать на примере
трехзаходного винтового поля, возмущен-
возмущенного гофрированным полем. Этот пример
был рассмотрен ранее с помощью метода
усреднения, который привел к выводу
о существовании адиабатических магнит-
магнитных поверхностей в виде трехлепестковой
розетки. Для того чтобы обнаружить рас-
расщепление магнитных поверхностей, необ-
необходимо было прибегнуть к точным мето-
методам расчета. Однако ввиду отсутствия эф-
эффективных аналитических методов расчета
этот пример был подробно проанализиро-
проанализирован с помощью электронной вычислитель-
вычислительной машины [6—8]. Его изучение нача-
началось до появления каких-либо четких представлений о структуре
возмущенных магнитных поверхностей и сыграло большую роль
в их формировании.
Для счета были взяты: период поля B/3)я, постоянное продоль-
продольное поле, равное единице, и амплитуда трехзаходного поля,
равная трем:
Ф = z + 3/3 (Зг) sin 3 (<р — z) + bolo Cr) sin Ъг. F. 30)
При возрастании hQ, как и следовало ожидать, появляется три-
трилистник все возрастающих размеров, тогда как внешняя сепа-
сепаратриса непрерывно уменьшается. На рис. 44 крестиком на оси х
отмечены точки, за которыми силовая линия начинала неограни-
неограниченно удаляться от начала координат.
Чтобы обнаружить разрушение магнитных поверхностей
внутри лепестка, было прежде всего исследовано поведение сило-
силовых линий, выходящих из точек оси х.
Оказалось, что при достаточно большом Ьо .(больше 0..1) сило-
силовая линия, вышедшая из точки х0 после обхода центра лепестка
и возвращения в окрестность оси х (обычно, точно на ось х точка
5 Вопросы теории плазмы. Вып. 2. 65
Рис. 43

не попадает) попадает в точку х1у находящуюся от точки х0 на не-
некотором расстоянии 6 = хг —х0 (рис. 45, а).
Если построить зависимость б = б (х0) = б (х), то получается
знакопеременная функция, изображенная на рис. 45, б. На кри-
кривой обращает на себя вни-
внимание следующее.
1. Существует бесконеч-
бесконечное множество точек, у кото-
которых 6 = 0. Проверка пока-
показала, что у таких точек сме-
смещения по у также равны
нулю и, следовательно, эти
точки соответствуют замкну-
замкнутым силовым линиям. Число
периодов (по г), необходимых
для возвращения в начальное
положение, у двух соседних
точек отличается на единицу.
Исключение составляет центр
лепестка,где в непосредствен-
непосредственной блИЗОСТИ (О :=SS -jy .
У
1
1
1.
v\
1
1
1
1
I-
0.2
-
^'>1
0
1 \ l | 1f |
/у >
Рис. 44
2. Амплитуда колебаний затухает при х-> х0', где х0- —
координата центра лепестка, и возрастает к началу координат,
причем при х0 < х** на оси х появляются интервалы (они заштри-
заштрихованы на рис. 45, в), выходя из которых силовая линия покидает
область лепестка (рис. 45,6).
3. Нетрудно видеть, что неподвижные точки, в которых б
от отрицательных значений переходит к положительным, оказы-
66

ваются неустойчивыми в том смысле, что любая точка, достаточно
близкая к неподвижной точке, непрерывно от нее уходит. Сказан-
Сказанное поясняется рис. 46, а, на котором показан метод построения
последующих положений точки xlt х2, х3 . . .
Если в окрестности неподвижной точки б уменьшается, пере-
переходя от положительных значений к отрицательным, то неподвиж-
неподвижные точки будут устойчивы, когда х ^> х*, и неустойчивы, когда
х < х* (рис. 46, в). Здесь через х* обозначена координата точки,
в которой
6 = 0, а — наиболее близко к —2.
--л
Изучение поведения силовых линий в окрестности неподвиж-
неподвижных точек оси х показало, что все точки, около которых б воз-
возрастает, являются нормальными гиперболическими точками.
Устойчивые точки при х^>х* оказались эллиптическими,
а структура шнура при х >¦ х* — такой, как она изображена
на рис. 47. Действительно, так как периодическая точка, лежа-
лежащая на оси х, переходит сама в себя через jV периодов (что соот-
соответствует N обходам тора), то в плоскости ху она порождает
семейство из N. точек, каждая из которых переходит в соседнюю
после одного обхода. Если точка, лежащая на осих, была эллипти-
эллиптической, то все N точек также будут эллиптическими. Далее вы-
выяснилось, что эти точки чередуются с jV точками другого рода,
т. е. в данном случае с гиперболическими, в результате чего
и возникает указанная волокнистая структура.
При х -> х* характер ячеек деформируется так, как пока-
эллиптическая точка
зано на рис. 48, и при переходе через х
5*
67

превращается в гиперболическую с инверсией, асимптоты кото-
которой, имеющие весьма сложный вид, частично изображены сплош-
сплошными линиями на рис. 49, где пунктирными линиями показаны
также асимптоты соседних гиперболических точек Ot, 02 без
инверсии.
Прорисовка структуры при х<Сх** пока не закончена,
однако из рис. 45, б видно, что она согласуется с изложенной
выше картиной разрушения сепаратрисы, в соответствии с кото-
которой граница лепестка при z -»- + со должна иметь в плоскости
г — 0 вид, показанный на рис. 50.
Для практических целей важно знать, насколько сильно ука-
указанное разрушение магнитных поверхностей зависит от амплитуды
возмущения. Оказывается, что
в рассматриваемом примере тре-
буются весьма большие возмуще-
возмущения, чтобы разрушение поверх-
поверхностей стало ощутимым.
Рис. 49
Рис. 50
В области лепестков (учитывая, что bs = 3, а Ьо — 0,125)
бесселевы функции можно заменить первыми членами разложе-
разложения и получить значения для компонент напряженности винто-
винтового поля
r ф 6; Вг~ —5r2cos3e
и гофрированного поля
ВГ ~ 0,5r sin 3z; 5ф = 0; Bz~0,4cos3z.
Отсюда видно, что в пределах лепестка г < 0,11 поперечные
компоненты винтового и гофрированного полей сравнимы, а про-
продольная компонента возмущения даже больше продольной компо-
компоненты винтового поля.
При трех значениях Ьо = 0,120; 0,125; 0,130 были определены
центр лепестка xv, критические координаты х* и х** и соответ-
соответствующие им номера ./V* и Af**, а также максимальные ампли-
амплитуды смещения 5* и б** в окрестности х* ид;**. Все эти данные
приведены в таблице, из которой следует, что даже при таких
б* б
и
сильных возмущениях величины
остаются сравнительно
х0, х0,
малыми. Из таблицы видно также, что при возрастании Ьо коорди-
координаты х* их** вместе с S* и б** экспоненциально возрастают,
69

тогда как поле и параметры лепестка (например, xq>) изменяются
мало. Экстраполируя данные таблицы, можно оценить то значе-
значение &о. при котором поле должно полностью «рассыпаться». Оче-
Очевидно, это произойдет тогда, когда х** станет порядка хо> или 6*
сравняется с х0-. В обоих случаях мы получаем одно и то же зна-
значение йо-~ 0,140. И действительно, попытка провести счет при
данном Ьо дала несколько хаотических точек, быстро удаляю-
удаляющихся от оси.
Ьо
0,120
0,125
0,130
хо'
0,074
0,076
0,079
**'
0,018
0,024
0,034
г**
0,0067
0,0106
0,0156
6*
0,00032
0,00063
0,00083
6 s*
0,0018
0,0028
0,0042
N*
36
26
18
95
57
37
в0,0205
0,00025
0,00091
0,00270
Таким образом, после того как возмущающее поле сравни-
сравнивается по порядку с основным, дальнейшее возрастание возмуще-
возмущения приводит к быстрому разрушению магнитных поверхностей
при относительно незначительном изменении напряженности поля.
Экспоненциальный характер разрушения поверхностей в ра-
разобранном примере, разумеется, не исключает в других слу-
случаях более сильного влияния возмущения при малых амплиту-
амплитудах. Выяснение этого обстоятельства требует развития эффектив-
эффективных аналитических методов расчета, а также накопления более
обширного материала с помощью численного счета.
В заключение отметим, что если бы мы рассматривали поля,
созданные внутри идеально проводящей достаточно произвольно
«мятой» трубы, то тороидальное поле имело бы вблизи стенок
структуру, близкую к магнитным поверхностям, тогда как
в объеме картина в общих чертах была бы подобна описанной
выше.
§ 7. Изгибание магнитного поля
Одним из видов возмущения симметричных полей является
их изгибание. Здесь мы рассмотрим изгибание полей в тор боль-
большого радиуса, а также изгибание вдоль линии с кручением.
/. Изгибание магнитного поля в тор
Если средний радиус тора R велик по сравнению с радиусом
его поперечного сечения, нетрудно получить аналитические фор-
формулы для рассмотренных выше типов магнитных полей, сверну-
свернутых в тор. В цилиндрической системе координат г, ср, г уравне-
уравнение Лапласа для магнитного потенциала Ф записывается как
70
1 д ( ю\

Заменой искомой функции
оно приводится к виду
дг2 дг2 г2 \ д<рг 4
Введем в плоскости rz полярные координаты Q и %, связанные
с круговой осью г = R:
х = г — R = q cos %; )
G- 4)
Z = Q Sin %. j
Тогда с точностью до членов порядка-|-из уравнения G. 3) полу-
получим
1 д I дФл \ , 1 д2Ф, . д2Ф, 2о cos у д2Ф\ ,п гч
При -^- -> 0 уравнение G. 5) переходит в уравнение Лапласа для
прямого поля. Его правая часть является малой величиной и
дает поправку, связанную с тороидальностью. Мы будем решать
это уравнение методом последовательных приближений, полагая,
что в нулевом приближении поле описывается одной гармоникой.
Далее будем рассматривать только периодические по ер поля,
считая, что квазиоднородное поле Во ~—должно быть добав-
добавлено к ним отдельно.
а. Винтовое тороидальное поле. Основная гармоника п-заход-
ного прямого винтового поля в выбранных нами координатах
представляется формулой
фо = 4 (-^г-) sin (п% — шф), т = In. G. 6)
Здесь / должно быть целым числом из условия периодичности
по ф. Подставляя это выражение в правую часть уравнения G. 5),
найдем решение в первом приближении по q/R:
фг = фо + f+(Q) sin U« + *) X — ту] + /_ (q) sin [(n — 1) % — ту],
G.7)
где функции /+ и /_ удовлетворяют уравнению Бесселя с правой
частью:
71

Частное решение уравнения G.8) представляется рядом по сте-
степеням аргумента Q,
G.9)
k=o ч "* '
коэффициенты которого связаны рекурентными соотношениями
[(п + 3J-(«±1J)]а0± = -^г;
Выбранное частное решение стремится к нулю при q ->• О,
как Qre+3. Общее решение уравнения G. 8) должно содержать
еще и решение его однородной части. Однако функция G. 9)
дает нам поле винтовой тороидальной гармоники, в известном
смысле наиболее близкое к полю прямой винтовой гармоники,
и такая модель поля может быть использована для различных
физических исследований.
б. Гофрированное тороидальное поле. Гармоника прямого гоф-
гофрированного поля представляется скалярным потенциалом
Фо = К (^г) si" "«P. G.11)
соответствующим потенциалу винтового поля G. 6) при п = 0.
Следовательно, из формул предыдущего пункта находим
*i = фо + 2/о (Q) sin mcp cos %. G. 12)
Функция /0 определяется рядом
fe=i
где
0 ~ т
/o(Q) = 2a*(in?T+3' GЛЗ)
l]ak = 4ak_1 — -JrrW. G.14)
в. «Волнистое поле». Одну гармонику такого поля (скэл-
лопса) мы получим, если примем за основу прямое поле, описы-
описываемое потенциалом D. 31):
Фо = Vo (^r) sin 2/пф + b1l1 (-^-) sin гщ cos %. G. 15)
Это поле представляется также через винтовые гармоники G. 6)
ся = 0ия=1, а его тороидальная гармоника без труда полу-
получается из формул п. «а».
72

2. Магнитные поверхности тороидальных полей '<
а. Винтовое поле. Если пренебречь поправочными членами
—q"+3 в формуле G. 7), то скалярный потенциал гармоники
G. 7) тороидального л-заходного винтового поля запишется
в виде
G. 16)
Усредненные магнитные поверхности такого поля определяются
выражением C. 12) или, поскольку Лф = 0, а Вф0 ——, соотно-
соотношением
г*ВгВг = const, G.17)
где операция Д и усреднение производятся по аргументу q>.
Подставляя сюда вместо компонент поля их выражения через Ф,
дФ sin %
дг ~ dq C0S %~ д%
G. 18)
дФ v '
и производя усреднение, получим с точностью до членов по-
порядка q/R
/г' I /2 \
G.19)
Сечения усредненных магнитных поверхностей представляют со-
собой окружности, смещенные относительно круговой оси г = R
к оси тора z на величину Д~-д-. Действительно, полагая q =
= q0 + Д cos х, где Д —-и-, из уравнения G. 19) находим
2т i ,¦ /2/2
. G.20)
т
Здесь /„ = /„( —^2- J, а штрих означает дифференцирование по
аргументу. В знаменателе стоит величина, пропорциональная
углу прокручивания силовых линий [см. E.26)]. Разлагая
/„ (—тг~) в ряд по аргументу, получим
1-4-
73

Формула G. 21) применима, очевидно, при малых Д. Для одно-
заходного поля (п = 1) смещение получается сравнительно боль-
большим вследствие того, что в этом случае мал угол прокручивания
[см. E.26)].
б. О силовых линиях гофрированного тороидального поля. Если
не учитывать поправки —q3, to скалярный потенциал рассмотрен-
рассмотренной выше гармоники тороидального гофрированного поля можно
записать в виде
Ф = B0Rq> + [/-?- V» (^-) ^п /шр. G. 22)
Уравнения силовых линий такого поля, если пренебречь членами
l
l
5~ > имеют вид
G.23)
JX= ' ^sinx sin
dRq> Bo qR t
Поскольку средние значения правых частей уравнений G. 23)
равны нулю, то приближенные решения этих уравнений примут
вид
где аргументом функции /0 является ~^~. Члены, пропорцио-
пропорциональные cos % и sin х. своим появлением обязаны наличию торо-
идальности поля. Выражения G. 24) показывают, что силовые
линии колеблются около окружности Q = Qo, % = Хо- Изгиба-
Изгибание поля в тор приводит только к изменению амплитуды этих
колебаний и зависимости ее от «азимута» х-
К аналогичным возмущениям силовых линий приводит и ис-
искривление волнистого поля.
3. Магнитные поля с осью двоякой кривизны
Среди магнитных полей с незамкнутыми силовыми линиями
важным классом являются поля, магнитная ось которых пред-
представляет собой пространственную кривую двоякой кривизны.
Одним из таких полей фактически является однозаходное поле
(см. рис. 30). Здесь мы рассмотрим общий подход к исследованию
таких полей, удовлетворяющих условию rot В = 0. Для этого
вблизи рассматриваемой магнитной оси введем систему коорди-
координат, в которой положение точки определяется длиной дуги между
74

некоторой фиксированной точкой О на этой оси и точкой пересе-
пересечения плоскости, перпендикулярной к оси и проходящей через
рассматриваемую точку. Эту дугу, обозначенную через s, примем
за одну из координат точки. В качестве двух других координат х
и у возьмем декартовы координаты точки на данной плоскости,
а в качестве осей — направления нормали и бинормали к кривой.
Элемент дуги в этих координатах будет равен (рис. 51)
dl2 = [d (ro(s) + xno(s) + ybo(s))]2 = gikdXidxk. G. 25)
Используя формулы Френе
ds
tc
dt°
ds
dn°_
ds
нетрудно получить выражение мет-
метрического тензора для выбранной
системы координат. Он равен
О
1
А.
К
X
JL-±
К K
G. 27)
Рис. 51
Если компоненты этого тензора подставить в уравнение Лапласа,
написанные в произвольной системе координат,
?(Vi«« ¦?-)-<>, G.28,
то получим уравнение для скалярного потенциала в. окрестности
данной оси. Подставляя сюда компоненты тензора G. 27), отбра-
отбрасывая члены —-щ- > ;?п
чим для Ф уравнение
д2Ф д2Ф
дх2 "т" "Жа~
1 dR
, -j^- и считая, что —т—
dK
ds
2х
дФ
~дх~
Чу
т К dyds К dxds
Нетрудно убедиться, что функция
= 0.
1, полу-
G. 29)
G. 30)
является решением данного уравнения. Подставляя в уравнение
силовой линии
ds
Bs
dx
dy
B«
G.31)
75

контрвариантные компоненты вектора напряженности В
Bi=?iki^ G-32)
с точностью до членов высшего порядка малости, получаем ин-
интеграл
е2 = х* _f- f = const;
da \ G.33)
К '
= J
где ф = arctg —. Угол ф и характеризует угол прокручивания
силовых линий В вокруг рассматриваемой магнитной оси. В этом
приближении он не зависит от Q и не обращается в нуль при
q = 0. Таким свойством, как мы видели выше, обладает и одно-
заходное винтовое поле. Следует отметить, что угол прокручи-
прокручивания имеет здесь четкий смысл только в том случае, когда инте-
интеграл берется по периоду поля или по всей системе. Последнее
связано с тем, что угол ф отсчитывается от нормали, которая
сама вращается, но после прохождения периода возвращается
к исходному положению. Наиболее известным полем рассмотрен-
рассмотренного типа является поле стелларатора в виде «восьмерки»
(см. рис. 1, б). Используя геометрический смысл бинормали как
вектора, перпендикулярного к векторам t° и п°, а также формулу
db° n°
—з—=—JT-, нетрудно заключить, что угол прокручивания
2яю связан с углом а (см. рис. 1, б) соотношением
2ясо = 4а. G.34)
Простой вывод этой формулы, основанный на прослеживании
хода одной силовой линии, дан Спитцером [2].
Рассмотрим теперь задачу об изгибании винтового стеллара-
торного поля вдоль оси с малыми кривизной и кручением. Если
ввести аналогично п. 1 этого параграфа новую функцию Фъ
выраженную через скалярный потенциал Ф соотношением
G'35)
то в полярных координатах q, ф, s уравнение G. 29) примет вид
1 dQ f дФг\ 1 д*Фг дЧ>г 2 дЧ>,
q dQ \у dQ ) "Г е2 дер2 "+" ds* т~ К dsdy "^
?*«? ** 0. G.36)'
Пренебрегая членом, содержащим -^-, решение уравнения G.56)
получим в виде
Фо = /0 (иад у 1 — -А-j sin /г(ф —as).
аК
76

Уравнение G. 36) с учетом последнего члена может быть решено
аналогично тому, как это делалось в п. 1. Таким образом, в пер-
первом приближении по -5- и -^- получим
Ф1 = /„ (naq) sin (шр — ans) — -^- In (nag) sin (л<р — arts) —
— /+ (q) sin [(n + 1) ф — ans] — /_ (q) sin [(/г — 1) q> — ans].
Здесь f± — функции, определяемые рядами G. 19) — G. 20),
куда вместо ¦— следует подставить -^р-.
Поскольку в уравнении G. 36) пропорциональный 1//С член
содержит дифференцирование по ер, то кручение в первом прибли-
приближении не влияет на изгибание аксиально-симметричного гофри-
гофрированного поля. Учет же кривизны приводит, очевидно, к выра-
выражениям G. 12) — G. 14), которые были получены при изгибании
гофрированного поля в тор радиуса R.
% 8. Поле вблизи данной магнитной поверхности
/. Постановка задачи
Во многих случаях, в частности при рассмотрении равно-
равновесия плазменных шнуров, встает следующая задача: дана неко-
некоторая магнитная поверхность 2 * с известным на ней значением
напряженности поля В. Требуется найти с внешней стороны 2 **
безвихревое магнитное поле, которое на поверхности 2 сов-
совпадает с заданным полем. Эта задача в известном смысле является
обобщением задачи § 7, где мы определили магнитное поле
вблизи одной силовой линии — магнитной оси, которую можно
рассматривать как бесконечно тонкую трубчатую поверхность.
Если одна силовая линия и напряженность поля на ней могут
быть заданы произвольно, то задать произвольно магнитную
поверхность вместе с полем на ней, вообще говоря, нельзя, если,
мы хотим найти безвихревое продолжение поля магнитной
поверхности во внешней части пространства. В данном случае
заданное поле должно удовлетворять условию
nrotB|E = 0. (8.1)
По своему характеру сформулированная задача является задачей
Коши, так как на 2 задаются фактически скалярный потенциал
и его нормальная производная:
дФ
дп
= 0
(8.2)
* Под магнитной поверхностью мы будем понимать здесь любую поверх-
поверхность, состоящую из магнитных силовых линий.
** Внешняя сторона определяется направлением нормали.
77

Задача Коши для уравнения эллиптического типа, в данном слу-
случае для уравнения Лапласа
ДФ = 0, (8. 3)
является некорректной, так как малые вариации в граничных
условиях (8. 2) приводят ко все возрастающим вариациям при
удалении от 2 . По этой причине разумно искать решение постав-
поставленной задачи только вблизи данной поверхности, например
в виде рядов по степеням удаления w от поверхности. Получен-
Полученные таким образом ряды будут сходиться до значений w <C Rz,
где 7?2 — характерный радиус кривизны рассматриваемого
участка поверхности. Для конкретного построения указанных
рядов в случае гладкой поверхности удобно ввести специальную
систему координат, выбрав в качестве одной из координат рас-
расстояние w, отсчитываемое по нормали к поверхности. Две другие
координаты могут быть любыми при условии, что обе они лежат
на 2 . В этом случае уравнение (8. 3), записанное в форме G. 28),
можно разрешить относительно второй производной по w:
д*Ф , дФ . <Э2Ф /й л,
dw2 ' dxi '* dxtdx/t
Разложив в этом уравнении Ь( и alk по степеням w, подставляя
сюда Ф в виде ряда
+ • • • (8- 5)
и учитывая граничные условия (8. 2), получим искомое поле.
Если система обладает симметрией, то магнитное поле удоб-
удобнее описывать не скалярным потенциалом, а одной из функций
потока C. 2), которые, как нетрудно убедиться, удовлетворяют
соответственно уравнениям (см. приложение)
Здесь 0 = ф — az; Во = Вг + агВф = const, причем уравне-
уравнение (8. 6) соответствует трансляционной, (8. 7) — аксиальной,
а (8. 8) — винтовой симметрии поля.
Уравнения (8. 6) — (8. 8) могут быть решены аналогично урав-
уравнению (8. 3). Однако нахождение функций г|з дает нам больше,
чем определение потенциала Ф, так как, приравнивая их постоян-
постоянной, мы сразу находим магнитные поверхности. Если же система
не обладает симметрией, то уравнение магнитных поверхностей
удается найти только с точностью до линейных членов по w
78

(см. п. 3). В тех случаях, когда поверхность 2 имеет острые
ребра или особые точки, определение поля вблизи этих особен-
особенностей требует специального рассмотрения (см. § 9).
2. Поле вблизи симметричных магнитных поверхностей
Расчет поля и магнитных поверхностей наиболее просто выпол-
выполняется при наличии трансляционной и аксиальной симметрии.
Поскольку случай аксиальной симметрии является более общим,
мы остановимся на нем подробнее.
В соответствии со сказанным выше введем специальную коор-
координатную систему, взяв в качестве координат расстояние w по нор-
нормали к поверхности, азимутальный угол ф и дугу s соответствую-
соответствующего меридионального сечения, отсчитываемую от некоторой
окружности радиуса г0, лежащей на рассматриваемой поверх-
поверхности 2. Если уравнение по-
поверхности 2 есть г = г0 (ф, s),
то положение точки в простран-
пространстве определяется радиусом-век-
радиусом-вектором (рис. 52)
г = г0 (<р, s) -f wn° (ф, s).
Поскольку
rfr0
ds
дг0
д<р
дп°
<3п°
ds
= cos 0q>°,
Рис. 52
дц>
где п°, t° и ф° — единичные
векторы, то нетрудно видеть, что элемент длины при таком
выборе системы координат имеет вид *
dl2 = [г (s) + да cos 9 (s
[l + ^
ds1 + dw\ (8. 9)
Здесь г = г (s) — уравнение меридионального сечения; R (s) —
радиус кривизны этого сечения, а 0 (s) — угол между нормалью
к сечению и плоскостью z = 0.
Магнитное поле, лежащее на поверхности 2 при аксиальной
симметрии и при выполнении условия (8. 1), может быть пред-
представлено в виде
В = ф°Б0— +ВХ, (8.10)
где Вх — поле, лежащее в меридиональном сечении. Первый член
выражения (8. 10) описывает тороидальное магнитное поле, кото-
которое пропорционально Mr и автоматически продолжается во внеш-
внешнюю по отношению к 2 область. Составляющая поля Ъг может
* См. тензор G. 27).
79

быть описана функцией я|; = Мф, удовлетворяющей уравнению
(8. 7) и граничным условиям
4>fe=i|>o = const; -g-|? = rBs0. (8.11)
В выбранной ортогональной системе координат уравнение (8. 7)
записывается в виде (см. приложение)
dw \ Лф dw ) ^ ds \ /г5Л<р ds
где hs = 1 + —; Лф = г + w cos 8; hw = 1 — коэффициенты
Ламе. Соответственно компоненты поля выражаются формулами
и решение уравнения (8. 12) представляется следующим рядом
по w:
Здесь все коэффициенты при степенях до являются функциями
координаты s на поверхности 2 , а штрих означает производную
по s. Постоянная % — значение -ф на поверхности 2 — без огра-
ограничения общности может быть положена равной нулю.
Приравнивая найденное значение tp постоянной, получим
уравнения магнитных поверхностей, близких к 2 . С точностью
до линейных по до членов уравнение этих поверхностей имеет вид
i|) = rB^w = const. (8.15)
Уравнение (8. 15) выражает собой сохранение магнитного
потока между рассматриваемыми поверхностями и не зависит
от того, является ли поле вне 2 безвихревым или нет. Единствен-
Единственное ограничение, налагаемое на применимость уравнения (8. 15)
при наличии токов вне 2 , состоит в том, что вблизи 2 плотность
тока должна быть конечной.
Если заданная магнитная поверхность обладает не аксиаль-
аксиальной, а трансляционной симметрией, т. е. не зависит от одной из
декартовых координат, например z, то вместо г|э = гА^ нужно
взять компоненту векторного потенциала я|)Лг, удовлетворяющую
уравнению Лапласа
в, = --
80

Поступая аналогично предыдущему, получим для г|> ряд
,* + ..., (8.16)
где R = R (s) — радиус кривизны сечения 2 плоскостью z =
= const, a Bs0 = Bs0 (s) — длина дуги этого сечения, отсчиты-
отсчитываемая от некоторой фиксированной точки.
Этот результат можно получить и непосредственно из ряда
(8. 14), устремляя г к бесконечности.
В том случае, когда поле обладает винтовой симметрией,
система координат оказывается неортогональной и выражение
для г|з = Аг + агЛф получается громоздким. Если же ограни-
ограничиться только линейными членами по ш, то получим
1> = ф0 + а> VTT^2 В±, (8. 17)
где В± — компонента поля, перпендикулярная к линиям ср — az =
— const и лежащая на исходной поверхности 2, обладающей
винтовой симметрией.
3. Магнитные поверхности вблизи несимметричной
магнитной поверхности
В п. 1 указан метод расчета магнитного поля вблизи произ-
произвольной достаточно гладкой магнитной поверхности 2. Выше
отмечалось, что при наличии симметрии положение магнитных
поверхностей, близких к 2 , с точностью до линейных членов
по w определяется только сохранением потока. Поэтому можно
думать, что и в общем случае несимметричных поверхностей
близкие к 2 поверхности определяются только условием
div В = 0.
Действительно, введем координатную сетку хъ х2, х3 таким
образом, чтобы линии хх и д:2 лежали на заданной магнитной
поверхности 2 , а линия х3 = w, как и раньше, была расстоя-
расстоянием, отсчитываемым по нормали к этой поверхности.
Уравнение div В = 0 в криволинейных координатах имеет
вид
где В1 — контрвариантные компоненты В, a g — определитель
метрического тензора. Учитывая, что Bs\z=0, в первом при-
приближении по w получаем
^y (8. 19)
В этом приближении система уравнений, определяющая силовую
линию
dw __ dxx __ dx2 .„ 9П
6. Вопросы теории плазмы. Вып. 2 81

может быть представлена в виде двух уравнений *:
Y'gB2dx1 — YgB1dx2 = O; (8.21а)
dw dxi .„ 91rt4
-er = ~gr- (8.216)
Первое из уравнений при w = О описывает силовые линии на по-
поверхности 2 . Если известен интеграл этого уравнения
F (хъ хг) = const, (8. 22)
то
VgB* = T-^r; VgB*=-T-?-, (8.23)
где \1Т—интегрирующий множитель уравнения (8.21а).
Знание интегрирующего множителя уравнения (8. 21а) по-
позволяет решить и уравнение (8. 216), если вместо В1 подставить
его значение при w = 0, а вместо В3 — его выражение (8. 19).
Действительно, делая указанные подстановки и учитывая
формулы (8. 23), получим
dw _ dx1 I dF dT dF дТ \ dT (хь хг) /а пл\
w ~~ \T~gBx Vfe2 dXl dxx dxj- T ¦ Vs-1*'
Отсюда следует, что
wT (xx, x2) = const. (8. 25)
Система интегралов (8. 22) и (8. 25) описывает с точностью до
линейных по w членов поведение силовых линий вблизи заданной
магнитной поверхности.
Интегрирующий множитель-^- определяется с точностью до
множителя / (F), где F — интеграл (8. 22), а / — произвольная
функция. Если силовая линия (8. 22) эргодически заполняет 2,
то, двигаясь вдоль этой силовой линии, однозначно построить
близкую к 2 магнитную поверхность можно только в том случае,
если Т = Т (х-у, х2)—однозначная функция координат вдоль
силовой линии F (xlt x2) — const.
Из уравнения (8. 25) в случае симметрии вытекают выражения
(8. 14), (8. 15) и (8. 17). Действительно, пусть поле не зависит от
координаты хг. Тогда можно взять такое Т, чтобы -д— =0**.
Дифференцируя выражение (8. 23) по х2, получим
* Здесь y~g введен для упрощения окончательного выражения магнитных
поверхностей.
dF
** В то время как ¦=—, вообще говоря, не равно нулю, поскольку поле может
ОХп
иметь составляющую В1.
82

Отсюда следует, что -^— = const, и так как согласно первому
уравнению (8. 23) Т = const YgB1, то из уравнения (8. 25) окон-
окончательно получаем
u>Y~gB1 = const. (8.27)
Для полей, обладающих трансляционной, аксиальной и винто-
винтовой симметрией, отсюда вытекают формулы (8. 14), (8. 15) и (8. 17).
В качестве примера построения несимметричных магнитных
поверхностей рассмотрим случай_ плоской поверхности 2. Если
ввести декартовы координаты с осью z, перпендикулярной к пло-
плоскости 2, то g = 1. В частном случае, когда компоненты магнит-
магнитного поля на этой плоскости зависят только от «своей» координаты:
Вх = Вх (х); Ву = Ву (у) из уравнения (8. 21а) вытекает, что
Т = ВхВу, и, следовательно, согласно соотношению (8. 24), полу-
получаем уравнение магнитных поверхностей в виде
zBxBy = ccnst. (8. 28)
Конкретным примером такого поля может служить поле, описывае-
описываемое скалярным потенциалом
Ф = Вхх -4- Вгу -+- -~- ch kt z sin kxx +
-f- -г— ch k2 z sin k2y, (8. 29)
которое можно создать вблизи средней плоскости г = 0 системой
двух токовых решеток, расположенных в плоскостях z = ±d.
Из выражения (8. 28) в этом случае получаем следующее уравнение
магнитных поверхностей, близких к плоскости z = 0 (kz <^ 1):
z (Вг + Ьг cos kxx) (В2 + Ьг cos k^y) = const.
Эти поверхности, периодические по обеим координатам х и у,
имеют вид стеганого одеяла.
§ 9. Магнитное поле в окрестности особых точек
и линий
В рассмотренных выше случаях мы предполагали, что силовые
линии не пересекаются и не расщепляются на две или большее
число силовых линий. Иными словами, направление силовой ли-
линии в каждой точке считалось однозначным. Однако на примере
сепаратрисы гофрированного поля мы видели, что существуют
также и пересекающиеся силовые линии (см. рис. 22). Точки пере-
пересечения или расщепления силовых линий (см. ниже) являются
особыми точками уравнения силовых линий B. 11). Если поле
регулярно в окрестности особой точки, т. е. однозначно и непре-
непрерывно, то напряженность поля в ней должна обращаться в нуль.
6* ' 83

Если же такая точка находится на поверхности идеально проводя-
проводящего тела (плазмы), обтекаемого магнитным полем, то обращение
поля в нуль не обязательно. На рис. 53 изображена так называемая
остроугольная равновесная конфигурация плазмы, имеющая осо-
особые точки О и особую линию Г, где происходит расщепление сило-
силовых линий поля без обращения его в нуль. Последнее связано
с тем, что в окрестности этих точек поле нерегулярно.
/. Регулярные особые точки
Рассмотрим сначала регулярные особые точки. В окрестности
такой точки безвихревого поля разложение скалярного потенциала
начинается с членов, квадратичных по удалению от точки. Пово-
Рис. 53
Рис. 54
ротом системы координат всегда можно привести квадратичные
члены разложения Ф к каноническому виду
ф = ах% + pV — (а + Р) z2. (9. 1)
Если один из коэффициентов равен нулю, например а + р,
то мы имеем плоскую задачу
Ф = а (л:2 — г/2). (9. 2)
Уравнение силовых линий определяется в этом случае интегралами
ху — const; z = const, (9. 3)
а магнитные поверхности представляют собой гиперболические
цилиндры, ортогональные к эквипотенциалам Ф = const. Ось z
является особой линией, на которой силовые линии пересекаются
под прямым углом (рис. 54).
Если все коэффициенты выражения (9. 1) отличны от нуля, то
эквипотенциальными поверхностями Ф = const будут гипербо-
гиперболоиды, а силовые линии — ортогональными к ним линиями.
84

Типичную картину таких силовых линий мы получим, положив
а = р. При этом поле аксиально симметрично
Ф = a (*2 + у) — 2аг2, (9. 4)
а эквипотенциальные поверхности являются одноосными гипер-
гиперболоидами. Уравнение силовых линий имеет интегралы
— = const; (х2 -f У2) z — const.
(9.5)
конфигурация изображена на
Соответствующая магнитная
рис. 55.
В общем случае, когда а ф р\ эквипотенциальные поверх-
поверхности Ф = const являются трехосными гиперболоидами и соответ-
соответствующая картина силовых линий получается «сплющиванием»
рассмотренной выше конфигура-
конфигурации. Отметим, что во всех этих
/случаях силовые линии пересе-
пересекаются под прямым углом.
Рис. 55
Рис. 56
Если же все коэффициенты при квадратичных членах и потен-
потенциале (9. 1) обращаются в нуль, то особая точка имеет более слож-
сложную структуру. Примером такого поля может служить поле си-
системы прямых проводников, расположенных на поверхности круг-
круглого цилиндра. Векторный потенциал имеет одну компоненту
Лг = Ъгп sin щ. - (9.6)
Силовые линии этого поля Аг = const изображены на рис. 56.
2. Нерегулярные особые точки
Равновесная плазменная конфигурация, изображенная на
рис. 53, характерна тем, что магнитное поле в области, занятой
плазмой, равно нулю. Условием равновесия такой конфигурации
является равенство на границе плазмы газового и магнитного
давлений. Поэтому задача расчета поля вблизи поверхности плаз-
плазмы сводится к нахождению поля с В2 = const на поверхности.
85

Вдали от особых точек соответствующая задача может быть решена
методом, изложенным выше, тогда как поле в окрестности особых
точек требует особого рассмотрения.
Начнем с расчета поля вблизи особой линии Г (рис. 57). Оче-
Очевидно, что в окрестности этой линии поле можно рассматривать
как плоское. Благодаря этому можно ввести комплексный потен-
потенциал для описания безвихревого поля вне плазмы:
W @ = Ф + iAz; l = x + iy. (9. 7)
Компоненты поля выражаются через Аг и Ф известными форму-
формулами
ЭФ _ дАг г, _ дФ_ дАг
дх ~ ди И у" ди "~ дх '
В - — -¦
Рис. 57
Рис. 58
Поскольку при ? = О происходит расщепление сило'вых линий,
то разложение потенциала в окрестности этой точки должно на-
наряду с целыми степенями, описывающими регулярную часть поля,
содержать дробные степени ?, для которых точка ? = 0 является
точкой ветвления:
W (?) =
(9.8)
Так как потенциал должен быть однозначной функцией коорди-
координат в функции от ?, то на плоскости ? необходимо сделать разрез
вдоль отрицательной части оси х (рис. 58). Из требования конеч-
конечности 'В при ? = 0 следует, что р > 1. При ?-> 0 модуль напря-
напряженности должен стремиться к напряженности поля В ='В0 =
= const на поверхности плазмы, поэтому ах = Во. Подставляя
в разложение (9. 8) величины
I = re""; а.2 = ае'9; Ь = Рег*
и беря мнимую часть W, мы получаем уравнение силовых линий
Аг = Bor sin ф + ar2 sin B<р + 0) + Pr? sin (p<p + х) +
+ • • • = const, (9.9)
причем ф в связи со сказанным выше изменяется в пределах
(—я, л). Силовой линии, идущей при х ^> 0 вдоль оси х и расщеп-
расщепляющейся на две при х <С 0, соответствует константа в уравнении
86

(9. 9), равная нулю. При ф = 0 и const = 0 уравнение (9. 9) удов-
удовлетворяется тождественно только при 0 = % = 0. В окрестности
Ф = ±я уравнение (9. 9) может быть записано в виде
е(?0 — 2аг) + $гр~1 sinрл + • • ¦ = 0; ф=±(я—е). (9.10)
Значение показателя р определяется граничным условием
В2\ъ = В%. Подставляя в него значения Вг и 5Ф, найденные из
уравнения (9. 9), получим при малых е
+ е sin я (р — 1)] + 4ap$rp [cos л (р — 2) -f-
+ esmnB — p)]=0. (9.11)
Для г и е, связанных соотношением (9. 10), это равенство должно
удовлетворяться тождественно. Если р <С 2, то в этом выражении
основным является член, содержащий гр~х, а при р > 2 —
член, линейный по г. Легко видеть, что эти члены исчезают лишь
при р = 3/2 и Р2 = 16Воа. Для обращения в нуль членов более
высокого порядка малости необходимо в разложении (9. 8) учесть
величины следующего порядка малости. При р = 3/2 уравнение
граничной поверхности в декартовых координатах описывается
уравнением
у = ± const (~xf/2. (9.12)
Таким образом, окончательное выражение для потенциала Аг,
соответствующего полю, удовлетворяющему условию Б2|2 =
= const, имеет вид
Аг = Bor sin ф + J^r- sin2q> + pV3/2 sin -^-ф -f- • • • (9. 13)
Отсюда следует, что уравнение силовых линий Аг = const
в окрестности особой точки зависит только от одного параметра
?0/Р, который имеет размерность длины и равен по порядку вели-
величины расстоянию, на котором силовые линии при х <С 0 расхо-
расходятся на угол порядка единицы.
Нетрудно убедиться, что невыписанные члены разложения
(9. 13) определяются неоднозначно, что соответствует возможности
варьировать характер граничной поверхности вдали от особой
линии.
Особую область поля, подобную изображенной на рис. 57,
можно получить не только при р = 3/2, а при любом полуцелом
р ]> 1. В этом случае «острие» будет еще более «тонким» (у — хр).
Интересно отметить ход силовых линий, определяемых уравне-
уравнением (9. 9), внутри 2. Рис. 58 показывает, что отрицательная
часть оси х является линией разреза неоднозначной функции (9. 8).
Рассмотрим теперь поле в окрестности особой точки О (рис. 59).
В этой точке силовая линия, .идущая вдоль оси г, расщепляется
в коническую поверхность. Если ввести сферическую систему
87

координат с центром в точке О, то уравнение для г|э = гЛф запи-
запишется в виде (см. приложение)
d2i|) 1 д2г|) ctg 6 ch|) .
do2 "T" "TJ" ^Q2 „2 д(Г ~
(9.14)
Решение этого уравнения, регулярное при 0 = г\ может быть
представлено суммой гармоник
=qp+i sin 6P» (cos 6),
(9. 15)
где'Рр — присоединенная функция Лежандра, связанная с функ-
функцией Лежандра Рр соотношением Рр (cos 0) =-Jr Pp (cos 0).
Если р— целое число, то функция Рр являет-
является полиномом от cos 0 и, следовательно, конеч-
конечной и однозначной при всех 0. Поскольку
поле при 0 = я должно иметь особенность, то
у одной из гармоник в разложении поля р долж-
должно быть нецелым.
Можно убедиться, что частным решением
уравнения (9. 14), удовлетворяющим условию
В2 = const на поверхности ij) = 0, проходящей
через точку О (см. рис. 59), является решение
Рис. 59
(9. 16)
Здесь первый член описывает однородное поле, а второй — нерегу-
нерегулярную при 0 = я добавку, появление которой связано с нали-
наличием острия.
Используя в окрестности 0 = я разложение Рр (cos 0) по сте-
степеням е = я — 0
можно показать, что при р = 2 уравнение магнитной поверхности
г|з = 0 сводится к
46
(9. 17)
В цилиндрической системе координат это уравнение принимает
вид
г = const (—zfv, (9.18)
аналогичный уравнению (9. 12).
88

ПРИЛОЖЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ МАГНИТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
В ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ
КООРДИНАТ
Если магнитное поле В не зависит от одной из криволинейных координат х3,
то можно найти магнитные поверхности г|) (хх, х%) = const, обладающие той же
симметрией. В случае ~- = О и -—¦ = 0 уравнение div В = 0 имеет вид
ОХ о ОХъ
где В' — контрвариантные компоненты поля; g=\gik[, gik— коэффициенты
метрического тензора, (drJ = gik dx{ dXk- Это уравнение удовлетворяется, если
ввести функцию i|) так, что
Уравнение для г|) получим из условия rot В = 0, откуда
|^ = 0; -^ = 0; ^1_^ = 0, C)
дх дх дх дх
где Bi — ковариантные компоненты поля. Из первых двух равенств C) выте-
вытекает, что
В3 — const. D)
Используя известные формулы векторного анализа В,- = g^B и подставляя
выражение B) в последнее из равенств C), получим искомое уравнение для г|)
E)
дх{ \ gS3 dxkj 3\ dxi \g33
Здесь g** = Gtk/g, a Gik — миноры | gik \.
В частном случае ортогональных криволинейных координат gik = g4* = 0
при i ф k, gu = /i?, gu = —z, где ht — коэффициенты Ламе. Физические ком-
ht ^
поненты вектора В есть В„. = Bi/Vrgii = B^/h^ и мы получаем:
JL(J
^ 0.
dxz ,
F)
В заключение рассмотрим уравнение E) для общего случая винтовой сим-
симметрии в цилиндрических координатах г,. <р, г. Введем координаты хх = г, х% =
89

= ф — azsEsQ, х3 = г, где а = —, L — шаг винта. Тогда отличные от нуля
компоненты gi^ и g*k будут равны:
?п = 1; ига = '2; ёзз = 1 + а2'; ?23 = ?зг = а''2:
1 J- аггг
„П — 1 • „22 — _ L_Z • еЗ
G)
Подставляя эти выражения в уравнения E) и B), получим уравнение для г|>
в виде
r=-^~; 5Ф — агйг = —
+ aV2J ' w
агВф = Во == const.
Нетрудно убедиться, что введенная здесь функция гр (xlt x%) совпадает
с Аг для случая трансляционной симметрии, с гЛф — для аксиальной симметрии
и с Аг + агДф — для винтовой симметрии. Подстановка выражений B) в урав-
„ dx± dx2 dx3
нение силовых линии -нх^ = -si — ~б§ показывает, что \р = const, является
интегралом этого уравнения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Т а м м И. Е. Основы теории электричества. М., Гостехиздат, 1946.
2. Спитцер Л. Исследования на стеллараторе. В кн. «Труды Второй
международной конференции по мирному использованию атомной энергии».
Избр. докл. иностр. ученых. Т. 1 — Физика горячей плазмы и термоядерные
реакции. М., Атомиздат, 1959.
3. Морозов А. И. и Соловьев Л. С. «Ж- техн. физ.», 30, 271 A960).
4. Кораблев Л. В., Морозов А. И., Соловьев Л. С. «Ж-
техн. физ.», 31, 1153 A96П.
5. К о в р и ж н ы х Л. М. «Ж- техн. физ.», 32, 526 A962).
6. Гельфанд И. М., Граев М. И., Зуева Н. М., Морозов А. И.,
Соловьев Л. С. «Ж- техн. физ.», 31, 1164 A961).
7. Гельфанд И. М., Граев М. И., Зуева Н. М., Михай-
Михайлова М. С, Морозов А. И. «Докл. АН СССР», 148, 1286 A963).
8. 3 у е в а Н. М., Михайлова М. С, Морозов А. И. «Докл.
АН СССР», 153, № 5 A963).
9. Морозов А. И., Соловьев Л. С. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
44, вып. 10 A963).
10. М е л ь н и к о в В. К. «Докл. АН СССР», 144, 747 A962).
Н.Мельников В. К. «Докл. АН СССР», 148, 1257 A963).
12. Rosenbluth M., Longmire С. Ann. of Phys., 1, 120 A957).
13. Кадомцев Б. Б. В кн. «Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций». Т. IV. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 353.
14.. Джонсон, Оберман, Кулеру д, Фримен. Некоторые устой-
устойчивые магнитогидродинамические равновесные конфигурации. В кн. «Труды
Второй международной конференции по мирному использованию атомной
энергии. Избр. докл. иностр. ученых. Т. 1 — Физика горячей плазмы и тер-
термоядерные реакции. М., Атомиздат, 1959.
15. Кадомцев Б. Б. В кн. «Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций». Т. IV. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 16.
16. Кадомцев Б. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37, 1646 A961).
90

17. Крускал и Кулеру д. Равновесие удерживаемой магнитным полем
плазмы в тороиде. В кн. «Труды Второй международной конференции по
мирному использованию атомной энергии». Избр. докл. иностр. ученых.
Т. 1 — Физика горячей плазмы и термоядерные реакции. М., Атомиздат,
1959.
18. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М., Гостехиздат, 1955.
19. Бурштейн Э. Л. и Соловьев Л. С. «Научные труды Радио-
Радиоинститута АН СССР», 2, № 2 A960).
20. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред.
М., Гостехиздат, 1957.
21. Рыжик И. М. и Г р о д ш т е й н И. С. Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. М., Гостехиздат, 1951.
22. Фок В. A. Phys. Z. Sow., I, 215 A932).
23. Скорняков Г. В. «Ж. техн. физ.», 32, 261 A962).
24. С к о р н я к о в Г. В. «Ж. техн. физ.», 33, 777 A962).
25. Д о л б и н Н. И. «Ж- прикл. матем. и теор. физ.», № 2, 104 A962).
26. Northrop Q., Teller E. Phys. Rev., 117, 215 A960).
27. Вопросы теории плазмы. Вып. 1. М., Госатомиздат, 1963.
28. Б о г о л ю б о в Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний. М., Гостехиздат, 1958.

РАВНОВЕСИЕ ПЛАЗМЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В. Д. Шафранов
§ 1. Общие замечания
Одной из важнейших задач, возникающих в проблеме управляе-
управляемых термоядерных реакций, является выяснение условий, при
которых плазма может удерживаться магнитным полем от сопри-
соприкосновения со стенками сосуда, в котором она находится [1—6].
В теории проблему удержания плазмы можно разделить на две
части: равновесие плазмы и ее устойчивость.
Теория равновесия выясняет условия, при которых давление
плазмы в каждой точке может быть уравновешено электромагнит-
электромагнитной силой, но не дает ответа на вопрос о том, какие из теоретически
возможных равновесий являются истинными, устойчивыми и, сле-
следовательно, могли бы быть осуществимыми в эксперименте. Для
решения этого вопроса необходимо еще выяснить, не приводят ли
случайные бесконечно малые возмущения к коренной перестройке
теоретически мыслимой равновесной конфигурации плазмы, т. е.
решить задачу о макроскопической устойчивости плазмы. Теории
устойчивости посвящена работа Кадомцева, помещенная в этом же
выпуске. В настоящей работе рассматриваются только такие свой-
свойства равновесных конфигураций, которые вытекают из уравнений
равновесия.
Идеальным случаем удержания плазмы было бы удержание
в течение времени^ значительно превышающего среднее время
между кулоновскими столкновениями электронов и ионов. В этом
случае давление плазмы — скаляр и условия равновесия выра-
выражаются следующими уравнениями магнитостатики:
- V/H-4-[JB] = 0; A.1)
rotB=^j; A.2)
divB = 0. A.3)
Уравнение A. 1) есть уравнение движения, в котором опущен
инерционный член. Уравнения A. 2) и A. 3) —уравнения Макс-
92

велла, причем в уравнении A.2) опущен ток смещения. Следова-
Следовательно, система уравнений A. 1) — A. 3) применима для описания
плазмы, которая находится в квазистационарном электромагнит-
электромагнитном поле и в которой допустимы сравнительно медленные (диффу-
(диффузионные и дрейфовые) движения со скоростями, меньшими инер-
инерционных скоростей (У« ]/-^-; У )
( )
Простейшей равновесной конфигурацией, в которой давление
плазмы воспринимается не стенками сосуда, а магнитным полем,
является цилиндрический плазменный шнур. В такой конфигура-
конфигурации возможны два различных способа уравновешивания давления
плазмы, которые являются прототипами двух различных направ-
направлений в современных экспериментальных исследованиях по дли-
длительному удержанию плазмы. Первый способ —удержание внеш-
внешним магнитным полем; здесь необходимая для равновесия конфигу-
конфигурация магнитного поля имеется заранее (без плазмы). Второй спо-
способ — удержание током; это тот случай, когда необходимая конфи-
конфигурация создается лишь при возбуждении в плазме электрического
тока. Общее условие равновесия цилиндрического плазменного
шнура можно записать в виде (см. работы [7] и [38 ])
_ В? В2 4- В2
Здесь Ва = 2 Лса — ток в шнуре; а — расстояние от оси цилиндра;
Bt и Ве — внутреннее и внешнее продольные магнитные поля.
Черта сверху означает усреднение по сечению радиуса а. Для изо-
изоляции плазмы необходимо В2е + В2а > 8пр. При Ве = 0 мы имеем
дело с удержанием током, при Ва = 0 — с удержанием внешним
магнитным полем.
Цилиндрический шнур, однако, не является замкнутой систе-
системой, поскольку в нем неизбежен контакт плазмы со стенками на
торцах. Поэтому необходимо рассматривать не цилиндрические, а
замкнутые тороидальные плазменные конфигурации [8—10, 12, 19].
Простейшим примером тороидальной конфигурации является
тонкий кольцевой плазменный шнур. Переход к кольцевому шнуру
от цилиндрического не является тривиальным. В кольцевом осе-
симметричном шнуре невозможен первый способ удержания (т. е.
удержание плазмы одним продольным полем). При втором способе
удержания плазмы становится необходимым дополнительное ма-
тнитное поле, связанное с токами во внешних проводниках.
Невозможность удержания плазмы одним только продольным
магнитным полем проще всего видна на идеализированном примере,
когда магнитное поле внутри плазмы Bt = 0 и давление р = const,
снаружи Ве Ф 0. При этом, очевидно, по «поверхности» плазмы
должен течь азимутальный ток с поверхностной плотностью
(рис. 1).
<- = -^А- A-5)
93

Поскольку суммарный ток /, протекающий через любую образую-
образующую тора — окружность с радиусом г, есть величина постоянная,
то плотность тока / и магнитное поле Ве являются функцией г.
1 " 2/ A.6)
i =
2яг
в -*L
е сг
Следовательно, магнитное давление Bg/81 не может уравнове-
уравновесить давление плазмы р — const в тороидальном осесимметричном
шнуре. Условие B;;/8rt=const мо-
может быть выполнено лишь на не-
осесимметричной «жеваной» по-
поверхности, некоторое представле-
представление о которой можно получить,
рассмотрев простейший случай,
когда линии тока лежат в плоско-
плоскостях, перпендикулярных плоско-
плоскости тора [23]. В этом случае, оче-
очевидно, длина внутренней и внеш-
внешней образующих тора должна быть одинакова (рис. 2).
Необходимость внешнего магнитного поля при «токовом» удер-
удержании кольцевого плазменного шнура также легко понять на
идеализированном примере плазмы с поверхностным током.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рассмотрим сначала идеальный проводник, по поверхности
которого течет продольный ток при отсутствии посторонних внеш-
внешних токов. Поскольку весь магнитный поток должен пройти через
кольцо, то ясно, что с внутренней стороны проводника силовые
линии расположены более густо, вследствие чего давление магнит-
магнитного поля на поверхности проводника неодинаково (рис. 3).
Но для уравновешивания плазмы необходимо иметь на поверх-
поверхности В2 = const. Этого можно добиться добавлением внешнего
магнитного поля, перпендикулярного к плоскости тора и совпа-
совпадающего по знаку с полем тока на наружной стороне тора.
94

Для получения представления о более сложных равновесных
конфигурациях необходимо рассмотреть некоторые общие свойства
конфигураций, вытекающие из уравнений A. 1) — A. 3).
§ 2. Теорема вириала
Условие равновесия плазмы можно записать в виде равенства
нулю дивергенции некоторого тензора Tik
д Т — о. B 1)
dxi «* ' \ • )
Это уравнение получается из уравнения A. 1) при подстановке
в него плотности тока из формулы A. 2). Соответствующий тензор
f р / X Bj?>k \ I p JJjuk tn г>\
где
P± = P + -^\ B.3)
Из структуры тензора Тш B. 2) следует, что Рх есть давление
поперек, а Рц — вдоль магнитных силовых линий. Из выражений
B. 3) и B. 4) видно, что магнитное поле в поперечном направлении
оказывает давление, а в продольном — создает натяжение (минус
в выражении B. 4)!). Поэтому может возникнуть вопрос: нельзя ли
создать такую конфигурацию магнитного поля, в которой равнове-
равновесие осуществляется без внешних токов, натяжением магнитных
силовых линий внутри равновесной конфигурации. Отрицательный
ответ на этот вопрос легко получить, если рассмотреть некоторое
интегральное соотношение, являющееся следствием уравнения
равновесия B. 1) и известное под названием теоремы вириала.
Для получения этого соотношения используем тождество
? ™* + **ъг' B-5)
Согласно уравнению B. 1), второй член в правой части выражения
B. 5) при равновесии обращается в нуль. Интегрируя оставшееся
равенство по объему V, ограниченному поверхностью S, получаем
соотношение
S^dV^JT^dS;. B.6)
V S
Для тензора B. 2) имеем
{{^p^} B.7)
95

или, с учетом выражений B. 3) и B. 4),
Применим это соотношение к плазме, занимающей некоторый
ограниченный объем, вне которого давление р = 0. Если внутри
и вне плазмы нет жестких проводников с током, то при устремлении
поверхности интегрирования в бесконечность поверхностный ин-
интеграл обращается в нуль (так как вдали от плазмы В — 1/г3).
Таким образом равенство B. 8) оказывается невозможным.
Следовательно, любая ограниченная равновесная конфигура-
конфигурация плазмы с магнитным полем может существовать лишь при на-
наличии закрепленных проводников с током (в этом случае правая
часть в выражении B. 8) сведется к интегралу по поверхности этих
проводников).
Заметим, что из теоремы вириала можно сделать некоторые
заключения и об условии равновесия магнитных полей внутри про-
проводящей жидкости. Вопрос об условиях существования магнитных
полей ограниченной протяженности в проводящей жидкости пред-
представляет интерес для астрофизики (например, в связи с теорией
солнечных пятен). Из теоремы вириала вытекает, что такие поля
могут удержаться в равновесии лишь в том случае, если давление
ре вне области, занятой полем, превышает среднее давление р
внутри этой области. Отсюда, в частности, следует и невозможность
конфигураций магнитного поля, в которых плотность тока j всюду
параллельна вектору В, так что —[jB] = 0. Такое «бессиловое»
магнитное поле (часто фигурирующее в астрофизической литера-
литературе) может осуществиться лишь в части пространства, занятого
магнитным полем.
Теорема вириала, записанная в общей форме B. 6), может быть
применена и к конфигурациям, в которых существенную роль
могут играть электрические или гравитационные поля, а также
движение массы жидкости. Впервые эта теорема была использо-
использована в магнитной гидродинамике Чандрасекаром и Ферми для уста-
установления необходимого критерия динамической устойчивости
космических гравитирующих масс, содержащих магнитные поля.
§ 3. Некоторые свойства равновесных конфигураций
Из уравнения равновесия A. 1) вытекает ряд следствий, позво-
позволяющих получить некоторые общие представления о равновесных
конфигурациях. Умножая уравнение A. 1) скалярно на В и j,
получаем
BVp = 0; C.1)
JVP = 0. C. 2)
Уравнение C. 1) показывает, что магнитные силовые линии в рав-
равновесной конфигурации расположены на поверхности р = const.
96

Для удержания плазмы необходимо поэтому, чтобы силовые линии
магнитного поля не выходили из объема, занимаемого плазмой.
Плазма, помещенная в магнитное поле, будет, согласно уравнению
C. 1), растекаться вдоль магнитных силовых линий. Если силовая
линия заполняет непрерывно целую тороидальную поверхность,,
называемую магнитной (см. работу «Геометрия магнитного поля»
в настоящем выпуске), то давление плазмы на этой поверхности
окажется постоянным. Такое поле, следовательно, может служить
магнитной ловушкой для плазмы.
Условие C. 1) не позволяет, однако, установить, как будет
располагаться плазма в магнитном поле с замкнутыми силовыми
линиями. В этом вырожденном случае нельзя однозначно выделить
магнитные поверхности. Так, например, в поле прямого тока любая
поверхность вращения несет на себе силовые линии и в этом смысле
является магнитной. Целесообразно поэтому условиться называть
магнитными такие поверхности, которые при наличии плазмы
совпадают с поверхностями р = const.
Для выделения таких поверхностей в магнитном поле с замкну-
замкнутыми силовыми линиями рассмотрим другие следствия уравнений
равновесия.
Согласно уравнению C. 2), ток в равновесной конфигурации
течет между магнитными поверхностями. Поэтому если между
двумя соседними поверхностями р = const и р + dp — const про-
провести систему непересекающихся замкнутых перегородок, то через-
каждую такую перегородку будет протекать один и тот же ток
dJ = const. Чтобы выразить это условие математически, введем;
криволинейную систему координат с элементами координатных
дуг d\lt d\2, dig, направив d\± по нормали к поверхности р = const
dh = j^dp, C.3)
a d\ 2 и dl3 — вдоль двух независимых контуров, которые можно
провести на тороидальной поверхности. Для определенности
будем считать, что контур 12 проведен по направлению большого
обхода тора (в направлении магнитной оси), а контур ls — по на-
направлению малого обхода (вокруг магнитной оси, рис. 4).
' Найдем суммарный ток dJs, протекающий через перегородку,
расположенную на контуре 12. Элемент поверхности этой перего-
перегородки равен 6S3 = [dl^y , так что
$h). C.4>
Умножая уравнение A. 1) векторно на В, найдем выражение
для плотности тока в равновесной конфигурации
^ hB, C.5)
7 Вопросы теории плаз'мы. Вып. 2. "*

где h — произвольная функция (она должна быть выбрана из
условия div j = 0*. Замечая, что, согласно уравнению C. 1) и вы-
выражению C. 3), Bdlx = 0, на основании известного векторного
тождества получим
[BVp] [d\x d\2] = (В й\г) (ур d\2) - (В й\г) (ур d\x) =
--=-dp(Bd\2). C.6)
Таким образом, выражение C. 4) для тока dJH принимает вид
b[dl1dli]. C.7)
Рис. 4
Пусть теперь контур 12 совпадает с магнитной силовой линией:
d\2 — -5- dl. Тогда второй член справа исчезает. Если силовая
линия замыкается при одном обходе по тору (одно пересечение
с контуром 13), то выражение C. 6) определяет полный ток, проте-
протекающий между соседними поверхностями по нормали к силовой
линии:
" и
W- C-8>
Поскольку величина этого тока не зависит от выбора контура, то
отсюда следует, что на магнитной поверхности для каждой силовой
линии имеет постоянное значение интеграл
C.9)
• Уравнение для Л, вытекающее из этого условия, имеет вид ВуЛ = — Вг X
98

Иначе говоря, магнитная поверхность в поле с замкнутыми сило-
силовыми линиями образуется совокупностью силовых линий с одним
и тем же значением U. Это условие впервые было получено
Б. Б. Кадомцевым.
Рассмотрим в качестве иллюстрации поле прямого тока. В этом
случае В = — и U = ¦7ГГ г2. Следовательно, магнитные по-
верхности суть цилиндрические поверхности г = const.
Условия постоянства U можно распространить и на поверхно-
поверхности с незамкнутыми силовыми линиями, если для U ввести другое,
более общее определение. Если силовая линия замыкается после
\
\
Рис. 5
m-кратного обхода по тору, то ее, очевидно, можно разделить на
т частей, вдоль которых интеграл U = \ -^- сохраняет постоян-
постоянное значение. Рассматривая магнитную поверхность, образованную
незамкнутой силовой линией, как предел магнитной поверхности
с замкнутыми силовыми линиями при т-> со, нетрудно устано-
установить, что на этой поверхности можно провести такой контур (пре-
(предел контура, соединяющего точки деления замкнутой силовой
линии на т частей), что интеграл U = J -g-, взятый от любой
точки этого контура до первого пересечения с ним (обозначим эти
точки через Аи Л2, рис. 5), будет иметь постоянное значение [341
а,
U = $ ~ = const. C.10)
Аналогично выводу условия постоянства тока, протекающего
между соседними поверхностями, можно получить условие по-
постоянства магнитного потока d4, проходящего через систему не-
непересекающихся замкнутых перегородок между соседними маг-
магнитными поверхностями. В случае замкнутых линий тока, про-
проводя такую перегородку по линии тока по аналогии с выраже-
7* 99

яием C. 8), получим следующее выражение для потока поля,
нормального к линии тока:
dl
<Г?,
= cdp§-f. C.11)
По аналогии с выражением C. 9) можно получить условие
с2
Uj= |Д = const, C. 12)
где Сх иС2 — точки пересечения линии тока с контуром, который
можно провести соответствующим образом на любой магнитной
поверхности.
Для иллюстрации этого условия рассмотрим осесимметричный
случай д/ду = 0. Пусть, кроме того, отлична от нуля лишь
<р-компонента плотности тока (j = /феф). В этом случае Uj =
= 2лг//ф) т. е. в равновесной конфигурации плотность тока должна
иметь вид /ф = А (р) г, где, согласно выражению C. 11), А (р) =
= 2ncdp/dx?n. Эта формула является частным случаем формулы для
<р-компоненты плотности тока в осесимметричных равновесных
конфигурациях (см. § 5).
Рассмотрим теперь циркуляции векторов В и векторного потен-
потенциала магнитного поля A (rot A = В) по замкнутым контурам
12 и /3. Согласно уравнению A.2) и определению вектора А, на
основании теоремы Стокса (учитывая, что обход /3 составляет
с направлением /2 левовинтовую систему) имеем (см. рис. 4)
$BdI3 = — ~J2; C. 13)
§ АбП3= — Y2, C. 14)
где /2 и ^2 — полный ток и полный поток, пронизывающие кон-
контур /3, проходящий вокруг магнитной оси. Поскольку /2 и ?2
не зависят от выбора контура /3 на данной магнитной поверхности,
то и соответствующие циркуляции векторов В и А не зависят от
этого выбора. Это обстоятельство можно учесть, записав подынтег-
подынтегральные выражения в равенствах C. 13) и C. 14) в следующем
виде:
Bd\3 = dv — ^^da>; C.15)
= dX-V,(p)^. C.16)
Здесь v и % — однозначные функции, а со — многозначная коор-
координата (аналог азимутального угла), увеличивающаяся на 2л при
каждом обходе контура 13.
100

Циркуляцию векторов В и А по контуру /2 обозначим следую-
следующим образом:
§Bdlt = ^-I; C.17)
§Ad\t = V. C. 18)
Ток / и поток Y в отличие от J3 и W3 являются внешними относи-
относительно рассматриваемой магнитной поверхности (в частности, они
включают в себя токи и потоки во внешних проводниках и магнит-
магнитных сердечниках). Положительное направление /и? противопо-
противоположно положительному направлению /3 и Ч3 внутри контур-ма-
контур-магнитной оси. Обозначим через /0 и ?0 полный ток и полный поток,
пронизывающие контур-магнитную ось. Тогда внешние ток и
поток выразятся через внутренние следующим образом:
I = IO + JS; C.19)
У = Уо + %. C. 20)
Как J3, Ч?3, так и / и W, а следовательно, и циркуляции векторов
В и А не зависят от выбора контура /2 на данной магнитной поверх-
поверхности. Подынтегральные выражения в формулах C. 17) и C. 18)
можно по аналогии с выражениями C. 15) и C. 16) записать в виде
В d 1, = dv + ^Ж d(f; C.21)
?, C.22)
где ф •— многозначная координата, увеличивающаяся на 2я при
обходе по контуру /2.
Рассмотренные выше величины /2, Т2, J3, Va, I, ?, р, U, Uj
постоянны на каждой магнитной поверхности и являются функ-
функциями одна другой. По терминологии Крускала и Кулсруда [21 ],
они являются «поверхностными» величинами. В любой равновесной
конфигурации поверхностные величины связаны между собой
определенным образом. Однако эта связь сохраняется неизмен-
неизменной лишь при условии идеальной проводимости плазмы. Реально
это означает, что связь между поверхностными величинами можно
считать неизменной лишь в течение промежутка времени, значи-
значительно меньшего характерного времени диссипации, роль которого,
na a2
как правило, играет скин-время плазмы s = —j—, где а — ха-
характерный поперечный размер тороидальной конфигурации. Если
рассматриваются более длительные промежутки времени (t > s),
то необходимо учитывать изменение зависимости между поверх-
поверхностными величинами во времени. В стационарных условиях, когда
диссипативные процессы в каждом элементе объема подобраны
так, что давление плазмы и магнитное поле в конфигурации не
101

меняются во времени, эта зависимость вполне определенна (при
данном механизме диссипации), но, как правило, чрезвычайно
сложна.
§ 4. Другая форма уравнения равновесия
Во введенной в § 3 системе координат векторное уравнение
равновесия A. 1) сводится к одному скалярному уравнению, яв-
являющемуся проекцией уравнения A. 1) на нормаль к магнитной
поверхности. Для получения скалярного уравнения умножим
уравнение A. 1) скалярно на й\гЬУ, где bV— элемент объема,
ограниченный бесконечно близкими координатными поверхно-
поверхностями. Очевидно, можно написать, что
dl1eV = [flS,eS8]. D.1)
где б S2 и б S3 — элементы координатных поверхностей
*S, = Idl8dl1]; fiS, = [?/1^1,], D.2)
Учитывая теперь соотношения
Wpd la = dp; D. 3)
[JB] [б S2 б S,] - (j б S2) (В б S.) - (j б S,) (В б S2) =
= bJ2bW3 — б/3б?2, D. 4)
вместо уравнения A. 1) получим
dpbV = — FJ2bW3 — bJ3bW2). D. 5)
При интегрировании этого уравнения по объему dV слоя, распо-
расположенного между поверхностями р = const и р + dp = const,
можно получить уравнение [21 ]
dpdV = -1- (dJJV, - dJ.6dW2), D. 6)
С
TRedJz и ёУ2 — полный ток и полный магнитный поток, проходя-
проходящие через замкнутую перегородку dS2, расположенную на кон-
контуре /3, a dJ3 и d43 — полный ток и полный магнитный поток,
проходящие через перегородку dSa на контуре /2.
Рассмотрим некоторые применения формулы D. 5)
Если контур /2 выбрать вдоль замкнутой силовой линии, то
в этом случае дУ3 = О, 6У3 = 6У„ (индекс п означает нормаль
к силовой линии) и формула D. 5) примет вид
dpbV = bJnbW. D. 7)
с
Отсюда нетрудно получить выведенную в § 3 формулу C. 8) для
тока, протекающего между магнитными поверхностями. С этой
целью проинтегрируем выражение D. 7) по длине силовой линии:
dp | dl26S2 = 1- | bJnbW: . D. 8)
i, i,
102

г>
Учитывая, что rf/2 = —^-dl и что вдоль пути интегрирования
б1? = В б S2 = const, из выражения D. 8) по сокращении на ЬЧ
получим формулу, совпадающую с формулой C. 8):
bJn = ~-±rdJn. D.9)
h
Из сравнения этой формулы с выражением D. 7) видно, что вели-
величина U = ф-тг- представляет собой «удельный объем» магнит-
магнитного поля (см. работу «Геометрия магнитного поля» в настоящем
выпуске):
U = ^. D.10)
Этот удельный объем играет большую роль в теории гидродинами-
гидродинамической устойчивости плазмы (см. ниже работу «Гидромагнитная
устойчивость плазмы»).
Если контур /3 выбрать вдоль замкнутой линии тока, то из
уравнения D. 5) совершенно аналогично можно получить фор-
формулы, содержащие «удельный объем тока».
Применим теперь формулу D. 5) к осесимметричным конфигу-
конфигурациям -д— = 0. В качестве контура /s в этом случае удобно взять
меридиональное сечение тороидальной поверхности, а в качестве
контура /2 — окружности, ортогональные к /3, так что /2 = /ф,
В 2 = ?ф- Вместо J3 и ?„ удобно ввести внешние меридиональные
ток / и поток V в соответствии с формулами C. 17) — C. 20).
Согласно формулам C. 17) и C. 18), / и ? непосредственно связаны
с ф-компонентой магнитного поля и векторного потенциала, а
именно:
* ?• ^ <4П>
4л
Из уравнений rot В = — j и rot A = В вытекает также связь
меридиональной плотности тока и магнитного поля с/иТ:
/s = -2ST[V/e<p]; fl«=2S7[V44b D.12)
Поскольку р, I и ? являются поверхностными величинами, то
можно записать:
р = р D0; / = / (V). D. 13)
Входящие в уравнение равновесия D. 5) величины с учетом осевой
симметрии выразятся так:
D. 14)
103

Подставляя формулы D. 14) в уравнение D. 5) и сокращая на
6S2dy/2n, найдем [10]
\r, D.15)
где
^ D.16)
Из формулы D. 15) непосредственно следует вывод о невозможно-
невозможности осесимметричной равновесной конфигурации без продольного
тока. Действительно, полагая /ф = 0, получаем В (?)/Л (?) =
= —г2. Отсюда следует, что ? есть функция только г, но не z, т. е.
при /ф = 0 равновесная конфигурация может быть только одно-
однородным цилиндром.
Уравнение для функции ?, через которую в конечном итоге
выражаются все остальные величины, получается из уравнения
для векторного потенциала (АА)ф = /ф. В цилиндрических
координатах г, q>, z это уравнение имеет вид:
Задаваясь конкретной зависимостью A (Y) и В (?), можно,
в принципе, решить это уравнение и затем по формулам D. 16),
D. 17) и D. 11), -D, 12) рассчитать распределение давления, тока
и магнитного поля в равновесной конфигурации. Примеры реше-
решения этого уравнения для случая, когда А и В линейно зависят от
?, имеются в работах [10, 18, 27, 28, 30].
Чтобы составить представление о конфигурации магнитного
поля при осевой симметрии, рассмотрим простейший случай
А = const, В = 0. В этом случае имеется решение
Y = W0~ BR* — г2 - 4a2z2). D. 19)
Примерный ход силовых линий изображен на рис. 6. Любую
поверхность ? = const можно принять за поверхность, на которой
р = 0, т. е. за границу плазмы. Как следует из решения, при
?/?0 >¦ 0 получаются ограниченные тороидальные конфигурации
(форма сечения которых зависит от параметра а; например, при
a = 1 поверхности ? = const, расположенные вблизи магнитной
оси, имеют круговые сечения). Снаружи от поверхности с р = 0 ма-
магнитное поле, необходимое для равновесия, определяется уравне-
уравнением D. 18) при А = В =. 0.
104

Уравнения равновесия приводятся к одному уравнению, содер-
содержащему произвольные функции [аналогично уравнению D. 18)],
также и в случае винтовой симметрии, когда все величины вдоль
винтовой линии, намотанной на цилиндр радиуса г, не меняются,
но зависят от выбора винта на этом цилиндре, а также от г. Топо-
Топология магнитных полей в равновесных конфигурациях с винтовой
симметрией такая же, как и
в случае вакуумных полей с той
же симметрией (см. работы «Гео-
«Геометрия магнитного поля» и [29]).
§ 5. Вариационный принцип
Условия равновесия могут
быть получены из вариацион-
вариационного принципа, т. е. из требо-
требования, чтсбы вариация некото-
некоторого функционала Q обращалась
в нуль. Функционал Q должен
быть выбран так, чтобы при бес-
бесконечно малом виртуальном
смещении ? элементов плазмы
его вариация имела вид
v-и,
v=<?
К"- *' Рис. 6
Обозначим через bQB и 6Qp маг-
магнитную и газодинамическую части этой вариации:
6Q"= — j?VpdV. E.3)
Из электродинамики известно, что вариация E. 2) может быть по-
получена, если варьируется:
А) функционал—магнитная энергия, взятая с минусом,
при условии неизменности магнитных потоков; в дифференциаль-
дифференциальной форме это условие выражается хорошо известным уравнением
|6fi = rot[lB]; E.5)
Б) функционал—магнитная энергия,
dV, E.6)
при условии неизменности токов; в дифференциальной форме это
условие записывается по аналогии с уравнением E. 5):
б/ = rot [%]]. E. 7)
105

Действительно, варьируя выражение E. 4), имеем
Подставляя сюда б В из уравнения E. 5), на основании тождества
b rot a = a rot b + div fab] получим
div[[lB]B']}dl/. E.9)
Второй член справа по теореме Гаусса приводится к поверхност-
поверхностному интегралу. Для упрощения вывода будем считать, что
плазма простирается до поверхности идеальных проводников или
до бесконечности (это предположение не ограничивает общности
результата). Тогда поверхностный интеграл обратится в нуль.
Переставляя сомножители в смешанном произведении векторов
в оставшемся подынтегральном выражении, получаем
.B]dV, E.10)
что, очевидно, совпадает с выражением E. 2).
Покажем теперь, как вариация E. 2) получается из формул
E. 6) — E. 7). Вариация функционала E. 6) имеет вид
v- E-n>
Вариация 6В связана с вариацией 6j E. 7) уравнением A. 2):
rot 6B = — 6j. Отсюда находим:
б В = — [| j] + Уф, E. 12)
так что
Здесь второй член справа также приводится к поверхностному
интегралу и исчезает. Остающееся выражение совпадает с выраже-
выражением E. 2).
Вариация &Qp E. 3) получается, если варьируется взятая с ми-
минусом энергия плазмы
jJLjdV E.14)
при условии неизменности энтропии каждого «жидкого» элемента
объема плазмы и сохранения полного числа частиц в нем. В диф-
дифференциальной форме это условие имеет вид
6р= — gVp —YPdivg. E. 15)
106

Поскольку показатель адиабаты у не входит в окончательный
результат, то его, очевидно, можно выбирать совершенно произ-
произвольно. В зависимости от выбора у возможны, например, следую-
следующие случаи:
a) Y = 0; QP = $pdV. E. 16)
При y = 0 остается неизменным давление каждого жидкого эле-
элемента объема dp = О или
6p=-lVp; E.17)
б) у = 1 (условие изотермичности);
Qp= —\p\npdV; E. 18)
бр= — divpg. E. 19)
Доказательство правильности выбора этих функционалов весьма
простое. Рассмотрим, например, случай «б». Варьируя выражение
E. 18) с учетом условия E. 19) и при условии обращения в нуль
на границе объема давления плазмы р или нормальной компо-
компоненты смещения I, находим
l)div(pl)dV =
E.20)
Итак, в качестве общего функционала Q можно брать любую
комбинацию функционалов QB и Qp, определяемых выражениями
E. 4), E. 6) и E. 14), E. 16), E. 18), при соответствующих допол-
дополнительных условиях.
Наряду с первой вариацией функционала 6Q = [%F dV,
1 J
определяющей силу F = —Vp -\ [JB], действующую на про-
произвольный элемент объема плазмы, можно рассматривать вторую
вариацию функционала 62Q, которая при условии 6Q = 0 (т. е.
для равновесной конфигурации) определяет силу, появляющуюся
при отклонении элемента объема от положения равновесия.
По знаку этой силы можно определить, является равновесие устой-
устойчивым или неустойчивым. Вычисление второй вариации с целью
исследования устойчивости должно производиться с учетом тех
реальных физических условий, при которых возможны рассматри-
рассматриваемые отклонения (тогда как дополнительные условия, используе-
используемые при вычислении первой вариации 6Q, могут не иметь ничего
общего с реальными условиями). Если физические условия, кото-
которые используются для вычисления 62Q, совпадают с теми дополни-
дополнительными условиями, которые используются при вычислении
6Q, то соответствующий функционал Q, взятый с минусом, имеет
смысл потенциальной энергии W = —Q, так как в этом случае
107

сила F и ее вариация SF (при условии F = 0) связаны с W как
с потенциальной энергией:
6W=— jF$dV; bW = -JSFldF. E; 21)
Обычно при исследовании гидромагнитной"устойчивости плазму
можно считать идеально проводящей и адиабатичной (для возму-
возмущений!). Этим условиям соответствует выбор функционалов QB
и Qp, выраженных формулами E. 4) и E. 14). При этом роль по-
потенциальной энергии играет полная энергия плазмы и магнитного
поля:
Для конкретных расчетов равновесных конфигураций удоб-
удобным является выбор функционала Q из комбинации «Б» и «а»:
Здесь варьирование должно производиться при условии неизмен-
неизменности токов и давления в каждом «жидком» элементе объема.
В случае тороидальных конфигураций условия постоянства
потоков (или токов), используемые при варьировании функциона-
функционалов QB, соответствуют заданию для каждой магнитной поверхности
двух независимых потоков У%, Ч3 (или токов J2, J3) внутри данной
поверхности, проходящих через перегородки, проведенные на не-
независимых контурах/2 и ^з- Соответствующие доказательства вариа-
вариационного принципа даны Крускалом и Кулсрудом [21 ] и Градом
и Рубиным [22]. Явное выражение магнитной энергии WB =
f В2
~ \Ш dV> входящей в функционал QB, может быть записано
в следующем виде:
WB = ~kj К7» + /з) d% - J2d%] E. 24)
или
^l ^^eWe. E.25)
Здесь Je и ?е — токи и потоки во внешних контурах. Для дока-
доказательства соотношения E. 24) заметим, что плотность магнитной
энергии, заключенная между двумя соседними магнитными по-
поверхностями, может быть записана так:
dWB = J B26V = J {(В б S2) (В d 12) + (В б SJ (В d I,)}. E. 26)
С помощью соотношений C. 15) и C. 21) элементарно произво-
производится интегрирование по магнитной поверхности, приводящее
к подынтегральному выражению в формуле E. 24). Для доказа-
J08

тельства соотношения E. 25) удобно исходить из выражения ма-
магнитной энергии через векторный потенциал WB = -к- | j AdV.
Для объема между двумя магнитными поверхностями имеем
J ]А6У= J {(j6S2)(Adl2) + (j6S3)(Afl[l3)}. E.27)
it. U i,. i,
Выполняя с помощью соотношений C. 16) и C. 22) интегрирование
по магнитной поверхности, получим подынтегральное выражение
в формуле E. 25). Интегрирование по объему внешних проводников
производится обычным образом и дает сумму, входящую в формулу
E. 25).
В качестве примера применения вариационного принципа вы-
выведем условия равновесия тонкого тороидального плазменного
шнура (при наличии продольного магнитного поля) по малому
и большому радиусам тора a, R {а С Я)- Используем функционал
E. 23), который удобно разбить на три части:
Q = Ql + Qi + Qp- E. 28)
Здесь Qf — магнитная энергия, связанная с меридиональным,
& Qz — с продольным магнитными полями:
E.30)
L2 самоиндукция кольцевого тока
(/,- — внутренняя индуктивность распределенного тока, отне-
отнесенная к единице длины шнура); J2e, L2e — ток и индуктивность
первичного (внешнего) контура; ? = —MJie—внешний поток,,
проходящий через отверстие тора, который при условии а < R
можно записать так:
W = ] Bz2nr dr. E. 32)
Отсюда, в частности вытекает:
~ = 0. E. 33)
да
109

Меридиональный ток /s в плазменном шнуре создает магнитное
поле, равное разности общего внутреннего продольного поля Bt
и внешнего поля Ве, так что по определению
(Bj - Ве) Ве
Черта в формулах E. 34) и E. 35) означает усреднение по объему
плазменного шнура V, которое при условии а <С R эквивалентно
усреднению по сечению шнура. Объем плазменного шнура равен
V = 2я2Ra2. E. 36)
Функционал Qp, варьирование которого должно производиться
при неизменном давлении, удобно записать в виде
Qp = pV, E. 37)
где р — усредненное по объему (по сечению) давление.
Коэффициенты самоиндукции и взаимоиндукции L3 и Ms
в идеализированном случае поверхностного тока в плазменном
шнуре определяются формулой L3 = М3 = 4я (R — YR2 — а2).
При условии а С R они совпадают с соответствующими коэффи-
коэффициентами для прямых одновитковых соленоидов L3 = М3 = -~п~-
В общем случае распределенного тока эти коэффициенты зависят
от распределения магнитного поля по сечению плазменного шнура*
Однако для дальнейших расчетов знания их точного значения не
потребуется. Достаточно учесть лишь зависимость этих коэффи-
коэффициентов от а и R: L3— М3 ~ -^-. С учетом этой зависимости
имеем:
2/Ия.
E. 38)
dL3
да '
dL3
dR
М3~
2Z-3.
а '
L3
R '
а'
~R-
дМ
да
дМ
dR
С
3
3
Поэтому вариация Q по а и R может быть выражена с учетом свя-
связей E. 38) и E. 34), E. 35) через усредненные по сечению магнит-
магнитные поля.
г. ¦ SQ дО
Вычисляя теперь производные —^ и -^ при постоянных
токах и постоянном давлении, находим силы, действующие соот-
соответственно по малому и большому радиусам тора:
В\ Ъ\-В\
, dQ V \В\
но

где
Ва = 2/2/са.
Условие Fa = О приводит к уравнению баланса давлений,
такому же, как и в прямом шнуре:
Условие FR = 0 определяет внешнее поле (перпендикулярное
плоскости тора), необходимое для удержания плазменного шнура
в равновесии,
| ^) E.42)
Здесь входившая в формулу E. 40) разность В2е — В\ уже исклю-
исключена с помощью уравнения баланса давлений E. 41).
Заметим, что если давление вне тора равно ре (а не нулю), то
в выражения E. 41) и E. 42) вместо р войдет разность р— ре.
Если ре > р, то равновесие возможно и без внешнего поля (т. е.
при Вг = Ве = 0). Условия равновесия принимают вид [36]
р2 _ 8Я (ре — р) . (г
В (
E.44)
Этими формулами определяется магнитное поле, находящееся
в равновесии внутри проводящей среды, наподобие магнитного
поля в солнечных пятнах. Если принять гипотезу о том, что сол-
солнечные пятна являются поперечным «срезом» кольца с магнитным
полем, всплывшего на поверхность из недр Солнца, то условие
E. 44) определяет связь продольного магнитного поля в пятне
с поперечным.
Можно показать, что непосредственное решение дифферен-
дифференциальных уравнений A.1) — A-3), описывающих равновесие,
приводит точно к тем же формулам E. 42) — E. 44).
§ 6. Равновесие в некоторых конкретных системах
Задача получения высокотемпературной плазмы требует созда-
создания условий, при которых был бы невозможен контакт плазмы со
стенками сосуда, диафрагмами, измерительными приборами и т. п.
Идеальным с точки зрения удержания плазмы мог быть тот случай,
когда магнитное поле с находящейся в нем плазмой окружено
сплошным идеально проводящим кожухом. Поверхность кожуха
автоматически совпадала бы с магнитной поверхностью равновес-
равновесной конфигурации, на которой давление плазмы равно нулю
(т. е. практически пренебрежимо мало по сравнению со средним:
111

давлением). Однако наличие в кожухе щелей, необходимых для
введения в рабочий объем электрических и магнитных полей,
заставляет для улучшения вакуумных условий делать дополни-
дополнительную вакуумную камеру. Тем самым плазма оказывается уда-
удаленной от проводящего кожуха, ее граница получает возможность
леремещаться; при соприкосновении со стенками камеры плазма,
но всей вероятности, должна «счищаться» со всех магнитных по-
поверхностей, пересекающих стенку. Поэтому практически важным
является вопрос о равновесном положении плазмы в различных
системах, предназначенных для удержания высокотемпературной
ллазмы.
Рассмотрим равновесие в тороидальных системах типа Тока-
мак^ Зета и других, основанных на токовом удержании. В таких
системах равновесие возможно и при осевой симметрии, что суще-
существенно упрощает расчет.
В случае малой кривизны тора условия равновесия можно
получить, не находя распределения полей внутри плазменного
шнура, если между плазмой и кожухом имеется область низкой
проводимости, где плотность электрического тока можно полагать
равной нулю. При наличии такой области можно ввести понятие
«поверхности плазмы», определив ее как магнитную поверхность,
на которой плотность тока равна нулю (такое определение неодно-
неоднозначно, однако полученные ниже результаты будут инвариантны
относительно выбора поверхности плазмы). Если известно магнит-
магнитное поле на этой поверхности, то с помощью уравнений Максвелла
можно найти магнитное поле между плазмой и кожухом, который
должен совпадать с одной из магнитных поверхностей; тем самым
положение плазменного шнура относительно кожуха будет опре-
определено. Чтобы найти распределение магнитного поля на магнитной
поверхности, воспользуемся интегральными соотношениями.
Одним из таких соотношений является теорема вириала, приме-
примененная к объему, ограниченному рассматриваемой магнитной по-
поверхностью. Учитывая, что на магнитной поверхности BdS = О,
из выражения B. 8) получаем:
Другим интегральным соотношением является уравнение равнове-
равновесия в интегральной форме
)jasL» о, F.2)
примененное к объему, заключенному внутри данной магнитной
поверхности между бесконечно близкими меридиональными по-
поверхностями ф = const и ф + с?ф = const. Проекция этого уравне-
уравнения на экваториальную плоскость имеет вид
rdS, F. 3)
112

где dSy — элемент поверхности меридионального сечения. Введем
в этом сечении полярные координаты со, q, связанные с цилиндри-
цилиндрическими г, z соотношениями
г = R -f Q cos со; z = q sin со. F. 4)
Предположим, что q < R и ограничимся первым приближением
разложения по q/R. Если сечение кожуха имеет форму круга, то
в этом приближении магнитные поверхности равновесной конфи-
конфигурации образуют систему вложенных торов с круглыми (некон-
(неконцентрическими) сечениями. Начало полярной системы координат
выберем в центре сечения рассматриваемой магнитной поверхности,
так что R — это расстояние от оси симметрии до этого центра.
Радиус сечения обозначим через а. Тогда
dSy = QdQdu); ereS — (R + qcos со) gcos codcodcp;
dV = (/?-(- q cos со) q dq da dcp;
r d S — (R + g cos со) (R cos со + q) q d& dq>. F. 5)
Распределение продольного магнитного поля на магнитной поверх-
поверхности в соответствии с формулой D. 11)
D 2/ (р„) 2/ (р,,) /. о \ п/ч/i Q \ /с с\
5Ф = -IT^irl1 -^-C0S Ш) = Ве(а) I1 --fcOSCO ) . F. 6)
Здесь Ве (а) — значение продольного поля при со = -^-. Искомое
азимутальное поле запишем в виде
и = Ва [1 + -?- Л cos со j , F. 7)
где Ва = 2J/ca. Входящий в соотношения F. 1) и F. 3) квадрат
радиального поля B2Q (в качестве составляющей полного квадрата
магнитного поля В2) — величина второго порядка малости и по-
потому опускается. Подставляя теперь выражения F. 5) — F. 7)
в соотношения F. 1) и F. 3), получаем два условия:
3 {^ р \ — з - л. е ' — 4- 2Л - • Ф- 8)
О2 г,2 ТТ2 d2 д2
р р - Ва B<~Bi Д" | 2А° F-9)
Р Ра ~ 8я 8л 8я + V 8л • v '
Здесь Bt — внутреннее продольное, а В„ — азимутальное поле;
черта сверху означает усреднение по сечению шнура.
Вычитая условие F. 9) из условия F. 8), получаем уравнение
баланса давлений
Вопросы теории плазмы. Вып. 2.

Исключая теперь с помощью этого соотношения разность; В\.—
— В\ из условия F.8) или F.9), находим величину Л, характери-
характеризующую распределение азимутального магнитного поля вдоль маг-
магнитной поверхности:
Atal^^ + j-l, F.11)
В 2
В2
где 1{ = —у — внутренняя индуктивность (на единицу длины)
Ва
продольного тока. Формулы F.7), F. 11) применимы к любой
магнитной поверхности рассматриваемой конфигурации. Ниже
они применяются к поверхности плазмы, т. е. к такой магнитной
поверхности, вне которой плотность тока равна нулю и магнитное
поле определяется уравнениями В = уФ, у2Ф = 0. Решаются эти
уравнения весьма просто. В первом приближении по q/R вакуум-
вакуумное магнитное поле, удовлетворяющее условию непрерывности
на поверхности плазмы, определяется формулами
-|—ljcosa»; F.12)
= -тв« К1 —$-) (Л + 4-) + 1гЧг] sin ю- <6-13>
Пусть Ъ — радиус сечения идеально проводящего кожуха, А —
расстояние между центрами сечений кожуха и поверхности
плазмы. Тогда уравнение поверхности кожуха и нормаль п к ней
выражаются формулами (предполагаем А <С Ъ)
Q = b — A cos со; n = |l, 0, ^-sincoj. F. 14)
Величина смещения А плазменного шнура относительно кожуха
определяется из условия обращения в нуль нормальной ком-
компоненты магнитного поля на кожухе В^ — Бю-т-sin со = 0,
откуда А = ^ (in— + (Лх + 4") A fr)}- Если в объеме
имеется внешнее поле Во, перпендикулярное к плоскости тора, то
эффективным граничным условием на поверхности кожуха будет
B^ — Bl-j-sia<a = Bosin(o. F.15)
Отсюда для величины смещения получаем [36]
где Вь = 2J/cb. Отношение В^ВЬ, согласно принятой системе
отсчета, положительно, когда направление внешнего поля Во
114

совпадает с направлением поля, создаваемого током J на внешней
стороне плазменного шнура.
Использованное при выводе формулы F. 16) предположение
об идеальной проводимости кожуха справедливо, когда глубина
проникновения магнитного поля за время процесса t в стенки
кожуха мала по сравнению с их толщиной d (которая предпола-
предполагается малой: d <^ Ь), т. е.
(ок — электропроводность кожуха). При условии, противо-
противоположном условию F. 17), шнур с током будет двигаться наружу
со скоростью v, такой, чтобы индуцируемые в кожухе токи созда-
создавали необходимое для удержания поле E. 42). Поверхностная
плотность индуцируемых при движении шнура токов равна 1ф =
= i cos со = — ак vQBbd = — vBb d cos to. Этот ток вызывает
магнитное поле Вг = — ?. Отсюда с учетом условия равновесия
E. 42) определяем характерную скорость движения v и масштаб
времени удержания:
Ь _4noKf>d(, 8R 8пр
УД v ? 1Ш а + В2 + 2
Из формулы F. 16) видно, что при изменении давления плазмы,
силы тока и распределения тока по сечению меняется и величина
смещения плазменного шнура, что является одним из серьезных
недостатков тороидальной системы с токовым удержанием.
Избежать этого недостатка можно было бы при автоматическом
регулировании величины внешнего поля Во.
Распределение магнитного поля внутри плазменного шнура
зависит от распределения плотности тока, которое определяется
в конечном итоге диссипативными процессами в плазме и, как пра-
правило, меняется во времени. Если распределение величин, характе-
характеризующих равновесие в нулевом приближении (т. е. в цилиндриче-
цилиндрическом плазменном шнуре), известно, то тороидальные поправки
к давлению плазмы, магнитному полю и плотности тока находятся
сравнительно просто. Используем систему координат q, tp, и,
в которой q отсчитывается от окружности радиуса R, причем на
этой окружности Ва = 0 (магнитная ось). В этой системе координат
уравнение магнитной поверхности с радиусом сечения q0 будет
Q = Q0 — A (q0) cos со. F. 19)
Пусть Бщ' (q, со) — тороидальная поправка к азимутальному
полю в этой системе координат. Тогда тороидальная поправка
к азимутальному полю на магнитной поверхности
- бе -? = М!> (бо, со) - A (Q0)cos со -^. F. 20)
115

Но из выражения F. 7) следует, что 6Ва (q0, со) = В°а (Qo)'-% X
X Л (q0) cos со. Следовательно,
^|^josco 6.21)
Поскольку ? и р — поверхностные величины, то для них 61F=
= бр =-0, поэтому
?(') (о, со) = A (q) ~ cos со = 2nRBl (q) A (q) cos со; F. 22)
рA) (q, со) = A (q) -j~ cos со. F. 23)
Зная W = ?° + ?">, можно найти В^1*:
= —^ Воа (q) sin со. F. 24)
Компоненты плотности поперечного тока выражаются совершенно
аналогично компонентам ВЦ' и Вщ' поперечного магнитного поля,
поэтому тороидальные поправки можно написать сразу по анало-
аналогии с выражениями F. 24) и F. 21):
Уо* (Q. <о) = —^- /2) (О) sin со; F. 25)
Я!' (в, со) = [jl (q) 4 Л (Q) + A (Q)^] cos со. F. 26)
Чтобы получить поправки к продольным компонентам плотности
тока и магнитного поля, запишем сначала выражения для попра-
поправок на магнитной поверхности. Из выражения F. 6) для продоль-
продольного поля следует
6Вф(е, со)= _S°(e)JL cos со.
Тороидальная поправка к плотности продольного тока легко
получится из выражения D. 15), если переписать его в виде
F.27)
Первое слагаемое здесь в рассматриваемом приближении можно
записать как jov (q) A ^- cos со J, а второе — в виде
не

Таким образом,
* [? ^ ; ]cos и- F-28)
По известным 6Вф и 6/ф поправки Бф1' и Д1' определятся из формул,
аналогичных формуле F. 21):
°Ф @)
cos to; F.29)
+ A (Q)^y^) cos со. F.30)
Таким образом, все тороидальные поправки выражаются непо-
непосредственно через смещение A (q). В свою очередь это смещение
можно выразить с помощью введенного выше коэффициента асим-
асимметрии азимутального магнитного поля Л (q). Чтобы получить
формулу для смещения, выразим поправку В^' (q, со) по формуле
D. 12):
Ь(» (q, со) = J- ^- В°а (q) + ± [Bl (q) A (q) ] | cos со. F. 31)
Сравнивая полученное выражение с выражением F.21), находим
уравнение для A(q), из которого следует, что
Для определения расстояния между центрами сечений двух
магнитных поверхностей отсюда получится формула
ь
A(b, fl) = J-|-[A(Q)+l]dQ, F.32)
а
где а и b — радиусы выбранных сечений. По этой формуле
нетрудно найти выражение для смещения вакуумных поверхно-
поверхностей F. 16).
Применим полученные формулы к простейшему случаю, когда
в нулевом приближении плотность продольного тока однородна
по сечению, а давление имеет параболическое распределение
Р° (Q) = Ро A — -^г") • В этом случае, как нетрудно видеть,
8я [То (С) - А> (Q)] , , '
#пц^ =4 = const; lt=-2-,
117

2
так что Л — т] -г- и
Из формул F. 21), F. 23) и F. 24) находим:
<(Q. со) = ^ Б°и(а) (т! + _L) JL sin ш; F. 34)
B™(Q, со) = -^ ВЪ(а) [-|- (л + 4-) - l] -Jcosffl; F. 35)
рЫ (q, «,) = _ Ро -?- (л + -L) |-cos (о. F. 36)
Заметим, что приведенными формулами описывается стацио-
стационарное состояние плазменного шнура при В% > ?«, если продоль-
продольная и поперечная электропроводности <Тц и а± однородны по се-
сечению шнура. В этом случае -ц = ст^/стц.
Другим заслуживающим внимания случаем является так назы-
называемое приближение продольной проводимости, когда закон Ома
принимается в виде [39]
в (ЕВ) .„ о_.
F-37)
При такой связи тока с электрическим полем Е стационарное рас-
распределение магнитного поля хорошо согласуется с эксперимен-
экспериментально измеренным распределением в установках с умеренным
продольным магнитным полем. Уравнения Максвелла для величин
нулевого приближения при <Хц = const записываются в виде
1 d(xu) v2 dv uv /с ооч
х dx и2 + v2 dx и2 -\- Vs к '
где
у = В°ф(е)/Б°ф@); « = B°m(q)/B°@); x = е/а,;
BUO)C Fo p , Ро п F.39)
/у == • h, ^= [2, = COriSt * tli :=z: U
Решение с учетом тороидальных поправок будет:
Bq(q, со) = Б° @)-^ аЛ-^-) м f-|-)sin со; F.40)
Вф (е, со) = В% @) \v (-J-) + ^- о, (-^-^ cos со] , F. 42)
118

где
J u2(x')x'dx'
(x)
dv(x)
dx
F. 43>
F. 44)
F. 45)
F. 46)
Функции и (x), v (x), At (л:), их (х) и v± (x), полученные численным
интегрированием, изображены на рис. 7 и 8. Давление плазмы
в рассматриваемом случае бессиловой конфигурации (j ]| В) равно
нулю.
Рис. 7
Соответствующий приведенному выше расчет равновесия
плазмы в системах с магнитным удержанием (типа стелларатора
или систем с гофрированными полями), когда магнитными поверх-
поверхностями обладают уже вакуумные поля без плазмы, довольно
громоздок из-за сложной геометрии этих полей. Поэтому ограни-
ограничимся лишь приведением результатов расчета равновесия в стелла-
раторе, выполненного Грином и Джонсоном [33 ] для «трехза-
ходного» тороидального магнитного поля, в предположении, что-
давление плазмы есть линейная функция ^-магнитного потока
119

по большому обходу. Результаты расчета воспроизводятся на
рис. 9, 10 и 11*, где изображаются поверхности W = const для
Atfx)
/
/
/
2
Рис. 8
значений У: (?макс - ^/(^макс -^«„н) = 0,40%, 70%, 90%, 95%
и 100%. За единицу длины принят период мультипольного поля.
Радиус тора в этих единицах взят равным 20, диаметр сечения
вЧв'-о
/З-г.5%
Рис. 9
Рис. 10
ограничивающей поверхности —2,5. Точками отмечен след силовой
линии через равные промежутки по продольной координате.
На рис. 9 изображены сечения магнитных поверхностей ва-
вакуумного поля, на рис. 10 — магнитных поверхностей при нали-
наличии плазмы, давление которой составляет р = 2,5% от давления
магнитного поля. Как видно, искажение поверхностей при добав-
добавлении плазмы получается весьма значительным.
Избежать искажения вакуумных магнитных полей можно сле-
следующим образом. Если добавить однородное магнитное поле В%
Внутренняя сторона тора на этих рисунках находится справа.
120

(перпендикулярное к плоскости тора) достаточно большой величи-
величины, направление которого совпадает с направлением прокручива-
прокручивания силовой линии основного поля
Во с внутренней стороны тора,
то магнитные поверхности вакуум-
вакуумного поля сильно сместятся
к внутренней стороне тора. На-
Наличие плазмы со сравнительно
небольшим давлением не приводит
при этом к заметному искажению
поверхностей. На рис. 11 изобра-
изображено сечение магнитных поверх-
поверхностей, когда добавочное одно-
однородное поле составляет 5% от
основного. При этом плазма с E=
= 2,5% еще не искажает заметно
магнитные поверхности. Этот ре-
результат может быть пояснен при-
примером системы с токовым удер- Рис. 11
жанием: если последний член в фор-
формуле F. 16) достаточно велик, то на фоне смещения, вызы-
вызываемого внешним полем Ай = — b -?-, смещение, связанное с дав-
лением Ар =
— Ъ% ( ] Qa \
f- может оказаться несущественным.
Ва '
§ 7. Гидродинамическая аналогия равновесных конфигураций
Если в уравнениях равновесия A. 1) — A. 3) сделать замену
G.1)
то получим уравнения, описывающие стационарное течение несжи-
несжимаемой жидкости. Отсюда вытекает, что если ротор скорости рас-
распределен в пространстве так же, как плотность тока в равновесной
магнитогидродинамической конфигурации, то линии тока гидро-
гидродинамического течения имеют в точности ту же форму, что и ма-
магнитные силовые линии данной равновесной конфигурации.
Таким образом, каждая равновесная конфигурация имеет аналог
в виде некоторого стационарного течения несжимаемой жидкости.
С этой точки зрения представляет интерес равновесие кольцевого
тока (без продольного магнитного поля) в однородном магнитном
поле, перпендикулярном к плоскости кольца. При однородном
распределении тока по сечению кольца величина этого удерживаю-
удерживающего поля в соответствии с формулами E. 42) и E. 41) (при Ве =
= Bt и /,• = 1/2) равна
J
121

Согласно указанной аналогии, по этой формуле можно определить
скорость потока, поддерживающего в равновесии кольцевой вихрь
тех же размеров, что и кольцевой ток, если сделать замену
i-*--^x, гдех=/?Ы5—напряжение вихря (аналог тока).
Отсюда легко находится и скорость вихревого кольца в неподвиж-
неподвижном газе, которая, очевидно, равна скорости потока, взятой
с обратным знаком [10]
§ 8. Диффузия и дрейфы в равновесной конфигурации
Равновесие, описываемое уравнениями магнитной гидроста-
гидростатики A. 1) — A. 3), является приближенным, так как эти уравне-
уравнения оказываются несовместимыми с законом Ома для плазмы, если
гидродинамическая скорость плазмы равна нулю. А это означает,
что в равновесной конфигурации имеются дрейфовые и диффузион-
диффузионные движения плазмы, скорость которых, однако, мала по сравне-
сравнению с тепловой скоростью, чем и оправдывается опускание инер-
инерционных членов в уравнении равновесия A. 1).
Обобщенный закон Ома в случае двухкомпонентной (водородо-
подобной) плазмы [38] выражается следующей формулой:
(8.1)
R /Rt^ R ^R \7^
Здесь j ц = -j^-; jx = j — j ii I V и = {В2 ; п — плотность
плазмы (число зарядов одного знака в единице объема); pt =
= nTi—давление ионов; Те и Tt —температура электронов и ионов;
0j_ = c{TbJ2 и а и —поперечная и продольная проводимости плазмы
(для водородной плазмы <Гц =5; 2(т±); г—заряд электрона по мо-
модулю.
Спроектируем формулу (8. 1) на вектор В и на плоскость, пер-
перпендикулярную к В. Умножая формулу (8. 1) скалярно и векторно
на В, получим
a, (BE'); (8.2)
где
122
[Е'В] с [JB] 3 сЧ
Е' = Е—l-Vft + ^VnTY (8.4)

Первый член в выражении для скорости (8. 3) представляет ско-
скорость дрейфа плазмы
"ДР
= с-^. (8.5)
Второй член в выражении (8. 3) определяет скорость диффузии
плазмы поперек магнитного поля. С помощью уравнения равнове-
равновесия A. 1) он может быть записан так
Третий член определяет скорость термодиффузии плазмы поперек
магнитного поля. При одинаковом направлении Vp и VTe эта ско-
скорость противоположна скорости диффузии. Последний член
в соотношении (8. 3) выражает скорость вдоль магнитного поля;
а — произвольная функция, значение которой должно опреде-
определиться из уравнения непрерывности.
Для полного решения задачи о движении плазмы в равновесной
конфигурации необходимо еще учесть уравнения баланса тепла
для электронов и ионов, из которых должны быть определены тем-
температуры Те и Tt. Мы, однако, для простоты рассмотрения не бу-
будем пользоваться этими уравнениями, а будем считать темпера-
температуры Те и Тг заданными. Естественно при этом принять, что Те =
= Те (р), Т( = Т{ (р), соответственно о = а (р), п == п (р) (так
как на магнитной поверхности температура хорошо выравнивается
дрейфовым и нормальным «незамагниченным» потоками тепла).
В этом случае последнее слагаемое в формуле (8. 1) можно запи-
записать в виде (поскольку, согласно выражению C. 5), jx = с „а )
en rBV7, dTe 3 dTe }х
(8-7)
Для скорости термодиффузии получаем
От. диф = г" П 4F Удиф" (8- 8)
Рассмотрим сначала стационарный случай, когда все величины
в данной точке равновесной тороидальной конфигурации не ме-
меняются во времени. При этом напряжение на обходе тора также
должно сохранять постоянное значение
Ed\2 = \-^ = const = ?„. (8.9)
123

Пусть сначала <50 = 0 (система с магнитным удержанием, так как
из ё0 = О автоматически следует, что продольный ток Jг= О*).
Учитывая зависимость р1 (р) и п (р), можно записать
?' = _V<p, (8.10)
где ф—однозначный потенциал. В цилиндрическом плазменном
шнуре, удерживаемом в равновесии продольным магнитным полем,
по условиям симметрии эквипотенциали совпадают с магнитными
поверхностями; следовательно, дрейф может быть направлен
только в азимутальном направлении. Скорость этого дрейфа,
характеризующего вращение плазменного шнура, в рамках рас-
рассматриваемых уравнений может быть произвольной (она зависит
от способа создания плазмы). Если вращение отсутствует, то Е' =
= 0. В тороидальных же системах всегда Е' ф 0. Действительно,
равновесие в тороидальных системах с магнитным удержанием
(типа стелларатора) невозможно без продольного тока (уравнения
равновесия A. 1) — A.3) несовместимы при условии jn = 0).
Поэтому, как следует из уравнения (8. 2), В V уф 0, т. е. эквипо-
эквипотенциали не совпадают с магнитными поверхностями. Следова-
Следовательно, линии дрейфа в тороидальных конфигурациях пересекают
магнитные поверхности. Чтобы выяснить, к каким потерям плазмы
из объема приводят эти дрейфы, необходимо взять интеграл от
потока плазмы с дрейфовой скоростью5 (8. 5) по замкнутой магнит-
магнитной поверхности. Элемент магнитной поверхности в равновесной
конфигурации можно записать в виде
Раскрывая произведение [E'B][jB] [см. выражение C.6I
и пользуясь соотношением (8. 2), находим
j|} (8.12)
где интегрирование производится по объему слоя, расположенного
между поверхностями р = const и р + dp = const. Первый интег-
интеграл с учетом условия потенциальности электрического поля (8. 10)
и условия divj = 0 (являющегося следствием уравнения rot В =
4 л v
= — п преобразуется к поверхностному и, поскольку нормаль-
* Действительно, интегрируя уравнение (8. 2) по объему слоя, заключенного
между соседними магнитными поверхностями, по аналогии с выражениями E. 24)
и E. 25) найдем
So с1Уг = — {(/о + J3) Ah - Jz dJi}.
При ?„= 0 отсюда следует, что J2= const (/„ -f J3). На магнитной оси J\ =
= /3 = 0. Отсюда const = 0 и, следовательно, всюду J2= 0 [21].
124

ная компонента тока равна нулю (j Vp = 0), исчезает. Таким обра-
образом,
п(р)
I
Как нетрудно видеть из выражений (8. 6) и (8. 11), диффузионные
потери можно записать в аналогичном виде:
-av. (8.Н)
Из сравнения формул (8. 13) и (8. 14) видно, что при /ц •~-/х
наличие дрейфов приводит лишь к изменению численного коэффи-
коэффициента в диффузионных потерях плазмы *.
Поток плазмы, связанный с термодиффузией, согласно выра-
выражению (8. 8), отличается от диффузионного лишь множителем
Yn'js- Таким образом, для суммарного потока плазмы, про-
проходящего через магнитную поверхность р — const, получаем сле-
следующее выражение:
p ^D^)} (a .5)
Здесь через dQ\\ и dQx обозначены энергия, диссипируемая про-
продольным и поперечным токами в единицу времени в слое, располо-
расположенном между поверхностями р = const и р + dp = const:
^SV. (8.16)
J II J x
dV dV
Выясним в качественном отношении, при каких условиях термо-
термодиффузия может полностью скомпенсировать потери плазмы.
С этой целью примем, что TJTe = t = const; dQ\\/dQ± = q =
= const.
Тогда поток плазмы (8. 15) обратится в нуль при Те = constj X
Хр6 . При этом п = const2pij d 6 . Реше-
Решение, соответствующее значениям t — 1 и q = 0, рассматривалось в
первых работах по магнитному термоядерному реактору [1, 2] для
случая цилиндрического столба плазмы. В этом решении плот-
1 — 1а
ность плазмы растет к границе. Если же t < —¦^-L (т. е. темпера-
температура ионов составляет менее одной четверти от электронной), то
* Оценку отношения /«//_[_ можно получить из условия <flvj= 0. Для
стелларатора в форме восьмерки, например, di v j ,, ~ -^-, где R — длина трубки.
Дивергенция поперечного тока связана с кривизной силовых линий и по порядку
величины d\v jx ~ -ф. Отсюда вытекает, что /ц ~ /х [19].
125

возможна равновесная стационарная конфигурация без потерь
плазмы (если только выполняется условие q <i -~-) •
Пусть теперь ?0 Ф 0. Выражение для скорости, нормальной
к магнитной поверхности, удобно получить непосредственно
из формулы (8. 1). Умножая эту формулу скалярно на j и учиты-
учитывая, что — [vB ] j =—v Vp, находим
-vV, = -JE + i + A_4^(Vr,Vp) (8-17)
и, следовательно,
Интегрирование в первом члене правой части выполнено здесь
так же, как и при получении выражений E. 24) и E. 25).
Из этой формулы видно также, что дрейф плазмы в приложен-
приложенном к ней электрическом поле (первый член) и термодиффузия (по-
(последний член) могут, в принципе, скомпенсировать потери плазмы
в конфигурации, определяемые вторым и третьим членами.
В качестве примера стационарного решения при ?0 Ф 0 рас-
рассмотрим случай, когда закон Ома имеет вид j = а \Е-\ [vB]l
I с I
{т. е. считаем Стц = ах и пренебрегаем термодиффузией). Для тон-
тонкого тороидального плазменного шнура решение находится раз-
разложением по кривизне тора \/R. За нулевое приближение прини-
принимается распределение, относящееся к цилиндрическому шнуру:
п = по (б)'- ве> = ^и (Р); в°ч> = во- Скорости дрейфа, возникаю-
возникающие в торе, в координатах Q, ф, (о (см. § 6) имеют вид (Ео =
- S0/2nR):
<@) R
Rno(Q) dQ
2cEnBn
sin ю;
(8. 19)
При этом суммарный поток плазмы, проходящий через магнитную
поверхность, равен нулю. Уравнение линий тока в плоскости
Ф = const имеет вид:
e>(Q) sin со = const. (8.20)
В°а (Q)
На рис. 12 стрелками показано направление движения частиц
плазмы.
126

Заметим, что если по какой-либо причине компенсация диффу-
диффузии не осуществляется (например, из-за возможной неустойчивости
данного режима), то стационарное состояние может быть осуще-
осуществлено при введении источников плазмы, компенсирующих ее
потери.
Найдем теперь выражение для потока плазмы в нестационарных
условиях. В этом случае, как уже отмечалось в§ 3, функциональ-
функциональная зависимость между поверхностными величинами меняется во
времени. Поверхности ?2 = const, Ч^ = const, /2 = const и т.д.
движутся в пространстве (меняются их форма и объем, который
они ограничивают) и притом с разными
скоростями. Поэтому, говоря о потоке
плазмы, проходящем через одну из ука-
указанных поверхностей, необходимо уточ-
уточнять, о какой именно поверхности идет
речь. Пусть S — некоторая поверхностная
величина (в качестве S может быть исполь-
использована любая из указанных в § 3 поверх-
поверхностных величин, например объем, огра-
ограниченный магнитной поверхностью, и др.).
Определим поток плазмы, проходящий
через поверхность S = const (-77 = 0).
Примем S и t за независимые перемен-
переменные, через которые выражаются все осталь-
остальные поверхностные величины. Согласно
закону электромагнитной индукции, для
циркуляции электрического поля по контурам /2 и /3, расположен-
расположенным на движущейся поверхности S = const, имеем
,-,. 1_ ffV (S, t)
С
р .„
at
1 6У2 (S, t)
с dt
(8.21)
Отсюда по аналогии с выражениями C. 16) и C. 22) можно напи-
написать
dt
;, 0 dm
2я '
(8. 22)
где \i — однозначная функция. Используя эти соотношения, не-
нетрудно по аналогии с выражениями E. 24) и E. 25) получить
dV
(8. 23)
127

где dV, dJ2 и dJ3 — объем и токи между соседними поверхностями
S = const, S + dS = const. Для потока плазмы, проходящего
через движущуюся поверхность S = const, из формул (8. 17),
(8. 11) и (8. 23) получаем
f
J
dp/dS \ с \ dS dt dS dt j ~r dS
dS dt j ~r dS ~r
Из уравнения (8. 2), проинтегрированного по объему dV, заклю-
заключенному между поверхностями 5 = const и 5 + ds = const, можно
получить
dJt dJ* т _ qn(g
dS ' ~ dS •/2 ~ W (dS dt ~ dS ~dj
Следует отметить, что закон Ома (8. 1) и полученные из него
выводы имеют более ограниченную область применимости, чем
уравнение равновесия. Так, например, колебания плазмы, в кото-
которых амплитуда колебаний магнитного поля 6В < В, на уравнение
равновесия A. 1) влияют несущественно, тогда как закон Ома они
могут сильно исказить. В самом деле, колебания существенно
а .
повлияют на закон Ома, когда квадратичный член — [8v6B]
сравним по величине с невозмущенной плотностью тока /_[_. Отсюда
для скорости плазмы в таких колебаниях получаем оценку
с /, с j, В в
б1>^^ =°диФ-бв- (8-26)
Благодаря малости диффузионной скорости скорость колебаний
может быть еще значительно меньше тепловой даже при В > 6В.
Это и дает возможность пользоваться уравнениями равновесия,
в то время как «ламинарный» закон Ома становится уже не-
неприменимым [39].
§ 9. О равновесии плазмы с неизотропным давлением
В проведенном выше исследовании условий равновесия сущест-
существенно использовалось предположение об изотропности давления
плазмы. Давление плазмы естественно принимать изотропным,
если речь идет о достаточно длительном удержании плазмы. В раз-
разреженной высокотемпературной плазме может представлять инте-
интерес удержание плазмы и в течение времени, малого по сравнению
со временем между кулоновскими столкновениями частиц. Закон
движения зарядов вдоль и поперек магнитного поля различен.
Поэтому, если время установления максвелловского распределе-
распределения велико по сравнению со временем существования плазмы, то
128

можно говорить о двух давлениях плазмы — продольном рц и'попе-
и'поперечном р± В этом случае компоненты тензора TiK B. 2) имеют вид
р±==р±+~; Рг=Р*-1&- <9Л>
дТ ¦
Уравнение равновесия B. 1) —=~^- = 0 можно записать в вектор-
векторах,,;
ной форме. Проекции этого уравнения на направление магнитного
поля и на перпендикулярное к нему имеют следующий вид:
4Я (р. — рЛ В2
% VH = 0= (92)
^^}4 0. (9.3)
Из уравнения (9. 2) видно, что при р±ф Р\\ появляется сила, дей-
действующая вдоль магнитных силовых линий там, где имеется гра-
градиент напряженности магнитного поля. Поэтому для удержания
неизотропной плазмы нет необходимости в создании конфигурации
с тороидальными магнитными поверхностями.
Если переходный слой между плазмой и вакуумом достаточно
тонкий, так что его можно принять за поверхность, на которой
терпят разрыв физические величины, то необходимо использовать
граничные условия — непрерывность нормальной компоненты
магнитного поля Вп и вектора TiKnK (где п — нормаль к поверх-
поверхности). Это последнее условие, переписанное в проекциях на век-
вектор п и на плоскость, перпендикулярную п, имеет вид (считаем, что
вне плазмы — вакуум):
В1 — В? (ВпK
VJ ^)V <94>
(Вп) Pj-~/» [пВ,] = ± [п, Ве - В.] (Вп). (9. 5)
Здесь Bt, Be — внутреннее и внешнее поля на поверхности
плазмы. Во втором условии сокращение на Вп не сделано,
чтобы сохранить возможность перехода и к случаю изотропного
давления, когда Вп = 0.
Приведем пример конфигурации без тороидальных поверх-
поверхностей с простой геометрией и простым распределением величин.
Пусть плазма находится внутри сферы радиуса а и магнитное поле
внутри сферы однородно, а снаружи является суммой дипольного
и однородного полей. Тогда распределение давления и магнитного
9 Вопросы теории плазмы. Вып. 2. 129

тюля в такой конфигурации имеет вид (в сферической системе коор-
координат г, 6, ф):
г<а
Bt = — Bt sin 9;
x
(l--J-cose)-!-
r > a
Мх
X Ц sin 8;
р и = °;
Конфигурация магнитного поля изображена на рис. 13.
Этот пример показывает, что магнитные поля, необходимые
для удержания плазмы с анизотропным давлением, по своей топо-
топологии весьма просты. Удержание вдоль
магнитного поля осуществляется сгуще-
сгущением магнитных силовых линий (магнит-
(магнитные пробки или магнитные зеркала). Центр
тяжести проблемы удержания переносится
не на условия равновесия,а на кинетику
зарядов в магнитном поле, которая опре-
определяет реальное соотношение между рх
и рц и распределение давлений в конфи-
конфигурации.
ЛИТЕРАТУРА
Рис.
1. Тамм И. Е. Теория магнитного термоядер-
термоядерного реактора. Ч. I и III. В кн. «Физика плаз-
плазмы и проблема управляемых термоядерных ре-
реакций». Т. III. M., Изд-во АН СССР, 1958,
стр. 3, 31.
2. С а х а р о в А. Д. Теория магнитного термоядерного реактора. Ч. II.
Там же, т. I, стр. 20.
3. Б у д к е р Г. И. Вопросы, связанные с дрейфом частиц в тороидальном
магнитном термоядерном реакторе. Там же, т. I, стр. 66.
4. Леонтович М. А. О силах, действующих на прямолинейный ток,
находящийся внутри проводящей цилиндрической трубы. Там же, т. I,
стр. 110.
5. Брагинский СИ. Стягивание плазмы под действием собственного
магнитного поля. Там же, т. I, стр. 115.
6. Брагинский СИ. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 33, 645 A957).
130

7. Брагинский СИ. и Шафранов В. Д. Плазменный шнур при
наличии продольного магнитного поля. В кн. «Физика плазмы и проблема
управляемых термоядерных реакций». Т. II. М., Изд-во АН СССР, 1958,
стр. 26.
8. Б у д к е р Г. И. Некоторые вопросы, связанные с пространственной устой*
чивостью кольцевого тока в плазме. Там же, т. III, стр. 32.
9. О с о в е ц СМ. Плазменный виток в электромагнитном поле. Там же,
т. II, стр. 238.
10. Шафранов В. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 33, 710 A957).
И.Брагинский СИ. и Кадомцев Б. Б. Стабилизация плазмы
с помощью охраняющих проводников. В кн. «Физика плазмы и проблема
управляемых термоядерных реакций». Т. III. M., Изд-во АН СССР, 1958,
стр. 300.
12. Кадомцев Б. Б. Магнитные ловушки с гофрированным полем. Там же,
т. III, стр. 285.
13. К а д о м ц е в Б. Б. О гидродинамике плазмы низкого давления. Там же,
т. IV, стр. 16.
14. Кадомцев Б. Б. Магнитные ловушки для плазмы. Там же, т. IV, стр. 353.
15. Кадомцев Б. Б. и Брагинский СИ. Стабилизация плазмы
с помощью неоднородных магнитных полей. В кн. «Труды Второй между-
международной конференции по мирному использованию атомной энергии». Докл.
советских ученых. Т. 2 — Ядерная физика. М., Атомиздат, 1959, стр. 175.
16. Брагинский СИ. и Шафранов В. Д. К теории высокотемпера-
высокотемпературного плазменного шнура. Там же, стр. 221.
17. Бирман Л., Хайн К-, Иоргенс К-, Люст Р. Аксиально-
симметричные решения магнитогидростатического уравнения с поверхност-
поверхностными токами. В кн. «Управляемые термоядерные реакции». М., Атомиздат,
1960, стр. 151.
18. Люст Р., Шлютер А. Равновесные магнитогидродинамические
системы, обладающие аксиальной симметрией. Там же, стр. 204.
19. С п и т ц е р Л. Исследования на стеллараторе. В кн. «Труды Второй меж-
международной конференции по мирному использованию атомной энергии».
Избр. докл. иностр. ученых. Т. 1 — Физика горячей плазмы и термоядерные
реакции. М., Атомиздат, 1959, стр. 505.
20. Джонсон, Оберман, Кулеру д, Фримен. Некоторые устойчи-
устойчивые магнитогидродинамические равновесные конфигурации. Там же, стр. 193.
21. Крускал и Кулеру д. Равновесие удерживаемой магнитным полем
плазмы в тороиде. Там же, стр. 221.
22. Г р а д и Рубин. Магнитогидродинамическое равновесие и бессиловые
поля. Там же, стр. 131.
23. М е у е г F. und Schmidt H. Z. Naturforsch., 13a, 1016 A958).
24. К i р р е п h a n R. Там же, стр. 260.
25. J о г g e n s К. Там же, стр. 493.
26. Newcomb W. A. Phys. Fluids, 2, 362 A959).
27. L a i i п g E. W., Roberts S. J. and W h i p p 1 e R. T. R. J. Nucl.
Energy, 1С, 49 A959).
28. Шафранов В. Д. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37, 1088 A959).
29. Кадомцев Б. Б. Там же, стр. 1352.
30. В а н д а к у р о в Ю. В. «Ж- техн. физ.», 29, 1312 A959).
31. В а н д а к у р о в Ю. В. «Ж- техн. физ.», 30,134 A960); там же, 31, 907 A961).
32. Ш а ф р а н о в В. Д. «Ж- техн. физ.», 33, 137 A963).
33. G r e e n J. M. and Johnson J. L. Phys. Fluids, 4, 875 A961).
34. H a m a d a S. «Ядерный синтез», 1—2, 23 A962).
35. G r e e n J. M. and Johnson J. L. Phys. Fluids, 5, 510 A962).
36. Шафранов В. Д. «Атомная энергия», 13, 521 A962).
37. С к о р н я к о в Г. В. «Ж- техн. физ.», 32, 261 и 777 A962).
38. Брагинский СИ. Явления переноса в плазме. В кн. «Вопросы теории
плазмы». Вып. 1. М., Госатомиздат, 1963.
39. Кадомцев Б. Б. «Ядерный синтез», 1, 286A961).
9*

ГИДРОМАГНИТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ
Б. Б. Кадомцев
Введение
Неустойчивости в плазме условно можно разделить на две
большие группы — гидродинамические и кинетические. К гидро-
гидродинамическим мы относим такие неустойчивости, которые связаны
с перемещением макроскопических участков плазмы. При теоре-
теоретическом исследовании таких неустойчивостей можно пользоваться
уравнениями гидродинамики, т. е. можно приближенно считать,
что все заряженные частицы, заключенные в некотором макроско-
макроскопическом объеме, совершают одно и то же среднее движение.
Кинетическими неустойчивостями условимся называть такие,
для которых оказывается существенным различие в движении
разных групп частиц, находящихся в одном и том же объеме.
Типичным примером такой неустойчивости является пучковая
неустойчивость, возникающая в результате взаимодействия частиц
пучка с электронами и ионами плазмы. Кинетические неустойчиво-
неустойчивости, как правило, связаны с высокочастотными колебаниями с ко-
короткими длинами волн, и в этом смысле они являются как бы
«микроскопическими» по отношению к крупномасштабному и более
медленному гидродинамическому движению.
Гидродинамическая неустойчивость непосредственно связана
с перемещением плазмы в пространстве, и поэтому она особенно
важна для таких явлений, в которых основным является макро-
макроскопическое движение. Истоки теории гидродинамической или,
вернее, гидромагнитной, устойчивости ведут, с одной стороны,
к астрофизике (см., например, работу [8]), а с другой — к проб-
проблеме управляемой термоядерной реакции.
В работе Леонтовича [1 ], являющейся одной из первых в этом
направлении, рассмотрено стабилизирующее действие на ток про-
проводящего кожуха, а в работе Леонтовича и Шафранова [2] по-
поставлен и рассмотрен вопрос о стабилизации тока с помощью про-
продольного магнитного поля. Более подробное рассмотрение этих
вопросов проведено в последующих работах Шафранова [4,6].
С проблемой удержания плазмы магнитным полем связана
также работа Крускала и Шварцшильда [7]. В дальнейшем воп-
132

росу устойчивости идеальной плазмы в магнитном поле было посвя-
посвящено значительное количество работ, и в настоящее время он полу-
получил довольно полное освещение.
Настоящая работа имеет целью систематическое изложение
основных вопросов гидромагнитной устойчивости идеально про-
проводящей плазмы (за исключением § 11 и 12, в которых учитывается
конечная проводимость). В соответствии с этим за основу иссле-
исследования взяты уравнения одножидкостной магнитной гидродина-
гидродинамики. Дрейфовые неустойчивости, исследование которых следует
проводить на основе гидродинамики двух жидкостей (электрон-
(электронной и ионной), а тем более кинетические неустойчивости, для кото-
которых существенно распределение частиц по скоростям, в настоящей
работе не рассматриваются (эти вопросы были кратко рассмотрены
в обзоре Веденова, Велихова и Сагдеева [33]). Кроме того, здесь
исследуются только равновесные системы, т. е. предполагается,что
в исходном состоянии плазма покоится.
В § 1 выводятся уравнения малых колебаний неоднородной
плазмы. Рассмотрению энергетического принципа посвящен § 2.
Наиболее полно этот принцип сформулирован в работе Берн-
штейна, Фримена, Крускала и Кулсруда [15], хотя частично он
использовался и ранее [12—14]. Согласно энергетическому прин-
принципу, для исследования гидромагнитной устойчивости идеальной
плазмы достаточно рассмотреть лишь потенциальную энергию
малых колебаний, которая дается формулой B. 7).
В § 3 показано, что выпуклая граница плазмы без вморожен-
вмороженного магнитного поля неустойчива, а вогнутая устойчива. В § 4—6
рассматривается конвективная неустойчивость плазмы (Лонгмайр
и Розенблют [16], Кадомцев [17]).
В § 7 рассматривается устойчивость пинча с продольным то-
током и, в частности, устанавливается условие устойчивости Ша-
франова—Крускала по отношению к извиванию. Физический смысл
такой «винтовой» неустойчивости, разбирается в § 9. В § 8 рас-
рассматривается устойчивость шнура с распределенным током, в част-
частности, выводится условие отсутствия конвективной неустойчи-
неустойчивости (условие Сайдема [19]) и рассматривается устойчивость
тонкого скин-слоя (по Розенблюту). В § 10 обсуждается вопрос
об устойчивости тороидальных систем.
Устойчивость плазмы с конечной проводимостью в настоящее
время изучена хуже. Поэтому здесь разбираются только два при-
примера, когда отказ от условия идеальной проводимости приводит
к появлению новых неустойчивостей. В § 11 рассматривается
токово-конвективная неустойчивость, имеющая место в шнуре
с током при условии, что проводимость плазмы меняется в про-
пространстве. В § 12 рассматривается перегревная неустойчивость,
которая развивается в обычно встречающихся условиях, когда
проводимость плазмы зависит от температуры. Механизм пере-
гревной неустойчивости, которая может быть существенной для
анизотропии проводимости вдоль и поперек магнитного поля, был
133

предложен Леонтовичем и рассмотрен затем Шафрановым и Бра-
Брагинским.
В данной работе устойчивость исследуется только в линейном
приближении, т. е. фактически по отношению к бесконечно малым
возмущениям. Если стать на точку зрения, что абсолютно устой-
устойчивое состояние плазмы является исключением из обычных усло-
условий неустойчивой плазмы, то значительно больший интерес пред-
представляет вопрос о том, к каким последствиям приводит неустой-
неустойчивость плазмы. В настоящее время этот вопрос, связанный с уче-
учетом различного рода нелинейностей, усиленно разрабатывается,
но его рассмотрение выходит за рамки настоящей работы.
§ 1. Уравнение малых колебаний
*
Математически задача об устойчивости сводится к исследова-
исследованию малых колебаний вблизи равновесного состояния. Для коле-
колебаний с малой амплитудой можно воспользоваться линеаризован-
линеаризованными уравнениями движения. Пусть q, p, В представляют собой
малые отклонения плотности, давления и магнитного поля от
равновесных значений q0, р0, Во. Тогда линеаризованные уравне-
уравнения магнитной гидродинамики можно записать в виде
-g-+div(Qov) = O; A.1)
6о -|L 4 Vp = -i- [rot Bo, B] + -^- [rot B, Bo]; A. 2)
-|f + vVA, + YA>divv = O; A.3)
¦f-=rot[vB0], A.4)
где v — скорость плазмы, у — показатель адиабаты.
Вместо скорости v удобно ввести смещение плазмы из положе-
положения равновесия |, так что v = -Л-. При этом уравнения A. 1),
A. 3) и A. 4) могут быть проинтегрированы по времени, и Q, р и В
выражаются явно через §:
Q= — div(eol); P= ^-lVjD0—YjMivg; B = rot[gB0]. A.5)
После подстановки этих выражений в уравнение A.2) полу-
получается одно дифференциальное уравнение второго порядка для §:
Qo U = V {iVp0 + y Po div 1} +¦ -L [rot Bo, rot [|В0] +
+ -± М rot ЦВ0], Во]. A.6)
Это уравнение должно быть дополнено граничными условиями.
Плазма в лабораторных условиях обычно может быть представлена
окруженной проводящим кожухом, на поверхности которого тан-
тангенциальная компонента электрического поля Et обращается
134

в нуль (за исключением, быть может, некоторых щелевых разре-
разрезов на этом кожухе). Отсюда следует, что на таком кожухе должна
обращаться в нуль нормальная компонента магнитного поля Вп.
Если плазма соприкасается с неподвижными проводниками, в част-
частности, с кожухом, то из условия Et = 0 следует условие
igBo], = 0 на поверхности проводников. В общем случае оно озна-
означает, что смещение | должно обращаться в нуль в месте контакта.
Однако в более частном, но чаще встречающемся случае, когда
Во тангенциально поверхности проводника, это условие сводится
к более простому |„ = 0.
С точки зрения термоизоляции высокотемпературной плазмы
особый интерес представляют такие равновесные состояния плазмы,
в которых плазма не соприкасается с внешними проводниками,
а отделена от них некоторой вакуумной областью (с пренебрежимо
малой плотностью). Этот случай является, очевидно, и более
общим. Поэтому следует особо рассмотреть, как должны быть
поставлены краевые условия на границе объема, занятого
плазмой.
Пусть So есть равновесная граница между плазмой и вакуумом.
Для общности предположим, что на границе плазмы может течь
поверхностный ток, следовательно, при переходе через нее давле-
давление плазмы и магнитное поле могут испытывать конечные скачки.
Поскольку такая граница является по существу математической
идеализацией очень тонкого переходного слоя, который в равно-
равновесном состоянии представляет собой набор поверхностей постоян-
постоянного давления, то и равновесная граница 50 является поверхностью
постоянного давления. Поэтому нормальная компонента магнит-
магнитного поля на So равна нулю. Кроме того, из уравнения равно-
равновесия
Vp0 = ^ [rot Во, Во] A.7)
следует, что полное давление р0 + ¦„— есть также непрерывная
в2- В2
величина поперек поверхности, т. е. р0 + -~ — -^-, где Во1 —
поле внутри, а ВОе — снаружи от плазмы.
Аналогичное условие баланса давлений соблюдается и на сме-
смещенной поверхности, так как в противном случае ускорение гра-
границы было бы бесконечно большим. Оно имеет вид
ро + р + JL. (Ът + В^J = -^ (ВОе + В,J. A.8)
Здесь все величины берутся на смещенной границе, т. е. в точке
г = г0 + 1пщ, где г0 — точка на поверхности So, n0 — нормаль
к So в этой точке, %а = (по|). Разлагая выражение A.8) в ряд по
135

малым величинам и ограничиваясь линейным приближением, по-
получим одно из граничных условий:
где значения всех величин берутся в произвольной точке равно-
равновесной границы So.
Второе граничное условие является следствием идеальной про-
проводимости плазмы, т. е. вмороженности силовых линий. Ввиду
того что проводимость плазмы по предположению бесконечна,
электрическое поле Е* = Е И tvBOl- ] в системе координат,
связанной с жидкостью, тождественно равно нулю. А в силу не-
непрерывности тангенциальной компоненты электрического поля E*t
снаружи от плазмы она также будет равна нулю:
Е, + 4" [vBj, = 0. A.10)
Поскольку оба слагаемые здесь являются малыми величинами
первого порядка, то это условие можно считать выполненным на
невозмущенной границе и тогда его можно записать в виде:
Учитывая, что согласно уравнению Максвелла -г— = —с rot E
нормальная компонента магнитного поля выражается только через
тангенциальные компоненты электрического поля, условие A.10)
можно записать еще в виде:
(n0BJ = n0rot[?B0J. A.12)
Снаружи от плазмы, в вакууме, электрическое и магнитное
поля можно описывать при помощи векторного потенциала, по-
1 6А
лагая Ее = -кг-; Ве = rot А, причем на А налагается условие
калибровки div А = 0. В силу отсутствия токов в этой области А
удовлетворяет уравнению
rot rot A = 0. A. 13)
Граничное условие A.12) можно, очевидно, записать и так:
[п0А] = - ?„ВОе. A.14)
Кроме того, потенциал А удовлетворяет условию
[пА]--=0 A.15)
на металлическом кожухе.
Таким образом, задача о малых колебаниях плазмы вблизи
равновесного состояния сводится к решению уравнений A.6) и
136

A. 13) с граничными условиями A.9) й A. 14) на свободной гра-
границе плазмы и с граничным условием A. 15) — на проводящем
кожухе.
Вследствие линейности уравнений зависимость всех функций
от времени можно выбрать в виде ехр (—iat). Тогда после отделе-
отделения временного множителя все соотношения останутся неизмен-
неизменными, и лишь в левой части уравнения A. 6) будет стоять — Q0w2|.
При этом задача об устойчивости сводится к задаче на собственные
значения.
В § 2 будет показано, что в рассматриваемом здесь случае
идеальной плазмы квадрат частоты со2 собственных колебаний
является величиной действительной. Поэтому, если все собствен-
собственные значения ю,- положительны, то соответствующее равновесное
состояние устойчиво. В противном случае, когда хотя бы одно из
собственных значений ш? отрицательно, соответствующее возму-
возмущение будет экспоненциально нарастать со временем и, следова-
следовательно, равновесие является неустойчивым.
§ 2. Энергетический принцип
Задача об устойчивости в том виде, как она сформулирована
в предыдущем параграфе, предполагает предварительное решение
задачи о собственных колебаниях. В некоторых случаях с простей-
простейшей геометрией задача на собственные значения решается до конца,
и это решение дает исчерпывающую информацию о низкочастотных
колебаниях плазмы и, в частности, о ее устойчивости. Однако
в более сложных геометрических условиях решение такой задачи
связано со значительными математическими трудностями. По-
Поэтому желательно иметь возможность судить об устойчивости или
неустойчивости системы, не находя собственных частот. Именно
этой цели и служит энергетический принцип, заключающийся
в исследовании потенциальной энергии малых колебаний.
Прежде чем сформулировать его, покажем, что уравнение ма-
малых колебаний A. 6) является самосопряженным. Для этого За-
Зада -~s Л
пишем его в виде Qo~^r = —Kl = F(|), где К—оператор,
явное выражение которого дается правой частью уравнения A.6).
Физически F (|) можно интерпретировать как силу, а К — как
«коэффициент упругости» при малых смещениях плазмы из поло-
положения равновесия.
Нам достаточно доказать лишь самосопряженность оператора К-
Введем в рассмотрение некоторое вспомогательное смещение ц и
векторный потенциал Q, удовлетворяющий совместно с ц тем же
граничным условиям, что и А совместно с |, а именно:
[noQ] = %BOe B.1)
на границе плазмы и
[nQ] = 0 B. 2)
на проводящем кожухе.
137

Для доказательства самосопряженности нужно показать, что
I t]K|dr = J %Ki\dr для любых | и А; т) и Q — удовлетворяю-
удовлетворяющих граничным условиям A. 14), A. 15), B. 1) и B.2). Умножим
KI на г] и проинтегрируем по объему Vn занятому плазмой.
После интегрирования по частям получим
friK|dr= f (yPo divTidiv g +^ rot [т]В0] rot [?B0] +?VpodivT] —
^( ^) B.3)
¦S.
Покажем, что в объемном интеграле в правой части выражения
B.3) т) и | входят совершенно симметрично. Для первых двух
слагаемых подынтегрального выражения это вполне очевидно,
поэтому нужно рассмотреть только два последних. В эти слагае-
слагаемые составляющая смещения вдоль магнитного поля |ц не входит.
Покажем, что т] ц тоже в них не входит. Действительно, полагая
tj = т]|| = аВ0 и пользуясь условием равновесия A.7), получаем
iVp0 div г, „ - -± [т, „ rot Во] rot ЦВ0] = IV (B0Va) +
+ aVp0 rot [|B0] = div (ч „ • IVp0).
Следовательно, соответствующий интеграл может быть преобразо-
преобразован в интеграл по поверхности So, который исчезает в силу
«оЛII не-
недопустим теперь, что Vp0 в нуль тождественно не обращается.
Тогда ток не совпадает по направлению с магнитным полем, и
| и г] можно разложить по векторам Во, rot Во и е = Vp0/ [ Vp01. Но
поскольку составляющая смещения вдоль поля из последних двух
слагаемых объемного интеграла B.3) выпадает, то можно при-
принять
| = gx rot Bo + ?2е и т] = т^ rot Bo + тJе.
Пользуясь таким представлением | и т] и условием равновесия,
получаем
~~[r\ rot Во] rot ЦВ0] = - -g- [e rot Bo] rot {4л^р0 + ?2 [еВ0]} =
= ilVPo(rot Во Vy + ЛVp0 div (e?s) -|- %g2 ^ [erot Bo] {(eV) Bo -
~(B0V)ej.
Таким образом, рассматриваемая нами сумма приводится
к виду, совершенно симметричному относительно tj и |:
IVр0 div г] — -^- [т) rot Во] rot [1В0] = lxVp0 div Чх + Лх Vpodiv |x +
+ (r1e)(ie)-^(erotB0]{(eV)B0-(B0V)e}. B.4)
138

Теперь в выражении B. 3) нужно преобразовать к симметрич-
симметричному виду интеграл по поверхности. Учитывая граничные усло-
условия B.1) и B.2) для Q, с помощью интегрирования по частям
получаем
ф т]„ (ВОе rot A) dS = J {rot A rot Q — Q rot rot A} dr, B. 5)
где интеграл в правой части берется по объему вне плазмы.
Пользуясь этим соотношением и добавляя в выражение B. 3)
взаимно уничтожающиеся слагаемые, получаем
V; V, S,
Bne rot A
div
j- rot [ЧВО] rot [|B0] + lVp0 div ri — J- [i, rot Bo] rot [|B0]|
J \ 8я Эл (9га 8л дп I
B.6)
Если учесть теперь граничное условие A. 8), выражающее со-
собой равенство давлений на смещенной границе, и условие A.13)
отсутствия тока в вакууме, то в левой части выражения B.6)
останется только первый интеграл. Но это означает, что интеграл
j t]K|dr может быть представлен в виде правой части выраже-
выражения B. 6), полностью симметричной относительно пары векторов |,
А и г\, Q, т. е. оператор К является самосопряженным.
Самосопряженность уравнения малых колебаний означает, что
его можно получить из вариационного принципа наименьшего
действия 6\§Ldt\ =0, где L есть функция Лагранжа, равная
разности кинетической энергии Т = -*¦ \ q0 (-J-) dr и потен-
потенциальной
(div \f + -L- (rot [1BO]J + IVPo div | -
So
Действительно, если проварьировать потенциальную энергию
B. 7) по | и А при дополнительных условиях «вмороженности»
139

[no6A]5o = (поб|)ВОе, [ndA]S(, = 0, то мы получим выражение,
совпадающее с левой частью выражения B. 6) при т] = б|
и Q = 6А. А вариация интеграла по времени от кинетической
энергии равна б | Т dt = — I Qo -щ- &%dr dt. Полагая б J L dt ~
— О и учитывая произвольность вариаций б| и 6А, получаем урав-
уравнения A.6), A.13) и граничное условие A.7).
В силу общих теорем механики мы можем заключить отсюда,
что для устойчивости плазмы необходимо и достаточно, чтобы
потенциальная энергия малых колебаний B. 7) была положитель-
положительной для любого смещения % и потенциала А, удовлетворяющего
граничным условиям A. 14) и A. 15). Или, другими словами,
должно быть положительным минимальное значение W.
Заметим, что энергетический принцип позволяет также при-
приближенно находить частоты собственных колебаний (с помощью
прямых вариационных методов). Действительно, если зависимость
от времени всех величин выбрать в виде ехр (—ioat), то уравнение
малых колебаний приводится к виду oJQ0l = К?, которое может
быть получено из вариационного принципа 6(со2) = 0, где
ffla = Jig*. B.8)
Из последнего выражения, в частности, следует, что со2
является действительной величиной.
Пользоваться энергетическим принципом удобно в тех слу-
случаях, когда нужно получить какие-либо общие сведения об устой-
устойчивости равновесных систем. Для сравнительно простых конфи-
конфигураций разумнее решать уравнение малых колебаний, так как
тем самым дается не только ответ об устойчивости или неустой-
неустойчивости системы, но и полная информация о всех колебаниях,
знание которых может представлять самостоятельный интерес.
Ввиду этого в последующем изложении используется и энергети-
энергетический принцип, и метод собственных колебаний.
§ 3. Устойчивость границы плазма —магнитное поле
Рассмотрим простейший случай, когда внутри плазмы магнит-
магнитное поле отсутствует и, следовательно, все токи текут по поверх-
поверхности. При этом выражение для потенциальной энергии значи-
значительно упрощается, а именно:
W = -i- j m (div Ifdr + ^ j (rot AJrfr+1^ j <- fn dS.
C.1)
dBl
Если -тг— >> 0, т. е. магнитное поле всюду нарастает от гра-
границы плазмы наружу, то потенциальная энергия положительна
140

dBl
и плазма устойчива. Рассмотрим обратный случай, когда —^— <С О
на некотором участке поверхности 50. Покажем, что при этом
всегда можно найти возмущение, для которого потенциальная
энергия отрицательна. Для простоты ограничимся возмущениями
с очень короткой длиной волны. Для таких возмущений границу
приближенно можно считать плоской. Введем локальную систему
координат с осью х, направленной по нормали к поверхности,
и осью г вдоль магнитного поля. Выберем для \п = \х простей-
простейшую зависимость от у и г, а именно: %х = ?оехр (ikvy + ikzz).
Потенциал А можно искать в виде Аоехр (ikr), где Ао = const.
Минимизация выражения C. 1) по А дает rot rot A = 0, т. е.
?2А0 — к (Аок) = 0. C. 2)
Из граничного условия A.14) получаем: AOz = 0, АОу =
= —%пВо-
Поскольку магнитное поле В = rot A = i [kA ] определяется
только поперечной компонентой А, то без ограничения общности
можно положить кА0 = 0, и тогда из соотношения C.2) следует:
k2 = 0, т. е. kx = —iy k2y-\-k2z = —ix. Учитывая, что Axkx +
-f Avky = 0, находим
Далее, так как рассматриваемое возмущение не изменяет ко-
количества вещества внутри поверхности So, т. е. f \n dS = 0, то
So
| можно так продолжить внутрь плазмы, чтобы div | = 0, т. е. сме-
смещение было бы «несжимаемым». Тогда первый интеграл в выраже-
выражении C. 1) исчезнет, а остальные два приводят к следующей вели-
величине энергии на единицу поверхности Ws:
Отсюда видно, что при -^- < 0 потенциальная энергия ста-
становится отрицательной для возмущений с k2zl%->0, т. е. с боль-
большой длиной волны вдоль силовых линий.
Волна такого возмущения имеет вид «языка», ориентирован-
ориентированного вдоль силовых линий (рис. 1). Такой «язык» очень слабо
возмущает магнитное поле: он как бы просовывается между сило-
2
линиями, лишь немного раздвигая их. Если ~^~<^^' то
«кончик языка» попадает в область, где магнитное давление меньше
р0, и эта разность давлений приведет к дальнейшему натеканию
плазмы в «язык», а следовательно, к ускоренному его вытяги-
вытягиванию.
141

Заметим, что аналогичная неустойчивость может быть и в том
дВ20
случае, когда -з— = 0, но плазма находится в поле тяжести,
направленной в сторону магнитного поля. При этом давление маг-
магнитного поля всюду одинаково, поэтому сила тяжести «языка»
Рис.
У
в
2
Рис. 1
ничем не компенсируется, и он с ускорением вытекает вниз (рис. 2).
Такая неустойчивость, как мы видим, сходна с исследованной
Тейлором и Релеем неустойчивостью тяжелой жидкости, поддер-
поддерживаемой снизу легкой. Правда, эта аналогия не совсем полная.
Неустойчивая
граница
Устойчивая
граница
Рис. 3
Она относится только к возмущениям, вытянутым вдоль силовых
линий. Возмущения, у которых kz/x не является малой величи-
величиной, сильно деформируют магнитное поле, искривляя силовые
линии, и не приводят к неустойчивости. Примером такого возму-
возмущения может служить «язык», ориентированный поперек силрвых
линий.
Обычная неустойчивость Тейлора — Релея является по сути
дела предельным случаем конвективной неустойчивости неодно-
неоднородной (или неравномерно нагретой) жидкости в поле тяжести.
Точно так же неустойчивость границы плазмы с полем представляет
142

собой предельный случай конвективной неустойчивости плазмы
(см. § 5). Поэтому рассмотренные выше возмущения языкообраз-
ного вида, являющиеся почти постоянными вдоль силовых линий,
мы будем называть конвективными.
Итак, граница плазмы с полем устойчива только в случае вог-
вогнутых силовых линий, когда магнитное поле нарастает в сторону
от плазмы. Если силовые линии выпуклые, то граница неустой-
неустойчива по отношению к конвективным возмущениям (рис. 3). Эта
неустойчивость приводит к «рифлению» поверхности плазмы вдоль
силовых линий и в конечном счете к выталкиванию плазмы в сто-
сторону более слабого магнитного поля. Поскольку при этом про-
происходит взаимозамещение плазмы и магнитного поля, то конвек-
конвективные возмущения называют еще перестановочными.
§ 4. Пинч без продольного поля
Теперь на примере пинча, т. е. плазменного столба, удержи-
удерживаемого текущим вдоль него током, рассмотрим устойчивость
плазмы во внутренней области. Предположим, что плазма зани-
занимает весь объем вплоть до проводящих стенок.
Введем цилиндрическую систему координат г, ср, z с осью z,
совпадающей с осью симметрии. Тогда уравнение равновесия в от-
отсутствие продольного магнитного поля можно записать в виде
AfL= ^Bd A
dr 4лг dr у ' v '
(для простоты здесь опущен нулевой индекс у равновесных ве-
величин).
Рассмотрим сначала возмущения, не зависящие от азимута ср.
Для таких конвективных возмущений потенциальная энергия
равна:
D.2)
Подынтегральное выражение, как нетрудно видеть, предста-
представляет собой квадратичную форму только от двух переменных:
\г и div |, которые можно считать независимыми в силу независи-
независи|г и lz.
Как известно, квадратичная форма 2 auxtxj OT нескольких
и
переменных xt является положительно определенной, если поло-
положительны все главные миноры матрицы а1г Применяя этот кри-
критерий к выражению D.2), можно получить условие устойчивости.
из

Производя несложные выкладки, это условие можно привести
к виду
dlnP <¦ 4У ¦
2 +
(Л О,
где Р = -— отношение давления плазмы к давлению маг-
магнитного поля.
Условие D. 3) должно быть выполнено во всех точках г. Дейст-
Действительно, пусть это условие оказывается нарушенным вблизи не-
некоторой точки г0. Тогда в окрестности этой точки можно выбрать
такие \г и div \, скажем \r = a div |, a = const, что подынтеграль-
подынтегральное выражение будет отрицательным. Построим теперь локаль-
локальное возмущение, которое быстро спадает до нуля при удалении
от точки г0, а вблизи этой точки lr = a div §. Такое возмущение
имеет вид перестановки двух силовых трубок. Если, например,
а>0, то трубка с плазмой при смещении по радиусу немного рас-
расширяется, а плазма, вытесняемая этой трубкой к оси, должна
немного сжаться. Потенциальная энергия для такого локального
возмущения будет определяться только окрестностью точки г0
и поэтому может быть отрицательной, если условие D. 3) не вы-
выполнено. В этом случае будет иметь место конвективная неустой-
неустойчивость.
Условие D.3) требует, чтобы давление плазмы не слишком
быстро убывало с увеличением г. Если учесть условие равнове-
равновесия D. 1), которое можно записать в виде
d\np _ 1 /dlnp „\ R _ 8лР
~Ш7 - Г+J \~Ш7 ~~z)' де р ~ В* '
и заменить в выражении D.3) знак неравенства на равенство,
то мы получим предельное распределение давления, которое еще
устойчиво по отношению к аксиально-симметричным возмуще-
возмущениям. В параметрической форме при y = 5//з оно имеет вид
; г = а-^гг-- D-4)
Здесь р0 — давление при г = 0, т. е. Р = —^—> =°, а — не-
некоторый характерный радиус шнура. Это распределение пред-
представлено на рис. 4. Согласно формулам D. 4), давление плазмы не
может убывать при удалении от пинча быстрее, чем г~^— г-1'.
Если давление спадает более круто, чем по закону D. 4), то шнур
неустойчив по отношению к аксиально-симметричным возмуще-
возмущениям. В частности, в предельном случае пинча со сравнительно
резкой границей эта неустойчивость проявляется в образовании
«шеек» или «перетяжек» на границе шнура (рис. 5). При этом
особенно четко выступает перестановочный характер этой неустой-
неустойчивости.
144

Образование таких перетяжек можно истолковать как резуль-
результат сгущения силовых линий около шейки, где магнитное поле
больше, чем на остальных участках границы, более удаленных
от оси шнура. Вследствие натяжения силовых линий вблизи шейки
плазма выдавливается из перетяжки.
Рассмотрим теперь возмущения, зависящие от азимута <р. Так
как любое возмущение можно разложить в ряд Фурье и разные
гармоники взаимно ортогональны (J |^|а dv — 0), то без ограни-
ограничения общности зависимость от ср можно выбрать в виде
\г = \r (r, z) sin ту; |ф = |ф (г, z) cos гщ; lz = lz (r, z) sin ту.
Pip.
г
Рис. 4
г/а
Рис. 5
При этом в подынтегральном выражении B. 7) появятся мно-
множители cos2mcp и sin2m(p, дающие при усреднении V2. Легко
видеть, что компонента смещения вдоль магнитного поля |ф вхо-
входит только в первое слагаемое подынтегрального выражения B. 7)
и при тфО всегда можно так подобрать ^ чтобы div| = 0. Не-
Нетрудно проверить, что для таких возмущений потенциальная энер-
энергия W отличается от выражения D. 2) только тем, что в подынтег-
подынтегральном выражении слагаемое ур (div |J будет отсутствовать, но
зато появится новое слагаемое
1 w2fi2 il2 i I2]
В силу трансляционной симметрии по z зависимость возмущений
от z можно выбрать в виде exp (ikz), и тогда в div ^_l компонента ?z
будет входить в произведении с k. Поэтому если k устремить
к бесконечности, оставляя k\z неизменным, то слагаемое
m2B%z/'4лг2 исчезнет и мы снова получим квадратичную форму
только от двух переменных: \г и div|_f Отсюда опять нетрудно
получить условие устойчивости. Оно имеет вид
d \np
~Ш7
D.5)
Поскольку у > 1, то возмущения с т > 2 не приводят к неус-
неустойчивости, если выполнено условие D. 3). Однако возмущения
Ю Вопросы теории плазмы. Вып. 2. 145

t
/77=/
т =4
Рис. 6
cm= 1 при P>2y/3, т. е. во внутренней части шнура, дают более
жесткое условие устойчивости, чем условие D.3). Можно сказать,
что внутри пинча в первую очередь развивается змейковая (т = 1),
а на его периферии шейковая неустойчивость (т = 0).
Таким образом, с учетом возмущений с т = 1 распределение
D. 4) не является устойчивым. Но если вдоль оси шнура располо-
расположить проводник с током, то можно
добиться, чтобы параметр р" был
достаточно мал, и тогда трубча-
трубчатое распределение плазмы, в ко-
котором давление не слишком бы-
быстро убывает с увеличением ра-
радиуса, будет устойчиво.
Условие D.4) также предста-
представляет собой ограничение на кру-
крутизну спада давления. У пинча
с резкой границей могут разви-
развиваться возмущения с любыми т.
При т. = 1 возмущение приводит
к извиванию шнура, и неустойчи-
неустойчивость в этом случае можно рас-
рассматривать как следствие сгуще-
сгущения силовых линий на вогнутой
и разрежения на выпуклой стороне искривленного шнура.
Для высших т возмущенный шнур имеет вид многозаходного
винта (рис. 6). Такие возмущения приводят к неустойчивости
только в том случае, если шаг винта не очень велик (т. е. отноше-
отношение mlka не очень большое).
§ 5. Конвективная неустойчивость плазмы низкого давления
Рассмотрим частный случай плазмы низкого давления
(Р < !)• При этом условие устойчивости по отношению к возму-
возмущениям с тфО отпадает, а условие D. 3) принимает вид
d In р п /г 1 \
Таким образом, если Вг = 0 и давление плазмы много меньше
давления магнитного поля, то наличие или отсутствие устойчи-
устойчивости определяется только одним условием E. I). Оказывается,
что условие E. 1) является лишь частным случаем более общего
условия конвективной устойчивости для произвольного поля
с -замкнутыми силовыми линиями. Представим себе отдельную
замкнутую трубку, образованную силовыми линиями магнитного
поля и заполненную плазмой с давлением р<^ВЩл. Так как
плазма стремится расшириться, то эта трубка выталкивается в сто-
сторону увеличения своего объема. Однако движение трубки в силь-
сильном магнитном поле не является свободным: всякое заметное ее
искривление связано с большим увеличением магнитной энергии
146

и поэтому недопустимо. Допустимым является лишь такое пере-
перемещение трубки, при котором магнитное поле остается неизмен-
неизменным, т. е. магнитное поле в том месте, куда пришла трубка, должно
остаться практически таким же, что и до ее прихода.
Объем силовой трубки равен V = fsdl, где s — поперечное
сечение трубки, а интеграл берется вдоль силовой линии. Но
sB = ф есть магнитный поток этой трубки, который остается по-
постоянным как вдоль трубки, так и во времени в силу вморо-
женности магнитного потока в идеальную плазму. Поэтому
т. С dl .
У = Ц> ф -q , и, следовательно, трубка с плазмой стремится
С dl .,
двигаться в сторону увеличения интеграла ф-д-- Можно сказать,
что трубка с плазмой в магнитном поле обладает потенциальной
анергией pU, где U = — ф~7Г> и стРемится двигаться в сторону
убывания U. По аналогии с неоднородной жидкостью в поле тя-
тяжести отсюда можно заключить, что плазма будет в равновесии
только в том случае, если ее давление будет постоянно на поверх-
поверхности постоянного U, т. е. р = р (U).
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости такого равновес-
равновесного состояния плазмы. Предположим, что некоторая трубка
с плазмой смещается на бесконечно малую величину, раздвирая
остальные трубки. Если это смещение конвективного типа, т. е. не
искажающее магнитного поля, то относительное изменение объема
трубки равно bV/V = bUlU, а изменение давления вследствие
адиабатического расширения dp = —ypbUIU. Давление же в труб-
трубках,окружающих рассматриваемую нами смещенную трубку,
равно р (U + bU) = р + —- bU. Если смещение происходит
в сторону возрастания U, а давление в смещенной трубке оказы-
оказывается меньше, чем давление окружающей ее плазмы, то трубка
будет стремиться всплывать и, следовательно, такое распределе-
распределение плазмы неустойчиво. Если же, наоборот, давление в трубке
окажется больше, т. е.—УР-тт ^"Ш^'10 тРубка будет вытесняться
в сторону равновесия и плазма будет устойчива. Таким образом,
в магнитной ловушке с замкнутыми силовыми линиями должно
выполняться следующее условие устойчивости:
J (к 2)
dU ^ \U\-
Отсюда следует, что устойчивыми являются не только такие
состояния плазмы, когда давление падает при увеличении U, но
и состояния, в которых давление возрастает вместе с U, но не
слишком быстро. Это условие вполне аналогично условию конвек-
конвекционной устойчивости неоднородного сжимаемого газа в поле тя-
тяжести. Рассмотрим некоторые частные случаи.
10* 147

а. Магнитное поле прямого тока. Поле прямого тока спадает
как г'1, а длина силовой линии пропорциональна г, поэтому
U при удалении от проводника спадает как —г2. Условие устой-
устойчивости E. 2) совпадает, очевидно, с условием E. 1).
б. Точечный диполь. Магнитное поле точечного диполя также
можно рассматривать как магнитную ловушку. Природной ло-
ловушкой такого вида является магнитное поле Земли, а существо-
существование ионных поясов около Земли непосредственно демонстрирует
ее эффективность.
Предположим, что поверхность диполя изолирующая, так что
концы силовых линий не вморожены в его поверхность. Такая
Рис. 7
ситуация, в частности, будет иметь место, если поле создается
кольцевым током малых размеров. В этом случае в плазме допус-
допустимы конвективные возмущения, и, следовательно, условие устой-
устойчивости имеет вид условия E.2). Так как магнитное поле диполя
падает как г"8, а длина силовой линии пропорциональна г, то
U~ — г4 и условие устойчивости принимает вид
[у. E. 3)
din г ^^f-
в. Гофрированное поле. Рассмотрим осесимметричное периоди-
периодическое поле с Вф = 0. Силовые линии такого гофрированного поля
изображены на рис. 7. Каждую «секцию» этого поля можно рас-
рассматривать как ловушку с магнитными пробками. Поэтому ис-
исследование устойчивости в таком поле может пролить свет на устой-
устойчивость плазмы в ловушке с магнитными пробками. Нетрудно
видеть, что в гофрированном поле «потенциальная энергия» U
убывает с г (т. е. U возрастает по абсолютной величине при уда-
удалении от оси системы). Действительно, в силу отсутствия тока
в ловушке )Bdl = const. Поэтому Г —= Г-р- В dl, т. е. \1)\
можно рассматривать как среднее значение от (—^—) . Но
среднее значение от квадрата некоторой
больше квадрата средней величины, поэтому
величины
всегда
\-в-
148

т. е. | U | возрастает с увеличением длины силовой линии. Как
видно из рис. 7, силовые линии, расположенные дальше от оси
,т С dl
симметрии, являются более длинными и поэтому и = •— —б—
убывает при удалении от оси. Отсюда следует, что всякое распре-
распределение плазмы, в котором ее давление обращается в нуль на не-
некоторой силовой линии, является неустойчивым, так как в этих
точках р = 0, а—ттт Ф 0. Другими словами, плазма в гофрирован-
гофрированном поле, вообще говоря, неустойчива.
Из этого рассмотрения делаем еще один вывод. Ввиду того
что всякое увеличение неоднородности магнитного поля с помощью
Рис. 8
внешних проводников приводит к удлинению периферийных си-
силовых линий, то плазма имеет тенденцию двигаться в сторону
неоднородности магнитного поля, т. е. к внешним обмоткам.
г. Многосвязные ловушки. Конвективная неустойчивость
плазмы является в конечном счете следствием диамагнетизма
плазмы, в силу которого она выталкивается из областей с более
сильным магнитным полем. Поэтому с точки зрения устойчивости
следует отдать предпочтение таким ловушкам, в которых магнит-
магнитное поле в среднем нарастает при удалении от области, занятой
плазмой.
Одной из ловушек такого вида является периодическая си-
система (рис. 8), состоящая из прямого соленоида и проводящих
колец с током, текущим в направлении, противоположном направ-
направлению тока в соленоиде. В этой ловушке неоднородность поля
создается кольцами, поэтому как трубки с плазмой, расположен-
расположенные вблизи оси симметрии, так и трубки около соленоида будут
с ускорением двигаться в сторону колец. И лишь те трубки, ко-
которые располагаются на пунктирных силовых линиях, проходя-
проходящих через точки, где поле обращается в нуль, будут устойчивы,
поскольку на этих линиях U обращается в минус бесконечность.
149

Поскольку U нарастает во все стороны от пунктирных силовых
линий, то любое такое распределение плазмы низкого давления,
в котором ее давление монотонно убывает при удалении от этих
линий, заведомо является устойчивым. Однако такая ловушка
обладает тем существенным недостатком, что плазма занимает
многосвязную область, окружающую кольца с током, и поэтому
возникает трудность удержания колец.
§ 6. Стабилизирующее действие проводящих торцов
Условие устойчивости E. 2) относится только к системам с замк-
замкнутыми силовыми линиями. Но такие системы образуют лишь
специальный довольно узкий класс, поскольку в общем случае
силовые линии не замыкаются.
Рассмотрим случай, когда силовые линии упираются в провод-
проводники с бесконечной проводимостью. Следует иметь в виду, что
распределение электронов и ионов по скоростям в таком поле
должно быть сильно анизотропным, так
как в противном случае частицы уйдут
вдоль силовых линий и рекомбинируют на
стенках. Однако для качественных оце-
оценок можно считать распределение изотроп-
изотропным и воспользоваться гидродинамиче-
гидродинамическим приближением, но при этом необхо-
необходимо допустить, что рекомбинация на
торцовых электродах отсутствует и да-
давление плазмы постоянно вдоль силовых
линий вплоть до стенок. Здесь мы вос-
воспользуемся именно такой гидродинамиче-
гидродинамической моделью и предположим, кроме того,
что между плазмой и электродами обеспе-
обеспечен хороший электрический контакт, и,
следовательно, концы силовых линий мож-
можно считать вмороженными в проводники.
Начнем опять с простейшего примера, а именно с поля пря-
прямого тока. Предположим, что цилиндрически симметричный столб
плазмы, расположенный в поле прямого тока, разделен пополам
вдоль оси z идеально проводящей плоскостью (рис. 9). На этой
плоскости смещение | равно нулю, и поэтому возмущения с т = О
недопустимы. Это означает, что всякое возмущение будет при-
приводить к деформации силовых линий. Но все же по-прежнему
наиболее опасными являются возмущения перестановочного типа,
которые минимально искажают магнитное поле. Приближенно
можно считать, что они соответствуют возмущениям с т = 1,
поскольку эти последние удовлетворяют условию |± = 0 на гра-
границе и меньше всего искривляют силовые линии. Так как пере-
перетекание плазмы через перегородку запрещено, то при этом уже
нельзя добиться обращения в нуль div 1. Поэтому в выражении
для потенциальной энергии будут присутствовать оба стабилизи-
150
Рис. 9

рующих слагаемых, и приближенное условие устойчивости можно
получить суммированием правых частей неравенств D.^5) и E. 1).
Это условие имеет вид
где
Р
8лр_
Второе слггаемое здесь выражает собой стабилизирующее дей-
действие проводящей плоскости. Для возмущений с т>2 можно по-
прежнему пользоваться формулой D. 5), поскольку для них уже
можно подобрать такое ?ф, чтобы div | = 0.
Рис. 10
Аналогичное рассмотрение можно провести и для более реаль-
реальных систем. Рассмотрим, например, ловушку с магнитными проб-
пробками длиной L (рис. 10). Представим себе возмущение конвектив-
конвективного типа, соответствующее перестановке двух трубок. Эти трубки
не могут быть переставлены целиком, поскольку они закреплены
на концах. Поэтому магнитное поле несколько искажается, и
вследствие натяжения силовых линий возникает некоторая воз-
возвращающая сила. Наиболее опасное возмущение должно давать
минимальное искажение поля. Поэтому мы рассмотрим переста-
перестановку двух трубок, имеющих форму «ленточек»: такие трубки
мало изгибаются в азимутальном направлении и поэтому дают
минимальное возмущение поля по азимуту.
Относительное изменение объема трубки при конвективном воз-
возмущении div |^|—jj-, а изменение магнитного поля в резуль-
резульdz
—
L
тате изгиба линий приближенно равно В' ^ В
причем для рассматриваемых нами возмущений оно направлено
по радиусу, т. е. вдоль |. Поэтому последнее слагаемое подынте-
подынтегрального выражения в B. 7) выпадает, и мы получаем прибли-
приближенно:
и
U
F.2)
151

Отсюда получаем условие устойчивости:
VpVU , / Vt/ \2 , лВ2
и
ьи-
F.3)
Здесь второе слагаемое как раз и учитывает стабилизирующее
действие проводящих торцов.
Например, для ловушки, созданной диполем с проводящей
поверхностью, из условия устойчивости F.3) можно получить
dp , . . аВ2 ,п ,,
г //1л.л i F.4)
dr
8я
где а — численный коэффициент порядка единицы. В качестве
такой ловушки можно рассматривать магнитное поле Земли, по-
поскольку плотную проводящую ионосферу с хорошей точностью
можно считать твердым идеальным проводником.
§ 7. Скинированный пинч с продольным полем
В рассмотренных выше простейших случаях условие устой-
устойчивости имело локальный характер. Объясняется это тем, что
геометрически или, вернее, топологически рассмотренные системы
весьма просты: силовые линии идут в них «параллельно», не уда-
удаляясь одна от другой на большие расстояния. Поэтому смещение
некоторой трубки в такой системе оказывает
влияние только на близлежащие трубки и
далеко не распространяется. В общем случае
это не так, и поэтому условие, устойчивости
может не иметь локального вида. Можно вы-
высказать даже более сильное утверждение: за
исключением частных случаев, устойчивость
системы одними лишь локальными условиями
определяться не может. Действительно, наибо-
наиболее опасным является возмущение, для кото-
которого W принимает минимальное значение. До-
Допустим, что среди некоторого класса локаль-
локальных возмущений мы нашли такое, которое дает
минимум W. Если мы теперь откажемся от
локальности и рассмотрим более общий класс
возмущений, то сможем достигнуть еще меньших значений W, и
поэтому наиболее опасное возмущение, а следовательно, и усло-
условие устойчивости скорее всего не будут локальными.
'В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об утойчивости пинча
с продольным магнитным полем. Для простоты предположим, что
пинч скинирован, т. е. весь ток течет в тонком поверхностном
слое, и, следовательно, давление р, а также продольные поля Bt
внутри и Вге снаружи от пинча не зависят от г (рис. 11). На этом
примере мы познакомимся с новым стабилизирующим эффектом —
перекрещенностью силовых линий.
152
Рис. 11

В § 4 мы установили, что скицированный шнур без продоль-
продольного поля неустойчив. Наличие внутреннего продольного поля
этот результат существенно изменяет. Действительно, если на-
направление поля внутри плазмы не совпадает с направлением поля
снаружи, то «языкообразное» возмущение, ориентированное вдоль
наружных силовых линий, сильно искажает внутреннее поле.
Поэтому при достаточно сильном вмороженном поле локальные
возмущения к неустойчивости не приводят.
Точно так же продольное поле оказывает стабилизирующее
действие на длинноволновые возмущения. Представим себе, на-
например, пинч с вмороженным продольным полем (В,^0) и до-
допустим, что Bze = 0. Если такой пинч
искривляется, то силовые линии ази-
азимутального поля сгущаются на внут-
внутренней и разрежаются на наружной
стороне «сгиба». Следовательно, давле-
давление поля на внутренней стороне ока-
оказывается больше давления на наруж-
наружной и равнодействующая сила Fs будет
направлена наружу. Натяжение же
искривленных линий продольного поля
дает силу Fв, направленную внутрь
(рис. 12). Если FB^> Fs, то шнур по _
отношению к такому изгибу будет рис~12
устойчив.
Рассмотрим этот эффект более подробно. В силу цилиндри-
цилиндрической симметрии смещение 1 можно выбрать в виде
1 (г) ехр |г/пф + ikz]. Если ограничиться случаем 1гфО, то соот-
соответствующим выбором %г всегда можно добиться обращения в нуль
div |, а следовательно, и первого слагаемого в подынтегральном
выражении для потенциальной энергии плазмы. Таким образом,
с точки зрения устойчивости пинча плазму можно считать несжи-
несжимаемой.
Пользуясь этим, рассмотрим модельную задачу, в которой
плазма заменена несжимаемой жидкостью той же плотности q0.
Спектр колебаний при такой замене изменяется, но критерий устой-
устойчивости остается неизменным.
Ввиду того что геометрия очень проста, уравнение малых ко-
колебаний решается здесь до конца. В силу несжимаемости
В' = rot [|В(] = ikB |, и уравнение малых колебаний при-
приводится к виду
= — V/7, G.1)
4я
где р = р + —^- . Отсюда Ар = 0 в силу div 1=0, т. е.
G.2)
153

где а — радиус шнура. Теперь с помощью уравнения G. 1) не-
нетрудно найти смещение \г на границе, а именно:
где Im — функция Бесселя от мнимого аргумента.
Снаружи от шнура rot В' = 0, div В' = 0, т. е. можно поло-
положить В' = Vip, где Аг|) = 0. Ограниченное на бесконечности реше-
решение для 1|з имеет вид гр = СКт (kr)IKm (ka), где Кт — функция
Макдональда, С — const.
Учтем теперь граничные условия равенства давлений и нор-
нормальных составляющих магнитного поля на поверхности шнура.
Снаружи от плазмы магнитное поле складывается из продольного
Вге и азимутального Вф. Так как Вге = const, а Бф~ 1/г, то на
границе шнура —^- (В^ ц_ щ^ _—2B2Ja, и поэтому условие
равенства давлений A.9) принимает вид
Условие вмороженности A. 12) для рассматриваемого нами слу-
случая цилиндрической симметрии имеет вид
Из условия разрешимости уравнений G. 3) — G. 5) относи-
относительно С, р, 1Г (а) находим дисперсионное уравнение
TTl^kaJ- <7-6>
Здесь первый член является результатом натяжений силовых
линий магнитного поля внутри шнура. Второе слагаемое, также
к
положительное ввиду —г-<С0, возникает вследствие натяжения
силовых линий вне шнура. Оно пропорционально квадрату ком-
компоненты волнового вектора вдоль внешнего магнитного поля и
исчезает при kB = kBze 4- — Вф = 0, т. е. когда возмущение
оказывается постоянным вдоль силовых линий внешнего поля.
Как мы установили ранее из наглядных соображений, при таких
возмущениях магнитное поле снаружи шнура не искажается и
поэтому не может стабилизировать границу. Однако для этих
возмущений первый член отличен от нуля, что как раз и является
результатом перекрещенности силовых линий.
154

Наконец, последний член в уравнении G.6) отрицателен,
именно он и может привести к неустойчивости. Если проследить
за его происхождением, то можно установить, что этот член воз-
возникает из второго слагаемого в соотношении G.4), т. е. в конеч-
конечном счете является результатом спадания магнитного поля от
границы шнура.
Рассмотрим два частных случая.
а) Вге = 0.
Если Вге = 0, то для возмущений с т = 0 имеем
@2 =
4л6о Г в\ kalo(ka)
/' (х)
Максимальное значение —,° , . есть 1/2, поэтому такой шнур
XI о (X)
будет стабилизирован по отношению к перетяжкам, если
В? >В2/2. Однако по отношению к возмущениям с т = 1 внут-
внутреннее поле не дает полной устойчивости. Действительно, для
т = 1
Для длинных волн при ^а^-Оэто выражение принимает вид
т. е. даже в предельном случае, когда Вф = Bt и, следовательно,
р = 0, длинноволновые возмущения не стабилизируются. Но
такая неустойчивость может быть стабилизирована проводящим
кожухом, расположенным достаточно близко к шнуру. На ко-
кожухе нормальная компонента поля должна равняться нулю,
т. е. -^- = 0. Если учесть это условие, то во втором слага-
слагаемом правой части уравнения G. 6) вместо отношения —,
Кт (ka)
будет стоять
Кт (ka) l'm (Щ + /„ (ka) K'm (kb)
Km(ka)l'm(kb)~l'm(ka)Km(kb) '
где b — радиус кожуха.
Исследование показывает, что такой пинч с вмороженным про-
продольным полем может быть устойчив, если b <C 5а.
б) Вге»Яф.
Добавление небольшого продольного поля снаружи от шнура
только ухудшает его устойчивость, поскольку при этом второе
слагаемое в уравнении G. 6) может быть уменьшено. Поэтому мы
сразу рассмотрим второй предельный случай, когда снаружи от
155

шнура В ге> Вф. При этом к неустойчивости могут привести
только длинноволновые возмущения с ка<^\. Будем считать
/' т
т положительным. Тогда при малых Заимеем: —-,— = —т—,
—j7—= — -г—, и выражение G.6) принимает гораздо более
простой вид:
"--?¦• G)
Отсюда нетрудно найти минимальное значение ю^ин- Оно
достигается при k (B2ze + В2Л -\- — В^В^ = 0 и равно
-т\. G.8)
Если Bt = Вге = Bz, то, как видно из выражения G. 8),
нарастающим во времени будет только возмущение с т = 1 (вин-
(винтовая неустойчивость), а по отношению к остальным возмущениям
с т>2 шнур устойчив.
Таким образом, при любом сколь угодно большом отношении
By бесконечно длинный шнур неустойчив по отношению к из-
виванию (т = 1). Однако всякий реальный пинч имеет конечную
длину, скажем L, и поэтому k не может быть меньше 2nlL. В слу-
случае Bt = Вге = Вг, как видно из выражения G. 7), ю2 положи-
положительно при \к\<^Вц/аВг и, следовательно, шнур конечной
длины L является устойчивым, если
^L <- 2lta . G. 9)
Это условие, полученное Шафрановым и Крускалом (одним
независимо от другого), является необходимым для устойчивости
плазменного шнура в сильном продольном поле. Оно означает,
что шаг силовой линии должен быть больше L.
§ 8. Пинч с распределенным током
Рассмотренный в § 7 пример является чересчур идеализиро-
идеализированным. В действительности скин-слой нельзя считать бесконечно
тонким не только потому, что в реальных условиях ток распре-
распределен по радиусу в довольно широких пределах, но и по той при-
причине, что даже в случае очень тонкого скин-слоя возможны такие
возмущения, у которых длина волны сравнима с толщиной скин-
слоя.
Устойчивость пинча с распределенным током удобно исследо-
исследовать с помощью энергетического принципа. Допустим, что плазма
занимает весь объем вплоть до проводящего кожуха радиуса Ь,
156

и, следовательно, потенциальная энергия дается только первым
интегралом B. 7). В силу цилиндрической симметрии зависимость §
от z и ф можно выбрать в виде exp (ikz + шц>). При этом мини-
минимизация потенциальной энергии по |ф и lz проводится алгебраи-
алгебраически и дает:
-7-?„ + *?*= -т-4 ^); (8Л)
v -l-], (8.2)
где I = lr—радиальная компонента смещения.
Если подставить эти выражения в выражение B. 7), то после
дополнительного интегрирования по частям потенциальную энер-
энергию можно выразить только через радиальное смещение I в сле-
следующей форме:
ъ
W-~T\{f(§J + Sl2}dr, . (8.3)
о ^ '
где
4я +
„ *V2
(8-5)
Минимизация выражения (8.3) по 1 приводит к уравнению
Эйлера
§ (8.6,
с граничными условиями: ? конечно при г = 0 и равно нулю
при г = Ь.
Таким образом, задача об устойчивости пинча с распределен-
распределенным током сводится к решению дифференциального уравнения
второго порядка (8. 6). При этом условие устойчивости можно
сформулировать следующим образом: для устойчивости плазмен-
плазменного шнура с распределенным током необходимо и достаточно,
чтобы решение уравнения (8. 6) имело меньше двух нулей на ин-
интервале 0< г <С Ъ.
Действительно, если решать полностью задачу о собственных
колебаниях плазмы, то нужно искать экстремум не потенциальной
157

энергии W, а функции Лагранжа L = Т—W, так что при ф
-в выражение (8.5) для g нужно включить дополнительный член,
положительный при со2<СО и отрицательный при со2>0. Предпо-
Предположим теперь, что решение уравнения (8.6) имеет больше двух
нулей на интервале (О, Ь). Тогда, добавляя в выражение (8.5)
положительную величину, можно раздвинуть нули и один из них
перевести в точку г = Ь, а второй — в точку г = 0. Так как пере-
перемещение нуля в особую точку г = О дает ограниченное при г = О
решение, то оба граничных условия будут удовлетворены и, сле-
следовательно, плазма будет неустойчива (о» 2<С0). Если же на интер-
интервале (О, Ь) будет меньше двух нулей, то удовлетворить граничным
условиям можно только с помощью отрицательной добавки к вы-
выражению (8. 5), т. е. при со2>0.
Рассмотрим теперь некоторые следствия этого общего утвер-
утверждения. Начнем с условия устойчивости по отношению к локаль-
локальным возмущениям, т. е. с очень большим азимутальным числом т.
Если т и k устремить в бесконечность, оставляя конечным их
отношение, то/и все слагаемые в выражении (8. 5), за исключением
второго, останутся конечными. Второе слагаемое положительно
и стремится к бесконечности при m —>- оо .Поэтому при т > 1 не-
неустойчивость может возникнуть только в том случае, если это
слагаемое окажется очень малым, т. е. вблизи точки г = г0, где
krBz + тВу = 0. В этой точке шаг винта силовой линии в точ-
точности совпадает с шагом возмущения, т. е. возмущение является
постоянным вдоль силовой линии. Другими словами, рассматри-
рассматриваемое возмущение является конвективным вблизи точки г = г0.
Введем величину ц = BJrBe, характеризующую шаг силовой
линии, и пусть х = г— г0 есть расстояние от точки г0. Будем счи-
считать х малым, тогда / и g можно разложить по х в ряд и ог-
ограничиться первыми членами. Учитывая, что krBz + тВ9 =
= тВг r\i'x, получаем
f r3Bt (*'№ в- 2В* п> '
4я vr > '
и, следовательно, уравнение Эйлера (8. 6) принимает вид
dx2 ' х dx
где
п- 8Л^2 _„'.
При х <С \Ы~г1т правой частью в уравнении (8. 7) можно
пренебречь, и в этой области решение имеет вид степенной функции
\ = xv , где v = ± 1/-Т Ц- Если <?< 1/4, то показатель-
158

степени v является действительным и рассматриваемое решение
не имеет нулей. Наоборот, при <7>1/4 решение может быть пред-
представлено как 1-х 2 sin [y~q—1/4 In x) и, следовательно,
имеет бесконечно много нулей в окрестности точки х = 0. Таким
образом, как это следует из общего критерия устойчивости, шнур
локально устойчив только при q<^ 1/4 или в развернутой форме
при
Это условие конвективной устойчивости шнура с током было
получено Сайдемом.
Из условия (8. 8) следует, что при ц = const всякое спадающее
по радиусу распределение давления является неустойчивым.
В частности, абсолютно неустойчив шнур с однородным продоль-
продольным током при Вг = const.
Если ц = const, то шаг силовой линии / = — не зависит
от радиуса, и поэтому две силовые линии, находящиеся на неко-
некотором расстоянии одна от другой по радиусу, могут быть взаимно
переставлены без существенного искажения магнитного поля. Та-
Таким образом, в этом случае конвективная неустойчивость ничем
не запрещена. Но если fi меняется с г, то свободная перестановка
трубок уже невозможна. Действительно, рассмотрим, например,
две магнитные поверхности А и В, находящиеся одна от другой
на малом расстоянии. На рис. 13 эти поверхности изображены
плоскими, причем таким образом, чтобы точки с одним и тем же
азимутальным углом ср лежали одна под другой. Силовые линии
на поверхности А изображены пунктирными, а на поверхности В —
сплошными линиями. Если fi^const, то эти линии перекрещи-
перекрещиваются: они составляют между собой некоторый угол б а, про-
В2
порциональный lr\i' (более точно 6а =~r\i'^). Поэтому пере-
перестановка очень длинной трубки, например CD, с плоскости А
на плоскость В будет очень сильно искажать магнитное поле вблизи
плоскости В. Возмущение, которое минимально искажает магнит-
магнитное поле, должно быть таким, чтобы смещенная силовая трубка
всюду составляла по возможности наименьший угол с силовыми
линиями. Если, например, смещение представляет собой изгиб
трубки EFG с закрепленными концами ? и С, то смещенная
трубка должна иметь вид одного шага винтовой спирали с ша-
гом L = ^i = ¦" "
Таким образом, перекрещенность силовых линий приводит
к такому же стабилизирующему эффекту, как и наличие проводя-
159

щих торцов (см. § 6): она ограничивает длину конвективно пере-
переставляемых трубок величиной L =г= —^—- •
Допустим теперь, что -р^О в некоторой области изменения г.
Тогда в выражении (8. 5) для g следует учесть величины следую-
следующего порядка малости по х, так что приближенно
g
4л В4
Рис. 13
ЕС
Уравнение Эйлера при этом принимает вид
(8.9)
аналогичный уравнению Шредингера для атома водорода. От-
Отсюда находим условие устойчивости, т. е. отсутствия связанного
состояния:
din г )
Из уравнения (8. 9) видно, что при ц7ц.]>0 неустойчивость
имеет место только снаружи от поверхности д: = 0, а при |j,7fi<0,
наоборот, неустойчив внутренний слой (х<С0), т. е. к неустойчи-
неустойчивости приводят лишь такие возмущения, шаг которых больше
шага силовых линий.
• Эта неустойчивость связана с наличием азимутального поля
и представляет собой локальный вариант винтовой неустойчи-
неустойчивости. Из уравнения (8. 9) видно, что к неустойчивости приводят
возмущения с достаточно малыми т, причем наиболее опасной
является мода т = 1 (которая, впрочем, уже выпадает из такого
локального рассмотрения).
160

Условие Сайдема является только необходимым, так как оно
относится лишь к локальным возмущениям с т>1. Возмущения
с малыми т не имеют локального характера, и поэтому соответ-
соответствующее условие устойчивости не может быть локальным.
Рассмотрим сначала возмущения с т = 0. Из выражения (8. 5)
для g следует, что при этом наиболее опасным является возмуще-
возмущение с k^O, для которого
Отсюда видно, что при достаточно малом отношении
шнур устойчив по отношению к перетяжкам (т = 0).
О П б
ур у
Допустим теперь, что тфО. Поскольку в бесконечном шнуре k
может принимать произвольные значения, то можно положить
k = qm. Тогда т отовсюду выпадет, кроме второго слагаемого
в выражении (8.5); так как это слагаемое положительно, то отсюда
следует, что наиболее опасным является возмущение с т = 1.
Интегрированием по частям потенциальную энергию (8. 3)
можно привести к виду
ъ
[(k
rBz + тВ^У - 2Вф -А. (гВф)] Щ г dr.
Отсюда следует, что шнур, в котором Вф спадает с радиусом
быстрее, чем г, является устойчивым по отношению к любым
возмущениям. Реально такое распределение может быть создано
лишь с помощью металлического проводника с током в центре
шнура.
Это, собственно говоря, и все, что можно получить из такого
общего рассмотрения. Чтобы продвинуться дальше, нужно для
каждой конкретной системы решать уравнение Эйлера (8. 6). Та-
Таким путем можно найти некоторые устойчивые распределения по-
полей и токов, но этот вопрос является довольно специальным и
выходит за рамки настоящей работы. Мы ограничимся здесь лишь
рассмотрением более простого случая тонкого скин-слоя.
В §, 7 была рассмотрена устойчивость скинированного шнура
в приближении, когда толщина скин-слоя считалась исчезающе
малой. В действительности скин-слой имеет некоторую конечную
толщину б, и предельный переход 6-^0 оказывается совсем не
тривиальным.
При б <^ а условие Сайдема выполнено с большим запасом,
так как левая часть в выражении (8. 8) —1/6, а правая —1/62.
Таким образом, локально, т.е. по отношению к.возмущениям
11 Вопросы теории плазмы. Вып. 2. 1-61

с поперечной длиной волны К± — < б, скин-слой устойчив.
Поэтому достаточно рассмотреть возмущения с т < -т-. При
6 <^ а достаточно иметь решения снаружи и внутри шнура,
а сам скин-слой можно учесть в виде условия сшивки. Будем
считать, что внутри шнура ?ф = 0, тогда ограниченное при г = О
решение уравнения Эйлера для внутренней части будет равно
просто
1 = I'm (кг), (8.10)
где 1т — функция Бесселя от мнимого аргумента.
Если кожух отсутствует (Ь = со), то решение уравнения (8. 8)
снаружи от шнура, где р = 0, будет равно
**; (и (8п)
где Кт — функция Макдональда индекса т.
Внутри скин-слоя при т < alb в выражении для g можно
оставить только первое слагаемое, т. е. приближенно
__ 26V dp -
g kW + m2 dr • V*' VZ)
Рассмотрим сначала такие возмущения, для которых / не обра-
обращается в нуль внутри скин-слоя. Тогда внутри тонкого скин-
слоя | можно считать постоянным. Интегрируя уравнение (8. 6)
поперек скин-слоя, мы найдем условие сшивки:
НН'-Н—*3fW-* <8ЛЗ>
где индексы ей/ означают, что данная величина берется соответ-
соответственно снаружи или внутри шнура.
Если в выражение (8. 13) подставить решения (8. 10) и (8. 11)
и если при этом левая часть окажется меньше правой, то это будет
означать, что решение, удовлетворяющее условию сшивки (8. 13),
будет иметь менее двух нулей и, следовательно, шнур будет устой-
устойчив. Если же при этом левая часть окажется больше правой,
то решение, удовлетворяющее условию (8. 13), будет иметь по
крайней мере два нуля на интервале 0 <! г <С со и согласно об-
общему критерию шнур будет неустойчив. Таким образом, условие
устойчивости шнура получается путем подстановки в выраже-
выражение (8. 13) решений (8. 10), (8. 11) и замены знака равенства на
знак <\ Это условие имеет вид
и, как нетрудно видеть, в точности совпадает с уравнением G. 6).
162

Допустим теперь, что / обращается в нуль в некоторой
точке г = rs внутри скин-слоя. Покажем, прежде всего, что осо-
особенность в этой точке является настолько сильной, что решения
справа и слева от нее оказываются совершенно независимыми.
Уравнение Эйлера (8. 7) вблизи особенности может быть пред-
представлено в форме
где гр = 1х, т. е. оно имеет вид уравнения Шредингера с потен-
потенциалом Ui = —q/x2. Если учесть инерцию (и Ф 0), то у потен-
потенциальной ямы появится «донышко», так что функцию Ui можно
считать постоянной при |л:| < х0. Четное г|зе и нечетное iJj0 реше-
решения в этой области равны соответственно: гре = cos —— ; г|э0 =
= sin—-—. При х > х0 решение имеет вид я|) = AxVl + Bxv*,
хо
о
x = V2 + у -J-— q; \2= ~2 \ ~\
где vx = V2 + у -J-— q; \2= ~2 \ ~\ ?, так что vx >
> v2. Коэффициенты А и В можно найти из условия сшивки лога-
логарифмических производных при х = х0:
MX1-' + Wo1"' = Уд
уИо»?' + у2Уо'"' =Уд ¦ f-
VoVi+vs:' *«
Из этих условий получаем:
л« v2 + Vq tg JA9 °
A = _ vt — Kg" ctg V"^ xo1^'
Ao v2 — \/"q ctg J/^
Поскольку vx > v2, отсюда следует, что при х0 -> 0 вели-
величина В -> 0, т. е. в пределе со ->¦ 0 и четное и нечетное решения
ведут себя как I = ха, где а = —1/2 + 1^1/4 — q. Если взять
полусумму и полуразность этих решений, то мы получим, что
из двух независимых решений уравнения Эйлера одно равно нулю
при х < 0 и ведет себя как ха при х >¦ 0, а второе, набборот,
обращается в нуль при х > 0 и равно \х\а при х < 0. Таким обра-
образом, решения по разные стороны от особой точки совершенно не
связаны между собой, и поэтому, само условие устойчивости рас-
расщепляется на два.
11* 163

Проинтегрируем уравнение (8. 6) один раз по г от внутренней
границы скин-слоя г = гы до особой точки. Так как при г = rs
функция / = 0, то отсюда получим
где мы вынесли | из-под знака интеграла, поскольку при q < 1
а также мало и g = jca =?& const почти при всех значениях х. Учи-
Учитывая условие равновесия 8яр + B2Z + Вф = const внутри скин-
слоя, с помощью решений (8. 10) и (8. 11) получаем одно из усло-
условий устойчивости:
в iS (SL+*ы > ° (815)
где Вгз, By,. — значения полей в особой точке.
Точно так же, путем интегрирования уравнения (8. 6) от rs
до гОг, нетрудно получить второе условие:
-irBl>0- (8-16)
Неравенства (8. 15) и (8. 16) в совокупности дяют более сильное
условие, чем одно условие (8. 14). Это объясняется тем, что на
возмущения с Особенностью внутри скин-слоя нельзя налагать
условие сшивки % по обе стороны от скин-слоя. Поэтому усло-
условие (8. 14), полученное в предположении непрерывности ?, ока-
оказывается более слабым.
Рассмотрим частный случай Вг = const, Вф/Вг < 1. При этом
можно считать ka < m, и из условий (8. 15) и (8. 16) получаются
более простые условия:
+ ^-^-^>0. (8.18)
Отсюда видно, что внешняя часть скин-слоя неустойчива при
веех т, а внутренняя часть слабо неустойчива лишь при т = 1.
Неустойчивость наружного слоя пинча связана с последним сла-
слагаемым в выражении (8. 18), т. е. в конечном счете со спаданием
азимутального поля при удалении от границы шнура или, иными
словами, со скачком плотности тока. Поэтому такая неустойчи-
неустойчивость может быть и в том случае, когда ток распределен по всему
шнуру. Так как, согласно выражениям (8. 1) и (8. 2), !•„/?,. и \J\r
164

вблизи особенности г = rs стремятся к бесконечности, то эта не-
неустойчивость выражается в том, что тонкий поверхностный слой
шнура стремится собраться в винтовые «жгутики».
Из этого примера видно, чт& всякого рода особенности в рас-
распределении тока требуют специального рассмотрения и выпол-
выполнения условия Сайдема еще недостаточно для устойчивости таких
разрывов.
В заключение параграфа рассмотрим еще один вопрос каче-
качественного характера — о разнице между вакуумом и бессиловой
плазмой. В последнем примере мы не предполагали, что область
снаружи от шнура является вакуумной, а допустили лишь давле-
давление плазмы в этой области, равное нулю. Условимся такую плазму
называть плазмой нулевого давления. Спрашивается, всегда ли
плазма нулевого давления эквивалентна вакууму? Оказывается,
что нет. Плазму нулевого давления можно рассматривать как
вакуум только в том случае, если в этой области нет особенности,
т. е. шаг возмущения нигде не совпадает с шагом силовой линии.
В противном случае, если / обратится в нуль в некоторой точке г =
= rs, то, как мы установили ранее, решение для \ в этой точке
должно меняться по степенному закону с меньшим показателем
степени. Но такое поведение решения соответствует обращению \
в нуль в точке, близкой к особой. Поэтому особая точка г = rs
оказывается эквивалентной металлическому кожуху радиуса b =
= rs, и, следовательно, идеально проводящая плазма нулевого
давления снаружи от шнура может оказать стабилизирующее дей-
действие на некоторые виды возмущений.
§ 9. Винтовая неустойчивость
Ввиду особой важности возмущения с т = 1, наиболее опас-
опасного с точки зрения устойчивости, целесообразно более подробно
рассмотреть физическую природу такой, как мы будем ее назы-
называть, винтовой неустойчивости.
Пусть тонкий идеально проводящий шнур радиуса а с теку-
текущим по его поверхности током / помещен в однородное магнитное
поле Вг (рис. 14). Для простоты допустим, что этот шнур обра-
образован несжимаемой жидкостью и что магнитное поле внутри него
9/
отсутствует. Предположим, кроме того, что Вф = -^- < Вг.
Тогда частота колебаний с т = 1, согласно уравнению G. 7),
будет равна:
/ 1 \2 В2
4яр,о(о2= [кВг + -±-ВЧ)] J-. (9.1)
Отсюда видно, что наибольшим инкрементом обладает возму-
1 fi
щение с k = ~^~~]f ¦ Такое возмущение, пока оно мало, по-
постоянно вдоль силовых линий и не возмущает внешнее поле.
Что же произойдет при последующем нарастании возмущения?
165

На шнур, очевидно, будет действовать ускоряющая сила до
тех пор, пока магнитное поле не станет совершенно однородным
(рис. 15). Радиус г0 такой равновесной спирали можно найти из
условия сохранения потока, охватываемого идеальным провод-
проводником. В исходном состоянии поток, охватываемый проводником,
равен Фо = L— In— , где b — радиус идеально проводящего
кожуха; L — длина всей системы (которую можно представить
себе свернутой в тор). Во втором равновесном состоянии этот поток
равен Фх = пг\Вг—г-, где / — шаг винтовой линии, который для
Рис. 14
Рис. 15
возмущения с максимальным инкрементом находится из усло-
условия 2л// = k = и5? . Приравнивая Фо и Фи находим
Г- (9-2>
Впрочем, это состояние не является вполне равновесным:
силовые линии продольного поля будут сплющивать жидкий про-
проводник и превратят его сначала в спиральную ленточку, а затем
в тонкостенную цилиндрическую трубку того же радиуса г0.
В случае прямого шнура это конечное равновесное состояние
является, очевидно, нейтрально устойчивым, так как поле всюду
однородно. Но в случае тороидальной геометрии равновесие без
продольного тока невозможно, и поэтому жидкость будет дви-
двигаться к наружной стенке до тех пор, пока не уляжется там
в равновесном состоянии.
Рассмотренное нами движение является фактически лишь вир-
виртуальным: оно было бы именно таким, если бы шнур был поме-
помещен в среду с большой вязкостью. В действительности же, когда
шнур достигнет второго равновесного состояния, он будет обла-
обладать большой радиальной скоростью, так как вся энергия ази-
166

мутального поля переходит при этом в кинетическую. Поэтому
весь процесс будет носить колебательный характер. Тем не менее
остается непреложным тот факт, что винтовая неустойчивость
возникает как следствие натяжения силовых линий, стремящихся
уничтожить азимутальную компоненту поля. Поскольку этому
препятствует бесконечная проводимость шнура, то шнур свивается
в винтовую линию.
Во втором равновесном состоянии азимутальное магнитное
поле отсутствует, и энергия поля принимает минимально возмож-
возможное значение. Следует отметить, что такое устойчивое состояние
возможно при любом /, но лишь при / 5= яВга/Ву происходит
нарастание возмущений. При меньших / переход в состояние
с минимальной энергией связан с преодолением потенциального
барьера, и, следовательно, при малых начальных возмущениях
и бесконечной проводимости шнура такой переход невозможен.
Допустим теперь, что внутри шнура имеется вмороженное
магнитное поле. Как мы видели в § 7, не ограниченный по длине
шнур в этом случае также неустойчив, он будет стремиться
свернуться в винтовую линию. При этом продольное поле внутри
шнура приведет к некоторой силе натяжения, и поэтому равно-
равновесный радиус г0 при таком же шаге винта будет несколько
меньше. Кроме того, вследствие вмороженного поля азимуталь-
азимутальное поле в этом случае не исчезает до конца.
Итак, винтовая неустойчивость возникает как результат натя-
натяжения силовых линий магнитного поля, стремящихся превра-
превратиться в прямые линии. Наиболее ярко она проявляется на вин-
винтовом возмущении с т = 1, но эта неустойчивость может раз-
развиваться и на возмущениях с т ^ 2. Как мы установили в преды-
предыдущем параграфе, это происходит в том случае, когда перекре-
щенность силовых линий мала, т. е. ц' ^s 0.
§ 10. Устойчивость тороидальных систем
С точки зрения удержания высокотемпературной плазмы маг-
магнитным полем наибольший интерес безусловно представляют
тороидальные системы. Под словом «тороидальная» мы будем
подразумевать любую систему, топологически эквивалентную
тору: это может быть простой круглый тор, система типа стел-
ларатора в виде восьмерки или стелларатора со стабилизирую-
стабилизирующими винтовыми обмотками, а также любая более сложная си-
система, которая непрерывным преобразованием может быть пре-
превращена в тор.
Разумеется, точное исследование устойчивости плазмы в та-
таких системах связано с огромными математическими трудностями,
хотя бы потому, что в силу отсутствия аксиальной симметрии
относительно магнитной оси системы моды с различными т не
могут быть разделены и задача уже не сводится к одномерной.
Впрочем при современном состоянии вопроса об устойчивости
основной интерес представляет не точное исследование того или
167

иного распределения плазмы для заданной конфигурации магнит-
магнитного поля, а качественные выводы общего характера о том, какие
поля представляют наибольшие преимущества с точки зрения
устойчивости, как влияет на устойчивость то или иное изменение
конфигурации поля. Такие качественные соображения могут быть
получены из вариационного принципа выбором некоторых проб-
пробных функций для возмущения, а иногда и просто из наглядных
представлений об изменении потенциальной энергии при малых
возмущениях.
В тороидальных системах с продольным током неустойчивость
плазмы представляет собой в конце концов ту или иную комби-
комбинацию рассмотренных уже нами винтовой и конвективной неустой-
чивостей, поэтому и соответствующие условия устойчивости
сходны с теми, которые были получены для цилиндрического
шнура.
Рассмотрим сначала обычный круглый тор. Обозначим через а
малый радиус шнура, а через R его радиус кривизны, т. е. боль-
большой радиус тора. Даже в очень крутых по внешнему виду торах
величина е = a/R является все же довольно малой —1/3, поэтому
естественно воспользоваться разложением по малому параметру е.
В первом приближении по е условия устойчивости остаются не-
неизменными и все различие по сравнению с прямым шнуром заклю-
заключается в том, что шнур становится ограниченным по длине и по-
поэтому продольное волновое число k может принимать только ди-
дискретные значения: k = -,— п = nIR, где Lo = 2nR — длина
обхода; п — целое число. Для систем с сильным продольным
полем это приводит к условию Шафранова— Крускала G. 9),
т. е. к отсутствию винтовой неустойчивости.
Для систем, у которых магнитная ось не является плоской
кривой, а обладает отличным от нуля кручением, это условие
несколько модифицируется. В таких системах, простейшим при-
примером которых является стелларатор в виде восьмерки, имеет
место вращательное преобразование, т. е. даже без продольного
тока силовые линии поворачиваются на некоторый угол а при
полном обходе системы. Это означает, что точки с координатами
(г + Lo, ф) и (г, ф + а) представляют собой фактически одну
и ту же точку в пространстве. Поэтому фазы возмущения вида
exp (ikz + г/пф) в этих точках должны отличаться на величину,
кратную 2я, а волновое число k должно удовлетворять соотно-
соотношению
kL0 — ma = — 2ял. A0. 1)
Пусть 5ф положительно и т = 1. Тогда, согласно уравне-
уравнению G. 7), скицированный шнур будет устойчив при —кВг >
> Byla. Подставляя сюда k .из соотношения A0. 1), получаем
условие винтовой устойчивости шнура с током в системе с а =$= О
В(е<^-Вг(-а + 2пп), A0.2)
168

где п — целое число, для которого правая часть неравен-
неравенства A0. 2) принимает минимальное положительное значение.
Оказывается, что это условие не ограничено случаем скинирован-
ного шнура, а справедливо при любом распределении тока по ра-
радиусу.
Из условия A0. 2) вытекает, что при а ф Bq + 1) я, где q —
целое число, предельные токи по полю (BJB^ ]> 0) и против
поля (BJBy << 0) оказываются разными. Кроме того, из этого
условия следует, что при малом а > 0 предельный ток против
поля также мал (при этом п = 0).
При |а|-<я условие A0.2) приближенно сохраняет свою
форму и в том случае, когда угол вращательного преобразования
создается с помощью дополнительных винтовых обмоток. Но
при \а\ > я это может быть и не так. Например, если стабилизи-
стабилизирующая обмотка является трехзаходной, то в случае оВф/Вг > 0,
т. е. когда поворот силовых линий вследствие продольного тока
имеет тот же знак, что и в случае стабилизирующих обмоток,
шнур оказывается устойчивым по отношению к извиванию
при -~ — <Г I а|.
Так обстоит дело с винтовой неустойчивостью шнура (т = 1).
Возмущения cm» 1 могут привести к конвективной неустойчи-
неустойчивости. В слабо искривленном гладком шнуре конвективная не-
неустойчивость возникает при нарушении условия Сайдема (8. 8).
Если же основное магнитное поле неоднородно (т. е. имеются ста-
стабилизирующие винтовые поля), то это условие изменяется. Запи-
Запишем условие Сайдема в форме, более адекватной ее физическому
содержанию:
s dr ^ 4L2 •
дь Rs = rB%IB2 — ради
2яВ
Здесь Rs = rB%IB2 — радиус кривизны силовой линии, a L —
2В
минимально возможная длина волны возмущения
пггц
вдоль силовой линии. В такой форме это условие вполне анало-
аналогично условию F. 3), так что правая часть неравенства A0. 3) вы-
выражает собой стабилизирующее действие перекрещенности сило-
силовых линий. При отсутствии продольного тока ц/ в выражении
для L следует заменить на a'/L0, где а — угол вращательного
преобразования, рассчитанный на полную длину обхода Lo. При
этом получается следующее условие конвективной устойчивости
плазмы в системе типа стелларатора со стабилизирующими обмот-
обмотками:
В сильно модулированном поле величина 2/^s ~ -д- может
быть порядка 1/г; угол вращательного преобразования на еди-
169

ницу длины a/L0 также может быть достаточно большой величи-
величиной, и тогда из условия A0. 4) следует, что плазма с достаточно
малым давлением (р = 8пр/В2 < 1) будет устойчива в таком
«перекрученном» магнитном поле (а' Ф 0).
§ П. Токово-конвективная неустойчивость
До сих пор мы всюду предполагали, что проводимость плазмы
бесконечна. При конечной, но достаточно большой проводимости
все приведенные выше соотношения справедливы только для воз-
возмущений с достаточно большими длинами волн и для колебаний
с достаточно большими частотами. Но, кроме того, при а ф со
могут появиться новые типы медленных колебаний, а также изме-
измениться частоты колебаний с короткими длинами волн. Мы рас-
рассмотрим здесь только один пример такой ситуации.
Начнем с самого простого случая. Пусть по тонкому провод-
проводнику радиуса а с плотностью q0 течет ток /0, причем проводник
помещен в однородное магнитное поле Вг. При бесконечной про-
проводимости такой проводник неустойчив по отношению к извива-
нию и будет превращаться в винтовую линию с инкрементом,
в2
определяемым соотношением со2 ^s—-.—|—. Допустим теперь,
что проводимость мала и магнитное поле не вморожено. Тогда
при искривлении проводника в винтовую линию на него будет
действовать сила Лоренца ¦—IyBz, где /ф = k\l0 — азимуталь-
азимутальная составляющая тока; \ — радиальное смещение. Отсюда нахо-
находим — го2 = -У?- = kaBwB2 Bяд0а2). При ka~ 1 этот ин-
кремент в ]/Bz/Bv больше, чем в случае а = со. Другими
словами, при. а= оо шнур неустойчив только по отношению
к длинноволновым возмущениям с ka — B^BZ^ I, а при малой
проводимости барьер для коротковолновых возмущений сни-
снимается, и тогда усиление продольного поля даже увеличивает
неустойчивость.
При большой, но конечной проводимости магнитное поле
почти вморожено в плазму, и поэтому такая неустойчивость мог
жет развиваться только на коротковолновых возмущениях, а дви-
движение плазмы при этом имеет вид диффузионного «просачивания»
поперек силовых линий. Поскольку в таком медленном движении
инерция не играет никакой роли, то заряженные частицы будут
двигаться с дрейфовыми скоростями. Будем считать, что давление
электронов и ионов мало и магнитное поле однородно. Тогда
единственной причиной дрейфа будет электрическое поле, и,
следовательно, дрейфовые скорости электронов и ионов будут
равны v = с [ЕВ]-В. Покажем, что при наличии продольного
тока и неоднородной проводимости этот дрейф приводит к неустой-
неустойчивости конвективного типа.
170

Пусть вдоль однородного поля Вг, направленного по оси z,
течет" ток j0 настолько слабый, что создаваемое им магнитное
поле В ф С Вг. Предположим, что проводимость плазмы в равно-
равновесном состоянии о0 является некоторой медленно меняющейся
функцией х. В полностью ионизованной плазме, где проводи-
проводимость зависит только от температуры электронов, это изменение
может быть обусловлено изменением температуры, а в слабо иони-
ионизованной плазме градиент а0 может быть следствием градиента
плотности.
Допустим, что на такое равновесное состояние наложено неко-
некоторое малое возмущение. Для коротковолновых возмущений
можно воспользоваться квазиклассическим приближением и вы-
выбрать зависимость от координат и времени в виде ехр (—mt +
+ ikr). Предположим, что продольное магнитное поле очень
сильное и частота альфвеновских колебаний kzcA = kzB0 DnQ0)~1/2
много больше частоты рассматриваемых нами колебаний. Тогда
возмущение магнитного поля будет ничтожно малым, и, следо-
следовательно, в таких колебаниях электрическое поле является
безвихревым: Е = — уФ-
Так как поперечные скорости электронов и ионов в рассмот-
риваемом нами приближении совпадают, то поперечная компо-
компонента электрического поля отсутствует, а значит, должно быть
равно нулю возмущение продольного тока, т. е.
— г^фо0 + оЕ0 = 0. (И. 1)
Вследствие дрейфа в поперечном электрическом поле будет
происходить перенос плазмы, а вместе с ней и проводимости,
так что для возмущения проводимости а можно написать
— то — t_i-5±9=.._ tk\o, A1.2)
где коэффициент % учитывает «рассасывание» электропроводности
вдоль силовых линий: в полностью ионизованной плазме % пред-
представляет собой коэффициент температуропроводности, а в слабо
ионизованной (но сильно «замагниченной») плазме под х следует
понимать Da — коэффициент амбиполярной диффузии. Из урав-
уравнений (И. I) и (И. 2) находим со:
При достаточно большом ky второе слагаемое в выраже-
выражении A1. 3) может стать больше первого, и соответствующее возму-
возмущение будет нарастать во времени.
Рассмотрим более подробно причину такой, как мы будем ее
называть, токово-конвективной неустойчивости. Пусть dojdx << 0
и плазма немного сместилась из положения равновесия, как пока-
показано на рис. 16. Поскольку проводимость слоя A BCD вследствие
171

такого смещения несколько повысится, то на его граничных по-
поверхностях выступят заряды: положительный на верхней поверх-
поверхности и отрицательный на нижней. Эти заряды приводят к появле-
появлению некоторого электрического поля с отличной от нуля попе-
поперечной компонентой Еу. При соответствующем знаке kjkz дрейф
в этом поле будет происходить в направлении первоначального
смещения и, следовательно, приведет к усилению начального
возмущения.
/
I
1
//-
IT/
L i
1 i
- /
/
Рис. 16
Из формулы A1. 3) видно, что наибольшим инкрементом обла-
обладают возмущения с очень малым kz, т. е. эта неустойчивость про-
проявляется в перестановке трубок с плазмой, сильно ыятянутых
вдоль силовых линий магнитного поля. Чтобы определить волно-
волновое число kz, при котором инкремент достигает максимума, необ-
необходимо учесть инерционные члены в уравнении движения и за-
законе Ома. Такое рассмотрение для плоского слоя в поле тяжести
было проведено в работе [34]. В этой работе показано, что наряду
с токово-конвективной неустойчивостью в неоднородной плазме
с конечной проводимостью можно выделить неустойчивость типа
«локального пинчевания», развивающуюся вследствие тенденции
к стягиванию токовых нитей, и неустойчивость конвективного
(«гравитационного») типа, связанную с тем, что при конечной
проводимости снимается условие вмороженности силовых линий,,
вследствие чего условие конвективной устойчивости становится
значительно более жестким. В частности, обратный пинч
(т. е. трубчатый разряд, в котором ток возвращается по стержню,
расположенному на оси разряда), вполне устойчивый при иде-
идеальной проводимости, поскольку в нем -г- (гВ^) << 0, с учетом
172

конечной проводимости, как было показано Ребю 135], должен
становиться неустойчивым, если плотность тока превышает неко-
некоторое критическое значение, тем меньшее, чем меньше толщина
разряда. Этот вывод был подтвержден соответстующими экспери-
экспериментами.
§12. Перегревная неустойчивость
Еще один вид неустойчивости, связанной с конечной прово-
проводимостью, может встретиться в плазме, разогреваемой джоулевым
теплом текущего по ней тока, если электропроводность растет
с температурой. Эта неустойчивость состоит в том, что при неболь-
небольшом перегреве трубки с током ее проводимость, а следовательно,
и ток увеличиваются, что приводит к еще большему ее перегреву.
Для простоты рассмотрим следующую идеализированную за-
задачу. Допустим, что вдоль однородного магнитного поля Во,
направленного вдоль оси г, течет ток j0 настолько слабый, что
создаваемое им магнитное поле пренебрежимо мало. Кроме того,
предположим, что давление плазмы много меньше давления маг-
магнитного поля. Тогда уравнение движения для малых колебаний
можно записать в виде
»Bb <12Л>
где М — масса ионов; v — их скорость; п0 — плотность; j —
плотность тока.
Если считать ионы холодными, то закон Ома можно записать
в виде
где j — возмущение тока; То — равновесная температура элек-
электронов; Т — возмущение температуры.
Подставляя выражение для поля A2. 2) в уравнение -~ =
с2
= —^ rotrot E, являющееся следствием уравнений Максвелла,
и исключая v с помощью уравнения A2. 1), получим
==ш1- A23>
где сА = Во Dяп0М)~1/2 — альфвеновская скорость; k — вол-
волновое число малых колебаний вида ехр (—iwt + гкг).
Температура Т может быть найдена из уравнения теплового
баланса. Допустим, что в равновесном состоянии плазма одно-
однородна, а джоулево тепло /|/а0 полностью уносится излуче-
излучением Qr (Го). Тогда, пренебрегая смещением плазмы вдоль г,
173

линеаризованное уравнение теплового баланса можно записать
в виде
¦ , v Ь2, .2 , 2 rf(?r . 2/0 d\na0 ) Т
-ш + xnbz + Х.Л. -г ^^ -f- ^r^TETV/To =
где х — температуропроводность (анизотропная).
Из уравнений A2. 3) и A2. 4) находим дисперсионное уравне-
уравнение для определения частоты малых колебаний со:
(и2 + /<»vs — c2Ak2z) (со + ixukl + i%xkx + ivr + i\q) +
g-W = 0> A2'5>
где
c^k2 2 dOr /'o d In fTn
v = ; v = ^— ¦ v = -,—=r—.
4ла0 r 3n0 dT0 ' ч ЫоТоао d In To
Если vf = О, т. е. проводимость не зависит от температуры,
то, согласно уравнению A2. 5), колебания расщепляются на альф-
веновские волны и возмущение температуры, затухающее вслед-
вследствие теплопроводности и излучения (при vr > 0). Аналогичное
расщепление происходит и при vq ф 0, если магнитное поле очень
сильное, т. е. cAkz много больше всех характерных частот. При
этом частота ю для тепловых возмущений будет равна:
СО = —1%1\Кг—1%ХКХ —lVr Wq- A^-Ь)
Такие возмущения могут нарастать во времени лишь при
Vq < 0, т. е. когда проводимость падает с температурой.
Рассмотрим теперь коротковолновые возмущения, для кото-
которых vs значительно больше остальных характерных частот.
Переходя к пределу Vj ->- со, получим
Как видим, неустойчивость может быть и при положительном,
и при отрицательном v4. В первом случае неустойчивость прояв-
проявляется в образовании нитей повышенной проводимости, вытяну-
вытянутых вдоль силовых линий магнитного поля, во втором — в появле-
появлении.чередующихся слоев повышенной и пониженной проводимости,
похожих на страты в тлеющем разряде. Однако, ввиду того что
теплопроводность электронов вдоль магнитного поля является
очень большой, в полностью ионизованной плазме к неустойчи-
неустойчивости могут привести лишь возмущения, сильно вытянутые вдоль
магнитного поля (кг -?¦ 0), В этом случае плазма неустойчива
,174

только при vq ;> 0, что как раз соответствует реальным условиям
в полностью ионизованной плазме, проводимость которой пропор-
пропорциональна температуре электронов в степени 3/2.
Следует отметить, что время развития этой неустойчивости
сравнительно велико: оно имеет порядок величины скинового
времени. Поэтому трудно сказать, как она проявится в реальных
условиях. С одной стороны, поскольку в сильном магнитном поле
длинноволновые возмущения (/г2 < 4яа0сл^гс~2) стабилизиро-
стабилизированы, шнур с током имеет тенденцию разбиться на множество
нитей, вытянутых вдоль силовых линий магнитного поля. С дру-
другой стороны, время развития неустойчивости одного порядка
с временем формирования разряда, и поэтому не исключена воз-
возможность, что реально такой процесс проявится простоv в виде
контрагирования всего разряда в целом, как это происходит,
например, при шнуровании обычной дуги.
ЛИТЕРАТОРА
1. Леонтович М. А. О силах, действующих на прямолинейный ток,
находящийся внутри проводящей цилиндрической трубы. В кн. «Физика
плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций». Т. I. M., Изд-во
АН СССР, 1958, стр. ПО.
2. Леонтович М. А., Шафранов В. Д. Об устойчивости гибкого
провода в продольном магнитном поле. Там же, стр. 207.
3. Трубников Б. А. О неустойчивости цилиндра плазмы. Там же, стр. 289. '
4. Ш а ф р а н о в В. Д. Об устойчивости плазменного шнура при наличии
продольного магнитного поля и проводящего кожуха. Там же, т. II, стр. 130.
5. В о л к о в Т. Ф. Об устойчивости цилиндра плазмы во внешнем магнитном
поле. Там же, т. II, стр. 144.
6. Ш а ф р а н о в В. Д. «Атомная энергия», № 5, 38 A956).
7. Крускал М., Шварцшильд М. В сб. «Проблемысовременной
физики». Некоторые типы неустойчивости полностью ионизованной плазмы.
№ 2. М., Изд-во иностр. лит., 1956, стр. 108.
8. Chandrasekh ar S., Fermi E. Ар. J., 118,116A953).
9. Ш а ф р а н о в В. Д. Об устойчивости плазменного шнура с распределен-
распределенным током. В кн. «Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных
реакций». Т. IV. М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 61.
10. Т е й л е р Р. Д. В кн. «Управляемые термоядерные реакции». М., Атом-
издат, I960, стр. 74.
11. Roberts P. Ар. J., 124,430A956).
12. L u п d q u i s t S. Phys. Rev., 83, 307 A951).
13. Брагинский С. И., Кадомцев Б. Б. Стабилизация плазмы
с помощью охраняющих проводников. В кн. «Физика плазмы и проблема
управляемых термоядерных реакций». Т. III. M., Изд-во АН СССР, 1958,
стр. 300.
14. X а й н К., Люст Р., Шлютер А. Об устойчивости плазмы. В кн.
«Управляемые термоядерные реакции». М., Атомиздат, 1960, стр. 165.
15. Бернштейн А., Фримен Е., Крускал М., Кулсруд Р
Энергетический принцип для проблемы гидромагнитной устойчивости. Там
же, стр 226.
16. Розенблют М., Лонгмайр К. В сб. «Проблемы современной
физики». № 1. М., Изд-во иностр. лит., 1958, стр. 99.
17. Кадомцев Б. Б. О гидродинамике пламьг низкого давления. В кн.
«Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций». Т. IV.
М., Изд-во АН СССР, 1958, стр. 16.
175

18. Розенблют М. Теория самосжатого разряда. Устойчивость и нагрев.
В кн. «Труды Второй международной конференции по мирному использованию
атомной энергии». Избр. докл. иностр. ученых. Т. I — Физика горячей плазмы
и термоядерные реакции. М., Атомиздат, 1959, стр. 55.
19. Сайде м. Устойчивость самосжатого линейного разряда. Там же, стр. 89.
20. Беркович, Град и Рубин. Проблемы устойчивости в магнито-
магнитогидродинамике. Там же, стр. 109.
21. Джонсон, Оберман, Кул еру д, Фримен. Некоторые устой-
устойчивые магнитогидродинамические равновесные конфигурации. Там же,
22. К г u s k a I M., Johnson J., Gottlieb M., Goldman L.
Phys. Fluids, 1, 421 A958).
23. К а д о м ц е в Б. Б. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37, 1096 A959).
24. Кадомцев Б. Б. Там же, стр. 1646.
25. Mercier С. Nucl. Fusion, I, 47 A960).
26. N е w с о m b W. A. Ann. of Phys., 10, 232 A960).
27. Кадомцев Б. Б., Р о к о т я н В. Е. «Докл. АН СССР», 133, 68 A960).
28. В е л и х о в Е. П. «Ж- техн. физ.», 31, 180 A961).
29. Б р е у с С. Н. «Ж- техн. физ.», 30, 1030 A960).
30. К а д о м ц е в Б. Б., Н е д о с п а с о в А. В. J. Nucl. Energy, Part С,
1, 230 A960).
31. Newcomb W. Phys. Fluids, 4, 391 A961).
32. В а н д а к у р о в Ю. В. «Ж- техн. физ.», 30, 330, 781 A960). '*
33. В е д е н о в А. А., Велихов Е. П., С а г д е е в Р. 3. «Успехи физ.
наук», 73, 701 A961).
34. FurthH., Rosenbluth M., Killeen J. Phys. Fluids, 6, 459
A963).
35. Rebut P. H. J. Nucl. Energy, Part C, 4, 159 A962).
36. Кадомцев Б. Б. «Ядерный синтез», 1, 286 A961).

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ
В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
А. И. Морозов, Л. С. Соловьев
Введение
В работе излагается теория движения заряженных частиц
в электромагнитных полях преимущественно в связи с проблемой
электромагнитных ловушек для частиц и плазмы.
Поскольку для удержания заряженных частиц приходится
прибегать к полям весьма сложной геометрии, точное интегриро-
интегрирование уравнений движения оказывается почти всегда невозмож-
невозможным. Поэтому в большинстве случаев движение частиц рассматри-
рассматривается с помощью приближенных методов исследования, причем
наиболее эффективным в настоящее время оказывается метод
усреднения, приводящий (в частности, при малом отношении лар-
моровского радиуса к масштабу неоднородности поля) к дрейфо-
дрейфовым уравнениям. Но и приближенные уравнения в целом ряде
задач не интегрируемы, что вызывает необходимость их дальней-
дальнейшего усреднения, т. е. перехода к так называемому методу про-
продольного инварианта.. Метод усреднения используется также
и для получения приближенных уравнений движения частиц
в быстропеременном электромагнитном поле.
Исследование с помощью приближенных методов позволяет
охватить широкий круг задач. Однако вопрос о степени точности
приближенных уравнений и, в частности, об эффектах, теряемых
при усреднении, пока еще с достаточной полнотой не проанализи-
проанализирован. Это обстоятельство существенно затрудняет исследование
абсолютных ловушек (см. § 7), когда выяснение условий неогра-
неограниченного во времени пребывания частиц в ловушке является
весьма важным моментом.
В работе мы не касались вопроса о степени точности усред-
усредненных уравнений на бесконечном интервале изменения времени
и, в частности, вопроса о точности адиабатического инварианта.
Хочется подчеркнуть, что в настоящее время становится все
более очевидной недостаточность дрейфового приближения для
исследования широкого класса систем, особенно систем с горячей
12 Вопросы теории плазмы. Вып. 2. 177

плазмой. Для таких установок, как пробочные ловушки с инжек-
цией, для стеллараторов при высокой температуре плазмы и,
для других систем актуальной становится разработка новых каче-
качественных и эффективных количественных методов исследова-
исследования движения заряженных частиц.
§ 1. Уравнения движения и их интегралы
/. Уравнения движения
Уравнение движения частицы с массой покоя т0 и зарядом е
в электрическом поле Е и магнитном поле В имеет вид
^ mv =/Е +-1-[vBH m = —T.^==. A.1)
at с j Л/ \ v
Здесь v — скорость частицы; с — скорость света.
Если движение частиц рассматривается не в декартовых,
а в каких-либо других координатах qn то уравнение A. 1) удобно
записать в лагранжевой форме:
_d_3L_=d±. A 2)
dt dqi dqt
при этом функция Лагранжа L (qit qt) в релятивистском слу-
случае равна
1 A r1\ /1 Q \
г С С
а в нерелятивистском
L = -^ + -iLvA — еФ. A.3а)
Векторный А и скалярный Ф потенциалы электромагнитного
поля связаны с напряженностями полей Е и В соотношениями
Е = jn уФ; В = rot A . A-4)
В ряде случаев уравнения, движения частицы проще рассма-
рассматривать в гамильтоновой форме, в которой система трех уравне-
уравнений второго порядка A. 2) для координат qt заменяется систе-
системой .шести уравнений первого порядка для трех координат qt
6L
и трех импульсов pt = —г-:
dpi дН
dt dqi
dqi _ дН
dt ~~ dpi '
178

Здесь Н (qt, pf) — гамильтонова функция, связанная с лагран-
лагранжианом L (qt, qt) соотношением
Я = -1 + 2а<7,- 0-6)
и представляющая собой энергию системы, выраженную через
координаты и импульсы.
В релятивистском случае гамильтониан, соответствующий
лагранжиану A. 3), равен
а в нерелятивистском случае
^J+еф- (L7a)
2. Интегралы уравнений движения
Общее решение уравнения A.1) представляет собой систему
шести функций — так называемых интегралов, зависящих от
координат, скоростей, времени и шести постоянных ck:
fk(r,Y,t) = ck. ¦ A.8)
Эти постоянные определяются, например, положением и ско-
скоростью частицы в начальный момент времени. Аналитические
выражения для интегралов A.8) могут быть получены в замкну-
замкнутом виде только в специальных случаях, в частности когда поля
обладают симметрией в пространстве-времени. Интегралы, выте-
вытекающие из симметрии, называют законами сохранения. В обыч-
обычном трехмерном пространстве элементарными видами симметрии
являются симметрия относительно параллельного сдвига (транс-
(трансляционная симметрия) и симметрия поворота (аксиальная сим-
симметрия). При наличии симметрии и соответствующем выборе
системы координат лагранжиан может быть сделан не зависящим
от одной координаты или нескольких.
В случае трансляционной симметрии такой координатой
является декартова координата г, и из уравнений A. 2)—A. 3)
следует закон сохранения импульса
Рг = ^ = т + -±-Аг = сопй. A.9)
Если поле обладает аксиальной симметрией, то в цилиндри-
цилиндрической системе координат лагранжиан не зависит от азимута ф,
и, следовательно, сохраняется момент количества движения
рф = -^ = mr\ + ~rA(f = const. A.10)
Наиболее общим видом симметрии в трехмерном пространстве-
является винтовая. В этом случае лагранжиан зависит не от q>
12* 179

и¦ z в отдельности, а от комбинации <р — аг, в которой / = — =
— const — шаг винта; так что
dL dL _Q
dz d<f
и, следовательно, согласно уравнениям A. 2),
р9 — —г- + а-^- = /п(г + аг2ф) + — (Л2 -f- arAJ = const. A.11)
dz dqp c
Симметрия поля в четырехмерном пространстве-времени по-
порождает множество новых интегралов. Наиболее интересными
являются поля, не зависящие от времени, а также бегущие и вра-
вращающиеся, которыми мы и ограничимся.
а. Если поля не зависят от времени, то уравнение A. 1) имеет
интеграл энергии
g = тсг + еФ = const A. 12)
или в нерелятивистском случае
g = -Щ.—j-еФ = const. A-13)
Действительно, умножая уравнение A. 1) на v и учитывая,
что Е = — уФ и
d v _ d с2
V dt
получим
—гг тс2 = eEv = —e(vyH. A-14)
Поскольку по условию -дг = 0, то (vy) Ф = —гт, и отсюда
следует интеграл энергии A. 12). Разлагая m по степеням v2/c2,
получим выражение A. 13).
Уравнение A. 14) показывает, что магнитное поле не совер-
совершает работы, поскольку лоренцева сила — [vB] направлена
перпендикулярно к скорости частицы. Этим же объясняется и то
обстоятельство, что магнитное поле не входит в интеграл энер-
энергии A. 12).
Если поле переменно, то энергия частицы изменяется, причем
"§ = -§-• A-15)
dt ot v
Действительно, вычисляя полную производную от лагранжиана
L (qit qt, t) и учитывая уравнения A. 2), получим (по одинако-
одинаковым индексам производится суммирование)
dL_ _dL_ dL_ ¦ , dL ¦¦ _ dL d (- dL'
dt dt dqi "' g'q. "l dt d,
180

Отсюда и следует уравнение A. 15), поскольку энергия системы
равна
S = qt^- — Ь = тс2 + еФ. A.16)
dqi
б. При движении частицы в поле бегущей волны функция
Лагранжа содержит z я t только в комбинации z — vt:
L = L (х, у, z — vt, х, у, z); v = const.
Отсюда
dL . dL л
+ v 0
и с помощью уравнений A. 2) и A. 15) находим интеграл
<§ — vp2 = const, A. 17а)
где обобщенный импульс рг определяется формулой A. 9).
в. В случае вращающегося электромагнитного поля лагран-
лагранжиан зависит от комбинации ср — cat:
L = L (r, z, ф — tot, r, z, ф); со = const.
И поэтому
dL , dL Л
Подставляя сюда уравнения A. 2) и A. 15), получим интеграл
&—шрф = const, A.176)
где рф — момент количества движения, определяемый выраже-
выражением A. 10).
При движении частицы в поле винтовой волны, зависящей
в цилиндрической системе координат от аргументов г и
Ф — at — vz, сохраняются оба интеграла — A. 17а) и A. 176).
3. Исключение циклических координат
Выше мы показали, что наличие симметрии дает возможность
найти многие интегралы, а это в свою очередь позволяет свести
задачу о движении частицы в четырехмерном пространстве-вре-
пространстве-времени к задаче о движении частицы в пространстве меньшего числа
измерений.
В нерелятивистском случае существует простой метод пере-
перехода от рассмотрения движения частицы в обычном трехмерном
пространстве к рассмотрению движения в пространстве меньшего
числа измерений. Суть его состоит в использовании такой системы
координат, в которой зависимость лагранжиана от одной или двух
координат <7<с> в силу симметрии исчезает, тогда как зависимость
от их производных по времени фс) остается. (Если лагранжиан
не зависит ни от одной из координат, то это случай свободного
181

движения частиц.) Такие координаты ф0^ называются цикличе-
циклическими и, как показывают уравнения A. 2), соответствующие им
импульсы р(с) сохраняются, т. е. являются интегралами движе-
движения.
Сведение системы трех уравнений A. 2), содержащей цикли-
циклические переменные, к системе с меньшим числом уравнений, не
содержащих производных циклических координат по времени,
может быть осуществлено заменой в исходных уравнениях ско-
скорости <7(с) ее значением, найденным из уравнения сохранения
импульса р(с) = const. Однако более удобно исключать цикли-
циклические координаты, вводя так называемую функ-
v » цию Раусса, которая определяется как
Р , A.18)
где под знаком суммы содержатся только цикли-
циклические координаты. При этом qic) в R исключаются
из интегралов р<с> = const. Нетрудно видеть, что
введение функции Раусса соответствует переходу
к гамильтоновой форме по циклическим перемен-
переменным и сохранению лагранжевой формы для осталь-
остальных координат, т. е.
dp<c) dR n. dq{c) dR
dt
dt
dt dqt
A.19)
Рассмотрим в качестве примера движение частицы * в электро-
электромагнитном поле, обладающем аксиальной симметрией (рис. 1).
Нетрудно видеть, что произвольное аксиально симметричное
магнитное поле может быть описано двумя компонентами вектор-
векторного потенциала Лф и Аг. Следовательно, лагранжиан будет иметь
вид
Здесь Ф (г, z, t) — потенциал электростатического поля. Коор-
Координата ф циклическая, и сохраняющийся импульс определяется
формулой A. 10).
Функция Раусса в данном случае равна
R = L — Ф—г- — -?- (г% + г2) +— гАг — еФ — «°, A.21)
где
= const,
A.22)
* Далее в этом параграфе мы будем рассматривать нерелятивистский случай.
182

В частности, если Аг = О, что соответствует отсутствию компо-
компоненты Вф, задача сводится к расчету движения частицы в потен-
потенциальном поле и = и0 + еФ:
ди
A.23)
аи
тг= д-
Для полей, обладающих симметрией только в четырехмерном
пространстве времени, исключение соответствующих цикличе-
циклических координат приводит к весьма громоздким выражениям.
Однако в некоторых случаях упростить задачу можно по-
иному. Так, например, если рассматривается движение частицы
во вращающемся поле, описываемом лагранжианом
L = -^- (г2 -j- г2ф2 + z2) + 4" гфЛф (г, Ф — со/, z) +
— еФ(г, <p-*arf,z), A.24)
то, вводя новую координату ? = Ф — (at, можно исключить t
и получить лагранжиан
4 rAr-\ zAy — еФ, A.24а)
зависящий только от пространственных координат. Аналогичная
замена может быть произведена и в случае движения частицы
в поле бегущей или винтовой волны.
4. Оценка области движения частицы
в электромагнитном поле
Если электромагнитное поле переменно и не имеет какой-либо-
симметрии, то в общем случае нельзя оценить размеров области,
в которой может находиться частица.
Если же поля постоянны во времени или обладают симметрией,,
связанной с перемещением в направлении оси /, то мы имеем
интеграл энергии или какой-либо другой интеграл типа инте-
интеграла A. 17). Наличие такого интеграла позволяет оценить область
возможных положений частицы. Так, еая-и, имеется интеграл
энергии A. 13), то эта область зависит только от электрического-
поля и определяется очевидным соотношением
mv2
еФ < g = —± + еФ0. A.25)
lea

Здесь v0 и Фо — скорость частицы и потенциал в точке ее
нахождения в начальный момент времени.
Если поле, будучи постоянным во времени, обладает к тому же
пространственной симметрией, например аксиальной, то в этом
случае сохраняется и энергия и момент количества движения'
Интеграл энергии теперь может быть написан в виде
S = ~ (г2 + г2) + и = const, A.26)
где и выражается формулой A. 22). Отсюда следует оценка об-
области возможных положений частицы:
ы<<§, A.27)
которая уже зависит и от наличия магнитного поля (пример
использования этого соотношения дан в п. 5 данного параграфа
и в § 3).
Если поле зависит только от одной пространственной коорди-
координаты х, то нетрудно получить интеграл энергии в виде
<§ = ^f + G{x) = const. A.28)
Это позволяет написать общее решение задачи в квадратурах
A.29)
т. е. область движения частицы определяется однозначно.
Аналогично, если частица движется в аксиально симметрич-
симметричном магнитном поле, описываемом лишь одной компонентой век-
векторного потенциала Лф = Лф (г), то из уравнений A. 9), A. 10)
и A. 13) получаем
т
v^iriT-—глф)'
A.-30)
где <§х = & — Щ-. Правые части уравнений A. 30) зависят
только от г, и, следовательно, уравнение траектории также сво-
сводится к квадратурам
|^ /?-. A-31)
Наконец, если напряженности полей Е и В не зависят ни от
координат, ни от времени, то решение, как это будет показано
в следующем параграфе, легко получается в конечном виде.
J84

5. Условия абсолютного удержания частицы
в адиабатической ловушке
Учитывая соображения, изложенные в п. 4, рассмотрим дви-
движение частицы в постоянном аксиально-симметричном магнитном
поле с «пробками» (рис. 2), называемом также «адиабатической
ловушкой» [1 ] (см. п. 5 § 3).
Движение частиц в таком поле описывается системой A. 23)
и имеет два закона сохранения —энергии и импульса:
г2 + z2 + — и = const;
рф = тг\ + ~гА9 = const;
rzzz
Рис. 2
Рис. 3
Если задано поле b — b B) на оси системы, то поле в ее окрест-
окрестности может быть описано компонентой векторного потенциалаЛф:
A.33)
Исследование структуры эквипотенциальных поверхностей и =
= const показывает, что они имеют замкнутые поверхности,
вложенные одна в другую (рис. 3), только в том случае, когда
(нетрудно убедиться, что при этом частица обходит ось г). Коор-
Координаты особых точек этих поверхностей определяются соотно-
соотношениями
185

Одна из точек — центр (г1, гх) — находится при zlt соответ-
соответствующем минимуму b (г), а вторая — седловая точка (r2, z2) —
соответствует максимуму Ь (z). Ограничиваясь первыми членами
разложения A. 33), из соотношений A. 34) найдем гг и г2:
где bx = b (zx); Ьг = b (г2). Если частица инжектируется вне
сепаратрисы (под этим названием мы понимаем поверхность,
содержащую седловые точки, см. рис. 3), т. е. в области, где
эквипотенциали не замкнуты, то она может уйти в бесконечность,
причем законы сохранения A. 32) не дают возможности устано-
установить какого-либо запрета на этот уход *. Если же частицы инжек-
инжектируются внутри сепаратрисы, то те из них, энергия которых
удовлетворяет условию
~(v2r+vl)o + uo<uc, A.36)
останутся сколь угодно долго внутри сепаратрисы.
Учитывая, что по своему существу и — -^-гу и поэтому
где v — полная скорость частицы, мы можем написать следую
щее достаточное условие удержания частицы внутри сепаратрисы
J ( Рч> _ е л (Г ,
Подставляя сюда вместо Л„ первый член разложения A. 33)
и усиливая неравенство A. 37), получим условие запирания
в виде
2е62р>т2о>2. A.38)
Если частица инжектируется в точке г ~ rv z = zlt то выра-
выражение для р, определяемое законом сохранения A. 32) с учетом
первого члена разложения A. 33) и выражения A. 35), дает воз-
возможность получить
2р = шг11 о0ф |.
Подставляя сюда значение rlt получим
2m2c v*
* Тем не менее в некоторых случаях можно показать, что существуют ча-
частицы такого типа, сколь угодно долго остающиеся в ловушке Г2].
186

Отсюда, согласно неравенству A. 38), находим достаточное
условие абсолютного удержания частицы
%>^. A-40)
Это соотношение является более жестким, чем условие, обязан-
обязанное сохранению адиабатического инварианта [см. неравен-
неравенство C. 29) ]:
°i _ °оф + "ог ^ ь\ A 41ч
v2 v2 Ь» ' \ ' /
Задача 1. Рассчитать движение частицы вну-
внутри равномерно заряженного круглого цилиндра,
находящегося в однородном продольном магнитном
поле В.
Решение. Обозначая через а радиус ци-
цилиндра и через Еа поле при г — а, имеем
V = B^; Ф =-:§§*
\
Рис. 4
Траектория частицы в плоскости, перпендикулярной к оси цилиндра, имеет
вид, изображенный на рис. 4. Приращение азимута за период движения Т от rm
до Гм и обратно до rm выражается интегралом A. 31)
\тг* 2 ,
а сам период
'М
Л dr
Г = 2 I 7z=^^====
I 1/2
Рч>
где
еВ
Полученные интегралы берутся в пределах от rm до гм> обращающих в нуль
их подкоренные выражения. С использованием подстановок г2 = х и г2 = — они
легко сводятся к известному интегралу
*м
dx
xm)
¦ я.
В результате получаем
Дф_ = Я
ГТл
¦л- ¦
4еЕа
Т = —
4еЕа
тач>2в
187

Средняя скорость движения по азимуту (т. е. скорость азимутального дрейфа)
равна A(ff/T.
Задача 2*. Определить угол дрейфа за один ларморовский оборот при движе-
движении частицы в средней плоскости аксиально симметричного магнитного поля,
если поле Вг спадает по закону Вг = Ва —.
Решение. Векторный потенциал такого поля равен Ау = Ваа = const
и интеграл A. 31), аналогично предыдущей задаче, вычисляется точно. В резуль-
результате получим
Дфу. = 2я
§ 2. Движение заряженной частицы
в постоянных однородных полях
Рассмотрим сначала нерелятивистский случай (у2 < с2). При
постоянных Е и" В уравнение движения
F=eE
[vB])
B. 1)
является линейным уравнением с постоянными коэффициентами.
Здесь через f обозначена произвольная постоянная сила неэлек-
неэлектрического происхождения, например сила тяжести.
Если В = 0, то движение частицы представляет собой равно-
F
мерно ускоренное движение с ускорением —.
В общем случае, когда В Ф 0, уравнение B. 1) удобно разбить
на два, разложив F и v на составляющие, параллельные и перпен-
перпендикулярные к В:
F = F,|+FX; v = V||+vx. B.2)
Подставляя выражения B. 2) в уравнение B. 1), получим
i B.3а)
B.36)
Первое из этих уравнений описывает равномерно ускоренное
движение частицы под действием силы F ц.
Если F|| =0, то частица покоится или движется вдоль маг-
магнитного поля с постоянной скоростью. Уравнение B. 36) описы-
описывает движение частицы в плоскости, перпендикулярной к вектору
напряженности магнитного поля.
Если Fx = 0, то
B.4)
* Эта задача предложена Д. В. Сивухиным.
188

Из этого уравнения вытекает, что действующая на частицу
сила все время перпендикулярна к ее скорости. Следовательно,
модуль скорости частицы не меняется и частица движется по
окружности. Эта окружность называется ларморовской.
Обозначив через <ов вектор угловой скорости, а через г радиус-
вектор частицы, отсчитываемый от центра ларморовской окруж-
окружности, можно написать
vx = [«»flr]. B.5)
Подставляя это выражение
в уравнение B. 4) и учитывая,
е>0
что
= v±, получим
Vj.
]¦
Отсюда следует, что (рис. 5)
юв = — —. B.6)
в
В
со.
Рис. 5
При этом мы учли, что о)в и В перпендикулярны к vj_. Модуль
угловой скорости
сов = ^с B. 7)
называется ларморовской или циклотронной частотой. Харак-
Характерно, что в рассматриваемом нерелятивистском случае эта частота
не зависит от скорости.
Направление вращения частицы в магнитном поле, как пока-
показывает выражение B. 6), зависит от знака ее заряда. Частица
ведет себя как элементарный диамагнетик, поскольку магнитное
поле, создаваемое движением частицы по ларморовской окруж-
окружности, направлено противоположно внешнему полю.
Выражение B. 5) определяет также радиус ларморовской
окружности
гл = ^Г B.8)
Из соотношений B. 7) и B. 8) вытекает следующее выражение
магнитного момента «ларморовского кружка»:
JS 1 «д. „ mv2.
^ с с 2пгл
B-9)
Пусть теперь Fj. ф 0. В этом случае уравнение B. 36) может
быть сведено к уравнению вида B. 4) для v' заменой переменных
= v + 4-
B. 10)
(при этом используется соотношение [B[BFj]]= — B2Fx)-
189

Физически эта замена означает переход к системе координат,
движущейся со скоростью
_ с [FXB]
УДР
_
УДР —
B.11)
называемой скоростью дрейфа, причем v' является скоростью
частицы в новой системе координат.
Таким образом, результирующее движение частицы в полях Е
и В представляет собой вращение по ларморовской окружности
1 v''
радиуса
'л
сов
и одновре-
|V'I>|V I МенНЬШ ДРейФ с0 СКОРОСТЬЮ Удр
лр1 в направлении, перпендикуляр-
перпендикулярном к Fx и В.
В зависимости от соотноше-
соотношения v' и удр характер траекто-
траектории частицы в плоскости хОу
в неподвижной системе коорди-
координат будет различен (рис. 6).
В частности, если частица
в начальный момент покоилась,
то, как следует из выражения B. 10), |удР| = |v'|, и частица
движется по циклоиде, шаг и высота которой соответственно
равны
ДР ф
71 ,
Рис. 6
сов
B. 12)
Если Fx является силой неэлектрического происхождения,
например силой тяжести, то направление скорости дрейфа зависит
от знака частицы. Если же
Fx = еЕх, то в этом случае
скорость дрейфа
VAP
Щ B-13)
равна по модулю
В
Н,е>0
/п,е*0
©В
Рис. 7
и не зависит от массы и за-
заряда частицы.
Следует подчеркнуть, что этот вывод относится только к ско-
скорости дрейфа. Истинная же скорость частицы зависит и от массы,
и от заряда частицы (рис. 7).
Если Ех <^ В, то скорость дрейфа много меньше скорости
света и поэтому движение в скрещенных полях (т. е. при Е ц =0)
остается сколь угодно долго нерелятивистским, поскольку в начале
оно было нерелятивистским. Следовательно, нерелятивистские
190

уравнения движения применимы для бесконечного интервала
времени.
Если же Ех Э; В, то даже при Е\\ = 0 скорость идр > с
и частица со временем приобретает скорость порядка скорости
света, что требует уже релятивистского рассмотрения. Однако
на небольших времени их интервалах приведенное рассмотрение
остается в силе при любых 1>Др, если начальная скорость частицы
нерелятивистская.
Объединяя результаты рассмотрения уравнений B. 3) и счи-
счиб
тая, что У
у рр у
с, можно сказать, что общее движение частицы
Рис. 8
в постоянных и однородных полях В и F = еЕ + f представляет
собой сумму движений (рис. 8), состоящую из равноускоренного
движения вдоль магнитного поля под действием силы F ц, равно-
равномерного дрейфа в плоскости, перпендикулярной к В, со ско-
скоростью B. 11) и вращения с частотой а»в = — по окружности
|V| I| mc
|| Ioxflp|
радиуса — = .
Если начальную скорость частицы обозначить через v0, то
скорость в любой другой момент времени может быть определена
по формуле
+ {[тоа] sin at— [t0 [toa]] cos at}, B. 14)
где а — постоянный вектор, определяемый начальной скоростью,
(о = —-
еВ
0 В * - тс
Интегрируя выражение B. 14) по времени, можно получить
явное выражение для вектора г в функции от времени и началь-
начальных условий г0 и v0. Радиус ларморовской окружности опреде-
определяется формулой г\ — —j [т0а]2 и зависит от В и Е. Скорость
191

движения центра ларморовской окружности представляется урав-
уравнениями
l
~dt
1 Г F 1
— |т0— J;
dt
B. 14а)
Если магнитное поле медленно меняется как в пространстве,
так и во времени, то движение частицы также может быть пред-
представлено как вращение вокруг силовой линии В, на которое нало-
наложено некоторое систематическое перемещение вдоль В и «дрейф»
поперек В. В дрейфовой теории, излагаемой ниже, выводятся
уравнения типа B. 14а) для движения так называемого ведущего
центра частицы.
Перейдем теперь к релятивистскому случаю (у ~ с), когда
система уравнений A. 1) может быть приведена к линейной, если
вместо независимой переменной t взять собственное время s,
дифференциал которого
ds = У 1 — ¦?<#. '
B. 15)
Тогда уравнение A. 1) вместе с уравнением энергии A. 14) можно
переписать в виде
= eExt + -^-yB + fxi;
-^хВ
= eEj
+ //;
B. 16)
тйсН = е (Ехх + Еуу'+ ?» + fxx + fyy + fj-
Здесь точка означает дифференцирование по s, через т0 обозна-
обозначена масса покоя и за направление оси z принято направление
магнитного поля.
Если Е = 0, f = 0, то система B. 16) будет иметь решение
х = гл sin (coos + а); у — глcos (co0s + а); v2 = const, B.17)
где
— еВ
0 ~ тос '
Переходя к переменной t, мы видим, что частота вращения
релятивистской частицы в магнитном поле равна
, v2 еВ
1 »- = — ; т =
с2 тс
т„
тс
B. 18)
192

В другом крайнем случае, когда В = 0, f = 0 и ? = Ех, мы полу-
получаем (ось z считаем направленной перпендикулярно к полю Е
и к начальной скорости)
еЕ
¦ еЕ •
тох = eEt; тоу = 0; mot = -^-х.
B. 19)
Отсюда, обозначая через х0, у0, t0, a, b, s0 произвольные по-
постоянные, получим общее решение
-^-sh—(s + s0).
B. 20)
Считая, что х = у = х = у = 0 при t = 0, получим следующий
закон движения вдоль оси х:
±
(ceEtf
B.21)
В общем случае, когда Е и В отличны от нуля, рассмотрение
движения частицы в лабораторной системе отсчета весьма гро-
громоздко.
Ранее, в нерелятивистском случае, мы упрощали исследование
общего случая переходом к системе отсчета, движущейся со ско-
скоростью дрейфа. Эту процедуру естественно использовать и здесь.
В теории поля [3 ] доказывается, что при произвольных лорен-
цевых преобразованиях электромагнитного поля сохраняются
две величины
1г = Е2 — В2; /2 = (ЕВJ.
B. 22)
Это позволяет выделить два различных типа электромагнитных
полей: поля, у которых второй из инвариантов не равен нулю,
и поля, у которых оба инварианта равны нулю. В первом случае
соответствующим выбором системы отсчета поля Е и В можно
сделать параллельными, во втором — они во всех системах вза-
взаимно-перпендикулярны.
В первом случае система B. 16) при f = 0 разбивается на две
независимые подсистемы
тох'=~уВ; moz = eEj;
= хВ; m0c2t =
Вопросы теории плазмы. Вып. 2.
B. 23)
193

решение которых представляет собой совокупность решений B. 17)
и B. 20), т. е.
х = -?- sin caos; y=-^-cos coos;
B. 24)
Для определения постоянных используется равенство х + г/2
D2
Это решение при -j—>¦ 0 переходит в рассмотренное выше.
Если же /1 = /2 = 0, то Е = В и система B. 16) принимает
вид
х = мог/; z = 0;
• —х); ct--=(uoy.
Ее решение может быть представлено соотношениями
Р a2 + p2+Q)-2 { B.26)
z = аа; с^ = -^- а3 :—^ — о,
о zp
где аир — произвольные постоянные; а = co0s — параметр.
В заключение отметим формулу 13], определяющую скорость
системы отсчета, в которой поля Е и В параллельны:
v/c [ЕВ] ,о 0~
Очевидно, эта система определена с точностью до произволь-
произвольного движения вдоль поля.
§ 3. Движение частиц в дрейфовом приближении
/. Постановка задачи
Точное интегрирование уравнения A. 1) в большинстве прак-
практически интересных случаев, когда поля в пространстве и во вре-
времени меняются достаточно произвольным образом, в конечном
виде невыполнимо. В связи с этим приходится прибегать к при-
приближенным или к численным методам интегрирования. Среди
приближенных методов особое место занимает так называемое
дрейфовое приближение, позволяющее- ясно представить каче-
качественную картину движения частицы, а в большом числе случаев
довести вычисления до конца.
Дрейфовое приближение справедливо в том случае, когда лар-
моровский радиус частицы существенно меньше масштаба неодно-
194

родности поля, а ларморовская частота много больше частоты
изменения поля, т. е. дрейфовое приближение — это метод рас-
рассмотрения движения частиц в полях, медленно изменяющихся
в пространстве и во времени.
Медленное изменение поля позволяет представить движение
частицы R (t) как вращение q (/) с медленно изменяющимися
радиусом и частотой вокруг перемещающегося центра г (t) лармо-
ровской окружности, называемого ведущим центром (рис. 9):
R(Q = r(Q-f-Q(/). C.1)
Уравнения, описывающие усредненное движение ведущего
центра и изменение ларморовского радиуса | q |, называют дрей-
дрейфовыми уравнениями.
Математическим аппаратом, по-
позволяющим выделить медленное
изменение параметров осциллиру-
осциллирующего движения, является метод
усреднения [4 ] (см. приложение I).
Для его применения систему урав-
уравнений второго порядка следует
заменить системой уравнений пер-
вого порядка, явно выделив осцил-
осцилляцию *. Этому и посвящены следующие два пункта параграфа.
е Е + f
Сначала мы рассмотрим тот случай, когда сила F = ——
мала и скорость дрейфа много меньше скорости частицы
mcF ,,
рис д
Затем это ограничение мы снимем.
2. Вывод дрейфовых уравнений
Рассмотрим движение релятивистской частицы
т =
г
C.2)
где F = — (еЕ + f) — сила, действующая на единицу реляти-
релятивистской массы т. Это уравнение удобно для дальнейшего изло-
изложения записать в форме, разрешенной относительно ускоре-
ускорения -гг. Вводя обозначение
ю = —-^, • C.3)
* См. также работу Д. В. Сивухина [5], где эта задача решается другим
способом.
13*
195

получим
C.4)
Для того чтобы применить к уравнению C. 4) метод усредне-
усреднения, выделим в явном виде быстрое вращение по ларморовской
окружности, по которому и производится усреднение. С этой
целью введем ортогональную криволинейную систему коорди-
координат с ортами т0, tj, т2, связанную с магнитным полем В в данной
точке:
= т0
[т2т0] =
= t2.
C.5)
Вектор т0 определен, коль скоро известна напряженность маг-
магнитного поля как функция координат и времени, а векторы хх
и т2 мы не конкретизируем, поскольку из окончательных формул
они выпадают.
Вектор скорости частицы представим разложенным по этим
ортам [ср. формулу B. 14) ]:
v = и || t0 + Ул. (tjcos 0 + т2 sin 0). C-6)
Здесь о|| и v± — параллельная и перпендикулярная к В со-
составляющие скорости, а 0 — фаза вращения вокруг В. Подстав-
Подставляя выражение C. 6) в уравнение C. 4) и умножая затем получен-
полученное таким образом векторное уравнение последовательно на т0,
тх cos 0 + т2 sin 6 и —тх sin 0 + т2 cos 0, получим уравнения
для новых переменных г, уц, v± и 0:
v || t0 -+- v± (Xi cos 0 -f ta sin 0);
dt
dv,.
= to|F —?- (Fv) vj + vx t0
dv
±
dt
_dQ_
dt
= (T1cose + t2sin0)|F-
1
^t1cos 0 + т2 sin 0);
(Fv)v — O||T0|; \
C.7)
= to ¦— (хг sin 0 — t2 cos 0) (F — v || t0 —
— v±(x1 cos 0 + т2 sin 0)}.
В уравнениях C. 7) учтено очевидное тождество -^ (t/tA) =
= T-iXk + x(tk = 0. Точкой обозначена полная производная по
времени:
- vx \(x1 V) t,-cos 0 + (т, V) х\ sin 0[.
C.8)
196

После подстановки выражения C. 8) в уравнения C. 7) получим
систему уравнений вида
приведенную к стандартной форме для метода усреднения.
Решение системы C. 9) методом усреднения дает следующее
выражение для х (см. приложение I):
x = l(t) + — ?(I, t, 9)+ ••- C.10)
Здесь | (t) определяет усредненное движение частицы, а второй
член, периодичный по 8, описывает эффект движения по ларморов-
ской окружности вокруг ведущего центра. Усредненные вели-
величины |,- удовлетворяют уравнению
Величины /, / и / определяются формулами
~f = f-~f; l=\ldQ, C.12)
причем интегрирование производится при фиксированных | и t.
Для применения метода усреднения уравнениям C. 7)—C. 8)
установим следующие порядки величин:
r~l; v~l; F-1; ю~-^-; е«1, C.13)
о
т. е. частица со скоростью v пролетает расстояние L — 1 порядка
размеров магнитного поля за время t ~ 1, а один оборот по лармо-
ровскои окружности радиуса гл = е совершается за время
t — е. Малым параметром е является отношение ларморовского
радиуса гл к размеру поля L. При сделанных предположениях
усредненные (дрейфовые) уравнения справедливы для большого
числа f ~—j пролетов частицы через систему L. Для сравнения
различных членов, входящих в уравнения движения, можно счи-
считать, что все величины порядка единицы, кроме В — — . Сущест-
Существенно отметить, что при этом предполагается Е < — В.
Применяемый здесь метод усреднения справедлив при такой
дг0 1 ды ,
скорости изменения магнитного поля, что -зг-~ W ~
Однако принятое нами ограничение для электрического поля
накладывает более жесткие условия на скорость изменения во вре-
времени магнитного поля. Действительно, поскольку справедливо
J97

уравнение Максвелла , „ _ 1 а в C 14>
с dt '
то, учитывая принятые порядки величин, заключаем, что для того,
чтобы левая часть равенства C. 14) была —1, необходимо чтобы
и ~^~ была —1. Но так как В — , это условие выполняется,
когда магнитное поле меняется медленно В = В (et) или когда
переменная во времени часть поля является величиной ~1.
Подставляя правые части уравнений C. 7) в уравнения C. 11),
после громоздких, но в общем простых вычислений, которые под-
подробно изложены в приложении II, получим следующие оконча-
окончательные формулы для усредненных величин г, и л и uj_:
)] <3-15a>
C.156,
v '
О О ЮцС2 j
одесь 6 = г. усредненная энергия; J± =
^2
с2
е.тгР.
= тг^—так называемый поперечный адиабатический инвариант,
т2оа>
а Т = (т0 V) t0 = -л вектор кривизны силовой линии (п — еди-
единичный вектор нормали, a R — радиус кривизны).
Заметим, что закон сохранения энергии в обычной форме
dS n dr ,.
—jj- = mr —j— не обязан выполняться для усредненного дви-
движения, так как часть энергии идет на изменение скорости враще-
вращения частицы по ларморовской окружности. Напомним, что сила
mF = еЕ + f, где f — сила неэлектромагнитного происхождения.
При условии rot f = О имеем закон сохранения поперечного адиа-
адиабатического инварианта Jх- Действительно, согласно уравне-
уравнению C. 14), в этом случае т0 rot F = -^- , и вместо уравнений
C. 15) можно написать уравнения
dr ..,.,„ * „ -! „ ,. C 16а)
dt "" dt
dJ
dt
где со '— —сов = е-—
^ = 0 (ЗЛ6в)

3. Интерпретация дрейфовых уравнений
Уравнения C. 16) составляют полную систему так называемых
дрейфовых уравнений, описывающую среднее движение частицы
в сильном магнитном поле под действием силы mF (при условии
rot f = 0). Эти уравнения более точно соответствуют не движению
самой частицы, а движению ларморовского кружка. Они имеют
двойственный характер' в том смысле, что г является радиусом-
вектором ведущего центра, и величины В и F есть функции г,
в то время как v\\ и v± являются характеристиками самой частицы
и определяются ее положением.
Уравнения C. 16) интерпретируются следующим образом.
В выражении C. 16а) первый член в правой части описывает дви-
Рис. 10
жение вдоль магнитной силовой линии, а три члена, входящие
в векторное произведение, описывают дрейф поперек силовых
линий магнитного поля. Первый из них соответствует дрейфу
под действием силы т F и полностью совпадает с аналогичным
членом в уравнении, описывающем дрейф в постоянных и одно-
однородных полях (см.§ 2). Второй член дает так называемый центро-
9 П
бежный дрейф. Здесь центробежная сила F4 = /лиц -н- играет
ту же роль, что в предыдущем члене сила mF (рис. 10). Далее,
кривизна ларморовской окружности может быть с одной стороны
больше, чем с другой, также и из-за того, что магнитное поле по
абсолютной величине неоднородно. В результате возникает магнит-
магнитный дрейф (см. рис. 11 и задачу 2 к § 1), который описывается
последним членом в уравнении C. 16а).
Величина J± с точностью до членов j- равна fpdg в си-
системе, где ведущий центр покоится, и, следовательно, является
адиабатическим инвариантом.
Если частицу, вращающуюся по ларморовской окружности,
рассматривать как элементарный круговой ток J — -~—, то вели-
1 ei? тЪ
чина \i = — JS = -s— = —- представляет собой магнитный
момент этого тока, и сохранение Jx означает сохранение вели-
величины пци. Кроме того, сохранение J± можно интерпретировать как
199

закон сохранения магнитного потока, проходящего через лармо-
ровскую окружность и равного лглВ.
Добавочный к обычному закону сохранения энергии член
dS
в —т— объясняется тем, что при изменении во времени магнитного
поля изменяется энергия поперечного движения частицы по лармо-
ровской окружности. Действительно, учитывая сохранение попе-
попето^,
речного инварианта = const, для приращения энергии
mv\
поперечного движения получим а\—^— I = 2 йш.
Выпишем теперь дрейфоиые уравнения'движения частиц в
электромагнитном поле Е и В, полагая f = 0. Выражая т0, F,
«о и Т непосредственно через Е и В, получим
Иг R r mcv2,,
ЧГ = v" -I" + -Ж [ЕВ] + ~^- [В, (В V) В] +
mcv2.
^VB C.17a)
dS PP dT i mo2J- дв ¦ П \76\
eci [p. у 10)
dt dt r IB dt
dJ ,
dt
m c2 m2v2.
Здесь & = ;. ; Jx = —<>— • Для получения ее-
V
l-I«
с2
ответствующих нерелятивистских уравнений достаточно заме-
заменить (§ на & = 4р (у^| + и±) и считать везде массу т равной
массе покоя т0. Скорость электрического дрейфа отличается
от других дрейфовых скоростей (центробежного и магнитного
дрейфа) тем, что она не зависит ни от заряда, ни от массы частицы
и направлена вдоль вектора потока энергии S = -г^- [ЕВ].
При условии rot В = 0 уравнение C. 17а) принимает вид
Иг r г ™с Bv\ 4- v2.)
4г = *¦¦ 4 + -gr IEB] + ^ 2;в; ^ [В VB]. C.17г)
' Если поля не зависят от времени, то как J±, так и § + еФ
постоянны.
4. Интегралы дрейфовых уравнений
При постоянных во времени электрическом и магнитном полях
интегралы дрейфовых уравнений C. 17) можно получить исходя
из симметрии задачи [6]. Поскольку дрейфовые уравнения яв-
200

ляются дифференциальными уравнениями первого порядка, то их
интегралы дают уравнения поверхностей, на которых лежат траек-
траектории ведущего центра.
Рассмотрим релятивистский случай. При Е и В, не зави-
зависящих от времени, законы сохранения энергии и адиабатического
инварианта можно записать в виде
тсг + еФ = ?0 = const; -~ = J± = const, C. 18)
mB
mQB
где Ф (г) — потенциал электрического поля Е = —УФ, а т
определяется формулой
т0
т =
Отсюда продольную скорость Уц можно представить как функцию
положения у у = v\\ (г), или
v*-J±B^-. C.19)
При фиксированных Ео и Jx функция v\\ (r) определена на соот-
соответствующей траектории ведущего центра. Однако мы будем
понимать под v\\ функцию положения г, формально определяемую
формулой C. 19). Тогда уравнения дрейфового движения C. 17)
могут быть выражены через rot(mvn):
rot (mv ц -А ) = mv „ rot -J- + [v (mv „), -1
Вычисляя V (туц) с учето^ формул C. 18) и C. 19), находим
что уравнения C. 17) можно записать в виде одного векторного
уравнения
тех?,, I cv и
^(btb) » rot(m«ub), C.20)
dt - "Г" eB У"^*-">] ! еВ
где b ='-g-. При получении интегралов дрейфовых уравнений
ограничимся случаем (В rot В) = 0, когда второй член в правой
части уравнения C. 20) обращается в нуль. Тогда уравнение C. 20)
можно записать через векторный потенциал (В = rot А) в виде
C.21)
Вводя векторный потенциал
тси и
тси и
А* = А + -ж-в- C-22)
201

замечаем, что семейство траекторий ведущего центра с фиксиро-
фиксированными Ео и Jх совпадает с силовыми линиями «магнитного поля»
В* = rot А* и, если не интересоваться временной зависимостью
движения, то эквивалентным уравнению C. 21) является уравне-
уравнение
Уравнение силовых линий поля В* (или, что то же, уравнения
траекторий дрейфового движения) можно записать в виде уравне-
уравнений Лагранжа
dL* dL*
dt dqi dqi ' dt \ • I
Действительно, функция L * формально совпадает с функцией
Лагранжа, соответствующей движению в магнитном поле В* ча-
частицы с массой т = 0, и, следовательно, уравнениями движения
этой частицы будут уравнения C. 23).
Используя лaгpaнжeвy^ форму уравнений движения, можно
получать интегралы дрейфовых уравнений аналогично тому, как
это делается в обычной механике (см. § 1). Для трансляционной
симметрии, когда А* = А* (х, у) и L* не зависит от z, согласно
уравнениям C. 24),
Л* = const. C. 25)
Для аксиальной симметрии А* = А* (г, z) и L* не зависит от
азимута ф, и, следовательно,
гЛФ = const. C. 26)
Для винтовой симметрии А* = А* (г, ф — аг), а = const, L*
не меняется при повороте на бф и одновременном смещении по z
s бф гг „ТЛ dL* s . dL* s d
на 02 = ——. Поэтому 6L* = —$— oz -4—5— бф = —гг
a J dz <7<p T dt
-f- rA<f) бф = О, и,' следовательно,
A*z -\- агЛф — const. C.27)
При А* = А полученные таким образом формулы дают, очевидно,
уравнения силовых линий магнитного поля В = rot А, обладаю-
обладающего соответствующей симметрией. При отсутствии Вг в первом
случае, Бф — во втором случае и продольного однородного поля —
в третьем случае ведущие центры движутся по магнитным поверх-
поверхностям соответственно
Az = const; гЛф = const; Л2 + агЛф = const. C. 28)
Если (В rot В) =j= 0, то даже при наличии симметрии задачи урав-
уравнения C. 20) не имеют, по-видимому, простых интегралов. Однако
есть случай, когда один интеграл уравнения C. 20)- находится
202

тривиально. А именно: если магнитные поверхности являются
эквипотенциальными (Ф = const) и совпадают с поверхностями,
образованными линиями электрического тока и поверхностями
В = const, то точным интегралом уравнения C. 20) является урав-
уравнение поверхности В = const, так как при этом (~37~^^) = 0.
Следует отметить, что совпадение магнитных и токовых поверхно-
поверхностей является следствием условия гидродинамического равновесия
плазмы —Ур -\ [jB] = 0.
5. Движение частиц в адиабатической ловушке
А. Рассмотрим снова движение частиц в магнитном поле
с «рробками» (рис. 12).
Если j- « 1, где L — характерный масштаб поля, то дви-
движение частиц может быть рассмотрено в дрейфовом приближении.
Пусть магнитное поле постоянно, а электрическое отсутствует.
Тогда сохраняются квадрат скорости частицы и поперечный инва-
инвариант. Следовательно, продольная скорость частицы, определяемая
формулой C. 19), будет равна
у II = J/V — J±B.
Если в прббках, где поле достигает наиболь-
наибольшей величины Вм,
то частица отразится, не дойдя до пробки.
В противном случае она пройдет через пробку.
Подставляя в предыдущее неравенство
<?
, __ °1 у2 sin2 a
J±~ в = в '
где а — угол вектора скорости с силовой
линией В, можно записать его в виде
sin2 a > -щ—.
Рис. 12
C. 29)
Таким образом, от пробок отражаются только те частицы, угол
вектора скорости которых с силовой линией магнитного поля
больше, чем акр. При инжекции в средней плоскости пробкотрона,
где поле В = Вт минимально,
sina*p= У Ж'
Конус а < акр называется конусом ухода частиц (рис. 13). Ча-
Частицы, у которых v || и vх такие, что а < акр, от пробок не отра-
отражаются и уходят через них вдоль силовых линий В.
203

Б. Рассмотрим теперь движение частиц вблизи оси аксиально-
симметричного гофрированного магнитного поля. В аксиально-
симметричном магнитном поле
В = rot Аф;
дг
В, = ±±
C. 30)
где b (z) — поле на оси симметрии z. Ограничиваясь квадратич-
квадратичными членами по отклонению г от оси z, дрейфовые уравне-
уравнения C. 17г) можно записать в виде [7]
¦ V.,
Г ~
Ф =
2~~tTZ'
тс 2v*~
2е b*
C.31)
bb"
3b'2
v,
Рис. 13
Второе из этих уравнений интегрируется
непосредственно-и дает
r2b(z) = const.
Это соотношение является приближенным
выражением точного интеграла дрейфовых
уравнений [см. формулу C. 26) ] гЛф (г, z) =
= const для случая аксиальной симметрии
и показывает, что движение частиц происходит по поверхностям
вращения, образованным магнитными силовыми линиями.
Первое из уравнений C. 31) после дифференцирования по t
принимает вид
г + -±-Ь'(г) = 0, C.32)
откуда следует, что частица может совершать колебательное
движение по z около минимума b (z).
В. Параболическая аппроксимация поля на оси. Если поле на
оси имеет вид
то уравнения C. 31) можно проинтегрировать в элементарных
функциях. В этом случае решением уравнения C. 32) являются
гармонические колебания
2 =
V
— 1 sin
t,
204

а движение по азимуту представляется интегралом
f- dz, C. 33)
вычисление которого приводит к следующей зависимости ф=ф(г):
г У\ — s2 A + г2//2) [4 + 3s2 A 4- г2//2)]
/A+г2//2) +
+ 3s4) arc tg -
. .-s2(i+22//2;
где гл = -^- ; s2 = J\_bjv%. При инжекции в плоскости г = О
величина s = sin а, где а — угол между начальной скоростью'
j и силовой линией В.На рис.14
показаны траектории для раз-
различных начальных углов а.
Г. Движение в периоди-
периодическом поле. Если поле на
оси 2 является периодической
Рис. 14
Рис. 15
функцией z, то наряду с колеблющимися около минимумов поля
«запертыми» частицами существуют также «пролетные» частицы,
которые не отражаются от максимумов поля и движутся в одну
сторону вдоль силовых линий В.
Рассмотрение азимутального дрейфа в таком гофрированном
поле представляет определенный интерес. Без особых вычислений
ясно, что график зависимости угла дрейфа за период движения
частицы Афг от угла скорости частицы с нормалью к силовой
линии в плоскости минимума поля у = ~х а имеет вид, изобра-
изображенный на рис. 15. Точка В соответствует частице с таким углом
инжекции у, что она останавливается в максимуме поля. Слева
от точки В расположена область запертых частиц, справа — об-
область пролетных. В точках А к С величина Афг обращается
в нуль, а в точке В логарифмически стремится к бесконечности.
205

Рассчитаем график рис. 15 для конкретного гофрированного
поля с-напряженностью на оси [8]
b = bo(l—acosaz); a = —?-, C.34)
где L — период гофра, а а С 1.
Из закона сохранения J± = -~ для точки В, где и± = v,
получаем выражение
2 1 — а
cos vR = -j ,
rB 1 +- а '
или ув ~ у 2а. Величина Jх — -п~п т-
Подставляя выражение C. 34) в уравнения C. 31) ,и C. 33)
и интегрируя по периоду движения частицы, получим:
1) для запертых частиц в первом приближении по а
г = -2агл VTa [е (к)-±К (*)}, C. 35а)
где гл.= mcv/eb0; E (k) и К (k) — эллиптические интегралы от
аргумента кг — -к—r-j—. Величина Афг представляет собой
азимутальное смещение за период движения запертой частицы
(«туда» и «обратно» по силовой линии). Величина Афг обращается
в нуль при k2 ~ 0,83, т. е. при ул —0,9|^2а;
2) при определении Афт- для пролетных частиц необходимо
учитывать члены —а2. Вычисление интеграла C. 33) с учетом
квадратичных по а членов приводит к выражению
sin
n СО&2У2 ч № — 4) К + (k2 + 4) E] —
A + sin2 y) lv .
j • C.356)
Здесь ? и /С — эллиптические интегралы от аргумента
2а ctg y
1 -— а
Разлагая Е и К по степеням к2, получим
агляа2 1 — 3 sin2 у
1
Это выражение обращается в нуль при sin ус = -тт— ; Yc —35°
206

Таким образом, для магнитного поля C. 34) при а С 1 точки А>
В и С на графике рис. 15 соответствуют углам у.
уА~ 0,9 УЫ; Ув^У^а и Yc-35°.
6. Дрейфовая теория в случае сильного электрического поля
При выводе уравнений обычной дрейфовой теории, изложенной
выше, существенным являлось предположение
Теперь мы предположим, что
но будем считать движение нерелятивистским, т.е. — <С 1.
Е
При этих предположениях скорость электрического дрейфа с -~-
сравнима со скоростью частицы и.
Для применения метода усреднения удобно теперь представить
вектор скорости частицы в виде
v = v || т0 + vF + v± (tj cos 6 + т2 sin Э), C. 36)
где
v 4l*F] » еВ
тс
Это выражение отличается от использованного выше выраже-
выражения C. 6) включением в него члена vF, описывающего электри-
электрический дрейф, который в рассматриваемом случае не является
малой величиной.
Вывод соответствующих дрейфовых уравнений дан в приложе-
приложении III. Они получаются очень громоздкими, и только в том слу-
случае, когда продольная скорость частицы мала, эти уравнения
с нужной точностью сводятся к системе* [21]
dS «e-? + ^-?-; C-376)
dt
dJ
dt
±- = 0, C. 37в)
* Мы полагаем здесь, что сила F чисто электрическая, т. е. F = еЕ/пг.
207

где
U = V II "a- + V?,
[ЕВ].
(и V) и>.
Здесь в уравнении для —-тг- удержаны члены порядка -д- , а в ос-
остальных только члены порядка единицы (см. приложение III).
Второй член в уравнении для —т— можно интерпрегировать
как дрейф под действием силы инерции — m
Остальные, члены интерпретируются так
же, как и в обычной дрейфовой теории.
Появление дрейфа под действием силы
инерции можно пбяснить следующим при-
примером. Допустим, что магнитное поле
однородно и постоянно во времени, а элек-
электрическое — однородно, но медленно ме-
меняется во времени. В этом случае при
у И = 0 уравнения C. 37) принимают вид
dx , me* i, i /о ооч
—„а- Е; v± = const. C. 38)
*
Рис. 16
dt
= v,
В то же время движение частицы в рассматриваемом поле может
быть рассчитано и точно. Действительно, уравнение движения
mv = eE -| [vB]
для случая, когда Е является линейной функцией времени, может
быть заменой переменных
еВ2
C. 39)
сведено к виду
Ш Vj. =
[vj.BJ.
Отсюда видно, что v± = const, a
dx
~~dT
¦= vf
еВ2
Ё в соответ-
соответствии с уравнением C. 38) (рис. 16).
7. Продольный адиабатический инвариант
В том случае, когда без учета дрейфа движение ведущего
центра является периодическим, а смещение в результате дрейфа
за один период мало по сравнению с характерными размерами
магнитного поля, дрейфовые уравнения имеют еще один так назы-
называемый «продольный» адиабатический инвариант дрейфовых урав-
208

нений [9 ].яПримером такого движения является движение в гофри-
гофрированном торе (см. § 7).
Введем криволинейную систему координат ?lt |2) |3 таким
образом, чтобы координатные линии ?3 совпадали с силовыми
линиями В. Контрвариантные компоненты произвольного вектора
являются коэффициентами его разложения по компонентам век-
дт ...
тора х,- = -д|г > т. е. а = а'х,-. Ковариантные компоненты опре-
определяются как а,- = ах;. Связь между ними дается соотношением
ai = eikfii гДе ёш = (х;х*) — метрический тензор. Операции
dfv аи rot а записываются в виде
где g = Detgik, a eiJk — единичный полностью антисимметрич-
антисимметричный тензор. Контрвариантные компоненты единичного вектора
b = В/В равны: b* = —L=-; b1 = b2 = 0.
Ограничиваясь случаем слабого электрического поля, запишем
уравнения C. 20) в такой криволинейной системе координат:
-^- = L- < -дг- (ту || ЬЛ —5^-
dt еВ Vg \ дЫ у " 3' dl3
и
о.,)
dt
eB у I
I \ 9,
¦ ("iv и bj)
(mv 1,
^- = 1».—^r(brotb)}6»
i д
(my у 62) —
C.41)
Интегрируя первые два уравнения по t и заменяя при этом
у и dt да iX-rf_ , а также учитывая, что (согласно уравнению
= 0, получаем
- ж{mv"
C. 42)
Производные по |х и ^2 из под знака интеграла можно вынести,
а члены с производными по |3 интегрируются непосредственно.
Предположим теперь, что движение ведущего центра без учета
дрейфа (происходящее по силовой линии магнитного поля) яв-
является периодическим, как, например, колебательное движение
14 Вопросы теории плазмы. Вып. 2.
209

по 2 в поле пробкотрона или движение по замкнутее силовой
линии. Беря интегралы в выражениях C.42) по периоду L, находим:
dJ 'Л. C.43)
где ds — элемент длины силовой линии В.
В том случае, когда невозмущенное движение представляется
колебательным по одной силовой линии или движением по замкну-
замкнутой силовой линии, подстановки в выражениях C. 43) исчезают
и мы' имеем
Ж де / C 44^
Полученные соотношения являются уравнениями в конечных
разностях. Если правые части их малы, т. е. смещения Д?х и Д|2
малы по сравнению с периодом L, то с точностью до величин вто-
второго порядка малости их можно заменить на дифференциальные
уравнения
3l rnoc лП? д]\\ . d\% Ч}?лГё^ dJ\\ (o Агл
Умножая первое из этих уравнений на -^-, а второе на —Jp,
складывая и интегрируя, окончательно получим
J II ffii. У = ф -^ v л ds = const. C. 46)
Это уравнение определяет проекцию траектории частицы на по-
поверхность ?3 = const. Примеры использования этого уравнения
даны в § 7.
В том случае, когда частица является пролетной и движется
в нулевом приближении по силовой линии, обладающей простран-
пространственной периодичностью, но незамкнутой, необходимо учитывать
члены следующего приближения. Мы ограничимся исследованием
движения таких частиц в поле, удовлетворяющем условию
В rot В = 0. Тогда дрейфовые уравнения совпадают с уравнениями
mcv и
силовых линий поля В* = rot А*, где А* = А Н ^р-В, и
если траектория ведущего центра составляет малый угол с сило-
силовыми линиями магнитного поля (случай быстропролетных ча-
частиц), то можно воспользоваться усредненными уравнениями [10].
210

Например, при движении частиц в поле, имеющем большую одно-
однородную составляющую бг0, приближенным интегралом дрейфо-
дрейфовых уравнений является
В*В*
А\ 1-^= const C.47)
Ого
или, пренебрегая в компонентах Bv и Вг дрейфовыми членами,
а также членами аналогичного порядка малости, получаем
L .
[ R Ft
Az + — -7- tnv и dz %-!- = const. C. 48)
о
Полученное соотношение можно выразить через средний угол про-
прокручивания, силовых линий магнитного поля
L г
-j- \mv}ldz — ^f- j -^-rdr = const. C.49)
о 6
В общем случае, когда частицы, являясь пролетными, имеют
dm
скорость у || >, Одр, а также при очень малых -j- продольный инва-
инвариант имеет вид [8 ]
г
j, — i*- f 4^гdr = const. C. 50)
11 moc J dz v '
о
Аналогичные адиабатические инварианты можно написать в слу-
случае, когда основное продольное поле является тороидальным
и винтовым [10].
8. Влияние излучения
В заключение остановимся вкратце на влиянии излучения
на дрейфовое движение частицы в сильном магнитном поле. Пре-
Пренебрегая влиянием электрического поля" и членами, содержащими
производные от магнитного поля, запишем силу торможения
излучением [3] в виде
{[]^ед- C.5!,
Для того чтобы учесть излучение, вместо F в уравнение C.4)
следует подставить F + iT/m. Представляя v в форме C. 6),
убеждаемся, что при этом в правой части уравнения C. 4) добав-
24В2
2еВ
ляется член — kv± (tj cos в + т2 sin 9), где х = —ъ—г. Вели-
Ътупс
14* 211

чина х имеет размерность частоты. Предположим, что характерное
время излучения велико по сравнению с временем пролета частицы
через систему размера L, т. е., поскольку пролетное время принято
за единицу, будем считать х— е < 1. Нетрудно видеть, что
уравнения (II. 10) (см. приложение II) от соответствующих
уравнений, не учитывающих излучения, будут отличаться только
члена — хих в выражении для "х .
появлением добавочного
Таким образом, учет излучения в рассматри-
рассматриваемом приближении сводится к изменению
уравнений, выражающих законы сохране-
сохранения энергии и адиабатического инварианта
для усредненного движения:
dS __ dr moJx (дВ Itri1
dt ~ etl dt i" 2ra dt ~2~
dJ
2m2
w
m:
о
\;
C. 52)
--f x/x. C.52a)
Величину
х =
Рис. 17
(о|
х можно
—
С
где
представить в виде
r0 — классический ра-
диус электрона. Из выражения для
dt ¦
следует, ч:о характерное время изменения J± порядка обратной
величины коэффициента при J± в правой части уравнения C. 52а).
В частности, при движении нерелятивистского электрона в поле
В — Ю4 гс оно порядка 0,1 сек.
Задача 1. Рассмотреть движение частиц в адиабатической ловушке, слегка
сплюснутой в направлении оси х.-Движение рассчитать вблизи плоскости г= 0
(рис. 17).
Решение. Поле сплюснутой адиабатической ловушки можно записать
в виде В = V Фт, где
/0 (kr) sin
-^-/2 (kr) cos 2ф sin /гг.
В окрестности плоскости г = 0 и при достаточно малых kr силовые линии
можно рассматривать как прямые и с точностью до членов •—k2r2, k2z2
В = вг = Ва - Ьо
Следовательно,
J и =
- b0
cos
212

Отсюда находим траекторию движения частицы J,, = const, т. е.
г2 ( — 60 И——- cos 2ф | = const.
\ 2 /
Задача 2. Рассчитать в дрейфовом приближении движение частицы v,, = О
в поле магнитного диполя |л при условии, что диполь притягивает частицу также
и по ньютоновскому закону тяготения (рис. 18).
Решение. Поле диполя с моментом (и можно задать векторным потен-
потенциалом
а силу тяготения — формулой
При v,, = 0 частица будет двигаться в экваториальной плоскости по азимуту.
Как следует из уравнения C. 16а), скорость дрейфа по азимуту будет равна
Напряженность поля в экваториальной
плоскости имеет только компоненту Вг,
равную
-&¦•
«.--
и, следовательно,
с 3mcv2±
rw = or -\ —- ri.
т ец, 7 2
Рис. 18
Рис. 19
Задача 3. В однородном магнитном поле находится неподвижный точечный
электрический заряд. Рассчитать в дрейфовом приближении рассеяние частицы
с зарядом е и массой т, пролетающей около заряда ц. Поле заряда q считать
слабым (рис. 19).
Решение. При малой величине заряда q в первом приближении движе-
движение частицы происходит по полю Во с постоянной скоростью v0. Дрейф частицы
направлен по (р, причем
• = с [ЕВ„]ф = дсг
В* B0(r* + vln3/2'
Здесь г — расстояние от центра ларморовской окружности частицы до оси г.
Интегрируя это выражение по t от — °о до +°о, получим искомое смещение по ф
213

§ 4. Движение заряженных частиц
в высокочастотном электромагнитном поле
/. Высокочастотный потенциал
В том случае, когда частота изменения электромагнитного
поля со велика по сравнению с ларморовскрй частотой сов и с про-
пролетной частотой v/L, где v — cKOpocTbJiacjara, a L — характер-
характерный размер поля, уравнения движения частицы можно усред-
усреднить по высокой частоте изменения поля [111. Ограничиваясь
для простоты нерелятивистским случаем, запишем уравнения
движения частицы в виде
Мы предполагаем, что кроме быстропеременной периодической
части, изменяющейся с частотой ©, поля Е и В содержат еще
медленно меняющиеся части. Если Е ~ В, малая величина
С
или еще меньше, то уравнение D. 1) может быть заменено
на усреднейное (см. приложение I):
D.2)
где операция Д [см. формулу C. 12)] производится по аргументу
со/. Подставляя сюда значение F и преобразуя полученные выра-
выражения по известным формулам векторного анализа, получим
с точностью до членов ~ —к- включительно
Далее, используя уравнение Максвелла rot Е =
в правой части которого производную по времени можно прибли-
приближенно считать взятой по времени t, входящему в аргумент со/,
находим, что rot Е = ~Е~~Щ~' и> слеД°вательн0>
— pi I F2
±жП
2
Последний член в выражении D. 4) при усреднении исчезает, и мы
окончательно получаем
Ну ? Г  ($• Л
т —гг = еЕ 4 vB •—s—5- VE2. D. 5)
at с l J 2mco2 v '
Таким образом, при сделанных предположениях усредненное дви-
движение частицы происходит как бы в усредненных по высокой
214

частоте полях Е и В, к которым добавляется еще сила, имеющая
«высокочастотный потенциал» U = -х—$¦ (EJ2. Добавочная сила,
равная — УU, очевидно, не зависит от знака заряда частицы.
При чисто синусоидальном изменении Е = EAeiat потенциал
U =
2тш2
Е2.
Отметим, что сила /, действующая на единицу объема плазмы
и равная — п * 2 V?2, где п — концентрация, может быть пред-
представлена в виде дивергенции усредненного по высокой частоте
тензора максвелловских натяжений [12]:
Т2 _ 1 _д_
хь ~ 4я dxi
/* =
8 —
~8лГ
4яе2п
в пространстве и во времени, так что гл < L, а ¦=- -^-
Здесь е = 1 ^- и при выводе использованы уравнения
Максвелла: rot Е = ^т- ; rot В = —^-—; div еЕ = 0; div В — 0.
Если Е и В являются медленно меняющимися функциями
1 дЕ
<С<ов, где гл и ав— ларморов-
ские радиус и частота, то урав-
уравнение D. 5) можно еще усред-
усреднить по быстрому вращению по
ларморовской окружности.
2. Движение частиц в ловушке
с переменным полем
Используя высокочастотный
потенциал, исследуем в качестве
примера движение частиц в ло-
ловушке, образованной тремя вза-
взаимно перпендикулярными акси-
аксиально симметричными пере-
переменными магнитными полями
(рис. 20).
Если предположить, что маг-
магнитное поле в области движения
частиц однородно, то в квазистационарном приближении поля В
и Е будут иметь компоненты (см. приложение V)
Рис. 20
В = /г {sin (at + Вх), sin (at + Qy), sin (at + 0г)};
E = -^- | у cos (art + 9г) — z cos {at + Qy),
!y) — ycos(at+Qx)},
D.6)
215

где h — амплитуда магнитного поля в каждой катушке. Высоко-
Высокочастотный потенциал равен
U =
+ у2 + z2
y'
D-7)
Здесь фЛ1/ = Qx — Qy и т. д. — разности фаз между токами
в соответствующих катушках. Таким образом, между <fik сущест-
существует связь
+ %г + Флг = 0.
D. 8)
Для ограниченности движения частиц необходимо и достаточно,
чтобы поверхность / (х, у, z) = aikxtxk = 1 представляла собой
эллипсоид. Используя равенство D. 8), инварианты* поверхности
второго порядка f (х, у, z) = 1 можно записать в виде [13, 14]
6 = -^-(l —cosq^cosq^cosq^) > 0; А = —б < 0;
D.9)
Отсюда видно, что при любых сдвигах фаз, отличных от нуля,
движение частиц ограничено. Поворотом системы координат
функция / (х, у, г) приводится к сумме квадратов / (х', у , г') =
= вц*'2 + а22г/'2. + <*ззг'2- В новой системе координат урав-
уравнения движения
x) = 0 D.10)
представляют собой уравнения гармонических колебаний с часто-
eh
тами порядка сэй=——. Условием применимости расчета на
основе высокочастотного потенциала в рассматриваемом случае
является неравенство -г-~ (оЛ С и. Предполагая, что L порядка
радиуса соленоида, и присоединяя сюда условие квазистационар-
квазистационарности X > L, получим
Д = Det aik; 6 =
s = ап + а22 -f a33;
Т = а11а22 + а22аЗЗ + а11аЗЗ — а12 — °13 ~ Я23 •
216

Частица, имеющая в начале координат скорость у, колеблется
, т. е. порядка ларморовского радиуса в поле Л.
«ft
с амплитудой
Если вблизи начала координат инжектируются протоны и элек-
электроны со скоростями одного порядка, то облако протонов окру-
окружает сгусток электронов.
Разберем несколько частных случаев.
1. В случае (fxy = ц>уг = ухг = 0° поверхность / (х, у, z) = 1
представляет собой круглый цилиндр, ориентированный вдоль
оси, проходящей через начало координат и составляющей с осями
Рис. 21
координат одинаковые углы. В этом случае частицы могут бес-
беспрепятственно уходить вдоль оси цилиндра.
2. Если ц>ху = ф^г = цхг = 120°, то поверхность / = 1
является сплющенным эллипсоидом вращения, ось которого
направлена так же, как ось цилиндра в предыдущем примере.
Поворотом системы координат / (х, у, z) = 1 преобразуется
в уравнение
т. е. продольный размер эллипсоида в "|/ раз меньше попереч-
поперечных.
3. При <рху = 0; ф^г = — фдч- = 90° поверхность / = 1
является трехосным эллипсоидом
оси х и у которого повернуты относительно осей х, у на угол 45°,
а ось г' совпадает с осью z (рис. 21).
Задача. Определить движение частиц внутри тороидального соленоида, в об-
обмотках которого наряду с постоянным возбуждается также и переменный ток
(рис. 22).
217

Решение. Если частота переменного тока со велика по сравнению с лар-
моровской частотой, то движение происходит под действием постоянной допол-
дополнительной силы
еЕа = —VU = -V
2/псо2
Суммарное «электромагнитное» поле Е^ и By =
R
D. 12)
обладает аксиальной
симметрией, и, следовательно, считая выполненными условия применимости
дрейфовых уравнений, мы можем получить уравнения траекторий ведущего
центра, используя интеграл дрейфовых уравнений C. 26). Поскольку Aq, равно
нулю, этот интеграл можно предста-
представить в виде
r2v\ = const.
D. 13)
Выражая гг,. через v и В с помощью
законов сохранения энергии и адиаба-
адиабатического инварианта
Рис. 22
получим
D. 14)
(?2/2 —о
— J I
Если тороидальный соленоид имеет круглое поперечное сечение и частицы дви-
движутся вблизи его оси г = R, где переменная часть поля Вф = h sin (at и h =
= const, то средний квадрат электрического поля равен (см. приложение V)
8с2
(x24-z2), x = r—R,
D, 16)
и, следовательно, уравнения траекторий ведущего центра принимают вид
2
п п \ Y ^ h i a rtv
D. 17)
т. е. движение происходит по окружностям, центр которых сдвинут к внутренней
стороне тора на величину
г\ / \ U и_1_/ П. *м si ' ^ '
порядка
3
R
где г/, — ларморовский радиус в магнитном поле h.
В том случае, когда постоянное поле Вц, отсутствует, движение частиц вблизи
оси тора определяется только высокочастотным потенциалом U, и уравнение
движения имеет вид
-Z2).
D. 19)
Из этого уравнения следует, что частицы колеблются около оси тора г = R
и их поперечное смещение порядка Зг/,.
218

§ 5. Усреднение уравнений движения
по пространственному периоду поля
Если поле обладает периодичностью по координате z (не обя-
обязательно декартовой) и частица движется в основном в направле-
направлении г, то уравнения движения можно усреднить по г.
Запишем уравнения движения частицы.
Хп — *n\xi> Лс г> г/ \°- 1)
в виде
dxk
dz
— Xk',
dxk j
=-^г \Fk — xkFг);
dz
dz _ 1
~d^~~T
E.2)
и будем считать Xk и Fk малыми величинами порядка е, a Fг —
величиной порядка е2. Тогда во втором уравнении E. 2), огра-
ограничиваясь точностью — е2, членом XkFz можно пренебречь.
Полученная таким образом система эквивалентна системе (I. 19)
(см. приложение I), в которой аргумент t заменен на z. Соответ-
Соответствующие усредненные уравнения (I. 22) с учетом сделанных
предположений о порядке малости величин принимают вид
dFk Ъ dFk
dz* „2 „4 ^ г дх_ г dxt ^ ^
*»* ... l f~
dz ~ vz г' i
где vz ^ z. Усредненные уравнения E. 3) позволяют, например,
рассчитать движение частиц под действием знакопеременной
фокусировки*.
1. Движение частиц в знакопеременном электростатическом поле
Пусть электрическое поле Е = — УФ (х, у, z) является
периодическим по z. В этом случае Fk = —Ek и уравнения E. 3)
дают
VE2. E.4)
dz2 2... .
Уравнение E. 4) эквивалентно уравнению D. 5) предыдущего
параграфа, в котором усреднение производилось по периодической
* О знакопеременной фокусировке в случае немалых поперечных полей
см., например, работу [15].
219

зависимости от времени. Знакопеременная фокусировка дости-
достигается, в частности, электрическим полем, имеющим вблизи
оси z потенциал Ф = / (г) (х2 — у2), где / (z) — периодическая
функция со средним значением, равным нулю. При этом уравне-
уравнения E. 4) описывают гармонические колебания частицы по обеим
поперечным координатам х и у.
2. Движение частиц в знакопеременном магнитостатическом поле
Аналогичные уравнения получаются и в случае знакопере-
знакопеременной магнитной фокусировки. Пусть В = rot А и А =
= Az(x,y, z) периодическая функция z. Тогда Fx = zBv;
tnc "
Fy = ~^zBx; Fz = ~(xBy~ yBx), и уравнения E.3) можно
записать в виде
-S- = -^S^v#2- <5-5)
Z
При Az = f(z)(x2>—у2) частицы, движующиеся вблизи оси г,
так же как и рассматривавшиеся в п. 1, совершают гармонические
колебания по х и по у.
3. Движение частиц в аксиально симметричном гофрированном
магнитном поле
Уравнения движения в аксиально симметричном поле можно
представить в потенциальной форме (см. §1):
" _ ди(г, г) ¦¦_ ди (г, г) ,г «.
Пусть частица движется в основном вдоль оси г и магнитное поле
периодически зависит от г. Тогда, усредняя уравнения E. 6)
согласно уравнениям E. 3), получим vz = const и
E.7)
Уравнение E. 7) определяет г = г (г). Азимутальное движение
е
находится после этого из соотношения рф = /лг2ф -\ гЛф =
= const.
4. Движение магнитного диполя в неоднородном магнитном поле
Сгусток хорошо проводящей плазмы во внешнем слабонеод-
слабонеоднородном магнитном поле (рис. 23) может рассматриваться как
диполь с магнитным моментом
ц = — хВ, E.8)
где у. — коэффициент, зависящий от геометрии сгустка.
220

В частности, если сгусток представляет собой шар радиуса а, то
Силадействующая на диполь в неоднородном магнитном поле, равна
F = (ц V)B = — x(BV)B.
Если поле безвихревое, то
(BV)B = V^- и F = ^-VB2. E.10)
Таким образом, движение малого плазменного сгустка, рассма-
рассматриваемого как магнитный диполь, в безвихревом магнитном поле
эквивалентно движению части-
частицы в поле с потенциалом л/л
U = \ В2 E.11) г
ГТ"
-ГМ! у
Рис. 23
и лагранжианом
Рис. 24
mvl
Такой диполь обладает энергией
¦я
2 2
В2.
E. 12)
Используя полученные уравнения, можно рассчитать движение
плазменного сгустка в различных магнитных полях.
Рассмотрим несколько примеров (А. И. Морозов, 1959).
1. Пусть магнитное поле создано четырьмя проводниками
с чередующимся направлением токов. Магнитное поле вблизи
оси такой системы (рис. 24) имеет вид
Вх = by; Ву =-- —Ьх; Вг = Во = const.
Следовательно, потенциал
и——s— (х + у ) + -о- Во E.13)
Мы предполагаем для простоты, что х не зависит от В.
221

и движение сгустка в таком поле есть наложение простых гармо-
гармонических колебаний по х и по у.
2. Пусть плазменный сгусток движется в гофрированном маг-
магнитном поле (рис. 25), заданном скалярным потенциалом
Потенциал U в этом случае равен
U = -f (Bl + В?) •= -f {(Bo + 60/Ocos kzf + Ы (I'oJ sin2 kz\. E. 14)
Считая, что сгусток движется вдоль оси z с большой скоростью,
для расчета усредненной траектории мы можем использовать
уравнение E.7). Исключая из лагранжиана
E.12) циклическую координату [см. форму-
формулу A.22I, получим потенциал
Рч>
E. 15)
Подставляя это выражение в уравнение E.7),
найдем, что при рф = 0 и кг <^ 1
1 * - Л E.16)
т
dz*
•г = 0.
т. е. сгусток колеблется по радуису с ча-
1 Г 3xk2b2
СТОТОИ @ =
Подробнее о движении сгустков в магнит-
магнитном поле см. работу [16].
Задача 1. Рассчитать движение плазменного сгуст-
сгустка в изогнутом гофрированном магнитном поле.
Решение. Свернутое в тор большого радиуса R гофрированное магнит-
магнитное поле может быть описано скалярным потенциалом
Рис. 25
sin
В = УФ.
Здесь s = R<p -т- координата, отсчитываемая вдоль тора (см. рис. 37). Найдя
компоненты Bs, Be и BQ и подставляя их в формулу E. 11), получим выражения
для U. Полагая далее 9 = 0 и используя уравнение E. 3), получим окончательно
следующее уравнение для движения по Q при малых kQ:
d2o
г
Я
8 ~ R
Здесь к — коэффициент, определяемый соотношением E. 8), am — масса
сгустка.
Задача 2. Рассчитать движение плазменного сгустка в винтовом магнитном
поле.
Решение. Магнитное винтовое поле можно задать скалярным потен-
потенциалом
Ф = Boz -) — /„ (nkr) sin п (ф — kz).
TiK
222

Найдя с его помощью U и затем используя уравнения E. 3), в результате при
малых kr и п = 1,2 получим
Если п> 2, то
§ 6. Движение частиц во вращающемся электромагнитном поле
/. Общие соотношения
В предыдущих параграфах было рассмотрено движение частиц
в медленно меняющихся (со <^ сов) и быстро меняющихся
(со > сов) полях. В том случае, когда ларморовская частота сов
сравнима с частотой изменения поля со, построить общую прибли-
приближенную теорию движения частиц достаточно сложно, и поэтому
мы ограничимся рассмотрением частного случая вращающегося
поля. Кроме переменного поля предполагается также наличие
постоянных во времени полей В и Е, симметричных относительно
оси вращения переменного поля. Изучение поведения частиц
в такой конфигурации полей значительно облегчается вследствие
того, что во вращающейся системе координат мы приходим
к задаче о движении частиц в постоянных полях.
Функция Лагранжа в неподвижной системе координат х, у,
z имеет вид
L = т" -) vA — еФ. F.1)
Для того чтобы во вращающейся системе поля были постоянными,
переменная компонента векторного потенциала А должна пред-
представляться в виде
А = \А'Х cos со/ — Ау sin со/, А'х sin со/ — A' cos со/, А'г]. F.2)
где со — угловая частота вращения поля, причем АиФ должны
быть функциями только от следующих комбинаций координат х,
У, г:
х' = xcosco/ + г/sin со/; у' = —х sin со/ + у cos со/; z' — z. F.3)
Для перехода к вращающейся системе координат х', у', z'
в лагранжиане F. 1) следует заменить v на v' + [tor'], г на г', а А
на А', где А' образуется из А с помощью той же матрицы пово-
поворота F. 3), что и г' из г. Таким образом, движение во вращаю-
вращающейся с угловой частотой <о системе координат описывается лаг-
лагранжианом
L' = ~ (v' 4- [cor']J + f (v' + [юг']) А' - еФ'. F.4)
223

Уравнения движения, которые получаются из лагранжиана F. 4),
записываются в виде следующей векторной формулы:
m =^-v'x -В' + 2тю _j_ у — -гФ' + ~[юг']2+ — |
dt \_ \ с ' /_| ' V ' 2 l J ' с '
F.5)
которая показывает, что частицы можно представлять себе дви-
движущимися в эффективных магнитном и электрическом полях,
причем последнее имеет скалярный потенциал. Соответственно
уравнение F. 5) имеет интеграл энергии
—2 г- еФ 2~ [<»г ] — — [шг 1 А =-- const. F. 6)
Уравнение движения F. 5) наряду с В' содержит также и А'.
Это связано с тем, что электрическое поле, возникающее при изме-
1 дА
нении магнитного поля Е = —* ^т—, определяется непосред-
непосредственно векторным потенциалом А (см. приложение V).
Электромагнитное поле с вращающимся вокруг оси z векто-
вектором В можно построить множеством различных способов. Доста-
Достаточно общей формой является
Е = |er(z)cos at, er(z)sinco^, ez(xcosat + г/sin Ш)}; |
В = \h (z)cos at, h (z) sin otf, 0}; — h (z) = ez — e'r (z). F- 7)
с
Здесь последнее соотношение получается из уравнения rot E =
= -Q—. Формулы F.7) соответствуют квазистационарному
приближению (X > L). Однако в частном случае, когда h (z) =
= A0cos kz\ er = — h0 sin kz; ег = 0; k = —, поля Е и В
удовлетворяют также и уравнению rot В = — -^—, т. е. являются
точными решениями уравнений Максвелла.
2. Случай однородного вращающегося поля
Рассмотрим ъ качестве примера движение частицы во вра-
вращающемся магнитном поле, образованном двумя круглыми соле-
соленоидами (направленными по осям х й у), токи в которых пропор-
пропорциональны соответственно cos u>t и sin at*. Поле в каждом
из соленоидов описывается векторным потенциалом, имеющим
только одну компоненту, направленную по ф^ или ф„ (рис. 26)
h h „
и соответственно равную -=- Qx или -j- Qy. 11усть имеется также
постоянное однородное поле Вг, котороэ определяется фг-компо-
*Соответствующая задача рассмотрена в работе [17].
224

нентой А, равной Вг -^-. Нетрудно убедиться, что получающееся
поле имеет векторный потенциал
= 1 —zcosat j-y, ^-zsin
sin
+ -+- х,
Во вращающейся системе
it f Dу f D
- ~ ~с~~Г' 2 ' 2 У <•
Уравнения движения F. 5)
в координатах представляют-
представляются системой
х> __
г/'
сов) у
-^z' = 0; F.8)
СО (О А
/=0: ш« =
/пс
eh
тс
Эти уравнения являются линейными с постоянными коэффициен-
коэффициентами и поэтому могут быть решены точно. Подстановка г' =
= Гоехр (/ У-fit) приводит к характеристическому уравнению
= Q, F.9)
где Q = «в + ю.
Движение частицы ограничено только в том случае, когда
корни этого уравнения положительны и различны. Для этого
необходимо, чтобы дискриминант кубичного уравнения и коэф-
коэффициент при k были положительными, а коэффициент при k2
и свободный член отрицательными [14]. Отсюда, в частности,
следует, что
0. Области устойчивости в координатах
= — и р =
со к
со
.15 Вопросы теории плазмы. Вып. 2
225

показаны на рис. 27 (заштрихованы). При а, В < 1 эти области
ограничены кривыми В2 = а3 и В2 = -^- а, а при В > 1 — кри-
9
выми В2 = а и a = -jg-.
В важном частном случае, когда Q = со и сов = 0, т. е. когда
частицы движутся в скрещенных аксиально симметричных пере-
переменных полях без постоянного магнитного поля, дисперсионное
уравнение F. 9) принимает вид
з
k3 — Bс
©
2) /г2
со
(со2+Асо2^__1_(й40J=0 FЛ0)
При СОд < СО
'k =
со"
1 ±
F.11)
Эти результаты согласуются с тем,
что получается из высокочастотного
потенциала (см. §4):
со2
г + ~- V {х2 + у2 + 2z2) = 0. F.12)
Отсюда видно, что в неподвижной
системе координат частица движется
в трехмерной потенциальной яме,
причем частота колебаний по z есть
(O/j СОЛ т-»
—jp, а по х и у равна —-~ _ Если же
coft>co, то дисперсионное уравнение дает
, iVT
Рис. 27
со"
col
8
F. 13)
Формулы F. П) и F. 13) показывают, что продольный размер
области, в которой колеблются частицы, порядка v/cah, а попереч-
поперечные размеры порядка v/a>h при сой <^ со и неограничены при
СО/, > СО.
3. Движение частиц при наличии постоянного
аксиально симметричного поля
В заключение этого параграфа остановимся на задаче о движе-
движении частиц вблизи оси аксиально симметричного магнитного
поля при наличии вращающегося поля F. 7). Эту задачу можно
было бы решить методом усреднения уравнений F. 5). Но вычи-
226

сления получаются менее громоздкими, если уравнения движения
усреднять непосредственно в неподвижной системе координат.
Если обозначить через В (z) поле на оси симметрии, то с точ-
точностью до линейных по отклонению от оси членов магнитное поле
В (г, z) имеет компоненты
Bx = ~-^B'(z); By = ~^B'(z); Bz = B(z). F.14)
Уравнения движения в полях F. 7) и F. 14) запишем в комплекс-
комплексной форме:
l(OnZ
F. 15)
где ? = х + iy, Юд (г) = , а звездочка означает комплекс-
/ПС
ное сопряжение.
Произведем замену переменных ? и ? на Ль Л2 по формулам
? = Аг + Л2е-/9>; i = — швЛге-<8»; -^- = ©в (г). F. 16)
Тогда система F. 15) заменится системой уравнений
t*/ii АЭ /Л Л # й \ 1
а / /I /I *-v 10< \
dA2 «вг
_rf?_
dz
~dT
X
ieer
di
/n
dt
X
= со.
F.17)
Полученные уравнения представляют собой двухпериодную
систему, решение которой методом усреднения приведено в прило-
приложении I. Для полноты к ним следует добавить еще два уравнения
15*
227

для А * и А%, которые получаются из уравнений для А1 и А2 заме-
заменой их на комплексно-сопряженные. При усреднении уравнений
' eh
F. 17) предполагаем, что а>вг и coft = малы по сравнению
с wB и а». Кроме того, следует отбрасывать величины порядка
Юд2 и со^, так как поле F. 14) взято только в линейном приближе-
приближении. Поскольку сов зависит только от г, со = const и /г = О,
то формулы (I. 30) [см. приложение I] существенно упрощаются
и усредненные уравнения, соответствующие уравнениям F. 17),
могут быть записаны в виде
dU
dt
dfk
дЬ
fr
F.18)
В итоге усреднения системы F. 17) по формулам F. 18) при
учете сделанных замечаний получим
*
dt
ее.
2ш,
dt
[
Bа> в
2т шсо.
ее.
А ¦ —
> At —
F.19)
Решения первых двух уравнений получим в виде
шв
exp
'Т 6ХР [~ l f с& (Ш^ + ^) dt] ¦
F. 20)
Зависимость z = z(t) определяется из четвертого уравне-
уравнения F. 19). Из выражений F. 20) вытекает сохранение поперечного
инварианта Jx=-jr- Действительно, согласно соотношениям
F. 16) и F. 20),
vх = ??* = (ИвА2А2 = (ов<ввоЛ2о^2о- F. 21)
Подставляя выражение F. 21) в уравнения F. 19) и учитывая,
кроме того, связь между h и е, которая дается последней фор-
формулой F. 7), окончательно получим следующее уравнение для
продольных колебаний частицы по оси z:
d2z
dt2
= ф-В'(г)-
e2 er (г) f.r (z)
m2 ш (со -f- сод)
F. 22)
Если вращающееся поле отсутствует (ег = 0), то частицы за-
заперты в потенциальной яме U (z) ~ В (z) поперечным инвариан-
228

том Jх- Высокочастотное удержание осуществляется вторым сла-
слагаемым в правой части уравнения F. 22), для которого характерно
наличие члена со (со + сов) в знаменателе [12]. Наличие высоко-
высокочастотного поля при надлежащем выборе частоты со уменьшает
конус ухода частиц через пробки. В предельных случаях, когда
со <^ сов или со > соа, уравнение F. 22) может быть получено и из
общих теорий § 3 и 4.
Если продольное поле однородно, а вращающееся поле обра-
образуется двумя скрещенными круглыми соленоидами (см. рис. 26)
В = {hcos at, h sin (at, B\;
" 0) ' -zcosco/, —2 sin со/, xcosco/+ г/sin со/},
2c
то уравнение F. 22) переходит в уравнение гармонических коле-
колебаний
5 ^г = ° F.23)
5 + ТГ^г = °
dt2 ' 4 (со -f ш#)
с частотой сог = -~-1/ —-—¦—, которая может быть получена
и из точного дисперсионного уравнения F. 9) при сой <^ сов и
соЛ < со. Частица колеблется в области, поперечные размеры кото-
которой порядка ларморовского радиуса в поле В [г~-—)> а ПРО-
дольный размер гмакс^ ^-. Продольный размер уменьшается,
если со и сов имеют разные знаки. Условием ограниченного движе-
движения по z является со| > 0. При со = — сов происходит резонансное
ускорение, и частицы уходят по радиусу.
В заключение приведем уравнение F. 22) для точных полей
h = h0 cos kz\ er = —h0 sin kz\ ez = 0, удовлетворяющих вол-
волновым уравнениям:
Если коэффициент при sin 2kz положителен, то уравнение F. 24)
является уравнением колебаний маятника около точки 2 = 0,
соответствующей максимуму переменного магнитного поля. Если
же этот коэффициент отрицателен, то колебания происходят в обла-
областях узлов h (г). Предполагая, что частица колеблется около сред-
средней плоскости 2 = 0, найдем максимальный угол скорости с пло-
плоскостью 2 = 0 (при инжекции в средней плоскости), при котором
частица еще не уходит вдоль оси z:
Н? F.25)
229

Здесь rh = ; ra = -^-; Q = со + сов. Поле рассмотрен-
рассмотренного типа можно возбудить, например, в прямоугольном резона-
резонаторе с квадратным поперечным сечением.
§ 7. Движение частиц в тороидальных магнитостатических полях
/. Понятие об абсолютной ловушке
Проблема удержания электромагнитным полем отдельных ча-
частиц приводит, естественно, к задаче создания так называемой
абсолютной ловушки. Эта задача впервые была поставлена
Л. А. Арцимовичем. Абсолютная ловушка должна обладать свой-
свойством удерживать находящуюся в ней частицу после одного или
нескольких столкновений с другими частицами. Это означает,
что ловушка должна удерживать в отграниченном объеме частицы
с произвольными по направлению скоростями при условии, что
модуль скорости не превосходит некоторого максимального зна-
значения им*. Точнее, если через Vo обозна-
обозначить область поля, являющуюся абсолют-
абсолютной ловушкой, то внутри этой области
должна существовать область V1; такая,
что частица, вышедшая из произвольной
точки Vx с произвольным направлением
скорости, останется в пределах Vo, если
|о|< ом (рис. 28).
В § 4 было показано, что усредненное
рис_ 28 движение частицы в высокочастотном поле
есть движение в некотором эффективном
поле, обладающем потенциалом. Мы видели, что всегда можно вы-
выбрать такую систему высокочастотных полей (с использованием
или без использования статического магнитного поля), чтобы час-
частица удерживалась по крайней мере в течение промежутка времени,
соответствующего применимости высокочастотного потенциала
(см. п. 2 § 4). Кроме того, в п. 2 § 6 приведен пример ловушки,
рассчитанной на основании точных уравнений движения.
Поскольку вопрос о создании абсолютных ловушек с использо-
использованием высокочастотного поля представляется ясным, мы в даль-
дальнейшем остановимся только на исследовании магнитостатических
ловушек.
Простейшим примером абсолютной магнитостатической ло-
ловушки может служить поле кольца с током /ф с наложенным на
него продольным магнитным полем прямой нити с током /г
(рис. 29). Абсолютность такой ловушки следует из сохранения
квадрата скорости и3 и момента количества движения частицы
* Разумеется, если модуль скорости не ограничен, то ловушку в принципе
создать нельзя.
230

рф = тг2ц> -\ гЛф. Из очевидного неравенства г2ф2 < ^и ука-
указанных выше законов сохранения вытекает (см. п. 4 и 5 § 1), что
r, z)-A9(r0,
Здесь r0, z0 — начальные координаты частиц.
Это соотношение можно еще записать в виде
е дА9 .
пс дп
G.
G.2)
где б/г — смещение вдоль нормали к поверхности Лф = const.
Величина —.р? равна напряженности поля В, созданного током «Аф.
Следовательно,
G.3)
mcv0
г*е г" = -7в^
Поскольку величина
'о
г
1,
Рис. 29
постольку Ьп — гл, и удерживаемые полем частицы
будут двигаться в пределах полого тора толщи-
толщиной '~ гл. Отсюда и следует абсолютность рассма-
рассматриваемой ловушки. Обращает на себя внима-
внимание то, что Ьп не зависит от напряженности
поля, созданного током Jг. Это обстоятельство,
как мы увидим ниже, связано с тороидальным
дрейфом.
Можно показать, что для всех аксиально симметричных абсо-
абсолютных ловушек область удержания частиц представляет собой
систему полых торов или включает в себя область, где j. ф О
(например, движение частиц внутри плазменнного тороидального
шнура).
Наряду с аксиально симметричными полями большой практи-
практический интерес представляют также несимметричные магнитные
поля, например тороидальные винтовые поля.
Однако методов исследования ловушечных свойств несиммет-
несимметричных полей •— не только в рамках ньютоновых, но даже в рам-
рамках дрейфовых уравнений — пока еще нет. Поэтому такого рода
исследования проводятся только с помощью продольных инвариан-
инвариантов. Разумеется, что при этом теряются эффекты *, связанные
с несохранением на больших временах как продольного, так и по-
поперечного инварианта.
Ограничиваясь случаями безвихревых магнитных полей, дрей-
дрейфовые уравнения можно записать в форме C. 21). Эти уравнения
показывают, что при малых магнитных моментах частица движется
* В частности, теряются эффекты, аналогичные разрушению магнитных
поверхностей [10].
231

в поле без остановок, причем уравнение траектории движения
тем меньше будет отличаться от уравнения силовых линий, чем
меньше отношения rJL и J±B/v2, где L— масштаб неоднородности
поля. Поскольку абсолютная ловушка должна удерживать все
частицы со скоростями, меньшими некоторой максимальной, и,
в частности, те, у которых Jj_ -> 0, -~-> 0, то абсолютной ловуш-
ловушкой может быть только такое магнитное поле, у которого все сило-
силовые линии лежат в ограниченном объеме. Простейшими полями
такого рода являются тороидальные поля [10], рассмотрением
которых мы и ограничимся.
Z
Рис. 30
Но одного условия тороидальности недостаточно для того, чтобы
поле являлось магнитной ловушкой. Связано это с тем, что частицы
не только движутся вдоль силовых линий, но и дрейфуют поперек
этих линий.
По своей структуре уравнения силовых линий и дрейфовые
уравнения в форме C. 21) очень похожи, однако описываемые
ими силовые линии и траектории частиц имеют существенные раз-
различия. Если в тороидальном поле магнитная силовая линия идет,
так сказать, без остановки, то частицы, движущиеся в таком поле,
могут как сохранять направление своего движения, так и периоди-
периодически менять его. Частицы первого рода мы будем называть про-
пролетными, а второго рода — запертыми.
В качестве пояснительного примера можно взять прямое гофри-
гофрированное магнитное поле.: Те частицы, у которых на данной сило-
силовой линии i?0 > J±BMaKC, будут являться пролетными, а те, для
которых справедливо обратное неравенство, будут запертыми.
При этом и пролетные и запертые частицы вследствие неоднород-
неоднородности магнитного поля будут, вообще говоря, дрейфовать, обходя
ось поля (рис. 30, а, б).
232

В случае прямого поля все запертые частицы будут колебаться
в пределах одного периода. Если же такое поле свернуть в тор или
взять неаксиально симметричное прямое поле, то появятся частицы,,
область колебаний которых будет состоять из нескольких периодов
поля (см. рис. 30, в).
Таким образом, исследование ловушки на абсолютность тре-
требует изучения движения как пролетных, так и запертых частиц.
При рассмотрении поведения
силовых линий в тороидальном
поле удобно использовать по-
понятие изображающей плоско-
плоскости Р, т. е. плоскости, пересе-
пересекающей в каком-нибудь месте
тороидальное поле. При этом
поведени 'силовой линии поля
изображается множеством точек
пересечения этой силовой ли- рис
нии с плоскостью Р [10]. По-
Поскольку продольный инвариант вычисляется для периода си-
силовой линии, постольку его можно рассматривать как функцию»
изображающей точки М, и поверхность Уц = const, по которой
движется частица, может быть представлена некоторой линией
на изображающей плоскости. В дальнейшем при рассмотрении
конкретных примеров мы будем находить только траектории на
изображающей поверхности Р (рис. 31).
2. Тороидальный дрейф
Простейшим безвихревым тороидальным магнитным полем
1
1
является поле прямой нити с током, спадающее как —:
G.4)
Здесь через Во обозначена напряженность поля на некотором:
расстоянии R от нити. Подставляя эти значения поля в дрейфо-
дрейфовые уравнения C. 17), получим следующие выражения для ско-
скорости ведущего центра:
ЧГ = v»^ + ШР Bv\ + °i) z°; v « = const; v± = const' G- 5>
Отсюда видно, что частица вращается вокруг нити с постоянной
скоростью и и и в то же время смещается перпендикулярно к сило-
силовым линиям вдоль оси z с постоянной скоростью (рис. 32)
Это смещение частицы в 2-направлении получило название торо-
тороидального дрейфа. Как показывает формула G. 6), частицы проти-
противоположных знаков дрейфуют в противоположные стороны.
1446 233

Если в рассматриваемое поле поместить редкую плазму (т. е.
плазму, у которой -р-«1), то вследствие дрейфа электронов
и ионов плазма поляризуется и в ней появится электрическое поле,
в результате чего возникнет радиальный электрический дрейф
частиц со скоростью
что приведет к непрерывному расширению кольца плазмы (рис. 33).
Эти рассуждения показывают, что в поле G. 4) нельзя получить
равновесную плазменную конфигурацию, как нельзя удержать
и отдельные частицы.
Рис. 32
Рис. 33
Компенсацию тороидального дрейфа для одной частицы с из-
известными Jх и у 0 можно осуществить в принципе самыми различ-
различными, способами. Так, например, достаточно было бы добавить
к азимутальному полю еще однородное поле, направленное вдоль
оси z и равное по величине (Вг <^ Вф):
и превратить поле с замкнутыми силовыми линиями в поле с незам-
незамкнутыми силовыми линиями, неограниченно удаляющимися вдоль
оси z, и тем самым компенсировать дрейф смещением вдоль сило-
силовой линии.
Однако для любой другой частицы с другими v и /х тороидаль-
тороидальный дрейф сохраняется. Наибольший интерес, разумеется, пред-
представляют такие методы компенсации тороидального дрейфа, кото-
которые приводят к абсолютной ловушке. Можно предложить целый
ряд методов подобной компенсации с использованием статических
полей. Очевидно, простейшими из этих способов будут те, которые
обеспечивают движение частицы, представляемое в изображающей
234

плоскости замкнутыми кривыми. Это наводит на мысль о том, что
если в некотором прямом магнитном поле частицы непрерывно
обходят магнитную ось поля, то при изгибании такого поля в тор
достаточно большого радиуса они по-прежнему не уйдут далеко
от магнитной оси.
Разумность такого предположения поясним следующим фор-
формальным примером. Пусть движение частицы в прямом поле
таково, что траектория в изображающей плоскости представляет
собой окружность, причем перемещение по этой окружности опи-
описывается уравнениями
dx dz
dt
= — «az;
dt
и = const.
G.8)
Если такое поле изогнуть в тор
достаточно большого радиуса, то
появится тороидальный дрейф,
скорость которого мы обозначим
через р. Теперь движение в изо-
изображающей плоскости (рис. 34)
будет описываться уравнениями
dx
Рис. 34
If
аг , о
— = ш -j- р.
Считая
постоянной, находим интеграл
* + -|-J + z2 = const.
G. 9>
G. 10>
Отсюда видно, что при to =j= О частица по-прежнему будет двигаться
по окружности, но с несколько смещенным центром. Поскольку
при R -»- оо скорость дрейфа Р -> 0, то и смещение траектории
в изображающей плоскости при R -> со становится сколь угодно
малым.
Нужное нам вращение частицы вокруг оси прямого поля может
быть получено несколькими способами: либо посредством магнит-
магнитного или электрического дрейфа частиц, либо прокручиванием
силовых линий магнитного поля. Магнитный дрейф частиц проще
всего может быть осуществлен гофрированием магнитного поля
(см. § 3 и п. 3 § 7).
Электрический дрейф в тороидальном поле может быть осущест-
осуществлен, например, с помощью заряженного проводника, концент-
рично надетого на прямой проводник с током Jz, создающим маг-
магнитное поле (рис. 35).
Прокручивание силовых линий может быть получено как с по-
помощью кольцевого проводника с током, о котором мы говорили
выше, так и с помощью специальных винтовых обмоток [10].
Нетрудно убедиться, что в ряде случаев, например в гофриро-
гофрированном поле, все-таки имеются небольшие группы частиц, которые
235

ось не обходят (см. п. 5 § 3). Однако, как мы увидим на конкретных
примерах, эти частицы по-прежнему остаются в конечном объеме,
если R -> со, хотя их удаление от оси при конечном R больше,
чем смещение частиц, вращающихся вокруг оси.
3. Примеры абсолютных лрвушек
Рассмотрим движение частиц в двух конкретных случаях.
а. Движение в поле кольца с током. Выше мы показали, что
поле, изображенное на рис. 29, является абсолютной ловушкой
в рамках ньютоновых уравнений движения. Однако расчет траек-
траектории частиц в такой ловушке на основе точных уравнений можно
выполнить только численно. Если же движение рассматривать
в дрейфовом приближении, то существует интеграл [см. фор-
формулу C. 26)
mcv I,
~ =const,G.11)
Рис. 35
Рис. 36
который и описывает движение частицы в плоскости г, г. Если
частица имеет большую поперечную скорость, то она колеблется
снаружи кольца по серпообразной (в рассматриваемой плоскости)
траектории (рис. 36), причем по порядку величины ширина серпа
2mcv ,1 н~
1^ G.12)
еВ
В,
т. е. порядка глг — ларморовского радиуса в поле Bz. Если же попе-
поперечная скорость частицы мала, то частица обходит кольцо с током,
отклоняясь от первоначальной силовой линии на величину
тс
е
К
которая также порядка гяг. Здесь s = rt — г3, где r4
G. 13)
коорди-
координата- пересечения частицей плоскости z = 0 после обхода витка,
а г3 — координата пересечения с плоскостью z = 0 силовой
линии, вышедшей из точки, с координатой гх.
При написании формул G. 12) и G. 13) были использованы соот-
соотношения
— (г\J = гВг\
— Г2^ф2 г- ГВ%
236

б. Движение в тороидальном гофрированном магнитном поле.
В качестве второго примера ловушки, которая может считаться
абсолютной при условии сохранения продольного инварианта,
рассмотрим гофрированный тор.
Движение в прямом «тонком» (kr <^ 1) гофрированном поле
в дрейфовом приближении частично рассмотрено в § 3 и в прило-
приложении IV. Здесь мы остановимся на движении частицы в слабо
гофрированном магнитном поле (-g— <^1), свернутом в тор доста-
достаточно большого радиуса. Для определения движения мы будем
исходить из продольного инварианта, считая его функцией изобра-
изображающей точки той силовой линии, по которой вычисляется инва-
инвариант (рис. 37). i
Уравнения C. 45) в коорди-
координатах q, 6 изображающей плос-
плоскости имеют вид
а/„
тс
еВд
тс
а/,
eBq Э6
G. 14)
Рис. 37
Если исходное прямое поле
является аксиально симметрич-
симметричным, то продольный инвариант
будет зависеть только от q и J l. Если же мы согнем такое
поле в тор достаточно большого радиуса, то
/„ =.
а/,
G. 15)
где х = г — R. Если -J-, где Ъ — -5~, не обращается в нуль или
бесконечность *, то выражение G. 15) можно разложить по степе-
степеням g и ограничиться первым членом разложения
А\ (Q, О, J±)+ x
(в, 0-
= const.
G. 16)
Очевидно, здесь /ц определяется только прямым полем (R -+
->- со) и уравнение J \\ (q, 0, J±) = const является уравнением
концентрических окружностей.
Исследование уравнения G. 16) удобно провести отдельно для
больших и малых Q. В окрестности q = 0 продольный инвариант
а/,,
* Случай = оо для слабо гофрированного поля не реализуется. Слу-
Случай ,J -> 0, характерный для малой группы частиц, а также некоторые
другие специфические случаи рассмотрены в работе [8].
237

J|| (q) разлагается в ряд по четным степеням q (поскольку |В|
и Бф являются квадратичными относительно q) и уравнение G. 16)
записывается в виде
L02 i J!! 04 i i?I i
J !!_ 0 ... _ ?
2 d(Q*)*Q + + R
= const
сипы.
ay..
Если у-А =? О, т. е. частица непрерывно вращается вокруг оси
[см. уравнения G. 14) ], то, пренебрегая высшими членами разло-
разложения, получаем уравнение
определяющее окружность, центр которой смещен от оси q = О
на расстояние
dJ
GЛ9>
Этот результат полностью совпадает с формальным примером
dJ,,
предыдущего пункта. Случай -~ = 0, который соответствует
равному нулю дрейфу по азимуту, будем называть резонансным.
При этом уравнение G. 17) может быть записано в виде
где
R
Характерным размером, определяющим смещение траектории,
является величина К.
Рассмотрим теперь траектории, для которых q много больше
А в нерезонансном случае или много больше К в резонансном слу-
случае. При этом уравнение J ц = const можно решать методом воз-
возмущений, подставляя вместо q выражение q0 + 6q и разлагая его
по степеням 6q. Таким образом, получим
(Qo)
Здесь x0, q0 — координаты силовой линии, на которой частица
находилась в начальный момент. Если —^ ф 0, то
238

смещение частицы при изгибании поля будет пропорционально -»-,
dJ „ . дЧ,
тогда как при
О и
={= О оно пропорционально —— .
В первом случае траектории имеют вид смещенных окружностей,
а во втором — вид «серпов», расположенных с одной стороны от
прямой х = х0 (рис. 38). Таким образом, мы показали абсолютный
характер ловушки в виде гофрированного тора.
Проиллюстрируем эти общие соотношения на конкретном при-
примере. Пусть прямое гофрированное поле задается скалярным по-
потенциалом Фт = Boz —/0 (ar) sin az; b = const; a = —~,
L — период структуры поля. Скалярный по-
потенциал такого поля, изогнутого по окруж-
окружности радиуса R > L, при условии, что
b < В о, можно записать в виде
ф - " b
где s = R(p; q2 = х2 + z2 ; х — г — R. На*
чало отсчета s выбрано так, что оно совпа-
совпадает с минимумом поля. Будем считать, что
-5- < -g—. Тогда уравнение силовых линий
с точностью до первого порядка малой вели-
величины —щ- можно найти с помощью векторного потенциала для
прямого поля лДф = const. Таким образом, напряженность поля
на силовой линии может быть вычислена с точностью до чле-
нов
включительно.
Рассмотрим сначала движение запертых частиц. В этом случае
вычисление J ц достаточно провести с точностью до членов по-
порядка Ь/Во:
/ и I 1 + -я-
?)) ('+-!¦)¦
Здесь q и х — координаты силовой линии в плоскости s = 0;
/Jl — продольный инвариант для прямого поля. j\ выражается
через полные эллиптические интегралы
G.22)
1 ¦
зависящие от аргумента k2 =
2JxbI0
239

дЛ
Условие резонанса -=-|- = 0 приводит к уравнению 2Е — К =
— О, которое удовлетворяется при № ~ 0,83. Таким образом,
/ V, \
зависимость у = у (q) (где cos y = -^j дается соотношением
.„2 1 I — hlJB0 0,6 -,,
ctg Y = —г / — ~rf—V УРавнение движения частицы
с принятой точностью имеет вид
= const.
В окрестности оси оно может быть разложено в ряд по степе-
степе2
ням q2:
- const- *7- 23>
где Ко = К (Q = 0). Отсюда следует, что при отсутствии резо-
резонанса смещение центра окружности, определенное выраже-
no IS
нием G. 19), равно А = ° ° , а при резонансе дви-
О, ОН ?t. — До
2
жение происходит по кривой G. 20) с параметром к = — X
-^-) 3 . Аналогично можно найти траектории вдали от оси,
на чем мы не будем останавливаться.
Для исследования поведения пролетных частиц необходимо
учитывать члены порядка Ь%1В\. Однако в общем виде вычисление
J и с учетом квадратичных по b членов является достаточно гро-
громоздким, и поэтому мы ограничимся его вычислением при условии
v2 — ^л#о > J±b, т. е. при -H-ctg2Y 'С 1- При этом условии Уц
вычисляется с помощью разложения по указанным малым парамет-
параметрам, и мы получаем следующую формулу для траектории вблизи
оси, справедливую по крайней мере в области резонанса и для более
быстро пролетающих частиц:
^r = const, G.24)
J я
где р = —2 х ° = ctg2 Y- Резонансная область соответ-
ствует р = 2. Вне резонансной области траекторией является
240

окружность с центром, смещенным от оси на величину А =
8Др р + 2
a2b2R p — p2-\-2 '
В резонансном случае получается уравнение, совпадающее по
форме с уравнением G. 20), с X — — „ ° 2 ) . Отсюда сле-
следует, что пролетные частицы как вне резонансной области, так и
при резонансе смещаются больше, чем запертые частицы.
В заключение в более общем виде остановимся на соотношении
дрейфового приближения и метода продольного инварианта в при-
применении к гофрированному полю. Для этого сравним точность
дрейфовых уравнений и уравнений G. 14). Если с помощью первых
подсчитать смещение Aq за период продольных колебаний Г, то это
смещение будет отличаться от истинного на величину порядка
vT (-у-) . В то же время расчет с помощью уравнений G. 14)
вносит ошибку ~ т (т~~)~ • Вывод сохранения /ц, который
связан с переходом от конечноразностных уравнений G. 14)
к дифференциальным, вносит ошибку ~ (-?-) • Таким образом,
отношение точностей дрейфовых уравнений и уравнений G. 14)
порядка -т—• Как правило, -^—~1, и только для небольшой
группы частиц, которые очень медленно проходят окрестность
максимума поля на данной силовой линии, -^— > 1. Большой
период Т набирается в основном в окрестности Вм, где можно
положить В ~ Вм A — /2/L2).
Вычисляя Т ~ —, получим Т <~ —1п-^-, и, следователь-
следовательно, доля частиц с большим Т экспоненциально мала: ~
-~ e~ur/L, если функция распределения / (v) достаточно изо-
изотропна. Как показывает линейная теория, рассмотренная в при-
приложении IV, из этого количества частиц возможен уход не всех,
а лишь резонансных частиц, соответствующих углам прокручива-
прокручивания Аф7 ~ 2ппг. Следует отметить, что так же, как уравнение Ух =
= const остается справедливым в течение большего интервала вре-
времени, чем дрейфовые уравнения, можно ожидать, что и продоль-
продольный инвариант сохраняется дольше, чем уравнения Кадомцева
G. 14), из которых он получен.
Аналогично, используя инвариант C. 50), можно рассмотреть
движение частиц в винтовом поле и показать, что при определен-
определенных условиях тороидальное винтовое магнитное поле также
является абсолютной ловушкой при сохранении продольного инва-
инварианта C. 50).
16 Вопросы теории плазмы. Вып. 2

ПРИЛОЖЕНИЕ I
МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ
Для получения приближенных уравнений движения заряженной частицы
в сильном магнитном (дрейфовые уравнения) и в высокочастотном электромаг-
электромагнитном (высокочастотный потенциал) полях, для получения приближенных
выражений магнитных поверхностей, а также во многих других задачах широко
используется метод приближенного решения дифференциальных уравнений,
получивший название метода усреднения. В наиболее законченной форме этот
метод развит в работах Боголюбова *. Мы приводим здесь для справок вывод
некоторых основных формул усреднения систем дифференциальных уравнений.
1. Система дифференциальных уравнений первого порядка
Канонической для метода усреднения является система уравнений первого
порядка
^ ,ey, в = -|-, A-1)
где е — малый параметр, a fk — периодические функции аргумента 6 с перио-
периодом 2я, зависящие от п + 1 переменных х-ь и t. Малый параметр 8 характери-
характеризует здесь большую частоту колебаний правых частей уравнений (I. 1), и решение
ищется на интервале изменения t — порядка единицы или большем. Уравне-
Уравнения (I. 1) можно записать и в другой форме, часто используемой в приложениях,
а именно: если выбрать в качестве аргумента т = —, то получим систему
б
dx/i
в которой малый параметр е характеризует малость правых частей уравнения.
Наличие второго аргумента в /^ показывает, что кроме периодического изменения
правые части могут также медленно изменяться по произвольному закону. Реше-
Решение уравнений (I. I), справедливое на интервале /~ 1, соответствует решению
уравнений (I. 1а) на интервале т —.
Для решения уравнений (I. 1) мы будем искать такую замену переменных
для Xji, чтобы новые усредненные переменные %ь мало отличались от Х& и удовле-
удовлетворяли бы уравнениям, не содержащим быстропеременной фазы 0:
li, t,%)Ar*gtk{lt.t, %) + •••; A.2)
,t)-\ A.3)
dt
Уравнениями (I. 2) и (I. 3) вводятся новые неизвестные функции g^ и <p,?,
и задача сводится к нахождению этих функций. Производя в уравнениях A.1)
замену переменных и используя уравнения (I. 3), путем приравнивания членов
при одинаковых степенях е получим следующую систему уравнений для опре-
определения gik и (pik:
dg4b dfh , 1 d2ft,
~w - Ж g" + т ~ЩЩ18ugl"
* См., например, работы [4, 18].
242

Здесь подразумевается суммирование по дважды встречающемуся индексу,
a Fk—fk(li> t, 8). Потребуем, чтобы функции g/fc были периодическими функ-
функциями аргумента 8 и введем некоторые обозначения. Для любой периодиче-
периодической функции / (I», t, 8) мы можем написать
f=f+l A-6)
где
2я
J
о
Здесь и далее интегрирование производится при фиксированных аргумен-
аргументах & и t; f — постоянная часть /; / — переменная часть /. Кроме того, мы будем
обозначать через * переменную часть интеграла от переменной части /, т. е.
9
7d6. A.7)
Количество введенных функций g;& и ср,-? в уравнениях (I. 4) таково, что для
однозначного их определения необходимо ввести дополнительные требования.
Наиболее естественным представляется требование обращения в нуль постоян-
постоянных частей gik- При этом ^являются средними значениями (по переменной 8),
около которых колеблются истинные значения решений Xk = %k- Однако это
условие, конечно, не является единственно возможным. В частности, если урав-
уравнения (I. 1) написаны в гамильтоновой форме, то можно выбрать g,-ft так,
чтобы и усредненные уравнения A.3) были гамильтоновскими [15].
Полагая g^ = 0 и требуя, чтобы уравнения (I. 4) выполнялись тождественно,
фиксируем %i и t и приравняем в них порознь постоянные и переменные части.
Приравнивание постоянных частей дает выражения для ф^, а интегрируя по 6
оставшиеся равенства, мы находим g^- Используя введенные обозначения,
непосредственно получаем
Фо& = fk< gik = fe <Pift = -Щ-Siu g2k = -щ. gu — -щ~ 4>oi —
(L8)
Для преобразования получающихся выражений полезно иметь в виду тождество
ab = — аЬ, A.9)
вытекающее из равенства нулю среднего значения производной: зг \аЬ ) =0.
Из соотношений (I. 8) окончательно получаем усредненные уравнения для |^
в виде
и периодические поправки к решению
16* 243

Уравнения (I. 10) применимы на тем большем интервале изменения t, чем
больше членов в них удержано. Выписанные в уравнении (I. 10) члены позволяют
определить |^ с погрешностью ~е на интервале t—¦-г или же с погрешностью
в
~ е2 на интервале t~— и т. д. При этом, конечно, необходимо, чтобы функ-
функции /д., а также их производные были конечными величинами. Фактическое
написание уравнений (I. 10) существенно упрощается в том случае, когда fk
содержит только тригонометрические функции 9. Тогда cos nQ =—sinn9,
sin nQ — cos nQ, и усреднение производится особенно просто. Для многих
задач оказывается достаточным использование формул (I. 10) и (I. И) с отбро-
отброшенными членами ~е2, однако при усреднении, например, системы уравнений
второго порядка (см. ниже) их необходимо учитывать.
2. Система дифференциальных уравнений второго порядка
При выводе усредненных уравнений для движения заряженной частицы
в высокочастотном поле, а также для других задач необходимо усреднение си-
системы уравнений второго порядка. Соответствующие формулы легко получить
из выражения (I. 10). Действительно, рассмотрим систему
где Fk — периодические функции 9 = at, а роль малого параметра е играет
величина —. Записывая уравнения (I. 12) в виде системы уравнений первого
порядка
dt
dxk
' dt
= Fk (xi, ;,-, t, 9).
(I. 13)
находим
dt
dt
dFk
Ш F л. ± I dF*
dFk
iT\ dFk dFi , 1 d*Fk
A.14)
Таким образом, векторное уравнение движения
г =F(r, f, t, wt),
244
(I. 15)

в котором сила F является периодической функцией a>t, при большой частоте
осцилляции со может быть заменена на приближенное уравнение, усредненное
по последнему аргументу в F, вида
yv) F
A.16)
Здесь V и Vv означают градиенты по координатам г и компонентам ско-
скорости — . Полученное уравнение существенно упрощается, если члены в F,
содержащие скорость, можно считать малыми * порядка— . В этом случае с при-
принятой точностью вместо уравнения (I. 16) получаем
d2r - 1
dt2 со
Полученное усредненное уравнение можно представить в форме
dt2 о)
так как производная по аргументу /вр(г, -j—, t, <x>t\ дает вклад более высо-
высокого порядка малости, чем производная по (ot.
С помощью формулы (I. 11) можно получить также и поправки к усреднен-
усредненному решению, однако мы на этом не останавливаемся. Если функция F вовсе
не содержит скорости -тг . то второй член в правой части уравнения (I. 18) обра-
Ctt
щается в нуль, и мы приходим к уравнению, полученному П. Л. Капицей [19] .
3. Система уравнений, содержащих быстро вращающуюся фазу
Для вывода дрейфовых уравнений движения заряженной частицы в сильном
магнитном поле используется усреднение системы уравнений
4r = f(x. *, в); 4^ =—ю(х.*)+ А (х, t, в). (I. 19)
Вывод соответствующих усредненных уравнений аналогичен усреднению урав-
уравнений (I. 1). Замена переменных и искомые усредненные уравнения пишутся
в виде
* = I + egi (I, t, a) + e2g2 (g, t, a) f • • ¦; |
A-21)
— <•> (t t)+ Й„A, 0 + еОПб, t)
* Это справедливо, например, для движения нерелятивистской частицы,
когда vie < 1, где с — скорость света.
245

Поступая далее так же, как и при усреднении уравнений (I. 1), т. е. требуя,
чтобы уравнения типа (I. 4) удовлетворялись тождественно и чтобы введенные
функции g,- и qi были периодическими функциями а, не содержащими постоян-
постоянных частей, получим с точностью до е включительно
(I. 22)
Здесь у — градиент по всем координатам ?,-. Решением уравнения (I. 22)
является §, которое отличается от решения х исходной системы (I. 19) на вели-
величины порядка е
х = 1 + -^? (I.23)
на интервале времени <~ —.
6
4. Многопериодная система
Если частица движется в сильном магнитном поле и находится, кроме того,
под воздействием переменного поля, частота изменения которого сравнима с ча-
частотой обращения частицы по ларморовской окружности, то для получения
соответствующих приближенных уравнений движения необходимо усреднение
системы вида
-^ = h(*/, t, 9m); ^ = -L
,, t) + An (xi, t, 9m)
(I. 24)
с периодическими (периода 2я) по всем аргументам 9т функциями fk, Ап. Здесь i
и k пробегают значения от 1 до N, где ./V — число неизвестных х^, а т и п изме-
изменяются от 1 до М, где М — число периодов функций f^, An.
Аналогично предыдущему ищем такую замену переменных
(It, t, am)+ .. .; 6Я = а„ + eqln (g,-, t, am) -\ , (I. 25)
чтобы новые переменные удовлетворяли уравнениям, не содержащим фаз 9
dt
|f, t)
(I. 26)
Подставляя выражения (I. 25) и уравнения (I. 26) в уравнения (I. 24) и прирав-
приравнивая члены одинакового порядка по 8, найдем уравнения, связывающие
fk (?(> ат) и введенные функции:
дап
да„
dt
S\i
dfk
дат
A.27)
Периодические функции / (am) можно представить в виде суммы гармоник
!(ат)= У Ср, ф . . . ехр ((рах + № -\ ) + Со, 0 A.28)
р,
246

Определим f и / как
1=с0, о...; f= У —. л_4''', .—г-х
р. ч, ...
X ехр / (рах + ?а2 + •••)• (I. 29)
Требуя, чтобы gk и 9П были периодическими функциями, не содержащими по-
постоянных частей (gk= Яп= 0), и решая уравнения A.27), получим искомые
усредненные урапнения
dt
Следует иметь в виду, что такого рода усреднения имеют смысл только в случае
отсутствия резонанса, когда частоты шх, со2, ... не находятся в кратном отно-
отношении: pfflj + qu>2~\-' ¦ -ф0.
В заключение заметим, что операция Д в применении к тригонометрическим
функциям дает в рассматриваемом случае многопериодной системы
sin (/raj + <7Ct2 + ••.) = ¦
и также справедливы формулы ab = — aft.
5. Система уравнений с чисто периодическими правыми частями
В том случае, когда система уравнений
с малыми и периодическими no t правыми частями такова, что Yk — 0. легко
получить соответствующую усредненную систему с точностью до членов —е*
включительно. Действительно, произведем замену переменных
i, t).
Тогда подстановка в уравнения (I. 31) дает
Из уравнений (I. 32) методом последовательных приближений находим
Ук = хк+ е?А (*/. О + е2 -|k- (xi, t]fi (*(, t) + ¦ ¦ ¦ A. 34)
Подставляя выражения (I. 34) в уравнения (I. 33), получим выражение для
F ( *) чеРез xi и t:
(L35)
247

Таким образом, мы пришли к каноническим уравнениям типа (I—1а)
dxk
dt
- - eV* (xi, t), (I 36)
правые части которых являются малыми величинами -—е2. Применяя к ним фор-
формулу усреднения (I. 10)
получаем окончательно
A.38)
где
!k = fk (ii t)\ Fk = ~grrfl-
Усредненные переменные ^ связаны с x/t соотношением (I. 11)
Xk = Ik — е2р? (?,-, 0 4- ..., (I. 39)
а их связь с у и получается из выражений (I. 34) и (I. 39)
i/A ~ fe/fe ~г ^/)fe — ^ "^— /г i ? ^— fir*'' (^• 40)
Отметим, что при таком способе усреднения мы получаем поправки к у^,
среднее значение которых не равно нулю.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ВЫВОД ФОРМУЛЫ C. 15). ДРЕЙФОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
Подставляя выражения C. 8) в уравнения C. 7), получим
г = Vo 4- \1 cos 0 + V2 sin 0 = fr;
v ц = a0 + ax cos 0 + a2 sin 0 + a3 cos 28 + o4 sin 20 = / ц ;
hx = b° + &x cos 0 + 62 sin 0 4- b3 cos20 4- 64 sin 20 =/x;
в = со + c° 4- Cj cos 0 — c[ sin 0 4- c4 cos 20 — c3 sin 20 s a> 4 Л.
Здесь введены следующие обозначения: a,- = ат» — для компонент произ-
произвольного вектора а; Tijk = т,- (т/ V) т^; Т = (т0 V) т0 =¦ — [т0 rot т0] = -^
вектор кривизны силовой линии магнитного поля В (п — главная нормаль;
R — радиус кривизны);
(JI
<h = —2~~ G*uo — ТщоУ, a4 = —— (T120
248

1
~7>
' = i (to rot То + 2Г201) - — (-^- т2 -
cl — v '
= р-^|Т--„^; cz = -^L{Tm~Tm);
(II. 2)
При написании этих выражений учтены следующие векторные тождества:
Тцк + Тип = °= гпо + ^220 = div т0; Г210 - Г120 = т0 rot т„. (II. 3>
Уравнения (II. 1) являются точными уравнениями движения релятивистской
частицы, записанными в криволинейной системе координат с ортами то> т1( т2.
Запишем более подробно соответствующие приближенные (усредненные) урав-
уравнения C. 11), сохраняя прежние обозначения г, о ц, v± для усредненных вели-
величин. Далее будут встречаться только усредненные переменные, и поэтому это
не внесет путаницы. Усредненные уравнения записываются в виде
dr _т
-i- + ^
dv,
dt
¦ = /» -*-/и
Л;,
Л.,
' II | ? ^ II Д Г
~^T + t'-V ~7Г m Ml'
=^+/||
+ /.
(II. 4)
Здесь и далее V означает обычный оператор трехмерного градиента, действую-
действующий на координаты точки г. Подставляя сюда выражения (II. 1), получаем:
dr
dt
. д V2
' ди± со
dt
а2
(O
(о
(II. 5)
249

dv
dt
— k
2 dv.
dv i
4 dv.
U , 1 /, d h
dvx со
д b3
dv 1 со
(II. 5)
Учитывая конкретные выражения (II. 2) для входящих сюда величин, можно
преобразовать уравнения (II. 5) так, чтобы в них входили только известные
величины В и F и не содержались векторы х1 и т2:
dr
dt
dv 1
= v „ — -
rot * I т + —
rf^
= a° +
<5а
+
За
1 5со ,
з ab +
ю а^ J
^- [a Vco-\+ z.x (rot а - a (tQ rot tQ)) + -1-
[ca]
~~dT
+ »j. (rot b ~ b (*0 rot To))
При выводе уравнений (II. 6) использованы векторные формулы
[ат0] = т^г — х2ах; [ab] т0 = ахЪг — афг;
(ti V) т2 — (т2 V) t! = ТхГ112 — таГ221 - т0 (т0 rot т0);
(ti Va2) — (т2 Vai) = а{Г11г — а2Г221 + t0 rot а — а0 (т0 rot т0),
(II. 6)
(П. 7)
справедливые для произвольных векторов аи Ь. Отметим, что коэффициенты
при cos 29 и sin 29 полностью выпадают в первом приближении (II. 6), так что
их можно было бы с самого начала не принимать во внимание. Учитывая ска-
дт0 1 дсо
занное относительно порядков величин —~ и ^— и подставляя в уравне-
уравнения (II. 6) выражения (II. 2) для векторов a, b и с, получим:
^
т
— v2 T
¦ Vco
dv i
[VcoT]
coc^
(II. 8)
250

dv
dt ~ ° + 2@ | c2
FFT1
2 ч
— у2,, rot T + I 1 ±- | rot F — | I — ¦
Полученные уравнения существенно упрощаются, если ввести новые пере-
переменные [20] вместо и|| и v±:
»,=?>,+¦
irTorotv 'n-9>
Такая замена переменных диктуется тем, чтобы, во-первых, i/ц описывала всю
среднюю скорость вдоль магнитного поля и, во-вторых, чтобы не изменялась
(в принятом приближении) полная скорость о2 = v2^ + v2x. Производя в урав-
уравнениях (II. 8) замену переменных (II. 9) и опуская затем штрихи у новых пере-
переменных »'ц и v'±, получим уравнения
dr
dVj
dt
,2
I —
v2
A
с2
2@
У i
2(fl
2 1-
[V(oF] i-.
С
pUpJ
c2
@ l 0)
VjVj
2@
• Vco
2w
¦ [FT] +
f2,
(II. 10)
При выводе этих уравнений из уравнений (II. 8) использовано уравнение
Максвелла div В = 0, что дает div t0 = (т0 Vco), а также векторное тож-
тождество
т0 (to V) rot т0 = т0 rot Т — (т0 rot т0) div т0.
Уравнения (II. 10) в отличие от уравнений (II. 8) содержат в нужном приближе-
приближении законы сохранения энергии и поперечного адиабатического инварианта J±
d д .
для усредненного движения. Вычисляя полные производные ~тг = ~дГ~т~
(¦?¦')
от величин
S = тс2 =
J , — —
emv
V
1—¦
251

где
rfr
dt
определяется уравнением (II. 10), получим
_
d
It
dt
rm?,
A1.11)
ПРИЛОЖЕНИЕ III
ВЫВОД ФОРМУЛЫ C.37). ОБОБЩЕНИЕ ДРЕЙФОВОЙ ТЕОРИИ
НА СЛУЧАЙ СИЛЬНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Область применимости обычной дрейфовой теории существенно ограничена
требованием Е < — В. Мы будем считать далее, что Ех ~ —В; ?ц < -^-В,
V ЕХ
но —< 1. При этом скорость электрического дрейфа с становится срав-
С D
нимой со скоростью v частицы [21 ]. Вектор скорости частицы представим в виде
v = "nTo + vF + ux(Ticose + 'r2sine); vf^~IV]> (ШЛ>
отличающемся от выражения C. 6) наличием члена vp, описывающего электри-
электрический дрейф. Далее, поступая аналогично предыдущему, придем к форму-
формулам (П. 1), в которых
ai = vx (Toi + »F (*! V) t0); a., = v
(t2 V) т0);
«з =
ai
b»=-
c° = 4"
(«11 —
0 ,
= g- (u12 + u21);
rotu!
"г): C4 = ~ T ("
и
Здесь введены следующие обозначения:
a/-(at/); и = о , tQ Н-v,.; a'e-J
\
(III. 2)
252

и использовано тождество и1Х — и12 -- т0 rot u. В отличие от выражений (II. 2)
в выражения (III. 2) величина F входит только в виде TF и в vp. Обе эти вели-
величины при сделанных предположениях являются величинами ~1. Таким обра-
образом, в формулах (III. 2), так же как и раньше, все величины порядка единицы,
кроме со, которая . Поэтому, применяя метод усреднения, приходим к
уравнениям (II. 5). Подставляя в них выражения (III. 2), получаем:
= u
JL
А
2@
1(^0
02
II + VF (*1 V) \) T2 - (T02 + V,- (t2 V) To)
V (T-2V) To) "i - (Toi 4" vf (xi A) %) } +
+ ¦
— (T2V)
}2
- -^- {(«и - «га) G"i20 -г Га10) -
-(«12+«2l)
dvx
d
X
X
«9 "i
(III.4)
Для приведения полученных выражений к виду, содержащему только из-
известные векторные величины В и F, используются векторные формулы (II. 7)
и, кроме того, формулы
62а (Т! V) т0 — Ьх а (т2 V) т0 = {(а V) т0 — а0 (т0 V) т0} [Ьт0] +
+ (ab — anb0) (т0 rot т0);
(Tl V) (а (т2 V) то)-(т2 V) (а (тх V) то)-ГП2 а (хг V) t0 -f • Г221 а (т2 V) т0 -
1
{(«и - й22) (Г]20
- (а1г + а21) (Г110 - 7*220)} =
(III. 5)
= g- (т0 rot т0) (div а + ЗаТ) 4- -у (т0 rot a) div т0.
Последняя формула имеет место только в случае тоа = 0. В результате получим:
dt 1 1 ^* 1
ЧГ = " ~ 5" (Т° rOt To) Т° 4 " [U4()I + ~2^ [V<oto):
253

dt
= я° +
5" К К«'] + (vFV) т„ [п'т0] + (vFu') (т0 rot т0)} +
„ т„ rot —
о2.
rot \)l -
-fi-|(T rotr Wdiv
4@ IV О О/ V
— (t0rot v^) divtoj;
dt
du'
V do и
(To rot To)l - ^HT» rot 4 ^ ^(Tou') (To
rot
(III. 6)
В этих уравнениях величины и, а0 и 6° являются величинами порядка единицы,
а остальные — порядка 8. Система уравнений (III. 6) написана с точностью до е
включительно, т. е. в том же приближении, что и обычные дрейфовые уравнения.
Это приближение позволяет в принципе описывать движение частиц, совершаю-
совершающих большое число ~ — пролетов через систему размером L~ 1. Однако полу-
8
чающиеся уравнения оказываются довольно громоздкими, и их решение, по-види-
по-видимому, может быть эффективным только в некоторых частных случаях. Например,
небольшое упрощение получается в случае rot В = 0, когда члены, содержащие
То rot To> обращаются в нуль.
Попытка упростить эти уравнения посредством замены двух последних
уравнений законами сохранения энергии и адиабатического инварианта (ана-
(аналогично обычной дрейфовой теории) встречает то затруднение, что при вычис-
вычислении работы т F . приходится умножать первое уравнение (III. 6) на боль-
большую величину ;F~a>~ — и, следовательно, появляется необходимость учиты-
6
вать следующие члены в разложении . Корректным приближением, описы-
описывающим малое число пролетов через систему, являются уравнения (III. 6), в пра-
правых частях которых сохранены только члены и, а° и 6°. Однако для написания
закона сохранения энергии в этом приближении в силу сказанного выше необ-
dr
ходимо учитывать в
dt
dr
члены порядка е. Кроме того, единственная величина
u—' 1, входящая в —-— , содержит только t>,, • И если v« является малой вели-
величиной <—'8, то с точностью до е включительно можно оставить в выражениях
dvи dv,
для —т-2- и —;—только члены а0 и 6°. Таким образом, существуют задачи, в ко-
dt dt
торых следует учитывать все выписанные в уравнениях (III. 6) члены
в выражении для —т- и можно ограничиться только членами а0 и ft0 в выражениях
dv и dv i
для
dt
dt
-. В этом приближении, очевидно, можно опустить в первом
254

уравнении (III. 6) член -i (т0 rot т0) т0, так как он исчезает в результате
замены переменных (II. 9), не меняющей в нулевом приближении двух послед-
последних уравнений (III. 6). Полученная таким образом система имеет вид [21]
dvl\
dt
dv^
dt
¦ = Fto + Vo
IVcoTo];
TdivV-
(III. 7)
Из уравнений (III. 7) вытекают законы сохранения энергии и адиабатиче-
адиабатического инварианта. Ограничимся случаем, когда F = — Е и никаких других
с
сил неэлектромагнитного происхождения нет. Тогда v? ss vg = -^ [ЕВ]. Вы-
Вычисляя производные в выражениях энергии усредненного движения и адиаба-
адиабатического инварианта с учетом уравнений Максвелла div В = 0 и rot E =
1 дВ
= ¦ ч— , получаем
т
с
_d_
dt
dt
+ А
_ _dr_ _
~ dt ~
да
dt
(EB) (B rot B) =
dt
(III. 8)
dt
А
Здесь члены, содержащие (ЕВ), малы в силу сделанного предположения
о малости Е,, по сравнению с В. Следовательно, окончательно систему (III. 7)
можно записать в виде
Jl
dt
тс
dS
~dT
dr
mv\ dB
2B dt
v2,
dJx
~dT
A
(III. 9)
4); Ух = -^
где «=-|-(^+
причем в первом уравнении удержаны члены порядка \1В, а в остальных —
только члены порядка единицы. Второй член в выражении для —г- можно ин-
интерпретировать как дрейф под действием силы инерции — т
—
1- (uV)u
J.
Остальные члены в уравнениях (III. 9) интерпретируются так же, как и
в обычной дрейфовой теории.
255

ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ТОРОИДАЛЬНОМ ГОФРИРОВАННОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ В ДРЕЙФОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
При движении в магнитном поле, имеющем только азимутальную состав-
составляющую Вф, частица дрейфует вдоль оси z системы (так называемый тороидаль-
тороидальный дрейф). Действительно, так как Вф , то член [В S/B] в уравнениях
C. 17) дает дрейф, направленный по г. Для того чтобы частица двигалась вблизи
кольцевой оси, необходим какой-нибудь стабилизирующий механизм, компенси-
компенсирующий тороидальный дрейф. Как было показано в § 7, для компенсации торо-
тороидального дрейфа достаточно заставить частицу прокручиваться вокруг коль-
кольцевой оси. Такое прокручивание частицы может быть вызвано двумя способами.
Во-первых, созданием магнитного поля, силовые линии которого прокручива-
прокручивались бы вокруг кольцевой оси, и, во-вторых, приложением дополнительных по-
полей, вызывающих дрейф частицы (электрический или магнитный) вокруг коль-
кольцевой оси. Простейший способ создания необходимого дрейфа заключается
в применении «гофрированного» вдоль ср магнитного поля [9], на котором мы
и остановимся более подробно.
Если кольцевая осевая магнитная силовая линия имеет радиус R, достаточно
большой по сравнению с удалением частицы от этой силовой линии, то компо-
компоненты магнитного поля вблизи нее можно представить в виде [7] (см. рис. 37)
(IV. 1)
где s = R<$; х = г — R; b = b (s) — поле на осевой силовой линии г = R,
а штрихи означают производные по s. В формулах (IV. 1) влияние тороидаль-
ности поля учтено только в основной компоненте Вф. Уравнения дрейфовой
теории C. 17) для движения частицы в поле (IV. 1) дают
г = е — [к — у г
х = fte — ух;
s = 1/V — J , Ь,
V
с (x). 36'»
R 2ebs P ~ V
b'
(IV. 2)
где с (xb). -
А R 2ebs P ~
Полученные уравнения можно упростить, введя переменные 1 и ? согласно
равенствам
l = yrb~x; ? =]fb~z. (IV. 3)
Тогда получаем
t = ^—К: 1 (IV. За)
I = К. I
Уравнения (IV. За) являются типичными при исследовании компенсации торо-
тороидального дрейфа (см. п. 2 § 7). При движении в прямом поле G?-»-00) член
с е исчезает, и мы получаем уравнения, описывающие движение вокруг оси
с угловой частотой р. Наоборот, если ($ = 0 (отсутствие прокручивания вокруг
оси г = R), то частица уходит вдоль оси г. Для гофрированного магнитного
поля b (s) является периодической функцией s. Следует различать две группы
256

частиц: запертые частицы — колеблющиеся в пределах одной ячейки разреже-
разрежения поля и пролетные — обходящие всю систему вдоль кольцевой оси. Для обеих
групп частиц коэффициенты уравнения (IV. За) являются периодическими функ-
функциями времени. Если среднее значение f$ не равно нулю, то, усредняя уравне-
уравнения (IV. За), имеем
t = V~b в - R; | = К.
Отсюда, умножая первое уравнение на |, а второе на ?, вычитая и интегрируя
получившееся соотношение, найдем
= const, (IV. 1)
т. е. ларморовский центр движется по окружности, центр которой смещен отно-
относительно оси г = R на величину Д? = —=— , обратно пропорциональную сред-
Р
нему прокручиванию. При E = 0 имеем резонансный случай. Как показывает
нелинейная теория, рассмотренная в § 7, при р = 0 частица уходит от оси г = R
дальше, чем нерезонансная частица, но также на конечное расстояние.
Уравнения (IV. 3) линейного по удалению от оси г = R приближения могут
быть решены и точно. Введем комплексную функцию Q = х -f- iz. Тогда откло-
отклонение от оси г = R будет равно |q|, а азимут вокруг этой оси 6 = arg q. Обо-
/Т . лГЬ^
-=— Q и через у величину (е I/ —?- , где Ьо= о
Уд ГО
при t = 0. Уравнение для у будет
y-\-if>{t)y = y{t), (IV. 5)
где Р и y — функции времени, определяемые уравнением (IV. 2). Будем искать
-I \ttdt
решение уравнения (IV. 5) в виде у = A {t) e ° . Используя периодичность
коэффициентов уравнения (IV. 5), можно получить для А уравнение в конечных
разностях
Ап+1-Ап = ЬАое*°пТ, (IV. 6)
связывающее его значения в точках, отстоящих одна от другой на расстоянии,
I ilfidt
равном периоду Т. Здесь ро = р* и ДЛ0 = I b e ° dt — величины, опреде-
определяемые интегралами только по периоду Т. Решая уравнение (IV. 6), получим
для уп выражение
sin(Por/2)
7)
Из формулы (IV. 7) видно, что уп является ограниченной величиной, за исключе-
исключением резонансных случаев РОГ = 2ят, т = 0, 1, 2, . . ., при которых | бг/„ | =
¦-¦= | АЛ0 | п, т. е. неограниченно растет.
17 Вопросы теории плазмы. Вып. 2. 257

Из уравнений (IV. 3) следует, что Р0Г = Дфг. т. е. углу поворота частицы во-
вокруг оси г = R за период Т. Окончательно формулу для отклонения траекто-
траектории ведущего центра от невозмущенной траектории можно записать в виде
1 = | ЛЛ„ |
ДЛ„ = Ф У ^
8 / . Г fids \
exp i \ — —
ds.
(IV. 8)
Угол дрейфа за период Дфг, входящий в выражение (IV. 8), в рассматриваемом
приближении может быть взят тем же самым, что и для прямого поля. Поэтому
представляет интерес рассмотрение азимутального дрейфа в прямом аксиально
симметричном гофрированном поле. Угол прокручивания Дфг в прямом поле
рассчитан в § 3
П РИЛ О ЖЕНИЕ V
ОБ ИНДУКЦИОННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
При исследовании движения заряженных частиц в ловушках, использующих
переменное во времени электромагнитное поле, возникает вопрос об определе-
определении индукционного электрического поля. Мы ограничимся здесь рассмотрением
электрического поля, появляющегося при квазистационарном изменении магнит-
магнитного поля. В этом случае наличием свободных зарядов (как объемных, так и по-
поверхностных) можно пренебречь, и, следовательно, скалярный потенциал элек-
электрического поля Ф можно положить равным нулю. Уравнения квазистационар-
квазистационарного приближения [3] для электрического поля
divE = 0;
rot E = -
с
dt
(V.I)
удовлетворяются, если мы положим В = rot А и потребуем равенства нулю
дивергенции А:
,. . - _ I ЗА
div А = 0; Е =
с dt '
(V. 2)
Таким образом, если известен векторный потенциал магнитного поля А, то элек-
электрическое поле Е определяется через его производную по времени. При заданных
токах А выражается формулой
f-f-. (V.3)
. При исследовании ловушечных свойств переменного поля представляет
интерес определение поверхностей, на которых лежат силовые линии индук-
индукционного электрического поля. Если ввести вектор П, так что
А = rot П, (V. 4)
и учесть! что, согласно уравнению (V. 2), силовые линии Е совпадают с ли-
линиями А (с точностью до множителя зависящего от времени), то нетрудно видеть,
что электрические поверхности для полей, обладающих симметрией, будут опре-
определяться через П так же, как магнитные поверхности через А [10]. А именно,
для трансляционной, аксиальной и винтовой симметрии имеем
Пг(-к, у) = const; лПф(г, г) = const;
П2 (г, ф — аг) + а/-Пф (г, ф — аг) = const.,
258
(V.5)

Аг = — -^т ^ 6п;" (апл)sin
Например, если винтовое магнитное поле при постоянных токах задается
скалярным потенциалом В = УФв виДа
со
Фв = Boz + 2 bnfn (anr) sin пб; 9 = q> — аг, (V. 6)
л=1
го соответствующий векторный потенциал А, удовлетворяющий условию div А = О,
имеет компоненты [10]
(V.7)
и уравнение поверхностей, на которых лежат силовые линии магнитного поля,
определяется выражением Аг + агЛф = arAy = const. При квазистационар-
квазистационарном изменении этого поля появляется электрическое поле Е, которое равно
1 д А
— . Силовые линии вектора А лежат на поверхности П2 -f агПф= const.
Нетрудно убедиться, что векторный потенциал (V. 7) можно представить
в виде rot П, где П имеет только одну z-составляющую, равную
П2 = -Во ¦?¦ + ~ ^ ~ 'п (anr) cos пв. (V. 8)
Таким образом, уравнениями .А-поверхностей будут уравнения П2 (г, 6) = const.
Так же, как это делалось в работе [10] в случае постоянного магнитного
поля, индукционное электрическое поле при наличии симметрии задачи удобно
описывать соответствующими функциями тока, совпадающими с выраже-
выражениями (V. 5). Мы рассмотрим здесь в качестве примеров плоскую и аксиально
симметричную задачи. Для плоской задачи из уравнения div E = 0 следует,
что можно ввести функцию Y так, что
k. х =
ду ' «~ дх ¦ '"¦"'
Подставляя выражения (V. 9) в первое уравнение (V. 1), получим
АЧг=±В\ (V.10)
т. е. У определяется уравнением Лапласа с правой частью. Граничным условием
на поверхности проводников с током, создающих магнитное поле, является усло-
условие ?2 = const, так как электрическое поле не должно иметь нормальной ком-
компоненты [3].
х2 и2
В частности, для прямого соленоида эллиптического сечения —^ 4- -^- = 1
а2 Ь2
решением уравнения (V. 10), удовлетворяющим граничному условию, является
В a2b2
—
2с
/у 11)
Отсюда следует, что электрические силовые линии будут эллипсами с пропор-
пропорционально меняющимися полуосями (рис. 39).
17* 259

В случае аксиально симметричной задачи из уравнения div E = 0 следует
возможность введения Ч? из условий
ЛШ ЛИГ
(V. 12)
'-*- дг . '"!¦- дг •
и подстановка условий (V. 12) в уравнение (V. 10) приводит к уравнению
д ( 1 дУ \ , а2^ R л л "А
г
(V. 13)
Рассмотрим задачу об определении индукционного электрического поля
в соленоиде, свернутом в тор. Будем решать ее не путем задания сечения тора,
а путем подбора этого сечения к заданному уравнению силовых линий Е.
Рис. 39
Рис. 40
Решение уравнения (V. 13) ищем в виде Ч*1 = Aoz2 + f (г). Подставляя его
в уравнение (V. 13) и налагая дополнительные условия Ez |z=0 = ? |г=0 = 0,
r=R r=R
где R — средний радиус тора, получим
- А .
(V. Н)
Для того чтобы при малых z и х = г — /? силовые линии были эллипсами г
расположенными в меридиональных плоскостях, следует положить Ло =
= "ор"( ; 2Л0). При этом выражение (V. 14) переходит в
2с а2 +
и в окрестности г = R получаем
2с
а2 + б2
(х* z* \
2 \ а2 ^ б2 У -
(V. 16)
Таким образом, электрические силовые линии лежат на поверхностях торои-
дов эллиптического сечения. Такое поле может быть создано тороидальным соле-
соленоидом, сечение которого определяется уравнением *F = const и в обмотках
которого течет переменный ток (рис. 40).
260

ЛИТЕРА ТУРА
1. Балебанов В., Гласко В., Кузнецов В., Свешников А.,
Семашко Н., Тихонов А. Доклад, представленный на конфе-
конференцию по физике плазмы и контролируемым термоядерным реакциям.
Зальцбург, сентябрь, 1961.
2. Арнольд В. «Докл. АН СССР», М2, 4 A962).
3. Ландау Л. и Лифшиц Е. Теория поля. М., Физматгиз, 1960.
4. Боголюбов Н. и Митропольский Ю. Асимптотические ме-
методы в теории нелинейных колебаний. М., Гостехиздат, 1958.
5. Сивухин Д. В кн. «Вопросы теории плазмы». Вып. 1. М., Госатомиздат,
1963.
6. Морозов А. и Соловьев Л. «Докл. АН СССР», 128, № 3, 506
A959).
7. Соловьев Л. В кн. «Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций». Т. IV. М., Изд-во АН СССР, 1958.
8. Морозов А. и Соловьев Л. «Ж- техн. физ.», 30, 271 A960).
9. Кадомцев Б. В кн. «Физика плазмы и проблема управляемых термо-
термоядерных реакций». Т. III. M., Изд-во АН СССР, 1958.
10. Морозов А. и Соловьев Л. Геометрия магнитного поля (см.
настоящий выпуск).
11. Гапонов А. и Миллер М. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 34, вып. 1,
242 A958).
12. Питаевский Л. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 38, 11 A960).
13. Б л я ш к е В. Дифференциальная геометрия. М., ОНТИ, 1935.
14. К у р о ш А. Курс высшей алгебры. М., Гостехиздат, 1949.
15. Бурштейн Э. и Соловьев Л. «Докл. АН СССР», 109, № 4, 721
A956).
16. А с к а р ь я н Г. Диссертация. Москва, 1961.
17. Казанцев А. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37, вып. 5 A1), A959).
18- Во л осов В. «Успехи матем. наук», 17, вып. 6 A08) A962).
19. Л а н д а у Л., Лифшиц Е. Механика. М., Физматгиз, 1961.
20. Брагинский С. «Укр. матем. журн.», 8, 119 A956).
21. Рудаков Л., Сагдеев Р. В кн. «Физика плазмы и проблема управ-
управляемых термоядерных реакций». Т. III. M., Изд-во АН СССР, 1958.
22. В е д е н о в А., Рудаков Л. Там же, т. IV.
23. Альфвен X. Космическая электродинамика. М., Изд-во иностр. лит.,
1952.
24. А р ц и м о в и ч Л. Управляемые термоядерные реакции. М., Изд-во
АН СССР, 1961.
25. Спитцер Л. Физика полностью ионизованного газа. М., Изд-во иностр.
лит., 1957.
26. Бурштейн Э. и Соловьев Л. «Докл. АН СССР», 139, № 4, 855
A961).
27. Крускал М. Адиабатические инварианты. М., Изд-во иностр. лит., 1962.
28. Крускал М. Доклад, представленный на конференцию по физике плазмы
и контролируемым термоядерным реакциям. Зальцбург, сентябрь, 1961.
29. Northrop G., Teller E. Phys. Rev., 117, 215 A960).
30. Н е 1 1 w i g G. Z. Naturforsch., 10a, 508 A955).
31. Kulsrud R. Phys. Rev., 106, 205 A957).

СОДЕРЖАНИЕ
Геометрия магнитного поля. А. И. Морозов, Л. С. Соловьев 3
§ 1. Общие замечания 3
§ 2. Основные понятия 7
1. Уравнения квазистационарного магнитного поля 7
2. Силовые линии и магнитные трубки 9
3. Удельный объем магнитной трубки 11
4. Тороидальные магнитные поля 13
5. Тороидальные магнитные поверхности 15
6. Обратные задачи по геометрии поля 18
§ 3. Уравнения магнитных поверхностей 19
1. Симметричные поля 19
2. Усредненные магнитные поверхности 20
3. Магнитные поверхности вблизи замкнутой силовой линии . . 26
§ 4. Поля с замкнутыми силовыми линиями 29
1. Поле кольца с током 29
2. Поле двух колец с током 32
3. Прямые гофрированные поля 33
§ 5. Прямое поле с винтовой симметрией 38
1. Магнитные поверхности винтового поля 38
2. Усредненные магнитные поверхности и силовые линии . . 45
3. Точное выражение для угла прокручивания 48
§ 6. Устойчивость магнитного поля 52
1. Определение устойчивости поля 52
2. Устойчивость прямого поля в адиабатическом приближении 54
3. Усредненные магнитные поверхности слабо непериодического
магнитного поля 58
4. Устойчивость магнитного поля токового шнура 59
5. О типичной структуре несимметричного тороидального маг-
магнитного поля 62
§ 7. Изгибание магнитного поля 70
1. Изгибание магнитного поля в тор 70
2. Магнитные поверхности тороидальных полей 73
3. Магнитные поля с осью двоякой кривизны 74
§ 8. Поле вблизи данной магнитной поверхности 77
1. Постановка задачи 77
2. Поле вблизи симметричных магнитных поверхностей ... 79
3. Магнитные поверхности вблизи несимметричной магнитной
поверхности 81
§ 9. Магнитное поле в окрестности особых точек и линий 83
1. Регулярные особые точки 84
2. Нерегулярные особые точки 85
Приложение. Уравнения для симметричных магнитных поверхностей
в произвольной криволинейной системе координат 89
Литература 90
262

Равновесие плазмы в магнитном поле. В. Д. Шафранов 92
§ 1. Общие замечания 92
§ 2. Теорема вириала 95
§ 3. Некоторые свойства равновесных конфигураций 96
§ 4. Другая форма уравнения равновесия 102
§ 5. Вариационный принцип 105
§ 6. Равновесие в некоторых конкретных системах 111
§ 7. Гидродинамическая аналогия равновесных конфигураций ... 121
§ 8. Диффузия и дрейфы в равновесной конфигурации 122
§ 9. О равновесии плазмы с неизотропным давлением 128
Литература 130
Гидромагнитная устойчивость плазмы. Б. Б. Кадомцев 132
Введение 132
§ 1. Уравнение малых колебаний 134
§ 2. Энергетический принцип . . 137
§ 3. Устойчивость границы плазма — магнитное поле 140
§ 4. Пинч без продольного поля 143
§ 5. Конвективная неустойчивость плазмы низкого давления ... 146
§ 6. Стабилизирующее действие проводящих торцов 150
§ 7. Скинированный пинч с продольным полем 152
§ 8. Пинч с распределенным током 156
§ 9. Винтовая неустойчивость 165
§ 10. Устойчивость тороидальных систем 167
§ 11. Токово-конвективная неустойчивость 170
§ 12. Перегревная неустойчивость 173
Литература 175
Движение заряженных частиц в электромагнитных полях. А. И. Морозов,
Л. С. Соловьев 177
Введение 177
§ 1. Уравнения движения и их интегралы 178
1. Уравнения движения 178
2. Интегралы уравнений движения 179
3. Исключение циклических координат 181
4. Оценка области движения частицы в электромагнитном поле . 183
5. Условия абсолютного удержания частицы в адиабатической
ловушке 185
§ 2. Движение заряженной частицы в постоянных однородных полях 188
§ 3. Движение частиц в дрейфовом приближении 194
1. Постановка задачи 194
2. Вывод дрейфовых уравнений 195
3. Интерпретация дрейфовых уравнений 199
4. Интегралы дрейфовых уравнений 200
5. Движение частиц в адиабатической ловушке 203
6. Дрейфовая теория в случае сильного электрического поля . , 207
7. Продольный адиабатический инвариант 208
8. Влияние излучения 211
§ 4. Движение заряженных частиц в высокочастотном электромагнит-
электромагнитном поле 214
1. Высокочастотный потенциал 214
2. Движение частиц в ловушке с переменным полем 215
§ 5. Усреднение уравнений движения по пространственному периоду
поля 219
1. Движение частиц в знакопеременном электростатическом поле 219
2. Движение частиц в знакопеременном магнитостатическом поле 220
3. Движение частиц в аксиально симметричном гофрированном
магнитном поле 220
263

4. Движение магнитного диполя в неоднородном магнитном поле 22U
§ 6. Движение частиц во вращающемся электромагнитном поле 223
1. Общие соотношения 223
2. Случай однородного вращающегося ноля . . ... 22 i
3. Движение частиц при наличии постоянного аксиально сим-
симметричного поля 226
§ 7. Движение частиц в тороидальных магннтоститических полях 230
1. Понятие об абсолютной ловушке 230
2. Тороидальный дрейф 233
3. Примеры абсолютных ловушек . . 236
Приложение I. Метод усреднения 2'12
Приложение II. Вывод формулы C. 15). Дрейфовые \равнения 248
Приложение III. Вывод формулы C. 37). Обобщение дрейфовой теории
на случай сильного электрического поля 252
Приложение IV. Движение частиц в тороидальном гофрированном магнит-
магнитном поле в дрейфовом приближении 256
Приложение Г. Об индукционном электрическом поле . . ... 258
Литература 261
ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПЛАЗА\Ы
ВЫПУСК 2
Редактор .7. /7. hymyctje
Переплет художника .7. П. Ба.т-к
Tiwii. ред. Е. II. Мазель Корректор Ю. К. Мпсеева
Сдано в iiafiop 17/V 1963 г. Подписано в печ. 26. \ III 1963 г. Бумага 60x90',,.
Физпч. »еч. л. 16,5. Уч.-изд. л. 16.S4. Заказ изд. 107'J. Тираж 6700 экз
Т-09735. Цена 94 к. Заказ Ss 1446.
Госатомнздат, Москва. Центр, ул. Кирова. 18
Типография .\гз 6 УЦП и ПП Лепсомнархоза. Ленинград, ул. .\\опсеенко. Ill

Стр.
32
32
51
51
52
80
85
ПО
113
139
164
185
187
191
201
224
239
243
257
3
Строка
Рис. 20, а, б
(размер)
Рис. 20, б
АМЕ
Формула E. 55)
Формула E. 56)
4 сверху
7 сверху
14 сверху
Формула E. 40)
Формула F. 5)
Формула B. 7)
Формула (8. 17)
Формула A. 32)
1 снизу
8 снизу
10 сверху
Формула F. 5)
7 снизу
19 сверху
7 снизу
ЦЕННЫЕ ОПЕ1
Напечатано
1 -|- 2а 2
1 4- 2а2
г 4- 2а2
Л -¦= 1 - —
s ' г
силовые линии
Я"
ен* =
1 дВ0е
8я дп
Вя>$
¦* в\
е
Vl -т
тоа
VI+
d\'
•'ll
115]
b
¦I A T К И
Следует читать
21, 2а
В правом кольце изменить
направление тока на
обратное
1 --- 22
1 -г 22
г4-2«2
Л - 1 -L —
S I ?
осевые линии
erdS =
1 дВ0г
8я дп
+ в\
Рч>
г
v~
т0. а
VI-
dv'
J\l =
[26]
Y@
Кн. «Вопросы теории плазмы». Вып. 2. Зак. 1446.