LECTURE NOTES IN MATHEMATICS
EDITED BY A. DOLD AND B. ECKMANN
585
T. A. SPRINGER
INVARIANT THEORY
Springe-Verlag Berlin • Heidelberg • New York 1977

МАТЕМАТИКА
НОВОЕ В ЗАРУБЕЖНОЙ НАУНЕ
РЕДАКТОРЫ СЕРИИ: А.Н. КОЛМОГОРОВ, СП.НОВИКОВ
Т. СПРИНГЕР
ТЕОРИЯ
ИНВАРИАНТОВ
Перевод с английского
В. Л. ПОПОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1981

УДК 519.4
Введение в теорию инвариантов, написанное известным
голландским математиком. Книга содержит как классические
оезультаты, так и достижения последних лет. По включенному
в нее материалу она значительно отличается от имеющейся на
русском языке литературы по теории инвариантов. В ней при-
зедены задачи для самостоятельного решения, дан обзор со-
современной литературы.
. Книга предназначена для математиков, интересующихся
теорией инвариантов и использующих еел для студентов уни-
университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
1702050000 © Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New
С -S££ 18-81, ч. 1 АПГ Rights Reserved
041@1)-81 Authorized translation from English langua-
language edition published by Springer- Verl a g
Berlin — Heidelberg — New York
© Перевод на русский язык, с дополнениями,
«Мир», 1981

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
В наше время теория инвариантов переживает третью мо-
молодость. Первый этап ее развития характеризовался интере-
интересом к формально-алгебраическим проблемам и их приложе-
приложениям к геометрии, второй — проникновением в эту теорию
методов теории групп Ли и их представлений, третий —
влиянием теории алгебраических групп и алгебраической
геометрии. Сравнивая классическую теорию инвариантов с
сегодняшней, мы замечаем прежде всего, что изменилась
точка зрения на сам предмет. Если классики изучали глав-
главным образом собственно инварианты (а точнее инварианты
линейных представлений классических групп), то современ-
современная теория инвариантов — это по существу теория алгебраи-
алгебраических групп преобразований, рассматривающая свойства
всей сложной совокупности объектов, связанных с действием
алгебраической группы, — не только функций, постоянных
на орбитах (т. е. инвариантов), но и самих орбит, стабили-
стабилизаторов точек, факторов, сечений и т. п. По своим задачам
и методам теория инвариантов стала значительно более гео-
геометрической, чем раньше. Такое изменение точки зрения на
теорию инвариантов происходило постепенно (и порой не-
неосознанно); впервые четко оно было сформулировано в
1965 г. американским математиком Мамфордом в книге Geo-
Geometric Invariant Theory, первая часть которой переведена на
русский язык (см. Дьёдонне, Керрол, Мамфорд [1]). Хотя
Мамфорда, по-видимому, интересовали главным образом
приложения к алгебраической геометрии, его книга отмечает
переломный момент в судьбе самой теории инвариантов.
В этой связи особую роль играет переоценка с современ-
современных позиций результатов, полученных на более ранних эта-
этапах развития теории инвариантов. Классики оставили нам

6 От переводчика
богатое наследие. К сожалению, многое из того, что было
ими создано, либо забыто, ли*бо известно не так широко, как
оно того заслуживает. Нет нужды объяснять, как важно (и
порой непросто) бывает понять и интерпретировать на совре-
современном уровне старые результаты: достаточно вспомнить,
что ряд ключевых идей книги Мамфорда уже содержался в
работе Гильберта 1893 г.
Предлагаемая вниманию читателя книга Т. Спрингера
является введением в теорию инвариантов и рассчитана на
начинающего; от читателя требуется лишь знание алгебры
в объеме обязательного университетского курса. Будучи до-
доступной второкурснику, книга сочетает в себе два достоин-
достоинства: она, во-первых, содержит современное изложение основ-
основных результатов и методов теории инвариантов XIX века и,
во-вторых, включает доказательства некоторых важных ре-
результатов последнего времени. Существенно, что по содер-
содержанию она почти не пересекается с вышедшей в издатель-
издательстве «Мир» 6 лет назад книгой Дьёдонне, Керрола и Мам-
Мамфорда [1]. Это происходит по существу из-за того, что книга
Спрингера освещает идеи и методы первого этапа развития
классической теории инвариантов, а книга Дьёдонне, Кер-
Керрола и Мамфорда — второго и частично третьего. Так, на-
например, значительное внимание в настоящей книге уделено
важному техническому средству теории инвариантов XIX ве-
века (а впоследствии и коммутативной алгебры) — рядам
Пуанкаре. Относящиеся сюда классические результаты Кэли,
Сильвестра и Гильберта публикуются на русском языке
впервые. С другой стороны, изложение ограничивается слу-
случаем группы SL2{k)> что тоже было характерно для теории
инвариантов XIX века (и в данном случае методически оп-
оправдано). Что же касается результатов последнего времени,
содержащихся в книге Спрингера, то они к моменту напи-
написания книги Дьёдонне, Керрола и Мамфорда попросту еще
не были получены и значились в списке проблем и гипотез.
Один из этих результатов — доказательство знаменитой ги-
гипотезы Мамфорда — публикуется в учебной литературе впер-
впервые. Хотя автор (учитывая скромную подготовку читателя)
и дает доказательство лишь для группы SL2{k), его рассуж-

От переводчика
дения проясняют основные движущие пружины оригиналь-
оригинального доказательства Хабоуша в общем случае, и подготов-
подготовленному читателю уже будет нетрудно разобрать его самому.
В книге — также впервые на русском языке — доказывается
в полной общности теорема конечности для геометрически
редуктивных групп.
Особое место занимает последняя глава, посвященная
теории инвариантов конечных линейных групп. Удивительно,
но до сих пор на русском языке не было изложения одного
из классических результатов — теории инвариантов бинар-
бинарных групп многогранников. Этот материал содержится в
книге Спрингера. В этой же главе с помощью принадлежа-
принадлежащего автору метода строится теория инвариантов некоторых
трехмерных конечных линейных групп, рассматривавшихся
в классической литературе.
Более систематическое описание содержания книги чи-
читатель найдет в предисловии автора.
В книге имеются три дополнения. Первое из них — это
перевод любезно присланного автором препринта его
статьи о явном виде ряда Пуанкаре для инвариантов и ко-
вариантов группы SL2(k). С технической точки зрения речь
идет о вычислении некоторого интеграла, который, однако,
до сих пор никем не был подсчитан. Автор решил эту за-
задачу и получил из нее ряд важных следствий: доказал го-
ренштейновость алгебр инвариантов бинарных форм и опи-
описал те из этих алгебр, которые не имеют сизигий. Эти ре-
результаты получены по существу элементарными средствами;
они помогут читателю в большей степени оценить их глубо-
глубокие обобщения, найденные в последнее время, и будут сти-
стимулировать изучение им соответствующей журнальной ли-
литературы.
Второе дополнение является переводом фрагмента из
книги Поппа [1]. Оно помещено с той целью, чтобы чита-
читатель мог лучше понять взаимоотношение классической тео-
теории инвариантов и геометрии.
Третье дополнение содержит примечания переводчика.
Они различны по своему характеру. Одни дополняют основ-
основное содержание важными фактами (которые, как нам каза-

От переводчика
лось, было бы жаль не сообщить читателю). Другие призва-
призваны ориентировать читателя в современной литературе и
описывают положение дел в том или ином вопросе к настоя-
настоящему моменту. Третьи содержат некоторые примеры.
В заключение хотелось бы выразить благодарность ав-
автору за присланные им исправления и дополнения.
В. Л. Попов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эти записки возникли из курса лекций по теории инва-
инвариантов, прочитанного осенью 1975 г. в Утрехтском универ-
университете. Курс был задуман как введение в теорию инвариан-
инвариантов на элементарном уровне, проиллюстрированное рядом
примеров из теории инвариантов XIX века. Я не старался
добиться полноты изложения. Из краткого описания содер-
содержания, данного ниже, информированный читатель увидит,
что эти записки дают весьма неполную картину теории ин-
инвариантов. Я старался хотя бы отчасти компенсировать эту
неполноту, упоминая о дополнительных результатах в при-
примечаниях, помещенных в конце каждой из глав.
В гл. 1 вводятся основные понятия и обсуждается ряд
примеров. Приведены некоторые элементарные факты из
алгебраической геометрии.
В гл. 2 я доказываю, следуя Нагате, теорему конечности
для редуктивных линейных алгебраических групп. При этом
под редуктивной линейной алгебраической группой пони-
понимается группа, называвшаяся раньше в литературе геоме-
геометрически редуктивной. Эта глава содержит также более или
менее известные результаты о рядах Пуанкаре градуирован-
градуированный алгебр, восходящие по существу еще к Гильберту.
В гл. 3 доказано, что группа SL2(k) (k алгебраически
замкнуто) редуктивна. Это сделано на основе тех же сооб-
соображений, с помощью которых Хабоуш доказал недавно ре-
дуктивность полупростых групп. Используя полную приво-
приводимость рациональных представлений группы SZ,2(C), я вы-
вывожу затем ряд классических результатов теории инвариан-
инвариантов «бинарных форм», таких, например, как формула
Кэли — Сильвестра для размерностей пространств инвариан-
инвариантов и асимптотическая формула для этих размерностей, при-
принадлежащая Гильберту.

10 Предисловие
Глава 4 посвящена конечным группам. Рассмотрен один
из основных результатов теории инвариантов таких групп —
теорема Шевалле, согласно которой алгебры инвариантов
конечных групп над С, порожденных отражениями, являются
свободными градуированными полиномиальными алгебрами.
Показано, как этот результат может быть использован для
описания алгебр инвариантов групп, не порожденных отра-
отражениями. Обсуждаются бинарные группы многогранников,
а также некоторые классические примеры 3-мерных линей-
линейных групп.
Первый вариант этих записок подготовили Холткэмп и
Вермюлен. Я благодарю их за тщательно проделанную ра-
работу. Я признателен также В. ван дер Каллену за редакти-
редактирование этих записок. Наконец, я благодарю г-жу Т. Брей-
гель-Вольграфф за квалифицированную подготовку руко-
рукописи.
Цитируемая литература указана в каждой главе отдель-
отдельно (*). Нумерация формул — своя в каждой главе.
Т. Э. Спрингер
Утрехт, февраль 1977 г.
(*) При переводе составлен единый список литературы, дополненный
ссылками на источники, цитированные в дополнениях и в примечаниях пе-
переводчика; этот список помещен в конце книги. Указания автора по по-
поводу литературы к каждой из глав сохранены. — Прим. перев.

Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ,
ИНВАРИАНТЫ ЛИНЕЙНЫХ ГРУПП
Опишем вначале ситуацию,- которая изучается в теории
инвариантов.
1.1.1. Пусть k — алгебраически замкнутое поле и V —
конечномерное векторное пространство над k. Пусть
(ei)\<i<n— базис пространства V; обозначим через // ли-
линейную функцию на V, определенную равенством
fi(x\e{+ ... +xnen) = xt.
Функции fi порождают подалгебру 5A/), или просто 5, ал-
алгебры всех функций на V со значениями в k. Элементы этой
подалгебры называются полиномиальными функциями на V
(проверьте, что это определение не зависит от выбора базиса
()) Существует изоморфизм ср алгебры 5 на алгебру
полиномов k[Tu -.., Тп], Для которого фф)= Ti (*).
Элемент /е S называется однородной функцией степени
d, если
d
или, что то же самое, если ср(/) —однородный полином сте-
степени d (**). Множество Sa всех однородных полиномиальных
функций степени d является конечномерным векторным под-
подпространством в 5, причем 50 = k. Кроме того, SdSe = Sa+e
и 5 является прямой суммой подпространств Sd. Эти свой-
свойства означают, что подпространства 5^ определяют на 5
структуру градуированной алгебры (см. 2.4.1). .
1.1.2. Пусть GL(V) — группа всех обратимых линейных
преобразований пространства V. Если g e GL(V), f e 5, то
(*) Существование изоморфизма ф вытекает из того, что поле k (бу-
(будучи алгебраически замкнутым) бесконечно. Для конечного основного поля
алгебра 5 также конечна и потому не изоморфна (бесконечной) алгебре
k [Ти ..., Тп].~ Прим. перев.
(* *) Таким образом, для всякого целого числа d^ 0 нулевая функция
является однородной степени d\ об этой неоднозначности см. замечание у
Бурбаки [2, гл. IV, § 1, п. 3]. — Прим. перев.

12 Гл. 1. Введение
определим функцию g-f&S с помощью равенства
*•/(*) = /(Г Ч
Легко проверить, что g- (h-f) = (gh) -f и g-Sd = Sd.
Пусть G— подгруппа группы GL(V). Функция [eS на-
называется G'-инвариантом, если g'f = f для всех g e G. Все
G-инварианты образуют подалгебру SG алгебры S; она яв-
является градуированной подалгеброй, т. е.
(Sa(\Sd).
Свойства таких алгебр SG и изучаются в теории инвариан-
инвариантов (*).
1.2. НЕМНОГО АЛГЕБРЫ
Напомним ряд фактов об алгебраической структуре ал-
алгебры S.
1.2.1. Нётеровы кольца. Коммутативное кольцо R назы-
называется нётеровым, если выполнено одно из следующих трех
эквивалентных условий:
(a) любой идеал / в R конечно порожден, т. е. существует
такой конечный набор элементов г\, ..., rh е /, что / =
= Rn+ ... + Rrh;
(b) любой непустой набор ОТ идеалов кольца R содер-
содержит максимальный элемент, т. е. такой идеал, который не
содержится в качестве собственного подмножества ни в ка-
каком другом идеале из 9Г;
(c) любая возрастающая последовательность идеалов из
R стабилизируется, т. е. если I\ cz /2 cz ... — такая последо-
последовательность, то существует число N, для которого 1п = 1п+\
при п> N.
1.2.2. Теорема (теорема Гильберта о базисе). Если коль-
кольцо R нётерово, то и кольцо полиномов R[T] нётврово.
Доказательство см. у Ленга [1, гл. VI, § 2].
1.2.3. Следствие. Алгебра S нётерова.
1.2.4. Нули идеалов алгебры S. Пусть / — идеал алгебры
5. Вектор yel/ называется нулем идеала /, если f(v)=O
для всех / е /.
1.2.5. Теорема (теорема Гильберта о нулях), (i) (первая
форма). Любой собственный идеал I алгебры S имеет нуль;

1.3. Топология Зарисского на пространстве V 13
(и) (вторая форма). Пусть I — идеал алгебры S и fe
gS — такая функция, что f(v)=O для всех нулей v идеала
I. Тогда существует такое целое число m ^ 1, что fm e /.
Доказательство см. у Ленга [1, гл. X, § 2] (*).
1.3. ТОПОЛОГИЯ ЗАРИССКОГО
НА ПРОСТРАНСТВЕ V
1.3.1. Для любого идеала / алгебры S обозначим через
ТA) множество его нулей. Тогда
(a)
(b) IczJ^r(I)zDT(J);
(c) T(l[\J) = T(l)\]T(J)\
(d) если (/a)as4 — некоторое множество идеалов и
2 /a — идеал, образованный всевозможными суммами
вида 2 /а, где /а е /а и /а = 0 для всех индексов а, за
аеЛ
исключением конечного числа, то
Г( £ 1а) = П ТAа).
\ae A / as Л
Доказательство см. у Ленга [1, гл. X, § 3] (**).
Из (а), (с) и (d) следует, что на V имеется топология
с системой замкнутых множеств УA), где / пробегает идеа-
идеалы алгебры 5 (проверьте это). Она называется топологией
Зарисского.
1.3.2. Упражнения. A) Топология Зарисского удовлетво-
удовлетворяет аксиоме Т\, т. е. в этой топологии точки замкнуты.
(*) Другое название этой теоремы — теорема Гильберта о корнях, см.
Зарисский и Самюэль [1, т. 2, гл. VII, § 3]. Простое и короткое доказа-
доказательство для случая, когда k — поле комплексных чисел, см. у Мамфорда
[1, § 1А]. Предположение об алгебраической замкнутости поля k в этой
теореме является существенным: например, если k — поле вещественных
чисел, то (i) идеал, порожденный функцией f* + 1, не имеет в V нулей;
(И) единственным нулем идеала /, порожденного функцией f|+ ... + fn>
является 0, и, хотя функция fi также обращается в нуль в 0, функция fm
ни при каком целом m ^ 1 при п ^ 2 не лежит в /. Однако утверждение
теоремы останется справедливым для любого поля k, если соответствую-
соответствующим образом изменить определение нуля идеала, см. Зарисский и Са-
Самюэль [1], Ленг [\]. — Прим. перев.
(**) В левой части формулы (с) пересечение идеалов / и / можно за-
заменить на их произведение /•/. — Прим. перев.

14 Гл. 1. Введение
B) Если dimK=l, то замкнутые в топологии Зарис-
ского множества — это в точности конечные множества.
C) Если V и k снабдить топологией Зарисского (k здесь
рассматривается как одномерное векторное пространство над
fe), то любая функция /eS будет непрерывной.
1.3.3. Для любого подмножества X пространства V опре-
определим идеал & (X) алгебры 5 с помощью формулы
Если / — идеал алгебры 5, то обозначим через у/ идеал,
состоящий из всех функций fsS, некоторая степень кото-
которых лежит в / (проверьте, что это действительно идеал).
1.3.4. Предложение, (i) Т(ЗГ(Х)) = X, где через К обо-
обозначено замыкание подмножества Х\ (ii) & (T(I)j = У/.
Из определений следует, что YBf(X)) замкнуто и содер-
содержит X. Чтобы доказать (i), нам нужно лишь показать, что
любое замкнутое множество Т{1), содержащее X, содержит
также и YBf(X)). Но это действительно так: если XczY(I),
то f(X) = 0 для всех функций / е /, поэтому / с= 3 (X) и
A)Х))
()
Утверждение (ii) по существу является записью второй
формы теоремы Гильберта о нулях в виде одной формулы.
1.3.5. Упражнения. A) Отображение /ь—>ТA) является
биекцией семейства всех идеалов / алгебры 5, обладающих
свойством / = У /, на семейство всех замкнутых подмно-
подмножеств пространства V.
B) Любое непустое семейство замкнутых подмножеств
пространства V содержит минимальный элемент.
1.3.6. Неприводимость. Топологическое пространство X
называется приводимым, если в нем существуют такие не-
непустые замкнутые подмножества Х\, Х2, что X = Х\ (J Х2,
Х\ фХ, Х2 ф X. В противном случае оно называется непри-
неприводимым.
Эквивалентным образом, X называется неприводимым,
если любые два его непустых открытых подмножества имеют
непустое пересечение.
Мы используем эти понятия для подмножеств X с= 1/, на-
наделенных топологией, которая индуцирована топологией За-
Зарисского пространства V.
1.3.7. Предложение. Замкнутое подмножество X с= V не-
приводимо тогда и только тогда, когда Э (X) — простой
идеал.

1.3. Топология Зарисского на пространстве V 15
Пусть l = 2f(X). Предположим, что X неприводимо.
Пусть /ь f2eS, fif2e= I. Если Xt= {v e= X\U(v) = 0}, то
X = X! U j2. Ввиду предположения о неприводимости одно
из множеств Xi совпадает с X, а это означает, что одна из
функций ft лежит в /. Следовательно, / — простой идеал.
Предположим, что / — простой идеал, и пусть X =
= Х\ U Х2, где Xi — непустые собственные замкнутые под-
подмножества. Из 1.3.4 (i) следует, что Э (Xi) Ф Э (X). Пусть
ft (ее &(Xi) —&{Х). Тогда /if2 е /, но /ь /2 ф I. Противоречие.
1.3.8. Следствие. Пространство V неприводимо (*).
1.3.9. Следствие. Любое непустое открытое подмножество
U с: V является плотным, т. е. О = V.
Подмножества U и V — О пространства V открыты и
имеют пустое пересечение. Ввиду неприводимости V одно из
них должно быть пустым; следовательно, £7=1/.
1.3.10. Аффинные алгебраические многообразия. Пусть
X с: V — замкнутое подмножество. Такое множество (с то-
топологией, индуцированной топологией Зарисского на V) на-
называется также аффинным алгебраическим многообразием.
Ограничения на X функций из 5 образуют алге(бру функций
на X со значениями в k, которая обозначается через Sx. Она
изоморфна факторалгебре S/3f(X). Из предложения 1.3.4 (i)
следует, что существует биекция множества X на множество
всех гомоморфизмов й-алгебр Sx -> k (**).
Если gi — ограничение на X функции f/ из п. 1.1.1, то
Sx = k[gu • • •, gn] (функции gu ..., gn являются образую-
образующими й-алгебры Sx, но, вообще говоря, алгебраически зави-
зависимы).
(*) Алгебра S изоморфна алгебре полиномов k [Гь ..., Тп] (см.
п. 1.1.1) и, следовательно, не имеет делителей нуля. А это и означает, что
идеал У(V) = {0} прост. — Прим. перев.
(**) Эта биекция строится следующим образом. Пусть х ^ X — произ-
произвольная точка. Сопоставив каждой функции f e Sx ее значение в х, мы
получим гомоморфизм ^-алгебр Sx ~^ k\ обозначим его через (рх. Пусть я:
S->• Sx — гомоморфизм взятия ограничения функций на X и gi = n(fi), см.
п. 1.1.1. Если х = ххех -J- ... -f- xnen, то yx(gi) = xi и, значит, из ср* = ф^
вытекает х = у. Рассмотрим теперь произвольный гомоморфизм ^-алгебр
ф: Sx-^-k и обозначим через х точку (y(g\))e\ + ... + (q)(gn))en. Тогда
(Ф°я)№) = y(gi) =ft(x). Поскольку функции fu ..., fn порождают S,
это означает, что ф ° я совпадает с гомоморфизмом S ->■ k, определенным
взятием значения функций из 5 в точке х. Но & (X) а Кег ф ° я, поэтому
мы получаем, что х е Т C (X)). Ввиду предложения 1.3.4 (i) и замкнуто-
замкнутости X отсюда следует, что х & X. Теперь заметим, что <$x(gi) = ф(£*)- По-
Поскольку функции gt порождают Sx, это означает, что ф = фж. Таким об-
образом, доказано, что отображение х -> ф* является биекцией множества X
на множество всех гомоморфизмов ^-алгебр Sx -^ k. — Прим. перев.

16 Гл. 1. Введение
Пусть V — другое конечномерное векторное пространство
над k и X' с: V — замкнутое подмножество. Положим S' =
= S(V).
Пусть ф: X -> X' — отображение. Если /' — функция на
X' со значениями в £, то следующее равенство определяет
функцию Ф*(П на X со значениями в k:
Отображение ф называется морфизмом аффинных алге-
алгебраических многообразий, если q>*(S'x')czSx. В этом случае
Ф* является гомоморфизмом ^-алгебр S'x'->Sx. Поскольку Sx
определяет X (см. выше), любой ^-гомоморфизм S'x'->Sx
имеет вид ф* (проверьте это).
Конкретнее морфизмы можно описать следующим обра-
образом. Пусть (ei)l<i<n и (е/I</</г/ — базисы пространств V и
V, ft и f't — соответствующие линейные функции, определен-
определенные в п. 1.1.1, и gv gy— их ограничения на X и X'. Тогда
Если ф — морфизм, то существуют полиномы
k [Ти ..., Тп], для которых
Иными словами, в этом случае координаты вектора <p(v) яв-
являются полиномами от координат вектора v. Верно также
обратное утверждение.
1.4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
1.4.1. Пусть E(V) = E — векторное пространство всех
^-линейных отображений пространства V в себя (если фикси-
фиксировать в V базис, то это векторное пространство всех п X
X /г-матриц). Тогда группа OL(V) является открытым в то-
юлогии Зарисского подмножеством пространства £, а имен-
ю дополнением к замкнутому подмножеству, определенному
условием det(g)= 0. Нам бы хотелось рассматривать GL(V)
как аффинное алгебраическое многообразие. Это можно сде-
сделать, отождествив GL(V) с замкнутым подмножеством п2 -(-
+ 1-мерного векторного пространства Е X £> состоящим из
тех пар (#, х), для которых xdet(g)=l. В дальнейшем
{}L(V) .всегда считается наделенной структурой аффинного
алгебраического многообразия с помощью указанного отож-
отождествления.

1.4. Алгебраические группы 17
1.4.2. Определение. Линейной алгебраической группой на-
называется любая замкнутая подгруппа какой-либо GL(V) B).
1.4.3. Упражнение. Положим GLn(k)= GL(kn) и будем
рассматривать GLn(k) как группу всех невырожденных п X
X /г-матриц X = {хц) с коэффициентами в k. Ясно, что GLn(k)
является линейной алгебраической группой (она рассматри-
рассматривается как подгруппа в GLn(k)).
Докажите, что следующие подгруппы группы GLn{k) яв-
являются линейными алгебраическими группами:
(a) группа SLn(k) всех п X /г-матриц с определителем 1;
(b) ортогональная группа On(k) ={Xg GLn(k) \XJX = 1},
где через *Х обозначена транспонированная матрица Х\
(c) специальная ортогональная группа SOn{k)=SLn(k) f|
ПО„(£);
(d) группа Тп всех диагональных п X я-матриц (п-мер-
ный тор)]
(e) группа всех верхних треугольных п X я-матриц;
(f) любая конечная подгруппа.
1.4.4. Пусть G a GL(V) —линейная алгебраическая груп-
группа. Снабдим GL(V) и G топологией, индуцированной тополо-
топологией Зарисского пространства Е X k (см. п. 1.4.1). Из опре-
определений вытекает, что отображения g^->g"~\ g*—>ag и gt—>
*—> ga (a — фиксированный элемент) группы G на себя яв-
являются гомеоморфизмами топологического пространства G.
Тем не менее линейная алгебраическая группа, вообще гово-
говоря, не является топологической группой, т. е: отображение
GyCG-* G, (g, h)*—>gh, не обязано быть непрерывным (*).
1.4.5. Упражнение. Докажите, что отображение G
X GL\(k) -+GL\(k), (g, /i)i—>gh, не непрерывно.
1.4.6. Лемма. Пусть G — произвольная подгруппа группы
GL(V). Тогда ее замыкание G (в GL(V)) также является
группой.
Пусть a^G. Из сказанного в 1.4.4 следует, что aG —
замкнутое подмножество, содержащее G, так что G a aG.
Аналогично, О с: a-lG, или aGczG, и_ потому aG — О и
Gg = G. Похожим рассуждением с а е G доказывается, что
GG = G. Кроме того, (С/)"" = G (проверьте это). Следова-
Следовательно, G является подгруппой группы GL(V).
(*) Имеется в виду, что G X G снабжено топологией произведения.
В теории алгебраических групп, однако, G X G снабжают другой тополо-
топологией — так называемой топологией Зарисского произведения, см. Хэмфри
[1], — относительно которой указанное отображение уже будет непрерыв-
непрерывным. — Прим. перев.

18 Гл. 1. Введение
ХАЛ. В теории инвариантов изучают алгебры вида SG
(см. 1.1.2). Из 1.4.6 вытекает, что SG = SG (проверьте это).
Следовательно, достаточно изучать теорию инвариантов
лишь линейных алгебраических групп.
1.4.8. Представления. Пусть G — произвольная группа;
представлением группы G в конечномерном векторном про-
пространстве W над полем k называется любой гомоморфизм
р: G-+GL(W).
Если G c= GL(V)—линейная алгебраическая группа, то
полиномиальным, или рациональным представлением группы
G в W называется гомоморфизм G -> GL(W), являющийся
одновременно морфизмом аффинных алгебраических много-
многообразий. Это означает, что в фиксированных базисах про-
пространств V и W матричные координаты преобразования p(g)
являются полиномами от п2 + 1 матричных координат пре-
преобразования g (если dim V = п) (*).
1.4.9. Примеры, (a) G = SL2(k). Пусть G действует как
группа автоморфизмов алгебры полиномов R = k[X, У] от
(а Ъ\
двух переменных: если I , I e G, то существует един-
(а Ъ\
ственный автоморфизм р I , I алгебры Ry для которого
а ЬХ~Х
by1
d
y1
) (Y) = cX + dY(**).
Согласно п. 1.1.1, алгебру R можно так отождествить
с алгеброй S{k2) полиномиальных функций на двумерном
координатном пространстве k2, что X и У станут координат-
координатными функциями в каноническом базисе ei = A, 0), е2 =
(*) Напомним (см. п. 1.4.1), что G отождествляется с замкнутым под-
подмножеством в EXk a E (при фиксированном базисе в V)—с простран-
пространством всех п X «-матриц. Поэтому преобразование g e G отождествляется
с парой ((Xi,), х), где (хц) есть п X «-матрица, а х- det (хц) = 1. Эле-
Элементы xij и х поля k и называются здесь матричными координатами пре-
преобразования g (для p(g) определение аналогично). Таким образом, мат-
матричные координаты преобразования p(g) должны быть полиномами от хцу
1 /, / ^ я, и det (Xij)~l. — Прим. перев.
и р(Л)
(**) Иначе говоря, если^ bA=A g SL2 (k), то р(А)(Х) =dX — bY
(У) =—cX + aY. Легко проверить, что действительно р(АВ)
р(Л)р(В) для любых Л, В f=SL2(k). — FIpuM. nepee.

1.5. Примеры алгебр инвариантов 19
= (О, 1) (т. е. X(xei+ye2)=x и Y (хе\ + уе2) = у). Фор-
/а Ь\
мула | dJ (хе{ + уе2) = (ах + by) ех + (сх + dy) e2 опреде-
определяет линейное действие группы SL2(k) на k2; легко прове-
проверить, что индуцированное действие (см. п. 1.1.2) группы SL2
на S(k2) совпадает с рассмотренным выше действием SL2(k)
на R.
Пусть Rd<^:R — подпространство размерности rf+1, со-
состоящее из всех однородных полиномов степени d. Мономы
Xd, Xd~]Y, . .., Yd образуют базис пространства Rd. Подпро-
Подпространство Rd инвариантно относительно преобразования p(g),
и, следовательно, мы получаем представление р^ группы
SL2(k) в Rd. Это рациональное представление.
(Ь) Группа G a GL(V) конечна. Тогда любое представ-
представление р: G-> GL(W) рационально. Это вытекает из следую-
следующей леммы (проверьте):
1.4.10. Лемма. Пусть F — произвольное конечное подмно-
подмножество пространства V и ср: F ->• k — любое отображение.
Тогда существует такая функция /eS, что ее ограничение
на F совпадает с ф.
Доказательство леммы. Пусть F = {v\f ..., vs}
Используем индукцию по s, начиная с s = 0. Достаточно до-
доказать лемму для случая, когда отображение ср имеет спе-
специальный вид <p(im) = 1, ф(Уг) = . .. = q>(vs) = 0. По пред-
предположению индукции существует такая функция f e 5, что
f(v\) = 1, f'{v2) = ... =f'(vs-i) =0. Поскольку Vs¥=vu су-
существует такая линейная функция / на V, для которой l()^
Ф l(vs). Тогда функция
является искомой.
1.5. ПРИМЕРЫ АЛГЕБР ИНВАРИАНТОВ
1.5.1. Пусть G — такая же группа, как и в п. 1.1.2. Мно-
Множество
O(v) = {g-v\g<sG}, где ogF,
называется G-орбитой вектора v (в дальнейшем оно иногда
обозначается и через G-v). Из определений следует, что ог-
ограничение любой функции / е SG на орбиту О (v) является
константой. Следовательно, алгебру SG можно рассматривать
как алгебру функций на множестве орбит группы G в V (8).

20 Гл. 1. Введение
1.5.2. Пример. Если G = QL(V), то имеются только две
различные G-орбиты, а именно {0} и V— {0}. Если [gS°,
то ограничение функции / на непустое открытое множество
V— {0} является константой; поэтому и сама функция f яв-
является константой'(ввиду следствия 1.3.9). Значит, SG = k.
1.5.3. Упражнение. Пусть
G = SL(V)= {ge= GL(V)\det(g) = 1};
положим I/ft = У X . • • X ^ (ft раз). Группа G действует на
Vh по правилу
Докажите следующие утверждения:
(a) если ft < п, то S(Vn)Q = *;
(b) если ft = n, то существует такой нетривиальный ин-
инвариант f, что f(v\, ..., vn) = det (t;b ..., vn), где векторы vi
рассматриваются как вектор-столбцы своих координат в не-
некотором фиксированном базисе, и S(Vn)G = k[f] D). (Указа-
(Указание: воспользуйтесь тем, что множество Wh = {{v\, ..., Vh)^
^Vh\v\, ..., Vh линейно независимы} при ft ^ n открыто,
а при h <C n является орбитой группы G.)
1.Б.4. Пусть (et)i<*<rt— какой-нибудь базис простран-
пространства У. Тогда существует такое действие симметрической
группы ©п на V, что
С помощью изоморфизма ф из п. 1.1.1 алгебра S®n отождест-
отождествляется с подалгеброй А из k[T\, ..., Тп], состоящей из всех
симметрических полиномов, т. е. таких полиномов F, что
F(T\, ..., Тп) = F (ТоA), ..., То(п))
для всех а е @я.
Определим элементарные симметрические полиномы
F\, ..., Fn равенством
Fi(T\, ..., Тп)= 2-» ThTh ... 7"л;;
1<A,<...<Aj<* ! 2 '
таким образом,
(С/+ГО... ([/ + г.) = С/'г + ^1С/'г-1+ ... +Frt. A)
Известно (Ленг [1, гл. V, § 9]), что
A = k[Fl9..., Fn]
(полиномы Fi, ..., Fn алгебраически независимы). Поэтому
аналогичный результат справедлив и для S@rt.

1.5. Примеры алгебр инвариантов 21
1.5.5. В следующем примере мы рассмотрим действие
группы G = GL(V) на пространстве Е всех ^-линейных ото-
отображений пространства V в себя, определенное формулой
g • а = gag (g<^G, a<= E).
Это действие является, как легко видеть, рациональным пред-
представлением группы G в Е. Определим элементы <Ji, -. • > <*п
алгебры S(E) с помощью следующего равенства:
det (/ • 1 - а) = Г - <х, (а) f~x +...+(-1)" ап (а). B)
Отметим, что t является собственным значением преобразо-
преобразования а, если (и только если) правая часть в B) равна 0.
Без труда проверяется, что а* являются инвариантами группы
G, т. е. лежат в S(E)G.
1.5.6. Лемма. Множество U тех элементов из Е> которые
имеют п различных собственных значений, открыто и плотно
вЕ.
Множество U непусто, поэтому если оно открыто, то оно
и плотно ввиду следствия 1.3.9. Полином Ц {Tf—TtJ
из А[7*1, ..., Тп] является симметрическим, поэтому суще-
существует такой полином D от п переменных, что
П
Tt-T,)* = D(FU ..., Fn).
Теперь, сравнивая формулы A) и B), мы видим, что преоб-
преобразование а имеет п различных собственных значений тогда
и только тогда, когда
Следовательно, U открыто.
п
(*) Подробнее: пусть tn-ax (a) tn~x + ... + (-\)поп (а) = Д(/- /,),
/«1
где /i, .., tn — полный набор собственных значений преобразования а
п
(с кратностями). Из формулы B) следует, что JJ (/ — t^ == tn — F{ (/j, ...
•••>'«K~l+...+(-l)"M'l У- Поэтому ot(a) =Ft(tu ..., tn)t
is=l * значит, П (*i - 4? - D (Fi (>l 'it). • • - Fn (*i> ' • •
l <*</</*
..., tn)) = D (at (a) an (а)) (ясно, что Д (tt - if Ф 0
1 <i<j<
тогда и только тогда, когда все tu - • •» ^л различны). Полином D назы-
называется дискриминантом, см. Ленг [1, гл. V, § 9]. — Прим. перед.

22 Гл. 1. Введение
1.5.7. Теорема. S(E)G = k[au ..., ая].
Ясно, что /г[аь ..., а«] aS{E)G. Зафиксируем некоторый
базис {ei){ < .<п пространства V\ пусть А — множество всех
линейных преобразований, диагональных в этом базисе.
Ввиду плотности множества U из п. 1.5.6 любая функция
f^S(E) определяется своим ограничением на U. Поскольку
для всякого линейного преобразования а с п различными
собственными значениями существует такой элемент g e G,
что gag~l e Л, любая функция f^S(E)G полностью опре-
определяется своим ограничением на A f| U, а потому и на А.
Однако это последнее ограничение является инвариантом
симметрической группы @„ (действующей, как в п. 1.5.4).
Теорема вытекает теперь из сказанного в п. 1.5.4 (*).
1.5.8. Упражнения. A) В ситуации п. 1.5.5 равенство
O{a) = {x*=-E\oi{x) = oi{a), 1</</г}
выполнено тогда и только тогда, когда а имеет п различных
собственных значений.
B) Рассмотрим ситуацию из п. 1.4.9(а). Опишите орбиты
группы p2EL2) в пространстве /?2-
Примечания
A) A.1.2) Более общо, можно рассматривать (в обозначениях п. 1.1.2)
^-алгебры вида Л = S/I, где / — инвариантный относительно G идеал ,в S.
В этом случае G действует на Л как группа автоморфизмов и можно изу-
изучать структуру алгебры инвариантов А°. Такая ситуация и в самом деле
встретится нам в разд. 2.4.
(*) Множество Л является линейным пространством над k с базисом
(fl/)i<t<M' где ai-ei = Siiei- Очевидно, oaia~l = aG^ для любого эле-
элемента а группы <5п (рассматриваемой как подгруппа в G, см. п. 1.5.4).
Следовательно, Л инвариантно относительно <5П и, значит, сужение на А
всякого G-инварианта является элементом алгебры 5 (Л) п. С другой сто-
стороны, Oi(a), a^E, являетсяЧ'-й симметрической функцией от собственных
значений преобразования а (см. прим. перев. к доказательству лем-
леммы 1.5.6), а при йеД указанные собственные значения — это координаты
преобразования а в базисе (ai)\^i<^n- Ввиду п. 1.5.4 отсюда следует, что
ограничения функций а», 1 ^ / ^ п, на А порождают 5 (А) п, и, значит,
сами функции а/, 1 ^ i ^ п, порождают S(E)G. Тем самым, между про-
прочим, доказано, что гомоморфизм 5 (Е) -> S (А) п' определенный взятием
ограничения функций на Л, является изоморфизмом (и, в частности,
0ь ..-, вп алгебраически независимы). Лежащая в основе доказательства
этой теоремы идея замены инвариантов «большой» группы инвариантами
«маленькой» группы (которые в принципе легче контролировать) исполь-
используется при доказательстве ряда классических результатов теории инвариан-
инвариантов, обобщающих теорему 1.5.7; см. примечание 1 в дополнении З. — Прим.
перев.

Примечания 23
Другое обобщение нашего определения инварианта состоит в сле-
следующем. Предположим, что задано также некоторое представление р:
G->• GL(W). Тогда можно рассматривать инварианты группы p(G) в ал-
алгебре S(W). В более ранних работах их называли (кон)комитантами
группы G.
Если в качестве G взять SL(V), а в качестве р — каноническое пред:
ставление группы G в S(V)d, то конкомитанты называются инвариантами
форм степени d. Если G = SL(V), a p — каноническое представление
группы G в S(V)a(BV, то, согласно классической терминологии, конкоми-
конкомитанты называются ковариантами форм степени d. По поводу истории воп-
вопроса см. Мейер [2, стр. 325].
B) A.4.2) О теории линейных алгебраических групп см. Борель [1] или
Хэмфри [1]. Из этой теории нам понадобится лишь весьма немногое. Опре-
Определение 1.4.2 использует вложение в некоторую группу GL(V). Можно,
однако, дать и внутреннее определение линейной алгебраической группы
(см. указанные работы). Более глубокие результаты о линейных алгебраи-
алгебраических группах относятся главным образом к теории полупростых групп,
которой мы здесь не занимаемся. В теории инвариантов эта теория ис-
используется в доказательстве теоремы о редуктивности полупростых групп,
которое было дано Хабоушем (в гл. 3 мы докажем эту теорему в про-
простейшем случае группы SL2(k)), а также в доказательстве теоремы Гиль-
Гильберта — Мамфорда (подробнее об этой теореме см. в примечании 8 к
гл. 2) (*).
C) A.5.1) (а) Можно попытаться использовать алгебру SG для того,
чтобы снабдить дополнительной структурой множество орбит. Возможность
такого использования с успехом продемонстрировал Мамфорд, который по-
показал, как с помощью SG снабдить множество «хороших» орбит структу-
структурой алгебраического многообразия, если G — редуктивная группа (см.
Мамфорд [2]).
Отметим в качестве примера, поясняющего полезность алгебры SG,
следующее свойство: если G редуктивна (в смысле гл. 2), то элементы ал-
алгебры SG разделяют замкнутые орбиты (это вытекает из п. 2.4.8).
Нельзя, однако, ожидать, что структура множества орбит может быть
полностью описана алгеброй инвариантов, во всяком случае, с помощью
простой прямой конструкции. Это видно уже из примера 1.5.5. В самом
деле, как следует из п. 1.5.7, в этом случае все непостоянные однородные
инварианты обращаются в нуль на нильпотентных линейных отображениях
пространства Е. Поэтому инварианты не позволяют различить нильпотент-
ные орбиты. Отметим, что имеется несколько таких орбит и они описы-
описываются жордановыми нормальными формами нильпотентных отображений.
(Ь) Связь между инвариантами и орбитами была, по всей видимости,
обнаружена уже на ранних стадиях развития теории инвариантов в
XIX веке. Так, ясное понимание этой связи прослеживается, хотя и в част-
частном случае, в работе Аронгольда [1, стр. 282—283]. Эта связь видна и в
ранней работе Буля [1].
D) A.5.3) Если h>ti, то алгебра S(Vh)G также может быть пол-
полностью описана. Она порождена полиномами /|? определенными равенством
f{ (vx, ..., vh) = det (vt , ..., vt \ где i = (iu ..., in) — строго возрастаю-
(*) Автор упоминает лишь эти теоремы, по-видимому, ввиду их об-
общего характера и особой важности. Аппарат теории полупростых алге-
алгебраических групп и их представлений уже давно стал одним из наиболее
мощных средств современной теории инвариантов и используется для по-
получения многих результатов (например, результатов классификационного
характера). — Прим. перев,

24 Гл. 1. Введение
щая последовательность целых чисел из отрезка [1, п]. Это утверждение
составляет содержание «первой основной теоремы» теории инвариантов
для SL(V). Классическое доказательство в характеристике 0, использую-
использующее «тождество Капелли», см. у Вейля [1, гл. II]. Относительно подхода,
пригодного в любой характеристике, см. недавнюю работу де Кончини и
Прочези [1]. Там же можно найти доказательство (в любой характери-
характеристике) «второй основной теоремы» теории инвариантов для SL(V), в ко-
котором описано ядро гомоморфизма к [Хг] -> S (V^)G (где Х{ — независи-
независимые переменные), отображающего Xi в /j (*). По поводу литературы
тоже см. де Кончини — Прочези [1].
Цитируемая литература
Аронгольд [1], Борель [1], Буль [1], Вейль [1], де Кон-
Кончини— Прочези [1], Ленг [1], Мамфорд [2], Мейер [2],
Хэмфри [1].
(*) Вообще под «первой основной теоремой» теории инвариантов для
произвольной группы G cz GL(W) понимают утверждение о том, что ал-
алгебра инвариантов S(W)G имеет конечное число образующих, а под «вто-
«второй основной теоремой» — что между этими образующими имеется лишь
конечное число алгебраических соотношений, алгебраическими следствиями
которых являются все остальные соотношения (точнее, если hu ..., hm —
образующие алгебры S(W)G и q>: k [Th ..., Тт] -+S(W)G — эпиморфизм,
для которого ф(Г/) = Ы, i = 1, ..., m, то элементы Кег ф — это соотно-
соотношения между hu ..., hm, а «вторая основная теорема» —это утверждение
о существовании конечного числа образующих в идеале Кег ф; таким обра-
образом, эта теорема верна всегда, когда верна «первая основная теорема», и
является частным случаем общей теоремы Гильберта о базисе, см. п. 1.2.2);
см. Вейль [1, гл. II, § 2]. «Первая основная теорема» верна не для любой
группы G, см. примечание 2 к гл. 2. Таким образом, в рассматривающемся
в тексте случае группы SL(V) не просто доказаны «основные» теоремы, но
даже найден явный вид образующих и определяющих соотношений между
ними. — Прим. перев,

Глава 2. АЛГЕБРА ИНВАРИАНТОВ
Воспользуемся обозначениями гл. 1. Пусть G cz GL(V) —
линейная алгебраическая группа. Основной целью этой главы
будет обсуждение следующего вопроса: когда алгебра инва-
инвариантов S(V)G является конечно порожденной 6-алгеброй?
Другими словами, когда существуют такие инварианты fь ...
..., fs, что S{V)° = k[fu ..., Ы? В п. 2.4.9 мы установим
один общий результат, дающий положительный ответ на этот
вопрос для некоторого частного класса групп.
2.1. РЕДУКТИВНЫЕ ГРУППЫ
2.1.1. Определение. Линейная алгебраическая группа G
называется редуктивной, если для любого рационального
представления р: G -> GL(W) и любого вектора дое
е W— {0}, такого, что p(G)w = до, существует функция f ее
^S(W)G, обладающая свойствами f@) =0 и f(w) фО A).
Группа G называется линейно редуктивной, если существует
линейная функция /, обладающая указанными свойствами.
2.1.2. Замечания, (а) Мы получим эквивалентное опре-
определение, если потребуем существования однородной функ-
функции f^S(W)G, не являющейся константой, для которой
f(w) Ф0.
(Ь) Группа G редуктивна тогда и только тогда, когда
выполнено следующее условие. Предположим, что G дей-
действует (как группа линейных автоморфизмов алгебры поли-
полиномов k[Tu ..., Tm\) так, что
giZn(g)ft
и что представление G -> GLm{k), определенное формулой
g>—> (xti(g)), является рациональным. Если для всех g мы
имеем xn(g) = 1, xu(g) = 0 при i > 1 (так что, в частно-
частности, kT2 + ' " + kTm является G-инвариантным подпростран-
подпространством в kT\ + ... + kTm), то существует однородный инва-
инвариант fsk[Tu ..., Tm]° вида /==7f-+- .... В той же си-

26 Гл. 2. Алгебра инвариантов
туации G линейно редуктивна, если существует указанного
вида инвариант / степени d=\.
2.1.3. Упражнение. Докажите утверждение 2.1.2 (Ь). (Ука-
(Указание: сведите задачу к ситуации из п. 2.1.1, взяв за W про-
пространство, дуальное к kT{ + ... + kTm.)
2.1.4. Лемма. Предположим, что поле k имеет нулевую
характеристику. Тогда редуктивность группы G эквивалентна
ее линейной редуктивности.
Достаточно доказать, что из редуктивности вытекает ли-
линейная редуктивность. Если / и w такие же, как в п. 2.1.1,
и, кроме того, / — однородная функция степени d (см.
2.1.2(а)), то определим полиномиальные функции hiS)
с помощью равенства
d
Функция hi имеет степень / и является G-инвариантной.
Кроме того,
Следовательно, h\ линейна, G-инвариантна и h\(w) Ф О (по-
(поскольку char& = 0). Это и доказывает линейную редуктив-
редуктивность группы G.
2.1.5. Упражнение. Пусть char k = p > 0, и пусть группа
G редуктивна. Тогда в ситуации п. 2.1.1 наименьшая возмож-
возможная степень функции /, обладающей указанными в этом
пункте свойствами (относительно фиксированного вектора
w), является степенью числа р. (Указание: воспользуйтесь
соображениями из доказательства леммы 2.1.4.)
d
(*) Действительно, ]Г xlhi (v) = f (w + xv) = g • / (w + xv) =
= f (g-1 (w + xv)) = f (w + xg~*v) = ^ xlg- hi (v) для любых g^G,
i=o
d
x s /г. Поэтому hi = g- hi. Поскольку / однородна, J] xlht (w) =
d / rf \
= f (oy + д:оу) = A + x)d f (w) = V д:г ( . ) / (ш) и, следовательно, /г/ (оу) =
( , Jf (w). — Прим. перев.

2.2. Линейная редуктивность 27
2.2. ЛИНЕЙНАЯ РЕДУКТИВНОСТЬ
Проанализируем понятие линейной редуктивности более
подробно. Будем сейчас считать, что G — любая подгруппа
группы GLn(k) (не обязательно алгебраическая), а р: G ->•
-+GL(V) —ее представление. Мы будем говорить также, что
У является G-модулем.
2.2.1. Определение, (i) Представление р называется при-
приводимым, если существует такое подпространство W в У, от-
отличное от {0} и от У, что p(G)W = W. В противном случае
представление р называется неприводимым.
(и) Представление р называется полупростым, если для
любого p(G)-инвариантного подпространства №в У существует
p(G)-инвариантное дополнительное подпространство W (т.е.
такое подпространство W\ что У = W + W и W П UP7 = {0}).
Если представление р неприводимо, то мы будем также
называть У неприводимым G-модулем или неприводимым
пространством.
2.2.2. Лемма (лемма Шура). Пусть р — неприводимое
представление. Если t — линейное преобразование простран-
пространства У, коммутирующее со всеми преобразованиями p(g)
(g e G), то t — умножение на скаляр.
Пусть а — собственное значение преобразования t и W =
= {v ^ V\tv = av}. Тогда W—ненулевое и инвариантное
относительно p(G) подпространство (ввиду указанного свой-
свойства преобразования t). Значит, У = W, так как р неприво-
неприводимо, что и доказывает лемму.
2.2.3. Упражнение. Докажите эквивалентность следую-
следующих свойств представления p. G -*■ GL(V):
(a) Для любого неприводимого p(G)-инвариантного под-
подпространства W в У существует p(G)-инвариантное допол-
дополнительное подпространство.
(b) Представление р полупросто.
(c) Пространство У является прямой суммой p(G)-HHBa-
риантных неприводимых подпространств. (В этом случае го-
говорят, что пространство У вполне приводимо.)
(Указание: используя индукцию по dim У, проводите до-
доказательство в следующем порядке: (а)=ф(Ь):Ф(с)=ф(а).)
2.2.4. Предложение. Линейная алгебраическая группа
G a GLn {k) является линейно редуктивной тогда и только
тогда, когда любое ее рациональное представление полу-
просто.

28 Гл. 2. Алгебра инвариантов
Пусть р: G -> GL(V) — рациональное представление гругь
пы G. Предположим сначала, что р полупросто. Пусть w —
вектор, указанный в определении 2.1.1. Существует р(О)-ин-
вариантное дополнительное подпространство W к p(G)-HH*
вариантному подпространству kw. Пусть / — линейная функ-
функция на У, множество нулей которой совпадает с W. Тогда /
инвариантна относительно G (проверьте это) и {(га>)Ф0.
Этим доказана та часть предложения, которая касается до-
достаточности указанного условия.
Пусть теперь, обратно, G — линейно редуктивная группа,
a W — инвариантное относительно p(G) подпространство в
V. Предположим, что W ф {0} и W ф V. Пусть р — пред-
представление G в V/W, определенное представлением р; это ра-
рациональное представление (проверьте). Пусть # =
= Hom(V/W, V)—пространство всех линейных отображе-
отображений из V/W в V. Определим рациональное представление а
группы G в Н с помощью формулы
Ш ■ Л) (х) = 9(g)h (р (§Г1 -х) (х е= V/W).
Обозначим через р проекцию V-+V/W и рассмотрим такой
элемент seff, что ps = id (таким образом, s(V/W) являет-
является подпространством, дополнительным к W, хотя и не обяза-
обязательно p(G)-инвариантным).
Пусть Н\ — подпространство в Я, порожденное всеми эле-
элементами o{g)-s, а Н{ — подпространство, порожденное всеми
элементами o(g)-s — s (где g пробегает группу G, a s фи-
фиксировано). Поскольку
(проверьте это), то h(V/W)cz W для всех ЛеЯ! и потому
s&H'i и Н\ФН\. Пусть / — линейная функция на Ни мно-
множество нулей которой совпадает с Н[ (легко видеть, что Н\ =
@)
Подпространство Н\ в Н инвариантно относительно всех
преобразований o(g); обозначим через т (рациональное)
представление группы G в пространстве #1, дуальном к Н\.
Поскольку o(g)'S — seffj для всех gsC, то <x(g)*l = l
(g e G) (*). Ввиду линейной редуктивности группы G суще-
существует линейная функция на #*, т. е. элемент s' пространства
(*) Действительно, a (gi) • (a (g2) -s — s)=e (gxg2) • s — о (g{) • s =
=(cr (g{g2) • s—s)—(a (S\) •s ~ s) s Щ Для любых gh g2 e G\ поэтому H[
инвариантно относительно o(G). Поскольку произвольный элемент из Hi
имеет вид х + as, где х е Щ, a e ky а функция / линейна, мы получаем,
что x(g) -l(x + as) = l(a(g) x) + al(s) = at(s] - l(x + as), т. е.
()./ я=в /. — Прим. перев.

2.3. Примеры 29
, такая, что <r(g)-s/ = s/, /(s'J^O. Но тогда W =
) является p(G)-инвариантным подпространством,
дополнительным к 1^ (*).
2.3. ПРИМЕРЫ
2.8.1. В гл. 3 мы докажем, что группа SL2(k) редуктивна.
На самом деле имеет место более общий результат, теорема
Хабоуша (см. Хабоуш [1]), согласно которой любая полу-
полупростая линейная алгебраическая группа редуктивна. Этот
результат применим, в частности, и к группе SLn{k). Доказа-
Доказательство упомянутой выше теоремы требует знания теории
представлений полупростых групп, на которой мы здесь не
останавливаемся. (Понятие полупростой линейной алгебраи-
алгебраической группы вводится вне зависимости от понятия полу-
полупростого представления, рассмотренного в п. 2.2.1 (**).)
2.3.2. Предложение. Пусть G a GLn(k)—конечная груп-
группа. Тогда
(i) группа G редуктивна;
(ii) если char k = p>0upne делит порядок \О\ группы
G, то эта группа линейно редуктивна.
Отметим сначала, что G — линейная алгебраическая груп-
группа и что все ее представления рациональны (см. п. 1.4.9 (Ь)).
Пусть р: G -+ GL(W)—какое-нибудь представление.
Предположим, что w — вектор, указанный в определении
(*) Действительно, пусть #е V/W и g e G; так как s'= o(g~l)-s',
то s'(x) = o(g-l)-s'(x) = p(g)~l'S'(p(g)-x) и, значит, p(g)-s'(x) =
== s'(p(g)-*) ^s'(V/W). Это показывает, что s'(VIW) инвариантно отно-
п
сительно p(G). Далее, поскольку s'eft, мы имеем s' — ^ aia (8i)' s
для некоторых а* е k, gt& G, i = 1 п. Пусть х е V/W; тогда
п п
ps' (х) = £а.р (р (gi). s (р (я,) х)) = 2 а.Р (St) ' Ps (p (gtyl *) -
п
= Уад (так как ps = id), т. е. ps'= ]TV id. Но У а Ф 0 (в противном
п п
случае мы имели бы s' = J] a^a (gr£) • s = J] О/ (а (g,) • s — s) s Я(, что
невозможно, поскольку /(s') =#= 0). Следовательно, s'{VjW) —дополнитель-
—дополнительное подпространство к W. — Прим. перев.
(**)Если ограничиться рассмотрением связных линейных алгебраиче*
ских групп в случае char k = 0, то полупростые группы могут быть опре-
определены как группы, каждое рациональное представление которых полу-
полупросто, а каждое одномерное представление тривиально, см. Нагата [4].—
Прим, перев,

30 Гл. 2. Алгебра инвариантов
2.1.1; обозначим через / линейную функцию на W> для кото-
которой l(w) Ф0. Положим
/= П (*•/)•
gE G
Тогда
geG geG
так что / обладает указанными в 2.1.1 свойствами. Это дока-
доказывает утверждение (i).
Пусть теперь число р обладает указанным в формулиров-
формулировке утверждения (и) свойством. Положим
p = \g\-1 £ p(g).
Тогда Р — линейное преобразование пространства W, ком-
коммутирующее со всеми преобразованиями p(g"), и Р2 = Р. По-
Положим
где i = 0, 1. Тогда пространство W является прямой суммой
p(G)-инвариантных подпространств Wo и W\. Кроме того,
поэтому w e W\. Пусть W\ — дополнительное к kw под-
подпространство в W\. Тогда Wo + W[ — инвариантное относи-
относительно p(G) дополнительное к kw подпространство. Если
f — линейная функция на W, множество нулей которой со-
совпадает с Wo + W'u то f обладает указанными в определении
2.1.1 свойствами. Поэтому группа G линейно редуктивна.
В следующем примере мы рассмотрим подгруппу Тп = Т
группы GLn(k), состоящую из всех невырожденных диаго-
диагональных матриц. Ясно, что Т является линейной алгебраи-
алгебраической группой. Всякая линейная алгебраическая группа,
изоморфная (**) группе Тп для некоторого п, называется
алгебраическим тором.
2.3.3. Предложение. Группа Т линейно редуктивна.
Пусть р: Т-> GL(W)—какое-либо рациональное пред-
представление. Пусть (ёГ — какая-нибудь диагональная ма-
(*) Действительно, ясно, что правая часть равенства содержится в ле-
левой; обратное включение вытекает из того, что p(g)P = Р для любого
g gG: если х е Wu то Р-х = х и p(g)-# = p(g)P-x = P-x = х. — Прим.
перев.
(**) Изоморфизм здесь понимается в смысле теории алгебраических
групп, а именно как такой изоморфизм абстрактных групп, для которого
он сам и его обратный являются морфизмами алгебраических многообра-
многообразий, см. Борель [1], Хэмфри [1] —Прим. перев,

2.3. Примеры 31
трица diag(xi, ..., хп) с х^фО. По определению рациональ-
рационального представления матричные элементы преобразования p(t)
в некотором фиксированном базисе пространства W являются
линейными комбинациями произведений х\х ... хапп, где at e
е Z. Для любого фиксированного набора (аи • • • > вп) функ-
функция х на Г, заданная формулой % (/) = хахх ... ***, определяет
рациональное представление Т-> GL\(k). Такая функция х
называется рациональным характером тора Т. Следователь-
Следовательно, можно написать
£ (о^с. A)
где х пробегает конечное множество S рациональных харак-
характеров тора Т, а Аг является некоторым линейным преобразо-
преобразованием пространства W.
Но Р(«')=Р@рЮ и х(«/)=Х(Ох(^/). поэтомj
Отсюда ввиду линейной независимости характеров (см. Ленг
[1, стр. 238] (*)) вытекает, что
%(t)A%= S *'@АсЛ-
Аналогичным образом отсюда мы получаем, что
Ау!Аг = 0 при у/ =?*= х,
4 = А%> B)
(Последнее равенство получается из A) с помощью под-
подстановки t = id.) Положим W% — AXW. Из B) вытекает
(проверьте), что пространство W является прямой суммой
подпространств I^x(xgS), что пространства W% инва-
инвариантны относительно всех преобразований р(/) и что огра-
ограничение преобразования р(/) на пространство Wx является
оператором умножения на скаляр %(t).
Если теперь ay£li/-{0}, p(T)w = w, то weW\ (где
индекс 1 соответствует тривиальному характеру 1 тора Т).
(*) Имеется в виду теорема Артина о том, что различные гомомор-
гомоморфизмы моноида G в мультипликативную группу поля k линейно незави-
независимы над k. — Прим. перев.

32 Гл. 2. Алгебра инвариантов
Пусть W\ — какое-либо дополнительное подпространство к
kw в W\. Пусть / — линейная функция на W, множество ну-
нулей которой совпадает с подпространством W\ + £ Wx.
Тогда функция / обладает указанными в определении 2.1.1
свойствами.
По ходу дела доказано больше, чем просто утверждение
о линейной редуктивности: из доказательства предложения
2.3.3 видно, что линейные преобразования р(/) (/еГ) в
подходящем базисе пространства W одновременно приводят-
приводятся к диагональному виду.
2.3.4. Упражнения. A) Покажите, что утверждение по-
последнего абзаца вытекает также из утверждений 2.3.3, 2.2.3
и 2.2.4.
B) Пусть G cz GLn(k)—линейная алгебраическая груп-
группа, обладающая следующим свойством: существуют замкну-
замкнутые подгруппы S и Н группы G, такие, что S — алгебраиче-
алгебраический тор, элементы из S коммутируют со всеми элементами
из Я и G = H-S.
Докажите, что если Н редуктивна, то и в редуктивна (вос-
(воспользуйтесь предложением 2.3.3). (Отсюда и из результатов
гл. 3 будет следовать, что группа GL2(k) редуктивна.)
C) Пусть G — замкнутая подгруппа группы GL2(k), co-
( ! х\
стоящая из всех матриц вида I п 1 I (х ^ k). Пусть t\ и
U — линейные функции на V = &2, определенные равенства-
равенствами ti(xu x2) =хи t2(x\, x2) =х2. Тогда S{V) = k[tu t2], До-
Докажите, что
(a) g-ti — U <=kt2, g-t2 = t2 (ge G),
(b) k[tut2]°=k[t2],
(c) группа G не редуктивна (докажите это, не пользуясь
утверждением из п. 2.1.2 (Ь)).
D) Пусть char & =- р > 0 и G — конечная подгруппа
/1 х\
группы GL2(k), состоящая из всех матриц вида L . I,
x^lFp, где Fq обозначает поле из q элементов. Докажите,
что группа G не является линейно редуктивной (хотя ввиду
предложения 2.3.2 она редуктивна).
E) Приведите пример группы G, для которой (S/J)G gfe
^=S°/(J ()SG), где / — какой-нибудь инвариантный идеал в
5 (•).
(*) См. примечание к следствию в п. 2.4.7. — Прим. перев.

2.4. Теорема конечности 33
2.4. ТЕОРЕМА КОНЕЧНОСТИ
2.4.1. Напомним, что ^-алгебра Л называется градуиро-
градуированной, если она является прямой суммой А = ф Ad таких
d>0
fe-подпространств А а, что AdAe с Ad+e. Элементы алгебры Л,
лежащие в Ad, называются однородными элементами сте-
степени d (мы уже встречались с примером такой алгебры в
п. 1.1.1).
Идеал / градуированной ^-алгебры А называется одно-
однородным, если /=©(/ПА*). Другими словами: если эле-
d>0
мент а= Y* ad (a<d^ Ad) лежит в /, то и все элементы
d>0
лежат в /.
Пусть / — градуированный идеал; тогда факторалгебра
А/1 превращается в градуированную алгебру, если положить
(A/I)d = (Ad + II1 (проверьте это).
2.4.2. Пусть В — кольцо (коммутативное и с единицей),
а Л — его подкольцо. Напомним, что В называется целым
над Л, если любой элемент Ъ е В удовлетворяет соотноше-
соотношению вида
Ь" + п1Ьп-1+ ... +а„=0,
где at e Л.
Напомним также, что Л-алгебра В называется конечно
порожденной (над Л), если существуют элементы Ь\, ...
..., Ь5еВ, для которых В = А[Ьи ..., bs]\ эти элементы
Ьи • • •» bs называются образующими алгебры В.
2.4.3. Лемма. Пусть В — конечно порожденная k-алгебра
и А — ее подалгебра. Предположим, что В является целой
над А. Тогда А также конечно порожденная k-алгебра.
Пусть В = k[b\, • • •, bs]. Тогда bt удовлетворяет соотно-
соотношению вида
^ + «,>ГЧ •••+*,,„= о
с коэффициентами из Л. Пусть {а\, ..., at} — множество тех
элементов из Л, которые встречаются в этих соотношениях
в качестве коэффициентов; положим Л7 = k[a\, ..., at]. Это
нётерово кольцо (ибо оно является факторкольцом кольца
полиномов k[T\, ..., Tt]\ см. Ленг [1, стр. 166—170]). Кроме
того, В цела над Л7 и, следовательно, порождена как Л7-мо-

34 Гл. 2. Алгебра инвариантов
дуль конечным числом мономов b\x ... bhss (*). Таким обра-
образом, В — конечно порожденный Л'-модуль. Поскольку Л —■
подмодуль Л'-модуля В, из нётеровости Л7 вытекает, что А
также конечно порожденный Л'-модуль. Если теперь Л по-
порождена (как Л'-модуль) элементами щ+\9 . .., ап, то Л =
= k[a\, ..., ал], что и завершает доказательство.
2.4.4. Упражнение. Пусть GczGL(V)—конечная группа.
Докажите, что S(V)G является конечно порожденной &-ал-
геброй. (Указание: в условиях п. 2.4.3 возьмите A =S(V)Q,
B=S(V); см. также п. 4.1.2.) Это утверждение, доказанное
Э. Нётер, составляет содержание теоремы конечности в тео-
теории инвариантов конечных групп, см. Нётер [1] (**).
2.4.5. Лемма. Пусть А = © Ad — градуированная k-ал-
d>0
гебра. Если ее однородный идеал Л+ = ф Ad порожден ко-
d>0
печным числом элементов, то А является алгеброй, конечно
порожденной над Ло.
Отметим сначала, что Ло является кольцом — это следует
из определения градуированной алгебры. Предположим те-
теперь, что идеал Л4 порожден элементами а\, .. ., а&. Пока-
Покажем, что А = Ао[а\, ..., as]; для этого, пользуясь-индук-
пользуясь-индукцией по d, докажем включение Adcz А0[аи ..., а&]. При
d = 0 включение имеет место. Если а е Ай и d > 0, то мы
можем записать
a = Mi+ ••• +bsas,
где bh — элемент из некоторого А\ с jh < d. Из предполо-
предположения индукции следует тогда, что а ^ А0[а\9 ..., as].
2.4.6. Пусть теперь G a GL(V)—линейная алгебраиче-
алгебраическая группа. Алгебра S = S(V) является градуированной
(см. п. 1.1.1). Пусть / и / — инвариантные относительно G
идеалы в S (мы считаем, что G действует на 5, как описано
в п. 1.1.2). Предположим, что / cz /. Пусть Л = S/I и В =
(*) В самом деле, по определению кольца В его элементами являются
линейные комбинации с коэффициентами в k мономов вида^1 ... ^ss- По-
Поскольку ЪПг1 = — ait хЬпгГ —...—аи п , i = 1, ..., s, легко доказать (по
индукции), что каждый моном b\x .,.bss представляется в виде линей-
линейной комбинации с коэффициентами в А' мономов вида 6/ ... bss, где
О ^ Ы < пи i=l, ..., s, а таких мономов — лишь конечное число. —
Прим. перев.
(**) См. примечание 2 в дополнении 3. — Прим. перев.

2.4. Теорема конечности 35
= S/J] это /е-алгебры. Пусть ср: А ->- В — канонический гомо-
гомоморфизм. Группа G действует как группа линейных автомор-
автоморфизмов алгебр Л и В, причем g-y = y-g (g^G). Если
/ — однородный идеал, то Л — градуированная алгебра, каж-
каждое из пространств Ad инвариантно относительно группы G,
а представление группы G в Ad, получаемое таким способом,
является рациональным (проверьте).
Пусть AG и BG — алгебры G-инвариантов в Л и В соот-
соответственно, т. е. Л° — множество таких элементов а е Л,
что g-a = а для всех g e G, и аналогично определяется В°.
(Если / и / — однородные идеалы, то AG и BG — градуиро-
градуированные ^-алгебры.)
2.4.7. Лемма. Предположим, что группа G редуктивна.
Если Ъ е BGt то существуют такой элемент а е AG и целое
число d^s 1, что ф(а) = bd. В частности, кольцо BG являет-
является целым над подкольцом ф(Л°).
Мы можем считать, что Ь Ф 0. Выберем такой элемент
fliG^, что Ц)(а\)=Ь. Пусть W czA — конечномерное под-
подпространство в Л, порожденное всеми элементами вида
g-a\ (g^G), a U?7 —подпространство в W, порожден-
порожденное всеми элементами вида g-a\ — а\ (*). Поскольку
<p(g-ai — «0=0, то У'ФУР и W = kax + W. Мы имеем так-
также рациональное представление группы G в W, такое, что
подпространство W инвариантно относительно G и g* a\ — а\^.
Gf7 (g^G) (ср. с доказательством предложения 2.2.4).
Пусть (а2, ..., ап) — базис пространства W'\ таким об-
образом, (аь а2, ..., ап)—базис пространства W. Положим
п
g-ai=Yl х]Ч (g) a,.
Рассмотрим такое действие группы G на алгебре полиномов
k[Tu ..., Tn]t чю
giZfi(g)I
Существует гомоморфизм &-алгебр яр: k[Tu ..., Тп] -^Л, об-
обладающий свойством -ф(Г/)= а/. Ясно, что йг-ф = ф-^. Из
(*) Пусть я: S-> Л — канонический гомоморфизм, а е S — такой эле-
элемент, что я (а) = аь и ^ — подпространство в S, порожденное всеми эле-
п
ментами вида g- a (g<=G). Поскольку а е ф Sa для некоторого /г, а
93 S</ инвариантно, IF с: ф Sd. Ввиду того что ф Sd конечномерно, ко-
d=o d=o d=o
нечномерными являются и пространства W и я(^) == W. — Прим. перев.

36 Гл. 2. Алгебра инвариантов
известных нам сведений об элементах at следует, что дей-
действие группы G на k[Tu ..., Тп] обладает свойствами, опи-
описанными в п. 2.1.2 (Ь). Ввиду редуктивности группы G суще-
существует однородный инвариант / <= k[Tu ..., Гл]°, содержа-
содержащий член Т\. Следовательно, элемент ф/ = а имеет вид
а? + Z & А,
где 6; g Л, с/ е W". Но тогда
что и доказывает лемму.
Следствие (из доказательства). Если группа G линейно
редуктивна, то (S/J)G = SG/(J П SG) (*).
2.4.8. Упражнение, (а) Пусть группа G редуктивна, а 1\
и h — два таких инвариантных относительно G идеала в 5,
что Л + h = S. Докажите, что существует функция / е /?,
для которой f—1е/2. (Указание: в условиях п. 2.4.7 возь-
возьмите / = {0}, / = /г, Ъ = 1 и обратите внимание, что теперь
МОЖНО ВЗЯТЬ п\ е 1\.)
(Ь) Пусть G a GL(V)—редуктивная группа. Покажите,
что алгебра SG разделяет замкнутые орбиты группы G в V,
т. е. что для любых двух различных замкнутых орбит F\ и
F2 группы G в V найдется функция f e SG, равная 0 на F\
и 1 на F2. Более общо, SG разделяет любые два непересекаю-
непересекающихся инвариантных замкнутых подмножества в V.
2.4.9. Теорема. Предположим, что группа G редуктивна.
Пусть I — однородный идеал в 5, инвариантный относитель-
относительно G. Тогда (S/I)G является конечно порожденной k-алгеб-
рой.
Предположим, что это неверно. Поскольку алгебра S не-
терова, существует такой инвариантный относительно G од-
однородный идеал / в 5, что (S/I)G не является конечно по-
порожденной ^-алгеброй и что / — максимальный элемент в
семействе всех идеалов, обладающих указанным свойством
(см. п. 1.2.1). Пусть S/I = A. Ввиду максимальности идеала
/ для любого ненулевого однородного инвариантного отно-
(*) Пусть S -* S/J — канонический гомоморфизм. Он определяет гомо-
гомоморфизм SG-+ (S/J)G и, следовательно, гомоморфизм S°/(J f\SG) -v {S/J)°.
Утверждение следствия и состоит в том, что этот последний гомоморфизм
является изоморфизмом. Доказательство такое же, как и для леммы 2.4.7,
если положить / = 0 и заметить, что в силу п. 2.1.2 (b) d == 1. Если G ре-
редуктивна, 'но не линейно редуктивна, то утверждение леммы, вообще го-
говоря, неверно, см. п. 2.3.4E). — Прим. перев.

2.4. Теорема конечности 37
сительно G идеала J в А алгебра (A/J)G конечно порождена.
Пусть ф — канонический гомоморфизм AG ->■ (A/J)G. Из
леммы 2.4.7 следует, что кольцо (Л//)° цело над г|)(Л°); по-
поэтому ввиду леммы 2.4.3 алгебра ф(Л°) конечно порождена.
Поскольку ty(AG) ^AG/(AG(]J) (в дальнейшем мы их отож-
отождествляем с помощью этого изоморфизма), мы приходим к
следующему заключению: для любого ненулевого инвариант-
инвариантного относительно G однородного идеала J в А алгебра
AG/(AG[]J) конечно порождена.
Предположим теперь, что а е AG — однородный элемент
положительной степени, не являющийся делителем нуля в
А. Тогда аА [\AG = aAG. В самом деле, если ах е Л°, то
a(gx — x) = agx— ax = gagx — ax = g{ax) — ах =
= ах— ах = 0
для всех g e G и, следовательно, хеЛ°. Взяв / = аЛ, по-
получаем, что алгебра AG/aAG конечно порождена. Из лем-
леммы 2.4.5 следует тогда, что алгебра Л° конечно порожде-
порождена (*)—вопреки начальному предположению. Поэтому все
однородные элементы а е Л° положительной степени яв-
являются делителями нуля.
Зафиксируем теперь какой-нибудь такой элемент а и по-
положим 1а = {х е Л | ах = 0}. Тогда 1а — инвариантный от-
относительно G , однородный ненулевой идеал в Л. Следова-
Следовательно, (A/Ia)G является конечно порожденной ^-алгеброй.
Но кольцо (A/Ia)G цело над AG/(Ia[\AG) (см. Bbime)N и, сле-
следовательно, (A/Ia)G является конечно порожденным
А°/Aа П AG) -модулем (см. доказательство леммы 2.4.3). По-
Поскольку (А/1а)° изоморфно (aA)G как AG/(Ia f) AG)-модуль
(проверьте это), заключаем отсюда, что (aA)G является ко-
конечно порожденным Л°-модулем. Кроме того, мы знаем, что
алгебра AG/(aA)G ^ AG/(aA f] AQ) конечно порождена. Сле-
Следовательно (**), идеал (Д°)+ в Л° (см. п. 2.4.5) конечно по-
порожден и ввиду леммы 2.4.5 Л° — конечно порожденная
^-алгебра, что снова противоречит начальному предположе-
предположению.
Теорема доказана.
(*) Здесь используется следующее соображение: если С —градуиро-
—градуированная коммутативная ^-алгебра, / — ее идеал, порожденный конечным
числом однородных элементов i\, ..., is, и С/1 — конечно порожденная
^-алгебра, то идеал С+ порожден конечным числом элементов. Доказа-
Доказательство: пусть си ..., ct — такие однородные элементы, что С/1 =
= k [ch ..., а], и пусть ct = n(ci), где ci — однородный элемент алгебры
С, а л; С-** С/1 — канонический гомоморфизм; тогда каждый элемент из
С имеет вид ixdx + ... + isds + с, где 4sC, а с — полином от сь ..., ctt
и, значит, /i, ..., is, c\t ..., ct порождают идеал С+. — Прим. перев.
(**) См. предыдущее примечание. — Прим. перев.

38 Гл. 2. Алгебра инвариантов
с
Г( 1 t\)
Пример. Рассмотрим группу G = si i J f» Действую-
Действующую на алгебре S = С[х, у], где С — поле комплексных чи-
чисел, по правилу
1 /у1 х\
>0 t) : у*-*у.
Положим / = y2S. Тогда алгебра (S/I)G не является конеч-
конечно порожденной. В самом деле, (S/I)G ^ С ф уС [х] (*).
2.4.10. Следствие. Если G cz GL(V) —редуктивная линей-
линейная алгебраическая группа, то S(V)G является конечно по-
рожденной k-алгеброй B).
На самом деле приведенное доказательство дает несколь-
несколько более общий результат (проверьте это) C):
2.4.11. Следствие. Если G a GL(V) —редуктивная линей-
линейная алгебраическая группа up: G ->- GL(W) — ее рациональ-
рациональное представление, то k-алгебра S(W)G конечно порождена.
Здесь предполагается, что G действует на S(W) с по-
помощью представления р.
2.4.12. Упражнение. Пусть 9 = V @ k, S = S(V), S =
= S(V)> Если [gS имеет степень d, то существует един-
единственный элемент f ^ За, такой, что f(v, x) = xdf(x~lv) для
любого х ф 0. Если / — идеал в S, то ^обозначим через 7 од-
однородный идеал в 5, порожденный элементами /, где f e /.
Существует гомоморфизм ф: S -* S, обладающий свойством
(cpf) (v) =f(v, 1). Если G — подгруппа в GL(V), то опреде-
определим ее действие на V по формуле g(v, х) = (gv, x).
Используя эти конструкции, покажите, что утверждение
2.4.9 справедливо для любого инвариантного относительно G
идеала алгебры S, не обязательно однородного.
2.4.13. Градуированные модули. Пусть А—градуирован-
А—градуированная ^-алгебра (k может быть сейчас произвольным полем).
Пусть М — какой-нибудь Л-модуль; он называется гра-
градуированным, если является прямой суммой, М = ф Md,
таких векторных fe-подпространств Md, что AdMe cz Md+e. Эле-
Элементы из Md называются однородными элементами степени d.
Пусть теперь поле k алгебраически замкнуто и G а
cz GL(V) —линейная алгебраическая группа. Положим S =
= S(V).
Пусть М — какой-нибудь 5-модуль; он называется G-S-
модулем, если G действует на М как группа fe-линейных пре-
(*) См. примечание 3 в дополнении 3. — Прим. перев.

2.5. Некоторые результаты о градуированных алгебрах 39
образований и g(sm) = (gs) (gm) для любых g e G, s e 5,
mGiM. Если, кроме того, gMd = Md для всех gGG, d ^ 0,
то М называется градуированным G-S-модулем. Если Л1 —
некоторый G-5-модуль, то будем обозначать через MG мно-
множество всех таких элементов теМ, что gm = m для лю-
любого g e G; оно является 5°-модулем (причем градуирован-
градуированным, если М — градуированный G-S-модуль).
2.4.14. Предложение. Пусть группа G редуктивна. Если
градуированный G-S-модуль М конечно порожден как S-mo-
дуль, то MG — конечно порожденный 8а-модуль.
Пусть М'аМ — такой градуированный G-5-подмодуль в
М, что (M')G — конечно порожденный 5°-модуль, и пусть
М' — максимальный элемент в семействе всех подмодулей
в М, обладающих указанным свойством (он существует в
силу нётеровости кольца 5, см. Ленг [1, стр. 166—168]). Если
MG=(M')G, то доказательство окончено. Если же нет, то
пусть m e MG— (M')G — какой-нибудь однородный элемент.
Тогда М" = М' + 5т — градуированный G-S-модуль и в 5
существует такой инвариантный относительно G однородный
идеал /, что М"/М' ^ S/I. Используя лемму 2.4.7 и теорему
2.4.9, мы видим, что (M"/M')G является конечно порожден-
порожденным 5°-модулем (*). Следовательно, (M")G — конечно по-
порожденный 5°-модуль (**) вопреки максимальности М'. Это
противоречие и доказывает предложение.
2.5. НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
О ГРАДУИРОВАННЫХ АЛГЕБРАХ
В этом разделе через А обозначается градуированная ко-
конечно порожденная ^-алгебра с Ло = k. Поле k не предпола-
предполагается алгебраически замкнутым.
2.5.1. Предложение. Пусть поле k бесконечно. Если А —
область целостности, то в ней существуют такие алгебраи-
(*) По теореме 2.4.9 й-алгебра (S/I)G конечно порождена, а по лемме
2.4.7 (S/I)G цела над я(£°), где я: S-*5// — канонический гомомор-
гомоморфизм. Значит (см. доказательство леммы 2.4.3), (S/I)G является конечно
порожденным я(SG) -модулем и, следовательно, конечно порожденным SG-
модулем. — Прим. перев.
(**) Канонический гомоморфизм М"-*-М"/Мг индуцирует гомомор-
гомоморфизм 5°-модулей (M")G-*- (M"/M')Q и, следовательно, вложение Sg-mo-
дуля (М//)°/((М//)°ПЛ1/) £* (М")°/(М')° в 5°-модуль (ММ')°. По-
Поскольку последний конечно порожден, a SG — нётерово кольцо,
(M")Gl(Mf)G также конечно порожден; в свою очередь из того, что Sg-mo-
дули (M")G/(M')G и (M')G являются конечно порожденными, вытекает,
что конечно порожден и (Af")c, см. Ленг [1, стр, 166—168]. — Прим. пе-
перев.

40 Гл. 2. Алгебра инвариантов
чески независимые однородные элементы аь ..., ат, что А
цела над подалгеброй k[a\, ..., am] D).
Пусть А = k[x\, ..., Хп], где xt — однородные элементы*
Докажем наше утверждение индукцией по я, начиная с п =
= 0. Предположим, что оно верно для алгебр, порожденных
менее чем п элементами. Пусть Ь\, ..., bs— такие алгебраи-
алгебраически независимые однородные элементы алгебры А' =
= &[#i, ..., Хп-\], что А' цела над k[b\, ..., bs]. Тогда А
цела над А" = k[b\, ..., bs, xn]. В самом деле, элементы из
Л, целые над Л", образуют подалгебру (см. Ленг [1, стр. 271]),
содержащую А/ и хп и, следовательно, совпадающую с /L
Если s + 1 < п, то в силу предположения индукции мы мо-
можем считать, что Л" цела над подалгеброй k[c\, ..., ct] (где
ci — однородные и алгебраически независимые элементы). Но
тогда и Л цела над этим последним кольцом (*).
Остается рассмотреть случай, когда элементы хи • • •, хп-\
алгебраически независимы (**).Если х\, ^..., ^алгебраически
независимы, доказательство окончено. Предположим, что это
не так. Заменяя элементы %i на их подходящие степени, мы
можем считать, что все xi являются однородными элементами
одинаковой степени (***). Пусть
— соотношение, где ft e k [Tu ..., Trt_i], f0 Ф 0. Полиномы
[ь ..., fft можно считать однородными. Ввиду предположе-
предположения о степенях, все полиномы ft имеют различные степени.
Поэтому F = fo + • • • + fh Ф 0. Поскольку поле k бесконеч-
бесконечно, мы можем найти в k такие элементы аи ..., а„_1, что
H (см. Ленг [1, стр. 143]). Положим у( =
(*) Здесь используется транзитивность целой зависимости: если Р =>
zd Q ^> R — три кольца, Q цело над R, Р цело над Q, то Р цело над /?,
см. Зарисский и Самюэль [1, т. 1, стр. 294]. — Прим. перев.
(**) Поскольку'6ь .-., Ьь алгебраически независимы и лежат в ал-
алгебре k [хи ..., .trt-i], то s^ (максимальное число алгебраически незави-
независимых элементов среди *ь ..., хп-\) <п-—1. Следовательно, если s +
+ 1 ^ м, то jci. ..., *n-i алгебраически независимы. — Прим. перев.
(***) В самом деле, для любых целых чисел d4->l кольцо /еГл:^, ...
...,x^«] цело над k [хи .. • ,хп] (это вытекает из следующего факта: если
Р id Q — кольца и рь • • •, Р< — элементы из Р, целые над Q, то кольцо
Q [Ри •••» Р^] Цел0 наД Q» см- Зарисский и Самюэль [1, т. 1, стр. 294]);
значит, если доказать утверждение 2.5.1 для Л = k \х{ \ ..., xnnj, оно бу-
будет справедливо (в силу транзитивности целой зависимости) и для Л =
& [ ] /7

2.5. Некоторые результаты о градуированных алгебрах 41
= Xi — aiXn (I ^ i ^ п — 1). Из предыдущего соотношения
вытекает тогда соотношение
и мы видим, что хп цело над k[y\, ..., уп-\) и, значит,
k[yu ..., уп-и Хп] =k[xu ..., *л] дело над k[yu ..., #я].
Элементы yi являются однородными и должны быть алгеб-
алгебраически независимыми. Это доказывает предложение.
2.5.2. Упражнение. В ситуации п. 2.5.1 докажите, что m —
степень трансцендентности над k поля частных алгебры Л.
2.5.3. Ряды Пуанкаре градуированных модулей E). Пусть
теперь М = ф Md — конечно порожденный градуированный
Л-модуль. Тогда все Ма являются конечномерными вектор-
векторными пространствами над k. Формальный степенной ряд
Рм {Т) eZ[ [Т] ], где Z — кольцо целых чисел,
Рм(Т)= S dim, (Md)Td
называется рядом Пуанкаре модуля М. В частности, можно
рассматривать и случай М = Л. Ясно, что если 0->АГ-*~
-> М->-Л1"->-О— точная последовательность конечно порож-
порожденных градуированных Л-модулей (так что гомоморфизмы
из этой точной последовательности сохраняют степени), то
2.5.4. Предложение. Пусть аи ..., ап — система однород-
однородных образующих алгебры А и di — степень элемента а^
Тогда существует такой полином F(T) eZ[jf], что
Докажем это индукцией по п, начиная со случая п = О
(в котором Рм(Т) является полиномом). Пусть п > 0; пред-
предположим, что утверждение доказано для алгебр с менее
чем п образующим. Пусть t — эндоморфизм модуля М, опре-
определенный по формуле t(m) = аппг. Тогда возникают точные
последовательности градуированных Л-модулей
0-> Im t-> ЛГ-* Mflm t-+ 0.

42 Гл. 2. Алгебра инвариантов
Имеет место изоморфизм
Используя C), получаем
Рм (Т) = PKer t (Т) + T~dnPlm t (Г),
Следовательно,
A - Т*п) Рм (Т) = Рмпш t (T) - TdnPKer t (Г).
Но M/Im / и Ker t являются градуированными модулями над
градуированной алгеброй А' = А/апА, которая порождена
п — 1 элементом (а именно, образами элементов аи - - -, ап-\
при каноническом гомоморфизме Л->Л'). По предположе-
предположению индукции отсюда и следует доказываемое утверждение.
В следующей лемме мы рассмотрим один частный слу-
случай.
2.5.5. Лемма. Если элементы сц из предложения 2.5.4 ал*
гебраически независимы, то
*=1
В этом случае целые числа di определены с точностью до
порядка самой алгеброй А (т. е. не зависят от выбора обра-
образующих at) (*).
В самом деле,
(*) Таким^ образом, если А — алгебра полиномов, то Р^(Г) =
— T 0 для некоторых целых di. Обратное утверждение неверно;
соответствующий пример см. в дополнении 3, примечание 4. — Прим. пе-
рев.
(**) Для любого целого m ^ 0 обозначим через ст число решений в
целых неотрицательных числах (относительно /it, ..., hn) уравнения
hxdx + ... + Kdn = т. Поскольку A — Td) ~l = 1 + Td + T2d + ...., мы
имеем
XI0 — T 0 = 2 cmTm. С другой стороны, если аь ..., ап
h. Нп
алгебраически независимы, то всевозможные мономы вида 0j ... ап", где
hidi -|- _. + hndn = пг, образуют базис в Ату и число этих мономов, а.
значит, и dim Лт, равно ст. — Прим. перев.

2.5. Некоторые результаты о градуированных алгебрах 43
Последнее утверждение леммы вытекает из того, что поли-
полином может быть представлен в виде произведения JT(l —Т1)
не более чем одним способом. Доказательство этого факта
мы оставим читателю.
Предположим теперь, что А — область целостности, це-
целая над подалгеброй А'= k[a\, ..., ап], где at — однород-
однородные алгебраически независимые над k элементы. Пусть di —
степень элемента at.
Обозначим через К поле частных кольца А, а через К' —
поле частных кольца А'. Тогда К — расширение поля К' ко-
конечной степени [К : К']. Пусть М — конечно порожденный
градуированный Л-модуль. Тогда М ® АК — конечномерное
векторное пространство над /С, а также над К'.
2.5.6. Теорема. Предположим, что поле k бесконечно.
Тогда существует такой полином F(T) ^Z[T], что (*)
m
и F(\) =
Можно рассматривать М как Л'-модуль; этот модуль гра-
градуирован и конечно порожден. Поэтому достаточно доказать
теорему в предположении, что А = А' (проверьте это).
Итак, предположим, что А = А'. Отметим, что та часть
теоремы, которая не касается утверждения об F(l), доказа-
доказана в предложении 2.5.4. Если М = Л, то утверждение об
^(l) вытекает из леммы 2.5.5. Предположим, далее, что М
порожден одним однородным элементом. Тогда либо М ^ А,
либо существует такой ненулевой однородный элемент а е Л,
что аМ = 0(**). Поскольку Л — алгебра полиномов над kt
мы можем записать а в виде произведения а = р\ ... ps не-
неприводимых элементов. Эти элементы также однородны.
Пусть Mi = {pi+\ ... psm\m e M}\ ясно, что Mi — градуиро-
градуированный подмодуль и M/_i d Mi, Ms = М. Кроме того,
(*) Обратное утверждение неверно: если для некоторого конечно по-
порожденного градуированного В-модуля N, где В — конечно порожденная
градуированная 6-алгебра, PN (Т) = Н (Т) JJ (l — f1) , Н(Т) е Z[T]t
то, вообще говоря, в В не существует таких однородных алгебраических не-
независимых элементов Ьи ..., bt степеней сх, ..., ci соответственно, что В
цела над k [bu ..., bt]; см. примечание к лемме 2.5.5. — Прим. перев.
(**) Пусть М порожден однородным элементом т. Отображение я:
А-+М, n(b) t= bm, является эпиморфизмом Л-модулей, и, значит, либо
Кег я = 0 (и тогда А ^ М), либо существует а е Кег я, а # 0 (и тогда
<abm = 0 для любого &еЛ, т. е. аМ = 0). — Прим. перев.

44 Гл. 2. Алгебра инвариантов
pi{Mi/Mi-\) = 0. Из C) вытекает, что достаточно доказать
утверждение для Mt/Mi-i (*). Иначе говоря, мы можем
считать элемент а неприводимым. Далее, М является гра-
градуированным конечно порожденным модулем над градуиро-
градуированной /г-алгеброй А' = А/аА. Поскольку элемент а непри-
неприводим, А' — область целостности и степень трансцендентно-
трансцендентности ее поля частных <т (проверьте это). Из 2.5.1, 2.5.2 и
2.5.4 вытекает, что существуют такой полином F'^Z[T] и
такие целые числа ш\ еь, что
'
где га' < т. Следовательно, функция A—Т)тРм(Т) опре-
определена в точке 1 и принимает в ней значение 0. Отсюда вы-
вытекает, что в рассматриваемом случае F (\)=0=dimK>(M<8>
® аЮ (поскольку для а ф 0 мы имеем аК = К и, значит^
М ® АК = М ® АаК = аМ ® АК = 0).
В общем же случае существует такая последовательность
градуированных подмодулей
{0} = MicMlcz ... cz Af { = Af,
что модуль Mi/M'i-i порожден одним элементом. Утвержде-
Утверждение теперь легко вытекает из доказанного выше и форму-
лы C) (**).
m I
(*) Действительно, пусть Я^/А!,., (Г) = FMl/Mi_l(T) П U ~ Т ') '
W FMi/M._iW = <UmK,(Ml/Ml_l®AK). Тогда Рщ (Т) = F щ (Г) Х
— Т !) , где FMm A) = dim^, (Mt- ®л /С) (и, в частности, при
X П
i = 5 получаем доказываемое утверждение для М); это устанавливается
по индукции: при / = 0 утверждение верно, поскольку MJM0 = Мх; далее,
из точной последовательности 0->Mt--i -> Mt- -> Mi/Mi-i ->0 с помощыо
формулы C) получаем Рм. (Г) = Рм,_х (Т) + Pmjm.^ (T) = (FM^ (T) +
171 * ,
0 - г 7
где FM A) +
= dim^, (M._l <g)A K) + dim^, (М./М._{ <g>A K) = dim^, (Mt ®л К), так
как dim^/ (M^/M^j ®д К) = ^i111^' (^t ®л ^) — dim^/ (^t-_i ®д /С). —
Прим. перев.
(**) Пусть т,, ..., ш.—образующие Л-модуля М; тогда в качестве М.'.
можно взять Ат^ + ... + Лш^. Из точности последовательности
0_>Af/ .->m;->M{/M; ,->0 получаем Р , (Т)=Р , (Т
i — l t I/ I — I Mi М}_\
складывая эти равенства при /=1, 2, ..., t, получим * м

2.5. Некоторые результаты о градуированных алгебрах 45
2.5.7. Следствие. Используем те же обозначения, что и в
( m \~1
пп. 2.5.5 и 2.5.6. Тогда рациональное число [К : К'] ( ГЫ* 1
зависит только от самой алгебры А {и не зависит от выбора
алгебры А').
В самом деле, это число является значением функции
A —Т)шРа(Т) в точке Т=\. (Отметим, что сама алгебра А'
выбирается неоднозначно: например, k [a, ..., а^71] имеет те
же свойства.)
тп
Назовем число о (А) = [К '. К]1 YLdt порядком градуиро-
градуированной /г-алгебры А без делителей нуля (эта терминология
инспирирована результатами п. 4.1.5).
2.5.8. Ниже приведен ряд дополнительных результатов
о тех рациональных функциях, которые нам здесь встрети-
встретились.
Пусть Я(Г)еС(Г), где С(Т)—поле рациональных
функций от переменного Т с коэффициентами из С, имеет
вид
где F(T) еС[Г], a di — натуральные числа. Пусть
— разложение Н(Т) в формальный степенной ряд. Это озна-
означает, что имеется формальное равенство
IE
\d=0
Если /, g, h — функции на множестве натуральных чисел,
то мы будем писать f(n) =g(n) + O(h(n))f если существует
такая константа Л, что для всех п
\f(n)-g(n)\^Ah(n).
ХП(! _ Tdi)~K ™*FMi/MlJl) = dim^ (M't/M'i-i ®A К)- Поскольку
dim/C/(M{/M|^1®>l/C) =dimK/ (Щ®АК) — dim^/(M{-1 ®A/C), это дока-
доказывает теорему. — Прим. перев.

46 Гл. 2. Алгебра инвариантов
2.5.9. Лемма, (i) В точке 1 функция A — Т)тН(Т) при-
( m \l
нимает значение F A) ( Y\.dt I , а функция
ШЧ
dA A-ГГ1
i=i / \t=i
(ii) Предположим, что m > 1, а наибольший общий де-
делитель чисел di равен 1. Тогда
cd = F A) (ft й) ((пг - I)!)-1 <Г-' + О ОТ).
Если, кроме того, m ^ 4, а любые m — 1 t/з чисел di имеют
наибольший общий делитель 1, то
_ 1
(iii) Предположим, что m > \ и что наибольший общий
делитель чисел di равен б > 1. Пусть
/=1
F,sC[r].
^ /(mod б) @ ^ i <С б).
Ov)Z cd = F((ft)
Первое утверждение в (i) очевидно (и уже использова-
использовалось в п. 2.5.7), а второе получается непосредственным вы-
вычислением, которое мы оставляем читателю.
Рассмотрим разложение на простейшие дроби

2.5. Некоторые результаты о градуированных алгебрах 47
где ti\(T) еС[Г], a xt— ненулевые комплексные числа. Мы
имеем mi ^ т, и если наибольший общий делитель чисел di
равен 1, то существует единственный номер /, для которого
mt = my и в этом случае х/ = 1. Соответствующий коэффи-
коэффициент at — это значение функции A — Т)тН(Т) в 1. Если
m ^ 4, то существует только один номер /, для которого
/л/ = m—1, и соответствующие ему числа х\ и а/ равны 1
) ()
и значению функции A - Г) Н (Т) - F A) (Ш*) A ~
в 1. Утверждение (и) вытекает теперь из того, что
и что
t-7
Утверждение (iii) является легким следствием утвержде-
утверждения (ii).
Последнее утверждение (iv) вытекает из равенства
если применить утверждение (ii) к A — Т)~1Н(Т).
2.5.10. Пусть теперь k — алгебраически замкнутое поле
и GaGL(V)—редуктивная линейная алгебраическая груп-
группа. Ввиду теоремы 2.4.9 область целостности S(V)G конечно
порождена над k. Поэтому предыдущие результаты приме-
применимы к S(V)G. Обобщая, рассмотрим рациональное пред-
представление р: G-^GL(W). В силу следствия 2.4.11 S(W)G
является конечно порожденной градуированной /г-алгеброй.
Пусть Р0)Р(Г) =.Рр(Г) — ее ряд Пуанкаре, и пусть (в со-
ответствии с теоремой 2.5.6)
()
П
Определим порядок пары (G, р) как число

48 Гл. 2. Алгебра инвариантов
Число т(р)—это степень трансцендентности поля частных
К кольца S(W)G над подполем k. Пусть, далее, р': G ->■
-+GL(W)—какое-нибудь другое рациональное представле-
представление. Обозначим S(W) через 5. Тогда М = S ® kW — ко-
конечно порожденный градуированный 5-модуль (с Ma = Sd ®
® kW) (*), который становится градуированным S-G-моду-
лем (см. п. 2.4.13), если положить
В соответствии с предложением 2.4.14 MG является конечно
порожденным градуированным 5°-модулем. Положим dp p,=
2.5.11. Предложение. Имеет место формула
£ dimMGd = dp, рю (р)-1 (m (p)\ylnm (р) + О (пт (рЬ1
В частности,
Эти утверждения вытекают из леммы 2.5.9 (iv), если
учесть теорему 2.5.6 (и равенство dim^, Ш° ® G K\ =
(MG)dK)
Пусть L — поле частных алгебры 5. Тогда G действует
как группа ^-линейных автоморфизмов поля L, а К содер-
содержится в поле LG, образованном всеми G-инвариантными эле-
элементами поля L. В следующей лемме выделяются некоторые
случаи, в которых эти поля совпадают. Группа G может быть
произвольной линейной алгебраической группой.
2.5.12. В следующих случаях поля К и LG совпадают:
(a) группа G конечна,
(b) G является связной (в топологии Зарисского) линей-
линейной алгебраической группой, не имеющей нетривиальных ра-
рациональных представлений G -> GL\(k).
Пусть G конечна. Любой элемент fi/~l из L можно запи-
записать в виде /2 ( Ц g • Л с G-инвариантным знаменателем.
(*) Если ей ♦ • •, вп — базис пространства W над k, то 1 ® еи ..., 1 ®
® еп — образующие 5-модуля М (отметим, что, более того, М — свободный
•S-модуль и \ ® еи ..., 1 ® еп — система его свободных образующих).—
Прим. перев.

2.5. Некоторые результаты о градуированных алгебрах 49
Из этого замечания и вытекает (а). Пусть теперь G обла-
обладает свойствами, указанными в п. (Ь). Пусть [eLg и / =
m
=Х1/7^ — разложение f на неприводимые множители (каж-
(каждый из полиномов pi является неприводимым элементом
кольца 5, никакие два различных полинома р,- не пропор-
пропорциональны и hi — ненулевые целые числа). Поскольку эле-
элемент f инвариантен относительно G, имеет место равенство
m h
f = Ц (g • pi) l. Из единственности разложения элемента f
на неприводимые множители (см. Ленг [1, стр. 150]) выте-
вытекает в таком случае, что существуют гомоморфизм а группы
G в симметрическую группу ©т и функции а* на G, такие,
что
g. p.=a(g)p0{g)i (l</<m, jfGC).
Ядро гомоморфизма а является замкнутой подгруппой в G
конечного индекса, которая в таком случае также и открыта
(проверьте это). Из связности группы G вытекает теперь,
что а — тривиальный гомоморфизм. Следовательно, g-pi =
= ai(g)pi (g^G). Поскольку щ является рациональным
представлением G -> GL\{k), получаем а* = 1. Отсюда и вы-
вытекает утверждение (Ь) G).
Следующая лемма в комбинации с леммой 2.5.12 дает
информацию о размерностях dPf р' из предложения 2.5.11. Мы
используем прежние обозначения.
2.5.13. Лемма. Пусть М — модуль из п. 2.5.10, и пусть
X = LG (группа G редуктивной не предполагается). Тогда
dimL(J (МО ®sG L*) < dimL (M ®s L) (*).
Достаточно доказать следующее: если Ш\у ..., тп — та-
такие элементы иЗ М°, что mi ® si, ..., тп ® si — линейно за-
зависимые над L элементы из М <g) sL, то тх ® Gl, ..., тп<8) Gl —
линейно зависимые над LG элементы из MG® rLG. Мы до-
s
кажем это индукцией по п.
Линейная зависимость первого множества элементов озна-
означает, что существуют такие элементы xt e S, не все рав-
равные 0, для которых
(*) Поскольку М — свободный 5-модуль (см. примечание в п. 2.5.10),
размерность dinu(Af®sL) равна рангу этого модуля, т. е. diiruW". — Прим.
перев.

50 Гл. 2. Алгебра инвариантов
это следует из того, что М — свободный S-модуль. Случай
п = 1 разбирается на основе этого же соображения (*).
Предположим, что п > 1 и что утверждение доказано для
п—1 элементов (**). Последнее соотношение дает тогда
(в предположении, что х\ ф 0) соотношение
п
'>i(gxi)-xi(gxl))mi = 0
для всех g e G. Из предположения индукции следует, что
все xflxt лежат в LG (***). Поскольку LG = /С, мы можем
записать х~1х. = у~ 1у. с у. е SG. Следовательно,
откуда вытекает линейная зависимость элементов ml®sG
.... mn®sG\ (8).
(*) А именно, пусть
где xt, ^-gS, уi ф 0, i = 1, ..., я; умножая обе части на ух... #„, можно
считать, что */i = ... = */„= 1 и, значит, ((x{mi + ... + х„т„) ®sl) == 0.
Поскольку ядро гомоморфизма 5-модулей М->М ®SL, т\—>tn<8> si, сов*
падает с периодическим подмодулем модуля М (см. Картан и Эйленберг
[1, стр. 167, предложение 2.1]), а М — свободный S-модуль, X\trii -\-..«
... + хптп == 0 (и, очевидно, это равенство не только необходимо, но и
достаточно для линейной зависимости элементов rti\ ®sl, ..., mn^s\ над
L). Случай п = 1 разбирается так: если x(m®sl) =0, где ^eS, x ф 0,
то хт ®51 = 0 и, значит, #т = 0, а поскольку х =т^ 0 и в М нет перио*
дических элементов, т = 0. — Прим. перев.
(**) В дальнейшем автор считает, что ти ..., т„ —такие элементы
из AfG, что л элементов mi ® si» • • •> тл ®sl линейно зависимы над L, но
любые л — 1 из них линейно независимы над L (ввиду предположения
индукции это условие, очевидно, можно считать выполненным). — Прим. пе~
рев.
71
(***) Действительно, поскольку mi<=MG и^Гх.т^. = 0, мы имеем 0=
/ п \ п
s=sSl zl ximi]== Yj (gx.) т. лля любого g^G. Умножая равенство
п п
V (gxj) т-^=0 на х{1 а равенство J] х{тг = 0 на gxx и вычитая из первого»
п
второе, получим У (х{ (gxt) — jc. (gx{)) mt = 0. Поскольку элементы.
m2 <8>sl, ...» mn<8>sl линейно независимы над L, из последнего равенства
вытекает, что x^gxi) = xl(gxl), т. е. g(xilxx) = *//*i для любого 1 = 2,...,
,,., п и всех g e G. Значит, W*i e LG. — Прим.

2.5. Некоторые результаты о градуированных алгебрах 51
Примечания
A) B.1.1) Необходимо сделать некоторые разъяснения по поводу тер-
терминологии. Те (линейные алгебраические) группы, которые мы называем
здесь редуктивными, иногда в литературе называются геометрически ре-
дуктивными или же полуредуктивными группами (см., например, Нагата
[2]). В литературе по линейным алгебраическим группам можно найти
другое определение редуктивности (см., например, Борель [1, стр. 191]).
Сейчас, однако, уже известно, что эти определения эквивалентны (см. Ха-
боуш [1] и Нагата и Мията [1]). С другой стороны, понятие редуктивно-
редуктивности в смысле теории линейных алгебраических групп в этих записках нам
не понадобится. Указанные обстоятельства и объясняют наш выбор слова
«редуктивная» в определении 2.1.1.
B) B.4.10) Это следствие является весьма общей формой «теоремы
-конечности» в теории инвариантов. Ниже приведены некоторые замечания
исторического характера.
Задача получить результат такого рода впервые возникла, по-види-
по-видимому, в ситуации п. 2.4.11 с G = SL2(C) и р = pd, как в п. 1.4.9. Кэли в
[ 1, стр. 253] утверждает, что при d ^ 7 алгебра инвариантов не является
конечно порожденной, хотя на самом деле это неверно. В этом случае тео-
теорему конечности (для произвольного d) впервые доказал Гордан в своей
статье [1] 1868 года; его результат считался высшим достижением теории
инвариантов до появления работ Гильберта. Доказательство Гордана
сложно, но конструктивно.
Теорема конечности для SLn(C) долгое время казалась недоступной,
пока Гильберт в [2] не дал ее доказательства, введя в алгебру совершен^
но новые методы. Существенно новым элементом в работе Гильберта было
использование (в современной терминологии) нётеровости полиномиальных
алгебр. Он использовал, однако, в доказательстве теоремы конечности и
традиционную технику теории инвариантов, а именно так называемый диф-
дифференциальный оператор Кэли Q, действующий на функциях от п X «-мат-
«-матриц (*,•/) и заданный формулой
в (о)
ie(o) обозначает знак подстановки а).
Использование неконструктивных рассуждений, связанных с нётеро-
востью, до сих пор остается существенной частью доказательств общих
теорем конечности, в том числе и доказательства Нагаты из [2], приве-
приведенного в этих записках.
После работы Гильберта по теории инвариантов остался открытым во-
вопрос о том, для каких групп G a GL(V) алгебра инвариантов S(V)G яв-
является конечно порожденной над основным полем. Этот вопрос инспири-
инспирировал постановку 14-й проблемы Гильберта (в лекции Гильберта «Матема-
«Математические проблемы» на конгрессе 1900 года в Париже, см. Гильберт
[1] (*)). В этой лекции Гильберт, ссылаясь на содержащую ошибку работу
Л. Маурера, утверждает, что теорема конечности справедлива для всех
Gc=GLrt(C). Тот факт, что на самом деле теорема конечности не имеет
места для всех групп, был впервые установлен в 1959 г. Нагатой (см. На-
Нагата [3] (**)); обсуждение контрпримера Нагаты имеется также в книге
(*) См. также «Проблемы Гильберта» и «Труды симпозиума по чи-
чистой и прикладной математике». — Прим. перев.
(**) См. также Нагата [А]. —Прим. перев.

52 Гл. 2. Алгебра инвариантов
Дьёдонне, Керрола и Мамфорда [1, стр. 74] (*). Группа G из утого
контрпримера является треугольной унипотентной.
Между тем Гурвиц в [1, стр. 550] обнаружил, что в доказательстве
теоремы конечности для SLn(C) вместо дифференциальных операторов
можно использовать интегральные методы. Развитие этого замечания при-
привело Г. Вейля к пониманию того, что применение интегрирования на ком-
компактных группах Ли и «унитарного трюка» позволяет установить теорему
конечности (в форме следствия 2.4.11) для непрерывных конечномерных
представлений комплексных полупросгых групп Ли (это ясно видно по ра-
работе Вейля [2, стр. 642—643]). Случай конечных групп рассматривала
Э. Нётер [1] (**).
Когда была построена теория линейных алгебраических групп (после
1950 г.), не хватало очень немногого, чтобы понять, что теорема конечно-
конечности 2.4.11 справедлива для линейно редуктивных алгебраических групп G
над полем характеристики 0.
Этот результат не обобщается непосредственно на характеристику р:
условие линейной редуктивности в характеристике р > 0 оказывается
слишком ограничительным (единственными связными линейно редуктив*
ными группами в положительной характеристике являются торы!, см. На-
гата [1] (***))♦ Правильное понятие в характеристике р было обнаружена
Мамфордом — это то, что мы в п. 2.1.1 назвали редуктивностью; в своей
книге [2, стр. III] он поставил задачу доказать, что полупростые линей-
линейные алгебраические группы редуктивны («гипотеза Мамфорда») (****). Эта
гипотеза была доказана лишь недавно Хабоушем [1] (см. также Дема*
зюр [1]).
В то же время Нагата в [2] доказал для редуктивных групп теорему
конечности 2.4.9.
Эти краткие замечания об истории развития теории инвариантов по»
казывают, что редуктивные группы образуют естественный класс, для ко-
которого имеют место теоремы конечности (*****).
Однако для нередуктивных групп ситуация не так ясна. Для некото-
некоторых групп теорема конечности не имеет места (см. контрпример Нагаты).
Но имеются и такие, для которых она справедлива, например это так для
аддитивной группы в характеристике 0. В этом случае она называется тео-
теоремой Вейценбёка (см. Шешадри [1]) и является частным случаем следую-
следующего результата Хаджиева и Гроссханса (см. Хаджиев [1], Гроссханс [1]):
если редуктивная группа G регулярно действует на аффинном алгебраиче-
алгебраическом многообразии X и U — максимальная унипотентная подгруппа груп-
группы G, то Л(Х)и является конечно порожденной ^-алгеброй (здесь через
Л(Х) обозначена ^-алгебра регулярных функций на X). Используя жорда-
(*) См. также «Проблемы Гильберта». — Прим. перев.
(**) См. примечание 2 в дополнении 3. — Прим. перев.
(***) Более точно: доказательство теоремы конечности, данное для
линейно редуктивных групп, проходит, конечно, в любой характеристике р,
см. Нагата [4], но при р > 0 запас таких групп слишком мал. В этой
связи встал вопрос о том, каким понятием следует заменить понятие ли-
линейной редуктпвности, чтобы, с одной стороны, для групп нового класса
была справедлива теорема конечности, а, с другой стороны, этот класс
включал бы, например, полупростые группы. — Прим. перев.
(****) См. также Дьёдонне, Керрол и Мамфорд [1, стр. 127].—Прим.
перев.
(*****) См. примечание 5 в дополнении 3. Подробный обзор по 14-й
проблеме Гильберта содержится в работе Хэмфри [2]; см. также коммен-
комментарии Мамфорда к 14-й проблеме Гильберта в «Трудах симпозиума по
чистой и прикладной математике». — Прим. перев.

2.5. Некоторые результаты о градуированных алгебрах 53
нову нормальную форму, отсюда несложно вывести теорему Вейцен-
бёка (*).
C) B.4.11) На самом деле утверждение 2.4.11 не является более об-
общим, чем 2.4.10. Оно вытекает из 2.4.10, если воспользоваться тем, что об-
образ линейной алгебраической группы при рациональном представлений
снова является линейной алгебраической группой; последнее следует из
элементарных результатов теории алгебраических групп, Борель [1,
стр. 68].
D) B.5.1) Это предложение принадлежит Гильберту (Гильберт [3,
§ 1]). Соответствующий результат для неградуированных алгебр обычно
называют теоремой Э. Нётер о нормализации (см., например, Ленг [1,
стр. 294] (**)). Любопытно отметить, что сама Э. Нётер в статье [2], где
используется теорема о нормализации, очевидно, рассматривает эту тео-
теорему как незначительную модификацию результата Гильберта 2.5.1 (Н?гер
[2, подстрочное примечание на стр. 184]) (***).
E) B.5.3) (а) Название «ряд Пуанкаре» использовано Бурбаки [1,
стр. 129]. Само же понятие встречается, однако, уже у Кэли в [1].
(Ь) Если в ситуации из п. 2.5.3 градуированная алгебра Л порождена
однородными элементами степени 1, то существует такой полином Н(Т) е
^0 [Т] (где Q обозначает поле рациональных чисел), что dirru Md =
=•■ H(d), если d достаточно велико (доказательство проводится по той же
схеме, что и в п. 2.5.4). Полином Н(Т) называется функцией Гильберта
модуля М (она введена Гильбертом в [2, IV]). Для произвольного кольца
такого полинома может и не существовать. Однако информация о М, до-
доставляемая функцией Гильберта, содержится также и в рядах Пункаре.
Результаты об асимптотических свойствах чисел dim*. Md содержатся
в п. 2.5.9
F) /2.5.11) По существу это предложение принадлежит Гильберту [3,
§ 8, 10].
G) B.5.12) В связи с предложением 2.5.11 и леммой 2.5.12 следует
упомянуть о приложении одной теоремы Розенлихта [1]. Мы отсылаем чи-
читателя к книге Бореля [1, гл- 2, § 6] за определением фактора по дей-
действию линейной алгебраической группы и описанием его свойств. В обо-
обозначениях п. 2.5.10 теорема Розенлихта утверждает, что для некоторого
плотного открытого инвариантного относительно G подмножества U в W
фактор U/G существует (G действует на W посредством р). Отсюда сле-
следует, что все орбиты p(G)-w (w e U) замкнуты и имеют одинаковую
размерность (в смысле алгебраических групп), равную, скажем, d. Отсюда
вытекает также, что tr deg* LG = dim W — d (****).
В свою очередь отсюда получается следующий результат, полезный
в приложениях предложения 2.5.11 (например, с его помощью устанавли-
устанавливается равенство md = d — 2 из п. 3.4.9).
Для любого w e W положим Gw = {g e G\g-w = w).
Пусть
(а) группа G удовлетворяет условию (Ь) леммы 2.5.12,
(*) См. примечание б в дополнении 3. — Прим. перев.
(**) В русских переводах книг Ленга [1], Мамфорда [1], Атьи и
Макдональда [1] эта теорема ошибочно приписывается М. Нётеру.—
Прим. перев.
(***) Отметим, что теорема Э. Нётер о нормализации на самом деле
справедлива и без предположения о том, что поле k бесконечно, см. Зарио
ский и Самюэль [1, т. 2, стр. 234]. — Прим. перев.
(****) См. примечание 7 в дополнении 3. — Прим. перев.

54 Гл. 2. Алгебра инвариантов
(Ь) существует такое плотное открытое подмножество U в W, что
Gw = {е} для всех w e U.
Тогда m(p) = dim W — dim G (*).
(8) (конец гл. 2). В этой главе мы обсудили некоторые общие свой-
свойства алгебр инвариантов. Однако, без сомнения, наше обсуждение далеко
от полноты. В этом замечании мы упомянем по крайней мере еще три важ-
важных результата общего характера, которые были опущены в основном
тексте.
(а) Теорема Гильберта о щепях сизигий», Гильберт [2, стр. 257]:
В наше время эта теорема формулируется в терминах, не имеющих
никакого отношения к инвариантам. Ее формулировка такова:
Пусть R = k [Т\, ..., Тг] (где k — произвольное поле) — алгебра по-
полиномов, градуированная так, что 7\ — однородный элемент степени di
A ^ I ^ г). Пусть М — конечно порожденный градуированный /^-модуль.
Тогда существует точная последовательность градуированных /^-модулей
где Fi — свободный модуль конечного ранга, a s ^ г (см. Картан и Эй-
ленберг [1, стр. 200, теорема 6.5] (**)). В приложениях этой теоремы к
теории инвариантов, скажем, в ситуации из п. 2.4.10, полагают М = S(V)°.
Предположим, что S(V)G = k[fu ..., fr], где ft — однородный полином
степени di. Тогда существует гомоморфизм ф: R-+S(V)G, для которого
чрG\) = fi. Этот гомоморфизм снабжает М структурой градуированного
/^-модуля. Поэтому мы имеем точную последовательность (*).
В рассматриваемой ситуации можно взять Fo = R, что непосредствен-
непосредственно следует из книги Каргана и Эйленберга [1] (**). Обозначая через /
ядро гомоморфизма ф, являющееся однородным идеалом в R («идеал со-
соотношений между образующими инвариантами fi, ..., />»), мы получим
тогда точную последовательность
0 -> Fs -> Fs-! ->...-> F,->/-> 0 (***).
(Ь) Теорема Гильберта — Мамфорда. См. Гильберт [3, V] и Мам-
форд [2, стр. 49, теорема 2.1] (где получены более общие результаты). Яс-
Ясное изложение в характеристике 0 можно найти в книге Дьёдонне, Кер*
рола и Мамфорда [1, стр. 203]. В произвольной характеристике она дока*
зана Кемпфом [1].
Пусть G a GL(V) — редуктивная линейная алгебраическая группа.
Пусть Vo cz V — множество точек, где обращаются в 0 все непостоянные
однородные инварианты группы G. Теорема Гильберта — Мамфорда описы-
описывает Vo. Напомним, что 1-параметрической (мультипликативной) подгруп-
подгруппой % в группе G называется непостоянный гомоморфизм алгебраических
групп GLi(k) -> G (отметим, что GL\(k) = k* как алгебраические группы,
где k* обозначает мультипликативную группу поля k). Теорема Гильбер-
Гильберта — Мамфорда формулируется так:
Пусть v е V. Тогда v ^ Vo в том и только в том случае, когда суще-
существует такая \-параметрическая подгруппа X группы G, что морфизм алге-
алгебраических многообразий ф: k* -+ V, определенный формулой ф(х) =
= X(x)-v% продолжается до морфизма ф: k-+ V с ф@) = 0 (****).
(♦) Равенство m(p) = dim W — dim G имеет место и в том случае,
когда G удовлетворяет условию (Ъ) леммы 2.5.12, а в W найдется такая
точка w, что группа Gw конечна; см. примечание 7 в дополнении 3. —
Прим. перев.
(**) См. примечание 8 в дополнении 3. — Прим. перев.
(***) См. примечание 9 в дополнении 3. — Прим.. перев.
(****) См. примечание 10 в дополнении 3. — Прим. перев.

2.5. Некоторые результаты о градуированных алгебрах 5£
Примеры см. в книге Дьёдонне, Керрола и Мамфорда [1, стр. 96—
105].
(с) Теорема Хохстера и Робертса (см. Хохстер и Роберте [1]). Эта.
теорема утверждает, что кольцо инвариантов редуктивной группы над по-
полем характеристики 0 является кольцом Коэна — Мэколея (*).
Цитируемая литература
Борель [1], Бурбаки [1], Вейль [1], Гильберт [1], [21,
[3], Гордан [1], Гроссханс [1], Гурвиц [1], Демазюр [1J,.
* J>
.]
tfa-
Дьёдонне, Керрол и Мамфорд [1], Картан и Эйленберг
Кэли [1], Ленг [1], Мамфорд [2], Нагата [1], [2], [3],
гата и Мията [1], Э. Нётер [1], [2], Розенлихт [1], Хабоуш;
[1], Хаджиев [1], Шешадри [1].
], Г
[1],
[2],
(*) Подробности см. в примечании 23 в дополнении З. — Прим. перев..

Глава 3. ГРУППА SL2(k)
В этой главе мы докажем, что группа SL2(k) редуктивна,
а также обсудим ряд результатов из теории ее инвариантов.
3.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И КООРДИНАТНАЯ АЛГЕБРА
ГРУППЫ SL2(k)
3.1.1. Пусть G = SL2(k). Определим следующие подгруп-
лы группы G:
( °l)
и положим w = \ - п I.Тогда G порождена Г, С/ и ш-
В самом деле, G = ГС/ (J UwTU (проверьте это).
Пусть pd — представление группы G в пространстве /?<i
всех однородных полиномов степени d от двух переменных
X и У (см. п. 1.4.9(а)). Положим
Элементы ei образуют базис в Rd. Пусть %i — рациональный
характер тора Г (т. е. рациональное представление Г->
-> GL\(k))y определенный формулой
/а О
Тогда
A)
для любого элемента t ^ Т.

3.1. Представления и координатная алгебра группы SL2(k) 57
3.1.2. Упражнения. A) Положим
а
/ 1 0\
/О а\
«) = (_ а-. о) (аеГ
Покажите тогда, что
у(— а) = wx (a) w~~l {a e k),
w(a) = x(a)y(— аГl) x (a) (a e k*).
Выведите отсюда, что SL2(k) порождена элементами х(а)
И W.
B) Пусть Vd, e — пространство симметрических полино-
полиномов Ф(ГЬ ..., Td)(=k[Tu ..., Td] (см. п. 1.5.4), обладаю-
обладающих следующими свойствами: (а) степень полинома Ф по
каждой из переменных равна е, (Ь) Ф (Т\ + #> • • •, Td-\- а) =
= Ф(ГЬ ..., Td) (aefe), (с) (Т{ ... Та)вФ(ТТ\ ..., 771) =
Покажите, что существует биекция ф|—>ф пространства
Vd, е на пространство таких однородных инвариантов Ф
группы SL2(k) в S(Rd), что (а) степень Ф равна е,
(b) a>(a(X — xiY), ..., (X-xrfy)) =аеФ(хь ..., jcd).
(Это вытекает из предыдущего упражнения и такого фак-
факта: если инвариант F^S(Rd) обращается в нуль на всех
полиномах, имеющих нулевой коэффициент при Xdy то F =
= о.)
Покажите, что степень полинома Ф, обладающего ука-
указанными выше свойствами, равна de/2.
C) В отношении деталей, связанных с этим упражне-
упражнением, см. Шур [1, стр. 47].
(а) Если а, т е ®d, то положим Да, %(Ти ..., Та) =
П((о--71т(*))- Покажите, что для любого Л > 0 полином
Ф(П, ..., Td)= S Да,т(Гь ..., Г/
обладает свойствами (а), (Ь), (с) из предыдущего упраж-
упражнения, причем е = 2h.
(b) Полином Д(ГЬ ..., Td)= П (Т{ — Т}J также обла-
<</
дает указанными свойствами (а), (Ь), (с)., причем е =
= 2d — 2 (соответствующий инвариант из S(Ra)t называет-
называется дискриминантом).

*58 Гл. 3. Группа SL2(k)
3.1.3. Лемма, (i) Если W — ненулевое инвариантное от-
носительно G подпространство в Ra, то е0 е W, ea^ W;
(ii) Если char k = О или char k = р > О и d = ph — 1, то
представление ра неприводимо (*).
Пусть х — какой-ли,бо ненулевой вектор из W\ запишем
<его в виде
где xi Ф О, a S — подмножество множества {0, ..., d}. Тогда
ввиду A)
Z d-2i @ et ge W
для всех /gT. Поэтому векторы %d-2i(t)ei (i e S) линейно
зависимы по модулю W. Из линейной независимости харак-
характеров %d-2i (см. Ленг [1, стр. 238]) вытекает тогда, что в{ е
^ Н7, если /eS (**).
Пусть ^^ е W. Тогда
e'"
Из тех же рассуждений, что и выше, получаем в/ е №, если
/ . 1 ф о (в k). Следовательно, ^0 е W. Тот факт, что ed e
^ U7, устанавливается аналогичным образом, если вместо
/1 1\ (\ 0\
II использовать I . - I. Это доказывает утвержде-
утверждение (i).
Что касается утверждения (ii), то его доказательство по-
получается теперь, если заметить, что биномиальные коэффи-
коэффициенты ( . 1 являются ненулевыми целыми числами и что
/ ph—\\ ( Ph — 1 ^
1 . ) Ф 0 mod р. Действительно, I . 1^(— 1) modp
(проверьте).
(*) На самом деле если char k = p > 0, то ра неприводимо тогда и
только тогда, когда d = sph — 1, где 1 < s ^ р\ см. примечание 11 в до-
дополнении 3. — Прим. перев.
(**) Действительно, пусть я: V-^V/W — канонический гомоморфизм
и уи, ..., yri — координаты вектора n(et), /gS, в каком-нибудь фиксиро-
фиксированном базисе пространства V/W. Тогда ]Г xi%d_2i(t) Уц = Ъ для лю-
бого / е Г, / = 1, ..., г. Ввиду линейной независимости характеров Xiy,i =
= 0, т. е. yji = O. Таким образом, п{е{) =0, т. е. et^W при ("gS.-
Прим. перев.

3.1. Представления и координатная алгебра группы SL2(k) 59
3.1.4. Лемма. Если char k = О или если char k = р > О а
d — ph — 1 ? jo яа 7?d существует такая невырожденная би-
билинейная форма ( , ), ^то (pd(g)-*:, Pd(g)y) = (x, у) для
всех g ^ G, х, у ^ Rd- Эта форма симметрична при четном d
и кососимметрична при нечетном d.
Определим форму, о которой идет речь, формулой
-1
леммы
где б«/= 1, если / = /, и 0 в противном случае. (Как видно
из доказательства леммы 3.1.3, в условиях доказываемой
(d\
I . 1=£0.) Эта форма невырожденна, поскольку
((-, eft) ¥=0 (см. Ленг [1, стр. 385]); последнее утверж-
утверждение леммы также ясно. Если теперь воспользоваться ре-
результатом из п. 3.1.1, то оставшаяся часть доказательства
вытекает из следующих упражнений:
3.1.5. Упражнения. A) Докажите, что для g = w, g^T,
g e U выполнено равенство
(P. (g) eh 9a (g) e}) = ( * ) (-1)' 6,, d4.
B) (d = 2). Пусть / (X, Y) = a{X- xxY) (X - x2Y), Г (X, Y) =
= a' (X — x[Y) (X — x'2Y^ — элементы из R2. Предположим,
что а Ф 0, а' ф 0 и что Х\, Х2, х{, Х2 — различные элементы
из k. Покажите, что (/, f') = 0 тогда и только тогда, когда
двойное отношение D (xv х2\ х\, х'2) = (хх — х[) (х{ — х2)~{ X
Х(х2-х[у{ (х2-х2) равно -1.
Пусть Rd==Hom{Rd1 k) — дуальное векторное простран-
пространство. Дуальное представление p*d определяется формулой
где gEG, x<=Rdi x*(=R*d.
3.1.6. Лемма. Пусть char k = 0 или char k = p > 0 и d =
= ph — 1. Тогда
(i) Rd и Rd изоморфны как й-модули\
(ii) Rd®kR*d изоморфно как G-модуль пространству
End (Ra) всех линейных преобразований пространства Rd, на
котором G действует по правилу (g, t) *—>Pd(g)tpd(g)-1.
Пусть ( , )—билинейная форма из леммы 3.1.4. Опре-
Определим линейное отображение qp: /?<*-> R*d по формуле

0 Гл. 3. Группа SL2(k)
Ф(х) (у) = (х, УI Тогда ф — изоморфизм G-модулей (про-
(проверьте). Тот факт, что Rd<8)kR*d изоморфно пространству
End(/?d), стандартен (см. Ленг [1, стр. 484]); изоморфизм ф
определяется формулой
/к \ к
г|> I Е xi ® хп (х) = £ х\ (х) xt.
Непосредственная проверка показывает, что он является
G-изоморфизмом.
3.1.7. Мы можем рассматривать SL2(k) как замкнутое
подмножество векторного пространства £4, состоящее из всех
таких точек (£, т|, £, t)> что £т— г]£ = 1. Функции на SL2(k),
индуцированные полиномиальными функциями на &4, обра-
образуют ^-алгебру А, называемую координатной алгеброй груп-
группы G = SL2(k). Ясно, что
A = k[x, у, zyt]^k[X, У, Z, T]/(XT-YZ- 1),
где х, у, г, t — координатные функции ( 11—> g и т. д. (*).
Группа G действует на А по формуле
(g • /) (h) = f (g~lh) (fe^gjG G). B)
Если a, 6, c, d — положительные целые числа, то поло-
положим fabcd = xaybzctd и обозначим через Ап подпространство
в Л, порожденное теми функциями fabcd, у которых а — Ь -j-
+ с — d = п (п е Z). Тогда Л„ — это множество таких
функций / е Л, что /(gs) = х«E)/(ёг) Для всех ?^С, sgT
(характер %я определен в п. З.1.1.), и
Если п ^ е, то обозначим через Л^ е подпространство в Л,
порожденное теми функциями fated, У которых a — b ~f-
(*) Действительно, отождествим ^4 с векторным пространством всех
( Х\\ Х\2 \
2 X 2-матриц, и пустьл^ : I li—> х^ — координатные функции
\ Х2\ Х22 /
на k\ Согласно п. 1.3.10, А = k [Xxu Xi2, X2u Х22]/У (SL2(k)). В силу тео^
ремы Гильберта о нулях 2f (SL2 (k)) == л/(ХпХ22 — Xi2X2i — 1)- Легко про-
проверить непосредственно, что полином ХпХ22 — Х2\Х2\ — 1 неприводим
(можно рассуждать и так: в противном случае квадратичная форма
^п^22 ^ Xl2X2i — U2 распадалась бы в произведение двух линейных форм
и, следовательно, ее ранг был бы ^2, что не так). Следовательно, идеал
(-V11X22 — ^i2^2i—1) прост и, значит, совпадает со своим радикалом.—
Прим. перев.

3.1. Представления и координатная алгебра группы SL2(&) 61
о.1.8. Лемма. Функции fabcd, для которых а + с = е, Ъ +
-f- d = е — я, образуют базис в АПу е.
Предположим, что
2-» aabcdfabcd = О*
а+с*=е
b+d*=e-n
Тогда в алгебре полиномов k[X, У, Z, Т] полином
F= 2 aabcdXaYbZcTd
делится на G = XT—YZ—l. Поскольку F однороден, a G
нет, отсюда следует, что F = 0; этим доказана линейная не-
независимость наших элементов. Тот факт, что они порождают
Ап, е> ВЫТекаеТ ИЗ равенства fabcd= /a+l, b, с, d+\ — fa, ft+l, c+l, dt
являющегося в свою очередь следствием равенства xt —
-уг = \.
Для любого d ^ 0 обозначим через Vd подпространство
в Л, состоящее из тех функций /, для которых f(gsu) =
—• %d(s)f(g) при всех g e G, 5 е Г, w e f/. Это — инвариант-
инвариантное относительно G подпространство в Л (относительно дей-
действия, определенного формулой B)).
3.1.9. Упражнение. Докажите следующие утверждения:
(a) VdczAd;
(b) пространство Vd — это множество таких элементов
f е л, что /I I зависит только от х и z и что /1 g 1=
(с) dim Kd = d+ 1.
3.1.10. Лемма. £с/ш char Л = 0 или char k = p>0nd =
= ph — 1, то G-модули Vd и R*d изоморфны.
Пусть eQ е /?^ — вектор, определенный в п. 3.1.1. Зададим
линейное отображение qp: Rd-> Л, полагая (фО (^) =
= ЦрЛ£)£о). В действительности ф является отображением
в Vd. В самом деле,-легко видеть, что если sgT, u^U,
g e G, то
= %d (s) I (pd (g) e0).
Легко также видеть, что ф является отображением G-моду-
лей.
Оно инъективно. Действительно, если ф/ = 0, то
Hpd(g)eo) = 0 для всех g e G. Из неприводимости представ-

62 - Гл. 3. Группа SL2{k)
ления pa (см. п. 3.1.3) вытекает тогда, что / = 0 (*). По-
Поскольку dim Vd = dim R*a = d + 1, мы получаем, что ф — изо-
изоморфизм G-модулей Ra и Vа-
3.1.11. Упражнение. Докажите следующие утверждения:
(a) Ап,е^Ае)е ® kAn-e,Oi dim Лл>е = (е + 1) (е — п+ 1);
(b) An> e = Re (8> */?*-/! (как G-модули);
(c) если char/г = 0 или char k = р > 0 и е = ph—1, го
А0,е = End(Re) (как G-модули);
(d) Ло совпадает с множеством тех функций |g/1, для
которых f{gs)=f{g) (g e G, s^T)\ кроме того, Ло =
= U А>, е» причем Ло, о с: Ло, i cz Ао, 2 с: ... .
3.1.12. Лемма. В Ло существует возрастающая последова-
последовательность (Vi)t^>\ таких конечномерных инвариантных отно-
относительно G подпространств, что AQ= \J Vtu для каждого I
найдется неприводимый G-модуль Eiy для которого Vi и
End(£/) изоморфны как G-модули.
Если использовать утверждение (ii) из леммы 3.1.3, то
эта лемма является непосредственным следствием упражне-
упражнения 3.1.11.
3.1.13. Теорема. Группа G = SL2(k) редуктивна.
Пусть р: G ->- GL(W) —какое-нибудь рациональное пред-
представление и w e W—{0}—такой вектор, что p(G)w = w.
Пусть / — такая линейная функция на W, что l(w) = 1. Оп-
Определим гомоморфизм G-модулей <р: W-+A, полагая
Ф W (g) = L(p(g)~lx) Для всех ^f,geC.
Пусть я: Л-^Л0 — проекция (возникающая из разложе-
разложения Л= © Ап, см. п. 3.1.7); тогда пц) — гомоморфизм G-mo-
kgZ
дулей W -+А0. Кроме того, ny(w) является постоянной функ-
функцией 1, так что яф ф 0. Образом отображения шр является
ненулевое конечномерное инвариантное относительно G под-
подпространство в Ло. Ввиду леммы 3.1.12 мы можем вложить
ny(W) в End(£) для подходящего неприводимого G-модуля
Е. Пусть f(x) = det (яф (л:)) (Ае W), где через det обозна-
обозначен определитель (как функция на End(£)). Тогда / являет-
является G-инвариантной полиномиальной функцией на W и /@) =
= 0, f(w) Ф0. Последний факт вытекает из того, что
жр(ку)—ненулевой элемент в End(£), коммутирующий с
(*) Линейная оболочка всех векторов pd(g)e0, 8 е ^» лежит в подпро-
подпространстве {v e Rd\l(v) =0}; с другой стороны, она инвариантна относи-
относительно G и, значит, совпадает с Rd. — Прим. перев.

3.2. Теория представлений группы SL2(k) (char k = 0) 63
действием группы G на Е (*). Ввиду леммы Шура (см.
п. 2.2.2) этот элемент ncp(w) является ненулевым скалярным
кратным тождественного отображения пространства £, и по-
потому его определитель отличен от нуля. Таким образом, / об-
обладает всеми необходимыми свойствами, предусмотренными
определением 2.1.1 A).
3.1.14. Следствие. Если char k = 0, то группа G =SL2{k)
линейно редуктивна, а любое рациональное представление
группы G вполне приводимо.
Это вытекает из пп. 3.1.13, 2.2.3 и 2.2.4, а также лем-
леммы 2.1.4. Относительно определения полной приводимости
см. п. 2.2.3.
3.2. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ГРУППЫ SL2(k) (char k = 0)
Мы будем считать теперь, что char k = 0.
3.2.1. Предложение. Любое неприводимое рациональное
представление группы G = SL2(k) эквивалентно некоторому
Ра (**).
Пусть р: G-^GL(V) —какое-нибудь неприводимое ра-
рациональное представление. Доказываемое утверждение озна-
означает, что G-модуль V изоморфен некоторому Rd. Ввиду
п. 2.3.3 в V существует такой базис (е*I</<л, что p{t)et =
() BCex t^T (в обозначениях п. 3.1.1). Пусть et
упорядочены так, что а\ ^ а2 ^ . .. ^ ап.
Поскольку р является рациональным представлением, су-
существуют такие полиномы /r e k[T], что
Из соотношения
U тГ'Ло lAo J = U I J «eft,
(*) Действительно, постоянная функция 1 неподвижна относительно
действия О на Л; значит, этой функции соответствует такое линейное пре-
преобразование h пространства Е, что ghg~l = h, т. е. gh = hg для любого
g e G. — Прим. перев.
(**) О том, как обстоит дело в характеристике р > 0, см. примеча-
примечание 11 в дополнении 3. — Прим. перев.

64 Гл. 3. Группа SL2{k)
вытекает тогда, что /г (^т|2) = Л^^ Д/1/* GD» откуда в свою оче-
очередь следует, что /,- = 0, если а,- < а„, и что /,• является кон-
константой, если at = an. Отсюда видно, что
Определим G-линейное отображение ф дуального к V про-
пространства V* в А с помощью формулы (ср(/)) (g) = l(p(g)en).
Поскольку G-модуль V неприводим, мы получаем (как и в
доказательстве леммы 3.1.10), что ф инъективно. Кроме того,
V* отображается с помощью ф в пространство Vа из п. 3.1.8,
т. е. (в силу леммы 3.1.10) ф является инъективным отобра-
отображением G-модулей V*->jR*a . Но тогда ф* определяет сюръек»
тивный гомоморфизм G-модулей Ra -> V (см. п. 1.3.10). По-
Поскольку Ra неприводим (см. лемму 3.1.3), отсюда вытекает,
что V изоморфен Ra , что и доказывает утверждение.
3.2.2. Пусть теперь р: G-^GL(V)—произвольное рацио-
рациональное представление. Ввиду теоремы 3.1.13 и предложе-
предложения 3.2.1 G-модуль V изоморфен прямой сумме G-модулей
типа Rd
что в дальнейшем мы будем записывать как
р^ 2 m(d)pd.
d>0
3.2.3. Лемма, (i) Для любого | е k*
4fr
(ii) Кратности m(d) однозначно определены представле-
представлением р.
(Здесь и далее через trh обозначен след преобразова-
преобразования /г, см. Ленг [1, стр. 363].)
Утверждение (i) получается рассмотрением следов, если
учесть формулу
+r
pd
которая вытекает из соотношения A),

3.3. Еще о теории инвариантов группы SL2(k) 65
Утверждение (И) вытекает теперь из того факта, что ко-
(I 0 \
эффициенты полиномиальной функции £»—>£^trpl _x I
(N достаточно велико) определены однозначно.
3.2,4. Упражнения. A) Покажите, что при d^e^G
имеет место изоморфизм G-модулей
(формула Клебша — Гордана) B),
(Указание: вычислите следы.)
B) Пусть е — автоморфизм пространства Rd® kRd, оп-
определенный формулой г(х® у) =г/® х. Он коммутирует
с действием G на Rd ® kRd- Покажите, что при изоморфизме
Г) /Оч Г) r>*s Г) /T> Г) /TN /T\ Г)
из упражнения A) автоморфизм е соответствует линейному
преобразованию, являющемуся умножением на (—1)' на про-
пространстве R2d-2i-
(Указание: воспользовавшись леммой Шура, установите,
что е определяет скалярное умножение на /?2<*-2/, а затем вы-
А 0 \ /£ 0 \
числите след преобразования epd I el I ® pdl -i )•)
3.3. ЕЩЕ О ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ ГРУППЫ SL2(k)
Мы по-прежнему считаем, что char k = 0. В этом разделе
мы обсудим некоторые классические результаты об инва-
инвариантах группы G=SL2{k) в ее представлении pd. Сначала
приведем несколько вспомогательных результатов. В сле-
следующих ниже леммах через V обозначается конечномерное
векторное пространство над k, а через t — его' невырожден-
невырожденное линейное преобразование. Это преобразование опреде-
определяет линейное преобразование пространства Sd = S(V)d, ко-
которое также обозначается через t. Его след обозначается че-,
рез tr{t, So).
3.3.1. Лемма. £ tr(/, Sd) Td = det(l —Г1Т)~\
d = 0
Это утверждение следует понимать так: произведение
формального степенного ряда от переменной Г, стоящего в
левой части равенства, на полином detA — t~lT) равно 1.
Тот факт, что поле k алгебраически замкнуто и имеет ха-

66 Гл. 3. Группа SL2(k)
рактеристику 0, в этом утверждении не играет никакой
роли (*).
Пусть ей ..., еп — базис пространства 1/, в котором t
имеет треугольную форму (**), т. е. такой, что tei является
линейной комбинацией вида 1гег + £ hiei- Коэффициент It
является тогда собственным значением преобразования /.
Обозначим через xi i-ю координатную функцию (т. е.
*i(Zi/e/)=S*). Тогда (к?1 ... хапп\ах+.. .+an = d} — базис
пространства Sd. При подходящей нумерации его элементов
линейное преобразование t является в этом базисе треуголь-
треугольным и элементы {g~fl» ... g~fl»\ax+ ... + ап = d] оказы-
оказываются его собственными значениями. Следовательно,
S tr(/, Sd)Td= S g"e« ... g;«
3.3.2. Для любых rf, 6gN (здесь и далее через N обо-
обозначается множество всех целых неотрицательных чисел)
определим рациональную функцию (Г) g Q (Г) следую-
следующим образом:
1 = 0, если d<e,
A_I*-«+i)...(l_r*)
(*) В самом деле, пусть & — произвольное поле, к — его алгебраиче-
алгебраическое замыкание и W — векторное пространство над k. Всякое линейное
преобразование h пространства W индуцирует естественным образом ли-
линейное преобразование h векторного пространства W(g>kk над k. Оче-
Очевидно, tr h == tr Л и det Л = det Л; поэтому при доказательстве леммы 3.3.1
можно заменить к на &, a t на t (что на самом деле и делается). — Прим.
перев.
(**) Существование такого базиса вытекает из алгебраической замк-
замкнутости поля к и (например) теории жордановой формы, см. Ленг [1,
стр. 445]. — Прим. перев.

3.3. Еще о теории инвариантов группы SL2(k) 67
Г dl
Тогда значение I A) определено и равно биномиальному
(d\
коэффициенту I I.
На самом деле I I (Г) является, как следует из упраж-
упражнения 3.3.3(с), полиномом с целыми коэффициентами.
Запишем поэтому
3.3.3. Упражнение. Установите следующие свойства:
L e
[
d г- i -|
(c) A + TU) ... A + T'U) = 2 [ e J еП • Te{e+mUe;
(d) A -Ш" ... A — rdt/)~' = У \(T)Ue.
*-^ L e J
Обозначим теперь через m(d, e) размерность простран-
пространства S(Rd)f всех однородных инвариантных полиномиальных
функций на Ra, имеющих степень е.
3.3.4. Теорема (Кэли — Сильвестр). Имеет место формула
m
(d, е) = у [d + е, е, ~ de) — у {d + е, е, ^ de — l) ,
где правая часть считается равной 0, если de нечетно C).
3.3.5. Следствие (закон взаимности Эрмита). m(d, e)
= m(e,d) (*).
Это вытекает из теоремы 3.3.4 и упражнения 3.3.3(а).
(*) На самом деле имеет место более общий факт: G-модули S(Ra)s
и S(Re)d изоморфны; см. примечание 12 в дополнении 3. — Прим, перев,

68 Гл. 3. Группа SL2(k)
Чтобы доказать теорему 3.3.4, обозначим через pa, e пред-
представление группы G в пространстве S(Rd)e- Положим
%d,e(l) = trpa,eI ,J. Ввиду леммы 3.3.1
о t
оо
у*
и в силу утверждения 3.3.3 (d) правая часть этого равенства
равна
е=0
J (|2).
следовательно, Х^ЛЮ = Г
В соответствии с леммой 3.2.3 мы можем записать
pi + l t-t-1
= mid, e, 0). Поэтому
откуда и вытекает утверждение теоремы.
3.3.6. Упражнения. A) Если m(d, e, i)—определенное
выше число, то
т (d, e, i) =
de i^ у [d + е е de i
— ji^ — у [d
+ e, e, jde — ji^ — у [d + е, е, ~^
B) Покажите, что число m(d, e, i) равно размерности
пространства G-инвариантов в пространстве S(Rd)e® kRi.
(Указание: воспользуйтесь упражнением 3.2.4.)
3.3.7. Если ЯG)еС(Г)—определенная в нуле рацио-
рациональная функция, то существует формальный степенной ряд
из Q((T)) (Q((T)) —это кольцо формальных степенных
рядов от переменной Т с коэффициентами в Q), который ее

3.3. Еще о теории инвариантов группы SL2(k) 69
лредставляет, скажем
оо
\1) == Z-» Я/i^ •
В этом случае мы будем писать ап = Н(Т)п.
В этих обозначениях ввиду теоремы 3.3.4 имеет место
равенство
A — Т ) ... A — Т ) Jdel2
и, более общо (см. упражнение 3.3.6 A)), равенство
г*+ 0 A - Td+2)... (l - г*+«) \
/ fi ^ Ч
... (l - г) \
^ Ч • C)
— Т) J(de-i)l2
Ниже (в разд. 3.4) мы обсудим некоторые частные слу-
случаи.
3.3.8. Пусть la = S(Rd)G\ это алгебра «инвариантов би-
ларных форм степени d». Она градуирована и конечно по-
порождена. Ее ряд Пуанкаре (см. п. 2.5.3) имеет вид
Pa(T)=Z m(d,e)Te.
Пусть md — степень трансцендентности поля частных Кл
алгебры 1й над подполем ky а о^1 — значение функции
<1 —T)mdPd(T) в 1. Из п. 2.5.10 следует, что Od является не-
ненулевым рациональным числом. Из результата, упомянутого
в примечании 7 к гл. 2, можно вывести, что trid = d — 2 при
й^Ъ (*). Ниже (в п. 3.4.9) мы установим этот факт другим
способом. Из предложения 2.5.11 мы получаем, что
£ m(d, e) = Odl(md\)-lnmd+O(nmd-1). D)
Пусть R= ф Rd~ алгебра полиномов k[X, Y] (см. при-
d ^ 0
мер 1.4.9(а)). Группа G действует на S(Rd)®kR, и мы по-
положим Cd={S(Rd)<g)kR)G' Это алгебра «ковариантов би-
бинарных форм степени d». Она «биградуирована» подпро-
подпространствами Cdei= (S(Rd)e(8) kRi)G. Ввиду упражнения B)
в п. 3.3.6 мы имеем dim Cdet = m(d, e, i).
Пространство Mdi = (S (Rd) <g) kRi)G является градуиро-
градуированным (и конечно порожденным) /^-модулем (см. п. 2.5.10);
(*) Из результатов, упомянутых в примечании 7 в дополнении 3, не«
трудно вывести, что на самом деле та — d — 2 при d ^ 3, тч = 1 и
^1 = 0. — Прим. перев.

70 Гл. 3. Группа SL2(k)
его ряд Пуанкаре, определенный в п. 2.5.3, имеет вид
Pdi(T)=Z m(dyeyi)Te.
Положим hdi = dimKd(Mdi ®idKd)- Ввиду предложения
2.5.11 мы имеем
t m (d, e, i) = hdio7l (md\)-lnm* + О (nmd'1). E)
Можно показать, что hdi равно 0 или /+ 1 (см. п. 3.4.10).
3.3.9. Алгебра ковариантов. Дадим другое описание ал-
алгебры ковариантов Cd. Пусть V = k2, S = S(V). Рассмотрим
элементы х, y^S\y определенные условиями дс(A, 0)) =
= г/(@, 1)) = 1, х(@, 1)) = г/(A, 0)) = 0. Существует ком*
мутирующий с G изоморфизм алгебр ср: S-+R, для которого
(рх = X еру = У (далее S и R отождествляются с помощью
этого изоморфизма). Поэтому существует коммутирующий
с действием G изоморфизм S(Rd) (g) kR = S(Rd) ® kS.
Пусть S(Rd, V)—алгебра полиномиальных функций на
Ra@V. Существует изоморфизм г|г. S(Rd) ® S~ S(Rd, V)y
определенный условием ^(/(8>g)(>\ v)=f(r)g(v) (проверь-
(проверьте это). Изоморфизм i|) коммутирует с действием группы G.
Поэтому мы можем (и будем) отождествлять Cd с алгеброй
инвариантов S(Rdi V)G (*). В этом случае Cdei отождест-
(*) Принятое в XIX веке определение «коварианта бинарных форм
степени d» получается отсюда следующим образом. Рассмотрим (следуя
классической традиции) базис (( . ) Xd~ 1У1) в пространстве Ra.
Пусть (a/)o<*<d —соответствующие координатные функции на Ra
I т. е. а(: У а^йЛхй~1У! ь-» a^ J. Тогда (uiH<i<dt X, У —координат-
ные функции на Ra Ф V в базисе | ( ) X ~1У1) , е{, е2. Стандарт-
0
ное действие элемента g e G на Ra 0 V определяет сопряженное действие
на (RadBV)* (см. п. 3.1.5), т. е. определяет соответствующую линейную
Замену переменных по, ..., аа, X, У. Ковариант в классическом понимании—
это полином от переменных а0, ..., аа, X, У, не меняющийся при всех ука-
указанных линейных заменах этих переменных, когда g пробегает G. В кон-
d
кретных терминах в XIX веке это выражали так: пусть2,ai ( . )^~*У*—
«общая» форма от X и У степени d\ заменяя в ней X и У соответственно
на аХ + ЪУ и сХ + dY, где ( ) е SL2 (k), и приводя подобные члены,
\с d J

3.3. Еще о теории инвариантов группы SL2(k) 71
вляется с пространством G-инвариантных полиномиальных
функций на Ra © V, являющихся однородными степени е по
первой переменной и степени / по второй.
Теперь мы можем описать некоторые специальные эле-
элементы алгебры Cd. Определим элемент cd\d <= Cd\d равен-
равенством Cd\d(f, v) =f(v) (*). Поскольку m(d, 1, d) = 1 ввиду
C), мы имеем С did = kcd\d- Из C) вытекает также, что
m(d, 2, 2d — 4) = 1 при d^2. Чтобы описать базисный эле-
элемент пространства Cd, % ъа-\, мы введем так называемый гес-
гессиан полиномиальной функции.
3.3.10. Упражнение. Пусть v0 e V — фиксированный не-
ненулевой вектор. Если с е Cd и c(f, vq) = 0 для всех f g ^j,
то с = 0 D).
3.3.11. Предположим временно, что V — произвольное ко-
конечномерное векторное пространство над k. Положим S =
= S(Vr). Если / е S, то на V ф V существуют такие полино-
полиномиальные функции fi, что
f(x + ty)=
для любых х, y^V, t e k. Если f — однородная функция
степени d, то fi — однородная функция степени d — i по пер-
первой переменной и степени / по второй. Кроме того, fo(x,y)=*
= f(x). Полиномиальная функция x\—>f\(x\ у) является про-
производной Dyf функции / в направлении у. Если g e GL(V),
то (g-f)i(x; у) = fi(g-lx; g~ly). В частности, g-(Dyf) =
= Dgy(g-f). Эти факты проверяются без труда.
Положим
/2 (х; У, г) = т (/2 (x\ y + z) — f2 (x; у) — /2 (х\ г)).
d
получим форму У, а[ f . \xd"iYli в которой каждый из коэффициентов
£=0
аь является линейной комбинацией коэффициентов а0, ..., а*. Ковариант —
это полином от а0, ..., па, X, У, не меняющийся при всевозможных ли-
линейных заменах переменных ао->ао, ..., o,d->ad, X->-dX — bY, У->
когда ( ) пробегает SL2(k). — Прим. перев.
\с d J
(*) Это действительно элемент из Сам, поскольку gCdid(f,v) =
— cd]d(g-lf, g^v) = g^fig^v) = / (gg-*v) = cd\d (f, v) для любого
g e G. Легко понять, что в обозначениях предыдущего примечания
d

72 Гл. 3. Группа SL2(k)
Поскольку функция уь->f2{x\y) является квадратичной,
отображение (у, z) ь->f2(x\ у, г) при фиксированном х опре-
определяет на V симметрическую билинейную форму.
3.3.12. Упражнение. Покажите, вычислив двумя различ-
различными способами коэффициент при tu в f(x-{-(t-{-u)y), что
f2 (*'» У) = (SPV) М)/2(отсюда вытекает тогда, что }2(х\ у, г) =
= ((DyDzf)(x))/2).
3.3.13. Пусть (e*)i<f<n— базис пространства V\ поло-
положим
H(f)x~det((DeiDe}f)(x)).
Из упражнения 3.3.12 вытекает, что
H(f)(x)=2ndet(f2(x; eu */)).
Полиномиальная функция H(f) называется гессианом по-
полинома f (относительно базиса (et)\<*<«)• Если f — одно-
однородный полином степени с/, то H(f)—однородный полином
степени n(d — 2). Отображение Н: Sd-* Sn(d~2) является од-
однородным степени п и коммутирует с SL(V), что вытекает
из следующей выкладки.
Пусть g <= GL(V)\ тогда
H(g-f)(g-x) = 2n det (f20; g-xeh g^)) = (det g)~2H (f) (x)
ввиду установленных в п. 3.3.11 свойств и известных резуль-
результатов об определителе билинейной формы. Аналогичным об-
образом устанавливается, что гессиан полиномиальной функ-
функции f относительно другого базиса пространства V является
скалярным кратным гессиана Н (f) (с множителем пропор-
пропорциональности, не зависящим от f)»
Пусть теперь снова V = k2, а (е*, е^) —канонический ба-
базис. Тогда Н определяет квадратичное отображение Sa ->•
-^S2d-4 (d^2), отличное от нуля (проверьте это). С по-
помощью изоморфизма ф из п. 3.3.9 мы получаем тогда квад-
квадратичное отображение Rd в R2d-4, коммутирующее с G =
= SL2(k), которое также будет обозначаться через Я.
Определим элемент cd, 2,2d-4 ^ Ca, 2,2d-4 равенством
СД«.М-4(/, v) = H(f){v){*).
(*) Здесь и далее по существу используется один общий прием по-
построения ковариантов. А именно, пусть т: Rt X • • • X #i -> Rm~— полино-
полиномиальное отображение (т. е. морфизм, см. п. 1.3.10), коммутирующее с дей-
действием группы G. Пусть d^Cd, i = 1, ..., s, — некоторый набор кова-
ковариантов, причем ci является однородным степени U по второй переменной.

3.3. Еще о теории инвариантов группы SL2(k) 73
Поскольку, как мы знаем, Cd, 2,2^-4 одномерно при d ^ 2, от-
отсюда следует, что Са, 2, ы-\ = kCd, 2,2^-4-
3.3.14. Упражнение (V = k2). Если feSd) H{f) = О, то
на I/ существует такая линейная функция /, что f(v) = /(u)d.
(Указание: определите полином фЕ^[Г] с помощью равен-
равенства / (ххех + х2е2} = хс{(р (х2/х{} и выведите для ср дифферен-
дифференциальное уравнение.)
3.3.15. Теперь мы опишем один принцип построения ко
вариантов, который широко использовался специалистами
по теории инвариантов в XIX веке. Из формулы Клебша —
Гордана (см. упражнение 3.2.4A)) следует, что существуют
ненулевые билинейные отображения хс /?dX Re-*Rd+e-2i@^:
^ i ^ min(d, e)), коммутирующие с действием группы G.
Более того, xi определено однозначно с точностью до скаляр-
скалярного множителя (проверьте эти утверждения). Ввиду упраж-
упражнения 3.2.4B) мы имеем xt{f, g) = (—l)%(g, /).
Если F^S(Ra, V), f e Rd, то определим F(f) gS с по-
помощью равенства F(f) (v) = F(f,v). Пусть теперь c^Cdei,
cr e Cde't'. Положим
Рассмотрим какой-либо элемент f e Rd. Ограничивая каждую из функций
ci на плоскость fX^ в Ra@V и отождествляя f X V с V, мы получим
элемент из #/#, который обозначим через &(/). (Таким образом, ci(f) (v) =
= ct(f,'V) для любого v е V; например, см. п. 3.3.9, Cdid(f) = f.) Рас-
Рассмотрим теперь функцию t(ci(/), ..., cs(/))e Rm. Меняя f, мы получим из
нее функцию из 5(^0У), которую обозначим через t(ci, ..., cs) (иначе
говоря, t(ci, ..., cs)(f, v) = t(ci(/), ..., cs(f))(o) для любых f<=Rd,
f eV). Оказывается, т(сь ..., c,d) ~ ковариант. В самом деле, пусть
^G. fe/?d> ^еК. Тогда (gc. (/)) (о) = с. (/) (^-^) = с. (/, ^-^) =
= ct (g~lgt, g-lv) = (^fc.) (gf, v) = c. (^/, v) = с. (^/) (о) и, значит, gc. (f) =
= сt (gf). Следовательно, (gx (cp ..., c^)) (/, v) = т (cp ..., cs) (g-lf, g~lv) =
(Mrt ^G))(I) A(f) ^(mte1)
))(^) (g1(f), , ^^(mte)
(£ /) s (/))) (g-lv) = т (c, (/), ...,c8 (f)) (v) = т (cb ..., c5) (/, v)
и, значит, ^т (cb ..., cs) = т (cb ..., cs). Например, если при s = 1, lx = d,
m — 2d — 4 (d ^ 2) в качестве т взять гессиан Я, а в качестве Ci — кова-
ковариант Cdid, то получится ковариант с<*, 2,2d-4 = H(cdid), определенный фор-
формулой H(Cdid)(f, v) = Я(с^14(/))(у) =H(f)(v). В XIX веке активно ис-
использовались отображения т, возникающие при s = 2, m = /i + h — 2£,
0 ^ i ^ min(/i, /2) из разложения Клебша — Гордана, — так называемые
трансвектанты, см. п. 3.3.15. Они задаются с помощью некоторых диффе-
дифференциальных операторов (см. п. 3.3.16 и примечание автора 2 к п. 3.2.4);
практическое нахождение коварианта т(сь с2) в этом случае сводится к
выполнению ряда дифференцирований по X и Y функций d и с2 (кото-
(которые рассматриваются как полиномы от ао, ..., ad, X, У, см. примечание к
п. 3.3.9) и выполнению с этими производными соответствующих алгебраиче-
алгебраических действий; см. примеры в примечаниях к п. 3.4.2, 3.4.3. — Прим. перевщ

74 Гл. 3. Группа SL2{k)
Тогда xh(c, c')^Cdte+ef.i+i'-2h (см. предыдущее примеча-
примечание. — Перев.) и т/1 (с, с') = (—\)hxh{c\ с). Коварианг
т/г (с, с') называется /z-м трансвектантом (по-немцки Ober-
schiebung) ковариантов с и с'. Ясно, что та продолжается до
билинейного отображения Са X Cd -> Cd.
Гордан [2, стр. 48 и 110] доказал, что алгебра ковариан-
ковариантов Cd порождена элементом cd\d из п. 3.3.9 и трансвектан-
тами т/1, т. е. что подалгебра в Са, содержащая саы и инва-
инвариантная относительно взятия трансвектантов тл, совпадает
с самой алгеброй Са E).
С помощью изоморфизма ф из п. 3.3.9 мы получаем отоб-
отображения Sa X Sa -*• Sd+e-2h, коммутирующие с G, которые
также обозначаются через тл.
3.3.16. Упражнения. A) Пусть f e Sd, g ^ Sd. Тогда мож-
можно взять
B) Отображение (f, §)ь~>т^(/, g) определяет на /?d би-
билинейную форму, обладающую перечисленными в лемме 3.1.4
свойствами.
3.4. ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДА ПУАНКАРЕ
Мы сохраняем предыдущие обозначения.
3.4.1. Пусть d — идеал алгебры Cd, порожденный всеми
однородными элементами положительной степени. Если В —
множество однородных элементов в Cj> образы которых в
Cdl{CdJ составляют базис этого векторного пространства,
то легко показать (с помощью соображений, близких к ис-
использованным в доказательстве леммы 2.4.5), что В — ми-
минимальное множество однородных образующих алгебры
Cd (*). В соответствии с терминологией XIX века такое мно-
множество В называется полной системой ковариантов. Возни-
Возникает задача определения такой полной системы для дан-
данного d. Разумеется, имеется также и (менее общая) соответ-
соответствующая задача для алгебры инвариантов /rf.
Эти задачи решены для маленьких значений d. Мы опи-
опишем коротко некоторые случаи F). За подробностями отсы-
отсылаем читателя к лекциям Шура [1, стр. 76—92]. Конечно,
после нахождения полной системы ковариантов остается за*
(*) См. примечание 13 в дополнении Ъ. — Прим, перев.

ЗА. Приложения ряда Пуанкаре 75
дача нахождения алгебраических соотношений между ними
(сизигий, см. примечание 8 к гл. 2), чтобы получить полное
представление о структуре алгебры ковариантов (аналогич-
(аналогично обстоит дело с инвариантами).
Обозначим через у элемент cd\d из п. 3.3.9. Пусть (ей е2)—
стандартный базис пространства V = k2. Будем отождест-
отождествлять /gS с таким полиномом FGfc[XJ], что f(xe\-\-
+ уе2) = F(x, у). Если с е Cdei, то мы будем говорить, что с
имеет бистепень (е, i). Если мы запишем
i
с (f, хе{ + уе2) = Е Cj (f) *'~ V»
/«о
то с/ будет однородной полиномиальной функцией на Ra сте-
степени е. Ввиду упражнения 3.3.10 отображение с i—> с0 являет-
является инъективным гомоморфизмом С<*-> S(Rd) (*). Функция Со
называется ведущим членом («Leitglied») коварианта с.
3.4.2. d = 2. В обозначениях пп. 3.3.6, 3.3.7, 3.3.8 мы
имеем
т B, е, i) =
= т(е, 2, i) =
Следовательно, тB, б, i) =0, если е — i/2 не является чет-
четным целым неотрицательным числом, и mB, e, i) = 1 в про-
противном случае.
Заметим теперь, что имеется инвариант /2 степени 2, т. е.
элемент пространства 5 (/?2)^ = С220, заданный формулой
/2 (а0Х2 + 2а^У + а2У2) = а? - а0а2.
Легко видеть, что f2 и у — алгебраически независимые эле-
элементы алгебры С2 (**),а полученные выше результаты о чис-
числах mB, e, i) показывают, что C2 = k[f2, у] (проверьте).
Вместо \2 мы можем также взять х2(у, у) (***).
3.4.3. d = 3. Пусть А = т2 (у, у), Q = п (у, А), /? = т2 (А, Д)'.
Мы утверждаем, что yt A, Q, /? образуют полную систему ко-
(*) Подразумевается,-что отображения Cdei-*-S(Rd), c\—>с0, продол-
продолжены на Са по линейности; возникающее отображение К: Cd-+S(Rd) опре-
определяется равенством (Мс))(/) = c(f, ^i) (для любого f^Rd), т. е. яв-
является гомоморфизмом сужения полиномиальных функций на простран-
пространстве RdtB V на плоскость RdX^i- — Прим. перев.
(**) Напомним, что у = а0Х2-{-2щХУ-{-a2Y2 (см. последнее примеча-
примечание в п. 3.3.9). — Прим. перев.
(***) Пользуясь упражнением 3.3.16A), мы получаем Тг(у» Y) =
(д2у/дХ*) (д*у/дУ*) — (д*у/дХдУу, где Y = а0Х2 + 2axXY + a2Y\ т. е/
у, у) = 2ао2а2— BахJ = —4/2. — Прим. перев.

76 Гл. 3. Группа SL2(k)
вариантов (их (бистепени равны соответственно A, 3), B, 2),.
C,3), D,0)).
Заметим сначала, что ведущие члены этих ковариантов
имеют следующий вид (с точностью до скалярного множи-
множителя). Если / = а0Х3 + 3a{X2Y + 3a2XY2 + а3У3 - элемент из /?3,
то Yo (/) — ао> ^о (/) = аоа2 —" аЬ Qo (/) == аоаг "" ^a0aia2 + 2а?,
/?п (f) = /?(/) = с£а2 — 6ana,aoaQ + Acljcu + 4a?aQ — За2а2 (это можно
установить с помощью упражнения 3.3.16A) (*)). Отсюда
легко вытекает, что у, А и R алгебраически независимы. Ввиду
формулы C) (в п. 3.3.7) мы получаем, что /и C,6, 6)= 2. По-
Поскольку Q2, y2#> Л3еС3бб, между ними должно быть линей-
линейное соотношение; как следует из рассмотрения ведущих чле-
членов, можно считать (умножая элементы на подходящие кон»
станты), что это соотношение имеет вид Q2 + Л3 + y2R = 0*
Ввиду упражнения 3.3.6A)
.ZodimC3e,= Z mC, e, i) = y(e+3, 3, [Зе/2]),
следовательно,
^^ Збt ~~~~ « /1 Т\ /1 Т*2\ /1 Т*3\ 1 *
Пусть число е четно, e = 2f. Тогда правая часть равна
' (i _ f2f+l) (l — г2^4) (l —
A - Т) A - Г2) A - Л)
что может быть преобразовано так:
/ A - г2^1) A - r2f+2) (l - г2^+3) Л л-С^+Цг2^2 +
V A - Г) A - Г2) A - Г*) Af V A - Г) A - Г2) A - Р)
(\- ту A - г2
_, 1 + уз + т* \ ( Т \ _( 1 + Т* \
— V A - г3J A - г6) hf ч о - 71J A - T2)h Mi - ^J (i - ^ W
С другой стороны, из известной нам информации о уу Д,
Q, /? вытекает (проверьте это), что подпространство в ф
(*) Пользуясь этим упражнением и тем, что у = а0Х3 + 3a{X2Y +
+ Sa2XY2 + ^3 (см* последнее примечание в п. 3.3.9), мы получаем после
некоторых вычислений Л == 36 [(aoa2 ~~ а1) ^ + (аоаз ~~ a\a<i) XY +
( - 4) Г2], Q = \08[Хг(а20а3- З^я^ + 2а?) + ^ (За^аз —
2) 2 ( 2 ^!) + г3 Cл1Л2Лз — 2а2 ~^
а1 — 44)- —ПРим. перев.
XY2 ( — За0а2аз + 6а2а3 —

ЗА. Приложения ряда Пуанкаре 77
порожденное произведениями степеней этих элементов, имеет
размерность, равную сумме чисел решений в натуральных
числах уравнений х + 2у + 4г = е и х -\- 2у + 4z = е — 3, а
эта сумма в свою очередь равна
V A — г) A — г2) A — г4) )е-
Если е = 2/, то вычисление, подобное проделанному выше,
показывает, что это равно
(
1 +
A _ Т2)
Отсюда следует, что если е четно, то подалгебра в С3, по-
порожденная у, A, Q, /?, содержит фС3е1-. Аналогичное рассуж-
дение показывает, что то же самое верно и если е нечетно.
Следовательно, у, A, Q, R порождают алгебру С3, а тогда
становится очевидным, что они образуют полную систему (*).
Из сказанного вытекает также, что С3 ^ k[X, У, Z, Л/(X2 -f-
;+y3 + z27-)
3.4.4. d = 4. Этот случай разбирается почти таким же об-
образом. Пусть A = t2(y,y), i = T4(Y,Y), * = ti(y, A), / =
= t4(y, А). Тогда y, A, i, t, j — коварианты бистепеней A,4),
B,4), B,0), C,6), C,0) соответственно. Имеется единствен-
единственное соотношение (при подходящей нормализации) /2 + Y3/ +
+ Y2Ai + A3 = 0. Эти 5 ковариантов образуют полную си-
систему. См. Гор дан [2, стр. 86].
Алгебра инвариантов /4 порождена алгебраически незави-
независимыми инвариантами i и / степеней 2 и 3 соответственно.
3.4.5. Теперь мы обсудим вопрос о вычислении ряда Пуан-
Пуанкаре /МЛ (следуя при этом книге Шура [1, стр. 85—86]).
Воспользуемся формулой
которая выводится из B) с помощью упражнения 3.3.3 (с) и
следствия 3.3.5. Из нее видно, что тE, е) = 0, если е нечетно.
(*) Для доказательства следует воспользоваться рассуждениями, при-
приведенными в примечании 13 из дополнения 3, а также равенствами
m C,1,3) = m C,2,2) = m C,3,3) = m C,4,0) = 1, вытекающими из форму-
формулы C) в п. 3.3.7. — Прим. перев.

78 Гл. 3. Группа SL2(k)
Для четного е мы имеем
тг\р, в) — у A _ г2) A _ г3) A _ Г) A _ Ть) ;5еу2
_Г I ^ -Г Т1 
V(l - Т) A - Г2) A - Г3) A - rV3e/2 V(l - Г) A - Г2J A - Г3)) '
Вычисление, подобное проведенному в п. 3.4.3, дает тогда
(loc. cit.)
1 + г'8
Значит, тE,4) = 1, тE,8) = 2, тE, 12) = 3, тE, 18)= 1.
Следовательно (проверьте), существуют однородный инва-
инвариант /4 степени 4, однородный инвариант /8 степени 8, такой,
что /8 и /2 линейно независимы, однородный инвариант [12
степени 12, такой, что /12, f\ и /4/8 линейно независимы,
и ненулевой однородный инвариант fi8 степени 18. Можно по-
показать, что /4, /в, f\2 алгебраически независимы над k, что
/i8 ^ k\jv /8, /12] и что /5 = fe[f4, /s, /12, /is]. За подробностями
мы отсылаем читателя к loc. cit., стр. 87—89.
Подобным же образом
*6 W J — A _ Г2) A - Г4) A -
Г4) A - Г6) A - Г10) '
и можно показать тогда, что /б = k[f2, /4, /б, /ю, /is], где /2,
/б, /ю—алгебраически независимые инварианты, a/^5&[
/4, /6, f 10]. См. loc. cit., стр. 89—92. При d = 5, 6 можно
также вычислить и ряд Пуанкаре Pdi(T) для ковариантов. На
самом деле в XIX веке такие ряды были вычислены для
d^. 10 и d= 12. Большую часть соответствующих результа-
результатов можно найти в работах Сильвестра [3], [4]. См. также
список литературы у Мейера [1, стр. 171—174].
Мы приведем здесь лишь формулы для Рт{Т) и Р%{Т)\
знаменатели имеют соответственно вид A — Г4)A — Г8)A —
_ 712JA _ 720) и A_72)A_73)A —Г4)A — Г5)A —
— 76) A — Г7), а числители — вид 1 + 2Г8 + 4Г12 + 4Г14 +'
+ 5Г16 + 9Г18 + 6Г20 + 9Г22 + 8Г24 + 9Г26 + 6Г28 + 9Р° +
+ 5Г32 + 4Г34 + 4Г36 + 2Г4Э + 748 и 1 + Т8 + Г9 + Г10 + Г18.
Полные системы ковариантов для d = 5 и d — 6 были оп-
определены Горданом [2, стр. 240 и 283]; они состоят соответ-
соответственно из 23 и 26 ковариантов. В обозначениях пп. 3.3.14 и
3.4.1 при d = 5 такая система состоит из следующих кова-
ковариантов:

ЗА. Приложения ряда Пуанкаре 79
Y, ф = Т2(у, у), / = п(т,Ф), * = т4(т, у), A=x2{i,i)f
ti(y, 0» t2(y, О» t3(y, i2)» T4(Y^'2)> T5(y, i3)» Т1(ф, О» т2(ф, О»
тз(ф,/2), T4(cp,i2), т5(ф,/3), т6(ф, i3), T2(U), T4(*,i2), T6(U3),
T8(/,t4),T9(/, t5),T10(Y2^'5)»T14(Y/,t7).
Полная система ковариантов для d = 8 была получена
совместными усилиями Галля и Сильвестра (Галль [2],Силь-
вестр [1]) (*).
Для d = 7 первый автор получил результаты, представ-
представляющиеся, однако, неполными (см. Галль [1]).
Проблема нахождения точного описания полной системы
ковариантов для произвольного d кажется безнадежной; это,
вероятно, и послужило причиной того, что математики
XIX века ее оставили.
Верхняя граница степеней элементов из d/(CdJ (в обо-
обозначениях п. 3.4.1) была дана Жорданом [1]. См. также
Грейс и Янг [1, стр. 338] (**).
Представляется разумным спросить, каково асимптотиче-
асимптотическое поведние размерности пространства сЦ(С%У ПРИ ^
стремящемся к бесконечности. Ответ на этот вопрос, кажется,
неизвестен.
3.4.6. Мы выведем теперь асимптотическую формулу для
чисел m(d,e) при фиксированном d. Сначала соберем инфор-
информацию о числовых константах, которые встретятся в вычисле-
вычислениях. Положим
0</<d/2
где d — целое число
3.4.7. Лемма. 0)
(п) с, = 8я-Ч</-3)! \
о
(iii) cd > 0.
о х
(*) Кольцо инвариантов описано Шиодой [1] (см. также дополне-
дополнение 2. — Перев.).
(**) Д. Хаджиев в [1] указал (неминимальную) систему однородных
образующих алгебры инвариантов 1П для произвольного п. См. также при-,
мечание 14 в дополнении 3. — Прим. перев.

80 Гл. 3. Группа SL2(k)
Мы имеем
/-о
Последнее выражение равно 0, поскольку аналитическая
функция (sh(t/2))d имеет в точке / = 0 нуль порядка d.
Для доказательства формулы (и) воспользуемся тем,
что (*)
f, a>0,
- = <! О, а = 0,
1 -|. а<0.
Отсюда вытекает, что
l( d\ .d-ъС? sin (Л/2- ')x \
(- 1)> ( . ) (d/2 - У)" ехр У37!" (d/2 - /) х\ Ц
(берется значение V— 1 с положительной мнимой частью),
Теперь заметим, что
Im
откуда вытекает, что
оо
d
о
(*) См., например, Маркушевич А. И., Краткий курс теории аналити-
аналитических функций, М., 1961, стр. 149. — Прим. перев.
eix/2__e-ix/2
(**) По формуле Эйлера sin (х/2)= ^ и> следовательно,
и
~2d(d/dx)d-3(sm(x/2))d=--lr J] (~1}/ (/ ) (dl
1 /-о
« - / ^] (- U7 ( ^ ) №/2 - /)d" ^^ (d/2) х- ~ Прим.
-Zpi{dl2-i)x
/~0

3.4. Приложения ряда Пуанкаре 81
Формула (и) получается отсюда последовательным интегри-
интегрированием по частям.
Из формулы (и) получаем, что при d ^ 4
/-о
Легко видеть, что подынтегральная функция положительна
(при 0<х<я), откуда и следует утверждение (ш).
3.4.8. Предложение. Пусть d ^ 5. £сли de ^егяо, то
(Относительно определения чисел m(die) см. п. 3.3.8.)
Запишем
A - TU) ... A - Г*£/) = Е (- 1)' ft (T) U{; F)
1=0
тогда ввиду упражнения 3,3.3 (с)
В соответствии с формулой B) (см. п. 3.3.7) отсюда выте-
вытекает, что если de четно, то
ш(А "-
Из леммы 2.5.9(ii) следует теперь, что
+(<<! <d—3I)"' (| W - 1) <<* + 2) f, A) - fi A)) m-8 + О (m'-<).
(/ + ) d
(*) Действительно, имеем \ —j^—dx=} \ —d__2 dxt а
/-о /я
/я °
(**) Если с?б нечетно, то m (с?, б) = 0, см. п. 3.3.4. — Прим. перев.
(***) Здесь автор использует закон взаимности Эрмита 3.3.5, разлагая
с помощью формулы F) числитель функции B), написанной для пг(е,
4). — Прим. перев.

82 Гл. 3. Группа SL2(k)
( d\
Ясно, что Ml) = l • I- Из F) вытекает, что
A _ гс/) ... (\-Tdu) ^ l-TU
(берется логарифмическая производная но Т правой части
равенства F)) и потому fi(l) = -ji(d + 1)( Л (*).
Подставляя все это в G), мы получаем, что
m(d, e) = c'd(d\ (d -
Доказываемое утверждение вытекает тогда из леммы 3.4.7*
Мы можем теперь определить числа та и od (введенные
в п. 3.3.8) при d ^ 5.
3.4.9. Предложение. Пусть d^5. Тогда m,d = d— 2 и
ojl = (d\yl Са/2 при четном d и ojl = (d\)~l Cd№ при нечетном
Используя тот хорошо известный факт, что
- О (пт} С***^
w \п ) \ )*
мы получаем из предложения 3.4.8 и равенства m(d,e) = O
(которое выполняется при нечетном de) следующие соотно-
соотношения:
Zf i cd (d\ (d - 2)!)-1 nd~2 + О (nd~*) (d четно),
m(d, e) = { t
0<e<n I T °d {dl {d " 2)!) nd~2 + ° (^) (d He4e™°)>
если d ^ 5. Сравнивая это с формулой D) из п. 3.3.8, полу-
получаем доказательство нашего утверждения.
3.4.10. Упражнение. Докажите, что целое число hat из
п. 3.3.8 равно 0, если d четно, а / нечетно, и равно /+1 в про-
(*) В предыдущем равенстве следует положить Т = 1 и, умножив
обе части на A — U)d, приравнять коэффициенты при U1. — Прим. перев*
(**) См. также предложение 2 в дополнении 1. — Прим. перев.
(***) См., например, Кречмар В. А. Задачник по алгебре. — М.: Фиа»
матгиз, 1961, стр. 71 и 319. — Прим. перев.

ЗА. Приложения ряда Пуанкаре 83
тивном случае. (Указание: воспользуйтесь формулами C) и
E) вместо B) и D).)
Завершая обсуждение, мы разберем вопрос об асимптоти-
асимптотическом поведении чисел Са при d, стремящемся к бесконечно-
бесконечности. Ввиду леммы 3.4.7(И) это то же самое, что и вопрос об
Г (smx)d ,
асимптотическом поведении интеграла \ dJ2 dx.
J X
о *
3.4.11. Лемма, lim d3/2 \ (si"*j tf* = -| FяI/2.
Поскольку
/9 ^-^ rf~3 V2
Л/2
достаточно доказать соответствующее утверждение для ко-
конечного интервала интегрирования [0, я/2]. Зафиксируем до-
достаточно малое е > 0. Поскольку функция (sin*)/* моно-
монотонно убывает при 0 ^ х ^ л/2, то (sin x) /x ^ (sin е) /г =
= 1—82/3! + £4/5! — ..., если г ^ х ^ я/2. Отсюда легко
вывести, что существует такая положительная константа а,
для которой
Л/2 d
-^4- dx = O (exp (-
При 0 ^ л: ^ е мы имеем
Следовательно,
Г (sin х) С ( 1 \
\ d,2 ^^ == ехР ^ (^е4) \ ^2 ехР I "" "б" ^2 j dx =
о о
= expO(de4)cT3/2 J л:2ехр(—-j-

84 Гл. 3. Группа SL2(k)
Возьмем теперь е = (In д)\л] d . Тогда легко видеть, что
я/2
tal
SfEl
oo
= \
откуда и следует утверждение леммы (*).
3.4.12. Из предложения 3.4.9 и леммы 3.4.11 вытекает су-
существование такой положительной константы Л, что
Предположим теперь, что d^5 и что, как и в п. 2.5.1, ал-
алгебра инвариантов Id (см. п. 3.3.8) цела над подалгеброй
k[fu ..., fd-2], порожденной алгебраически независимыми од-
однородными элементами (здесь мы используем равенство та=
= d — 2, доказанное в предложении 3.4.9). Пусть б/ —сте-
—степень полинома /у, тогда б/ ^ 2 (поскольку представление р^
группы SL2(k) неприводимо, см. лемму 3.1.3). Пусть б — сте-
степень поля частных алгебры 1й над подполем k(fu ..., fd-2)
(полем частных алгебры k[f\, ..., /d-2]). Мы имеем Od =
= 8~18\ ... б<*-2, см. п. 2.5.10. Таким образом, мы получаем
неравенства
и, следовательно,
(*) После интегрирования по частям дело сводится к нахождению
значения так называемого дополнительного интеграла вероятностей (или
Г"
интеграла Эйлера — Пуассона): \ е~~х* dx = -^-, см. Маркушевич А. И.
о
Краткий курс теории аналитических функций. — М.: Физматгиз, 1961,
с. 145. Таким образом, асимптотика чисел са при d-*-oo такова:
cd ~ 12 л/W (d — 3)\/d3/2 УлГ ^ \23/2dd~5/ed. Отсюда и из предложения
3.4.9 следует, что при г->оо имеются следующие асимптотики:
о2г — 8 -у/я г9/2/3 Уз" и о2г+1 ^ 16 Уя г9/2/3 Уз". — Прим. перев.

Примечания 85
Это означает, что б стремится к бесконечности вместе с d (*).
Другими словами: для больших значений d алгебра Id весьма
далека от того, чтобы быть порожденной d — 2 алгебраически
независимыми однородными элементами (**).
Примечания
(!) C.1.13) Читатель заметит, что единственное свойство группы G,
использованное в доказательстве теоремы 3.1.13, — это свойство, описан-
описанное в лемме 3.1.12. На самом деле лемма 3.1.12 может быть доказана для
всех полупростых линейных алгебраических групп (см. Хабоуш [1], Дема-
зюр [1]). При этом приходится привлекать теорию подставлений полу-
полупростых групп, в частности свойства представлений Стейнберга.
B) C.2.4) Это обычная формулировка (принятая в настоящее время)
формулы Клебша — Гордана для SL2(k). Оригинальный результат («ряд
Клебша — Гордана» в терминолгии XIX века) был несколько иным, мы
опишем его ниже. В наше время название «ряд Клебша — Гордана» (см.,
например, Хамермеш [1]) относится к другому понятию.
Результаты Клебша и Гордана (см., например, Гордан [2, стр. 86])
можно рассматривать как уточнение структуры разложения Ra ® kRe из
п. 3.2.4 A). Вот их краткое описание.
Пусть V = k2 и Sa, е — пространство функций f(x, у) на V© V, одно-
однородных степени d по первой переменной и степени е — по второй. Тогда
Sd,e^Rd® kRe (как G-модули).
Пусть (еи е2) — канонический базис пространства V; определим эле-
элемент 6eSh формулой 6(х, у) =Х\у2 — х2у\ (где х = ххех + х2е2, у =
= У\е\ + #2^2) • Если f e Sd, e, то определим Af (x, у) как коэффициент при
t в разложении f(x-\-ty, у) по степеням /. Заметим, что Af(x,x) = df(xr
х). Тогда Af e Sd-i, e+i. Заметим также, что Af(x, у) получается диффе-
дифференцированием f(x, у) как функции своей первой переменной в направле-
направлении у (см. п. 3.3.11).
Тогда имеет место следующий результат, называвшийся в XIX веке
«разложением в ряд Клебша — Гордана» (см., например, Гордан [2, § 7]
или Грейс и Янг [1, гл. IV]):
Предположим, что d ^ е, и пусть f e Sd, e. Тогда существуют такие
однозначно определенные полиномиальные функции fi ^Sd+e-2i(V), что
f (х, у) = t 5 (*. УI О*"' ft) (x, У). (*)
Пусть Si = S(V)i (обозначения те же, что и п. 1.1.1). Чтобы доказать
это утверждение, определим линейное отображение ср пространства Sd+еШ
©Sd+e-2©- . .®Sd-e В Sd,e, ПОЛОЖИВ <p(f0, fb •••, fe) (где fi S Sd+e-2i)
равным полиномиальной функции, определенной правой частью равенства
(*). Докажем, что ф инъективно. В самом деле, если (p(f0, ..., Ы = 0, то,
(*) Строго говоря, б не определено по d однозначно и зависит от вы-
выбора полиномов fi, ..., fd-2. Поэтому здесь естественно понимать под б
минимум степеней поля частных алгебры Id над подполями вида k(f\, ...
..., fd-2), когда fi, ..., fd-2 пробегает всевозможные наборы таких алге-
алгебраически независимых однородных полиномов, что алгебра Id цела над
k [fi, • • •, fd-2]' — Прим. перев.
(**) Исчерпывающий ответ на вопрос о том, при каких d алгебра Id
порождена алгебраически независимыми однородными полиномами, содер-
содержится в дополнении 1 (следствие 5). — Прим. перев.

$6 Гл. 3. Группа SL2(k)
подставляя у = х в правую часть равенства (*), получаем /о = 0 (*). Сле-
Следовательно,
•откуда аналогичным образом находим, что f\ = 0, и т. д.
Поскольку dim Sa, e = d\m(Sd+e © ... © Sd-e), из инъективности ото-
отображения ф вытекает его сюръективность. Кроме того, ф коммутирует с
действием группы G.
Предыдущий результат можно рассматривать как более точное описа-
описание разложения из п. 3.2.4 A). Можно пойти и дальше и дать явное опи-
описание функций ft в терминах функции f, используя соответствующие диф-
дифференциальные операторы (см. Мейер [1, стр. 213], Гордан [2, стр. 84—
86] или Вейценбёк [1, стр. 139]).
C) C.3.4) Эту формулу без доказательства указал Кэли в 1856 г.,
см. Кэли [1, стр. 265]. Впервые она была доказана Сильвестром [2] в
1878 г. В литературе можно найти несколько различных доказательств.
Они кажутся более сложными, чем доказательство, приведенное здесь.
Теорема взаимности Эрмита 3.3.5 относится к 1854 г.
D) C.3.10) Более точное утверждение содержится в теореме Робертса,
которая в условиях п. 3.3.10 может быть сформулирована следующим об-
образом. Пусть И — подгруппа группы G, элементы которой оставляют непо-
неподвижным вектор v0. Пусть F — полиномиальная Я-инвариантная функция
на Rd. Тогда существует единственный ковариант с, для которого c(ft
vo) = F(f).
Доказательство (для SLn(k)) можно найти в книге Шура [1, стр. 28].
Теорема Робертса датирована 1861 годом (**).
E) C.3.15) Традиционно трансвектанты излагаются с помощью «сим-
«символического метода» (см., например, Гордан [2], Грейс и Янг [1], Вейцен-
-бёк [1]), связывающего посредством линеаризации коваоианты с инва-
инвариантами представления группы G в пространстве V©...© V. Теория ин-
инвариантов такого представления поддается контролю (см. примечание 4
к гл. 1). В частности, символический метод используется для доказатель-
доказательства только что упомянутого результата Гордана.
О символическом методе см. Дьёдонне, Керрол, Мамфорд [1, стр. 57—
6i].
F) C.4.1) Ссылки на литературу XIX века см. у Мейера [1, стр. 150—
152].
G) C.4.9) Этот результат принадлежит Гильберту [3, стр. 312 и 314].
См. также примечание 7 к гл. 2.
Цитируемая литература
Вейценбёк [1], Галль [1], [2], Гильберт [3], Гордан [2],
Грейс и Янг [1], Демазюр [1], Дьёдонне, Керрол и Мамфорд
[1], Жордан [1], Кэли [1], Ленг [1], Мейер [1], Сильвестр
[Г], [2], [3], [4], Хабоуш [1], Хамермеш [1], Шур [1].
(*) При такой подстановке правая часть равенства (*) будет равна
Aef0(x, х), что в силу сказанного выше равно (d + е)е\0(х, х) = (d +
~{- е) ef0. — Прим. перев.
(**) См. примечание 15 в дополнении 3. — Прим. перев.

Глава 4. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ
4.1. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
4.1.1. В этой главе обсуждается ряд результатов теории
инвариантов конечных групп. Мы будем считать, что k = С.
Пусть V—конечномерное комплексное векторное простран-
пространство размерности п. Положим S = S(V), и пусть К—поле
частных алгебры S.
Обозначим через GczGL(V) конечную группу линейных
преобразований пространства V. Ее порядок обозначим че-
через \G\.
В соответствии с предложением 2.3.2 и теоремой 2.4.9 или,,
проще, с упражнением 2.4.4 алгебра SG инвариантных отно-
относительно S полиномов конечно порождена над С. Группа G
действует как группа С-линейных автоморфизмов поля /С
Пусть К° — поле инвариантов этого действия.
4.1.2. Лемма, (i) Алгебра S цела над SG;
(И) поле KG является полем частных алгебры SG;
(iii) поле К является конечным расширением поля KG сте-
степени | G |.
Утверждение (i) вытекает из равенства Ц (f — g"-f) = O,
G
g
где [gS. Утверждение (ii) уже было доказано в лемме
2.5.12(а), а утверждение (iii) является следствием хорошо
известных результатов теории Галуа (см., например, Ленг
[1, стр. 221]).
Будем обозначать ряд Пуанкаре Psg(T) через Pg(T), т. е*
В случае конечных групп имеется явная формула для рацио-
рациональной функции, представленной рядом Pg(T).
4.1.3. Предложение. Имеет место формула (*)
ge=G
(*) Эта формула была открыта в 1897 г. Молином, см. Молин [1], и
в этой связи ее иногда называют формулой Молина, см. Стэнли [2].—
Прим. перев.

Гл. 4. Конечные группы
Эта формула вытекает из леммы 3.3.1 и следующей леммы
(примененной к образу группы G в пространстве Sd).
4.1.4. Лемма, dim FG = \G f1 £ tr(g, У).
gezG
Как и обычно, через VG здесь обозначено подпространство
пространства V, состоящее из элементов, неподвижных отно-
относительно всех преобразований g e G. Доказательство фор-
формулы 4.1.4 вытекает из того, что линейное преобразование
ge G
является проекцией пространства V на подпространство VG
(см. доказательство предложения 2.3.2) и потому dim VG —
t(PV)
Пусть теперь /ь ..., fn — такие алгебраически независи-
независимые однородные элементы алгебры SG, что SG цела над
^[fi, ..., fn] (см. предложение 2.5.1). Отметим, что число
этих элементов равно п = dim У, потому что степени транс-
трансцендентности полей частных алгебр SG и S совпадают (в силу
леммы 4.1.2). Пусть dt — степень полинома ft, a d — степень
поля KG над подполем C(fi, .,., f«). Тогда
U
где FG)gZ[J] и F(l) = d (см. теорему 2.5.6).
4.1.5. Следствие. Имеет место формула
Иначе говоря, порядок градуированной С-алгебры SG
(см. 2.5.7) равен порядку группы G.
п
Поскольку d И ЙГ1 равно значению функции A —
t=i
—T)nPG(T) при Т = 1, наше утверждение вытекает из пред-
.ложения 4.1.3 (*).
(*) Поскольку |G| < оо, каждый элемент g^G имеет конечный по-
порядок и, значит, обладает базисом из собственных векторов (действи-
(действительно, жорданова форма такого элемента не может содержать жордано-
вых клеток порядка ^2). Значит, функция A — T)ndet(l — gT) ~~l = (\ —
п
— Т)п ТТ A"~at^)~1' где аь •"' а« — собственные числа оператора g, рав-
равна 0 при Т = 1, если g ф 1 (и равна 1, если g = \). — Прим. перев.

4.1. Некоторые общие результаты 89
Будем говорить, что элемент g e G является отражением,
если ровно п—1 из его собственных значений равны 1 и,
кроме того, в V существует базис, состоящий из собственных
векторов преобразования g (*).
4.1.6. Следствие. Число отражений в группе G равно
£(i)(y().
п
Из леммы 2.5.9 (i) вытекает, что£ (dt — 1) — 2F (l)~l F' A)
равно значению функции
2| G | A — Т)п PG (Т) - 2 A - Г)
в 1. Ввиду предложения 4.1.3 это число совпадает со значе-
значением в 1 функции
2 Z (\-T)n-ldei(l-Tgyl (**).
g — отражение
Пусть g — отражение из группы G, и пусть £ — его соб-
собственное значение, отличное от 1. Тогда
что при Т = 1 принимает значение 1. Отсюда и вытекает нуж-
нужное нам утверждение.
4.1.7. Упражнения. A) Пусть п=1. Тогда G является
циклической группой. Найдите SG и PG.
B) Пусть G — группа порядка 2, порожденная скалярным
умножением на —1. Найдите SG и PG. Пусть d — то же, что
и в п. 4.1.4; покажите, что d ^ 2п~1.
(*) Как видно из предыдущего примечания, условие существования
указанного базиса излишне. — Прим. перев.
(**)Это вытекает из того, что, согласно примечанию к доказательству
п — m с
следствия 4.1.5, в формуле det A — gT) == A — Т)т JJ A — о.(Т)9 он ф 1,
i-i
i= I, ..., п — т, число т будет равно п (соответственно п—\) тогда и
только тогда, когда g = 1 (соответственно g — отражение). — Прим. перев.

90 Гл. 4. Конечные группы
4.2, ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ КОНЕЧНЫХ ГРУПП,
ПОРОЖДЕННЫХ ОТРАЖЕНИЯМИ
4.2.1. Следующие упражнения дают несколько примеров
групп, порожденных отражениями. По ходу дела в этой главе
появятся и другие примеры.
4.2.2. Упражнения. A) Если м=1, то G порождена от-
отражениями.
B) Пусть V = О, a G — группа, элементы которой осу-
осуществляют всевозможные перестановки элементов канониче-
канонического базиса в С". Тогда G изоморфна симметрической груп-
группе @Л. Покажите, что G порождена отражениями.
Пусть WaCn— подпространство, состоящее из векторов,
сумма координат которых равна 0. Тогда подпространство W
инвариантно относительно G и G индуцирует на W группу,
порожденную отражениями.
4.2.3. Прежде чем двигаться дальше, укажем несколько
простых свойств отражений, которые будут использованы
ниже. Доказательства предоставляются читателю.
Пусть 5 e G — отражение. Неподвижные относительно s
элементы пространства V образуют гиперплоскость (т. е.
(п—1)-мерное подпространство) Hs. Она называется гипер-
гиперплоскостью, отражающей гиперплоскостью, или зеркалом от-
отражения 5. Зафиксируем такую линейную функцию ls ^ S\ на
пространстве V, что Hs— множество ее нулей. Такая функ-
функция Is определена однозначно с точностью до скалярного
множителя. Пусть es — собственное значение преобразования
5, отличное от 1. Тогда существует такой собственный вектор
aSt отвечающий этому собственному значению, что
sv = v + ls (v) as
и, следовательно, ls(as) = e>s—1. В таком случае имеет ме-
место равенство s~~lv = v — ej1/*^) (as). Значит, для любого по-
полинома /eS разность 5-/ — / делится на ls (*). Положим
5./ = / + /,(Д,/). A)
Тогда As отображает Sd в Sd-\ и As(fg) = f (&sg) + (Asf)g +
+ /s(As/)(Asg) (**) для любых /, ge=S.
(*) Легко видеть, что это достаточно доказать для координатных
(или, более общо, для линейных) функций. Пусть f линейна; тогда из пре-
предыдущей формулы (s-f — f)(v) = f (s~lv)—f (u)=f (о)—ej1^ (v) f (as) —
—f (y)=— e~lf (as) I8(v), т. e. s-f — f^ — ejV (as) 18.—Прим. перев.
(**) Это равенство вытекает из соотношения s-(fg) = (s-f)(s-g). От-
Отметим, что из A) вытекает равенство Asf = 0, если f e SG, а значит, и ра-
равенство ks(fg) = f(&sg), если f &SG. — I7puM. перев.

4.2. Теория инвариантов конечных групп 91
4.2.4. Лемма. Пусть I — такая ненулевая линейная функ-
функция на V, что s-l = cl (cgC*). Тогда либо с=1, либо
с = &71и I отличается от ls лишь скалярным множителем.
Функция As/ является константой. Если сФ 1, то из A)
вытекает, что I является скалярным кратным функции /s.
Утверждение вытекает тогда из того, что s/5 = ej1/s«
Основной результат теории инвариантов групп, порожден-
порожденных отражениями, содержится в следующей теореме.
4.2.5. Теорема. Следующие свойства конечной группы G
эквивалентны:
A) G является конечной группой, порожденной отраже-
отражениями;
B) S является свободным градуированным модулем над
5°, обладающим конечным базисом;
C) SG порождена п алгебраически независимыми одно-
однородными элементами (*) (*).
Мы докажем импликации A)=^>B)=^C)=^>A). Для дока-
доказательства понадобится несколько лемм. В первой из них k
может быть произвольным полем.
4.2.6. Лемма. Пусть S — произвольная градуированная
k-алгебра с So = k и R — ее градуированная подалгебра. Обо-
Обозначим через I однородный идеал в S, порожденный однород-
однородными элементами из R положительной степени. Пусть
(еа)а€=А — такое множество однородных элементов из S,4to
(еа-{-1)а<=А —базис векторного пространства S/I. Тогда эле*
менты еа порождают R-модуль S.
Пусть М — градуированный /^-подмодуль в S, порожден-
порожденный элементами еа. Докажем индукцией по d, что Md = Sa.
При d = 0 это так. Пусть d > 0; предположим, что утвержде-
утверждение доказано для степеней, меньших d. Если теперь f^Sa*
то мы можем записать / в виде конечной линейной комбина-
комбинации
где са е k, rp e /?, a /3 — однородный элемент степени, мень-
меньшей d. По предположению индукции [pGM, Следовательно,
Пусть теперь G, как и раньше, — конечная группа, по-
порожденная отражениями. Пусть / — однородный идеал в S,
(*) См. также примечание 16 в дополнении З.—Прим. перев*

92 Гл. 4. Конечные группы
порожденный однородными элементами из SG положительной
степени. Мы находимся тогда в ситуации леммы 4.2.6 с
R = SG.
4.2.7. Лемма. Пусть Xi^SG, yi^S (I ^i ^ m)— такие
однородные элементы, что хху\ + ... + xmym = 0. Если хх ф
<£SGx2 + ... +SGxm, тоух<=1.
Рассмотрим на S оператор P = \G\~~l 2 g. Он является
g€=G
^-линейным отображением S->SG, тождественным на SG
(см. доказательство леммы 4.1.4). Докажем лемму индукцией
по степени d элемента у\. Если d = 0, то существуют такие
элементы z2i ..., zm ^ S, что х\ = z2x2 + ... + zmxm, и
мы получаем противоречие, так как х\ = (Pz2)x2 + •••
... + (Pzm)xm^SGx2-\- ... -fSGA:m. Предположим, что d > 0 и
что утверждение верно для меньших степеней. Пусть s ^ G —
отражение. Рассматривая, как и в п. 4.2.3, отображение А5,
мы получаем
Из предположения индукции вытекает, что &8у\ ^ /, и, следо-
следовательно, sy\ — yi^I для любого отражения 5 из группы G.
Поскольку группа G порождена отражениями, отсюда сле-
следует, что gyi — у\ ^ / для всех g ge G (проверьте это) и, зна-
значит, у\ — Ру\ е /. Таким образом, у\ ^ /.
4.2.8. Лемма. Пусть уи ..., ут — такие однородные эле-
элементы из S, что их классы по модулю I линейно независимы
в векторном пространстве S/I. Тогда уи ..., ут линейно не-
независимы над SG.
Предположим, что Х\у\ + ... + хтут = 0, где xi e S°-
Ввиду леммы 4.2.7 мы можем записать х\ = z2x2 + .. •
... + zmXm, где Zi e 5°, и, значит,
Х2{У2 + 22У\)+ ... + Хт (ут + Zmyi) = 0.
Используя индукцию по т, мы можем считать, что х2= ...
... = хт = 0, откуда и вытекает утверждение леммы.
4.2.9. Теперь можно доказать импликацию A)=#>B) тео-
теоремы 4.2.5. Используя предыдущие обозначения, выберем в
S такие однородные элементы (еа)а(=А, чтобы (еа + /)ае=д об"
разовывали базис пространства S/I. Из лемм 4.2.6 и 4.2.8 сле-
следует, что S является свободным модулем над 5° с базисом
(еа)аеЛ. Остается показать, что этот базис конечен. Ясно, од-
однако, что (еа)ае=л является также базисом поля частных К
(*) См. примечание к п. 4.2 3 — Прим. перив.

4.2. Теория инвариантов конечных групп 93
алгебры S над полем частных алгебры SG. Утверждение о ко-
конечности вытекает теперь из леммы 4.1.2. В действительности
эта лемма дает даже более точную информацию: указанный
базис состоит из | G | элементов.
Следующая лемма дает доказательство импликации
B)=фC) из теоремы 4.2.5.
В этой лемме k — произвольное поле характеристики 0, а
S = k[Tu ..., Тп]—градуированная алгебра полиномов над k.
4.2.10. Лемма. Пусть R— такая градуированная подал-
подалгебра в 5, что R-модуль S является свободным и имеет ко-
конечный базис, состоящий из однородных элементов. Тогда в R
существуют такие однородные алгебраически независимые
над k элементы fь ..., fn, что R = k [fь ..., fn].
Алгебра S является целой над R (см., например, Ленг
[1, стр. 269]). Из леммы 2.4.3 вытекает, что алгебра R ко-
конечно порождена над k. В частности, R — нётерево кольцо.
Пусть /?+ — идеал в /?, порожденный однородными элемен-
элементами положительной степени. Выберем в R такие однородные
элементы fu ..., fm, что /?+=/?fi + ... + Rfm, и пусть {fi, ...
..-, fm}—минимальное множество с указанным свойством,
т. е. из него нельзя удалить ни один из элементов, не нарушив
это свойство. Так же как и в доказательстве леммы 2.4.5,
можно проверить, что R = k [/ь ..., fm]. Чтобы завершить
доказательство леммы 4.2.10, мы покажем, что элементы
/ь ..., fm алгебраически независимы.
Предположим, что это не так. Тогда существует такой не-
ненулевой полином h^k[Xu ..., Xm], что А(/ь ..., fm) = 0.
Предположим, что h имеет минимальную возможную степень.
Положим gi = (dh/dXi) (fi, ..., fm); тогда не все элементы
gi равны 0. Можно считать, что gi — однородные элементы
алгебры R (проверьте это). Пусть / — идеал в /?, порожден-
порожденный элементами gu ..., gm\ в множестве {gu ..., gm) выбе-
выберем минимальную систему образующих идеала /, пусть это
будет {gu ..., gs). Таким образом, существуют такие одно-
однородные элементы щ ^ R A ^ / ^ 5, 5 + 1 ^ / ^ т), что
Пусть hu = dft/dTi (I < t < m, 1 < f < я). Тогда
0^ f)

94 Гл. 4. Конечные группы
Положим
Пусть (е<х)ка<*— однородный базис алгебры S над Л и
Тогда
а
s
l
и ввиду выбора элементов gu ..., gs получаем, что ненуле-
вые элемнты г«/а должны иметь нулевой постоянный член (*).
Следовательно, мы можем написать
l X
Л-1
Пусть d/ — степень элемента //. Поскольку /,• однороден (**),
Если 1 ^ / ^ 5, то из B) вытекает, что
Взяв однородные компоненты степени du мы видим, что ft
является линейной комбинацией элементов //, \Ф'ь, с коэффи-
коэффициентами в 5. Поскольку S обладает базисом над R, отсюда
следует, что // является линейной комбинацией указанного
вида с коэффициентами в R (проверьте). Это противоречит
выбору элементов /ь ..., fm.
4.2.11. Докажем, наконец, импликацию C)=>A) из тео-
теоремы 4.2.5.
Предположим, что SG = C[/i, ..., /„], где // — однород-
однородный элемент степени di. (Поскольку по лемме 4.1.2 степень
(*) Надо учесть, что ввиду минимальности система полиномов
ёи . • •, gs должна быть линейно независимой. Таким образом, rila ^R+9
и это использовано ниже. — Прим. перев.
п
(**) Здесь используется тождество Эйлера ]Г хь- dF/dxi = mF (гдь
«-1
F = F(xu ..., Хп) —однородный полином степени т), которое получается
дифференцированием по / в точке / = 1 тождества F(txi, ...t txn) =»
= tmF(xi, ..., xn). — Прим. перев.

4.2. Теория инвариантов конечных групп 95
трансцендентности поля частных алгебры SG равна п, уже
отсюда вытекает, что элементы /* алгебраически независимы.)
п
Тогда ряд Пуанкаре Pg(T) равен JI(l—Г**') (см*
п. 2.5.5). Согласно следствиям 4.1.5 и 4.1.6, если G Ф {1}
(а мы можем считать, что это так), то в G имеются отраже-
отражения. Пусть G1 — подгруппа в G, порожденная отражением из
G. Ввиду уже доказанной импликации A)==>C) из тео-
теоремы 4.2.5 мы знаем, что в SG существует однородная си-
система образующих h\y ..., hn. Пусть е, — степень полинома
hi. Мы можем считать, что di^l d2^ ... ^dn, £i<J e2^. ...
... ^ en. Поскольку SG a SG , для каждого /=1, ..., n
существует такой (единственный) полином Pi ^ С[ГЬ ..., Тп],
что fi = Pi(hu..., hn). Зафиксируем /. Так как /ь ..., ft
алгебраически независимы, полиномы Ри ..., Pi не могут
быть линейными комбинациями мономов только от Гь ..., 7\-_i
(поскольку степень трансцендентности поля С(/ь ..., f/_i)
над С равна /—1). Значит, существуют такие j^i и I ^ /,
что Т\ входит в Pi. Следовательно,
Поскольку Yj dtr <! Yj ei (как вытекает из следствия 4.1.6),то
di = е^ Из следствия 4.1.5 получается тогда, что Gr = G. Это
показывает, что G порождена отражениями, что и требова-
требовалось доказать.
4.2.12. Следствие. Пусть G — группа, порожденная отра-
отражениями. Пусть SG = C[fi, ..., fn]9 где fi — однородный эле-
элемент степени di. Целые числа di определены группой G одно-
однозначно с точностью до порядка. Порядок группы G равен
п п
И dha число отражений в G равно £ (d£ — 1).
Это вытекает из леммы 2.5.5 и следствий 4.1.5 и 4.1.6. Це-
Целые числа di называются степенями группы G, порожденной
отражениями.
4.2.13. Упражнения. A) Покажите, что в примерах из уп-
упражнения 4.2.2 B) степени групп, порожденных отражениями,
равны соответственно 1, 2, ..., п и 2, ..., п. Найдите в этих
группах все отражения.
B) Пусть G — конечная группа, порожденная отраже-
отражениями, hu ..., hn — набор из п алгебраически независимых
однородных элементов алгебры SG и е,- — степень элемента hi.

96 Гл. 4. Конечные группы
Тогда II et ^| G | и если имеет место равенство, то SG =
= k[h\, ..., hn\. (Указание: воспользуйтесь следствием4.1.5.)
4.2.14. Конечные группы, порожденные отражениями, мож-
можно классифицировать. Эту классификацию достаточно полу-
получить для неприводимых групп (см. ниже упражнение 4.2.16A)).
Мы, однако, классификацией здесь заниматься не будем. Не-
Некоторые примеры неприводимых конечных групп, порожден-
порожденных отражениями, можно найти в приведенных ниже упраж-
упражнениях.
Подгруппа G cz GL(V) называется вещественной, если су-
существует такое G-инвариантное подмножество Vo в V, что Vo
является векторным пространством над R (операции в Vo ин-
индуцированы соответствующими операциями в V) и dim^ Vo=
= dimc V. При классификации групп, порожденных отра-
отражениями, различают два случая — случай вещественных групп
и случай остальных групп. Классификацию вещественных
конечных групп, порожденных отражениями (такие группы
называются также конечными группами Кокстера), можно
найти у Бурбаки [1, гл. VI, §4]. О классификации остальных
см. Коэн [1].
Теперь мы докажем одну лемму, которая будет использо-
использована в ряде мест ниже. Пусть V = Cn\ обозначим через
( , ) стандартную положительно определенную эрмитову
форму на V,
где (et)—канонический базис в Сп. Напомним, что линейное
преобразование а пространства Сп называется эрмитовым,
если (ах, у) = [х, ау), и унитарным, если (ах, ау) = (х, у)
(для любых х, !/еСп). Унитарные преобразования образуют
подгруппу Un(C) в GLn(C). Эрмитово преобразование назы-
называется положительно определенным, если (ах, х) > 0 для лю-
любого х Ф 0.
4.2.15. Лемма. Пусть GczGLn(C) — конечная подгруппа.
(i) Существует такой элемент а^ GLn(C), что aGa~l cz
UCG)
nC);
(ii) если G неприводима, то G вещественна тогда и только
тогда, когда существует ненулевой однородный G-инвариант
степени 2.

4.2. Теория инвариантов конечных групп 97
ПОЛОЖИМ
(х9 y) = \G\~l Z (gx9 gy)\
ge=G
тогда < , > является эрмитовой формой на ЗСЛ Сущест-
Существует (*) такое эрмитово линейное преобразование t простран-
пространства СЛ, что
(х, y) = {tx, у).
Поскольку <jc, jc> > 0 при х Ф О, преобразование t положи-
положительно определено. В силу известного результата из линейной
алгебры существует такой элемент ае GLn(C), что t = a*a,
где а*— преобразование, определенное равенством (ах,у) =
= (я, а*у) (х, у е &:п). Следовательно,
(х, у) = (а*ах, у) = (ах, ау).
Поскольку (gx, gy}=(x, у} для всех g^G, отсюда вытекает,
что aGa~l cz Un{C). Это доказывает (i).
Если мы заменим JC на R, то, как показывают аналогич-
аналогичные рассуждения, для любой конечной подгруппы G в GLn(R)
существует такой элемент а ^ GLn(R),4TO aGa*1 содержится
в ортогональной группе On(R). Это замечание доказывает
необходимость в (п) (**).
Предположим теперь, что G неприводима и обладает не-
ненулевым однородным инвариантом степени 2, скажем инва-
инвариантом /. На Сп существует симметрическая билинейная
форма /( , ), для которой f(x)= f(x, x). Тогда 2f(x,y) =
= f(x + y) — f(x) — f (у). Следовательно, / (gx, gy) = / (*, у)
(х, у ^ Сл, jeG). Пусть t — такое преобразование, что
f(x,y) = (x,ty). Это полулинейное преобразование простран-
пространства О, т. е. t(x + y)=tx + ty, t{Xx) = Xtx (*, i/gC^Ig
еС), и gtg~l = t для всех jgGJb предположении, что
G cz Un (С)). Кроме того, {tx, у) = {х, ty).
Мы получаем теперь, что t2 — линейное преобразование
пространства С/\ коммутирующее со всеми элементами из G.
Из леммы Шура 2.2.2 вытекает, что t2 является скалярным
кратным тождественного преобразования, скажем /2 = a-id.
(*) Все результаты из линейной алгебры, используемые в доказатель-
доказательстве этой леммы, можно найти, например, в книге И. М. Гельфанда «Лек-
«Лекции по линейной алгебре» (М.: Наука, 1971, гл. II). — Прим. перев.
(**) Пусть Go cz GL(V0)—группа, полученная ограничением действия
группы G на V (обозначения, как в п. 4.2.14). В силу сказанного Go мож-
можно считать лежащей в ортогональной группе пространства Vo (относи-
(относительно некоторой квадратичной формы f0, задающей на Vo скалярное про-
произведение). Пусть f — естественное продолжение (комплексификация) фор-
формы f0 на V. Поскольку /0 инвариантна относительно Go, форма f инва-
инвариантна относительно G. — Прим. перев.

98 Гл. 4. Конечные группы
Поскольку t2 эрмитово и положительно определено, а > 0.
Умножая / на соответствующую константу, мы можем счи-
считать, что а = 1. Если теперь положить Vo = {х ^ V\tx = х}г
то Vo будет G-инвариантным векторным пространством над
R, для которого Vo + iVo=V, Vof\iVo = O (*). Следователь-
Следовательно, G является вещественной группой.
4.2.16. Упражнения. A) Пусть GczGL(V)—конечная
группа, (а) Пусть V\ — подпространство, инвариантное от-
относительно G, и G\ — ограничение G на V\. Если G — группа,
порожденная отражениями, то и G\ — группа, порожденная
отражениями. (Ь) Пусть V= V\ © V2 ©...© Vs — разложе-
разложение V в прямую сумму G-инвариантных подпространств и
d — ограничение G на Vi. Тогда если G — группа, порожден-
порожденная отражениями, то и все Gi — группы, порожденные от-
отражениями.
B) Пусть t>n = e2ni/n и In — подгруппа в GL2(C), порож-
/^ 0 \ /0 1 \
денная матрицами I „ -i I и I I (n ^ 2). Покажите,
что 1п — неприводимая группа, порожденная отражениями,
степени которой равны 2 и п.
Покажите, что 1п изоморфна группе ортогональных пре-
преобразований евклидовой плоскости, переводящих в себя пра-
правильный я-угольник с центром в начале координат.
C) Пусть (ei)—канонический базис в Сл. Пусть ©n cz
с: GLn(C) —группа линейных преобразований, переставляю-
переставляющих векторы ei. Пусть т и d — целые числа ^1, причем d
делит т. Обозначим через Ат> d подгруппу в GLn(C), обра-
образованную преобразованиями t вида
tei = Qiei A<
где 0Г=1, @i ... 0n)d=l. Через Gn,m,d обозначим группу,
порожденную ©„ и Лт, d. Докажите следующие утверждения:
(a) \Gn,m,d\ = dmn-l-nU
(b) отражения из Gn, m, а имеют либо вид set = ^,
sej = е\ (/ ф /), где ^ — подходящий корень из единицы, либо
вид set = Iflu sei = ^~1^» seh = eh (i Ф]ЛФ i, j);
(c) Gn,m,d является группой, порожденной отражениями;
(d) пусть xt есть i-я координатная функция на Сп. Для
1 < i ^ п — 1 положим /. = F. (х?у ..., х™), где Ft есть i-я
элементарная симметрическая полиномиальная функция
(*) Тот факт, что Vo — векторное пространство над R, вытекает из
полулинейности преобразования t. Пусть уе VoR t%. Тогда v = iu,u^
^ Vo и значит, tv = v = t(iu) = —iu = —v, т. e. v = 0. Положим далее
н = (у + to)/2, ay = (v — tv)/2L Тогда и, ay e= Vo и у = м + ш. — Я

4.3. Полуинварианты конечных групп 991
(см. 1.5.4), и пусть fn={x\ ... xn)d. Тогда /ь ..., /„ поро-
порождают алгебру инвариантов группы Gntm%a- (Указание: вос-
воспользуйтесь упражнением 4.2.13 B).)
4.3. ПОЛУИНВАРИАНТЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП,
ПОРОЖДЕННЫХ ОТРАЖЕНИЯМИ
4.3.1. Определение. Пусть G — подгруппа в GL(V). Тогда
[eS называется полуинвариантом группы G, если существует
такая функция %: G-*C*> что g-f = %(g)f для всех g^G.
Функция % является в этом случае характером группы G
(т. е. гомоморфизмом G-+C*). Если %=1, то / является
инвариантом.
4.3.2. Пусть теперь G — конечная группа, порожденная от-
отражениями. Дадим описание ее полуинвариантов. Будем ис-
использовать обозначения п. 4.2.3. Пусть Ж — множество всех
гиперплоскостей вида Hs, где 5 пробегает отражения из груп-
группы G. Поскольку g . Hs = Hgsg-i, g^G (если 5 — отраже-
отражение, то и gsg~l — отражение для любого jeG), группа G
переставляет элементы конечного множества <Ж Если
О — орбита группы G в Ж, то мы положим
Это элемент алгебры S, определенный орбитой О с точностью
до скалярного множителя. Пусть Н — гиперплоскость в V.
Как вытекает из леммы 4.2.15 (i), все отражения seC, для
которых HS = H, образуют циклическую группу (проверьте).
Пусть е(Н)—ее порядок. Если О имеет тот же смысл, что
и выше, то положим е((У) = е(Н), где Н — некоторый эле-
элемент из О (*).
4.3.3. Лемма. Пусть s^ G — отражение. Пусть fu ..., fa—
такие линейные функции на 1/, что sfi = ctfi+i A ^ i ^ а — 1),
sfa = cafi для некоторых d е С*. Если ни одна из функций ft
(а \ а
Мы можем считать, что все // отличны от нуля. Ясно, что
а
= (С\ ••• Са) JJ.fi- НО Safi=(C\ ... Ca)f\. ЕСЛИ 5a=lf
то с\ ... са=\. Если же sa ф 1 то sa является отражением
(*) Из формулы gHs = H _! следует, что е(О) не зависит от вы*
бора гиперплоскости Н в О. — Прим. перев.
4*

100 Гл. 4. Конечные группы
с гиперплоскостью Hs и из леммы 4.2.4 вытекает, что и в этом
случае с{ ... са = 1.
4.3.4. Теорема, (i) Функции f0 являются полуинварианта-
полуинвариантами группы G; точнее, если s e G — отражение, то sfo = fo
при Н8фО и sfo = e-[f(y при Hs<=0\
(ii) любой однородный полуинвариант f группы G может
быть записан в виде f = (TLfa0{0)>\fu где 0^а(О) < е(О),
/i gSg. Такая запись единственна (*).
Второе утверждение в (i) непосредственно выводится из
леммы 4.3.3 с помощью леммы 4.2.4. Таким образом, утвер-
утверждение (i) доказано. Отметим при этом, что fo&SG. Чтобы
доказать (ii), воспользуемся индукцией по степени d полу-
полуинварианта f. Если / — полуинвариант, но не инвариант, то
существует такое отражение sgG, что sf = cf, сф\9 по-
поскольку G порождена отражениями. Из формулы A) в
п. 4.2.3 вытекает, что / делится на ls. Если О — орбита гипер-
гиперплоскости Hs в Ж, то / должно также делиться на f0 (**).
Индукция завершает доказательство утверждения (ii).
4.3.5. Упражнение. Пусть S = k(x\, ..., хп), где xi — ко-
координатные функции относительно какого-нибудь базиса в V.
Пусть SG = k[f\, ..., fn], где ft — однородная функция сте-
степени di (fi, ..., fn алгебраически независимы, см. п. 4.2.11).
Положим / = det (dfi/dxj).
Покажите, что g-J = (det g)J (geC), что / — однород-
однородная функция степени (d\ — I)-{-...-{-(dn—1) и что суще-
существует такая константа с, для которой
/ = с П йГ-'-сП/.^сП/Г
Н<е=Ж s О
(/я = 0 обозначает подходящее уравнение гиперплоскости Я,
а 5 пробегает множество всех отражений из G). Из алгебраи-
алгебраической независимости элементов ft выткает, что / Ф 0 (см.
Ленг [1, стр. 304]).
(*) В дальнейшем (см. разд. 4.6 и 4.7) эта теорема применяется для
нахождения образующих алгебр инвариантов некоторых групп, не поро-
порожденных отражениями. Идея такого применения проста: если Н — такая
подгруппа в G, что всякий однородный инвариант группы Н является по-
полуинвариантом группы G и наоборот, то ввиду теоремы 4.3.4 (ii) система
образующих алгебры SH получается из системы образующих алгебры S0
присоединением всех полуинвариантов группы G вида f@. — Прим. перев.
(**) Пусть g^G. Ясно, что g-f делится на g-ls. Но g-ls с точ-
точностью до числового множителя совпадает с / _ь a g-f—cf', поэтому f
делится на lgsg_{. — Прим. перев.

4.4. Бинарные группы многогранников 101
Теперь мы воспользуемся теорией инвариантов конечных
групп, порожденных отражениями, чтобы определить алгебру
инвариантов некоторых других специальных конечных линей-
линейных групп, в том числе конечных подгрупп группы SL2(.C)
{бинарных групп многогранников).
4.4. БИНАРНЫЕ ГРУППЫ МНОГОГРАННИКОВB)
Начнем с нескольких вспомогательных результатов.
4.4.1. Обозначим через Р комплексную проективную пря-
прямую; таким образом, Р=С U {°°}. Группа SL2(C) действует
на Р: если g = (* *)g=SL2(C) и ze=P, to g.2 = -SL±if
где при 2=оо правая часть считается равной ас~х, если
с Ф 0, и равной оо, если с = 0. Поскольку —Ьг = г, на Р
также действует группа PSL2(C) =SL2(.C)/{±1}.
Прямую Р можно рассматривать как двумерную сферу,
А именно, пусть Е — трехмерное евклидово пространство.
Обозначим через ( , ) скалярное произведение на Е. Таким
(з з \ з
Y< х&ь ]Е y&i I = 2 Xit/t {(eA — канонический ба-
зис). Положим \х\ = (х,х)[/2. Обозначим через S единичную
сферу пространства £,
S = {x<=E\\x\=l].
Отождествим С с плоскостью в £, ортогональной к е3,
с помощью отображения xi + ijc2i—>(xi, дг2, 0). Пусть я — сте-
стереографическая проекция множества S— {п} на tCj из точки
п=@, 0, 1). А именно, если x^S—{д}, то ях — это точка
пересечения плоскости С. с прямой, проходящей через п и х.
Отображение я можно задать с помощью следующей форму-
формулы: тс(х) = A —Хз)-1(х\ + иъ), где х = (xi,x2, x3)^S— {n};
обратное отображение задается формулой я-1(г) =
= A + Iz12)~*BRe г, 2 Im г, \z\2 — 1). Продолжим я до биек-
дии S-+P, положив п(п)= оо.
Если г, г' е .С, то пусть
d(«, 2') = A +1 г |2Г:/2A +1 г' |2Г'/2| * - 2' |,
d(z, oo) = (l+U|2)-1/2;
кроме того, положим d(oo, оо) = 0«

102 Гл. 4. Конечные группы
Тогда
d (я (*), я (*')J = т A - (х, х')) (*), 3)
если х, х' е S. Из C) вытекает, что d( , ) определяет на Р
расстояние (проверьте); это сферическое расстояние.
Пусть SU2(C)a SL2(C)—специальная унитарная груп-
( а Ь\
па, т. е. подгруппа, состоящая из матриц I =- I, где
а, 6еД |а|2 + |6|2=1. Положим PSU2(C) =
=5^2(С)^{±1}. Тогда SU2(C.) и PSU2(С) действуют на Я.
Обозначим через O3(R) ортогональную группу простран-
пространства £, т. е. группу таких линейных преобразований / про-
пространства £, что (tx,ty) = (x,y) (x,y<=E); пусть SO3(R) =
= O3(R)fl SL3(R)—специальная ортогональная группа (или
группа вращений). O3(R) действует на 5.
4.4.2. Лемма, (i) Если t — такая биекция сферы 5, что
(t(x), t(x')) = (x, xf) {x,x'^S), то t продолжается до эле-
элемента группы O3(R);
(И) если «gSU2(C), to d{uz,uz')= d(z,zf) (z,z'e=P);
(iii) если ф — такая биекция проективной прямой Р\ что
d(cp(z), ф(г7)) = d(z, z') (z,z'^P), то существует элемент
mg PSU2(C), для которого либо ф(г)^аг, либо y(z) = uz
BG Р, мы полагаем оо = сх>). Этот элемент и определен од-
позначно.
Если / — биекция, указанная в (i), то ее продолжение
на Е должно задаваться формулой t(x)= |*|f(l*!"*) (если
х ф 0), /@)^ 0(**). Можно проверить тогда, что (t(x + у) —
— t(x)—t(y), t(x + y) — t(x) —t(y)) = 0, откуда вытекает,
что / — линейное преобразование из O3(R) (проведите все рас-
рассуждения подробно). Этим доказано (i).
( a b\
Чтобы доказать (п), заметим, что если и = \ __ г _ }е
eS£/2(C), то
аГ2\г-г'\
(*) Иначе говоря, d(n(x),n(x')) = sin (ф/2), где ф— угол @ ^ ер <
^ я) между векторами х и х''. — Прим. перев.
(♦•) Поскольку мы хотим, чтобы продолжение было линейным. — Прим.
Нёрев.

4.4. Бинарные группы многогранников 103
Пусть, наконец, ф — биекция, указанная в (iii). Ясно, что
существует элемент u^SU2(C)f для которого а@) = ф@).
Заменяя ф на urlq>, мы сводим дело к случаю ф@) = 0. Из
соотношения d(cp(z), 0) = d(z, 0) следует, что |ф(г)|2 =
= |z|2, и, значит, |ф(г) — ф(zf) \2= \г — zr|2, т. е. ф(г)ф{z') +
-f-q)(z)q)(z/) = zz'-\-zz' (z, z'<=C). Взяв два таких значе-
значения z\ чтобы было ф(г/)=1, ф(г/)=/, мы получим два
уравнения, из которых можно найти ф(г). При этом полу-
получается, что существуют такие а, р^ С, что ф(г)= аг+рг.
Но тогда равенство |ф(г) |2 = |г|2 возможно, лишь если либо
а = 0, либо р = 0. Отсюда непосредственно и вытекает (iii).
4.4.3. Предложение. Существует такой изоморфизм -ф:
SO3(R)-+PSU2(C), что n(tx)=ty(t)(n(x)) для любых / е=
geSO3(R), x<e=S.
Пусть / <= 5O3(R); положим ф(г)^ ntn-l(z) (z^P). Из
леммы 4.4.2 и формулы C) следует, что существует такой
элемент iig PSU2(C), что либо y(z) = uz, либо q>(z)=uz.
В любом из этих случаев ф2еР5[/2(С). Поскольку любой
элемент /^5O3(R) является квадратом (проверьте это), на
самом деле имеет место первый случай: y(z)=uz. Доказы-
Доказываемое утверждение выводится отсюда без труда.
4.4.4. Пусть теперь G — конечная подгруппа в 5L2(C) и
Г — ее образ в PSL2(C). Мы будем считать, что Г=^={1}.
Ввиду леммы 4.2.15 (i) мы можем, если потребуется, считать,
что Г с: PSU2(C). Группа Г действует на Р.
Обозначим через F множество тех точек прямой Р, ко-
которые остаются на месте при действии хотя бы одного не-
неединичного элемента из Г. Тогда F — конечное множество,
на котором Г действует как группа перестановок (*). Пусть
Рь ••-, pd — представители различных орбит группы Г в F.
Положим
rl = {y<=r\ypi = pi};
это подгруппа в Г. Пусть |Г| = с, |Г\|=С; (через \А\ обо-
обозначено число элементов конечного множества Л).
d
4.4.5. Лемма, d + 2с~{ = 2 + £ ст\
(*) Будем считать, что Г a SU2(C). Тогда в силу леммы 4.4.3
л-1 (F) — это множество тех точек сферы S, которые остаются на месте
при действии хотя бы одного неединичного элемента из группы г|5-1(Г).
Группа -ф^) конечна и состоит из вращений пространства Е. Каждое
неединичное вращение имеет на S две неподвижные точки, а именно точки
пересечения сферы S с осью этого вращения. Отсюда следует, что F ко-
конечно, а кроме того, что каждый неединичный элемент из Г имеет на Р
ровно две неподвижные точки. — Прим. перев.

104 Гл. 4. Конечные группы
Каждый неединичный элемент группы Г оставляет на
месте в точности 2 различные точки прямой Р (*). Значит,
полагая Гр= {у е Г | у • р = р), мы имеем
2(| Г | — 1) = £ (|Г„|-1)= £ (|Гр|-1).
р
Следовательно,
2С-2= £ |rp|-iF^SK-O^-t^ (**)■
р<= F i = \ i = 1
Это равенство в свою очередь может быть переписано в фор-
форме, указанной в формулировке леммы.
Теперь мы решим уравнение 4.4.5.
4.4.6. Будем использовать предыдущие обозначения. Ясно,
что ct; ^ 2. Следовательно, из уравнения 4.4.5 вытекает нера-
неравенство d + 2с-1 < 2 + A /2) d, и, значит, d = 1, 2, 3.
(a) d=\. Тогда 2 = с + ccf1 и с= 1 — противоречие.
(b) d = 2. В этом случае 2 = ccf1 + сс^1, а это показы-
показывает, что Г = Г1 = Г2. Таким образом, все элементы у^Г
оставляют на месте две точки ри р2. Ввиду того хорошо из-
известного (***) (и легко доказываемого) факта, что для любой
упорядоченной тройки (аь а2, а3) различных точек прямой Р
существует преобразование t <= SL2(C), для которого tax =0у
tct2 = ooy ^а3=1, мы можем (заменяя группу G на сопря-
сопряженную) считать, что р\ =0, р2 = оо. Следовательно, G и Г —
циклические группы и с точностью до сопряженности G яв-
является группой Сп всех матриц вида
(
0 е-2нш,п) @<h<n)
для некоторого п.
(с) d = 3. В этом случае уравнение имеет вид
Предположим, что с{^с2^с3. Поскольку с~х + с^{ + с~1 > 1,
все d не могут быть больше 3. Таким образом, С\ = 2. Ана-
Аналогично с2 ^ 3. Отсюда легко следует, что для (с, сь с2, с3)'.
мы имеем лишь следующие возможности:
Bм, 2, 2, я) для некоторого д>2, A2, 2, 3, 3), B4, 2, 3, 4),
F0, 2, 3, 5).
(*) См. предыдущее примечание. — Прим. перев.
(**) Тут использовано то, что в орбите точки pt- содержится сс^ * точек
и что ТР = 1\, если р и q лежат в одной орбите. — Прим. перев.
(***) См., например, уже цитированный учебник А. И. Маркушевича.—
Прим. перев.

4.4. Бинарные группы многогранников 105
Мы покажем, что все эти возможности действительно реали-
реализуются и притом по существу единственным способом.
4.4.7. Диэдральные группы. Рассмотрим сначала случай
Bд, 2, 2, п) (в предыдущих обозначениях). Орбита Г«р3 со-
состоит из 2 элементов, которые снова можно считать равными
0, оо. Пусть, скажем, /?3 = 0. Поскольку Г3-0 = 0, мы долж-
должны иметь Гз-оо = оо. Как и выше в п. 4.4.6(Ь), мы видим,
что Гз — циклическая группа порядка п. Кроме того, элемент
7^ Г— Г3 должен переставлять 0 и оо местами (*). Отсюда
следует (проверьте), что Г должна быть образом в PSL2(C)
подгруппы Dn группы SL2(C), порожденной матрицами
eniln 0 \ / 0 / \
0 е-*ч*У b==\i о)'
с точностью до сопряженности, как и раньше.
Группа Dn называется бинарной диэдральной груп-
группой (**). Ее порядок равен 4м, а ее элементы имеют вид
akbi @ ^ k < 2n, / = 0, 1). Группа Г называется проектив-
проективной диэдральной группой.
4.4.8. Упражнение. Покажите, что группа 1п из упражне-
упражнения 4.2.16B) определяет группу перестановок прямой Р, яв-
являющуюся проективной диэдральной группой.
4.4.9. Правильные многогранники. Прежде чем двигаться
дальше, мы кратко напомним некоторые факты о правильных
многогранниках.
Многогранником в Е называется пересечение конечного
числа замкнутых полупространств в Е. Пусть V = Н{ П ...
„.. [\Нт — ограниченный многогранник (***). Тогда V [\Н\ яв-
является либо замкнутым многоугольником, либо отрезком,
либо точкой (если это пересечение непусто). Многоугольни-
Многоугольники, отрезки и точки, получаемые таким способом, называются
соответственно гранями, ребрами и вершинами многогран-
многогранника V.
(*) Поскольку |Г5Р| = |ГР| для любых ^еГ, pef (что в свою
очередь вытекает из равенства Tgp == grpg-{). — Прим. перев.
(**) Или бинарной группой диэдра. Причина такого названия в том,
что, как показывают приведенные выше рассуждения, группа г|з-1 (Г) (в
обозначениях п. 4.4.3) является в этом случае группой всех вращений про-
пространства £, переводящих в себя диэдр — центрально-симметричное тело
(с центром симметрии в начале координат), образованное двумя конгруэнт-
конгруэнтными правильными «-угольными пирамидами, у которых отождествлены
основания. — Прим. перев.
(***) A #i, ..., Нт — соответствующие полупространства. Далее через
Н\ обозначается граничная плоскость полупространства Я/. — Прим. пе-
рев.

106 Гл. 4. Конечные группы
4
6
8
12
20
6
12
12
30
30
4
8
6
20
12
3
3
4
3
5
3
4
3
5
3
Многогранник называется правильным многогранником
(а также правильным телом, телом Платона), если его грани
являются конгруэнтными правильными многоугольниками и
если число граней, сходящихся в одной вершине, одно и то
же для всех вершин (*). Правильные многогранники были
описаны и классифицированы уже древними греками C). Их
результаты содержатся в 13-й книге «Начал» Евклида, Хит
[1]. Всего имеется 5 типов правильных многогранников, пе-
перечисленных в следующей ниже таблице. В строках этой
таблицы указаны соответственно число граней, ребер, вершин,
число граней, пересекающихся в одной точке, и число ребер
в одной грани.
Тетраэдр
Куб
Октаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр
Каждый правильный многогранник обладает описанной сфе-
сферой. Два правильных тела одного и того же типа, вписанные
в единичную сферу S пространства Е> переводятся друг в
друга некоторым вращением.
Подробнее о правильных телах см. Кокстер [1, стр. 148—
159].
Теперь мы продолжим обсуждение оставшихся случаев
из п. 4.4.6(с). Мы предположим сейчас, что G aSU2(C) (это
возможно); таким образом, элементы у <= Г индуцированы
элементами группы PSU2{C). Будет показано, что для под-
подходящей орбиты О группы Г в F подмножество л-1^) еди-
единичной сферы S есть множество вершин правильного тела,
где л— стереографическая проекция, см. п. 4.4.1.
4.4.10. Случай тетраэдра. Сначала мы рассмотрим случай
A2,2,3,3) из п. 4.4.6(с). Возьмем (У = Т-р3 и положим
S = п~хО. Тогда 2 состоит из 4 точек на 5, определяющих
тетраэдр V. Пусть if> имеет тот же смысл, это и в п. 4.4.3; то-
тогда ^"ЧП—группа порядка 12, состоящая из вращений
пространства £, переставляющих 4 точки множества 2. От-
Отсюда следует, что г^Н (Г) должна быть изоморфна группе
четных перестановок 914 (проверьте это). В свою очередь от-
отсюда вытекает, что любая пара различных точек из 2 может
быть переведена в любую другую такую пару с помощью
элемента из г|Н(Г), и, значит, расстояние между любыми
(*) См. примечание 17 в дополнении 3. — Прим. перев.

4.4. Бинарные группы многогранников 107
двумя различными точками из 2 одно и то же. Таким об-
образом, V—правильный тетраэдр. Группа ^-^(Г) является
группой вращений, переводящих V в себя. Из последнего
замечания и вытекает существование в рассматриваемом слу-
случае группы G. Это существование вытекает также и из сле-
следующего явного описания.
( i 0 \ / 0 i \ т ( е7 г7
Положим а = {0 _i),b = {. oj- c = 2/2(e5 e
где е = enil4 = 2~1^2 A + 0; тогда ЬаЬ~х = а~\ aca~l = be,
cb — ас, а2= Ь2= с3=—1. Пусть Т — подгруппа в SU2(C),
порожденная элементами а, 6, с. Ее элементами являются
24 произведения анЫс1 @ < h < 4, 0 < / < 2, 0</<3).
Соответствующая группа Г имеет порядок 12 и не является
ни циклической, ни диэдральной группой (проверьте), так
что она относится именно к рассматриваемому в этом пункте
случаю.
Если конечная подгруппа G a SL2(C) приводит к рас-
рассматриваемому в этом пункте случаю, то она называется
бинарной группой тетраэдра (*). Такая группа сопряжена
группе Т. Действительно, мы уже знаем, что G сопряжена
подгруппе группы SU2(C). А то, что сопряжены две такие
подгруппы в SU2(С), есть следствие того факта, что два
правильных тетраэдра, вписанных в 5, могут быть переве-
переведены друг в друга вращением.
4.4.11. Случай октаэдра. Это — случай B4,2,3,4). Возь-
Возьмем (У = Г-рг. Мы покажем, что точки множества 2 =
= я-1((У) являются вершинами правильного октаэдра V.
Пусть Г3 имеет тот же смысл, что и выше. Это циклическая
группа порядка 4 (см. п. 4.4.6 (Ь)); пусть у — ее образующая.
Преобразование у оставляет неподвижными две точки на Р,
которые мы можем считать совпадающими с 0 и оо. Таким
образом, 0, оо^(У (**) и, следовательно, /i = @,0,I)gJ,
—п gX. В качестве iJH(y) может быть взято тогда вращение
на угол л/2 вокруг третьей координатной оси. Четыре точки
2 — {п —я} должны циклически переставляться преобразо-
преобразованием ilHM- Поскольку в г|Н(Г) существует элемент, пе-
переводящий п в — п и, значит, переставляющий п и — п ме-
местами, эти 4 точки должны лежать в экваториальной плоско-
(*) Название объясняется тем, что, как показано выше, г|з-1(Г) —
группа всех собственных симметрии правильного тетраэдра. — Прим. перев.
(**) Группы Го и Гоо совпадают с циклической группой, порожденной
элементом y (чт0 в свою очередь вытекает из того, что я-1 @) = —п и
я-1(оо)=я — диаметрально противоположные точки сферы) и, следова-
следовательно, орбиты Г-0 и Г-оо имеют по 6 элементов каждая. Поскольку есть
лишь одна орбита из 6 элементов, Г-0 = Г-оо. — Прим. перев.

108 Гл. 4. Конечные группы
сти сферы S (т. е. в плоскости, заданной обращением в нуль
третьей координаты) в вершинах некоторого квадрата. Объ«
единяя п и — п с этими 4 точками, мы получаем октаэдр V.
Поскольку г|Н(Г) действует на 2 транзитивно, мы получаем,
что расстояние между любыми двумя не диаметрально про-
противоположными точками из множества 2 не зависит от вы-
выбора этих точек. Отсюда следует, что V — правильный
октаэдр.
Пусть а, 6, с — те же элементы, что и в п. 4.4.10, и пусть
/е 0 \
а' = ( Q А (г = е^4). Тогда (а'J = а, ba'b~x ={а')~\
(а'сJ = —(a'Jb, cb=(a'Jc. Пусть О — подгруппа в
S£/2(C), порожденная элементами а', Ь, с. Ее элементами
являются 48 произведений (a')hbJ'cl @ ^ h < 8, 0 ^ / < 2,
0 ^ / < 3). Соответствующая группа Г имеет порядок 24 и
не является ни циклической, ни диэдральной. Поэтому она
относится именно к случаю, рассматриваемому в этом пункте
(доказательства предоставляются читателю).
Подгруппа в SL2(C), приводящая к рассматриваемому
в этом пункте случаю, называется бинарной группой окта-
октаэдра. Такая группа сопряжена группе О.
4.4.12. Упражнения. A) Покажите, что п~1(Т-р2) является
множеством вершин куба.
B) Покажите, что г|Н(Г) является группой всех враще-
вращений, переводящих V в себя (*).
C) Докажите, что Г ^ @4 (представьте г|Н(Г) как группу
перестановок подходящим образом выбранных прямых).
4.4.13. Случай икосаэдра. Это оставшийся случай F0, 2,
3,5). Снова возьмем (У = Т-рз. Тогда 2= л-1 F?) является
множеством из 12 точек. Мы покажем, что они являются
вершинами правильного икосаэдра V. Группа Г3 является
циклической группой порядка 5, пусть у — ее образующая.
Предположим, как и раньше, что ifH (у) оставляет на месте п
и — п и является вращением на угол 2л/5 вокруг третьей
координатной оси. Тогда либо 10 точек множества 2 —
— {п, —п} все лежат в экваториальной плоскости, либо су-
существует такое h > 0, что 5 из них лежат в плоскости Ау
определенной равенством последней координаты числу /г, а
остальные 5 — в плоскости —Л, определенной равенством по-
последней координаты числу —/г, причем эти два множества
по 5 точек являются вершинами правильных пятиугольников
(*) Таким образом, ^(Г) —группа всех собственных симметрии пра*
вильного октаэдра, что и объясняет название «бинарная группа окта-
октаэдра». — Прим. перев.

4.4. Бинарные группы многогранников 109
в А и в —Л. Первый случай A0 точек в экваториальной пло-
плоскости) невозможен, так как при этом п и —п окажутся точ-
точками из 2, находящимися в привилегированном положении,
что противоречит транзитивности действия группы гр-1 (Г)
на 2. Таким образом, расстояние между любыми двумя раз-
различными не диаметрально противоположными точками мно-
множества 2 может принимать (в зависимости от выбора этих
точек) только два возможных значения (*). Если п — одна
из этих точек, то наименьшим из этих расстояний будет рас-
расстояние б до точек, лежащих в плоскости А (проверьте).
Кроме того, длина стороны правильного пятиугольника в
плоскости А должна быть равна б. Следовательно, соеди-
соединяя п с 5 точками 2 [\А, мы получаем 5 равносторонних тре-
треугольников со сторонами, равными б, и с общей вершиной п.
Такое же множество треугольников мы имеем для любой
точки из 2. Таким образом получаются 20 равносторонних
треугольников, образующих грани правильного икосаэдра Vr
вершинами которого являются точки множества 2.
(т\3 0 \ / 0 1\
Положим а = — \Q 21, 6 = 1 j I с = (т]2 —тр2) X
• ЯЛ I ДА — 1 1 \
VI I где т] = e2ni/5. Тогда bab~l = а~х
V 1 — Оп + 'П")/
bcb~l = —с, сас = acba, са2с = а~2са~2, аъ = Ь2 = с2 = —L
Пусть / — подгруппа в S£/2(C), порожденная элементами
а, 6, с. Ее элементами являются {ah, bah, ahca\ ahcbaj)
@^/г<10, 0^/<5), так что порядок этой группы ра-
равен 120. Соответствующая группа Г будет такой, какая рас-
рассматривалась в этом пункте. Доказательства снова предо-
предоставляются читателю.
Подгруппа G в SL2(C), приводящая к рассматриваемому
в этом пункте случаю, называется бинарной группой ико-
икосаэдра. Такая подгруппа G сопряжена /.
4.4.14. Упражнения. A) Покажите, что я-1(Г«р2) является
множеством вершин правильного додекаэдра.
B) Покажите, что ifH(r) является группой всех враще-
вращений пространства £, переводящих V в себя (**).
(*) Действительно, поскольку г|з-1 (Г) действует на 2 транзитивно,
можно считать, что одна из рассматриваемых точек есть п. Тогда вторая
точка т лежит либо в 2 П Л, либо в 2 П (—Л), причем расстояние между
п и т не меняется, когда т пробегает 2ПЛ или 2П(—Л). — Прим. пе-
рев.
(**) Таким образом, г|з-1(Г) —это группа всех собственных симметрии
правильного икосаэдра, что и объясняет название «бинарная группа ико-
икосаэдра». — Прим. перев.

ПО Гл. 4. Конечные группы
C) Тридцать ребер икосаэдра V можно так разбить в
5 подмножеств по 6 элементов в каждом, что любые два раз-
различных ребра из одного подмножества либо параллельны,
либо перпендикулярны (читателю предлагается исследовать
модель правильного икосаэдра). Выведите отсюда, что Г
изоморфна знакопеременной группе 915.
Конечные подгруппы группы 5L2(C), т. е. группы Сл> Dn>
Г, О, / из разд. 4.4 и сопряженные им группы, называются
также бинарными группами многогранников D).
4.5. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ БИНАРНЫХ ГРУПП
МНОГОГРАННИКОВ
4.5.1. Пусть G a SL2(C)—одна из бинарных групп мно-
многогранников. Будем отождествлять алгебру S с С [X, У],
а действие G будем считать заданным формулами (*):
если g = (* d)^G> то g-X = dX-bY, g-Y = -cX + aY.
Пусть /g.C [X, Y] — однородный степени d полуинва-
полуинвариант группы G (см. п. 4.3.1). Разложим f на линейные мно-
множители (**),
и положим pi=arlbi\ это точка проективной прямой Р.
Пусть Г имеет тот же смысл, что и в разд. 4.4. Тогда Г пе-
переставляет элементы множества точек pi (рассматриваю-
(рассматривающихся, возможно, с повторениями) (***).
(*) См. п. 1.4.9(а). Группа SL2(C) и ее подгруппа G рассматри-
рассматриваются в дальнейшем как группы линейных преобразований двумерного
векторного пространства V (см. также п. 3.3.9). — Прим. перев.
(**) Это всегда возможно. Действительно, поскольку полином f(X, Y)
однороден, его можно записать в виде f(X, Y) = YdF(X/Y)y где F(T) e
^ С [Г] —некоторый полином степени ^d. Ввиду алгебраической замкну-
замкнутости поля С полином F(T) раскладывается на линейные множители
s
Следовательно, / (X, Y) = aYd~s Ц (X - a.Y). - Прим. перев.
i = l
(***) В самом деле, пусть g = ( j^G. Поскольку С [X, Y] —
d
факториальное кольцо, а полином / = Д (а.Х — 6^К), будучи полуинва-

4.5. Теория инвариантов бинарных групп многогранников 111
Наоборот, если (pi) есть Г-орбита в Я, то существует
полином / указанного выше вида, дающий в точности это
множество (а именно, f(X, Y) = Y1(X— piY), где по опреде-
определению X—ооУ=У). Легко видеть, что этот полином / яв-
является полуинвариантом группы G. Таким образом, мы рас-
располагаем способом строить полуинварианты группы G с по-
помощью действия Г на Р.
В этом разделе мы дадим точные представления для раз-
различных алгебр вида SG. Представление типа встречающегося
в п. 4.5.2, а именно SG^C[f2, fn, Ql{fn2 + f/n), означает,
что SG изоморфна факторалгебре алгебры С [X, У, Z] по
идеалу, порожденному Xn-\-YZ, и что образы элементов
X, У, Z в этой факторалгебре являются однородными элемен-
элементами степеней 2, п, п соответственно. Случаи циклических и
диэдральных групп не представляют затруднений. Они раз-
разбираются в п. 4.5.2.
4.5.2. Упражнения. A) Если G = Сп (см. п. 4.4.6(Ь)), то
SG = C[XY, X\ y*]-C[f2, fn, ГЖ + f
B) Если G = Dn (см. п. 4.4.7), то
X2n + {-\)nY2nf XY(X2n-(-l)n
C) Найдите рациональную функцию Pg(T), если G =
4.5.3. Тетраэдральные группы. Пусть далее G является
тетраэдральной группой. Мы будем использовать обозначе-
обозначения из п. 4.4.10. Множество тех точек прямой Р, для каждой
из которых найдется нетривиальный элемент из Г, оставляю-
оставляющий эту точку на месте, состоит из трех орбит группы Г,
содержащих соответственно 6, 4 и 4 точек. В силу сказанного
в п. 4.5.1 эти орбиты дают 3 полуинварианта фб, ф4, ф£
группы G степеней 6, 4 и 4 соответственно.
риантом, лишь ненулевым числовым множителем отличается от полинома
d
g • f = JJ g • (a.X — b J), каждая из форм aiX — biY пропорциональна не-
которой форме g- (ajX~ bjY) = ((a}d + b}c)X— (a;6 -f bju)Y); иначе го-
говоря, множества точек {bijui} и {(abj -\- buj)l(cbj + darf] (точки берутся с
соответствующими кратностями) совпадают. Остается заметить, что
(abj + buj)l(cbj + duj) = g- (bj/aj), где действие справа определено, как
в п. 4.4.1. — Прим. перев.

112 Гл. 4. Конечные группы
Пусть дхя — группа скалярных умножений (*) на корни
п-и степени из единицы; положим Н =p,$G. Это группа по-
порядка 72, содержащая отражения. В самом деле, если g —
элемент порядка 3 группы G и е ф 1 — кубический корень
из единицы, то eg и е-1^ являются отражениями поряд-
порядка 3 (**). Поскольку с точностью до знака элементы поряд-
как 3 группы G — это те элементы, образы которых в группе Г
оставляют на месте точку в одной из орбит Г-р2, Г-рз
(и отличны от 1), группа Н содержит 16 отражений поряд-
порядка 3. Пусть d\ и d2 (di ^ d2) — степени группы, порожденной
этими отражениями. Ввиду следствия 4.2.12 мы имеем
^1 + ^2 = 18, a d\d2 делит 72. Отсюда сразу вытекает, что
d\ = 6, ^2= 12 и что Н сама является группой, порожденной
отражениями. Кроме того, алгебра 5я порождена однород-
однородными полиномами \J>6, \J>i2 степеней 6 и 12. На самом же деле
мы имеем (с точностью до множителя) равенство \f>6 = ф6,
поскольку множество из 6 точек прямой Р, определенное по-
полиномом if>6, должно состоять из точек, каждая из которых
неподвижна относительно какого-нибудь элемента порядка 2
из группы Г (***). Гиперплоскости отражений из Н — это пря-
прямые линии; они соответствуют точкам орбит Г-р2, Г-р3 (****).
Следовательно, в качестве полуинвариантов f0 из п. 4.3.2
можно взять просто полиномы ф4, ф4. В таком случае
<рЗ и (f>g являются линейно независимыми инвариантами труп-
(*) Имеется в виду группа преобразований того двумерного комп-
комплексного пространства, в котором действует группа G. — Прим. перев.
(**) Поскольку det gr = 1 для любого g e G, в самой группе G нет ни
одного отражения. Рассмотрим теперь элемент eg, g e G; он сопряжен в
/б 0 \
SL2 (С) элементу вида el . I, где б — некоторый корень из 1 (см.
примечание к п. 4.1.5), и, значит, является отражением тогда и только
тогда, когда б = е или е2. Последнее же условие эквивалентно тому, что
g __~элемент порядка 3. Таким образом, отражения в Я — это в точности
все элементы вида eg, где g^ G — элемент порядка 3. — Прим. перев.
(***) Ввиду G-инвариантности г|N группа Г переставляет между собой
точки прямой Р, определенные полиномом \р6 (см. примечание в п. 4.5.1).
Этих точек (без учета кратностей) ^6 штук. Поскольку Г на Р имеет
лишь орбиты порядков 4, 6, 12, этих точек должно быть ровно 6 и они дол*
жны быть однократны. Поскольку Г на Р имеет только одну орбиту по-
порядка 6, полиномы ф6 и г|N пропорциональны. — Прим. перев.
(****) Гиперплоскость #s, s еЯ, есть множество нулей формы /s, кото-
которая определяет (см. п. 4.5.1) точку р на Р. Поскольку s = eg, где е ф 1,
е3 = 1, a ge G — элемент порядка 3, мы имеем g»ls = Ms, IgC* (cm.
п. 4.2.4), и, следовательно, g-p = p (где g рассматривается как элемент
группы Г). Значит, р лежит в одной из двух орбит группы Г, имеющих
4 элемента (т. е. орбит Г-р2, Г-р3)- Поскольку *#s= Htst~l для любого
t e G, отображение Hs\—>p является биекцией множества Ж на множество
Г-р2иГ-р3, коммутирующей с естественным действием G на Ж и Г на
Г • р2 U Г • Рз- — Прим. перев.

4.5. Теория инвариантов бинарных групп многогранников 113
пы Я, и мы можем взять <ф12 = ф3 (*). Поскольку (ф4K так-
также является инвариантом группы Н степени 12, мы должны
иметь соотношение
где а ф О, Ь Ф О (ввиду связи ф6, ф4, ф4 с орбитами груп-
группы Г). Поскольку однородные инварианты группы G являют-
являются, очевидно, полуинвариантами группы Я, из теоремы 4.3.4 (п)
следует, что любой полином f^SG может быть однозначно
записан в виде ф£ (ф4У F (ф6, qpj), где F е С [X, У], 0 < А,
/ < 3. Из теоремы 4.3.4(i) вытекает, что для любого g^H
(нужно учесть, что Н порождена отражениями, гиперплоско-
гиперплоскости которых соответствуют точкам Г-р2 и Г-р3)> а отсюда
следует, что ф4ф4 —- инвариант группы G. Подобные же рас-
рассуждения показывают, что тр4 (а значит, и ф4, поскольку ф4ф4—
инвариант) — не инвариант группы G.
Таким образом, мы делаем вывод, что 5° = С[ф4ф4, ф6, ф3]
и, следовательно, SG^C[f6, /8, /12]/(^ + f\ + /?2), где обра-
образующие /б, /в» fi2 соответствуют подходящим кратным поли-
полиномов ф6, ф4ф4 и Ф4 + ^~16фз/2 (а и Ь те же, что и выше).
4.5.4. Октаэдральные группы. Случаи октаэдральных и
икосаэдральных групп могут быть разобраны таким же спо-
способом. Мы ограничимся краткими указаниями, оставляя де-
детали читателю. Предположим, что G — бинарная группа окта-
октаэдра (обозначения те же, что и в п. 4.4.11). С помощью
орбит группы Г в Р находим однородные полуинварианты
группы G степеней 12, 8 и 6 соответственно, скажем cpi2, ф8
и фб.
Группа //= QX4G имеет порядок 96 и содержит отражения
порядка 2, а именно отражения вида ig9 где g^G — эле-
элемент порядка 4(**). Число таких отражений равно удвоен-
удвоенному числу элементов порядка 2 группы Г, которое в свою
очередь равно 9 (поскольку каждый элемент порядка 2 груп-
группы Г содержится в единственной подгруппе, сопряженной Fi
(*) Тот факт, что Ф4— инвариант группы Я, вытекает из п. 4.3.4 (i),
поскольку все отражения в Н имеют порядок 3. Линейная независимость
<Р4 и Фб вытекает из того, что соответствующие им множества точек на Р
не пересекаются. То, что можно положить \f>12 = cplj» устанавливается, как
и в примечании 13 в дополнении 3. — Прим. перев.
(**) И никаких других отражений в G нет. — Прим. перев.

114 Гл. 4. Конечные группы
или Г3). С помощью следствия 4.2.12 получаем, что Н яв-
является группой, порожденной этими отражениями, и что
SH = С [ г|з 8, г|) 12] • Можно взять -ф 8 = Фв-
Полуинварианты f0 группы Н из п. 4.3.2 можно считать
равными ф6 и ф!2; с помощью теоремы 4.3.4 получается тогда,
что SG = C[(p8, ф|, ф6ф12] и, следовательно, SG^C[/8, />,
4.5.5. Икосаэдральные группы. Пусть, наконец, G будет
бинарной группой икосаэдра (обозначения те же, что и в
п. 4.4.13). Орбиты группы Г в Р дают в этом случае одно-
однородные полуинварианты ф12, ф2о, Фзо- Возьмем Я = QX3G. Это
группа порядка 360; она содержит 40 отражений порядка 3,
которые ее порождают. Далее SH = .С [г|П2, ^зо], причем
МОЖНО ВЗЯТЬ \J>i2 = ф12, ^30 = фзО-
Имеется единственная орбита группы G на множестве ги-
гиперплоскостей отражений, и в качестве соответствующей
функции f0 можно взять ф2о. Она является инвариантом
группы G. Отсюда следует, что 5° = С[ф12, ф20, Фзо]= С[/12,
4.5.6. Упражнения. A) Найдите рациональную функцию
Pg(T) в тетраэдральном, октаэдральном и икосаэдральном
случаях.
B) Если /, f'^£[X,Y], то определим гессиан H(f) и
якобиан /(/,/') формулами
H^^JX* Im ~~~ \ дХ 0Y ) ' J ^' f) = ~дХ ~dY "" ~W~dX
(см. также п. 3.3.16).
(a) Пусть G — конечная подгруппа в GL2(C). Покажите,
что если /, /' — полуинварианты группы G, принадлежащие
характерам ъ ч! (см. п. 4.3.1), то H(f) и /(/,П —также по-
полуинварианты группы G, принадлежащие соответственно ха-
характерам gb->(detgJx(g) и gb->(detg)x(g)x'te)-
(b) Найдите (с точностью до скалярного множителя)
Я(фО и /(фг, ф/), если ф/ те же, что и в пп. 4.5.3, 4.5.4, 4.5.5
соответственно.
4.6. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ НЕКОТОРЫХ
ТРЕХМЕРНЫХ ГРУПП
В предыдущем разделе мы рассмотрели конечные под-
подгруппы в SL2(C) и их теорию инвариантов. Можно было
бы спросить, не переносятся ли наши рассмотрения на слу-

4.6. Теория инвариантов некоторых трехмерных групп 115
чай SLn(C). Оказывается, однако, что простых результатов
следует ожидать только при п = 2.
Здесь мы лишь рассмотрим несколько конкретных под-
подгрупп группы SL3(C).
4.6.1. Пусть У=С3 и ( , )—стандартная положитель-
положительно определенная эрмитова форма на V (см. п. 4.2.14). Пусть
v е V — какой-нибудь ненулевой вектор и £ — корень из еди-
единицы. Обозначим через sOi;e(/3(C) отражение, для кото-
которого sVt t(v) = t,v и sVt i (x) = х9 если (x,v) = 0. Таким об-
образом, действие s.Vt; задается формулой
Sv.t(x) = x + (Z-l)(v9 vyl(x, v)v.
Мы будем писать so = so, _г, это отражение порядка 2. Заме-
Заметим также, что если gG £/3(С), тоgsv,ig~l = sg.Vt ;.
Пусть (ei) — канонический базис в V. Положим
а = A + V:=:7)/2; тогда а2 — а + 2 = 0. Если е = в2ш/7, то
—а = е3 + в5 + е6, — а = е + е2 + е4 (можно проверить, что
— (е + е2 + е4) удовлетворяет тому же уравнению, что и ос,
и имеет отрицательную мнимую часть).
Пусть 2 d V — конечное множество, состоящее из сле-
следующих 42 векторов единичной длины (все индексы /, /, /
предполагаются различными и удовлетворяющими условиям
1 </,/,/<3):
±ei9 ^а{±е1±.е}), ^(±ei±eJ±aei).
ПОЛОЖИМ Sl==Se2, S2 = Sa(e2+e,)f2, S3 = S-(ei + e2-ag3)/2. ТоГДа S\,
£2, s3 переводят 2 в себя (проверьте) и порождают такую
группу G, что G-2 = 2. Поскольку 2 — конечное множество,
содержащее базис пространства V, группа G конечна (*).
Таким образом, G — конечная группа, порожденная отраже-
отражениями. Кроме того, 2 = G-e2 (проверьте). F)
4.6.2. Лемма. Группа G содержит ровно 21 отражение,
а именно отражения sv с v gH.
Если и е S, то sv = Sg.e2 = gse£-1 (для некоторого g s G)
и, следовательно, St,eG. Кроме того, если v, v' e 2, то
sv =sv' тогда и только тогда, когда v' = ±v.
Пусть теперь s e G — отражение, не имеющее вида sv,
tie! Пусть О — орбита плоскости отражения s в множе-
множестве Ж всех отражающих плоскостей (мы пользуемся здесь
,*) Элемент g из ядра естественного гомоморфизма группы G в группу
подстановок множества 2 должен оставлять на месте некоторый базис
пространства V и, значит, g = 1. — Прим. перев.

Иб Гл. 4. Конечные группы
обозначениями п. 4.3.2). Из теоремы 4.3.4 (i) вытекает, что
si'fa = fa (*'= 1, 2, 3) (*) и, следовательно, g-fo = fo для
любого g e G. С другой стороны, из теоремы 4.3.4 (i) выте-
вытекает также, что 5 • fo = (dets)~ f0, а это противоречит преды-
предыдущему утверждению. Лемма доказана.
4.6.3. Предложение. Степени построенной группы G, поро-
порожденной отражениями, равны 4, 6, 14, и, следовательно,
ее порядок равен 336. Группа G содержит скалярное умно-
умножение на — 1.
Пусть Я — подгруппа в G, оставляющая на месте вектор е2.
Ясно, что |G| =42|Я| (**). Мы утверждаем, что |#| =8.
В самом деле, группа Я переводит в себя плоскость V\, на-
натянутую на векторы е\ и е3, и изоморфна своему ограниче-
ограничению Н\ на Уь Группа Н\ переставляет между собой векторы
2 П V\ = {±£1, ±£з, a(±£i =b е3) /2}. Более того, Н\ перестав-
переставляет между собой 4 вектора ±е\, =Ьв3. Действительно, если
для некоторого А е Я, скажем, he\ = <х(е\ + £з)/2, то тогда
Ае3 = a(eiei + е3в3)/2 (***) (где еь е3 = ±1, eie3 = —1) и
А (а (в1+в3)/2)=а2(81 + 1)в1/4 + а2(е3+1)^з/4, что я^
равно ни одному из векторов множества 2 П V^iJ значит, Я
переставляет векторы {±еи ±е3} между собой. Отсюда уже
легко вывести, что |Я| = 8.
Таким образом, |G| = 336. Пусть du d% d3 — степени груп-
группы G. Тогда ввиду следствия 4.2.12 мы имеем следующие
условия: did2d3 = 336, d\ + d2 + d3 = 24. Легко видеть, что
единственным возможным набором значений {dud2yd3}y
удовлетворяющим этим условиям, является набор
{dud2fd3} = {4,6,14}.
Последнее утверждение предложения вытекает из равен-
равенства sere,^= —id-
4.6.4. Ввиду предложения 4.6.3 мы имеем S(V)G =
= С [/ч, fe, fu], где ft — однородный полином степени /. Най-
Найдем /4. Пусть Si имеют тот же смысл, что и выше; положим
с = s\S3s2. В каноническом базисе пространства V преобра-
(*) Hs не может совпадать ни с какой плоскостью HSv> dgH, так
как иначе s было бы отражением порядка ^3 и, значит, s-y = bG2y
^^=-±-1, что невозможно. — Прим. перев.
(**) Согласно примечанию к п. 4.6.1, группу G можно отождествить
с некоторой подгруппой группы всех подстановок множества 2. Поскольку
G действует на 2 транзитивно, \G\ = |2|-|Я| = 421Н\. — Прим. перев.
(***)Это следует из того, что h сохраняет скалярное произведение.—
Прим. перев.

4.6. Теория инвариантов некоторых трехмерных групп 117
зование с задается матрицей
d —
а
Следовательно, характеристический полином преобразова-
преобразования с имеет вид Т3 — аТ2 — аТ + 1. С помощью сделаннога
в п. 4.6.1 замечания об а и а получаем, что собственные зна-
значения преобразования с равны —е3, —е5, — кв (г = е2пШ).
Пусть аи а2, «з — собственные векторы этого преобразова-
преобразования, отвечающие указанным собственным значениям; они об-
образуют в V базис. Обозначим через х\, Х2> X3^S(V) соот-
соответствующие координатные функции; тогда S(V) =
= С [хи Х2, Хз]. Положим f.= X! а,- / / xbxkxb.
Ввиду инвариантности /4 относительно с ненулевыми мо-
могут быть лишь те коэффициенты at t ., для которых
4/i + 2/2 + /3 = 0 (mod 7). Отсюда следует, что единственные
значения (/ь /2, *з), которые следует рассмотреть, — эта
C,1,0), @,3,1) и A,0,3). Значит, /4 — это линейная комби-
комбинация вида Ьхх\х2 + Ь2х\хъ + Ъъххх\. Ни один из коэффициен-
коэффициентов bi не может быть равным 0: в противном случае группа G
обладала бы полуинвариантом степени 1, что невозможно
(проверьте это). Умножая at на подходящие скалярные мно-
множители, мы можем теперь добиться того, чтобы инвариант f4
имел простой вид: х\х2 + х\хъ + ххх\.
Отсюда можно вывести и точные выражения для /6 и /14
(см. Вебер [1, стр. 524]).
4.6.5. Пусть G' = GnSL3(C). Это конечная подгруппа
в SL3(C) порядка 168 (*). Пользуясь тем же методом, ко-
который мы применили при исследовании бинарных групп мно-
многогранников, теперь уже несложно найти и алгебру инва-
инвариантов S(V) .
Инвариант группы Gr является полуинвариантом груп-
группы G (**). Как вытекает из результатов, полученных при
исследовании группы G, имеется лишь один (с точностью до
скалярного множителя) полином fo\ его степень равна 21,
"(*) Пусть ф: G->C*, cp(g)=detg. Тогда G' = Кег ф, a Im ф =
= {1, —1}, поскольку G порождена элементами si, для которых y(Si) =
= — 1, i = 1, 2, 3. Таким образом, [G : G'] = 2. — Прим. перев.
(**) Имеется в виду однородный инвариант. Само же утверждение
следует из того, что (см. п. 4.6.3) —\^G и, значит, для любого ^fE(?
либо g <= G', либо — g e G'. — Прим. перев.

118 Гл. 4. Конечные группы
и это есть в точности полином, указанный в п. 4.3.5. Обозна-
Обозначим его через /2ь С помощью теоремы 4.3.4 тогда несложно
получить, что S(l/)G' = C[f4, f6, fi4, /21].
Более того, f\x — инвариант группы G, степень которого
равна 42. Следовательно, имеется единственное соотношение
где F ^ S(V)G — полином степени 38. Можно показать, что
Р Ф 0, у ф 0. Наметим вкратце соответствующее рассужде-
рассуждение для р. Пусть v — ненулевой собственный вектор эле-
элемента с из п. 4.6.4. Тогда f4(v) = fA{c-v) = \Lf4(v), где ц —
корень 14-й степени из единицы. Следовательно, fA(v)=O. По-
Подобным же образом получаем, что fe(v) = O. Поэтому
С помощью явных вычислений можно убедиться, что век-
вектор v не лежит ни в какой из отражающих плоскостей, и,
значит, /2i (^) Ф 0. Таким образом, р Ф 0. Тот факт, что у Ф 0,
доказывается аналогично, если вместо с использовать под-
подходящий элемент порядка 6 (а именно, «регулярный» эле-
элемент, существование которого вытекает из таблицы в статье
Коэна [1, стр. 412]). Таким образом, с помощью соответ-
соответствующего выбора полиномов fu и f6 можно добиться того,
чтобы было
Явную формулу для этого соотношения можно найти у Be-
бера [1, стр. 529] G).
4.7. ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
НЕКОТОРЫХ ТРЕХМЕРНЫХ ГРУПП,
ПРОДОЛЖЕНИЕ (8)
4.7.1. Пусть V= С3, как и в п. 4.6.1. Положим ц = e2ni/3.
Пусть теперь 2 cz V — следующее множество из 72 векторов
единичной длины (относительно стандартной положительно
определенной эрмитовой формы ( , )):
где 1<Л,|,/< 3.
Пусть sl = si^i/2{ei+et+et)t^ s2 = sett4[9 s3 = settX[. Тогда slf
s2, s3 переводят 2 в себя и порождают конечную группу G.
Мы имеем 2 = G-e\ (проверьте все эти утверждения).
С помощью рассуждений, подобных тем, которые были
использованы при доказательстве леммы 4.6.2, доказывается,
что G содержит ровно 24 отражения, а именно sV) ц и sVt ^y

4.7. Теория инвариантов некоторых трехмерных групп 11$
где уеЕ. Имеется 12 отражающих плоскостей и единствен-
единственная орбита группы G в множестве всех этих плоскостей. По-
Поэтому имеется только один (с точностью до скалярного мно-
множителя) полуинвариант fo\ его степень равна 12.
4.7.2. Предложение. Порожденная отражениями группа G
имеет степени 6, 9, 12 и порядок 648. Она содержит под-
подгруппу скалярных умножений на 1, ц, ц2.
Пусть Н= {gE G\g-ex = ех}9 тогда |G| = 72|#|. Обо-
Обозначим через V\ плоскость, натянутую на е2 и е3. Тогда груп-
группа Н переставляет элементы множества 2 П V\ = {^e2f р^ег}„
Если g^H, то либо ge2 = ae2t ge3 = Рв3, либо ge2 = ае3,
ё^г = Р^2 для подходящих коэффициентов а, рЕ С*. По*
скольку g переводит 2 в себя, аир должны быть степеням
ми т|. Поскольку G порождается отражениями s\9 s2, s3, сте-
степенью т] является также и det g. Это исключает вторую воз-
возможность для g, а отсюда без труда выводится, что Н —
группа порядка 9, порожденная отражениями s2 и s3. По-
Поэтому | G | = 648.
Пусть {di, d2, d3} — множество степеней. Ввиду след-
следствия 4.2.12 должны быть выполнены условия d\ + d2 + d3 =
= 27, did2d3 = 648. Мы предоставляем читателю проверить,
что отсюда вытекает {du d2y d3} = {6, 9, 12}.
Последнее утверждение предложения получается из того,
что преобразование Se^Se^Se^ является скалярным умно-
умножением на г].
4.7.3. Теперь мы найдем явный вид инварианта степени 6.
Пусть х\9 x2f x3 — координатные функции относительно кано-
канонического базиса в V; таким образом, S(V) = С [xi, х2ух3].
Заметим прежде всего, 4ToS{V)G aC[x3v x\, *;*],поскольку
инварианты группы G являются, в частности, и инвариан-
инвариантами отражений se/l§-i\.
Пусть с = s{s2s3. В базисе (ен) это линейное преобразо-
преобразование задается матрицей
Вычисляя квадрат этой матрицы, мы получаем, что с2е\ =
= —тJв1, с2е2 = —г]в3, с2е3 = —е2. Следовательно, линейное
преобразование пространства V, определенное условиями
e\v—>—вь е2*—>—в3, е3\—■>—е2у лежит в G (оно имеет вид
c2Se2t^sei,t\). Ввиду симметрии в G лежат также все линейные
преобразования, которые получаются, если в указанном выше-

120 Гл. 4. Конечные группы
условии произвести произвольную перестановку векторов
^ь е2, ег- Рассматривая произведения таких преобразований,
мы убеждаемся, что для любой подстановки а ^ @3 линейное
преобразование ен ь-■> e{o)ea(h) пространства V (здесь е(а)'
обозначает знак подстановки а) лежит в G.
Из предыдущих замечаний вытекает, что с точностью до
скалярного множителя инвариант /6 степени 6 имеет вид
/6 = О? + 4 + 4У + а {44 + х\х\ + xlxl).
Чтобы определить а, воспользуемся тем, что вектор v =
= т]2C1/2 + 1)^1 + 11^2 + ^3 является собственным для преоб-
преобразования с, причем соответствующее собственное значение
равно — йг). Мы имеем теперь f6(v)== f6(c-v) = {—ir[Nf6(v) =
= — fe(v) и, значит, /б(^) = 0. Поэтому а = —12 и
fe = (*? + 4 + *lf - 12 {х\х\ + х\х\ +
- 6 (
4.7.4. Пусть теперь Gr = G D5L3(C). Это конечная под-
подгруппа группы SL3(C.) порядка 216. Если /6, /9, /12 — инва-
инварианты группы G соответствующих степеней, порождающие
алгебру S(V)G, и если f[2 — полуинвариант степени 12 груп-
группы G, указанный в п. 4.7.1, то
S(V)°' = C[fe,f9, fl2, f[2].
Мы должны иметь соотношение (f{2K + af\2 + Щ + f6F = 0,
где F — инвариант группы G степени 30. С помощью рассуж-
рассуждений, сходных с теми, которые использовались в п. 4.6.5,
получаем афО, Р ф 0. Поэтому мы можем считать, что
(fuf + Pu + fl^fQSiVH. Явная формула указана в статье
Машке [1, стр. 326].
4.7.5. Теперь мы приведем некоторые дополнительные ре-
результаты, позволяющие более конкретно описать инварианты
степеней 9 и 12.
Положим у = х\ + х\ + х\, ^ = х{х2хг. Тогда
Ф - Зг|) = (jci + х2 + х3) (хг + Цх2 + Г12л:з) (хх + Ц2х2 + х\х3), |
(jci + цх2 + *) (^ + iJx + Л2^) (^i + ^2 + Л^) J
Теперь
5ГЧ = ха + у (Л —

4.7. Теория инвариантов некоторых трехмерных групп 121
откуда, используя D), с помощью прямых вычислений на-
находим
и, следовательно,
5f 4 = jBt| + 1)Ф + 2A - л)* = /3/2 (Ф ]
г E)
«гЧ=у A - л) ф + 4- (л + 2) * = /3/У (фЗЧ) J
Мы получаем тогда также, что
«Г1 (Ф + 6гг4) = — (ф +
Следовательно, полином
(jc? + jc§ + 4L + 216 (х\ + jk| +
= Ф (Ф
инвариантен относительно si. Поскольку он, очевидно, инва-
инвариантен относительно s2 и s3, он является инвариантом сте-
степени 12 группы G. Поскольку этот полином и /^ линейно
независимы (проверьте), мы можем взять его в качестве ин-
инварианта /i2.
Множество тех векторов неУ, для которых cp(v) =
= i|)(u)=0, является объединением 9 одномерных подпро-
подпространств пространства V, а именно подпространств, поро-
порожденных векторами @, 1,— цн), A,0, —г]^), A, —r]h, 0)
@^/г<2). Пусть S — множество этих векторов. Положим
f9=Д (х, v) = (х\ - xf) (x\ - 4) 01 - 4)-
Из E) следует, что Q переводит S в себя. Следовательно, f9
должен быть полуинвариантом группы G (напомним, что G
состоит из унитарных преобразований). Но поскольку полу-
полуинвариант, не являющийся инвариантом, должен иметь сте-
степень 5>12 (это вытекает из теоремы 4.3.4(и), если принять
во внимание замечания, сделанные в п. 4.7.1), f9 является на
самом деле инвариантом, который (с точностью до скаляр-
скалярного множителя)_^цолжен быть образующим пространства ин-
инвариантов степени 9.

122 Гл. 4. Конечные группы
Пусть W a S(V) —плоскость, натянутая на ср и г|э. Из E)
вытекает, что G переводит W в себя, так что мы получаем
представление р: G-> GL(W).
Следующая лемма дает некоторую информацию о струк-
структуре группы G.
4.7.6. Лемма, (i) Ядро N представления р состоит из всех
преобразований вида ел»--»т]Леа(Л), где а е @3— четная под-
подстановка, г\1 = 1 и Ц1<У]2Ц3=: 1. Его порядок равен 27.
(и) Группа p(G) преобразований пространства W поро-
порождена отражениями, имеет порядок 24 и степени 4, 6. При
этом p(G)cC*T, где Т — тетраэдральная подгруппа в
SL(W).
Доказательство утверждения (i) предоставляется читате-
читателю. Чтобы доказать (И), заметим сначала, что преобразова-
преобразования p(s/i) (h = 1, 2, 3) являются отражениями: при h = 2, 3
это очевидно, а при /г = 1 вытекает из E). Таким образом,
p(G)—группа, порожденная отражениями. Ввиду (i) и пред-
предложения 4.7.2 ее порядок равен 24. Кроме того, проделанные
выше вычисления показывают, что p(G) обладает инвариан-
инвариантом степени 4, который не является квадратом инварианта
степени 2 (проверьте это). Следовательно, степени группы
p(G) равны 4 и 6. Определенная группой p(G) группа проек-
проективных преобразований обладает тогда орбитами, состоящи-
состоящими из 4 и 6 точек (см. п. 4.5.1); ввиду указанной в разд. 4.4
классификации она должна быть тетраэдральной группой.
Это доказывает лемму 4.7.6.
4.7.7. Пусть теперь Р — проективная плоскость, определен-
определенная пространством V. Тогда группа G определяет группу Г
проективных преобразований плоскости Я, которая изоморф-
изоморфна группе G' из п. 4.7.4. Группа Г называется группой Гессе.
Пусть 2 — множество из 9 точек проективной плоскости Р,
определенное указанным выше множеством 5 векторов про-
пространства V. Обозначим через Д образ в Г группы N\ это
нормальный делитель в Г. Пусть F3 — поле из 3 элементов.
4.7.8. Лемма, (i) Группа Д изоморфна (F3J;
(И) группа Д действует на 2 просто транзитивно (*).
(*) ПодAГ3Jпонимается векторная группа двумерного векторного про-
пространства над полем F3- Просто транзитивное действие — это транзитив-
транзитивное действие, при котором единственным преобразованием, оставляющим
на месте какую-либо точку, является тождественное преобразование. —
Прим. перев.

Примечания 123-
Утверждение (i) вытекает из описания группы N, данного
в лемме 4.7.6 (i), а утверждение (п) —из того факта, что для
любого р ^ 2 множество Д-р состоит из 9 точек.
4.7.9. Пусть ф — изоморфизм (F3J-^A. Если yGT, то
найдется такое линейное преобразование ty(y) пространства
(Г 3J, что
и что i|)(y)= 1 тогда и только тогда, когда убД. Поскольку
группа GL2(F$) всех невырожденных линейных преобразо-
преобразований пространства (Р3J имеет порядок 48, подгруппа г|)(Г)
имеет в GL2 (F3) индекс 2. Но тогда она должна совпадать
с группой SL2 (F3) (проведите подробно соответствующие
рассуждения).
Таким образом, мы нашли следующее явное описание
группы Г:
4.7.10. Предложение. Существует такая биекция а: 2 ->
-^(^зJ, что группа аГа-1 биекций пространства {F3J яв-
является произведением группы SL2 (F3) и группы переносов
(W9)
Примечания
(!) D.2.5) Эта теорема впервые была доказана Шефардом и Тоддом
[1]. Импликация A) =МЗ) доказана в их работе с помощью трудоемкого
перебора случаев. Приблизительно в то же время Шевалле [1] Дал значи-
значительно более короткое доказательство этой импликации. Именно оно и
было воспроизведено в нашем изложении. Утверждение B) в неявном виде
также содержалось в работе Шевалле.
B) D.4) Классическое изложение этого вопроса имеется в «Лекциях
об икосаэдре» Клейна [6]. Мы в большей или меньшей степени следовали
Веберу [1, гл. 8, 9].
C) D.4.9) Существенная часть теории, которую можно найти в 13-й
книге Евклида, приписывается математику Теэтету* D15—369 гг. до н. э.?)г
см. Фритц [1]. Название «тела Платона» связано с тем фактом, что Пла-
Платон D27—347 гг. до н. э.) в своем трактате Timaios, пытаясь дать матема-
математическое обоснование строения материи, использовал правильные тела в
качестве структурных элементов земли, воздуха, огня и воды (которым
сопоставлялись соответственно куб, октаэдр, тетраэдр и икосаэдр) (*). Об
истории правильных тел см. недавнюю работу Уотерхауза [1], в которой
содержатся также ссылки на старую литературу.
D) D.4.14) Конечные группы Г из п. 4.4.4 встречаются в неявном
виде уже в работе X. Шварца [1] об алгебраических интегралах гипергео-
гипергеометрического дифференциального уравнения. По существу в этой работе
содержится классификация этих групп Г.
(*) Согласно ван дер Вардену, Science Awakening, 1961, Oxford Uni-
University Press, London, стр. 100, пифагорейцам были известны только три
правильных многогранника: тетраэдр, куб и додекаэдр. Остальные два
нашел Теэтет, друг Платона. — прим. перев.

124 Гл. 4. Конечные группы
Несколько позже и независимо начал изучать такие группы Клейн [2].
Исчерпывающее изложение теории содержится в его книге [6].
Эти группы рассматриваются также в книгах Кокстера [2] и дю
Валя [1].
E) D.5.5) (а) Теория инвариантов бинарных групп многогранников
впервые была исследована Клейном [6, гл. 2]. Он пользуется явным описа-
описанием строения правильных тел для того, чтобы получить множества точек
на проективной прямой Р, определенные полуинвариантами (см. п. 4.5.1).
На этом пути получаются явные формулы для образующих инвариантов.
Например, при соответствующем выборе системы координат инвариант fi2
группы икосаэдра оказываются равным
/12 (Ху Y) = XY (X10 + 1IX5Y5 - Y10).
Пусть /го — его гессиан; он также является инвариантом (см. п. 4.5.6B))
и имеет вид
/20 (X, Y) = - (X20 + У20) + 228 (Xl5Y5 - X5Y15) - 494Х10Г °.
Пусть, кроме того, 20/зо — якобиан полиномов /12 и /20; тогда
/30 (X, Y) = (X30 + У30) + 522 (X25Y5 - X5Y25) -
При этом /30 + /20 = ^28 QwM' Это более точный результат, чем тот, ко-
который мы привели в п. 4.5.5.
Теория инвариантов бинарных групп многогранников обсуждается
также в книгах Вебера [1, гл. 9] и дю Валя [1, 5].
(b) Полуинварианты ф4, ф4 из тетраэдрального случая, фб из октаэд-
октаэдрального случая и инвариант ф12 из икосаэдрального случая могут быть
охарактеризованы следующим образом (см. Гордан [2, стр. 209—213]): с
точностью до скалярного множителя они являются такими ненулевыми
однородными полиномами fe С [X,Y] без кратных множителей, что Т4(/,
/) = 0 (см. Гордан [2, стр. 204—220]).
(c) Алгебры SG из разд. 4.5 можно рассматривать как координатные
алгебры на фактормногообразных C2/G. Эти многообразия имеют един-
единственную (изолированную) особую точку. В работе Брискорна [1, стр. 281]
дано замечательное описание этих изолированных особенностей (*).
F) D.6.1) Множество 2 является (комплексной) системой корней в
смысле работы Коэна [1, стр. 404]. Эти системы введены в loc. cit., стр. 407,
409. Группа, порожденная отражениями, из п. 4.7.2 введена там же.
G) D.6.5) Трехмерная линейная группа G' порядка 168 и ее инва-
инварианты подробно изучались в XIX веке. Эти исследования были начаты
Клейном [3]. Весьма подробное описание теории инвариантов в этом слу-
случае было получено Горданом, см. Клейн [4].
Можно показать, что группа G' изоморфна
(8) D.7) Этот пример разобрали Б. Холткэмп и А. Вермюлен.
(9) D.7.10) Множество ЪаР возникает в следующей ситуации. Пусть
С — невырожденная кубическая кривая на проективной плоскости Р. Мож-
Можно показать, что С имеет 9 точек перегиба (см. ван дер Варден [1, § 23]).
(*) См. также Милнор [1, стр. 83—85] и примечание 18 в дополне-
дополнении 3. Указанные особенности известны как особенности Клейна, дю Валя,
простые, платонические (особенности Платона), двойные рациональные,
особенности типов Л, Д Е. — Прим. перев.

Цитируемая литература 125
Тогда существует такое линейное преобразование плоскости Я, которое
переводит множество 2 в эти точки перегиба (Вебер [1, гл. 12]).
Кривая С, имеющая 2 в качестве множества своих точек перегиба, оп-
определяется уравнением аф + bty = 0 (обозначения те же, что и в п. 4.7.5).
«Конфигурация Гессе» 2 обсуждается у Кокстера [2, 12.3].
Цитируемая литература
Брискорн [1], Бурбаки [1], ван дер Варден [1], Вебер
111], дю Валь [1], Гор дан [2], Клейн [2], [3], [4], [6], Кок-
стер [1], [2], Коэн [1], Ленг [1], Машке [1], Уотерхауз [1],
Фритц [1], Хит [1], X. Шварц [1], Шевалле [1], Шефард
иТодд [1].

Дополнение 1. О ТЕОРИИ ИНВАРИАНТОВ
ГРУППЫ 5L2(*)
Г. Спрингер
1. Пусть V — комплексное векторное пространство. Обо-
Обозначим через 5 = 5(У) алгебру комплекснозначных полино-
полиномиальных функций на V. Если G — группа, ар: G ->- GL(V) —
ее представление в V, то обозначим через R = SG градуиро-
градуированную алгебру всех G-инвариантных функций из S. Ряд
Пуанкаре (**) этой алгебры имеет вид
РR (z)=Z dim (Rn)zn. A)
/2 = 0
Легко понять, что этот ряд сходится при |z|< 1, и известно,
что если R конечно порождена, то на самом деле он яв-
является разложением по степеням z некоторой рациональной
функции (см., например, п. 2.5.4, а также Атья и Макдо-
нальд [1]).
Если G — компактная группа Ли, а р — ее непрерывное
представление, то имеется следующая формула Молина —
Вейля (***):
где d\x — мера Хаара на группе G, нормализованная так, что
объем группы G равен 1.
Однако ни формула A), ни формула B) не позволяют
сразу получить информацию о виде рациональной функции,
представленной рядом PR.
В настоящей заметке найден явный вид этой функции
для неприводимого представления р группы SL2(C) (****),
(*) Springer Т. On the invariant theory of the group SL2 — Preprint,
1979. Это дополнение специально прислано автором для русского издания.
(**) См. п. 2.5.3. — Прим. перев.
(***) См. примечание 19 в дополнении 3. — Прим. перев.
(****) Хорошо известно, что алгебры инвариантов связной полупростой
комплексной группы Ли и ее максимальной компактной подгруппы совпа-
совпадают (см. Вейль [1] о так называемом «унитарном трюке»). Поскольку
максимальной компактной подгруппой в SL2(C) является группа SU2, ряд
Пункаре для SL2(C) можно вычислять с помощью формулы B), понимая
под G группу SU2. Именно это в дальнейшем автор и делает. — Прим*
перев.

О теории инвариантов группы SL2 127
Ряду Пуанкаре для этого случая было уделено много внима-
внимания в XIX веке (например, в работах Кэли и Сильвестра).
Однако я не смог найти в литературе по теории инвариантов
явной формулы такого типа, как формула из этой заметки.
2. Сначала мы приведем некоторые вспомогательные ре-
результаты. Для любого целого положительного числа п будем
обозначать через t,n комплексное число e2niln. Если /е С.(г),
то положим f(z) = f(z~1).
Лемма 1. Существует такое С-линейное отображение уп:
£(*)-* С (г), что
tf(Vn) C)
При ЭТОМ (фя(/))"=фяG).
Поле С (г) является расширением Галуа степени п поля
1С(гп); группа Галуа этого расширения порождена автомор-
автоморфизмом, переводящим z в £пг. Значит, правая часть равен-
равенства C) лежит в C(zn), что и доказывает существование
отображения ф«. Остальное ясно (*).
Положим gh(z) = (l — z)
~h
Лемма 2 (**). Имеет место формула фn(gh)= J^ anigh
где anh = nh~x и а„, h-i = -nh-2{n — l)A/2 (ft > 2).
Доказательство можно опустить.
Лемма 3. Пусть fGC(z). Тогда полюса функции фл(/)
имеют вид апу где а — полюс функции f. Если функция f
имеет только один полюс а максимального порядка h, то мак-
максимальный из порядков полюсов функции фя(/) также равен
(*) Справа в C) стоит результат усреднения элемента /еС(г) по
группе Галуа расширения С(г)э С (zn) (таким образом, правая часть в
C) лишь множителем п~{ отличается от следа элемента f в указанном
расширении). Практически фя(/) вычисляется так: следует составить сум-
п
му п~х J] f (^z) и, преобразовав ее, записать как функцию от zn (это
всегда возможно), после чего всюду заменить zn на г. Пусть, например,
f(z) = 1/(г + 22). Тогда
< (П) <2) ( + Ы
и поэтому ф2A /(г + г2)) = 1 / (г — 1). — Прим. перев.
(**) Леммы 2, 3, 4 в доказательстве основной теоремы этой заметки
не используются. Они нужны для доказательства предложения 2, которое
уже было доказано другим способом в гл. 3. — Прим. перев.

128 Дополнение 1. Т. Спрингер
h и у фл(/) имеется только один полюс максимального поряд-
порядка, а именно ап.
Лемма 4. Пусть f е С (z) и а — какое-нибудь целое поло-
положительное число. Положим g(z) = f(zn). Тогда
где через (я, а) обозначен наибольший общий делитель чи-
чисел а и п.
Доказательства этих лемм не вызывают затруднений.
^еперь несколько ф
то положим
(d, z)! = (l-z)(l-
Введем теперь несколько функций специального вида.
Если d g N, то положим
Vj (~\ — / \\e ?e(e-\) Up у2\\(й p <y£\\X~X
\de \&) — V L) * IV^» Z )l \U — 6?, Z )\\
Тогда
л /2) = ( \\d z^d~2e^d+l)yd (z). E)
Положим также
a(t)(z) = (l —zt)~\ a(t)(z) = (l —z-4)~\
Нам необходимо знать еще некоторые свойства следую-
следующей рациональной функции fd от двух переменных:
d
!A)m
Заметим, что
)-\ G)
где Pg.C[2,/]—полином, для которого Р(г,0)Ф0. Для
любого rfe N обозначим через S(d) множество всех положи-
положительных целых чисел вида d — 2е {е ^ 0).
Теперь мы можем описать разложение функции fd(z,t))
в сумму простейших дробей (*).
(*) Речь идет о разложении функции fa(z,t) в сумму простейших дро-
дробей по t с коэффициентами в С (г); оно и является по существу главным
техническим результатом заметки. Дело в том, что формула Молина, до-
дополненная формулой интегрирования Вейля, сводит вопрос о подсчете ряда
Пуанкаре к вопросу из анализа, а именно к вычислению некоторого крат-
кратного интеграла; в случае группы G = SL2 (С) этот интеграл однократен
2л
и имеет вид л; \ sin yfd (z, et(p) dq> (см. ниже). Далее положение можно
о
охарактеризовать словами Г. Вейля (см. Вейль [1, стр. 316]): «Хотя вы-
вычисление (этого) элементарного интеграла вряд ли кто-нибудь счел труд-
трудным делом, тем не менее никому до сих пор не удалось выполнить его
прямым способом». Говоря точнее, для каждого конкретного d интеграл

О теории инвариантов группы SL2 129
Предложение 1. Имеет место формула
fd {*, t) = S Ф*-2в (Y* (а @ ~ 2 @).
0<<d/2
Более явно эта формула записывается так. Пусть N —
положительное целое число, делящееся на все числа h e S(d)\
Тогда
Доказательство этого предложения проводится следую-
следующим образом. Мы имеем разложение
Заменяя 2 на t,Nz, получаем
ch, /+i (z) = сЛ/ (z£jv), сл. /+1 (г) = сл/
и, следовательно, полагая сн = Сьп, ch = chn,
*Л/B) = СЛB&), ^/(z) = CfcBS^). A0)
Кроме того, поскольку
fAz-\t) = {-z)d+xfd{z, t),
мы получаем
ch{z) = {-z-")d+\h{z-% A1)
Теперь заметим, что
Полагая h = d — 2е и производя несложный подсчет, полу-
получаем
hch(z)=T[ {\^zNz-N«
1Ф
Из формулы A1) мы видим тогда, что
(zN'h) = -
с большими или меньшими трудностями подсчитывается с помощью выче-
вычетов, но общая формула так не получается. Автор впервые обнаружил, что
интеграл вычисляется классическим способом разложения на простейшие
дроби, если привлечь операторы ф„. — Прим. перев.
(*) Тут использовано равенство1 {lN)Nlh = lh и однозначность раЗло
жения правильной дроби в сумму простейших дробей. — Прим. перев. *
5 Зак. 762

130 Дополнение 1. Т. Спрингер
и, значит,
Из формулы A0) мы получаем тогда формулы для Сщ и дщ-
Подставляя их в (9), получаем (8).
3. Пусть теперь G = SU2. Обозначим через pd неприводи-
неприводимое представление этой компактной группы Ли, имеющее
размерность d + 1 (т. е. представление «со старшим весом
d») (*). Пусть Va — пространство представления pd, a %d —
характер этого представления.
Обозначим через Т максимальный тор группы G, состоя-
состоящий из диагональных матриц
Тогда
0 \
Кроме того, заметим, что характеристический полином пре-
преобразования р<*(/(ср)) имеет вид fd(z, ei(v)-~l. Пусть z e tCj,
\z\< 1. Положим
Р ly\ -^ [ Хв (g) ^ (g)
r**W- 3 det(l-2Pd(g)) f
предполагая по-прежнему, что \d\i{g)=l. По известной
G
формуле (***)
2я
det A — ;
О
и, значит,
2л
A2)
Положим Pd = Pdo\ это ряд Пуанкаре B) для инвариан-
инвариантов представления р<* группы SU{2). Далее, Pde — это ряд
(*) Оно задается теми же формулами, что и представление ра груп-
группы SL2(C), см. п. 1.4.9. — Прим. перев.
(**) Поскольку (в обозначениях, использованных в п. 3.1.1)
р^(ф))^ = е*Ф(<*-2Ф>е., мы получаем %d (t (ф)) = ^^ + 6М<Ф-2> + ...
^. + ^~£d = cos сГф + cos d (ф — 2) + ... + cos (— d) = (sin (d + 1) <p)/sinф. —
Прим. перев.
(***) См. примечание 20 в дополнение 3. — Прим. перев.

О теории инвариантов группы SL2 131
Пуанкаре для ковариантов: если
/=0
то rridei — размерность пространства G-инвариантов в про-
пространстве S(Vd)i®Ve- Известно, что Рае является рацио-
рациональной функцией (см. 2.5.4). В следующей теореме мы най-
найдем ее явный вид.
Мы опускаем доказательство леммы 5.
--S
Лемма 5.
2я
sin (е + О Ф sin ф dq>
1 - ге**
|(l+fie.oJe-yze+2, если |г|<1,
j(-l+6e.o)z-*+±z-*-29 если \г\>\.
(Здесь 8е, о — «дельта» Кронекера.)
Положим iie(z)= ze.
Теорема. Имеет место формула
р _ у
6 0</d/2 Ф^2/ ((Ре ~ Ve+2) Yd/)-
Это выводится из A2) с помощью предложения 1 и лем-
леммы 5 (*). В частности, мы имеем
Р*= Z Ф^-2/(A — ЫУл/Х**). A3)
0</<d/2
Следствие 1. Если е + 3 < (d + 1) 2/4, то Pde (г-1) =
= (-l)dzd+lPde(z).
Из G) следует, что fd(z,t) имеет при t = 0 нуль порядка
[ ( + 1 J/4]. Поэтому все частные производные функции fa
по t порядка < (d + 1J/4— 1 обращаются при / = 0 в нуль.
Ввиду предложения 1 мы получаем, что при е + 1 <
2я
(*) При вычислении интеграла \ sin (s + 1) -ф • sin г|) • Ф^_2е ( ^de № X
oJ V
VI п"— r-rr-1| ^г|) следует сделать замену z на г^~2е, воспо-
^V 1 — zetvp I — z~ etv?JJ
льзоваться определением ф<*_2 и применить лемму 5. — Прим. перев.
(**) См. примечание 21 в дополнении 3. — Прим. перев.
5*

132 Дополнение 1. Т. Спрингер
Значит, если в + 2 < (d + 1J/4 — 1, то из теоремы выте-
вытекает, что
Отсюда и из E) и вытекает утверждение доказываемого
следствия.
Следствие 2. Если d > 2, то Л^гт1) = (—l)dzd+1Pd(z).
Это частный случай (е = 0) следствия 1 (**). \
Следствие 3. Кольцо инвариантов S(Vd)G является коль-
кольцом Горенштейна.
По теореме Хохстера и Робертса (см. Хохстер и Роберте
[1]) S(Vd)G является кольцом Коэна — Мэколея. Ясно так-
также, что оно является областью целостности. Поэтому из тео-
теоремы Стэнли (см. Стэнли [1, теорема 4.4]) и следствия 2
вытекает, что S(Vd)G — кольцо Горенштейна при d > 2.
В случае d = 2 утверждение очевидно (***).
Известно, что при d ^ 3 степень трансцендентности поля
частных алгебры /d = S(Vd)G над подполем ,С равна d — 2
(см. п. 3.4.9 и примечание 7 в дополнении 3). Пусть /ь ...
...,/d_2 — множество алгебраически независимых однород-
однородных элементов алгебры Id, для которого Id цела над !С,'[/ь ...
..., fd-2]. Такие элементы f-t существуют (см. п. 2.5.1); по-
поскольку 1а — кольцо Коэна — Мэколея, оно является также
конечно порожденным свободным модулем над .Q[f\, ...
..., fd-2] (см. Стэнли [1, п. 3]). Пусть ^ = deg/t- и е — мак-
максимум степеней однородных элементов, образующих базис
С [fи • •., fd-2] -модуля Id.
Следствие 4. е\ + ... + е<*_2 = е + d + 1.
(*) Вта формула получается после е-кратного дифференцирования
функции fd(z\ t) no t в точке Y = 0 (следует учесть, что отображение ср*
коммутирует с оператором дифференцирования). — Прим. перев,
(**) См. примечание 22 в.дополнении Ъ. — Прим. перев.
(***) См. примечание 23 в дополнении 3. — Прим. перев.

О теории инвариантов группы SL2 133
Это вытекает из следствия 2 и того, что
тде Q — полином степени е (см. гл. 2).
Следствие 5. Если Id — свободная градуированная алгеб-
алгебра, то d^4 (**).
Если это так, то в следствии 4 можно считать е рав-
равным 0. Поскольку все ей кроме, быть может, одного, боль-
больше 2 (ввиду неприводимости (***)), то
Следовательно, d ^ 4.
Это следствие — очень частный случай одного результата
В. Г. Каца, В. Л. Попова и Э. Б. Винберга (см. Кац, Попов
и Винберг [1]; изложение этого результата имеется также
у Г. Шварца [2] (****)). Было бы интересно распространить
метод доказательства, использованный здесь, на другие
случаи.
4. Известно, что если d ^ 3, то рациональная функция Pd
имеет при z = 1 полюс порядка d — 2 (см. п. 3.4.9 и примеча-
примечание 7 в дополнении 3). Гильберт нашел рациональное число
lim(l — z)d~2Pd(z). Из A3) можно получить его результат
i
непосредственно.
Лемма 6. (i) Начало ряда Тейлора для (е, г2)! в танке
г= 1 имеет вид 2ее\{\ — z)e — 2е~1е\е2A — г)*-1 + ... .
(*) Пусть однородные элементы hu ..., ht e la образуют базис
€ [fl9 ,.., fd-2] -модуля Id. Тогда Pd (z) = ( £ zdeg НЛ/( Д (l -
— 2е0 1. —Прим. перев.
(**) Это условие не только необходимо, но и достаточно для того,
чтобы Id была свободной алгеброй, поскольку 1\ =С, /2 и /3 порождены
одним полиномом, а /4 — двумя алгебраически независимыми полиномами,
см. гл. 3. — Прим. перев.
(***) Если бы нашлись две непропорциональные инвариантные квадра-
квадратичные формы / и g на V, то Xf-\-[ig для некоторых X,\i&C была, бы
инвариантной ненулевой вырожденной квадратичной формой, а ее ядро —
собственным инвариантным подпространством в V. — Прим. перев*
(****) См. примечание 16 в дополнении 3. — Прим. перев.

134 Дополнение 1. Т. Спрингер
(и) Начало ряда Лорана для A — z2)yde(z) в точке 2 =
имеет вид
Утверждение (i) доказывается без труда, после чего (и)
вытекает из определений, см. D).
Предложение 2.
-Т^)'1 £ {-\)e(de)(±-e)d~\ если d нечетно,
d~\
(-Vе (d2)(T-e)d~\ если d четно.
Это результат Гильберта. Доказательство получается не-
непосредственно из A3) с помощью лемм 2 и 6. При этом
следует еще воспользоваться тем, что
(доказательство см. в п. 3.4.7).
Различие между четным и нечетным случаями в этом ре-
результате Гильберта происходит из-за того, что при четном d
полюс функции A — z2)yde(z) в точке z = — 1 дает полюс
функции <р*-2*(A —Мя)Т<*«) в точке г=1 (см- л^ммы 3, 4).
Детали вычислений мы опускаем.
Вопрос об асимптотическом поведении константы Гиль-
Гильберта обсуждается после упр. 3.4.10.

Дополнение 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ИНВАРИАНТОВ(*)
Г. Попп
Цель этого приложения — описать, как классическая тео-
теория инвариантов применяется в теории модулей алгебраиче-
алгебраических многообразий и в элементарной геометрии. Последнее
представляет интерес по крайней мере по историческим при-
причинам (**). Мы, естественно, не избежали некоторых пере-
пересечений с недавней статьей Дьёдонне [1] и книгой Дьёдонне
и Керрола (см. Дьёдонне, Керрол, Мамфорд [1]).
В начале своего развития теория инвариантов была свя-
связана с теорией чисел, восходящей к Disquisitiones Arithmeti-
сае Гаусса, и с теорией квадратичных форм от двух пере-
переменных. Пусть / = ах2 + 2Ьху + су2 — такая квадратичная
форма; если произвести замену переменных х, у по форму-
формулам х = ах' + р*/', у = ух' + 6у', где I * ) ^ SL2 (С), то
получится другая квадратичная формула f'=a'x'2 + 26'х'у' +
+ с'у'2. Дискриминанты этих форм связаны соотношением
Ь'2 — а'с'= (Ь2 — ас) (аб — pvJ и> следовательно, равны. Гаусс
знал, что дискриминант А = Ь2 — ас является основным инва-
инвариантом бинарных квадратичных форм, т. е. что всякий поли-
полином F(afbfc) от коэффициентов а, 6, с, не меняющийся при
действии группы 5L2(C), определенном указанным выше
правилом, сам является полиномом от А (***).
В середине XIX века теория инвариантов ответвилась от
теории чисел в нескольких направлениях. Кэли в [2], а поз-
позже Клейн в своей Эрлангенской программе [5] рассматри-
рассматривали теорию инвариантов как алгебраическую копию геомет-
геометрии тех дней (элементарной геометрии в современной терми-
терминологии) и использовали ее, чтобы определить и классифици-
классифицировать элементарные геометрии, в частности неевклидовы
геометрии. Сильвестр, Эрмит и представители немецкой шко-
(*) Рорр Н. Classical invariant theory. In: Popp H. Moduli theory and
classification theory of Algebraic varieties. — Berlin-Heidelberg-New York:
Springer Verlag, 1977, p. 159—177.
(**) См. примечание 24 в дополнении 3. — Прим. перев.
(***) Гаусс знал также о том, что это верно и для квадратичных форм
от трех переменных. См. Гаусс [1].

136 Дополнение 2. Г. Попп
лы Аронгольд, Гордан, Клебш и другие рассматривали теорию
инвариантов как чисто алгебраическую теорию. Свою задачу
они видели в нахождении явных алгоритмов. В 1880 г. Гиль-
Гильберт решил основную проблему классической теории инва-
инвариантов, доказав, что для инвариантов м-арных форм сте-
степени г относительно действия группы SLn(C) существует ко-
конечный базис. После успеха Гильберта в теории инвариантов
больше не осталось крупных неразрешенных проблем, и ма-
математики утратили к ней интерес вплоть до 1930 г. К этому
времени Шуром, Вейлем и другими была построена теория
-представлений классических групп и обнаружено, что часть
классической теории инвариантов является частным случаем
теории представлений. Но даже тогда в теорию инвариантов
существенно новых вкладов внесено не было. В 1963 г. Мам-
форд [2] вновь обратился к классической теории инвариан-
инвариантов, обнаружив геометрию в теории инвариантов п-арных
форм, в частности в работах Гильберта [2] и [3]; он показал,
что геометрическую базу классической теории инвариантов
составляет теория модулей алгебраических многообразий (*)•
Сначала мы займемся отношением классической теории
инвариантов к теории модулей алгебраических многообразий,
а потом, во второй части, опишем ее связь с элементарной
геометрией.
Если не оговорено противное, мы работаем над полем
комплексных чисел.
В 1845 г. Кэли поставил проблему нахождения всех от-
относительных инвариантов n-арных форм степени г. Что это
значит?
Рассмотрим общую n-арную форму степени г
коэффициенты которой являются независимыми переменными
над С. Рассмотрим действие группы GLn(C) на наборах
(Ла), определенное правилом
(Ах)-> {о (Ла)) = (Ла), где Ла и Ла — коэффициенты форм
f(*p .... хп) и f(o(Xi),..., a(*n)) = £<*i'---# (*)
(при естественном действии элемента о ^ GLn(C) на
переменные хь ..., хп).
(*) Здесь автор ссылается на лекцию 6 своей книги [1], где объяснен
точный смысл этого общего высказывания. Содержание указанной лек*
ции — краткий обзор мамфордовской теории факторов по действиям ре*
дуктивных групп, в котором прослеживается связь теории стабильных то*
чек с работой Гильберта [3] 1893 г. Эти темы на русском языке детальна
освещены в книге Дьёдонне, Керрола и Мамфорда [1]. — Прим. перев.

Классическая теория инвариантов 137
Однородный полином F(Aa) от переменных Аа называется
относительным инвариантом, если
для всех aGGLn(C), где %— характер группы GLn(C)<
Он называется абсолютным инвариантом, если %(а)=1 для
любого aeGLn(C). Целью Кэли было явное нахождение
всех таких инвариантов с помощью какого-нибудь алгоритма.
Сегодня проблема Кэли может быть переформулирована
в контексте алгебраической геометрии следующим образом.
Заметим сначала, что если вместо группы GLn(C) взять
группу SLn(C) с действием, определенным правилом (#), то
относительные инварианты группы GLn(C) совпадут с аб-
абсолютными инвариантами группы SLn(C). Рассмотрим те-
теперь действие группы SLn(C) на кольце полиномов R =
= С_ИаЬ определенное правилом (*). Это действие сохра-
сохраняет естественную градуировку кольца /?.
Пусть S = S(nfr)—подкольцо /?, состоящее из всех (аб-
(абсолютных) инвариантов относительно указанного действия
группы SLn(C), т. е. кольцо неподвижных относительно
SLn(C) элементов. Тогда на современном языке проблема
Кэли состояла в описании структуры множества 5 как коль-
кольца. Геометрически многообразие SpecE) связано (*) с клас-
классификацией гиперповерхностей степени г в проективном про-
пространстве Рп~1 с точностью до проективной эквивалентности.
Проблему определения структуры множества 5 как коль-
кольца можно атаковать на двух уровнях. Первый и более про-
простой— определить градуирующие подпространства в S. Это
линейная проблема, и она может быть решена методами тео-
теории представлений. Второй — описать кольцевую структуру,
найдя для 5 образующие и соотношения. Это значительно
более трудная задача, и точный ответ известен только в не-
небольшом числе частных случаев. Мы рассмотрим сначала ли-
линейную проблему, однако лишь вкратце, поскольку имеются
хорошие описания в литературе, см. Вейль [1], Дьёдонне [1],
Дьёдонне, Керрол и Мамфорд [1].
Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть Е — векторное
пространство размерности m над полем С Пусть GLn(Cy
линейно действует на £ и /: Е-* Си— относительный одно-
однородный полиномиальный инвариант степени г( т. е. /(х)—»
однородный полином и f(o(x)) = %(o)f(x) для всех as
(*) Здесь автор снова ссылается на лекцию 6 в книге Поппа [1]; со-
соответствующий материал содержится у Дьёдонне, Керрола и Мамфорда
[1] на стр. 234. — Прим. перев.

138 Дополнение 2. Г. Попп
е GLn(C)) (*). Покажем, что для того, чтобы найти все та-
такие относительные инварианты /, достаточно описать одно-
одномерные инвариантные подпространства для действия группы
GLn(C) на некотором другом линейном пространстве. С этой
целью рассмотрим полином
/(ЛЛ + • • • + ЯГХГ) = Z cXfa (ХЬ . . ., Хг),
а=(а1 аг)
где х/ — векторы из Е, a Xi— независимые переменные. Тогда
f(i,.... 1)(хь ..., хг)—относительный мультилинейный инва-
инвариант векторов х/, если /—относительный однородный инва-
инвариант, и наоборот. Кроме того, /а п(хь ..., х) =rl-f(x)>
и, значит, f(i 1)(хь ..., хг) определяет f(x).
Следовательно, вместо f мы можем рассматривать муль-
мультилинейный инвариант щ = fa,..., \у. Ег->.С. Пусть далее
ufi E®r->С — линейное отображение, определенное инвари-
инвариантом iif. Тогда щ является относительным линейным инва-
инвариантом для £1<8>г, если щ — относительный инвариант, и на-
наоборот. Наконец, рассмотрим естественный изоморфизм
Нот(£®г, С)^£*@Г®С (действие группы GLn{C) на
£*@Г®С индуцировано заданным действием группы GLn(C)
на Е и действием на .С, которое определено характером £
инварианта /). Тогда щ определяет одномерное GLn(С)-ин-
вариантное подпространство в £1*@Г®С. Наоборот, любое
такое подпространство приводит к линейному относительному
инварианту пространства £®г с характером %. Поэтому по-
попытаемся описать одномерные инвариантные подпростран-
подпространства для указанного выше представления группы GLn(C) на
£*@Г®С. В этой связи рассмотрим теорию представлений
группы GLn(C) (**).
Пусть X -> F (X) — однородное представление группы
GLn{C) в GLN(C) степени /; иначе говоря, F определяет
гомоморфизм групп, а матричные элементы /^(Х) матрицы
F(X)==(/7hft(X))e GLn(C) являются однородными полино-
полиномами степени / от коэффициентов хц матрицы X —(л;//)е
(*) В приложениях бывает необходимо рассматривать более общие,,
рациональные относительные инварианты /: £-»-С, т. е. рациональные
функции f(x), для которых f(a(x)) =%(o)-f(x) при всех а е= GLn (С),
Несложное рассуждение показывает, однако (см. Дьёдоине, Керрол и
Мамфорд [1]), что если известны однородные относительные инварианты^
то известны и рациональные.
(*•) Излагаемый далее материал содержится также в книге Дьёдонне„
Керрола и Мамфорда [1], гл. 2.-— Прим. перев.

Классическая теория инвариантов 139
е GLn(C) (*). Рассмотрим F как отображение группы
GLn(C) в End(.C^). Тогда F следующим образом пропу-»
скается через End ((С1)® О-
Существует коммутативная диаграмма
GLn(C) -1* End (С")
\ /
*\ /°
End((C*)®f)
где ф —тензорное представление ср: GLn (C)->GL((Cn)<8>f)>
a G— (кольцевой) гомоморфизм подкольца Af в End ((С")® f)>
порожденного всеми ф(Х), XeGLn(C), в End(C"). Чтобы
это доказать, напомним, что если е\, ..., еп — базис в £" =
= С", то множество всех векторов H3£l<8)fвидав« = ва1 ® ...
... ® ^а где а = (аь ..., af) пробегает все мультииндексы
a = (ai, ..., af), 1 ^ щ ^ п, образует базис в Е®К Матрицы
мз End^®') можно тогда записать в виде (/ор), где a, p —
пара мультииндексов, а тензорное представление GL(C)
-> GL (£® 0 задается формулой
тде х„р==Ха1р1.. .Xafif — моном от коэфициентов хц матрицы X,
определенный индексами а и р. Очевидно, xap = Xa'ps если
существует такая подстановка nG@f (где @f — группа всех
подстановок / символов), что яа = а', яР = р/.
Далее, однородные полиномы Fhk(X) можно единствен-
единственным способом записать в виде
Рпк&) = 2,аШрхар, A)
•если наложить условие cihknan^ = аЛйар на коэффициенты для
всех я£б/. Пользуясь выражением A), определим отобра-
отображение
G: End((CTf)->End(C"),
С^(Т) = Е^„э^- Можно проверить, что G(X0f) = F(X)
л что G является гомоморфизмом .С.-алгебры Af в End(CA).
(*) В общем случае следует рассматривать рациональные представ-
представления X-»-F(X) группы GLn (С) в GLN (С). Однако (см. Дьёдонне, Кер-
рол, Мамфорд [1]) рациональные представления определяются однород-
однородными. . - * - •

140 пополнение 2. Г. Попп
Простое, но очень важное наблюдение состоит в том, что
.кольцо Af тесно связано с естественным представлением груп-
группы ©f подстановок / символов на линейном пространстве
(С")®f. Ясно, что яе®/ линейно действует на (С1)®f по
правилу пеа = ела, где яа = (ал_1 A), ..., ая-1ш). Это инду-
индуцирует действие группового кольца С [@f] на E®f и гомо-
гомоморфизм С.-алгебр р: C[@f] ->■ End^^O- Поскольку Af со-
состоит в точности из таких матриц Т = (/ар) eEnd (E®f), для:
которых ^ла,лр = ^ар для всех я е @f, мы легко получаем,
что Л^ является коммутантом подалгебры р(С [@f]) &
End(£1<8>0 (см. Дьёдонне, Керрол и Мамфорд [1]). Согласно
теореме Машке (см. Дьёдонне, Керрол и Мамфорд [1,
стр. 117]), алгебра LC [@f] полупроста, а следовательно^
p(C[®f]) также полупроста. Тогда теорема перестановочно-
перестановочности Шура (см. Дьёдонне, Керрол и Мамфорд [1, стр. 123])^
показывает, что Af как коммутант в End(£®0 полупростой
алгебры, содержащей центр С, также является полупростой
алгеброй. Но тогда ее образ G(Af) также полупрост, и, зна-
значит, представление F: GLn(C) ->■ GLn(C) вполне приводимо.
Таким образом, мы получаем теорему:
Теорема. Всякое однородное (а следовательно, и всякое
рациональное) представление группы GLn(C) вполне при-
водимо.
Теперь мы в состоянии вычислить одномерные инвариант-
инвариантные подпространства представления F группы GLn(C). На
самом деле теорема перестановочности Шура даже описы-
описывает явно простые Лгмодули f-ro тензорного представления
группы GLn(C) (или, что эквивалентно, минимальные левые
идеалы в Af) в терминах минимальных левых идеалов груп-
группового кольца .C.[@f]. Если с — образующий элемент мини-
минимального левого идеала в C[@f], то Л^модуль с • Е г яв-
является простым Лрмодулем и все простые Лгмодули полу-
получаются таким способом. Поэтому достаточно описать мини-
минимальные левые идеалы в iC[@f]. Это можно сделать явно
методом диаграмм Юнга; детальное дписание содержится в
книге Дьёдонне, Керрол а и Мамфорда [1]. В частности, ме-
метод Юнга позволяет нам явно описать одномерные GLn(C)-
инвариантные подпространства в E®f> а потому также к
в :с>.
Обсудим некоторые приложения:
(а) Совместные мультилинейные инварианты / векторов
хи ..., л:/е£< = иСл возникают в описанном ранее процессе

Классическая теория инвариантов 141
линеаризации и поэтому представляют существенный инте-.
рее. С помощью предыдущего метода получается следующая
теорема, называемая первой основной теоремой теории инва-
инвариантов:
Теорема. Совместные мультилинейные инварианты (*) f
векторов пространства Е существуют, если f делится на п,
т- е- f = g'n- Все они являются линейными комбинациями
инвариантов вида
где (i#i, ..., if)—перестановка чисел A, ..., f), а через
|[zi, ..., zn] обозначен определитель пУ^п-матрицы с век-
тор-столбцами Z\, ..., zn. Все такие инварианты имеют
вес g (**).
(b) В приложениях теории инвариантов к элементарной
геометрии приходится рассматривать совместные мультили-
мультилинейные инварианты f ковариантных векторов хь ..., Xf e
е Е = Сп и h контравариантных векторов у\, ..., уь, е £*,
где £* — пространство, дуальное к Е (действие группы
GLn(C) всюду предполагается естественным). Предыдущий
метод приводит к следующему результату, называемому вто-
второй основной теоремой теории инвариантов.
Теорема. Все совместные мультилинейные инварианты
векторов хь и уь являются линейными комбинациями произ-
произведений инвариантов следующих трех типов:
A) [xh ... xin~] (инвариант веса 1);
B) [#7l ... *//J (инвариант веса — 1);
C) скалярные произведения <#;,*//> (инвариант веса 0).
Кроме того, такие инварианты существуют, только если
f — h делится на п.
(с) Можно описать также однородные инварианты сте-
степени h n-арной формы степени г.
Прежде всего единственная симметрическая г-линейная
форма %, ассоциированная с формой / (х) = 2 аах*1 ... хапп
степени г от переменных х = (хь ..., хп), получается сле-
следующим образом: перепишем форму f (x) в виде
(*) Здесь и далее «инвариант» = «относительный инвариант».
(**) Все харатеры группы GLn (С) имеют вид %(о) = (deta)r, где
reZ (см. Дьёдонне, Керрол и Мамфорд [1]). Если f — полуинвариант
группы GLn(C) с характером %{о) = (deta)r, то г называется весом полу-
полуинварианта f.

142 Дополнение 2. Г. Попп
где г индексов /v пробегают независимо натуральные числа
от 1 до п и где для любой перестановки ('р •••»*,) индек-
индексов (i'i, ..., ir) выполнено условие симметрии р(/р . ..,Q =
= Р(/Р ...,/г). Преобразуя тогда выражение B) по пра-
правилу, указанному выше, мы и получим нужную симметриче-
симметрическую форму if>f порядка г.
Если рассматривать \f>f вместо /, то возникнет задача об
описании однородных инвариантов степени h мультилиней-
ной формы \f>f. Мы знаем (см. выше), что эта задача экви-
эквивалентна задаче о нахождении совместных мультилинейных
инвариантов h симметрических тензоров и\, ..., иг простран-
пространства (CwHr относительно естественного действия группы
GLn(C). Но это в свою очередь эквивалентно нахождению
совместных мультилинейных инвариантов h-r векторов про-
пространства ,CW, что мы умеем делать. Итак, нам следует вы-
выписать базис для совместных мультилинейных инвариантов
h-r векторов пространства ,С", пользуясь первой основной
теоремой, а затем переписать полученные инварианты в тер-
терминах координат формы f(x). Существует формальная сим-
символическая процедура — знаменитый символический метод,—
позволяющая некоторым способом выписывать совместные
линейные инварианты h-r векторов, а затем переписывать их
в терминах коэффициентов формы f. За деталями мы отсы-
отсылаем к Вейлю [1] и Дьёдонне, Керролу и Мамфорду [1].
Что дают наши рассмотрения для решения проблемы Кэли
об описании структуры кольца S(n, г) инвариантов п-арных
форм степени г?
Ясно, что без дополнительных соображений мы. сможем
получить лишь градуирующие подпространства кольца
S(n, r); описания кольцевой структуры на этом пути не по-
получается. Что же все-таки известно тогда о структуре 5(п, г)]
как кольца?
Прежде всего S(n,r), будучи кольцом всех неподвижных
относительно действия группы SLn(C) элементов в С[Ла],
является целозамкнутой областью целостности, конечно по-
порожденной над С (*).
Что можно сказать о строении этого кольца еще?
Полная информация о его структуре известна только в
немногих частных случаях. Классиками были найдены обра-
образующие и соотношения для следующих значений п и г:
A)П = 2, г<6;
B) я = 3, г<3;
C) п любое г = 2.
(*) См. примечание 25 в дополнении З. — Прим. перев.

Классическая теория инвариантов 143
Во всех этих случаях структура кольца S(n, r) проста —
оно является кольцом полиномов (*).
Первые не разобранные классиками случаи — это 5B,8)
и SB,7), а также 5C,4). Они рассматривались Шиодой
[1] (**). Для SB,8) Шиода полностью определил систему
образующих, состоящую из 9 однородных инвариантов
h> ..., Ло степеней 2, ..., 10 соответственно, и описал 5 ба-
базисных соотношений между этими образующими. Все другие
соотношения вытекают из этих базисных соотношений. Более
того, Шиода нашел также и модули высших сизигий для
кольца S B, 8) и получил в качестве следствия, что это коль-
кольцо горенштейново (***). Для кольца 5C,4) в статье Шиоды
указаны без доказательства система образующих и базисные
соотношения. Шиода пользовался классическим методом, см.
Шур UL основанным на описании ряда Пуанкаре кольца 5
Ps(T)=Z (dim Sn)Tny
который является разложением по степеням Т некоторой
рациональной функции, имеющей для 5B, 8) вид
7
A + Г8 + Т9 + Г10 + Г18)/ П A ~ Td).
Зная этот ряд, можно оценить минимальное число образую-
образующих (****); для 5B,8) это число равно 9. После этого явное
нахождение образующих символическим методом является во
многом делом мастерства, а нахождение базисных соотноше-
соотношений представляет еще большую трудность, чем нахождение
самих образующих.
Интересно, что кольца 5B,8) и 5C,4) связаны с про-
пространством модулей кривых рода 3. Вообще 5B, 2g + 2) при
целом g ^ 2 связано с пространством модулей гиперэллипти-
гиперэллиптических кривых рода g. Чтобы сделать это утверждение точ-
точным, напомним, что для гиперэллиптической кривой X, опре-
определенной над произвольным алгебраически замкнутым по-
полем k характеристики =^2, 1-каноническое отображение ф^:
(*) Это не совсем точно: при я = 2 и г = 5, 6 кольцо S(n, r) не
является кольцом полиномов, см. примечание 16 в дополнении 3, а также
следствие 5 и примечание к нему в дополнении 1. Относительно случаев
B) и C) см. примечание 26 в дополнении 3. — Прим. перев.
(**) Это не совсем так: случай 5B, 7) Шиодой (в [1]) не рассма-
рассматривался. В случае 5C, 4) Шиода указал лишь, какой, по его мнению, дол-
должен быть ответ. — Прим. перев.
(***) См. также примечания 9 и 23 в дополнении З. — Прим. перев. а
(****) При этом следует пользоваться дополнительной информацией,
поскольку по одному ряду Пуанкаре оценить минимальное число образую-
образующих невозможно, см. примечание 4 в дополнении 3. — Прим. перев.

144 Дополнение 2. Г. Попп
Х-*- Р1 является отображением степени 2 на Р1 с 2g + 2
точками ветвления Р/ == (а«, Р/). Однородный полином
f(Xy У)— П (friX — tyy), ассоциированный с X, имеет ненуле*
вой дискриминант Df. Обратно, этот полином определяет X,
так как X бирационально эквивалентна плоской кривой
2g+2
Y2 = IТ I (Г~)9 если все Р< ОТЛИЧНЫ ОТ О (ВЫПОЛНИМО-
(ВЫПОЛНИМОСТИ этого условия легко добиться за счет замены системы
координат на Р1). Более того, два таких полинома / и h
степени 2g + 2 и с ненулевыми дискриминантами определяют
изоморфные гиперэллиптические кривые тогда и только то-
тогда, когда / и h эквивалентны относительно действия груп-
группы SL2(C) или PGLi(C), индуцированного соответствующим
изменением координат на Р1. Отсюда видна связь сказан-
сказанного со следующим утверждением, доказательство которого
получается с помощью более тщательных рассмотрений: от-
открытая аффинная схема ProjEB, 2g + 2))—{D = 0} яв-
является грубым пространством модулей для гиперэллиптиче-
гиперэллиптических кривых рода g. В частности, ProjEB, 8)) — {D = 0}
является грубым пространством модулей для гиперэллипти-
гиперэллиптических кривых рода 3, и это утверждение справедливо над
любым алгебраически замкнутым полем характеристики Ф2.
Что касается кольца SC, 4), то оно связано с негиперэл-
липтическими кривыми рода 3 следующим образом. По тео-
теореме Римана — Роха каноническое отображение <р* такой
кривой X дает ее вложение в Р2. Кривая ц>к(Х) имеет сте-
степень 4 в Р2, а две кривые X и X' изоморфны тогда и только
тогда, когда кривые Цк(Х) и срИ^') в Р2 эквивалентны от-
относительно действия группы PGL2(C.) (или эквивалентны
относительно действия группы SL3(C)). Соответствующее
открытое по Зарисскому подмножество в ProjEC,4)) яв-
является тогда грубым пространством модулей для негиперэл-
липтических кривых рода 3 (*).
Кроме статьи Шиоды следует упомянуть еще статью Игу,-
зы [1] о кривых рода 2 и статью Гейера [1] о структуре
кольца 5B, 2g + 2) и многообразии модулей гиперэллипти-
гиперэллиптических кривых рода g. Обе статьи посвящены в основном
редукции этих колец по модулю р; показано, что при р >
»> 2g + 2 кольцо в характеристике р является редукцией со-
(*) Кривой X сопоставляется форма четвертой степени от координат
пространства Р2, задающая ф*(Аг); по множеству таких форм и строится
ProjEC,4)). — Прим. перев.

Классическая теория инвариантов 145
ответствующего кольца в характеристике 0. В маленьких (по
сравнению с g) характеристиках возникают исключения.
Суммируя, мы видим, что собственно классическая теория
инвариантов не вносит большой ясности в теорию модулей.
Профессор Шиода, с которым я имел ряд интересных бесед
по этому поводу, описывает ситуацию так. Если вам нужно
найти образующие и соотношения кольца инвариантов типа
S(n, r), то вы сможете это сделать, когда S(n, r) имеет про-
простую структуру. Если, однако, вам не повезло и структура
оказалась сложной, решить задачу вам не удастся.
На этом мы закончим обсуждение связи классической
теории инвариантов с теорией модулей и современной алгеб-
алгебраической геометрией.
Как уже отмечалось, в XIX веке элементарная геометрия
была тесно связана с теорией инвариантов и стимулировала
ее развитие. Мы переходим теперь к описанию этой связи.
«Проективная геометрия — это вся геометрия» — провоз-
провозгласил Кэли в [2, стр. 592]; затем в 1872 г. Феликс Клейн
выступил со своей Эрлангенской программой.
Сначала мы обсудим утверждение Кэли. Проективная
геометрия (над полем k комплексных или вещественных чи-
чисел) имеет дело с точками и формами. Утверждение проек-
проективной геометрии в Рп касается конечного числа точек
Ч = (Чо> • • •> Чя) и конечного числа форм /(v) = £ aaV)xa и
должно быть независимым от выбора координатной системы,
а потому и инвариантным относительно действия группы
PGLn(k). В аналитических терминах такое утверждение за-
задается рациональной функцией Р(ц\ a(av)) от координат то-
точек и форм, обладающей следующими свойствами:
1) Функция F является однородной степени 0, т. е.
/■UVt p4v)) = Z7 (ч\ a«v)) для любых Я\ pv€=fe-{0}. Ина-
Иначе говоря, значения функции F зависят только от самих точек
и форм, а не от представляющих их наборов чисел.
2) Функция F является относительным инвариантом дей-
действия группы GLn+l (k), т. е. F(cr(V), efaaO) = (det o)mF{x\\
a«v))> a e GLft+i (k), где m — целое число, называемое весом
функции F.
Такая рациональная функция F называется однородным
инвариантом. В геометрии пространства Рп имеют смысл од-
однородные относительные инварианты.
Теорема в Рп — это (полиномиальное) тождество между
элементами какого-нибудь конечного набора однородных ин-
инвариантов, или, в терминологии Клейна, сизигия между од-
однородными инвариантами. Таким образом, теория инвариан-
инвариантов группы GLn+\(k) определяет геометрию пространства Р \

146 Дополнение 2. Г. Попп
Следующий простой пример проясняет суть дела.
Рассмотрим пространство Pl/k с однородными коорди-
натами (х, у). Пусть Pt = (xiyyi)y i = 1, 2, 3, 4, —четыре точ-
точки в Р1. Тогда At7= * * — неоднородный инвариант
х! У!
веса 1 от координат xi, yi. Поэтому Ац не имеет геометриче-
геометрического смысла в проективной геометрии. Если оказалось, что
Ац = О, то это утверждение является однородным и имеет
геометрический смысл, а именно оно означает, что точки Pi
и Р/ совпадают.
Чтобы получить однородный инвариант из определителей
Ац, следует рассмотреть более трех точек. Четыре точки при-
приводят к рациональной функции Л12* л34 , являющейся абсо-
лютным инвариантом; это — хорошо известное двойное отно-
отношение четырех точек Рь Р2, Рз, Р4.
Сизигия
^12^34 + А 13^42 + Al4^23 = 0 (**)
приводит к теореме в Р1, геометрическая интерпретация ко-
которой сводится к хорошо известному соотношению между
6 возможными значениями двойного отношения для четырех
точек Pi, Р2, Рз, Р4, зависящими от порядка этих точек. Чтобы
указать его, разделим обе части соотношения (**) на послед-
последнее слагаемое; мы получим
А14-А32 А14-А23
Этим примером мы закончим описание проективной геомет-
геометрии с помощью теории инвариантов и перейдем к утвержде-
утверждению Кэли о том, что проективная геометрия — это вся гео-
геометрия. В каком же смысле аффинная геометрия, евклидова
геометрия и неевклидовы геометрии являются частями проек-
проективной геометрии?
Пусть х0, ..., хп — координаты в Р п. Пусть #«> =
= {х0 = 0} и А а = Р п — #оо — дополнение к гиперплоско-
гиперплоскости Ноо. Это дополнение А п является вложенным в Р" я-мер-
ным аффинным пространством с бесконечно удаленной ги-
гиперплоскостью #оо.
Принцип, сформулированный Кэли, состоит в том, что
утверждения и теоремы аффинной геометрии о геометриче-
геометрических конфигурациях, состоящих из конечного числа точек
в Att и конечного числа полиномов, или гиперповерхностей
в А", являются утверждениями и теоремами проективной
геометрии об ассоциированных проективных конфигурациях,

Классическая теория инвариантов
147
дополненных гиперплоскостью #«>. (Напомним, что с любым
полиномом f(xi) степени г от аффинных координат xi =
= xi/xo, t = l, ..., пу можно ассоциировать форму
/ (х^ • х\ = f (хо, ..., хп) степени г от переменных хь Каждая
точка в Ал рассматривается также как точка в Рп.) Утвер-
Утверждения и теоремы евклидовой геометрии о геометрических
конфигурациях в /\п с Рп — это проективные утверждения
об ассоциированных проективных конфигурациях, дополнен-
дополненных квадратичной гиперповерхностью в #«>, определенной
п
уравнениями хо = О, X х\ = 0.
Следующие примеры делают этот принцип яснее.
Рассмотрим сначала аффинную геометрию.
Пусть Pi = (l,p*i/Pt-o, ..., pin/pio), i = 0, ..., n, — набор
из п + 1 точек в А". Тогда
я!
Poo Poo
i Pll Pl2
PlO PlO
Роо
Р\п
Рю
РпО РпО
РпО
РОО • • • р0п
PlO ... pin
РпО ... Рпп
— хорошо известное выражение для объема tt-симплекса с
вершинами Pi. Определитель
Роо
Рю
РпО
,РОп
Р\п
Рпп
является, очевидно, инвариантом группы GLn+\(k). Более
того, дробь 1/(роо ••• Рпо) тоже является инвариантом, по-
поскольку это величина, обратная к произведению значений
линейной формы х0 в точках Pi. Поэтому V(Pi) является ра-
рациональным однородным инвариантом степени 0 относительно
точек Pi =(р«о, ..., pin), но однородным инвариантом степени
— (п + 1) относительно коэффициентов A, 0, ..., 0) линей-
линейной формы х0. Мы видим, что V не имеет геометрического
смысла в Рп. Это и не удивительно, поскольку при любом
мероопределении необходимо указать единичную меру. Дру-
Другими словами, нам следует зафиксировать в АЛ невырожден-

148 Дополнение 2. Г. Попп
ный симплекс <Q0, ..., Qn} и рассмотреть дробь 9(Pi) =
= V(Pi)/V(Qi), которая является абсолютным проективным
инвариантом и принадлежит поэтому к аффинной геометрии.
Эта дробь — объем n-симплекса <Р0, Ри ..., РпУ при едини-
единице объема, определенной симплексом <Q0, ..., Qn}.
Перейдем теперь к евклидовой геометрии и рассмотрим
п
сначала угол между двумя гиперплоскостями £ал = 0 и
п
Yj btXi = 0 (речь идет о гиперплоскостях в Ап, т. е. о ги-
i-0
перплоскостях, отличных от #«>); указанные выше уравнения
определяют соответствующие этим гиперплоскостям гипер-
гиперплоскости в Рп. Мы должны рассмотреть геометрическую
конфигурацию, состоящую из двух линейных форм
п п
У a.Xh Yb-Xi с координатами (a,), '(bi) и бесконечно уда-
ленной гиперквадрики q> (х() = 0 - х* +х2{+ ... + х\. Урав-
Уравнение этой квадрики в координатах uq, ..., ип, дуальных к
координатам х0} ..., хп в Рп, имеет видф*(^.)=0 • и\+и\+...
... -\-и2п. Значения квадратичной формы q*(Ui) на линей-
п г
ных формах (а{) и (Ы), т. е. у* (ai) = YJa] и Ф(^)Е
соответственно, являются абсолютными инвариантами. Кро-
Кроме того, абсолютным инвариантом является полярная форма
п
О • aobo + J] uibi. Следовательно, инвариантом является и
п
cos со = Yj a>ibil*Jq>* {йг) • ф* (bi). Более того, cos со однороден
степени 0 относительно координат (a;), (bi), a также коэф-
коэффициентов @,1, ..., 1) квадратичной формыО • и\ + и\+ ...
# в + w2. Следовательно, cos со — абсолютный однородный
инвариант двух гиперплоскостей и квадрики ф(л:/), и, значит,
согласно принципу Кэли, он принадлежит евклидовой гео-
геометрии.
Расстояние между точками Р = A, Pi/po, •••, Pn/ро) и
Q=(l,qi/qo, ..., qn/qo) определяется как
Исследуем это выражение.

Классическая теория инвариантов
149
Прежде всего, легко проверить, что
о о о ... о о
010
0 0
1 0
. 1
. Рп
. Яп
Ро
•
Рп
0
0
qo
•
Яп
0
0
0
0
0
0
Ро
0 ...
1 ...
0 ...
0 ...
Pi ...
0
0
1
0
#
0
0
0
1
Рп
Ро
Pi
,
Рп
0
0
0
0
0
qi
0
1
0
0
Я'.
... 0
... 0
... 1
... 0
1 • . . •
0
0
0
1
Яп
Яо
qn
0
0 0 0
0 0 0
РО Pi P2
qo qi Я2
и, следовательно, г2 является относительным инвариантом
двух точек Р, Q и формы ф(л:*). Далее, г2 однороден степени 0
как функция от координат точек Р и Q, но однороден степе-
степени — 1 как функция от координат @,1, ..., 1) формы ф(^).
Кроме того, г2 имеет вес —2 (заметьте, что каждый опреде-
определитель имеет вес 2) и, значит, не является абсолютным ин-
инвариантом. Численное значение г2 не имеет смысла в проек-
проективной геометрии, что снова неудивительно. Действительно,
расстояние между двумя точками можно измерить, только
выбрав единицу расстояния. Чтобы получить абсолютный од-
однородный инвариант, мы должны рассматривать отношения
инвариантов указанного вида. Если зафиксировать две раз-
различные точки Ео, Е\ в АЛ, определяющие единичное расстоя-
расстояние, а в качестве расстояния между точками Р и Q рассмот-
рассмотреть отношение /?(Р, Q) = r(PyQ)/r(E0,E\), то, согласно
принципу Кэли, R(P,Q) принадлежит евклидовой геометрии.
Описанное проективное истолкование евклидовой геомет-
геометрии с помощью квадратичной формы 0 • х20~\- х\-\- ... +х^
привело Кэли к рассмотрению произвольной (невырожден-
(невырожденной) действительной квадратичной формы в Р" и определе-
определению с помощью этой квадратичной формы квазиметрики, а
затем угла и длины так же, как это делается в случае евкли-
евклидовой геометрии. Клейн называет этот комплекс идей «Caley's
projective MaBbestimmung». Позже Клейном [1] было пока-
показано, что с помощью принципа Кэли можно дать новый спо-
способ построения неевклидовых геометрий. Мы опишем сейчас
это данное Клейном построение двумерных (действительных),
неевклидовых геометрий. Они получаются, если взять в Р2/С1
систему координат (х0, хи х2) и действительную невырожден-
невырожденную квадратичную форму ф = ах\ + х\ + х% aeR, а Ф О
(кривая ф = 0 называется абсолютной квадрикой этой гео-
геометрии). Неевклидов угол ф между двумя прямыми g, h
в Р2, не касающимися кривой ф =0, определяется с помощью

150 Дополнение 2. Г. Попп
равенства (g, Л, tu t2) = e2i^, где t\ и t2— касательные к кри-
кривой ф = 0, проходящие через точку g f| Л, a (g, Л, tu t2) —
двойное отношение четырех прямых (*). Неевклидово рас-
расстояние d между двумя различными точками Р и Q, не лежа-
лежащими на кривой ф = 0, определяется с помощью равенства
(Я, Q, Аи A2) = e±2ikd, где Ль А2 — точки пересечения прямой
PQ с кривой ф = 0. Множитель /г ф 0 подбирается подходя-
подходящим образом, позволяя ввести единицу длины. Этот множи-
множитель k следует брать действительным и >0, если а > 0, и
чисто мнимым, если а < 0, чтобы расстояние получилось
действительным, по крайней мере для некоторых точек из Р2.
Если а < 0, то получается геометрия Я. Больяи и Н. И. Ло-
Лобачевского. Клейн называет ее гиперболической геометрией
в противоположность эллиптической геометрии, соответствую-
соответствующей случаю а > 0 и введенной Риманом в его Habilitations-
vortrag (Риман [1]). Эта терминология Клейна не имеет от-
отношения к тому факту, что кривая ф = 0 является эллипсом
или гиперболой. Точки 2-мерной действительной гиперболи-
гиперболической геометрии, или геометрии Больяи — Лобачевского, со-
соответствуют действительным точкам в Р2 (т. е. точкам с
действительными координатами относительно выбранной ко-
координатной системы (xofxi,x2) в Р2), лежащим во внутрен-
внутренности кривой ф = 0. Внутренность здесь характеризуется тем
свойством, что касательные к кривой ф = 0 являются мнимы-
мнимыми. Прямые в гиперболической геометрии являются частями
обычных действительных прямых в Р2, лежащими во внут-
внутренности кривой ф =0. Каждая такая прямая имеет две бес-
бесконечно удаленные точки — точки пересечения с кривой ф =
= 0. Угол между двумя прямыми равен 0 тогда и только
тогда, когда точка их пересечения лежит на кривой ф = 0.
Таким образом, в геометрии Больяи — Лобачевского для лю-
любой прямой g и любой точки Р ф. g существуют ровно две
прямые 1\ и 12, проходящие через Р, которые параллельны g,
т. е. составляют с g угол 0.
Действительная эллиптическая 2-мерная геометрия Рима-
на состоит из всех действительных точек в Р2 (относительно
выбранной координатной системы) и всех действитель-
действительных прямых. Ни одна из прямых в этой геометрии не содер-
содержит бесконечно удаленной точки, т. е. точки, лежащей на
кривой ф = 0, и никакие две прямые не образуют угла 0.
(*) С помощью этого определения можно получить также и угол в ев*
клидовой геометрии. Если g, h — две прямые в А2, пересекающиеся в точке
р а [х и /2 — прямые в А2, пересекающие бесконечно удаленную прямую
х0 = 0 в точках @, 1, — /) и @, 1, 0 квадрики х0 = 0,#2 + л:2 = 0,то угол
i|) определяется равенством e2i^= (g> h, ix, /2), См. Пикерт [1, стр. 348]*

Классическая теория инвариантов 151
Как показывает упражнение 19 из книги Пикерта [1, § 33],
2-мерная эллиптическая геометрия является по существу
сферической геометрией на действительной 2-сфере.
В начале XIX века были построены различные элементар-
элементарные геометрии с помощью аксиоматического подхода в духе
Евклида (см. Клейн [1] и цитированную в этой книге лите-
литературу). Как уже говорилось, Клейн первым обнаружил связь
между этими геометриями и установил, что принцип проек-
проективного мероопределения Кэли дает способ построения этих
элементарных геометрий. Имеется еще один принцип теоре-
теоретико-групповой природы, позволяющий обосновать элемен-
элементарную геометрию в рамках проективной геометрии. Этот
принцип был сформулирован Клейном в его Эрлангенской
программе.
Кэли рассматривал исключительно инварианты группы
всех проективных преобразований, однако для расширенных
геометрических конфигураций. Клейн утверждает, что различ-
различные геометрии можно получить также, если воспользоваться
описанным выше правилом для получения проективной гео-
геометрии, но рассматривать вместо группы PGLn некоторые ее
подгруппы и теорию инвариантов этих подгрупп. Подгруппа,
соответствующая каждой отдельной геометрии, состоит из
тех элементов группы PGLn, которые отображают добавлен-
добавленный объект в себя. Например, аффинная геометрия в А* =
= Рп — #оо получается в соответствии с этим принципом из
теории инвариантов «аффинной группы», которая состоит из
всех проективных преобразований пространства Рп, отобра-
отображающих #оо в себя. Евклидова геометрия в А"= Рв — Н^
получается в соответствии с этим принципом следующим об-
образом. Рассмотрим все действительные проективные преоб-
преобразования пространства Рп (действительные относительно
некоторой выбранной координатной системы хо, ..., хп), ко-
которые переводят абсолют ер*"-2) = {х\ + х\ + ... + л:2г = 0,
хо=О} (а тогда и гиперплоскость Ноо = {*о = О}) в себя.
Они образуют группу подобий. Ее подгруппа, порожденная
теми подобиями, которые являются инволюциями, является
ортогональной группой. В соответствии с указанным выше
правилом, теория инвариантов этой группы дает евклидову
геометрию.
Группа, характеризующая неевклидову геометрию, опре-
определенную квадрикой ф("-1) = о, — это группа всех действи-
действительных проективных преобразований, оставляющих квадри-
квадрику ф*"-1) = 0 инвариантной. Соответствующая теория инва-
инвариантов дает неевклидову геометрию. За дальнейшими дета-
деталями мы отсылаем читателя к работе Клейна [1] и к книге

152 Дополнение 2. Г. Попп
Пикерта [1], в особенности к § 33 и упр. 16, 17 и 18 из этого
параграфа.
В общем случае Эрлангенская программа Клейна утвер-
утверждает, что всякая подгруппа в PGLn определяет некоторую
геометрию с помощью соответствующей теории инвариантов.
Заключительное замечание. Тот факт, что принцип проек-
проективного мероопределения Кэли и теоретико-групповой прин-
принцип Клейна из Эрлангенской программы всегда дают одни
и те же геометрии, как это утверждает Клейн в [5, стр. 465],
не является очевидным. Ясно, что понятия угла и длины по-
получаются в соответствии с обоими принципами. Ясно также,
что всякое геометрическое утверждение или теорема в смысле
принципа Кэли является таковой и в смысле принципа Клей-
Клейна. Но неочевидно, что верно обратное, и было бы интересно
выяснить, какая часть элементарной геометрии по Клейну
может быть получена методом Кэли. Для тех подгрупп G
из GLn, для которых оба принципа эквивалентны, теория
инвариантов группы GLn содержит теорию инвариантов груп-
группы G, что оказывается связанным с рассматриваемыми гео-
геометриями.

Дополнение 3. ПРИМЕЧАНИЯ ПЕРЕВОДЧИКА
1. Пользуясь терминологией теории линейных алгебраиче-
алгебраических групп, ситуацию из этой теоремы можно описать так:
Е — это алгебра Ли связной редуктивной алгебраической
группы G; действие G на Е определено присоединенным пред-
представлением; Л— картановское подпространство в Е\ W =
= ©я — группа Вейля группы G, естественно действующая
на Л. Суть же результата состоит в том, что сужение функ-
функций с £ на Л определяет изоморфизм алгебр S(E)G и S(A)W.
В такой форме теорема 1.5.7 оказывается справедливой
для любой связной редуктивной алгебраической группы G
(основное поле k здесь и далее предполагается алгебраиче-
алгебраически замкнутым, charfe = 0); этот результат называется тео-
теоремой Шевалле об ограничении, см. Уорнер [1], Костант [1].
Эта теорема позволяет описать структуру алгебр инвариан-
инвариантов присоединенных представлений связных редуктивных ал-
алгебраических групп, поскольку группа Вейля конечна и по-
порождена отражениями (а теория инвариантов таких групп
хорошо изучена, см. гл. 4); в частности, как и в теореме 1.5.7,
эти алгебры порождены алгебраически независимыми одно-
однородными инвариантами.
В работе Костанта и Раллиса [1] аналогичная теорема
об ограничении доказана в случае, когда G — группа изотро-
изотропии симметрического пространства, а Л и W — соответственно
его картановское подпространство и группа Вейля.
Оба эти результата существенно обобщены Э. Б. Винбер-
гом в [1], где построена теория инвариантов связной редук-
редуктивной группы, определенным образом ассоциированной с
каждой градуированной по модулю m конечномерной полу-
полупростой алгеброй Ли. Теорема Шевалле получается из этого
результата при т = 1, а теорема Костанта и Раллиса — при
т = 2.
Луна и Ричардсон (см. Луна [1], Луна и Ричардсон [1])
доказали следующую общую теорему об ограничении инва-
инвариантов. Пусть Е — конечномерное векторное пространство и
GczGL(E)—редуктивная алгебраическая группа. Известно
(см. Луна [2]), что в Е существует непустое G-инвариантное

154 Дополнение 3
открытое множество U, обладающее следующими свойствами:
а) если и е U, то и Gu a U (чертой обозначено замыкание
в £"); Ь) если и,м£(/и ~Gv'= Gv, Gu = Gu (из а) следует,
что такие точки v и и существуют), то стабилизаторы этих
точек, т. е. группы Gv = {g е= G\gv = v} и Gu =^Jg e G\gu=
= u}4 сопряжены в G. Пусть теперь u^U, Gu = Gu\ обо-
обозначим Gu через Я. Группа W = N(H)/H, где N (Я)— нор-
нормализатор группы Я в G, естественным образом действует на
подпространстве А = {и е E\Hv = v}. Теорема утверждает
тогда, что сужение функций с Е на А определяет изоморфизм
алгебр инвариантов S(E)G и S(A)W. Можно проверить, что
подпространство А и группа W в теореме 1.5.7 (и, более общо,
в теореме Шевалле об ограничении) получаются именно та-
таким способом, как описано в этой теореме.
Теорема Луны и Ричардсона весьма удобна при исследо-
исследовании алгебр инвариантов на практике. При ее применении
приходится искать группу Я. Часто это можно сделать, ис-
используя следующие общие результаты: 1) в Е существует та-
такое непустое открытое подмножество £0, что Gv и Gu сопря-
сопряжены в G для любых v и и из £0 (см. Луна [2]; точки из Ео
называются точками общего положения)-, 2) если подгруп-
подгруппа Gv, v e £о, редуктивна, то в Ео существует такое непустое
открытое подмножество Ео> что Gv = Gv для любой точки
v^E0 (и наоборот); см. В. Л. Попов [1], [2]. Легко понять,
что если условие 2) выполнено, то можно взять Я = GVf
где v — какая-либо точка из £о-
Из 1) и 2) видно, что теорема Луны и Ричардсона стано-
становится тавтологичной (А = Еи W = G)\ если (и только если)
стабилизатор точки общего положения тривиален. Таким об-
образом, естественной областью применимости этой теоремы
является класс групп с нетривиальным стабилизатором точки
общего положения. Этот класс интенсивно изучался:
А. Г. Элашвили [1], [2] нашел все связные простые и все
неприводимые полупростые линейные алегбраические группы
с бесконечным стабилизатором точки общего положения и
вычислил алгебры Ли этого стабилизатора и его нормализа-
нормализатора; в работах А. М. Попова [11, [2], [3] найдены группы
такого же типа, для которых стабилизатор точки общего по-
положения конечен, но нетривиален, и вычислен сам этот ста-
стабилизатор. Как видно из этих работ, в подавляющем боль-
большинстве случаев условие 2) выполнено. В остальных случаях
нахождение Я происходит ad hoc; при этом часто использует-
используется критерий замкнутости орбиты, который установил Луна
[[1]. Конкретный пример см. в примечании 26.

Примечания переводчика 155
Можно показать, что в теореме Луны и Ричардсона N(H)
совпадает с нормализатором подпространства Л, т. е. с под-
подгруппой N(A)= {g<= G\gA = Л}. В тех случаях, когда // =
= {1} и эта теорема ничего не дает, не исключено, однако,
что существует такое отличное от Е подпространство (или,
более общо, подмногообразие) А в £, что сужение функций
с Е на А определяет изоморфизм алгебр инвариантов S(E)G
и S(A)wy где W — группа преобразований Л, индуцированная
естественным действием N(A) на Л. Вот пример: пусть G =
= &* — одномерный тор, Е = k2, а действие определено фор-
формулой t(a1b) = (ta1t-lb), где /gG, (а,6)е=&2. Тогда
S(E)G = k[xy], где х, у — координаты на £ в каноническом
базисе. Пусть Л = {(а, а) \а е k). Тогда N(A)= {±1} и
если г— координата на Л, то S(A)W = k[z2]. Ясно, что суже-
сужение функций определяет изоморфизм алгебр S(E)G и S(A)wy
а также что Н= {1}. О таких подмногообразиях Л доказано
лишь несколько отдельных результатов (см. ниже примеча-
примечание 15), но никаких их общих конструкций не известно.
2. Для конечных групп, порядок которых не делится на
char k, Э. Нётер указала (см. Math. Ann. v. 77, 1916, p. 89)
явную конструкцию (неминимальной) системы образующих
алгебры инвариантов. Суть этого результата можно выразить
так: алгебра инвариантов любой конечной группы получается
из некоторой стандартной алгебры инвариантов симметриче-
симметрической группы «специализацией параметров». Ниже дано опи-
описание результата Э. Нётер (в форме, соответствующей ха-
характеру этой книги).
Конструкция основана на следующем обобщении класси-
классической теоремы о симметрических функциях. Пусть пит —
целые положительные числа и Апт = &(Тц, 7\2, ..., Т\т, Т2\,
Г22, ..., Т2т, ..., Тпи Тп2, ..., Гпт]—алгебра полиномов от
переменных Тц. Симметрическая группа <&т действует /г-авто-
морфизмами алгебры Апт по формуле о-Тц = 7\-,СТ(/), о эЗт.
Определим полиномы Fr ...r e АПщ с помощью следующего
формального тождества (ср. с формулой A) в 1.5.4):
Ц (U + Ui
+ ....+ UmTnj) =
= У ififi urnP ( т
Очевидно, F е Л®"* Оказывается, полиномы Fr яв-
ляются системой образующих алгебры АПт (см. Вейль
ill, стр. 58]).

156 Дополнение 3
Пусть теперь G — группа порядка т, действующая /г-ав-
томорфизмами алгебры A = k[x\, ..., хп] (не предпола-
предполагается, что хи ..., Хп алгебраически независимы; если же
они алгебраически независимы, то не предполагается, что
действие сохраняет естественную градуировку). Пусть g\, ...
*.. > gm — элементы группы G.
Поскольку Апт—алгебра полиномов, существует гомомор-
гомоморфизм fe-алгебр ф: Апт —> Л, для которого Ф G\-Л = ё"Дг Оказы-
Оказывается, ф(Л®™)=Л°. Действительно, элементы ф(^г, гп)опре-
т
деляются из следующего формального тождества: JJ (£/+
l
т
однако, I[{U+U{ • ggfX{+... +Un • ggtxn)= ^__
.. .+Un-gjXn) для любого g^G. Следовательно,'
^ AG и, значит, cp (Л®«) с Л°. Обратное включение доказы-
доказывается так. Пусть f(Xu .-..9Xn) — такой полином от пере-
переменных Хи • •., Хп с коэффициентами в &, что f(xu ..., хп) е
m
^ Л°. Тогда / (хь • • •, хп) = — ^ / (g"i^i» • • •» giXn) и, значит,
1 v^
т
0 ' F = ^ Е ^ (ri. a w '' •' Тп, о <«) = f Для любого ае©т> мы
имеем F е Л®^ и, значит, ср (Л®^) =) Л°.
Из равенства ч(А®™\ = А следует, что элементы
являются системой образующих алгебры Л . Отметим, что
их
[ 1 — 1 штук (если не считать фО^о...о) = 1).
\ п J
Пусть далее х\, **., *п алгебраически независимы, а дей-
действие G сохраняет градуировку. Тогда элементы Ф(/7г1...гп)
являются системой однородных образующих алгебры Л°;
пользуясь алгоритмом, указанным в примечании 13, из нее
в принципе можно выделить минимальную систему однород-
однородных образующих. В общем случае, по словам Г; Вейля1

Примечания переводчика 157
(см. Вейль [1, стр. 370]), «ничего более явного нельзя было
бы и требовать». Отметим, что в рассматриваемом случае
систему образующих Ф (^Vj ...rn) удобно заменить на сле-
следующую. Пусть Р — оператор усреднения по G, т. е. ft-ли-
нейное отображение Р: A-+AG, заданное формулой
т
P(f) = — y.Sff'9 на AG этот оператор действует тождествен-
но. Поскольку каждый инвариант ф(/7г1 ... гп), будучи одно-
однородным, записывается в виде У. а, . х\{ ... xLnf то
и, значит, инварианты Р (х[х ... xj/1), I ^ Д + • • • + jn ^ т
(усреднения всевозможных мономов от х\, ..., хп степе-
степени ^т) будут системой однородных образующих алгеб-
алгебры А°.
Пример. Пусть А — кольцо полиномов от Х\ и х2, а
G = {± 1}. Тогда Ф (Flo) = Ф (Fol) = Р (х,)=Р (*8)=0, Ф (F20) =
= -х\, Ф (Fm) = -х% Ф (f п) = - 2хЛ> Р (*f) = х?,
Р (л:^) = х\, Р (х{х2) = х{х2. Ясно, что х\, х\, х{х2 — мини-
минимальная система однородных образующих.
Для бесконечных редуктивных групп никакой общей кон-
конструкции систем образующих алгебр инвариантов не известно.
3. Следующий общий вопрос носит название обобщенной
14-й проблемы Гильберта. Пусть k — поле, R = k [пи ...
*.., сгп] — конечно порожденное кольцо над k (R может и
не быть областью целостности) и G — группа автоморфизмов
кольца R над k. Предположим, что для любого f e R про-
пространство 2 k • gf конечномерно над ft, и обозначим через Iq
g
кольцо инвариантов в R. Является ли Ig конечно порожден-
порожденным над k (см. Нагата [4, стр. 4])?
Легко видеть, что- при сделанных предположениях G мож-
можно отождествить с подгруппой в GL(V), где V — некоторое
конечномерное векторное пространство над /г, a R — с S(V)/I,
где / — некоторый G-инвариантный идеал в S(V) (и действие.
G на R индуцировано стандартным действием GL(V) na
S(V)). Таким образом, теорема 2.4.9 и упражнение 2.4.12-по-
2.4.12-показывают, что для редуктивных групп обобщенная 14-я про-
проблема Гильберта решается, положительно. Оригинальная 44-я:

158 Дополнение 3
проблема Гильберта получается из обобщенной, если взять
/ = 0. По-видимому, наиболее важной особенностью ориги-
оригинальной проблемы (по сравнению с обобщенной) является
то, что при / = 0 действие G на R продолжается до действия
на R некоторой редуктивной группы, содержащей G
(а именно, группы GL{V)). Приведенный в тексте пример по-
показывает, что для аддитивной группы обобщенная проблема
решается отрицательно (отметим, что в этом примере S/I
имеет нильпотентные элементы; построить пример, в кото-
котором S/I не имеет нильпотентных элементов, не так просто);
в то же время теорема Вейценбёка показывает, что если
char k = 0, то оригинальная проблема решается для адди-
аддитивной группы положительно. См. также Хэмфри [2] и при-
примечания 5 и 6 ниже.
4. Пусть А — градуированная подалгебра в k[xyyyz], по-
порожденная х2, у2, ху и г4, а В — ее подалгебра, порожденная
х2, у2, г4. Поскольку х2, у2, г4 алгебраически независимы,
РВ(Т) = (\ — Г2)-2A — Г4)-1. Легко видеть, что А = В © Вху.
Отсюда следует, что РА(Т) = (\ + Т2)РВ(Т) = {1 — Г2)-3. Та-
ким образом, у А ряд Пуанкаре такой же, как и у алгебры
полиномов от трех переменных степени 2. Очевидно, однако,
что в А нет трех алгебраически независимых однородных по-
полиномов степени 2 и она не является алгеброй полиномов.
Вопрос о том, справедливо ли обращение леммы 2.5.5,
ставился неоднократно (см., например, Раллис [1], Маллоу
и Слоун [1]). Приведенный выше контрпример, несмотря на
свою простоту, найден лишь недавно, см. Стэнли [1], [2].
5. Этому утверждению можно придать точный смысл*
А именно пусть k — алгебраически замкнутое поле и G —
линейная алгебраическая группа над k. Тогда следующие
свойства эквивалентны:
a) Для любого рационального представления р: G-*-
-+-GL{V) и любого p(G)-инвариантного идеала I в S{V) ал-
алгебра инвариантов (S(V)/I)^G) конечно порождена.
b) G — редуктивная группа.
При этом в п. а) достаточно ограничиться рассмотрением
лишь идеалов /, совпадающих со своим радикалом (так что
S(V)/I — алгебра без нильпотентных элементов), а если G
связна, то рассмотрением простых идеалов / (так что S(V)/I
не имеет делителей нуля). (На геометрическом языке это
значит, что для любого регулярного действия группы G на
аффинном алгебраическом многообразии X алгебра k[X]°
инвариантных регулярных функций на X конечно порождена.)
Доказательство см. в работе В. Л. Попова [4]. Этот резуль-
тат означает, что группы, для которых обобщенная 14-я про*

Примечания переводчика 159
блема Гильберта всегда имеет положительное решение,—
это в точности редуктивные группы.
6. Следующие результаты получены Гроссхансом [1].
Пусть char k = 0 и G— линейная алгебраическая группа.
Подгруппа Н в G называется обозримой (observable) в G,
если существуют такое рациональное представление р: G-»-
-*GL(W) и вектор w e W, что Н = {g ^ G\p(g)w = w}.
Если, кроме того, многообразие p(G)w — p(G)w имеет в
p(G)w коразмерность ^2 (чертой обозначено замыкание в W\
можно показать, что орбита p(G)w открыта в своем замы-
замыкании, см. Борель [1, стр. 74]), то говорят, что Н удовлетво-
удовлетворяет условию codim 2 на G/H. Всегда существует наимень-
наименьшая обозримая в G подгруппа Н' a G, содержащая Н. Она
обладает тем свойством, что для любого рационального ли-
линейного представления у: G ->- GL(V) алгебры инвариантов
5(УO(Я) и S(V)y{H) совпадают. По этой причине, изучая
алгебры инвариантов, достаточно ограничиться рассмотре-
рассмотрением только обозримых подгрупп.
Пусть теперь Н — обозримая подгруппа в GL(V)> лежа-
лежащая в SL(V). Оказывается, следующие условия эквивалент-
эквивалентны: 1) алгебра S(V)H конечно порождена; 2) Н удовлетво-
удовлетворяет условию codim2 на GL{V)/H; 3) если G — любая связ-
связная редуктивная подгруппа в GL(V), содержащая Я, то Н
обозрима в G и удовлетворяет условию codim 2 на G/#;
4) существует связная редуктивная алгебраическая подгруп-
подгруппа G в GL(V), содержащая Н и такая, что Н обозрима в G
и удовлетворяет условию codim 2 на G/H.
Эти условия дают внутреннюю характеризацию тех под-
подгрупп в SL(V), для которых оригинальная 14-я проблема
Гильберта решается положительно. В настоящее время по-
показано, что для некоторых классов подгрупп (например, для
максимальных унипотентных подгрупп редуктивных групп)
условие codim 2 выполнено (см. Гроссханс [1] и некоторые
относящиеся к этому вопросу оценки у В. Л. Попова [4]),
однако никаких общих способов проверки условия codim 2
неизвестно. Контрпример Нагаты к оригинальной 14-й про-
проблеме Гильберта показывает, что группы, для которых усло-
условие codim 2 не выполнено, существуют. Однако непосредствен-
непосредственно с помощью критерия codim 2 ни одного такого контрпри-
контрпримера не построено. Таким образом, вопрос о характеризации
указанных подгрупп в чисто теоретико-групповых терминах
в настоящее время открыт.
7. Тот факт, что для некоторого открытого плотного ин-
инвариантного подмножества U в W все орбиты имеют одина-
одинаковую размерность (которая на самом деле максимальна

160 Дополнение 3
среди размерностей всех орбит группы G в W), есть в дей-
действительности простое упражнение на стандартную теорему
из алгебраической геометрии о размерности слоев морфизма
(см. например, Мамфорд [1, стр. 73, следствие 3.16]). А имен-
именно, рассмотрим морфизм /: Wy^G-^Wy^W, /((^,g-)) =
= (w,gw). Очевидно, f~l(f({w, g))) = {(w,h)\p(g-]h)w = w}.
Поэтому dim/-1 (/((ay, g)))= dim GWj где Gw = {g s
^G\p(g)w = w}—стабилизатор точки w\ теперь остается
воспользоваться теоремой о размерности слоев и равенством
dim Gw = dim G — dim Gw.
Утверждение о замкнутости орбит из U требует уточне-
уточнения. Если имеется в виду замкнутость в V, то это сразу
вытекает из того, что все орбиты в U имеют одинаковую раз-
размерность, а всякая орбита открыта в своем замыкании (по-
(последнее есть почти очевидное следствие, см. Борель [1,
стр. 74], другой стандартной теоремы из алгебраической гео-
геометрии— теоремы Шевалле о конструктивности образа мор-
морфизма, см. Мамфорд [1, § 28]); таким образом, в этом слу-
случае ссылки на теорему Розенлихта также можно избежать.
Если же подразумевается замкнутость в W, то, как показы-
показывает уже пример стандартного действия SL2(k) на Ru
см. п. 1.4.9, она в общем случае не имеет места. Критерий
замкнутости орбит из U в W для случая связной полупро-
полупростой группы G можно найти в статьях В. Л. Попова [1], [2],
а для редуктивной — в работе В. Г. Каца, В. Л. Попова и
Э. Б. Винберга [1]; см. также примечание 16 ниже. Поль-
Пользуясь таблицами из статей А. Г. Элашвили [1], [2], можно
явно указать все представления р связных простых, а также
неприводимые представления связных полупростых групп G,
для которых орбиты из U незамкнуты в W.
Что касается равенства deg tr& LG = dim W — d, то его
доказательство действительно требует привлечения более
специальных соображений (например, теоремы Розенлихта),.
Отметим, что d = dim G — dim GUi u^U, так что deg tvk LG ==
= dim W — dim G — dim G«. Это равенство часто применяется
на практике. Например, если для какой-нибудь точки ше1?
группа Gw конечна, то deg tr* LG = dim W — dim G. Так,, в
случае G = SL2{k), p = p/, см. п. 1.4.9, положим w = X1 + YK
Легко проверить, что при / ^ 3 группа Gw конечна; значит,
при / ^ 3 будет deg tr * LG = / + 1 — 3 = / — 2. Случай / = 1
тривиален, в случае / = 2 будет d = 2 (см. упражне-
упражнение 1.5.8 B)) и, значит, degtr*LG = 1.
8. Укажем некоторые подробности, см. Зарисский и Са-
Самюэль [1, т. 2, § 13]. Пустьтоь*..., топо — какая-нибудь си-
система однородных образующих /?-модуля М (напомним, что

Примечания переводчика 161
R = k[T\, ..., Тг]) и Fo— свободный градуированный /?-мо-
дуль Л/01 ф ... ® Л/Ола, где по определению deg /0; = deg mOi.
Рассмотрим эпиморфизм ро: Fo~+-M, определенный условием
po(foi) = moi. Поскольку R — нётерово кольцо, a Fo конечно
порожден, подмодуль Кег р0 также конечно порожден. Вы-
Выберем в нем какую-нибудь систему однородных образующих
т\и ..., ш\Пх и обозначим через F\ свободный градуирован-
градуированный /?-модуль Afn ф ... ® Aflni, в котором deg fi,- = deg/ли,
а через pi — гомоморфизм F\ ->■ Fo, определенный условием
pi(fu) =ти. Рассматривая Кегрь эту конструкцию можно-
повторить. Ясно, что в результате получится точная последо-
последовательность 0<-М +^-FQ+^-Fi<- ... градуированных R-uo-
дулей, в которой каждый из гомоморфизмов является одно-
однородным степени 0 (т. е. переводит однородный элемент в од-
однородный той же степени), а каждый ^-модуль Fi свободен.
Такая последовательность называется свободной резольвен-
резольвентой или цепью сизигий ^-модуля М\ таким образом, она все-
всегда может быть построена (и не одним способом). Модуль
Кег p;_i называется i-м модулем сизигий модуля М\ он за-
зависит от выбора образующих га,_1, /. Эта зависимость описы-
описывается так. Два градуированных конечно порожденных.
/?-модуля А и В называются эквивалентными, если ЛфС^
^ В 0 D для некоторых градуированных свободных ко-
конечно порожденных 7?-модулей С и D. Оказывается, все мо-
модули сизигий определены по М однозначно с точностью до
эквивалентности.
Говорят, что цепь сизигий обрывается на E + 1)-м члене,
если Кег ps_i — свободный /?-модуль. В этом случае можно
взять в качестве ms, / свободные образующие этого модуля,
и мы получим, что Кег ps = 0, а резольвента примет вид
О-«-Л!-♦-Fo-<-...-<-fs-«-0. Из сказанного выше об эквива-
эквивалентности модулей сизигий вытекает, что если какая-то цепь
сизигий обрывается на 5-м члене, то и любая другая цепь
обладает этим свойством. Теорема Гильберта утверждает,
что цепь сизигий всегда обрывается на (г + 1)-м члене.
Отметим, что если в качестве miV...., m.n> брать для
всех / минимальную систему однородных образующих (она
строится так же, как и минимальная система однородных
образующих в градуированной алгебре, см. ниже примеча-
примечание 13), то получится так называемая минимальная резоль-
резольвента 7?-модуля М. Ее длина, а также количество и степени
образующих тц определены по М однозначно.
9. Идеал / является первым модулем сизигий для S(F)°.
Он состоит из всех таких полиномов Р(Ти ..., Tr)& k[T\, ..*
6 Зак. 762

162 Дополнение 3
..., 7V], что P(/i, ..., />) = 0, и тем самым описывает нетри*
виальные алгебраические соотношения между образующими
/ь ..., /г. Образующие этого идеала — это (базисные) соот-
соотношения, алгебраическим следствием которых являются все
остальные. Эти образующие, однако, сами могут быть линей-
линейно зависимы над R, а уравнения этих линейных зависимостей
образуют «соотношения между соотношениями», или вторые
сизигии; среди них также можно выбрать базисные и т. д.
Именно в такой форме сизигии и рассматривались в клас-
классической теории инвариантов.
Легко доказать, что резольвента О—► Fs—* ... —►Fi ->/?->•
-+S(V)G-*0 дает соотношение PS(V)G (T) — PR (T) + PF (Г)—
— ... + (— l)s~l PF (Т) = 0.Поскольку Ft — свободный модуль
со свободными образующими fiV ..., ft n (в обозначениях
г
примечания 8), a PR (T) = ПО — Tdi)~\ мы получаем от-
отсюда, что
10. Приложения этой теоремы к теории модулей описаны
в книге Дьёдонне, Керрола и Мамфорда [1]. Однако она
играет важную роль и в самой теории инвариантов, позволяя
описывать свойства многообразия Уо, которые в свою оче-
очередь несут существенную информацию о структуре действия
G на V и структуре алгебры S(V)G (что было замечено еще
Гильбертом). Используя элементарные факты из теории ли-
линейных алгебраических групп (а также соответствующую
терминологию), мы объясним здесь только, как с помощью
теоремы Гильберта — Мамфорда получить геометрическое
описание многообразия Vo-
Пусть Т — максимальный тор группы G и Х(Т)—группа
его рациональных характеров в аддитивной записи (она яв-
является свободной абелевой группой конечного ранга). Обо-
Обозначим через 2 множество тех элементов группы Х(Г), ко-
которые являются весами тора Т в V. Пусть У(а) — весовое про-
пространство веса йеН. Рассмотрим линейное пространство
X==X(r)(8)zR. Для каждой линейной функции / на X (т. е.
элемента /^Х*) положим
v(f)= Ф2^;а>-
f<c0>0
Тогда Vo = G •( U/(/))•

Примечания переводчика 163
В самом деле, образ всякой однопараметрической под-
подгруппы в G сопряжен подгруппе в Г; поэтому из теоремы
Гильберта — Мамфорда вытекает, что множество Vq полу-
получается «разнесением» с помощью группы G множества тех
точек в V, Г-орбиты которых содержат в своем замыкании
нуль. Однако несложно доказать, что вектор v <= V лежит
в этом последнем множестве тогда и только тогда, когда он
разлагается в сумму ненулевых весовых векторов, веса ко-
которых содержатся в каком-нибудь открытом полупростран-
полупространстве пространства X (или, другими словами, когда v^V(f)
для некоторой линейной функции /^ X*).
К а О \|
с _L \\a e
то легко проверить, что \J V(f) = ( © кХ1У*~*\\}
fe=X* \i>dl2 )
U Г © kXlYd~b\. Поскольку, однако, р. ( л _ I перестав*
\i<d/2 ) " \ — 1 U /
ляет пространства ф kXlYd~l и © kXlYd~l местами, мы
i>d/2 i<d/2
получаем, что Vo = p(G) • ( © kXlYd~l\ Отсюда следует,
\i>d/2 )'
например, что Vo — неприводимое многообразие (в общем
случае это уже не всегда так, см., например, Хесселинк [1]).
11. Опишем, как устроены неприводимые рациональные
представления группы SL2(£) в случае chavk = p>0.
Рассмотрим в Rd линейную оболочку G-орбиты вектора
ed = Xd. Обозначим эту оболочку через Wа\ она является не-
ненулевым G-инвариантным подпространством в Rd. Как сле-
следует из леммы 3.1.3 (i), Wa лежит в любом ненулевом G-ин-
вариантном подпространстве пространства Rd. Значит,
G-модуль Wd неприводим и в Rd нет никаких других нену-
ненулевых неприводимых подмодулей. Кроме того, если Wd Ф Rd,
то в Rd не существует инвариантного дополнительного к Wd
подпространства (ниже доказано, что при некоторых d —
будет точно выяснено, при каких, — действительно Wd¥zRn,
так что SL2(k) тем самым не является линейно редуктивнои).
Вычислим dim Wd. Заметим сначала, что если I . ) ф О
(в &)> то ej = XiYd~i ^ Wd, см. доказательство леммы 3.1.3 (i).
С другой стороны, элементы G-орбиты вектора Xй —
это всевозможные ненулевые формы вида (аХ + bY)d =
■£(')•
lbd IXiYd ;, a, b e k. Отсюда вытекает, что все

164 Дополнение 3
(d\
£/, для которых I . I Ф 0, образуют в Wа базис. Рассмотрим
теперь р-адическое разложение числа d, т. е. разложение d =
— а0 + ахр + . ♦ * + алрл, где а, gZ, 0 ^ щ < р, ал =£ 0. Мы
имеем
' d\ h
I Wy^"/ /yi y\d
I Л. I —— I y\, I JT i ———
/-o " У J r«o
(Г)
причем все I . I отличны от 0, так как аг < р. Левая часть
этого равенства показывает, что число различных мономов
степени d, суммой которых является форма (X + Y)d, равно
dim Wrf. Правая же часть показывает, что указанные мономы
получаются как всевозможные произведения мономов, взятых
по одному из каждой суммы, т. е. произведения вида
где 0 ^ /о ^ ^o, .. •, 0 ^ ih ^ Q>h. Ввиду того что р-адическое
разложение любого целого числа определено однозначно, та-
такие произведения совпадают тогда и только тогда, когда сов-
h
падают сомножители. Следовательно, dim Wd = YL(ai + 1).
Таким образом, Rd неприводимо тогда и только тогда,
л
когда ^+1=11(^+1). Покажем, что это условие экви-
эквивалентно тому, чтоа0 = а1= ... =ah_i = p— 1, или, иначе
говоря, что d = sph— 1, где l^s^p. В самом деле, пусть
л л
Т[ (а. + I) = 1 + 2 я,р*. Поскольку W,aRL для любого /, то
*=ov l J /=о 1
Л-1 Л-1 h
Л-1
П(^+)< + Ео^ и, значит, П
(Л-1 \ " Л-1
1 + Z aiPl )• Поскольку, очевидно, 1 + 2 аф1 < р\
t«0 / i-0
h •
отсюда получаем П (^+1)<(«л+1)(
/»0 \

Примечания переводчика 165
По предположению левая и правая части равны; значит,
+ I V ) = 1 + ZaiP\ т. е. ph = 1 + .g^p1
и, следовательно, а0 = ... = аЛ_1 = р — 1. Обратное ут-
утверждение проверяется непосредственно.
Покажем теперь, что всякий неприводимый рациональный
{/-модуль W изоморфен некоторому G-модулю Wd. Будем ис-
использовать определения и обозначения из пп. 3.1.7, 3.1.8. Как
вытекает из упражнения 3.1.9, функции /;, 0, </-«, о = xizd~i9
i = О, ..., d, образуют в Vd базис. Пусть g = ( ); легко
\с а)
проверить, что g-x = dx — bz, g-z = —ex + az (см. форму-
формулу B) в п. 3.1.7). Отсюда следует, что G-модуль Vd изомор-
изоморфен Rd (см. п. 1.4.9). Заметим теперь, что поскольку W не-
неприводим, то и W* неприводим (действительно, если Wl —
подмодуль в G-модуле W* и W*Q ф О, W*o ф W*, то его анну-
лятор AnnWl = {x^W \l(w) = 0 для всех / е W*0] является
подмодулем в W, отличным от 0 и W). Следовательно, для
некоторого d существует инъективное отображение G-моду-
лей W**-+Vd (см. доказательство предложения 3.2.1). Од-
Однако G-модули W и W** изоморфны (изоморфизм ф: tt^->
~> Ц7** задается формулой q(w) (I) — I(w), w^W, l^W*).
Поскольку Vd изоморфен Rd, a Wd является единственным
неприводимым подмодулем в Rd, отсюда следует, что W изо-
изоморфен Wd-
12. Согласно п. 3.2.2 и доказательству теоремы 3.3.4,
S(Rd)e=(&Rd{d'eit)- С другой стороны, ввиду упражне-
ний 3.3.6A) и 3.3.3(a) m(d,e,i)= m(e,d,i) для любых d, e, i.
Следовательно, S(Rd)e = S(Re)d.
13. Пусть А = 0 Ad — конечно порожденная градуиро-
d>0
ванная алгебра над полем k = Ао (см. пп. 2.4.1, 2.5.3). В этом
случае dim Ad < <*> при всех d. Пусть {di}{<i<n— какая-ни-
какая-нибудь система однородных образующих алгебры Л. Каждый
ненулевой однородный элемент степени d является &-линей-
s. s
ной комбинацией мономов вида а\ ... ап , где si — такие не-
п
отрицательные целые числа, что £) Si degat = d. Ясно, что
если deg at > d, то Si = 0, а если deg a-t = d, то 0 ^ s* ^ 1,
причем в случае si = 1 все S/ с / Ф i равны 0. Отсюда сле-
следует, что множество {cii}l<i<n содержит базис простран-
пространства А\\ пусть этим базисом будет аи •••> ciri. Обозначим

166 Дополнение 3
через ЛA> градуированную подалгебру в Л, порожденную
аи •-., аГх\ она, очевидно, совпадает с подалгеброй, поро-
порожденной подпространством А\. Рассмотрим теперь тот наи-
наименьший номер d, для которого лу> ф Ad (если, конечно, та-
такой номер найдется); обозначим его через d\. Поскольку
Ad{) = Ad при d < d\, из сказанного выше следует, что все
мономы а\ ... апп, у которых £ st deg a,- = dx и s/ = 0,
£
если deg а/ ^ di, лежат в Ad\ Значит, в множестве {ai}x<i<n
можно найти однородные элементы степени d\, скажем эле-
элементы аГ1+и ..., аГ2, образующие базис в некотором допол-
дополнительном к А^ подпространстве в Adi. Обозначим через
ЛB) градуированную подалгебру в Л, порожденную элемен-
элементами а\, ..., ап, аГ1+\, • •-, aTl\ она совпадает с подалгеброй,
порожденной подпространствами А\ и Аах. Как и выше, рас-
рассмотрим наименьший номер d, для которого А^ Ф Ad (если
такой найдется); обозначим его через d2. Тогда в {#*}1<1<л
найдутся элементы, скажем аг,+ь ••-, аг„ образующие базис
в некотором дополнительном к А$ подпространстве в Ad2.
И так далее. Ясно, что этот процесс закончится и что эле-
элементы аи ..-, аГ{, пг1 + и •••> аг2, -.., Q>tv ••-, art+l являются
системой однородных образующих алгебры Л. Заметим, что
подалгебры А^ cz A& с: ... с: А^ в Л и числа du d2, ..., dt
определены внутренним образом, независимо от выбора
{a/}1<i<n; кроме того, мы по существу показали,
что если Ьи • • -, brl9 ЬГ{+и ••., &/у •• -, bTv ..., brt+l —любой
такой набор элементов из Л, что Ь\, ..., ЬГ{ — базис в Аи
br, + i, ..., &г2 — базис подпространства в Л^, дополнительного
к Лу\ &г р ..., ЪГъ — базис подпространства в Л^2, дополни-
нительного к A{d\ и т. д., то Ьр ..., ЬГ(> &Г1 + р •••» ^/у •••
..., &г j — система однородных образующих алгебры Л.
Таким образом, мы видим, что любые две минимальные
системы однородных образующих алгебры Л (система мини-
минимальна, если никакая ее собственная подсистема не является
Системой образующих) содержат одинаковое число элемен-
элементов. Из предыдущего, очевидно, следует, что если Ьи ■ - -
щи Ъг — минимальная система однородных образующих, то
образы этих элементов в А+/А2+, где Л+= ф Л^, составляют
базис пространства А+/А2+, и наоборот. Итак, число элемен-
элементов в минимальной системе однородных образующих алгеб-

Примечания переводчика 167
ры А имеет следующий геометрический смысл — это размер-
размерность касательного пространства аффинного алгебраического
многообразия, определенного алгеброй А, в точке, соответ-
соответствующей максимальному идеалу А+.
14. В книге Дьёдонне, Керрола и Мамфорда [1, стр. 100—
105] описан подход к задаче о явном построении системы
образующих алгебры инвариантов любого рационального
представления р: G->GL(V), где G = SLn(C). Однако со-
содержащиеся в этом описании рассуждения на самом деле
недостаточны для решения этой задачи. Подробнее: пусть
/ — идеал в S(V), порожденный всеми непостоянными одно-
однородными инвариантами; известно, что система однородных
инвариантов, порождающих /, автоматически будет системой
образующих алгебры S(V)G (см. там же, стр. 70—73). По-
Поэтому для решения задачи было бы достаточно доказать,
что / обладает системой однородных образующих инвариан-
инвариантов, степени которых ограничены вычислимым числом М (ибо
инварианты степени ^.М могут быть в принципе найдены,
например, символическим методом). Рассмотрим многообра-
многообразие нулей идеала /, т. е. ТA). Можно найти (см, там же,
стр. 101—105) такое вычислимое число ЛГ, что многообразие
нулей идеала / в S(V), порожденного всеми однородными
непостоянными инвариантами степени ^М', совпадает с У°A).
Таким образом, д/Т = у7. Далее сказано следующее (см.
там же, стр. 101): «Поскольку можно (по крайней мере тео-
теоретически) найти конечную систему образующих степени
г^ЛГ идеала /, все сводится к построению системы обра-
образующих «корня» идеала /. И снова гильбертово доказатель-
доказательство теоремы о нулях показывает, как это можно сделать
(опять-таки теоретически)».
На самом же деле, однако, знание системы образующих
идеала д/' в общем случае ничего не позволяет сказать об
образующих самого идеала /. Например, если G — конечная
группа (а схема рассуждений, приведенная в упомянутой
выше книге, должна быть пригодной и для нее, поскольку
предположение G = SLn(C) используется только для нахо-
нахождения числа ЛГ),.то всегда ТA) = 0 и, значит, д/7 поро-
порожден координатными функциями, что, конечно, не позволяет
ничего сказать об образующих самого /. Предложенная схема
рассуждений ведет к цели, лишь если / — радикальный идеал
(т. е. д/7 ==j0» создается впечатление, что в указанном
тексте равенство л/7 — I предполагается (по крайней мере
для G = SLn(C)) само собой разумеющимся. На самом же
деле вопрос о радикальности идеала / (для полупростой

168 Дополнение 3
группы G) является весьма тонким. В общем случае равен-
равенство л/7 — I не имеет места (см. Хесселинк [1]); для всякой
же конкретной группы G и представления р оно, безусловно,
требует проверки.
15. Схема доказательства этой теоремы (на современном
языке) весьма проста. Рассмотрим в X = Rd ® V //-инва-
//-инвариантную плоскость У = Rd X 0о. Пусть f ^ S(Y) задана
формулой / ((г, [H)) = F(r),rG Rd. Ясно, что / е 5 (У)н. Про-
Продолжим с помощью действия группы G функцию f до функ-
функции f на множестве G- У = {g-y\g e G, у <= У}, полагая
f((/\ u))=/((gr, 0о)), гДе g^G — какой-нибудь элемент,для
которого gv = v0 (корректность такого определения прове-
проверяется немедленно). Очевидно, G-Y = X—(/?<*Х0). Можно
показать, что f является G-инвариантной рациональной функ-
функцией, определенной всюду на GY. Поскольку X—нормаль-
X—нормальное аффинное алгебраическое многообразие, а коразмерность
X— G-Y в X больше 1, f является полиномом, т. е. ковариан-
том. Единственность вытекает из упражнения 3.3.10.
Содержащаяся в этом рассуждении идея продолжения ин-
инвариантов подгруппы, действующей на меньшем простран-
пространстве, до инвариантов группы, действующей на большем про-
пространстве, применялась впоследствии в теории инвариантов
неоднократно. Точная ее формулировка известна как «лемма
Шешадри» (см. Нагата [4], Шешадри [1], Гроссханс [1]):
Пусть X — аффинное алгебраическое многообразие, на ко-
котором регулярно действует линейная алгебраическая груп-
группа G, и У — подмногообразие в X, инвариантное отно-
относительно некоторой подгруппы Н в G. Предположим,
что Gy[\Y = Hy для любой точки у е У. Тогда для лю-
любой Я-инвариантной регулярной функции f на У существует
такая G-инвариантная рациональная функция J на G-Y (чер-
(чертой обозначено замыкание в X), что f цела над локальньш
кольцом любой точки у^ GY и индуцирует / на У. Множе-
Множество G-Y при этом открыто в G-У, и если GY нормально,
а коразмерность G-Y — G-Y в G-Y больше 1, то f регулярна
на GY, а сужение функций с G-У на У определяет изомор-
изоморфизм алгебры G-инвариантных регулярных функций на G-У
и алгебры //-инвариантных регулярных функций на У.
Один из возможных способов применения этой леммы та-
таков (он в известном смысле противоположен приему огра-
ограничения, описанному в примечании 1). Дано регулярное дей-
действие алгебраической группы W на аффинном алгебраическом
многообразии У. С помощью какой-нибудь явной конструк-
конструкции это действие продолжается до действия некоторой ал-

Примечания переводчика 169
гебраической группы G' =э Я' на некотором аффинном алгеб-
алгебраическом многообразии X' =э У, так что выполнены усло-
условия леммы Шешадри (для G = G', Я = Я', Х = Х\ У = Г),
причем X' = G'-Y'— нормальное многообразие и коразмер*
ность X' — G'-Y' в Хг больше 1. Тогда изучение инвариантов
группы Я' на У сводится к изучению инвариантов группы G'
на Х\ что в ряде случаев упрощает дело (например, если Н'
нередуктивна, a G' редуктивна). Именно таким способом до-
доказываются теорема Вейценбёка (см. Шешадри [1]) и теоре-
теорема Хаджиева — Гроссханса, см. Гроссханс [1] и примечание
автора к п. 2.4.10. Тот же прием Гроссханс применяет для
получения своих результатов по 14-й проблеме Гильберта (см.
выше примечание 6). Несколько общих утверждений, касаю-
касающихся сужений и продолжений инвариантов, можно найти
также у Гатти и Винибержи [1].
16. Основная задача классической теории инвариантов —
это изучение структуры алгебры инвариантов S(V)G данной
группы G cz GL(V). Поскольку «мерой сложности» алгебры
S(V)G является длина цепи сизигий, естественно описать
сначала случаи, когда сизигий вообще нет, т. е. когда 5(l/)G—
свободная алгебра (алгебра полиномов). Если G конечна,
решение этой задачи дает теорема Шевалле — Шефарда —
Тодда, см. п. 4.2.5. Если же G бесконечна, т. е. является ал-
алгебраической группой положительной размерности, положение
дел оказывается существенно более сложным. Вопрос об опи-
описании полупростых групп такого типа ставился неоднократно
(см., например, Раллис [1], Игуза [2]). По существу именно
эту задачу для неприводимых представлений группы SL2(k)
подразумевает в конце гл. 3 и автор настоящей книги; одним
из основных результатов дополнения 1 является ее полное
решение. Такие группы как «побочный продукт» возникали
в целом ряде исследований: см. Костант [1], Костант и Рал-
Раллис [1], Винберг [1], Игуза [2].
Общий метод нахождения редуктивных групп со свобод-
свободной алгеброй инвариантов впервые был предложен в работе
Каца, Попова и Винберга [1], где с его помощью найдены
все неприводимые связные простые линейные группы G со
свободной алгеброй инвариантов (основное поле k алгебраи-
алгебраически замкнуто, char& = 0). А именно, было показано, что
это в точности группы G из следующего списка:
а) группы, для которых алгебра инвариантов тривиальна
(совпадает с k): SLn\ Spn {n четно); A2SLn (n нечетно);
irit
b) группы, у которых степень трансцендентности алгебры
инвариантов равна 1: SOn (пФ4); Л2SLn (n четно);

170 Дополнение 3
S2SLn; A?SLn (n = 6, 7, 8); A30Spe; 535L2; Spinn (n = 7, 9,
11, 12, 14);£6;£7; G2;
c) присоединенные группы простых алгебр Ли;
d) группы изотропии симметрических пространств:
A20Spn (n четно); S20SOn; A4SL8; A40Sp8; Spin^ F4\
e) группы, не попавшие в указанные серии: A35Lg; 53SL3;
Spiriiz. [Обозначения: AmG (соответственно SmG)—внешняя
(соответственно симметрическая) т-я степень линейной груп-
группы G; A™ G (соответственно S™ G)— старшая неприводимая
компонента в AmG (соответственно в SmG)>]
Идея этого метода геометрическая. Она основана на том,
что алгебра S(V)G свободна тогда и только тогда, когда
определяемое ею аффинное алгебраическое многообразие
V/G неособо. Особенности же этого многообразия можно
изучать, рассматривая действия стабилизаторов тех точек,
орбита которых замкнута, в пространстве, дополнительном
к касательному пространству к этой орбите. Если стабилиза-
стабилизатор таков, что алгебра инвариантов для его действия в ука-
указанном пространстве несвободна, то V/G будет иметь в со-
соответствующей точке особенность и, значит, S(V)G будет не-
несвободной. Вопрос же о свободности алгебры инвариантов
стабилизатора часто бывает проще соответствующего вопро-
вопроса об алгебре инвариантов самой группы G (например, это
так, если стабилизатор конечен или является тором). С по-
помощью этой процедуры перехода к стабилизаторам список
известных групп с несвободной алгеброй инвариантов можно
постепенно пополнять, и так удается оставить лишь несколько
групп, алгебру инвариантов которых следует рассмотреть не-
непосредственно.
Используя этот подход, Г. Шварц [2] нашел также все
связные простые приводимые линейные алгебраические груп-
группы со свободной алгеброй инвариантов.
Как известно, конечные группы со свободной алгеброй ин-
инвариантов могут бы?ь выделены внутренним свойством — это
группы, порожденные отражениями, см. теорему 4.2.5; ника-
никакое свойство такого рода в случае бесконечных групп не из-
известно.
Условие «S (V) является свободным 5 (V) °-модулем» также
исследовалось в случае, когда G — связная полупростая
группа. В отличие от случая конечной группы G, см. теоре-
теорему 4.2.5, оно оказалось не эквивалентным условию «S(V)G —
свободная алгебра». Алгебра S(V) как 5(У)°-модуль назы-
называется модулем ковариантов. Общий результат коммутатив-
коммутативной алгебры показывает, что если модуль ковариантов Сво-
Свободен, то канонический морфизм я: V-^V/G равноразмерен

Примечания переводчика 171
(т. е. все его слои имеют одинаковую размерность). Можно
показать, что самую большую размерность имеет «нуль-мно-
«нуль-многообразие», т. е. слой я(я@)). Теорема Гильберта — Мам-
форда позволяет дать геометрическое описание этого слоя
(см. примечание 10 выше), что в свою очередь доставляет
оценки на его размерность. С помощью этих соображений
В. Л. Поповым в [3] были найдены все связные простые не-
неприводимые алгебраические группы со свободным модулем
ковариантов, а затем в работе Г. Шварца [1]—все приво-
приводимые такие группы. Интерес к группам со свободным моду-
модулем ковариантов объясняется, в частности, тем, что для них
можно полностью описать структуру G-модуля 5(V) (см. Ко-
стант [1], Г. Шварц [1]). Вопрос о том, вытекает ли из
равноразмерности морфизма я свободность модуля ковариан-
ковариантов (G — связная полупростая группа), пока открыт (можно
показать, что для неприводимых простых групп G это так,
см. В. Л. Попов [3]).
17. Это одно из многих возможных (эквивалентных) опре-
определений правильных многогранников; оно плохо приспособ-
приспособлено для обобщения на м-мерный случай. Другой подход был
предложен Титсом (см. также дю Валь [1]). А именно,
пусть М — ограниченный многогранник (т. е. пересечение ко-
конечного числа замкнутых полупространств) в м-мерном ев-
евклидовом пространстве Е. Его флагом называется любой на-
набор F = {Мо, Mi, ..., Mn_i}, где Mi есть /-мерная замкнутая
грань и Mi-\ си Mi для всех i = 1, ..., п — 1 (предполагается,
что М м-мерен, т. е. не лежит ни в какой гиперплоскости про-
пространства Е). Многогранник М называется правильным, если
группа S(M) всех его симметрии (т. е. всех движений про-
пространства Еу переводящих М в себя) транзитивно действует
на множестве его флагов. Из определения следует, что ка-
каждая грань Mi также является правильным многогранником
(/-мерным). Поскольку S(M) действует транзитивно на мно-
множестве всех вершин многогранника М, центр тяжести этого
множества неподвижен относительно S(M). Он называется
центром многогранника М. Группа S(M) порождена ортого-
ортогональными отражениями в (п — 1)-мерных гранях симпли-
циального конуса /С, вершиной которого является центр мно-
многогранника М, а ребра проходят через центры граней, состав-
составляющих какой-нибудь фиксированный флаг F. Конус К
имеет п (п—1)-мерных граней; пусть Г/ — та его (п — 1)-
мерная грань, которая не проходит через центр грани M/_i,
и пусть п <= S(M) — отражение относительно Г/, / = 1, ..., п.
Пусть pi — порядок преобразования /V/+i, /=1, ..., п—\.
Геометрический смысл числа pi состоит в следующем: оно

172
Дополнение 3
равно числу /-мерных граней многогранника Mi+i, содержа*
щих грань М/__2 (в предположении, что Мп = Р, M_i=0);.
кроме того, n/pi — это величина двугранного угла между Г*
и Г/+1.
Последовательность {ри ..., рп-\} называется символом
Шлефли многогранника М (по имени Л. Шлефли, который
примерно в 1850 г. нашел все правильные многогранники).
Тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр имеют соот-
соответственно символы Шлефли {3,3}, {4,3}, {3,4}, {5,3} и
{3,5}. Правильные многогранники определяются своими сим-
символами Шлефли с точностью до подобия. В 4-мерном про-
пространстве имеется 6 правильных многогранников; их символы
Шлефли таковы: {3,3,3}, {4,3,3}, {3,3,4}, {3,4,3}, {5,3,3}
и {3,3,5}. Если п ^ 5, то существуют лишь 3 правильных
многогранника: симплекс, куб и октаэдр (многогранник, вер-
вершины которого являются центрами (п — 1)-мерных граней
куба); их символы Шлефли имеют соответственно вид
{3, 3, ..., 3}, {4, 3, ..., 3} и {3, ..., 3, 4}. См. также Ро-
зенфельд [1].
18. Как видно из описания алгебр 5°, указанного в
пп. 4.5.2—4.5.5, многообразия C2/G — это поверхности в С3,
задаваемые в координатах х, у, z следующими уравнениями:
G
Crt, n ^ 1 (циклическая
группа порядка п)
Dn* >Osl (бинарная груп-
группа диэдра порядка 4/г)
Т (бинарная группа те-
тетраэдра)
О (бинарная группа
октаэдра)
/ (бинарная группа ико-
икосаэдра)
уравнение C2/G
xy + zn = 0
дЛ+1 +xy2 + z2=zQ
x4 + x3 + z2 = 0
хгУ + У3 + z2 = 0
х5 + у3 + z2 = 0
название (тип) поверх-
поверхности и особенности
Л/1-1
Dn+2
Ее
Е7
Ев
(группа D\ сопряжена С4, так что поверхности типов А3 и D3
изоморфны).
В общих чертах описание этих особенностей, данное Бри-
скорном, состоит в следующем (подробности см. у Стейнбер-
га [1]). Пусть G — связная односвязная простая комплексная
алгебраическая группа и U—многообразие ее унипотентных
элементов. Группа G действует на себе сопряжениями; алгеб-

Примечания переводчика
173
pa инвариантов LC[G]G этого действия является алгеброй
полиномов от г (=ранг G) переменных. Пусть я: G-*iCf —
отображение, задаваемое образующими алгебры G[G]G. Мно-
Многообразие U является слоем этого отображения; оно непри-
водимо и имеет размерность dim G — г. В U имеется откры-
открытая в топологии Зарисского орбита; дополнение к ней в U
также неприводимо. Это дополнение имеет размерность
dim G — г — 2 и в нем также содержится открытая орбита
(элементы этой орбиты называются субрегулярными элемен-
элементами G). Например, если G =SLn{C), то субрегулярные
элементы — это те, у которых жорданова форма имеет вид
1 О
О
1
1
О
1
и
Пусть и — какой-либо субрегулярный элемент, а У — не-
неприводимое подмногообразие в G размерности г + 2, содер-
содержащее точку и и трансверсальное в этой точке к орбите Gu.
Тогда V[\U будет (в окрестности точки и) поверхностью,
имеющей в и изолированную особенность, аналитически экви-
эквивалентную особенности Клейна. Более того, тип группы G
(в смысле теории полупростых групп) связан с типом этой
особенности следующим образом:
тип G
Аг, т>\
В г. г>2
Сп г>3
Еп г = 6, 7, 8
G2
тип особенности
Л,
Аи-\
Dr+\
Dr
Er
Еь ■
Dt

174 Дополнение 3
Таким образом, если схема Дынкина группы G не имеет
кратных связей, то типы G и особенности совпадают. На
самом деле в этом случае схема Дынкина группы G совпа-
совпадает со схемой минимального разрешения соответствующей
особенности. Брискорн показал также, что отображение я:
(У, и)->(Сп, яA)) является универсальной деформацией со-
соответствующей клейновой особенности.
Отметим также, что левые части указанных уравнений
поверхностей JC2,/G дают полный список нормальных форм
функций в окрестности простых критических точек, см. Ар-
Арнольд [1].
19. Поскольку группа G компактна, ее естественное пред-
представление в пространстве S(V)n однородных полиномов сте-
степени п на V вполне приводимо, см. Шевалле [2, стр. 257].
Кратность вхождения в это представление единичного пред-
представления равна dim(Rn). Поэтому из соотношения ортого-
ортогональности для характеров (см. там же, стр. 272) вытекает,
что dim(Rn)= \ tr(p(g), S(V)n)d\i (g). Ввиду леммы 3.3.1 мы
G
имеем
то то
Рл(г) = 7, dim (/?„) z" = £ f \ zn tr (p (g), S (V)n) d» (g)\ =
tr (p (g), S n/ ^ ' A" l"^ — v ^(g)
a ^«=o
6det(l-zp(g-1))
-\
. det A - zp (g))
(последнее равенство имеет место ввиду свойств инвариант-
инвариантного интегрирования на группе G, см. там же, стр. 247).
20. Здесь имеется в виду следующая формула интегриро-
интегрирования Г. Вейля. Пусть G — компактная связная группа Ли,
Т — ее максимальный тор, a d\x(g) и d\x(t)—меры Хаара
на G и Г, нормализованные условием \d\i(g)=\d\i(t) = l.
g т
Обозначим через W группу Вейля группы G, а через хь •••
_#> у^п — все нетривиальные характеры тора Т (т. е. гомомор-
гомоморфизмы 7-^.С*), являющиеся весами присоединенного пред-
представления тора Т в алгебре Ли группы G (т. е. корни). Тогда
для любой непрерывной на G функции /, постоянной на клас-
п
сах сопряженных элементов, ^ / (g) d\x (g)=j^j jj / (t) JJixt (t)—

Примечания переводчика 175
— \)d\i(t) (доказательство см., например, у Адамса [1,
стр. 104—106]).
В рассматриваемом в тексте случае G — это 5[/г, тор Т
/ eiq> о \
состоит из всех матриц вида/(ф) =1 _. 1, порядок груп-
группы W равен 2, инвариантная нормализованная мера на Г —
это д!ф/2я, число п равно 2, а соответствующие характеры
п
имеют вид Х1(/(ф))=е2Ч %2(t((p))=e-2^t так что П(х* (* (ф)) —
— 1) = 4 sin2ф.
21. Приведем пример применения этой формулы, вычис-
вычислив Рз(г), т. е. ряд Пуанкаре алгебры инвариантов S(R3)G.
Мы имеем d = 3 и, значит,
Рз (г) = (Фз (A - М Y3, о)) (г) + (ф1 (A - *х2) у3, 0) (г) =
= (фзС A — ^) A _ ^) A _ ^6))) (г) -
-22)A_22){1_24) JJ (Z) =
==1<Рз1A-г4)A -г6)
Далее,
(фз( A_24)A_гб)))B3)=-з С A — г«) (I — г") +
+ A - £3г4) A - г6) + A - Ф4) A - г4) J ~ A - г6) (l - 212) '
Следовательно,
и Р3(г) = A — г4)-1. Это согласуется с результатами п. 3.4.3,
из которых следует, что 5G?3)G порождена одним однород-
однородным полиномом R степени 4 (дискриминантом «общей» куби-
кубической формы от двух переменных).
22. Важность соотношения Pd(z~l) = (~\)dzd+xPd(z)y d>
> 2, объясняется тем, что из него вытекает сильное след-
следствие— горенштейновость кольца SG (см. примечание 23 ни-
ниже). К сожалению, операция подстановки zy—>z~l не комму-
Г da (я)
тирует со взятием интеграла \ det '__ г , и поэтому
G
PR(z~l) нельзя подсчитать, просто подставив в этот интеграл
г~х вместо z. Эта трудность не возникает, если требуется вы-

176 Дополнение 3
числить Pa(z~1), где А — алгебра инвариантов конечной
группы, поскольку формула Молина (см. п. 4.13) представ-
представляет Pa(z) в виде суммы конечного числа рациональных дро-
дробей от г, а операция суммирования коммутирует с подста-
подстановкой гь-»г]. Отметим, что алгебра инвариантов R при
d = 2 порождена одним однородным полиномом степени 2,
так что Р2(г) = A — г2)-1 и, значит, Р2(зг1) = — z2P2(z).
23. Дадим определения колец Коэна — Мэколея и Горен-
штейна (ограничиваясь той степенью общности, которая до-
достаточна для целей этой книги).
Пусть А = ф Ad — конечно порожденная градуированная
d>0
алгебра без делителей нуля над полем k = Aq. Степень транс-
трансцендентности (над k) ее поля частных называется ее раз-
размерностью (Крулля); эта размерность равна максимальному
числу m алгебраически независимых элементов в Л, а также
порядку полюса ряда Пуанкаре Ра (Т) в единице (см. п. 2.5.6).
Согласно теореме Э. Нётер о нормализации (см. п. 2.5.1), в А
существуют m таких однородных алгебраически независимых
элементов аь ..., ат, что А цела над подалгеброй k[a\, ...
..., am], или, что то же самое, А — конечно порожденный
k[a\, ..., am]-модуль (см. Зарисский и Самюэль [1, т. I,
стр. 292—295]). Всякая такая система элементов а\9 ..., ат
называется однородной системой параметров (о. с. п.) алгеб-
алгебры Л. Имеет место теорема, согласно которой следующие
свойства эквивалентны:
a) существует такая о. с. п. аи ..., ат, что k[au ..., ап\г
модуль Л свободен;
b) для любой о. с. п. аи ..., &т в алгебре Л k[au ...
,.., ат] -модуль Л свободен;
(доказательство см., например, у Смоука [1, стр. 168]).
Если Л удовлетворяет (эквивалентным) условиям этой
теоремы, то говорят, что Л — алгебра Коэна — Мэколея. Еще
один важный способ определения таких алгебр состоит в еле*
дующем.
Любая последовательность С\, . - •» сг однородных элемен*
тов из Л, для которой образ Cj в факторкольце А/(с\, ...
..., Cj~\) не является делителем нуля при всех /= 1, ..., г,
называется А-последовательностъю. Имеет место теорема, со*
гласно которой следующие свойства эквивалентны:
a) Л — алгебра Коэна — Мэколея;
b) существует о. с. п., являющаяся Л-последовательностью;
c) любая о. с. п. является Л-последовательностью
(доказательство см. у Смоука [1, стр. 168] Ь
Одна из причин, по которой понятие алгебры Коэна — Мэко-

Примечания переводчика 177
лея является важным для теории инвариантов, состоит в сле-
следующем. Предположим, что для некоторой группы G a GL(V)
алгебра инвариантов SA/)G оказалась алгеброй Коэна — Мэ-
колея. Пусть аи ..., ап — ее о. с. п. Тогда SA/)G является
свободным k[au ..., а„]-модулем, т. е.
S(V)G = k[bh ..., an]bx@ ... 0 k[au •-., an]b8 (*)
для некоторых однородных элементов Ьи ..., bs алгебры
S(V)G. Структура алгебры /г[аь ..., ап] очень про-
проста— это алгебра полиномов. Следовательно, структура ал-
алгебры 5A/)° полностью определяется «таблицей умножения»
элементов Ь\, ..., bs, т. е. разложениями произведений bibj
по элементам базиса Ь\, •.., bs с коэффициентами в k[a\, •--
..., ап]. Кроме того, равенство (*) позволяет привести ка-
каждый инвариант к «каноническому виду» (т. е. однозначно
записать в виде линейной комбинации элементов Ь\, • • •, bs
с коэффициентами в k[a\, ..., ап]. Тем самым мы получаем
еще один подход (другой дается методом сизигий) к решению
главной задачи классической теории инвариантов — описа-
описанию структуры алгебры 5A/)°. Отметим также, что из раз-
разложения (*) сразу получается ряд Пуанкаре алгебры S(V)G:
£
Этот подход был поставлен на твердую почву Хохстером
и Робертсом, которые установили, что если char&=0 и G
редуктивна, то S(V)G — алгебра Коэна — Мэколея (см. Хох-
сгер и Роберте [1]). Доказательство этого результата до-
довольно сложно, но для конечной группы G можно дать совсем
простое доказательство (см. Стэнли [2, стр. 482—483]). Более
того, если G конечна, то можно указать и явную конструкцию
о. с. п. в алгебре S(V)G. А именно, выберем в S(V)\ = V* ли-
линейные формы f\, ..., fm (тут т = dim V) по следующему
правилу: f i ф 0 и если /ь ...; ft уже выбраны, то /t+i — лю-
любая форма, не лежащая ни в одном из пространств <gifi, ...
• ••> gift}* гДе gi> •••> gi — произвольные элементы группы G,
а <...,...,...> обозначает линейную оболочку над k.
Пусть теперь at — произведение всех различных форм из
{/-орбиты формы ^. Тогда аи •-., #т — о. с. п. алгебры S(V)G
(доказательство, нуждающееся, впрочем, в некотором исправ-
исправлении, см. у Стэнли [2, стр. 483—484]). Отсюда, в частности,
следует, что у G существует о. с. п., степени которых делят
|G|, и что PSiV)°(T) можно записать в виде F(T) A — Л°1)-тэ
где F(T)—полином с неотрицательными целыми коэффи-

178 Дополнение 3
циентами. Для бесконечных редуктивных групп никакой яв-
явной конструкции о. с. п. (и оценок их степеней) неизвестно.
Пусть теперь Л— алгебра Коэна — Мэколея, аь ..., ат —
ее о. с. п. и В = k[au ..., ат]. Тогда А является свободным.
В-модулем конечного ранга и, значит, В-модуль Нотв(Л,В)
всех гомоморфизмов А в В (как В-модулей) также свободен
и имеет тот же ранг, что и А. Введем в Нотв(Л, В) структу-
структуру Л-модуля, положив (аср) (а/) = у (аа') для любых а, а' е
^Л. Тогда оказывается, что Л-модуль Нотв(А, В) не зависит
от выбора о. с. п. аь ..., ат (см. Стэнли [2] и цитированную
там литературу); он называется каноническим модулем и
обозначается через Й(Л). Если Q(A) ~Л (изоморфизм Л-мо-
дулей), то А называется алгеброй Горенштейна. Минималь-
Минимальная свободная резольвента (относительно какой-нибудь си-
системы образующих в А) такой алгебры обладает следующим
свойством симметрии (которое на самом деле эквивалентно
горенштейновости): если длина этой резольвенты равна s, то
ранги /-го и (s — i)-ro свободных модулей в этой резольвенте
совпадают для всех i = О, ..., s (см. примечание 8 выше).
В работе Стэнли [1] доказан следующий критерий: А горен-
штейнова тогда и только тогда, когда РА (Г~1) = ( — \)mTlPA (Г)„
где m — размерность Л, а / — какое-нибудь целое число (на-
(напомним, что по предположению Л — область целостности).
В дополнении 1 этот критерий применяется для алгебры ин-
инвариантов S(Vd)G, где G = SL2(k), d > 2. При этом следует
учесть, что при d > 2 размерность этой алгебры равна
d — 2 (см. выше примечание 7).
В статье Хохстера и Робертса [1] доказано, что если
char k = 0 и G d GL(V)—связная полупростая группа, то
S(V)G — алгебра Горенштейна. Для произвольной редуктив-
ной группы G алгебра S(V)G может и не быть алгеброй Го-
Горенштейна. Для конечной группы G известно явное описание
канонического модуля, а также доказано, что если G не со-
содержит отражений, то SA/)G горенштейнова тогда и только
тогда, когда G cz SL(V) (см. Стэнли [2]).
24. Следующее энергичное описание взаимоотношения тео-
теории инвариантов и элементарной геометрии можно найти в.
историческом очерке к гл. IX Бурбаки [3, стр. 536].
Теория инвариантов, «наконец (по крайней мере для
«классических групп»), выработала общие методы, позволяю-
позволяющие, в принципе, чисто автоматически описывать все алгеб-
алгебраические коварианты и все их «сизигии»; эта победа озна-
означала гибель как самостоятельного поля исследований сразу
двух теорий: самой классической теории инвариантов и «эле-
«элементарной» геометрии, ставшей практически простым слова-

Примечания переводчика 179
рем для теории инвариантов. Разумеется, нет никакой воз-
возможности предугадать a priori, какие из «бесконечного чис-
числа» теорем, которые можно таким образом при желании по-
получить, можно сформулировать на геометрическом языке
-столь же просто и изящно, как и классические результаты,
и здесь остается еще некоторая область, в которой с успехом
применяют свои силы многочисленные любители (геометрия
треугольника, тетраэдра, алгебраических кривых и поверх-
поверхностей маленьких степеней и т. д.). Но с точки зрения мате-
математика профессионала, эта жила уже истощена, поскольку
в ней нет больше проблем структуры, способных повлиять
на другие разделы математики; и эта глава теории групп и
инвариантов может считаться закрытой — до появления но-
новых идей (разумеется, это неизбежное падение геометрии
(евклидовой и проективной), для нас совершенно очевидное,
долгое время не замечалось современниками, и вплоть до
1900 г. ее продолжали считать одной из важных ветвей ма-
математики, о чем свидетельствует, например, место, которое
она занимает в Enzyklopadie, и такое же самое место она
занимала до сих пор в университетском преподавании)».
Подробности см. там же, стр. 534—536.
25. Здесь автор ссылается на свою книгу: Попп [1]. На
•самом деле об общих алгебраических свойствах этого кольца
известно, конечно, больше. Например, пользуясь тем, что
группа SLn(C) не имеет нетривиальных характеров, можно
установить, что S(n,r)—не только целозамкнутое, но даже
факториальное кольцо (по существу именно это и доказано
в п. 2.5.12). Другое важное свойство кольца S(n,r) —его го-
ренштейновость.
26. В качестве иллюстрации к общим соображениям, ука-
указанным в примечании 1, разберем с их помощью случаи B)
и C) (разумеется, классики использовали другие методы).
Начнем со случая C). Пусть V есть я-мерное линейное
пространство; зафиксировав в нем базис, мы можем отожде-
отождествить G = SL(V) с SLn(C), а пространство квадратичных
форм на V — с пространством Е симметрических (пУ^п)-
матриц. Речь идет об описании алгебры инвариантов для ли-
линейного действия группы G на £", определенного формулой
g(v) = gvgT, где g ^ SLn(C), v ^ £", а т означает транс-
транспонирование.
Согласно классической теореме о приведении квадратич-
квадратичной формы к сумме квадратов (см. Ленг [1, гл. XIV]), орби-
орбита любой матрицы из открытого в Е множества {и е
<= £|det v Ф 0} пересекает прямую С-1 (через 1 обозначена
■единичная (п X п)-матрица). С другой стороны, если v ф 0

180 Дополнение 3
и tieC-1, то, очевидно, Gv = {g e G\ggT= 1} = SOn(C)
(см. п. 1.4.3). Поскольку группа SOn(C) редуктивна, усло-
условие 2) из примечания 1 выполнено, и, значит (в обозначениях
примечания 1), Н = SOn(C). Найдем теперь подпростран-
подпространство А = {и <= E\H(v) = v}. Если и ^ А и м^= С-1, то су-
существует такое ^еС, что квадратичная форма и + Х-1 вы-
вырождена. Поскольку эта квадратичная форма отлична от 0
и лежит в Л, ее ядро в V должно быть ненулевым отличным
от V подпространством, инвариантным относительно SOn(C).
Однако в V нет такого подпространства, так как SOn(C)
действует на V неприводимо. Значит, Л=С-1. Найдем те-
теперь N(H)= N(A). Ясно, что g ^ N (С -\) тогда и только
тогда, когда ggT<= А,1 для некоторого 1,еС. Отсюда легка
вывести, что jgjV(C'I) тогда и только тогда, когда g = eft,
где либо liEESOn(C) и ея=1, egeC, либо АеОй(С), кф
^SOn(C) и гп = — 1, е е С. Поскольку (eft) (v) = e2vf отсюда
следует, что (в обозначениях примечания 1) W — это (цикличе-
(циклическая) группа умножений прямой С-1 на всевозможные корни
п-й степени из единицы. Следовательно, S(A)W=C [zn], где
z — координата на Л. По теореме Луны — Ричардсона алгебра
S(E)G порождена одним однородным полиномом степени п.
Поскольку полиномиальная функция A(y)=dety является,
очевидно, однородной степени п и инвариантной, мы полу-
получаем окончательно S(E)G = С [А].
Теперь покажем вкратце, как разбирается случай B)
(где п = г = 3), оставив проработку деталей читателю в ка-
качестве упражнения. Мы по-прежнему будем использовать
обозначения из примечания 1.
Мы рассматриваем действие группы G = SL3(C) на про-
пространстве Е кубических форм от трех переменных х\, х2, *з»
определенное линейными заменами переменных
(справа стоит произведение матрицы на столбец).
Будем считать, что jci, x2, х3 — координатные функции на
[Сг (относительно канонического базиса) и что действие G
на Е индуцировано соответствующим действием G на С3.
Если форма f = f(X\tx2, x3) инвариантна относительно элемен-
элемента g е G, то и ее гессиан Н (f) = det (дх дх ) инвариантен
относительно g. Значит, подмногообразие в V, заданное

Примечания переводчика 181'
уравнениями / = 0, #(f) = 0, тоже инвариантно относитель-
относительно g. Рассмотрим теперь в качестве / форму !а$ = иххх2хг-\-
+Р(*? + #2 + #з)> а» 6gC. Легко проверить, что для всех, а
и р, не являющихся решениями некоторой конечной системы
алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, ука-
указанное подмногообразие в V состоит из 9 прямых С @, ын, 1),
С(©\ 0, 1), СA, оД 0), где со=е2л//3, А = 0, 1, 2. (Если пе-
перейти от С3 к соответствующей проективной плоскости Р2,
считая х\, х2, Хз однородными координатами на ней, то фор-
ма /ар задает на Р2 кубическую кривую, неособую почти для
всех значений а и р, а указанные 9 прямых соответствуют
9 ее точкам перегиба; см. Мамфорд [1, стр. 193].) Таким об-
образом, для указанных значений аир любой элемент g из
стабилизатора Gfa^ формы /ар переводит указанное множе-
множество из 9 прямых в себя. Легко видеть, что все элементы из
группы G, переводящие это множество прямых в себя, обра-
образуют конечную группу R. Пусть L — поле, порожденное над Q
матричными элементами группы R. Поскольку R конечна,
в С, найдутся элементы у и б, алгебраически независимые
над L. Мы имеем Gf6czR\ «специализируя параметры у
и б», получаем отсюда включение Gfy6 cz Gfa^ для любых
а, Р ^ С, являющееся на самом деле равенством, если аир
алгебраически независимы над L. В частности, Gfy6 czGf01 f] Gf1(r
С другой стороны, имеется очевидное включение Gf &zd Gf0{ f\
(]Gfl0; следовательно, GfY5 = GfolflGflo. Группу Gfol f) Gfl0 лег-
легко вычислить непосредственно:
где е^ = е^ = е^ = е^^ =
Рассмотрим в Е двумерное подпространство Сх{х2х3 +
+'С (*? + х\ + xf). Поскольку dim Е = 10, dim G = 8, а
dim Gf 6 = 0, разнесение этого подпространства с помощью
группы G содержит непустое открытое в Е подмножество.
Ввиду редуктивности конечных групп отсюда (и из примеча-
примечаний 1 и 7) следует, что Н = Gf Легко проверить, что А
совпадает с указанным выше двумерным подпространством.
Как следует из п. 4.7.5 и 4.7.6, группа W содержит под-

182 Дополнение 3
группу порядка 24, порожденную отражениями и имеющую
степени 4 и 6. Можно проверить, что на самом деле группа W
с ней совпадает. Таким образом, алгебра инвариантов S(E)G
порождена двумя алгебраически независимыми однородны-
однородными инвариантами степеней 4 и 6.
Более подробную информацию о виде этих базисных ин-
инвариантов можно найти у Пуанкаре [1, стр. 819—900] (см.
также Гуревич [1]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ*
Адаме Дж.
[1*] Лекции по группам Ли. — М.: Наука, 1979.
Арнольд В. И.
[1*] Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических:
точек, группы Вейля Л*, Dk, Ek и лагранжевы особенности. —
Функциональный анализ, 1972, т. 6, № 4, с. 3—25.
Аронгольд (Aronhold S.)
[1] Ueber eine fundamental Begrtindung der Invariantentheorie, J. f. d.
reine u. angew. Math., 63 A862), 281—345.
Атья М., Макдональд И.
[1*] Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
Борель А.
[1] Линейные алгебраические группы. — М.: Мир, 1972.
Брискорн (Brieskorn E.)
[1*] Singular elements of semi-simple algebraic groups, Actes Congres^
Intern. Math., 1970, t. 2, p. 279—284, Paris, Gauthier-Villars, 1971.
Буль (Boole G.)
[1] Exposition of a general theory of linear transformations, parts I,
II, Cambridge Math. J., 111A843), 1—20, 106—119.
Бурбаки Н.
[1] Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Груп-
Группы, порожденные отражениями. Системы корней. — М.: Мир, 1972.
[2*] Алгебра, Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Нау-
Наука, 1965.
[3*] Алгебра. Модули, кольца, формы. — М.: Наука, 1966.
ван дер Варден (van der Waerden В. L.)
[lj Einfuhrung in die algebraische Geometrie, Grundl. d. math. Wiss
Bd. 51, Springer-Verlag, 1939.
Вебер (Weber H.)
[1] Lehrbuch der Algebra, Bd. II2, Braunschweig, Vieweg, 1899.
Вейль Г. (Weyl H.)
[1] Классические группы, их инварианты и представления. — М- ИЛ
1947.
[2] Theorie der Darstellung kontinuierlicher halbeinfacher Grupperr
durch lineare Transformationen, Ges. Abh. II, S. 543—647 Sprin-
Springer-Verlag, 1968.
Вейценбёк (Weitzenbock R.)
[1] Invariantentheorie, Groningen, Noordhoff, 1923.
Винберг Э. Б.
[1*] Группа Вейля градуированной алгебры Ли. — Известия АН СССР»
серия математическая, 1976, т. 40, № 3, с. 488—526.
(*) Звездочкой помечены работы, добавленные при Переводе.

184 Список литературы
Галль (v. Gall)
[1] Das vollstandige Formensystem der binaren Form 7ter Ordnung,
Math. Ann., 21 A888), 318—336.
[2] Das vollstandige Formensystem einer binaren Form achter Ordnung,
Math. Ann., 17A880), 31—51, 139—152, 456.
Гатти и Винибержи (Gatti V. and Viniberghi E.)
[1*] Spinors of 13-dimensional space, Advances in Math., 30A978),
137—155.
Гаусс (Gauss C. F.)
[1] Anzeige der Arbeit von L. A. Seeber. Gesammelte Werke, II,
p. 188—196.
Гейер (Geyer W. D.)
[1] Invarianten binaren Formen, Springer Lecture Notes, 412, 1974,
S. 36—69.
Гильберт-(Hilbert D.)
[1] Mathematische Probleme, Ges. Abh., Ill2, S. 290—329, Springer*
Verlag, 1970.
[2] Ober die Theorie der algebraischen Formen, Ges. Abh., II2, S. 199—
257, Springer-Verlag, 1970.
[3] Ober die vollen Invariantensysteme, Ges. Abh., II2, S. 287—344,
Springer-Verlag, 1970.
Гордан (Gordan P.)
[1] Beweis, dass jede Covariante und Invariante einer binaren Form
eine ganze Function mit numerischen Coefficienten einer endlichen
Anzahl soldier/ Formen ist, J. f. d. reine u. angew. Math., 69A868),
323—354. ;
[2] Vorlesungen uber Invariantentheorie (herausgegeben von G. Ker«
schensteiner), Bd. II, Leipzig, Teubner, 1887.
Грейс и Янг (Grace J. H. and Young A.)
[1] The algebra of invariants, Cambridge Univ. Press, 1903.
Троссханс (Grosshans F.)
[1*] Observable groups and Hilberfs fourteenth problem, Amer. J.
Math., XCV, № 1A973), 229—253.
Гурвиц (Hurwitz A.)
[1] Uber die Erzeugung der Invarianten durch Integration, Ges. Werke,
II, S. 546—564, Basel, Birkhauser, 1933.
Гуревич Г. Б.
[1*] Основы теории алгебраических инвариантов. — М.: Гостехиздат^
1948.
де Кончини, Прочези (De Concini С, Procesi С.)
[1] A characteristic free approach to invariant theory, Adv. in Math.,
21A976), 330—354.
Демазюр (Demazure M.)
[1] Demonstration de la conjecture de Mumford (d'apres W. Haboush),
Sem. Bourbaki, no. 462, 1974/75.
Дьёдонне (Dieudonne J. A.)
[1] La theorie des invariantes aux 19-e ciecle, Sem. Bourbaki, no. 395f
1970/71.
Дьёдонне Ж., Кэролл Дж. и Мамфорд Д.
[1] Геометрическая теория инвариантов. — М.: Мир, 1974.
дю Валь (du Val P.)
[1] Homographies, quaternions and rotations, Oxford, Clarendon Press,
1964.
Жордан (Jordan C.)
[1] Memoire sur les covarinats des formes binaires, Journal de Math.
C), 2A876), 177—233; C), 5A879), 34.5—378.

Список литератур
Зарисский О., Самюэль П.
[1*] Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963.
Игуза (Igusa J.)
[1] Arithmetic varieties of moduli of genus two, Ann. Math., 72A970)
612—649.
[2*] Geometry of absolutely admissible representations, In: Number
Theory, Algebraic Geometry and Commutative Algebra, p. 373-*
452, Tokyo, Kinokunija, 1973.
Картан А., Эйленберг С.
[1] Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960.
Кац В. Г., Попов В. Л., Винберг Э. Б.
[1*] Sur les groupes lineaires algebriques dont l'algebre des invariants
est libre, С R. Acad. Sc. Paris, 283A976), ser. A, 875—878.
Кемпф (Kempf G. R.)
[1*] Instability in invariant theory, Ann. of Math., 108 A978), 299—316:
Клейн Ф. (Klein F.)
[1] Элементарная математика с точки зрения высшей. Т. II. — М.—
Л.: ОНТИ, 1934.
[2] Uber binare Formen mit linearen Transformationen in sich selbst,
Ges. Werke, Bd. 2, S. 275—301, Springer-Verlag, 1922.
[3] Uber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Func-
tionen, Ges. Werke, Bd. 3, S. 90—135, Springer — Verlag, 1922.
[4] Ober Gordans Arbeiten betreffend die Probleme mit einer Grouppe
von 168 Substitutionen, Ges. Werke, Bd. 2, S. 426—438, Springer —
Verlag, 1922.
[5] Vergleichende Betrachtungen uber neuere geometrische Forschun-
gen, Ges. math. Abhandlungen, Bd. I, S. 460—498.
[6] Vorlesunger fiber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen
vom funften Grade, Leipzig, Teubner, 1884. " i
Кокстер (Coxeter H. S. M.)
[1] Introduction to geometry, Wiley» 1966.
[2] Regular complex polytopes, Cambridge University Press, 1974.
Констант (Kostant B.)
[1*] Lie group representations on polynomial rings, Amer. J. Math.,
85A963), 327—404.
Констант и Раллис (Kostant В. and Rallis S.)
[1*] Orbits and representations associated with symmetric spaces, Amen
J. Math., 93A971), 753—809.
Коэн (Cohen A. M.)
[1] Finite complex reflection groups, Ann. scient. Ёс. Norm. Sup. D)
A976), 379-436.
Кэли (Cayley A.)
[1] A second memoir upon quantics, Coll. Math. Papers, II, 250—275,
Cambridge University Press, 1889.
[2] A sixth memoir on quantics, Coll. works, v. II, p. 561—592.
Ленг С.
[1] Алгебра. —М.: Мир, 1968.
Луна (Luna D.)
fi*l Adherences d'orbite et invariants, Invent, math., 29A975) 231—238;
[2*] Slices etales, Bull. Soc. math. France, Mem. 33A973), SI—105.
Луна и Ричардсон (Luna D. and Richardson R. W.)
[1*1 A generalization of the Chevalley restriction theorem, Duke Math.
Journ., 46, № 3A979), 487—496.
Маллоу и Слоун (Mallows С. L., and Sloane N. J. A.)
[1*1 On the invariants of a linear group of order 336, Proc. Cambridge
Philos. Soc, 74A973), 435—440.

186 Список литературы
Мамфорд Д. (Mumford D.)
[1*] Алгебраическая геометрия I. Комплексные проективные многооб-
многообразия. — М.: Мир, 1979.
[2] Geometric invariant theory, Erg. d. Math., Bd. 34, Springer — Ver-
lag, 1965. [Русский перевод I ч.: В кн. Дьёдонне Ж., Кэролл Дж.,
Мамфорд Д. [1].]
Машке (Maschke H.)
[1] Aufstellung des vollen Formensystems einer quaternaren Gruppe
von 51840 linearen Substitutionen, Math. Ann., 33 A889), 317—344.
Мейер (Meyer W. Fr.)
[1] Bericht tiber den gegenwartigen Stand der Invariantentheorie, Jah-
resber. D. M. V., 1, 1892, S. 79—292.
[2] Invariantentheorie, Enc. d. Math. Wiss., IB2, Leipzig, B. G. Teub-
ner, 1898—1904.
.Милнор Дж.
[1*] Особые точки комплексных гиперповерхностей. — М.: Мир, 1971.
Полин (Molien Т.)
[1*] Ober die Invarianten der linearen Substitutionsgruppe, Sitzungsber.
Konig. Preuss. Akad. Wiss., 1897, S. 1152—1156.
Нагата (Nagata M.)
[1] Complete reducibility of rational representations of a matric group,
J. Math. Kyoto Univ., 1A961), 87—99.
[2] Invariants of a group in an affine ring, J. Math. Kyoto, Univ.,
3A964), 369—377.
[3] On the 14th problem of Hilbert, Amer. J. Math., 81A959), 766—
772.
[4*] Lectures on the Fourteenth Problem of Hilbert, Tata Inst. of Fund.
Research., Bombay, 1965.
Ыагата, Мията (Nagata M., Miyata T.)
' [1] Note on semi-reductive groups, J. Math. Kyoto Univ., 3A964),
379—382.
Нётер (Noether E.)
[1] Der Endlichkeitssatz der Invariantentheorie endlicher linearer Grup-
pen der Characteristik p, Nachr. Ges. d. Wiss., Gottingen, 1926,
S. 28—35.
[2] Korper und Systeme rationaler Functionen, Math. Ann., 76 A915) f
161 — 196.
Пикерт (Pickert G.)
[1] Analytische Geometrie. 2. Auflage, Akademie Verlag, 1955.
Попов А. М.
[1*] Неприводимые полупростые линейные группы Ли с конечными
стационарными подгруппами общего положения. — Функциональ-
Функциональный анализ, 1978, т. 12, № 2, с. 91—92.
[2*] Стационарные подгруппы общего положения для некоторых дей-
действий простых групп Ли. — Функциональный анализ, 1976, т. 10,
№ 3, с. 88—90.
[3*] Неприводимые простые линейные группы Ли с конечными стацио-
стационарными подгруппами общего положения. — Функциональный ана-
анализ, 1975, т. 9, № 1, с. 81—82.
Попов В. Л.
[1*] Критерий стабильности действия полупростой группы на факто-
риальном многообразии. — Известия АН СССР, серия математиче-
математическая, 1970, т. 34, с. 523—531.
[2*] О стабильности действия алгебраической группы на алгебраиче-
алгебраическом многообразии. — Известия АН СССР, серия математическая,
1972, т. 36, с. 371—385.

Список литературы 187
[3*] Представления со свободным модулем ковариантов. — Функцио-
Функциональный анализ, 1976, т. 10, № 3, с. 91—92.
[4*] К теореме Гильберта об инвариантах. — Доклады АН СССР, 1979
т. 249, № 3, 551—555.
Попп (Рорр Н.)
[1*] Moduli theory and classification theory of algebraic varieteies, Lec-
Lecture Notes in Math., v. 620, Springer — Verlag, 1977.
*Проблемы Гильберта. — M.: Наука, 1969.
Пуанкаре А.
[1*] Избранные труды, т. 2. — М.: Наука, 1972.
Раллис (Rallis S.)
[1*] New and old results in invariant theory with applications to arith-
arithmetic groups, In: Symmetric Spaces, p. 443—458, New York, Mar-
Marcel Dekker, 1972.
Риман (Riemann B.)
[1] Uber die Hypothesis, welche der Geometrie zu Grunde liegen, Ges.
Werke, S. 272—287.
Розенлихт (Rosenlicht M.)
[1] A remark on quotient spaces, An. Ac. Bras. Ciena, 35A963), 487—
489.
Розенфельд Б. А.
[1*] Многомерные пространства. — M.: Наука, 1966.
Сильвестр (Sylvester J. J..)
[1] A demonstration of the impossibility of the binary octavic proces-
processing any ground form of deg-order 10.4, Coll. Math. Papers, III,.
p. 509—529, Chelsea, 1973.
[2] Proof of the hitherto undemonstrated fundamental theorem of in-
invariants, Coll. Math. Papers, III, 117—126, Chealsea, 1973.
[3] Tables of the generating functions and ground forms of the binary
duodecimic, with some remarks, and the tables of the arreducible
syzygies of certain quantics, Coll. Math. Pap., Ill p. 489—508,.
Chealsea, 1973.
[4] Tables of the generating functions and ground forms of the binary
quantics of the first ten orders, Coll. Math. Papers, III, p. 283—
311, Chealsea, 1973.
Смоук (Smoke W.)
[1*1 Dimension and multiplicity of graded algebras, J. Algebra 21A972),.
149—173.
Стейнберг (Steinberg R.)
[1*] Conjugacy Classes in Algebraic Groups, Lecture Notes in Math.,.
v. 366, 1974.
Стэнли (Stanley R.)
[1] Hilbert functions of graded algebras, Adv. in Math., 28A978),
57—83.
[2*1 Invariants of finite groups and their applications to combinatorics,
Bull. Amer. Math. Soc, 1, № 3 A979), 475—511.
*Труды симпозиума по чистой и прикладной математике, XXVIII (Mathe-
(Mathematical developments arising from Hilbert problems, Amer. Math.
Soc, Providence, Rhode Island, 1976).
Уорнер (Warner G.)
[1*] Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie Groups I, Springer — Ver-
Verlag, Berlin —Heidelberg —New York, 1972.
Уотерхауз (Waterhouse W. C.)
[1] The discovery of the regular solids, Arch. Hist. Ex. Sci., 9, 1972,
p. 212—221.
Фритц (von Fritz K.)

188 Список литературы
[1] art. Theaitetos in: Pauly — Wiszowa, Real — Enzykl. d. class. Al-
terth., vol. V A, p. 1351—1372.
Хабоуш (Haboush W.)
[1] Reductive groups are geometrically reductive, Ann. of Math. 102
A975), 67-83.
Хаджиев Д.
[1] Некоторые вопросы теории векторных инвариантов. — Матем.
сборник, 1967, т. 72 A14), № 3, с. 420—435.
Хамермеш М.
[1] Теория групп и ее применение к физическим проблемам. — М.:
Мир, 1966.
Хесселинк (Hesselink W.)
[1*] Desingularizations of Varieties of Nullforms, Invent. Math. 55
A979), 141—163.
Хит (Heath T. L.)
[1] The thirteen books of Euclid's Elements, III2, New York, Dover,
1956.
Хохетер и Роберте (Hochster M. and Roberts J.)
[1] Rings of invariants of reductive groups acting on regular rings
are Cohen —Macaulay, Adv. in Math., 13A974), 125--175.
Хэмфри (Humphreys J. E.)
[1] Linear algebraic groups, Graduate Texts in Math., 21, Springer —
Verlag, 1975.
[2*] Hubert's fourteenth problem, Amer. Math. Monthly, 1978, 85,
p. 341—353.
Шварц Г. (Schwarz G. W.)
[1*] Representations of simple Lie groups with a free module of cova-
riants, Invent, math., 50A978), 1 — 12.
[2*] Representations of simpe Lie groups with regular rings of inva-
invariants, Invent, math., 49A978), 167—191.
Шварц X. (Schwartz H. A.)
[1] Ueber diejenigen Falle, in "welchen die Gaussische hypergeometri-
sche Reihe eine algebraische Function ihres vierten Element dars-
tellt, Journal f. d. reine u. angew. Math., 75A873), 292—335.
Шевалле (Chevalley C.)
[1] Invariants of finite groups generated by reflections, Amers. J.
Math., 67A955), 778—782.
[2*] Теория групп Ли, т. 1. —М.: ИЛ, 1948.
Шефард и Тодд (Shephard G. С. and Todd J. A.)
[1] Finite unitary reflection groups, Canad. J. Math., 6 A954), 274—
304.
Шешарди (Seshardi C. S.)
[1] On a theorem of Weitzenbock in invariant theory, J. Math. Kyoto
Univ., 1A961), 403—409.
Шиода (Shioda T.)
[1] On the graded ring of invariants of binary octavicts, Am. J. Math.,
89A967), 1022—1046.
Шур (Schur I.)
[1] Vorlezungen fiber Invariantentheorie, Grundl. d. Math. Wiss., Bd.
143, Springer-Verlag, 1968.
Элашвили А. Г.
[1*] Канонический вид и стационарные подалгебры точек общего по-
положения для простых линейных групп Ли. — Функциональный
анализ, 1972, т. 6, №1 , с. 51—62.
[2*] Стационарные подалгебры точек общего положения для неприво-
неприводимых линейных групп Ли. — Функциональный анализ, 1972, т. 6,
№ 2, с. 65—78.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраический тор 30
Аффинное алгебраическое многооб-
многообразие 15
Нётер теорема о нормализации 53
Нётерово кольцо 12
Нуль идеала 12
Бинарные
ПО
группы многогранников
Ведущий член-75
Тессе группа 122
Гессиан 72
Гильберта — Мамфорда теорема 54
Гильберта теорема о нулях 12
— цепях сизигий 54
— функция 53
Гиперплоскость отражения 90
Градуированная алгебра 33
Группа вещественная 96
-— диэдральная бинарная (группа
диэдра) 105
проективная 105
-•— икосаэдральная бинарная (груп-
(группа икосаэдра) 109
—- Кокстера 96
— линейная алгебраическая 17
— линейно редуктивная 25
— октаэдральная бинарная (груп-
(группа октаэдра) 108
— порожденная отражениями 90
— редуктщвная 25
— тетраэдральная бинарная (груп-
#£,. па тетраэдра) 107
/.Дискриминант 21
Зарисского топология 13
Зеркало отражения 90
Инвариант (группы) 12
— абсолютный 137
— относительный 137
Клебша — Гордана ряд 85
формула 65
Ковариант 64
Кокстера группа 96
Конечно порожденная алгебра 33
(Кон) комитант 23
Координатная алгебра 60
Кэли — Сильвестра теорема ,67
Мамфорда гипотеза 52
Мф многообразий 16
Образующие 33
Однородная функция 11
Однородный идеал 33
элемент 33, 38
Орбита 19
Основные теоремы теории инвариан-
инвариантов 24
Отражающая гиперплоскость 90
Отражение 89
Полиномиальные функции 11
Полная система ковариантов 74
Положительно определенное преоб-
преобразование 96
Полуинвариант 99
Порядок градуированной алгебры
45
Порядок пары (G, р) 47
Правильный многогранник 105
Представление 18
— неприводимое 27
— полиномиальное 18
— полупростое 27
— приводимое 27
— рациональное 18
Пуанкаре ряд 41
Рациональный характер 31
Робертса теорема 86
Символический метод 86
Симметрические полиномы 20
Стереографическая проекция 101
Топология Зарисского 13
Трансвектант 74
Унитарное преобразование 96
Шура лемма 27
Элементарные симметрические поли-
полиномы 20
Эрмита закон взаимности 67
Эрмитово преобразование 96
G-S-модуль 38
— градуированный 38

ОГЛАВЛЕНИЕ
От переводчика 5'
Предисловие 9
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ И
1.1. Полиномиальные функции, инварианты линейных групп . И
1.2. Немного алгебры 12
1.3. Топология Зарисского на пространстве V 13
1.4. Алгебраические группы 16
1.5. Примеры алгебр инвариантов 19
Примечания * 22
Цитируемая литература 24
Глава 2. АЛГЕБРА ИНВАРИАНТОВ 25
2.1. Редуктивные группы 25
2.2. Линейная редуктивность 27
2.3. Примеры 29-
2.4. Теорема конечности 33
2.5. Некоторые результаты о градуированных алгебрах ... 39"
Примечания 51
Цитируемая литература 55
Глава 3. ГРУППА SL2(k) 56-
3.1. Представления и координатная алгебра группы SL2(k) 5>
3.2. Теория представлений группы SL2(k) (char k = 0) . . . t>3-
3.3. Еще о теории инвариантов группы SL2(k) 65
3.4. Приложения ряда Пуанкаре 74
Примечания 8S
Цитируемая литература 86
Глава 4. КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ 87
4.1. Некоторые общие результаты 87
4.2. Теория инвариантов конечных групп, порожденных отра-
отражениями 90
4.3. Полуинварианты конечных групп, порожденных отраже-
отражениями 99
4.4. Бинарные группы многогранников 101
4.5. Теория инвариантов бинарных групп многогранников . .110
4.6. Теория инвариантов некоторых трехмерных групп. . .114
4.7. Теория инвариантов некоторых трехмерных групп, про-
продолжение 118
Примечания 123
Цитируемая литература 125

Список литературы 191
Дополнение 1. О теории инвариантов группы SL2. Т. Спрингер . . .126
Дополнение 2. Классическая теория инвариантов. Г. Попп 135
Дополнение 3. Примечания переводчика 153
■Список литературы 183
Предметный указатель 189

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания, о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим
присылать по адресу: 129820, Москва, И-110, ГСП,
1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
Т. Спрингер
ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
Научный редактор Г. Цукерман
Мл. научный редактор И. Герасимова
Художник А. Шипов
Художественный редактор В Шаповалов
Технический редактор И. Кренделева
Корректор Н. Гиря
ИБ № 2507
Сдано в набор 23.06.80. Подписано к печати 12.02.81.
Формат 60X907ie. Бумага типографская № 2. Гарни-
Гарнитура латинская. Печать высокая. Объем 6 бум. л.
Усл. печ. л. 12. Уч.-изд. л. 11,09. Изд. Na 1/0939.
Тираж 7200 экз. Зак. 762. Цена 1 р. 30 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, Москва, И-110, ГСП
1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие
ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского
объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой
Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
198052, г. Ленинград» vJI-52, Измайловский дроспект, 29.