кола
Абит
риента
АТ.Мордкович
Решаем
уравнения
«ШКОЛА-ПРЕСС»
Школа
ЦЙчись ~
А'*-—-
UJAHcVr*
АТ.Мордкович
Решаем
уравнения
Москва
«ШКОЛА-ПРЕСС»
1995
ББК 74262
М79
Мордковкч А. Г.
М79 Решаем уравнения.—М_‘ Школа-Пресс,
1995. —80 с. (Серия «ШАНС»—Школа Абитури-
ента: Научись Сам).
ISBN 5-88527-113-5
В пособии рассматриваются общие методы решения урав-
нений; вопросы, связанные с равносильностью уравнений,
потерей корней и приобретением посторонних корней при
решении уравнений; способы проверки корней. Подробно
решены более 50 уравнений различных классов—рациональ-
ных, иррациональных, показательных, логарифмических и
тригонометрических. Приведено 100 уравнений с ответами
для самостоятельного решения, к некоторым из них даны
указания.
Для учащихся, учителей математики.
4306020500-094
М С79(03) - 95
ISBN 5-85527-113-5
ББК 74362
О А. Г. Мордкович, 1995
С Издательство «Школа-Пресс»,1995
ВВЕДЕНИЕ
В школе, изучая математику, вы все время решали
уравнения. Для каждого типа уравнений вам предлагали
различные способы решения, и, наверное, у вас создалось
впечатление о наличии огромного числа всевозможных
приемов, которые надо специально запоминать. На са-
мом деле это не так, есть несколько общих идей, общих
методов—вот их-то и надо знать достаточно глубоко. В
этой книге и пойдет речь об общих методах решения
уравнений. Кроме того, мы обсудим принципиальные
вопросы, связанные с равносильностью уравнений, с
потерей корней и приобретением посторонних корней
при решении уравнений, поговорим о способах проверки
корней. В тексте даются советы, рекомендации, подробно
разобраны решения более 50 уравнений (от сравнительно
простых до достаточно сложных) различных классов—
рациональных, иррациональных, показательных, лога-
рифмических; отдельный параграф посвящен тригоно-
метрическим уравнениям. В качестве упражнений для
самостоятельной работы читателю предлагается 100
уравнений, ко всем даны ответы, к некоторым—указа-
ния.
Надеюсь, что книга будет интересной и полезной
широкому кругу читателей—учащимся старших клас-
сов, поступающим в вузы, студентам педвузов, учителям
математики.
Автор
3
§ 1. Общие'методы решения уравнений
В этом параграфе мы поговорим об общих идеях,
общих методах, на которых основано решение уравнений
в 7—11 классах. Этих общих методов три: метод разло-
жения на множители, метод введения новых перемен-
ных, функционально-графический метод; каждому из
них посвящен отдельный пункт. Тип уравнений, которые
решаются в этом параграфе для иллюстрации того или
иного метода, не существенен, моя задача—продемон-
стрировать вам суть метода, его значение, его силу, его
универсальность. Поэтому в данном параграфе вы встре-
титесь с уравнениями различных классов.
1.1. Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в следующем: пусть
нужно решить уравнение /(х) * 0 и пусть
Дх) =/1(х)-/2(х)-/3(х). Тогда уравнение /(х)«0 можно
заменить совокупностью более простых уравнений:
/Дх) = 0; /2(х) = /3(х) « 0. Найдя корни уравнений
этой совокупности и отобрав из них те, что принадлежат
области определения уравнения Дх) » 0, мы получим
корни уравнения Дх) « 0.
Пример 1. Решить уравнение
(Vx+3- 3) (2? + 6» + 5- l) lg(x-3) - 0.
Решение. Задача сводится к решению совокупности
трех уравнений:
Vx + 2=3; з*2*6**5»!; lg(x-3)-0.
Из первого уравнения находим: х + 2 = 9, хг = 7; из вто-
рого: х2 + 6х + 5 = 0, х2 = -1, х3 = -5; из третьего:
х-3 = 1, х4 = 4.
Область определения исходного уравнения задается
условиями х + 2 0 их ->3 > 0, откуда находим х > 3.
Значит,  из найдейных Четырех корней отбираем два: 7
и 4. Эго и будут корни исходного уравнения.
Ответ. 4; 7.
Замечание 1. Вы, конечно, понимаете, что при-
мер 1 был искусственным. На практике метод разложе-
4
ния на множители при решении уравнений встречается
в других ситуациях: дано уравнение Дх) = 0 и нужно
преобразовать выражение Дх) к виду /1(х)-/2(х)-/3(х), с
тем чтобы превратить заданное уравнение в совокупность
более простых уравнений. Но тогда полезно поговорить
о приемах такого преобразования, т.е. о приемах разло-
жения на множители. Этим мы сейчас и займемся.
В школе приемы разложения выражения Дх) на мно-
жители изучаются некомпактно: в 7 классе—один при-
ем, в 8—два, в 9—11 классах—еще один-два. В итоге
это сводится к следующему набору: вынесение общего
множителя за скобки, способ группировки, использова-
ние формул сокращенного умножения (типа
в2 - Ь2 = (в — Ь) (а + Ь)), разложение квадратного трех-
члена ох2 + Ьх + с = а(х - Xj) (х - х2), где xlt х2—корни
квадратного трехчлена. Иногда добавляется искусствен-
ный прием: представление одного из слагаемых в виде
некоторой суммы и, в частности, прибавление и вычи-
тание одного и того же выражения с целью последующей
перегруппировки слагаемых.
Пример!. Решить уравнение х3 — 7х + 6 = 0.
Решение. Представив слагаемое 7х в виде х + бх,
получим последовательно:
х3-х-6х +6=*0,
х(х2-1)-6(х-1) = 0,
х(х-1)(х+1)-6(х-1) = 0,
(х-1)(х(х+1) - 6) = 0,
(х - 1) (х2 + х - 6) = 0.
Из уравнения х — 1 = 0 находим х2 = 1. Из уравнения
х2 +х — 6 = 0 находим х2 = 2, х3 = -3.'
Ответ. 1; 2; -3.
Пример 3. Решить уравнениех4-8х + 63 = Q. , _
Решение. Прибавим и отнимем слагаемое Хбх2,
кроме того, представим слагаемое 63 в виде разности
64-1. Получим последовательно:
х4+16х2-16х2-8х + 64-1 = 0,
(х4+16х2 + 64) - (16х2 £& +1) = о, .
S
(х2 + 8)2 - (4x + I)2 » 0,
(x2 + 8 - 4r- 1) (x2 + 8 + 4r + 1) = 0,
(x2 - 4x + 7) (x2 + 4x + 9) = 0.
Теперь задача свелась к решению совокупности двух
квадратных уравнений: х2 - 4х + 7 = 0; х2 + 4х + 9 = О,
ни одно из которых не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.
Замечание!. Преобразования, подобные тому,
что мы сделали в примере 2, можно научиться выпол-
нять после нескольких тренировок. Сложнее выглядят
преобразования в примере 3. Возникает вопрос: чтобы
разложить многочлен р(х) на множители, всегда надо
что-то угадать, действовать вслепую, надеяться на оза-
рение или есть какие-то разумные рецепты? Оказывает-
ся, выход, пусть не на все случаи жизни, есть.
Теорема 1. Если х =xt — корень многочлена р(х), то
многочлен р(х) можно разложить на множители, одним
из которых будет х—xt
Доказательство. Пусть р(х) = ах4 + Ьх3 + сх 2 + dx +
+ т. Если Xj — корень многочлена, то p(xi) = 0, т. е.
ах* + &Xi + cxi + dri+m = O.
А теперь поступим так: напишем р(х) и pfa) друг
под другом и составим разность р(х) - р(хх):
_ р(х) = ах4 + bx3 + сх2 + dx + т
р(хх) = ax^ + bx^ +сх^ +dxx +т
Далее имеем (учитывая, что р(хг) = 0):
p(x)=e(x-x1)(x+x1)(x2+xf)+d(x-x1)(x2+x1x+x|)+
+c(x-xi)(x+x1)+rf(x-x1)=(x-x1)g(x).
Здесь q(x)—тот многочлен, который, останется после
вынесения за скобки общего множителя х—xv
Пример 4. Решить уравнение х3 + 2л2 — 5х + 2» 0.
Р е ш е н и е. Замечаем.чтоХ] = 1 —корень уравнения,
т.е. корень многочленар(х) =хг + 2г2 - 5х + 2. Восполь-
зуемся приемом, предложенным в ходе доказательства
теоремы Г.
6
p(x) =x3 + 2x2-5r + 2
~~ р(1) = 1 + 2- 5 + 2
р(х) - (х3 - 1) + 2(х2 - 1) - 5(х - 1).
Далее, р(г) = (х - 1)(х2+х + 1) + 2(х-1)(х+1)-
-5(х- 1) => (х- 1) (х2+х + 1 + 2х + 2 - 5) = (х- 1) х
х (х* + Зх — 2).
Нам удалось преобразовать заданное уравнение к виду
(х - 1)(хг + Зх — 2) = 0, т. е. к совокупности уравнений:
х -1« Ojx2 + Зх - 2 = 0. Из первого уравнения находим
Xi = 1 (это мы уже знали), из второго: х2;3 =——- .
_	, -3±Т17
Ответ: 1;-------.
'Замечание 3. Прием «вычитание столбиком» срав-
нительно несложен, но эффективнее другой прием: осоз-
нанное выделение множителя. В примере 4 надо осознанно
выделить множитель х—хР Вот как это выглядит.
х3 + 2х2-5х + 2 = (х3-х2) + (Зх2 - Зх) + (-2х + 2) =
=х2(х- 1) + Зх(х — 1) - 2(х — 1) = (х- 1) (х2 + Зх- 2).
Мы рядом сх3 расположили -х2, поскольку х3-х2 =
»х2(х-1); так как Зх2 » —х2 + Зх2, то появилось слага-
емое Зх2, рядом с ним расположили Зх, поскольку
Зх2 — Зх = Зх (х — 1); учли, что -5х = -Зх - 2.
Замечание 4. Обычно говорят: все это очень хо-
рошо, но ведь нужна «зацепка», т.е. угадывание первого
корня. Можно ли его угадать? Оказывается, можно, хотя
и не всегда. Об этом говорит следующая теорема.*
Теорема 2. Если Xj — целочисленный корень многочлена
р(х) с целочисленными коэффициентами, то хх — дели-
тель свободного члена многочлена р(х).
Доказательство. Пусть р(х) = ах~ +1»? + cx + d, где а,
b,c,d— целые числа; пустьрОД = 0, гдехг — целое число.
Тогда справедливо равенство' axf + Ьх| + схх + d = 0, от-
куда находим d=хх (-axj - Ьхх - с), т.е. d=x^k (где
k = -axj - icq — с), что как раз и- означает, что число d
делится на число xt без остатка (в частном получается
целое число к).
Теперь можно сформулировать следующий алгоритм.
7
Алгоритм использования метода разложения
на множители для решения уравнений ввда р(х) * О,
ще р(х) — многочлен с целочисленными
коэффициентами
1.	Выпишите все делители свободного члена многочле-
на р(х).
2.	Выберите из них то число xlf которое является
корнем многочлена р(х).
3.	Разложите р(х) на множители, осознанно выделяя
множитель (х — Xj) (или используя прием, реализованный
в доказательстве теоремы 1).
4.	Преобразовав уравнение р(х) = 0 к виду
(x-xj)g(x) =0, переходите к решению уравнения
= °-
Вы, конечно, понимаете, что если на втором шаге мы
«попадаем в тупик», т.е. корень xt подобрать не удается,
то алгоритм не работает. Например, он не сработает в
рассмотренном выше примере 3.
Пример 5. Решить уравнение
6х3 +13г2-19с-12 = 0.
Решение. 1. Выпишем все делители свободного
члена, т.е. делители числа —12: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6;
±12.
2.	Будем последовательно вычислять р(а^, подстав-
ляя вместо аг выписанные значения (а, = 1, а? = —1,
аз = 2,а4 = -24
р(1) = 6 + 13 - 19 - 12 и 0;
р(-1) = -6 + 13 + 19 - 12 # 0;
р(2) = 48 + 52 - 38 - 12 * 0;
р(-2) = -48+ 52 + 38 - 12 # 0;
р(3) = 162 + 117 - 57 - 12 # 0;
р(-3) - -162 + 117 + 57 - 12 = 0.
Итак, число -3 обращает многочлен р(х) в нуль, т. е.
-хх = -3 — корень заданного уравнения.
3.	Разложим р(х) на множители, выделяя множитель
х + 3:
p(x)=6r3+13r2-19c-12=6x3+18r2-5c2-15c-4r-12=
= 6х2 (х+3) - 5х (х+3) - 4 (х+3) - (х+3)(бх2—5с—4).
S
4.	Заданное уравнение преобразуется к виду (х+3) х
х(6х2-5х—4) = 0, и далее, х+3«0; 6г2—5х-4 = 0. Из
первого уравнения находим х2 = —3, из второго—
г --1- г
Х2~	2 ’ Хз 3 '
Ответ: -3; j.
Замечание 5. Метод разложения на множители
особенно активно используется для двух классов урав-
нений: рациональных и тригонометрических. Рацио-
нальные уравнения в большинстве случаев преобразуют-
ся к виду р(х) - 0, где р(х) — многочлен, значит, некото-
рые представления об их решении вы можете почерпнуть
из приведенных выше примеров. Что касается тригоно-
метрических уравнений, то им мы отводим целиком
третий параграф.
Завершим этот пункт примером показательного урав-
нения, решаемого методом разложения на множители.
П р и м е р 6. Решить уравнение
61+л + 51+2* = 30 + 150*.
Решение. Имеем последовательно:
6-6* + 25*-5 - 30 - 150* = 0,
(6-6* - 150*) + (25*-5 - 30) = 0,
6* (6 - 25*) + 5(25* - 6) = 0,
(6 - 25*)(6* - 5) = 0.
Теперь нам предстоит решить совокупность двух
уравнений: 25* = 6; 6* = 5. Имеем 25х = 25log256, т. е.
хг = l°g256; & ~ 6,og65, т.е. х2 - 1о^5.
Ответ: log256; 1о^5.
1.2. Метод введения новых переменных
Суть метода крайне проста: если уравнение Дх) = О
удалось преобразовать к виду р (g(x)) — 0, то нужно ввести
новую переменную и = g(x), решить уравнение р(и) = О,
а затем рассмотреть совокупность уравнений g(x) = иг;
g(x) - и2, •••, g(x) = и„, где «р и2,..., ип — корни уравнения
р(и) = 0.
Умение удачно ввести новую переменную приходит
9
не сразу. Удачный выбор новой переменной делает струк-
туру уравнения более прозрачной. Учитесь при решении
уравнения не торопиться начинать преобразования, сна-
чала посмотрите, нельзя ли записать уравнение проще»
введя новую переменную.
Новая переменная в уравнениях иногда действитель-
но очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощу-
щается». А иногда ее можно выявить лишь в процессе
преобразований. В некоторых случаях полезно ввести не
одну, а две новых переменных. Приведем в подтвержде-
ние сказанному ряд примеров.
Пример 7. Решить уравнение
Vx2—х + 2 + Vx2—х + 7 = V2x2 —2х + 21.
Р е ш е в и е. Положив у=х2 - х, получим
Vy + 2 + Vy + 7 = V2y + 21.
Далее имеем последовательно:
y + 2+y + 7 + 2V(y + 2)(y + 7) = 2у + 21,
Vy2 + 9y+14 »6,
у2 + 9у + 14 = 36,
/ + 9у-22 = 0,
Ух = 2; у2 = -11.
Проверка найденных значений подстановкой в урав-
нение Vy + 2 + Vy + 7 = V2y + 21 показывает, что
У! = 2 удовлетворяет этому уравнению, ау2 « —11 — нет,
это посторонний корень. Возвращаясь к переменной х,
получаем уравнение х2 - х — 2, откуда находим хх = 2,
Xi = -1.
Ответ: 2; -1.
Замечание 6. Если вы ввели новую переменную,
то решите полученное уравнение относительно новой
переменной, как говорят, до самого конца, т.е. до про-
верки корней (в случае, если это необходимо), и только
потом возвращайтесь к исходной переменной.
Замечание 7. Вот уже в двух примерах из рас-
смотренных семи (в примерах! и 7) нам пришлось
говорить о проверке корней, о посторонних корнях. Эго
10
довольно тонкие и деликатные моменты, связанные с
решением уравнений, их обсуждению мы посвятим це-
ликом весь следующий параграф.
3х*1 + 1	4
Пример 8. Решить уравнение—-— = -£=.
Решение.ТаккакЭ*+1 = 3-Э*, а Э*“2 = то урав-
нение можно преобразовать к виду 3'^.+ 1 = 4?.
7 зг
Введем новую переменную 3* —у. Получим последо-
вательно:
Зу +136
7 у •
Зу2+у-252 = 0,
Возвращаясь к исходной переменной, получаем
3* = 9, откуда х = 2, или 3* = —у, что не имеет решений.
Ответ: 2.
Пример 9. Решить уравнение cos2x — 5 sinx — 3 = 0.
Решение. Есть смысл ввести новую переменную
sinx =у, понимая, что от cos2x до sinx «добраться» срав-
нительно несложно:
cos2x — cos2x - sin2x = (1 - sin2x) - sin2x = 1 - ly2,.
В итоге получаем рациональнбе уравнение
1 - 2J2 - 5у — 3 = 0, откуда имеем: 2J2 + 5у + 2 = 0,
уг = —2; у2 в —. Возвращаясь к исходной переменной,
получаем уравнение sinx = — | (второе уравнение
sinx = -2 не имеет решений), откуда х = (- 1)л+1 + лп.
О т в ет: (—1)и+1 + лп.
Пример 10. Решить уравнение
IgV + logojlQx - 7 = 0.
Решение. Подготовимся к введению новой пере-
менной, для чего используем свойства логарифма:
IgV = (Igx3)2 = (31gx)2 = 91g 2х;
11
logojlttr » —IglQr = - (Igx + 1g 10) « -Igx - 1.
Перепишем уравнение в виде 91g2!- Igx-1—7«О и
введем новую переменную Igx «у. Получим
9у*—у —8 = 0, откуда ух-1, у2 = ”9.Осталосьрешить
два уравнения: Igx - 1, откуда находим хх “ 10, и
lgx= -|s откуда находим х2 ж Ю~ 7.
Ответ:ДО; 10” I.
Замечание 8. Мы вместе .с вами просмотрели
сравнительно несложную подборку, включающую в себя
иррациональное, показательное, тригонометрическое,
логарифмическое уравнения. Как видите, тип уравнения
не так уж важен, идея решения по сути одна и та же.
Теперь я хочу предложить вам еще несколько уравнений,
где применение метода введения новых переменных не
так очевидно.
П р и м е р 11. Решить уравнение
Зх3-х2 - 11х-6«0.
Решение. Алгоритм, о котором мы говорили в
пункте 1.1, здесь не проходит: из делителей числа 6
(±1, ±2, ±3, ±б) ни один не является корнем уравнения.
Сделаем так: умножим все члены уравнения на 9—это
позволит переписать старший член уравнения в виде
27Х3, т.е. (Зх)3,—и введем новую переменную у« Зх.
Имеем:
27г3-9г2-99г-54 = О, или у3 -у2 - ЗЗу-54 = 0.
1.	Выпишем делители свободного члена: ±1; ±2;
±3; ±6; ±9; ±18; ±27; ±54.
2.	Подставляя эти числа по очереди в уравнение, нахо-
дим ух = -2—корень уравнения (-8 — 4 + 66 - 54 « 0).
3.	Разложим многочлен р(у)=у3 — у2 — ЗЗу —54 на
множители, выделяя множитель у + 2:
у3 + 2у2-Зу2-6у-27у-54 =
=у2 (у+2) - Зу (у+2) 27 (у+2) - (у+2)(у2-Зу-27).
4.	Из уравнения у2 — Зу — 27 — 0 находим у2.3«
3±Vu7	3±3713	•
3=... = —   ' .	,, ,
2	2
12
Вернемся к исходной переменной* = :
„ У1	2. • _у1;з 1±ЛТ
х1“ 3	з’Х2;3“ 3. з
_	2 l±Vi3
Ответ: —.
3*2
Пример 12. Решить уравнение
2Х4 - 7л3 + 9х* - 7х + 2 = 0.
Решение. Разделив обе части уравнения почленно
на х2, получим 2г2 - 7х + 9 - ^ + -^ = 0, и далее имеем
2(л2 + ^)-7(т + j) + 9«0. Положим x + j=y, тогда
+ + т.е. х2=у2 - 2. Теперь наше урав-
нение можно переписать в виде 2(у* — 2) — 7у + 9 = 0,
т. е. 2у2-7у + 5 = 0,у1»1;у2 = |.
Остается решить совокупность уравнений: х + j = 1;
х + -«у, откуда получаем: Xj = 2; х2 = т.
Ответ: 2;
Пример 13. Решить уравнениех2, + 	% = 40.
Решение. Заметив, что левая часть уравнения име-
ет структуру Л2 + В2, где А =х, В = ^£_, дополним ее
до полного квадрата, добавив и отняв ЗАВ, т.е.
(9+xJ +9+* . U
_2
Вот теперь новая переменная «проявилась»:	=у,
и мы получаем квадратное уравнение у2 + 18у — 40 = О
с корнями « 2, у2 » —20. Остается'решить совокуп-
ность двух уравнений:
13
5^-2:571--“.
откуда находим х1; 2 « 1 ± V19.
Ответ: 1± V19.
Пример 14. Решить уравнение
2 (х2 + х + I)2 - 7 (г - I)2 - 13 (г3 - 1).
Решение. Заметив, что х3 — 1«(х — IWx2 +х +1),
рискнем ввести две новые переменные: Jr+x+l = a,
х — 1 = Ь. Тогда уравнение примет вид 2а2 — ТЬ2 «
 13аЬ, или 2а2 — 13вЬ - ТЬ2 = 0. Разложим левую часть
уравнения на множители:
2e2 + ab - 14в& - 7&2 = 0,
a(2a + b) -7Ь(2а + Ь) = 0,
(в—.76) (2а + &) = 0,
а —7Ь«0; 2а+ 6 = 0. .
Возвращаясь к исходной переменной, получаем сово-
купность двух уравнений: (х2 + х + 1) — 7 (х — 1) = 0;
2(х2+х+1) + (х—1) = 0, откуда получаем хх«2;
х2 = 4;х3 =-1;х4=
Ответ: 2; 4; —1; — j.
Замечание 9. Можно ли было при решении этого
уравнения обойтись одной новой переменной? Да, если
догадаться почленно разделить обе части уравнения
на (х2+х+1)2. Тогда данное уравнение примет вид
2-7 I 2_ 1з.	j— и новая переменная
* у = у преобразует уравнение в квадратное относи-
тельно у: Ту* + 13у -2 — 0.
Замечание 10. Вот уже второй раз нам приходится
делить обе части уравнения на выражение р(х), содержа-
щее переменную х. Так было в примере 12 (делили на
х2), так было в замечании 9 (делили на (х2 +х+ I)2).
Вообще говоря, такое деление может привести к потере
корней (об этом мы тоже поговорим в теоретическом
14

§ 2), если р(х) при каких-то значениях х обращается в
нуль. У нас все было, как любят говорить математики,
корректно: в примере 12 значениех - О исходному урав-
нению не удовлетворяет, а потому деление на р(х) = х2
не привело к потере корней. В замечании 9
р(х) = (х2 +х + 1) 2 вообще ни при каких значенияхх не
обращается в нуль.
Пример 15. Решить уравнение
V2x + 3 + Vx+T = Зх + 2V2x2 + 5x + 3 + 16.
Решение. Заметив, что Vlr2 + 5х + 3 =
= V2x + 3) (х + 1) = V2x + 3 • Vx + 1, введем, как и в пре-
дыдущем уравнении. две новые переменные:
V2x + 3 ж a, Vx+ 1 = b. Тогда уравнение примет вид
а+Ь = Зх — 16+2аЬ, и осталось догадаться, что сделать
с Зх, как выразить Зх через а и Ъ. Замечаем, что
а2 = 2х + 3, Ъ2 = х + 1. Значит, а2 + Ь2 = Зх + 4, т. е.
Зх = в2 + Ъ2 — 4, и уравнение а + Ь = Зх-16 + 2аЬ мож-
но переписать в виде а + Ь = (а2 + Ь2 — 4) — 16 + 2аЬ,
или
(а + Ь)2 —(а + Ь) —20 = 0.
Введем еще одну новую переменную у = а + Ь. Полу-
чим у2 —у — 20 = 0, откуда уг — 5, у2 = -4, что равно-
сильно следующей совокупности уравнений: а + Ь = 5:
а+Ь = —4, или v2x+3+Vx+l - 5; v2x+3+Vx+l = -4.
Второе уравнение не имеет корней, а из первого находим
х=3.
Ответ: 3.
Пример 16. Решить уравнение
^(29-х) 2 + ^(х-1)2 « 7 + V'(29-x)(x-1).
Решение. Введем новые переменные ^29—х =у,
^х — 1 = z. Тогда заданное уравнение можно будет пе-
реписать в виде у2—yz + z2 = 7. Заметим, что
у3 » 29 — х, z3 =х — 1, значит,у3 + z? = 28. Таким обра-
зом, относительно новых переменных у, z мы получили
следующую систему'двух уравнений:
15
Применим метод деления: разделим левую часть вто-
рого уравнения на левую часть первого, а правую— на
правую (потери решений, не происходит, так как правые
части обоих уравнений отличны от нуля). Получим
- j >т- е-У + ? = 4. Далее решаем систему урав-
нений
(y + z«4
j^-yz + z2»?,
например, методом подстановки (z = 4 -у):
>2-У(4-у) + (4-у)2 = 7,
Зу2-1^г + 9»0,
у2-4у + Зв0,
У1-3	1у2«1
Zj = 1; Zj = 3.
Возвращаясь к переменной х, получим
|29 -х - 3 [ |29 -х = 1
fc=T = 1 ; |	= 3 .
Из первой системы находим Xj = 2, из второй—
х2 = 28.
Ответ. 2; 28.
1.3. Функционально-графический метод
Идея графического метода решения уравнения
Дх) = g(x) проста и понятна: нужно построить графики
функций у =Дх), у = g(x) и найти точки их пересечения;
абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения.
Графический'метод позволяет, определить число, корней
уравнения; найти точные значения дорней (хоть и редко,
но это все-такм удается), угадать, значение : корня.
'• Вернемся еще раз к уравнению х4 — 8г+63 « 0. Вы-
ше, в примере 3, мы решили .это уравнение методом
разложения на множители, что потребовало от нас зна-
16
читальных усилий. Если у человека сформированы гра-
фические представления, он не будет пытаться делать
преобразования, а сделает графическую прикидку. Он
перепишет уравнение в виде х4 = 8г - 63, построит гра-
фики функций у — х4, у = 8х — 63 (хотя бы схематиче-
ски) и убедится в том, что эти графики не пересекаются
(рис. 1), т. е. уравнение не имеет корней. Сравните это
рассуждение с приведенным выше. Что вам нравится
больше?
Рис. 1
А вот очень яркая разновидность графического метода
(рис. 2): если одна из функций Дх),#(х) убывает (сплош-
ная кривая), а другая возрастает (пунктирная кривая) на
промежутке X, то на этом промежутке уравнение
Дх) = g(x) либо имеет только один корень (см. рис. 2, а),
либо вообще не имеет корней (см. рис. 2, б). В подобных
случаях даже графики функций Дх) и g(x) чертить не
надо: если мы установили разный характер монотонно-
сти функций у = Дх), у = g(x) и каким-то образом подо-
брали (или даже угадали) один корень уравнения
Дх)=£(х), то уравнение полностью решено—это един-
ственный корень.
Есть еще несколько свойств функций, которые могут
быть полезны при решении уравнений (потому-то эта
совокупность приемов охватывается термином «функ-
ционально-графический метод», а не «графический ме-
тод»). Если, например, наибольшее значение функции
Дх) на промежутке X равно А и наименьшее значение
функции g(x) на X тоже равно А, то уравнение
Дх) =#(х) равносильно на X системе уравнений
2 Заказ 57200
17
(Ях)-Л
fa)-Л.
Это утверждение можно сформулировать следующим
образом:
“Лшш =А тоДх) ««(х) *	.
. Решение. Графики функций у» Vx иу = |х — 2|
18
пересекаются в двух точках: (1; 1) и (4; 2) (рис.3).
Значит, уравнение имеет два корня: Xj « 1 и х2  4.
Ответ: 1; 4.
Пример 18. Решить уравнение -j-^j-x2 — 4х +5.
Решение. Графики функций у =	иу=х2 —
-4х + 5 пересекаются в двух точках: (0; 5) и (2; 1)
(рис. 4). Значит, уравнение имеет два корня: хг = О,
х2 “ 2.
Ответ: 0; 2.
Рис. 4
Пример 19. Решить уравнение х5 + 5х — 42 = 0.
Решение. По виду это уравнение относится к числу
тех, о которых мы говорили в начале параграфа. Дейст-
вуя, как и раньше, можно подобрать целочисленный
корень хг  2 и разложить многочлен х5 + 5г - 42 на
множители, выделив множитель х-2:х5 + 5х-42 =
= (х — 2) <?(х). Но вот с уравнением четвертой степени
<?(х) = 0 у нас ничего не получится.
Оказывается, значением xt ™ 2 множество корней ис-
черпывается. Если переписать уравнение в виде
х5«42-Sx, то, заметив, что функция у —Xs возрастает,
а функция у = 42 — Sx убывает, можно сделать вывод о
единственности корня.
Ответ: 2.
Пример 20. Решить уравнение |jj + j = 2*.
19
Решение. Нетрудно заметить,'что х=1 —корень
уравнения. Так как, далее, функция у =	+ у убывает, •
а функция у = 2* возрастает, то других корней это урав-
нение не имеет.
Ответ: 1.
Пример 21. Решить уравнение 5* + 12*= 13*.
Решение. Нетрудно заметить, что х = 2—корень
уравнения. Но рассуждать, как в предыдущем примерен
мы не можем: все имеющиеся функции 5*, 12*, 13*
имеют одинаковый характер монотонности—возраста-
ют. Поступим так: разделим обе части уравнения по-
+1 “ 1т71 • Вот теперь
12 I	I12 у
все в порядке: функция у = 1уу| + 1 убывает, функция
(13\х
у — 1—1 возрастает, значит, можно сделать вывод о
единственности найденного корня.
Ответ: 2.
Пример 22. Решить уравнение
V2 + sin24x = sinx - cosx.
Решение. Пусть Дх) = V2 + sin24r , тогда Дх) i
£ V2, так как sin2 4х & 0. Пусть g(x) — sinx - cosx. Тогда
g(x) = V2 ^^sinx -^—cosxj =
= V2 (sinx cos^ — sin cosx) =
= V2 sin (x -	.
Замечаем, что #(x) s V2 , так как sin (x — si.
Итак,	» V2, значит, уравнение Дх) « g(x)
сводится к системе уравнений
(ЛХ)«^2
|g(x) = V2 ,
т. е. к системе
20
Из первого уравнения системы получим: sin4x = 0,
лп
4х^лп, х = из второго уравнения получим:
sin (х-^ =1, х-^ = у + 2л£, х — ^- + 2лк. Серия
х = — + 2л£ входит в серию х = ™, значит,
хж 2лк— решение системы, а потому и заданного
уравнения.
Ответ: ^ + 2лЛ.
Пример 23. Решить уравнение
log^j _ 4г + бЗ + log3(x2 - 4х + 6) = 6х -х2 - 7.
Решение. Имеем х2 - 4г + б = (х — 2)2 + 2. Во вся-
ком случае (х — 2)2 + 2 > 1, а это значит, что у данных
логарифмов и основание, и логарифмируемое число
больше 1. Тогда оба логарифма положительны (если
а > 1; Ь > 1, то log^b > 0). Далее,
l0&2 " <» + б3 = log^jt2 — 4» + 6) *
значит, структура левой части уравнения такова: А + ±,
где А > 0. Но сумма двух взаимно обратных положи-
тельных чисел всегда не меньше 2, т. е. А + ^ > 2, причем
знак равенства достигается только при А = 1 (в самом
деле, Л + — - 2 «--л 2:0).
Итак, если левую часть заданного уравнения обозначить
Дх), то /наш,ж 2 и достигается это равенство при условии
log3(x2 - 4х + 6) = 1, т.е. х2 — 4х + 6 = 3, х2-4х + 3 = 0.
Рассмотрим правую часть заданного уравнения, обо-
значим ее g(x). Имеем: g(x) = 6r-x2-7 = 2-x2 + 6r-
- 9 = 2 - (х - З)2. Ясно, что g(x) S 2, т.е. = 2 и
достигается это равенство при условии (х - 3) - 0.
Итак, для уравнения Дх)=£(х) имеем =
-= ^наиб - 2, значит, уравнение равносильно системе
уравнений
[Дх) = 2	[х2-4г+3 = 0	|х1 = 1,х2 = 3
jg(x) = 2, или (х-3)2 = 0, т.е. х-3
21
Решением системы будет общее значение х « 3, это
единственный корень заданного уравнения.
Ответ: 3.
А теперь рассмотрим несколько более сложных при-
меров на применение функционально-графического ме-
тода, в их числе будут и несколько уравнений с пара-
метрами.
Пример 24. Решить уравнение
(i)' “+ (Vx - 4)2+Н-2Ц^1+х. (1)
Решение. Выполнив преобразования, получим:
(г)	+ у-= ^-7^-. Замечаем, что это уравнение имеет
корень 6. Докажем, что других корней нет.
Функцияу =141	+ убывает. Если окажется, что
функция у » _ з возрастает в области определения
заданного уравнения, т.е. на луче [5j, + «), то можно
будет сделать вывод о том, что х “ б—единственный
корень уравнения (1). Найдем производную функции
<	2(х-1Хх-3)-(«-1)Д_(ж-1)(«-5)
J *-3 ’ ’	(Х-З)2	(*-3)а
Если х s 5|, то у ’ > 0, т. е. функция у «возра-
стает на луче [5|, + «), что и требовалось установить.
Ответ: 6.
При мер 25. Решить уравнение
Зх4- 16с3 + 18г2 + 36«V72 + 6x-x2 .
Решение. 1. Рассмотрим функцию /(х) = Зх4 —
- 16г3 + 18г2 + 36. Имеем: Д(х) « 12х3 - 48х2 + 36х =
= 12х(х2-4х + 3) = 12х(х- 1)(х-3). Знаки производ-
ной меняются так, как показано на рис. 5. Значит, х *
= 0 —точка минимума, у„и=ДО) “ 36; х « 1—точка
максимума, Ут,,=Д1) » 41; х = 3 —точка минимума,
у_:. =ДЗ) = 9. График функции Дх) схематично изобра-
жен на рис. 6. Замечаем, что = 9.
22
2. Рассмотрим функцию g(x) = V72 + 6T-X2 . Преоб-
разуем ее: g(x) » V 81-9 + бх-х2 = V81 - (х — З)2 .
Замечаем, что я^^к = V81 = 9.
3. Так как	= g..n_< = 9, то заданное уравнение
сводится к системе уравнений
17Ю-9
[?(х) = 9.
Оба уравнения этой системы, как мы видели выше,
обращаются в верные равенства при х = 3. Это единст-
венный корень уравнения.
Ответ: 3.
Пример 26. Решить уравнение
3 + 2сов(х-у) _ V3 + 2x_x2.cos2^2 +	.
2	2	2
Решение. Выполним некоторые преобразования:
^ + cos2^^ —sin2i^ =
2	2	2
- Уз + 2г-х2 -cos2^* + 2sin2i^ cos2^-=A
2	2	2
Положим cos2 Тогда sin2 «1 — f, и урав-
2	2
нение примет вид: у + f — (1 — 0 = V3 + 2х—х2 • t +
23
+ 2(1- t)-t, и далее: V3 + 2x-x2 = 2г + ^, где
0<f£l. Так как V3 + 2X-X2 = V4-(l-x)2 s 2, а
2Г+	2 (см. пример 23), то получаем систему
V4-(l-x)2 =2
* + £»2
откуда находим
Гх = 1 х«1
|2t = 1, т.е. 2cos2iy^« 1.
Решив эту систему, получим
х= 1
y«l + f + jwi.
Ответ: (1; 1 + ^ + яи).
При мер 27. Решить уравнение
(sfa2x+^)2+ (“s2x+^)2 = 12+isi"J’-
Решение. Имеем последовательно:
sintr + 2+ -~т- + cos'tc + 2 + —Ц- = 12 + ^siny,
SU1 X	СО8Л .	2
sin*r + cos<r +	= 8 +1 siny,
, sinVcostx	2
(sin2x+cos2x)2- 2sin2XCOS2X + <^ + со»^>-2«п^со.2ж e
sin4x COS4X
«8 + ^siny.
Положив t = sin2x cos2x, перепишем уравнение в виде
1 - 2t +	- 8 +1 siny,
т.е.	4f-|-2/ = 7 + |siny.	(2)
Рассмотрим функцию z = -^ — 2—2t. Здесь t»
= sin2x cos2x, t. e. f =-^ sin22r. Значит, 0 < ts	Найдем
24
наименьшее значение функции z = -у — у — 2/ на проме-
жутке (О, 7]. Имеем z' = — 4 + 4 — = ~'2 "л ~ * •
Я^но, что при	выполняется неравенство
-2 + 21 — 2Z2 < 0 (очевидно, что уже — 2 + 21 < 0), т. е.
z' < 0, а потому функция z(f) убывает на (0, у]. Значит,
zhmm =z (4} “ V» т е. левая часть уравнения (2) удов-
летворяет неравенству -у - 2 - 21 & 7,5. В то же время
правая часть уравнения (2) удовлетворяет неравенству
7 + у siny s 7,5. Значит, каждая из частей уравнения (2)
должна быть равна 7,5 т.е. мы приходим к системе
уравнений
i-f-a-7,5
7 +| siny =73 ,
откуда
t = 1	sin2* cos2x = 7
.	4	4
siny = 1, или у — у + 2лп
Из уравнения sin 2х cos 2х — у получаем: sin 2 2х — 1,
2х = у + лЛ, Х = у + у.
В итоге находим следующие решения заданного уравнения:
fXe« + 2*
4	2
у = 7 + 2лл.
X
Ответ. (— +	; у + 2яи) .
Пример 28. Решить уравнение 2+ у = V2x- 1.
Решение. Построим графики функций у = 7^+7 и
у= ^2х— 1 (рис. 7). Они имеют общую точку (1; 1).
Если у них общая касательная к точке (1; 1), то других
точек пересечения не будет.
25
Рис. 7
Положим Дх) = 4с2 + 7. ТогдаДх) « £ ,/(1) = |. По-
лхжилл g(x) = ^2х-1. Тогда g'(x) = —==., g’(l) »|.
Угловой коэффициент касательной и для одной, и
для другой кривой в точке (1; 1) один и тот же:
значит, касательная общая и других точек пересечения
у графиков нет (один график лежит выше этой касатель-
ной, другой—ниже).
Ответ: 1.
Пример 29. Сколько корней имеет уравнение
| | х | - 21 = а при различных значениях параметра а?
26
Решение. Построим !рафик функции
Уж I IхI ~2| = о в три этапа: построим график фун-
кции у=х - 2 (рис. 8, а), затем у = Гх | - 2 (рис. 8, б)
и, наконец, у » | | х | - 21 (рис. 8, в).
Прямая у « а не пересекает построенный !рафик при
а < 0, имеет с ним 2 точки пересечения при а — 0 (это
точки хг = 2, х2 « -2), имеет с ним 4 точки пересечения
при 0 < а < 2 (рис. 9), 3 точки пересечения, если в = 2,
и, наконец, 2 точки пересечения, если а > 2 (рис 10).
Ответ: если а<0, то корней нет, если а-0 или
а > 2, то 2 корня; если а = 2, то 3 корня; если
О < а < 2, то 4 корня.
П р и м е р 30. Решить уравнение
|х- 11 + |х-31 =а.
Решение Построим !рафик функции
у « |х-1| + |х-3|. Еслих< 1, тоу=1-х + 3- х =
= 4 —2г; если lsx<3, то у=х-1 + 3-х = 2; если
х^З, тоу = х — 1+х —3 = 2х-4 (рис 11).
Дальнейшие рассуждения, как и в предыдущем при-
мере, зависят от взаимного расположения построенного
графика (ломаной) и прямой у = а. Если а < 2, то ло-
маная и прямая у = а не пересекаются. Если а = 2, то
ломаная и прямая у  а совпадают (1 £ х s 3). Если
а > 2, то ломаная и прямая у = а имеют две точки
пересечения. Абсциссу одной из этих точек можно найти
из уравнения 4 — 2х = а: х = -^у^. Абсциссу другой точ-
27
ки пересечения можно найти из уравнения 2х — 4 « а:
Ответ: если а < 2, то корней нет; если а = 2,то [1; 3];
если а > 2, то хг = х2
Пример 31. Сколько корней имеет уравнение
V4-х2 = х + а при различных значениях параметра в?
Рис. 12
Решение. Построим графики функций
у = V4 - х2 — полуокружность (рис. 12) и у=х+в—
прямая (рис. 13). Если изобразить их в одной системе
координат, то без труда можно прийти к следующему
выводу (рис. 14).
Если а < —2, то уравнение не имеет решений (прямая
2S
у=х + а лежит в этом случае ниже прямой у=х —2 и
не пересекается с полуокружностью).
Если у «х + в0 — касательная к полуокружности, то
при а > а0 прямаяу=х + а лежит выше касательной и,
следовательно, не пересекается с полуокружностью. В
этом случае уравнение также не имеет решений.
Найдем значение а0. На рис. 15 проведена касатель-
ная у=х + во, т.е. ОС — ОВ~ а0, ОМ = 2 (радиус полу-
окружности— высота прямоугольного равнобедренного
треугольника ВОС). Значит, 0В = 0М-У2, т.е.
Hq = 2V2.
Итак, ш а > 2V2 уравнение не имеет решений, а
при e = 2v2 уравнение имеет один корень (абсцисса
точки касания).
Если — 2 S а < 2, т.е. прямая у=х + а лежит в полосе
между прямыми у=х — 2, у «х + 2, то уравнение имеет
один корень, поскольку в этом случае у прямой
у—х + а и полуокружности у « V4-X2 одна точка пере-
сечения.
Наконец, если прямаяу «х + р лежит в полосе между
прямыми у=х +2, у «х + 2v2 , а это будет при
2 s а < 2V2 , то прямаяу =х + а пересекает полуокруж-
ность в двух точках. Значит, в этом случае уравнение
имеет два корня.
Ответ: если а < —2, а > 2V2 , то корней нет; если
29
-2se<X_a = 2V2, то один корень;
2 S а < 2V2 , то два корня.
если
Пример 32. Решить уравнение Vx «х — а.
Решение. Сначала, воспользовавшись графическим
методом, определим число корней заданного уравнения
при различных значениях параметра а. Замечаем
(рис. 16), что при а > 0 уравнение имеет один корень
(у графиков одна точка пересечения); если ао<а*О
(а0 —это значение параметра а, при катодом прямая
У”Х — а касается кривой у» ух), то уравнение имеет
два корня; при в«в0 у графиков одна общая точка,
значит, уравнение имеет один корень; наконец, при
а < а0 прямая у=х - а проходит выше графика у = Ух,
они не пересекаются, значит, уравнение ух =х — а не
имеет корней.
Нам нужно устранить недоговоренность, расшифрсн
вать значение а^. Для этого найдем на цривой у» ух
точку, касательная в которой к графику у — Ух имеет
уравнениеу «х — Oq, т.е. угловой коэффициент касатель-
ной равен 1. Имеем: у' =	^= = 1, х = ^. Тогда из
уравнения Vx =х - а находим:	— а, а » —j. Эго
и есть указанное выше значение а0.
Итак, при а > 0 уравнение имеет один корень, при
—| < a s 0—два корня; при а = —1— один корень; при
в < — корней нет.
PlM. 1С	Рве. 17
ЗВ
Заметьте, в предыдущем примере тоже было дано
иррациональное уравнение с параметром, но требовалось
лишь определить число корней. В таких случаях графи-
ческий метод работает, как говорят, на сто процентов.
Сложнее обстоит дело, если требуется найти сами корни.
Именно так сформулирована наша задача.
Оказывается, что и для отыскания корней построенная
геометрическая модель задачи весьма полезна. Рассмот-
рим заданное уравнение vx »х — а. Решая его обычным
способом, получим: х = (г - а)2, х2 - (2а + 1)х + а2 = О,
2а +1 ± V 4а + 1
xi;2 “---2-----•
Если а > 0, то, как мы видели, уравнение имеет один
корень, значит, из найденных корней х1( х2 один—по-
сторонний. Какой? Чтобы ответить на этот вопрос, заме-
тим, что, возведя обе части уравнения Vx =х - а в квад-
рат, мы как бы «склеили» воедино два уравнения, заданное
и «постороннее»: —Vx «х—а. Из рис. 17 хорошо видно,
что «постороннему» уравнению удовлетворяет меньшее
из найденных двух значений хх и х2. Таким образом,
2а +1 + У4а + 1
корень заданного уравнения х =----.
Если " < а £ 0, то уравнение имеет два корня. Эго
значения х2 и х2, полученные выше.
Если а = —то точки х2 и х2 сливаются в одну:
х-‘-	г-
2а 4* 1 4* у 4а 4 1
Ответ: если а>0, то х =-----------; если
i _ Л	2а + 1 ± V 4а + 1	1
—7 < a s 0, то х «--:----; если а = —-, то
4	Z4
х — -j; если а < то корней нет.
Пример 33. Решить уравнение
Vx + Va = Vl-fl-x .
Решение. На рис. 18 изображен график Функции
у» Vx + Va ,нарис.19 —функцииу = Vl-а-х .Сразу
можно сказать, когда эти графики, изображенные в од-
ной системе координат, не пересекаются (а значит, урав-
нение не будет иметь решения): при а < 0 (нет функции
у»Vx + Va , нет, следовательно, ее графика); при
а 2:1 (рис. 20); наконец, в том случае, когда точка пе-
31
ресечения второго графика с ошоу (это возможно при
О s a s 1) лежит ниже точки va на оси у (рис. 21).
Рассмотрим последний случай. График функции
у « V1 —в—х пересекает ось у в точке V1 —в . Значит,
уравнение не имеет корней, если V1 —в <Ув, т.е.
1 — а < а, или а >|. Делаем вывод: уравнение не имеет
корней, если а < 0, а >у; если же 0 se Sj, то уравне-
ние имеет корень, п{ичем только один (рис. 22). Оста-
лось найти значение этого корня.
Решая уравнение Vx + Ув = Vl —(х + e) как обычное
иррациональное уравнение, находим
Уэв-Зв3
XUS--------5------•
Один из корней—посторонний; какой? Геометрическая
32
иллюстрация (см. рис. 22) показывает, что корень урав-
нения лежит левее прямой х = у^, значит,
1 -а -V2e-3a2
X! =-------------является корнем уравнения, тогда
1-а +Уга-За2
как х2 =-------------посторонний корень.
Если вас не убеждает предлагаемая иллюстрация, то
можно рассуждать так: при х = функция
у = Vx + Va принимает значение V -^у^ + Va ; в той же
точке Функция у = Vl — a —х принимает значение
V-^y^ . Значение второй функции меньше, значит, точ-
ка пересечения графиков функций—левее прямой
_	„	1	1 - а - V2a-3e2
Ответ: если 0 s a s тох =-------------; если
а < 0, а > 4, то корней нет.
If
Пример 34. При каких значениях параметра а из
интервала (2; 5) уравнение log2 | 3- | sin ах | | »
= cos (лх — имеет корни в отрезке [2; 3]?
Решение. Так как 3—|sinax|^2, то
log2(3- | sin ах | )& 1. С другой стороны, cos (лх - ^) з 1.
Значит, задача сводится к решению системы уравнений
log2(3— | sin ax | )= 1
со5(лх-^) = 1
Из первого уравнения системы находим: | sin ax | = 1,
ах = у + яп; из второго получаем: лх — — 2лк,
x = 2k + ±,lcGZ.
По условию данное уравнение должно иметь корни в
отрезке [2; 3]. Из чисел вида 2к + (а только они могут
быть корнями уравнения) отрезку [2; 3] принадлежит
только 2-7 (к = 1). Значит, лишь число может быть,
о	о
3 Заказ 57200
33
интересующим нас корнем уравнения—если, конечно,
оно удовлетворяет и первому уравнению системы, т.е.
уравнению ах = f + яп.
Подставив в последнее равенство х»-^, получим:
О
= у + яп, а — з* . По условию g €Е (2; 5). Подстав-
ляя вместо л последовательно значения 0, 1, 2, 3,
получим: при л = 0 а = ^Й(2;5);	при л-1
9я
g = — G(2; 5) (не забывайте, что я *3,14, значит,
|^>2); при л = 2 в = ^б(2;5); при л = 3
<'-ТГ“Й>5: •«№*>•
п-_	9ж . 15ж
ответ:	.
VFIOCI. i3,	13
Упражнения
Решите уравнения, используя метод разложения на
множители.
1.	(х - I)3 + (2г + З)3 = 27? + 8.
2.	x3+ 2х2 + Зх + 6 = 0.
З.	х3 + 9? + 23х + 15 = 0.
4.	х3 + 4г2 = 24.
5.	х4 + Х3 + Зх2 + 2г + 2 = 0.
6.	х4 + 5г3 + 4с2 - 24х - 24 = 0.
7.	2?х -4* + 5-2* + Ч2Ух = I2* + 2+ 5Vx-2*+ 4.
8.	Vi
= 32V7TT +1 - З3^3 + 1 + 6Vi-18.
9.	х2 log36 (Sx2- 2х - 3)- х logi V5x2-2x-3 «	.
10.	x2 log2^£ -x2 logi (2 + 3x) =
Решите уравнения, используя метод введения новых
переменных.
34
11* *. 21х3+х2-5х-1 = 0.
12.	4г3 — 10? + 14r-5 = 0.
13.	100? - 120? + 47x- 6 = 0.
14.	(?+x + 4)2 + 8r(?+x + 4) + 15? = 0.
IS*. 3? - 2? + 4? - 4x + 12 = 0.
16*. v + ^ = 5 fv + -L
3 ? 2 I3 XJ
17.	x2+ 9x - = 27.
(x -i- ЗГ ___________ ___________
18.	V?+x + 7 + У?+х + 2 = УЗ? + Зх + 19.
19.	x2 - 4x - 6 = V2?-8r+12.
20.	x2 - 3x + 5 V9?+x-2 = 2,75 - “x.
21.	Ух^+х2- 1 + V?+? + 2 = 3.
22*. x ^35-x3 (x + ^35-x3) = 30.
23*. ^77+x + ^20-X = 5.
24.	Уб^х + Ух^2_+ 2 ^(б-х)(х-2) =2.
25. У2х + 3 + Ух+Т = Зх + 2V2x2 + 5x + 3 - 16.
28.	2* + ^*2-4 -5(У2)*_2 + ^х2_4 =6.
29*. (5 + 21/6 )* + (5 - 2Уб Г = 10.
30.	(2 + УЗ/2_2г+1 + (2-Уз/_2х-1=^-:^
31.	27-2-3* + 9-2*-23*-27-2"x = 8.
32.	4*+ 6* = 2-9*.
33.	100' + 25' = 4,25-50'.
34.	2-4* + 25* + 1 = 150-10* " 1.
35.	4 — Igx = 3yigx .
36	.1g2 lOQr + 1g2 IQr = 141gx + 15.
37.	log, SVS - 1,25 = log2 У5 .
38.	logj4x + log2= 8.
______2
* К этому примеру есть указание.
35
Решите уравнения, используя функционально-графи-
ческий метод.
39.	3* = 4-х.
40.	logi х = х - 4.
41.	sinx = x2 +х + 1.
42.	2cosnx = 2х — 1.
43.	|бх-5| =4siny.
44.	х7 + 14х — 15 = 0.
45.	7* + 24*«25х.
46*. 5* + 2* + 1-3*«9* + 4*.
47.	х-2* = х (3 - х) + 2 (2* - 1).
48.	8 —х • 2* + 23 ~ж—х= 0.
49*. log^x + (х - 1) log2x = 6 - 2х.
50.	cosnx«х2 - 4х + 5.
51.	зИ «cos—.
52.	2cos | = 5* + 5~х.
S3.	3l-*-zl + 2 = 5 + 4sin2ax.
54.	log3(8 + 2r-х2) = 2*" 1 + 21 "ж.
55.	log2(3 + 2X-X2) = tg2" + ctg2^.
56.	logi(3 + | sinx | ) = 2l*l - 2.
57.	V2x + 3 + for+ 2 = 1 + V19^x .
58.	+ 2 for+ 2 = 4 + V3^x .
60.	^4r-3 = |xl + |.
61.	При каких значениях параметра а уравнение
|х2 - 4х- 51 —а имеет два корня?
62.	При каких значениях параметра а уравнение
V9 -х2 —х - а имеет два корня?
36
Ответы
1. -|;	3. 2. —2. 3. -1; -3; -5. 4. 2. S.0.
6. -1; 2. 7. к_4. 8. 2; 9. 9. -1; 3; -2,6. 10. 1; 2.
11.	12. |. 13. 0,3; 0,4; ОД
14. —2; -3 ± V5 . 15. 0. 16. 2; 6. 17. 3±3^,
18. —2; 1. 19. —2; 6. 20. -1	. 21. 1. 22. 2; 3.
23. -61; 4. 24. 2; 6. 25. 3. 26. 5. 27.	28. 2,5.
29. 1;-1. 30. 1 + 2V2 . 31.0. 32.0. 33. ±|.
34. -1; logo 4 5. 35. 10. 36. 0,1; 100000.
37. ^5; 5. 38.2;^. 39.1. 40.3. 41.0. 42. |.
43.	|.	44. 1. 45. 2. 46. 2. 47. 0; 2. 48. 2.
49. 2; |. 50. 2. 51. 0. 52. 0. 53. ±. 54. 1. 55. 1.
56. 0. 57. 3. 58. 2. 59. (j + y; 1). 60. 1.
61. а « 0, а > 9. 62. -3V2 < a S -3.
§ 2. О равносильных уравнениях,
уравнениях-следствиях, проверке корней
и потере корней при решении уравнений
Уже из заголовка вы поняли, что в этом параграфе
речь пойдет о принципиальных вопросах, связанных с
решением уравнений: что такое равносильные уравне-
ния, какие преобразования являются равносильными, а
какие— нет, когда надо делать проверку корней и как ее
делать, какие преобразования уравнений могут привести
к потере корней. Напомним основные определения.
Определение 1. Два уравнения Д(х) = £i(x) и
/2(х) = #2(х) называются равносильными, если они имеют
одни и те же корни (более строго: если множества их
корней совпадают).
Например, уравнения х2 — 4 = 0 и (х + 2)(2* - 4) = 0
равносильны, оба имеют своими корнями только числа
2 и —2. Равносильны и уравнения х2 + 1 = 0 и
Vx = —5, т. к. оба не имеют корней, т. е. множества их
корней совпадают (оба пустые).
Определение 2. Уравнение /2(х) = g2(x) называется
следствием уравнения Д(х) = £i(x), если каждый корень
уравнения Д(х) =£i(x) является одновременно и корнем
уравнения /2(х) = g2(x).
Например, уравнение (х — З)2 = 9 является следстви-
ем уравнениях — 3 = 3, так как уравнениех — 3 = 3 имеет
только один корень: б, в то время как уравнение
(х — З)2 = 9 имеет два корня: б и 0.
Если два уравнения равносильны, то можно сказать
так: каждое из них является следствием другого.
Процесс преобразования любого уравнения выглядит
так (1) -♦ (2) -* (3) -* (4) -*... . Это значит, что заданное
уравнение (1) преобразуют в уравнение (2), более про-
стое, чем (1); уравнение (2) преобразуют в уравнение
(3), более простое, чем уравнение (2), и т.д. В конце
концов приходят к достаточно простому уравнению и
находят его корни. И вот в этот-то момент и возникает
главный вопрос: а будут ли найденные корни корнями
исходного уравнения (1)? Если все преобразования были
3S
равносильными, т.е. если уравнения (1) и (2) равно-
сильны, уравнения (2) и (3) равносильны, уравнения
(3) и (4) равносильны и т.д., то ответ на поставленный
вопрос однозначен: да, будут. Если же некоторые преоб-
разования были равносильными, а в некоторых мы не
уверены (но точно знаем, что перешли к уравнению-
следствию), то мы не получим определенного ответа.
Чтобы сделать ответ более определенным, надо найден-
ные корни последнего уравнения проверить, подставив
их поочередно в заданное уравнение (1). Если такая
подстановка показывает, что найденный корень послед-
него уравнения не удовлетворяет исходному уравнению,
он называется посторонним для заданного уравнения (и,
естественно, отбрасывается).
Замечание 1.Вы, конечно, понимаете, что термин
«более простое уравнение» не поддается, вообще говоря,
точному описанию. Обычно считают одно уравнение
более простым, чем другое, по чисто внешним призна-
кам. Но все-таки в ряде случаев можно точно сказать,
что одно уравнение проще другого. Например, решая
уравнение 2у/2х+7 = 4х “ 3, мы последовательно получа-
ем V2x + 7 = 2х - 6 — иррациональное уравнение, кото-
рое проще заданного «показательно-иррационального»
уравнения. Далее получаем 2х + 7 = (2г — б)2 — рацио-
нальное уравнение, оно проще иррационального.
Подводя итоги, можно сказать, что решение урав-
нения, как правило, осуществляется по следующему
плану:
1.	Техническая часть, т.е. осуществление цепочки уп-
рощений по схеме (1) •* (2) -» (3) -»... и отыскание кор-
ней последнего (самого простого) уравнения этой це-
почки.
2.	Анализ решения, т. е. получение ответа на вопрос,
все ли преобразования были равносильными.
3.	Проверка найденных корней последнего уравнения
цепочки их подстановкой в исходное уравнение в случае,
если анализ, проведенный на втором шаге, покажет, что
не все преобразования были равносильными.
С реализацией этого плана возникают четыре есте-
ственные проблемы:
как узнать, является ли переход от одного уравнения
к другому равносильным преобразованием;
39
в каких случаях в результате преобразований мы
переходим от уравнения к уравнению-следствию;
как делать проверку, если это сопряжено со значи-
тельными вычислительными трудностями;
в каких случаях при переходе от одного уравнения к
другому может произойти потеря корней и как этого не
допустить.
Наш дальнейший разговор и пойдет о решении этих
проблем. Начнем по порядку, с первой проблемы. Есть
три «спокойные» теоремы —они всегда работают и не
причиняют никаких неприятностей.
Теорема 1« Если какой-либо член уравнения перенести
из одной части уравнения в другую с противоположным
знакам, то получится уравнение, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну
и ту же нечетную степень, то получится уравнение,
равносильное данному.
Теорема 3. Уравнение <№ — о8^*), где а > 0, а # 1, рав-
носильно уравнению Дх) = g(x).
И есть три «беспокойные» теоремы —они работают
лишь при определенных условиях, а значит, требуют
внимания от применяющего их.
Теорема 4. Если обе части уравнения Дх) — g(x) умно-
жить на одно и то же выражение h(x), которое:
а)	имеет смысл всюду в области определения уравнения
Дх) =g(x),
б)	нигде в этой области не обращается в О,
то получится уравнение Дх)-И(х) = g(x)-h(x), равносиль-
ное данному.
Замечание!. Следствием теоремы 4 является ре-
зультат, который можно рассматривать как еще одно
«спокойное» преобразование: если обе части уравнения
умножить или разделить на одно и то же отличное от
нуля число с, то получится уравнение, равносильное
данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения Дх) - g(x) неот-
рицательны в области определения уравнения, то после
возведения обеих частей уравнения в одну и ту же четную ,
*
40
степень п получится уравнение (f(x))n «(#(х))л, равно-
сильное данному.
. Теорема б. Если fix) > 0 и g(x) > 0, то уравнение
1о&Я*)= 1°&£(х)» где а > 0, а * 1, равносильно уравне-
нию fix) = g(x).
Последние три теоремы позволят нам перейти к ре-
шению второй проблемы. Можно сказать так: если в
процессе решения уравнения мы применили заключение
одной из теорем 4, 5, 6, не проверив выполнения oipa-
пичительных условий, заложенных в формулировках те-
орем, то получится уравнение-следствие.
Например, уравнение х — 1 = 3 имеет один корень 4.
Умножив обе его части на (х — 2), получим уравнение-
следствие (х - 1)(х - 2) = 3(х — 2), имеющее два корня:
4 и 2, причем 2—посторонний корень для уравнения
х - 1 = 3 (между прочим, при х — 2 множитель х — 2
обращается в 0; теорема 4 этого не допускает). Возведя
обе части того же уравнениях — 1 = 3 в квадрат, получим
уравнение (х — I)2 = 9, имеющее 2 корня: 4 и —2, причем
-2 — посторонний корень для уравнения х — 1 = 3.
Из чисто дидактических соображений подведем про-
межуточный итог: если на каком-либо этапе решения
уравнения мы умножили обе части уравнения на одно
и то же выражение (разумеется, имеющее смысл всюду
в области определения уравнения) или возвели обе части
уравнения в одну и ту же четную степень, или — позво-
лим себе некоторую вольность речи — «отбросили» знаки
логарифмов от левой и правой частей уравнения, то
обязательна проверка всех найденных корней.
Замечание 3. Обычно школьники с опаской от-
носятся к теоремам в алгебре вообще (в геометрии —
нет, там привычнее) и к теоремам равносильности в
частности, и напрасно. Во-первых, их, как мы видели,
всего шесть и они «обслуживают» практически все классы
уравнений, которые встречаются в школьном курсе ма-
тематики; во-вторых, они достаточно просты по содер-
жанию, наконец, в-третьих, наш промежуточный итог
позволяет на практике обойтись без теорем 4, 5, 6.
£
3 Но вернемся к нашему промежуточному итогу. Вы
спросите, почему итог промежуточный, а не окончатель-
41
ный? Потому, что до главной причины перехода от
уравнения к уравнению-следствию мы еще не добрались.
Главная причина— расширение области определения.
Поговорим об этом подробнее.
Пусть дано уравнение Д(х) = £i(x) и пусть — его
область определения, например, = (а, Ъ) (рис. 23, а).
Пусть в процессе преобразований мы перешли от урав-
нения /i(x) = gj(x) к уравнению с более широкой обла-
стью определения ЛГ2 —это значит, что ХхСХ2 и
Х2 #Х2, например, Х2 — (с, d) (рис. 23, б). Пусть урав-
нение f2(x)  g2(x) имеет корни хх, х2, -, хя (на рис. 23, б
это хх, х2, х3, хЛ Те из них, что содержатся в Х2 но не
содержатся в Х1г т.е. попали в «расширение» области
определения заданного уравнения, будут посторонними
корнями для уравнения Д (х) = (х) (на рис. 23, б это
Xi и х4).
Рис. 23
Замечание 4. Вот важное добавление к нашему
промежуточному итогу: если в процессе преобразований
уравнения было допущено расширение его области оп-
ределения, то обязательна проверка всех найденных кор-
ней. Промежуточный итог + добавление - окончатель-
ный вывод.
Но теперь у вас возник, вероятно, новый вопрос: а
какие преобразования (естественно, «на школьном уров-
не») могут привести к расширению области определе-
ния? Перечислим такие преобразования:
Освобождение от знаменателей. Это понятно: был
знаменатель g(x) — было ограничение g(x) * 0; не стало
знаменателя — не стало и ограничения. Рассмотрим, на-
пример, уравнение 46 = 8. Его область определения
х * 4. Если в левой части уравнения сократить дробь,
т. е. освободиться от знаменателя, то получим уравнение
42
х + 4 = 8, область определения которого шире, чем у
исходного: множество всех действительных чисел (ис-
чезло ограничение х * 4). Последнее уравнение имеет
один корень: х — 4. Но это посторонний корень для
исходного уравнения, которое, таким образом, корней
не имеет.
«Отбрасывание» логарифмов—об этом фактически
говорит теорема 6.
Использование формулы ( ^Дх) )" = Дх) для четного п.
В самом деле, если было выражение (УДх) )2, то его
область определения задается неравенством Дх) & 0; если
же заменить (V/W)2 наДх) и рассмотреть выражение
Дх) как самостоятельное, то ограничение Дх) 0 снима-
ется, т.е. область определения расширяется.
Пример 1. Решить уравнение
V2x + 5 + V5x-6 = 5.
Решение. 1. Техническая часть. Последовательно
- имеем:
V5r^6 = 5 - <2х + 5 ,
(75x^6 )2 = (5 -У2х+~5 )2,
5х —6 = 25 — 10 V2x +5 + 2х +5,
10 V2x +5 = 36 — Зх,
(10 V2x + 5 )2 = (36 - Зх)2,
100 (2х + 5) - 1296 - 216х + 9х2,
9х2 - 416х + 796 = 0,
398
откуда Xi - 2, х2 = — .
2. Анализ решения. В процессе преобразований рас-
ширилась область определения и дважды применялась
неравносильная операция — возведение в квадрат. Зна-
чит, мы получили в итоге уравнение-следствие. Проверка
обязательна.
3. Проверка. Подставим хг = 2 в исходное уравнение:
79 + 74 = 5 — верное равенство. Начав подстановку
->оо
х2 — в исходное уравнение, сразу замечаем, что
V2-^ +5 уже больше 5, т. е. х2 не может удовлетво-
рять заданному уравнению. Это посторонний корень.
Ответ: 2.
43
Замечание 5. Каждый раз выделять три части —
техническую, анализ, проверку — конечно, не обязатель-
но. Но все это нужно «держать в голове» и уж во всяком
случае понимать следующее: если анализ показал, что
проверка обязательна, а вы ее не сделали, то уравнение
не решено (тем более оно не решено, если такой анализ
не сделан).
Замечание 6. Кроме трех «рутинных» причин по-
явления посторонних корней (расширение области опре-
деления, возведение в четную степень, умножение на
й(х)), встречаются и более тонкие причины, специфиче-
ские для определенных классов уравнений; мы о них
поговорим немного позднее.
Настало время заняться третьей проблемой: как де-
лать проверку, если подстановка найденных значений в
исходное уравнение сопряжена с вычислительными
трудностями? Видимо, в таких случаях надо искать об-
ходные пути. Вернемся к примеру 1. Подстановка зна-
чения х, = 2 в заданное уравнение трудностей не пред-
398
ставляла. Подстановку же второго значения х2 — мы
фактически заменили прикидкой. Мы прикинули, что
х2 » 44, тогда V2x2 + 5 > 5, и сразу стало ясно, что х2 —
посторонний корень. Такая прикидка — один из обход-
ных путей.
398
Еще раз вернемся к примеру 1. Значение х2 —
можно было проверить не по исходному уравнению, а
по уравнению'ТО V2r + 5 = 36 - Зх, полученному в про-
цессе решения. По смыслу этого уравнения
36 - Зх £ 0, т. е. х £ 12, тогда как х2 - — явно больше
12. Значит. х2 — посторонний корень даже для уравнения
10 V2x + 5 = 36-3х, тем более—для исходного урав-
нения. Такой способ проверки — еще один из обходных
путей. Как правило, самый легкий* обходной путь —по
области определения исходного уравнения (или даже по
условиям, задающим область определения).
П р и м е р 2. Решить уравнение
lg(x + 4) + lg(2r + 3) = lg(l - 2х).	(1)
Решение. Преобразуем уравнение (1) к следующе-
му виду:
lg((x + 4)(2x + 3))= (1 —2х).
44
От этого уравнения перейдем к уравнению
(х +4)(2х + 3) = 1 — 2х,
и далее, 2х2 + 13х + 11 = 0, откуда хх = -1, х2 •= — 5,5.
Так как найденные значения х —это корни уравнения,
являющегося следствием уравнения (1), то их необхо-
димо проверить.
Проверка. Область определения уравнения (1) за-
дается системой неравенств
х + 4 > О
. 2х + 3>0
1 —2х>0.
Подставляем хх - —1, а затем х2 = -5,5 в неравен-
ства этой системы и убеждаемся, что при хг = —1 все
неравенства выполняются, а при х2 = —5,5 не выполня-
ется, например, первое неравенство этой системы. Таким
образом, только хх = -1 является корнем уравнения (1).
Ответ: —1.
ПримерЗ. Решить уравнение
| log£ (х + 2)2- 3 -1о&^(4 - х) - log4 (х + б)3. (2)
Решение. Прежде всего перейдем в уравнении (2)
к логарифмам по одному основанию, например по ос-
нованию^:
1о£1^(4 - х) = iog(-^)3 (4 “ х)3 в 1°в1 (4 - х)3;
log4 (х + б)3 = log4-i (х + 6)“3 = - log! (х + б)3.
Тогда заданное уравнение принимает следующий вид:
|logi (х + 2)2-3 = logi (4 —х)3 + log!(х + б)3.	(3)
2	4	4	4
Так как, далее, logi (х + 2)2 = 2 logi | х + 2 j, то уравне-
ние (3) равносильно уравнению
3log!|х + 2 | - 3 = 31ogi(4-x) + 31ogl(x + 6),
которое преобразуется в уравнение
log! | х + 21 - 1 = logi (4 - х) + logl(x + 6),
45
и затем в уравнение
logi 4 |х + 21 = logi(4 —х)(х + 6).
Из этого уравнения получаем уравнение, не содержа-
щее логарифмов:
4 |х +21 = (4 —х)(х +6),
решение которого сводится к решению следующей со-
вокупности:
{х + 2^0	|х + 2 < О
4 (х + 2) » (4 - х)(х + 6); | - 4 (х + 2) = (4 - х)(х + 6).
Из уравнения первой системы находим х1 = 2 и
х2 = —8. Однако неравенству этой системы удовлетворяет
только значение х — 2. Из уравнения второй системы
находим х1; 2 = 1 ± V33 . Неравенству же этой системы
удовлетворяет только значение х = 1 - V33 . Итак, про-
верке подлежат корни х = 2 и х = 1 - V33 .
Проверка. Найдем область определения уравнения
(2), для чего решим систему
х + 2 * О
4— х>0
х + 6>0.
Получаем -6 < х < -2; —2 < х < 4. Оба проверяемых
корня принадлежат этой области, значит, корнями урав-
нения (2) являются Xj = 2 и х2 = 1 — V33 .
Ответ: 2; 1 —V33.
П р и м е р 4. Решить уравнение
1оЬ + 4<*2 ~ 1) = 1°&+ 4(5 -х).
Решение. Найдем корни уравнениях2 — 1 — 5 — х.
Получаем хг = 2, х2 = -3. Проверим эти корни.
Проверка. Значениех- 2 удовлетворяет одновре-
менно условиям х2-1>0, 5-х>0, х + 4>0 и
х + 4 # 1. Значит, xt = 2 является корнем заданного урав-
нения. Значение х2 = —3 не удовлетворяет условию
х + 4 # 1. Таким образом, х2 = -3 не является корнем
заданного уравнения. Итак, корнем заданного уравнения
является только х - 2.
Ответ: 2.
46
Замечание 7. Не переоценивайте способ проверки
по области определения: он является полноценным толь-
ко в тех случаях, когда при решении уравнения, кроме
расширения области определения, других причин нерав-
носильности переходов от уравнения к уравнению не
было. Это обычно бывает в логарифмических уравнени-
ях — мы с вами видели это при решении примеров 2,
3, 4. А вот в иррациональных уравнениях ситуация, как
правило, более сложная. Вернемся еще раз к примеру 1.
Область определения иррационального уравнения зада-
ется неравенством х £ у. И хь и х2 этому неравенству
удовлетворяют. Тем не менее, мы видели, что хг —
корень, а х2 — посторонний корень. В этом примере
область определения уравнения не помогла бы нам
выявить посторонний корень, причина появления кото-
рого другая — возведение в квадрат.
Теперь поговорим немного о четвертой проблеме: как
не допустить потери корней при решении уравнений.
На «школьном уровне» потеря корней может произойти
по двум причинам: деление обеих частей уравнения на
одно и то же выражение Л(х) (кроме случая, когда точно
известно, что й(х) # 0); сужение области определения
при переходе от одного уравнения к другому.
С первой причиной бороться нетрудно: приучайте
себя переходить от уравнения вида Дх)-й(х) =g(x)-h(x) к
уравнению Л(х) (Дх) - g(x)) = 0, а не к уравнению
Дх) = g(x). Может быть, даже есть смысл вообще за-
претить деление обеих частей уравнения на одно и то
же выражение h(x) (кроме самых очевидных случаев).
Со второй причиной дело обстоит сложнее: нужно
(особенно в тригонометрии) проанализировать, какие
формулы в этом смысле «опасны» и по возможности не
пользоваться ими.
П р и м е р 5. Решить уравнение sinx — cosx = 1.
Решение. Положим tg^ = и и воспользуемся фор-
мулами
2tgf
$щх»------—, cosx =-------
47
Получим 77^2“77^7 =1> откуда и = 1, т.е. tg|=l,
7 = 7 + зт, х = у + 2лп.
Но уравнению удовлетворяют и значения
х  л + 2лп. Когда они успели «потеряться»? Когда мы
заменили выражения sinx и cosx, определенные для
любого значения х, выражениями их через tgy, сужаю-
щими область определения. Для tg^ появляется ограни-
чение х * ? + лл, т. е.х # л + 2ли — именно эти значения
2	2
и «потерялись».
Ответ: ^ + 2ли; л + 2лл.
Замечание 8. Вообще говоря, формулы, выража-
ющие sinx и cosx через tgy, не входят в обязательную
программу школьного курса математики. Тем не менее,
не теряйте бдительности: есть распространенные форму-
лы, которые опасно применять при решении тригоно-
метрических уравнений. Перечислим их.
1.	ctgx —Область определения, левой части
х * лп; область определения правой части задается двумя
условиями: tgx#O, т.е. х#лл, и cosx#0, т.е.
х * у + яп. Как видите, при замене ctgx на область
определения сужается: кроме ограничения х # яп появ-
ляется ограничение х # + яп. За счет дополнительного
ограничения может произойти потеря корней.
2.	tg2x =  2tgx, . Область определения левой части
1 - tgх
задается условием cos2r#0, т.е. х#^ + ^. Область
определения правой части задается условиями tg2x # 1,
т.е. х*^ + ^-, и cosx#0, т.е. х#^ + лл. При замене
левой части на правую появилось дополнительное огра-
ничение х * ~ + яп.
3.	tg (х + а) =	• И здесь, как в случае 2, при
замене левой части на правую появляется дополнитель-
ное ограничение х * + лп.
4.	tg^- = -~.c°s*. JJnH.tg^ имеем: £#^ + ли, т.е.
° 2 8ШЖ	2	2	2	’
48
х *я + 2лп; для 1 имеем: х * лп. Область опреде-
ления сузилась: кроме ограничения х + 2яп, появля-
ется дополнительное ограничение х * 2лп.
Между прочим, другая школьная формула для tg у, а
именно tg^ —	в рассматриваемом смысле без-
опасна: и слева, и справа область определения задается
условием х + 2лл.
Замечанием Иногда корни теряются из-за того,
что в процессе преобразований решающий уравнение
ученик применяет неправильные тождества, хотя абсо-
лютно уверен, что применяет верные тождества, посколь-
ку речь идет о достаточно «тонких» формулах. Вот неко-
торые из них (наиболее важные для школы).
1.	Вместо logjjX2" = 2л log, | х | ошибочно пишут
lo^x2" = 2п log,x. Типичный пример: Igx2 — 4.
I способ: х2 = 104; хх. 2 — ±100.
II способ: 21g | х | = 4,’ 1g | х | « 2, | х | = 100,
Xj. 2 “ ±100.
’ III способ: 21gx - 4, Igx — 2, i = 100.
Как видите, при третьем способе произошла потеря
корня, причина которой — неправильная замена выра-
жения Igx2: должно быть 21g |х |, а мы написали 21gx.
2.	Вместо logg/^x) *g(x) = log, |Дх) | + log, | g(x) | пи-
шут !<>&. Л*) g(x) -log,/(x) + log, g(x).
3.	Вместо	|Лх) | •	|g(x)|
пишут ^A^ gCx) = Vftx) •
В заключение выполним обещание, данное нами вы-
ше: поговорим о некоторых более тонких причинах по-
явления посторонних корней. Чаще всего это бывает в
иррациональных уравнениях, именно они особенно
сложны с принципиальной точки зрения.
Пример 6. Решить уравнение
fox+l + fox+1 • $2х-1.	(4)
Решение. Возведем обе части уравнения (4) в куб.
Получим 2х + 1 + 3 ^(2х+1)2- V6x +1 + 3 У2х+1 х
х -^(бх + I)2 + 6х + 1 = 2х — 1, и далее, 3 ^2r + 1 х
4 Заказ 57200
49
х ^бх + 1 ( $2х + 1+ %бх + 1 ) » —6x — 3. Восполь-
зовавшись * уравнением (4), 'заменим выражение
fax+l + Фбх+1 выражением ^2х — 1. Получим
3 fax+l- fax+l- fax — 1 « — 6х - 3, или
^(2х + 1)(6х + 1)(2х — 1) » -2х -1.	(5)
Возведем обе части последнего уравнения в куб:
(2х + 1)(6х + 1)(2х -1) = —(2х + I)3,
и далее, (2х + 1) ((6г + 1)(2х — 1) + (2х + I)2 ) = 0, откуда
находим хх = —ОД х2; 3 « 0.
Проверка. Подстановкой найденных значенийх в
заданное уравнение (4) убеждаемся, что его корнем яв-
ляется только х = —ОД
Ответ: -ОД
Замечание 10. При возведении обеих частей урав-
нения (4) в куб мы в соответствии с теоремой 3 получили
уравнение, равносильное уравнению (4). Однако даль-
нейшая замена выражения V2x + 1+ V6x + 1 на вы-
ражение fax—Л могла привести (и, как показала про-
верка, привела) к появлению постороннего корня.
Пример?. Решить уравнение
V2x2 + 3x + 5+V2x2-3x + 5 = Зх.
Решение. Уравнение имеет структуру
fa+ fa» Зх. Заметив это, умножим обе части уравне-
ния на выражение, сопряженное левой части. Получим
(fa+fa)(fa-fa) »3x(fa—fa),
т.е. А—В «Зх (fa-fa). НоЛ — В = (2Х2 + Зх +5) —
- (2х2 — Зх + 5) = 6х, значит, 6х = 3x(fa — fa).
Из этого уравнения находим хг = 0. Если же х * 0,
трх. разделив обе части уравнения на Зх, получим:
fa — fa=2. Сложив это уравнение с уравнением
fa + fa = Зх.	получим: 2 fa. = Зх + 2, т.е.
2 V2x2+3x + 5 = Зх + 2. Далее, имеем 4(2x2+ Зх + 5) =
= (Зх + 2)2, х2 » 16, х2. з « ±4.
50
Проверка. В процессе решения уравнения мы че-
тыре раза нарушали требование равносильности преоб-
разований: когда умножили обе части уравнения на
Vj-V£, когда сложили уравнения nA — nB «2 и
nA + nB = Зх, когда возвели в квадрат обе части урав-
нения, и, наконец, когда расширили область определения
(в исходном уравнении были два ограничения:
2г2 + Эх + 5 i О и 2г2 — Зх + 5 2 0, но оба они исчезли
в уравнении 4 (2г2 4-Зх 4-5) « (Зх 4-2)2). Поэтому все
три найденные значения: О, 4, —4 надо проверить. Про-
верка (подстановкой найденных значений в исходное
уравнение) показывает, что О и -*4—посторонние корни.
Ответ. 4.
Упражнения
Решите уравнения, проанализируйте причины появ-
ления посторонних корней.
64.	V 2x4-1 4-УГ^З = 2Ух.
65.	Vx-2 + Vx - 1 « V2+x .
(л + 4	\
г*2-’-!! =0.
*
67.	lg(x — 2) + lg(x — 3) = 1 — lg5.
68.	logr(2x2-4x + 3) = 2.
69.	10&+4 (l2 ~ 1) = 10fc+4 (5 “ *)•
Ответы
63. 4. 64. 4. 65. 1 +	66. 0. 67. 4. .
68. 3. 69. 2.
§ 3.	Тригонометрические уравнения
В этом параграфе конкретизируются общие положе-
ния, рассмотренные в предыдущих двух параграфах.
Основные положения методики решения рациональных,
иррациональных, показательных и логарифмических
уравнений фактически уже рассмотрены. Мы поговорим
о специфике использования в классе тригонометриче-
ских уравнений трех общих методов решения уравне-
ний — метода разложения на множители, метода введе-
ния новых переменных и функционально-графического
метода (этому посвящены пункты 3.1—33). Обсудим и
довольно трудный, но принципиальный как с методи-
ческой, так и с технической точек зрения вопрос об
отборе корней в тригонометрических уравнениях (пункт
3.4).
3.1 Метод разложения на множители
Успешное применение метода разложений’ на мно-
жители в тригонометрических уравнениях зависит от
удачного выбора той или иной формулы из достаточно
обширного списка формул тригонометрии. Можно ли
здесь предложить какие-либо полезные советы? Можно,
об этом мы сейчас и поговорим.
Тригонометрические преобразования во многих слу-
чаях подчиняются трем шутливым «законам»:
«Z закон». Увидел сумму—делай произведение (речь
идет о формулах для преобразования сумм
sin а ± sin/5, cos а ± cosfi, tga ± в произведения).
•П закон». Увидел произведение—делай сумму (речь
идет о формулах для преобразования произведений
sin a cosfi, cos а cos/3, sin а sin/? в суммы).
«Ш закон». Увидел квадрат—понижай степень (речь
_	«о 1— cos2x о 1 + сое 2х
идет о формулах sm2x =---; cos2x =----------.
Удивительно, но если вы не знаете, за что «зацепить-
ся», с чего начать преобразование тригонометрического
выражения, начинайте с одного из этих «законов», и в
большинстве случаев (по крайней мере, на школьном
уровне) все пройдет удачно. Приведу два (отнюдь не
самых простых) примера.
52
Пример 1. Решить уравнение
яп* 2х + sin2 2r + cos2 Зх + cos2 4г = 2.
Решение. В левой части уравнения 4 раза приме-
ним «третий закон»:
1 — cosZc . 1 — cos 4с 1 4- cos 6с 1 + cos 8* __ ~
2	+	2	+	2	+	2~Z*
Далее, имеем (cos 6х + cos 8r) — (cos 2r + cos 4г) = 0. Те-
перь в левой части уравнения 2 раза применим «первый
закон»:
2cos 7х cosx - 2cos Зх cosx = 0,
cosx (cos 7x - cos Зх) = 0,
— cosx • 2sin5x • sin 2r = 0,
cosx  sin5x • sin2x = 0.
Остается рассмотреть три простых уравнения:
cosx = 0, sin 5х = 0, sin 2x = 0. Из первого находим
х = | + лп, из второго: х = ^, из третьего: х = у-. Можно
заметить, что третья серия включает в себя первую
целиком.
О_„__. ял ял
твет: —, —.
Пример 2. Решить уравнение cosx cos 2r =
= sin (% + xl sin (у + 4х) + sin + 4х| cos гг ~	•
14 I 14 I	14 J 14	]
Решение. Начнем с трехкратного применения «вто-
рого закона»:
совЗЖ + совж coe^-coeff + Sr) sin(^-x)+sm(9x-x)
2	2	*	2
Воспользовавшись формулами приведения и выполнив
необходимые упрощения, получим:
cos Зх + cosx = cos Зх + sin 5х + cosx — sin9x,
sin 9х - sin 5х = 0.
Опять работает один из наших «законов», на этот раз
первый:
2 sin 2х cos 7х = 0.
Значит, либо sin 2г » 0, откуда х =	; либо cos 7х — 0,
откудах = ^ + у.
S3
Ответ: f, £ + =
Замечание 1. Ответим на вопрос, который обычно
беспокою школьников: обязательно ли при записи раз-
личных серий решений тригонометрического уравнения
использовать в качестве параметра различные буквы.
Обратите внимание: у нас в записи ответа и в обеих
сериях примера 1, и в обеих сериях примера 2 исполь-
зована в качестве параметра одна и та же буква п. И это
правильно. Если бы использовались разные обозначения,
т.е. ответ, к примеру 2 был записан так х»”,
х =	, то это тоже было бы правильна Здесь речь
идет осоваутюсти уравнений, т.е. о независимых друг
от друга уравнениях. Образно говоря, вы поручаете их
решение двум своим приятелям: один решает уравнение
sin2x = О, другой решает уравнение cos Тх = 0; при этом
они не обязаны согласовывать записи ответов.
С методом разложения на множители связан специ-
фический для тригонометрии прием, который, к сожа-
лению, не всегда присутствует в школьных программах.
Он применяется в уравнениях, содержащих сумму вида
Лsinx + Вcosx, и основан на следующем преобразова-
нии этой суммы в произведение:
A sinx + В cosx =Ул2+В2 (sinx	+ cosx ) •
I А \	( В \	А
Так как > , _ +  > , „ = 1, то числа -у——- и
lVx3+*al	IVx’+b3]	Ул2*#2
можно считать синусом и косинусом (или ко-
синусом и синусом) некоторого вспомогательного угла
у. Тогда получаем, что
A sinx + В cosx = Ул2 + В2 (sinx sinjp + cosx cosy>) »
= Ул2 + В2 cos (х — j>) (или Ул2 + В2 sin (х + jpj).
Пример 3. Решить уравнение
5 sinx +12 cosx + 13 sin Зх « 0.
Решение. Воспользуемся методом введения
вспомогательного угла. Имеем У52+ 122 = 13, тогда
54
5 sinx + 12 cosx = 13 (sinx •	+ cosx • -Ц).
Пусть = cosy», -Ц « siny», тогда 5sinx + 12cosx«
= 13 (sinx cosy» + cosx siny») = 13sin(x + y>). Эго преоб-
разование позволяет записать заданное уравнение в виде
13 sin (х + у») + 13 sin Зх » 0.
Далее, имеем 13-2 sin (2r + ^ cos (х —	«0, что рав-
носильно совокупности' двух уравнений:'
sin(2x + *)«0,	cos(x-^»0,
2х + *«яи,	х-^ = | + лл,
х=-4 + Т‘	х~2+1 + зт'
Ответ:-5 +V? ? + т + я», где y» = arccos-^.
3Л. Метод введения новых переменных
Пример 4. Решить уравнение
sin 2х + 2 sinx + 2 cosx ж 2.
Решение. Преобразуем уравнение к виду
(1 + sin 2г) + 2 (sinx + cosx) - 3 ж 0.
Положим sinx + cosx —у, тогда 1 + sin2х —у2, и мы
получаем квадратное уравнение у2+ 2у — 3  0 с корня-
ми = 1, у2 = -3. Теперь задача сводится к решению
совокупности уравнений
sinx + COSX ж 1; sinx — COSX ж —3.
Второе из них не имеет решений, а из первого нахо-
дим:
2sinf cos^-2sin2^ = 0, sin^ (cosf-sin£\ =0.
Значит, либо sin j ж о, т.е. х«2лп, либо
cos|-sin| = 0, т.е. l-tg| = O, | = +
х = у + 2ли.
Ответ: 2лл; у + 2лл.
Замечание 2. Вы понимаете, конечно, что замена
sinx ± cosx —у достаточно случайна, она полезна в урав-
55
нениях, содержащих выражения sin2r, sinx± cosx, по-
скольку есть формула, их связывающая:
(sinx ± cosx)2 = l±sin2r.
Обычно в школьном курсе математики новую пере-
менную в тригонометрических уравнениях вводят в двух
стандартных случаях: в однородных уравнениях (про-
граммный материал) и в уравнениях, допускающих вве-
дение универсальной подстановки tgy = «. О проблемах,
связанных с указанными двумя случаями, мы сейчас
поговорим.	•
Однородными тригонометрическими уравнениями на-
зывают уравнения следующего вида:
a sinx + Ь cosx = 0 (однородное уравнение первой сте-
пени);
a sin2x + Ь cosx sinx + с cos2x - 0 (однородное урав-
нение второй степени);
asin3x + d^n2x cosx + сsinx cos2x + acos3X“0 (од-
нородное уравнение третьей степени) и т.д.
Школьники обычно знают, что в этих уравнениях
надо все почленно разделить на cosx, cos2x, cos3x со-
ответственно и ввести новую переменную tgx»u, но
испытывают затруднения с условием cosx“О: то ли
накладывать ограничение cosx * 0, то ли сначала рас-
смотреть случай cosx ж 0. Советуем отойти от обычной
школьной методики, предлагаем вам следующий вари-
ант рассуждений.
Пусть дано однородное уравнение, например второй
степени: a sin2х + Ь sinx cosx + с cos2x = 0. Сначала надо
посмотреть, можно ли в левой части вынести за скобки
cosx или sinx (это возможно, если а » 0 или с = 0 соот-
ветственно). Если да, то уравнение решается методом
разложения на множители. Если нет, то те значения х,
при которых cosx = 0, уравнению не удовлетворяют (при
cosx —0 уравнение принимает вид asin2x»0, т.е.
sin2x — 0, или sinx « 0, что невозможно, поскольку sinx
и cosx одновременно в нуль не обращаются). Поэтому
почленное деление на cos2x не приводит к патере корней,
т.е. эту операцию можно выполнять без оговорок.
Самипо себе однородные уравнения особого интереса
не представляют (поэтому мы обойдемся без примера),
интерес представляют уравнения, сводящиеся к однород-
ным за счет использования тождества suAr + cosA = L
П р и м е р 5. Решить уравнение
3sin2* + 4sin?r cosx-sinx cos2* = 2 sinx + 3 cosx.
Решение. Имеем последовательно:
3 snPx + 4 sin2* cosx — sinx cos2x =
= (2 sinx + 3 cosx)(sin2* + cos^x),
sin3* + sin2x cosx — 3sinx cos2* — 3 cos3* » 0.
Ни sinx, ни cosx за скобки вынести нельзя, значит,
в этом однородном уравнении третьей степени можно
(без потери корней) осуществить почленное деление на
cos3*, что приведет к уравнению
tg3* + tg2x - 3 tgx - 3 - 0.
Положив tgx =у, получим: у3 +У2 — Зу - 3 » О,
^(у+^-ЗО+Ц-О, (у+1)02-3)-О,
У1 = —1, у2 = ^3, у3 = -<3.
Значит, либо tgx»— 1, т.е. х»~ + ли; либо
tgx = V3, т.е. х«у + яп; либо tgx«-V3, т.е.
Х= -j + ЯИ.
Ответ: ~ + ял; ± j + лп.
Теперь поговорим об универсальной подстановке, т. е.
о замене tgy » и. Ее использование основано на форму-
2tg-	l-tf*-
лах sinx»-----; cosx«------=4.
i	+ «2y	l + tK2f
Пpимер 6. Решить уравнение sinx + 7cosx = 5.
Решение. Положим tg£ = w, тогда sinx =	,
2	*	1+«г
cosx» I'""?, и уравнение принимает вид 2 +
+	»5. Далее, имеем: 2н+7-7«2» 5+5и2,
1 + «
12н2 — 2и — 2 « О, би2 — и — 1» 0, иг »у; и2 » —3 •
Таким образом; либо tgfs2’ от1^а находим
| = arctg| + jm, т.е. x»2arctg| + 2*n; либо tg|» -|,
57
откуда находим y = arctg(-i) +лп, т.е. х =
» -2arctg j + 2ли.
Ответ: 2arctgi + 2ял; —2arctg^ + 2лп.
Замечание 3. Универсальная подстановка—ме-
тод, достаточно эффектный, но небезопасный (см. при-
мер 5 из § 2). Дело в том, что замена sinx и cosx на
i-tff
выражения------— и------- стккпевво сужакл об-
ласть определения (из нее «выпадают» значения х, при
которых cos^ = О, т.е. х = л + 2лл), что может привести
к потере решений видах 3 л + 2лл. Поэтому те значения
х, которые могли «потеряться» при использовании уни-
версальной подстановки, надо специально проверять. В
нашем уравнении потери решений не произошло (зна-
чения х=л + 2лл уравнению не удовлетворяют).
Замечанием Между прочим, всегда полезно срав-
нивать разные способы решения одного и того же при-
мера (если, конечно, это возможно), обсуждать достоин-
ства и недостатки, выбирать способ по вкусу. Так, урав-
нение из примера б можно свести к однородному:
sinx + 7cosx  5,
2sin^- cos 7 + 7 (cos2sin2«5 (sin27 + cos2
Z Z \ Z	Z, \ Z	Z/
12sin2f - 2sinf cos" 2cos2= 0,
z z z	z
6 tg2y - tgy — 1 = 0.
2 X
Как и выше, получаем, что либо tg4 = 7, либо
Z Z
tg— * —i.
**2	3
Это же уравнение можно решить методом введения
вспомогательного угла. Здесь VI2 + 72 = 5V2 , значит,
последовательно имеем:
sinx + 7 cosx = 5,
5V2 (sinx-+ cosx-577) =5,
58
со&(х — <f>) = (ПОЛОЖИЛИ = siny>),
х — <р *= ± + 2ял,
х = arcsin-Ar ± + 2ли •
5v2	4
33. Функционально-графический метод
Различие направления использования этого метода
при решении уравнения Дх) - #(х) мы обсудили в § 1.
Они связайы либо с построением графиков функций
у—fix), y^g(x), либо с использованием свойств этих
функций. В тригонометрических уравнениях это выгля-
дит достаточно красиво.
Пример 7. Решить уравнение
Т^-Г = 5-?
I 8ШЖI	Я 1	2 1
Р е ш е н и е. На рис. 24, а изображен график функции
у = ।	. Для функции у = 5 — |х — у| сначала есть
смысл перейти к аналитическому заданию без исполь-
зования знака модуля. Если х<у, то |х — у| =
= - (х- yV и мы получаем у- 5 + £ (х “ у) = я х + 2'
59
и мы получаем
График этой функции изображен на рис. 24,6. А
теперь изобразим оба графика в одной системе коорди-
нат. Мы видим (рис. 25), что они пересекаются в двух
точках, причем эти точки симметричны относительно
прямой х = . Значит, достаточно найти абсциссу одной
точки пересечения графиков, а абсциссу второй точки
- можно будет вычислить без труда, используя соображе-
ния симметрии.
Попробуем угадать, в какой точке пересекаются гра-
фики функций у «	и у = jx + у (левая ветвь второго
графика). Ясно, что абсцисса точки пересечения принад-
лежит промежутку 0 <х < у, т.е. нам нужно найти такое
число х из первой четверти, чтобы и j|x + у прини-
мали одно и то же числовое значение. Нетрудно дога-
даться, что этим значением будет 5 (—Ц-«2 и
6	“»б
60
|.| + | = 2). Итак, хг = ^ тогда =
_5я x к
“ 6	2'*
Ответ: 7,
о о
Пример 8. Решить уравнение cos2x + cosy = 2.
Решение. Преобразуем уравнение к виду
cos2x = 2 — cos у и . рассмотрим две функции:
Дг) = соз2х и g(x) = 2-cosy. Наибольшее значение
функции Дх) равно 1, наименьшее значение функции
g(x) тоже равно 1. Значит, равенство Дх) =g(x) возможно
тогда и только тогда, когда одновременно Дх) * 1 и
g(x) = 1. В итоге мы приходим к системе уравнений
cos 2г = 1
cos у «1.
Из первого уравнения находим 2х = 2л£, т.е. х»лЛ.
Подставив эти значения во второе уравнение системы,
получим cos— = 1, что выполняется лишь в случае,
когда к кратно 5, т. е. к — 5п. Значит, решения системы,
а вместе с ней и заданного уравнения, имеют вид
х = л • 5л, т.е.х = 5лл.
Ответ: 5яп.
Замечание 5. Подобный способ рассуждений, по
нашим наблюдениям, школьники не особенно жалуют.
Они обычно говорят так сумма косинусов равняется 2
тогда и только тогда, когда каждый из косинусов равен
1. И в итоге приходят к той же системе уравнений.
Фактически они используют теорему: если Дх) s а,
g(x) S д, то уравнение Дх) + g(x) — а + Ь равносильно си-
стеме уравнений
1«(х) = Ь.
Эта теорема применима только к уравнениям специфи-
ческого вида Дх)+g(x) = « + &. Мы же предлагаем ис-
пользовать результат, применимый к уравнениям самого
общего видаДх) = g(x), который заключается, напомним,
в следующем:
61
если Дх) *А, g(x) SA, то Дх) »g(x) ♦
Пример 9. Решить уравнение
tg , /	«Уз---------
(1)
. Так
Решение. Имеем tg-=-------«tg
ДГ + 4Г+7	'
как 0 < +	* 3 J ♦ а та промежутке (О; -] функция
tgx возрастает, то tgO <	’т*е*
0<t8^7is^-	<2>
Значит, и правая часть уравнения (1) должна быть
положительной. Более того, поскольку sin |ж + ”| si,
получаем:	'	'
(3)
•т|я + =±]
Сопоставляя неравенства (2) и (3), приходим к сис-
теме
%+2)2+з“^
V3 / х = У
3.
Первое уравнение системы обращается в верное ра-
венство только при х « —2. Поскольку это значение удов-
летворяет и второму уравнению системы, то х = —2 —
единственный корень уравнения (1).
Ответ: —2.
ЗА. Отбор корней
в тригонометрических уравнениях
Этот довольно трудный для учащихся вопрос в школь-
ных учебниках решается самым простым образом—
почти не рассматривается. Но, по большому счету, от
него никуда не уйти: в процессе решения тригономет-
рических уравнений могло быть допущено расширение
области определения или мог быть использован метод
<2
возведения обеих частей уравнения в четную степень.
Значит, могли появиться посторонние корни, поэтому
надо из найденных решений отобрать те, что на самом
деле являются корнями заданного уравнения. Наконец,
очень полезен как в дидактическом, так и в математи-
ческом плане, сюжет, в последнее время достаточно
популярный, например, на вступительных экзаменах по
математике в вузы: из корней данного тригонометриче-
ского уравнения отобрать те, которые принадлежат дан-
ному промежутку. Рассмотрим несколько примеров, где
обсудим возможную методику решения задач указанных
типов.
Пример 10. Найти корни уравнения, принадлежа-
щие заданному промежутку:
1)	со$х = |,хЕ[-2я,Зж];
2)	cos3x»0,xG[|,4];
3)	sinx = ^,xE[|,7].
Решение. 1). Решения уравнения: х» ±^ + 2лЛ.
Осуществим «перебор по параметру» к.
Если Jt»O, то х=±^,	^е(-2ж, Зя],
-£е[-2я,3я].
Если Jt=l, то х« ±^ + 2я, т.е. х — или х=у;
^6[-2л, 3л],^е[-2л,3л].
Если Jt = 2, то х«±^ + 4ж, т.е. х = -^ или
х«^|£; оба этих значения больше Зя, т.е. не принад-
лежат заданному отрезку. Тем более не принадлежат
заданному отрезку те значения х, которые получаются
при к = 3, 4, 5,„.
Если Jt=-1, то х=±^-2л, т.е. х«-~ или
*	з *	з
х= —Из этих значений —£ ]—2я, Зж], а
-^€[-2ж, Зж].
Если к» —2, —3, —4,..., то получаются точки левее,
чем—2л, т.е. не принадлежащие заданному отрезку.
43
2)	.НаходимЗх = у + лЛ,х = ^ + ^.Осуществим«пе- •.
ребор по параметру» к:
к =	=	4] (следует помнить в таких слу-
чаях, что я » 3,14);
*	=i, x = f; fe[{;4];
*	= 2, x = |+^ = f; fe[|; 4];
fc = 3, x = 7 + л = ^;	4] (здесь приходится
О	О О X
7*	7 ‘ 3-14	24 - А\.
считать: — я» —g— < — = 4);
*	= 4, х = | + у = ^>4, значит,	4].
Аналогично не подходят нам те значения х, что
получаются при к = 5, б, 7,... и -1, -2, -3.
3)	. Здесь происходит «наложение трудностей»: и зна-
чение синуса «неудобное» и промежуток «неудобен»
(легче работать с далями числа я). Тем не менее мето-
дика рассуждения будет примерно такой же, как в двух
предыдущих ' примерах. Решения уравнения
х« (—iyarcsin-^ + лл. Оценим значение arcsin^..
Имеем ^<-^<1, значит, arcsin^y-< arcsin^<
< arcsin 1, т.е. % < arcsin-^г < и во всяком случае,
X	1U X
1 < arcsin<1,6.	(1)
Теперь можно делать «перебор по параметру» к.
Если л = 0, то х0 = arcsinИз (1) следует, что .
Хо S ; 7].
Если п — 1, то х2 — я — arcsin-—>. Из (1) следует, что
Х16[|;7].
Если п — 2, то х2 = 2я + arcsin > 6,28 +1 > 7, зна-
чит, х2 £ [у; 7]. Тем более не подойдут те значения х,
которые получаются при п = 3, 4.... а	также нри
п = -1, -2, -3...
Ответ.
3) arcsin^, я-arcsin^.
64
Пример 11. Решить уравнение tgx +tg2x = tg3x.
Решение. Сначала выполним понятные преобразо-
вания:
rin3bc в!пЗх
соех сое2х еоеЗ*’
sin Зг (cos ЗХ-cosx cos2x) «О,
sin ЭХ ((cos 2r cosx-sin 2x sinx) - cosx cos2x)«0,
sin 3X‘sinx-sin 2x»0.
Значит, либо sin3X-0, x = либо sinx»0, х»яи,
либо sin2r-0, x«^.
it
Проверка. В процессе решения уравнения было
допущено расширение области определения (за счет ос-
вобождения от знаменателей). Корни уравнения должны
удовлетворять условиям cosx # 0, cos 2х * 0, cos ЗХ * О,
т.е.х#? + яЛ,х*5 + ^,х#^ + ^.
2	’	4	2’	63
: Пк.26	ГЖ.27
Для наглядности изобразим «запрещенные» значения
точками на числовой окружности (рис. 26). Теперь най-
денные выше три серии решений тоже изобразим точ-
ками на другом макете'числовой окружности, отбрасы-
вая, естественно, те значения, которые попадают в «за-
прещенные^точки. Начнемте ’серии х« Это б точек
65
5 Заказ 57200
(рис. 27); с точками, отмеченными на рис. 26, совпаде-
ний нет.
Далее, х « яп — эго 2 точки, концы горизонтального
диаметра. Они уже отмечены (см. рис. 27), так что можно
их не учитывать.
Наконец, х = ф—это 4 точки, концы горизонтально-
го и вертикального диаметров. Первые две точки уже
отмечены (см. рис. 27), а последние две точки брать
нельзя—они есть в числе «запрещенных» (см. рис. 26),
т.е. х — % + яп — посторонние решения. Таким образом,
серия х —у-, равно как и серия х=лп, не дают нам
дополнительных решений уравнения по сравнению с
серией х»ф, а потому решения заданного уравнения
исчерпываются серией х « у.
Ответ, у-.
Пример 12. Решить уравнение
Vl + sin2x = V2 cos 2х.
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
1 + sin 2х = 2 cos22x .
Положив sin2r=y, получим последовательно:
1+7 = 2(1-/), 2/+у-1 = 0, У! = -1, у2 = |-
Следовательно, sin2x=—1 или sin2x = y, откуда
получимх = ~ + яп, х»(-1)"'-^ +Y-
4	12	2
Проверка. Корни заданного уравнения должны
удовлетворять условиям 1 + sin 2х 2 О и cos 2х 2:0. Пер-
вое неравенство справедливо при всех х, значит, най-
денные серии х—~ + т и х = (-1)"-^ + ф нужно
«пропустить» только через условие cos2x 2 0.
Для серии х--у+лл получаем cos2x==
= cos [ — у + 2лл| » сову * 0, т.е. условие cos2x 2 0 вы-
полняется. '
Для серии х = (—1/* •— + —-• получаем cos2r==
12	2
» cos + яп). Если л— четное число, n » 2m, то
cos ((—l)2"*^+л-2т) “ cos — > 0; условие cos 2x 2 0 вы-
полняется. Если л—нечетное число, п = 2т+1, то
cos((— 1)2ж+1^ +л(2т+1)) = cos (~7 + л1=-cos^< 0;
условие cos 2г 0 не выполняется? /
Итак, из серии х « (—1/* ” можно брать только
значения, соответствующие параметру л «2т, т.е.
х-(-1)1"л + £Т!-Й + ’т-
Ответ: ~ + лл, 77 + ят.
4	12
Вот еще один подход к решению этого уравнения.
Положим t = 2х, тогда, рассуждая, как и выше, получим
sint=-l, откуда t=-~ + 2jtfc, или sint = ^-, откуда
t = (—1)"^ + лл. Проверку делаем с помощью условия
cost & 0, что легко изображается на числовой окружности
(рис. 28). На этой же • окружности отметим решения
t= ~ + 2пк (точка С ) и решения t«(—1)"^ + яп (точки
А и В ). Видим, что точка В не попала в заштрихованную
дугу, значит, этой точке соответствуют посторонние ре-
шения.
P1K.2S
Остается сделать соответствующие записи для точек
С и А. Для точки С	~ + 2як, т. е.х = — ^ + як. Jifa
2	Л
точки Л Г = | + 2л£, т.е. х	+ л£.
67
Упражнения
7
Решите уравнения.
70.	2cos3x + V3 sinx + cosx = 0.
71.	sin 6х cos 2х « sin 5х cos Зх - sin 2х.
72.	costr + sintr - sin2r + ^sin2!* = 0.
73.	5 sin 2x- 11 sinx + 7» 11 cosx.
74.	sintr + sintr cos2x“sin3x cos3! + sinx costr.
75.	sintr costr -10 sinx cos3! + 21 costr = 0.
76.	sin2x- cos2x* 2-sin2x.
77.	sin2x + tgx = 2.
78.	4sin2x-tg2 (x — ^ = 4.
79.	tgx + ctgx - cos 4x « 3.
80.	2 —2 sinx — 2 cosx + tgx + ctgx = 0.
81.	2 (ctgx — 1) cos 2x « 1 + ctgx.
82.	V5 - 2 sinx “ 6 sinx - 1.
83.	Vl-2tgx -Vl + 2ctgx=2.
84.	V3 sinx - V2 sintr - sin 2x + 3 costr » 0.
85.8i“2jt+8icos2x=30.
86.	4t*2*+2^ » so.
87.	3е0*2*(4 • 3^- 9) - 1.
88.	21+2 еовЛ +	» 9.
3®n2x+2 coe2x + з1-яп2х+2®п2х = jg
90.	| + 16“* = 6 • 16-coe’ (1 * 1).
91.	Igcosx + logojsn^Blg?.
92.	т cosx + togC4MX sinx « 2.
93.	2 sin2 sin2 7 »-4 +x2,. .
94.	2” coe* = log^x + log, л.
95*. V4 + c<te22x = (sia3x - cos3x)  1/2.
96*. sinx +2sin2x »4 + sin l7x.. , .	,
97. sin 18r +sin 10tr +sin 2x^3 +cos22x.
99. cos2 - 16я------------- -=—1 , .
l&r - 8* + 49 ff*» + ctg*xx
100*. cos2 (sinx + VT cos2!:)) — tg2 be + ^tg?x\ » 1.
Ответы
70. f+y. 71. у;у + лл.72.0.
73. j±arccos^ + 2a*. 74. л*; ^ + ли. 75. у+л*;
arctg 7 + лп; агс^З+лл». 76. у+л*; arctg-|+xn.
TJ.^ + як. П.^ + як. 79. J + л*;
(-lf|arcsin^i + y.
80. ~^ + л*; ^Aarccos^~^ + 2лл. 81. ^+y.
82. (-l)*f +лк. 83. -^- + як.^4.^ + 2лк;
- arctg3 + л (2л + 1). 85. ±^ + л£; ± j + лл.
86.	±| + я*. 87. % + лк. 88.^;±§ + ^.
89.	f + хк; -J + лп. 90. л* ; (-1)*+1|+лл.
91.	arcsin^ + 27i*. 92. J + 2л*. 93.0. 94. я.
95-5 + 2я*. 96: 0. 97.*+л*. 98. -3.
99.	|. 100. -j + 2x*. 
’ *	у \'	•
г ; ; * 4 1 1
Указания
11. Введите новую переменную у	—
15.	Разделите обе части уравнения почленно на х2 и
введите новую переменную ух + Г
69
16.	Введите новую переменную у = j + ~, учитывая,
22.	Положите у = ^35-х3 ; тогда задача сведется к
решению системы уравнений
{ху(х+у) = 30
х3+у3 = 35 .
23.	Введите новые переменные: у = уП1 + х,
z - у/10-х, тогда задача сведется к решению системы
уравнений
|у+х»5
y*+i* = 97.
29.	Введите новую переменную у  (5 + 2Тб )*, учи-
тывая при этом, что (5 — 2V6)* = -.
46.	5* = 9* —2 • 3*-2* +4е; 5* = (3* - 2*)2. Значит,
(yfsy — 2*, и далее, + 1 =	. Заметьте,
что в левой части последнего уравнения убывающая, а
в правой — возрастающая функция.
49.	Положите t — log^ и решите уравнение как квад-
ратное относительно t.
95.	См. пример 22 из § 1.
96.	Уравнение сводится к системе уравнений
sinx = 1
, sin2x= 1
sinl7x=-l.
98.	Преобразуйте уравнение к виду sin^^ =
1^1+И|Ж|3) и учтите, что sin^-^j—s
Ssin*-^; ^7(log3|x|+log|x|3)2:^7-2 = ^-.
100. Запишем уравнение в следующем виде:
cos2
F (sinx + V2 cos2*}
1
сов2 (x + ^tg2*)
70
Так как левая часть уравнения не больше 1, а правая —
не меньше 1, то задача сводится к системе уравнений
Далее,
cos2 (sinx + V2 cos^j = 1
cos2 (x + ^tg^»l
(sinx + V2 cos^x) « яп (V2 cos^c + sinx - 4n
x + ^tg2x = nm	, x + Jtg2x-nffl
Первое уравнение имеет решения лишь при « = 0.
Значит, V2 cos2x + sinx = О, откуда х = — ^ + 2я£; х =
ж + 2лк. Из этих двух серий лишь первая удовлетво-
ряет второму уравнению системы.
Приложение
УРАВНЕНИЯ
Основные формулы н алгоритмы
Квадратные уравнения
Формулы корней квадратного уравнения
аз? + &х + с = 0 (а # 0)
Число Ь2 — 4ас—дискриминант квадратного уравне-
ния (обозначается буквой D).
Теорема Виета и ее следствия
Если хь х2 — корни квадратного уравнения
х2 + рх + q = 0, то:
Xi +х2 = ~Р>	* 1 +*2 = -Р(Р2 - ЭД,
xtx2 = q,	х}+х£ = ф2-2$)2-2$2.
XiX2 = q,
xl+xj=p2-2q,
Алгоритм решения уравнения 3-й степени
ах3 + hr2 + сс + d = 0, гдео,&,с, J— целые числа; а # 0.
L Выпишите все делители свободного члена d.
2. Выберите среди этих делителей то число xlt которое
является корнем уравнения (если такого числа нет, то
алгоритм неприменим).
У. Разделите аз? + far2 + сх + d на (х — хг), получите в
частном квадратный трехчлен аз? + Ь]Х + сх.
4.	Найдите корни х2, х3 уравнения аз? + btx + ct - 0.
5.	Запишите ответ: х2, х2, х3 — корни уравнения.
72
Иррациональные уравнения
Если п — нечетное число, то уравнение ^Дх) = g(x)
равносильно уравнению Дх) = (q (х)/*.
Если п — четное число, то уравнение Vflx) - q(x)
равносильно смешанной системе:
»*0,
g(x) 2: О,
ЛО»^))".
Показательные уравнения
Если а > 0, а # 1, то уравнение	равносиль-
но уравнению Дх) — q(x).
Логарифмические уравнения
Если а > 0, а * 1, то уравнение 1о^Дх) = log, <?(х) рав-
носильно смешанной системе:
»>0,
д(х) > О,
Дх) = q(x).
ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ
Формулы, связывающие функция
одного и того же аргумента
sin2x + cos2x = 1.
1 + ctg^ = -7^5-.
sin x
tgx ctgx = 1.
Формулы, связывающие функции ар!ументов,
из которых один вдвое больше другого
sin2x = 2sinx cosx.
cos2r — cos2x — sin2x.
tg2x= 2tg*.
1 - tg2*
•_2	1 — cos2* __ 2	1 + cos 2x
sintr =---2---> costr =-------- (формулы пониже-
ния степени).
1 ± sin 2x = (cosx ± sinx)2.
Если tg^ = u, to sinx= cosx = 1 ~и, (универ-
сальная подстановка).
Формулы сложения аргументов
sin (а ±р) = sin а cos/3 ± cos а sin/?,
cos (а ±р) — cosa cos/? 7 sin a sin/?.
tg(a±/?) = t8g±t8^.
l^tgatg/T
Формулы преобразования сумм в произведения
sin a ± sin/5 = 2sina±^ cosa^.
cos a + cos/? = 2cos cos —
74
cos a - cos/3 = -Zsin^y^sin^A
tgg±tgfl=
cos a cos fl
Asint + Bcost = >/A2 + В 2 sin(t + f)t где <p — вспомо-
гательный угол, причем cosy =	.
Формулы преобразования произведений в суммы
sina cos/J = (sin (a — p) + sin (a + p)).
sina sin/? = -| (cos (a-p) - cos (a + p)).
cos a cos/3 = A (cos (a - /3) + cos (a + /3)).
Формулы приведения
Это формулы, с помощью которых тригонометриче-
ская функция от аргумента вида ± а преобразуется в
тригонометрическую функцию от аргумента а.
Правило для запоминания формул приведения:
1.	Для аргументов, отсчитываемых от горизонталь-
ного диаметра (л ± а, 2л — а), название функции не
меняется.
2.	Для аргументов, отсчитываемых от вертикального
диаметра (у —^±а), название функции меняется
(синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котан-
генс, котангенс на тангенс).
3.	Перед полученной функцией ставится тот знак,
который имела бы приводимая функция в той четверти,
в которой лежит аргумент ± а, если 0 < а < j.
75
Простейшие тригонометрические уравнения
sinx — а, |а| £ 1«*х= (—1)" arcsine+лл.
cosx«в, |в | S 1*х» ± arccose + 2лл.
tgx = в «* х = arctge + лл.
ctgx*a х = arcctge + лп, n£Z.
Частные случаи:
sinx ’ 0 ♦ х = хл.
cosx = 0 «*х = ^- + лл.
sinx »1 ♦ х » £ + 2хп.
2
cosx = 1 «* х = 2лп.
stax.-Lx.-f + Z»».
cosx = —1 ♦ х = л + 2ял.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение......................................3
§ 1.	Общие методы решения уравнений...........4
1.	1. Метод разложения на множители........4
L2	. Метод введения новых переменных....... 9
13.	Функционально-графический метод.....16
Упражнения................................34
Ответы....................................37
§ 2.	О равносильных уравнениях,
уравнениях-следствиях, проверке корней
и потере корней при	решении уравнений.......38
Упражнения................................51
Ответы....................................51
§ 3.	Тригонометрические	уравнения............52
3.	1, Метод разложения на множители.....52
33.	Метод введения новых переменных.....55
33.	Функционально-графический метод.....59
3.4	. Отбор корней в тригонометрических
уравнениях...............................62
Упражнения................................68
Ответы....................................69
Указания.....................................69
Приложение...................................72
77
Учебное нзданне
Александр Григорьевич Мордкович
РЕШАЕМ УРАВНЕНИЯ
Редактор Л В. Кузнецова
Художественно-технический редактор Н.Д. Горбуном
ИБ №69
ЛР № 020513 от 15.04.92
Сдано в набор 07.03.95. Подписано в печать 03.07.95.
Формат 84Х10S'/»- Гарнитура «Тайно. Печать офсетная.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,20. Уч.-изд. л. 2,99.
Тираж 50 000 экз. С94. Заказ 57200.
Издательство «Школа-Пресс»
103051, Москва, Цветной б-р, 21/2
Отпечатано в типографии АО «Молодая гвардия».
Адрес АО «Молодая гвардия»: 103030, Москва, Сущевская, 21.
Издательство “Школа-Пресс"
в серии "ШАНС"
(“Школа Абитуриента Научись Сам")
предлагает
Е. Г. Ивлиева. Как готовиться к экзамену
по математике.
А. Г. Мордкович. Геометрические задачи на плоскости.
Ф. А. Чмиленко, И. Г. Виннченко, Т. С. Чмиленко.
Подготовка к экзамену по химии
с контролем на ЭВМ.
А. Головатенко. История России: спорные проблемы.
Е. Н. Ильин. Как сдать экзамен по литературе.
Л. М. Малышева. Рифы и мифы вступительных
экзаменов: Русский язык и литература.
Ю. А. Озеров. Экзаменационное сочинение
на литературную тему.
Л. А. Четко. Пособие по русскому языку
для поступающих в вузы.
География: методические рекомендации и тесты /
Под ред. С.И.Болысова К Г. И. Гладкевич.
Биология: пособие для поступающих в вузы биолого-
медицинского профиля / Авт. Т.С. Калинова, А.И.Ни-
кишов, А. Г. Хрипкова, Л. Н. Сухорукова.
Уважаемые читатели!
(-----------------------------------------
Подписываясь на журнал «Математика в
школе» (индекс по каталоху Роспечати
70557), обратите внимание на Библиотеку
журнала «Математика в школе» (индекс
71251), в которую входят «Задачи письмен-
ного экзамена по математике за курс сред-
ней школы», а также на Библиотеку журнала
«Физика в школе» (индекс 71253), в которой
предлагаются различные дидактические ма-
териалы.
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «ШКОЛА-ПРЕСС» ВЫХОДЯТ:
«Задачи письменного экзамена по математике за курс
средне! школы». Выл. 1, 2, 3 (в одной книге).
В. Н. Литвиненко. Стереометрия в типовых задачах.
В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордковнч. Задачник-прак-
тикум по алгебре.
В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордковнч. Задачник-прак-
тикум по элементарной математике.
Адрес издательства;
103051, Москва, Цветной б-p., д. 21, строение 2.
Телефон отдела маркетинга: 200-10-49.
Решаем уравнения:
Общие методы решения уравнений
Метод разложения на множители
Метод введения новых переменных
Функционально-графический метод
О равносильных уравнениях, уравнениях-
следствиях, проверке корней и потере
корней при решении уравнений
Тригонометрические уравнения
Метод разложения на множители
Метод введения новых переменных
Функционально-графический метод
Отбор корней в тригонометрических
уравнениях