/
Теги: распространение световых лучей отражение преломление поглощение излучение физика
ISBN: 978-5-8114-4251-5
Текст
Г. А. МОЖАРОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ОПТИКА
Учебное пособие
Издание второе, стереотипное
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
МОСКВА•КРАСНОДАР
2019
УДК 535.31
ББК 22.34я73
М74
Можаров Г. А.
М 74 Геометрическая оптика: Учебное пособие. — 2-е
изд., стер.— СПб.: Издательство «Лань», 2019.—
708 с: ил. — (Учебники для вузов. Специальная
литература).
ISBN 978-5-8114-4251-5
Изложены основные законы, понятия и принципы
геометрической оптики, теория параксиальной и идеальной оптики,
приведены сведения об оптических материалах, энергетике
оптических систем, теория световой трубки. Изложены теория
монохроматических аберраций третьего и высших порядков на
основе эйконалов, сложение аберраций, связь между
геометрическими и волновыми аберрациями, аберрации оптических
деталей, ахроматизация и апохроматизация оптических систем,
основные виды оптических деталей и систем, расчет основных видов
оптических систем на основе теории аберраций третьего порядка.
Для студентов, обучающихся по направлению «Оптотехника»
и специальности «Оптико-электронные приборы и системы». Может
быть полезно для специалистов и научных работников,
занимающихся расчетом оптических систем.
УДК 535.31
ББК 22.34я73
Рецензенты:
Л. Н. АНДРЕЕВ — доктор технических наук, профессор Санкт-
Петербургского национального исследовательского университета
информационных технологий, механики и оптики;
В. А. СОЛОМАТИН — доктор технических наук, профессор кафедры
оптико-электронных приборов Московского государственного
университета геодезии и картографии.
Обложка
Е. А. ВЛАСОВА
© Издательство «Лань», 2019
© Г. А. Можаров, 2019
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2019
ВВЕДЕНИЕ
ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
Оптика, будучи одной из самых древних наук, прошла
длительный и сложный путь своего зарождения и развития, но начала
давать практические результаты только в XVI в., когда впервые
появились микроскоп и зрительная труба. Зарождение оптики не
могло состояться без умения производить стекло. Первые следы
стеклоделания, относящиеся к IV тысячелетию до н.э., были найдены
в виде стеклянных бус при раскопках в Египте, где, по-видимому, и
был впервые изобретен способ изготовления стекла. Во II
тысячелетии до н.э. в Египте стекло варили в глиняных горшках
емкостью до 0.25 л. На рубеже нашей эры было освоено изготовление
бесцветного прозрачного стекла и формование изделий выдуванием.
При раскопках Помпеи (разрушен при извержении Везувия в августе
79 г. н.э.) были найдены бесцветные, но малопрозрачные оконные
стекла размером 54x72 см. Пригодного для оптических целей стекла в
древности получено не было.
Впервые стекло для зеркал, достаточно толстое, плоское и
прозрачное, появилось, вероятно, только во 2-й половине XII в.;
именно в этот период появились и очки. Лучшим в мире стеклом
вплоть до XVI века считалось венецианское стекло. Первым научным
трудом по стеклоделию считается книга монаха Антонио Нери,
вышедшая в свет в 1612 г. во Флоренции. В России первый
стекольный завод был построен в 1635 г. Накануне Первой мировой
войны A914-1918) в стране насчитывалось более 200 в основном
мелких стекольных предприятий, на которых в 1913 г. производилось
около 320 тыс. т. стекла. В 1974 г. объем производства стекла в СССР
составлял около 7 млн. т. В создании основ теории стеклоделия
существенную роль сыграли российские ученые М.В. Ломоносов
A711-1765), Э.Г. Лаксман A737-1796), Д.И. Менделеев A834-1907),
В.Е. Тищенко A861-1941) и др.
До конца XIX в. в стеклоделии преобладал ручной труд и
только во 2-й половине XX века производство стекла было
механизировано и автоматизировано. Материальной базой для
создания первых оптических приборов были зеркала и линзы. Первые
сведения о применении металлических зеркал (из бронзы или
серебра) в быту относятся к III тысячелетию до н.э.
Существует древняя легенда о сожжении древнегреческим
ученым Архимедом (ок. 287-212 гг. до н.э.) вражеского флота с
помощью системы зеркал. Техническая возможность такого факта
была подтверждена в наше время греческим инженером Иоанисом
Саккасом. По его сигналу 6 ноября 1973 г. в 12 часов дня солдаты
направили солнечные лучи с помощью 70 отполированных до
зеркального блеска металлических щитов на деревянные модели
древнегреческих кораблей с расстояния 55 м. Эти модели загорелись в
течение 2-3 минут.
Стеклянные зеркала (с оловянной или свинцовой подкладкой)
появились у римлян в I в. В начале Средних веков они исчезли и
снова появились только в XII в.
Первые сведения о линзах относятся приблизительно к 2500 г.
до н.э. Линзы этого периода обнаружил в 1890 г. немецкий археолог
Генрих Шлиман A822-1890) при раскопках Трои.
Теория зеркал и линз не могла получить своего развития без
установления основных законов оптики (прямолинейного
распространения света, независимости световых пучков, отражения и
преломления), хотя сами очевидные факты прямолинейного
распространения света, отражения и преломления были известны с
древнейших времен.
Ко времени древнегреческого математика Евклида (III в. до н.э.)
накопились данные, на основе которых он написал трактат по оптике,
где рассматривал изображения, даваемыми зеркалами.
Древнегреческий ученый Клавдий Птолемей (ок. 90-160 гг.)
написал пятитомный трактат по оптике, в котором развил теорию
зеркал, представил таблицу углов преломления при переходе
светового луча из воздуха в воду и стекло.
После падения Римской империи наступил более чем
тысячелетний закат научной деятельности в Европе.
Арабский ученый Альгазен (965-1039), собрав все известные до
него материалы и добавив свои собственные, написал капитальный
труд «Сокровище оптики» G книг, переведенных на латинский
в XII в.), в котором наряду с экспериментальным изучением законов
отражения и преломления впервые дана теория процесса зрения. Его
мысли о связи между преломлением и увеличением прозрачных тел,
ограниченных выпуклыми поверхностями, вполне могли
способствовать появлению первых очков. Труды Альгазена создали
новую эпоху в истории развития оптики.
В 1271 г. польский физик Вителло написал трактат по оптике
в 10 книгах, в которых приводятся описания многочисленных опытов.
Первые успехи в области практической оптики не были связаны
с применением накопленных теоретических знаний. Подтверждением
тому служит изобретение очков чисто экспериментальным путем. Это
был самый замечательный результат оптики за многие века, хотя
упоминания об употреблении шлифованных природных кристаллов
встречаются еще у античных авторов. Первые достоверные сведения
о применении очков относятся к XIII в. (Италия). Действие их в тот
период описал английский философ и естествоиспытатель Роджер
Бэкон (ок. 1214-ок.1292). Принято считать, что очки были изобретены
в 1285 г.
Первыми создателями очков были простые, но искусные мастера
шлифовки и полировки. В процессе своей работы они чисто
визуально контролировали качество шлифовки и полировки. Поэтому
изобретение ими очковых линз было вполне естественным. Ученые,
обладавшие к тому времени значительными знаниями, не только
содействовали изобретению очков, но, наоборот, всячески мешали
работе над их усовершенствованием. Причина этого заключалась в
незнании механизма и природы зрения, о чем свидетельствует такое
высказывание: «Основная цель зрения - знать правду, линзы для
очков дают возможность видеть предметы большими или меньшими,
чем они есть в действительности, через линзы можно увидеть
предметы ближе или дальше, иной раз, кроме того, перевернутыми,
деформированными, следовательно, они не дают возможности видеть
действительность. Поэтому, если вы не хотите быть введенными в
заблуждение, не пользуйтесь линзами». Академик Сергей Иванович
Вавилов A891-1951) писал: «Очки, несмотря на всю их
удивительность для человека XIV и XV вв. и практическую важность,
не сделались основой для дальнейшего развития оптики. Книги
Альгазена, Вителло, Бэкона мирно покоились в монастырских и
университетских библиотеках, в университетах читались оптические
курсы как часть повышенного курса, именитые люди исправляли свое
зрение в старости очками, но оптическая наука XIV и XV в., если
говорить о перспективе, имевшей значение только для художников,
стояла на месте».
Первые попытки использовать теоретические знания на
практике были предприняты в конце XIV - начале XV вв.
итальянским ученым Леонардо да Винчи A452-1519). В частности, он
занимался построением хода лучей в человеческом глазу и в линзах,
дал научное объяснение работы зеркал, линз и очков. Но ему не был
еще известен закон преломления света, поэтому выполненные им
построения хода лучей не были точны. Леонардо да Винчи много
работал с камерой-обскурой, сыгравшей важную роль в оптике. С ее
помощью стало понятным, что такое действительное оптическое
изображение. До открытия камеры-обскуры были известны только
изображения на картинах художников и изображения, возникающие в
глазу человека. В работах Леонардо да Винчи встречаются мысли о
создании телескопических систем. Сохранились его рисунки
телескопических систем и подписи к ним. Однако нет никаких
прямых указаний на то, что он занимался конструированием
телескопа. Был ли им создан телескоп или нет, неизвестно. Изучая
свойства бинокулярного зрения, около 1500 г. Леонардо да Винчи
изобрел стереоскоп.
После Леонардо да Винчи значительной фигурой в истории
геометрической оптики является итальянский математик и физик
Франческо Мавролик A494-1575), завершивший свое оригинальное
исследование по оптике в середине XVI в. Мавролик рассматривал
вопросы прямолинейного распространения света, его отражение от
плоских, сферических, цилиндрических и конических зеркал,
преломление света, явление радуги, строение глаза, механизм зрения
и действие очков. Хотя он и считал, что лучи преломляются как
линзой, но еще не мог признать, что изображение в глазу получается
перевернутым. Наоборот, с помощью различных ухищрений он
пытался доказать, что изображение в глазу является прямым.
Мавролик первым объяснил причину дальнозоркости и близорукости,
установил, что выпуклые линзы собирают свет, а вогнутые
рассеивают, вплотную подошел к явлению сферической аберрации и
предпринял попытки к его изучения. К сожалению, труд Мавролика
был опубликован лишь в 1611 г. спустя 57 лет после написания и
поэтому не смог оказать заметного влияния на развитие практической
оптики той эпохи.
Дело Леонардо да Винчи и Мавролика продолжил их
соотечественник Джованни Батиста де ла Порта A535-1615).
Оптическим исследованиям посвящены два его произведения
«Натуральная магия» и «О преломлениях». В них Порта делает
попытку построить ход лучей в линзах и даже приводит оптическую
систему телескопа. Свой приоритет в изобретении зрительной трубы
он отстаивает в письме, написанном 28 августа 1609 г. в Римскую
академию, в котором утверждает: «Я знаю секрет зрительной трубы,
это пустяк, взятый из книги моей «De refractione»». Письмо
сопровождалось рисунком по «схеме Галилея». Но в указанной книге
нет ничего такого, о чем писал де ла Порта, и поэтому вопрос о его
приоритете зрительной трубы является недоказанным.
Сейчас установлено, что первый самодельный телескоп создал в
1609 г. некий Лоуэлл. Однако полная неизвестность Лоуэлла и его
скромность помешали ему опубликовать сообщение о своих
астрономических наблюдениях. Это привело к тому, что первым
изучавшим небо с помощью телескопа до сих пор считают Галилея.
Сам Галилей об этом писал: «Месяцев девять тому назад дошел до
наших ушей слух, что некий бельгиец построил перспективу (термин
«телескоп» появился позже), при помощи которой видимые
предметы, далеко расположенные от глаз, становятся отчетливо
различимыми, как будто они были близкими. Сообщалось об опытах
с этим удивительным прибором, одни их подтверждали, другие
отрицали...». В этом же году Галилей построил свой первый телескоп,
представлявший собой свинцовую трубу, на одном конце которой он
укрепил плосковыпуклую очковую линзу, а на другом -
плосковогнутую.
Хотя Галилей не является первым создателем телескопа, он
первый, кто создал его на научной основе, на основе знаний,
известных в оптике к началу XVII в.
Создавая раздвижные зрительные трубы, Галилей обнаружил,
что при соответствующем расстоянии между линзами можно увидеть
увеличенными не только удаленные, но и близко расположенные
предметы. Это обстоятельство явилось основанием к тому, что им
был создан первый сложный микроскоп, о чем в 1610 г. сообщил
Джон Уоддерборн, современник Галилея. Преследования со стороны
инквизиции помешали Галилею обобщить свои исследования по
оптике в одной книге.
Изобретателями сложных микроскопов, состоящих из двух линз,
считают также Г. Янсена, 3. Янсена, Дреббеля.
Следующий крупный вклад в разработку теории геометрической
оптики сделал немецкий астроном Иоганн Кеплер A571-1630).
В трактате «Дополнения к Вителло», вышедшем в 1609 г. в Праге, он
впервые указывает, что освещенность убывает обратно
пропорционально квадрату расстояния от источника света. В другом
трактате «Диоптрика», вышедшем в 1611 г., он описал изобретенную
им схему телескопа (зрительная труба Кеплера) из двух
положительных линз и схему трехлинзовой зрительной трубы с
прямым изображением (земная зрительная труба). Зрительная труба
Кеплера давала возможность поместить в фокальной плоскости
объектива «эталонный объект», с которым можно было сравнивать
изображение в данной плоскости удаленного объекта. Это, в свою
очередь, привело к применению окулярного микрометра, который
был изобретен в 1638 г. англичанином Вильямом Гаскойном. Из-за
тяжелых материальных условий, сопровождавших Кеплера всю
жизнь, он не мог создать конструкции своих телескопов. Его идеи
воплотил в жизнь, вероятно, не позднее 1613 г. X. Шейнер.
Именно Кеплер является создателем первой научной теории
оптических систем. В частности, он утверждает, что в глазу
образуется перевернутое изображение предмета, впервые вводит
понятия сходимости и расходимости лучей светового пучка,
оптической оси, фокуса, дает формулу связи фокусного расстояния
линзы с расстояниями от линзы до предмета и изображения,
вплотную подходит к понятию сферической аберрации луча после
преломления на оптической поверхности, пытается найти форму
такой поверхности, которая собирала бы после преломления лучи
пучка в одну точку.
Решающее значение для дальнейшего развития теории
аберраций имела точная математическая формулировка закона
преломления света, сделанная около 1620 г. голландским астрономом
и математиком Виллебрордом Снеллиусом A580-1626) на основании
опытов. Около 1637 г. независимо от Снеллиуса этот закон был
установлен на основании забытых в настоящее время общих
соображений о природе света французским философом и
математиком Рене Декартом A596-1650). Впоследствии великий
французский математик Пьер Ферма A601-1665) показал, что закон
преломления может быть получен как следствие кратчайшего пути
луча.
Наряду с этим Декарт в написанной в 1632 г. «Диоптрике»
одним из первых правильно описал строение глаза, механизм зрения
(приводя аналогию с камерой-обскурой, в отверстие которой
установлена линза) и средства его улучшения. Занимаясь
конструированием сложных микроскопов, он впервые применил
новый для того времени элемент-конденсор в виде плосковыпуклой
линзы. Декарта можно считать основоположником асферической
оптики; он первым комбинировал сферические поверхности линз с
гиперболическими и эллиптическими, исправляя тем самым
сферическую аберрацию. Для изготовления асферических
поверхностей он сконструировал специальные станки, которые были
изготовлены лишь три столетия спустя. В его «Диоптрике» впервые в
научной литературе описаны способы центрировки линз даже с
гиперболическими поверхностями. Благодаря работам Декарта
геометрическая оптика становится строгой теорией (без учета
явлений дифракции).
После Декарта успехи в развитии геометрической оптики
связаны с именем английского физика и математика Исаака Ньютона
A643-1727). Оптикой он начал интересоваться еще в студенческие
годы. Уже в начале 1666 г. он открыл явление дисперсии света,
в 1668 г. собственноручно изготовил свой первый зеркальный
телескоп, а в 1675 г. впервые описал интерференционные полосы
равной толщины в виде колец, расположенных концентрически
вокруг точки касания двух оптических поверхностей. Притязания
английского естествоиспытателя Роберта Гука A635-1703) на
приоритет в открытии интерференционных колец привели к тому, что
раздраженный Ньютон решил не публиковать работ по оптике. Лишь
в 1704 г. (через год после смерти Гука) он опубликовал свои
многолетние исследования в фундаментальном труде «Оптика».
Небезынтересно отметить, что итальянский математик и физик
Эванджелиста Торичелли A608 - 1647), умерший, когда Гуку было
еще 12 лет, а Ньютону-5, изготавливал линзы, точность
поверхностей которых соответствовала самым высоким современным
требованиям. Он не раскрыл секрета достижения такой точности и не
опубликовал ни одной работы по оптике. Предполагают, что при
оценке точности обрабатываемой поверхности он обнаружил, а затем
использовал интерференционные кольца, возникавшие при притирке
обрабатываемой поверхности и поверхности формы.
Ньютон первым установил, что качество оптического
изображения зависит не только от сферической аберрации, но и от
хроматизма. О существовании хроматической аберрации было
известно и до Ньютона. Но никто до него не догадался связать ее с
нечеткостью изображения в зрительной трубе. Он же вывел формулы
для вычисления параксиального хроматизма линз. Однако великий
Ньютон допустил досадную ошибку, приняв, что коэффициент
дисперсии (п-\)/Ап одинаков для всех прозрачных сред. Отсюда
сразу же вытекала невозможность исправления хроматической
аберрации. На этом основании Ньютон посчитал попытки улучшить
качество изображения линзовых систем бесперспективным делом и
сконцентрировал свои усилия на разработке зеркальных телескопов
(зеркала не обладают хроматизмом). Ошибка Ньютона ввиду его
громадного авторитета на столетие отодвинула вопрос о возможности
создания линзовых систем с исправленной хроматической
аберрацией.
В этот период голландский натуралист Антони ван Левенгук
A632-1723) добился выдающихся успехов в изготовлении простых
(однолинзовых) микроскопов. Изготовленные им линзы, которые он
вставлял в металлические держатели с прикрепленной к ним иглой
для насаживания объекта наблюдения, давали 150-300-кратное
увеличение. Он считается основоположником научной микроскопии.
Секрет изготовления своих линз Левенгук не раскрыл.
Первым, кто усомнился в утверждении Ньютона о
невозможности получения ахроматических систем, был выдающийся
математик, механик и физик Леонард Эйлер A707-1783). К такому
заключению Эйлера привели рассуждения шотландского математика
и астронома Джеймса Грегори A638-1675) о том, что оптическая
система глаза, содержащая несколько сред, не обладает хроматизмом.
Хотя эти рассуждения оказались неверными (глаз обладает
хроматизмом), Эйлер сделал из них правильный вывод о
возможности создания ахроматической системы.
Английский оптик Джон Долланд A706-1761) встал на защиту
мнения Ньютона, однако вскоре под влиянием опытов Эйлера с
различными оптическими средами был вынужден признать свою
ошибку. В 1758 г. Долланд впервые в истории геометрической
оптики изготовил ахроматический объектив из кроновой и флинтовой
линз и в том же году получил на него патент.
Эйлер впервые предложил формулу собирающей линзы, метод
расчета показателя преломления среды, оптических узлов
микроскопа, способ устранения хроматической аберрации.
В написанной Эйлером в 1769-1771 гг. трехтомной «Диоптрике»
изложены выполненные им расчеты сложных ахроматических
систем, содержащих до 10 линз. Он первым предложил прием
сложения аберраций, исследовал влияние конструктивных
параметров отдельных линз на сферическую аберрацию, поставил
10
вопрос о поле зрения одной линзы и системы линз, о правильном
положении глаза относительно оптической оси. Созданная им теория
расчета оптических систем с успехом позволяла исправлять
сферическую аберрацию и хроматизм положения. Однако созданные
по расчетам Эйлера оптические системы из-за оставшейся
неисправленной комы не обеспечивали хорошего изображения
внеосевой точки предмета. Дело в том, что Эйлеру еще не было
известно условие синусов, выполнение которого обязательно при
исправлении комы.
Внимание великого русского ученого Михаила Васильевича
Ломоносова в области геометрической оптики было сосредоточено на
изготовлении оптических приборов. Одним из важных его
изобретений была «ночезрительная труба» A765 г.) длиной около
0,7 м с однолинзовым объективом и однолинзовым окуляром.
Особенность ее состояла в том, что объектив был большого диаметра,
что позволяло различать предметы в сумерках. Этот факт тогда для
многих критиков был не очевиден и вовсе не вытекал из известных к
тому времени положений геометрической оптики. Впоследствии идея
Ломоносова о пользе наблюдения с помощью зрительной трубы в
ночное время за скалами и кораблями использовалась во время
экспедиции A765) русского адмирала Василия Яковлевича Чичагова
A726-1809) по отысканию морского пути из Архангельска к
Северной Америке, немецким математиком, астрономом, физиком и
философом Генрихом Ламбертом A728-1777) в конструкции
зрительной трубы для наблюдения в ночных условиях A772),
французским астрономом Жозефом Лаландом A732-1807) в
аналогичной зрительной трубе A803), в наше время в биноклях с
большим увеличением при наблюдениях во флоте в ночное время.
Ломоносовым впервые были созданы «горизонтоскоп»
(перископ), «батоскоп» (для подводных наблюдений), зеркально-
линзовый зажигательный прибор; он усовершенствовал конструкцию
микроскопа, впервые ввел микроскоп в практику химических
исследований, на 12 лет раньше A762) английского астронома и
оптика Вильяма Гершеля A738-1822) сконструировал зеркальный
телескоп без дополнительного зеркала. По-видимому, Ломоносов был
первым русским фотометристом; в «химических записках» он дал
описание фотометрической трубки, которое впоследствии им было
воплощено в первый фотометр. Всего им было создано свыше десяти
наименований оптических приборов.
11
По словам академика СИ. Вавилова, Ломоносов был
«одним из самых передовых оптиков своего времени и, безусловно,
первым русским творческим оптотехником».
Основы теории построения оптических изображений заложил
немецкий математик Карл Гаусс A777-1855), обобщивший свои
работы по оптике в вышедшем в 1840 г. труде «Диоптрические
исследования». Он показал, что законы идеальных оптических систем
являются частным случаем законов реальных оптических систем,
если ограничиться бесконечно узкой содержащей оптическую ось
областью, называемой параксиальной (гауссовская оптика
параксиальных лучей). Им впервые введено понятие кардинальных
точек, с помощью которых может быть построено изображение
произвольной точки пространства предметов в параксиальной
области, выведена формула, связывающая переднее и заднее
фокусные расстояния с расстояниями от передней и задней главных
плоскостей соответственно до плоскостей предмета и изображения
(формула Гаусса).
При всей своей важности теория идеальной оптической системы
не позволяла еще аналитическим путем находить конструктивные
параметры реальной системы, которые обеспечили бы высокое
качество оптического изображения в пределах всего поля.
Следующий шаг в разработке теории расчета оптических систем
сделал профессор-математик Венского университета Йожеф Пецваль
A807-1891), получивший около 1855 г. путем разложения в ряд
выражения для аберраций третьего и пятого порядка. Однако из-за
большой сложности он считал невозможным использовать эти
выражения на практике и создал метод проб, основанный на
изучении связи между аберрациями системы, вычисленными с
помощью расчета хода лучей, и некоторыми ее конструктивными
элементами. С помощью этого метода в 1840 г. Пецваль рассчитал
свой первый фотообъектив, названный его именем; он же установил
условие исправления кривизны оптического изображения (условие
Пецваля). Метод проб, основанный на знании законов отражения и
преломления, пришел на смену долго господствовавшему
эмпирическому методу, применявшемуся при разработке первых
нашедших применение оптических приборов: луп, очковых стекол,
зрительных труб и микроскопов. Возможно, Пецваль имел
выражения для аберраций более высокого порядка, чем пятый.
Однако все его работы были уничтожены при пожаре.
12
В 1856 г. немецкий астроном Л. Зейдель разработал и
опубликовал теорию аберраций третьего порядка, которая позволяла
определить конструктивные параметры оптической системы,
обеспечивающие необходимое качество оптического изображения.
Сам Зейдель, как и Пецваль, считал невозможным использовать эту
теорию в практических расчетах из-за ее сложности. В дальнейшем
благодаря работам других ученых выражения для аберраций третьего
порядка, полученные Зейделем, были упрощены, что открыло
возможность для их практического применения.
Важным событием в истории геометрической оптики было
изобретение в 1874 г. английским ученым Ч. Пиацци-Смитом способа
исправления кривизны оптического изображения с помощью
рассеивающей линзы, устанавливаемой вблизи плоскости
действительного изображения и получившей в дальнейшем имя
изобретателя.
Немецкий физик-оптик Эрнст Аббе A840-1905), автор теории
образования изображения в микроскопе, создатель многих разделов
оптической технологии, в геометрической оптике установил
названный впоследствии его именем закон синусов, нулевой
инвариант, предложил формулы для расчета астигматического пучка
лучей, ввел в практику оптических расчетов коэффициент дисперсии
(число Аббе).
В 1905 г. немецкий астроном Карл Шварцшильд A873-1916)
выполнил разложение аберраций в ряд на основании теории
эйконала.
Таким образом, к началу XX в. трудами многих поколений
ученых и практиков были заложены основы алгебраического метода
расчета оптических систем.
Следует отметить, что весь XIX в. начиная с 1812 г., когда
английский физик У.Х. Волластон A766-1828) в качестве объектива
для рисовального прибора применил положительный очковый
мениск, характерен интенсивной разработкой оптических систем
объективов сначала экспериментальным путем, а с 1840 г. путем
расчетов.
После М.В. Ломоносова и Л. Эйлера становлению
геометрической оптики в России способствовали труды многих ученых и
изобретателей. Среди них следует отметить работы русского
механика-самоучки Ивана Петровича Кулибина A735-1818),
разработавшего первые способы шлифовки стекол для изготовления
13
микроскопов, телескопов и других оптических приборов. В 1779 г. он
сконструировал знаменитый фонарь (прожектор), дававший при
слабом источнике мощный свет, в 1779 г. создал оптический телеграф
для передачи условных сигналов.
Ко второй половине XIX в. относятся замечательные работы
талантливого изобретателя-самоучки О.Н. Малафеева в области
конструирования зрительных труб.
Профессор Московского университета русский физик
Н.А.Любимов A830-1896) в 1872г. опубликовал работу «Новая
теория поля зрения и увеличения оптических сигналов», в которой
впервые обосновал поле телескопической системы Галилея.
Профессор Петербургского университета русский физик Федор
Фомич Петрушевский A828-1904) в 1872-1873 гг. разработал
лунный спектрофотометр, в 1884 г. - фотометр сравнения, ряд
маячных устройств, а в конце 80-х годов XIX в. вместе с братом,
военным инженером, - дальномер.
Русский ученый в области электротехники Владимир
Николаевич Чиколев A845-1898) начиная с 1876 г. провел ряд
оригинальных исследований в области прожекторного освещения.
В 1900 г. был издан учебник профессора Московского
университета русского физика Александра Григорьевича Столетова
A839-1886) «Введение в оптику и акустику», долгие годы
являвшийся настольной книгой всех, кто занимался оптикой.
Русский оптик Александр Львович Гершун A868-1915)
усовершенствовал ряд оптических приборов морской артиллерии,
выступил инициатором создания отечественных оптических
приборов. В 1914 г. под его руководством в Петербурге был построен
завод оптико-механических приборов (в настоящее время - ЛОМО).
В 1916 г. на Петербургском императорском заводе была освоена
варка оптических стекол нескольких марок.
В Константиновском межевом институте (г. Москва) старший
преподаватель Никанор Михайлович Кислов A862-1928) с 1902 г.
начинает читать курс лекций «Теория оптических инструментов», а в
1915 г. под этим же названием издается его книга, по сей день
пользующаяся известностью среди оптиков.
Развитие методов расчета оптических систем и разработка
оптических приборов были сосредоточены главным образом в
Германии и носили секретный характер.
14
Поражение России в Русско-японской войне 1904-1905 гг., а
затем начавшаяся в 1914 г. война с Германией, оптическими
приборами которой в основном снабжались русская армия и русский
флот, поставили на повестку дня необходимость энергичных
мероприятий по созданию собственного отечественного военного
оптического приборостроения.
В 1916 г. было создано первое в России вычислительное бюро
по расчету оптических систем, которое возглавил русский ученый -
физик Александр Иванович Тудоровский A875-1963).
В декабре 1918 г. в Петербурге был основан Государственный
оптический институт (ГОИ), призванный решать различные научно-
технические проблемы в области теории и практики отечественного
оптического приборостроения. Первым его директором (до 1932 г.)
был академик Дмитрий Сергеевич Рождественский A876-1940), а с
1932 по 1945 г. - академик Сергей Иванович Вавилов. Теперь ГОИ
носит имя академика СИ. Вавилова. А.И. Тудоровский возглавил в
ГОИ вычислительное бюро по расчету оптических систем,
исследовал возможность применения векторных методов к расчету
зеркальных и призменных систем, вопросы теории аберраций
третьего порядка. Его фундаментальный труд «Теория оптических
приборов» и в настоящее время является источником многих идей в
геометрической оптике.
Выдающиеся успехи ГОИ в области развития теории аберраций
и методов расчета оптических систем связаны с именем профессора
Георгия Георгиевича Слюсарева A896-1987), фундаментальные
труды которого «Геометрическая оптика» A946), «Методы расчета
оптических систем» A969) и «Расчет оптических систем» A975)
являются настольными книгами всех занимающихся разработкой
систем оптических приборов.
Крупный вклад в развитие геометрической оптики внес русский
ученый, руководитель лаборатории астрономической оптики ГОИ
Дмитрий Дмитриевич Максутов A896-1964). Его исследования
касаются теории и практики изготовления асферических
поверхностей. Мировую известность получили изобретенные им в
1940 г. менисковые зеркально-линзовые системы, в частности
системы телескопов. По сравнению с системой телескопа,
изобретенной в 1929 г. немецким оптиком Б. Шмидтом, зеркально-
линзовая система телескопа Максутова значительно проще в
изготовлении и почти в два раза короче.
15
Крупные исследования в области дифференциальных законов,
связанных со свойствами бесконечно тонких астигматических пучков
лучей и законами геометрической оптики для анизотропных сред, а
также в области теории аберраций высших порядков, выполнил
профессор Давид Юделевич Гальперн A912-1977), в области расчета
сложных, в том числе и панкратических, систем объективов -
профессор Давид Самуилович Волосов A910-1980).
За время своего существования в ГОИ сложилась первоклассная
школа специалистов в области геометрической оптики,
базирующаяся при создании оптических систем в основном на теории
аберраций третьего порядка.
После А.И. Тудоровского, Г.Г. Слюсарева, Д.С. Волосова и
Д.Ю. Гальперна проводимые в ГОИ работы по исследованиям в
области теории аберраций и расчету оптических систем возглавлял
профессор Александр Пантелеймонович Грамматин A931-2015).
Для подготовки высококвалифицированных инженеров в
области оптического приборостроения в 1930 г. на базе
существовавшего с 20-х годов XX в. оптико-механического
техникума был создан Ленинградский институт точной механики и
оптики (ЛИТМО). Одновременно был организован факультет
оптического приборостроения в МВТУ им. Н.Э. Баумана и оптико-
механический факультет в Московском институте инженеров
геодезии, аэрофотосъемки и картографии (МИИГАиК).
Одним из наиболее крупных работавших в ЛИТМО
специалистов в области геометрической оптики является профессор
Владимир Николаевич Чуриловский A898-1976), непосредственный
участник становления и развития оптической промышленности в
России, автор книг по теории оптических приборов и теории
аберраций, разработавший методику расчета призменных систем,
метод единого луча в вычислительной оптике. Ряд его исследований
посвящен созданию новых типов астрономических зеркальных и
зеркально-линзовых систем телескопов.
Выдающиеся успехи в области геометрической оптики связаны
с именем профессора Михаила Михайловича Русинова A909-2004).
Выполненные им теоретические исследования и практические
расчеты по созданию широкоугольных оптических систем
объективов способствовали выходу вычислительной оптики России
уже в начале 40-х годов XX в. на передовые рубежи в мире.
М.М. Русинов, автор многих оригинальных изобретений, монографий
16
и учебных пособий в области оптического приборостроения, является
создателем другой школы оптиков-вычислителей в нашей стране,
базирующейся на знании аберрационных свойств отдельных
оптических элементов, используемых при компоновке оптических
систем и устранении их аберраций.
В настоящее время в Университете информационных
технологий, механики и оптики работают известные в стране и за
рубежом специалисты в области геометрической оптики -
профессора Лев Николаевич Андреев и Виктор Алексеевич Зверев.
В области расчета оптических систем широко известен труд
работавшего в МВТУ им. Н.Э. Баумана профессора Ивана
Афанасьевича Турыгина A904-1966), написавшего двухтомное
учебное пособие «Прикладная оптика» A965-1966). Профессора
Борис Николаевич Бегунов A909-1972) и Николай Петрович
Заказнов A920-1994) издали учебное пособие «Теория оптических
систем» A973), а затем коллектив авторов (Л.А. Бебчук,
Ю.В. Богачев, Н.П. Заказнов, В.М. Комраков, Л.И. Михайловская,
А.Б. Шапочкин) под руководством профессора Н.П. Заказнова -
учебное пособие «Прикладная оптика» A988). В 1992 г.
Н.П. Заказнов, СИ. Кирюшин и В.И. Кузичев издали учебник
«Теория оптических систем».
Достойным продолжателем дела Н.М. Кислова в МИИГАиК
стал профессор Борис Владимирович Фефилов A895-1961),
создавший теорию зрительных труб. Его учебное пособие
«Прикладная оптика» A947), являвшееся настольной книгой многих
поколений оптиков, не утратило своего значения и в наше время.
В том же институте профессор Владимир Александрович
Афанасьев A907-1976) написал важное для подготовки инженерных
кадров учебное пособие «Оптические измерения» A961), а профессор
Михаил Дмитриевич Мальцев A914-1999) - небольшое по общему,
но важное для оптиков-вычислителей пособие «Расчет допусков на
оптические детали» A974).
Для подготовки специалистов в области оптического
приборостроения в последней трети XX в. сотрудниками кафедры
прикладной оптики МИИГАиК написано и издано большое
количество различных учебных пособий, книг и учебников. Среди
них следует назвать следующие.
17
Оптические приборы в машиностроении: справочник /
М.И. Апенко, И.П. Араев, В.А. Афанасьев, Г.В. Дурейко,
Н.П. Заказнов, Д.А. Романов, B.C. Усов. М.: Машиностроение, 1974.
Прикладная оптика / М.И. Апенко, А.С. Дубовик. М.: Наука,
1982.
Прикладная оптика: учеб. пособие для вузов / А.С. Дубовик,
М.И. Апенко, Г.В. Дурейко, A.M. Жилкин, Л.А. Запрягаева,
Д.А. Романов, И.С. Свешникова. М.: Недра, 1982.
Прикладная оптика: учебник для оптических специальностей
вузов / М.И. Апенко, А.С. Дубовик, Г.В. Дурейко, A.M. Жилкин. М.:
Машиностроение, 1992.
Расчет и проектирование оптических систем: учебник для вузов/
Л.А. Запрягаева, И.С. Свешникова. М.: Логос, 2000.
Геометрическая оптика на всех этапах своего развития тесно
связана с развитием математических методов. Создание новых
источников и приемников излучения, оптико-электронных приборов,
оптических квантовых генераторов, голографии, волоконной оптики,
растровой оптики, иконики и других новых направлений оптического
приборостроения не привело к уменьшению значимости методов
геометрической оптики, а, поставив перед ней ряд новых сложных
проблем, лишь расширило область ее применения.
В теории оптических приборов геометрическая оптика по-
прежнему сохраняет свое фундаментальное значение.
18
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ЗАКОНЫ И
ПРИНЦИПЫ В
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ
1.1. Предмет и структура геометрической оптики
Оптику как раздел физики, в котором изучается природа света,
процессы взаимодействия света со средой и закономерности световых
явлений, условно делят на два больших раздела: физическую
(волновую) и геометрическую (лучевую). Геометрическая оптика -
это раздел физики, в котором рассматриваются законы образования
оптического изображения и наиболее рациональные пути создания на
их основе систем оптических приборов.
Законы геометрической оптики имеют ограниченный характер и
могут быть получены из более общих волновых представлений о
свете, являющихся основой для законов физической оптики. Однако
значимость геометрической оптики от этого не страдает, так как с ее
помощью большинство световых явлений объясняются значительно
проще, чем с помощью физической оптики.
Важнейшей задачей геометрической оптики (с частичным
привлечением волновой оптики) является расчет оптических систем,
обеспечивающих получение изображения, которое было бы подобно
изображаемому объекту как по геометрическому виду, так и по
распределению яркости. Решить эту задачу бывает крайне сложно, а
иногда просто невозможно. Поэтому часто достигают только
компромиссного решения задачи, когда устраняют наиболее опасные
недостатки оптической системы, мирясь с неполным устранением
других. Благодаря развитию и применению вычислительной
математики и техники во второй половине XX столетия методы
расчета оптических систем достигли высокого совершенства, что
привело к формированию отдельного направления геометрической
оптики, получившего название вычислительной оптики.
Важное значение в этой связи приобрели методы оценки
качества изображения, даваемого оптической системой. В третьей
четверти XX столетия эти методы были существенно
19
усовершенствованы за счет применения так называемой частотно-
контрастной характеристики, т.е. функции передачи
модуляции, с помощью которой оценивают свойства оптического
изображения.
Вопросы физиологической оптики, связанные с восприятием
света человеческим глазом, тоже тесно соприкасаются с задачами
геометрической оптики.
К геометрической оптике примыкает и фотометрия,
устанавливающая единицы и методы измерения световых величин,
позволяющих оценивать световой поток, силу света, освещенность,
яркость и другие характеристики света, а также производить
необходимые световые расчеты.
Знание всех аспектов геометрической оптики весьма важно для
понимания устройства и создания совершенных конструкций
оптических приборов.
1.2. Понятие о светящейся точке и световом луче
В физической оптике под светящейся точкой понимают
испускающее лучистую энергию тело, размером которого по
сравнению с расстояниями, на которых изучается действие
излучаемой энергии, можно пренебречь. В геометрической оптике
такой малый источник излучения принимается за геометрическую
светящуюся точку, не имеющую размеров и объема. Так как такая
точка является источником лучистой энергии, то объемная плотность
энергии в этой точке должна быть бесконечно большой, что
противоречит действительности. Поэтому такое принятое в
геометрической оптике понятие светящейся точки является
абстрактным, т.е. отвлеченным от реальности математическим
понятием.
С точки зрения физической оптики свет от какого-нибудь
источника распространяется в виде электромагнитных колебаний.
Геометрическое место точек, до которых в данный момент времени
доходят колебания из какого-либо центра излучения, называется
поверхностью волны. Лучистая энергия распространяется в
пространстве по нормали к поверхности волны в каждой её точке.
Поэтому в физической оптике под световым лучом понимается
нормаль к поверхности световой волны в любой её точке.
С точки зрения геометрической оптики под световым лучом
принимается линия, вдоль которой распространяется световая
20
энергия, исходящая в определенном направлении от точечного
источника. В однородной среде эта линия является прямой, а
в неоднородной - прямой не является.
Другое определение светового луча основывается на понятии
световой трубки. Поместим в пространстве, заполненном светом, две
расположенные друг от друга на конечном расстоянии малые
диафрагмы (непрозрачные пластинки с круглыми отверстиями)
и M2N2 , показанные на рис. 1.1.
^1И м21
Рис. 1.1. Световая трубка
Очевидно, свет, пронизывающий последовательно оба отверстия
диафрагм, не выйдет за пределы линейчатой поверхности,
построенной на контурах MjNj и M2N2. Часть пространства,
ограниченная этой поверхностью, и называется световой трубкой.
Если эта трубка имеет малые по сравнению с длиной поперечные
размеры, то ее называют физическим световым лучом. Ось О}О2
такой световой трубки в геометрической оптике и называют
световым лучом, т.е. под лучом понимается линия, не имеющая
конечных размеров. Если предположить, что вдоль такой линии
распространяется световая энергия, то ее объемная плотность также
окажется бесконечно большой. Отсюда следует, что в понятии
геометрической оптики световой луч в действительности
существовать не может.
1.3. Пучки световых лучей
В геометрической оптике широко используется понятие пучка
световых лучей, представляющего собой совокупность световых
лучей, имеющую самую разнообразную структуру. Различают
стигматические (гомоцентрические), астигматические пучки и
пучки параллельных лучей. Все эти три вида пучков лучей могут быть
ограниченными или неограниченными. Стигматические
21
(гомоцентрические) и астигматические пучки, кроме того, могут быть
либо сходящимися, либо расходящимися.
Пучок световых лучей, имеющий неограниченные размеры в
поперечном направлении и, следовательно, заполняющий все
окружающее источник света пространство, называется
неограниченным.
Если размеры пучка световых лучей ограничены в поперечном
направлении, то такой пучок называют ограниченным. В оптических
приборах обычно имеют дело с ограниченными пучками лучей,
поперечные размеры которых ограничиваются специальными
диафрагмами и оправами оптических деталей.
fc
а б в
Рис. 1.2. Световые пучки лучей
Лучи светового пучка, исходящие из точечного источника О,
образуют расходящийся стигматический (гомоцентрический) пучок
лучей. Ему, как показано на рис. 1.2 а, соответствуют исходящие из
этого источника сферические световые волны. Лучи светового пучка,
сходящиеся в одну точку О', образуют сходящийся стигматический
(гомоцентрический) пучок лучей. Ему соответствуют, как видно из
рис. 1.2 в, сходящиеся в эту точку сферические световые волны.
Промежуточное положение между расходящимися и сходящимися
пучками занимает пучок параллельных лучей. Такому пучку
соответствует плоская световая волна (рис. 1.2 б).
В естественных условиях встречаются только пучки
расходящихся и параллельных лучей. Системы оптических приборов
могут создавать все три вида пучков лучей, преобразовывая один вид
в другой.
При прохождении через систему сред, границы между которыми
могут представлять собой поверхности любой формы, сферическая
световая волна деформируется, в результате чего лучи, являясь
нормалями к деформированной волне, теряют гомоцентричность, т.е.
перестают пересекаться в одной точке. В этом случае структура пучка
лучей может оказаться самой разнообразной по сложности.
22
В качестве примера рассмотрим структуру элементарного пучка
лучей, соответствующего бесконечно малому элементу поверхности
деформированной волны, представляющую собой совокупность
лучей, образующих друг с другом бесконечно малые углы и
пересекающихся в какой-либо одной точке.
Рис. 1.3. Элементарный астигматический пучок лучей
Пусть (рис. 1.3) NjPjP2N2 - бесконечно малый элемент
поверхности деформированной световой волны, а линия OFjF2 -
нормаль к этому элементу в его центре О. На элементе всегда можно
выбрать два взаимно перпендикулярных сечения, в одном из которых
кривизна элемента будет наибольшая, а в другом - наименьшая.
Такие сечения называются главными. Предположим, что сечение
Q1OQ2 с наибольшей кривизной и с центром кривизны Fj
расположено в горизонтальной плоскости, а сечение MjOM? с
наименьшей кривизной и с центром кривизны F2 - в вертикальной
плоскости. Нормали к волновой поверхности в точках сечений Q/OQ2
и MjOM2 пересекаются в точках Fj и F? соответственно. Нормали к
волновой поверхности в точках сечений NjM2N2 и PjMjP2,
расположенных по обе стороны от сечения QjOQ2, пересекутся
соответственно в некоторых точках Fj' и F/" бесконечно близких к
точке Fj. Очевидно, нормали к волновой поверхности в точках
сечений, параллельных сечению Q/OQ2 и расположенных между
сечениями NjM2N2 и PjMjP2, пройдут через элементарный отрезок
FiT,".
Рассуждая аналогичным образом относительно сечений,
параллельных сечению MtOM2 , нетрудно прийти к выводу, что все
нормали к элементу волны в точках этих сечений пройдут через
элементарный отрезок F2 F2 ".
Таким образом, лучи, соответствующие бесконечно малому
элементу NjN2P2Pj деформированной волны, сначала сходятся и
23
пронизывают элементарный отрезок Fj'F/", а затем, расходясь,
пронизывают элементарный отрезок F2'F2". Заметим при этом, что
плоские элементарные пуки лучей, располагающиеся в
горизонтальных плоскостях, образуют элементарный отрезок F/77/''
расположенный вертикально, а плоские элементарные пучки лучей,
располагающиеся в вертикальных плоскостях, образуют
элементарный отрезок F2T2", расположенный горизонтально, т.е.
отрезки Fj Tj" и F2 T2"взаимно перпендикулярны.
Из изложенного следует, что лучи, соответствующие бесконечно
малому элементу поверхности деформированной волны, не
параллельны между собой и не пересекаются в одной точке.
Элементарный пучок таких лучей называется астигматическим.
Точки F/ и F2, являющиеся центрами кривизны главных сечений
поверхности элементарного участка волны, называются фокальными
точками или фокусами астигматического пучка лучей.
Элементарные отрезки F/ Т/" и F2 T2'' через которые проходят все
лучи астигматического пучка, называются фокальными отрезками.
Расстояние FjF2 называется астигматической разностью или
астигматизмом элементарного астигматического пучка лучей.
Очевидно, чем меньше астигматизм, тем ближе пучок к
гомоцентрическому. Если представить, что элемент NjN2P2Pj имеет
квадратную форму, то сечение астигматического пучка плоскостью,
перпендикулярной к его оси OFjF2 и проходящей через некоторую,
расположенную между точками F/ и F2, точку F, будет иметь форму
квадрата. Аналогичные сечения между точками Fj и F будут иметь
форму прямоугольника, вытянутого в вертикальном направлении, а
между точками F и F2 - форму прямоугольника, вытянутого в
горизонтальном направлении.
Если элементу N/N2P2P/ придать форму круга, то форма сечения
астигматического пучка в пределах астигматической разности
последовательно меняется от вертикального отрезка к вытянутому в
вертикальном направлении эллипсу, кругу, вытянутому в
горизонтальном направлении эллипсу и горизонтальному отрезку.
1.4. Оптическая система
Оптической системой называется совокупность оптических
деталей (линз, зеркал, призм, пластинок, светофильтров,
диспергирующих элементов), образующих оптические изображения
предметов на приемниках световой энергии (глаз,
24
светочувствительный слой, фотоэлемент и т.д.) или преобразующих
по заданным законам пучки световых лучей (например,
осветительные системы).
Оптическая система, изображенная в соответствии с
установленными правилами на чертеже, называется оптической
схемой.
Оптические детали, входящие в оптическую систему,
ограничены сферическими, плоскими или асферическими (не
сферическими) поверхностями, называемыми оптическими. Если
система содержит р оптических поверхностей, то на оптической
схеме она может быть описана конструктивными параметрами, к
которым относятся численные значения радиусов кривизны
поверхностей (гу, г2, ... , гр\ расстояния между поверхностями (dj, d2,
..., dp.]) и показателями преломления (nh п2, ..., пр+/). Если какая-либо
оптическая поверхность является асферической, то указывается
численное значение радиуса кривизны этой поверхности при ее
вершине и приводится ее уравнение. Асферические поверхности
описываются уравнениями второго порядка (эллипсоид, параболоид
и т.д.) и более высокого порядка.
Прямая линия, содержащая центры кривизны и являющаяся
одновременно осью симметрии всех сферических и асферических
поверхностей оптической системы, называется оптической осью.
Оптическая система, содержащая оптическую ось, называется
центрированной или осесимметричной, а система, не имеющая
оптической оси, - децентрированной. Строго говоря, понятия
оптической оси и центрированной оптической системы являются
чисто математическими, так как в действительности добиться того,
чтобы центры кривизны всех сферических и асферических
поверхностей строго принадлежали одной линии, которая
одновременно строго являлась бы осью симметрии этих
поверхностей, невозможно. В дальнейшем будем рассматривать
только центрированные оптические системы.
Любая плоскость, содержащая оптическую ось, называется
меридиональной. Из бесконечного множества таких плоскостей в
геометрической оптике чаще всего выбирают ту, которая совпадает с
плоскостью чертежа. Плоскость, содержащая ось пучка световых
лучей и перпендикулярная меридиональной плоскости, называется
сагиттальной. Сагиттальная плоскость содержит оптическую ось,
если эта ось является одновременно и осью светового пучка лучей.
25
1.5. Предмет и изображение
Важнейшими понятиями в геометрической оптике являются
понятия предмета (объекта) и его оптического изображения.
Под предметом понимают совокупность точек, светящихся
собственным или отраженным светом, а под изображением - картину,
получаемую в результате действия оптической системы на лучи,
испускаемые предметом, и воспроизводящую контуры и детали
предмета.
Q'
В'
А' О'
В
Рис. 1.4. Понятия предмета и его оптического изображения
Пусть на рис. 1.4 оптическая система с оптической осью 00 \
содержащая р поверхностей, представлена первой и последней р-й
поверхностями.
Предположим, что гомоцентрический пучок лучей с вершиной в
осевой точке А, пройдя оптическую систему, превращается в
гомоцентрический пучок лучей с вершиной в точке А' также
принадлежащей оптической оси. Проведем через точки А и А'
перпендикулярно оси соответственно плоскости Q и Q'. Пусть далее
гомоцентрический пучок лучей с вершиной в произвольной
внеосевой точке В плоскости Q после прохождения оптической
системы превратится в гомоцентрический пучок с вершиной в точке
В' плоскости Q' В таком случае говорят, что точки А и В являются
точками предмета, а точки А ' и В' - соответственно их точечными
или стигматическими изображениями. Плоскость Q называется
плоскостью предметов, а плоскость Q'- плоскостью изображений.
Совокупность точек, оптическое изображение которых можно
получить с помощью оптической системы, образует пространство
предметов, а совокупность точечных изображений - пространство
изображений.
26
Предположим, что какая-либо точка плоскости изображения Q\
например точка В\ является точкой предмета, из которой в
оптическую систему справа налево поступает гомоцентрический
пучок лучей. После оптической системы лучи этого пучка соберутся
в точке В. В этой связи говорят, что точки плоскости предметов
оптически сопряжены с соответствующими точками плоскости
изображения. Каждой точке (отрезку, плоскости, лучу) в
пространстве предметов соответствует сопряженная с ней точка
(отрезок, плоскость, луч) в пространстве изображений.
Различают действительные и мнимые изображения.
Действительным изображением называется изображение,
создаваемое выходящими из оптической системы сходящимися
пучками лучей в точках их пересечения. Действительное
изображение можно спроектировать на экран, зафиксировать на
светочувствительном слое или наблюдать глазом.
В других случаях выходящие из оптической системы лучи
пучка расходятся, но если их мысленно продолжить в
противоположную сторону, то они пересекутся в одной точке. Эту
точку называют мнимым изображением точки предмета; она не
соответствует пересечению реальных лучей, вдоль которых
распространяется световая энергия. Поэтому мнимое изображение
невозможно получить на экране или зафиксировать на
светочувствительном слое. Однако мнимое изображение способно
играть роль предмета по отношению к другой оптической системе
(например, глазу или собирающей линзе), которая преобразует его в
действительное. По этой причине глазом одинаково воспринимается
как действительное, так и мнимое изображение, образуемое
оптической системой.
7
В
Предмет
I \
\ I
\/
А
в
в''
в1*
прямое обратное зеркальное
Изображения
Рис. 1.5. Виды изображений
27
В зависимости от ориентации изображения относительно
изображаемого предмета различают прямое, обратное и зеркальное
изображения. На рис. 1.5 показаны все эти три вида изображений
предмета в виде двух взаимно перпендикулярных стрелок А и В,
образуемых условной оптической системой L.
Плоские зеркала всегда образуют зеркальные изображения.
1.6. Каустические поверхности и линии
В п. 1.3 указывалось, что в случае деформированной световой
волны нормали к поверхности элементарного участка этой волны в
точках главных сечений пересекаются в фокусах Fj и F2 (рис. 1.3).
Точки Fj и F2 являются двумя изображениями одного точечного
предмета с помощью плоских элементарных пучков лучей, каковыми
являются нормали соответствующих главных сечений. Нормали к
поверхности элементарного участка волны, во всех его точках
образующие соответствующий элементарный пучок световых лучей,
образуют два взаимно перпендикулярных отрезка Fj Tj" и F2 F2 ",
первый из которых представляет собой совокупность центров
кривизны сагиттальных сечений, а второй - совокупность центров
кривизны меридиональных сечений элемента волны. Продолжая
аналогичные рассуждения далее, можно прийти к заключению, что
пучок световых лучей, соответствующий поверхности световой
волны конечных размеров, образует некоторые две поверхности, по
смыслу являющиеся совокупностями центров кривизны волновой
поверхности во всех ее точках.
Геометрическое место центров кривизны во всех точках
волновой поверхности света называется каустической поверхностью
или каустикой. Другими словами, каустическую поверхность можно
определить как поверхность, в каждой точке которой пересекаются
два луча, исходящие из светящейся точки под бесконечно малым
углом друг к другу и сходящиеся после прохождения оптической
системы. В частных случаях каустическая поверхность может
вырождаться в прямую и точку.
На рис. 1.6 показан часто встречающийся в действительности
простой вид волновой поверхности, представляющий собой
поверхность вращения кривой MON вокруг оси OQ. В этом случае
каустическая поверхность имеет две ветви. Одна из них представляет
собой поверхность вращения вокруг той же оси OQ кривой PQS,
28
являющейся геометрическим местом центров кривизны кривой MON.
Другая ветвь вырождается в отрезок RQ оси симметрии OQ.
В зависимости от степени деформации волновой поверхности
каустические поверхности могут содержать несколько ветвей, каждая
из которых может иметь более сложный вид.
Рис 1.6. Каустические поверхности
На каустических поверхностях происходит концентрация
энергии. Поэтому при достаточно мощном источнике света эти
поверхности можно наблюдать, если среда, в которой они находятся,
заполнена какими-либо рассеивающими частицами (например,
дымом).
Если каустика вырождается в точку, то в этой точке
концентрируется энергия, переносимая световой волной; эта точка и
есть стигматическое (точечное) изображение точечного предмета.
1.7. Основные законы геометрической оптики
Теория геометрической оптики базируется на следующих
четырех основных законах: закон прямолинейного распространения
света, закон независимости распространения света, закон отражения
и закон преломления. Достоверность этих законов доказывается не
путем каких-либо теоретических исследований, а путем практических
наблюдений и измерений. Рассмотрим каждый закон отдельно.
Закон прямолинейного распространения света: в однородной
среде свет распространяется прямолинейно. Очевидность этого
положения проистекает из того факта, что при освещении
непрозрачных объектов точечным источником света на экране
получается резко очерченная тень, повторяющая по форме контуры
освещаемого предмета. Закон был уже известен древнегреческому
математику Евклиду, жившему в III веке до н.э. Он имеет
ограниченный характер, так как прямолинейность распространения
29
света нарушается, если размеры непрозрачных преград (малые
экраны, диафрагмы) сравнимы с длиной волны света. В таких случаях
свет от точечного источника распространяется в область
геометрической тени, образуемой преградой. Это явление называется
дифракцией света, являющейся предметом изучения физической
оптики. В геометрической оптике дифракцией пренебрегают, так как
здесь имеют дело с отверстиями и экранами, размеры которых на
несколько порядков больше длины волны света.
Закон независимого распространения света: при пересечении
световые лучи не возмущают друг друга. Это означает, что при
пересечении световых пучков каждый из них распространяется так,
как будто другого пучка не существует. Этот закон тоже имеет
ограниченный характер. Например, при пересечении двух световых
пучков их суммарная интенсивность по отношению к интенсивности
каждого пучка может уменьшаться или увеличиваться, если их
световые волны имеют одинаковую частоту колебания (одинаковую
длину волны), а разность фаз колебаний волн сохраняется
неизменной во времени, достаточном для наблюдения. Это явление
называется интерференцией света. Свет, волны которого имеют одну
частоту колебаний (одну длину волны), называется
монохроматическим, а монохроматические пучки света с постоянной
разностью фаз волновых колебаний называются когерентными.
Интерференция когерентных световых пучков изучается в
физической оптике.
Закон отражения света: отраженный луч лежит в одной
плоскости с падающим лучом и нормалью к границе раздела двух
сред в точке падения луча, а угол отражения равен углу падения по
абсолютному значению, но противоположен по знаку, т.к. оба луча
располагаются по разные стороны от нормали.
Вещество 1
Вещество 2
Рис. 1.7. К законам отражения и преломления света
30
На рис. 1.7 показаны падающий в точку О границы раздела
веществ / и 2 луч /, отраженный луч / ' и нормаль N в точке О
падения луча к границе раздела. По закону отражения угол падения ?j
равен углу отражения ?/' по абсолютному значению, а лучи /, /' и
нормаль N лежат в одной плоскости.
Закон преломления света: преломленный луч лежит в одной
плоскости с падающим лучом и нормалью к границе раздела двух
сред в точке падения луча, а отношение синуса угла падения к синусу
угла преломления есть величина, постоянная для взятых веществ.
На рис. 1.7 падающий в точку О луч / монохроматического
светового пучка и соответствующий ему преломленный луч 2
образуют с нормалью N соответственно угол падения ?/ и угол
преломления s2.
По закону преломления
sin
¦ = п12,
A.1)
sins2
где постоянная для двух выбранных веществ величина п/2 называется
относительным показателем преломления второго вещества по ходу
луча относительно вещества первого.
Предположим, что плоскопараллельная пластинка из вещества
2, показанная на рис. 1.8, со всех сторон окружена веществом /.
Вещество 1
Рис. 1.8. Преломление луча на поверхностях
плоскопараллельной пластинки
Как показано опытным путем, падающий на такую пластинку
под небольшим углом S/ луч после выхода из нее не изменяет своего
первоначального направления. Применим соотношение A.1) к обеим
поверхностям этой пластинки. Тогда получим
31
Sin
¦ = п12,
Sin ?2
¦ = n21.
sin s2 sin i
Перемножив эти два выражения, будем иметь
п21 = —.
п12
A.2)
Отсюда вытекает принцип обратимости световых лучей: если
навстречу претерпевшему преломление (или отражение) лучу пустить
другой луч, то он пойдет по тому же пути, что и первый луч, но в
обратном направлении.
Показатель преломления вещества по отношению к пустоте
называется абсолютным показателем преломления вещества.
Вещество с большим показателем преломления называется оптически
более плотным.
Относительный показатель преломления п]2 двух веществ связан
с их абсолютными показателями п\ и п2 простым соотношением.
Чтобы найти это соотношение, предположим, что две сложенные
вместе плоскопараллельные пластинки из вещества / и вещества 2,
показанные на рис. 1.9, находятся в пустоте.
Вакуум
Рис. 1.9. Две пластинки в вакууме
Напишем соотношение A.1) для трех поверхностей
последовательно по ходу луча. Для первой поверхности нужно взять
относительный показатель преломления вещества / относительно
вакуума, т.е. абсолютный показатель nj вещества /, а для третьей
поверхности - относительный показатель вакуума по отношению к
веществу 2, который согласно соотношению A.2) равен \1п2, где п2 -
абсолютный показатель преломления вещества 2. Таким образом,
sin ?г sin е2 sin е3 1
sins2
sins3
sins1 n2
32
Перемножив эти выражения, получим
П2
2=—- A.3)
щ
Следовательно, относительный показатель преломления двух
веществ равен отношению их абсолютных показателей преломления.
Определять абсолютный показатель преломления - задача очень
сложная. Поэтому в каталогах оптического стекла указываются
показатели преломления не относительно вакуума, а относительно
воздуха. Этот относительный показатель в таком случае называется
просто показателем преломления.
Показатель преломления воздуха при длине волны света
Л=585.3 нм относительно вакуума можно вычислить по формуле
0^^
=1 + 2.9155-10
1 +
273
в которой Н - давление в паскалях {Па), t - температура воздуха в
градусах по Цельсию. Например, при //=101325 Па (нормальное
давление 760 мм рт. ст.) и /=20°С пвоздхла=1.000274. На практике
показатель преломления воздуха принимают равным единице.
Преобразуем формулу A.3) следующим образом:
п2=пгщ2+щ2-щ29
п2 =п12 + п[2(пу -1). A.4)
Предположим, что веществом / является воздух. Тогда формула
A.4) позволяет вычислить абсолютный показатель преломления п2
любого вещества, если известны показатель преломления п12 этого
вещества относительно воздуха и абсолютный показатель
преломления п\ воздуха. Знание абсолютных показателей
преломления веществ бывает необходимо лишь в специальных
случаях.
Абсолютный показатель преломления вещества, как
показывается в физической оптике, определяется как
п=С~, A.5)
где с - скорость распространения света в вакууме, равная
2.99792458-108 м/с, V - скорость распространения света в
рассматриваемом веществе.
33
Так как
V = Xv, A.6)
где Я - длина волны света, v- частота колебаний света, то
" = ?¦ (L7)
Следовательно, абсолютный показатель преломления вещества
обратно пропорционален длине волны света.
Использовав формулу A.3), закону преломления A.1) можно
придать вид
щ sin ?г = п2 sin е2 . A.8)
Равенство A.8) показывает, что произведение показателя
преломления среды (вещества) на синус угла между нормалью и
лучом не изменяется при переходе луча из одной среды в другую.
Произведение n sin ? называется оптическим инвариантом.
Заметим, что аналитическое выражение закона отражения может
быть получено из формулы A.8), если в ней положить п2 =— П\.
Поэтому все формулы геометрической оптики, полученные для
преломляющих поверхностей, пригодны и для отражающих
поверхностей.
1.8. Формулы законов отражения и преломления луча в
трехмерном пространстве
При решении различных задач геометрической оптики очень
важно бывает иметь формулы, позволяющие определять направление
отраженных или преломленных лучей в трехмерном пространстве
при любом положении отражающих и преломляющих поверхностей
относительно падающего луча. Такие формулы могут быть получены,
если использовать формулы законов отражения и преломления в
векторной форме.
1.8.1. Формулы закона отражения луча в трехмерном
пространстве
Предположим, что в некоторой прямоугольной системе
координат OXYZ вдоль единичного вектора А в точку О
отражающей поверхности, показанной на рис. 1.10, под углом s слева
34
направо падает луч, который после отражения направляется вдоль
единичного вектора А'. Обозначим через N единичный вектор,
направленный вдоль нормали к поверхности в точке О. Тогда закон
отражения в векторной форме можно написать в виде
A'xN = -(AxN). A.9)
Очевидно, это уравнение заключает в себе обе части закона
отражения. Действительно, векторное произведение А х N
представляет собой вектор, перпендикулярный к плоскости
преломления, а произведениеAxN - вектор, перпендикулярный к
плоскости падения. Уравнение A.9) показывает, что эти плоскости
совпадают, т.е. выполняется одна часть закона отражения. Кроме
того, Л х N = sin б' и А х Л^ = sin ?*, отсюда следует, что s'=-s, т.е.
выполняется и другая часть закона отражения.
Рис. 1.10. К закону отражения в векторной форме
Запишем уравнение A.9) в виде:
(a' + a)xN=0.
Так как векторы А' + А и N не равны нулю, то из последнего
уравнения следует, что эти два вектора должны быть коллинеарны.
Поэтому можно написать, что
А'+А = eN9
где е - некоторый скалярный множитель. Отсюда следует
e = (A' + A)N.
Используя это значение е, из предыдущего уравнения будем иметь
А' = -А + (А' + A)- (NJ =-А+ (A'N + AN)n.
35
Но так как
A'N = cos(l80° + s ) = coss' = cos(-s) = coss,
AN = cos^,
то для вектора А' можно написать:
A! = -A + 2(AN)N, A.10)
A! = -A + 2N coss. A.11)
Каждая из формул A.9-1.11) выражает закон отражения в векторной
форме.
Обозначим через cos A, cosju, cosv направляющие косинусы
нормали к преломляющей поверхности в точке падения луча, через
cos a, cos/], cosy - направляющие косинусы падающего луча, через
cos a', cos/]' и cosy' - направляющие косинусы отраженного луча
относительно координатных осей OX, OY и 02 соответственно. Тогда
из формулы A.11) закон отражения для трехмерного пространства
можно записать в виде трех обычных формул:
cos ccf = — cos a + 2 cos s cos Я, 1
cos/?' = -cos/? + 2cos^cos//, > A-12)
cos/' = -cos/ + 2cos^cosi/. J
Очевидно, что с помощью этих формул легко определить положение
в трехмерном пространстве отраженного луча при известном
положении падающего луча и нормали к отражающей поверхности в
точке падения.
1.8.2. Формулы закона преломления луча в трехмерном
пространстве
Пусть на преломляющую поверхность, показанную на рис. 1.11,
в некоторой системе координат OXYZ вдоль вектора а падает луч,
который после преломления направляется вдоль вектора а'.
Предположим, что длина вектора а равна показателю
преломления п среды до преломления, а длина вектора а' -
показателю преломления п' среды после преломления. Обозначим
далее через А единичный вектор, направленный вдоль падающего
луча, через А' - единичный вектор, направленный вдоль
преломленного луча, через N - единичный вектор вдоль нормали к
преломляющей поверхности в точке падения.
36
Углы падения и преломления обозначим соответственно через ? и ё.
Рис. 1.11. К закону преломления в векторной форме
Тогда закон преломления через векторы N, а и а' можно
написать в виде
Nxa=Nxa'. A.13)
Нетрудно показать, что это векторное уравнение заключает в себе обе
части закона преломления. По условию а =пА,а' = п А'. Поэтому
NxnA=Nxn'A\Nx(n'A'-nA)=O.
Так как N\ = 1, \пА' — пА\ Ф О, то, следовательно, векторы N и
п'А' — пА коллинеарны и отличаются друг от друга на некоторую
скалярную величину е так, что
riA'-nA=eN.
Умножив скалярно обе части этого уравнения на вектор N, получим
е = (п'А' - nA)N = п(А' • N')- п(А • N}
Подставляя это значение е в предыдущее уравнение, будем иметь
Произведя далее скалярное умножение, получим
= пА
Введем обозначение:
k = jn'2-n2sm2?-ncos?. A-14)
37
Тогда предыдущее уравнение можно написать в виде
nrA' — nA+kN. A15)
Уравнение A.15) с учетом обозначения A.14) также выражает
закон преломления в векторной форме.
Введем для направляющих косинусов нормали к преломляющей
поверхности и падающего луча те же обозначения, что и в
предыдущем пункте, а для направляющих косинусов преломленного
луча - те же обозначения, что и для отраженного луча. Тогда,
переходя от записи закона преломления в векторной форме A.15) к
записи в виде трех обычных уравнений, получим
п cos a' = n cos a + к cos Я,
n'cosfl' = ncosP + kcos/лЛ A.16)
п cos у —п cos у л-к cos v.
Эти три формулы выражают закон преломления в трехмерном
пространстве. Если известны значения всех величин в правой части
этих уравнений, то с их помощью легко определить положение в
пространстве преломленного луча. Заметим, что при отражающей
поверхности, когда п =-п\ формулы A.16) превращаются в
формулы A.12).
При переходе от одной преломляющей (отражающей)
поверхности к последующей необходимо бывает вычислить угол
падения луча на рассматриваемую поверхность. Вычисление этого
угла (если он не задан по условию задачи) может быть выполнено по
известной из аналитической геометрии формуле
COS 8 = COS a • COS Я + COS /3 • COS JU + COS у COS V, A.17)
в которую входят лишь направляющие косинусы единичных векторов
падающего луча и нормали, восстановленной к поверхности в точке
падения луча.
38
1.9. Принцип Ферма
Принцип Ферма является основным принципом геометрической
оптики. Он сформулирован около 1660 г. французским математиком
Пьером Ферма. В простейшей форме этот принцип можно
сформулировать так: свет распространяется по такому пути, для
прохождения которого ему требуется минимальное время. У самого
Ферма формулировка принципа была следующая: природа действует
всегда короткими путями.
В
А/
Рис. 1.12. Ход светового луча между точками А и В в
неоднородной среде
Пусть между точками А и В, расположенными в неоднородной
среде, свет распространяется вдоль некоторой кривой линии АВ (рис.
1.12).
Для прохождения элементарного участка кривой dl свету нужно
время
dt = dl/V,
где V - скорость света на этом участке. В соответствии с формулой
A.5)
v = c-.
П
где п - показатель преломления среды на участке dl. Поэтому
dt = ndl/c,
Следовательно, время t, затрачиваемое светом на прохождение пути
от точки А до точки В, окажется равным
в
=\\
ndl.
А
Согласно принципу Ферма, t должно быть минимальным.
39
Так как с - величина постоянная, то минимально должно быть
значение интеграла
s= \ ndl.
A.18)
Эта величина носит название оптического пути.
Если среда однородна, то показатель преломления постоянен, а
свет между точками А и В распространяется вдоль прямолинейного
отрезка АВ= I. Тогда оптический путь между точками А и В будет
равен
s = nl. <1Л9>
Предположим, что по пути от точки А к точке В свет проходит р
однородных сред (рис. 1.13). Тогда оптический путь между этими
точками может быть записан как
s =
A.20)
где пк - показатель преломления k-й среды, 1к - геометрическая длина
хода луча в этой среде.
Более строгая формулировка принципа Ферма такова: реальный
луч света распространяется от одной точки к другой по линии, по
которой время его прохождения экстремально или одинаково по
сравнению со временем прохождения по всем другим линиям,
соединяющим эти точки.
Рис. 1.13. Ход луча между точками Aw В через/?
однородных сред
Отсюда следует, что оптический путь луча может быть не
только минимальным, но и максимальным, либо равным всем
остальным возможным путям, соединяющим указанные точки.
40
Условие экстремальности оптического пути означает, что
вариация от интеграла A.18) должна быть равна нулю, т.е.
в
A.21)
Это выражение является математической формулировкой принципа
Ферма.
Если предположить, что между точками А и В имеются три
однородные среды, разделенные между собой произвольно
расположенными друг относительно друга двумя поверхностями, то
оптический путь между этими точками окажется функцией шести
параметров (по три координаты точки встречи луча с двумя
поверхностями раздела). При возрастании числа сред число таких
параметров будет возрастать. В общем же случае неоднородных сред
число параметров, от которых зависит оптический путь, возрастает до
бесконечности. Поэтому символ вариации 8 в выражении A.21)
является обобщением символа дифференциала d для случая, когда
число независимых переменных бесконечно.
Докажем справедливость принципа Ферма для случая, когда
точка А находится в одной однородной среде с показателем
преломления п\, а точка В - в другой однородной среде с показателем
преломления п2. Пусть на рис. 1.14 луч от точки А до точки В
проходит по пути АОВ, преломляясь на границе раздела сред в
точке О.
N
J2
Рис. 1.14. Доказательство справедливости принципа Ферма
41
Точка О должна лежать в плоскости чертежа, откуда следует,
что падающий под углом Sj луч АО, преломленный под углом ?2 луч
ОВ и нормаль ON лежат в одной плоскости, т.е. в этом случае
выполняется первая часть закона преломления. Если предположить,
что точка О не лежит в плоскости чертежа, то оптический путь между
точками А и В увеличится, что противоречит принципу Ферма о
минимальности пути. Кроме того, оптический путь s в данном случае
является функцией величины х9 определяющей положение точки О в
плоскости чертежа в направлении границы раздела сред.
Из рис. 1.14 имеем
s = щАО + п2ОВ = п1Л/а2 + х2 + п2Л/Ь2 + (с - хJ.
В соответствии с принципом Ферма A.19):
с — х
— п2 , = n1sins1 - n2sin?2 = 0.
a2 + 2 %/Ь2 + (J
Отсюда получаем формулу A.8), выражающую вторую часть закона
преломления. Таким образом, с помощью принципа Ферма получена
формула, выражающая закон преломления, что и подтверждает
справедливость самого принципа.
Рассмотренный пример является случаем, когда принципу
Ферма соответствует минимум оптического пути. Можно
представить себе эллипсоид вращения с зеркальной внутренней
поверхностью, изнутри заполненной однородной средой (например,
воздухом). Если в одном фокусе этого эллипсоида поместить
точечный источник света, то все лучи от этого источника после
отражения от внутренней зеркальной поверхности соберутся во
втором фокусе. Согласно определению эллипсоида вращения,
оптический путь между фокусами вдоль любого луча будет один и
тот же. Здесь принципу Ферма соответствует постоянство
оптического пути.
Известны также примеры, когда принципу Ферма соответствует
максимум оптического пути.
В волновой оптике принцип Ферма применим, если длина
световой волны достаточно мала по сравнению с другими
характерными для рассматриваемой задачи размерами. В противном
случае принцип Ферма неприменим.
42
1.10. Полное внутреннее отражение
Из формулы A.8) видно, что при переходе света из среды с
большим показателем преломления (такая среда называется
оптически более плотной) в среду с меньшим показателем
преломления (оптически менее плотную среду) луч удаляется от
нормали к границе раздела сред. Действительно, при п1>п2 для
соблюдения равенства A.8) необходимо иметь sins2>sins1, т.е.
(рис. 1.15).
Рис 1.15. Полное внутреннее отражение
Поэтому, увеличивая угол падения, можно достичь такого его
значения епред9 при котором угол преломления окажется равным к/2.
При углах падения ?>епред свет во вторую среду не проникает
(точнее, световая энергия во вторую среду проникает на глубину
порядка длины волны и затем возвращается обратно), а полностью
отражаясь от границы раздела сред, возвращается в первую среду.
Это явление называется полным внутренним отражением, а угол
падения ? =?пре(), при котором это явление наступает, называется
предельным или критическим углом падения.
Если в2=п12, то ?i=enped и из формулы A.8) получаем
выражение для вычисления предельного угла падения:
A.22)
43
Например, если первой средой является стекло с показателем
преломления Я/ = 1,5163 (стекло марки К8), а вторая среда - воздух
(п2=\\то епред = 41° 16'.
Явление полного внутреннего отражения широко используется в
геометрической оптике при расчете призм и призменных систем,
когда требуется обеспечить изменение направления хода световых
пучков при одновременном сохранении их интенсивности. На этом
же явлении основана работа волоконных оптических деталей и
различных стеклянных световодов.
44
ГЛАВА 2. ОПТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
При разработке оптических систем приборов в зависимости от
их назначения и условий работы применяются самые разнообразные
оптические материалы, из которых наиболее распространенными
являются следующие.
1. Стекло оптическое бесцветное.
2. Стекло оптическое цветное.
3. Стекло оптическое кварцевое.
4. Стекло оптическое люминесцентное.
5. Стекло светорассеивающее.
6. Стекло фотохромное.
7. Стекло оптическое органическое.
8. Ситаллы органические.
9. Стекло бескислородное инфракрасное.
10. Керамика оптическая.
11. Кристаллы оптические.
Ниже приводятся некоторые сведения о перечисленных
материалах.
2.1. Стекло оптическое бесцветное
Оптическое бесцветное стекло является самым
распространенным материалом в оптическом приборостроении.
В настоящее время отечественная оптическая промышленность
выпускает стекла самых различных марок, отличающихся друг от
друга по физико-химическим характеристикам. Эти стекла обладают
различными оптическими свойствами, имеют различные оптические
характеристики.
2.1.1. Оптические характеристики стекол
Показатель преломления является одним из основных
оптических характеристик стекла. Обычно справа внизу от индекса п,
обозначающего показатель преломления, указывают
соответствующую линию спектра. В каталогах приводятся показатели
преломления пе для зеленой линии е спектра Hg (Я = 0,546 мкм) и показатель
преломления nD желтой линии D спектра Na (Л = 0,589 мкм).
Численные значения показателя пе выпускаемых сейчас оптической
промышленностью стекол колеблются в диапазоне от 1,43 (стекло
ФФС1) до 2,17 (стекло СТФЗ). Обычные бесцветные оптические
45
стекла в общем прозрачны в спектральном диапазоне от Я = 0,35 мкм
до Я = 3 мкм. Поэтому в каталогах стекол приводятся показатели
преломления каждой марки стекла для ряда определенных длин волн
в указанном диапазоне спектра.
Средняя дисперсия стекла определяется разностью показателей
преломления
пг —пс или nF-nc.
Коэффициент дисперсии (число Аббе) определяется по
формуле
пс,-\ nD-\ nd-\ nh-\
ve= , vD= , vd= , vh= и т. д.
nF -пс nF-nc nF-nc nt-no
Численные значения числа Аббе vD современных стекол колеблются
в диапазоне от 16,62 (стекло СТФ11) до 97,20 (стекло ФФС1).
При расчете оптических систем важно бывает знать то, что
стекла с одинаковыми показателями преломления могут иметь
различные значения коэффициентов дисперсии.
Частная дисперсия определяется как разность двух выбранных
показателей преломления, например:
nc-nD,nD-ne,nF-nD,nc-nD и т. д.
Коэффициент частной дисперсии (относительная дисперсия)
определяется как отношение взятой частной дисперсии к средней
дисперсии, например:
nD-nc nF -nD nG -nF
, , и т. д.
nF -nc nF -nc nF -пс
Стекла с равными относительными дисперсиями в
соответствующих частях спектра называются стеклами с
пропорциональным спектром. Такими стеклами пользуются при
расчете оптических систем с повышенным качеством изображения.
2.1.2. Оптические свойства стекол
Оптические свойства стекол зависят от их химического состава.
Для производства современных оптических стекол используются
различные химические элементы, но главной их составной частью
чаще всего является двуокись кремния SiO2. Стекла, содержащие
двуокись кремния, относятся к группе силикатных неорганических
стекол.
46
По оптическим свойствам стекла условно делятся на кроны и
флинты. Кроны - стекла с большим коэффициентом дисперсии. Они
состоят в основном из двуокиси кремния и борного ангидрида В2О3.
В некоторые виды кронов добавляют значительное количество окиси
бария ВаО. Флинты - стекла с высоким показателем преломления и
меньшим коэффициентом дисперсии и состоят в основном из
двуокиси кремния и окиси свинца РЬО.
и
1,В0
f,75
1,10
1,65
1,60
%55
1,50
L_
z
T
1
i i i i i i i i i i i 1
Условные обозначения
• кварцевое стекло
о кронфлинты
а особые флинты
• все остальные
стекла
it
ГГ2
-
1
70.1
¦
г
{
2
.'
1
•з-
&
Щ1
Г
У
7
i
77
=
К 1-
I
К
стк
-•*
В "-
0-
t
I
]^
•
1»
*
»-
«c
i
у
r
3
J
i
\
s
?
A
•
US
¦¦
Ф
-
2
1
7
[>
•
21
40
T
и
7
В
Ф
dy
2»,
9
-
5
/
.(.
P
J
8
30
*
p
0
25
1 1/
| I
jl с
+
T
0
20
j
Ф
>
Рис. 2.1. Диаграмма Аббе
Принято весь набор марок стекол представлять в виде
диаграммы Аббе (рис. 2.1), представляющей собой прямоугольную
систему координат, на которой каждой марке стекол соответствует
определенная точка с абсциссой, равной коэффициенту дисперсии (на
оси абсцисс откладывается в убывающем порядке), и ординатой,
равной показателю преломления.
В зависимости от расположения стекол на такой диаграмме
различают следующие типы стекол: ЛК - легкий крон, ФК -
фосфатный крон, ТФК - тяжелый фосфатный крон, К - крон, БК -
баритовый крон, ТК - тяжелый крон, СТК - сверхтяжелый крон, ОК -
особый (с особым ходом дисперсии) крон, КФ - кронфлинт, БФ -
баритовый флинт, ТБФ - тяжелый баритовый флинт, ЛФ - легкий
флинт, Ф - флинт, ТФ - тяжелый флинт, СТФ - сверхтяжелый флинт,
ОФ - особый (с особым ходом дисперсии) флинт. Стекла типов ОК и
47
ОФ могут находиться на любом участке поля диаграммы,
занимаемом соответственно кронами и флинтами.
Стекла изготовляются двух серий: обычные с нумерацией марок
от 1 до 99 и серии 100 - мало темнеющие под воздействием
ионизирующего излучения с нумерацией марок от 100 до 199. Кроме
того, специально выпускаются стекла серии 200 для изготовления
деталей приборов, работающих в условиях интенсивного и
длительного воздействия ионизирующего излучения, и стекла серии
500 с повышенным пропусканием в спектральной области 2,7-4 мкм,
предназначенные для изготовления деталей приборов, работающих в
видимой и ближней инфракрасной областях спектра.
Условное обозначение стекла содержит обозначение типа стекла
и его номера (например, стекло СТК12).
Каталог оптических бесцветных стекол постоянно обновляется,
при этом поле диаграммы Аббе все больше заполняется. Так, в
середине 50-х годов XX века в каталог были введены новые
лантановые стекла типов СТК и ТБФ, содержащие редкоземельный
элемент лантан. Это очень дорогие стекла, т.к. варят их в платиновых
сосудах, перемешивание массы стекла при варке производится также
платиновой мешалкой. Стекла этих типов имеют повышенное
значение показателя преломления.
В то же время были разработаны теллуровые стекла типа СТФ,
содержащие редкоземельный элемент теллур. Они характерны тем,
что из всех прозрачных для видимого излучения стекол обладают
наиболее высоким показателем преломления, самым малым
коэффициентом дисперсии и прозрачностью в ближней
инфракрасной области спектра до 5,5 мкм.
2.1.3. Показатели качества стекла
Различные партии одной и той же марки стекла могут
отличаться друг от друга по качеству изготовления. Поэтому для
характеристики этого качества используют следующие показатели.
Допускаемые отклонения показателя преломления пе и средней
дисперсии nFi — псг от номинальных значений, установленных для
стекла каждой марки. По этому показателю стекла подразделяются на
пять категорий - категории от 1 до 5.
Допускаемая однородность взятой партии заготовок стекла по
показателю преломления пе и средней дисперсии nF> — nc>. По этому
показателю стекло подразделяется на четыре класса - классы А, Б,
В и Г.
48
Допускаемые отклонения по оптической однородности,
оцениваемые по разрешающей способности при Я = 0,550 мкм,
определяемой как отношение угла разрешения коллиматорной
установки, в пучок параллельных лучей которой введена заготовка
стекла, к углу разрешения самой установки. По оптической
однородности установлены пять категорий - категории от 1 до 5.
Допускаемое двойное лучепреломление, характеризуемое
разностью хода двух лучей при Я = 0,550 мкм, на которые
разделяется падающий луч под воздействием внутренних
напряжений при прохождении в направлении наибольшего размера
заготовки стекла. По этому показателю стекло подразделяется на пять
категорий - категории от 1 до 5.
Бессвильность. Свили - это участки с показателем преломления,
резко отличным от показателя преломления основной массы стекла,
получающегося при его варке. По бессвильности установлены четыре
категории качества - от 1 до 4, и два класса - А и Б.
Пузырность характеризуется диаметром пузыря в заготовке
(девять категорий - 1, 1а, 2...9) и средним числом пузырей
диаметром свыше 0,03 мм в 1 кг стекла (шесть классов - от А до Е).
Показатель ослабления - величина, обратная расстоянию в
сантиметрах, на котором поток излучения, образующего пучок
параллельных лучей, ослабляется в 10 раз в результате совместного
действия поглощения и рассеяния в веществе для источника А,
воспроизводящего излучение электрической лампочки накаливания.
По показателю ослабления установлены восемь категорий стекла
(категории от 1 до 8). Величина этого показателя от 1-й до 8-й
категории меняется от 0,002 до 0,0130 см.
Более подробные сведения о показателях качества стекла можно
найти в руководящих технических материалах на оптическое стекло.
2.1.4. Вычисление показателя преломления стекла для
произвольной длины волны света
При расчете оптических систем часто требуется знать
численные значения показателя преломления стекол для длин волн,
отличающихся от приведенных в каталогах. С этой целью
применяются различные интерполяционные формулы.
В начале XX в. Коши предложил для вычисления показателя
преломления в зависимости от длины волн Я света формулу
49
А Ь С
Л2 Л4
в которой коэффициенты А, Ъ, с, ... определяются по известным для
определенных длин волн показателям преломления.
Зельмейер, основываясь на теории строения атома, вывел
формулу
где А, - длины волн, соответствующие полосам поглощения стекла.
Корню предложил эмпирическую формулу
= no-h
л — л0
в которой три постоянные п0, с и Ао необходимо подбирать для
данной марки стекла, пользуясь величинами показателей
преломления, известными непосредственно для нескольких длин
волн. Эта формула в области спектра 450...650 нм для большинства
стекол обеспечивает вычисление показателя преломления с
точностью до одной-двух единиц пятого знака.
Гартман усовершенствовал формулу Корню, придав ей вид
где а - постоянная, которую необходимо подбирать. Численное
значение этой величины колеблется в пределах от 0,8 до 1,3.
Точность определения показателя преломления по сравнению с
формулой Корню увеличивается мало, но громоздкость вычислений
существенно возрастает.
Для вычисления показателей преломления в диапазоне
0,8...2,6 мкм используют формулу Неймана - Кестлера:
п = а + ЬА2 +—,
А
в которой
50
О =
Щ -п2 п2 -п3
(Я3/Я2J -
? - 1/Я23
~ П2 С
+
_ д2 ' д2д2 '
где «у, «_?» л.? - известные показатели преломления соответственно
для длин волн Л/, Я2 и Я3.
Герцбергер предложил полуэмпирическую, полутеоретическую
формулу:
Я2-0,035 (А2_0Q35J'
где четыре постоянные juIf ju2, ju3, ju4 должны быть предварительно
определены по известным показателям преломления. Эта формула
обеспечивает точность определения показателя преломления до
двух-четырех единиц пятого знака в области 0,4...0,763 мкм.
Для повышения точности и расширения спектрального
интервала число постоянных в интерполяционных формулах нужно
увеличивать. Фирмой «Шотт» предложена формула с шестью
коэффициентами:
п2 =а0 +а]А2 +а2А~2 +a3^~4 +^4^~6 +#5^~8 +•••
Численные значения коэффициентов для каждой марки стекла
берутся из каталога. Формула позволяет рассчитать показатель
преломления в области спектра 0,365... 1,0139 мкм с точностью до
единицы пятого знака. На основе этой формулы в ГОИ разработана
программа, позволяющая с помощью ЭВМ вычислять показатели
преломления стекол в спектральной области 0,265... 1,5 мкм для
любой длины волны.
2.2. Стекло оптическое цветное
В настоящее время промышленность выпускает большое число
марок окрашенного в различные цвета оптического стекла,
называемого цветным. Цветное неорганическое оптическое стекло
используется при изготовлении светофильтров. Окраска этого стекла
достигается путем добавления в состав шихты (смесь в определенных
пропорциях материалов, из которых получается стекло) одного или
51
нескольких минеральных красителей, которые, растворившись в
стекле, по-разному поглощают свет в различных участках видимого
спектра, что и придает стеклу ту или иную окраску.
Цветное неорганическое оптическое стекло изготавливается
следующих типов.
УФС - ультрафиолетовое стекло.
ФС - фиолетовое стекло.
СС - синее стекло.
СЗС - сине-зеленое стекло.
ЗС - зеленое стекло.
ЖЗС - желто-зеленое стекло.
ЖС - желтое стекло.
ОС - оранжевое стекло.
КС - красное стекло.
ИКС - инфракрасное стекло.
ПС - пурпурное стекло.
НС - нейтральное стекло.
ТС - темное стекло.
БС - бесцветное стекло.
Каждый тип цветных оптических стекол содержит несколько
номеров марок стекол, отличающихся друг от друга плотностью
окраски. Условное обозначение стекла содержит обозначение типа
стекла и его номера (например, стекло СЗС21).
Основной характеристикой любой марки цветного
неорганического оптического стекла является светопропускание
стекла определенной толщины в зависимости от длины волны света.
Данные по светопропусканию каждой марки стекла в зависимости от
длины волны света приводятся в соответствующих каталогах.
52
2.3. Стекло оптическое кварцевое
Кварцевое оптическое стекло (плавленый кварц) является
предельным случаем силикатного стекла и состоит исключительно из
двуокиси кремния. Среди силикатных стекол оно обладает
наименьшим показателем преломления (nD = 1,4584) и большей
прозрачностью в ультрафиолетовой (от 170 нм) и ближней
инфракрасной (до 4000 нм) областях спектра. В настоящее время в
зависимости от области спектрального пропускания установлены и
выпускаются следующие четыре марки этого стекла.
КУ-1 - стекло, высокопрозрачное в ультрафиолетовой области
спектра, не люминесцирующее, радиационно оптически устойчивое,
без полосы поглощения в интервале длин волн 170...250 нм и
используемое при изготовлении защитных стекол, призм,
светофильтров и других оптических деталей, работающих в
ультрафиолетовой области спектра.
КУ-2 - стекло, прозрачное в ультрафиолетовой области спектра,
с заметной полосой поглощения в интервале длин волн 170...250 нм и
применяемое для тех же целей, что и стекло марки КУ-1.
KB - стекло, прозрачное в видимой области спектра, имеющее
заметную полосу поглощения в ультрафиолетовой области спектра,
полосу поглощения в интервале длин волн 2600...2800 нм и
применяемое для изготовления оптических деталей, работающих в
спектральном интервале 250...2500 нм.
КИ - стекло, прозрачное в инфракрасной области спектра, без
заметной полосы поглощения в интервале длин волн 2600...2800 нм и
применяемое для изготовления защитных стекол и других оптических
деталей, работающих в ближней инфракрасной области спектра (до
3500...4000 нм).
Для оптического кварцевого стекла характерна высокая
химическая и термическая стойкость (температура размягчения
1400°С).
2.4. Стекло оптическое люминесцентное
Особенность оптического люминесцентного стекла состоит в
том, что в его составе содержится неодим, благодаря чему оно имеет
ряд узких полос люминесценции, из которых на полосу с длиной
волны 1060 нм приходится около 80% энергии люминесценции.
Промышленность выпускает несколько марок этого стекла,
отличающихся друг от друга спектрами люминесценции и
53
поглощения. Обозначается стекло буквами ГЛС (генерирующее
люминесцентное стекло) с добавлением номера марки стекла
(например, стекло ГЛС32). К обозначению стекла, сваренного в
платиновом сосуде, добавляется буква «П».
Стекло используется для изготовления активных элементов
твердотельных лазеров направленного излучения с длинами волн 900,
1060 и 1300 нм, работающих в моноимпульсном режиме и в режиме
свободной генерации.
2.5. Стекло светорассеивающее
Рассеивающие свойства эти стекла приобретают благодаря
введению в их состав соединений фтора в виде криолита,
кремнефтористого натрия и других соединений, обеспечивающих
мелкозернистую структуру кристаллизации («глушение») стекла.
Светорассеивающие стекла применяются для изготовления
непрозрачных деталей, диффузно отражающих направленный на них
свет, а также деталей, диффузно рассеивающих проходящий через
них свет. Кроме того, из них изготавливают устойчивые во времени
эталоны отражения, белизны, мутности и имитаторы рассеивающих
сред.
Обозначаются стекла буквами МС (молочное стекло) с
добавлением номера марки стекла (например, стекло МС19).
2.6. Стекло фотохромное
Фотохромное стекло - это неорганическое стекло, обладающее
фотохромными свойствами, т.е. способностью обратимо менять
светопропускание в видимой области спектра при воздействии
ультрафиолетового или коротковолнового видимого излучения. По
составу эти стекла разнообразны, но благодаря высоким
фотохромным характеристикам (наибольшая скорость обратимого
изменения светопропускания, наибольшая плотность потемнения) и
технологическим свойствам наиболее распространены стекла с
галогенидами серебра. Обозначаются фотохромные стекла буквами
ФХС с добавлением номера марки стекла (например, фотохромное
стекло ФХС4). Они могут применяться для изготовления
светофильтров с переменным пропусканием, в голографии в качестве
регистрирующих сред для записи информации, для изготовления
специальных светозащитных очков, для остекления кабин самолетов
и т.д.
54
2.7. Стекло оптическое органическое
Оптические органические стекла - это термопластические
органические материалы, находящиеся при нормальных условиях в
аморфном стеклообразном состоянии. По сравнению с оптическими
неорганическими стеклами они имеют меньшую стоимость, меньшую
плотность, более высокую ударопрочность, легче обрабатываются,
формуются, склеиваются. Однако из-за недостаточной оптической
однородности, большого коэффициента температурного линейного
расширения, термической усадки, старения, низкой абразивной
стойкости, препятствующей шлифовке и полировке с высокой
точностью, их применяют только для изготовления неответственных
оптических деталей - растров, линз Френеля, расположенных в
плоскости изображения или вблизи нее, деталей луп, защитных
стекол, очков, матовых экранов и т.д.
Наибольшее распространение в качестве оптических материалов
получили поликарбонат, полистирол и метилметакрилат, некоторые
характеристики которых приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Характеристики
Показатель преломления
для Л = 589 нм
для Л = 486 нм
для Л = 656 нм
Число Аббе
Критический угол
полного внутреннего
отражения
Пропускание(при
толщине образца 3 мм), %
Рассеяние света
полированной
поверхности, %
Коэффициент
температурного
линейного расширения
Наименование материала
метилметакрилат
1,491
1,497
1,493
57,2
42,1°
92
2
3,6 10
полистирол
1,590
1,604
1,584
30,8
39,0°
87...92
3
3,5-10
поликарбонат
1,586
1,593
1,576
34,0
39,1°
85...91
3
3,8 10~5
сополимер
стирола
1,564
1,574
1,558
35,0
39,8°
90
3
3,6-10
55
2.8. Ситаллы оптические
Ситаллы - это стеклокристаллические неорганические
материалы, состоящие из двух основных фаз - стекловидной связки и
равномерно распределенных в ней мельчайших (размером 1...2 мкм)
кристаллов, образующихся в результате специальной термической
обработки стекла определенного химического состава. По сравнению
со стеклом ситаллы имеют повышенную термостойкость,
механическую прочность и твердость, обладают малым или близким
к нулю (а иногда и отрицательным) коэффициентом теплового
линейного расширения. Они относятся к хрупким материалам,
разрушающимся под воздействием ударно-вибрационных нагрузок.
Промышленностью выпускаются следующие марки оптических
ситаллов.
СО115М - применяется для изготовления изделий, в которых не
допускается изменение формы поверхности при изменении
температуры (астрозеркала, подставки для интерферометров,
гироскопов и других изделий, не работающих в проходящем свете).
СО 156 - отличается от С0115М повышенной прозрачностью в
видимой части спектра и лучшей однородностью, но обладает
меньшей термостойкостью и более резким изменением коэффициента
линейного расширения при повышении температуры, применяется
для изготовления пробных стекол и деталей измерительной техники.
СО21 - имеет отрицательный коэффициент линейного
расширения в температурном интервале О...35О°С, что обеспечивает
его высокую термостойкость, применяется для изготовления деталей
типа обтекателей, смотровых люков и защитных экранов.
2.9. Стекла бескислородные инфракрасные
Инфракрасные бескислородные стекла характерны тем, что в их
составе отсутствуют химические соединения, содержащие кислород.
Свойства этих стекол существенно меняются при изменении их
состава и условий производства. Наибольшее применение в
настоящее время нашли халькогенидные стекла, представляющие
собой бескислородные сплавы сульфидов, селенидов и теллуридов
мышьяка, сурьмы, фосфора, висмута и таллия, прозрачные в
инфракрасной области спектра в диапазоне длин волн 1...17 мкм.
Недостатком этих стекол является их легкоплавкость, они
размягчаются в интервале температур от 140 до 220°С. Обозначаются
56
стекла буквами ИКС (инфракрасное стекло) с добавлением
номера марки (например, стекло ИКС27).
Халькогенидные стекла используются при изготовлении
изделий, работающих в инфракрасной области спектра. Кроме того,
благодаря высокому сопротивлению и высокой
фоточувствительности их используют в передающих телевизионных
трубках, а также для записи голограмм.
2.10. Керамика оптическая
Оптическая керамика - это поликристаллический материал,
полученный методом прессования под большим давлением в вакууме
химически чистых кристаллических порошков с размером зерен
0,1... 10 мкм; механически изотропна, по термическим свойствам
значительно превосходит аналоги соответствующих монокристаллов,
хорошо обрабатывается и обладает высокой устойчивостью к
тепловым ударам. Оптическая керамика является основным
конструкционным материалом для изготовления оптических деталей
приборов, работающих в ИК-диапазоне спектра в условиях больших
перепадов давления и температур. Керамика оптическая обозначается
соответственно буквами КО с добавлением номера марки (например,
керамика оптическая КО1).
Промышленностью выпускается несколько марок оптической
керамики, отличающихся друг от друга химическим составом и
соответственно различными химическими, оптическими и
механическими свойствами. В зависимости от химического состава
керамика может быть прозрачна в пределах от 0,4 до 29 мкм спектра.
В табл. 2.2 приведены некоторые характеристики нескольких
марок оптической керамики.
Таблица 2.2
Марка
керамики
КО1
КО2
КО4
КО5
КО6
Область
прозрач-ности
(мкм)
1...7
1...14
0,5...21
0,4...8,0
0,9...29,0
Показатель
преломления
при Л=2 мкм
1,3720
2,2631
2,4472
1,7089
2,7110
Плотность,
г/см3
3,171
4,090
5,250
3,578
5,850
Коэффициент темпер,
лин. расширения
(бИО6)
п,з
6,9
7,7
11,0
5,5
57
При этом коротковолновая граница прозрачности у них
находится в пределах 0,4...2 мкм, а длинноволновая - в пределах
8...28 мкм (под границей прозрачности понимают длину волны, при
которой коэффициент пропускания образца толщиной 2 мм равен
50%).
2.11. Кристаллы оптические
В природе часто встречаются кристаллы каменной соли NaCl,
сильвина SiO2, кальцита CaF2, кварца (горного хрусталя) SiO2,
кальцита СаСО3, полевого шпата и др. Эти кристаллы давно
используются в оптике. Однако кристаллы надлежащей
прозрачности, однородности и больших размеров, необходимые для
создания оптических приборов, встречаются редко. Наибольшее
применение в оптическом приборостроении кристаллы получили
после того, как были освоены методы их искусственного
выращивания (синтезирования). Современные методы выращивания
обеспечили возможность получения таких кристаллов, которые ранее
в природе не встречались. При этом число синтетических кристаллов
постоянно увеличивается и уже значительно превысило число
природных, так что в оптике в настоящее время используются в
основном синтетические кристаллы.
Свойства оптических кристаллов меняются в очень широких
пределах. Можно подобрать кристаллы, прозрачные в любом участке
инфракрасного спектра, тогда как стекла прозрачны только в
коротковолновом диапазоне. Численные значения показателя
преломления и дисперсии в кристаллах меняются неизмеримо
сильнее, чем в других оптических материалах. Только
кристаллические материалы обладают двулучепреломлением.
Кристаллы имеют высокую температуру плавления, что позволяет
использовать их в качестве жаростойких материалов.
В табл. 2.3 приведены некоторые характеристики основных
синтетических кристаллов, применяемых в оптике в настоящее время.
При выборе оптических материалов в случае необходимости
учитывают их термооптические, теплотехнические, механические,
магнитные, электрические характеристики, радиационно-оптическую,
химическую устойчивость и светорассеяние. Сведения об этих
характеристиках содержатся в соответствующей специальной
литературе.
58
Таблица 2.3
Краткое
наименование
кристалла
AgBr
AgCl
BaF2
CaF2
CsBr
CsJ
Ge
KBr
KCl
KCl
KRS-5
KRS-6
LiF
MgF2
MgF2
NaCl
NaF
Si
SrF2
TIBr
TICl
ZnS
ZnSe
Область
прозрачности
(мкм)
0,45-35
0,40-30
0,15-15
0,13-12
0,22-55
0,24-70
1,8-23
0,23-40
0,21-30
0,21-30
0,50-40
0,21-34
0,12-9
0,11-7,5
0,11-7,5
0,21-26
<0,15-15
1,2-15
0,13-11
0,44-40
0,44-34
1-12
0,5-22
Показатель
преломления
2,3130
1,98034
1,4626
1,40568
1,66251
1,73916
4,0034
1,52695
1,488
1,454
2,37069
2,1767
1,37327
1,3836
1,3957
1,499980
1,233
3,4179
1,439
2,350
2,198
2,20
2,403
При
длине
волны
(мкм)
0,496
10,0
2,6
4,4
10,0
10,0
9,72
9,72
0,66
10,6
10,0
10,0
2,5
0,405
0,405
9,5
10,3
10,0
0,58
0,75
0,75
10,0
10,6
Потери на
отражение
от двух
поверхностей (%)
27,4
19,5
7,7/6,0
5,6
11,6
13,6
52,9
8,4
6,8
6,8
28,4
24,2
4,4
5,1/11,2
5,1/11,2
7,5
3,6
46,1
6,0
29,0
21,8
24,7
29,1
При
длине
волны
(мкм)
10,0
10,0
0,6/4,0
4,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
4,0
1,0/0,12
1,0/0,12
10,0
4,0
10,0
4,0
0,6
10,0
10,0
10,0
Плотность
(г/см3)
6,473
5,589
4,89
3,18
4,44
4,5
5,327
2,7533
1,989
1,989
7,371
7,182
2,63905
3,177
3,177
2,165
2,726
2,3291
4,24
7,453
7,018
4,08
5,27
59
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В
ПАРАКСИАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ
3.1. Правила знаков
В геометрической оптике численные значения параметров
оптической системы, отрезков, углов и других величин могут быть
как положительными, так и отрицательными. Знаки тех или иных
величин определяются в соответствии с нижеизложенными
правилами.
1. Положительным направлением считается направление слева
направо.
2. На чертежах и рисунках буквенные обозначения
отрицательных величин должны иметь знак минус, а буквенные
обозначения положительных величин указываются без знака.
3. Отрезки, перпендикулярные оптической оси, считаются
положительными, если они расположены над осью, и
отрицательными, если они находятся под осью (рис. 3.1).
1.
Рис. 3.1. Знаки отрезков, перпендикулярных оптической оси
4. Линейное увеличение оптической системы считается
положительным, когда изображение прямое. При обратном
изображении увеличение отрицательно.
г>0 г<0
С С
Рис 3.2. Знаки радиусов кривизны поверхностей
5. Радиус кривизны поверхности считается положительным,
если ход от вершины поверхности к центру кривизны совпадает с
положительным направлением; в противном случае радиус
отрицателен (рис. 3.2).
60
6. Величины толщин линз и воздушных промежутков считаются
положительными, если эти толщины и промежутки свет проходит в
положительном направлении. Если свет проходит эти толщины и
промежутки в отрицательном направлении, то они считаются
отрицательными (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Знаки толщин линз и воздушных промежутков
7. При преломлении или отражении лучей на оптических
поверхностях за начало отсчета отрезков принимается вершина
поверхности. Отрезки считаются положительными, если они
откладываются от вершины по ходу света, и отрицательными, если
они откладываются от вершины поверхности против хода света
(отрезки s и sf на рис. 3.5).
8. Фокусные расстояния у собирающих оптических систем
считаются положительными, а у рассеивающих - отрицательными.
Отсчет фокусных расстояний ведется от главных плоскостей
(понятие о главных плоскостях дано в п. 3.10).
Рис. 3.4. Знаки углов между лучом и оптической осью
9. Угол между лучом и оптической осью считается
положительным, если луч, пересекая ось, идет сверху вниз, и
отрицательным, если он идет снизу вверх (рис. 3.4).
61
10. Угол между лучом и нормалью к поверхности в точке
падения луча считается положительным, если для совмещения
нормали с лучом ее надо повернуть по кратчайшему расстоянию по
часовой стрелке; если такой поворот надо произвести против часовой
стрелки, то угол считается отрицательным (углы ? и s' на рис. 3.5).
11. Угол между нормалью и оптической осью считается
положительным, если для совмещения с нормалью по кратчайшему
расстоянию оптическая ось должна быть повернута по часовой
стрелке. Если этот поворот надо произвести против часовой стрелки,
угол считается отрицательным (угол ср на рис. 3.5).
Рис. 3.5. Знаки отрезков s и s\ углов s и s' и угла ср
Для зеркальных и зеркально-линзовых оптических систем
используются следующие дополнительные правила.
1. После каждого отражения меняется знак у показателей сред,
расположенных до следующей отражающей поверхности.
2. При четном числе отражений свет надо направлять слева
направо (т. е. в положительном направлении), а при нечетном -
справа налево (навстречу положительному направлению).
3. При четном числе отражений показатель преломления первой
среды должен быть положительным, а при нечетном -
отрицательным.
При таких дополнительных условиях фокусное расстояние
собирающей оптической системы всегда окажется положительным, а
рассеивающей - отрицательным (рис. 3.6 и 3.7).
62
Рис. 3.6. Четное число отражений
r{ < 0,r2
Рис. 3.7. Нечетное число отражений:
г, >0,r2 >0,r3 =oo,rf, >0,d2 <0,я, <0,я2 >0,я3 <
>0
Из изложенного следует, что оптические системы на чертежах и
рисунках необходимо ориентировать так, чтобы свет, выходящий из
этих систем, распространялся в положительном (слева направо)
направлении.
3.2. Ход действительного луча через сферические
поверхности в меридиональной плоскости.
Инвариант Аббе
Пусть сферическая поверхность с радиусом кривизны г
разделяет среды с показателями преломления п и пг (рис. 3.8).
Действительный луч АВ, исходящий из осевой точки А, после
падения на сферическую поверхность в точке В под углом s
преломляется под углом s' и создает изображение А 'точки А.
63
Рис. 3.8. Преломление действительного луча на сферической
поверхности
Расстояние от вершины О поверхности до точек А и А'
обозначим через s и s\ а углы, образуемые лучом с оптической осью в
пространствах предметов и изображений, - через а и о3
соответственно. Кроме того, положим, что АВ = -р, ВА' = р'.
Из треугольника ABC по теореме синусов имеем
г — s sin s
откуда
sin
r-s .
SHI ? = SHI <J.
В соответствии с законом преломления A.8)
sin е' = —sin ? .
п'
Так как из рис. 3.8 следует, что (р = —е' + о' = — s + <т, то
а' = е' -Е + а.
Из треугольника А'ВС по теореме синусов
г — s' sin sr
откуда
sin cj
Sin ?
Г — S —T-
sin о
C.1)
C.2)
C.3)
C.4)
C.5)
C.6)
Зная численное значение величины r-s , можно далее вычислить
s' = r-(r-s'). C.7)
Таким образом, при заданных значениях г, п, п', s и а,
применяя последовательно формулы C.2) - C.4), C.6) и C.7), можно
вычислить величину s\ определяющую положение точки А'
относительно вершины преломляющей сферической поверхности.
64
Очевидно, при изменении величины угла а будет меняться и
величина s\ т.е. каждому лучу в пространстве предметов,
исходящему из одной и той же осевой точки предмета, в
пространстве изображений будет соответствовать свой луч и свое
изображение предметной точки. Это значит, что после преломления
на сферической поверхности гомоцентрический пучок лучей теряет
гомоцентричность.
Разделив уравнение C.5) на уравнение C.1), получим
r-s sin sf sin a
r-s sin s sin a
Учтя далее закон преломления, будем иметь
г — sr _ я sin (У
г — s nsin о"''
откуда
n sin о"
Из полученной формулы следует, что при
nsin a
C.8)
C.9)
= const C.10)
п' sin о'
величина s' при изменении а будет оставаться постоянной, т.е.
после преломления на сферической поверхности гомоцентрический
пучок лучей будет оставаться гомоцентрическим.
Условие C.10) называют условием синусов Аббе.
В дальнейшем в п. 6.3 будет показано, что в правой части выражения
C.10) должна быть конкретная величина, равная линейному
увеличению оптической системы.
65
пк
Рис. 3.9. Ход действительного луча через две соседние
поверхности
Из формулы C.5) далее получаем
, r-s .
Sin ? — SIT! СГ .
C.11)
Умножим обе части уравнений C.2) и C.11) соответственно на п и
п\ Так как по закону преломления я sin ? = п' sin s', то
у — g у — g
п sin а = п sin <y\
Из рис. 3.8 видно, что
Поэтому
h . , h
sin сг = —, sin сг = —
Р Р
n(r — s) n'(r-s')
г р г р
Поменяв в обеих частях полученного соотношения знаки, можно
далее записать
пО-г) п'О'-г)
Qa =
C.12)
рг р'г
Таким образом, величина QA после преломления луча на
сферической поверхности остается неизменной. Формула C.12)
выражает инвариант Аббе для действительного луча (знак Л у
обозначения QA указывает, что инвариант относится к лучу,
исходящему из осевой точки А предмета).
66
Пусть оптическая система содержит р преломляющих
поверхностей. На рис. 3.9 условно изображен ход действительного
луча через две соседние поверхности с порядковыми номерами к и
к + 1 (/с = 1,2,..., р), расположенные на расстоянии dk друг от друга.
Поверхности имеют радиусы кривизны гк и гк + 1 и разделяют /г-ю,
(к+1)-ю и (^+2^-ю среды с показателями преломления пк, пк = пк + 1
и п^+1 = пк + 2 соответственно.
На этом рисунке Л^ - осевая точка предмета для к-й
поверхности; Л'к(Лк+1) и Л'к+1(Лк+2) ~ изображения точки Ак после
к-й и (к+1)-й поверхностей соответственно; s>, s\, sk-+! и s'k-+j -
координаты вдоль оси названных точек относительно вершин
поверхностей; ак, &к = <jk+/ и сУк+/ = <ук+2 - углы луча с оптической
осью в к-й и (к+1)-й и (к+2)-м пространствах соответственно. После
расчета с помощью формул C.2)-C.4), C.6) и C.7) хода луча через
к-ю поверхность при известных rk, nk, nk+1, sk и ак будут вычислены
значения s\ и сгк+!.
Далее из рис. 3.9 имеем
C13)
sk+l — sk ~ &к ¦
Для продолжения расчета хода луча с помощью тех же формул
через (к+1)-\о поверхность при известных rk+h nk+j, nk+2, и crk+j
необходимо предварительно по формуле C.13) вычислить значение
s/<+i при известных d^ и s\.
Таким образом, формулы C.2)-C.4), C.6), C.7) и C.13) могут
быть использованы для расчета хода луча через систему,
содержащую любое число сферических поверхностей. Заметим при
этом, что если эти формулы несколько преобразовать путем перехода
к пределу при г -» оо, то они могут быть применены и для расчета
хода луча через плоские поверхности.
3.3. Основные понятия реальной оптической системы
в параксиальной области
Обращаясь к рис. 3.8, предположим, что углы а и & между
лучом и оптической осью бесконечно малы, что повлечет за собой и
малость углов падения и преломления s и s' и высоты h луча на
поверхности. В этом случае углы а и cf будем обозначать через а и
а' соответственно. При этом, очевидно, окажется, что в пределе
67
р = s,p = s и, кроме того,
h
sin a = sin a = —9
s
. , . , h
sin a =sm a =—.
s
С учетом двух последних выражений из уравнения C.8) легко
получить
rirs
ns + n(r — s)
Отсюда следует, что s' не зависит от угла а, т.е. пучок
гомоцентрических лучей при малых значениях а после преломления
гомоцентричности не теряет.
Пучок лучей света, распространяющихся вдоль оптической оси
и образующих очень малые углы с осью и с нормалями к
преломляющим и отражающим поверхностям, называется
параксиальным пучком лучей, а лучи, образующие этот пучок, -
параксиальными лучами. Область вокруг оптической оси системы, в
которой лучи можно считать параксиальными, называется
параксиальной областью или областью Гаусса. Изображение,
образуемое реальной оптической системой в параксиальной области,
называется параксиальным или гауссовым.
Пучок лучей света после преломления или отражения остается
строго гомоцентрическим только в предельном случае бесконечно
малых углов. На практике же под параксиальными лучами понимают
лучи, идущие под конечными, но не большими (до нескольких
градусов) углами к оптической оси и нормалям к оптическим
поверхностям, при которых отступления от гомоцентричности
настолько малы, что ими по условиям задачи можно пренебречь.
На рис. 3.10 показан параксиальный пучок лучей с осью ЛЛ\
исходящий из осевой точки А под углом 2а и собирающийся в точке
А' под углом 2а' после преломления на сферической поверхности.
Повернем этот пучок вокруг центра кривизны С поверхности на
некоторый конечный угол со в положение, когда точка Aj изобразится
точкой A'i, а дуга AAj - дугой A'A'j. Очевидно, при этом точка В,
являющаяся пересечением линии AjCA'j с перпендикуляром к
оптической оси в точке А, изобразится некоторой точкой В\ а отрезок
АВ - некоторой дугой А'В'. Точка Мявляется точкой пересечения
линии АХСА!Х с перпендикуляром к оптической оси в точке А'.
68
Рис. 3.10. К вопросу о свойствах параксиальной области
При уменьшении угла со до бесконечно малой величины точки
Aj и В будут стремиться к точке А9 точки В\А[ и М - к точке А\ а
дуги AAXB'A' и А!ХА! - к бесконечно малым отрезкам,
перпендикулярным к оси в точках А и А'соответственно.
Из изложенного следует, что параксиальная область реальной
оптической системы обладает следующими свойствами.
1. Точка изображается в виде точки.
2. Элементарный отрезок, перпендикулярный оптической оси,
изображается в виде отрезка, перпендикулярного той же оси.
3. Бесконечно малый элемент плоскости, перпендикулярной
оптической оси, изображается в виде элемента плоскости,
перпендикулярного оптической оси.
3.4. Нулевой инвариант Аббе.
Уравнение параксиального луча.
Формулы для расчета параксиального луча
Обратимся к формуле C.12), выражающей инвариант Аббе для
действительного луча. Так как для параксиальной области р = s,
р' = s', то ее можно привести к виду
"?)• (ЗЛ4)
Формула C.14) выражает нулевой инвариант Аббе (или нуль-
инвариант). Раскрыв в ней скобки, нетрудно получить выражение
п п п'-п
S S Г
называемое уравнением параксиального луча.
C.15)
69
С помощью этого уравнения при известных значениях г, я, п'
и s вычисляют значение s\ определяющее положение параксиального
изображения осевой точки предмета относительно вершины
оптической поверхности.
к А47
к+1
Рис. 3.11. Ход параксиального луча через две соседние
поверхности
На рис. 3.11 условно показан ход параксиального луча через
поверхности с порядковыми номерами к и ?+1.
Все обозначения на этом рисунке имеют тот же смысл, что и
обозначения на рис. 3.9, но относятся к параксиальной области.
На основании формулы C.15) для к-й поверхности можно написать
А+1
пк
т
-п.
C.16)
Кроме того, для параксиальной области очевидна справедливость
формулы C.13). Таким образом, формула C.16) служит для расчета
параксиального луча через к-ю поверхность, а формула C.13)
обеспечивает переход от к-й поверхности к поверхности к +1 (к= 1,2,
..., р). Следовательно, с помощью этих двух формул можно
рассчитать параксиальный луч через систему из любого числа р
сферических и плоских поверхностей. Формулы C.16) и C.13)
называются формулами в отрезках.
Умножим обе части уравнения C.16) на высоту hk
параксиального луча на k-й поверхности. Из рис. 3.11 видно, что
= ос
к+\-
70
Поэтому формулу C.16) можно привести к виду
ла+,<*а+. -"а<*а = ^^ ^. C.17)
гк
Из этого же рисунка не трудно увидеть, что
^ + 1=/*А-^а + 1. C.18)
Следовательно, если известны координаты hk и ак
параксиального луча перед к-й поверхностью, то при известных
значениях гк, пк и пк+1 из формулы C.17) можно вычислить
значение ак+], после чего становится известным направление
параксиального луча после преломления на этой поверхности. Для
перехода далее к поверхности ?+/ необходимо по формуле C.18)
вычислить значение hk+j. Пара формул C.17) и C.18), как и формулы
C.16) и C.13), также используется для расчета параксиального луча
через систему из любого числа сферических и плоских поверхностей.
В начале расчета луча по формулам C.17) и C.18) при
известном значении S/ надо задать углу а/ произвольное конечное
значение и вычислить после этого /?/ = S/CC/. Если предмет
расположен в бесконечности (s*/ = ± оо), то aj= О, а значение hj
может быть любым. Формулы C.17) и C.18) называются формулами
углов и высот.
3.5. Инвариант Лагранжа-Гельмгольца
Выберем из оптической системы, содержащей р поверхностей,
поверхность с порядковым номером к (к = 1, 2, ...,/?), имеющую
радиус кривизны гк, центр кривизны Ск и разделяющую две среды с
показателями преломления пк и пк+/. Пусть предмет в виде
элементарного перпендикулярного оптической оси отрезка ЛкВк = ук,
расположенного на расстоянии sk от вершины Ок, изображается
выбранной поверхностью в параксиальной области в виде
элементарного отрезка Л'кВ\ =у\ на расстоянии s\.
71
Рис. 3.12. К выводу инварианта Лагранжа-Гельмгольца
Параксиальный луч АкМк, идущий под углом ак к оптической
оси, после преломления сферической поверхностью на высоте hk
пойдет по направлению МкА \ под углом а\, а параксиальный луч
ВкСкВ'ь идущий под углом срк к оси по нормали к поверхности, на
границе раздела сред преломления не испытывает.
Нулевой инвариант C.14) для к-й поверхности можно написать в
виде
откуда
~rk _ nksk
Sl —Г.
Из рис. 3.12 видно, что
Ук
У'к
s'k-
rk~s'k
У'к
-Г'Т.е.
sk * гк У к
Поэтому формулу C.19) можно написать как
Ук = nks'k
Ук «>/• '
У А А. /V
Но sk = hk I'сск , s[ = hk /cc[ , следовательно,
г
У к п'ка'к '
C.19)
72
Отсюда следует, что
Это равенство выражает инвариант Лагранжа-Гельмголъца
для одной поверхности.
Так как п\ = n^+j, а\ = a^+j, у\ = Ук+ь то Для всеи системы изр
поверхностей, очевидно, можно написать
J = nxaxyx =n2a2y2 =... = пр+хар+хур+х. C.21)
Инвариант Лагранжа-Гельмгольца показывает, что после
любого числа преломлений (или отражений) произведение вида nay
остается неизменным.
3.6. Линейное увеличение
Пусть Ap+IBp+i = ур+1 является параксиальным изображением
предмета AjBj = yh образуемым оптической системой из р
поверхностей (рис. 3.13).
Рис. 3.13. К понятию о линейном увеличении
Линейным увеличением оптической системы называется
значение
Ух
В соответствии с инвариантом Лагранжа-Гельмгольца C.21) это
выражение можно написать в виде
/? = ^L = -**L C.22)
У\ пр+\аР+\
Очевидно, для одной поверхности
р = !Ъ?^ш C.23)
73
Выражение C.22) можно представить в виде
Ур+1=У2Уз Ук+i Ур+i = р р в в
У\ У\ Уг Ук Ур
где Д - линейное увеличение к-й поверхности. Применяя далее для
увеличения каждой поверхности выражение C.23), получим
I ^2 ^А^А Прар
Р =
п2а2 п3а3
Но
Следовательно,
1 n2h2s2
^2^ih n3s2h2 nk+1skhk np+1Sphp'
т.е.
' S2 ---sk ---sp
Для одной поверхности
n2st
C24)
C.25)
Для зеркальной поверхности формулы C.23) и C.25)
упрощаются, т.к. по правилам знаков п2 — —п{.
Для вычисления линейного увеличения по формуле C.22)
необходимо предварительно рассчитать параксиальный луч по
формулам углов и высот и вычислить значение ap+j. Если же
вычислять увеличение по формуле C.24), то луч рассчитывают по
формулам в отрезках, получая все значения sk и s\.
3.7. Угловое увеличение
Обратимся к рис. 3.13, на котором изображены углы а} и ар+1
параксиального луча с оптической осью в пространствах предметов и
изображений соответственно.
Угловым увеличением оптической системы называется значение
отношения
74
Для вычисления углового увеличения по этой формуле
необходимо рассчитать параксиальный луч по формулам углов и
высот. Очевидно, если оптическая система содержит одну
поверхность, то
Г = —• C.26)
ос,
Угловое увеличение у можно представить в виде
У аг а2 ак ар
Учитывая, что для каждой поверхности имеют место зависимости
а =к а =к
последнее выражение приводится к виду
r = s\J22^\.JJ/ A27)
Для одной поверхности
Г = ^г- C.28)
s j
Для вычисления углового увеличения по формулам C.27) и
C.28) предварительно должны быть определены значения sk и За'для
всех поверхностей оптической системы, что достигается в результате
расчета параксиального луча по формулам в отрезках.
3.8. Продольное увеличение
Пусть на рис. 3.14 точка А\ находящаяся на расстоянии s'ot
вершины последней поверхности, является параксиальным
изображением осевой точки А плоскости предмета, отстоящей от
вершины первой поверхности на расстояние s\ aw a' - углы с
оптической осью параксиального луча, исходящего из точки А, в
пространствах предметов и изображений соответственно.
Предположим также, что точка В\ находящаяся на расстоянии
z' от вершины последней поверхности системы, является
параксиальным изображением осевой точки В другой плоскости
предмета, отстоящей от вершины первой поверхности на расстояние
z; со и а>' — углы с оптической осью соответственно в пространствах
75
предметов и изображений параксиального луча, проходящего через
точку В.
м
А
У
*
z -
В
-s
_^
1 1 ^^^^^
чЧчш Г Т -V
« "z И\ Л7 s »
\ /
4'
Рис. 3.14. К понятию продольного увеличения
Точки МиМ' являются точками пересечения параксиального
луча, исходящего из точки В, с перпендикулярами к оптической оси,
восстановленными в точках А и А 'соответственно. Очевидно, отрезок
А 'М'=—у'является параксиальным изображением отрезка AM =y. Из
изложенного следует, что отрезок А Ъ'=г -s'оптической оси является
параксиальным изображением отрезка AB=z-s той же оси.
Продольным увеличением оптической системы в этом случае
называется значение отношения
ос =
z -s
z - s
В соответствии с инвариантом Лагранжа-Гельмгольца C.20):
пау-по!у
Но, как следует из рисунка,
y = (z-s)(O9 y' = (z-s')cD\
Поэтому
na(z - s)co = na'(z - s')co\
Откуда продольное увеличение
z' - s'
naco
n' па
псо
z-s n'a'co'
В соответствии с формулой C.22)
п п'сг' п'о)'
, t — Ра> t , — Рв->
па п со
76
где рА и рв - линейные увеличения оптической системы для
сопряженных плоскостей, проходящих через точки А и А\ В и В'
соответственно. Поэтому
лв C-29)
п
Принимая, что точка В бесконечно близка к точке А9 в пределе можно
предположить, что линейные увеличения в обеих парах сопряженных
плоскостей равны между собой, т.е. рА = рв = р. Тогда
сс = —/32. C.30)
п
Таким образом, продольное увеличение пропорционально квадрату
поперечного увеличения и зависит от показателей преломления
первой и последней сред.
3.9. Связь между линейным, угловым и
продольным увеличениями
Учитывая, что а1 = а и ap+j=a\ из формулы C.22) с учетом
определения углового увеличения нетрудно получить
Формула C.31) показывает, что линейное увеличение обратно
пропорционально угловому увеличению и зависит от показателей
преломления первой и последней сред. Из уравнений C.30) и C.31)
соответственно можно написать
п Р2 п
- = ?- и - = Ру.
пап
Приравнивая правые части последних двух равенств, получаем
формулу
Р = ау, C.32)
выражающую связь между линейным, угловым и продольным
увеличениями.
3.10. Кардинальные точки, фокусные расстояния
и фокальные отрезки
Оптическая система имеет четыре точки на оптической оси, с
помощью которых может быть построено изображение произвольной
точки пространства предметов в параксиальной области. К этим
77
точкам, называемым кардинальными, относятся передний и задний
фокусы, передняя и задняя главные точки (рис. 3.15).
Р
N
К
D
Рис. 3.15. Кардинальные точки и отрезки оптической системы
Задний фокус F' оптической системы является параксиальным
изображением бесконечно удаленной точки, расположенной на оси в
пространстве предметов, а передний фокус F - параксиальным
изображением в пространстве предметов бесконечно удаленной
точки, расположенной на оптической оси в пространстве
изображений.
Плоскости, проведенные через передний и задний фокусы
перпендикулярно оптической оси, называются соответственно
передней и задней фокальными плоскостями. Две взаимно
сопряженные плоскости, линейное увеличение в которых равно
единице, называются главными плоскостями. Точки пересечения
главных плоскостей с оптической осью называются главными
точками.
Пусть на рис. 3.15 из бесконечно удаленной осевой точки
предмета на высоте hi параллельно оптической оси идет
параксиальный луч ЛВ, который после выхода из оптической системы
следует по направлению CD под углом ар+\ к оптической оси. Точка
F' пересечения луча CD с оптической осью и есть задний фокус
системы.
Продолжим линии ЛВ и CD до их пересечения в точке Н}'. Далее
через точку Hj' проведем плоскость, перпендикулярную оптической
оси. Точка Н' пересечения этой плоскости с оптической осью
является задней главной точкой. Для отыскания положения переднего
фокуса и передней главной точки направим параллельно
оптической оси справа налево на высоте ht = ht луч NM,
78
который после выхода из оптической системы по некоторому
направлению LK пересечет оптическую ось в точке F, являющейся
передним фокусом системы. Продолжим линии KL и NM до их
пересечения в точке Hj. Через точку Hj перпендикулярно оптической
оси проведем плоскость. Точка Н пересечения этой плоскости с
оптической осью и будет передней главной точкой.
Покажем, что точки Н и Н' действительно являются главными
точками. Напомним прежде всего о том, что, вообще, изображением
точки является точка пересечения двух вышедших из изображаемой
точки параксиальных лучей после прохождения ими оптической
системы. Одним из таких лучей может быть, в частности, и луч,
идущий вдоль оптической оси, т.е. сама оптическая ось.
Направим в оптическую систему лучи вдоль направлений АВ и
KL слева направо. Пересекаясь, эти два луча образуют некоторую
точку Я/, которую можно рассматривать как изображение
сопряженной точки, образуемое некоторой предшествующей
оптической системой, являющееся одновременно точкой предмета
для приведенной на рис. 3.15 оптической системы. После выхода из
оптической системы луч АВ, как уже указывалось, пойдет по
направлению CD, а луч KL - по направлению MN. Пересечение этих
направлений образует точку Я/, которая, таким образом, является
изображением точки Ни а отрезок Н'Н/ -/?/ - изображением отрезка
HHj=hj. Отсюда следует, что плоскости, проведенные
перпендикулярно оптической оси через точки Н/ и Н/' оптически
сопряжены между собой с линейным увеличением, равным единице,
и, следовательно, являются главными плоскостями, а точки ЯиЯ'-
главными точками. Обычно переднюю и заднюю главные плоскости
обозначают теми же буквами, что и соответствующие им главные
точки. Отрезки 0tF = —sF и 0pFr = s'Fr, определяющие положение
переднего и заднего фокусов относительно вершин первой и
последней поверхностей, называются соответственно передним и
задним фокальным отрезком.
Отрезки 0гН = sH и 0рН' = —s'Hr определяют положение
передней и задней главных точек относительно вершин первой и
последней оптических поверхностей соответственно.
Отрезок HF = —/, равный расстоянию от передней главной
точки до переднего фокуса, называется передним фокусным
расстоянием.
79
Отрезок H'F' = /', равный расстоянию от задней главной точки
до заднего фокуса, называется задним фокусным расстоянием.
Если численное значение заднего фокусного расстояния
положительно, то оптическая система называется собирательной или
положительной. Оптическая система называется рассеивающей или
отрицательной, если численное значение её заднего фокусного
расстояния отрицательно.
В собирательной системе фокус является действительным
параксиальным изображением бесконечно удаленной точки,
расположенной на оптической оси, в то время как в рассеивающей
системе это изображение мнимое.
Из рис. 3.15 видно, что:
f = sF-sH9 C.33)
f' = s'F,-sfH.9 C.34)
Кроме того,
ft К
/=^-' C-35)
где hi - высота параксиального луча на первой поверхности
оптической системы, идущего в пространстве предметов
параллельно оптической оси {st = -oo, ctj = 0), ар+\ - угол между этим
лучом и оптической осью в пространстве изображений. Так как hp -
высота этого луча на/?-й (последней) поверхности, то
s'F.=—?-. C.36)
СЛр+\
Таким образом, для вычисления заднего фокусного расстояния
оптической системы по формуле C.35) и заднего фокального отрезка
по формуле C.36) необходимо предварительно по формулам углов
и высот при условии, что а} = 0, h} - любое не равное нулю число,
рассчитать параксиальный луч и вычислить hp и ар+\. При известных
значениях /' и s'Fr значение s'Hr вычисляется по формуле C.34).
При вычислении переднего фокусного расстояния и переднего
фокального отрезка необходимо, как следует из рис. 3.15, рассчитать
параксиальный луч, идущий параллельно оптической оси справа
налево (в отрицательном направлении). Ход луча справа налево
называют обратным ходом луча. Для расчета луча в обратном ходе
необходимо повернуть всю оптическую систему на 180° так, чтобы
80
последняя поверхность оказалась первой, предпоследняя - второй и
т.д. В результате этого аналогичным образом поменяются положения
толщин оптических деталей, промежутков между оптическими
поверхностями, оптических сред и т.д. Если через такую повернутую
оптическую систему рассчитывать луч слева направо
(в положительном направлении), то это будет соответствовать
расчету луча в обратном ходе. Ясно, что при указанном повороте
оптической системы знаки радиусов кривизны, отрезков,
ориентированных вдоль оптической оси, а также углов между лучом
и оптической осью во всех средах поменяются на обратные. В
дальнейшем буквенные обозначения линейных величин и углов,
относящихся к лучу с обратным ходом, будем снабжать сверху
стрелкой, направленной справа налево.
В связи с изложенным из рис. 3.15 аналогично формулам C.35)
и C.36) для луча в обратном ходе можно написать:
J — «- ) «Jpi — «-
ОСр + 1 ар+1
Но при обратном повороте оптической системы на 180° в ее исходное
положение окажется, что:
/' = -/*V = sF.
Поэтому последние два выражения можно написать в виде:
/ = -тХ. C.37)
sF = -J^. C.38)
Следовательно, для вычисления по формулам C.37) и C.38)
значений переднего фокусного расстояния и переднего фокального
отрезка необходимо предварительно по формулам углов и высот
рассчитать параксиальный луч в обратном ходе при условии, что
начальные параметры этого луча аг = 0, ht - любое не равное нулю
число. В результате расчета такого луча будут вычислены значения
высоты hp этого луча на последней поверхности и угла сср+1 в
последней среде. По известным значениям / и sF значение отрезка
sH определяется из формулы C.33).
81
А'
Рис. 3.16. К выводу формулы для фокусного расстояния
На рис. 3.16 положение сопряженных точек А и А' на
оптической оси системы определено как отрезками sj и sp
относительно вершин первой и последней поверхностей, так и
отрезками а и а' относительно передней и задней главных плоскостей
соответственно. Так как точка А' является параксиальным
изображением точки А, а задняя главная точка Н' - параксиальным
изображением передней главной точки Я, то отрезок Н'А' = а' есть
параксиальное изображение отрезка НА = -а с продольным
увеличением
» с' — с' п
а = — = —
Для главных плоскостей линейное увеличение рн = 1, поэтому
Подставив сюда значение линейного увеличения /? из C.24), получим
Sp~SH' =
Предположим, что точка А расположена в бесконечности, что
соответствует sj=-co9 s'p = s 'F>. Тогда в соответствии с формулой
C.34) из последнего выражения будем иметь
о' . е' ... е'
/'= ' 2 р. C.39)
S2'S3'~Sp
Для вычисления фокусного расстояния по этой формуле надо
предварительно по формулам в отрезках рассчитать параксиальный
82
луч при условии, что 5/=-оо, и найти значения S/, и s'k {к = 1,2,.../?) во
всех средах. Для вычисления значений переднего фокусного
расстояния и переднего фокального отрезка необходимо по этим же
формулам рассчитать параксиальный луч в обратном ходе.
В заключение еще раз обратим внимание на то, что
параксиальный луч пересекает обе главные плоскости на одной и той
же высоте относительно оптической оси. Это обстоятельство дает
возможность не учитывать преломления луча на отдельных
оптических поверхностях при определении его хода в пространстве
изображений.
3.11. Связь между линейным увеличением и фокусным
расстоянием. Формулы Ньютона и Гаусса
Пусть на рис. 3.17 представлена оптическая система в виде двух
главных плоскостей, проходящих через главные точки Н и Н'.
Система имеет передний и задний фокусы F и Ff и фокусные
расстояния /и/'. На некотором расстоянии z от переднего фокуса и
на расстоянии а от передней главной точки расположен предмет
АВ=у.
в
А
У*
Z
р
-а
н,
н
Е
\
Ё
J
с
F' А'
\
f
-У
о'
Рис. 3.17. К выводу формул Ньютона и Гаусса
Проведем из крайней внеосевой точки В предмета параллельно
оптической оси луч, к оторый после встречи со второй главной
плоскостью в точке Н/ пойдет через задний фокус F'. Второй луч,
проведенный из точки В через передний фокус F9 после встречи с
передней главной плоскостью в точке Е пойдет параллельно
оптической оси.
83
Оба названных луча в пространстве изображений пересекутся в
точке В', являющейся внеосевой крайней точкой изображения
А Ъ '=-у' предмета АВ=у. Расстояние до этого изображения от заднего
фокуса F'h от задней главной точки Н' соответственно обозначены
черезz'и а'.
По построению Н' Н/'=у, НЕ=-у'. Из подобия треугольников
ABF и EFH и треугольников AЪF' и F'H'H/ 'соответственно можно
написать
z^ = zL и i^ = -
У -г И У /'"
Отсюда следует, что
? = -?' <ЗЖ))
P = -JJ- C-41)
Эти две формулы выражают зависимость линейного увеличения
оптической системы от переднего и заднего фокусных расстояний
при фиксированных значениях z и z'. Приравнивая правые части
последних двух формул, получим
zz' = ff. C.42)
Это уравнение носит название формулы Ньютона. Из рис. 3.17 далее
следует, что
z = a-f,z' = a' -/',
Подставляя эти значения zhz'b формулу Ньютона, после упрощения
получаем
^ + -=1. C-43)
Это уравнение носит название формулы Гаусса.
Таким образом, формула Ньютона связывает положения
плоскостей предметов и изображений относительно переднего и
заднего фокусов, а формула Гаусса - положение тех же плоскостей
относительно главных точек через значения переднего и заднего
фокусных расстояний оптической системы.
84
3.12. Теорема Лагранжа-Гельмголыда.
Связь между передним и задним фокусными расстояниями
На рис. 3.18 условно показаны главные плоскости, первая и
последняя (р-я) поверхности некоторой оптической системы, а
также выходящий из осевой точки А предмета у\ параксиальный луч,
образующий в первой и последней средах с оптической осью системы
углы а] и ap+i соответственно. Другие обозначения, приведенные на
рисунке, аналогичны предыдущим и не требуют дополнительных
пояснений.
Из рисунка имеем
= aal=a'a
p+l.
Так как a = z + f4a' = z' + f то (z + f)a{ = (z1 + f')ap+l. Заменив z и z'
их значениями, найденными соответственно из соотношений C.40) и
C.41), нетрудно далее получить
/>i«i =-Гур+\<хр+\- C.44)
Это уравнение выражает теорему Лагранжа-Гельмгольца,
относящуюся к параксиальной области оптической системы.
-а,
F
-z
-а
h
Н
F'
Г
а
-У
Рис. 3.18. К вопросу о связи переднего и заднего фокусных
расстояний
Разделив уравнение C.44) на уравнение C.21), получаем
соотношение, выражающее связь между передним и задним
фокусными расстояниями в виде
Ji = -f-- C.45)
Из этого соотношения следует, что по абсолютному численному
значению переднее и заднее фокусные расстояния оптической
85
системы равны между собой только тогда, когда показатели
преломления первой и последней сред одинаковы.
3.13. Расчет параксиального луча через оптическую
систему, заданную главными плоскостями
Сложные оптические системы обычно содержат одну или
несколько групп линз, разделенных между собой значительными
промежутками. Каждая такая группа, называемая в дальнейшем
компонентом, может содержать одну или несколько линз, либо
склеенных между собой, либо отстоящих друг от друга на
значительно меньшие расстояния, нежели расстояния между
компонентами. Каждый такой компонент, в общем, имеет
определенное фокусное расстояние, переднюю и заднюю главные
плоскости и работает в составе всей системы с определенным
увеличением. Таким образом, сложную оптическую систему всегда
можно представить в виде совокупности соответствующего числа пар
передних и задних плоскостей, расположенных на определенных
конечных расстояниях друг от друга.
У1+2
Рис. 3.19. Расчет параксиального луча через два соседних
компонента
Предположим, что оптическая система содержит / компонентов.
На рис. 3.19 показаны передняя и задняя главные плоскости и
соответствующие им главные точки компонентов с порядковыми
номерами / и /+/, имеющих фокусные расстояния // и //+1
соответственно; расстояние между задней главной плоскостью /-го
компонента и передней главной плоскостью (? + 1)-го компонента
86
обозначено через dt ; at и а[ - расстояния от передней и задней
главных плоскостей i-ro компонента до предмета у^ и его
изображения y;+i, образуемого /-м компонентом; ai+1 и а[+1 -
расстояния от передней и задней главных плоскостей (? + 1)-го
компонента до предмета yi+1 и его изображения У[+2, образуемого
(? + 1)-м компонентом; ht и hi+1 - высоты на главных плоскостях
/-го и (i + 1)-го компонентов параксиального луча, вышедшего из
осевой точки At предмета, сопряженной с точками Ai+1 и Ai+2l Щ и
CTj, ni+1 и сг;+1, ni+2 и ai+2 - показатели преломления и углы
параксиального луча с оптической осью в i-м, (/+1)-м и G+2)-м
пространствах соответственно.
Формулу Гаусса C.43) для /-го компонента можно написать в
виде
-UA.I = _L.
я1, /' a, f\
Так как в соответствии с формулой C.45)
fi ni
то далее получаем
ni+\ ni _ ni+\ „ ...
— -~7T- C-46)
ai ai ft
Отношение показателя преломления в пространстве изображений
оптической системы компонента к его заднему фокусному
расстоянию
Ф,=^Г C.47)
называется оптической силой компонента. Оптическая сила
измеряется в диоптриях (дптр). Чтобы в соответствии с формулой
C.47) оптическую силу системы вычислить в диоптриях, необходимо
ее заднее фокусное расстояние выразить в метрах.
Из рис. 3.19 далее следует, что
=*;-</,.. C.48)
Формула C.46) применяется для вычисления значения a'i9
определяющего положение изображения после /-го компонента при
87
условии, что значения всех остальных величин, входящих в эту
формулу, известны. Формула C.48) служит для перехода от расчета
параксиального луча через /-й компонент к расчету этого же луча
через следующий G+1)-й компонент. Применяя формулы C.46) и
C.48) последовательно к каждому компоненту, начиная с первого,
можно рассчитать параксиальный луч через всю оптическую систему,
заданную главными плоскостями, и найти, таким образом, значения
всех величин а, и a'-x(i = 1,2, ... t). При этом, как оказалось, знание
значений радиусов кривизны оптических поверхностей, толщин
отдельных линз и промежутков между ними не является
обязательным.
Если показатели преломления в пространствах предметов и
изображений компонента одинаковы (я, = п,-+\)9 то формула C.46)
упрощается и принимает вид
1 1 1
7~r Л' <349)
Если п,+\ = 1, то, очевидно,
ф< = 77- C-5°)
Умножив обе части уравнения C.46) на высоту h, луча на главных
плоскостях /-го компонента и учтя очевидные из рис. 3.19
соотношения
получим
ni+\ai+i-niai=ni+A®i' C.51)
Эта формула также служит для расчета параксиального луча через
систему, заданную главными плоскостями. С ее помощью
определяют значение ai+\9 если значения всех других величин,
входящих в формулу, известны.
Для перехода от одного компонента к следующему используется
формула
hi+1 = ht- dtai+1, C.52)
легко получаемая из рассмотрения рис. 3.19 и аналогичная формуле
C.18).
Если показатели преломления в пространстве предметов и
изображений одинаковы (я, = и/+1), то из формулы C.51) следует
^i+\-^=jf = h^^ C.53)
откуда
а!+, -a
Расчет хода параксиального луча по формулам, приведенным в
настоящем параграфе, обычно выполняется по специально
разработанной схеме, что существенно уменьшает время вычислений.
3.14. Линейное увеличение оптической системы,
заданной главными плоскостями
Если оптическая система задана главными плоскостями, то
линейное увеличение можно выразить через величины а и а\
определяющие положение плоскостей предмета и изображения
соответственно. Действительно из формулы Ньютона C.42) имеем
•¦'?
Прибавив к обеим частям этого равенства по/, получим
Из рис. 3.18 видно, что
z+f = a,z' + f' = a'.
Поэтому из последнего равенства легко получаем
a~f
Заменив здесь z'ero значением, найденным из формулы C.41), будем
иметь
/? = -77-- C.55)
J а
Отсюда с учетом соотношения C.45) следует, что линейное
увеличение можно написать в виде
г
Р=П^Г C.56)
па
Если п=п\ то
Ц = а- C.57)
а
В расчетах наиболее часто используются две последние формулы.
Пусть оптическая система, содержащая / компонентов, создает
в параксиальной области изображение у(+\ предмета у\. Очевидно,
линейное увеличение такой системы можно написать в виде
В =Z?±i = Zi .Yl ...y±±L...yI±±= a a a a
где Д - линейное увеличение /-го компонента (/=1,2,... i).
В соответствии с формулой C.56) можно написать
п2ах пъа2 ni+]ai nf+]a,
Поэтому предыдущее выражение получает вид
/?= nlara2---ar--at
nt+xax -a2'--ar--at
Если П\ = nt+\, то
а\-а\---а'г--а\
C.59)
ara2---ar--at
Очевидно, для вычисления линейного увеличения по последним двум
формулам необходимо предварительно рассчитать параксиальный
луч по формулам C.46) и C.48) и вычислить таким образом все
значения а, и а'г.
3.15. Узловые плоскости и точки
Пара сопряженных плоскостей, перпендикулярных оптической
оси системы, для которых угловое увеличение равно единице,
называется узловыми плоскостями.
Точки пересечения оптической оси с узловыми плоскостями
называются узловыми точками.
Найдем положение узловых плоскостей и точек относительно
фокусов оптической системы. Из формулы C.31) для углового
увеличения можно написать
90
г =
rip
Подставляя сюда значение Д найденное из выражений C.40) и C.41),
и учтя выражение C.45), не трудно установить, что
7 = -
Следовательно, для узловых плоскостей, в которых у =1, имеем
Z' =
C.60)
В соответствии с этим на рис. 3.20 показано, что у
положительной системы передняя узловая точка N расположена
правее переднего фокуса на расстоянии /' = z>0, а задняя
точка N' - левее заднего фокуса на расстоянии z — f < 0.
Если некоторый параксиальный луч в пространстве предметов
направляется в оптическую систему под углом а к оптической оси
через переднюю узловую точку N, то в пространстве изображений он
пойдет под углом а'= а через заднюю узловую точку N'.
Рис. 3.20. Положение узловых плоскостей и точек
Таким образом, параксиальный луч, проходящий через узловые
точки, в пространствах предметов и изображений имеет одинаковое
направление по отношению к оптической оси.
Если показатели преломления в пространствах предметов и
изображений одинаковы, то /'=-/ и передняя узловая точка
(плоскость) совпадает с передней главной точкой (плоскостью), а
задняя узловая точка (плоскость) - с задней главной точкой
(плоскостью). Это обстоятельство и используют при построении
изображений, образуемых оптическими системами.
91
3.16. Первый и второй параксиальные лучи
Пусть имеется некоторая оптическая система из р поверхностей,
образующих параксиальное изображение А' осевой точки А
предметной плоскости (рис. 3.21). Параксиальному лучу АМ\ в
пространстве предметов, исходящему из точки Ач соответствует
сопряженный с ним луч Мр А ' в пространстве изображений.
Выберем далее на оптической оси системы некоторую другую
точку Р и предположим, что ее параксиальным изображением
является точка Р'. Параксиальному лучу PN{, вышедшему из точки Р
в пространстве предметов, соответствует сопряженный с ним луч
МрР'в пространстве изображений.
Продолжение луча PN\ влево пересекает плоскость предметов в
точке В на расстоянии АВ=у, а луч NpP' - плоскость изображений в
точке В' на расстоянии А Ъ '=-у' от оптической оси соответственно.
Очевидно, точка В' является параксиальным изображением точки В,
а отрезок у'- параксиальным изображением отрезка j;.
Рис. 3.21. Первый и второй параксиальные лучи
Параксиальный луч, исходящий из осевой точки А предметной
плоскости, называют первым параксиальным лучом. Углы этого луча
с оптической осью и его высоты на оптических поверхностях и
главных плоскостях, как уже неоднократно указывалось,
обозначаются соответственно через а и h.
Параксиальный луч, исходящий из некоторой другой точки Р
оптической оси, называется вторым параксиальным лучом. Углы
этого луча с оптической осью и его высоты на оптических
поверхностях и главных плоскостях обозначаются через у и /?
соответственно. Очевидно, величина у, отсекаемая вторым
параксиальным лучом в плоскости предмета, зависит от угла р\ этого
луча с оптической осью в пространстве предметов.
92
Из изложенного следует, что второй параксиальный луч можно
определить как луч, исходящий из некоторой внеосевой точки В
плоскости предмета и идущий далее в пространстве предметов через
выбранную точку Р оптической оси. Обычно точкой Р служит центр
входного зрачка, понятие о котором будет дано в главе 6.
Первый и второй параксиальные лучи имеют большое значение
в геометрической оптике при изучении аберраций оптических систем.
Расчет этих лучей через оптические системы производится по одним
и тем же формулам.
93
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
4.1. Понятие об идеальной оптической системе
Как уже было показано в п.3.3, реальными оптическими
системами предметы изображаются гомоцентрическими пучками
лучей только в параксиальной области. Выход за пределы этой
области связан с нарушением гомоцентричности пучков, что, в свою
очередь, приводит к искажению или нечеткости изображений
предметов. В то же время работа реальных оптических систем не
может быть ограничена только параксиальной областью. Поэтому
задача, в общем, состоит в том, чтобы уметь создавать такие
реальные системы, которые в допустимых пределах давали бы
удовлетворительные изображения и за пределами параксиальной
области. При решении этой задачи в геометрической оптике
используется понятие об идеальной оптической системе.
Идеальная оптическая система - это такая система, которая дает
гомоцентрические изображения точек неограниченно большой
области пространства предметов посредством сколько угодно
широких пучков лучей. Такая система должна обладать следующими
свойствами.
1. Каждая точка пространства предметов должна изображаться
только одной точкой в пространстве изображений. Обе точки
являются сопряженными точками - центрами сколь угодно широких
сопряженных пучков лучей.
2. Любая прямая пространства предметов должна изображаться
только одной прямой в пространстве изображений. Эти прямые
называются сопряженными прямыми.
3. Любая плоскость пространства предметов должна
изображаться только одной плоскостью в пространстве изображений.
Эти плоскости называются сопряженными плоскостями.
4. Предметы и их изображения, расположенные в
перпендикулярных к оптической оси сопряженных плоскостях,
должны быть подобны между собой.
Реальная оптическая система обладает такими свойствами
только в параксиальной области. Поэтому теорию реальных
оптических систем в параксиальной области можно рассматривать
как частный случай теории идеальных оптических систем.
94
В идеальной оптической системе рассматривается ход лучей,
которые образуют не бесконечно малые, а конечные значения углов с
оптической осью, углов лучей с нормалями к преломляющим и
отражающим поверхностям и высот лучей на оптических
поверхностях и главных плоскостях. Расчет этих лучей производится
по формулам расчета параксиальных лучей, в которых обозначения
углов заменены их тангенсами. Величина предмета у и его
изображение у' в параксиальной области реальной оптической
системы понимались как величины малые. Для идеальной же
оптической системы это конечные величины.
Таким образом, формулы для параксиальной области реальной
оптической системы можно рассматривать как частный случай более
общих формул идеальной оптической системы, если в последних
предположить, что углы лучей с оптической осью и нормалями к
отражающим и преломляющим поверхностям стремятся к нулю.
Теорию идеальной оптической системы впервые разработал в
середине XIX в. К. Гаусс, поэтому теорию таких систем часто
называют оптикой Гаусса. Область, в которой распространяются
лучи при прохождении через идеальную оптическую систему,
называется областью Гаусса. Изображения, образуемые идеальной
оптической системой, называются гауссовыми изображениями.
В табл. 4.1 для примера приводится сравнение некоторых
формул, относящихся к параксиальной области и области Гаусса.
Как указывалось в п. 3.4, две первые формулы в левой колонке
табл. 4.1 называются формулами углов и высот. По аналогии первые
две формулы в правой колонке табл. 4.1 называются формулами
тангенсов углов и высот.
В теоретических исследованиях и практических расчетах лучей
через идеальные оптические системы часто используются формулы
параксиальной оптики без всяких внешних изменений, помня лишь о
том, что вместо значений углов лучей с оптической осью необходимо
иметь в виду значения их тангенсов. Этой возможностью мы будем
пользоваться ради краткости и в дальнейшем.
95
Таблица 4.1
пкс
Р--
} -
г
f-
sF
ni+
"U
ai+
p-
Параксиальная область
ГУ 11 f~v — А \ я +1 А /
I^A' + I nkuk
п
ЧУ к ="к+\ак+хук+х
п +{а +,
ap+l
ах
А.
а
К
ар+\
К
ар+\
^ р+\
а\ Л
= ai-di
nl+l •ara2--al.
""к + \
"№
Р-
у —
/'=
f=
SF -
f
ai+\
Я/ + 1
fi =
Область Гаусса
hAn,+] —n, )
tcrr/ 11 t<ysv — я \ я-м л /
tgak+\ nklgak
rockyk = nk + \tgock + ]yk + ]
nxtgax
n +ltga +l
tg<xp+i
tget,
h{
tgOL
_ К
ni ni+i
ai Ji
= <~di
nra[-a2--- a'
gai+] —nitgai =ni+lhjOi
= h, -dftga^^
96
4.2. Графическое построение изображений
При графических построениях изображений будем
предполагать, что пространство предметов имеет тот же показатель
преломления, что и пространство изображений. Как уже было
показано в параграфе 3.15, в этом случае передняя узловая точка
совпадает с передней главной точкой, а задняя узловая
точка - с задней главной точкой. Кроме того, на основании свойств
главных плоскостей (линейное увеличение в главных плоскостях
равно единице) для упрощения построения можно предположить, что
передняя и задняя главные точки, а следовательно, и
соответствующие им главные плоскости совпадают друг с другом.
В связи с этим каждый компонент сложной оптической системы
может быть представлен в виде одной плоскости, с которой
совмещены обе главные плоскости компонента. Такой компонент
называют бесконечно тонким.
Изображением точки пространства предметов, создаваемым
идеальной оптической системой, является точка пересечения в
пространстве изображений любых двух лучей, проходящих через
выбранную точку пространства предметов. Если точка пространства
предметов принадлежит оптической оси, то в качестве одного из двух
лучей может быть выбран луч, идущий вдоль оптической оси, т.е.
сама оптическая ось.
При графическом построении изображений пользуются
следующими лучами и пучками лучей, ход которых благодаря
главным точкам и плоскостям в пространстве изображений заведомо
известен.
1
Рис. 4.1. Путь лучей, проходящих Рис. 4.2. Внеосевой пучок лучей,
через кардинальные точки параллельных в пространстве
предметов
1. Луч, идущий в пространстве предметов параллельно
оптической оси, в пространстве изображений проходит через задний
фокус оптической системы. На рис. 4.1 такой луч обозначен цифрой /.
97
2. Луч, идущий в пространстве предметов через передний фокус,
в пространстве изображений проходит параллельно оптической оси.
На рис. 4.1 такой луч обозначен цифрой 2.
3. Луч, идущий в пространстве предметов через переднюю
главную точку, в пространстве изображений проходит через заднюю
главную точку без изменения первоначального направления. На
рис. 4.1 такой луч обозначен цифрой 3.
4. Пучок лучей, параллельных между собой в пространстве
предметов и наклонных по отношению к оптической оси, в
пространстве изображений собирается во внеосевой точке задней
фокальной плоскости. Как показано на рис. 4.2, эта точка лежит на
луче /, проходящем в пространстве предметов через передний фокус,
и на луче 2, проходящем через главные точки.
5. Пучок лучей пространства предметов, пересекающихся в
какой-либо внеосевой точке передней фокальной плоскости, в
пространстве изображений становится пучком параллельных лучей,
наклонных по отношению к оптической оси.
Рис. 4.3. Внеосевой пучок лучей, параллельных в пространстве
изображений
Как видно из рис. 4.3, все лучи этого пучка параллельны в
пространстве изображений лучу /, проходящему через главные
точки, и лучу 2, проходящему через задний фокус.
Ниже приводится несколько примеров графического построения
изображений, образуемых бесконечно тонким компонентом.
Рис. 4.4. Графическое построение изображения осевой точки
98
На рис. 4.4 построено изображение осевой точки А пространства
предметов, образуемое бесконечно тонким компонентом, заданным
фокусами F и F\ а также совпадающими главными точками Я и Я'
Для этого из точки А до компонента проведен произвольный луч /.
Далее через главные точки Н и Hf параллельно лучу / проведен не
изменяющий свое направление после компонента вспомогательный
луч 2, пересекающий заднюю фокальную плоскость в некоторой
точке F". Так как лучи / и 2 в пространстве предметов параллельны,
то после компонента луч / пойдет по направлению /' через
точку F" и пересечет оптическую ось в точке А\ являющейся
изображением точки А. Это изображение действительное, т.к. оно
образовано пересечением самих двух лучей (луча 1 и луча, идущего
из точки А вдоль оптической оси).
Для определения положения точки А' можно воспользоваться
также и вспомогательным лучом 3, выходящим из точки М
пересечения луча / с передней фокальной плоскостью параллельно
оптической оси и идущим в пространстве изображений через задний
фокус F' по направлению 3'\ направление /' должно быть
параллельно направлению 3'.
В
7
Рис. 4.5. Графическое построение изображения предмета,
расположенного перед компонентом
На рис. 4.5 показано построение изображения предмета АВ,
расположенного перед бесконечно тонким компонентом. Из точки В
параллельно оптической оси проведен луч /, идущий после
компонента по направлению /' через задний фокус F'. Другой луч 2,
исходящий из точки В, проведен через передний фокус F; после
компонента он идет по направлению 2' параллельно оптической
оси. Пересечение направлений /' и 2' образует точку В\
являющуюся изображением точки В. Так как отрезок АВ
перпендикулярен оптической оси, то отрезок А'В\ перпендикулярный
99
той же оси, является изображением отрезка ЛВ; изображение
обратное и действительное.
Для построения изображения А'В' можно также воспользоваться
лучом 3, идущим из точки В через главные точки НН' и
пересекающимся в пространстве изображений с направлениями /' и
2' в точке В'.
На рис. 4.6 показано построение изображения мнимого предмета
ЛВ, перпендикулярного оптической оси и расположенного правее
компонента. Компонент, с помощью которого строится изображение,
отрицательный, т.к. передний фокус F расположен справа, а задний
F' - слева от компонента. Заметим, что указанное положение
предмета ЛВ в действительности может иметь место тогда, когда этот
предмет является изображением, образуемым не показанной на
рисунке оптической системой, расположенной левее компонента, с
помощью выходящих из нее лучей. Изображение предмета ЛВ в
данном случае может быть построено следующим образом.
I
Рис. 4.6. Графическое построение изображения мнимого предмета
В точку В параллельно оптической оси направляется луч /,
который после компонента идет по направлению /' так, что его
продолжение влево (мнимая часть луча) проходит через задний фокус
F'. Второй луч 2 направлен в точку В через главные точки Н и Я'
Точка В' пересечения мнимой части / ' и луча 2 и есть изображение
точки В, а перпендикулярный к оптической оси отрезок Л'В' -
изображение предмета ЛВ\ изображение обратное и мнимое.
Можно использовать и луч 3, направленный в точку В через
передний фокус F. После компонента этот луч пойдет по
направлению 3' параллельно оптической оси, а его мнимая часть
пересечется с направлениями Г и 2' в той же точке В'.
100
Поступая аналогично приведенным примерам, можно строить
ход лучей через оптическую систему из любого числа бесконечно
тонких компонентов и находить образуемые этой системой
изображения.
При графическом построении изображений, создаваемых
зеркалами, необходимо учитывать, что лишь плоские зеркала
являются идеальным оптическим элементом (простейшая оптическая
система), так как все лучи, вышедшие из какой-либо точки предмета,
после отражения от зеркала мнимым образом пересекаются в одной
точке, являющейся мнимым изображением взятой точки предмета.
Сферические зеркала не являются идеальной системой, так как
вышедшие из какой-либо точки плоскости предмета лучи после
отражения от зеркальной поверхности не пересекаются в одной точке
(исключая случай, когда точка предмета совпадает с центром
кривизны зеркальной поверхности).
В отличие от линзовых систем, у сферического зеркала имеется
понятие только задних кардинальных точек H',Fr и заднего
фокусного расстояния /'. Задняя главная плоскость И' проходит
перпендикулярно оптической оси через вершину зеркальной
поверхности. У вогнутого (собирающего) сферического зеркала
/' > 0, а у выпуклого (рассеивающего) зеркала /' < 0.
В соответствии с п. 3.1 при графическом построении изображений
одиночное зеркало надо располагать так, чтобы отраженные от
зеркала лучи направлялись слева направо (в положительном
направлении). Только в таком случае на рисунке у вогнутого
(положительного) сферического зеркала задний фокус F' окажется
справа, а выпуклого (отрицательного) - слева от зеркала, причем в
обоих случаях будет сохраняться связь между f иг в виде /' = г/2.
При построении изображений зеркальную поверхность
заменяют ее главной плоскостью. При этом принимается, что лучи
изменяют свое направление не при встрече с зеркальной
поверхностью, а при встрече с главной плоскостью Н''. Очевидно, в
этом случае вогнутое зеркало по своему оптическому действию
окажется подобным действию положительной линзы, а выпуклое -
отрицательной. Различие между зеркалом и линзой в этом случае
заключается лишь в том, что у линз падающие и преломленные лучи
находятся в разных средах, а у сферических зеркал падающие и
отраженные лучи находятся в одной и той же среде.
101
На рис. 4.7 показано построение изображения А' осевой точки А,
создаваемого вогнутым зеркалом. Из точки А проведен произвольный
луч 7 до его встречи с главной плоскостью Н' в точке М, а из фокуса
F' - вспомогательный луч 2, параллельный лучу 7. После встречи
луча 2 с главной плоскостью в точке TV он пойдет по направлению 2'
параллельно оптической оси и встретит фокальную поверхность в
точке F". Поэтому луч 7 после встречи с главной плоскостью
пройдет через точку F" по направлению Г. Точка А' пересечения
направления Г с оптической осью является действительным
изображением точки А.
Рис. 4.7. Построение изображения А' осевой точки А,
создаваемого вогнутым сферическим зеркалом
Точку F" можно определить и как пересечение
вспомогательного луча 3, проведенного из центра кривизны С
зеркала параллельно лучу 7, так как после встречи с главной
плоскостью в точке К он пойдет в обратном направлении 3' к центру
кривизны С.
На рис. 4.8 показано построение изображения осевой точки А,
создаваемого выпуклым зеркалом. Из точки А проведен
произвольный луч 7 до его встречи с главной плоскостью Н' в точке
М, а по направлению 2 - вспомогательный луч, параллельный лучу 7
и направленный в фокус F'.
После встречи с главной плоскостью в точке TV луч 2 пойдет
параллельно оптической оси по направлению 2', а его мнимая часть
встретит фокальную плоскость в точке F". Следовательно, луч 7
после точки М пойдет по направлению Г так, что его мнимая часть
102
пойдет через точку F", образуя на пересечении с оптической осью
мнимое изображение А' точки А.
Рис. 4.8. Построение изображения А' осевой точки А,
создаваемого выпуклым сферическим зеркалом
Точку F" можно определить и как точку встречи с фокальной
плоскостью луча 3, направленного параллельно лучу 7 через центр С
кривизны зеркальной поверхности; после встречи с главной
плоскостью в точке К луч 3 пойдет по направлению 3', т.е. в
обратном направлении.
1
В
y*
r>0 %
С Л
Рис. 4.9. Построение изображения А'В' предмета АВ,
создаваемого вогнутым сферическим зеркалом
103
На рис. 4.9 показано построение изображения
перпендикулярного оптической оси предмета АВ, создаваемого вогнутым
сферическим зеркалом. Из точки В параллельно оптической оси
проведен луч 1 до встречи в точке М с главной плоскостью. После
точки М этот луч идет по направлению Г через фокус F'. Для
определения положения изображения В' точки В можно
воспользоваться одним из следующих трех лучей: лучом 2, идущим
из точки В через фокус F' и направляющимся после встречи с
главной плоскостью в точке TV по направлению 2' параллельно
оптической оси; лучом 3, идущим из точки В через центр С кривизны
зеркальной поверхности и после встречи с главной плоскостью в
точке К направляющимся в обратном направлении 3'\ лучом 4,
направляющимся из точки В в главную точку Н' (вершину
зеркальной поверхности) под углом а к оптической оси и идущим
после точки И' по направлению 4' под тем же углом а к оптической
оси. Пересечение любого из направлений 2', 3' или 4' с направлением
Г является изображением В' точки В. Так как оптическая система
(главная плоскость //', заменяющая отражающую сферическую
поверхность) является идеальной, то перпендикуляр В'А' к
оптической оси является изображением предмета АВ; изображение
действительное и обратное.
Рис. 4.10. Построение изображения А'В' предмета АВ,
создаваемого выпуклым сферическим зеркалом
На рис 4.10 показано построение изображения
перпендикулярного оптической оси предмета АВ, создаваемого
выпуклым сферическим зеркалом. Из точки В параллельно
104
оптической оси проведен луч 1 до встречи в точке М с главной
плоскостью. После точки М этот луч пойдет по направлению Г так,
что его мнимая часть пройдет через фокус F'. Далее можно
воспользоваться либо лучом 2, направленным из точки В в фокус F' и
встречающим главную плоскость в точке N, либо лучом 3,
направленным в центр С кривизны зеркальной поверхности и
встречающим главную плоскость в точке К, либо лучом 4,
направленным в главную точку Н' и образующим с оптической осью
угол а. Луч 2 после точки N пойдет по направлению 2' параллельно
оптической оси, луч 3 после точки К пойдет в обратном направлении
3'', а луч 4 после точки Н' пойдет по направлению 4' под тем же углом
а к оптической оси. Каждый из лучей 2', 3' и 4' своей мнимой частью
пересекается с мнимой частью луча Г в одной и той же точке В',
являющейся мнимым изображением точки В. Отрезок В'А',
проведенный перпендикулярно оптической оси, является мнимым
прямым изображением предмета ЛВ.
4.3. Оптическая система из двух бесконечно
тонких компонентов
Пусть показанная на рис. 4.11 оптическая система расположена
в воздухе и состоит из двух бесконечно тонких компонентов,
заданных главными плоскостями Н1Н[ и Н2Н'2, первый из которых
имеет фокусное расстояние //' и оптическую силу Ф/, а второй -
фокусное расстояние f2' и оптическую силу Ф2; расстояние между
компонентами равно d. Необходимо определить, как это часто бывает
на практике, величины переднего и заднего фокусных расстояний, а
также положение кардинальных точек эквивалентной оптической
системы, т.е. такого компонента, оптическое действие которого
равносильно действию системы из двух компонентов.
Пусть луч, идущий в пространстве предметов параллельно
оптической оси (<2/=0), пересекая компоненты на высотах /?/ и h2 , в
пространстве предметов, в пространстве между компонентами и в
пространстве изображений образует с оптической осью углы aj, a2 и
а3 соответственно. Пересечение луча с оптической осью в
пространстве изображений образует точку F' заднего фокуса
эквивалентной системы.
105
а,=0
,, F
-ар
-f
H
,ан.
Н'
Н2Н'2
Г
Рис. 4.11. Оптическая система из двух бесконечно тонких
компонентов
Продолжим направления луча в пространствах предметов и
изображений до взаимного пересечения и через полученную таким
образом точку пересечения Н' перпендикулярно оптической оси
проведем плоскость, являющуюся задней главной плоскостью
эквивалентной системы. Пересечение этой плоскости с оптической
осью дает заднюю главную точку Н'. Расстояния a'Fi и а'нг
определяют соответственно положение заднего фокуса F' и задней
главной точки Н' эквивалентной оптической системы относительно
второго компонента. Заднее фокусное расстояние /' эквивалентной
системы равно расстоянию от задней главной точки Н' до заднего
фокуса F'.
Для решения поставленной выше задачи рассчитаем показанный
на рис. 4.11 луч по формулам тангенсов углов и высот.
а2 =
1 =Л,Ф,,
«з =«2+А2Ф2 =А1Ф1+Л1A-дГФ1)Ф2 =А1(Ф1+Ф2-дИ>1Ф2>
Из прямоугольного треугольника (рис. 4.11), в котором катетами
являются hj и/' имеем
а3 Ф
Отсюда, используя полученное выше значение аз, для оптической
силы эквивалентной системы получаем
106
D.1)
Подставив сюда значения
Ф-—,Ф, =— и Ф7 = —
/' ' /' - Л
после упрощения получим формулу для вычисления фокусного
расстояния эквивалентной системы в виде
/'=-
ПГг
Л-d
D.2)
Обратимся теперь к рис. 4.12, на котором расстояние между
задним фокусом F]' первого компонента и передним фокусом F2
второго компонента обозначено через А Отрезок Fj T2 =Л называют
оптическим интервалом. Оптический интервал считается
положительным, если фокус F2 расположен правее фокуса F[, и
отрицательным при обратном расположении этих фокусов.
f; f2
d
Рис. 4.12. Оптический интервал А
Из рис. 4.12 имеем
d = ./!'
D.3)
На основании последнего выражения формулу D.2) можно написать в
виде
D.4)
107
Из рис.4.11 следует,
тт К
Но аъ = —[- поэтому
'''
Подставляя сюда полученное выше значение для h2 , получим
D5)
В соответствии с рис. 4.11 можно написать, что
f'=-a'H.+a'F,.
Поэтому для отрезка а'н> будем иметь
ан, = aF,-f .
Подставив сюда значение a'F, из D.5), получим
D.6)
Для вывода формул, позволяющих вычислить значение
переднего фокусного расстояния / и определить положение
переднего фокуса F и передней главной точки Н эквивалентной
оптической системы, необходимо рассчитать луч, параллельный
оптической оси в обратном ходе. На рис. 4.11 показано, что
положения переднего фокуса и передней главной точки
эквивалентной системы определяются относительно первого
компонента отрезками aF и ан соответственно.
Очевидно, для луча в обратном ходе аналогично формулам D.2),
D.4)-D.6) можно соответственно написать
7?_
J\ 'Л
108
/'=-
frfi
M'if ¦
aH. = aF,f=d.
Но по смыслу
/' = -fJi = ~h> fi = ~fi> V = -aF, aH, = -aH.
Поэтому последние формулы можно легко привести к виду:
^ D.7)
D.8)
J -
-1 ~
aF-
aH --
= 1 1-
= aF
T
A '
-/=
r
/
D.Ю)
Если все среды в оптической системе имеют одинаковый показатель
преломления, то/ = -/',/j =-/j,/2 =-/2'. Поэтому последние
формулы можно написать как:
/= fl-.fi D.П)
f = _AlA D.12)
д
в^="Л1"т7' DЛЗ)
aH=aF+J =^-i
/2
109
Найдем формулу для вычисления расстояния ЛНН' между
передней Н и задней Н' главными плоскостями эквивалентной
системы.
Из рис. 4.11 видно, что
d = ан+ Аннг - ан,.
Отсюда, используя значения а'нг и ан из D.6) и D.14), не трудно
получить
D.15)
Полученные в настоящем параграфе формулы упрощаются при
d=0, когда бесконечно тонкие компоненты расположены вплотную
друг к другу.
4.4. Оптическая система из любого числа
бесконечно тонких компонентов
Пусть требуется вычислить оптическую силу и определить
положение кардинальных точек оптической системы, состоящей из t
бесконечно тонких компонентов; Ф, - оптическая сила /-го
компонента; щ и яж - показатели преломления сред до и после /-го
компонента (/=1,2,... t).
Независимо от положения плоскости предмета для решения
поставленной задачи необходимо по формулам тангенсов углов и
высот рассчитать луч через заданную систему, идущий в
пространстве предметов параллельно оптической оси.
1 2
а7 =0
гЧ+1
Н,Н\ Н'
Рис. 4.13. К определению оптической силы и положения
кардинальных точек системы из t бесконечно тонких компонентов
На рис. 4.13 такой луч в пространстве предметов имеет
координаты ai=0 и /?/, а в пространстве изображений - некоторые
координаты at+\ и /?,; пересечение луча в пространстве изображений с
ПО
оптической осью образует задний фокус F' системы; пересечение
направления луча в пространстве предметов с его направлением в
пространстве изображений определяет положение задней главной
плоскости (точки) Н\ положение заднего фокуса F'h задней главной
точки Н'относительно последнего компонента определены отрезками
dpi и a'Hi соответственно.
Для начала расчета луча необходимо задать любое конечное
численное значение высоте hj (если это значение не оговорено особо
дополнительным условием).
В соответствии с формулой C.51) для каждого компонента
можно написать:
п2а2 - п\а\ = n2hj0j - для 1-го компонента;
&з - п2а2 = п3к2Ф2 - для 2-го компонента;
ni+\ai+\ - njCXj = ni+\hi0j - для /-го компонента;
п,+ \а,+ \ - ntat = nt+\ht0t - для ?-го компонента.
Сложив написанные выражения по частям, получим
Так как ог/=0, то
1
С учетом этого выражения и формулы C.47) для оптической силы
системы можно написать
/А, /г, i
Введем обозначение
Тогда для оптической силы будем иметь
Ф = ХЛ/+1Л/Ф/- D-!6)
1
Высоты /г; луча на отдельных компонентах называются
приведенными. Очевидно, для первого компонента (/ =1) Яг = 1.
111
Таким образом, при известных значениях Ф, отдельных компонентов
оптическая сила системы может быть вычислена по формуле D.16),
если рассчитать луч при aj=0 и hj=\ и получить таким образом
сразу значения приведенных высот, образуемых лучом на каждом из
компонентов.
Если бесконечно тонкие компоненты расположены вплотную
друг к другу, то ht = 1 и формула D.16) приобретает вид
Ф = 5>/+|Ф/. D.17)
1
В частном случае при t =2 и п,+\=\ имеем систему из двух
вплотную друг к другу установленных компонентов, для которых
ф = ФХ + Ф2,
что непосредственно следует также из формулы D.1) при d=0.
В результате расчета луча при а/=0 и любом значении /// будут
вычислены значения высот h, на всех компонентах и значение угла
а(+[ в последней среде. После этого, как следует из рис. 4.13,
фокусное расстояние, положение заднего фокуса и задней главной
плоскости всей системы можно определить соответственно как
/' = -^-, a'F.=-^-9 a'H.=a'F,-f*.
cct+v cct+v
Очевидно, аналогичным образом на основании результатов расчета
луча в обратном ходе найдем
hi ht
f = -т—,aF = -т—,а„ = aF-f,
at+i at+i
где /гх и ht - высоты луча в обратном ходе соответственно на первом
и последнем компонентах, at+1 - угол этого луча в последней среде.
4.5. Кардинальные элементы линзы
Линзой называют оптическую деталь, ограниченную двумя
преломляющими световые лучи поверхностями. Наиболее
распространенными линзами являются линзы со сферическими
поверхностями, обладающие осью симметрии.
Пусть Г/ и г2 - радиусы кривизны соответственно первой и
второй поверхностей линзы, d — толщина линзы вдоль оси.
112
F
Sf
-f
Г
sH
\ ,
n2=n
И
\
H'
\ 1
/
d
ПЗ
s'r
г
F'
Рис. 4.14. Кардинальные точки и фокусные расстояния линзы
На рис. 4.14 показано положение кардинальных точек F и Я,
определяемое соответственно отрезками sF и sH относительно первой
поверхности, положение кардинальных точек F'w H', определяемое
отрезками s'Fi и 5^ относительно второй поверхности, а также
расстояние &нн' между главными плоскостями; показатели
преломления сред до линзы и после нее равны nj и п3 соответственно,
а показатель преломления материала, из которого выполнена линза,
п2 = п.
Выведем формулы, позволяющие вычислить значения
оптической силы Ф линзы и отрезков sF,sH, s'Fr, s'Hr и AHHf по
заданным значениям rh r2, d, п]у п2 = п и п3. Для этого рассчитаем
сначала параксиальный луч, идущий в пространстве предметов
параллельно оптической оси, т.е. имеющих начальные координаты
ах = 0 и h-y.
В соответствии с формулами углов и высот имеем
-пхах
-л
1 A,; т.к. or, = 0,то a2 =
щ -n.
1 Л / Л П2 ~ П\
= A, -da^h -d— L
113
У1-, — Yl\ Yl1 — П] , Yl~> — tl1 I , n-) — rii I,
пъаъ = n2a2+ — lh2 =— L/z, +— Ц \-d— L /z, =
n
n3 L гг r2 \ п2гг
Далее, применив формулу C.47), для оптической силы линзы можно
написать
/' 3 к •
Подставляя сюда полученное значение для аз, будем иметь
Ф = ^ L-^ ъ- + с1— ^^ -. D 18)
г{ г2 п2гхг2
Формула D.18) позволяет вычислить оптическую силу линзы
при любых значениях п\ и п3. Если же линза расположена в воздухе,
то п\ = п3 = 1. В этом случае
-l.) + d<ZLzir. D.19)
Для заднего фокального отрезка в соответствии с формулой C.36)
можно написать
Подставляя сюда полученное выше значение для h2, будем иметь
L I D.20)
Если первая среда - воздух, то nj = 1 и
D.21)
Далее из формулы C.34) с учетом полученных значений для s'Fr
следует
114
sH'=-- x~df\ D.22)
n2rx
¦V = df . D.23)
nrx
Рассчитаем теперь параксиальный луч в обратном ходе при
условии, что его начальные координаты равны а1 = 0 и hx.
Очевидно, аналогично формуле D.20) можно написать
К' =fy-dn2F_ "х I
Но по смыслу
sr = —sF, /' = -/, rj = —r2, Я, = n3,n2 =п2.
Поэтому из последнего выражения получаем
sF=f\\ + ^^dV D.24)
Если П] = пз= 1, 4of=-f и, следовательно,
-^^d] D.25)
п2г2 )
Из формул C.33) и D.24) далее получаем
п2 - пъ
sH = df.
n2r2
Если п\ = п3= 1, то,
п -1
пг2
Из рис. 4.14 видно, что
AHH,=d-sH+s'H,.
Подставляя сюда значения s^/ и sH из формул D.22) и D.26),
получаем
/
г, П2-П{ гп2~ ПЪ
115
D.26)
D.27)
Если линза бесконечно тонкая, то d=0 и, следовательно,
sF = /. ^ = /. sH- = sH = 0, А//»- = 0, D.29)
т.е. в такой линзе главные плоскости сливаются в одну плоскость,
совпадающую с самой линзой. Оптическая сила бесконечно тонкой
линзы, находящейся в воздухе, выражается формулой
| D.зо)
Полученные в настоящем параграфе формулы позволяют выполнить
исследование различных конструкций линз.
4.6. Переход от системы с бесконечно тонкими линзами
к системе с конечными толщинами линз
Часто на некотором промежуточном этапе расчета оптической
системы имеют систему, состоящую из линз с бесконечно малыми
толщинами. Промежутки между компонентами такой системы при
этом могут иметь конечные значения. Радиусы кривизны
поверхностей, показатели преломления всех сред, а также фокусное
расстояние /' (или линейное увеличение р) системы и полные
диаметры D компонентов (а следовательно, и входящих в
компоненты бесконечно тонких линз) известны. Назовем такую
систему исходной. Радиус кривизны к-й поверхности исходной
системы обозначим через гок (индекс «0» указывает, что этот радиус
относится к системе с бесконечно малыми толщинами).
Рассмотрим переход от исходной системы к системе с
конечными толщинами линз в случае, когда предмет находится в
бесконечности (sj= -oo). Сначала по формулам углов и высот C.17) и
C.18) рассчитывают 1-й параксиальный луч при at = 0, /// = /'
В результате будут получены численные значения приведенных углов
этого луча с оптической осью во всех средах, т.е. значения углов при
а'=\. Эти углы и будут использованы в дальнейших вычислениях.
Затем вычисляют радиусы кривизны поверхностей по формуле
П =—Пк+{~Пк hk9 D.31)
пк+\ак+\~пкак
непосредственно вытекающей из формулы C.17). При вычислении
радиуса Г\ (к=\) необходимо положить hj = /' что, естественно,
приведет к равенству гу= г01. Меняя несколько значение /zy = /',
добиваются того, чтобы значение г7 оказалось равным ближайшему
116
значению радиуса, имеющегося в ГОСТе. Имея значения гу и Д
переходят к вычислению толщины dj первой линзы.
Для отрицательной линзы толщина выбирается из условия
d = @,05 ...0,1) А
Соблюдение этого условия обеспечивает механическую
прочность линзы в центре (на краю она толще), не приводит за счет
увеличения толщины к чрезмерному увеличению ее массы и
обеспечивает стабильность достигнутой точности обработки
оптической поверхности. Если же линза положительная, то
вычисление предварительного значения ее толщины выполняется
следующим образом.
t
Рис. 4.15. К вычислению толщины положительной линзы
На рис. 4.15 изображена положительная линза с указанием ее
полного диаметра Д стрелок прогиба Xj и х2 каждой поверхности,
толщины линзы вдоль оси и ее толщины t на краю.
Величины стрелок прогиба ху и х2 вычисляются по известной
формуле
/и
X
\2) 2г'
где г - радиус кривизны соответствующей поверхности с учетом его
знака. После этого вычисляют предварительное значение толщины
первой линзы по формуле
d -x2,
117
очевидной из рис. 4.15. Величина t берется из руководящих
материалов в зависимости от величины D. При вычислении Xj
используется уже вычисленный радиус гу, а при вычислении х2 -
радиус г02. Имея hh d/ и а2, по формуле C.18) вычисляют
а по формуле D.31) при к = 2 - значение г2. При этом такого значения
г2 может не оказаться в ряду значений радиусов, приведенных в
ГОСТе. Тогда из ГОСТа выбирают то значение, которое наиболее
близко к вычисленному значению г?, а из формулы D.31) вычисляют
значение h2, удовлетворяющее выбранному значению г2. Затем, имея
уточненные значения hj и /ь, уточняют значение dj, т.е. вычисляют
а2
Поступая аналогичным образом далее, вычисляют значения всех
остальных радиусов кривизны, толщин линз и воздушных
промежутков системы. Величиной воздушных промежутков между
линзами (воздушная линза) является расстояние между
соответствующими преломляющими поверхностями.
Если предмет находится на конечном расстоянии 5/, то для
определения значений приведенных углов 1-й параксиальный луч
рассчитывают при «/=/?, ///= $/#/. При вычислении Г/ по формуле
D.31) в этом случае полагают h/= sjaj. Дальнейшие вычисления
аналогичны тем, которые изложены при <2у=0, /zy =/' (sj= -oo).
Иногда вычислять приведенные углы 1-го параксиального луча
нет необходимости, если они уже известны, исходя из других
условий (например, из условия исправления аберраций). В таком
случае сразу приступают к вычислению толщин линз, воздушных
промежутков и соответствующих им радиусов поверхностей,
сохраняя имеющиеся значения углов.
При вычислении воздушных промежутков между оптическими
поверхностями вдоль оптической оси необходимо обращать
внимание на то, чтобы поверхности, разделяемые такими
промежутками, не соприкасались между собой по краям, обеспечивая
тем самым возможность установки между линзами прокладных
колец, соответствующих расчетным значениям воздушных
промежутков между линзами.
118
ГЛАВА 5. ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ
В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
5.1. Роль диафрагм в оптических системах
Реальная оптическая система, в отличие от идеальной,
ограничивает поперечные размеры проходящих через нее пучков
лучей. Это ограничение достигается с помощью специальных
непрозрачных экранов с отверстиями чаще всего круглой формы и
называемых диафрагмами. Обычно эти диафрагмы устанавливаются
центрировано относительно оптической оси. В некоторых случаях
поперечные размеры пучков лучей могут ограничиваться оправами
оптических деталей (чаще всего линз). В наблюдательных оптических
приборах роль одной из ограничивающих диафрагм выполняет
зрачок глаза.
При ограничении пучков лучей решаются следующие задачи.
1. Фиксируется или регулируется количество световой энергии,
проходящей от разных точек плоскости предмета к соответствующим
точкам их изображений.
2. Ограничивается размер изображения.
3. Задерживаются те части пучков лучей, которые могли бы привести
к снижению качества изображения.
4. Решаются некоторые специальные задачи, например отделение
пучков друг от друга, устранение рассеянного оптической системой
света и т.д.
Вопросы о том, какие диафрагмы должны ограничивать пучки
лучей, где они должны располагаться и каковы их размеры, решаются
при расчете оптических систем с учетом исходных технических
условий.
119
5.2. Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки.
Апертурный и главный лучи. Числовая апертура.
Диафрагменное число. Относительное отверстие
При изучении прохождения пучков лучей через оптическую
систему важнейшим является вопрос об ограничении пучка лучей,
вышедшего из осевой точки плоскости предмета.
Рис. 5.1. К понятиям, связанным с апертурной диафрагмой
На рис. 5.1 представлена некоторая оптическая система,
содержащая две линзы и расположенную между ними диафрагму
D]D2\ первая линза имеет оправу С/С2, а вторая - оправу Е/Е2.
Очевидно, можно представить, что имеется идущий из осевой точки
А плоскости предмета под углом <уА к оптической оси луч 1, который
после прохождения первой линзы пройдет через край D2 диафрагмы
DjD2, вторую линзу и, выйдя по направлению 1' под углом a'Ai к оси,
создаст изображение А' точки Л. Ясно, что другой луч 2, идущий из
точки Л под большим к оптической оси углом, чем угол стА, через
отверстие диафрагмы, а следовательно, и через оптическую систему
не пройдет. Таким образом, вследствие круговой симметрии системы
относительно оптической оси все лучи, исходящие из точки А и
составляющие с этой осью большие по сравнению с величиной оА
углы, будут задержаны диафрагмой DjD2.
Диафрагма, ограничивающая пучок лучей, выходящих из осевой
точки предмета, называется апертурной диафрагмой. В нашем случае
апертурной диафрагмой является диафрагма D/D2.
Пусть далее D^D^ и Е\Е'г являются параксиальными
изображениями соответственно диафрагм DjD2 и EjE2 в
120
пространстве предметов. Так как слева от первой линзы никакой
оптической системы нет, то параксиальное изображение С[С2 оправы
этой линзы в пространстве предметов совпадает с самой оправой
С/С2. Очевидно, из изображений D[D'2, E[E'2 и С[С2 изображение
D[D2 видно из точки А под наименьшим углом, т.е. идущие из этой
точки лучи 3 и 4 составляют с оптической осью большие по
сравнению с величиной оА углы. Если предположить, что из
названных трех изображений под наименьшим углом из точки А
видны изображения С[С2 или Е[Е2 , то тогда соответственно либо
оправа С\С2, либо оправа Е/Е2 ограничивала бы осевой пучок, что
невозможно, т.к. это противоречит начальному условию о том, что
ограничивающей осевой пучок диафрагмой является диафрагма DjD2.
Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в
пространстве предметов или апертурная диафрагма, расположенная в
пространстве предметов, называется входным зрачком. В нашем
примере входным зрачком является изображение D[D2.
Пусть D"D2\ C"C2 и Е['Е2 являются параксиальными
изображениями в пространстве изображений диафрагмы D/D2, оправ
С\С2 и Е]Е2 соответственно. Очевидно, из точки А' изображение
D"D2 по сравнению с изображениями С"С2 и Е['Е2 видно под
наименьшим углом, т.е. направления 3' и 4' составляют с оптической
осью большие по сравнению с величиною a'Ai углы. Это так, потому
что в противном случае указанные направления соответствовали бы
лучам 3 и 4, проходящим через апертурную диафрагму, что
противоречит начальным условиям.
Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в
пространстве изображений или апертурная диафрагма,
расположенная в пространстве изображений, называется выходным
зрачком. В оптической системе, изображенной на рис. 5.1, выходным
зрачком является изображение D"D2. Диаметры входного и
выходного зрачков обозначаются через D и D' соответственно. Точка
Р(Р') пересечения плоскости входного (выходного) зрачков с
оптической осью называется осевой точкой входного (выходного)
зрачка. Так как отверстия диафрагм чаще всего имеют круглую
форму, то для краткости осевые точки зрачков будем называть в
дальнейшем их центрами.
Из изложенного следует, что если в имеющейся оптической
системе положение апертурной диафрагмы неизвестно, то для ее
отыскания надо поступать следующим образом.
121
Необходимо найти изображение всех диафрагм и оправ
компонентов в пространстве предметов теми частями оптической
системы, которые предшествуют каждой диафрагме или оправе. То
изображение, которое из осевой точки предмета окажется видным
под наименьшим углом, будет играть роль входного зрачка. Та
диафрагма или оправа, изображение которой в пространстве
предметов оказалось входным зрачком, будет играть роль апертурной
диафрагмы.
Для отыскания апертурной диафрагмы можно найти
изображения всех диафрагм и оправ в пространстве изображений,
образуемых теми частями оптической системы, которые следуют за
каждой диафрагмой или оправой. То изображение, которое окажется
видным под наименьшим углом из осевой точки плоскости
изображения, будет являться выходным зрачком. Та диафрагма или
оправа, изображение которой в пространстве изображений оказалось
выходным зрачком, будет играть роль апертурной диафрагмы.
Входной и выходной зрачки сопряжены между собой
относительно всей оптической системы, т.е.
— = РР, E.1)
где /Зр - линейное увеличение в зрачках.
Луч, идущий из осевой точки предмета через край апертурной
диафрагмы, называется апертурным лучом.
Реальное изображение апертурной диафрагмы в пространстве
предметов (изображений) обычно несколько не совпадает с входным
(выходным) зрачком, являющимся параксиальным изображением
этой диафрагмы в соответствующем пространстве. Поэтому лишь с
определенной степенью точности можно говорить, что апертурный
луч проходит через край входного (выходного) зрачка. На рис. 5.1
показан апертурный луч, идущий из осевой точки предмета через
край входного зрачка, край апертурной диафрагмы и край выходного
зрачка.
Угол оА между оптической осью и апертурным лучом в
пространстве предметов называется апертурным углом в
пространстве предметов.
Угол о'А1 между оптической осью и апертурным лучом в
пространстве изображений называется апертурным углом в
пространстве изображений.
122
Произведение показателя преломления и синуса апертурного
угла в пространстве предметов А=п sin<jA называется числовой
апертурой в пространстве предметов.
Произведение показателя преломления и синуса апертурного
угла в пространстве изображений Л'=п'sin&A' называется числовой
апертурой в пространстве изображений.
Абсолютное значение отношения диаметра входного зрачка к
заднему фокусному расстоянию D\f называется относительным
отверстием.
Величина К, обратная относительному отверстию, называется
диафрагменным числом.
Луч, идущий из внеосевой точки плоскости предмета через
центр апертурной диафрагмы, называется главным лучом.
Ввиду указанного выше некоторого несовпадения входного
(выходного) зрачка с реальным изображением апертурной диафрагмы
в соответствующем пространстве говорить, что главный луч
проходит через центры зрачков, можно также с определенной
степенью допущения.
На рис. 5.1 показан главный луч, идущий из внеосевой точки В
плоскости предмета через центр Р входного зрачка, центр апертурной
диафрагмы, центр выходного зрачка F и через внеосевую точку В'
плоскости изображения.
В правильно разработанной оптической системе должна быть
только одна апертурная диафрагма. В противном случае положение
входного и выходного зрачков окажется неопределенным, что
приведет к ухудшению качества изображения и снижению
оптических характеристик системы.
123
5.3. Полевая и виньетирующая диафрагмы.
Входное и выходное окна.
Угловое и линейное поле. Виньетирование
Рассмотрим теперь вопрос об ограничении пучков лучей,
выходящих из внеосевых точек плоскости предмета. На рис. 5.2 для
примера приведена некоторая оптическая система из двух линз,
содержащая три вещественные диафрагмы - апертурную (входной
зрачок) CD с центром в точке Р, оправу KL первой линзы и оправу
MN второй линзы.
Предмет величиной А1В[ = 2\у{\ с осевой точкой А] изображается
первой линзой в виде отрезка В[С[ = 2\у[\ с осевой точкой А[, а затем
второй линзой в виде отрезка В'2С'-)=2\у2\ с осевой точкой А'2.
Главный луч /?, Р проходит через край TV оправы второй линзы и центр
Р' выходного зрачка, образуя с оптической осью в пространстве
предметов угол 60, а в пространстве изображений угол а)'. Для
ограничения величины предмета Z?,C, =2|>>,| в плоскости
действительного изображения, создаваемого первой линзой,
установлена диафрагма диаметром Опд = В\С\ = 2\у[\. Очевидно, эта
диафрагма ограничивает и величину изображения В'2С'2=2\у'2\ в
пространстве изображений.
Аперт диафр. Полевая Виньет.
(Вход, зрачок) диафр. диафр.
Рис. 5.2. Апертурная, полевая и виньетирующая диафрагмы
Наибольший размер изображаемой части предмета,
расположенного на конечном расстоянии, называется линейным
полем оптической системы в пространстве
предметов (обозначается 2у; на рис. 5.2 2у = 2\ух \).
124
Наибольший размер изображения, расположенного на конечном
расстоянии, называется линейным полем оптической
системы в пространстве изображений (обозначается
2/; на рис. 5.2 2у' = 2\у'2\).
Диафрагма, расположенная в плоскости предмета или в одной из
плоскостей, с ней сопряженной, и ограничивающая размер линейного
поля оптической системы в пространстве изображений, называется
полевой диафрагмой (на рис. 5.2 полевой диафрагмой
является диафрагма В[С[).
Абсолютное значение удвоенного угла между оптической осью
и лучом в пространстве предметов, проходящим через центр
апертурной диафрагмы и край полевой диафрагмы, называется
угловым полем оптической системы в
пространстве предметов (обозначается 2бо).
Абсолютное значение удвоенного угла между оптической осью
и лучом в пространстве изображений, проходящим через центр
апертурной диафрагмы и край полевой диафрагмы, называется
угловым полем оптической системы в
пространстве изображений (обозначается 2бо').
На рис. 5.2 верхний луч B{D внеосевого (полевого) пучка CBXD,
исходящего из точки Вх, проходит через точку В[ и нижний край D'
выходного зрачка. Лучи части РВХС пучка, собравшись первой
линзой в точке В\, задерживаются затем оправой MN второй линзы и
в построении изображения В'2 точки В{ не участвуют; в построении
изображения точки В{ участвуют лучи только части PBXD пучка (на
рис. 5.2 эта часть заштрихована). Таким образом, диафрагма MN
ограничивает пучок лучей, выходящий из внеосевой точки предмета.
Любая диафрагма, кроме апертурной и полевой, которая
ограничивает пучки лучей, выходящих из точек предмета, лежащих
вне оптической оси, называется виньетирующей диафрагмой (на
рис. 5.2 виньетирующей диафрагмой является оправа MN второй
линзы).
Параксиальное изображение виньетирующей диафрагмы в
пространстве предметов (изображений) называется входным
(выходным) окном.
В пространстве предметов пучки лучей, выходящие из
внеосевых точек предмета, ограничиваются входным зрачком и
125
входным окном, а в пространстве изображений - выходным зрачком
и выходным окном. Покажем, что наличие в оптической системе
виньетирующей диафрагмы приводит к тому, что отдельные участки
изображения предмета имеют различную освещенность.
На рис. 5.3 в образовании изображений А' и В[ осевой и
внеосевой точек А и Вх плоскости предмета участвуют пучки лучей,
опирающиеся на весь входной зрачок. Примем освещенность
изображения в окрестностях точек А' и В[ за 100%. В образовании
изображения В\ внеосевой точки В2 плоскости предмета участвует
пучок РВ2С, опирающийся только на нижнюю часть входного
зрачка, так как верхняя его часть PB2D задерживается входным
окном. Поэтому освещенность в окрестности точки В2 будет в 2 раза
меньше, чем освещенность точек А'и В[. К точке В'3 пройдет только
один луч В3С, вышедший из внеосевой точки В3, так как другие лучи
будут задержаны либо входным окном (сверху), либо входным
зрачком (снизу); освещенность в окрестности точки В'3 будет равна
нулю.
Вх.окно Вх.зр. Вых.зр.
Вых. окно
Рис. 5.3. Геометрическое виньетирование
Ввиду круговой симметрии оптической системы относительно
оптической оси можно сказать, что круг плоскости изображения с
радиусом А'В\ и с центром в точке А' будет иметь освещенность
100%. Освещенность колец толщиной В[В'2 и В'2В3 с центром в точке
А' будет постепенно уменьшаться в направлении от центра к краю от
100 до 50% и от 50% до нуля соответственно.
126
Явление частичного затенения внеосевого пучка лучей,
выходящего из оптической системы, происходящее из-за его
ограничения виньетирующими диафрагмами, называется
геометрическим виньетированием.
В сложных оптических системах внеосевые пучки лучей могут
специально частично ограничиваться с целью уменьшения габаритов
системы в направлении, перпендикулярном оптической оси, или с
целью срезания крайних частей внеосевых пучков, ухудшающих
качество изображения. При этом может оказаться, что внеосевой
пучок лучей ограничивается с двух сторон с помощью двух
виньетирующих диафрагм.
Часть площади входного зрачка, заполненная лучами,
исходящими от внеосевой точки плоскости предмета, проходящими
через оптическую систему и участвующими в образовании
изображения этой точки, называется действующим
отверстием входного зрачка. Это отверстие определяется
либо с помощью расчета хода лучей, либо графически.
Рассмотрим пример графического определения действующего
отверстия входного зрачка. Для решения этой задачи необходимо
построить изображения всех имеющихся в оптической системе
диафрагм в пространстве предметов.
а) 6)
Рис. 5.4. Определение действующего отверстия входного зрачка при
двустороннем виньетировании
Пусть некоторая оптическая система имеет три диафрагмы,
изображения которых в пространстве предметов есть Л/уЛ/?, CD и
127
NjN2 (рис. 5Аа); изображение CD является входным зрачком
системы. Спроектируем изображения MjM2 и NjN2, а также их центры
Р] и Р2 на плоскость входного зрачка при условии, что центром
проекции является внеосевая точка В предмета АВ. Очевидно, в этом
случае проекциями отрезков М/М2 и N/N2 окажутся отрезки М'/М'2 и
N']Nr2, а проекциями точек Pj и Р2 будут точки P'j и Р'2
соответственно. На рис. 5.46 круг CD с центром в точке Р
изображает входной зрачок. Круг М']М'2 с центром в точке P'j
представляет собой сечение плоскостью входного зрачка
пространственного пучка лучей, вышедшего из точки В и
опирающегося на круг диаметром М}М2. Аналогично круг N'/N'? с
центром в точке Р'2 является сечением плоскостью входного зрачка
пространственного пучка лучей, вышедшего из той же точки и
опирающегося на круг диаметром NtN2. Часть M'/N'2 входного зрачка,
являющаяся общей для всех трех построенных кругов, и есть
действующее отверстие входного зрачка (на рис. 5.46 оно ограничено
двумя заштрихованными участками). Заметим, что на самом деле
сечения плоскостью входного зрачка рассмотренных здесь двух
вышедших из точки В пространственных пучков представляют собой
эллипсы. Однако на практике, особенно при небольших полях, эти
эллипсы допустимо заменить соответствующими кругами.
Заштрихованные на рис. 5.46 части входного зрачка определяют
двухстороннее виньетирование внеосевого пучка лучей входными
окнами: часть СМ'/ соответствует виньетированию пучка лучей
окном М\М2 снизу, а часть N'2D - виньетированию пучка окном NjN2
сверху.
Следует заметить, что при увеличении поля может возникнуть
дополнительное виньетирование, вызванное другими диафрагмами,
ограничивающее действие которых на пучки лучей раньше не
сказывалось, что часто встречается у светосильных широкоугольных
объективов.
Для количественной оценки геометрического виньетирования
применяют коэффициент виньетирования по площади:
K5=l-fs E.2)
где So - площадь входного зрачка, S@ - площадь действующего
отверстия входного зрачка.
128
С той же целью применяют и коэффициент виньетирования по
диаметру.
К =1-^,
D
E.3)
где D - диаметр входного зрачка, 2т - ширина сечения плоскостью
входного зрачка меридионального внеосевого пучка лучей,
проходящих через оптическую систему.
Величину, определяемую соотношением
E.4)
называют функцией виньетирования для данного угла поля. Функция
виньетирования определяется обычно на стадии габаритного расчета
оптической системы и уточняется на последующих этапах расчета
непосредственно путем расчета хода лучей.
В фотографических объективах коэффициент Ks обычно не
превышает 0,3...0,5, а в широкоугольных объективах он может
достигать величины 0,5...0,6. В сложных визуальных оптических
системах с целью повышения поля коэффициент Ks доводят до
величины 0,9.
An диафрагма
D
Рис. 5.5. Аберрационное виньетирование (D2>Dl)
В оптических системах объективов с большим полем в качестве
первой линзы часто используется обращенный выпуклой
поверхностью к пространству предметов отрицательный мениск. При
достаточно большом диаметре мениска апертурная диафрагма
объектива в таких системах может пропускать наклонные пучки
лучей, площадь поперечного сечения которых в пространстве
предметов оказывается больше площади поперечного сечения
осевого пучка лучей в том же пространстве. В этом случае, как
129
показано на рис. 5.5, действующее отверстие оказывается больше
входного зрачка (D2 > Dj) и, следовательно, функция виньетирования
будет больше единицы.
Это явление проф. М.М. Русинов назвал аберрационным
виньетированием. Аберрационное виньетирование приводит к тому,
что при большом поле оптической системы падение освещенности от
центра к краю изображения существенно замедляется.
5.4. Телецентрический ход лучей
Пусть на рис. 5.6 плоскость Q' является изображением
плоскости Q, которое образует некоторая оптическая система.
Пусть при этом требуется измерить величину А'В\ являющуюся
изображением отрезка АВ. Это можно сделать, если в плоскости Q'
поместить какое-либо измерительное устройство, например шкалу с
известной ценой деления. Но точно совместить плоскость шкалы с
плоскостью действительного изображения плоскости предмета в
общем случае невозможно. Практически всегда имеет место
несовпадение этих двух плоскостей, характеризуемое величиной Д
называемой параллаксом.
Вх.зр. Вых.зр.
Q
-В"
Плоскость
Рис. 5.6. Параллакс при отсчете по шкале
Очевидно, что из-за параллакса будет измерен не отрезок А'В', а
некоторый не равный ему отрезок А"В", у которого крайняя точка В"
является центром кружка рассеяния пучка лучей, пересекающихся в
точке В'. Таким образом, результат измерения окажется неверным.
Этого можно избежать, если применить так называемый
телецентрический ход лучей, заключающийся в следующем.
Предположим, что центр Р входного зрачка оптической системы
совмещен с ее передним фокусом /^(рис. 5.7). Тогда выходной зрачок
будет расположен в бесконечности, а главный луч в пространстве
130
изображений окажется параллельным оптической оси. Такой ход
лучей называется телецентрическим ходом лучей в пространстве
изображений.
Рис. 5.7. Телецентрический ход лучей в пространстве изображений
Очевидно, в этом случае точка В", являясь центром кружка
рассеяния пучка лучей, находится на главном луче, что приводит к
равенству А"В"=А'В'. Таким образом, влияние параллакса на
результат измерения будет исключено, т.к. измерение отрезка А"В"
равносильно измерению отрезка А'В'. Следовательно,
телецентрический ход лучей в пространстве изображений допускает
установку шкалы с определенной величиной параллакса,
определяемой допустимым размером кружка рассеяния лучей в
плоскости шкалы.
Телецентрический ход лучей в пространстве изображения
можно обеспечить, в частности, если установить вблизи плоскости
изображения линзу, фокус которой совпадает с центром выходного
зрачка. Такое расположение линзы иногда слабо влияет на
оптическую силу системы и на качество создаваемого ею
изображения.
Пусть теперь при известном линейном увеличении оптической
системы для сопряженных плоскостей Q и Q' вычисляется величина
АВ в плоскости предмета по измеряемой величине А'В' изображения.
Для получения верного результата необходимо, чтобы расстояние
между сопряженными плоскостями Q и Q' сохранялось постоянным,
что обеспечит постоянство линейного увеличения, при котором
А'В'
АВ =—-.
131
Но зафиксировать с нужной точностью положение плоскости
предмета относительно оптической системы бывает очень трудно. На
практике плоскость предмета может смещаться вдоль оптической
оси. В таком случае будет измерено изображение Л'В\ имеющее
другую величину. А это, в свою очередь, при использовании в
вычислении величины ЛВ постоянного значения линейного
увеличения /? приведет к неверному результату. Для исключения
влияния изменения расположения плоскости предмета относительно
оптической системы на результат измерения центр Р' выходного
зрачка совмещают с задним фокусом оптической системы. Тогда
главный луч в пространстве предметов окажется параллельным
оптической оси. Такой ход лучей называют телецентрическим ходом
лучей в пространстве предметов (рис. 5.8).
X
< >
Q / \
/\
A 1 1 " j
B \/\^^
Вых.зр.
Q
B'
'A'
Рис. 5.8. Телецентрический ход лучей в пространстве предметов
Пусть при этом плоскость предмета Q сместится на некоторое
расстояние х и займет положение Q1, а предмет АВ - положение AjBh
Тогда все точки плоскости предмета изобразятся в плоскости Q' в
виде некоторых кружков рассеяния лучей. В частности, точка В/
изобразится также в виде кружка рассеяния лучей, но центр этого
кружка останется на главном луче и совпадёт с точкой В'. Таким
образом, в плоскости Q' будет измерена величина изображения А'В',
соответствующая величине предмета AB=A/Bi в сопряженной
плоскости Q. Ошибка из-за колебания положения плоскости предмета
вдоль оси оптической системы будет исключена. Следовательно,
телецентрический ход лучей в пространстве предметов допускает
установку в отсчетных устройствах плоскости предмета с невысокой
точностью относительно оптической системы.
132
ГЛАВА 6. ОБРАЗОВАНИЕ СОВЕРШЕННЫХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПУЧКИ ЛУЧЕЙ
В настоящей главе будут рассмотрены условия, при которых
изображения точек и элементарных отрезков, образуемые
оптическими системами и поверхностями, оказываются
совершенными (неискаженными), а также преломление на
поверхностях плоских элементарных пучков лучей.
6.1. Закон косинусов
Предположим, что через некоторую оптическую систему из
любого числа р произвольно расположенных оптических
поверхностей бесконечно близко друг к другу проходят лучи
AAh..APA'w ВВ/...ВРВ'(рис. 6.1). Выберем в пространстве предметов
на первом луче точку А, на втором - точку В, а в пространстве
изображений - соответственно точку А ' и точку В \ причем точки А и
А ' а также В и В 'не обязательно сопряжены.
Рис. 6.1. К выводу закона косинусов
Отрезки АВ и АЪ' обозначим через dl и dl' соответственно.
Оптическая длина пути между точками А и А', а также между точками
В и В'пусть будет соответственно
s1=(AAr)ws2=(BB/).
Угол между отрезком dl и лучом AAj обозначим через о, а между
отрезком dl' и лучом АРА''- через а'. Показатели преломления сред
пространства предметов и пространства изображения равны п и п'
соответственно.
133
Проведем через точку В некоторую поверхность Q,
ортогональную лучам AAj и BBj, а через точку В'- поверхность Qf,
ортогональную лучам АРА' и ВРВ\ Предположим, что луч AAj
встречается с поверхностью Q в точке Д а луч АРА '- с поверхностью
Q' в точке D'. Опустим перпендикуляры ВС и В'С из точки В на луч
AAj и из точки В' на луч АРА' соответственно. Очевидно, что
оптическая длина пути между точками В и В' равна оптической длине
пути между точками DwD\ т.е.
s2=(BB)=(DD%
Из рис.6.1 следует, что
s,=nAC + nCD + s2-n 'А 'С- п 'СТ>'=
=ndlcosa- п 'dl'cosa' + s2 + nCD - п 'СТ>'.
Отсюда имеем
ds=s2-sJ=n/dl/cosa/- ndlcosa+ n'CW- nCD.
Это выражение дает точное значение изменения оптической длины
пути при переходе от точки А к точке В. Будем считать, что точка В
бесконечно близка к точке А, а точка В'бесконечно близка к точке А '.
Тогда отрезки dl и dV окажутся бесконечно малыми, а величины
п'СТУ'к nCD будут бесконечно малыми высшего порядка, которыми
вследствие этого можно пренебречь.
Поэтому
ds = п 'dV'cosа''- ndlcosa.
Предположим, что точка А' является совершенным
изображением точки А, а точка В' - совершенным изображением
точки В, т.е. все лучи, вышедшие из точки А или В, проходят
соответственно через точки А'и В'. В этом случае, согласно принципу
Ферма, оптическая длина пути sj не зависит от выбора луча, вдоль
которого она исчисляется, и, следовательно, равна некоторой
постоянной величине С/. По этой же причине оптическая длина пути
52 равна некоторой постоянной величине С?. Следовательно, величина
разности
ds = s2-Sj = С2- С] = С
является также постоянной величиной, т.е.
n'dl'cosa'- ndlcosa= С. F.1)
134
Полученная формула выражает так называемый закон
косинусов, при выполнении которого оптическая система из
произвольно расположенных поверхностей дает совершенное
изображение dl' бесконечно малого отрезка dl с помощью
гомоцентрических пучков лучей с конечными телесными углами.
Можно доказать, что выполнение закона косинусов для двух
пересекающихся бесконечно малых отрезков dl является
необходимым и достаточным условием, чтобы бесконечно малая
площадка, в которой расположены эти отрезки, резко изображалась
широкими гомоцентрическими пучками лучей.
6.2. Условие Гершеля
Предположим, что имеется некоторая центрированная
оптическая система О/ОР (рис. 6.2).
Р
Рис. 6.2. К выводу условия Гершеля
Найдем условие, при котором эта система дает совершенное
изображение dz'=A'B' широкими гомоцентрическими пучками лучей
бесконечно малого отрезка dz=AB, расположенного на оптической
оси. Очевидно, это будет иметь место, если для любого луча,
вышедшего из любой точки элемента dz, будет соблюдаться закон
косинусов
п 'dz bos a'- ndzcosa = С.
Для определения постоянной С применим эту формулу для луча,
идущего вдоль оптической оси, когда ст=ст' = 0. В этом случае
С = n'dz'- ndz.
Подставив это значение постоянной С в предыдущее равенство,
135
получим
п 'dz 'coso' -ndzcoso = n'dz'- ndz,
оттуда далее будем иметь
n'dz'(l-coso') = ndz(l-coso),
т.е.
n'dz'sin2 — = ndzsin2 —.
Учтя, что линейное увеличение /? и продольное а в соответствии с
формулой C.30) связаны соотношением
dz ri oi
dz n
последнее уравнение преобразуется к виду
. 7 (У
откуда получаем
«sin
F.2)
Это уравнение выражает условие Гершеля, при выполнении
которого бесконечно малый отрезок, расположенный вдоль
оптической оси, имеет совершенное изображение, образуемое
широкими гомоцентрическими пучками лучей.
6.3. Условие синусов Аббе
Пусть некоторая центрированная оптическая система из любого
числа р поверхностей дает совершенное изображение dy /=A Ъ'
некоторого бесконечно малого отрезка dy=AB, перпендикулярного
оптической оси (рис. 6.3). Пусть, кроме того, бесконечно малая
перпендикулярная к оси площадка ds, содержащая элементарный
отрезок dy, изображается в виде площадки ds\ содержащей отрезок
dy'. Найдем условие, при котором dy' является совершенным
изображением dy.
Пусть из осевой точки А предмета выходит луч под
произвольным углом а к оптической оси; после выхода из системы
136
луч образует с оптической осью угол а'. Угол между лучом и
элементом dy в пространстве предметов обозначим через ?, а угол
между элементом dy'w лучом в пространстве изображений - через s'.
У
в
А
/ds
dy^
I
У
1 р
f
f ^7
-dy1
в,
/
/
ds'
А'
Рис. 6.3. К выводу условия синусов Аббе
Тогда для того, чтобы dy' было совершенным изображением
элемента dy, в соответствии с законом косинусов необходимо
выполнить условие
п 'dy 'coss'- ndycoss = С.
Но s'=90°-a', ?=90°+а, поэтому
п 'dy 'sine' - ndysina = С.
Для определения значения постоянной С предположим, что луч
из осевой точки предмета идет вдоль оптической оси, т.е. а=ст'=0.
Тогда, очевидно, С=0 и, следовательно,
п 'dy 'sin <j' = ndysin <j.
Учитывая, что линейное увеличение оптической системы
dy
последнее равенство можно написать в виде
/? = 4^7 F-3)
п sin сг
Формула F.3) выражает так называемое условие синусов Аббе,
при выполнении которого достигается совершенное изображение
отрезка dy, перпендикулярного оптической оси. Следовательно, для
достижения совершенного изображения с помощью широких пучков
137
лучей элементарного отрезка прямой dy, перпендикулярного к
оптической оси, необходимо выполнить два условия:
1) добиться, чтобы осевая точка элементарного отрезка dy
изображалась стигматически (это условие равносильно отсутствию
сферической аберрации, понятие о которой будет дано ниже);
2) выполнить для всех лучей, выходящих из всех точек
элементарного отрезка dy и заполняющих весь входной зрачок,
условие, выраженное формулой F.3).
Пару сопряженных точек, для которых уничтожена сферическая
аберрация и которые удовлетворяют условию синусов, Аббе назвал
апланатическими точками. Поэтому условие синусов Аббе часто
называют условием апланатизма. Аббе установил, что в объективах
микроскопов, изготовленных старыми мастерами, условие
апланатизма выполнялось, хотя теоретически оно тогда еще не было
известно.
Сравнивая условие Гершеля F.2) и условие синусов Аббе F.3),
видим, что одновременно они могут выполняться только в
следующих трех частных случаях.
1. В случае телескопической системы, когда о=сг—0.
2. В узловых точках оптической системы с конечным фокусным
расстоянием, для которых о'=о.
3. В точках, для которых G/=-о; т.е. когда угловое увеличение
у = —1, линейное увеличение /? = —-.
В общем случае конечных углов сги а' условие синусов Аббе и
условие Гершеля несовместимы. Выполнение условия Гершеля, при
котором достигается совершенное изображение с помощью широких
пучков лучей элементарного отрезка dz, расположенного на
оптической оси, не позволяет выполнить условие синусов Аббе.
Таким образом, если для пары сопряженных точек, лежащих на
оптической оси системы, достигнута стигматичность изображения и
выполнено условие синусов, т.е. достигнута апланатичность, то в
силу несовместимости условий F.2) и F.3) соседняя пара
сопряженных точек апланатической быть не может.
6.4. Преобразование условия синусов Аббе при различных
положениях плоскостей предмета и изображения
Пусть на рис. 6.4 пара сопряженных точек А и А \ лежащих на
оси оптической системы, является апланатической; элементарные
138
отрезки dy=AB и dy'=A'B' перпендикулярны оптической оси;
расстояния этих отрезков от главных плоскостей ЯиЯ' обозначим
соответственно через а и а\ отрезок dy' является совершенным
изображением отрезка dy, получаемым с помощью сколь угодно
широких пучков лучей. Тогда для всех значений углов а и о\
образуемых сопряженными лучами с осью, будет выполняться
условие синусов F.3). Применяя формулу C.56), для линейного
увеличения находим
Р dy n'a'
Из сравнения этого соотношения с формулой F.3) получаем
a'sin о1 = asina.
F.4)
Это уравнение можно рассматривать как новое выражение
условия синусов Аббе.
В
-dy'
Рис. 6.4. К условию синусов при а^оо, а '^оо
Построим из центров А и А' сферы с радиусами а и а'
касательные к главным плоскостям в главных точках ЯиЯ'; сечения
этих сфер меридиональной плоскостью, проходящей через отрезки dy
и dy', будут представлять собой дуги окружностей HQ и H'Q\ а точки
Q и Q' - точками встречи сопряженных лучей AQ и A'Q' с
построенными сферами; из точек Q и Q опустим перпендикуляры Q
R и g7?'на оптическую ось. Из треугольников AQR и A 'QИ'можно
написать
QR = asin о, Q7l'=a 'sin о',
139
после чего на основании формулы F.4) получаем
QR = Q'R'=h,.
Следовательно, каждая пара сопряженных лучей, проходящих
через апланатические точки оптической системы, пересекает
построенные сферы на одной и той же высоте /?/ относительно
оптической оси. Отсюда вытекает, что сферы, касательные к главным
плоскостям системы и имеющие центры в апланатических точках,
для реальной системы имеют такое же значение при построении хода
лучей, как и главные плоскости для идеальной оптической системы.
Если плоскость предметов расположена в бесконечности, то
а '=/'. При беспредельном возрастании расстояния а угол а стремится
к нулю, но произведение asino остается равным /?/. Поэтому
выражение F.4) можно написать в виде
-Х.=Г- F-5)
sm <j
Эта формула выражает условие синусов при бесконечно
удаленном предмете. Следовательно, как показано на рис. 6.5, все
падающие и соответствующие им преломленные оптической
системой лучи пересекаются не на главных плоскостях, как это было
в идеальной оптической системе, а на сферической поверхности с
радиусом/'и центром в заднем фокусе F'.
Рис. 6.5. К условию синусов при
бесконечно удаленном предмете
Таким образом, условие синусов Аббе в форме F.5)
противоречит формуле
140
определяющей фокусное расстояние идеальной системы. Только в
параксиальной области, когда синусы и тангенсы углов могут быть
практически равны, обе формулы дают одинаковый результат.
В случае телескопической системы плоскости предметов и
изображений расположены в бесконечности. Эту систему можно
рассматривать как результат сложения двух систем с конечным
фокусным расстоянием.
На рис. 6.6 показана телескопическая система, состоящая из
системы с главными плоскостями Hj иЯ/'и фокусным расстоянием
/'/ и системы с главными плоскостями Н2 и //?' и фокусным
расстоянием /'2; фокусы обеих систем совмещены в точке F; луч,
идущий в пространстве предметов параллельно оптической оси,
образует с оптической осью в пространстве между системами угол а'.
Рис. 6.6. К условию синусов для телескопической системы
Пусть точка F, сопряженная с точкой на бесконечности в
пространстве предметов и с точкой на бесконечности в пространстве
изображений, является апланатической. Тогда условие синусов для
обеих пар точек на основании формулы F.5) можно записать в виде
sin а
sin a
Разделив первое уравнение на второе при п=п-\, будем иметь
X
Л
F.6)
где у- угловое увеличение телескопической системы.
Следовательно, чтобы сопряженные бесконечно удаленные
точки на оптической оси телескопической системы были
141
апланатическими, отношение высот hj и /ъ любого луча, идущего в
обоих пространствах параллельно оптической оси, должно быть
постоянной величиной.
6.5. Апланатические точки преломляющей
сферической поверхности
Предположим, что оптическая система, показанная на рис. 6.7,
содержит только одну преломляющую сферическую поверхность с
радиусом кривизны г, разделяющую среды с показателями
преломления nwn'; осевая точка А и ее изображение А \ образуемое с
помощью некоторого луча, расположены соответственно на
расстояниях s и s'от вершины О поверхности; аи а'- углы между
лучом и оптической осью в пространствах предметов и изображений,
встречающимся с поверхностью в точке В; (р - угол между
оптической осью и нормалью к поверхности в точке В\ s и s' — углы
падения и преломления луча.
Рис. 6.7. К определению положения апланатических точек
Выясним, имеет ли такая оптическая поверхность
апланатические точки. В соответствии с инвариантом Аббе C.12):
n(s - г) _ n'(s'-r)
р г // г
гдер=АВ,р'=А Ъ. Отсюда следует, что
n'2(s'-rJ
Подставив сюда очевидные из рисунка значения
p2=(r-sJ + r2 -2r(r-s)coscp,
р /2=(r-s f + r2 -2r(r-s Jcoscp,
142
получим
r2+{r-sJ 2r(r - s) cos (р _ г2 + (г - s'J 2r(r - s') cos (p
F.7)
rr{r-sf n2{r-sf nt2{r-s'J nf2(r-s'J
В полученном уравнении каждому лучу гомоцентрического
пучка, выходящего из точки А, соответствует свое определенное
значение s'. Чтобы после преломления все лучи гомоцентрического
пучка собрались на одном расстоянии s'b точку А 'и, таким образом,
сохранили гомоцентричность, надо, чтобы в уравнении F.7)
соответственные части были бы равны между собой, что исключит
зависимость s 'от coscp, т.е. чтобы
г2 +(r-sJ г +(r-s'J
n^(r-sJ n\r-s'Y
и одновременно
2г 2г
F.8)
n"(r-s) na(r-s')
Последнее уравнение можно написать в виде
n2(r-s)=n'2(r-s% F.9)
Совместное решение уравнений F.8) и F.9) упрощается, если
учесть, что уравнение F.8) справедливо и при <р=0, когда p=s, p'=s', a
инвариант Аббе принимает вид
n(r-s) _ n'(r-s')
s s'
Из последних двух уравнений следует, что
ns = n's'. F.10)
Решая теперь совместно уравнения F.9) и F.10), получаем
S = Г, F.П)
п
F.12)
п}
Таким образом, все лучи, вышедшие из осевой точки предмета,
расположенной на расстоянии от вершины сферической поверхности,
определяемой формулой F.11), соберутся в точке на оси, удаленной
от той же вершины на расстояние, определяемое формулой F.12).
Из полученных двух последних формул следует, что при г>0
предмет и изображение расположены справа (s>0, s' >0), а при г<0 -
143
слева (s<0, s'<0) от поверхности, т.е. апланатические точки всегда
расположены со стороны вогнутости поверхности.
Определим положение этой пары сопряженных точек
относительно центра С кривизны преломляющей сферической
поверхности отрезками гА и гА\ Из рис. 6.7 с учетом формул F.11) и
F.12) следует, что
п + п п' .. ...
rA= r-r = -r, F.13)
г = -г. F.14)
п п
Следовательно, сопряженные точки, определяемые формулами
F.11) и F.12), лежат на двух сферических поверхностях,
концентрических с преломляющей сферической поверхностью,
радиусы кривизны которых определяются формулами F.13) и F.14).
Покажем, что точки А и А', удовлетворяющие равенствам F.11)
и F.12), удовлетворяют также и условию синусов Аббе.
В соответствии с формулой C.25) линейное увеличение
преломляющей сферической поверхности
р n's
Подставляя сюда значения 5 и 5' из формул F.11) и F.12), получим
<6Л5>
Эта формула определяет линейное увеличение преломляющей
сферической поверхности, удовлетворяющей формулам F.11) и
F.12).
Из треугольников ABC и А'ВС по теореме синусов
соответственно можно написать:
sin сг г sin сг' г
= — и = —.
sin s rA sin ?' гА,
Разделив первое уравнение на второе и применив формулу A.8)
закона преломления луча, получим
«'sin & \пу)
Это равенство и показывает, что условие синусов Аббе в
рассматриваемом случае выполняется.
144
Таким образом, сопряженные точки А и А', удовлетворяющие
формулам F.11) и F.12), являются апланатическими.
Нетрудно показать, что уравнения F.8) и F.9) удовлетворяются
и при
s=s' = r, F.16)
когда в соответствии с формулой C.25) линейное увеличение
п
F.17)
Осевая точка А в этом случае и ее изображение А ', как показано
на рис. 6.8, совпадают с центром кривизны поверхности; любой
выходящий из точки А луч идет вдоль нормали к поверхности без
преломления. Поэтому а=ст'и условие синусов Аббе F.3) приводится
к виду F.17). Таким образом, пара сопряженных точек, положение
которых определяется равенством F.16), также является
апланатической.
Рис. 6.8. Апланатические точки при s=s'=r
Для одной преломляющей сферической поверхности существует
и третья пара апланатических точек. Положение этих точек
определяется равенством
s = s' = 0, F.18)
указывающим на то, что вершина О поверхности является и точкой
предмета Л, и точкой ее изображения А ' одновременно.
Покажем, что эти точки являются апланатическими. То, что
пучок гомоцентрических лучей с вершиной в точке О после
преломления на сферической поверхности остается
гомоцентрическим с вершиной в той же точке, вытекает
непосредственно из рис. 6.9. Кроме того, при условии F.18), когда
<р=0, удовлетворяется равенство F.7). Найдем значение линейного
увеличения в этом случае.
145
Рис. 6.9. Аплантические точки при s=s'=0
В соответствии с формулой C.23)
Но для любого параксиального луча, идущего через вершину
преломляющей сферической поверхности, справедливы равенства:
a=s и a'=s'.
Поэтому с учетом формулы A.8) для параксиальной области и
последних равенств получаем
„ па ns
п'а' flV
В то же время для любого луча, идущего через вершину
преломляющей поверхности, можно написать
<J=?, &'=?'.
Поэтому условие синусов Аббе F.3) с учетом формулы A.8)
приобретает вид
п sin a n sin e
В = = = 1.
n'sino' n'sine'
Таким образом, точки, удовлетворяющие условию F.18), являются
также апланатическими.
Трем парам апланатических точек, определяемых формулами
F.11), F.12), F.16) и F.18), соответствуют три вида преломляющих
сферических поверхностей, называемых апланатическими
поверхностями. Назовем поверхности, соответствующие условиям
F.11), F.12), F.16) и F.18), апланатическими поверхностями
первого, второго и третьего рода соответственно. Комбинируя эти
три типа апланатических поверхностей по две, можно получить
шесть типов линз, называемых апланатическими менисками.
Линейное увеличение каждого типа мениска определяется как
произведение линейных увеличений соответствующих
146
апланатических поверхностей, образующих мениск. На рис. 6.10
показаны все шесть типов апланатических менисков в воздухе,
выполненных из материала с показателем преломления п с условным
изображением хода луча, выходящего из осевой точки предмета.
Возле каждой поверхности мениска изображена цифра, указывающая
тип апланатической поверхности.
а) Обе поверхности являются апланатическими поверхностями
первого типа; линейное увеличение мениска /3 = \.
б) Первая поверхность - апланатическая первого типа, а вторая -
второго типа; линейное увеличение мениска р=\1п.
в) Первая поверхность - апланатическая второго типа, а вторая -
первого типа; линейное увеличение мениска р=п.
г) Обе поверхности - апланатические второго типа; линейное
увеличение мениска /?=/.
д) Первая поверхность - апланатическая третьего типа, а вторая -
первого типа; линейное увеличение мениска р=п2.
е) Первая поверхность - апланатическая третьего типа, а вторая -
второго типа; линейное увеличение мениска fi=n.
а)
3/У1 / SI У 2
Рис. 6.10. Типы апланатических менисков
147
Применение апланатических поверхностей дает возможность
изменять величину апертурного угла при сохранении
гомоцентричности осевого пучка лучей и одновременном
выполнении условия синусов Аббе. Это свойство апланатических
поверхностей используется, в частности, при расчете объективов
микроскопов с высокой апертурой.
6.6. Асферические поверхности вращения
второго порядка
Пусть имеется некоторая оптическая поверхность Q с осью
симметрии z, разделяющая среды с показателями преломления п и п'.
В вершине этой поверхности (9, как показано на рис. 6.11, поместим
начало координат прямоугольной системы zoy. Пусть точки A(-s;o) и
A '(s f;o) на оси oz являются предметом и изображением
соответственно. Произвольному лучу АВ, идущему под углом сгк оси
oz в пространстве предметов, соответствует сопряженный луч В А \
идущий под углом а' к оси в пространстве изображений; АВ=-р,
ВА'=р'.
Рис. 6.11. К выводу условия совершенного изображения осевой
точки предмета на основе принципа Ферма
На основании принципа Ферма изображение А' точки А будет
совершенным, если оптические пути вдоль ABA 'и АО А ' будут равны
для любой точки B(z; у) , принадлежащей поверхности Q, т.е. при
-пр+п'р'= -ns+n's\
Из рисунка имеем
+ О -
+ О -
F.20)
148
Поэтому
n'jy2 + (z - s'J - njy2 + (z - sJ = n's' - ns . F.21)
Это уравнение соответствует уравнению поверхности 4-го
порядка, дающей совершенное изображение точки на оси. Эта
поверхность вообще очень сложна для изготовления и контроля.
Рассмотрим частные случаи, представляющие практический интерес.
Рис. 6.12. Преломляющая асферическая поверхность
вращения второго порядка при s = - оо
Пусть предмет расположен в бесконечности (s=-oo). В этом
случае, как видно из рис. 6.12, условие совершенного изображения
бесконечно удаленной осевой точки на основании принципа Ферма
можно написать в виде
пЪА'=п'ОА\
или
n'p'-n's'= 0.
Подставив сюда значение /?'из F.20), получим
nz + n'jy2 + (z - s'J - n's' = 0 .
Освободившись от радикала и преобразовав это уравнение, будем
иметь
Это уравнение кривой линии 2-го порядка. Для приведения его к
каноническому виду перенесем начало координат в некоторую точку
О 'вдоль оси Oz на величину а вправо. Тогда получим
у = y,z = z + а .
149
Подставив в уравнение F.22) вместо старых у и z координат
новые у и z, после преобразования будем иметь
Для исключения из этого уравнения членов, содержащих
первую степень z, полагаем
а = ^^. F.24)
откуда
Подставив это значение а в F.23), нетрудно получить
/iV V + (n'-n)sa " ' F.25)
w + w'J л + л1
В зависимости от численных значений п и п' полученное уравнение
может быть либо эллипсом, либо гиперболой.
Параболы быть не может. Действительно, для получения
параболы надо исключить вторую степень z, что возможно лишь при
5/=оо. Но при s=s'=co преломление луча на поверхности отсутствует,
что и свидетельствует о том, что поверхность вращения,
соответствующая уравнению F.25), не может быть параболической.
При п'>п уравнение F.25) представляет собой эллипс, а
преломляющая оптическая поверхность - эллипсоид вращения. Из
уравнения F.25) следует, что полуось эллипса вдоль оси координат z
определяется формулой F.24), а вдоль оси координат у - формулой
= s
Расстояние от начала координат О 'до фокуса эллипса
ns'
F-26)
На рис. 6.13 показано сечение эллипсоида вращения
меридиональной плоскостью. Меридиональный луч, идущий в
пространстве предметов параллельно оси вращения z, преломляется
150
на поверхности эллипсоида в точке В и дает изображение А'
бесконечно удаленной осевой точки А предмета на расстоянии s'ot
вершины О.
S = -oo 8/
0
\в '**'
<
a
s'
У
^—.
с
-^
n'>n \
Рис. 6.13. Преломление меридионального луча
на поверхности эллипсоида при s = - оо
Так как расстояние от вершины О до второго фокуса F2 эллипса
определяется как
us'
а + с =
= s
п + п' п + п'
то, следовательно, точка А 'совпадает со вторым фокусом эллипса.
Заметим, что на основании закона преломления A.8) при п'>п
угол преломления s' луча на поверхности эллипсоида в точке В
меньше угла падения ?, что приводит к s '>0 и а>0.
При п'<п уравнение F.25) представляет собой гиперболу, а
соответствующая ей поверхность вращения окажется гиперболоидом.
Полуоси гиперболы будут выражаться теми же формулами F.24) и
F.26) с той лишь разницей, что полуось b будет мнимой.
На рис. 6.14 показано сечение гиперболоида меридиональной
плоскостью, образующее гиперболу с фокусами F/ и F2.
Меридиональный луч, идущий в пространстве предметов
параллельно оси z, преломляется в точке В и дает изображение в
точке А' на расстоянии s' от вершины О. В данном случае по закону
преломления A.8) при п'<п угол преломления ^'болыие угла падения
?, что приводит к s'<0 и а<0. Следовательно, перенос начала
координат из точки О в точку О' будет происходить в сторону,
противоположную ходу света. Ясно, что в этом случае лучи,
151
параллельные оси z,z, после преломления на поверхности
гиперболоида соберутся в фокусе Fh образуя таким образом мнимое
изображение бесконечно удаленной осевой точки предмета.
у П><П
Рис. 6.14. Преломление меридионального луча на
поверхности гиперболоида при 5Х = — оо
Предположим теперь, что поверхность, которой соответствует
уравнение F.21), является отражающей. В этом случае п'=-п и
указанное уравнение приводится к виду
откуда после несложного преобразования получаем
? 455' 1
-z = 0.
S + S'
F.27)
Если осевая точка предмета находится в бесконечности, то s=±oo и
последнее уравнение приводится к виду
y2=4s'z. F.28)
Таким образом, в этом случае уравнению F.28) соответствует
параболоидная отражательная поверхность с фокальным параметром
2s\ изображение бесконечно удаленной осевой точки предмета
совпадает с фокусом параболоида.
На рис. 6Л5а показано отражение от выпуклой параболоидной
поверхности в точке В меридионального луча, идущего в
пространстве предметов параллельно оси z и образующего мнимое
изображение А' бесконечно удаленной осевой точки предмета,
совпадающее с фокусом F параболоида.
152
V
S' =00
б)
Рис. 6.15. Отражение меридионального луча от
выпуклой и вогнутой параболоидной поверхности
Очевидно, пучок лучей, параллельных оси z, после отражения от
этой поверхности преобразуется в расходящийся гомоцентрический
пучок лучей с вершиной в фокусе параболоида.
На рис. 6.156 выходящий из фокуса F луч после отражения от
вогнутой параболоидной поверхности в некоторой точке В идет
параллельно оси z; расходящийся гомоцентрический пучок лучей с
вершиной в фокусе вогнутой параболоидной поверхности после
отражения от последней превращается в пучок параллельных оси z
лучей, что используется, в частности, при построении прожекторов.
Приведем уравнение F.27) к каноническому виду. Для этого
перенесем начало координат в точку О 'с координатами
Подставляя эти значения у иг в уравнение F.27), получаем
2а
У^ =~
(s + s'J~ s + s\ s + s*
Для исключения первой степени z необходимо положить
4ss* 2 455*
—а + а.
+ s'
а =
F.29)
После подстановки этого значения а в предыдущее уравнение будем
иметь
= 2
У
л2
= 1
F.30)
153
Рассмотрим два возможных случая. Если s и s' одного знака, то
уравнение F.30) будет представлять эллипс, полуось которого вдоль
оси z будет выражаться уравнением F.29), а полуось вдоль оси у
определится как
Ь = ^'. F.31)
Эллипсу с уравнением F.30) соответствует эллипсоидная
отражающая поверхность. С учетом значений а и Ь, определяемых
уравнениями F.29) и F.31), расстояние между любым из фокусов
эллипса и началом координат О' определяется как
s-s1
С = '
F.32)
а расстояния от вершины О эллипса до его фокусов Fj и F2, как
следует из рис. 6.16, будут соответственно равны
OFj=a-c=s' и OF2=a+c=s.
Таким образом, если осевая точка предмета совпадает с одним
из фокусов отражающей эллипсоидной поверхности, то ее
изображение будет совпадать с другим фокусом.
На рис. 6.\6а и 6.166 показаны соответственно выпуклая и
вогнутая отражающие эллипсоидные поверхности с полуосями а и /?,
фокусами Fj и F2, расположенными на расстоянии 2с друг от друга;
луч, направляющийся через фокус Т7?, после отражения от
эллипсоидной поверхности в точке В проходит через фокус Fh
Гомоцентрический пучок лучей с вершиной в одном фокусе после
отражения от поверхности эллипсоида остается гомоцентрическим с
вершиной в другом фокусе.
б)
Рис. 6.16. Выпуклая и вогнутая отражающие эллипсоидные
поверхности
154
Если s и s' разного знака, то уравнение F.30) представляет
гиперболу, которой соответствует выпуклая или вогнутая
гиперболоидная отражающая поверхность. Величины полуосей а и Ь,
а также расстояние с между началом координат О и любым из
фокусов гиперболы определяются теми же формулами F.29), F.31) и
F.32), что и для эллипса. Очевидно, и в этом случае предмет и
изображение есть пара сопряженных фокусов гиперболоидной
отражающей поверхности.
Рис. 6.17. Выпуклая и вогнутая отражающие гиперболоидные
поверхности
На рис. 6Л7а и 6.176 показаны соответственно выпуклая и
вогнутая отражающие гиперболоидные поверхности с ходом луча,
идущего через один из фокусов и направляющего после отражения
через другой фокус поверхности.
Таким образом, гомоцентричность пучка лучей после отражения
от гиперболоидной отражающей поверхности сохраняется, если
центром падающего на отражающую поверхность гомоцентрического
пучка является один из фокусов гиперболоида.
6.7. Преломление элементарных пучков лучей
на сферических и плоских поверхностях
Выше было введено понятие о параксиальных пучках лучей,
осью которых являлась оптическая ось, т.е. луч, идущий вдоль
оптической оси. Так как лучи этих пучков относительно оси
образуют бесконечно малые углы и высоты на оптических
поверхностях, то параксиальные пучки лучей относятся к числу
элементарных.
155
Вх зр
Рис. 6.18. Преломление элементарного меридионального пучка
лучей на оптической поверхности
Предположим, что осью некоторого элементарного пучка лучей
является произвольный луч, проходящий через оптическую систему,
но не совпадающий с оптической осью. Совокупность лучей,
образующих относительно этой новой оси бесконечно малые углы и
высоты на оптических поверхностях и лежащих в меридиональной
или сагиттальной плоскостях, называется соответственно
элементарным меридиональным или сагиттальным пучком. Обычно
осью таких пучков является главный луч. Рассмотрим преломление
этих пучков на сферических и плоских поверхностях.
На рис. 6.18 показана сферическая поверхность с радиусом
кривизны г, разделяющая среды с показателями преломления «и«';
на расстоянии s'o от вершины О этой поверхности расположена
плоскость Гаусса, проходящая через точку Af0, являющуюся
параксиальным изображением осевой точки А предмета АВ. Главный
луч, выходящий из точки В предмета АВ под углом со к оптической
оси, преломляется в точке М/ поверхности, образуя угол падения ?,
угол преломления s\ угол со' с оптической осью и встречаясь с
плоскостью Гаусса в точке В'. Угол между нормалью СМ] к
поверхности в точке Mj и оптической ось равен ср.
Возьмем луч ВМ2, лежащий в меридиональной плоскости и
составляющий с лучом ВМ/ бесконечно малый угол dco. После
преломления на сферической поверхности луч ВМ2 пересекается с
лучом М/В'в точке В'т. Очевидно, все выходящие из точки В лучи
элементарного меридионального пучка с осью ВМ] после
156
преломления на сферической поверхности соберутся в точке В'т. Эту
точку называют фокусом элементарного меридионального пучка
лучей после преломления на оптической поверхности. Аналогично
точку В можно назвать фокусом элементарного меридионального
пучка лучей до преломления на оптической поверхности.
Расстояние от точки В'т до плоскости Гаусса обозначим через
z'm. Обозначим далее через tm и t'm расстояния ВМ/ и В'тМ\
соответственно; через dcp - угол между нормалями СМ] и СМ2.
Построим дугу M/N/ с центром в точке В и дугу M2N2 в центром в
точке В'т\ ввиду малости эти дуги можно принять за элементарные
отрезки прямых. Из рис. 6.18 следует, что
MjNj =tmdco=rd(p cos?,
M2N2=t 'md(o'=rd(p cos^'
Кроме того,
cp=co-?=co'-s',
т.е. dcp =dco- d?=dco'-ds'.
С помощью этих значений dcp находим
tm da>=rcos?(da>- ds) =rdсо coss- rds coss,
откуда
rds coss=rdсо coss- tmdco=(rcos?- tm)dco,
(rcoss- tjdco=rcossds.
Аналогично
(r coss-t'm)dco'=r coss'ds'.
Из последних двух уравнений следует, что
, , , rcoss'ds' rcossds
dco -dco =
rcos^W,,, rcos^-^;,
Так как dco/-dco=ds/-ds, то с учетом этого равенства получаем
t\n rCOS?-tm
По закону преломления
п sin^=n/sin^'
Продифференцировав эту формулу, получим
п toss'd?'=n cossds.
157
Разделив это уравнение на предыдущее, после преобразования
получим
(COS 8' 1\ /COS 8 1\
n'cos 8f —¦ = п cos 8[ . F.33)
Это уравнение называется инвариантом Гульстранда-Юнга для
элементарного меридионального пучка лучей. Из этого инварианта
далее можно получить
n'cos2s' я cos2 ? n'coss'-ncoss
F.34)
Уравнения F.33) и F.34) выражают связь между величинами t,n
и t'm, определяющими положение фокусов элементарного
меридионального пучка лучей до преломления и после преломления
на оптической поверхности.
Если ось пучка направлена по нормали к поверхности, то
cos?'=cos?=/, tm=s, t'm=s' и инвариант Гульстранда-Юнга
превращается в нулевой инвариант Аббе. Таким образом, нулевой
инвариант Аббе является частным случаем более общего инварианта
Гульстранда-Юнга. Уравнение F.34) при этом превращается в
уравнение параксиального луча.
Рис. 6.19. Преломление элементарного сагиттального пучка лучей
на оптической поверхности
Обратимся теперь к элементарному сагиттальному пучку лучей.
На рис. 6.19 для той же преломляющей поверхности и того же
главного луча, что и на рис. 6.18, показан элементарный
сагиттальный пучок лучей, выходящих из точки В предмета ЛВ в
158
пределах плоского угла dQ и пересекающих сферическую
поверхность по некоторой элементарной дуге MjM2. После
преломления на поверхности лучи пучка соберутся на главном луче
на расстоянии z\ от плоскости Гаусса в некоторой точке B's,
называемой фокусом элементарного сагиттального пучка.
Расстояния М/В и MjB\ обозначим через ts и t\ соответственно.
Опустим перпендикуляры BN/ и B'SN2 на прямую, совпадающую с
нормалью М/С к поверхности. Так как прямоугольные треугольники
BCN, wB'sCN2 подобны, то
В\ N2 N2C
Из рисунка следует, что:
BNj=tssins B'sN2=-t'ssm?',
N,C=N/M,+M/C=-t<cos?+r,
N2C=M,N2-M,C=t; cos^-r.
Поэтому предыдущее соотношение можно написать в виде
ts sin s -
Отсюда после преобразования с учетом формулы закона преломления
получаем
ГС П tl'C0S?'-nC0S?
— -- ; • F35)
Это уравнение выражает связь между расстояниями ts и t's,
определяющими положение фокусов элементарного сагиттального
пучка лучей до преломления и после преломления на оптической
поверхности. Очевидно, при cos?'=cos? =1 это уравнение также
превращается в уравнение параксиального луча.
159
ГЛАВА 7. ЭНЕРГЕТИКА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
7.1. Понятие о световом потоке и потоке излучения
Электромагнитные колебания представляют собой широкий
спектр длин волн, из которого в некоторой степени условными
границами Л=0,01 нм и Л=106 нм выделяют оптический диапазон
электромагнитных колебаний. В табл. 7.1 показаны положение и
структура оптического диапазона в составе общего спектра
электромагнитных колебаний.
Таблица 7.1
Диапазон
Менее
0,01...
0,50..
380...
770..
более
длин волн
0,01 нм
0,50 нм
380 нм
770 нм
106нм
106нм
Наименование области излучения
Гамма-излучение
Рентгеновское излучение
Ультрафиолетовое излучение
Видимое излучение
Инфракрасное излучение
Радиоволны
<ое
[чес!
н
О
<D
S
/чен
изл^
В оптическом диапазоне видимый человеческим глазом участок
электромагнитных колебаний занимает лишь небольшой интервал от
380 до 770 нм. В технике под словом «свет» понимают то излучение,
которое вызывает в глазу зрительное ощущение (иногда в
зависимости от приемника излучения под этим словом
подразумевают и невидимые излучения).
Основным понятием, характеризующим оптическое излучение
независимо от его спектрального состава, является поток излучения,
определяемый как отношение энергии, переносимой излучением, ко
времени переноса, значительно превышающему период колебания.
Поток излучения принято обозначать буквой Фе (или Р\ а измерять в
ваттах (Вт). Поток излучения, соответствующий видимому участку
спектра, называют световым потоком, который обозначают буквой
Фу, а измеряют в люменах (лм).
160
7.2. Энергетические и световые величины
и единицы их измерения
Для характеристики потока излучения и светового потока
используются различные энергетические и световые величины. При
этом энергетические величины характеризуют поток во всем спектре
его излучения, а световые величины характеризуют световой поток в
видимом диапазоне спектра излучения. К энергетическим величинам
относятся сила излучения, энергетическая освещенность
(облученность), энергетическая светимость (излучательность) и
энергетическая яркость, а к световым величинам - сила света,
освещенность, светимость и яркость.
Сила излучения определяет отношение потока излучения,
распространяющегося от источника в рассматриваемом направлении
внутри малого телесного угла, к этому телесному углу, измеряемому
в стерадианах (ср).
Пусть на рис. 7.1 элементарный поток излучения с1Фе
распространяется от точечного источника О в пределах
элементарного телесного угла dD.
Рис. 7.1. К определению силы излучения 1е
В соответствии с определением сила этого излучения 1е
вычисляется как
'-2-
В случае равномерного распределения потока излучения Фе по
телесному углу /2сила излучения определяется как
Так как размеры источника излучения по сравнению с
расстоянием от источника до облучаемых предметов обычно малы, то
можно сказать, что сила излучения характеризует угловую плотность
потока.
Единицей измерения силы излучения является 1 Вт/ср.
Сила света определяет отношение светового потока,
распространяющегося от источника в рассматриваемом направлении
161
внутри малого телесного угла, к этому телесному углу.
В соответствии с этим определением сила света Iv вычисляется по
формуле
Для равномерного светового потока
/,=f. G-4)
Единицей измерения силы света является 1 лм/ср. Эта единица
имеет специальное название - канделла (кд). Канделла является
основной единицей для установления единиц измерения других
световых величин и одной из семи единиц Международной системы
СИ. Она имеет эталон, устроенный сложным образом на основе
использования свечения абсолютно черного тела (почти замкнутого
сосуда с малым отверстием и непрозрачными стенками, имеющими
одинаковую температуру во всех точках).
В 1979 г. на 16-й Генеральной конференции по мерам и весам
принята следующая формулировка: «Канделла есть сила света в
заданном направлении источника, испускающего монохроматическое
излучение частоты 540-1012 Гц (Я=555 нм), энергетическая сила света
которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср».
Выше было сказано, что единицей измерения светового потока
является люмен (лм). Поэтому, исходя из понятия канделлы, можно
сказать, что световой поток в 1 люмен - это такой поток, который
распространяется в пределах телесного угла в 1 ср, если сила света
точечного источника, помещенного в его вершине, равна 1 кд.
Практически 1 кд - сила света в направлении нормали к
отверстию абсолютно черного тела, имеющего температуру
затвердевания платины и площадь 1/60 см .
В табл. 7.2 приведены средние численные значения силы света
ряда источников.
Энергетическая освещенность (облученность) определяет
отношение потока излучения, падающего на рассматриваемый малый
участок поверхности, к площади этого участка. Количественно
энергетическая освещенность Ее выражается формулой
где с1Фе - поток излучения, падающий на площадку ds.
162
Если площадка s облучается равномерным потоком Фе, то
Е =
G.6)
Таблица 7.2
Наименование источника света
Солнце
Военный прожектор
Морской маяк
Осветительная бомба
Электрическая дуга
Фара автомобиля «Волга»
- дальний свет
- ближний свет
Лампа накаливания мощностью 100 Вт
Фара велосипеда
Керосиновая лампа
Лампочка карманного фонарика
Свеча (стеариновая), пламя спички
Светлячок
1у(кд)
3-Ю27
8-108-1,2-109
105-107
5-105-106
103-105
12-103
5-Ю3
103
60
1-10
0,5-3
0,5-2
0,01-0,001
Энергетическая освещенность характеризует поверхностную
плотность потока излучения по отношению к облучаемой
поверхности. Единицей измерения энергетической освещенности
служит 1Вт/м2.
Освещенность определяет отношение светового потока,
падающего на рассматриваемый малый участок поверхности, к
площади этого участка. В соответствии с этим определением
освещенность Ev вычисляется по формуле
G.7)
' ds
При равномерном световом потоке
G.8)
где s - площадь, освещаемая световым потоком Фу.
Единицей измерения освещенности является 1 лм/м2. Эта
единица имеет название люкс (лк).
Заметим, что формулу G.7) можно представить в другом виде.
163
Действительно, из формулы G.3) следует что
Ho dD. = ds/r2, где г - расстояние от источника света до освещаемой
площадки ds, нормаль к которой совпадает с осью телесного угла df2.
Поэтому
ds
d<X>v = Iv —.
rz
С учетом этого выражения формула G.7) приобретает вид
Ev=k;. G.9)
что единицей измерения
Из последней формулы следует,
освещенности может служить 1 кд/м .
Следовательно, за единицу освещенности может быть принята
такая освещенность, которую создает источник силой в 1 кд,
освещающий по нормали поверхность, отстоящую от него на
расстоянии 1 м. В табл. 7.3 приведены примерные значения
освещенности в некоторых случаях освещения.
Таблица 7.3
Виды освещения
Под прямыми лучами солнца
На открытом месте днем без солнца
В помещении вблизи окна в пасмурный день
Освещенность, необходимая для тонких работ
На экране кинотеатра
Освещенность, необходимая для чтения
В полночь ленинградской белой ночи
Ночью от полной луны на земле
В безлунную ночь
Ev (л к)
10ь
103
102
102
50-100
30
1
0,25
0,0005
Прожектор силой в 1-2 млрд.кд создает ночью на расстоянии
5 км освещенность примерно 15-20 лк.
Энергетическая светимость (излучательность) определяет
отношение потока излучения, исходящего от рассматриваемого
малого участка поверхности, к площади этого участка.
Количественно она вычисляется по формуле
ме =
ds '
G.10)
164
где dOe - поток, излучаемый площадкой ds по всем направлениям.
Если площадка s равномерно излучает поток, то
Ме=—. G.11)
Единицей измерения энергетической светимости (излучательности)
является 1 Вт/м2.
Светимость определяется как отношение светового потока,
исходящего от рассматриваемого малого участка поверхности, к
площади этого участка, и вычисляется по формуле
Mv=——, G.12)
as
где dФv- полный световой поток, излучаемый площадкой ds по всем
направлениям.
Если поверхность s излучает световой поток Фу по всем
направлениям равномерно, то
Фи
Mv=—. G.13)
Единицей измерения светимости является 1 лм/м2.
Энергетическая яркость определяет силу излучения с единицы
проекции излучающей поверхности на плоскость, нормальную к
направлению распространения потока излучения.
Рис. 7.2. К определению энергетической яркости Le
Пусть на рис. 7.2 исходящий из точки О в пределах
элементарного телесного угла df2 поток излучения пронизывает
некоторую элементарную площадку ds; сила излучения в
направлении оси телесного угла dQ равна dle.
Очевидно, площадку ds можно условно принять за излучающую.
Тогда в соответствии с определением энергетическая яркость Le
излучения в направлении оси телесного угла выразится
соотношением
6 ds cosa '
165
где а - угол между осью телесного угла dQ и нормалью к площади
ds. С учетом выражения G.1) далее получаем
le = A d> . G.15)
аи as cosa
В связи с этим энергетическую яркость можно определить как
отношение потока излучения, проходящего в рассматриваемом
направлении в пределах малого телесного угла dQ через участок
поверхности ds, к произведению этого телесного угла, площади
участка и косинуса угла между рассматриваемым направлением и
нормалью к участку ds.
С учетом выражения G.5) последняя формула может быть
написана в виде
Отсюда следует, что в случае облучения поверхности
энергетическая яркость облучающего элементарного пучка может
быть определена как отношение энергетической освещенности dEe,
которую пучок создает на перпендикулярном к нему элементе dscosa
поверхности, к телесному углу dQ, заполненному этим пучком.
Единицей измерения энергетической ярости является 1 Вт/ср м .
Яркость определяет силу света с единицы проекции
излучающей поверхности на плоскость, нормальную к направлению
распространения света.
Предположим, что на рис. 7.2 из точки О в пределах телесного
угла dQ исходит не поток излучения, а световой поток. Тогда в
соответствии с определением яркость света
^ GЛ7)
Используя выражение G.3) для Iv, далее можно написать
^ G.18)
v
В соответствии с последней формулой яркость света можно
определить как отношение светового потока, проходящего в
рассматриваемом направлении в пределах малого телесного угла dQ
через участок поверхности ds, к произведению этого телесного угла,
площади участка и косинуса угла между рассматриваемым
направлением и нормалью к участку ds.
166
Используя выражение G.7) для Еу, формулу G.18) можно
написать в виде
dEv
Lv =
G.19)
by —
du cos a
Отсюда следует, что в случае освещения поверхности яркость
освещающего элементарного пучка света может быть определена как
отношение освещенности dEv, которую пучок создает на
перпендикулярном к нему элементе dscosa поверхности, к телесному
углу df2, заполненному этим пучком.
Таблица 7.4
Наименование источника света
Поверхность солнца, рассматриваемая через земную
атмосферу
Кратер электрической угольной дуги
Вольфрамовая нить газонаполненной лампы
Белая поверхность под прямыми лучами солнца
Поверхность луны через земную атмосферу
Телевизионный экран
Киноэкран
Белая поверхность при освещении в 30 лк
1,47-109
1,5-108
4,5-Ю6
3-Ю4
0,25104
60-100
30
10
Единицей измерения яркости света является 1 кд/м .
В табл. 7.4 в качестве примера приведены величины яркости
некоторых источников света.
Из всех световых величин яркость наиболее непосредственно
связана со зрительным ощущением, т.к. освещенность изображений
предметов на сетчатке глаза пропорциональна яркостям этих
предметов.
7.3. Оптические свойства тел
Если оптическое излучение распространяется в вакууме, то оно
не претерпевает никаких изменений. Если же это излучение встречает
на своем пути какую-либо вещественную среду (тело), то излучение
взаимодействует со средой, в результате чего оно претерпевает
определенные изменения: частично отражается от поверхностей,
разграничивающих среды, частично рассеивается и поглощается в
толще среды и частично проходит через толщу среды.
167
Физические особенности тел, обуславливающие те или иные
изменения отраженного, рассеянного, поглощенного и пропущенного
излучений по сравнению с падающим на тело излучением,
определяют их оптические свойства.
7.3.1. Коэффициенты отражения, поглощения
и пропускания
Для определенности будем считать, что освещенное тело (среда,
вещество) представляет собой плоский слой, толщина которого,
кроме особо оговоренных случаев, мала по сравнению с линейными
размерами его освещаемой поверхности.
Сю и
вещества
Рис. 7.3. Схема разделения светового потока, падающего на слой
вещества
Пусть на рис. 7.3 на слой некоторого вещества под любым углом
падает световой поток Фу. Освещаемая поверхность слоя разделит
падающий на нее поток на три части: отраженный поток ФУр,
поглощенный поток Фуа, который превратится в слое вещества в
тепло или другую форму энергии, и прошедший через слой поток
ФУТ.
По закону сохранения энергии
Фу=Фур+Фуа+Фут
Фу Фу Фу
Отношение светового потока, отраженного от поверхности слоя,
к световому потоку, падающему на слой, называется коэффициентом
отражения и обозначается буквой р.
Отношение светового потока, поглощенного в слое, к световому
потоку, падающему на слой, называется коэффициентом поглощения
и обозначается буквой а.
168
Отношение светового потока, прошедшего через слой, к
световому потоку, падающему на слой, называется коэффициентом
пропускания и обозначается буквой г.
В соответствии с этим из последнего выражения получаем
р+а+т=1. G.20)
Если вещество окрашено, то указанные три коэффициента
зависят от спектрального состава падающего излучения. Для
монохроматического излучения с длиной волн Л+АЛ их обозначают
через р(Л), а(Л) и т(Л). Спектральную зависимость коэффициентов
р(Л), а(Л) и т(Л) от длины волны Л удобно изображать графически.
При рассмотрении различных задач, связанных с оптическими
свойствами веществ, часто говорится об отражении, преломлении и
рассеянии света, происходящих на поверхности вещества. Однако
следует иметь в виду, что каждая поверхность представляет собой
только геометрическую границу, разделяющую разные вещества
(например, воздух и стекло, воздух и металл, вода и песок). Любое
оптическое явление - отражение, преломление и рассеяние света -
определяется веществом, расположенным около границы раздела, т.е.
около поверхности тела. Во многих случаях толщина слоя вещества,
влияющего на наблюдаемое явление, оказывается малой и измеряется
единицами и даже долями длины волны падающего излучения.
Поэтому в слово «поверхность» надо вкладывать смысл, в
соответствии с которым речь идет о поверхностном слое вещества,
толщина которого в разных случаях разная.
7.3.2. Отражение света
Пространственное распределение силы света, отраженного от
границы раздела двух сред, определяется отношением размеров
неровностей поверхности (границы раздела) к длине волны
падающего светового потока. Различные виды отражения света
показаны на рис. 7.4.
Если неровности малы по сравнению с длиной волны, имеет
место правильное или зеркальное отражение света, которое дают
хорошо полированные поверхности.
Когда размеры неровностей соизмеримы с длиной волны или
превышают ее (шероховатые поверхности, матовые поверхности) и
расположение неровностей беспорядочно, имеет место диффузное
отражение.
169
Возможно также зеркально-диффузное (смешанное) отражение,
при котором часть падающего светового потока отражается
зеркально, а часть - диффузно.
Если же неровности приближенно равны длине волны либо
больше нее и расположены закономерно (регулярно), распределение
отраженного света имеет особый характер, близкий к наблюдаемому
при отражении света от дифракционной решетки.
Зеркальное Диффузное Зеркально-
отражение отражение диффузное
Рис 7.4. Виды отражения света
В фотометрии, светотехнике и других смежных дисциплинах
широко используется понятие об идеальном рассеивателе. Под
идеальным рассеивателем понимается поверхность такого
воображаемого тела, которое отражает весь падающий на него
световой поток и рассеивает его так, что его яркость во всех
направлениях оказывается одинаковой. При этом считается, что
идеальный рассеиватель обладает этими свойствами независимо от
угла, под которым на него падает излучение.
Для количественной оценки диффузного или зеркально-
диффузного отражения пользуются понятием коэффициента
яркости, определяемого как отношение яркости освещаемой
поверхности к яркости идеального рассеивателя, находящегося в тех
же условиях освещения.
Коэффициент яркости вычисляется по формуле
д=77' G-21)
где LVa- яркость поверхности в данном направлении (под углом а с
нормалью к поверхности), LVo - яркость идеального рассеивателя в
условиях той же освещенности.
Аналогично определяется и коэффициент энергетической
яркости Д, как отношение энергетической яркости облученной
поверхности к энергетической яркости идеального рассеивателя,
находящегося в тех же условиях облучения.
170
Общий коэффициент отражения р складывается из
коэффициентов направленного и диффузного отражений.
Величина коэффициента отражения р всегда меньше единицы, а
коэффициент яркости ру может быть больше единицы.
На рис. 7.5 окружность 1 изображает распределение силы света,
отраженного от идеальной рассеивающей поверхности, а кривая 2 -
распределение силы света в случае зеркально-диффузного отражения
от некоторой поверхности. Так как в соответствии с формулой G.17)
яркость пропорциональна силе света, коэффициенты яркости для
направлений OD и ОС равны соответственно
0D ОА
Ъ1Р1
Коэффициенты яркости зависят от углов падения, поэтому они
определяются для случая нормального падения света.
О
Рис. 7.5. К оценке величины коэффициента яркости
Для естественного света коэффициент отражения
преломляющих поверхностей вычисляется по формуле Френеля:
( }
где s и е' - соответственно углы падения и преломления
естественного луча для гладкой преломляющей поверхности.
Нетрудно показать, что при нормальном падении луча, когда
s -> О и ё -» 0, выражение G.22) приводится к виду
S—Sj
Но согласно закону преломления при малых значениях углов падения
и преломления а' = — а, поэтому
G.23)
где п и п' - показатели преломления соответственно первой и второй
сред по ходу луча.
171
7.3.3. Поглощение света
Поглощение света (оптического излучения) какой-либо средой
состоит в уменьшении светового потока за счет процессов его
взаимодействия со средой. Энергия светового потока при
поглощении переходит в различные формы внутренней энергии
среды. При этом энергия оптического излучения может быть
полностью или частично переизлучена средой на частотах, отличных
от частоты поглощенного излучения.
Для количественной характеристики поглощения среды
используют показатель поглощения, обозначаемый буквой а и
определяемый как величина, обратная расстоянию, на котором
световой поток, образующий пучок параллельных лучей, ослабляется
в 10 раз в результате поглощения.
С той же целью используется и натуральный показатель
поглощения, обозначаемый буквой а' и определяемый как величина,
обратная расстоянию, на котором световой поток, образующий пучок
параллельных лучей, ослабляется в е раз (основание натурального
логарифма) в результате поглощения в веществе.
7.3.4. Рассеяние света
Рассеяние света (оптического излучения) в веществе происходит
благодаря наличию в нем тех или иных оптических неоднородностей.
Оно может быть слабым (например, в чистом воздухе) или очень
сильным (в обыкновенном молоке). Не существует такого вещества,
которое совсем не рассеивало бы проходящий через него свет.
Для количественной оценки света (излучения), рассеянного
веществом, применяется показатель рассеяния, обозначаемый буквой
г и определяемый как величина, обратная расстоянию, на котором
световой поток, образующий пучок параллельных лучей, ослабляется
в 10 раз в результате рассеяния в веществе.
Для тех же целей применяют и натуральный показатель
рассеяния, обозначаемый буквой г' и определяемый как величина,
обратная расстоянию, на котором световой поток, образующий пучок
параллельных лучей, ослабляется в е раз (основание натурального
логарифма) в результате рассеяния в веществе.
Для количественной оценки совместного действия поглощения
и рассеяния используется показатель ослабления, обозначаемый
буквой /л и определяемый как величина, обратная расстоянию, на
котором световой поток (оптическое излучение), образующий пучок
172
параллельных лучей, ослабляется в 10 раз в результате действия
поглощения и рассеяния.
С той же целью применяется и натуральный показатель
ослабления, обозначаемый буквой //'и определяемый как величина,
обратная расстоянию, на котором световой поток (оптическое
излучение), образующий пучок параллельных лучей, ослабляется в е
раз (основание натурального логарифма) в результате совместного
действия поглощения и рассеяния.
7.3.5. Пропускание света
Численное значение коэффициента пропускания света телом
зависит как от его размера, формы и состояния поверхностей, так и от
угла падения, спектрального состава и поляризации. Различают
несколько видов пропускания.
Направленное пропускание, при котором среда не рассеивает
свет (оптическое излучение), а точнее рассеяние пренебрежимо мало.
Диффузное пропускание, при котором вещество рассеивает весь
проникший в него свет. Особый вид пропускания представляет собой
равномерно-диффузное пропускание, при котором пространственное
распределение рассеянного света таково, что его яркость одинакова
по всем направлениям.
Смешанное пропускание, при котором имеет место частично
направленное и частично диффузное пропускание.
Иногда для количественной оценки пропускаемого света вместо
коэффициента пропускания г используют понятие об оптической
плотности вещества, определяемой как десятичный логарифм
обратной величины коэффициента пропускания и обозначаемой
буквой D, т.е.
D = lg^. G.24)
Пусть оптическое излучение проходит через р сред. Тогда,
очевидно, коэффициент пропускания г совокупности всех сред
определяется как
t = TiT2...t,...tp, G.25)
где 7/ - коэффициент пропускания i-Pi среды.
173
Логарифмируя последнее выражение, получаем
lg-= lg — + lg — +...+lg-+...+lg — .
Отсюда в соответствии с формулой G.24) имеем
D=Dl+D2+...+Dl+...+DP, G.26)
где D - оптическая плотность совокупности всех сред, Д - оптическая
плотность /-й среды.
Таким образом применение понятия об оптической плотности
вместо коэффициента пропускания приводит к упрощению
вычислений, т.к. в этом случае применяется простой закон
аддитивности.
Однако надо иметь в виду, что формулы G.25) и G.26)
справедливы лишь в том случае, когда среды имеют какой угодно
селективный характер пропускания, но падающий световой поток
(оптическое излучение) является монохроматическим, или когда
падающий световой поток имеет любой спектральный состав, но
среды неселективны.
В общем же случае сложного потока излучения и селективных
сред указанные формулы применять нельзя.
7.3.6. Прозрачность среды
Прозрачность среды определяется как отношение потока
излучения (для видимого света - светового потока), прошедшего в
среде без изменения направления путь, равный 1, к потоку,
вошедшему в эту среду в виде пучка параллельных лучей.
Таким образом, высокой прозрачностью обладают среды со
значительным и в основном направленным пропусканием
оптического излучения. В общем случае прозрачность есть функция
длины волны излучения; применительно к монохроматическому
свету говорят о монохроматической прозрачности.
Чем меньше поглощение и рассеяние в среде (влияние
поверхностей, ограничивающих тело, не учитывается), тем большей
прозрачностью эта среда обладает. Вообще прозрачность отличают от
пропускания, т.к. среда может быть непрозрачна, но в то же время
может пропускать рассеянный свет (например, тонкий лист бумаги).
Соответственно пропускание связано только с коэффициентом
направленного (но не диффузного) пропускания.
174
Прозрачность слоя оптического кварца толщиной в 1 см
составляет около 0,999; оптического стекла - примерно около 0,990-
0,995.
7.4. Закон освещенности от точечного источника света
Пусть световой поток c№v, исходящий от точечного источника в
пределах элементарного телесного угла df2, освещает площадку ds,
находящуюся на расстоянии г от источника; угол между осью
телесного угла dQw нормалью к площадке ds равен а.
В соответствии с формулой G.3) имеем
„ ._ ds cos a ._ Ivds cos a
Так как dD. = ^—, то dOv = ——^
Подставляя это значение dOv в формулу G.7), получим
Ev = -т cos a
G.27)
Эта формула выражает один из фундаментальных законов
фотометрии, утверждающий, что освещенность поверхности,
создаваемая точечным источником, прямо пропорциональна силе
света источника, косинусу угла падения лучей на освещаемую
поверхность и обратно пропорциональна квадрату расстояния от
источника до поверхности.
Впервые положение о том, что освещенность меняется обратно
пропорционально квадрату расстояния от точечного источника,
сформулировал в 1604 г. И. Кеплер.
Рассматриваемый закон позволяет применить очень простой
способ сравнения силы света двух источников.
Рис. 7.6. К сравнению силы света двух точечных источников
Пусть на рис. 7.6 точечный источник 1, имеющий силу света //
по направлению нормали к экрану Э, создает на левой стороне экрана
освещенность Е\\ аналогично точечный источник 2, имеющий силу
175
света 12 по нормали к тому же экрану, создает на его правой
стороне освещенность Е2.
Тогда в соответствии с формулой G.27) имеем
_ 1г _ /2
Е1 = -2 и Е2 = -2 ,
где г\ и г2- расстояния от источников 7 и 2 до экрана соответственно.
Изменением расстояния Г/ или г2 можно добиться уравнивания
освещенностей с обеих сторон экрана. В этом случае из двух
последних выражений следует, что
G-28)
Таким образом, зная расстояния г} и г2 при известной силе света
одного, например эталонного, источника, по последней формуле
легко определяется сила света другого источника.
7.5. Закон Ламберта
Поверхности многих тел, с которыми нам часто приходится
иметь дело (бумага, побеленная стенка или потолок, кусок мела,
деревянная доска, песок, сахар) рассеивают падающий на них свет
так, что их яркости в любых направлениях оказываются близки друг
к другу.
В 1760 г. немецкий ученый Ламберт сформулировал закон,
утверждающий, что яркость светорассеивающей поверхности во всех
направлениях одинакова. В действительности лишь немногие
реальные тела рассеивают свет без значительных отступлений от
закона Ламберта. К ним относятся матовые поверхности гипса, окиси
магния, сернокислого бария и др.; из мутных сред - некоторые типы
облаков и молочных стекол; среди самосветящихся излучателей -
абсолютно черное тело, порошкообразные люминофоры.
Из закона Ламберта следует простая зависимость силы света,
излучаемого плоской рассеивающей площадкой в каком-либо
направлении, от угла между этим направлением и нормалью к
площадке. Действительно, в соответствии с формулой G.17) для
любого источника света
dIv=Lvdscosa.
Если во всех направлениях яркость Lv светящейся площадки ds
одинакова, то произведение Lyds является постоянной величиной, не
зависящей от направления излучения. Обозначив это произведение
176
через dlvo •> получим
dlv =dly cos a, G.29)
где dIVo=Lyds - сила света в направлении нормали к площадке ds (при
а=0). Если вся светящаяся поверхность s равноярка во всех
направлениях, то
Iv=IVocosa. G.30)
Из формул G.29) и G.30) следует, что сила света источника,
равнояркого во всех направлениях, изменяется по закону косинуса.
Это означает, что сила света плоской поверхности максимальна по
нормали к ней и, убывая с увеличением а, становится равной нулю в
касательных к поверхности направлениях.
Если закон Ламберта выполняется, то говорят о диффузном
излучении или диффузном отражении в соответствии с тем, имеют
ли дело с излучающей или отражающей поверхностью.
Изобразим численное значение силы света от площадки ds в
различных направлениях в виде радиусов-векторов, отложенных от
площадки; длина радиуса-вектора в выбранном масштабе будет
определять величину силы света, а его направление будет совпадать с
направлением силы света. Геометрическим местом концов радиусов-
векторов окажется некоторая замкнутая поверхность, которую
называют фотометрической поверхностью.
Рис. 7.7. Фотометрическая поверхность при излучении
по закону Ламберта
На рис. 7.7 показано сечение фотометрической поверхности
плоскостью, содержащей нормаль к площадке ds, излучающей по
закону Ламберта.
Очевидно, в соответствии с формулой G.30) сечением
фотометрической поверхности в этом случае будет окружность
диаметром IVq, а фотометрической поверхностью будет поверхность
шара того же диаметра.
177
Из закона Ламберта следует также простое соотношение между
светимостью и яркостью, которое будет дано ниже (см. п. 7.7).
7.6. Полный световой поток, излучаемый поверхностью
по закону Ламберта
Пусть светящаяся плоская поверхность
Ламберта, т.е. сила излучаемого этой
определяется формулой G.30).
ds
излучает по закону
поверхностью света
Рис. 7.8. К определению светового потока, излучаемого
поверхностью ds по закону Ламберта
На рис. 7.8 плоскому углу а соответствует телесный угол П в
виде конуса с вершиной в точке О площадки ds и образующими ОВ и
ОС, а плоскому углу a+da - телесный угол df2+f2 с вершиной в той
же точке О и образующими О А и OD\ изменению телесного угла Q на
величину dD (на рис. 7.8 заштриховано) соответствует изменение
плоского угла а на величину da; дуга ABCD принадлежит сфере с
радиусом г и центром в точке О; сила света в направлении нормали
к площадке ds равна IVo, а под углом а - Iv.
Площадь шарового сегмента с радиусом г и высотой Л
определяется как
S=2nrA.
Поэтому для телесного угла Q можно написать:
= 2;r(l-cosa),
откуда
dQ=2nsinada.
G.31)
178
Подставляя это значение dQn формулу G.3), получаем
с1Фу=2тг1у sina da.
Но в соответствии с формулой G.30) и понятием яркости
I у=I Vocos a=L yds cos a,
поэтому
d0v=7iLvds s'm2ada.
Полный световой поток, излучаемый площадкой ds, получим
после интегрирования последнего выражения по переменной а в
пределах от а=0 до а=я/2 , т.е.
1
Фу = nlyds I sin 2а da = nlvds,
о
т.к. произведение тгЬу ds - величина постоянная, а интеграл равен
единице.
Так как светящаяся поверхность s равноярка не только во всех
направлениях, но и для всех точек, можно написать
0y=7rLyS . G.33)
Последняя формула определяет весь световой поток, излучаемый
площадкой s в пределах телесного угла, соответствующего полусфере
(П=2тг).
7.7. Соотношение между светимостью и яркостью
В соответствии с формулой G.13) световой поток Фу,
равномерно излучаемый площадкой s по всем направлениям, связан
со светимостью М^этой площадки соотношением:
0y=MyS.
Сравнивая это выражение с формулой G.33), получаем
My=nLv. G.34)
Таким образом, яркость равномерно излучающей площадки
оказывается в п раз меньше ее светимости; если яркость выразить в
кд/м2, то светимость получится в лм/м2.
7.8. Соотношение между освещенностью и яркостью
Так как коэффициент отражения идеально рассеивающей
поверхности ру=1, то световой поток, падающий на эту поверхность,
равен потоку, отраженному от этой поверхности. Поэтому из формул
G.8), G.13) и G.34) следует, что
179
Ev=Mv=ttLv. G.35)
Таким образом, освещенность как и светимость идеального
рассеивателя в тграз больше его яркости.
В случае диффузно отражающей поверхности коэффициент
отражения pv<l и, следовательно,
Mv=pvEv.
Отсюда для равнояркой во всех направлениях поверхности в
соответствии с формулой G.34) получаем
Et/=-
Pv
где освещенность выражена в лк, а яркость - в кд/м .
G.36)
7.9. Световой поток, проходящий через оптическую
систему. Освещенность изображения
Пусть на рис. 7.9 ds' является изображением площадки ds,
образуемым некоторой оптической системой; диаметры входного и
выходного зрачков этой системы равны D и D' соответственно;
апертурному углу <уА в пространстве предметов соответствует
апертурный угол a'Ai в пространстве изображений; расстояние от
выходного зрачка до изображения ds' равно р\ расстояние от заднего
фокуса F'оптической системы до этого же изображения ds'равно z';
расстояние от заднего фокуса F' до выходного зрачка равно z'pf.
Будем считать, что излучение площадки ds удовлетворяет закону
Ламберта, т.е. что яркость Lv этой площадки во всех направлениях
одинакова.
Вх зр Вых зр
Рис. 7.9. К вычислению светового потока,
проходящего через оптическую систему
180
Световой поток Фу, исходящий из осевой точки А площадки ds и
поступающий в оптическую систему, распространяется в пределах
конуса с углом 2<ja при вершине в точке Awe основанием D;
аналогично, прошедший через оптическую систему световой поток
Ф V, распространяется в пределах конуса с углом 2a'Ai при вершине в
осевой точке А 'изображения ds'wc основанием D'.
Световой поток, поступающий в оптическую систему, может
быть вычислен с помощью формулы G.32), если интегрирование
произвести в пределах от а=0 до а=сгА . В этом случае будем иметь
Фу = nhyds I sinlada = nhvds \---cos2oA ) = nhvds sin2oA.
о
Таким образом,
<Py=7iLydssin2<jA. G.37)
Аналогично этой формуле для светового потока, выходящего из
оптической системы, можно написать
Ф'у = 7rL'yds's'm 2ov, G.38)
где L'v- яркость изображения ds'.
Разделив почленно последнее выражение на предыдущее,
получим
Ф'у _ _ Ly ds' sin2 o\
Фу Ly as sin a4
где Ту - коэффициент пропускания оптической системы. Из этого
соотношения следует, что
. sin оА ч
L'v =tLv\
Если ds' является совершенным изображением элементарной
площадки ds, то оптическая система должна удовлетворять условию
синусов Аббе, в соответствии с которым линейное увеличение
системы
п sin оА
п' si
A
Поэтому последнее выражение приводится к виду
L'v=Tu)Lv' G-39)
181
Подставив это значение L 'v в формулу G.38), получим
^Л Lvds' sin2 o'A,. G.40)
Эта формула и определяет величину светового потока, выходящего из
оптической системы.
Разделив последнее выражение на ds\ в соответствии с
формулой G.7) получим выражение
-) Lvsm2o',, G.41)
п) л
определяющее освещенность вблизи осевой точки плоскости
изображения. Эту формулу можно преобразовать следующим
образом.
В соответствии с рис. 7.9 с достаточной степенью точности
D' D' D' _ D рр
где pp - линейное увеличение в зрачках, /? - линейное увеличение
оптической системы.
Поэтому
Величину ( — ) называют геометрической светосилой оптической
(d\2 ,
системы, а величину т (— 1 - физической светосилой.
Если плоскость предмета расположена в бесконечности, то р=0
и формула G.42) приобретает вид
G.43)
* Vn/ V'/
Если же р=-1 и РР=1, то
G.44)
Из сравнения двух последних формул следует, что в случае
репродукционного объектива, изображающего предмет в
натуральную величину, освещенность изображения в 4 раза меньше,
чем в случае, когда предмет находится в бесконечности.
182
Рассмотрим теперь случай, когда плоскость изображения
расположена в бесконечности (практически на расстоянии, в
несколько раз превышающем диаметр выходного зрачка). Это может
иметь место, если источник света расположен вблизи переднего
фокуса оптической системы. Примером такого расположения
изображения источника света может служить прожектор, маяк и др.
На основании формул G.39), G.41) и рис. 7.9 в этом случае
можно написать
2 ( D \2 L'v nD'2 L'vSo
"
где So - площадь выходного зрачка.
Если рассматривать выходной зрачок как источник излучения,
то L 'ySo=Io есть сила светового потока в направлении оси оптической
системы. Тогда освещенность изображения
Полученное выражение называют формулой Манжена-Чиколева.
Таким образом, освещенность изображения в рассматриваемом
случае оказывается прямо пропорциональной силе света, выходящего
из выходного зрачка оптической системы, и обратно
пропорциональна квадрату расстояния до изображения.
Вычислять освещенность с помощью формулы Манжена-
Чиколева можно, если расстояние от выходного зрачка до
изображения не менее чем в пять раз больше диаметра выходного
зрачка. В этом случае ошибка в определении освещенности составит
около 4%, что при фотометрических измерениях считается
допустимым.
7.10. Убывание освещенности от центра
к краям изображения
Обозначим через Е'о освещенность в центре изображения, через
Е'@> - освещенность в точке плоскости изображения, соответствующей
углу поля со'в пространстве изображений. Пусть диаметр выходного
зрачка, являющегося источником света, будет малой величиной, а
площадь этого зрачка равна As'. Обозначим, как показано на рис.
7.10, через р' расстояние от выходного зрачка до плоскости
изображения, а через г' - расстояние от центра зрачка до некоторой
183
внеосевой точки плоскости изображения, освещенность в которой
равна Е'@\ Тогда в соответствии с формулой G.27) можно написать
где Ico>- сила света, выходящего из выходного зрачка под углом со'к
оптической оси.
Пусть сила света, выходящего из выходного зрачка, меняется по
закону Ламберта, т.е.
где 10 - сила света в направлении оптической оси.
Вых зр
Е'о
Рис. 7.10. К вопросу об убывании освещенности от центра к краю
изображения
Кроме того, из рис. 7.10 следует, что
г' =¦
cos &>'
Подставляя эти значения 1@'И г'в предыдущее выражение, получим
р
При со' = 0 из этого выражения следует, что
/7' - с" - /о
Следовательно,
E'co'=E'()cos4co'. G.46)
Таким образом, освещенность от центра к краю изображения
убывает пропорционально 4-й степени косинуса угла со\ образуемого
с оптической осью главным лучом, проходящим через центр
выходного зрачка и рассматриваемую точку плоскости изображения.
Однако формула G.46) справедлива лишь для случая, когда
выходной зрачок является идеальным изображением апертурной
диафрагмы. Это имеет место, в частности, когда апертурная
диафрагма расположена за оптической системой и, следовательно,
184
является одновременно и выходным зрачком. Кроме того, т.к. у
реальных оптических систем диаметры и площади выходных зрачков
не малые величины, то в действительности может иметь место
виньетирование наклонных пучков лучей. При наличии
виньетирования падение освещенности от центра к краю
изображения происходит быстрее, чем это следует из формулы G.46).
При известных конструктивных элементах оптической системы
можно хотя бы приближенно вычислить значение функции
виньетирования к@, определяемой по формуле F.4). Для центра поля
эта функция равна единице, а при возрастании угла ю' постепенно
уменьшается. В этом случае
Е'@=к@Е'о cos 4о)'. G.47)
Вообще, строго говоря, формулы G.46) и G.47) являются
приближенными и применимы для оптических систем с небольшими
относительными отверстиями.
Как уже указывалось в п. 5.3, при наличии аберрационного
виньетирования падение освещенности от центра к краям
изображения может быть значительно снижено по сравнению с тем,
что дает последняя формула.
7.11. Коэффициент пропускания оптической системы
При вычислении коэффициента пропускания оптической
системы, определяемого как отношение светового потока,
вышедшего из оптической системы, к световому потоку, входящему в
эту систему, учитываются потери света за счет отражения от
оптических поверхностей и за счет поглощения света в оптических
средах системы. Для учета названных потерь необходимо знать:
1) коэффициенты отражения всех оптических поверхностей.
Если известны показатели преломления сред оптической системы, то
коэффициенты отражения преломляющих оптических поверхностей
могут быть вычислены по формулам G.22) или G.23);
2) число преломляющих не склеенных оптических
поверхностей. Склеенные поверхности чаще всего не учитываются,
т.к. коэффициенты отражения таких поверхностей весьма
незначительны. Так, например, для поверхности склейки из стекол с
показателями преломления я=1,5 и я = 1,75 в соответствии с
формулой G.23) коэффициент отражения /?=0,006;
3) коэффициенты поглощения всех материалов, из которых
изготовлены детали оптической системы - линзы и призмы;
185
4) суммарную длину хода луча в оптических деталях (линзах,
призмах и плоскопараллельных пластинах).
Пусть оптическая система имеет р преломляющих оптических
поверхностей разделяющих р+\ сред; рк - коэффициент отражения
к-й по порядку поверхности; ат - коэффициент поглощения т-й по
порядку среды; Ф^ - световой поток, падающий на первую
поверхность оптической системы.
Если поглощение света в средах пока не учитывать, то после
преломления на первой поверхности вследствие отражения световой
поток уменьшится до величины
Ф1У =Фу-р/Фу =A-р/)Фу.
После преломления на второй поверхности световой поток
уменьшается до
Ф2У =Ф1У-р2Ф\у =A-Pi) A-р2)Фу-
После преломления на к-й по порядку поверхности световой поток
будет равен
Наконец, после преломления на всех р поверхностях из оптической
системы выйдет поток
к=Р
||1 - Рк) >
к=1
где П обозначает произведение; индекс р в обозначении Фг(р)
показывает, что в данном случае учитываются потери света только за
счет отражения от преломляющих оптических поверхностей. Из этого
выражения следует, что коэффициент пропускания оптической
системы при учете только потерь света из-за отражения от
преломляющих оптических поверхностей
v k=l
Рассмотрим теперь потери за счет поглощения света в
оптических средах. Пусть в некоторой среде световой поток проходит
путь длиной /, при этом в начале пути он равен Фу, а в конце - Ф'у.
186
Ф'у
0'v-d0'v
I
dl
Рис. 7.11. К поглощению света оптически однородной средой
Как показано на рис. 7.11, на пути / за счет поглощения света
оптически однородной средой световой поток уменьшается от Фу до
Ф'у, а на бесконечно малом отрезке dl - от Ф'у до Ф'у — с1Ф'у.
Изменение потока на с[Фгу пропорционально величинам Ф'у и dl, т.е.
с1Ф'у = -кФ'ус11,
где к - коэффициент пропорциональности; знак «минус» указывает
на то, что с ростом пути / световой поток уменьшается (здесь не
рассматривается возможный случай, когда к зависит от Ф).
Написанное выше дифференциальное уравнение можно
написать в виде
dlпФ'v = -kdl
Проинтегрировав это уравнение, получим
1пФ'у=-к1+с.
Так как в начале пути, когда 1=0, имеем Ф 'у= Фу, то
с=1пФу.
Следовательно,
1пФ'у=-к1+ 1пФу,
откуда получаем
ln—^- = -kl, -тг- = е~к1, Ф'у =-Фуе~к1.
Фу Фу
Обозначив величину ек через/?, далее имеем
Ф/у=р'фу.
Величина р называется коэффициентом прозрачности среды. Этот
коэффициент, очевидно, равен световому потоку после прохождения
пути 1=1, если в начале этого пути световой поток был равен
единице. Обычно за единицу пути принимается /=1 см.
Очевидно, величина р связана с коэффициентом поглощения а
вещества толщиной в 1 см соотношением
р=1-а.
187
На основании изложенного последнее выражение можно написать в
виде
Ф'у=A-аI Фу.
Если свет проходит т сред, то
Ф 'у =A-а)"A-аI2...A-аIтФу.
Следовательно, если не учитывать потери за счет отражения от
оптических поверхностей, после прохождения всех р+1 сред из
оптической системы выйдет световой поток:
т=р+1
771=1
где индекс а в обозначении ФГ(а) указывает на то, что в данном
случае учитываются потери света только за счет поглощения в средах
оптической системы.
Из последнего выражения следует, что коэффициент
пропускания оптической системы при учете только потерь света из-за
поглощения в средах определяется как
т=р+1
^о—*¦¦ G-5О)
V 771=1
Так как при прохождении через оптическую систему свет
испытывает отражение от оптических поверхностей и поглощение в
средах одновременно, то, очевидно, общий коэффициент
пропускания г оптической системы определяется как произведение
величин ФТ(р) и Фг(ф т.е.
к = р 771=р + 1
O.-ctm)lm. G-51)
к = 1 771=1
Если оптическая система содержит зеркала, то отраженный от
этих зеркал свет представляет собой полезную часть светового
потока, которую необходимо учитывать при вычислении
коэффициента пропускания. В результате получаем
к=р гп=р+1
П ^-
к = 1 771=1
где р3 - коэффициент отражения зеркал, N3 - число зеркал.
188
Для приближенных вычислений г можно, как было указано
выше, учитывать только те оптические поверхности, которые
граничат с воздухом (не склеены). Кроме того, для всех поверхностей
деталей, выполненных из кронов, можно принять д=0,05, а из
флинтов - 0,06; коэффициент поглощения для всех стекол можно в
среднем принять «„,=0,01. Тогда формула G.52) примет следующий
вид:
г = 0,95"" • 0.94"" • 0,99'- • />"•, G.53)
где Nkp и Ыф1 - число несклеенных поверхностей деталей,
выполненных из кронов и флинтов соответственно.
7.12. Просветление оптических поверхностей
Потери света вследствие отражения от оптических поверхностей
могут достигать весьма значительных величин. Если, например, для
всех несклеенных поверхностей коэффициент отражения положить
равным 0,05, то для системы из 10 таких поверхностей в соответствии
с формулой G.53) получаем гр=0,6. Следовательно, потери света
только за счет отражения в этом случае составляют около 40%.
Уменьшение коэффициента пропускания может существенно снизить
освещенность изображения. Кроме того, вследствие вторичных
отражений от поверхностей отраженный свет может достигать
плоскости изображения, что уменьшает контрастность изображения и
затрудняет рассмотрение деталей этого изображения.
Снижение освещенности и контрастности изображения
заставляет искать способ уменьшения коэффициента отражения
света. Способ этот случайно обнаружил в 1892 году один из
выдающихся английских оптиков Денни Тейлор. Он заметил, что
фотообъектив, у которого преломляющие поверхности из-за
атмосферных влияний со временем приобрели поверхностную
окраску, характерную для интерференционных тонких пленок,
пропускает больше света, чем такой же объектив со свежими
поверхностями. В последующих исследованиях Тейлор и другие
английские исследователи пытались искусственно создать подобные
пленки путем воздействия на поверхность стекла различными
химическими веществами и добивались таким образом уменьшения
коэффициента отражения. Практическое же применение описанного
явления началось только во второй половине 30-х годов XX века.
189
л, Х^
А
п2
п3
у
В стекло
Пленка
Рис 7.12. К теории просветления оптики
Процесс нанесения на оптические поверхности покрытий в виде
тонких пленок из особым образом подобранных химических веществ
с целью снижения коэффициента отражения называют
просветлением оптики. Рассмотрим физическую основу этого
процесса.
На рис. 7.12 просветляющая пленка толщиной d с показателем
преломления п2 нанесена на поверхность стекла с показателем
преломления п3. Некоторый луч 1, идущий в первой среде с
показателем преломления п/ и падающий на поверхность пленки под
углом ?/, частично отразится в точке А по направлению 2, а частично
после преломления в этой же точке под углом ?2 и отражения в точке
В выходит из пленки в точке С в первую среду по направлению 3,
параллельному направлению 2; CD - перпендикуляр к
направлению 2. Так как лучи 2 и 3 когерентны, то они
интерферируют, обладая оптической разностью хода
A=(AB+BC)n2-ADnj.
С помощью рис. 7.12 нетрудно получить
а -» f / 2 2 • ^
A = 2a^n2 — л, sin" ^, .
Очевидно, для определенного угла ?j надлежащим выбором
коэффициента преломления п2 и толщины пленки d можно добиться,
чтобы для определенной длины волны Я оптическая разность хода
оказалась равной нечетному числу к полуволн, т.е. чтобы
22-я,2 sin
=к-.
G.54)
Если световые потоки вдоль лучей 2 и 3 в этом случае кроме
того окажутся одинаковыми, то вследствие интерференции эти лучи
190
погасят друг друга и коэффициент отражения будет равен нулю.
Выведем условие, при котором достигается равенство этих потоков.
Пусть падающий вдоль луча 1 световой поток равен Фу\
коэффициент отражения на границе первой и второй сред равен ph a
на границе второй и третьей сред - р2. Тогда отраженный вдоль луча
2 световой поток будет равен р\Фу ; преломленный в точке А поток
равен A-р/) Фу, а отраженный в точке В - A-р1)р2Фу. Световой
поток вдоль луча 3 после преломления в точке С будет равен
(l-pi)~ р2фу. Очевидно, световые потоки вдоль лучей 2 и 3 окажутся
равными при условии, что
pi = (\ -plfp2 =р2~2р1р2 +Р12Р2 .
Так как коэффициенты р\ и р2 имеют малые численные значения, то
членами 2р/р2 и р \р2 можно пренебречь, что приводит к равенству:
Р1=Р2-
Используя это равенство для случая нормального падения лучей
(s/=0), согласно формуле G.23), получим
2
п7-п{_\ _ \ щ - п7
к2щ) \пъ+п2
Отсюда следует, что
п2 +я, пъ +п2
Если п2>П], то и п3>п2, т.е. показатель преломления материала пленки
должен быть меньше показателя преломления стекла. После
элементарных упрощений из предыдущего уравнения находим
п2=л[щгц. G.55)
Если первая среда воздух (яу=7), то
п2=л1^Ь- С7-56)
Если условие G.55) выполнено, то яркости обоих
интерферирующих лучей окажутся одинаковыми. Одновременно с
этим оптическая разность хода Л должна быть равна нечетному числу
полуволн. Из формулы G.54) для толщины пленки имеем
кЯ
d = A I 2 i . -> > G.57)
4^1 п2 -щ sin" ?,
где к=1,3,5,... При нормальном падении лучей в воздухе (п/ = 1, ?j=0)
191
d_kX кЛ
При п3=\..5 толщина пленки, при которой получается первый
минимум, равна приближенно !Л длины волны. Толщину слоев
выгодно иметь наименьшую, когда получаются интерференционные
минимумы первого и второго порядков для лучей с длиной волны
около 550...590 мкм. В белом свете такие слои имеют пурпурную
окраску.
Из формул G.55) и G.57) видно, что коэффициент отражения за
счет просветления поверхности можно уменьшить до нуля только для
одной определенной длины волны света и для определенного угла
падения. В сложных системах углы падения могут принимать самые
различные численные значения. Поэтому интегральный (общий)
коэффициент отражения в таких случаях не может быть равным
нулю, но он значительно меньше, чем у системы с непросветленными
поверхностями. Отражение от просветленных поверхностей имеет,
таким образом, селективный характер, что сказывается на
спектральном составе прошедшего через оптическую систему
светового потока.
Существуют два способа нанесения пленок на поверхность
стекла: физический и химический. При физическом способе на
просветляемую поверхность наносится слой другого вещества,
например фтористого магния испарением его в вакууме. При этом
коэффициент отражения в зависимости от показателя преломления
стекла может быть снижен от 1,6% при пз= 1,5... 1,55 до 0,6% при
яз>1,7. Просветляющая пленка при физическом способе получается
более прочной, чем при химическом.
При химическом способе на просветляемую поверхность
наносится раствор, например, из кремниевого эфира с последующей
обработкой при различных температурах, в результате чего
достигается снижение коэффициента отражения от 3,2...2,4% при
я5=1,5...1,55 до 1,3...0,5% при п3>\,7.
Для получения просветляющих пленок с повышенной
механической и химической прочностью применяют двухслойное и
трехслойное просветление. Так, например, двухслойное покрытие из
растворов титанового и кремниевого эфиров позволяет довести
коэффициент отражения до 0,5% для определенной длины волны
независимо от показателя преломления стекла.
192
Недостатком двухслойного просветления является сильная
избирательность отражения, т.к. для узкого интервала длин волн
коэффициент отражения может быть близок к нулю, а для других
длин волн он может быть даже больше, чем у непросветленной
поверхности.
Трехслойное покрытие наносится из растворов азотнокислого
тория, титанового и кремниевого эфиров. Коэффициент отражения
такого покрытия может быть практически постоянен во всей видимой
области спектра и достигать 0,5%.
Коэффициенты отражения зеркал с отражающим слоем из
серебра равен 0,88...92%, из алюминия - 85...88%, никеля и хрома
55... 60%.
Заметим, что на основании закона сохранения энергии
уменьшение потерь света за счет отражения от оптических
поверхностей увеличивает коэффициент пропускания оптической
системы, повышая тем самым ее физическую светосилу.
193
ГЛАВА 8. ВРЕДНЫЙ (РАССЕЯННЫЙ) СВЕТ
8.1. Понятие о вредном (рассеянном) свете
Через оптическую систему прибора может пройти свет, лучи
которого в построении изображения не участвуют. Если такой свет
достигает изображения предмета, то его контраст (различие между
освещенностью изображения и освещенностью окружающего поля)
снижается, что затрудняет восприятие изображения приемником
световой энергии. Таким образом, свет, который проходит через
оптическую систему прибора, но в построении изображения не
участвует, является вредным. Он возникает в результате рассеяния
света при отражении его от внутренних поверхностей корпуса
прибора и от поверхностей оптических деталей, бленд, диафрагм
и т.д. Рассеяние света возникает также в массе стекла, содержащем в
себе пузыри и инородные включения.
Полностью устранить вредный (рассеянный) свет в оптическом
приборе нельзя. Поэтому для уменьшения влияния этого света на
качество изображения принимают меры к его уменьшению с помощью:
1) рационального диафрагмирования пучков лучей;
2) обработки внутренних нерабочих поверхностей с
последующим чернением;
3) просветления и чистки поверхностей оптических деталей;
4) установки дополнительных насадок, называемых блендами.
При решении задач, связанных с ослаблением влияния вредного
света на качество изображения, используется ряд понятий,
определения которых приводятся ниже.
Область выходного зрачка. Если диаметр выходного зрачка
равен или больше 7 мм, то областью выходного зрачка является вся
площадь выходного зрачка. Когда диаметр выходного зрачка меньше
7 мм, то областью выходного зрачка условно считается круг,
имеющий диаметр 7 мм и расположенный в плоскости выходного
зрачка; центр этого круга лежит на оптической оси. В приборах с
материальной диафрагмой, помещаемой после окуляра, областью
выходного зрачка будет все свободное отверстие диафрагмы.
Областью входного зрачка называется область, сопряженная с
областью выходного зрачка.
Основным изображением прибора называется изображение,
образуемое лучами, предусмотренными при расчете оптической
системы.
194
Вредным (рассеянным) светом называется свет, проходящий
через выходное окно и область выходного зрачка, но не
участвующего в построении основного изображения.
Объектив
Полевая диафрагма
Окуляр
Рис. 8.1. Основной действительный (реальный) пучок лучей
Светом п-го порядка называется рассеянный свет, который при
прохождении через прибор имеет п отражений от нерабочих
поверхностей корпуса прибора и оптических деталей, а также от
полированных поверхностей линз и призм.
Основным действительным (реальным) пучком лучей прибора
называется совокупность реальных лучей, дающих изображение
предмета, заполняющего все поле оптической системы. На рис. 8.1
показан основной действительный (реальный) пучок лучей
(заштрихован). На этом рисунке CD обозначает входной зрачок
оптической системы, а АВ - область входного зрачка.
Условный пучком лучей прибора называется совокупность
условных лучей, заполняющих входное и выходное окна и области
входного и выходного зрачков.
На рис. 8.2 показан условный пучок лучей (заштрихован), где
через АВ и А Ъ' обозначены соответственно области входного и
выходного зрачков.
Телесным углом прямой засветки прибора называется телесный
угол в пространстве предметов, внутри которого лежат все лучи,
непосредственно проходящие во входное отверстие прибора.
195
Полевым телесным углом прибора называется телесный угол в
пространстве предметов, внутри которого лежат все лучи,
непосредственно проходящие во входной зрачок прибора и
заполняющие свободное отверстие полевой диафрагмы.
Полевая диафрагма
Рис. 8.2. Условный пучок лучей
8.2. Бленды
Если перед входным отверстием прибора нет никаких
материальных диафрагм, то телесный угол прямой засветки равен 2п.
В этом случае на поверхности оптических деталей и на внутренние
стенки корпуса прибора падает световой поток, лучи которого не
участвуют в построении изображения.
/
J.
/-2
L
\
В'
Рис. 8.3. Бленда, уменьшающая телесный угол прямой засветки
196
Чем больше этот световой поток, тем больше вредного
(рассеянного) света может попасть в поле оптической системы
прибора. Для уменьшения величины этого света перед входным
отверстием прибора устанавливают бленду, уменьшающую телесный
угол прямой засветки. Рассмотрим устройство бленды для случая,
когда центр входного зрачка совпадает с вершиной первой
поверхности оптической системы прибора.
На рис. 8.3 ВВВЪ' обозначает внутреннюю поверхность
корпуса бленды; АА' - входное отверстие бленды диаметром /)у;
СС - входной зрачок оптической системы прибора с центром в точке
Р и диаметром D, L - длина бленды, 2со\ - допустимый угол прямой
засветки (угол между лучами АС' и А'С ), DO=BB' - внутренний
диаметр корпуса бленды в плоскости входного зрачка, 2со - угловое
поле оптической системы прибора.
Из рисунка следует, что:
L = 1г + L2,
Dx = 2L1tgaI,
Di = D + ILtgcx),
D = 2L2tgaI .
Из этих соотношений получаем:
L = , (8.1)
tgo^tgo)
tgc^tg.
tgco.-tgco v
По этим формулам при известных величинах D, сои a>j находят
численные значения L и Dh Из формулы (8.2) следует, что D/>D, т.е.
входное отверстие бленды больше входного зрачка. Численное
значение Do задается исходя из конструктивно-технологических
соображений (например, исходя из необходимости получить бленду с
меньшей массой или исходя из необходимости упрощения процесса
ее изготовления). В частном случае внутренняя поверхность корпуса
бленды может быть цилиндрической.
Внутри бленды устанавливается ряд диафрагм, края отверстий
которых должны располагаться на конической поверхности АСА'С,
т.к. в этом случае эти диафрагмы еще не будут мешать прохождению
основного действительного пучка лучей, заполняющего все поле
197
оптической системы. Положение и диаметр отверстия каждой
диафрагмы можно определить графически следующим образом.
Проводим прямую линию через точки А' и В, пересечение
которой с лучом АС в точке М} определяет положение первой
диафрагмы с диаметром отверстия MjM'j и наружным диаметром
NiN'i. Далее проводим прямую линию через точки М\ и С' до
пересечения с линией DB в точке М и линию через точки А' и М,
пересекающую луч АС в точке М2. Эта точка определяет положение
второй диафрагмы, имеющей отверстие диаметром М2М'2 и
наружный диаметр N2N2. Построение последующих диафрагм
аналогично изложенному и ясно из рисунка.
в2
Рис. 8.4. Бленда в случае, когда входной зрачок расположен слева
от входного отверстия прибора
Более точно задачу по построению бленды можно решить, если
каждую из точек Mh M2, М3 ... находить путем решения двух
уравнений, определяющих положение прямых, на пересечении
которых находится соответствующая точка. Центром прямоугольной
системы координат при этом может быть взята точка О, являющаяся
центром входного отверстия бленды. При изложенном построении
диафрагм свет, идущий вдоль лучей, расположенных за пределами
угла 2оо, после первичного рассеивания на внутренней поверхности
корпуса бленды, не может пройти в оптическую систему.
Действительно, пусть, например, некоторый луч А М попадает на
198
внутреннюю поверхность корпуса бленды в точке М. Из всего пучка
лучей рассеянного в этой точке света первого порядка во входной
зрачок пройдет один-единственный луч - луч МС. Но т.к. этот луч
расположен за пределами углового поля прибора, то и он через
оптическую систему пройти не может.
Если входной зрачок расположен справа от входного отверстия
прибора, то вышеизложенные рассуждения остаются справедливыми,
но вместо входного зрачка надо иметь в виду его входное отверстие.
Рассмотрим случай, когда входной зрачок оптической системы
расположен слева от входного отверстия прибора.
На рис. 8.4 входной зрачок AjA2 диаметром D расположен на
некотором расстоянии L от входного отверстия Су С? прибора; DjD2 -
диаметр внутренней поверхности корпуса бленды в плоскости
входного зрачка, равный области входного зрачка Dp; BjB2 - диаметр
внутренней поверхности корпуса бленды в плоскости входного
отверстия прибора; со - половина углового поля оптической системы
прибора.
Проведем параллельно лучу А у Су прямую линию D2Kj,
пересечение которой с лучом А2С2 в точке М/ определяет положение
первой диафрагмы с отверстием диаметром Л/уЛ/'у и наружным
диаметром NjN'j. Проведем далее параллельно лучу А /С/ прямую
линию N/K2, пересечение которой с лучом А2С? в точке М2 определит
положение второй диафрагмы с отверстием диаметром М2М2 и
наружным диаметром N2N2. Поступая таким же образом и дальше,
графически найдем положение и диаметры отверстий всех диафрагм
бленда, умещающихся на длине L.
Пусть на один из участков внутренней поверхности бленды,
например на участок D2Nh в точку М падает луч RM, образующий с
оптической осью угол, больший половины углового поля со. В точке
М возникает рассеянный свет первого порядка. Все лучи пучка
рассеянного света, выходящие из точки Л/, идут вне углового поля, а
их продолжения пересекают плоскость входного зрачка за пределами
области входного зрачка (например, продолжение луча MR'
пересекает эту область в точке Е). Следовательно, рассеянный свет
первого порядка не окажется вредным. То же самое можно сказать и
об остальных участках внутренней поверхности корпуса бленда
(участки NjN2, N2N3 и т.д.). Изложенное, очевидно, не изменится, если
точка М не освещается лучом прямой засветки, а является
источником рассеянного света второго и более высокого порядка.
199
Таким образом, описанная конструкция бленды не пропускает в
оптическую систему лучи прямой засветки и лучи света, рассеянного
внутренней поверхностью корпуса бленды.
Предположим, что образующие ?>у#у и D2B2 внутренней
конической поверхности корпуса бленды параллельны лучам А/С/ и
А2С2 соответственно.
Примем центр О входного зрачка за начало прямоугольной
системы координат zOy, ось z которой направим слева направо вдоль
оптической оси, а ось у - снизу вверх. Тогда уравнение луча А2С2 и
уравнение прямой линии D2Kj можно соответственно написать как
y = ±D + ztgG>, (8.3)
y = ^D-ztgco. (8.4)
В точке Л/у оба уравнения будут иметь общее значение
координаты у. Поэтому, приравняв правые части этих уравнений,
найдем
DP-D
* = *i=-r (8.5)
Atgco
Это значение z определяет положение первой диафрагмы. Очевидно,
положение к-й по порядку диафрагмы (к= 1,2,3,...) определяется как
DP-D
za=-t • (8.6)
Atgco
Значению z=zk соответствует ордината у=у^ равная половине
диаметра Dk к-и диафрагмы, т.е.
Dk=D + 2zktgco. (8.7)
Очевидно, число TV диафрагм, которое необходимо установить в
бленде на длине L, определяется как
N = --\. (8.8)
z\
Пусть, например, /^=40, /)=36, L=50, ca=6°. Тогда в соответствии
с формулами (8.5) и (8.8) получаем z/=10 и 7V=4. Число диафрагм, как
следует из формул (8.5) и (8.8), можно уменьшить, если имеется
возможность увеличить внутренний диаметр корпуса бленды.
200
8.3. Устранение вредного (рассеянного) света
в телескопической системе
На рис. 8.5 показана простейшая телескопическая система,
содержащая объектив, окуляр и полевую диафрагму с отверстием
В,В2.
На этом рисунке AjA2 обозначает область входного зрачка, с
которой сопряжена область выходного зрачка A'jA'2 диаметром D'P\
В]С\ и В2С2 - продолжения условных лучей А2В} и А}В2
соответственно. Внутренняя поверхность корпуса прибора
обозначена линиями AjBjCj и А2В2С2.
А2
М
Рис. 8.5. Внутренние границы корпуса телескопической
системы, устраняющие рассеянный свет
Пусть в произвольную точку М участка А2В2 корпуса прибора
падает некоторый луч 7, составляющий с оптической осью системы
угол, больший половины угла поля со. В этой точке возникает
рассеянный свет первого порядка. Их всех лучей пучка рассеянного
света из точки М в пределах углового поля и круга диаметром D' f
проходит один-единственный луч - луч МВ2, проходящий за
окуляром через нижнюю точку А'2 области выходного зрачка.
Поэтому рассеянный свет первого порядка от любой точки М на
участке А2В2 внутренней поверхности корпуса телескопической
системы не является вредным.
Если же в точке М возникает рассеянный свет второго и более
высокого порядка, то он тоже не является вредным, т.к. в
пространстве изображений он пресекает плоскость выходного зрачка
за пределами круга диаметром D'r.
201
Возьмем теперь некоторую точку N на участке В2С2. Рассеянный
свет первого порядка в этой точке не может возникнуть, т.к. она не
освещается прямыми лучами. В этой точке может возникнуть
рассеянный свет второго и более высокого порядка. Из всего пучка
лучей рассеянного света из точки N в пределах углового поля и круга
диаметром D 'Р> проходит только один луч - луч NC2, пересекающий
плоскость области выходного зрачка в точке А\.
Следовательно, описанная конструкция внутренней поверхности
корпуса между объективом и окуляром телескопической системы не
может являться источником возникновения рассеянного света любого
порядка.
Идея такого способа устранения рассеянного света в
телескопической системе была предложена в 1953 году проф.
Д.Ю. Гальперном.
8.4. Устранение вредного (рассеянного) света первого порядка за
объективом с помощью системы диафрагм
Рассмотрим вопрос о том, как устранить вредный (рассеянный)
свет первого порядка между объективом и полевой диафрагмой с
помощью системы диафрагм.
У
D, Л/, Л/2 Л/3 Л/4
Рис. 8.6. Система диафрагм между объективом и полевой
диафрагмой
На рис. 8.6 внутренняя поверхность корпуса прибора между
объективом и полевой диафрагмой обозначена через DIB2D2BI\ A}A2
обозначает световой диаметр последней поверхности объектива,
202
равный D\\ DjD? - диаметр внутренней поверхности корпуса прибора
в плоскости А]А2, равный De; CjC2 - полевая диафрагма, диаметр
отверстия которой равен DnM\ BjB2 - диаметр внутренней
поверхности корпуса прибора в плоскости полевой диафрагмы; L -
длина системы диафрагм.
Пересечение прямой линии DjCj с лучом А2С? в точке Mi
определяет положение первой диафрагмы с отверстием диаметром
MjM'j и наружным диаметром NjN'j. Пересечение прямой линии NjCj
с лучом А2С2 в точке М2 определяет положение второй диафрагмы с
отверстием диаметром М2М'2 и наружным диаметром N2N'2. Поступая
далее таким же образом, найдем положение и диаметры всех
последующих диафрагм. Однако с приближением к полевой
диафрагме расстояния между соседними диафрагмами постепенно
уменьшаются, что ведет к увеличению их количества. Поэтому
необходимо провести линию AjB2, пересечение которой с лучом А2С2
в точке М4 определит положение последней диафрагмы с отверстием
диаметром М4М'4 и наружным диаметром N4N'4.
Из рис. 8.6 следует, что такая система диафрагм не позволяет из
любой точки полевой диафрагмы видеть участок D,N4 внутренней
поверхности корпуса прибора. Следовательно, этот участок не
посылает в полевую диафрагму рассеянный свет. Участок же N4B2 не
освещается непосредственно лучами, выходящими из объектива и,
следовательно, не может быть источником возникновения
рассеянного света первого порядка.
Таким образом, в полевую диафрагму может попасть
рассеянный свет только второго и более высокого порядка,
возникающий, например, на участке N4B2 или на поверхностях и
краях диафрагм.
Более точное положение точек Mh M2, М3 и М4 на луче А2С2
можно определить аналитически, решая совместно уравнения
прямых, на пересечении которых эти точки расположены. Такие
уравнения нетрудно составить, воспользовавшись численными
значениями Dh De и Опд и прямоугольной системой координат zOy с
началом в точке О, являющейся центром окружностей с диаметрами
D; И Д».
Заметим, что установкой в оптическом приборе диафрагм
можно устранить рассеянный свет только первого порядка.
203
8.5. Паразитные отражения в призмах
Грани призм в оптических системах либо отражают лучи, либо
пропускают через себя эти лучи, либо являются нерабочими. Однако
в некоторых случаях может оказаться, что грань, которая пропускает
лучи, образующие основное изображение, одновременно некоторую
часть лучей отражает, а нерабочая грань призмы может оказаться
отражающей.
Например, на рис. 8.7 луч 1 после полного внутреннего
отражения от грани ВС призмы претерпевает полное внутреннее
отражение в точке М грани АВ, а затем после внутреннего отражения
от грани АС выходит из призмы по направлению Г.
Рис. 8.7. Паразитное отражение в призме
Лучи же, образующие основное изображение, дважды проходят
через грань АВ и испытывают полное внутреннее отражение лишь на
гранях ВС и АС. Полное внутреннее отражение луча 1 в точке М
грани АВ называется паразитным отражением. Совокупность лучей,
аналогичных лучу 1, претерпевших паразитное отражение, может
привести к образованию ложных изображений (или бликов). По своей
яркости такие изображения могут быть одинаковы с основным. Для
устранения паразитных отражений надо либо увеличивать размеры
призм, либо на гипотенузной грани фрезеровать канавку.
Пусть на рис. 8.8 АВ обозначает область выходного зрачка
части оптической системы, расположенной перед призмой LPQ.
Очевидно, для последующей части оптической системы,
включающей и призму, АВ будет являться областью входного зрачка;
Dex и Dehlx - диаметры поперечных сечений основного пучка лучей
гранью LQ соответственно на входе и на выходе призмы. Для
прохождения основного пучка лучей призма в принципе может иметь
204
гипотенузную грань, равную отрезку MR+TS=Dex+Dehlx. Однако для
устранения бликов величину гипотенузной грани увеличивают на
2A=ML + TQ и еще на величину A=RS, обеспечивающую разделение
основного пучка лучей на входе и на выходе призмы.
Зеркальное изображение призмы LPQ относительно грани LP
занимает положение LPQh а грань PQ - положение PQj. Аналогично,
зеркальное изображение призмы LPQj относительно грани PQj
занимает положение PQjQ2- При этом, очевидно, bc=bcj и dc=djc.
В результате выполненных таким образом построений будет
получена плоскопараллельная пластинка с гранями LQ и QiQj,
толщина которой adj окажется равной геометрической длине хода
луча ab+bc+cd в призме. Такое построение называют разверткой
призмы в плоскопараллельную пластину. Если разделить толщину
полученной пластины на показатель преломления стекла призмы, то
будет получена так называемая редуцированная воздушная
пластинка, эквивалентная по оптическому действию стеклянной
плоскопараллельной пластинке.
А (
С ,
D -
В «
Е
> _j
» =
[
Q
I
J
i
— -.
L
а
»S
с/
у
/
1—¦—^
.
b
\
\
/
с
К
К,
У
Q
/с, «/.
\
\
\
1
—I
G
Q2
Рис. 8.8. Устранение ложных изображений
205
Паразитное отражение лучей в призме может произойти на
участке MR, начиная с точки М, зеркальное изображение которой
относительно грани LP совпадает с точкой Mj.
Построим луч MjG (G - край полевой диафрагмы) и продолжим
его до пересечения с плоскостью входного зрачка CD в точке Е. Если
точка Е окажется выше точки А, то луч МС в пространстве
изображений пересечет плоскость выходного зрачка за пределами
области выходного зрачка. В этом случае лучи, отраженные в других
точках отрезка LQ, тем более не пройдут через область выходного
зрачка. Таким образом, паразитное отражение лучей от грани LQ не
приведет к образованию ложного изображения. Если же точка Е
окажется ниже точки А, то луч MjG и другие лучи, отраженные от
других точек грани LQh пересекут область выходного зрачка и могут
стать причиной возникновения ложного изображения. Для
исключения этого явления необходимо в этом случае либо
увеличивать длину грани LQ (геометрическая длина хода луча в
призме), либо надо оговаривать величину выходного зрачка, для
которой блики не будут иметь место, либо фрезеровать канавку.
Канавка фрезеруется в середине грани LQ глубиной KKh равной
расстоянию от середины отрезка LQj до основного пучка лучей (т.е.
до линии CG, соединяющей верхние края входного зрачка и полевой
диафрагмы).
Нерабочие шлифованные грани призм могут тоже образовывать
вредные блики. Для их устранения такие поверхности покрывают
черной эмалью или делают на них насечки. В некоторых наиболее
ответственных случаях нерабочие шлифованные поверхности
полируют, а затем на них наклеивают накладки (пластинки) из
темного стекла, в котором блики гасятся. Показатели преломления
клея и темного стекла при этом должны быть равны (разница во
втором знаке показателей преломления уже сказывается).
206
ГЛАВА 9. ТЕОРИЯ СВЕТОВОЙ ТРУБКИ
9.1. Теория элементарной световой трубки.
Инвариант (теорема) Штраубеля
Понятие о световой трубке было изложено в п. 1.2. На рис. 9.1
показана элементарная световая трубка с осью 00'.
Рис. 9.1. Элементарная световая трубка в однородной среде
Сечения трубки, расположенные на расстоянии г друг от друга,
имеют элементарные площадки ds и ds'. Телесный угол dco с
вершиной в точке О опирается на площадку ds\ а телесный угол dco'
с вершиной в точке О' - на площадку ds. Углы между нормалями ON
и O'N' к площадкам ds и ds'w осью 00' обозначены через ewe'
соответственно. На основании определения телесного угла:
dsr cos ? . , ds cos ?
Из этих двух выражений следует инвариант
dsdcvcos? = ds'' dcocoss, (9.1)
описывающий основное свойство световой трубки в однородной
среде.
Предположим, что лучи в пределах некоторой элементарной
световой трубки распространяются в средах с разными показателями
преломления. На рис. 9.2 показана оптическая поверхность к,
разделяющая среды с показателями преломления п=П] и п '=п2.
Световая трубка, имеющая в первой среде сечение dsl5 ось 00г
и образующая на преломляющей поверхности площадку ds, после
преломления на этой поверхности преобразуется в трубку с осью 002
и сечением ds2. Расстояние между площадками ds1 и ds обозначим
через 7i, а между площадками ds и ds2 - через г2. Угол между осью
00г и нормалью Л^ к площадке ds1 в точке 0г обозначим через еъ
207
между осью 00г и нормалью N2 к площадке ds в точке О - через ?,
между осью ОО2 и нормалью N к площадке ds2 в точке 02 - через ?2,
между осью ОО2 и нормалью Л^к площадке ds - через а''.
Рис 9.2. Преломление элементарной световой трубки
на оптической поверхности
Телесные углы dco и dco' имеют общую вершину в точке О, но
первый из них опирается на контур площадки ds1, а второй - на
контур площадки ds2.
Телесные углы до преломления dco и после преломления dco' на
оптической поверхности, как следует из рисунка, равны:
ds, cos ?, , , dsj cos ?7
dcv = —L-7—L, dca=—^-2—- (9.2)
r, r2
Найдем выражение для элементарного телесного угла dco в
полярных координатах.
Элементарный телесный угол на рис. 9.3 ограничен четырьмя
гранями пирамиды, образованными меридиональными плоскостями
уОМ и у ON, образующими двугранный угол dcp, и двумя
плоскостями, проходящими через центр О сферы радиуса г и
элементы дуг на поверхности этой сферы.
Элементарную площадку (на рисунке заштрихована),
вырезанную на поверхности сферы телесным углом dco, ввиду
малости углов da и dco можно принять за прямоугольник, площадь ds
которого выразится как произведение основания rsin a dtp
прямоугольника на его высоту г da. В этом случае
208
, ds r sin s do rds . , ,
dco = — ^- = sm sdcpds.
(9.3)
r r
Очевидно, что эта формула определяет тот же телесный угол
dco, что и в формуле (9.2).
У
ds
N
М
Рис. 9.3. Телесный угол в полярных координатах
Для телесного угла do)' по аналогии можно написать
dcd = sin s' ds' dcp , (9.4)
где dcp = dcp', т.к. эти углы до преломления и после преломления на
оптической поверхности пучка лучей световой трубки не изменятся,
поскольку падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости
с нормалью к поверхности в точке падения.
По закону преломления
«sin 8- «'sin 8f.
После дифференцирования этого уравнения находим
п cos sds = n cos z'ds'.
Перемножив два последних уравнения по частям и умножив
результат на dcp = dcp', получим
п2 sin s cos sds dcp = n1 sin s cos s ds dcp .
Отсюда, приняв во внимание (9.3) и (9.4), следует
п coss da> = ri coss'dco'.
(9-5)
209
Эта формула выражает зависимость между телесными углами
do) и do)' до преломления и после преломления элементарной
световой трубки на оптической поверхности.
В случае отражения световой трубки абсолютные значения п и
п\ а также а и а' остаются неизменными, поэтому из (9.5) следует
dco = dco\ (9.6)
Умножив обе части выражения (9.5) на ds и подставив вместо
do) и do)' их значения из (9.2), получим
гц cos s cos ?xdsxds _ п\ cos^, cos s2ds2ds
Г\ Г2
где щ — n^n2 —n.
Из рис 9.2 видно, что
ds cos s , ds cos e' ,
— = dcox, — = dco2.
Поэтому из предыдущего равенства следует
п\ cos sxdsxdcox = n\ cos ?2ds2da>2. (9.7)
Если световая трубка проходит р оптических сред, то
п^ cos?{ds{dco{ = nl cos ?2ds2dco2 =... =
(9.8)
= np cos ?pdspdcop = const.
Таким образом, произведения квадрата показателя преломления,
площади нормального сечения элементарной световой трубки (ds cos а)
и элементарного телесного угла, имеющего вершину в точке этого
сечения и определяющего световую трубку, остаются инвариантом
для элементарной световой трубки, претерпевающей любое число
преломлений.
Формула (9.8) была строго доказана в 1902 г. Штраубелем и
называется теоремой или инвариантом Штраубеля.
Если предположить, что площадка dsp является совершенным
изображением dsl9 то все лучи, вышедшие из какой-нибудь
площадки dsl9 соберутся в одной какой-нибудь точке площадки dsp
независимо от величины телесного угла dco1, внутри которого
заключены эти лучи. В таком случае теорема Штраубеля теряет
смысл, т.к. площадки ds1 и dsp не определяют световой трубки, ибо
телесные углы dco1 и dcop могут быть любыми. Однако теорема
сохраняет свой смысл при следующем условии.
210
Поместим в каком-либо, например в первом, пространстве на
пути лучей световой трубки диафрагму площадью ds0. Тогда
телесные углы doI и doH с вершиной на площадках ds1 и ds0
определяются величинами этих площадок и расстоянием между
ними. Продолжая построенную на площадках ds1 и ds0 световую
трубку до последнего р пространства при взятой величине daI,
получим определенную величину do)p.
По теореме Штраубеля для световых трубок, определенных
площадками ds1 и ds0, ds0 и dsp соответственно, можно написать:
flf COS?,ufc|?to, = nf COSSqCISqCIcO^
n\ coss0ds0dco0 - n2p cosspdspdсо/;,
откуда и следует равенство (9.8).
Таким образом формула (9.8) сохраняет смысл и в том случае,
когда площадка dsp является совершенным изображением площадки
ds1, если один из телесных углов в каком-нибудь пространстве
ограничен с помощью добавочного ограничения световой трубки
диафрагмой.
Через световую трубку проходит определенный световой поток.
Следовательно, элементарная световая трубка в соответствии с
теоремой Штраубеля обладает следующим свойством: величина
светового потока, проходящего через элементарную световую
трубку, не изменяется на всем ее протяжении, если не учитывать
потери света из-за отражений, преломлений и рассеяния средами,
через которые проходит эта трубка.
9.2. Световая трубка конечных размеров
Описанная выше элементарная световая трубка имеет
бесконечно малое поперечное сечение. Поэтому проходящий через
нее световой поток также очень мал.
Для пропускания большого светового потока световая трубка
должна иметь конечные размеры в поперечном сечении. Широкие
пучки лучей, проходящие через такую трубку, нигде не должны
экранироваться, а в саму световую трубку не должны попадать
световые лучи от посторонних источников. Это означает, что закон
сохранения энергии должен выполняться для любого сечения, как и
для элементарной световой трубки.
Таким образом, под световой трубкой конечных размеров
понимается часть светового поля, ограниченная линейчатой
211
поверхностью, образованной лучами, соединяющими каждую точку
площадки конечной величины As с каждой точкой другой площадки
конечной величины As'.
Пусть в пространствах с показателями преломления п и п'
расположены площадки As и As' соответственно (рис 9.4). Выберем
на этих площадках точки О и О' и образуем вокруг них элементарные
площадки ds и ds', также принадлежащие площадкам As и As'.
Предположим, что все лучи, вышедшие из точки О в прямом ходе в
пределах конечного телесного угла Асо в первом пространстве, во
втором пространстве пронизывают все точки площадки As' (граница
распространения этих лучей на рисунке условно обозначена
сплошными линиями). Аналогично будем считать, что все лучи,
вышедшие из точки О' в обратном ходе в пределах телесного угла
Асо', пронизывают все точки площадки As (границу хода этих лучей
на рисунке условно обозначим штриховыми линиями), тогда,
очевидно, площадки As и As', а также телесные углы Асо и Асо'
образуют трубку конечных размеров.
п
п
Рис. 9.4. Световая трубка конечных размеров
Построим далее элементарный телесный угол dco с вершиной в
точке О и элементарный телесный угол dco' с вершиной в точке О'.
Угол между нормалью ON к площадке ds и осью телесного угла dco, a
также угол между нормалью O'N' к площадке ds' и осью телесного
угла dco' обозначим через а и а' соответственно. Площадки ds и ds'
вместе с телесными углами dco и dco' образуют элементарную
световую трубку, для которой в соответствии с (9.8) можно написать
п2 cos s ds dco = ri2 cos s'ds'dco.
212
Совокупность всех элементарных углов dco, вершины которых
лежат в центрах площадок ds, заполняет весь телесный угол До), а
совокупность элементов ds заполняет площадку As. Аналогично
совокупность всех элементарных углов da>\ вершины которых лежат
в центрах площадок ds', заполняет весь телесный угол Да/, a
совокупность элементов ds' заполняет площадку As'. Поэтому для
световой трубки конечных размеров справедлив инвариант,
получающийся интегрированием последнего уравнения, т.е.
п2 \ds Jcos? dco = n'2 \ds' \cos?rdco'.
Дл Лео As' Лео'
Отсюда, если считать As и As' по сравнению с длиной трубки
малыми, получим
n2As Jcos? da> = n'2As' Jcos^' dco'. /9 9)
Д<г> Д<г>'
Это выражение является инвариантом для световой трубки
конечных размеров. Выясним смысл интегралов, входящих в это
выражение, путем их графической интерпретации.
Рис. 9.5. Графическая интерпретация интегралов в формуле (9.9)
На рис 9.5 показана правая часть рис. 9.4, соответствующая
правой части уравнения (9.9). Построим полусферу с радиусом,
равным единице, и центром в точке О'. Элементарная площадка ds'
принадлежит плоскости, являющейся основанием полусферы.
213
Очевидно, телесные углы dcof и Да/ равны соответствующим
площадям, которые вырезают эти углы на поверхности построенной
полусферы (т.к. радиус полусферы равен единице). Угол между
нормалью к площадке ds' и осью телесного угла dod равен а'.
Следовательно, произведение cose'dco' равно площади
ортогональной проекции площадки, вырезаемой телесным углом dco'
на поверхности полусферы, на основание полусферы. Отсюда
следует, что интеграл в правой части выражения (9.9) численно равен
площади проекции на плоскость основания полусферы той площади,
которую вырезает на поверхности полусферы телесный угол До/. По
аналогии это можно отнести и к интегралу в левой части уравнения
(9.9). Поэтому инвариант (9.9) можно написать в более компактном
виде
n2As(Aco) = ri2As'(Aco') ,
(9.10)
где (ксо)пр = \ cosed со; (ксо')пр = jcose'do)'.
В следующем пункте будут рассмотрены некоторые важные для
практических расчетов следствия, которые вытекают из (9.10).
9.3. Световая трубка центрированной
оптической системы
Рассмотрим случай центрированной оптической системы, в
которой оптическую ось можно рассматривать как ось аксиально-
симметричной световой трубки конечных размеров. Пусть сечения As
и As' этой трубки перпендикулярны оптической оси.
Рис. 9.6. Величина (До/)пр аксиально-симметричной
световой трубки
214
На рис 9.6 телесный угол Да/ с плоским углом а' в среде с
показателем преломления п' вырезает на поверхности полусферы с
радиусом R = 1 некоторую ее часть, проекция которой на плоскость
основания полусферы
(Ao')np=xsm2a'.
Аналогично, для среды с показателем преломления п можно
написать
Из (9.10), учитывая два последних уравнения, получаем
fl2Assin2cr = fl'2As'sin2cr'. (9.11)
Предположим, что сечения As и As' имеют форму кругов с
радиусами у и у' соответственно, тогда площади этих сечений
определятся как
As = ny2w As'= лу'2.
С учетом этого из (9.11) следует
nysin o = riy sin о'. (9.12)
Сечения As и As', а также соответствующие им отрезки у к у'
могут быть как сопряженными, так и несопряженными. Если у к у'
являются сопряженными отрезками, то уравнение (9.12) выражает
уже известное нам условие синусов Аббе. При малых углах о и о' это
условие переходит в уравнение (инвариант) Гельмгольца.
Объектив Индикатор Конденсор
Индикатор
положения
объекта
Приемник
излучения
Р'
I ^ |^\
-у.
Рис. 9.7. Оптическая схема «следящей» системы
Предположим, что сечения As и As', а следовательно, и отрезки
у и у' не являются сопряженными. На рис. 9.7 показана оптическая
схема «следящей» системы, содержащая объектив, конденсор,
индикатор положения объекта и светочувствительную поверхность
приемника излучения. Некоторый бесконечно удаленный объект
215
изображается сначала объективом в своей задней фокальной
плоскости в виде величины 2у{, а затем оптикой конденсора на
светочувствительной поверхности приемника излучения в виде
величины 2у'2. Объектив имеет входной зрачок диаметра D = 2а,
угловое поле 2со и апертурный угол о'о6 в пространстве изображений.
Апертурный угол конденсора в пространстве изображений равен
°конд-
Оптическая система создает световую трубку конечных
размеров, имеющую три круглых перпендикулярных оси сечения:
сечение с радиусом а плоскостью входного зрачка, сечение с
радиусом у[ (полевая диафрагма) и сечение с радиусом у'2
плоскостью приемника излучения. Так как система имеет ось
симметрии, то в соответствии с инвариантом (9.12)
a sin со = у[ sin а'о6 = у\ sin о'ктд. (9.13)
Это уравнение выражает связь между диаметром входного
зрачка и угловым полем объектива, с одной стороны, и диаметром
светочувствительной площадки и апертурой конденсора, с другой
стороны.
Приведем пример применения формулы (9.13). Пусть для
приема излучения от некоторого объекта необходимо разработать
оптическую систему, содержащую объектив с диаметром входного
зрачка 2а = 60 мм. За объектом необходимо следить в пределах
углового поля 2со = 40°. В фокальной плоскости объектива должен
быть расположен индикатор положения изображения объекта.
Диаметр чувствительной поверхности приемника, на который,
пройдя индикатор, концентрируется изображение, не должен
превышать 10 мм.
По формуле (9.13) имеем
a sin (- со) = (- у\ )sin (- о'копд),
, a sin со 30 sin 20°
Sin Окопд = 1— = ^ = -1'8'
Так как |sin сг^онд| > 1, то, следовательно, поставленная задача не
может быть реализована. Поэтому необходимо либо уменьшить
угловое поле 2о), что приведет к уменьшению угла обзора, либо
уменьшить диаметр 2а входного зрачка, что приведет к уменьшению
лучистого потока, воспринимаемого приемником и, следовательно, к
уменьшению дальности действия прибора. Приняв, например,
216
2а = 60 мм, из (9.13) в предельном случае при sina^0HA = l
находим
sin&> = —= 0,167;2&> = 19°.
30
Далее необходимо решить вопрос о выборе фокусного расстояния /о'б
и относительного отверстия объектива, зависящего от
™<>=jr (9.14)
Если для сокращения габаритов оптической системы и размеров
чувствительной поверхности приемника принять относительное
отверстие объектива
-^ = 1:1,
Я*
то получим
sin <j'of) = 0,5;
(9.15)
При больших размерах поперечных сечений световой трубки
выражение (9.13) теряет инвариантность. Действительно, из (9.14) и
(9.15) следует
что при больших значениях со существенно отличается от
произведения asinoj, входящего в (9.13). Например, при 2о) = 40° это
различие достигает 6%.
217
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АБЕРРАЦИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава 10. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБЩИЙ АНАЛИЗ
АБЕРРАЦИЙ
10.1. Общие понятия об аберрациях. Классификация аберраций
Аберрации (от лат. слова aberratio) - это погрешности в
изображении предметов, образуемых оптическими системами.
Проявляются они в том, что оптические изображения в ряде случаев
не вполне отчетливы, не точно соответствуют по форме предмету или
оказываются окрашенными.
Реальные оптические системы, представляющие практический
интерес, имеют входные и выходные зрачки конечных, а иногда и
весьма больших размеров и обладают большими полями. Углы между
лучами и оптической осью, углы падения и преломления лучей на
оптических поверхностях и высоты лучей на этих поверхностях в
реальных системах также оказываются весьма большими. Такие
системы лишь в очень малой (параксиальной) области около
оптической оси, где изображения предметов строятся лучами с малой
апертурой и в пределах очень малого поля, дают так называемые
безаберрационные изображения, т.е. такие изображения, когда точка
изображается в виде точки, линия - в виде линии, а плоскость - в виде
плоскости. В этой области свойства реальной системы аналогичны
свойствам идеальной системы. Вне этой области все присущие
идеальной системе свойства нарушаются. Направление прошедшего
через реальную оптическую систему вне параксиальной области луча
не совпадает с направлением луча, рассчитанного по формулам
идеальной оптической системы. Пучок лучей, вышедший из какой-
либо точки плоскости предмета, после прохождения системы не
собирается в одной точке плоскости изображения, т.е. пучок теряет
гомоцентричность. Изображение плоскости предмета, являющееся
совокупностью изображений его точек, оказывается в общем не
отчетливым, не вполне соответствует изображаемому предмету и
даже может оказаться окрашенным (если изображение создается
лучами света в видимой части спектра). В этом и проявляется
наличие погрешностей изображения, называемых аберрациями.
Все аберрации, как показано на рис. 10.1, можно разбить на две
группы: монохроматические и хроматические. К монохроматическим
аберрациям относятся пять аберраций, а к хроматическим - четыре
218
аберрации. Группу монохроматических аберраций разбивают на две
подгруппы: аберрации широкого пучка и полевые аберрации.
К аберрациям широкого пучка относятся сферическая аберрация и
кома. К полевым аберрациям относятся астигматизм, кривизна
изображения и дисторсия. Хроматические аберрации также делятся
на две подгруппы: первичные и вторичные. К первичным аберрациям
относятся хроматизм положения и хроматизм увеличения, а к
вторичным - вторичный спектр и сферохроматизм.
Аберрации оптических систем
Монохроматические аберрации
Хроматические аберрации
Аберрации
широкого пучка
Первичные
аберрации
Вторичные
аберрации
Полевые
аберрации
Рис. 10.1. Классификация аберраций
Монохроматические аберрации вычисляются для лучей одной
длины волны, а хроматические - для лучей двух и более длин волн.
10.2. Понятие, точное вычисление и график
сферической аберрации
Сферическая аберрация относится к аберрациям широкого пучка
лучей и состоит в том, что лучи одной длины волны, исходящие из
осевой тоски предмета, в пространстве изображений в одну точку не
собираются.
Если показанная на рис. 10.2 некоторая оптическая система из р
оптических поверхностей дает параксиальное изображение осевой
точки А плоскости предмета в точке А'о на расстоянии s'o от вершины
219
Ор последней поверхности системы, то идущий под углом о к
оптической оси луч на высоте т в плоскости входного зрачка
выходит из системы под некоторым углом о' к оси на высоте т' в
плоскости выходного зрачка и дает действительное изображение А'
той же точки А на расстоянии s'. Каждому лучу, идущему под
определенным конечным углом сг, соответствует своя точка А'.
Вместо одного изображения осевой точки предмета получается
бесконечное множество изображений.
П.П Вх. зр. Вых. зр.
П.Г.
Рис. 10.2. Сферическая аберрация
Пучок лучей в пространстве предметов в виде конуса с углом 2сг
с вершиной в точке А после прохождения системы сохраняет
симметрию относительно оптической оси и образует в плоскости
Гаусса кружок рассеяния диаметром 2Ду\ принимаемый за
изображение точки А в этой плоскости.
Разность
As' = s'-s'o A0.1)
называют продольной сферической аберрацией оптической
системы для выбранного луча. Это точное значение продольной
сферической аберрации, для вычисления которого необходимо
рассчитать два луча: первый параксиальный луч и действительный
луч, идущий под выбранным углом <т.
Если точка А1 расположена слева от плоскости Гаусса, то
Asf < 0. Если же точка А' лежит справа от этой плоскости, то As' > 0.
Из рис. 10.2 следует, что
Ду' =As'-tgaf. A0.2)
Величина Ду' есть точное значение поперечной
сферической аберрации оптической системы для выбранного
220
луча. Очевидно, при изменении знака угла а знак продольной
сферической аберрации не меняется, а поперечной меняется на
противоположный.
Сферическую аберрацию принято представлять в виде графиков
ее зависимости от m, m\ tgo или tgo', чаще используют зависимость
от tgo'. Для построения таких графиков рассчитывают несколько
действительных лучей (от 2 до 4 и более - в зависимости от
сложности системы), пересекающих входной зрачок на разных
высотах. Пример таких графиков приведен на рис. 10.3. Обычно
численные значения этих высот выбирают так, чтобы их квадраты
составляли арифметическую прогрессию. Например, если радиус
входного зрачка равен ткр (высота крайнего луча), то берут
т2 = ткр и т2 = ^т/ср или т1 = ткр, т2 = ^\ткр, т2 = J\
Если смещать плоскость установки (плоскость, в которой
вычисляется поперечная сферическая аберрация) влево относительно
плоскости Гаусса, то величина кружка рассеяния 2Ау' будет
уменьшаться. Можно найти такое положение плоскости установки,
когда этот кружок окажется наименьшим. Для наглядности оценки
величины кружка рассеяния лучей в такой плоскости на графике
поперечной сферической аберрации проводят некоторую
вспомогательную прямую ad (рис. 10.3), наклон которой
относительно ординаты будет тем больше, чем больше смещение
плоскости установки относительно плоскости Гаусса.
Поперечная сферическая аберрация в смещенной плоскости
будет теперь отсчитываться на графике не от оси ординат, а от
наклонной прямой ad. Наклон прямой ad, проходящей через начало
координат, связан с величиной А смещения плоскости установки
относительно плоскости Гаусса приближенной зависимостью
tga
в которой Д/ и tga - координаты любой точки, принадлежащей
прямой ad.
221
tgc'
tgc'
0 As'
]0 АУ'
Рис. 10.3. Графики продольной и поперечной сферической
аберрации
Сферическая аберрация присуща и лучам, исходящим из
внеосевых точек предмета. В этом случае ее называют полевой
сферической аберрацией. При этом роль линии,
относительно которой определяется сферическая аберрация,
выполняет главный луч. Пучок лучей, обладающий симметрией
относительно главного луча в пространстве предметов, эту
симметрию в пространстве изображений не теряет. На практике чаще
сферическую аберрацию относят к осевой точке предмета.
10.3. Понятие, точное вычисление и график комы
Кома (от греч. коте - волосы) относится к аберрациям широких
пучков лучей, исходящих из внеосевой точки плоскости предмета.
Сущность ее можно понять из следующих рассуждений.
Пучок лучей, исходящих из внеосевой точки плоскости
предмета и заполняющих весь входной зрачок, можно представить в
виде совокупности бесконечного числа пучков, встречающих
плоскость входного зрачка по окружностям, центры которых
совпадают с центром зрачка, а радиусы изменяются от 0 до половины
диаметра зрачка. Очевидно, такие пучки будут проходить через
различные области оптической системы.
Кома заключается в том, что каждый из названных пучков дает
изображение внеосевой точки предмета в виде окружности, радиус
которой будет тем больше, чем больше радиус пучка в плоскости
зрачка. Центры этих окружностей не находятся в одной точке
плоскости изображения, а удаляются от оптической оси по мере роста
222
радиуса пучка в плоскости зрачка. В результате наложения таких
окружностей друг на друга изображение внеосевой точки, даваемое
оптической системой в целом, принимает вид несимметричной
фигуры рассеяния лучей, похожей по форме на комету с ярко
выраженной головой и широким хвостом, плотность энергии в
котором быстро убывает к периферии (изложенное будет наглядно
показано ниже при рассмотрении комы третьего порядка).
Наличие комы приводит к тому, что монохроматический пучок
лучей, исходящих из внеосевой точки плоскости предмета
симметрично относительно главного луча, в пространстве
изображений эту симметричность утрачивает. Степенью нарушения
указанной симметричности внеосевого пучка лучей оценивают
величину комы численно.
Рис. 10.4. Меридиональная кома широкого пучка лучей
На рис. 10.4 показан ход широкого меридионального пучка
лучей, исходящего из внеосевой точки В плоскости предмета,
расположенной на расстоянии у от оптической оси. Верхний луч
пучка пересекает входной зрачок на высоте гп, нижний - на высоте
-т, а главный проходит через центр зрачка; пучок лучей в
пространстве предметов симметричен относительно главного луча.
По закону теории Гаусса (при отсутствии аберраций), все лучи этого
пучка в пространстве изображений должны были бы встретиться в
одной точке, принадлежащей плоскости Гаусса. Но из-за наличия
аберраций верхний луч встретит эту плоскость в точке В'в на
расстоянии Уд, нижний - в точке В'н на расстоянии у„, а главный -
в точке В'гл на расстоянии у/7 от оптической оси соответственно.
223
Верхний и нижний лучи пересекаются в точке N, не
принадлежащей ни главному лучу, ни плоскости Гаусса и
находящейся на расстоянии NT в перпендикулярном от оптической
оси направлении от главного луча. Пучок лучей утратил симметрию
относительно главного луча.
Из рисунка следует, что величина возникшей фигуры рассеяния
лучей в меридиональной плоскости равна отрезку В^В^, а точка Л/,
делящая пополам отрезок В'вВ'н, находится на расстоянии
от оптической оси. Отрезок В'г1М, равный отступлению точки встречи
главного луча с плоскостью Гаусса от середины между точками
встречи с этой плоскостью верхнего и нижнего лучей пучка,
численно характеризует величину меридиональной комы,
вычисляемой по формуле
К = ^^—у[.,. A0.3)
Степень нарушения симметричности пучка лучей в пространстве
изображений относительно главного луча наглядно характеризует
отрезок NT. Если бы этого нарушения не было бы, то точка N
оказалась бы на главном луче, точка М совпала бы с точкой В'г1,
кома в соответствии с A0.3) оказалась бы равной нулю, а фигура
рассеяния лучей приобрела бы форму круга. Рассеяние пучка лучей в
этом случае возникло бы из-за полевой сферической аберрации.
Величина комы, определяемая формулой A0.3), характеризует
только меридиональную кому. Для определения сагиттальной комы
необходимо рассчитывать ход внемеридиональных (косых) лучей.
Вых Зр
Вых Зр
Вых Зр
Рис. 10.5. Различные случаи меридиональной комы
224
Совместное действие комы и полевой сферической аберрации
приводит к различным видам нарушений симметрии пучка лучей в
пространстве изображений, некоторые из них приведены на рис. 10.5.
1. Кома и полевая сферическая аберрация исправлены. Верхний
и нижний лучи встречаются в точке В'г1 в плоскости Гаусса
(рис. 10.5а).
2. Кома исправлена, но имеет место полевая сферическая
аберрация. Верхний и нижний лучи симметричны
относительно главного луча и пересекаются на главном луче
вне плоскости Гаусса (рис. 10.56).
3. Полевая сферическая аберрация исправлена, но имеет место
кома в чистом виде (рис. 10.5в).
Выражение A0.3) можно преобразовать следующим образом.
Введем обозначения:
Отсюда следует, что
Подставляя эти значения у'в и у'н в A0.3), получим
к = Ув 2 . A0.4)
Для оценки величины комы с помощью графика обычно
рассчитывают главный луч и ряд меридиональных лучей, исходящих
из внеосевой точки плоскости предмета и пересекающих плоскость
Рис. 10.6. График зависимости Ду' от Atga'
225
входного зрачка по всему его диаметру. Для каждого такого луча,
пересекающего плоскость Гаусса на расстоянии у' от оптической оси
и образующего в пространстве изображений с оптической осью угол
сг\ вычисляют разность Ду' = у' — у'г1 и строят график,
характеризующий зависимости Ду' от Atga' = tgo — tgac'J9 где у'7 и
о'г1 относятся к главному лучу. График такой зависимости для
примера показан на рис. 10.6. Из рисунка следует, что при Atga' = ±a
имеем соответственно Ду' = —0,3 и Ду' = 0,2. В соответствии с
A0.4) к = — — = -0,05. При этом удвоенная величина комы
2к - -0,1 наглядно видна из графика.
10.4. Понятие, точное вычисление и график
астигматизма и кривизны изображения
Астигматизм (от греч. а - отрицательная частица и stigme -
точка) - монохроматическая аберрация, относящаяся к числу полевых
аберраций элементарных астигматических пучков лучей,
возникающих из-за неодинаковой кривизны поверхностей
центрированной оптической системы в разных плоскостях сечений
падающих на них лучей.
Элементарный пучок лучей, исходящий из внеосевой точки
плоскости предмета, в пространстве изображений собирается не в
одну точку, а в двух расположенных на некотором расстоянии друг
от друга взаимно перпендикулярных элементарных отрезках. Оба эти
отрезка перпендикулярны главному лучу; один из них расположен в
меридиональной плоскости, а другой - в сагиттальной плоскости.
На рис. 10.7 такой пучок лучей, исходящий из внеосевой точки
В в плоскости предмета, пронизывает элементарную площадку
входного зрачка, ограниченную контуром M^N^M^N^. Главный луч
ВР пучка в пространстве изображений идет по направлению Р'В',
встречая плоскость Гаусса в точке В'. Плоский элементарный
меридиональный пучок лучей МХВМ\ в пространстве изображений
собирается в точке В'т на главном луче, отстоящей от плоскости
Гаусса на расстояние z'm. Плоский элементарный сагиттальный пучок
лучей N}BN2 в пространстве изображений собирается не в точке В'т,
а в некоторой другой точке В[ главного луча на расстоянии z\ от
226
плоскости Гаусса. Точки В'т
В[ называют фокусами
меридионального и сагиттального пучков соответственно.
плоский
ишридион.
ПУЧОК
П.Г
Рис. 10.7. Астигматизм и кривизна изображения
Лучи плоских элементарных меридиональных пучков с
вершиной в точке В, пересекающих площадку M^N^M^N, по линиям,
параллельным отрезку А/,М,, в пространстве изображений
пронизывают некоторый элементарный отрезок #,#,, которому
принадлежит точка В'т главного луча. Отрезок /?,/?, перпендикулярен
главному лучу и расположен в сагиттальной плоскости.
Аналогично лучи плоских элементарных сагиттальных пучков с
вершиной в точке В и пересекающих площадку M^N^M^N, по
линиям, параллельным отрезку N{N2, в пространстве изображений
пронизывают некоторый другой элементарный отрезок ?>,Д,
которому принадлежит точка В[ главного луча. Отрезок D{D2 также
перпендикулярен главному лучу, но расположен в меридиональной
плоскости.
Таким образом, элементарный астигматический пучок лучей,
исходящих из внеосевой точки В, в пространстве изображений нигде
в одну точку не собирается. После выхода из оптической системы
сначала он проходит через отрезок ВХВ2, а затем через отрезок ДД.
Следовательно, отрезки /?,/?, и D] Д являются изображением одной и
той же точки В плоскости предмета с помощью меридиональных и
сагиттальных плоских элементарных пучков лучей соответственно.
227
По ходу главного луча от точки В'т до точки В[ фигура
рассеяния пучка лучей в сечениях, перпендикулярных главному лучу,
изменяет форму, проходя стадии в виде отрезков #,#,, в виде
вытянутого в сагиттальном направлении эллипса, в виде круга, в виде
вытянутого в меридиональном направлении эллипса, в виде отрезка
DXD2.
Разность
Aacm=z's-z^ A0.5)
численно определяет астигматизм оптической системы для взятой
величины углового поля.
При изменении положения точки В на отрезке АВ = у
геометрическим местом точек В'т и В\ оказываются некоторые
кривые линии B'mA'Q и B'SA'Q соответственно. Следовательно, отрезок
АВ плоскости предмета изобразится в виде двух указанных кривых
линий.
Если отрезок АВ повернуть вокруг оптической оси на 360°, то в
плоскости предмета он создаст некоторый плоский предмет. При
этом ввиду круговой симметрии кривая линия В'тА'о опишет
некоторую криволинейную поверхность, которая принимается за
меридиональное изображение плоского предмета. Аналогично,
кривая В[А'О опишет некоторую другую криволинейную поверхность,
которая принимается за сагиттальное изображение того же плоского
предмета. В этом случае отрезок z'm будет характеризовать кривизну
меридиональной поверхности изображения, а отрезок z[ - кривизну
сагиттальной поверхности изображения для взятого углового поля.
Следовательно, из-за астигматизма плоский предмет изображается в
виде двух чашеобразных поверхностей вращения. Однако ни в одной
из этих поверхностей не получается резкое (точечное) изображение
всего предмета, т.к. каждая его точка изображается в виде
элементарных отрезков, один из которых расположен на
меридиональной поверхности изображения в сагиттальной
плоскости, а другой - на сагиттальной поверхности изображения в
меридиональной плоскости.
На меридиональной поверхности изображения резко
изобразятся горизонтальные линии плоского предмета, а на
сагиттальной поверхности изображения резкое изображение будут
иметь место вертикальные линии предмета.
228
Геометрическим местом точек, которые являются серединами
отрезков В'тВ[, образованных элементарными астигматическими
пучками, вышедшими из всех точек отрезка АВ плоского предмета,
является некоторая кривая, занимающая среднее положение между
кривыми В'тА'о и B[A'Q. Вращение этой кривой вокруг оптической оси
создает некоторую чашеобразную поверхность, занимающую среднее
положение между меридиональной и сагиттальной поверхностями
изображения. На этой поверхности астигматические пучки лучей
образуют круглые фигуры рассеяния, а изображения точек плоского
предмета имеют одинаковую нерезкость.
Кривизна описанной поверхности численно может быть оценена
величиной
«+z;,,)/2, (ю.6)
называемой средней кривизной поверхности
изображения.
Тот факт, что изображение плоского предмета оказывается
расположенным не на плоскости, а на криволинейной поверхности,
рассматривается как наличие отличной от астигматизма
самостоятельной аберрации, численно характеризуемой
определенной кривизной поверхности изображения.
со
0 0 0
Рис. 10.8. Графики астигматизма и кривизны изображения
Хотя астигматизм и кривизна поверхности изображения имеют
общую физическую причину возникновения, они являются
независимыми друг от друга аберрациями. Можно, например,
устранить астигматизм, но изображение при этом может
располагаться на сильно искривленной не плоской поверхности. При
этом оптическая система будет давать одинаково резкое изображение
229
и вертикальных, и горизонтальных штрихов предмета, например на
краю поля, но не даст одновременно резкости такого изображения в
других областях поля изображения. Если же одновременно с
астигматизмом устранена и кривизна изображения, то достигается
резкость изображения по всему полю.
На рис. 10.8 приведены примеры графиков астигматизма и
кривизны изображения элементарных пучков лучей в зависимости от
углового поля в пространстве предметов.
1. Астигматизм и кривизна поля имеют место; штриховой
кривой показан график средней кривизны поверхности
изображения (рис. 10.8 а).
2. Астигматизм исправлен, но имеет место кривизна
изображения (рис. 10.8 б).
3. Исправлена средняя кривизна изображения, но астигматизм
имеет место (рис. 10.8 в).
Оптические системы с исправленным астигматизмом называются
анастигматическими или анастигматами.
10.5. Понятие, точное вычисление и график дисторсии
Дисторсия (от лат. distorsio - искривление) относится к полевой
монохроматической аберрации, при которой нарушается
геометрическое подобие между предметом и изображением.
Причиной возникновения этой аберрации является зависимость
линейного увеличения системы от величины предмета (углового
поля).
Вх. Зр
Вых Зр
Рис. 10.9. Дисторсия
На рис. 10.9 главный луч ВР, исходящий из внеосевой точки В
предмета АВ = у под углом (О к оптической оси, в пространстве
230
изображений идет по направлению Р'В'под углом со к оси и образует
в плоскости Гаусса изображение А'В' = у . Расстояния от входного и
выходного зрачков до плоскости предмета и плоскости Гаусса
обозначим через р и р' соответственно.
Так как у = -ptgco,y' = -p'tga>\ то линейное увеличение
оптической системы можно написать в виде
/ = Е:-??o/ = E:
^ у V tgoi v V
где ур - угловое увеличение в зрачках.
Если углы СО и со' бесконечно малы, то главные лучи будут
принадлежать параксиальной плоскости, а центр Р' выходного зрачка
будет являться параксиальным изображением центра Р входного
зрачка. При возрастании угла СО положение точки Р' на оптической
оси будет изменяться из-за возникающей продольной сферической
аберрации в зрачках, что повлечет за собой изменение расстояния р''.
При этом одновременно будет изменяться и угловое увеличение ур.
Следовательно, как видно из A0.7), изменение углового поля в
пространстве предметов приводит к изменению линейного
увеличения оптической системы, т.е. нарушается геометрическое
подобие между предметом и его изображением.
Если бы отношение р' /р и угловое увеличение ур в зрачках в
формуле A0.7) были бы постоянны для различных значений угла СО,
то линейное увеличение для всех отрезков плоскости предмета было
бы одинаково, а изображения фигур плоскости предмета были бы
геометрически подобны этим фигурам. Такие виды изображений и
соответствующие им оптические системы называют
ортоскопическими. Искажение изображений вследствие
нарушения ортоскопии и называют дисторсией.
Численно дисторсию можно охарактеризовать разностью J3 — /?0,
где Р - линейное увеличение оптической системы для взятой
величины углового поля СО, ро - линейное увеличение в
параксиальной области (увеличение идеальной оптической системы).
Умножив эту разность на у, получим разность
характеризующую дисторсию в линейной мере.
231
В этом выражении у' определяется ходом действительного луча,
у'о - ходом главного луча, если бы оптическая система не имела
аберраций (идеальная система).
Величину дисторсии оценивают также в относительной мере
(в процентах), т.е. величиной
Ду' =
_ У'-Уо
У'.
100% .
A0.9)
При бесконечно удаленном предмете y'Q = f'tgco, где /' - фокусное
расстояние оптической системы.
При бесконечно удаленном изображении (например, в
телескопической системе) дисторсию количественно оценивают как
разность До/ = а)' — а)'о, где со - угол между действительным
главным лучом и оптической осью в пространстве изображений, со0 -
угол между главным лучом и оптической осью идеальной оптической
системы.
На рис. 10.10 показаны искаженные изображения квадратной
сетки (рис. 10.10а) в двух случаях.
] г
1 V-.
1
1
"Л
J
а) б) в)
Рис. 10.10. Изображение квадратной сетки при нарушении
ортоскопии
Если линейное увеличение с удалением от центра поля
возрастает, то прямые линии квадратов искривляются, образуя
выпуклости, обращенные к центру изображения. Дисторсия в этом
случае положительна и называется подушкообразной дисторсией
(рис. 10.105). При уменьшении линейного увеличения с удалением от
центра к краям поля имеет место обратная картина. Дисторсия при
этом называется бочкообразной (рис. Ю.Юв).
232
Ay'
о
Рис. 10.11. График дисторсии
Так как дисторсия меняется в зависимости от углового
(линейного) поля, то график этой аберрации представляет собой
зависимость этой аберрации от величины поля (рис. 10.11).
Если предмет представляет собой круг, то его изображение
также будет представлять круг (т.е. без изменения формы предмета),
но из-за дисторсии его величина окажется измененной по сравнению
с величиной его идеального изображения.
В отличие от других монохроматических аберраций, дисторсия
не вызывает нерезкости изображения.
233
Глава 11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБЩИЙ АНАЛИЗ
АБЕРРАЦИЙ 3-ГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
11.1. Координаты произвольного луча в пространствах
предметов и изображений
Пусть в некоторой оптической системе плоскости предметов и
входного зрачка расположены на расстоянии s и sp от вершины 01
первой поверхности соответственно (рис. 11.1). В плоскости
предметов построим прямоугольную систему координат хАу с
началом в осевой точке А плоскости предметов, а в плоскости
входного зрачка - систему координат тРМ с началом в центре Р
зрачка.
с,
А
V Y
В У
I/ /D
^ ^J)V4 А Л /
/
Sp-S
т
R
т\ '
У
р
- S
М/
0,
Рис. 11.1. Координаты х, у, mj и М7 произвольного луча в
пространстве предметов
Предположим, что исходящий из точки В(х;у) плоскости
предмета некоторый произвольный луч встречает плоскость входного
зрачка в точке L(mj;Mj).
В пространстве изображений можно построить аналогичные
прямоугольные системы координат х'А'у' и т'Р'М\ первая из которых
будет иметь начало в точке А\ являющейся изображением точки А, а
вторая в точке Р\ являющейся центром выходного зрачка. Тогда
взятый луч в пространстве изображений встретит плоскость
изображения в точке В'(х';у'), а плоскость выходного зрачка - в точке
Ь'(т';М'). Таким образом, в пространстве предметов положение
234
взятого произвольного луча определяется координатами х,у, mh Mh a
в пространстве изображений - координатами х\у\ т\ М'.
Так как по пути взятого луча может идти только один луч, то,
очевидно, его траектория может быть определена координатами х, у,
На рис. 11.1 плоскость yAz является меридиональной, а
перпендикулярная ей плоскость xAz - сагиттальной. Ввиду
осесимметричности оптической системы меридиональную плоскость
можно повернуть вокруг оптической оси так, чтобы она проходила
через точку В. Тогда, как показано на рис. 11.2, будем иметь х=0, а
предмет AB=yj (на рис. 11.1 предмет АВ=[).
Рис. 11.2. Координаты tga, tgf2n tgco произвольного луча в
пространстве предметов
Так как точки R и Q есть проекции точки L соответственно на
меридиональную и сагиттальную плоскости, а величина у/ предмета
связана с углом со Bсо- угловое поле системы), то
Эти формулы также определяют положение луча BL в пространстве
предметов. Положение луча в пространстве изображений
определяется в этом случае аналогично:
т! М1 у1
(П.2)
235
здесь у' - величина изображения предмета yh cd - угловая величина
этого изображения.
11.2. Понятие поперечной геометрической
аберрации луча и ее составляющих
На рис. 11.3 показана прямоугольная система координат х'А'у',
построенная в плоскости изображения некоторой оптической
системы. За начало системы координат взята точка Л\ являющаяся
изображением осевой точки А плоскости предмета.
В'
Ад'
В'о AG' С
А'
Рис. 11.3. Поперечная геометрическая аберрация В'В'О луча
Предположим, что некоторый действительный луч, исходящий
из внеосевой точки В плоскости предмета, встречает плоскость
изображения в точке В'. Очевидно, точка В' является изображением
точки В с помощью этого действительного луча.
Если бы оптическая система была идеальной, т.е. не имела бы
аберраций, то изображением точки В оказалась бы некоторая другая
точка В'о, не совпадающая с точкой В'. Отрезок сИ'=В'В'о есть
поперечная геометрическая аберрация взятого луча. Составляющая
Ад' = В'С поперечной аберрации вдоль оси у' координат называется
меридиональной составляющей, а составляющая AG' = В'оС
вдоль оси х' называется сагиттальной составляющей поперечной
аберрации.
Очевидно, что
f2 +AG'2
есть поперечная геометрическая аберрация луча, выраженная через ее
составляющие.
236
11.3. Эйконал Шварцшильда и его связь с
поперечной геометрической аберрацией
В теории аберраций оптических систем используются эйконалы.
Эйконал (от греч. eikon - изображение) - это функция,
определяющая оптическую длину пути луча света между двумя
произвольными точками, одна из которых В принадлежит
пространству предметов, а другая В' - пространству изображений.
В зависимости от выбора параметров, через которые выражается
оптическая длина пути, известны эйконалы Гамильтона, Брунса,
Шварцшильда и др.
Эйконал Шварцшильда - это некоторая функция S, зависящая от
х,у, т\ М\ т.е.
S = f(x,y,m',M').
Можно показать, что
Следовательно, дифференцируя эйконал Шварцшильда сначала по т\
а потом по М\ можно сразу получить выражения для
меридиональной и сагиттальной составляющих поперечной
геометрической аберрации луча.
11.4. Разложение эйконала Шварцшильда в ряд.
Понятие монохроматических аберраций 3-го и
высших порядков
Выражение эйконала S даже в случае простейших оптических
систем очень сложно. Поэтому его представляют в виде ряда четных
степеней следующих квадратных двучленов:
у2+х2, т'2 + М'2, т'у + М'х.
Этот ряд в общем имеет вид:
где S^ - сумма членов 4-й степени ряда, S^ - сумма членов 6-й
степени ряда и т.д.
В ряде отсутствуют члены нечетной степени, так как иначе
аберрации не зависели бы от знака координат луча. Вторая степень
237
также отсутствует, так как при дифференцировании по A1.3) и A1.4)
в противном случае получалось бы, что аберрации зависят от первой
степени, что свидетельствовало бы о наличии монохроматических
аберраций в параксиальной области.
Если взять S с точностью до SD\ то после дифференцирования
по A1.3) и A1.4) будут получены формулы для вычисления
приближенных значений аберраций с точностью до 3-й степени
координат луча. Это будут аберрации 3-го порядка. Если учесть S^e\
то этим будут учтены и аберрации 5-го порядка и т.д.
На первоначальном этапе расчета оптических систем наиболее
часто используется теория аберраций 3-го порядка с последующим
учетом аберраций и более высокого порядка.
Ограничивая ряд S членами 4-й степени S^4\ можно написать
5" = Л0(у2 + х2J + А^т'2 + М'2J + А2(т'у + М'хJ +
+Л3(у2 + х2)(т'2 + М'2) + Л4(у2 + х2)(т'у + М'х) +
-Ь45(т'2 + М'2)(т'у + М'х).
В соответствии с A1.3) после дифференцирования по т' получим
-п'Ад' = АА^т'2 + М'2)т' + 2Л2(т'у + М'х)у +
+2Л3(у2 + х2)т' + Л4(у2 + х2)у + As(m'2 + М'2)у +
Аналогично после дифференцирования по М' в соответствии с A1.4)
будем иметь
-п'АС = АА^т'2 + М'2)М' + 2А2(т'у + М'х)х +
+2Л3(у2 + х2)М' + Л4(у2 + х2)х + As[m'2 + М'2)х +
2As(m'y + M'x)M'.
Поперечная аберрация не зависит от поворота меридиональной
плоскости yz вокруг оптической оси. Ее положение выберем так,
чтобы она проходила через точку предмета В, когда х=0. Тогда два
предыдущих выражения получат вид
-п'Ад' = АА^т'2 + М'2)т' + AsCm'2 + М'2)у +
+2Л2т'у2 + 2Л3т'у2 + Л4у3;
-п'АС = АА^т'2 + М'2)М' + 2Asm'M'y + 2Л3М'у2.
Введем обозначения:
ААг = altAs = а2,2А2 = а3,2А3 = а4,Л4 = а5 и учтем, что —п'
является постоянной величиной. Тогда далее в общем виде можно
написать
238
Ад' = а^т'2 + М'2 )rri + a2Cm'2 + М'2)у +
+а3т'у2 + аАт'у2 + а5у3,
ДС = а^га'2 + М'2)М' + 2а2т'М'у + а4М'у2. A1.6)
В последних двух выражениях коэффициент аг определяет
поперечную сферическую аберрацию, а2 - кому, а3 - астигматизм,
а4 - сагиттальную кривизну изображения, а3 + а4 - меридиональную
кривизну изображения, а5 - дисторсию.
Из этих же выражений следует, что сферическая аберрация
пропорциональна га' , кома - га' у, меридиональная и сагиттальная
кривизна - ray2, дисторсия - у3.
Если луч расположен в меридиональной плоскости, то М' = 0, а
выражения A1.5) и A1.6) принимают вид
Ад' = агт! + За2га' у + а3га'у2 + а4т'у2 + а5у3,
ДС = 0.
Сагиттальная составлющая аберрации отсутствует.
В дальнейшем если луч лежит в меридиональной плоскости, то
поперечную аберрацию этого луча будем обозначать через Ду'
(вместо Ад'). Поэтому для меридиональной составляющей
поперечной аберрации луча в этом случае будем иметь
Ад' = ахга'3 + За2га'2у + а3т'у2 + аАт'у2 + asy3. A1.7)
11.5. Фигуры рассеяния лучей в плоскости изображения
при аберрациях 3-го порядка
После прохождения оптической системы гомоцентрический
пучок лучей, вышедший из какой-либо точки плоскости предмета из-
за аберраций оптической системы теряет свою гомоцентричность.
В результате этого лучи пучка встречают плоскость изображения в
различных точках, совокупность которых образует в этой плоскости
различные фигуры. Рассмотрим эти фигуры при отдельных
монохроматических аберрациях 3-го порядка.
Положив в A1.5) и A1.6) с*! -ф- 0, а2 = а3 = а4 = а5 = 0, для
сферической аберрации 3-го порядка получим
Ад' = а^т'2 + М'2)га',
239
Пусть точка L'(mf;Mf) встречи луча с плоскостью выходного зрачка
диаметром D' описывает в этой плоскости окружность с радиусом г
(рис. 11.4).
Рис. 11.4. Точка U встречи луча
с плоскостью выходного зрачка
Так как
т' =
М' = rcoscp,)
то далее получим:
Ад' = аг(г25т2^
A1.8)
r2cos2cp)rsincp = агг3 sincp,
АС = a1(r2sin2(p + r2cos2cp)r cos cp = агг3 cos ср.
Возведя в квадрат и сложив обе части этих уравнений, будем иметь
" = Д2, A1.9)
где
R =
A1.10)
Следовательно, если исходящий из осевой точки плоскости предмета
луч описывает в плоскости выходного зрачка окружность с радиусом
г, то в плоскости изображения он описывает окружность с радиусом
R. Так как г может меняться от 0 до D'/2, то, очевидно, при
заполнении всего выходного зрачка осевой пучок света образует в
плоскости изображения фигуру в виде круга с радиусом
R = а^/Б.
240
Составляющие Ад' и АС сферической аберрации не зависят от
величины у предмета, т.е. эта аберрация одинакова для всех его
точек. Поэтому ее принято вычислять для лучей, исходящих из
осевой точки плоскости предмета, когда у=0.
Для вычисления комы 3-го порядка в A1.5) и A1.6) полагаем
аг = а3 = а4 = as = О, а2 =? 0. Тогда для ее составляющих будем
иметь
АС = 2а2т'М'у.
Предположим, что луч, вышедший из внеосевой точки В плоскости
предмета, находящейся на расстоянии у от осевой точки, описывает в
плоскости выходного зрачка окружность с радиусом г. Тогда,
применяя A1.8), для составляющих Ад' и АС комы 3-го порядка
далее можно написать
Ад' = a2Cr2sin2(p + r2cos2cp)y =
a2r2y(l + 2sin2 cp) = a2r2yB — cos 2cp),
Ag' + 2a2r2y = a2r2y cos 2cp. (a)
AC = 2a2r sin cp • r cos cp • у = a2r2y sin 2cp,
AC = -a2r2y sin 2cp. (b)
Возведя обе части (а) и (b) в квадрат и сложив, получим
R2, О 1.11)
где R = a2r2y. A1.12)
Следовательно, если вышедший из внеосевой точки в плоскости
предмета луч описывает в плоскости выходного зрачка окружность с
радиусом г, то точка В' его встречи с плоскостью изображения в это
время опишет окружность с радиусом R, определяемым по A1.12).
Центр О этой окружности окажется смещенным вдоль оси координат
Ад' на 2R относительно точки В'ТЯ встречи главного луча с
плоскостью изображения. При г=0 названная окружность
вырождается в точку В^л, принадлежащую главному лучу.
241
На рис. 11.5 показана окружность с радиусом OB'=R, центр О
которой смещен относительно точки В{л на величину 2R вверх по оси
Ад' при а2у > 0.
Ад'
Рис. 11.5. Фигура рассеяния лучей в плоскости
изображения при коме 3-го порядка
Проведем из точки В'т две касательные к окружности, каждая из
которых составит с осью Ад' некоторый угол а. Из рисунка видно,
что
OB' R 1
ж
Все окружности в плоскости изображения, каждая из которых имеет
определенную величину R, касаются обеих сторон угла 2а = 60° с
вершиной в точке Д!л. Если лучи света заполняют весь выходной
зрачок диаметром D', то в плоскости изображения они образуют
фигуру рассеяния лучей, ограниченную стронами угла 60° с
вершиной в точке ВуЯ и дугой, касающейся этих сторон окружности с
радиусом
(D'\2
R = I у) а2у.
Таким образом, при коме 3-го порядка изображение внеосевой точки
имеет форму фигуры, похожей на комету.
Полагая в A1.5) и A1.6) аг = а2 = а5 = 0, а3 =? 0, а4 =? 0, для
меридиональной и сагиттальной составляющих Ад' и АС получим:
Ад' = (а3 + а4)т'у'2 = (а3 + a4)y2r sin cp,
АС = а4М'у2 = a4y2r cos ср.
242
Отсюда следует
Ад' АС
Возведя обе части этих уравнений в квадрат и сложив, будем иметь
[(a3 + a4)ry2]2
Таким образом, если оптическая система обладает только
меридиональной и сагиттальной кривизной поверхности изображения
3-го порядка, а пучок лучей света имеет в плоскости выходного
зрачка сечение в виде круга с радиусом г, то в плоскости
изображения он образует фигуру в виде эллипса с полуосями
(а3 + а4)гу2 и а4гу2 вдоль осей Ад' и АС соответственно. Эллипс
вырождается в окружность с радиусом R = аАгу2 при а3 = О
(отсутствует астигматизм).
Если а3 + а4 = 0 (отсутствует меридиональная кривизна
изображения), то эллипс вырождается в отрезок АС = аАМ'у2
прямой, лежащей в сагиттальной плоскости.
Если а4 = 0 (отсутствует сагиттальная кривизна изображения),
эллипс вырождается в отрезок Ад' = а3т'у2 прямой, лежащей в
меридиональной плоскости.
Если все аберрации 3-го порядка, кроме дисторсии,
отсутствуют, то аг = а2 = а3 = а4 = 0, а5 Ф 0. В этом случае
Ад' = Ay;HCT = asy3,
АС = 0.
Отсюда следует, что дисторсия 3-го порядка пропорциональна у3 и
не зависит от координат точки встречи луча со зрачками. На этом
основании дисторсию относят к аберрации главного луча.
Из этих же двух выражений видно, что при фиксированной
величине предмета фигура рассеяния лучей в плоскости изображения
при наличии только дисторсии 3-го порядка представляет собой
точку, т.е. дисторсия 3-го порядка не вносит нерезкости изображения.
Но, как уже отмечалось в п. 10.5, вообще эта аберрация приводит к
нарушению подобия между предметом и его изображением.
Если в прямом ходе лучей оптическая система обладает,
например, подушкообразной дисторсией (АудИСТ > 0), то в обратном
ходе лучей она окажется бочкообразной (АудИСТ < 0), т.е. поменяется
ее знак.
243
11.6. Графики аберраций 3-го порядка
Поперечная сферическая аберрация 3-го порядка в соответствии
с A1.7) выражается формулой
Ау' = агт!ъ,
являющейся нечетной функцией относительно т'. График этой
функции, приведенный на рис. 11.6, представляет собой кубическую
параболу.
т'
/oi>0
Ay'
т
А
AS'
\
Рис. 11.6. График поперечной
сферической аберрации 3-го
порядка
Рис. 11.7. График продольной
сферической аберрации 3-го
порядка
Продольная сферическая аберрация
;т'2 = аг (V - *;,) т'2 = аг (s' - s'pff tg2a'
f Ay' w!
As = = CLa ,
tga1 tgo'
является четной функцией относительно т' или tgo'. Следовательно,
при изменении знака т' или tga' знак продольной сферической
аберрации не меняется. График этой функции относительно т',
показанный на рис. 11.7, представляет собой параболу 2-го порядка.
Меридиональная кома 3-го порядка в соответствии с A1.7)
Ад' = За2ут'2,
т.е. эта аберрация является четной функцией относительно т'.
График этой функции, показанный на рис. 11.8, представляет собой
параболу 2-го порядка.
Меридиональная и сагиттальная кривизна поверхности
изображения на основании A1.5) и A1.6) представляются
соответственно как
244
kg' = (a3 + a4)y2mf,
AGf = a4y2Mf.
Следовательно, графики меридиональной и сагиттальной кривизны
поверхности изображения 3-го порядка в зависимости от т' и М'
соответственно представляют собой прямые линии, что и показано на
рис. 11.9 и 11.10.
А/
\
Рис. 11.8. График Рис. 11.9. График мери- Рис. 11.10. График
меридиональной диональной кривизны сагиттальной кри-
комы 3-го порядка поверхности изображе- визны поверхности
ния 3-го порядка изображения 3-го
порядка
Очевидно, (а3 + а4)у есть угловой коэффициент прямой
относительно координатной оси т', а аАу2 - угловой коэффициент
прямой относительно координатной оси М''.
По приведенным выше графикам аберраций 3-го порядка можно
судить о том, является ли рассматриваемая аберрация аберрацией
3-го порядка.
11.7. Связь коэффициентов а3 и а4 с кривизной изображения и
астигматизмом
Рассмотрим луч 1, идущий в меридиональной плоскости из
некоторой внеосевой точки предмета. Пусть этот луч, как показано на
рис. 11.11, в пространстве изображений произвольной оптической
системы проходит через центр Р' выходного зрачка и встречает
плоскость Гаусса в некоторой точке В'{О, у'о + Ду')> в которой он
имеет поперечную аберрацию Ду'- точка В'0@, у'о) является
идеальным изображением взятой внеосевой точки предмета.
245
Вых. зрачок
П л. Гаусса
Рис. 11.11. К связи коэффициентов а3 и ау с z'mw z's
Пусть близкий к лучу 1 некоторый луч 2, идущий в
меридиональной плоскости из той же внеосевой точки предмета,
пересекает плоскость выходного зрачка на малой высоте Am'
относительно оптической оси, а плоскость Гаусса - в точке
В"@, у'о + Ау + А(Ау')). Очевидно, А(Ау) = В'В" есть изменение
аберрации Ау' при переходе от луча 1 к лучу 2. Оба луча
пересекаются в некоторой точке В'ш, находящейся на расстоянии z'm
от плоскости Гаусса. Из рисунка следует, что
~ s'p,
откуда получаем
А(Ду')
Am' '
А(Ду') _,
z
Так как величина Ау имеет третий порядок малости, то ,
является величиной не менее 2-го порядка малости. Кроме того,
величина z'm является четной функцией, т.к. знак ее не меняется при
изменении знака Am' и, следовательно, тоже имеет порядок малости
не ниже второго. Поэтому второе слагаемое в предыдущем
выражении можно отбросить как величину не ниже 4-го порядка
малости и написать, что
zm =
246
Перейдя от этого выражения к пределу при Am'—» 0, можно
написать, что меридиональная кривизна изображения
,. -, ,. А(д/) (, ,
zm = lim zm = lim ' л
dm'
Jm'
A1.14)
Найдя с помощью A1.5) производную от Ад' = Лу' по т 'и положив
после этого в ней т '=0, получим
Поэтому
dm' J ,
Аналогичным путем, рассматривая ход луча 2 в сагиттальной
плоскости и используя выражение A1.6) для сагиттальной
составляющей AGr поперечной аберрации, можно получить
выражение для сагиттальной кривизны изображения в виде
z's = а4у2 (s' - <у).
Из последних двух формул следует, что сумма коэффициентов
а3 + а4 определяет меридиональную кривизну изображения, а
коэффициент а4 - сагиттальную кривизну изображения.
Так как астигматизм
2
zs - zm = a3y
то, очевидно, коэффициент а3 определяет величину астигматизма.
11.8. Сферическая аберрация 3-го порядка лучей,
идущих на краю и на зоне зрачка
Продольную сферическую аберрацию как четную функцию от
tg о' можно представить в виде ряда
As' = a-^tg2 о'+ a2tgA о'+ ... + aktg2k <т'+ ... A1.15)
Первый член этого ряда соответствует поперечной сферической
аберрации 3-го порядка, второй член - сферической аберрации 5-го
порядка и т.д. Ограничиваясь первыми двумя членами ряда, напишем
As' = axtg2 о' + a2tgA о1'. A1.16)
247
Значение tg о'для луча, проходящего по краю выходного зрачка,
обозначим через tg а^р. Значение tg сг'для луча, проходящего не по
краю зрачка, а на меньшей высоте, будем обозначать через tg <т^он.
В соответствии с этим сферическую аберрацию для луча, выходящего
из оптической системы под углом сг^р к оптической оси, будем
называть аберрацией на краю зрачка и обозначать через As^p.
Аналогично сферическую аберрацию для луча, выходящего из
оптической системы под углом 0"з0Н, назовем аберрацией на зоне
зрачка (зональная аберрация) и обозначим через А53'оН- Предположим,
что сферическая аберрация на краю зрачка равна нулю. Тогда на
основании A1.16) можно написать
Д<^р = axtg2 <р + a2tgAa'KV = tg2 а^(аг + a2tg2 <p) = 0.
Очевидно, что это может иметь место при tg a^p = 0, что
соответствует параксиальной области, а также при аг + u2tg2a^p = 0,когда
(П.17)
Проанализируем теперь сферическую аберрацию на зоне зрачка, для
которой на основании A1.16) можно написать
Взяв первую производную от As^oh no tg2 a^0H и приравняв ее к
нулю, получим
аг + 2a2tg2 а^он = О,
dtg2 <Тз'о
откуда
Для второй производной от Astern no tg2 a^0H имеем
п2"
<т3'о„J
Следовательно, при а2 < 0 сферическая аберрация на зоне
зрачка максимальна, а при а2 > 0 - минимальна.
248
tgo'
As'
As'
О о
Рис. 11.12. График Дз'при а2 < О Рис. 11.13. График Дз'при а2 > О
На рис. 11.12 показан график сферической аберрации при а2 < О,
а на рис.11.13 - при а2 > 0. Таким образом, если оптическая система
имеет сферическую аберрацию только 3-го и 5-го порядков и при
этом на краю эта аберрация равна нулю, то на зоне зрачка она
экстремальна.
11.9. Связь сферической аберрации 3-го и 5-го порядков
На основании формул A1.16) и A1.18) для продольной
сферической аберрации на краю и на зоне зрачка соответственно
можно написать:
ks'=a1tg2o'-
Введем для краткости следующие обозначения:
2 rrr — Лс'3п
^кр - А5кр i
rrr — Лс/Зп
Очевидно, что Д^рП и Д53'о™ ~ продольные сферические аберрации,
соответствующие поперечным аберрациям 3-го порядка на краю и
зоне зрачка, а As^n и Д53'он ~ продольные сферические аберрации,
соответствующие поперечным сферическим аберрациям 5-го порядка
на краю и зоне зрачка соответственно. С учетом этих обозначений
две предыдущие формулы можно написать в таком виде:
249
As' =As'3n + As'5n =-As'3n+-As'5n A1.20)
зон зон зон 2 KP 4 KP
Рассмотрим несколько случаев, вытекающих из последних двух
формул.
1) Предположим, что аберрация 5-го порядка на краю и зоне
зрачка отсутствует, т.е. As^n = As3'oh = О- Тогда из A1.19) и A1.20)
соответственно можно написать:
As^p = As^pn ,
1
Л*з'он = 2Л^рП-
Отсюда получаем
(П.21)
Это равенство является признаком того, что в оптической системе
имеются аберрации только 3-го порядка, а аберрации более высоких
порядков отсутствуют.
2) Пусть оптическая система не обладает сферической
аберрацией 3-го порядка, т.е. As^n = As3'oh = 0. Тогда из уравнений
A1.19) и A1.20) имеем:
а<ьзон "" 4 КР ¦
откуда следует, что
до' -4Дс' A1.22)
Это равенство является признаком того, что в оптической системе
имеются аберрации только 5-го порядка.
3) Предположим, что сферическая аберрация полностью
исправлена для края зрачка, т.е. As^p = 0 при As3'oh ^ 0. Установим в
этом случае величины аберраций 3-го и 5-го порядков на зоне зрачка
относительно As^cm. Из уравнений A1.20) и A1.19) соответственно
имеем:
As'3n = As' - As'5n
"°30Н "°30Н "°30Н '
а<ьзон "" 2 зон ¦
Из этих двух соотношений нетрудно получить
Д53'о3нП = 2Д53'ОН . A1.23)
250
Из уравнения A1.20) далее можно написать
Подставляя сюда значение As3'm? из предыдущего уравнения, получим
Д53'05г? = -Д5^0Н . A1.24)
4) Предположим теперь, что сферическая аберрация полностью
исправлена для зоны зрачка, т.е. As3'oh = 0, но As^p =? 0. Установим
величины аберраций 3-го и 5-го порядков на краю зрачка
относительно As^p.
Из уравнений A1.19) и A1.20) соответственно можно написать:
До'Зп _ л „г _ До'5п
откуда получаем
Далее из уравнения A1.19) можно написать
A1.25)
Рис. 11.14. Различные случаи связи сферической аберрации 3-го и
5-го порядков
Используя предыдущее равенство, получим
As^n = 2A^p. A1.26)
На рис. 11.14 показаны графики рассмотренных четырех случаев
соотношений сферической аберрации 3-го и 5-го порядков. Эти
соотношения могут оказаться очень полезными при коррекции
аберраций сложных оптических систем.
251
11.10. Положение плоскости наилучшей установки при
сферической аберрации 3-го порядка
Предположим, что оптическая система имеет только
сферическую аберрацию 3-го порядка, т.е. As^p = atg2a'K^ = As^pn,
а„г _ nfn2 t _ д~'3п
а<ьзон "" и1У азон "" а<ьзон •
Пусть лучи 1, выходящие из оптической системы в
меридиональной плоскости через край выходного зрачка под углом
о"кР к оптической оси, образуют в плоскости Гаусса поперечную
сферическую аберрацию АукР, которой соответствует продольная
сферическая аберрация As^p (рис. 11.15). Некоторые зональные лучи
2, идущие под углом а^он к оптической оси, образуют продольную
сферическую аберрацию As^oh- Выберем в качестве плоскости
установки плоскость, которая проходит параллельно плоскости
Гаусса через точку пересечения крайнего 1 и зонального 2 лучей и
отстоит от плоскости Гаусса на расстояние А. Очевидно, в этой
плоскости поперечная сферическая аберрация обоих лучей будет
иметь некоторую величину Ауд. Очевидно также, что для разных
зональных лучей, имеющих разные величины 0"з0Н, аберрация Ауд
также различна.
Пл. Пл. Гаусса
Установки
Рис. 11.15. К определению положения плоскости наилучшей
установки
Та плоскость установки, в которой поперечная сферическая
аберрация Ауд по абсолютной величине имеет минимальное
252
значение, и будет являться плоскостью наилучшей установки. Из
рисунка следует, что
Дуд = (Д^р — A)tga^p = {As^0H — A)tga^0H .
Продольную сферичекую аберрацию можно представить в виде
ряда по четным степеням tg а'. Тогда для аберрации 3-го порядка на
краю и зоне зрачка можно написать:
As'Kp = atg2o'Kpt As3'0H = a tg2a^0H .
Поэтому
Дуд = (a tg2a'Kp - A)tga^p = (а tg2a^0H - A)tga^0H ,
откуда получаем
° + ^^ + tg °
Подставив это выражение для Л в формулу для Дуд, будем иметь
Дуд = (As'Kp - A)tga^p = -a tg2o'Kptgo^0H - a
Возьмем производную от этого выражения по
d tga^0H
Приравняв эту производную нулю, найдем, что при
1 .
поперечная сферическая аберрация Дуд принимает экстремальное
значение. Подставив это значение tga^0H в предыдущую формулу для
Дуд, найдем экстремальное значение Дуд в виде
^%,. (и-27)
Подставив предыдущее значение tga^0H в формулу для Д, получим
Д=^р. A1.28)
Из двух последних выражений заключаем, что при сдвиге плоскости
установки относительно плоскости Гаусса на -Д^р и при наличии
только сферической аберрации 3-го порядка поперечная сферическая
аберрация уменьшается в 4 раза.
253
11.11. Условие изопланатизма (Штебле-Лигоцкого)
Предположим, что некоторая оптическая система имеет
поперечную сферическую аберрацию Ду'. При переходе от осевой
точки предмета к близкой внеосевой точке, т.е. при увеличении
предмета у и соответствующем изменении величины у' его
изображения, очевидно, будет изменяться и величина поперечной
аберрации Ду'. Можно показать, что производная
с . , ( п sina л , As'
Ssina 1 +
8у' 8 sin a'
Введем обозначение:
п sina As'
Тогда
8Ay' 8 (ji sina')
A1.30)
8y' 8 sin a'
Производная A1.30) характеризует изменение аберрации при
переходе от осевой точки плоскости предмета к внеосевой точке,
расположенной вблизи оптической оси.
Предположим, что
п sina As'
Л =-Б-1—- 7~ 1+~ 7= °- A1.31)
/?n'sincr' sp, - s' v J
Тогда, как следует из A1.30), при переходе от осевой точки
плоскости предмета к внеосевой точке вблизи оптической оси
изменение аберрации не происходит. Если при этом Д$' -ф- 0, то с
точностью до величин второго порядка малости по сравнению с Ду'
аберрация для точки вне оси такая же, как и для осевой точки. В этом
случае изображения точек элемента плоскости предмета вблизи
оптической оси называют изопланатическими, т.е. имеющими
одинаковые погрешности. На этом основании уравнение A1.31)
называют условием изопланатизма, установленным в 1919г.
одновременно и независимо друг от друга Штебле и Лигоцким.
Если предположить, что для взятого луча, исходящего из осевой
точки, Д$' = 0 и л = 0, то с учетом A1.30) можно считать, что точки
элемента плоскости предмета вблизи оптической оси будут
изображаться также без погрешностей, как и осевая точка. При этом,
254
очевидно, уравнение A1.31) переходит в условие синусов Аббе.
Поэтому это уравнение называют иногда обобщенным
условием синусов. Величину г\ называют коэффициентом
изопланатизма. Численное значение г], не равное нулю,
характеризует величину отступления от изопланатизма.
Обозначим расстояние от осевой точки плоскости предмета до
точки встречи осевого луча с первой поверхностью через р. Тогда,
очевидно,
sin a = —,
V
где hi - высота луча на первой поверхности. Кроме того,
- sF
для sin о
A1.31) нетрудно получить
Используя эти выражения для sin о и /? и учтя, что — = —-, из
— sF As'
1 +
Для бесконечно удаленного предмета, когда расстояния s1 w p
стремятся к бесконечности, будем иметь
ht As'
771 + 0
Это уравнение выражает условие изопланатизма при бесконечно
удаленном предмете.
Из уравнения A1.31) видно, что условие изопланатизма
выполняется, если одновременно выполняется условие синусов и
уничтожена сферическая аберрация.
11.12. Связь между меридиональной комой 3-го порядка
и коэффициентом изопланатизма т]
Из формулы A1.29) видно, что при изменении знака сг'знак г/ не
меняется, т.е. г/ есть четная функция угла а'. Разложив ее в ряд по
четным степеням о' и отбросив члены выше второго порядка
малости, получим
255
Умножив это выражение на sin o\ будем иметь
л sin о' = a^in^o'.
На основании формулы A1.30) можно далее написать
8Ауг 8 (л sina1) .
-—- = —— — = За^т2о! = Зл. A1.32)
5у' 5 sm о'
В соответствии с формулой A1.7) поперечная аберрация
меридионального луча выражается как
Ду' = о,-\Щг + За2гп' у + а3т'у2 + а4т'у2 + а5у3.
г У1
Так как у = —, то
р
Ду — а^т н ^~^ У ~1~тг?тУ ~^~п2тУ ~^~о^У
Второй член правой части этого выражения есть меридиональная
кома 3-го порядка, т.е.
к-%«',.
Взяв производную от Ду' по у' и положив в ней затем у' = О,
получим
8Ау' За2 ,2
W = Tm ¦
С учетом этого предыдущую формулу можно написать в виде
SAy'
K=wy-
Используя далее выражение A1.32), будем иметь
К = 3лу'. A1.33)
Эта формула выражает связь между меридиональной комой и
коэффициентом изопланатизма г/ в области аберраций 3-го порядка.
256
ГЛАВА 12. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
3-ГО ПОРЯДКА ВНЕМЕРИДИОНАЛЬНОГО
(КОСОГО) ЛУЧА
12.1. Формулы меридиональной и сагиттальной
составляющих поперечной аберрации
внемеридионального (косого) луча
Будем считать, что некоторая оптическая система задана
радиусами кривизны поверхностей и толщин линз, конечными
значениями промежутков между вершинами соседних поверхностей
и показателями преломления всех сред. Будем также считать, что
изображаемый этой системой предмет является безаберрационным.
Опуская довольно длительные выкладки, обычно приводящиеся в
курсах геометрической оптики и теории аберраций, приводим
формулы для меридиональной и сагиттальной составляющих
поперечной монохроматической аберрации внемеридионального
(косого) луча в следующем виде:
т\У\
-2n'a'AGr = :
(s\-spjfi\
ЪпхМхух
A2.1)
В этих формулах положение внемеридионального луча в
пространстве предметов однозначно определяется величинами
slf sPl, m1,M1 и уг. От этих величин нетрудно перейти
соответственно к величинам 5'f s'p, т', М' и у', определяющим
положение луча в пространстве изображений. При этом формулы
A2.1) принимают вид:
257
5 -5 ./a E -s.)a-p
(^
[s -
[s-sp.)a-p
A2.2)
{s-sp,)ap-
B A2.1) и A2.2) SIt Sjj, Sin, $iv> и $v означают суммы Зейделя,
определяющие соответственно сферическую аберрацию, кому,
астигматизм, кривизну поверхности изображения и дисторсию
(иногда их назвают коэффициентами соответствующих аберраций).
Эти суммы вычисляются по результатам расчета 1-го и 2-го
параксиального лучей.
12.2. Формулы сумм Зейделя
Формулы сумм Зейделя в зависимости от положения плоскостей
предметов, изображений, а также координат первого и второго
параксиальных лучей могут иметь различный вид. Ниже формулы
приведены в таком виде, в котором они наиболее часто используются
при расчетах оптических систем.
С -
A2.3)
Здесь применены следующие обозначения.
р - число поверхностей в оптической системе.
hk - высота первого параксиального луча на к-й поверхности.
258
< пк/ \SvJ
\8a)k
p'k-pk
k a'k-ak
= v'k-vk= — - — .
nk nk
A2.4)
A2.5)
A2.6)
12.3. Меридиональная и сагиттальная составляющие
поперечной аберрации 3-го порядка внемеридионального
(косого) луча при различных положениях
плоскостей предметов и изображений
Будем считать, что плоскости входного и выходного зрачков
расположены на конечном расстоянии от оптической системы.
Рассмотрим меридиональную и сагиттальную составляющие
поперечной аберрации 3-го порядка внемеридионального (косого)
луча при различных положениях плоскостей предметов и
изображений.
1. Плоскости предметов и изображений расположены на
конечном расстоянии от оптической системы.
В этом случае целесообразно использовать A2.1) при условии,
что первый параксиальный луч рассчитан при аг = 1,Нг = s1a1 = sl9
а второй - при /?! = \,у\ = sp/?i = sp. Если /?- линейное увеличение
системы, то
Тогда с учетом A1.1) выражение A2.1) нетрудно привести к виду:
A2.7)
2(o{CSul + J2SH,
i)s, +2tgaltg2nitgcolS,,
259
Если применить A2.2), то первый параксиальный луч целесообразно
расчитать при а' = 1, /?' = 1, когда инвариант Лагранжа-
Гельмгольца J = п' (s'p — sr).
В этом случае
а выражения A2.2) с учетом A1.2) можно привести к виду:
V + tg
+ tga'tg2(o'CS,,, + J2Sn/)+ tg'co'Sy ]
Ag' = -^;[tga'(tg2a' + tg'Q'js, + (з& V + tg2Q!)gco'Su
AC = -^[tgQ'itg'a' + tg'n'jS, +2tgcr'tgQ.'tgu)'Sll
+ tgatg2co'{sm+J2SIV\
A2.8)
Для получения углов J3 второго параксиального луча при /?' = 1
надо рассчитать этот луч при любом значении /Зг и при уг = Sp^.
Разделив затем полученные значения всех углов /? на /?', получим
значения этих углов при /?' = 1.
Если первый параксиальный луч рассчитан при а' = 1,
а второй - при /?! = 1, уг = Spfii = sp, то применив A1.2) и известное
соотношение
/?' = -fi'
~ spf si — sp
формулы A2.2) можно привести к виду:
1
2п
+ tga'tg2co^SUi
')si +2tgcrltgQ:tgco{Sll
A2.9)
2. Плоскость предметов расположена в бесконечности, а
плоскость изображений - на конечном расстоянии от оптической
системы.
260
При использовании A2.1) первый параксиальный луч
целесообразно расчитывать при аг = 0, а' = 1,/^ =/', а второй -
при /?! = l,yi = sp/?;L = 5р, когда при п' = 1 имеем j = —у7'. Тогда
из A2.1) при учете A1.2) будем иметь:
лт}
Млт:
3/и2 + M]
ЪпМх
A2.10)
Введем обозначения:
= /'¦?,,
sIV = —slv,
f
% = f'Sv ,
J = f'J.
A2.11)
A2.12)
в которых суммы Зейделя 5"/, SIIf SIIIf SIV, и Sv и инвариант
Лагранжа-Гельмгольца 1 взяты при аг = 0, а' = 1,/^ = l,f = 1.
Тогда A2.10) получают вид:
+m1tg2co1 C5j
1
= ~2n'
m
-57+-
A2.13)
Если исходить из формул A2.2), то, как показано выше, при
а' = 1,/?! = 1 они приводятся к формулам A2.9). Но при s± = — оо
имеют место соотношения A2.11) и A2.12).
Поэтому в этом случае
261
f
Ад' = - —
f
AC = - —
- -
f + tg2u')SI + Ctg2af + tg2u')tgaISII
+tga'tg2aI \3Slu + J~ SlvJ
g2G' + tg2a')Sl +
A2.14)
12.4. Формулы для определения величины
фигур рассеяния лучей в плоскости
изображения при аберрациях 3-го порядка
В п. 11.5 были приведены формы фигур рассеяния лучей в
плоскости изображения при отдельных аберрациях 3-го порядка.
Ниже будут получены выражения, с помощью которых можно будет
не только описать формы этих фигур, но и вычислить их величину.
Из A2.14) при Sn = Sm = SIV = Sv = 0 для меридиональной и
сагиттальной составляющих сферической аберрации можно написать
In
In
s, -s
M'
s. -s
s, -s
( R sin cp I ( R cos cp I
R sin cp f'-( R
= —S/| I sin<p = a[sin<p,
s'p.-s' In \sp,-s
( V
AG' = - — (tg2a + tg2Q')tg Q' Si = — Si\ cos cp = axcos cp
In
где ai =
In
Г
S,.
Отсюда получаем
Ад'2 + АС2 = а\ .
A2.15)
A2.16)
Следовательно, при сферической аберрации 3-го порядка
исходящие из осевой точки предмета лучи образуют в плоскости
изображения фигуру в виде круга с радиусом аи величину которого
можно вычислить по A2.15). При возрастании R увеличивается
радиус круга, достигая при R=D'/2 максимальной величины
262
_
При 5"/ = 5"/// = SIV = Sv = 0 из A1.5) имеем
bg' = -J-{3tg2cj' + tg2Q')tgQ)~S,, =-J-tg(o'S,
2/7 2n
AG' = -^ 2tg& tgQ'
In
Введем обозначение:
A2Л8)
Тогда получим
Ад' = 2а2 — а2 cos2cp ,
AGr = a2sin2(p .
Отсюда получаем
(Д#' -2a2J+AGr2 = al. A2.19)
Таким образом, при коме 3-го порядка исходящие из внеосевой
точки плоскости предмета лучи образуют в плоскости изображения
фигуру, показанную на рис. 11.5. Фигура ограничена дугой
окружности, имеющей уравнение A2.19), и касательными к этой
окружности, проведенными из точки встречи главного луча с
плоскостью изображения. Для главного луча R=0. При возрастании R
радиус п2 окружности увеличивается и при R=D'/2 достигает
максимальной величины
а2тах = -^7
При этом центр всех окружностей смещен вдоль оси Адг
относительно точки В'ТЯ встречи главного луча с плоскостью
263
изображения на величину 2а2. Поэтому максимальная величина
фигуры рассеяния лучей в плоскости изображения вдоль оси Ад'
окажется равной
3 / D' \2
За2тах=— Г Ь tgcoS,,. A2.21)
Ш \sp, - s )
При Sj = Sn = Sv = О для меридиональной и сагиттальной
составляющих поперечной аберрации из A2.14) будем иметь
Ag' = ~^Л °'1Г(о{зЪш +Sn )=-{^%2 «Рдг+5/, )+ 25/// ]tg a' =
= ——tg2(o\Sin +5/1 }g<jf-^—tg2co-2S,,, tga =—tg2(o\Sin +5л ) ,™ +
2/7 2/1 2/7 5/;'-5
2
5^'~5 2/7
ff n / \ f' R
= —-•— -tg2co\Sm +5/i l+^y — -tg2coSm \sin(p'.
In sp.-s n sp. -s J
АО — 1§^ t§~ oAS in + S // I^ — tg ~ со Iо /// + S // I— 1о /// + S и
In' In s'p.-s' 2n's'p.-s
Применим обозначения:
Z72 S ^
f R
A2.22)
A2-23)
rt7
Тогда можно написать
' = (a3 + a^sincp , A2.24)
AC = a3coscp. A2.25)
2T
= 1. A2.26)
Из этих двух выражений следует
Ад'2 AG'2
(а3 + а4J а2
Следовательно, при астигматизме и кривизне поверхности
изображения 3-го порядка исходящие из осевой точки плоскости
предмета лучи образуют в плоскости изображения в общем случае
264
фигуру, ограниченную эллипсом с полуосью а3 + а4 в направлении
координатной оси Ад' и полуосью а3 в направлении координатной
оси АС. Если лучи заполняют весь выходной зрачок с радиусом
R=D'/2, то из A2.22) и A2.23) будем иметь:
f
f D'
a3 + a* = T^ e' -e' ^ ^ 35/// + 5^) '
Рассмотрим несколько частных случаев.
1) Пусть оптическая система не имеет астигматизма, т.е. Sm = 0.
Тогда из A2.23) имеем а4 = 0, а из A2.26) получаем
Ag'2+AG'2 =а$.
Следовательно, при отсутствии астигматизма, но при наличии
кривизны поверхности изображения (SIV Ф 0) лучи образуют в
плоскости изображения фигуру в виде круга с радиусом а3.
2) При 5/// + SIV = 0 имеем а3 = 0. Тогда из A2.25) следует АС = 0,
а из A2.26) при этом будем иметь Ад' = а4. Следовательно, в этом
случае лучи образуют в плоскости изображения отрезок прямой,
равный а3 и расположенный в меридиональной плоскости.
3) Положим а3 + а4 = 0, что равносильно 35/// + SIV = 0. Тогда из
A2.24) следует Ад' = 0, а из A2.26) при этом получаем АС = а3, то
есть фигура рассеяния лучей в плоскости изображения вырождается в
отрезок прямой, равный а3 и расположенный в сагиттальной
плоскости.
265
ГЛАВА 13. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
3-ГО ПОРЯДКА МЕРИДИОНАЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ И
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ
13.1. Формулы продольной сферической аберрации 3-го
порядка меридионального луча
Опуская достаточно длительный вывод, изложенный, например,
в [27], приведем формулу продольной сферической аберрации
меридионального луча, прошедшего оптическую систему из р
поверхностей в общем виде при безаберрационном предмете
(As = 0):
*Ш8" озл)
В приведенной формуле отношение — может быть взято для любого
at
пространства ? = 1, 2,... к ... р + 1.
Если плоскости предметов и изображений расположены на
конечном расстоянии, то целесообразно положить ? = р + 1, когда
at = <Jp+i = <Jr, at = ap+1 = a'. Заменив а' на tgo', получим
Если при этом первый параксиальный луч рассчитан при а' = 1, то
bs^-^tg^a'S^ A3.3)
Если положить t = 1, когда ot = olt cct = ссъ то формулу A3.1)
можно написать в виде
= ~2^S'- A3'4)
Но первый параксиальный луч можно при этом рассчитать при
аг = 1, что соответствует
i 1
где /?- линейное увеличение. Тогда, очевидно,
Л ' П'Р2 2 с
As = 5" tg <J\Si. A3.5)
2nj
Если плоскость предметов расположена в бесконечности, то
целесообразно положить ? = р + 1. Тогда
266
т1
где т1 - высота луча в плоскости входного зрачка, /' - фокусное
расстояние оптической системы. Тогда при а' = 1 из формулы A3.1)
следует
*#¦ A3.6)
Подставляя далее сюда значение 5"/ из A2.11), можно написать
1 т? _
A3.7)
где сумма Зейделя Sj вычисляется при аг = О, сс'р = а' = 1, hx = 1.
13.2. Формула поперечной аберрации 3-го порядка
меридионального луча
Ниже приводится формула поперечной аберрации
меридионального луча, проходящего через оптическую ситему из р
поверхностей, минуя ее вывод, изложенный в [27].
/и3 к=р
Зт^у, ^
т у2 к=р
1 1
A3.8)
1 1
Применим обозначения сумм Зейделя A2.3) и учтем, что
пр+1 = п', ар+1 = а', Аур+i = Ау'. Тогда формула A3.8) может быть
написана в виде
267
2п'а'Ау'-2паАу = 7 "V S,-у J^1 y^—S,, +
lV~M ak \spk -skT\spt-s,FiP,
+ ШкУ> CS +J2S )- У' S
+ CS +JS )-
(S,,k ~ 5A A5/i/ -Si) ak Pi \Sp, ~ S,
Эта формула позволяет вычислить поперечную аберрацию
меридионального луча. Она является базовой формулой, с помощью
которой в дальнейшем будут получены рабочие формулы для
вычисления меридиональной комы, астигматизма, кривизны
изображения, дисторсии 3-го порядка. Она также будет использована
в главе 18 при суммировании аберраций.
13.3. Суммы Зейделя для вычислений на ЭВМ
Выражения A2.3) для сумм Зейделя Su, Sm и 5V, входящие в
формулу A3.9), не могут быть использованы при вычислениях на
ЭВМ, т.к. в этих суммах множитель 8/3/8а может оказаться очень
большой величиной (например, в случае апланатической поверхности
второго рода 8а = 0). Получим выражения указанных сумм, в
которых названный множитель будет отсутствовать.
В соответствии с инвариантом Лагранжа-Гельмгольца
J = nay = nap(sp — s) = na^sv — na/3s = nay - n/3h .
Отсюда следует
Аналогично для пространства изображений
Из двух последних выражений получаем:
у J /1 1\
8р =-8а-— — -- ,
h h \nf n)
W =У jW~n г A3.10)
8а h a' — a h '
268
Используя это выражение, для суммы Зейделя 5"// можно написать
1 1
hk ak+]-ak hk
Введем обозначение:
пк)
nk+l nk
k=P k=P
Тогда
k=l k=l
Для суммы Зейделя 5"/// напишем
A3.11)
A3.12)
Sa
1 1
hk ak+\~ak hk
После возведения в степень с учетом обозначения A3.11) нетрудно
получить
A3.13)
Для суммы Зейделя Sv имеем
hkPk
1 1
1 1
5а
\3
гк 5а
269
В этом выражении
1 1
К { пк пк+1
Поэтому далее можно получить
К К
\<ч,\ >ч) К
1
«А + 1
1 '
"а
"«А
«А+1 «А
1 _ 1
ryL(_aJ^_ak±L)_J^ (акЛ ak )nk+, nk
аш ак | orA+, or, Л | JvA /а,,, orA | | | or<+1 ^
К аил~аи\1Чл {h >h nuj К | 1"a+i fh ) \ {h rh +
Заметим, что
<*A+. «A «A+l <*A Г 1 1) [ 1 1 ) { 1 1 I/ 4
nk + \ "a /7a /?a+i V«a+, «АУ V«A + | /7АУ \nk+i nkj
Поэтому окончательно получаем
a=i К к к=] h2k
A3.14)
13.4. Связь между 77 и 5//. Формулы меридиональной комы
3-го порядка
Положим в формуле A3.9) 5"/ = 5"/// = 5"/^ = Sv = 0. Тогда для
безаберрационного предмета (Лу = 0) получим
2n'a'Ay' = --
(V -Skf{S,H -Si)alPi
¦Su.
Роль пространств к и t может играть любое пространство.
Выберем в качестве пространства t пространство изображений. Тогда,
yt = у',spt — st = sr f — sf,/3t = /3f. Кроме того, по формуле A1.33):
270
Ay' = к =
На основании этого из предыдущего выражения имеем
2я'а'л = ^ S,,
Отсюда следует
1
2
Учтем, что
т.
= -tgok ,(s'p, -s')fifnfaf = п'а'Г =J
где V - высота 2-го параксиального луча в плоскости изображения.
Тогда можно написать
Это наиболее общая формула связи г/ и Sn. Подставив значение
г/ из формулы A3.15) в формулу A1.33), получим формулу
меридиональной комы 3-го порядка в наиболее общем виде
В зависимости от положения предмета, условий расчета обоих
параксиальных лучей и сумм Зейделя, а также выбора пространства к
формулы A3.15) и A3.16) могут принимать различный вид.
Рассмотрим частный случай, когда предмет расположен в
бесконечности, а в качестве пространства к выбрано пространство
изображений.
Пусть 1-й параксиальный луч рассчитан при а' = 1, а второй -
при /?! = 1. Тогда
j = n'a'V = -ria'PJ' = -rif',ak = а' = 1.
Кроме того, в этом случае
y'
271
Тогда формулы A3.15) и A3.16) легко приводятся к виду:
^г^5'" A3Л7)
3 ml- - A3.18)
Если суммы Зейделя вычислены при а' = 1,Р\ = 1,/' = 1, то с
учетом формул A2.11) далее получаем:
Л = 2^Г7Т '" °ЗЛ9)
Ъгп2
K=-—^tga8tt. A3.20)
(Напомним, что тильда над обозначениями, входящими в
приведенные формулы, указывает, что соответствующая величина
вычислена при /' = 1.)
13.5. Формулы астигматизма, меридиональной и сагиттальной
кривизны изображения 3-го порядка
В соответствии с ранее полученной формулой A1.14)
меридиональная кривизна изображения определяется как
dm' ,ж'=о
Отсюда для производной от Ду' по га' при га' = О можно
написать
\ dm' \ , s' - s','
L Jm'=0 P
Взяв далее производную от обеих частей уравнения A3.9) и
положив затем в ней га' = 0, при безаберрационном предмете
(Ду = 0) получим
/'
L dm i,=0 [Spk-sklspl-stfakP;
Из этого уравнения с учетом предыдущего выражения имеем
y^s'~s'"^ Us +j2s )
2\P
272
Если предположить, что пространства t и к совпадают с
пространством изображений, то
Ус =y',sPk-Sk = s'p,-s',spt-st = s'p,-s',ak = a',pt = /?'.
Тогда предыдущее выражение можно написать в виде
у'2
+ J2SIV).
2n'a'2$'2(s'-s'p,)
В знаменателе этого выражения
п'а'р' (s' - s'p,) = -n'a'V = -J .
Поэтому
^( 1) A3.21)
Li J
Аналогичным путем, при дифференцировании, например,
второй формулы A2.2) можно получить выражение для сагиттальной
кривизны изображения в виде
S"
J2SIV). A3.22)
Последние две формулы носят наиболее общий характер.
Рассмотрим частный случай, когда предмет расположен в
бесконечности. Если параксиальные лучи рассчитаны при
а' = 1, /?х = 1,то
j = -n'f',y' = -f'tgco.
Тогда, очевидно,
^( ) A3.23)
A3.24)
Если суммы Зейделя вычислены при а' = 1, /Зг = 1,/' = 1, то
j = n'a'V = -n'pj' = -п'.
Тогда с учетом формул A2.11) и A2.12) будем иметь:
4, = -^f'tg2coCSin + n'2SIV) . A3.25)
z's = -^f'tg2<o(Sm + n'2Slv) . A3.26)
273
Из трех пар формул A3.21) и A3.22), A3.23) и A3.24), A3.25) и
A3.26) для астигматизма 3-го порядка соответственно имеем
п'у'2
z's-z'm=^SUI, A3.27)
z's-4n=±tg2u>SIIl, A3.28)
z's-z'm=f-tg^S,n. A3.29)
При вычислении астигматизма 3-го порядка формула A3.27)
носит наиболее общий характер.
13.6. Формулы дисторсии 3-го порядка
Предположим, что в оптической системе все суммы Зейделя,
кроме суммы Sv равны нулю. Тогда из выражения A3.9) для
безаберрационного предмета получаем
Ау'= ~9 , ,( Уг—v^Sv¦ A3-3°)
2n'a\spt-st) ff
Эта формула выражает дисторсию 3-го порядка
меридионального луча в наиболее общем виде. Если пространством t
является первое пространство, то при а' = 1, рг = 1
A3.31)
Так как tgco = У1 , то
Ay' = -—tg3coSv. A3.32)
Если s<l = —oo и пятая сумма Зейделя вычислена при /' = 1, то с
учетом A2.11)
&y' = -^f'tg3a>Sv. A3.33)
Суммы Зейделя и формулы для монохроматических аберраций
3-го порядка получают иной вид, если система содержит только
бесконечно тонкие компоненты, что и рассматривается в следующей
главе.
274
ГЛАВА 14. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
3-ГО ПОРЯДКА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ИЗ
БЕСКОНЕЧНО ТОНКИХ КОМПОНЕНТОВ
14.1. Суммы Зейделя оптических систем из бесконечно тонких
компонентов. Основной параметр п бесконечно тонкого
компонента
Предположим, что оптическая система состоит из t бесконечно
тонких компонентов. Очевидно, высоты первого и второго
параксиальных лучей на всех поверхностях некоторого /-го
компонента равны некоторым величинам ht и yt соответственно.
Поэтому для этого компонента, содержащего q поверхностей, можно
написать
k=q
к=1
Для краткости далее положим
k=q
YPk = Pi- A4-1)
к=1
Тогда на основании первой формулы A2.3) сумма 5"/ для системы из
бесконечно тонких компонентов приобретает вид
i=t
hiPi. A4.2)
Обратимся к формуле A3.25) для суммы 5"//. Для /-го бесконечно
тонкого компонента
k=q
У1(Р1 + Р2+-..+РЯ)=У
к=1
Для краткости введем обозначение:
k=q
У Wk = Wt . A4.3)
k=l
Тогда формулу A3.12) для системы из бесконечно тонких
компонентов можно написать в виде
275
i=t
Если в каком-либо компоненте имеются склеенные между собой
поверхности, то между ними можно ввести воздушный промежуток,
что не изменяет состояния достигнутой коррекции аберраций. При
этом в компоненте окажется т линз и q = 2т поверхностей. На этом
основании выражение под знаком суммы последнего слагаемого в
формуле A3.13) для /-го бесконечно тонкого компонента приводится
к виду
Й пк + ] пк 1 Га, а, а4 О а ,-а,
> —— — = — —-а. +а, - + —-а, +-а +| +—- = — = Ф ,
й A, h\n2 ' 3 п2 п4 я "+l nj h,
где Oj - оптическая сила для /-го компонента. Поэтому сумму 5/// для
системы из бесконечно тонких компонентов можно написать в виде
1 = 1 ni / = l ni i = l
Для системы из бесконечно тонких компонентов, содержащих т
линз, можно далее написать
'i-i i-i 1-. i-i i-i i-i^
П-, . П, П. . /7, . й„ . «„
п2-\ п2-\ | /i4-l /i4-l |
1 , Jill, ,j 1 И 1 Г , 1 И
= —(-4 + —К) +~+— П„-1| =
ф ф ? ф ^' ф
Следовательно, на основании четвертой формулы A2.3) имеем
^ = 2,7Г' A4>6)
7 = 1 7
где Ф;- и п;- - оптическая сила и показатель преломления стекла дляу'-й
линзы.
276
Если предположить, что стекла всех линз имеют п = 1,5, то из
этого выражения получаем
?, A4.7)
Для /-го бесконечно тонкого компонента
/=1 у / = | / /=| /
где Фу - оптическая силау-й линзы /-го компонента, вычисленная при
Ф; = 1. Введем обозначение:
ZФI
7 = 1 J
A4.8)
Тогда для одного /-го компонента можно написать
_^ = Ф^- A4.9)
7 = 1 7
Следовательно, на основании формулы A4.6) для всей системы из t
бесконечно тонких компонентов сумма Зейделя 5"/^ может быть
написана в виде
i=t
Ф/7Г/. A4.10)
Величину nh определяющую сумму SIV, а следовательно, и
кривизну изображения, называют коэффициентом Пецваля
и относят к числу основных параметров бесконечно
тонкого компонента. Для бесконечно тонкого компонента,
выполненного из обычных стекол л « 0,7. При увеличении
показателя преломления стекол бесконечно тонкого компонента
величина ;гуменьшается.
В формуле A3.14), выражающей сумму Зейделя 5V, для /-го
бесконечно тонкого компонента
277
Кроме того,
А =2т —
Пу ) \ П, Пу
n2
п1
а2п,-\
h~ 1 п1,
I \ 1111
ъа^~а\
+ н_3-22±ь—^J-+ 2m+l . 2'»-' =У24^- ЗФ.+—l+-h-30>+—*- =
Поэтому окончательно для суммы 5V получим
Приведем общую сводку сумм Зейделя для системы из бесконечно
тонких компонентов.
/=1 "/ 7 = 1 Л|/ 7 = 1
A4.12)
278
Эти формулы являются основными при расчете оптических систем,
состоящих из бесконечно тонких компонентов. Они особенно важны
при расчете телескопических систем, ряда фотообъективов и
микроскопов средних и малых увеличений. При расчете более
сложных систем эти формулы указывают направления, в которых
надо изменять те или иные параметры оптической системы для
достижения требуемого уровня коррекции аберраций.
Из этих формул видно, что все 5 монохроматических аберраций
бесконечно тонкого компонента зависят только от трех параметров
этого компонента - параметров Pit Wt и 7Г;.
14.2. Основные параметры Р и W бесконечно тонкого
компонента и их связь с параметрами Ри W
Пусть оптическая система содержит только один бесконечно
тонкий компонент. Тогда из A4.12) при t = 1 можно написать
S, = ИР,
Sn =yP-
°/7/ — , r AJ j '
Siy =
-3
A4.13)
На рис. 14.1 параксиальный луч 1 идет по направлению АВА\ образуя
с оптической осью в пространствах предметов и изображений углы а
и а'и пересекаясь с бесконечно тонким компонентом в точке В на
высоте h. Параксиальный луч 2 в пространстве предметов идет
параллельно оптической оси при а = О на той же высоте /г, проходит
через задний фокус F' компонента под углом а1 к оптической оси.
Расчитав луч 1, когда плоскость предметов находится на
конечном расстоянии S, можно вычислить углы а этого луча с
оптической осью во всех средах компонента, а затем по A2.4) и
A3.11) вычислить параметры Р и ^компонента.
Из A4.13) видно, что суммы Зейделя зависят от h = sa,
у = Sp/3-L и Ф, т.е. от величин, связанных с внешними элементами
279
компонента - от положения плоскостей предметов, входного зрачка и
фокусного расстояния компонента.
Рис. 14.1. К понятию об основных параметрах Р nW
Величины Р и W зависят от углов а параксиального луча 1 и
показателей преломления п всех сред. Но углы а зависят от радиусов
кривизны поверхностей, показателей преломления сред и от
расстояния s до плоскости предметов. Следовательно, величины Р и
W зависят как от внутренних элементов компонента, так и от
внешних элементов.
Положим h = 1 и расчитаем луч 2 при ссг = О и а' = 1, т.е. при
/' = 1. В результате такого расчета будут определены углы а этого
луча во всех средах, с помощью которых можно вычислить
параметры:
A4.14)
8
SvJ
A4.15)
где р - число поверхностей компонента.
Параметры Р и W (наряду с параметром тг) относятся к
основным параметрам бесконечно тонкого компонента.
280
Основные параметры Р, W и л зависят только от внутренних
элементов компонента - радиусов кривизны поверхностей и
показателей преломления стекол.
Опуская довольно длительные доказательства, приводим
формулы связи параметров Р и We основными параметрами:
Р = {а' - аKР + 4а(а' - aJW + а{а' - а)[2а{2 + тг) - а'], A4.16)
W = {а' - aJW + a{af - а){2 + тг) . A4.17)
Если значения Р и W из A4.16) и A4.17) подставить в A4.13), то,
очевидно, все пять сумм Зейделя и пять соответствующих
монохроматических аберраций 3-го порядка окажутся зависимы
только от трех основных параметров бесконечно тонкого
компонента - Р, W и п. Эти параметры полностью определяют все
монохроматические аберрации 3-го порядка при любом положении
плоскостей предметов и входного зрачка.
Зависимость всех пяти монохроматических аберраций 3-го
порядка от трех параметров, характерная для бесконечно тонких
компонентов, является главными отличием от систем с конечными
толщинами линз, у которых аберрации зависят от пяти параметров -
сумм Зейделя 5"/, 5"//, 5"///, 5^, 5V, совершенно независимых друг от
друга.
14.3. Основные параметры Р и W бесконечно тонкого
последовательно симметричного и симметричного объективов
Последовательно симметричным объективом называют
оптическую систему, содержащую два одинаковых компонента,
каждый из которых выполнен из двух склеенных (или несклеенных)
линз (рис. 14.2). Получим выражения для основных параметров
Р nW для такой системы.
Обозначим через Рг и W1 основные параметры первого
компонента, а через Р2 и W2 - основные параметры второго
компонента. Приведенные оптические силы первого и второго
компонентов обозначим соответственно через Фх и Ф2.
281
а'=1
Рис. 14.2. Последовательно симметричный объектив
Так как компоненты одинаковы, то очевидно, что Рг = Р2,
W1 = W2, Ф1 = Ф2. При этом из условия масштаба Ф1 + Ф2 = 1
следует, что Ф1 = Ф2 = 0,5. Для первого параксиального луча при
hi = 1 имеем
аг = 0; а2 = аг + кгФг = 0,5; а3 = 0.
Для основного параметра Р можно написать
На основании формулы A4.16) далее имеем
Р2 =
-P1
а2УР2 + Аа2{а2 - a2JW2 + сс2{а2 - а2)[2а2{2 + тг) - а3] =
= ^P2+\w2+ 0A25.
Учитывая, что Рг = Р2, И/^ = W2, получаем
Р =\?1+\щ + 0,425. A4.18)
Аналогичным путем, используя формулу A4.17), для основного
параметра W имеем
Рис. 14.3. Симметричный объектив
282
1 _
- W2
1 _
W = Wt + W2 + - Wt
_ 1 _
W =-Wt + 0,675 .
1
- • 2,7,
A4.19)
Обратимся теперь к оптической системе симметричного объектива,
также состоящего из двух одинаковых двухлинзовых компонентов,
но обращенных одинаковыми линзами друг к другу (рис. 14.3).
В этом случае, чтобы компоненты объектива были одинаковы,
необходимо иметь Р2 = P\,W2 = Wlf Ф1 = Ф2. (Здесь стрелки над
буквами одновременно и указывают направление хода лучей, и
играют роль черты, означающей, что соответствующая буква
относится к основному параметру.) Как и для последовательно
симметричного объектива, очевидно, аг = 0; а2 = 0,5; а3 = 1. На
основании формул A4.16) и A4.17) для основных параметров всей
системы можно написать:
A4.20)
A4.21)
-W1+-W2 + 0,675.
Выразим далее Рг и W1 через Рг и W1. Для этого рассчитаем через
первый компонент параксиальный луч, образующий с оптической
осью в пространстве перед этим компонентом угол ах = — 1, а в
пространстве за компонентом угол а' = 0 (рис. 14.4а).
а)
а,=0
а =-7
Рис. 14.4. Первый компонент в прямом (а) и обратном (б) ходе
б)
Используя эти значения для углов а и а', с помощью формулы
A4.16) для этого компонента можно получить
5,4 .
A4.22)
283
Если первый компонент повернуть на 180°, то получим систему,
показанную на рис. 14.46. При этом величины углов а сохранятся, но
поменяют знак. Кроме того, в формуле
-а.
уменьшаемое и вычитаемые поменяются местами.
Значение Р для системы на рис. 14.46 окажется равным
величине Р, вычисленной по формуле A4.22). Следовательно, эту
формулу можно написать в виде
Р1 = Р1- 4Wt + 5,4 ,
откуда получаем
Рг = P1-4W1 -5,4. A4.23)
Используя значения углов а = — 1, а' = 0, для компонента,
показанного на рис. 14.4а, с помощью формулы A4.17) нетрудно
получить
W = W1-2,7. A4.24)
При переходе к системе, показанной на рис. 14.46 (после поворота
первого компонента на 180°), в формуле
-а.
ос.
ос,
из-за перемены местами уменьшаемого и вычитаемого поменяется
знак разности . Поэтому в формуле A4.24) величину W
пк+1 пк
можно заменить на —W. В результате будем иметь
-W = Wi-2,7,
откуда следует, что
W1 = 2,7-W. A4.25)
Подставив это значение W1 в формулу A4.23), будем иметь
284
5,4 .
A4.26)
Подставляя далее значения W1 и Рг из формул A4.25) и A4.26) в
формулы A4.20) и A4.21) и учитывая, что Рг = Р2, W1 = W2, получим
Р = ±Р2 + 1Д, A4.27)
W = 1,35. A4.28)
Таким образом, в симметричном объективе основной параметр
Р связан с основным параметром Р2 соотношением A4.27), а
основной параметр W есть величина постоянная, равная 1,35.
14.4. Сферическая аберрация и основные параметры Р и W
бесконечно тонкой линзы
Сферическая аберрация бесконечно тонкой линзы определяется
первой суммой Зейделя
Так как hx = h2 = h, то
Sj =h(Px+P2) = hP,
т. е. сферическая аберрация зависит от величины Р.
При пг = п3 = 1, п2 = п имеем
Рг =
^ -а.
п-\) п
а; а,а; а:а,
^-2L^ + !~
^ -а2
а1
а2а- | 2 а;а, а2
nj\n-[jy п п п
V п )
После сложения этих выражений и приведения подобных получим
A4.29)
Первый параксиальный луч при предмете на конечном расстоянии
можно рассчитать при любом значении аг.
285
Если аг = Р (линейное увеличение линзы), то а3 = 1. Тогда
последнее выражение можно написать в виде
\n-\J |_ /7 /7 V 7 J
Чтобы сферическая аберрация равнялась нулю, необходимо иметь
Р = 0, т. е. должно быть
откуда следует, что
п п
Решая это уравнение относительно а2, получим
)а, +р2 + р + 1 = 0. A4.31)
!-4^(р'+р-
2/7 + 2
п
Следовательно, решение уравнения A4.31) имеет место при
A4.32)
Это неравенство можно привести к виду
р 4я-1
Численное значение правой части этого неравенства и
знаменатель левой части всегда положительны. Поэтому
вещественное решение уравнения A4.31) имеет место только при
/? > 0, что соответствует мнимому изображению.
Решая далее квадратное неравенство A4.33) относительно /?,
получаем
1 + 2/г + 2(к - \)^п(п + 2)
4/71
4/1-1 4/7-1
Это выражение устанавливает пределы значений /3, при которых
уравнение A4.31) имеет вещественное решение. Так, например, при
п = 1,5 значение линейного увеличения лежит в пределах
0,642 < р < 1,558, а при п = 2 - в пределах 0,882 < /? < 1,689.
Таким образом, при любом положении предмета сферическая
286
аберрация бесконечно тонкой линзы при действительном
изображении не может быть равна нулю.
Установим условие, при котором эта аберрация принимает
минимальное значение. Взяв первую и вторую производные от
уравнения A4.30) по а2, нетрудно установить, что это имеет место
при
Подставив это значение а2 в A4.30), получим выражение для
минимального значения Р в виде
/i-l.
A4.36)
Положив /? = 0, из A4.30) получаем выражение для основного
параметра
р = <п+2)„2 Ч2л+1)„ ,( n
(n-\f 2 (n-\f 2 Уп-
A4.37)
а из A4.36) - выражение для минимального значения основного
параметра Р в виде
пDп -1)
Выражение A4.37) можно представить как
Р =
A4.38)
+р -р
nun nun »
откуда после несложных преобразований с учетом A4.38) легко
получить
рр +4
' (п -1)
В соответствии с формулой A4.15) для основного параметра W
нетрудно получить
w=- п
п-\ п-\
-а7.
A4.39)
287
Найдя из этого выражения значение для а2 и подставив его в
предыдущую формулу, приходим к выражению
Р =
A4.40)
устанавливающему связь между основными параметрами Р и W
бесконечно тонкой линзы.
Таблица 14.1
п
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1
1 (п + IJ
0,840
0,846
0,852
0,858
0,863
0,868
1
2(п + 2)
0,143
0,141
0,139
0,137
0,135
0,133
р .
1 min
2,14
1,88
1,67
1,50
1,36
1,24
п
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
1
1 (п + IJ
0,872
0,877
0,881
0,885
0,889
1
2(п + 2)
0,132
0,130
0,128
0,127
0,125
rmin
1,15
1,06
0,99
0,93
0,87
Как следует из табл. 14.1, численное значение выражения в
первых квадратных скобках практически постоянно. То же самое
можно сказать и о численном значении — Поэтому с достаточной
для практических расчетов точностью в широкой области изменений
значений Р nW можно написать
Р =
0,85(И/- ОД4J.
A4.41)
-2-10 1 2
Рис. 14.5. График зависимости Р от W тонкой линзы
288
P,W
Отсюда видно, что величина Р принимает минимальное
значение, когда W = 0,14. Кроме того, формула A4.38) и табл. 14.1
показывают, что Pmin всегда положительно и меняется
приблизительно в пределах от 1 до 2.
На рис 14.5 показан график зависимости Р от И/, описываемый
выражением A4.40) для нескольких значений п. Из рисунка видно,
что форма графика и его положение относительно оси ординат мало
зависят от величины п.
При расчете
оптических систем иногда важно
бывает знать, как меняются
величины Р и W при
изменении формы линзы,
зависящей, в свою очередь,
только от а2.
В табл. 14.2 приведены
численные значения Р и W
для ряда значений а2 при
п = 1,5, вычисленные по
формулам A4.37) и A4.39), а
Таблица 14.2
Рис. 14.6. График зависимости Р и
W от а2 тонкой линзы
на рис. 14.6 показаны графики зависимости
Р и W от а2, построенные по данным
названной таблицы. Учитывая, что
отрицательным значениям а2
соответствуют отрицательные радиусы кривизны
поверхностей, из приведенных графиков и
таблиц следует, что мениски с
отрицательными радиусами кривизны обладают
большими положительными значениями Р
иЙ/.
Так как форма бесконечно тонкой
линзы зависит только от величины а2, то
при а2 = <x2min линза имеет
наивыгоднейшую форму, ибо она
обладает наименьшей сферической
аберрацией. Радиусы кривизны поверхностей этой линзы при /' = 1
определяются по формулам:
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0
0,5
1,0
1,5
2,0
Р
141
92,25
54
26,25
9
-2,25
6
20,25
45
W
13
10,5
8
5,5
3
0,5
-2
-4,5
-7
289
п-\ . п-\
/г, г2 = п.
па.
-1
Так как
a3-a1 = l-p=-p = h,
то
Отношение радиусов поверхностей
A4.42)
В частности, при бесконечно удаленном предмете (/3 = 0) и п = 1,5
формула A4.35) дает а2шт =-, а из формулы A4.42) следует, что
первый радиус кривизны приблизительно в 6 раз больше второго (при
противоположных знаках). В этом случае Pmin = 2,14. В соответствии
с формулой A3.11) продольная сферическая аберрация
1 т\~
Так как /^ = h2 = h = 1, то
s, =
j- Р. ^ — Р — Р •
г Г1/ — г — гт1П .
Следовательно, при бесконечно удаленном предмете и п = 1,5 для
линзы наивыгоднейшей формы в воздухе с достаточной степенью
точности можно написать
т2
Asf = -—^. A4.43)
Эта простейшая формула позволяет оперативно оценить возможность
одиночной линзы в отношении величины сферической аберрации.
Таблица 14.3
Форма линзы
Наивыгоднейшая форма
(Л * -6г2)
Рисунок линзы
п
и
а2
4/7
р
2,14
290
Плосковыпуклая
Двояковыпуклая
Oi = -r2)
Выпукло-плоская
2/3
1/3
0
2,33
3,33
9
В табл. 14.3 приведены численные значения а2 и Р ряда простейших
форм линз при п = 1,5, из которой видно, что плосковыпуклая линза
близка по величине параметра Р к линзе наивыгоднейшей формы.
14.5. Меридиональная и сагиттальная кривизна изображения и
астигматизм бесконечно тонкого компонента
В соответствии с формулами A3.14), A3.15) и A4.12) для
меридиональной и сагиттальной кривизны изображения имели:
п'у'
где slll=fj^p,-2jfj^w,+J2^,. Sn =
Если система бесконечно тонкая, то
=лФ
Пусть при этом Р = О, W = 0 (сферическая аберрация и
меридиональная кома равны нулю) или у = 0 (плоскость входного
зрачка совпадает с плоскостью компонента). Тогда
SUI = У2Ф.
В этом случае
A4.45)
291
Полагая л =
0,7
при
Z
п' =
z,;,
1
=
п у / \
2/' A + ;Г)
, далее получаем
-1.85^-,
A4.46)
A4.47)
A4.48)
J
2[-<,=у. A4.49)
Таким образом, бесконечно тонкий компонент обладает вполне
определенной величиной меридиональной и сагиттальной кривизны
изображения и астигматизма, не зависящей от конструктивных
параметров. В бесконечно тонком компоненте одновременно не
могут быть исправлены сферическая аберрация, меридиональная
кома и астигматизм.
14.6. Теорема о зависимости аберраций от положения зрачка
Из приведенных выше формул A4.12) видно, что в выражения
для сумм Зейделя Sn,Sm и 5"/^ оптической системы из бесконечно
тонких компонентов входят высоты yt второго параксиального луча
на компоненте. Следовательно, кома, астигматизм и дисторсия в
общем зависят от положения зрачка. Однако в области аберраций
3-го порядка имеет место следующая теорема: кома не зависит от
положения зрачка, если исправлена сферическая аберрация E1/ = 0);
астигматизм не зависит от положения зрачка, если исправлены
сферическая аберрация и кома E1/ = 0, 5"// = 0); дисторсия не
зависит от положения зрачка, если исправлены сферическая
аберрация, кома и астигматизм E1/ = 0, 5"// = 0, 5"/// = 0). Докажем
справедливость этого утверждения.
По формулам углов и высот для двух соседних компонентов с
порядковыми номерами i — 1 и i для первого параксиального луча
можно написать:
h. = h; . -a;d, ,
292
*,-,-*, = 4-.
Аналогично для второго параксиального луча
(В последнем выражении для дальнейших упрощений вместо
привычного обозначения 5' применено обозначение х'.)
Вычтем из последнего выражения предыдущее.
Уь-1 ~ Уь Ш-1 - Уь _ fai-i - 1гл = y?_i ^ df-iE-_! -3c(-i)
А/ А/ А/
h h. hh. , я *
У,_, _ Ум = y <-,
A, A, /ijAjA,., •
Напишем полученное выражение последовательно для 2-го и 1-го
компонентов (i = 2), для 3-го и 2-го компонентов (i = 3) и т.д.
*2
Уз
Аз
У/
А,
«1
У2
/г2
У/,
n2h2hl
= J 2
Сложив полученные выражения, будем иметь
У1 _У\ =Jf d>-\
hi /г, 1=2 я.А-А,..,
293
Введем обозначение
1 d" =*,
/=2 лДЛ-i
Тогда из последнего выражения получаем
у, = У' h^Joh. A4.50)
В формулы A4.12) подставим значение yi9 выраженное формулой A4.50).
Первая сумма Зейделя ^/=^hiP не содержит у^, т.е.
сферическая аберрация не зависит от положения зрачка.
Для второй суммы Зейделя имеем
s,, =Zy,P, -Jjw, = ??' KP.+J^AP.-^w, =
/=l /=l i=l "i i=l i=l
V '=' Г'=/ 1 V Г'=/ 1
= ^yhP+J \Y(ahP-Wl)\ = ^Sl +J\y((jhP-W)\
«i ,=i L/=i J n\ L/=i J
Если 5"/ = 0, то вторая сумма Зейделя
A4.51)
не содержит yt. Следовательно, при исправленной сферической
аберрации кома не зависит от положения зрачка.
Для третьей суммы Зейделя с учетом A4.50) имеем
*/// =ТУ' p,-^Yy' w, + J2f ф = у\ УУ{ н.р} +
71 У^о-^ +J2fa;h,Pl-2jy] Yw, -2У2Уо"/^/ +
/i Г i /i
2 Уо-/2/гР-2Усг^+Ф = -^i S, +Uy' Y(<jhP-W)
L/=i /=i J n\ n\ /=i
+ J1Yj(<j;hlPl -2alWl +Ф,).
/=i
Если 5"/ = 0 и 5"// = 0, то с учетом A4.51)
294
т.е. 5"/// не содержит в этом случае у;. Следовательно, при
исправленных сферической аберрации и коме астигматизм не зависит
от положения зрачка.
Аналогичным путем можно показать, что сумма Sv не зависит
от положения зрачка при нулевых значениях 5"/, 5"// и 5"///, т.е. при
исправленных сферической аберрации, коме и астигматизме
дисторсия не зависит от положения зрачка.
Приведем пример, показывающий пользу от применения
изложенной теоремы.
Рис. 14.7. Схема бинокулярного микроскопа
На рис. 14.7 показана принципиальная оптическая схема
бинокулярного микроскопа щелевой лампы. Схема содержит
объектив 1, специальные диафрагмы 2, телескопические системы
Кеплера из объективов 3 и окуляров 4. Плоскость предметов
расположена в передней фокальной плоскости объектива 1.
Телескопические системы децентрированы относительно
объектива 1.
Входным зрачком телесистемы может быть либо оправа
объектива 3, либо специальная диафрагма 2, устанавливаемая перед
объективом. Для разных точек В предмета главный луч будет
пересекать оптическую ось объектива 1 в разных точках Р, проходя
затем через центр входного зрачка телесистемы, т.е. входной зрачок
объектива 1 будет менять свое положение. Поэтому расчет системы
микроскопа выполняют следующим образом.
В объективе 1 начисто исправляют сферическую аберрацию и
кому. Тогда астигматизм этого объектива не будет зависеть от
положения зрачка, оставаясь неизменным. Поэтому телескопическую
систему можно рассчитать так, как будто объектив 1 перед ней
295
центрирован. В этом случае специальную диафрагму выгодно
установить на середине между объективом 1 и объективом
телесистемы, что облегчает исправление астигматизма всей системы.
Астигматизм объектива телесистемы при этом будет равным
астигматизму объектива 1, но с обратным знаком (по правилу
сложения аберраций). Перемещение в таком случае объектива 1 в
перпендикулярном к оптической оси направлении равносильно
перемещению зрачка вдоль оси, а это не влияет на его астигматизм,
т.к. сферическая аберрация и кома исправлены.
296
ГЛАВА 15. ПЕРВИЧНЫЕ ХРОМАТИЧЕСКИЕ
АБЕРРАЦИИ
15.1. Общие понятия о хроматических аберрациях
Хроматические аберрации обусловлены зависимостью
показателя преломления прозрачной среды от длины волны. Лучи
разных длин волн, выходя из одной и той же точки пространств
предметов, после прохождения оптической системы в общем
образуют изображения этой точки в разных местах пространства
изображений. Из-за этого пучок лучей сложного спектрального
состава даст изображение точки в виде нерезкой фигуры рассеяния
лучей. Такое отступление изображения от идеального и называется
хроматической аберрацией. В отличие от монохроматических
аберраций, хроматическая аберрация проявляется уже в
параксиальной области. Она характерна только для систем,
содержащих детали из преломляющих материалов (например, линзы
из стекла). Зеркала хроматической аберрацией не обладают.
Как уже отмечалось в п. 10.1, хроматические аберрации
разбиваются на две группы: первичные и вторичные.
Первичные хроматические аберрации являются аберрациями
первого порядка и существенно влияют на качество изображения.
К этим аберрациям относят две аберрации - хроматическую
аберрацию положения изображения (хроматизм положения) и
хроматическую аберрацию увеличения (хроматизм увеличения).
Вторичные хроматические аберрации являются аберрациями
третьего и более высокого порядков малости. Например, в области
аберраций третьего порядка пяти монохроматическим аберрациям
соответствуют пять хроматических аберраций. Из всех вторичных
хроматических аберраций наиболее сильно влияют на качество
изображения вторичный спектр, проявляющийся уже в
параксиальной области при больших фокусных расстояниях, и
хроматическая разность сферических аберраций
(сферохроматизм), проявляющийся при больших апертурных углах
или больших относительных отверстиях.
Другие виды хроматических аберраций из-за громоздкости
вычислений и малости их влияний на качество изображения мы
рассматривать не будем.
297
15.2. Понятие о хроматической аберрации положения
изображения и вычисление ее точного значения
Пусть, как показано на рис. 15.1, имеем некоторую оптическую
систему из р оптических поверхностей. Предположим, что из осевой
точки А пространства предметов выходит параксиальный луч
сложного спектрального состава, содержащий лучи с длинами волн
Х1 и Я2, причем Х1 < Л2.
\Р
Рис. 15.1. К понятию о хроматической аберрации положения
изображения
После оптической системы луч с длиной волны Лг дает
изображение точки А в точке А'^ на расстоянии s^ от вершины 0р
последней поверхности, а луч с длиной волны Я2 - в точке А'^2 на
расстоянии s^2 от той же вершины. Примем за начало отсчета при
вычислении хроматизма положения точку А\2. Тогда разность
Д^р = Д5|1д2=5|1-5;2 A5.1)
определяет величину хроматической аберрации положения
изображения. Очевидно, эта разность может быть положительной,
отрицательной или равной нулю.
Таким образом, для вычисления точной величины
хроматической аберрации положения необходимо рассчитать ход
двух параксиальных лучей для этих длин волн, исходящих из осевой
точки предмета, и вычислить отрезки s^ и s^2, а затем по формуле
A5.1) найти А^хр.
Если у оптической системы хроматическая аберрация устранена,
то такую систему называют ахроматизованнои.
Выбор длин волн Лг и Я2, для которых у оптической системы
должна быть достигнута ахроматизация, зависит от назначения
оптической системы. Например, для оптических систем, работающих
298
с глазом человека (визуальные системы), Лг соответствует длине
волны 480 нм (синяя спектральная линия F'), а Я2 - 643,8 нм (красная
спектральная линия С1).
Заметим, что разность A5.1) может быть вычислена не только
для параксиального луча, но и для действительного луча.
Рис. 15.2. Кружки рассеяния лучей из-за хроматизма положения
изображения
Предположим, что из осевой точки А плоскости предмета Е в
пределах небольшого телесного угла 2сг исходит пучок дневного
света (рис. 15.2). После прохождения некоторой оптической системы
крайние синие лучи пучка спектральной линии F' дают изображение
точки А в точке А'р1, а красные лучи спектральной линии С - в точке
А'сг. Каждому лучу с определенной длиной волны соответствует своя
точка изображения. Отрезок A'FrA'cr характеризует величину
хроматизма для крайних лучей. В плоскости E'Fr, проходящей через
точку A'F! перпендикулярно оптической оси, будет иметь место
кружок рассеяния диаметром аа\ центр которого будет синего цвета,
а края - красного. В плоскости Е'сг, проходящей через точку А'сг,
кружок рассеяния диаметром ев' в центре окажется красным, а по
краям синим. В некоторой плоскости Е' кружок рассеяния лучей
диаметром ее' будет иметь окраску дневного света. По
распределению окраски в изображении осевой точки, образованной
лучами, близкими к оптической оси, можно судить о степени
коррекции хроматической аберрации положения изображения.
299
15.3. Формула для вычисления приближенного значения
хроматической аберрации положения изображения.
Первая хроматическая сумма S\xp
На рис. 15.3 показана к-я преломляющая сферическая
поверхность некоторой оптической системы из р поверхностей,
разделяющая среды с показателями преломления пк и пк+1 для
какой-то длины волны \г\ радиус кривизны поверхности равен гк.
Точки Ах1 и Ах2 являются изображениями лучей с длинами волн
Х1 и Я2 двух осевых точек пространства предметов не показанной на
рисунке части оптической системы из к — 1 поверхностей, а точки
А\г и А\2 - изображениями точек А^1 и Лд2 после к-й поверхности.
Координаты точек Лдх, Лд2, А'^ и А\2 относительно вершины 0к
обозначены через 5д1,5д2,5д1 и 5д2 соответственно. Очевидно,
разность Ask = 5дх — 5д2 есть хроматическая аберрация положения
изображения в пространстве предметов, а разность As'k = s^ — s[2
есть хроматическая аберрация положения изображения в
пространстве изображений взятой поверхности.
К.
Рис. 15.3. К выводу формулы для вычисления приближенного
значения хроматизма положения изображения
Отрезки 5дх и 5д связаны между собой с помощью нулевого
инварианта Аббе:
/1 1\ /1 1
пк+1\—-—\ = пк\—- —
Изменение показателей преломлений пк и пк+1 вызывает изменение
инварианта. Это изменение при переходе к показателям преломления
300
для длины волны Я2 можно найти, продифференцировав левую часть
инварианта по пк+ъ а правую -попк:
11) ds[ , [ 1 \\ dsL
dsk
ЛХ1 Ч°М Гк ' °А.1
1 О Л1 1
— dn,
>\\ lk
>\l 'k
Умножим и разделим первый член правой части на пк+ъ а второй -
на пк и учтем, что ds'k = dsk+1. Тогда
ds[
dsk
1
I) dnL
1 1
Умножим правую и левую части на h\ и заметим, что
5?i i 5?i i 'i
где гк - угол падения луча на поверхность к.
Тогда будем иметь
dn
Это выражение нетрудно привести к виду
да
V n J
dn
301
Напишем это выражение для каждой поверхности:
n-,a;ds2 —n{a{ ds^ = \
8а
V п )\
n^a]ds^ -n2a;ds2 = h2
8а
sx-
V п
dn_
8а
8Х-
п
dn
Сложим эти выражения и перейдем от дифференциалов к конечным
приращениям. Тогда получим
8а
8Х-
V п )к
An Л
Так как пр+1 = п',ар+1 = a',Asp+1 = As^ip,As1 = Asxp, то
n'a'2As' —n,a:
\J> 1 1
6a
8X-
A5.2)
Это наиболее общая формула для вычисления приближенного
значения хроматической аберрации положения изображения.
Выражение
8а
JAn
A5.3)
расположенное в правой части формулы A5.2), называют первой
хроматической суммой.
Введем обозначение:
81-
A5.4)
302
Тогда
S/w> = ZVa- A5.5)
A=l
Если предмет не имеет хроматизма положения изображения
(Л5хр = О), то, как следует из A5.2),
1
В формуле A5.5) вынесем hx за знак суммирования. Тогда будем
иметь
Q, A5.7)
к=\
где hk - приведенная высота на к -й поверхности.
Если s-l = —оо, то целесообразно положить /ц = /', когда а' = 1.
Тогда
Выражение
^,^ = Ъ\Ск A5.9)
есть первая хроматическая сумма при /' = 1.
Следовательно, в этом случае при п' = 1
Условием устранения хроматической аберрации положения
изображения является равенство нулю первой хроматической суммы.
15.4. Хроматическая аберрация положения изображения
бесконечно тонкой линзы
Для бесконечно тонкой линзы в воздухе, у которой кг = h2 = h,
на основании формулы A5.5) можно написать
*-*/ хр = '^¦1^1 i 1^2 ^ ^
Но по формуле A5.4):
/ \ /
303
В этом выражении п1= п3 = 1,п2 = п, Дп! = Лп3 = 0, Лп2 = An.
Поэтому
а7
1
п
-CCj
-1
An
п
а3
п
-а7
-1
An
п
An / t
п-1
-х ) ИФ
V
С1 + С2 = - —, A5.11)
где Ф - оптическая сила линзы, v - коэффициент дисперсии
материала, из которого сделана линза. Следовательно,
При п' = п3 = 1 на основании формулы A5.6) далее получаем
/12Ф
Так как
Если 5 :
h
= а
-00,
V,
то
то
д
11,
Г
XD /9
р a'2v
s12
хр f'v
и,следовательно,
Дйр = -С A5.14)
Последние две формулы позволяют вычислить приближенное
значение хроматической аберрации положения изображения тонкой
линзы. Из них следует, что эта аберрация не зависит от формы линзы,
а зависит лишь от ее оптической силы и коэффициента дисперсии
материала. Кроме того, из этих же формул видно, что у
положительной линзы хроматизм положения изображения
отрицателен, а у отрицательной - положителен. Очевидно также, что
хроматизм положения изображения бесконечно тонкой линзы равен
нулю только при sr = 0, т.е. когда плоскости изображения (предмета)
и линзы совпадают.
15.5. Ахроматизация линзы
Выведем условие, при котором у линзы, имеющей конечную
толщину d, отсутствует хроматизм положения изображения.
Если предмет находится на конечном расстоянии 5Х от линзы, то
/ix = s1a1 и h2 = h1—da2. Для первой хроматической суммы в этом
случае можно написать
304
а2
1
п
-а,
-1
(h
п
\СС3
da2) x
п
-а2
-1
An
п
АП Г / ч / ч/ \1 1 Г -> / ч . 1
= [^Ла2 ~ai)+\A ~<*а2Аа^ ~а2)\ = —\da; +аЛп\ ~da2)-hxax\ =
1 / ¦> \
= — [da; + h2a, - h.a,).
v
Отсюда, полагая Sj xp = 0, получаем условие ахроматизации в виде
Если предмет в бесконечности, то аг = 0, следовательно,
05-16)
К условию ахроматизации при бесконечно удаленном предмете
можно прийти и другим путем. Оптическая сила линзы выражается
формулой
/1 1\ d(n-lJ
Ф = (п-1)( +^^
Если линза ахроматизирована, то ее оптическая сила не должна
меняться при небольших изменениях показателя преломления.
Продифференцировав выражение для оптической силы по
показателю преломления п и приравняв полученный результат нулю,
получим
/1 1\ / 1\ d
дп[ ) + дп[1 j) = °-
Отсюда получим условие ахроматизации в виде
ri_r-d!l!^!. A5.17)
С помощью этого условия выражение для оптической силы
ахроматизованнои линзы легко приводится к виду
| 2 j
Ф = -( ) . A5.18)
V и ) ггг2
Из последней формулы следует, что у отрицательной
ахроматизованнои линзы радиусы кривизны поверхностей должны
иметь одинаковые знаки (либо гг > 0 и г2 > 0 - линза обращена к
305
предмету выпуклостью, либо гг < О, г2 < О - линза обращена к
предмету вогнутостью), а у положительной линзы - различные знаки.
Решая совместно уравнения A5.17) и A5.18), получим
следующие выражения для радиусов кривизны поверхностей
ахроматизованной линзы:
Г1= In
r2 =•
A5.19)
/ I _ \
(n - l)d,
2n
/ n + 1 /n + 1\2 4/' \
Исходя из формул A5.19), нетрудно установить, что толщины
положительной ахроматической линзы должны быть больше ее
фокусного расстояния. По этой причине практическое значение
имеют отрицательные ахроматические линзы. Часто они
применяются в сочетании со сферическими зеркалами. Если
ахроматическую отрицательную линзу расположить перед зеркалом и
выполнить условие ее ахроматизации, например в виде A5.15) или
A5.16), варьируя величиной а2 и тем самым меняя форму линзы,
можно добиться того, что сферическая аберрация зеркала будет
компенсирована сферической аберрацией линзы, причем вся система
окажется ахроматизованной.
15.6. Хроматическая аберрация положения изображения
бесконечно тонкого компонента. Основной параметр С
Пусть оптическая система представляет собой бесконечно
тонкий компонент, состоящий из т линз, разделенных между собой
бесконечно малыми воздушными промежутками (рис. 15.4).
Так как система бесконечно тонкая, то высоты первого
параксиального луча на всех 2т поверхностях равны одной и той же
величине h. Текущий порядковый номер линзы обозначим буквой у.
Найдем для этой системы выражение для первой хроматической
суммы.
306
1 2
s'
Рис. 15.4. К выводу формулы SIxp для бесконечно тонкого
компонента.
На основании A5.5):
Применив далее A5.11), получим
, +с2)
где - Фу оптическая сила у-й линзы, Vy - коэффициент дисперсии
материала линзы.
Разделим и умножим числитель правой части на оптическую
силу Ф всего компонента. Тогда будем иметь
ф
где Фу - приведенная оптическая силау-й линзы.
Введем обозначение
Тогда
A5.21)
SlKp = h2OC. A5.22)
Параметр С называют основным хроматическим
параметром бесконечно тонкого компонента.
Первую хроматическую сумму бесконечно тонкого компонента
можно также написать в виде
307
S, .„ = ZA c* = h llci. =hc- A5.23)
k=\ k=\
где
C=Z"Q- A5.24)
k=\
Сравнивая A5.22) и A5.23) и учитывая, что а' — а = ЯФ, приходим к
выражению
С = (а'-а)С, A5.25)
которое связывает параметр С бесконечно тонкого компонента с его
основным параметром С. Следовательно, на основании A5.23) и
A5.25) можно написать
S/xp = h(a' -a)C . A5.26)
Подставим далее A5.22) в A5.16) и учтем, что h = s'a'. Тогда
при п' = 1 получим выражение для вычисления приближенного
значения хроматической аберрации положения изображения,
создаваемого бесконечно тонким компонентом, в виде
bs^=S-^C. A5.27)
Если предмет находится в бесконечности, то s' = f и,
следовательно,
Д^р=/'С. A5.28)
Из последних двух формул следует, что условием устранения
хроматической аберрации положения изображения для бесконечно
тонкого компонента является равенство нулю его основного
хроматического параметра. Аберрация отсутствует также, если
плоскость предмета (изображения) совпадает с компонентом.
15.7. Первая хроматическая сумма 5/хр оптической системы из
нескольких бесконечно тонких компонентов
Пусть оптическая система из р поверхностей содержит /
бесконечно тонких компонентов (рис. 15.5). Текущий порядковый
номер компонента обозначим буквой /, оптическую силу /-го
компонента - буквой Ot, число бесконечно тонких линз в i-м
компоненте - буквой щ, высоту первого параксиального луча на i-м
компоненте - буквой h^. Будем также предполагать, что во всех
308
компонентах линзы разделены между собой бесконечно малыми
воздушными промежутками. Тогда на основании A5.5):
ZA Vz' Vz' /J' Vz'
1-й
КОМП
Рис. 15.5. К выводу формулы SIxp системы из / бесконечно
тонких компонентов
Но в соответствии с обозначениями A5.24) для компонента с
порядковым номером /, содержащего щ линз:
27П;
ск = ct.
Поэтому
k=l
rxp = ^i^i + h2C2+... +hiCi+... +htCt,
i=t
A5.29)
В то же время для /-го компонента на основании A5.25) имеет место
соотношение
Следовательно, первую хроматическую сумму можно написать в виде
i=t
(«m-«i)Q- A5.30)
309
Кроме того, так как а(+1 — а± = /1;Ф;, то
i=t
2Ф^. A5.31)
Формулы A5.29)—A5.31) представляют собой разные формы
записи первой хроматической суммы. Чаще всего используются
формулы A5.29) и A5.30).
Из формул A5.30) и A5.31) следует, что первая хроматическая
сумма равна нулю в следующих случаях.
1) Основной хроматический параметр С каждого компонента
равен нулю.
2) Основные хроматические параметры не обязательно равны
нулю, но слагаемые в правых частях уравнений A5.30) или A5.31),
имея разные знаки, компенсируют друг друга так, что в сумме они
дают ноль. В этих случаях система не будет иметь хроматических
аберраций положения изображения.
15.8. Понятие о хроматической аберрации увеличения
изображения и ее точное вычисление
Представим, что в оптической системе хроматическая аберрация
положения устранена. Однако и в этом случае изображение в общем
не будет свободно от хроматизма. Например, если изображение
строится лучами в видимом интервале спектра, то края
изображаемого объекта могут оказаться окрашенными. Причиной
тому является аберрация увеличения изображения (хроматизм
увеличения). Сущность этой аберрации состоит в том, что линейное
увеличение меняет свою величину при изменении длины волны
света, проходящего через оптическую систему.
На рис. 15.6 показана первая и последняя поверхности
некоторой оптической системы. Точка А' является параксиальным
изображением осевой точки А плоскости предметов Q. Примем за
точку установки плоскость Гаусса Q'. Пусть из внеосевой точки В
плоскости Q выходит главный луч ВР света с длинами волн Лг и Я2-
В пространстве изображений вследствие дисперсии стекла окажутся
два главных луча: луч с длиной волны света Аг пойдет по некоторому
направлению Р^В^ и встретит плоскость установки в точке В'^, а
луч с длиной волны света Х2, идущий по направлению Р^В^,
встретит ту же плоскость в точке В[2. Очевидно, что отрезок
310
Уд = А'В'л есть величина изображения предмета у = АВ,
образуемого главным лучом света с длиной волны Лг в плоскости
установки, а у^2 = А'В^2 - величина изображения того же предмета,
создаваемого главным лучом с длиной волны Я2 в тои же плоскости
установки.
Вх.зрачок Q'
Q
В
Рис. 15.6. К понятию о хроматизме увеличения
Выберем за начало отсчета при вычислении хроматической
аберрации увеличения точку В^2. Тогда разность
АУх'р=у11-у;2 A5.32)
определяет величину хроматической аберрации увеличения. Она
может быть либо положительной, либо отрицательной или равной
нулю.
Таким образом, для вычисления точного значения
хроматической аберрации увеличения необходимо рассчитать
главный луч для двух выбранных длин волн света, вычислить
расстояние между точками встречи этих лучей с плоскостью
установки и оптической осью, а затем воспользоваться разностью
A5.32).
Так как хроматическая аберрация увеличения вычисляется по
результатам расчета главного луча, то эту аберрацию иногда
называют хроматической аберрацией увеличения
главных лучей. Очевидно, разность A5.32) может быть
вычислена как для действительных лучей, так и для главных лучей в
параксиальной области.
311
15.9. Формула для вычисления приближенного значения
хроматической аберрации увеличения изображения.
Вторая хроматическая сумма 5//хр
Предположим, что расположенный перед оптической системой
из р поверхностей предмет не является безаберрационным, т.е.
хроматизм увеличения изображения Аухр. Не излагая имеющийся во
многих других курсах по теории аберраций достаточно длительный
вывод, приведем окончательную формулу для хроматизма
увеличения изображения в наиболее общем виде:
A5.33)
Формулу эту можно также написать в виде
п'а'Ау' -паАу =
п ау
J
где
A5.34)
A5.35)
Выражение A5.33) называют второй хроматической суммой.
Исключим во второй хроматической сумме Л/?. Для этого
воспользуемся формулой A3.10), на основании которой
1
5D к
Поэтому для второй хроматической суммы можно написать:
(a)k К
Используя A5.4), после раскрытия квадратных скобок и очевидных
сокращений получим
A5.37)
*=1 \П П
Поэтому общая формула A5.33) может быть написана в виде
п а Аухр - паАуу? =
-пау
/An
\ f
312
Эта формула может быть применена для иммерсионных систем, у
которых п =? п''. Если же п = п', то формула A5.36) приобретает вид
^11ХР=ЪУ,Ск. A5.38)
к = \
В этом случае из A5.37) получаем
п'а'Ау[р -паАуур =1?1^у?к. A5.39)
J к = \
В случае безаберрационного предмета (Аухр = 0) имеем
Из изложенного следует, что при п = п' и безаберрационном
предмете условием устранения хроматизма увеличения является
равенство нулю второй хроматической суммы.
15.10. Хроматическая аберрация увеличения изображения
бесконечно тонкой линзы
У бесконечно тонкой линзы уг = у2 = у. Поэтому на основании
A5.38) для второй хроматической суммы можно написать
Применив далее формулу A5.25), получим
Sllx?=y(a'-a)C = hy0C. A5.41)
Основной хроматический параметр бесконечно тонкой линзы
С = — 1/v. Поэтому
hy
Siixp = -yr^- A5.42)
Если плоскость предметов расположена на расстоянии s от
линзы, а входной зрачок - на расстоянии sp, то при /Зг = +1 имеем
h = sa,y = sp, J = nal = a(sp — s). Тогда на основании A5.40) и
A5.41) для хроматической аберрации увеличения нетрудно получить
313
По уравнению параксиального луча
1
Следовательно,
f
1
5
1
у'
i
Sp
ssp
1
/"
т.
у'
с.
ssp
Sp~
sfs
s
f
s's'pt
s'p,-s'
•к^.кф <|543)
Отсюда, а также непосредственно из формулы A5.42) видно, что
хроматическая аберрация увеличения бесконечно тонкой линзы
обратно пропорциональна коэффициенту дисперсии. Она может быть
равна нулю в следующих случаях:
1) плоскость предметов (изображений) совпадает с линзой;
2) плоскость входного (выходного) зрачка совпадает с линзой.
15.11. Хроматическая аберрация увеличения изображения
бесконечно тонкого компонента
Как и в бесконечно тонкой линзе, высоты второго
параксиального луча на всех р поверхностях равны некоторой одной
и той же величине у. На основании A5.38) для второй хроматической
суммы можно написать
Применив формулу A5.25), получим
Но при ft = +1 имеем h = sa,y = sp, ] = a(sp — s). Учитывая это,
на основании A5.40) для хроматической аберрации увеличения
бесконечно тонкого компонента будем иметь
f sp-s
sfsf
Так как —— = , p . , то
sps sp,-sf
<1544)
Таким образом, хроматическая аберрация увеличения бесконечно
тонкого компонента может быть равна нулю в следующих случаях:
314
1) плоскость предметов (изображений) совпадает с
компонентом;
2) плоскость входного (выходного) зрачка совпадает с
компонентом;
3) основной хроматический параметр С = 0.
15.12. Хроматическая аберрация увеличения изображения
оптической системы из нескольких
бесконечно тонких компонентов
Пусть оптическая система состоит из / бесконечно тонких
компонентов. Текущий порядковый номер компонента обозначим
буквой /, число поверхностей в i-м компоненте - буквой qi9 высоты
первого и второго параксиальных лучей в i-м компоненте - буквами
hi и yi соответственно. Тогда на основании A5.38) вторая
хроматическая сумма всей системы может быть представлена в виде
Su хр = Ух (с, + С2 +....+ СчХ)+ у2 (С, +,,, +...+ Сц2)+... + у, (С, + С2 +...+ Сц>)+...+
+ ^(С, +С2 +...+ C(ft)=ylCl +y2C2 +... + У.С, +... + y,Ct =Y,y,Cr
Применив далее формулы A5.25), получим
S»*, =ЁЗ?,(«», -«,)С =1ьуФС,. A5.45)
;=1 /=1
Это выражение может быть равно нулю в следующих случаях:
1) основной хроматический параметр С каждого компонента
равен нулю;
2) основные хроматические параметры компонентов не
обязательно равны нулю, но слагаемые в правой части формулы
A5.45), имея разные знаки, компенсируют друг друга так, что в
сумме они дают ноль. В этих обоих случаях система не будет иметь
хроматической аберрации увеличения.
315
ГЛАВА 16. ВТОРИЧНЫЕ ХРОМАТИЧЕСКИЕ
АБЕРРАЦИИ
16.1. Понятие о вторичном спектре. Вторичный спектр тонкого
двухлинзового объектива
Сущность вторичного спектра состоит в том, что при
устранении хроматизма положения изображения для лучей
каких-либо двух длин волн света хроматизм положения изображения
для других длин волн в общем остается не устраненным. На рис. 16.1
показаны первая и последняя поверхности некоторой оптической
системы.
Рис. 16.1. К понятию о вторичном спектре
Пусть из осевой точки А плоскости предметов под небольшим
углом о к оптической оси по одному и тому же направлению выходят
лучи спектральных линий e,F' и С. Предположим, что изображения
A'Fi и A'ci точки А, которые образуют лучи линий F' и С, совпадают
друг с другом и находятся на расстоянии s'Fr = s'cr от вершины 0р
последней поверхности.
Это означает, что для этих двух лучей исправлена
хроматическая аберрация положения (sjL, — s^). Однако луч
спектральной линии е дает изображение А'е той же точки А на
расстоянии s'e =? s'fi{s'ci^. Если допустить, что плоскость установки
проходит через точку A'fi{A'ci)^ to пучок лучей с углом 2<т в
пространстве предметов после прохождения оптической системы
образует в этой плоскости некоторый кружок рассеяния лучей, край
которого будет окрашен в желто-зеленый цвет, соответствующий
линии е.
316
Если же плоскость установки поместить на расстоянии s'e от
вершины 0р, то край кружка рассеяния лучей будет иметь цвет,
соответствующий цвету смеси синего и красного цветов (линии F' и
С). Таким образом, даже при устраненной хроматической аберрации
положения изображение осевой точки предмета получается
окрашенным. Это происходит из-за остаточной хроматической
аберрации положения изображения, определяемой как разность
ASbT = s'e — s'Fi. Эту разность и называют вторичным спектром.
Все полученные выше формулы для хроматической аберрации
положения можно применять и для вторичного спектра. Но при этом
средняя дисперсия dn и коэффициент дисперсии v должны
вычисляться для тех длин волн, для которых вычисляются хроматизм
положения и вторичный спектр.
Предположим, например, что основной длине волны
соответствует спектральная линия е, хроматизм положения
исправляется для линий F' и С, а вторичный спектр - для
спектральной линии е. Тогда при вычислении хроматизма положения
J Пе-1
используются величины an = nFr — пс> и v = , а при
вычислении вторичного спектра - величины dn = nFr — пе и
v = —-—. Для примера рассмотрим вторичный спектр бесконечно
Tlpl —Tig
тонкого двухлинзового объектива.
Если Фг и Ф2 - приведенные оптические силы первой и второй
линз, то
фх + ф2 = 1.
Условием ахроматизации этой системы является равенство нулю
основного хроматического параметра (С = 0).
Применив формулу A5.21), получим
ф1 ф2
— + — = 0.
Vi v2
Решая совместно два последних уравнения, найдем:
— Vi — V2
Oi = ,Ф2 = ¦ A6.1)
vi-v2 У1-У2
Для вторичного спектра на основании A5.27) с учетом полученных
значений Фг и Ф2 будем иметь
/' /4 v, vj /4v, v2jv,-v2
317
Но отношение
v
v
V - пе
= У
есть относительная частная дисперсия. Поэтому
ВТ с I
V2 - V! /'
Для предмета в бесконечности
А , 72 -Y\s'2
A6.2)
A6.3)
На рис. 16.2 показана диаграмма vy, представляющая собой
прямоугольную систему координат, по горизонтальной оси которой
отложены численные значения коэффициентов дисперсии v = — ,
а по вертикальной оси - значения относительных частных дисперсий
nFf-ne
у = — . Каждому стеклу на такой диаграмме будет
nF,-nc,
соответствовать одна определенная точка.
0.5215
0.5069
У
--
--
"f
_ _ J
N
L
V К о пе 1
I \ v
1 UF' Пс'
36.69 63.87
Рис. 16.2. Диаграмма стекол vy
Если через точки, соответствующие стеклу Ф1 (v = 36,69; у =
= 0,5215) и стеклу К8 (v = 63,87; у = 0,5069), провести прямую, то
окажется, что точки большинства стекол расположатся вблизи этой
прямой. Такие стекла называют обычными. Угловой коэффициент
построенной прямой приближенно равен . На этом основании
для обычных стекол формулы A6.2) и A6.3) могут быть написаны в
виде
318
^'"
Л5°т = 2000^" A6.5)
Следовательно, если такая двухлинзовая система выполнена из
обычных стекол, то ее вторичный спектр является величиной
постоянной, не зависящей от конструктивных параметров. Этот
вывод справедлив и для тонкой системы из нескольких линз,
выполненных из обычных стекол, что будет показано ниже.
Из формул A6.2) и A6.3) следует, что для уничтожения
вторичного спектра относительные частные дисперсии стекол
должны быть равны между собой, а их коэффициенты дисперсии
различными. Но для этого приходится применять не обычные стекла,
а стекла, точки которых на диаграмме vy значительно удалены от
построенной выше прямой. Такие стекла называют особыми.
Например, применение особого стекла марки ОФЗ (v = 63,88;
у = 0,5139) в сочетании с обычным стеклом марки ТК9
(v = 53,76; у = 0,5127) уменьшает вторичный спектр в 5 раз.
Оптические системы с исправленным вторичным спектром
называют апохроматическими или апохроматами.
В последние годы в научной отечественной и зарубежной
литературе применяется такое название ахроматических систем с
исправленным вторичным спектром, которое указывает на число
длин волн, для которых изображения осевой точки пространства
предметов сведены в одну осевую точку пространства изображений.
Так, например, если в оптической системе хроматизм положения
исправлен для каких-либо двух длин волн света и в то же время для
некоторой третьей длины волны исправлен вторичный спектр, то
такую систему называют трехцветным апохроматом. Если
вторичный спектр исправлен для двух длин волн, то апохромат
называют четырехцветным апохроматом.
На рис. 16.3 показан график вторичного спектра некоторой
ахроматической системы, у которой исправлен хроматизм положения
(sfpr — s^), но не исправлен вторичный спектр (ASgT = s'e — s'F> Ф О).
На графике по вертикальной оси отложены длины волн света, а по
горизонтали - соответствующие им значения 5'.
319
с ,
Рис. 16.3. График вторичного
спектра ахромата
Рис. 16.4. График вторичного
спектра трехцветного апохромата
На рис 16.4 показан график вторичного спектра трехцветного
апохромата, у которого исправлен хроматизм положения для
спектральных линий F' и С (s'Fr — s'Fr = О) и вторичный спектр для
линии е (s^ — s'Fr = О).
Вторичный спектр особо вреден в длиннофокусных объективах
и в оптических системах с большим увеличением.
16.2. Вторичный спектр тонкого трехлинзового объектива
Условие масштаба, условие ахроматизации, а также выражение
для вторичного спектра на основании A5.21) и A5.28) бесконечно
тонкого трехлинзового объектива можно написать соответственно в
виде
As'
A6.6)
Из первых двух уравнений найдем значения Фг и Ф2 и подставим их
в третье уравнение. После несложных преобразований получим
Г, ,, Ф3/'
А5.',.„=-
;Д.
A6.7)
320
где Л - определитель третьего порядка вида
1 1 1
Д= v, v2 v3 . A6.8)
Yi Y2 Y3
Формула A6.7) выражает вторичный спектр бесконечно тонкого
трехлинзового объектива из любых марок стекол.
Решая систему уравнений A6.6) при As^T = О относительно
оптических сил линз, получим
A6.9)
Абсолютное численное значение определителя Л равно
удвоенной площади треугольника, вершинами которого являются
точки с координатами (vx; y1)9 (v2; у2) и (Уз> Уз) на диаграмме т/у,
показанной на рис 16.2.
Если все три стекла обычные, а соответствующие им точки на
диаграмме vy располагаются на одной прямой, то Л= 0; формула
A6.7) при этом приобретает вид формулы A6.3), а формулы A6.9)
теряют смысл.
Таким образом, бесконечно тонкий трехлинзовый объектив из
обычных стекол не может быть апохроматом. Его вторичный спектр
такой же, что и двухлинзового объектива из обычных стекол.
Если же применить особые стекла, то можно получить такое
значение Л, при котором вторичный спектр окажется равным нулю.
При этом если у2 = у3, то Фг = 0; при у3 = у1 получаем Ф2 = 0, а
при Yi = Уг ~ Ф3 = 0- В этих трех случаях объектив вырождается в
двухлинзовый апохромат.
16.3. Выбор стекол для трехлинзового трехцветного апохромата
При расчете трехлинзового трехцветного апохромата выбор
стекол для его отдельных линз играет основную роль. Это
объясняется тем, что при произвольно взятых стеклах в результате
решения системы уравнений A6.6) получаются большие численные
значения оптических сил линз, что, в свою очередь, не позволяет
321
сспдавагь системы с пеооходпмымп ошосительными отверстиями
Для получения меньших величин оптических сил линч стекла
выбирают с помощью специальных методов, два и 5 которых
он псы ваю i ся 11 иже
16.3.1. Me юл ipe>iситников
Введем обозначения
A6 10)
Тома систему A6 6) при As,'., = 0 можно написать в виде
У г Ф = 0
Решая )iv снеiему уравнений, получим
A6 11)
1де Л,Л1;Л2 и Л^ определители 3-ю тторядка, имеющие вид
1 1 1
Л =
л, =
л. =
v, х2 \ ,
i ]: х ¦
1 1 1
0 л, л;
0 \: ь
1 1 1
л, 0 л,
г, 0 г
A6 12)
A6 13)
A6 14)
A6 15)
A6.16)
A6 17)
322
1 1
A6.18)
У\ У2
Определитель A6.15) на диаграмме ху, приведенной на рис. 16.5, по
абсолютной величине равен удвоенной площади треугольника,
вершинами которого служат точки А(хг; У\),В(х2', Уг) и С(х3; Уз),
изображающие соответственно некоторые выбранные марки стекол
А, В и С. Для дальнейшего упрощения изложения назовем этот
треугольник базовым.
У
А
Рис. 16.5. Базовый и дополнительные треугольники
Определители A6.16)-A6.18) получаются из определителя
A6.15) заменой координат точки, изображающей стекло той линзы,
оптическая сила которой вычисляется, на координаты точки 0@; 0),
совпадающей с началом системы координат. Каждый из этих трех
определителей по абсолютной величине равен удвоенной площади
треугольника, одна из вершин которого совпадает с началом
координат, а две другие - с какими-либо вершинами базового
треугольника. Назовем полученные три треугольника
дополнительными.
Из формул A6.12)-A6.14) следует, что для получения меньших
оптических сил необходимо, чтобы выбранные марки стекол
обеспечивали получение по возможности большей площади базового
треугольника при сравнительно небольших площадях
дополнительных треугольников.
16.3.2. Метод ограниченных оптических сил линз
Пусть в качестве стекол трехлинзового апохромата взяты
некоторые стекла А, В, С+(С~), изображенные аналогичными точками
на диаграмме ху, приведенной на рис. 16.6.
323
Прямую L, проходящую через точки А и В, назовем обычной,
а параллельную ей прямую Lj, проходящую через точку С+ слева от
L, или прямую Lq, проходящую через точку С~ справа от L, назовем
особой. Стекла, изображенные точками прямой L, являются
обычными, а стекла, изображенные точками прямых Lj или Lq, -
особыми. Проведем через точку А прямую SM \\ ОВ, через точку В -
прямую RM || О А, а также прямую OQ \\ АВ.
Рис. 16.6. Обычные А, В и особые С+, С стекла
на диаграмме х, у
Нетрудно установить, что оптическая сила Фо линзы из особых
стекол, лежащих левее прямой L, будет положительной.
Действительно, в соответствии с изложенным в п. 16.3.1, если линза
выполнена из стекла С+, то Фо есть отношение площадей
треугольников ОАВ и АВС+, т.е.
Фо =¦
A6.19)
где 00' и С+С[ - высоты треугольников ОАВ и С+АВ, проведенные
соответственно из вершин О и С+ на общую сторону АВ. Так как
величины этих высот должны иметь одинаковые знаки, то Фо > 0.
Если же в качестве особого стекла взять любое стекло, лежащее
справа от L, то будем иметь Фо < 0, т. к. величины высот 00' и С~С
имеют разные знаки.
Рассматривая отношения площадей дополнительных и базового
треугольников при различных положениях точки, изображающей
особое стекло, нетрудно установить, что в случае, если эта точка
324
расположена внутри области OQMR, то одновременно имеют место
следующие соотношения между оптическими силами Фо, Ф^ и Фв
линз, выполненных из особого стекла С+(С~) и обычных стекол
соответственно:
1<Ф0<-1. |Фо|>|Ы |Фо|>|Фв|- A6-20)
Таким образом, при выбранных стеклах А и В для получения
заданного значения |Ф0| > 1 необходимо на диаграмме ху на
оо' „ т
расстоянии щ-т слева и справа от прямой L построить параллельные
ей прямые Lj и Lq. Любое стекло, изображаемое точками этих
прямых, а также точками частей области OQMR, лежащих слева и
справа от прямых Lj и Lq соответственно, вместе со стеклами А и В
обеспечивает, таким образом, получение оптических сил линз,
удовлетворяющих условию A6.20). Точные численные значения
оптических сил Фо, Ф^ и Фв определяются совместным решением
системы из трех уравнений A6.11).
Используя изложенное, можно перейти и к диаграмме vy
следующим образом. Уравнение обычной прямой L, проходящей
через точки А(хА\ уА) и В(хв\ ув):
Ув~Уа , вУа аУв л^п
у- х + . A6.21)
хв — хА хв— хА
Уравнение особой прямой LQ \\ L, проходящей через точку С(хс; ус):
Ув~Уа , УсОв - хА) - хс(ув - уА) л,_
у- + . A6.22)
хв — хА хв — хА
Расстояние С С между прямыми Lo и L:
сс = (Ув ~Уа)хс -(хв ~ха)Ус +хвУа ~хаУв
^J
Расстояние от начала координат до прямой L:
ОС- хвУ<-х<Ув
1J(
Из двух последних выражений на основании A6.19) можно написать
(ув -у4)хс -(хв -х4)ус+хву4 -*4УВ'
325
Отсюда нетрудно получить
Фо хвуА-хАув
Используя это выражение, уравнение A6.22) можно написать в виде
ух+^ Aб23)
хв-х4 хв-хА Фо
Используя обозначения A6.10), уравнение обычной прямой A6.21) и
особой прямой A6.23) можно соответственно можно привести к виду:
Ya~Yr vaYr~vrYа
Y= /Bv + -^ ^-L A6.24)
V4~VB_ V1~VB
r = nzl^ %zlv+vJs-vBY^
V4~VB Ф<> V,~VB
Из этих уравнений следует, что все особые прямые Lo, параллельные
на диаграмме ху прямой /,, на диаграмме vy, показанной на рис. 16.7,
представляют собой пучок прямых, имеющих общую с обычной
прямой ординату, равную
Угловой коэффициент этих прямых при выбранных стеклах А и В,
соответствующих точкам А(уА; уА) и В(ув; ув), зависит от величины
Фо. В частном случае при крайнем значении Фо = 1, определяемом
условием A6.20), особая прямая оказывается параллельной оси v, a
при Фо = — 1 она имеет уравнение
У=Га Yb2v + yq A6.27)
Ясно, что при Фо < — 1 особые прямые расположатся ниже обычной
прямой (прямая АВ), а для Фо > 1 - выше.
326
Рис. 16.7. Обычные стекла Л, В и область соответствующих
особых стекол на диаграмме vy
На диаграмме ху прямые О А и ОВ определяются соответственно
уравнениями:
Уравнения прямой AM \\ ОВ и прямой ВМ \\ О А соответственно
можно написать в виде:
" •> У = — -
х.
хв хв хА х4
Решив совместно последние два уравнения, найдем координаты
точки М(хм) ум) на диаграмме ху:
Хм = Хд -\~ Xq, Ум — Уа~*Г Ув •
Переходя с помощью обозначений A6.10) к диаграмме vy, для
координат этой же точки будем иметь:
vu = -^*- , Гм =У<Гв+УвУ<. A6.28)
Нетрудно установить, что эти координаты удовлетворяют уравнению
A6.27), т. е. точка M(vM; yM) лежит на особой прямой,
соответствующей Фо = —1.
Таким образом, для выбора на диаграмме vy стекол,
обеспечивающих получение оптических сил линз, не превышающих
по абсолютной величине заданное значение Фо, необходимо
последовательно выполнить ряд следующих действий.
327
1. Выбрать некоторые два стекла А и В, обозначенные на диаграмме
vy соответственно точками А(уА; уА) и В(ув; ув).
2. По уравнению A6.25) построить особые прямые Lq и Lj
соответственно для Фо < — 1 и Фо > 1.
3. По уравнениям A6.26) и A6.27) построить предельные особые
прямые для Ф0 = +1иФ0 = —1 соответственно.
4. По координатам A6.28) построить точку M(vM; yM).
5. Построить угол AM В, стороны которого пересекут построенные
особые прямые в некоторых точках А~,В~,А+,В+ и Q.
Любое стекло, которое изобразится точкой, лежащей внутри
области А~МВ~ или области PQA+B+ (эти области на рис. 16.7
заштрихованы), вместе со стеклами А и В обеспечит получение
оптических сил линз, не превышающих заданную величину Фо по
абсолютному значению. Очевидно, что первая из названных областей
соответствует значениям Фо < —1, а вторая - значениям Фо > 1.
В качестве примера на диаграмме vDyF_D описанным способом
был выполнен поиск особого стекла при |Ф0| < 3, когда стеклами А и
В являлись стекла марок ТФ10 и ОФ6 соответственно. В результате
было установлено, что в этом случае в область PQA+B+ попадают
только кристаллы CaF2 и BaF2, а область А~МВ~ ни одного
подходящего материала не содержит. Совместным решением
системы уравнений A6.11) нетрудно установить, что для комбинации
ТФ10, ОФ6 и CaF2 линзы имеют соответственно оптические силы
$! = 0,010; Ф2 = -1,186; Ф3 = 2,176, а для комбинации ТФ10,
ОФ6 и BaF2 - $! = -0,192; Ф2 = -0,995; Ф3 = 2,187, т. е.
оптические силы всех линз в обоих случаях не превышают заданную
величину 3.
Вблизи области PQA+B+ расположено стекло марки OKI,
которое вместе со стеклами ОФ6 и ТФ10 обеспечивает получение
оптических сил Фг = 3,104; Ф2 = -2,135 и Ф3 = 0,031
соответственно.
16.4. Сферохроматизм
Монохроматические аберрации изменяют свою величину при
переходе от одной длины волны света к другой. Это явление
называют хроматической разностью аберраций.
328
Рис. 16.8. График сферохроматизма
Наличие большого числа этих аберраций усложняет расчет
оптических систем. Поэтому обычно ограничиваются хроматической
разностью той аберрации, которая больше всего влияет на качество
оптического изображения. Рассмотрим для примера хроматическую
разность сферической аберрации (сферохроматизм).
Пусть по одному и тому же направлению из осевой точки
предмета выходят действительные лучи спектральных линий F' и С
В пространстве предметов эти лучи пересекают оптическую ось
соответственно на расстояниях s'Fr и s'cr от вершины последней
поверхности системы. Параксиальные же лучи, исходящие из той же
осевой точки предмета, в пространстве изображений пересекут ось на
расстояниях s'Fr и s'cr. Тогда для продольной сферической аберрации
лучей линий F' и С соответственно можно написать:
AsfF, = sfF, -s'F?,
As^f = S^f — S~r.
Разность
as^x = AsfF, - Asfc, = (*;, - *;,) - (s^, - 5^)
представляет собой изменение продольной сферической аберрации
при переходе от линии С к линии F'. Эта разность и характеризует
величину сферохроматизма.
Последнее выражение можно представить как
Уменьшаемое в правой части этого выражения есть хроматизм
положения для действительных лучей линий F' и С, а вычитаемое -
хроматизм положения лучей тех же линий в параксиальной области.
329
Следовательно, сферохроматизм можно определить и как изменение
хроматизма положения при переходе из параксиальной области в
область действительных лучей.
На рис. 16.8 показаны графики продольной сферической
аберрации некоторой оптической системы для лучей спектральных
линий e,F' и С. По горизонтальной оси координат отложены
разности расстояний между осевой точкой пространства
изображений, в которых пересекает оптическую ось действительный
луч для некоторой длины волны Я, и точкой, в которой пересекает ось
параксиальный луч для спектральной линии е. По вертикальной оси
отложены относительные величины высот лучей в плоскости
входного зрачка. Расстояние между кривыми F' и С на определенной
высоте т характеризует хроматизм положения. В параксиальной
области эта аберрация отрицательна (система недоисправлена).
С ростом величины т величина и знак этой аберрации изменяются.
Для лучей на высоте т = 0,7 она равна нулю, а при т > 0,7 она
меняет знак, становясь положительной (система переисправлена).
Таким образом, при переходе из параксиальной области в область
действительных лучей хроматизм положения меняется, что и
характеризует сферохроматизм системы.
Из-за наличия сферохроматизма положения хроматическую
аберрацию положения чаще исправляют не для параксиальных лучей,
а для лучей, пересекающих входной зрачок на высоте т = 0,7 от его
радиуса, что ведет к изменению знака сферохроматизма при переходе
от лучей, имеющих т < 0,7, к лучам с т > 0,7. Такая коррекция
хроматизма приводит к лучшей ахроматизации в изображении осевой
точки предмета.
Теории сферохроматизма в настоящее время не существует.
Имеется несколько выработанных практикой приемов, позволяющих
учитывать или исправить сферохроматизм.
В XIX в. К. Гаусс предложил объектив с исправленным
сферохроматизмом. Объектив представляет собой двояковыпуклую
линзу, перед которой был установлен отрицательный мениск
вогнутостью к предмету, а за линзой - компонент из склеенных
между собой положительной и отрицательной линз.
Сферохроматизм тонкого объектива из двух склеенных линз в
спектральном интервале F' — С:
т2
Д^ = 0Д —,
330
если первая линза выполнена из крона и имеет оптическую силу
Ф «2.
Тонкая система из двух компонентов, каждый из которых
представляет собой две склеенные линзы, имеет сферохроматизм
т2
А*;* = 0,03 —.
Такую же величину сферохроматизма имеет тонкий объектив из
компонента, склеенного из двух линз, и установленной за ним
одиночной линзы. Однако это имеет место не при всех значениях
основных параметров Р и ИЛ Величина сферохроматизма сильно
зависит также от того, флинт впереди или крон. При расчете
оптической системы оба эти варианта необходимо исследовать.
Сферохроматизм системы из двух линз, установленных на
конечном расстоянии d, может быть как положительным, так и
отрицательным; при d = (ОД н- 0,2)/' эта аберрация обращается в
ноль. Таким же свойством обладает система, у которой первый
компонент склеен из двух линз, а второй - одиночная линза.
При апохроматизации оптической системы на сферохроматизм
следует обращать такое же внимание, как и на вторичный спектр.
331
ГЛАВА 17. АБЕРРАЦИИ ОПТИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ
17.1. Сферическое зеркало
На рис. 17.1 показано сферическое зеркало с радиусом кривизны
г; на расстоянии s от вершины О расположен предмет, а на
расстоянии sp - входной зрачок диаметром D = 2т; линейное
увеличение зеркала равно /?.
Вх.зрачок
ri=-n=1
Рис. 17.1. Сферическое зеркало. Ход первого и второго
параксиальных лучей
При одной отражающей поверхности в воздухе (пг = —п = 1)
для первого параксиального луча а = —/3,ar = l,h = s\ а для
второго параксиального луча /Зг = 1,у = sp. Инвариант Лагранжа-
Гельмголыда при этом приводится к виду
j = nay = (sp - s)p = svp + 5'.
Рассмотрим формулы сумм Зейделя и соответствующие им
монохроматические аберрации третьего порядка этой поверхности.
Сферическая аберрация. В соответствии с A2.4) и A3.11) в
этом случае нетрудно получить:
р =-A +/?JA -В), A7.1)
4
W =-A-р2). A7.2)
Отсюда при /? = 0 (а = 0) получаем значения основных параметров
зеркала:
332
Р = 0,25; W = 0,5.
На основании первой формулы A2.3) для первой суммы Зейделя
можно написать
Используя далее A3.7), для продольной сферической аберрации
зеркала получим
As' = - — tg2o'(l + /?J A -/?). A7.4)
Если предмет расположен в бесконечности, то /? = 0, s' = /',
tgo' = - и
Аг 8/'
Сравнивая последнюю формулу с формулой A4.43), приходим к
выводу, что сферическая аберрация зеркала при бесконечно
удаленном предмете в 8 раз меньше минимального значения этой
аберрации бесконечно тонкой линзы, выполненной из стекла с
показателем преломления п = 1,5.
Из A7.3) видно, что сферическая аберрация зеркала может быть
равна нулю при /? = +1, что соответствует случаю, когда осевая
точка предмета совпадает либо с вершиной зеркала, либо с центром
его кривизны.
Меридиональная кома. Вторая сумма Зейделя в соответствии с
A3.25) может быть представлена как
S,,=yP-JW.
Подставляя сюда вышеприведенные значения у, P,J и И/, нетрудно
получить
S,,=±^k(l-/n-2s'l. A7-6)
Используя это выражение, можно вычислить меридиональную кому
зеркала при любом положении предмета и входного зрачка.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1) Если осевая точка предмета совпадает либо с вершиной
зеркала, либо с центром его кривизны (/? = ±1), то сомножитель
перед квадратной скобкой в A7.6) равен нулю. Следовательно, при
этом вторая сумма Зейделя и кома также равны нулю.
333
2) Центр входного зрачка совпадает с центром кривизны зеркала
(sp = г). Нетрудно показать, что при этом выражение в квадратных
скобках формулы A7.6) равно нулю. Поэтому и в этом случае вторая
сумма Зейделя и кома равны нулю.
3) Предмет расположен в бесконечности (/? = 0), а центр
входного зрачка совпадает с вершиной зеркала (sp = 0). Так как при
этом из A7.6) следует, что
*« = -*.
то по формуле A3.8) кома
Астигматизм и кривизна изображения. Для анализа
астигматизма и кривизны изображения обратимся к формулам A3.13)
и A2.3), выражающим соответственно суммы Зейделя Sni и SIV. Для
зеркала эти суммы можно написать в виде:
-2 - ^__2_
SUI--P-2J-W + J ——,
с _ П 72/
Siv~~h~-
Подставив сюда вышеприведенные значения всех буквенных
выражений, после несложных преобразований получим
A7.8)
Составим далее следующие выражения:
3 s2
3 s
j2siv = --^
-3 J
334
Применяя эти два выражения, с помощью A3.14) и A3.15) можно
вычислить меридиональную и сагиттальную кривизну изображения
при любом положении предмета и входного зрачка. Рассмотрим
несколько частных случаев.
1) Осевая точка предмета совпадает с центром кривизны зеркала
(JP = -!)•
S -llr-sJ S --1-
гv ' г
3Sm+J2Sn =-(r-Sl,J,Sln+J2Sn =0,
Г Г
2) Центр входного зрачка совпадает с вершиной зеркала
(sp = 0).
Sni = sf(\ — Pj, SIt, = ,
3Sin +J2Slv =25'A-P), SIU +J2SIV =0,
III f \ ш / - i 1 ffi f \ m /
3) Предмет расположен в бесконечности, а центр входного
зрачка совпадает с вершиной зеркала (/? = 0, sp = 0).
5 -r- S --1-
г г
4) Предмет расположен в бесконечности, а центр входного
зрачка совпадает с центром кривизны зеркала (/? = 0, sp = г).
Sni = 0, Sn, = ,
г
3Sin +J2SIV =--, SUI +J2SIV =--,
335
Дисторсия. Сумму Зейделя Sv, определяющую дисторсию, в
соответствии с A3.27) можно написать в виде
/г /г h~\n'~ n~ J /г |_ V п' п) п п'
Учитывая уже использованные выше значения величин, входящих в
это выражение, далее нетрудно получить
5, =^A + рJA-р)-|-^E/,р + 4>-Р2) + 2^(^р + ,'JA-р). A7.9)
Применяя это выражение, с помощью A3.5) и A3.13) можно
вычислить значения дисторсии при любых значениях /? и sp.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1) Центр входного зрачка совпадает с вершиной зеркала sp = 0.
Из последней формулы видно, что в этом случае при любом
положении предмета сумма Sv, а следовательно, и дисторсия равны
нулю.
2) Осевая точка предмета совпадает с центром кривизны зеркала
(/? = —1). При этом условии для суммы Sv легко получаем
а по A3.13) дисторсия
Ду' = -2sptg3co(-^-) .
3) Предмет расположен в бесконечности, а центр входного
зрачка совпадает с центром кривизны зеркала (/? = 0, sp = г). В этом
случае сумма Sv и дисторсия равны нулю.
Из проведенных здесь исследований следует, что не существует
таких положений предмета и входного зрачка, при которых бы все
монохроматические аберрации сферического зеркала отсутствовали.
17.2. Плоскопараллельная пластинка
На рис. 17.2 показан ход обоих параксиальных лучей через
плоскопараллельную пластинку, на расстоянии sp от которой
расположен входной зрачок диаметром 2т, а на расстоянии 5Х -
плоскость предмета; пластинка имеет толщину d, изготовлена из
стекла с показателем преломления п и находится в воздухе.
336
Вх. зрачок
Рис. 17.2. Ход первого и второго параксиальных лучей через
плоскопараллельную пластинку
Для первого параксиального луча при аг = а3 = 1 имеем
1 , , d
а2 = -, Aii = 5ъ = si •> аналогично для второго параксиального
луча при ft = /?3 = 1 имеем /?2 = -, У\ = sp, y2 = sp . Тогда
инвариант Лагранжа-Гельмгольца:
У = п1а1у1 =sp-s1.
Далее с помощью A2.4) и A3.24) нетрудно получить:
п2 - 1 п2 - 1
/5 И/ /5 И/
Используя полученные значения углов и высот обоих параксиальных
лучей, инварианта Лагранжа-Гельмгольца и коэффициентов Pi,Wlf P2
и И/2, выведем далее формулы для вычисления отдельных аберраций
плоскопараллельной пластинки.
Сферическая аберрация. В соответствии с A2.3) первая сумма
Зейделя
п2-1
S hP hP d
Поэтому для продольной сферической аберрации по A3.6) легко
получаем
d п2-1 _ ,
Л5 = о-^^^2^'- A7.10)
337
Следовательно, сферическая аберрация какого-либо луча,
создаваемая плоскопараллельной пластинкой, положительна, зависит
только от угла между лучом и оптической осью, а также от толщины
пластинки и показателя преломления материала, из которого она
выполнена, но не зависит от положения предмета.
Меридиональная кома. По второй формуле A2.3) вторая
сумма Зейделя
а2 -а, " " а3 -а2
При имеющихся значениях углов аи/?:
о -а, а3 —а2
Следовательно, по A3.4) меридиональная кома:
K = --~tg2aiSll =---^^tg2a]S/n
2 J 2 sp-si
KJ-.dtg2cj{tgcol±-±. A7.12)
Астигматизм и кривизна изображения. Для третьей суммы
Зейделя по третьей формуле A2.3) имеем
С учетом A7.11) получаем:
С _ U р л_ U р — С С _ _/4
°/// ~" "л1 I """ rt2* 2 ~ °/ » °/// ~" w 1
Так как у плоскопараллельной пластины гг = г2 = оо, то из четвертой
формулы A2.3) следует, что независимо от положения предмета
SIV = 0.
Применяя далее A3.14) и A3.15), получаем:
z =-dtg2aI1-^, A7.13)
2 п
z[=-dtg2o)^-, A7.14)
2 /7
z[-z'm=-dtg2CQ1^. A7.15)
338
Таким образом, меридиональная и сагиттальная кривизна
изображения плоскопараллельной пластинки положительны.
Дисторсия. Для пятой суммы Зейделя в соответствии с пятой
формулой A2.3) нетрудно получить
а по A3.5) дисторсия плоскопараллельной пластинки
b/=X-dtg^?-^. A7.16)
Если предмет расположен в бесконечности, то
a]=a2=a^=O,hl=h2=h,J = -h P{ =P2 =W{ =W2 =0.
Очевидно, что в этом случае S{ = 0. Из A3.25) - A3.27) следует, что
при этом Sn = Sm = Sv = 0. Следовательно, плоскопараллельная
пластинка, установленная в пучок параллельных лучей, не будет
вносить в систему монохроматических аберраций.
Хроматизм положения. Для первого параксиального луча в
случае плоскопараллельной пластинки вообще:
а, ( d
а, =оц , а2 =—-, \ =5,а,, К =а, \ si —
п v п
В соответствии с A5.5) первая хроматическая сумма
, ^ , ^ а^—а. An ( d\ct1— a. An
1 _j П \ П ) {_ 1 П
п п
Отсюда после упрощений
_ , An din— l)
A7.17)
An 1 „
Учитывая, что = —, окончательно для первой хроматической
суммы будем иметь
s = а*±.П^± A7.18)
Подставляя это значение SIxp в A5.6), для хроматизма положения
получаем
. , 1 о d n-\
Так как п' = 1, а' = а3 = 1, то
339
Таким образом хроматизм положения плоскопараллельной пластинки
положителен.
Хроматизм увеличения. Для второй хроматической суммы по
A5.35) можно написать
Подставив сюда Sj хр из A7.18), получаем
^=«.Д-^- A7.20)
V П
Инвариант Лагранжа-Гельмголыда для плоскопараллельной
пластинки в воздухе можно написать в виде
J = nia]y] =afi](sp-sl).
Подставив полученные значения SIIxp и/ в A5.40), получим
. , у' d п-\
&у\р=— -
sp-sx v n-
Так как для плоскопараллельной пластинки
у' У
=
то окончательно для хроматизма увеличения плоскопараллельнои
пластинки имеем
Ау[ =-?—±tgu>. A7.21)
V П~
При бесконечно удаленном предмете а^ = 0. Из A7.18) и A7.20) при
этом следует, что SIxp = SIIxp = 0. Поэтому плоскопараллельная
пластинка, установленная в пучке параллельных лучей, свободна от
хроматизма положения и хроматизма увеличения.
17.3. Апланатические линзы
Апланатические линзы содержат две апланатические
поверхности первого, второго или третьего рода. Выполним анализ
монохроматических аберраций третьего порядка этих линз,
предварительно рассмотрев названные аберрации у отдельных
апланатических поверхностей.
340
Для апланатической поверхности первого рода:
п + п' , п + п'
s = г , s = г.
Из этих двух уравнений следует, что
n , h h
Заменив s и s соответственно на - и —, получим
па' -п'а = 0.
На основании этого уравнения по A2.4) получаем Р = 0, а из A2.3)
после этого следует, что
S, = Sir = Sm = 0, SIV * 0,Sv * 0.
Для апланатической поверхности второго рода s = sr = г,
а = а\ что дает Р = 0. На основании A2.3) нетрудно показать, что
при этом
sr =srr =0, sin *о, sn, *о, sv ?to.
Для апланатической поверхности третьего рода s = s' = 0,
h = 0. Из A2.3) при этом получаем 5/ = Sn = Sm = 0,
SIV =? 0, Sv ^ 0. В табл. 17.1 приведены результаты анализа сумм
Зейделя трех апланатических поверхностей.
Таблица 17.1
Род аплан.
поверхности
1
2
3
Si
0
0
0
Sn
0
0
0
Si п
0
*0
0
sIV
*0
*0
Sv
*0
*0
Таким образом, у апланатических поверхностей первого и
третьего рода отсутствует сферическая аберрация, меридиональная
кома и астигматизм, но имеют место кривизна изображения и
дисторсия. У апланатических поверхностей второго рода отсутствует
сферическая аберрация и меридиональная кома; другими тремя
аберрациями такие поверхности обладают. Заметим, что у
апланатических поверхностей всех трех родов отсутствует
сферическая аберрация и кома. Из A1.33) при этом следует, что
л = 0. Следовательно, все апланатические поверхности являются
изопланатическими.
341
Соединение двух апланатических поверхностей дает
возможность получить апланатическую линзу конечной толщины.
Например, соединение двух апланатических поверхностей первого
рода дает апланатическую линзу, свободную от сферической
аберрации, меридиональной комы и астигматизма. Апланатические
поверхности первого и второго рода, соединенные вместе, образуют
апланатическую линзу, свободную от сферической аберрации и комы,
но не свободную от других аберраций. Например, хотя
апланатическая поверхность первого рода свободна от астигматизма
(Sm = 0), но эту аберрацию вносит поверхность второго рода
№// * 0).
В табл. 17.2 представлены возможные комбинации родов
апланатических поверхностей и наличие или отсутствие тех или иных
монохроматических аберраций соответствующих линз.
Таблица 17.2
Комбинация
родов апл.
поверхностей
1 + 1
1+2
2+1
2+2
3+1
3+2
сферич.
аберрация
0
0
0
0
0
0
мерид.
кома
0
0
0
0
0
0
астигматизм
0
*0
*0
Ф 0
0
*0
кривизна
изображения
±0
Ф0
*0
±0
Ф0
*0
дисторсия
Ф 0
*0
*0
Ф 0
*0
Комбинацией апланатических линз нельзя получить
действительное изображений действительного предмета. Эти линзы
применяют в сочетании с неапланатическими линзами, добиваясь тем
самым уменьшения апертурного угла части оптической системы,
установленной за апланатическими линзами. Это позволяет
уменьшить аберрации для осевой точки предмета, что часто
используют при расчете высокоапертурных объективов микроскопов.
342
ГЛАВА 18. СУММИРОВАНИЕ АБЕРРАЦИЙ
Суммированием аберраций называют вычисление
приближенных значений аберраций сложной оптической системы по
известным аберрациям ее отдельных частей в соответствии с
определенными формулами. Это суммирование применяют на
начальном этапе разработки оптической системы, когда численные
значения аберраций отдельных частей либо назначаются, либо
заранее известны. При этом отдельно рассматриваются формулы для
суммирования поперечных аберраций (поперечная сферическая
аберрация, меридиональная кома, дисторсия, хроматизм увеличения)
и продольные аберрации (продольная сферическая аберрация,
астигматизм, кривизна изображения, хроматизм положения).
В дальнейшем при выводе этих формул любую поперечную
аберрацию будем обозначать символом Ду', а продольную -
символом As'. Хотя аберрации отдельных частей системы могут
иметь любые численные значения, в целом при суммировании
исходят из того, что вся система должна обладать такими
аберрациями, которые обеспечивают качество изображения,
определяемое техническим заданием на расчет системы. Заметим, что
формулы, о которых пойдет речь в настоящей главе, справедливы
лишь при угловых полях порядка 40°. При больших угловых полях
необходимы более точные формулы, учитывающие аберрации 5-го и
более высокого порядка.
18.1. Вычисление аберраций оптической системы из двух частей
по их поперечным аберрациям
Предположим, что оптическая система содержит две
разделенные между собой воздушным промежутком части, первая из
которых имеет q поверхностей, а вся система - р поверхностей. Тогда
на основании формулы A3.8) при Ауг = О, пр+1 = п', ар+1 = а\
ДУр+i = Ду' Для поперечной аберрации меридионального луча
можно написать
k=q + l
343
Умножим и разделим все члены этого выражения, относящиеся к
первой части оптической системы, на nq+1aq+1. Тогда nq+1faqf+1 = р2
есть линейное увеличение второй части системы. Поэтому из
вышеприведенного выражения следует, что
Л/ = Ду{/?2 + Лу2 , A8.1)
где Ау[ и Ду2 - поперечная аберрация соответственно первой и
второй частей.
Суммирование аберраций выполняется по ходу луча,
проходящего через всю систему независимо от числа частей, из
которых она состоит. Это положение очень важно, поэтому поясним
его, обратившись к рис. 18.1.
1~ часть 2~ часть
Рис. 18.1. Суммирование поперечных аберраций двух частей
оптической системы
Первая часть оптической системы имеет некоторую поперечную
аберрацию Лу{ в окрестности точки В[, являющейся крайней
внеосевой точкой изображения у{, находящегося над оптической
осью. Поэтому аберрация Ду2 для второго компонента должна быть
взята для края В[ предмета у2 = у|, находящегося также над
оптической осью, т.е. должна быть вычислена в окрестности точки В'2
края изображения у2, находящегося под оптической осью. Если же
для второй части системы известно численное значение аберрации
для крайней точки предмета у2 = у{, находящегося под оптической
осью, то для получения правильного результата по формуле A8.1)
значение этой аберрации нужно взять с обратным знаком.
344
18.2. Связь между аберрациями в прямом и обратном ходе лучей
Часто аберрации некоторых частей оптической системы бывают
известны не в прямом, а в обратном ходе лучей. Например, аберрации
окуляров вычисляются в обратном ходе лучей для предмета,
находящегося в бесконечности. Аналогичная ситуация имеет место
для первого компонента оборачивающей системы с параллельным
ходом лучей между компонентами. В таких случаях важно бывает
иметь возможность перехода от аберрации в обратном ходе к
аберрации в прямом ходе лучей.
Для поперечной аберрации Ду' в прямом ходе луча на
основании формулы A3.8) можно написать
Аналогично для аберрации Ду' в обратном ходе луча имеем
Ш1
лк
Так как при повороте оптической системы на 180° величины
rnk'hk,yt, — ,Pk остаются неизменными, а величины spk — sk,
spt — 5t, ак,а',/Зк и Ct меняют лишь знак, то правые части двух
последних выражений будут равны и, следовательно,
п'а'Ду' = п'й'Ду'.
Учитывая, что п' = щ, а' = —аъ далее получим
где /? - линейное увеличение системы в прямом ходе лучей. Таким
образом, выражение
Ду' = -/?Ду' A8.2)
связывает между собой поперечные аберрации Ду' и Ду',
относящиеся к прямому и обратному ходу лучей.
345
18.3. Суммирование аберраций компонентов оборачивающей
системы
Рассмотрим вопрос о вычислении аберраций двухкомпонентной
оборачивающей системы с параллельным ходом лучей между
компонентами через аберрации этих компонентов.
На рис. 18.2 показан ход лучей внеосевого пучка через объектив,
коллектив и названную оборачивающую систему.
Окуляры обычно разрабатываются так, что после
оборачивающей системы изображение у'2 бывает положительным
(над осью), а после объектива изображение у[ в таком случае будет
отрицательным (под осью).
Оборач. система
Об-в Кол-в 1 комп. 2 комп.
Рис. 18.2. Сложение аберраций компонентов оборачивающей
системы
Аберрации первого компонента оборачивающей системы
рассчитываются в обратном ходе лучей для бесконечно удаленного
предмета. При этом, как показано на рис. 18.3, лучи в обратном ходе
падают на компонент снизу вверх, образуя изображение у[ над осью.
Рис. 18.3. Первый компонент оборачивающей системы
Таким образом, по сравнению с ходом лучей через этот
компонент в составе всей системы, показанной на рис. 18.2, первый
компонент оказывается повернутым дважды - один раз вокруг оси,
346
перпендикулярной оптической (обратный ход лучей), а другой раз
вокруг оптической оси тоже на 180°. Аберрации второго компонента
вычисляются при бесконечно удаленном предмете для лучей, идущих
также снизу вверх, что соответствует работе этого компонента в
составе всей системы.
Предположим, что предмет для первого компонента в обратном
ходе лучей расположен не в бесконечности, а на очень большом, но
конечном расстоянии. Тогда для этого компонента на основании
формулы A8.2) имеем
ду; = -ду{/?1,
где Лу{ и Лу{ - поперечные аберрации первого компонента в прямом
и обратном ходе лучей соответственно, /?х - линейное увеличение
этого компонента в прямом ходе лучей.
После поворота первого компонента вокруг оптической оси
на 180° (чтобы изображение у[ оказалось под осью) будем иметь
Ау[ = -ДЙ& .
(здесь черта над Лу{ и Лу{ указывает на то, что аберрации относятся
к компоненту, повернутому на 180° вокруг оптической оси).
На основании формулы A8.1) и двух последних выражений для
поперечной аберрации Ду' всей оборачивающей системы можно
написать
Ду' = -Ьу'Мг + Ьу'г = Ду~{/? + Ду^ ,
где /? - линейное увеличение оборачивающей системы.
Поперечную аберрацию ку[ первого компонента обозначим
через Лу{. Тогда
Ду' = Ду{/? + Ду2. A8.3)
В этой формуле Ду{ относится к пучку параллельных лучей в
обратном ходе, падающих на первый компонент снизу вверх, образуя
изображение у[ над оптической осью.
18.4. Вычисление аберраций в угловой мере
При бесконечно удаленном изображении аберрации принято
оценивать в угловой мере. На рис. 18.4 показан действительный луч
Р'В' в пространстве изображений, идущий под углом а' к оптической
оси. В том же пространстве показан луч РВ'О, идущий под углом о'0 к
оптической оси и рассчитанный по формулам идеальной оптики.
347
Угол Да' между направлениями Р'В' и Р'В'О есть угловая
аберрация луча Р'В', которой соответствует поперечная аберрация
Ду' в плоскости изображения.
в'
\
Рис. 18.4. Угловые аберрации
Из этого определения следует, что
Опустим из точки #о на направление Р'В' перпендикуляр В'0С. Тогда
из треугольника P'BqC имеем
д '- В'ъС
Из треугольников В'0СВ и Р'В'0А' соответственно следует
В'0С = Ay'cos o'0t Р'В'О =
Поэтому для угловой аберрации получаем
s "У
COS о'0
s'pf - sf
При небольших углах можно положить cos о$ « 1.
Тогда
Дсг = — -.
A8.4)
A8.5)
Последние две формулы дают угловую аберрацию в радианнои мере.
Для перехода к оценке угловой аберрации в минутах правые части
этих формул необходимо умножить на 3438.
348
Рассмотрим случай, когда изображение расположено в
бесконечности (V = оо). В соответствии с формулой A3.15) при
Ду = О можно написать
\ ) [ ) [ p
Подставив это значение Ду' в формулу A8.5), получим
Аа' = I ^ S, - * -2 ^ Sn +
2 (^ ~sk) а>'оф;, -5') 2 (s/jA -sk) (s,,, -s,)a;p,«'a'(s;. -5')
Но (sfpf — s'\a' = —mr есть высота первого параксиального луча в
плоскости выходного зрачка.
При sr = со высота т! равна hp луча на последней поверхности.
Поэтому в этом случае
Ао = \ S, + —— S/f - A8 7)
2 (V а ) al"'hP 2 (V -sl )'{SPI ~s,y\$,n'hp
Эта формула выражает угловую аберрацию луча при бесконечно
удаленном изображении.
18.5. Связь угловой аберрации в прямом ходе лучей
с поперечной аберрацией в обратном ходе лучей
Окуляры всегда рассчитывают в обратном ходе лучей. Такому
ходу лучей соответствует некоторая поперечная аберрация Ду'.
В прямом ходе лучей этой аберрации соответствует некоторая
угловая аберрация. В соответствии с формулой A3.9):
Ду'-- ^ S -- ™^' S +
2 \spk -sjakna 2 [Spk -sj [spl - sf fa fin a
Так как mk = mk, yt = yt, spk = -spk, sk = -sk, spt = -st, st = -st,
n' = nl5 ak = -ak, jit = -pt, Sj = SIf Sn = Sn и т.д., то
Av'--1 m'k S +3 m^' S +
2 \spk ~sl f Vkn^ 2 [spk -sj\spf -s,p;Ptn a
Умножив и разделив правую часть этого выражения на n'hp, получим
2 (v -5* )а1"'\К ' /2'a' 2 Cv a MV s, Wri "
349
Сравнивая правую часть последнего выражения и правую часть
формул A8.7), имеем
Но — = ,— = —тг- = —f = /,
поэтому
Ду' = -/'Да'.
Следовательно, окончательно получаем
Аа' = - —. A8.8)
Эта формула связывает угловую аберрацию в прямом ходе лучей с
поперечной аберрацией в их обратном ходе.
18.6. Вычисление аберраций сложной оптической системы при
бесконечно удаленном изображении
Предположим, что имеется некоторая оптическая система,
состоящая из нескольких компонентов и дающая изображение
предмета в бесконечности. Разделим эту систему на две части так,
чтобы первая часть давала изображение в передней фокальной
плоскости второй части. Если предположить, что изображение,
даваемое второй частью, расположено не в бесконечности, а на очень
большом, но конечном расстоянии, то для угловой аберрации всей
системы на основании формул A8.1) и A8.5) можно написать
л , 4/ п\°
Аа = —
где п1а1 относятся к пространству между первой и второй частями, а
п'иа'-к пространству изображений.
При 5' -> оо имеем (sr,—s'Jar = —hp. Кроме того, в этом
случае по формуле A8.8):
72
Поэтому для всей системы угловая аберрация
350
В этом выражении
п' fi'hp hp ft f2'
Следовательно, окончательно получим
A,=. A89)
п
Эта формула позволяет вычислить аберрацию оптической системы в
угловой мере (в радианах) по известным значениям Ау[ и Ау2. Для
получения угловой аберрации в минутах правую часть выражения
A8.9) надо умножить на 3438.
18.7. Вычисление аберраций сложной оптической системы
в диоптрийной мере
В некоторых случаях (например, при оценке качества
изображения визуальных приборов) при бесконечно удаленном
изображении продольные аберрации выражают в диоптрийной мере.
Покажем это на примере сферической аберрации.
На основании формулы A8.9) угловая сферическая аберрация
оптической системы, состоящей из двух частей, выражается как
Для первой и второй частей можно соответственно написать
Ау[ = As[g[, Ау2 = As2a^ = -As2a[.
Подставив эти значения Лу{ и Ау2 и в предыдущую формулу,
получим
А. = j, .
С другой стороны, при 5' Ф оо для луча, имеющего на последней
поверхности системы высоту hp, очевидно равенство
Поэтому
1 fi2
351
hp
Это уравнение можно написать в виде
о[ _ 1000
-гтт— (Д5Х + Д52) = —— = L,
1000
где L - аберрация луча в диоптрийной мере.
Так как при sr = со имеем о[ = — -у, то
_ As[ + Д$2
L= Jr2~- A8.10)
~Т000
ft2
В этом выражении величину — называют ценой одной
диоптрии второй части оптической системы. По формуле A8.10)
оценивают в диоптрийной мере продольную сферическую
аберрацию, астигматизм и кривизну изображения, хроматическую
аберрацию положения изображения.
18.8. Вычисление rj оптической системы
по rj ее отдельных частей
По формуле A1.33) меридиональная кома оптической системы
Если оптическая система состоит из двух частей, то в соответствии с
формулой A8.1)
На основании этих двух выражений можно написать
где г\1 и г\2 относятся соответственно к первой и второй частям
системы.
Так как у[C2 = у2, то из этого равенства следует
77 = 771+772. A8.11)
Таким образом, при определении г\ оптической системы в прямом
ходе лучей г\ отдельных ее частей складываются.
Установим далее связь между г\ и г\ оптической системы в
прямом и обратном ходе лучей. В соответствии с формулой A8.2)
Ду' = -Ду'/?.
Отсюда на основании формулы A1.33)
Ъцу1 = Sfjy'P = -3fjy',
352
r] = -fj. A8.12)
Таким образом, при повороте оптической системы на 180° знак г\
меняется на противоположный.
Если для первой и второй частей оптической системы известны
соответственно т]г и fj2, то в соответствии с формулами A8.11) и
A8.12):
Г] = 7?1 + Г)г = 7?1 - Г\г
Л=ГЦ-Л2, A8.13)
т.е. в этом случае г\1 и fj2 вычитаются.
Обратимся теперь к оборачивающей системе из двух
компонентов, для первого из которых известна величина г\ъ а для
второго - величина г\2.
Применяя формулу A8.3), можно написать
ri = ri2-fjlf A8.14)
По этой формуле вычисляют г\ оборачивающей системы по
известным г\х и/]2.
18.9. Суммирование продольных аберраций
Рассмотрим сложение продольных аберраций на примере
продольной сферической аберрации, для которой из A3.9) при Лу = О
нетрудно получить
Предположим, что оптическая система состоит из двух частей, первая
из которых содержит q поверхностей, а вся система - р поверхностей.
Тогда, очевидно,
Обозначим показатель преломления среды между первой и второй
частями через п, угол первого параксиального луча с оптической
353
осью в этой же среде через а, а продольное увеличение второй
части - через аг. После этого можно написать
2\sPk-sJaina2 А=, к \п'а') п 2 (Spk -sk fafn'a'2 k=4+i k k
= As[—p] + As[ =As[a2 +As'2,
n
n
As1 = As,fa2+^, A8.15)
где As[ и Л52 - продольная сферическая аберрация первой и второй
частей соответственно.
Если п = п\ то
As' = As'fi] + Asf2. A8.16)
По формулам A8.15) и A8.16) выполняют сложение не только
продольной сферической аберрации, но и астигматизма, кривизны
изображения, хроматизма положения и вторичного спектра.
В п. 18.2 было показано, что при переходе к обратному ходу
лучей имеет место соотношение
Так как Ay = AsV, Ay = As'a, n = /?,, a = -a{, то
n a'1 As' = n'd'2As' = n^afAs^.
Отсюда следует, что
n\na
As' = aAs\ A8.17)
где As' - продольная сферическая аберрация в обратном ходе лучей,
а - продольное увеличение оптической системы в прямом ходе лучей.
При п = п'
As' = /?2AT. A8.18)
Если оптическая система состоит из двух частей и для второй части
продольная аберрация вычислена в обратном ходе лучей, то на
основании формул A8.16) и A8.17):
As' = As[a2 +As'2 =As\a2 +a2As'2.
([2)a2 A8.19)
При n' = n имеем
?22- A8.20)
354
Таким образом, продольные аберрации в прямом и обратном ходе
лучей складываются.
Для двухкомпонентной оборачивающей системы можно
применить формулу A8.16). Если между компонентами лучи пучков
параллельны между собой, то аберрации первого компонента
вычисляются в обратном ходе лучей.
Предположим, что после первого компонента изображение в
прямом ходе лучей находится не в бесконечности, а на очень
большом, но конечном расстоянии. Тогда на основании формулы
A8.18)
As[=As;tf.
Подставив это значение As[ в формулу A8.16) и учтя, что /?i/?2 = Р
есть линейное увеличение оборачивающей системы, получим
Эта формула позволяет вычислить продольную аберрацию
двухкомпонентной оборачивающей системы с параллельным ходом лучей
пучка между компонентами по известным значениям As{, As2 и /?.
355
ГЛАВА 19. АБЕРРАЦИИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
19.1. Обзор аберраций высших порядков
Для анализа аберраций 5-го порядка в разложении эйконала
Шварцшильда в ряду, приведенном в п. 1.9, необходимо учесть члены
6-го порядка. В общем случае, чтобы учесть аберрации порядка
2t — 1, надо взять члены разложения порядка 2t. Поэтому для
аберрации порядка 2t — 1 можно написать
где N - число членов разложения (число коэффициентов аберраций).
Очевидно, при этом
(р + у+Э = t.
В пределах 0 < 0 < t сохраняется порядок 2t членов разложения.
Пусть 0 = к. Тогда (p + \\r=t-k,O<\\r<t-k.
При к = 0 величина у может принимать / + 1 значений (o,i,2, ,/).
При к = 1 величина у может принимать / значений @,1,2, ,r-\).
При к = 2 эта величина может принимать / -1 значений
@,1,2, J-2)
Таким образом,
t+1 строк
при к = О имеем t + 1 значений,
при к = 1 имеем t значений ,
при к = 2 имеем t — 1 значений ,
при к =tимеем t—(t- 1)значений.
Отсюда видно, что у величины у всего может быть
, ч /(/-1) ф + 3)
/(/ +1) - ^ '- +1 = ^ '- +1 значений.
/(/-1)
Сюда входит —-— - сумма членов арифметической прогрессии
1,2,3,...,/ —1 и t(t + \) строк.
Таким образом, число членов N в разложении эйконала
Шварцшильда для аберрации порядка 2t-1 может быть вычислено по
формуле
N = ^ + l A9.1)
356
Число М видов аберраций порядка 2/-1 на единицу меньше, чем
число членов N в разложении эйконала Шварцшильда в ряд, т. к. при
дифференцировании эйконала один член пропадает, т. е.
м='^ A9.2)
Для аберраций 3-го порядка 2г-1 = 3,
для аберраций 5-го порядка It -1 = 5,
для аберраций /?-го порядка It -1 = р.
Отсюда следует, что
Подставив это значение / в A9.2), получим
*>+1fr+7> A9.3)
8 V ;
Эта формула позволяет вычислить число видов аберраций в
зависимости от их порядка/?.
В табл. 19.1 показана зависимость числа М видов аберраций и
числа N коэффициентов аберраций от порядка р аберраций.
Таблица 19.1
Порядок
аберрацийр
3
5
7
Число видов
аберраций М
5
9
14
Число коэффициентов
Аберраций N
5
5+9=14
5+9+14=28
Из таблицы видно, что если надо исправить аберрации 3-го и 5-го
порядков, то надо иметь 14 параметров. Если же исправляются
аберрации 3-го, 5-го и 7-го порядков, то надо иметь 28 параметров.
Т.е. с ростом порядка аберраций число необходимых параметров
катастрофически растет. Из-за этого для исправления аберраций
высших порядков приходится усложнять оптическую систему.
До начала XX века в расчетах обычно использовались только
аберрации 3-го порядка. Это допустимо для оптических систем с
относительными отверстиями порядка 1:4, 1:5 и при угловых полях
порядка 15° -^20°. Здесь аберрации высших порядков удается
компенсировать аберрациями 3-го порядка.
При относительных отверстиях 1:2 и выше и при угловых полях
60° и более пользоваться теорией аберраций 3-го порядка нельзя. Это
естественно, т. к. при разложении эйконала Шварцшильда в ряд
357
члены ряда, относящиеся к аберрациям высших порядков, такие же
равноправные, как и другие члены, и не учитывать их нельзя.
19.2. Меридиональная и сагиттальная составляющие
поперечной аберрации 5-го порядка
Напишем ряд эйконала Шварцшильда с учетом членов только
6-го порядка:
S("] =Я0(г +х2)% +В1(т'2 + М '2K + В2(т'у + М 'xf + В,[у2 + х2J(т'2 + М'2) +
+ВА(у2 + x2f(m'y + M'x) + B^m'2 + M'2J(r + *2) + Вь(т'2 +М '2^(т'у + М 'х) +
+В7(т'у + М 'xf(m'2 + М '2) + ?s(m'v + M 'xf(y2 +x2) +
+Вч(т'2 +М'2)(у2 +х2)(т'у + М'х)
Продифференцировав это выражение по т!', для меридиональной
составляющей поперечной аберрации получим
Ag' = 6B\(in'2 +М'2}~ т' + ЪВ\т'у + М 'xf у + 2В^у2 +x2)"w' + 54(v2 + jc2)" y +
В^т'2 +M'2)(v2 +х2}' т' + В(\ А[гп'2 + М '2}(т'у
М 'х)т'
Поворотом меридиональной плоскости вокруг оптической оси можно
получить х = 0. Тогда
Д#' = 6Я,(/и'2 + М '2}~т' + ЗВ,т'2у* + 2В%т'у4 + ВАу^ +4В^т'2 +М'2}т'у2 +
'2 +М'2^ у\ +вЫт'2 +Л/'2)/и'у: +2/и'У|
Продифференцировав ряд S^ no M' и положив после этого в
полученном выражении х = 0, для сагиттальной составляющей
поперечной аберрации будем иметь
AG' = 6?,(/7z'2 +M'2JM' + 2B,M'yA +4B,(m'2 +М'2)М'у2 +
+4Вь(т'2 +М'2уп'М'у + 2В1т'2М'у2 +2В9т'М'у'
Напишем полученные выражения для Ад' и АС так, чтобы члены
правых частей следовали друг за другом по возрастающей степени
величины у. Кроме того, для краткости положим , что б#, =&„#,, =^>
4В< =ь„ 2В7 =ь4, зв2 =ь„ вч=ьл, 2в, = Ь7, 2В, = л, ,B4=bq Тогда будем иметь
358
Ag' = bl(m'2 + M'2Jm' + b2\$(m'2 + M'2}n'2y + (m'2 + M'2J vj+
+ Ьт\т'2 + M'2)my2 +/?4[(/7z'2 + M'2pi'y2 + m'\v2\+b^m'2y^ + A9.4)
+ b(\lm2y^ +(m'2 +M'2 )y']+ (b7 +b^)m'y4 +b^y\
AC = b^m'2 +M'2f M' + 4b2(m'2 + M >2)m'M V + b^(m'2 + M'2)M'y2 +
+b4m'~M 'y2 + 2l\m'M 'у% + Ь7М 'у4
Таким образом меридиональная и сагиттальная составляющие
поперечной аберрации 3-го порядка содержат пять коэффициентов
(слагаемых), а составляющие поперечной аберрации 5-го порядка -
9 коэффициентов. Следовательно, среди аберраций 5-го порядка
должны быть такие аберрации, которые среди аберраций 3-го порядка
не встречаются.
19.3. Анализ отдельных аберраций 5-го порядка
Каждый раз при анализе той или иной аберрации 5-го порядка
будем обращаться к полученным выше формулам A9.4) и A9.5).
Сферическая аберрация 5-го порядка определяется
коэффициентом Ьх. Ее меридиональная и сагиттальная
составляющие:
Ag' = bim'2 +М'1\ т',
AG' = b\(m'2 +M'2fM'.
Подставив сюда значения т' и М' из A1.8), получим
Ag' = b\R^ sirup, AC = btR* cosip
Отсюда следует, что
Ag'2 +AC2 =(b]R'J
Таким образом при сферической аберрации 5-го порядка лучи,
исходящие из осевой точки предмета, образуют в плоскости
изображения круг рассеяния с радиусом bxRs.
Для меридионального луча (м' = о) эта аберрация
пропорциональна mrSy°.
График сферической аберрации 5-го порядка имеет «хвосты»
(рис. 19.1а). Если сферическую аберрацию 5-го порядка
компенсировать сферической аберрацией 3-го порядка, то «хвосты»,
характерные для 5-х порядков, останутся (рис. 19.16).
359
т'
О
Г
Ay'
Рис. 19.1. Графики сферической аберрации:
а - аберрация 5-го порядка,
б - аберрация 5-го порядка компенсирована аберрацией 3-го
порядка
Кома 5-го порядка, определяемая коэффициентом ь2,
имеет составляющие
д^' = Ь2 \а[}ц '2 + М '2 )/и'2 v + (гп'2 + М '2 J у 1,
AG' = 4/?2(m'2 +M'2)w'M'v
Первое выражение нетрудно привести к виду
^g' = Ъ2(m'2 +М'2)Eт'2 +М'2)у
Используя A1.8), далее легко получить
Ag' = hyR4{\ +4sin2 ф),
AC = 2b2yR4 sin2(p
Так как cos2(p = 1 —2 sin2 cp, 2 sin2 ф = 1 — cos2q>, Л sin2 cp = 2 — 2со^2ф, ТО
Ag' = b2yR4C-2cos2(p),
Ag' = 3b2yR4 = -2b2yR4 cos2(p
Возведем обе части этого уравнения и последнего выражения для АС
в квадрат. Сложив после этого полученные уравнения, не трудно
получить
(Ag'-3b2yR4f +AG'2 =Bb2yRAf
Это выражение представляет собой уравнение окружности с
радиусом г = 2b2yR, центр которой смещен вдоль оси Ад' на
величину а = 3b2yR4 На основании рис. 11.5
5/иа = - = -,а = 41°48'
а 3
Следовательно, фигура рассеяния лучей аналогична фигуре при коме
3-го порядка, но энергия рассеивается в пределах большего по
сравнению с комой 3-го порядка угла. Луч также описывает в
360
плоскости изображения окружность в два раза быстрее, чем в
плоскости зрачка.
Для меридиональной комы (М' = 0)
Ayf =5b2m'4y, AGf =0.
Из изложенного следует, что меридиональная кома 5-го порядка
пропорциональна т'4у. По сравнению с графиком меридиональной
комы 3-го порядка (рис. 11.8), представляющим собой параболу 2-го
порядка, график меридиональной комы 5-го порядка в зависимости от
т! представляет собой параболу 4-го порядка.
Меридиональную кому 5-го порядка компенсируют комой 3-го
порядка.
Полевая (боковая) сферическая аберрация
определяется коэффициентом Ь3. Ее меридиональная и сагиттальная
составляющие:
Ag' = bJm'2 + М f2)m'y2,
АС = Ъъ(т*2 + М'2)м>2
Фигура рассеяния лучей в этом случае будет иметь форму круга с
радиусом b3R3y2. Для меридионального луча (М' = 0)
Ау' = Ьът'^у2 , АС = 0.
При росте величины предмета диаметр круга, в пределах которого
происходит рассеяние лучей, растет пропорционально у2 Поэтому
эта аберрация очень сильно влияет на качество изображения в
широкоугольных системах. Исправить полевую сферическую
аберрацию можно с помощью сферической аберрации 3-го порядка.
Однако при этом качество изображения осевой точки предмета может
ухудшиться. Поэтому целесообразно бывает с помощью сферической
аберрации 3-го порядка компенсировать полевую сферическую
аберрацию не для всего предмета у а для его половины.
о
ъ
Рис. 19.2. Фигура рассеяния лучей при винтовой аберрации
361
Винтовая (крылообразная) аберрация определяется
коэффициентом Ь4. Ее меридиональная составляющая после
некоторых упрощений и сагиттальная составляющая имеют вид:
Ag' = b4\2m'2 + М '2уп'у2,
АС = Ь4т'2М'у2.
Такой аберрации среди аберраций 3-го порядка не было. Она
образует фигуру рассеяния лучей, показанную на рис. 19.2. Для
меридионального луча (М' = 0)
Ay' = 2b4mny2 , AG' = 0.
Отсюда видно, что винтовая аберрация и полевая сферическая
аберрация в меридиональной плоскости ведут себя одинаково.
Поэтому при расчете лучей только в меридиональной плоскости эти
аберрации разделить невозможно. В сагиттальной же плоскости эти
две аберрации отличаются друг от друга.
Штриховая аберрация (стрелка) определяется
коэффициентом Ь5. Ее меридиональная и сагиттальная составляющие:
Ag' = Ъът'2уъ , АС = 0.
Фигура рассеяния лучей, возникающая из-за штриховой
аберрации, показана на рис. 19.3. В области аберраций 3-го порядка
такой аберрации нет. График штриховой аберрации относительно
координаты т! представляет собой параболу и выглядит так же, как и
график меридиональной комы 3-го порядка.
AG'
Рис. 19.3. Фигура рассеяния лучей при штриховой аберрации
От комы 3-го порядка эту аберрацию можно отделить, если
учесть, что кома 3-го порядка пропорциональна у, а штриховая
аберрация - у3. Компенсировать штриховую аберрацию можно либо
комой 3-го порядка, либо одной из разновидностей комы 5-го
порядка.
Полевая кома определяется коэффициентом Ь6 Ее
меридиональная и сагиттальная составляющие:
362
Из этих выражений видно, что зависимость Ад' и АС от гп' и М'
такая же, как и для составляющих комы 3-го порядка. Фигура
рассеяния лучей также аналогична фигуре при коме 3-го порядка.
Астигматизм и кривизна изображения
определяются коэффициентами Ь7 и Ь8. Меридиональная и
сагиттальная составляющие:
Ag' = b7m'y4 + Ъ%т 'у4,
AG' = b7Mfy4.
С помощью A1.1) нетрудно показать, что фигура рассеяния в этом
случае представляет собой эллипс. Связь между z'm и z's с Ад' и AG'
такая же, как и в случае аберрации 3-го порядка.
О
Рис. 19.4. Примерный
график z's и z'm 5-го порядка
Рис. 19.5. Примерный график z's и z'm
при компенсации аберрации 5-го
порядка аберрациями 3-го порядка
При астигматизме и кривизне изображения 5-го порядка
графики z's и z'm будут иметь вид, показанный на рис. 19.4. При
компенсации астигматизма и кривизны изображения 5-го порядка
аналогичными аберрациями 3-го порядка графики z's и z'm
приобретают вид, показанный на рис. 19.5 или на рис. 10.8.
Дисторсия определяется коэффициентом b9bq и имеет
составляющие:
4?' = b9y5, AG' = 0.
Таким образом, дисторсия 5-го порядка пропорциональна пятой
степени величины предмета.
363
19.4. Выделение аберраций 3-го и 5-го порядков
При коррекции аберраций в результате расчета хода лучей
получают суммарное численное значение всех порядков той или иной
аберрации. На определенном этапе расчета оптической системы
полезно иметь численные значения 3-го и 5-го порядков отдельных
видов аберраций. Это дает возможность, меняя численные значения
сумм Зейделя, компенсировать аберрации 5-го порядка аберрациями
3-го порядка. Но для этого необходимо уметь отделять друг от друга
аберрации 3-го и 5-го порядков. При дальнейшем изложении вопроса
будем предполагать, что аберрации выше 5-го порядка отсутствуют.
Из A9.4) при М' = о имеем
Ay' = bxm' + 5Ь-,т' у + Ьът' у~ +2b4mf y~ +b5ni'"y +
+3b6m '2У + (b7 + 68 )т'v4 + bqys.
Учтем, что в формулах, выражающих в общем виде меридиональную
и сагиттальную составляющие поперечной аберрации, величину у
можно заменить величиной у'. Поэтому, сложив последнее уравнение
с A1.7), для меридиональной составляющей поперечной аберрации
3-го и 5-го порядков меридионального луча можно написать
Ау' = ахт'ъ + 3а2т'2у' +(а^ + аА)т'у'2 + а5у'^ + bxm'^ +
+5b2m'4y' + b,m'"y'2 +2b4m'"y'2 + b5m'2y'3 + 3bhm'2y'' + A9.6)
+{b7 + />8 )m fy'4 +b9y'5
Из A9.5) при т! = 0 имеем
AC = Ax' =6,M'S +ZyW'V2 +b7M'y'4 .
Из второй формулы A1.6), перейдя от у ку' при т! = 0, получим
АС = Ах' = а]М'" +алМ'у'2.
Следовательно, сагиттальная составляющая поперечной аберрации
3-го и 5-го порядков луча в сагиттальной плоскости (тг = 0)
Ах-' =а{Мп +с14М'у'2 +ЬХМ'" +Ь,Мпу'2 +Ь1М'у'4 A9.7)
Сложим уравнение A1.5) с уравнением A9.4), заменим в полученном
выражении у на у' и положим (т! = 0). Тогда для меридиональной
составляющей поперечной аберрации 3-го и 5-го порядков луча,
лежащего в сагиттальной плоскости, получим
Ау' = а2М'2у' + Ь2М'4у'+а,у'" +Ь9у'5 +ЬьМ'2у'\ A9-8)
Формулы A9.6-19.8) будут использованы ниже при выделении
отдельных аберраций 3-го и 5-го порядков.
364
19.4.1. Выделение сферической аберрации 3-го и 5-го порядков
Из A9.6) для сферической аберрации меридионального луча
можно написать
Ау' = а}т" +^G1^
Для лучей на краю и зоне зрачка соответственно:
<
Ay'ii)n= at т' (; п+ /}, т' о н
Следовательно, рассчитав лучи на краю и зоне зрачка и составив два
написанных уравнения, нетрудно вычислить коэффициенты аг и Ьь а
также величины а^т'3 и b1m's, равные соответственно сферической
аберрации 3-го и 5-го порядков. При этом целесообразно, кроме
крайнего и зонального лучей, рассчитывать какой-либо третий луч,
исходящий также из осевой точки предмета. Результаты вычислений
сферической аберрации для этого третьего луча можно использовать
для контроля вычислений коэффициентов аг и Ьх. При этом
представляется возможность установить, имеет ли оптическая
система сферическую аберрацию выше 5-го порядка.
19.4.2. Первый способ выделения комы 3-го порядка
и выделение комы 5-го порядка
Возьмем производную функции A9.6) по у' и положим в этой
производной у' = 0. Тогда
= Ъа2т'2 +5Ь2т'4 A9.9)
- \'=0
На основании A1.32)
:/(Ду')~| d(r[sino')
AT7i = , . , A9.10)
dy J dsino v y
Разложение величины г\ в ряд по четным степеням sino' дает
Л = Рх sin2 a'+P2 sin4 a'. A9.1 1)
Рассчитав лучи для края и зоны зрачка, можно написать:
г\ч) — Рх sin2 о[р + Р2 sin4 о'ч>,
r)JOII=Pi sin2 а; „ н + Л sin4 а' о п
Решая эти два уравнения совместно, получим:
365
С учетом A9.11) выражение A9.10) можно представить в виде
-±—L = -i : 1 = ЗР, ш2 а' + 5Д sm4 а'
[ dy' J , о dsino'
Выразим sino' через /и', обратившись для этого к рис. 19.6.
A9.14)
Рис. 19.6. К выводу связи /и'и sin а'
Из этого рисунка следует
, т
sin о = ,
, , V? 2As' As'2 m'2
Все остальные члены в приведенных формулах не учтены из-за их
малости. Подставив полученные значения sura' и sin4а' в A9.14),
получим
A9.15)
Из сравнения A9.15) и A9.9) следует, что
366
Уравнение A9.15) напишем в виде
т'2 6Pm'2As' ЪРт'4
Так как л?' = ахт'2, то
\<АУ')] _,D '«'2 6Р,«,ш'4 3/>'4
Сравнивая это выражение с A9.9), получаем
1 5Р2 6Р,а, ЗР,
2 ~5 (^-s',V U-s' V U-s',
Изложенные методы выделения комы и сферической аберрации 3-го
и 5-го порядков интересны тем, что позволяют по расчету только
двух лучей, исходящих из осевой точки предмета, определить
значения сразу четырех коэффициентов [ax,a2,t\ub2), определяющих
четыре аберрации.
19.4.3. Выделение астигматизма и кривизны
изображения 3-го и 5-го порядков
Взяв производную от A9.6) по т! и положив в ней после этого
т! = О получим
С другой стороны, с помощью рис. A1.11) нетрудно заметить, что
Г</(Ау'I г,',, 1 = z'm z'2m
L dm l=0 s' — s'p +zm s' — s'p | z'm S'~S'P (s'~s',,-f
s'-s'f/
Отсюда следует, что
-^---f^ = {a,+ay2 +(Ь1+Ь,)у'4 A9.16)
s sr \s -s/t J
Умножив обе части этого выражения на т', получим
~Г—Г ~ 7~^ 71 = (а^ + а+ )т'У'2 + (А + k)'n'y'4 / j 9 j j\
s ~ si>' ys' - s'p j }
Правая часть последнего уравнения (а следовательно, и левая часть)
равна меридиональной кривизне изображения 3-го и 5-го порядков.
Величина z'm имеет 2-й порядок малости, a z'm - 4-й порядок
малости. Поэтому вторым членом левой части в уравнениях A9.16) и
A9.17) иногда можно пренебречь.
367
Рассчитав бесконечно тонкий меридиональный пучок лучей для двух
значений у', можно составить два уравнения, аналогичных
уравнению A9.16), из совместного решения которых определяются
значения а^ + а4 и Ь7 +ЬК .
Аналогичным путем, рассматривая картину в сагиттальной
плоскости и используя A9.7), можно получить
Умножив обе части этого уравнения на М', получим
z[M' z[2M'
Правая часть последнего уравнения (а следовательно, и левая часть)
равна сагиттальной кривизне изображения 3-го и 5-го порядков.
Вторым членом левой части в обоих последних уравнениях из-за их
малости иногда можно пренебречь.
Таким образом, рассчитав бесконечно тонкий сагиттальный пучок
лучей для двух значений у'9 можно составить два уравнения,
аналогичных уравнению A9.18). Решая совместно эти два уравнения,
вычисляют значения а4 и Ь7, после чего легко определяются
коэффициенты а^ и Ьн.
19.4.4. Выделение дисторсии 3-го и 5-го порядков
Как следует из A9.6), дисторсия 3-го и 5-го порядков
определяется выражением
Ay' = a5yn +b9y'\
Рассчитав главные лучи для двух значений у' и вычислив для них
дисторсию, можно составить два аналогичных уравнения, из
совместного решения которых не представляет труда вычислить
коэффициенты а5 и 69, определяющие соответственно дисторсию
3-го и 5-го порядков.
19.4.5. Выделение полевой (боковой) сферической аберрации
Будем считать, что коэффициенты ах , Ьх, а4 и Ь7 уже вычислены.
В формуле A9.7) сумму первого и третьего членов правой части,
равную сферической аберрации, обозначим через Ау[ф. В той же
формуле на основании A9.19)
.., г ..., ,4 z[M' =:2м'
368
Поэтому из A9.7) следует, что
Ах -t ' ' '
Отсюда при вычисленных уже Ах',Ау'сф и z[ нетрудно найти
коэффициент Ьл, определяющий полевую (боковую) сферическую
аберрацию.
19.4.6. Выделение полевой комы. Второй способ выделения
меридиональной комы 3-го порядка
Сумма третьего и четвертого слагаемых правой части A9.8)
равна суммарному значению дисторсии 3-го и 5-го порядков, которое
обозначим через &у'Ои1П1. Поэтому можно написать
К, (М') = Лу' - Ay;,I/t#># = {a2y* + b(y" )м'2 + b2y'M'\
Это выражение определяет величину а:,(м'), равную сумме
меридиональной комы 3-го и 4-го порядков и полевой комы. Если
при фиксированном значении величины предмета у рассчитать лучи
при М'=М'ч> и м1 = M[0ll=-j=M'4t, то можно составить следующие
л/2
два уравнения:
КХ{М'Ч) = (а2у' + Ъьу")м:; + Ь2у'МЦ ,
Из этих двух уравнений при некотором у' = у[ следует, что
4A:1(A/;iJ-A'I(A/J:l>) = (flr2 +^;2)a/;>;
Аналогично для некоторого другого значения у' = у'2:
4*2(М;„,)-К2(М:р) = (а, + \у?)м:\уг.
Введем обозначения:
4/с,(м;„„)-/:,(м;),)
Тогда получим следующие два уравнения:
[а1+ЬьУ\2)м:1=Т,
(а2 + Ььу[2)м I; =Т2
369
Из этих уравнений нетрудно получить:
а2М'2 у'2 = Т-,у2 — bhM[2y'2
Первое из этих выражений определяет полевую кому, а второе -
меридиональную кому 3-го порядка.
19.4.7. Выделение винтовой (крылообразной) аберрации
Представим в A9.6) т' сначала со знаком «плюс», а потом - со
знаком «минус». После этого можно написать разность
D = Дг'(ш') — Л>;'(—m'j = 2#,/7?'' + 2(я, + а^т'у'2 +
+2bim'c> + 2b^m'*y'2 +4b4m'\v'2 + 2(/?7 +b^)m'y'A
Отнимем от D сумму всех членов, которые мы уже выделили. Тогда
получим:
D-2\axm" +(я, +аА)ту'2 +/?,/;?" +b%mny'2 +{b7 + bH)m'y'A \- 4bAm'\v'2,
гч j ж » Z',,m' Z'mm' » М О Л, l-i »1
D = 2 Лv , н— ь 7—^—^ + bjn у ' \- AbAm r "
Из последнего выражения вычисляется коэффициент ь49
определяющий винтовую (крылообразную) аберрацию.
19.4.8. Выделение штриховой аберрации
Используя A9.6), меридиональную кому можно представить в
виде
К = -[Ду'(т') + Av'(-w')] - Av'(O)
Здесь член Ду'(о) исключает влияние дисторсии, которая
присутствует в A9.6). Поэтому
К = За2т'2у' +5Ыт'Ау' + Ь5т'2у'3 +3b()m'2yri,
b^m'2y" -К -Зя,/и'2 v' -5b2m'4y' -ЗЬьт'2у'^
Здесь коэффициент ь, определяет штриховую аберрацию. Все
коэффициенты правой части были вычислены раньше.
370
ГЛАВА 20. ВОЛНОВЫЕ АБЕРРАЦИИ
20.1. Понятие о волновой аберрации. Критерий Рэлея
Законы геометрической оптики являются результатом крайнего
упрощения очень сложного процесса электромагнитных колебаний,
каковым является световой процесс. Поэтому иногда более
правильная оценка качества оптического изображения может быть
дана с помощью волновых аберраций.
При совершенном изображении пучку лучей, сходящихся в
одной точке, соответствует вогнутая сферическая световая волна,
нормали к которой пересекаются в этой точке. Наличие аберраций
приводит к тому, что световая волна в некоторых местах перестает
быть сферической; нормали к такой поверхности в этих местах
отступления от сферы не сходятся в центре сферы. Отступление
фронта волны от сферического волнового фронта сравнения
характеризует волновую аберрацию.
Известно, что фотохимическое действие в фотографическом
слое вызывается колебаниями вектора электрической напряженности.
То же относится и к другим действиям света - люминесценции,
фотоэффекту, физиологическим действиям. Поэтому в дальнейшем,
говоря о световых колебаниях, будем под этим подразумевать
колебания вектора электрической напряженности.
Вых. зрачок
к. р-^~ в.
Рис. 20.1. Сложение световых колебаний в точке В'
Пусть некоторая оптическая система образует совершенное
изображение А^ осевой точки пространства предметов (рис. 20.1). Из
выходного зрачка EF в этом случае будет выходить сферическая
световая волна EDF, сходящаяся в точке А'о. На поверхности волны
выберем некоторую точку N а на расстоянии А{]В' от оптической
оси - некоторую точку ?'; расстояние NB' обозначим через L.
Построим сферу сравнения KDM с центром в точке В' и радиусом
R =DB'. (Радиус этой сферы может иметь любую величину.)
371
Согласно принципу Гюйгенса, всякую точку, которой достигла
световая волна, можно рассматривать как самостоятельный источник
возникновения новых волн. Будем считать точку N за новый
источник таких волн. Электромагнитные колебания, возникшие в
этой точке, через некоторое время t, пройдя путь l , достигнут точки
В'. Колебательный процесс вектора электрической напряженности в
точке В 'может быть описан уравнением
B0.1)
где Я - длина волны, Т - период колебаний, Ао - амплитуда
колебаний. Для того чтобы получить результирующее колебание в
точке В', надо сложить все колебания, пришедшие от всех точек
сферической световой волны. Для такого сложения годится
формула B0.1).
Действительно, фаза колебаний в точке В' отстает от фазы
колебаний в точке N соответственно на величину разности хода
между этими точками, т.е. на величину —. Поэтому в формуле B0.1)
в аргументе имеется разность —-2тг- Кроме того, амплитуда
Т X
колебаний А в точке В' пропорциональна элементу ds на
поверхности волны в окрестности точки N . При этом предполагается,
что амплитуды колебаний одинаковы во всех точках поверхности
волны и что амплитуда в точке В' не зависит от угла между
нормалью к поверхности волны в точке N и направлением NB'
Следовательно, результирующее колебание в точке В\
созданное элементом ds поверхности волны вокруг точки л/, может
быть выражено как
^.=4,sin2;r(i-^lfc. B0.2)
\1 А )
Чтобы получить результирующее колебание в точке В' от всей
поверхности волны, выходящей из системы, надо выражение B0.2)
проинтегрировать по всей площади волны, ограниченной выходным
зрачком. В результате получим
ее . . 2/г 2/г _ . ее . 2/г . 2/г _ .
А = Д. sin — / cos — Lds - Д. cos — / sin — Lds
"" JSJ т л JJ ° т л
Так как выражение — не зависит от ds, то
. 2л- ее . 2л т , 2л ее , . 2/г т ,
А = sin —1\ Д, cos — Lds - cos — / Д, sin — Lds
T JJ " Л T JSJ ° Л
372
Введем обозначения:
C = jJAocas^Lds. B0.3)
S = jJAosm^Lds B0.4)
Эти два интеграла носят название интегралов Френеля.
С учетом этих обозначений далее можно написать
„ . 2л" г 2п J . 2л- S 2л-
A/Ht =Csin — t-Scos — / = С sin — / cos — /
Обозначим отношение — через tga. Тогда
^7 . 2л- since 2п \ С ( . 2п 2п . \ С . Bп \
А =С\ sin — / cos — / = sin — /cosor-cos— ts\na \ = sin —t-a
\ T cos or T J cos or v T T J cos a \T J
Заметим, что
Поэтому
Alhi = Jc2+S2sin[yt-aj B0.5)
Так как вообще освещенность пропорциональна квадрату
результирующей амплитуды колебаний, то из B0.5) следует, что
освещенность Е в точке В' пропорциональна c2+s2.
Если от аргументов интегралов Си S отнять одну и ту же
величину, то величина с2 +S2 не изменится. Действительно,
С, = ]] Ао со^ — L - a I ds = cos cxJJ Ao cos — L ds + sin ajj Ao sin — Lds = C cos a + S sin a
Аналогично можно получить
S] = IT Ao sin\ — L - aids = S cosa - С sin a
Отсюда следует, что
с2 +s? =с2 +s2
Из рис 20.1 видно, что
L=NB' = NT+TB'=l + TB'
Величина NT, равная отступлению световой волны от сферы
сравнения, есть волновая аберрация для направления NB'. При
изменении положения точки N на поверхности световой волны
величина / меняется, а величина ТВ' остается постоянной. Отняв от
аргументов интегралов Си S постоянную величину —ТВ'9 получим:
373
B0.6)
B0.7)
Так как величина с2 +s2 не зависит от знака аргумента косинуса
и синуса в выражениях B0.6) и B0.7), то можно положить, что
Условие
2'
/<- выражает критерий Рэлея, согласно которому
изображение точки будет достаточно близко к идеальному, если
волновая аберрация не превысит четверти длины волны. Считают,
что при /< (Щ изображение не отличается от идеального.
Заметим, что оценивать качество оптического изображения по
волновым аберрациям можно только при условии, что волновая
аберрация не превосходит двух-трех длин волн. В противном случае
оценку целесообразно делать по геометрическим аберрациям.
20.2. Дифракционное изображение точки, создаваемое идеальной
оптической системой с круглым выходным зрачком
Пусть из выходного зрачка EF с радиусом Р| выходит
сферическая световая волна EDF с радиусом R, сходящаяся в точке
/4,;, являющейся идеальным изображением некоторой осевой точки А
пространства предметов (рис. 20.2).
У
В'
Рис. 20.2. К выводу формулы B0.14)
На расстоянии Д от плоскости Гаусса, проходящей через точку
л,;, проведем другую плоскость, в которой на небольшом расстоянии
v' =А'В'от оптической оси выберем точку В'.
374
На поверхности световой волны возьмем произвольную точку
Л/, находящуюся на расстоянии р = СМот оптической оси. Угол
между отрезком СМ и меридиональной плоскостью, проходящей
через точку В' и оптическую ось (плоскость чертежа), обозначим
буквой ф, а угол между лучом МА'() и той же осью - буквой а'. Будем
считать точку Л'началом правой прямоугольной системы координат
xyz, ось у которой расположена в меридиональной плоскости и
направлена вверх, а ось z совпадает с оптической осью и направлена
справа налево. Вычислим освещенность в точке В', создаваемой
световой волной.
На основании B0.3) и B0.4) имеем:
C = $A()cos( — MB'jds,
S =\\Aosin( —MB'jds
Для отрезка MB' можно написать тождество
MB' = DB' +(MB'-DB')
Из рисунка видно, что точка В' имеет координаты х =0,y = y',z = 0,
точка М - х =psin(p,y = pcos(p,z = R -DC + A\ точка D - х =0,y = 0,z = R+A.
Используя эти значения координат, разность MB'-DB' можно
представить в виде
MB'-DB' = yp: sin2 ф + (/-раюфJ + {R-DC + А)~ -у(Д+ДJ + у'2
Умножив и разделив правую часть этого равенства на MB' + DB',
получим
р25//?2ф + (г'-рс05фJ +(R -DC + ДJ -(R + АJ - v'2
MB' — DB' = — =
MB' + DB'
р2 -2р)*'со5ф-2(/г
~ MB' + DB'
Заметим, что Д и у' малы по сравнению с R. Поэтому можно
положить MB'+DB' = 2R,DC = —; величиной DC2 можно пренебречь.
После этого будем иметь
2R 2R2
375
Отношение — = а' есть апертурный угол луча, идущего в пространстве
R
изображений по направлению ма{\ . Следовательно,
Отсюда получаем
MB'-DB' = a'2 -(j'y'cosip
MB' = DB' a'2 -a'y'cosy
Поэтому интегралы С и S примут вид:
ГГ Г2тгГ А ,
С = А0 II cos\ — DB а —су cosy
ГГ Г2тгГ А ,
S = Л0|| s//?—\DB <j ~ -оу cosy
s L ^ v 2
Постоянную величину DB', не влияющую на c2+s2, можно
отбросить. После чего
Го-/' А \1
B0.8)
s = M\^f[-^--.ycos^s B0.9)
Предположим, что точка В' находится в плоскости Гаусса, т.е. А = о.
Тогда
С = А{)\\ cos—(aVcosy)ds,
s ^L
S = АЛ\ sin — (a'v'cosy)ds
s Л-
В этих выражениях знак «минус» у аргументов синуса и косинуса
отброшен, т.к. он не влияет на величину суммы c2+s2. Далее учтем,
что ds = pdpdy. Поэтому можно написать:
Р| 2п 2тг
С =A0]pdp]cos—(о'у' cosy)dy,
S =Ап\ pdp \ sin — (a';'' cosy)dy,
о о *-
Интеграл S = 0, так как ф меняется в пределах от 0 до 2л и,
следовательно, каждому положительному элементу интегрирования
соответствует такой же отрицательный элемент. Остается один
интеграл С, который можно написать в виде
С = 2А{) \pdp\cos — (у'а'со5ф)^/ф = Аор2 icos — (v'ct'
376
Введем обозначение:
Тогда
С = Аор? \cos(apcos (p)d(р.
о
Из математики известно, что интегралы вида
1 я
— [ С О six
к
обозначаются через jo(x) и называются функциями Б ее се л я
первого рода нулевого порядка. Поэтому далее можно
написать
С=Ао9]тио(ар). B0.11)
Функция jo(x) раскладывается в бесконечный быстросходящийся ряд:
J (х)=\ + +
w 22 2424 246246
Кроме того, известно, что функция jn(x) связана с другой функцией
j,(x), называемой функцией Бесселя первого рода первого порядка
соотношением
из которого следует, что
J0(ax) = — J{(ax).
Положив в последнем выражении а = а,х =р, получим
J0(ap) = — jXap)
ар
Подставив это значение л(ар) в B0.11), будем иметь
ар
Освещенность в точке В' может быть определена как
Введем обозначение
л = ар = —-V B0.12)
Л R
Величина п имеет нулевую размерность, но ее принято выражать в
так называемых оптических единицах.
377
Для освещенности Е после этого можно написать
е = (алщJ^М B0.13)
Функция ./,(/?) раскладывается в ряд:
(п\--\
21 2-4 2 4-4 6 2 4-6 4 6-8
Вычислим освещенность е0 в точке л0, т.е. в точке, где находится
совершенное геометрическое изображение осевой точки А плоскости
предмета. Для этого в формуле B0.12) положим у' = 0, что дает /7 = 0.
При этом отношение
/? 2
Тогда из B0.13) получим
Используя это выражение и формулу B0.13), найдем отношение
Е к ?0, которое обозначим буквой Е' и назовем относительной
освещенностью в точке А'а. В результате будем иметь
Е' = 4-Щ B0.14)
П~
Вычисление освещенности Е' по формуле B0.14) может быть
выполнено с помощью таблиц значений функции Бесселя первого
рода первого порядка для различных значений п. Вычисление такого
рода было впервые выполнено в 1834 г. английским астрономом Эри
(Airy). Значения аргумента п, которым соответствуют экстремальные
значения функции Jf(n)/n2, а следовательно, и освещенность ?',
приведены в табл. 20.1.
Подставив в формулу B0.12) значение «=3,83, можно получить
выражение для вычисления радиуса первого светлого (центрального)
дифракционного кружка:
>' = ^3-. B0.15)
Этот центральный кружок в дифракционном изображении точки
называют кружком Эри.
378
Таблица 20.
Порядковый
номер минимума
1
2
3
4
5
6
п
3,83
7,02
10,17
13,32
16,47
19,62
Порядковый
номер максимума
1
2
3
4
5
п
5,14
8,42
11,62
14,80
17,96
Следовательно, дифракционное изображение точки
представляет собой центральный светлый кружок, окруженный
рядом светлых и темных колец. С ростом величины п,
а следовательно, и у' интенсивность освещенности светлых колец
падает. Распределение освещенности в центральном светлом кружке
и первых двух светлых кольцах показано на рис. 20.3.
-10,17 -7,02 -3,83 0 3,83 7,02 10,17
Рис. 20.3. Распределение освещенность в дифракционном
изображении точки
Если всю энергию, проходящую через изображение точки,
принять за 100%, то распределение энергии по отдельным областям
изображения характеризуется данными, приведенными в табл. 20.2.
Таблица 20.2
область
центральное пятно
первое светлое кольцо
второе светлое кольцо
третье светлое кольцо
четвертое светлое кольцо
группа колец от 5-го до 50-го
остальная часть изображения
всего
количество энергии, %
83,78
7,22
2,77
1,46
0,91
3,46
0,40
100
379
Таким образом, в случае наблюдения через оптическую систему
изображений слабосветящихся точек (например, звезд) практическое
значение имеет лишь кружок Эри и окружающие его одно-два
ближайших светлых кольца.
20.3. Влияние дефокусировки на дифракционное изображение
точки, создаваемое идеальной оптической системой при
круглом выходном зрачке
Если величина дефокусировки Д (рис. 20.2) не равна нулю, то
дифракционная картина изображения точки, описанная выше, будет
другой. Опуская в B0.8) и B0.9) знак «минус» у аргументов синуса и
косинуса, можно написать:
С = 4,||cos — —a'2 +(j'y'cos(p Vis,
с . rr . Г2тгГА ,, , ,
S =Att II sm\ — ~a +a У COS(P
s |_ X \2
Преобразуем выражения под знаком интеграла следующим образом:
_ л rr 2л-А ,, Bл ,, V rr . 2л А ,, . Bл , , Л,
С = А{) II cos а ' cos — ay cos<р ш- Ао II sin а ' sin — ay cos<p ш,
_ Л гг . 2л- А „ Bл ,, V rr 2л А ,, . Bл ,, V
S = А{) II sin а ' cos — ay cos(р us - А() II cos а ' sin — ay cos(p ш
Вторые слагаемые у этих выражений интегралов С и S равны нулю,
так как
2тг , , . 2я
s//7—a'v' со5ф = - sin—a'v' cos(q) + тг)
Поэтому с учетом того, что ds = pdpd<p, далее можно написать:
С = 2Л0 Jcos — — сг': Wp|cos —aV cos <p \d<p,
^ Я 2 ) { {Я
S = 2Aojs\n\ — — a'2 pt/pjcos —ay' cos <p \d(p
У \ A Z у ()\Л у
Используя обозначение B0.10), получим:
C = 2A(^jcos{— — a'2
о \ А 2
5 = 2^5111 —-с
о V Л z
Обозначим апертурный угол в пространстве изображений через а; и
примем за новую переменную величину
Pi al
380
Очевидно, что переменная z меняется в пределах от 0 до 1. Из
последнего равенства следует, что
а'2 = a'2z2
Кроме того,
p-zp^ dp - dzp^, pdp — p2zdz,
_ 2/г у' _ 2/г , ,_ 2/г , 2_
А К А А
Обозначение B0.12) для Р = Р| имеет вид
n = Yy'a;- B0.16)
Тогда
ар = nz.
На основании этих замен теперь можно написать:
С = 2пр2A Jcos[^&2 ^z2)j0(nz)zdz,
S = 2n 2A \sin{—&2--2\j(irYd-
0 V Л, 2 У
Положим, что постоянная величина
Кроме того, величину 2пр]А{) обозначим через новое л0. Тогда
С = A^co^Az2))a(nz)zdz,
S=A0\sin(Az2)/0(nz)zdz
о
В центральной точке у' = о, п = о и j0(o) = l.
Поэтому
С = 4, J cos (Az2)zdz,
Положив z- =x , zdz = -dx , получим:
C fcos^rfr sin^|is
2 J 2/4 ' 2А
S = ^ fcos/lxt/x = -^cos Ax\[ = 4-(l-cos/<)
2 Jo 2/4 |0 2/iV '
381
Освещенность в точке А' окажется равной
Е'=С2 +S2 =——(sin2 А +1-2с
4А2 v
= —^-(\ - cos A) = —^- sin2 —
2АЛ } А2 2
4А2'
4
sin
2
B0.18)
Из формулы B0.18) видно, что освещенность в точке А' зависит
от величины А, которая пропорциональна величине А - смещению
плоскости установки от центра сферической волны. Очевидно,
освещенность будет максимальна при А ={2к - \)п , а минимальна при
А =2кк(к = 1,2,3, ). На рис. 20.4 графически показана зависимость от
величины А освещенности в изображении осевой точки плоскости
предмета.
Описанное в п. 20.2 и 20.3 дифракционное изображение осевой
точки предмета, связанное с распределением в нем освещенности,
относится к совершенному изображению, т. е. к случаю, когда
вышедшая из оптической системы световая волна представляет собой
сферическую поверхность.
-4п -2к 0 2п 4п
Рис. 20.4. Зависимость освещенности в осевой точке
изображения от величины А
При смещении плоскости установки из плоскости совершенного
изображения освещенность в центре дифракционного изображения
точки будет убывать. Энергия, сосредоточенная сначала почти
целиком в кружке Эри, постепенно будет переходить в окружающую
его область. Если в начале интенсивность минимумов была равна
нулю, а интенсивность боковых максимумов весьма мала по
сравнению с центром, то при перемещении плоскости установки
сглаживается различие между интенсивностью максимумов и
382
минимумов. Контрастность дифракционной картины уменьшается.
При значительном удалении плоскости установки от плоскости
Гаусса разница между максимумами и минимумами освещенности
центра и колец уменьшается и, наконец, получается почти
равномерно освещенный кружок.
Если оптическая система обладает сферической аберрацией, то
распределение освещенности в плоскости наилучшей установки в
общем сохраняет тот же характер. Но освещенность светлых колец
оказывается увеличенной за счет уменьшения освещенности центра
изображения точки. При больших значениях сферической аберрации
изображение имеет вид размытого кружка.
Различие дифракционного изображения в хорошей и плохой
оптической системе состоит в том, что в плохой системе центральное
светлое кольцо будет несколько темнее, падение освещенности
боковых колец будет происходить не так быстро, а сами кольца будут
значительно светлее в сравнении с их освещенностью в идеальной
системе.
20.4. Связь между волновой и сферической аберрациями.
Оценка допустимой дефокусировки
Волновая поверхность, имеющая в пространстве предметов
форму сферы, после выхода из оптической системы в общем случае
оказывается деформированной. На рис. 20.5 показана идущая в
пространстве изображений деформированная волновая поверхность с
вершиной в точке О, вышедшая из осевой точки предмета.
Установим связь между величиной деформации (волновой
аберрацией) и возникающей при этом сферической аберрацией.
Обозначим осевую точку плоскости установки буквой А' и
построим сферу сравнения с центром в точке А' и радиусом я =оа'
Выберем на волновой поверхности некоторую точку м Точку
пересечения нормали к волновой поверхности в точке М с
оптической осью обозначим буквой А'. Очевидно, точка А' есть
изображение осевой точки А предмета с помощью луча МА',
As' =A'a;} - продольная сферическая аберрация этого луча, а отрезок
А = А'0А' -дефокусировка. Проведем через точки М и А' прямую и
продолжим ее до пересечения в точке L со сферой сравнения. Угол
между этой прямой и оптической осью обозначим буквой а'. На
волновой поверхности выберем точку Т , бесконечно близкую к точке
383
М. Проведем через точки г и а1 прямую и продолжим ее до
пересечения со сферой сравнения в точке s Элементарный угол
между прямыми lJ> и sJ' обозначим через da' Отрезок LM=i есть
волновая аберрация для точки Л/, а отрезок l = ST - волновая
аберрация для точки т Построим окружность с центром в точке I' и
радиусом А'М Точку пересечения этой окружности с прямой sa1
обозначим буквой к Угол между элементарными дугами МК и МТ
обозначим буквой (р. Очевидно, кт = dl есть изменение волновой
аберрации при переходе от точки М к точке Т . Из точки А' опустим
перпендикуляр А'В напрямую la1
Сфера сравнения
Рис. 20.5. К выводу формулы B0.19)
Из подобных треугольников КМТ и А'ВМ следует
AZ1-^1 dl-A'B —
A'B~BM' ~ BM
Подставив сюда очевидные из рисунка значения:
А'В = (A-As') sin и',
KM =(R-l)d<j',
ВМ =(/?-/)- (А - As')cos<5',
будем иметь
dl = (A-
{R-l)da'
= (A -As')s ma'da'
R-I-(A-As')cos<j'
R-l
Но значение R можно выбрать произвольно, в том числе R =
В этом случае
dl = —(As1' — A) sin<j'd<j',
384
B0.19)
о
Если волновую аберрацию вычислить в длинах волн, то ее величина
N=^ = -^](As'- A)si/iaY/a'. B0.20)
Вычисление интеграла в двух последних формулах,
определяющих точное значение волновой аберрации, выполняют
обычно по методу трапеций.
Если оптическая система обладает аберрациями не выше пятого
порядка, то волновые аберрации можно вычислить приближенно по
формулам в зависимости от соотношения
в котором As'hp и As;,,, - сферическая аберрация для края и зоны
зрачка соответственно. Эти формулы, разработанные профессором
Л.Н. Андреевым, имеют следующий вид:
3) 0 < а < 1, - = G
А
4) а>1- = ПОД^сг;;,
Формулы дают максимальные значения волновых аберраций в
плоскости наилучшей установки и справедливы при л. = 589 нм
(спектральная линия D). Для других длин волн I необходимо
589
результаты вычислении умножить на —.
Из формул B0.19) и B0.20) следует, что волновые аберрации
меняются при изменении положения плоскости установки.
В частности, N = о при А = As'.
Предположим, что сферическая аберрация As' = 0. Переходя от
значений sino'K a' в радианах, из B0.19) получим
/ = A\sin<j'd<j' - А\ o'do'
о и ^
Пусть оптическая система удовлетворяет критерию Рэлея, т.е. 1 = -1.
Тогда
385
\г,'
\ -^- T^—i B0 21)
2а 2 мп а
ПОСЛСДПЯЯ фор.Му-ia ПОЗВОЛЯС1 ВЫЧИСЛИ 1Ь ВСЛНЧННу ДОИ>С1И\ЮЙ
лефокуспровкп при условии, чю система уловле1воряе1 кршерпю
Р элея
sin а
л (мм)
0.03
0,30
0.05
0.11
0.1
0.027
Таблица 20 3
0.5
0.001
В iao.i 20 3 приведены значения \ для различных зпачег
чао' при л = 055 мкм. вычисленных но B0 21) И з )i их данных видно.
чю с рос юм anepiypbi ошическои сисчемы донуешмая
дефокусировка бысчро умспыпасчея ")ю и выпуждас! пиона
устанавливать плоскость приемника излучения с очень высокой
степенью точности. Это же обстоятельство заставляет исправлять
аберрации и для других длин воли (хромашчеекпе аберрации)
20.5. Определение положения плоскоеiи усчановкн
по i рафику волновой аберрации
Келп в формуле B0 19) утл а'выразшь в радианах, ю
Г \г>г
B0.22)
Первое слагаемое правой час иг л ой формулы есп> волновая
аберрация в плоскоеiи Гаусса (при Д-0) Введем обозначение
/ -jVs'a'./a' B0 23)
Тогда из B0 22) следует
1-^-1, B0 24)
Пусп> извесшы значения сферической аберрации
As[,As'z,As\ . cooiвегегвеппо для Aa{,Aaz,Aa\ .. Тома можно
составить систему уравнений.
386
As[ = а{ст[~ + a-,<7f{ +я1с1м+*
Л ' _'2 , iA , »6 ,
Решая совместно эти уравнения, можно вычислить
коэффициенты а]ча2ча% аберраций 3, 5, 7-го и более высоких порядков.
Это дает возможность вычислить также
о' о' ,4 /6 /8
L = As'a'da' = \а,а'2 +а,а'4 +а,а'ь ¦•Aada' =а, \-а7 \-а,
о J JV | 2 ) ' 4 2 6 ' 8 '
1^=а,— + а,— + аъ—- B0.25)
0 ' 4 ' 6 3 8
Построим в прямоугольной системе координат графики /() и
—-—в зависимости от а'2 (рис. 20.6).
Очевидно, график —^— при фиксированном значении А есть
прямая. В соответствии с B0.24) для любой ординаты а;2 разность
абсцисс ~^и 1ок равна волновой аберрации 1к в плоскости
установки, отстоящей от плоскости Гаусса на расстояние Д .
Пусть на рис 20.7 волновая аберрация в плоскости Гаусса
некоторой оптической системы в зависимости от а'2 представлена в
виде кривой /0. Проведем через начало координат прямую О В так,
чтобы волновые аберрации для о'^ и ст'у;; по абсолютной величине
были бы равны, т.е. чтобы |/Л/,| = К„„|. Тогда для всех углов а'
волновые аберрации в выбранной плоскости установки будут иметь
минимальные значения.
387
Рис. 20.6. График ln и
Из рис. 20.7 видно, что
Рис. 20.7. Плоскость наилучшей
установки на графике 1„
2 ' *"•
А =
2АВ
B0.26)
Величина отрезка А В берется из рисунка. По этой формуле и
вычисляют положение плоскости наилучшей установки.
388
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ И СИСТЕМЫ
ГЛАВА 21. ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ
21.1. Линзы
Линза является одним из элементов оптической системы.
Наиболее употребительны линзы со сферическими поверхностями,
обладающими общей осью симметрии. Материалами для линз чаще
всего служит оптическое и органическое стекло. Специальные линзы,
работающие в ультрафиолетовой области спектра, изготавливают из
кристаллов кварца, флюорита, фтористого лития и др., в
инфракрасной - из особых марок стёкол, кремния, германия,
флюорита, фтористого лития, йодистого цезия и др.
Линзы могут быть положительными (собирательными),
отрицательными (рассеивающими) и телескопическими.
В зависимости от формы и знака оптической силы различают
следующие линзы: двояковыпуклые, двояковогнутые,
плосковыпуклые, выпукло-плоские, плосковогнутые, вогнуто-плоские,
положительные мениски, отрицательные мениски, концентрические,
с одинаковой кривизной поверхностей.
Величины и знаки оптических сил Ф, отрезков s'p, $f> s'H^ sH,
расстояний Аннг между главными плоскостями линз могут быть
вычислены по формулам D.19), D.21), D.23), D.25), D.27) и D.28)
соответственно. Рассмотрим каждый из перечисленных видов линз
отдельно.
21.1.1. Телескопическая линза
Телескопическая линза имеет оптическую силу Ф=0.
В соответствии с этим из D.19) легко получаем
d = ^l(r1-r2). B1.1)
Очевидно, что кардинальные точки при этом расположены в
бесконечности.
Найдем связь между увеличением телескопической линзы и её
конструктивными элементами. Для этого рассчитаем первый
параксиальный луч при а1=а3=0, п^пз^Х, п2=п. Для первой
поверхности линзы:
п - 1 . j пг1
па2 = —— пи пх = -—- а2.
389
Для второй поверхности:
п - 1 пг2
««2 = —Лг, ^=—«г.
Как будет показано ниже, видимое увеличение телескопической
системы F1=h1/h2. Поэтому с учётом полученных выражений для кг и
h2 имеем
ri=rTr2 B1.2)
Приравняв далее в формуле D.19) нулю левую часть и подставив в её
левую часть значение г2= Гтг2, нетрудно получить
r2 d. ()
(Гг-1)п
Таким образом, при известных значениях Гт, п и d радиусы
поверхностей телескопической линзы вычисляются последовательно
по формулам B1.2) и B1.3).
-л,
а б
Рис. 21.1. Телескопическая линза
Телескопическая линза с увеличением Гт < О показана на рис.
21.1 а, а с увеличением Гт > О - на рис. 21.16.
Из-за больших габаритных размеров вдоль оси и большой
кривизны второй поверхности телескопическая линза не может иметь
большое увеличение.
21.1.2. Двояковыпуклая линза
У двояковыпуклой линзы г2 > 0, г2 < 0. Поэтому в соответствии
с D.19) при небольшой толщине d (по сравнению с гг и г2) оптическая
сила этой линзы будет положительна. В соответствии же с D.21),
D.23), D.25) и D.27) имеем s'F > 0, sF < 0, s'H> < 0, sH > 0. Главные
точки обычно расположены внутри линзы (рис. 4.14).
Если при неизменных радиусах кривизны поверхностей
постепенно увеличивать толщину d линзы, то при значении этой
толщины, определяемой формулой B1.1), линза окажется
телескопической. При дальнейшем увеличении толщины линза станет
отрицательной (рис. 21.2).
390
Рис. 21.2. Двояковыпуклая линза с отрицательной оптической силой
Хотя эта линза имеет отрицательное фокусное расстояние, она
относится к числу собирательных, т.к. фокус F' является
действительным изображением бесконечно удаленной точки
пространства предметов, лежащей на оптической оси.
21.1.3. Двояковогнутая линза
Двояковогнутая линза (рис. 21.3) имеет г^<0, г2>0.
В соответствии с D.19) она обладает отрицательной оптической
силой и относится к числу рассеивающих. Из D.21), D.23), D.25) и
D.27) видно, что у двояковогнутой линзы s'F <0,sF> О, s'H> < 0, s#> 0.
Рис. 21.3. Двояковогнутая линза
21.1.4. Плосковыпуклая линза
Плосковыпуклая линза (рис. 21.4) имеет гг = оо, г2 < 0. При этом
из D.19) следует, что
ф = -П-1 f' = -Jl-
г2 ' п - l'
а из D.21), D.23), D.25) и D.27) далее получаем:
391
гл
и
Рис. 21.4. Плосковыпуклая линза Рис. 21.5. Выпукло-плоская линза
Следовательно, у плосковыпуклой линзы оптическая сила
положительна, передняя главная точка находится внутри линзы, а
задняя совпадает с вершиной второй поверхности. Линза относится к
числу собирательных.
21.1.5. Выпукло-плоская линза
Выпукло-плоская линза, у которой гг > О, г2 = оо, по конструкции
представляет собой ту же плосковыпуклую линзу, но обращенную
выпуклостью к пространству предметов (рис. 21.5). В этом случае в
соответствии с D.19), D.21), D.23), D.25) и D.27) имеем:
7*1 ' П - 1' П*' ' П*
Таким образом, у выпукло-плоской линзы оптическая сила
положительна, передняя главная точка совпадает с вершиной первой
поверхности, а задняя расположена внутри линзы. Линза относится к
числу собирательных.
21.1.6. Плосковогнутая линза
Плосковогнутая линза имеет гг = оо, г2 > 0 (рис. 21.6).
Аналогично предыдущим случаям нетрудно установить, что
п - 1
LA
Н1 F
F Н
Рис. 21.6. Плосковогнутая линза Рис. 21.7. Вогнуто-плоская линза
392
Линза имеет отрицательную оптическую силу, передняя главная
точка расположена внутри линзы, а задняя совпадает с вершиной
второй поверхности. Линза относится к числу рассеивающих.
21.1.7. Вогнуто-плоская линза
Вогнуто-плоская линза, у которой гг < 0, г2 = оо, по конструкции
представляет собой ту же плосковогнутую линзу, но обращенную
вогнутостью к пространству предметов (рис. 21.7). Нетрудно
установить, что
Ф= — f
5F=-f,
. = -Z, 5=0.
' n-l" v n' ¦ ' " п'
Таким образом, у вогнуто-плоской линзы передняя главная
точка совпадает с вершиной вогнутой поверхности, а задняя
расположена внутри линзы. Линза относится к числу рассеивающих.
21.1.8. Положительный мениск
Положительный мениск, обращенный вогнутостью к
пространству изображений (рис. 21.8а), представляет собой выпукло-
вогнутую линзу, у которой обе поверхности имеют положительные
радиусы, но г2>Г!. Из D.23) и D.27) видно, что в этом случае sH<0,
Н' F1
Рис. 21.8. Положительные мениски
Положительный мениск, обращенный вогнутостью к
пространству предметов (рис. 21.86), представляет собой вогнуто-
выпуклую линзу, у которой sH > 0, s'w > 0, обе поверхности имеют
отрицательные радиусы кривизны, но |r2|<|ri|. Обе разновидности
менисков имеют положительную силу, т.е. относятся к числу
собирательных линз.
393
21.1.9. Отрицательный мениск
Отрицательный мениск, обращенный вогнутостью к
пространству изображений, представляет собой выпукло-вогную
линзу, у которой Г! > О, г2 > О, но г2 < г* (рис. 21.9а). В соответствии
с D.23) и D.27) передняя и задняя главные точки расположены справа
от вершин соответствующих поверхностей (sH > 0, s'w > 0).
F1
т
Н
i
н'
F1
Рис. 21.9. Отрицательные мениски
Отрицательный мениск, обращенный к пространству
изображений выпуклостью (рис. 21.96), имеет форму вогнуто-
выпуклой линзы, у которой гг < 0, г2 < 0, но |г/|<|г2|. Обе главные
точки расположены слева от вершин соответствующих поверхностей
Отрицательные мениски относятся к числу рассеивающих линз.
21.1.10. Концентрическая линза
У концентрической линзы центры кривизны обеих поверхностей
совпадают. Возможны два варианта концентрической линзы: у одной
(рис. 21.10а) радиусы кривизны имеют одинаковые знаки, а у другой
(рис. 21.106) - разные. Концентрическую линзу, у которой гг =- г2,
иногда называют шаровой линзой.
F1
НН1
Рис. 21.10. Концентрическая линза
Для концентрической линзы очевидно равенство
r1-r2 = d,
394
с учетом которого из D.19) нетрудно получить
Отсюда следует, что концентрическая линза, показанная на рис.
21.10а, имеет Ф < 0, а линза, показанная на рис. 21.10 6 - имеет
Ф > 0, т.е. первая из них является рассеивающей, а вторая -
собирательной.
С помощью D.23) и D.27) легко получить:
*Н'=Г2, *Н=Г1.
Таким образом, в концентрической линзе главные плоскости
сливаются в одну плоскость, проходящую через центр кривизны
поверхностей.
Отрицательные концентрические линзы часто используются в
качестве защитных колпаков головных частей оптических приборов.
21.1.11. Линзы с одинаковой кривизной поверхностей
У линзы с одинаковой кривизной поверхностей (рис. 21.11)
гг = г2. Поэтому формула D.19) для этой линзы приобретает вид
ф=сЦп-1у
пг1г2
Отсюда следует, что оптическая сила линзы Ф > 0.
Рис. 21.11. Линза с одинаковой кривизной поверхностей.
Из D.23) и D.27) с помощью последнего выражения получаем
а из D.28), кроме того, имеем Анн' = d.
Таким образом, линза с одинаковыми радиусами кривизны
поверхностей имеет сильно вынесенные в сторону выпуклой
поверхности главные плоскости, причём расстояние между ними
равно толщине линзы.
395
21.2. Конструктивные параметры линзы
К конструктивным параметрам линзы относят радиусы гг и г2
кривизны оптических поверхностей, толщину d линзы вдоль оси и
полный диаметр D линзы (рис. 21.12). В качестве справочного
размера у всех линз указывают толщину t по краю линзы, а для
отрицательных менисков - и габаритную толщину d' (рис. 21.12 6).
К конструктивным параметрам относят также марку стекла, из
которого выполнена линза.
Радиусы и световые диаметры DCB поверхностей, толщины по
оси и марка стекла линзы определяются в результате расчёта
оптической системы.
Числовые значения радиусов поверхностей должны
соответствовать значениям, приведенным в ГОСТ 1807-75 «Радиусы
сферических поверхностей оптических деталей. Ряды числовых
значений». Предпочтение отдают числам из рядов с более крупной
градацией, т.е. ряд 125 предпочитают ряду 250, ряд 250 - ряду 500 и
ряд 500-ряду 1000.
1 *
\ ,
, d ,
Рис. 21.12. Конструктивные параметры:
а - положительная линза; б - отрицательная линза
Размеры полных диаметров D линз в зависимости от световых
диаметров DCB и способов их крепления в оправе выбирают в
соответствии с табл. 21.1
Таблица 21.1
Световой
диаметр
DCB, мм
До 6
6-18
Диаметр D, мм
Крепление
Закаткой
Dcb + 0,6
Dcb + 0,8
Кольцом
Dcb+ 1
396
10-18
18-30
30-50
50-80
80-120
120
Dcb-
Dcb-
Dcb-
Dcb-
h 1
1-1,5
vl
^2,5
Dcb
Dcb
Dcb
Dcb
Dcb
Dcb
+ 1,5
+ 2
+ 2,5
+ 3
+ 3,5
+ 4,5
Наименьшие толщины отрицательных линз по оси в
зависимости от формы линзы и допуска на местную ошибку при
обработке оптических поверхностей выбирают в соответствии с табл.
21.2.
Таблица 21.2
Форма
Двояковогнутая
Выпукло-
вогнутая
D, мм
До 50
50-120
120-260
260 - 500
500 - 650
650 - 800
До 50
50-120
120-260
260 - 500
500 - 650
650 - 800
d, мм при AN, полос
До 0,3
0,1 D
Св. 0,3 до 0,5
0,07 D
0,06 D
0,09 D
0,08 D
Св. 0,5 до
2,0
0,07 D
0,06 D
0,08 D
0,06 D
Св. 2,0
0,05 D
0,06 D
0,08 D
0,06 D
397
Для положительных линз минимальная толщина по краю t
должна соответствовать данным, приведенным в табл. 21.3.
Таблица 21.3
Диаметр
D, мм
До 6
6-10
10-18
18-30
30-50
50-80
80- 120
Толщина
t, мм
0,8
1,0
1,2
1,6
2,0
2,4
3,0
Диаметр
D, мм
120- 180
180-260
260 - 360
360 - 500
500 - 650
650 - 800
Толщина
t, мм
4,0
5,0
6,0
8,0
12,0
20,0
При расчёте оптических систем важно оценивать соотношение
радиуса г кривизны оптической поверхности и диаметра D линзы, т.к.
оно связано с числом N одновременно обрабатываемых заготовок
линзы на одном блоке. В табл. 21.4 приведены зависимости числа N
от соотношения r/D при использовании максимального сферического
блока. Из неё видно, что чем меньше r/D, тем меньше можно
одновременно обрабатывать деталей.
Таблица 21.4
r/D
N
0,71
2
0,786
3
0,893
4
1,03
6
1,14
7
1,33
9
1,385
10
1,437
12
1,68
15
Очевидно, что при r/D < 0,7 речь может идти об изготовлении
одиночных деталей на блоке, что недопустимо при серийном
производстве. Учитывая, что поверхность блока должна быть по
возможности равномерно заполнена обрабатываемыми деталями
(неравномерность заполнения снижает точность формообразования
поверхности), в серийном производстве можно допустить N > 3.
Отсюда следует, что соотношение r/D должно быть не меньше 0,85.
398
21.3. Плоскопараллельная пластинка
Плоскопараллельные пластинки применяются как защитные
стекла в оптических приборах, в качестве светофильтров (из
окрашенных материалов), в угломерных приборах для обеспечения
малых угловых смещений изображения, в некоторых
интерферометрах (например, пластинка Люммера-Герке), в качестве
компенсаторов и др.
L
Рис. 21.13. Ход луча через плоскопараллельную пластинку
На рис. 21.13 показан ход произвольного луча через
плоскопараллельную пластинку толщиной d, изготовленную из
стекла с показателем преломления п. После двукратного преломления
в точках М и N на гранях пластинки луч LA выходит по направлению
NA1. Углы падения и преломления луча в точке М обозначены
буквами ?i и Ег\ а в точке N - буквами е2 и е2'
По закону преломления:
. = П Sin Ei ,
nsin?2 = sin?2'.
Так как грани пластинки параллельны, то 8i' = 82. Следовательно,
sin ?х = sin ?2', т.е. 8i = 82\ Таким образом, луч LS проходит
пластинку без изменения направления, смещаясь на отрезок NK=z
параллельно самому себе. Из рисунка находим
z = MN sinfe - e/V MN = —— ,
399
откуда
dsin(?l7^. B1.4)
Из этой формулы видно, что для лучей с различными углами падения
величина z различна.
Допустим, что луч LA принадлежит гомоцентрическому пучку
лучей, сходящемуся в точке А, положение которой относительно
первой грани пластинки определяется отрезком s=OA, т.е. будем
считать точку А безаберрационным мнимым предметом для
плоскопараллельной пластинки. После прохождения пластинки
рассматриваемый луч пересечёт оптическую ось в некоторой точке А'
на расстоянии А от точки А. Из рисунка следует, что
А = d - MR ctgei.
Так как MR = d tg8i', то окончательно для А находим
A = d(l-g). B1.5)
По закону преломления — = -, поэтому из B1.5) можно получить
Отсюда следует, что разным углам падения соответствуют
разные значения А, т.е. гомоцентрический пучок лучей после
прохождения через плоскопараллельную пластинку перестает быть
гомоцентрическим. Бесконечно тонкий пучок лучей, идущий вдоль
оптической оси OiA и сходящийся в точке А, смещается по ходу
распространения света на величину
Д = ^Ч B1.7)
,. COS Ei . л
тк1ш1 ^7l-0=L
Плоскопараллельная пластинка не искажает изображений
только тогда, когда она установлена на пути пучков параллельных
лучей (например, защитное стекло перед оптическим прибором).
Если же она помещена в пучках сходящихся лучей (например, после
объектива), то она, изменяя строение пучков лучей, вносит
аберрации, которые необходимо принимать во внимание при расчёте
оптических систем.
400
21.4. Редуцирование плоскопараллельной пластинки
Редуцирование плоскопараллельной пластинки означает замену
прозрачной для оптического излучения пластинки на эквивалентную
ей воздушную пластинку при одновременном уменьшении толщины
пластинки по оси. Переход от стеклянных пластинок к
эквивалентным воздушным пластинкам на этапе габаритного расчета
значительно упрощает разработку оптических систем, содержащих
наряду с линзами также пластинки и призмы. Лучи, проходящие
через редуцированную плоскопараллельную пластинку, на гранях
пластинки преломлений не испытывают; высоты пересечения лучей с
одноименными гранями действительной и редуцированной пластинок
равны между собой.
Проведём на рис. 21.13 через точку N параллельно оси линию до
пересечения в точке Р с лучом LA, а затем через точку Р - линию РЕ,
параллельную граням пластинки и перпендикулярную оси. Будем
считать, что луч LA распространяется в параксиальной области, когда
величина А определяется формулой B1.7). Отрезок OiE = d0 есть
толщина редуцированной пластинки. Из рис. 21.13 определяем
do = d.A = d_?ilzi) = l. B1.8)
п п
Высоты РЕ и NO2 действительно равны между собой, а луч LA
проходит редуцированную пластинку без преломления. Толщина
редуцированной пластинки равна толщине действительной
пластинки, разделенной на показатель преломления вещества, из
которого она изготовлена. То обстоятельство, что высоты точек
пересечения лучей с одноименными гранями редуцированной и
действительной пластинок остаются одинаковыми, даёт возможность
легко переходить от оптической системы с редуцированными
пластинками к системе с действительными пластинками. При этом
переходе всегда учитывается смещение изображения каждой
пластинкой по формулам B1.7) или B1.8).
21.5. Зеркала
Зеркало - одно из важнейших, а иногда и очень точных деталей
оптического прибора. Отступление изготовленной поверхности
зеркала от расчетной определяется назначением зеркала. Для
астрономических и некоторых лазерных приборов оно не превышает
0,1 наименьшей длины волны падающего на зеркало оптического
401
излучения, а для прожекторных или конденсорных зеркал может
доходить до 10 Я min.
Чаще всего зеркала изготавливают путём нанесения тонкого
отражающего стоя на стеклянную (реже металлическую) основу,
получая зеркало либо с внешним отражающим покрытием, либо с
внутренним.
Коэффициент отражения зеркала зависит от способа нанесения
и химического состава зеркального покрытия. Например, внешнее
покрытие 1И21Е (алюминирование испарением с защитным анодным
оксидированием в фосфорнокислом аммонии) обеспечивает
коэффициент отражения в видимой области спектра р < 86%.
Внешнее зеркальное покрытие 1И21И29И (алюминирование
испарением с защитным анодным оксидированием в растворе
фосфорнокислого аммония и последующим нанесением слоя
сернистого цинка) в видимой области спектра даёт р = 93 - 96%.
Внутреннее зеркальное покрытие 25РЗЕ72П (серебрение химическое
внутреннее с защитной медью и бакелитовым лаком с наполнителем
или эмалью «Ю» - для точных зеркал) в видимой области спектра
обеспечивает р = 88 -92%.
Зеркала бывают плоские, сферические и асферические
(например, параболоидные).
21.5.1. Плоские зеркала
На рис. 21.14 и 21.15 показаны плоские зеркала с внешним и
внутренним отражением соответственно.
Рис. 21.14 Зеркало с
внешним отражением
Рис. 21.15 Зеркало с
внутренним отражением
Плоское зеркало - это единственная оптическая система,
которая образует совершенно идеальное (безаберрационное)
изображение предмета (всегда мнимое). Благодаря этому плоские
402
зеркала применяют для изменения направления распространения
световых пучков лучей, в автоколлимации, для поворота изображения
и т.д.
Если учитывать лишь абсолютные значения углов падения и
отображения, то, как видно из рис. 21.16, плоское зеркало отклоняет
любой луч на угол
у =180°- 2s.
N N2
Рис. 21.16. Отклонение луча Рис. 21.17. Поворот луча при
плоским зеркалом повороте плоского зеркала
Если плоское зеркало повернуть вокруг точки О на угол а из
положения 1 (нормаль Ni) в положение 2 (нормаль N2), то
отражённый луч повернётся из положения А' в положение А" на угол
у (рис. 21.17). Из рисунка следует
у = 2ei - 2е2 = 2 (в! - е2) = 2а.
Таким образом, если плоское зеркало повернуть вокруг точки О
на угол а, то отраженный луч повернётся в направлении вращения
зеркала на угол у, равный удвоенному углу поворота зеркала.
Если луч испытывает отражение от двух зеркал, расположенных
под углом а друг к другу (уголковое зеркало), то отклонение от
своего первоначального направления равно удвоенному углу между
зеркалами и не зависит от угла падения на первое зеркало.
Действительно, из рис. 21.18 видно, что
у = 2 (в! + е2) = 2а.
В эту формулу не входит угол падения луча на первое зеркало.
Поэтому при совместном вращении зеркал вокруг оси О (линии
пересечения зеркал) выходящий после отражения от второго зеркала
луч не изменяет своего направления. При смещении названной оси
параллельно самой себе пространство изображений смещается
поступательно вместе с осью О.
403
Рис. 21.18. Уголковое зеркало
Уголковое зеркало при а = 45° отклоняет падающие на него
лучи на 90°. Такое зеркало применяют в эккере для построения
прямых углов на местности.
21.5.2. Сферические зеркала
Сферические зеркала, как и плоские, могут иметь внешнее или
внутреннее отражающее покрытие. На рис. 21.19 и 21.20 показаны
соответственно вогнутое и выпуклое сферические зеркала с внешним
отражением. Первое из этих зеркал является собирающим (f > 0), а
второе - рассеивающим (f < 0).
Рис. 21.19. Вогнутое
сферическое зеркало
Рис. 21.20. Выпуклое
сферическое зеркало
Сферическим зеркалом с внутренним отражением называют
обычную линзу, на вторую поверхность которой по ходу света
нанесено внутреннее отражающее покрытие. Любой луч в нем
пересекает преломляющую поверхность дважды: один раз в точке М
при входе луча в стеклянный слой, а другой раз в точке К после
отражения в точке N при выходе луча из стеклянного слоя (рис.
21.21).
404
Рис. 21.21. Сферическое зеркало с
внутренним отражением
Обозначаем радиус кривизны преломляющей поверхности
зеркала через г1? отражающей - через г2, толщину зеркала - через d,
показатель преломления стекла - через п. Рассчитав по формулам
углов и высот в обратном ходе при некоторой высоте \\г
параксиальный луч, имеющий oil = 0, пг = -1, нетрудно получить:
Лз = Й1A+2</—---2^-^-), B1.9)
пгх г2 п гг г2
аз = Й!(-^+^+ 2d^f), B1.10)
ПГХ Г2 П ГгГ2
а4 = 2/zi [ + - + 2d d j- +
d2(n^ B1-11)
nrx r2J
Так как оптическая сила зеркала Ф = a4/h1? то
O = 2[-^i+i+2d^i-d^+d2^f]. B1.12)
Г! Г2 ГХГ2 nrS ПГХ2Г2
Для фокального отрезка можно написать
Подставив сюда выражения для h3 из B1.9), будем иметь
' f(l+2d 2d2^^)
B1.14)
sF (d d).
nrx r2 nr1r2/
Формулы B1.12) и B1.14) позволяют выполнять анализ зеркала при
различных значениях г1? г2 и d. Так, например, при d = 0, гх = г2 = г
получаем
что соответствует обычному сферическому зеркалу с внешним
отражением и радиусом кривизны г.
405
Частным случаем описанного сферического стеклянного зеркала
с внутренним отражением является зеркал оМанжен а, у
которого фокус совпадает с центром кривизны преломляющей
поверхности, т.е. когда s'F = 1*1. Впервые такое зеркало применил в
прожекторах французский военный инженер А. Манжен.
Так как в этом случае а3 = а4, то оптическая сила Ф = ajh^
С учетом выражения B1.10) получаем
ct> = -^+!+2d—. B1.15)
nr1 r2 nr1r2 v >
Так как s'F = гь то на основании B1.9). B1.13) и B1.15) можно
получить
После некоторых упрощений далее получаем
9 пгг2+ Bп - 1) гг ri+Qi - 1) d2
Г = 2
" - Bn-l)r1+2(n-l)d • B1Л6)
Это выражение, предложенное Манженом, представляет
соотношение между радиусами кривизны поверхности зеркала, при
котором фокус зеркала совпадает с центром кривизны преломляющей
поверхности.
Для примера при s'F = 14 = 100, d = 5, n = 1,5 по формулам
B1.15) и B1.16) соответственно имеем г2 = 156,22 и f = 103,28.
21.6. Отражательные призмы. Общие сведения
Отражательной призмой называется оптическая деталь,
ограниченная не менее чем тремя отражающими и преломляющими
плоскостями, называемыми гранями и расположенными под разными
углами друг к другу. Иногда одна и та же грань может быть
одновременно и преломляющей, и отражающей. Преломляющие и
отражающие грани называют рабочими.
Отражательная призма характеризуется тем, что вошедшее в неё
оптическое излучение испытывает внутри призмы отражение от
одной или последовательно от нескольких граней. Если луч из
окружающей среды падает на отражательную призму и выходит из
призмы в окружающую среду не перпендикулярно к
соответствующим граням, то на этих гранях он испытывает
преломление. Однако свет, проходящий через отражательную
406
призму, не испытывает дисперсии, т.е. луч сложного спектрального
состава пространственно не разделяется призмой на его спектральные
составляющие.
Отражательные призмы применяются для изменения
направления светового пучка, уменьшения габаритов (длины)
оптической системы и для преобразования изображения - его
поворота на 180° (полное оборачивание) или получения зеркального
изображения.
Если луч падает из окружающей среды на входную (первую)
грань отражательной призмы под некоторым углом, то из призмы в
окружающую среду он выходит под тем же углом к выходной
(последней)грани.
Отражение лучей от граней отражательной призмы чаще всего
является полным внутренним отражением. Если же углы падения
лучей на отражающую грань оказываются меньше предельного
(критического), то на такую грань снаружи наносят внутреннее
отражающее покрытие.
Установка на пути распространения светового пучка
отражательной призмы оптически эквивалентна установке на этом
пути плоскопараллельной пластинки с толщиной, равной ходу луча в
материале призмы.
Если первая грань призмы, через которую пучок лучей входит в
призму из окружающей среды, наклонена на некоторый угол по
отношению к оптической оси системы, то и эквивалентная призме
плоскопараллельная пластинка окажется наклоненной к оси на тот же
угол. Такие призмы устанавливают обычно только в пучках
параллельных лучей, когда они не вызывают ухудшения качества
оптического изображения. Если же оптическая ось перпендикулярна
первой грани призмы, то она перпендикулярна и граням
эквивалентной плоскопараллельной пластинки. Такую призму можно
устанавливать как в пучках параллельных лучей, так и в пучках
сходящихся лучей. В первом случае она не оказывает влияния на
качество оптического изображения, а во втором необходимо
учитывать те аберрации, которыми обладает плоскопараллельная
пластинка.
В меридиональном (главном) сечении отражательные призмы с
четным числом отражающих граней дают прямое изображение, а с
нечетным - зеркальное. Для получения зеркального изображения в
сагиттальном сечении (поворот изображения справа налево) одну из
407
плоских отражающих граней призмы заменяют крышей - двумя
отражающими гранями, угол между которыми составляет 90°. Для
выполнения одновременно нескольких функций (изменения
габаритов, направления хода пучков лучей, получения полного
оборачивания изображения) применяют системы из нескольких
призм.
Отражательные призмы принято обозначать двумя буквами и
числом. Первая буква указывает на число отражающих граней (А -
одна грань, Б - две грани, В - три грани), а вторая - на характер
конструкции (Р - равнобедренная, П - пентапризма, У - полупента-
призма, С - ромбическая призма, М - дальномерная призма).
В обозначении призмы с крышей к первой букве добавляется буква к.
Некоторые призмы и призменные системы имеют название,
указывающее фамилию автора, предложившего соответствующую
призму или систему (призма Шмидта, Аббе, система Порро и др.).
Число в обозначении призмы, стоящее после букв, равно величине
угла (в градусах), на который призма отклоняет ось системы от
первоначального (до входной грани) направления.
Каждая отражательная призма имеет определенную зависимость
геометрической длины хода луча в материале призмы от полного
диаметра D входной грани, называемую коэффициентом призмы:
d
Этот коэффициент позволяет по полному диаметру входной грани
определять длину хода луча в материале призмы, величину смещения
изображения эквивалентной призме плоскопараллельной пластинки и
взаимное расположение отдельных деталей оптической системы.
21.7. Основные виды отражательных призм
Ниже приведены наиболее часто применяемые отражательные
призмы и их размеры для светового пучка круглого сечения с
наибольшим диаметром D. Диаметр действительно пропускаемого
светового пучка получается уменьшением расчетного диаметра D
пучка на величину, необходимую для закрепления призмы в оправе.
Геометрическая длина хода луча в призме обозначается через d;
ширина всех призм равна D.
Прямоугольная призма АР - 90° (рис. 21.22) с одной
отражательной гранью изменяет направление хода луча на 90° и дает
зеркальное изображение. Размеры призмы: а = D; с = 1,414D; d = D.
408
Призма развертывается в плоскопараллельную пластинку,
поверхности которой перпендикулярны оптической оси.
Призма Довэ (АР - 0°), показанная на рис. 21.23, не изменяет
направление хода лучей, дает зеркальное изображение. При
вращении призмы вокруг оси изображение предмета вращается в ту
же сторону, но с удвоенной скоростью.
Рис. 21.22. Призма АР - 90°
Рис. 21.23. Призма Довэ (АР - 0°)
Призма развертывается в плоскопараллельную пластинку,
поверхности которой наклонены к оптической оси на угол 45°.
Поэтому призму Довэ устанавливают только в пучках параллельных
лучей, в противном случае она нарушает симметрию хода лучей,
вызывает астигматизм и ухудшает качество изображения. Размеры
2п _
и; п - показатель
-1-1
преломления стекла призмы.
Рис. 21.24. Призма Волластона
Рис. 21.25. Призма БР - 180°
Призма Волластона (рис. 21.24), имея две отражающие
грани, изменяет направление хода лучей на 90°, дает прямое
409
изображение и развертывается в плоскопараллельную пластинку,
поверхности которой перпендикулярны оптической оси. Размеры
призмы: а = D; с = l,307D; d = 2,440D.
Прямоугольная призма БР - 180° (рис. 21.25) имеет две
отражающие грани, изменяет направление хода лучей на 180°, дает
зеркально изображение и развертывается в плоскопараллельную
пластинку с поверхностями, перпендикулярными оптической оси.
Размеры призмы: а = 2D; с = 1,414D; h = D; d = 2D.
Ромб-призма (БС - 0°), показанная на рис. 21.26, состоит из
двух параллельных преломляющих и двух параллельных
отражающих граней. Призма не изменяет, но смещает направление
хода лучей, дает прямое изображение, развертывается в
плоскопараллельную пластинку, грани которой перпендикулярны
оптической оси. Размеры призмы: а = D; с = 1,414D; h = D; d = 2D.
Серебрить
it" +C
Серебрить
Рис. 21.26. Ромб-призма (БС-0°) Рис. 21.27. Пентапризма (БП-90°)
Пентапризма (БП - 90°), показанная на рис. 21.27, изменят
ход лучей на 90°, дает прямое изображение, развертывается в
плоскопараллельную пластинку, грани которой перпендикулярны
оптической оси. При повороте призмы вокруг оси, перпендикулярной
главному сечению, положение изображения не изменяется. Так как
лучи на отражающих гранях не испытывают полного внутреннего
отражения, то на эти грани наносят внутреннее отражающее
покрытие. Размеры призмы: а = D; с = l,082D; d = 3,414D.
Полупентапризма (БУ - 45°), показанная на рис. 21.28,
представляет собой половину пентапризмы. Призма изменяет
направление хода лучей на 45°, дает прямое изображение и
развертывается в плоскопараллельную пластинку с поверхностями,
перпендикулярными оптической оси. Вторая по ходу света
отражающая грань покрыта внутренним отражающим слоем, так как
410
на ней лучи не испытывают полного внутреннего отражения.
Размеры призмы: а = D; с = l,707D; d = l,082D; d = l,707D.
Серебрить
30°
Рис. 21.28. Полупентапризма Рис. 21.29. Призма Лемана
(БУ - 45°) (ВЛ - 0°)
Призма Лемана (ВЛ - 0°), показанная на рис. 21.29, не
изменяет, но смещает направление хода лучей, даёт зеркальное
изображение, развертывается в плоскопараллельную пластинку,
поверхности которой перпендикулярны оптической оси. Третья по
ходу света отражающая грань имеет внутреннее отражающее
покрытие. Размеры призмы: а = D; с = 2,5D; Ci = 2D; d = 4,33D.
Серебрить
Рис. 21.30. Призма Шмидта
(ВР - 45°)
.г-
с, ^
с
л.
"Серебрить
43
Рис. 21.31. Призма Аббе
Призма Шмидта (ВР - 45°), показанная на рис. 21.30,
изменяет направление хода лучей на 45°, дает зеркальное
изображение предмета и развертывается в плоскопараллельную
411
пластинку с гранями, перпендикулярными к оптической оси. Вторая
по ходу света отражающая грань имеет внутреннее зеркальное
покрытие. Размеры призмы: с = 1,414D; Ci = l,082D; d = 2,414D.
Призма Аббе (А - 0°), представленная на рис. 21.31, состоит
из двух склеенных частей, дает зеркальное изображение предмета без
изменения хода лучей. Призма развертывается в плоскопараллельную
пластинку с поверхностями, перпендикулярными к оптической оси.
Вторая по ходу света отражающая грань имеет внутреннее зеркальное
покрытие. Размеры призмы: а = D; с = 3,46D; Ci = =1,155D; c2 = 2D;
h = 2D; d = 5,2D.
Рис. 21.32. Призма-куб (К - 0°) Рис. 21.33. Башмачная призма
с крышей (БК - 90°)
Призма-куб (К - 0°), показанная на рис. 21.32, состоит из двух
прямоугольных призм, склеенных гипотенузными гранями, одна из
которых покрыта отражающим слоем. Призма дает зеркальное
изображение, не изменяет направление хода лучей и применяется в
качестве обзорной призмы в наблюдательных системах. При
вращении призмы вокруг оси, перпендикулярной к главному
сечению, в оптическую систему попадают разные точки пространства
предметов, что позволяет обозревать большее пространство.
Размеры призмы: а = D; с =-
-D;d = -
-D.
V2n2-1- I ' V2n2-1- 1
Башмачная призма с крышей (БК - 90°) содержит
собственно призму и добавочный клин, необходимый для того, чтобы
призма развертывалась в плоскопараллельную пластинку (рис. 21.33).
Она изменяет ход лучей на 90° и дает зеркальное изображение.
Размеры призмы: а = D; h = 2,3D; d = 2,6D (без клина); воздушный
412
промежуток 0,1 мм. Башмачная призма может быть и без крыши
(призма Б - 90°). В этом случае изображение предмета будет прямым;
вторая по ходу света отражающая грань должна иметь внутренний
отражающий слой.
Серебрить
Рис. 21.34. Призма Пехана (П - 0°) Рис. 21.35. Призма Пехана
с крышей (Пк - 0°)
Призма Пехана (П - 0°) является сложной призмой,
состоящей из призмы Шмидта и полупентапризмы, развертывается в
плоскопараллельную пластинку, не изменяет направление хода лучей
и создает зеркальное изображение (рис. 21.34). Первая и последняя
грани призмы перпендикулярны оптической оси и поэтому она может
быть установлена в пучке сходящихся лучей. В этом ее главное
отличие от призмы Довэ. Размеры призмы: а = D; с = 1,414D;
Ci = l,08D; c2 = l,705D; m = 0,39D; h = l,205D; di = 0,05-0,1мм;
d = 4,12D.
Призма Пехана с крышей (Пк - 0°) отличается от призмы
Пехана без крыши (П - 0°) тем, что отражающая грань призмы
Шмидта (рис. 21.35) или отражающая грань полупентапризмы
заменены крышей. Призма дает обратное изображение. Размеры
призмы: а = D; с = 1,78D; Ci = l,08D; c2 = 1,414D; m = 0,39D;
h = 1,23ID; di = 0,1мм; d = 4,75D.
Призменная система Порро I рода (рис. 21.36) состоит из
двух прямоугольных призм БР - 180°. Эта система позволяет
получать обратное изображение предмета и значительно сокращать
габариты прибора вдоль оси. Наиболее часто эта система
применяется в биноклях.
413
Призменная система Порро II рода (рис. 21.37) состоит из
двух призм АР - 90° и одной призмы БР - 180°.
Рис. 21.36. Призменная
система Порро I рода
Рис. 21.37. Призменная
система Порро II рода
Система дает обратное изображение предмета и используется в
оптических системах инструментальных микроскопов.
21.8. Развертка отражательных призм
в плоскопараллельную пластинку
Развертка отражательных призм в плоскопараллельную
пластинку состоит в последовательном построении зеркальных
изображений призмы и отраженного луча. Каждое последующее
изображение строится путем поворачивания предыдущего
изображения вокруг проекции на чертеже отражающей грани. Если в
результате развертки изображение выходной грани призмы будет
параллельно входной, то такая призма развертывается в
плоскопараллельную пластинку. Если же такой параллельности нет,
то это означает, что призма работает не как плоскопараллельная
пластинка, а как клин. Такая призма будет вносить дополнительный
хроматизм. Для уничтожения этого хроматизма и для достижения
развертки призмы в плоскопараллельную пластинку к призме
добавляют дополнительный клин, как это сделано, например, в
случае башмачной призмы БК - 90° (рис. 21.33).
На рис. 21.38 для примера показана развертка пентапризмы.
Здесь A'B'CDE' есть изображение пентапризмы АВСДЕ, a MN'
414
и N'P' - изображения отрезков MN и NP в зеркале CD, полученные
поворотом фигуры АВСДЕ, отрезков MN и NP вокруг оси CD на 180°.
в1
/
Рис. 21.38. Развертка пентапризмы
Аналогично A'B"CMD'E' и N'P" являются изображениями фигуры
А'В'СДЕ' и отрезка N'P' в зеркале А'Е', полученными поворотом
последних на 180° вокруг оси А'Е'. В результате таких построений
получается плоскопараллельная пластинка толщиной d, когда
входная грань АВ и изображение В"С" ее выходной грани
параллельны, а ломаная MNP изображается в виде отрезка МР",
являющегося продолжением луча, входящего в призму по оптической
оси.
21.9. Габаритный расчет отражательных призм
Световые пучки лучей, проходящие через призму, чаще всего
имеют коническую форму. Для вычисления габаритных размеров
призмы необходимо знать диаметры перпендикулярных оптической
оси сечений этого пучка в пространствах перед призмой и за нею,
расстояние между этими сечениями и положение входной или
выходной граней призмы относительно ближайшего сечения.
Для толщины d стеклянной пластинки, в которую
развертывается призма (длина хода луча в призме), и для толщины dB
соответствующей редуцированной пластинки можно написать
, ^ , d kD
d = KD,dB = - = —.
На рис. 21.39 2RX и 2R2 обозначают диаметры сечений пучка
света, расположенных на расстоянии L друг от друга, dB - толщину
редуцированной (воздушной) пластинки, D - световой диаметр
415
входной грани призмы, а - расстояние от выходной грани призмы до
сечения с диаметром 2R2.
Из рисунка имеем
Отсюда получаем
Рис. 21.39. Схема расчета призмы
D = 2R2 + 2tga (a + —),
Ki-k2
где tga = —-—.
D = 2 (Я2+ a tga)
B1.17)
1-2 -tga
Если призма имеет крышу, выходящую на одну грань, то световой
диаметр D вычисляется по формуле
^_ Ri+atga ,л ^ Jl+ sin2/?
- !-2^- Sin/7 ' <21'I8>
n
в которой /? — угол между ребром крыши и названной гранью.
Если же крыша выходит на две грани (как, например, у призмы
АкР - 90°), то
2(R2+atga) , Vl+sin2/?4
V1 )
l-2-tga
sin/?
B1.19)
Полученные в результате расчета численные значения D в
дальнейшем должны быть несколько увеличены, если необходимо
учитывать фаски на ребрах призмы, припуски на крепление,
разделение пучков лучей в плоскости входной (выходной) грани
(например, в призме БР - 180°), а также в случае принятия мер против
416
вредного (рассеянного) света (например, с помощью канавок на
гипотенузной грани призмы БР - 180°).
21.10. Преломляющая (спектральная) призма
Преломляющая (спектральная) призма содержит три грани, две
из которых являются рабочими (преломляющими), а третья -
нерабочей. Призма применяется в спектральных приборах для
спектрального разложения света на основе зависимости показателя
преломления оптического материала призмы от длины волны
излучения.
А С
Рис. 21.40. Преломляющая призма
На рис. 21.40 показана преломляющая призма, у которой грани
АВ и ВС - рабочие, грань АС - нерабочая. Двугранный угол в между
рабочими гранями называется преломляющим углом призмы, линия
пересечения рабочих граней называется преломляющим ребром, а
перпендикулярное этому ребру сечение - ее главным сечением.
Рассмотрим ход произвольного луча 1 в главном сечении, который
после преломления в точках D и Е выйдет из призмы по направлению
Г, отклонившись от первоначального направления на угол
6. Обозначим через ег и е[ соответственно углы падения и
преломления луча на грани АВ, через е2 и е'2- аналогичные углы на
грани ВС, через п - показатель преломления материала призмы. Из
рисунка следует:
в = -
6 = -8
e29
82' -
B1.20)
B1.21)
417
По закону преломления:
sin ?x = rising', B1.22)
sin?2' = n sin?2 . B1.23)
Вычтя из последнего уравнения предыдущее и приведя после этого
полученное выражение к логарифмическому виду, будем иметь
?2 + ?\ . ?2 —?\ ?2 + ?\1 . ?2 — ?\1 /г* л г\ л\
cos sin = n cos sin . B1.24)
Отсюда с учетом выражений B1.20) и B1.21) нетрудно получить
. 0+8 cos?2 *?l' . 0 /О1 _
sin = -^—nsin-. B1.25)
Из уравнений B1.20) и B1.21) следует
S = -fl + f2'_0. B1.26)
При постоянных значениях в и п угол 8 будет изменяться при
изменении угла е±. При некотором значении ег значение 6 окажется
минимальным. Найдем выражение для минимального значения
S = Smin.
Продиффиренцировав уравнение B1.26) по еъ найдем
Диффиренцирование уравнений B1.22) и B1.23) дает:
cos ?i dsi = п cos s-i dsi\
cos82 de2 = n cosa2 de2.
Диффиренцированием уравнения B1.20) находим
Разделив соответственные части двух предыдущих уравнений и
приняв во внимание последнее равенство, получим
d?2f _ COS?± COS?2
^? гпс с. I глс е_ /* V * /
Поэтому
d8 _ COS?! COS?2
Минимальное значение угла 5 будет при — = 0, т.е. при
COS?1 _ COS?2f
COS?±f COS?2
Но по закону преломления, с другой стороны,
sin?! _ sin?2'
Sin?2
418
¦ = n.
Два последних уравнения совместны только при
8i = -е2' и 8i' = -е2 ¦ B1.29)
При этом условии луч в призме окажется перпендикулярен к
биссектрисе преломляющего угла, т.е. его ход будет симметричен
относительно рабочих граней призмы.
а2 б
Взяв вторую производную —-, нетрудно показать, что при
таком ходе луча в призме угол 5 действительно имеет минимальное
значение.
Подставив значения Si и е2 из B1.29) в формулу B1.25),
получим значение минимального угла 5min в виде зависимости от 0 и
п:
. в + 5min . 0 /О1 ~ЛЧ
sin = nsin-. B1.30)
Формулу B1.30) используют при определении показателя
преломления вещества призмы путем измерения значений 0 и 5mjn на
гониометре или спектрометре.
Так как при 5 = 8т\п отрезок DE перпендикулярен биссектрисе
угла 0, то 8i' = -, а по закону преломления
Q
sin?i = n sin-. B1.31)
п
Кроме того, очевидно, 8min = 2 (si - -), т.е.
8min = 2e1-e. B1.32)
Уравнение B1.31) определяет величину угла Si при 5 = 5min, a
уравнение B1.32) - величину угла 5min при известной величине угла
8i, удовлетворяющей условию B1.31).
21.11. Расчет хода луча через преломляющую
(спектральную) призму
На рис. 21.41 показаны две проекции прямоугольной
преломляющей призмы ABC с преломляющим углом 0, на грани АВ
которой в точку О под углом Si падает луч. Точка О является
одновременно началом левой прямоугольной системы координат xyz,
ось х которой перпендикулярна главному сечению призмы, а ось у
направлена вверх. Падающий луч расположен в плоскости,
перпендикулярной оси у. Ni и N2 - нормали к граням АВ и ВС
призмы.
419
Рис. 21.41. К расчету хода луча
через преломляющую линзу
Определим направление хода луча после преломления на грани ВС.
Воспользуемся для этого формулами для расчета хода лучей,
приведенными в п. 1.8:
n' cos ar = n cos a + к cos Я ,
n' cos Р' = n cos р + к cos [i ,
n' cos у' = n cos у + к cos v ,
к = Vn'2 - n2 sin2 a - n cos a ,
где п и n' - показатели преломления сред до оптической поверхности
и за ней; а, р и у - углы между падающими на преломляющую
поверхность лучом и осями координат х, у, z; а', р1 и у' - углы между
нормалью к преломляющей грани и осями координат х, у, z; s - угол
падения луча на преломляющую грань.
Для первой грани:
ni = 1, ni1 = n, e = 8i,
ki = Vn2 ~~ sin2 8i" cos 8-
Направляющие косинусы луча в первом пространстве:
cos #i = sin ?i, cos /?i = 0, cos yi = cos f i.
Направляющие косинусы нормали Ni:
cos Ai = 0, cos /ii = 0, cos Vi = 1.
420
После преломления луча на первой грани:
± = Пх cos аг + кх cos Лг = sin el9 + к^/О = sin ег,
+ kiCos/ii = Г0 + k^O = 0 ,
= ncos Y + kxcos Vi = cos ?1. + V ni2 ~~ sin2 ?i»
cos f! = V^2 - sin2 f!.
Отсюда следует, что для преломленного на первой грани луча:
1 .
cosa2=-
n
cos y2 = - y/n2 - sin2?!.
Направляющие косинусы нормали N2:
cos A2 = 0, cos [i2 = sin 0, cos v2 = cos в .
Для угла падения s2 луча на вторую грань:
cos е2 = cos а2 cos Л2 + cos /?2 • cos [i2 + cos у2 • cos v2 =
— — yl 71 — Sin ?1 " COS 0 ,
n
k2 = Vn2^ - n22sin2?2 - n2 cos^2 = yjl - n22sin2 e2 -
- П2 COS 82 ,
n cos ?2 = yjn2 - sin ?i • cos в ,
sin2?2 = 1 - cos2?2= 1 - — (n2 - sin2 f i) cos2 (
n2 sin2 ?2 = n2 - (n2 - sin2 e±) cos2 в ,
(n2 - sin2 f J cos2 в - jn2 - sin2?! • cos в .
Следовательно, k2 зависит от Si. Для луча, выходящего из призмы:
n2'cos а2 = п2 cos а2 + k2 cosЯ2 = sin ег = cosa3,
n2'cos p2' = n2 cos /?2 + k2 cos [i2 =k2 sin в =
n2'cosy2' = n2 cosy2 + k2 cosv2 =jn2 — sin2^i + k2
cos0 = cosy3.
Таким образом,
cos a3 = sin еъ cos C3 = k2 sin в, cos y3 = jn2 - sin2^! + k2 cos в.
Так как k2 зависит от Si, то cos y3 также зависит от Si.
421
Рис. 21.42 Оптическая схема призменного
спектрального прибора
На рис. 21.42 показана оптическая схема призменного
спектрального прибора, содержащего преломляющую призму ABC с
преломляющим углом 0, установленную между объективами Oi и О2.
Точка Fx является передним фокусом объектива Оь а плоскость Ег -
его передней фокальной плоскостью. Гомоцентрический пучок лучей,
исходящий из точки Fi, после объектива Oi преобразуется в пучок
параллельных лучей, падающих на преломляющую грань АВ призмы
под некоторым углом Si. После призмы, отклонившись на некоторый
угол 5 от первоначального направления, этот пучок собирается в
заднем фокусе F2' объектива О2. Очевидно, задняя фокальная
плоскость Е2' объектива О2 и передняя фокальная плоскость Ех
объектива Oi оптически сопряжены.
Предположим, что в плоскости Ei через точку Fi
перпендикулярно главному сечению призмы расположена светящаяся
щель. Каждой точке этой щели соответствует свое значение угла Si.
Следовательно, на основании зависимости К2 от Si каждой точке
щели соответствует и свое значение cosy3- Поэтому светящаяся
щель, расположенная в плоскости Е, изобразится в плоскости Е2' в
виде искривленной линии.
21.12. Оптический клин
Оптическим клином называют преломляющую призму с малым
преломляющим углом, не превышающим 6-7°. Выведем формулу для
вычисления угла отклонения 5 луча клином от первоначального
направления.
422
= nco??li_ _
V COS? /
Из формул B1.20) и B1.21) имеем
е2 = si' + 0, е2' = Si + 0 + 6.
Подставив эти выражения в формулу B1.23), найдем
При малом угле 0 угол 5 тоже будет мал. Поэтому функцию синусов
последнего равенства можно разложить в ряд Маклорена,
ограничившись в разложении только двумя первыми членами:
sin Ex + @ + 6) cos e1 = n sin e± + n 0 cos e±.
Упрощая это равенство с помощью формулы B1.22) при конечных
значениях Si и Si', для угла 5 найдем
B1.33)
Если предположить, что падающий луч образует малый угол падения
Si, то cos Ex и cos Ex' можно принять равными единице, а формула
B1.33) тогда примет вид
5 = (п-1H. B1.34)
На рис. 21.43 показано отклонение 5 луча клином от своего
первоначального направления при конечных и малых значениях угла
падения Si на первую рабочую грань.
-е,=о
Рис. 21.43. Отклонение луча оптическим клином
На рис. 21.44 показан некоторый объектив О и установленный за
ним в сходящемся пучке лучей клин К с преломляющим углом 0,
изготовленный из стекла с показателем преломления п.
Плоскости Е и Е' оптически сопряжены. Расстояние от
плоскости Е' до клина в положении I обозначено через pi. Из
произвольной точки В плоскости Е через передний фокус F
объектива проведен луч, который после объектива идет параллельно
оптической оси на высоте h, а затем, отклонившись клином на угол
5 = (п - 1H, встречает плоскость Е' в некоторой точке В'|, являющейся
изображением точки В.
423
Е1
Рис. 21.44. Клин, перемещающийся
вдоль оптической оси
Из рисунка видно, что
', = Ь-Р1(п- 1)9.
При вращении клина вокруг оптической оси точка B'j будет
описывать в плоскости изображения окружность с радиусом A' B'j.
Если же клин переместить из положения I в положение II на
некоторое расстояние х, когда расстояние от клина до плоскости Е'
станет равным р2, то точка B'j займет положение В'п, при котором
A'BI11 = h-p2(n- 1)9.
Вычитая из последнего равенства предыдущее, получим
у= А' В'„ - А' В', = (Pl - р2) (п - 1) в = х (п - 1) 9.
Это равенство выражает связь между перемещением изображения
точки В в плоскости Е' в главном сечении клина с его перемещением
вдоль оптической оси.
Если при бесконечно удаленном предмете клин расположен
перед объективом с фокусным расстоянием f, то он вызывает
смещение изображения в фокальной плоскости объектива на
величину
y = f (n- 1)9.
Рошон в 1776 г. и Гершель предложили систему из двух
одинаковых вращающихся в разные стороны клиньев, дающую
переменный угол отклонения луча от первоначального направления.
На рис. 21.45 показаны три положения таких клиньев, когда их
главные сечения совпадают с плоскостью рисунка.
424
1 2 3
Рис. 21.45. Система из двух вращающихся
клиньев
При этом в положении 1 преломляющие ребра клиньев
находятся над оптической осью, в положении 2 - на
противоположных сторонах от оси, а в положении 3 - под осью.
Очевидно, в положении 2 клинья образуют наклонную к оси
плоскопараллельную пластинку. Примем это положение за
начальное, а плоскость главного сечения хоу - за соответствующую
плоскость прямоугольной системы координат (рис. 21.46).
Пусть, кроме того, система клиньев будет установлена перед
объективом с фокусным расстоянием f. После поворота клиньев на
угол ф в противоположные стороны их главные сечения занимают
положение ОКХ и ОК2, при этом отрезки ОКХ = ОК2 = f (n - 1) 0
равны смещению изображения точки предмета на оптической оси
объектива, вызываемые каждым клином в отдельности.
У
Рис. 21.46. Работа двухклинового компенсатора
Координаты изображения этой точки при одновременном действии
клиньев определяются как
425
х = xi - x2 = f (n - 1H sin (p - f (n - 1H sin cp = 0,
У = У1+У2=Р (n - 1) 0 cos cp + f (n - 1) 0 cos cp = 2f (n - 1 Hcos <p.
Следовательно, при равномерном вращении обоих клиньев вокруг
оптической оси изображение точки по отношению к выбранным осям
координат совершает гармонические колебательные движения в
плоскости, делящей угол 2 ср между главными сечениями пополам.
Так как — = 5, то из последнего выражения для угла отклонения луча
от первоначального направления имеем:
8 = 2 (п- 1H cos ср. B1.35)
Если углы клиньев между собой не равны, то изображение точки
предмета при тех же условиях будет описывать эллипс, малая ось
которого тем меньше, чем меньше разница углов.
Формула B1.35) пригодна только для клинов с малыми
преломляющими углами. Если эти углы измеряются градусами, то
отклоненный луч не остается в одной начальной плоскости, а
испытывает боковое смещение, различное при различных углах
поворота клина. Зависимость между углом поворота (р и отклонением
проекций луча в двух взаимно перпендикулярных плоскостях
описывается более сложными формулами.
Одиночный подвижный клин и система из двух вращающихся
клиньев применяются для юстировки оптических систем, при
измерении малых угловых и линейных смещений изображения или
их компенсации. Поэтому такие призменные системы часто называют
компенсаторами. Компенсаторами могут служить качающиеся
плоскопараллельные пластинки, зеркала, призмы и линзы.
I
Рис. 21.47. Линзовый клин с
переменным преломляющим углом
426
На рис. 21.47 для примера показан клин с переменным
преломляющим углом, содержащий плосковогнутую и вогнуто-
плоскую линзы с одинаковой кривизной сферических поверхностей.
В исходном положении эти две линзы образуют плоскопараллельную
пластинку, а при взаимном повороте линз вокруг общего центра С
образуется клин, рабочими гранями которого являются плоские
поверхности линз.
21.13. Клиновидность плоскопараллельной пластинки.
Ахроматический клин
Если через клин проходит не монохроматический свет, то он
разлагается на спектр, т.е. клин в этом случае создает хроматизм.
Дифференцируя выражение B1.34) по п, получим
d6 = dn 9.
Но dn= , где v коэффициент дисперсии. Поэтому хроматизм в
угловой мере, которым обладает клин с преломляющим углом 0,
определяется как
d6 = ^9. B1.36)
На практике часто возникает необходимость оценить
допустимую клиновидность плоскопараллельной пластинки,
установленной перед телескопической системой (например, перед
зрительной трубой, перископом и т.д.). Угловой хроматизм за
окуляром оптической системы в этом случае можно принять равным
одной минуте F0"), что соответствует допустимой величине углового
хроматизма d6 = —, вносимого клином (Гт - видимое увеличение
телескопической системы). Следовательно,
п-1 д_60"
Отсюда допустимая величина клиновидности плоскопараллельной
пластинки
Например, при Гт = 20, v = 60 и п = 1,5 клиновидность пластинки не
должна быть больше 6 угловых минут.
При большом преломляющем угле 0 возникающий хроматизм
427
устраняют путем применения двух рядом установленных клиньев,
один из которых выполнен из крона, а другой - из флинта.
Рис. 21.48. Ахроматический клин
Главные сечения клиньев совпадают, а их преломляющие ребра
расположены по разные стороны от оптической оси. Если такая
система из двух клиньев не имеет хроматизма, то ее называют
ахроматическим клином. Пусть первый клин показанного на рис.
21.48 ахроматического клина имеет преломляющий угол 0! и
выполнен из флинта с показателем преломления nl5 а второй -
преломляющий угол 02 и выполнен из крона с показателем
преломления n2 (ni > п2), причем Qx < @2- По формуле B1.34) при
малых углах падения лучей на преломляющие грани имеем
81 = (n!- 1) О А
У } \ B1.38)
82 = (п2- 1) 02J
где 5i и 52 - углы отклонения луча от первоначального направления
первым и вторым клином соответственно. После прохождения обоих
клиньев луч отклонится, очевидно, на угол
8 = 82-8i>0. B1.39)
Предположим, что ахроматизация системы выполняется для лучей
спектральных линий F1 и С. Тогда для лучей этих линий после
первого клина имеем:
Sif1 = (niF1-1) 0i,
5lC = (me-lHi.
Отсюда получаем
6ip-8ic = (n,p-n,c)ei. B1.40)
Аналогично для второго клина
52Р - 52С- = (п2Р - п2С) Э2.
По условию ахроматизации лучи для линий F' и С должны войти из
428
клина параллельно друг другу, что возможно только при
(n1F-n,c) в! = (n2F - п2С) в2 . B1.41)
Разделив первое уравнение B1.38) на второе, найдем
Si _ Oi - 1) вх
s2 (n2 - i)e2 '
Отсюда с помощью уравнения B1.41) имеем
82 n1F,-nlC, n2-l v2' K^^L)
где Vi и v2 - коэффициенты дисперсии стекла первого и второго
клина соответственно. Так как vx < v2, то 52 > Si. Поэтому в формуле
B1.39) б > 0, т.е. система из двух клиньев отклоняет луч в ту же
сторону, что и второй клин, выполненный из крона и имеющий
больший преломляющий угол. Из уравнений B1.39) и B1.42) находим:
5-^5 B1-43)
Формулы B1.43) и B1.44) позволяют вычислять углы 5i и 52 при
заданном значении угла 5, а затем с помощью формулы B1.34) и
преломляющие углы 0! и 02 клиньев ахроматизованной системы.
Выведем теперь условие для апохроматизации, т.е. условие,
когда лучи трех спектральных линий, например F', С и g, после
выхода из клина будут параллельны между собой.
По формуле B1.34) для первого и второго клина соответственно
можно написать:
8lg = (nlg-l)elf B1.45)
S2g = (n2g-I)e2. B1.46)
Из уравнения B1.34) имеем
Подставив сюда значения Si и б2 из уравнений B1.43) и B1.44),
получим:
1 (v2-v1)(n1-l) (n1F,-nlC,)(v2-Vl) VIA I)
r\ ^2 8 S
2 ~ (v2-v1) (n2- 1) " (n2F,- n2C,) (v2-v1) B1.48)
Подставив далее эти значения углов 0i и 02 в формулы B1.45) и
B1.46), найдем:
429
g Kg-1M g (n2g-lM
U KF'-niC')(V2-Vl)' 2Д {п2рГ-П2сГ)(У2-У1)'
По формуле B1.39) отклонение луча спектральной линии g от
первоначального направления при выходе из системы
- 02 в (
ё v2-v1xn
()
v2-v1xnlF,-nlC, n2F,-n2C,'
Аналогично для луча спектральной линии F' можно написать
Op' — О] р' — 02 F' ( ) •
V2-Vx П1/7^-П1С^ n2F!~U2C'
Угол между лучами линий g и F':
б . бр = -J_ (^il^L _ ^il^L) B1.49)
g v2-Vl vn1F,-nlC, n2F,-n2C/
В скобках правой части выражения B1.49) стоит разность
относительных частных дисперсии стекол. Если эти относительные
дисперсии равны, то лучи всех трех спектральных линий (F', С и g)
выйдут из системы параллельными между собой.
Таким образом, чтобы система из двух клиньев была
апохроматической, необходимо, чтобы преломляющие углы клиньев
были бы вычислены по формулам B1.47) и B1.48) при условии, что
стекла клиньев имеют равные относительные частные дисперсии.
430
ГЛАВА 22. ГЛАЗ И ЗРЕНИЕ ЧЕЛОВЕКА
22.1. Устройство глаза человека
При разработке оптических систем визуальных приборов
(зрительных труб, биноклей, микроскопов, луп, специальных
приборов) необходимо учитывать особенности устройства и
оптические характеристики глаза человека. На рис. 22.1 показан
горизонтальный разрез правого глаза. Глаз состоит из глазного
яблока, соединенного зрительным нервом 1 с головным мозгом, и
вспомогательного аппарата (веки, слезные органы и двигающие
глазное яблоко мышцы).
3
10
13
Рис. 22.1. Горизонтальный разрез
правого глаза человека
По форме глазное яблоко имеет не совсем правильную
шаровидную форму: передне-задний размер у взрослого человека в
среднем составляет 24,3 мм, вертикальный - 23,4 мм,
горизонтальный - 23,6 мм. Стенки глаза состоят из трех оболочек -
наружной 4, средней 8 и внутренней 9. Они окружают содержимое
глазного яблока: водянистое вещество, хрусталик 2 и
стекловидное тело 3. Наружная оболочка глаза 4, называемая
склерой (от греч. skleras - твердый), непрозрачна, в своем
переднем отделе соединяется с прозрачной роговицей 5.
Толщина склеры в среднем около 1 мм. В области заднего полюса
склера превращается в решетчатую пластину, через которую
проходят волокна, образующие зрительный нерв глаза 1.
Роговица имеет переднюю выпуклую и заднюю вогнутую
поверхности. Толщина ее в центре около 0,5 мм, а на периферии - до
431
1 мм. По оптическим свойствам роговица - наиболее сильная
преломляющая среда глаза. Она является как бы окном, через которое
в глаз проходят лучи света. В роговице нет кровеносных сосудов. Её
питание осуществляется за счет диффузии из сосудистой сети,
расположенной на границе между роговицей и склерой. Благодаря
многочисленным нервным окончаниям, расположенным в
поверхностных слоях роговицы, она является самой чувствительной
частью тела. Даже легкое прикосновение вызывает мгновенное
рефлекторное смыкание век, что предупреждает попадание на роговицу
инородных тел и ограждает ее от холодных и тепловых воздействий.
Непосредственно за роговицей находится передняя
камера 6, заполненная прозрачной жидкостью, так называемой
камерной влагой, которая по химическому составу близка к
спинномозговой жидкости. Задней стенкой этой камеры является
радужная оболочка (радужка) 7, в центре которой
располагается зрачок - круглое отверстие диаметром около 3,5 мм.
Радужка содержит пигмент, в зависимости от количества которого и
толщины цвет глаза может быть голубым, серым, карим, черным
и т.д. В радужке находятся две мышцы, которые расширяют и
сужают зрачок. На свету зрачок сужается до 1,1 мм, защищая глаз от
сильного светового раздражения. В темноте он расширяется до 8 мм,
улавливая очень слабые по яркости световые лучи. Зрачок может
расширяться также при эмоциональных возбуждениях, болевых
ощущениях, введении в организм атропина и адреналина.
Радужка переходит в цилиарное тело (от новолат. cilia -
ресницы), состоящее из складчатой передней части (корона
цилиарного тела) и плоской задней части и вырабатывающее
внутриглазную жидкость. В складчатой части находятся отростки, к
которым прикреплены тонкие связки, идущие затем к хрусталику и
образующие его подвешивающий аппарат.
Плоская часть цилиарного тела переходит в сосудистую
оболочку 8 толщиной около 0,3 мм и почти по всей поверхности
прилегающую к склере. В ней находится около 80% крови глаза.
Радужка, цилиндрическое тело и сосудистая оболочка вместе
составляют среднюю оболочку глаза, называемую сосудистым
трактом.
Третья внутренняя оболочка 9, называемая сетчаткой
(иногда ретиной), выполняет функцию аппарата,
воспринимающего изображение наблюдаемых объектов. Он состоит из
432
10 слоев. Толщина сетчатки в области заднего полюса глаза равна
0,2 - 0,22 мм, уменьшаясь к переднему полюсу до 0,004 мм. Свет,
поступающий внутрь сетчатки из стекловидного тела, проходит
первые 8 слоев, не поглощаясь и не вызывая раздражения, т.к. эти
слои не обладают чувствительностью к свету. Девятый слой состоит
из клеток, по форме напоминающих палочки и колбочки.
В сетчатке насчитывается до 7 млн колбочковых и 75-150 млн
палочковых клеток. Эти клетки содержат особое вещество тёмно-
розового или пурпурного цвета, которое называют зрительным
пигментом или радопсином. Под действием света радопсин
разлагается (выцветает, приобретая сначала желтоватый цвет, а затем
делается бесцветным). Разложение радопсина представляет собой
фотохимическую реакцию, в результате которой в нервных волокнах
возникает резкость потенциалов. В форме отдельных электрических
импульсов раздражение передается в затылочную часть мозга, где
формируется зрительный образ. Палочки и колбочки распределены
на сетчатке неравномерно. Там, где зрительный нерв входит во
внутреннюю полость глаза, нет ни палочек, ни колбочек. Это место
сетчатки 10 диаметром около 1,5 мм нечувствительно к свету и
поэтому называется слепым пятном.
На расстоянии около 4 мм от центра слепого пятна в сторону
виска располагается центр участка овальной формы, окрашенного в
желтый цвет и называемого поэтому желтым пятном
(macula - пятно). Размер желтого пятна составляет от 1,4 до 2 мм (что
в угловой мере соответствует 5-7°). В желтом пятне, помимо
колбочек, встречаются и палочки, однако число колбочек здесь
значительно превышает число палочек. Центральная часть желтого
пятна 11 диаметром около 0,4 мм (что соответствует углу 1,2°)
несколько углублена. Эту часть желтого пятна называют
центральной ямкой (fovea centralis). Здесь находятся только
колбочки, число которых достигает 4-5 тыс. Желтое пятно и в
особенности центральная ямка являются областью наиболее ясного
видения, что объясняется тем, что здесь каждой колбочке
соответствует специальное, ведущее к ней волокно зрительного
нерва, в то время как в периферической части сетчатки одно
зрительное волокно соединяется с целым рядом палочек или
колбочек. Палочки и колбочки различаются по своим функциям.
Палочки более чувствительны к свету, но не различают цвета, в то
время как колбочки чувствительны к цвету, но менее чувствительны
433
к свету. Цветные объекты при слабом освещении (например, луной),
когда весь зрительный процесс осуществляется палочками,
отличаются только яркостью, цвет же в этих условиях не ощущается.
В последнем 10-м слое сетчатки, примыкающем к сосудистой
оболочке, находится в виде крупных зерен черный пигмент,
играющий большую роль в приспособлении глаза к работе при
различных уровнях освещенности.
Хрусталик расположен непосредственно за радужной
оболочкой. Между его передней поверхностью и задней
поверхностью радужной оболочки имеется щелевидное пространство
12, называемое задней камерой. Эта камера, как и передняя,
заполнена камерной влагой. По форме хрусталик представляет собой
двояковыпуклую линзу, заключенную в прозрачную капсулу.
Прозрачное вещество в виде наслаивающихся друг на друга волокон,
из которого состоит хрусталик, не однородно. Ядро хрусталика
оптически более плотно, нежели его наружная часть. С помощью
мышцы, находящейся в цилиарном теле, кривизна поверхностей
хрусталика может изменяться, благодаря чему изображения
предметов, находящихся на различных расстояниях, оказываются
точно на светочувствительном слое сетчатки. Это свойство глаза
называется аккомодацией.
Стекловидное тело представляет собой студенистую массу,
заполняющую большую полость глаза. Спереди оно примыкает к
хрусталику, сбоку и сзади - к сетчатой оболочке.
Линия 13, проходящая через заднюю узловую точку глаза и
центральную ямку, называется осью глаза или зрительной
осью. Когда наблюдатель хочет ясно видеть объект, он направляет
глаз таким образом, чтобы линия прямого зрения проходила через
этот объект. При этом все точки пространства, изображения которых
не попадают на желтое пятно, глаз рассматривает «боковым
зрением». Глаз очень подвижен. Он никогда не остается в покое,
непрерывно обегая все рассматриваемое пространство за счет своего
вращения вокруг точки, которая находится на расстоянии 13,5 мм от
вершины роговицы и на расстоянии 1,6 мм от линии прямого зрения
в сторону виска.
22.2. Оптическая система глаза человека
Оптическую систему глаза человека образует роговица,
камерная влага, хрусталик и стекловидное тело. Роговица
434
представляет собой выпукло-вогнутую линзу толщиной 0,5 мм и с
показателем преломления 1,376. Камерная влага с показателем
преломления 1,336 образует выпукло-вогнутую линзу толщиной
3,1 мм. Хрусталик по форме представляет собой компонент из трех
«склеенных» линз: первая линза - выпукло-вогнутая толщиной
0,546 мм и с показателем преломления 1,386 мм; вторая -
двояковыпуклая линза (ядро) толщиной 2,359 мм и с показателем
преломления 1,406 мм; третья - вогнуто-выпуклая линза толщиной
0,695 мм и с показателем преломления 1,386 мм. Стекловидное тело с
показателем преломления 1,336 мм является последней средой
оптической системы, в которой на вогнутой поверхности сетчатой
оболочки с радиусом 10,5 мм формируется изображение
наблюдаемого объекта. Таким образом, глаз имеет несколько
преломляющих поверхностей, причем форма каждой из них
отличается от сферической, а центры их кривизны не лежат на одной
прямой, т.е. оптическая система глаза не является центрированной.
Однако для практических расчетов используют некоторое
приближенное описание оптической системы глаза, при которой все
преломляющие поверхности приняты за сферические и некоторая
линия выбрана так, что центры этих поверхностей лежат к ней
достаточно близко. Эту линию и принимают за оптическую ось.
На основании измерений параметров многих реальных глаз и
вычислений средних величин можно составить представление о
некотором «среднем» глазе. Упрощенная модель оптической системы
глаза, представляющая собой центрированную оптическую систему и
соответствующая средним найденным опытным путем величинам,
называется схематическим глазом. В таблице 22.1
приведены параметры схематического глаза по Гульстранду.
Вследствие того, что аккомодация изменяет целый ряд параметров
глаза, в таблице 22.1 приведены величины при покое аккомодации и
при наибольшей аккомодации, при этом линейные величины
выражены в миллиметрах, а оптическая сила - в диоптриях.
На рис. 22.2 показана оптическая система глаза при покое
аккомодации, составленная на основании данных, приведенных в
таблице 22.1.
435
Таблица 22.1
Наименование величин
При покое
аккомодации
При
наибольшей
аккомодации
Показатели преломления
Роговица
Водянистая влага и стекловидное тело..
Хрусталик (наружные слои)
Ядро хрусталика
1,376
1,336
1,386
1,406
1,376
1,336
1,386
1,406
Расстояние от вершины роговицы
Задняя поверхность роговицы
Передняя поверхность хрусталика
Передняя поверхность ядра хрусталика
Задняя поверхность ядра хрусталика...
Задняя поверхность хрусталика
Передняя главная точка глаза
Задняя главная точка глаза
Передняя узловая точка глаза
Задняя узловая точка глаза
Передний фокус глаза
Задний фокус глаза
Центральная ямка сетчатки
Входной зрачок
Выходной зрачок
Положение ближней точки глаза
0,50
3,60
4,146
6,505
7,20
1,348
1,602
7,078
7,332
-15,707
24,387
24,00
3,047
3,667
0,50
3,20
3,874
6,528
7,20
1,772
2,086
6,533
6,847
-12,397
21,016
24,00
2,668
3,212
-102,3
Радиусы кривизны
Передняя поверхность роговицы
Задняя поверхность роговицы
Передняя поверхность хрусталика
Передняя поверхность ядра хрусталика
Задняя поверхность ядра хрусталика...
Задняя поверхность хрусталика
7,70
6,80
10,00
7,911
-5,76
-6,000
7,70
6,80
5,33
2,655
-2,655
-5,330
Оптические характеристики глаза
Оптическая сила
Переднее фокусное расстояние
Заднее фокусное расстояние
Линейное увеличение в зрачках
58,64
-17,055
22,785
0,909
70,57
-14,169
18,930
0,941
436
Рис. 22.2. Оптическая схема глаза человека
Ниже приводятся конструктивные параметры этой системы в
общепринятом при расчетах оптических систем виде.
г2= 6,8
г3=10
г4= 7,911
г5= -5,76
гв=-6
d2=3,l
n2 = 1,376
п3 = 1,336
3= 0,546 п4= 1,386
d4= 2,359
= 1,406
ds = 0,695 пб= 1,386
Sd=7,l n7= 1,336
/ = -17,06; /'= 22,78; SF = -15,71;
5^/ = 17,18;
SP = 3,05.
При конструировании оптических приборов для визуальных
наблюдений чаще всего полагают, что диаметр входного зрачка глаза
D= 4-5 мм, т.к. при D>5 мм хроматическая и сферическая аберрации,
которыми обладает глаз, ухудшают разрешающую способность глаза.
Важнейшей характеристикой оптической системы глаза
является угловое поле, границы которого определяются следующими
величинами:
по горизонтали к виску - 90-100°; к носу - 50-60°;
по вертикали вверх - 50-60°; вниз - 60-75°.
Величина поля зависит от аметропии глаза (подробнее об
аметропии см. п. 22.6).
437
Например, при высокой близорукости поле уменьшается. На
величину поля влияют также анатомическое строение лица; величина
зрачка (увеличенный зрачок способствует увеличению поля);
яркость, контраст, размеры и цвет испытательного теста; зрительное
утомление (при утомлении поле уменьшается); возраст
(максимальное поле характерно для людей в возрасте 20-24 лет, затем
с возрастом поле уменьшается). Судить о величине поля по
наружным границам нельзя, т.к. внутри поля могут быть участки с
пониженной или вовсе отсутствующей световой чувствительностью,
что может отрицательно сказаться на результатах зрительной работы.
22.3. Спектральная чувствительность глаза
Все приемники излучения по чувствительности к спектральному
составу воспринимаемого излучения разделяются на селективные и
неселективные. Селективные приемники чувствительны к
спектральному составу падающего на них потока, а неселективные
такой чувствительностью не обладают.
Глаз человека относится к числу селективных приемников, т.к.
он по-разному чувствителен к излучению с различными длинами
волн. Чувствительность глаза человека к спектральному составу
излучения можно характеризовать функцией спектральной
чувствительности глаза, определяемой как
где йфу{Х) - воспринимаемый глазом элементарный световой поток,
содержащийся во всем входящем в глаз элементарном потоке
излучения d<pVe(A) для одной и той же длины волны Я.
В условиях дневного освещения глаз наиболее чувствителен к
желто-зеленому излучению с длиной волны Я = 555 нм, а равные им
по мощности фиолетовые и красные излучения будут казаться
относительно более темными.
Опытным путем установлено, что излучению мощностью в
1 ватт при Я = 555 нм соответствует световой поток 683 люмена.
Поэтому в соответствии с формулой B2.1) /ся=/с555=683 лм/Вт. Это
значение функции спектральной чувствительности называется
максимальной световой эффективностью
излучения в случае, когда приемником является глаз. При
убывании или возрастании длины волны по сравнению с Я = 555 нм
438
1 ватту излучения будет соответствовать меньший световой поток в
люменах и, следовательно, меньшее значение /ся.
Введем далее понятие функции относительной
спектральной чувствительности глаза,
определяемой как
V(X) = -^-. B2.2)
Очевидно, численные значения V(X) равны отношениям мощности
феE55) потока излучения с постоянной длиной волны 555 нм к такой
мощности фе(Х) потока излучения с переменной длиной волны Я, при
которой эти излучения оказывают на средний глаз одинаковые
световые воздействия и меняются в пределах от 0 до 1.
Начиная с середины XIX в. определению численных значений
V(X) для различных длин волн было посвящено много работ. Было
установлено, что эти значения для глаз разных людей заметно
различаются между собой.
Однако можно построить некоторую среднюю кривую,
характеризующую нормальный (средний) глаз человека по
восприятию спектрального состава светового потока.
Кроме того, численные значения V(X) для одной и той же длины
волны могут оказаться разными в зависимости от того, в условиях
дневного или ночного освещения работает глаз.
В таблице 22.2 приведены численные значения относительной
спектральной чувствительности V(X) среднего глаза в условиях
дневной освещенности и чувствительности V (X) в условиях ночной
освещенности для различных длин волн. На рис. 22.3 показаны
графики функций V(X) и V (X).
i,o р
0,8
0,6
0,4
0,2
400 500 600 700
Рис. 22.3. Относительная спектральная
чувствительность глаза
Максимум кривой V(X), соответствующей работе глаза в условиях
дневной освещенности (колбочковое зрение), условно принят за
V'(X), /
V(X) /
/
/
/ ,
/У
/\ \
/ \v'W
; \
\
\
Л,
439
единицу и приходится на длину волны 555 нм; при длинах волн 510 и
610 нм чувствительность уменьшается в два раза. Кривая V'(X)
характеризует работу глаза при очень малом количестве света
(палочковое зрение), которого не хватает даже для частичного
возбуждения колбочек. Максимум этот кривой, также принятый за
единицу, приходится на длину волны 507 нм, а уменьшение
чувствительности глаза в два раза имеет место при длинах волн 455 и
550 нм. Кривая V(А) сдвинута относительно кривой V(\) в сторону
коротких длин волн приблизительно на 50 нм.
Таблица 22.2
Длина
волны
Я, нм
380
385
390
395
400
405
410
415
420
425
430
435
440
445
450
455
460
465
470
475
480
485
490
495
500
505
510
V(A)
0 0000
0 0001
0 0001
0 0002
0 0004
0 0006
00012
0 0022
0 0040
0 0073
00116
00168
0 0230
0 0298
0 0380
0 0480
0 0600
0 0739
00910
0 1126
0 1390
0 1693
0 2080
0 2586
0 3230
0 4073
0 5030
V'(X)
0 0006
0 0011
0 0022
0 0045
0 0093
00185
0 0348
0 0604
0 0966
0 1436
0 1998
0 2625
03281
0 3931
0 4550
0 5129
0 5672
0 6204
0 6756
0 7337
0 7833
08510
0 9043
0 9491
09818
0 9984
0 9966
Длина
волны
Я, нм
515
520
525
530
535
540
545
550
555
560
565
570
575
580
585
590
595
600
605
610
615
620
625
630
635
640
V(A)
0 6082
0 7100
0 7932
0 8620
09149
0 9540
0 9803
0 9950
1 0000
0 9950
0 9786
0 9520
0 9154
0 8700
08163
0 7570
0 6949
0 6310
0 5668
0 5030
0 4412
03810
03210
0 2650
0 2170
0 1750
v'a)
0 9750
0 9352
0 8796
08110
0 7332
0 6497
0 5638
0 4808
04015
0 3288
0 2639
0 2076
0 1602
0 1212
0 0899
0 0655
0 0469
0 0332
0 0231
00159
00109
0 0074
0 0050
ОООЗЗ
0 0022
00015
Длина
волны
Я, нм
645
650
655
660
665
670
675
680
685
690
695
700
705
710
715
720
725
730
735
740
745
750
755
760
765
770
V(A)
0 1382
0 1070
00816
00610
0 0446
0 0320
0 0232
00170
00119
0 0082
0 0057
0 0041
0 0029
0 0021
00015
0 0011
0 0007
0 0005
0 0004
0 0003
0 0002
0 0001
0 0001
0 0001
0 0000
0 0000
v'a)
0 0010
0 0007
0 0005
0 0003
0 0002
0 0001
0 0001
0 0001
0 0001
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
0 0000
440
Максимумы кривых V(X) и V'(Л) оказались одинаковыми только
условно. На самом деле палочковый аппарат глаза значительно
чувствительнее колбочкового, и для восприятия предельно малого
светового сигнала (например, едва видимой точки на темном фоне)
палочкам необходима примерно в пятьсот раз меньшая мощность,
чем колбочкам.
Изменение спектральной чувствительности глаза при переходе
от дневных условий освещения к ночным влечет за собой ряд
специфических явлений, к числу которых относится и эффект
Пуркине, открытый в 1819г. чешским биологом Яном Пуркине
A787-1869).
Это явление состоит в том, что красная и синяя поверхности,
которые днем нами воспринимаются примерно одинаково светлыми,
ночью делаются совершенно разными: синий предмет кажется ночью
гораздо светлее красного, который представляется совершенно
черным.
22.4. Коэффициент пропускания оптической системы глаза
Не все среды глаза, расположенные на пути света, вполне
прозрачны. С 30-летнего возраста хрусталик, например, становится
менее прозрачным, приобретая желтоватую окраску. В таблице 22.3
приведены средние суммарные численные значения коэффициентов
пропускания для различных длин волн тех сред, которые
расположены перед сетчаткой глаза.
Таблица 22.3
Длина волны
(мкм)
400
420
440
460
480
500
520
540
Пропускание
(%)
9
16
32
43
46
50
53
56
Длина волны
(мкм)
560
580
600
620
640
660
680
700
720
Пропускание
(%)
57
59
61
63
65
66
69
70
71
441
Из таблицы видно, что в спектральном интервале Я = 540 - 560 нм
коэффициент пропускания оптической системы глаза составляет 56 -
22.5. Аккомодация глаза
Аккомодацией (от лат. accomodatio - приспособление), как уже
указывалось в п. 22.1, называется способность глаза изменять свою
оптическую силу, а также сам процесс этого изменения. Благодаря
этому при неизменной длине глаза изображения находящихся на
различных расстояниях от глаза предметов приводятся на
поверхность сетчатой оболочки. Из таблицы 22.1 видно, что
изменение оптической силы глаза происходит за счет изменения
кривизны поверхностей хрусталика. Сокращение аккомодационной
мышцы, находящейся в цилиарном теле, ведет к увеличению
кривизны поверхностей хрусталика и оптической силы глаза, а
ослабление этой мышцы, наоборот, ведет к уменьшению кривизны
поверхностей, т.е. к уменьшению оптической силы. В первом случае
на поверхности сетчатой оболочки изображаются более близкие
предметы, а в другом - более далекие. (Интересно, что у рыб глаз
установлен на видение близких предметов, а видение далеких
предметов достигается перемещением шарообразного хрусталика
назад. У земноводных и пресмыкающихся глаз в покое установлен на
видение далеких предметов, а видение близких предметов
обеспечивается выдвижением хрусталика вперед. У птиц и
млекопитающих аккомодация происходит также, как у человека, - за
счет изменения кривизны хрусталика.)
Изменение кривизны поверхностей хрусталика глаза может
происходить в определенных границах, которые определяют пределы
расстояний, на которых он может ясно видеть предметы. Эти
предметы определяют область, называемую областью
аккомодации. Наиболее удаленную точку, которую глаз может
видеть ясно при покое аккомодации, называют дальней точкой
ясного видения. Точку, которую глаз может видеть при
максимальной аккомодации, называют ближней точкой
ясного видения. Следует отличать понятие ближней точки
ясного видения от понятия расстояния наилучшего зрения, которое
для нормального глаза считается равным 250 мм. Это расстояние
является привычном при чтении и при выполнении многих других
442
видов работ; оно примерно в два раза больше расстояния до
ближайшей точки.
Величина, обратная расстоянию от передней главной точки
глаза, выраженному в метрах, до дальней точки ясного видения,
определяет рефракцию глаза в диоптриях. Если это расстояние
измерено не от передней главной точки, а от вершины роговой
оболочки, то тогда рефракцию называют вершинной. Так как
отношение показателя преломления к отрезку, определяющему
положение центра гомоцентрического пучка, называется
сходимостью, то определяемая таким образом рефракция
является сходимостью лучей из дальней точки и выражается в
диоптриях.
Обозначим через риг расстояния от передней главной точки
глаза соответственно до ближней и дальней точек ясного видения,
выраженные в метрах. Тогда, очевидно, величины
определяют соответственно сходимости для этих точек в диоптриях.
По принятым в геометрической оптике правилам знаков р < 0, г < 0.
Разность обеих сходимостей называют шириной (объемом)
аккомодации.
A=P-R. B2.3)
В течение жизни ширина аккомодации глаза человека не
остается постоянной. С возрастом абсолютная ее величина
уменьшается, т.к. ближняя точка удаляется от глаза. В таблице 22.4
показана зависимость от возраста изменения ширины аккомодации и
расстояния до обеих точек.
Таблица 22.4
Возраст
(в годах)
10
15
20
25
30
35
40
45
р(ш)
-7,1
-8,3
-10,0
-11,8
-14,3
-18,2
-22,2
-28,6
Р (дптр)
-14
-12
-10
-8,5
-7,0
-5,5
-4,5
-3,5
г(см)
оо
оо
оо
оо
00
00
00
00
Д(дптр)
0
0
0
0
0
0
0
0
-Л(дптр)
14
12
10
8,5
7,0
5,5
4,5
3,5
443
50
55
60
65
70
75
80
-40,0
-66,6
-200
+400
+100
+57
+40
-2,5
-1,5
-0,5
+0,25
+1,00
+1,75
+2,5
00
400
200
133
80
57
40
0
0,25
0,5
0,75
1,25
1,75
2,5
2,5
1,75
1,0
0,5
0,25
0,0
0,0
Из таблицы видно, что в детстве ближняя точка расположена впереди
глаза, а дальняя - в бесконечности. В возрасте около 40-45 лет
ближняя точка удаляется на расстояние наилучшего зрения - 250 мм.
В возрасте от 55 лет и выше дальняя точка располагается за глазом
D00 мм в возрасте 55 лет), поэтому бесконечно удаленные предметы
глаз видит только при напряжении аккомодационной мышцы.
В возрасте 65 лет ближняя точка тоже лежит сзади глаза, а ширина
аккомодации равна 0,5 диоптрий, т.е. глаз не может видеть
бесконечно удаленные объекты. Около 70 лет глаз утрачивает
способность аккомодации.
Состояние глаза после 45 лет, когда ближняя точка расположена
значительно дальше расстояния наилучшего зрения, называется
старческой дальнозоркостью или пресбиопией.
Аккомодационные возможности глаза человека при прочих
равных условиях в большой степени различны также для разных
индивидуумов.
22.6. Аметропический глаз
Если дальняя точка ясного видения глаза находится в
бесконечности, то такой глаз считается нормальным и называется
эмметропическим (от греч. «эм» - в и «метрон» - мера).
Глаз, не удовлетворяющий названному условию, называется
аметропическим (от греч. «а» - отрицание и «метрон» -
мера). Задний фокус F' нормального глаза лежит на сетчатке (рис.
22.4а). Если задний фокус F'pacпoлoжeн перед сетчаткой, то глаз
называется близоруким или миопическим (возможно, от
греч. «мюо» - щурюсь или от «мюс» - мышь смотрит вблизь и
«one» - зрение). Дальняя точка S близорукого глаза расположена
перед глазом (рис. 22.46).
444
Рис. 22.4: а - нормальный глаз,
б - близорукий глаз,
в - дальнозоркий глаз
Миопия возникает из-за чрезмерно большой длины глазного
яблока вдоль оси или из-за большой преломляющей силы оптической
системы глаза, или из-за того и другого вместе.
Глаз называется дальнозорким или
гиперметропическим (от греч. «гипер» - чрезмерно, издали
и «опус» - зрение), если его задний фокус F^eacnT за сетчаткой.
Дальняя точка ясного видения S у такого глаза также расположена за
сетчаткой (рис. 2АЛе). Гипертропия возникает из-за слишком малой
длины глазного яблока вдоль оси или из-за слабой преломляющей
силы глаза, или из-за того и другого вместе.
При покое аккомодации пучок параллельных лучей, исходящих
из бесконечно удаленной точки, создает на сетчатке аметропического
глаза кружок рассеяния лучей. Поэтому аметропический глаз видит в
этом случае удаленные предметы не резкими, расплывчатыми.
Расстояние до дальней точки ясного видения определяет
рефракцию глаза. За меру рефракции принимают величину, обратную
расстоянию до дальней точки, выраженному в метрах. При этом
естественно отсчитывать это расстояние от передней главной точки.
Если же это расстояние измеряют от вершины роговицы, то
рефракцию глаза называют вершинной.
Для коррекции близорукости перед глазом устанавливают
рассеивающую очковую линзу такой силы, чтобы ее задний фокус
совпал с дальней точкой ясного видения S слева от глаза. В этом
случае пучок параллельных лучей перед глазом преобразуется линзой
в пучок расходящихся лучей, собирающихся с помощью оптической
системы глаза на сетчатке в точке S' (рис. 22.5а).
445
б)
Рис. 22.5. Коррекция близорукости (а)
и дальнозоркости (б) очковой линзой
Линза имеет форму отрицательного мениска, обращенного
вогнутостью к глазу.
Для коррекции дальнозоркости перед глазом устанавливается
собирающая очковая линза такой силы, чтобы ее задний фокус совпал
с дальней точкой ясного видения S справа от глаза. Тогда пучок
параллельных лучей перед глазом преобразуется линзой в пучок
сходящихся лучей, собирающийся оптикой глаза также на сетчатке в
точке S' (рис. 22.56). Линза имеет форму положительного мениска,
обращенного вогнутостью к глазу.
Нетрудно получить аналитическую связь между величиной
аметропии А глаза и оптической силой D корректирующей очковой
линзы. На рис. 22.6 на расстоянии d от передней главной точки Н
глаза установлена бесконечно тонкая рассеивающая линза с
фокусным расстоянием /'; расстояние от точки Н до дальней точки
ясного видения S обозначено через as.
Рис. 22.6. Связь между аметропией А глаза и
оптической силой D очковой линзы
Из рисунка следует, что
446
Аметропия глаза (рефракция) в диоптриях
л 1000 1000
А = , т.е.а. = .
as s A
Аналогично оптическая сила линзы в диоптриях
^ 1000 г, ЮОО
D = —-, т.е./ = —.
f 3 D
После подстановки полученных значений as и /'в предыдущее
равенство получаем
О = 1ЦЦ' B2.4)
А 1000
где d должно быть взято в миллиметрах. Очевидно, А < О для
близорукого глаза и А > О для дальнозоркого глаза. Принято, что
расстояние между вершиной вогнутой поверхности корригирующей
очковой линзы и вершиной роговицы не должно быть меньше 12 мм.
Кроме названных выше причин, аметропия может быть вызвана
ненормальным положением хрусталика, ненормальной кривизной
преломляющих поверхностей глаза (чаще всего разной кривизной
роговицы в разных меридианах) и несимметричностью этих
поверхностей. В последнем случае два взаимно перпендикулярных
плоских элементарных осевых пучка лучей не собираются оптикой
глаза в одной точке; дальняя точка глаза в этих плоскостях находится
на разных расстояниях от передней главной точки. Оптическая
система такого глаза образует астигматические пучки лучей, а глаз
называется астигматическим. Обнаружить наличие или
отсутствие астигматизма можно, если рассматривать одним глазом с
расстояния наилучшего зрения диск, содержащий ряд нарисованных
на бумаге близких друг к другу концентрических кругов (рис. 22.7).
Рис. 22.7. Рисунок для
обнаружения астигматизма
При наличии астигматизма одновременно четко видны только
отдельные сектора диска, тогда как другие его секторы кажутся
расплывчатыми.
447
Астигматизм глаза исправляют с помощью очковых линз в виде
положительного или отрицательного мениска. Вогнутая поверхность
таких линз, обращенная к глазу, является сферической, а выпуклая
поверхность чаще всего имеет цилиндрическую или торическую
форму.
К аметропическому глазу относится и глаз, у которого
оперативным путем удален хрусталик. Такой глаз называется
афакическим.
Подбор очковых линз для аметропа производится врачом-
окулистом либо с помощью специальных приборов, либо опытным
путем с помощью комплекта очковых линз и наблюдения через них
разных испытательных таблиц.
22.7. Разрешающая сила глаза (острота зрения)
Способность глаза видеть две близкие точки раздельно
называется разрешающей силой или остротой зрения. Чтобы глаз мог
различать две одинаковые близкие точки, необходимо, чтобы угол
между прямыми, проведенными через эти точки из передней узловой
точки, был не меньше некоторой определенной величины, различной
для разных глаз и даже для данного глаза в зависимости от условий
наблюдения. Этот угол называется угловым пределом
разрешения. Разрешающая сила глаза или острота зрения
обратно пропорциональна угловому пределу разрешения. Угловой
предел разрешения глаза можно оценить количественно, учтя
строение его сетчатой оболочки. Областью наивысшего ясного
видения на сетчатке является центральная ямка желтого пятна, где
находятся только колбочки, к каждой из которых подходит отдельное
волокно зрительного нерва. Световое раздражение одной колбочки в
области центральной ямки желтого пятна воспринимается глазом как
изображение одной точки. Если даже изображения двух близких
точек умещаются на площади одной колбочки, то эти изображения
все равно воспринимаются как изображение одной точки. Чтобы глаз
воспринимал две точки раздельно, надо, чтобы изображение каждой
из них приходилось на одну отдельную колбочку. Диаметры
расширенных частей колбочек лежат в пределах от 0,0045 до 0,0065
мм. Примем для расчетов, что в среднем диаметр колбочки равен
0,005 мм. В этом случае расстояние между центрами двух почти
вплотную расположенных друг к другу колбочек тоже можно
принять равным около 0,005 мм. Расстояние от задней фокальной
448
плоскости глаза, в которой расположено желтое пятно, до задней
узловой точки равно переднему фокусному расстоянию глаза, т.е.
17,06 мм. Следовательно, угловой предел разрешения глаза в
секундах
. _ 0,005-206265 _ rr.ff
^ 17,06
К такому же приблизительно результату можно прийти, если
использовать теорию дифракционного изображения точки.
В соответствии с этой теорией изображения двух близких
самосветящихся точек, образуемых безаберрационным (идеальным)
объективом с круглым входным зрачком, могут быть видны глазом
раздельно, если расстояние между центрами этих изображений не
менее некоторой величины, определяемой из B0.15) как
_ 3.83Л ,~~ -.
где Я- длина волны света, о'- апертурный угол объектива в
пространстве изображений. Эта формула соответствует такому
взаимному расположению дифракционных колец в изображении
точек, когда середина центрального светлого диска (кружка Эри)
изображения одной точки приходится на первое темное кольцо в
изображении второй точки (рис. 22.8).
Е%
Рис. 22.8. Дифракционное
изображение двух точек
В этом случае суммарная освещенность в промежутке между
серединами кружков Эри в изображении точек отличается на 26% от
освещенности в центрах кружков, принимаемой за 100%. Этот
критерий оценки разрешающей силы впервые предложил в 1879 г.
английский физик Рэлей A842-1919), и в науке он известен как
критерий Рэлея.
449
Если рассматривать оптическую систему глаза как идеальный
объектив с входным зрачком Drjl и фокусным расстоянием /', то
Так как изображение на сетчатке создается в пространстве,
наполненном стекловидным телом с показателем преломления
/7=1,336, то в формуле B2.5) длина волны должна быть принята
равной In- Поэтому при /'= 22,785 мм
Отсюда с учетом того, что расстояние от задней узловой точки
до желтого пятна равно переднему фокусному расстоянию глаза,
угловая величина отрезка у в пространстве предметов (угловой
предел разрешения) определится как
0=1,22^. B2.6)
Эта формула дает возможность оценить угловой предел разрешения
глаза при разных значениях DVJX. При дневном освещении, когда
диаметр зрачка глаза Drjl= 2 мм, и при Я = 0,000555 мм получаем
= 70".
При увеличении зрачка глаза до 3 - 4 мм угловой предел разрешения
несколько уменьшается. Но дальнейшее увеличение зрачка
сопровождается увеличением аберраций оптической системы глаза,
вследствие чего угловой предел разрешения сначала уменьшается, а
затем увеличивается.
При тонких исследованиях разрешающей силы глаза нужно
учитывать еще и зависимость светового раздражения сетчатки от
того, попадает ли свет в центральную ямку желтого пятна через центр
зрачка (лучи 1 на рис. 22.9) или через периферическую часть (лучи 2
на рис. 22.9).
Эту зависимость обнаружили в 1937 и 1939 гг. Стайлс и
Крауфорд, и известна она как явление Стайлса и
Крауфорда. На рис. 22.10 показана зависимость светового
раздражения сетчатки от расстояния между центром зрачка и местом
падения лучей на зрачок в миллиметрах при условии, что
раздражение от центральных лучей принято за единицу. При
периферичности в 3 мм световое раздражение снижается почти в
3 раза.
450
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
О
Рис. 22.9. Различное падение
луча на зрачок
2 4
к носу к виску
Рис. 22.10. Зависимость
светового раздражения от места
падения луча на зрачок
Вследствие малой ценности периферических зон зрачка и из-за
влияния аберраций оптической системы глаза на остроту зрения, как
уже указывалось в п. 22.2, при расчетах часто принимают диаметр
зрачка равным не более 5 мм.
Опыт показывает, что критерий Рэлея не всегда верен.
В некоторых случаях показанный на рис. 22.8 заметный спад
освещенности между изображениями некоторых объектов может
доходить до 10 - 1%. Поэтому человек с нормальным зрением может
заметить, например, смещение относительно друг друга отрезков аЬ и
а'Ь' (рис. 22.11), нанесенных на двух плоских перемещающихся
относительно друг друга вдоль линии раздела поверхностях, когда
расстояние между точками а и а'в угловой мере равно 2 - 3".
ъ
а
а'
V
Рис. 22.11. Отсчет по Верньеру
Эта высокая разрешающая сила проявляется на практике при
отсчете по Верньеру.
При расчете оптических систем, работающих с глазом,
принимают \р = 60". Принято считать, что при этом острота зрения
равна 1. Если \р = 30", то острота зрения равна 2, и т.д. Определение
остроты зрения производится с помощью таблиц, содержащих
систему разных знаков, цифр и фигур.
451
При слабых освещенностях (в ночных условиях, например)
острота зрения во много раз меньше, чем днем. Поэтому оптические
системы, работающие ночью, для компенсации малой остроты зрения
глаза должны иметь большие увеличения. В них могут быть
допущены большие аберрации, достигающие 10'. Острота зрения
достигает предельного значения при освещенности не менее 50 лк и
почти не увеличивается при дальнейшем повышении освещенности.
Освещенность в 50 лк считается нормальной для чтения и работы с
мелкими деталями.
Острота зрения быстро падает при удалении изображения
предмета от центральной ямки желтого пятна в обе стороны. На
рис. 22.12 показана зависимость остроты зрения от направления
зрительной оси. По оси абсциссе отложены в градусах угловые
расстояния изображения наблюдаемых точек от центральной ямки, а
по оси ординат - величины остроты зрения, когда острота зрения для
центральной ямки принята условно за 10.
—""
i
1
d
И
/
\
\
~—.
70 60 50 40 30 20
Носовая сторона
10 0 10 20 30 40 50
Височная сторона
Рис. 22.12. Зависимость остроты
от направления зрительной оси
Заштрихованная площадь соответствует слепому пятну. На
расстоянии 2 - 3° от центральной ямки острота зрения существенно
ниже, чем в центре желтого пятна. Такое падение остроты зрения
объясняется тем, что при удалении от желтого пятна целые группы
светочувствительных элементов сетчатки передают световое
раздражение в мозг по одному общему нервному волокну.
452
22.8. Адаптация глаза
Адаптацией (от лат. adapto - приспособление) глаза называется
его способность приспосабливаться к функционированию в сильно
меняющихся условиях освещения.
Механизм адаптации связан с изменением диаметра зрачка
глаза, с экранированием светочувствительных рецепторов зернами
светонепроницаемого пигмента, с распадом и восстановлением
пигмента в палочках, с перестройкой в нервных структурах сетчатки.
Благодаря адаптации глаз способен работать в очень широком
диапазоне яркостей (от 10~6 до 105кд/м2) и улавливать небольшие
различия в яркости (до 1%).
Различают два вида адаптации -темновую (переход от света
к темноте) и световую (переход от темноты к свету). При
темновой адаптации колбочковое зрение, называемое
иначе дневным, постепенно выключается и начинает работать
палочковое зрение, называемое иначе ночным. При
этом из-за уменьшения освещенности сетчатой оболочки в ней
увеличивается количество светочувствительного пигмента -
радопсина, что ведет к росту светочувствительности глаза.
Одновременно с этим процессом происходит увеличение диаметра
зрачка, способствующее пропусканию большего светового потока.
При световой адаптации происходит обратный процесс. Большая
освещенность сетчатки ведет к выключению палочкового (ночного)
зрения и началу функционирования колбочкового (дневного) зрения.
Чувствительность глаза к свету снижается. Это происходит главным
образом в результате снижения концентрации светочувствительного
вещества в колбочках сетчатки, уменьшения диаметра зрачка, а также
из-за поглощения света молекулами фусцина, содержащегося в
клетках светочувствительного пигмента. В зависимости от доли
обесцвеченного светочувствительного пигмента глаз находится в том
или ином состоянии световой адаптации.
Процесс темновой адаптации происходит в течение
сравнительно длительного промежутка времени. При яркости
приблизительно около 10~6кд/м2 (практическая темнота) темновая
адаптация происходит в основном в течение первых 30 - 40 минут, а
по истечении 60 - 80 минут после начала процесса световая
чувствительность глаза устанавливается практически на постоянном
максимальном уровне. Световая адаптация протекает значительно
быстрее; уже через 5^-8 минут после начала адаптации световая
453
чувствительность глаза достигает своего минимального уровня. При
яркости свыше 10 кд/м2 происходит ослепление глаза при любом
состоянии адаптации.
22.9. Контрастная чувствительность глаза
Способность глаза видеть объекты только благодаря разнице
между их яркостью и яркостью фона, на котором эти объекты
наблюдаются, называется контрастной чувствительностью глаза.
Численно контраст объекта на окружающем фоне характеризуется
величиной
1ф
где Lo- яркость объекта, 1ф- яркость фона. Если яркость объекта
больше яркости фона, то контраст называют п р я м ы м; в противном
случае контраст называют обратным. Оптимальная величина
контраста считается равной 0,6 - 0,95.
Минимальная разность яркостей объекта и фона
A^min = ^о ~ ^ф> ПРИ которой глаз еще может видеть предмет,
называется пороговой разностью яркости, а соответствующий этой
минимальной разности яркостей контраст называют пороговым
контрастом. Для получения нормальных условий наблюдения
нужно, чтобы контраст наблюдаемого объекта был больше
порогового контраста в 10 - 15 раз.
Г
2'
6'
10'
30'
50'
100'
200'
1000
100
10
1
0,1
0,01
Кпор
-
1 1 1 1 1 1 1
Гуд"
ia3 ia2 1a1 i ю ю2 ю3
Рис. 22.13. Зависимость порогового контраста
от яркости фона и угловых размеров предметов
454
Величина порогового контраста зависит от яркости фона и
угловых размеров объекта. Такая приближенная зависимость,
установленная экспериментально, представлена в виде графиков на
рис. 22.13, на котором по оси абсцисс отложены величины яркости
фона 1ф в КД/М2, а по оси ординат - величина порогового
контраста Кио^. Каждая из приведенных на рисунке кривых
соответствует определенной угловой величине предмета в минутах.
Из рисунка видно, что предметы с большим угловым размером видны
при меньших пороговых контрастах и что с увеличением яркости
фона численное значение порогового контраста уменьшается.
22.10. Абсолютные пороги световой чувствительности глаза
Человеческий глаз при благоприятных условиях обладает почти
предельной физически возможной чувствительностью к световому
раздражению и во много тысяч раз превосходит чувствительность
лучших радиометров. В 1948 г. академик С.И.Вавилов установил, что
в условиях темновой адаптации глаз способен воспринять лучистую
энергию, равную всего нескольким квантам (для излучения с длиной
волны Я = 505 нм, например, всего восьми квантам). То минимальное
количество световой энергии, которое может быть замечено глазом в
условиях темновой адаптации, называется абсолютным порогом
световой чувствительности глаза. Этот порог можно оценить
количественно в единицах освещенности на зрачке глаза, единицах
светового потока, силы света и яркости. Опытным путем
установлено, что по освещенности, создаваемой на зрачке глаза
наблюдателя, абсолютный порог световой чувствительности
близок к 5-10"9 лк.
Чтобы представить громадную чувствительность глаза к
световому раздражению, приведем такой пример. Если бы не было
атмосферы, глаз мог бы увидеть свечу на расстоянии 30 км, что
соответствует реакции глаза на освещенность в 5-10"9лк, в то время
как фотослой с нормальной чувствительностью при такой
освещенности не будет реагировать даже при экспозиции в несколько
лет.
Если принять, что зрачок глаза имеет диаметр Drjl = 8-10 м, то
входящий в глаз световой поток, соответствующий указанному
абсолютному световому порогу освещенности на зрачке,
определяется как
455
Фу = Еу7^ = ^5-1(Г9 • 64-Ю = 2,5-103лм.
Так как коэффициент пропускания оптической системы глаза т= 0,57,
то до сетчатки в этом случае дойдет световой поток, равный
1,4-1(Г13лм.
Предположим, что точечный источник света находится на
расстоянии г = 1 км от наблюдателя. Тогда пороговая освещенность
на зрачке глаза Еу = 5-10~9 лк, а пороговая сила света будет равна
Iv= ЕуГ2=5Л0-9Л06 = 5Юкд.
Сила света в направлении нормали к светящейся площадке S,
имеющей яркость Lv, определяется как
ly= LyiS.
Освещенность, создаваемая на зрачке глаза, находящегося на
расстоянии г от площадки:
г? _ V _ LyS
Еу г — ——.
Пусть площадка S имеет форму круга диаметром D.
Тогда, очевидно,
Ev --Lv(-) -
Обозначим отношение -, определяющее угловую величину
площадки, через а. Тогда
2 B2.7)
Из этой формулы следует, что при а = 10", например, и Ev = 5-Ю'9 лк
пороговая яркость Lv = 2,71 кд/ 2> а при а = V она будет равна
О,75-1О-1КД/М2.
Опытным путем установлено, что для малых светящихся
объектов, угловая величина которых не превышает нескольких
минут, абсолютный световой порог освещенности Еу = 5-10~9 лк на
зрачке глаза не зависит от угловой величины а. Тогда из формулы
B2.7) следует, что при постоянном значении Еу произведение Lva2
должно оставаться постоянным при любых малых значениях а, т.е.
что пороговая яркость Lv обратно пропорциональна квадрату угловой
величины площадки S. Так как при этом произведение г2Еу = С есть
величина постоянная, то постоянным остается и произведение LVS,
т.е.
LVS=C. B2.8)
456
Эта закономерность, впервые обнаруженная в 1877 г. Рикко
(Ricco), известна в науке как закон Рикко. Границей
приложимости закона при источниках излучения, наблюдаемых на
темном фоне, является значение угла а, не превышающее 10-30
минут. При светлом фоне этот угол сильно уменьшается.
При дальнейшем увеличении светящейся площадки закон Рикко
перестает действовать, уступая место правилу Пипера (закон
квадратного корня Пипера), по которому для порогового значения
падающего на сетчатку светового потока приблизительно
постоянным оказывается произведение яркости светового потока на
квадратный корень из площади S источника излучения, т.е.
LVJS = C. B2.9)
Следовательно, в этом случае пороговая яркость с увеличением
угловой величины светящейся площадки изменяется обратно
пропорционально первой степени а. Правило Пипера справедливо
при а = 2 - 7°. При еще больших значениях угла а это правило также
перестает выполняться, т.к. ослабление яркости все в меньшей
степени компенсируется увеличением площадки источника
излучения.
В общей форме связь пороговой яркости Lv источника с его
площадью S может быть выражена формулой
LvSn=C B2.10)
где п и С - постоянные величины. При п = 1 имеет место закон Рикко,
при п = 0,5 - правило Пипера (неполная компенсация яркости
площадью), при я, близком к 0, имеет место полное отсутствие
компенсации яркости площадью.
На порог световой чувствительности глаза влияют длительность
светового раздражения, площадь раздражения на сетчатке, возраст
наблюдателя, барометрическое давление, время суток, условия
питания и многие другие факторы. Поэтому приведенные здесь
численные значения порогов являются приблизительными.
22.11. Инерция зрения. Закон Тальбота
Предположим, что в глаз начал поступать свет определенной
неизменной яркости. Зрительное ощущение в глазу возникает не
мгновенно. В течение 0,10 - 0,20 с после возникновения раздражения
яркость света, которую воспринимает глаз, не равна восприятию
яркости, которая соответствует установившемуся восприятию
457
яркости в последующее время. При больших яркостях света
первоначально воспринимаемая яркость в первые доли секунды
может значительно превосходить яркость, установившуюся в
последующее время. Затем воспринимаемая яркость уменьшается и
через 0,15 - 0,20 с после начала раздражения приобретает
нормальный установившийся уровень.
После прекращения светового раздражения зрительное
ощущение исчезает тоже не мгновенно. В течение некоторого
времени зрительный образ остается, но яркость его постепенно
уменьшается по сравнению с яркостью первоначального образа. Это
время зависит от яркости, цвета и спектрального состава
первоначального образа, а также от адаптации глаза и в среднем
составляет 0,05 - 0,20 с. В течение этого времени глаз как бы «по
инерции» продолжает видеть то, чего на самом деле уже нет.
Инерция зрения проявляется и при наблюдении периодически
мелькающих или мигающих источников света. Предположим, что
поступающий в глаз определенной яркости свет периодически
сменяется темнотой. Если продолжительность темноты настолько
велика, что остаточный образ предшествующего светового
раздражения совершенно исчезает, глаз увидит периодическую
систему света и темноты (мелькание). Если же время темноты
достаточно для ослабления яркости остаточного образа, но не
достаточно для его исчезновения, глаз увидит свет переменной
яркости (мигания), никогда не достигающей нулевого уровня.
Наконец, при достаточно большом числе прерываний света в
секунду, при котором яркость остаточного образа близка к
первоначальной яркости, глаз будет воспринимать свет неизменной
яркости. Поэтому, например, глаз не замечает мелькания освещения
от электрической лампочки, хотя накал ее нити падает 50 раз в
секунду.
Минимальное число прерываний света в секунду, при котором
наступает слияние миганий, называется критической
частотой. Критическая частота зависит от яркости адаптации,
величины поля зрения, глубины модуляции мигающей яркости,
отношения длительности одной вспышки к периоду смены света
темнотой, от места раздражения на сетчатке, от слухового
раздражения и других факторов.
Если частота миганий света меньше критической, то его
видимая яркость оказывается больше истиной яркости. Медленно
458
мигающий свет кажется ярче непрерываемого света. Небольшая
видимая яркость наблюдается при частоте мельканий, равной 10. Это
объясняется тем, что такой приблизительной частоте соответствуют
спонтанные колебания потенциала затылочной доли коры головного
мозга, известные под названием альфа-ритмы. Видимая яркость
медленно мигающего света может быть в 4 ¦*¦ 5 раз больше той
постоянной видимой яркости, которая устанавливается при
дальнейшем увеличении частоты мельканий.
При приближении частоты мельканий к критической видимая
яркость становится меньше истинной и достигает постоянного
уровня, когда частота мельканий становится равной критической.
При дальнейшем увеличении частоты мельканий видимая яркость
остается неизменной. Величина этой яркости определяется как
LB=Lup B2.11)
где LB - видимая яркость при частоте мельканий, равной или больше
критической, Lu - истинная яркость, t - длительность одной
вспышки, Т- период смены света и темноты.
Соотношение B2.11) известно под названием закона Тальбота,
установленного в 1834 г. английским ученым Уильямом Тальботом
A800-1877). Отклонения от закона Тальбота имеют место при слабых
яркостях, когда видимая яркость несколько меньше, чем следует из
формулы B2.11), и при очень больших яркостях, когда видимая
яркость несколько больше, чем следует их той же формулы. Для
широкого же интервала яркостей, закон Тальбота соблюдается.
Le
200%
100%
50%
4 8 12 16 20 24 28 32 36
Рис. 22.14. Зависимость видимой яркости от частоты мельканий
На рис. 22.14 показана зависимость видимой LB яркости от
частоты мельканий при tIT = - и критической частоте, равной 32.
Истинная яркость принята за 100%.
/
1 1
\
\
\
\ истинная яркость (без мельканий)
^^\_ видимая яркость
(при слиянии мельканий)
i i i i i i i частота
459
22.12. Монокулярное и бинокулярное зрение
При наблюдении какой-либо точки предмета одним глазом
(монокулярное зрение) зрительная ось направляется на эту точку так,
что ее изображение оказывается на центральной ямке желтого пятна.
В зависимости от расстояния до точки происходит одновременно и
аккомодация глаза.
Чтобы рассмотреть весь предмет глазное яблоко совершенно
непроизвольно совершает вращение вокруг одной неподвижной
точки с частотой до 80 Гц. Как уже указывалось в п. 21.1, эта точка
расположена на расстоянии 13,5 мм от вершины роговицы и на
расстоянии 1,6 мм от зрительной оси в сторону виска. Без таких
движений зрение вообще было бы невозможно, т.к. неподвижные
относительно сетчатки изображения человеком не воспринимаются.
Расстояние до предметов глаз может оценивать по степени
аккомодации, если это расстояние не превосходит 5 - 6 м, т.к. при
рассматривании более далеких предметов кривизна хрусталика
практически не изменяется. Кроме того, при монокулярном зрении
расстояние до знакомых предметов оценивается глазом по их угловой
величине на сетчатке по числу деталей и подробностей, которые
видны на этом предмете. Большое значение при этом имеет
прозрачность воздуха. При чистом и сухом воздухе знакомые нам
предметы кажутся более близкими, чем при влажном воздухе.
Особенно это заметно в гористой местности, когда при прозрачном
воздухе горы нам кажутся близкими.
Наблюдение двумя глазами (бинокулярное зрение) позволяет
более точно оценивать расстояния до рассматриваемых предметов,
дает возможность получить представление о глубине наблюдаемого
пространства, видеть это пространство объемно, т.е. делает
возможным так называемое стереоскопическое зрение
(от греч. stereos - объемный). При наблюдении какой-либо точки
двумя глазами зрительные оси обоих глаз пересекаются на этой
точке. Способность глаз сводить линии визирования на наблюдаемой
точке называется конвергенцией, а угол схождения между
зрительными осями глаз называется углом конвергенции.
Угол же расхождения зрительных осей называют углом
дивергенции. Угол конвергенции может измениться от 0° (при
бесконечно удаленном предмете) до величины около 32°.
Для теории бинокулярного зрения решающее значение имеет
понятие о точках обеих сетчаток, которые лежат в одном и том же
460
направлении и на одном и том же расстоянии от центральной ямки
желтого пятна. Такие точки называют соответственными.
Сами центральные ямки также относятся к соответственным точкам.
Если наблюдать двумя глазами бесконечно удаленную точку,
линии зрения обоих глаз будут параллельны между собой,
изображение точки в каждом глазу окажется в центральной ямке. Но
раздражение на сетчатке, вызванное этими изображениями в каждом
глазу, дает ощущение одной точки в поле зрения. То же самое будет
иметь место, если точка наблюдаемого пространства будет
изображаться в других соответственных точках сетчатки. При
каждом положении глаз соответственным точкам сетчатки
соответствуют строго определенные точки наблюдаемого
пространства. Пространство, видимое одновременно обоими глазами
(бинокулярное поле), охватывает угол около 120°.
Ъ2
с
/\\
11 \
с, I \ \с2
Рис. 22.15. Разноименное Рис. 22.16. Одноименное
двоение изображения точки Ъ двоение изображения точки с
Изображение точки предмета в обоих глазах может оказаться в
точках сетчатки, находящихся на разных расстояниях от центральной
ямки. Такие точки называют несоответственными или
диспаратными. В этом случае может иметь место двоение
изображения. На рис. 22.15 точка а расположена за точкой Ъ на одной
прямой в медиальной плоскости головы. Если зафиксировать
взглядом точку а, то ее изображение в левом и правом глазах
окажутся соответственно в центральных ямках а[ и а'2. Точка же Ъ
изображается в диспаратных точках: в левом глазу - в точке Ь'ъ а в
правом - в точке Ь'2 слева и справа от центральной ямки
соответственно. Правый глаз вместо точки Ъ увидит точку Ь2,
461
а левый- точку Ьъ т.е. будет иметь место разноименное
(перекрестное) двоение изображения точки Ъ. Если же наблюдать
двумя глазами и ближнюю точку Ь (рис. 22.16), то двоиться будет
изображение более удаленной точки С. Возникающее в этом случае
двоение изображение носит одноименный характер: левый глаз видит
вместо точки С точку С1 слева, а правый точку С2 справа.
Ас
D
Рис. 22.17. Радиус стереоскопического зрения
Если изображение точки в обоих глазах приходится на
диспаратные точки, носящие односторонний характер, т.е.
расположенные или справа от центральной ямки, или слева, то
двоение изображения не возникает; возникает впечатление большей
или меньшей удаленности точки по сравнению с фиксируемой. На
рис. 22.17 показан случай, когда глаза фиксируют точку А,
изображением которой в левом глазу является точка Аг сетчатки, а в
правом - точка А2. Точка В, расположенная ближе и сбоку по
сравнению с точкой А, раздражает диспаратные точки Вг и В2
сетчаток. Диспаратность здесь одноименная, т.к. на обеих сетчатках
изображения Вг и В2 оказались справа от центральных ямок. Точка В
кажется наблюдателю не двоящейся, но расположенной ближе.
Аналогично точка С видится одиночной, но расположенной дальше
фиксируемой точки А.
Расстояние между узловыми точками Нг и Н2 левого и правого
глаз, равное расстоянию между центрами их зрачков, обозначенное
на рисунке буквой Ъ, называется базой глаз. Ее величина у
разных людей разная и колеблется в пределах от 58 до 72 мм.
462
В среднем при расчетах эту величину принимают равной 65 мм.
Обозначенный буквой г\ угол Н1АН2 между прямыми, проведенными
через точку фиксации А и узловые точки Нг и Н2, называют
стереоскопическим параллаксом. В зависимости от
удаления точки фиксации от базы величина параллакса меняется от
нуля для бесконечно удаленной точки до 15°, когда она расположена
на расстоянии 250 мм.
Построим окружность, проходящую через точки А9 Нг и Н2.
Выберем на этой окружности некоторую точку Д изображения Dx и
D2 которой на сетчатках обоих глаз лежат в пределах желтого пятна.
Параллакс для точки Д очевидно, равен г\.
Будем определять положение изображений точек пространства
на сетчатке глаза относительно центральных ямок Аг и А2.
Условимся считать дуги A1D1 и A2D2 положительными, если точки
Da и D2 лежат справа от точек А1 и А2, и отрицательными, если эти
точки лежат слева от них. Для точки D дуги A1D1 и A2D2 равны друг
другу, поэтому их алгебраическая разность A1D1 - A2D2 равна нулю.
Так как база Ъ по сравнению с расстоянием R от точки фиксации А до
базы мала, то
Ч=|. B2-12)
Дуга AD построенной окружности является геометрическим местом
точек, для которых параллакс имеет одну и ту же величину г], а
расстояния от расположенных на этой дуге точек до базы глаз
одинаковы. Так как точка С расположена дальше точки фиксации А,
то ее параллакс меньше параллакса точки А. Разности дуг сетчатки
С1А1 - С2А2 > 0 соответствует разность параллаксов А г\2 = г\ - г\2 > 0.
Глаз способен воспринимать разность дуг С1А1 - С2А2, благодаря
чему наблюдатель различает разницу глубин.
Для точки В, расположенной ближе к базе глаз Ь, чем
фиксируемая точка, разности дуг В1А1 - В2А2< 0 соответствует
разность параллаксов А г]1 = г\ - г\х< 0.
Таким образом, точки, для которых разность параллаксов
Л *h = Л~ ^i< 0, кажутся наблюдателю расположенными ближе точки
фиксации, а точки, для которых А г\2 = г\- г\2 > 0, кажутся ему
расположенными дальше.
Глаза способны замечать очень малые разности параллаксов
точек, расположенных на разных расстояниях от базы глаз.
463
Способность глаз воспринимать малые разницы в положении точек
пространства по глубине называется остротой
стереоскопического зрения. Эта острота определяется той
наименьшей разностью параллаксов А г\, которая еще может быть
ощутима глазами. Исследования показали, что наименьшее ощутимое
глазом значение А г\ равно 10".
Если принять, что А ?7 = Ю", Ъ = 65 мм, то максимальное
расстояние R = Яшах, при котором прекращается стереоскопическое
восприятие пространства по глубине, определяется из формулы
B2.12):
-= 1340 м.
AT] Ю
Эта величина называется радиусом стереоскопического
зрения. Точки пространства, расположенные на различных
расстояниях, превышающих радиус стереоскопического зрения,
представляются наблюдателю одинаково удаленными.
Острота стереоскопического восприятия для различных
расстояний R разная. Продифференцировав формулу B2.12) по
переменным 77 и R и заменив дифференциалы конечными
приращениями, найдем
AVjR2
АД =-¦
B2.13)
В табл. 22.5 приведены значения А/?, вычисленные по формуле B2.13)
при А г\ = 10"и Ъ = 60 мм для разных значений R.
Таблица 22.5
R(m)
aR(m)
1
0,0007
5
0,019
10
0,074
50
1,85
100
7,4
Стереоскопический эффект не возникает или его возникновение
затруднено в следующих случаях.
1. Когда изображения двух объектов на сетчатке одного из глаз
накладываются друг на друга. Для получения
стереоскопического эффекта в этом случае нужна определенная
тренировка.
2. Когда наблюдаемые объекты слишком удалены друг от друга по
фронту и по глубине.
3. Когда изображения наблюдаемых объектов на сетчатках обоих
глаз оказываются на диспаратных точках.
464
22.13. Стереоскопия при одновременном рассматривании двух
изображений одного и того же пространства
Стереоскопический эффект возникает не только при
наблюдении двумя глазами действительного пространства, но и при
рассматривании обоими глазами двух изображений пространства,
полученных с помощью двух одинаковых фотокамер.
Q
F, A, D, С2 F2 А2 D2
Рис. 22.18. Фотосъемка
пространства двумя
одинаковыми фотокамерами
Рис. 22.19. Наблюдение двумя
глазами двух изображений
пространства
Предположим, что фотосъемка пространства выполнена из двух
точек Ох и О2 фотокамерами, имеющими одинаковые объективы с
фокусным расстоянием f (рис. 22.18). Оптические оси объектов
параллельны между собой, а расстояние между точками 0г и 02,
называемое базисом фотосъемки, равно В. Фотокамеры
установлены так, что изображения, образуемые объективами,
находятся в одной плоскости. Точки Ах и А2 являются
изображениями объективами соответственно левой и правой камер
некоторой точки А пространства, находящейся на расстоянии R от
базиса по перпендикуляру к последнему. Обозначим координаты
точек Ах и А2 относительно фокусов Fx и F2 объективов
соответственно через хги х2. Из рисунка следует
В+х2 -хх _ R+ ft
В R
Разность х2-х1 называется стереоскопической
разностью или параллаксом. Обозначим эту разность
буквой р. Тогда
465
Р=*2-х1=В-? B2.14)
Если в плоскости Q, которой принадлежит точка А и которая
параллельна базису 0х02, выбрать другую точку А с некоторыми
координатами х.\ и х2, то нетрудно показать, что для этой точки
стереоскопическая разность х\ - х2 также окажется равной р.
Величина стереоскопической разности р изменяется только при
изменении расстояния R. Если точка А расположена выше или ниже
горизонта O1O2F2F1, но принадлежит плоскости Q, то
стереоскопический параллакс для нее останется неизменным, т.к. в
этом случае необходимо рассматривать проекцию точки А на
плоскость горизонта.
Превратим оба негативных фотоснимка в позитивные
изображения и повернем каждый из снимков на 180° вокруг
оптической оси. Будем рассматривать оба снимка через лупы Яги Л2
с одинаковыми фокусными расстояниями /J,', поместив снимки в
положение F1A1 и F2A2 так, чтобы они оказались в фокальных
плоскостях луп (рис. 22.19). Очевидно, изображения снимков через
лупы окажутся в бесконечности.
Расстояние FXF2 между центрами снимков равно расстоянию
между центрами зрачков глаз наблюдателя. Оба изображения на
сетчатке глаз будут восприняты как одно стереоскопическое
изображение точек действительного пространства. Вычислим
расстояние R' до искомой точки фиксации Л\ которую глаз видит в
стереоскопическом изображении.
Из подобия треугольников АгА'А2 и ЛгА'Л2 следует:
Ь+ х1-х2 _ ft'-/л
P=x2-xt=f. B2.15)
Из B2.14) и B2.15) получаем
R R' '
Дифференцирование последней формулы по переменным R' и R
после замены дифференциалов конечными приращениями дает
ARr=-^AR. B2.17)
В ft
Воображаемое пространство, видимое наблюдателем при
рассмотрении стереоскопических снимков, отличается от
действительного пространства. Это отличие зависит от
466
коэффициентов - и —. Если, например, Ъ = В и fj[ = /', то
В f'
воображаемое пространство будет восприниматься наблюдателем как
действительное, т.к. они окажутся геометрически тождественны.
Если Ъ < В и fjl < /', то Rf < R - воображаемое пространство окажется
сжатым по глубине. Если Ъ > В и /j/ > /', то Rr > R - воображаемое
пространство окажется растянутым по глубине.
Способность глаз замечать различие в положении точек
пространства по глубине можно характеризовать различием
параллаксов г\ двух наблюдаемых точек. Эту способность называют
пластичностью. Сравним пластичность воображаемого
пространства, видимого наблюдателем стереоскопически при
рассматривании двух снимков через лупы, с пластичностью
реального пространства, видимого наблюдателем невооруженными
глазами.
D'
Рис. 22.20. Наблюдение
реального пространства
невооруженными глазами
Рис. 22.21. Наблюдение
воображаемого пространства
через лупы
Пусть параллакс точки А действительного пространства
(рис. 22.20), находящейся на расстоянии R от базы глаз наблюдателя,
равен г], а параллакс некоторой точки Д находящейся на расстоянии
R + AR от той же базы, равен г\х\ разность названных параллаксов
равна А г]. Из B2.13) следует
467
а^=^ B2.18)
При наблюдении через лупу воображаемого пространства
(рис. 22.21) точка А' будет находиться на некотором расстоянии R'ot
базы и иметь параллакс г\\ а точка D', удаленная от базы на
расстоянии Rr + A /?', будет иметь параллакс г\'\ разность параллаксов
г]'- г][ обозначим через А г]'.
Очевидно, аналогично формуле B2.18) можно написать
Д/7'=-^. B2.19)
Подставив сюда значения /?'и A Rf из B2.16) и B2.17), не трудно
получить
A^-^-g- B2.20)
Пластику характеризуют отношением, обозначаемым через A r\'I Arj,
обозначаемым через Р. Разделив B2.19) на B2.20), получим
Величину Р называют полной пластикой. Эта величина
показывает, во сколько раз изображение, видимое через лупы,
кажется нам пластичнее, т.е. рельефнее, чем предмет.
Отношение
\ = Рг B2.22)
называют удельной пластикой.
Отношение /7/л' есть увеличение некоторой телескопической
системы, фокусное расстояние объектива которой равно /', а
окуляра - fjl.
Обозначим:
?=ГТ. B2.23)
/л
Следовательно, полная пластика Р равна произведению удельной
пластики Рг на увеличение телескопической системы Гт, т.е.
P = PirT B2.24)
Формулы B2.16) и B2.17) могут быть переписаны в виде:
Я' = ?, B2.25)
Дй'=^. B2.26)
468
Приборы, с помощью которых одновременно рассматриваются
два снимка одного и того же пространства, называются
стереоскопами. При этом радиус стереоскопического зрения
Rmax возрастает в Р раз, а все размеры воображаемого пространства
по глубине в соответствии с формулами B2.25) и B2.26)
уменьшаются в Р раз.
Понятие о пластичности используется также при изучении
стереодальномеров, стереотруб и биноклей.
469
ГЛАВА 23. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЗРИТЕЛЬНЫХ
ТРУБ
Зрительные трубы предназначены для визуального наблюдения
за удаленными предметами. К ним относятся подзорные трубы,
телескопы, бинокли, перископы, дальномеры, прицелы,
геодезические трубы и другие приборы. Оптическими системами
этих приборов являются телескопические системы, основное
свойство которых состоит в том, что пучок параллельных лучей,
исходящий из бесконечно удаленной точки предмета, после
прохождения системы остается пучком параллельных лучей. Эти
системы делятся на два класса: системы Кеплера и системы Галилея.
23.1. Ход и ограничение пучков лучей в телескопических
системах
На рис. 23.1 показана телескопическая система Кеплера из двух
бесконечно тонких компонентов. Задний фокус F[ первого
компонента, называемого объективом, совмещен с передним фокусом
F2 второго компонента, называемого окуляром. Следовательно,
оптический интервал в этой системе Л = 0. Объектив представляет
собой собирательную систему с фокусным расстоянием Д= /о'б > 0
(обычно из двух линз, реже - многолинзовую или зеркально-
линзовую). Он дает действительное уменьшенное и обратное
изображение удаленного предмета вблизи своей задней фокальной
плоскости.
Это изображение рассматривается в окуляр, как в лупу,
совмещая его с передней фокальной плоскостью окуляра (для
нормального глаза). Окуляр также является собирательной системой
с фокусным расстоянием /2' = f^K > 0. Астрономические,
геодезические и другие зрительные трубы, в которых ориентация
изображений безразлична, построены по такой схеме. Если нужно
получить прямое изображение, между объективом и окуляром
оптической системы Кеплера помещают оборачивающую систему -
призменную (например, в биноклях) или линзовую (в старых
подзорных трубах, перископах и, вообще, в системах, длина которых
может быть велика).
На рис. 23.1 пучок параллельных оптической оси лучей,
имеющий в пространстве предметов диаметр Д после объектива
сходится в точке F/, являющейся одновременно изображением осевой
470
точки бесконечно удаленного предмета. Затем, расходясь, пучок
достигает окуляра и преобразуется последним опять в пучок
параллельных оси лучей с диаметром D'. Апертурной диафрагмой в
изображенной системе служит оправа объектива, являющаяся
одновременно и входным зрачком с диаметром Д и центром
в точке Р. Изображение апертурной диафрагмы в пространстве
изображений, создаваемое окуляром на расстоянии a'pi, является
выходным зрачком с диаметром D'w центром в точке Р'.
Полев.д-ма
Об-в (Ап.д-ма, ex. зр.)
Вых. зр.
Рис. 23.1. Оптическая система Кеплера
Полевой (внеосевой) пучок параллельных лучей, вышедших из
бесконечно удаленной внеосевой точки В (на рис. 23.1 не показана)
под углом со к оптической оси, после объектива собирается в точке В'
задней фокальной плоскости объектива, совпадающей с передней
фокальной плоскостью окуляра. Затем, расходясь, пучок достигает
окуляра и преобразуется последним в пучок параллельных лучей,
составляющих в пространстве изображений с оптической осью угол
со''. Положение точки В' определяется как точка пересечения
главного луча (проходит через точку Р под углом со) с задней
фокальной плоскостью объектива. Направление полевого пучка
лучей в пространстве изображений (угол со') соответствует
направлению вспомогательного луча, проведенного из точки В' через
центр окуляра (показан пунктиром). Центр Р'выходного зрачка есть
471
точка пересечения главного луча с оптической осью в пространстве
изображений. Верхний луч полевого пучка, идущий в пространстве
предметов через верхний край входного зрачка, проходит через
нижний край выходного зрачка, а нижний луч того же пучка, идущий
через нижний край входного зрачка, проходит через верхний край
выходного зрачка.
Система Кеплера имеет одну действительную плоскость
изображения, расположенную между объективом и окуляром,
совпадающую с задней фокальной плоскостью объектива. В эту
плоскость помещают полевую диафрагму, ограничивающую
величину изображения B'F[ = у', которому в пространстве предметов
соответствует угловое поле 2со, а в пространстве изображений -
угловое поле 2а)''. Из рис. 23.1 следует, что диаметр полевой
диафрагмы
ОПд = 2 у'= 2/'o6|tgco|.
В плоскости действительного изображения иногда помещают
дальномерную шкалу с перекрестием (бинокли, прицелы),
нанесенную на одной из поверхностей плоскопараллельной
пластинки. В этом случае оправа плоскопараллельной пластинки
выполняет роль полевой диафрагмы. Наличие полевой диафрагмы в
системе приводит к тому, что края наблюдаемого изображения
предмета бывают четко ограничены.
В приведенной на рис. 23.1 оптической системе Кеплера
виньетирование лучей полевого пучка отсутствует. Однако
уменьшением светового диаметра окуляра часть лучей этого пучка
может быть задержана оправой окуляра. В этом случае оправа
окуляра будет выполнять роль виньетирующей диафрагмы.
Длина оптической системы Кеплера, равная расстоянию от
объектива до окуляра, определяется как
^=/о'б-/ок = /о'б+/о'к- B3.1)
В отличие от системы Кеплера, в системе Галилея окуляр
представляет собой рассеивающий компонент (одну или группу
линз). На рис. 23.2 показана оптическая система Галилея с указанием
положения входного и выходного зрачков, ходом апертурного луча
осевого пучка и трех лучей полевого пучка. Апертурной диафрагмой
и одновременно выходным зрачком в системе Галилея служит зрачок
глаза наблюдателя, расположенный на расстоянии api справа от
окуляра. Входной зрачок, являющийся изображением выходного
зрачка, создаваемым всей системой в обратном ходе лучей,
472
оказывается мнимым и расположенным правее выходного зрачка.
Совпадающие друг с другом задний фокус F[ объектива и передний
фокус F2 окуляра оказываются расположенными не между
объективом и окуляром как в системе Кеплера, а справа от окуляра.
Вх.зр.
Рис. 23.2. Оптическая система Галилея
Вследствие этого действительное изображение предмета,
образуемое объективом, оказывается также расположенным за
окуляром. Следовательно, в системе Галилея нет промежуточной
плоскости действительного изображения, куда можно было бы
установить полевую диафрагму. Поэтому угловое (и линейное) поле в
ней определяется не полевой диафрагмой (она отсутствует), а
виньетирующей диафрагмой, роль которой выполняет оправа
объектива. Вследствие виньетирования полевых пучков лучей и
отсутствия полевой диафрагмы наблюдаемое через окуляр
изображение предмета нечетко очерчено по краям.
Из рис. 23.2 следует, что длина оптической системы Галилея
определяется той же формулой B3.1), что и в системе Кеплера. Но
т.к. в системе Кеплера f^K > 0, а в системе Галилея fiK< О, то при
одинаковых абсолютных значениях в этих системах фокусных
расстояний объективов и окуляров длина оптической системы
Галилея оказывается меньше.
473
23.2. Увеличение телескопических систем
Для рассмотрения вопроса об увеличении телескопической
системы обратимся к рис. 23.3, на котором изображена
двухкомпонентная телескопическая система Кеплера. Предмет ух
находится на некотором конечном расстоянии zx от переднего фокуса
Fr объектива. Действительное изображение у[ этого предмета,
создаваемое объективом, расположено на расстоянии z[ от заднего
фокуса F[ объектива, равном расстоянию z2 от переднего фокуса F2
окуляра. После окуляра изображение у2 предмета окажется на
некотором расстоянии z2 от заднего фокуса F2 окуляра.
Рис. 23.3. К вопросу об увеличении телескопической системы
Для линейного увеличения первого и второго компонентов
соответственно можно написать:
О - Z'l О - /ок
P1--JT* Р2---Г-
/об zl
Умножив эти два равенства друг на друга, при п = п' получим
выражение для линейного увеличения всей системы в виде
/?=-#. B3.2)
/об
Для углового и продольного увеличений телескопической
системы с учетом B3.2) при п = п'соответственно имеем
Уок
2
ИгJ-
B3.3)
B3.4)
Из трех последних формул следует, что у телескопических
систем Кеплера (/о'б > О, /о'к > 0) линейное и угловое увеличения
отрицательны, а у системы Галилея (/о'б > 0, /ок < 0) они
474
положительны. Продольное же увеличение у обоих систем
положительно. Кроме того, из этих же формул видно, что увеличение
телескопических систем не зависит от расстояния до наблюдаемого
предмета.
В некоторых случаях оценить увеличение оптической системы с
помощью линейного или углового увеличений бывает невозможно.
Представим, например, оптическую систему, с помощью которой
рассматривается предмет, расположенный в передней фокальной
плоскости. Так как изображение этого предмета будет расположено в
бесконечности, то линейное увеличение /? = оо. Получается, что
независимо от фокусного расстояния лупа, например, в этом случае
имеет бесконечно большое увеличение. Поэтому в некоторых случаях
используют понятие о видимом увеличении.
Видимое увеличение определяется как отношение тангенса угла,
под которым наблюдается изображение, к тангенсу угла, под
которым наблюдается предмет невооруженным глазом. Выведем
формулу для вычисления видимого увеличения.
Из рис. 23.1 видно, что создаваемое объективом изображение
бесконечно удаленного предмета видно через окуляр под углом со'',
для которого
Уок Уок
Без оптической системы наблюдатель видел бы тот же предмет под
углом со, для которого
tg© = -¦?-.
/об
Отсюда следует, что видимое увеличение телескопической системы
V1 = -ff. B3.5)
I ок
Из сравнения B3.2), B3.3) и B3.4) видно, что
/? = ?;,у = гт, а = ц- B3.6)
Из рис. 23.1 нетрудно получить соотношение
Следовательно, абсолютная величина видимого увеличения
равна отношению диаметра входного зрачка к диаметру выходного
зрачка.
475
Ввиду того, что а Ф /?, при наблюдении через телескопическую
систему происходит искажение наблюдаемого изображения
пространства. Обычно Гт > 1, но тогда а < /3, т.е. изображение
наблюдаемого пространства будет казаться сжатым вдоль оптической
оси. При большом видимом увеличении эту сжатость легко
обнаружить. Так, например, при рассматривании через зрительную
трубу идущего по направлению к наблюдателю человека создается
впечатление, что этот человек не двигается вперед, а топчется на
месте. Такое искажение изображения пространства является
результатом искажения передачи естественной перспективы. Это
искажение будет отсутствовать при Гт = 1, когда а = /3. Искажение
передачи естественной перспективы отсутствует и при Гт = -1, но
при этом изображение будет неестественным (обратным).
23.3. Глубина изображения телескопических систем
Пусть на рис. 23.4 точки Р и Р' являются центрами входного
DC и выходного D'C зрачков телескопической системы зрительной
трубы; диаметры этих зрачков равны D и D' соответственно. На
расстоянии р слева от входного зрачка расположена плоскость
предметов Q, все точки которой резко изображаются в плоскости Q'
пространства изображений. Очевидно, осевая точка А плоскости Q
изобразится оптической системой в виде осевой точки А' плоскости
Q'. Пучок лучей CAD пространства предметов, выходящий из точки А
и заполняющий входной зрачок, в пространстве изображений
преобразуется в пучок C'A'D', заполняющий выходной зрачок и
собирающийся в точке А'. Более близкая к входному зрачку
плоскость Qi, расположенная на расстоянии рь изображается в виде
плоскости Q[. Выходящий из осевой точки Аг плоскости Q± пучок
лучей CA^D в пространстве изображений преобразуется в пучок
C'A^D', собирающийся в точке А[ и образующий в плоскости Q'
некоторый кружок рассеяния диаметром K'L' = а'. Продолжим лучи
АгС и AXD влево до встречи с плоскостью Q в точках L и К
соответственно. Очевидно, KL = а есть диаметр кружка рассеяния
пучка лучей CA1D в плоскости Q, сопряженного с кружком рассеяния
диаметром K'L' = а' в плоскости Q'.
476
Рис. 23.4. Глубина изображения
Продолжим далее линии DL и СК влево до их пересечения в
некоторой осевой точке А2 и проведем линии D'V и С'К' до их
пересечения в некоторой осевой точке А'2\ через точки А2 и А'2
перпендикулярно оптической оси проведем соответственно
плоскости Q2Q2. Расстояние от входного зрачка до плоскости Q2
обозначим через р2. Из такого построения следует, что пучок лучей
CA2D, выходящий из точки Л2, заполняющий входной зрачок и
образующий в плоскости Q кружок рассеяния диаметром а, в
пространстве изображений соберется в точке Л'2, образуя в плоскости
Q' кружок рассеяния диаметром а', а плоскость Q2 изобразится в
виде плоскости Q2. Отсюда вытекает, что все точки отрезка А1А2
оптической оси изображаются в виде кружков рассеяния лучей с
центром в точке А\ диаметр которых не превосходит величину а'.
Будем считать, что оптическая система не обладает аберрациями
(является идеальной). Тогда пучки лучей, выходящие из внеосевых
точек плоскостей Q, Qx и Q2 и заполняющие входной зрачок,
образуют в плоскости Q кружки рассеяния диаметром не более а, а в
плоскости Q'- диаметром не более а'.
Если считать, что изображения точек пространства предметов,
заключенного между плоскостями Qx и Q2, в плоскости Q не должны
превышать величину а, а в плоскости Q'— величину а', то расстояние
А = р2 - р1 между плоскостями Qx и Q2 называют глубиной
изображения. Плоскости Qx и Q2 в этом случае называют
передним и задним планом, а расстояния Ах= р — рх и
Л2= Pi ~ V ~ передней и задней глубиной изображения соответственно.
477
Из подобия треугольников Л2КЬ и A2CD следует
п Р2 - Р
Для телескопической системы р2 = <х>, поэтому
a=D.
Кружок рассеяния диаметром а = D виден из центра Р входного
зрачка под углом
D
Из рисунка имеем
Следовательно,
Для пространства изображений
D
со = —
2РХ
При наблюдении через зрительную трубу глаз человека
воспринимает предмет величиной а в виде точки, если его угловая
величина со' в пространстве изображений не превосходит некоторую
угловую величину г, принимаемую в расчетах равной 1' F0м), т.е.
Поэтому передний план расположен на расстоянии
Pi=l?- B3-Ю
Все точки пространства предметов, расстояния до которых от
плоскости входного зрачка равны или более Рь будут видны в
зрительную трубу под углом, не превышающим е и поэтому будут
восприниматься резко (в виде точек). Например, для бинокля с
увеличением Гт = 20х при диаметре зрачка глаза (выходного зрачка),
равном 2 мм и? = 1',в соответствии с формулой B3.8) получаем
Pi =2-^3438= 1375200 мм = 1,3752 км.
Вычисленное таким образом расстояние р1 оказывается значительно
большим по сравнению с теми расстояниями, на которых в
действительности можно отчетливо наблюдать изображения точек
при помощи телескопической системы зрительной трубы без
перефокусировки окуляра. В действительности глаз аккомодирует и
478
тем самым приспосабливается к расстояниям до рассматриваемого
изображения. Поэтому без перефокусировки окуляра за счет
аккомодации глаза наблюдатель может рассматривать четкое
изображение точек, расположенных на значительно близком
расстоянии, чем то, которое определяется по формуле B3.8).
-z
\
f \
\
^i-z' i
-y'
/r2
Рис. 23.5. Глубина изображения зрительной трубы
при аккомодации глаза
На рис. 23.5 показана телескопическая система, содержащая
объектив с фокусами F^Fl и окуляр с фокусами F2,F2'; осевая точка А
предмета, находящаяся на расстоянии z от фокуса Fl5 изображается
оптической системой в точку А' на расстоянии z' от фокуса ?'г.
Так как точка F2 является одновременно и изображением точки Fl5 то,
следовательно, z' является изображением отрезка z. Вследствие того,
что линейное увеличение телескопической системы не зависит от
расстояния до предмета, на основании формулы C.30) при п = п'
имеем
zi = a = p\
Отсюда с учетом формул B3.6) получаем
Обычно глаз наблюдателя без труда может рассматривать
изображение на расстоянии z' = - 250 мм (глаз располагается вблизи
фокуса F2). Поэтому расстояние (в метрах) до переднего плана
изображаемого пространства при наблюдении в зрительную трубу
можно оценить по формуле
z = -ir|. B3.9)
Для бинокля с 20-кратным увеличением этот план лежит на
расстоянии z = - 100 м.
479
Таким образом, аккомодация глаза позволяет значительно
увеличить глубину наблюдаемого пространства при визуальных
наблюдениях.
23.4. Разрешающая сила и полезное (нормальное)
увеличение зрительной трубы
Разрешающая сила телескопической системы зрительной трубы
определяется разрешающей силой ее объектива и равна обратной
величине наименьшего угла между прямыми, проведенными из
центра входного зрачка к разрешаемым точкам. Чем меньше этот
угол, называемый угловым пределом разрешения, тем выше
разрешающая сила зрительной трубы. Окуляр не влияет на
разрешающую силу, т.к. он при достаточном увеличении
способствует рассмотрению глазом лишь тех потребностей, которые
имеются в изображении предмета, получаемом с помощью объектива.
Из центра Р входного зрачка объектива зрительной трубы
бесконечно удаленные точки А и В видны под предельным углом
разрешения хр. Изображения А' и В' этих точек строятся объективом
в фокальной плоскости на расстоянии А 'В' = Z' друг от друга
(рис. 23.6).
Вх. Зр.
В
Рис. 23.6. Угловой предел разрешения объектива зрительной трубы
На основании B0.15)
z' =-
0.61Л
где о'- апертурный угол объектива в пространстве изображений.
Если D - диаметр входного зрачка, /'- фокусное расстояние
объектива, то
480
Тогда для углового предела разрешения "ф, выраженного в
угловых секундах, при Я = 0,000555 нм будем иметь
xp = z- 206265 = ыг 70555 206265 = Hf,
где диаметр D должен быть взят в миллиметрах. В последнее время
при расчетах чаще применяется формула
* = 1Jf- B3.10)
Эта формула позволяет вычислить угловой предел разрешения
зрительной трубы на основе дифракционного изображения точки,
образуемого объективом трубы при отсутствии геометрических
аберраций (идеальный объектив).
В пространстве изображений зрительной трубы (за окуляром)
угол гр преобразуется оптической системой в величину, равную
угловому пределу разрешения ф' глаза наблюдателя, т.е.
1>=%, B3.11)
где Гт - видимое увеличение зрительной трубы. По этой формуле
определяется угловой предел разрешения зрительной трубы, исходя
из углового предела разрешения глаза человека. Из сравнения
последних двух формул следует
rT = ^D. B3.12)
Увеличение, вычисленное по этой формуле, называется полезным
или нормальным.
Угловой предел разрешения глаза человека в среднем принято
считать равным 60". Однако в расчетах эта величина часто берется с
запасом и принимается равной 120". В этом случае в соответствии с
B3.12) нормальное увеличение Гт = Д т.е. равно диаметру входного
зрачка, выраженному в миллиметрах. Дальнейшее возрастание
увеличения не приносит новых подробностей при рассматривании
пространства предметов через зрительную трубу. Телескопические
системы зрительных труб, биноклей с малым с увеличением имеют
видимое увеличение чаще всего меньше нормального.
481
23.5. Субъективная яркость изображения,
воспринимаемая невооруженным глазом
Свет от наблюдаемого объекта, пройдя оптическую систему
глаза, вызывает раздражение в нервных окончаниях, покрывающих
сетчатую оболочку. Это раздражение называют субъективной
яркостью изображения. Такая яркость не связана непосредственно с
фотометрической яркостью изображения на сетчатке. Чаще всего она
определяется освещенностью этого изображения или величиной
светового потока, входящего в глаз. Вообще связь субъективной
яркости с фотометрическими характеристиками света, о которых
говорилось в главе 7, зависит от размеров изображения предметов на
сетчатой оболочке глаза.
Наблюдение точечных источников. Источники света по
отношению к глазу считаются «точечными», если их угловая
величина не больше одной минуты. Такая угловая величина
соответствует угловой величине одного светочувствительного
элемента сетчатки, отделенного от соседних нечувствительными
элементами. Если сила света «точечного» источника равна /v, то
световой поток d<PV9 поступающий в глаз наблюдателя, определяется
как
dO v = lydco,
где dco - телесный угол, опирающийся на края зрачка глаза и
имеющий вершину в светящейся точке. Если диаметр зрачка глаза
равен DM, а расстояние от глаза до светящейся точки равно s, то
dco=^
Тогда световой поток, входящий в глаз и воспринимаемый затем
одним светочувствительным элементом сетчатки глаза:
</Ф„=^. B3.13)
Таким образом, вызываемое этим потоком раздражение
светочувствительного элемента или субъективная яркость
пропорциональна величине потока, т.е. квадрату диаметра зрачка
глаза и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника.
Это положение остаётся верным до тех пор, пока изображение
источника не выходит за указанный угловой предел в одну минуту и
весь световой поток воспринимается одним чувствительным
элементом.
Наблюдение источников конечных размеров. Если глаз
рассматривает светящийся источник или освещенную поверхность
482
больших размеров, то субъективная яркость определяется не
величиной всего поступающего в глаз потока, а освещенностью на
сетчатке. Эту освещенность можно вычислить по формуле G.41):
Ev =пт,7фь„ sin2a^,
где U - яркость источника, тгл- коэффициент пропускания оптической
системы глаза, п = 1, п'- показатель преломления стекловидного тела,
o'Ai - апертурный угол оптической системы глаза в стекловидном
теле. Используя формулу C.45) и учтя, что
получим
Я;=1ГГ,а||. B3.14)
где /Гл и /гл- заднее и переднее фокусные расстояния глаза.
Следовательно, освещенность на сетчатке зависит только от
яркости рассматриваемого предмета и совсем не зависит от
расстояния до него, т.е. субъективная яркость при наблюдении
невооруженным глазом не изменяется при приближении или
удалении источника света.
23.6. Субъективная яркость изображения, воспринимаемая
глазом, вооруженным зрительной трубой
Наблюдение точечных источников. При наблюдении с
помощью зрительной трубы пространство предметов заменяется
пространством изображений. Если при этом угловая величина
изображения наблюдаемого источника света не больше одной
минуты, то этот источник остается точечным. Субъективная яркость
изображения, воспринимаемая вооруженным глазом, в сравнении с
субъективной яркостью для невооруженного глаза зависит от
соотношения диаметров зрачка глаза Drjl и выходного зрачка
зрительной трубы.
1) При DVJX > D' в глаз попадает весь световой поток, вышедший из
трубы. Субъективная яркость наблюдаемого изображения
определяется как и в случае невооруженного глаза, т.е. величиной
светового потока */ф', вошедшего во входной зрачок трубы. Этот
поток можно вычислить по формуле B3.13), если в ней вместо Drjl
подставить Д т.е.
#;=^Г. B3-15)
483
Разделив это уравнение на уравнение B3.13), получим
^ = (^J>1. B3.16)
d0v VD,/ V '
Следовательно, применение зрительной трубы увеличивает
субъективную яркость изображения точечного источника в (^-J раз.
2) При Dr;i<D'входным зрачком является изображение зрачка глаза в
пространстве предметов трубы, т.е. D = D'rjl Гт, где Гт - видимое
увеличение трубы. Поэтому в соответствии с формулой B3.13)
вошедший во входной зрачок световой поток:
Из B3.17) и B3.13) следует, что
^и=Г? B3.18)
Таким образом при наблюдении точечных источников, когда
DVJX < D', субъективная яркость увеличивается зрительной трубой по
сравнению с субъективной яркостью изображения при наблюдении
невооруженным глазом в Pf- раз.
Наблюдение источников конечных размеров. Если
наблюдаемый источник света имеет конечные размеры, то воспринимаемая
глазом субъективная яркость его изображения определяется (как и в
случае невооруженного глаза) освещенностью на сетчатке, которая в
соответствии с G.41) может быть вычислена как
Ev = n(±JT0CTrnLvsin2o'A,, B3.19)
где тос- коэффициент пропускания оптической системы зрительной
трубы.
1) Если Dm<D\ то световой поток заполняет весь зрачок глаза, но не
весь входит в глаз. Выходным зрачком трубы является зрачок глаза.
Поэтому с учетом C.45) из B3.19) получаем
г-» _ т ?±п_
Cv "'•0ClMLV/1,2t
Разделив это уравнение на B2.14), будем иметь
| = тос<1. B3.20)
Следовательно, субъективная яркость при наблюдении с помощью
зрительной трубы больших источников меньше, чем субъективная
яркость при наблюдении тех же источников невооруженным глазом.
2) При Dm > D' зрачок глаза не весь заполняется светом; входным
зрачком для глаза является выходной зрачок зрительной трубы,
диаметр которого определяется как
484
Нетрудно в этом случае показать, что освещенность на сетчатке:
bv — 7ТТОСТГЛЬХ—^ .
4Угл
Разделив это уравнение на B3.14), получим
| = гос(?J = гос(^J<1. B3.21)
Таким образом, и в этом случае при наблюдении в зрительную трубу
субъективная яркость уменьшается по сравнению с яркостью при
наблюдении невооруженным глазом.
Из формул B3.16), B3.18), B3.20) и B3.21) вытекает, что при
наблюдении через зрительную трубу субъективная яркость точечных
объектов по сравнению с субъективной яркостью при наблюдении
невооруженным глазом увеличивается, а при наблюдении объектов
конечных размеров - уменьшается. Поэтому при наблюдении с
помощью телескопов звезд на небе наблюдаемая освещенность фона
небесного свода падает, а воспринимаемая яркость звезд
увеличивается. Это дает возможность наблюдать слабые звезды,
невидимые невооруженным глазом, даже при дневном освещении.
23.7. Зрительная труба с линзовой оборачивающей системой.
Коллектив
Простейшая оптическая система Кеплера, состоящая из
объектива и окуляра, создает обратное изображение предмета. При
разработке оптических систем зрительных труб для неземных
наблюдений, перископов, охотничьих прицелов, некоторых типов
биноклей для получения прямого изображения между объективом и
окуляром устанавливают линзовую оборачивающую систему,
состоящую из двух положительных компонентов, чаще всего с
параллельным ходом лучей световых пучков между ними. Такая
система показана на рис. 23.7, где цифрами 1,2,3,4 обозначены
соответственно объектив, первый компонент оборачивающей
системы, второй компонент оборачивающей системы, окуляр и
показан ход апертурного и главного лучей. Апертурная диафрагма
помещена между компонентами оборачивающей системы.
Изображение бесконечно удаленного предмета, образуемое
объективом, совпадает с передней фокальной плоскостью первого
компонента оборачивающей системы, а изображение за
оборачивающей системой совпадает с задней фокальной плоскостью
485
второго компонента, совмещаемой с передней фокальной плоскостью
окуляра.
Рис. 23.7. Оптическая система зрительной трубы с прямым
изображением
Очевидно, линейное увеличение оборачивающей системы в этом
случае
! f'
а =2^2 _ Ъобор
Робор / fi ,
У\ Мобор
где flo6 и f2o6op ~ задние фокусные расстояния соответственно
первого и второго компонентов оборачивающей системы.
Объектив и первый компонент оборачивающей системы
образуют телескопическую систему с видимым увеличением:
Г1Т
1 обор
а второй компонент оборачивающей системы совместно с окуляром
образует телескопическую систему с видимым увеличением:
г2Т —
Гго.»
где f'o6op и f^K - задние фокусные расстояния объектива и окуляра
соответственно. Перемножив по частям два последних выражения,
получим формулу для видимого увеличения телескопической
системы зрительной трубы с линзовой оборачивающей системой:
fl
->об
т -jr ~р
-/ок vi обор
¦' f'
2обор _ г» /об
Робор f г •
В частном случае при fiO6oP= - 1 фокусные расстояния обоих
компонентов будут равными. Если при этом апертурную диафрагму
поместить в середине промежутка между компонентами, то равными
окажутся относительные отверстия и угловые поля этих
486
компонентов. Следовательно, конструктивно компоненты
оборачивающей системы могут быть выполнены одинаковыми.
Иногда входной и выходной зрачки, сопряженные с апертурной
диафрагмой, оказываются на таких расстояниях, которые не
соответствуют исходным требованиям на расчет оптической системы.
Кроме того, может оказаться, что для прохождения через оптическую
систему лучей полевого пучка диаметры отдельных компонентов
должны иметь довольно большие, а иногда и вовсе неприемлемые по
величине значения. В таких случаях применяют коллектив,
представляющий собой линзу, устанавливаемую в плоскости
промежуточного действительного изображения (или вблизи этой
плоскости). Действие коллектива представлено на рис. 23.8, где
показан ход лучей в системе без коллектива и с ним.
2
¦ 7
Рис. 23.8. Схема действия коллектива
Лучи полевого пучка приближаются коллективом к оси,
вследствие чего высоты этих лучей на компоненте 2, а следовательно,
и диаметр этого компонента оказываются меньше, чем при
отсутствии коллектива. Одновременно с этим меньше становится и
удаление су выходного зрачка.
В некоторых случаях применяют отрицательный коллектив,
добиваясь большего удаления выходного зрачка. При этом диаметр
487
компонента, расположенного за коллективом, возрастает. Это имеет
место, например, в оптических системах охотничьих прицелов, у
которых удаление выходного зрачка достигает величины порядка
70 мм и более, а диаметр окулярной части прибора оказывается
больше диаметра объективной части. Отрицательная линза,
выполняющая роль коллектива, функционально в таких случаях
обычно относится к окуляру.
При высоких относительных отверстиях коллектива его
выполняют в виде сложной системы, состоящей их двух и более линз,
принимая одновременно меры к компенсации аберраций, вносимых
коллективом.
23.8. Фокусировка телескопической системы
Фокусировкой телескопической системы называют процесс
перемещения одного или нескольких компонентов этой системы для
достижения резкости изображения наблюдаемого объекта.
Если наблюдаемый предмет расположен в бесконечности, то
параллельные лучи пучков поступают в глаз наблюдателя с
нормальным зрением, аккомодированном на бесконечность. Считая
аккомодацию неизменной, предположим, что наблюдаемый предмет
находится на конечном расстоянии от зрительной трубы. В этом
случае действительное изображение предмета, образуемое
объективом, сместится из задней фокальной плоскости объектива в
сторону окуляра на некоторую величину А, тем большую, чем ближе
предмет к трубе. Для получения резкого изображения предмета в
параллельных лучах пучков необходимо переместить (выдвинуть)
окуляр на столько, чтобы изображение, создаваемое объективом,
оказалось в передней фокальной плоскости окуляра. Очевидно,
величина этого перемещения будет равна А. В соответствии с
формулой Ньютона:
f'2
А=-/об_,
z
где fo6 - фокусное расстояние объектива, z - расстояние от переднего
фокуса объектива до предмета.
В табл. 23.1 приведены величина А перемещения окуляра в
зависимости от расстояния для бинокля БПЦ - 20x60 с видимым
увеличением Гт = 20х; фокусное расстояние объектива бинокля
/о'б = 274 мм.
488
Таблица 23.1
Z(M)
А(ЛШ)
200
0,38
100
0,75
90
0,83
80
0,94
70
1,07
50
1,50
25
3,00
Из таблицы видно, что при расстоянии до предмета, равном 200 м,
окуляр должен быть выдвинут на 0,38 мм, а при расстоянии 25 м эта
подвижка составляет уже 3 мм.
При наблюдении через зрительную трубу бесконечно удаленных
объектов аметропическим глазом также приходится перемещать
окуляр. При этом в случае близорукости в глаз должны поступать
расходящиеся пучки лучей, а в случае дальнозоркости - сходящиеся
пучки лучей. В первом случае окуляр перемещают (вдвигают) в
сторону объектива, так что изображение наблюдаемого объекта,
создаваемое объективом, оказывается расположенным между
передней фокальной плоскостью окуляра и первой его поверхностью.
Во втором случае окуляр перемещают (выдвигают) в сторону от
объектива, когда названное изображение оказывается перед передней
фокальной плоскостью окуляра.
Предположим, что для достижения резкости изображения
бесконечно удаленного предмета, наблюдаемого аметропическим
глазом, окуляр должен быть перемещен на некоторую величину А= z.
Тогда расстояние от заднего фокуса окуляра, с которым практически
совпадает центр зрачка, будет равно z'. В соответствии с формулой
Ньютона
f'2
zi = _ [ok
Д
Взяв обратную величину z', выраженную в метрах, можно написать
А =
1000
-, т.е. z = ¦
юоо
z' ' A
где А - сходимость пучка лучей в диоптриях. Таким образом,
юоо
= - -^, т.е.
А Д
А =-¦
1000
B3.22)
В последней формуле А характеризует аметропию глаза наблюдателя.
Она устанавливает связь между аметропией А глаза в диоптриях и
соответствующим перемещением А окуляра в миллиметрах.
489
23.9. Зрительная труба с внутренней фокусировкой
В сложных телескопических системах фокусировка может
осуществляться с помощью перемещения не окуляра, а компонентов,
расположенных между объективом и окуляром. Такие системы
называют системами с внутренней фокусировкой. Подвижными
компонентами в таких системах могут быть как силовые элементы
(линза, группа линз), перемещающиеся вдоль оси, так и несиловые
(например, плоскопараллельная пластинка с переменной толщиной,
состоящая из двух клиньев, один из которых перемещается
относительно другого в перпендикулярном к оси направлении).
Внутренняя фокусировка, в отличие от внешней (когда перемещается
окуляр), не приводит к изменению длины системы.
Оптическая система простейшей зрительной трубы с внутренней
фокусировкой отличается от оптической системы простейшей трубы
Кеплера, показанной на рис. 23.1, лишь тем, что у нее объектив
выполнен из двух компонентов, второй из которых при фокусировке
перемещается вдоль оптической оси.
Ап.д.(Вх.зр.)
Вых.зр.
Рис. 23.9. Оптическая схема зрительной трубы с внутренней
фокусировкой
На рис. 23.9 показана оптическая схема зрительной трубы с
внутренней фокусировкой, где цифрами 1,2 и 3 обозначены
соответственно первый компонент объектива с фокусным
расстоянием //, второй компонент с фокусным расстоянием /2' и
490
окуляр с фокусным расстоянием f'ok. Расстояние между
компонентами и фокусное расстояние объектива равны d и /'
соответственно.
Если труба сфокусирована на бесконечность (аг = - оо), то
расстояние а2 от второго компонента до полевой диафрагмы, в
плоскости которой формируется изображение бесконечно удаленного
предмета, равно заднему фокальному отрезку a'Ft объектива, а
расстояние от первого компонента до полевой диафрагмы
L=d+ aF,.
Применяя формулу D.5), получаем
По формуле D.1) оптическая сила объектива.
Ф — ф^ + ф2 ~ ^ФхФ2 = Ф1
Из формулы D.5) следует
_ V
Поэтому
откуда получаем
Ф1 =ф-ф2у: =
Используя это значение ф1? можно далее написать:
L = d + f - f'd$(l - ф2а'р,) =d + f'-d(l- ф2 V>,
L = f'+d$2dF,. B3.23)
Так как a'Fi > 0, то из B3.23) следует, что при ф2 < 0 имеем /' > L.
Это же видно и из рис. 23.9: задняя главная плоскость объектива
расположена левее его первого компонента.
Двухкомпонентный объектив, у которого /' > L, называется
телеобъективом. Применение телеобъектива в зрительной
трубе способствует уменьшению ее габарита вдоль оси.
На рис. 23.9 второй компонент объектива показан
отрицательным.
Если наблюдаемый с помощью трубы предмет находится на
конечном расстоянии аь то создаваемое объективом его изображение
не будет располагаться в плоскости полевой диафрагмы. В этом
491
случае второй компонент перемещают вдоль оси (фокусируют
зрительную трубу) до тех пор, пока это изображение не окажется в
плоскости полевой диафрагмы. При фокусировке будут изменяться
величины /', d и dFt, но величина L изменяться не будет.
Из рис. 23.9 имеем
d = L-a'2. B3.24)
По формуле C.49):
al = Д2/2
Так как по формуле C.48) а2= а[ - d, то
Подставим это значение а2 в B3.23), после несложного
преобразования получим
d2 - (s[ + L)d-f2fa[+L(a[ + /2') = О,
откуда
где
а/ aiAy
Формула B3.25) дает возможность вычислить положение
фокусирующего компонента (как положительного, так и
отрицательного) при фокусировке на любое расстояние и определить
таким образом необходимые пределы перемещения этого компонента
при фокусировке от бесконечности до возможно близкого
расстояния. В этой формуле перед радикалом можно использовать
только знак «минус», т.к. знак «плюс» приводит к недопустимо
большому значению d, противоречащему условию задачи.
23.10. Бинокли
Бинокль (от лат. bini - пара, два и akulus - глаз) предназначен
для наблюдения удаленных объектов двумя глазами и конструктивно
представляет собой две одинаковые соединенные вместе зрительные
трубы.
Различают два типа биноклей - бинокли Галилея
(театральные) ипризменные (полевые).
492
Рис. 23.10. Бинокль Галилея
Характеристиками оптической системы бинокля,
определяющими его эксплуатационные свойства, являются
увеличение Г, диаметр входного зрачка Д диаметр выходного зрачка
D', угловое поле в пространстве предметов 2ш, угловое поле в
пространстве изображений 2а)'', удаление выходного зрачка от
вершины последней поверхности окуляра S V
Бинокли Галилея построены на базе телескопической системы
Галилея, т.е. содержат объектив с положительным фокусным
расстоянием (обычно из двух склеенных линз), окуляр с
отрицательным фокусным расстоянием (чаще - одиночная линза) и,
следовательно, обеспечивают получение прямого изображения
наблюдаемого объекта (рис. 23.10).
Из-за малого углового поля в пространстве предметов при
больших увеличениях эти бинокли выпускаются с малым
увеличением - от 2,5 до 4 крат.
Исключение может составить лишь выпускавшийся во второй
половине XX в. на ПО «ЗОМЗ» бинокль под маркой БГШ - 2,3x40
(бинокль Галилея широкоугольный) с увеличением 2,3х и угловым
полем 2со = 28°.
Ниже приведены конструктивные и оптические параметры
оптической системы этого бинокля, предложенной в 80-х годах XX в.
проф. М.М.Русиновым.
г
50,93
104,47
35,51
а
4,4
0,3
стекло
7X14
СВ. ф
40
39,3
36,6
493
66,37
30,62
100,00
5,3
10,6
4,0
11,5
7X14
СТК9
ТФ\0
35,6
22,1
19,7
10,593
8,4
Г= 2,3х; 2со = 28 ; S'p, = 9 мм; D' = 5 мм.
Наиболее распространены призменные бинокли, построенные на
базе телескопической системы Кеплера.
Так как телескопическая система Кеплера дает обратное
изображение наблюдаемого объекта, то для получения прямого
изображения между объективом и окуляром устанавливается
призменная оборачивающая система. Чаще всего это бывает система
Порро 1-го рода (рис. 23.11).
Рис. 23.11. Бинокль с призмой
Порро 1 -го рода
В призменных биноклях, в отличие от биноклей Галилея, в
задней фокальной плоскости объектива можно установить сетку для
определения расстояний до объектов и измерения их угловых
величин. Призменная система Порро 1-го рода позволяет сократить
габариты прибора вдоль оси. Кроме того, эта система приводит к
изменению (чаще всего к увеличению) расстояния В между
оптическими осями объективов по сравнению с расстоянием между
оптическими осмии окуляров (расстояние между центрами зрачков
глаз), что является полезным (при В > 6), т.к. при этом усиливается
стереоскопический эффект, т.е. усиливается ощущение глубины
494
наблюдаемого пространства. Стереоскопический эффект оценивают с
помощью полной пластики, вычисляемой по формуле B2.24):
где Р1 - удельная пластина (Рх = -), Г - увеличение бинокля.
Например, для бинокля с увеличением 10Y при Рг= 2 полная пластина
Р = 20.
По увеличению (кратности) бинокли разбивают на группы:
малого Bх - 4Л), среднего E - 8Л) и большого A0х - 22х) увеличения.
Призменные бинокли малого увеличения относят к театральным.
При увеличении более 15х во время наблюдения с рук
нарушается стабилизация изображения (вследствие дрожания рук
изображение неустойчиво). В этом случае для стабилизации
изображения бинокль устанавливают на штатив. Однако это
приводит к положительному эффекту, если штатив и наблюдатель
находятся на стабильном основании, например на земле. При
нестабильном основании (тряска в вертолете) используются бинокли,
в которых для стабилизации изображения между объективом и
окуляром устанавливают специальные устройства, удерживающие
оптическую ось в нужном направлении.
Рис. 23.12. Бинокль с призмой
Аббе с крышей
Кроме призменной системы Порро 1-го рода, в биноклях
применяют и другие сложные призмы, например призму Пекана с
крышей, призму Аббе с крышей (рис. 23.12), в которых одна из
отражающих граней заменена двумя отражающими гранями,
установленными под углом 90° друг к другу (с точностью до 1").
495
Бинокли с такими призмами имеют удельную пластину Рг = 1.
Важной характеристикой призменных биноклей является сумеречное
число, вычисляемое как л/Yd. Например, при 8-кратном увеличении и
диаметре входного зрачка 50 мм сумеречное число V8 • 50 = 20. По
величине этого числа оценивают преимущество биноклей при
наблюдении в сумерках и ночью.
Для лиц, носящих очки, разработаны бинокли с большим
удалением выходного зрачка от последней поверхности окуляра
S'r = 17 - 18 мм (у обычных биноклей 5'/ = 11 - 12 мм). Поэтому при
наблюдении через такие бинокли как без очков, так и в очках, их
угловое поле используется полностью. У лиц, носящих очки, при
наблюдении через обычный бинокль срезается примерно третья часть
поля из-за виньетирования полевых пучков лучей.
По способу наведения на фокус (наведение на отчетливое
видение наблюдаемого объекта) бинокли делятся на типы с
разделенной и центральной фокусировкой. Наведение на фокус
производится перемещением либо каждого окуляра отдельно, либо
обоих окуляров одновременно. Предусматривается еще перемещение
одного из окуляров по отношению к другому на случай
неодинаковости аметропии глаз.
Появились бинокли с панкратическим изменением увеличения,
позволяющие изменять его непрерывно (например, от 7 до 12 крат).
496
ГЛАВА 24. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
МИКРОСКОПОВ И ЛУПЫ
Микроскоп служит для наблюдения и измерения мелких
объектов под большим увеличением. Оптическая система
микроскопа содержит две главные части - объектив и окуляр.
Объектив создаёт обратное увеличенное действительное изображение
наблюдаемого объекта вблизи передней фокальной плоскости
окуляра, через который (как через лупу) это изображение
рассматривается глазом. Объектив и окуляр представляют собой
положительные компоненты, каждый из которых содержит обычно
не менее двух линз.
24.1. Ход и ограничение пучков лучей в оптических системах
микроскопов
На рис. 24.1 показана оптическая схема, ход апертурного луча и
лучей полевого пучка в простейшем микроскопе, объектив которого
имеет фокусы Fu F[ и фокусное расстояние F0'6, а окуляр - фокусы
F2, F2 и фокусное расстояние F0'K ; А - оптический интервал. Предмет
у = АВ располагается перед передним фокусом F_ объектива.
Об-в
р
Гоб
• П.д.
_>^f
Л
(О _^ч
-и
\Ок-р
Вых. зр.
Рис. 24.1 Оптическая схема микроскопа
Объектив создаёт обратное действительное изображение
у' = А'В' этого предмета вблизи передней фокальной плоскости
окуляра, который преобразует это изображение в мнимое (но по-
прежнему обратное), но расположенное в бесконечности и видимое
глазом, зрачок которого совмещается с выходным зрачком оптической
системы, под углом со'. Роль апертурной диафрагмы и одновременно
входного зрачка с центром в точке Р выполняет оправа объектива.
497
Выходным зрачком с центром в точке Р' является изображение
оправы объектива, создаваемое окуляром на расстоянии api
несколько правее заднего фокуса ?'г. Полевая диафрагма
располагается в плоскости действительного изображения,
создаваемого объективом, и ограничивает величину этого
изображения 2у'.
Геометрическое виньетирование в системе микроскопа
отсутствует; края изображения, наблюдаемого через окуляр, резко
очерчены.
На рис. 24.2 показана оптическая схема отсчётного микроскопа.
В отличие от предыдущей системы, апертурная диафрагма здесь
расположена в задней фокальной плоскости объектива, а входной
зрачок микроскопа при этом находится в бесконечности. Главный луч
(проходящий в пространстве предметов через центр входного зрачка)
входит в объектив параллельно оптической оси системы. Такой ход
лучей, как уже отмечалось выше, называют телецентрическим.
Благодаря этому некоторое несовпадение объекта с измерительной
шкалой или несовпадение его изображения с сеткой, помещаемой в
плоскости полевой диафрагмы, не вызывает ошибки измерения.
Об-в
Вых. зр.
Рис. 24.2. Оптическая схема отсчётного микроскопа
24.2. Увеличение микроскопа
Одной из характеристик микроскопа, как и других
наблюдательных приборов, является видимое увеличение. Из
рис. 24.2 видно, что изображение у' объекта величиной у,
498
создаваемое объективом, видно глазом через окуляр под углом со',
для которого
Тот же объект, рассматриваемый невооружённым глазом с
расстояния наилучшего зрения 250 мм, виден под некоторым углом
со, для которого
tga/ = у/250.
Разделив первое выражение на второе, получим видимое увеличение
микроскопа
/ 250
У ' /о'к'
Из рис. 24.1 и формулы C.41) следует, что отношение
У * /об
есть линейное увеличение объектива. Следовательно, видимое
увеличение микроскопа
Л 250
Г = -ТГ-уг- B4.1)
Уоб Уок
Так как все величины, входящие в эту формулу, положительны, то
видимое увеличение отрицательно; микроскоп даёт обратное
изображение наблюдаемого объекта. То же самое следует из
рисунков в п. 2.1. В соответствии с формулой D.4):
/об ' УОК _ г!
А ~Г '
где /' - фокусное расстояние всей системы микроскопа. Поэтому
250
Г = — ¦ <24-2)
Отметим, что формулы B4.1) и B4.2) справедливы для случая,
когда изображение наблюдаемого объекта, создаваемое объективом
микроскопа, совпадает с передней фокальной плоскостью окуляра.
Если окуляр сдвинуть на некоторую величину влево, то изображение
у' = А'В' окажется между фокусом F2 и окуляром; пучки лучей,
выходящие из окуляра, станут расходящимися (что необходимо при
близорукости глаза). В этом случае изображение, создаваемое
окуляром, будет также мнимым и обратным, но расположенным на
расстоянии наилучшего видения B50 мм от глаза). При этом
499
увеличение микроскопа будет несколько больше, чем то, которое
определяется формулами B4.1) и B4.2).
Если же окуляр сдвинуть вправо так, чтобы изображение
у1 = А'В' оказалось перед фокусом F2, то изображение, создаваемое
окуляром, окажется действительным, а выходящие из окуляра пучки
лучей станут сходящимися (что необходимо при дальнозоркости
глаза). Увеличение микроскопа при этом по сравнению с его
значением, определяемым формулами B4.1) и B4.2), несколько
уменьшится. В этом случае изображение можно спроектировать на
экран или фотопленку. По такой схеме производят фото и
киносъемку микроскопических объектов.
24.3. Глубина изображаемого пространства микроскопа
На рис. 24.3 показаны выходной зрачок с диаметром D' и
центром в точке Р', а также плоскость Q'', являющаяся изображением
плоскости наведения Q, расположенные на расстояниях z'pi и z' от
заднего фокуса F' системы микроскопа соответственно.
Предположим, что плоскость Q'l9 находящаяся на расстоянии dz' от
плоскости Q\ является изображением плоскости Qu находящейся на
расстоянии dz от плоскости наведения Q. Пучку лучей, исходящему
из осевой точки А плоскости наведения и опирающемуся на входной
зрачок, в пространстве изображений соответствует пучок С AD\
опирающийся на выходной зрачок С'D' с центром в точке Р'.
Аналогично, пучку лучей, исходящему из осевой точки Аг плоскости
Qx и опирающемуся на входной зрачок, в пространстве изображений
соответствует пучок С A\D', опирающийся на тот же выходной
зрачок С'D' и образующий в плоскости Q' кружок рассеяния лучей
диаметром а'. Из-за малости dz' угол D' А\Р' можно принять равным
апертурному углу <Тд. Поэтому из рис. 24.3 следует, что
а' = 2dz'Mgo'A.
Из треугольника A'D'P' имеем
D'
=2(z'-z'piy
Пренебрегая малой величиной z'pr, далее получаем
dz'D'
Обозначим угловую величину в радианах диаметра а' относительно
центра Р' выходного зрачка через ?. Тогда, пренебрегая величиной
zfpt, из рисунка будем иметь
500
? = -— = -
B4.3)
Рис. 24.3. Глубина изображаемого пространства микроскопа
Дифференцируя формулу Ньютона, можно найти
zdz' + z'dz = 0.
Отсюда с учетом формулы Ньютона
У оптической системы микроскопа выполняется условие синусов, в
соответствии с которым
rising = fin' s\no'A!.
Отсюда, используя значение /3 из формулы C.14), найдем
sin a.i — smaA
А n'z' А
B4.5)
При небольших величинах апертурных углов можно принять,
что tgoj/ »sin<r^. С учетом этого из рис. 24.4, пренебрегая малой
величиной zfpr, нетрудно получить
D' = -2z'sinerJ/. B4.6)
Подставив сюда значение sin o'Ai из формулы B4.5), далее напишем
' = 2-f'smoA.
501
Используя формулы B4.4) и B4.6), из формулы B4.3) получаем
2dz n
? = —— — sina^.
Отсюда, применив формулу C.45), имеем
2dz = --
smaA
Умножив числитель и знаменатель последнего уравнения на п и учтя,
что nsin оА = Л, далее получим
2dz = —,
А
где А - апертура объектива микроскопа в пространстве предметов.
Заменив /' его значением из формулы B4.2) и отбрасывая знак
«минус», т.к. в данном случае речь идет только об абсолютном
значении dz, находим
2dz = 2-^. B4.7)
AY
Эта формула позволяет вычислить геометрическую глубину
изображаемого пространства.
Пусть глаз аккомодирован на плоскость Q', которая может
располагаться и в бесконечности. Допустим, что при наблюдении
аккомодация глаза не меняется, а предельное значение ?
соответствует величине а', когда она воспринимается глазом в виде
точки. Тогда величину 2dz можно считать глубиной изображаемого
пространства микроскопа, т.к. плоскость Q[ может находиться как
перед плоскостью Q', так и за нею. В этом случае, как следует из
формулы B4.7), глубина изображаемого пространства обратно
пропорциональна увеличению микроскопа и числовой апертуре его
объектива.
Формула B4.7) справедлива при условии, что при наблюдении
глаз своей аккомодации не меняет. В действительности наблюдатель
всегда меняет аккомодацию своего глаза, благодаря чему он может
видеть резкими изображения и тех точек пространства предметов,
которые лежат за пределами глубины, определяемой формулой B4.7).
Ввиду малости z'pf, будем считать, что зрачок глаза, выходной
зрачок оптической системы микроскопа и задняя фокальная
плоскость совпадают.
Как и в п. 22.5 обозначим расстояние от переднего фокуса
системы микроскопа до ближней точки ясного видения в метрах
502
буквой р, а до дальней точки ясного видения - буквой г. Тогда 1/р и
1/г определяют соответственно сходимости Р и R в диоптриях, т.е.
1 1
Р=-, /?=-.
р г
Разность обеих сходимостей
А = P-R
определяет ширину аккомодации.
Расстояние от заднего фокуса системы микроскопа до
изображения ближней и дальней точек ясного видения, создаваемого
микроскопом, обозначим буквами р' и г' соответственно. Тогда на
основании формулы Ньютона:
р' г'
Поэтому глубину изображаемого пространства можно представить
как
Так как в диоптриях г' = 1000//?, р' = 1000/Р, то
Следовательно, ширина аккомодации в диоптриях
Изображение, наблюдаемое с помощью микроскопа, располагается в
воздухе (п' = 1). Применяя далее формулу C.45) и отбрасывая знак
«минус», получим
nf'\
С учётом формулы B4.2) последнее выражение приводится к виду
*- <248>
По этой формуле можно вычислить аккомодационную глубину
изображаемого пространства микроскопа.
Полная глубина изображаемого пространства микроскопа
определяется суммой значений 2dz и г — р, получаемых по
формулам B4.7) и B4.8) соответственно, т.к. глаз видит ясно и те
точки пространства предметов, изображения которых лежат дальше
дальней точки и ближе ближней точки, если угловые размеры
кружков рассеяния для этих точек не больше предельного значения е.
503
Таблица 24.1
Увеличение Г
глубина 2dz
глубина г — р
Полная глубина
10
0.001
4.375
4.376
50
0.000
0.175
0.175
100
0.000
0.044
0.044
500
0.000
0.002
0.002
В таблице 24.1 для примера приведены численные значения 2dz,
г — р и полной глубины изображаемого пространства в миллиметрах
при s = 0.00029 (т.е. 1'), п = 1, Л = 7 дптр (ширина аккомодации
человека в возрасте 30 лет). Из таблицы видно, что решающий вклад
в обеспечение глубины изображаемого пространства микроскопа
вносит аккомодация глаза наблюдателя.
24.4. Лупа
Лупа предназначена для рассматривания мелких объектов,
плохо различимых глазом. Рассматриваемый объект помещают от
лупы на расстоянии, немного меньшем её фокусного расстояния либо
равным фокусному расстоянию. После прохождения лупы лучи от
объекта еще раз преломляются в глазу и собираются в его дальней
точке ясного видения. В глаз лучи попадают под углом, большим,
чем при наблюдении того же объекта невооруженным глазом. Этим и
объясняется увеличивающее действие лупы, дающей прямое
увеличенное и мнимое изображение рассматриваемого объекта.
Простейшая лупа представляет собой собирающую линзу. Такие
лупы дают небольшое увеличение B... 4х). При средних увеличениях
D... 10х) лупы содержат две-три линзы. Угловое поле в пространстве
изображений у луп с малым и средним увеличением не превышает
15...20°. Лупы с большим увеличением по конструкции близки к
сложным окулярам; угловое поле таких луп достигает 80.. .100°.
24.5. Ограничение пучков лучей в лупе
Будем рассматривать случай, когда диаметр лупы больше
диаметра зрачка глаза, т.к. обратный случай в теории лупы не имеет
практического значения.
Пусть на рис. 24.4 тонкий компонент L представляет собой
простейшую лупу с диаметром Dn и фокусным расстоянием /'. На
расстоянии
z'pi от заднего фокуса F' помещен зрачок глаза,
504
выполняющий роль выходного зрачка с диаметром D' с центром в
точке Р'\ этот же зрачок является и апертурной диафрагмой.
Вх.зр. Вых.зр.
г
ZP'
Рис. 24.4. Ограничение пучков лучей в простейшей лупе
Предмет ВС расположен между лупой и её передним фокусом F,
а прямое мнимое и увеличенное изображение В'С этого предмета -
на некотором расстоянии 8 от выходного зрачка. Входным зрачком
диаметром D служит изображение выходного зрачка через лупу в
обратном ходе лучей; центр входного зрачка находится в точке Р.
Показанная на рис. 24.4 лупа содержит две вещественные
диафрагмы - оправу лупы и зрачок глаза. При этом оправа лупы
является виньетирующей диафрагмой.
Определим полевые углы лупы в пространстве изображений
для трех зон виньетирования: 0%, 50% и 100%.
На рис. 24.5 показан луч, исходящий из точки В плоскости
предмета, идущий через верхний край оправы лупы, а в пространстве
изображений - через верхний край выходного зрачка; образуя с
оптической осью угол со'в. Этот луч своей мнимой частью встречает
плоскость изображений в некоторой точке В\ являющейся
изображением точки В. Гомоцентрический пучок лучей, исходящий
из точки В, после лупы заполняет весь выходной зрачок, собираясь
мнимой частью в точке В\ освещенность в которой примем за 100%.
505
N.
Вых. зр.
А'
У
\
к D
В
, F
г—"
А
-а
-S
>
Рис. 24.5. Геометрическое виньетирование в лупе
Из точки D плоскости предмета идет луч через край лупы и
центр Р' выходного зрачка, образуя в пространстве изображений с
оптической осью угол со'. Изображение D' точки D создается пучком
гомоцентрических лучей, исходящих из точки D и заполняющих
лишь нижнюю половину выходного зрачка. Поэтому освещенность в
точке D' составляет лишь 50% от освещенности в точке В'.
И, наконец, луч, идущий из точки Е предмета через край лупы и
нижний край выходного зрачка, образует с оптической осью в
пространстве изображений угол сон. Изображение Е' точки Е
создается мнимой частью только одного этого луча; другие лучи
пучка, исходящие из точки Е, задерживаются либо нижним краем
выходного зрачка (зрачок глаза), либо верхним краем оправы лупы,
не достигая, таким образом, точки Е'. Следовательно, освещённость в
точке Е' можно принять равной 0%. Таким образом, освещённость
изображения части предмета, образующей круг радиусом АВ, равна
100%. Освещенность изображения части предмета, образующей
кольцо толщиной BD, падает от центра к периферии от 100 до 50%.
Освещенность же изображения части предмета в виде кольца
толщиной DE, падает от 50 до 0% по направлению от центра к
периферии.
Из рис. 24.5 не трудно установить, что
Dn + D'
Ы , , v B4.9)
B4.10)
tg со' =
506
B4Л1)
Из этих формул видно, что поле лупы увеличивается при
увеличении ее диаметра и при уменьшении расстояния между глазом
и лупой. Поэтому, когда нужно обозревать большую часть плоскости
предмета, лупу надо приближать к глазу. Края максимально
возможного поля лупы, определяемого формулой B4.9), из-за
виньетирования глаз может не увидеть. Поэтому при использовании
лупы целесообразно рассматривать хорошо освещенные объекты.
Используя формулу B4.9) и формулы высот и тангенсов углов,
для пространства предметов нетрудно получить
2(f'+z'p,)
После преобразования будем иметь
Если расстояние от лупы до плоскости предмета обозначить буквой а,
то для линейного поля лупы 2у (см. рис. 24.5) нетрудно получить
выражение
a(f'D'-z',Dn)
У л 2f'(f' + zpl)
при а = —/ = /', zfpt = 0 имеем
2у = Ол + D'.
Таким образом, если плоскость предмета совмещена с передней
фокальной плоскостью лупы, а центр зрачка глаза совпадает с задним
фокусом, то линейное поле лупы на диаметр зрачка глаза больше
диаметра лупы.
Все изложенное выше верно в предположении что при
наблюдении глаз неподвижен. На практике глаз может наблюдать
объекты в пределах несколько большего поля из-за своего
непрерывного вращения вокруг центра, отстоящего на 13 -г- 15 мм от
своего зрачка. Поэтому при рассмотрении системы «лупа-глаз» центр
зрачка глаза нужно совмещать с центром его вращения, т.е. в
формулах B4.9)-B4.11) знаменатель необходимо увеличить на
13 -и 15 мм. В этом случае поле, определяемое этими формулами,
уменьшится. Однако в действительности из-за малой величины
пространства, видимого резко, поле при подвижном глазе больше,
чем при неподвижном.
507
24.6. Видимое увеличение лупы
Пусть на рис. 2.6 А'В' = у' есть изображение предмета АВ = у,
создаваемое лупой L; расстояние от заднего фокуса F' лупы до
изображения равно z', а от выходного зрачка - р'.
Рис. 24.6. К выводу формулы видимого увеличения лупы
Из центра выходного зрачка изображение у' видно под углом со', для
которого
Линейное увеличение лупы
в_У'_ z' __..,_ У*'
¦р'-
у гт
Подставив сюда очевидное из рис. 2.6 значение z'=p' + z'pl,
получим
С учетом этого выражения имеем
Так как невооруженный глаз предмет величиной у, находящийся на
некотором расстоянии 8, видит под углом со, для которого
-,
508
то видимое увеличение в соответствии с определением выразится как
tgco f
Уже отмечалось, что нормальный глаз рассматривает предметы с
расстояния наилучшего видения 6 = —250 мм. Поэтому
Для нормального глаза расстояние р' должно быть равно расстоянию
до дальней точки ясного видения, т.е. изображение осевой точки А
предмета должно совпадать с дальней точкой ясного видения. В этом
случае, как уже отмечалось в п. 24.3,
р' = 1000//?,
где R - сходимость лучей из дальней точки, выраженная в диоптриях.
Следовательно,
_ 250/ z',R\
Г [1 Ы B4ЛЗ)
Из формулы B4.12) видно, что видимое увеличение лупы меняется в
зависимости от величин z'pf и р'. Если центр зрачка глаза совпадает с
задним фокусом лупы, то z'pi = 0 и, следовательно,
_ _ 250
Г = Г0=—. B4.14)
Этот же результат будем иметь, если предмет совместить с передней
фокальной плоскостью лупы, когда рг = со. Так как в русском языке
отсутствует прилагательное от слова «лупа», то видимое увеличение
Го, определяемое формулой B4.14), называют окулярным
увеличением. Окулярное увеличение постоянно для конкретной лупы
и не зависит от аметропии (близорукости и дальнозоркости) глаза.
Если глаз при рассматривании предмета аккомодирован на
расстояние наилучшего видения р' = —250 мм и придвинут
вплотную к лупе, то z'pi = —/'. Из формулы B4.12) в этом случае
получаем
f = fo + l. B4.15)
Таким образом, видимое увеличение возрастает при
приближении глаза к лупе.
Формулы B4.12)...B4.14) пригодны для вычисления видимого
увеличения окуляров и микроскопов. Для микроскопа, содержащего
объектив и окуляр с фокусным расстоянием /о'б и f^K соответственно,
509
эквивалентное фокусное расстояние в соответствии с формулой D.4)
можно представить как
г! _ /об ' /ок
7 Л '
Подставив это значение /' в формулу B4.14), получим
выражение для видимого увеличения микроскопа в виде B4.1).
24.7. Глубина изображаемого пространства лупы
При рассмотрении вопроса о глубине изображаемого
пространства лупы можно воспользоваться формулой B4.7),
выражающей геометрическую глубину изображаемого пространства
микроскопа. Так как предметы, рассматриваемые через лупу,
расположены в воздухе, то в этой формуле п = 1 и, следовательно,
2dz = -
ЛГ
Пусть наблюдаемый через лупу предмет расположен в передней
фокальной плоскости лупы. Тогда, как видно из рис. 24.7, апертура
D'
Рис. 24.7. К вопросу о глубине изображаемого пространства лупы
Подставив это значение апертуры в предыдущую формулу, с учетом
уравнения B4.14) получаем
2dz = ^.^2?. B4.16)
Эта формула выражает геометрическую глубину изображаемого
пространства лупы.
510
Если глаз аккомодирует на расстояние от 250 мм до
бесконечности, то через лупу наблюдатель будет видеть резкими
детали предметов, лежащих в промежутке между передней
фокальной плоскостью и плоскостью, удаленной от переднего фокуса
на расстояние
f'2
7
7_= B417)
250 Г2 "
Эта формула выражает аккомодационную глубину изображаемого
пространства лупы.
Полная глубина изображаемого пространства лупы представляет
собой сумму геометрической и аккомодационной глубин:
250/ 500?\
A) B4.18)
Пусть, например, D' = 5 мм, г = 0.0008 (т.е. 2.75/). Тогда
второе слагаемое в скобках в правой части последней формулы будет
равно 0.08. Следовательно, глубина изображаемого пространства
лупы определяется в основном аккомодационной глубиной.
24.8. Разрешающая способность и полезное увеличение
микроскопа
Разрешающая способность микроскопа определяется
разрешающей способностью его объектива, т.к. окуляр позволяет
лишь рассматривать (увидеть) в увеличенном виде (как в лупу)
наименьшее расстояние между изображениями двух самосветящихся
или излучающих отраженный свет точек (или линий) плоскости
предмета, которые может обеспечить объектив.
На основании формулы B0.15) это расстояние определяется как
, _ 0.61Я
п' sin<r';
где а' - апертурный угол объектива микроскопа в пространстве
изображений, Я - длина волны света, в котором производится
наблюдение объекта через микроскоп.
Так как линейное увеличение /? объектива микроскопа,
расстояние z между наблюдаемыми точками (линиями) и расстояние
z' между их изображениями связаны как z' = z/3, то
0.61Я
zB = .
п' sina'
511
Объективы микроскопов всегда рассчитываются так, что в них
выполняется условие синусов, т.е.
nsina
Поэтому из предыдущего выражения следует
.-^» ,24.19)
где Л = n sin a - апертура объектива в пространстве предметов.
Таким образом, при увеличении апертуры Л уменьшается
расстояние z, т.е. повышается разрешающая способность микроскопа.
Так как sin а не может быть больше единицы, то для увеличения
апертуры и, следовательно, для повышения разрешающей
способности при необходимости объект (препарат) помещают в
иммерсионную жидкость, имеющую п > 1. Это может быть,
например, кедровое масло (nD = 1,5150), водный раствор глицерина
(nD = 1,4343), монобром нафталин (nD = 1,6562), вода
(nD = 1,3330).
При наблюдении в ультрафиолетовом свете разрешающая
способность микроскопа выше, чем при наблюдении в дневном свете
(из-за уменьшения длины волны Я).
Плоскость предмета в случае нормального глаза наблюдателя
располагается в передней фокальной плоскости оптической системы
микроскопа. Поэтому величине z соответствует некоторый угол г с
вершиной в передней главной точке. Очевидно, под этим же углом
величину z' наблюдатель видит через микроскоп. Если /' - фокусное
расстояние микроскопа, то этот угол в минутах можно определить
как
z f'e
? = —3438, т.е. z = ¦
f 3438'
[имое увеличен*
B3.19)
Но видимое увеличение микроскопа Г = —р. Поэтому с учётом
250 ? 0.61Я
z =
3438 Г
Из этого равенства получаем
р л
f = — B4.20)
8.4Л
512
Видимое увеличение, вычисленное по этой формуле, называется
полезным (г выражается в минутах, X - в миллиметрах). Например,
при ? = 2, Л = 0,000546, А = 1,6 имеем Г = 700х.
Если принять, что диапазон углового разрешения глаза лежит в
пределах 2-4 минут, то из B4.20) получаем
Л <Г<-4т. B4.21)
4.2Л " " 2.1Л
Для видимой области спектра принимают
500Л < Г < 1000А B4.22)
Неравенства B4.21) или B4.22) определяют область численных
значений полезного увеличения микроскопа.
Увеличение меньше 500Л не дает возможности различить все
подробности структуры объекта, которые может дать объектив с
данной апертурой Л, так как предельный угол разрешения глаза в
этом случае меньше, чем у микроскопа. Увеличение, превышающее
1000Л и получаемое за счет применения более короткофокусного
окуляра, бесполезно, т.к. нельзя выявить никаких более мелких
подробностей в изображении предмета по сравнению с теми, какие
наблюдаются при полученном увеличении.
24.9. Осветительные системы микроскопов
В зависимости от того, является наблюдаемый через микроскоп
объект прозрачным или непрозрачным, осветительные системы
выполняют соответственно для проходящего или отраженного света
по методам светлого или темного поля.
Освещение по методу светлого поля происходит лучами,
исходящими от источника света и прошедшими через прозрачный
объект или отраженными от непрозрачного объекта и поступающими
затем в объектив микроскопа. При этом фон, на котором наблюдается
изображение объекта, будет светлым.
Освещение по методу темного поля происходит светом,
диффузно отраженным от объекта; лучи от источника света в
объектив микроскопа не попадают. Поэтому участки объекта,
определенным образом наклоненные к объективу, оказываются более
светлыми по сравнению с участками, от которых диффузно
отраженный свет в объектив не попадает. Изображение таких
участков объекта и фон оказываются темными.
513
Наилучшей системой освещения по методу светлого поля
является система Кёлера, приведенная на рис. 24.8.
5 6
1
Рис. 24.8. Схема освещения по методу Кёлера
при наблюдении прозрачных объектов
Лучи от источника 1 (показаны пунктиром) при помощи линзы
(или системы линз) 2, называемой коллектором, собираются в
плоскости апертурной ирисовой диафрагмы 4. Эта диафрагма
установлена в передней фокальной плоскости конденсора 5 и может
изменять его числовую апертуру. Ирисовая диафрагма 3,
установленная вблизи коллектора 2, является полевой диафрагмой
микроскопа, сопряженной с плоскостью объекта 6. Изменение
диаметра полевой диафрагмы позволяет получить ее изображение,
равное линейному полю микроскопа. Числовая апертура конденсора
5 обычно превосходит числовую апертуру объектива 7 микроскопа.
Объект 6 проецируется объективом микроскопа в плоскость полевой
диафрагмы 9, сопряженной с диафрагмой 3 и расположенной в
передней фокальной плоскости окуляра 10. Зрачок глаза наблюдателя
совмещен с выходным зрачком 11 микроскопа.
Источник света (спираль лампы накаливания) имеет
неравномерную яркость. Но благодаря тому, что полевые диафрагмы
3 и 9, а также апертурные диафрагмы 4 и 8 сопряжены, наблюдаемое
через микроскоп поле будет освещено равномерно.
Апертурная диафрагма 8 совпадает с задней фокальной
плоскостью объектива 7 и, следовательно, является его входным
зрачком в обратном ходе лучей. Это положение зрачка учитывается
при аберрационном расчете микрообъектива (см. п. 31.7).
Так как микроскоп обычно располагается вертикально, то между
диафрагмами 3 и 4 может быть установлено плоское зеркало,
приводящее к изменению направления хода лучей и уменьшению
габаритов микроскопа в вертикальном направлении.
514
Рис. 24.9. Кольцевая диафрагма
перед конденсором
При освещении прозрачного объекта по методу Кёлера
апертурная диафрагма 4 на рис. 24.8 заменяется кольцевой
диафрагмой, показанной на рис. 24.9. В этом случае центральная
часть пучков света поступает в конденсор, перекрывается и в
объектив не проступает. В объектив поступают только диффузно
рассеянные лучи и лучи, отраженные наклонными участками
наблюдаемого объекта.
По освещению по методу темного поля наличие рассеянного
света, обусловленного его отражением на преломляющих
поверхностях линзовых конденсоров, приводит к снижению засветки
темного поля. Поэтому в некоторых микроскопах применяют
конденсоры, выполненные только из отражающих сферических и
асферических зеркальных поверхностей.
У/////Л///////
Рис. 24.10. Осветительная система
для наблюдения в отраженном свете
515
При наблюдении изображений непрозрачных объектов
применяют осветительные системы, в которых используется свет,
отраженный от этих объектов. На рис. 24.10 показана одна из
простейших таких систем, в которых свет от источника 1 после
конденсора 2 и отражения от светоделительнои пластинки 3 освещает
объект 4. После отражения от объекта свет попадает в объектив
микроскопа. Обычно такие системы освещения применяют в случае
малых увеличений микрообъективов.
516
ГЛАВА 25. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
ПРОЕКЦИОННЫХ ПРИБОРОВ
25.1. Назначение, состав и классификация проекционных
приборов
Проекционные приборы предназначены для наблюдения на
экране оптических изображений обычно в увеличенном виде
объектов, освещаемых лучами источника света. Оптические системы
этих приборов состоят из двух частей: осветительной (освещающей
объект) и проекционной (формирующей изображение на экране),
роль которой выполняет проекционный объектив.
По способу освещения объекта различают эпископические
приборы (эпипроекторы), диаскопические приборы (диапроекторы) и
эпидиаскопические приборы (эпидиапроекторы).
В эпипроекторах на экране формируются изображения
непрозрачных объектов с помощью лучей, отраженных и
рассеиваемых этими объектами. К ним относятся приборы для
копирования топографических карт, проецирования рисунков,
чертежей, фотоснимков, страниц книги и т.п.
В диапроекторах изображение на экране создается световыми
лучами, проходящими сквозь прозрачный объект (диапозитив,
кинопленка и т.д.).
К диапроекторам, являющимся наиболее распространенной
группой проекционных приборов, относятся фотоувеличители,
кинопроекторы, приборы для контроля деталей (часовые проекторы,
фототрансформаторы, мультиплексы, проекционные устройства
кинофототеодолитов и др.).
От диапроектора следует отличать диаскоп - прибор, в котором
лучи света, проходящие сквозь прозрачный объект, позволят
рассматривать его изображение через окуляр.
Эпидиаскопы представляют собой комбинацию эпипроектора и
диапроектора, в которых путем переключения каналов
осуществляется проецирование как прозрачных, так и непрозрачных
объектов.
25.2. Эпипроекторы
На рис. 25.1 показана принципиальная оптическая схема
эпипроектора.
517
Непрозрачный объект 1 освещается лучами света источника 2.
Диффузно отраженные от освещаемой поверхности объекта лучи с
помощью объекта 3 и зеркала 4 создают изображение объекта на
экране 5. Зеркало во избежание двоения изображения должно иметь
внешнее отражающее покрытие.
Линейное увеличение оптической системы:
где у' - требуемая величина изображения, у
проецируемого объекта.
величина
Рис. 25.1. Схема эпипроектора
Будем считать, что объектом является кадровое окно размером
а х Ъ. Тогда, очевидно,
у = Vа2 + Ь2, у' = /Зл/а2 + Ь2.
Фокусное расстояние проекционного объектива, исходя из C.41),
вычисляется как
f'=j. B5.1)
где z' - расстояние от заднего фокуса объектива до экрана.
Угловое поле 2со' объектива в пространстве изображений можно
вычислить, исходя из очевидного соотношения
B5.2)
518
где р' - расстояние от выходного зрачка объектива до экрана.
Будем считать, что источник света, освещающий поверхность
проецируемого на экран объекта, является точечным. Тогда в
соответствии с G.27) освещенность в центре поверхности
Ev=±cosa, B5.3)
где lv - сила света источника в направлении к центру освещаемой
поверхности, а - угол между нормалью к поверхности и
направлением от ее центра на источник, г - расстояние от центра
поверхности до источника.
Предположим, что освещаемая поверхность имеет коэффициент
диффузного отражения pv. Тогда яркость освещаемой поверхности в
соответствии с G.36)
pvhv
Lv = . B5.4)
Положим линейное увеличение в зрачках проекционного
объектива /Зр = 1 и учтем, что п = п' = 1. Поэтому в соответствии с
G.41) освещенность в центре изображения на экране
E'v = nTLvsin2a'A,, B5.5)
где т - коэффициент светопропускания оптической проекционной
системы (проекционного объектива вместе с зеркалом), a'At -
апертурный угол объектива в пространстве изображений.
На основании G.42) при /?р = 1, п = п' = 1 последнее
выражение может быть написано в виде
B5.6)
где D - диаметр входного зрачка проекционного объектива.
При необходимости увеличения освещенности применяются
несколько источников освещения. В этом случае в соответствии с
B5.3) освещенность в центре освещаемой поверхности объекта
к=т
/fcC5gfc, B5.7)
к=1 к
где т - число источников освещения, к - порядковый номер
источника.
Если источники одинаковы и расположены симметрично
относительно центра поверхности, т.е. для всех источников света Iv и
г одинаковы, то число источников
519
m = —.-p, B5.8)
cosa Iv
где lv - суммарная сила света (всех источников вместе).
Так как в эпипроекторах изображение объекта строится лучами
света, отраженными от поверхности непрозрачного объекта, то лишь
незначительная часть светового потока от источника доходит до
экрана. Поэтому применяются один или несколько мощных
источников и светосильные проекционные объективы
(с относительным отверстием до 1:2-1:1,5).
Для увеличения освещенности экрана между источником и
объектом устанавливают также конденсоры в виде одной или
нескольких линз. Сильное тепловыделение иногда вынуждает
устанавливать за источником теплофильтр.
25.3. Диапроекторы
Диапроекторы - самая многочисленная и разнообразная группа
проекционных приборов, используемых в кинопроекции, при
фотопечати, просмотре диапозитивов, чтении микрофильмов,
обработке аэрофотоснимков и т.д. Фокусировка и смена
диапозитивов во многих современных диапроекторах
осуществляются автоматически, а просмотр может дополняться
звуковым сопровождением.
В диапроекторе лучи света проходят сквозь прозрачный объект,
поэтому изображение этого объекта на экране имеет достаточную
освещенность при использовании источников освещения даже
небольшой мощности и проекционных объективов не очень высокой
светосилы.
Рационально разработанная осветительная система, т.е. не
имеющая виньетирования, направляет через каждую точку кадрового
окна пучки лучей, заполняющие зрачки проекционного объектива и
имеющие приблизительно одинаковые апертуры. Применяются
следующие две основные оптические схемы диапроектора.
1. Система изображает источник света в плоскость входного
зрачка объектива (рис. 25.2).
2. Система изображает источник света в плоскость кадрового
окна (рис. 25.3).
520
Рис. 25.2. Схема диапроектора при проекции
источника в плоскость входного зрачка объектива
На обоих рисунках цифрами 1, 2, 3 и 4 обозначены
соответственно источник света, осветительная система (конденсор),
кадровое окно и входной зрачок проекционного объектива. Через
каждую точку кадрового окна (как, например, через крайние точки А
и В, так и через его центр О) проходят пучки лучей, заполняющие
входной зрачок проекционного объектива. Но в первой схеме каждая
точка кадрового окна просвечивается лучами, исходящими из всех
точек источника, а во второй - пучками лучей, исходящими из
соответствующей оптически сопряженной точки источника. В обеих
схемах пучки лучей, освещающие любую точку кадрового окна,
имеют примерно одинаковые апертурные углы (на рисунках
отмечены двойными лучами), что обеспечивает равномерное
освещение кадрового окна по всему полю.
Первая схема применяется, если яркость источника
неравномерна по его площади, а также если размеры источника малы
и проецирование его в плоскость кадрового окна приводит к большим
увеличениям и соответственно к большим габаритам осветительной
системы. Вторая схема применяется, если яркость источника
достаточно равномерна в пределах той его части, проекция которой
заполняет кадровое окно.
Проекционно-оптические системы на самом деле не могут
обеспечить равномерную освещенность экрана. Это связано с тем,
что, как показано в главе 9, освещенность от центра экрана к краю
521
падает пропорционально четвертой степени косинуса половины
углового поля. Кроме того, они обладают геометрическим
виньетированием полевых пучков лучей света. Следовательно,
приведенные оптические схемы являются идеализированными.
Рис. 25.3. Схема диапроектора при проекции источника
в кадровое окно
На практике они в точности вообще не реализуются. Обычно
изображение источника света располагается между кадровым окном
и входным зрачком проекционного объектива. В первой схеме это
изображение находится вблизи входного зрачка, а во второй - вблизи
кадрового окна. Кроме того, обе схемы имеют принципиальный
недостаток, состоящий в том, что, как видно из рисунков, для
заполнения светом входного зрачка проекционного объектива
поперечные размеры осветительной системы должны быть
увеличены по сравнению с теми размерами, которые соответствуют
углу охвата 2аохв осветителя (кроме случая, когда входной зрачок
совпадает с плоскостью кадрового окна). Конечно, можно сохранить
поперечные размеры осветительной системы, определяемые углом
охвата 2аохв. Однако при этом все равно будет иметь место
виньетирование оптической системы проекционного объектива.
Поэтому описанные выше схемы несколько усложняют путем
введения в них дополнительной линзы.
522
Рис. 25.4. Схема диапроектора при проекции источника 1 во
входной зрачок 7 объектива и выходного зрачка 3
конденсора 2 в плоскость кадрового окна 6
В первой схеме (рис. 25.4) устанавливается дополнительная
линза 5, которая вместе с конденсором 2 проецирует источник света 1
во входной зрачок 7 объектива, а выходной зрачок 3 конденсора 2
проецируется линзой 5 в плоскость кадрового окна 6.
Рис. 25.5. Схема осветителя при проекции источника света 1
в плоскость кадрового окна 5 и выходного зрачка 3 конденсора 2
в плоскость входного зрачка 6 объектива
Во второй схеме (рис. 25.5) источник света 1 проецируется
конденсором 2 и дополнительной линзой - коллективом 4 -
в плоскость проекционного окна 5, а выходной зрачок 3 конденсора 2
проецируется дополнительной линзой - коллективом 4 - во входной
зрачок 6 объектива. Линза - коллектив 4 - устанавливается в этом
случае вблизи кадрового окна 5.
523
Схемы, приведенные на рис. 25.4 и рис. 25.5, обеспечивают
полное устранение виньетирования полевых пучков лучей без
дополнительного увеличения диаметров линз осветителя и
проекционного объектива. Такие схемы применяются обычно в тех
случаях, когда диапроекторы имеют сравнительно большие угловые
поля, т.е. когда применение более простых схем из-за виньетирования
приводит к недопустимо большому снижению освещенности на краю
экрана.
25.4. Взаимосвязь оптических и геометрических параметров
проекционных приборов
Установим исходную связь оптических и геометрических
параметров, используемую на начальном этапе разработки
оптических систем проекционных приборов.
Пусть ширина и высота экрана равны а' и Ь' соответственно, а
проекционное расстояние (расстояние от выходного зрачка
проекционного объектива до экрана) равно р1'. Тогда
а' = kpf , B5.9)
где к - некоторый коэффициент, величина которого зависит от
условий проекции. Например, считается, что в кинопроекции
оптимальная величина этого коэффициента лежит в пределах от 1/2
до 1/3,5, когда зрители различают наиболее важные детали и
воспринимают правильную перспективу изображения.
При установленной ширине экрана а' увеличение и фокусное
расстояние проекционного объектива определяется как
/?об = -^-; /об = -|- . B5-10)
а /*об
где а - ширина проецируемой картины (диапозитива, кинофильма).
Знак минус в этих формулах указывает, что изображение на экране
обратное.
Проецируемому предмету с размером а х Ъ соответствует его
диагональ с размером 2/ = л/а2 + Ь2. Независимо от применяемой
схемы проекционного прибора (проецируется ли источник света во
входной зрачок объектива или в плоскость кадрового окна) имеет
место соотношение
DHCTsina0XB = -Is, B5.11)
524
- относительное отверстие проекционного объектива,
DHCT - линейный размер используемой части источника, <тохв - угол
охвата (апертурный угол осветителя со стороны источника света).
Покажем, что это соотношение имеет общий характер.
При изображении источника света в кадровое окно имеем
= sina0XB = 2/_
осв sincro6 DHCT '
где /Зосв - линейное увеличение осветительной системы, <тоб -
апертурный угол объектива со стороны кадрового окна:
1 ^выхзр 1
= e.
Z /об Z
Из последних двух уравнений получаем B5.11).
Если источник света изображается во входной зрачок объектива,
то
DB
BX
где о"оСВ - апертурный угол осветителя со стороны объектива, L -
расстояние от кадрового окна до входного зрачка объектива:
_ , _ D
L — Рр/об - 7^
вых зр
где /?р - увеличение в зрачках объектива.
Из полученных последних двух выражений также легко
приходим к B5.11).
Соотношение B5.11) связывает основные оптические и
геометрические параметры проекционной системы: осветительной
системы (sin<r0XB), проекционного объектива (а), источника света
(DHCT) и кадрового окна (/).
25.5. Осветительные системы проекционных приборов
Как уже указывалось выше, осветительные системы должны так
освещать объект, чтобы его изображение на экране по всему полю
имело одинаковую освещенность. Эти системы бывают линзовые
(конденсоры - от лат. condensio - сгущаю, собираю), зеркальные и
зеркально-линзовые.
Основными характеристиками осветительной системы являются
угол охвата и линейной увеличение.
Конденсоры содержат одну или более линз и применяются не
только в проекционных приборах, но и в микроскопах, спектральных
525
приборах. Конструкция их тем сложнее, чем больше его числовая
апертура (угол охвата). При числовой апертуре до 0,1 применяют
одиночные линзы, при апертурах 0,2^0,3 - двухлинзовые системы,
при апертурах свыше 0,3 - трехлинзовые.
Рис. 25.6. Двухлинзовый конденсор
Обычно конденсор рассчитывают на минимум сферической
аберрации. Увеличение числа линз в конденсоре обусловлено
быстрым ростом сферической аберрации при возрастании числовой
апертуры. Иногда наличие нескольких линз вызвано не только
стремлением увеличить апертуру, но и необходимостью однородного
освещения предмета при неоднородной структуре источника света.
В микроскопах, кроме того, увеличение апертуры, а следовательно, и
числа линз конденсора связано с необходимостью увеличения
разрешающей способности микроскопа.
Наиболее распространен конденсор из двух одинаковых
плосковыпуклых линз, обращенных друг к другу сферическими
поверхностями (рис. 25.6).
Такое расположение линз приводит к меньшей сферической
аберрации. Конденсор имеет угол охвата
(в зависимости от увеличения).
2аохв = 20 - 50°
Рис. 25.7. Трехлинзовый конденсор
На рис. 25.7 показан трехлинзовый конденсор, имеющий угол
охвата 2<тохв = 90°.
526
Иногда поверхности линз конденсора могут быть
апланатическими, иметь более сложную форму - параболоидную,
эллипсоидную и т.д.
Зеркальные и зеркально-линзовые осветительные системы чаще
применяются в микроскопах и кинопроекционных аппаратах.
Конструкция их может быть достаточно разнообразной.
Рис. 25.8. Зеркальная
осветительная система
Рис. 25.9. Зеркально-линзовая
осветительная систем
На рис. 25.8 для примера показана зеркальная осветительная
система, представляющая собой линзу, одна поверхность которой
имеет эллипсоидную форму с внутренним отражающим слоем, а
другая - сферическую.
Система имеет угол охвата 2<тохв = 140°.
Зеркально-линзовая осветительная система, показанная на
рис. 25.9, содержит параболоидное зеркало и две плосковыпуклые
линзы. Угол охвата такой системы достигает 240°.
527
ГЛАВА 26. ОБЪЕКТИВЫ
Объективом называется обращенная к объекту часть оптической
системы или самостоятельная оптическая система, формирующая
действительное оптическое изображение объекта. Это изображение
либо рассматривают визуально в окуляр, либо получают на плоской
(реже искривлённой) поверхности (фотографического
светочувствительного слоя, фотокатода передающей телевизионной
трубки или электронно-оптического преобразователя, матового стекла
или экрана).
Конструктивно объективы могут быть разделены на три класса:
линзовые (наиболее распространённые), зеркальные и зеркально-
линзовые.
По назначению объективы делятся на объективы зрительных
труб и телескопов, дающие уменьшенное изображение;
фотографические и проекционные объективы, дающие в зависимости
от конструкции и способа применения уменьшенное или увеличенное
изображение; объективы микроскопов, дающие увеличенное
изображение.
Основными оптическими характеристиками объектива
являются:
- фокусное расстояние, которое при заданном удалении объекта
от объектива определяет увеличение объектива;
- угловое (линейное) поле;
- диаметр входного зрачка;
- относительное отверстие;
- качество формируемого оптического изображения, которое
характеризуется разрешающей способностью, коэффициентом
передачи контраста, коэффициентом интегрального и спектрального
пропускания света, коэффициентом светорассеяния и коэффициентом
падения освещенности по полю изображения.
26.1. Линзовые объективы зрительных труб и телескопов
Объективы зрительных труб и телескопов служат для получения
действительных изображений, которые рассматриваются глазом через
окуляр. Зрительные трубы имеют объективы, диаметры зрачков
которых составляют несколько сантиметров, и небольшие угловые
поля A0-15°). Это позволяет создавать их в виде простых
конструкций, часто содержащих две или три линзы и исправленных в
528
отношении сферической и хроматической аберраций и комы.
Относительные отверстия таких объективов варьируют в пределах
примерно от 1:20 до 1:3.
Диаметры линзовых объективов телескопов
(рефракторов) достигают 0,5^1 м (максимум 1,4 м). Такие
объективы содержат обычно две линзы и исправляются в отношении
сферической и хроматической аберраций.
В астрографах (телескопах, предназначенных для
фотографирования звездного неба) используют трехлинзовые и
четырехлинзовые объективы, в которых обычно исправляют все
аберрации, исключая кривизну поверхности изображения. Угловое
поле объективов астрографов достигает 6°.
У двухлинзовых объективов рефракторов угловое поле тем
меньше, чем больше их диаметр, составляя у самых больших
менее 1°.
Относительные отверстия больших рефракторов бывают
1:20-10, а у астрографов они больше, доходя до 1:1,4-1:1,2.
Объективы, применяемые в системах наблюдения за
искусственными спутниками Земли и для фотографирования тел,
движущихся в верхних слоях атмосферы (например, метеоров), по
своим характеристикам близки, с одной стороны, к объективам
астрографов, а с другой - к некоторым типам фотографических
объективов. В них исправляются все аберрации, кроме кривизны
поверхностей изображения. Их угловые поля могут достигать 30° при
значительно больших относительных отверстиях (до 1:1,2).
Из линзовых объективов, применяемых в биноклях,
геодезических и астрономических трубах и в других наблюдательных
и измерительных приборах, наибольшее применение получили
однокомпонентные объективы, содержащие 4-5 линз. В табл. 26.1
приведены оптические схемы, конструктивные и оптические
параметры некоторых из этих объективов.
Объективы из двух склеенных линз могут иметь первую
положительную линзу из крона (рис. 26.1) или первую отрицательную
линзу из флинта (рис. 26.2).
Лучшее качество изображения может быть получено при
D:f'<3,5. В объективах могут быть исправлены сферическая
аберрация, кома и хроматизм положения.
529
Таблица 26.1
Оптическая схема
марка
стекла
60,42
-44,82
-143,43
10,4
2,5
1,51829
1,65218
К8
ТФ1
f=99,93 s'F.=93,20 D:f =1:3,5
w
Рис. 26.1. Объектив из
двух склеенных линз.
Крон впереди
60,025
-40,65
-115,67
sp=0
8,5
4,0
1,48911
1,62847
лкз
Ф4
Г= 100,05 s'F-=94,19 D:f=l:3,5
59,04
-42,33
-146,25
sp=0
5,7
1,9
1,51829
1,65218
К8
ТФ1
f=99,98 s'F-=96,02 D:f=l:4
sP=0
48,78
25,99
-292,65
12,5
2,5
1,65218
1,51829
ТФ1
K8
Рис. 26.2. Объектив из двух
склеенных линз. Флинт впереди
f =100,01 s'F.=97,63 D:f=l:5
sp=0
61,1
-54,5
-53,0
-123,2
8,0
0,08
4,0
1,51829
1,73429
K8
ТФ7
Рис. 26.3. Объектив из
двух одиночных линз
Г=100,23 s'F.=94,60 D:f=l:3
sp=0
530
Продолжение таблицы 26.1
41,7
-64,23
-46,02
-192,91
7,0
6,0
4,0
1,71829
1,72317
К8
ТФЗ
Рис. 26.4. Объектив из двух
линз с большим
воздушным промежутком
f'=98,67 s'F.=79,54 D:f=l:3
sP=0
60,5
-32,1
-38,6
-112,5
9,3
4,6
4,2
1,52706
1,47214
1,72317
БФ1
ЛК6
ТФЗ
Рис. 26.5. Объектив из трех
склеенных линз
f'=98,09 s'F-=88,67 D:f =1:2,8
sp=0
93,76
-171,48
63,24
-90,36
-90,57
109,65
Рис. 26.6. Объектив из трех
одиночных линз
5,0
0,1
7,0
0,09
2,5
1,51829
1,51829
1,65219
К8
К8
ТФ1
Г= 100,08 s'F-=88,04 D:f =1:2,5
sP=0
37,7
-56,5
-39,8
38,1
-173,0
Рис. 26.7. Объектив из
одиночной линзы и двух-
линзовой склейки
7,1
6,6
2,3
5,2
1,48912
1,76171
1,79238
лкз
ТФ5
ТФ12
Г =100,19 s'F =77,41 D:f'=l:3
sp=0
531
Продолжение таблицы 26.1
Рис. 26.8. Объектив из
отрицательного мениска
и двухлинзовои склейки
-20,61
-24,77
110,15
36,06
-54,58
7,0
0,6
1,9
5,5
1,61687
1,65219
1,49217
Ф1
ТФ1
ЛК4
Г=99,50 s'F.= l 11,97 D:f'=l:4
sP=0
-473,2
-36,14
-151,71
68,08
-1071,5
Рис. 26.9. Объектив из
двухлинзовои склейки
и одиночной линзы
4,5
2,2
0,3
5,7
1,57486
1,65219
1,57486
ТК2
ТФ1
ТК2
f'=99,98 s'F.=97,14 D:f'=l:3
sp=0
Рис. 26.10. Объектив из двух
двухлинзовых склеек с
большим воздушным
промежутком
93,2
-78,1
-902,1
69,0
-42,6
-393,0
12,6
4,0
78,2
11,6
3,0
1,61085
1,73429
1,60626
1,65218
БФ25
ТФ7
ТК13
ТФ1
f=97,44 s'FK38,2 D:f'=l:2
2@=20° sp=0
Рис. 26.11. Объектив из
двух одинаковых
двухлинзовых склеек
111,38
-99,73
-275,92
111,38
-99,73
-275,92
15,9
3,0
26,3
15,9
3,0
1,51829
1,65218
1,51829
1,65218
К8
ТФ1
К8
ТФ1
Г =100,00 s'F =68,47 D:f'=l:5
sp=-50 2@=25°
532
Продолжение таблицы 26.
32,15
-19,4
-96,5
69,5
-34,2
16,21
4,8
1,4
17,7
1,8
0,8
1,57486
1,65219
1,61687
1,52027
ТК2
ТФ1
Ф1
КФ4
Рис. 26.12. Телеобъектив
L:f = 0,80
f'=99,59 s'F.=52,73 D:f'=l:5,6
2ш=15о
sp=0
Рис. 26.13. Телеобъектив
/,./'=0,66
26,54
-16,04
13,50
-172,38
-19,06
-4,65
30,22
5,4
1,3
3,7
34,3
1,5
0,5
1,76171
1,74623
1,54213
1,60701
1,57244
ТФ5
ТФ4
БК6
Ф6
БФ6
f'=99,31 s'F.= 18,93 D:f'=l:5,7
2(о=Зс
sp=0
Рис. 26.14. Телеобъектив
L./'=0,70
24,55
-36,39
-25,82
24,72
-112,20
14,962
4,325
6,668
4,7
4,3
1,5
3,4
35,3
2,1
2,1
1,48911
1,76171
1,79238
1,61675
1,62983
лкз
ТФ5
ТФ12
ТК8
БФ12
f'=99,21 s'F-=16,03 D:f'=l:6
2co=2°00' sp=0
Однокомпонентный объектив из двух одиночных линз (рис. 26.3)
с небольшим воздушным промежутком по сравнению с объективом из
двух склеенных линз имеет дополнительный свободный параметр
(радиус кривизны), что позволяет улучшить коррекцию сферической
аберрации. Относительное отверстие этих объективов D:f'<l:3. При
малых угловых полях кривизна поверхности изображения и
533
астигматизм однокомпонентных объективов малы. При возрастании
фокусных расстояний на качество изображения начинает влиять
вторичный спектр, что усложняет задачу ахроматизации.
У объективов из двух одиночных линз, установленных на
расстоянии @,05-0,15) f' друг от друга (рис. 26.4), кроме сферической
аберрации, комы и хроматизма положения может быть исправлен
сферохроматизм. Если же к тому же линзы выполнены из
специальных марок стекол, то одновременно может быть исправлен и
вторичный спектр, что превращает объектив из ахромата в апохромат.
Относительные отверстия объективов D:f'<1:3.
У объективов из трех склеенных линз (рис. 26.5) могут быть
исправлены сферическая аберрация, кома, хроматизм положения,
сферохроматизм и почти полностью вторичный спектр.
Относительное отверстие D:f'<2,8. По сравнению с объективом из
двух склеенных линз объектив имеет дополнительный свободный
параметр (радиус кривизны), позволяющий при любой комбинации
стекол выполнить двойную коррекцию сферической аберрации.
Объективы из трех одиночных линз (рис. 26.6) позволяют
увеличить относительное отверстие до D:f <1:2,5. Коррекционные
возможности аберраций те же, что и у объективов из трёх склеенных
линз.
Объективы из одиночной линзы и двухлинзовой склейки
(рис. 26.7), имеющие обычно D:f'=l:3, позволяют выполнить
коррекцию тех же аберраций, что и объективы, показанные на
рис. 26.5 и 26.6.
У объективов из отрицательного мениска и двухлинзовой
склейки (рис. 26.8) при D:f'<l:4 возможно выполнить коррекцию
сферической аберрации, комы, хроматизма положения,
сферохроматизма и астигматизма.
Объективы из двухлинзовой склейки и положительной линзы
(рис. 26.9) при D:f'<l:3 имеют те же коррекционные возможности
аберраций, что и объективы, представленные на рис. 26.5-26.7. Если в
качестве одиночной линзы применить выпукло-вогнутый
отрицательный мениск, то при D:f'<l:5 можно достичь коррекции
астигматизма.
Объективы из двух двухлинзовых склеек при относительном
отверстии D:f'=l:2 (рис. 26.10 и 26.11) позволяют исправить
сферическую аберрацию, кому, хроматизм положения и увеличения,
сферохроматизм и астигматизм.
534
У телеобъективов, показанных на рис. 26.12-26.14, первый
компонент положителен, а второй отрицателен, что позволяет
вынести вперед за пределы объектива заднюю главную плоскость и
тем самым укоротить по сравнению с объективами других типов
расстояние L от первой поверхности до задней фокальной плоскости.
Численно это укорочение характеризуется коэффициентом
укорочения KT=L: Р. В объективах при применении специальных
стекол (или других оптических материалов) возможно достичь
исправления всех аберраций.
26.2. Фотографические объективы
Фотографические объективы применяются при фотосъёмке,
киносъёмке и репродуцировании. От объективов для зрительных труб
и телескопов они отличаются тем, что даваемые ими изображения
должны быть резкими по всему полю. Поэтому угловое поле резкого
изображения у них значительно больше — более 50°. Для достижения
резкости и высокого контраста, а также неискажённого плоского
изображения при больших угловых полях исправляют все основные
аберрации — сферическую, хроматическую, кому, астигматизм,
кривизну поверхности изображения и дисторсию. В некоторых
случаях исправляют также наиболее существенные аберрации
высших порядков. Это приводит к значительному усложнению
оптической системы объектива — росту числа линз, применению
асферических поверхностей линз. Это усложнение тем больше, чем
больше относительное отверстие и угловое (линейное) поле.
По степени коррекции аберраций различают объективы —
ахроматы, апохроматы, апланаты и анастигматы.
Ахромат (от греч. achromatos — бесцветный) — объектив,
состоящий чаще всего из двух склеенных линз. В нём значительно
исправлена хроматическая аберрация для лучей каких-либо двух длин
волн, астигматизм не исправлен. Раньше этот объектив использовался
в недорогих фотоаппаратах при ландшафтных и портретных съемках
как мягкорисующий объектив, т.е. дающий изображение с
пониженным контрастом, обусловленным наличием остаточных
аберраций. В настоящее время он используется в зрительных трубах,
биноклях, прицелах и т. п. При относительных отверстиях от 1:8 до
1:5,6 угловое поле составляет 25-10°.
535
Апохромат (от греч. аро — приставка, означающая уменьшение,
и chroma — цвет) — объектив, в котором исправлена сферическая
аберрация, хроматизм для лучей каких-либо трех и более длин волн и
сферохроматизм. Различные виды линзовых и зеркально-линзовых
апохроматов применяются в астрономических приборах, микроскопах
и фотоаппаратах.
Апланат (от греч. aplanetas — не отклоняющийся,
безошибочный) — объектив, в котором исправлены сферическая
аберрация, кома, хроматические аберрации, дисторсия и для части
поля астигматизм. Кривизна поверхности изображения не
исправлена. Апланат чаще всего состоит из двух одинаковых частей,
расположенных симметрично относительно апертурной диафрагмы.
Вследствие простоты конструкции, нетребовательности к точности
сборки он широко применяется как универсальный объектив с
относительным отверстием от 1:8 до 1:5 для портретных и групповых
съемок, а до 1:16 как широкоугольный объектив. После появления
более совершенных объективов - анастигматов, апланат в
значительной мере утратил своё значение.
Анастигмат (от греч. an — не, без и астигматизм) — объектив,
практически свободный от всех аберраций. Эти объективы широко
применяются в технической и художественной фотографии и
кинематографии.
По назначению фотообъективы разделяют на объективы,
применяемые в любительской и профессиональной фотографии и
кинематографии, репродуцировании, телевизионные,
аэрофотосъемочные, флюорографические, астрографические и др., а
также объективы для невидимых областей спектра - инфракрасные и
ультрафиолетовые.
Объективы одного и того же назначения разделяют на
нормальные, универсальные, светосильные, широкоугольные,
длиннофокусные или телеобъективы.
Наиболее широко используются нормальные (универсальные)
объективы. Их фокусное расстояние обычно 40-150 мм,
относительное отверстие 1:1,8-1:1,4, угловое поле в среднем около
50°. Как правило, они являются анастигматами.
Светосильные объективы с относительными отверстиями от
1:1,8 до 1:0,9 (в зеркально-линзовых до 1:0,8) применяют при
фотографировании в условиях низкой освещенности. Их угловое поле
меньше, чем у универсальных.
536
К широкоугольным объективам относят объективы с угловым
полем более 60° и доходящим у некоторых из них до 180°.
Аэрофотосъемочные широкоугольные объективы имеют
фокусные расстояния от 100 до 500 мм. Их относительные отверстия
характеризуются в среднем 1:5,6 и ниже. В них трудно исправлять
дисторсию, астигматизм и кривизну поверхности изображения.
Объективы с исправленной дисторсией называют
ортоскопическими. У объективов с угловым полем,
приближающимся к 180° (примерно более 120°), дисторсию не
исправляют. Она может быть частично исправлена при печатании
снимков с помощью специальных объективов.
Чем больше поле, тем более резко к его краям падает
освещённость изображения (пропорционально четвертой степени
косинуса половины углового поля). В объективах для любительской и
профессиональной фотографии неравномерность освещённости
корригируется при расчёте их аберраций, у других типов
фотообъективов освещенность выравнивают с помощью специальных
фильтров.
К длиннофокусным объективам относят объективы, у которых
фокусное расстояние превышает трехкратную величину линейного
поля (для большинства фотообъективов это 100^2000 мм). Они
применяются при съемке удаленных объектов в крупном масштабе.
Их угловое поле обычно меньше 30°, а относительное отверстие не
превышает 1:5,6-1:4,5.
При фотосъемке и киносъемке широко применяют объективы с
переменным фокусным расстоянием. Изменение фокусного
расстояния осуществляется либо ступенчато (дискретно), либо
плавно (панкратические объективы). В первом случае это
происходит за счёт дискретного перемещения отдельных компонентов
оптической системы или за счёт применения афокальных насадок,
устанавливаемых перед объективом. В панкратических объективах
изменение фокусного расстояния достигается плавным
перемещением отдельных компонентов оптической системы.
В зависимости от способа (закона) перемещения компонентов
различают объективы с оптической и механической компенсацией
смещения изображения. При оптической компенсации компоненты
перемещаются по линейному закону, при этом плоскость изображения
смещается в таких пределах, при которых изменение качества
изображения почти незаметно. При механической компенсации один
537
или несколько компонентов перемещаются по сложному закону, при
котором плоскость изображения остаётся практически неподвижной.
По способу коррекции аберраций объективы с переменным
фокусным расстоянием делятся на две группы:
1)вариообъективы, оптическая система которых
корригируется в отношении всех аберраций как единое целое;
2) трансфокаторы - системы, состоящие из собственно
объектива и устанавливаемой перед ним афокальной насадки,
аберрации которой исправляются отдельно. При изменении
фокусного расстояния относительное отверстие остается
неизменным.
Получение изображений высокого качества в объективе с
переменным фокусным расстоянием достигается за счёт увеличения
числа линз и компонентов. Такие объективы являются сложными
системами, состоящими из 11-20 линз.
Проекционные объективы отличаются от фотографических лишь
обратным направлением лучей света.
Особую подгруппу фотообъективов составляют
репродукционные объективы, применяемые для получения
изображений плоских предметов, чертежей, карт и т. п.
Проекционные и репродукционные объективы, а также
фотообъективы, используемые при малых удалениях объектов,
характеризуют не угловым, а линейным полем, линейным
увеличением и числовой апертурой. В этом отношении они сходны с
объективами микроскопов.
Ниже приведены сведения о некоторых наиболее известных
линзовых фотообъективах.
В 1894 г. английский конструктор Г.Д. Тейлор рассчитал для
фирмы Кук объектив, известный под названием триплет (от лат.
triplus - тройной). Объектив состоит из двух положительных линз,
между которыми расположена отрицательная линза; апертурная
диафрагма расположена между второй и третьей линзами (рис. 26.15).
Несмотря на чрезвычайную простоту конструкции, объектив Тейлора
явился первым анастигматом, т. к. наряду с хорошим исправлением
сферической аберрации и комы в нем легко может быть исправлен
астигматизм.
538
Рис. 26.15. Триплет
Рис. 26.16. Тессар
Значение изображения Тейлора в немецких исторических
обзорах обычно приуменьшается. В нашей стране такие объективы
обозначались буквой Т и порядковым номером разработки (например,
Т-22). При приемлемом качестве изображения их угловое поле
составляет в среднем 55° при относительном отверстии 1:3,5.
Разрешающая способность в центре поля 30 штр/мм, а на краю -
15 лин/мм.
Применение стёкол с высоким показателем преломления
(лантановые стекла) при некотором уменьшении углового поля
позволяет рассчитать объектив с относительным отверстием 1:2,4 при
разрешающей способности до 60 штр/мм в центре поля и до
40 штр/мм на краю (объективы Т-48, Т-55).
В 1902 г. П. Рудольф рассчитал для фирмы «К. Цейсе» объектив,
по конструкции представляющий собой усложнённый триплет, в
котором третья линза заменена склеенными отрицательной и
положительной линзами, и названный им «Тессар» (рис. 26.16).
Хронологически тессар появился независимо от триплета. Он имеет
несколько большую светосилу, чем классический триплет, и лучшую
коррекцию аберраций. Объектив дает резкое и контрастное
изображение, за что получил прозвище «орлиный глаз».
В нашей стране объективы такой конструкции рассчитывались и
выпускались как фотографические, киносъёмочные и специального
назначения под названием «Индустар». Например, объектив
«Индустар-М» при фокусном расстоянии 23 мм имеет относительное
отверстие 1:3,5 и угловое поле 58°, а «Индустар-56» при фокусном
расстоянии 110 мм имеет относительное отверстие 1:2,8 и угловое
поле 42°.
Большую группу светосильных объективов представляет
объектив типа «Зоннар», созданный Л. Вертеле для фирмы «К. Цейсе»
и запатентованный в 1931 г. Различные модификации зоннара могут
содержать 4-8 линз, образующих обычно 3 компонента. В СССР
539
объективы этого типа назывались «Юпитер». Это анастигматы с
фокусным расстоянием от 12 до 250 мм и относительным отверстием
от 1:4 до 1:1,5. Наибольшее распространение среди фотолюбителей
получили объективы «Юпитер-8» с фокусным расстоянием 52 мм,
относительным отверстием 1:2 и угловым полем 45° (рис. 26.17) и
«Юпитер-11» с фокусным расстоянием 135 мм, относительным
отверстием 1:4 и угловым полем 19°. Эти объективы применялись в
качестве сменных объективов при фотосъемке. У первого из них
разрешающая способность 30 штр/мм в центре поля и 14 штр/мм на
краю. У второго - 42 штр/мм и 29 штр/мм соответственно.
Рис. 26.17. «Юпитер-8»
Рис. 26.18. «Гипергон»
В 1865 г. А. Штейнгель запатентовал симметричный объектив
«Перископ» из двух менисков с апертурной диафрагмой между ними.
В 1900 г. Э. Гог применил эту конструкцию для широкоугольного
объектива, выпущенного фирмой Герц под названием «Гипергон»
(рис. 26.18). Этот ортоскопический широкоугольный объектив
состоит из двух симметрично расположенных относительно
апертурной диафрагмы положительных менисков, ограниченных
почти полушаровыми поверхностями. Симметричность объектива
позволила частично устранить кому и хроматизм увеличения.
Исправлены также астигматизм и кривизна поверхности
изображения. Сферическая аберрация и хроматизм положения
остаются неисправленными. Относительное отверстие очень мало,
составляя 1:22 при угловом поле 135^140°. Объектив применялся для
ландшафтных и архитектурных съёмок при больших экспозициях.
Гипергон оказался источником для последующих разработок
многочисленных широкоугольных объективов. Дальнейшим
развитием этого объектива были «Топогон» фирмы «К. Цейсе» и
«Метрогон» фирмы Бауш и Ломб. Схема Топогона приведена на
рис. 26.19. Фокусное расстояние объектива 150 мм, относительное
отверстие 1:6,3, угловое поле 90°.
540
Рис. 26.19. «Топогон»
Рис. 26.20. Объектив Гилля
В нашей стране объективы такой конструкции рассчитывались
(проф. Д.С. Волосов) и выпускались под названием «Орион».
Например, объектив «Орион-15» с фокусным расстоянием 28мм,
относительным отверстием 1:6 и угловым полем 75° использовался в
фотоаппаратах «Киев» и «Зоркий». Его разрешающая сила в центре
кадра 45 лин/мм, на краю - 18 лин/мм.
При аэрофотосъемке использовался объектив «Орион - 1А» с
фокусным расстоянием 200 мм, относительным отверстием 1:6,3 и
угловым полем 92°.
Объективы, угловое поле которых приближается к 180° или
превосходит его, называются сверхширокоугольными или
особоширокоугольными. Впервые оптическая схема такого
объектива была предложена в начале XX века Гиллем (рис. 26.20).
Объектив состоит из сильно отрицательного выпукло-вогнутого
мениска большого размера, направляющего полевые пучки лучей в
апертурную диафрагму, и положительного компонента из
двояковогнутой и плосковыпуклой линз. Фокусное расстояние
100 мм, относительное отверстие 1:22, угловое поле 180°.
Развивая идею Гилля, Шульц довел относительное отверстие до
1:5,6 при фокусном расстоянии 35 мм. При сильном
диафрагмировании полевых лучей угловое поле могло достичь 210°.
Сверхширокоугольные объективы предназначались для съемки
небесного свода, больших участков Земли с полным горизонтом и т.д.
Создаваемые ими изображения на краю поля из-за большой
дисторсии (такие объективы называют дисторзирующими)
были настолько искажены, что распознавание сфотографированных с
их помощью объектов было затруднительным.
Это искажение пытались устранить, фотографируя искаженное
изображение с помощью репродукционного объектива, обладающего
также большой дисторсией, но противоположного знака. Расчет такой
541
системы был выполнен в 1929 г. проф. В.Н. Чуриловским A898-
1983), схема которой приведена на рис. 26.21.
Светофильтр
Рис. 26.22. «Плеон»
Рис. 26.21. Объектив
Чуриловского
Объектив состоит из двухлинзовой дисторзирующей части и
собственно объектива типа тессар с угловым полем 60°. При
относительном отверстии 1:5,6 и угловом поле 127° дисторсия на
краю поля составила около 30%.
Во время Второй мировой войны на фирме «К. Цейсе» была
разработана и построена фотокамера с очень большой дисторсией и
репродукционная камера для преобразования искаженных снимков в
нормальные. Камеры были вывезены в США. Оптическая схема
объектива, имеющего название «Плеон», приведена на рис. 26.22.
Объектив состоит из шести линз и плоскопараллельной пластинки из
цветного стекла. Фокусное расстояние 72,5 мм, относительное
отверстие 1:8, угловое поле 130°. Разрешающая способность
оказалась очень высокой: 82 лин/мм в центре поля и 29 лин/мм на
краю поля для двух направлений линий (тангенциальное и
сагиттальное направления). Однако фотографическое изображение
местности, полученное с помощью фотографической и
репродукционной камер, нельзя было назвать удовлетворительным.
На практике дисторзирующие объективы не получили
распространения из-за потери разрешающей способности при
пересъемке, необходимой для устранения дисторсии, и усложнении
процесса обработки аэроснимков.
Причиной неудач в попытках увеличить угловое поле свыше 120°
являлось сильное падение освещенности изображения за пределами
этого угла и трудности обеспечения достаточно хорошего качества
изображения.
542
Проф. М.М. Русинов A909-2004) показал, что при ортоскопии
части системы объектива, расположенной перед материальной
диафрагмой, можно получить распределение освещённости
изображения по закону четвертой степени косинуса уменьшенного
угла между главным лучом и оптической осью в пространстве перед
диафрагмой независимо от величины этого угла в пространстве
предметов.
Рис. 26.23. «Руссар-38»
Кроме того, для возможности увеличения углового поля за
пределы 120° и повышения качества изображения фронтальную линзу
объектива необходимо выполнить в виде сильно отрицательного
выпукло-вогнутого мениска, причем эта линза должна быть
откорригирована на дисторсию. Коррекция дисторсии достигается за
счет асферичности второй (внутренней) поверхности.
В качестве силового компонента сверхширокоугольного
объектива целесообразно использовать какой-либо из симметричных
широкоугольных объективов, обладающих достаточным числом
коррекционных параметров. При этом особенно выгодно применить
объективы, уже имеющие положительное аберрационное
виньетирование, т.е. когда площадь сечения пучков лучей, выходящих
из разных точек поля, плоскости выходного зрачка вырастала с
увеличением угла главного луча с оптической осью в таком
отношении, когда освещенность в плоскости изображения убывает
пропорционально третьей степени косинуса названного угла.
По такой схеме был построен, например, объектив для
аэрофотосъемки «Руссар-38» (рис. 26.23). В этом объективе с
исправленной дисторсией фронтальная ортоскопическая линза
представляет собой сильно отрицательный выпукло-вогнутый
мениск, вторая поверхность которого имеет асферическую форму
543
высшего порядка. Фокусное расстояние объектива 36 мм,
относительное отверстие 1:8, угловое поле 148°.
Рис. 26.24. Особоширокоугольный объектив
Развитие углового поля объективов с исправленной дисторсией
ограничивается габаритами создаваемого ими изображения. Поэтому
чисто геометрически создание объектива с полем до 180° и более
возможно лишь при наличии значительной отрицательной дисторсии.
К числу таких объективов принадлежат и уже упоминавшиеся выше
объективы В.Н. Чуриловского и «Плеон». Но эти объективы
увеличивают поле до 180° и выше. Причиной тому является наличие
передней плоской (или слабовогнутой) поверхности, создающей
быстрый рост дисторсии, приводящей к быстрому падению масштаба
изображения на краю поля, что, в свою очередь, не позволяло
производить по снимку измерения.
Поэтому в подобного рода объективах целесообразно систему,
развивающую поле, строить на основе нескольких отрицательных
линз, работающих в режиме минимума отклонения главного луча, что
также облегчает коррекцию астигматизма и комы.
На рис. 26.24 приведена схема подобного рода объектива с
угловым полем 170°.
26.3. Зеркальные и зеркально-линзовые объективы телескопов
Объективы телескопов (рефлекторов) служат для получения
действительных изображений небесных светил с большим
увеличением, которые затем рассматриваются через окуляр или
фотографируются.
544
26.3.1. Телескоп Мерсенна
Первоначально астрономы (Галилей, Гюйгенс, Кассини и др.)
изготавливали телескопы, в которых объективы выполнялись из линз.
В 1636 г. французский физик Марен Мерсенн A588-1648) предложил
изготавливать телескопы из отражающих поверхностей, заменив в
телескопе Галилея линзовый объектив вогнутым зеркалом, а
отрицательную окулярную линзу - выпуклым зеркалом. На
рис. 26.25я приведена двухзеркальная схема телескопа Мерсенна, в
котором фокус главного вогнутого параболического зеркала 1 и фокус
второго выпуклого параболического зеркала 2 совмещены.
Рис. 26.25. Схема телескопа Мерсенна
Пучок параллельных лучей, упавший на главное (большое)
зеркало, по пути к фокусу F перехватывается вторичным (малым)
выпуклым зеркалом, установленным за фокусом F, и вновь в виде
пучка параллельных лучей, но уже меньшего диаметра в поперечном
сечении, выходит через отверстие в центре главного зеркала.
В другом варианте телескопа Мерсенна (рис. 26.256) вторичное
вогнутое параболичное зеркало 2 установлено перед фокусом F
главного зеркала 1.
В настоящее время двухзеркальную систему Мерсенна
применяют в звездных спектрографах.
26.3.2. Объектив телескопа Грегори
В 1661 г. шотландский астроном Джеймс Грегори A638-1675)
предложил зеркальный объектив, состоящий из главного зеркала,
имеющего форму вогнутого параболоида вращения 1, вторичного
зеркала в форме вогнутого эллипсоида вращения 2 (рис. 26.26).
545
Рис. 26.26. Объектив телескопа Грегори
Пучок лучей, параллельных оптической оси, собирается сначала
в фокусе главного зеркала ?и совпадающем с первым фокусом F2
вторичного зеркала, а затем, пройдя через отверстие в главном
зеркале, - во втором фокусе вторичного зеркала, являющегося
фокусом F' всего объектива. Изображение, созданное объективом,
прямое. Расположение вторичного зеркала перед фокусом главного
зеркала позволяет увеличить фокусное расстояние объектива по
сравнению с фокусным расстоянием главного зеркала и тем самым
ведёт к большему увеличению телескопа. В оптической системе
отсутствуют сферическая аберрация и хроматизм положения.
26.3.3. Объектив телескопа Ньютона
В 1667 г. И. Ньютон A643-1727) предложил телескоп, в котором
объектив состоит из главного параболического зеркала 1 и маленького
плоского зеркала 2, отклоняющего лучи в направлении к стенке трубы
телескопа, где размещается светоприёмная аппаратура или глаз
наблюдателя (рис. 26.27).
F
Рис. 2621. Объектив телескопа Ньютона
546
При небольшом относительном отверстии параболическое
зеркало может быть заменено сферическим.
Объектив свободен от сферической аберрации и хроматизма
положения; используется только в телескопах для наблюдения
небесных светил. Один из больших телескопов обсерватории Маунт-
Вильсон в США построен по схеме телескопа Ньютона. Его главное
зеркало имеет диаметр 1,52 м и фокусное расстояние 7,6 м A:5).
26.3.4. Объектив телескопа Кассегрена
В 1672 г. французский физик Лорен Кассегрен A6297-1693)
предложил телескоп с двухзеркальным объективом, который создавал
изображение небесного светила за главным параболическим зеркалом
1 с помощью лучей света, прошедших через отверстие в его центре
после отображения от вторичного гиперболического зеркала 2; фокус
главного зеркала и фокус вторичного зеркала совмещены в точке F| 2
(рис. 26.28).
Рис. 26.28. Схема телескопа Кассегрена
Вторичное зеркало расположено между главным зеркалом и его
фокусом, что приводит к меньшей длине телескопа и меньшему
экранированию световых лучей, чем у системы Грегори. В объективе
отсутствуют сферическая аберрация и хроматизм положения.
26.3.5. Объектив телескопа Гершеля
В 1789 г. английский астроном Вильям Гершель A738-1822)
предложил систему зеркального телескопа, в котором устранено
экранирование центральной части пучков лучей, имеющих место у
телескопов Грегори, Ньютона и Кассегрена. Главное зеркало
телескопа с относительным отверстием 1:10 наклонено по
отношению к оси трубы телескопа так, что его оптическая ось
образует с осью трубы угол 1,5°; окуляр помещён на краю отверстия
трубы, а лицо наблюдателя обращено к зеркалу (рис. 26.29).
547
р
Рис. 26.29. Объектив телескопа Гершеля
Первый большой телескоп Гершеля имел зеркало диаметром
1,22 м и фокусное расстояние 12,5 м. Внеосевое положение
наблюдаемого предмета приводит к значительным аберрациям комы и
астигматизма, вследствие чего отверстие зеркала не может быть
большим.
В настоящее время стало известно, что телескоп типа Гершеля
был изобретен и построен М.В. Ломоносовым в 1762 г., за 20-25 лет
до Гершеля. По разным причинам доклад об этом изобретении и
демонстрация прибора в Академии наук не состоялись; в 1765 г.
М.В. Ломоносов умер и его телескоп был забыт.
26.3.6. Объектив телескопа Ричи-Кретьена
Оптическая система объектива Ричи-Кретьена представляет
собой апланатический аналог системы Кассегрена. Теория системы
была разработана в 1922 г. А. Кретьеном, а опытный экземпляр
телескопа с диаметром главного зеркала 0,5 м, относительным
отверстием 1:24 и полем зрения 15' был изготовлен оптиком
Дж. Ричи, активно пропагандировавшим новую систему. Главное
зеркало - вогнутое гиперболическое, а вторичное - выпуклое
гиперболическое. Как и в системе Кассегрена, лучи света после
вторичного зеркала проходят через отверстие в главном зеркале, за
которым расположен окуляр (или светоприемная аппаратура). Хотя
качество изображения, даваемое системой Ричи-Кретьена, было
выше, широкое распространение она получила только в последние
годы, когда были построены большие телескопы с диаметром
главного зеркала около 4 м и несколько телескопов с диаметром 2-
2,5 м. Например, в США был построен космический телескоп по
схеме Ричи-Кретьена с диаметром главного зеркала 2,4 м при
относительном отверстии 1:2,3 и полезным полем зрения системы 30-
40'.
548
26.3.7. Объектив телескопа Шмидта
Зеркальные объективы телескопов имеют значительные
аберрации комы и астигматизма. Поэтому поле зрения их обычно
невелико и достигает в лучшем случае нескольких десятков минут.
Из-за этого их не используют при фотографировании больших
участков неба, что привело к дальнейшим многочисленным попыткам
создания зеркально-линзовых объективов.
В 1929 г. немецкий оптик Бернард Шмидт изобрёл зеркально-
линзовый телескоп, объектив которого имел простую конструкцию
(рис. 26.30).
Рис. 26.30. Объектив телескопа Шмидта
В плоскости, перпендикулярной оси главного сферического
зеркала и проходящей через его центр кривизны С, помещена
коррекционная стеклянная пластинка, у которой первая поверхность
плоская, а вторая — асферическая поверхность вращения, мало
отличающаяся от плоскости. Средняя часть пластинки действует как
слабая положительная линза, а края пластинки действуют как слабая
отрицательная линза. Профиль второй поверхности пластинки может
быть описан уранением
_ (уА-ау2)Р
Х~ 5\2к\п-\) '
где D — диаметр главного зеркала, к — диафрагменное число
главного зеркала, п — показатель преломления материала пластинки,
а — свободный параметр, от выбора которого зависит хроматизм
положения (минимальный хроматизм достигается при а = 1,5).
В объективе исправлены сферическая аберрация, кома,
астигматизм, дисторсия. Изображение плоского предмета имеет
кривизну; все точки изображения находятся на шаровой поверхности
с центром кривизны в точке Сие радиусом кривизны, равным
половине радиуса кривизны зеркала.
549
Телескоп Шмидта с главным зеркалом малых диаметров при
относительном отверстии 1:1 обеспечивает поле 20°. При больших
диаметрах главного зеркала и относительном отверстии от 1:2 до 1:3
поле составляет 5°.
Для исключения виньетирования лучей на краю поля диаметр
главного зеркала должен превышать диаметр коррекционнои
пластинки на величину 4у', где 2у' - линейное поле объектива.
Недостатком объектива Шмидта является значительная длина
вдоль оси, вдвое превышающая его фокусное расстояние. Для
устранения этого недостатка предложен ряд модификаций, в том
числе применение второго (дополнительного) выпуклого зеркала,
приближение коррекционнои пластинки к главному зеркалу и др.
Крупнейшие телескопы Шмидта установлены на Таутенбургской
астрономической обсерватории в Германии (D=1,37m; 1:3), Маунт-
Паломарской обсерватории в США (D= 1,22 м; 1:2,5) и на
Бюроканской обсерватории в Армении (D=l м; 1:2 и 1:3).
26.3.8. Объективы менисковых телескопов
В 1941 г. независимо друг от друга советский ученый
Д.Д.Максутов A896-1964) и венгерский ученый, проживавший в
Великобритании, Д. Габор изобрели новую зеркально-линзовую
систему, напоминающую систему Шмидта, но отличающуюся от нее
тем, что вместо пластинки с асферической поверхностью
применяется слабо рассеивающая линза в виде мениска с мало
отличающимися радиусами кривизны поверхностей.
Максутов назвал такие системы менисковыми. На рис. 26.31,
приведены оптические схемы двух вариантов объективов простейших
менисковых телескопов, где буквой М обозначен мениск, буквой 3 -
главное зеркало.
М 3
Рис. 26.31. Объективы простейших менисковых телескопов
По сравнению с системой Шмидта менисковые системы
значительно проще в изготовлении и имеют примерно в два раза
меньшую длину.
550
Менисковые линзы мало влияют на общий ход лучей, но
значительно изменяют аберрации оптической системы, в состав
которой они входят. Их радиусы кривизны поверхностей и толщину
можно подобрать так, чтобы при отсутствии хроматизма положения
положительная сферическая аберрация линзы компенсировала
отрицательную сферическую аберрацию главного зеркала.
Кома в менисковых системах зависит от расстояния между
мениском и главным зеркалом и при определенном положении
мениска может быть равна нулю.
Астигматизм простейших менисковых систем мал. Кривизна
поверхности изображения значительна, поэтому фотографирование в
них производится на соответствующим образом изогнутых
фотопленках. Однако при применении дополнительной
коррекционной линзы Пиацци-Смита, исправляющей как кривизну
поверхности изображения, так и дисторсию, возможно
фотографирование на плоских пластинках и пленках. Эта линза
изобретена в 1874 г. английским ученым Пиацци-Смитом и
представляет собой отрицательную линзу с плоской поверхностью,
обращенной к изображению, и вогнутой поверхностью с радиусом
кривизны r=R(n-l)n, где R - радиус кривизны поверхности
изображения, п - показатель преломления стекла, из которого
выполнена линза. Придав определенную кривизну плоской
поверхности, можно исправить дисторсию системы.
Рис. 26.32. Объективы менисковых телескопов
с коррекционными линзами
Практическое применение в астрономии получили менисковые
системы телескопов Максутова, схемы которых приведены на
рис. 26.32, где буквой М обозначен мениск, буквой 3 - главное
551
сферическое (эллиптическое) зеркало, буквой В - вторичное зеркало,
буквой Л - коррекционная система, П - фотографическое или
наблюдаемое изображение.
Первая из них (рис. 26.32 а) обеспечивает достаточно большое
поле (до 5°) и светосилу (относительное отверстие до 1:1,2).
В мениске сделано отверстие для введения фотопленки.
Вторая схема (рис. 26.32 б) является менисковым аналогом
системы Кассегрена, имеет умеренное поле порядка 1° при большом
фокусном расстоянии и, следовательно, меньшей светосиле
(относительное отверстие до 1:10- 1:15).
Третья схема (рис. 26.32 в) - менисковый аналог системы
Грегори; по своим характеристикам близка ко второй.
Во второй и третьей системах на мениск наклеено вторичное
зеркало, а в главном зеркале сделано отверстие для вывода
изображения за оправу зеркала. Во всех трех системах перед
изображением установлена коррекционная линза (система).
Кроме телескопов, менисковая система Максутова типа
Кассегрена используется в качестве длиннофокусных
фотографических объективов. Их малая длина при относительно
большом диаметре входного зрачка является серьезным
преимуществом по сравнению с линзовыми телеобъективами.
Возможность исправить в менисковых системах все основные
аберрации приводит к высокому качеству изображения не только в
центре поля, но при больших полях и на их краях.
Крупнейшие в мире менисковые телескопы Максутова с
менисками диаметром до 0,7 м (зеркало диаметром около 1 м)
построены в СССР и установлены в Абастуманской астрофизической
обсерватории (Грузия) и на горе Серра-Рабле в Чили. В США
сконструирован телескоп Максутова «Квестар», выпускаемый для
любителей.
26.4. Объективы микроскопов
Объективы микроскопов характерны тем, что объект расположен
в непосредственной близости от объектива. Их фокусные расстояния
невелики - от 30-^40 мм до 2 мм. К основным оптическим
характеристикам объективов микроскопов относятся апертура А,
равная rijSincjp где п{ - показатель преломления среды, в которой
находится объект, а, - апертурный угол в пространстве предметов;
552
линейное увеличение Р; линейное поле зрения 2у; расстояние от
плоскости объекта до плоскости изображения.
Величина апертуры А определяет как освещенность
изображения, пропорциональную А , так и линейный предел
разрешения микроскопа, т.е. наименьшее различимое расстояние на
объекте, определяемое (в предположении, что аберрации
отсутствуют) для самосветящихся объектов формулой B4.19):
0,6 а
А
где X - длина волны света, в котором наблюдается объект.
Если предмет находится в воздухе A^=1), то А не может
превышать 1 (фактически не более 0,9). Помещая объект в жидкость,
называемую иммерсией (п,>1), примыкающую к поверхности
первой линзы объектива, добиваются того, что А достигает 1,4-И.6.
Объективы микроскопа, работающие с иммерсией, называют
иммерсионными. Таким образом, применение иммерсии
повышает разрешающую способность объектива.
Увеличение р современных объективов микроскопов доходит до
90-100х.
Микрообъективы различают по следующим характеристикам.
а) По спектральной области работы - объективы для работы в
видимой, ультрафиолетовой и инфракрасной областях
спектра (линзовые и зеркально-линзовые).
б) По длине тубуса, на которую они рассчитаны, - на объективы
для тубуса 160 мм, 190 мм и для «длины тубуса
бесконечность». При «длине тубуса бесконечность»
изображение, создаваемое объективом, находится на
бесконечности. В этом случае микрообъективы используются
совместно с тубусными линзами, приводящими изображение
в фокальную плоскость окуляра.
в) По среде между объектом и объективом - на сухие и
иммерсионные.
г) По методу наблюдения - на обычные, фазово-контрастные,
интерференционные и др.
д) По типу препаратов (объектов) - с покровным стеклом и без
него.
е) По степени коррекций аберраций.
По степени коррекции хроматической аберрации различают
микрообъективы ахроматы и апохроматы. Так как хроматическая
553
аберрация в ахроматах исправляется только для двух длин волн,
изображение при освещении дневным светом остается слабо
окрашенным.
Слабые ахроматы представляют собой объектив из двух
склеенных линз. Объективы с числовой апертурой около 0,2 состоят
из двух двухлинзовых компонентов, разделенных значительным
воздушным промежутком. Объективы средних и больших
увеличений содержат фронтальную линзу (обычно плосковыпуклую
или вогнуто-выпуклую) и несколько склеенных компонентов.
Рис. 26.33. Оптическая схема ахромата 40x0,65
Рис. 26.34. Оптическая схема ахромата 60x0,85
На рис. 26.33 для примера приведена оптическая схема ахромата
с увеличением 40х и числовой апертурой 0,65, а на рис. 26.34 -
ахромата с увеличением 60х и числовой апертурой 0,85.
В апохроматах хроматическая аберрация исправляется для трех
длин волн, и они дают бесцветные изображения. Это достигается
применением в оптических системах сред с особым ходом частных
относительных дисперсий. По конструкции они сложнее ахроматов.
Плоскость изображений у ахроматов и апохроматов несколько
искривлена. Однако аккомодация глаза и возможность просмотра
всего поля изображения с помощью перефокусировки микроскопа
частично компенсируют этот недостаток при визуальном наблюдении,
но он сильно сказывается при микрофотографировании - края
изображения получаются нерезкими. Поэтому при
микрофотографировании применяют микрообъективы с
554
дополнительным исправлением кривизны поверхности изображения -
планахроматы и планапохроматы. Исправление
кривизны поверхности изображения в них достигается за счет
установки в разных местах оптической системы линз с большой
толщиной, вогнутая поверхность которой имеет большую кривизну.
Рис. 26.35. Оптическая схема планахромата 60x0,85
Рис. 26.36. Оптическая схема планапохромата 60x0,90
На рис. 26.35 для примера приведена оптическая схема
планахромата с увеличением 60х и числовой апертурой 0,85, а на
рис. 26.36 - оптическая схема планапохромата с увеличением 60х и
числовой апертурой 0,90.
26.5. Гомалы
Гомалами называются отрицательные оптические системы,
применяемые в микроскопах с целью компенсации кривизны
поверхности изображения и хроматизма увеличения, создаваемых
ахроматическими и апохроматическими микрообъективами.
Выходной зрачок гомалов расположен внутри прибора. Поэтому они
применяются в основном для фотографирования. Линейное поле
зрения гомалов не превышает 8-12 мм.
Рис. 26.37. Гомал А.
Р = 2,5Х
Рис. 26.38. Гомал Б.
C = 3,75х
555
Кривизна поверхности изображения у различных объективов
различна. Поэтому разработаны несколько типов гомалов, которые
исправляют эту кривизну в различной мере слабее или сильнее.
Таблица 26.2
Расстояние предмета от первой
поверхности, мм
Расстояние изображения от последней
поверхности, мм
Масштаб изображения, крат
Линейное поле зрения, мм
Диаметр изображения, мм
Гомал А
58,6
127
2,5
12,0
30,0
Гомал Б
47,6
249,6
3,75
12,0
45,0
Таблица 26.3
Конструктивные
гомала
(f = -92,43; sF = 94,02
г
Г, =00
г2 = -18,408
г, = оо
Г4 = оо
г5 = -10,965
г6= 10,965
d
d,=2,5
d2 = 1,0
d^ = 5,76
d4 = 3,5
d5 = 1,0
d6 = 3,5
) элементы
A
;s'F = -103,75)
Марка
стекла
БК6
ТФ4
-
Ф1
TK6
Ф1
DCB
12,5
12,5
12,5
13,2
13,5
13,5
13,7
Таблица 26.4
Конструктивные элементы
(f = -135,34
г
г, = -26,0
г2 =-41,21
г3 = 233,3
г4 = -43,55
гомала Б
; sF = 83,7; s'p = -288,06)
d
20,65
d3 = 4,0
Марка
стекла
TK6
-
БФ17
Dcb
12,5
12,5
23,0
23,0
556
На рис. 26.37 для примера приведена оптическая схема гомала А
с увеличением 2,5х, а на рис. 26.38 - оптическая схема гомала Б с
увеличением 3,75х. В табл. 26.2 даны основные характеристики этих
гомалов, а в табл. 26.3 и 26.4 - их конструктивные элементы. Эти
гомалы применяются с объективами - апохроматами любого
увеличения и ахроматами большого увеличения.
С помощью специальных переходных втулок гомалы
вставляются до упора на место окуляров микроскопов.
557
ГЛАВА 27. ОКУЛЯРЫ
Окуляр (от лат. oculus - глаз) - обращенная к глазу
наблюдателя часть оптической системы (зрительной трубы,
телескопа, бинокля, микроскопа и т.д.), служащая для визуального
рассматривания действительного изображения, которое формируется
объективом или другой предшествующей окуляру по ходу лучей
света частью оптической системы.
Основными оптическими характеристиками окуляра являются:
1. фокусное расстояние;
2. угловое поле зрения в пространстве изображений;
3. диаметр выходного зрачка;
4. удаление выходного зрачка от вершины последней
поверхности.
Ниже приводится краткий обзор основных типов окуляров,
применяемых в оптических системах.
27.1. Окуляр Гюйгенса
Окуляр Гюйгенса был изобретен нидерландским учёным
Христианом Гюйгенсом в период 1681-1687 гг. Это был первый
неоднолинзовый окуляр, состоящий из двух расположенных на
конечном расстоянии d друг от друга плосковыпуклых линз,
обращенных к глазу плоскими поверхностями (рис. 27.1).
Выкзр.
Таблица 27.1
Рис. 27.1. Окуляр Гюйгенса
г
24,07
00
10,18
00
d
3
25,9
2,5
стекло
Ф1
К14
f=24,8 S'F=5,6
Первую линзу окуляра называют коллективной, а вторую -
глазной. Передний фокус окуляра мнимый и находится между
линзами. Полевая диафрагма располагается также между линзами в
передней фокальной плоскости глазной линзы.
Если линзы выполнены из одной марки стекла, то в окуляре
может быть исправлен хроматизм увеличения при условии, что
558
Если стекла линз различны, то в этом случае
V\ + V2
Сферическая аберрация не может быть исправлена; её величина
зависит от параметров глазной линзы: она больше у окуляров с
меньшим фокусным расстояние и меньше, если глазная линза
выполнена из крона, а не из флинта. Хотя сферическая аберрация и
хроматизм положения остаются неисправленными, но из-за малости
выходного зрачка они могут существенно не влиять на качество
изображения всей системы (например, микроскопа).
В окуляре могут быть исправлены кома или астигматизм.
Вследствие невозможности одновременно исправить эти аберрации
выбирают наиболее выгодную комбинацию обеих аберраций, чтобы
получить наилучшее качество изображения внеосевых точек
предмета.
Угловое поле окуляра достигает 45°-50°, а удаление выходного
зрачка - S\,, ^ A /3 - 1 /4)/'. Окуляр применяется в астрономических
трубах и наблюдательных микроскопах.
В таблице 27.1 приведены параметры одного из окуляров
Гюйгенса.
27.2 Окуляр Рамсдена
В 1782 г. англичанин Джесси Рамсден предложил окуляр из
двух установленных на конечном расстоянии друг от друга
плосковыпуклых линз, обращенных друг к другу выпуклыми поверхностями
(рис. 27.2).
Выхзр.
Рис. 27.2. Окуляр Рамсдена
Таблица 27.2
г
24,07
00
10,18
00
d
3
25,9
2,5
стекло
Ф1
К14
f=24,8 S'F=5,6
559
Окуляр Рамсдена отличается от окуляра Гюйгенса ещё и тем,
что его передний фокус действителен, вследствие чего в его передней
фокальной плоскости можно расположить шкалу и крест нитей для
измерительных целей. Путем эмпирического подбора соотношения
фокусных расстояний линз и величины воздушного промежутка
между ними в окуляре могут быть исправлены астигматизм и кома.
Обычно </ = 2/3/Ч/.
Угловое поле окуляра достигает 40°, удаление выходного зрачка
S\, «A/4-1/3)/*1.
Окуляр применяется главным образом в геодезических и
астрономических приборах, имеющих малые выходные зрачки.
В таблице 27.2 приведены параметры одного из окуляров
Рамсдена.
27.3. Окуляр Кельнера
В 1949 г. Карл Кельнер предложил окуляр, отличающийся от
окуляра Рамсдена тем, что его глазная линза состоит из двух
склеенных линз, одна из которых (положительная) выполнена из
крона, а другая (отрицательная) - из флинта (рис. 27.3).
Таблица 27.3
\Вькзр.
1
г
66,2
-31,1
18,1
-13,5
-19,5
d
6,0
18,0
5,5
1,5
стекло
К8
БК8
Ф13
f=25 S>=9
27.3. Окуляр Кельнера
Первоначально оба стекла имели
равные показатели преломления для
основной длины волны, но различные
дисперсии. В дальнейшем было
показано, что использованием в глазной
линзе стекол с разными показателями преломления и различными
дисперсиями при одновременном отказе от плоскостности первой
поверхности коллективной линзы можно существенно улучшить
коррекцию полевых аберраций, а также уменьшить сферическую и
хроматическую аберрации.
Угловое поле окуляра достигает 50°; удаление выходного зрачка
slp. ~\/2f\ в таблице 27.3 приведены параметры одного из окуляров
Кельнера.
560
27.4. Симметричный окуляр
Симметричный окуляр состоит из двух одинаковых
двухлинзовых компонентов, расположенных симметрично и
находящихся очень близко друг к другу (рис. 27.4).
\Вькзр.
Таблица 27.4
г
68,66
21,01
-30,58
30,58
-21,01
-68,66
d
1,5
7,5
0,1
7,5
1,5
стекло
Ф2
К8
К8
Ф2
f=25 SV=18,9
F тР
Рис. 27.4 Симметричный окуляр
Угловое поле окуляра не
превышает 40-42°. Окуляр имеет
большое удаление выходного зрачка и
большой передний фокальный отрезок
SV «5"у,. «0,75/'.
В окуляре хорошо исправлены сферическая и хроматическая
аберрации.
В таблице 27.4 приведены параметры одного из симметричных
окуляров.
27.5. Ортоскопический окуляр
Ортоскопический окуляр состоит из
трех склеенных линз, средняя из которых
двояковогнутая, выполнена из флинта, а
крайние двояковыпуклые, выполнены из
крона, и глазной выпукло-плоской линзы
из крона (рис. 27.5).
Выкзр.
Таблица 27.5
Рис. 27.5. Ортоскопический окуляр
г
68,66
21,01
-30,58
30,58
-21,01
-68,66
d
1,5
7,5
0,1
7,5
1,5
стекло
Ф2
К8
К8
Ф2
f=25 SV=18,9
561
Угловое поле окуляра около 40°, S",,. «0,75/'. В окуляре
хорошо исправлены сферическая аберрации, хроматизм положения и
дисторсия.
В таблице 27.5 приведены параметры одного из
ортоскопических окуляров.
27.6. Окуляры Эрфле
Группа окуляров Эрфле характерна тем, что они состроят из
пяти линз (рис. 27.6).
\Вькзр.
VJ
\Вькзр.
F тР
Л
\Вькзр.
е)
Ш1.
Рис. 27.6 Окуляры Эрфле
Их угловое поле доходит до 50°. Конструктивно их можно
разделить на три типа.
Окуляр первого типа содержит первую одиночную линзу и
установленные за нею два компонента, каждый из которых содержит
две склеенные линзы (рис. 27.6а).
Этот тип окуляров можно рассматривать как дальнейшее
развитие окуляра Кельнера. От окуляра Кельнера он отличается более
сложной глазной линзой. Этот тип окуляра пригоден в случаях их
больших фокусных расстояний.
В окулярах второго типа одиночная линза размещена между
компонентами (рис. 27.66). Окуляр имеет большое удаление
выходного зрачка S'p. =/'.
Окуляры с одиночной линзой за компонентами образуют третий
тип окуляров Эрфле (рис. 27.бе).
562
Таблица 27.6
Таблица 27.7
г
-55,85
33,16
-33,16
61,82
-61,82
29,26
-34,21
-169,29
d
1,99
9,95
0,25
5,97
0,25
8,45
1,99
стекло
Ф13
К8
К8
Ф13
f=25 SV=19,664
г
-236,6
-35,0
39,99
-41,12
15,19*
-32,06
00
d
7,0
2,0
13
0,2
16,0
2,0
nD
1,6126
1,6128
1,6126
1,5467
1,5480
f=20,01 S'F=9,02
*3вездочкой отмечен радиус при
вершине параболы го=-15,19
Эти окуляры имеют большой передний фокальный отрезок, что
позволяет применить сетку и выполнять его перемещение вдоль оси.
Изображение на краю поля у окуляров Эрфле низкого качества
вследствие астигматизма и дисторсии. Сферическая аберрация и
хроматизм положения исправлены хорошо.
В таблице 27.6 приведены параметры одного из окуляров Эрфле
второго типа с угловым полем 60°.
27.7. Широкоугольные окуляры
Широкоугольные окуляры с угловым полем 80°-100° - это
обычно многолинзовые системы. Для таких окуляров возникают
трудности при исправлении комы и дисторсии. Большое количество
линз облегчает устранение хроматических аберраций.
Выхзр.
¦ ф
РтР
Выхзр.
РтР
Рис. 27.7. Широкоугольный окуляр Рис. 27.8 Широкоугольный
окуляр с
асферической поверхностью
563
На рис. 27.7 приведена оптическая схема широкоугольного
окуляра, имеющего Г = 50; Sr =-4,28; 5",, =18; 2й/ = 90°; ?>//*'= 1/4,1.
Окуляры с угловым полем более 80° содержат асферические
поверхности с целью устранения и дисторсии, и аберрации в зрачках.
Применение таких поверхностей вызывают трудности
технологического характера.
На рис. 27.8 приведена оптическая схема такого окуляра с
параболоидной поверхностью, имеющей уравнение параболы
у2 =30,38Z. В таблице 27.7 приведены параметры этого окуляра,
имеющего угловое поле 87°.
27.8. Автоколлимационный окуляр
Автоколлимационным окуляром называется окуляр, вблизи
передней фокальной плоскости которого расположена небольшая
призмочка (рис. 27.11).
Л
Рис. 27.9 Автоколлимационный окуляр
Она направляет свет от источника * на перекрестие нитей, затем
в объектив и далее на поставленное впереди плоское зеркало. От
зеркала свет отражается и, пройдя вновь через объектив, собирается в
переднем фокусе окуляра, где наблюдаются одновременно крест
нитей и его изображение. Такие окуляры позволяют с большой
точностью определить направление нормали к зеркалу, что бывает
необходимо, например, в телескопических системах.
564
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
ГЛАВА 28. РАСЧЕТ ОБЪЕКТИВОВ
28.1. Расчет объектива из двух склеенных линз
Объектив из двух склеенных линз имеет три радиуса кривизны
оптических поверхностей, два из которых (свободные параметры)
используются для исправления двух монохроматических аберраций, а
с помощью третьего выдерживают требуемое численное значение
фокусного расстояния (условие масштаба). Обычно исправляют
сферическую аберрацию и меридиональную кому. Астигматизм
может быть исправлен при несовпадении входного зрачка с оправой
объектива (см. формулу A4.47)). Кроме того, подбирая марки стекол,
т. е. меняя численные значения показателей преломления п2 и п3 и
коэффициентов дисперсии vx и v2 стекол, исправляют и хроматизм
положения. Условия исправления хроматизма увеличения приведены
в п. 15.9. Выведем формулы, с помощью которых производится
расчет объектива.
Будем считать, что значения основных параметров Р, W и С,
определяющих необходимые значения сферической аберрации и
меридиональной комы 3-го порядка, а также хроматизм положения
1-го порядка известны. Обозначив через Фх и Ф2 приведенные
оптические силы первой и второй линз, можно написать
Oi +Ф2 = 1,
Ф2 _ -
B8.1)
Решая систему этих двух уравнений, получаем значения Фх и Ф2.
При бесконечно удаленном предмете аг = О, а4 = 1. Для вычисления
значений радиусов кривизны поверхностей объектива необходимо
знать значения а2 и а3. Профессор Г.Г. Слюсарев предложил
значения этих углов определять с помощью двух параметров -
оптической силы Фг первой линзы и нулевого инварианта Аббе Q
второй поверхности, имеющей радиус кривизны г2.
Оптическая сила первой линзы (при hx = 1)
Ф}=(п2-пЛ ,
565
где
щ-п, . п-у—Х
г{= 2- —/*i=- ,
~ п2 j7 _ ~ п2
п3а3 - п2а2 п3а3 - п2а2
Поэтому
-п2
После упрощения получим
— =п2а2(п3 -\)-п3а3(п2-\)
п, -
Для нулевого инварианта Q имеем
J__j_
r2 s2
B8.2)
На рис. 28.1 показан ход первого параксиального луча через вторую
поверхность объектива.
Рис. 28.1. Ход первого параксиального луча через
вторую поверхность объектива.
Из рисунка следует
X к X к XX
— = — = (р, — = —- = а2, = <р-а2 = s2.
r2 r2 s2 s2 r2 s2
Поэтому
Q = -n2?2.
Применив закон преломления для углов ?2 и ?'2, с помощью рис. 28.1
566
можно далее показать, что
а3-а2 _ а3-а2
_L__L пъ-п2
пъ п2
Отсюда получаем
B8.3)
2пъ
п2п
Подставив это значение а3 в B8.2), после преобразования получим
1
B8.4)
После подстановки значения а2 из B8.4) в B8.3) и некоторого
упрощения будем иметь
аъ =Oi+ 1-— \Q. B8.5)
I пъ)
Из B8.4) и B8.5) следует, что а2 и а3 при выбранных стеклах зависят
от Фх и Q.
Для основного параметра W имеем:
W = ?^
-^|+-
Подставив сюда значения а2 и а3 из B8.4) и B8.5), после некоторого
преобразования будем иметь
W=-a-^Q+®1~b\ B8.6)
где
2Ф, 2Ф7
а = \ + L + 2- B8.7)
п2 пъ '
Ь = Ф,2 Ф22 - 2Ф2 B8.8)
п2-\ пъ-\
Аналогичным путем можно получить
567
P=aQ2 +bQ + c, B8.9)
где
(п2-\J (п3-\
п3
Выражение B8.9) преобразуем следующим образом:
а
4а
где
&=-— B8.12)
2а
При Q = Qq основной параметр Р имеет минимальное значение
Р =с-— B8.13)
4а'
Следовательно,
P = Pmin+a{Q-Q0)\ B8.14)
Q = Q0±J^^ B8.15)
V а
Из B8.6) и B8.12) следует
3 й + l 2д
После некоторого преобразования можно получить
Введем обозначение:
Wo = — DаФ, -ab + 3b). B8.16)
12а
Тогда, очевидно, будем иметь
Q-Qo=-—M-Wo). B8.17)
а +1
568
Подставив разность Q — Qo из B8.17) в B8.14), получим
B8.18)
Вычисления показывают, что а « 2,35; Wo = 0,1 -т- 0,2;
я + 1 1,67'(д + lJ '
Поэтому формулы B8.15), B8.17) и B8.18) можно написать в виде
е=ео±
е=е0-
B8.19)
B8.20)
1,67 ,
Pmn=P-0&{w-W0J. B8.21)
В формуле B8.21) Wo принимают равным 0,1 для комбинации крон
впереди и 0,2 для комбинации флинт впереди.
Из изложенного следует следующий порядок расчета объектива,
обладающего заранее известными значениями параметров Р, W, С.
1. По формуле B8.21) вычисляют значение Pmin.
2. По специальным таблицам, предложенным Г.Г. Слюсаревым,
находят комбинации стекол, для которых С и Pmin имеют близкие к
требуемым численные значения. Таблицы составлены как для
комбинаций с кроном впереди, так и для комбинаций с флинтом
впереди. Для примера ниже приведен фрагмент названной таблицы в
случае комбинации с кроном впереди (таблица 28.1).
Таблица 28.1. Крон впереди
К8
1,5183
64,1
С
-0,005
-0,0025
0
0,025
nD= 1,6128; v=36,9
Ро
0,92
0,11
-1
-2,44
Фк
1,922
2,14
2,357
2,574
Qo
-4.02
-4.7
-5,38
-6,07
Аргументом в таблице служит величина С. Для каждого
численного значения С приведены соответствующие значения
Ро = РШ1П, Фк и Qo. Величины Ф^ обозначают оптические силы
положительной линзы. Для комбинации с кроном впереди Ф^ = Фь а
для комбинации с флинтом впереди Фг = 1 — Ф^.
569
При выборе относительного расположения флинтовой и
кроновой линз в случае расчета объектива зрительной трубы следует
руководствоваться следующим правилом: при W > 0,8 комбинации с
флинтом впереди дают меньшие значения остаточной сферической
аберрации; при W < 0,8 более пригодны комбинации с кроном
впереди.
Заметим, что в 1984 г. СВ. Трубко опубликовал таблицы для
выбора стекол при расчете объективов из двух склеенных линз, в
которых по сравнению с таблицами Г.Г. Слюсарева приведено в 5 раз
больше марок стекол, расширен диапазон и уменьшен шаг изменения
параметра С (от -0,006 до +0,006 с шагом 0,002).
3. После выбора стекол берут из таблицы значения Ро, Фк и Qo,
соответствующие требуемому значению С. Можно также по
формулам B8.12), B8.13) и B8.16) вычислять более точные значения
Ро, Qq и Wo, определить предварительно уточненные значения
оптических сил Ф15 Ф2, а также коэффициентов a, b и с.
4. В зависимости от того, какой из параметров Р или W следует
получить с большей степенью точности, по формулам B8.15) или
B8.17) вычисляют значение Q. Знак перед радикалом в первой из них
берется тот, который приводит к значению Q, получаемому по второй
формуле. Обе формулы всегда приводят к практически близким
значениям Q. Эти две формулы дают заметное расхождение в том
случае, когда разность Q — Qo велика. Но такие случаи встречаются
редко и главным образом при расчете фотографических объективов,
когда, как правило, большой точности не требуется.
5. После вычисления значения Q по формулам B8.4) и B8.5)
вычисляют углы а2 и а3, переходя затем к вычислению радиусов
кривизны оптических поверхностей и толщин линз.
28.2. Расчет объектива из двух несклеенных линз
В отличие от объектива из двух склеенных линз, объектив из
двух несклеенных линз имеет дополнительный параметр - четвертый
радиус кривизны. При выбранных стеклах они имеют три свободных
параметра - три радиуса кривизны. Поэтому для трех основных
параметров Р, W и С можно получить наперед заданные значения.
Основной параметр л в этих объективах обычно не рассматривают,
так как только при очень больших значениях оптических сил
отдельных линз объективов можно получить для него значения,
570
заметно отличающиеся от 0,7. Расчет объективов выполняют в
следующей последовательности.
ОС; =0
Рис. 28.2. Объектив из двух несклеенных линз
После выбора стекол по B8.1) вычисляют отпические силы линз
Фг и Ф2. В качестве переменных параметров, определяющих
конструктивные параметры объектива, выберем углы первого
параксиального луча с оптической осью а2 и а4 (рис. 28.2). Так как
объектив бесконечно тонкий, то, очевидно, при а1 = 0 и а5 = 1
имеем а3 = Фг. Подставив эти значения углов в формулы A4.17) и
A4.18) при q = 4, после довольно длительных, но простых
преобразований можно получить:
\ \ , B8.22)
Р = Аха\
А3а2
А4а4
W =
B8.23)
В этих формулах:
(«2-0-
¦(«2+2),
А2=-
тBл2+1),
А4 =
(п2-\)
п4(п4+2)
К-1J (n4-lf '
и4Bя4+1)Ф,2 п4{2п4+\)
К-1J
К-1J '
571
А =
5
=
5 («2-1J К-1J
(и2+1)Ф,
Я2-1
в2=--
И4-1
и2Ф,-
Z5. =
п2-\ п4-\ п4-\
Формула B8.22) представляет собой квадратное уравнение
относительно углов а2 и а4, а формула B8.23) - уравнение первой
степени относительно тех же углов.
Таким образом, задача расчета оптической системы объектива,
удовлетворяющей наперед заданным значениям Р и W, сводится к
совместному решению двух уравнений: квадратного с неизвестными
а2 и а4 и линейного с теми же неизвестными. Для этого из B8.23)
находят выражения для а4 через а2, подставляют это выражение в
B8.22) и решают полученное квадратное уравнение относительно а2
обычным способом. Из полученных двух значений а2 обычно
следует брать то, которое приводит к большим по абсолютной
величине радиусам кривизны поверхностей.
Хотя двухлинзовые несклеенные объективы имеют лишний
параметр, в отношении коррекции аберраций они ненамного
отличаются от склеенных и могут быть применены при
относительных отверстиях, не превышающих 1:5-5-1:4. Больших
относительных отверстий (до 1:3-5-1:2,5) можно достичь добавлением
третьей линзы.
28.3. Расчет объектива из трех склеенных линз
Объектив из трех склеенных линз по сравнению с объективом из
двух склеенных линз обладает лишним параметром (не считая
показатель преломления стекла третьей линзы), позволяющим
исправить еще одну аберрацию при выбранной комбинации марок
стекол.
Основное преимущество трехлинзового склеенного объектива
по сравнению с двухлинзовым склеенным объективом состоит в том,
572
что в первом случае при заданной заранее комбинации стекол можно,
в принципе, благодаря наличию лишнего параметра, удовлетворить
трем условиям исправления аберраций: сферической, комы и
хроматической, в то время как во втором случае можно
удовлетворить только двум условиям.
Примем фокусное расстояние объектива равным единице, а для
упрощения дальнейших выводов положим
^_ J__
где гк - радиус кривизны к-и поверхности, пк - показатель
преломления к-и среды. Кроме того, коэффициенты дисперсии
первой, второй и третьей линз будем обозначать через /ilf/i2 и Мз
соответственно.
Из расчета первого параксиального луча по формулам углов и
высот при h = 1 имеем:
аг = О, as = 1,
a2=(\-v2)P], B8.24)
у у - у
аъ=^р,+ -1 3- р2. B8.25)
Оптическая сила первой линзы
Откуда следует
Pi =P\ -[Г^Г^1- B8.26)
Подставив B8.26) в B8.25), после несложных преобразований
получим
«з = 0 - уз )Р\ + ^3_ Vl ф1. B8.27)
Далее имеем
Подставив сюда значение а3 из B8.27), можно получить
а4=^ ^-V, +^V уФ' + ^- B8-28)
573
Оптическая сила второй линзы
Ф2 ={п3-п2\р2-р3)^
откуда следует
P3=P2-j37#2. B8.29)
С помощью B8.26) и B8.29) выражение B8.28) можно привести к
виду
ал=(\- v2 )Pl + ^р- Ф2 • B8.30)
По условию масштаба и по формуле для основного параметра с
соответственно имеем:
Ф,+Ф2+Ф3=1,
М\ Mi Мъ
(т. к. буква v уже использована для обозначения величины -, то, как
уже указывалось выше, в некоторых случаях в дальнейшем
коэффициент дисперсии стекол будет обозначаться буквой \х вместо
привычного обозначения буквой v).
Из условия масштаба
ф
а из формулы для основного
Следовательно,
1-
Из этого уравнения
ф2
ф3=-^
Ф,-Ф2
нетрудно
Mi (l +<
Mi ~
», = 1 — ф, —
3 1
параметра
и-, — и, -
— ф^ - — <.
^i Mi
Мх
) получить
-Мз) , Мъ~
Мъ М\
Ф2
С:
Mi
М\
М2
://3.
2 - С//3 .
/и2 —
~Мъ
Введем обозначения:
а = Ш ^-;, B8.31)
Mi-Mi
Ь = ^^^^ B8.32)
М\ Мг-Мъ
Тогда
574
Ф2 =
Подставив это значение Ф2 в B8.30), получим
«4 = С1 - ^2 )Р\ + *?_ ^ (« + ЬФ,). B8.33)
з
Наибольший практический интерес представляет случай, когда
первая и третья линзы изготовлены из стекла одной марки
(v2 = v4, Mi = Мз> b = 0).
В этом случае
«4 = С1 - ^2 )Pi + ^2_ Кз «• B8.34)
з
Введем далее следующие обозначения:
т = — —,
к =
v2-v3
1
т
{v2-v3)a-(\-v2)Y
2 (л \ т
\-v2
Используя эти обозначения, а также значения ах = 0, as = 1 и
значения углов а2, а3 и а4 соответственно из B8.24), B8.27) и
B8.34), для основных параметров W и Р можно составить
выражения:
mW = т(уъ —v2)a — (\ + v2)P\ + {v2 + Уъ)аФ\ -
2 т B8.35)
mP = m[l + 2k2 - 2{v2 - v3)a]pf -
-A -4iOflu p, +
+ 2(l2v2)a(\
X~V2 J
-2k7-2k,WOi +2v/2+v/3 2ф
2 3/^' 1
B8.36)
l-v2
575
Далее из B8.35) находим
Р\ =1 ~ (V2 + уъ )ак®\' B8.37)
где
l = k(mW-t).
Подставив B8.37) в B8.36), после преобразований получим
\ \(V2 +Уъ)ктд- 1 k2+2i
2+1/3 п \-2{\-2у2-2уъ)\ \-у2
B8.38)
2 + у, 1 \
- щ \1т + alp +
i-v, ^J
где
Выражение B8.38) является квадратным уравнением относительно
Фг. Решая это уравнение, получают два варианта численного
значения Фх.
При этом возможно получение мнимого решения (под корнем
отрицательное число). Это свидетельствует о неудачном выборе
марок стекол. В этом случае марки стекол необходимо менять до
получения действительного решения.
После этого по формулам, B8.24), B8.27), B8.34) и B8.37)
вычисляют plf a2, сс3 и а4 соответственно. При этом получают два
варианта численных значений углов а во всех пространствах.
Используя эти значения, переходят к вычислению радиусов кривизны
оптических поверхностей, выбирая затем тот вариант, который
приводит к наименьшей кривизне этих поверхностей.
Если крайние линзы объектива выполняются из стекол разных
марок, то в этом случае также можно использовать изложенную
576
методику расчета, но из-за того, что Ъ Ф О, выводы последующих
общих формул становятся чрезвычайно громоздкими. Поэтому в
формулы B8.24), B8.27) и B8.38), выражающие углы а2, сс3 и а4
соответственно, целесообразно сначала подставить имеющиеся
численные значения входящих в них величин и только затем
использовать их для составления уравнений, определяющих
основные параметры W и Р.
В объективе из трех склеенных линз, выполненных из разных
марок стекол, можно осуществить двойную коррекцию сферической
аберрации, т. е. полностью устранить эту аберрацию для лучей,
пересекающих плоскость входного зрачка на двух разных высотах
относительно оптической оси.
а) б)
п2щ<пк т
.20
)
П2 <Л]
.10
As1
/77
20
-0,1 О Q1
/77
20
As'
2)
П2
-Q1 О Q1
/77
L20
As'
н
-Q02 0 0,02 -0,02 0 0,02
Рис. 28.3. Трехлинзовые склеенные объективы с двойной коррекцией
сферической аберрации
На рис. 28.3 для примера приведены четыре варианта такой
двойной коррекции сферической аберрации.
577
Таблица 28.2
г
67,188
-36,141
-49,967
-800
d
12
3
4
по
1,6126
1,5891
1,728
/=125
58,34
61,28
28,32
Марка
стекла
ТК16
ТК23
ТФ7
s'F'=\ 12,145
Таблица 28.3
т
20,84
18,04
14,73
10,42
0
As'D
-0,044
0,014
0,002
-0,012
0
As'F
1,408
1,307
1,148
1,001
0,892
As'c
-0,487
-0,383
-0,332
-0,297
-0,242
As'F_c
1,895
1,68
1,48
1,298
1,134
На рис. 28.За приведена оптическая схема и график сферической
аберрации объектива с относительным отверстием 1:3, в таблице 28.2
- его конструктивные параметры, а в таблице 28.3 - продольные
аберрации лучей осевого пучка для спектральных линий D, F и С.
Радиусы кривизны поверхностей склеек имеют одинаковые знаки, а
показатель преломления стекла средней линзы меньше показателей
преломления стекол внешних линз. Средняя линза выполнена в виде
отрицательного вогнуто-выпуклого мениска. Объектив разработан
проф. М.М. Русиновым.
Таблица 28.4
г
58,27
-48,32
25,97
-600,73
d
16
3
16
Г = 99,(
D
1,6220
1,7786
1,8122
D
56,7
38,07
37,442
= 80,28
Марка
стекла
ТК20
ТБФ4
ТБФ25
578
Таблица 28.5
т
25
21,65
17,67
12,5
0
-0,042
0,061
-0,061
-0,096
0
As1,
-0,306
-0,253
-0,442
-0,538
-0,497
As'c
0,115
0,237
0,14
0,129
0,245
As'F_c
-0,421
-0,49
-0,582
-0,667
-0,742
На рис. 28.36 приведена оптическая схема и график сферической
аберрации объектива с относительным отверстием 1:2.
Конструктивные параметры и аберрации даны в таблицах 28.4 и 28.5
соответственно. Радиусы поверхностей склеек имеют разные знаки, а
показатель преломления стекол линз последовательно возрастает.
Средняя линза - двояковогнутая (отрицательная). Это решение было
найдено Г.Н. Репинским.
Оптические схемы и графики аберраций третьего и четвертого
вариантов трехлинзового склеенного объектива показаны на рис.
28.3в,г, конструктивные параметры - в таблицах 28.6 и 28.8,
аберрации - в таблицах 28.7 и 28.9.
Таблица 28.6
г
61,30
-40,41
-29,34
-222,55
d
12
5
3
/' =
71 г»
1,6076
1,8060
1,7550
100 s'F,
D
46,10
25,36
27,32
Марка
стекла
БФ25
ТФ10
ТФ5
= 89,927
Таблица 28.7
т
16,67
14,44
11,79
8,34
0
-0,019
0
-0,007
-0,012
0
As1,
-0,007
-0,047
-0,111
-0,168
-0,206
As'c
0,039
0,08
0,094
0,109
0,139
-0,046
-0,127
-0,205
-0,277
-0,345
579
В третьем варианте объектива радиусы кривизны поверхностей
склеек имеют одинаковые знаки, но показатель преломления стекла
средней линзы выше, чем показатель преломления стекол внешних
линз. Средняя линза (в отличие от первого варианта) имеет вид
положительного вогнуто-выпуклого мениска.
У четвертого варианта объектива (как в объективе
Г.Н. Репинского) радиусы склеенных поверхностей имеют разные
знаки, показатели преломления стекол последовательно возрастают,
но средняя линза двояковыпуклая (положительная).
Таблица 28.8
у
61,30
21,36
-37,60
-471,82
d
3
14
3
/' =
D
1,6130
1,6568
1,8060
100 sF,
D
60,57
51,10
25,36
Марка
стекла
TK14
TK21
ТФ10
= 86,575
Таблица 28.9
т
16,67
14,44
11,79
8,34
0
As'D
-0,021
0
-0,007
-0,012
0
As'F
0,987
0,859
0,723
0,605
0,518
As'c
-0,318
-0,242
-0,204
-0,168
-0,121
As'F_c
1,305
1,101
0,927
0,773
0,639
Объективы третьего и четвертого вариантов с относительным
отверстием 1:3 рассчитаны Н.П. Агальцовой.
Если в объективе из трех склеенных линз внешние линзы
выполнены из одного стекла, то для средней и внешних линз (как и
для объектива из двух несклеенных линз) целесообразно выбирать
стекла с большей разностью коэффициента дисперсии, что приводит
к меньшим оптическим силам линз и, следовательно, к меньшей
кривизне оптических поверхностей.
580
28.4. Расчет объектива из двух склеенных и одиночной линз
Объектив, состоящий из двух склеенных линз и расположенной
за ними положительной одиночной линзы, имеет обычно
относительное отверстие 1:2 -н 1:3 при фокусном расстоянии
40 ^ 150 мм (рис. 28.4).
Рис. 28.4. Объектив из двух склеенных
и одиночной линзы
Наличие одиночной линзы позволяет ослабить оптическую силу
компонента из двух склеенных линз, что приводит к меньшим
аберрациям высших порядков объектива в целом по сравнению с
аберрациями у объектива из двух склеенных линз. Однако наличие
положительной линзы ведет к увеличению отрицательной
хроматической аберрации и вызывает необходимость переисправлять
компонент из двух первых линз (увеличивать положительный
хроматизм), что, в свою очередь, ведет к увеличению кривизны
склеенной поверхности и некоторому увеличению аберраций
высшего порядка.
По сравнению с объективом из двух склеенных линз
рассматриваемый объектив обладает двумя дополнительными
параметрами (радиусы кривизны поверхностей одиночной линзы).
Это позволяет, например, повысить качество изображения осевой
точки предмета.
При расчете объектива основные параметры Р, W и С считаются
известными. Число углов а бесконечно тонкого объектива на
единицу превышает число условий исправления аберраций. Поэтому
значение угла а4 в пространстве перед одиночной линзой
необходимо задавать. Рационально его брать равным 0,5 -н 0,6, при
котором оптические силы склейки и одиночной линзы близки друг к
другу.
581
Оптические силы линз и коэффициенты дисперсии стекол этих
линз обозначим через Ф1? Ф2, Ф3 и через цг, \i2, ?*3 соответственно.
Кроме того, как и раньше, для краткости вводим обозначения v2, v3 и
v5, равные обратным величинам показателей преломления п2, п3 и п5
стекол первой, второй и третьей линз.
Для основных параметров можно написать:
р = /> + />, w = W] + W24 С = С, + С2
В этих выражениях Ръ W1 и Сг относятся к первому компоненту
(склейка из двух линз), а Р2, W2 и С2 - ко второму компоненту
(одиночная линза). На основании A5.25) при аг = 0, ав = 1 имеем:
С—гуСа-(\—гу ^Г — г/ С — ~а4
Р7 >"з B8.39)
Выбрав стекло для одиночной линзы и установив тем самым
значения п5 и ц3, по B8.39) определим основной параметр С1 первого
компонента.
Задавшись численным значением угла а5, определяющим форму
одиночной линзы, по A3.11) вычисляем
wi =^-[а5A + ^5)-A + а4)]- B8.40)
С помощью A4.17) при а6 = 1 находим
По A4.38) и A4.40) вычисляем основной параметр Р2:
- /isD/is-1)
B8.41)
4(л5+2Х«5-1)
Далее с помощью A4.16) находим
Переходя к первому компоненту, определяем
Р1=Р-Р2и Wx =W-W2.
582
На основании A4.16) и A4.17) при аг = 0 вычисляем
Таким образом для первого компонента становятся известными его
основные параметры Pl9W1nC1.
Так как первый компонент представляет собой объектив из двух
склеенных линз, то для него на основании B8.21) можно вычислить
Pmin=/>-0,85(^-^0J. B8.44)
После этого для первого компонента становятся известными Plmin и
С1. Затем по методике, изложенной в п. 28.1, расчитывают первый
компонент. В результате расчета определяются марки стекол первой
и второй линз, углы а2 и а3 при аг = 0, а4 = 1.
При выбранном значении а4 углу as целесообразно задать
несколько значений и по результатам расчета выбрать тот вариант,
который приводит к меньшему значению Pimin-
Таблица 28.10
а4 =
а5
Рх
W\
р
1 1шл
^ 1
я,
с,
Выбор нужного значения а5 удобно делать с помощью графика
зависимости Р1ш;п от а5, построенного по данным таблицы 28.10.
Если при выбранном значении а4 подбором значения а5
получить, например, приемлемое значение Pmin не удается, то этот
процесс вычислений повторяется при новых значениях а4.
Важно обратить внимание на то, что описанные расчеты
выполняются при а4 = 1. Но во всей системе объектива ав = 1 при
а4 -±- 1. Поэтому после получения приемлемого решения задачи углы
а2 и а3 склейки необходимо умножить на выбранное значение а4.
Лишь после этого, используя значения углов а во всех пространствах
объектива, переходят к вычислению радиусов кривизны, толщины
линз и воздушного промежутка между второй и третьей линзами
объектива.
583
28.5. Расчет объектива из одиночной и двух склеенных линз
Трехлинзовый объектив, у которого первый компонент
выполнен в виде одиночной линзы, а второй - в виде двух склеенных
линз, показан на рис. 28.5. В объективе стекла первой, второй и
третьей линз имеют показатели преломления п2, п4, п5 и
коэффициенты дисперсии /il5 \i2 и \х3 соответственно. Основные
параметры Р, W и С считаем известными; /\, Wl4 Сг и Р2, W2, С2 -
основные параметры первого и второго компонентов.
На основании A5.25):
С =
B8.45)
Рис. 28.5. Объектив из одиночной
и двух склеенных линз
Выбрав стекло для одиночной линзы и задав численное значение углу
а3 (около 0,5 -и 0,6), по B8.45) вычисляют основной параметр С2
второго компонента. Далее необходимо задать численное значение
углу а2 (углы а2 и а3 определяют форму и оптическую силу
одиночной линзы соответственно). Для одиночной линзы при аг = 0
вычисляют:
^2 # «2 + ^3-^2 /«3 _ ^2 \
v3 -v2 \v3 v2) '
wx =
v2 -
p =
2
v2
2a2
— +
v2
Vv2-
Для второго компонента (склейки):
W2 = W-Wlf
Р2 = P-Plt
а3 сс2\
v3 v2)'
584
После этого по A4.17) и A4.16) при а6 = 1 имеем:
W2 = A - a3JW2 + а3A - а3)B + тг) ,
Р2 = A - а3KР2 + 4а3A - a3JW2 + а3A - а3)[2а3B + тг) - 1]_.
Решая эти два уравнения совместно, находят основные параметры Р2
и W2 второго компонента (склейки). Используя после этого теперь
уже известные значения Р2, W2 и С2с2, второй компонент
расчитывают далее как объектив из двух склеенных линз по
методике, изложенной в п. 28.1.
В результате расчета становятся известными значения ах = О,
а2, а3, а4, а5 и а6 = 1. За этим следует этап вычисления радиусов
кривизны поверхностей линз, толщин линз и воздушного промежутка
между первой и второй линзами.
Приемлемые результаты расчета достигаются путем подбора
соответствующих значений углов а2 и а3, аналогичного
изложенному в п. 28.4.
28.6. Расчет объектива из двух одинаковых двухлинзовых склеек
Объектив, содержащий два одинаковых склеенных из двух линз
и установленных непосредственно друг за другом компонента,
применяют тогда, когда требуется получить относительное отверстие,
большее, чем то, которое может дать объектив из двух склеенных
линз. Каждый компонент такого объектива имеет приблизительно в
два раза большее фокусное расстояние, чем фокусное расстояние
объектива в целом. Поэтому все аберрации высших порядков у такой
двухкомпонентной системы могут быть значительно меньше.
Для того чтобы во всей системе исправить сферическую
аберрацию и кому, положим Р = 0 и W = 0. Тогда из A4.18) и A4.19)
для последовательно симметричного объектива (рис. 14.2)
соответственно можно написать:
-7>+-^+0,425 = 0,
4 2
-^+0,675 = 0.
Решая систему этих двух уравнений, получим
Pl=\4Wl =-1,35
Выполненные проф. Г.Г. Слюсаревым исследования показали,
что при положительных значениях Ръ близких к 1, и И/ь близких к
585
-1,35, возможно уменьшение аберраций высших порядков всей
системы.
Основной параметр С объектива с фокусным расстоянием /'
определяется из условия получения нужного значения хроматизма
положения As^p = f'C.
Учитывая, что аг = 0, а2 = 0,5 и а3 = 1, получаем
С=С{+С2 = {а2-а{)С{+(аъ-а2)С2 = 0,5Q+0,5C2
Так как С, = С2, то
Имея численные значения Ръ ]А/г и Съ первый компонент объектива
расчитывают как объектив из двух склеенных линз по методике,
изложенной в п. 28.1.
Ниже для примера приведены конструктивные параметры
последовательно симметричного объектива с фокусным расстоянием
100 мм при относительном отверстии 1:2,5. В таблице 28.11 даны его
аберрации для осевой точки предмета.
г{ = 85,90
</, =5,0 БК6
d2 = 2,5 Ф\
d3 = 0,1
d4=5,0 БК6
d6 = 2,5 Ф\
r2 =-88,51
r3 =1258,9
r4 = 85,90
r5 =-88,51
r6= 1258,9
Таблица 28.11
mi
20
17,3
14,1
10
e
As'
0,049
0,005
-0,017
-0,017
Ay'
0,010
0,000
-0,002
-0,002
ц%
0,065
0,058
0,045
0,025
У'гУс
0,006
0,013
0,016
0,016
Для симметричного бесконечно тонкого объектива (рис. 14.3)
основные параметры второго компонента в соответствии с A4.27) и
A4.28) определяются как
р2 =4Р-4,4,
*Г =1,35.
586
Основной параметр С2 этого компонента, как и в случае
последовательно симметричного объектива, равен С.
Основной параметр W симметричного объектива при любом
значении W2 независимо от формы линз, марок стекол и количества
линз в компонентах всегда имеет определенное довольно большое
положительное значение, равное 1,35. Пусть для примера в объективе
необходимо уничтожать сферическую аберрацию. Для этого
полагаем Р = О, при котором Р2 = —4,4. В соответствии с B8.21):
Такое значение Р2т[п приводит к большим кривизнам поверхностей.
Поэтому симметричные системы нецелесообразно применять тогда,
когда необходимо уничтожить сферическую аберрацию.
28.7. Расчет объектива из двух компонентов, установленных на
конечном расстоянии друг от друга
В объективе из двух установленных на конечном друг от друга
расстоянии компонентов можно получить заданные численные
значения сферической аберрации As', меридиональной комы К,
астигматизма z's — z'm, хроматизма положения As^p и хроматизма
увеличения Ау'
Рис. 28.6. Ход 1-го и 2-го параксиальных лучей в объективе
из двух бесконечно тонких компонентов
На рис. 28.6 показан примерный ход первого и второго
параксиальных лучей через объектив из двух бесконечно тонких
компонентов. Фокусное расстояние /', угловое поле 2со,
относительное отверстие D:/', расстояние d между компонентами,
587
задний фокальный отрезок a'Fr и удаление ар входного зрачка будем
считать заданными. Расчет будем вести при /' = 1.
В этом случае при а = — для первого параксиального луча
будем иметь
а{ = 0, й, =1, а2 = ФМ h2 =\-dO{
Для второго параксиального луча при аР = —^ получим:
Для всей системы объектива можно написать:
Ф, +Ф2 -^Ф,Ф2 =1,
Из этих двух уравнений однозначно определяются численные
значения приведенных оптических сил Фх и Ф2, а следовательно, и
фокусные расстояния // и /2 компонентов объектива.
Рассчитав через идеальную оптическую систему лучи осевого и
полевого пучков, можно вычислить диаметры и, следовательно,
относительные отверстия компонентов. После этого можно
определить и необходимое количество линз в каждом компоненте.
Заметим, что если, например, расстояние d между компонентами
задано, а фокальный отрезок aFr можно менять, то, задавая разные
численные значения этому отрезку, можно получить разные значения
фокусных расстояний f{ и /2 и тем самым попытаться найти
оптимальные значения относительных отверстий компонентов
объектива. Успех поиска увеличивается, если и расстоянию d можно
придать различные численные значения.
Далее при заданных значениях As', К и z's — z'm из A3.7), A3.20)
и A3.29) при п' = 1 можно вычислить суммы Зейделя:
т]
S - 2Г К
II ~ 7 '
3m, tgco
f'tg2co
588
Так как суммы Sh Su и Sm вычислены при /' = 1, то в формулах
A4.12) 5/ = 5/, Su = SIh SIU = SIIh ] = —1. Поэтому при t = 2 из
этих формул имеем:
S,=Ps+h2P2,
h2 h2
Применив затем A4.16) и A4.17), выражения для сумм можно
представить в виде:
[A - а, K Р2 + 4а2 A - а2 f W2
гъ ^T,\^-^)lP2+^2{\-a2JW2
[(l - а22 )F, + а, A - а2 Х2 + л-)]+ Ф, + Ф,
+ 2 ^ [(l -
h
В полученных трех уравнениях неизвестны основные параметры /\,
И/1? Р2 и ^2- Задавая, например, параметру И/2 различные численные
значения и решая затем эти уравнения совместно, можно построить
график зависимости каждого из трех других параметров от заданных
значений W2 и по этим графикам выбрать приемлемые значения Ръ
]А/Ъ Р2. Для построения какого-либо одного графика достаточно знать
две его точки, т. к. зависимость, согласно полученным уравнениям на
графике, изображается в виде прямой линии.
Обратимся теперь к хроматическим аберрациям. На основании
A5.10) первая хроматическая сумма
г
Из A5.30) при t = 2 имеем
p
Из A5.42) при /' = 1 и V = -1 следует
589
т. е. вторая хроматическая сумма
Из A5.47) при /' = 1 и t = 2 получаем
Решая совместно уравнения для 5/хр и SUxp, определяют численные
значения основных параметров Сг и Сг.
Таким образом, для первого компонента объектива становятся
известными основные параметры Ръ W1 и Сь а для второго -
параметры Р2, W2 и С2. После этого каждый компонент расчитывают
по методикам, изложенным в п. 28.1-28.7.
28.8. Расчет телеобъектива
Если объектив, состоящий из двух установленных на конечном
расстоянии друг от друга компонентов, является телеобъективом, то в
нем, кроме указанных в п. 28.7 аберраций, можно исправить кривизну
изображения и дисторсию.
Пусть фокусное расстояние /' и расстояние L (расстояние от
первого бесконечно тонкого компонента до задней фокальной
плоскости) заданы (L < /').
Оптическая сила объектива
ф = ф1 +ф2 -dOjO2,
где Ф1 и Ф2 - оптические силы компонентов, d - расстояние между
компонентами.
Длина объектива
B8-46)
где dpi - заданный фокальный отрезок объектива.
Из этих двух уравнений получаем
Условием исправления кривизны изображения является равенство
Slv = 0. Поэтому из A4.10) при t = 2 имеем
Ф2=-Ф,.
Подставив это значение Ф2 и значение d из B8.46) в выражение для
оптической силы объектива, получим
590
1 ф
Of+—5—0,-—=—= 0.
L-f 2-f
Lf 2f
Решая это квадратное уравнение относительно Фь будем иметь
••¦ikbFPl <2847)
Пример. /'=300, L = 270.
Из B8.47) и B8.46) получаем /', = 267, /'2 = -267, d = 251.
Для 1-го параксиального луча при /г, = /':
h2 =19; а, =0; а2 =1,12; а3=\.
Для 2-го параксиального луча при аР - О, /?, = -1 имеем:
ух =0; у2 =251; Д =-1,
У = Л'ау=-/!Д =300.
Для сумм Зейделя будем иметь:
57 = S/г^ = A,fl + h2P2 = 300Р, + \9Р2,
'? 4 ) = 25 Щ -
.25!1р_<
19 2 " "" 19
/ = 1 П; j=\ П:
19 19' 19 -267
Разделим правые и левые части этих уравнений на /'=300. Тогда
получим:
591
SNI = \\P2-26,4W2,
Sv = \47P2-525W2-55fl
Заменив с помощью A4.16) и A4.17) величины Ръ Р2, W1 и W2 на
основные параметры Ръ Р2, W1 и W2, найдем:
/> =1,40^,
Wx =1,25^,
Р2 = -0,0017Р2 + 4 • 0,014 • 1,12 JF2 —0,12-1,12-5 =
= -0,0011Р2 + 0,063Ж, - 0,675,
W2 = 0,0144Г2 -0,34.
Подставив эти выражения в предыдущие формулы для сумм Зейделя,
будем иметь:
S/ = \,40Ц -0,0001Р2 +0,004^2 -0,04,
Srr =-0,0014P2 -0,053^F2 -0,57-1,25^ -0,0144^2 +0,34,
Sm = -0,0\9Р2 +0,69^2 -7,4-0,36^2 +8,8,
Sy = -0,25Р2 + 9,26^ - 99,3 - 7,5^2 +180 - 55.
Окончательно имеем следующие 4 уравнения с четырьмя
неизвестными:
S, = \,40Ц -0,0001Р2 +0,004^2 -0,04,
SN =-0,0014P2 -1,25^ +0,037^2 -0,23,
Sm =-0,019P2 +0,33^+1,4,
Sv = -0,25Р2 +1,76^2 + 25,7.
Решая эти уравнения совместно, определяют основные параметры Ръ
Wlt Р2 и W2 обоих компонентов.
592
ГЛАВА 29. ГАБАРИТНЫЙ РАСЧЕТ
ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Габаритный расчет является важнейшей стадией
проектирования оптической системы. Зачастую последующий
аберрационный расчет может не привести к положительным
результатам этого проектирования, если в основу системы будет
заложен неграмотно выполненный габаритный расчет.
В настоящей главе рассмотрены принципы и примеры
габаритного расчета основных конструкций телескопических систем,
тщательная проработка которых позволит овладеть расчетом и более
сложных систем. В каждом параграфе главы приведен численный
пример расчета, доведенный до уровня, за которым должен следовать
аберрационный расчет, в результате которого будут получены
конструктивные параметры системы.
Выполненные ниже расчеты могут быть повторены
внимательным читателем с помощью электронного калькулятора. По
мере приобретения опыта часть габаритных расчетов может быть
выполнена на ЭВМ. Особенно это касается расчетов хода лучей через
оптическую систему, состоящую из бесконечно тонких компонентов.
Такая методика расчета позволяет учащемуся не потерять
существенных и тонких нюансов этого расчета, глубже почувствовать
многообразие и целостность работы создаваемой оптической
системы.
Рассчитать оптическую систему в габаритном отношении -
значит, исходя из исходных данных, вычислить:
1. фокусное расстояние, относительное отверстие и поле
каждого силового компонента, а также габариты несиловых
компонентов (плоских зеркал, призм, светофильтров, защитных
стекол и др.);
2. положение всех компонентов относительно друг друга;
3. положение и размеры аппертурной и полевой диафрагм,
входного и выходного зрачков (всей системы и отдельных
компонентов);
4. коэффициенты виньетирования (и экранирования) световых
пучков лучей.
Может оказаться, что полученную в результате габаритного
расчета оптическую систему, например из-за непомерно больших
относительных отверстий или полей отдельных компонентов,
практически осуществить нельзя. Поэтому серьезный габаритный
593
расчет включает и оценку аберрационных возможностей системы,
т. е. возможностей добиться путем дальнейшего аберрационного
расчета приемлемого качества изображения.
Время, необходимое для получения грамотно разработанной в
габаритном отношении оптической системы, зависит от уровня
теоретической и практической подготовки исполнителя.
29.1. Габаритный расчет телескопической системы Галилея
Пусть требуется выполнить габаритный расчет телескопической
системы Галилея, исходя из следующих данных.
1. Видимое увеличение Гт = 2,5х.
2. Угловое поле 2со = 4х.
3. Длина системы (от объектива до окуляра вдоль оси)
L = 75 мм.
4. Удаление выходного зрачка от окуляра а , = 25 мм.
5. Диаметр выходного зрачка D' = 5 мм. (Напомним, что в
системе Галилея выходным зрачком является зрачок глаза
наблюдателя или специально установленная диафрагма.)
На рис. 29.1 представлена оптическая схема с ходом апертурного
луча, на котором объектив с фокусным расстоянием // и окуляр с
фокусным расстоянием /2 обозначены цифрами 1 и 2 соответственно.
Для такой системы имеем:
rT=2,Sx = -fjj, B9.1)
/2
L=fl+ fi . B9.2)
Решая совместно эти два уравнения, получаем:
>
Отсюда видно, что при // > 0 и /2' < 0 имеет место только Гт > 1.
Подставляя сюда числовые значения L и Гт, получим // = 120 мм,
/2' = —50 мм. Диаметр входного зрачка D = D' • Гт = 5 • 2,5 =
12,5 мм.
Найдем положение входного зрачка, для чего рассчитаем ход
луча из центра входного зрачка в обратном ходе лучей. Расчет удобно
вести по схеме, вытекающей из известных формул углов и высот:
594
Jk
B9.3)
B9-4)
где к - порядковый номер компонента, ак и сск+1 - углы луча перед
компонентом к и после него соответственно, fk' - фокусное
расстояние компонента к, hk и hk+1 - высоты луча на компонентах к и
1, dk - расстояние между компонентами к и
An. луч i
i
L
2
Вых. зр.
R
f2
(F2)
Рис. 29.1. Габариты системы Галилея
Начальные координаты луча: Йр1 = —25, аг = —1, /ii =
= a
pl ax = (-25)(-l)
hk fk
25 -50
137,5 125
= 25.
h
klfk
-0,5
1,1
137,5
Ък+1
-1,5
-0,4
- -343,
dk
7,5
75 мм.
dkak+1
-112,5
a3 -0,4
Таким образом, входной зрачок диаметром 12,5 мм расположен
на расстоянии ар1 = —ар2 = 343,75 мм справа от объектива.
Предположим, что виньетирование полевого пучка лучей
отсутствует. В этом случае объектив должен иметь такой световой
диаметр Dl9 чтобы через него мог пройти параллельный пучок лучей,
заполняющий входной зрачок диаметром D = 12,5 мм и
595
составляющий угол со = 2° с оптической осью (предмет расположен в
бесконечности).
Из рис. 29.2 следует, что световой диаметр объектива
Dj = 2(ap 'tgco + D/2) = 2C43,75 • tg 2° + 12,5/2) = 36,5 мм.
An. луч
Объектив
Bx.зрачок
aPi
D
Рис. 29.2. К определению светового диаметра объектива
Для определения световых диаметров всех компонентов
системы (независимо от их числа) необходимо рассчитать ход
апертурного и трех лучей полевого пучка: главного, верхнего и
нижнего. В результате такого расчета будут найдены максимальные
(по абсолютному значению) высоты лучей на каждом компоненте,
удвоенные значения которых соответствуют определяемым световым
диаметрам.
Апертурный луч: hx = 6,25; аг = 0.
ak+1 dk dkak+1
6,25
2,5
125
-50
0,05
-0,05
0,05
0
7,5 3,75
Главный луч: hx = hVJX = —apltgoo = —343,75 • tg2° = —12,0; a1 =
= -tg2° = -0,0349.
hk fk hk/fk ak+i dk dkak+1
-12 125 -0,096 -0,130
-2,181 -50 0,0436 -0,0873
7,5 -9,819
596
Верхний луч:
hk
= hrjl + - = -12 + — = -5,75; ах = -0,0349.
ak+i
dkak+1
-0,046 -0,0809
-0,0638 -0,0873
7,5 -6,069
Нижний луч: /ii = ftM + ^ = -12 - Щ^- = -18,25; аг = -0,0349.
-18,25
-4,681
MIL
dkak+1
-0,146
0,0936
-0,181
-0,0873
7,5 -13,569
Из выполненных вычислений видно, что наибольшая высота
лучей на втором компоненте (окуляра) равна 4,681 мм.
Следовательно, его световой диаметр D2 = 9,36 мм.
Первый компонент есть объектив, работающий с угловым полем
2со = 4°, а второй - с угловым полем 2<х> = 2 arctg{TTtgcx)) =
= 2 arctgB,S • 0,0349) = 9°54' (в обратном ходе лучей).
Результаты выполненных расчетов для наглядности полезно
свести в таблицу 29.1.
Таблица 29.1
№
компонента
1 (объектив)
2(окуляр)
(мм)
125
-50
ев 0
(мм)
36,5
9,4
Диаметр
входного
зрачка
(мм)
12,5
5*
Удаление
входного
зрачка
(мм)
343,7
25*
Угловое
поле
4°
9°54'*
Примечание. Числа со знаком * соответствуют обратному ходу
лучей.
В телескопической системе Галилея нет плоскости
действительного изображения предмета, куда можно было бы
установить полевую диафрагму. В этой системе угловое поле
существенно зависит от диаметра зрачка глаза и его расстояния от
последней поверхности системы. Поэтому условились определять
угловое поле галилеевской телескопической системы при вполне
определенных значениях диаметра выходного зрачка и его удаления
от последней поверхности окуляра; предполагается, что диаметр
выходного зрачка равен 5 мм и удаление его от последней
597
поверхности 10 мм. Согласно ГОСТ 7048-59 на бинокли, углом поля
галилеевской системы в пространстве предметов называется
наибольший угол в упомянутом пространстве между лежащими в
одной меридиональной плоскости лучами, проходящими через эту
систему и через отверстие в диафрагме, имеющее диаметр 5 мм и
расположенное центрированно по отношению к системе на
расстоянии 10 мм от вершины последней преломляющей
поверхности окуляра.
По полученным величинам фокусных расстояний, световых
диаметров и угловых полей с помощью имеющихся на производстве
каталогов или других справочных материалов можно подобрать
близкие к нужным объектив и окуляр и на их основе создать
зрительную трубу Галилея, как правило, с невысоким качеством
изображения. Для получения конструктивных параметров оптической
системы с высоким качеством изображения необходимо на основе
проделанного габаритного расчета выполнить аберрационный расчет.
29.2. Габаритный расчет оптической системы Кеплера
Пусть требуется рассчитать оптическую систему Кеплера,
исходя из того, что:
1. видимое увеличение Гт = —2,5х;
2. угловое поле 2со = 4х;
3. диаметр выходного зрачка D' = 5 мм;
4. длина системы (от объектива до окуляра) L = 175 мм.
(Напомним, что в системе Кеплера выходным зрачком является
изображение светового диаметра объектива, выполняющего
одновременно и роль апертурной диафрагмы.)
г Ц_ _ 4
Ап.луч
Рис. 29.3. Габариты и ход лучей в системе Кеплера
598
На рис. 29.3 представлена оптическая система Кеплера с ходом
апертурного и трех полевых лучей. Для этой системы в соответствии
с B9.1) и B9.2) находим // = 125 мм и /2' = 50 мм.
Диаметр входного зрачка (объектива) D = D • Гт = 5 • 2,5 =
= 12,5 мм. Найдем величину а'р, определяющую положение
выходного зрачка.
Для второго компонента (окуляра) можно написать
1 1 _ 1 _ ар/2' _ -175-50 _
Fa 7°MM
Угловое поле в пространстве изображений
tgco' = rTtgco = 2,5 • tg2° = 0,087302; 2a/ = 10°.
Диаметр полевой диафрагмы DnA = 2f[ • tgco = 2 • 12S • tg2° =
= 8,73 мм. Для определения светового диаметра окуляра можно
рассчитать ход апертурного луча и трех полевых лучей. Этот способ
наиболее эффективен в случаях, когда оптическая система содержит
большое число бесконечно тонких компонентов. В данном же случае
(как, впрочем, и в случае трубы Галилея, п. 29.1) можно поступить
проще. Из рис. 29.3 видно, что в случае отсутствия виньетирования
диаметр окуляра определяется высотой нижнего полевого луча на
окуляре, в соответствии с чем этот диаметр
D0K = D' + 2a'vtga)' = 5 + 2 • 70 • 0,087302 = 17,2 мм.
Полученный световой диаметр по сравнению с фокусным
расстоянием может оказаться слишком большим, что вызовет
затруднения при аберрационном расчете. В таких случаях этот
световой диаметр уменьшают на какую-то величину 2в, что ведет к
тому, что некоторая часть светового пучка шириной "в" в плоскости
выходного зрачка через оптическую систему не проходит. На рис. 29.3
эта часть пучка заштрихована и заключена между нижним полевым
лучом и некоторым обозначенным пунктиром лучом, имеющим
высоту га' в плоскости выходного зрачка. Тогда, очевидно, для
коэффициента виньетирования кш и высоты т! можно
соответственно писать:
D' D' /1
' kDf (
Следовательно, световой диаметр окуляра
D0K = 2т! + 2a'vtgco' = A - 2k(i))D' + 2arptgojr.
599
Например, для кш = 0,5 световой диаметр окуляра
D0K = A - 2kjD' + 2a'ptgo)' = A - 2 • 0,5) • 5 + 2 • 70 • 0,087302 = 12,2 мм .
В этом случае через оптическую систему проходит только 50% лучей
полевого пучка, заключенного между его главным и верхним лучами.
Результаты выполненных расчетов сведены в таблицу 29.2.
Таблица 29.2
№
компонента
1(объектив)
2(окуляр)
/'
(мм)
125
50
Световой
диаметр
кш = 0
кш = 0,5
12,5 12,5
17,2 12,2
Удаление
входного
зрачка
(мм)
0
70*
Диаметр
входного
зрачка
(мм)
12,5
5*
Угловое
поле 2ш
4°
10°*
Примечание. Числа со знаком * соответствуют обратному ходу лучей.
29.3. Габаритный расчет телескопической системы с
коллективом в плоскости действительного изображения
В рассмотренном в п. 29.2 примере положение выходного зрачка
системы определяется положением объектива относительно окуляра и
величиной фокусного расстояния последнего. Однако чаще
встречается случай, когда положение выходного зрачка заранее
определено заданием. Пусть, например, в примере, приведенном в
п. 29.2, требуется, чтобы а'р = 25 мм.
Вых зр.
Рис. 29.4 Телескопическая система с коллективом в
плоскости действительного изображения
Чтобы оправа объектива изображалась окуляром на расстоянии
25 мм справа от окуляра, надо в плоскости действительного
600
изображения (в плоскости полевой диафрагмы), образуемого
объективом, установить коллектив (чаще - одиночная линза, очень
редко - две склеенные линзы).
На рис. 29.4 показана телескопическая система, содержащая
объектив 1, коллектив 2 и окуляр 3. По ходу главного луча видно, что
центр Рг входного зрачка изображается коллективом в точку Р[, а
затем окуляром в точку Р^. Для окуляра можно написать:
1 1 1 a!vjj 25-50
= JJ а = Т ~ = й—
пР2 пР2 /З /З - пР2
= 50
Из рис. 29.4 видно, что a'Pl = —f2 + ар2 = 50 + 50 = 100 мм.
Поэтому для коллектива имеем:
111 aPiaPi -125-100
/' 5555
Так как коллектив расположен в задней фокальной плоскости
объектива, то его диаметр равен диаметру полевой диафрагмы, т.е.
D2 = ?>пд = 8,73 мм.
Световой диаметр окуляра при отсутствии виньетирования, как
видно из рис. 29.4,
D3 = D1 + 2a'V2tgoj' = 5 + 2 • 25 • 0,087302 = 9,36 мм .
Из полученных результатов следует, что применением коллектива с
фокусным расстоянием 55,55 мм удалось существенно уменьшить
световой диаметр окуляра и одновременно добиться, чтобы выходной
зрачок оказался на заданном удалении от окуляра.
29.4. Габаритный расчет телескопической системы
с коллективом, вынесенным из плоскости
действительного изображения
В предыдущем параграфе был рассмотрен пример, когда
коллетив совмещен с плоскостью действительного изображения.
Однако такое положение коллектива не всегда является желательным,
т.к. при наблюдении указанного изображения через последующую
часть оптической системы одновременно будут видны и дефекты,
присущие, как правило, материалу коллектива: пузыри, точки, свили,
пыль и т.д. Это заставляет принимать меры, чтобы коллектив не имел
названных дефектов, что сопряжено с повышением цены на изделие,
либо рассчитывать систему так, чтобы коллектив оказался
601
вынесенным из плоскости действительного изображения. Рассмотрим
последний случай.
Рис. 29.5. Телескопическая система с коллективом,
установленным за полевой диафрагмой (а2 < 0)
На рис. 29.5 представлена телескопическая система с
коллективом, не совпадающим с плоскостью действительного
изображения (полевой диафрагмы); объектив, коллектив и окуляр
имеют фокусные расстояния //, /2', /3' соответственно.
Пусть известны увеличение системы Гт = —6°, угловое поле
2п) = 10°, положение входного зрачка aPl = 50 мм, положение
выходного зрачка а'Рз = 25 мм, диаметр выходного зрачка D' = 5 мм.
Исходя из этих данных, надо найти численные значения фокусных
расстояний //, /2\ /з, величину промежутка а2 между полевой
диафрагмой и коллективом, расстояния dx и d2 между компонентами,
а также длину системы (от объектива до окуляра).
Угловое положение окуляра в обратном ходе (в пространстве
изображения всей системы):
tga)' = Tjtga) = 6 • tgS° = 0,52493, 2<о = 55°24'
По диаметру выходного зрачка D' = 5 мм, удалению выходного
зрачка а'Рз = 25 мм и угловому полю 2о> = 55°24' необходимо по
справочным материалам выбрать подходящий окуляр. Предположим,
что такой окуляр выбран и он имеет фокусное расстояние, равное
30 мм.
Далее надо решить вопрос о месте расположения коллектива.
Здесь могут быть два варианта. Коллектив можно расположить перед
плоскостью действительного изображения (перед диафрагмой поля),
602
что будет соответствовать а2 > 0 (см. рис. 29.6). В этом случае
оптическая система, содержащая объектив и коллектив и имеющая
некоторое фокусное расстояние //2, образует действительное
изображение в плоскости полевой диафрагмы, которое окуляром с
фокусным расстоянием /3 = 30мм проектируется на бесконечность.
Если же коллектив поместить за полевой диафрагмой (как и
показано на рис. 29.5), то а2 < 0 и в плоскости полевой диафрагмы
действительное изображение бесконечно удаленного предмета будет
строиться одним объективом, которое затем проектируется на
бесконечность системой, содержащей коллектив и окуляр и имеющей
фокусное расстояние /2'3. Очевидно, эту систему можно
рассматривать как двухкомпонентный окуляр, имеющий в нашем
случае фокусное расстояние /23 = 30 мм. Рассмотрим сначала этот
последний вариант.
Фокусное расстояние объектива // = — Гт/23 = 6-30 = 180 мм.
Диаметр входного зрачка D = |ГТ|?>' = 6-5 = 30мм. Чтобы дефекты
коллектива не были видны при наблюдении через телескопическую
систему, он должен быть достаточно удален от плоскости
действительного изображения. Поэтому величину а2 выбирают такой,
чтобы за окуляром ей соответствовала определенная сходимость
параксиальных лучей, вышедших из всей системы. Если эту
сходимость в диоптриях положить равной N, то, очевидно,
а2=^-. B9.5)
2 1000
Обычно полагают N = +A0-^20) дптр. Положив N=-18,5 дптр,
получим:
/2'2Л/ -302 * 18,5
а2=1ооо= юоо =~16'7мм-
Поэтому d1 = f[ - а2 = 180 + 16,7 = 196,7.
Рассчитав первый параксиальный луч через всю оптическую
систему, получим
h2 = а2а2,
ссъ = а2-\- /12Ф2 = а2 + а2а2Ф2 ,
h3 = h2- d2a3 = a2a2 - d2a2 - a2d2cc2<$>2 ,
а4 = а3 + /13Ф3 = «2 + а2а2Ф2 + а2а2Ф3 - d2a2<&3 - a2a2d2<&2<&3 = 0,
1 + а2(Ф2 + Ф3 - с^2
603
Так как оптическая сила оптической системы, содержащей коллектив
и окуляр:
ф23 = ф2 + ф3 - с*2Ф2Ф3 B9.6)
то далее имеем
1 + а2Ф23 = ^2Ф3.
Введем обозначение
1 + а2Ф23 = а2Ф3 = с. B9.7)
Тогда из двух предыдущих уравнений соответственно будем иметь:
ф3 = ф23 - A - с)Ф2 , B9.8)
d2=^-. B9.9)
Рассчитывая теперь второй параксиальный луч, можно
последовательно получить:
a'Vl = 1 + (Г Ф ' B9.10)
аР2 = а'Р1 -аг = а'Р1 - (Д' - а2), B9.11)
tin,,
аРз =a'P2-d2, B9.13)
Используя последовательно выражения B9.11), B9.12) и B9.13),
последнее выражение можно привести к виду
а, аР2 ~ d2(l + аР2Ф2)
Подставляя далее сюда выражения для d2 из уравнения B9.9), можно
получить
а, аР7Фъ-с{1 + аР7Ф2)
После подстановки сюда Ф3 из уравнения B9.8) для оптической силы
коллектива будем иметь
604
Ф2= Рз 23К . Р2 2Ъ> рч2 23 . B9.14)
Для нашего примера в соответствии с формулами B9.10), B9.11),
B9.7), B9.14), B9.8) и B9.9) последовательно вычисляем:
a'pi = ^—— = ртг- = -69,231 мм ,
Pl г 1~180
аР2 = a'Pl - (// - а2) = -69,231 - A80 + 16,7) = -265,931 мм,
с = 1 + а2Ф23 = 1 + (-16,7) • — = 0,44333 ,
Ф2=.
- с + аР2Ф23) - аР2Ф23 + с
*Р2
25 — (l - 0,44333 - 265,931 • ^) + 265,931 • ^ + 0,44333
25A - 0,44333) (l - 0,44333 - 265,931 * ^) + 265,931
= 0,015864,
ф3 = Ф23 - A - с)Ф2 = — - A - 0,44333H,015864 = 0,024502 ,
•Э U
с 0,44333
=ФГ 0^24502 = 18'09мм-
Таким образом, в результате расчета установлено, что
оптическая система должна иметь f[ = 180 мм; /2 = 63,035 мм;
/з = 40,810 мм; &г = 196,7 мм; d2 = 18,09 мм. Расчетом первого и
второго параксиальных лучей нетрудно установить, что при этих
численных значениях фокусных расстояний отдельных компонентов и
расстояний между последними оптическая система будет
удовлетворять поставленным исходным требованиям.
Длина полученной системы L = f[ — а2 + d2 = 180 + 16,7 +
+ 18,09 = 214,79 мм. По справочным материалам должен быть
выбран или рассчитан окуляр, имеющий фокусное расстояние
40,81 мм, диаметр выходного зрачка 5 мм, удаление выходного зрачка
25 мм, угловое поле 2о/ = 55°24'.
605
Заметим, что в случае, если коллектив расположен в плоскости
действительного изображения, то а2 = 0 и, как следует из формул
B9.7)-B9.9), соответственно С=1, Ф3 = Фгз'^2 = /з> а формула
B9.14), определяющая оптическую силу коллектива, приобретает вид
Ф2=Ф3A-а^3Ф3)- —. B9.15)
В нашем примере в этом случае мы имели бы
f2 = 104,52 мм, d2 = /з = 30 мм.
Обратимся теперь к варианту, когда а2 > 0. Оптическая система
для такого случая представлена на рис. 29.6.
Рис. 29.6. Телескопическая система с коллективом, установленным
перед полевой диафрагмой (а2 > 0)
Очевидно, при /3 = 30 мм в соответствии с формулой B9.5)
можно сохранить а2 = 16,7 мм, что дает d2 = а2 — /3 = 16,7 + 30 =
= 46,7 мм. Далее для окуляра имеем:
1 1 1 а'М 25-30
/з - аРз 30 " 25
= 150 мм.
Следовательно, а'Р2 = аРз + d2 = 150 + 46,7 = 196,7 мм.
Рассмотрим оптическую систему, изображенную на рис. 29.6, в
обратном ходе лучей.
606
Нетрудно подметить, что в этом случае к оптической системе,
содержащей коллектив и объектив, можно применить
последовательно формулы B9.7), B9.14), B9.8) и B9.9), в которых
надо положить а2 = а'2 = —16,7, Ф23 = Ф12 = —•> ар3 = ар± = 50,
ар2 = а'Р2 = -196,7, d2 = dl9 Ф3 = Ф\- В соответствии с этим по
указанным формулам будем иметь:
с = 1 + о^Ф12 = 1--^ = 0,90722,
а^Ф12 (l - с +
ф2 = -
(
Vstt 1 - 0,90722 - :rmf + ^ШГГ + 0,90722
= iHUV ^^ 1ци = 0,00896704,
50A - 0,090722) (l - 0,90722 - ^jg(f) + 196,7
/2 = 111,519 мм,
фг = ф12 - (l - С)Ф2 = -— - A - 0,90722H,00896704 = 0,00472357,
180
f{ = 211,704 мм,
с 0,90722
Л^ФГ 0,00472357
Длина оптической системы L = dx + d2 = 192,06 + 46,7 =
= 238,76 мм. В результате расчета получены два варианта
оптической системы, характеристики которых можно записать в
следующем виде.
аг < 0 а2 > 0
f{ = 180 f{ = 211,704
dx = 196,7 dx = 192,06
f{ = 60,035 /2' = 111,519
d2 = 18,09 d2 = 46,7
/3' = 40,810 /3' = 30
Ы = 214,79 Ы = 238,76
Расчетом апертурного луча и трех лучей (главного, верхнего и
нижнего) крайнего полевого пучка необходимо далее определить
световые диаметры отдельных компонентов. Этот расчет аналогичен
расчету, изложенному в п. 29.1 и 29.2.
607
29.5. Габаритный расчет телескопической системы с одним
линзовым оборачивающим компонентом
Оптическая система Кеплера образует обратные изображения
предметов (Гт < 0). Для получения прямого изображения (Гт > 0)
используются линзовые оборачивающие системы в виде одного
компонента, двух компонентов с параллельным и непараллельным
ходом лучей между компонентами, а также призменные
оборачивающие системы. На рис. 29.7 показана телескопическая
система с ходом апертурного и трех лучей полевого пучка,
содержащая объектив 1, линзовый оборачивающий компонент 2 и
окуляр 3, фокусные расстояния которых равны //, /2', и /3'
соответственно. Оправа объектива является апертурной диафрагмой и
входным зрачком одновременно. Остальные обозначения ясны из
рисунка.
Пусть требуется рассчитать телескопическую систему, имеющую
Гт = 7х, угловое поле 2co = 8°, D' = 5 мм, а'Рз = 25 мм, L < 400 мм.
-ар2
Вых. зр.
Рис. 29.7. Телескопическая система с одним линзовым
оборачивающим компонентом
Диаметр объектива (входного зрачка) D = TTD' = 7-5 = 35 мм.
Угловое поле в пространстве изображений tgco' = Гт • tgco =
= 7 tg4° = 0,48949; 2о/ = 52°10'.
Так как удаление выходного зрачка а'Рз = 25 мм, положим
/з = 20 мм. Тогда диаметр полевой диафрагмы ?>пд = 2/3' • tgcd' =
= 2 • 20 • 0,48949 = 19,58 мм. Фокусное расстояние объектива
должно быть не менее 4D. Пусть // = 4D = 4-35 = 140 мм.
608
Объектив с таким фокусным расстоянием (относительное отверстие
1:4), угловым полем 2о> = 8° может быть выполнен в виде двух
склеенных линз.
Если увеличение оборачивающего компонента равно /?обор> то
Д' _ Гт/з _ 7 • 20 _
*Т = "" 7 Робор> Робор = ТГ~ ~ ТТ?Г = "
/з /i -^и
С другой стороны,
а2
^обор = —= -1,а2 = а2 .
а2
Для оборачивающего компонента, кроме того, имеем:
jL_jL = 1 = a2a2 = ^2
а2 а2 /2" /2 а2-а2 2'
Положим а2 = 100 мм. Тогда /2 = 50 мм. Из рис. 29.7 видно,
что dx = f{ -a2 = 140 + 100 = 240 мм, d2 = а2 - /3 = 100 + 20 =
= 120 мм.
Для определения положения выходного зрачка рассчитаем ход
второго параксиального луча при /Зг = — 1, уг = 0.
Ук fk Ук/fk Pk+i dk Pk+idk
0
240
-216
140
50
20
0
4,8
-10,7
Уз
-1
3,8
-7,0
-216
240
120
К7
-240
456
Р4 —'
Следовательно, удаление выходного зрачка составляет
30,857 мм, что противоречит исходному требованию. Для достижения
нужной цели применим коллектив, который можно установить как
вблизи действительного изображения у{, образуемого объективом,
так и вблизи изображения у2 (плоскость полевой диафрагмы).
В обоих случаях могут быть рассмотрены два варианта расположения
коллектива (до плоскости действительного изображения или после
этой плоскости) аналогично тому, как это сделано в п. 29.4. Здесь мы
ограничимся вариантом, когда коллектив установлен за диафрагмой
поля на расстоянии — а3. В результате приходим к оптической
609
системе, изображенной на рис. 29.8.
На этом рисунке объектив 1, оборачивающий компонент 2,
коллектив 3 и окуляр 4 имеют фокусные расстояния //, /2', /3 и Д'
соответственно. Оптическая система, содержащая коллектив и окуляр,
должна иметь фокусное расстояние /34 = 20 мм, т.е. Ф34 = 0,05.
В соответствии с формулой B9.5) при N= -10 дптр получаем
/3'|Л/ 202 • 10
CLi = = = —4 MM.
3 1000 1000
Из предыдущего расчета второго параксиального луча
W 240
= 63,158 мм.
Вых зр
Рис. 29.8. Телескопическая система с линзовым оборачивающим
компонентом и коллективом
Из рис. 29.8 видно, что
d2 = а'2 - а3 = 100 + 4 = 104 мм,
аРз = a'V2 -d2 = 63,158 - 104 = -40,842 мм.
По формулам B9.7), B9.14), B9.8) и B9.9), в которых полагаем
а2 = a3, d2 = d3, Ф23 = Ф34, «р3 = аР4' аР2 = av^ Ф2 = фз^
последовательно получаем:
с = 1 + а3Ф34 = 1 - 4 • 0,05 = 0,8,
ф = Др4Фз4A ~ с + аРзфз4) ~ ДРзфз4 + с
3 а^A
- с
аРзФ34) - аР
610
25 • 0,05A - 0,8 - 40,842 • 0,05) + 40,842 • 0,05 + 0,8
= 0,017055,
25A - 0,8)A - 0,8 - 40,842 • 0,05) + 40,842
f{ = 58,634 мм,
ф4 = ф34 - A - с)Ф3 = 0,05 - A - 0,08H,017055 = 0,046589,
Д' = 21,464 мм, d3= — =
В результате выполненных
оптическую систему:
/i = 140
f{ = 50
/з = 58,634
0,8
0,046589
расчетов
= 17,171мм.
получили следующую
d1 = 240
d2 = 104
d3 = 17,171
Д' = 21,464
Длина оптической системы L = d1 + d2 + d3 + а'Р4 = 240 + 104 +
+ 17,171 + 25 = 386,17 мм.
Для определения световых диаметров каждого компонента
рассчитаем через всю систему апертурный луч и три луча полевого
пучка. Расчет будем выполнять по формулам B9.3) и B9.4) в
соответствии с показанной ранее схемой.
Апертурный луч: \
hk
17,5
-12,5
0,5
2,5
Главный
К
0
16,782
-10,853
-12,238
/*'
140
50
58,634
21,464
луч: Нг =
fk
140
50
58,643
21,464
i! = 17,5; аг = 0.
hk/fk
0,125
-0,250
0,008526
0,116473
ak+1
0,125
-0,125
-0,11647
0
0; аг = -tga> = -tg4
hk/fk
0
0,33565
-0,18507
-0,57016
ak+1
-0,069927
0,26572
0,08065
-0,489551
dk
240
104
17,171
dkak+1
30
-13
-2
° = -0,069927.
dk
240
104
17,171
dkak+1
-16,782
27,635
1,38484
611
Нижний луч: /ix = -17,5; at = -0,069927.
JL
-17,5
29,283
-11,353
-14,738
140
50
58,643
21,464
Верхний луч: hx =
17,5
4,283
-10,353
-9,738
fk
140
50
58,643
21,464
-0,125
0,58566
-0,19359
-0,68664
17,5; аг =
hk/fk
0,125
0,085657
-0,17654
-0,45370
-0,19493
0,39073
-0,19714
-0,48950
-0,069927.
ak+1
0,055071
0,14073
-0,035808
-0,48950
240
104
17,171
dk
240
104
17,171
-46,783
40,636
3,385
dkak+1
13,217
14,636
-0,61486
Из расчетов видно, что световые диаметры Ог = 35 мм;
D2 = 2 • 29,283 = 58,77 мм; D3 = 2 • 11,353 = 22,71 мм; D4 =
= 2 • 14,738 = 29,47 мм.
Если полученные размеры световых диаметров оборачивающего
компонента, коллектива или окуляра по конструктивным,
технологическим или аберрационным соображениям необходимо
уменьшить, то можно допустить виньетирование полевого пучка (при
условии, если такая возможность допускается техническим
заданием). Пусть, например, через оптическую систему проходит
только верхняя часть полевого пучка, заключенная между его
верхним и главными лучами. Тогда нижним лучом пропускаемого
через оптическую систему полевого пучка лучей окажется главный
луч. Из рисунка и выполненных расчетов хода апертурного, верхнего
и главного лучей видно, что тогда световые диаметры Dx = 35 мм;
D2 = 2 • 16,782 = 33,56 мм; D3 = 2 • 10,853 = 21,71 мм; D4 =
= 2 • 12,236 = 24,48 мм. Виньетирование полевого пучка составит
50%.
Основные результаты расчета, необходимые для дальнейшего
аберрационного расчета, целесообразно свести в табл. 29.3.
612
Таблица 29.3
1
2
№
компонента
(объектив)
(оборач.
компонент)
3
4
(коллектив)
(окуляр)
/'
(мм)
140
50
58,64
21,46
Световой диаметр
км =
35
58,57
22,71
29,47
(мм)
0
кш = 0,5
35
33,56
21,71
24,48
Диаметр
входного
зрачка
(мм)
35
35
9,21
5*
Удаление
входного
зрачка
(мм)
0
-240
-40,84
25*
8°
19
19
52
Поле
2@
58 мм*
58 мм*
°10'*
Примечание. Числа со знаком * соответствуют обратному ходу лучей.
29.6. Габаритный расчет телескопической системы с
двухкомпонетной линзовой оборачивающей системой
(с параллельным ходом лучей пучков между компонентами)
Пусть требуется выполнить габаритный расчет телескопической
системы, имеющей следующие характеристики: увеличение Гт = 7х,
угловое поле 2о> = 7°, диаметр выходного зрачка D' = 6 мм, удаление
выходного зрачка от последней поверхности окуляра Sp > 22 мм,
удаление входного зрачка от объектива ар± = —40 мм, длина
оптической системы (от объектива до выходного зрачка) L < 600 мм,
световой диаметр деталей не должен превышать 43 мм.
Диаметр входного зрачка D = ?>'-Гт = 6-7 = 42мм. Примем
фокусное расстояние объектива /о'б = 210 мм. При входном зрачке
D = 42 мм объектив будет иметь относительное отверстие 1:5. При
угловом поле 2о> = 7° такой объектив может быть выполнен в виде
двух склеенных линз. Положим, что линейное увеличение
оборачивающей системы /?обор = — Iх. При таком увеличении имеем
/2 = /з и появляется возможность компоненты оборачивающей
системы выполнить одинаковыми. Так как
fi "обор '
J ок
613
то фокусное расстояние окуляра
210-1
Угловое поле всей оптической системы за окуляром
tg<o' = rTtgco = 7 • tg3,5° = 0,42814, 2<u = 46°21.
Таким образом, окуляр должен иметь
/о'к = 30 мм, 2о/ = 46°21', D' = 6 мм, 5? > 22 мм .
Такой окуляр надо либо рассчитывать заново, либо выбрать по
справочным материалам тот, который имеет характеристики, близкие
к указанным. Возьмем окуляр из бинокля БОЦ-7х50, имеющий
следующие данные.
92,26
-42,36
25,29
-25,29
-146,89
5,3
5,3
7,0
1,6
1,51829
1,59147
1,74623
марка
стекла
К8
ТК23
ТФ4
Ы = 19,2
/' = 26,70; SF = -20,44; 51;, = 18,35.
Окуляр имеет угловое поле 2а/ = 46°21', диаметр выходного
зрачка D' = 7,1 мм, удаление выходного зрачка от последней
поверхности 5"^ = 22,2 мм. Можно было бы пересчитать этот окуляр
на /' = 30 мм, но мы возьмем его без изменения. В соответствии с
этим фокусное расстояние объектива при /?обор = ~1Х должно быть
равно
/об ~
Г Г-
— _J OK
Т _
= 26,7-7 = 186,9.
Относительное отверстие объектива в этом случае
?>:/' = 42:186,9 = 1:4,45 При таком относительном отверстии
объектив может быть выполнен также в виде двух склеенных линз.
614
Для того чтобы компоненты оборачивающей системы в результате
аберрационного расчета получились одинаковыми, апертурную
диафрагму необходимо поместить посередине воздушного
промежутка между компонетами. В соответствии с изложенным
приходим к предварительной оптической системе, показанной вместе
с ходом первого и второго параксиальных лучей на рис. 29.9.
d3
Вых
зр
Рис. 29.9. Телескопическая система с оборачивающей системой из
двух линзовых компонентов
Поместим полевую диафрагму в передней фокальной плоскости
окуляра. Тогда диаметр этой диафрагмы
0п.д. = 2Д't?u/ = 2 • 26,7 • 0,42814 = 22,86 .
Теперь необходимо определить фокусное расстояние
компонентов оборачивающей системы, решить вопрос о положении
этих компонентов в общей структурной схеме, а также добиться,
чтобы центры входного зрачка Ръ апертурной диафрагмы Р^ и
выходного зрачка Р^ были сопряжены между собой.
Обычно расстояние с между задним фокусом объектива F[ и
передним фокусом F4 окуляра делят на части, равные /2' (/з'Х
вследствие чего
d2 = fi = Н,аРъ = -0,5/з',d3 = f{ + Д'.
Для третьего компонента можно написать:
1 1 1
615
Для четвертого компонента имеем:
ap4=^3-d3 =
1 1 _ 1
«Р4 аР4 Л' '
Из двух последних соотношений получаем
Для окуляра можно написать
а'р4 = -S'H, + S'p, = Д' - S'F, + S'p, = 26,7 - 18,35 + 22,2 = 30,55 мм.
Поэтому имеем
Д'2 _ B6,7J
~ 2(ар4 -Д) ~ 2C0,55 - 26,7) ~ '
Следовательно, d2 = f{ = f{ = 92,58 мм , d3 = /3' + Д' = 92,58 +
26,7 = 119,28 мм.
Диаметр апертурной диафрагмы
/о 92,58
^апл =TfD'=—--6 = 2О,8ММ.
В результате достигнута сопряженность точек Р^ (Рз) и Р4 за
счет определенного положения компонентов оборачивающей системы
и соответствующих фокусных расстояний компонентов. В результате
оказалось, что с = 3/3' = 3 • 92,58 = 277,74 мм. Это обеспечивает
I = fl + c + fl + a!pA = 186,9 + 277,74 + 26,7 + 30,55 = 521,89 < 600 мм.
В иных случаях может оказаться, что величина с не удовлетворяет
исходным габаритным требованиям по длине L. В таких случаях
между вторым компонентом оборачивающей системы и окуляром
приходится устанавливать коллектив.
Расчетом второго параксиального луча из точки Р2 (Р3) в
обратном ходе нетрудно установить, что он не проходит через точку
Р1 (что и показано на рис. 29.9). Для обеспечения сопряжения точек
Р1 и Р!г (Р3) на расстоянии а2 слева от передней фокальной плоскости
первого компонента оборачивающей системы установим коллектив.
Тогда, очевидно, объектив должен иметь некоторое другое фокусное
расстояние // Ф 186,9 мм, т.к. фокусное расстояние f[2 —
616
= 186,9 мм (Ф12 = 0,0053505) должна иметь система, содержащая
этот объектив и коллектив.
Изображение бесконечно удаленного предмета, образуемое
объективом и коллективом, оказывается расположенным в передней
фокальной плоскости остальной части оптической системы,
содержащей оборачивающую систему и окуляр. Эта часть системы
имеет фокусное расстояние
/l2 1869
^ = 26,7 мм.
1T /
Пусть величина а'2 за окуляром соответствует сходимости
лучей, равной 14 дптр. Тогда по формуле B9.5), в которой надо
положить /2'3 = /12 = 26,7 мм, получим
fllN 26,72 • 14
а2 = Тооо = ^ооо- = 1Омм-
На рис. 29.10 представлена часть рассчитываемой оптической
системы, содержащая объектив 1, коллектив 2 и первый компонент 3
оборачивающей системы с ходом обоих параксиальных лучей.
Рис. 29.10. Часть телескопической системы, содержащей объектив,
коллектив и первый компонент оборачивающей системы
В соответствии с этим рисунком для третьего компонента имеем:
1 1 1 a'pj; ^-92,58
-; = тт . о», = тг^ = —2 кт^ = 92,58 мм.
Следовательно,
a'V2 = аРз +d2 = 92,58 + 10 + 92,58 = 195,16 мм.
617
Если рассматривать работу показанной на рис. 29.10 оптической
системы в обратном ходе лучей, то для объектива и коллектива можно
применить формулы B9.7), B9.14), B9.8) и B9.9), в которых,
очевидно, надо положить а2 = а'2 = —10; Ф2з = Ф12 = 0,0053505;
аР2 =
= -195,16; а'Рз = а^ = 40; Ф3 = Фг; d2 = &х.
В соответствии с указанными формулами имеем:
с = 1 + о[ф12 = 1 - 10 • 0,0053505 = 0,94650 ,
^Ф2зA -с + Н^Ф12) - а^2Ф12 + с
ф =
2"
40 • 0,0053505A - 0,94650 - 195,16 • 0,0053505) + 195,16 • 0,0053505 + 0,94650 _
40A - 0,9465)A - 0,9465 - 195,16 • 0,0053505) + 195,16 "
= 0,00922138,
/2' = 108,53 ММ ,
фг = ф12 - A - с)Ф2 = 0,0053505 - A - 0,94650H,0092138 = 0,0048574
/i = 205,85 мм ,
di = — = 0,94650 • 205,87 = 194,85 мм .
Фг
В результате выполненных расчетов получаем оптическую
систему, изображенную на рис. 29.11, вместе с ходом апертурного и
главного лучей. Как видно из рисунка, L<600 мм. Однако при
переходе от бесконечно тонких компонетов к компонетам конечной
толщины величина L несколько увеличится.
194,85 102,58 46,28 46,28 92,58 19,2
Рис. 29.11. Телескопическая система с увеличением Гт = 7х
618
Для определения световых диаметров компонентов рассчитаем
апертурный и полевые лучи. Расчет выполним по формулам B9.3) и
B9.4) по соответствующей схеме. Напомним, что по условию высота
этих лучей на всех компонетах по абсолютному значению не должна
быть более 21,5 мм
Апертурный луч: аг = 0; hx = 21;
hk fk
21 205,87
1,1241 108,53
-10,402 92,58
-10,402 92,58
2,9994 26,7
hk/fk
0,010201
0,010358
-0,11236
-0,11236
0,10201
0,11236
0
-0,11236
dk
194,85
102,58
92,58
119,28
dkak+1
19,876
11,526
0
-13,401
0,11234
0
Главный луч: аг = -tgco = -tg3,S° = -0,061163;
= -aPltgoj = 40 • tg3,S° = 2,4465;
hk fk
2,4465 205,87
12,049 108,53
5,7155 92,58
-5,7155 92,58
-13,079 26,7
Нижний луч: аг = -0,061163;
0,011884
0,11102
0,061736
-0,061736
-0,049279
0,061737
0,12347
0,061735
194,85
102,58
92,58
119,28
-9,6024
6,3330
11,431
7,3636
-0,48986 -0,42812
= -21 + 2,4465 = -18,554;
hk
hk/fi
-18,554
10,925
16,117
4,6864
-10,079
205,87
108,53
92,58
92,58
26,7
-0,09012
0,10066
0,17409
0,050620
0,60221
-0,15128
-0,05062
0,12347
0,17409
-0,42812
194,85
102,58
92,58
119,28
-29,478
-5,1928
11,431
20,766
619
Если верхний луч полевого пучка направить по верхнему краю
входного зрачка, то на первом компоненте он будет иметь кг = 21 +
+2,4465 = 23,446 > 21,5.
Рис. 29.12. Положение верхнего луча полевого пучка в
пространстве предметов
Поэтому верхний луч полевого пучка, как видно из рис. 29.12, на
входном зрачке должен иметь некоторую высоту т1 < 0,SD. При этом
DCB! 43
1 40 35° 1905
т1 -
Верхний
hk
21,5
13,069
-3,7224
-15,154
-10,357
луч: ал
fk
205,87
108,53
92,58
92,58
26,7
-aPlzga) 2
- — -q-u • 1д5,ъ
L = -0,061163; hi = 21,5.
hk/fi
0,10443
0,12041
-0,040207
-0,16369
-0,38791
ак+1
0,043272
0,16369
0,12347
-0,040216
-0,42812
— iv,u:
dk
194,85
102,58
92,58
119,28
э мм.
dkak+1
8,4315
16,791
11,431
-4,7970
В результате расчетов получаем следующие численные значения
световых диаметров компонентов: DCBl = 21,5 • 2 = 43 мм; ?>св2 =
= 13,069 • 2 = 26,14 мм; Dcb3 = 16,117 • 2 = 32,23 мм; Dcb4 =
= 15,154 • 2 = 30,31 мм; Dcb5 = 16,079 • 2 = 32,16 мм.
Основные результаты расчетов сведем в нижеприведенную
таблицу 29.4.
620
Таблица 29.4
№
компонента
1
2
3
4
5
1+2
Фокусное
расстояние
(мм)
205,87
108,53
92,58
92,85
26,7
186,9
Расстояние
между
компонентами
d (мм)
194,85
102,58
92,58
119,28
Диаметр
входного
зрачка
D(mm)
-
-
20,8*
20,8
6,0
42
Удаление
входного
зрачка
(мм)
-
-
-46,28*
46,28
-22,2*
-40
Световой
диаметр
DCB (мм)
43
26,14
32,23
30,31
32,16
-
Относительное
отверстие
-
-
1:4,45
1:4,45
1:4,45
1:4,45
Угловое
поле
-
-
14°04'*
14°04'*
46°2Г*
7°
Числа, отмеченные знаком *, соответствуют обратному ходу лучей.
Коэффициент виньетирования полученной оптической системы:
D
T-mi 21-19,05
Кш = ^—100 = — 100 = 4,64о/о .
При выполнении аберрационного расчета или по другим,
например технологическим, соображениям может оказаться, что
световой диаметр окуляра необходимо уменьшить. В этом случае это
можно сделать, допуская соответствующее увеличение коэффициента
виньетирования, если это не противоречит условиям работы
оптической системы.
621
29.7. Габаритный расчет телескопической системы с призменной
оборачивающей системой
Призменная оборачивающая система по сравнению с линзовой
позволяет за счет излома оптической оси существенно уменьшить
габариты системы вдоль оси. Особенность габаритного расчета
оптической системы с призменной оборачивающей системой состоит
в необходимости определения положения и габаритов призм,
составляющих призменную систему. В зависимости от требований
технического задания могут быть применены различные призмы,
например призма Лемана, Аббе, Порро 1-го и 2-го родов, Пехана и др.
. зр.
т
Окуляр
Рис. 29.13. Оптическая система половины призменного бинокля
Независимо от типа применяемой призмы необходимо, во-
первых, знать форму и размеры двух сечений пропускаемого через
призменную систему светового пучка, между которыми
устанавливается эта система, а также расстояние между этими
сечениями вдоль оси. Во-вторых, надо учитывать, что в процессе
расчета призмы заменяются эквивалентными плоскопараллельными
пластинами, которые, в свою очередь, заменяются эквивалентными в
оптическом отношении воздушными пластинами. При этом, кроме
того, надо помнить, что названные эквивалентные замены допустимы
только в случае, если первая и последняя грани призмы
перпендикулярны оптической оси системы.
Характерной оптической системой с призменной
оборачивающей системой является система половины призменного
бинокля, изображенная на рис. 29.13.
622
Система содержит объектив, призменную оборачивающую
систему 1-2, полевую диафрагму 3 и окуляр. На рис. 29.13 призма 2
вместе с полевой диафрагмой и окуляром условно повернуты вокруг
оси 00' на 90°, так что призмы 1 и 2 составляют призменную
систему Порро 1 -го рода.
В такой системе входным зрачком является световой диаметр
первой поверхности объектива. В этой связи сечениями светового
пучка, между которыми может быть размещена призменная система,
являются плоскости входного зрачка и полевой диафрагмы. Диаметр
входного зрачка D = 2R, диаметр полевой диафрагмы ?>пд = 2г,
расстояние / = // между входным зрачком и полевой диафрагмой
известны из габаритного расчета (см. п. 29.2).
Предположим, что в рассчитываемой оптической системе
отсутствует виньетирование, так что пропускаемый через
призменную систему световой пучок образует усеченный конус
вращения с углом 2а при вершине, основаниями которого служат
круги диаметрами 2R и 2г плоскостей входного зрачка и апертурной
диафрагмы соответственно. Пусть при это R > г.
На рис. 29.14 изображены размещенные между входным зрачком
и полевой диафрагмой две воздушные пластины толщиной dlB и d2B,
эквивалентные по своему оптическому действию показанным на
предыдущем рисунке реальным призмам 1 и 2 соответственно.
^ ^ 21
Рис. 29.14. Система двух воздушных плоскопараллельных пластин,
эквивалентных двум призмам
Как известно, при переходе от реальных призм к их
эквивалентным воздушным пластинам необходимые для пропускания
светового пучка поперечные размеры призм и этих пластинок
остаются одинаковыми.
623
Из рис. 29.14 видно, что световые диаметры на первой, второй,
третьей и четвертой гранях пластинок должны быть равны q1q1, S1S1,
q2q2, S2S2 соответственно. Однако из-за допусков на крепление и
фаски на ребрах призм эти размеры должны быть увеличены на
2k1q1 = 2tx\ 2p1S1 = 2t2\ 2k2q2 = 2t3; 2p2S2 = 2t4 до некоторых
величин Dl9 D2, D3 и D4 соответственно.
Обычно призменную систему располагают возможно ближе к
сечению светового пучка с наименьшей площадью, на некотором
расстоянии а (в нашем случае к полевой диафрагме, в плоскости
которой находится действительное изображение предмета). Это
расстояние должно быть таковым, чтобы при аккомодации глаза
наблюдатель не смог бы увидеть через окуляр ближайшую к полевой
диафрагме грань призмы га2га2, что возможно, если по формуле
B9.5) численное значение а будет соответствовать сходимости лучей
за окуляром не менее чем N = 10 — 20 диоптриям. Из рис. 29.14
далее имеем:
^^t B9.16)
D4 = 2 (г + atga + t4). B9.17)
Так как геометрический ход лучей в призме 2 (рис. 29.13),
выполненной из стекла с показателем преломления п2:
d2 = k2D3, B9.18)
(к2 - коэффициент, известный для каждой конструкции призмы), то
толщина соответствующей эквивалентной воздушной пластинки:
d2 k2D3
d2B = — = ^^. B9.19)
п2 п2
Из рис. 29.14, кроме того, видно, что
D3 = 2[r + (d2B + a)t0a + t3]-
Подставляя сюда выражение для d2B из уравнения B9.19), после
преобразования получаем
г + t3 + atga
° = ~1 " B9.20)
Аналогично для призмы 1, выполненной из стекла с показателем
преломления nl9 можно написать:
di = /<!?>!, B9.21)
624
dlB = — =
D2 = 2[r + (a + b + d2B)tga + t2],
B9.22)
B9.23)
?>! = 2[r + (a + Ь + dlB + d2B)tga + tj. B9.24)
Из последнего уравнения с помощью уравнения B9.22) легко
получить
_
Ul~
B9.25)
В уравнениях B9.23) и B9.24) численное значение промежутка "в"
между призмами выбирается из конструктивных соображений.
Таким образом, по исходным численным значениям величин г,
R, щ, п2, къ /с2, ti, t2> ^3' *ч и ^» применяя последовательно друг
за другом формулы B9.16), B9.17), B9.20), B9.18), B9.19), B9.23),
B9.25) и B9.21), можно вычислить геометрический ход луча в обеих
призмах и величины Оъ ?>2, ?>3, и ?>4, обеспечивающие
прохождение через призменную систему светового пучка. Очевидно,
что в первой призме Dx > D2, а во второй - D3 > D4.
На рис. 29.15а показан вид призмы бинокля сбоку, а на рис.
29.156 и 29.15в - два возможных ее вида со стороны гипотенузной
грани вместе со световым диаметром, условно обозначенным в виде
окружностей пунктиром.
Ч
У
а) б) в)
Рис. 29.15. Возможные формы призмы бинокля
Призма, изготовленная в соответствии с рис. 29.156 (ширина
призмы переменна), имеет меньший вес и габариты, однако в
производстве ведет к усложнению, а следовательно, и к удорожанию
технологического процесса. Поэтому часто ради упрощения
техпроцесса призмы изготавливают с постоянной шириной (рис. 29.15в),
мирясь с некоторыми увеличениями их веса и габаритов.
625
Так как Dx > D3, то вторая призма должна быть меньше.
В производстве изготовление разных призм иногда тоже бывает
невыгодно. Поэтому обе призмы оборачивающей системы Порро 1-го
рода часто изготавливают одинаковыми. В таком случае габариты
призм должны быть несколько иными. Действительно, т.к. D3 должно
быть такое же, как и Dl9 то
Подставляя эти выражения в формулу B9.24), после преобразования
получим
гг + Ьг + (а + b)tga
Если предположить, что щ = п2 = п (призмы изготовлены из
стекла одной марки), и учесть, что кг — к2 — к (взяты одинаковые по
конструкции призмы), то
_ г + frj + (а + b)tga
Dl ~ Г~~Г • B9.27)
2^а
Во всех случаях после вычисления dlB и d2B можно вычислить
c = l-(a + b + dlB + d2B). B9.28)
Для примера рассчитаем оборачивающую призменную систему
Порро 1-го рода при R = 20 мм; г = 8,5 мм; / = 165 мм; щ = п2 =
= 1,5; кг = к2 = 2; а = 4 мм; Ъ = 1,5 мм; Ьг = t2 = t3 = t4 =
1 мм. По этим данным с помощью формул B9.16), B9.17), B9.20),
B9.19), B9.23), B9.25), B9.22) и B9.28) последовательно вычисляем:
R-r 20-8,5
D4 = 2(r + atga + t) = 2(8,5 + 4 • 0,0697 + 1) = 19,56 мм ,
r + t3 + atga _ 8,5 + 1 + 4 • 0,0697
D3 = k — = — ^ = 24'02 MM '
kD3 2 • 24,02
d2B = —- = — = 32,03 мм ,
2в п 1,5
D2 = 2[r + (a + b + d2B)tga + t] =
= 2[8,5 + D + 1,5 + 32,03H,0697 + 1] = 24,23 мм ,
626
(a + b + d2B)tga
2n
8,5 + 1 + D + 1,5 + 32,03) • 0,0697
= ^ ^ = 29,76 мм ,
2-^-0,0697
kD, 2 • 29,76
dlB= — = ig = 39,68 мм ,
c = l(a + b+ dlB + d2B) = 165 - D + 1,5 + 39,68 + 32,03) = 87,79 мм.
Если призмы выполнены по габаритам одинаковыми, то по формуле
B9.27) получаем
п _ г + t + (а + b)tga _ 8,5 + 1 + D + 1.5) • 0,0697 _ Qл Л/. ww
Толщина воздушной пластинки, эквивалентной каждой из призм:
kDr 2-31,46
dlB = d2B = = — = 41,95 мм.
1В ZB n 1,5
Следовательно, по формуле B9.28):
с = I - (а + Ъ + 2dlB) = 165 - D + 1,5 + 2 • 41,95) = 75,6 мм.
Из результатов вычислений видно, что в этом случае призмы
имеют большие габариты и геометрический ход луча,
а следовательно, и больший вес.
29.8. Габаритный расчет панкратической телескопической
системы
Панкратическая телескопическая система должна иметь
увеличение, плавно меняющееся от ГТт1п до ГТтах. Эта система может
иметь такую же конструкцию, как и система, изображенная на рис.
29.9. Для обеспечения плавного изменения увеличения один из ее
компонентов должен иметь плавно меняющуюся оптическую силу
(переменное фокусное расстояние). В качестве такого компонента
целесообразно взять первый компонент оборачивающей системы,
выполнив его, в свою очередь, из двух компонентов. Перемещая
одновременно эти последние компоненты вдоль оптической оси по
определенному закону, можно добиться плавного изменения их
эквивалентного фокусного расстояния в пределах, соответствующих
изменению увеличения от ГТтЫ до ГТтах. При такой конструкции
627
телескопической системы изменение увеличения не повлечет
изменения положения и величины выходного зрачка, т.к. апертурная
диафрагма расположена за подвижными компонентами, длина
оптической системы вдоль оси также окажется неизменной. Однако
при этом меняется положение и диаметр входного зрачка. Последнее
обстоятельство надо учитывать при габаритном и аберрационном
расчетах телескопической системы. Особенность габаритного расчета
такой системы и заключается в отыскании закона, по которому
должны перемещаться подвижные компоненты.
\Ап. д. Ф
Рис. 29.16. Первый компонент линзовой оборачивающей системы
в обратном ходе лучей
На рис. 29.16 показан в обратном ходе лучей первый компонент
оборачивающей системы с апертурной диафрагмой, имеющий
оптическую силу Ф и содержащий первый и второй подвижные
компоненты с оптическими силами Фг и Ф2 соответственно.
При перемещении этих компонентов вдоль оси меняются
оптическая сила Ф, а также показанные на рисунке величины aF,, d и
Z,, но величина с должна остаться неизменной.
При изменении увеличения от ГТтт до ГТтах оптическая сила
системы, изображенной на рис. 29.16, должна меняться от Фт;п до
Фтах, причем очевидно, что
B9.29)
Ф,
При этом численные значения переменных величин a'Fi, d и L
изменяются в пределах между некоторыми соответствующими
наибольшими и наименьшими значениями.
628
Для воздушного промежутка d и отрезка a'Fi можно соответственно
написать:
ф1 + ф7 — ф
d = 1 . * , B9.30)
ФаФ2
Из B9.30) и B9.31) можно далее получить
Из выражений B9.30) и B9.32) видно, что d и a'Fi являются
функциями одной переменной Ф. Производные этих выражений по
переменной Ф будут:
дФ Ф1Ф2
?V=^ B9.34)
дФ Ф2Ф2
Из рисунка 29.16 далее имеем
L = d + aF,. B9.35)
Подставив сюда выражения для d и a'Fi из B9.30) и B9.32), после
преобразования получим
Ф? + Ф2\
>1 + *2-^ф—]¦ B9.36)
Из этого выражения видно, что L является функцией одной
переменной Ф. Поэтому
"' ' ¦ ¦'- B9J7)
Установим теперь знак производных B9.33), B9.34) и B9.37).
Практический интерес при Ф > 0 могут представлять случаи, когда
оба компонента положительные либо когда первый компонент
положителен, а второй - отрицателен. Рассмотрим оба эти случая.
1. Ф1 > 0, Ф2 > 0. Производная B9.33) в этом случае
отрицательна, а производная B9.34) - положительна. Следовательно,
при росте Ф промежуток d должен уменьшаться, а отрезок ар1 -
увеличиваться.
629
Так как предполагается, что a'Fi > 0 (изображение
действительное), то из B9.32) следует, что Фг < Ф. Следовательно,
производная B9.37) отрицательна, что свидетельствует об
уменьшении L при росте Ф.
В соответствии с изложенным на основе выражений B9.30),
B9.31) и B9.35) можно составить следующую систему уравнений:
Фг + Ф2 - Фш1п
Ф2 ~
F'min
®min
2Frmax ~ Lmin >
uFfmin = Lmax ¦
Полагаем, что из условий разработки структурной оптической
системы известны численные значения Lmin и Lmax. Из этих же
условий с учетом соотношения B9.29) считаем известными Фт;п и
Фтах. Тогда система уравнений B9.38) имеет неизвестные Ф19 Ф2,
dmaxi dmin, arFrmin и CLFimax. Решая эту систему относительно
названных неизвестных, получим
, n ^min ~
п ~ ^тах) ZZ ZZ
Фт1п ~
= 0 ,
ф =
2
~ Фj
! ~ ФтЫ ~
= B940)
ттФг ~ 1) <&штатах® 1 " 1) "
Пользуясь двумя последними выражениями, можно найти
численные значения Ф19 Ф2, а затем по четырем первым формулам
системы B9.38) последовательно вычислить dmax, dmin, a'F'max и
Зная Ф19 Ф2, по формулам B9.30)-B9.32) для различных
численных значений Ф, меняющихся от Фт;п до Фтах, можно
последовательно найти соответствующие значения d, a'Fi и L и тем
630
самым установить закон перемещения обоих компонентов,
составляющих в совокупности первый компонент оборачивающей
системы.
2. Фг > О, Ф2 < 0, что соответствует телеобъективу, когда
L < f. Легко заметить в этом случае, что производная B9.33)
положительна, а производные B9.34) и B9.37) отрицательны.
Поэтому при росте Ф промежуток d будет возрастать, а величины ар1
и L станут уменьшаться. В этой связи можно составить систему
уравнений:
_ ф1 + ф2 - фтах
"max — ф ф
Фг + Ф2 - Фт1п
aF'max
F'min
Frmin
B9.41)
Решая эту систему, нетрудно убедиться, что она имеет то же
решение, что и система B9.38). Таким образом, пользуясь
выражениями B9.39) и B9.40), в обоих случаях можно найти
численные значения оптических сил Фг и Ф2, а затем по четырем
первым формулам систем B9.38) или B9.41) вычислить dmin, dmax,
aF'min И aFfmax'
В качестве примера рассчитаем панкратическую
телескопическую систему с плавно меняющимся от 7х до 14х
увеличением, численные значения других оптических характеристик
которой при Гт = 7х равны значениям соответствующих
характеристик оптической системы с увеличением 7х, приведенной в
предыдущем параграфе. В этой связи обратимся к системе,
изображенной на рис. 29.9. Очевидно, что для обеспечения плавного
изменения увеличения всей системы от 7х до 14х увеличение
оборачивающей системы, образуемой вторым и третьим
компонентами, должно плавно меняться от -Iх до -2х. Это возможно,
если фокусное расстояние второго компонента плавно изменять от
/' = 92,58 мм до /' = 46,29 мм. Таким образом, оптическая сила
631
92,58
второго компонента должна меняться от Фт;п =
= 0,0108015 до Фтах = 1/46,29 = 0,0216030.
Из рис. 29.9 и выполненного расчета вытекает, что расстояние от
действительного изображения бесконечно удаленного объекта,
образуемого объективом (/' = 186,9 мм), до апертурной диафрагмы
С = F2P3 = 138,86 мм. В пределах этого расстояния и может
изменяться обозначенная на рис. 29.16 величина L. В этой связи
положим, что Lmax = 120 мм, Lmin = 60 мм. Используя названные
численные значения Фт;п, Ф
и Lmax, с помощью уравнений
B9.39) и B9.40), а затем с помощью первых четырех уравнений
системы B9.38) получим следующие два варианта решения этой
системы.
1. Фг = 0,018423; Ф2 = -0,0044417; dmax = 93,140 мм;
dmin = -38,860 мм; a!p,min = -33,140; а'р,тах = 158,86 мм.
2. фг = 0,0079542; Ф2 = 0,016496; dmax = 104,02 мм; dmin =
= 21,7 мм; а'р,тах = 38,3 мм.
Очевидно, что первое решение не может быть принято во
внимание, так как dmin < 0 и aFrmin < 0. Таким образом, имеем
Фг = 0,0079542; // = 125,72; Ф2 = 0,016496, /2' = 60,62. После
этого, придавая различные численные значения оптической силе Ф в
пределах от Фт[п до Фтах, по формулам B9.30), B9.31) и B9.35)
вычисляем ряд соответствующих значений d, a'F,, L и C-L, где С =
= 138,86 мм. Результаты этих вычислений приведены в таблице 29.5.
Таблица 29.5
ф
0,0108015
0,011
0,012
0,013
0,014
0,015
0,016
0,017
0,018
d
104,02
102,51
94,89
87,26
79,64
72,02
64,40
56,78
49,16
а!р,
15,98
16,79
20,44
23,53
26,18
28,48
30,48
32,26
33,83
L
120,00
119,29
115,33
110,79
105,82
100,50
94,89
89,04
82,99
C-L
18,86
19,57
23,53
28,07
33,04
38,36
43,97
49,82
55,87
632
0,019
0,020
0,0216039
41,54
33,92
21,70
35,24
36,51
38,30
76,78
70,43
60,00
62,08
68,43
78,86
Следует при этом учесть, что рассчитанный панкратический
компонент, соответствующий рис. 29.16, в составе всей
телескопической системы, показанной на рис. 29.9, должен быть
повернут на 180° так, чтобы его компонент с оптической силой Фг
следовал за компонентом с оптической силой Ф2 в соответствии с
ходом лучей в телескопической системе.
Ф
О 50 100 150
Рис. 29.17. График перемещения компонентов панкратической
системы
На рис. 29.17 представлены графики перемещения компонентов
панкратической системы, построенные по приведенным в таблице
29.5 результатам вычислений. Здесь кривые ABC и DEF показывают
закон изменения в зависимости от изменения Ф величин C-L и a'Ft
соответственно. При этом величина a'Fr отложена слева от
вертикальной прямой, проведенной на расстоянии С от начала
координат. Очевидно, расстояние между точками указанных кривых,
соответствующих одному численному значению Ф, равно расстоянию
d между компонентами для того же значения Ф.
633
Из конструктивного устройства механизма перемещений
подвижных компонентов целесообразно бывает сделать так, чтобы
характер движения одного из компонентов панкратической системы
описывался не в виде изображенных на рис. 29.17 кривых, а в виде
прямой. Потребуем, к примеру, чтобы движение компонента,
расположенного ближе к апертурной диафрагме, описывалось не
кривой ЛВС, а прямой АС.
В этом случае из уравнения B9.36) можно получить
ф2 = (фгф2Ь - 2Фа - Ф2)Ф + Ф\ = 0. B9.42)
Придавая величине L ряд все возрастающих на постоянную
величину численных значений в пределах от Lmin до Lmax, с
помощью уравнения B9.42) можно найти ряд соответствующих
значений Ф, а затем и ряд соответствующих значений a'Fi и d из
формул B9.32) и B9.35) соответственно. Очевидно, в этом случае
кривая ABC превратится в прямую АС, а кривая DEF, описывающая
характер изменения a'Fi, будет заменена на некоторую кривую DE'F.
Используя кривые ABC и DEF, кривую DE'F можно построить
графически следующим образом. Возьмем на кривых ABC и DEF
произвольные точки В и Е, соответствующие некоторому значению
Ф = га, при котором расстояние между подвижными компонентами
d = BE. Через точку В проведем вертикальную линию до
пересечения с прямой АС в точке В'. Точка ?", образуемая
пересечением горизонтальной и вертикальной линий, проведенных
соответственно через точки В' и Е, и будет принадлежать искомой
кривой DE'F. Таким же путем находятся и другие точки этой кривой.
При этом оптической силе Ф = га на вертикальной оси координат
будет соответствовать некоторая точка га', а шкала численных
значений Ф на этой оси координат окажется неравномерной.
Можно потребовать, чтобы при изменении Ф равномерно
перемещался компонент оборачивающей системы, расположенный
дальше от апертурной диафрагмы. При этом, очевидно, кривая DEF
будет заменена прямой DF, а кривая ABC - некоторой другой кривой
(на рис. 29.17 не показаны). В этом случае, придавая отрезку a'Fr ряд
меняющихся на постоянную величину численных значений в
пределах, соответствующих пределам изменения Ф, с помощью
формул B9.30), B9.31) и B9.35) необходимо вычислить ряд
соответствующих значений Ф, d и L и по полученным результатам
634
вычислений построить необходимые графики перемещения
подвижных компонентов.
Замена кривых ABC и DEF соответственно на новые кривую и
прямую может быть выполнена и графически описанным выше
образом.
На рис. 29.18 показано взаимное расположение компонентов
полученной панкратической системы при двух крайних увеличениях
(Гт = 7хиГт = 14х).
j\=186,9
An. луч
f'2=60,62 f'3=125,72
Рис. 29.18. Взаимное расположение компонентов панкратической
системы при Гт = 7х и Гт = 14х
Из рисунка видно, что при Гт = 7х имеем d1 = 186,9 + 15,98 =
= 202,8 мм; d2 = 104,2 мм; d3 = 18,86 + 46,28 = 65,14 мм; d4 =
= 92,58 + 26,7 = 119,28 мм. При Гт = 14х ^ = 186,9 + 38,3 =
= 225,2 мм; d2 = 21,07 мм; d3 = 78,86 + 46,28 = 125,14 мм;
d4 = 119,28 мм. При этом длина системы от объектива до выходного
зрачка L = 186,9 + 138,86 + 46,28 + 92,58 + 26,7 + 30,5 = 521,87 мм.
При изменении увеличения изменяется и угловое поле
телескопической системы в пространстве предметов. При Гт = 7х
имеем 2а> = 7° и tgoJ = 0,42814. Следовательно, при Гт = 14х
будем иметь
tga) =
tgccf 0,42814
= 0,030581,2о) = 3°30'.
Гт 14
Таким образом, при изменении увеличения от 7х до 14х угловое
поле телескопической системы в пространстве предметов изменяется
от 2*; = 7° до 2*; = 3°30'.
635
Диаметр выходного зрачка (D' = 6 мм) и его положение
относительно последней поверхности окуляра E*^ = 22,2 мм) при
изменении увеличения не изменяются. Диаметр же входного зрачка
при этом изменяется от D = D' • ГТт;п = 6 • 7 = 42 мм до
D = D' • ГТтах = 6 • 14 = 84 мм. При /' = 186,9 мм и D = 84 мм
будем иметь относительное отверстие 1:2,225. Такое повышение
относительного отверстия объектива на этапе аберрационного расчета
приведет к необходимости усложнения его конструкции по
сравнению с конструкцией из склеенных или рядом установленных
не склеенных между собой двух линз.
Найдем положение входного зрачка при Гт = 7х, рассчитав в
обратном ходе параксиальный луч, исходящий из центра апертурной
диафрагмы, полагая а1 = — 1, Нг = 18,86.
К A' hk/fk
18,860 125,72 0,15002 -0,84998 104,02 -88,420
107,275 60,62 1,76964 0,91965 202,8 186,579
-79,304 186,90 -0,42431 0,49534
h3 -79,304
V™ ^534 = 60'1мм-
Следовательно, при Гт = 7х входной зрачок диаметром D =
= 42 мм расположен справа от объектива (/' = 186,9 мм) на
расстоянии aPl = 160,1 мм.
Аналогично найдем положение входного зрачка при Гт = 14х,
полагая йа = —1, /ia = 78,86.
78,86 125,72 0,62727 -0,37273 21,7 -8,08831
86,948 60,62 1,43432 1,06158 225,2 239,0687
-152,12 186,9 -0,81391 0,24767
h3 -152,12
В этом случае входной зрачок диаметром D = 84 мм расположен
справа от объектива на расстоянии ар± = 613,72 мм.
636
Минимальное численное значение, которое может принять
световой диаметр объектива, должно быть равно диаметру входного
зрачка системы при Гт = 14х. Поэтому примем, что Dx = 84 мм.
Для определения световых диаметров других компонентов
системы рассчитываем апертурный, главный, верхний и нижний лучи
при двух крайних увеличениях.
Увеличение Гт = 7х
Апертурный луч: аг = 0, Нг = D/2 = 42/2 = 21 мм.
К
hk/fk
ак+1
21
-1,78661
-10,42352
-10,42220
3,0051
Главный
= -0,061163
hk
-9,79213
13,24597
2,32876
-5,71447
-13,08018
186,9
60,62
125,72
92,58
26,7
луч
/*'
186,9
60,62
125,72
92,58
26,7
Верхний луч: аг
11,20787
11,45047
-8,07338
-16,11660
-10,08021
fi
186,9
60,62
125,72
92,58
26,7
0,11236
-0,02947
-0,08291
-0,11258
-0,11255
(см. рис.
Кл = аР1аг =
hk/fi
-0,05239
0,21851
0,01852
-0,06172
-0,48989
= -0,061163:
+42/2 =
hk/fi
0,05997
0,18889
-0,06422
-0,17408
-0,37754
0,11236
0,08280
-0,00002
-0,11257
-0,00002
29.2): аг =
202,8
104,2
65,14
119,28
= —tgco =
160Д(-0ДN1163) =
-0,11356
0,10495
0,12348
0,06175
-0,42814
dk
202,88
104,2
65,14
119,28
; 1ц = hrA + D/2 = -9
11,20787.
-0,001196
0,18769
0,12348
0,05061
-0,42814
dk
202,88
104,2
65,14
119,28
22,78661
8,63691
-0,00134
-13,42735
: -tg3°30f =
-9,79213.
ak+ldk
-23,0381
10,91721
8,04322
7,36571
,79213 +
ak+1dk
-0,24260
19,52385
8,04322
-6,03639
Нижний луч: аг = -0,061163; hx = hTJX - D/2 = -9,79213 - 21 =
= -30,79213.
637
/*'
к/а
-30,79213
15,04049
12,73114
4,69222
-16,68037
186,9
60,62
125,72
92,58
26,7
Апертурныи луч:
hk
42
-8,60674
-10,40221
-10,40221
2,99999
Главный
hi = hrjl
hk
-18,76842
10,73299
9,73365
-5,71812
0,79123
Верхний
hi = Кл
hk
23,23158
2,12627
-0,66855
-16,12021
-10,07905
/*'
186,9
60,62
125,72
92,58
26,7
луч: аг -
= аР1аг
fi
186,9
60,62
125,72
92,58
26,7
луч: аг ¦
+ D/2 =
fi
186,9
60,62
125,72
92,58
26,7
-0,16475
0,24811
0,10266
0,05068
-0,60226
-0,22591
0,02220
0,12348
0,17415
-0,42812
Увеличение Гт = 14х
аг = 0;hi = D/2 = 84/2
hk/fi
0,022472
-0,14198
-0,08274
-0,11236
-0,11236
0,22472
0,08274
0
-0,11236
0
= -tgco = -tgl°4Sr = -0
= -613,72-0,0305814 =
hk/fi
-0,10042
0,17705
0,07742
-0,61764
-0,48986
-0,13100
0,04505
0,12348
0,061712
-0,42814
= -0,0305814;
-18,76842 + 84/2 = 23,!
hk/fi
0,12423
0,03508
-0,00532
-0,17412
-0,37749
0,09372
0,12879
0,12348
-0,05065
-0,42814
202,88
104,2
65,14
119,28
= 42 mm.
dk
225,2
21,7
125,14
119,28
-45,83262
2,309348
8,03892
20,77259
ak+1dk
50,60674
1,79547
0
-13,40219
,0305814
-18,76842 mm.
dk
225,2
21,7
125,14
119,28
23158.
dk
275,2
21,7
125,14
119,28
ak+1dk
-29,50140
0,99934
15,45176
7,36101
ak+1dk
21,10532
2,79482
15,45166
-6,04116
638
Нижний луч: аг = -0,0305814; hx = hVJX - D/2 = -18,76842 -
—60,76842 = —60,76842, что по абсолютной величине превосходит
половину светового диаметра объектива. Так как Dx = 84, то
принимаем Нг = —42.
fk hk/fk' ак+1
-42
15,49356
15,48738
0,63581
-14,73830
186,9
60,62
125,72
92,58
26,7
-0,22472
0,25559
0,12319
0,00039
-0,55199
-0,25530
0,00028
0,12348
0,12386
0,42814
225,2
21,7
125,14
119,28
-57,49356
0,00618
15,45157
14,77412
Выбирая наибольшие величины высот всех рассчитанных лучей
на каждом компоненте, окончательно получаем Dx = 84 мм; D2 =
= 15,49356 • 2 = 30,0 мм; D3 = 15,48738 • 2 = 30,0 мм; D4 =
= 16,12021 • 2 = 32,3 мм; D5 = 16,0807 • 2 = 32,2 мм.
Угловое поле компонента 4 в прямом ходе лучей и
эквивалентной системы из компонентов 2 и 3 в обратном ходе лучей,
как видно из вычислений, составляет 2 со = 14°4', 7.
Как видно из расчета нижнего полевого луча при Гт = 14х,
крайний полевой пучок не заполняет весь входной зрачок, т.к. часть
его виньетируется оправой первого компонента. Абсолютная
величина высоты нижнего луча в плоскости входного зрачка, еще
проходящего через оптическую систему (см. рис. 29.12):
D, 84
т1= — - aPltgco = — - 613,72 • tgl°4Sr = 23,23 мм.
Поэтому коэффициент виньетирования крайнего полевого пучка
при Гт = 14х составляет величину
5-т, ^-23,23
кш = ^— • ЮО = -*—^ 100 = 22,3о/о .
29.9. Габаритный расчет телескопической системы
с внутренней фокусировкой
Телескопические системы с внутренней фокусировкой
характерны тем, что они используются для наблюдения как
бесконечно удаленных предметов, так и предметов, находящихся на
близком от наблюдателя расстоянии. Для отчетливого изображения
639
предметов, находящихся на разном расстоянии, один из линзовых
компонентов, установленных внутри оптической системы,
перемещается на соответствующую величину вдоль оптической оси.
Это обстоятельство и определяет название таких систем, как систем с
внутренней фокусировкой. Внутренняя фокусировка, в отличие от
внешней, когда перемещается внешний компонент, обеспечивает
сохранение постоянства длины оптической системы вдоль оси при
перефокусировке с одного расстояния на другое.
Рассмотрим пример расчета оптической системы электронного
тахеометра, приведенной на рис. 29.19 вместе с ходом апертурного
луча.
An. туч
di
1 ^^
L,
2
а'г
-fi
3
—Ээ-
L
4
с
d
\
\,
fib.
-"л
к.зр
Рис. 29.19. Принципиальная телескопическая система
с внутренней фокусировкой
Система имеет телеобъектив, содержащий компоненты 1 и 2,
оборачивающую систему с параллельным ходом лучей пучков,
содержащую компоненты 3 и 4, и окуляр 5. Фокусировка на объекты,
удаленные на различные расстояния, осуществляется перемещением
вдоль оптической оси компонента 2.
Увеличение системы Гт = 30х, угловое поле 2co = 1°, диаметр
выходного зрачка D' = 1,5 мм, удаление выходного зрачка от
последней поверхности окуляра a t > 15 мм, длина системы вдоль
оси (от первой поверхности объектива до выходного зрачка)
L < 220 мм, световой диаметр компонентов не должен превышать
45 мм, пределы фокусировки от —оо до —1,25 мм.
640
Исходя из того, что ар1 > 15 мм, положим фокусное расстояние
окуляра /о'к = /5' = 12,5 мм. Угловое поле окуляра (всей телесистемы)
в пространстве изображений
tga)' = TTtga) = 30 • tgO,5° = 0,26180; 2<о' = 29°20,5'.
Поместим полевую диафрагму в передней фокальной плоскости
окуляра. Тогда диаметр этой диафрагмы
°иД = 2foKtga)r = 2 • 12,5 • 0,26180 = 6,545 мм.
В качестве окуляра, имеющего /о'к = 12,5 мм, 2о> = 29°20'5,
D' = 1,5 мм, a i > 15 мм, может быть взята система из двух,
установленных почти вплотную плосковыпуклых линз, обращенных
друг к другу выпуклыми поверхностями. Такую систему окуляра
нетрудно рассчитать по формулам параксиальной оптики. Ниже
приведены конструктивные и оптические параметры окуляра.
гг = оо
К8
г2 = -12,823
г3 = 12,823
йг
d2
d3
= 3
= 0,51
= 3
n2 = 1,5183
n2 = 1,5183
K8
Г4 = оо
/' = 12,5 мм, s'pf = -sF = 10,27 мм, s'H, = -sH = -2,23 мм.
Диаметр входного зрачка телеобъектива
D = D' • Гт = 1,5 • 30 = 45 мм.
Положим линейное увеличение оборачивающей системы
/?обор = ~2Х. Тогда фокусное расстояние телеобъектива:
/О'КГТ 12,5-30
/об = -~п = ^— = 187'5 мм>
Робор ~z
Следовательно, телеобъектив имеет относительное отверстие 1:4,17 и
угловое поле 2со = 1°.
Положим, что длина телеобъектива Lo6 = 0,7/о'б = 0,7 • 187,5 =
= 131,25 мм. По начальному условию L < 220 мм, поэтому с учетом
удаления выходного зрачка расстояние между первым бесконечно
тонким компонентом телеобъектива и бесконечно тонким окуляром
можно положить равным Lo6 + С — f0K = 200 мм. Следовательно,
641
расстояние между задним фокусом телеобъектива и передним
фокусом окуляра С = 200- Lo6 + /ок = 200- 131,25- 12,5 = 56,25 мм.
Из рис. 29.19 видно, что фокусные расстояния f3 и Д'
соответственно первого и второго компонентов оборачивающей
системы, а также расстояние d3 между компонентами связаны
соотношением
Кроме того, очевидно, что
f — —R f
У 4 г'оборУЗ1
Положим /3 = d3, тогда из последних двух соотношений получаем
/з' = d3 = 14,0625 мм, Д' = 28,125 мм.
Определим фокусные расстояния компонентов телеобъектива.
Пусть Ф19 Ф2, di и а'рг обозначают соответственно оптические силы
первого и второго компонентов, расстояние между ними и расстояние
от второго компонента до заднего фокуса телеобъектива при условии,
что оптическая сила телеобъектива равна единице. Тогда можно
написать:
$! + $2 - di$i$2 = 1, B9.43)
а'р, = 1- di$!, B9.44)
йг + а'р, = 10б = 0,7, B9.45)
где Еоб - длина телеобъектива при принятом условии. Из уравнения
B9.45) имеем
а'р, = 0,7 - dx. B9.46)
Из уравнений B9.44) и B9.46) получаем
0,3
d1==—T. B9.47)
Подставляя уравнение B9.47) в уравнение B9.43), после
преобразования можно получить
1-2$! + $?
1- 0,7Фа
Придавая оптической силе Фг ряд численных значений, по формуле
B9.48) получим ряд соответствующих значений Ф2. Из этого ряда
надо выбрать ту пару значений Фг и Ф2, которая приведет к
наименьшим относительным отверстиям обоих компонентов
телеобъектива при приемлемых значениях &х и a'Fi. Обычно
642
исследуется несколько вариантов. Нами взят лишь один вариант
Фг = 1,6, при котором в соответствии с формулами B9.48), B9.47) и
B9.46) получаем Ф2 = -3, &х = 0,5, a'F, = 0,2. Поэтому
/о.
об
f
= 111,19 мм; f2 = -=^- =
-3
= —62,5 мм,
Фг 1,6 7Z Ф2
d1 = d1- /0'6 = 0,5 • 187,5 = 93,75 мм,
a^ = ^, • /о'б = 0,2 • 187,2 = 37,5 мм,
d2 = a'F, - /3 = 37,5 + 14,0625 = 51,5625 мм,
d4 = fl - f0K = 28,125 + 12,5 = 40,625 мм.
Найдем положение второго компонента при фокусировке
телесистемы на предметную плоскость, удаленную от первого
компонента на расстояние аг = —1250 мм.
Рис. 29.20. Работа компонентов телеобъектива
при фокусировке на конечное расстояние
На рис. 29.20 показано некоторое положение компонентов
телеобъектива с ходом первого параксиального луча при фокусировке
на предметную плоскость, находящуюся на расстоянии -1250 мм от
первого компонента. Рассчитывая первый параксиальный луч,
исходящий из осевой точки предмета^;, получим:
aJi -1250-117,19
ai = ^Я1 = -1250 + 117,19 = 129'313 ММ'
а2 = а[ - d1 = 129,313 - dlt
а2 = ^об ~ ^\ — 131,25 — dlt
1 1 _ 1 _ 1
а? а2 f? —62,5
643
Подставив в последнее уравнение предыдущие выражения для а2 и
а'2, после преобразования получим
&\ - 260,56312**! + 16851,308 = 0 .
Решая это квадратное уравнение, получим
йг = 130,28156 ±11,04427.
Очевидно, что йг < Lo6 = 131,25 мм, поэтому
йг = 130,28156 - 11,04427 = 119,23729 мм .
Следовательно, второй компонент телеобъектива при
перефокусировке с бесконечности на предмет, находящийся на
расстоянии аг = —1250 мм, переместится на расстояние
Л= 119,23729 - 93,75 = 25,48729 мм
вправо от первоначального положения. При такой перефокусировке
будем иметь
d2 = 51,5625 - Д= 51,5625 - 25,48729 = 26,07521 мм.
Целесообразно апертурную диафрагму поместить за вторым
(перемещающимся) компонентом, что обеспечит неизменность при
перефокусировке положения и размера выходного зрачка системы.
Пусть роль апертурной диафрагмы выполняет оправа второго
компонента оборачивающей системы. Так как aPs = —d4, то удаление
выходного зрачка от пятого компонента (окуляра)
а ./' -40,625-12,5
<^ 1806ММ
что соответствует удалению от последней поверхности окуляра
s'p, = a'Ps - s'H, = 18,06 - 2,23 = 15,83 > 15 мм .
Диаметр апертурной диафрагмы
k 28,125
Am = D' • jj = 1,5 • —— = 3,375 мм.
Найдем положение входного зрачка системы при фокусировке ее
на бесконечность, рассчитав для этого первый параксиальный луч из
центра апертурной диафрагмы в обратном ходе при аг = — 1, Нг =
= d3 = 3,375.
hk U hk/fk
14,0625 14,0625
14,0625 -62,5
35,15625 117,19
644
1
-0,225
0,3
0
-0,225
0,075
51,625
93,75
0
-21,09375
^ _ h3 _ 35,15625
upr=Y4= 0,075
Таким образом, входной зрачок расположен на расстоянии
ар± = —468,78 мм слева от первого компонента. При этом, как уже
установлено, D = 45 мм.
Рассчитав первый параксиальный луч из центра апертурной
диафрагмы в обратном ходе при фокусировке телесистемы на
расстояние аг = —1250 мм, найдем положение и диаметр входного
зрачка и для этого случая, положив а1 = — 1, кг = d3 = 14,0625.
hk fk hk/fk
14,0625 14,0625 1 0 26,07521 0
14,0625 -62,5 -0,225 -0,225 119,23729 -26,82839
40,89089 117,19 0,34893 0,12393
— h3 40,89089
а*' = 5Г-0Д^ = 329'9515мМ'
Следовательно, входной зрачок расположен в этом случае на
расстоянии аг = —329,9515 мм слева от первого компонента.
Диаметр входного зрачка
= 3,375
-1
= 27,23 мм.
0,12393
Рассчитаем теперь при фокусировке системы на расстояние
аг = —1250 мм первый параксиальный луч из осевой точки предмета
до центра полевой диафрагмы при а = — 1, кг = 12,50.
hk fk ^k/fk ak+i dk ak+idk
1250 117,19 10,66644 9,66644 119,23729 1152,6001
97,3999 -62,5 -1,55840 8,10804 26,07521 211,41888
-114,01898 14,0625 -8,10802 0 14,0625 0
-114,01898 28,125 -4,05401 -4,05401
645
, _ h4 _ -114,01898
U4 ~ ~a~s ~ -4,05401
Линейное поле оптической системы в пространстве предметов
при фокусировке на расстояние аг = —1250 мм.
а, -4,05401
2у = ?>п.д.— = 6,545 — = 26,53350 мм.
(Заметим, что при фокусировке системы на конечное расстояние она
перестает быть телескопической.)
Определим теперь световые диаметры компонентов системы.
Для этого рассчитаем апертурный луч, а также главный, нижний и
верхний лучи крайнего полевого пучка сначала при фокусировке на
бесконечность.
Апертурный луч: аг = 0, кг = D/2 = 45/2 = 22,50 мм.
fk Klfk
22,5
4,50039
-1,68659
-1,68736
0,74774
117,19
-62,5
14,0625
28,125
12,5
0,192
-0,07201
-0,11994
-0,06
0,05982
0,192
0,11999
0,00005
-0,05994
-0,00012
93,75
51,5625
14,0625
40,625
17,99962
6,18698
0,00077
-2,43610
Главный луч: аг = -tgco = -tgO,S° = -0,0087269;
hx = hVJX = aVlax = 468,79 • 0,0087269 = 4,091 мм.
h± fk Klfk ak+i dk ttk+idk
4,091
1,63641
1,63641
0
-4,72753
117,19
-62,5
14,0625
28,125
12,5
0,03491
-0,02618
0,11637
0
-0,37820
0,02618
0
0,11637
0,11637
-0,26183
93,75
51,5625
14,0625
40,625
2,45459
0
1,6341
4,72753
Угловое поле в пространстве между третьим и четвертым
компонентами:
= 0,11637; 2пL = 13°16',5.
646
Верхний луч: аг = -0,0087269; h1 =
^ = 4,091 + у > 22,5.
Так как по условию световые диаметры компонентов не должны
превышать 45 мм, полагаем кг = 22,5 мм.
fi
hk/fj
22,5
5,31815
0,25576
-1,38065
-4,11391
Нижний луч
= -18,409 мм,
К
-18,409
-2,86398
3,32282
1,68736
-5,47462
117,19
-62,5
14,0625
28,125
12,5
: аг =
fi
117,19
-62,5
14,0625
28,125
12,5
0,192
-0,08509
0,01819
-0,04909
-0,32911
0,18327
0,09818
0,11637
0,06728
-0,26183
-0,0087269; hx =
hk/fi
-0,15709
0,04582
0,23629
0,06
-0,43797
-0,16581
-0,11999
0,11630
0,17630
-0,26167
93,75
51,5625
14,0625
40,625
= h™ ~ ~г
dk
93,75
51,5625
14,0625
40,625
17,18185
5,06239
1,63641
2,73326
= 4,091 -y
ak+1dk
-15,54503
-6,18680
1,63546
7,16198
Высота верхнего луча в плоскости входного зрачка
m1 = h1- aPltga) = 22,5 - 468,79 • 0,0087269 = 18,408.
Следовательно, коэффициент виньетирования крайнего полевого
пучка при фокусировке системы на бесконечность
D - 2т1 45 - 2 • 18,408
Кш = ——100 = — 100 = 18,2% .
Далее рассчитаем аналогичные четыре луча при фокусировке
системы на расстояние аг = —1250 мм. Ход этих лучей в
пространстве предметов показан на рис. 29.21, руководствуясь
которым легко вычислить их начальные координаты (аг и Нг).
647
Апертурный луч:
D/2
ал =
27,23/2
аг -aPl -1250 + 329,9515
= -0,0147981;
hx = axax = 1250 • 0,0147981 = 18,498.
К fk hk/fk ak+i
Як+idk
18,498 117,19 0,15785 0,14365
1,44111 -62,5 -0,02306 0,11999
-1,68772 14,0625 -0,12002 -0,000025
-1,68736 28,125 -0,06 -0,06003
0,75116 12,5 0,06009 0,00006
119,23729 17,05689
26,07521 3,12883
14,0625 -0,00036
40,625 -2,43852
-y=1326675
Рис. 29.21. Ход лучей в пространстве предметов
при фокусировке на расстоянии аг = —1250 мм
Главный луч:
у
13,26675
Si~ai -329,9515 + 1250
Нг = hYJX = аР1аг = 329,9515 • 0,01442 = 4,7579.
hk fk hk/fk' ak+1 dk
4,75790 117,19 0,04060 0,02618 119,23729 3,12151
1,63639 -62,5 -0,02618 0 26,07521 0
648
1,63639 14,0625 0,11637 0,11637 14,0625
0 28,125 0 0,11637 28,125
-4,72753 12,5 -0,37820 -0,26183 40,625
1,63639
4,72753
Верхний луч:
D/2-y 27,23/2-13,26675
= -0,029218;
ССл =
аг-аР1 -1250 + 329,9515
= Siai + У = 125° ' 0,029218 - 13,26675 = 23,255 > 22,5 .
Поэтому принимаем Нг = 22,5 и, следовательно,
-у 22,5-13,26675
hk
22,5
3,01818
0,01694
-1,61860
-4,00531
-1250
/*'
117,19
-62,5
14,0625
28,125
12,5
hk/fi
0,192
-0,04829
0,00121
-0,05750
-0,32043
U,UZ.OUJ.O.
0,16339
0,11510
0,11630
0,05875
-0,026168
dk
119,23729
26,07521
14,0625
28,125
40,625
ak+ldk
19,48182
3,00124
1,63554
2,38671
Нижний луч:
D/2 + y 27,23/2-13,26675
= -0,00043286;
1 аР1-аг -329,9515-1250
hi=y + агаг = -13,26675 - 1250 • 0,00043286 = -13,808 .
hk [к hk/fkf ak+1
117,19 -0,11783 -0,11739 119,23729 -13,99761
-62,5 -0,00303 -0,12042 26,07521 -3,14007
14,0625 0,23678 0,11636 14,0625 1,63628
-13
0.
3.
1,
-5
,808
,18961
,32968
,69340
,47975
28,125 0,06021 0,17657 40,625
12,5 -0,43838 -0,26181
7,17315
649
Как следует из рис. 29.21, высота верхнего луча в плоскости входного
зрачка
т1 = (аг - аР1)аг + у = (-1250 + 329,9515)(-0,028613) -
-13,26675 = 13,0586.
Следовательно, коэффициент виньетирования крайнего полевого
пучка лучей при фокусировке на расстояние аг = —1250 мм
составляет
D - 2mi 27,23 - 2 • 13,0586
Кш = 100 = —— 100 = 4,09% .
D 27,23
На основании выполненных расчетов хода лучей получаем
следующие величины световых диаметров компонентов: Dx = 45 мм;
D2 = 5,31815 • 2 = 10,64 мм; D3 = 3,329768 • 2 = 6,66 мм; D4 =
= ?>ад = 3,375 мм; D5 = 5,47975 • 2 = 10,96 мм.
В результате выполненного таким образом габаритного расчета
вычислены фокусные расстояния и световые диаметры всех
компонентов, а также определены предельные положения подвижного
компонента при выполнении внутренней фокусировки. Кроме того,
при обоих крайних положениях предметной плоскости вычислены
коэффициенты виньетирования крайнего полевого пучка, для всех
компонентов определены диаметры и положения входных зрачков,
поля, а также определены положения компонентов в системе. Этих
данных достаточно, чтобы перейти к следующему этапу
аберрационного расчета.
650
ГЛАВА 30. АБЕРРАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ
ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
30.1. Аберрационный расчет оптической системы телескопа
Кеплера
Оптическая система телескопа Кеплера по своей структуре
является самой простой телескопической системой, так как содержит
только объектив и окуляр (рис. 23.1). Рассмотрим аберрационный
расчет оптической системы, которая должна иметь следующие
характеристики.
1. Видимое увеличение Гт = —6х.
2. Угловое поле 2 со = 8°30'.
3. Диаметр выходного зрачка D' = 4 мм.
4. Удаление выходного зрачка от последней поверхности
окуляра sr г>24 мм.
Угловое поле окуляра в пространстве изображений
tgaj = \TT\tgco= 6tg4°lSf = 0,44588.
2^=49°.
По s'pf>24 мм, ?>' = 4мм и 2со=49° выбираем, например, окуляр
Эрфле с нижеприведенными оптическими и конструктивными
характеристиками.
гг =-55,85
г2 = 33,16
г3 =-33,16
г4 = 61,82
г5 = -61,82
гв = 29,26
г7= -34,21
г8= -169,29
/' = 24,951 s'F, = 19,96 sF = -12,668
Фокусное расстояние объектива
/об = |Гт|/о'к = 6-24,951 «150 мм.
Световой диаметр объектива, являющийся одновременно входным
зрачком системы:
D = \rT\D' = 6-4 = 24 мм.
651
d2
d3
d4
ds
de
d7
Id
= 1,99
= 9,95
= 0,25
= 5,97
= 0,25
= 8,45
= 1,99
= 28,85
Ф13
K8
K8
K8
Ф13
Относительное отверстие объектива:
D:/0'6 = 1:6,25.
В соответствии с формулой Ньютона расстояние от заднего фокуса
окуляра до выходного зрачка
f'2 24 9512
z' =^ = ±^L = 4,150 мм.
' *Р 150
Расстояние от последней поверхности окуляра до выходного зрачка
s'p, = s'Fr + z'p, = 19,996 + 4,150 = 24,146 мм.
Диаметр полевой диафрагмы
Dnd = 2f'fl6 • tgco= 2 • 150 • tg 4°\5' = 22,3мм.
Вычисляем аберрации окуляра в обратном ходе лучей при угловом
поле 2со = 49°, входном зрачке D = 4 мм и удалении входного зрачка
sp = —23,823 мм.
В результате вычислений получаем:
продольная сферическая аберрация - AS'Oh = -0,116;
коэффициент изопланатизма - tjok =-0,153%;
хроматизм положения - AS[poK = -0,148.
В соответствии с формулой A8.13) для исправления комы всей
системы объектив в прямом ходе должен иметь коэффициент
изопланатизма, равный коэффициенту изопланатизма окуляра в
обратном ходе лучей, т.е. г/об =-0,00153.
В соответствии с формулой A8.10) продольная сферическая
аберрация и хроматизм положения объектива должны иметь
аберрации, равные соответствующим аберрациям окуляра в обратном
ходе, но взятым с обратным знаком, т.е. объектив должен иметь
Д^, =0,116 и ^,,„5=0,148.
Основные параметры объектива:
AS' 2-150-0,116
=
т] 122
2-150-11,15-0,00153
т] 122
c
Г„г, 150
Дальнейший расчет объектива изложен в п. 28.1.
652
30.2. Аберрационный расчет телескопической системы с
двухкомпонентной оборачивающей системой с параллельным
ходом лучей пучков между компонентами
Предположим, что необходимо рассчитать оптическую систему
зрительной трубы с линзовой оборачивающей системой и имеющей
приведенные ниже оптические и конструктивные характеристики.
Видимое увеличение Гт = 6х.
Угловое поле 2оо = 8°30'.
Диаметр выходного зрачка D' = 4 мм.
Удаление выходного зрачка sr ,>20 мм.
Длина оптической системы (расстояние от объектива до
выходного зрачка) L<500 мм.
Угловое поле окуляра (зрительной трубы в пространстве
изображений)
tgaj = Tjtgco = 6 • tg4°15' = 0,44588,
lea' = 48°.
По$Ч = 20мм, D' = 4mm и 2со' = 48° выбираем окуляр Эрфле
с нижеприведенными характеристиками.
г2= 33,16
г3 = -33,16
г4 = 61,82
г5= -61,82
гв = 29,26
г7=-34,21
г8 = -169,29
d2
d3
d4
ds
d6
d7
Id
= 1,99
= 9,95
= 0,25
= 5,97
= 0,25
= 8,45
= 1,99
= 28,85
Ф13
K8
K8
K8
Ф13
/' = 24,951 sF = 12,668 v = 1
На рис. ЗОЛ показана телескопическая система, содержащая
бесконечно тонкий объектив, два бесконечно тонких компонента
оборачивающей системы и выбранный окуляр Эрфле.
Так как лучи пучков между оборачивающими компонентами
параллельны, то видимое увеличение всей системы
Г-
Г - Jоо П
1 Т — гг "обор »
J ок
653
где /о'б - фокусное расстояние объектива, f^K - фокусное расстояние
окуляра, /?обо - линейное увеличение оборачивающей системы.
Выгодно положить /?обо = — 1, а апертурную диафрагму поместить в
середину между компонентами, так как в этом случае эти компоненты
окажутся одинаковыми.
Вх. зр.
Рис. 30.1. Телескопическая система с окуляром Эрфле
Тогда фокусное расстояние объектива
J 00 /-\ 1
Pooop "I
Расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом
окуляра
С = L - /о'б + SFoK = 500 - 149,7 - 28,85 = 308,85 мм.
Из рис. 30.1 следует, что
где //, /2 - фокусные расстояния первого и второго оборачивающих
компонентов, d - расстояние между этими компонентами. Обычно
расстояние С делят на три равные части: на фокусные расстояния //,
/2' и расстояние d. В нашем случае будем иметь f[ = /2 = d = -С =
102,93 мм.
Центр апертурной диафрагмы расположен на расстоянии
а = —51,465 мм от второго компонента. Изображение этого центра
располагается на расстоянии
af[ _ -51,465-102,93
а =-
-51,465 + 102,93
= -102,93 мм.
654
Расстояние от переднего фокуса окуляра до полученного изображения
хр= а -/2' = -102,93 -102,93 = -205,86 мм.
По формуле Ньютона
х'. =-?*- = - 24;951" =-3,024 мм.
р хр -205,86
Следовательно, выходной зрачок расположен на расстоянии
5'р.=ь'Гок+х'р.= 13,946 + 3,024 = 22,97,
что удовлетворяет условию задачи.
Диаметр апертурной диафрагмы, являющийся одновременно
входным зрачком второго оборачивающего компонента в прямом ходе
лучей и первого оборачивающего компонента в обратном ходе лучей:
D Aff = ]^l.4 = l6,5 мм.
Л', 24,951
Диаметр входного зрачка всей телескопической системы:
D = DTT = 4-6 = 24 мм.
Угловое поле компонентов оборачивающей системы:
Таким образом, каждый оборачивающий компонент имеет
фокусное расстояние 192,93 мм, относительное отверстие
16,5:102,93 = 1:6,2 и угловое поле 12°20'. Следовательно,
оборачивающие компоненты могут быть выполнены из двух
склеенных линз.
Определим положение входного зрачка всей системы путем
расчета хода луча из центра апертурной диафрагмы в обратном ходе
я, =-51,465,
-_ axf[ _-51,465-102,93 _102^
ax+f[ -51,465 + 102,93
^-</1=-102,93-A49,7
liL-355,56-149,7
- a2+f'o6 -355,56 + 149,7
Следовательно, входной зрачок объектива расположен слева от него
на расстоянии ар = -258,56 мм.
655
Световой диаметр объектива:
Д„„л =2| -ajgco | = г(—+ 258,56-tg4° 15' 1 = 62,43 мм.
Световой диаметр оборачивающих компонентов:
1^ + 1°^.,*б'1О'Ь
Вычисленные световые диаметры позволяют пропустить через
оптическую систему весь полевой пучок лучей. Однако из-за
слишком большого удаления входного зрачка световой диаметр
объектива оказался в 2,6 раза больше диаметра входного зрачка, что
может привести к трудностям при коррекции полевых аберраций.
Кроме того, может быть, из-за конструктивных соображений по
условию задачи диаметры всех компонентов должны быть
значительно меньше вычисленных. В этом случае можно, если это
позволяет условие задачи, допустить виньетирование полевого пучка
лучей, что приведет к уменьшению больших диаметров. Если это не
позволяет достичь желаемых результатов, то можно установить
между объективом и его задней фокальной плоскостью коллектив и
попытаться таким образом приблизить входной зрачок к объективу.
Но в этом случае объектив окажется двухкомпонентным.
Переходя к аберрационному расчету, воспользуемся
обозначениями, приведенными в таблице 30.1.
Вычисляем аберрации окуляра в обратном ходе лучей.
Предположим, что в результате вычислений получили продольную
<— <—
сферическую аберрацию А 5^. =-0,116; кому КОк-=-0,036;
хроматическую аберрацию положения AS[.poK =-0,048.
Таблица 30.1
Аберрации
продольная
сферическая
кома
хроматизм
положения
Объектив
А5,;й
^;
1-й комп.
в обр.ходе
A S[
К\
as;,
2-й комп.
AS'2
к2
as; 2
Окуляр
в обр.ходе
A S'0K
Ко.
A*U
656
Кома относится к числу поперечных аберраций. Поэтому на
основании A8.3) кома оборачивающей системы с увеличением р
вычисляется как
Кома системы, содержащей объектив и оборачивающую систему,
перед окуляром на основании A8.1) может быть вычислена как
р р = (Kof>
Для уничтожения комы всей телескопической системы на
основании A8.9) необходимо выполнить условие:
<—
Кперед ок ~ К он. Т.е.
Если бы компоненты оборачивающей системы были бы не
<—
одинаковы, то имели бы /?=? — 1, К\^К0. Тогда в полученном
<-
уравнении имели бы три неизвестных: Ко6,К\,К2 при известных /?и
<— <—
Кок. В этом случае двум неизвестным, например К\и К2, пришлось
бы задавать численные значения, чтобы вычислить численное
значение третьего неизвестного. При этом надо учесть, что кома
обоих компонентов должна быть отнесена к пучку лучей, идущих
снизу вверх.
<—
В нашем случае К\=К2, /?= — 1, поэтому из последнего
<—
уравнения следует Ко6 =-Ко>, =0,036.
Продольная сферическая аберрация и хроматическая аберрация
положения относятся к числу продольных аберраций. Поэтому к ним
применима теория сложения продольных аберраций сложных систем,
изложенная в главе 18.
Продольная сферическая аберрация оборачивающей системы с
линейным увеличением /? на основании A8.21) может быть
представлена как
AS'o6op=AS[/32+AS'2.
Сферическая аберрация объектива и оборачивающей системы перед
окуляром на основании A8.16) вычисляется как
657
bS'nepeooK^^P2 + AS'o6op = AS'or){32 +AS[{32 +AS'2 =\AS'or) +AS,'J/?2 +AS'2.
Для уничтожения сферической аберрации всей телескопической
системы на основании A8.20) надо иметь
&S',,cvedOK+AS'OK=0,T.e.
| д5,',й + д 5; )/?2 + дз; + д s'M = о.
<— <—
В этом уравнении AS'OK =-0,116, а значения А5^,А5,' и А^
неизвестны. Поэтому величинам, например, AS[ nAS'2 нужно придать
какие-либо численные значения, а затем вычислить значение AS'o6. Но
<—
в нашем случае /? = — 1, A S[ = ASf2,
Придав величине А^ численное значение, далее можно вычислить
значение ASrofr
Аналогичным путем для хроматической аберрации положения
можно написать
AS;)flxp+2AS'2v- 0,048 = 0.
Отсюда, придав величине AS'2xp численное значение, вычисляется
Зная значения сферической аберрации, комы и хроматизма
положения объектива и оборачивающих компонентов, вычисляют их
основные параметры P,WwC, на основании которых определяют
конструктивные параметры рассчитываемой системы.
30.3. Расчет двухкомпонентной линзовой оборачивающей
системы с непараллельным ходом лучей пучков между
компонентами
На рис. 30.2 показана оборачивающая система из двух
бесконечно тонких компонентов, установленных на расстоянии d друг
от друга и имеющих оптические силы ф\ и ф2. Предмет величиной уг
сформирован объективом (на рисунке не показан) на расстоянии а от
первого компонента. Изображение у' этого предмета находится на
расстоянии а'от второго компонента.
658
Длина оборачивающей системы (расстояние от предмета до
изображения) равна L. Линейное увеличение равно Д. Входной зрачок
диаметром D расположен на расстоянии ар от первого компонента
справа. Ниже изложен расчет системы в общем виде и с численным
примером.
01 I
1 [вх.
ф2
Рис. 30.2. Двухкомпонентная оборачивающая система с
непараллельным ходом между компонентами
Так как предполагается, что предмет не расположен в передней
фокальной плоскости первого компонента, то лучи пучков между
компонентами не параллельны.
Из рисунка имеем
L = -a + d + af. (ЗОЛ)
Для линейного увеличения системы можно написать
а.
где a-i и а2 - углы 1-го параллельного луча в первом и последнем
пространствах. Положим аг = -1, тогда
аг 1
%=4=-?- C0.2)
Рассчитывая 1-й параксиальный луч при аг = -1, получим:
«1 = -1,
/ia = ааа = -а,
h2 = h^ — da2 = —а + d(l + аф^),
аЗ = а2 "I" ^202 = ~1 "" аФг "I" [~а "I" ^A "I" a0l)]02-
659
Положим 02 = кфг. Тогда, используя C0.2), после упрощения
получим
-- = -1 - афг - акфг + кйфг + акйф^. C0.3)
Для отрезка а' имеем
, h2 -a
a' = ap-dp - йарфг. C0.4)
Из C0.1), используя C0.4), можно получить
L - d + dp
C05)
Подставив это значение а в C0.3), будем иметь
После элементарных преобразований это уравнение можно привести
к виду:
kdpil - dHf - (/с + 1)/?L0! - (^ - IJ = 0. C0.6)
Решая это квадратное уравнение относительно ф/, получим
(fc + 1)/?L ± V(fe + lJff2L2 + 4kdKL _ d)(ff _TJ
(pl 2/cd^(L - d) "
Пример. L = 350. d = 100, ^ = 50, D = 20,.y = 10,>3=-2,*= 1.
Система должна иметь:
продольную сферическую аберрацию AS'= 0,5,
меридиональную кому к = 0,04,
среднюю кривизну изображения z'm + z\ = 0,
хроматизм положения AS'xp = 0,150,
хроматизм увеличения Лу 'хр = 0.
Из C0.7) имеем два решения: ф}=0,0\ и ф/=0,018. Выбираем ф/=0,01,
при котором по C0.5) и C0.1) имеем я/=-50, а/=200. Решение
ф/=0,018 неприемлемо, т.к. оно приводит к а/>0, что противоречит
условию задачи. Следовательно, оба компонента оборачивающей
системы имеют одинаковые фокусные расстояния /'/=/2=100.
Фокусное расстояние оборачивающей системы
660
f'l 1002
f = ——— = = 100
J 2f\-d 200-100
При фокусном расстоянии оборачивающей системы, приведенном к
/'= 1, будем иметь
ф} = ф2= l,a = -0,5,rf= 1,^ = 0,5.
Для этой (приведенной к /' = 1) системы рассчитаем первый
параксиальный луч при а/ = /?= -2.
а = аг = -2,
]^ = aa1 = -0,5(-2) = 1,
а2 = а1 + ft101 = -2 + 1 • 1 = -1,
~h2 = hx-da2 = l-l(-l) = 2,
а' = аз = а2 + /i202 = -1 + 2-1 = 1.
Второй параксиальный луч рассчитываем при /?/ = 1.
;;,= «„а, =0,5-1 = 0,5,
Этот луч встречает плоскость предметов в точке, отстоящей от
оптической оси на расстояние
Следовательно, инвариант Лагранжа-Гельмгольца оборачивающей
оптической системы при /' = 1:
J = пхах1х =1-(-2)-1 = -2.
Для апертурного угла сгв пространстве предметов и с/ в пространстве
изображений соответственно имеем:
D 20
= = -0Д,
2(-а + ар) 2E0 + 50)
^ = 0Д
^ Р -2
Из A3.7) для первой суммы Зейделя при п' = 1 получаем
0,0025
661
При /' = 1 эта сумма будет равна
5,= = = 4.
/' 100
Величина изображения предмета (при ух = -10):
Инвариант Лагранжа-Гельмгольца при щ = 1:
J = nxaxlx =nlal(-a + ap)ft = 1 • (-2) • E0 + 50) • 1 = -200.
Для второй суммы Зейделя из A3.22) при tgak -tga'k и ак = ol = 1
имеем
2JK 2-(-200H,04
о,, = — = = 106,7.
3y'tg2a 3-20-0,0025
При f' = l эта сумма имеет величину
Sn =^- = —- = 1,067.
/' 100
Из A3.27) и A3.28) при z'm+z's = Q имеем:
Из A4.10) при кх — кг — 0,7 и Фг = Ф2 = 0,01 следует
SIV =0,7@,01+ 0,01) = 0,014.
Следовательно,
Sm =-B00J-0,014 = -280.
При /' = 1 третья сумма Зейделя имеет величину
^=^ = -^ = -2,8.
/' _ 100
Для сумм Зейделя Sh S[h SIIh вычисленных при /' = 1,
аналогично A4.12) можно далее написать:
2 J\Wx +^
h2 {h{ h2
662
С помощью A4.19) и A4.20) нетрудно получить:
= ~Р1+4(-2Щ-2[-4- 2,7 + 1] = 1>-Щ +19,6,
Р2 =(а3 -а2KР2+4а2{а3 -a2JW~2+a2{a3 -а2)[2а2{2 + тг)-а3] =
= 8^ + 4-(-1)-4^+ (-1)-2-[-2-2,7-1] = 8^-16^+ 12,8,
Wx={a2-ax)% + ax{a2-axX2 + x) = Wx-5?,
W2 =(a3 -a2JW2 + а2(а3 -а2\2 + тг) = 4W2 -5,4.
Подставив эти значения Ph P2, Wl и W2 в вышеприведенные
выражения для Sh Su и SUh после упрощений будем соответственно
иметь:
^ + 16^-8^-32^
^^4^ + 48^-51,334 = 0,
^ + 16^-40^ + 56 = 0.
В этих трех уравнениях основные параметры Ръ Р2, W1 и W2 не
известны. Задав одному из них какое-либо численное значение,
можно найти численные значения трех других. Положив, например,
W2 = 0, получим Рг = -4,033, Р2 = -3,248, W1 = -0,85. При
W2 = l будем иметь Рг = -6,033, Р2 = -0,623, Wx = 0,15.
Можно построить графики зависимостей Ръ Р2 и VJX от W2 и по
ним подобрать приемлемые значения всех четырех основных
параметров. Для этого достаточно знать две точки графика, так как в
соответствии с уравнениями графики будут представлять прямые.
Полезно учесть, что в формуле C0.7) величины к и d могут быть
использованы в качестве параметров, изменением численных
значений которых можно влиять на результаты расчетов.
На основании A5.6) и A5.42) для хроматизма положения и
хроматизма увеличения соответственно можно написать:
п а
АУ'ч> = у [У 1 (а2 ~ «I )С, + У2 («3 " а2 )С2 ]•
Подставив сюда заданные значения AS'^ = 0,150 и Ау'ф=0, а
также полученные выше значения \ =1, h2 =2, у, =0,5, у2 =-1,
а{ =-2, а2=-1 и <23=1 при «' = 1 и /' = 100, после совместного
663
решения этих двух уравнений будем иметь С, =0,00075 и
С~2 =0,0001875.
По вычисленным численным значениям Ръ W^ Сг и Р2, W2, C2
вычисляются конструктивные параметры обоих компонентов
оборачивающей системы.
30.4. Расчет двухкомпонентной линзовой оборачивающей
системы с параллельным ходом лучей пучков между
компонентами
На рис. 30.3 показана оборачивающая система из двух
бесконечно тонких компонентов, установленных на расстоянии d и
имеющих фокусные расстояния f[ и /2'. Предмет величиной уг
расположен в передней фокальной плоскости первого компонента.
Следовательно, 1-й параксиальный луч в пространстве между
компонентами идет параллельно оптической оси, а изображение с
предметом у' совпадает с задней фокальной плоскостью второго
компонента. Расстояние от предмета до изображения равно L.
Входной зрачок находится на расстоянии ар от первого компонента.
Линейное увеличение системы равно Д Апертурный угол в
пространстве предметов равен ст.
У1
я
^^2-w пар. луч
1-й пар. луч^^^
-fi
[вх.зр.
Pi p
d
L
\^
а'= а3
f'2
г,
-у'
Рис. 30.3. Двухкомпонентная оборачивающая система с
параллельным ходом лучей между компонентами
Из рис. 30.3 следует
664
Так как f[ - —f5f[, то из этого выражения нетрудно получить
r_L-d
Пример. L = 350, d = 100, /?= -2, а,, = 50, у, = 10, rg a, = - 0,2.
Фокусное расстояние компонентов:
/2f =2-83,333 = 166,667.
Фокусное расстояние оборачивающей системы
г= ЛЯ = 83,333-166,667
г
Л + fi-d 83,333 + 166,667-100
Приведенные оптические силы компонентов:
0 iiu
f[ 83,333
— /' 52,592 ЛСС/:
Ф2 = — = — = 0,556.
2 /2' 166,667
Приведенные фокусные расстояния компонентов:
7'= = = —!-=
Фх 1,111
Приведенные расстояния ар wd:
7'= = = —!-= 0,9; 7? = = = ^—= 1,799.
Фх 1,111 Ф2 0,556
а 0,54;^
' /' 92,592 /' 92,592
Рассчитываем параксиальные лучи при /' = 1.
Для первого параксиального луча получаем а, = /? = — 2.
а, =-2,
А1=-7>,=0,9-2 = 1,8 = А2.
а2 =0,
а3=1.
Рассчитываем 2-й параксиальный луч при Д = 1.
665
j;2 = j>, -rf& = 0,54-1,08• 1,6 = -Ц88,
Ръ = Pi + УгФг = !>6 " U 88 • 0,556 = 0,939.
Инвариант Лагранжа-Гельмгольца
J = Л|а,/, = -2(др + Л)= -2@,54 + 0,9) = -2,88.
Напишем далее выражения для сумм Зейделя:
S/ =!>,•/> = hxPx +h2P2 = 1,8/> +1,8Р2,
= f ^/? -
i=\ i=\
= 0,54/^ -1,188Р2 + 2,88^ + 2,88^2,
1Д88^ /0,54 1Д88
' 18 " V \ 18 ' 1
1,8 ' 1,8 " V \ 1,8 ' 1,8
= 0,162/^ +0/784Я, +0,864^, +Ж +13,827.
Предположим, что оборачивающая система должна иметь
сферическую аберрацию AS" = 0,5, меридиональную кому /^0,15,
астигматизм z's —zm =0,20. Так как предполагается, что дисторсия не
исправляется, то выражение для суммы Sv не записываем.
Для пространства изображений tga' = -^— - 0,1.
Продольная сферическая аберрация
AS' = -^tg2a'.f'.Sl.
Следовательно, первая сумма Зейделя
-°5 =-1,08.
f'tg2ar 92,592-ОД
Примем уг = —10 (чтобы полевые лучи направлялись снизу
вверх). Тогда угловое поле системы в пространстве предметов
определится из
K !«= -0,075.
ар 50 + 83,333
666
Меридиональная кома
k=-^f'tg2a
Следовательно, вторая сумма Зейделя
S,, =f=Ц
3ftg2a'-tgo) 3-92,592-0,12 -0,075
Астигматизм
Отсюда третья сумма Зейделя
J2(z's-z'J 2,882-0,2
=
=
О /// =
1г
/У2 92,592-102
Таким образом, имеем следующие три уравнения:
1,8^+1,8Р2+1,08 = 0,
0,54/> -1,188Р2 +2,88^ +2,88Ж2 -1,44 = 0,
0,162/; +0,784Р2 +0,864^ +1,9W2 +13,826 = 0.
В этих уравнениях необходимо далее перейти от параметров Ph P2,
Wj и W2 к основным параметрам Ръ Р2, W<± и W2 бесконечно тонких
компонентов оборачивающей системы, воспользовавшись формулами
A4.19) и A4.20). В результате будет получена система из трех
уравнений с четырьмя неизвестными: Ръ Р2, Wx и W2. Дальнейший
порядок расчета аналогичен порядку, изложенному в п. 30.3.
667
ГЛАВА 31. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
МИКРООБЪЕКТИВОВ И КОНДЕНСОРОВ
31.1. Общие сведения о микрообъективах
Объектив в микроскопе является самым ответственным узлом,
так как от его числовой апертуры и степени коррекции аберраций
зависит разрешающая способность и качество изображения.
Наибольшее распространение в микроскопии по сравнению с
зеркальными и зеркально-линзовыми объективами получили
линзовые объективы по следующим причинам.
1. В линзовых объективах допуски на изготовление деталей и
сборку задаются значительно шире, чем в зеркальных и зеркально-
линзовых объективах.
2. В линзовых объективах отсутствует центральное
экранирование, присущее зеркальным объективам и снижающее
контраст изображения.
3. Линзовые объективы более надежны и удобны в
эксплуатации, а возможность их установки на револьвере
увеличивает оперативность работы при смене увеличения.
В настоящее время линзовые объективы применяются в
микроскопах, чаще всего работающих в видимой области спектра. Но
применение оптических материалов, прозрачных в ультрафиолетовой
области спектра, позволяет разрабатывать микрообъективы для
работы и в этой области спектра, увеличивая тем самым их
разрешающую способность.
31.2. Классификация линзовых объективов микроскопов
Линзовые микрообъективы можно классифицировать по
числовой апертуре и увеличению, по степени коррекции аберраций,
по спектральной области работы, по длине тубуса, на которую они
рассчитаны, и по некоторым другим признакам.
По числовой апертуре различают следующие объективы.
1. Слабые - с числовой апертурой 0,05-н0,2 и увеличением до 10х.
2. Средние - с числовой апертурой 0,2^-0,6 и увеличением 20-ь40х.
3. Сильные- с числовой апертурой 0,6-^0,9 и увеличением 60-^ 100х.
4. Иммерсионные - с числовой апертурой 1,2 ч-1,6 и увеличением
60-И 00х.
668
Иммерсия - это жидкость, в которой находится наблюдаемый
препарат. Если объектив рассчитан для работы без иммерсии, то его
называют «сухим».
По состоянию аберрационной коррекции различают следующие
объективы.
1. Монохроматоры. Это объективы, в которых аберрации
исправлены для одной длины волны или в узкой спектральной
области. В первую очередь в них исправляются сферическая
аберрация, кома и астигматизм.
2. Ахроматы. В этих объективах исправляют сферическую
аберрацию, кому, астигматизм, хроматическую аберрацию
положения и частично сферохроматическую аберрацию. У ахроматов
волновая аберрация основной длины волны для точки на оси не
должна превышать 0,25/1 (критерий Рэлея), а для всей спектральной
области, на которую они рассчитаны, волновые аберрации должны
быть не более 0,5/1.
3. Апохроматы - объективы, у которых, кроме хроматизма
положения, сферической аберрации, комы и астигматизма,
исправляют вторичный спектр и сферохроматизм, применяя
кристаллы, стекла с особым ходом частных относительных
дисперсий. У этих объективов сферическая аберрация для основной
длины волны не превышает 0,1-^0,15/1, для спектральных линий С и
F' эта аберрация должна быть не более 0,25/1, а для линии С - не
более 0,25-j-0,5A. У некоторых высокоапертурных объективов на
краях отверстия эта величина достигает больших значений,
вызванных присутствием трудноисправимых аберраций высшего
порядка.
4. Планобьектиеы - по степени коррекции аберраций разделяют
на планлюнохроматы, планахроматы и планапохроматы.
Требования к аберрационной коррекции этих объективов те же, что и
для соответствующих монохроматов, ахроматов и апохроматов. Но у
планобъективов, кроме того, лучше исправляют кривизну
изображения и астигматизм, а волновые аберрации для внеосевых
точек не должны превышать 0,5/1.
Остаточный хроматизм увеличения у сильных объективов чаще
всего достигает 2% и не может быть полностью исправлен без
существенного усложнения оптической системы. У планобъективов
хроматизм увеличения компенсируется применением специально
рассчитанных компенсационных окуляров.
669
Объективы, у которых кривизна поверхности изображения не
исправлена, нельзя применять при фотосъемке,
микрофильмировании, т. к. крайние участки изображения получаются
нерезкими. При визуальном же наблюдении наличие кривизны
поверхности изображения можно компенсировать аккомодацией
глаза и перефокусировкой микроскопа.
Приведенная классификация и количественные критерии оценки
аберрационной коррекции условны и в некоторой степени
приближенны. Это связано с тем, что нельзя обозначить четкую
границу, например, между ахроматом и апохроматом, ахроматом и
планахроматом. Имеются ахроматы с улучшенной коррекцией
вторичного спектра, с хорошим исправлением полевых аберраций
и т. д.
По спектральным характеристикам микрообъективы
разделяются на объективы для работы в видимой области спектра, в
УФ-области и ИК-области.
В зависимости от длины тубуса (зависит от конструкции
микроскопа), на которую микрообъективы расчитаны, они
разделяются на объективы для тубуса 160 мм, для тубуса 190 мм и
для так называемой длины тубуса «на бесконечность». Последние
создают изображение «на бесконечности» и применяются совместно
с дополнительной, так называемой тубусной линзой, переносящей
изображение в фокальную плоскость окуляра.
Кроме того, микрообъективы разделяют по типу препаратов -
для препаратов с покровным стеклом или без него.
Многообразие микрообъективов обусловлено разнообразием
методов микроскопии, наблюдений и конструкций микроскопа, а
также различиями в требованиях к исправлению аберраций в разных
условиях работы. Поэтому каждый объектив можно применять
только в тех условиях, для которых он рассчитан. Например,
рассчитанным для тубуса 160 мм нельзя пользоваться в микроскопе с
длиной тубуса 190 мм; с объективом для препаратов с покровным
стеклом нельзя наблюдать препараты без покровного стекла.
Особенно важно соблюдать расчетные условия при работе с сухими
объективами больших апертур (А > 0,б), которые очень
чувствительны к любым отклонениям от нормы. Толщина покровных
стекол при работе с этими объективами должна быть равна 0,17 мм.
Иммерсионный объектив можно использовать только с той
иммерсией, для которой он рассчитан.
670
31.3. Методы аберрационного расчета объективов микроскопов
В истории становления и развития теории расчета
микрообъективов первоначально самое широкое распространение
получил метод проб. Он заключается в том, что сначала из патентных
или архивных источников выбирается прототип с наиболее близкими
характеристиками к рассчитываемому объективу. Затем исследуется
влияние изменения конструктивных параметров прототипа на
оптические характеристики и аберрации с помощью их вычислений
на ЭВМ. По результатам вычислений можно судить о влиянии
изменения параметров на аберрации. С помощью этой сводки путем
интерполяции и экстраполяции находят новые значения параметров и
выполняют контрольные вычисления аберраций.
Связь между изменениями параметров и аберрациями даже при
небольших изменениях не всегда линейна. Кроме того, некоторые из
параметров одновременно влияют на несколько аберраций. Поэтому
при значительных изменениях конструктивных параметров по
сравнению с исходными составленная сводка влияния параметров
перестает достоверно действовать. Это приводит к тому, что время от
времени полученную сводку приходится составлять заново. Несмотря
на свою простоту, такая методика расчета чрезвычайно утомительна
и требует много времени. Но в некоторых случаях, например при
расчете на плавки стекол и радиусы пробных стекол, при замене из
каких-либо соображений марок стекол, когда требуются
сравнительно небольшие изменения конструктивных параметров,
этот метод достаточно быстро может привести к желательным
результатам. Получение положительного результата во многом
зависит от удачно выбранного прототипа, опыта конструктора,
знания современного уровня микроскопии, его интуиции, связанной с
его профессиональным искусством.
Микрообъективы с числовой апертурой 0,1-^0,2 представляют
собой компонент из двух склеенных линз, а при апертуре 0,2-ь 0,3
таких компонентов бывает два. При расчете этих объективов
применяют алгебраический метод, основанный на применении
теории аберраций 3-го порядка для систем из тонких компонентов,
разработанной проф. Г.Г. Слюсаревым. Расчет заключается в
составлении и решении нескольких линейных уравнений
относительно основных параметров Р, W и С. По вычисленным
значениям этих параметров определяются конструктивные параметры
и вычисляются аберрации полученной оптической системы. Если
671
вычисленные аберрации недопустимо отличаются от заданных (из-за
перехода от тонких компонентов к реальным толщинам линз и
влияния аберраций высших порядков), то производится интерполяция
основных параметров или применяется изложенный выше метод проб.
При расчете микрообъективов с умеренными числовыми
апертурами и увеличениями применяют комбинированный метод,
сочетающий в себе и алгебраический метод, и метод проб. При этом
сначала используют алгебраический метод. Затем, когда достигнуто
такое состояние коррекции аберраций, при котором аберрации 3-го
порядка исправлены удовлетворительно, но в системе остаются
неисправленные аберрации высших порядков, переходят к методу
проб. Но и при использовании этого метода выбор исходного
прототипа является чрезвычайно важным моментом расчета.
При числовой апертуре свыше 0,3 -г- 0,4 требуется более сложная
система и другой подход к ее расчету. В конце 50-х - начале 60-х
годов XX в. для расчета таких систем проф. Л.Н. Андреевым был
разработан метод расчета по частям, сущность которого состоит в
следующем. Объектив условно разделяется на две части - переднюю,
называемую фронтальной, и последующую. Оптические системы
обеих частей рассчитываются раздельно, но так, чтобы при их
соединении была получена система микрообъектива с заданными
оптическими характеристиками, которую можно было бы довести
последующими расчетами до необходимого уровня аберрационной коррекции.
Во фронтальной части, имеющей значительную числовую
апертуру, используют свойства апланатических поверхностей, что
позволяет снизить апертуру последующей части и одновременно не
вносить для нее существенных аберраций. Последующая часть,
имеющая уже пониженную числовую апертуру, в первом
приближении может быть расчитана комбинированным методом,
применяя теорию аберраций 3-го порядка и определяя с ее помощью
необходимое число и тип компонентов для гарантированного
получения нужной степени аберрационной коррекции
микрообъектива в целом.
31.4. Расчет фронтальной части микрообъектива в виде
апланатических менисков
Для понижения числовой апертуры последующей части часто
применяют мениски, у которых первая поверхность - апланатическая
1-го рода, а вторая - апланатическая поверхность 2-го рода
672
(рис. 6.1 Ов). Такой мениск имеет большое рабочее расстояние s0
(расстояние от предмета до первой поверхности объектива) и
значительное линейное увеличение, равное показателю преломления
п стекла мениска и ведущее к понижению числовой апертуры
последующей части также в п раз.
Если с помощью одного мениска понизить числовую апертуру
до нужного уровня невозможно, то применяют два мениска.
Предполагая, что эти мениски выполнены из стекла одной марки,
числовая апертура в этом случае будет уменьшена в п2 раз. В общем
случае фронтальная часть микрообъектива, содержащая к
апланатических менисков, установленных последовательно друг за
другом и выполненных из стекла одной марки, понижает числовую
апертуру в пк раз.
В п. 17.3 было показано, что апланатический мениск не имеет
сферической аберрации и комы. Однако он обладает хроматизмом
положения. Установим зависимость этой аберрации от показателя
преломления п и коэффициента дисперсии v стекла мениска. Пусть гг
и г2 - радиусы кривизны поверхности мениска, d - толщина мениска
вдоль оптической оси, s0 и s - расстояния от вершины первой и
второй поверхностей до осевой точки А предмета соответственно,
s' = 5фр ~ расстояние от вершины второй поверхности до
изображения Л'^р осевой точки предмета (рис. 31.1).
Если s0 =71, то хроматизм положения вызывается только
второй поверхностью мениска.
А\
Фр
So
-s
'"J
d
s'(s'*)
Рис. 31.1. Фронтальная часть в виде одного
апланатического мениска
673
Из уравнения параксиального луча, проходящего через эту
поверхность, имеем
s= J2 .
nr2 -(n-\)s
Продифференцировав это выражение по я, получим
ds' s2r2-sr22
дп (nr2 -ns + sJ
Для рассматриваемой поверхности
п +1 ns
s = r2, r2 =
n n +1
Подставив эти значения s и г2 в предыдущее равенство, будем иметь
9 Sft «252
5" S
ds[
n ns-\-s
После упрощений в правой части получим
ds1
— = ns.
дп
Так как ds'=As'w, dn = nF,-nc,9 s = so-d, то для хроматизма
положения имеем
Ы =m(n\,-n'c)=n{n-\)"^±s = "^{so-d). C1.1)
и п-\ v
Отсюда следует, что для уменьшения хроматизма положения надо
применять стекла с большим коэффициентом дисторсии. В то же
время для уменьшения числовой апертуры последующей части эти
стекла должны иметь большой показатель преломления. Поэтому
мениски подобного рода целесообразно изготовлять из сверхтяжелых
кронов или особых флинтов.
Рассматриваемый апланатический мениск, кроме хроматизма
положения, обладает астигматизмом и кривизной поверхности
изображения. Покажем, что сумма 5^ Зейделя, определяющая
кривизну поверхности изображения, может быть уменьшена за счет
увеличения толщины мениска, т. е. за счет применения так
называемого «толстого» мениска. Из A2.47) имеем
674
Подставив сюда г, = s , r9 = , s = so-d, получим
" n + \
_
IV ~
n-\ so+nd
IV ~ 2 ' j
n so d-so
Продифференцировав это выражение по d, будем иметь
ggm=- rc2-1 <о
dd n2{d-s0) '
т. е. при возрастании толщины мениска d сумма S1V уменьшается.
Непосредственно из предыдущего выражения видно, что Stv = 0 при
31.5. Расчет фронтальной части иммерсионного микрообъектива
Во фронтальной части иммерсионного микрообъектива
пространство между предметом и первой линзой заполнено
иммерсионной жидкостью. В качестве иммерсионной жидкости
применяют кедровое масло (п = 1,515), водный раствор глицерина
(п = 1,434), воду (п = 1,333), монобромнафталин (п = 1,656),
вазелиновое масло (п = 1,505), йодистый метилен (п = 1,741).
Иммерсионная система может работать только с той жидкостью, на
которую она рассчитана. В противном случае качество изображения
резко ухудшается. Применение иммерсионной жидкости позволяет не
только увеличить числовую апертуру микроскопа, но и уменьшает
рассеяние света и тем самым увеличивает контраст изображения, что
особенно важно при исследовании слабо отражающих объектов.
Кроме того, с помощью иммерсионной системы можно
исследовать объекты, находящиеся на разной глубине в
иммерсионной жидкости путем погружения в нее микрообъектива.
Например, с объективом, рассчитанным на водную иммерсию, можно
наблюдать микроорганизмы в воде.
На рис. 31.2 показана фронтальная часть микрообъектива,
содержащая слой иммерсионной жидкости толщиной s0 с
показателем преломления пим, плосковыпуклую линзу толщиной &х
675
из стекла с показателем преломления щ и склеенный с ней вогнуто-
выпуклый мениск толщиной d2 из стекла с показателем преломления
п2. Показатели преломления иммерсионной жидкости и стекла
плосковыпуклой линзы подобраны равными (пим = па). Центр
поверхности склейки с радиусом г2 совпадает с осевой точкой А
предмета. Выпуклая поверхность мениска с радиусом г3 является
апланатической поверхностью 1 -го рода.
Рис. 31.2. Фронтальная часть иммерсионного объектива
Из рисунка следует, что
r2=so-du C1.2)
где s0 определяется техническим заданием на расчет микрообъектива,
толщина с1г выбирается из конструктивных соображений так, чтобы
апертурный луч давал возможность получить приемлемую толщину
плосковыпуклой линзы на ее краю. Расстояния s и sf = sr^p от
вершины выпуклой поверхности мениска до осевой точки А предмета
и ее изображения Л'^р определяются соответственно по формулам:
s = -
где s-so-dx-d2. Следовательно,
п2+\
C1.3)
676
Толщину d2 мениска можно вычислить из условия получения нужной
величины четвертой суммы Зейделя следующим образом:
Подставив сюда значения г2 и г3 из C1.2) и C1.3) соответственно,
получим
slv = Г 1 {х Oi
П\) n2^o-d\-dl\ П
После элементарных преобразований отсюда можно получить
Численное значение 5"/^ необходимо задать такое, чтобы
компенсировать эту же сумму последующей частью микрообъектива.
Таким образом, применяя последовательно формулы C1.2),
C1.3) и C1.4), вычисляются все конструктивные параметры
фронтальной части микрообъектива.
Линейное увеличение фронтальной части
Рф„= Рг Рг-Ръ>
где /?!, /?2 и /?3 - линейное увеличение, создаваемое первой, второй и
третьей поверхностями соответственно.
Так как пим = пъ то на плоской поверхности (гг = оо) любой
осевой луч, образующий с оптической осью некоторый угол а1? не
испытывает преломления и, следовательно,
Вторая поверхность - апланатическая 2-го рода, для которой sr = s.
Поэтому
п2 s п2
Третья поверхность - апланатическая 1-го рода, для которой:
S1 П п П S1 2
— = — = п2, р3 = = п}п2 -щ.
s п' п' s
Следовательно,
677
Таким образом фронтальная часть понижает числовую апертуру в
7x^7X2 раза.
Аналогично C1.1), хроматизм положения фронтальной части
пЛп^ -l)/ . .ч
^ = "^7 \So-d\-dih C1.5)
Добавляя апланатические мениски, можно и далее снижать числовую
апертуру последующей части, но при этом хроматизм положения
фронтальной части будет возрастать.
31.6. Габаритный расчет последующей части микрообъектива
В результате габаритного расчета фронтальной части
микрообъектива становится известным ее линейное увеличение /?фр и
расстояние 5фр от вершины последней поверхности до изображения
Лфр осевой точки предмета.
Последующая часть должна иметь такое линейное увеличение
Рпосл (или фокусное расстояние /поел)» чтобы вся система
микрообъектива имела заданное линейное увеличение /?об (или
фокусное расстояние /о'б) и заданное расстояние от предмета до его
изображения. Этим требованиям может удовлетворить последующая
часть, на первоначальном этапе расчета содержащая два бесконечно
тонких компонента, установленных на конечном расстоянии d друг от
друга при некотором расстоянии 8 от фронтальной части до первого
компонента последующей части.
А\,
V"
\
А \
^ \
)Ob=f
и
s't,
\
б
S наел
02
к
ОЬ-Ф
d
Oh-О
Л h
Рис. 31.3. Последующая и фронтальная
части в обратном ходе лучей при sx = —оо
678
Рассмотрим два варианта оптической схемы последующей
части, первый из которых создает изображение предмета на
бесконечности, а второй - на конечном расстоянии. Первая схема
применяется совместно с дополнительной (тубусной) линзой,
переносящей изображение в фокальную плоскость окуляра. Расчет
последующей части удобно выполнять в обратном ходе лучей.
На рис. 31.3 показана схема фронтальной и последующей
частей, создающих изображение в прямом ходе на бесконечности. Из
рисунка следует, что расстояние от второго компонента (в обратном
ходе лучей) последующей части до создаваемого ею изображения Л'^р
осевой точки предмета
с? — с? -\-Я (1 /:\
13 поа л фр ~и • \3 А «О)
Луч при аг = 0 и /ii = /о'б за последующей частью образует с
оптической осью угол а3, а за фронтальной частью - угол а' = 1. Так
как
_ а1 _ 1
то фокусное расстояние последующей части
Г = — = Г -Р, .
J ПОС 7 J ОО Г^ (ПО
а3
При /г, = 1, аъ = 1, РП0С1 = 1 имеем s\wcl = h2. Тогда:
Ф,+Ф2-</Ф,Ф2 =1, C1.7)
*'„0С7=1-^Ф,- C1.8)
Для исправления кривизны поверхности изображения необходимо
иметь 5"/^ = 0, что в соответствии с A4.10) приводит к Ф2 =—Ф(.
Поэтому из последних двух выражений получаем
Ф] = ? d = (\-s' ) .
1 ~ S noci
Иногда, отступая от условия Slv = 0, отношению к = придают
Ф2
различные численные значения, отличные от 1, пытаясь таким
образом получить более выгодные значения оптических сил Ф, и Ф2.
679
Реальные фокусные расстояния первого и второго компонентов:
Г\ J ПОС 7 Г\ -' 1ЮС.1
Ф,
Ф2
Реальное расстояние между компонентами
Обратимся теперь к варианту, когда изображение после
последующей части в прямом ходе лучей находится на конечном
расстоянии $!•
На рис. 31.4 показана схема обеих частей микрообъектива в
обратном ходе лучей при Бг Ф оо. Из рисунка видно, что расстояние
от осевой точки А предмета до ее изображения А" в прямом ходе
лучей
L = so+d(^+S + d-sl+AHH,, C1.9)
где с^фр - толщина фронтальной части, s± - расстояние от первого
компонента до точки Л", &ннг ~ расстояние между главными
плоскостями фронтальной части.
A'
x
V
A
1
I
s'»,
I
J
d*,
i
6
02 |
h
-Si
L
-(К.)
Рис. 31.4. Последующая и фронтальная части
в обратном ходе лучей при s± -ф- оо
Расстояние L имеет определенное численное значение: при
длине тубуса 160 мм L = 180мм; при длине тубуса 190 мм L =
= 210 мм. Следовательно, в формуле C1.9) неизвестными являются
d и s1.
Линейное увеличение последующей части в прямом ходе лучей
Pnoci
р,
фр
680
Линейное увеличение последующей части в обратном ходе лучей
ГПОС1 п
Роб
Положим ах =Р1ЮС1. Тогда cx3-l, h2 -s\10C1. Поэтому далее можно
написать:
s\oa = h\ -d&2 = ЗД ~d(ax + А,Ф,) =
= slal -d{ax +s{ax<$>x) = ax{s{ -d-s,<$>{).
Учитывая, что s\locl = S + s\/)p, получаем
^ + ^ = Д-,(^-^-^.Ф,)- C1.10)
Для луча в обратном ходе
аъ =а2 +//2Ф2 =1.
Подставив сюда
a2=al+hi<bl=j3noci+sjnoci<bi9
"-1 ~ $посл >
получим
^J-КЛ^^) C1П)
S noci
Кроме того, учтем, что
*=-f^. C1-12)
В уравнениях C1.9)—C1.12) неизвестны sl9 d, Ф19 Ф2 и К. Задавая
одному из неизвестных, например величине Ф1? численное значение,
из названных уравнений находятся остальные неизвестные.
Следует при этом учитывать, что для получения значения
суммы 5"/^, близкой к нулю, величина К в уравнении C1.12) должна
быть близка к 1.
С помощью фронтальной части объектива, имеющего заданную
апертуру Лоб, апертуру последующей части можно довести до
величины Лиосл = sina = ОД ± 2,0 (а - апертурный угол в
пространстве между фронтальной и последующей частями). При
таких численных значениях Апосл можно допустить, что Апосл =
= sina = tga. В этом случае при % = — оо диаметр первого
компонента последующей части
681
А
Но ^noci = ~7> , / not, = Рфр ' J об. Поэтому
Рфр
Если ^ Ф —оо, то диаметр первого компонента
D,=2s,AnocJ=2S[^.
Рфр
Диаметр второго компонента
л
г) —7 с' л — ?с' об
U2 — АЪ поел Лпос1 — АЪ /юс 7 п
Рфр
Зная диаметры и фокусные расстояния компонентов
последующей части, выбирают тип этих компонентов и переходят к
аберрационному расчету объектива.
31.7. Аберрационный расчет микрообъектива
Аберрационный расчет микрообъектива начинается с
вычислений аберраций фронтальной части, конструктивные
параметры которой известны. Последующая часть объектива должна
быть рассчитана так, чтобы вместе с фронтальной частью она
обеспечивала приемлемую коррекцию аберраций всей системы.
Расчет выполняют на основе теории аберраций 3-го порядка.
В первую очередь должны быть исправлены сферическая
аберрация As', кома (коэффициент изопланатизма гу), астигматизм
z's - z'm, кривизна поверхности изображения E^), хроматическая
аберрация положения As^p и хроматическая аберрация увеличения
Дух'р. Аберрации фронтальной части вычисляют в прямом ходе лучей,
а последующей части - в обратном ходе.
В соответствии с правилами суммирования аберраций,
изложенными в главе 18, для продольной сферической аберрации As'
коэффициент изопланатизма г\ и астигматизма соответственно можно
написать:
V s т / noci V s т ) фр '
682
Правые части приведенных уравнений известны. Если последующая
часть рассчитывается при Бг = —оо, то
В этих выражениях суммы Sh Su и SUI вычислены по результатам
расчета обоих параксиальных лучей при аг = О, а[ = 1, Нг = 1,
/?! = !.. Из этих выражений определяются численные значения
указанных сумм, для которых затем можно записать:
Si = h{P{+h2P2,
Sn ='
¦ h.
'A,
C1.13)
Как указывалось выше, выходной зрачок объектива расположен на
бесконечности. Поэтому центр входного зрачка совпадает с передним
фокусом объектива Fo6.
1-й пар. луч
Рис. 31.5. Ход параксиальных лучей через последующую часть
в обратном ходе лучей при /n'0CJ1 = 1, /?х = 1
На рис. 31.5 показан ход 1-го параксиального луча через
последующую часть при аг = 0, Нг = 1, а3 = 1, т.е. при /n'0CJ1 = 1;
2-й параксиальный луч направлен в точку Fo6 при ^ = 1. Из расчета
1-го параксиального луча получают численные значения а2 = Фъ
hi = 1, /i2, а из расчета 2-го параксиального луча - значения уг и у2.
683
После этого в системе трех уравнений C1.13) неизвестными остаются
параметры Ръ Р2, W1 и W2. Задавая, например, параметру Рг
численное значение, решением системы C1.13) определяют значения
параметров Р2, W1 и W2. Далее, переходя к основным параметрам Рь
Р2, W-l и И/2, можно написать следующие четыре уравнения:
Р2 = (а2 -а}KPi + 4а^а2 -a{JW{ + а}(а2 -а{)[2ахB + тг)-а2\
Р2 =(a3-a2KP2+4a2(a3-a2JW2+(a3-a2)[2a2B + 7r)-a3l
W2 =(a3-a2JW2+a2(a3-a2)B + 7r).
Решая эти уравнения совместно, вычисляют основные параметры Ръ
W1 и Р2, W2 обоих компонентов.
При решении системы уравнений C1.13) необходимо подобрать
такое значение Pl9 которое приведет к приемлемым значениям
основных параметров, имея в виду, например, что большие значения
основных параметров Wx и W2 приведут к крутым поверхностям линз
и, следовательно, к возникновению аберраций высших порядков.
Знак суммы Siy последующей части в прямом и обратном ходе
лучей один и тот же. Чтобы для всего объектива получить S[Vo6 = О,
необходимо иметь
Для фронтальной части значение SIV определяется на этапе
габаритного расчета. Поэтому для последующей части
с _ _с
^TVnoci W фр'
Так как последующая часть состоит из двух бесконечно тонких
компонентов, то на основании A4.10) имеем
Sir»*, = *\ф\ + ^Ф2 = 0,7(Ф, + Ф2),
где Фг и Ф2 - реальные оптические силы компонентов. Поэтому при
решении системы уравнений C1.13) изменением величины Фг можно
добавить условия, при которых SIVo6 = 0.
Хроматизм положения А^рфр и хроматизм увеличения АУхРфр
фронтальной части известны.
В соответствии с правилами суммирования аберраций для
хроматизма положения А5хрп0сл и хроматизма увеличения Ау^рфр
последующей части в обратном ходе лучей имеем
А-^хр поел = ~ASxp фр ,
684
^Ухр.посл ^Ухр фр •
Так как аг = О, а' = 1, кг = 1, & = 1, то
Asxpnocl = fnocl • SIxp = fnoci[a2^1 + h2(l — ОС2)С2\,
где у' - реальная величина изображения.
Решая совместно эти два уравнения, находят численные
значения основных параметров Сг и С2 компонентов последующей
части. Зная параметры Ръ W^ Сг и Р2, W2, C2, переходят к выбору
типа (конструкции) компонентов и вычислению их конструктивных
параметров. Чаще всего эти компоненты являются двухлинзовыми
или трехлинзовыми объективами, расчет которых изложен в главе 28.
Если предмет расположен на конечном расстоянии (s1 Ф — оо),
то для аберраций последующей части в обратном ходе лучей
применяют формулы:
tenoa = -\tg2o'Sh
(z's - zm) = tg2a)SIIh
v ' поел
в которых суммы Зейделя Sh Su и SUI вычисляются по результатам
расчета параксиальных лучей при аг = /? (линейное увеличение
последующей части в обратном ходе), а' = 1, кг = s^a^ C1 = 1,
Ух = svPi-
Для хроматизма положения и хроматизма увеличения
соответственно в этом случае имеем:
+ /i2(l - а2)С2,
ДУхрпосл = y^Z/xp =у[уг(<*2 - <*l)Cl +У2A -
где J - инвариант Лангранжа-Гельмголца, у' - величина изображения.
После определения конструктивных параметров компонентов
(г, d, n) вычисляют аберрации всего объектива на ЭВМ. На этом
предварительный аберрационный расчет заканчивается.
Вычисленные на ЭВМ аберрации могут не соответствовать
ожидаемым по ряду причин. Во-первых, компоненты последующей
части в начале расчета предполагались бесконечно тонкими, хотя на
самом деле они имеют конечную толщину. Во-вторых, при расчете
685
последующей части учитывались аберрации только 3-го порядка, в
действительности же в оптических системах почти всегда
присутствуют аберрации более высоких порядков.
На этапе окончательной коррекции аберраций используют
несколько способов достижения лучших результатов. Например, если
аберрации последующей части близки к аберрациям фронтальной
части, то применяют программы автоматизированной коррекции
аберраций. Если аберрации последующей части заметно отличаются
от аберраций фронтальной части, но их аберрации высших порядков
заметно близки, то целесообразно провести перерасчет последующей
части по формулам аберраций 3-го порядка с целью согласования ее
аберраций с аберрациями фронтальной части. Если же в обеих частях
присутствуют аберрации высших порядков, заметно отличающиеся
друг от друга по абсолютной величине и знаку, то целесообразно
продолжить коррекцию аберраций, например с помощью
оптимизирующих программ на ЭВМ раздельно для каждой части.
Аберрации высших порядков возникают на поверхностях с
большой кривизной, где углы падения лучей чрезвычайно велики.
В этом случае необходимо исключить из компонентов такие
поверхности путем их перерасчета, изменив их тип и оптические
материалы.
При коррекции хроматизма обращают внимание на то, что
любая входящая в состав оптической системы линза, имеющая
фокусное расстояние /' и выполненная из стекла с коэффициентом
дисперсии v, вносит хроматизм положения, зависящий от величины
—f'/v, т.е. отрицательная линза вносит положительный хроматизм, а
положительная - отрицательный хроматизм. Следовательно, меняя
стекло линзы, можно изменять v и тем самым изменять хроматизм в
положительную или отрицательную сторону. Но при этом из-за
изменения показателя преломления п для основной длины волны
произойдет нежелательное изменение монохроматических аберраций.
Поэтому при коррекции хроматизма иногда используют введение в
линзу, имеющую достаточную толщину, хроматической поверхности,
т.е. превращают эту линзу в компонент из двух склеенных линз, одна
из которых окажется положительной, а другая - отрицательной.
Затем в одной или в обеих линзах меняют стекло с другим
коэффициентом v, но имеющее показатель преломления п для
основной длины волны, равный показателю преломления стекла
«расщепленной» (т.е. исходной) линзы. Меняя v полученных линз и
686
радиус кривизны хроматической поверхности, изменяют хроматизм
положения в нужную сторону. При этом изменение хода лучей на
хроматической поверхности для основной длины волны не
происходит (или происходит незначительно), но монохроматические
аберрации изменению не подвергаются. В этом отношении
желательно, чтобы в составе оптической системы присутствовала
«толстая» линза из стекла марки БК10, так как в ГОСТ 13659-78
«Стекло оптическое бесцветное» имеется значительное число других
марок стекол, имеющих близкие я, но разные v.
31.8. Расчет конденсоров на минимум сферической аберрации
Конденсор изображает источник света в плоскость входного
зрачка оптической системы прибора (см. п. 24.9). Будем считать, что
конденсор состоит из р установленных друг за другом бесконечно
тонких линз, выполненных из стекла с показателем преломления п.
Для линзы с порядковым номером к на основании A4.32) можно
написать
^2а( - + lJ(«2A + l -«2A-i)-^2a( 2 + -j(^2A+l ~ «2A-1 ) + ^2А+1 ~ ^2А-1 .
1-1
Так как вся оптическая система конденсора на первоначальном
этапе расчета считается бесконечно тонкой, то для получения
условия минимума сферической аберрации необходимо найти
производные от всех Рк по каждому соответствующему а2к-ъ агк и
а2к+ъ кроме аг и а2р+1, известных из /?= а1/ар+1. В соответствии с
этим:
8Рк
да2к
- + \ \аи+х-а2к_х)- 2 + - («
\п ) \ п)
1
у^- 2<'2 -*"'¦ C1.14)
п
687
Углы a2k (к = 1, 2,..., р) - четные и относятся к пространству внутри
линзы с порядковым номером к.
Взяв производную от Рк по &2к+1 и приравняв ее к нулю,
получим:
Vf2 Л 2а f2 П за2 1-0
+I =0. C1.15)
Для линзы с порядковым номером к + 1 можно написать
"У «2A+2^- + lj(«2A+3 -«2А+|)" «2^2^+ -J(«L3 " «Ll )+«2A+3 "«2А+1
«
Взяв производную от Рк+1 по а2к+1 и приравняв ее нулю, будем
иметь
2 B ] ( М 2
2к+2^п ) 2А+2 2А+\ п) 2А+1
Вычтя C1.16) из C1.15), получим:
'2 Л Л / ч^ 1
0. C1.17)
По аналогии с C1.14) далее можно написать
„
П_ а2к+3 +а2к + \
Сложив это уравнение с уравнением C1.14), получим
П
/у Л- /у — —
А +А+2 - 2
2
П
Подставив это выражение в C1.17), будем иметь
^2А+1 ~^2А-1 = ^2А+3 ~ а2к + \'
Полагая последовательно к= 1, 2, 3..., получим
688
а3-а{=а5-а3=а7-а5= а2к+ъ - а2к+1 = а2р+] - alp_x.
Таким образом, численные значения углов а в интервале от аг до
a2p+i оказываются разбитыми на р равных частей. Отсюда следует,
что
аъ = g| + g2p+i -Д» ^ =gi + «2р+, -Д» .2 ит д
В общем виде
g2A+l=gl=Qf2P+'"flfl*- C1.18)
Из изложенного следует, что по формуле C1.18) можно
вычислить нечетные углы а, а по формуле C1.14) - четные, после
чего вычисляются радиусы кривизны поверхностей, толщины линз и
воздушных промежутков.
689
ЛИТЕРАТУРА
1. Апенко М.И., Дубовик А.С. Прикладная оптика. М: Наука,
1971.392 с.
2. Апенко М.И., Дубовик А.С. Прикладная оптика. М: Наука,
1982.352 с.
3. Апенко М.И., Дубовик А.С, Г.В. Дурейко и др. Прикладная
оптика. М.: Машиностроение, 1992. 480 с.
4. Бебчук Л.Г., Богачев Ю.В., Заказнов Н.П. и др. Прикладная
оптика. М.: Машиностроение, 1988. 312 с.
5. Бегунов Б.Н., Заказнов Н.П. Теория оптических систем. М.:
Машиностроение, 1973. 488 с.
6. Волосов Д.С., Цивкин М.В. Теория и расчет светооптических
систем. М.: Искусство, 1960. 530 с.
7. Волосов Д.С. Фотографическая оптика. М.: Искусство, 1971.
672 с.
8. Гальперн Д.Ю. Дифференциальные законы геометрической
оптики как следствие теории эйконалов // ЖТФ. 1945. - T.XV.
№6. С. 375.
9. Гальперн Д.Ю. Применение дифференциальных законов
геометрической оптики к расчету оптических систем //
ОМП. 1946. №5-6. С. 16-21.
10. Гальперн Д.Ю. О приложении теории аберраций высших
порядков к расчету оптичесих систем // ЖО и С. 1957. Т. III.
№5. С. 514.
11. Гальперн Д.Ю., Нефедов Б.Л. О возникновении рассеянного
света в оптических приборах и способы его устранения //
ОМП. 1953. №6. С. 36-44.
12.Герцбергер М. Современная геометрическая оптика: пер. с
англ. / под ред. Д.Ю. Гальперна. М.: Изд-во иностр. лит.
1962,487 с.
13.Гуревич М.М. Фотометрия. Теория, методы и приборы. Л.:
Энергоатомиздат, 1983. 270 с.
14.Гуриков В.А. Становление прикладной оптики XV-XIX вв.
М.: Наука, 1983. 192 с.
15.Гуриков В.А. Эрнст Аббе. М.: Наука, 1985. 160 с.
16.Гуриков В.А. Возникновение и развитие ахроматических
оптических систем. М.: МосГУГиК, 2000. 56 с.
17.Дубовик А.С, Апенко М.И., Дурейко Г.В. и др. Прикладная
оптика. М.: Недра, 1982. 616 с.
690
18.3аказнов Н.П. Прикладная геометрическая оптика. М:
Машиностроение, 1984. 184 с.
19.3аказнов Н.П., Кирюшин СИ., Кузичев В.И. Теория
оптических ситем. М.: Машиностроение, 1992. 448 с.
20.3апрягаева Л.А., Свешникова И.С. Расчет и проектирование
оптических систем. М.: ЛОГОС, 2000. 584 с.
21.Кравков СВ. Глаз и его работа. М.; Л.: Изд-во АН СССР,
1950.532 с.
22.Кругер М.Я., Панов В.А., Кулагин В.В. и др. Справочник
конструктора оптико-механических приборов. Л.:
Машиностроение, 1968. 760 с.
23.Леонова В.Б. Автоматизация расчета оптических систем. М.:
Машиностроение, 1970. 283 с.
24. Мальцев М.Д. Каракулина Г. А. Прикладная оптика и
оптические измерения. М.: Машиностроение, 1968. 472 с.
25.Мартин Л. Техническая оптика: пер. с англ. / под ред.
Г.Г. Слюсарева. М.: Физматгиз. 1960. 424 с.
26.Можаров Г.А. Основы геометрической оптики. М.: Логос,
2006. 280 с.
27.Можаров Г.А. Теория аберраций оптических систем. СПб.:
Лань, 2013.284 с.
28. Нефедов Б.Л. Методы решения задач по вычислительной
оптике. М.; Л.: Машиностроение, 1966. 264 с.
29. Панов В.А., Андреев Л.Н. Оптика микроскопов. Л.:
Машиностроение, 1976. 432 с.
30.Русинов М.М. Техническая оптика. М.; Л.: Госиздательство
машиностроительной литературы, 1961. -328 с.
31.Русинов М.М. Техническая оптика. Л.: Машиностроение,
1979.488 с.
32. Русинов М.М. Вычислительная оптика: справочник /
М.М. Русинов, А.П. Грамматин, П.Д. Иванов [и др.]. Л.:
Машиностроение, 1984. 424 с.
33.Скворцов Г.Е. Микроскопы / Г.Е. Скворцов, В.А. Панов,
Н.А. Поляков [и др.]. Л.: Машиностроение, 1969. 512 с.
34.Слюсарев Г.Г. Геометрическая оптика. М.; Л.: АН СССР,
1946.332 с.
35.Слюсарев Г.Г. Методы расчета оптических систем. Л.:
Машиностроение, 1969. - 672 с.
691
Зб.Слюсарев Г.Г. Расчет оптических ситем. Л.:
Машиностроение, 1975. - 640 с.
37.Тудоровский А.И. Теория оптических приборов. М.; Л.: АН
СССР, 1948.-662 с.
38.Тудоровский А.И. Теория оптических приборов. М; Л.: АН
СССР, 1952.-568 с.
39.Турыгин И.А. Прикладная оптика. М.: Машиностроение,
1965.362 с.
4О.Турыгин И.А. Прикладная оптика. М.: Машиностроение,
1966.432 с.
41.Фефилов Б.В. Прикладная оптика. М.: Изд-во геодезической
и картографической литературы, 1947. 532 с.
42.Чуриловский В.Н. Общая теория оптических приборов. М.;
Л.: Машгиз, 1960. 144 с.
43.Чуриловский В.Н. Теория оптических приборов. М.; Л.:
Машиностроение, 1966. 564 с.
44.Чуриловский В.Н. Теория хроматизма и аберраций третьего
порядка. Л.: Машиностроение, 1968. 312 с.
692
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОСНОВЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ 19
ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ЗАКОНЫ И ПРИНЦИПЫ В
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ 19
1.1. Предмет и структура геометрической оптики 19
1.2. Понятие о светящейся точке и световом луче 20
1.3. Пучки световых лучей 21
1.4. Оптическая система 24
1.5. Предмет и изображение 26
1.6. Каустические поверхности и линии 28
1.7. Основные законы геометрической оптики 29
1.8. Формулы законов отражения и преломления луча в
трехмерном пространстве 34
1.8.1. Формулы закона отражения луча в трехмерном
пространстве 34
1.8.2. Формулы закона преломления луча в трехмерном
пространстве 36
1.9. Принцип Ферма 39
1.10. Полное внутреннее отражение 43
ГЛАВА 2. ОПТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ 45
2.1. Стекло оптическое бесцветное 45
2.1.1. Оптические характеристики стекол 45
2.1.2. Оптические свойства стекол 46
2.1.3. Показатели качества стекла 48
2.1.4. Вычисление показателя преломления стекла для
произвольной длины волны света 49
2.2. Стекло оптическое цветное 51
2.3. Стекло оптическое кварцевое 53
2.4. Стекло оптическое люминесцентное 53
2.5. Стекло светорассеивающее 54
2.6. Стекло фотохромное 54
2.7. Стекло оптическое органическое 55
693
2.8. Ситаллы оптические 56
2.9. Стекла бескислородные инфракрасные 56
2.10. Керамика оптическая 57
2.11. Кристаллы оптические 58
ГЛАВА 3. ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПАРАКСИАЛЬНОЙ
ОБЛАСТИ 60
3.1. Правила знаков 60
3.2. Ход действительного луча через сферические
поверхности в меридиональной плоскости. Инвариант Аббе 63
3.3. Основные понятия реальной оптической системы в
параксиальной области 67
3.4. Нулевой инвариант Аббе. Уравнение параксиального
луча. Формулы для расчета параксиального луча 69
3.5. Инвариант Лагранжа-Гельмгольца 71
3.6. Линейное увеличение 73
3.7. Угловое увеличение 74
3.8. Продольное увеличение 75
3.9. Связь между линейным, угловым и продольным
увеличениями 77
3.10. Кардинальные точки, фокусные расстояния и фокальные
отрезки 77
3.11. Связь между линейным увеличением и фокусным
расстоянием. Формулы Ньютона и Гаусса 83
3.12. Теорема Лагранжа-Гельмгольца. Связь между передним
и задним фокусными расстояниями 85
3.13. Расчет параксиального луча через оптическую систему,
заданную главными плоскостями 86
3.14. Линейное увеличение оптической системы, заданной
главными плоскостями 89
3.15. Узловые плоскости и точки 90
3.16. Первый и второй параксиальные лучи 92
ГЛАВА 4. ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 94
4.1. Понятие об идеальной оптической системе 94
694
4.2. Графическое построение изображений 97
4.3. Оптическая система из двух бесконечно тонких
компонентов 105
4.4. Оптическая система из любого числа бесконечно тонких
компонентов 110
4.5. Кардинальные элементы линзы 112
4.6. Переход от системы с бесконечно тонкими линзами к
системе с конечными толщинами линз 116
ГЛАВА 5. ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ В ОПТИЧЕСКИХ
СИСТЕМАХ 119
5.1. Роль диафрагм в оптических системах 119
5.2. Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки.
Апертурный и главный лучи. Числовая апертура. Диафрагменное
число. Относительное отверстие 120
5.3. Полевая и виньетирующая диафрагмы. Входное и
выходное окна. Угловое и линейное поле. Виньетирование 124
5.4. Телецентрический ход лучей 130
ГЛАВА 6. ОБРАЗОВАНИЕ СОВЕРШЕННЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПУЧКИ ЛУЧЕЙ 133
6.1. Закон косинусов 133
6.2. Условие Гершеля 135
6.3. Условие синусов Аббе 136
6.4. Преобразование условия синусов Аббе при различных
положениях плоскостей предмета и изображения 138
6.5. Апланатические точки преломляющей сферической
поверхности 142
6.6. Асферические поверхности вращения второго порядка 148
6.7. Преломление элементарных пучков лучей на сферических
и плоских поверхностях 155
ГЛАВА 7. ЭНЕРГЕТИКА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 160
7.1. Понятие о световом потоке и потоке излучения 160
7.2. Энергетические и световые величины и единицы их
измерения 161
695
7.3. Оптические свойства тел 167
7.3.1. Коэффициенты отражения, поглощения
и пропускания 168
7.3.2. Отражение света 169
7.3.3. Поглощение света 172
7.3.4. Рассеяние света 172
7.3.5. Пропускание света 173
7.3.6. Прозрачность среды 174
7.4. Закон освещенности от точечного источника света 175
7.5. Закон Ламберта 176
7.6. Полный световой поток, излучаемый поверхностью по
закону Ламберта 178
7.7. Соотношение между светимостью и яркостью 179
7.8. Соотношение между освещенностью и яркостью 179
7.9. Световой поток, проходящий через оптическую систему.
Освещенность изображения 180
7.10. Убывание освещенности от центра
к краям изображения 183
7.11. Коэффициент пропускания оптической системы 185
7.12. Просветление оптических поверхностей 189
ГЛАВА 8. ВРЕДНЫЙ (РАССЕЯННЫЙ) СВЕТ 194
8.1. Понятие о вредном (рассеянном) свете 194
8.2. Бленды 196
8.3. Устранение вредного (рассеянного) света в
телескопической системе 201
8.4. Устранение вредного (рассеянного) света первого порядка
за объективом с помощью системы диафрагм 202
8.5. Паразитные отражения в призмах 204
ГЛАВА 9. ТЕОРИЯ СВЕТОВОЙ ТРУБКИ 207
9.1. Теория элементарной световой трубки. Инвариант
(теорема) Штраубеля 207
9.2. Световая трубка конечных размеров 211
9.3. Световая трубка центрированной оптической системы 214
696
ЧАСТЬ ВТОРАЯ АБЕРРАЦИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 218
Глава 10. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБЩИЙ АНАЛИЗ АБЕРРАЦИЙ 218
10.1. Общие понятия об аберрациях. Классификация
аберраций 218
10.2. Понятие, точное вычисление и график сферической
аберрации 219
10.3. Понятие, точное вычисление и график комы 222
10.4. Понятие, точное вычисление и график астигматизма и
кривизны изображения 226
10.5. Понятие, точное вычисление и график дисторсии 230
Глава 11. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБЩИЙ АНАЛИЗ АБЕРРАЦИЙ 3-ГО И
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 234
11.1. Координаты произвольного луча в пространствах
предметов и изображений 234
11.2. Понятие поперечной геометрической аберрации луча и
ее составляющих 236
11.3. Эйконал Шварцшильда и его связь с поперечной
геометрической аберрацией 237
11.4. Разложение эйконала Шварцшильда в ряд. Понятие
монохроматических аберраций 3-го и высших порядков 237
11.5. Фигуры рассеяния лучей в плоскости изображения при
аберрациях 3-го порядка 239
11.6. Графики аберраций 3-го порядка 244
11.7. Связь коэффициентов а3 и а4 с кривизной изображения и
астигматизмом 245
11.8. Сферическая аберрация 3-го порядка лучей, идущих на
краю и на зоне зрачка 247
11.9. Связь сферической аберрации 3-го и 5-го порядков 249
11.10. Положение плоскости наилучшей установки при
сферической аберрации 3-го порядка 252
11.11. Условие изопланатизма (Штебле-Лигоцкого) 254
11.12. Связь между меридиональной комой 3-го порядка и
коэффициентом изопланатизма г/ 255
697
ГЛАВА 12. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ 3-ГО ПОРЯДКА
ВНЕМЕРИДИОНАЛЬНОГО (КОСОГО) ЛУЧА 257
12.1. Формулы меридиональной и сагиттальной
составляющих поперечной аберрации внемеридионального
(косого) луча 257
12.2. Формулы сумм Зейделя 258
12.3. Меридиональная и сагиттальная составляющие
поперечной аберрации 3-го порядка внемеридионального (косого)
луча при различных положениях плоскостей предметов и
изображений 259
12.4. Формулы для определения величины фигур рассеяния
лучей в плоскости изображения при аберрациях 3-го порядка.... 262
ГЛАВА 13. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ 3-ГО ПОРЯДКА
МЕРИДИОНАЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ 266
13.1. Формулы продольной сферической аберрации 3-го
порядка меридионального луча 266
13.2. Формула поперечной аберрации 3-го порядка
меридионального луча 267
13.3. Суммы Зейделя для вычислений на ЭВМ 268
13.4. Связь между rj и Su. Формулы меридиональной комы
3-го порядка 270
13.5. Формулы астигматизма, меридиональной и сагиттальной
кривизны изображения 3-го порядка 272
13.6. Формулы дисторсии 3-го порядка 274
ГЛАВА 14. МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ 3-ГО ПОРЯДКА
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ИЗ БЕСКОНЕЧНО ТОНКИХ КОМПОНЕНТОВ .. 275
14.1. Суммы Зейделя оптических систем из бесконечно тонких
компонентов. Основной параметр л бесконечно тонкого
компонента 275
14.2. Основные параметры Р и W бесконечно тонкого
компонента и их связь с параметрами Р и W 279
14.3. Основные параметры Р и W бесконечно тонкого
последовательно симметричного и симметричного объективов... 281
14.4. Сферическая аберрация и основные параметры Р и W
бесконечно тонкой линзы 285
698
14.5. Меридиональная и сагиттальная кривизна изображения и
астигматизм бесконечно тонкого компонента 291
14.6. Теорема о зависимости аберраций от положения
зрачка 292
ГЛАВА 15. ПЕРВИЧНЫЕ ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ 297
15.1. Общие понятия о хроматических аберрациях 297
15.2. Понятие о хроматической аберрации положения
изображения и вычисление ее точного значения 298
15.3. Формула для вычисления приближенного значения
хроматической аберрации положения изображения. Первая
хроматическая сумма S\ xp 300
15.4. Хроматическая аберрация положения изображения
бесконечно тонкой линзы 303
15.5. Ахроматизация линзы 304
15.6. Хроматическая аберрация положения изображения
бесконечно тонкого компонента. Основной параметр С 306
15.7. Первая хроматическая сумма 5"/хр оптической системы из
нескольких бесконечно тонких компонентов 308
15.8. Понятие о хроматической аберрации увеличения
изображения и ее точное вычисление 310
15.9. Формула для вычисления приближенного значения
хроматической аберрации увеличения изображения. Вторая
хроматическая сумма Sn xp 312
15.10. Хроматическая аберрация увеличения изображения
бесконечно тонкой линзы 313
15.11. Хроматическая аберрация увеличения изображения
бесконечно тонкого компонента 314
15.12. Хроматическая аберрация увеличения изображения
оптической системы из нескольких бесконечно тонких
компонентов 315
ГЛАВА 16. ВТОРИЧНЫЕ ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ 316
16.1. Понятие о вторичном спектре. Вторичный спектр тонкого
двухлинзового объектива 316
16.2. Вторичный спектр тонкого трехлинзового объектива.. 320
699
16.3. Выбор стекол для трехлинзового трехцветного
апохромата 321
16.3.1. Метод треугольников 322
16.3.2. Метод ограниченных оптических сил линз 323
16.4. Сферохроматизм 328
ГЛАВА 17. АБЕРРАЦИИ ОПТИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ 332
17.1. Сферическое зеркало 332
17.2. Плоскопараллельная пластинка 336
17.3. Апланатические линзы 340
ГЛАВА 18. СУММИРОВАНИЕ АБЕРРАЦИЙ 343
18.1. Вычисление аберраций оптической системы из двух
частей по их поперечным аберрациям 343
18.2. Связь между аберрациями в прямом и обратном ходе
лучей 345
18.3. Суммирование аберраций компонентов оборачивающей
системы 346
18.4. Вычисление аберраций в угловой мере 347
18.5. Связь угловой аберрации в прямом ходе лучей с
поперечной аберрацией в обратном ходе лучей 349
18.6. Вычисление аберраций сложной оптической системы при
бесконечно удаленном изображении 350
18.7. Вычисление аберраций сложной оптической системы в
диоптрийной мере 351
18.8. Вычисление г\ оптической системы по г\ ее отдельных
частей 352
18.9. Суммирование продольных аберраций 353
ГЛАВА 19. АБЕРРАЦИИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 356
19.1. Обзор аберраций высших порядков 356
19.2. Меридиональная и сагиттальная составляющие
поперечной аберрации 5-го порядка 358
19.3. Анализ отдельных аберраций 5-го порядка 359
700
19.4. Выделение аберраций 3-го и 5-го порядков 364
19.4.1. Выделение сферической аберрации 3-го и 5-го
порядков 365
19.4.2. Первый способ выделения комы 3-го порядка и
выделение комы 5-го порядка 365
19.4.3. Выделение астигматизма и кривизны изображения 3-
го и 5-го порядков 367
19.4.4. Выделение дисторсии 3-го и 5-го порядков 368
19.4.5. Выделение полевой (боковой)
сферической аберрации 368
19.4.6. Выделение полевой комы. Второй способ выделения
меридиональной комы 3-го порядка 369
19.4.7. Выделение винтовой (крылообразной) аберрации.. 370
19.4.8. Выделение штриховой аберрации 370
ГЛАВА 20. ВОЛНОВЫЕ АБЕРРАЦИИ 371
20.1. Понятие о волновой аберрации. Критерий Рэлея 371
20.2. Дифракционное изображение точки, создаваемое
идеальной оптической системой с круглым выходным зрачком .. 374
20.3. Влияние дефокусировки на дифракционное изображение
точки, создаваемое идеальной оптической системой при круглом
выходном зрачке 380
20.4. Связь между волновой и сферической аберрациями.
Оценка допустимой дефокусировки 383
20.5. Определение положения плоскости установки по
графику волновой аберрации 386
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ 389
ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ И СИСТЕМЫ 389
ГЛАВА 21. ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ 389
21.1. Линзы 389
21.1.1. Телескопическая линза 389
21.1.2. Двояковыпуклая линза 390
21.1.3. Двояковогнутая линза 391
21.1.4. Плосковыпуклая линза 391
701
21.1.5. Выпукло-плоская линза 392
21.1.6. Плосковогнутая линза 392
21.1.7. Вогнуто-плоская линза 393
21.1.8. Положительный мениск 393
21.1.9. Отрицательный мениск 394
21.1.10. Концентрическая линза 394
21.1.11. Линзы с одинаковой кривизной поверхностей 395
21.2. Конструктивные параметры линзы 396
21.3. Плоскопараллельная пластинка 399
21.4. Редуцирование плоскопараллельной пластинки 401
21.5. Зеркала 401
21.5.1. Плоские зеркала 402
21.5.2. Сферические зеркала 404
21.6. Отражательные призмы. Общие сведения 406
21.7. Основные виды отражательных призм 408
21.8. Развертка отражательных призм в плоскопараллельную
пластинку 414
21.9. Габаритный расчет отражательных призм 415
21.10. Преломляющая (спектральная) призма 417
21.11. Расчет хода луча через преломляющую (спектральную)
призму 419
21.12. Оптический клин 422
21.13. Клиновидность плоскопараллельной пластинки.
Ахроматический клин 427
ГЛАВА 22. ГЛАЗ И ЗРЕНИЕ ЧЕЛОВЕКА 431
22.1. Устройство глаза человека 431
22.2. Оптическая система глаза человека 434
22.3. Спектральная чувствительность глаза 438
22.4. Коэффициент пропускания оптической системы глаза 441
22.5. Аккомодация глаза 442
22.6. Аметропический глаз 444
22.7. Разрешающая сила глаза (острота зрения) 448
702
22.8. Адаптация глаза 453
22.9. Контрастная чувствительность глаза 454
22.10. Абсолютные пороги световой чувствительности
глаза 455
22.11. Инерция зрения. Закон Тальбота 457
22.12. Монокулярное и бинокулярное зрение 460
22.13. Стереоскопия при одновременном рассматривании двух
изображений одного и того же пространства 465
ГЛАВА 23. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ЗРИТЕЛЬНЫХ ТРУБ 470
23.1. Ход и ограничение пучков лучей в телескопических
системах 470
23.2. Увеличение телескопических систем 474
23.3. Глубина изображения телескопических систем 476
23.4. Разрешающая сила и полезное (нормальное) увеличение
зрительной трубы 480
23.5. Субъективная яркость изображения, воспринимаемая
невооруженным глазом 482
23.6. Субъективная яркость изображения, воспринимаемая
глазом, вооруженным зрительной трубой 483
23.7. Зрительная труба с линзовой оборачивающей системой.
Коллектив 485
23.8. Фокусировка телескопической системы 488
23.9. Зрительная труба с внутренней фокусировкой 490
23.10. Бинокли 492
ГЛАВА 24. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МИКРОСКОПОВ И ЛУПЫ 497
24.1. Ход и ограничение пучков лучей в оптических системах
микроскопов 497
24.2. Увеличение микроскопа 498
24.3. Глубина изображаемого пространства микроскопа 500
24.4. Лупа 504
24.5. Ограничение пучков лучей в лупе 504
24.6. Видимое увеличение лупы 508
24.7. Глубина изображаемого пространства лупы 510
703
24.8. Разрешающая способность и полезное увеличение
микроскопа 511
24.9. Осветительные системы микроскопов 513
ГЛАВА 25. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ПРОЕКЦИОННЫХ ПРИБОРОВ 517
25.1. Назначение, состав и классификация проекционных
приборов 517
25.2. Эпипроекторы 517
25.3. Диапроекторы 520
25.4. Взаимосвязь оптических и геометрических параметров
проекционных приборов 524
25.5. Осветительные системы проекционных приборов 525
ГЛАВА 26. ОБЪЕКТИВЫ 528
26.1. Линзовые объективы зрительных труб и телескопов ... 528
26.2. Фотографические объективы 535
26.3. Зеркальные и зеркально-линзовые объективы
телескопов 544
26.3.1. Телескоп Мерсенна 545
26.3.2. Объектив телескопа Грегори 545
26.3.3. Объектив телескопа Ньютона 546
26.3.4. Объектив телескопа Кассегрена 547
26.3.5. Объектив телескопа Гершеля 547
26.3.6. Объектив телескопа Ричи-Кретьена 548
26.3.7. Объектив телескопа Шмидта 549
26.3.8. Объективы менисковых телескопов 550
26.4. Объективы микроскопов 552
26.5 Гомалы 555
ГЛАВА 27. ОКУЛЯРЫ 558
27.1. Окуляр Гюйгенса 558
27.2 Окуляр Рамсдена 559
27.3. Окуляр Кельнера 560
27.4. Симметричный окуляр 561
704
27.5. Ортоскопический окуляр 561
27.6. Окуляры Эрфле 562
27.7. Широкоугольные окуляры 563
27.8. Автоколлимационный окуляр 564
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 565
ГЛАВА 28. РАСЧЕТ ОБЪЕКТИВОВ 565
28.1. Расчет объектива из двух склеенных линз 565
28.2. Расчет объектива из двух несклеенных линз 570
28.3. Расчет объектива из трех склеенных линз 572
28.4. Расчет объектива из двух склеенных
и одиночной линз 581
28.5. Расчет объектива из одиночной
и двух склеенных линз 584
28.6. Расчет объектива из двух одинаковых двухлинзовых
склеек 585
28.7. Расчет объектива из двух компонентов, установленных
на конечном расстоянии друг от друга 587
28.8. Расчет телеобъектива 590
ГЛАВА 29. ГАБАРИТНЫЙ РАСЧЕТ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ 593
29.1. Габаритный расчет телескопической системы Галилея 594
29.2. Габаритный расчет оптической системы Кеплера 598
29.3. Габаритный расчет телескопической системы с
коллективом в плоскости действительного изображения 600
29.4. Габаритный расчет телескопической системы с
коллективом, вынесенным из плоскости действительного
изображения 601
29.5. Габаритный расчет телескопической системы с одним
линзовым оборачивающим компонентом 608
29.6. Габаритный расчет телескопической системы с
двухкомпонетной линзовой оборачивающей системой (с
параллельным ходом лучей пучков между компонентами) 613
29.7. Габаритный расчет телескопической системы с
призменной оборачивающей системой 622
705
29.8. Габаритный расчет панкратической телескопической
системы 627
29.9. Габаритный расчет телескопической системы с
внутренней фокусировкой 639
ГЛАВА 30. АБЕРРАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ... 651
30.1. Аберрационный расчет оптической системы телескопа
Кеплера 651
30.2. Аберрационный расчет телескопической системы с
двухкомпонентной оборачивающей системой с параллельным ходом
лучей пучков между компонентами 653
30.3. Расчет двухкомпонентной линзовой оборачивающей
системы с непараллельным ходом лучей пучков между
компонентами 658
30.4. Расчет двухкомпонентной линзовой оборачивающей
системы с параллельным ходом лучей пучков
между компонентами 664
ГЛАВА 31. РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ МИКРООБЪЕКТИВОВ И
КОНДЕНСОРОВ 668
31.1. Общие сведения о микрообъективах 668
31.2. Классификация линзовых объективов микроскопов .... 668
31.3. Методы аберрационного расчета объективов
микроскопов 671
31.4. Расчет фронтальной части микрообъектива в виде
апланатических менисков 672
31.5. Расчет фронтальной части иммерсионного
микрообъектива 675
31.6. Габаритный расчет последующей части
микрообъектива 678
31.7. Аберрационный расчет микрообъектива 682
31.8. Расчет конденсоров на минимум сферической
аберрации 687
ЛИТЕРАТУРА 690
706
Григорий Афанасьевич МОЖАРОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Учебное пособие
Издание второе, стереотипное
Зав. редакцией
естественнонаучной литературы М. В. Рудкевич
ЛР № 065466 от 21.10.97
Гигиенический сертификат 78.01.10.953.П.1028
от 14.04.2016 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ»
lan@lanbook.ru; www.lanbook.com
196105, Санкт-Петербург, пр. Юрия Гагарина, д. 1, лит. А
Тел./факс: (812) 336-25-09, 412-92-72
Бесплатный звонок по России: 8-800-700-40-71
Подписано в печать 09.04.19.
Бумага офсетная. Гарнитура Школьная. Формат 84x108 х
Печать офсетная. Усл. п. л. 37,17. Тираж 100 экз.
Заказ № 308-19.
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленного оригинал-макета
в АО «Т8 Издательские Технологии».
109316, г. Москва, Волгоградский пр., д. 42, к. 5.