Текст
                    йзгетз ГГГ
чт> Г."
Ж
я-
■' '■ • “ .* . - - ' *• ' - : • ‘
шт. ■ т - кш;
viiJ


Roger Penrose The Road to Reality A Complete Guide to the Laws of the Universe JONATHAN CAPE LONDON
Роджер ПЕНРОУЗ ПУТЬ К РЕАЛЬНОСТИ, или ЗАКОНЫ, УПРАВЛЯЮЩИЕ ВСЕЛЕННОЙ Полный путеводитель Перевод с английского А. Р. Логунова и Э. М. Эпштейна R&C Т>циемис& Москва + Ижевск 2007
г * УДК 530.1 Интернет-магазин http://shop.rcd.ru • физика • математика • биология • нефтегазовые технологии Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту №06-02-30045. I Пенроуз Р. Путь к реальности, или законы, управляющие Вселенной. Полный путеводитель. — М- Ижевск: Институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динами* ка», 2007.-912 с. Целью монографии известного физика и математика Роджера Пенроуза является поиск фундамен¬ тальных принципов, положенных в основу нашего мироздания и управляющих протекающими в нем процессами. Можно сказать, что книга эта, в сущности, посвящена отношениям между математикой и физикой, тому взаимодействию между двумя дисциплинами, которое играет далеко не последнюю роль в стремлении двигаться дальше в поисках лучшей теории для описания Вселенной. Специа¬ лист из любой области найдет в этой фундаментальной монографии что-нибудь для себя полезное; возможно, точка зрения автора на некоторые предметы отличается (а порой и весьма радикально) от общепринятой, но именно это позволит посмотреть на актуальные проблемы современной науки с раз¬ ных сторон и приблизиться к истине. Несомненный интерес представляет его мнение относительно ряда современных теоретических построений, таких, например, как теория суперсимметрии, космо¬ логия расширяющейся Вселенной, гипотезы о природе Большого взрыва и черных дыр, теория струн или М-теория, переменные цикла в квантовой гравитации, теория твисторов, да и собственно фун¬ даментальные принципы квантовой теории. Книга вызовет несомненный интерес как у специалистов естественно-научных дисциплин, так и у широкого круга читателей. ISBN 978-5-93972-618-4 Публикуется с разрешения автора и его литературных агентов MBA Literary Agents, Ltd (Великобри¬ тания) и Агентства Ал. Корженевского (Россия). © Р. Пенроуз, 2004 © Перевод на русский язык: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007 http://shop.rcd.ru http://ics.org.ru
Оглавление Предисловие 15 Благодарности 21 Об условных обозначениях 23 Пролог 26 Глава 1. Истоки науки 30 1.1. Силы, движущие миром 30 1.2. Математическая истина 32 1.3. «Реален» ли математический мир Платона? 34 1.4. Три мира и три великие загадки 39 1.5. Истина, Добро и Красота 42 Глава 2. Древняя теорема и современный вопрос 45 2.1. Теорема Пифагора . . . 45 2.2. Постулаты Евклида 47 2.3. Другое доказательство теоремы Пифагора 49 2.4. Гиперболическая геометрия: конформное представление 51 2.5. Другие представления гиперболической геометрии 55 2.6. Гиперболическая геометрия в исторической перспективе 59 2.7. Гиперболическая геометрия и физическое пространство 62 Глава 3. Виды чисел в физическом мире 67 3.1. Катастрофа пифагорейцев? 67 3.2. Система вещественных чисел 69 3.3. Вещественные числа в физическом мире 73 3.4. Нуждаются ли натуральные числа в наличии физического мира? 76 3.5. Дискретные числа в физическом мире 77 Глава 4. Магические комплексные числа 82 4.1. Магическое число г 82 4.2. Решение уравнений с комплексными числами 84 4.3. Сходимость степенных рядов 86 4.4. Комплексная плоскость Каспара Весе едя 89 4.5. Как построить множество Мандельброта 92 Глава 5. Геометрия логарифмов, степеней и корней 94 5.1. Геометрия комплексной алгебры 94 5.2. Идея комплексного логарифма 97 5.3. Многозначность, натуральные логарифмы 99 5.4. Комплексные степени 102 5.5. Связь с физикой элементарных частиц 104
6 Оглавление Глава 6. Исчисление вещественных чисел 107 6.1. Что создает настоящую функцию? 107 6.2. Наклон функции 109 6.3. Высшие производные, С°°-гладкие функции 111 6.4. Каково «эйлерово» понимание функции? 113 6.5. Правила дифференцирования 115 6.6. Интегрирование 117 Глава 7. Исчисление комплексных чисел 122 7.1. Комплексная гладкость, голоморфные функции 122 7.2. Контурное интегрирование 123 7.3. Степенные ряды, получаемые из комплексной гладкости 126 7.4. Аналитическое продолжение . . . . 127 Глава 8. Римановы поверхности и комплексные отображения 133 8.1. Идея римановой поверхности 133 8.2. Конформные отображения 136 8.3. Сфера Римана 139 8.4. Род компактной римановой поверхности 141 8.5. Теорема о римановом отображении 144 Глава 9. Разложение Фурье и гиперфункции 148 9.1. Ряды Фурье 148 9.2. Функции на окружности 151 9.3. Расщепление частот на сфере Римана 154 9.4. Преобразование Фурье 156 9.5. Расщепление частот, получаемое из преобразования Фурье 158 9.6. Какие функции приемлемы? 160 9.7. Гиперфункции 163 Глава 10. Поверхности 169 10.1. Комплексные и вещественные размерности 169 10.2. Гладкость, частные производные . 170 10.3. Векторные поля и 1-формы 174 10.4. Компоненты, скалярные произведения 178 10.5. Условия Коши-Римана 180 Глава 11. Гиперкомплексные функции . . 184 11.1. Алгебра кватернионов 184 11.2. Какова роль кватернионов в физике? 186 11.3. Геометрия кватернионов 188 11.4. Как складывать вращения 190 11.5. Алгебры Клиффорда 191 11.6. Алгебры Грассмана 194 Глава 12. n-мерные многообразия 198 12.1. Зачем изучать многомерные многообразия? 198 12.2. Многообразия и координатные лоскуты . ' 201 12.3. Скаляры, векторы и ковекторы 203 12.4. Грассмановы произведения 206 12.5. Интегрирование форм 208 12.6. Внешняя производная 210 12.7. Элемент объема, правило суммирования 213
Оглавление 7 12.8. Тензоры. Абстрактные индексы и диаграммное представление 216 12.9. Комплексные многообразия 217 Глава 13. Группы симметрии 223 13.1. Группы преобразований . 223 13.2. Подгруппы и простые группы 225 13.3. Линейные преобразования и матрицы 229 13.4. Определители и следы 233 13.5. Собственные значения и собственные векторы 235 13.6. Теория представлений и алгебры Ли 238 13.7. Тензорные пространства представлений. Приводимость 241 13.8. Ортогональные группы 245 13.9. Унитарные группы 250 13.10. Симплектические группы 254 Глава 14. Математический анализ на многообразиях 259 14.1. Дифференцирование на многообразии? 259 14.2. Параллельный перенос 260 14.3. Ковариантная производная 264 14.4. Кривизна и кручение 267 14.5. Геодезические, параллелограммы и кривизна 268 14.6. Производная Ли 274 14.7. Что может дать нам метрика 279 14.8. Симплектические многообразия 283 Глава 15. Расслоенные пространства и калибровочные связности 286 15.1. Физическая мотивация расслоенных пространств 286 15.2. Математическая идея расслоения 288 15.3. Сечения расслоений 291 15.4. Расслоение Клиффорда-Хопфа 293 15.5. Комплексные векторные расслоения, (ко)касательные расслоения 296 15.6. Проективные пространства 298 15.7. Нетривиальность в связности расслоения 303 15.8. Кривизна расслоения 306 Глава 16. Лестница бесконечности 311 16.1. Конечные поля 311 16.2. Конечная или бесконечная геометрия нужна физике? 312 16.3. Бесконечности разного размера 316 16.4. Диагональная косая черта Кантора 319 16.5. Загадки оснований математики 322 16.6. Машины Тьюринга и теорема Гёделя 324 16.7. Размеры бесконечности в физике 327 Глава 17. Пространство-время 331 17.1. Пространство-время физики Аристотеля 331 17.2. Пространство-время галилеевой относительности 333 17.3. Ньютоновская динамика на языке пространства-времени 334 17.4. Принцип эквивалентности 337 17.5. «Ньютоновское пространство-время» в представлении Картана 340 17.6. Фиксированная конечная скорость света 344 17.7. Световые конусы . . 345 17.8. Отказ от абсолютного времени 348
8 Оглавление , 17.9. Пространство-время общей теории относительности Эйнштейна . . 351 Глава 18. Геометрия Минковского 355 18.1. 4-пространство Евклида и Минковского 355 18.2. Группы симметрии пространства Минковского 357 18.3. Лоренцева ортогональность. «Парадокс часов» 359 18.4. Гиперболическая геометрия в пространстве Минковского 362 18.5. Небесная сфера как сфера Римана 369 18.6. Ньютоновская энергия, импульс и момент импульса 371 18.7. Релятивистская энергия, импульс и момент импульса . . 373 Глава 19. Классические поля Максвелла и Эйнштейна 378 19.1. Эволюция ньютоновской динамики 378 19.2. Максвелловская теория электромагнетизма 379 19.3. Законы сохранения и потоки в теории Максвелла 383 19.4. Максвелловское поле как калибровочная кривизна 385 19.5. Тензор энергии-импульса 390 19.6. Эйнштейновское уравнение поля 392 . 19.7. Дальнейшее развитие. Космологическая постоянная, тензор Вейля 395 19.8. Энергия гравитационного поля 397 V" Глава 20. Лагранжианы и гамильтонианы 403 20.1. Магический лагранжев формализм . . 403 20.2. Более симметричная гамильтонова картина 406 20.3. Малые колебания 409 20.4. Гамильтонова динамика как симплектическая геометрия 413 20.5. Лагранжева трактовка полей 415 20.6. Как лагранжианы двигают современную теорию 416 Глава 21. Квантовая частица 421 21.1. Некоммутирующие переменные 421 21.2. Квантовые гамильтонианы 423 21.3. Уравнение Шредингера . 425 21.4. Экспериментальные основания квантовой теории 426 21.5. Обсуждение дуализма волна-частица . 430 21.6. Что есть квантовая «реальность»? . 432 21.7. «Целостная» природа волновой функции 436 21.8. Таинственные «квантовые скачки» 439 21.9. Распределение вероятностей в волновой функции 440 21.10. Координатные состояния 442 21.11. Описание в импульсном пространстве 443 Глава 22. Квантовая алгебра, геометрия и спин . . . . . . * . 448 22.1. Квантовые процедуры U и R 448 22.2. Линейность U и возникающие в связи с этим проблемы для R 450 22.3. Унитарная структура, гильбертово пространство и обозначения Дирака ... 452 22.4. Унитарная эволюция. Представления Шредингера и Гейзенберга ....... 454 V 22.5. Квантовые «наблюдаемые» . . 457 22.6. Измерения ДАЛ4ЕТ. Проекторы 460 22.7. Нулевые измерения. Спиральность 461 22.8. Спин и спиноры 466 22.9. Сфера Римана для систем с двумя состояниями . 469 22.10. Высокие значения спина. Представление Майораны 474
Оглавление 9 22.11. Сферические гармоники . 476 22.12. Релятивистский квантовый момент импульса 480 22.13. Общий случай изолированного квантового объекта 483 ГЛАВА 23. Перепутанный квантовый мир 490 23.1. Квантовая механика систем многих частиц 490 23.2. Гигантский объем пространства многочастичных состояний 491 23.3. Квантовое перепутывание. Неравенства Белла . . 493 23.4. ЭПР-эксперименты по Бому 495 23.5. ЭПР-эксперимент по Харди — почти без вероятностей 499 23.6. Две загадки квантового перепутывания 500 23.7. Бозоны и фермионы 502 23.8. Квантовые состояния бозонов и фермионов 504 23.9. Квантовая телепортация 506 23.10. Кванглеменция 509 Глава 24. Электрон Дирака и античастицы 515 24.1. Конфликт между квантовой теорией и теорией относительности 515 24.2. Почему античастицы приводят к квантовым полям? 516 24.3. Положительность энергии в квантовой механике 517 24.4. Проблемы с релятивистской формулой для энергии 519 24.5. Неинвариантность оператора d/dt 520 24.6. Квадратный корень из волнового оператора по Клиффорду-Дираку ..... 522 24.7. Уравнение Дирака 523 24.8. Как Дирак пришел к позитрону 525 Глава 25. Физика элементарных частиц: стандартная модель 530 25.1. Истоки современной физики элементарных частиц 530 25.2. Зигзаг-представление электрона 531 25.3. Электрослабое взаимодействие. Симметрия относительно отражения .... 534 25.4. Зарядовое сопряжение, четность и обращение времени 539 25.5. Электрослабая группа симметрии 540 25.6. Сильно взаимодействующие частицы . . . . 544 25.7. «Цветные кварки» 546 25.8. За пределами стандартной модели 548 Глава 26. Квантовая теория поля 552 26.1. Фундаментальный статус квантовой теории поля в современной теоретиче¬ ской физике 552 26.2. Операторы рождения и уничтожения 553 26.3. Бесконечномерные алгебры 556 26.4. Античастицы в КТП 557 26.5. Альтернативные вакуумы . . . . 558 26.6. Взаимодействия: лагранжианы и интегралы по траекториям 560 26.7. Расходящиеся интегралы по траекториям: ответ Фейнмана 563 26.8. Построение фейнмановских диаграмм. S-матрица 565 26.9. Перенормировка 568 26.10. Фейнмановские диаграммы из лагранжианов . 571 26.11. Фейнмановские диаграммы и выбор вакуума 572
10 Оглавление Глава 27. Большой взрыв и его термодинамическое наследие 577 27.1. Временная симметрия в динамической эволюции 577 27.2. Субмикроскопические составные части 578 27.3. Энтропия 580 27.4. Прочность концепции энтропии . . . . 582 27.5. Вывод Второго закона... или нет? 585 27.6. Является ли Вселенная в целом «изолированной системой»? 587 27.7. Роль Большого взрыва 589 27.8. Черные дыры . . . 594 27.9. Горизонты событий и пространственно-временные сингулярности ...... 597 27.10. Энтропия черной дыры 599 27.11. Космология 601 27.12. Конформные диаграммы 606 27.13. Наш собственный особенный Большой взрыв 609 Глава 28. Умозрительные теории ранней Вселенной 617 28.1. Спонтанное нарушение симметрии в ранней Вселенной . . 617 28.2. Космические топологические дефекты 620 28.3. Проблемы с нарушением симметрии в ранней Вселенной 623 28.4. Инфляционная космология 626 28.5. Справедливы ли предпосылки инфляционной модели? 631 28.6. Антропный принцип 634 28.7. Особая природа Большого взрыва: антропный ключ? 638 28.8. Гипотеза кривизны Вейля 640 28.9. Гипотеза отсутствия границ Хартла - Хокинга 644 28.10. Космологические параметры: согласие с результатами наблюдений 646 Глава 29. Парадокс измерения 654 29.1. Традиционные онтологии квантовой теории 654 29.2. Нетрадиционные онтологии квантовой теории 656 29.3. Матрица плотности 661 29.4. Матрицы плотности для спина Сфера Блоха . 663 29.5. Матрица плотности в условиях ЭПР-эксперимента 666 29.6. Практическая философия декогеренции, создаваемой окружением ...... 670 29.7. Кошка Шредингера в «копенгагенской» онтологии . 671 29.8. Способны ли разрешить «кошачий» парадокс другие традиционные онтологии?673 29.9. Чем могут помочь нетрадиционные онтологии? 676 Глава 30. Роль гравитации в редукции квантового состояния 681 30.1. Окончательна ли современная квантовая теория? 681 30.2. Подсказки со стороны космологической временной асимметрии . 682 30.3. Роль временной асимметрии в редукции квантового состояния 683 30.4. Хокингова температура черной дыры . . . 686 30.5. Температура черной дыры и комплексная периодичность 690 30.6. Векторы Киллинга, поток энергии и.. . путешествие во времени! . 694 30.7. Орбиты с отрицательной энергией и уход энергии с них 697 30.8. Взрывы Хокинга 699 30.9. Более радикальный взгляд . . . . . . . 702 30.10. Шредингеров объект 705 30.11. Фундаментальный конфликт с принципами теории Эйнштейна 708 30.12. Предпочтительные состояния Шредингера-Ньютона ...... . 711
Оглавление 11 30.13. Эксперимент FELIX и другие аналогичные предложения . 713 30.14. Природа флуктуаций в ранней Вселенной 717 Глава 31. Суперсимметрия, надразмерность и струны 724 31.1. Необъяснимые параметры 724 31.2. Суперсимметрия 727 31.3. Алгебра и геометрия суперсимметрии • . . . 729 31.4. Пространство-время с увеличенным числом измерений 732 31.5. Первоначальная адронная теория струн . 735 31.6. На пути к струнной теории мира 738 9 31.7. Побудительные мотивы введения лишних измерений пространства-времени в теории струн 740 31.8. Теория струн как квантовая гравитация? 741 31.9. Динамика струн 743 31.10. Почему мы не видим дополнительных пространственных измерений? .... 745 31.11. Следует ли принимать аргументацию с точки зрения квантовой стабильности? 749 31.12. Классическая нестабильность дополнительных измерений 751 31.13. Конечна ли струнная квантовая теория поля? 753 31.14. Магические пространства Калаби-Яу; М-теория 755 31.15. Струны и энтропия черных дыр 760 31.16. «Голографический принцип» 763 31.17. D-браны 765 31.18. Физический статус теории струн 767 Глава 32. Узкая тропа Эйнштейна. Петлевые переменные 775 32.1. Каноническая квантовая гравитация 775 32.2. Киральность и переменные Аштекара 776 32.3. Вид переменных Аштекара 778 32.4. Петлевые переменные 780 32.5. Математика узлов и связей 782 32.6. Спиновые сети 784 32.7. Статус квантовой гравитации с петлевыми переменными 789 Глава 33. Более радикальный взгляд. Теория твисторов 794 33.1. Геометрия с дискретными элементами 794 33.2. Твисторы как световые лучи . . 797 33.3. Конформная группа. Компактифицированное пространство Минковского . . 802 33.4. Твисторы как многомерные спиноры 805 33.5. Элементарная твисторная геометрия и система координат 807 33.6. Геометрия твисторов как вращающихся безмассовых частиц 810 33.7. Квантовая теория твисторов 814 33.8. Твисторное описание безмассовых полей 816 33.9. Твисторная когомология пучков 818 33.10. Твисторы и расщепление на положительные и отрицательные частоты .... 822 33.11. Нелинейный гравитон 824 33.12. Твисторы и общая теория относительности 828 33.13. На пути к твисторной теории элементарных частиц 830 33.14. Каково будущее теории твисторов? 831
12 Оглавление Глава 34. Где лежит путь к реальности? 837 34.1. Великие физические теории XX века — что дальше? 837 34.2. Фундаментальная физика, движимая математикой 840 34.3. Роль моды в физической теории 842 34.4. Можно ли экспериментально опровергнуть неверную теорию? 844 34.5. Откуда ожидать следующую физическую революцию? 848 34.6. Что есть реальность? 850 34.7. Роль ментальности в физической теории 852 34.8. Наш долгий путь к реальности 854 34.9. Красота и чудеса 857 34.10. Многое понято, еще больше понять предстоит . 861 Эпилог 865 Литература 867 Предметный указатель 904
Эту книгу я посвящаю ДЕННИСУ СКЬЯМЕ, открывшему мне глаза на то, какой увлекательной может быть физика.
Предисловие В этой книге читателя ждет рассказ о путешествии, полном открытий, о путешествии, которое представляется мне едва ли не самым важным и увлекательным из всех путеше¬ ствий, в какие на протяжении своей истории пускалось человечество. Целью этого путе¬ шествия является поиск фундаментальных принципов, положенных в основу нашего миро¬ здания и управляющих протекающими в нем процессами. В пути мы находимся вот уже более двух с половиной тысячелетий, поэтому не следует удивляться, что наш поиск при¬ вел наконец к некоторым существенным результатам. Впрочем, путь, которым мы шли, не был (да и не мог быть) легок — истинное понимание приходило не сразу, зачастую скры¬ ваясь за поворотами дороги и манящими миражами. Таково неотъемлемое свойство этого пути, и многие из нас, отчаявшись, отставали, а иные сворачивали с дороги, устремившись в неверном направлении, — на их примере оставшиеся учились осторожности. Но вот насту¬ пил двадцатый век, век выдающихся открытий и откровений — порой настолько поразитель¬ ных, что многие ученые не стеснялись во всеуслышание заявлять о том, что человечество наконец-то вплотную приблизилось к ясному пониманию природы всех фундаментальных физических процессов. Поскольку я предпринимаю свое описание современного состояния фундаментальных теорий в момент, когда двадцатый век уже благополучно завершился, я постараюсь придерживаться более трезвого взгляда на вещи. Не все мои высказывания будут благосклонно приняты вышеупомянутыми «оптимистами», однако я ожидаю в бли¬ жайшем будущем еще более радикальных перемен в «направлении движения», нежели те, что произошли в прошедшем столетии. Читатель очень скоро обнаружит, что в этой книге я решительно изменяю своей обычной практике избегания математических формул, несмотря на неоднократные зловещие преду¬ преждения издателей о том, что такой мой шаг повлечет за собой значительное сокращение читательской аудитории. Я очень серьезно обдумал этот вопрос и пришел к выводу, что без привлечения языка математики и рассмотрения некоторых чисто математических концепций сказать то, что я намерен сказать, просто невозможно. Наше понимание тех принципов, что в действительности управляют поведением окружающих нас физических объектов, в зна¬ чительной мере опирается на соответствующий математический аппарат. Возможно, это обстоятельство повергнет в отчаяние тех, кто почему-либо убежден, что напрочь лишен способностей к математике, какой бы элементарной она ни была. Как можно, скажут они, понять смысл исследований, ведущихся на переднем крае теоретической физики, если мы не можем совладать даже с обыкновенными дробями? Что ж, согласен, это будет нелегко. И все же, когда дело доходит до объяснения вещей, в принципе доступных понима¬ нию, я склонен считать себя оптимистом. Можно даже сказать, неисправимым оптимистом. Мне кажется, что читатели, не способные оперировать дробями (точнее, те, кто утверждает, что не способен оперировать дробями), слегка себя обманывают — в большинстве своем эти люди обладают потенциальной способностью к такого рода деятельности, но по разным причинам предпочитают об этом «не знать». Без сомнения, есть среди них и такие, кто, глядя на строку математических символов, даже самых простых, видит перед собой лишь строгие лица родителей и учителей, пытавшихся вдолбить в них «знания» и требующих взамен по¬ пугайского повторения, видимости понимания, не нуждающейся в понимании истинном, — ты должен выучить от сих до сих, иначе будет плохо, — до волшебства же и красоты изуча¬ емого предмета при таком «обучении», скорее всего, никому нет дела. Возможно, до кого-то
16 Предисловие я уже не достучусь — слишком поздно, — однако, как я уже сказал, я неисправимый опти¬ мист и верю, что многие мои читатели, даже те, кто так до сих пор и не освоил операции с дробями, смогут хотя бы краем глаза увидеть тот удивительный мир, который, я убежден, откроется перед ними во всей своей красе, стоит им только захотеть. Одна из ближайших подруг моей матери, довольно известная балерина, в бытность свою школьницей тоже никак не могла освоить действия с дробями. Много лет спустя, уже после успешного завершения своей балетной карьеры, она как-то упомянула об этом факте в моем присутствии. Я тогда был еще молод, еще не посвятил себя целиком математической деятельности, но о моем увлечении математикой многие уже знали. «Все неприятности на¬ чались с сокращения дробей, — сказала она мне. — Я просто не понимала, как это делается. Так с тех пор и не научилась». Она была настоящей леди, изысканной и остроумной, и я ни¬ чуть не сомневался, что ментальных качеств, необходимых для восприятия и исполнения сложных хореографических композиций, без которых не обходится ни один балет, должно с лихвой хватить и на решение столь пустячной математической задачи. И вот, изрядно пе¬ реоценив свои преподавательские способности, я попытался превзойти своих незадачливых предшественников и донести наконец до этой замечательной женщины простоту и логич¬ ность процедуры «сокращения». Насколько я могу судить, моя попытка оказалась столь же безуспешной, что и по¬ пытки прежних «учителей». (Отец ее, кстати сказать, был выдающимся ученым, членом Королевского общества, так что можно предположить, что научные материи не были ей в диковинку. Может быть, здесь сыграл свою роль фактор «строгого лица», не знаю.) С тех пор я много размышлял об этом и теперь мне кажется, что у нее, как и у многих других людей такого склада, отсутствует необходимый рационализирующий «пунктик», а я, будучи «зациклен» на математике, просто не обратил на это обстоятельство должного внимания. В самом деле, и в математике, и в математической физике мы то и дело сталкиваемся с одной фундаментальной проблемой, причем впервые это происходит как раз в таких на первый взгляд невинных операциях, как сокращение числителя и знаменателя самой обыкновенной арифметической дроби на некий общий множитель. Те, для кого сокращение дробей успело стать — в результате бесчисленных повторений — действием столь же привычным и естественным, как дыхание, скорее всего, и представить себе не смогут всю ту сложность, которая в действительности кроется в такой, казалось бы, простой процедуре. Возможно, многие из тех, кто находит сокращение дробей непо¬ стижимым и таинственным, способны увидеть упомянутую фундаментальную сложность более ясно, нежели мы, склонные, по-видимому, полностью игнорировать ее, решая задачи методом лихого кавалерийского наскока. Что же это за сложность такая? Скажем пока так: она непосредственно связана с тем, как именно математики вызывают из небытия математи¬ ческие объекты, причем степень ее зависит от соотносимости таких объектов с физической реальностью. Я припоминаю один случай из своего детства — мне было тогда лет одиннадцать, и я еще учился в школе. На одном из уроков математики учитель задал классу немало поразивший меня вопрос: что в действительности представляет собой обыкновенная арифметическая О дробь (такая, например, как |)? Со всех сторон тут же посыпались предположения, сводив¬ шиеся в основном к разделению на части пирога и прочих продуктов, однако учитель их сходу отверг на том (здравом, надо сказать) основании, что эти ответы всего лишь описывают некие не поддающиеся точному определению физические ситуации, к каким следует приме¬ нять точную математическую концепцию дроби, — четкого математического понятия дроби О они отнюдь не содержат. На что кто-то из учеников заметил, что в таком случае дробь ~ — это О «такая штуковина с тройкой вверху, восьмеркой внизу и чертой посередине». Представьте себе мое изумление, когда я обнаружил, что учитель, похоже, воспринял это «определение»
Предисловие 17 вполне серьезно! Я сейчас не помню в точности, к какому ответу мы тогда пришли, одна¬ ко, оглядываясь назад с высоты приобретенного позднее, в университете, математического опыта, могу предположить, что наш учитель предпринял на том уроке отважную попытку дать нам определение дроби в терминах такого универсального математического понятия, как класс эквивалентности. Что же это такое — класс эквивалентности? Как это понятие может объяснить нам, что в действительности представляет собой дробь? Начнем с предложенного моим одноклассни- ком определения «с тройкой вверху и восьмеркой внизу». В сущности, оно предполагает, что дробь задается упорядоченной парой целых чисел — в нашем случае это числа 3 и 8. Однако очевидно, что отождествлять дробь с такой упорядоченной парой чисел нельзя, поскольку дробь, например, описывает то же число, что и дробь §, а пара чисел (6, 16) безусловно 10 о отлична от пары (3, 8). Здесь нам и поможет сокращение — мы можем записать дробь ™ о о о в виде и «убрать» двойку из верхней и нижней части, получив при этом дробь §. Что же позволяет нам произвести такой финт и тем самым в некотором роде «приравнять» пару (6, 16) к паре (3, 8)? У математика есть на это простой ответ (который со стороны, если честно, выглядит просто жалкой отговоркой): в определение дроби изначально встро¬ ено правило сокращения, согласно которому считается, что пара целых чисел (а • n, Ь * п), где п — любое целое число, отличное от нуля (6 здесь также должно быть отлично от нуля), представляет ту же самую дробь, что и пара (а, 6). Впрочем, легче нам от всего этого не стало. Мы по-прежнему не знаем, что такое дробь; мы лишь узнали кое-что о способе представления дробей. Так что же такое дробь? Призвав на помощь понятие «класс эквивалентности», математик ответит нам, что дробь, напри- О мер, ™ представляет собой всего-навсего бесконечный набор, составленный из следующих О пар чисел: (3, 8), (-3, -8), (б, 16), (-6, -16), (9, 24), (-9, -24), (12, 32), ..., где каждая пара может быть получена из любой другой пары набора посредством примене¬ ния (однократного или многократного) вышеописанного правила сокращения*. Сюда необ¬ ходимо еще добавить правила (не конфликтующие с обычными алгебраическими правила¬ ми), в соответствии с которыми мы сможем выполнять над такими бесконечными наборами целых чисел арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) и идентифици¬ ровать собственно целые числа как дроби особого типа. Такое определение включает в себя все, что нам необходимо, с математической точки зрения, знать о дробях (например, то, что число ^ при сложении с самим собой дает еди¬ ницу, и т.д.), причем операция сокращения, как мы убедились, и в самом деле встроена в определение изначально. И все же как-то все это чересчур формализовано, поневоле начи¬ наешь сомневаться, действительно ли такое определение адекватно описывает имеющееся у нас интуитивное понятие о дроби. Хотя повсеместно применяемая в чистой математике процедура построения класса эквивалентности (представленное выше определение — лишь один из множества примеров ее применения) является очень мощным математическим ин¬ струментом для доказательства непротиворечивости и установления математического суще¬ ствования, результатом ее зачастую являются чрезвычайно громоздкие конструкции. Едва ли такая процедура способна дать кому бы то ни было интуитивно ясное представление о, * Класс эквивалентности называется так потому, что он, по сути, представляет собой класс объектов (в дан¬ ном конкретном случае такими объектами являются пары целых чисел), в котором каждый элемент считается в определенном смысле эквивалентным любому другому элементу.
18 Предисловие о скажем, дроби -. Неудивительно, что подруга моей матери никак не могла взять в толк, чего О от нее хотят. В дальнейшем при описании математических понятий я постараюсь по мере возмож¬ ности избегать той математической педантичности, что предписывает нам определять дробь как «бесконечный класс пар целых чисел», хотя с точки зрения математической строгости и точности такой подход, безусловно, имеет множество преимуществ. Я постараюсь сосре¬ доточиться на передаче идей, лежащих в основе тех или иных важнейших математических концепций, не упуская при этом из виду присущие этим концепциям красоту и чуть ли не , О волшебную силу. Идея, скажем, дроби f как математического объекта очень проста: сложив О вместе 8 таких объектов, мы получим в сумме число 3. Сила же состоит в том, что идея дроби действительно работает, невзирая на то обстоятельство, что в реальном физическом мире мы не имеем дела с объектами, которые можно было бы точно описать дробями — куски пирога не в счет, поскольку здесь речь может идти лишь о приближениях разной степени точности. (Этим дроби отличаются от натуральных чисел — 1,2,3 и т.д., — кото¬ рые вполне точно описывают всевозможные объекты, встречающиеся нам в повседневной жизни.) Один из способов наделить понятие дроби непротиворечивым смыслом как раз и заключается в том, чтобы дать этому понятию математическое «определение», описав его (как мы сделали выше) как бесконечный набор пар целых чисел. Однако это вовсе не О означает, что дробь ~ и в самом деле представляет собой такой набор. Правильнее будет О рассматривать дробь как объект, обладающий некоей собственной реальностью (в платонов¬ ском смысле), а бесконечный набор пар чисел — просто как один из способов, посредством которого мы можем объект такого типа непротиворечиво описать. По мере «привыкания» к дробям мы все чаще ловим себя на мысли, что нам совсем не сложно воспринимать дробь, О например, ~ как реальный, существующий независимо от нас объект, а описание ее в виде О «бесконечного набора пар чисел» представляется нам всего-навсего подпоркой для педан¬ тов — подпоркой, надобность в которой отпадает как только мы осознаем ее смысл. Большая часть математики именно так и устроена. Для математиков (по крайней мере, для большинства математиков, насколько мне из¬ вестно) математика является не просто родом общественно полезной деятельности, который мы сами для себя и придумали, — она существует сама по себе, отдельно от нас, находясь при этом в поразительной гармонии с физической Вселенной. Невозможно достичь сколько- нибудь глубокого понимания законов, управляющих физическим миром, не погрузившись с головой в мир математики. В частности, упомянутое выше понятие класса эквивалент¬ ности оказывается полезным для понимания не только множества важнейших (и крайне запутанных) математических концепций, но и немалого количества не менее важных (и зачастую еще более запутанных) концепций физических — таких, например, как общая те¬ ория относительности Эйнштейна или принципы «калибровочной теории», описывающие действующие в природе силы с точки зрения современной физики элементарных частиц. Ни один физик сегодня не может считать себя свободным от необходимости разбираться в тонкостях математики, причем математики весьма мудреной. Именно по этой причине я отвел первые шестнадцать глав книги исключительно на описание математических идей. Тем читателям, кто слабо представляет себе, что им теперь со всей этой математикой де¬ лать, я скажу лишь одно: погодите отчаиваться. Эту книгу можно читать четырьмя разными способами — в зависимости от желаемого уровня сложности. Допустим, вы принадлежите к первой группе читателей (наименьший, по нашей шкале, уровень сложности), то есть к тем, кто, завидев какую угодно математическую формулу, просто отключается (многие из этой группы, скорее всего, испытывают непреодолимые трудности и при столкновениях с дробями). Даже в этом случае, я уверен, вы сможете многое извлечь из книги, просто
Предисловие 19 пропуская все формулы и читая только текст. Мне кажется, это не многим отличается от того, как я сам, будучи подростком, просматривал время от времени шахматные журналы, повсюду разбросанные в нашем доме. В жизни моих братьев и родителей шахматы занимали весьма важное место, я же шахматами почти не интересовался, хотя мне нравилось читать о достижениях тех незаурядных и зачастую весьма странных людей, что посвятили себя этой игре. Читая о сыгранных ими партиях и блестящих ходах, я узнавал для себя что-то новое, пусть не совсем понимая, что именно вызывает такое восхищение у знатоков, и даже не пытаясь разобраться в обозначениях, описывающих те или иные позиции. Несмотря на недопонимание, я все же находил это занятие интересным и в чем-то даже поучительным; во всяком случае оно надолго удерживало мое внимание. Надеюсь, что в представленных далее математических рассуждениях также найдется что-нибудь, способное заинтересовать даже самого далекого от математики читателя, буде он — преисполнившись отваги или же из простого любопытства — решит составить мне компанию в экспедиции по исследова¬ нию математических и физических идей, призванных объяснить, как устроена и работает физическая Вселенная. Не бойтесь пропускать уравнения (я и сам часто так делаю), куски глав, если хотите, или даже целые главы, где, на ваш взгляд, я хватил через край. Представ¬ ленный в книге материал очень разнообразен по сложности и, если можно так выразиться, «специальности», так что, пропустив одно, вы непременно найдете что-то другое, что при¬ дется вам больше по душе. Можно и просто заглядывать в любое место и просматривать страницу-другую. Надеюсь также, что обширная система перекрестных ссылок поможет в достаточной степени прояснить любое незнакомое понятие и позволит быстро найти все, что необходимо, в пропущенных но какой-либо причине главах. Ко второй группе я отношу читателей, обладающих достаточной подготовкой для чтения и понимания возникающих по ходу рассуждения математических формул, но, возможно, не расположенных (в силу отсутствия свободного времени или по каким-то другим причинам) лично проверять истинность моих утверждений. На тот случай, если такое желание все же возникнет, рекомендую обратить внимание на упражнения, которыми я сопроводил многие математические утверждения в книге. Эти упражнения делятся по сложности на три группы: очень просто требуется немного подумать, придется серьезно потрудиться. Разумеется, необходимости в проверке нет; если хотите, можете совершенно спокойно при¬ нять все мои утверждения на веру, целостность восприятия при этом ничуть не пострадает. Надеюсь, впрочем, что предложенные упражнения будут полезны тем читателям, кто хотел бы разобраться во встречающихся на этих страницах разнообразных (и порой весьма важных) математических концепциях, но не знаком в достаточной мере с тем или иным пред¬ метом обсуждения. Общеизвестно, что навык приобретается при упражнении, и математика в этом смысле не исключение — небольшой практический опыт самостоятельного размыш¬ ления над какой-либо задачей может дать гораздо более глубокое понимание предмета, чем простое прочтение десятка описаний. (Решения всех задач можно при необходимости найти на веб-сайте www. roadsolutions . ox. ас. uk.) И наконец, читатели-специалисты. В этом случае сложностей с математикой (не так уж она, вообще говоря, и запредельна), разумеется, не возникнет вовсе и тратить время на выполнение упражнений, скорее всего, необходимости нет. Однако и специалист, возмож¬ но, найдет что-нибудь для себя полезное в моей точке зрения на различные предметы, как правило, отличной (а порой и весьма радикально) от общепринятой. Не исключено, что
20 Предисловие специалисту любопытно будет ознакомиться с моим мнением относительно ряда современ¬ ных теоретических построений (таких, например, как теория суперсимметрии, космология расширяющейся Вселенной, гипотезы о природе Большого взрыва и черных дыр, теория струн или М-теория, петлевые переменные в квантовой гравитации, теория твисторов, да и собственно фундаментальные принципы квантовой теории). Не сомневаюсь, со многим из изложенного в книге специалист нипочем не согласится, однако я убежден также, что в споре рождается истина и полемика играет в развитии науки исключительно важную роль, — поэтому без колебаний представляю на суд читателя свои выводы, которые, вполне возможно, в чем-то противоречат некоторым из общеизвестных достижений современной теоретической физики. Можно сказать, что книга эта, в сущности, посвящена отношениям между математи¬ кой и физикой, тому взаимодействию между двумя дисциплинами, которое играет далеко не последнюю роль в нашем стремлении двигаться дальше в поисках лучшей теории для описания Вселенной. Во многих современных исследованиях такое стремление изначально в значительной степени обусловлено соображениями математической красоты, глубины и изящества. Очевидно, что подобные математические факторы могут оказаться чрезвычайно продуктивными — и не раз оказывались, достаточно вспомнить кое-какие из наиболее впе¬ чатляющих достижений физики XX века: уравнение Дирака для электрона, общие основы квантовой механики и общую теорию относительности Эйнштейна. Однако решающими критериями принятия тех или иных теоретических предположений во всех этих случаях были все-таки соображения физические — главным образом результаты наблюдений. Имен¬ но адекватного физического подтверждения — т. е. экспериментальных данных или хотя бы возможности экспериментального исследования — и недостает многим современным иде¬ ям, призванным вывести наше понимание законов Вселенной на новый фундаментальный уровень. Закономерный вопрос: можно ли исходя из доступного нам математического желае¬ мого оценить шансы этих идей на успешное соответствие действительному? Вопрос весьма деликатный, и я намерен рассмотреть его с тех сторон, которые, как мне представляется, не получили достаточного освещения в литературе. Что касается тех из моих воззрений, которые могут показаться спорными, то я особо постарался недвусмысленно отметить для читателя все те места, где я позволяю себе подоб¬ ные вольности. Таким образом, перед вами самый настоящий путеводитель — путеводитель по достопримечательным идеям (и чудесам) современной физики. Подойдет эта книга и на роль учебного пособия — введения в современную физику, какой она представляется нам в первые годы третьего тысячелетия.
Благодарности В работе над книгой мне помогали очень многие люди — что, при таком объеме этой самой книги (и почти восьми годах, потребовавшихся на ее написание), совсем неудиви¬ тельно. Почти так же неудивительно и то, что ценный вклад некоторых из этих людей так и не будет нигде упомянут из-за свойственной мне неорганизованности и забывчивости. Поэтому позвольте прежде всего выразить особую признательность — а также принести искренние извинения — именно им: великодушно помогавшим мне людям, имен которых я, к сожалению, не могу здесь перечислить. Другим повезло больше, и я спешу побла¬ годарить за самые разнообразные сведения и другую помощь следующих людей: Майкла Атья, Джона Баэза, Майкла Берри, Роберта Брайанта, Дордже Броди, Райнера Вайсса, Дже¬ ральда Вестхаймера, Джеймса Викерса, Ника Вудхауса, Маргарет Глисон, Джереми Грея, Эндрю Даггинса, Фримена Дайсона, Теда Джейкобсона, Мацея Дунайски, Криса Ишема, Бернарда Кея, Джой Кристиан, Уильяма Маршалла, Лайонела Мейсона, Чарлза Миснера, Стелиоса Негрепонтиса, Сару Джонс Нельсон, Тристана Нидема, Эзру (Теда) Ньюмена, Дэниела Оя, Роберта Оссермана, Чарлза Оукли, Дона Пейджа, Оливера Пенроуза, Алана Рендалла, Вольфганга Риндлера, Джозефа Силка, Кристофа Симона, Джорджа Спарлинга, Генри Стаппа, Джона Стейчела, Пола Тода, Ричарда Томаса, Герарда ’т Хоофта, Джона Уиле¬ ра, Роберта Уолда, Ронни Уэллса, Дэвида Фаулера, Стюарта Хамероффа, Кита Ханнабасса, Люсьен Харди, Джима Хартла, Джима Хауи, Найджела Хитчина, Эндрю Ходжеса, Тома Хо¬ кинса, Дипанкара Хоума, Антона Цайлингера, Хунмо Чаня, Бернарда Шутца, Энгельберта Шюкинга и Артура Экерта. Отдельную благодарность я хочу выразить Ли Смолину, Келли Стеллу и Лейну Хьюстону — за то, что они всегда были готовы помочь мне всем, чем мог¬ ли. В огромном долгу я перед Флоренс Цоу (Шэн Цунь) за обширную помощь в вопросах физики элементарных частиц, перед Фей Даукер за помощь и здравый смысл в отношении самых разных вопросов (по большей части, тех, что возникли у меня при представлении некоторых квантовомеханических идей), перед Субиром Саркаром за ценную информацию о космологических экспериментальных данных и их интерпретации, перед Вахе Гурзадяном за аналогичную информацию и за некоторые предварительные сведения о его космологиче¬ ских находках, проливающих свет на общую геометрию Вселенной, и в особенности перед Абхаем Аштекаром за исчерпывающую информацию о теории циклических переменных и о некоторых тонких вопросах теории струн. Я благодарен Национальному научному фонду за поддержку в виде грантов PHY 93- 96246 и 00-90091, а также Фонду Леверхульме за двухгодичную почетную стипендию (2000-2002). Написанию этой книги в немалой степени способствовала моя работа в лон¬ донском Грешем-колледже (1998-2001) и в Центре гравитационной физики и геометрии при Университете штата Пенсильвания (США); чрезвычайно полезной оказалась и помощь секретаря (в особенности я благодарен Рут Престон) вкупе с местом для работы в Матема¬ тическом институте Оксфордского университета. Поистине бесценную поддержку я получил со стороны редакторов — особенно если учесть жесткие временные рамки контракта и безалаберную манеру работы автора. На ран¬ нем этапе мне очень помог Эдди Мицци — без него я, пожалуй, так и не решился бы запу¬ стить процесс превращения моих беспорядочных записок в настоящую книгу; далее эстафе¬ ту принял Ричард Лоуренс — его знание дела, опыт и терпеливая мягкая настойчивость стали ключевым фактором в доведении проекта до успешного завершения. Джон Холмс, несмотря
22 Благодарности на все препятствия, превосходно проделал непростую работу по составлению безукоризнен¬ ного предметного указателя, за что я ему очень признателен. Отдельно я хочу поблагодарить Уильяма Шоу за помощь в создании замечательной компьютерной графики, использованной для представления множества Мандельброта и гиперболической плоскости (рис. 1.2 и 2.19), а также при построении преобразований, легших в основу рис. 2.16 и 2.19. Сколько бы я ни старался, мне никогда не удастся отблагодарить по справедливости Джейкоба Фостера за его титанический труд по отысканию и сортировке ссылок, за тщательную проверку всей рукописи в предельно сжатые сроки и затыкание бесчисленных дыр, оставленных автором. Примечания в конце глав также являются, по большей части, заслугой Фостера и несут на себе яркий отпечаток его неординарной личности. Разумеется, никто из упомянутых людей не имеет никакого отношения к тем ошибкам и упущениям, которые читатель, возможно, обнаружит в книге, -—все эти недостатки целиком и полностью на совести автора. Особую благодарность я хочу выразить компании «The М. С. Escher Company» (Голлан¬ дия) за любезное разрешение воспроизвести в книге работы М. Эшера (рис. 2.11, 2.12, 2.16 и 2.22) и отдельно за разрешение опубликовать рис. 2.11 в несколько модифицированном виде (рис. 2.12 и 2.16; последний рисунок представляет собой результат явного математи¬ ческого преобразования). Права на все использованные в книге работы Эшера принадлежат компании «The М. С. Escher Company» (© 2004). Также я признателен администрации Ин¬ ститута теоретической физики при Гейдельбергском университете и Чарлзу Х.Лайнуиверу за любезное разрешение на публикацию графиков, представленных на рис. 27.19 и 28.19 соответственно. И самое главное; я бесконечно благодарен своей горячо любимой жене Ванессе — причем отнюдь не только за предоставление по первому же моему требованию замечатель¬ ных компьютерных иллюстраций (рис. 4.1, 4.2, 5.7, 6.2-6.8, 8.15, 9.1, 9.2, 9.8, 9.12, 21.36, 21.10, 27.5, 27.14, 27.15, а также многогранники на рис. 1.1), но и за неизменную любовь и заботу, за глубокое понимание и чуткость, несмотря на долгие годы жизни с человеком, который постоянно наполовину отсутствует, погруженный в какие-то свои мысли. Огромное спасибо я хочу сказать и Максу, вынужденному всю свою жизнь наблюдать меня как раз в таком отвлеченном состоянии, — спасибо не только за замедление работы над этой книгой (что в итоге поспособствовало увеличению срока ее жизни, поскольку в результате в нее вошли по крайней мере две важные вещи, о которых иначе я не упомянул бы), но и за постоянно хорошее настроение, за излучаемые им бодрость и оптимизм, которые, в свою очередь, не дают унывать и мне. В конце концов, именно благодаря обновлению жизни (живым символом которого он является) возникают новые источники идей и интуитивных озарений, необходимые для подлинного движения в будущее, движения к пониманию тех самых фундаментальных законов, которые в действительности управляют окружающей нас Вселенной.
Об условных обозначениях (Читать только в том случае, если вы знакомы с общими концепциями, но не совсем понимаете, какие буквы что обозначают у меня.) Используя в книге различные шрифты, я старался быть по возможности последователь¬ ным, однако, поскольку не все мои обозначения совпадают со стандартными, думаю, будет нелишним подробно разъяснить принятую в дальнейшем систему. Латинские или греческие буквы в светлом курсивном начертании — например, гг2, рп, lg z, cos в, егв или ех — обозначают, как общепринято, математические переменные с числен¬ ным (или скалярным) значением (обратите внимание, что для обозначения функций — таких как sin, cos или lg — используется прямой шрифт). Курсив применяется и для стандартных численных и физических констант: г, е, гг; с, G, /г, ft, д или к. Векторные или тензорные величины в их целостном (абстрактном) представлении обо¬ значаются полужирным курсивным шрифтом — например, риманов тензор кривизны R, — тогда как для записи их компонент (как главного символа, так и соответствующих индек¬ сов) используется светлый курсив: Rabcd• В абстрактно-индексном представлении тензоров (см. § 12.8) запись Rabcd может также обозначать и весь тензор R (в тех случаях, когда такая интерпретация уместна), однако из контекста, как правило, очевидно, что именно имеется в виду. Абстрактные линейные преобразования также являются в некотором роде тензо¬ рами, поэтому здесь я тоже использую полужирный курсив — например, Т. Допускают абстрактные линейные преобразования (в определенных случаях) и запись в абстрактно- индексной форме: Таь (необычное расположение индексов здесь указывает на очередность матричного умножения). Таким образом, (абстрактно-)индексная запись SabTbc соответству¬ ет произведению ST линейных преобразований. Как и в случае с тензорами, Заь или Тьс может (в зависимости от контекста или согласно явному указанию в тексте) обозначать и упорядоченный массив компонент — т. е. матрицу; матрицы у меня обозначаются также полужирными прямыми буквами (в данном случае S или Т). Таким образом, ST обозначает произведение соответствующих матриц. «Двойственная» интерпретация таких обозначений, как Rabcd или Заь (массив компонент или уже собственно абстрактный тензор), не должна стать причиной путаницы, так как и в той, и в другой интерпретации алгебраические (или дифференциальные) соотношения, в которых эти обозначения участвуют, абсолютно иден¬ тичны. Иногда для таких величин используется и третий способ записи — схематический, или диаграммный (см., например, рис. 12.17, 12.18, 14.6, 14.7, 14.21 и 19.1). Кое-где в книге мне необходимо было провести различие между величинами четырех¬ мерного пространства-времени теории относительности и соответствующими трехмерными, чисто пространственными величинами. В этих случаях я использовал для четырехмерных величин полужирный курсивный шрифт (например, четырехмерные импульс р или коорди¬ ната ж), а для соответствующих трехмерных — полужирный прямой шрифт (т. е. р или х). По аналогии с предложенной выше оппозицией Т (матрица) и Т (абстрактное линейное преобразование) обозначение р или х мы будем рассматривать как «символ» набора из трех пространственных компонент, тогда как р или х вполне можно интерпретировать более абстрактным, бескомпонентным образом (впрочем, я не собираюсь придерживаться такой интерпретации слишком строго). Евклидову «длину» трехмерной векторной величины а = = (aiy <22, аз) мы можем обозначить буквой а, где а2 — а\ Л-а^ 4- а2, а скалярное произведе¬ ние векторов а и b = ({ц, 62, &з) — записать как а • b = а\Ь\ + Такое «точечное»
24 Об условных обозначениях обозначение скалярного произведения пригодится нам и в более общем, n-мерном, контек¬ сте — например, для записи скалярного (или внутреннего) произведения с* • £ абстрактного ковектора а и вектора £, Некоторая дополнительная сложность возникает с квантовой механикой, поскольку фи¬ зические величины здесь чаще всего представляются в виде линейных операторов. Более или менее стандартной практикой является обозначение квантово-операторных вариантов при¬ вычных классических величин посредством добавления к соответствующим буквам «кры¬ шечки» (циркумфлекса). Однако меня такой подход не совсем устраивает, так как это, на мой взгляд, ведет к совершенно ненужной перегруженности формул. (Мне больше по душе точ¬ ка зрения философского характера, согласно которой классические и квантовые величины представляют собой, в сущности, «одно и то же», — а посему будет только справедливо, если мы оставим для их обозначения одинаковые символы, — отличие лишь в том, что в классическом случае мы обоснованно пренебрегаем величинами порядка Н; иначе гово¬ ря, классический коммутативный закон аЪ — Ьа справедлив всегда, тогда как в квантовой механике аЬ вполне может отличаться от Ьа на некоторую величину порядка Н.) Вообще говоря, логичности ради, для обозначения таких линейных операторов следовало бы тоже воспользоваться полужирным курсивным шрифтом (например, Т), однако это свело бы на нет все преимущества философского подхода и разрушило бы границы, намеченные в пре¬ дыдущем абзаце. Соответственно, когда речь пойдет о конкретных квантовомеханических величинах — таких как импульс р или р либо координата х или ж, — я буду использовать те же обозначения, что и в классическом случае. Что же касается квантовых операторов, так сказать, более общего назначения, то здесь полужирный курсив будет вполне уместен (например, Q). В математике уже стало привычным использовать ажурные буквы N, Z, М, С и Fg для обозначения соответственно множества натуральных (т. е. неотрицательных целых) чисел, множества целых чисел, множества вещественных чисел, множества комплексных чисед и конечного поля, содержащего q элементов (где q — некоторая степень простого числа, см. § 16.1), a Nn, Zn, Сп и — для обозначения систем упорядоченных наборов из п таких чисел. Все это — стандартные обозначения канонических математических объектов. В настоящей книге я решил несколько расширить (что в общем-то не так уж и необычно) употребление таких символов, добавив к вышеупомянутым некоторые другие стандартные математические структуры — например, евклидово пространство Е (трехмерное) или, в об¬ щем случае, Еп (n-мерное). Часто упоминается в книге стандартное плоское четырехмерное пространство-время Минковского, являющееся, по сути, некоей разновидностью этакого «псевдоевклидова» пространства — для обозначения этого пространства я предлагаю «пу¬ стотелую» букву М (Мп здесь обозначает n-мерный вариант пространства Минковского — лоренцево пространство-время с одним временным и (п — 1) пространственными измере¬ ниями). Иногда я использую С в качестве прилагательного (со значением «комплексифи- цированный») — например, комплексное четырехмерное евклидово пространство получает в такой нотации обозначение СЕ4. Ажурную букву Р также можно использовать и как при¬ лагательное (со значением «проективный», см. § 15.6), и как существительное; в последнем случае Рп обозначает проективное n-мерное пространство (иногда я пишу РРП или СРП, если необходимо подчеркнуть, что нас интересует именно вещественное или соответственно комплексное проективное п-пространство). В теории твисторов (глава 33) существует такое понятие, как комплексное четырехмерное пространство Т, канонически связанное с про¬ странством М (или его комплекеификацией СМ), и его проективный вариант РТ. В той же теории определяют пространство N нулевых твисторов («двойное» употребление этой буквы в данном случае конфликта не вызывает) и его проективный вариант PN. Не следует путать С, употребленное в качестве прилагательного, со светлым рубле¬ ным С, которым я обозначаю «комплексное сопряжение» (см., например, §§ 13.1, 13.2).
Об условных обозначениях 25 Такое употребление, по сути, аналогично употреблению буквы С в физике элементарных частиц, где этот символ используется для обозначения операции зарядового сопряжения (иначе говоря, замены каждой частицы ее античастицей; см. главы 25 и 30). Эту операцию обычно рассматривают вместе с двумя другими фундаментальными операциями физики частиц, а именно: операции зеркального отражения (или четности) Р и операции обраще¬ ния времени Т. Полужирный рубленый шрифт служит в этой книге несколько иной цели, обозначая векторные пространства (чаще всего используются буквы V, W и Н). Буква Н закреплена за гильбертовыми пространствами квантовой механики, а Нп обозначает гиль¬ бертово пространство с n-комплексными измерениями. Векторные пространства являются, в очевидном смысле, плоскими. Пространства же искривленные (либо допускающие ис¬ кривление) обозначаются буквами каллиграфического начертания — например, А4, S или Т (особое применение найдено другому варианту каллиграфического шрифта: буквой У я обо¬ значаю нуль-бесконечность). Кроме того, следуя вполне уже сложившейся традиции (ввиду особого статуса этих объектов в -физической теории), я использую каллиграфические буквы для обозначения лагранжианов (С) и гамильтонианов (Н).
Пролог Стояла глубокая ночь. Ам-теп, главный царский мастер, искусный ремесленник и насто- ящии художник своего дела, спал на скамье в мастерской, утомленный вечерними трудами. Однако сон его был беспокоен — возможно, из-за какого-то неуловимого напряжения, раз¬ литого в воздухе. Впоследствии Ам-теп не мог ясно вспомнить, действительно ли он спал, когда все это случилось. Вдруг стало светло — словно пришло утро, — хотя старые кости мастера и уверяли его, что этого не может быть, что ночь не могла кончиться так скоро. Ам-теп резко встал со скамьи. Что-то не так. Не может заря разгораться на севере, О однако тревожный красный свет проникал именно через северное окно мастерской, выхо¬ дящее на море. Мастер подошел к окну и в недоверчивом изумлении уставился наружу. Не восходит солнце на севере — и все тут! Он был настолько изумлен, что лишь через несколько мгновений сообразил, что в открывшейся его глазам картине никакого солнца нет и в помине..., а есть лишь далекий пламенеющий столб багрового света, бьющего отвесно вверх, из моря в небеса. Пока мастер стоял у окна, верхушка столба окуталась шапкой плотного дыма, словно кто-то развернул над морем огромный черный зонт с объятой зловещим пламенем ручкой. Дымовая туча принялась расползаться вширь, становясь при этом все чернее — несомненно, в мир явился демон из преисподней. С ясного ночного неба одна за другой пропадали звезды, затмеваемые чудовищной громадой. Охваченный вполне понятным ужасом, Ам-теп тем не менее не пытался бежать, на¬ столько его заворожили совершенная симметричность и сверхъестественная красота разво¬ рачивающего перед ним действа. Мало-помалу страшная туча начала едва заметно двигаться к западу, увлекаемая постоянно дующими над морем ветрами, — увидев это, мастер облег¬ ченно перевел дыхание, и сковавшие его чары рассеялись. Однако мрачное предчувствие тут же вернулось — земля под ногами задрожала, а мгновением позже до ушей донесся ни¬ когда не слыханный мастером прежде зловещий рокот. «Что же могло вызвать такую ярость природы», — недоуменно спросил себя Ам-теп. Никогда еще на памяти мастера Бог не являл людям столь гневного лика. Первым делом мастер вспомнил о священной чаше, которую он только этим вечером закончил, — с этой чашей с самого начала все шло как-то наперекосяк. Быть может, он изоб¬ разил Быкоглавого недостаточно устрашающим? И Бога это разгневало? Впрочем, вскоре мастер осознал всю нелепость таких мыслей. Не мог столь пустячный проступок вызвать ярость, подобную той, что он только что наблюдал; к тому же, ярость эта вовсе не была направлена на него лично. Вот в Великом Дворце сейчас, наверняка, настоящий переполох. Царь-жрец, без сомнения, понимает, что медлить нельзя; должно быть, он уже сейчас пы¬ тается умилостивить этого могучего Бога всех демонов. А это означает жертвоприношения. Обычных жертв — вроде плодов или даже животных — недостаточно, чтобы укротить гнев такой силы. То есть жертвоприношения будут человеческими. Вдруг, к вящему своему изумлению, Ам-теп оказался отброшен вглубь комнаты мощ- ным ударом словно сгустившегося в каменный кулак воздуха; следом в окно ворвался бешеный ветер. Все это сопровождалось настолько оглушительным грохотом, что мастер на какое-то время лишился слуха. Почти все его горшки, украшенные затейливыми узора¬ ми, смело с полок и разбило о стену. Придя в себя, Ам-теп обнаружил, что лежит на полу в углу, куда его зашвырнул порыв чудовищного ветра, а в комнате царит полный разгром.
Пролог 27 С болью взирал мастер на разбитую в мелкие черепки большую урну, которой он особенно гордился, на обращенные в прах тонкие орнаменты, потребовавшие многих часов и дней кропотливого труда. Ам-теп неуверенно поднялся на ноги и, помедлив, снова приблизился к окну, на сей раз с гораздо большим трепетом, и опять устремил взгляд на жуткое зрелище за морем. Ему показалось, что в освещенном далекой пылающей печью море что-то движется, причем движется, похоже, в его сторону. Некоторое время спустя он уже ясно мог различить, что на поверхности моря образовалось некое подобие длинного и широкого рва, который с боль¬ шой скоростью перемещается по направлению к берегу, а за ним следует крутая, точно стена береговых утесов, волна. Мастер снова замер на месте, завороженно следя, как приближа¬ ющаяся волна растет, вздымаясь в самое небо. Наконец край водяного рва достиг берега, и тут же море отступило прочь, обнажив дно, усеянное беспомощными кораблями. Отвесная стена огромной волны не заставила себя ждать — она ударила в берег с чудовищной силой, мгновенно разбив в щепки все без исключения корабли и многие из близлежащих домов. Впрочем, дом Ам-тепа уцелел, хотя вода и поднялась на невероятную высоту — мастер жил на холме и довольно далеко от моря. Великий Дворец также уцелел, однако Ам-теп подозревал, что худшее еще впереди, и он оказался прав, хотя и не знал в тот момент, насколько прав. Одно он знал твердо: принесением в жертву простого раба теперь не обойтись. Для укрощения буйного гнева ужасного Бога понадобится нечто большее. Он обратился мыслью к своим сыновьям и до¬ черям, к новорожденному внуку. Даже они теперь не в безопасности. Относительно новых человеческих жертвоприношений Ам-теп тоже оказался прав. Вскоре жрецы схватили девушку и юношу хорошего рода и доставили в ближайший храм, расположенный высоко на склоне горы. Последующий ритуал был уже близок к завер¬ шению, когда ударила новая опустошительная катастрофа. Земля содрогнулась с небыва¬ лой силой, и крыша храма обрушилась, погребя под обломками всех до единого жрецов и обе предполагаемые жертвы. Ритуал был прерван, причем случилось так, что тела его участников пролежали непотревоженными под развалинами храма три с половиной тыся¬ чи лет. Разрушения потрясали воображение, однако конец света не наступил. Многие обитатели острова, на котором жил Ам-теп, пережили ужасающее землетрясение, хотя сам Великий Дворец оказался разрушен почти до основания. За последующие годы большинство домов отстроили заново. Даже Дворец, возведенный на руинах прежнего, казалось, вернул себе т т тш немалую долю былого великолепия. И все же Ам-теп дал обет покинуть остров. Мир стал другим, и прошлого не вернуть. Тот мир, который знал Ам-теп, тысячу лет не знал войн, благословленный просвещен¬ ным владычеством Богини Земли. Пышным цветом расцветали изящные искусства, купцы беспрепятственно торговали с соседними землями. Величественный Дворец представлял собой огромных размеров лабиринт, потрясающий роскошью убранства, целый город, укра¬ шенный превосходными фресками с изображениями животных и цветов. Помимо красот во Дворце имелись проточная вода и тщательно продуманная сеть сточных труб. Война в этом мире была почти неизвестна, а потому необходимости в защитных сооружениях никто не видел. Теперь же, как понял Ам-теп, престол Богини Земли занял Бог, обладающий совсем иными представлениями о том, что важно, а что нет. Впрочем, уехать с острова Ам-теп вместе с остатками семьи смог лишь через несколько лет — на корабле, восстановленном его младшим сыном, искусным плотником и моряком. Внук Ам-тепа к тому времени вырос в бойкого мальчугана, живо интересующегося всем на свете. Путешествие заняло несколько дней, и все эти дни стояла на удивление хорошая погода. Однажды ясным вечером, когда Ам-теп рассказывал внуку об узорах, образуемых звездами в небесах, его посетила странная мысль: «А ведь рисунки созвездий не изменились
28 Пролог ни на йоту — какими они были до Катастрофы, сопровождавшей явление ужасного демона, такими остаются и сейчас». Рисунки созвездий Ам-теп знал очень хорошо — как всякий настоящий художник, он об¬ ладал цепким взглядом и отличной памятью. Почему же эти крохотные огоньки не смести¬ лись даже на малое расстояние? Почему яростный ветер той ночи не унес их прочь, не разметал по небу, как разметал он горшки в доме Ам-тепа и разбил вдребезги драгоценную урну? Все так же светила с небес Луна, и насколько мог судить Ам-теп, путь ее среди звезд тоже ничуть не изменился. Несколько месяцев после Катастрофы небо выглядело иначе, чем обычно, — полутьма даже днем, низко нависшие мрачные тучи, Солнце и Луна какого-то странного цвета, — но потом все это прошло, движение же светил, похоже, не менялось и тогда. Звезды тоже остались на прежних местах. «Если небеса, куда как более могущественные, нежели любой даже самый жуткий демон, обратили на Катастрофу столь мало внимания, —- рассуждал Ам-теп, — то почему тех, кто послал этого демона, должно хоть как-то волновать, что делают маленькие люди, живущие на маленьком острове и развлекающиеся глупыми ритуалами и человеческими жертвоприношениями?» Он вдруг устыдился, вспомнив свои собственные глупые мысли в тот момент: будто бы демону есть дело до узоров на его горшках. «Так почему же? — все спрашивал себя Ам-теп. — Какие могучие силы управляют миром и почему они порой проявляют себя столь бурным и непостижимым образом?» Мастер поделился своими сомнениями с внуком, однако вопросы так и остались без ответа. t < ♦ Прошел век, миновало тысячелетие, а ответа все не было. + # • Всю свою жизнь мастер Амфос прожил в том же маленьком городке, в каком жили его отец, дед и прадед. Он зарабатывал на жизнь изготовлением затейливо украшенных золотых браслетов, серег, церемониальных чаш и прочих изящных изделий, которые по праву можно было счесть настоящими произведениями искусства. Ремесло это передавалось в семье от отца к сыну вот уже сорок поколений — с тех самых пор, как одиннадцать веков назад в этой земле обосновался старый Ам-теп. Впрочем, от отца к сыну переходили не только умения и мастерство. Вопросы, которые задавал себе Ам-теп, не давали покоя и Амфосу. Из поколения в поколение передавался и рассказ о Великой катастрофе, уничтожившей процветающую древнюю цивилизацию, и размышления Ам-тепа о природе этой катастрофы. Как и далекий предок, Амфос понимал, что небеса высоки и безбрежны, им нет дела до земных катастроф. Тем не менее, те же катастрофы способны с легкостью уничтожить маленьких людей вместе с их хрупкими городами, человеческими жертвоприношениями и бессмысленными ритуалами. Вряд ли столь чудовищные силы снизойдут до того, чтобы обратить на ничтожные действия людей хоть какое-то внимание. Между тем, о природе этих сил люди во времена Амфоса знали ничуть не больше, чем знал Ам-теп. Амфос тщательно изучил строение растений, насекомых и прочих мелких живых су¬ ществ, а также кристаллов. Острый взгляд и наблюдательность помогли ему создать немало новых декоративных орнаментов. Интересовался он и земледелием, зачарованный тайной превращения маленького зернышка пшеницы в целый колос. Однако ничто из того, что он видел, не приближало его к ответу на главный вопрос — почему? — и Амфосом постепенно овладевало разочарование. Он верил, что все в природе должно иметь свои причины, но обнаружить эти причины не мог. Однажды ясной ночью Амфос смотрел в небо, пытаясь разглядеть в расположении звезд фигуры героев и героинь, обретших бессмертие в виде созвездий. На его взгляд скромного
Пролог - —* 29 художника, сходство было весьма отдаленным. Даже он справился бы с размещением звезд лучше — во всяком случае, сходства добился бы большего. Амфос задумался, почему же Боги не потрудились расположить звезды более упорядоченно. Больше похоже на зерна пшеницы, разбросанные торопливым сеятелем наугад по черному полю неба, нежели на воплощение божественного замысла. Вдруг ему в голову пришла странная мысль: «Не ищи причин в расположении звезд или других рассыпанных предметов; ищи скрытый всеобщий порядок в поведении вещей». «В самом деле, — размышлял Амфос, — порядок мы находим вовсе не в рисунке, какой образуют брошенные на землю зерна, но в том чудесном превращении, в результате которого каждое из этих зерен становится живым растением со сложным строением, повторяющим в мельчайших подробностях строение остальных растений того же вида. Смысл следует искать не во взаимном расположении зерен на том или ином участке поля, но в незримом таинстве внутренних сил, направляющих рост каждого отдельного зерна по одному и тому же удивительному пути. Для того, чтобы это было возможно, законы природы и в самом деле должны действовать в чрезвычайно точном согласии». Амфос пришел к убеждению, что без точных фундаментальных законов в мире не могло бы существовать никакого порядка; между тем, поведение самых различных объектов сви¬ детельствует, что порядок присутствует во всем. Более того, порядок должен быть и в наших размышлениях относительно этих материй, иначе мы рискуем впасть в серьезное заблужде¬ ние. Случилось так, что ушей Амфоса достигли слухи о некоем живущем за морем мудреце, убеждения которого во многом совпадали с выводами Амфоса. Мудрец этот считал, что нельзя слепо полагаться на традиции и учения прошлых веков. Необходимо формировать собственные убеждения, в истинности которых может убедиться любой, а для этого следует научиться получать точные умозаключения с помощью безупречных рассуждений, которые невозможно оспорить. Упомянутой точности можно достичь лишь математическим путем, то есть в основе всех рассуждений должно лежать понятие числа и его применения к гео¬ метрическим формам. Соответственно, и весь мир должен в конечном счете управляться не мифами и суевериями, но числом и геометрией. Как и Ам-теп одиннадцать веков назад, Амфос пустился в плавание. Он добрался до го¬ рода под названием Кротон, в котором трудились в поисках истины мудрец и возглавляемое им братство, состоявшее из 571 мужчины и 28 женщин. Некоторое время спустя Амфос был принят в это братство. Мудреца же звали Пифагор.
Глава 1 Истоки науки 1.1. Силы, движущие миром Какие законы правят Вселенной? Способны ли мы их познать? И если да, то как это знание может помочь нам понять устройство мира и обратить тем самым происходящие в нем процессы себе на пользу? Вопросами такого рода человечество задается с древнейших времен. Сначала люди пытались осмыслить силы, оказывающие реальное воздействие на окружающий мир, в рам¬ ках собственного повседневного опыта. Они представляли себе, что тот некто (или нечто), что управляет всем вокруг, руководствуется в своей деятельности теми же соображениями, какими руководствуются они сами в стремлении перестроить окружающее пространство под свои нужды: люди полагали, что их жизни и судьбы находятся во власти неких могу¬ щественных существ, поступки которых определяются разнообразными, но все же вполне привычными человеческими страстями и побуждениями. Такими, как гордость, тщеславие, любовь, ревность, гнев, страх, преданность, жажда возмездия или, к примеру, тяга к пре¬ красному. Соответственно явления природы и прочие естественные события — свет Солнца, дожди, бури, голод, болезни и т. д. — следовало воспринимать как прихоти богов и богинь, действующих под влиянием понятных человеческих порывов. Повлиять же на происходящие события можно в такой ситуации одним-единственным образом — попытаться как-нибудь умилостивить соответствующего божественного персонажа. Однако со временем люди начали отмечать в природных явлениях вполне определенные и надежные закономерности. Наиболее очевидный пример такой закономерности: размерен¬ ное движение Солнца по небосводу и явная связь этого движения со сменой дня и ночи. Не могло остаться незамеченным и то, что положение Солнца относительно сферы непо¬ движных звезд тесно связано с временами года, сменяющими друг друга с неумолимой регулярностью, что сопровождается ярко выраженными изменениями погодных условий и, как следствие, самым радикальным образом влияет на поведение животных и растений. Движение Луны, по всей видимости, также подчинено жесткому графику, а фазы ее опре¬ деляются положением, которое она занимает но отношению к Солнцу. Люди, населявшие те области суши, что имели выход к открытому морю, обратили внимание на регулярность приливов и отливов и явную связь этих явлений с положением (и фазой) Луны. В конечном итоге перед пытливым разумом сдались и куда более сложные видимые траектории движе¬ ния планет, открыв невиданные прежде точность и регулярность. Если небесами и впрямь правит прихоть богов, то прихоть эта по какой-то причине заключается в беспрекословном подчинении точным математическим законам. Ту же математическую регулярность, что направляла руку богов в небесах, демонстри¬ руют и законы, управляющие феноменами вполне земными (например, суточными и годо¬ выми изменениями температуры, приливами и отливами на море, ростом растений), но в той или иной степени подверженными — как не без оснований полагали наши предки — небес¬ ному влиянию. Впрочем, степень влияния небесных тел на земные дела люди зачастую преувеличивали, а природу его представляли себе превратно, склоняясь к оккультным и ми¬ стическим объяснениям астрологического толка. Прошло немало веков, прежде чем строгий
1.1. Силы, ДВИЖУЩИЕ МИРОМ 31 научный подход позволил выделить истинную картину влияния небесных тел из вороха все¬ возможных мистических гипотез. Как бы то ни было, уже в древние времена люди ясно понимали, что такое влияние существует, а математические законы, управляющие небеса¬ ми, актуальны и на Земле. В поведении земных объектов наблюдались и другие закономерности, не имеющие на первый взгляд отношения к уже упомянутым. Например, демонстрируемое всеми окружаю¬ щими предметами стремление двигаться в одном и том же направлении — в нашем случае вниз — под действием силы, называемой силой тяжести или гравитационным притяже¬ нием. Многие видели, как материя в определенных условиях преобразуется из одной формы в другую — например, при таянии льда или растворении соли в воде, — однако общее количество материи при таких преобразованиях, похоже, остается неизменным, в полном согласии с так называемым законом сохранения массы. Вдобавок некогда было замечено, что многие материальные объекты способны сохранять свою форму; из этого наблюдения выросла концепция пространственного движения твердых тел, а мы научились представлять пространственные отношения тел в терминах точной формальной геометрии — той самой геометрии трехмерного пространства, которую мы сегодня называем евклидовой. Более того, как оказалось, «прямая» в геометрии Евклида и «прямая», по которой распространяется луч света, полностью идентичны. Всем этим идеям присущи замечательная точность и красо¬ та, обладавшие неотразимой притягательностью в глазах наших предков и не утратившие своего очарования и по сеи день. Вместе с тем применительно к обыденной, повседневной жизни математическая точ¬ ность мирового порядка выглядела зачастую сухой, непривлекательной и какой-то ограни¬ ченной, несмотря на всю, казалось бы, фундаментальную истинность математики самой по себе. Соответственно многие в те давние времена позволяли себе, завороженные красо¬ той изучаемого предмета, унестись на крыльях воображения далеко за пределы разумного. В астрологии, например, геометрическим фигурам часто приписывали еще и мистические и оккультные свойства — взять хотя бы пентаграммы и гептаграммы, которые, как предпо- Рис. 1.1. Плод богатого воображения древних греков — представление о связи пяти Платоновых тел с четырьмя «стихиями» (огнем, воздухом, водой и землей) и небесным сводом (представлен додекаэд¬ ром) л
32 Глава 1 лагалось, обладали магической силой. Предпринимались попытки и усмотреть связь между Платоновыми телами и элементарными состояниями материи (см. рис. 1.1). Лишь спустя много веков смогло человечество нащупать тот путь, что привел его сегодня к более глубоко¬ му пониманию действительных связей между массой, гравитацией, геометрией, движением планет и поведением света. 1.2. Математическая истина Прежде чем предпринять первые шаги к постижению тех реальных сил, что управляют Вселенной, требовалось научиться как-то отделять истину от нагромождений умозритель¬ ных предположений. Однако для того чтобы такое отделение было хоть сколько-нибудь достоверным, древним предстояло сделать кое-что еще. Необходимо было отыскать способ, который позволил бы отделять истину от предположений в математике, — некую фор¬ мальную процедуру, применив которую можно было бы с уверенностью сказать, является данное математическое утверждение истинным или нет. Пока эта задача должным образом не разрешена, вряд ли можно всерьез надеяться на успех в решении других, значительно более сложных, задач — тех, что касаются природы движущих миром сил, какие бы взаи¬ моотношения эти самые силы с математической истиной ни связывали. Осознание того, что ключом к пониманию Вселенной является неопровержимая математика, является, пожалуй, первым из важнейших прорывов в науке вообще. О математических истинах самого разного рода догадывались еще древние египтяне и вавилоняне, однако первый камень в фундамент математического понимания (а стало быть, и науки в целом) был заложен лишь с появлением — благодаря трудам великих гре¬ ческих философов Фалеса Милетского (ок. 625-547 г. до н.э.) и Пифагорам-4* Самосского (ок. 572-497 г. до н. э.) — концепции математического доказательства. Первым формаль¬ ную процедуру доказательства предложил, судя по всему, Фалес; Пифагор же и его ученики первыми начали активно использовать эту процедуру для установления фактов, иначе не очевидных. Пифагор, кроме того, похоже, истово верил в то, что физическим миром правят арифметические идеи вообще и числа в частности. Едва ли не решающим доводом в под¬ держку этой веры стало, как говорят, обнаружение Пифагором удивительной закономер¬ ности: наиболее гармонично звучат те лиры, отношения длин струн которых представляют собой простейшие дроби (то же верно и для свирелей, только здесь значимы отношения длин стволов). Судя по всему, именно Пифагор предложил так называемый «пифагоров строй»: ряд численных отношений частот (в современной терминологии), определяющий главные частотные интервалы, на которых, в сущности, основывается вся западная музыка^12!. И все же наиболее, пожалуй, убедительно демонстрирует наличие точно определяемой связи меж¬ ду арифметикой чисел и геометрией физического пространства знаменитая теорема Пифа¬ гора — квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов (см. главу 2). У Пифагора было немало последователей — так называемых пифагорейцев, — прожи¬ вавших в городе Кротон (что на юге современной Италии), однако распространению его идей это отнюдь не способствовало, поскольку все члены Пифагорейского братства давали строгий обет хранить свои изыскания в тайне. В результате почти все их труды канули в Ле¬ ту вместе с ними. Кое-что, впрочем, просачивалось время от времени наружу, несмотря на угрозу сурового наказания (достоверно известно, что одного из ослушников за разглашение тайны утопили в море). И все же в конечном счете вклад пифагорейцев в прогресс человеческой мысли оказал¬ ся чрезвычайно велик. Вместе с формальной процедурой математического доказательства у Примечания, ссылки на которые даны в тексте в квадратных скобках, см. в конце глав (в данном случае на с. 43).
1.2. Математическая истина 33 людей впервые появилась возможность формулировать достоверные и заведомо неопровер¬ жимые утверждения — утверждения, истинность которых не вызывает сомнений и сегодня, несмотря на то что наука с тех времен шагнула далеко вперед. Людям впервые приоткрылась поистине вневременная природа математики. Что же это такое — математическое доказательство? В математике доказательством называют безупречное рассуждение, использующее лишь приемы чистой логики и поз¬ воляющее сделать однозначный вывод о справедливости того или иного математического утверждения на основании справедливости каких-либо других математических утвержде¬ ний, либо заранее установленной аналогичным образом, либо не требующей доказатель¬ ства вовсе (особые элементарные утверждения, истинность которых, по общему мнению, самоочевидна, называются аксиомами). Доказанное математическое утверждение принято называть теоремой. Среди дошедших до нас пифагорейских теорем имеются как утверждения геометриче¬ ского характера, так и утверждения «о числах». Утверждения, касающиеся только чисел, и сегодня остаются такими же абсолютно и бесспорно справедливыми, какими они были во времена Пифагора. Что до геольетрических теорем, полученных пифагорейцами с помо¬ щью процедуры математического доказательства, то, хотя справедливость этих утверждений по-прежнему не вызывает сомнений, сегодня здесь приходится делать оговорку, необходи¬ мость в которой, очевидную с точки зрения современной науки, пифагорейцы предвидеть по понятным причинам не могли. У древних была одна-единственная геометрия — та са¬ мая, что теперь называется евклидовой, — нам же известны и другие. Таким образом, при рассмотрении геометрических теорем древних греков необходимо всегда помнить о том, что справедливы эти теоремы только в евклидовой геометрии. (Подробнее эти вопросы мы обсудим в § 2.4 на примере одной из известнейших неевклидовых геометрий.) Евклидова геометрия — это вполне определенная математическая структура, основанная на собственном наборе вполне определенных аксиом (куда входят и несколько менее оче¬ видных утверждений, называемых постулатами) и дающая превосходное приближение при описании вполне определенного аспекта реального физического мира. Того самого аспекта, с которым были прекрасно знакомы древние греки и где действуют законы, управляющие геометрией твердых тел и их относительным положением относительно других твердых тел при движении в трехмерном пространстве. Некоторые геометрические свойства тел казались настолько привычными и самодостаточными, что как-то сами собой перешли в разряд «са¬ моочевидных» математических истин и были приняты в качестве аксиом (или постулатов). Однако, как мы увидим далее (см. главы 17-19, а также §§ 27.8, 27.11), специальная (с про¬ странством-временем Минковского) и общая теории относительности Эйнштейна предлага¬ ют для описания физической Вселенной иные геометрии, не только отличные от евклидовой геометрии древних греков, но и существенно более точные — хотя и точность евклидовой геометрии, надо признать, чрезвычайно высока. Таким образом, при рассмотрении геометри- KJ ческих утверждении следует проявлять осторожность — далеко не всем «аксиомам» можно доверять как подлинно истинным, в любом смысле этого слова. Что же в таком контексте следует понимать под «истиной»? Вопрос непростой, и слож¬ ность его хорошо понимал великий древнегреческий философ Платон, живший в Афинах с 429 по 347 г. до н. э., приблизительно через полтора столетия после Пифагора. Платон был убежден, что математические высказывания — т. е. предположения, истинность которых может быть установлена неопровержимо, — описывают в действительности не реальные физические объекты (такие, например, как приближенные изображения на песке квадратов, треугольников, окружностей, сфер или кубов или их же модели, выполненные из дерева или камня), но некие идеальные сущности. Он полагал, что такие идеальные сущности образуют в совокупности собственный мир, отдельный и отличный от мира физического. Сегодня мы называем этот мир платоновским миром математических форм. Физические структуры — квадраты, круги или треугольники, вырезанные из папируса или нанесенные каким-либо
34 Глава 1 инструментом на плоской поверхности, равно как и кубы, тетраэдры или шары, вырезан¬ ные из мрамора, — могут очень близко подойти к этим идеалам, но никогда не совпадут абсолютно. Настоящие математические квадраты, кубы, окружности, сферы, треугольники < ' и т, д. не принадлежат физическому миру, но существуют в платоновском идеальном мире математических форм. 1.3. «Реален» ли математический мир Платона? • * # Для своего времени идея была просто исключительной и, как выяснилось впоследствии, очень и очень продуктивной. Но можно ли сказать, что платоновский математический мир действительно существует (в каком бы то ни было постижимом смысле этого слова)? Мно- гие, в том числе и философы, сочтут такой «мир» чистым вымыслом — порождением исклю¬ чительно необузданного воображения. И все же точка зрения Платона обладает огромной научной ценностью. Прежде всего потому, что проводит четкое разделение между точными математическими объектами и теми приближениями, что мы наблюдаем в физическом мире вокруг нас. Кроме того, она снабдила нас шаблоном, которому с тех самых пор и по сего¬ дняшний день следует наука вообще. Ученые предлагают те или иные модели мира — или, чаще, отдельных аспектов мира, — которые затем проверяются на соответствие результатам предшествующих наблюдений или тщательно спланированных экспериментов. Если модель выдерживает все строгие испытания (и если она к тому же внутренне непротиворечива), то ее признают адекватной и делают соответствующие выводы. Обратите особое внима¬ ние модели эти в большинстве своем являются чисто абстрактными математическими построениями. Одна лишь постановка вопроса о внутренней непротиворечивости научной модели предполагает, в частности, что модель должна быть описана каким-либо точным образом. Необходимая степень точности достижима лишь при условии, что модель являет¬ ся математической, в противном случае мы не можем гарантировать, что на поставленные вопросы существуют вполне определенные ответы. Если вообще можно говорить о какой-либо форме существования применительно к ма¬ тематической модели, то самым подходящим местом для такого существования является платоновский мир математических форм. Можно, разумеется, принять и противоположную точку зрения: модели существуют исключительно в наших многочисленных разумах, и для их благополучного существования вовсе не требуется наделять платоновский мир какой бы то ни было абсолютностью или «реальностью». Однако полностью отрицая собственную реальность математических структур, мы рискуем, как мне представляется, упустить нечто важное. Всем известно, как вопиюще неточны, ненадежны и противоречивы в суждениях наши индивидуальные разумы. От научных же теорий мы, напротив, ожидаем точности, достоверности и непротиворечивости, то есть чего-то такого, чего не найти ни в одном из наших индивидуальных (не заслуживающих, вообще говоря, никакого доверия) разу¬ мов. В математике неизмеримо больше здравого смысла, нежели можно обнаружить в лю- бом отдельно взятом разуме. Не является ли это прямым указанием на то, что математика существует вне нас, что она обладает собственной реальностью, недоступной ни одному отдельному индивидууму? Впрочем, здесь возможно иное объяснение: математический мир не обладает независи¬ мым существованием, это всего лишь совокупность неких идей, выкристаллизовавшихся из многочисленных индивидуальных разумов, идей, которые, по всеобщему согласию, заслужи¬ вают полного доверия и принимаются как абсолютные истины. Однако и это объяснение — при всей своей привлекательности — ничего, похоже, не объясняет. Следует ли нам под «всеобщим согласием» понимать действительно «всеобщее согласие», или все же «согла¬ сие всех тех, кто в здравом уме», или, еще лучше, «согласие всех математиков, имеющих ученую степень не ниже доктора» (хотя ко временам Платона это, пожалуй, не подходит)?
1.3. «Реален» ли математический мир Платона? 35 И кто обладает правом на выдвижение «официального» мнения в случае чего? Возникает опасность «зацикливания» — для того чтобы решить, в «здравом» ли, например, уме тот или иной соглашающийся, необходимо наличие некоего внешнего стандарта. Требует на¬ личия стандарта и критерий «официальности мнения», разве что мы примем за таковой какой-либо из стандартов ненаучного характера — например, «мнение большинства» (наде¬ юсь, читатель четко представляет себе, что мнение большинства, при всей своей важности для демократически настроенного правительства, ни в коем случае не может использо¬ ваться в качестве критерия научной приемлемости). Математика же сама по себе обладает такой «здравостью», какая и не снилась ни одному отдельно взятому математику. У тех, кто занимается математикой профессионально (неважно, принимают ли они сами активное участие в математических исследованиях или просто используют результаты, полученные другими), рано или поздно возникает, как правило, ощущение, что они — всего лишь пу¬ тешественники в огромном мире, живущем собственной жизнью, в мире, который наделен объективной реальностью, независимой от каких бы то ни было частных мнений, будь это их собственные мнения или предположения других математиков, пусть даже и всеми признанных экспертов. Возможно, мне стоит, для большей убедительности, облечь свои аргументы в пользу действительного существования платоновского мира в несколько иной форме. Когда я го¬ ворю о «существовании» платоновского мира, я имею в виду всего-навсего объективность математической истины. Существование платоновского мира, как я себе представляю, рав¬ носильно существованию некоего объективного внешнего стандарта, который не зависит ни от наших индивидуальных мнений, ни от особенностей нашей культуры. Таким «суще¬ ствованием» могут обладать и другие абстракции, порой весьма далекие от математики, например, мораль или эстетика (см. § 1.5), однако я в данном случае предпочитаю ограни¬ читься проблемой математической объективности, существенно менее запутанной, на мой взгляд. В качестве иллюстрации рассмотрим один знаменитый пример математической исти¬ ны, причем особое внимание уделим вопросу ее «объективности». В 1637 году Пьер де Ферма сформулировал свое знаменитое утверждение, ныне известное как «последняя тео¬ рема Ферма» (никакая пара возведенных в степень п положительных целых чисел [1,31 не может дать в сумме третье число в той же степени гг, если п — целое число, больше двух), записав его на полях своего экземпляра «Арифметики», книги, написанной греческим мате¬ матиком III века Диофантом. Ниже Ферма добавил: «Я также нашел воистину удивительное этому доказательство, однако оно здесь не поместится — поля слишком узки». Более 350 лет последняя теорема Ферма оставалась недоказанной, несмотря на последовательные усилия многих выдающихся математиков. Наконец, в 1995 году, Эндрю Уайлз (опиравшийся на труды нескольких предшественников) опубликовал доказательство, которое на сегодняшний день принято математическим сообществом как обоснованное. Итак, принимаем ли мы точку зрения, согласно которой утверждение Ферма было ис¬ тинным всегда, в том числе и задолго до того момента, как Ферма его высказал? Или же справедливость этого утверждения есть феномен исключительно культурный, зависящий от субъективных стандартов сообщества математиков-людей, какими бы эти стандарты ни были? Попробуем для начала допустить, что справедливость утверждения Ферма и в самом деле субъективна. В этом случае ничто не помешало бы какому-либо другому математику, назовем его X, найти некий реальный и конкретный контрпример, опровергающий утвержде¬ ние Ферма, — при условии, разумеется, что X сделает это до 1995 года^1'4^. Математическому сообществу не останется ничего иного, как принять правильность доказательства X. После этого любые попытки Уайлза доказать утверждение Ферма обречены на провал — по той простой причине, что X представил свой контрпример первым, и, стало быть, утвержде¬ ние Ферма ложно! Зададим себе еще один вопрос: следует ли из справедливости гряду¬
36 Глава 1 щего контрутверждения X, что сам Ферма непременно ошибался, полагая обоснованным свое не поместившееся на полях, но «воистину удивительное» доказательство? При субъ¬ ективной трактовке математической истины дело вполне может обернуться так, что Ферма в свое время нашел обоснованное доказательство (которое было бы принято как таковое собратьями-математиками, потрудись Ферма его обнародовать), однако скрытность ученого привела к тому, что впоследствии X смог получить доказательство противоположного. Я убе¬ жден, что практически все математики, независимо от демонстрируемого ими отношения к «платонизму», сочтут возможность такого развития событий откровенно абсурдной. Разумеется, нельзя исключить, что в рассуждения Уайлза действительно вкралась ошиб¬ ка и, следовательно, утверждение Ферма все-таки ложно. Не исключено также и то, что рассуждения Уайлза фундаментально ошибочны, однако утверждение Ферма тем не ме¬ нее истинно. А может оказаться, что доказательство Уайлза по сути верно, но содержит «нестрогие элементы», что абсолютно недопустимо по стандартным правилам математиче¬ ской приемлемости, разработанным математиками отдаленного будущего. Однако все эти возможности не имеют никакого отношения к тому, о чем я здесь говорю. Речь идет об объективности самого утверждения Ферма, а вовсе не о том, покажется ли убедительной математикам той или иной конкретной эпохи чья-либо демонстрация истинности (или лож¬ ности) этого утверждения. Следует, пожалуй, упомянуть и о том, что с точки зрения математической логики утверждение Ферма представляет собой чрезвычайно простое математическое высказыва¬ ние [1-5] — из тех, объективность которых видна невооруженным глазом. Очень немногие математикиt1*6! склонны полагать, что истинность таких высказываний может быть хоть сколько-нибудь «субъективной» — до некоторой степени субъективно здесь можно подойти разве что к оценке убедительности того или иного доказательства. Однако в математи¬ ческих утверждениях других классов истинность вполне может оказаться «зависимой от мнения». Самым, наверное, известным из таких утверждений является так называемая ак¬ сиома выбора. В сущность аксиомы выбора нам пока вникать не обязательно (я расскажу о ней подробнее в § 16.3). Я упомянул о ней здесь просто в качестве примера. Большинство математиков, вероятно, сочтут аксиому выбора «очевидно истинной», другие, напротив, укажут, что утверждение это выглядит несколько сомнительно и вполне может оказаться ложным (я, собственно, и сам до некоторой степени склоняюсь к такой точке зрения). Тре¬ тьи отнесут аксиому выбора к утверждениям, «истинность» которых зависит от мнения, или, скорее, к утверждениям, которые можно рассматривать и так и эдак — в зависимости от того, какую систему аксиом и правил действия (так называемую «формальную систе¬ му», см. § 16.6) вы для себя выберете. Математиков, придерживающихся последней точки зрения (но признающих при этом объективность истинности простых и ясных математи¬ ческих утверждений — таких, например, как рассмотренное выше утверждение Ферма), тоже можно назвать платонистами, только более мягкого толка. Те же, кто упорно отстаи¬ вает объективность истинности даже аксиомы выбора, принадлежат к лагерю платонистов ортодоксальных. К аксиоме выбора я еще вернусь в § 16.3, так как она имеет некоторое отношение к математике, описывающей поведение физического мира на фундаментальном уровне, — несмотря на то обстоятельство, что физики-теоретики по какой-то причине почти не обра¬ щают на эту аксиому внимания. До той поры чрезмерно погружаться в детали необходи¬ мости нет. Если истинность аксиомы выбора можно так или иначе установить посредством какого-либо неопровержимого математического рассуждения ^'7\ то эта истинность целиком и полностью объективна, в каковом случае либо сама аксиома, либо ее отрицание непре¬ менно принадлежит платоновскому миру идей — в том смысле, в каком я понимаю термин «платоновский мир». Если же истинность аксиомы выбора зависит от точки зрения или каких-либо произвольных предпочтений с нашей стороны, то тогда в платоновском мире аб¬
1.3. «Реален» ли математический мир Платона? 37 солютных математических форм вы не найдете ни аксиомы выбора, ни ее отрицания (хотя не исключено, что вам встретятся утверждения вида «то-то и то-то следует из аксиомы вы¬ бора» или «аксиома выбора является теоремой согласно правилам такой-то математической системы»). Платоновскому миру могут принадлежать только те математические утверждения, ис¬ тинность которых объективна. Я бы даже сказал, что именно в математической объектив¬ ности и заключается главный смысл всей концепции математического платонизма. Фраза «такое-то математическое утверждение обладает независимым платоновским существова¬ нием» означает всего-навсего, что утверждение это истинно в объективном смысле. То же применимо и к математическим понятиям (таким, как понятие числа, например, 7, или правило умножения целых чисел, или понятие множества, содержащего бесконечное коли¬ чество элементов) — все они существуют в платоновском мире, поскольку объективны. По моему мнению, платоновское существование есть не что иное, как существование объек¬ тивное, и поэтому в нем, конечно же, нет ничего «мистического» или «ненаучного», пусть даже кому-то и удобнее эту мистику и ненаучность в нем видеть. Впрочем, как и в случае с аксиомой выбора, признание «права» на объективное су¬ ществование того или иного предлагаемого математического объекта (либо отказ в таком признании) может быть сопряжено с решением весьма деликатных и порой исключительно формальных вопросов. Тем не менее, для того чтобы оценить общую «здравость» многих математических концепций, нам совершенно необязательно быть математиками. На рис. 1.2 представлен знаменитый математический объект, называемый множеством Мандельброта, и три увеличенных его участка. Множество Мандельброта чрезвычайно сложно и замыслова¬ то устроено, причем «устроено» не человеком. Самое замечательное здесь то, что структура множества целиком и полностью определяется математическим правилом исключительной простоты. Дабы не отвлекаться от наших насущных целей, я не буду подробно описывать это правило здесь — в свое время (§ 4.5) мы до него доберемся. Однако вот на что я хочу обратить ваше внимание: когда Бенуа Мандельброт обна¬ ружил невероятную сложность тонкой структуры полученного множества, никто — и сам Бенуа Мандельброт в том числе — не имел реального представления о том, какие богат¬ ства это множество в себе содержит. Множество Мандельброта совершенно определенно не является изобретением человеческого разума. Оно просто объективно существует в самой математике. Если вообще имеет смысл говорить о существовании множества Мандельброта, то существует оно отнюдь не в наших с вами разумах, ибо ни один человек не в состоя¬ нии в полной мере постичь бесконечное разнообразие и безграничную сложность этого математического объекта. Равным образом не может оно существовать и в многочисленных компьютерных распечатках, которые пока только начинают охватывать некую малую толику его невообразимо сложно детализированной структуры, — на этих распечатках мы видим не само множество Мандельброта и даже не приближение к нему, но лишь бледную тень очень грубого приближения. И все же множество Мандельброта существует и существует вполне устойчиво: кто бы ни ставил перед компьютером задачу построения множества, каким бы ни был этот самый компьютер, структура в результате получается всегда одинаковая — и чем «глубже» мы считаем, тем более точной и детальной будет картинка. Следовательно, су¬ ществовать множество Мандельброта может только в платоновском мире математических форм, больше нигде. Я понимаю, что многим читателям и после такого предисловия сложно будет предста¬ вить себе математические структуры, наделенные каким-то действительным, независимым существованием. К таким читателям я хочу обратиться с одной простой просьбой: попро¬ буйте слегка расширить рамки привычного значения слова «существование». Разумеется, математические формы в платоновском мире существуют не совсем так, как существуют обычные физические объекты — скажем, столы и стулья — в мире нашем. Они не имеют
38 Глава 1 * а) .sV * - .* л / - •. * • ' г v^\>, . • -X '•<: •/>' б) • ■’ Г*.*’ -. 7 .-f , *>“¥ .у л,,/,!;< ‘ ■■■''?:!'; v • л> ‘ *»; ' ./s / л*л > У • *-в '^W ■ 4 'Л / ъ. • > % • - *■ .-S :.;• v- -л * ' 1- -.40. л *У >*,. <*• "7 •А- ЬУ. ". ■К Ч :-А/' ■ fC УАЯЬСЛ- ъ - • ай~*< * ..< ^ - ушк&- * Г-*- • • -А ■•' Л '< V *'•.. .> • •/ у /Чу,’ /у, л- • : / • ,v^. Jv/*/#. /4. ■• \ • С >-«ГА :;Шч^ V. з ч ' *1*И| .• ‘/ПЯК / . Г • •. ,' //TJWW ' .’л v.‘ АГ л, /,/«»4 .i4 .УУ/У • :--V. .л> Vf^vV- .!;. r-V’ *i *4% г :/ К - *4в* “ЗЗШ- - N1 . / v>/ •’ А*ЯЁй£.' /г: ?'У**$л , %%*> \ •••.». /iv^vW'V/. . ./у . о\ * .''хмив >' & W+ * .. 4/3W^/#f‘. .v^> ‘^/. у. . лЛ. >. А У ‘ • V "г 'Ai. ~''Л 2 •<ч /2 -.- . л/ >У> Рис. 1.2. а) Множество Мандельброта, б), в) и г) Увеличенные (в 11,6; 168,9 и 1042 раза) изображения некоторых участков, позволяющие увидеть чрезвычайно сложную структуру множества. Количество шагов итерации: 300 а), 300 б), 200 в), 200 г); см. примечание 4.10 пространственного местоположения, не существуют они и во времени. Объективные ма¬ тематические понятия следует представлять как вневременные объекты; не нужно думать, будто их существование начинается в тот момент, как только они в том или ином виде возникают в человеческом воображении. Замысловатые завитки множества Мандельброта, изображенные на рис. 1.2 в и 1.2 г, не были вызваны из небытия в то мгновение, когда кто-то увидел их на экране компьютера или на распечатке. Не возникли они и тогда, когда впер¬ вые была выдвинута человеком лежащая в основе множества Мандельброта общая идея — причем не обязательно самим Мандельбротом (действительно первым в этом смысле), но, скажем, Р, Бруксом и Дж. П. Мате леки в 1981 году или, может быть, кем-то другим и еще раньше. Потому что ни Брукс, ни Мателски, ни даже Мандельброт в начале своих экспери¬ ментов не имели сколько-нибудь реального представления о тех изящных тонких узорах, что воспроизведены на рис. 1.2 в и 1.2 г. Эти узоры «существовали» и прежде, они существуют с незапамятных времен и будут существовать всегда — в потенциально вневременном смысле, предполагающем, что в какое бы время, в каком бы месте, какое бы обладающее сознанием существо ни решило исследовать их структуру, оно всякий раз увидит в точности то же ! / самое, что видим сегодня мы с вами.
1.4. ТРИ МИРА И ТРИ ВЕЛИКИЕ ЗАГАДКИ 39 1.4. Три мира и три великие загадки Таким образом, математическое существование отличается не только от существования физического, но и от того существования, которым способно наделить объект наше созна¬ тельное восприятие. Тем не менее оно явно связано с двумя последними формами суще¬ ствования — т. е. с физическим и ментальным существованием, — причем соответствующие связи настолько же фундаментальны, насколько и загадочны. На рис. 1.3 я схематически изобразил все эти три формы существования — физическую, ментальную и платоновскую математическую — в виде сфер, представляющих собой объекты, принадлежащие трем раз¬ личным мирам. Здесь же показаны и загадочные связи между мирами, причем, нарисовав их таким образом, я тем самым некоторым образом навязываю читателю кое-какие свои представления (или предубеждения) относительно природы этих загадок. Рис. 1.3. Три «мира» — платоновский математический, физический и ментальный — и три связывающие их фундаментальные загадки Что касается загадки номер один — той, что связывает платоновский математический мир с миром физическим, — из рисунка видно, что непосредственное отношение к процессам физического мира имеет лишь некая малая часть мира математики. В самом деле, подав¬ ляющее большинство исследований в современной чистой математике не связаны сколько- нибудь очевидным образом ни с физикой, ни с иными науками (см. § 34.9), хотя математика и не устает удивлять нас своими неожиданными и важными практическими применения¬ ми. Аналогичное заключение можно сделать и относительно второй загадки: каким образом в определенных физических структурах (если точнее, то в здоровых и бодрствующих челове¬ ческих мозгах) возникает феномен мыслительной деятельности — я отнюдь не настаиваю на том, что структуры, способные на ментальные процессы, должны непременно преобладать в физическом мире. Возможно, мозг кошки и впрямь способен развить в себе ментальные качества, однако от, скажем, камня того же ожидать, наверное, не стоит. И наконец, третья загадка — здесь, полагаю, и без пояснений очевидно, что размышления об абсолютных ма¬ тематических истинах составляют весьма малую долю от нашей совокупной мыслительной деятельности. (По большей части, деятельность эта посвящена разнообразным заботам, ра¬ достям, огорчениям, волнениям, удовольствиям и тому подобным вещам, наполняющим на¬ шу повседневную жизнь.) В соответствии с указанным обстоятельством, основания «лучей», платоновский физический мир
40 Глава 1 связывающих каждый мир со следующим, захватывают очень небольшие части исходных миров (миры рассматриваются в направлении движения часовой стрелки). В то же время именно в таком построении и проявляется то предвзятое отношение, о котором я упоминал выше: получается, что весь следующий мир в некотором роде содержится в малой области мира предыдущего. Итак, согласно изображенной на рис. 1.3 схеме, весь физический мир управляется ма¬ тематическими законами. В последующих главах книги мы увидим, что имеются веские (хоть и неполные) свидетельства в поддержку такой точки зрения. Если верить этим свиде¬ тельствам, то приходится признать, что все, существующее в физической Вселенной, вплоть до самых мельчайших мелочей, и в самом деле управляется точными математическими принципами — может быть, уравнениями (с некоторыми из таких уравнений мы очень скоро познакомимся), а может, какими-то другими, неизвестными пока математическими струк¬ турами, фундаментально отличными от тех, что мы сегодня обозначаем термином «уравне¬ ние». Если это так, то и наши с вами физические действия целиком и полностью подчинены такому всеобщему математическому контролю, хотя «контроль» этот все же допускает опре¬ деленную случайность в поведении, управляемую строгими вероятностными принципами. Многие люди от таких предположений начинают чувствовать себя очень неуютно; у ме¬ ня и у самого, признаться, эти мысли вызывают некоторое беспокойство. Тем не менее даже мои собственные предрассудки, похоже, свидетельствуют, в общем и целом, в пользу опи¬ санной точки зрения, поскольку совершенно невозможно определить, где же следует прове¬ сти границу между физическими действиями, подчиненными математическому контролю, и действиями, такому контролю неподвластными. Мне кажется, что наше общее беспокой¬ ство возникает отчасти из-за крайне ограниченного представления об истинной сути этого пресловутого «математического контроля». Эта книга как раз и написана, помимо проче¬ го, для того, чтобы показать читателю хотя бы малую часть того невероятного богатства, мощи и красоты, которые могут открыться нам, как только мы сумеем отыскать нужные математические понятия. Одно только множество Мандельброта (см. рис. 1.2) может дать некоторое первоначаль¬ ное понимание как возможностей, которые открывают перед нами такие объекты, так и при¬ сущей им красоты. А ведь множество Мандельброта и подобные ему структуры занимают лишь крохотный островок в бескрайнем море математики — ту область, где поведение объ¬ ектов регулируется строгим вычислительным контролем. За пределами же этой области нас ждут несметные, неведомые еще богатства. Какие же в самом деле чувства вызывает у меня возможность того, что все мои действия и все поступки моих друзей управляются в конеч¬ ном итоге такого рода математическими принципами? Думаю, я смогу это вынести. Думаю даже, что для меня предпочтительнее считать, что всеми этими действиями управляет нечто, существующее в некотором объективном смысле в идеальном математическом мире Пла¬ тона, нежели позволить убедить себя в том, что поведение человека целиком и полностью определяется упрощенно-низменными мотивами вроде жадности, агрессивной жестокости или стремления к удовольствиям, каковое мировоззрение, как уверяют многие, и должно стать единственным результатом применения строго научного подхода. Впрочем, я вполне могу себе представить, что немалая часть читателей все равно не смо¬ жет с легкостью принять идею тотального владычества математических законов во Вселен¬ ной. Равным образом, многие, несомненно, найдут что возразить и на другие два предубе¬ ждения, отразившиеся на нарисованной мною схеме (рис. 1.3). Возможно, им покажется, что, изобразив на схеме, будто вся и всяческая ментальность уходит корнями в физический мир, я продемонстрировал слишком уж «твердолобонаучный» взгляд на вещи. Я готов при¬ знать, что это и в самом деле всего лишь предубежденность — хоть мы и не располагаем никакими рациональными научными свидетельствами в пользу существования «разумов», не нуждающихся в физическом «носителе», полной уверенности в невозможности такого
1.4. Три мира и три великие загадки 41 феномена у нас нет. Кроме того, не следует сбрасывать со счетов и крайне настойчивую аргументацию всевозможных религиозных деятелей, которые не только утверждают, что независимый от физического тела разум возможен, но и приводят неопровержимые (по их мнению) доказательства этого утверждения — правда, доказательства эти несколько иного рода, нежели те, что «добывает» обычная наука. И наконец, последнее мое предубеждение проявляется в том, что платоновский мир на схеме, похоже, целиком и полностью происходит из мира ментального. Этим я всего лишь хотел показать, что не бывает математических теорий, непостижимых разумом, — по крайней мере, в принципе. Существуют, разумеется, математические утверждения (даже среди, казалось бы, самых обычных арифметических задач на сложение), настолько безмерно сложные, что никто пока не нашел в себе достаточно интеллектуальных сил, чтобы с ними справиться. Однако даже такие задачи потенциально не выходят за пределы ментальных возможностей человека и вполне вписываются в схему на рис. 1.3 в том смысле, какой я в нее вкладывал. Тем не менее мне следовало бы учесть, что возможны математические утверждения, не постижимые разумом даже потенциально, — таким утверждениям места на первоначальной схеме не нашлось. (Подробнее об этой проблеме мы поговорим в § 16.6; там же попробуем разобраться, какое отношение имеет к ней знаменитая теорема Гёделя о неполноте.)t1*8! Поскольку читатель вовсе не обязан разделять все мои личные предубеждения, я решил пойти на уступки и перерисовать связи между тремя мирами таким образом, чтобы снять все возможные противоречия (результат представлен на рис. 1.4). На новой схеме учте¬ на возможность физического действия, неподвластного математическому контролю; преду¬ смотрено место для ментальной деятельности, свободной от физических структур, и для истинных математических утверждений, установление истинности которых принципиально недоступно ни разуму, ни интуиции. Такая «расширенная» схема непременно задаст нам другие загадки, еще более голово¬ ломные, чем те, с которыми я смирился в своей первоначальной картине мира (рис. 1.3). На мой взгляд, и в прежней, более компактно организованной и строго научной схеме, за¬ гадок было вполне достаточно. Причем переход к менее строгой схеме (рис. 1.4) старые загадки отнюдь не разрешил. Я по-прежнему недоумеваю, почему математические законы Рис. 1.4. Модификация схемы с рис. 1.3 с учетом феноменов, противоречащих предубеждениям автора платоновский математический физический мир
42 Глава 1 непременно должны описывать физический мир с такой феноменальной точностью. (Неко¬ торое представление об исключительной точности фундаментальных физических теорий мы получим в §§ 19.8, 26.7, 27.13.) И если бы дело было только в точности! Но нет — ничуть не менее загадочны утонченная сложность и математическая красота успешных теорий. По- прежнему абсолютно непонятно, как в определенным образом организованной физической материи — здесь я имею в виду живой человеческий (или животный) мозг — вдруг ни с того ни с сего возникает ментальное качество осмысленного осознания. И наконец, все так же неясно, каким таким хитроумным способом человек оценивает истинность математического утверждения. Это ментальное качество невозможно объяснить только тем, что наш мозг якобы запрограммирован на корректное выполнение тех или иных «вычислений». Должно быть что-то еще помимо вычислений, что-то такое, что позволяет даже самому никудыш- U о ному математику интуитивно схватывать действительный смысл таких, например, понятии, как «нуль», «один», «два», «три», «четыре» и т. дД1*9! Некоторые из вопросов, возникающих в связи с третьей загадкой, мы рассмотрим в следующей главе (а также более подробно в §§ 16.5, 16.6) применительно к формальной процедуре математического доказательства. Однако главной темой книги является все же первая из перечисленных загадок, т. е. говорить мы будем в основном о том, что имеет отношение к замечательной взаимосвязи математики и действительного поведения физиче¬ ского мира. Невозможно составить сколько-нибудь адекватное представление о необычайной мощи современной науки без хотя бы поверхностного знакомства с наиболее выдающими¬ ся математическими идеями. Не сомневаюсь, найдется немало читателей, которые сочтут необходимость разбираться со всей этой математикой слишком высокой ценой за упомя¬ нутое адекватное представление. Давайте не будем спешить — может быть, черт вовсе не так страшен, как вам показалось. Кроме того, я все еще надеюсь, что мне удастся убедить большинство из вас (несмотря на тот, возможно, негативный опыт, что вы успели накопить): математика-таки может быть увлекательным занятием! Что касается второй из великих загадок, схематически представленных на рис. 1.3 и 1.4, — т. е. тайны возникновения ментальности и в особенности осмысленного осознания — то особо оетанавливать- в ся на ней мы здесь не будем (за исключением § 34.7, где я вкратце затрону этот непростой вопрос). Ограничимся исследованием физической Вселенной и неразрывно связанных с ней математических законов — эта тема достаточно обширна, чтобы надолго занять даже самый пытливый ум. Вдобавок ко всему, вопросы, связанные с мышлением, как правило, крайне неоднозначны, и я боюсь, что обсуждение всех спорных моментов отвлечет наше внимание от главной цели книги. Хотя одно краткое замечание будет здесь, пожалуй, уместным: при нынешнем уровне знании о фундаментальной структуре физическом реальности у нас очень мало шансов достичь сколько-нибудь глубокого понимания природы разума. Как станет ясно из рассуждений, представленных в последующих главах, я убежден, что наше понимание окружающего физического мира давно уже нуждается в радикальных революционных пе¬ ременах. До тех пор пока такие перемены не настали, любое заявление о возможности реального прогресса в понимании истинной природы мыслительных процессов Представля¬ ема 14* ется мне проявлением оезудержного оптимизма 10] 1.5. Истина, Добро и Красота Схемы на рис. 1.3 и 1.4 поднимают вопросы и иного рода. До сих пор я рассматривал платоновский «мир идеальных форм» лишь в ограниченном смысле математических форм. Ключевым для математики является идеал Истины. Сам же Платон учил, что помимо истины существуют еще два фундаментальных абсолютных идеала, а именно: Добро и Красота. Я вполне готов признать существование таких идеалов и расширить понятие платоновского мира, с тем чтобы включить туда и их тоже.
1.5. Истина, Добро и Красота 43 В самом деле, еще до конца книги нам встретится несколько совершенно замечатель¬ ных примеров соотношений между истиной и красотой, проливающих свет (в котором лишь яснее видно, насколько здесь все запутано) на некоторые темные моменты, связанные с от¬ крытием и последующим принятием физических теорий (см., в частности, §§ 34.2,34.5,34.9; см. также рис. 34.1). Более того, даже если не говорить о несомненно важной (хотя зачастую и неоднозначной) роли красоты в математике, описывающей фундаментальное устройство физического мира, именно эстетические критерии выходят на первый план при разработ¬ ке математических идей самих по себе, именно эстетические критерии дают стимул для движения к открытию и в большинстве случаев указывают, куда, собственно, нужно дви¬ гаться. Я бы даже предположил, что распространенная среди математиков убежденность в существовании где-то вовне реального, независимого от человека платоновского мира основывается не в последнюю очередь на исключительной и неожиданной, скрытой прежде красоте, которая часто обнаруживается в самих идеях. Не столь очевидно связан с обсуждаемыми в этой книге темами (хотя и несомненно важен в более широком контексте) вопрос об абсолютном идеале этики: что такое хорошо и что такое плохо, и как эти абсолютные ценности воспринимаются нашим разумом? Этика составляет неотъемлемую часть ментального мира, поскольку обусловлена ценностями, фор¬ мируемыми разумными существами, и, что более значимо, самим фактом наличия сознания. Вряд ли можно говорить о какой бы то ни было этике в отсутствие существ, обладающих разумом. Понимание физических основ ментальности приобретает по мере развития науки и техники все большую значимость. Думаю, что в условиях современной технологической культуры как никогда важно не забывать при решении научных проблем и об этической стороне дела. Впрочем, рассмотрение этих вопросов сейчас может увести нас весьма далеко в сторону от непосредственной цели книги. Прежде чем приступать к разделению добра и зла, необходимо научиться адекватно отделять истинное от ложного. И наконец, еще об одной загадке рис. 1.3. Я сознательно нарисовал схему таким образом, чтобы возник парадокс. Если верить рисунку, то получается, что каждый мир (согласно моим предубеждениям) заключает в себе весь следующий мир целиком. Как же такое возможно? Я не считаю это обстоятельство достаточно веской причиной для того, чтобы расстаться с упомянутыми предубеждениями, я лишь хочу продемонстрировать наличие еще более головоломной загадки, превосходящей все те, на которые я указывал выше. Возможно, в некотором смысле три мира вовсе не являются отдельными сущностями, но лишь отражают различные аспекты некоей более фундаментальной истины, описывающей мир, как целое, — истины, о которой в настоящее время мы не имеем ни малейшего понятия. Прежде чем мы сможем должным образом объяснить все эти материи, нам еще очень во многом предстоит разобраться. На этом предлагаю лирическое отступление (которое, боюсь, и так уже чересчур затя¬ нулось) завершить. Главная его цель заключалась в том, чтобы подчеркнуть, что с глубокой древности и до наших дней математика занимает в науке центральное место. Теперь давайте попробуем краем глаза заглянуть в платоновский мир — по крайней мере в ту относитель¬ но небольшую, но чрезвычайно важную его часть, которая имеет самое непосредственное отношение к природе физической реальности. Примечания §1.2. 1.1. К сожалению, достоверными сведениями о Пифагоре, его жизни, его последователях и их науч¬ ной деятельности мы почти не располагаем — с уверенностью можно говорить лишь, что люди эти действительно существовали и что сам Пифагор отводил простым отношениям частот ре¬ шающую роль в музыкальной гармонии (см. [115]). С другой стороны, фундаментальный вклад
44 Глава 1 пифагорейцев в науку общепризнан. Соответственно я буду употреблять слова «пифагорейцы» и «пифагорейский» просто как удобные ярлыки, никоим образом не претендуя на историческую точность. 1.2. Пифагоров строй представляет собой чисто «диатоническую гамму», в которой частоты (обрат¬ но пропорциональные длинам звучащих элементов) связаны отношениями 24 : 27 : 30 : 32 : 36 : 40 : 45 : 48 — такой ряд дает множество простых отношений, порождающих приятные для слуха гармонии. «Белые клавиши» современных фортепьяно настраиваются (с неизбеж¬ ными поисками компромисса между пифагоровой чистотой гармонии и возможностями на¬ строечного ключа) в приблизительном соответствии с этими пифагоровыми отношениями — точнее, в соответствии с равномерно-темперированным строем, частоты в котором соотносят¬ ся как 1 : о? : а4 : а5, : а? : а9 : а11 : <д12, где а = 1у/2 — 1,05946... (Примечание: запись а5 означает «число а, возведенное в пятую степень», т. е. а х а х а х а х а. Величина 1у/2 представляет собой корень двенадцатой степени из двух, т. е. 21/12; таким образом, а12 — 2. См. также примечание 1.3 и §5.2.) §1.3. 1.3. Напомню (см. примечание 1.2), что под возведением числа в степень п понимается умножение этого числа на самое себя п раз. То есть 5 в степени 3 равно 125 (записывается как 53 — 125), 3 в 4-й степени равно 81 (З4 = 81) и т.д. 1.4. Собственно, пока Уайлз пытался залатать «дырку» в своем доказательстве последней теоре¬ мы Ферма (обнаруженную уже после первого представления им доказательства в Кембридже в 1993 году), среди математиков распространился слух, будто Ноам Элькис наплел контрпри¬ мер, опровергающий утверждение Ферма. Ранее, в 1988 году, именно Элькис отыскал пример, противоречащий предположению Эйлера (уравнение х4 4- у4 + z4 — w4 не имеет решения в по¬ ложительных целых числах), доказав тем самым его ложность. Почему бы, в самом деле, ему же и не доказать ложность утверждения Ферма? Впрочем, как вскоре выяснилось, электрон¬ ное почтовое сообщение, послужившее источником слухов, было датировано первым апреля и оказалось розыгрышем, устроенным Анри Дармоном (см. [726], с. 293). 1.5. Формально утверждение Ферма является Пт-высказыванием (см. § 16.6). 1.6. Я понимаю, что, делая такое заявление, я в некотором смысле попадаю в собственноручно расставленную ловушку. Дело здесь, вообще говоря, вовсе не в том, составляют ли в дей¬ ствительности меньшинство те математики, что придерживаются столь крайних субъективных взглядов (о чем я, разумеется, не могу судить, так как не проводил среди математиков социоло¬ гического опроса на этот счет), а в том, следует ли такую экстремистскую позицию принимать всерьез. Думаю, ответ на этот вопрос читатель знает и без меня. 1.7. Кое-кто из читателей, возможно, знаком с результатами Гёделя и Коэна, согласно которым ак¬ сиома выбора независима от более базисных стандартных аксиом теории множеств (системы аксиом Цермело - Френкеля). Необходимо пояснить, что из самой по себе аргументации Гёделя - Коэна вовсе не следует, что истинность аксиомы выбора никогда не будет так или иначе установ¬ лена. Это особо подчеркивается, например, в последнем параграфе книги Пола Коэна «Теория множеств и континуум-гипотеза» ([153], гл. 14, § 13) — хотя там, надо признать, Коэн более пристальное внимание уделяет все же континуум-гипотезе, а не аксиоме выбора (см. § 16.5). §1.4.. 1.8. Существует некая ирония в том, что вполне законченному антиплатонисту, искренне убежден¬ ному в том, что вся математика содержится «внутри разума» и больше нигде, приходится, по всей видимости, верить и в невозможность истинных математических утверждений, принципи¬ ально разумом непостижимых. Например, если бы последняя теорема Ферма была недоступна (в принципе) разуму, то наш антиплатонист не смог бы прийти к обоснованному заключению ни относительно ее истинности, ни относительно ее ложности, поскольку такое обоснованное заключение можно получить лишь через посредство ментального акта восприятия соответству¬ ющего доказательства или опровержения. 1.9. См., например, [616]. 1.10. Свои представления о возможном характере перемен в нашем физическом мировоззрении, необ¬ ходимых для объяснения феномена сознательного мышления, я изложил в [610, 613, 615, 616].
Глава 2 Древняя теорема и современный вопрос 2.1. Теорема Пифагора Начнем с геометрии. Что это за «другие геомет¬ рии», о которых мимоходом упоминалось в предыду¬ щей главе? Для того чтобы ответить на этот вопрос, вернемся к Пифагору и рассмотрим знаменитую те¬ орему, носящую его имя^2л1; в любом прямоуголь¬ ном треугольнике квадрат длины гипотенузы (сто¬ роны, противоположной прямому углу) равен сумме квадратов длин катетов (остальных двух сторон) (см. рис. 2.1). Почему мы должны верить, что это утвер¬ ждение истинно? Как, в самом деле, «доказать» те¬ орему Пифагора? Из всех известных способов дока¬ зательства (а их немало) я выбрал для рассмотрения два — оба исключительно прозрачны, но используют несколько различные подходы. Для доказательства первым способом нам по¬ требуется построение, изображенное на рис. 2.2. Оно состоит исключительно из квадратов двух разных размеров. Можно полагать «очевидным», что такое построение, будучи бесконечно продолжено во все стороны, позволяет запол¬ нить квадратами всю плоскость без разрывов и перекрытий, регулярным и периодическим образом. Для того чтобы убедиться в периодичности этого заполнения, соединим центры примыкающих друг к другу больших квадратов прямыми линиями; в результате мы полу¬ чим решетку из квадратов несколько большего размера, слегка наклоненную относительно исходного построения (см. рис. 2.3), но точно так же заполняющую всю плоскость. «Узоры» Рис. 2.2. Заполнение плоскости квадратами двух Рис. 2.3. Центры больших квадратов совпадают разных размеров с узлами решетки, составленной из еще больших квадратов, наклоненных относительно исходных 2 . , 2 2 а + о = с Рис. 2. i. Теорема Пифагора: в любом пря¬ моугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы с равен сумме квадратов длин катетов а и b
46 Глава 2 внутри каждого наклонного квадрата совершенно одинаковы и образуют в совокупности исходное «двухквадратное» построение. То же самое получится, если вместо центра мы вы¬ берем в каждом большом квадрате исходного построения любую другую точку (одну и ту же, разумеется, во всех квадратах). Новая наклонная квадратная решетка окажется точно такой же, как и в предыдущем случае, только сместится в какую-либо сторону с сохранением угла наклона — такое смещение называется параллельным переносом. Простоты ради выберем новую начальную точку в одной из вершин исходного построения (см. рис. 2.4). Очевидно, что площадь наклонного квадрата должна быть равна сумме площадей двух меньших квадратов — в самом деле, если разбить этот наклонный квадрат по оказавшимся внутри него линиям исходного построения (вне зависимости от выбора начальной точки), то из полученных кусков (перемещая их без поворотов друг относительно друга) можно соста¬ вить два меньших квадрата (см., например, рис. 2.5). Более того, как ясно видно на рис. 2.4, сторона большого квадрата представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, длины катетов которого равны длинам сторон соответствующих исходных квадратов. Таким образом, теорему Пифагора можно считать доказанной: квадрат гипотенузы действительно равен сумме квадратов катетов. Рис. 2.4. Наклонная квадратная решетка смещена Рис. 2.5. При любой начальной точке наклонный таким образом, что ее узлы совпадают с верши- квадрат делится на части, из которых можно со- нами исходного двухквадратного построения — ставить два меньших исходных квадрата при этом сторона наклонного квадрата оказыва¬ ется гипотенузой прямоугольного треугольника (затушеванного), длины катетов которого равны длинам сторон соответствующих исходных квад¬ ратов Вышеприведенное рассуждение и в самом деле содержит в себе все, что требуется для Л ш простого доказательства теоремы Пифагора, и даже дает нам некоторые «разумные осно¬ вания» поверить в ее истинность, — каковых оснований мы вполне могли бы не получить, ограничься я каким-либо более формальным рассуждением, т. е. последовательностью логи¬ ческих шагов без наглядного объяснения их необходимости. Однако следует отметить, что в нашем «доказательстве» мы сделали несколько неявных допущений, из которых далеко не последним является допущение о том, что очевидное на первый взгляд периодическое построение из квадратов, изображенное на рис. 2.2 (да и на рис. 2.6, если уж на то пошло), действительно возможно геометрически — не говоря уже о том, что мы почему-то решили, что геометрически возможна такая фигура, как квадрат. Что, вообще говоря, мы подразу- ф % меваем под словом «квадрат»? Обычно квадратом называют плоскую фигуру, все стороны которой равны, а все углы являются прямыми. А что такое прямой угол? Вообразим себе
2.2. Постулаты Евклида 47 * 4— в ID \Е С Рис. 2.6. Самая обыкновенная решетка, состоя- щая из одинаковых квадратов. Откуда нам извест¬ но, что такая решетка геометрически возможна? Рис. 2.7. Строим квадрат. Отрезки АВ, ВС и CD равны по длине, а углы ABC и BCD — прямые. Следует ли из этого, что отрезок DA равен трем предыдущим, а углы DAB и CDA также являются прямыми? две прямые, пересекающиеся в некоторой точке таким образом, что все четыре угла при этой точке оказываются равными. Каждый из этих равных углов и будет прямым. Попробуем теперь построить квадрат. Возьмем три одинаковых отрезка прямой (АВ, ВС и CD) и расположим их так, чтобы углы ABC и BCD были прямыми, а точки D и А рас¬ полагались бы по одну сторону от отрезка ВС (как показано на рис. 2.7). Вопрос: равен ли отрезок AD по длине трем первоначальным отрезкам? И еще: являются ли углы DAB и CDA также прямыми? Эти углы должны быть равны между собой, поскольку получившаяся фи¬ гура симметрична, но являются ли они на самом деле прямыми? Ответы на эти вопросы кажутся нам очевидными потому, что с идеей квадрата мы давно и хорошо знакомы — воз¬ можно, мы помним, как нам рассказывали в школе о каком-то Евклидовом «постулате», по которому выходит, что стороны В А и CD должны быть «параллельны» одна другой, и еще о том, что если через пару параллельных прямых провести «секущую», то «соот¬ ветственные» углы между этой секущей и параллельными непременно будут одинаковыми. Отсюда следует, что угол DAB должен быть равен углу, дополнительному к углу ADC (т. е. углу EDC на рис. 2.7, поскольку угол ADE здесь является развернутым), а также (как отмечено выше) и самому углу ADC. Угол (ADC) может быть равен своему дополнитель¬ ному углу (EDC) только в том случае, если он является прямым. Нужно еще доказать, что длина стороны AD равна длине стороны ВС, но это следует все из тех же свойств секущих к параллельным прямым (например, В А и CD). Таким образом, с помощью этого евклидова рассуждения мы и в самом деле можем доказать, что квадраты действительно существу¬ ют, а все углы в них действительно являются прямыми. Впрочем, и тут не обошлось без подводных камней. 2.2. Постулаты Евклида * • • ( « При создании своей геометрии Евклид самое пристальное внимание уделял тем до¬ пущениям, на основании которых он выстраивал свои доказательства^2'2^ В частности, он проводил четкую границу между аксиомами (т. е. утверждениями, принимаемыми без дока¬ зательства, самоочевидно истинными; сюда в основном входят определения основных по¬ нятий — точки, прямой и т. д.) и пятью постулатами (допущениями, истинность которых не столь очевидна, но которые тем не менее достаточно правдоподобно описывают геометрию нашего мира). Последнее из этих допущений — так называемый пятый постулат Евклида — считалось менее очевидным, нежели остальные, и на протяжении многих веков математи¬ ки полагали, что должен существовать способ доказать его, исходя из этих самых четырех
48 Глава 2 постулатов. Пятый постулат Евклида называют также постулатом о параллельности, и в дальнейшем я буду придерживаться именно этого термина. Прежде чем перейти к постулату о параллельности, давайте выясним, что же представ¬ ляют собой первые четыре постулата Евклида. Постулаты эти описывают геометрию плос¬ кости (евклидовой), хотя в более поздних трудах Евклид рассматривал и трехмерное про¬ странство. Основными элементами плоской евклидовой геометрии являются точки, прямые и окружности. В дальнейшем под «прямой линией» (или просто «прямой») я буду понимать линию, бесконечно протяженную в обе стороны; в противном случае я буду говорить об «от¬ резке прямой». Согласно первому постулату Евклида, любые две точки можно соединить од¬ ним и только одним отрезком прямой. Второй постулат утверждает, что любой отрезок пря¬ мой можно бесконечно (непрерывно) продолжать в обе стороны. Третий постулат говорит о возможности построения окружности с центром в любой точке и радиусом любой длины. И наконец, четвертым постулатом устанавливается равенство всех прямых углов J2-3! С современной точки зрения некоторые из этих постулатов могут показаться несколько странными (в особенности четвертый) — впрочем, от этой странности не останется и следа, если вспомнить о происхождении идеи, легших в основу евклидовой геометрии. В сущности, Евклид исследовал движение идеальных твердых тел, а также феномен конгруэнтности, ко¬ торый имел место, когда одно такое идеальное твердое тело совмещалось в своем движении с другим идеальным твердым телом. Если прямые углы в двух телах равны, то эти тела мож¬ но совместить таким образом, что прямые, образующие прямой угол в одном теле, совпадут с соответствующими прямыми другого тела. По сути, четвертый постулат устанавливает изотропность и однородность пространства — в таком пространстве две геометрические фи¬ гуры могут быть одинаковыми по форме (т. е. конгруэнтными), где бы они ни находились друг относительно друга. Второй и третий постулаты выражают идею неограниченной про¬ тяженности пространства и отсутствия в нем «дыр», первый же описывает элементарную природу отрезка прямой. Хотя взгляды Евклида на геометрию весьма отличны от сегодняш¬ них, его первые четыре постулата в общем и целом охватывают современное представление о метрическом пространстве (двумерном), бесконечно протяженном и обладающем абсолют¬ ной однородностью и изотропностью. Более того, похоже, что такая картина довольно точно соответствует, по данным современной космологии (см. §§27.11, 28.10), макроскопической пространственной природе реально существующей Вселенной. В чем же заключается пятый постулат Евклида, постулат о параллельности? В первона¬ чальной формулировке Евклида он, в сущности, сводится к следующему: если две прямые а и 6, расположенные в одной плоскости, пересекают третью прямую с (такая прямая с на¬ зывается секущей по отношению к прямым а и Ь) таким образом, что сумма внутренних углов по одну сторону прямой с оказывается меньше двух прямых углов, то прямые а и 6, будучи продолженными в ту же сторону достаточно далеко, в некоторой точке пересекутся (см. рис. 2.8 а). В другой, эквивалентной, формулировке (называемой иногда аксиомой Плей¬ фера) этот постулат выглядит так: если взять любую прямую и любую точку, не лежащую на этой прямой, то через эту точку можно провести лишь одну прямую, параллельную данной прямой (см. рис. 2.8 б). «Параллельными» здесь называются прямые, лежащие в одной плос¬ кости и нигде не пересекающиеся (вспомним также, что под «прямыми» я подразумеваю не «отрезки прямых», как Евклид, но настоящие прямые, продолжающиеся бесконечно в обе стороны) . Теперь, когда у нас есть постулат о параллельности, мы можем доказать свойство, • • • % • необходимое для обоснования существования квадрата. Если секущая пересекает две пря¬ мые таким образом, что сумма внутренних углов по одну сторону от секущей составляет Покажите, что вывод Плейфера о том, что через точку вне прямой проходит одна-единственная пря¬ мая, параллельная данной, является следствием из евклидовой формулировки (при условии, что она справедлива) постулата о параллельности.
2.3. Другое доказательство теоремы Пифагора >1 49 с \ а Если сумма этих углов меньше двух прямых углов, то прямые а и b пересекаются Через точку Р проходит 6) одна-единственная прямая, параллельная а » Рис. 2.8. а) Евклидов постулат о параллельности. Прямая с является секущей по отношению к прямым а и Ь, при этом внутренние углы при точках пересечения прямых а и b с прямой с оказываются в сумме меньше двух прямых углов. Если теперь прямые а и b бесконечно продолжить, то они обязательно где-нибудь пересекутся. 6) Аксиома Плейфера (эквивалентная постулату о параллельности): через точку Р, не лежащую на прямой а, можно провести одну и только одну прямую, параллельную а два прямых угла, то можно доказать, что эти прямые действительно параллельны. Более того, отсюда непосредственно следует, что любая другая секущая по отношению к такой паре прямых обладает тем же свойством. Собственно, для того чтобы построить квадрат, нам больше ничего и не нужно. В самом деле, используя один лишь постулат о параллель¬ ности, мы можем показать, что в результате нашего построения действительно получается квадрат, т. е. фигура, все стороны которой равны, а все углы являются прямыми. Без по¬ стулата о параллельности возможность существования квадратов (в общепринятом смысле этого термина, предполагающем, что все четыре угла квадрата — прямые) доказать невоз¬ можно. Вероятно, кому-то покажется, что столь преувеличенное беспокойство о том, какие именно допущения необходимо сделать для того, чтобы выстроить «строгое доказатель¬ ство» существования такой очевидной вещи, как простой квадрат, является не чем иным, как проявлением чрезмерного математического педантизма. К чему все эти тонкости, когда речь идет всего лишь о «квадрате» — самой обыкновенной фигуре, которая всем нам хорошо знакома? Что ж, как мы вскоре увидим, Евклид, уделяя пристальное внимание упомянутым тонкостям, проявил, вообще говоря, чрезвычайную проницательность. Благодаря своей пе¬ дантичности, Евклид ухитрился заглянуть в глубинную суть вещей и сделать во многих отношениях верные выводы о действительной геометрии Вселенной. В частности, вовсе не очевидно, что в космологическом масштабе реальной Вселенной физические «квадраты» в самом деле существуют. Для подтверждения их существования необходимы наблюдения, результаты же таких наблюдений на данный момент представляются весьма противоречи¬ выми (см. §§ 2.7, 28.10). 2.3. Доказательство теоремы Пифагора, основанное на подобии треугольников К математической значимости отказа принимать постулат о параллельности на веру мы вернемся в следующем параграфе. Соответствующие физические вопросы будут подробно а)
50 Глава 2 рассмотрены в §§ 18.4, 27.11, 28.10, 34.4. Однако прежде чем мы перейдем к обсуждению этих вопросов, думаю, будет небесполезно ознакомиться с обещанным мною выше другим доказательством теоремы Пифагора. Один из простейших способов убедиться в том, что в евклидовой геометрии утвержде¬ ние Пифагора действительно истинно, заключается в следующем: разделим данный прямо¬ угольный треугольник на два меньших треугольника, опустив из прямого угла перпендику¬ ляр на гипотенузу (рис. 2.9). Теперь на рисунке изображены три треугольника: исходный и два меньших, полученных в результате разделения. Очевидно, что площадь исходного треугольника равна сумме площадей двух меньших треугольников. Рис. 2.9. Доказательство теоремы Пифагора с помощью подобных треугольников. Возьмем прямо¬ угольный треугольник и опустим перпендикуляр из прямого угла на гипотенузу. Площади полученных таким разделением меньших треугольников составляют в сумме площадь исходного треугольника. Все три треугольника подобны, а это значит, что их площади пропорциональны квадратам их гипоте¬ нуз. Теорема Пифагора доказана Нетрудно убедиться, что все три треугольника подобны друг другу. Это означает, что они одинаковы по форме (хотя и различаются размерами), т. е. один такой треугольник мож¬ но получить из другого посредством равномерного расширения или сжатия и перемещения (с сохранением формы). Подобие этих треугольников следует из того факта, что каждый из углов одного треугольника в точности равен соответствующему углу другого треугольника. Один из углов каждого меньшего треугольника совпадает с одним из углов большого тре¬ угольника, и, кроме того, один из углов в каждом из трех треугольников прямой. Третьи углы также должны быть равными, поскольку сумма углов любого треугольника одинакова. А среди общих свойств подобных плоских фигур имеется следующее: их площади пропор¬ циональны квадратам их линейных размеров. За такой линейный размер мы можем принять длину самой длинной стороны каждого треугольника, т. е. длину гипотенузы. Отметим, что гипотенуза каждого из меньших треугольников есть не что иное, как один из катетов исход¬ ного треугольника. Поскольку площадь исходного треугольника равна сумме площадей двух меньших треугольников, отсюда непосредственно следует, что квадрат гипотенузы исходно¬ го треугольника действительно равен сумме квадратов его катетов: именно это и утверждает теорема Пифагора\ Впрочем, и в этом рассуждении мы не обошлись без некоторых допущений, требующих дополнительного рассмотрения. Одной из важных составляющих нашего рассуждения явля- * -•*** * * ется утверждение о том, что сумма углов любого треугольника всегда одинакова. (Равна эта сумма, разумеется, 180°, однако Евклид предпочитал говорить о «двух прямых углах». В бо¬ лее современной «естественной» математической терминологии говорят, что сумма углов треугольника в евклидовой геометрии равна 7г. При этом в качестве абсолютной меры угла используется единица, называемая радианом —• 1 градус (°) равен 7г/180 радиан, т. е. 180° = = 7Г.) Общепринятое доказательство этого утверждения проиллюстрировано на рис. 2.10. Продолжим отрезок СА до точки Е и проведем через точку А прямую AD, параллель¬ ную СВ. Углы EAD и АСВ равны (что следует из постулата о параллельности), также равны углы DAB и СВА. Поскольку углы EAD, DAB и ВАС составляют в сумме 7г радиан (или 180°,
2.4. Гиперболическая геометрия: конформное представление 51 В Я/х Е Рис. 2.10. Докажем, что сумма углов треугольника равна 7Г радиан (или 180°, или двум прямым углам). Продолжим СА до точки Е и построим отрезок AD, параллельный СВ. Из постулата о параллельности следует, что углы EAD и АСВ равны, также равны углы DAB и СВА. Поскольку углы EAD, DAB и ВАС составляют в сумме д, сумма углов АСВ, СВА и ВАС также должна быть равна 7г или два прямых угла), этой же величине должна быть равна и сумма углов АСВ, СВА и ВАС исходного треугольника — что и требовалось доказать. Отметим, впрочем, что для доказа¬ тельства нам пришлось воспользоваться постулатом о параллельности. В приведенном доказательстве теоремы Пифагора мы также воспользовались утвержде¬ нием о том, что площади подобных фигур пропорциональны какому-либо из их линейных размеров (в качестве такого линейного размера мы выбрали длину гипотенузы каждого треугольника). Это утверждение опирается не только на саму возможность существования подобных фигур, различных по величине (каковую возможность в случае треугольников на рис. 2.9 мы установили с помощью постулата о параллельности), но и на некоторые суще¬ ственно более сложные соображения, связанные с тем, как мы, вообще говоря, определяем «площади» непрямоугольных областей. При рассмотрении общих вопросов такого рода не обойтись без обращения к методам перехода к пределу, углубляться же в обсуждение этих материй представляется мне пока несколько преждевременным, поскольку оно неизбежно повлечет за собой другие, еще более общие, вопросы, связанные с используемыми в геомет¬ рии типами чисел (о типах чисел мы поговорим в §§ 3.1-3.3). В предыдущих параграфах содержится, помимо прочего, одна наиважнейшая идея: доказуемость теоремы Пифагора, по всей видимости, целиком и полностью зависит от ис¬ тинности постулата о параллельности. Так ли это на самом деле? А что если постулат о параллельности ложен? Означает ли это, что и сама теорема Пифагора также может не со¬ ответствовать истине? Имеет ли такое предположение хоть какой-нибудь смысл? Попробуем разобраться, что же получится, если предположить, что постулат о параллельности может быть ложным. Хочу сразу предупредить читателя: мы входим в таинственный воображаемый мир, где геометрия, которой нас учили в школе, буквально вывернута наизнанку. Впрочем, путешествие это мы предпринимаем не только забавы ради — как мы вскоре увидим, есть и более серьезная причина. 2.4. Гиперболическая геометрия: конформное представление Взгляните на репродукцию гравюры М. К. Эшера «Предел круга I», помещенную на рис. 2.11. Наряду с прочими своими достоинствами, эта гравюра замечательна еще и тем, что дает очень точное представление о так называемой гиперболической геометрии (или геометрии Лобачевского) — той самой геометрии, в которой постулат о параллельности ложен, теорема Пифагора не выполняется, а сумма углов треугольника не равна 7г. Более того, для фигуры данного размера здесь, в общем случае, не существует подобной фигуры большего размера. Эшер воспользовался в своей гравюре таким представлением гиперболической геомет¬ рии, где вся «Вселенная» гиперболической плоскости «втиснута» во внутреннюю область
52 Глава 2 .0*' •i "A л О #° тт (ЕЛ о о ■'с1 о' к iM .5с f *** Рис. 2.11. М. К. Эшер, «Предел круга I». Гравюра на дереве, очень точно иллюстрирующая конформное представление гиперболической плоскости самой обычной евклидовой плоской окружности. Для этой гиперболической Вселенной ограничивающая ее окружность является «бесконечностью». Чем ближе к ограничивающей окружности, тем теснее «сбиваются» рыбы на рисунке Эшера. Однако это не более чем ил¬ люзия. Представьте себя на месте одной из этих рыб. Неважно, где вам случилось оказаться, на краю рисунка или же неподалеку от центра — в обоих случаях прочая (гиперболическая) Вселенная будет выглядеть для вас совершенно одинаково. Понятие «расстояния» в гипер¬ болической геометрии не совпадает с таковым на евклидовой плоскости (на которой его, собственно, и приходится изображать). Глядя на рисунок Эшера с точки зрения евклидовой геометрии, мы видим, что рыбы по мере приближения к краю становятся все меньше и меньше. С «гиперболической» же точки зрения самих рыб (как белых, так и черных), их размеры и форма ничуть не отличаются от размеров и формы рыб, находящихся в центре. Внешнему евклидову наблюдателю также представляется, что рыбы подбираются к ограни¬ чивающей окружности все ближе и ближе, однако для гиперболических рыб эта граница всегда остается бесконечно далекой. С точки зрения рыб, ни сама окружность, ни какое бы то ни было «евклидово» пространство за ней просто-напросто не существуют. На наш же взгляд, вся их бесконечная Вселенная умещается исключительно в области, ограниченной окружностью. Как описать такую гиперболическую Вселенную в более строгих математических тер- минах? Представьте себе окружность в евклидовой плоскости. Множество точек, лежащих внутри этой окружности, соответствует множеству точек во всей гиперболической плоско¬ сти. Прямые в гиперболической геометрии представляются дугами евклидовых окружно¬ стей, пересекающих ограничивающую окружность ортогонально — т. е. под прямым углом. Как оказалось, гиперболическое понятие угла между двумя пересекающимися кривыми в точности совпадает с понятием угла при точке пересечения двух евклидовых кривых. Представления такого рода принято называть конформными. Поэтому представление гипер¬
2.4. Гиперболическая геометрия: конформное представление 53 болической геометрии, которым воспользовался в своей гравюре Эшер, называют иногда конформной моделью гиперболической плоскости. (Другое распространенное название этой модели — диск Пуанкаре, хотя с точки зрения исторической справедливости термин этот весьма сомнителен, см. § 2.6.) Теперь у нас есть все необходимое для того, чтобы наконец выяснить, равна ли двум пря¬ мым углам сумма углов треугольника в гиперболической геометрии. Бросив беглый взгляд на рис. 2.12, можно заподозрить, что не равна и что, скорее всего, она окажется меньше. Так, вообще говоря, и есть: сумма углов треугольника в гиперболической геометрии всегда меньше тт. Может показаться, что в этом отношении гиперболическая геометрия несколько неудобна — во всяком случае на вопрос о сумме углов треугольника «однозначного» отве¬ та здесь, похоже, нет. Впрочем, в действительности все не так уж плохо. Сложение углов гиперболического треугольника дает поразительный и весьма изящный результат; «недоста¬ ча» в сумме углов всегда пропорциональна площади треугольника. Иными словами, если обозначить углы треугольника буквами а, (3 и 7, то справедливо следующее равенство (об¬ наруженное Иоганном Генрихом Ламбертом, 1728-1777): 7г — (а + (3 + 7) = СД, где Д - площадь треугольника, а С — некоторая постоянная. Величина этой постоянной за¬ висит от «единиц», выбранных для измерения длин и площадей. Мы всегда можем выбрать масштаб таким образом, чтобы постоянная С была равна единице. Возможность выразить площадь треугольника таким простым образом является весьма примечательной особенно¬ стью гиперболической геометрии. В евклидовой геометрии выразить площадь треугольника Рис. 2.12. Та же гравюра Эшера, что и на рис. 2.11, только теперь на ней выделены гиперболиче¬ ские прямые (евклидовы прямые или дуги евклидовых окружностей, пересекающие ограничивающую окружность под прямым углом) и гиперболический треугольник. Гиперболические углы совпада¬ ют с евклидовыми углами. Постулат о параллельности (в формулировке, проиллюстрированной на рис. 2.8 б) явно нарушается, а углы треугольника дают в сумме величину, меньшую 7Г
54 Глава 2 только через его углы невозможно, определение же площади треугольника через длины его сторон значительно сложнее. Однако на этом описание гиперболической геометрии в ее конформном представле¬ нии не заканчивается, поскольку я еще не рассказал, как определяется гиперболическое расстояние между двумя точками (кроме того, мы должны знать, что такое «расстояние», прежде чем сможем всерьез говорить о площадях). Позволю себе привести выражение для определения гиперболического расстояния между точками А и В, расположенными внутри ограничивающей окружности: log QA-PB QB РА’ Рис. 2.13. В конформном представлении гиперболическое расстояние между точ¬ ками А и В равно log(QA * PB/QB • РА), где QA и т. д. — евклидовы расстояния, а Р и Q — точки, в которых евклидова окружность (гиперболическая прямая), проходящая через точки А и В и ортого¬ нальная к ограничивающей окружности, пересекает эту окружность где Р и Q — точки пересечения евклидовой окруж¬ ности (т. е. гиперболической прямой), проходящей через точки А и В и ортогональной к ограничива¬ ющей окружности, с этой самой ограничивающей окружностью; QA и т. д. — евклидовы расстояния (ем. рис. 2.13). Если хотите включить сюда постоянную С из формулы Ламберта для площади гиперболическо¬ го треугольника (в случае С ф 1), то нужно просто умножить записанное выше выражение на С"1/2 (т. е. на величину, обратную квадратному корню из С) ^ .* По причинам, которые, надеюсь, вскоре станут понят¬ ными, величину С ~1 ‘ 2 я буду называть псевдорадиу¬ сом данной геометрии. Если вас уже пугают математические выраже¬ ния — вроде вышеприведенной формулы с логариф¬ мом (log), — прошу вас, не беспокойтесь. Я приво¬ жу их исключительно для тех, кому интересны по¬ дробности. Как бы то ни было, объяснять, почему это выражение «работает» (т. е. почему определенное таким образом кратчайшее гиперболическое расстоя¬ ние между двумя точками и в самом деле измеряется вдоль гиперболической прямой или почему расстоя¬ ния, отложенные на гиперболической прямой, «скла¬ дываются» так же, как и обыкновенные евклидовы расстояния) , я не стану. В общем, я прошу проще¬ ния за логарифм, но без него тут не обойтись — такова природа вещей (хотя если быть совсем точным, то здесь должен стоять так называемый натуральный логарифм или, иначе говоря, «логарифм по основанию е»). Об этом и других логарифмах я подробно расскажу в §§ 5.2, 5.3. Мы увидим, что математические объекты, называемые логарифмами, не только чрезвычайно красивы и загадочны (как, собственно, и число е), но и во многих случаях совершенно незаменимы. Обзаведясь определением расстояния, гиперболическая геометрия получает все свой- ства евклидовой геометрии, за исключением тех, что нуждаются в постулате о параллель¬ ности. Мы можем строить треугольники и прочие плоские фигуры различных форм и раз¬ Можете ли вы указать простую причину необходимости такого преобразования? Попробуйте доказать, что если А, В и С — три последовательные точки на гиперболической прямой, то определенные по вышеприведенной формуле гиперболические расстояния (обозначим их 'АВ’ и т.д.) удо¬ влетворяют равенству ’АВ’ + ’ВС’ = ’АС’. Можно допустить, что логарифмы обладают следующим общим свойством: log(a6) = log а 4- log6 (см. §§ 5.2, 5.3).
2.5. Другие представления гиперболической геометрии 55 меров, мы можем «жестко» (т. е. сохраняя гиперболические форму и размер) перемещать их по гиперболической плоскости, причем так же свободно, как мы могли перемещать фигуры в евклидовой геометрии — естественным образом возникает понятие «конгруэнтности» двух фигур, совпадающее с аналогичным понятием евклидовой геометрии, где конгруэнтными называются фигуры, которые можно точно совместить друг с другом посредством тех или иных «жестких» перемещений. С точки зрения гиперболической геометрии, все белые — равно как и черные — рыбы на гравюре Эшера конгруэнтны. 2.5. Другие представления гиперболической геометрии Разумеется, белые рыбы отнюдь не выглядят одинаковыми по форме и размерам, но это только потому, что мы смотрим на них не в гиперболическом, а в евклидовом «ра¬ курсе». Эшер в своем рисунке всего лишь воспользовался одним из частных евклидовых представлений гиперболической геометрии. Сама по себе гиперболическая геометрия — чи¬ стая абстракция, и никакое евклидово представление не описывает ее в полной мере. Тем не менее такие представления могут оказаться очень полезными, поскольку позволяют ви¬ зуализировать гиперболическую геометрию путем соотнесения ее с вещами, более, на наш взгляд, привычными и «конкретными» — в данном случае с евклидовой геометрией. Кроме того, эти представления ясно и недвусмысленно показывают, что гиперболическая геомет¬ рия является непротиворечивой структурой и, следовательно, постулат о параллельности невозможно доказать, опираясь на прочие законы евклидовой геометрии. Существуют и другие представления гиперболической геометрии средствами геометрии евклидовой, отличные от конформного представления, использованного в рисунке Эшера. Одним из таких представлений является так называемая проективная модель. Согласно этой модели, гиперболическая плоскость так же умещается целиком внутри окружности на евклидовой плоскости, однако гиперболические прямые представлены здесь не в виде дуг окружности, но в виде самых обычных евклидовых прямых. За это очевидное упрощение, впрочем, приходится платить (причем многие находят плату чересчур высокой): гипербо¬ лические углы в проективном представлении не равны евклидовым углам. Формула для определения гиперболического расстояния между точками А и В выглядит в данном случае следующим образом (см. рис. 2.14): * 1т RA ♦ SB 2 RB•SA ’ где R и S — точки пересечения прямой, проведенной через точки А и В, с ограничивающей окружностью (отметим, что при <7=1 это выражение почти совпадает с выражением для определения расстояния в конформном представлении). Проективное представление гипер¬ болической геометрии можно получить из конформного представления путем так называе¬ мого радиального расширения (т. е. смещения всех точек внутри окружности в направлении от центра) на величину 2Д2 Д2 + г2’ где R — радиус ограничивающей окружности, а гс — евклидово расстояние от точки в кон¬ формном представлении до ограничивающей окружности, измеренное вдоль радиуса, прове- денного через эту точку (см. рис. 2.15) . На рис. 2.16 представлен результат преобразования рисунка Эшера (рис. 2.11) из конформного вида к проективному с помощью этой формулы. (Несмотря на то что многие мелкие детали стали вовсе неразличимыми, безукоризненная точность кисти Эшера очевидна и здесь.) * ЛИ Покажите, что это действительно так. (Подсказка: если хотите, можете воспользоваться геометрическим представлением Бельтрами; см. рис. 2.17.)
56 Глава 2 Рис. 2Л4. В проективном представлении форму¬ ла для определения гиперболического расстоя- 1 ния имеет вид - log(RA • SB/RB • SA), где R и S — точки пересечения евклидовой (гипербо¬ лической) прямой АВ с ограничивающей окруж¬ ностью Рис. 2.15, Для того чтобы перейти от конформ¬ ного представления к проективному, сместим все расположенные внутри окружности точки в на¬ правлении от центра на величину 2R2/(R2 4- + г с), где R — радиус ограничивающей окруж¬ ности, а г с — евклидово расстояние от точки в конформном представлении до ограничивающей окружно сти Рис. 2.16. Гравюра Эшера (рис. 2.11) в проективном представлении Между конформным и проективным представлениями существует и более наглядная геометрическая связь — через посредство еще одного хитроумного представления все той же геометрии. Всеми этими тремя представлениями мы обязаны гению итальянского геомет¬ ра Эудженио Бельтрами (1835-1900). Вообразим себе сферу 5, экватор которой совпадает
2.5. Другие представления гиперболической геометрии у 57 с ограничивающей окружностью описанного выше проективного представления ческой геометрии (см. рис. 2.17). Теперь попробуем построить представление гиперболиче¬ ской геометрии на северной полусфере S+ сферы S (это представление я буду называть полу¬ сферическим). Для того чтобы перейти от проективного представления в плоскости (в нашем случае горизонтальной) к новому представлению на сфере, мы просто-напросто проецируем все точки внутри окружности вертикально вверх (рис. 2.17 а). Прямые в плоскости, явля¬ ющиеся представлениями гиперболических прямых, на полусфере S+ предстанут в виде полуокружностей, ортогональных к экватору. Для того чтобы теперь получить из представ¬ ления на S+ конформное представление на плоскости, нам потребуется другая проекция, а именно: центральная проекция с центром в южном полюсе сферы (рис. 2.176). Такая про- екция называется стереографической, и мы еще не раз встретимся с ней на страницах этой книги (например, в §§ 8.3,18.4,22.9,33.6). Отметим два важных свойства стереографической проекции (подробнее см. § 8.3): 1) она конформна, т.е. сохраняет углы, и 2) окружности на сфере проецируются в окружности (или, в особых случаях, в прямые) на плоскости * ** Рис. 2.17. Геометрическое представление Бельтрами, связывающее три представления гиперболиче¬ ской геометрии, а) Вертикальная проекция полусферического представления (конформного на север¬ ной полусфере 5+) на экваториальный диск дает проективное представление, б) Стереографическая проекция (с центром в южном полюсе сферы) того же полусферического представления дает на эква¬ ториальном диске конформное представление Пользуясь этими свойствами стереографической проекции и описанием конформного представления гиперболической геометрии, данным в §2.4, покажите, что полусферическое представление Бельтрами, где «ги¬ перболические прямые» имеют вид вертикальных полуокружностей, конформно. Попробуйте доказать эти свойства. (Подсказка: покажите, что в случае окружностей конус проекции пересекают две плоскости с противоположным наклоном.)
58 Глава 2 Такое изобилие различных представлений гиперболической геометрии средствами ев¬ клидова пространства лишний раз подчеркивает, что все эти представления являются все¬ го лишь евклидовыми моделями — о том, что в действительности представляет собой гиперболическая геометрия, вы из них не узнаете. Гиперболическая геометрия обладает собственным «существованием в платоновском смысле» — точно так же, как и евклидова геометрия (см. § 1.3 и предисловие). Ни об одной из моделей нельзя сказать, что она описы¬ вает гиперболическую геометрию более «корректно», нежели прочие. Рассмотренные пред¬ ставления в значительной степени облегчают нам понимание исходного математического объекта, однако лишь потому, что евклидов взгляд на мир нам более привычен. Разумному существу, всю жизнь прожившему в условиях непосредственного восприятия гиперболи¬ ческой (а не евклидовой) геометрии, показалось бы куда более естественным попытаться представить евклидову геометрию гиперболическими средствами. В § 18.4 мы рассмотрим еще одну модель гиперболической геометрии, на этот раз воспользовавшись геометрией четырехмерного пространства Минковского. В С D Рис. 2.18. Вершины гиперболического «квадрата» ABCD располагаются в точках пересечения двух прямых, пересекающихся под прямым углом в точке О, с какой-либо окружностью с центром в этой же точке О. Благодаря симметрии, все четыре стороны квадрата равны; равны и все четыре его угла. Эти углы не являются прямыми, но могут составлять любую положительную величину, меньшую ^7г В завершение параграфа вернемся к вопросу о существовании в гиперболической гео¬ метрии таких объектов, как квадраты. Привычных квадратов с прямыми углами здесь, разу¬ меется, нет, но зато имеются «квадраты» более общего вида — если такой термин применим к фигуре, все углы которой являются острыми. Для построения гиперболического квадра¬ та проведем две прямые, пересекающиеся под прямым углом в точке О. Четырехугольник с вершинами в точках пересечения этих прямых (обозначим эти точки буквами А, В, С и D; см. рис. 2.18) с некоторой окружностью с центром в точке О и будет искомым «квадра¬ том». Поскольку фигура симметрична, все четыре стороны четырехугольника ABCD равны; равными должны быть и все четыре угла. Однако являются ли эти углы прямыми? В гипер¬ болической геометрии — определенно нет. Углы квадрата здесь могут иметь любую величину в интервале между 0 и 90° . Чем больше квадрат (гиперболический) — иначе говоря, чем боль¬ ше окружность в описанном построении, — тем меньшими будут его углы. На рис. 2.19 а) я изобразил решетку гиперболических квадратов в конформном представлении; в каждой
2.6. Гиперболическая геометрия в исторической перспективе 59 ч вершине сходятся пять квадратов (вместо четырех в евклидовой плоскости), а значит, каж- 2 дый угол такого квадрата равен или 72°. На рис. 2.19 б) показана та же решетка, но уже в О проективном представлении. Нетрудно видеть, что двухквадратную решетку вроде той, что изображена на рис. 2.2, из этих квадратов построить нельзя*. Рис. 2.19. Решетка из квадратов в гиперболической плоскости; в каждой вершине сходятся пять квад 2 о ратов, вследствие чего каждый угол квадрата равен -тг или 72°. а) Конформное представление. 6) Про ективное представление 5 2.6. Гиперболическая геометрия в исторической перспективе Обратимся к истории открытия гиперболической геометрии. В течение многих столе¬ тий после того, как Евклид (приблизительно в 300 г. до н.э.) обнародовал свои знаменитые «Начала», многие математики предпринимали попытки доказать пятый постулат, опираясь на другие аксиомы и постулаты. Своей кульминации эти героические усилия достигли в мо¬ нументальном трактате иезуита Джироламо Саккери, опубликованном в 1733 году. Сам Сак- кери, похоже, пришел в конце концов к выводу, что труд всей его жизни представляет собой одно сплошное недоразумение, поскольку сводится единственно к неудавшейся попытке доказать постулат о параллельности посредством демонстрации противоречивости предпо¬ ложения, что сумма углов треугольника может быть меньше двух прямых углов. Осознав, что логического доказательства, несмотря на все старания, ему получить не удастся, Саккери неубедительно заключает: С. Гипотеза об остром угле, безусловно, не имеет ничего общего с истиной, ибо противна самой природе прямой линии. Упомянутая гипотеза об «остром угле» допускает, что прямые а и b иногда не пересекают¬ ся. Гипотеза эта, вообще говоря, вполне жизнеспособна, и логическим следствием из нее является не что иное, как гиперболическая геометрия! Как же так получилось, что Саккери, по сути дела, открыл нечто, по его искреннему убеждению, невозможное, причем к открытию привела как раз попытка эту самую невоз¬ можность доказать? Для доказательства пятого постулата Евклида Саккери выбрал простой способ: сначала допустить, что пятый постулат ложен, а затем показать, что такое допуще¬ ние приводит к противоречию. Иначе говоря, он решил воспользоваться одним из самых Попробуйте построить нечто подобное из гиперболических правильных пятиугольников и квадратов.
60 Глава 2 древних и плодотворных принципов математического доказательства — принцип этот, впер¬ вые предложенный, по всей видимости, еще пифагорейцами, называется доказательство от противного (или reductio ad absurdum*, если на латыни). В соответствии с этой процедурой, для доказательства истинности какого-либо утверждения необходимо сначала предположить, что утверждение это ложно, а затем путем логических рассуждений показать, что в этом случае возникает то или иное противоречие. Обнаружив такое противоречие, математик делает вывод, что исходное утверждение является-таки истиннымJ2*6^ Доказательство от противного представляет собой очень мощный метод математического рассуждения и ши¬ роко применяется по сей день. Думаю, здесь будет уместно привести слова выдающегося математика Г. X. Харди: Столь любимое Евклидом reductio ad absurdum предоставляет математику один из самых эффективных инструментов. Оно намного превосходит по изяществу любой шахматный гамбит: шахматист может пожертвовать пешкой или даже фигурой, математик же с легкостью жертвует всей игрой сразу. I2,7! У нас еще будет возможность увидеть этот замечательный принцип в действии (см. §§3.1, 16.4, 16.6). Саккери, впрочем, отыскать противоречие не удалось. Следовательно, доказать пятый постулат он так и не смог. Однако его настойчивые попытки привели, в сущности, к тому, что он обнаружил нечто неизмеримо большее: новую геометрию, отличную от геометрии Евкли¬ да, геометрию, которую мы сегодня называем гиперболической (подробнее см. в §§ 2.4, 2.5). Из допущения ложности пятого постулата Евклида Саккери вместо ожидаемого противоре¬ чия вывел целый сонм странных на вид, почти невероятных, но чрезвычайно интересных теорем. Причем какими бы странными ни казались на первый взгляд полученные им резуль¬ таты, ни один нельзя было с чистой совестью счесть противоречием в истинном смысле этого слова. Как мы сегодня знаем, шансов найти таким образом подлинное противоречие у Сак¬ кери не было, — по той простой причине, что гиперболическая геометрия действительно существует, т. е. существует в математическом смысле в виде целостной непротиворечивой структуры. В терминах, предложенных в § 1.3, можно сказать, что гиперболическая геомет¬ рия пребывает в платоновском мире идеальных математических форм. (Вопрос о физической реальности гиперболической геометрии мы вкратце рассмотрим в §§ 2.7, 28.10.) Вскоре после Саккери попытку доказать пятый постулат Евклида от противного предпринял удивительно проницательный немецкий математик Иоганн Генрих Ламберт (1728-1777) — он также получил множество завораживающих геометрических результатов, включая и то изящное выражение (упомянутое в § 2.4), что позволяет вычислить площадь гиперболического треугольника, если известна сумма его углов. Можно предположить, что у Ламберта вполне могло в тот или иной момент сформироваться убеждение в том, что после¬ довательное отрицание пятого постулата Евклида может привести к открытию новой непро¬ тиворечивой геометрии. По всей видимости, в качестве пробной попытки Ламберт решил исследовать теоретическую возможность геометрии на «сфере мнимого радиуса», т. е. такого радиуса, который при возведении в квадрат даст отрицательное число. Согласно Ламберту, площадь Л гиперболического треугольника вычисляется по формуле 7Г— (а + /3 + 7) = — С А, где а, /3 и 7 — углы этого треугольника, а С — некая постоянная (величина —С в современной терминологии называется гауссовой кривизной гиперболической плоскости). Эта формула, в сущности, идентична предложенной еще в 1603 году Томасом Хэриотом (1560-1621) формуле, Л = R2(a -f /? + 7 — 7г), для вычисления площади Л сферическо¬ го треугольника, образуемого дугами окружности большого круга^2 81 на сфере радиуса R (см. рис. 2.20) . Для того чтобы получить из этого выражения формулу Ламберта, следует ’Доведение до нелепости (лат.). — Прим. перев. Попробуйте доказать справедливость формулы площади сферического треугольника, используя лишь соображения симметрии и тот факт, что общая площадь поверхности сферы равна 47ГЙ2. (Подсказка: начните
2.6. Гиперболическая геометрия в исторической перспективе 61 всего лишь положить Однако если мы хотим добиться положительного значения С (требуемого для гиперболиче¬ ской геометрии), радиус сферы должен быть «мнимым» (иначе говоря, представлять собой квадратный корень из отрицательного числа). Отметим, что радиус R выражается мнимой величиной (—С)”1/2. Отсюда термин «псевдорадиус», который мы ввели в § 2.4 для обозна¬ чения вещественной величины С-1/2. В современной науке построения Ламберта находят блестящее подтверждение (см. главу 4 и § 18.4, рис. 18.9), что говорит о его математическом таланте и силе предвидения. Рис. 2.20. Формула Хэриота для вычисления площади сферического треугольника имеет вид: Д = = R2{a + (3 Н- 7 — 7г), где a, j3 и 7 — углы треугольника, a R — радиус сферы, на поверхности которой этот треугольник построен. Постоянная С в формуле Ламберта для гиперболического треугольника равна С = — 1/R2 Впрочем, традиционно (и несколько несправедливо, на мой взгляд) принято считать, что Ламберт тут вовсе не при чем, а честь построения первой неевклидовой геометрии принад¬ лежит великому немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу — именно он якобы первым (на полстолетия позже Ламберта) пришел к ясному пониманию возможности существова¬ ния полностью непротиворечивой геометрии, отличной от геометрии Евклида, геометрии, в которой постулат о параллельности ложен. Будучи человеком крайне осторожным и устра¬ шившись бурной реакции, которую могло вызвать обнародование этого открытия, Гаусс решил сохранить свои находки в тайне и отказался от их публикации. 12*9^ Приблизительно через тридцать лет после того, как Гаусс начал исследования в этом направлении, гипербо¬ лическая геометрия была открыта вновь. На этот раз «открывателей» оказалось несколько, причем каждый работал совершенно самостоятельно, — среди прочих отметим венгерского математика Яноша Больяи (1829) и, особо, русского геометра Николая Ивановича Лоба¬ чевского (1826), в честь которого гиперболическую геометрию часто называют геометрией Лобачевского. Вышеописанные проективная и конформная реализации гиперболической геометрии (а также некоторые другие изящные представления, включая и упомянутое в § 2.5 полусфе¬ рическое представление) были предложены Эудженио Бельтрами в 1868 году. Конформное с отыскания площади поверхности сегмента сферы, ограниченного двумя дугами окружности большого крута, соединяющими две диаметрально противоположные точки на сфере; далее рассуждайте по аналогии, не забывая о симметрии. Пользуйтесь рис. 2.20.)
62 Глава 2 представление, однако, более известно под названием «модель Пуанкаре», поскольку повтор¬ ное открытие этого представления Пуанкаре в 1882 году наделало гораздо больше шума, нежели оригинальная работа Бельтрами (в основном благодаря интересному применению, найденному Пуанкаре для этой модели).12Л°] С проективным представлением всеми позабы¬ того старика Бельтрами произошла аналогичная история — его чаще называют «представле¬ нием Клейна». Случаи, когда с математической концепцией ассоциируется в конечном счете имя, не имеющее ничего общего с именем первооткрывателя, в математике не редкость. По крайней мере, здесь Пуанкаре действительно повторно открыл конформное представле¬ ние (а Клейн — проективное в 1871 году). А то бывало и так, что математики, чьи имена «прицепили» к тому или иному результату, о существовании этого самого результата даже В том же 1868 году Бельтрами предложил еще одно представление гиперболической геометрии, которое и принесло ему заслуженную известность. Речь идет о представлении геометрии на поверхности, которая называется псевдосферой (см. рис. 2.21). Псевдосфера получается путем вращения так называемой трактрисы (впервые исследованной Исааком mw Ньютоном в 1676 году) вокруг ее асимптоты. Асимптотой кривой называют прямую, к ко¬ торой эта кривая в бесконечности приближается сколько угодно близко, но никогда не каса¬ ется. В данном случае представим, что такая асимптота проходит по некоторой шероховатой горизонтальной плоскости; представим также, что по этой плоскости скользит легкий, пря¬ мой, жесткий стержень, к одному концу (Р) которого прикреплен тяжелый точечный груз, а другой конец (R) свободно движется вдоль асимптоты. При движении такого стержня точка Р будет описывать трактрису. В 1839 году Фердинанд Миндинг установил, что псев¬ досфера имеет постоянную отрицательную внутреннюю геометрию; опираясь на этот факт, Бельтрами и построил впоследствии первую модель гиперболической геометрии. Похоже, именно пс евд о сферическая модель Бельтрами убедила-таки математиков в непротиворечи¬ вости плоской гиперболической геометрии, поскольку на такой поверхности мера гипербо¬ лического расстояния вполне соответствует мере расстояния евклидова. Впрочем, модель эта не совсем удобна, поскольку представляет гиперболическую геометрию лишь локально, а не описывает ее целиком, как другие модели Бельтрами. 4 2.7. Гиперболическая геометрия и физическое пространство Двумя измерениями гиперболическая геометрия отнюдь не ограничивается. Имеют¬ ся версии как конформного, так и проективного представлений для большего количества измерений. Например, в случае трехмерной гиперболической геометрии место ограничи¬ вающей окружности занимает ограничивающая сфера. Внутри этой конечной евклидовой Рис. 2.21. Псевдосфера а) получается путем вращения трактрисы б) вокруг ее асимптоты. Для того чтобы построить трактрису, вообразим горизонтальную шероховатую плоскость, по которой скользит легкий, прямой, жесткий стержень. К одному концу стержня прикреплен тяжелый точечный груз Р, другой конец R свободно (без трения) движется вдоль (прямолинейной) асимптоты не подозревали! ^211^ R асимптота б)
2.7. Гиперболическая геометрия и физическое пространство 63 сферы умещается вся бесконечная трехмерная гиперболическая геометрия. В остальном та¬ кие трехмерные модели, по сути, ничем не отличаются от тех, что мы рассмотрели выше. •' • • * В конформном представлении гиперболические прямые имеют вид дуг евклидовых окруж¬ ностей, упирающихся в ограничивающую сферу под прямым углом, углы соответствуют по величине евклидовым углам, а расстояния задаются той же формулой, что и в двухмерном случае. В проективном представлении гиперболические прямые выглядят как евклидовы прямые, а расстояния вычисляются по той же формуле, какая применялась в двухмерной модели. ' .L;' / * • . '• я* ' •< 4 % v А что же наша реальная Вселенная в космологическом масштабе? Следует ли пола- • * V • • гать, что ее пространственная геометрия все-таки евклидова, или не исключено, что более •• I Aj • . точное описание Вселенной дает какая-либо другая геометрия — например, вот эта замеча- • • тельная гиперболическая геометрия, которой мы посвятили §§ 2.4-2.6 (в трехмерном, разу¬ меется, своем варианте). Вопрос серьезный и непростой. Из общей теории относительности Эйнштейна (см. §§ 17.9, 19.6) нам известко, что евклидова геометрия представляет собой всего лишь приближение (пусть и чрезвычайно точное) к реальной геометрии физического пространства. Эта реальная физическая геометрия даже не является вполне равномерной: в присутствии плотной материи пространство искажается «рябью» нерегулярности. Самое поразительное здесь, впрочем, то, что, согласно результатам наолюдении, выполненных с по¬ мощью точнейших из имеющихся в распоряжении ученых-космологов приборов, рябь эта в космологических масштабах некоторым образом «сглаживается» (причем сглаживается практически идеально; см. §§27.13, 28.4-28.10) и пространственная геометрия реальной Вселенной приходит в замечательно точное соответствие геометрии равномерной (одно¬ родной и изотропной; см. §27.11). Во всяком случае первые четыре евклидовых посгулата испытание временем, похоже, выдержали с честью и сдаваться пока не намерены. Здесь необходимо некоторое пояснение. В сущности, из известных нам геометрий усло¬ виям однородности (все точки пространства одинаковы и равнозначны) и изотропности (одинаковы и равнозначны все направления в пространстве) удовлетворяют три: евклидова геометрия, гиперболическая и эллиптическая. С евклидовой геометрией мы знакомы дав¬ но (что-то около двадцати трех столетий) и очень хорошо. О гиперболической геометрии достаточно полное представление дает настоящая глава. А что же такое эллиптическая гео¬ метрия? Если коротко, то эллиптическая плоская геометрия — это геометрия фигур, начер¬ ченных на поверхности сферы. Мы уже упоминали мельком о таком представлении в § 2.6, когда обсуждали подход Ламберта к гиперболической геометрии. На рис. 2.22 показано эше- ровское воплощение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий на примере одинаковой во всех трех случаях мозаики из ангелов и дьяволов, причем последний пред¬ ставляет собой интересную альтернативу мозаике на рис. 2.11. (Существует и трехмерная версия эллиптической геометрии, а также версии, в которых диаметрально противоположные точки сферы рассматриваются, как одна и та же точка. Несколько более подробно об этих моделях я расскажу в §27.11.) Со всей уверенностью можно сказать, что в эллиптической геометрии нарушаются второй и третий постулаты Евклида (как, собственно, и первый) — эта геометрия конечна (а через пару точек здесь можно провести несколько прямых). Так что же можно сказать, исходя из результатов наших наблюдений, о пространствен¬ ной геометрии Вселенной в космологическом масштабе? Если честно, то мы пока ничего о ней не знаем, хотя в последнее время большой популярностью пользуются заявления о том, что Евклид-таки с самого начала был абсолютно прав, его пятый постулат повсю¬ ду справедлив, а посему пространственную геометрию Вселенной можно в целом считать вполне евклидовой!2 Л2^. С другой стороны, имеются свидетельства (некоторые из них полу¬ чены во время тех же самых экспериментов), решительно и недвусмысленно указывающие на в общем и целом гиперболическую природу пространственной геометрии Вселенной !2Л31. Более того, отдельные теоретики последовательно отстаивают эллиптическую точку зрения,
64 Глава 2 а) б) в) Рис. 2.22. Три основные разновидности плоской равномерной геометрии, проиллюстрированные Эше¬ ром на примере мозаики, составленной из ангелов и дьяволов, а) Эллиптическая геометрия (положи¬ тельная кривизна), б) евклидова геометрия (нулевая кривизна) и в) гиперболическая геометрия (отри¬ цательная кривизна) в конформном представлении (гравюра «Предел круга IV», сравните с гравюрой на рис. 2.11) причем, находят ей подтверждение все в тех же данных, которые сторонники евклидовой геометрии Вселенной интерпретируют в свою пользу (см. заключительные абзацы § 34.4). Как читатель вскоре сможет убедиться самостоятельно, вопрос этот полон противоречий, что, как можно ожидать, часто приводит к весьма горячим спорам. В последних главах книги я попытаюсь изложить все основные взгляды на эту животрепещущую проблему (сохраняя
2.7. Гиперболическая геометрия и физическое пространство 65 по возможности беспристрастность, но в то же время отнюдь не скрывая, что сам я отдаю предпочтение гиперболической точке зрения). г . : К счастью для всех тех, кто, подобно мне, очарован как красотами гиперболической гео¬ метрии, так и великолепием современной физики, эта замечательная геометрия находит еще одно применение, бесспорно, играющее самую что ни на есть фундаментальную роль в сего¬ дняшнем понимании физической Вселенной. В самом деле, пространство скоростей в тео¬ рии относительности Эйнштейна есть не что иное, как трехмерная гиперболическая геомет¬ рия (см. § 18.4) — в отличие от евклидова пространства скоростей, которым оперирует клас¬ сическая теория Ньютона. Такой подход позволяет объяснить некоторые загадки относитель¬ ности. Представим себе, например, некое транспортное средство, движущееся мимо некоего здания со скоростью, близкой к скорости света; представим также, что это транспортное • • средство выпускает в направлении своего движения снаряд, разгоняя его, в свою очередь, до околосветовой скорости. Однако скорость снаряда относительно здания никак не может превышать скорость света. Несмотря на кажущуюся парадоксальность, в терминах гипербо¬ лической геометрии ситуация получает простое и логичное объяснение (см. § 18.4). Впрочем, у нас еще будет возможность обсудить эти захватывающие темы несколько позднее. Вернемся к теореме Пифагора. Поскольку для гиперболической геометрии она, как мы видели, не годится, не означает ли это, что нам следует вовсе отказаться от этого величай¬ шего дара пифагорейцев последующим поколениям? Ни в коем случае! Гиперболическая геометрия — как, собственно, и все «римановы» геометрии, обобщающие гиперболическую геометрию на пространства нерегулярной кривизны (и составляющие необходимый элемент общей теории относительности Эйнштейна; см. §§ 13.8, 14.7, 18.1, 19.6), — в значитель¬ ной степени опирается на тот факт, что в пределе малых расстояний теорема Пифагора истинна и здесь. Кроме того, без теоремы Пифагора не обходится, по всей видимости, ни одна сколько-нибудь заметная область математики и физики (взять хотя бы «унитарную» метрическую структуру квантовой механики, см. §22.3). Несмотря на то что для случая «больших» расстояний эта теорема часто оказывается в некотором смысле «неактуальной», она сохраняет свою центральную роль в геометрических структурах малых масштабов, нахо¬ дя при этом удивительно разнообразные применения, далеко превосходящие самые смелые предположения ее первооткрывателей. Примечания §2.1. 2.1. Вообще говоря, у нас нет исторически достоверных сведений о том, кто на самом деле пер¬ вым доказал теорему, которую мы сегодня называем теоремой Пифагора (см. примечание 1.1). Известны многие случаи применения этой теоремы древними египтянами и вавилонянами. Об истинной роли Пифагора или его последователей в доказательстве теоремы можно лишь догадываться. §2.2. 2.2. Несмотря на всю его тщательность, многие допущения в трудах Евклида так и остались «неучтенными» — в основном те, что связаны со всевозможными «топологическими» (в совре¬ менной терминологии) вопросами, представлявшимися Евклиду и его современникам «интуи¬ тивно очевидными». Лишь многие века спустя ученые обратили внимание на эти неупомянутые допущения (в частности, Гильберт в конце XIX века). В нашем дальнейшем рассуждении эти допущения никакой роли не играют, поэтому я также не стану о них упоминать. 2.3. См., напр., [775]. Сравните с [704], где дано изящное аксиоматическое описание четырехмерной пространственно-временной геометрии Минковского (§§ 17.8, 18.1). §2.4. 2.4. «Степенная» запись вида С~1^2 используется в этой книге весьма часто. Как я уже пояснял в примечании 1.2, запись а5 означает ах ах ах ах а\ соответственно произведение числа а на
66 Глава 2 себя в общей сложности п раз (где п — любое положительное целое число) записывается как ап. Вышесказанное распространяется и на отрицательные показатели степени: так, аГ1 есть число, обратное а, или 1/а, а а~п — число, обратное ап, или 1/ап, или, что то же самое, (а_1)п. Согласно более общему представлению (см. § 5.2), запись а1^п (где а — любое положительное число) означает «корень п-й степени из а», т. е. число (положительное), удовлетворяющее ра¬ венству {а1/п)п = а (см. примечание 1.2). Отметим также, что число агп^п равно числу а1//п, возведенному в m-ю степень. §2.6. 2.5. См. [681], XXXIII. 2.6. Существует точка зрения (так называемый интуиционизм), разделяемая некоторым (весьма небольшим) количеством математиков, в рамках которой принцип «доказательства от против¬ ного» считается неприемлемым. Основная причина такой непримиримости заключается в том, • . • с что этот принцип не всегда конструктивен, т. е. его применение может привести к утверждению о существовании математического объекта, который невозможно конструктивно определить ни¬ какими имеющимися средствами. Некоторое отношение к этой точке зрения имеют вопросы, обсуждаемые в § 16.6. См. также [382]. 2.7. См. [353], с. 34. 2.8. Дуги окружности большого круга образуют «кратчайшие» пути (так называемые геодезические кривые) на поверхности сферы; эти дуги лежат в плоскостях, проходящих через центр сферы. 2.9. Историки пока не пришли к единому мнению относительно истинной цели этих его изысканий: не исключено, что Гаусс, профессионально занимавшийся геодезическими проблемами, пытал¬ ся таким образом обнаружить в физическом пространстве измеримые отклонения от евклидовой геометрии. Принимая во внимание известную скрытность Гаусса во всем, что касалось неев¬ клидовой геометрии, представляется маловероятным, что он стал бы об этом распространяться, будь оно действительно так — тем более что такой поиск (как нам теперь известно) был бы изначально обречен на провал ввиду малости эффекта (согласно современным теоретическим оценкам). До поры решено считать, что Гаусс «просто занимался геодезией» и интересовала его кривизна не пространства, а всего лишь поверхности Земли. Однако мне как-то не верится, что при этом он совершенно отказался от идеи отыскать какое-нибудь существенное расхождение с евклидовой геометрией; см, [254, 315]. 2.10. Представлением в виде так называемой «полуплоскости Пуанкаре» (с метрической фор¬ мой (dx2 + dy2)/y2; см. §14.7) мы также обязаны Бельтрами; см. [71]. Постоянная отрица¬ тельная кривизна «метрики Пуанкаре» 4(dx2 -f dy2)/{ 1 — х2 — у2)2 (см. рис. 2.11-2.13) была в действительности обнаружена Риманом в 1854 году. 2.11. Не избежал этого и сам великий Гаусс (который, впрочем, очень часто предвидел результаты других математиков). В топологии известна «теорема Гаусса-Бонне», которая изящно дока¬ зывается с помощью так называемого «отображения Гаусса», — при том что саму теорему сформулировал в действительности Блашке, а упомянутое изящное доказательство представил Олинде Родригес. Ни Гаусс, ни Бонне не имели, по всей видимости, ни малейшего отноше¬ ния ни к теореме, ни к ее доказательству. Существует и более элементарная «теорема Гаусса- Бонне» (см., напр., [838] или [666]). §2.7. 2.12. Основным источником сведений об общей структуре Вселенной, как единого целого, являет¬ ся детальный анализ космического микроволнового фонового излучения (***КМФ ); подробнее см. §§ 27.7, 27.10, 27.11, 27.13, 28.5, 28.10, 30.14. Из литературы порекомендую в качестве крат¬ кого введения статью [180]; более новые и точные данные можно найти в работе [547] (проект BOOMERANG). См. также [346] (о проекте MAXIMA), [338] (о проекте DASI) и [72] (о проекте WMAP). 2.13. Теоретические обоснования изложены в работах [334] и [333], а анализ реальных данных по КМФ можно найти в статьях [332] (данные, полученные со спутника СОВЕ), [329, 330] (данные проекта BOOMERANG) и [331] (данные проекта WMAP). ****Английская аббревиатура — СМВ, т.е. cosmic microwave background (radiation). — Прим. перев.
Глава 3 Виды чисел в физическом мире 1 3.1. Катастрофа пифагорейцев? Вернемся теперь к принципу доказательства от противного — тому самому принципу, с помощью которого Саккери пытался доказать пятый постулат Евклида. В классической математике есть много примеров, когда этот принцип успешно работал. Один из наиболее известных восходит к пифагорейцам, которые с помощью этого принципа пришли к мате- матическому результату, глубоко взволновавшему их. Вопрос состоял в следующем: можно ли найти рациональное число (т. е. дробь), квадрат которого был бы точно равен 2? Ответ оказался отрицательным, и математическое утверждение, которое я сейчас вкратце изложу, состоит в том, что такого рационального числа не существует. Чем же так взволновало пифагорейцев это открытие? Напомним, что дробь (т. е. рациональное число) можно представить в виде отношения а/Ь двух целых чисел а и 6, где число b отлично от нуля (см. обсуждение опреде¬ ления дроби в предисловии). Пифагорейцы вначале надея¬ лись, что вся их геометрия может быть изложена в терминах длин, измеряемых рациональными числами. Рациональные числа — довольно простые величины, которые можно опи¬ сать и понять, оставаясь в рамках простых конечных тер¬ минов. Пользуясь ими, можно определять расстояния как сколь угодно малые, так и сколь угодно большие. Если бы всю геометрию можно было построить, пользуясь одними лишь рациональными числами, это сделало бы ее относи- тельно простой и легко понимаемой. В то же время запись иррационального числа есть бесконечный процесс, что, по понятным причинам, представляло для древних значитель¬ ную трудность. Что же такого трудного для понимания в том, что никакое рациональное число, будучи возведенным в квадрат, не дает 2? Труд¬ ность вытекает из самой теоремы Пифагора. Если взять (в евклидовой геометрии) квадрат, длина стороны которого равна 1, то длина его диагонали равна числу, квадрат которого ра¬ вен I2 -{-12 = 2 (см. рис. 3.1). Если никакое реальное число не может служить мерой длины диагонали квадрата, то для геометрии это действительно катастрофа. Поначалу пифаго¬ рейцы пытались описывать ситуацию с помощью «реальных чисел», представимых в виде отношений целых чисел. Посмотрим, почему такой подход не работает. Требуется понять, почему уравнение Рис. 3.1. Согласно теореме Пифа¬ гора, квадрат с длиной стороны 1 имеет диагональ длиной л/2 2 с положительными целыми числами а и b не имеет решения. Мы воспользуемся методом доказательства от противного, чтобы показать, что таких чисел анЬ не существует. Для этого
68 Глава 3 мы попробуем предположить, что такие а и Ь, напротив, существуют. Умножив обе части нашего уравнения на 62, получим его в виде а2 — 2 Ъ2, откуда ясно видно что о2 > Ъ2 > 0; Правая часть последнего уравнения 2Ъ2 четна, откуда следует, что число а также должно быть четным (оно не может быть нечетным, поскольку квадрат любого нечетного числа есть нечетное число). Следовательно, а = 2с, где с — некоторое положительное целое число. Подставив в последнее уравнение 2с вместо а и выполнив операцию возведения в квадрат, получим 4с2 — 2 Ъ2, или, разделив обе стороны на 2, Ъ2 = 2с2, откуда следует Ь2 > с2 > 0. То есть мы получили то же самое уравнение, что и выше, но с заменой а на Ъ и b на с. Заметим, что соответствующие целые числа теперь стали меньше, чем прежде. Мы можем повторять эти рассуждения снова и снова, получая бесконечную последовательность уравнений а2 = 2Ь2, Ъ2 = 2с2, с2 = 2d2, d2 = 2е2,..., где а2 > Ь2 > с2 > d2 > е2 > ..., • причем все целые числа положительны. Но любая убывающая последовательность положи¬ тельных целых чисел должна иметь конец в противоречии с тем фактом, что наша после¬ довательность бесконечна. Мы пришли к противоречию с тем, что предполагалось вначале, именно что существует рациональное число, квадрат которого равен 2. Следовательно, та¬ кого рационального числа не существует, — что и требовалось доказать t3*2!. По некоторым пунктам приведенного рассуждения следует сделать ряд замечаний. Прежде всего, в соответствии с нормальной процедурой математического доказательства некоторые свойства чисел в этом рассуждении предполагались либо «очевидными», либо установленными ранее. Например, мы использовали тот факт, что квадрат нечетного числа всегда является нечетным числом и, кроме того, что если целое число не нечетно, то оно четно. Мы также использовали тот фундаментальный факт, что всякая строго убывающая последовательность положительных целых чисел должна быть конечной. Одна из причин, по которой важно уточнить допущенйя, сделанные в ходе доказатель¬ ства (несмотря на то что некоторые из них могут быть действительно совершенно «очевид¬ ными»), состоит в том, что математиков зачастую начинают интересовать иные сущности, нежели те, к которым первоначально относилось доказательство. И если эти другие сущно¬ сти удовлетворяют тем же самым допущениям, то доказательство будет применимо и к ним, и окажется, что доказанное утверждение обладает большей общностью, чем предполагалось заранее, поскольку оно применимо также и к другим сущностям. И наоборот, если некото¬ рые из необходимых предположений для этих альтернативных сущностей не выполняются, то рассматриваемое утверждение в отношении них является ложным. (Например, важно от¬ метить, что постулат о параллельных, использованный в § 2.2 при доказательстве теоремы Пифагора, определенно ложен в гиперболической геометрии.) В вышеприведенных рассуждениях исходными сущностями были целые числа, а ин¬ тересовались мы другими — рациональными — числами, которые строились как частные от деления целых чисел. Для таких чисел действительно утверждение, что никакое из них,
3.2. Система вещественных чисел 69 будучи возведенным в квадрат, не дает 2. Однако существуют и другие виды чисел, от¬ личных от целых и рациональных. Надобность в квадратном корне из 2 заставила древних греков, в те времена во многом помимо их воли, выйти за рамки целых и рациональных чисел — тех единственных видов чисел, которые до тех пор считались возможными. Тот вид чисел, к которому они оказались вынуждены приити, мы ныне называем «вещественными числами» и представляем в виде разложений в бесконечные десятичные дроби (хотя такое представление было недоступно древним грекам). На самом деле квадратный корень из 2 существует в виде вещественного числа, а именно (в нашей современной записи) у/2 = 1,41421356237309504880168872... Физический статус таких «вещественных» чисел будет подробнее рассмотрен в следующем разделе. Из любопытства можно задать вопрос: а почему приведенное выше доказательство несуществования квадратного корня из 2 нельзя отнести и к вещественным числам (или к от¬ ношениям таких чисел, что, в сущности, то же самое)? Что будет, если во всем рассуждении мы заменим слова «целое число» на «вещественное число»? Основное отличие состоит в том, что становится неверным утверждение, будто любая строго убывающая последова¬ тельность положительных вещественных чисел должна быть конечной, — именно в этом пункте разрывается цепочка рассуждений f3*3l (Примером может служить бесконечная по- 1111 1 следовательность 1, —,...) Может возникнуть сомнение, возможно ли исполь¬ зование в этом контексте «нечетных» и «четных» вещественных чисел. На самом деле здесь не возникает трудностей, поскольку все вещественные числа можно считать четными, так как для любого вещественного числа а всегда найдется вещественное число с такое, что а ~ = 2с, т. е. деление вещественных чисел на 2 всегда возможно. 3.2. Система вещественных чисел Итак, древние греки вынуждены были прийти к выводу, что рациональные числа недо¬ статочны для успешного развития идей евклидовой геометрии. Сегодня нас уже не будет слишком волновать тот факт, что какую-то геометрическую величину нельзя измерить с ис¬ пользованием одних лишь рациональных чисел, поскольку понятие вещественного числа стало для нас вполне привычным. Хотя наши карманные калькуляторы дают лишь числа с конечным числом цифр, мы хорошо понимаем, что это всего лишь приближение, связанное с тем фактом, что калькулятор есть конечный объект. Мы готовы принять, что изображение идеального (Платонова) математического числа может потребовать бесконечно продолжа¬ ющегося десятичного разложения. Это относится, конечно, к десятичному представлению большинства дробей, напрймер 1 3 29 12 0 2, Я • « | = 1,285714285714285..., 237 148 1,60135135135... Для простых дробей десятичное разложение всегда периодично, т. е., начиная с некото рого места, бесконечная последовательность цифр состоит из некоторой бесконечно повторя
70 Глава 3 ющейся конечной последовательности. В приведенных примерах такими повторяющимися последовательностями будут соответственно 3, 6, 285714 и 135. Древние греки не знали десятичных разложений, но у них были собственные способы представления иррациональных чисел. Фактически они использовали систему представле¬ ния чисел, которую нынче называют непрерывными дробями. Здесь нет необходимости вхо¬ дить во все детали, однако уместны некоторые краткие пояснения. Непрерывная дробь 1341 есть конечное или бесконечное выражение а + (Ь4- (с-Ь (d4 где а, Ь, с, d... — положительные целые числа: а 4- b 4- - с 4- 1 d 4- • * Всякое рациональное число, большее 1, можно записать в виде такого выражения, име¬ ющего конечную длину (во избежание неоднозначности обычно требуют, чтобы последнее целое число было больше 1), например, 52/9 = 5 4- (1 4- (3 4- (2)”1)“1)“1: 52 5 + 1 3+г Чтобы представить положительное рациональное число, меньшее 1, мы просто положим / первое целое число в этом выражении равным нулю. Для представления вещественного числа, которое не является рациональным, мы должны позволить непрерывной дроби про¬ должаться бесконечно*. Вот некоторые примеры^3*5!; у/2 = 1 + (2 + (2 + (2 + (2 + • • • Г1)-1)-1)-1. 7 - V3 = 5 + (3 + (1 + (2 + (1 + (2 + (1 + +(2 + .. .Г1)-1)-1)-1)-1)"1)-1, 7г = 3 + (7+ (15 + (1 + (292 + +(1 + (1 + (1 + (2 + ...)-1)-1Г1Г1)-1Г1Г1Г1. В двух первых примерах последовательности натуральных чисел — 1, 2, 2, 2, 2,... в первом случае и 5, 3, 1, 2, 1, 2,... во втором — обладают свойством периодичности (в пер- вом случае бесконечно повторяется число 2, во втором — последовательность 1,2) . Как уже упоминалось, в обычной десятичной записи рациональным числам соответствуют конечные или бесконечные периодические разложения. В пользу древнегреческого представления чи¬ сел в виде непрерывных дробей можно записать то обстоятельство; что рациональные числа при этом всегда допускают конечное описание. В этой связи естественно спросить: какие числа дают бесконечное периодическое разложение в представлении непрерывных дробей? Ответ дает замечательная теорема, впервые доказанная, насколько мне известно, великим Поэкспериментируйте с вашим калькулятором (если на нем есть кнопки у/ и х *), чтобы получить эти разложения с достаточной точностью. Возьмите 7г = 3.141592653589793 ... (Подсказка: запишите целую часть числа, вычтите ее из исходного числа и найдите обратную величину полученного результата, с которой продолжайте ту же последовательность операций.) В предположении такой периодичности покажите, что число, представляемое каждой из этих' двух непре¬ рывных дробей, равно величине в левой части равенства. (.Подсказка: найдите квадратное уравнение, которому удовлетворяет эта величина, и используйте примечание 3.6.)
w 3.2. Система вещественных чисел 71 математиком XVIII века Жозефом Лагранжем (с его другими важнейшими идеями мы столк¬ немся позже, в частности, в главе 20). Согласно этой теореме, бесконечное периодическое разложение в непрерывную дробь дают так называемые квадратичные иррациональные чис~ ла^6К Что же это за числа и почему они так важны для геометрии древних греков? Это такие числа, которые можно записать в виде а + л/b, где а и b — дроби, причем Ъ не является полным квадратом. Такие числа играют важную роль в евклидовой геометрии, поскольку они часто встречаются в задачах на построение при помощи циркуля и линейки. (Напомним, что теорема Пифагора привела нас в §3.1 к проблеме л/2; другие простые построения евклидовых отрезков непосредственно приводят нас к другим числам указанного вида.) Частным случаем квадратичных иррациональных чисел являются такие числа, у кото¬ рых а = 0, а b есть натуральное число (не являющееся полным квадратом) или рациональное число, большее 1: у/2, л/3, л/5, л/6, л/7, л/8, vTo, у/П,... Представление, таких чисел в виде непрерывных дробей выглядит весьма впечатля¬ юще. Последовательность натуральных чисел, определяющих разложение в непрерывную дробь, обладает любопытным свойством. Она начинается с некоторого числа А, затем сразу следует «палиндромная» последовательность (т. е. такая, которая одинаково читается слева направо и справа налево) В, С, С, В, далее следует 2А, после чего последо¬ вательность В, С, D,... , D, С, В, 2А бесконечно повторяется. Например, для числа л/14 такая последовательность имеет вид 3, 1, 2, 1, б, 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, б, 1, 2, 1, 6,,.. Здесь А — 3, а палиндромная последовательность В, С, Л,..., D, С, В сводится к после¬ довательности из трех членов: 1, 2, 1. Что из всего этого было известно древним грекам? Весьма вероятно, что они знали очень много, вполне возможно, всё, что было изложено выше (включая теорему Лагранжа), хотя строгих доказательств всего этого у них, скорее всего, не было. Современник Платона Теэтет установил, по-видимому, большинство указанных фактов. Имеется даже некоторое подтверждение такого знания (включая упомянутые повторяющиеся палиндромные после¬ довательности) в диалектике ПлатонаI3,7J. Хотя введение квадратичных иррациональных чисел несколько приблизило нас к чис¬ лам, появляющимся в евклидовой геометрии, всё же это еще не всё, что нужно. В десятой (и наиболее трудной) книге Евклида рассматриваются числа типа л/a -f \fb (где cl m b — положительные рациональные числа). Такие числа в общем случае не являются квадратич¬ ными иррациональными числами, тем не менее они встречаются в задачах на построение при помощи циркуля и линейки. Числа, достаточные для проведения таких геометрических построений, могут быть получены из натуральных чисел последовательным применени¬ ем операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Однако операции исключительно с такими числами весьма сложны, и эти числа редко ис¬ пользуются в задачах евклидовой геометрии, выходящих за рамки построений циркулем и линейкой. Гораздо лучше сделать смелый шаг (насколько он смелый, будет объяснено в §§ 16.3-16.5) и рассматривать бесконечные разложения в непрерывные дроби самого обще¬ го вида. Это позволило древним грекам описывать числа, которые оказываются адекватными евклидовой геометрии.
72 Глава 3 Именно такими числами, по современной терминологии, являются вещественные числа. Хотя полностью удовлетворительное описание таких чисел было достигнуто лишь в XIX ве¬ ке (в работах Дедекинда, Кантора и других авторов), великий древнегреческий математик и астроном Евдокс, который был одним из учеников Платона, выдвинул важные идеи уже в IV веке до нашей эры. Здесь уместно сказать несколько слов об идеях Евдокса. Прежде все¬ го заметим, что числа в евклидовой геометрии могут быть представлены в виде отношений длин отрезков, а не самих длин. В таком случае не требуются специальные единицы длины (такие, например, как «дюйм» или, если по-гречески, «дактилос»). Кроме того, при работе с отношениями длин нет ограничений в числе таких сомножителей при их перемножении (тем самым отпадает необходимость в многомерных «гиперобъемах», когда перемножаются более трех длин). Первым шагом в теории Евдокса было получение критерия, позволяющего установить, что отношение длин а : Ь будет больше другого аналогичного отношения с : d. Такой критерий состоит в том, что существуют некоторые положительные целые числа М и N такие, что длина а, сложенная сама с собой М раз, превышает длину Ь, сложенную сама с собой N раз, тогда как длина d, сложенная сама с собой N раз, больше длины с, сложенной с самой собой М раз*. Существует аналогичный критерий, позволяющий установить, что отношение длин а : b меньше отношения с : d. Условие равенства этих отношений долж¬ но состоять в том, что не выполняется ни один из этих критериев. При такой остроумной формулировке условия равенства отношений Евдокс пришел, в сущности, к абстрактно¬ му понятию вещественного числа, выраженному в терминах отношений длин. Он также получил правила сложения и умножения для таких вещественных чисел . Существует, однако, фундаментальная разница между понятием вещественного числа у древних греков и современным понятием, поскольку греки рассматривали систему чисел как «данную» нам в виде расстояний в физическом пространстве, так что проблема состояла в том, чтобы выяснить, как ведут себя эти меры расстояний. «Пространство» могло быть воплощением платоновского абсолюта, даже несмотря на то, что реальные физические объ¬ екты, существующие в этом пространстве, неизбежно далеки от платоновского идеала t3*8]. (В §§ 17.9, 19.6, 19.8 мы увидим, как общая теория относительности Эйнштейна коренным образом изменила такой взгляд на пространство и материю.) Физические объекты, такие как квадрат, нарисованный на песке, или куб, высеченный из мрамора, рассматривались древними греками как разумное, а иногда и отличное прибли¬ жение к платоновскому геометрическому идеалу. В то же время любой такой объект был лишь приближением. За рамками такого приближения к платоновским формам могло быть лишь само пространство; такая абстракция рассматривалась как непосредственное воплоще¬ ние платоновской реальности. Мерой расстояния в такой идеальной геометрии было нечто, подлежащее определению. В соответствии с этим было естественно пытаться извлечь по¬ нятие вещественного числа из геометрии евклидова пространства, которая предполагалась заданной. Именно это фактически и удалось сделать Евдоксу. Однако в XIX и XX веках появилась такая точка зрения, что математическое понятие числа должно быть отделено от природы физического пространства. Поскольку было пока¬ зано, что существуют математически последовательные геометрии, отличные от евклидовой, оказалось не вполне уместным настаивать на том, чтобы математическое понятие «геомет¬ рии» непременно выводилось из предполагаемой природы «реального» физического про¬ странства. Более того, оказалось очень трудным (если вообще возможным) делом объяснять природу такой «платоновской физической геометрии» в терминах поведения несовершен¬ ных физических объектов. Чтобы познать природу чисел, используемых для определения «геометрического расстояния», необходимо знать, например, что происходит на бесконеч¬ но малых и бесконечно больших расстояниях. Даже сегодня на эти вопросы нет четкого • * Понятно ли, почему это так? Можете ли вы сформулировать их?
3.3. Вещественные числа в физическом мире 73 ответа (и я обращусь к ним снова в последующих главах). Поэтому было гораздо более приемлемо изучать природу чисел способом, не связанным непосредственно с физически¬ ми мерами. В соответствии с этим Рихард Дедекинд и Георг Кантор развивали свои идеи о природе вещественных чисел, используя понятия, не имеющие непосредственной связи с геометрией. Дедекиндово определение вещественного числа использует бесконечные ряды рацио¬ нальных чисел. Мы считаем, что рациональные числа, как положительные, так и отрица¬ тельные (а также нуль), можно расположить по их величине. Можно представить, что такое упорядочение направлено слева направо, так что отрицательные рациональные числа уходят в бесконечность влево, 0 находится в середине, а положительные рациональные числа ухо¬ дят в бесконечность вправо. (Мы делаем это лишь для наглядности; процедура Дедекинда фактически полностью абстрактна.) Дедекинд рассматривает «сечение», которое делит эту картину на две части таким образом, что все числа слева от сечения меньше любого числа справа от него. Если «лезвие ножа» такого сечения «не попадает» на одно из рациональ¬ ных чисел, а оказывается между ними, мы говорим, что сечение определяет иррациональное вещественное число. Точнее говоря, так получается, когда слева нет наибольшего числа, а справа нет наименьшего числа. Если систему иррациональных чисел, определяемую се¬ чением, добавить к имеющейся у нас системе рациональных чисел, то получится полное семейство вещественных чисел. При использовании простых определений процедура Дедекинда непосредственно при¬ водит к законам сложения, вычитания, умножения и деления вещественных чисел. Более того, она позволяет двинуться дальше и определить понятие предела, посредством которого в категорию вещественных чисел включаются, например, уже известная нам бесконечная % непрерывная дробь 1 + (2 + (2 + (2 + (2 • • • )-1)-1)-1)-1 или бесконечная сумма 1 _1 , 1_1 + 1 1 3 5 7 9 выражений дает нам иррациональное число у/2, второе — ~7г. Переход серен для многих математических понятий, и это придает особую силу ве- лам!3*9!. (Напомним читателю, что необходимость «предельных процедур» возникла 3.3. Вещественные числа в физическом мире Существует глубокий вопрос, которого мы сейчас коснемся. При развитии математи¬ ческих идей важной движущей силой вначале всегда было стремление найти математиче¬ ские структуры, которые отражали бы поведение физического мира. Однако обычно бывает невозможно познать физический мир настолько детально, чтобы непосредственно из него извлекать четкие математические понятия. На самом деле прогресс возможен потому, что математические понятия обладают своим собственным «импульсом развития», причем со¬ здается впечатление, что этот импульс по большей части возникает внутри самой математи¬ ки. Математические идеи развиваются, и различные задачи возникают как бы естественным образом. Некоторые из них (как было в случае задачи о нахождении длины диагонали квадрата) могут привести к существенному расширению первоначальных математических понятий, использовавшихся при формулировке задачи. Некоторые обобщения могут казать¬ ся вынужденными, другие могут оправдываться соображениями удобства, согласованности или математического изящества. При этом развитие математики может отклоняться от пер¬
74 Глава 3 воначального стремления описать физическую реальность. Есть, однако, много примеров, когда стремление к математической согласованности и изяществу приводило к математиче¬ ским структурам и понятиям, отражающим физический мир более глубоко и широко, нежели исходные структуры. Создается такое впечатление, что сама природа руководствуется теми же критериями согласованности и изящества, что и человеческая математическая мысль. Возьмем для примера все те же вещественные числа. В природе мы не находим прямых указаний на существование физического понятия «расстояния», распространяющегося на сколь угодно большие масштабы. Еще меньше свидетельств того, что такое понятие мо¬ жет распространяться на бесконечно малые масштабы. В самом деле, нет подтверждений того, что «точки в пространстве» действительно существуют в соответствии с геометрией, оперирующей с расстояниями, описываемыми вещественными числами. Во времена Евкли¬ да не было даже предмета спора о том, могут ли евклидовы «расстояния» простираться более чем, скажем, на 1012 метров или быть меньше, чем 10“5 метров. Тем не менее, имея систему вещественных чисел, построенную в соответствии с требованиями математи¬ ческой согласованности и изящества, мы во всех без исключения успешных современных •* • физических теориях остаемся верными древнему понятию «реального числа». Может по¬ казаться, что опираться на представления времен Евклида не вполне оправданно, однако наша вера в систему вещественных чисел оказалась вознагражденной. Вполне успешные современные космологические теории позволяют нам расширить область расстояний, изме¬ ряемых вещественными числами, до 1026 метров и более, тогда как точность современных теорий физики элементарных частиц позволяет распространить эту область на расстояния, меньшие 10“17 метров. (Единственный масштаб, на котором можно ожидать серьезных изменений, меньше указанного на 18 порядков, т. е. 10~35 метров, — это так называемая «планковская длина» в квантовой теории гравитации, которая будет фигурировать в наших последующих обсуждениях; см. §§31.1, 31.6-31.12, 31.14, 32.7.) Оправданием использо¬ вания математических идеализаций может служить тот факт, что область применимости системы вещественных чисел, от наименьшего до наибольшего, охватывающая во времена Евклида 17 порядков, в наших современных теориях расширена до 43 порядков, то есть в 1026 раз. Существуют еще более весомые подтверждения физической применимости системы вещественных чисел, нежели приведенные выше. Прежде всего мы должны заметить, что площади и объемы также являются величинами, для измерения которых вещественные чис¬ ла вполне пригодны. Мерой объема служит куб меры длины (а мерой площади — квадрат длины). Поэтому, рассматривая объемы, мы должны считать, что куб упомянутой обла¬ сти также должен быть доступен для описания. Во времена Евклида это давало область порядка (1017)3 = 1051, в современных теориях— по крайней мере (1043)3 — 10129. Бо¬ лее того, в соответствии с современными теориями, существуют другие физические меры, для описания которых требуются вещественные числа. Наибольшего внимания из таких мер заслуживает время. Согласно теории относительности, оно должно быть объединено с пространством в единое пространство-время (это будет предметом нашего обсуждения в главе 17). Объемы в пространстве-времени четырехмерны, поэтому временная область (которая, согласно хорошо проверенным теориям, порядка 1043 или больше) должна быть объединена с пространственной; это дает по меньшей мере 10172. При последующем обсу¬ ждении (см. §§ 27.13, 28.7) мы встретимся с еще большими вещественными числами, хотя в > • / • ч* некоторых случаях и не вполне ясно, существенно ли использование именно вещественных чисел (а не, скажем, целых чисел). Для физической теории от Архимеда, Галилея, Ньютона до Максвелла, Эйнштейна, Шредингера, Дирака и остальных более важной была та критическая роль, которую система вещественных чисел играет в создании необходимой основы для стандартной формулировки математического анализа (см. главу 6). Все известные динамические теории формулиру¬
3.3. Вещественные числа в физическом мире 75 ются с использованием понятий математического анализа. Общепринятый подход к анализу требует существования бесконечно малых величин. Другими словами, на малых масштабах должна существовать область всех вещественных чисел, которые в принципе могут пона¬ добиться. Идеи математического анализа лежат в основе таких физических понятий, как скорость, импульс и энергия. Таким образом, система вещественных чисел фундаменталь¬ ным образом входит в физические теории также при описании всех этих величин. Здесь, так же как при определении площади (см. §§2.3, 3.2), становится востребованным бесконечно малый предел мелкомасштабной структуры системы вещественных чисел. Впрочем, это еще не гарантирует, что система вещественных чисел пригодна для описа¬ ния физической реальности на ее самых глубоких уровнях. Когда в начале XX века возникли идеи квантовой механики, появилось ощущение, что природа физического мира на его наи¬ меньших масштабах может оказаться дискретной (зернистой)!3 Л1!. Энергия, как оказалось, существует лишь в виде дискретных сгустков — «квантов», а такие физические величины, как действие и спин, могут быть лишь кратными значениями некоторой фундаментальной единицы (классическое определение действия см. в §§20.1, 20.5, его квантовый аналог — в §26.6; определение спина см. в §§22.8-22.12). В связи с этим некоторые физики попыта¬ лись построить альтернативную картину мира, в которой все действия на наиболее малых масштабах определяются дискретными процессами. Однако, насколько мы сейчас понимаем квантовую механику, эта теория не приводит нас к той точке зрения (и тем более не вынуждает ее принять), что пространство, время и энергия на низших уровнях имеют дискретную (зернистую) природу (см. главы 21 и 22, особенно последнее предложение в § 22.13). Тем не менее осталась идея, что природа в конечном счете может обладать фундаментальной дискретностью, несмотря на то что квантовая механика в своей стандартной формулировке, конечно же, этого не предполагает. Например, великий физик Эрвин Шредингер одним из первых предположил, что может оказаться необходимым переход к некоторой форме фундаментальной пространственной дискретности !ЗЛ2Ь Идея непрерывной области, столь обычная сегодня для математиков, есть нечто совершенно чрезмерное, далеко идущая экстраполяция того, что доступно для нас. Он связал свое предположение с некоторыми мыслями древних греков относительно дис- • « . I кретности Природы. Эйнштейн в одной из последних работ также предполагал, что дискрет¬ ная («алгебраическая») теория могла бы стать направлением движения будущей физики !злз1: Можно привести серьезные доводы в пользу того, что реальность не может быть представлена как непрерывное поле Квантовые явления... должны привести к попытке найти чисто алгебраическую теорию для описания реальности. Однако никто не знает, как получить основу для такой теории!314!. Подобные идеи выдвигались и другими!315! (см. §33.1). В конце 1950-х годов я сам сделал такую попытку, предложив схему, которую я назвал теорией «спиновых сетей». Дис¬ кретная природа квантово-механического спина рассматривалась в качестве основного стро¬ ительного блока комбинаторного (т. е. дискретного, а не основанного на вещественных числах) подхода к физике. (Эта схема будет кратко изложена в § 32.6.) Мои идеи не при¬ вели к созданию стройной теории (хотя и трансформировались впоследствии в «теорию твисторов», см. § 33.2), однако теория спиновых сетей ныне используется другими авторами в одной из главных программ наступления на фундаментальную проблему квантовой гра¬ витации(t3 161. Краткое изложение различных идей этого рода будет дано в главе 32. Тем не менее в общепринятых современных теориях, как и в прошедшие двадцать четыре столетия, вещественные числа составляют фундаментальную часть нашего понимания физического мира.
76 Глава 3 3.4. Нуждаются ли натуральные числа в наличии физического мира? При изложении подхода Дедекинда к системе вещественных чисел в § 3.2 я предполагал, что рациональные числа нам уже «понятны». Переход от целых чисел к рациональным несложен: рациональные числа суть просто отношения целых чисел (см. предисловие). Что тогда можно сказать о самих целых числах? Лежат ли они в основе физических идей? Дискретный подход к физике, о котором шла речь в конце предыдущего раздела, определенно опирается на понятие натурального числа (т. е. чисел, употребляемых при счете) и его обобщения на целые числа путем включения отрицательных чисел. Отрицательные числа не рассматривались древними греками как «настоящие» числа, поэтому продолжим наше обсуждение, задавшись сначала вопросом о физическом статусе самих натуральных чисел. Натуральные числа — это величины, которые мы обозначаем как 0, 1, 2, 3, 4 и т.д., то есть это неотрицательные целые числа. (Современная процедура включает в этот список О, что вполне естественно с математической точки зрения, хотя древние греки не признавали нуль в качестве «настоящего» числа. Для этого пришлось ждать индийских математиков, на¬ чиная от Брамагупты в VII веке до Махавиры и Бхаскары соответственно в IX и XII веках.) Роль натуральных чисел ясна и недвусмысленна. Это действительно наиболее элементар¬ ные «единицы счета», каковы бы ни были законы геометрии или физики. Натуральные числа подвергаются определенным известным операциям, наиболее знакомыми из которых являются действия сложения (например, 37 + 79 = 116) к умножения (например, 37 х 79 — = 2923), при которых пары натуральных чисел комбинируются, давая новые натуральные числа. Такие операции не зависят от природы геометрии реального мира. Можно, однако, задать вопрос: действительно ли натуральные числа имеют смысл сами по себе и действительно ли они существуют независимо от реальной природы физического мира? Возможно, что наше понятие натуральных чисел связано с существованием в нашей Вселенной достаточно хорошо определенных дискретных объектов, сохраняющихся во вре¬ мени. В конце концов, натуральные числа возникли, когда появилось желание сосчитать какие-то предметы. Но это, по-видимому, зависит от того, действительно ли существуют во Вселенной сохраняющиеся различимые «предметы», пригодные для того, чтобы их считать. Допустим, что наша Вселенная такова, что ряд объектов имеет тенденцию непрерывно ме¬ няться. Могут ли натуральные числа быть естественным («натуральным») понятием в такой Вселенной? Более того, возможно, что Вселенная содержит лишь конечное число таких «предметов», так что ряд натуральных чисел может сам собой приходить к концу в некото¬ ром месте! Можно даже представить себе Вселенную, которая состоит лишь из аморфной бесформенной субстанции, в отношении которой само понятие численной квантификации неприемлемо по самой ее природе. Будет ли понятие натурального числа пригодным для опи¬ сания Вселенной такого рода? Даже если обитатели такой Вселенной решат, что нашему математическому понятию натурального числа нелегко найти применение, трудно представить, чтобы столь фундамен¬ тальное понятие не играло важной роли. Имеются разные пути, которыми можно ввести натуральные числа в чистую математику, и они представляются не зависящими от реальной природы физической Вселенной. Существует понятие множества, которое является абстрак¬ цией, не связанной с конкретной структурой физической Вселенной. Фактически в этом вопросе имеются некоторые тонкости, и я вернусь к ним позже (в § 16.5). Пока удобнее игнорировать эти тонкости. Рассмотрим один из способов (развитый Кантором из идей Джузеппе Пеано и усовер¬ шенствованный выдающимся математиком Джоном фон Нейманом) введения натуральных чисел, просто используя абстрактное понятие множества. Он приводит также к понятию «порядковых чисел». Простейшим из всех является так называемое «нулевое множество», или «пустое множество», определяемое тем фактом, что оно вообще не содержит элементов.
3.5. Дискретные числа в физическом мире 77 Пустое множество обычно обозначается символом 0, и мы можем записать определение 0 = п, «• в котором фигурные скобки означают множество; внутри скобок указываются элементы множества. В данном случае внутри скобок ничего нет, так что это множество действительно является пустым. Сопоставим множеству 0 натуральное число 0. Можно двинуться дальше и определить множество, единственным элементом которого является 0, т. е. множество {0}. Важно отметить, что {0} — не то же самое, что пустое множество 0. Множество {0} со- * держит один элемент (а именно 0), тогда как 0 не содержит ни одного. Множеству {0} сопоставим натуральное число 1. Далее определим множество, двумя элементами которо¬ го являются два только что рассмотренных множества, 0 и {0}, так что это множество имеет вид {0, {0}}; мы сопоставим ему натуральное число 2. Затем мы сопоставим число 3 коллекции из трех множеств, с которыми мы только что имели дело, а именно множе¬ ству {0, {0}, {0, {0}}}, а число 4 — множеству {0, {0}, {0, {0}}, {0, {0}, {0, {0}}}}, элементами которого опять-таки являются множества, рассмотренные раньше, и так далее. Это, возможно, не совпадает с нашим привычным представлением о натуральных числах, но это один из путей, которым математики могут прийти к этому понятию. (Сравните это с об¬ суждением в предисловии.) Кроме того, отсюда видно, по крайней мере, что такие понятия, как натуральные числа^3 171, могут появиться буквально из ничего, просто из абстрактного понятия «множества». Мы получаем бесконечную последовательность абстрактных (плато¬ новских) математических сущностей — множества, содержащие нуль, один, два, три и т.д. элементов, по одному множеству для каждого из натуральных чисел, совершенно незави¬ симо от реальной физической природы Вселенной. На рис. 1.3 мы уже встречались с при¬ мером независимого «существования» платоновских математических объектов (в данном случае самих натуральных чисел), и это «существование» может показаться (и определен¬ но является) просто упражнением нашего воображения вне какой-либо связи с детальной природой физической Вселенной. Более того, построение Дедекинда показывает, каким об¬ разом такая чисто умозрительная процедура может быть распространена дальше, и позволит нам построить всю систему вещественных чисел^318!, — опять-таки без какого-либо обра¬ щения к реальной физической природе нашего мира. Тем не менее, как отмечено выше, вещественные числа представляются имеющими прямое отношение к реальной структуре мира, что свидетельствует о весьма загадочной природе «первой тайны», отображенной на рис. 1.3. 3.5. Дискретные числа в физическом мире Однако я несколько забежал вперед. Напомню, что в построении Дедекинда могут использоваться множества не натуральных, а рациональных чисел. Как отмечено выше, нетрудно «определить», что мы понимаем под рациональным числом, коль скоро у нас есть понятие натурального числа. В качестве промежуточной стадии имеет смысл ввести понятие целого числа, которое может быть натуральным числом либо отрицательным по отношению к натуральному (при этом нуль является отрицательным относительно самого себя). В формальном смысле математическое определение отрицательного числа не связано с какими-либо трудностями: грубо говоря, мы просто добавляем некоторый «знак», обо¬ значаемый как «—», к каждому из натуральных чисел (за исключением 0) и определяем все обычные арифметические правила сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на 0). Это, однако, не дает ответа на вопрос о «физическом смысле» отрицатель¬ ных чисел. Что могло бы означать, например, утверждение, что на лугу пасутся минус три • * * * коровы?
78 Глава 3 Должно быть ясно, я полагаю, что, в отличие от натуральных чисел, понятие отри¬ цательного числа физических объектов не имеет очевидного физического содержания. От¬ рицательные числа определенно играют крайне важную организующую роль в банковских балансах и других финансовых операциях. Но имеют ли они непосредственное отношение к физическому миру? Когда я говорю «непосредственное отношение», я не имею в ви¬ ду случаи, когда они возникают как отрицательные вещественные числа, служащие мерой чего-либо; например, расстояние, измеренное в одном направлении, считается положитель¬ ным, а измеренное в противоположном направлении, — отрицательным (то же относится и ко времени — время, отсчитываемое в прошлое, можно назвать отрицательным). Я имею в виду числа, которые являются скалярными величинами в том смысле, что они не имеют направленного (или временного) характера. Именно в этом случае система целых чисел, положительных и отрицательных, будет иметь непосредственный физический смысл. Примечательно, что лишь в последнюю сотню лет стало ясно, что система целых чисел действительно имеет непосредственное физическое содержание. Первым примером физи¬ ческой величины, для измерения которой требуются целые числа, является электрический заряд1ЗЛ91. Насколько известно (хотя этот факт пока не имеет полного теоретического обос¬ нования), электрический заряд любого отдельного изолированного тела выражается в виде целого числа (положительного, отрицательного или нуля), умноженного на некоторую ве¬ личину, — заряд протона (или электрона, который несет тот же заряд, но противоположного знака)[3-2°] 3 настоящее время считается, что протоны являются сложными объектами, состоящими из более мелких сущностей, именуемых кварками (и дополнительных незаря¬ женных сущностей, называемых глюонами). Каждый протон содержит три кварка с заряда- 2 2 1 ми Сложение этих зарядов дает полный заряд протона, равный 1. Если кварки являются наиболее фундаментальными сущностями, то основная единица заряда должна быть третьей частью того, что считалось ранее. Тем не менее и в этом случае электриче¬ ский заряд будет измеряться целыми числами, умноженными на одну треть заряда протона. (Роль кварков и глюонов в современной физике элементарных частиц будет обсуждаться в §§25.3-25.7.) Электрический заряд может служить примером того, что называется аддитивным кван- г » товым числом. Квантовыми числами называются величины, которые служат характеристи¬ ками частиц Природы. Такое квантовое число, рассматриваемое как вещественное число некоторого рода, является «аддитивным», если его значение для составной системы получа¬ ется просто сложением соответствующих значений для составляющих ее частиц — с учетом, конечно, их знака, как в упомянутом случае протона и составляющих его кварков. Весьма за¬ мечателен тот факт, что, в соответствии с современным состоянием наших знаний в области физики, все известные аддитивные квантовые числа I3*2^ описываются системой целых чи¬ сел, а не вещественных и не просто натуральных чисел, так что возможны и отрицательные значения. Физика XX века показала, что имеет смысл приписывать отрицательные значения фи¬ зическим величинам. Великий физик Поль Дирак выдвинул в 1929-31 годах теорию анти- частиц, согласно которой (как было понято позже) для частиц каждого типа существуют соответствующие античастицы, для которых каждое из аддитивных квантовых чисел от¬ личается знаком от аналогичного квантового числа исходной частицы (см. §§24.2, 24.8). Таким образом, система целых чисел (включая отрицательные) имеет прямое отношение к описанию физической Вселенной, причем это стало ясно лишь в XX веке, несмотря на то что в течение многих прошлых веков целые числа играли огромную роль в математике, коммерции и многих других областях человеческой деятельности. Здесь, однако, следует дать немаловажное пояснение. Хотя антипротон, в некотором смысле, действительно можно рассматривать как отрицательный протон, на самом деле он не представляет собой просто «минус один протон». Причина состоит в том, что изменение
3.5. Дискретные числа в физическом мире 79 5 знака претерпевают только аддитивные квантовые числа, тогда как понятие массы в совре¬ менной физической теории не аддитивно. Этот вопрос будет объяснен подробнее в § 18.7. «Минус один протон» должен быть антипротоном, масса которого отрицательна по отноше¬ нию к массе обычного протона. Однако масса реальной физической частицы не может быть отрицательной. Антипротон имеет такую же (положительную) массу, что и обычный протон. Далее мы увидим, что, согласно идеям квантовой теории поля, существуют так называемые «виртуальные» частицы, масса (или, точнее, энергия) которых может быть отрицательной. «Минус один протон» мог бы быть виртуальным антипротоном. Однако виртуальные части¬ цы не имеют независимого существования в качестве «реальных частиц». Зададим теперь аналогичный вопрос в отношении рациональных чисел. Имеет ли эта система чисел непосредственное отношение к физической Вселенной? Насколько извест¬ но, это не так, по крайней мере в современной теории. Известно несколько физических курьезов t3*22^, когда семейство рациональных чисел действительно играет роль, но было бы трудно утверждать, что это свидетельствует о сколько-нибудь фундаментальной физической роли рациональных чисел. С другой стороны, рациональные числа могут играть некоторую роль в отношении фундаментальных квантово-механических вероятностей (вероятность, выражаемая рациональным числом, может соответствовать выбору между альтернативами, каждая из которых включает лишь конечное число возможных вариантов). Такое имеет место в теории спиновых сетей, о чем будет кратко сказано в § 32.6. В настоящее время истинный статус этих идей не вполне ясен. Существуют и другие виды чисел, которые, согласно общепринятой теории, играют фундаментальную роль в описании Вселенной. Наиболее важными и поразительными яв¬ ляются комплексные числа, в которых фигурирует кажущаяся мистической величина л/~1, обычно изображаемая буквой г, объединяемая с системой вещественных чисел. Впервые с ними столкнулись в XVI веке, но в течение сотен лет относились к ним с недоверием. Понимание математической полезности комплексных чисел постепенно овладевало матема¬ тическим сообществом все в большей и большей степени, пока они не стали непременным, даже магическим, элементом нашего математического мышления. Было обнаружено, что они являются фундаментальными не только в математике: эти странные числа играют также чрезвычайно важную роль в описании физической Вселенной в ее самых малых масшта¬ бах. Это должно вызывать удивление как еще более поразительный пример связи между математическими идеями и глубинными свойствами физической Вселенной по сравнению со случаем вещественных чисел, рассмотренных в этом разделе. Далее мы перейдем к этим замечательным числам. Примечания §3.1. 3.1. В этой книге часто используются обозначения >, <, означающие соответственно «боль¬ ше», «меньше», «больше или равно» и «меньше или равно». 3.2. Некоторым читателям может быть известно более короткое рассуждение, начинающееся с тре¬ бования, чтобы число а/b «содержало наименьшие члены» (т. е. чтобы числа а и 6 не имели общих множителей). Однако это предполагает, что такие выражения с наименьшими членами всегда существуют; это, хотя и совершенно верно, требует доказательства. Нахождение такого выражения для данной дроби А/В (неявное или явное, — например, с использованием процеду¬ ры, известной под названием алгоритма Евклида; см., например, [355, 174, 491, 610]) содержит рассуждения, подобные приведенным в тексте, но более сложные. 3.3. Можно возразить, что несколько странно использовать в вышеприведенном доказательстве ве¬ щественные числа, поскольку «вещественные рациональные числа» (т. е. частные от деления одного вещественного числа на другое) будут опять-таки вещественными числами. Это, однако, не опровергает только что сказанного. Можно заметить, что в исходном рассуждении числа а
80 Глава 3 и b можно считать целыми числами. Поэтому если а и Ъ — рациональные числа, то рассужде¬ ния с «убывающей последовательностью» не проходят, хотя результат сам по себе остается правильным. §3.2. 3.4. На первый взгляд выражения типа а + (6 4- (с + (d + • • ♦ )-1)~1)-1 могут выглядеть довольно необычно. Однако они вполне естественны для мышления древних греков (хотя они и не пользо¬ вались такой записью). В примечании 3.2 был упомянут алгоритм Евклида в связи с проблемой нахождения наиболее краткой формы дроби. Применение алгоритма Евклида приводит как раз к подобной непрерывной дроби. Грекам следовало применить аналогичную процедуру к отно¬ шению двух геометрических длин. В наиболее общем случае результатом была бы бесконечная непрерывная дробь вроде той, что была рассмотрена выше. 3.5. Более подробную информацию о непрерывных функциях (с доказательствами) можно найти в главе 4 книги Давенпорта [174]. Можно отметить, что представление вещественных чисел непрерывными дробями в некоторых отношениях глубже и интереснее обычного разложения в десятичную дробь, поскольку находит применение во многих разделах современной матема¬ тики, включая гиперболическую геометрию, обсуждавшуюся в §§ 2.4, 2.5. Однако непрерывные дроби не всегда пригодны для большинства практических расчетов, поскольку обычное деся¬ тичное представление намного проще в использовании. 3.6. Квадратичные иррациональные числа называются так потому, что они возникают при решении квадратного уравнения общего вида Ах2 + Вх -f С — 0, нуля, _д + , в „ _ 2A V V 2А У А 2А чтобы оставаться в мире вещественных чисел, мы должны принять, что В2 больше 4АС. Если коэффициенты А, В и С — целые или рациональные числа и уравнение не имеет рациональных решений, то решения будут квадратичными иррациональными числами. 3.7. Профессор Стелиос Негрепонтис сообщил мне, что такое утверждение можно найти в платонов¬ ских диалогах «Политик» — третьей книге трилогии «Теэтет»-«Софист»-«Политик» (см. [545]). 3.8. Относительно взглядов древних греков на природу пространства см. [736, 737]. 3.9. См. [352, 161, 116]. ■* §3.3 1 о 3.10. «Научная» запись 10 , обозначающая «миллион миллионов», использует показатели, как опи¬ сано в примечаниях 1.2 и 2.4. В этой книге я буду стремиться избегать словесных терминов, таких как «миллион» и особенно «биллион», предпочитая более четкое научное обозначение. Слово «биллион» особенно часто приводит к недоразумениям, поскольку в Америке (а теперь и в Великобритании) «биллион» означает 109, тогда как более старое (и более логичное) ан¬ глийское определение, как и в большинстве других европейских языков, относится к 1012. Отрицательные показатели, например в 10“6 (что означает «одна миллионная»), также будут использоваться здесь в соответствии с обычными научными обозначениями. Расстояние 1012 метров приблизительно в 7 раз больше расстояния от Земли до Солнца. Это при¬ близительно равно расстоянию от Солнца до Юпитера, хотя во времена Евклида это расстояние не было известно и предполагалось довольно малым. 3.11. См., например, [678], гл. 4. 3.12. См. [699]. 3.13. См. [741]. 3.14. См. [243]. 3.15. См., например, [735, 693, 13].
3.5. Дискретные числа в физическом мире 81 3.16. См. [30, 36, 730, 731, 673, 674]. §3.4 3.17. Понятие «порядкового числа», которое здесь используется в отношении конечных чисел, обоб¬ щается также на бесконечные порядковые числа, наименьшим из них является канторово чис¬ ло которое представляет собой упорядоченное множество всех конечных порядковых чисел. 3.18. Слово «построить» не следует понимать буквально. В § 16.6 мы увидим, что существуют неко¬ торые вещественные числа (фактически большинство из них), которые не допускают какой-либо вычислительной процедуры. §3.5. 3.19. Элементарный электрический заряд впервые приближенно оценил ирландский физик Джордж Джонстон Стони в 1874 году; в 1891 году он предложил для этой фундаментальной величи¬ ны термин «электрон». В 1909 году американский физик Роберт Эндрю Милликен поставил свой знаменитый эксперимент с масляными каплями, который точно показал, что заряд элек¬ трически заряженных тел (в данном эксперименте — капель масла) выражается целым числом, умноженным на определенную величину — заряд электрона. 3.20. В 1959 году Р. А. Литлтон и Г. Бонди (см. [501]) предположили, что небольшая разность в заря¬ дах протона и электрона (с обратным знаком) порядка 10~18 могла бы объяснить расширение Вселенной (см. §§27.11, 27.13 и гл. 28). К сожалению (для этой теории), эксперименты вскоре опровергли наличие такой разности. Тем не менее эта идея может служить отличным примером творческого мышления. 3.21. Я делаю здесь различие между «аддитивными» квантовыми числами и числами, которые физики называют «мультипликативными» (см. § 5.5). 3.22. Примером явления, в котором рациональные числа играют ключевую роль, может служить так называемый дробный квантовый эффект Холла (см., например, [274]).
Глава 4 Магические комплексные числа 4.1. Магическое число i Как может существовать квадратный корень из —1? Квадрат положительного числа всегда положителен, а квадрат отрицательного числа опять-таки положителен (а квадрат нуля есть нуль, что сейчас для нас несущественно). Поэтому представляется невозможным найти число, квадрат которого отрицателен. С такой ситуацией мы уже сталкивались, когда обнаружили, что квадратный корень из 2 не существует в системе рациональных чисел. В том случае проблема была разрешена путем расширения нашей системы рациональных чисел до более обширной системы вещественных чисел. Возможно, такой прием сработает и здесь. И это действительно так. Фактически то, что нам предстоит сделать, намного проще перехода от рациональных к вещественным числам. (Рафаэль Бомбелли проделал такую процедуру в 1572 году в своей работе L’Algebra вслед за Джироламо Кардано, который столкнулся с комплексными числами в 1545 году в работе Ars Magna.) Все, что нам нужно сделать, — это ввести единственную величину, обозначаемую г, квадрат которой равен — 1, и, присоединив ее к системе вещественных чисел, получить комбинации г с вещественными числами в виде выражений типа а 4- гб, где а и b — произвольные вещественные числа. Всякая такая комбинация называется ком¬ плексным числом. Легко понять, как складывать комплексные числа: (а + ib}4- (с 4- id) — (а + с) + i(b + d). Полученное выражение имеет тот же вид, что и выше, только вместо а и b стоят веще¬ ственные числа а + с и Ъ + d. А как насчет умножения? Это почти так же просто. Найдем произведение чисел а 4- ib и с + id. Просто перемножим эти сомножители, расписывая полученное выражение по обычным правилам алгебры f41b (а + ib)(c 4- id) — ас 4- ibc 4- aid 4- ibid = ас -f i(bc 4- ad) + i2bd. Ho i2 — —1, поэтому можно переписать это в виде (а 4- ib)(c 4- id) = (ас — bd) + i(bc -f- ad), что опять-таки имеет первоначальную форму а 4- ib с заменой а на ас — bd, а b — на be 4- ad. Достаточно легко найти разность двух комплексных чисел, но как быть с делением? Напомним, что в обычной арифметике разрешается делить на любое вещественное число, отличное от нуля. Попробуем разделить комплексное число а 4- ib на комплексное чис¬ ло с + id. Мы должны считать последнее отличным от нудя, это означает, что вещественные числа с и d не могут одновременно быть равны нулю. Следовательно, с2 + d2 > 0, а зна¬ чит, с2 -f d2 ф 0, так что мы можем делить на с2 -yd2. Легко проверить* (умножая обе части *$11 Сделайте это. (А можно ли это проверить другим способом, умножив обе части равенства на (с — id)1?)
4.1. Магическое число % 83 приведенного ниже выражения на с 4- id), что (a + ib) - ас ^ bd .Ъс — ad (с 4- id) с2 -h d2 с2 4- с?2 Это выражение имеет тот же общий вид, что и выше, то есть это опять-таки комплексное число. Когда мы имеем дело с этими комплексными числами, мы рассматриваем числа а 4- ib не как пары двух вещественных чисел а и 6, но как некий единый объект сам по себе, который можно обозначить одной буквой z, т. е. z — а 4- ib. Можно проверить, что все обыч¬ ные правила алгебры выполняются для комплексных чисел.* Фактически всё это гораздо проще, чем аналогичная проверка для вещественных чисел. (Для такой проверки мы долж¬ ны сначала убедиться, что правила алгебры выполняются для дробей, а затем использовать «сечения» Дедекинда, чтобы показать, что правила выполняются также для вещественных чисел.) С такой точки зрения представляется довольно странным то, что к комплексным числам так долго относились с подозрением, тогда как гораздо более сложный переход от рациональных чисел к вещественным со времен древних греков обычно принимался без особых возражений. Такие подозрения, возможно, были связаны с тем, что комплексные числа не прояв¬ ляются каким-либо видимым образом в физическом мире. В случае вещественных чисел представлялось, что такие числа нужны для измерения расстояний, времени и других физи¬ ческих величин, тогда как комплексные числа казались просто плодом воображения матема¬ тиков, которым потребовались числа более общего характера, нежели те, которые они знали раньше. Однако следует напомнить (см. § 3.3), что связь математических вещественных чи¬ сел с физическими понятиями расстояния и времени тоже не столь ясна, как казалось. Мы не может непосредственно увидеть тонкие детали дедекиндова сечения; неясно также, дей¬ ствительно ли существуют в природе произвольно большие или произвольно малые времена и расстояния. Можно сказать, что так называемые «вещественные числа» в такой же мере являются плодом воображения математиков, что и комплексные числа. Вскоре мы увидим, что комплексные числа, как и вещественные, а может быть, и в еще большей степени, об¬ наруживают поистине замечательное единство с природой. Это выглядит так, как если бы сама природа была, как и мы, под впечатлением от общего и последовательного характера системы комплексных чисел и поручила им описывать тонкие процессы в самых малых масштабах. В главах 21-23 мы увидим подробнее, как это происходит. Более того, указание на общность и согласованность системы комплексных чисел еще не воздает ей должное в полной мере. На мой взгляд, в ней есть нечто большее, что можно охарактеризовать как «магическое». В остальной части этой главы, а также в следующей я постараюсь донести до читателя аромат этой магии. Далее, в главах 21-23, мы опять станем свидетелями этой магии в ее наиболее впечатляющих и неожиданных проявлениях. В течение тех четырех веков, когда были известны комплексные числа, их магические свойства проявлялись постепенно. Сначала они ощущались лишь внутри самой математики, создавая единство и глубину математического понимания, недостижимую при использова¬ нии одних лишь вещественных чисел. Не было никаких оснований ожидать, что физический мир должен иметь к ним какое-то отношение. И в течение приблизительно 350 лет с тех пор, как эти числа были введены работами Кардано и Бомбелли, магия комплексных чисел проявлялась лишь в их чисто математической роли. Для всех тех, кто высказывал недоверие в отношении комплексных чисел, несомненно, оказалось большим сюрпризом, что, соглас¬ но физике последних трех четвертей XX века, законы, управляющие миром в его наиболее малых масштабах, определенно описываются системой комплексных чисел. Проверьте это в отношении правил w 4 z = 2 + w, w 4 (и 4- z) = (w + и) + z, wz = zw, w(uz) = = (wu)z, w(u + z) — wu + wz, w 4* 0 = w, w • 1 ~ w.
84 Глава 4 Эта тема станет центральной для нескольких последующих глав этой книги (в част¬ ности, глав 21-23, 26 и 31-33). Пока же мы сосредоточимся на математической магии комплексных чисел, отложив их физическую магию на будущее. Напомним, что всё, что мы сделали, — это потребовали, чтобы существовал квадратный корень из — 1 и чтобы сохраня¬ лись обычные правила арифметики. Мы убедились, что эти требования могут быть успешно выполнены. Сделать это оказалось совсем просто. А теперь займемся магией! 4.2. Решение уравнений с комплексными числами Далее мне придется несколько чаще, чем прежде, прибегать к математическим выра¬ жениям. За это я заранее приношу извинения. Однако вряд ли можно изложить серьезные математические идеи, не пользуясь математическими формулами. Я сознаю, что многим чи¬ тателям это не понравится. Мой совет таким читателям состоит в том, чтобы читать только текст и не слишком огорчаться результатами попыток понять уравнения. Или, по крайней мере, бегло просматривать формулы и читать дальше. В этой книге встречается ряд се¬ рьезных математических выражений, особенно в более поздних главах. По моему мнению, некоторый уровень понимания в конце концов появится, даже если вы не будете пытаться понять во всех подробностях, что же все эти выражения означают на самом деле. Поэтому я надеюсь, в частности, что магия комплексных чисел будет оценена по достоинству. Ес¬ ли к тому же вы сумеете справиться с математическими обозначениями, будет, конечно, еще лучше. Прежде всего зададимся вопросом, существует ли квадратный корень из других чисел. Например, что такое корень из —2? Это просто. Комплексное число i у/2, будучи возведенным в квадрат, дает —2; то же относится и к —гл/2. Более того, для любого положительного числа а комплексное число гл/а в квадрате дает —а, и то же относится к — г л/а. Здесь пока никакой магии нет. Но как быть с комплексным числом общего вида а + ib (где а и b — вещественные числа)? Оказывается, что комплексное число ; v \ (—а л/а2 -h b2^j, будучи возведенным в квадрат, дает а 4- ib (то же дает и число, имеющее обратный знак)/ Таким образом, мы видим, что хотя мы добавили квадратный корень лишь для одной величины (а именно —1), оказывается, что любое число получающейся при этом системы теперь автоматически имеет квадратный корень! Это совершенно отлично от то¬ го, что мы видели при переходе от рациональных чисел к вещественным. Там введение одной лишь величины л/2 в систему рациональных чисел почти ни к чему бы не при¬ вело. Но это лишь самое начало. Мы можем задать вопрос относительно кубического корня, корня пятой степени, корня 999-й степени и даже корня г-й степени. Мы найдем, что какое бы комплексное число мы ни взяли и корень какой комплексной степени (за исключением 0) из него ни извлекли, мы удивительным образом всегда получим в ответе комплексное число. (Как мы вскоре увидим, такая задача обычно имеет несколько различных решений. Выше мы отмечали, что при извлечении квадратного корня получаются два решения, поскольку величина, отрицательная по отношению к квадратному корню из комплексного числа г, также является квадратным корнем из z. У корней более высокой степени имеется больше решений; см. §5.4.) Пока что мы лишь царапали поверхность магии комплексных чисел. Всё, что утвержда¬ лось выше, действительно легко показать (пока мы не столкнемся с понятием логарифма Проверьте это.
4.2. Решение уравнений с комплексными числами 85 комплексного числа, см. главу 5). Несколько более примечательна так называемая «основная теорема алгебры», которая утверждает, что любое полиномиальное уравнение, такое как 1 — z.+ = О или 7Г + iz- V417z3 + г999 = 0, % > * !• должно иметь решения в виде комплексных чисел. Более точно, всегда должно существовать решение (обычно несколько различных решений) любого уравнения вида а0 + a\Z + a^z2 + a^z3 4 h anzn = 0, где ао, ai, аз, • • • , an — заданные комплексные числа, причем ап берется не равным нулю^. (Здесь п может быть любым положительным целым числом, сколь угодно боль- шим.) Для сравнения можно напомнить, что число г было введено, по существу, просто для того, чтобы получить решение одного частного уравнения: 1 + 22-0. Всё остальное мы получаем бесплатно! Прежде чем идти дальше, следует упомянуть о проблеме, которой занимался Кар¬ дано с 1539 года, когда он впервые столкнулся с комплексными числами и обнаружил намек на другой аспект присущих им магических свойств. Проблема, по существу, состоя¬ ла в том, чтобы найти общее решение (вещественного) кубического уравнения (с высшей степенью п — 3). Кардано обнаружил, что простым преобразованием общее кубическое уравнение можно привести к виду х3 = 3рх + 2 q. Здесь р и q — вещественные числа, и я возвращаюсь к использованию в этом уравнении х вместо г, чтобы показать, что сейчас мы имеем дело с вещественными, а не с комплексными решениями. Полное решение Кардано, опубликованное в 1545 году в его книге Ars Magna, по-видимому, является развитием частного решения, которое он в 1539 году узнал от Никко¬ ло Фонтанны (Тартальи), хотя это частное решение было найдено еще раньше (до 1526 года) Сципионом дель Ферро Решение (дель Ферро - )Кардано, записанное в современных обозначениях, имеет следующий вид: * 1 1 х — (я + w)3 4- (q — w)3, где i w = (q2 — p3)2. Заметим, что это уравнение не приводит к фундаментальной проблеме в рамках системы вещественных чисел, если q2 ^ р3. В этом случае уравнение имеет одно вещественное решение относительно х, правильно описываемое данной выше формулой (дель Ферро - )Кардано. Однако в так называемом неприводимом случае хотя и существуют три вещественных решения, тем не менее форму¬ ла содержит квадратный корень из отрицательного числа q2 —р3? и поэтому нельзя обойтись без связи с комплексными числами. Как показал позже Бомбелли (во второй главе своей кни¬ ги L ’Algebra, 1572), если позволить себе принять комплексные числа, то указанная формула
86 Глава 4 правильно описывает все три вещественных решения I4*4!. (Это имеет смысл, поскольку ука¬ занное выражение содержит сумму двух комплексных чисел, при этом части, содержащие г, в этой сумме взаимно сокращаются, давая в ответе вещественное число.) t4*5! Загадочно здесь вот что: несмотря на то что задача выглядит не имеющей отношения к комплексным числам — уравнение имеет вещественные коэффициенты и все его решения вещественны (в «неприводимом случае»), — приходится совершать путешествие через чужую территорию мира комплексных чисел, чтобы наша формула позволила нам вернуться, имея чисто веще¬ ственные решения. Если бы мы ограничились прямой и узкой тропой вещественных чисел, нам пришлось бы вернуться с пустыми руками. (По иронии судьбы, комплексные решения исходного уравнения могут возникать лишь в тех случаях, когда формула не предполагает такого проникновения в комплексную область.) 4.3. Сходимость степенных рядов Несмотря на столь замечательные результаты, мы пока це слишком углубились в магию комплексных чисел. Пройти предстоит гораздо больше! Например, одна из областей, где комплексные числа играют неоценимую роль, — это понимание поведения так называемых степенных рядов. Степенной ряд — это бесконечная сумма вида ао + а>\х + а2Х2 + а^х3 + Поскольку сумма содержит бесконечное число членов, ряд может расходиться. Это означает, что при добавлении всё новых членов сумма не стремится к какому-нибудь конечному значению. Например, рассмотрим ряд 1 + х2 + х4 + х6 + Xs + • • • (в котором я положил ао = 1, а\ = 0, ач = 1, аз = 0, = 1, а$ = 0, аб = 1,...). Если взять х = 1, то, последовательно добавляя члены, будем иметь 1, 1 + 1 = 2, 1 + 1 + 1 ==3, 1 + 1 + 1 + 1 = 4, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5 и т.д., и мы видим, что у этого ряда нет шансов свестись к какому-либо конечному значению, то есть он расходится. Еще хуже будет, если взять, например, х = 2, так как теперь от¬ дельные члены будут становиться еще больше, и последовательное добавление слагаемых дает 1, 1 + 4 = 5, 1+4 + 16 = 21, 1 + 4+ 16 + 64 = 85 ит.д, Л что означает очевидную расходимость. С другой стороны, если положить, например, х = будем иметь 1 1 I 1 — 5 i.l. 1 _ 21 1,1, 1,1 w „ 4 ~ 4’ 4 16 — 16’ 41б 64 — 64 ИТ‘Д- Эти числа оказываются всё ближе и ближе к предельному значению §, так что ряд теперь сходится. , s Имея эти ряды, нетрудно ощутить глубинную, в некотором смысле, причину того, что ряд не может помочь в вычислениях и расходится при х = 1 и х = 2, но сходится при х = 4W
4.3. Сходимость СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 87 4 3 выпишем .8 (1 ,2) -1 О 1, то есть «бесконечность»f4-6^, При подстановке х = 1 мы получаем в ответе (l — 12) и это позволяет понять, почему ряд должен расходиться при этом значении х. Если же под- -1 ставить х — i то ответом будет . Z 1-1 4 4 даваемый явной формулой, (1 — 4.) -, и ряд действительно сходится к указанному О определенному значению, как и было установлено выше. Всё это выглядит вполне разумно. Но как быть с х = 2? Хотя существует «ответ», -11 трудно представить, как можно его получить, О просто складывая члены ряда. Мы едва ли могли получить такой ответ, поскольку склады- 1 вали положительные числа, тогда как число — ~ отрицательно. Причина, по которой ряд О расходится, состоит в том, что при х = 2 каждый член существенно больше соответствую¬ щего члена при х — 1, так что расходимость при х = 2 логически следует из расходимости при х = 1. В случае х — 2 расходимость проявляется не в том, что «ответ» получается бесконечным, а в том, что мы не можем получить его, пытаясь непосредственно просумми¬ ровать ряд. На рис. 4.1 показаны частичные суммы ряда (т. е. суммы некоторого конечного числа членов), вплоть до четырех членов вместе с «ответом» (l — х2) . Если х лежит строго между —1 и то кривые, изображающие соответствующие частичные суммы, действительно сходятся к этому ответу, а именно (1 — х2) , как мы и ожидали. Однако вне этой области ряд просто расходится и вообще не достигает какого-либо конечного значения. Область, не описываемая рядом Рис. 4.1. Частичные суммы 1,1 + x'zy 1 -f х2 + ж4,1 4- хг -f а;4 + х6 (показаны пунктирными линиями) ряда для (1 — х2) 1. Видна сходимость ряда к (1 — X2) при |сс| < 1 и расходимость при jx| > 1 Сделаем небольшое отступление, которое окажется нам полезным в дальнейшем. Зада димся следующим вопросом: имеет ли какой-нибудь смысл то равенство, которое мы полу¬ чаем, полагая в вышеприведенном выражении х = 2, а именно: 1 + 2Z + 2“ + 26 + 2° + ,8 (1 - 22) 1 1? 3' Попробуйте проверить это выражение формальным алгебраическим способом.
88 Глава 4 Великий математик XVIII века Леонард Эйлер часто писал выражения, подобные этому, и стало модным подшучивать над ним за склонность к подобному абсурду, однако его можно извинить на том основании, что в его время еще не было должного представления о сходимости рядов и тому подобном. Строгая математическая трактовка рядов появилась не ранее конца XVIII-начала XIX века в работах Огюста Коши и других авторов. Согласно этой строгой трактовке, подобные выражения должны быть классифицированы как «бес¬ смысленные». Однако, я полагаю, следует отметить, что в определенном смысле Эйлер в действительности знал, что делал, выписывая кажущиеся абсурдными выражения тако¬ го рода, и что существует смысл, в котором такие выражения можно рассматривать как «правильные». Математика требует абсолютной ясности, при которой соотношения имеют строгий и точный смысл. Однако не менее важно, чтобы она была достаточно восприимчива к «про¬ исходящему за сценой», поскольку это в конечном счете может привести к более глубокому пониманию. Многое можно потерять из виду, если слишком жестко следовать лишь тому, что представляется строго логическим, например, тому факту, что 1 + 4 + 16 + 64 + 256 + 1 + • • • не может быть равно — -г. В качестве подходящего примера напомним о логической О абсурдности поисков вещественного решения уравнения х2 +1 == 0. Такого решения нет, од¬ нако если бы мы оставили поиски, то потеряли бы то глубокое понимание, которое пришло благодаря введению комплексных чисел. Подобное замечание относится и к абсурдности рационального решения уравнения х2 — 2. Фактически вполне возможно придать математи¬ ческий смысл ответу — | в рассмотренном случае бесконечных рядов, но нужно внимательно относиться к тому, что разрешают и что запрещают правила. В мои цели не входит подроб¬ но обсуждать здесь такие вопросы^, однако можно отметить, что в современной физике, особенно в области квантовой теории поля, расходящиеся ряды такой природы часто встре¬ чаются (см., например, §§ 26.7,26.9,31.13). Это очень деликатная проблема — решить, имеют ли смысл получаемые таким путем «ответы», и тем более правильны ли они. Иногда весьма ► точные результаты действительно получаются путем манипуляций с подобными расходящи¬ мися выражениями и иногда они поразительным образом подтверждаются при сравнении с реальным экспериментом. С другой стороны, так везет не всегда. Эта деликатная тема иг¬ рает важную роль в современных физических теориях и имеет прямое отношение к нашим попыткам проникнуть в них. В данный момент непосредственный интерес представляет тот факт, что «смысл», который можно приписать внешне бессмысленным выражениям, зачастую существенным образом зависит от свойств комплексных чисел. Вернемся теперь к рассуждениям о сходимости рядов и попытаемся понять, как укла¬ дываются в эту картину комплексные числа. Для этого рассмотрим функцию, мало отлича¬ ющуюся от (1 — х2) , а именно (1 + х2) , и посмотрим, имеет ли смысл ее разложение в степенной ряд. Видно, что теперь шансы на полную сходимость выше, поскольку функ¬ ция (l + х2) 1 остается гладкой и конечной во всей области вещественных чисел. Дей¬ ствительно, для (1 + х2) 1 мы имеем простой степенной ряд, лишь немного отличающийся от предыдущего: 1 — х2 + ж4 — х6 + х8 — * — = (1 + гс2) 1; разница лишь в изменении знака при чередовании членов ряда.* На рис. 4.2 я аналогич¬ но прежнему изобразил частичные суммы этого ряда, вплоть до 5 членов, вместе с отве¬ том (1 + х2) 1, Что здесь кажется удивительным, так это тот факт, что частичные суммы по-прежнему сходятся к ответу лишь в области между —1 и +1 (без концов). Вне этой области мы имеем расходимость, хотя ответ, в отличие от нашего предыдущего случая, * йЭ Укажите элементарную причину такого простого соотношения между двумя рядами.
4.4. Комплексная плоскость Каспара Весселя 89 Рис. 4.2. Частичные суммы 1,1 — х2,1 — х2 + х4,1 — х2 + х4 — х6,1 — xz 4- х для (1 Н- ж2) показаны пунктиром. Здесь опять-таки имеет место сходимость при - х6 + х8 ряда х\ < 1 и расхо- каких-либо особенностей пои х = ±1 вовсе не стремится к бесконечности. Мы можем проверить это явно, взяв те же три значе¬ ния х ~ 1, х = 2, х = Мы увидим, что, как и прежде, сходимость имеет место только 2 1 в случае х — где ответ для суммы всего ряда стремится к правильному предельному значению 4. 5' х X 1 : 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1 и т.д. 2 : 1, —3, 13, -51, 205, -819 ит.д = ! • 1 3 13 51 205 _819_ 2 ‘ 4’ 16’ 64’ 256’ 1024 и т.д.. Отметим, что в первом случае «расходимость» выражается в том, что частичные суммы ряда не сходятся к какому-либо определенному пределу, хотя и не стремятся к бесконеч¬ ности. Таким образом, в рамках одних лишь вещественных чисел остается загадочным несоот¬ ветствие между результатами непосредственного суммирования ряда и прямым переходом к «ответу», который, как предполагается, представляет сумму бесконечного ряда. Частич¬ ные суммы просто «отрываются» от него вверх и вниз, причем на том же самом месте (а именно при х — ±1), на котором возникали проблемы в предыдущем случае, хотя теперь предполагаемый результат для бесконечной суммы (1 + ж2) вовсе не содержит на этом месте сколько-нибудь заметных особенностей. Разгадка этой тайны будет найдена, если мы не ограничимся вещественными значениями этой функции, а рассмотрим ее комплекс¬ ные значения. 4.4. Комплексная плоскость Каспара Весселя Чтобы понять, в чем тут дело, следует воспользоваться нестандартным геометрическим представлением комплексных чисел на евклидовой плоскости. Каспар Вессель в 1797 году, Жан Робер Арган в 1806 году, Джон Уоррен в 1828 году и Карл Фридрих Гаусс во всяком случае раньше 1831 года независимо пришли к идее комплексной плоскости (см. рис. 4.3), с помощью которой они дали ясную геометрическую интерпретацию действий сложения и умножения комплексных чисел. На рис. 4.3 я пользуюсь стандартными декартовыми ося¬ ми, при этом ось х направлена по горизонтали вправо, а ось у — по вертикали вверх.
90 Глава 4 -2 -1+2 г -1+2 1 1 ~г Мнимая ось А Зг 2г У 1+22 1+г 0 —г 1 1-2 z~x+ iy 2+2 2 2-2 3+2 X 3 3-2 Вещественная ось Рис. 4.3. Комплексная плоскость £ = х + iy. В декартовых координатах (х, у) ось х, направленная по горизонтали вправо, представляет вещественную ось; ось у, направленная по вертикали вверх, — мнимую ось Комплексное число z — х iy изображается на этой плоскости точкой с декартовыми координатами (я, у). Будем теперь рассматривать вещественное число х как частный случай комплексного числа 2 — х + iy, у которого у = 0. Тогда мы можем считать, что ось х на нашей диаграмме представляет собой вещественную прямую (т. е. множество вещественных чисел, линейно упорядоченное вдоль прямой линии). Таким образом, комплексная плоскость дает нам на¬ глядное представление о том, как система вещественных чисел расширяется вовне и дает полную систему комплексных чисел. Вещественную прямую часто называют «веществен¬ ной осью» на комплексной плоскости. Соответственно ось у называют «мнимой осью». Она состоит из всех вещественных чисел, умноженных на г. Теперь вернемся к нашим двум функциям, которые мы пытались представить в виде степенных рядов. Тогда мы считали их функциями вещественной переменной я, а имен¬ но (1 х ) -1 и (1 + х2) . Теперь мы расширим эти функции, применив их к комплексной переменной Здесь нет никакой проблемы: мы просто запишем наши расширенные функ¬ ции в виде соответственно (1 -1 ) и (1 + 22) \ В случае первой вещественной функ¬ ции, (1 — х2) \ было легко узнать, где начнутся проблемы с «расходимостью», посколь¬ ку эта функция сингулярна (то есть обращается в бесконечность) в двух местах, х = — 1 и х — +1. Но в случае функции (1 + х2) мы не видим в этих местах сингулярности, и никаких вещественных сингулярностей нет вовсе. Однако в отношении комплексной пе¬ ременной z эти две функции гораздо более равноправны. Отметим сингулярности функ¬ ции (1 2\-i ) в двух точках 2 = ±1, на единичном расстоянии от начала координат вдоль вещественной оси. Но теперь мы видим, что (1 + z2) 1 местах 2 = ±г (поскольку тогда 1 + z2 = от начала координат на мнимой оси. также имеет сингулярности в двух 0), — это будут две точки на единичном расстоянии
4.4. Комплексная плоскость Каспара Весселя 91 Но какое отношение имеют эти комплексные сингулярности к вопросу о сходимости или расходимости соответствующих степенных рядов? Ответ на этот вопрос будет пора¬ зительным. Сейчас мы рассматриваем наши степенные ряды как функции комплексной переменной z (а не вещественной переменной х) и можем поставить вопрос о тех местах на комплексной плоскости, где ряд сходится, и тех, где он расходится. Существует замеча¬ тельный общий ответ для всякого степенного ряда вида ао + oi £ + a2z2 + азг3 + # # ♦ существует некоторый круг в комплексной плоскости с центром в начале координат, на¬ зываемый кругом сходимости, который обладает следующим свойством: если комплексное число z лежит строго внутри круга, то при таких значениях z ряд сходится, если же z лежит строго вне круга, то ряд расходится. (Сходится или расходится ряд, когда 2 лежит точно на окружности, — это довольно тонкий вопрос, которого мы здесь не будем касаться, хотя он и имеет отношение к теме §§ 9.6, 9.7.) В это утверждение я включаю два предельных слу¬ чая: когда ряд расходится при всех отличных от нуля значениях з, то есть круг сходимости сжимается до нулевого радиуса, и когда он сходится при всех z9 то есть круг расширяется до бесконечного радиуса. Чтобы выяснить, каков на самом деле круг сходимости для данной функции, мы должны узнать, как расположены сингулярности данной функции в комплекс¬ ной плоскости, и нарисовать наибольший круг с центром в начале координат z — 0, который не содержал бы внутри себя сингулярностей (т. е. мы должны провести окружность через сингулярность, ближайшую к началу координат). В только что рассмотренных частных случаях (1 — z2) 1 и (l + z2) 1 мы имеем син¬ гулярности простого типа, называемые полюсами (они возникают, когда обратная величина от некоторого многочлена обращается в нуль). Здесь все полюсы лежат на единичном рас¬ стоянии от начала координат, и мы видим, что кругом сходимости в обоих случаях является -1 jdr а » /. Полюсы. для . . (Л 2ч-1 (1-Z ) -1 > \ 1 для - :J : (1+zy.v —г Рис. 4.4. В комплексной плоскости функции (l — z2) 1 и (l + z2) 1 имеют один и тот же круг сходимости. В первом случае полюсы расположены при z — ±1, во втором — при z = все они находятся на одном и том же (единичном) расстоянии от начала координат
92 Глава 4 как раз круг единичного радиуса вокруг начала координат. Места, где ограничивающая его окружность встречается с вещественной осью, в обоих случаях одни и те же, а именно две точки z = =Ы (см. рис. 4.4). Это объясняет, почему эти две функции сходятся и расходятся в одних и тех же областях, — факт, который не следует непосредственно из их свойств как функций вещественной переменной. Таким образом, комплексные числа дают нам глубо¬ кое понимание поведения степенных рядов, недоступное, если рассматривать их структуру при вещественных значениях переменной. 4.5. Как построить множество Мандельброта В заключение этой главы рассмотрим другой тип сходимости/расходимости. Он лежит в основе построения необычной конфигурации, описанной в § 1.3, изображенной на рис. 1.2 и известной под названием множества Мандельброта. Фактически это есть подмноже¬ ство комплексной плоскости Весселя, которое можно определить способом, удивительно простым, если учесть крайнюю сложность этого множества. Всё, что нам нужно, — это рас¬ смотреть последовательное применение замены Z Z2 + с, где с — некоторое заданное комплексное число. Мы будем рассматривать с как точку на ком¬ плексной плоскости и начнем с z = 0. Затем мы будем итерировать это преобразование (т. е. последовательно проводить его снова и снова) и следить за поведением точки z на плос¬ кости. Если она уходит на бесконечность, мы окрашиваем соответствующую точку с в белый цвет, если же она блуждает в некоторой ограниченной области, не уходя на бесконечность, окрасим точку с в черный цвет. Черная область и дает нам множество Мандельброта. Опишем эту процедуру чуть более подробно. Как проводятся итерации? Сначала мы фиксируем с. Затем мы берем некоторую точку z и применяем к ней преобразование, так что с превращается в z2 + с. Затем, применяя его снова, заменяем 0 в z2 + с на г2 + с и получаем {г2 -}-с)2 ■+ с. Далее заменяем г в z2 -f с на (z2 + с)^ + с, так что наше вы¬ ражение принимает вид ^(z2 + cf + cj + с. Заменяя г в z2 + с на 4* с)2 -f cj + с, 2 2 получаем [z* + с) + сJ + сJ + с и так далее. Посмотрим, что получится, если мы стартуем из точки z = 0 и проводим итерации указанным путем. (Для этого достаточно просто положить в полученных выражениях г = 0.) Мы получаем последовательность 0, с, с2 + с, (с2'+ с)2 + с, ((с2 + с)2 + с) -he,..., Она задает нам ряд точек на комплексной плоскости. (С помощью компьютера можно про¬ делать эту работу в численном виде для каждого отдельного выбора точки с, не прибегая к приведенным алгебраическим выражениям. В вычислительном отношении гораздо «деше¬ вле» каждый раз проводить расчет заново.) При любом заданном значении с возможно одно из двух: 1) либо точки последовательности постепенно уходят всё дальше и дальше от нача¬ ла координат, то есть последовательность является неограниченной, 2) либо каждая из точек лежит в пределах некоторого фиксированного расстояния от начала координат (т. е. внутри некоторого круга на комплексной плоскости с центром в начале координат), в этом случае мы имеем ограниченную последовательность. Белые области на рис. 1.2,а соответствуют тем значениям с, которые дают неограниченную последовательность (1), а черные — по¬ ложения точек с, соответствующих ограниченной последовательности (2); само множество Мандельброта включает всю черную область 14101.
4.5. Как построить множество Мандельброта 93 Сложность множества Мандельброта обусловлена тем фактом, что существует мно¬ го различных, и зачастую весьма запутанных, вариантов, при которых итерированная по¬ следовательность может оставаться ограниченной. Можно придумать комбинации циклов и «почти циклов» разного рода, заполняющих плоскость различными запутанными спосо¬ бами, но нас завело бы слишком далеко, если бы мы попытались понять во всех подроб¬ ностях, как возникает необычная сложность этого множества, включая сложные вопросы комплексного анализа и теории чисел. Интересующийся читатель может обратиться к кни¬ гам [578, 579] за дальнейшей информацией и к работе [217], которая содержит рисунки. Примечания §4.1. 4.1. По поводу этих правил см. упражнение 4.2. §4.2. 4.2. Это есть непосредственное следствие того, что комплексный многочлен от одной переменной £ ч. разлагается на линейные множители ао + a±z + a2Z2 Н Ь anzn = an(z - bi)(z - 62) * • • (z - bn); именно это утверждение обычно называют «основной теоремой алгебры». 4.3. Как говорят, Тарталья познакомил Кардано со своим частным решением только после того, как Кардано поклялся сохранить его в тайне. Поэтому Кардано не мог опубликовать свое более общее решение, не нарушая данного обещания. Однако во время своей последующей поездки в Болонью в 1543 году Кардано узнал о посмертных работах дель Ферро и признал его при¬ оритет. Он решил, что это освобождает его, и опубликовал все свои результаты в Ars Magna в 1545 году. Тарталья с этим не согласился, и их полемика имела весьма неприятные последствия (см. [855]). 4.4. Более подробную информацию можно найти в книге Ван-дер-Вардена [799]. 4.5. Причина состоит в том, что мы складываем два числа, которые являются комплексно¬ сопряженными по отношению друг к другу (см. § 10.1), и такая сумма всегда является ве¬ щественным числом. §4.3. 4.6. Напомним, что, согласно примечанию 2.4, О”1 означает т. е. это есть «единица, деленная на нуль». Это удобное краткое представление «результата» недозволенной операции «0 1 = оо». 4.7. «Строго» означает, что значения на концах области не включаются в нее. 4.8. Более подробную информацию можно найти в книге Харди [354]. §4.4. 4.9. См., например, [648], стр. 71 (там говорится о «радиусе сходимости») и [544], стр. 67, 264. §4.5. 4.10. При построении картин множества Мандельброта (подобных рис. 1.2) с помощью компьютера невозможно, конечно, вычислять бесконечно, чтобы убедиться, что последовательность, кажу¬ щаяся ограниченной, действительно является таковой. Обычно «обрывают» итерацию на неко¬ тором достаточно большом числе шагов. Простое увеличение числа шагов, однако, не всегда улучшает точность картины, поскольку нити могут сливаться и теряться. Покажите это. (Подсказка: Покажите, что при делении этого многочлена на. z — b не получается остатка всякий раз, когда z ~ Ь является решением этого уравнения.)
Глава 5 Геометрия логарифмов, степеней и корней 5.1. Геометрия комплексной алгебры / Аспекты магии комплексных чисел, изложенные в конце предыдущей главы, содер¬ жат много тонкостей, поэтому вернемся немного назад и взглянем на некоторые более элементарные, хотя и столь же загадочные и важные, стороны этой магии. Прежде всего посмотрим, как представить геометрически на комплексной плоскости те правила сложения и умножения, с которыми мы столкнулись в §4.1. Можно сформулировать их соответствен¬ но как правило параллелограмма и правило подобных треугольников, иллюстрированные на рис. 5.1 а, б. Для двух произвольных комплексных чисел w и z точки, представляющие w + z и wz, определяются следующим образом: точки 0, w, w + z, z являются вершинами параллелограмма и / треугольники с вершинами 0, 1, w и 0, z, wz подобны. Рис. 5.1. Геометрическое представление основных правил алгебры комплексных чисел, а) Правило параллелограмма для сложения: точки 0, w9 w -f zt z служат вершинами параллелограмма, б) Правило подобных треугольников для умножения: треугольники с вершинами 0, 1, w и 0, z, wz подобны (Здесь приняты обычные соглашения относительно порядка и ориентации. Так, пред¬ полагается, что мы обходим параллелограмм циклически, так что отрезок прямой от w до w + z параллелен отрезку от 0 до z и т. д., а также что подобие двух треугольников не предполагает какого-либо «отражения». Существуют особые случаи, когда треугольники или параллелограмм вырождаются тем или иным способом*.) Заинтересовавшийся читатель может проверить эти правила с помощью тригонометрии и путем непосредственного вы- jjt числения . Существует, однако, другой способ, который не требует подробного расчета и дает лучшее понимание. * Рассмотрите различные возможные случаи. ** ЛЭ Проделайте это.
5.1. Геометрия комплексной алгебры 95 Будем рассматривать сложение и умножение как некоторые отображения (или преоб¬ разования), которые переводят всю комплексную плоскость в самое себя. Любое заданное комплексное число w определяет «отображение сложения» и «отображение умножения» как такие операции, которые, будучи применены к произвольному комплексному числу z9 соответственно прибавляют w к z и дают произведение w на z9 то есть WZ. Легко видеть, что отображение сложения просто сдвигает комплексную плоскость без вра¬ щения или изменения размера либо формы — это пример трансляции (см. §2.1), — смещая начало координат 0 в точку w (см. рис. 5.2 а). Правило параллелограмма есть лишь дру¬ гая формулировка этого факта. А как насчет отображения умножения? Оно представляет преобразование, которое оставляет начало координат фиксированным и сохраняет форму, сдвигая 1 в точку w. В общем случае оно является комбинацией поворота (без отражения) и однородного растяжения (или сжатия) (см. рис. 5.2 б). Правило подобных треугольников выражает именно это. Это отображение будет иметь для нас особое значение в § 8.2. А z+w WZ 1 W 1 (б) * Рис. 5.2. а) Отображение сложения «-Ии» производит трансляцию комплексной плоскости, сдвигая О в точку w, 6) Отображение умножения «хю» производит поворот комплексной плоскости вокруг О с растяжением (или сжатием), переводя 1 в w В частном случае w = г отображение умножения представляет собой просто правый 7Г . Если повторить эту опера- (т. е, против часовой стрелки) поворот на прямой угол . цию дважды, получится поворот на 7г, что есть просто отражение в начале координат; другими словами, именно отображение умножения превращает каждое комплексное число в противоположное ему по знаку. Это дает нам графическую иллюстрацию «загадочного» соотношения г2 = — 1 (рис. 5.3). Операция умножения на г реализуется как геометрическое преобразование в виде поворота на прямой угол. При таком подходе уже не кажется таким загадочным то, что «квадрат» этой операции (т. е. операция, повторенная дважды) приводит к тому же результату, что и изменение знака на противоположный. Это, конечно, не раз¬ рушает магии и загадки: почему комплексная алгебра работает так хорошо? Как ничего не