Автор: Новик Ф.С.   Арсов Я.Б.  

Теги: технология обработки без снятия стружки в целом: процессы, инструмент, оборудование и приспособления   машиностроение   металлы   металловедение   издательство машиностроение  

Год: 1980

Похожие

Лекции по квантовой теории материалов

Атомная физика

Спектроскопия ядерного магнитного резонанса высокого разрешения. Том 2

Человек и квантовый мир. Странности квантового мира и тайна сознания

Текст
                    Ф. С. Новик
Я.Б.Арсов
ОПТИМИЗАЦИЯ
ПРОЦЕССОВ
ТЕХНОЛОГИИ
МЕТАЛЛОВ
МЕТОДАМИ
ПЛАНИРОВАНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ
СОФИЯ
•ТЕХНИКА-
МОСКВА
-МАШИНОСТРОЕНИЕ-
1980

УДК 621.7/9.002 : 519.24
Рецензент Ю. П. Адлер
Новик Ф. С., Арсов Я. Б.
Оптимизация процессов технологии металлов методами плани-
рования экспериментов.—М.: Машиностроение; София: Техника,
1980. — 304 с., ил.
В книге, представляющей сабой совместный труд советского
автора и автора из Народной Республики Болгарии, освещены
вопросы применения статистических методов планирования экспе-
риментов для оптимизации процессов технологии металлов.
В форме, доступной для читателя без специальной математи-
ской подготовки, последовательно рассмотрены этапы выбора зави-
симых и независимых переменных, факторные планы и планы вто-
рого порядка, способы решения экстремальных задач. На практи-
ческих примерах показано, как описанные методы следует приме-
нять при оптимизации процессов металловедения и термической
обработки, литейного производства, обработки металлов давлением,
сварки, пайки. Эффективность методов иллюстрируется большим
числом примеров решения реальных задач в СССР и НРБ из области
технологии металлов.
Книга предназначена для научных и инженерно-технических
работников машиностроения.
Табл. 118, ил. 16, список лит. 148 назв.
"SnSr67-»0- 27M0,0~
© Издательство «Машиностроение», 1980 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие современной техники связано с созданием новых
п постоянным совершенствованием существующих технологиче-
ских процессов. Основой их разработки и оптимизации является
эксперимент. Заметное повышение эффективности эксперимен-
тальных исследований и инженерных разработок достигается ис-
пользованием математических методов планирования эксперимен-
тов.
В предлагаемой книге изложены некоторые методы планиро-
вания применительно к решению задач металловедения, термиче-
ской обработки, литейного производства, обработки металлов
давлением и других областей технологии металлов. Круг этих
задач весьма обширен, но, к сожалению, методы планирования,
хотя и перестали быть в наше время «terra incognita», используются
для их решения явно недостаточно.
Выбор составов сплавов, режимов их получения и обработки
пока осуществляется главным образом на основе опыта и интуи-
ции исследователей. Строгих теорий, позволяющих понимать в де-
талях механизмы процессов, протекающих в металлах и сплавах,
и на этой базе создавать металлические материалы с оптималь-
ными свойствами, разрабатывать режимы их обработки, не суще-
ствует.
Использование математико-статистических методов при по-
становке задач, в процессе экспериментирования и при обработке
полученных данных существенно сокращает сроки решения, сни-
жает затраты на исследования и повышает качество полученных
результатов.
Данная книга, написанная инженерами для инженеров, от-
личается от большинства существующих стремлением учесть спе-
цифику задач технологии металлов. Цель книги — научить спе-
циалистов в области технологии металлов решать с помощью ме-
3

н»до|| 11 л и и и |>< >iui 11 и я многочисленные задачи поиска оптимальных
гостиной силикон, разработки технологических схем и оптимиза-
ции режимов получения и обработки материалов, показать, что
многие задачи из разных областей технологии металлов, особенно
экстремальные, весьма схожи по постановке и способам
решения.
В книге рассмотрены далеко не все существующие методы пла-
нирования экспериментов. Выбраны лишь те, которые по мнению
авторов представляют наибольший интерес для задач технологии
металлов. Подробное описание методов даст возможность исполь-
зовать их непосредственно на практике. Все методы иллюстри-
руются примерами оригинальных задач. Большое число примеров
приведено в связи с тем, что они часто бывают поучительней много-
словных объяснений. Каждая приведенная в примере задача ре-
шена до конца, и читатель, повторив пример с карандашом в руке,
может лучше уяснить себе идею метода, его особенности и возмож-
ности, достоинства и недостатки.
Авторы считают своим долгом отдать дань проф. Л. И. Леви,
явившемуся по сути дела инициатором этой книги. Авторы также
благодарят всех своих коллег, участвовавших в решении конкрет-
ных задач и способствовавших применению методов планирования
в технологии металлов. Все критические замечания по данной ра-
боте будут восприняты авторами с признательностью.

ВВЕДЕНИЕ
Встречающиеся реальные задачи технологии металлов весьма
разнообразны. Достаточно грубо их можно разделить на так
называемые экстремальные задачи, цель которых поиск оптималь-
ных в том или ином смысле составов сплавов, режимов их терми-
ческой обработки, условий литья, сварки, обработки давлением
и т. п., и задачи описания, цель которых изучение общих зако-
номерностей явлений, происходящих в металлах и сплавах при
изменении их составов, в процессе приготовления, во время по-
следующих обработок. Разумеется, задачи описания и экстре-
мальные часто решаются вместе.
Во всех случаях ситуация заметно упрощается, если для того
или иного явления удается построить некоторую математическую
модель.
Предположим, требуется изучить влияние состава, условий
литья, обработки давлением и последующей термической обра-
ботки на свойства сплавов выбранной системы. Целью этого ис-
следования является попытка выявить общие закономерности
изменения свойств сплавов от состава и условий обработок, а также
поиск сплава, обладающего некоторым заданным комплексом
свойств. Понятно, что цели исследования легко было бы достиг-
нуть, если бы имелись математические модели, связывающие меха-
нические, технологические, эксплуатационные и любые другие
свойства сплавов изучаемой системы с их составом, режимами
литья, деформации, термической обработки. Решение и задачи
описания, и экстремальной представляло бы тогда просто анализ
имеющихся моделей.
Возникает вопрос, каким же образом получить такого рода
модели? Можно назвать, по крайней мере, два способа.
Модели можно попытаться построить на основе знаний меха-
низмов явлений, происходящих в данных сплавах при изменении
их состава и во время обработок, т. е. теоретическим путем. По-
строенные таким способом модели представляют исключительную
ценность, в частности, их можно использовать не только для ре-
шения данной конкретной задачи, но и во многих других слу-
чаях.
5

К сожалению, механизмы большинства явлений или процессов,
происходящих в металлах и сплавах, к настоящему времени изу-
чены явно недостаточно. Во всяком случае строгих количествен-
ных теорий, как правило, не существует, а потому только из тео-
ретических соображений построить модели для каждого конкрет-
ного случая почти никогда не удается. Но тем не менее рассматри-
ваемая задача является стандартной в технологии металлов, и
такого рода задачи, конечно же, решаются. Следовательно, ре-
шаются они при неполном знании (а иногда и вообще при незна-
нии) механизмов явлений, протекающих в сплавах. И способ
решения вполне определенный — эмпирический, экспери-
ментальный. Отсюда следует, что наиболее реалистичным
путем построения математических моделей является экспери-
мент.
Итак, теперь можно сформулировать задачу, решению которой
и будет посвящен весь последующий материал книги: необходимо
с помощью эксперимента, который будет проводиться при непол-
ном знании или незнании механизмов явлений, научиться строить
и анализировать математические модели, связывающие свойства
металлов и сплавов со всеми теми переменными, от которых эти
свойства зависят.
Сразу же отметим, что поставленная проблема является зада-
чей кибернетики. Действительно, если считать кибернетику
«наукой, изучающей системы любой природы, способные воспри-
нимать, хранить и перерабатывать информацию для целей опти-
мального управления» [52 I, то такой кибернетической системой
в данном случае является металл или сплав, и эту систему можно
представить себе в виде так называемого «черного ящика». Она
будет иметь входы (независимые переменные, факторы) хъ х2, ..., xk
(в нашем примере — состав, режимы литья, деформации, терми-
ческой обработки) и выходы (зависимые переменные, отклики,
параметры оптимизации, функции цели) т](, т]2, ..., т]7 (в примере —
свойства сплава). Существенным является то обстоятельство, что
каждому набору уровней входов отвечают определенные значения
выходов. Другими словами, сплав фиксированного состава, полу-
ченный и обработанный по определенной схеме и режимам, имеет
некоторый комплекс свойств. Сплав другого состава, обработан-
ный по другим режимам, имеет и другие свойства. Точно ответить
на вопрос, почему при изменении состава и режимов обработок
изменились свойства сплава, нельзя (механизм явления либо
плохо, либо совсем не известен, ящик черный), но важен лишь
сам факт изменения свойств. Если теперь предположить, что
между выходами и входами системы существует определенная
связь (а она, без сомнений, существует!), то задача сводится к по-
становке желательно минимально возможного числа эксперимен-
тов (выбору некоторого числа наборов уровней входов), фиксации
выходов, а затем к построению и анализу математических моделей,
связывающих выходы с входами.
6

Таким образом, нужно получить некоторое представление
о так называемых функциях отклика:
’к = Ф1 Си, *2. •••, **);
1]2 = ф2 (х1т х2, ..., хк);
Л? = <Р? (-И, *2, > xk).
Вид функций <р исследователю заранее неизвестен. Поэтому,
получая в опытах выборочные оценки выходов у, он вынужден
строить приближенные уравнения функций отклика
У1 = Л (-И, ха, .... хА);
г/а = /2 (-И, ха, .... ХА);
Уч = fq (-И, хг, xk).
Эти уравнения в многомерном пространстве факторов, часто
называемом факторным пространством, имеют некоторый геоме-
трический образ - поверхность отклика. Следовательно, задача
сводится к получению представления о поверхности отклика.
Если задача экстремальная, надо найти экстремум (минимум
или максимум) этой поверхности или сделать вывод, что экстре-
мума нет. Если задача описания, необходимо попытаться выявить
причины именно такого характера поверхности.
Свойства сплавов, как и вообще любых других систем, можно
описывать различными математическими моделями. Наибольшее
применение нашли модели в виде алгебраических полиномов.
Обычно используют разложение неизвестной функции отклика
в ряд Тейлора в окрестности любой точки из области ее опреде-
ления в факторном пространстве
П = <Р (И, х2...хк) = |30 + L Рл +
1 С i С k
£ p(7xzxz Н £ р„х?-|-...,
I < i < / < Л	1 С i < &
. R JSL ft.. =	д2(?	R.. = д2<р
' ! дХ[ ' ' о дх[дх) ’	dxl ’
Эгот степенной ряд в общем случае бесконечен, но на практике
ограничиваются конечным числом его членов, аппроксимируя тем
самым неизвестную функцию ф (хи х2, ..., >fc) полиномом некоторой
cieneiin. Подобная аппроксимация имеет смысл, если функция от-
вечает ряду требований. Важнейшим из них является требование
непрерывности и достаточной «гладкости». Поскольку заранее
псп niecTHO, насколько это требование выполняется, приходится
делать допущения о том, что это так.
7

Модель строят по результатам экспериментов, т. е. определяют
выборочные оценки коэффициентов b0, bt, Ьц, bih
У = Ь()^-	^bijXiXj Ч- ^Ьцх]
где у — выборочная оценка ц.
Эксперимент можно проводить по-разному. В случае, когда ис-
следователь наблюдает за каким-то неуправляемым процессом,
не вмешиваясь в него, или выбирает экспериментальные точки
интуитивно, на основании каких-то привходящих обстоятельств,
эксперимент считают пассивным. Этот случай пока наиболее рас-
пространен при решении задач технологии металлов. В частности,
такая ситуация почти всегда возникает, когда пользуются тради-
ционными методами экспериментирования, изучая вначале влия-
ние одной переменной при остальных постоянных, затем другой
и т. д. Поскольку при этом немыслимо перебрать все возможные
варианты, выполняют лишь часть опытов, причем обоснование
выбранных почти никогда не бывает достаточно строгим. В этих
случаях статистические методы применяют обычно после оконча-
ния экспериментов, когда данные уже получены. Здесь используют
такие приемы, как подбор функций распределения, определение
средних величин и мер рассеяния, анализ корреляций, регрессий
и т. п.
Многолетний опыт показал, что указанный подход, особенно
в задачах оптимизации, является неэффективным. Не останавли-
ваясь на всех причинах этого обстоятельства, отметим лишь, что
по результатам пассивного эксперимента можно, например, судить
о наличии или отсутствии статистической связи между перемен-
ными, построить подходящие уравнения связи. Но этими уравне-
ниями можно пользоваться только для интерполяции. Например,
можно оценить в виде аналитического выражения, как меняется
прочность того или иного сплава в зависимости от его состава и
условий приготовления, но интерпретировать полученную модель,
придавать какое-либо значение ее индивидуальным коэффициен-
там, использовать для целей оптимизации, как правило, нельзя.
В настоящее время пассивный эксперимент достаточно широко
используют в технологии металлов. Тем не менее, будущее, ве-
роятно, не за ним, хотя в некоторых случаях и из пассивных на-
блюдений удается извлечь весьма ценную информацию.
Совсем иная картина наблюдается, когда исследователь начи-
нает применять статистические методы на всех этапах исследова-
ния и, прежде всего, перед постановкой опытов, разрабатывая
схему эксперимента, а также в процессе экспериментирования,
при обработке результатов и после эксперимента, принимая реше-
ние о дальнейших действиях. Такой эксперимент называют актив-
ным, и он предполагает планирование эксперимента.
Под планированием эксперимента обычно понимают [6] про-
цедуру выбора числа и условий проведения опытов, необходимых
и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точ-
8	•

постью. Основные преимущества активного эксперимента связаны
с тем, что он позволяет:
минимизировать общее число опытов;
выбирать четкие логически обоснованные процедуры, последо-
вательно выполняемые экспериментатором при проведении ис-
следования;
использовать математический аппарат, формализующий многие
действия экспериментатора;
одновременно варьировать всеми переменными и оптимально
использовать факторное пространство;
организовать эксперимент таким образом, чтобы выполнялись
многие исходные предпосылки регрессионного анализа;
получать математические модели, имеющие лучшие в некотором
смысле свойства по сравнению с моделями, построенными из пас-
сивного эксперимента;
рандомизировать условия опытов, т. е. многочисленные ме-
шающие факторы превратить в случайные величины;
оценивать элемент неопределенности, связанный с экспери-
ментом, что дает возможность сопоставлять результаты, полу-
чаемые разными исследователями.
Для того чтобы лучше себе представить, как реализуются идеи
активного эксперимента, рассмотрим схему одного из наиболее
широко используемых в настоящее время методов планирова-
ния — метода крутого восхождения, предназначенного для реше-
ния экстремальных задач.
В этом методе, как и во многих других методах планирования
эксперимента, задача решается поэтапно. На первом этапе, варьи-
руя в каждом опыте сразу всеми факторами, исследователь ищет
лишь направление движения к области экстремума. Для этого
поверхность отклика изучают только на небольшом участке и
строят для этого участка линейную модель:
у = &0-|---------------г&Л-
Анализ уравнения позволяет наметить направление движения
из исходной точки, наиболее быстро приводящее к оптимизации
выбранного параметра. В дальнейшем на каждом этапе в соот-
ветствии с результатами, полученными па предыдущих, ставят
небольшую серию опытов, результаты которых вместе с интуитив-
ными решениями определяют следующий шаг. Эта процедура
заканчивается в области экстремума. Здесь ставят несколько боль-
шую серию опытов и поверхность отклика описывают нелинейными
функциями.
Анализ нелинейного уравнения позволяет точно определить
координаты экстремума или сделать вывод, что экстремума не
существует, а также наметить последующий путь оптимизации.
Сравним классический металловедческий подход и метод кру-
пно восхождения на следующем искусственном примере. Пред-
положим, требуется найти состав наиболее прочного сплава на
9

Рис. 1. Схема метода крутого вос-
хождения:
1 - у = Ьо + ЬЛ + Ь2Х2- 11 -у =^b'o |-
+ Ь[Х1 + 1>:2х2
основе никеля, варьируя в нем
содержание алюминия (лу) и
тантала (х2). Предположим
далее, что зависимость проч-
ности (z/) от состава для дан-
ных сплавов имеет вид, пока-
занный на рис. 1, чего ис-
следователь, приступая к ре-
шению задачи, естественно, не
знает.
По каким-то соображениям
эксперимент начинают со спла-
ва, отвечающего составу точ-
ки S|. При традиционном экс-
периментировании исследова-
тель начинает менять в этом сплаве содержание одной из
добавок при постоянном количестве другой, затем содержа-
ние другой — при постоянном количестве первой. Из рис. 1
видно, что при таком подходе, начиная с точки Sj, вообще
можно не найти оптимальный состав (точка s(!), поскольку движе-
ние по прямой от точки S] в любую сторону не приводит к сущест-
венному упрочнению сплава.
Если далее экспериментатор сумеет перейти к другой исходной
точке s2, то, последовательно изменяя содержание алюминия и тан-
тала, он найдет наиболее прочный сплав, однако этот путь будет
достаточно длинным (s2—s;t—s4—s5—se).
Таким образом, традиционное экспериментирование, предпо-
лагающее поочередное изменение переменных, ведет к нерацио-
нальному расходованию времени и средств, тем более, что большая
часть информации, полученная после подобной работы, часто во-
обще не представляет практического интереса, поскольку отно-
сится к области, далекой от оптимальных условий.
Та же задача методом крутого восхождения решается следую-
щим образом. Вблизи точки (начиная от которой при обычном
экспериментировании успех вообще мог быть не достигнут) ста-
вят небольшую серию из четырех опытов. Цель этих опытов —
еще не поиск состава наиболее прочного сплава. Определение проч-
ности первых четырех сплавов позволяет исследователю неизвест-
ную поверхность отклика на небольшом участке вблизи точки $!
приблизить плоскостью, т. е. рассчитать коэффициенты ре-
грессии уравнения
У = Ьо + blxl + Ь2х2.
10

Найденные iio результатам опытов коэффициенты Ь1 и
Определяют направление градиента для данной аппроксимирую-
щей плоскости, т. е. направление изменения содержания алюми-
ния и тантала в сплаве, приводящее к возможно более быстрому
повышению прочности сплава. Сделав несколько опытов в этом
направлении, т. е. осуществив крутое восхождение по поверхности
отклика в направлении градиента линейного приближения (от-
сюда название метода), исследователь выбирает новую исходную
точку s7, возле которой вновь проводит аналогичную серию из
четырех опытов, рассчитывает коэффициенты нового линейного
приближения теперь уже вблизи точки s7:
У = Ьд b\Xi -j- 'D2X2
и осуществляет движение по градиенту этого уравнения. Дви-
жение по градиенту производят до попадания в область оптимума,
после чего строят и анализируют нелинейную модель этой области.
Па рис. 1 градиент совпадает с прямой, перпендикулярной изо-
линиям, т. е. с самым крутым склоном, ведущим от данной точки
к вершине. Для поверхности отклика, показанной на рис. 1, ока-
залось достаточно двух серий опытов, чтобы при крутом восхож-
дении найти состав наиболее прочного сплава.
Даже рассмотренный пример показывает, что планирование
эксперимента принципиально отличается от традиционного экс-
периментирования. При планировании используется многофактор-
ная схема эксперимента, когда эффект влияния какого-либо
фактора оценивается по результатам всех опытов. При традицион-
ном экспериментировании (изменении одного фактора при осталь-
ных постоянных) используется однофакторная схема, при которой
эффект влияния фактора оценивается лишь по некоторой части
опытов. Многофакторная схема существенно эффективней. По-
кажем это на простом примере 175].
11редположим, что необходимо определить массу трех образ-
цов Л, В и С. Рассмотрим два способа проведения эксперимента.
В первом случае схема взвешивания будет такой, как показано
и табл. 1. Здесь первый опыт представляет собой холостое взвеши-
вание, т. е. по сути дела, определение нулевого положения весов.
Следующие опыты — поочередное взвешивание каждого из
образцов. В данном случае масса образца оценивается по результа-
там только двух опытов: того опыта, в котором взвешивается обра-
Н'Ц, н холостого. Например, масса А у2 — yY.
Схема взвешивания во втором случае показана в табл. 2.
Здесь в первом опыте взвешивают все три образца вместе (хо-
лостое взвешивание не производится), а в следующих — каждый
и о|делыюстн. В этом случае массу образца оценивают по резуль-
ннпм всех опытов. Действительно, например, масса А равна
л  У1 + Уг —Уз— Уэ
11

Таблица 1. Схема однофакторного
эксперимента по взвешиванию
образцов А, В и С
Номер оп ыта	А	13	с	Резуль- тат взвеш н- вання
1							,У1
о	+	—	—	1/2
3	—	+	—	Уз
4	—	—	+	</4
Таблица 2. Схема многофакторного
эксперимента по взвешиванию
образцов А, В и С
Помор опыта	А		с	Резуль- тат взвеш ii- ван и я
1	+	+	3-	</1
2	+			—	Уг
3	—	+	—	Уз
4	—	—	+	</4
Какой же из способов взвешивания лучше? Будем считать луч-
шим тот, который дает более высокую точность. Точность оценим
дисперсией результатов взвешивания S2, которую подсчитаем для
каждого способа. Предварительно вспомним, что по закону сло-
жения дисперсий, если А -- а ± Ь, то S'i = Sa + Зь; и если А =
a -4- b
= где п — константа, то
с» Sa Sb
г>л =
п2
С учетом этого для первого способа взвешивания
S51 -2S2,
где Sy — среднеквадратичная ошибка взвешивания;
для второго способа
——5—= Sy.
Оказывается, второй способ обеспечивает точность вдвое выше
по сравнению с первым, хотя общее число опытов в обоих случаях
одинаково. Произошло это по вполне понятной причине. Первый
способ взвешивания является традиционной схемой экспери-
мента— типичной однофакторной. Несмотря па то, что здесь
всего было сделано четыре опыта, массу каждого образца опреде-
ляли только по результатам двух. Второй же способ представляет
собой схему многофакторного эксперимента. Здесь массу образца
определяли по результатам всех опытов, а это и дает выигрыш в точ-
ности. Чтобы получить результаты с той же точностью при тради-
ционном экспериментировании, в данном случае придется повто-
рить все опыты, т. е. проделать по сути дела вдвое большую ра-
боту. Легко показать, что с увеличением числа факторов эффектив-
ность многофакторного эксперимента растет.
Рассмотрим теперь последовательно вопросы постановки за-
дач при планировании эксперимента, выбора зависимых и независи-
сых переменных, способы построения и анализа планов экспери-
мента, интерпретации полученных моделей.

ГЛАВА
ПРЕДПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Этап предпланирования эксперимента предполагает решение
вопросов, связанных с постановкой задач. Термин «предпланиро-
нлние» был предложен Ю. П. Адлером [3].
Решение экспериментальной задачи всегда оказывается тем
более эффективным, чем более определенно задача поставлена.
Хотя в ряде случаев этап предпланирования имеет самостоятель-
ное значение (см. примеры в данной главе), основной его целью
является выбор зависимых и независимых переменных.
При формулировке задачи исследователь должен иметь ясное,
четкое, однозначное представление о цели работы. Объект иссле-
дования должен быть управляемым. В ряде задач технологии ме-
таллов на это требование’следует обращать особое внимание. На-
пример, ставя задачу поиска оптимального в каком-то смысле
сплава, необходимо отдавать себе отчет в том, что придется гото-
вить сплавы строго определенного химического состава. Если спла-
вы многокомпонентные, очевидно, потребуется принять специаль-
ные меры для того, чтобы точно попадать в заданный состав.
Если по каким-либо причинам сделать это трудно, методы планиро-
вания, возможно, вообще не стоит применять.
1.1. ВЫБОР ЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Зависимая переменная (отклик, выход, целевая функция,
параметр оптимизации) должна удовлетворять ряду требований.
Желательно, чтобы она была единственной, однозначной, в экстре-
мальных задачах действительно определяла экстремум, характери-
зовалась числом (при этом допустимы ранговые оценки типа сорт,
балл, класс и др.), имела ясный физический смысл, отличалась
статистической эффективностью, была однозначной в статистиче-
ском смысле, имела экономическую природу (в экстремальных и
компромиссных задачах).
Большинство из этих требований ясны и очевидны. Все же
отметим, что статистическая эффективность требует выбора за-
висимой переменной, определяемой с наибольшей точностью.
Например, в качестве характеристики пластичности для хрупких
13

материалов следует выбирать относительное удлинение, а для
пластичных — относительное сужение.
Однозначность в статистическом смысле означает, что задан-
ному набору значений независимых переменных должно соответ-
ствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение за-
висимой.
Множество значений, которые может принимать зависимая
переменная, называют областью ее определения. Эти области мо-
гут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неогра-
ниченными. Исследователь должен уметь измерять зависимую
переменную при любых возможных комбинациях выбранных уров-
ней независимых.
В технологии металлов редко решаются задачи с одной зависи-
мой переменной. Параметров оптимизации, как правило, имеется
много, особенно в экстремальных задачах. Действительно, напри-
мер, при разработке литейных сплавов обычно недостаточно,
чтобы они имели только высокую жидкотекучесть. Они должны
также не растрескиваться при литье, иметь определенные усадоч-
ные свойства и, разумеется, отвечать заданным требованиям по
механическим свойствам, герметичности, коррозионной стойкости
и т. д.
В этих ситуациях прежде всего необходимо попытаться умень-
шить число определяемых экспериментально параметров оптими-
зации, лучше всего до одного. Если же это не удается, приходится
решать задачи с несколькими параметрами.
Известно довольно много попыток разработать способы умень-
шения числа параметров.
Прежде всего следует оценить уровень априорной информации
об изучаемом явлении (процессе). Лучше всего для этого исполь-
зовать метод априорного ранжирования, который подробно будет
рассмотрен ниже, в разделе, посвященном выбору факторов, там же
он будет проиллюстрирован примером выбора единственного пара-
метра оптимизации из многих при решении одной из задач из об-
ласти технологии металлов.
Далее можно рассмотреть возможность переформулировки
задачи, или сведения ее к последовательности задач. Другими
словами, вместо решения сразу большой задачи, требующей опти-
мизации по многим параметрам, можно попытаться решать ряд
более простых задач с одним конкретным параметром оптимиза-
ции. Предположим, требуется разработать сплав возможно более
жаропрочный, но в то же время технологичный при обработке
давлением и обязательно сваривающийся.
Решение задачи можно представить себе в следующей последо-
вательности. Прежде всего, выбирают состав и режим термической
обработки, обеспечивающие возможно более высокий уровень
жаропрочности сплава. Далее факторы уточняют с тем, чтобы обес-
печить возможность деформирования сплава. Имея жаропрочный
и деформируемый сплав, можно теперь искать оптимальные
14

условия его сварки. Так, одна задача сводится к последователь- I
пости задач, каждая из которых имеет четко определенный пара- ' iZ
метр оптимизации: вначале жаропрочность, далее деформируе-
мость и затем свариваемость.
1.1.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО
АНАЛИЗА
Значительную помощь в ситуациях со многими параметрами
оптимизации может оказать установление статистических связей
между параметрами с помощью корреляционного анализа [81].
('уть этого приема заключается в определении коэффициентов
парной корреляции между каждыми двумя параметрами на осно-
вании имеющихся экспериментальных данных. При наличии вы-
сокой корреляции между параметрами любой из них можно исклю-
чить из рассмотрения, так как он не содержит какой-либо допол-
нительной информации об объекте исследования, кроме получен-
ной с помощью другого. Исключать, естественно, надо те параметры,
которые методически труднее определять экспериментально или
физический смысл которых менее ясен.
Коэффициент парной корреляции является мерой тесноты
линейной связи между двумя случайными величинами. В общем
случае его величина может меняться от 0 до ±1. Если коэффи-
циент корреляции равен 0, связь либо вообще отсутствует, либо
отлична от линейной. Если он равен ± 1, связь является линейной—
функциональной. Наиболее важны случаи, промежуточные между
полной корреляцией и отсутствием корреляции. Здесь коэффи-
циент корреляции выражает ту долю вариации одной из перемен-
ных, которая связана с изменением значений другой. Естест-
венно, чем ближе величина коэффициента корреляции к 1, тем
связь сильнее; чем ближе к 0, тем связь слабее. Знак коэффи-
циента корреляции указывает на направление связи: увеличение
одной из переменных при положительной корреляции влечет за
собой увеличение, а при отрицательной корреляции — уменьше-
ние другой.
Если обозначить одну случайную величину через уг (один
из параметров), а другую через у2 (другой параметр), то одна из
возможных формул для расчета коэффициента парной корреля-
ции (/</,(/,) между yt и у2 будет иметь вид 1108]
N
Y (У1„-У1)(У2и-У2)
/1 1Ч
L (У1и-У1У\Уги-уг^
ы==1
16

где N — число опытов; и — номер опыта;
N	N
Z. У1и	Zj У^и
й — и=' й —
Hi N '	N '
N	_	_ N
L (f/lU - ^1) (У2и ~У2)=Ъ ЙЛ -
u—i	u=l
N N
X yiu Y y*u
u—\	u — {
N ’
Таким образом, для расчета коэффициента корреляции по фор-
муле (1.1), необходимо предварительно подсчитать суммы:
N	N	N	N	N
1>Уги’ 1>У1иУ2^ Ху2^ Y>ylu-
После расчета коэффициентов парной корреляции устанавли-
вают их статистическую значимость (точнее, проверяют гипотезу
об отличии вычисленного значения коэффициента от нуля). С этой
целью по таблицам распределения коэффициентов корреляции
(см. приложение 1) находят при выбранном уровне значимости а
(вероятности практически невозможных событий, обычно прини-
маемой 0,001; 0,01; 0,05 или 0,10) и числе степеней свободы f =
= М — 2 критическое значение коэффициента корреляции гкр.
Линейная .связь считается статистически значимой в случае
если | грасч | > гкр.
Существуют и более простые способы расчета коэффициента
корреляции. Один из них [120] требует небольшой вычислитель-
ной работы и дает результаты близкие или, по крайней мере, ле-
жащие в доверительных интервалах коэффициента корреляции,
вычисленного стандартным способом по формуле (1.1).
Методика основана на предварительном подсчете размахов;
Ryi = 1/lmax	1/linin',
Ry, = l/2max	l/2mln,
R(yi-l/a) = (1/1	У2) max (1/1 H2)mini
R<yi+y,) = (1/1 + 1/г)тах — (1/1 + tfejmin.
(1-2)
16

При подсчете размахов следует учитывать знаки получающихся
величин.
Формулы для расчета коэффициента парной корреляции в этом
случае имеют следующий вид:
У'К У:
(1-3)
2R R
У\ У г
Л».</2 —	2R R
^У1Уг
(1-4)
(1-5)
Можно пользоваться любой из этих формул, но формула (1.5)
предпочтительней, так как она требует знания размахов и сумм, и
разностей.
После установления статистически значимых корреляцион-
ных связей между парой параметров оптимизации можно построить
уравнение регрессии, позволяющее предсказывать один из пара-
метров по другому. Если, например, предполагается предсказы-
вать у2 по значениям экспериментально определенного ylt то строят
следующее линейное уравнение регрессии:
У-i = b0 -1- ftjZ/,,	(1.6)
коэффициенты которого, при расчете коэффициента корреляции
по формуле (1.1) находят из выражений
N N	N N
У У^и Е У\и	У1иУ?и
1 « = 1	U~\	H = l	U=1	.	/ 1 7\
°0 - --------й--------T~N-----Г2------’	V1 • О
N Е уК - У yiu
и=1	\«=|	'
N	N	N
N 1’ У1иУ2и	- У	ViuY	У*и
h —	“=1	“=I	U=1	/1
-------n—;----pv	Г2— •	(18)
N Y Au ~ X У*и
w=l	\u=l /
Если коэффициент корреляции считают методом размахов,
то формулы для расчета коэффициентов модели (1.6) следующие:
4~
1
N
Y у-^
и=\
N
(1.9)
(1.10)
17

Рассмотрим несколько примеров применения корреляционного
анализа для поиска статистических связей между параметрами
оптимизации.
В одной из задач 110, 142] изучали литейные свойства сталей
25Л и 45Л. Для стали каждой плавки определяли эксперимен-
тально жидкотекучесть (Ж), объем (Рур) и высоту (Яур) усадочной
раковины, усадочную микропористость (ф/х). Кроме того, значе-
ния последнего свойства оценивали расчетом (ф/хр) [10]. По дан--
ным имевшихся плавок по формуле (1.1) рассчитали коэффициенты
корреляции между каждой парой свойств. Результаты расчетов
сведены в табл. 1.1 (эта таблица симметрична, так как =
= rylyi). Анализ был проведен по 17 плавкам (N = 17). Следова-
тельно, / = 17—2 = 15, и при а = 0,05 гкр = 0,482. Все стати-
стически значимые коэффициенты (т. е. равные 0,482 или большие)
отмечены в табл. 1.1 звездочкой.
Таблица 1.1. Коэффициенты парной корреляции между свойствами
углеродистых сталей 25Л и 45Л
	Ж	УУР	/Yyp	Ч’/х	
Ж Vyp ф/Хр	1	—0,81* 1	0,82* —0,82* 1	0,36 —0,46 0,38 1	0,70* —0,94* 0,69* 0,49* 1
Выявленные с помощью корреляционного анализа линейные
связи между свойствами можно теперь графически интерпретиро-
вать в виде графа (рис. 1.1), представляющего собой фигуру, со-
стоящую из точек (называемых вершинами) и отрезков (прямо-
линейных или криволинейных, называемых ребрами), соединяю-
щих некоторые из вершин. Вершинами графа в данном случае яв-
ляются свойства, каждое ребро графа указывает на наличие ста-
тистически значимой линейной связи между двумя вершинами.
Анализ полученного графа показывает, что все литейные свой-
ства изученных сталей статистически связаны между собой, правда,
иногда не прямыми связями. В результате оказывается возможным
выбрать в качестве параметра оптимизации расчетные значения
микропористости, а уже по этим значениям оценивать уровень
всех остальных свойств.
Следует отметить существенное свойство корреляционных свя-
зей: они в подавляющем большинстве случаев не являются при-
чинными. В этой связи, попытка найти ответ, например, на вопрос,
почему жидкотекучесть связана с расчетными значениями пори-
стости, может оказаться бесплодной. Скорее всего, оба эти свойства
18

Рис. 1.1. Граф корреляционных связей
при /’=95% литейных свойств сталей
25Л и 45Л:
Ж — жидкотекучесть; Уур — объем усадочной
рпковины, Нур — ее высота; ф/х и 1|>/х'р —
ипичсния микропористости соответственно
экспериментальные и расчетные
зависят не прямо друг от друга, а через какие-то другие факторы.
Важно лишь то, что по значениям одного из этих свойств можно
оценить уровень другого.
По формулам (1.7) и (1.8) были рассчитаны коэффициенты мо-
дели (1.6). Оказалось, что зависимости жидкотекучести (Ж),
объема (Vyp) и высоты (Яуг) усадочной раковины, а также усадоч-
ной микропористости (ф/х) от расчетных значений микропори-
стости (ф/хр) выглядят следующим образом’
[М]= 197,7 + 513,0 [ф/хр];
[Vyp] == 50,8— 35,4 [ф/Хр];
[Яур] = 23,5 + 32,2 [ф/хр];	(1И)
[ф/х] = —0,08 + 1,24 [ф/Хр].
Итак, в данном случае корреляционный анализ помог упро-
стить задачу и выбрать всего один параметр оптимизации: расчет-
ные значения микронористости. Полученную возможность трудно
переоценить. Оказывается, оптимизацию литейных свойств вы-
бранных сталей можно проводить вообще без эксперимента,
только по расчетным значениям микропористости. Разумеется,
оптимальные условия приготовления сталей следует в дальнейшем
проверить в опыте.
В другой задаче [49] проводили оптимизацию составов и ре-
жимов контролируемой прокатки стали типа 14Г2ФБ. Получен-
ные в работе экспериментальные данные по определению различ-
ных механических свойств сталей подвергли корреляционному
анализу.
Изучали связи между пределами прочности оЕ и текучести от,
их отношением от/ов, твердостью HRB, характеристиками пла-
стичности 6 и ф, критической температурой хладноломкости Тк,
ударной вязкостью при —40° С, определенной на образцах с круг-
лым ай40 и острым надрезами.
Коэффициенты корреляции рассчитывали по формуле (1.5).
Критические значения коэффициента корреляции при числе сте-
пени свободы f = 16 оказались: 0,468 для доверительной вероят.
19

Рис. 1.2. Графы корреляционных связей при доверительных вероятностях
95% (а), 99% (6) и 99,9% (в) механических свойств сталей типа 14Г2ФБ
после контролируемой прокатки
ности Р =95%; (а = 0,05); 0,590 для Р = 99% (а =0,01) и
0,708 для Р = 99,9% (а =0,001).
Выявленные с помощью корреляционного анализа статисти-
чески значимые линейные связи между свойствами представлены
, на рис. 1.2 в виде графов для доверительных вероятностей 95%
t (рис. 1.2, а), 99% (рис. 1, 2, б) и 99,9% (рис. 1, 2, в).
При доверительных вероятностях 95 и 99% все свойства,
кроме от/сгв, образуют связный граф. При Р = 95% наибольшее
число связей имеет твердость, однако при Р = 99% пропадают
корреляции, связывающие твердость с характеристиками ударной
вязкости, и на первое место по числу связей выходит предел проч-
ности. При Р = 99,9% из графа выделяется кроме от/ов еще и Тк.
Тем не менее даже и при Р = 99,9% все остальные свойства нахо-
дятся в связном графе. Интересно отметить, что характеристики
сопротивления металла пластической деформации (ов, от, HRB)
в целом лучше коррелируют с остальными свойствами по сравне-
нию с характеристиками способности металла пластически дефор-
мироваться (6, ф). Среди последних большее число связей при
Р = 95% имеет относительное удлинение, но при Р = 99% и
тем более при Р = 99,9?й — относительное сужение. Ударная
вязкость при —40° С, определенная на образцах с круглым над-
резом (ай40), коррелирует с относительным сужением вплоть до
Р = 99,9%. То же свойство, определенное на образцах с острым
надрезом (йй40), начиная с Р = 99%, не коррелирует ни с какими
другими свойствами, кроме йй40.
При графическом анализе графов можно подсчитать только
число имеющихся связей, но нельзя учесть величины коэффициен-
тов корреляции. В то же время следующим этапом корреляцион-
ного анализа является установление свойства, наиболее общего
из рассматриваемой группы, а это, естественно, требует учета и
абсолютных значений рассчитанных коэффициентов.
20

В теории графов известно решение так называемой «задачи
о лидере» [11]. Покажем в рассматриваемом примере, как этот
прием можно использовать для выделения наиболее общего свойства.
11о терминологии теории графов, «влиятельность» вершины графа
определяется числом выходящих из нее ребер. Вершина характе-
ризуется и «могущественностью», которая определяется тем, на-
сколько влиятельны другие вершины, связанные ребрами с данной.
Будем анализировать граф при Р =95% (рис. 1.2, а). Здесь
наиболее влиятельна вершина HRB, второе место занимает вер-
шина ств. Но является ли вершина HRB и более могущественной?
Рассмотрим для данного графа в качестве матрицы смежности
матрицу коэффициентов корреляции (табл. 1.2). При этом коэффи-
циенты корреляции будем брать по абсолютной величине, поскольку
шак коэффициента роли не играет, он определяет лишь направле-
ние связи.
Обозначим через р/ (k) общий элемент матрицы смежности, т. е.
число путей длины k, идущих из 4-й вершины в /-ю, и положим
р‘(й) =р;(й) + р‘(й)+ • • • +р‘(^)-	О-12)
где I — число вершин графа.
Числор*(6) назовем итерированной силой порядка^ 4-й вершины.
Итерированная сила порядка 1 р1(1) получается сложением
элементов матрицы смежности по строкам:
Р1 (1) = Гц 4~ Г12 + Из + • • • + гн 1
Р2 (1) = Г21 + Г22 + г2з + • • • + Гц I
р1 (1) — Гц -1- Гц 4~ Г13 -ф- • • • -ф- Гц.
В данном случае при подсчете итерированной силы имеет
смысл учитывать только статистически значимые коэффициенты
корреляции. В частности, такие коэффициенты для Р = 95%
в табл. 1.2 отмечены звездочками. Например, р°в (1) = 1 -ф
| 0,95 -ф 0,81 0,78 + 0,99 -]- 0,68 + 0,74 = 5,95 и т. д.
Рассчитанные таким образом величины р‘ (1) приведены в
табл. 1.2. С точки зрения этой силы, в графе имеются два лидера
(п„ и HRB), причем одинаково «могущественные». Интересно, что
по «влиятельности» при Р = 95% эти два свойства между собой
различаются: HRB более влиятельна, так как связана с семью
другими характеристиками, в то время, как ств только с шестью.
Силу порядка 2 р‘ (2) можно найти по следующим формулам.
Р (2) = r^p' (1) + Гцр2 (1)|- rL3p3 (1) +
Р* (2) = W (1) + W2 (1) + W (1) +
+ W(i)
+ гиР1 (0
(1-14)
p!L(2)=rap1(l) + /-Z2p2(l) + rZ3p3(l)+• • • +Гцр1(1).
21

Таблица 1.2. Коэффициенты парной корреляции между свойствами сталей типа 14Г2ФБ
	°в	стт	стт/ств	6	4>	HR В	т к	а-40 И	а”40 и48	1-я итерация		2-я итерация		3-я итерация		4-я итерация	
										р‘ (1)	Место	р‘ (2)	Место |	(£) ;с1	I Место 1	р‘ (4)	Место 1
О-в	1	0,95 ***	0,22	0,81 ***	0,78 ***	0,99 ***	0,68 **	0,30	0,74 ***	5,95	1—2	24,24	2	104,84	1	445,66	1
°т	0,95 ***	1	0,31	0,46	0,42	0,91 ***	0,13	0,14	0,41	2,86	7	13,93	5	59,13	5	253,89	S
Of/Cjj	0,22	0,31	1	0	0	0,40	0,13	0,20	0,06	1	9	1	9	1	9	1	9
6	0,81 ***	0,46	0	1	0,72 ***	0,65 **	0,43	0,37	0,46	3,18	5—6	14,90	4	63,58	4	277,18	4
	0,78 ***	0,42	0	0,72 ***	1	0,78 ***	0,15	0,82 ***	0,25	4,10	3	18,35	3	77,37	3	329,90	3
HRB	0,99 ***	0,91 ***	0,40	0,65 **	0,78 ***	1	0,61 **	0,51 *	0,50 *	5,95	1—2	24,36	1	104,57	2	443,87	2
тк	0,68 **	0,13	0,13	0,43	0,15	0,61 **	1	0,03	0,27	2,29	8	9,97	8	41,31	8	176,39	8
—40 ан	0,30	0,14	0,20	0,37	0,82 ***	0,51 *	0,03	1	0,94 ***	3,27	4	12,66	7	52,94	7	222,03	7
а-40 Н45	0,74 ***	0,41	0,06	0,46	0,25	0,50 *	0,27	0,94 ***	1	3,18	5-6	13,63	6	55,65	6	235,28	6
— значим вплоть до Р — 99,9%,
— значим вплоть до р = 99%; ’ — значим при Р — 95%

11апрпмер:
/А (2) _ 5,95 j 0,95-2,86	0,81-3,18	0,78-4,10 +
-|- 0,99-5,95 + 0,68-2,29 + 0,74-3,18 = 24,24 и т. д.
Па этот раз, после второй итерации, первое место заняла HRB,
второе сгв (см. табл. 1.2). Заметно изменилось и расположение дру-
гих свойств. Например, если вначале 6 занимало пятое-шестое
места, то теперь вышло на четвертое; пт с седьмого места перешел
на пятое и т. д.
Продолжим итерацию. Силу порядка 3 р1 (3) рассчитываем
по формулам
/V (3) =	(2) + г12р2 (2) + г13рЗ (2) + . . . + rupi (2);
(3) = г,^ (2) + г22р2 (2) + г23рЗ (2) + . . . + r2lpi (2);
р' (3) = гар> (2) + rZ2p2 (2) + risf}3 (2) 4-+ г1[Р‘ (2).
После этой итерации HRB и ffB поменялись местами. Первое
место занял <ув, второе — HRB. Места остальных характеристик
не изменились (табл. 1.2).
Очередная, четвертая итерация, проведенная аналогично пре-
дыдущим, подтвердила распределение мест, полученное после тре-
тьей (табл. 1.2). Поэтому можно считать, что распределение мест
стабилизировалось.
Итак, проведенный анализ показал, что по «могущественности»
изученные свойства располагаются в следующий ряд:
сгв, HRB, ф, 6, От. «н”; Ян40, Т’к, от/ов.
Несмотря на то, что предел прочности оказался наиболее
«могущественным» свойством, имеет смысл выбрать в качестве
лидера наиболее «влиятельную» характеристику—твердость,
могущественность которой немного меньше по сравнению с преде-
лом прочности. Основное достоинство твердости — методическая
простота ее определения.
Была предложена схема предсказания всех изученных свойств
гталей данного состава по значениям твердости, показанная на
рис. 1.3. Ниже даны уравнения регрессии, позволяющие предска-
1ынать свойства стали по величине твердости:
сгв = —103,22 -| 1,90 HRB, кгс/мм2	(I)
от = —56,69 -|- 1,16 HRB, кгс/мм2	(II)
6 = 45,41 — 0,452 HRB, %	(III)
ф == 165,22 — 1,17 HRB, %	(IV)
Тк = —393,26 1- 4,16 HRB, °C	(V)
ой40 = 7,98 — 0,044 ф, кгс • м/см2	(VI)
ай4“ = 12,69 — 0,149 <тв, кгс • м/см2	(VII)
23

ой40 = 0,91 + 1.41 ан460, кгс • м/см2
(VIII)
анД° = 0,22 + 0,55 аиы; кгс • м/см2.	(IX)
В соответствии с указанной схемой вначале по значениям HRB
с помощью уравнений (I)—(V) предсказываются значения соответ-
ственно <тв, от, 6, ф и Тк. Затем с помощью уравнения (VI) по рас-
считанным значениям ф предсказываются значения ай40, а с по-
мощью уравнения (VII) по <тв — значения Уравнения (VIII)
и (IX) служат для уточнения расчетов. Оценка остаточных диспер-
сий показала, что ошибка в предсказаниях свойств не превышает
10%. Естественно, коэффициенты найденных корреляционных за-
висимостей относятся только к исследованным составам и усло-
виям прокатки сталей. Однако использование найденных корре-
ляционных связей между свойствами сталей, прокатанных по кон-
тролируемому режиму, позволяет облегчить поиск оптимальных
условий такой прокатки.
1 Описанный способ корреляционного анализа неоднократно
I применяли для выбора параметра оптимизации в задачах техноло-
! гии металлов.
На рис. 1.4 приведен еще один пример [83], показывающий,
насколько тесно закоррелированы между собой различные харак-
теристики механических свойств, в том числе и жаропрочности,
‘ ряда жаропрочных сталей и сплавов. Здесь же показана схема пред-
сказания большинства свойств по некоторому их числу, легко оп-
ределяемому экспериментально. С помощью того же приема в ра-
ботах [56, 85, 86] все литейные и механические свойства синтети-
ческих чугунов удалось свести к отбеливаемости. В работе [88]
обнаружена корреляция между разнообразными механическими и
физическими свойствами низколегированных медных жаропроч-
ных сплавов, в работе [111] — между свойствами медных электрод-
ных сплавов, а в работе [46] между многочисленными механиче-
скими, физическими и эксплуатационными свойствами экономно-
легированных цементуемых сталей для тяжелонагруженных ше-
стерен грузовых авто-
мобилей.
Корреляции между
различными структур-
ными характеристика-
ми и свойствами диффу-
зионных слоев, обра-
зующихся при химико-
термической обработке,
изучали в работе [96],
Рис. 1.3. Схема предсказа-
ния свойств сталей ти-
па 14Г2ФБ после контроли-
руемой прокатки по значе-
ниям твердости
24

Рис. 1.4. Графы корреляционных связей (а) и схема предсказания (б) различных
свойств некоторых деформируемых никелевых сплавов и сталей
а между различными структурными характеристиками графита
синтетических чугунов в работах (84, 56]. С помощью корреля-
ционного анализа удалось выбрать всего 14 характеристик дефор-
мируемости стальных кольцеобразных деталей при закалке из
72 показателей, рассматривавшихся первоначально [87].
В заключение отметим, что для тех же целей корреляционного
анализа можно использовать не только коэффициент корреляции,
характеризующий степень линейной связи, но и корреляционное
отношение, определяющее нелинейную зависимость между пере-
менными.
Метод корреляционного анализа является не единственным
способом уменьшения числа экспериментально определяемых
параметров оптимизации. Не останавливаясь подробно на других
способах, отметим, что той же цели удалось достичь авторам ра-
боты [68] при использовании одного из методов факторного ана-
лиза шести механических характеристик (НВ, cr0t2, сгв, 6, ф и ан)
79 сложнолегированных сталей (свойства были взяты по данным
советского стандарта ГОСТ 4543—57). При этом оказалось, что
все эти характеристики легко выражаются из значений только ег0>2
(характеристики прочности) и ф (характеристики пластичности).
Волее того, поскольку две последние характеристики также за-
коррелированы, определять их можно только из одного экспери-
26

мента вместо обычных нескольких. Это же удалось автору работы [8]
при использовании другого метода факторного анализа — метода
главных компонент. В данном случае при обработке данных
100 плавок одной из сложнолегировапных сталей удалось характе-
ристики механических свойств <т0>2, <тв, 6,ф и ан свести к одной
новой Метод главных компонент непосредственно для одной
металловедческой задачи оптимизации использован и в работе
[41]. Однако следует отметить, что использование в последних
случаях новой характеристики требует все же экспериментального
определения всех свойств.
1.1.2. ФУНКЦИИ ЖЕЛАТЕЛЬНОСТИ
Весьма перспективным при решении задач с несколькими
зависимыми переменными является использование комплексных
показателей качества. Таким показателем может быть так назы-
ваемая функция желательности [6, 51, 81, 135, 143].
Под «желательностью» d понимают тот или иной желательный
уровень параметра оптимизации. Разработана специальная шкала
желательности. Величина d может меняться от0до1. Шкала вы-
глядит следующим образом:
d — 1,00 — максимально возможный уровень качества. Этот
k	уровеньчасто неизвестен, иногда точно определен.
Например часто неизвестно, какую максимальную
прочность может иметь разрабатываемый сплав,
но известно, что 0% горячеломкости, т. е. пол-
ное отсутствие растрескивания, — максимально
возможный уровень качества по горячеломкости.
Не всегда следует добиваться максимально воз-
можного уровня качества;
1,00—0,80 — допустимый и превосходный уровень качества
(очень высокий уровень качества, которого также
не всегда следует добиваться);
0,80—0,60 — допустимый и хороший уровень качества (но
все же выше того, которого реально добиваются);
0,60—0,37 — допустимый и достаточный уровень качества;
0,37 — заданный уровень качества (соответствует тому
значению параметра оптимизации, которое не-
обходимо получить);
0,37—0 — недопустимый уровень качества;
0 — максимально нежелательный уровень качества
(например, 100% горячеломкости, т. е. полное
растрескивание при литье или сварке).
Значения d на шкале желательности можно смещать вверх
или вниз, в зависимости от конкретных ситуаций.
' Идея использования функции желательности в качестве пара-
метра оптимизации заключается в том, что значение каждого
из параметров оптимизации (z/,), которых в задаче может быть
26

Рис. 1.5. Функция желательности для одно-
сторонних (а) и двусторонних (б) ограниче-
ний на параметр оптимизации
Таблица 1.3. Данные
для построения графика
функции желательности (1.17)
—4	54,598	0	0
—3	20,086	0	0
—2	7,3891	0,00060	0
— 1	2,7183	0,06587	0,07
0	1	0,3679	0,37
1	0,3679	0,6907	0,70
2	0,1353	0,8740	0,87
3	0,04979	0,9512	0,95
4	0,01832	0,9802	0,98
сколь угодно много, переводятся в соответствующие желатель-
ности (di), после чего формируется так называемая обобщенная
функция желательности (D), представляющая собой среднее гео-
метрическое желательностей отдельных параметров оптимизации:
D=ydLd2..............................dq<	(1.16)
где q — число изучаемых параметров оптимизации.
В результате обобщенная функция желательности оказывается
единственным параметром оптимизации взамен многих.
Возможны два варианта перевода значений параметра опти-
мизации (например, того или иного свойства сплава) в соответ-
ствующие желательности. Выбор варианта определяется видом
ограничений, установленных для данного свойства.
Если эти ограничения односторонние, т. е. имеют вид у с
< Утах или у t/mln, то функция желательности выражается урав-
нением
di =	’	(1.17)
। де у] — некоторая безразмерная величина, линейно (чаще всего),
и иногда нелинейно связанная с у^
Графически функция (1.17) показана |на рис. 1.5, а. Построе-
ние этого графика следует из табл. 1.3.
Если ограничения для свойства двусторонние, т. е. имеют вид
Уинн У < Утах, функцию желательности удобно задавать выра-
жением
=	(1.18)
I де ц — положительное число,
у' _ 2у,- — (Ушах 4~ У mln)
Утах —Ут1п
(1-19)
27

Рис. 1.6. Перевод свойств
синтетических чугунов в соот-
ветствующие желательности:
1 — функция желательности (1.17)
для У1, уг и у3‘, 2 — функция жела-
тельности (1.18) для yt- 3, 4, 5, 6 —
прямые для перевода значений
соответственно ylt у2, Уз, Уь в dit dt,
d3, d*
Графически функция
(1.18) показана на
рис. 1.5, б. Показатель
степени п можно вычис-
лить, если задать некото-
рому свойству у значе-
ние d (предпочтительно
в интервале 0,6 <d <0,9),
подсчитать по (1.19) соот-
ветствующую величину
\у' |, а затем воспользо-
ваться выражением -
, . 1
In In —Т-
п =	. (1.20)
1ч \у I V '
Выбирая разные значения п, можно задавать различную кри-
визну кривой желательности. Это обстоятельство позволяет
учесть особую важность отдельных свойств: для них п будет иметь
большее значение, и малому изменению свойства вблизи ограничи-
вающих пределов будет соответствовать резкое изменение жела-
тельности.
Покажем использование функции желательности на следующем
примере.
В одной из задач [143] изучали влияние состава и условий
температурно-временной обработки на предел прочности при растя-
жении (i/x), жидкотекучесть (z/2), горячеломкость (z/3) и твердость
(t/4) синтетических чугунов. Требовалось получить чугун с пределом
прочности не менее 0,245 ГПа (25 кгс/'мм2), при жидкотекучести
(по спиральной пробе) не менее 750 мм, горячеломкости (по коль-
цевой пробе) не более 45 % и твердости НВ не менее 180 и не более
250. Таким образом, в трех случаях ограничения на свойства были
односторонними: у{ 5з 25; у2 5в 750; у3 с 45; а в одном — дву-
сторонние: 180 с yi с 250.
Некоторые результаты экспериментов приведены в табл. 1.4.
Указанные здесь значения свойств переводили в соот-
ветствующие желательности di в следующей последователь-
ности.
На рис. 1.6 показаны функции желательности (1.17) для свойств
У1> У-i и у3, а также функция (1.18) —для yt. Для последней рас-
28

Таблица 1.4. Использование обобщенной функции желательности
Номер спла- ва	Предел прочности		Жидкотеку- честь		Горячелом- кость		Твердость		D
	кгс/мм2		у2, мм	(/ 2	Уз> %	^3	У4. /IВ		
1	14,4	0,14	455	0,25	55,5	0,10	296	0,02	0,09
2	35,0	0,64	160	0,17	63,0	0,01	310	0,01	0,06
3	29,4	0,48	450	0,25	52,5	0,20	296	0,02	0,15
4	12,0	0,11	900	0,45	35,0	0,70	235	0,47	0,36
5	30,0	0,51	540	0,28	33,5	0,72	277	0,10	0,32
6	23,6	0,30	840	0,39	15,0	0,92	212	0,99	0,57
считывали п, задав значению твердости НВ 200 величину d = 0,8.
Тогда по формуле (1.19)
,	2- 200 -(250+ 180)	„
у ~	250 —180	’
и по формуле (1.20)
_ 1п 1п 0,8	, 7Я I (
П In 10,431	,78'
Итак, в данном случае функция (1.19) имела вид
(1-21)
Именно эта функция (1.21) и показана на рис. 1.6.
Далее установили линейную связь (отметим, что в общем случае
она может быть и криволинейной) между у, и y't с помощью репер-
ных точек. Например, для предела прочности необходимо полу-
чить 0,245 ГПа (у, = 25 кгс/мм2). Будем считать это желатель-
ностью d = 0,37 (из рис. 1.5, а этому соответствует у’ = 0).
Если удается получить чугун с пределом прочности 0,49 ГПа
(у, = 50 кгс/мм2), будем считать это желательностью d = 0,80
(из рис. 1.5, а этому соответ-
ствует у’ = 1,6). Установлен-
ные аналогичным образом ре-
перные точки для остальных
свойств сведены в табл. 1.5.
Отметим, что для у4 реперные
точки устанавливаются авто-
матически (см. рис. 1.5, б),
поскольку z/max имеет место при
У = h a ymln — при у' = — 1.
С помощью реперных точек
на рис. 1.6 проведены прямые
линии, по которым для каж-
дого экспериментального зна-
Таблица 1.5. Реперные точки
Свойства -	У1	di	У1
1/1 (ав)	25	0,37	0
	50	0,80	1,6
у-2 (жидкотеку-	750	0,37	0
честь)	300	0,20	—0,45
Уз (горячелом-	45	0,37	0
кость)	0	0,98	4
(НВ)	250	0,37	1
	180	0,37	—1
29

чения yt графически определяется соответствующая желатель-
ность d,-.
Проиллюстрируем схему пользования полученной своеобраз-
ной номограммой (см. рис. 1.6). Например, у сплава 1 (табл. 1.4)
ух = 14,4 кгс/мм2. На рис. 1.6 по пути, указанному стрелками,
находим, что для ух = 14,4 d1 — 0,14.
Таким образом найдены и в табл. 1.4 представлены соответ-
ствующие желательности для каждого свойства всех сплавов. Это
позволяет установить обобщенную функцию желательности D,
характеризующую уровень качества каждого сплава. Формула
(1.16) в данном случае имеет вид
7) — did2d3d^.
Например, у сплава 1 (табл. 1.4)	— 0,14; d2 — 0,25; d3 =
= 0,10; d4 = 0,02. Следовательно, D = у/0,14 • 0,25 • 0,10 • 0,02 =
= 0,09. Значения!) для всех сплавов также приведены в табл. 1.4.
Краткое рассмотрение полученных результатов (табл. 1.4)
показывает, что, например, у сплава 1 все показатели низкие и,
естественно, у него низкое значение D. Сплавы 2 и 3 — наиболее
прочный", но для них характерны низкие литейные свойства и вы-
сокая твердость, а потому плохая обрабатываемость резанием.
В результате комплексный показатель их качества низок. У спла-
ва 4, наоборот, хорошие литейные свойства и удовлетворительная
твердость, но низкая прочность, а потому и обобщенная функция
желательности этого сплава невелика. Наконец, сплав 6 лучший
в ряду рассмотренных именно потому, что имеет набор свойств,
почти удовлетворяющий заданным ограничениям.
Следует отметить, что в задачах со многими параметрами
оптимизации можно формулировать несколько обобщенных функ-
ций желательности, включая в них разные наборы свойств в зави-
симости от предъявляемых требований. Например, при разработке
жаропрочных сплавов можно не включать в функцию желатель-
ности характеристики пластичности, если речь идет о литейных
сплавах, и включать эти характеристики, если сплавы предпола-
гается сделать деформируемыми.
В работах [94, 7] изучали влияние методов вторичного рафини-
рования и чистоты шихты на качество сталей типа 30—35ХГСА.
Рассматривали две обобщенные функции желательности. Одна из
них служила для оценки качества стали без учета стоимости пере-
дела и включала наиболее важные стандартные характеристики
механических свойств. Другая, кроме того, включала один из эко-
номических показателей и тем самым определяла стоимость от-
носительного прироста свойств с точки зрения металлургического
производства. Естественно, что по разным функциям желатель-
ности способы плавки, рафинирования и чистота шихты распола-
гались в разные ранжировочные ряды.
30

В работе [23] использовали четыре разных набора свойств и
'"ответственно четыре обобщенных функции желательности, поз-
волившие проанализировать с разных точек зрения механические,
к-миологические и эксплуатационные свойства группы цементуе-
мых сталей.
При производстве синтетических чугунов непосредственно
в заводских условиях [92] использовали обобщенную функцию
желательности, включавшую такие показатели, как выбиваемость
готовых отливок из кокиля, трещиноустойчивость отливок, отбе-
ли ваемость и жидкотекучесть чугуна, а также его предел проч-
ности при растяжении.
Заметно помогло использование обобщенной функции жела-
тельности при решении задачи разработки составов высокопроч-
ных электродов, предназначенных для сварки магистральных
газопроводов [99]. Функция желательности в этом случае вклю-
чала шесть характеристик механических свойств электродов,
в том числе и ударные свойства при отрицательных температурах.
I [встроенные для каждого из этих свойств линейные математиче-
ские модели не позволяли наметить однозначного направления
крутого восхождения. После же перехода к комплексному пока-
зателю качества этот этап удалось выполнить с большой эффектив-
ностью.
Столь же успешным оказалось использование обобщенной
функции желательности при анализе квадратичной модели, свя-
зывающей этот показатель с режимами контролируемой прокатки
стали 14Г2ФБ [48].
Во всех указанных работах использовали функцию желатель-
ности в форме (1.17) или (1.18). Но эти формы, вообще говоря,
не являются единственно возможными. В зависимости от поста-
новки задачи можно выбирать и другие виды функции желатель-
ности. Например, в работе [22 ] для выбора медного сплава, имею-
щего одновременно с высокой твердостью и достаточную по тех-
ническому заданию электропроводность, использовали функцию
желательности в виде In d{ = у].
Интересный обобщенный показатель качества описан в ра-
боте [6 ]. В случае односторонних ограничений (у < у1Пах или
// - #min) предлагается использовать следующую характеристи-
ку Y:
Ч (у,- — У; \ 2
Y=%aA у.-"-),	(1.22)
|де q — число параметров оптимизации; а; — некоторые коэффи-
циенты («веса» параметров), которые устанавливают, например,
опросом специалистов (см., например, [101 ]); yt — i-й параметр
оптимизации; yt-0 — его заданное (или желаемое) значение.
В том случае, когда все частные параметры совпадают со своими
заданными значениями, Y равен нулю. Поэтому, чем ближе Y
к пулю, тем лучше.
31

Для двусторонних ограничений (ymln с у с у111ах) в работе I
[125] предлагается использовать следующий обобщенный пока-j
затель:
У/max + .Vi min
»<	9
	-	
У/max У/mln
2-------------4
' Обозначения здесь те же, что и в (1.22).
Г" Несмотря на то, что обобщенные показатели качества форми- ,
руются чисто эмпирически, опыт их использования свидетель-
ствует о перспективности такого подхода для решения задач со
многими параметрами оптимизации.
J.2. ВЫБОР НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ j
/.^{Независимые переменные (факторы, входы) могут быть коли-
чественными и качественными. К факторам также предъявляют ,
ряд требований. Они должны непосредственно воздействовать на
объект, быть действительно независимыми, измеряемыми, управ-
ляемыми-? Совокупность факторов должна быть совместимой. J
Требование независимого воздействия на объект возникает 1
в связи с тем, что трудно управлять фактором, если он является |
функцией других. Однако это требование лишь желательное, но ;
не обязательное. Независимость переменных до начала экспери- ।
мента должна быть установлена совершенно определенно. Необ-
ходимо иметь возможность менять в некоторых пределах каждый
фактор, не затрагивая остальных.
Поскольку факторы должны быть измеряемыми, каждому'фаз-
личимому уровню качественного фактора следует приписать ка- <
кое-либо число. Например, определенный номер штампу, если
в качестве фактора используются различные типы штампов;
шихте, если изучаются различные типы шихт, и т. д.
Под управляемостью фактора подразумевается возможность
установки и поддержания нужного уровня фактора в выбранном
диапазоне постоянным в течение всего опыта или его изменение
по заданной программе. Это требование аналогично требованию
управляемости объекта.
Наконец, под совместимостью совокупности факторов пони-
мается возможность осуществить, причем безопасно, все заплани-
рованные комбинации уровней факторов, т. е. все опыты.
Каждый фактор имеет область своего определения. Границы
этой области могут задаваться либо принципиальными ограниче-
ниями, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоя-
тельствах (расплавление при нагреве сплава во время термической
обработки, поломка пресса при обработке давлением, перегора-
ние печи при плавке и т. д.), либо технико-экономическими сооб-
ражениями (стоимость материалов, продолжительность ведения
32

Рис. 1.7. Область определении факторов
и их уровни
процесса и т. д.), либо условия-
ми в каждом конкретном случае
(отсутствие подходящей аппара-
туры, установок, инструмента;
невозможность сильно или вооб-
ще нарушать технологию и т. д.).
Пример области>определения<в за-
даче с двумя факторами показан
на рис. 1.7 (линия со штриховкой).
После выбора области __ опреде-
ления необходимо найти локаль-
ную область для проведения эксперимента. Выбор области экспе-
римента — плохо формализованная задача, хотя некоторые реко-
мендации здесь существуют [6, 3]. Обычно ее решают в каждом
конкретном случае, исходя из содержательного смысла задачи.
?>га процедура включает выбор уровней варьирования факторов.
В общем случае уровней может быть любое число, расстояние
между ними может быть одинаковым или нет. Число уровней оп-
ределяется конкретной постановкой задачи, видом фактора (число
уровней качественного фактора задается автоматически), предпо-
лагаемой сложностью изучаемого объекта. Например, для построе-
ния линейной модели достаточно двух уровней; полная квадратич-
ная модель требует варьирования факторов, по крайней мере, на
трех уровнях; полная модель третьей степени — на четырех и т. д.
В общем случае факторы — размерные величины, причем раз-
мерности могут быть самые разные и числа, выражающие вели-
чины факторов, могут иметь разные порядки.
Температура обычно измеряется в градусах Цельсия, коли-
чество элементов в сплаве — в процентах и т. д. Поэтому с факто-
рами в исходном масштабе обычно не работают, а проводят их
предварительное кодирование, представляющее собой линейное
преобразование факторного пространства.
В качестве примера рассмотрим очень распространенный слу-
чай варьирования факторов только на двух уровнях. Для осуще-
ствления операции кодирования прежде всего выбирают исход-
ную область эксперимента, задавая верхние н нижние пределы
изменения каждого фактора в ходе эксперимента XZmax и Х(п11п
(рис. 1.7).
[•Далее, осуществляют центрирование, т. е. перенос начала ко-
ординат факторного пространства в точку с координатами Xlgj
Х2д, ..., Xkg (точка 0 на рис. 1.7), где
^imax — Xj mln
2
Точку 0 обычно называют центром эксперимента.
2 Новик Ф. С., Арсов Я. Б. 33

Теперь удобно сделать так, чтобы в кодированном масштабе
максимальный (верхний) уровень фактора соответствовал +1,
минимальный (нижний) — 1, а средний (основной) — нулю. Это
легко выполнить, воспользовавшись следующими формулами,
связывающими значение факторов в кодированном масштабе (xj
с их значениями в натуральном масштабе (X)):
х. —___.____X. 
1 bXt
Xi = Xia + AXiX
(1.24)
x •	__X 
где AXZ = —tmax —называют интервалом варьирования
(иногда полуинтервалом).
В получившейся теперь системе координат кодированных
факторов факторное пространство ограничено ^-мерным кубом
(для одного фактора — это прямая, для двух — квадрат, рис. 1.7):
I Xi I С 1, i = 1, 2, ..., k.	(1.25)
Предположим, одним из факторов в какой-то задаче является
температура закалки. В качестве основного уровня для нее вы-
брана температура 1200° С, а интервал варьирования ±20° С.
Тогда соотношение кодированных и натуральных значений дан-
ного фактора можно представить формулой
R3aK. °C] - 1200
20
На величины интервалов варьирования накладываются опре-
деленные ограничения. В частности, когда пытаются получить
адекватную линейную модель (очень распространенная цель пер-
вых этапов исследования), интервалы варьирования стремятся
сделать возможно более узкими, так как чем они уже, тем более
вероятна возможность линейной аппроксимации. Правда, интер-
валы не могут быть меньше той ошибки, с которой фиксируется тот
или иной фактор. В противном случае уровни просто окажутся
неразличимыми. Например, не имеет смысла варьировать темпера-
туру закалки, основной уровень которой 1200° С, в интервалс
±5° С. Вряд ли имеет смысл столь высокие температуры измерять
и контролировать с точностью более высокой, чем ±10—15° С;
таким образом, температуры 1195 и 1205° С различить, очевидно,
не удастся. Весьма распространенной является рекомендация:
выбирать интервалы варьирования, не превышающие удвоенной
среднеквадратичной ошибки в определении данного фактора.
Подчеркнем еще раз, что в общем случае выбор интервалов варь-
ирования зависит от постановки задачи.
Поиск оптимальных условий протекания того или иного явле-
ния (процесса) может потерять всякий смысл, если при постановке
задачи пропущен хотя бы один сильно влияющий фактор. Чтобы
обезопасить себя от этого, рекомендуют на первых этапах вклю-
34

чнн> и программу исследования все, в том числе и предполагаемые
in шпчитсльными факторы, которые могут влиять на параметр
।ни имитации. Но тогда выбранных факторов может оказаться слиш-
I IIM много, и прежде чем заниматься оптимизацией, возникает
I.IHH4II отсеивания наименее влияющих и выбора наиболее значи-
мы ч факторов и их взаимодействий. В связи с этим необходимо
pm смотреть некоторые из существующих в настоящее время спо-
। чПоп отсеивания факторов. Все они основаны на том, что факторы
mi на по расположить (априорно или экспериментально) в ряд в по-
ридке убывания вносимого ими вклада в величину параметра оп-
। ими ulmin. Такая диаграмма рангов позволит ответить на вопрос:
in г ли факторы необходимо включать в программу исследования
ii'iii 1олько часть из них. Во многих случаях такого рода задача
может иметь и самостоятельный характер.
1.2.1. МЕТОДЫ АПРИОРНОГО РАНЖИРОВАНИЯ
I гтественно, прежде всего следует попытаться составить себе
представление об априорных знаниях того явления, которое пред-
। кин' изучать. Лучше всего это делать с помощью своеобразного
in и хологического эксперимента, предложив возможно более ши-
рокому кругу специалистов, работающих в данной области, рас-
iiiiHioKiiTb (проранжировать) факторы в порядке убывания степени
их влияния на параметр оптимизации.
(десь, по сути дела, путем опроса специалистов в кратчайшее
прими и в сжатом виде составляется литературный обзор по изу-
чпгмому вопросу. Действительно, данных в литературе по интере-
। ующему вопросу может быть либо много, либо, наоборот,’ мало.
I iiioiiiicb к эксперименту, исследователь может еще не разби-
рпп.си во всех тонкостях, которые ему могут встретиться. При
предварительном чтении литературы он также может пропустить
ин гопкости. В то же время опрос специалистов, занимающихся
ПМ1НПО этим вопросом, может дать очень многое (иногда даже боль-
ше, чем чтение рабат тех же специалистов).
Априорное ранжирование обычно осуществляется в несколько
Hiiiioii, Покажем их на примере одной из конкретных задач.
Jriiii 1. Постановка задачи, организация
и проведение опроса. Перед проведением эксперимен-
।и'п.пых исследований требовалось проранжировать влияние на
HpiMii до разрушения при температуре 800°,С и напряжении
•*,У'*| Г||а (30 кге/мм2) содержания в группе литейных никелевых
। и'hiiioii Al (xj, Mo (х2), Nb (х3), Cr (х4), Zr (х3), Ti (х6), Со (х7),
I •' (iM), и также температуры перегрева расплава (х9), температуры
рн 1ЛППК11 (х10), скорости охлаждения при кристаллизации (хХ1)
п Н'мпературы гомогенизации (х12).
11 шести» много разных методов ранжирования. Можно про-
шипи ь пикетный опрос, а можно искусственно разыгрывать дис-
l yii iiii, после которых собирать мнение специалистов и др. На-
|*	ЗВ

пример, в [113] описано около 25 способов постановки вопросов
перед специалистами. Хороший обзор’методов опроса'приведен .
в [119].	
В рассматриваемом примере использовали метод анкетирова-J
ния. В составленной опросной анкете (форма которой в общем слу-1
чае точно не определена) обычно указываются наименования фак-j
торов, их размерности, способы определения, возможные области *
изменения и другие сведения. Специалистов просят проранжиро-.
вать входящие в анкету факторы по степени их важности так,
чтобы самый важный, с точки зрения специалиста, фактор полу-|
чил ранг 1, следующий за ним — ранг 2 и т. д. Если специалист^
считает два или более факторов равнозначными, он должен поста- i
вить им одинаковые ранги (например: 1; 1;, 2; 3; 3; 3; 4; 5 и т. д.).
Разрешается включать в анкету дополнительные факторы,
если их список кажется неполным, или изменять их интервалы
варьирования, способы определения и т. д.	,
В экспериментальной психологии установлено [61 ], что ран- ’
жирование факторов может зависеть от порядка, в котором они ’
предъявляются специалисту. У последнего подсознательно может i
возникнуть мысль, что факторы, помещенные в начале перечня, I
являются более важными и наоборот. Поэтому в анкетах порядок ’
расположения факторов целесообразно сделать случайным и со- .
общить об этом специалисту перед началом опроса.	:
При небольшом числе факторов (1г < 10) процедура ранжиро- ;
вания, как правило, не представляет каких-либо трудностей. В слу-
чае же, когда k > 10, для облегчения процедуры часто применяют
следующий прием. Выбрав самый важный фактор, специалист вы-
черкивает его из перечня и рассматривает остальные. Выбрав из ;
них самый важный, он снова его вычеркивает и т. д.
Результаты опроса в рассматриваемом примере представлены
в табл. 1.6.
Этап 2. Первичная обработка результатов
опроса. Переформирование рангов. Отметим
особенности проведенного опроса. Одни специалисты ранжиро-
вали факторы весьма уверенно. Например, 1-й специалист припи-
сал наиболее сильно влияющему, по его мнению, фактору х3 —
ранг 1, фактору х4 — ранг 2, фактору хг — ранг 3 и т. д. Другие,
хотя и делали различия между факторами, но менее уверенно.
Например, 3-й специалист приписал ранг 1 сразу двум факторам
х3 и х4, ранг 2 —(факторам х4 и х2, ранг 3 — факторам хв, х10
и х14. В последнем случае вводят так называемые «связанные ранги»
и проводят переформирование рангов. Например, в ранжировке
3-го специалиста факторам х3 и х4 приписан ранг 1, т. е. между
ними разделены 1-е и 2-е места, поэтому связанными рангами для х3
и х4 будет 1,5 [(1 + 2)/2 = 1,5]. Факторам и х2 был приписан
ранг 2, т. е. между ними разделены 3-е и 4-е место, поэтому связан-
ными рангами для хх и х2 будет 3,5. Факторам х9, х10 и хи был при-
писан ранг 3, т. е. между ними были разделены 5, 6 и 7-е места.
36

I <i П л и ц а 1.6. Первоначальные результаты опроса специалистов
1 |н ним Hll> m (0		Факторы (J)										
			*з	х 4	*6	Хъ	Xi	*8	*о	*ю	Хи	*12
1	3	4	1	2	8	7	5	11	12	6	9	10
	4	3	2	1	8	5	12	10	11	7	6	9
3	2	2	1	1	5	6	7	8	3	3	3	4
1	2	1	1	1	3	5	6	9	4	4	7	8
h	3	4	2	1	9	10	5	11	12	6	7	8
и	1	2	4	3	6	5	7	9	8	8	8	10
/	1	3	4	2	9	10	8	11	7	6	5	12
н	1	1	1	1	3	5	4	6	2	2	2	7
0	1	1	2	2	6	7	5	8	3	3	4	9
10	2	1	3	4	7	8	9	10	5	5	5	6
II	2	3	4	1	И	9	10	12	5	6	7	8
1?	2	3	4	1	10	5	9	11	12	6	8	7
и	1	4	3	2	5	5	6	8	7	7	7	9
И	1	4	3	2	6	6	5	5	7	7	7	7
<*1 Г?"	26	36	35	24	96	93	98	129	98	76	85	114
о/"	2	4	3	1	8	7	9,5	12	9,5	5	6	11
li'iii'pb их связанными рангами будут 6 [(5 + 6 + 7)/3 = 6 ].
1'ниг 4, т. е. 8-е место, был приписан фактору х12. Теперь рангом
ii'hi Лщ будет 8 и т. д. Переформирование ранжировки 3-го спе-
|11111.||цста показано в табл. 1.7. Переформированные результаты
пироги всех специалистов указаны в табл. 1.8.
Таблица 1.7. Переформирование ранжировки 3-го специалиста
*••41» Н 1|>Ы	*1	*2	*з		X6	*o	Xi	x*	*9	*10	*11	*12
1 fl *од Il hit* pfllll II	2	2	1	1	5	6	7	8	3	3	3	4
Mei io	3—4	3-4	1—2	1—2	9	10	11	12	5—7	5—7	5—7	8
1 ||>п|1М|| pollMlh 111.10 pM|ll II	3,5	3,5	1,5	1.5	9	10	11	12	6	6	6	8
37

Таблица 1.8. Переформированные
Специалисты (0	Факто						
	*1		Хз	х		•V.	
1	3	4	1	2	8	7	5
2	4	3	2	1	8	5	12
3	3,5 4	3,5	1,5	1,5	9	10	11
4		2	2	2	5	8	9
5	3	4	2	1	9	10	5
6	1	2	4	3	6	5	7
7	1	3	4	2	9	10	8
8	2,5	2,5	2,5	2,5	8	10	9
9	1,5	1,5 1	3,5	3,5	9	10	8
10	2		3	4	9	10	11
11	2	3	4	1	И	9	10
12	2	3	4	1	10	5	9
13	1	4	3	2	5,5	5,5	7
14	1	4	3	2	7,5	7,5	5,5
1 Без учета компетентности специалистов 1		31,5	40,5	39,5	28,5	114
	е<2>	2	4	3	1	8
	Л/ = | ^jaii hja‘! 1	59,5	50,5	51,5	62,5	23
	А/	3540,25	2550,25	2652,25	3906,25	529
	^1 II 2	2,25	2,89	2,82	2,04	8,14
	Л1/	0,028	0,037	0,036	0,026	0,104
| С учетом компетентности специалистов	tn i- 1	48,88	62,34	57,12	41,78	173,59
	0<3)	2	4	3	1	8 1
	o' >1 cT	87,69	72,43	79,45	94,79	37,02
		7689,54	5510,1	6312,30	8985,14	1379,48
	«С* ——— 1 o'	2,32	2,97	2,72	1,99	8,27
	m;	0,030	0,038	0,035	0,025	0,106
		3	3	3	3	6
38

рНИ1 "ны опроса специалистов
р..	- |М И'							тг				rS	
II in ' 11 II II 11 I’1 IV II II 11 п ни 1 л HI Й,П ИНН 1 01 ГН i 41 "I II 01,3’7 й,|| II. НН h	*»	*10	*11		«12							
	I2 II 6 6,5 I2 9 7 6 5,5 6 5 12 9 10,5	6 7 6 6,5 6 9 6 6 5,5 6 6 6 9 10,5	9 6 6 10 7 9 5 6 7 6 7 8 9 10,5		10 9 8 11 8 12 12 12 12 8 8 7 12 10,5		0 0 36 30 0 24 0 84 18 24 0 0 30 72		1,88 1,68 1,77 1,24 2 1,03 1,7 1,12 1 1,98 1,49 1,26 1,37 1,48		0,92 0,93 0,90 0,89 0,90 0,90 0,94 0,93 0,90 0,87 0,88 0,92 0,91 0,76	
	116,5	151,5	117,5	95,5		105,5		139,5		с? 1 ч II	II О	со 	00		’1
	9	12	10	5		6		11				
	25,5	60,5	26,5	4,5		14,5		48,5				
	650,25	3660,25	702,25	20,25		210,25		2352,25		k /=1 = 21214,5		
	8,32	10,82	8,39	6,82		7,54		9,96				
	0,107	0,139	0,108	0,087		0,097		0,128				
	174,94	227,78	179,49	141,72		155,83		204,56				
										= = 136,57		
	9	12	10	5		6		И				
	38,37	91,21	42,92	5,15		19,26		67,99				
	1472,26	8319,26	1842,13	26,52		370,95		4622,64		k 2 = /=1 = 47691,64		
	8,33	10,85	8,55	6,75		7,42		9,74				
	0,107	0,139	0,110	0,086		0,095		0,125				
	7	6,5	7	5		5,5		5				
39

т
Теперь подсчитаем в табл. 1.6 и 1.8 суммы рангов У aijt по-
4 = 1
ставленных i-м специалистом (т— число специалистов) /-му фак-
тору (k — число факторов). Эти суммы будут основными показа-
телями силы влияния факторов на изучаемое свойство.
Этап 3. Проверка адекватности первона-
чальной и пере ф«о рмированной таблиц ре-
зультатов опроса. Эти таблицы должны быть адекват-
ными, и если это так, можно пользоваться любой из них. Проверим
гипотезу об их адекватности сравнением итоговых ранжировок
факторов, полученных в обеих таблицах.
Запишем в первоначальной и переформированной таблицах
(соответственно табл. 1.6 и 1.8) ранги итоговых ранжировок
0,. Для каждого /-го фактора этот ранг определяется суммой ран-
т
гов У а,-. Ранг 0; = 1 получает фактор с наименьшей суммой ран-
4 = 1
гов. Из рассмотрения.ранжировок 0)” (см. табл. 1.6) и 0{-2’ (см.
табл. 1.8) видно, что они практически совпадают, и, следовательно,
таблицы адекватны.
В общем же случае гипотезу об адекватности можно проверить
по коэффициенту ранговой корреляции rs Спирмена [121 ]:
k
6 Е (0'-1’—е<2/)2
rs=l----------------- >	(126)
где k — число факторов.
Значение rs = 1 свидетельствует о полном совпадении ранжи-
ровок, если rs — —1 — ранжировки полностью противоположны,
в случае г6- = 0 между ранжировками нет никакого соответствия.
Статистическую значимость rs (при k > 10) можно проверить по
^-критерию, значение которого считают по формуле [25]:
/ Zr*s •	(1’27)
Г k — 2
Коэффициент rs считается статистически значимо отличающимся
от нуля, если /Расч < /табл. (см. приложение II) при числе сте-
пеней свободы f = k — 2 и выбранном уровне значимости а.
*=12
Для рассматриваемого примера: У (0)1’ — О}2’)2 = 0,5; сле-
/=1
довательно, рассчитанное по формуле (1.26) значение rs = 0,9998.
Это столь близко к 1, что проверять статистическую значимость rs
даже не имеет смысла.
Поскольку в данном случае rs практически не отличается от 1,
переформированную таблицу можно считать адекватной первона-
чальной, и в дальнейшем будем пользоваться именно ею.
40

Если таблицы окажутся неадекватными, необходимо провести
анкетирование снова. Причинами неадекватности может быть
либо неоднозначное понимание специалистами каждого фактора,
либо недостаточно высокая квалификация специалистов.
Этап 4. Проверка наличия согласованно-
сти в мнениях специалистов. Прежде всего имеет
смысл проверить гипотезу о равномерности распределения мнений
специалистов, т. е. оценить возможный риск того, что специалисты
(или их часть) несерьезно подошли к проставлению рангов и де-
лали это в случайном порядке.
Разделим всю совокупность рангов на несколько интервалов.
В рассматриваемом примере ранги 1; 1,5; 2; ...; 12 разделим на
четыре интервала: 1—3,5; 4 — 6,5; 7 — 9,5; 10—12. Если распре-
деление мнений специалистов равномерное, то в каждом из интер-
валов будет одинаковая частота мнений, т. е. f; = 14/4 = 3,5 (/ —
номер интервала). Сравним для каждого фактора эту частоту
с полученной фактически по %2-критерию:
Храсч —	1
где J — число интервалов.
Гипотеза о равномерном (т. е. случайном) распределении мне-
ний экспертов будет отвергаться в том случае, когда ХраСч ока-
жется больше х?абл (см. приложение III) при выбранном уровне
значимости а и числе степеней свободы f = J — 1.
Для рассматриваемого примера указанная гипотеза проверена
в табл. 1.9.
Табличное значение х2-критерия при / = 4 — 1=3 и а =
= 0,10 равно 6,25. Таким образом, только для двух факторов
распределение мнений специалистов следует признать равномер-
ным. Во всех же остальных случаях при 10 %-ном уровне значи-
мости гипотеза о равномерном распределении отвергается.
Гипотезу о наличии согласия в мнениях специалистов прове-
ряют с помощью коэффициента конкордации W Кендэла [54]:
для несвязанных рангов
k
12 L а/
m2(k3—k)
для связанных рангов
k
12 у; д?
w =------------------------
т
т2 (/г3 — k) — т 7\-
(1.28)
(1.29)
41

Таблица 1.9. Проверка гипотезы о равномерном распределении
мнений специалистов
Интервал рангов	1—3,5	4—6,5	10 1 г-	10—12	х2 Лр асч	Интервал рангов	1—3,5	s‘9—t	1 7—9,5	10—12	Ярасч
ь	3,5	3,5	3,5	3,5		h	3,5	3,5	3,5	3,5	
ад g. *1	12	2	0	0	28,29	ад о сад Хп	0	3	7	4	7,14
g *2	10	4	0	0	19,14	В х8	0	1	0	13	34,57
«	у га	х3	10	4	0	0	19,14	я ха	0	6	3	5	6,0
х4	13	1	0	0	34,57	’9- к *10	0	10	3	1	17,43
§	х5	0	3	9	2	12,86	5	-*п	0	5	7	2	8,29
Y	0	4	4	6	5,43		0	0	6	8	14,57
k
где У, Л) — сумма квадратов отклонений суммы рангов каждого
/=|
специалиста от общей средней суммы рангов:
А
т.
(1.30)
(1-31)
где — число одинаковых рангов в i-м ранжировании.
Коэффициент конкордации меняется от 0 (отсутствие какого-
либо согласия в мнениях специалистов) до 1 (полное согласие).
Статистическую значимость коэффициента W можно оценить по
Х2-критерию (54]. Значение %2 для любого случая связанных или
несвязанных рангов рассчитывают по формуле
Х2расЧ = т(А-1Ж	(1.32)
Рассчитанное значение %2 сравнивают с табличным (см. прило-
жение III) при выбранном уровне значимости а и числе степеней
свободы f = k — 1. Гипотеза о наличии согласия между специа-
листами ПрИНИМаеТСЯ, КОГДа Храсч Хтабл-
Проверим эту гипотезу для рассматриваемого примера. По-
скольку в данном случае имеются связанные ранги, коэффициент
конкордации подсчитаем по формуле (1.29), х2 — критерий по фор-
муле (1.32). Все необходимые предварительные расчеты сделаны
в табл. 1.8. Поясним лишь расчет Tt по формуле (1.31). Например,
3-й специалист приписал связанные ранги дважды двум факторам
(%i, х2, и х4) и один раз трем факторам (х9, х10, хп). Поэтому
Т3 == (23 — 2) + (23 — 2) + (З3 — 3) = 36.
Коэффициент конкордации оказался равным
w_____________12  21214,5_________„ 7(.
~ 142 (123 — 12) — 14 - 318 — О,/о,
42

I («скольку рассчитанное значение х2-крнтерия Храсч =
М (12 — 1) 0,76 = 117,04 больше табличного (Хтабл = 19,7
при /' k — 1=11 и rz 0,05 и Хтабл — 24,7 при а 0,01),
можно утверждать о наличии согласия в мнениях специалистов.
Нели бы этого не случилось, причиной чего могла быть либо
недостаточная квалификация специалистов, либо сложность изу-
чаемого процесса, пришлось бы проводить новое анкетирование.
Этап 5. У ч е т компетентности специалистов.
Деление специалистов на групп ы. Поскольку
и опросах, как правило, принимают участие специалисты разной
квалификации, имеет смысл учесть их компетентность. Для этого
существуют разные приемы 1118, 12], но, пожалуй, самый распро-
страненный из них — ранжировка специалистов, принимавших
участие в опросе, другими [12 ]. При такой ранжировке учитывают
квалификацию, стаж и опыт работы, образование и другие сведе-
ния о специалисте. Пропорционально сумме рангов, которую полу-
чает тот или иной специалист, для каждого из них устанавливают
его «вес» бг.
I (окажем как это делается на примере. Специалисты, участвую-
щие в опросе по выбору факторов, влияющих на жаропрочность
никелевых литейных сплавов, были проранжированы пятью ор-
। пппзаторами опроса. Результаты приведены в табл. 1.10. Под-
считаем здесь же суммы рангов У, a[h (h — номер ранжирующего
Л=1
специалиста) для каждого ранжируемого специалиста, среднюю
сумму рангов ^aih, сумму квадратов отклонений суммы рангов
от средней.
Поскольку в данном случае связанных рангов нет, коэффи-
циент конкордации подсчитаем по формуле (1.28):
и/ _ 12-5373,25 _ о 94’
— 52(из —14) —
Х’-критерий — по формуле (1.32):
Х’расч = 5.(14- 1)-0,94 = 61,1.
Расчетное значение х2’критерия оказалось больше Хтабл =
22,4 при f = 13 и а = 0,05 и Хтабл = 27,7 при а = 0,01. Сле-
довательно, мнения ранжирующих специалистов согласуются
между собой.
«Вес» (6;) специалиста установим следующим образом. Самым
опытным специалистом будем считать получившего наименьшую
гумму рангов (в примере — специалист 5 получил ™,1П / У, aih\ =
(/! = 1	|
7) и дадим ему вес 65 = 2; наименее опытному (в .примере спе-
циалист 9 получил m/fx ailt\—67'\ — вес 1. Для установления
Д=1	)	)
43

Таблица 1.10. Результаты ранжировки специалистов
Ранжиру- ющие спе- циалисты W	Ранжируемые специалисты (i)														
	Xi	х2	XS	х4	ХЬ	хв	х7	Х8	х0		*11		*13		
1- 2 3 4 5	3 4 3 2 3	5 6 5 6 5	7 3 4 4 4	8 10 И 11 13	1 1 2 1 2	14 14 12 13 12	4 5 6 5 6	13 12 13 12 10	12 13 14 14 14	2 2 1 3 1	9 7 7 8 7	10 11 10 10 11	11 9 8 9 8	6 8 9 7 9	
X aih h= 1	15	27	22	53	7	65	26	60	67	9	38	52	45	39	X a‘h ~ = 37,5
1 S ~~ — g | = ?у	22,5	10,5	15,5	15,5	30,5	27,5	11,5	22,5	29,5	28,5	0,5	14,5	7,5	1,5	
А?	506,25	110,25	240,25	240,25	930,25	756,25	132,25	506,25	870,25	812,25	0,25	210,25	56,25	2,25	2. X= = 5373,25
6/	1,88	1,68	1,77	1,24	2	1,03	7,5	1,12	1	1,99	1,49	1,26	1,37	1,48	

Нссов остальных специалистов, Составим линейное уравйениё!
= а + b £ alh.
/1=1
В нашем случае
2 = а + Ь-7-
1 - а + Ь-67.
И, следовательно,
6, = 2,139 - 0,017 aih.
/i=i
Подсчитанные по этому выражению веса специалистов ука-
заны в табл. 1.10, а также в табл. 1,8.
Теперь основными показателями силы влияния факторов на
изучаемое свойство можно будет считать «взвешенные» суммы
т
рангов У а(-Д., подсчитанные в табл. 1.8. В этой же таблице
1 — 1
указаны ранги итоговой в данном случае ранжировки О)3’.
(3 учетом весов специалистов коэффициент конкордации под-
считывают по формуле [40]:
для несвязанных рангов
12 £ Л?
__	-•_1
(^з—k) 2.; ez
\i=i
для связанных рангов
Г k
12 £ Л?
Г =--------------,
Г	т / т \ 2 ’
Tz £6,
! ==1 '
(1.33)
(1-34)
k	k / т
где £ AJ = £ £ aifii -
j=i I l=i
остальные обозначения те же, что в (1.28) и (1.29). Значение Храсч
при этом находят из выражения (1.32).
Пользуясь данными табл. 1.8, рассчитаем для рассматриваемого
примера коэффициент конкордации по формуле (1.34), а х2-кри-
терий — по формуле (1.32):
_	12 • 14 • 47691,64 _n7fi.
W [14(123 —12)—318]441
х’расч = 14 (12 — 1).0,76 = 117,04.
45

Поскольку расчетное значение х2-критерия больше табличного
(Хтабл — 22,4 при f = 13 и а = 0,05), можно утверждать о на-
личии согласия в мнениях исследователей.
Сравнение в табл. 1.8 рангов окончательных ранжировок
с учетом (0)3)) и без учета (0/2)) компетентности специалистов, по-
казывает, что результаты опроса оказались одинаковыми. В общем
случае соответствие между ранжировками можно проверить по
коэффициенту корреляции Спирмена (см. выше).
Как правило, бывает интересно сравнить отдельные ранжи-
ровки специалистов с окончательной ранжировкой. Делать это
можно, например, по коэффициенту ранговой корреляции Спир-
мена. Рассчитанные для каждого специалиста по формуле (1.26)
коэффициенты rs приведены в табл. 1.8. Легко видеть, что все rs
достаточно близки к 1, и, следовательно, все специалисты при-
мерно одинаково ранжируют предъявленные ими факторы. Все же
можно отметить, что ранжировки 7-го, 8-го и 2-го специалистов
наиболее близки к общему мнению. Наиболее отличается от этого
мнения ранжировка 14-го специалиста.
Такого рода анализ может выделить из числа опрашиваемых
группу специалистов, среди которых согласованность в мнениях
о влиянии того или иного фактора наибольшая. Он же помогает
исключить аномальные анкеты. Если выделится несколько групп
специалистов, для каждой группы следует проверить степень
согласованности по коэффициентам конкордации и выбрать
наиболее согласованную группу, так называемого «лидера
мнений»,,
Существуют и другие способы выделения групп специалистов,
в том числе и имеющих одинаковую точку зрения, отличающуюся
от мнения большинства. В работе [118], например, предлагается
рассчитывать, а затем строить и анализировать графы коэффи-
циентов парной ранговой корреляции между ранжировками спе-
циалистов. Другой описанный в этой работе способ предполагает
последовательное исключение из общей совокупности одной за
другой ранжировок специалистов и расчет в каждом случае ко-
эффициента конкордации. Если после исключения коэффициент
уменьшается, ранжировка возвращается в совокупность. В ре-
зультате, степень согласованности мнений специалистов, оста-
ющихся в совокупности, повышается. В работе [115] для выделе-
ния групп специалистов предлагается использовать так называе-
мый «кластерный анализ» [100].
Этап 6. Анализ и интерпретация результа-
тов ранжирования. Степень влияния каждого фактора
на изучаемый параметр оптимизации можно характеризовать:
т
1)	суммой рангов, приписанных данному фактору У (или
1=1
т
с учетом компетенции специалистов У, a/;ez);
46

Рис. 1.8. Априорная диаграмма рангов,
характеризующая степень влияния фак-
торов на жаропрочность группы никеле-
вых литейных сплавов
2)	средним рангом, получен-
ным фактором
т
У
1=1
3)	так называемым коэффи-
циентом весомости фактора
т	т
аЦ	У ' aij^l
м  =___—------: М; =_____.
1 т k ’ iVll т k
L Е ач	£ L
z=i /=1	г=1 /=1
Можно сформировать и другие показатели. Указанные харак-
теристики приведены в табл. 1.8. Чем меньше каждая из них, тем
сильнее влияет фактор.
Для анализа результатов ранжирования строят априорные
диаграммы рангов. Такого рода диаграмма для рассматриваемого
т
примера, построенная по суммам рангов Xi из табл. 1.8, по-
казана на рис. 1.8.
Диаграммы рангов могут иметь различный вид:
а)	убывание почти экспоненциальное. Этот случай с большими
спадами вначале наиболее благоприятен. Здесь можно разделить
факторы на группы и по некоторому критерию отсеять несуще-
ственные;
б)	убывание подчиняется параболическому закону. И здесь
можно сгруппировать факторы и отсеять слабо влияющие;
в)	убывание почти линейное. Этот случай'«плох», так как
специалисты, имея высокое согласие в мнениях, хоть и делают
различия в факторах, но неуверенно. Здесь лучше включать в экс-
перимент все факторы;
г)	распределение факторов по суммам рангов почти равно-
мерное. И этот случай «плох». Здесь либо специалисты не могут
выбрать среди предложенных наиболее сильно влияющие факторы,
либо все эти факторы действительно влияют сильно, либо низок
уровень априорнойfинформации. И здесь приходится включать
в программу исследования все факторы.
47

Таблица 1.11. Распределение ответов специалистов о степени
влияния факторов на жаропрочность литейных никелевых сплавов
Итак, на этапе интерпретации полученных результатов задача
заключается в разделении факторов на несколько групп, сравнении
этих групп между собой и отсеве слабо влияющих факторов.
Анализ диаграммы рангов в рассматриваемом примере (рис. 1.8)
показывает, что изученные факторы можно попытаться разбить
на три группы:
I.	х4, xlt xs и х2;
II.	х10, xllt хв, х5, х7 и х9;
III.	х12 и ха.
Другим способом разделения является построение таблиц,
в которых для каждого фактора указывается число специалистов,
приписавших ему тот или иной ранг. Для рассматриваемого при-
мера такой таблицей является табл. 1.11. Таблица достаточно
четко иллюстрирует представления специалистов о характере
влияния факторов на изучаемое свойство. Судя по этой таблице,
специалисты делят факторы на две группы:
I. Л',, х2, х3 и х4;
II. Х8, Хв, Х7, Х8, Х9, Х10, Хп И Xia-
Окончательное суждение о группах, на которые разбиваются
факторы, можно сделать следующим образом. Будем считать, что
ранги по каждому из факторов представляют собой случайную
выборку со средним рангом а;-. Эти средние ранги можно теперь
сравнить между собой и сформировать группы факторов, для
которых средние ранги статистически значимо не различаются.
48

Существуют разные способы сравнения средних нескольких
выборок [43]. Для задач, аналогичных рассматриваемой, в [102]
предлагается сравнивать средние ранги попарно по ^-критерию.
Эта рекомендация явно неудачна, так как в данном случае, во-
первых, имеет смысл сравнивать более, чем две средние, а, во-
вторых, плохо применять ^-критерий для определения значимости
различия’ между минимальными и максимальными средними
в совокупности средних (о последнем см. подробнее в [25]).
Поскольку в данном случае объемы выборок одинаковы,
можно рекомендовать Л-критерий Линка и Уоллеса, исполь-
зующий размахи отдельных выборок 7?/', средние значения кото-
рых сравниваются, и размах средних [43]:
Крася -	О'35)
где v — число сравниваемых средних; /' — номер средней.
Размахи ранжировок /-го фактора
К/ — aifmax	aif min
и средние ранги а,- приведены в табл. 1.8.
Считается, что сравниваемые средние не различаются между
собой, если расчетное значение /Срасч оказывается меньше таблич-
ного Ктабл при выбранном уровне значимости а, числе членов
выборки (в нашем случае число специалистов т = 14) и числе
сравниваемых средних v. Значения Лтабл указаны в приложе-
нии IV.
Проверим, различаются ли между собой средние ранги для
факторов х4, Xj, х3 и хг, включенных нами в группу I:
к 4 (2,89-2,04)
Арасч —	12	—
Из приложения IV УтаСл = 1.03 при а = 0,05; т = 14 и
ц = 4. Поскольку /Срасч < Ктабл» можно считать, что средние
ранги рассматриваемых четырех факторов не различаются между
собой и они действительно образуют единую группу.
Объединим теперь факторы групп I и II. В этом случае
„	10(8,39 -2,04)	.	.
Арасц —	47 5	—
что больше Лтабл = 0,5 при а = 0,05; т = 14 и v = 10. Следо-
вательно, группы I и II факторов различаются между собой.
Тогда попробуем включить в группу I только один фактор
из группы II: х10. При этом
_ 5(6,82-2,04) __ . 4.
Арасч —	17
49

что также больше Атабл = 0,87 при а = 0,05; т = 14 и v = 5.
Следовательно, ни фактор х]0, ни, тем более, какие-либо другие
факторы группы II включать в группу I нельзя.
Теперь проверим, различаются ли между собой средние ранги
факторов группы II. В этом случае
к _ 6 (8,39 -6,82)	П97
Арасч —	35j5	— U,z/,
что меньше Атабл = 0,76 при а = 0,05; т = 14 и v = 6. Итак,
средние ранги факторов х10, хп, х6, х8, х7 и х9 не различаются
между собой, и они действительно образуют единую группу.
Объединим теперь факторы II и III групп. Тогда
is ____ 8(10,85	6,82) q
Арасч —	47	— и,и»,
что больше А\абл — 0,60 при а = 0,05; т =14, v = 8; значит
эти группы объединить нельзя.
Попробуем включить в группу II только фактор х12. При этом
к _ 7 (9,96-6,82) _ „ _
Арасч —	40,5	0,0-1,
что меньше АтайЛ = 0,67 при а = 0,05; т = 14; v = 7 и озна-
чает, что х12 можно включить в группу II. При этом в группе III
остался один фактор х8.
Теперь можно подвести итоги априорного ранжирования
в рассматриваемом примере. Специалисты выделили три группы
факторов, влияющих на жаропрочность литейных никелевых
сплавов:
I. Cr(x4), А1 (лу), Nb (л-3) и Мо(х2);
п. /разл (Xio), 1»охл(Хц), Ti(xe), Zr(x5), Со(х7) и /пер (ха);
III. Fe(xg).
Факторы группы I, по мнению специалистов, являются более
важными, поэтому именно их следует в первую очередь включить
в программу исследований.
Этап 7. Уточнение ранжировки наиболее
сильно влияющих факторов, выбранных на
предыдущих этапах. Рели в результате обработки ре-
зультатов априорного ранжирования будет выбран не один,
а группа наиболее сильно влияющих факторов, имеет смысл по-
пытаться более точно проранжировать силу влияния факторов,
входящих в эту группу.
Наиболее удобно это делать с помощью так называемого ме-
тода парных сравнений. В этом случае специалистам предлагается
сравнить факторы попарно, с тем чтобы установить в каждой паре
наиболее важный (значимый).
60

В рассматриваемом примере
десяти специалистам из числа
опрошенных в первый раз было
предложено сравнить между со-
бой отобранные на первых эта-
пах четыре наиболее сильно
влияющих фактора:х3их4.
Каждого специалиста просили
заполнить таблицу парных
сравнений (табл. 1.12) следу-
ющим образом: если фактор i
Таблица 112. Таблица сравне-
ний факторов одного из специалистов
	*1	XZ	*3	х4
Х1		-	1	1	0
х2	0	—	1	0
Хз	0	0	—	0
Х^	1	1	1	—
предпочитается фак-
тору /, то в клетку
(’/ записывается 1, а
в клетку ji — 0.
В клетках главной
диагонали таблицы
проставляются про-
черки. (О других спо-
собах оценки пред-
почтений при пар-
ных сравнениях см.,
например, в [12, 57 ]).
В качестве примера
в табл. 1.12 приве-
дены результаты пар-
ного сравнения фак-
торов 1-м специали-
стом.
Затем данные таб-
лиц типа 1.12 сво-
Таблица 1.13. Итоговая таблица парных
сравнений
дят в итоговую таб-
лицу парных сравнений, в каждой ij-клетке которой записывают
число предпочтений z-ro фактора /-му (назовем его также рангом
Иц), полученное от всех т специалистов. Итоговые результаты
парных сравнений факторов для рассматриваемого примера при-
ведены в табл. 1.13.
Как и в рассмотренных случаях, прежде чем делать выводы
о результатах ранжирования, необходимо проверить наличие
согласия в мнениях специалистов.
В случае парных сравнений предложено [40] рассчитывать
следующий коэффициент согласия V:
а~и ~ 4т1~ ад + wfe (m — 1) (fe — 1)
mk (т — 1) (k — 1)
где суммирование производится только по тем клеткам таблицы,
которые лежат выше (или ниже) главной диагонали.
61

При полном согласии мнений специалистов V = 1, при мини-
мальном V = уг-.---гг, если т четное, и И — -тг~.-гг, если т не-
2(m—1)’	’	2(m —1)’
четное.
Статистическую значимость V можно проверять по %2-критерию.
Для этого нужно подсчитать величину [40]
„,2	4 FVz,?.	। mk(m — V) (k — 1)
, Храсч — m—2 I a‘< —m Liaij	4----------
mk(m—1) (k — 1) (m — 3) 1	Z1 o.,4
8 (m—2) J
(суммирование проводится так же, как и для расчета V) и сравнить
ее с табличным значением х?абл при выбранном уровне значимости
и числе степеней свободы:
f _ mfe(m —1) (А; — 1)	.
'	2 (m—2)2	. '	(1.38)
Коэффициент согласия V признается статистически значимым
в случае, когда Храсч s== х?абЛ-
Для рассматриваемого примера будем проводить суммирова-
ние по клеткам табл. 1.13, лежащим выше главной диагонали;
I а?. = 73 -ф 62 -|- 52 -| - 72 -4- 22 = 163;
= 7 + 6 + 5 + 7 + 2 = 27;
4.163 - 4-10 27 + 10-4 (10- 1) (4 - 1) _
~	10-4(10 —1) (4 — 1)	О,out,
Х^ч = -^[163 -10-27 + ..10-4<10^)<^1> -
10 4 (10— 1) (4 — 1) (10 —3) ] _ 99 44.
8(10—2)	j—
10.4(10 —1)(4 — 1) _ 8 44 ~ о
/—	2(10 —2)2	‘
Поскольку Храсч — 22,44 больше табличного (х?абл = 15,51
при f = 8 и а = 0,05 и /табл = 20,09 при а = 0,01), можно
утверждать о наличии согласия в мнениях специалистов.
Теперь просуммируем ранги в таблице парных сравнений по
строкам или по столбцам (табл. 1.13). Полученные суммы рангов
и определяют итоговую ранжировку. Если сравнивать суммы
по строкам, то 1-е место получает фактор с наибольшей суммой
рангов, если сравнивать суммы по столбцам — с наименьшей
(табл. 1.13).
Анализ полученных данных показывает, что уменьшение
числа предложенных для ранжировки факторов и указание на то,
что они самые важные, позволило специалистам достаточно четко
разделить факторы по ожидаемому влиянию на жаропрочность
группы никелевых литейных сплавов. По коллективному мнению
52

специалистов, факторы группы I располагаются в следующий ряд
по степени важности:
Сг (х4), Al (х4), Мо (х>) и Nb (х3).
Таким образом, в отличие от ранжировки после предыдущих
этапов, в данной, во-первых, уже можно сказать, какой фактор
влияет сильней (ранее все они были отнесены в одну группу
и в ней по средним рангам не различались), во-вторых, молибден
и ниобий поменялись местами.
На этом процедура априорного ранжирования факторов закан-
чивается.
Рассмотренная последовательность обработки данных априор-
ного ранжирования является не единственно возможной. Другие
процедуры описаны, например, в работах L81, 102, 57, 90, 114,
148] и других (см. обзор [119]).
Остановимся на достаточно часто встречающемся случае,
когда некоторые специалисты не могут присвоить ранг одному
или нескольким факторам и пропускают их в ранжировках.
Типичный пример показан в табл. 1.14, где приведен фрагмент
ранжировки семью специалистами десяти факторов, наиболее
сильно влияющих на свариваемость одного медного сплава. Пока-
жем на этом примере, как проводится уточнение ранжировок
с учетом пропуска некоторых рангов для факторов [1341.
т
Вначале рассматривают исходные суммы рангов У для
1=1
каждого фактора (см. табл. 1.13). Затем отмечают число специали-
стов m.j, проранжировавших данный фактор, и рассчитывают
исходный средний ранг для фактора
т
аИ
;_I	. -	_ л.
Кроме того, подсчитывают общий средний ранг
т k
L I ап
	(1.40)
L mi
тт	/ = 1
Далее рассчитывают:
1)	среднюю дисперсию внутри ранжировок каждого фактора
Е т, — k
1=1
63

Таблица 1.14. Результаты опроса специалистов по выбору факторов,
влияющих на свариваемость одного медного сплава
Специалисты (/)			Факторы (/)										
			•Ч	х2	*3		*5	Хе	х,	*3	Хе	*10	
1 2 3 4 5 6 7			4 6 3 3 4 4 5	10 7 9 9 9.	5 4 6 4 6 5 4	8 7 8 7 8	1 2 1 2 1 1 3	9 8 8 7 10	3 3 2 3 2 1	6 5 9 5 5 6	2 1 4 1 2 3 2	7 5 6 8 7 6	
X аи	G= 1,	пг)	29	44	‘ 84	38	11	42	14	36	15	39	у у; а., = зо2
mj			7	5	7	5	7	5	6	6	7	6	У т; = 61
			1 4-1	8,8	4,9	7,6	1,6	8,4	2,3	6	2,1	6,5	
II *в*		т)	127	392	170	290	21	358	36	228	39	259	V у = 1920
V аи	(i = 1		т)	118,8	387,2	166,6	288,8	17,6	352,8	32,2	216	31,5	253,5	У (dzy aij'j = 1855,1
			49	25	49	25	49	'25	36	36	49	36	У т2 = 379
Г/			0,12	0,09	0,12	0,09	0,12	0,09	0,10	0,10	0,12	0,10	
уточи			4,85	5,30	4,94	5,19	4,55	5,26	4,69	5,06	4,61	5,10	
Итоговые	Исходная		4	10	5	8	1	9	3	6	2	7	
ранжировки	После уточнения		4	10	5	8	1	9	3	6	2	7	

2)	дисперсию для средних рангов всех факторов
k ( rn \	т k
Ё ап ]~“и S X ач
= '±1V	;	(1.42)
3)	некоторую специальную среднюю
/ k \ 2 k
Ё m/i -Ё т/
М = ——7 ъ ;	(1.43)
(k -1) £ ntj
/=1
4) среднюю надежность единичного ранжирования		
S2 — S2 „	^р		(1-44)
	11 (М —1) S'jS2 ’	
5)	надежность оценки каждого фактора ,	т1Г1	(1-45)
6)	1	1 + ("»/ — 1)Г1 ’ оценку уточненного среднего ранга	
а/уточн= аг/(1-г^ + гуйу.	(1.46)
Для рассматриваемого примера все необходимые величины
подсчитаны в табл. 1.14, а кроме того:
302	. пс
а,-/=-gp-== 4,95;
с2 1920 — 4,95 302 о „.
=	61-Ю	-8,34;
1855’1 -_4’95 302 = 4°,02;
УЙ — ——_______379 -= 6 09-
(10 — 1)61	’
_	40,02 — 8,34
'1	40,02-8,34 (6,09 — 1)	’
В двух последних строках табл. 1.14 приведены итоговые
ранжировки по исходным а, и уточненным й;-угочн средним ран-
гам. В данном случае оказалось, что ранжировки совпадают.
Таким образом, пропуск специалистами рангов для некоторых
факторов на окончательные результаты ранжирования не повлиял.
До сих пор рассматривалась задача выбора факторов, наибо-
лее сильно влияющих на параметр оптимизации. Вместе с тем
методы априорного ранжирования можно применять и для выбора
параметра оптимизации из ряда параметров. Для этого вполне
Вб

подходят все описанные процедуры (см., например, [81, 141,
101, 119 ]). Особенно удобно использовать метод парных сравнений.
Проиллюстрируем его применение для выбора параметра опти-
мизации следующим примером.
Литейные свойства чугунов достаточно разнообразны. Как
правило, требуется определять их жидкотекучесть, линейную
усадку, предусадочное расширение, отбеливаемость, горяче-
ломкость. Каждое из этих свойств оценивается по технологиче-
ским пробам, причем имеется довольно большое разнообразие
проб и не все пробы могут быть в распоряжении экспериментатора.
Вместе с тем ясно, что различные литейные свойства чугунов (как,
впрочем, и любых сплавов) связаны между собой. К сожалению,
связи эти не всегда просто установить. Возникает вопрос: нельзя ли
из литейных свойств чугуна выбрать какое-либо одно, наиболее
связанное с остальными? Тогда, определяя экспериментально
только это свойство, можно было бы ориентировочно получать
представления и о других свойствах чугуна. В п. 1.1.1 эту задачу
решали с помощью корреляционного анализа. Теперь решили
выяснить мнение специалистов по этому вопросу методом априор-
ного ранжирования путем парных сравнений 1141].
Опрос проводили следующим образом. Специалистов просили
последовательно сравнить указанные выше свойства чугуна по-
парно между собой и указать на предпочтительную связь в каждой
паре.
Оказалось, например, один из специалистов считает, что
1)	жидкотекучесть связана со всеми остальными свой-
ствами;
2)	линейная усадка — со всеми, кроме жидкотекучести;
3)	предусадочное расширение — ни с одним из остальных;
4)	горячеломкость — со всеми, кроме жидкотекучести и от-
беливаемости;
5)	отбеливаемость — со всеми остальными.
Другой специалист имел свою точку зрения, третий — свою
и т. д.
Было опрошено пять специалистов. Результаты опроса све-
дены в табл. 1.15. Цифры в клетках указывают мнение каждого
из опрошенных о том, связано (1) или не связано (0) свойство,
являющееся названием строки таблицы, со свойством, являю-
щимся названием столбца. Так, оценивая связь горячеломкости
с предусадочным расширением, первые два специалиста выска-
зали мнение, что эта связь существует, а остальные три считают,
что этой связи нет: (11000) и т. д.
Отметим некоторую особенность опроса. Здесь выясняется
связь между свойствами. Поэтому каждая пара свойств предъяв-
ляется специалисту дважды. И ответы могут быть разными, в за-
висимости от того, какое свойство стоит на первом месте. Напри-
мер, специалист может считать, что горячеломкость сплава за-
висит от его линейной усадки, но линейная усадка не зависит
66

Таблица 1.15. Результаты опроса специалистов
о связи литейных свойств чугуна друг с другом
	Жидко- теку- честь-	Линейная усадка	Пред- усадоч- ное расши- рение	Отбели- ваемость	Горяче- ломкость
Жидкотекучесть	11111	10101	11001	10100	11011
Линейная усадка	00000	11111	11111	10010	11100
Предусадочное расширение	00001	01101	11111	01001	01110
Отбеливаемость	11011	11110	10111	11111	11111
Горячеломкость	00100	11101	11000	01000	11111
от горячеломкости. Эти обстоятельства учтены в итоговой таблице
опроса.
Обработка данных опроса заключается в расчете средних
значений коэффициентов корреляции для каждого свойства по
строкам таблицы относительно свойств столбцов и усреднения
этих средних коэффициентов для каждого свойства — строки
по числу оцениваемых свойств:
"‘7 = ДГ;	0-47)
k
'rl = ^>	(1.48)
где r,7 — среднее значение коэффициента корреляции для i-ro
элемента /-й строки таблицы; — количество единиц в t-м
элементе /-й строки; т — число опрошенных специалистов; г- —
среднее значение коэффициента корреляции для /-й строки;
k — число оцениваемых свойств.
Далее вычисляют дисперсии в определении коэффициентов
корреляции S? и доверительные интервалы для этих коэффи-
циентов А^.д
Е
----	<1‘>9)
В этих формулах: г//г—Z-й коэффициент корреляции (1 или 0)
в t-м элементе /-й строки таблицы, характеризующий мнение
/-го специалиста; /а; / — табличное значение /-критерия. Стати-
67

Стически значимыми считаются коэффициенты, для которых
выполняется условие
I-
Например, в случае анализа мнений о связи горячеломкости
с предусадочным расширением (11000)
гзб=4 = °-4;
S2 = 0,6* + 0,62 + (_-Q,4)2 (_0,4)2 + (—0,4)2
°'з5	5 — 1	’	’
Sp = 0,55; to io- 5 == 2,015;
35	’ ’
д = 2,015Ш,55 =0 49
35 Кб
Поскольку г36 = 0,40 < 0,49 = Д?„, коэффициент следует
признать статистически незначимым.
В табл. 1.16 в каждой клетке приведены в числителе f(l ± \f..
и в знаменателе — статистически значимые коэффициенты кор-
реляции (незначимые • заменены нулями). Последний столбец
табл. 1.16 представляет собой усредненное значение средних
коэффициентов корреляции для /-й строки (г;).
Таблица 1.16. Анализ данных опроса специалистов
о связи литейных свойств чугуна друг с другом
	Жидкоте- кучесть	Линейная усадка	Предуса- дочное расшире- ние	Отбели- ваемость	Горяче- ломкость	
Жидко- текучесть	1	0,6±0,49 0,6	0,6±0,49 0,6	0,4+0,49 0	0,8±0,40 0,8	0,60
Линейная усадка	0	1	1	0,4 + 0,49 0	0,6±0,49 0,6	0,52
Предуса- дочное расширение	0,2±0,40 0	0,6+0,49 0,6	1	0,2+0,40 0	0,6+0,49 0,6	0,44
Отбели- ваемость	0,8±0,40 0,8	0,8±0,40 0,8	0,8+0,40 0,8	1	1	0,88
Горяче- ломкость	0,2±0,40 0	0,8±0,40 0,8	0,4±0,49 0	0,2+0,40 0	1	0,36
68

Рис. 1.9. Средняя априорная ран-
жировка литейных свойств чугуна:
/	- отбеливасмость; 2 -- жидкотекучесть;
3 -- линейная усадка; 4 - Лредусадочное
расширение; 5 — горячеломкость
На рис. 1.9 показана сред-
няя ранжировка свойств, под-
лежащих определению. Анализ
мнений специалистов показы-
вает, что в данном случае це-
лесообразно определять в каче-
стве параметра оптимизации
только отбеливаемость, так как
это свойство, по их мнению,
связано со всеми остальными.
1.2.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ВЫБОРА ФАКТОРОВ
Задача выбора наиболее сильновлияющих факторов, как
правило, предшествует решению других задач, например оптими-
зации. Поэтому основное требование к любым планам эксперимен-
тов по выбору (или, что то же самое, отсеиванию) факторов —
возможно меньшее число опытов. Для проведения такого рода
отсеивающего эксперимента используют ненасыщенные, насыщен-
ные и сверхнасыщенные планы. Насыщенность планов опреде-
ляется соотношением между числом опытов и числом оценивае-
мых эффектов факторов. Примеры использования ненасыщенных
и насыщенных планов для отсеивающего эксперимента будут
рассмотрены в гл. 2.
В случае, когда искомая диаграмма рангов имеет экспонен-
циальный характер, т. е. из многих взятых под подозрение фак-
торов и их взаимодействий действительно сильно влияет лишь их
небольшое количество, можно применять сверхнасыщенные планы,
число опытов в которых (N) значительно меньше общего числа
оцениваемых эффектов (k'). Формально это означает, что число
степеней свободы (N — k') становится отрицательной величиной,
и поэтому нельзя дать строгой количественной оценки влиянию
всех факторов и их взаимодействий. Но при проведении отсеива-
ющих экспериментов этого и не требуется. Здесь достаточно про-
вести лишь предварительное «расщепление» математической мо-
дели, отнеся большую часть эффектов к шумовому полю (под
шумовым полем понимается совокупность малозначимых эффектов
и случайной составляющей). Тогда оставшиеся эффекты могут
быть выбраны для дальнейшего исследования и оценены коли-
чественно. Иными словами, производится следующее расщепле-
ние математической модели:
k’-i	i
У = 4“ Ъ bixi ф~ 2. cizj + е
1=1	/=1
69

на значимые (k' — I) эффектов, незначимые I эффектов и слу-
чайную составляющую е. Естественно, что остаточная дисперсия,
в оценку которой войдут значимые, но еще не выделенные эффекты,
на первых порах велика:
SJcT - S -I- St
/=1 >
Однако при снятии шаг за шагом значимых эффектов эта
остаточная дисперсия непрерывно уменьшается до тех пор, пока
не станет соизмеримой с дисперсией опыта. В результате этого
отсеивания и получается количественная оценка вкладов и ма-
тематическая модель процесса, связывающая параметр оптими-
зации со значимыми эффектами.
В данной ситуации для отсеивания небольшого числа зна-
чимых эффектов на шумовом поле был предложен так называемый
метод случайного баланса [80, 30, 145]. Цель метода — в ре-
зультате небольшого числа экспериментов построить диаграмму
рангов и выделить наиболее сильно влияющие факторы и их
взаимодействия. Идея метода крайне проста. Варьируя факторы
на нескольких уровнях, вместо регулярных дробных планов пред-
лагается брать планы, уровни факторов в которых распределены
случайным образом. При этом совместные оценки эффектов ока-
зываются смешанными случайно, что и позволяет выделить не-
которое число наиболее сильно влияющих факторов и их взаимо-
действий. Поскольку часть эффектов будет отнесена к шумовому
полю, дисперсия, характеризующая ошибку опыта, естественно,
возрастает. В результате количественная оценка выделенных
эффектов будет производиться с большой ошибкой. Следовательно,
метод случайного баланса имеет малую чувствительность (т. е.
способность выделять коэффициенты регрессии, значимо отли-
чающиеся от нуля), но большую разрешающую способность (т. е.
способность выделять сильно влияющие эффекты среди большого
числа эффектов, взятых под подозрение).
Проиллюстрируем идею метода случайного баланса следу-
ющими рассуждениями. Предположим, что при создании жаро-
прочного сплава изучается влияние десяти легирующих элемен-
тов. Можно пытаться каким-либо систематическим способом вы-
явить влияние вначале одной из добавок, затем другой, далее
их взаимодействий и т. д. Но можно ввести в некоторые сплавы
сразу все добавки. Естественно, что «при этом одни элементы
(или их взаимодействия) будут повышать жаропрочность, дру-
гие •— снижать, третьи — окажутся нейтральными. Оказалось,
что если введение добавок будет осуществляться случайным
образом (причем случайность будет гарантирована), то можно
в результате последующей обработки полученных данных выде-
лить добавки (или их взаимодействия), наиболее сильно влия-
ющие на жаропрочность (повышающие или снижающие ее),
а затем уже обычными методами планирования экстремальных
60

экспериментов найти состав сплава, отличающегося наиболее
высоким уровнем свойств.
Метод случайного баланса состоит из последовательного вы-
полнения ряда этапов, подробное описание которых можно найти
в литературе [81, 59, 125, 107].
Метод случайного баланса, несмотря на отсутствие теоретиче-
ского обоснования (хотя в настоящее время некоторые попытки
сделать такое обоснование делаются [70, 64]), достаточно часто
применяют при решении различных технических задач, в том
числе и в области технологии металлов. Отметим только некоторые
из них.
В работе [130] с помощью метода случайного баланса выби-
рали факторы, наиболее сильно влияющие на брак определенной
группы стальных отливок. По четырехбалльной шкале оценивали
такие дефекты отливок, как усадочные раковины, горячие трещины
и подкорковые пузыри. Ответственными за эти дефекты предпо-
лагали семнадцать факторов: семь, связанных с составом сплава;
семь — со свойствами формовочных смесей; один — с техноло-
гией формовки; два — с методами очистки. Всего было выполнено
32 опыта. Оказалось, что на каждый тип дефектов влияют только
два-три фактора.
Примерно аналогичная задача выявления факторов, наиболее
сильно влияющих на плотность отливок при центробежном литье,
решалась в работе [18].
Предел прочности чугуна и длину графитных включений в нем
в зависимости от 13 элементов химического состава, а также от
температуры перегрева расплава и разницы температур перегрева
и заливки, изучали в работе [35]. Всего 16 опытов случайного
баланса оказалось достаточным, чтобы выявить характер изме-
нения структуры и свойств чугуна и рекомендовать наиболее
целесообразное его легирование.
С рядом серьезных трудностей пришлось столкнуться авто-
рам работы [71 ] при использовании метода случайного баланса
для выделения доминирующих факторов мартеновской плавки.
Исследование проводили в мартеновской печи емкостью 480 т,
работающей скрап-рудным процессом. В 24 опытах было изучено
влияние 12 технологических факторов на продолжительность
плавки от начала завалки до расплавления. Оказалось, что про-
должительность плавки более всего зависит от протяженности
периодов завалки, прогрева и заливки чугуна, а также от коли-
чества известняка в завалку и расхода воздуха в плавление.
Было выделено также и несколько парных эффектов, на которые
ранее металлурги не обращали внимание.
В работе [97] изучали влияние десяти факторов на ударную
вязкость по-разному раскисленной стали. Реализация 16 опытов
позволила установить наиболее существенное положительное влия-
ние очищенности шихты от серы и фосфора, а также некоторых
парных взаимодействий, среди которых, в частности, оказалось
61

соотношение между силикокальцием (раскислителем) и марган-
цем; температурой заливки и скоростью охлаждения.
Две серии отсеивающихся экспериментов, посвященных вы-
бору факторов, определяющих магнитные свойства сплавов типа
алнико после термической обработки с изотермической выдерж-
кой в магнитном поле, было выполнено в работе [5]. В первой
серии варьировалось 10 переменных, во второй — 13. Для ре-
шения задачи было выполнено 16 опытов первой серии, допол-
ненных еще некоторым числом опытов второй серии. Особен-
ностью работы являлось то, что анализировали не только линей-
ные и парные, но и эффекты тройных взаимодействий факторов.
Интересно, что уже в отсеивающем эксперименте удалось выбрать
состав сплава, отличающегося высокими магнитными свойствами.
Из проведенного авторами работы [47 ] отсеивающего экспе-
римента, в котором изучалось влияние 15 легирующих добавок
на ударную вязкость, твердость, жидкотекучесть и трещинопо-
ражаемость жаростойких аустенитных и аустенитно-ферритных
сталей, удалось также дать предварительные рекомендации об
оптимальных составах сталей. Лишь семь основных легирующих
добавок были признаны значимыми из анализа 120 линейных
и парных эффектов после проведения 16 опытов.
При создании новой инструментальной стали холодной штам-
повки в работе [21 ] с помощью метода случайного баланса изучили
влияние девяти легирующих элементов на различные механиче-
ские свойства сталей. После выполнения 8 опытов удалось разо-
браться в характере влияния легирующих элементов и выбрать
наиболее перспективные.
В уже упоминавшейся работе [22] комплексный показатель
качества, определявшийся значениями твердости и электропро-
водности сплавов меди с никелем и кремнием, изучали методом
случайного баланса в зависимости от 14 легирующих добавок,
вводимых в сплавы. После проведения 16 опытов из 105 линейных
эффектов и парных взаимодействий удалось выделить лишь че-
тыре наиболее сильно меняющих отклик в нужную сторону.
Отметим еще две работы. В работе [1] методом случайного
баланса было изучено влияние легирующих элементов и режима
термической обработки на теплоустойчивость стали Х5, в работе
[45] —после реализации 16 опытов выявлен из 10 изученных
всего один легирующий элемент, сильно влияющий на темпера-
турный коэффициент электросопротивления палладийсеребря-
ного сплава.
По мнению В. В. Налимова 177 ], метод случайного баланса
представляет собой попытку формализовать те психофизиологи-
ческие приемы выделения существенных факторов, которыми
пользуются экспериментаторы, основываясь на своих знаниях,
опыте и интуиции.
Интересный способ обработки данных пассивного эксперимента
приемами, используемыми в методе случайного баланса, пред-
62

ложен в работе [73 ]. Как известно, пассивный эксперимент можно
проводить в любых производственных условиях, причем часто
можно ограничиться просто использованием технической доку-
ментации. Однако для обработки этих данных, как правило,
необходима вычислительная техника. В то же время активный
эксперимент можно проводить не во всяких производственных
условиях, но для обработки его результатов используют простой
математический аппарат. Предложенный своеобразный пассивно-
активный метод случайного баланса использует данные пас-
сивного эксперимента, которые обрабатываются по методу слу-
чайного баланса. Проиллюстрируем эту идею на примере.
В одной из задач изучали зависимость ударной вязкости при
—60° С (у) от состава одной из конструкционных легированных
цементуемых сталей. Результаты опытов, проведенных в разное
время и для разных целей, сведены в табл. 1.17. Всего изучали
влияние семи легирующих элементов (факторов). Вначале под-
считали средние арифметические значения по каждому из факто-
ров. Средние значения считали с точностью, на один знак после
Таблица 1.17. Зависимость ударной вязкости при —60° С
легированной стали от состава
Номер опыта	Xi (C, %)	x2 (Mn, %)	X» (Si, %)	Xi (Cr, %)	Xa (Ni, %)	X6 (Ti, %)	X? (Mo, %)	a~60 H КГС - m/cm2
1	0,21	0,79	0,20	0,65	1,65	0,07	0,41	9,7
2	0,28	1,10	0,80	0,74	1,51	0,12	0,24	9,1
3	0,19	0,65	1,05	0,87	1,39	0,06	0,32	8,3
4	0,26	0,55	0,39	0,68	1,48	0,15	0,21	7,9
5	0,30	0,59	0,45	0,82	1,18	0,03	0,49	7,4
6	0,18	0,64	0,51	0,91	1,20	0,09	0,47	8,1
7	0,20	0,60	0,63	1,05	1,13	0,00	0,33	6,6
8	0,21	0,58	0,81	0,73	1,54	0,04	0,50	9,0
9	0,25	0,55	0,76	0,92	1,36	0,14	0,20	5,5
10	0,19	1,05	0,44	1,22	1.00	0,00	0,50	6,3
11	0,18	0,92	0,32	0,59	1,25	0,07	0,43	8,4
12	0,23	0,64	0,28	0,63	1,32	0,06	0,39	7,5
13	0,26	0,78	0,41	0,74	1,10	0,11	0,25	8,8
14	0,19	0,82	0,54	0,81	1.05	0,03	0,26	6,2
15	0,29	0,90	1,10	0,57	1,48	0,00	0,20	5,8
16	0,30	0,69	0,79	0,61	1,54	0,02	0,2	10,1
17	0,24	0,76	0,36	1,25	1,63	0,01	0,41	7,7
18	0,17	0,67	0,43	0,74	1,63	0,12	0,46	6,4
19	0,19	0,99	0,34	0,87	1,41	0,00	0,32	8,1
20	0,25	0,81	0,87	0,78	1,05	0,14	0,29	9,0
xi max	0,30	1,10	1,10	1,25	1,65	0,15	0,50	
xi min	0,17	0,55	0,20	0,65	1,00	0,00	0,20	
*1	0,229	0,754	0,574	0,809	1,345	0,063	0,346	
63

запятой большей, чем точность, с которой задан фактор в исход-
ной таблице. Далее, каждое конкретное значение фактора сравни-
вали со средним значением и ставили в соответствующую клетку
таблицы знак «+», если значение фактора оказывалось больше
среднего, и знак «—» в случае, когда конкретное значение было
меньше среднего. Например, для фактора хг среднее арифмети-
ческое Хх = 0,229; в 1-м опыте (табл. 1.17) хх = 0,21, что меньше
0,229, поэтому вместо 0,21 ставится «—»; во 2-м опыте хх = 0,28,
что больше 0,229, поэтому вместо 0,28 ставится знак «+» и т. д.
Таким образом, получается преобразованная табл. 1.18, внешне
похожая на матрицу случайного баланса с варьированием фак-
торов на двух уровнях +1 и —1.
Таблица 1.18. «Матрица случайного баланса» в задаче изучения
ударной вязкости при —60° С легированной стали
у
8,4
7,5
8,8
6,2
5,8
10,1
7,7
6,4
8,1
9,0
Отметим, что можно получить таблицу, похожую на матрицу
планирования активного эксперимента, и когда факторы варьи-
руются на трех уровнях. В этом случае выделяют конкретные
значения факторов, отличающиеся от средних значений на средне-
квадратичную ошибку опыта_[^обозначают эти^значения нулевым
уровнем.
Полученные таблицы (например, табл. 1.18) позволяют исполь-
зовать обычную технику метода случайного баланса. Практика
показала, что несмотря на то, что они построены по данным пас-
сивного эксперимента, выбор наиболее сильно влияющих факторов
и их взаимодействий осуществляется достаточно уверенно [62,
72, 24].
Отметим также интересный способ последовательного отсеи-
вающего эксперимента, предложенный в работе [140] для задач
большей размерности. Идея его заключается в том, что все мно-
жество изучаемых факторов, варьируемых на двух уровнях,
разбивают на отдельные подмножества, каждое из которых рас-
сматривают далее как отдельный комплексный фактор. В первой
64

серии опытов все факторы находятся на верхнем уровне. Ком-
плексные факторы, не давшие существенного эффекта, признают
незначимыми и исключают из дальнейшего рассмотрения. Остав-
шиеся факторы вновь разбивают на подмножества — новые ком-
плексные факторы (уже более мелкие) и цикл опытов повторяют.
Полученные после каждого цикла результаты позволяют выби-
рать оптимальные планы для реализации следующего цикла.
Описанную процедуру повторяют до выявления всех существен-
ных факторов. Подробно алгоритм последовательного отсеивания
описан в работе 144 ], а различные способы разделения факторов
на группы — в работе [60]. Отметим, что предпосылками к исполь-
зованию метода являются наличие только небольшого числа
значимых факторов, причем эффекты их должны существенно
превышать ошибку опыта и эффекты всех остальных незначимых
факторов, а также малая ошибка эксперимента, т. е. хорошая
воспроизводимость опытов.
В заключение укажем, что в настоящее время существуют
и другие способы экспериментального отсеивания факторов.
Наиболее интересными из них являются приемы комбинаторного
анализа (использование латинских, греко-латинских и более
сложных квадратов, прямоугольников, кубов; сочетание их
с дробным факторным экспериментом и др.), особенно важные
при анализе большого количества качественных дискретных
факторов (см. например, [65—67 ]), а также приемы дисперсион-
ного анализа, в котором значимость факторов оценивается их
вкладами в дисперсию отклика (см., например, [93, 116, 25]).
3 Новик Ф. С., Арсов Я. Б.

2
ГЛАВА
ФАКТОРНЫЕ ПЛАНЫ
2.1. ПОЛНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
ДЛЯ ДВУХУРОВНЕВЫХ ФАКТОРОВ
И ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
Рассмотрим прежде всего простейший случай, когда в задаче
варьируются только два фактора: хг и х2, причем каждый на двух
уровнях +1 и —1. Все возможные комбинации факторов будут
исчерпаны в следующих четырех опытах, указанных в табл. 2.1.
В 1-м опыте оба фактора находятся на верхнем уровне; во 2-м
фактор хл— на нижнем, а фактор х2 — на верхнем и т. д. Такие
таблицы обычно называют матрицами планирования экспериментов.
В общем случае эксперимент, в котором реализуются все
возможные сочетания уровней факторов, называют полным фак-
торным. Если число уровней каждого фактора равно двум, то
число опытов полного факторного эксперимента N составляет
N = 2k, где k — число факторов, 2 •— число уровней.
Существует несколько способов построения матриц полного
факторного эксперимента. Один из наиболее простых заключается
в следующем: при любом k необходимо повторить дважды матрицу
планирования для случая k — 1 сначала при значении k-ro фак-
тора на верхнем уровне, а затем на нижнем. Последовательное
достраивание матриц полного факторного эксперимента при уве-
личении k от 2 до 5 показано в табл. 2.2. Для простоты записи
единицы здесь опущены, оставлены только знаки. Первые от-
черкнутые четыре опыта представляют собой матрицу 22 (см.
также табл. 2.1). Далее они еще раз повторены, и в столбце х3
для первой матрицы 22 проставлены четыре знака «+», для вто-
рой — четыре знака «—». Таким об-
разом, отчеркнутые восемь опытов
представляют собой уже матрицу
планирования 23. Затем в табл. 2.2
процедура повторяется до построе-
ния матрицы 25.
Отметим следующие два важных
свойства рассмотренных планов. Во-
первых, они симметричны относи-
тельно центра эксперимента
N
pxiu = 0,	i=l,2.....k; (2.1)
Таблица 2.1
Матрица полного
факторного эксперимента 22
Номер опыта	Х1	х2	У
1	+1	+1	У1
2	—1	+1	Уг
3	+1	—1	Уз
4	—1	—1	У*
66

Таблица 2.2. Матрицы полного факторного эксперимента
от 22 до 25
т. е. сумма элементов любого столбца матрицы планирования равна
нулю. Во-вторых, эти планы нормированы:
N
У x2i	i = 0, 1, 2, .	(2.2)
«=1 и
т. е. сумма квадратов элементов любого столбца равна числу
опытов.
Рассмотрим теперь вид математической модели, которую можно
построить после реализации опытов полного факторного экспе-
римента.
3*	67

Т а б л и ц а 2.3. Расширенная
матрица полного факторного
эксперимента 22
Номер опыта	х0	Х1	х2	*1*2	У
1	2	3	4	5	6
1	+1	+1	+1	+1	У1
2	+1	—1	+1	—1	Уг
3	+1	+1	—1	—1	Уз
4	+1	—1	—1	+1	Vi
Запишем еще раз матрицу
полного факторного экспери-
мента 22 (табл. 2.3).
Здесь планом эксперимента
являются, по сути дела, лишь
столбцы 3 и 4. Столбец 6 содер-
жит результаты опытов. Осталь-
ные столбцы—вспомогательные.
Начнем строить линейную
модель
k
У = Ьи -|- U bixit
1=1
или для случая двух факторов
(2.3)
У = ьо + b±xt + Ь2х2.
(2.4)
Отметим, что, вообще говоря, любую модель из рассматривае-
мых можно считать линейной.
Запишем, например, общий вид полинома второй степени
от k факторов:
У = Ьо 4- М Ь2х2 +•••-}- bkxk + b12x№ -|-	4- • • • -I-
“Н b(k—оk%k—ixk -j- Ьцх] 4‘ Й22Х2 4- • • • 4' ^kkxk-
Если ввести фиктивную переменную х0 = 1 и провести замену
нелинейных членов следующим образом:
^1-^2 =	>	*1*3 = *fc-|-2 , • • •> *fc—1 Хк =
X2l~ Xk+C2k+V X2 = Xk+C2k+2’ ••• ’ Xk~ Xk+cl+k'
(Cl — число сочетаний из k по 2), то получим однородное линей-
ное уравнение
«/ = L b.xi.
1=1
Таким образом, будем рассматривать модели, может быть
и нелинейные по факторам, но всегда линейные по неизвестным
коэффициентам.
Для вычисления коэффициентов модели (2.3) обычно исполь-
зуют метод наименьших квадратов. Полученные с его помощью
оценки коэффициентов обладают некоторыми оптимальными в ста-
тистическом смысле свойствами: состоятельностью, несмещен-
ностью, эффективностью и достаточностью. Оценка коэффициента
состоятельна, если при увеличении объема выборки она прибли-
жается к истинному значению коэффициента; несмещенна, если
математическое ожидание ее равно оцениваемому значению коэф-
фициента; эффективна, если оценка характеризуется минимальной
дисперсией; достаточна — если включает максимум информации
68

о коэффициенте (подробней обо всех этих свойствах см., например,
в [108]).
При использовании метода наименьших квадратов минимизи-
руется следующая функция:
n ~
Ф = Е (Уи — УиТ = min,	(2.5)
и=\
где уи и уи — соответственно экспериментальные и рассчитанные
по уравнению (2.3) значения у в ы-м опыте; N — общее число
опытов.
Перепишем уравнение (2.4), введя в него фиктивную пере-
менную х0, принимающую во всех опытах значение -|-1 (столбец 2
в табл. 2.3)
у = bQxQ -Ь Ь±х± -|- Ь2х2.	(2.6)
Тогда (2.5) можно записать как
N
ф = L (Уи — Ь()Х0 — Ь1-Г| — Ь2х2 у = min. (2.7)
Минимум функции (2.7) находят приравниванием нулю част-
ных производных:
дФ _ п. дФ _____„ дФ ______„
~дЬУ “=и;
После дифференцирования и простейших преобразований по-
лучим так называемую систему нормальных уравнений метода
наименьших квадратов:
N	N	N	N
bo L х?> + bi £ Хо Xi + Ь2 £ Х0,/2„ = Е Хо У и
U=1 и	“	и=\ и и и=\ и 1
N	N	N	N
 bo X Хо Xi + bi £ Xi + b2 L х,х2 = у; Л1 уи- (2.8)
U=1 и и ч=\ и и=\ и и и=1 и
N	N	N	N
bo L Л'о х2 + bi у] Л1 х2 + b2 £ x'i = х х2 Уи-
и=1 “ “	и=1 “ “	и=1 "	и=1 “
Решение системы дает оценки неизвестных коэффициентов
модели (2.6).
Составим систему (2.8) для случая полного факторного экспе-
римента, записанного в табл. 2.3. Оказывается, что некоторые
члены уравнений, входящие в систему, равны нулю. Действи-
тельно, легко видеть, что
N	N	N
У х0 Xt = 0; У х0 х2 = 0 и У Xi х2 == 0.
Указанное обстоятельство является весьма важным. В общем
случае в рассматриваемых планах сумма почленных произведений
69

любых двух разных столбцов матрицы планирования равна нулю,
т. е.
= 0’ г> /	(2-9)
Условие (2.9) носит название ортогональности.
В результате использования такого ортогонального плана
система (2.8) принимает вид
N	N
Ьо S X» = S Х() Uи,
и-1 и	и=\ “
' bl Xi XT = S *1	(2.10)
и=\ и	u—1 и
N	N
ь2 L 4 = S х2 уи.
и=1	«	и=1 “
Оказывается, что для расчета коэффициентов Ь; не нужно
собственно решать эту систему. Каждый коэффициент опреде-
ляется независимо от другого из своего уравнения системы:
N
У хзиУи
и=\
У х1иУи
N
I Х2иУи
или в общем виде
N
У। х1иУи
i = Q, 1, 2, . . ., k.
(2.11)
где i — номер фактора.
Кроме того, поскольку выполняется условие нормировки
N
(2.2), т. е. для любого столбца табл. 2.3	формула
и=1 и
(2.11) еще упрощается:
N
Vi xi Уи
bi = u=lN“ , i = o, 1, 2, . . ., k.	(2.12)
Воспользуемся формулой (2.12) для расчета коэффициентов
Ьо, Ь± и Ьо модели (2.4) в случае планирования 22 (табл. 2.3):
I, _ У1 + Уз + Уз + w4 . к _____ У1 — У2 + Уз — У^ .
О0-------------------,	---------,
Ь_____У1 Уг — Уз У*
4
70

Таким образом, способ расчета коэффициентов в данном слу-
чае очень прост: для подсчета любого Ь< столбцу у следует припи-
сать знаки соответствующего столбца xt, сложить значения от-
клика с этими знаками и результат разделить на число опытов
матрицы планирования.
Обычно математическим аппаратом, используемым для реше-
ния различных задач теории эксперимента, является линейная
алгебра.* В матричной форме можно записать
XB = Y,	(2.13)
где X — матрица условий эксперимента:
*о	хг	...	хк
хп	*н	•	•	•	*/.т
Х = *02	*12	•	•	•	*и ’
*0V	X1N	•	•	•	XkN
В — матрица неизвестных коэффициентов:
Y — матрица результатов опытов:
У1
Уч
Ух
Умножим обе части (2.13) слева на матрицу Хт, транспони-
рованную к X. Получим
(ХТХ) В = XTY.	(2.14)
Матрица Хт имеет вид
*01	*02	• •	•	*0Л'
*11	*12	• •	•	*1;V
Xkl	Xk2	' •	•	XkX
* Основы алгебры матриц хорошо описаны, например, в учебных посо-
биях [50, 13].
71

а матрица (XTX), обозначим ее А, выглядит следующим образом:
	-'"(И	*02	• • • X»N		*oi xu ... хк1	
А =(ХТХ)=	Хц % 12	• • »		x02 xl2 ... xk2	=
	х/е1 xk2 .. . xkN		x0X XLN  •  xkN	
l>02	S *() Xl l( It		(2.15)
		• 1ч	
Матрица А (ХТХ) называется информационной матрицей
Фишера (иногда ее еще называют матрицей моментов плана),
а матрица М = 1/N (ХТХ) — приведенной (к одному наблюдению)
информационной матрицей.
Выражение (2.14) представляет собой систему нормальных
уравнений метода наименьших квадратов (2.8), записанную в ма-
тричной форме. Элементы матрицы В (неизвестные коэффициенты)
определяются из решения этой системы.
Найдем матрицу (ХТХ)-1, обратную матрице (ХТХ), и умножим
на нее слева обе части уравнения (2.14):
(ХТХ)-1 (ХТХ) В = (XTX)-1(XTY).
Но
(ХТХ)~‘ (ХТХ) = Е,
где Е — единичная матрица.
Следовательно,
В = (ХТХ)-1(ХТ¥)-	(2-16)
Это и есть решение.
Одна из возможных формул для расчета обратной матрицы
А-1 = (ХТХ)-1:
A-’ = (XtX)-1=-^L,	(2.17)
где (XTX)V — присоединенная матрица, т. е. матрица, в которой
элементы замещены их алгебраическими дополнениями, а затем
произведено транспонирование; | ХТХ | — определитель матрицы
(ХТХ). Пример расчета обратной матрицы с помощью ЭКВМ см.
в п. 2.5.2.
Однако обычно ее получают на ЭВМ.
72

В общем случае, обратная матрица
структуру:
д-’ = (хтх)~‘
соо Coi
С10	С11
Ск» ckl
А"1 имеет
• • C0k
  cik
• • ckk
следующую
(2.18)
Найдем также матрицу (XTY):
Л'(И	Л02	• • •	Х<1.\’
(xty) =	Л'п	Xli	‘ ‘ ‘	X1N
Xkl	Xk2	 ' '	XkN
У1
Уъ
У.\-
N
E хоУи
u=l u
N
E х\Уи
u=l u
N
E xk Уи
U=1	“
Таким образом, решение системы нормальных уравнений (2.16)
записывается следующим образом:
Ьи
bi
ьк
С0()	Oil	• • •	Ql/i
С1(>	Сц	...	Сц,
Ch4	Ckl	  	Ckk
N
Е хоУи
и=\ и
N
Е х^Уи
«=1 и
N
Е xk,yu
zz=I и
откуда
(2.19)
k j	N
bt = E (cij E x j у и
j=0 \	«=1	“
При ортогональном планировании, когда выполняется усло-
вие (2.9), информационная матрица имеет следующий вид:
	О 3 сю X	0	
А == (ХТХ) -	N О Е/1„ . W—1	0	(2.20)
	0	0	/V 	
73

Следовательно, для ортогональных планов информационная
матрица диагональна.
В этом случае обратная матрица А-1 = (ХТХ)~‘ также диа-
гональна и представляет собой
А-1 = (ХТХ)-1 =
о
о
с()0 0...0
О сн... О
О 0...Q*
, 'и
(2.21)
Отсюда при ортогональном планировании формула (2.19)
приобретает вид
N
N	\Х1иУи
bi = C/iX.' Xi,,Uu — N ’
“=1 I
, lu
u~l
т. e. такой же, как и (2.11).
Обратная матрица (ХТХ)”' играет первостепенную роль при
определении свойств строящихся моделей и их интерпретации.
~ В частности, обратим внимание на то, что в рассматриваемых
случаях модели типа (2.3) характеризуют зависимость случайной
величины зависимой переменной (у) от неслучайных значений
независимых (х,). В таких ситуациях уравнение типа (2.3) назы-
вают уравнением регрессии, его коэффициенты—коэффициен-
тами регрессии, а метод построения и анализа уравнений —
регрессионным анализом.
При использовании регрессионного анализа — одного из ме-
тодов математической статистики, требуется выполнение сле-
дующих исходных предпосылок:
1)	зависимая переменная (отклик) — случайная величина с нор-
мальным законом распределения;
2)	дисперсия в определении этой переменной не зависит от
ее абсолютной величины;
3)	факторы измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по
сравнению с ошибкой в определении отклика.
Поскольку коэффициенты регрессии рассчитывают по формуле,
например (2.11), из результатов опытов, являющихся случайными
величинами, то и сами коэффициенты являются случайными.
74

В общем случае эти коэффициенты имеют разные дисперсии и
разную величину взаимной корреляции (различные ковариации
и коэффициенты корреляции).
Все статистические свойства коэффициентов, а следовательно
и уравнения регрессии, определяет обратная матрица Л1 —
— (ХТХ)-1, умноженная на оценку дисперсии опыта S2V. Эту
матрицу часто называют матрицей дисперсий — ковариаций или
ковариационной. Нормированная ковариационная матрица — это
матрица
Можно показать [77], что матрица \ l-Sy имеет вид
A-IS^ = (ХТХ)-1 Sy =
соо	coi	•	•	•	C0k
С10	сп				Clk
			ck0	ckl • • • ci’k
	s".		bl 	• • covv*
—	covV1	si,		 . covb?/e
COVM* covblbk . . . S2bk
(2.22)
Отсюда получаются соотношения для оценок дисперсий коэф-
фициентов регрессии (S&.), их ковариаций (cov;, ь.) и коэффици-
ентов корреляции между ними (гь^)-
(2.23)
covbibj = CijS2y,	(2.24)
(2.25)
где Сц, Cjjt Cij — соответствующие элементы матрицы (ХТХ)-1.
Способы оценок дисперсий опыта, а также правила проверки
статистических гипотез об адекватности построенной модели
и о значимости отдельных коэффициентов регрессии, будут рас-
смотрены в разделе 2.4.
При ортогональном планировании, когда выполняется усло-
вие (2.9), все элементы обратной матрицы (ХТХ)“’ сц = 0, а сама
матрица имеет вид (2.21). Поэтому в этом случае матрица диспер-
сий — ковариаций (2.22) выглядит следующим образом:
(хтх)-‘^ =
соо
О
О ... О
сп ... О
si
0	.	.	.	О
О	.	.	.	о
о	о	.	.	.	slk
О
О ^kk
75

Таким образом, при ортогональном планировании дисперсии
оценок коэффициентов регрессии рассчитывают по формуле
(2.27)
или, если выполняется условие нормировки (2.2), по формуле
(2.28)
Все же ковариации, а следовательно, и коэффициенты корре-
ляции между оценками коэффициентов равны нулю, что лишний
раз подтверждает независимость рассчитанных коэффициентов
друг от друга.
Определим теперь оценку дисперсии предсказанного по урав-
нению значения отклика Sg, где у — рассчитанное значение.
Поскольку коэффициенты &г- являются случайными величинами,
результаты расчета у также являются случайными. Поэтому,
по закону сложения ошибок [108], величина ylt, рассчитанная
для «-й точки факторного пространства:
Уи = 4 Ь.х2и + • • • } 6/Л„,
(2.29)
должна иметь дисперсию
(2.30)
Поскольку для модели (2.29) (‘fjy_)2==4’ а для ортогональ-
ных планов covb.b. = 0 и по формуле (2.28) SI. ~S2y/N — оди-
наковая величина для всех коэффициентов, можно записать:
S 'y ~ ^0XiuS'bi ” Sit Д х'и N (1 Ь х'и “I Ч +	|~	(2-31)
U	I—и	1=\)	4	'
76

Рис. 2.1. Изолинии дисперсий
предсказания моделью, получен-
ной из неротатабельного (а) и ро-
татабельного (б) плана
или
<?2 S'l /	94
Уи =-/(!+р2Д(2.32)
где р„ + xlu +--------xlu.
Таким образом, дисперсия
предсказанного уравнением
регрессии значения уи зависит от экспериментальной ситуации
(Sy/N) и радиуса (р„) сферы (в общем случае гиперсферы) с цен-
тром в основном уровне. Следовательно, в любом направлении
на одинаковом расстоянии от центра эксперимента (при равном р)
полученное уравнение предсказывает с одинаковой точностью
(Sj — одинаковые величины). Планы, для которых выполняется
условие (2.32), получили название ротатабельных. На рис. 2.1, б
показано изменение дисперсии предсказания S'g в случае рота-
табельности, а на рис. 2.1, а при отсутствии ротатабельности.
Естественно, что в задачах ^оптимизации, когда предстоит из
исходной точки двинуться к экстремуму, случай ротатабельности
более предпочтителен, ведь направление движения заранее не-
известно, а потому хотелось бы иметь в любом направлении оди-
наковые возможности.
Указанные выше свойства планов — симметричность (2.1),
нормировка (2.2), ортогональность (2.9), ротатабельность (2.32) —
лишь некоторые из возможных.
В общем же случае можно выбирать разные строки матрицы X,
т. е. составлять различные планы эксперимента, обладающие
теми или иными нужными экспериментатору свойствами.
Для оценки и сравнения планов используют математические
критерии их оптимальности, которые обычно связывают со строе-
нием ковариационной матрицы или с организацией и порядком
проведения опытов.
Таких критериев может быть много (см., например, [76,
27, НО, 36, 131, 125]), и это позволяет выбирать планы, удовле-
творяющие разнообразным требованиям, возникающим при ре-
шении конкретных экспериментальных задач.
Критерии оптимальности планов и способы организации экс-
перимента удобно делить на три группы.
В первую группу входят критерии, связанные с точностью
оценок коэффициентов регрессии. Сюда относятся такие свойства
планов, как их ортогональность, D-А.-Д-оптимальность и другие.
Этим критериям можно дать геометрическую интерпретацию
в пространстве коэффициентов b0, blt ..., bk. Оценки этих коэффи-
циентов, как уже отмечалось, являются случайными величинами,
77

а потому имеют разброс, -который может быть охарактеризован
эллипсоидом рассеяния оценок. Ориентировка, форма и объем
эллипсоида полностью определяются выбранным планом экспе-
римента, точнее строением информационной М или ковариацион-
ной М-1 матрицы. Перечислим некоторые критерии первой
группы.
Ортогональность (2.9) — очень удобное свойство планов. Она,
как уже отмечалось, приводит матрицы М и М 1 к диагональному
виду, позволяет оценивать все коэффициенты регрессии незави-
симо друг от друга и потому упрощать или усложнять модели,
исключая или добавляя новые коэффициенты без пересчета уже
найденных.
Число вычислений при этом минимально. Эллипсоид рассеяния
ориентирован таким образом, что направления его главных осей
совпадают с направлением координатных осей в пространстве
коэффициентов.
D — оптимальными (по начальной букве английского слова
determinant, т. е. определить) называют планы, которым соответ-
ствуют минимальный определитель ковариационной матрицы М"1
или, что то же самое, максимальный определитель информацион-
ной матрицы М. Определитель ковариационной матрицы пропор-
ционален объему, эллипсоида рассеяния. Следовательно, D-
оптимальность приводит к получению эллипсоида рассеяния оце-
нок коэффициентов минимального объема. В статистическом смысле
D-оптимальность обеспечивает минимум обобщенной дисперсии
всех оценок коэффициентов.
Можно составлять планы, обеспечивающие минимум обобщен-
ной дисперсии не всех, а только части оценок коэффициентов.
Такие планы называют усеченными /^-оптимальными. В этом
случае требуется минимизировать не определитель матрицы М-1,
а определитель ее подматрицы, соответствующей интересующим
экспериментатора коэффициентам.
А-оптимальными (от английского выражения average variance,
т. е. средняя дисперсия) называют планы, которым соответствует
минимальное значение следа (т. е. суммы диагональных элемен-
тов) ковариационной матрицы. Поскольку на диагонали кова-
риационной матрицы находятся дисперсии оценок коэффициен-
тов, А-оптимальность обеспечивает минимум суммы дисперсий
этих оценок без учета их ковариаций или, другими словами,
минимум средней дисперсии оценок. При этом эллипсоид рас-
сеяния имеет минимальную сумму квадратов длин осей и наимень-
шую длину диагонали прямоугольника, описанного около этого
эллипсоида.
f-оптимальным (от английского выражения eigen value, т. е.
собственное значение) планам соответствует наименьшее макси-
мальное собственное значение (характеристическое число) 113, 50]
ковариационной матрицы М-1 или, что то же самое, наибольшее
минимальное собственное число информационной матрицы М.
78

^-оптимальность минимизирует длину максимальной оси эллип-
соида рассеяния оценок коэффициентов, т. е. не позволяет ему
приобрести слишком вытянутую форму. Со статистической точки
зрения она не дает возможности некоторым оценкам коэффициен-
тов иметь слишком большие дисперсии и ковариации.
Критерии оптимальности второй группы определяют точность
предсказания значений отклика с помощью построенной модели.
Сюда относятся такие свойства планов, как их ротатабельность,
униформность, G- и Q-оптимальность, максимальная точность
оценки координат экстремума и др. Опишем некоторые из них.
Ротатабельность (от английского rotatable, т. е. способный
к вращению), как уже было показано выше, обеспечивает оди-
наковую точность предсказания для точек, равно удаленных
от центра плана по любому направлению. Иными словами, диспер-
сии предсказания инвариантны (независимы) относительно вра-
щения координатных осей факторного пространства.
Униформность (от английского uniform, т. е. равномерный)
в дополнении к ротатабельности требует, чтобы в некоторой
области вокруг центра плана дисперсия предсказания оставалась
примерно постоянной.
G-оптимальные (от английского выражения general variance,
т. е. общая дисперсия) планы минимизируют максимально воз-
можную дисперсию предсказания. Они гарантируют отсутствие
в области эксперимента точек, имеющих слишком низкую точ-
ность оценки функции отклика.
Q-оптимальные планы минимизируют среднюю дисперсию
предсказания.
К третьей группе можно отнести свойства планов, связанные
со стратегией экспериментирования. Укажем некоторые из них.
В большинстве задач естественно стремление эксперимента-
тора к минимизации числа опытов. Этот минимум задается числом
коэффициентов модели, а приближение к нему служит мерой
насыщенности плана.
Важным является шаговый принцип планирования экспери-
мента. С ним связана и композиционность планов. При компози-
ционной стратегии эксперимент реализуется по частям, шаг
за шагом. Решение о продолжении эксперимента и выбор метода
на каждом последующем шаге принимают только по результатам
предыдущего. Композиционные планы предполагают постепенное
усложнение строящейся модели. Здесь же следует отметить, что
в ряде случаев композиционность планов, наоборот, является
нежелательным свойством. Изучая, например, зависимости меха-
нических’свойств сплавов от их состава,’’условий приготовления
и обработки, необходимо иметь в виду, что, прежде чем будут
проводиться собственно ’механические испытания, сплавы при-
дется отливать, деформировать, несколько раз термообрабатывать
и пр. В таких ситуациях бывает легче приготовить4,и 'испытать
сразу большую серию образцов, чем делать это несколько раз
79

малыми сериями. Композиционная стратегия может привести
к сокращению числа изученных сплавов, но не к уменьшению
общего времени работы. Естественно, что выбор композиционной
или некомпозиционной стратегии определяется содержанием каж-
дой конкретной задачи.
Близким к композиционности является необходимость, в ряде
случаев, разбивать планы на ортогональные блоки. Это всегда
необходимо в тех случаях, когда эксперимент оказывается на-
столько продолжительным по времени, что могут систематически
меняться неконтролируемые факторы (выгорает футеровка в пе-
чах, изнашивается инструмент при обработке давлением и т. д.).
Кроме разделения на блоки, позволяющего учитывать времен-
ной дрейф, для борьбы с систематически действующими во время
эксперимента неконтролируемыми факторами можно использо-
вать рандомизацию, предусматривающую проведение опытов плана
в случайном порядке.
Наконец, хотелось бы иметь планы, позволяющие проводить
обработку результатов опытов с помощью возможно более простых
вычислений.
Список возможных критериев оптимальности и способов орга-
низации эксперимента можно было бы значительно расширить
[76, 27, ПО, 36].
Подчеркнем, что выбор критерия оптимальности и способа
проведения эксперимента осуществляют исходя из конкретного
содержания решаемой задачи. Построить планы, удовлетворя-
ющие одновременно многим критериям оптимальности, удается
только в отдельных случаях. В частности, рассмотренные выше
планы полного факторного эксперимента типа 2fc, как и регуляр-
ные планы типа 2к~р, речь о которых пойдет дальше, являются
одновременно D-, А-, Е- и G-оптимальными. Кроме того, они
ортогональны и ротатабельны. Но так бывает редко.
Сравнивая критерии между собой, можно отметить, что,
например, для критериев первой группы величина определителя
ковариационной матрицы М'1 (т. е. .D-оптимальность) является
более полной численной характеристикой по сравнению с дру-
гими критериями. Действительно, критерий О-оптимальности
учитывает все элементы ковариационной матрицы, в то время,
как критерий Л-оптимальности учитывает только диагональные
элементы. Кроме того, поскольку определитель матрицы является
произведением ее собственных чисел, критерий £)-оптимальности
является более полной характеристикой по сравнению с Е-опти-
мальностью. В ряде случаев Е-оптимальные планы оказываются
одновременно и G-оптимальными. С другой стороны, в работе
[76] чисто формально рассчитаны коэффициенты парной корре-
ляции между различными критериями самых разнообразных
известных в настоящее время планов. Этот анализ привел, в част-
ности, к выводу, что выбор плана по Л-оптимальности обеспечи-
вает более высокую вероятность получить в результате план,
80

близкий к оптимальным по остальным критериям, чем при усло-
вии, если за основной критерий выбирать D-оптимальность.
В большинстве же случаев приходится выбирать один из
критериев основным, жертвуя чем-то с точки зрения других.
Математически строго задача построения планов, близких к опти-
мальным сразу по нескольким критериям, пока еще не решалась.
Поэтому из имеющегося набора планов (наиболее полным катало-
гом является [28], см. также 1132]) для данной модели простым
сравнением приходится чисто эмпирически выбирать план, удо-
влетворяющий возможно большему числу критериев.
На примере полного факторного эксперимента 22 (см. табл. 2.3)
рассмотрим теперь структуру матриц и вид расчетных формул.
Итак, строим модель
у - /?0 ]-	-]- Ь2х2.
В матричной записи
ХВ = Y,
где X =
*0
4-1
-И
-I 1
Найдем последовательно матрицу Хт:
.Хт
матрицу ХТХ:
4-1 4-1 -1-1 +1
4-1 -1 4 1 -1
4-1 +1 -1 -1
ХТХ= 4-1
+1
+1	+1	-1-1
-1 +1 -1
+1 -1 -1
+1
+1
+1
+ 1
-1-1
—1
+1
—1
+ 1
+ 1
—1
—1
+ 1
4 0 0
0 4 0
0 0 4
обратную матрицу (ХТХ) 1
матрицу XTY:
(хтх)-' =
	+ 1	4-1
XTY =	+ 1	— 1
	-1 1	+ 1
1/4
0
0
о
1/4
о
4 1	+ 1		Ул
-1-1	- 1		Ул
— 1	— 1		Уз
			Ул
0
0 ,
1/4 I
У1 ! //2 -1 и-л I Ул
= У1 - Ул + Уз - Ул
У1~\~ Ул~ Уз — Ул
81

Далее, по формуле (2/16):
откуда
Ьо
bi
Ь,
1/4	О	О
О	1	/4	О
О	0	1/4
Уз ^Уз + Уз + Уз
У1- У л Г Уз~ Уз
Уз -i- Уз ~ Уз-Уз
, _ Уз + Уз + Уз + Л
'о —	4
Уз — Уз + Уз~Уз
’14
, _ //1 + Уз — Уз — Уз
т. е. то же, что было получено ранее.
По формуле (2.28) каждый из рассчитанных коэффициентов
имеет одну и ту же дисперсию
Важно еще раз отметить, что только использование определен-
ного плана эксперимента (в данном случае ортогонального полного
факторного 22 —табл. 2.3) превратило матрицу (ХТХ) в диаго-
нальную. Если бы были взяты условия любых других четырех
опытов, не расположенных симметрично относительно центра,
т. е. был бы выполнен «пассивный» эксперимент, все элементы
матрицы (ХТХ) не были бы равны нулю, оценки коэффициентов
пришлось бы находить из решения системы нормальных урав-
нений и они не были бы независимыми друг от друга. Понятно,
что если в диагональную матрицу (ХТХ) добавлять или вычер-
кивать строки и столбцы (менять степень уравнения), значения
остальных коэффициентов меняться не будут.
Итак, определены все коэффициенты линейной модели (2.4).
Рассчитанные коэффициенты в данном случае указывают на силу
влияния факторов. Чем больше численная величина коэффици-
ента, тем большее влияние оказывает фактор. С увеличением фак-
тора величина отклика увеличивается, если коэффициент имеет
знак плюс, и уменьшается, если коэффициент имеет знак минус.
Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора
в величину отклика при переходе фактора с основного уровня на
верхний или нижний. Эти коэффициенты bi называют линейными
(главными или основными) эффектами фактора. Поскольку коэф-
фициенты оценены независимо друг от друга, величина любого
эффекта не зависит от того, какие величины имеют другие эффекты.
Линейная модель построена. Однако после реализации опытов
полного факторного эксперимента можно оценить некоторые члены
и более сложной модели.
В частности, в рассматриваемом примере с двумя факторами
полная квадратичная модель имеет вид
у = bo + Ь\Х\ + Ь2Х2 4- 612X1*2 + 6ц*1 + 629*2-
82

Уже получены оценки трех коэффициентов (/?0, Ьг и Ь2), но
опытов сделано четыре (см. табл. 2.3). Какой же из квадратичных
эффектов (612, Ьп или 622) можно оценить, пользуясь планом 22,
указанным в табл. 2.3?
Имея в виду формулы (2.11) и (2.12), составим по данным
табл. 2.3 столбцы х2 и х2. Легко видеть, что эти столбцы включают
только 4-1 и полностью совпадают со столбцом х0. Таким образом,
коэффициенты Ьп, Ь1Х и й22 раздельно оценить нельзя. Этот факт
еще будет обсужден и использован далее.
Для расчета коэффициента 612 составлен (перемножением эле-
ментов соответствующих столбцов) и записан в табл. 2.3 столбец
хух2. Этот столбец не похож ни на какой другой столбец матрицы,
а потому по формуле (2.12) можно рассчитать коэффициент 612:
л = .'/1 ~Уг—Уз + Уь
По формуле (2.28) дисперсия этого коэффициента, как и опре-
деленных ранее, равна S2y/N.
Теперь модель выглядит следующим образом:
У = Ьп + blxl Ь2х2 Ь12х1х2.
Здесь bi2 —эффект взаимодействия двух факторов или, как го-
ворят, эффект парного взаимодействия. Он показывает силу
влияния одного из факторов в зависимости от уровня, на котором
находится другой.
В общем случае, из полного факторного эксперимента для
двухуровневых факторов можно оценить все линейные эффекты
и эффекты взаимодействия факторов (двойные, тройные, четвер-
ные и т. д.), причем подчеркнем еще раз, независимо друг от
друга. Общее число всех эффектов, включая Ьп, равно числу опы-
тов полного факторного эксперимента, т. е. 2к.
Число взаимодействий порядка т определяют по формуле
__	k*.
— т! (£—т)! ’
(2.33)
Например, в задаче с четырьмя факторами (k — 4) общее
число эффектов 24 = 16, из них четыре линейных эффекта, С1 — 6
парных взаимодействий, С2 = 4 тройных взаимодействия и одно
четверное. Таким образом, реализовав 16 опытов полного фактор-
ного эксперимента 24, можно независимо оценить:
линейные эффекты факторов...............
эффекты парных взаимодействий факторов
эффекты тройных взаимодействий факторов
эффект четверного взаимодействия всех фак-
торов ..................................
хг, х2, х3 и х4;
xtx2, х4х3, х,х4> х2х3, х2х4
и х3х4;
х1х2х3, х4х2х4, х1х3х4 и х2х3х4;
XiX2X3X4.
83

Таблица 2.4. Полуреплика 23"1
Номер опыта	х0	Xi	х2	*1*2 = = *3	У
1	+	+	+	+	У1
2	+	—	+	—	Уг
3	+	+	—	—	Уз
4	+	—	—	+	Л
2.2. ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
ДЛЯ ДВУХУРОВНЕВЫХ ФАКТОРОВ
Полный факторный эксперимент позволяет получить весьма
обширную информацию, однако с ростом числа факторов число
опытов в нем резко возрастает. Так, при трех факторах следует
поставить 23 = 8 опытов, при пяти — 25 = 32, а уже при восьми —
28 = 256 опытов.
В то же время, начиная эксперимент, исследователь часто не
знает заранее, в какой части изучаемой поверхности отклика он
находится. Поэтому, естествен-
но в начале нужно попытаться
получить некоторую, хотя бы
и не очень точную информа-
цию при минимальной затрате
труда на проведение экспери-
мента.
Именно из этих соображений
на первых этапах часто огра-
ничиваются построением лишь
линейной модели локального
участка поверхности отклика. Но если ограничить задачу только
линейным описанием, использование полного факторного экспе-
римента становится явно нецелесообразным, поскольку число его
опытов заметно превышает число коэффициентов линейного урав-
нения. Возникает желание сократить число опытов за счет той
информации, которую несут эффекты взаимодействия факторов
и которая для построения постулируемой линейной модели не
существенна.
Рассмотрим вновь полный факторный эксперимент 22 (табл. 2.4).
Мы уже видели, что с его помощью можно построить модель
У =	Я* b2x2 -f-
Однако, если есть основание предполагать, что в выбранных
интервалах варьирования процесс может быть описан линейной
моделью, то достаточно определить всего три коэффициента:
Ьо, Ьх и Ь2; квадратичный коэффициент Ь12 должен быть малой
величиной. Это предположение позволяет включить в схему
эксперимента еще один новый фактор х3. Для этого припишем
знаки столбца х3х2 (влияние которого, как мы предполагаем,
должно быть малозаметным) новому фактору х3 (табл. 2.4). Эта
процедура записывается так: х3 = х2х2. Теперь получилась ма-
трица планирования уже для трех факторов. В первом опыте все
факторы должны находиться на верхнем уровне, во втором х2 —
на верхнем, а и х3 — на нижнем и т. д.
По результатам опытов приведенного планирования (табл. 2.4)
можно построить линейную модель уже для трех факторов:
У = Ьо Ц- fejXj Ц- b2x2 ф- Ь3х3.
84

Коэффициенты этой модели также рассчитывают по формуле
(2.12).
Планы дробного факторного эксперимента, точно так же как
и планы полного факторного, обладают свойствами симметрич-
ности (2.1), нормировки (2.2), ортогональности (2.9) и ротата-
бельности (2.32).
Наиболее важное отличие описанного планирования от пол-
ного факторного эксперимента заключается в следующем. Уже из
табл. 2.4 легко видеть, что величина коэффициента Ь3 в точности
совпадает с величиной коэффициента Ь12 (знаки столбцов х3 и хгх2
одинаковы). Если в дополнение к столбцам, указанным в табл. 2.4,
построить столбцы Х)Х3 и Л'2Л'з, они в точности совпадут соответ-
ственно со столбцами х2 и хъ и, следовательно, коэффициенты
Ь13 и Ь23 совпадут соответственно с коэффициентами Ь2 и Ьг. Таким
образом, здесь уже нельзя получить раздельных, независимых
оценок коэффициентов, как это делалось при полном факторном
эксперименте. В данном случае говорят, что линейные эффекты
смешаны с эффектами парных взаимодействий. Символически это
записывается следующим образом:
^1 Pi 4* Раз» ^2 Рг 4“ Р1з» Рз 4* Р12,
где — вычисленные выборочные оценки коэффициентов; гре-
ческими буквами, как принято в математической статистике,
обозначены неизвестные истинные значения коэффициентов.
Приведенную запись можно прочесть следующим образом:
например, вычисленное значение коэффициента Ьх является со-
вместной оценкой коэффициентов и рзз, т. е. величина Ь} сви-
детельствует как о влиянии фактора х1У так и о совместном влия-
нии факторов х2 и х3. Итак, в рассматриваемом планировании
нельзя отделить линейное влияние факторов хг, х2 и х3 от их пар-
ных взаимодействий.
Сказанное, разумеется, свидетельствует о значительной потере
информации по сравнению с полным факторным экспериментом.
Но это —естественная плата за сокращение числа опытов. Дей-
ствительно, полный факторный эксперимент для трех факторов
должен был бы содержать 23 = 8 опытов, а в данном случае (см.
табл.-2.4) опытов поставлено вдвое меньше. Поскольку они нужны
и проводятся для построения только линейной модели, парными
взаимодействиями факторов можно пренебречь, предполагая, что
линейные эффекты существенно более значимы по сравнению
с эффектами взаимодействий.
Указанные в табл. 2.4 четыре опыта, поставленные для оценки
влияния трех факторов, представляют собой половину фактор-
ного эксперимента или дробную реплику. Составляют дробные
реплики заменой некоторых эффектов взаимодействия новыми
независимыми переменными. Эти реплики условно обозначают
2k~p, где р — число линейных эффектов, приравненных эффектам
взаимодействия. Тогда, если, например, полный факторный экс-
86

перимент 2" включает 64 опыта, то его V2 — реплика (полурёгР
лика) содержит 26-1 = 32 опыта, 1/4 — реплика (четверть-реп-
лика) — 26-2 = 16 опытов, V8 —реплика —26-3 = 8 опытов.
Естественно, что минимальная дробная реплика для построения
линейной модели должна включать не менее (k -|- 1) опытов, где
k — число факторов. Дробный факторный эксперимент, указан-
ный в табл. 2.4, представляет собой полуреплику 231.
Дробные реплики обычно задают с помощью так называемых
определяющих контрастов. Полуреплика 23-1 (табл. 2.4) построена
после приравнивания х3 к xtx2, т. е.
^3 —
Это выражение-называют генерирующим соотношением. Оно
в общем случае показывает, с каким из эффектов смешан данный
эффект (эффект х3 смешан с эффектом х4х2). Умножим обе части
генерирующего соотношения на х3:
xl = Х1Х2Х3.
Столбец х1х2х3 (как и х2) состоит из одних Ц-1. Поэтому можно
записать
1 = х1х.2х3.
Символическое обозначение произведения столбцов, равное ф-1
(или —1), называют определяющим контрастом.
С помощью контраста можно определить систему смешивания
эффектов. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным,
нужно умножить обе части определяющего контраста на столбец,
соответствующий данному эффекту. Так, если 1 = хгх2х3, то для
хг имеем х] = х,х2х3 = х2х3, так как всегда х? ее 1. Находим
для х2: х2 = х1х2х3 ее х4х3, для х3: х3 ее хгх2х| — xpv
Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут
оценками Ь± ->	р23, р2 -> р2 Д Р13, р3 ->• Р3 + Р12, т. е. по-
лучено то же, что и ранее.
Если существует какая-либо априорная информация об эффек-
тах взаимодействия, то ее следует использовать при выборе реп-
лики. Если никакой предварительной информации нет, стремятся
выбрать реплику, в которой основные эффекты смешаны с эффек-
тами взаимодействия наибольшего возможного порядка. Послед-
нее связано с тем, что очень часто основные эффекты сильнее
парных взаимодействий, парные сильнее тройных, тройные —
четверных и т. д.
Рассмотрим различия в оценках влияния эффектов факторов,
даваемых дробными репликами с разными определяющими кон-
трастами. Предположим в задаче четыре фактора. Решено поста-
вить дробный факторный эксперимент типа 211, включающий
8 опытов. В этом случае можно составить несколько матриц пла-
нирования, т. е. несколько полуреплик. Две из них приведены
в табл. 2.5 и 2.6. Восемь опытов представляют собой полный
86

факторный эксперимент 23. Поэтому для первых трех факторов
х2 и х3 в табл. 2.5 и 2.6 записана матрица 23. Фактор xt в одном
случае (табл. 2.5) приравнен тройному взаимодействию XiX2x3,
в другом (табл. 2.6) — двойному хАх2.
Таким образом, генерирующие соотношения для первой полу-
реплики (табл. 2.5)
-Ч = ХрГо.Гз,
для второй (табл. 2.6)
Соответственно, определяющие контрасты:
для первой полуреплики 1 = x±x2x3Xi,
для второй полуреплики 1 = х^х^
Следовательно, для первой, полуреплики эффекты смеши-
ваются следующим образом:
“* Р1	4~	р234>	Ь12	Р12	+	Р311
^2	Рз	4"	Р134»	^13	Р13	4~	р24>
Рз	4'	Р124’	^14	Р14	+	Ргз!
^4	Р4	4*	Р1ЭЗ’
для второй:
bi —> Pi -|- Р24;	ь13--> pJ3 4- р234;
b-2 '	Р-2 “b Р14;	bi3 - > Р23 4- Р134>
ь3	* Рз 4 Р1234;	b3i > р34 4- р123.
bi	* Р4 I Р12 \
Реализация опытов первой полуреплики (табл. 2.5) позволит
оценить коэффициенты линейной модели (основные эффекты),
87

смешанные с эффектами тройных взаимодействий. Ни один из
парных эффектов раздельно оценить нельзя. Тройные взаимодей-
ствия, как правило, дают достаточно слабые эффекты, поэтому
с помощью данного планирования можно надеяться получить
хорошую линейную модель.
Реализация опытов второй полуреплики (табл. 2.6) позволит
оценить основные эффекты Ьъ b2 и bit смешанные с парными взаимо-
действиями. Парные эффекты, как правило, сильнее тройных,
поэтому в этом смысле вторая полуреплика хуже первой. Вместе
с тем эффект фактора х3 можно оценить смешанным только с взаимо-
действием порядка большего, чем третий. Поэтому, если априор-
ная информация свидетельствует о возможном сильном влиянии
одного из четырех изучаемых факторов, его можно поставить на
место х3 и оценить его эффект в более или менее чистом виде. Кроме
того, вторая полуреплика дает возможность оценить некоторые
эффекты парных взаимодействий того же фактора х3 с остальными
(д13, Ь23 и b3i), правда, смешанными с тройными эффектами.
Таким образом, если с помощью первой полуреплики (табл. 2.5)
можно построить только линейную модель типа
У = b0 + feiXi + b2x2 + Ь3х3 + b 4х4,
то с помощью второй (табл. 2.6) можно попытаться в случае не-
пригодности линейной модели построить уже нелинейную модель,
например, типа
У = b0 + Ь^у + b2x2 + b3x3 -|- biXt -I- b13x1x3 +
Ь23х2х3 ~l~ b2iX3Xi.
Выбор той или иной полуреплики, естественно, зависит от
конкретной постановки задачи.
Разберем более сложный случай. Предположим, изучается
влияние на параметр оптимизации шести факторов. Решено реали-
зовать 1/8-реплику 26-3, включающую 8 опытов. Одна из возмож-
ных матриц планирования для этого случая представлена
в табл. 2.7. Для первых трех факторов х4—х3 вновь записан пол-
ный факторный эксперимент 23. Фактор х4 приравнен взаимодей-
ствию х4х2х3, фактор х5 — взаимодействию х4х2, фактор х6 — вза-
имодействию х2х3.
Таким образом, генерирующие соотношения выбранного пла-
нирования
Следовательно, определяющие контрасты
1 х4х2х3х4,
1 = ХлХ2Х-а,
1 =: Х2Х3Х3.
88

Теперь, для того чтобы
определить систему сме-
шивания эффектов, необ-
ходимо записать так назы-
ваемый обобщающий опре-
деляющий контраст. Он
включает в себя все ука-
занные выше определя-
ющие контрасты, а также
их произведения вначале
по два, а затем и по три
(напомним, что столбец х(-
в любой четкой степени
равен единице, а в лю-
бой нечетной — самому
себе).

Систёма смешивания эффектов оказывается здесь достаточно
сложной (эффекты более чем третьего порядка опущены):
t>i —> Pi + Р>5 + Pte + Р234 + Рзяв5
Ь‘2 —’ Pi + Pi5 + Рзб + Р134 ’ F Р45з!
Ьз ~’ Рз + Р-26 + Pie + 3124 + Р15б!
^4	Р4 + Рз5 + Р16 + Pl 23 + Р-256 i
Ь~> —> Ps + 31*2 + Р34 + Pise + Р246>
Ьй Ре + Р-23 + Р14 “Г Р135 + Р245;
^13 —> Р13 + Р24 + Роб + Раза + Р126 + Р145 + Рз46 и Т. Д.
Все линейные и парные эффекты смешаны между собой и с эф-
фектами тройных взаимодействий. Разумеется, эта реплика .дает
не очень много информации, неизмеримо меньше той, которую
можно извлечь из полного факторного эксперимента 2е. Но ма-
трица плана 2е содержит 64 опыта, а ее 1/8-реплика лишь 8, при-
чем по результатам этих опытов, постулируя в выбранных интер-
валах варьирования незначимость эффектов взаимодействия,
можно построить линейную модель
У — Ьо + Ь1х1 + Ь2х2 + Ь3х3 ф- bixi ф- b5x-a + Ьвх6
и в случае пригодности этого уравнения пользоваться им.
Планы дробного факторного эксперимента иногда различают
по так называемой разрешающей способности, которую оцени-
вают по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте
реплики. Разрешающая способность будет тем больше, чем выше
порядок взаимодействий, с которыми смешиваются линейные эф-
89

фекты. В планах с разрешающей способностью III, которые обозна-
чаются 2шР (например, реплика 2?п' с 1 = х^Хз. приведенная
в табл. 2.4, пли реплика 2,41 с 1 = Х|Х^х4, приведенная в табл. 2.6),
линейные эффекты смешаны с парными взаимодействиями. В пла-
нах с разрешающей способностью IV (2?vP), одним из примеров
которых является реплика 2^' с 1 = Х1Х2Х3Х4, приведенная в
табл. 2.7, нет ни одного линейного эффекта, смешанного с ка-
ким-либо парным взаимодействием, но все парные взаимодействия
смешаны между собой. В планах с разрешающей способностью V
(2у~р) линейные эффекты и парные взаимодействия смешаныстрой-
ными и т. д.
Рассмотрим еще несколько способов принятия решений при
выборе и составлении реплик дробного факторного эксперимента
на примере выбора планов, позволяющих оценивать независимо
друг от друга все или некоторые линейные эффекты, а также ряд
парных взаимодействий.
Здесь возможно несколько постановок задач [124].
1.	Изучается влияние k факторов. Требуется определить не-
зависимо друг от друга w линейных эффектов (да < /г) и парные
взаимодействия d факторов из да, т. е. построить модель
// = bo + S ^+ + Е bijXiXj.	(2.34)
Предполагается, что парные взаимодействия остальных (да — d)
факторов, а также взаимодействия более высоких порядков /г
факторов незначимы.
Число членов модели (2.34)
/ = 1J- да + Cj.	(2.35)
Для составления плана выбирают полный факторный экспери-
мент с числом опытов N I, и эффекты взаимодействия этого пол-
ного факторного эксперимента заменяют дополнительными фак-
торами, но так, чтобы в генерирующие соотношения не входили
парные взаимодействия, которые необходимо оценить.
Предположим, в задаче изучаются пять факторов (k = 5).
Из априорных данных известно, что влияние факторов скорее
всего линейно, но весьма вероятно заметное влияние парного вза-
имодействия двух из них. Поставим в плане эксперимента эти
факторы на первые два места и обозначим хл и х2. Итак, в данном
случае w = k — 5, d = 2 и надо построить модель
к=5
У = Ьо -ф- biXi + b^x^.	(2.36)
i=i
Число членов модели (2.36) /=1+54-1=7. Выберем пол-
ный факторный эксперимент 23 с числом опытов N = 8, что
больше 7. Запишем его для факторов хъ х2 и х3. Факторам х4
и ха в общем случае можно приписать взаимодействия: ^х^,
90

—х^з; — *2*3 и — *1*2*3 • Но в данном случае предполагается, что
взаимодействие х^2 значимо, поэтому его в генерирующие соотно-
шения включать нельзя. Припишем фактору *4 например, знаки
взаимодействия *4*2*3 (*4 = *1*2*3), а *5 — знаки взаимодейст-
вия Л'2*3 (*5 = *2*3). Таким образом, с помощью получившейся
дробной реплики 25"2, имеющей определяющий контраст 1 =
=	= *2*з*5 — *1*4*5, можно получить оценки коэффи-
циентов модели (2.36) независимыми друг от друга.
2.	Изучаемые k факторов можно разбить па две группы. В одну
из них входит d факторов, в другую k—d. Требуется определить
независимо друг от друга все /г линейных эффектов, а также пар-
ные взаимодействия факторов каждой из групп между собой, т. е.
построить модель
У = b0 + L biXi 4- Е bijXiX, -h U bijXiXj. (2.37)
!«</<</
Предполагается, что все остальные эффекты взаимодействий
пезначимы.
Число членов модели (2.37)
/= 1(2.38)
Для составления плана вновь выбирают полный факторный
эксперимент (N I) и его эффекты взаимодействия заменяют до-
полнительными факторами так, чтобы факторы каждой группы не
приравнивать каким-либо парным и тройным взаимодействиям
факторов соответствующих групп. Кроме того, парные взаимодей-
ствия факторов обеих групп не должны совпадать.
Предположим в задаче изучаются семь факторов (k = 7).
Из априорных данных известно, что линейные эффекты всех фак-
торов должны быть значимы и ожидаются значительные парные
эффекты взаимодействия трех и четырех факторов из рассматривае-
мых семи.
Разделим факторы на две группы. В первую включим три фак-
тора: *г, х2 и *3 (d = 3), во вторую — четыре: *4, *5, хв и х7 (k —
— d = 4). Следовательно, необходимо построить модель
*/ = fto4- Е ft<*/ + L ft,/*/*/4- L ft//*/*/
1</<7	|</</<3	4</ ;^7
ИЛИ
7
У = Ьа 4- X ft/*/ + ftl2*l*2 + ftl3*l*3 - И ft23*2*3 I- ft45*4*5 Г КеХ4Хе 4-
1 = 1
4- ft47*4*7 + ft5«*5*e + ft&7*5*7 4- ft87*e*7-	(2-39)
Число членов модели (2.39) I = 14-^4-С2-|-С^=1+74-
+ 3 + 6 = 17.
Приходится выбирать полный факторный эксперимент 25
с числом опытов 32, так как 16 опытов эксперимента 24 недостаточно
для оценки 17 коэффициентов модели (2.39). Запишем план 25
для факторов *4, *2, х3, *4 и *6. Этот план позволяет получить для
91

факторов первой группы (хх, х2 и х3) оценку линейных эффектов
и парных взаимодействий независимыми друг от друга. Факто-
рам хв и х7 в данном случае можно приписать любые взаимодей-
ствия плана 25, кроме взаимодействия -ад-„ поскольку х4 и х5
входят в ту же группу, что .V,. и х7. Чтобы получить наибольшее
разрешение дробной реплики, приравняем хв, например, взаимо-
действию х1х2х3 (хв = х4х2х3), а х7 — взаимодействию здх-, (х7 =
= х4х4х6). Таким образом, с помощью получившейся дробной
реплики 27-2, имеющей определяющий контраст 1 = .Vj.v2A'3.ve =
= х4х4х5х7 = х2х3х4х5хвх7, можно получить оценки коэффициентов
модели (2.39) независимыми друг от друга.
3.	Для изучаемых k факторов требуется независимо друг от
друга оценить все линейные эффекты, а также парные взаимодей-
ствия d факторов из k между собой и с оставшимися (k — d) фак-
торами, т. е. построить модель
У = ~г Xi ^ixi ф- X ^ijXiXj ф-
ф- X bijXtXj.	(2.40)
1,2........j^,d+2....k
Предполагается, что все остальные эффекты взаимодействий
незначимы.
Число членов модели (2.40)
I = 1 д- k + C2d + d (k - d).
И опять основой плана является полный факторный экспери-
мент (N /), эффекты взаимодействия которого заменяют допол-
нительными факторами. При этом генерирующие соотношения не
должны включать каких-либо парных или тройных взаимодействий
между d факторами, а также между одним или двумя фактором из d
и (k — d) оставшимися.
Предположим в задаче изучаются девять факторов (k = 9).
Наиболее важными для экспериментатора являются три первых
х4, х2, х3 (d = 3). Необходимо оценить линейные эффекты всех
девяти факторов, а также эффекты парных взаимодействий первых
трех между собой и с остальными. Эффекты более высоких поряд-
ков, а также парные взаимодействия факторов х4, х5, xe, х7, xs
и х9 предполагаются незначимыми. Таким образом, необходимо
построить модель
У = b0 ф- X Ь,х, ф- X bijXtXj ф- X bjjXiXj
к»*./<3	1............ 9
ИЛИ
9
У — Ь<> -ф- X bjXi ф- d|2A'|.v2 ф- Ь13х4х3 ф- Ь23х2х3 -ф djj.Vj.Vj -1- Ь15х4х5 ф-
1=1
+ Ь1йХ4хв ф- Ь17х4х7 ф- b18x4xs ф- Ь^х^ ф- Ь24х2х4 ф- b2&x2xi ф-
92

4* b2ex2xe b27x2x7 -j- b28x2x8 -j- b2Bx2xB b34x3x4 -1 - b35x3x8 -1-
+ Ьзвхзхв 4" b37x3x7 •( /_ :|Чх;.хя-|-/?:!0х-(х9.	(2-41)
Число членов модели (2.41) I = 1 4~ 9 4- 3 + 18 — 31.
Выберем полный факторный эксперимент 25 с числом опытов
N = 32 > 31. Запишем его для факторов xlt х2, х3, х4 и х5. Линей-
ные эффекты и парные взаимодействия наиболее интересующих
нас факторов х4, х2и х3 уже определяются независимо друг от друга.
Факторам хе, х7, х8 и х9 в данном случае можно приписать любые
взаимодействия плана 25, кроме х4х2, х4х3, х2х3, х4х2х3, хгх4, хгх5, х2х4,
Х2Х8, Х3Х4, Х3Х&, Х4Х2Х4, xLx2x5, х4х3х4, х4х3ха, х2х3х4, х2х3х5. Из остав-
шихся взаимодействий приравняем факторам хв, х7, х8 и хв взаимо-
действия, например, соответственно х4х5, х4х2х3х4, х4х2х3х5 и
ХхХ2х3х4х5 (хв = х4х5, х7 = х4х2х3х4, х8 = Х4Х2Х3Х8, хв = х1х2х3х4х5).
Таким образом, с помощью получившейся дробной реплики 29~4,
определяющий контраст которой 1 = х4х5хв = х4х2х3х4х7 =
— Х4Х2Х3Х8Х8 — Х4Х2Х3Х4Х8Х9 — Х4Х2Х3Х8Х3Х7 — XzX2X3X4XgXg —
— Х4Х2Х3Х8ХВ — Х4Х8Х7Х3 = Х8Х7Х9 — Х4Х8ХВ - Х3Х7Х8 “ Х4ХбХ7Х9 r=
= X5XeX8X9 = XjX^gX-XgXg = x1x2x3x4x5xex7x8x9, можно получить
оценки коэффициентов модели (2.41) независимыми друг от друга.
В заключение укажем на интересный способ достаточно про-
стого определения возможности выбора дробного факторного
плана, позволяющего оценивать эффекты, априори наиболее важ-
ные для экспериментатора. Обычно, чтобы узнать, можно ли из
выбранного плана 2^_роценить нужные эффекты, приходится много-
кратно перебирать различные варианты смешивания эффектов,
задаваемые разными определяющими контрастами. При этом в ито-
ге часто выясняется, что при выбранной дробности реплики нуж-
ной системы смешивания нет.
Предположим, требуется из плана 2k~p оценить линейные эф-
фекты k факторов xlt х2, ..., xk и т их взаимодействий разных
порядков. Естественно, что должно выполняться условие
m<2k~p-k- 1.
Обозначим взаимодействия через xk+j, где j — 1, 2, ..., т.
Образуем произведения
zk+j = (взаимодействие)-xk+j.
Оказывается [112], что для существования плана 2k~p, обес-
печивающего получение раздельных оценок коэффициентов при
переменных х0, *i> •••> xk> xk+i> •••, xk+m, необходимо, чтобы число
элементов х4, ..., хк, хк+4, ..., хк+т для каждого zk+j и для про-
изведений, включающих все возможные комбинации сомножи-
телей zk+j, не было равно 2k~p — 2 или 2k~p — 3 (как обычно, xz
в четной степени равно 1, а в нечетной xz).
Это условие является необходимым, но не является достаточным.
Проблема нахождения соответствующего достаточного условия пока
не решена.
93

Отметим, что если т < 2к~р — k — 4, то необходимый план 2*~р
существует всегда.
Приведем несколько примеров.
I.	В задаче с четырьмя переменными (k — 4) требуется оце-
нить все линейные эффекты и парные взаимодействия х^, х2х3
и х3х4. Можно ли это сделать из плана 211?
В этом случае т = 3 = 24'1 — 4—1; 24'1 — 2 = 6 и 24< —
•— 3 = 5. Обозначим
Л'5	Х1%2>	= -ЧТ’!’	= -^3Х4,
образуем произведения
z5 = XjX2x5; ze = x2x3xe; z7 = х3х4х7
и перемножим их по два и по три:
z5ze = XiX3x5xe; г5г7 = х1х2х3х4х5х7;
zez7 = x2x4xex7; z5z„z7 = XiX4x5xex7.
Поскольку произведения z5z7 и z5zez7 содержат соответственно
по 6 и 5 элементов, план 24 1 для решения поставленной задачи
использовать нельзя.
2.	Условия задачи те же, что и в примере 1, но перечень
взаимодействий иной: хгх2, х2х3 и х2х4. Тогда z5 = х4х2хя; ze =
= x2x3xe; z7 = х2х4х7; гягй = х^х^-, z5z- = х4х4х5х7; zez7 =
= x3x4xex7; z5zez7 = x1x2x3x4x5xex7. Число элементов во всех этих
случаях не равно ни 5, ни 6, поэтому план 24-1 можно использо-
вать для решения поставленной задачи. Действительно, если для
переменных хь х2, х3 записать полный факторный эксперимент 23,
а х4 приравнять —х7х3, то соответствующая полуреплика 24-1
с определяющим контрастом 1	--Х|Х3х4 позволяет оценить все
линейные эффекты и коэффициенты при парных взаимодействиях
XjX2, х2х3 и х2х4 независимо друг от друга.
3.	Задача та же, что в примерах 1 и 2, но требуется оценить
эффект взаимодействия х^х^. В этом случае z5 = х4х2х3х4х5
содержит 5 элементов, и поэтому план 24-1 использовать нельзя.
4.	В задаче с девятью переменными (k = 9) требуется оце-
нить все линейные эффекты и коэффициенты при взаимодействиях
XjXg, х5хв, х4х7, х2х9, х4х5 и х2х8х9. Можно ли это сделать из плана 28'5?
В этом случае т = 6 = 29 5 — 9 — 1, 29'5 — 2 = 14 и 29~5 —
— 3 = 13.
Образуем произведения г10 --- XiX3x10; zn = x5xexn; z12 =
= х4х7х12; Zig = х2х.,х13; z14 = х4х5х14 и z15 = x2x8x9xls. Легко про-
верить, что любые комбинации сомножителей zk+j не содержат 14
или 13 элементов, поэтому план 295 можно попытаться использо-
вать для решения поставленной задачи.
5.	Условия задачи те же, что и в примере 4, но вместо коэффи-
циента при взаимодействии х4х3 требуется оценить эффект взаимо-
действия х2х3. Тогда z10 = х2х3х10, a zn — zls останутся без изме-
нений. Но в этом случае оказывается, что zloznz12z13zi4z15 =
94

= x1x2x3x4xex7x8xioxi1x12x13x14xls содержит 13 элементов, а по-
тому план 29~5 использовать нельзя.
В заключение отметим, что при практическом использовании
описанного приема следует рассматривать только те комбинации
сомножителей zk+]-, в которых суммарное количество элементов
не меньше, чем 2к~р — 3.
Описанные выше регулярные реплики факторного экспери-
мента 2* в ряде случаев содержат слишком большое число опытов.
Предположим, варьируются шесть переменных (k = 6), каждая
на двух уровнях. Из априорных данных известно, что отклик за-
висит не только от линейных эффектов факторов, но и от их пар-
ных взаимодействий. Эффектами более высоких порядков, скорее
всего, можно пренебречь. Следовательно, необходимо строить мо-
дель
У = Ь0 + £	(2.42)
число членов которой при k = 6 I = 1 + k + Cl = 22.
Построить эту модель можно либо с помощью полного фактор-
ного эксперимента 2е, требующего 64 опыта, либо с помощью ре-
гулярной полуреплики 2е"1 с определяющим контрастом 1 =
= х1х2х3х4х5хв, требующей 32 опыта. Регулярную четверть-реп-
лику 2е'2 уже использовать нельзя, так как 16 ее опытов недоста-
точно для определения 22 коэффициентов модели (2.42).
Но оказывается можно поставить меньше 32 опытов, если
воспользоваться нерегулярной репликой от полного факторного
эксперимента 2к, состоящей из нескольких регулярных. В общем
случае число опытов в такой нерегулярной реплике будет
N =	2к~р,	(2.43)
где v — число объединяемых реплик 2к~р.
Например, в данном случае можно объединить три 1/8-регу-
лярные реплики 2е"3, получив нерегулярную реплику с числом
опытов
3
N = £ 26-3 = 24,
вполне достаточным для определения всех коэффициентов модели
(2.42).
Общая процедура построения нерегулярных реплик 1/2? от
полного факторного эксперимента 2к описана в работе [1221
(см. также [33]).
В табл. 2.8 приведены наиболее употребительные нерегулярные
реплики 3/2Р от полного факторного эксперимента 2к. Для по-
строения нерегулярной реплики следует в каждом случае объе-
динять указанные в табл. 2.8 регулярные реплики с соответствую-
щими генерирующими соотношениями. Составим, например, 3/4-
реплику от полного факторного эксперимента 24. Как следует
95

Таблица 2.8. Нерегулярные дробные реплики 3/2Р от факторного эксперимента 2k,
получающиеся объединением регулярных реплик 2к~~р
Номер регулярной реплики	Р и генерирующие соотношения			Нерегулярная реплика 3/2Р					
1	2	3	Обозначение	Определяющий контраст		Число опы- тов	Группы частично смешанных эффектов	Модель
^-реплика 23_2 *1 = — х2 *1 = Х3	^-реплика 23_2 *1 = х2 *1 = х3	1/4-реплика 23_2 *1 = х2 Xi S — Х3	3/ 2 _ 3/ / 2 — 74- реплика от 23	III III III	III III Cl CO M H H К iH 14 Cl к H H	6	1) Ьо и два лю- бых парных эффекта 2) blt b2 и Ь3	Линейные и два любых парных эффекта
со о ^-реплика 24-2 *3 = — *1*2 Хг = —XiX2	^-реплика 24_2 *3 = —*1*2 *4 = ХгХ2	^-реплика 24-2 х3 = х±х2 Д^4	XjAg	3/2 	 3/ /2 — /4- реплика от 24	III III III	*1*2X31 = *2*2X41 = *3*4 1	12	О ^0^34 2)	&1, &23 и ^24 3)	И 6j4 4)	b3, Z?4 и 612	Линейные и парные эффекты
^-реплика 25_2 *4 -	—*1*2 х3 = — *1*3	^-реплика 2s-2 х4 - — *i*2 х5 = х±х3 ивевяви	1/4-реплика 25-2 *4 = ХгХ2 Хь = ~*1*3	3/2 	 3/ /2	=	74- реплика от 25	1 = | *1*2*4 | = = 1 *1*3*5 I = = I Х2ХзХ4Х5 1		24	I) Ьо, b12i И &135 2) &i, b2i и &35 3) Ь2, Ь14 И &345 4) b3, Ь13 И &245 3) Ьц, &12 И &235 6) b3, bi3 И &234 7) &28, &45, &I34 И ^125 8) ^34> Ь23, Ь123 И ^145	Линейные, парные и тройные эф- фекты (из групп 7 и 8 следует вы- брать по одному лю- бому трой- ному ,' эффекту)
	_	 1	f	...... ..						

Новик Ф. С.. Аосов
			
^-реплика 26-2 *5 = —х1х2х8 хв = хгх2х4	^-реплика 26-2 Х5 = Х1Х2Х3 xe = X^Xi	^-реплика 26-2 Х5 = *1*2*3 Х6 = —XiX2X4	3/22 = ’/4- реплика от 2е
1/8-реплика 2е-3 х4 = х2х3 Хъ = —Х1 хе = — ХГХ2	1/8-реплика 2в-з х4 = —х2х3 х5 = х± Хе - — хгх2	^з-реплика 2в-з х4 = —Х2Х3 Х3 S Xi Х3 = XiX2	%3 = ’/8- реплика от 2е

I	"					T	
III III III		*1*2*3*5 1 *1*2*4*61 = *3*4*5 *6 1	48	1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) H) 12) 13) 14) 15)	bit &235 И &246 bit 1*135 И &146 1*3’ 1*125 И &456 bit 1*126 и 1*356 1*5’ 1*123 И &345 bfit 1*124 и 1*345 blit b33 и bie &13 И &25 &14 И &26 1*15 11 1*23 1*16 И &24 1*34 И &5в 1*36 И 1*45 1*134’	1*245’	1*236 И &156 1*136’ 1*256 > 1*234 и &J45 (эффект b0 ортогонален)	Линейные, парные и тройные эф- фекты (из групп 14 и 15 следует выбрать по три любых эффекта) /
III III III III III III III	*2*3*41 = *1*5 1 = *1*2*6 1 = *1*2*3*4*5 1 = *1*3*4*6 1 = *2*5*6 1 = *3*4*5 *6 1		24	1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)	CO Л co 5» я	л -? со	«О CI ®	О ю	t со S 55	„ (N сч	ft ю -С> ci с? J1" л «о g	д я _ •> ►а'	Линейные и парные эффекты (из группы 3 следует вы- брать два любых парных эффекта)

86
	И И и X н GO *□ Св СЛ	— III III III III *. ND "О I £ I £ ТЗ ££	x и	И as *>	и и h kj « ел in 111111 2, Nd“ И	I	и w	h	1	Я £	*	to*	“ *	“	“*	§ л		Номер р и гене
ц,	И И и И ® *J Я СЛ III III III III 5 ND "О £ 1 1 £ ?S *g £ £ £ £ x	и h и “□ « сл	н» in 111 ill !1 КЭ^З 1 1 £ TS X * £ И ь го м	К *т* “> “* » **	КЗ	?S? О 45 <5Й £ к £ ° Ф я, о •- о 2 ч я ЕЕ Ь о а Е *
	У^-реплика 28-4 xs = x1x2x3x4 Xg = *1*3 X7 = XjX3X4 x9 = x4x2x4	^-реплика 27-3 Х5 = Х]Х2Х3Х4 Хд = xLx2 Ху = Х2-^3^4	W	и 2k~p ения
	3/4 	 3/ ‘2 — ‘ 16 от 28	3/23 = 3/8- реплика от 27	Обозначение	
	III III III III III III ,££**** И	И	И	И	И	И сл л м ы ы W И	и	*	и	и	* kj сл	>ь	£ь	©	со — >. и и — и m	св	>р> 	Ill	* III III	III III	— III	III	III	III	III	III	III	III и	и	и	и	и	h	h to	pt	pt	co	to	M	M и	h	и	h	и	и	и ел	co	сл	о*	co	to	to И	И	и	и	и	и	и О» £» KJ	СП	£• ®	со И И — и н — и •ОС»	С»	•]	** —.£	III	— — III	£ —	111	III	— III	III	Определяющий контраст	Нерегулярь
	4^ 00	GO	Число опы- тов	C5 а "ф а
	Ltq и nq ‘aq (9 8Sg и LZq ‘Qq (c laq и fq (p ssq и 9I<? ‘eq (g “<? и lq (z asq и Tq ([	£h2rQ?^O<D00’-JOCn4»-C0N0“ ^CO °“	$* 0» O* O* O* O* O- O* O* O* O* O* X	S <P ФЭ co to	to	to	to	KJ С» СЛ to M 0"	Ж С» СП М	СП	tfk	со к»*'	““i	. . м S X X X Ст 0- S S	S К S	О !-•	О*	_	z^-to 0»	со __	О* О* О*с» *• 0 <3* СЗ*К СЗ* О <3*н> м м н« © >Ь О»	Я W pt. ut ti «J ф М- ~ СЛ С» н_ •J •□ •J	® о	s Н w	Ст* О *	«’ 'D <3*	да О >рГ	Группы частично смешанных эффектов	d7s емиь
	Линейные и парные эффекты	Линейные и парные эффекты	Модель	
ьэ
GO

				Линейные и парные эффекты					
		со	«о о «0	04	_>О	Д [ <7 м	®	СО "J	00s£x “< ю «ф	«о п	г- .л «	.£>	»О *° S = . = s . s S ►	eq м< ю г» оо со « »сГ •^«•сГ «О* »G* *G* 00s с? о ^оГ СО ю 1—-Н »—< —W—1 —	b0 ортогонален)		1) и b3Q 2) b3 и &1в	3) b$ и &1з 4) b23 и b53	5) &24 И &67	‘nq ‘Vtq ‘&tq ‘«q 4q ‘4q 4q ‘tq >0q Iql -яэффе) 9Sq и eiq (f[ ««? и (g[ 8iq и ee9 (gi 6Sq и №q (ц isq и Mq (0I gsq и 8Sq (6 69q и efq ‘ilq (g itg и Wq q eiq и esq ‘i!q (9	017> ‘’is. &19. f?34. "48 и Ьвв ортогональны)
				О сг>					
		III III — III III— — Ill О	£ Ill III £— if— >?>? if .40 .® irt 00 I- I— . 40 	H H К * X H сог-ч'г-сосокпсою Й ® « CO N n	.« «’jwaiHHi-iHrt			III III * —	III III — o> — 00 kO kO . M< к 4 co co ej »H * *	III >T >? 4	III IL III III III III —i?— — — Ill —III—>?>T>?III H h—	~	h’— to 9i r.®CDCD kO .®	0 Л®ЙН’#ЛМЧ'®О ЧИКЧИИНЧ К Ч « Ю М< Л ©J.M'.d со.г».со »Н М« »-1 « »-1 .00 .«-1 ,ej .СО .«-I	
		III III III III III III III III III			III III Ilf III III III III III III III III III III III III				
				%4 = 3/1в- реплика от 29					
					^-реплика 29-4	Ч к p: । x hi in »? >r	h“ s? * 1 III »?	к? >? к? н 1 III к?	
					то s C I (V ® Q.CN i—i	И* 1 H III III	>? co * Ill CD *	к? к? к? к? 1 in к?	
1					TO £ s cT CJ® СХСЧ e© >.£	। * in in <?>r	X h5 co К Ill CD *	к? К со К iT III л *	
	4»				QQ				

из табл. 2.8, она включает 12 опытов и получается объединением
следующих трех регулярных реплик 24~2:
1)	х3 = —х4х2; х4 = —х4х2;
2)	х3 = —хгх2; х4 = х4х2;
3)	х3 = х4х2\ х4 —	х4х2.
Естественно, что для факторов лу и х2 в каждой из этих регуляр-
ных реплик должен быть записан полный факторный экспери-
мент 22
Построенная таким образом 3/4-реплика для четырех факторов,
варьируемых на двух уровнях, приведена в табл. 2.9.
С помощью этого плана можно теперь построить модель (2.43),
включающую линейные члены и все парные взаимодействия. При
k = 4 число членов модели (2.43) равно 11, и 12 опытов нерегуляр-
ной реплики (табл. 2.9) достаточно для оценки всех коэффициен-
тов этой модели. Отметим, кстати, что ту же модель можно построить
и за 16 опытов полного факторного эксперимента 24, но не с по-
мощью полуреплики от него 24И, включающей только 8 опытов.
Таблица 2.9. Нерегулярная 3/4-реплика
от факторного эксперимента 24
Номер опыта		х2	Хз	Х4	Примечание
1	+	+					^-реплика 24- 2
2	—	+	+	+	Х3 = —хгх2
3	+	—	+	+	х4 = — Х4Х2
4	—	—	——	—	
5	+	+			+	4/4-реплика 24“2
6	—	+	+	—	
7	+	—	+	—	Х3 = — Х1*2
8	—	—	—	+	Х4 = Х4Х2
9	+	+	+			4/4-реплика 24~2
10	—	+	—	+	х3 = Х4Х2
11	+	—	—	+	— —Х]Х2
12	—	—	+	—	
Матрицы рассматриваемых нерегулярных реплик неортого-
нальны, а потому линейные эффекты факторов и эффекты взаимо-
действий оцениваются частично смешанными друг с другом.
В табл. 2.8 для каждой нерегулярной реплики указаны группы
частично смешанных эффектов. В каждую такую группу должно
входить не более трех эффектов. Если их оказывается больше,
приходится предполагать, что некоторые из них незначимы. В ряде
100

реплик существуют ортогональные эффекты, оцениваемые неза-
висимо друг от друга и от других эффектов (см. например, в табл. 2.8
3/8-реплику от 27).
Расчет коэффициентов, их дисперсий и ковариаций осуществ-
ляется по разным формулам, в зависимости от того, сколько и ка-
ких эффектов входят в группу частично смешанных. Возможны
следующие случаи:
1. В группе три любых эффекта bP, bQ и Ьр (без Ьо).
Например, во 2-й группе 3/4-реплика от 24 (табл. 2.8) эффекты
&i, и ^24-
Оценки эффектов этой группы находят по формулам
2 1' хрУи + Z хоУи+ £ хцУи
I ___ И=1	Н = 1	11=]
Р ’
N	N	N
ЪхриУу + 2 Yi xQuyu \- 2	44)
г ___	1________и=1________
Q	2-2^—р’1“1	’
^ХРиУи+^\иУи + 2^ХриУи
= —-----------b V,——---------------.
«	2.2*-р+1
Например, формулы для расчета эффектов 2-й группы 3/4-
реплики от 24
N	N	N
2 £ х1цуи + у,	(х2х3)„ уи	+	V	(x2x4)„i/„
к ___	и=1	и=\	и=\
1	2-24~2+1	’
Л/	A7	N
х1иУи 4“ 2 У	(х2^з)и Уи	4“	У ;	{х%Х$}иУи
I ___ U=1	U—i	и=1
«23-------------------16	,
N	N	N
У, х1иУи 4- S (х-2хз)иУи 4- 2 £ (х2х4)и уи
h ___ и=1	и=\	и=\
«24-------------------f6------------------•
Все эти эффекты оцениваются с одинаковыми дисперсиями:
(2.45)
Их ковариации
s‘i
COV*Pbq = СО= C0V"<2^ =	•	(2 46)
В (2.45) и (2.46) S2y — дисперсия опыта.
101

2. В группе два любых эффекта ЬР и bQ (без &0). Например,
в 4-й группе 3/8-реплики от 2е (табл. 2.8) эффекты Ь3 и b2i.
Опенки эффектов этой группы находят по формулам
Л'	Л'
3 У xpJ!u + У XQuyu
I	Z/ = l	U=-\
р :	2.2*~р+2	’
Л'	N
Y хриУи+31 хоиуи
bo -1 2	.	(2.47)
Например, формулы для расчета эффектов 4-й группы 3/8-
реплики от 26
N	V
3 У Х^иУ“ + У Уи
t   и=[__________Ы = 1_______ .
3--	2 26—3+2
(2.48)
N	N	v
У хзиУи + 3 £ (х.Л)иуи
ц   и— I	и— 1
1?24-------------ы	.
Оба эти эффекта оцениваются с одинаковыми дисперсиями:
25;
(2 49)
Их ковариация
S2
covbpbo = 2feJ+r •	(2.50)
3. В группе Ьо и два любых эффекта ЬР и bQ. Например,
в 1-й группе 3/4-реплики от 25 (табл. 2.8) эффекты Ьо, &121 и Ь1з;>.
Оценки эффектов этой группы определяют по формулам
,V	N	N
2 У Уи 'г У хР,уи + У xQuy,t
1	w = l	и—\	U—1
°	2-2fe—
N	N	W
У /« + 2L *риуи+ XxQuyu
f   и — \______и=\__________Ы=1______
р	2 2^~/?+1
V
У у и -I- У хРиуи +2 У хоиуи
г   и — ]_______и — \________и—\______
Q	2-2^—
102
(2.51)

.Например, формулы для расчета эффектов 1-й группы 3/4-
реплики от 25
N	N	N
2 Уи + S	(х^Х^иУи
к и—\	и=1	и=\
2-25-2+‘
N	N	N
У Уи + ^у (х^2х4)и Уи+У (Х1Х3Хь)и уи
1	__ u—1	u=l	и=1
у124---------------------32	>
N	N	N
У и + 2j (*11 Х2-Ч)и Уи + 2 2^ (*Axs)« Уи
«=1	U=1	U—1
«135 —	32	•
Все эти эффекты оцениваются с одинаковыми дисперсиями:
о2
^0 = ^ = ^=^.	(2.52)
Их ковариации
S2
c°vVp = cov6obQ = covMq =	.	(2.53)
4. В группе Ьо и любой эффект ЬР. Например, в 1-й группе
3/8-реплики от 2е (табл. 2.8) Ьо и bi5.
Оценки эффектов этой группы считают по формулам
N	N
з£ Уи + Е xPiyu
I _	и=1	и=1
° —	2 2к-р+2
(2.54)
N	N	'	'
1Х + 3£ хрУи
,	_ н=1	и=1
р 2-2к~р+2
Например, формулы для расчета эффектов 1-й группы 3/8-
реплики от 2е
N
3 У) У и + У {xiXb}uyu
Г __	и=\	и=1
2 26-3+2
N	N
£ У и + 3 £ (*1Х5)и У и
h _	_______U=1_________
t>15 -	64
Оба эти эффекта оцениваются с одинаковыми дисперсиями:
9	9	3S2
(2.55)
103

Их ковариация
СОМ = 2Л+1-	<2-56)
5. Ортогональные эффекты. Например, эффекты b0, b3, Ь4,
Ь13 и b14 3/8-реплики от 27. Их оценки и дисперсии оценок считают
по обычным формулам ортогонального планирования соответ-
ственно (2.11) и (2.12).
Нерегулярные реплики удобно применять и в тех случаях,
когда после реализации того или иного регулярного плана решено
варьировать в эксперименте один или несколько.факторов из тех,
которые в предыдущих опытах были на постоянном уровне [123].
Предположим выполнено 8 опытов полного факторного экспе-
римента 2s для переменных xlt х2 и х3 (табл. 2.10, опыты 1—8).
В этих опытах фактор х4 не варьировался. Будем, например, счи-
тать, что в первых восьми опытах табл. 2.10 уровень фактора х4
был —1. Однако затем выяснилось, что фактор х4 также, возможно,
влияет на отклик, и теперь, чтобы выяснить эффект влияния х4
с помощью регулярных реплик, необходимо еще раз повторить
полный факторный эксперимент 23, а фактор х4 взять в этих опы-
тах на уровне +1. Обе эти серии экспериментов, включающие
16 опытов, теперь представляют полный факторный эксперимент 24,
и обработка его данных позволяет решить задачу.
Но можно достроить план 23 и до нерегулярной реплики. Для
этого первые восемь опытов табл. 2.10 следует рассматривать как
две х/4-реплики 24'2 от полного факторного эксперимента 24.
Их генерирующие соотношения указаны в табл. 2.10. Если к этим
Таблица 2.10. Введение в полный факторный эксперимент 23
четвертого фактора (3/4-реплика от 24)
Номер опытов	Х1	х2	Ха	Х4	Примечания
1	+	+	—	—	^-реплика 24~2
2	—	+	+	—	*3 = —*1*2
3	+	—	+	—	*4 = —1
4	—	—		—	
5	+	+	+	—	1/4-реплика 24-2
6	—	+	—--	—	*3 = *1*2
7	+	—	—	—	
8		—	+	—	х4 =. —1
9	+	+			+	х/4-реплика 24~2
10	—	+	+	+	*3	—*1*2
11	+	—	+	+	*4 = 1
12	—	—	—	+	
104

двум х/4-репликам добавить еще одну, получится нерегулярная
3/4-реплика от полного факторного эксперимента 24, содержащая 12
опытов. Генерирующие соотношения третьей х/4-реплики указаны
в табл. 2.10.
Определяющий контраст получившейся 3/4-реплики: 1 =
= | х±х2х31 = | х41 = | xxx2x3x41. Поэтому образуются следующие
группы частично смешанных эффектов (линейных и парных):
1) и 64;	3) b2, Ь13 и b2i-
2) bt, b23 и й14;	4) b3, Ь12 и &34.
Расчет эффектов 1-й группы проводят по формулам (2.54),
остальных по формулам (2.44). Добавление большего числа фак-
торов производится аналогичным способом.’]
2.3. ПОЛНЫЙ И ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ
ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ МНОГОУРОВНЕВЫХ ФАКТОРОВ
* Все рассмотренные выше процедуры составления факторного
эксперимента типа 2k и 2k~p легко обобщаются на случай полного
факторного эксперимента sk с k факторами, варьируемыми на s
уровнях.
Будем, как и прежде, обозначать значения факторов в нату-
ральном масштабе Х;- (t — номер фактора). Факторы могут быть
количественными и качественными, их уровни могут быть равно-
отстоящими и неравноотстоящими, поэтому s уровней фактора Xt
удобно обозначать 0, 1, 2, ..., s— 1.
Эти уровни будем называть FСтавится задача: составить пла-
ны эксперимента для k факторов К,-, варьируемых на s уровнях
0, 1,2, ..., s — 1. В планы будет входить также и фиктивная пере-
менная Ко, необходимая для расчета свободного члена уравнений
и имеющая во всех опытах уровень 0.
По аналогии с полным факторным экспериментом 2k матрицу
полного факторного эксперимента sk можно построить следующим
образом: при любом k необходимо s раз повторить матрицу планиро-
вания для (k — 1) фактора при значении k-то фактора последова-
тельно на уровнях 0, 1,2, ..., s — 1.
В качестве примера в табл. 2.11 показано последовательное
построение матрицы полного факторного эксперимента З3. Вначале
построен факторный эксперимент 3х. Затем он трижды повторен
последовательно для уровней 0, 1 и 2 второго фактора, в резуль-
тате чего получился план З2. План З2 вновь трижды повторен для
уровней 0, 1 и 2 третьего фактора — получился искомый план З3.
Модель, которую можно построить из полного факторного
эксперимента sk («полная факторная модель» по определению
В. 3. Бродского [15—17]) в общем случае имеет вид
У = L bla2 ,kX4xl...Xt	(2.57)
0>a<(s-1)	“ р “
0<₽<(s—I;
0<a><(s—i)
105

где k — число факторов; s — число уровней варьирования факто-
ров; индексы а, 0....со у номера фактора означают а, 0, ...,
раз по 1, 2, k.
В этой модели члены X}, Х*, ... и коэффициенты при них
называют главными эффектами, остальные — эффектами взаимо-
действий.
Таблица 2.11. Матрицы полного В качестве примеров запи-
факторного эксперимента 3* шем несколько моделей.
План		№ опыта			F3
ф	с				
	I	1	0	0	0
	з1	2	1	0	0
	1	3	2	0	0
					
	2	4	0	1	0
		5	1	1	0
		6	2	1	0
		7	0	2	0
		8	1	2	0
		9	2	2	0
		10	0	0	1
з3		11 12	1 2	0 0	1 1
		13	0	1	1
		14	1	1	1
		15	2	1	1
		16	0	2	1
		17	1	2	1
		18	2	2	1
		19	0	0	2
		20	1	0	2
		21	2	0	2
		22	0	1	о
		23	1	1	2
		24	2	1	2
		25	0	2	2
		26	1	2	2
		27	2	2	2
ф					
Модель, которую можно
построить из полного фактор-
ного эксперимента 23, вклю-
чает восемь членов и имеет вид
У = X 2оЗ XiX2X3.
0<я<1 “ Р v
O<V<1
(2.58)
Члены модели (2.58), в зави-
симости от значений а, 0 и у
указаны в табл. 2.12.
Модель, которую можно
построить из полного фактор-
ного эксперимента З2, вклю-
чает девять членов и имеет
вид
У =-- S bx .XaxXl (2.59)
0<а<2	“ Р
0<р<2
Члены модели (2.59) в зави-
симости от значений^ и 0, ука-
заны в табл. 2.13.
Модель, которую можно
построить из полного фактор-
ного эксперимента 52, вклю-
чает 25 членов и имеет вид:
у = I 2 x?xf. (2'60>
0<а<4 “Р
♦
Члены модели (2.60), в зависимости от значений а и 0, указаны
в табл. 2.14.
Рассмотрим способ записи расширенных (со всеми взаимодей-
ствиями) матриц полного факторного эксперимента для факто-
ров Ft. Составим такую матрицу для плана З2 (табл. 2.15).
В столбцах У7! и F2 табл. 2.15 записан собственно план полного
факторного эксперимента для двух факторов, варьируемых на
трех уровнях, Fo — фиктивная переменная, принимающая во всех
опытах значение 0.
106

Таблица 2.12. Модель для плана 2s
а	0	1	0	0
р	0	0	1	0
У	0	0	0	1
Член модели (2.58)	б()	м.	1>2Х2	Ь3Х3
а	1	1	0	1
р	1	0	1	1
	0	1	1	1
Член модели (2.58)		W3	^23^2^3	^123^-1 ^2
Таблица 2.13. Модель для плана З2
а	0	1		0		1		2
р	0	0		1		1		0
Член модели (2.59)	ь«	Mi		Ь‘2^2		612ЛТХ2		6цХ?
а	0		2		1		2	
р	2		2		2		1	
Член модели (2.59)	622Х|		&И22Х2ХЗ		6122ХгХ2			
Таблица 2.14. Модель для плана 52
а	Р	Член модели (2.60)	а	Р	Член модели (2.6 0)
1	0	61X1	2	1	6И,Х2Х,
2	0	6цХ?	1	2	6122Х1Х|
3	0	бщХ?	3	1	6ПМ?Х2
4	0	бцц-Xj	1	3	^1222^1^2
0	1	ь2х2	3	2	^11122^?^2
0	2	ь22х*	2	3	6ц222Х?Х!
0	3	6222-^2	4	1	
0	4	^2222^2	1	4	^12222-^1^2
1	1	612^1^2	4	2	6111122-^1-^2
2	2	61122-^1^2	2	4	6112222'^1'^2
3	3	6ц1222-^1-^2	4	3	6 Ц11222-^1Л'2
4	4	6ц112222-^1-^2	3	4	^1112222^1^2
			0	0	6(1
107

Таблица 2.15. Расширенная матрица плана З2
Номер опыта	Fo	Fi	Fa	f,f2	F?	F2	F?Fi	Fif|	fif2
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	1	2	0	2	1	2
3	0	9	0	2	1	0	1	2	1
4	0	б	1	1	0	2	2	2	1
5	0	1	1	2	2	2	1	0	0
6	0	2	1	0	1	2	0	1	2
7	0	0	2	2	0	1	1	1	2
8	0	1	2	0	2	1	0	2	1
9	0	2	2	1	1	1	2	0	0
Значение уровней для эффектов взаимодействий определяют
сложением уровней факторов по модулю s. Полученный уровень,
по сути дела, представляет собой остаток получающийся от де-
ления соответствующей суммы на s. Например, если s = 3, то
справедливы следующие соотношения: 0 (mod3) = 0; 3 (mod 3) =0;
6 (mod 3) = 0; 9 (mod 3) = --- 0, поскольку 0 ; 3; 6 и 9 делятся
на 3 без остатка; 1 (mod 3) = 1; 4 (mod 3) = 1; 7 (mod 3) = 1,
поскольку при делении этих чисел на 3 в остатке остается 1;
2 (mod 3) = 2; 5 (mod 3) = 2; 8 (mod 3) = 2; а здесь в остатке
остается 2 и т. д.
Итак, в данном случае
FrF2 = (Л + F2) (mod 3);
F\ = (2Fi) (mod 3);
Fl = (2/;2) (mod3);
F\Fl = (2Fj 2F2) (mod 3);
F\Fl = (Fi 4- 2F2) (mod 3);
FiF? = (2F1	F2) (mod 3).
Рассчитанные таким образом уровни всех эффектов взаимодей-
ствий приведены в табл. 2.15.
Планы полного факторного эксперимента sk, естественно,
дают еще большую информацию по сравнению с планами типа 2fc.
В тех случаях, когда на первых этапах исследования эта инфор-
мация не является необходимой, можно пользоваться планами
дробного факторного эксперимента sfc_p. Эти планы составляются
так же, как и планы 2fc~p: р взаимодействий полного факторного
эксперимента sk предполагаются незначимыми и их уровни при-
даются новым факторам.
Рассмотрим составление планов sk~p на примерах.
Предположим, в задаче изучается влияние трех факторов: Fr,
F2 и F2, каждый из которых варьируется на трех уровнях 0, 1 и 2.
108

Таблица 2.16. Дробная реплика З3"1
Номер опыта	F„	Ft	f2	F8sF?F2
1	2	3	4	5
1	0	0	0	0
2	0	1	0	2
3	0	2	0	1
4	0	0	1	0
5	0	1	1	2
6	0	2	1	1
7	0	0	2	0
8	0	1	2	2
9	0	2	2	1
систему смешивания эффектов,
Полный факторный эксперимент 3® включает 27 опытов, но есть
возможность поставить только девять.
Девять опытов являются полным факторным экспериментом
для двух факторов, варьируемых на трех уровнях (З2). Этот план
записан в столбцах 3 и 4 (табл. 2.16). Уровни для квадратичных
эффектов факторов и всех воз-
можных взаимодействий можно
увидеть в табл. 2.15.
Теперь уровни одного из
этих эффектов следует взять
для третьего фактора F3. Пред-
положим, решено для факто-
ра Fs взять уровни взаимо-
действия F[F2 (столбец 5,
табл. 2.16). Таким образом,
генерирующее соотношение
дробной реплики З31, пока-
занной в табл. 2.16:
F3 = F'fa-
(2.61)
Теперь следует установить ,
которую дает данный план.
Предварительно заметим, что
рО (mod s) _ q. 1
pl (mod s) _ p. j
(2.62)
pl (mod s) _ pl
Например, в данном случае s = 3. Поскольку 3 = 0 (mod 3),
6 = 0 (mod 3)	и т. д., то F3 = Fe	= • • •	= 0 (т.	е. все элементы
этих столбцов	— нули). Так как	1 = 1	(mod 3),	4 = 1 (mod	3),
7 — 1 (mod 3)	и т. д., то F4 — F~	ее • • •	F.
Наконец 2	= 2 (mod 3), 5 = 2	(mod 3), 8 = 2	(mod 3) и т.	д.,
поэтому F:> = F8 = • • • = F2.
Из генератора (2.61) получим определяющий контраст, сделав
так, чтобы левая часть генератора представляла собой столбец
нулей:
= F]F2Fl
Отсюда
0 = FlF.Fi
Кроме того, правую и левую части определяющего контраста,
необходимо возвести еще в ($ — 1)-степень, в данном случае во
вторую, и получить еще один определяющий контраст:
0 = КЖ = F^F,.	(2.63)
109

Таким образом, обобщенным определяющим контрастом реп-
лики З3 \ указанной в табл. 2.16, является
О = FfoFl = FiFlF^	(2.64)
Теперь можно записать систему смешивания эффектов, которую
дает данный план. Для этого, как и в случае планов 2к~Р, необхо-
димо правую и левую части обобщенного определяющего контраста
умножать на интересующий эффект и пользоваться соотношениями
(2.62).
Итак, = F2Fl ее F^F^F^ или, другими словами, линейный
эффект фактора Х1 будет смешан с эффектами взаимодействий
Х2Х2 и Х]Х?2Х3, т. е.
Pl + Р2ЗЗ + Р11223'
Продолжим запись системы смешивания эффектов в масштабе F^.
F2 = F\FlFl = F.F,,
F3 = F\F2 = F.FlFl
FtF2 = F22Fl =
F[F3 = F2 = FlFlFi;
F2F3 = f№ = F}F3,
F^F2F3 = F22 = F\Fl и t. д.
Анализ получившейся системы смешивания позволяет выбрать
общий вид модели. Например, если в рассматриваемом случае
необходимо построить модель
У = b0 -j- &.Хх Д- Ь2Х2 4- Ь3Х3 4~ &12Х1Х2 Ц-
4- &1зХ]Х3	£>23X2X3 4- &12зХ1Х2Х3,
то, очевидно, раздельно оценить Ь2 и й13 не удастся. Видимо, при-
дется предположить, что эффект ХГХ3, как и Х2Х2Х2, слабее эф-
фекта Х2. Кроме того, обязательно придется сделать допущение
о предполагаемых более сильными, например, эффекте Х1 по
сравнению с Х2Х| и Х2Х2Х3; эффекте Х3 по сравнению с Х2Х,
и Х,Х;Х3; эффекте Х2Х3 по сравнению с Х2Х2 и Xt Х% и т. д. В дан-
ном случае можно попытаться построить модель
у = &о ~|_ biXi 4~ Ь2Х2 4- Ь3Х3 4- ^12X1X0 4~ Ь23Х2Х3 4- ^12зХ1Х2Х3.
Естественно, что выбор других генераторов и определяющих
контрастов даст возможность получить другие системы смешивания
эффектов и соответственно строить либо другие модели, либо
модели с подходящей в каждом конкретном случае системой сме-
шивания.
Полный факторный эксперимент З2 (табл. 2.15), с помощью
которого мы только что составили план З3-1 (табл. 2.16), содержит
всего шесть столбцов эффектов взаимодействий и квадратичных.
110

Поэтому с его помощью можно составлять дробные реплики, вклю-
чая до шести новых факторов. Действительно, если взять генера-
торы
F^F.FF, F4 = Fl, F5 = Fl;
F. = FlFF, F7 = F{F-2-, F6 = F\Fl
то можно получить дробную реплику З8'6, включающую девять
опытов и позволяющую построить, по крайней мере, линейную мо-
дель (разумеется, при предположении о незначимости всех взаимо-
действий и квадратичных эффектов факторов)
i=i
Рассмотрим способ получения обобщенного определяющего
контраста в случае, когда не один, а несколько новых факторов
приравниваются взаимодействиям.
Предположим, в задаче изучается влияние четырех факторов,
каждый на трех уровнях, и вместо полного факторного экспери-
мента З4, содержащего 81 опыт, решено выполнить дробную реп-
лику З12, включающую всего девять опытов. Составим такой
план.
Вновь его основой будет полный факторный эксперимент З2,
состоящий из девяти опытов (табл. 2.15).
Выберем следующие генерирующие соотношения:
Fs ее Л = F/l	(2.65)
Соответственно запишем определяющие контрасты:
О = К//2; 0 = F^.	(2.66)
Кроме того, возведем каждый из этих контрастов во вторую сте-
пень и с учетом соотношений (2.62) получим еще определяющие
контрасты:
О =	0 = F^.F*.	(2.67)
Осталось записать обобщенный определяющий контраст, вклю-
чающий контрасты (2.66) и (2.67), а также все их произведения
по два, по три и т. д.:
О = Ff.Fl = Fffl = FjFlF3 = Ff.F4 = Fffl = FflF, =
= Fffl = Ff.F,.
В результате система смешивания эффектов после реализации
выбранной реплики З4'2 оказывается следующей (в масштабе К():
Л н Fffl = Fffl = F2F3 = F.F, = Ffl = Ffff, =
= Ffffl = Ff3Ft;
F. = FXF2K2 ее Ff~ ее F2F3 ее = F2F2F2F2 ее Ff, =
= Fffi = Fff.F,, e
111

F3 = F,F2 = FflF^ = F'iF~F'^ = F[F2F2Ft = F\F* ее FF, =
= F2FIF4 = FflF,,
F = FLF2F3F4 ее F/2 = FIF^F, = F{F2F4 = F~Fl ее F2F3F1 =
= F2F3 = FJ^Fl,
F4F3 = F[F2 = F{F2F3F4 = F2F3 = F2F„F,l = F-= F^F, =
= F^FIF- = FflF,,
F^ = FJJIF, = F~F2 = F2F3F4 = F2Fl = F3 = F.FF^ =
= FiFA = FiF3Fl'>
F3Fa = F^F, = F.FF, = F^FIF* = F^F.fl ~ F> = FF; ее
ее F2F3 = FflF-
Fl ее FJl ее F\F2Ft = Ff2F3 = F4F4 = F^Ffl ± FFaF4 =
EE F3F4 EE F}F2F3F4 и T. Д.
Таким образом, с помощью выбранного плана можно попы-
таться построить, например, модель
У = Ьо -|- Ь1Х1 -[- Ь2Х2
+ Ь3Х3 + Ь4Х4 -I- Ь13ХгХ3 + Ь14ХгХ4 + &34Х3Х4 + Ь22Х1,
если предполагать, что эффект Х4 сильнее взаимодействия Х2Х\
и других; эффект Х3 сильнее Х4Х2 и других; эффект Х4 сильнее
Х2Х3 и других; эффекты Х2, Х4Х3, XxXit Х3Х4 и Х2 сильнее сме-
шанных с ними взаимодействий.
Планы полного факторного эксперимента s* и дробного sk-p,
как и планы 2ft и 2к-р,. симметричны и ортогональны. Поэтому
коэффициенты моделей считают по формуле (2.11), а их диспер-
сии — по (2.27). Однако, прежде чем делать это, необходимо осу-
ществить переход от натурального масштаба факторов X,- к коди-
рованному.
В том случае, когда уровни факторов равноотстоящие, для их
кодовых обозначений лучше всего выбирать коэффициенты орто-
гональных полиномов Чебышева. В табл. 2.17 приведены неко-
торые коэффициенты полиномов Чебышева [116] и показано, ка-
ким уровням главных эффектов они ставятся в соответствие.
Уровни эффектов взаимодействий получают перемножением
уровней главных эффектов. Например, если в плане З2 (табл. 2.5)
уровням Fi и F2 поставить в соответствие уровни линейных эф-
фектов (х,): —1,0,1, а уровням F2nF2 — уровни квадратичных эф-
фектов (г,): 1, —2,1, то в кодовом масштабе матрица планирования
будет иметь вид, показанный в табл. 2.18.
Общий случай установления кодированных значений уровней
факторов, включающий рассмотренный выше, как частный, а
также последовательность обработки экспериментальных данных
при этом буд^1 рассмотрены на примерах в п. 2.5.7 и 2.5.8.
112

Таблица 2.17. Коэффициенты ортогональных полиномов Чебышева,
поставленные в соответствие главным эффектам факторов
Число уровней	Fi	Линейный xi	Квадратич- ный г-	Кубический	4-й степени п1
	0	—1	1		
3	1	0	—2		
	2	1	1		
	0	—3	1	—1	
	1	—1	— 1	3	
	2	1	— 1	—3	
	3	3	1	1	
	0	—2	2	—1	1
	1	— 1	— 1	2	—4
5	2	0	—2	0	6
	3	1	— 1	—2	—4
	4	2	2	1	1
Таблица 2.18. Матрица планирования З2 в кодовом масштабе
Номер опыта	Х0	ч	хг	XiX2	21	22	21 22	Ч22	421
1	1	—1	—1	1	1	1	1	—1	—1
2	1	0	—1	0	—2	1	—2	0	2
3	1	1	—1	—1	1	1	1	1	—1
4	1	—1	0	0	1	—2		2	2	0
5	1	0	0	0	—2	—2	4	0	0
6	1	1	0	0	1	—2	—2	—2	0
7	1	—1	1	—1	1	1	1	— 1	1
8	1	0	1	0		2	1	—2	0	—2
9	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Несомненный интерес представляют многофакторные планы,
систематизированные и подробно обсужденные В. 3. Бродским
115—17]. Им рассмотрен общий случай проведения многофактор-
ного эксперимента, когда варьируются разнотипные факторы, ко-
торые могут быть как количественными, так и качественными на
разном числе равностоящих или неравностоящих уровней для
построения модели, являющейся требуемой из априорных сообра-
жений частью полинома (2.57). Именно для этого случая оказы-
вается удобным использовать факторные планы, сведенные
В. 3. Бродским в каталог, приведенный в приложении VII. Ката-
лог содержит несколько тысяч планов. Он состоит из трех разделов.
В разделе VII. 1 указаны вспомогательные матрицы, с помощью
которых строятся собственно планы. Вспомогательные матрицы
обозначены DHN, где N — число опытов. Столбцами этих матриц
113

являются факторы в кодах Fпринимающие значения 0, 1, 2;
sf— 1, где Si — число уровней варьирования t-ro фактора.
Раздел VII.2 содержит равномерные симметричные и несим-
метричные планы различной мощности, а также компромиссные
планы. Равномерными называют планы, в которых уровни лю-
бого фактора встречаются одинаковое число раз. Симметричные
планы — планы, в которых все факторы имеют одинаковое число
уровней. Мощность плана определяет систему смешивания оценок
эффектов. Планы мощности 2 допускают получение попарно орто-
гональных главных эффектов (это так называемые планы главных
эффектов); планы мощности 3 — получение главных эффектов,
ортогональных друг к другу и двухфакторным эффектом взаимо-
действий; планы мощности 4 — получение попарно ортогональных
главных эффектов и двухфакторных эффектов взаимодействий
(помещенные здесь же планы полного факторного эксперимента
обеспечивают получение ортогональными всех эффектов взаимо-
действий). Компромиссные планы дают возможность оценить по-
парно ортогонально все главные эффекты и некоторые, указанные
в каталоге, двухфакторные эффекты взаимодействий.
Рассмотрим несколько примеров выбора планов из раздела
VI 1.2. При этом будем учитывать, что при варьировании фак-
тора на s{ уровнях, максимальный порядок главного эффекта,
который можно оценить, равен sz — 1.
Например, требуется построить модель главных эффектов,
вплоть до эффектов второго порядка, для четырех факторов
У = Ьо ф- Xi b^i ф- X ЬцХ1
1 = 1	1=1
Поскольку в данном случае s — 1=2, число уровней, на ко-
торых необходимо варьировать факторы, s = 2 ф- 1 = 3. Иско-
мая модель включает девять членов, поэтому число опытов не мо-
жет быть меньше девяти. Таким образом, необходимо составить
план эксперимента, состоящий не менее чем из девяти опытов для
четырех факторов, каждый из которых варьируется на трех уров-
нях. В каталоге оказывается подходящим план № 9, условное
обозначение которого 3V/9, где 9 — число опытов плана. Этот план
представляет собой четыре столбца вспомогательной матрицы D//9.
В другом примере, предположим, изучается влияние восьми
факторов. Априори известно, что первый из них влияет на отклик
только линейно, влияние же остальных нелинейно. В этом случае
имеет смысл строить на первом этапе следующую модель главных
эффектов, включающую 16 членов:
8	8
у = Ь -ф X biXi ф- X ЬцХ}.
1=1	1=2
Следовательно, первый фактор необходимо варьировать на
двух уровнях, остальные — на трех. Число опытов плана не мо-
114

жет быть меньше 16. Для этого случая в каталоге оказывается под-
ходящим план № 18, обозначение которого 2Х37/18. Этот план
представляет собой первые восемь столбцов вспомогательной мат-
рицы D//18.
Еще в одном примере предположим, что изучается влияние
пяти факторов. Известно априори, что все они влияют на отлик
нелинейно. Кроме того, ожидаются значительными эффекты
взаимодействия одного из них (поставим его па первое место)
с остальными. В этом случае имеет смысл строить следу-
ющую модель:
5	5	5
У Ьо 4 £ btxt + L btlx] -I- L b^x.Xi-
i=i	(=i	/=i
Поскольку необходимо определить главные эффекты вплоть
до второго порядка, факторы следует варьировать на трех уровнях.
Число опытов плана не может быть меньше 16. Для этого случая
в каталоге оказывается подходящим план № 59, обозначение ко-
торого Зг7/27. Реализация 27 опытов этого плана позволит получить
попарно ортогональные главные эффекты и парные эффекты
взаимодействия первого фактора с остальными. План пред-
ставляет собой 1—3, 8 и 9-й столбцы вспомогательной матри-
цы D//27.
Планы, приведенныев разделе VII. 2, являются D-оптимальными,
т. е. обеспечивают получение минимального объема эллипсоида
рассеяния оценок коэффициентов модели, и Q-оптимальными, т. е.
обеспечивают получение минимальной средней дисперсии предска-
зания значений отклика в заданной области факторного про-
странства.
Раздел VI 1.3 содержит таблицы преобразований равномерных
планов, указанных в разделе VI 1.2, для получения различных
планов главных эффектов.
Под каждым преобразованием записаны строки, показывающие,
какие столбцы преобразования (отмечены звездочками) следует
использовать в том или ином случае. Например, с помощью пре-
образования № 2 можно один четырехуровневый фактор преобра-
зовать либо в три двухуровневых (2а: 4	23), либо в два двухуров-
невых (26: 4	22), либо в один двухуровневый (2в: 4 —> 2); а
с помощью преобразования № 3 можно четырехуровневый фактор
преобразовать либо в один трехуровневый и один двухуровневый
(За: 4 —> 3x2), либо в один трехуровневый (36: 4->3)ит. д. В ре-
зультате оказывается возможным строить различные планы для
факторов, варьируемых на разном числе уровней.
Рассмотрим пример. Предположим, что в задаче варьируются
пять факторов. Влияние первых трех (Хъ Х2, Х3) ожидается ли-
нейным, влияние двух остальных (Х4, Х8) — нелинейным. Оче-
видно, что первые три фактора следует варьировать на двух
115

уровнях, два остальных — на трех. Решено построить следую-
щую модель главных эффектов:
5	5
+ L W-
1=1	1=4
Следовательно, число опытов должно быть не меньше девяти. По-
пробуем построить план 23х32//9. Будем это делать в следующей
последовательности. Найдем в разделе VI 1.2 каталога план, под-
ходящий по числу опытов. Им будет план № 9 34//9 (табл. 2.19).
С помощью преобразования 2а заменим фактор F4 на два
двухуровневых: FJ и F', а с помощью преобразования 26 - фак-
тор F, на F':
Fi	F ]	F2	F2	F3
0 1	0	0	0 1	0
1 ->•	0	1	1 ->	 0
2 J	[10	2 J	[1
Таблица 2.19. Преобразование плана 3*/7э в план 23Х32//9
Номер опыта	План 34//9				План 2s X 32//9				
			F,	F4	f{	F-2	F3	Fl	fs
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	0	1	1	0	1	0	1	1
3	2	0	2	2	1	0	0	2	2
4	0	1	1	2	0	0	0	1	2
5	1	1	2	0	0	1	0	2	0
6	2	1	0	1	1	0	0	0	1
7	0	2	2	1	0	0	1	2	1
8	1	2	0	2	0	1	1	0	2
9	2	2	1	0	1	0	1	1	0
Факторы F3 и F4 оставим без изменений: F3 -> F' и F4 - > F'. В ре-
зультате получаем план главных эффектов 23х32//9 (табл. 2.19).
После построения плана можно оценить его близость к
Q-оптимальному с помощью коэффициента эффективности ф [17]:
Ф =-------~п-------,	(2-68)
Zj Фг
Г=1
где k' — число коэффициентов в модели, которую предполагается
построить; п — число преобразований (включая тождественные
преобразования, например, такие, как F9-^F\ и F4 - > F' в пре-
дыдущем примере);- г — номер преобразования; sr = (s4 — 1) +
+ (s2 — 1) +..., где s — число уровней нового фактора, вводи-
мого с помощью г-го преобразования; фг — коэффициент эффектив-
ности г-го преобразования (указан в каталоге в конце строки каж-
дого преобразования); при тождественном преобразовании фг = 1.
116

117
Таблица 2.20. Варианты преобразований плана 5е/'725 в план 2вХ32Х43 /25
Фак- торы исход- ного плана 5в//25	A			Б			В			Г			Д		
	Вид пре- образо- вания	s		Вид пре- образо- вания	sr	фг	Вид пре- образо- вания	S		Вид пре- образо- вания	S-		Вид пре- образо- вания	sr	4>г
?!	4a 5->24	4	0,90	7a 5->4 X 2	4	0,57	4а 5->24	4	0,90	5а 5->ЗХ22	4	0,75	5а 5-*ЗХ22	4	0,75
f2	4b 5->22	2	0,93	7a 5 ->4X2	4	0,57	56 5->ЗХ2	3	0,80	5а 5->ЗХ22	4	0,75	5а 5->ЗХ22	4	0,75
Fs	СЛ J, 05 W	! .	i	4	0,53	7a 5->4X2	4	0,57	56 5->ЗХ2	3	0,80	4в 5->22	2	0,93	7а 5->4х2	4	0,57
Ft	76 5->4	3	0,91	46 5->23	3	0,91	76 5->4	3 	0,91	76 5->4	3	0,91	7а 5->4Х2	4	0,57
F&	76 5->4	3	0,91	5b 5->3	2	0,90	76 5->4	3	0,91	76 5-»4	3	0,91	76 5->4	3	0,91
F6	76 5->4	3	0,91	5b 5->3	2	0,90	76 5->4	3	0,91	76 5->4	3	0,91	—	—	—
k'	20			20			20			20			20		
n	6			6			6			6			5		
	0,76			0,62			0,84			0,81			0,64		

План Q оптимален в том случае, когда ф — 1.
В нашем примере для плана 23х32//9: k' 8; п — 4;
st	=	(2	1) (2 — 1)	-- 2;	s., - 2 — 1 --	1;
s3	—	3 —	1=2; s4 —	3 — 1 = 2; фх	= 0,67;
= 0,89; 4‘з	= 1;	4’i = 1;
4'	= -	— 3 ।	2	3	3	°’83-
+ 0,67 Н 0,89 +	1 "Г 1
В отличие от рассмотренного примера в большинстве случаев
существует несколько вариантов преобразований. Тогда для каж-
дого из них рассчитывают коэффициент эффективности и выбирают
тот план, для которого ф возможно ближе или равен единице.
Предположим, требуется составить план эксперимента для за-
дачи, в которой изучается влияние 11 факторов. Первые шесть
из них варьируются на двух уровнях, следующие два — на трех,
а остальные три — на четырех. Таким образом, после реализации
плана можно будет построить следующую модель главных эффек-
тов:
*/ = &<,+ S bixl + £ btix] -I-1: biitxi
i=l	1=7	t=9
Модель эта содержит 20 членов, следовательно число опытов
плана не может быть меньше 20. С учетом необходимости иметь
степени свободы для проверки адекватности модели, общее число
опытов в плане должно быть 25—30. Выберем из раздела VII.2
каталога план 5в//25 и преобразуем его в требуемый нам план
2ех32х 43//25. Вариантов преобразований оказывается несколько.
Запишем некоторые из них и подсчитаем для каждого коэффициент
эффективности (табл. 2.20).
Из табл. 2.20 следует, что из выбранных планов наиболее эф-
фективным является план В. Для того чтобы составить план
2ех32х43//25 из плана 56//25 необходимы следующие преобразо-
вания последнего:
4а	56
F, F[ Ft Ft F4 F2 F's Fe
0
4 I
0
1
1
1
0
1 1 1
0 1 1
1 0 1;
1 1 0
0 0 0
118
0
1
2
3
4
0 0
0 1
1 0;
1 1
2 0

56
76
76
76
F3		Fi	F3	f4		f'9	FS	F{0	Fe	Fli-
0 '		0	0	0		0	0	0	0	CT
1		0	1	1		0	1	0	i	0
2	—>	1	0;	2	• 	> 	1;	2	- 1;	2 [ —	1.
3		1	1	3		2	3	1 2	3	2
4		.2	0	4		3	4	I 3	4	3
В табл. 2.21 приведен исходный план 5®//25 и преобразован-
ный из него план 2е X З2 X 43//25 с коэффициентом эффективности
ф = 0,84.
Таблица 2.21. Преобразование плана 5в//25 в план 2°Х32Х43//25
Номер опыта	План 5e//25						План 2eX32X4a//25										
	Ft	F,	F„	Ft	Ft	F,	f'i	F-2	Fs	Fl	Fs	Fe	Fl	Fg	F<J	F10	Fil
1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	1	0	1	1	1	1	1	0	1	1	0	0	0	1	0	0	0
3	2	0	2	2	2	2	1	1	0	1	0	0	1	0	1	1	1
4	3	0	3	3	3	3	1	1	1	0	0	0	1	1	2	2	2
5	4	0	4	4	4	4	0	0	0	0	0	0	2	0	3	3	3
6	0	1	1	2	3	4	0	1	1	1	0	1	0	1	1	2	3
7	1	1	2	3	4	0	1	0	1	1	0	1	1	0	2	3	0
8	2	1	3	4	0	1	1	1	0	1	0	1	1	1	3	0	0
9	3	1	4	0	1	2	1	1	1	0	0	1	2	0	0	0	1
10	4	1	0	1	2	3	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1	2
11	0	2	2	4	1	3	0	1	1	1	1	0	1	0	3	0	2
12	1	2	3	0	2	4	1	0	1	1	1	0	1	1	0	1	3
13	2	2	4	1	3	0	1	1	0	1	1	0	2	0	0	2	0
14	3	2	0	2	4	1	1	1	1	0	1	0	6	0	1	3	0
15	4	2	1	3	0	2	0	0	0	0	1	0	0	1	2	0	1
16	0	3	3	1	3	2	0	1	1	1	1	1	1	1	0	3	1
17	1	3	4	2	0	3	1	0	1	1	1	1	2	0	1	0	2
18	2	3	0	3	1	4	1	1	0	1	1	1	0	0	2	0	3
19	3	3	1	4	2	0	1	1	1	0	1	1	0	1	3	1	0
20	4	3	2	0	3	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	2	0
21	0	4	4	3	2	1	0	1	1	1	2	0	2	0	2	1	0
22	1	4	0	4	3	2	1	0	1	1	2	0	0	0	3	2	1
23	2	4	1	0	4	3	1	1	0	1	2	0	0	1	0	3	2
24	3	4	2	1	0	4	1	1	1	0	2	0	1	0	0	0	3
25	4	4	3	2	1	0	0	0	0	0	2	0	1	1	1	0	0
Последовательность обработки данных при использовании
рассматриваемых планов показана на примерах в и. 2.5.7 и 2.5.8.
2.4. ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТК/Х ЕГО РЕЗУЛЬТАТОВ
После выбора плана переходят непосредственно к эксперименту.
Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызван-
ных внешними условиями (например, неточным контролем темпе-
119

ратуры, изменением типа сырья, участием разных людей в про-
ведении эксперимента и др.), рекомендуется опыты, заданные
планом эксперимента, проводить рандомизировано во времени,
т. е. в случайной последовательности. Порядок проведения опытов
можно выбирать, например, по таблице случайных чисел.
При организации эксперимента следует учитывать необхо-
димость иметь оценку дисперсии опыта Sy. Эта дисперсия может
быть известна и до начала опытов, например, по аналогичным
ранее проведенным работам, но обычно ее оценивают в процессе
эксперимента. Единственная возможность это сделать — повто-
рять (дублировать) опыты.
Под дублированием здесь понимается не серия измерений в од-
ном опыте («несколько образцов на точку»), а полное повторение
опыта: приготовление сплава заново, новое проведение всех
технологических операций его обработки и т. д. Схемы статисти-
ческой обработки результатов экспериментов при проведении как
дублирующих опытов, так и серий измерений в каждом опыте
подробно рассмотрены, например в работах В. А. Вознесенского
[191.
В зависимости от характера дублирования возможно несколько
способов оценки дисперсии.
Если все опыты, заданные планом, выполняют по одному разу,
а один из них (чаще в центре плана) дублируют несколько раз,
то дисперсию опыта рассчитывают по формуле
По
H(!/og — У о)2
S2= g=1	-----,	(2.69)
где yog — результат g-ro дубля (повтора) опыта в центре плана;
у0 — среднее арифметическое значение всех п0 дублей централь-
ного опыта; Д — число степеней свободы.
Число степеней свободы — понятие, учитывающее в статисти-
ческих ситуациях связи, ограничивающие свободу изменения
случайных величин. Это число определяется как разность между
числом выполненных опытов и числом констант (средних, коэф-
фициентов и пр.), подсчитанных по результатам тех же опытов.
В данном случае при определении по формуле (2.69) тре-
буется предварительно подсчитать одну константу уи. Поэтому
в данном случае
А- «0-1-	(2-70)
Пример расчета дисперсии опыта в рассмотренной ситуации
см. в и. 2.5.3.
Другие способы предполагают дублирование всех или неко-
торых опытов плана. При*этом число повторений может быть нео-
динаковым (неравномерное дублирование) или одинаковым (рав-
номерное дублирование).
120

Рассмотрим вначале случай неравномерного дублирования
(см. пример в п. 2.5.2.). Прежде всего подсчитывают построчные
дисперсии (дисперсии для каждого опыта):
и
({/«g У и)2
sL=-izi-f---------’	(2.71)
где Уи& — результат g-ro повторения п-го опыта; уи — среднее
арифметическое значение всех п1: дублей и-го опыта; fu — число
степеней свободы при определении и-п построчной дисперсии
SV /и - пи- 1.
Заметим, что перед вычислением уи имеет смысл исключить
возможные промахи (грубые результаты в сериях повторных опы-
тов) с помощью соответствующих статистических критериев (см.,
например, [43]).
Затем определяют среднюю дисперсию опыта из выражения
% =	-----•	(2.72)
£ fu
и=1
Эту же дисперсию можно
Запишем (2.72) подробно:
подсчитать и другим способом.
«1	«г
(«1—0 L (У1е~й1У («г-i)	^)2
_______g=l____________I_______g=l___________
_______(«1—1)_________________(«2—1)________
(«1 — 1 ) + («2 — 1) + ' ' '
Следовательно,
N пи
L L (yUg-suy
С'2 u=l g=l
— N
У. (««— 1)
и=1
(2.73)
Знаменатель выражений (2.72) и (2.73) — число степеней сво-
боды при определении дисперсии Sy в случае неравномерного
дублирования:
N	N
fi- = L(nu-1).	(2.74)
«= 1	u= 1
Однако, прежде чем пользоваться дисперсией, рассчитанной
по формулам (2.72) и (2.73), необходимо проверить однородность
ряда дисперсий, т. е. выяснить, определяются ли различные зна-
чения отклика с одинаковой точностью (ряд дисперсий однороден)
или с разной (ряд неоднороден).
121

При неравномерном дублировании однородность ряда диспер-
сий проверяют по критерию Бартлетта. В этом случае вычисляют
величину
/	N	N	\
В -2,3026 IgS^,	(2.75)
\	U=1	U=1	/
где S‘2y — дисперсия, рассчитанная по формулам (2.72) или (2.73);
— построчная дисперсия для ы-го опыта, определенная с чис-
лом степеней свободы fu.
Найденную по формуле (2.75) величину В сопоставляют с кри-
терием %2, который берут из таблиц (см. приложение III) в зави-
симости от уровня значимости а и числа степеней свободы / =
= N' — 1, где N' — число дублируемых опытов. Ряд дисперсий
считается однородным в случае, если
В < Ха; N'-l-
(2.76)
Значение В, вычисленное по (2.75), всегда довольно сильно за-
вышено. Если оно сравнимо или немного превышает х«: n>—i> то В
уточняют по формуле
В*-=4"’	(2-77>
где
N \	/ N
I 1//и) — 1 / S fu
и— 1___/____/ Ц=1
3(Л/—1)
(2.78)
и снова сравнивают с Ха, n'-i-
Рассмотрим теперь случай равномерного дублирования опы-
тов (см. пример в п. 2.5.1). Здесь число повторений каждого опыта
одинаково: пи = п, поэтому формула (2.72) после преобразова-
ния:
«-oix
q2	и = 1
N(n— 1)	’
принимает вид
(2.79)
а формула (2.73) — вид
N п
Zj Zj (^«g ^")”
•	(2.80)
122

Знаменатель выражения (2.80) — число степеней свободы при
определении дисперсии S2V в случае равномерного дублирования:
/1 = N (п - 1).	(2.81)
Прежде чем пользоваться формулами (2.79) и (2.80), вновь не-
обходимо проверить однородность ряда дисперсий. При однород-
ном дублировании эту проверку проводят по критерию Кохрена.
Для этого определяют величину
Gpac.,= ^L_	(282)
(S^max — наибольшая в ряду дисперсия), которую сравнивают со
значением G-критерия, взятым из таблиц (см. приложение VI) в за-
висимости от уровня значимости а, числа степеней свободы Д п —
— 1 и числа опытов N. Ряд дисперсий считается однородным, если
,	Срасч < 6табл.	(2.83)
Закончив эксперимент, по формуле (2.16) в общем случае
или по формулам (2.11) или (2.12) в случае ортогонального пла-
нирования, рассчитывают коэффициенты регрессии.
Легко показать [29, 6], что все эти формулы справедливы
только при равномерном дублировании опытов плана или про-
ведении всех опытов без повторений. Если же опыты дублирова-
лись неравномерно или хотя бы один из параллельных опытов
при равномерном дублировании «потерян», нарушается ортого-
нальность плана, и указанными формулами пользоваться нельзя.
В этом случае условие эксперимента следует задавать матрицей X,
содержащей только неповторяющиеся строки, и квадратной диаго-
нальной матрицей Р «весов» измерений, под которыми понимают
число дублей:
Р =
0... 0
0 п«.• . 0
(2.84)
0 0 nN
а результаты опытов — матрицей средних арифметических зна-
чений отклика для каждого w-го опыта:
(2.85)
Тогда вместо уравнения (2.16) для расчета коэффициентов ре-
грессии можно пользоваться формулой, вывод которой приведен,
например, в работе [29]:
В = (ХТРХ)-1 (XTPY).	(2.86)
123

Пример применения этой формулы см. в п. 2.5.2.
Естественно, для того чтобы не нарушалась ортогональность,
опыты плана лучше дублировать равномерно.
л После расчета коэффициентов проверяют гипотезу об их ста-
тистической значимости.
Следует сказать, что процедура проверки статистических
гипотез в общем случае формально предусматривает сравнение
некоторого критерия, рассчитанного по экспериментальным дан-
ным, с его табличным значением при выбранном заранее уровне
значимости а или, что то же самое, доверительной вероятности
1 — а (если вероятности — в долях единицы). Уровень значи-
мости а по сути дела определяет наибольшую вероятность отверг-
нуть правильную гипотезу, т. е. наибольшую вероятность пред-
положения о том, что экспериментальный результат ошибочен.
Например, если уровень значимости выбирают равным 0,05 (что
очень часто делается в технических задачах), то это означает, что
допускается 5%-ная вероятность неверного решения и доверитель-
ная 95%-ная вероятность верного.	'
Если найденное по экспериментальным данным значение кри-
терия попадает в область, соответствующую уровню значимости,
то проверяемая гипотеза неверна и ее следует отвергнуть, совер-
шив ошибку с вероятностью а. Если же экспериментальное зна-
чение критерия попадает в область, соответствующую вероят-
ности 1 — а, то проверяемую гипотезу принимают, совершив
ошибку, связанную уже с альтернативной гипотезой.
Для проверки гипотезы о статистической значимости коэффи-
циентов регрессии прежде всего рассчитывают дисперсию оценок
коэффициентов. Делают это в общем случае по формуле (2.23),
а при ортогональном планировании — по формулам (2.27) или
(2.28).
Если опыты дублируются, ковариационная матрица ортогональ-
ных планов (2.26) имеет вид
0 ... 0 .. .sik
124

Отсюда, если число дублей одинаково и равно п, дисперсию
оценок коэффициентов рассчитывают по формуле
S2
Ч = -лГ^-’	(288)
п S
и=1
а при выполнении условия нормировки (2.2) по формуле
S2
<2-89)
Кстати, дисперсию S'yln часто называют дисперсией среднего
и обозначают S|.
При ортогональном планировании значимость коэффициентов
можно проверять двумя равноценными способами. В одном слу-
чае можно сравнить абсолютную величину коэффициента с его
доверительным интервалом, рассчитываемым по формуле
= /а; / So.,	(2.90)
где t — критерий Стьюдента, берется из таблиц (см. приложение II)
в зависимости от уровня значимости а и числа степеней свободы
при определении дисперсии опыта S^; Sb. — среднеквадратичная
ошибка в определении коэффициента регрессии.
Коэффициент считается статистически значимым, когда его
абсолютная величина больше доверительного интервала или равна
ему, т. е.
|6z|^Ao.	(2.91)
или
l^l^/So,..	(2.92)
Смысл последнего неравенства заключается в том, что абсолют-
ная величина коэффициента должна быть в t раз больше, чем
ошибка его определения.
В другом случае, значимость коэффициентов можно проверять
по /-критерию, рассчитывая его по формуле
/Расч = _|М .	(2,93)
Коэффициент значим, если /|>асч больше или равен /а;б/р т. е.
^расч^табл	(2.94)
Статистическая незначимость коэффициента интерпретируется
как отсутствие влияния соответствующего эффекта. Если модель
линейная и соответственно незначим линейный эффект, можно счи-
тать, что данный фактор в изученных интервалах его изменения
на отклик не влияет. При ортогональном планировании статисти-
126

чески незначимые коэффициенты из модели могут быть исключены,
при этом пересчет остальных коэффициентов не требуется.
Указанный способ построения доверительных интервалов для
каждого из коэффициентов в общем случае оценки их статистиче-
ской значимости является недостаточным. Строго говоря, сле-
дует оценивать совместную доверительную область одновременно
для всех коэффициентов [77, 38, 74, 20, 104, 53], которая и пред-
ставляет собой упоминавшийся в разделе 2.1 эллипсоид рассеяния
оценок коэффициентов регрессии. Доверительный интервал для
отдельного коэффициента можно тогда установить, если выбрать
некоторые фиксированные значения для остальных коэффициен-
тов. Поэтому при неортогональном планировании проверка ста-
тистической значимости коэффициентов является непростой зада-
чей. Тем не менее рекомендуется и в этом случае проверять гипо-
тезу о значимости коэффициентов по /-критерию [52, 77, 38, 104,
53 I. Другим способом упрощения модели путем исключения из нее
коэффициентов является последовательный регрессионный ана-
лиз [77, 38, 117].
Следующим этаном обработки данных является проверка
гипотезы об адекватности модели, т. е. поиск ответа на вопрос,
можно ли использовать полученное уравнение или необходима
более сложная модель.
Гипотезу об адекватности чаще всего проверяют с помощью
Г-критерия (критерия Фишера). Его расчетное значение опреде-
ляют по формуле
/2.11	\	'
‘и
В знаменателе этого выражения — дисперсия опыта S'g, оп-
ределенная с /j — числом степеней свободы, в числителе —
так называемая дисперсия неадекватности 5^еад, которую считают
по формуле
N
^2 (-^“расч ^"эксп) со
Знеад = —--------f--------- =		(2.96)
/2	/2
гдег/„ и уи —значения отклика в и-м опыте, соответственно
-'“расч -/“эксп
рассчитанные по уравнению регрессии и определенные эксперимен-
тально; Д, — число степеней свободы, определяемое как
/2 == У — k',	(2.97)
где k' — число оставленных коэффициентов уравнения (включая
Ьо), N — число опытов плана.
Таким образом, F — критерий, представляющий собой отно-
шение дисперсии неадекватности и дисперсии опыта, по сути дела
отвечает на вопрос, во сколько раз модель предсказывает хуже
по сравнению с опытом.
186

Гипотезу об адекватности уравнения принимают в том случае,
когда рассчитанное значение /’’-критерия не превышает таблич-
ного (см. приложение V) для выбранного уровня значимости,
т. е. когда
Ерасч ртабл_	(2 98)
Следует отметить, что формула (2.96) справедлива лишь при
отсутствии дублирования опытов в матрице планирования. При
этом для расчета F-критерия используют дисперсию S2y, опреде-
ленную по опытам, не входящим в план, например, дублируя опыты
в центре плана.
Если для определения S2y повторяют опыты плана, то числитель
формулы (2.96), назовем его SSIie.w, рассчитывают по-разному,
в зависимости от способа дублирования.
При неравномерном дублировании
N
55неад = 2 пи (Уирясч — У«ЭКсп)2>	(2.99)
и=1
где Р«эксп — среднее из п„ дублей u-го опыта.
При равномерном дублировании
55„еад = м (//ирасч ^«эксп)2‘	(2.100)
и=1
Если же дублируется только один опыт, например первый,
то:
w
55неад = (г/1расч - У1эксп)2+ £ (SacM- ^эксп)2- (2-101)
и =2
Гипотезу об адекватности линейного уравнения, построенного
по результатам полного или дробного факторного эксперимента
типа 2k или 2*~р, можно проверить и другим способом. Вспомним,
что в этом случае коэффициент Ьо всегда является оценкой
k
^o-Po + L IV
i=i
Но величина Ьо в свою очередь является, по сути дела, оценкой
результата опыта в центре плана, когда уровни всех факторов
в кодовом масштабе равны нулю. Поэтому, если выполнить опыт
на основном уровне, т. е. получить у0, и найти разность | Ьо — у01,
то эта величина является оценкой суммы квадратичных членов
типа Ьц в уравнении регрессии. Если разность | Ьо — у01 велика,
линейным уравнением пользоваться нельзя, если эта разность
мала, то возможность использования линейного уравнения не
исключена. Здесь следует иметь в виду, что коэффициенты Ьц
могут быть с разными знаками, а потому сумма их — небольшой
величиной.
127

Значимость различия между Ьо и у0 можно оценить по /-кри-
терию:
^расч ___|	— //о | 1 N
Sy
(2.102)
где Sy — среднеквадратичная ошибка опыта, определенная при
степенях свободы.
Гипотеза об адекватноеги уравнения не отвергается в случае,
когда
^расч < ^табл
(2.103
Примеры статистического анализа данных, полученных в раз-
ных ситуациях, см. в разделе 2.5.
В заключение отметим одну особенность задач технологии
металлов, которую необходимо учитывать при использовании ме-
тодов планирования экспериментов. При изучении влияния со-
става на свойства сплавов факторами являются элементы химиче-
ского состава. Следовательно, план эксперимента предусматри-
вает приготовление ряда сплавов определенного химического со-
става. Но готовить сплавы точно заданного состава (а этого тре-
буют предпосылки регрессионного анализа) не всегда просто.
В том случае, когда попадание в состав неудовлетворительно, как
и во всех остальных случаях непопадания факторов на заданный
уровень, можно попытаться учесть ошибки в определении факто-
ров.
Известно несколько решений данной задачи [68, 126, 14, 42].
Приведем конечные результаты одного из них [42].
В рассматриваемых ситуациях действительный уровень /-го
фактора в и-м опыте представляет собой
Х(
1и
и
(2.104)
и>
где xt — действительный уровень фактора; Xi — заданный уро-
вень; Hiu — ошибка попадания на заданный уровень; xi[t,
Hiu — в кодовом масштабе.
Если ошибки Е; в уровнях факторов xt не коррелируют ни
между собой, ни с намеченными уровнями факторов, то при ис-
пользовании полного 2fe или дробного факторного 2к~Р экспери-
мента коэффициенты моделей следует считать по формуле
N
1и^и
Ь- =-------—------------
и‘. N	N
U=1	и=1
(2.105)
128

или, с учетом условия нормировки (2.2),
V, X; U
lUJlt
--------	(2.106)
И=1
Дисперсии в определении скорректированных коэффициентов
рассчитывают из выражений
или, с учетом условия нормировки,
(2.108)
В качестве критерия целесообразности корректировки можно
использовать сопоставление остаточных дисперсий, рассчитан-
ных по формуле (2.96). Если остаточная дисперсия SoCT, корректи-
рованного уравнения оказывается меньше дисперсии SoCT! урав-
нения, построенного без учета ошибок факторов, данная корректи-
ровка будет целесообразна. Если дисперсии S§CTl и Soct2 соизме-
римы по своей величине, это означает, что непопадание на задан-
ные уровни факторов весьма незначительно сказывается на ве-
личине коэффициентов и корректировку можно не проводить.
Пример использования указанной выше корректировки при-
веден в п. 2.5.5.
Когда фиксация факторов на заданных уровнях происходит
с очень большими нарушениями, факторы (независимые перемен-
ные) можно считать случайными переменными, значения которых
меняются от одного опыта к другому в соответствии с некоторым
распределением. В этом случае следует вообще отказаться от ис-
пользования регрессионного анализа и воспользоваться, например,
конфлюентным анализом 155, 78].
2.5. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФАКТОРНЫХ
ПЛАНОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТЕХНОЛОГИИ МЕТАЛЛОВ
Использование различных планов, описанных выше, иллю-
стрируется в данном разделе примерами. Из многочисленных за-
дач технологии металлов, решенных с помощью планирования
эксперимента (см. например, библиографию в работе 14]), выбрано
5 Новик Ф С., Лрсов Я- В. 129

несколько, имеющих типовую постановку и методические особен-
ности решения. Основное внимание уделяется методическим во-
просам и в меньшей степени содержательному анализу получен-
ных данных.
Решение любой задачи с помощью методов планирования по-
следовательно проходит через неформализованные этапы и более
или менее формализованные. Примерами неформализованных
являются этапы постановки задач, принятия решения при выборе
зависимых и независимых переменных, выборе плана и стратегии
эксперимента, при интерпретации полученных моделей и т. д.
К формализованным этапам можно отнести процедуры составле-
ния выбранного плана эксперимента, расчета коэффициентов мо-
делей, проверки статистических гипотез, реализации методик тех
или иных способов оптимизации и т. п.
Опыт применения методов планирования для решения самых
разных задач, в том числе и технологии металлов, показал, что
успех чаще всего определяется действиями все-таки на этапах
неформализованных. Это важно иметь в виду, поскольку в приве-
денных ниже примерах неформализованные этапы подробно рас-
сматриваться не будут. Цель этих примеров, как и книги вообще, —
показать способы действий на формализованных этапах. Решения
же на неформализованных этапах в каждом конкретном случае
свои, они определяются физико-химическим смыслом решаемой
задачи. Описать их для всех случаев невозможно, да и интерес
они представляют только для специалистов в данной конкретной
области техники. Вряд ли, например, литейщику интересно чи-
тать подробное описание различных аспектов решения задачи из
области обработки металлов давлением Заинтересовать его могут
только те моменты, которые помогут решить свою задачу, а эти
моменты, прежде всего, методические.
Описание примеров приведено с разной степенью подробности,
причем подробность описания уменьшается от первых примеров
в данном разделе к последним. Дело в том, что каждая процедура
анализа данных подробно рассмотрена только в том примере, где
впервые используется. Поэтому рекомендуется просмотреть все
примеры, обращая внимание на постановку задач и особенности
их решения. Очень полезно также повторить все вычисления, для
чего достаточно использовать ЭК.ВМ.
2.5.1. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОЛНОГО ФАКТОРНОГО
ЭКСПЕРИМЕНТА 24 С РАВНОМЕРНЫМ
ДУБЛИРОВАНИЕМ ОПЫТОВ
Использование планов полного факторного эксперимента типа
2k проиллюстрируем следующим примером.
Изучали зависимость некоторых литейных и механических
свойств синтетического чугуна, предназначенного для литья в ко-
130

киль, от состава сплава по основным компонентам, условий
перегрева и модифицирования [56 |.
В качестве независимых переменных были выбраны: содержа-
ние в чугуне кремния (XJ, углерода (Х2); температура перегрева
(Х3) и модифицирования, она же заливки (Х4). Зависимыми пере-
менными являлись различные литейные и механические свойства
чугунов, но будет рассмотрено построение модели только для их
жидкотекучести, определявшейся по спиральной пробе (у).
Локальную область определения факторов установили из
априорных соображений. Было решено варьировать каждый из
факторов на двух уровнях. Интервалы варьирования факторов и
их значения в натуральном масштабе на основном, верхнем и ниж-
нем уровнях указаны в табл. 2.22.
Таблица 2.22. Уровни факторов *
Факторы	A', (Si, %)	Х2(С, %)	Аз('пер. °с)	Д ('мод- °с)
Основной уровень (Хг )	0,75	3,0	1575	1450
Интервал варьирования (АХ,-)	0,25	0,5	25	50
Верхний уровень (х, — 1)	1,0	3,5	1600	1500
Нижний уровень (х, = = -1)	0,5	2,5	1550	1400
В соответствии с формулой (1.24) кодированные значения фак-
торов (х,) связаны с натуральными (Л\) соотношениями
Xi —0,75.	, Х2 —3.	.	X..)—1575.	Х4—1450
Х1 ~~ 0,25 ’ А’2 — 0,5 ’	25	’	50
Для получения возможно более полной информации об изучае-
мых зависимостях решили воспользоваться полным факторным
экспериментом 24. План эксперимента в кодовом и натуральном
масштабах записан в табл. 2.23.
В соответствии с выбранным планом было выполнено рандо-
мизирование во времени 16 опытов; порядок реализации указан
в табл. 2.23. Каждый опыт повторяли 3 раза.
Шихтой для приготовления чугунов служили отходы углероди-
стых сталей. Плавки вели в набивных тиглях с кислой футеровкой
в высокочастотной индукционной печи МГП-50; продолжитель-
ность каждой плавки примерно 1,5 ч; время перегрева не превы-
шало 10 мин. Во всех случаях шихту науглероживали электрод-
ным порошком, загружавшимся вместе с шихтой в холодную
печь. Чугуны модифицировали в ковше силикокальцием (0,5% Si).
Результаты экспериментов (средние из трех опытов) приведены
в последних столбцах табл. 2.23.
5*	131

Таблица 2.23. План 2’ и результаты опытов
Номер опыта	Порядок реализа- ции	Кодовый масштаб				Натуральный масштаб				у (жид- коте- ку- честь, мм)
		АД	х2	*3	ад	*1 (Si, %)	(% '□) гх	и" о О. о	СТ о о	
1	9	+	+	+	+	1	3,5	1600	1500	970
2	2	—	+	+	4-	0,5	3,5	1600	1500	800
3	7	+	—	+	+	1	2,5	1600	1500	640
4	1		—	+	+	0,5	2,5	1600	1500	550
5	13	+	+	—.	+	1	3,5	1550	1500	890
6	14	—	+	—	4-	0,5	3.5	1550	1500	750
7	3	+		—	+	1	2,5	1550	1500	600
8	6		—	—	4-	0,5	2,5	1550	1500	500
9	И	+	+	+	—	1	3,5	1600	1400	420
10	16 *		+	+	—	0,5	3,5	1600	1400	680
11	10		—	+	—	1	2,5	1600	1400	380
12	12	—	—	+	—	0,5	2,5	1600	1400	340
13	8	+	4-		—	1	3,5	1550	1400	390
14	4		+	—	—	0,5	3.5	1550	1400	620
15	5	+		—	—	1	2,5	1550	1400	300
16	15		—	—	—	0,5	2,5	1550	1400	320
Покажем последовательность обработки результатов экспери-
мента, в данном случае равномерного дублирования опытов.
1. Расчет дисперсии опыта. В табл. 2.24 при-
ведены результаты определения жидкотекучести во всех трижды
повторенных 16 опытах. Для каждого опыта по формуле (2.71)
рассчитана построчная дисперсия Sy .
Проверили однородность ряда построчных дисперсий, для
чего по формуле (2.82) рассчитали величину критерия Кохрсиа.
N
В данном случае .Sy --= 2950; Sy max = 475; поэтому Ср,,сч =
и =1
=--= 475/2950 =-= 0,16. При а = 0,05, числе степеней свободы f =
= п — 1 — 2 и числе опытов N = 16, табличное значение G-кри-
терия: Gj^ 2; 16 -= 0,322 (взято из приложения VI линейной ин-
терполяцией). Поскольку выполняется условие (2.83), т. е. Gpac" =
= 0,16 < 0,322	G™(65? 2; 16, ряд дисперсий можно считать одно-
родным. Поэтому по формуле (2.79) рассчитали дисперсию опыта
SI = 2950/16	184,4 и по формуле (2.81) число степеней сво-
боды f1 = 16(3 — 1) = 32. S2y можно рассчитать и по (2.80).
2. Расчет коэффициентов регрессии. В дан-
ном случае можно построить модель:
У = Ь0-\- £ Mz+ Е bijxixi	+
l^i<4
Г ^1234^1^3^4-
132

Таблица 2.24. Расчет дисперсии опыта
Номер опыта и	Номер дубля g	Жидко- теку- честь, мм у	У	87, У и	Номер опыта и	Номер дубля Я	Жидко- теку- честь, мм у	У	S2 ЬУи
	1	990				1	410		
1	2	960	970	300	9	2	420	420	100
	3	960				3	430		
	1	785				1	655		
2	2	810	800	175	10	2	695	680	475
	3	805				3	690		
	1	640				1	385		
3	2	650	640	100	11	2	390	380	175
	3	630				3	365		
	1	565				1	350		
4	2	545	550	175	12	2	340	340	100
	3	540				3	330		
	1	895				1	405		
5	2	875	890	175	13	2	375	390	225
	3	880				3	390		
	I	765				1	635		
6	2	745	750	175	14	2	615	620	175
	3	740				3	610		
	1	610				1	290		
7	2	590	600	100	15	2	315	300	175
	3	600				3	295		
	1	500				1	330		
8	2	515	500	225	16	2	320	320	100
	3	485				3	310		
Для расчета коэффициентов этой модели в табл. 2.25 приведена
расширенная матрица планирования и результаты опытов (сред-
ние из трех). Коэффициенты подсчитали по формуле (2.12). Их
значения оказались следующими:
bti = 571,9; by =- 1,9; b2 = 118,1; Ь3 = 25,6;
= 140,6; by., = —24,4; bl3 = 3,1;	= 60,6; b23 =1.9;
b2i = 21,9; bM = 1,9; 6123 = —3,1; bl2i = 39,4;
bisi = —0,6; b.,3l = 3,1;	= 8,1,	-
133

Таблица 2.25 Расширенная матрица плана 24
равномерное дублирование опытов, дисперсию оценок коэффи-
циентов рассчитали по формуле (2.89): S2b. = 184,4/3-16 =- 3,84.
Соответственно среднеквадратичная ошибка S/,. = 1,96.
Далее, выбрали уровень значимости а -= 0,05 и, взяв при числе
степеней свободы = 32 из приложения II табличное значение
/-критерия to,об; за = 2,04, по формуле (2.90) подсчитали довери-
тельный интервал коэффициентов регрессии:
Д&/ = 2,04-1,96-4,0.
Коэффициенты, абсолютная величина которых равна довери-
тельному интервалу или больше его, следует признать статисти-
чески значимыми. В данном случае это b0, b2, b3, bit bl2, bu, b2i,
/д24 и b1234. Статистически незначимые коэффициенты (в данном
случае blt b13, b23, b3i, b123, b13i и Z?234) из модели можно исключить.
Итак, после реализации полного факторного эксперимента 21
получено следующее уравнение регрессии:
у = 571,9 + 118,1х2 + 25,6.г3	140,6х4 — 24,4.г4х2
+ 60,6х4х4 + 21,9х2х4 + 39,4х4х2х4 + 8\x1x2x3xi.	(2.109)
4. Проверка адекватности модели. Прежде
всего определили с помощью построенного уравнения (2.109)
расчетные значения отклика. Напомним, что все Х[ в данное
уравнение входят в кодовом масштабе. Поэтому, если, например,
условия 4-го опыта (см. табл. 2.25) лу ----- -1, х.г - —1, х3 —
134

— -|-1, х4 = -l-i, то расчетное значение жидкотекучести в этом
опыте
z/(4) = 571,9 — 118,1 + 25,6 + 140,6 — 24,4 — 60,6 —
— 21,9 -| 39,4 -1 8,1 = 561 мм.
Подсчитанные таким образом значения жидкотекучести при-
ведены в табл. 2.26. Данные этой же таблицы использовали для
определения дисперсии неадекватности. Поскольку дублирование
опытов было равномерным, использовали формулу (2.100): Знеад =
= 3-664/7 = 284,6.
Таблица 2.26. Сопоставление экспериментальных
и рассчитанных данных
Номер	У и мэксп		1 Д//1		Номер				
опыта и		^мрасч		Л</2	опыта и	^"эксп	^Ырасч	1 Ар 1	А у2
1	970	962	8	64	9	420	421	1	1
9	800	795	5	25	10	680	686	6	36
3	640	636	4	16	11 12	380 340	372 350	8 10	64 100
4	550	561	11	121	13	390	386	4	16
5	890	895	5	25	14	620	618	2	4
6	750	759	9	81	15	300	305	5	25
7	600	601	1	1	16	320	314	6	36
8	500	493	7	49					
					Е			| 664	
Построенная модель (2.109) включает девять коэффициентов,
поэтому по формуле (2.97) число степеней свободы /2 = 16 — 9 = 7.
Гипотезу об адекватности модели (2.109) проверим по критерию.
Его расчетное значение по формуле (2.95): F'y™? = 284,6/184,4 =
=--- 1,54.
При уровне значимости а = 0,05 табличное значение Г-крите-
рия (см. приложение V) Го.ов^зз = 2,34.
Поскольку Грасч < Г’”6'1, гипотеза об адекватности модели
(2.109) при 5%-ном уровне значимости не отвергается.
I 5. А н а л и з модели. Прежде всего отметим, что все
соображения о направлении и силе влияния изученных факторов
на жидкотекучесть чугуна можно высказать только для выбран-
ных в работе интервалов их изменения. В этих интервалах оказа-
лось заметно слабым влияние на жидкотекучесть содержания крем-
ния самого по себе, соотношений между температурой перегрева и
содержанием углерода, кремния и температурой модифицирова-
ния, а также всех тройных эффектов, в которые входила темпера-
тура перегрева. В целом, из всех изученных факторов эту темпера-
туру можно считать, пожалуй, самой слабо влияющей.
Относительную силу влияния остальных эффектов легче всего
представить себе на диаграмме, где величина каждого коэффи-
135

Рис. 2.2. Относительная сила
влияния факторов и их вза-
имодействий (заштриховано
для положительных коэффи-
циентов, не заштриховано
для отрицательных)
циента обозначена стол-
биком соответствующей
высоты (рис. 2.2). Заштри-
хованы здесь столбики,
для которых коэффициенты
положительны, не заштри-
хованы— для коэффициен-
тов отрицательных.
Из анализа рис. 2.2
видно, что наиболее сильно
жидкотекучесть изучен-
х2 х2 х4 х,х2 х,х, х2х, х,х2х4 х,х2х2х, ных чугунов зависит от
с tn tu Sb-c sb-tu	температуры модифициро-
--------------------------------вания (х4) и содержания
в чугуне углерода (х2).
Заметно влияют соотношения между количеством кремния и темпе-
ратурой модифицирования (х^) и тройное взаимодействие между
содержанием кремния, углерода и той же температурой (x4x2x4).
Остальные эффекты слабы.
1 Если бы теперь, например, требовалось выбрать уровни
факторов, обеспечивающие в изученной области их изменения
возможно более высокую жидкотекучесть чугуна, то проще всего
это было бы сделать с помощью того же рис. 2.2. Действительно,
как следует из-этого рисунка, наиболее высокая жидкотекучесть
будет в том случае, когда все факторы окажутся на уровне | 1.
Такой опыт был уже реализован в матрице планирования (табл.
2.23, опыт 1). Синтетический чугун с 1,5% Si (0,5% Si введено при
модифицировании) и 3,5% С, перегретый до температуры 1600° С,
а затем модифицированный и разлитый с температуры 1500° С
имел жидкотекучесть 970 мм.
2.5.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДРОБНОЙ РЕПЛИКИ 24"1
С НЕРАВНОМЕРНЫМ ДУБЛИРОВАНИЕМ ОПЫТОВ
И КРУТОЕ ВОСХОЖДЕНИЕ
Изучали влияние режимов термической обработки на жаро-
прочность никелевого сплава ХН77ТЮР (ЭИ437Б). В качестве
факторов выбрали температуру закалки (2G), время выдержки при
нагреве под закалку (Х2), температуру (Х3) и время (Х4) старения.
Зависимой переменной (у) служило время до разрушения цилинд-
рических образцов, испытываемых на растяжение при температуре
700° С и напряжении 3,33 ГПа (34 кгс/мм2).
136

Локальную область определения факторов выбрали, осно-
вываясь на известных данных о термической обработке рассматри-
ваемого сплава [69].
Было решено варьировать факторы на двух уровнях. Эти
уровни, а также значения основных уровней и интервалов варьи-
рования приведены в табл. 2.27. В соответствии с формулой
(1.24) в данном случае кодированные значения факторов (х,)
связаны с натуральными (X,) соотношениями
%! —1030
30
Х3 — 700 .
Хз 50
- 16
И =	---
2
Полный факторный эксперимент для четырех факторов должен
включать 16 опытов. Для сокращения объема экспериментальной
работы решили воспользоваться полурепликой 24”1, содержащей
8 опытов. Выбрали план 2*' с определяющим контрастом I =
=	который обеспечивает получение оценок линейных
эффектов факторов, смешанных с эффектами тройных взаимодей-
ствий; эффекты парных взаимодействий смешаны между собой.
Таким образом, после реализации выбранного плана можно
построить следующую линейную модель:
4
y-=b0+% biXi.	(2.110)
1=1
План эксперимента в кодовом масштабе указан в табл. 2.27.
Здесь для факторов хъ х2 и х3 записан полный факторный экспе-
римент 23, а х4 х1Х2хя.
В соответствии с этим планом было выполнено восемь опытов,
причем большинство из них дублировали (табл.  2.27). Опыты
дублировали неравномерно. Первый опыт повторили 3 раза,
третий — 2, пятый — 4 нт. д.
Технология изготовления изделий из этого сплава предусмат-
ривает дополнительную операцию между закалкой и старением,
состоящую в нагреве до 1000° С и выдержке при этой температуре
в течение 20 ч, что способствует коагуляции карбидных частиц как
по границам, так и в теле зерна. Режим указанной операции во
всех опытах был постоянным. Испытания осуществляли на спе-
циальной установке, позволяющей очень быстро нагревать об-
разцы до рабочей температуры.
С учетом дублирования, всего провели 20 опытов. Их резуль-
таты приведены в табл. 2.27. Здесь указаны как результаты всех
дублей, так и средние значения для каждого опыта.
Покажем последовательность обработки результатов экспе-
римента при использовавшемся в данном случае неравномерном
дублировании опытов.
1. Расчет дисперсии опыта. Схема расчета диспер-
сии опыта показана в табл. 2.28.
137

Т а б л и ц а 2.27. Планирование эксперимента при выборе режима
термической обработки сплава ХП77ТЮР
Факторы		Темпе- ратура закалки, °C (X.)	Время выдержки при за- калке, ч. (Х2)	Темпе- ратура старения, °C (Х3)	Время старения, Ч (X,)	Время до разруше- ния (ч) при 700° С и 3,33 ГПа			
						(34	кгс/м		м2)
Основной уро- вень (XJ Ин тервалы варьирования (АХ,) Верхний уро- вень (X; = 4-1) Нижний уро- вень (Xj =—1)		1030 30 1060 1000	6 2 8 4	700 50 750 650	16 2 18 14				
Номер	Номер	Код				!l,lS			
опыта и	дубля g	Xl	х2	А'З	х.				У и
1	1 2 3	+ 4- +	+ + +	ч- +	+ -h+	210 230 280		240	
2	—	—	+		—	180		180	
3	1 2	ч- +	—	ч- 4-	—	230 170		200	
4	—	—	—	+	4-	90		90	
5	1 2 3 4	ч- + 4- 4-	++++	—	—	280 220 240 220		240	
6	1 2 3	—	+ + +	—	Ч-++	200 150 160		170	
7	1 2	+ +	—	•—	4- +	260 200		230	
8	1 2 3 4	—	—	—	—	110 90 150 90		НО	
138

Таблица 2.28. Расчет дисперсии опыта
Номер опыта и	Номер дубля g	Ч	У и	1у+ м	fu	SHu	fu lg syu
1	1 2 3	210 230 280	240	30 10 40	о	1300	6,2279
3	1 2	230 170	200	30 30	1	900	2,9542
5	1 9 3 4	280 220 240 220	240	40 20 0 20	3	800	8,7093
6	1 2 3	200 150 160	170	30 20 10	2	700	5,6902
7	1 2	260 200	230	30 30	1	900	2,9542
8	1 2 3 4	110 90 150 90	ПО	0 20 40 20	3	800	8,7093
							35,2451
Вначале для каждого опыта по формуле (2.71) рассчитали
построчную дисперсию затем по формуле (2.72) — дисперсию
опыта S’y:
2-1300 + 900 + 3-800-|- 2-700 + 900 + 3-800 ооо „
—	io	—= 000,0.
Далее проверили однородность ряда построчных дисперсий,
для чего по формуле (2.75). рассчитали критерий Бартлетта.
В данном случае
lgS3= 2,9461; 12=12; Г Д 1g 35,2451;
И=1	И = 1	"
поэтому
В = 2,3026 (2,9461 • 12 — 35,2451) = 0,25.
При а = 0,05, числе степеней свободы f = (N' — 1) = 6 —
- - 1 =5 (дублировали только шесть из восьми сделанных опытов),
табличное значение %3-критерия, взятое из приложения III
X'j.05; s = 11,1- Поскольку выполняется условие (2.76), т. е.
0,25 < 11,1, ряд дисперсий можно считать однородным.
139

Итак, дисперсия опыта S'2y = 883,3 при Д = 12.
2. Расчет коэффициентов регрессии. Исполь-
зовать для расчета коэффициентов модели (2.110) формулу (2.12)
в данном случае нельзя, поскольку опыты дублировались неравно-
мерно. В связи с этим пришлось воспользоваться формулой (2.86):
B = (XTPX)^(XTPY).
Введем вначале матрицу весов Р (2.84), на диагонали которой
стоят числа повторных опытов (дублей):
3	0	0	0	0	0	0	0 j
0	1	0	0	0	0	0	0
0	0	2	0	0	0	0	0
0	0	0	1	0	0	0	0
Р= 0	0	0	0	4	0	0	0
0	0	0	0	0	3	0	0
i00000020|
0	0	0	0	0	0	0	4
Образуем теперь последовательно матрицы:
11111
1-1 1	1—1
1 1—1	1-1
1	—1	—1 1 1
1 1 1	—1	-1
1-1 1—1 1
!'	1 1	—1	—1 1
ii	1	—1	—1	—1	—1
1111
1 —1 1 -1
1 1 -1 -1
1111
1—1—1 1
1111
1—1 1—1
1 1-1-1
—1 —1 -1 -1
—1 1 1—1
хтр =
3
3
3
3
3
1
—1
1
1
- 1
2	1	4
2—1	4
—2	—1	4
2	1	—4
—2	1	1
3	2	4
—3	2	—4
3 —2 —4
—3 —2 —4
3	2	—4
140

	20	2	2	—6	—2
	2	20	4	4	0
XqPX	2	4	20	0	4
	-Т	4	0	20	4
	—2	0	4	4	20
Основная вычислительная трудность связана с получением
обратной матрицы (ХТРХ) '. Проще всего это сделать на ЭВМ, но
во многих случаях можно использовать также ЭК.ВМ.
Покажем способ получения обратной матрицы с помощью
расчленения на подматрицы 11051.
Представим матрицу (ХТРХ) в виде
ХТРХ
20	о	2	- 6	—2
2	20	4	4	0
2	4	20	0	4
- 6	4	0	20	4
-2	0	4	4	20
А В
С D
10 1	1 10	1 2	—3 2	- 1 0
1	2	10	0	2
—3	2	0	10	2
— 1	0	2	2	10
(А и D — обязательно квадратные подматрицы).
Тогда обратная матрица (ХТРХ)4 имеет вид
(хг₽х> =l!v W
где Т = (А — BD-1C)_’; U = —TBD1; V = - D’CT; W =D ’ —
— VBD1.
Проводить расчеты по этим формулам лучше всего последова-
тельно, определяя матрицы D ’; D ’C; BD ’С; (А - BD ’С); Т
= (A BD ’С) BD U — TBD V — D ’CT; VBD1; W -
(D ' VBD’). Выполним эту последовательность.
а) Матрица D-1;
найдем ее по формуле (2.17).
10	0	2
Матрица D =
0 10
2 2
имеет определенность | D | = 920.
2
10
141

Заменим каждый элемент
дополнениями:
96
4
—20
матрицы D его алгебраическими
4 - 20
96 —20
—20	100
и транспонируя ее, получим
присоединенную матрицу Dv:
Dv
96
4
—20
—20
100
Таким образом, по формуле
D~|	..J_£)v _ _J—
| b |	920
4
96
—20
(2.17)
96
4
—20
4
96
—20
—20
—20
100
24
230
24
б) Матрица D 'С:
D 1С -= -230
1
230
52
— 132
в) Матрица
В D'HI:
BD'C
г) Матрица
24
1
1
24
—5
—5
100
100
—40
2
—6
—2
26
—66
4
4 =
0
50
50
—20
1
ТТ5
(А — BD-1C):
il 10
—66
— 15
50
50
|| 239
II —80
—80
—200 ’
1 I
10 । ’
911
_ 2
~ H5 195
д) Матрица T — (A — BD-1C)-1.
Определитель прямой матрицы
2 I!
115 il
195 II
950 |j'
239
—80
—80
200
А - BD-1C = 22'Х425
о
— 1
0
2
присоединенная матрица:
о
(А - BD ’QV „ -А-
950 —195
— 195	911
142

поэтому по формуле (2.17)
Т == (Д _ BD Ч.) 1 =
(А — В!)~‘С)7
[ А — BD-iC |
115
2-827 425
950
— 195
-195
911
1
14390
950
— 195
— 195
911
или
	Т =	0,0660 —0,0136	—0,0136 0,0633	
е) Матрица В	D 1: 1 * —	-3 —1	24 1	1 —5
BD1 2	2	2	0	-±_ 1 230 —5	24 —5 = -5	25
] I 26 —66 — 15
115 50	50 —20
ж) Матрица 11 = —TBD
U = —TBD 1
14390
950
— 195
— 195
911
, [126 —66 -15
ПУ j 50	50 —20
1
14390
— 130
-352
630	90
-508 133
1
или
-0,0090	0,0438 0,0063
—0,0245 —0,0353 0,0092
з) Матрица V — — D ЧТ:
V = - D'CT =--X-
26 50
—66 50
-15-20
1	950	—195 ||	
14390	— 195	911	
1
14390
— 130
630
90
—352
—508
133
или
V =
—0,0090
0,0438
0,0063
—0,0245
—0,0353
0,0092
ИЗ

и) Матрица VBD
VBD 1 —5— v	14390	-130 —352 630 —508 90	133	1 ' 115	26 50	—66 50	—15 —20	—
	—20980	—9020		8990		
	—9090	—66980		710		
14390115 8990		710 -		-4010		
к) Матрица W — D 1 — VBD
	24	1	—5	
W = D'1 — VBD'1 —	1	24	—5	—
	—5	—5	25	
1	—20980 —9020 8990	—9020 —66980 710	8990 710 —4010	=
14390-115				
	1684	141	—391	
1	141	2084 —319	319	
" 14390 —391			1599	
или
	0,1170	0,0098	—0,0272
w =	0,0098	0,1448	—0,0222
	—0,0272	-0,0222	0,1111
Таким образом, обратная матрица (ХТРХ)"имеет вид
(ХТРХ)-1 =
	0,0660 — 0,0136	—0,0136 0,0633	—0,0090 —0,0245	0,0438 —0,0353	0,0063 0,0092
	—0,0090	-0,0245	0,1170	0,0098	—0,0272
	0,0438	—0,0353	0,0098	0,1448	—0,0222
	0,0063	0,0092	—0,0272	—0,0222	0,1111
Структура этой матрицы четко свидетельствует о нарушении
ортогональности плана, а потому о невозможности применять
в данном случае стандартные для расчета коэффициентов в случае
ортогонального планирования формулы (2.11) и (2.12).
144

Наконец, матрица X’PY имеет вид
	Д Уч 4 2уя - 'г у у-\ 4уь 4 Зув 4 2у7 \ 4ys		3760
	ЗУх- р24 2р3- у у | 4у.а - Зув 4 2у7 - 4у,		1320
XTPY =	ЗУ1 4 У2 - 2у3 - У у 4 4уя 4 Зув - 2у7 - 4ys	—	980
	ЗУ14 Уг 4 2Уз -4 У А — 4ул - Зу6 — 2у7 - 4ys		—980
	Зуу - у2 - 2у9 г у у - 4р5 4 Зув 4 2у7 - 4 4		—200
В результате имеем
В		(XTPX)~‘(XTPY) =			
		0,0660	—0,0136	—0,0090	0,0438	0,0063 —0,0136	0,0633	—0,0245	—0,0353	0,0092 —0,0090	- 0,0245	0,1170	0,0098	—0,0272				
	0,0438 —0,03 0,0063	0,0С	53	( 92 —С 3760 1320 980 —980 - 200	ТЕ	4	см	оо -	о	4	4	4	о о	о	4	4^	1	od 1	II	II	II	II	II © wH М rt ОО	CM	О	О о	- О	СЧ о	о	3 —0,0222 2	0,1111	(2.111)
Для сравнения рассчитаем коэффициенты по стандартной
формуле (2.12) без учета дублирования опытов. Получившиеся
при этом величины
Ь„ -- 182,5; by - 45,0; b2 - 25,0; Ь3 = —5,0;
by - 0
заметно отличаются от значений (2.111).
Общая схема обработки данных предполагает после расчета
коэффициентов оценку их доверительных интервалов и проверку
статистической значимости. В данном случае матрица (ХТРХ)-1
недиагональна, поэтому установление доверительных интервалов
коэффициентов, как было показано выше, непростая задача.
Указанное обстоятельство привело к решению включить в модель
все коэффициенты.
Итак, было получено следующее уравнение регрессии:
у — 177,2 4 41,2лгх 4 44,3х2 — 9,8х3 4 8,7х4.	(2.112)
3. Проверка адекватности модели. Диспер-
сию неадекватности, в данном случае неравномерного дублировд-
145

ния опытов, подсчитали по формуле (2.96), числитель которой
считали по (2.99).
Значения уи определенные по полученному уравнению,
указаны в табл. 2.29. Там же приведены все данные, необходимые
для расчета SleaA.
Таблица 2.29. Сравнение экспериментальных данных
с расчетными
Номер опыта	^эксп	//расч	1 А</1	Л У2	"и	«н А.'/
I	240	262	22	484	3	1 452
2	180	1С2	18	324	1	324
3	200	156	44	1936	2	3 872
4	90	91	1	1	1	1
5	240	264	24	576	4	2 304
6	170	199	29	841	3	2 523
7	230	193	37	1369	2	2 738
8	НО	93	17	289	4	1 156
V						14 370
Поскольку модель (2.112) включает k' == 5 коэффициентов,
число степеней свободы по формуле (2.97) f2 = 8 — 5 = 3.
Таким образом, дисперсия неадекватности равна Sf,eaA --
= 14370/3 = 4790.
Расчетное значение F-критерия по формуле (2.95) Fp3d.C|42 =
= 4790/883,3 - 5,42.
При уровне значимости а - 0,01 табличное значение F-крите-
рия з;12 -6,10 (определено линейной интерпретацией из
приложения V).
Поскольку Арасч < /?табл, гипотеза об адекватности модели
(2.112) при 1%-ном уровне значимости не отвергается.
4. Крутое восхождение по поверхности
отклика. Анализ уравнения (2.112) показывает, что жаро-
прочность сплава в изученных условиях в основном определяется
режимом закалки. Старение при температурах 650—750° С в тече-
ние 14—18 ч влияет на время до разрушения заметно меньше.
Далее, методом крутого восхождения была предпринята по-
пытка повысить жаропрочность сплава.
Идея крутого восхождения была уже описана во введении.
Было доказано [129], что движение из некоторой точки внутри
изученной области в направлении наибольшей производной функ-
ции отклика по направлению, т. е. в направлении градиента —
кратчайший путь к экстремуму. При наличии линейной модели
для осуществления движения но градиенту значения факторов
необходимо изменять пропорционально величинам коэффициентов
bv Ь2, .... Ьк с учетом их знака.
146

Шаги в изменении факторов рассчитывают в натуральном
масштабе. Для этого вначале определяют произведения коэффи-
циентов на соответствующие интервалы варьирования факторов,
т. е. Ь^Ха затем уже назначают шаги пропорционально этим
произведениям.
Величины ЬДХ{ для данного случая подсчитаны в табл. 2.30.
Здесь же указаны все последующие этапы крутого восхождения.
Таблица 2.30. Крутое восхождение
Факторы	Темпе- ратура закалки, (X.)	Время выдержки при за- калке, ч (Х2)	Темпе- ратура старения, С (X:t)	Время старения, ч (X,)	Время (ч) до разру- шения при 700° С и 3.33 ГПа (34 кге/мм2)
bl	41,2	44,3	—9,8	8,7	
bibXt	1236	88,6	—490	17,4	
Шаг	10	0,72	—3,96	0,14	
Шаг после округления	10	0,75	—5	0,2	
X,-	1030	6	700	16	
1 0					
Мысленный опыт	1040	6,75	695	16,2	
Реализованный опыт 1	1050	7,5	690	16,4	220
Мысленный опыт	1060	8,25	685	16.6	
То же	1070	9	680	16,8	
»	1080	9,75	675	17	
»	1090	10,5	670	17,2	
Реализованный опыт 2	1100	10,5	665	17,4	280
»	» 5	1110	10,5	660	17,6	310
»	» 4	1120	10,5	655	17,8	260
Мысленный опыт	ИЗО	10,5	650	18	
То же	1140	10,5	650	18,2	
Реализованный опыт 3	1150	10,5	650	18,4	110
Пользуясь величинами bL\Xi, определили шаги в изменении
факторов следующим образом. Из технологических соображении
выбрали шаг в изменении температуры закалки 10° С (Ах = 10).
Шаги для остальных факторов получили из пропорций
bt АХх _ Аг . b, ДХ2	Л2 ’		88,6 10 п	п „г А-. = —— — 0,/2 ч « 0,/5 ч; 1236
г>1 АХ, _ At . Ь‘3	^3	А3 =	= 3,96° С « 5 °C;
1>! АХ', _ А, . b, AX , ~ Л, ’	17 4 • 1 0 А.,= -ШДДк=0,14 ч«0,2 ч. *	1236
Затем, прибавляя (со своими знаками) шаги к значениям
факторов на основном уровне, записали серию опытов (их часто
называют «мысленными»), в которых ожидалось увеличение вре-
147

Мени до разрушения сплава ХН77ТЮР при температуре 700 °C
и напряжении 3,33 ГПа (34 кгс/мм2). При записи условий мыслен-
ных опытов учтено то обстоятельство, что из физико-химических
соображений температуру закалки не имеет смысла повышать
выше 1150° С, время выдержки при закалке не должно быть более
10—11 ч, а температуру старения нельзя снижать ниже 650 °C.
По достижении указанных уровней соответствующие факторы
переставали менять.
Некоторые из мысленных опытов реализовали. Порядок реали-
зации виден из табл. 2.30. Цель (экстремум) как бы брали в вилку.
Из выполненных вначале опытов 1, 2 и 3 лучшим оказался опыт 2.
В нем уже было получено значение времени до разрушения выше,
чем в лучших опытах матрицы планирования (см. табл. 2.27).
Реализованные затем опыты 4 и 5 показали, что при закалке
с температуры 1110° С после 10,5-часовой выдержки и старении
при температуре 660° С в течение 17,6 ч время до разрушения
сплава ХН77ТЮР при температуре 700° С и напряжении 3,33 ГПа
(34 кгс/мм2) оказалось равным 310 ч, что существенно больше по
сравнению с опытами, указанными в табл. 2.27.
2.5.3.	ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДРОБНОЙ РЕПЛИКИ 2К~:*
С ДУБЛИРОВАНИЕМ ОПЫТОВ В ЦЕНТРЕ
И КРУТОЕ ВОСХОЖДЕНИЕ
Изучали процесс жидкостного борирования цементированной
железной металлокерамики 198 j. Целью этой химико-термической
обработки является повышение поверхностной твердости и износо-
стойкости металлокерамических деталей, изготовленных из желез-
ного порошка и использующихся главным образом в инструмен-
тальной оснастке. Предварительная цементация проводится с целью
повышения общего комплекса свойств.
В качестве факторов выбрали температуру борирования (Х4);
количество силикокальция марки СК.10, который вводили в расплав
Na2B4O7 + В2О3 -г- NaCl сверх 100% (Х2); размер гранул силико-
кальция (Х3); количество В2О3 (Х4); количество NaCl (Х5); время
насыщения (Хв). Зависимой переменной (у) служила характери-
стика износа образцов, определявшаяся на машине типа Шкода—
Савина по стандартной методике. Было решено факторы варьиро-
вать на двух уровнях. Значение факторов на основном, верхнем
и нижнем уровнях, а также интервалы варьирования приведены
в табл. 2.31. В данном случае значения факторов в кодированном
(х4) и натуральном (/Х4) масштабах связаны соотношениями
Хг — 1000 .	_ Х4 — 25.
-Ц 50	> л4 —	25 ,
Х2 —20 .	Х3 —15 .
Х2 =-	1()	, Х5 5
Х3 —0,50 .	Х6 —3
-% -	о,25	,	-% —	]
148

Табл и ц а 2.31 Планирование эксперимента при изучении
борирования металлокерамики
Факторы	Тем- пера- тура, °C	Коли- чество СК 10, %	Раз- мер гра- нул СКЮ. м м	Коли- чество В2О3, %	Коли- чество NaCl, %	Время насы- ще- ния, ч	Износ, мм3
Основной уровень (А'; )	1000	20	0,50	25	15	3	
И н те р в а л ы варьирова-	50	10	0,25	25	5	1	
ння (ЛХ,)							
Верхний уровень	1050	30	0,75	50	20	4	
(*, - 1)							
Нижний уровень	950	10	0,25	0	10	2	
(х< - -1)							
Код	А'1	*2	X;,	х4	х5	Хв	У
Номер	Порядок							
опыта	реалц-							
зации							
1	6	-J-	4-	~г	4-					0,60
2	2	—	4-	4-	—	т	—	0,55
3	5	-1-		-1-	—	—	-1-	0,80
4	1		—		+	-4	4-	0,85
5	7	4-	4-	—	—		“Г	0,60
6	8	—	4-	—	4-	—	-1-	0,95
7	3	+		—	4-	+	—	1,50
8	4	—	—	—	—	—	—	1,00
Опыты	1	0	0	0	0	0	0	0,90
в центре	2	0	0	0	0	0	0	Уо	0,80
плана	3	0	0	0	0	0	0	= 0,85 0,80
4	0	0	0	0	0	0	0,90
Полный факторный эксперимент для шести факторов 26 должен
включать 64 опыта. Воспользовались Т'в-репликой 2(|“3, содержа-
щей лишь 8 опытов. Выбрали план 2" '3 с определяющим контрастом
1 = —Х4ХдХ5 Щ —Х2Х3Х6 = —Х2Х4Х5 = —Х4Х4Хв щ х1х2х3х4 = х4х2х5х6
~ х3х4х5х6, с помощью которого можно оценить линейные эффе-
кты факторов, смешанные с парными взаимодействиями, т. е. по-
строить линейную модель
6
У ^b,Xi.	(2.113)
План эксперимента в кодовом масштабе указан в табл. 2.31.
Здесь для факторов х4, х2 и х3 записан полный факторный экспе-
римент 23, а х4 = х4х2х3, х5 ш —х4х3 и х6 = —х2х3.
В соответствии с выбранным планом было реализовано восемь
опытов, каждый из которых выполнили только по одному разу.
149

Кроме того, для оценки дисперсии, выполнили опыт в центре
плаца (табл. 2.31), причем этот опыт продублировали 4 раза.
Диффузионное насыщение осуществляли в шахтной электриче-
ской печи с сплитовыми нагревателями в фарфоровых тиглях.
Предварительно в тиглях наплавляли буру, в которую затем
вводили В2О3 и NaCl и, в последнюю очередь, силикокальций.
После насыщения образцы охлаждали на воздухе.
Покажем последовательность обработки результатов экспе-
римента при отсутствии в данном случае дублирования основных
опытов плана и повторении
опытов только в центре.
1. Расчет диспер-
с и и опыт а. Данные, необ-
ходимые для расчета дисперсии
опыта, приведены в табл. 2.32.
По формуле (2.70) число
степеней свободы Д = 4 —
1 --- 3, а по формуле (2.69)
дисперсия опыта S‘y = 0,010/3 —
0,0033 и соответственно Sy —
0,057.
Т а б л и ц а 2.32. Расчет
дисперсии опыта
Номер дубл я &		-- -- I </0g—Уо|	А У1
1	0,90	0,05	0,0025
2	0,80	0,05	0,0025
3	0,80	0,05	0.0025
4	0,90	0,05	0,0025
	Уо ' 0,85		у; Л у2 3 4 - - 0,0100
2. Расчет коэффи-
циентов регрессии.
Коэффициенты модели (2.113) в данном случае подсчитали по
формуле (2.12). Их значения оказались следующими:
Ьо = 0,856; й4 = 0,119;
/ц = 0,019; Ья = 0,019;
К, = —0,181 Ьв = —0.052.
Ь3 = —0,156;
3. Проверка статистической значимости
коэффициентов. Поскольку в данном случае опыты не
дублировали, дисперсии оценок коэффициентов рассчитали по
формуле (2.28): Sb - 0,0033/8 = 0,0004. Соответственно средне-
квадратичная ошибка Sb. = 0,02.
При уровне значимости а — 0,05 и числе степеней свободы
/1 = 3 табличное значение /-критерия /j.os; з = 3,18. По формуле
(2.90) доверительный интервал коэффициентов регрессии Aj. =
= 3,18-0,02 = 0,064.
Коэффициенты Ьо, Ь.>, Ь3 и bit для которых выполняется условие
(2.91), следует признать статистически значимым. Незначимые
коэффициенты (blt Ьъ и Ьй) из модели можно исключить.
Итак, получено следующее уравнение регрессии:
у - - 0,856 — 0,181х2 — 0,156х3 Н- 0,119х4.	(2.114)
4. Проверка адекватности модели. Прежде
всего проверили адекватность модели (2.114) по F-критерию.
160

Расчетные значения износа (у„	), определенные по полученному
уравнению, указаны в табл. 2.33. Здесь же приведены все данные,
необходимые для расчета дисперсии неадекватности S„eaA. В дан-
ном случае эту дисперсию следует считать по формуле (2.96).
Поскольку модель (2.114) включает k' 4 коэффициента,
число степеней свободы /2 по формуле (2.97) /2 ~= 8 — 4 •-= 4.
Следовательно, дисперсия неадекватности 5;)сад == 0,0973/4 =
- 0,0243.
Расчетное значение F-критерия по формуле (2.95) F^" —’
-- 0,0243/0,0033 =- 7,36. При уровне значимости а =- 0,05 таб-
личное значение F-критерпя
F™^ 4; 3=-9,12. Так как Fpac" <
<. ртабл, гнпотеза от адекват-
ности модели (2.114) при 5%-ном
уровне значимости не отвер-
гается.
Проверили также гипотезу
об адекватности модели (2.114)
по /-критерию. В данном слу-
чае Ьп — 0,856; у„ 0,85; <8ф •=
0,057; N --- 8. Поэтому рас-
четное значение /-критерия по
формуле (2.102)
• гасч | 0,856 —0,85 | |/ф _ ,, г...
Г =	0/157
Т а б л и ц а 2.33. Сравнение
экспериментальных и расчетных
значении
Номер опыта	^уэксп	'У/(расч	i A//I	Ay2
]	0,60	0,64	0,04	0,0016
9	0,55	0,40	0,15	0,0225
3	0,80	0,66	0,14	0,0196
4	0,85	0,90	0,05	0,0025
5	0,60	0,61	0,01	0,0001
6	0,95	0,85	0,10	0,0100
7	1,50	1,31	0.19	0,0361
8	1,00	1,07	0,07	0,0049
V				0,0973
При уровне значимости а - 0;05 и числе степеней свободы
fi — 3 табличное значение /-критерия /од>5? 3 =3,18. Поскольку
выполняется условие (2.103), т. е. /р“с'' < /табл, гипотеза об адек-
ватности модели (2.114) не отвергается и по /-критерию.
Напомним, что проверка адекватности по /-критерию является
менее предпочтительной.
Краткий анализ модели (2.114) позволяет сделать несколько
интересных выводов. Прежде всего оказывается, что в изученных
интервалах варьирования температура борирования (xj, его
продолжительность (х6) и количество NaCl в расплаве (х5) суще-
ственно не влияют на износ борированного слоя (коэффициенты
blt Ь5 и Ьв статистически незначимы). Наиболее сильно износ
зависит от количества вводимого в расплав силикокальция (Ь.г =
= | 0,181 |), размера его гранул (Ья 10,156 |) и в несколько мень-
шей степени от содержания в расплаве В2О3 (b,t — | 0,119 |). Для
снижения износа необходимо увеличивать по сравнению с основ-
ным уровнем количество силикокальция и размер его гранул
(коэффициенты Ь2 и bs отрицательны) и уменьшать содержание
В расплаве В2О3 (коэффициент Ь4 положительный).
151

5. Крутое восхождение. Методом крутого восхож-
дения было решено попытаться повысить износостойкость бориро-
ванного покрытия. Последовательность реализации этого этапа
показана в табл. 2.34. Меняли только факторы, эффекты которых
оказались статистически значимыми. Остальные факторы поддер-
живали на основном уровне.
Таблица 2.34. Крутое восхождение
Факторы	Температу- ра, °C (Л\)	Количество скю, % (Х>)	Размер гра- нул СК10,мм (Хя)	Количество ВгО,. % (Х„)	Количество NaCl, % (Х5)	Время на- сыщения, ч (Хе)	Износ, мм3
bi			—0,181	—0,156	0,119					
bi&Xi	—	— 1,81	—0,039	2,975	—.	—	
Шаг Шаг после округле- ния	—	3,04 3	0,07 0,05	—5 —5	—	—	
xi *0	1000	20	0,50	25	15	3	
Мысленный опыт	1000	23	0,60	20	15	3	
Реализованный опыт 1	1000	26	0,65	15	15	3	0,60
Мысленный опыт	1000	29	0,70	10	15	3	
То же	1000	32	0,75	5	15	3	
Реализованный опыт 4	1000	35	0,80	0	15	3	0,38
»	» 2	1000	38	0,85	0	15	3	0,33
»	» 5	1000	41	0,90	0	15	3	0,40
Мысленный опыт	1000	44	0,95	0	15	3	
То же	1000	 47	1,0	0	15	3	
Реализованный опыт 3	1000	50	1,05	0	15	3	0,52
Для фактора был выбран шаг в 5° С (Д4	5). Шаги для
факторов Х2 и Х3 установили из пропорций
&4 ДХ4 = М..
А-^2 До

мм, А4.
ЛХ3 Л3
А	0,039-5 п	п
Лз = 2,975 = °’07 ~ 0,05 ММ-
Поскольку в данном случае требовалось найти возможно
меньшее значение износа, знаки шагов выбрали обратными знакам
соответствующих коэффициентов.
При назначении условий мысленных опытов учитывали, что
при содержании в ванне силнкокальция больше 50% расплав ста-
новится высоковязким и нетехнологичным. Порядок реализации
мысленных опытов указан в табл. 2.34.
Наименьший износ (0,33 мм3) был получен в реализованном
опыте 2. Достигнутая величина износостойкости примерно в 3 раза
152

превышает износостойкость цементованной железной металло-
керамики и в 2,5 раза — износостойкость закаленной и низко-
отпущенной стали ШХ15.	*
2.5.4. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДРОБНОЙ РЕПЛИКИ 27’4
ПРИ НАЛИЧИИ ОШИБОК В УРОВНЯХ ФАКТОРОВ
Изучали влияние химического состава на стойкость против
высокотемпературного окисления сплавов на основе ниобия. Ме-
няли содержание в сплавах следующих элементов химического
состава: Ti (Хх), W (Х2), Al (Х3), Cr (Х4), Мп (Х5), V (Хв) и Zr (Х7).
В зависимости от состава сплавов изучали их привес за 100 ч
испытаний в воздушной среде при температуре 1000° С (z/).
Локальную область определения факторов выбрали так, чтобы
изучить возможно большее число известных ниобиевых сплавов
[63]. Факторы варьировали на двух уровнях. Намеченные интер-
валы и уровни варьирования переменных приведены в табл. 2.35.
Полный факторный эксперимент для семи факторов 27 должен
включать 128 опытов. Для сокращения объема экспериментальной
работы решили воспользоваться '/^-репликой 27-4 с определяю-
щим контрастом 1 г: ххх2х4 = х^дХ^ = х2х3х6 s ххх2х3х7 = х.2х3х4х5 =
— Х^Х^Х^Х# — •^3^4^7 •— •^Х’^2'^5'^6 —-	— ХуХ^Х? ~ X2X^XqX7 z=
х1х4х5х7 х5х6х7 — х^ХзХ^ХвХ?, включающей лишь восемь опы-
тов. План позволял построить линейную модель
7
У = М YbiXi	(2.115)
i=i
в предположении о более сильном влиянии линейных эффектов по
сравнению со всеми остальными взаимодействиями.
Матрица планирования в кодовом масштабе приведена в стро-
ках 5—12 табл. 2.35 (цифры в числителе). Здесь для факторов
хх, х2 и х3 записан полный факторный эксперимент, а х4 - Х]Х2,
Х§ X^X^f Х6 “ -^2-^3	^7	Л'1-^2-^3’
Заданные планом сплавы были приготовлены. Изготовленные
из них образцы испытали на жаростойкость. Определенные весовым
методом результаты опытов указаны в табл. 2.35. Для оценки
дисперсии опыта, кроме заданных планом восьми опытов, выпол-
нили также опыт на основном уровне, причем повторили его триж-
ды. Дисперсия опыта оказалась = 4 при числе степеней свободы
/х = 2. Каждый из сплавов был подвергнут химическому анализу.
Реальное содержание в сплавах легирующих элементов по данным
химического анализа приведено в тех же 5—12 строках табл. 2.35
(цифры в знаменателе). Хорошо видно, что для большинства
элементов попадание в состав не было достаточно удовлетвори-
тельным.
Различие между заданным и полученным составом сплавов
связано с двумя типами ошибок: систематической и случайной.
153

154
Таблица 2.35. Планирование эксперимента при изучении жаростойкости ниобиевых сплавов
Номер строки	Факторы	Ti. %	w, %	А1, %	Сг, %	Мп. %	V, %	Аг, %	Привес при 1000° за 100 ч, мг/см2
					Намеченные уровни				
1	Основной уровень (2QJ	40	10	5	4	0,5	2	0,5	Уо= 77
2	Интервал варьирования	5	5	1	1	0,5	2	0,5	
3	Верхний уровень (х, = = +1)	45	15	6	5	1	4	1	
4	Нижний уровень (х; = = -О	35	5	4	3	0	0	0	
			Заданные	(Хр код) и	полученные (Af., %) уровни факторов				
	Номер опыта	*1	хг	Х3	х 4	*6	х»	X-	
		Xi	X,	А3	А 4	А5	А,	А,	
5 6 7 8 9 10 11 12	1 2 3 4 5 6 7 8	46,4 — 1 ЗТ5 + 1 45,6 —1 31,5 + 1 48,4 — 1 31,8 + 1 44,5 — 1 34,2	+ 1 12,1 + 1 15,1 — 1 5,4 — 1 2,7 + 1 14,3 + 1 15,3 — 1 4,6 — 1 3,3	+ 1 7,04 + 1 6,97 + 1 6,30 6ДЙ —1 2,54 —1 3,28 —1 2/36 —1 2,69	+ 1 4,81 —1 2,26 —1 2,44 -т-1 4,62 + 1 5,08 — 1 2,36 —1 1,81 + 1 4,62	+ 1 1,14 — 1 0 + 1 1,17 —1 0 — 1 0 TJ9 — 1 0 +1 1,30	3J6 ЗЛЙ —1 0 —1 0 —1 0 —1 ЗЙ6 -Т1 3,35	±1 0,90 — 1 0 — 1 “О’ -г1 0,99 — 1 0 + 1 0,90 + 1 0,89 —1 0	• 30 45 60 85 70 95 120 90
									

156
13 14 15 16	Основной уровень (Xto) Интервал варьирования Верхний уровень (х; — = +1) Нижний уровень (х,- = = -1)	Пересчитанные уровни							
		39,5 6,7 46,2 32,8	9,1 5,1 14,2 4,0	4,8 1,9 6,7 2,9	3,5 1,28 4,78 2,22	0,6 0,6 1,2 0	1,8 1,8 3,6 0	0,46 0,46 0,92 0	
							1		
	Номер опыта	Действительные уровни факторов							
		Xl-pSi	х2+е2		Х 4 х4+е4	ХЪ Хъ^ъ	х в	Х7 x7~i-e7	
17 18 19 20 21 22 23 24	1 2 3 4 5 6 7 8	+ 1,03 + 1+0,03 —90	+0,59 + 1—0,41 + 1,18	+ 1,18	+ 1,02	+ 0,90	+ 1,09	0,95	30 45 60 85 70 95 120 90
				+ 1+0,18 + 1,14	+ 1+0.02 —0,97	+ 1—0,10 — 1	+ 1+0,09 + 1,13	+ 1—0,05 —1	
		— 1+0,10 — 0,91	-Н 1+0,18 —0,73	+ 1 + 0,14 +0,79	— 1+0,03 —0,83	-1 + 0 +0,95	+ 1 + 0,13 — 1	-1+0 —I	
		+ 1—0,09 — 1,19	— 1+0,27 —1.25	+ 1—0,21 +0,96	— 1+0,17 +0,88	+ 1—0,05 — 1	-1 + 0 — 1	-1 + 0 + 1,16	
		— 1—0,19 -1,33	—1—0,25 + 1,01	+ 1—0,04 — 1,19	+ 1—0,12 + 1,23	-1+0 —1	-1 + 0 —1	1-1+0,16 —1	
		+ 1+0,33 — 1,14	+ 1+0,01 + 1,22	— 1—0,19 —0,80	+ 1+0,23 —0,89	-1+0 + 0,98	-1+0 —1	—1+0 + 0,96	
		— 1—0,14 + 0,75	+ 1+0,22 —0,88	— 1+0,20 —0,97	— 1+0,11 1.32—	+ 1—0,02 — 1	—1 + 0 + 0,92	-1-1—0,04 + 0,93 + 1—0,07 — 1	
		-т-1— 0,25 —0,79	—1+0,12 — 1,14	— 1 + 0,03 — 1,11	— 1—0,32 + 0,88	-1 + 0 + 1,17	+ 1—0,08 +0,86		
		— 1 + 0,21	— 1—0,14	— 1—0,11	+ 1-0,12	+ 1+0,17	+ 1—0,14	-1+0	
25	bi	—4,375	— 14,375	Коэффициенты без корректировки —19,375 | —5,625 | —5,625 | —3,125				8,125	Ьо = 74,375
26	bi	—6,327	— 11,980	Коэффициенты с к —19,531 | —7,986		орректировкой —4,676 | —4,801		8,078	&0=74,375
27	Ай. 1	2,985	2,964	3,007	2,998	3,031	3,031	3,034	

Прежде всего исключили влияние систематической ошибки.
Для этого сместили значения основных уровней, интервалов
варьирования, а также верхних и нижних уровней факторов.
Верхний и нижний уровни в натуральном масштабе определили
как среднее арифметическое реально полученных значений на
соответствующих уровнях. Например, новый верхний уровень
фактора (содержание в сплаве Ti, %) оказался равным
46,4 4-45,6 4-48,4 + 44,5 = 4g 2 %
новый нижний уровень того же фактора равным
33,5 + 31,5 + 31,8 + 34,2 „QQn/
-----------------------= о2,о".г).
Новые основные уровни (Х1о) и интервалы варьирования (АХ,)
равны теперь соответственно полусумме и полуразности значений
пересчитанных верхнего и нижнего уровня. В частности, новый
основной уровень и интервал варьирования первого фактора
оказались
Х...= 46,2-|~ 32,8
АХ, = 46,2 — 32,8 ,д6>7%
Пересчитанные таким образом уровни всех факторов приведены
в строках 13—16 табл. 2.35.
В результате связь между кодовыми (х,) и натуральными (X,)
значениями факторов теперь определяется формулами
X,—39,5	-	X.,—9,1	_	Х, -4,8.
G7 ,	х,~^	51	,	х.,._	1>9	,
Х4 —3,5.	~	Х6— 0,6.	- Хв —1,8.
~ 1,28 ’	Хя ~	0,6	’	Хв ~~	1,8
X, — 0,46
0,46
Далее в табл. 2.35 в строках 17—24 записаны действительные
уровни факторов, которые подсчитаны по указанным выше фор-
мулам. Например, в опыте 1 содержание W в сплаве оказалось
равным 12,1%. В кодовом масштабе это составляет
12,1 —9,1	„
х9, =---------= 0,59.
5,1
Таким образом, по формуле (2.104) действительный уровень
фактора х2 в опыте 1 х21 = 0,59 = +1 — 0,41, где +1 — заданный
уровень фактора (х21), а 0,41 — ошибка попадания на заданный
уровень (е2]).
166

Поскольку сдвигом уровней систематическая ошибка исклю-
чена, среднее значение отклонения действительных уровней фак-
N
тора от заданных становится равным нулю, т. е. У е,- = 0.
«=1 и
Теперь следует выяснить, коррелируют ли ошибки ez между
собой и с заданными уровнями факторов.
В табл. 2.36 приведены коэффициенты корреляции между
ошибками, а в табл. 2.37 между ошибками и заданными уровнями
факторов.
Таблица 2.36. Коэффициенты корреляции
между ошибками 8;- в уровнях факторов
		Е3	Е3	Е-1	Рз	Ев	Е7
61	1	—0,16	—0,33	0,49	0,36	0,05	—0,09
е2 85 е7		1	—0,12 1	0,25 0,22 1	—0,01 —0,34 —0,16 1	—0,02 0,49 0,44 —0,17 1	—0,30 —0,32 —0,02 0,15 0,03 1
Таблица 2.37. Коэффициенты корреляции между ошибками
и заданными уровнями факторов
	X,	Х2	Л'з	х4	х5	хй	х7
в/	0,03	0	0,11	0,01	0	0	0
Подробней о корреляционном анализе рассказано в гл. 1.
Коэффициенты корреляции считали по формуле (1.1). Статистиче-
скую значимость отличия рассчитанных коэффициентов от нуля
проверяли по /-критерию. В данном случае при а = 0,05 и числе
степеней свободы f = N — 2 — 6 критическое значение коэффи-
циента корреляции гкр = 0,707 (приложение I). Все коэффици-
енты, по абсолютной величине меньшие гкр, статистически значимо
от нуля не отличаются.
Поскольку все коэффициенты корреляции, указанные в табл.
2.36 и 2.37, по абсолютной величине меньше 0,707, можно считать,
что ошибки 8г- не коррелируют ни между собой, ни с заданными
уровнями факторов.
Указанное обстоятельство дает возможность подсчитать кор-
ректированные значения коэффициентов модели (2.115) по фор-
167

муле (2.106). Например, коэффициент считается следующим
образом:
1,03-30 — 0,90-45 + 0,91 -60 — 1,19-85 -|-
к 4-1,33-70 — 1,14 95+ 0,75-120 -0,79-90 с
=---------------84+2902------------- = "6’327'
Все эти коэффициенты приведены в строке 26 табл. 2.35. Для
сравнения в строке 25 указаны коэффициенты регрессии, рассчи-
танные без корректировки по формуле (2.12).
При сравнении коэффициентов видно, что корректировка за-
метно меняет величины некоторых из них. Если ориентироваться
на некорректированные коэффициенты, то по силе влияния на
жаростойкость, определяемой абсолютными значениями коэффи-
циентов, факторы располагаются в следующий ряд:
А1 (л'з); W (х4); Zr(x7); Сг (х4) и Мп(х5); Т1(х4); V (х8).
После же корректировки становится более заметным влияние
Сг и, кроме того, меняется конец ряда:
АГ(х3); W(x4); Zr(x7); Cr(x4); Ti (xx); Mn(x5); V (x6).
Дисперсию оценок некоррелированных коэффициентов считали
по обычной формуле (2.28): 3|. = 4/8 = 0,5 и 5ь( --= 0,71. Сле-
довательно, доверительный интервал этих коэффициентов, с учетом
табличного значения /-критерия при а = 0,05 и /, = 2, /0.05,2 =
= 4,30, по формуле (2.90) оказывается равным Ай. — 4,30-0,71
= 3,053. Абсолютные значения некорректированных коэффи-
циентов больше их доверительного интервала, и все эти коэффи-
циенты следует признать статистически значимыми.
Дисперсии оценок корректированных коэффициентов считали
по формуле (2.108). Например, 3*, —	9лп-9- = 0,48; ос-
тальные дисперсии
S2b, = 0,475;	= 0,486; 3/e = 0,497;
S|3 = 0,489; 3^ = 0,497; ЗД -0,498.
Доверительные интервалы корректированных коэффициентов
при а = 0,05, определенные по формуле (2.90), приведены в строке
27 табл. 2.35. Например, доверительный интервал для коэффициента
Ь± считали следующим образом:
SI, = 0,482; 3Ь1 = 0,694; /о,оз, 2 = 4,30;
А&щ-4,30-0,694 = 2,985.
Все корректированные коэффициенты по абсолютной величине
больше своих доверительных интервалов, что позволяет признать
их статистически значимыми.
Итак, модель имеет вид
у = 74,375 - 6.327Х! - 11,980х., - 19,531 х3 -
-7,986х4-4,676х5-4,801 х6 | 8,078х7.	(2.116)
168

Проверка адекватности модели (2.116) по F-критерию в данном
случае невозможна, поскольку число статистически значимых
коэффициентов этой модели в точности равно числу опытов и
потому число степеней свободы для дисперсии неадекватности по
(формуле (2.97) оказывается равным нулю.
В связи с этим адекватность модели проверили по /-критерию.
В данном случае Ь„ =-- 74,375; у0 = 77 (см. табл. 2.35); Sv = 2;
N --- 8. Поэтому расчетное значение /-критерия по формуле (2.102)
,расч _ | 74,375 — 77 | V 8_Q 71 9
При уровне значимости а — 0,05 и числе степеней свободы
1\ — 2 табличное значение /-критерия /о,ао5% -= 4,30. Поскольку
выполняется условие (2.103), т. е. /расч < /табл, гипотеза об
адекватности модели (2.116) по /-критерию при 5%-ном уровне
значимости не отвергается.
Анализ модели показывает, что все добавки, кроме Zr, в изу-
ченных пределах повышают жаростойкость ниобия, причем наи-
более сильно алюминий и вольфрам. Полученные данные хорошо
согласуются с уже известными в литературе [63].
2.5.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НЕРЕГУЛЯРНОЙ :'/гРЕПЛИКИ
ОТ ИЛАНА 2s
На следующем примере рассмотрим, как добавляются два
новых фактора Х4 и Х3 к полному факторному эксперименту 23
для факторов А’1, Х2 и Х3 (все факторы варьируются на двух
уровнях).
Изучали влияние на механические свойства, в частности на
аь (у) содержания Mg (Xi), Zn (Х3) и Си (Х3) в одном из литейных
алюминиевых сплавов. Был выполнен полный факторный экспе-
римент 23, построены и проанализированы соответствующие
модел и.
Уровни варьирования факторов, матрица планирования, ре-
зультаты опытов и рассчитанные коэффициенты моделей при-
ведены в табл. 2.38.
Опыты не дублировали. Дисперсия опыта, известная из пред-
варительных экспериментов, составляла S'l == 0,264 при числе
степеней свободы Д = 4. Дисперсия оценок коэффициентов,
определенная по формуле (2.27), SI = 0,033. При а — 0,05
табличное значение / критерия /0,05; 4 = 2,78, поэтому доверитель-
ный интервал коэффициентов, рассчитанный по формуле (2.90),
Аь. 0,505. Статистически значимыми оказались коэффициенты
/?0> &!> b-2, Ь3 И bi2‘
Модель имеет вид
у = 19,86 4- О.ббАй -|- 1,41х2 — 0,74х3 ф- 0.51.ЗД.	(2.117)
159

Т а б л и ц а 2.38. План 23
Интересно отметить, что в изученных интервалах изменения
факторов предел прочности сплавов Al с Mg, Zn и Си более всего
зависит от содержания в них цинка, далее меди, магния и, нако-
нец, от соотношения между магнием и цинком. Слабо влияющими
оказались взаимодействия меди с магнием и цинком и соотношение
между всеми тремя компонентами.
Затем было решено перенести полученные данные на вторичные
алюминиевые сплавы. Свойства же вторичных сплавов заметно
зависят от содержания в них примесей Fe (Х4) и Si (Х5). В сплавах
первой серии количество Fe и Si было одинаковым (сплавы гото-
вили на алюминии одинаковой чистоты А99, содержащем не более
0,003% Fe и Si). Теперь же требовалось построить и проанализи-
ровать модель, включающую линейные эффекты всех пяти факто-
ров и возможно большее число их парных взаимодействий, т. е.
модель (2.42).
Модель (2.42) при k = 5 имеет 16 членов. Для ее построения
можно было бы воспользоваться регулярной У2 -репликой 23-1
с определяющим контрастом 1 = х^х3х4х5, включающей 16 опы-
тов. Легко видеть, что в данном случае этого сделать нельзя, так
как в первых восьми опытах факторы х4 и х5 вообще не варьиро-
вались. Таким образом, регулярным планом, с помощью которого
можно решить поставленную задачу, является только полный
факторный эксперимент 23, включающий 32 опыта и, следовательно,
необходимо дополнить план 23 24 опытами.
В то же время выполненный план 23 (табл. 2.38) можно рас-
сматривать как ^-реплику 23-2. Ее генерирующие соотношения
160

х4 = —1 и х5 = —1. Если к ней добавить еще две ’/4-реплики
с генераторами х4 •-= 1, хь = —1 и х4 = —1 и х6 = 1, то вместе
три ^-реплики образуют нерегулярную 3/4-реплику от полного
факторного эксперимента 2\ включающую 24 опыта, и, следова-
тельно, необходимо дополнить план 23 только 16 опытами.
Уровни варьирования факторов, матрица 3/4-реплики от 25,
результаты опытов и рассчитанные коэффициенты моделей при-
ведены в табл. 2.39.
Определяющий контраст получившейся 3/4-реплики от 25
1	|х4| =• |х81 — |х4х5|. Поэтому образуются следующие группы
частично смешанных эффектов:
1)	^4> ^5 И ^45’	3) Ь3, Ь%4 И Ь3^\
2) bx, bu и 4) b3, Ь34 и Ь33.
Эффекты Ь13, Ь13 и Ьгз ортогональны.
Поскольку в группе не может быть больше трех эффектов,
приходится предположить незначимость эффекта х4х5.
Расчет эффектов группы 1 вели по формулам (2.51):
24	24	24
2 У Уи + У xiuyu + J] xiuyu
г	П=1	U=l	М=1	1 р АА
=-------------32-------------= 16-09;
24	24	24
У У и + 2 У *1иУи + У Х^Уи
24	24	24
У. У и + L xiuyu + 2 У xiuyu
ь3 =	--------—-----= -1,55.
Их дисперсии рассчитали по формуле (2.52):
S2
= s2bi = Sit = -f- = 0,066.
Коэффициенты групп 2, 3 и 4 рассчитывали по формулам (2.44).
Например:
24	24	24
2 У х1иуи-\- У (х1х4)иг/„+ У (xm)^
bi =	32-------—-------= 0,53;
24	24	24
У Х1иУи + 2 У (х4х4)иуи-]- у (XiX5)uyu
1_	М=1	U—l	W=1	_ Л*7.
Р14 -- ----------------7^--------------- ----- 0,07,
24	24	24
У х1иуи + У (х1х4)„г/и+2у (х^иУи
Ьа =	ъ----------------= -0,08
И Т. Д.
6 Новик Ф. С., Арсов А. Б.	161

Таблица 2.39. Нерегулярная 3/4-реплика от плана 25
	Факторы	Mg, %	Zn, %	Си, %	Fe, %	Si, %		S S СЕ t- О «	Приме- чание
	х{ 1 0	2	6	3	0,25	0,25			
	ьх(	1	2	1	0,25	0,25			
	X, = +1	3	8	4	0,5	0,5			
	Х( = —1	1	4	2	0	0			
	*						Код		
	&« 									
О)	s £								
Ю	ш§ х°		х2	Хз	Xi	Хь	Л'1Х2 JC1X3	XiXi	JC1JC5	ХгХ3	Х2Х±	Х2хв	Х$х4 Х3Хь	У	
	1 +	+	+	Д-	—	—	+ +- - + - -	21,3	Исход-
	2	+	—	+	~т	—	—	— — + + + — — — —	19,3	ный
									план 23
	3	+	+	—	+	—	—	- + - - _ + + -_	18,3	То же
	4	+	—	—	+	—	—	+ -+ + - + + - -	17,6	»
	5	+	+		—	—	—	+ — — — — — + +	23,6	1/4-реп-
									лика 2?~2
	6	+	—	+	—	—	—	-+ + + - - - + -	20,9	х4 = —1
	7	+	+	—	—	—	—	— — — — + + + + +	18,9	х6 = —1
	8	+	—	—	—	—	—	+	++	+	+	+	+	-г +	19,0	
।						цп i	1	1	—	‘	и	1	!		 -1 J		

	»			r		-			
9	f T	+	H-	-Г	—	+	+	+	—
10	+	—	+	+	—	+	—	—	+
11	+	+	—	+	—	+	—	+	—
12	+	—	—	+	—	+	+	—	+
13	+	+	+	—	—	+	+	—	—
14	+	—	+	—	—	+	—	+	+
15	+	+	—	—	—	+	—	—	—
16	+	—	—	—	—	+	+	 +	+
17	+	+	+	+	+	—	+	+	+
18	+	—	+	+	+	—	—	—	—
19	+	+	—	+	+	—	—	+	+
20	+	—	—	+	+	—	+	—	—
21	+	+	“l“	—	+	—	+	—	+
22	+	—	+	—	1	—	—	+	—
23	+	+	—	—	+	—	—	—	+
24	+	—	—	—	+	—	+	+	—
bt	16,09	0,53	1,25	—0,52	—2,23	—1,55	0,40	0,08	—0,07

		1	1			I		
+	+	—	+	—	+	18,5	1/4-pen- лика
—	+	—	_L	—	+	16,0	25-2
+	—	+	—	—	+	15,1	x4 s —1
—	—	4_	—	—	+	15,2	
+	—	—	+	+	—	19,1	X5 = +1
—	—	—	+	+	—	18,2	
+	+	+	—	+	—	16,4	
—	+	+	—	+	—	15,6	
—	+	+	—	+	—	17,0	^-реп- лика
+	+	+	—	+	—	15,6	25-2
—	—	—	+	+	—	14,2	
+	—	—	+	+	—	13,0	x4 s 1
—	—	+	—	—	+	18,2	x6 = —1
+	—	+	—	—	+	16,1	
—	+	—	+	—	1	14,4	
+	+	—	+	—	+	14,8	
—0,08	—0,12	—0,05	—0,12	0,14	0,09		

Дисперсии этих коэффициентов оценили по формуле (2.45):
Q2
Я = S'ilt = S|15 = я = я. =	= Si, =	= я. = ^- =
= 0,066.
Ортогональные эффекты b12, b13 и b23 оценивали по формулам
(2.12), а их дисперсии — по формулам (2.28):
24
У (х1хг)иУи
ь12=	24----= 0,40;
24
У (х1хз)и У и
----- =0’°8;
N
У (х2х3)иУи
ьза=^-^----------=-0,12;
S2
SL = SL = SL = -2T = о.он.
При проверке адекватности модели, полученной после реализа-
ции 3/4-реплики от 25, включающей все рассчитанные эффекты
(табл. 2.39), были определены дисперсия неадекватности Знеад =
= 0,464 при числе степеней свободы /2 = 8 и значение F-критерия:
Арасч = 1,76.
Оказалось, что Fpac4 < 7од5Л; 8; 4 = 6,04 при 5%-ном уровне
значимости. Таким образом, построенную модель следует признать
адекватной.
Анализ полученной модели (последняя строка в табл. 2.39)
показывает, что, как и следовало ожидать, прочность изученных
литых алюминиевых сплавов, содержащих повышенное количество
примесей Si и особенно Fe, ниже. Вновь, как и по модели (2.117),
выяснилось, что в изученных пределах прочность сплавов довольно
сильно зависит от содержания цинка и примерно одинаково от
легирования магнием и медью. Все парные эффекты взаимодей-
ствия легирующих элементов между собой и с примесями Fe и Si
слабы. С помощью построенной модели можно оценить предел
прочности литых алюминиевых сплавов, содержащих 1—3% Mg,
4—8% Zn, 2—4% Си и 0—0,5% Fe и Si.
2.5.6. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЛАНА ГЛАВНЫХ
ЭФФЕКТОВ 4 X З2 X 23//16
Требовалось получить возможно более мелкое зерно (у) в штам-
пованных заготовках из никелевого жаропрочного сплава
ХН75ВМЮ в зависимости от типа штампа (Хх), температуры
164

штамповки (Х2), температуры промежуточного рекристаллиза-
ционного отжига (Х3), способа охлаждения после рекристаллиза-
ции (Х4), температуры закалки (Х5) и температуры старения (Х6).
Факторы и уровни их варьирования были выбраны с учетом
литературных данных и некоторых предварительных эксперимен-
тов. Уровни факторов в натуральном масштабе, а также поставлен-
ные им в соответствие уровни F t приведены в табл. 2.40.
Таблица 2.40. Факторы и уровни их варьирования
1	Фактор	Х1	Fi	i	Фактор	Х1	
1	Тип штампа	I II III IV	0 1 2 3	4	Способ охлажде- ния после рек- ристаллизации	с печью на воздухе	0
2	Температура штамповки	1100° с 1150° С 1200° С	0 1 2	5	Температура за- калки	1200° С 1250° С	0 1
3	Температура рекристаллиза- ции	1100° С 1140° С 1170° С	0 1 2	6	Температура старения	850° С 950° С	0 1
Полный факторный эксперимент в данном случае должен вклю-
чать 4-32-23 = 288 опытов. Для сокращения объема эксперимен-
тальной работы было решено попытаться построить модель только
главных эффектов. С учетом числа уровней варьирования факторов
эта модель имеет следующий вид:
6	з
У = bo -f-	ЬцХ2 bmXt.
1=1	i=i
Поскольку в ней 11 членов, число опытов плана не может быть
меньше 11. Кроме того, хотелось бы иметь степени свободы для
проверки адекватности модели. Было решено составить план
4 х З2 X 23//16, преобразовав его из плана 45//16, имеющегося
в каталоге (см. приложение VII.2, план 11).
Несколько вариантов преобразований сведены в табл. 2.41.
Легко видеть, что варианты А и Г заметно лучше остальных и
обеспечивают получение почти Q-оптимального плана (ф = 0,94).
Составим план А. Для этого необходимы следующие преобра-
зования: первый четырехуровневый фактор плана 45//16 оставлен
без изменения; второй и третий заменены соответственно на
трехуровневые с помощью преобразования 36; четвертый — иа три
двухуровневых с помощью преобразования 2а; пятый — вычерк-
нут. Матрица полученного таким образом плана 4 X З3 X 23//16
в кодах Ft представлена в табл. 2.42.
166

Таблица 2.41. Варианты преобразования плана 45//16
в план 4Х32Х23//16
Факторы исход- 1 кого плана 46//16	A			Б			в			Г		
	Вид преоб- разования	sr		Вид преоб- разования	sr		Вид преоб- разования			Вид преоб- разования	sr	4>r
Fi	4->4	3	1,0	4->4	3	1,0	4->4	3	1,0	4->4	3	1,0
	36			За			За			36		
Ft	4-*3	2	0,9	3->ЗХ2	3	0,6	4-»3x2	3	0,6	4->3	2	0,9
	36			За			36			36		
F3	4->3	2	0,9	4->3X2	3	0,6	4->3	2	0,9	4-»3	2	0,9
	2a			2в			2в			26		
	4-*23	3	1,0	4->2	1	l,o	4->2	1	1,0	4->22	2	1,0
							2b			2b		
F6		—	—	—	—	—	4->2	1	1,0	4->2	1	1,0
k'	11			11			1			11		
n	4			4			5			5		
	0,94			0,72			0,79			0,94		
Т а б л и ц а 2.42. Матрица плана 4Х32Х23//16 в кодах F{
Номер опыта	Ft	F2	F>	F*	Fb	F,	Номер опыта	Ft	F,	F,	Ft	F6	F.
1	0	0	0	0	1	1	9	0	2	2	1	1	0
2	2	0	1	1	0	1	10	2	2	0	0	0	0
3	3	0	2	0	0	0	11	3	2	0	1	0	1
4	1	0	0	1	1	0	12	1	2	1	0	1	1
5	0	1	1	0	0	0	13	0	0	0	1	0	1
6	2	1	0	1	1	0	14	2	0	2	0	1	1
7	3	1	0	0	1	1	15	3	0	1	1	1	0
8	1	1	2	1	0	1	16	1	0	0	0	0	0
Запишем теперь этот план в натуральном масштабе, оставив
при этом уровням качественных факторов и Х4 обозначение
уровней соответственно и F4 (табл. 2.43).
В последнем столбце табл. 2.43 приведен порядок реализации
опытов, выбранный по таблице случайных чисел.
Для обработки данных такого эксперимента необходимо пе-
рейти к следующему кодовому масштабу. Будем строить модель
6	з
«/ = Ьо + S btxt + £ Ьц2{ + b^i,,	(2.118)
i=l	i=l
166

Таблица 2.43. Матрица плана 4X34X23/16 в натуральном масштабе
Номер опыта	х.	х2	А'з	А\	X,	X,	Порядок реали- зации	Номер опыта	Х1		X,	х.	хБ	X,	* о в; S S о. ч s О я SJ £ о я С О. СО
1	0	1100	1100	0	1250	950	3	9	0	1200	1170	1	1250	750	5
2	2	1100	1140	1	1200	950	4	10	2	1200	1100	0	1200	750	12
3	3	1100	1170	0	1200	750	13	11	3	1200	1100	1	1200	950	8
4	1	1100	1100	1	1250	750	2	12	1	1200	1140	0	1250	950	7
5	0	1150	1140	0	1200	750	11	13	0	1100	1100	1	1200	950	16
6	2	1150	1100	1	1250	750	1	14	2	1100	1170	0	1250	950	14
7	3	1150	1100	0	1250	950	9	15	3	1100	1140	1	1250	750	6
8	1	1150	1170	1	1200	950	10	16	1	1100	1100	0	1200	750	15
где xt — линейная функция от X,-; г,- — квадратичная функция от
X,-; Vi ~ кубическая функция от Xv
Составленный план позволяет оценить коэффициенты модели
(2.118) ортогонально друг другу. Напомним, что в случае орто-
гональности равны нулю сумма элементов любого столбца матрицы
планирования, а также сумма произведений элементов любых двух
столбцов этой матрицы. Будем использовать эти условия при
выборе соответствующих функций в (2.118):
Запишем х,- как линейную функцию от X,:
xz = &, (X,--ф Л,),	(2.119)
где /г,- и At — константы.
Потребуем выполнения условия
N
U xt =0.	(2.120)
u=l“ "
Тогда после подстановки (2.119) в (2.120) получим
N	N
^-.Х‘и = kl -Ц ^0 = 0
U = 1	и=1
ИЛИ
I X(;/-|-X^ = 0;
отсюда
1 N
^ = -4 L X,-	(2.121)
Подсчитаем Л,- для нашего случая:
. __	24	3 . . __	18 200 _	2275
711 ~	ПГ =	~ ’ 712 “	16“-------2~ ’
. _	18 040 _	2255. . _	8	1
/1з“	16 ~	2 ’ 71416 —	2 ’
л5= 1С?°° = —1050; Ло = — 20400 = _650.
10	10
167

Выбор уровней xt приведен в табл. 2.44. Коэффициенты k(
подбираются таким образом, чтобы уровни хг представляли собой
небольшие (лучше целые) числа.
Таблица 2.44. Выбор уровней х,-
i	xi	Х(. + А .	ki	xi
	0	—3/2		—3
1	1	—1/2	2	—1
	2	1/2		1
	3	3/2		3
	1100	—75/2		—0,75
2	1150	25/2	1/50	0,25
	1200	125/2		1,25
	1100	—55/2		—0,79
3	1140	25/2	1/35	0,36
	1170	85/2		1,21
	0	—1/2		—1
4	1	1/2	2	+ 1
5	1000 1100	—50 50	1/50	—1 1
6	600 700	—50 50	1/50	—1 1
Удобно выбирать /г(- из условия [15]:
1 Х{ max Xi mfn
В частности, в данном случае
,	2	_ 1 .	,	_	2	1
1200 — 1100	— Б0 ’	йз 1170— 1100	~ 35	*
(2.122)
Таким образом, формулы перехода от натуральных значений
X; к кодированным х,- и обратно оказались следующими:
хг = 2 (Хг -3/2);
х2 = 1/50 (Х2 — 2275/2);
х3 = 1/35 (Х3- 2255/2);
х6 = 1/50 (Х5 — 1050);
х4 = 2 (Х4 — 1/2);
х6= 1/50 (Хв- 650).
(2.123)
168

Теперь можно записать уровни xt в план эксперимента в кодо-
вом масштабе (табл. 2.45). Столбец х0, как и во всех аналогичных
случаях, состоит из одних +1.
Т а б л и ц а 2.45. Матрица плана 4Х32Х23//16 в кодовом масштабе
Номер I опыта	Xo		x2	X3	X4	Xb	Xe	Z1	z2	Z3	<Zi	W S « ® r <y я S
1	1	—3	—0,75	—0,79	—1	4-1	+1	+1	0,18	0,14	—0,3	0,94
2	1	1	—0.75	0,36	+1	—1	+1	—1	0,18	—0,69	—0,9	0,66
3	1	3	—0,75	1,21	—1	—1	—1	+1	0,18	0,40	0,3	0,80
4	1	—1	—0,75	—0,79	+1	+ 1	—1	—1	0,18	0,14	0,9	0,76
5	1	—3	0,25	0,36	—1	—1	—1	+1	—0,72	—0,69	—0,3	0,80
6	1	1	0,25	—0,79	+1	+ 1	—1	—1	—0,72	0,14	—0,9	0,64
7	1	3	0,25	—0,79	—1	-1-1	+1	+1	—0,72	0,14	0,3	0,82
8	1	—1	0,25	1,21	+1	—1	+1	—1	—0,72	0,40	0,9	0,60
9	1	—3	1,25	1,21	+1	+ 1	—1	+1	0,36	0,40	—0,3	0,89
10	1	1	1,25	—0,79	—1	—1	—1	—1	0,36	0,14	—0,9	0,92
11	1	3	1,25	—0,79	+1	—1	+1	+1	0,36	0,14	0,3	0,76
12	1	—1	1,25	0,36	—1	+ 1	+1	—1	0,36	—0,69	0,9	0,97
13	1	—3	—0,75	—0,79	+1	—1	+1	+1	0,18	0,14	—0,3	0,68
14	1	1	—0,75	1,21	—1	+ 1	+1	—1	0,18	0,40	—0,9	0,87
15	1	3	—0,75	0,36	+1	+ 1	—1	+1	0,18	—0,69	0,3	0,71
16	1	—1	—0,75	—0,79	—1	—1	—1	—1	0,18	0,14	0,9	0,82
Запишем г, как квадратичную функцию от xz:
Zi = k'i (X? + UiXi + ct),
где k'i, aiy Ci — константы.
Вначале потребуем выполнения условия
N
L 2Q = о.
Тогда после подстановки (2.124) в (2.125) получим
У Zi =k'i (Е x2t Oi U Xi +	= 0
U=1	“	\u=l u	U=1	“	/
N
и, поскольку no (2.120) У xi =0,
u=l u
Отсюда
£ x?u + ^f = 0.
c' = — IT 21
169
(2.124)
(2.125)
(2.126)

Далее потребуем выполнения условия
1л7Л=0.	(2.127)
U—1	“ и
Тогда после подстановки (2.119) и (2.124) в (2.127) получим
N	N	N	N
22 xt Zi = 22 4 + а( 22 4 + Ci 22 х( = о
«=1 “ “ “ 1 И=1 “ Ы=£ "
и вновь, с учетом (2.120),
отсюда
.V
12 4Ц
Ф =	.	(2.128)
Подсчитаем для нашего случая по (2.126) с(:
С! =—80/16 =—5; с2 = —11/16	—0,6875;
с3 = —11,3676/16 = —0,7105
и по (2.128) а,:
at == 0; а2 = —4,5/11 = —0,4091;
а3 = —3,3286/11,3676 = —0,2928.
Выбор уровней Zi приведен в табл. 2.46. Коэффициенты k'i
выбирают из тех же соображений, что и &(. Формулы перехода от
значений z(- к х,- и обратно имеют вид
Z] = 1/4 (xf — 5);
г2 = Хг — 0,4941х2 - 0,6875;
г8==хз-0,2928хз-0,7105.
(2.129)
Запишем теперь уровни zz в план эксперимента (табл. 2.45).
Запишем qt как кубическую функцию от хг:
qi = k't (4 + diXi + eixi + nt),	(2.130)
где k’[, di, eit п( — константы.
170

Таблица 2.46. Выбор уровней г,-
i	xi	4 + ai*i + °i	4-	zi
1	—3 —1 1 3	4 —4 —4 4	1/4	1 — 1 — 1 1
2	—0,75 0,75 1,25	0,1818 —0,7233 0,3636	1	0,18 —0,72 0,36
3	—0,79 0,36 1,21	0,1449 —0,6863 0,3993	1	0,14 —0,69 0,40
Потребуем выполнения условий
(2.131)
£ф-Л=0;	(2.132)
«=1
Е^„ = 0.	(2.133)
и=1 и “
После подстановки (2.130) в (2.131); (2.130) и (2.119) в (2.132);
(2.130) и (2.124) в (2.133) получим соответственно
X Qi = X х? 4- di U x2t 4- e'l U Xi + N/ц = 0;
U=1 «	U=1 “	u=l u	1( = 1 "
X' qiuXiu = 12 x) 4- di E x? 4- et 1? x2i 4- rii £ Xi = 0;
u=l u u n=l u u~l u //=1 u u=l u
NN	N
N	N
и поскольку по (2.120), (2.127) и (2.125)
N	N	N
У xi =0; У X( Zi = 0 и У Zi = 0, то
u^l u	u=l u a	u=I u
171

У xlu + d( L x'i  I Ntii = 0;
U=1 U	M —1 u
N	N	N .
L x'i + di J] X? + e> x'i = 0;
u=i	«	u=i “	u=i “
N	N
L x3i Zi dt x? Z: 0;
,771 “ « ,T=i	" "
(2.134)
(2.135)
(2.136)
Подсчитаем для нашего случая
dx = 0; ej = —656/80 = —8,2; П1 = 0.
Выбор уровней <?! приведен в табл. 2.47.
Таблица 2.47. Выбор уровней q.
*1	XI + rf|Xi + ерп + III	ki	
—3	—2,4		—0,3
—1 1	7,2 —7,2	1/8	0,9 —0,9
3	2,4		0,3
Итак, формула перехода от значений qx к хг и обратно:
<71 = 1/8 (лл — 8,2X1).	(2.137)
Запишем теперь уровни q} в план эксперимента (табл. 2.45).
Способом, аналогичным рассмотренному выше, вводят и опре-
деляют функции от Xi и более высоких порядков.
Точно так же строят матрицы планирования в кодированном
масштабе для планов полного и дробного факторного эксперимента
172

sk. После установления значений уровней главных эффектов (на-
помним, что если уровни равноотстоящие, можно пользоваться
коэффициентами ортогональных полиномов Чебышева, например,
из табл. 2.17), уровни эффектов взаимодействий получают перемно-
жением уровней соответствующих главных эффектов.
Итак, табл. 2.45 представляет теперь матрицу плана 4 X
X З2 X 23//16, с помощью которой определяются все коэффи-
циенты модели (2.118).
Заданные планом опыты (см. табл. 2.43) были выполнены.
Опыты не дублировали. Результаты опытов (г/ — величина зерна,
мм) приведены в табл. 2.45. В качестве оценки дисперсии воспро-
изводимости использовали известную по предыдущим экспери-
ментам SI = 0,0016 при числе степеней свободы Д = 10.
Поскольку матрица в табл. 2.45 ортогональна, коэффициенты
модели (2.118) считали по формулам (2.11). В данном случае
(суммирование от и = 1 до N = 16):
1>ог/= 12,64;	Lxo=16;
1jxj«/ = —0,720;	1>?=80;
= 0,462;	1>2=H;
0,057;	П,368;
^л-4у = —1,248;	1>1=16;
У хъу = 0,560;	16;
^\х6у =—0,048;	XjX6=16;
12^ = 0,160;	^z2=16;
1>2у = 0,339;	£4 = 2,851;
Хгзг/ =-0,016; 1:4=2,701;
1 <7^ =-0,014; S4 = 7’2-
Поэтому оценки коэффициентов оказались следующими:
Ь„ = 0,790; Ь3 = —0,005; Ье = —0,003; 6аз=—0,006;
^ = —0,009; 64 = —0,078; bn = 0,010; Ьга = —0,002.
Ь2 = 0,042; Ь5 = 0,035;	Ь22 = 0,119;
Дисперсии оценок коэффициентов считали по формулам (2.27):
Я = si, = SB, = SB, = SB,, = 1 • 10-4;
sbo = Sbi = Sb, = Sb, = Sbll = 0,010;
SB, = 0,2-10~4; Sb, = 0,004;
SB, = 1,45.10"4; Sj, = 0,012;
SB, = 1,41 • 10-4; Sb, = 0,012;
173

я, = 5,61 • 10-’; Зь2, = 0,024;
= 5,92- IO”4; Sb„ = 0,024;
S'gllt = 2,22-10?4; S61tl = 0,015.
Доверительные интервалы оценок коэффициентов определили
по формуле (2.90). В данном случае при а = 0,05 и Д = 10 таблич-
ное значение /-критерия /о,об; ю = 2,23, поэтому
Ль„ = Ль4 == Ль5 — Ль„ = Ль,, = 0,022;
Ль, = 0,010; Ль„ = Ль„ = 0,022;
Дьг = Ль3 = 0,027; Ль,„ = 0,015.
Поскольку коэффициенты Ьо* Ь2, Ь±, Ьь и Ь22 по абсолютной
величине больше своих доверительных интервалов, их следует
признать статистически значимыми при 5 %-ном уровне значимости.
Остальные коэффициенты являются статистически незначимыми,
и в модель их можно не включать.
Таким образом, получено следующее уравнение регрессии:
у = 0,790 + 0,042х2 - 0,078x4 + 0,035х6 + 0,119z2. L (2.138)
Проанализируем полученную модель. Из ее анализа прежде
всего выясняется, что величина зерна в штампованных заготовках
из сплава ХН75ВМЮ (ЭИ827) не зависит от изученных четырех
типов штампов (эффекты'^, и Ьп1 незначимы). Сточки зрения
величины зерна можно проводить штамповку в любом из этих
штампов. Кроме того, на величину зерна не влияют температура
рекристаллизации в интервале 1100—1170° С и температура старе-
ния в интервале 850—950° С (незначимы соответственно эффекты
b3, bss и Ье), поэтому эти температуры можно выбрать любыми
в изученном интервале. Наиболее сильно величина зерна зависит
от температуры штамповки в изученном интервале, скорости
охлаждения после рекристаллизации и температуры закалки.
В изученной области определения факторов для измельчения
зерна штампованные заготовки после рекристаллизации необходимо
охлаждать на воздухе (х4 = +1, так как = —0,078), а зака-
ливать с температуры 1200° С (х5 = —1, так как Ьъ = 0,035).
Для определения оптимальной температуры штамповки подставим
х4 = +1 и х6 = —1 в уравнение (2.138). Получим
у = 0,677 + 0,042х2 + 0,1 19z2.
Переведем z2 в х2 по формуле (2.129):
г/= 0,595 -0,007х2+ 0,119x2.	(2.139)
Найдем экстремум функции (2.139) (это будет минимум, по-
скольку коэффициент при х\ — положительная величина), для чего
приравняем нулю ду!дх2:
ду/дх2 = —0,007 + 2.0,119х2 = 0.
174

Отсюда х2 = 0,029 « 0,03 или по формуле (2.124) оптимальная
температура штамповки Х2 = 1139 « 1140° С.
Таким образом, оптимальной схемой обработки для получения
возможно более мелкого зерна в штампованных заготовках из
сплава ХН75ВМЮ является штамповка в штампе любой конструк-
ции из I—IV при температуре 1140° С, последующая рекристал-
лизация при любой температуре в интервале 1100—-1170° С,
охлаждение после рекристаллизации на воздухе, закалка с темпе-
ратуры 1200° С и старение при любой температуре в интервале
850—950° С. Отметим, что если выбрать температуру рекристал-
лизации 1140° С, то процесс штамповки и последующей рекристал-
лизации возможно удастся совместить; это, кроме прочего, повысит
производительность процесса обработки.
2.5.7. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЛАНОВ ГЛАВНЫХ
ЭФФЕКТОВ З2 X 22//9
Рассмотрим еще два примера применения планов главных
эффектов.
В первом примере требовалось выбрать состав композитного
таллиевого припоя и условия пайки, обеспечивающие возможно
более высокий предел прочности (у) паяных соединений литых
деталей из алюминиевого сплава АЛ9 [89]. В качестве факторов
выбрали температуру пайки (XJ, время выдержки при пайке
(Х2), содержание в припое магния (Х3) и галлия (Х4). Предпола-
галось, что влияние магния и галлия на прочность соединений
может оказаться нелинейным, а влияние температуры и времени
выдержки линейно. В связи с этим содержание магния и галлия
варьировали на трех уровнях, а температуру и время — на двух.
Уровни факторов в натуральном масштабе Xt и поставленные им
в соответствие уровни приведены в табл. 2.48.
Таблица 2.48. Уровни варьирования факторов
1	Фактор	xi	F.	xi	Zz	Формулы перехода от X. к	И Z-
1	Температура пайки, °C	200 300	0 1	—1 + 2	—	-Ч = 3Лоо (Х1	70(/з)
2	Выдержка, ч	3 5	0 1	—1 -1-2	—	х2 = 3/2 (Х3-и/з)
3	Содержание	1,5	0	—5	+1	х3 = 6 (Х3 — %)
	в припое Mg, %	2,5 3,0	1 2	4-1 +4	—3 +2	г3 ~ ’/27 (Х3 + + ю/7Хз - 14)
4	Содержание	30	0	—1	+ 1	х. = У1о (Х4 — 40)
	в припое Ga, %	40 50	1 2	0 + 1	—2 + 1	г4 = 3 (х2 - 2/3)
176

Полный факторный эксперимент в данном случае должен
включать 2! х З2 = 36 опытов. Для сокращения объема экспери-
ментальной работы и с учетом априорных сведений было решено
строить модель только главных эффектов:
4	4
У = bo + Xi btXt X) ЬцХ21.
(=1	1=3
Поскольку эта модель содержит девять членов, составили план
эксперимента 22 X 32//9, включающий девять опытов. План полу-
чили из плана 34//9, имеющегося в каталоге (см. приложение VII.2,
план 9). С помощью подходящего преобразования из плана 34//9
заменой двух его столбцов для трехуровневых факторов столбцами
для двухуровневых можно получить шесть разных планов. Один из
них использовали в настоящей задаче, другой — в следующей.
В данном случае в плане 3V/9 с помощью преобразования 16
(приложение VII.3) заменили первый и второй трехуровневые
факторы соответствующими двухуровневыми Д и F2, а третий и
четвертый трехуровневые факторы оставили без изменений для
F3 и Р\. Матрица полученного таким образом плана 22 X 32//9
представлена в табл. 2.49 в кодах Ft (числа в числителе) и в нату-
ральном масштабе (числа в знаменателе).
Коэффициент эффективности ф составленного плана, определяю-
щий его близость к Q-оптимальному, по формуле (2.68), при k' = 7;
п = 4;	= s2 = 2 — 1; фх = ф2 = 0,89; s3 = s4 = 3 — 1=2,
Фз = Ф« = 1 равен
Ф =---------- 7	-------= 0,93.
1~4 + й89-+(Ш +3 + 3
Следовательно, план почти Q-оптимален.
Заданные планом опыты были выполнены. На обезжиренные и
высушенные контактные поверхности образцов, соединяемые
встык, наносили пастообразный припой, предварительно приго-
товленный с помощью вибратора. Собранный узел выдерживали
в печи под давлением 2,94 МПа (0,3 кгс/мм2). Опыты не дублиро-
вали. Известная ранее дисперсия опыта была .8/, = 0,01 при числе
степеней свободы /х = 5. Результаты опытов приведены в табл.
2.49.
По этим результатам строили модель
У = Ьо +	-{- Ь,х2 Ь3х3 Ь^ b33z3 + bMzit (2.140)
где xt — линейные функции от Xt типа (2.119): zz — квадратичные
функции от Xt типа (2.124).
Константы Аг в (2.119), определенные по формуле (2.121),
оказались:
Л1 = —700/3; А = —11/3; Л3 = —7/3; Л4 = —40;
а выбранные константы в (2.119):
й. = 3/100; Aj2 = 3/2; k3 = 6; ki== 1/10.
176

Но-
мер
опы
та
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Таблица 2.49. Матрица плана 22Х32//9
В масштабе				В кодовом масштабе							и ("ft- кгс/мм2)
Ft	хг	X3	X<		-Vi	x2	Xs	-V4		Z4	
0 200	0 3	0 1,5	0_ 30	+1	—1	—1	—5	—1	+1	+1	3,4
0 200	0 T	1 Г	Й	+1	—1	—1	+ 1	0	—3	—2	4,5
1 300	0 3	2 3/j	2 50	+ 1	-1-2	—1	+ 4	+1	+ 2	+ 1	6,1
0 200	0 |co	1 2,5	2 50	+ 1	— 1	—1	+ 1	-Hi	—3	+ 1	5,7
0 200	0 3	2 3,0	0 30 1 40	4-1	— 1	— 1	+4	—1	+2	+ 1	3,9
1 300	0 3 1 5	0 L5		+1	-|2	—1	—5	0	1-1	—2	4,3
0 200		2 Го	J6	-1-1	—1	+2	+4	0	+2	—2	5,2
0 200 1 300	1 "5 1 5	0 Г	2 50	+1	— 1	+2	—5	+1	-1-1	+ 1	5,9
		1 2?5	0 30	+1	+2	+2	+ 1	—1	—3	+ 1	4,5
Уровни х( и формулы, связывающие х: с Xh приведены
в табл. 2.48. Кроме того, уровни xL записаны в матрице планирова-
ния в кодовом масштабе, показанной в табл. 2.49.
Константы сг в (2.124), подсчитанные по формуле (2.126):
с3 = —14; с4 = —2/3; константы в (2.124) по формуле (2.128):
ал = 10/7; а4 — 0; константы k'i в (2.124) были выбраны: k3 = 7/27;
7’4 — 3.
Установленные уровни zs и z4 и формулы, связывающие их
с уровнями xt, приведены в табл. 2.48. Кроме того, уровни z3
и z4 указаны в табл. 2.49.
Записанная в кодовом масштабе в табл. 2.49 матрица планиро-
вания ортогональна. Поэтому коэффициенты модели (2.140) счи-
тали по формулам (2.11), а их дисперсии — по формулам (2.27).
Оценки коэффициентов оказались такими:
Ьо = 4,83; ftt = 0,07; ft2 = 0,18; b3 = 0,06;
= 0,98; />3з = 0,002; Ьм = 0,08.
Их дисперсии:
Я = 11,1-10-4; Я =	=	= 5,56-10'4;
37, = 0,79-10’4; S*4 = 16,67-10-4; Sgss = 2,38-Ю"4.
177

Рис. 2.3. Зависимость ав па-
яных соединений от содержа-
ния в припое магния и галлия
В данном случае при
а = 0,05 и /4 = 5 таблич-
ное значение /-крите-
рия /о,о5;5 = 2,57; поэтому
по формуле (2.90) довери-
тельные интервалы оце-
нок коэффициентов
АЬо = 0,086;
АЙ1 = АЙ2 = АЙ44 = 0,060;
А6, = 0,023; Аь4 = 0,105; АЙ88 = 0,040.
Таким образом, все коэффициенты, кроме b3S, следует признать
статистически значимыми при 5%-ном уровне значимости и модель
имеет вид
у — 4,83 + 0,07лд -ф 0,18л-2 -ф 0,06х3 -ф 0,98х4 + 0,08z4. (2.141)
Дисперсия неадекватности для модели (2.141) Зфад = 0,0009
оказалась значительно меньше дисперсии опыта S2y = 0,010,
поэтому адекватность модели (2.141) очевидна.
При поиске оптимальных составов припоя и режимов пайки
прежде всего выяснилось, что наибольшая прочность паяных
соединений получается в том случае, когда пайку проводят при
температуре 300° С (хх = -ф2) в течение 5 ч (х2 = +2). Подставив
эти значения в (2.141), получили модель зависимости предела
прочности соединений только от состава припоя:
у = 5,33 -ф 0,06х-3 -ф 0,98х4 -ф 0,08z4.
Графически эта зависимость приведена на рис. 2.3. Из рисунка
видно, что прочность паяных соединений растет при одновремен-
ном увеличении в припое количества магния и галлия. С учетом
этого были рекомендованы припои, содержащие 3% Mg и 50% Ga.
Пайка ими по режиму 300° С — 5 ч, использовавшаяся для заделки
раковин и пор различных радиотехнических изделий из сплава
АЛ9, позволила восстановить детали, хорошо сопротивляющиеся
термоциклическим, вибрационным и ударным нагрузкам при.
пределе прочности паяного соединения ^49 МПа (5 кгс/мм2).
Второй пример посвящен поиску оптимальных составов слож-
нолегированных платиновых сплавов, содержащих от 10 до 60%
Pd (относительно недорогого и менее дефицитного по сравнению
с платиной) [95]. Кроме палладия исследуемые сплавы содержали
5—10% Rh, являющегося сильным упрочнителем платины, малые
добавки золота и иридия, которые также должны выполнять роль
упрочнителей при высоких температурах. Таким образом, иссле-
довали влияние элементов химического состава в части системы
178

Pt—Pd—Rh—Au—Ir на поведение сплавов в условиях высоко-
температурной ползучести.
Изменение времени до разрушения (г/) изучали в зависимости
от содержания в сплавах родия (Х4), палладия (Х2), иридия (Х3)
и золота (Х4). Предполагали, что влияние родия и золота может
оказаться линейным, поэтому факторы Хг и Х4 варьировали на
двух уровнях, а влияние палладия и иридия — нелинейным и
варьировали факторы Х2 и Х3 на трех уровнях. Уровни варьиро-
вания факторов в натуральном масштабе и поставленные им
в соответствие уровни F, указаны в табл. 2.50.
Таблица 2.50. Уровни варьирования факторов
i	Фактор	xit %	F-	xi		Формулы перехода от X. к	и
1	Rh	5 10	0 1	— 1 + 2	—	х4 = О.бЛ-! — 4
2	Pd	10 35 60	0 1 2	— 1 0 + 1	+ 1 —2 + 1	xa=1/2S (Х2- 35) z2 Зх| 2
3	Ir	0 0,1 0,5	0 2 1	—2 — 1 +3	+4 —5 + 1	х3= 10 (Х3 —0,2) z3 = 2,1 (V — -%х3-14/3)
4	Au	0,05 0,10	0 1	— 1 +2		х4 = 60Х4 — 4
Полный факторный эксперимент в данном случае требовал
проведения 22 х З2 = 36 опытов. Для сокращения объема экспе-
риментальной работы воспользовались, как и в первом примере,
планом главных эффектов 22 X 32//9, включающим только девять
опытов. План получили из того же имеющегося в каталоге плана
3V/9 (см. приложение VII.2, план 9), заменив с помощью преобра-
зования 1 б (приложение VII.3) первый и четвертый трехуровне-
вые факторы двухуровневыми Fj и F4 и оставив без изменения вто-
рой и третий трехуровневые факторы для F2 и F3. Матрица полу-
ченного таким образом плана 22 х 32//9 показана в табл. 2.51
в кодах Ft (числа в числителе) и в натуральном масштабе (числа
в знаменателе).
Коэффициент эффективности составленного плана, как и
плана, использовавшегося в первом примере, ф = 0,93.
Заданные планом сплавы готовили в индукционной печи в атмо-
сфере аргона с двойным переплавом. После ковки и прокатки
штамповкой изготовляли образцы, которые после предваритель-
ного отжига, испытывали на ползучесть при температуре 1400° С
и начальном растягивающем напряжении 4,9 МПа (0,5 кгс/мм2).
179

Таблица 2.51. Матрица плана 22Х32//9
Но- мер опы- та	В масштабе F"X				В кодовом масштабе							У* ч	VI
	Ft Xt	f2 х2	Д х3	М?		Xi	х2	*3		z2	Z3		
1	0 5	2 10	- о| о	0 0,05	+1	—1	—1	—2	—1	+ 1	4-4	16	4,0
2	0 5	0 То	1 б^	0 0,05	4-1	—1	—1	+3	—1	+ 1	+ 1	18	4,243
3	1 Тб	0 Тб	2 671	1 0J	-ы	4-2	—1	— 1	4-2	+ 1	—5	77	8,775
4	0 5 0	1 35 1	1 Кб 2	1 кт о	+ 1	—1	0	4-з	4-2	—2	4-1	13	3,606
5	5	35	кт	0,05	4-1	—1	0	—1	—1	—2		5	14	3,742
6	1 То	1 35	0 o’	0 0,05	+ 1	4-2	0	—2	—1	—2	4-4	34	5,831
7	0 5	2 60	2 6Г1	0 0,05	4-1	—1	4-1	—1	—1	4-1	—5	5	2,236
8	0 "5	2 60	0 0	1 КТ	+ 1	-1	4-1	—2	+ 2	4-1	4-4	9	3,0
9	1 То	2 60	1 Кб	0 0,05	+ 1	4-2	4-1	4-3	— 1	4-1	4-1	27	5,196
Каждый опыт повторяли 4 раза. Средние результаты опытов
(время до разрушения — у, ч) приведены в табл. 2.51. Дисперсия
опытов оказалась S'ly = 8,30 при числе степеней свободы Д = 27.
Поскольку время до разрушения менялось в опытах достаточно
сильно, исходную зависимую переменную у заменили новой /у
(табл. 2.51). После проверки по G-критерию однородности ряда
дисперсий (ряд оказался однородным), по формулам (2.82) и (2.83)
подсчитали дисперсию опыта для новой переменной S2y- = 0,1014.
При этом число степеней свободы /t -- 27, естественно, не изме-
нилось.
По полученным результатам строили модель
У = 1>0 + Ь^ -1- Ь2х2 -1- Ь3х3 4- Ь& 4- bi2z2 4- b33z3.	(2.142)
Для перевода X,- в xt воспользовались формулой (2.119),'
константы А,- в которой считали по (2.121). Константы kL (2.119)
выбирали так, чтобы уровни xz были целыми числами. Уровни xz
приведены в табл. 2.50 и 2.51, а формулы, связывающие их с Xz —
в табл. 2.50.
Уровни zz устанавливали по формуле (2.124), константы в кото-
рой считали по (2.126) и (2.128), а значения k'i вновь выбирали
так, чтобы уровни zz были целыми числами. Уровни zz приведены
в табл. 2.50 и 2.51, а формулы, связывающие их с xh — в табл. 2.50.
180

Коэффициенты модели (2.142) рассчитали по формулам (2.11):
Ь„ = 4,5143; b, = 1,0432; Ь2 = — 1,0977;
й3 = —0,0305; 64 = 0,3063; f>22 = 0,0607; Ь33 = —0,0746.
Дисперсии оценок коэффициентов по формулам (2.88), с учетом
четырех дублей каждого опыта, следующие:
Sg0 = 0,0028; Sbl = Sft =	= 0,0014;
S£, = 0,0042; Sg, = 0,0006; S2ba3 = 0,0002.
При a = 0,05 и Д = 27 табличное значение /-критерия
/о,05; 27 = 2,05, поэтому рассчитанные по формуле (2.90) довери-
тельные интервалы коэффициентов оказались
Д6о = 0,1085; ДЬ1 = ДЛ1 = ДЛ_2 = 0,0767;
Д6, --= 0,1329; ДЬз-0,0502; ДЬзз = 0,0290.
Таким образом, при 5%-ном уровне значимости статистически
незначимыми оказываются коэффициенты Ь3 и Ь22.
В то же время при 10%-ном уровне значимости (а = 0,10)
^о.ю; 27 = 1,70, и оказывается, что доверительные интервалы
коэффициентов Ь3 и Ь22: Д6, = 0,030 и ДЬз2 = 0,0607. Поэтому
при a = 0,10 и эти коэффициенты можно признать статистически
значимыми.
Окончательно, модель имеет вид
[' {Г = 4,5143	1,0433хг - 1 ,0977л2 - 0,0305х3 4~
4- 0,3063х4 4- 0,0607z2 - 0,0746z3.	(2.143)
Дисперсию неадекватности для модели (2.143) определили по
формуле (2.96), причем числитель ее, с учетом четырех дублей
каждого опыта, считали по (2.100). Оказалось, что 5|еад = 0,5670
при числе степеней свободы Д = 2. Поэтому расчетное значение
F-критерия Агасч — 5,59. При a = 0,05 табличное значение
^-критерия Fo,05; 2; 27 = 3,41, Э При a = 0,01 Fo,01; 2; 27 = 5,60.
Следовательно, модель (2.143) адекватна только при 1 %-ном уровне
значимости.
Кроме того, расчетные значения (]/г/)расч перевели в урасч
и вновь по формулам (2.96) и (2.100) рассчитали дисперсию неадек-
ватности 5>неад = 26,74. Сравнение ее с дисперсией опыта Sj) =
8,3 дало расчетное значение F-критерия Арасч = 3,22, что
меньше F™61> при 5%-ном уровне значимости.
Покажем подробней, как происходил поиск составов жаро-
прочных сплавов с помощью этой модели. Прежде всего будем
искать наиболее жаропрочный сплав в изученной части системы
Pt—Pd—Rh—Au—Ir. Поскольку все коэффициенты в модели
(2.143) оценены независимо друг от друга, можно анализировать
влияние на параметр оптимизации каждого фактора независимо от
другого. Такого рода анализ приведен в табл. 2.52.
181

Т а б л и ц а 2.52. Анализ модели (2.143)
Фактор	Уровни			Эффекты повышения времени до разрушения		
	xi	Х1	г1	blxi	ЬИг1	Ьгх(. + 6
Rh	5 10	— 1 2	—	— 1,04 2,08	—	— 1,04 2,08
Р<1	10 35 60	—1 0 1	1 —2 1	1,1 0 — 1,1	0,06 —0,12 0,06	1,16 —0,12 —1,04
1г	0 0,1 0,5	—2 —1 3	4 —5 1	0,06 0,03 —0,09	—0,28 0,35 —0,07	—0,22 0,38 —0,16
Au	0,05 0,10	—1 2	—	—0,31 0,62	—	—0,31 0,62
Он показывает, что время до разрушения растет с уменьшением
в сплаве содержания палладия и с увеличением содержания родия
и золота. Иридия в сплавах должно быть 0,1%. Наиболее суще-
ственно на жаропрочности сплавов сказывается изменение в них
содержания родия, затем палладия и, наконец, золота и иридия.
В изученных интервалах изменения переменных наиболее жаро-
прочным является сплав платины с 10% Rh, 10% Pd, 0,1% Ir
и 0,1% Au (сплав 1, табл. 2.53). Этот сплав был испытан в матрице
планирования (опыт 3, табл. 2.51) и, действительно, оказался
лучшим.
Попробуем теперь еще повысить жаропрочность этого сплава.
Снижение содержания в нем палладия и повышение содержания
родия экономически нецелесообразно. Поэтому увеличим в нем
количество золота последовательно до 0,2 и 0,3% (сплавы II и III,
табл. 2.53). По расчету, полученному экстраполяцией, время до
разрушения этих сплавов должно было быть больше по сравнению
Таблица 2.53. Свойства предложенных сплавов
	Состав, %					у, Ч 
	Rh	Pd	т	Au	Pt	
I	10	10	0,1	0,1	Остальное	77
II *	10	10	0,1	0,2		60
III *	10	10	0,1	0,3	»	62
IV	10	60	0,1	0,1		47,5
V	10	35	0,1	0,2	»	48,5
VI	10	30	—	0,1	»	60
* Экстраполяция
182

со сплавом I. Однако эксперимент этого не подтвердил (табл. 2.53).
Тем не менее жаропрочность сплавов II и III достаточно высока.
Далее, анализируя модель (2.143), попытаемся найти сплавы
с возможно более высоким содержанием палладия и в то же время
достаточно жаропрочные. Такие сплавы, требующие меньшего
количества платины, наиболее целесообразны из экономических
соображений.
Увеличим в сплаве I количество палладия до 60% (сплав III,
табл. 2.53). Его время до разрушения должно быть по расчету
43 ч. Интересно, что в матрице планирования уже был реализован
похожий сплав (сплав 9, табл. 2.51), однако в нем не было опти-
мального количества золота и иридия, и время до разрушения его
составило 27 ч.
Сплав IV был приготовлен и испытан на ползучесть. Он про-
стоял до разрушения при температуре 1400° С и напряжении
4,9 МПа (0,5 кгс/мм2) 47,5 ч. Уменьшим в сплаве IV количество
палладия до 35%, но одновременно увеличим количество золота
до 0,2%. Такой сплав (сплав V, табл. 2.53), как показал экспе-
римент, имеет время до разрушения в изученных условиях 48,5 ч.
Наконец, исключим из сплава IV иридий. В этом случае, сплав VI
(табл. 2.53) по результатам испытаний на ползучесть имеет время
до разрушения 60 ч.
Таким образом, установлено, что платиновые сплавы, содержа-
щие 60% Pd и 10% Rh, а также небольшие добавки Au и 1г, имеют
при 1400° С и начальном напряжении 4,9 МПа (0,5 кгс/мм2) при-
мерно такую же долговечность, как и более дорогие сплавы, содер-
жащие только 10% Pd.
2.5.8. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФАКТОРНЫХ ПЛАНОВ
ДЛЯ ОТСЕИВАЮЩЕГО ЭКСПЕРИМЕНТА
Рассматриваемые факторные планы можно использовать и для
построения моделей с целью выбора наиболее сильно влияющих
факторов и их взаимодействий. Решение таких задач с помощью
сверхнасыщенных планов уже было описано в п. 1.22. Фактор-
ные же планы являются ненасыщенными или насыщенными.
Планы, число опытов которых больше числа оцениваемых
эффектов (имеются в виду и линейные эффекты и эффекты взаимо-
действий факторов разных порядков), называются ненасыщенными.
Здесь остаются степени свободы для проверки адекватности
построенных моделей. К сожалению, эти планы, как правило,
содержат большое число опытов, и уже в силу своей трудоемкости
редко применяются для постановки экспериментов в сложных
ситуациях, когда предварительному исследованию подлежит боль-
шое число переменных. Например, в задачах с десятью факторами
учет только линейных эффектов и парных взаимодействий требует
определения 56 коэффициентов регрессии, т. е. реализации планов,
содержащих более 56 опытов. Тем не менее, в ряде случаев удается
183

построить достаточно экономные по числу опытов ненасыщенные
планы (см., например, каталог в приложении VII).
Планы, число опытов которых в точности равно числу оцени-
ваемых эффектов, называют насыщенными. Если строится линей-
ная модель
k
!/ = 6о+ £
1=1
то число опытов полностью насыщенного плана N в точности равно
числу коэффициентов этой модели, т. е. N = k + 1.
В работах [31, 321 изучены возможности построения насыщен-
ных планов первого порядка при условии минимизации наиболь-
шей дисперсии среди всех дисперсий оценок коэффициентов bt.
Оказалось, что оптимальными с точки зрения этого критерия
являются планы двух групп:
первая — насыщенные планы дробного факторного экспери-
мента и так называемые планы Плакетта—Бермана;
вторая — симплекс-планы первого порядка.
Число опытов в планах первой группы кратно четырем. Каж-
дый фактор варьируется на двух уровнях -)-1 (+) и —1 (—).
Насыщенные дробные реплики можно применять в задачах с чис-
лом факторов k: 3 (23-1, N = 4); 7 (27~4, N = 8); 15 (216-11, N = 16);
31 (231~26, N = 32) и т. д. Плакетт и Берман предложили ряд
ортогональных насыщенных планов для k: 11 (V = 12); 19 (N =
= 20); 23 (N = 24); 27 (N = 28); 35 (V = 36) и некоторые другие.
Составлять планы первой группы удобно с помощью вспомога-
тельной таблицы (табл. 2.54), в которой указаны первые строки
(условия первого опыта) каждого из соответствующих планов.
Правило составления планов следующее: вторую и последующие
строки плана получают сдвигом всех элементов предыдущей строки
на одну позицию вправо (или влево) и перестановкой последнего
(или первого) элемента предыдущей строки на первое (или послед-
нее) место в данной. Всего эту операцию повторяют (k — 1) раз,
в результате чего получается матрица k х k. К этой матрице
добавляют последнюю (k + 1)-строку, элементами которой яв-
ляются знаки минус. Наконец, вводят (/? + 1)-столбец фик-
тивной переменной х0, состоящей из одних знаков плюс и
необходимый для оценки величины свободного члена модели.
Составленный таким образом план Плакетта—Бермана для
k = 11 в качестве примера показан в табл. 2.55. Этот план содер-
жит N = 12 опытов. Здесь элементами первой строки являются
знаки, взятые из табл. 2.54. Во второй строке они сдвинуты вправо,
при этом последний знак первой строки (—) во второй поставлен
на первое место. Аналогично составлены 11 строк этой таблицы.
Двенадцатая строка включает только знаки минус. Столбец для
х0 не указан.
Рассматриваемые насыщенные планы первой группы являются
ортогональными и нормированными, поэтому расчет коэффициен-
1£4

Таблица 2.54. Комбинации знаков, используемые
для построения насыщенных дробных реплик и планов
Плакетта—Бермана
Число фак- торов	Число опы- тов	Комбинации знаков
3	4	+-+
7	8	4-4-4—4-—
11	12	++—Н-+	+-
15	16	++++-+-++—1-	
19	20	4-4-—++++-+-+	4-4—
23	24	+++++-+-++—++—+-+	
27	28	АВС 4- 4—1—1—ь	+	+ + ч—ь ч- ч—н 4- 4—1._ _]—।—[_	++-]—н ++ -+++++	+	+—+- 4—4—4-4—4-4- + ч—1—1—и	+ +	+ + +ч—ь 4- + 	4-4—4-4-4- +	++— 4-4-—+4-4-4— 	+++++ -++	+	+++-+-++ +++ +-+ —+—+-+- +-++-+++- +++	++- +—+	+ ++-++—++ +++	++ -+—+-+	++-+++-+
31	32		+-+-	+++-++	+++++	F+ -+—+
35	36	F 4 1—F	4—1—1—1—F 4—1—Ь	+	+ -+- ++—ч—
Таблица 2.55. План Плакетта—Бермана для fe=ll
Номер опыта	Xi	х2	*3		Хь	Х9	х,	*8	х9	Хю	Хц
1	-1-	+			4-	4-	4-							4-		
2	—	+	4-	—	4-	4-	4-	—			4-
3	4-	—	4-	4-	—	4-	4-	4-	—	—	—
4	—	+	—	4-	4-	—	+	4-	4-	—	—
5	—	—	4-	—	+	4-	—	+	4-	4-	—
6	—	—	—	4-	—	4-	4-	—	4-	4-	+
7	- -	—	—	—	+	—	+	4-	—	+	4-
8		+	—	—	—	4-	—	4-	4-		4-
9	—	4-	+	—	—	—	4-	—	4-	4-	—
10	—	4-	+	4-	—	—	—	4-		4-	4-
11	ч-	—	+	4-	4-	—	—		4-		4-
12											—
185

Тов ведут по формуле (2.12), дисперсии оценок коэффициентов
считают по формуле (2.28).
Особенностью насыщенных планов является отсутствие степе-
ней свободы для проверки адекватности модели. Разумеется,
если некоторые из bi окажутся статистически незначимыми, их
можно исключить из модели, и тогда появляется возможность
проверки ее адекватности по F-критерию. Если же все коэффи-
циенты модели окажутся статистически значимыми, то N = k',
и по формуле (2.97) /2 =- 0.
Важным в данном случае является способ оценки дисперсии
опыта S2y. Чтобы получить ее, необходимо дублировать опыты. Но
дублировать все опыты плана здесь явно нецелесообразно, по-
скольку речь идет об эксперименте для выбора наиболее существен-
ных факторов, и число опытов такого эксперимента должно быть
минимальным. Поэтому весьма разумной представляется рекомен-
дация включать в план эксперимента несколько фиктивных факто-
ров, переходя таким образом к другому насыщенному плану (см.,
например, [93]). Эффекты фиктивных факторов будут равны нулю
только в том случае, если опыты проводятся абсолютно точно.
Поскольку этого быть не может, дисперсию неадекватности 5?1еад>
рассчитанную по формуле (2.96), можно использовать в качестве
оценки дисперсии опыта S‘y с числом степеней свободы = N —
— k — 1. В данном случае формулу для расчета S2y можно упро-
стить [93]:
N-k-i
«I
(2J44)
где bt — коэффициент регрессии при /-м фиктивном факторе (всего
таких факторов N — k — 1).
Применение планов Плакетта—Бермана проиллюстрируем сле-
дующим примером.
Изучали отбеливаемость отливок одного типа из серого синте-
тического модифицированного чугуна в зависимости от содержа-
ния в нем основных компонентов и примесей, а также условий
выплавки и модифицирования, всего k = 15 факторов (табл. 2.56).
Требовалось выяснить, какие из рассматривавшихся факторов
наиболее сильно влияют на отбеливаемость. В план эксперимента
было решено включить еще четыре фиктивных фактора для оценки
дисперсии опыта, поэтому использовали план Плакетта—Бермана
для k = 19. Этот план, включающий N = 20 опытов, был составлен
указанным выше способом и приведен в табл. 2.56. Там же приве-
дены результаты определения отбеливаемости (в %) по клиновой
пробе, как отношение полностью отбеленной части клина ко всей
его высоте. Опыты не дублировали.
Коэффициенты линейной модели считали по формуле (2.12).
Их значения указаны также в табл. 2.56.
186

Дисперсию Sy подсчитали по формуле (2.144):
S* = 20 (0,95^ + 0.^^^+1,2^) = 13>85; Sv == 3)72,.
Проверили статистическую значимость коэффициентов, для
чего, рассчитав по (2.28) дисперсии оценок коэффициентов, по-
строили по (2.90) их доверительные интервалы:
SI. = -1^- = 0,6925; Sb, = 0,832;
1	20	I
fi = 20 — 15 — 1 = 4; /о,05; 4 — 2,78;
= 2,78-0,832 = 2,313.
Статистически значимые коэффициенты, т. е. те, для которых
выполняется условие (2.91), отмечены в табл. 2.56 звездочками.
Таким образом, зависимость отбеливаемости чугуна от изучен-
ных факторов можно в данном случае описать следующим уравне-
нием:
у = 29,65 ф- 2,95х2 ф- 2,85х3 4- 2,65х5 —
- 5,25х8 - 2,85хи + 5,35х12 ф- 3,65хм ф- 5,95х16.	(2.145)
Анализ абсолютных значений и знаков коэффициентов этого
уравнения позволяет выделить факторы, наиболее сильно влияю-
щие на отбеливаемость. Среди них в первую очередь следует
отметить х18 (количество модификатора), х12 (тип модификатора)
и хв (время расплавления).
Уравнение (2.145) включает 9 членов и было получено по 20
опытам, поэтому можно проверить его адекватность. Для этого
подсчитаем по (2.96) дисперсию неадекватности. Оказалось, что
55„еаД = 231,4; 5^ = 231,4/(20 — 9) = 21,04; /2 = 8.
Расчетное значение F-критерия по (2.95): FpaC4 = 21,04/13,85 =
= 1,52, что меньше щ 4 = 5,93 при а = 0,05, /2= 11 и
ft = 4. Следовательно, при 5%-ном уровне значимости модель
(2.131) можно признать адекватной. Теперь при необходимости
этой моделью можно воспользоваться для снижения отбеливаемости
изучаемого чугуна.
Насыщенные планы второй группы были предложены в рабо-
тах [31, 32] и являются симплекс-планами первого порядка.
Симплексом называется простейшая геометрическая фигура,
имеющая в ^-мерном пространстве (/? + 1)-вершину. Для k = 2
это треугольник, k = 3 — треугольная пирамида и т. д.
Симплекс-план первого порядка включает (k + 1) опыт, по-
ставленный в каждой вершине й-мерного симплекса (k — число
факторов), а потому является насыщенным. Такие планы были
получены на ЭВМ «Минск-2» [31 ] для k = 2, 4, 5 и 6.
Если, как обычно, связать значения факторов в кодированном
(х,) и натуральном масштабах (Xz) соотношениями (1.24), то
187

Таблица 2.56. Планирование отсеивающего эксперимента по выбору фак
Факторы	Содержание в чугуне, %					Тип шихты	Способ наугле- роживания	Время расплав- ления, ч	Температура конца расплав- ления. °C
	Мп	Si	С	S	р				
Основ-	0,4	2,5	3	0,03	0,03			2	1400
НОЙ уровень									
Интер-	0,2	0,5	0,5	0,02	0,02	—	—	0,5	50
вал варьи- рования									
Верхний уровень (+1)	0,6	3	3,5	0,05	0,05	Углеро- дистая сталь	Куски	2,5	1450
Нижний уровень (-1)	0,2	2	2,5	0,01	0,01	Транс- форма- торная сталь	Поро- шок	1,5	1350
Код	Xi	х2	X,		Х6	хв	Xi	Хц	х9
Опыт 1	+	+					ч-	4-	+	ч-		
2	—	+	+	—	—	4-	4-	+	+
3	+	—	+	+	—	—	+	4-	+ 
4	—	+	—	4-	ч-	—		4-	4- '
5	—	+	+	—	ч-	4-	—		+
6	—	—	+	+		4-	4-	—	
7	—	—	—	ч-	4-	—	4-	4-	—
8	—•	—	—	—	4-	4-		4-	4-
9	+	—	—	—	—	+	4-		4-
10	—	4-	—.	—	—	—	4-	4-	
11	4-	—	+	—	—	—		4-	4-
12	—	+	—-	ч-	—	—	—		4-
13	+	—	+	—	4-	—	—	—	
14	4-	+	—	ч-	—	4-					—
15	+	4-	4-		4-		4-			— .
16	+	+	4-	Ч"		4-		4-	
17	—	+	ч-	ч-	+	—	+		4- 
18	—	—	+	Ч-	4-	4-		4-	
19	+	—	—	4-	4-	• +	4-		4-
20		—	—	—	—	—	—	—	—
bi	—0,75	2,95*	2,85*	—0,35	2,65*	—0,75	1,15	—5,25*	— 1,95
188

торов, влияющих на отбеливаемость чугуна
	Темпер атура максимального нагрева, °C	Время выдерж- ки, мин	Тип модифика- тора	Температура мо- дифицирования (заливки), °C	Время модифи- цирования, мин	Количество мо- дификатора, %	Фиктивные факторы				Отбеливае- мость, %
	1550	10	—	1400	10	0,4	—	—	—	—	
	50	10	—	50	5	0,2	—	—	—	—	
	1600	20	SiCa	1450	15	0,6	—	—	—	—	
	1500	0	FeSi	1350	5	0,2	—	—	—	—	
	*10	*и	*12	*13	*14	*15	*18	*17	*18	*1,	У
	+			+									+	+			30
	—	+	—	+	—	—	—	—	+	+	10
	+	—	+	—	+	—	—	—	—	+	30
	+	+	—	+	—	4-	—	—	—	—	13
	+	+	+	—	+	—	+	—	—	—	40
	+	+	+	+	——	4-	—	+	—	—	40
	—	+	+	+	+ •	—	+	——	+	—	22
	—		+	+	+	+	—	+	—	+	36
	+	—--	.—	+	+	+	+	—	4-	—	31
	+	+	—	.—	+	+	4-	+	—	+	30
	.—	+		.—	—	+	+	+	4-	—	21
	+	—	+	+	.—		+	4-	+	+	31
	+	-h	—	+	4-	—	-—	+	4-	+	32
	.—	+	+	—	+	+	—	—	+	4-	45
	—	—	+	+	—	+	4-	—	—	+	55
	—	—	—	+	+	—	+	4-	—	—	17
	—	—	—	—	4-	+	—	4-	+	—	50
	+		1 1	—	—	—	+	+	—	+	+	30
	—	+	—	——	——	—	+	+	—	+	10
						•					15
	1,55	—2,85*	5,35*	—0,45	3,65*	5,95*	—0,95	0,05	0,55	1,25	
189

Т а б л и ц а 2.57. Симплекс-планы первого порядка
для k = 2, 4, 5 и 6
k	План					Константы
2						я21 = 0,267978 а22 = 0,732131 6г-= 1,366025
		№	Xi	х2		
		1		— 1		
		2	— 1	Я21		
		3	а22	а22		
4		№		х2	Хз	Х.1			а41 == 0,666667 а42 = 0,707107 64 = б2 = 63 = 1,290994 64= 1,224746		
		1	—1	1	0	—а41					
		2	1	0	—1	—а41					
		3	0	— 1	1	—а41					
		4	—а42		а42		а42	1					
		5	а42	а42	а42	1					
											
5									а51 - 0,181920 а52 = 0,38 4324 а53 = 0,797596 б(-= 1,253767		
		№	*1 | х2		Х3	х4					
		1	| в52 | —1				1	| —а51					
		2 | -1 | -1			1 |-аБ1		а52				
		3	1 1			а51	а52	— 1				
		4	1 | —а51		а52	-1	— 1				
		| —а61 | а52				-1					
		6	| а53 | в53			а53	а53	а53				
											
6											а61 -- 0,654694 а62 = 0,591235 аю -= 0,140923 а64 = 0,795618 6,- = 1,256885
		№	*1 | х2		Х3 | Х4 | Х5 | Хе						
			-1 | -1		ав1 | —ав2		1	| в63				
		2	| —1 | аб1			ав2 |	1	| а63	|	1						
		3	в61 | —°62		1	| авз | —1 |	1						
		4	| —а62 |	1			^63 |	1 |	1 | ^61						
		5 |	1 | а63			— 1 1 —1 1 а81 1 —ав2						
		6	авз |	1		—1 | аи | —а62 | 1						
		7 | ав4 | ав4			ав4 | ав4 | ав4 | а64						
											
190

оптимальными оказываются планы, указанные в табл. 2.57.
Матрица каждого из этих планов должна включать также столбец
хй, состоящий ИЗ Н-1.
При использовании указанных в таблице планов расчет коэффи-
циентов линейной модели проводят по уравнениям [31]
Е уи	ё? Е х1иУи
=	; (i=l, 2, ..., k). (2.146)
Дисперсии коэффициентов оценивают из выражений
S2	d2S2
= (i = l. 2, ..., Z:).	(2.147)
Дисперсию опыта S'2y приходится определять по специально
поставленным дублированным опытам. Статистическую значи-
мость эффектов проверяют по /-критерию.
Применение симплекс-планов первого порядка проиллюстри-
руем следующим примером.
Изучали разнозернистость штампованных заготовок из нике-
левого сплава ХН77ТЮР в зависимости от температур штамповки и
рекристаллизационного отжига, а также от режима последующей
упрочняющей термической обработки, всего от k = 6 факторов.
Требовалось выяснить, какие факторы наиболее сильно влияют
на величину зерна штампованных заготовок.
В качестве плана эксперимента выбрали симплекс-план первого
порядка для k = 6 (табл. 2.57).
Основные уровни, интервалы и уровни варьирования факторов,
рассчитанные по формуле (1.24), указаны в табл. 2.58, план
Таблица 2.58. Уровни варьирования факторов
Факторы	Темпе- ратура штам- повки, °C	Темпе- ратура рекри- сталли- зации, °C	Темпе- ратура закалки, °C	Время выдержки перед закал- кой, ч	Темпе- ратура старения, °C	Время старения, ч
Код	Х1	х2	х3			хв
Основной уровень	1150	1150	1050	7	650	15
Интервалы варьи- рования	50	50	50	3	50	5
—1	1100	1100	1000	4	600	10
—°в2 = —0,59	1120	1120	1020	5,2	620	12
	1160	1160	1060	7,4	660	15,7
а61 = 0,65	1180	1180	1080	9	680	18,3
а64 = 0,80	1190	1190	1090	9,4	690	19
1	1200	1200	1100	10	700	20
191

Таблица 2.59. Симплекс-плаи первого порядка
Номер опыта	Х1	х2	Х3	х*	Х5	Хв	х7	у (вели- чина зерна, мм)
1	1	—1	—1	0,65	—0,59	1	0,14	4,3
2	1	—1	0,65	—0,59	1	0,14	— 1	6,7
3	1	0,65	—0,59	1	0,14	— 1	—1	3,5
4	1	—0,59	1	0,14	—1	— 1	0,65	7,4
5	1	1	0,14	—1	—1	0,65	—0,59	4,9
6	I	0,14	—1	—1	0,65	—0,59	1	5,8
7	1	0,80	0,80	0,80	0,80	0,80	0,80	3,8
bi	5,2*	—0,98*	0,75*	—0,97*	—0,19	0,90*	0,26	
эксперимента и результаты опытов — в табл. 2.59. Опыты не
дублировали. Допустили, что в данном случае дисперсия опыта,
определенная ранее по параллельным наблюдениям в аналогичном
эксперименте, составляет S2y = 0,16 при числе степеней свободы
Л = Ю.
Коэффициенты модели, рассчитанные по формулам (2.146),
приведены в табл. 2.59 (в данном случае 64 = 1,257; 6? = 1,58).
Для проверки статистической значимости коэффициентов вначале
по формулам (2.147) рассчитали их дисперсии
= -1’-58^1--- = 0,0361; Sb[ = 0,190;
S2b, =	= 0,0228; Sb„ = 0,151,
а затем, по формуле (2.90) — доверительные интервалы при
а = 0,05 (/о,os-, ю = 2,23): Д6. = 0,424; \ = 0,337.
Статистически значимые коэффициенты, превышающие свои
доверительные интервалы, отмечены в табл. 2.59 звездочками.
Анализ полученных данных показывает, что время выдержки
как при закалке (х4), так и при старении (х6) не влияет на разно-
зернистость штампованных заготовок. Остальные факторы по
возрастающей степени влияния расположились в следующий ряд:
температуры штамповки и закалки (лу и х3), температура старения
(х6) и, несколько в меньшей степени, температура рекристаллиза-
ции (х2). Разумеется, выводы о влиянии факторов справедливы
только для изученных интервалов их изменения.

3
ГЛАВА
ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
3.1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ПЛАНАХ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе рассматриваются планы экспериментов для
построения модели второго порядка, имеющей вид
П = ₽о+ S Р/-Ч + S Р/рАЧ + S	(3.1)
где т] — истинная величина отклика; 0Z, 0Z/, 0ZZ — истинные зна-
чения коэффициентов; k — число факторов.
Число членов этой модели
rk _ (fe + 2) I _ (k + 1) (fe + 2)
Gft+2 /г!2!	2	’
поэтому число опытов N для ее построения должно быть не меньше
д^(*+Д(* + 2) .	(3 2)
Кроме того, необходимо, чтобы каждый фактор варьировался
не менее чем на трех уровнях.
Опыты могут проводиться в одной из двух областей: на k-
4 k
мерном гиперкубе | xt | с 1 или на й-мерном гипершаре J] х* < 1.
и=1
По результатам опытов рассчитывают выборочные ' оценки
коэффициентов модели (3.1) и строят уравнение регрессии
У = Ьо+ S biXt-]- S biiXiXj Д- S Ьцх1 (3.3)
Расчет коэффициентов уравнения (3.3) обычно проводят ме-
тодом наименьших квадратов, при этом в общем случае это де-
лают по формуле (2.16):
В = (ХТХЩ XTY.
Особенности обработки данных, указанные в гл. 2 и связан-
ные с разным характером дублирования опытов, сохраняются
и в этом случае.
7 Новик Ф. С., Арсов Я. Б. 193

Рассмотрим структуру информационной матрицы (ХТХ) при
построении модели (3.3).
Запишем последовательно матрицу X (и — номер опыта):
ха х, ...х, ...xk Xix2 ... XiXj
 xk-ixk
‘2	9
Xi ...Xj ...Xk
xou xlu   -xiu  • -xku (*!*>),, • • • (\*/)« • •  (xk-XXk)u
2	°	2
xf ...x; ,..xf.
'll	41	Ku
X°N XiN‘"XiN"'XkN (X^N-  (xixj)N-  '{xk-\xk)N
X\ . . .X-. . . .x~b
}N lN kN
(3-4)
транспонируя ее, получим
	х01	• • • Х*и	••• X°N	
	*'1	• • •	х'и	x'n	
	x‘i	Xi и	•••	X‘N	
	ХК	Xk и	••• X*N	
	(вд>)1	• • • (xLx^u	• • • (XlXzjN	
хт =	(xixih	• • • {xixi\t	••• (xiXj)N	;	(3.5)
	(xk-lxk}l	••• (^_л)„	• • •	
	9	• • •	Х>и	v2	
		••• XL	9 Xi N	
	А	... <	X?kN	
после чего найдем информационную матрицу (ХТХ) (см. с. 196
и 197; суммирование всюду по числу опытов от u = 1 до u =N).
Элементы информационной матрицы (3.6) часто называют мо-
ментами плана, а саму матрицу — матрицей моментов. Моменты
могут быть нечетными и четными. Нечетными считают те моменты
194

в выражении которых содержится хотя бы один сомножитель
в нечетной степени. К таким моментам относятся, например:
N	N	N	N	N
S xt	U (XtXj)u,	S	(XiXfXi)u,	S (x}Xj)u,	U x?u.
u—1	u=l	u=l	u=l	u=l
Четные моменты имеют все сомножители в четной степени.
Это моменты типа
N	N	N
Y. xju,	£ (xfrJ)B,	S х}и.
и=\	и=1	п=Т
Для построения модели (3.3) предложено большое число планов
(см., например, каталоги	[28,	131,	132]).	Различные вопросы
планирования второго порядка обсуждаются в работах [77, 2,
125, 53, 19, 80, 34, 27]. Далее будут рассмотрены и проиллюстри-
рованы примерами только некоторые из этих планов.
Основное внимание будет уделено планам симметричным.
Определение симметричности планов второго порядка дадим ниже.
К таким планам относятся планы типа 3k; разного рода компо-
зиционные (ортогональные, ротатабельные,типа ВА); некомпо-
зиционные планы Бокса—Бенкина; квази-Р-оптимальные планы
Песочинского и др. Рассмотрим прежде всего композиционные
планы.
Под композиционностью понимают последовательную до-
стройку линейных планов до планов второго порядка. Эта про-
цедура предполагает реализацию опытов полного или дробного
факторного эксперимента, а затем добавление к этим опытам
(«ядру» плана) некоторого количества специальным образом рас-
положенных так называемых «звездных» точек. Такие планы
обычно называют центральными, поскольку все опыты распола-
гаются симметрично вокруг центра — основного уровня.
Один из центральных композиционных планов для k = 2
показан в качестве примера в табл. 3.1.
Таблица 3.1. Центральный композиционный план для k = 2
Номер опыта	X,	х2	Примечание
1—4	=ы	±1	Полный факторный эксперимент — ядро плана
5—8	0	0 —а	Звездные точки
9	0	0	Основной уровень — центр плана
7*
195

(хтх)=
Е*о	E ¥|	 E X0Xi	• •	I *0 (*1*2)
Ех1*о		 £ xixi	• £ xixk	YX1X2
£ XiX0	E ¥1	 £*?	 £ xixk	Y xi (xix2)
£ v>	E ¥i	• S xkxi	 Ъх1	E xk (xix2)
Е (Х1Хз) х0	S x\x4	l^(xlx2)xi	•S(v2)^	Yx2x2
Е (xixi) хо	S(V/)*i ••		• S xixixk	E (xtxi) (xix2)
Е (Xk-\Xk) х0	Е(х*-л)м-	Y(Xk-lxk)xf	w • 3? * Эьэ *	E (xk-ixk) (^/2)
ЕФо	co —« >4	• £ x1xi	• E x\xk	E X1X2
Exf*o	E *.*1	• £4	Tix2ixk	Ex? (хл)
Е XkXQ	YXkxl	Tixlxi		Exi (хл)
Общее число опытов N композиционных
рах (если опыты не дублируются):
N = Ц- 2k + n0,
планов при k факто-
(3-7)
где Nt — число опытов в ядре плана = 2k, если ядром плана
является полный факторный эксперимент и Л\ = 2к~р, если
ядром является дробный факторный эксперимент. Можно запи-
сать в общем случае, что Л\ = 2k~p при р 5s 0); 2k — число
звездных точек; п0 — число опытов в центре плана.
Последовательность решения задачи получается достаточно
логичной. Например, в случае двух факторов вначале ставят
опыты 1—4 (табл. 3.1), составляющие ядро плана и позволяющие
построить либо линейную:
У = b0 + Е biXi,
либо неполную квадратичную модель
У « b0 + Е biXi 4“	2 bqXiXj.
198

L хо (xixj)	• • 2>o (a-a)	У XOX1	•  • S X0Xi	• •  s xoxl
Yxdxixi)	M ST 4_✓			
	M J* J*	S xcx1		•  S xixl
	T)xk-ixl	IAA	• • • S xkx2	
L (*a) (*a) •	• Г(ха)(а-а)	Z^2	 • • S (хл)x2 	• s (аАг) xk
	• £ (xixi)(xk-ixk)	S (xixi) x'i		 E (xixi) xk
Yi(xk-ixk)(xcxj)-		E(xk-txk)xl	• S(**-aH-	
	• S *i (a-a)	м 2V		
£ X3Xj	’SXZ (A-А)			
	Hxk-A			M
				(3.6)
Если эти модели окажутся неадекватными, добавляют опыты
в звездных точках 5—8 и в центре эксперимента 9, что позволяет
построить уже квадратичную модель (3.3).
Рассмотрим композиционный план второго порядка, состоя-
щий из ядра (полный или дробный факторный эксперимент),
звездных точек и опытов в центре:
%1 х2 • • • xk
±1	±1	• • •	±1
±1	±1	•••	±1
±а	0	• • •	О
О	Ч~ос	• • •	О
О	0	• • •	±а
О	0	...	О
197

Запишем последовательно матрицы независимых переменных X,
коэффициентов регрессии В и результатов опытов Y:
Хп		%1 .	Л‘;	• xk	хгх, ..	• xixj	 • xk-lxk xl		.. x? ..	• x'i
	1	±1 •	• ±1 • • • ±1		±1 •	• ±1	... ±1	1 .	• • 1 •	• • 1
	1	±1 .	• ±1 ±1		±1 • •	• ±1	... ±1	1 .	• • 1 •	. 1
	1	±С' .	.	0 .	. 0	о...	0	...	0	Gt2 •	.. 0 . •	. 0
Х =	t 1	0 .	’ о •		0 .•	0	...	0	0 .	• • 0 • •	. a2
	1	0 •	.	0 .	, 0	0 ..	. 0	...	0	0 .	.. 0 •.	. 0
	1	0 .	. о .	. 0	о ..	. 0	... 0	о .	.. 0 ..	. 0
(3-8)
В =
bl
bi
bk
bi2
ba
b(k-i) k
bn
Ьц
bkk
(3-9)
Un
(3.10)
Составим теперь информационную матрицу:
198

199
N	0	...	0	...	0	0 ..	.	0 .	. 0	1 M	••• Lx?	• •• Lxi
0		0 ...	0	0 ..	0 ..	• 0	0 •	.. 0	.	• • 0
0	0	• ••	Lx?-.-	0	0 ••		. 0	0 .	• • 0	.	.. 0
0	0	...	0 ...	Sxi	0 ..	0 ..	. 0	о .	.. 0	.	•. 0
0	0	...	0	...	0	V y2v2 2j Л1Л2• • •	0 ••	• 0	0 .	.. о .	.. 0
0	0	...	0	...	0	0 •• •	L *?*/••	• 0	0 •	• • о .	• . 0
0	0	...	0	...	0	0 ...	0 ..	Xk-\xk	0 •	.. 0	•• 0
L^?	0	...	0	...	0	0 ...	0 ..	• 0	L4-.	• L^?x?.	.. L4?
L*?	0	...	0	...	0	0 ...	0 ..	• 0	Ж	.•L4--	• Lx?xi
Lxi	0	...	0	...	0	0 ...	0 ..	• 0	L xix2i •	••L^?	••Lxl
(З.Н)

Рассмотрение этой матрицы показывает, что в данном случае
все нечетные моменты плана равны нулю:
N	N
L х1и =0; £ (^х;)„ = 0;
U=1	и=1
N	N
S ОШ = 0; s = о.
и=1	и=1
Четные же моменты нулю не равны. Обозначим их
и=\
*• = ^2 (х?<;
^1
N
U = *iu.
U=l
(3.12)
Отметим сразу же, что если опыты плана дублируются и при
этом число повторений (дублей) u-го опыта равно пи, то четные
моменты выглядят следующим образом:
N
-1	Ы=1	•
Л2 — д? ’
£ пи
и=1
N
Ё
л и=1
Л3= ЛИ
Ё|л“
и=1
N
Ё Пих1и
Л	Ы=1
Л4 — —	*
У, пи
и=1
(3.13)
После подстановки в (3.11) обозначений и нормировки (деле-
ния всех элементов матрицы на N) информационная матрица
(матрица моментов) симметричного плана второго порядка при-
обретает следующий блочно-диагональный вид:
200

	1	0 •	.. 0	... 0	0 ...	0	... 0	%2 ‘	• ’ А-2	...%2	
	0		.. 0	... 0	0 ...	0	... 0	0 .	.. 0	... 0	
	0	0 •	• • %2	... 0	0 ...	0	... 0	0 .	.. 0	... 0	
	0	0 •	.. 0	• • • %2	0 ...	0	... 0	0 .	. • 0	... 0	
	0	0 •	• • 0	... 0	%з • • •	0	... 0	0 .	.. 0	... 0	
хгх=4	0	0 •	• • 0	... 0	0 ...	%3	... 0	0 •	.. 0	... 0	(3-14)
	0	0 •	• • 0	... 0	0 ...	0	... Х3	0 .	•• 0	... 0	
	А-2	0 .	• • 0	... 0	0 ...	0	... 0	h 	• • ^3	• • ’^3	
	А-2	о.	• • 0	... 0	0 ...	0	... 0		•л	• • •/V3	
	*2	0 •	.. 0	... 0	0 ...	0	... 0	^3	• ’?-3	••Л	
Информационная матрица точно такого же вида будет соот-
ветствовать любому симметричному плану (композиционному и
некомпозиционному). Справедливо утверждение: план называется
симметричным, если он имеет информационную матрицу типа
(3.14), в которой все нечетные моменты равны нулю. Поэтому все
формулы, которые будут выведены далее, справедливы для лю-
бого симметричного плана.
Теперь найдем обратную матрицу:

а	0 •	• 0 	0	0 .	.. 0 •	• 0	—ь 	-Ь 	-Ь
0	1/А.2-	• 0 	 0	0 •	 0 	 0	0 •	.. 0 •	 0
0	0 	•W-	• 0	0 •	.. 0 	• 0	0	.. 0 •	• 0
0	0 •	• 0 •	••1/Л2	0 •	0 ••	 0	0 •	.. 0 •	• 0
0	0 •	 0 •	• 0	1/Л3-	• 0 •	 0	0 	•• 0 	• 0
0	0 •	• 0 •	 0	0	 1Аз-	• 0	0 •	• • 0 	 0
0	0 •	• 0 •	• 0	0 •	• 0 ••	 1/Хз	0 •	•• 0 •	• 0
(3.15)
201

где
—6	0 •	• 0 •	• 0	0 •	• 0	• 0	с—d-	 -d-	 —d
—ь	0 •	• 0 •	• 0	0 •	• 0 •	• 0	-d-	c—d- •	 —d
—6	0 •	• 0 	 0	0 •	• 0 •	• 0	-d--	• — d-	c—d
а ~~ 7.4 — Ад + Ыя — кЦ ’
1у =__________h._________
Л4 —Х3 + кК* — кЦ '
__ 1
С- Л4-Х3 ’
=_____________А8-А1____________
(Х4 Х3) (7.4 Х3 ЛХ|)
(3.16)
Приведем также формулы, полезные при проверке правиль-
ности вычислений коэффициентов a, b, с, d:
Найдем теперь матрицу XTY (суммирование всюду по числу
опытов от и — 1 до и = N):
XTY =
Y.x-y=Tiy
^>Х1У
Xх‘У
^ЧУ
У (ад) у
У (XlXj) у
у (Xk-iXk) у
Xix\y
Trfy
Хх1У
(3.18)
202

Осталось в соответствии с (2.16) и (2.19) выписать формулы
для расчета коэффициентов регрессии:
(3.19)
В случае, когда опыты дублируются, коэффициенты рассчиты-
вают по формулам
(3.20)
Г уи&
где у =	; g — номер дубля и-го опыта; пи — число дублей
пи
этого опыта.
203

В соответствии с (2.23) и (2.24) оценки коэффициентов опре-
деляются с дисперсиями и ковариациями:
= “ЛГ
о 2	__ 1 о2 е
Ч'/ “ ~ЛДГ
b с2
covV,t = -7F^’
е~ - -	1	Q2.
^bi ~ nk2 by’
о 2	  С	d q2 .
^bii ~~ N ^y’
d л~,2
C(yVbiibjj = JV
(3.21)
При дублировании опытов в формулах (3.21) S'y надо делить
N
не на А, а на X1 пи-
и — 1
Свойства симметричных композиционных планов заметно за-
висят от величины звездного плеча а и числа опытов в центре
плана и0.
3.2. СИММЕТРИЧНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ
Ортогональность упрощает вычислительные формулы и, что
самое главное, дает возможность оценивать коэффициенты рег-
рессии независимо друг от друга. Чтобы это было возможным,
необходимо информационную матрицу иметь диагональной. Но
для симметричных композиционных планов второго порядка
в общем случае информационная матрица (3.14) недиагональна.
Таким образом, с помощью плана эксперимента типа указанного
в (3.8) оценить коэффициенты модели (3.3) независимо друг от
друга нельзя.
Действительно, анализ матрицы (3.8) показывает, что
N	N
2 ЧА ° 11 S + °’
и =1	и=1
так как хОи во всех опытах равно 4-1, а неотрицательные вели-
чины х2и не могут быть все равны нулю.
Добиться ортогональности можно с помощью следующего
приема. Вначале необходимо преобразовать модель (3.3) к виду
(k	\	k	k	k
bo + '-2 2 Ьц -Г 2 biXi + 2 bii-XiXj + 2 biitf —	(3-22)
i=l	/	1=1	i:j	f=l
где /., определяется из (3.12):
N
X2 = А'1 V х]и,
u=l
т. e. является средним квадратом значений любого фактора.
Обозначим новые переменные
=	(3.23)
204

а новый свободный член
k
МЛ-Е Ьц = Ьд.	(3.24)
1=1
Тогда модель (3.22) примет вид
k	k	k
У = fro + S biXi + Ц bi-XiXj + У bax'i.	(3.25)
1=1	i<j	1 = 1
Введение новых переменных х\ приводит к тому, что
N	N
X *<Л = L x'iu = °-
и=\	и—\
Действительно:
л/	w	л/	w
L х«их‘и = L х«и (хк - Ч = S х^и - Е Ч =
и=1	и=1	и=1	и—1
= £4н-^2=	£^ = о-
и=1	и=1	и=1
Теперь информационная матрица, соответствующая модели
(3.25), будет иметь вид
ХТХ =
1	0 .	.0	..0 1 0 .		.0 .	. .0	0 .	..	0 ...	0	
0	х2.	.0	. .0	0 .	.0 .	. .0	0 .	..	0 ...	0	
0	0 .	• ^2	. .0	0 .	.0 .	. .0	0 .	..	0 ...	0	
0	0 . .	.0 .	•  ^2	0 .	.0 .	. .0	0 .	..	0	...	0	
0	0 . .	.0 .	. .0	Х3. .	.0 .	. .0	0 .	..	0	...	0	
0	0 ..	.0 .	. .0	0 . .	• ^-3 •	. .0	0 .	..	0	...	0	
0	0 . .	.0 .	. .0	0 ..	.0 .	• Л	0 .	.	0	...	0	
0	0 ..	.0 .	. .0	0 . .	.0 .	. .0		А3-^.. А3-	
0	0 ..	.0 .	. .0	0 ..	.0 .	. .0	%3-V2.	A4-V2.. А3-	
0	0 ..	.0 .	..0	0 ..	.0 .	..0	4-^2-	А3 —Х2.. А4-	
(3.26)
205

Для того чтобы сделать матрицу (3.26) диагональной, оста-
лось принять
Ч = \2-	(3.27)
Это и есть условие ортогональности.
Выясним, в каком случае оно выполняется. Перепишем (3.27)
в соответствии с (3.12):
W	/ Л' \ 2
tf£(x?x/2)u = £хИ.
м=1	\и=1	1
Из рассмотрения матрицы (3.8) видно, что
/V
S х‘и = ЛГ1 + 2а2;
и=1
N
=1
(3.28)
(3.29)
Вспомним также, что по (3.7) N = Л\ + 2k + п0. Подставив
все это в (3.28), получим
(ЛГ, + 2k + п0) Л\ = (Л\ + 2а2)2.
Отсюда
а2  К (#1 + 2fe -|- Яр) Л\ — /Д
(3.30)
Таким образом, для того чтобы план стал ортогональным,
опыты следует проводить на расстоянии звездного плеча а, вели-
чину которого подсчитывают по (3.30). Величина же а будет ме-
няться в зависимости от числа опытов в ядре (Л\) и в центре
плана (п0), а также будет разной для задач с различным числом
факторов k.
В табл. 3.2 приведены числовые значения а2, подсчитанные
в [104] для планов с разными k и п0. Во всех случаях, кроме
k = 5, Л\ = 2*.
В связи с ортогональностью плана оценки коэффициентов
модели (3.22) определяют независимо друг от друга по формулам
(3.31)
206

Таблица 3.2. Значения а2
k				По
2	3	4	5 (2,_ 1 с \sxixtxtxtxt)	
1,000	1,477	2,000	2,392	1
1,160	1,650	2,164	2,580	2
1,317	1,831	2,390	2,770	3
1,475	2,000	2,580	2,950	4
1,606	2,164	2,770	3,140	5
1,742	2,325	2,950	3,310	6
1,873	2,481	3,140	3,490	7
2,000	2,633	3,310	3,660	8
Если опыты дублируются, то
N
У ПиУи
=
У Пи
М = 1
У пих1иУи
и=1
S п“хК
и—1
(3.32)
У пи (XtXi)u уи	2j '1иХ1иУи
I).. =	; Ь- = —____________
Ч N	’	“ N
У пи (х^)*	у п х'г
Дисперсии оценок коэффициентов также
простым формулам:
рассчитывают по

Si,.,.
(3.33)
или, при дублировании опытов, по формулам
(3.34)
7/ N
У пи (xixi)2u
и=1
207

Ковариации оценок коэффициентов модели (3.25), естественно,
равны нулю.
После расчета коэффициентов и проверки (при необходимости)
их статистической значимости от модели (3.25) к модели в обычной
форме (3.3) переходят, рассчитав значение Ьо:
k
bo = b'o - - Х2 S Ьц.	(3.35)
t=i
Поскольку коэффициенты b't и bit оценены независимо друг
от друга, дисперсия S2t>0 определяется по закону накопления
ошибок:
k
sio = s^ + ^yj si...	(з.зб)
i=i
Пример симметричного ортогонального плана второго порядка
для двух факторов с тремя опытами в центре приведен в табл. 3.3.
Наиболее распространены симметричные ортогональные планы,
содержащие всего один опыт в центре (п0 = 1). Характеристики
таких планов приведены в табл. 3.4.
Таблица 3.3. Симметричный ортогональный план
для k = 2 (н0 = 3)
Номер опыта	Хо	Xi	Xz	*1*2	V 2 /	2 L xf Х1=ХТ	—^ = =4—0,603	II cicjI wh s 1 Cl ст ? * 1 Л ** ? II	Примечания
1	+ 1	+1	+ 1	+ 1	+ 0,397	+ 0,397	Ядро плана —
2	+ 1	—1	+ 1	—1	+0,397	+ 0,397	полный фак-
3	+1	+ 1	—1	—1	+ 0,397	+ 0,397	торный
4	+ 1	—1	—1	+ 1	+0,397	+0,397	эксперимент
5	+ 1	/Пзп	0	0	+0,714	—0,603	Звездные
6	+ 1	/1,317	0	0	+0,714	—0,603	ТОЧКИ
7	+ 1	0	+ /1,317	0	—0,603	+ 0,714	
8	+ 1	0	—/1,317	0	—0,603	+0,714	
9	+1	0	0	0	—0,603	—0,603	Опыты
10	+ 1	0	0	0	—0,603	—0,603	в центре
11	+1	0	0	0	—0,603	—0,603	
С целью облегчения расчетов для указанных в табл. 3.4
планов заранее подсчитаны константы, которые также приведены
в табл. 3.4 по данным [19]. В случае, когда опыты не дубли-
208

Таблица 3.4. Характеристики некоторых симметричных
ортогональных композиционных планов и вспомогательные
константы
	Число факторов (/?)			
	2	3	4	5
Ядро плана	22	23	23	Полуреп- лика 26-1 (1s
Число опытов в ядре (Л/1)	4	8	16	16
Звездное плечо (а)	1,000	1,215	1,414	1,547
Число звездных точек (2й)	4	6	8	10
Число опытов в центре («о)	1	1	1	1
Общее число опытов (N)	9	15	25	27
a-i	0,11111	0,06667	0,04000	0,03704
а2	0,16667	0,09141	0,05000	0,04811
Оз	0,25000	0,12500	0,06250	0,06250
а4	0,50000	0,23041	0,12500	0,07220
«5	0,33333	0,25820	0,20000	0,19245
ое	0,40825	0,30234	0,22361	0,21934
о?	0,50000	0,35355	0,25000	0,25000
а8	0,70711	0,48001	0,35355	0,26870
руются, коэффициенты модели (3.25), их дисперсии и средне-
квадратичные ошибки считают по следующим формулам:
Ь'о = «1 £ У и, Ь{ = а2 £ х^и;
и=\	и~1
Ьц = а3 £ (XiXj)u уи; Ьи = с/4 V
U=1	U=1
= Q\S~y\ Sb'o = asSy', Sy. = a^Sy',
Sb. — a^Sy, Ь>ь.. = a3Sy‘, = aiSy\
$ьи ~ $ьн =
Коэффициент b0 определяют по формуле
k
bo = bo----S bii,
a2 i=l
209
(3.37)
(3.38)


а его дисперсию по формуле
ч=^+иУЧ,-	<3-39)
Использование симметричных ортогональных композицион-
ных планов второго порядка проиллюстрируем следующим при-
мером.
Изучали механические свойства одного из алюминиевых де-
формируемых сплавов в зависимости от содержания в нем ли-
тия (Xj), температуры (Х2) и времени старения (Х3). В качестве
отклика выбрали предел прочности сплавов, определявшийся
при испытании на растяжение (у). По результатам параллельных
измерений, проведенных ранее, было установлено, что дисперсия
опыта Sy = 4,0 при числе степеней свободы Д = 10.
Выбранные факторы, их интервалы варьирования и установ-
ленные уровни указаны в табл. 3.5.
Таблица 3.5. Уровни варьирования факторов
Факторы	Содержание Li, %	Температура старения, °C	Время старения, ч
Основной уровень (Хго)	1,0	175	4
Интервал варьирования (АХ;)	0,5	25	2
Верхний уровень (хг- = +1)	1,5	200	6
Нижний уровень (хг = —1)	0,5	150	2
Звездная точка Ч-к (х(- = 1,215)	1,6	205	6,4
Звездная точка —a	= —1,215)	0,4	145	1,6
Прежде всего был реализован полный факторный эксперимент 23,
состоящий из восьми опытов. Матрица планирования для этого
случая указана в табл. 3.6 (опыты 1—8), здесь же приведены и
результаты опытов (опыты не дублировали).
По формуле (2.12) были получены следующие оценки коэф-
фициентов регрессии:
Ьо = 31,0;	= 2,25; Ь2 = —2,0; Ь3 = 0; й12 = 3,75;
&13 = —1,75; bz3 = —6,50; bv,3 = —1,75.
Дисперсия в определении этих коэффициентов SI = Sy/N =
= 4,0/8 = 0,5; соответственно Sb. = 0,71. При а = 0,05 и Д =
= 10 табличное значение t - критерия /о,о5; ы = 2,23, поэтому
по формуле (2.90) &ь. = 2,23-0,71 = 1,583. Поскольку все оценки
коэффициентов по абсолютной величине больше Л*, (за исключе-
нием, разумеется, Ь3 = 0), их следует признать статистически
значимыми.
Была проверена гипотеза об адекватности линейной части
полученной модели:
у = 31,0 + 2,25^ — 2,0ха.
210

211
Таблица 3.6. Симметричный композиционный ортогональный план второго порядка
Номер опыта		Х1	хг	Хц	Х1*2	*1*3	х2х3	/	о XI = Xi — —0,73	Х2 — Х2 — — 0,73	хз = Х1 - — 0,73	У (%’ кгс мм2)	Примечание
1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+ 0,27	+0,27	+0,27	25	
2	+1	—1	+1	+1	—1	—1	+1	+0,27	+0,27	+0,27	20	
3	+1	+1	—1	+1	—1	+1	—1	+ 0,27	+0,27	+0,27	38	
4	+1	—1	—1	+1	+1	—1	—1	+ 0,27	+ 0,27	+ 0,27	41	Полный фак- торный экспе-
5	+1	+1	+1	—1	+1	—1	—1	+0,27	+ 0,27	+ 0,27	45	римент 23
6	+1	—1	+1	—1	—1	+1	—1	+0,27	+0,27	+0,27	26	
7	+1	+1	—1	—1	—1	—1	+1	+ 0,27	+0,27	+0,27	25	
8	+1	—1	—1	—1	+1	+1	+1	+0,27	+0,27	+0,27	28	
9	+1	+ 1,215	0	0	0	0	0	+ 0,745	—0,73	—0,73	30	
10	+1	—1,215	0	0	0	0	0	+ 0,745	—0,73	—0,73	36	
11	+1	0	+ 1,215	0	0	0	0	—0,73	+ 0,745	—0,73	26	Звездные
12.	+1	0	—1,215	0	0	0	0	—0,73	+ 0,745	—0,73	30	ТОЧКИ
13	+1	0	0	+ 1,215	0	0	0	—0,73	—0,73	+0,745	24	
14	+1	0	0	— 1,215	0	0	0	—0,73	—0,73	+0,745	32	
15	+1	0	0	0	0	0	0	—0,73	—0,73	—0,73	28	Центр плана

Дисперсия неадекватности, рассчитанная по формуле (2.96),
в этом случае оказалась 5;1еад = 90,9 при числе степеней свободы
/2 = 8 — 3	5. Таким образом, рассчитанное по формуле (2.95)
значение F-критерия FpaC4 = 99,9/4 = 24,975, что больше таб-
личного как при 5%-ном (FJ.m?s; io = 3,33), так и при 1%-ном
(Fo/h^s; ю = 5,64) уровнях значимости. Гипотезу об адекватности
линейной части модели следует отвергнуть.
С целью получения адекватной модели было решено допол-
нить реализованную матрицу планирования 23 звездными точками
и выполнить опыт в центре плана, совершив таким образом ком-
позиционный переход к плану второго порядка. Выбрали сим-
метричный ортогональный композиционный план второго порядка
с одним опытом в центре. В этом случае а2 = 1,477 (см. табл. 3.2)
и а = ±1,215. Уровни факторов в звездных точках указаны
в табл. 3.5. Окончательно матрица такого плана с N =- 2k +
+ 2k + п0 = 23 + 2-3 + 1 = 15 опытами представлена в табл. 3.6.
Для того чтобы сделать эту матрицу ортогональной, в соот-
ветствии с (3.23) вместо столбцов х2 введены столбцы новых пере-
менных x'i =	— k2. Величина 7.2 в данном случае по формуле
(3.12) составляет
N
V х2
.	‘и 8 + 2-1,2152
Л2— JV —	15	—0,73.
Следовательно, х'( = х2 — 0,73.
Результаты опытов в звездных точках (опыты 9—14, табл. 3.6)
и в центре плана (опыт 15) также указаны в табл. 3.6.
Далее, по результатам всех пятнадцати опытов матрицы пла-
нирования (табл. 3.6) с помощью формул (3.37), пользуясь кон-
стантами ait приведенными в табл. 3.4, рассчитали все коэффи-
циенты регрессии, их дисперсии и среднеквадратичные ошибки,
а затем по формуле (2.90) доверительные интервалы для каждой
группы коэффициентов:
&о = 0,06667-454 = 30,27;	= 0,09141 -10,71 =0,98;
Ь2 = 0,09141 -(—20,86) = —1,91; Ь3 = 0,09141 -(—9,72) = —0,89;
Ь12 = 0,125 - 30 = 3,75; Ь13 = 0,125 - (— 14) = — 1,75;
Ь23 = 0,125 • (—52) = —6,50; Ь1г = 0,23041 -13,93 = 3,21;
Ь22 = 0,23041 -(—0,82) = —0,19;	= 0,23041 -(—0,82) = —0,19;
5?-= 0,0667-4 = 0,267; Sb =0,2582-2 = 0,516;
до	о
S2bi = 0,09141 -4 = 0,366;	5Ь. = 0,30234-2 = 0,605;
212

Si.. = 0,125 • 4 = 0,50; Sb.. = 0,35355 • 2 = 0,707;
Sb.. = 0,23041-4 = 0,922; Sb.. = 0,48001 • 2 = 0,960;
Д/,' = <)05 ,Л' = 2,23-0,516= 1,151;
Ab<. = /о,os; ioSb. = 2,23.0,605 = 1,349;
Ao.. = Zo.05; ioSo.. = 2,23-0,707= 1,577;
Ab.. = /о,05; ioSoZj. = 2,23-0,960 = 2,141.
Сравнение абсолютных значений рассчитанных коэффициентов
с их доверительными интервалами показывает, что статистически
значимыми можно признать b'a, b2, b12, bia, b2a и bn.Остальные
коэффициенты из модели можно исключить.
Затем по формуле (3.38) подсчитали bit:
Ьо = 30,27 -^||.3,21= 27,93
(здесь учтен только статистически значимый коэффициент Ьи =
= 3,21), и по формуле (3.39)—дисперсию:
Sl0 = 0,267 ф-	«3.0,922 = 1,738.
Итак, уравнение регрессии имеет вид
у = 27,93 — 1,91Хц 4* 3,75л'[х2 — 1,75ххх3 — 6,50х2х3 -ф- 3,21xj,
(3.40)
где, в соответсвии с условиями данного эксперимента (табл. 3.5),
кодированные (xz) и натуральные (X,-) значения факторов связаны
соотношениями (1.24):
Представление результатов экспериментов полиномом второй
степени оказалось оправданным — значительная часть нелиней-
ных членов здесь значимо отличается от нуля. При проверке
адекватности модели (3.40) оказалось, что рассчитанная по фор-
муле (2.96) дисперсия неадекватности 5„еад = 12,85 при числе
степеней свободы, определенном по формуле (2.97), [2 = 15 — 6 =
= 9. Расчетное значение F-критерия по формуле (2.95) Грасч =
= 12,85/4 = 3,21, что меньше табличного при 1%-ном уровне
значимости (/‘оао°ц э; ю = 4,95). Гипотеза об адекватности полу-
ченного уравнения регрессии не отвергается. Анализ этой модели
приведен в разделе 3.8.
213

3.3. СИММЕТРИЧНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ
РОТЛТАБЕЛЬНЫЕ ПЛАНЫ
В случае использования любого симметричного плана дис-
персия отклика, предсказанного по построенной модели, опре-
деляется следующим выражением [53]:
Отсюда видно, что соответствующие модели предсказывают
значение отклика в разных направлениях факторного простран-
ства с разной точностью.
Вместе с тем оказалось, что можно построить план, обеспечи-
вающий получение модели, предсказывающей значение отклика
с одинаковой дисперсией во всех точках факторного пространства,
находящихся на одинаковом расстоянии от центра. Как уже отме-
чалось в гл. 2, такого рода планы получили название ротатабель-
ных. Особенно удобно ротатабельные планы применять в тех слу-
чаях, когда эксперимент проводится в области экстремума, но
точные координаты экстремальной точки еще предстоит найти.
Тогда ротатабельность обеспечивает равные возможности для
поиска экстремума в разных направлениях. Кроме того, было
показано, что ротатабельные планы минимизируют систематиче-
скую ошибку, возникающую вследствие неадекватности функции
отклика, когда полином второго порядка применяется для аппрок-
симации поверхности, являющейся на самом деле поверхностью
третьего порядка. Выведем теперь, вслед за авторами работы
[53], условие, при котором симметричные планы второго по-
рядка становятся ротатабельными.
Если план ротатабельный, то дисперсия предсказания должна
зависеть только от радиуса г сферы с центром в центре плана:
S2g = А + Вгя [- Сг\	(3.42)
где
,.2 _ V ,-2.
’ = 2- Аь
i=i
k	k	j
г* = L 4 + 2 Y xfxj.
i=i	i=i
(3.43)
214

Анализ показывает, что от (3.41) к (3.42) можно перейти,
если будет выполняться следующее соотношение:
2S^ = SL + 2c°vw	(3.44)
или
2 (c - d) = Xi1 - 2d,	(3.45)
откуда 2c = X3!. Ho no (3.16) c = (X4— X3)-1, следовательно
4 = 3X3.	(3.46)
Это и есть условие ротатабельности плана.
Действительно, используя соотношения (3.43) и (3.44), можно
получить из (3.41) *"формулу, показывающую, что дисперсия
предсказанного значения отклика зависит только от радиуса сферы
и одинакова на одинаковом расстоянии от центра эксперимента
+ 2covbob;.) г2 + si. Л	(3.47>
Выясним, в каком случае выполняется условие (3.47). Пере-
пишем его в соответствии с (3.12):
(3.48)
и==1	и=1
Из матрицы (3.8) видно, что
N	N
V = ДЛ -ф2а4; V tfxj)u =	(3.49)
U=1	U=1
Подставив (3.49) в (3.48), получим
Л\ -|- 2а4 = ЗЛ\,
откуда следует формула для вычисления звездного плеча сим-
метричных ротатабельных композиционных планов:
а, = Л\.	(3.50)
Число опытов в центре ротатабельного плана определяется
безразмерным моментом Х3 [531:
а; = 4.	(3.51)
В соответствии с (3.12), (3.29) и (3.50)
. * _ N±N = (Л\-|- 2k + n„) Л\ (^i-|-2fe -| и0)
3	(Л\ + 2а2)2 (AZj + 2/j\Q2	‘ (Л\ + 4	+ 4) Nt ’
откуда
/г0 = Хз (7V1 j-4 JZA\ Д-4) — 7V] — 2А>.	(3.52)
Возможно несколько подходов к заданию величины Х3. Рас-
смотрим два из'них.4	|
Один подход требует выполнения так называемой униформ-
ности планирования. Униформность предполагает, что диспер-
215

сия предсказания сравнительно мало меняется (или совсем не
меняется) в радиусе от центра плана до ± 1 значений факторов
в кодированном масштабе, или, что то же самое, на участке 0 <
С г < 1. Показано [53], что для того, чтобы это условие выпол-
нялось, величину Х3 надо брать в виде положительного корня
уравнения:
2Х3*(Х3*- l)(fe + 2) + X3*(fe+l)-(^- 1) = 0
или
Х3*2 (2k + 4) - X: (k + 3) - (k - 1) = 0.	(3.53)
Таблица 3.7. Значения X*, обеспечивающие униформность						
k	2	3	4	5	6	7
	0,7844	0,8385	0,8705	0,8918	0,9070	0,9185
Значения Х3, рассчитанные по (3.53), для числа факторов
k = 2-н5, приведены в табл. 3.7.
Если число опытов п0 выбирают по (3.52) таким, что вели-
чина Х3 в точности соответствует значениям, приведенным
в табл. 3.7, то дисперсия предсказанного значения отклика ока-
зывается примерно одинаковой во всех точках шара с центром
в центре плана и радиусом г = V Х2. Это, естественно, очень
удобно в тех случаях, когда центр эксперимента находится вблизи
экстремальной точки, например внутри указанного шара.
Другой подход позволяет сделать ротатабельные планы орто-
гональными. Для этого требуется лишь, чтобы выполнялось усло-
вие (3.27). Следовательно, ротатабельные планы становятся орто-
гональными, когда
Х3*=А=1.	(3.54)
Таким образом, число опытов в центре п0 для ортогональных
ротатабельных планов подсчитывают по формуле получающейся
из (3.52) при Х3 = 1:
пй = 4 ]/% - 2k + 4.	(3.55)
Расчет по формуле (3.52) в некоторых случаях дает дробные
значения пп, поэтому их приходится округлять до ближайшего
целого числа, несколько нарушая тем самым условия униформ-
ности или ортогональности. Однако эти отклонения оказываются
столь незначительными, что ими можно пренебречь [53].
Характеристики наиболее распространенных симметричных
ротатабельных композиционных планов приведены в табл. 3.8.
Там же приведены значения Х3, позволяющие оценить степень
близости плана к строго униформному (сравнивать с Х3, указан-
ными в табл. 3.7) и строго ортогональному (в этом случае Х3 = 1).
216

Таблица 3.8. Симметричные ротатабельиые
композиционные планы
Номер плана |	Число факто- ров k	Ядро плана	Число опытов *» ядре	Звездное плечо а	Число звездных точек 2k	Число опытов в центре пла- на	Общее число опытов N	* СП	Примечания
1 2 3 4 5 6	2	22	4	/2 = = 1,414	4	1 2 3 4 5 8	9 10 11 12 13 16	0,56 0,63 0,69 0,75 0,81 1,0	Униформ- план Ортогональ- ный план
7 8 9 10 11 12	3	2s	8	V "8 = = 1,682	6	1 2 3 4 6 9	15 16 17 18 20 23	0,64 0,69 0,73 0,77 0,86 0,99	Униформ- план Ортогональ- ный план
13 14 15 16 17 18	4	24	16	2,0	8	1 2 3 4 7 12	25 26 27 28 31 36	0,69 0,72 0,75 0,78 0,86 1,0	Униформ- план Ортогональ- ный план
19 20 21 22 23 24	5	25-1 1 = X х4х5	16	2,0	10	1 2 3 4 6 10	27 28 29 30 32 36	0,75 0,78 0,81 0,83 0,89 1,0	Униформ- план Ортогональ- ный план
25 26 27 28 29 30	6	2«-1 1 = Х4Х2Х3Х X х4х5хв	32	2 у'*2 = = 2,378	12	1 2 3 4 9 14	45 46 47 48 53 58	0,77 0,78 0,80 0,82 0,90 0,99	Униформ- план Ортогональ- ный план
217

Продолжение табл. 3.8
31
32
33
34
35
27"1
1 = XiX2XgX
X х4х6х6х7
64
2 К2 =
= 2,828
79
80
81
82
92
0,79
0,80
0,81
0,82
0,92
100 1,0
Униформ-
план
Ортогональ-
ный план
Расчет коэффициентов моделей после реализации ротатабель-
цых ортогональных планов, а также оценку дисперсий коэффи-
циентов проводят по тем же формулам (3.31)—(3.34), что и для
случая ортогонального планирования.
Кроме того, коэффициенты моделей после реализации планов,
указанных в табл. 3.8, удобно рассчитывать по формулам
bo = cf £ уи - с2 £ £ х?иуа; у. = Сз £ х,иуи;
М=1	1=1 и=1	М=1
N
bif = СЛ Е (х,хД,г/„;
и=1
N	kN	N
Ьн = с5 Y ХКУ“ + U х}иУи - с2 £ уи;
0 = 1	1=1 U=1	и=1
(3.56)
а их дисперсии, среднеквадратичные ошибки и ковариации — по
формулам
Sb„ = ciS2y', Sb0 = cjSy', S2. = c3S2y; Sb. = c3Sy-,
Sb.. = C4Sy', Sb,=CgSy; Sb.. = (C5 Ce) Sy-
IJ	IJ	ll
Sb.. = covft^ft^.c2Sy, covs..^ == c$Sy.
(3.57)
Вспомогательные константы с,- подсчитаны заранее и для
планов из табл. 3.8 указаны в табл. 3.9.
При использовании ротатабельных, как, впрочем, и всех опи-
сываемых ниже неортогональных планов, появляются особен-
ности в статистическом анализе полученных результатов. В част-
ности, после расчета доверительных интервалов коэффициентов
по формуле (2.90) и сравнения их с абсолютными значениями
коэффициентов, исключать из модели без пересчета остальных
218

etc
Таблица 3.9. Вспомогательные константы для ротатабельных планов
Номер плана	k	С1	Сг	Cs	Ci	С»	СЛ	с?	Се	с9	с 19
1		1,00000	0,5000	0,12500	0,25000	0,12500	0,21875	1,00000	0,35355	0,50000	0,58630
2		0,50000	0,25000	0,12500	0,25000	0,12500	0,09375	0,70711	0,35355	0,50000	0,46771
3	2	0,33333	0,16667	0,12500	0,25000	0,12500	0,05208	0,57735	0,35355	0,50000	0,42081
4		0,25000	0,12500	0,12500	0,25000	0,12500	0,03125	0,50000	0,35355	0,50000	0,39528
5		0,20000	0,10000	0,12500	0,25000	0,12500	0,01875	0,44721	0,35355	0,50000	0,37914
6		0,12500	0,06250	0,12500	0,25000	0,12500	0	0,35355	0,35355	0,50000	0,35355
7		0,98835	0,33744	0,07322	0,12500	0,06250	0,10271	0,99416	0,27059	0,35355	0,40646
8		0,49707	0,16971	0,07322	0,12500	0,06250	0,04544	0,70503	0,27059	0,35355	0,32854
9	3	0,33201	0,11335	0,07332	0,12500	0,06250	0,02620	0,57620	0,27059	0,35355	0,29783
10		0,24927	0,08511	0,07322	0,12500	0,06250	0,01656	0,49927	0,27059	0,35355	0,28118
11		0,16635	0,05680	0,07322	0,12500	0,06250	0,00689	0,40786	0,27059	0,35355	0,26342
12		0,11096	0,03787	0,07322	0,12500	0,06250	0,00044	0,33311	0,27059	0,35355	0,25091
13		0,99998	0,24999	0,04167	0,06250	0,03125	0,05729	0,99999	0,20413	0,25000	0,29756
14		0,50000	0,12500	0,04167	0,06250	0,03125	0,02604	0,70711	0,20413	0,25000	0,23935
15		0,33327	0,08332	0,04167	0,06250	0,03125	0,01562	0,57730	0,20413	0,25000	0,21649
16	4	0,25000	0,06250	0,04167	0,06250	0,03125	0,01042	0,50000	0,20413	0,25000	0,20413
17		0,14287	0,03571	0,04167	0,06250	0,03125	0,00372	0,37798	0,20413	0,25000	0,18702
18		0,08333	0,02083	0,04167	0,06250	0,03125	0	0,28867	0,20413	0,25000	0,17678

Продолжение табл. 3.9
220
Номер плана	k	Cl	С2	Сз	ct	С5	Се	с7	С8	С»	С10
19		0,77778	0,16667	0,04167	0,06250	0,03125	0,03125	0,88192	0,20413	0,25000	0,25000
20		0,43741	0,09373	0,04167	0,06250	0,03125	0,01562	0,66137	0,20413	0,25000	0,21649
21	5	0,26985	0,06521	0,04167	0,06250	0,03125	0,00951	0,51947	0,20413	0,25000	0,20189
22		0,23333	0,05000	0,04167	0,06250	0,03125	0,00625	0,48304	0,20413	0,25000	0,19365
23		0,15909	0,03409	0,04167	0,06250	0,03125	0,00281	0,39886	0,20413	0,25000	0,18456
24		0,09722	0,02083	0,04167	0,06250	0,03125	0	0,31180	0,20413	0,25000	0,17678
25		0,97160	0,16439	0,02309	0,03125	0,01563	0,02586	0,98570	0,15195	0,17678	0,20369
26		0,49276	0,08337	0,02309	0,03125	0,01563	0,01215	0,70197	0,15195	0,17678	0,16677
27		0,33023	0,05587	0,02309	0,03125	0,01563	0,00750	0,57466	0,15195	0,17678	0,15209
28	6	0,24816	0,04199	0,02309	0,03125	0,01563	0,00515	0,49816	0,15195	0,17678	0,41452
29		0,11084	0,01876	0,02309	0,03125	0,01563	0,00122	0,33293	0,15195	0,17678	0,12981
30		0,07137	0,01208	0,02309	0,03125	0,01563	0,00009	0,26715	0,15195	0,17678	0,12538
31		0,81792	0,11360	0,01250	0,01563	0,00781	0,01491	0,90439	0,11180	0,12502	0,15073
32		0,44986	0,06248	0,01250	0,01563	0,00781	0,00781	0,67072	0,11180	0,12502	0,12498
33		0,31037	0,04311	0,01250	0,01563	0,00781	0,00512	0,55711	0,11180	0,12502	0,11371
34		0,23686	0,03290	0,01250	0,01563	0,00781	0,00370	0,48668	0,11180	0,12502	0,10728
35	7	0,07036	0,00977	0,01250	0,01563	0,00781	0,00049	0,26525	0,11180	0,12502	0,09110
36		0,04499	0,00625	0,01250	0,01563	0,00781	0	0,21211	0,11180	0,12502	0,08837

можно только статистически незначимые оценки bt и bit. Для
коэффициентов Ьо и blt ковариации соуь0&.. и cov^.^. отличны
от нуля. Поэтому исключение любого из этих коэффициентов
требует пересчета остальных в данной группе. Новые значения
коэффициентов Ь(}, Ьц и их дисперсий теперь уже следует считать
по формуле (2.16).
Проверка адекватности полученного уравнения регрессии про-
водится по методике, описанной в разделе 2.4.
Рассмотрим пример применения симметричного композицион-
ного ротатабельного униформ-плана второго порядка.
Для одного из жаропрочных никелевых сплавов требовалось
выбрать температуры закалки (Хх), старения (Х2) и время ста-
рения (Х3), обеспечивающие возможно более длительное время
до разрушения (у) при температуре 850° С и напряжений 0,49 ГПа
(50 кгс/мм2). Выбранные факторы, их интервалы варьирования
и установленные уровни указаны в табл. 3.10.
Таблица 3.10. Уровни варьирования факторов
Факторы	Темпер атура закалки, °C	Температура старения, °C	Время старения, ч
Основной уровень (Xzo)	1100	750	4
Интервалы варьирования (AXZ)	50	50	2
Верхний уровень (х(- = 4-1)	1150	800	6
Нижний уровень (xz = —1)	1050	700	2
Звездная точка 4- a (xz = 4~ 1 >68)	1174	824	7,4
Звездная точка — а (х, = —1,68)	1026	676	0,6
Прежде всего реализован полный факторный эксперимент 23,
состоящий из восьми опытов (табл. 3.11, опыты 1—8). Эти опыты
не дублировали, а для оценки дисперсии опыта выполнили и
6 раз повторили опыт в центре плана (табл. 3.11, опыты 15—20).
Число дублей центрального опыта выбрали с учетом возможного
в дальнейшем перехода к планированию второго порядка для
построения модели (3.3). Результаты определения времени до
разрушения для разных вариантов термической обработки при-
ведены также в табл. 3.11.
По результатам опытов на основном уровне (табл. 3.11, опыты
15—20) по формуле (2.69) оценили дисперсию опыта. Оказалось,
что S2y = 0,58 (Sy = 0,76) при /х = 5.
По результатам опытов плана 23 рассчитали по формуле (2.12)
следующие коэффициенты регрессии:
Ьо = 19,525; Ьг = 7,50; Ь2 = 5,275; Ь3 = —1,650;
&18 = 4,30; &13 = —6,775; ДД=Д2,050;	= —0,025.
Дисперсия в определении этих коэффициентов, рассчитанная
по формуле (2.28), Sh =* Sy/N — 0,58/8 == 0,0725, соответственно,
221

Таблица 3.11. Симметричный композиционный
ротатабельный униформплан второго порядка
Номер I опыта 1	*0		Х2	*3	R	R	R	XI	*2	*3	ST	Приме- 1 чаиия 1
1	+1	+1	4-1	4-1	4-1	4-1	4-1	+1	4-1	4-1	30,2	05 сч я
2	+1	—1	4-1	+ 1	—1	—1	+ 1	+1	+ 1	4-1	20,2	S X
3	+1	+1	—1	4-1	—1	4-1	—1	+1	4-1	4-1	7,0	с я
4	+1	—1	—1	4-1	+ 1	—1	—1	+1	+ 1	4-1	14,1	СЪ »s
5	+1	+1	4-1	—1	4-1	—1	—1	4-1	4-1	4-1	43,0	3 X о
6	+1	—1	4-1	—1	—1	4-1	—1	4-1	4-1	4-1	5,8	я ЯЗ
7	+1	+1	—1	—1	—1	—1	4-1	4-1	+ 1	4-1	27,9	>s 3
8	+1	—1	—1	—1	4-1	4-1	+ 1	4-1	4-1	4-1	8,0	5 Е
9	+1	4-1,682	0	0	0	0	0	4-2,83	0	0	36,0	
10	+1	—1,682	0	0	0	0	0	4-2,83	0	0	12,1	
11	+1	0	4-1,682	0	0	0	0	0	4-2,83	0	25,3	X т з*
12	+1	0	—1,682	0	0	0	0	0	4-2,83	0	10,4	о
13	+1	0	0	4-1,682	0	0	0	0	0	4-2,83	18,0	X X ef со
14	+1	0	0	—1,682	0	0	0	0	0	4-2,83	20,0	CQ со
15	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	29,0	оз X
16	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	28,4	ч с
17	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	28,6	
18	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	28,8	й CQ
19	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	28,7	3 3
20	+1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	30,5	X о
Sb. = 0,2693. При а = 0,05 и /т = 5 табличное значение /-кри-
терия /о,о5; s = 2,57, поэтому по формуле (2.90) Д(>. = 2,57 X
X 0,2693 = 0,6921. Следовательно, статистически незначимым
является лишь коэффициент Ь123.
Значимость коэффициентов Ь12, Ь13 и Ь23 при квадратичных
членах х^, хгх3 и х2х3 уже свидетельствует о необходимости по-
строения в данном случае модели, более сложной, чем линейная.
222

Тем не менее, проверили адекватность линейной части полученного
уравнения. Делали это по /-критерию, оценив значимость разли-
чия между Ьо и средним результатам опыта в центре плана. В дан-
ном случае у0 = 29,0; Ьо = 19,525; N = 8; Sy = 0,76. Поэтому
по формуле (2.93)
/Расч = I 19,525 - 29,0 I /8 = з5 26
что больше табличного как при 5 %-ном (/о.^з = 2,57), так и
при 1%-ном 5 = 4,03) уровнях значимости. Линейная часть
модели неадекватна, коэффициенты при квадратичных членах х?
должны значимо отличаться от нуля.
В этой ситуации было принято решение построить модель
второго порядка, для чего перейти к центральному композицион-
ному ротатабельному униформ-плану второго порядка.
Так как уже были выполнены опыты ядра плана (23) и в центре
(п0 = 6), осталось реализовать опыты в звездных точках. Звездное
плечо в данном случае а = + 1,682 (см. табл. 3.8), звездные точки
указаны в табл. 3.11 (опыты 9—14), и вся эта таблица теперь
представляет собой матрицу центрального композиционного рота-
табельного плана второго порядка с А/ = 23+ 2-34-6 = 20
опытами.
По результатам всех реализованных опытов, пользуясь кон-
стантами с(-, приведенными в табл. 3.9, последовательно рассчи-
тали вначале все коэффициенты модели (3.3) по формулам (3.56),
затем их дисперсии и ковариации — по формулам (3.57) и, нако-
нец, доверительные интервалы — по формуле (2.90):
Ьо = 0,16635-452 — 0,05680-813,29 = 29;	= 0,07322 х
X 100,2 = 7,34; Ь2 = 0,07322-67,26 = 4,92; Ь3 = 0,07322 X
X (—16,56) = —1,21; Ь12 = 0,125-34,4 = 4,30; Ь13 =
= 0,125 х (—54,2) = —6,78; Ь23 = 0,125-16,4 = 2,05;
Ьп = 0,0625-292,32 + 0,00689-813,29 — 0,0568-452 = —1,80;
Ь22 = 0,0625-257,23 + 0,00689-813,29 — 0,0568-452 = —3,99;
Ь33 = 0,0625-263,74 + 0,00689-813,29 — 0,0568-452 = —3,59;
Slo = 0,16635-0,58 = 0,0965; Sb<> = 0,40786-0,76 = 0,310;
Si{ = 0,07322-0,58 = 0,0425; Sb( = 0,27059-0,76 = 0,206;
5^’= 0,125-0,58 = 0,0725; Sb = 0,35355-0,76 = 0,269;
S2b.{ = 0,06939-0,58 = 0,0402; Sbu = 0,26342-0,76 = 0,200;
COV6o6iz = —0,0568-0,58 = —0,033;
cov6/i& = 0.00689-0,58 = 0,004; A^ = 2,57-0,310 = 0,797;
&bl/ = 2,57-0,269 = 0,691; ЛЬ[ = 2,57-0,206 = 0,529;
Ab.. = 2,57-0,200 = 0,514.

Таким образом, при 5%-ном уровне значимости все коэффи-
циенты можно признать статистически значимыми.
Окончательно модель второго порядка имеет вид
у = 29,0 + 7,34^ + 4,92х2 — 1,21ха -|-
4- 4,30х.х„ - 6,78х.х3 4- 2,05% - 1,80х; - 3,99х2„ - 3,59х2, (3.58)
где xz — в кодированном масштабе, связанные с натуральными
значениями факторов X,- соотношениями (1.24):
X, —1100.	Х2 —750. X — 4
^1 —	50	, х, —	50	, Л3 —	2 .
Адекватность модели (3.58) проверяли по F-критерию. По-
скольку дублировали только один опыт (в центре), сумму ква-
дратов, связанную с дисперсией неадекватности (SSlieafl), счи-
тали по формуле (2.101), которая в данном случае имеет вид
14
55неад = «о (1/орасч — Уо)2 -ф 2 (%_>асч “ /4ЭКСП)2>
u=l
а число степеней свободы f — N — k' — 1, так как для подсчета
55пеад по результатам N опытов кроме коэффициентов исполь-
зуется еще одна константа у0. Здесь п0 = 6; уо = 29; у0 = 29;
14	PdC4
Z(FUpaC4 — F«3KCn)2 = 6,86; k' = 10. Поэтому 33Неад = 6,86;
/2 = 20 — 10 — 1 = 9 и по формуле (2.96) 5„еад = 6,86/9 = 0,76.
Расчетное значение F-критерия (по 2.95) Fpac4 = 0,76/0,58 =
= 1,31, что меньше табличного при 5%-ном уровне значимости
(Fo,ao65?9;5 = 4,78) и свидетельствует об адекватности полученной
модели. Анализ модели приведен в разделе 3.8.
3.4.	СИММЕТРИЧНЫЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ
ПЛАНЫ ТИПА Bk
Выбор звездного плеча а и числа центральных опытов в рас-
смотренных выше планах определялся условиями ротатабель-
ности или ортогональности. Эти критерии вполне разумны, но не
являются единственно возможными. Как уже отмечалось в гл. 2,
в современной математической теории эксперимента рассматри-
вается значительно большее число критериев оптимальности.
Можно, например, потребовать, чтобы план обеспечивал получе-
ние наименьшего объема эллипсоида рассеяния оценок коэффи-
циентов (Р-оптимальность); их минимальной средней дисперсии
(А-оптимальность); минимума максимальной дисперсии оценок
коэффициентов; минимума максимальной (G-оптимальность) или
средней (Q-оптимальность) дисперсии предсказания значений
отклика в заданной области факторного пространства; максималь-
ной точности оценки координат экстремума и др. Все эти крите-
224

рии определяются главным образом строением и свойствами
информационной матрицы М = 1/Л7 (ХТХ) или, что то же самое,
матрицы М г.
Одним из наиболее сильных был признан критерий D-оптималь-
ности [26, 146]. D-оптимальными являются планы, имеющие мак-
симальное значение определителя матрицы М или минимальное —
матрицы М'1. Для выбора планов, отвечающих этому критерию,
в работах [137—139] было введено понятие непрерывного плана.
В этом случае рассматривается не дискретное распределение за-
данного числа опытов по отдельным экспериментальным точкам,
а некоторая непрерывная функция, определяющая частоту наблю-
дений в точках плана. Поскольку эта частота может принимать
любые значения между нулем и единицей, непрерывный план
в общем случае не содержит конечного числа точек. По сути дела
непрерывный план определяет непрерывное распределение «экспе-
риментальных усилий», принимаемых за единицу, по исследуемой
области факторного пространства. Однако в дальнейшем было
показано, что при некоторых ограничениях почти всегда можно
составить непрерывные D-оптимальные планы с конечным числом
точек. К сожалению, для того чтобы точно соблюсти требуемое
D-оптимальностью распределение наблюдений по точкам плана,
как правило, приходится назначать очень большое число опытов.
В связи с этим были решены задачи аппроксимации непрерыв-
ных D-оптимальных планов точными планами, содержащими
разумное число опытов и в то же время возможно меньше отли-
чающимися от непрерывных планов по D-оптимальности.
В частности, анализ непрерывных симметричных планов вто-
рого порядка [26] показал, что максимальное значение опреде-
лителя информационной матрицы (3.14), а потому и D-оптималь-
ность, достигаются в том случае, когда моменты плана соответ-
ственно равны:
= №+0(» + 2) [| + <''-|)-ц]	(359)
W	прн4>|,	(3.60)
= к	(3.61)
При этом оказалось, что условие (3.61) выполняется в том слу-
чае, когда план содержит только точки с координатами 0 и il.
Так были составлены симметричные композиционные планы
типа Bk [9], состоящие, как и всякие композиционные планы,
из ядра и звездных точек, но звездные плечи которых, для выпол-
нения условия (3.61), были приняты а = 1,0. Опытов в центре
такие планы не содержат. Их характеристики приведены
в табл. 3.12. В этой же таблице по данным [76] указаны значения
так называемых приведенных определителей | М-11 для планов
8 Новик Ф. С., Арсов Я. Б. 226

Таблица 3.12. Симметричные композиционные планы типа Bk
Номер плана	Число фак- торов k	Ядро плана	Число опы- тов в ядре	Число звезд- ных точек 2k	Общее число опытов /V	I М-1 | для планов	
						Bk	непре- рывных D-опти- мал ьных
1	2	22	4	4	8	1,48	1,45
2	3	23	8	6	14	1,47	1,45
3	4	24	16	8	24	1,48	1,43
4 5	5	25 25-1 (1 = X1X2X3XiX3)	32 16	10 10	42 26	1,48 1,51	1,40
6 7	6	2е 26-1 (1 = X1X2X3XiX6Xe)	64 32	12 12	76 44	1,53 1,48	1,38
8	7	2т-1 (1 = XjX2X3XiX5X(iX7)	64	14	78	1,47	1,35
£)-оптимальных и Bk. Хорошо видно, что планы Bk мало отли-
чаются от идеальных D-оптимальных.
После реализации планов типа Bk, как и в случае любого сим-
метричного плана второго порядка, расчет коэффициентов модели
(3.3) проводят по формулам (3.19) или (3.20), а расчет дисперсий
коэффициентов и их ковариации — по формулам (3.21).
Для облегчения расчетов можно пользоваться и формулами
(3.56) и (3.57). Вспомогательные константы ch входящие в эти
формулы, для рассматриваемых планов приведены в табл. 3.13.
Планы Bk неортогональны, для оценок Ьо и Ьа ковариации
cov&0& и COV6 6.. не равны нулю. Поэтому после расчета по
формуле (2.90) доверительных интервалов для этих коэффициен-
тов и проверки по (2.91) их статистической значимости исключение
незначимых коэффициентов требует пересчета Ьй, blh их диспер-
сий и ковариаций. В общем случае расчет коэффициентов ведут
по формуле (2.16), но можно пользоваться и формулами (3.56)
и (3.57). Необходимые для этого константы в зависимости
от числа включаемых в модель коэффициентов bit приведены
в табл. 3.13.
Статистически незначимые коэффициенты Ь( и можно исклю-
чать из модели без пересчета остальных.
Проверку адекватности полученной модели проводят по ме-
тодике, описанной в разделе 2.4.
226

227
Таблица 3.13. Вспомогательные константы для планов типа Bk
Номер плана	k	Число коэффи- циентов Ь.‘ в модели	С1	с2	Сз	С4	с6	С?	с8	Св	Сю
1	2	2	1,25000	0,75000	0,16667	0,25000	0,2500	1,11803	0,40825	0,50000	0,86603
		1	0,50000	0,50000	0,16667	0,25000	0,1670	0,70711	0,40825	0,50000	0,81670
		3	0,40625	0,15625	0,10000	0,12500	—0,0937	0,63738	0,31623	0,35355	0,63742
2	3	2	0,34610	0,19230	0,10000	0,12500	—0,1154	0,58830	0,31623	0,35355	0,62016
		1	0,25000	0,25000	0,10000	0,12500	—0,1500	0,50000	0,31623	0,35355	0,59161
		4	0,22917	0,06250	0,05556	0,06250	—0,1042	0,47872	0,23571	0,25000	0,62913
		3	0,21929	0,07895	0,05556	0,06250	—0,1316	0,46828	0,23571	0,25000	0,60696
3	4	2	0,20238	0,10714	0,05556	0,06250	—0,1786	0,44987	0,23571	0,25000	0,56692
		1	0,16667	0,16667	0,05556	0,06250	—0,2778	0,40825	0,23571	0,25000	0,47138
		0	0,04167	0	0,05556	0,06250	0	0,20413	0,23571	0,25000	0,70711
4		5	0,15815	0,03319	0,02941	0,03125	| —0,0918	0,39768	0,17149	0,17678	0,63891
		5	0,16016	0,03516	0,05556	0,06250	—0,0898	0,40020	0,23571	0,25000	0,64047
5	5	4	0,15714	0,04286	0,05556	0,06250	—0,1095	0,39641	0,23571	0,25000	0,62490
		3	0,15244	0,05488	0,05556	0,06250	—0,1403	0,39044	0,23571	0,25000	0,59975
		2	0,14407	0,07627	0,05556	0,06250	—0,1949	0,37957	0,23571	0,25000	0,55236
		1	0,12500	0,12500	0,05556	0,06250	—0,3194	0,35355	0,23571	0,25000	0,40829
		0	0,02381	0	0,05556	0,06250	0	0,15430	0,23571	0,25000	0,70711
6		6	| 0,12051	0,02060	| 0,01515	| 0,01563	| —0,0794	0,34715	0,12309	0,12502	0,64854
		6	0,12125	0,02125	 0,02941	0,03125	—0,0788	0,34821	0,17149	0,17678	0,64900
		5	0,12018	0,02522	0,02941	0,03125	—0,0935	0,34667	0,17149	0,17678	0,63757
7	6	4	0,11861	0,03102	0,02941	0,03125	—0,1150	0,34440	0,17149	0,17678	0,62048
		3	0,11612	0,04029	0,02941	0,03125	—0,1493	0,34076	0,17149	0,17678	0,59220
		2	0,11149	0,05743	0,02941	0,03125	—0,2128	0,33390	0,17149	0,17678	0,53591
		1	0,10000	0,10000	0,02941	0,03125	—0,3706	0,31623	0,17149	0,17678	0,35972
8	7	7	0,09767	0,01433	0,01515	0,01563	—0,0690 |	0,31252 |	0,12309 |	0,12502	0,65651
Примечание. Во всех случаях с6 => 0,50

Рассмотрим пример применения симметричного композицион-
ного плана второго порядка типа Bk.
Изучали содержание’водорода (у) в сплаве АЛ9 во время рафи-
нирования его в плавильных печах. Дегазацию осуществляли
введением в расплав гексахлорэтана с последующим пропуска-
нием постоянного электрического тока. Независимыми перемен-
ными служили количество вводимого гексахлорэтана (Хх), сила
тока, пропускаемого через расплав (Х2), время пропускания тока
(Х3), температура обработки током (Х4), температура заливки (Х5).
Общее время дегазации составляло 40—50 мин. Содержание во-
дорода (в см3/100 г) определяли методом вакуумплавления при
температуре 660° С. Продолжительность выделения и собирания
газов не превышала 20 мин. По результатам параллельных изме-
рений в контрольных опытах установлено, что дисперсия опыта
Sg = 6,25-10’4 при /х = 9.
Выбранные факторы, их интервалы варьирования и уста-
новленные уровни указаны в табл. 3.14.
Таблица 3.14. Уровни варьирования факторов
Факторы	Количе- ство гекса- хлор- этана, %	Сила тока, А	Время пропуска- ния тока, мин	Темпе- ратура обра- ботки, °C	Темпе- ратура заливки °C
Основной уровень (7О'0) Интервал варьирования	0,4	10	20	750	660
(ДЛД	0,2	5	10	50	20
Верхний уровень (х,- = +1)	0,6	15	30	800	680
Нижний уровень (хг- = —1)	0,2	5	10	700	640
На первом этапе реализовали план дробного факторного экспе-
римента 25-1с определяющим контрастом 1 = ххх2х3х4х5 (табл. 3.15,
опыты 1—16). Опыты не дублировали, их результаты приведены
также в табл. 3.15. Выбранная реплика позволяет оценить неза-
висимо друг от друга линейные эффекты и все парные эффекты
взаимодействий. Расчеты по формуле (2.12) дали следующие
оценки коэффициентов регрессии:
Ьо = 0,468; Ьг = —0,077; Ь2 = 0,042; Ь3 = —0,023;
64 = —0,036; Ь& = —0,003; Ь12 = —0,036; Ь13 = —0,013;
&Х4 = 0,037; &15 = 0,012; 623 = 0,016; b2i = 0,001; Ь2Ъ =
= —0,007; b3i = 0,006; b33 = 0,016; bV1 = 0,008.
Дисперсия в определении этих коэффициентов, рассчитанная
по формуле (2.28), S2bl = S2yIN — 6,25-10'4/16 = 3,906- 10 г‘, со-
ответственно Sbt — 6,25-10~3. При а = 0,05 и /х = 9 табличное
228

Т аблнца 3.15. Симметричный композиционный план второго порядка
Номер I опыта	и	и	ц	£	ц	и	н		ц ц	ц ц	ц	н ц	ц	ц ц	£	ц н	tN’-H к	ям к	к	ц		И	у (Н2, см3/100 г)	
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21		22	23	24
1	+	4-	4-	--	4-	+	4-	4-	4-	4-	4-	4-	4-	4-	4-	4-		4-	4-			4-	0,41	
2	4-	—	4-	--	4-	—	—	—	—	4-	4-	4-	—	4-			4-	4-	4-			4-	0,56	
3	+	+	—	—	4-	—	—	4-	4-	—	—	——	4-	4-	—	—	4-	+	4-			4-	0,30	
4	4-	—	——	—	4-	4-	4-							4-	4-	4-	4-		4-			4-	0,39	
5	4-	+	4-	—	4-	—	4-	—	4-	——	—	4-	—		4-		4-	4-	4-				0,42	
6	4-	—	4-	—	4-	4-	—	4-	—	—	—	4-	4-	—		4-	4-	+	4-				0,51	
7	4-	+	—	—	+	4-	—	—	4-	4-	4-	—	—	—	—	4-	4-	+	4-			+	0,44	^а-реплика
8	4-	—	—	—	т	—	4-	4-	—	4-	4-	—	4-	—-	4-	—	4-	4-	4-			4-	0,43	25-1
9	4-	4-	4-	4-	—	—	4-	4-	—	—	4-	—	—	—		4-	4-	4-		4-		4-	0,36	С
Ю																								1 = х1х2х3Х
КЗ <о 10	+	—	4-	+	—	4-	—	—	4-	—	4-			4-			4-			4-	[		4-		4-	0,68	X х4х5
11	4-	4-	—	4-	—	4-	—	4-	—	4-	—	4-		—	+	—	+	-1-	+	4-			0,35	
12	+	—	—		—	—		—	4-	4-	—	4-	4-					4-	4-	4-	4-		4-	0,51	
13	4-	4-	4-	—	—	4-	4-	—	—	+	—	—	4-	4-	—	—	+	+	4-	4-		4-	0,40	
14	+	—	4-	—	—	—	—	4-	4-	4-	—	—	—	4-	4-		4-	4-	4-	4-			0,74	
15	4-	4-	—	—	—	—	—	—	—	—	4-	4-	4-	4-	4-	—j-	4-		4-	4-		—j—	0,45	
16	4-	—	—	—	—	4-	4-	4-	4-	—	4-	4-	—	4-		—	4-	4-	+	4-		4-	0,54	
17	4-	4-	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	4-	0	0			0	0,42	
18	4-	—	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	+	0	0	0		0	0,50	
1У	4-	0	4-	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	4-	0	0		0	0^48	
20	4-	0	—	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	4-	0	0		0	0,39	
21	4-	0	0	4-	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	4-	0		0	0,46	Звездные
22	+	0	0	—	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	f	0		0	0,49	ТОЧКИ
23	4-	0	0	0	4-	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	4-		0	0,36	
24	+	0	0	0	—	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	4-		0	0,52	
25	4-	0	0	0	0	4-	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0		4-	0,47	
26	4-	0	0	0	0	—	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0			0,40	

значение /-критерия /0 оз- 9 = 2,26, поэтому по формуле (2.90)
\ь. = 2,26-6,25-10"3 = 0,014.
Все линейные эффекты, кроме Ь-а, и ряд эффектов взаимодей-
ствий по абсолютной величине больше доверительного интервала,
а потому их следует признать статистически значимыми.
По F-критерию была проверена гипотеза об адекватности ли-
нейной части модели (без члена Ь5х5). Дисперсия неадекватности,
рассчитанная по формуле (2.96), оказалась S2ea« = 0,004781
при числе степеней свободы /2 = 12. Поскольку расчетное значе-
ние F-критерия по формуле (2.95) £расч = 0,004781/0,000625 =
= 7,65 больше табличного, как при 5 %-ном (Fo^os- 12; у = 3,07),
так и при 1 %-ном (Fj^ 12; я = 5,11) уровнях значимости, гипо-
тезу об адекватности линейной части модели принять нельзя.
Было решено построить модель второго порядка, для чего
композиционно дополнить реализованную ^-реплику 251 звезд-
ными точками со звездным плечом а =	1. Условия опытов
в звездных точках приведены в табл. 3.15 (опыты 17—26), там же
указаны и результаты опытов. В целом табл. 3.15 представляет
собой матрицу симметричного композиционного плана второго
порядка В5, включающего N ~= 2я 1 -]- 2-5 = 26 опытов (см.
табл. 3.12).
По результатам всех выполненных опытов, пользуясь кон-
стантами с,-, приведенными в табл. 3.12, последовательно рассчи-
тали вначале все коэффициенты квадратичной модели по формулам
(3.56), ta затем их дисперсии и ковариации — по формулам (3.57):
Ьо = 0,444; bt = —0,073; b2 = 0,042; Ь3 = —0,022; 64 = —0,041;
fe5 =	0,001;	Ь12 = —0,036; Ь13	= —0,013;	Ьи = 0,037;
Ь15 =	0,012;	Ь23 = 0,016; b2i	0,001; &25	=—0,007;
634 =	0,006;	&35 = 0,016; bi3 =	0,008; btl	= 0,018;
b22 =	—0,007; b33 = 0,033; bu	= —0,002;	bi5 = —0,007;
Ssu=l-10-4; Sbo = 1-10-2; Sg. = 3,47-10"’’; Sbi = 5,89-10-3;
S2b.. = 3,91-IO’5; Sb.. = 6,25-Ю-3; S|.. = 2,56-10'4;
Sb[i = 1,60-10~2; c0V6e6.. = —2,2.10-5; covft..6.. = —5,6! • IO'5.
Далее, по формуле (2.90) подсчитали доверительные интер-
валы для оценок коэффициентов. При 5 %-ном уровне значимости
(а = 0,05; [у — 9; /о,о5;9 = 2,26) они оказались: Д&о = 0,023;
Д6. = 0,013; Д6.. = 0,014; Дй/г = 0,036; при 10%-ном уровне
(а'= 0,10; /i='feo,io;9 = 1,83): Д6() =0,018; Д6. = 0,011;
Д6._ = 0,011; Д6.. = 0,029.
Ориентируясь на эти интервалы, признали статистически не-
значимыми коэффициенты b3, bM, b25, b3i, bi5, bu, b22, bu и b55.
Было решено эти коэффициенты из модели исключить. Исключе-
230

ние коэффициентов b3, bM, b23, b3i и Ь45 не требует пересчета осталь-
ных; исключение коэффициентов Ьп, Ь22, Ьи и Ь55 — требует
пересчета Ьо, Ь33 и их дисперсий. Для пересчета воспользовались
вновь формулами (3.56) и (3.57), константы cz для случая включе-
ния в модель всего одного коэффициента Ьц брали из табл. 3.13:
Ьо = 0,125-11,98 — 0,125-8,44 = 0,443;
Ь33 = 0,5-8,44 — 0,3194-8,44 — 0,125-11,98 - 0,027;
S|4 = 0,125-6,25- КГ4 = 7,81 -10“5; Sb|) = 8,84-10-3;
Sg = 0,1667-6,25-IO"4 = 1,04-IO’4; Sb = 1,02-10~2.
Доверительные интервалы при а = 0,05: АЬо = 0,020 и Abs3 =
= 0,023, поэтому новые значения Ьо и Ь33 следует признать ста-
тистически значимыми.
Таким образом, получено следующее уравнение регрессии:
у = 0,443 - 0,073л-! + 0,042х2 — 0,022х3 -
— 0,041х4 — 0,036х4х2 — 0,01 Зад ф-
+ 0,037ад + 0,012ад + 0,016х2х3 ф- 0,016х3х_ - 0,091х2, (3.62)
где хг — в кодированном масштабе, связанные с натуральными
масштабами (X,) соотношениями (1.24):
At —0,4	Х2— 10	X, —20
%4=Т2-’	=	=
Х4 — 750	Х5 — 660
у — — Д____• у______2____
4	50	’	° —	20
Для проверки адекватности уравнения (3.62) вначале по
формуле (2.96) рассчитали дисперсию неадекватности Знеад =
== 8,40-10 4, затем по формуле (2.97) подсчитали для нее число
степеней свободы /2 = 26 — 12 = 14 и по (2.95) определили рас-
четное значение ^-критерия /?расч = 8,40-10“4/6,25-10~4 = 1,34.
Оно оказалось меньше табличного при 5 %-ном уровне значимости
(Т’о^б? к; э = 3,02), что свидетельствует об адекватности модели
(3.62). Анализ модели приведен в разделе 3.8.
3.5.	СИММЕТРИЧНЫЕ НЕ КОМПОЗИЦИОННЫЕ
КВАЗИ-Р-ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЛАНЫ
ПЕСОЧИНСКОГО
Принцип композиционности планирования является не всегда
удобным. Необходимость принятия решений о следующем этапе
эксперимента на основании результатов предыдущего встречает
трудности при решении многих задач. Часто значительно удобней
и экономичней реализовать сразу большую серию опытов, чем
последовательно несколько раз небольшие серии. Особенно вы-
годно поступать так в тех случаях, когда экспериментатор уже
231

априори знает, что функция отклика в изучаемой области заве-
домо нелинейная. Отказ от композиционности позволяет построить
в некоторых отношениях более эффективные планы.
Примером таких планов могут служить симметричные квази-
D-оптимальные планы, предложенные Л. Л. Песочинским [91 ].
Экспериментальные точки этих планов выбирают из множеств,
указанных в табл. 3.16. Факторы здесь варьируют на трех уров-
нях: —1; 0; +1- Если в множестве какой-либо фактор не указан,
значит он во всех опытах данного множества находится на уровне 0.
Остальные факторы в данном множестве имеют уровни в соответ-
ствии с полным или дробным факторным экспериментом. Напри-
мер, план для четырех факторов (k = 4) включает 42 опыта:
1)	8 опытов дробного факторного эксперимента для всех
четырех факторов с определяющим контрастом 1 = х±х2х3',
2)	8 опытов, в которых фактор хг имеет уровень 0, а фак-
торы х2, х3 и хл образуют полный факторный эксперимент 23;
3)	8 опытов, в которых фактор х2 имеет уровень 0, а факторы х1(
х3 и х4 образуют полный факторный эксперимент 23;
4)	8 опытов, в которых фактор х3 имеет уровень 0, а факторы хх,
х2 и х4 образуют полный факторный эксперимент 23;
5)	8 опытов, в которых фактор хл имеет уровень 0, а факторы х1(
х2 и х3 образуют дважды повторенную дробную реплику 231
с определяющим контрастом 1 = — XiX2x3,
6)	2 опыта в центре плана.
В табл. 3.16 по данным работы [76] даны для сравнения ве-
личины «приведенных» определителей | М-11 для идеальных и
квази-П-оптимальных планов. Близость их значений очевидна. ।
Поскольку данные планы симметричны, расчет коэффициентов
модели (3.3) можно проводить по формулам (3.19) или (3.20),
а дисперсии коэффициентов и их ковариации оценить по форму- 
лам (3.21). Однако и в этом случае заранее подсчитаны вспомога-
тельные константы с,-, позволяющие проводить соответствующие
расчеты по формулам (3.56) и (3.57). Значения этих констант ука-
заны в табл. 3.17.
Как и в случае описанных выше ротатабельных планов и пла-
нов типа Bk, квази-П-оптимальные планы Песочинского неорто-
гональны. Поэтому порядок действия при оценке статистической ’
значимости коэффициентов регрессии тот же, что и для упомяну-
тых планов. Проверку адекватности полученной модели проводят j
по методике, указанной в разделе 2.4.
Рассмотрим пример применения симметричного некомпози-
ционного квази-П-оптимального плана Песочинского.
Детали пресс-форм для многих видов стеклоизделий быстро >
изнашиваются из-за разгара рабочей поверхности. Известно, что
наибольшей разгаростойкостью обладают пресс-формы из феррит-
ного чугуна с шаровидным графитом. Поэтому для этих чугунов
искали оптимальное содержание углерода (XJ, кремния (Х2)
и фосфора (Х3), обеспечивающее возможно более высокую разга-
232

Таблица 3.16. Симметричные некомпозиционные квази-О-
оптимальные планы Песочинского
Число факторов k	Номер множества	Множества					| М-‘ 1 для планов	
		Факторы в мно-1 жестве, имею- 1 щие уровень 0 1	Факторы в мно- жестве, имею- щие уровни 1	Полный или дробный фак- торный экспе- римент	Число повторе- ний	Число опытов в множестве	квази-О-опти- мальных	непрерывных D-оптимальных
2	1	—	ХЬ х2	22	2	8	1,45	1,45
	2	Х1	Х2	21	1	2		
	3	Х3	Х1	21	1	2		
	Опыты в центре					1		
	Всего опытов					13		
3	1	Х1	Х2, Х3	22	1	4	1,62	1,45
	2	Х2	Xi, х3	22	1	4		
	3	х3	Xi, х2	22	1	4		
	Опыты в центре					1		
	Всего опытов					13		
4	1	—	Xi, х2, х3, Xi	24”1, 1 = х^Хд	1	8	1,46	1,43
	2	Х1	х2, Х3, Xi	23	1	8		
	3 4	Х2 Хз	Х1, Х3, Xi Xi, Х2, Xi	23 23	1 1	8 8		
	5	Xi	Xi, Х2, х3	23"1, 1 ' —XjX2Xs	2	8		
	Опыты в центре					2		
	Всего опытов					42		
233

234
О					СЛ								Число факторов k	
СЛ		CO	to	—	о -  a CO p « °	” о	о	СЛ	4^	CO	to	—	Номер множества	
X	£	X to	и	1			к ст		£	£	X Н»	1	Факторы в мно- жестве, имею- щие уровень 0	S 3 о л> п &>
И X ** ? X м X * • И W	и X * ? * ЬЭ £ ’	К X * ? X w X *	£ =%x	?*?			* to « £	X £ £ £	£ to £ CT	s' X Uk X CT	Uk to	t к to w	Факторы в мно- жестве, имею- щие уровни =±=1	
III “ * III III £	1	1	to x	x	x	°; ст	to	>-»	1 H	*	К	м ® У ы * £ ill 111	III III III * 1 1 to Ill III	111 III III 1 * 1 ЬЭ * * * ** W OS CT " III	III III III J >6» ст cs III III	hi in hi £ 1 1 £££ - £ £ £ * £ III III			in 1 ЬЭ £	III 1 ЬЭ Jt J to - £ £	III 1 *2 X £	III 1 b° x u w - £ J?	III to x *1 Ы !_1 £- £	111 111 Ш WHto £££ “1 И Hw to Ф* CT Su нГ 1 in	Полный или дробный фак- торный экспе- римент	
—	—	—	—	—			—	—	—		—	—	Число повторе- ний	
00	00	00	00	о	СЛ О	to	00	00	00	00	00	00	Число опытов в множестве	
1,38					4^ to								квази-О-опти- мальиых	§ а — &> д 3 о — о
1,38					о								непрерывных D-оптимальных	
Продолжение табл. 3.16

236
Всего опытов	Опыты в центре		О	СИ		00	to	—
			* о»	43*		*	* ьэ	*
		»*с?	* * (U Н*	j4 £ * * 9» Ю И * •J W	%2- ^*3’ ' ^5» *6, X7	СЛ* I—' И И ® u> £	Xl, X3, xit Xi, X6, X7	54 4 СЛ M * 54 о w
		Ill III X X к ££ и! * * « W III	III III 1 1 to >ч!х °| ф» м	1 И X м СЛ Ь9 * >< •J W III	III III 1 £ 'i £ £ J 4* £ -S' [И	III III I X 1 'i 1 * tQ 9> III	III III 1 * >< J >u t* *» e' 111	III III 1 -* J * * w ** £ III	111 III I 5ч to b9 « ££ - »* III
		—	—	—		—	—	—
о		О	S	о	о	О		c>
1,37								

Ci				Число факторов	
Всего опытов	Опыты в центре		Ci	Номер множества	
		* о»	и СЛ	Факторы в мно- жестве, имею- щие уровень 0	Множества
		*1, х2, х3, Xf Х8	Xj, Х2» Xg, X4, x0	Факторы в мно- жестве, имею- щие уровни	
		III III III 1	1 to °! £ in£ “ III	III III III £ £ *2 £££ J * X Л» ® *. £ III III	Полный или дробный фак- торный экспе- римент	
		—	—	Число повторе- ний	
О Ci	ьэ	Oo	Oo	Число опытов в множестве	
1,38				квази-О-опти- мальных	1 М'1 | для планов
1,38				непрерывных О-оптнмальных	
Продолжение табл. 3.16

Таблица 3.17. Вспомогательные константы для квази-О-
оптимальных планов
Число факторов k	Cl	С2	Сз	С4	Сб
2	0,52941	0,29412	0,10000	0,12500	0,5000
3	1,00000	0,50000	0,12500	0,25000	0,2500
4	0,38235	0,11765	0,03125	0,04167	0,1250
5	0,42000	0,10000	0,02500	0,03125	0,1250
6	0,41111	0,07778	0,01786	0,02083	0,1250
7	0,25000	0,04167	0,01042	0,01250	0,0625
Число факторов k	Се	с7	Се	св	C1Q
2	—0,05882	0,72761	0,31623	0,35355	0,66421
3	0,18750	1,00000	0,35355	0,50000	0,66144
4	0,00735	0,61834	0,17678	0,20413	0,36380
5	0	0,64807	0,15811	0,17678	0,35355
6	—0,00556	0,64118	0,13364	0,14433	0,34560
7	—0,00174	0,50000	0,10208	0,11180	0,24650
ростойкость (у). Последнюю характеризовало количество стекло-
изделий, отпрессованных пуансоном из чугуна данного состава
до момента, когда поверхность стеклоизделия приобретает вид
эталона с отпечатками трещин.
Выбранные факторы, их основные уровни и интервалы варьи-
рования указаны в табл. 3.18.
Т а б л и ц а 3.18. Уровни варьирования факторов
Факторы	С, % (X,)	Si, % (Х2)	Р. % (Х3)
Основной уровень (Х(- )	3,5	2	0,2
Интервалы варьирования (АХ,)	0,2	0,2	0,1
Верхний уровень (х,- = +1)	3,7	2,2	0,3
Нижний уровень (х,- = —1)	3,3	1,8	0,1
Поскольку (согласно литературным данным) предполагалось
нелинейное влияние факторов на разгаростойкость, было решено
строить квадратичную модель типа (3.3).
В качестве плана эксперимента выбрали симметричный квази-
D-оптимальный план Песочинского для k = 3. Матрица плани-
рования приведена в табл. 3.19.
В соответствии с выбранным планом эксперимента были при-
готовлены пуансоны из тринадцати чугунов. Чугуны выплавляли
в электрической индукционной печи МГП-50 и модифицировали
236

Таблица 3.19. Симметричный квази-Р-оптимальный
план Песочинского
никельмагниевой лигатурой. Плавку чугунов, заливку в формы
и графитизирующий отжиг проводили в одинаковых условиях.
Содержание серы в чугунах, наиболее вредного для разгаростой-
кости элемента, поддерживали на уровне тысячных долей про-
цента. Содержание марганца было примерно постоянным (около
0,30%). Легирование чугунов никелем осуществляли для уплот-
нения и гомогенизации структуры, так как неодинаковая плот-
ность отливок могла стать дополнительным фактором, влияющим
на разгаростойкость. После термической обработки все чугуны
имели ферритную структуру одинаковой зернистости с включе-
ниями шаровидного графита и с небольшими полями перлита
вокруг фосфидной эвтектики.
Результаты испытаний на разгаростойкость пуансонов из вы-
бранных чугунов представлены в табл. 3.19. Опыты не дублиро-
вали. Дисперсия опыта, известная из предыдущих экспери-
ментов, составляла S2U = 625 при числе степеней свободы
А = 9.
Коэффициенты регрессии, рассчитанные по формулам (3.56)
с учетом констант, приведенных в табл. 3.17, оказались следу-
ющими:
Ьо = 850; Ь, = 75; Ь2 = —156,3; bs = —106,3; Ь12 = —12,5;
Ь13 = 12,5; Ь23 = 100; bn = —62,5; Ь22 = —75; Ь33 = —75.
237

По формулам (3.57) определили дисперсии и средневадратич-
ные ошибки оценок коэффициентов, а также их ковариации:
Sbo = 625; 5% = 25; 5^ = 78,13; Sb. = 8,84; Sg = 156,25;
Sb = 12,50; Sb.. = 273,44; Sb.. = 16,54;
C0V6<At ~ —312,5; c<)\’b..b.. = 117,19.
I Подформуле (2.90) подсчитали доверительные интервалы для
оценок коэффициентов. При 5 %-ном уровне значимости (а = 0,05
fi = 9; /о,os, э = 2,26) они оказались
А6 =56,5; А6 =19,98; Аь . = 28,25; А6 =37,38.
о	’ °i ’	’ °ц ’	’ °а
Поскольку абсолютные значения коэффициентов Ь12 и Ь13
меньше их доверительных интервалов, эти коэффициенты следует
признать статистически незначимыми. Остальные коэффициенты
значимы.
Коэффициенты Ь12 и Ь13 исключили из модели, причем это не
потребовало пересчета остальных, так как коэффициенты Ь!;-
не коррелируют ни с какими другими.
Таким образом, получено следующее уравнение регрессии:
у = 850 + 75%. — 156,3%, — 106, Зх, -4- 100%, х„ — 62,5х? —
- 75х* - 754	(3.63)
где xz — в кодированном масштабе, связанные со значениями
факторов в натуральном масштабе (XJ соотношениями (1.24):
Для проверки адекватности модели (3.63) по формуле (2.96)
определили дисперсию неадекватности З’неад = 625,01; по фор-
муле (2.97) — число степеней свободы /2 = 13 — 8 = 5; по фор-
муле (2.95) — расчетное значение Е-критерия Ерасч =625,01/625 =
= 1,01. Оно оказалось меньше табличного при 5 %-ном уровне
значимости Fo’osJ 8; э = 3,23. Гипотеза об адекватности модели
(3.63) не отвергается. Анализ модели и результаты оптимизации
приведены в разделе 3.8.
3.6.	СИММЕТРИЧНЫЕ НЕКОМПОЗИЦИОННЫЕ
ПЛАНЫ БОКСА—БЕНКЕНА
Еще одним примером симметричных некомпозиционных пла-
нов являются планы, предложенные Боксом и Бенкеным [127].
Факторы в этом случае варьируются на трех уровнях 0; =ь1.
Планы представляют собой комбинации двухуровневых (—1, +1)
полных факторных экспериментов с неполноблочными сбалан-
сированными планами. Каталог последних (так называемых урав-
новешенных блок-схем) имеется в работе [65] (см. также [133]).
238

Покажем построение планов Бокса—Бенкена на примере.
Ниже приведена сбалансированная блок-схема для четырех
факторов с шестью блоками, с числом единиц в блоке, равным
двум. Каждую строку блок-схемы заменяют полным факторным
экспериментом 22 для факторов, отмеченных звездочками. Факторы,
не отмеченные звездочками, в этих опытах имеют уровень 0.
Кроме того, план дополняют тремя опытами в центре (на основном
уровне). Построенный таким образом план Бокса—Бенкена для
k = 4 см. ниже в примере (табл. 3.23).
х,	х3
*
* *
* *
* *
Некоторые планы Бокса—Бенкена проведены в табл. 3.20.
В работе [127] показано, что эти планы для четырех и семи фак-
торов являются ротатабельными, для остальных размерностей —
очень близки к ротатабельным. Количественной мерой близости
плана к ротатабельному является так называемый фактор несфе-
ричности, представляющий собой отношение максимального раз-
маха дисперсии предсказания к ее среднему значению на сфере
единичного радиуса. Для ротатабельных планов этот фактор ра-
вен нулю. В табл. 3.20, по данным [127], приведены значения
фактора несферичности для разных планов Бокса—Бенкена.
Графики изменения дисперсии предсказанного значения отклика
в зависимости от расстояния от центра эксперимента, приведен-
ные в [127 ], свидетельствуют о том, что эти планы, кроме того,
почти униформны. Интересно, что план Бокса—Бенкена для k = 3
можно сделать точно ротатабельным, заменив-в нем уровни (=t 1)
уровнями (—р) и (~q), если p/q = (]/5 + 1)/2 = 1,62 [77].
Планы Бокса—Бенкена симметричны, поэтому расчет коэффи-
циентов модели (3.3) можно вести по формулам (3.19) или (3.20),
а дисперсии коэффициентов и их ковариации оценивать по фор-
мулам (3.21). Для планов, указанных в табл. 3.21, заранее под-
считаны вспомогательные константы с,-, позволяющие проводить
соответствующие расчеты по этим формулам (табл. 3.21). Наличие
в матрицах планов Бокса—Бенкена большого числа нулей за-
метно упрощает расчеты.
Поскольку планы Бокса—Бенкена не ортогональны, после
расчета по формуле (2.90) доверительных интервалов оценок
коэффициентов и проверки по (2.91) их статистической значимости
239

Таблица 3.20. Симметричные некомпозиционные планы
Бокса—Бенкена
Число факте- | ров k	|	Матрица планирования								План для фак- торов,«имею- щих уровни	Число опытов			Фактор несфе- ричностн
										В выборке из плана 3^	На нулевом уровне	о о М	
3	Х1		х2		х3				22	12	3	15	0,38
	±1 ±1 0 0		± 1 0 ±1 0		0 ± 1 ± 1 0								
4	Х1		Х2		х3				22	24	3	27	0
	±1 0 ±1 0 ±1 0 0		± 1 0 0 ±1 0 ± 1 0		0 ±1 0 ±1 ±1 0 0		0 ± 1 ±1 0 0 ±1 0						
5	Х1		х2		х3			Xs	22	40	6	46	0,17
	±1 0 0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 0 0		±1 0 ±1 0 0 ±1 0 0 0 ±1 0		0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 0 0		0 ±1 0 0 ± 1 0 ±1 0 0 ± 1 0	0 0 ±1 0 ±1 0 0 ±1 ±1 0 0					
6		Х2	х3	х4	Х&	хв			23	48	6	54	» 0,23
	±1 0 0 ±1 0 ±1 0	±1 ±1 0 0 ±1 0 0	0 ±1 ±1 0 0 ±1 0	± 1 0 ±1 ±1 0 0 0	0 ±1 0 ±1 ±1 0 0	0 0 ±1 0 ±1 ±1 0							
240

Продолжение табл. 3.20
I Число факте- 1 ров k	 |	Матрица планирования											План для фак- торов, имею- щих уровни — 1	Число опытов			i Фактор несфе- | ричности
													В выборке из плана	2 о СО Ж	О со	
	Х1	х2	Х3	х4	Хь	Xg	х7									
7	0 ±1 0 ±1 0 ±1 0 0	0 0 ±1 ±1 0 0 ±1 0	0 0 0 0 ±1 ±1 ±1 0	±1 0 0 ±1 ±1 0 0 0	±1 0 ±’1 0 0 ±1 0 0	±1 ±1 0 0 0 0 ±1 0	0 ±1 ±1 0 ±1 0 0 0					23	56	6	62	0
	Х1	х2	х3	х4	*6	хе	х7	х8	хв	*То	хп					
11	0 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0 0 ±1 0 0	0 0 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0 0 ±1 0	±1 0 0 ±1 0 ± 1 ±1 ±1 0 0 0 0	0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0 0	0 0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0	0 0 0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 ±1 ±1 0	±1 0 0 0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 ±1 0	±1 ±1 0 0 0 ±1 0 0 ±1 0 ±1 0	±1 ±1 ±1 0 0 0 ±1 0 0 ±1 0 0	0 ±1 ±1 ±1 0 0 0 ±1 0 0 ±1 0	±1 0 ±1 ±1 ±1 0 0 0 ±1 0 0 0	25-1 1 = XiX2 X X х3*4*5	176	12	188	0,06
Таблица 3.21. Вспомогательные константы для планов Бокса—Бенкена
Число факторов	Ci	с2	С3	С4	Съ
3	0,33333	0,16667	0,12500	0,25000	0,25000
4	0,33333	0,16667	0,08333	0,25000	0,12500
5	0,16667	0,08333	0,06250	0,25000	0,08333
6	0,16667	0,05556	0,04167	0,12500	0,08333
7	0,16667	0,05556	0,04167	0,12500	0,06250
Число факторов	Св	С,		С®	Сю
3	0,02083	0,57735	0,35355	0,50000	0,52041
4	0,06250	0,57735	0,28867	0,50000	0,43301
5	0,03125	0,40825	0,25000	0,50000	0,33850
6	0,01389	0,40825	0,20413	0,35355	0,31180
7	0,01157	0,40825	0,20413	0,35355	0,27216
241

исключать из модели коэффициенты Ьо и Ьа без пересчета осталь-
ных нельзя. Пересчет ведут по формуле (2.16). Методика про-
верки адекватности полученной модели описана в разделе 2.4.
Рассмотрим пример применения симметричного некомпози-
ционного плана Бокса—Бенкена.
С целью повышения эксплуатационных свойств некоторых
изделий, требовалось получить возможно более высокую твердость
в поверхностных слоях стали 40ХФА после ее азотирования.
Варьировали режим предварительной термической обработки и
температуру азотирования. В качестве факторов выбрали тем-
пературы: 'закалки (Xj), отпуска (Х2), стабилизирующего от-
пуска (Х3) и азотирования (Х4). Параметром оптимизации (у)
служила твердость поверхностных слоев образцов по Виккерсу.
Выбранные факторы и уровни их варьирования указаны
в табл. 3.22.
Таблица 3.22. Уровни варьирования факторов
Факторы		Температура, °C			
		закалки	отпуска	стабилизи- рующего отпуска (*з)	азотирова- ния (Х4)
Основной	уровень (X, )	900	650	570	500
Интервалы варьирования (Л*/)		30	20	20	20
Верхний = +1)	уровень (х;- = -	930	670	590	520
Нижний = -1)	уровень (х(- =	870	630	550	480
Условия опытов (табл. 3.22) в данной задаче были выбраны
не случайно. Априорная информация позволяла считать, что
исходный основной уровень уже находится в области оптимума.
Применение процедуры композиционного планирования с после-
довательной достройкой линейного плана др плана второго по-
рядка было в данном случае нецелесообразно.
В оптимальной области твердость с изменением режимов тер-
мической обработки изменяется, скорее всего, нелинейно. Поэтому
решили строить квадратичную модель типа (3.3).
В качестве плана эксперимента выбрали некомпозиционный
план Бокса—Бенкена. Матрица планирования, составленная
с помощью указанной выше сбалансированной блок-схемы, при-
ведена в табл. 3.23. Все заданные планом опыты были выполнены.
Время выдержки при закалке, отпусках и азотировании во всех-
случаях было одинаковым. Опыты не дублировали, поскольку
центральный опыт повторяли трижды. Результаты определения
твердости стали 40ХФА после разных режимов термической
обработки указаны в табл. 3.23.
242

Коэффициенты регрессии, рассчитанные по формулам (3.56)
с учетом констант, приведенных в табл. 3.21, оказались следу-
ющими:
Ьо = 914,8; bt = 11,5; b2 = —11,8; Ь3 = 7,2; bt = —23,8;
Ь12 = —9,3; b13 = —16,3; Ь14 = 5,5; Ьм = —9,5; Ьм = —15,8;
b3i = —25,8; bu = —22,2; Ьм = —41,0; Ь33 = —33,2; Ьи = —26,5.
Тройное повторение опыта на основном уровне (опыты 25—
27 в табл. 3.23) позволило по формуле (2.69) рассчитать дисперсию
опыта. Она оказалась Sy = 129 при числе степеней свободы = 2,
Таблица 3.23. План Бокса—Бенкена
Номер опыта				ч		£	ч ч	ц ч	ч	н н	ч	Ч	C4S4! ч	мео	Ч	(ЛИ) Л
1	+	+	+	0	0	+	0	0	0	0	0	+	+	0	0	861
2	+	—	+	0	0	—	0	0	0	0	0	4-	+	0	0	842
3	4-	4-	—	0	0	—	0	0	0	0	0	+		0	0	903
4	4-	—	—	0	0	4-	0	0	0	0	0	+	+	0	0	847
5	4-	0	0	4-	4-	0	0	0	0	0	+	0	0	+	4-	825
6	+	0	0	—	4-	0	0	0	0	0		0	0	+	4-	881
7	4-	0	0	4-	—	0	0	0	0	0	—	0	0	+	4-	904
8	4-	0	0	—	—	0	0	0	0	0	+	0	0	4-	4-	857
9	+	“Г	0	0	+	0	0	+	0	0	0	+	0	0	4-	825
10	+	—	0	0	4-	0	0	—	0	0	0	+	0	0	4-	810
11	+	+	0	0	—	0	0	—	0	0	0	4-	0	0	4-	887
12	4-	—	0	0	—	0	0	4-	0	0	0	+	0	0	4-	894
13	4-	0	4-	4-	0	0	0	0	4-	0	0	0	+	+	0	815
14	4-	0	—	-F	0	0	0	0	—	0	0	0	4-	+	0	868
15	+	0	4-	—	0	0	0	0	—	0	0	0	+	4-	0	808
16	+	0	—	—	0	0	0	0	4-	0	0	0	4-	4-	0	823
17	+	4-	0	4-	0	0	4-	0	0	0	0	4-	0	+	0	869
13	4-	—	0	+	0	0	—	0	0	0	0	+	0	+	0	874
19	4-	+	0	—	0	0	—	0	0	0	0	4-	0	4-	0	880
20	4-	—	0	—	0	0	+	0	0	0	0	4-	0	+	0	820
21	4-	0	+	0	4-	0	0	0	0	4-	0	0	+	0	+	805
22	-1-	0	—	0	4-	0	0	0	0	—	0	0	4-	0	+	850
23	4-	0	4-	0	—	0	0	0	0	—	0	0	4-	0	+	879
24	4-	0	—	0	—	0	0	0	0	4-	0	0	4-	0	+	861
25	4-	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	907
26	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	928
27	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	910
По формулам (3.57) определили дисперсии и среднеквадратич-
ные ошибки оценок коэффициентов регрессии, а также их кова-
риации:
Si =43; Sb =6,56; S§ =10,75; S6 = 3,28; Si . = 32,25;
U	и	I	I	IJ
Sb.. = 5,68; Si — 24,19; Sb =4,92;
tj	It	ii
covb6.. = —21,5; covb..b.. = 8,06.
0 ll	II ]]
243

Рассчитанные по формуле (2.90) доверительные интервалы
оценок коэффициентов при 5 %-ном уровне значимости (а — 0,05;
/1 = 2; /о,о5; 2 - 4,30) А6о = 28,21; А6/ = 14,10; Д6 = 24,42;
А6.. = 21,16.
Таким образом, коэффициенты b0, bA, b3i, blt, b22, b33 и biit
абсолютные значения которых больше соответствующих довери-
тельных интервалов, следует признать статистически значимыми.
Остальные коэффициенты незначимы, и из модели их можно
исключить. Отметим, что исключение этих коэффициентов не тре-
бует пересчета остальных, хотя использовавшийся план был не-
ортогональным.
В результате было получено следующее уравнение регрессии:
у = 914,8 - 23,8х. - 25,8х„х. - 22,2х2. - 41х? - 33,2л-;- - 26,5х;,
(3.64)
где Xi — в кодированном масштабе, связанные со значениями
факторов в натуральном масштабе (X,) соотношениями (1.24):
v _ Xi-900.	_Х2 — 650.	Хз-570 .	Х4-500
лу 30	, Х2 20	, Х3 20 Ч 20
При проверке адекватности модели (3.64) учитывали то обстоя-
тельство, что один опыт плана (опыт в центре, табл. 3.23) трижды
дублировали. Поскольку этот опыт был только один, сумму
квадратов 55пеад считали по формуле (2.101), которая в данном
случае имеет вид
24
*^*^неад «о (-^Орасч	Xj (^ирасч ^иэксп) •
и=1
Число степеней свободы для дисперсии неадекватности опре-
делили как f2 = N — k' — 1, так как при расчете 5511еад по N
опытам, кроме k' коэффициентов модели (3.64) надо знать еще
и уй. Оказалось, что 55пеад = 3 (914,8 — 915)2 + 10 404,42 =
= 10404,54, a f2 = 27 — 7 — 1 = 19. Поэтому 5неад =
= 10404,54/19 = 547,61 и расчетное значение F-критерия по
формуле (2.95) Красч = 547,61/129 = 4,25. Табличное значение
F-критерия при 5%-ном уровне значимости Fo.os; ю; 2 = 19,44 —
величина, конечно, очень большая, поскольку S2y имеет только
две степени свободы — в связи с этим условие (2.98) легко выпол-
няется. Модель (3.64) можно признать адекватной.
Отметим, что эта модель весьма необычна. Оказывается, в изу-
ченном интервале изменения температур закалки, отпусков и
азотирования, твердость поверхностных слоев стали 40ХФА опре-
деляется главным образом температурами операций, а не соот-
ношениями между этими температурами (все эффекты парных
взаимодействий, кроме b3i, статистически незначимы). Как и
следовало ожидать, твердость снижается с повышением темпера-
туры азотирования. Что касается заметно влияющего на твердость
244

соотношения между температурами стабилизирующего отпуска и
азотирования, то, поскольку коэффициент b3i отрицательный,
эти температуры надо менять в изученных интервалах в разные
стороны: при снижении температуры азотирования повышать
температуру стабилизирующего отпуска и наоборот.
Результаты поиска оптимальных температур обработки, обес-
печивающих возможно более высокую твердость, приведены
в разделе 3.8.
3.7.	НЕСИММЕТРИЧНЫЕ ПОЧТИ
ИЛИ ПОЛНОСТЬЮ НАСЫЩЕННЫЕ ПЛАНЫ
До сих пор были рассмотрены симметричные планы. Напом-
ним, что в информационной матрице (ХТХ) таких планов все не-
четные моменты равны нулю. Это обстоятельство приводило к ряду
полезных свойств, описанных выше. Вместе с тем отказ от сим-
метричности позволяет строить планы в некоторых отношениях
более эффективные.
Одним из критериев оптимальности планов можно считать
число опытов в них. В подавляющем большинстве случаев экспе-
риментатор стремится к тому, чтобы опытов было как можно
меньше. Оказалось, что можно построить планы, число опытов
в которых либо равно числу коэффициентов строящейся модели,
либо не намного больше.
Одними из наиболее экономных по числу опытов являются
планы, предложенные Хартли [136]. Их достоинствами являются,
кроме того, близость к D-оптимальным планам и композиционный
принцип построения.
Как и все композиционные планы, они состоят из ядра, звезд-
ных точек и опытов в центре. Цель выполнения опытов ядра,
которые при композиционной стратегии проводятся на первом
этапе, — определить независимо друг от друга все коэффициенты
при линейных членах и парных взаимодействиях. Сделать это
можно только, если используется полный факторный эксперимент
или главные полуреплнки, начиная с размерности k = 5. Так
составлены описанные выше симметричные ортогональные и ро-
татабельные планы. Но эти планы содержат слишком большое
число опытов. Оказалось, что на ядро плана можно наложить
значительно менее жесткие условия. Действительно, если исполь-
зовать в качестве ядра такую реплику, что коэффициенты при
линейных членах можно оценить только совместно, то добавление
затем звездных точек делает столбцы xL линейно независимыми.
Кроме того, если использованная реплика дает смешанные оценки
линейных эффектов и парных взаимодействий, то добавление
звездных точек вновь позволяет разделить эти эффекты. Однако,
если парные взаимодействия смешаны между собой, то звездные
точки не меняют ситуации, и в полном плане второго порядка
24Б

эти эффекты оказываются все равно смешанными. Отсюда остается
только одно требование к плану ядра: это должна быть реплика,
дающая возможность оценить коэффициенты при парных взаимо-
действиях независимо друг от друга.
Такому требованию отвечают реплики, обладающие тем свой-
ством, что в определяющем контрасте для них отсутствуют одно-,
двух- и четырехбуквенные взаимодействия. Так, в задачах с k — 3
в качестве ядра можно использовать дробную реплику 23 1 с опре-
деляющим контрастом 1 ьз —х4х2х3, в задачах с k ~ 4 — реп-
лики 24-1 С 1 ~ ^Х1Х2Х4, 1 -Х1ЗД, 1 = —х2х3х4, 1 = ^х1х2х3,
но не реплику 24 4с 1 = =^х1х2х3х4 и т. д. В табл. 3.24 приведены
значения числа коэффициентов полной квадратичной модели (3.3)
и числа опытов в планах Хартли в зависимости от размерности
факторного пространства.
Очевидно, что наиболее удовлетворительными в смысле числа
опытов можно считать планы Хартли для задач с числом факто-
ров 2—6. Для задач с k — 5, 7, 9 планы, подобные планам Хартли,
получены Вестлейком [147]. Чтобы уменьшить число опытов,
ему пришлось воспользоваться нерегулярными дробными репли-
ками, описанными в разделе 2.2. Для задач с k — 5 берется 3/8-реп-
лика от 2s, содержащая 22 опыта; для k 7 — 13/64-реплика
от 27, содержащая 24 опыта; для k = 9 — 11/128-реплика от 29,
содержащая 40 опытов.
Таким образом, планы Вестлейка содержат опытов (без учета
числа опытов в центре): 22 для k = 5, 38 для k = 7 и 58 для
k = 9 (сравните с данными в табл. 3.24).
Таблица 3.24. Число коэффициентов полной квадратичной
модели и числа опытов в планах Хартли
Число факторов k	2	3	4	5	G	7	8	9
Число коэффициентов модели (3.3)	6	10	15	21	28	36	45	55
Число опытов в плане Хартли	7	11	17	27	29	47	80	82
Планы Хартли не обладают многими удобными свойствами.
В частности, их нельзя сделать ортогональными или ротатабель-
ными (за исключением плана для k = 5) путем подбора звездного
плана а. Поэтому величины звездных плеч и число опытов в центре
определяют из других соображений. В работах [9, 34, 109] в ка-
честве критериев оптимальности планов выбрали максимизацию
величины определителя информационной матрицы (критерий D-
оптимальности), минимизацию максимальной (критерий G-опти-
мальности) и средней (критерий Q-оптимальности) дисперсии пред-
сказания значений отклика в заданной области. Различали планы
246

Т а б л и и а 3.25. Характеристики планов Хартли
Номер плана	Число фак- । торов k 1	Область экспери- мента	Ядро плана	Число опы- тов в ядре Л/\	Звездное плечо а	Число звезд- ных точек 2k	Число опы- тов в центре	Общее чи- сло опытов N
_1_ 2	3	Сфера	23-i 1 н х4х2х3	4	/з = = 1,73205	6	1 4	и 14
3 4 5 "б	4	Сфера Куб	24-1 1 = Х4Х2Х3 24-! 1 = Х4Х2Х3	8 8	2 1	8 8	1 т 1 4	17 20 17 20
7 8 9 10	5	Сфера Куб	2Г1 1 = Х1Х2Х3Х4Х5 24-! 1 = Х1Х2Х3Х4Х5	16 16	/"5 = = 2,23607 1	10 10	1 т 1 4	27 30 27 30
11 12	6	Сфера	2е-2 1 = Х1Х2Х3 Н = Х4Х3Хв	16	/б = = 2,37841	12	_1_ 4	29 32
13 14	7	Сфера	27-2 1 = Х1Х2Х3 = = х4х5х6	32	/"7 = = 2,64575	14	_1_ 4	47 50
15 16	8	Сфера	28-2 1 = Х1Х2Х3Х4Х5 = = х4х5хвх7х8	64	2/2 = = 2,82843	16	2 4	82 84
для области эксперимента, представляющей собой многомерный
куб или многомерную сферу.
Характеристики некоторых, лучших с точки зрения указанных
критериев, планов Хартли на кубе и на сфере, по данным [34],
приведены в табл. 3.25. План на кубе для k = 4 см. ниже в при-
мере. Для планов на сфере звездное плечо выбрано таким обра-
зом (а > =ь1), чтобы точки, отвечающие вершинам куба, имели
координаты ±=1. Отметим, что в работе [109] планы на сфере со-
ставлены так, что звездные плечи во всех случаях равны
а вершины куба поэтому имеют координаты меньше ±1. Между
тем в работе [30], из сравнения по D- и G-оптимальности 68 пла-
нов на сфере для k = 2—8 и 55 планов на кубе для k = 3—11,
был сделан вывод, что лучшими являются те, которые имеют
звездные плечи больше 1 (этой величины требуют планы на кубе),
но меньше |/ k (звездное плечо для планов на сфере).
247

Структуры информационной матрицы и матрицы ошибок пла-
нов Хартли подробно проанализированы в работе [34]. Оказа-
лось, что в информационной матрице могут появляться нечетные
моменты, отличные от нуля. В результате такие планы оказы-
ваются несимметричными. Но несимметричными планы Хартли
становятся только в том случае, когда определяющий контраст
дробной реплики ядра плана представляет собой трехбуквенное
взаимодействие типа 1 = ^XiXjXi. Тогда момент третьего порядка
N
равен не нулю, а У. (w()B = 2k~p.
И=1
В этом случае каждый из линейных эффектов (Ь(-, b, и bz) ока-
зывается закоррелированным с соответствующим эффектом пар-
ного взаимодействия (соответственно с bjh blt и &,,-). Остальные
же коэффициенты b0, bit, а также линейные эффекты и парные
взаимодействия, не входящие в трехбуквенный определяющий
контраст, можно оценивать по обычным формулам симметричного
планирования (3.19)—(3.21).
В том случае, когда планы Хартли образованы на основе
дробной реплики с определяющим контрастом, не содержащим
трехбуквенного взаимодействия, план становится симметричным
(все моменты третьего порядка оказываются равными нулю).
Тогда все коэффициенты регрессии, их дисперсии и ковариации
можно рассчитывать по формулам симметричного планирования
(3.19)—(3-21).
С целью облегчения расчетов для указанных в табл. 3.25
планов заранее подсчитаны вспомогательные константы, приве-
денные по данным [34] в табл. 3.26. В этом случае коэффициенты
модели (3.3) считают по следующим формулам:
N	kN
bo = d} % yu-d2 % £ xjuyu;
u=l	i=l u=l
N	kN	N
ba = ds E x2iuyu + d4 E E х*иУ“ - E Уи,
U=\	1 = 1 tt=l	W=1

N
bi = х,-иуи;
и=1
N
bij = de Е (XiX )иуи-,
и~1
и=1
Г N	N
bi = d7 E XlUV“ — E (Х1Х1^Уи ;
_и=1
N	N
b*il = ^8 E - d? E Х‘иУ“'
w=l	u = l
(3.65)
(3.66)
(3.67)
248

249
Таблица 3.26. Вспомогательные константы для планов Хартли
Номер плана	k	dt	d2	d.	d.	d„	d.	rf,	d.
1	3	1,00000	0,33333	0,05556	0,10370	0,10000	0,25000	0,16667	0,41667
2		0,25000	0,08333	0,05556	0,02037	0,10000	0,25000	0,16667	0,41667
3		1,00000	0,25000	0,03125	0,05859	0,06250	0,12500	0,12500	0,25000
4	4	0,25000	0,06250	0,03125	0,01172	0,06250	0,12500	0,12500	0,25000
5		0,19101	0,05618	0,50000	—0,10112	0,10000	0,12500	0,50000	0,62500
6		0,12143	0,03571	0,50000	—0,10714	0,10000	0,12500	0,50000	0,62500
7		1,00000	0,20000	0,02000	0,03754	0,03846	0,06250	0,10000	0,16250
8	5	0,25000	0,05000	0,02000	0,00754	0,03846	0,06250	0,10000	0,16250
9		0,13805	0,03030	0,50000	—0,09091	0,05556	0,06250	0,50000	0,56250
10		0,09762	0,02143	0,50000	—0,09286	0,05556	0,06250	0,50000	0,56250
11	6	1,00000	0,16667	0,01388	0,02646	0,03571	0,06250	0,08333	0,14583
12		0,25000	0,04167	0,01388	0,00562	0,03571	0,06250	0,08333	0,14583
13	7	1,00000	0,14286	0,01021	0,01939	0,02174	0,03125	0,07143	0,10268
14		0,25000	0,03571	0,01021	0,00409	0,02174	0,03125	0,07143	0,10268
15	8	0,50000	0,06250	0,0781	0,00703	0,01250	0,01563	0,06250	0,07813
16		0,25000	0,03125	0,0781	0,00312	0,01250	0,01563	0,06250	0,07813

Коэффициенты b0 и b£i оценивают по формулам (3.65) во всех
случаях. Коэффициенты Ь£ и bif для факторов, не входящих
в трехбуквенное соотношение определяющего контраста, считают
по формулам (3.66). Оценки коэффициентов Ь, и Ь,£ для факторов,
входящих в трехбуквенное соотношение определяющего кон-
траста 1 = xtXjXh вычисляют по формулам (3.67). Например,
после реализации плана Хартли для k = 4 (табл. 3.25), коэффи-
циенты &0 и Ьа (i = 1 -г-4) следует рассчитать по формулам (3.65);
коэффициенты 64, Ь14, Ьм и b3i — по формулам (3.66); коэффи-
циенты by, b2, Ь3, Ь12, Ь13 и Ьм — по формулам (3.67). После реали-
зации плана Хартли для k = 5 все коэффициенты Ь£ и Ь^ считают
по формулам (3.66) и т.д.
Дисперсии и ковариации коэффициентов с помощью вспомога-
тельных констант оценивают по формулам
S^o = dxS}-, S^.. = (d3+d4)S^; Sl^d^y- Sl..^diS2y,
~ d2Sy\ СОУ71). ./y.. = d^Sy',
S2b* = dzS^; S2»f = dgSy', covb*6*( = —dySy.
(3.68)

Неортогональность планов Хартли требует осторожности при
проверке статистической значимости коэффициентов регрессии.
После расчета по формуле (2.90) их доверительных интервалов
и проверки по (2.91) или (2.92) гипотезы о раве'нстве коэффициен-
тов нулю из модели нельзя исключать без пересчета остальных
уже не только статистически незначимые Ьо и biit как в случае
других описанных выше неортогональных планов второго порядка,
но и незначимые коэффициенты Ь* и bji.
В такой ситуации полезным может оказаться прием упроще-
ния найденной модели последовательным исключением коэффи-
циентов регрессии, объединенных в группы [77, 30]. Проверка
адекватности модели осуществляется по общей методике, описан-
ной в разделе 2.4.
Укажем теперь еще две группы полностью насыщенных планов,
число опытов в которых в точности равно числу членов квадратич-
ной модели (3.3).
Рехтшафнер [144] предложил такого рода планы, представ-
ляющие собой выборки строк из полного факторного экспери-
мента 3ft. Способ построения планов ясен из табл. 3.27. В план
включаются точки множеств I—IV из этой таблицы. Пример плана
Рехтшафнера для k = 5 приведен в табл. 3.28. Квадратичная
модель для k = 5 имеет 21 член, столько же опытов содержит
и план в табл. 3.28. Расчет коэффициентов моделей в этом случае
ведется либо по общей формуле (2.16), либо с помощью вспомога-
тельных матриц, имеющихся в каталоге [28].
Планы Хартли и Рехтшафнера имеют достаточно хорошие
свойства по ряду критериев оптимальности. В частности,
260

Т а б л и ц а 3.27. Способ построения насыщенных планов
Рехтшафнера
Номер множества	Точки множества		Число опытов множества
I	(-1,	.., —1) для всех k	1
II	(-1,1	..., 1) для всех k	k
III	(-1, (1,1,	—1,1) для k = 3 —1, ..., —1) для k > 3	(k—\)k 2
IV	(1,0, .	., 0) для всех k	k
Таблица 3.28. План Рехтшафнера для k = 5
Номер опыта		хг			х5	Примечания
1	—	—•	—	—		Множество I из табл. 3.27
2			+	+	+	+	
3		—	+	+	+	Множество II из табл.
4		+	—	+		3.27
5	+	+		—	+	
6	+	+	+	+	—	
7	+	+							
8	+	—		—	—	
9	_L	—	—	+	—	
10		—	—		+	
11	—		+	—	—	Множество III из табл.
12	—	+		+	—	3.27
13	—	+	—	—	+	
14	—	—	+		—	
15	—	—		—	+	
16	—	—	—		+	
17	+	0	0	0	0	
18	0		0	0	0	Множество IV из табл.
19	0	0	+	0	0	3.27
20	0	0	0	+	0	
21	0	0	0	0	+	
251

Таблица 3.29. Значения | М 11 для планов Хартли,
Рехтшафнера и непрерывных £)-оптимальных на кубе
Число факторов	2	3	4	5	6	7
Непрерывные £)-опти-	1,45	1,45	1,43	1,40	1,38	1,35
мальные планы Планы Хартли	1,81	1,87	1,85	1,53	1,98	1,90
Планы Рехтшафнера	—	1,58	1,60	1,49	1,53	1,61
в табл. 3.29 они сравниваются между собой по приведенной ве-
личине определителя | М-11, минимум которого имеет место для
идеальных D-оптимальных планов [28].
Хорошо видно, что во всех случаях D-оптимальность планов
Рехтшафнера по сравнению с планами Хартли выше.
Структура планов Рехтшафнера была использована Боксом
и Дрейпером [128] для построения насыщенных D-оптимальных
планов на кубе. Эти планы выбирают из множеств точек, указан-
ных в табл. 3.30.
Таблица 3.30. Способ построения насыщенных
£)-оптимальных планов Бокса и Дрейпера
Номер множества	Точки множества	Число опытов множества
I	(-1	-1)	1
II	(+1,-1	-I)	k
III	(А, А, —1	—1)	(fe — l)fe 2
IV	(р. +1	+1)"	fe
Значения Аир для планов разных размерностей Бокс и Дрей-
пер получили из критерия D-оптимальности, максимизируя опре-
делитель информационной матрицы | ХТХ |. Полученные величины
указаны в табл. 3.31.
Таблица 3.31. Величины А и р. в планах Бокса и Дрейпера
Число факторов k		ц	Число факторов k	X	
2	—0,1315	0,3944	9	0,7544	—0,9602
3	0,1925	—0,2912	10	0,7808	—0,9693
4	0,4114	—0,6502	11	0,8022	—0,9757
5	0,5355	—0,8108	12	0,8198	—0,9802
6	0,6183	—0,8854	13	0,8346	—0,9836
7	0,6772	—0,9242	14	0,8471	—0,9862
8	0,7208	—0,9464	15	0,8579	—0,9882
2В2

Таблица 3.32. План Бокса и Дрейпера для k = 5
Номер опыта	Xi	х2		х4	*6	Примечание
1	—1	—1	—1	—1	—1	Множество I из
						табл. 3.30
2	+1	—1	—1	—1	—1	
3	—1	+1	—1	—1	—1	Множество 11 из
4	—1	—1	+1	—1	—1	табл. 3.30
5	—1	—1	—1	+1	—1	
6	—1	—1	—1	—1	+1	
7	0,5355	0,5355	—1	—1	—1	
8	0,5355	—1	0,5355	—1	—1	
9	0,5355	—1	—1	0,5355	—1	
10	0,5355	— 1	—1	—1	0,5355	
11	—1	0,5355	0,5355	—1	—1	Множество III из
12	—1	0,5355	—1	0,5355	—1	табл. 3.30
13	—1	0,5355	—1	—1	0,5355	
14	—1	—1	0,5355	0,5355	—1	
15	—1	—1	0,5355	—1	0,5355	
16	—1	—1	—1	0,5355	0,5355	
17	—0,8108	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1	
18	+ 1	—0,8108	+ 1	+ 1	+ 1	Множество IV из
19	+ 1	+ 1	—0,8108	+ 1	+1	табл. 3.30
20	+ 1	+1	+ 1	—0,8108	+ 1	
21	+ 1	+1	+ 1	+ 1	—0,8108	
Пример плана Бокса и Дрейпера для k = 5 приведен
в табл. 3.32.
Отметим, что насыщенные D-оптимальные планы на кубе
для двух, трех и четырех факторов построены и в работе [39]
(там же и в каталоге [28 ] приведены для этих планов вспомога-
тельные матрицы для расчета коэффициентов). Планы для двух
и трех факторов практически совпадают с планами Бокса и Дрей-
пера. Однако план для k = 4, полученный в [39], по мнению
Бокса и Дрейпера, [128] хуже.
Расчет коэффициентов моделей после реализации насыщенных
О-оптимальных планов в общем случае ведут по формуле (2.16).
В заключение приведем пример применения плана Хартли.
Изучали влияние режимов термомагнитной обработки на магнит-
ные свойства магнитомягкого никельмолибденового сплава
68НМП. Особенностью сплава является наличие у него прямо-
угольной петли гистерезиса. Прямоугольность петли связана
с кристаллографической текстурой и обеспечивается специальной
технологией прокатки и термической обработки ленты. После
прокатки, проведенной во всех случаях по одинаковому режиму,
ленту толщиной 0,10 мм подвергали термической обработке, вклю-
253

чающей два отжига. Первый отжиг проводили в атмосфере водо-
рода, второй — в магнитном поле. Факторами являлись темпе-
ратура первого отжига (XJ, напряженность магнитного поля во
время второго отжига (Х2)> температура (Х3) и время (Х4) второго
отжига.
От сплава требовался комплекс магнитных свойств. Поэтому
после каждого режима обработки измеряли разнообразные ма-
гнитные свойства, а затем по методике, описанной в п. 1.1.2,
составляли комплексный показатель качества — обобщенную функ-
цию желательности, включающую коэффициент прямоугольности
петли гистерезиса, магнитную проницаемость и индукцию насы-
щения. Эта функция желательности D и служила в данном слу-
чае зависимой переменной у. Напомним, комплекс свойств тем
выше, чем больше D. Выбранные факторы и уровни их варьирова-
ния указаны в табл. 3.33.
Таблица 3.33. Уровни варьирования факторов
Факторы	Температура первого отжига °C	Напряжен- ность маг- нитного поля А/м О) (Х2)	Температура второго отжига, °C (Х3)	Время вто- рого отжига, « (X,)
Основной уровень (Х(0)	1200	1591,5 (20)	625	1
Интервалы варьирова- ния (АХ,)	50	397,9 (5)	25	0,5
Верхний уровень (х(- = = +i)	1250	1989,4 (25)	650	1,5
Нижний уровень (хг- = = -1)	1150	1193,6 (15)	600	0,5
Было решено провести эксперимент вблизи известного режима
термической обработки сплава 68НМП. Именно этот режим, по
данным [69], и выбрали в качестве основного уровня (табл. 3.33).
В связи с этим следовало ожидать нелинейного характера функции
отклика в изучаемой области факторного пространства. Поэтому
решили строить сразу квадратичную модель (3.3) и воспользо-
ваться для этого почти насыщенным планом Хартли. Выбрали
план Хартли на кубе (план 5, табл. 3.25) со звездным плечом
а = ±1. В этом случае требовалось варьировать факторы на трех
уровнях (0; i.1). План Хартли на сфере (например, план 3,'
табл. 3.25) имеет а = ^-2, а следовательно, требует пяти уровней
варьирования факторов (0; ±1; ±2).-В данной задаче иметь много
уровней факторов с технологической точки зрения было не- .
удобно. Этим, собственно, и объяснялся выбор плана на кубе. ,
Ядром выбранного плана Хартли является полуреплика 24’1 ,
с определяющим контрастом 1 = х^Хд. Поэтому оценки коэф-
фициентов blt b2, Ь3, Ь12, Ь13, Ь23 модели (3.3) будут закоррелиро- |
ваны между собой. Оценки коэффициентов bt, &14, b2i и bai будут
2В4

оцениваться независимо не только друг от друга, но и от осталь-
ных коэффициентов. Коэффициенты Ьо и Ьи также коррелируют
между собой. Матрица выбранного плана приведена в табл. 3.34.
Заданные планом опыты были выполнены. Кроме варьируемых
факторов, все остальные поддерживали на постоянных уровнях.
В частности, скорость охлаждения образцов после первого от-
жига всегда выдерживали 100—200°С/ч до температуры 600° С,
а затем 400° С/ч; после второго отжига — до температуры 200° С
охлаждали не быстрее 80° С/ч.
Опыты не дублировали. В качестве оценки дисперсии опыта
использовали известную ранее дисперсию S% = 1-10'4 при числе
степеней свободы = 8. Результаты опытов приведены
в табл. 3.34.
	Таблица 3.34. План										Хартли					
>	X	X	X	X	X	X X	X X	X X	X X	X X	X X	хГ	X	мео X	X	
1	-1-	ч-	+	ч-	ч-	ч-	ч-	ч-	ч-	ч~	Ч"		ч-	+	-L	0,17
2	—	—	ч-	—	ч-	—	ч-	—	—	+		— —	ч-	ч-	—	0,27
3	—	ч-	—	—	ч-	—		ч-	ч-	—	—	—	+	+	—	0,22
4		—	—	ч-	ч-	ч-	—	—	—	—	ч-	—	ч-	+	—	0,31
5	—	ч-	ч-	ч-	—	ч-	ч-	—	ч-	—	—-	— —	ч-	ч-	—	0,21
6 7	“Г	+	ч-					—	ч-	ч-	+	Ч-	ч- ч-		ч- ч-	ч~ ч~	4-	0,34 0,40
8	+	—	—	ч-	—	ч-	—	ч-	—	Ч”	—	-ф-	ч-	+	“Г	0,43
9	ч-	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	ч-	0	0	0	0,25
10	+		0	0	0	0	0	0	0	0	0	+	0	0	0	0,33
11	ч-	0	ч-	0	0	0	0	0	0	0	0	0	+	0	0	0,23
12	ч-	0	—	0	0	0	0	0	0	0	0	0	ч-	0	0	0,34
13	+	0	0	Ч-	0	0	0	0	0	0	0	0	0	ч-	0	0,31
14	+	0	0		0	0	0	0	0	0	0	0	0	+	0	0,33
15	+	0	0	0	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	+	0,23
16	ч-	0	0	0		0	0	0	0	0	0	0	0	0	ч-	0,34
17	+	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0,29
По результатам опытов коэффициенты регрессии считали
следующим образом. Оценки коэффициентов Ьо и Ьи получили по
формулам (3.65):
Ьо = 0,294;	= —0,005; Ь22 = —0,010;
Ь33 = 0,025; Ь44 = —0,010;
оценки коэффициентов для фактора х4, не входящего в трех-
буквенный определяющий контраст, по формулам (3.66):
Ь4 = —0,041; Ьи = —0,004; Ьм = 0,024; b3i = 0,011;
265

оценки коэффициентов для факторов хь х2, х3, образующих трех-
буквенный определяющий контраст, по формулам (3.67):
Ьг = —0,040; Ь2 = —0,055; Ь3 = 0; Ь12 = —0,014;
Ь13 = 0,009; Ь23 = —0,004.
Дисперсии, среднеквадратичные ошибки и ковариации опре-
деляли также для разных групп коэффициентов по формулам
(3.68):
Slo =1,91 • КГ5; Sb(j = 4,37-10~3; Sb.. = 3,99-10’5;
Sb.. = 6,32-10'3; S54=l-10-5;	= 3,16-10‘3;
. = 1,25-10“5; Sb . = 3,54-10-3; для i== 1,2,3:
S3*=5-10-5; S.» = 7,07-10“3; SK = 6,25-10~5;
Ь;	b{ ’	bjt
S.* =7,91-ИГ3; cov,*,» =—5-Ю-5; covb ь	—5,62-10-6.
b/i	bbbji	°o°ii
™b..b.. = — 1 • IO"5.
Рассчитанные затем по формуле (2.90) доверительные интер-
валы оценок коэффициентов при 5 %-ном уровне значимости
(а = 0,05;	= 8; /о,о5:8 = 2,3) оказались
A6o = 0,0101; \bi. = 0,0146; \ = 0,0073;
Дь . = 0,0082; Дь* = 0,0163; Дц. = 0,0183.
Сравнение доверительных интервалов с абсолютными значе-
ниями коэффициентов регрессии показало, что многие из коэф-
фициентов статистически незначимы. Однако исключить из мо-
дели в данном случае можно только коэффициенты, связанные
с фактором х4 (кроме Ь44). Только он не входит в определяющий
контраст. Исключение остальных коэффициентов требует пере-
счета оставшихся. Поэтому из модели исключили только стати-
стически незначимый коэффициент Ь14 и, разумеется, Ь3 = 0.
В результате было получено следующее уравнение регрессии:
у = 0,294 — 0,040х4 — 0,055х2 — 0,041х4 — 0,014х4х2 -|-
+ 0,009х.х„ — 0,004х„х„ 4- 0,024х,х,	0,011х„х, — 0,005х3 —
- 0,010х| + 0,025х2 - 0,010х4,	(3.69)
где х(- — в кодированном масштабе, связанные со значениями
факторов в натуральном масштабе (X,) соотношениями (1.24):
Xi— 1200	Х2 — 20	Х3 — 625.	X. — 1
*1 = --50	’	=	%3 = -А1Г-; ^ = Л5—
Для проверки адекватности модели (3.69) по формуле (2.96) ’
определили дисперсию неадекватности 5|еад = 3,44-10"4; по фор- >
муле (2.97) — число степеней свободы f2 = 17—13 = 4; по фор- J
муле (2.95) — расчетное значение /“’-критерия /7расч = 3,44 X >
256	i

X 10 4/1 • 10 4 = 3,44. Оно оказалось меньше табличного при
5%-ном уровне значимости F™05?4;8 = 3,84. Таким образом, ги-
потеза об адекватности модели (3.69) не отвергается.
Результаты оптимизации режима обработки сплава 68НМП
приведены в разделе 3.8.
3.8.	АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Планирование второго порядка заканчивается отысканием
адекватного квадратичного уравнения типа (3.3):
z/ = bo+ Zj + S bij-XtX^'r £ Ьцх1
Часть членов, признанных статистически незначимыми, может
в этом уравнении отсутствовать. Естественно далее проанализи-
ровать полученную модель, т. е. представить себе характер из-
менения отклика в изученной области, а при решении экстремаль-
ной задачи — попытаться выяснить, существует ли экстремум,
и если он есть, найти его координаты. Однако анализировать урав-
нение второй степени в форме (3.3) хотя и можно, но сложно.
Обычно его преобразовывают к так называемому каноническому
(стандартному) виду.
Каноническое преобразование заключается в выборе новой
системы координат, в которой значительно облегчается геометри-
ческий анализ уравнения. Такого рода преобразование сводится
к определению центра поверхности второго порядка (разумеется,
если он существует), переносу начала координат в новый центр
[при этом в уравнении (3.3) исчезают линейные члены £Ьгх;] и
к повороту координатных осей [при этом в (3.3) исчезают члены
Zb/jX/Xj ].
Квадратичное уравнение в канонической форме имеет вид
y-y3 = BnX\ + BaXl+ ... -| BkkX2k, (3.70)
где ys — значение отклика в новом начале координат (свободный
член канонического уравнения); — новые оси координат, по-
вернутые в факторном пространстве на некоторый угол относи-
тельно старых осей (х,) и линейно связанные с ними; Вц — коэф-
фициенты уравнения в канонической форме (их часто называют
каноническими коэффициентами).
Удобство формы (3.70) для анализа и оптимизации опреде-
ляется тем, что все X.t входят в нее в квадратах. Следовательно,
изменение значений отклика зависит только от знака коэффици-
ента и не зависит от направления движения по оси Х( от центра s.
В частности, у будет возрастать всегда, когда изменяется X,-,
имеющий при себе коэффициент Вц > 0, и уменьшаться в случае,
когда у Х( стоит коэффициент Вц < 0.
9 Новик Ф. С., Арсов Я. Б. 267

Рис. 3.1. Поверхности отклика, описываемые квадратичной моделью для k= 2
Если все коэффициенты Вц отличны от нуля и центр поверх-
ности s лежит в области эксперимента, то возможны следующие
случаи:
1)	все Вц < 0, тогда движение в любую сторону от центра
только уменьшает отклик;
2)	все В и > 0, тогда движение в любую сторону от центра
увеличивает отклик;
3)	часть Bit < 0, часть Вц > 0, тогда для увеличения отклика
следует осуществлять движение из центра таким образом, чтобы
значения для коэффициентов с отрицательным знаком равня-
лись нулю, т. е. искать экстремум вдоль осей с Ви > 0; наоборот,
для уменьшения параметра оптимизации следует двигаться только
вдоль осей с Вц < 0.
Геометрический образ квадратичного уравнения в канониче-
ской форме можно представить себе в виде изолиний поверхности
отклика при числе факторов k =~ 2 или в виде изоповерхностей
при числе факторов k — 3.
В случае k -= 2 изолинии для уравнения у — ys - ВХ1Х\ +
+ В,,А( могут представлять собой следующие фигуры:
Эллипсы (рис. 3.1, а). Оба коэффициента Вп и В22 имеют
одинаковые знаки. Центр эллипсов s является максимумом, если
Вп и В22 отрицательны, и минимумом, если Вп и В22 положи-
тельны. Если В22 по абсолютной величине меньше Вп, то эллипсы
вытянуты по оси Х2, и наоборот. Поверхность отклика является
эллиптическим параболоидом. В этом случае для поиска экстре-
мума достаточно поставить эксперименты в центре фигуры s и
проверить, насколько хорошо значение отклика, предсказанное
уравнением регрессии, совпадает с экспериментом.
Г иперболы (рис. 3.1, б). Коэффициенты Вп и В22 имеют
разные знаки. Гиперболы вытянуты по той оси, которой соответ-
ствует меньшее по абсолютной величине значение коэффициента
в каноническом уравнении. В этом случае значение отклика уве- :
личивается при движении из центра фигуры по одной оси и умень- i
шается — при движении по другой. Если, например, Вп > 0,
а В22 <0 (у — у5 = ВцА; — В22Х1), то отклик будет увеличи- '
268	j

ваться при движении из центра s в направлении + и —Xi
и уменьшаться при движении в направлении +Х2 и —Х2. Центр
з фигуры называется седлом или минимаксом. Поверхность от-
клика является гиперболическим параболоидом. Здесь направле-
ние движения выбирают в зависимости от того, чего необходимо
достичь — максимума или минимума. Как и при крутом восхо-
ждении, можно наметить серию мысленных опытов, часть из ко-
торых можно реализовать.
Параллельные прямые (рис. 3.1, в). Один из коэф-
фициентов канонического уравнения равен нулю, при этом нет
одного центра с экстремальным значением отклика. Под определе-
ние центра здесь подходит любая точка на оси, соответствующей
незначимому коэффициенту канонического уравнения. Поверх-
ность отклика является стационарным возвышением.
Параболы (рис. 3.1, г). Один из коэффициентов канони-
ческого уравнения равен нулю, при этом центр фигуры находится
в бесконечности. Поверхность отклика является возрастающим
возвышением (гребнем). В этом случае можно поместить начало
координат в какую-либо точку (обычно вблизи центра экспери-
мента) на оси, соответствующей незначимому коэффициенту ка-
нонического уравнения, и ^получить таким образом уравнение
параболы. Например, если равен нулю В22, то выбрав новый
центр s', можно получить уравнение параболы у — yS’ = ВиХ^ +
+ В2Х2, где В2 — коэффициент, определяющий крутизну наклона
возвышения, т. е. скорость увеличения параметра оптимизации по
оси Х2. В практических задачах часто центр фигуры s удален за
пределы той области, где проводился эксперимент, и тогда один
из коэффициентов (Вп или В22) близок к нулю. В этом случае
в зависимости от наклона, поверхность отклика будет аппрокси-
мироваться либо стационарным, либо возрастающим возвыше-
нием.
Аналогично можно проводить анализ канонических уравне-
ний типа у — ys = ВиХ{ + В22Х2 + В33Х3 при числе факторов
k 3 (рис. 3.2). Например, если все коэффициенты имеют одина-
ковые знаки, поверхность отклика представляет собой эллипсоид
вращения (рис. 3.2, а) и имеет экстремум в центре эллипсоида.
Если знак одного из коэффициентов противоположен знаку двух
других, имеет место одно- или двухполостной гиперболоид (соот-
ветственно рис. 3,2, б и в). При близости одного из коэффициентов
канонического уравнения к нулю поверхность отклика может
быть либо эллиптическим цилиндром (рис. 3.2, г), если остальные
два коэффициента имеют одинаковые знаки, либо гиперболиче-
ским цилиндром (рис..3.2, д), если знаки оставшихся коэффициен-
тов разные. В случае эллиптического цилиндра ось, соответствую-
щая незначимому коэффициенту, является линией максимума,
удаление от которой в любом направлении связано с уменьшением
9*	269

Рис. 3.2. Поверхности отклика, описываемые квадратичной моделью для
k = 3
параметра оптимизации (стационарное возвышение). В этом же
случае близости нулю одного из коэффициентов канонического
уравнения поверхность отклика может также являться эллипти-
ческим или гиперболическим параболоидом (соответственно
рис. 3.2, е и ж). В случае эллиптического параболоида (рис. 3.2, е)
центр фигуры находится в бесконечности. Помещая начало коор-
динат в какую-либо новую точку s' на оси, соответствующей не-
значимому коэффициенту (например, если В22 = 0, то новый центр
выбирают на оси Х2), можно получить уравнение
У — Уз’ = 6цХ? 633X3 -j- 62X2,
коэффициент В2 которого является мерой наклона возрастающего
возвышения по оси Х2. Наконец, если два коэффициента канониче-
ского уравнения равны нулю, то поверхность отклика представ-
ляет собой либо серию параллельных плоскостей (рис. 3.2, з),
причем одна из этих плоскостей отвечает наибольшей величине
параметра оптимизации и с удалением от нее параметр снижается,
либо имеет вид параболического цилиндра (рис. 3.2, и).
Итак, все многомерные поверхности отклика можно грубо раз-
бить на три класса:
1)	поверхности, имеющие экстремум — максимум или мини-
мум (рис. 3.1, а; 3,2, а); в этом случае все коэффициенты канони-
ческого уравнения имеют одинаковые знаки, центр фигуры на-
ходится вблизи центра эксперимента;
2)	поверхности типа минимакса (рис. 3.1, б, 3.2, б, в); коэф-
фициенты канонического уравнения имеют разные знаки, центр
фигуры находится вблизи центра эксперимента;
3)	поверхности типа возрастающего возвышения или гребня
(рис. 3.1, в, a; 3..2, г — и)\ часть коэффициентов канонического
уравнения близка к нулю, центр фигуры удален от центра экспе-
римента.
260

В случае поверхностей первого класса после постановки опы-
тов в центре (минимуме или максимуме) соответствующей фигуры
и получения экспериментальных данных, близких к расчетным,
решение задачи заканчивается.
Сложнее ситуация, когда поверхность отклика относится ко
второму и третьему классам. Здесь приходится искать условный
экстремум, причем либо в той области факторного пространства,
где проводились эксперименты, либо при некоторой разумной
экстраполяции (см. примеры ниже).
Расчеты по каноническому анализу квадратичного уравнения
обычно выполняют на ЭВМ, но для задач с двумя-четырьмя фак-
торами их можно проводить и с помощью ЭКВМ.
Процедура канонического преобразования модели (3.3) со-
стоит из следующих этапов.
1.	Определение координат центра поверхности второго порядка
(xls, x2s, ..., xis, ..., x*s) решением системы линейных уравнений,
получающихся после приравнивания нулю первой производной у
по каждому х,-:
-<>	О-7')
Если главный определитель системы (3.71) не равен нулю,
поверхность отклика имеет центр, если равен нулю — не имеет.
В последнем случае новый центр помещают либо в старое начало
координат, либо в точку с лучшим значением отклика.
2.	Определение значения отклика в новом центре (ys) — полу-
чение свободного члена канонического уравнения. Для этого рас-
считанные из (3.71) координаты xis подставляют в уравне-
ние (3.3).
3.	Определение величин канонических коэффициентов Вц.
С этой целью составляют и решают характеристическое
уравнение:
	(ft,i - В) 0,5ft21	0,5ft12 • (ft22 - B) 	•• 0,5ft„- • • • 0,5ft3(- •	• 0,5ft,* • 0,5ft2*	
/(B) =	0,5&rl	0,5ft,-2 • •	• (Ьц - В) .	• • 0,5ft,-*	^0, (3.72)
	0,5ft*,	0,5ft*2 •	• 0,5ft*,- • •	• (bkk - B)	
где Ьч = bjt.
Канонические коэффициенты являются корнями уравне-
ния (3.72). Проверку правильности расчетов осуществляют по
формуле
k	k
I Вц = S ba.	(3.73)
i = l	1=1
261

262
4.	Запись уравнения в канонической форме (3.70) и определение типа поверхности отклика.
5.	Получение систем уравнений, связывающих новые координаты со старыми,
Хг = COS ССХ (лу —	Xls) ф- COS ₽J (Х2 — X2s) ф-	•	• •	ф- COS	V] (xx — xj	+	•	•	•	+ cos Wj (xk — xks);
X„ = cos a2 (xx —	xJs) Л cos p., (x2 — x2s) ф-	•	• •	ф- cos	v2 (xz — x,s)	ф-	•	••	-ф cos co2(x* — x*s);
---------------------------------------------------------------------------------------------------------’------------------------------------------------------------------------------------------------- (3-74)
X£ = cos a( (x\ —	xls) ф- cos p; (x2 — x2s) ф--1- cos V,- (x£ — xIS)	ф-.1- cos cot (xk — x*s);
Xk = cos a* (xj —	xls) + cos Рй (x2 — x2s) ф---F cos v* (x,- — xZs)	ф-------F cos co* (x* — x*s);
или старые с новыми:
Xj = coscqXj -j- cosa.,X2 ф- • • • ф- cos a.Xj + • • • ф- cosa*X*F-xls;
x2 — cos Pi-Xj ф- cos p2X2 ф- • • • ф- cos P£X> -J- * * * "F" cos p*X* ф- x2s,
........................................2................J	<3-75)
Xj = COS VjXj ф- COS V2X2 ф- • • • ф- COS VjXj ф- • • • ф- COS V*X* -j-
x* = cos cojXj -j- cos co2 X2 ф- • • • ф- cos<o(X(- ф- • • • ф- cos co*X*-|-x*s,

где az, pz, vz, wz — углы поворота осей х,- до совмещения
с осями X; (i = 1, 2,	k), а косинусы этих углов — так назы-
ваемые направляющие косинусы.
Направляющие косинусы рассчитывают по формулам
cos а, = ,	‘	—т=г
Г 4~	4~ • • • 4~ ч-i -|- • • • 4- Vi',
COS р,- = —	--------п> 	=
+ ------------Н Н-----------н?;
COSVZ =	.--------- и‘	.... _
г /? -|“	4* • • • -J- uz -|- • • •	;
(3.76)
COStt)z =	 - v-‘	--- -------
I 4~   • 4~• • • 4~;
где /z, mz, ..., uh ..., v, (i = 1, 2, ..., k) определяются из решения
систем уравнений типа
(^п — Вц)Ц 4- 0,5i»12/n(- 4~ •  • 4- 0,5/>lzuz 4~ • • • 4- 0,5Z\4i>z = 0;
0,5i>2XZz 4~ (^22 — mt 4~  * * 4“ 0,5/>2(-u(- 4~	0,3b-2kV i ~ 0;
0.5bzl/z 4- 0,5bz.,//rz 4~ • • • 4~ Фа — Вц) -j- • • • +0,5/>zz,yz = 0;
0,5bA1/f -j- 0,5bkimi + • • • + 0,5bAzuz -4— • • - —(bkk — Вц) vt = 0,
(3.77)
где b^ = b^.
Система (3.77) является системой однородных линейных урав-
нений. В случае, когда ее главный определитель не равен нулю,
все неизвестные системы (/z, mz, ..., uz, ..., yz) равны нулю. По-
этому, чтобы получить решение системы (3.77), значением одной
из неизвестных следует задаться произвольно. Тогда в си-
стеме (3.77) останется на одну неизвестную меньше при том же
числе уравнений. Такую оставшуюся систему следует решать по
формуле (2.16).
Правильность вычислений при определении направляющих
косинусов можно проверить по формуле
cos2az -j- cos'2 pz 4- • • • 4- cos2 vz + • • • + cos2 1 • (3.78)
Рассмотрим несколько примеров.
263

В разделе 3.5 было получено уравнение (3.63), связывающее
разгаростойкость ферритных высокопрочных чугунов с их соста-
вом:
у = 850 4- 75/, — 156,3/, — 106,3/,	100/,/, — 62,5/2 —
к/	|	Д	'	О *	«.О	' L
- 75/| _ 75%2.
Это уравнение привели к каноническому виду.
Взяли частные производные функции (3.63) по независимым
переменным и приравняли их нулю. В результате получили си-
стему уравнений (3.71):
= 75 - 125/j	= 0
дх1	1
-А-= —156,3	—150/2+ 100/3 = О
С/%2
-^- = —106,3	+100/2 - 150/3 = 0.
0*3
Главный определитель системы
	— 125	0	0	
D =	0	— 150	100	= —1,5625.10е
	0	100	— 150	
не равен нулю, следовательно, изучаемая поверхность отклика
имеет центр. Решили систему с помощью определителей и нашли
координаты центра:
1' 		—75 156,3 106,3	0 —150 100	0 100 —150	— 0 60-
Als		D		
	—125	—75	0	
	0	156,3	100	
V	0	106,3	—150	— 2 73-
a2s		D		
	—125 0	0 —150	—75 156,3	
Хз« = -	0	100	106,3	- = —2,53
Подстановка xis в (3.63) дала значение свободного члена кано-
нической формы: у3 = 1219,8.
264

Составили характеристическое уравнение (3.72):
	(&п - В)	0,5ft12	0,5ft
(6) =	0,5ft21	(^22 — в)	0,5ft
	0,5ft31	0,5ft32	Фзз —
(—62.5 — 6)		0	0
С	(-	-75 - 6)	50
О	50	(—75 - В)
= В3 + 212,5В2 + 125006 + 195312,5 = 0.
Способы решения кубических уравнений достаточно хорошо
известны (см., например, [58]). В данном случае корни этого урав-
нения — канонические коэффициенты: Ви— 125; В22 == — 25;
Взз = 62,5.
Отметим, что нумерация корней произвольна.
По формуле (3.78) проверили правильность вычислений:
Ев// = Е^// = -212,5.
Таким образом, в канонической форме уравнение(З.бЗ) имеет вид
у _ 1219,8 = — 125Х? - 25X1 - 62,5Х|.	(3.79)
Поскольку коэффициенты (3.79) имеют одинаковые знаки, по-
верхность отклика — эллипсоид, а ее центр — экстремум, при-
чем максимум, так как канонические коэффициенты отрицательны.
Координаты центра в натуральном масштабе (см. табл. 3.18)
Xr (С) = 3,5 + 0,2-0,6 = 3,6%;
X2(Si) = 2 + 0,2 (—2,73) = 1,45 %;
Х3 (Р) = 0,2 + 0,1 (—2,53) = —0,05 « 0%.
Чугун указанного состава должен иметь максимальную разга-
ростойкость. Он был приготовлен, причем фосфора было меньше
0,03%. Пуансоном из такого чугуна удалось отпрессовать 1750
стеклоизделий, пока на пуансоне не появилась сетка разгара.
В разделе 3.2 было получено уравнение (3.40), связывающее
предел прочности одного из алюминиевых деформируемых спла-
вов с его составом и режимом термической обработки:
у = 27,93 — 1,91x2 + 3,75х.х:2 — 1,75д-.х„ — 6,5х.х„ + 3,21+.
Это уравнение также привели к каноническому виду.
Взяли частные производные у по независимым переменным и
приравняли их нулю, т. е. составили систему (3.71):
=	6,42%! + 3,75х2 - 1 ,75х3 = 0
^- = —1,91 +3,75^!	- 6,50х3 = 0
Ол2
=	— 1,75хг — 6,50х,	= 0.
265

Главный определитель этой системы не равен нулю, следова-
тельно, поверхность отклика имеет центр. Из решения системы
нашли координаты центра: x,s = —0,12; x2s = 0,03; x3s = —0,36.
После подстановки xis в (3.40) получили ys = 27,90.
Составили характеристическое уравнение (3.72):
	(^1 - B)	0,56x2	0,56,3
f(B) =	0,5/i21	(^22 — B)	0,5623
	0,5/>3,	0,5/?32	(b33 — B)
(3,21 — B)		1,875	—0,875
=	1,875	—В	—3,25 =
	—0,875	—3,25	—В
= В3 — 3,21В- - 14,8437В + 23,2416 = 0.
Корни этого уравнения Вп = —3,33; В22 = 5,20; В33 = 1,34.
По формуле (3.73) проверили правильность вычислений:
ХВ,,- = Ьп = 3,21.
Таким образом, в канонической форме уравнение (3.40) имеет
вид
у —7,9 = —3,33X1 + 5,20X2 + 1,34Х^.	(3.80)
Поскольку коэффициенты имеют раздые знаки, поверхность от-
клика — гиперболоид, а ее центр — минимакс.
Далее нашли уравнения, связывающие новые координаты X,.
со старыми %,-. Составили системы (3.74) и (3.75):
Хх = cos а, (х, — x,s) + cos р, (х2 — x>s) + cos (х3 — x3s);
X, = cos a2 (x, — x,s) -r cos P2 (-4 — x2s) + cos Ya (хз — x3s);
X3 = cos a3 (Xx — x15) + cos p3 (x, — x2s) + cos y3 (x3 — x3s);
x, = cosajX, + cosa2X2 + cosa3Xa + xis;
x2 = cos PxXx + cos p2X2 + cos p3X3 p x2s;
x3 = cos V1Xi 4- cos y2X2 + cos y3X3 + x3s.
Величины Zx, ть nY определили из системы (3.77):
' (^н — Ви) h + 0,5&127Пх + 0,56,3л, = 0;
0,5В2х/х 4- (622 — Bxx) mi + 0,5623n, = 0;
. 0,5/3Ji + 0,5632m, (b33 — В^П1 = 0.
(3,21 + 3,33) /t -• 1,875m, - 0,875/2, = 0;
1,875/x + 3,33m, — 3,25л, = 0;
—0,875/x — 3,25/и, + З.ЗЗпх = 0.
266

Приняли = 1, тогда
6,544 + 1,875/^ = 0,875;
1,875/! +3,33/71! = 3,25;
0,875/i + 3,25mi = 3,33.
Отсюда, по формуле (2.16) /х = —0,1736; т1 = 1,0725.
Точно таким же способом нашли
/2 = —1,6051; /3 = 1,2069; т2 = —1,1974; т3 = —0,7371;
л2 = 1; п3 = 1.
Затем по формулам (3.76) подсчитали направляющие косинусы::
0,1736	г, 1 1 -тс
COS СС1 =--7	= — 0,1176
V (—0,1736)2 + (1,0725)2-j—12
и cos Pi = 0,7263; cos yi = 0,6772; cos а2 = —0,7171;
cos Р2 = —0,5350; cos у2 = 0,4468; cos а3 = 0,6968;
cos рз = —0,4256; cos у3 = 0,5774.
Правильность вычислений проверили по (3.78). Например,
(—0,1176)2 + (0,7263)2 + (0,6772)2 = 1 и т. д.
Таким образом, новые координаты Х( через прежние х(- выра-
жаются с помощью следующих уравнений:
*i — —0,1176 (Xi — xls) + 0,7263 (х2 — x2s) + 0,6772 (х3 — x3s);
' Х2 = —0,7171 (Xi — хь) — 0,5350 (х2 — x2s) + 0,4468 (х3 — x3s);
Х3 = 0,6968 (xi — xis) — 0,4256 (х2 — x:s) + 0,5774 (х3 — x3s)
или, после раскрытия скобок с учетом значений xls:
Xi = —0,1176X1 + 0,7263х2 + 0,б772х3 + 0,2079;
, Х2 = — 0,7171X1 - 0,5350х2 + 0,4468х3 + 0,0908;
*3 = 0,6968xi - 0,4256х2 + 0,5774х3 + 0,3042.
Соответственно старые координаты с новыми связаны выра-
жениями
xL = — 0,1176*! — 0,7171*2 -0,6968*3 — 0,12;
х2 = 0,7263*! — 0,5350Х2 — 0,4256*3 + 0,03;
х3 = 0,6772*! + 0,4468*2 + 0,5774*3 — 0,36
После этого попытались найти условия опытов, обеспечиваю-
щие возможно более высокую прочность сплава. Поскольку в дан-
ном случае поверхность отклика имеет седловидный (минимакс-
ный) характер, а центр ее находится в области эксперимента, не-
обходимо искать условные экстремумы, двигаясь из центра по-
267

верхности только по каноническим осям Х2 и Х3 (требуется найти
максимум, а коэффициенты В22 и В33 больше нуля, в то время,
как Вп < 0). Чтобы осуществить такое движение, т. е. узнать,
как надо изменять х(- при движении вдоль Х2 и Х3, следует Xt при-
равнять нулю, а Х2 и Х3 увеличивать или уменьшать на произ-
вольно выбранный для каждого из них шаг. Выбрали для Х2 и Х3
шаг Д^ = 0,5. Получили следующую систему уравнений:
Х{ = —0,1176 (xj — x]s) -ф 0,7263 (х2 — x2s) +
4- 0,6772 (х3 — x3s) = 0;
Х2 = —0,7171 (xj — xls) — 0,5350 (х2 — x2s) 4~
4- 0,4468 (х3 — x3s) = 0,5;
Х3 = 0,6968 (xi — xls) — 0,4256 (х2 — x2s) 4-
4- 0,5774 (х3 — x3s) = 0,5.
Ее главный определитель равен единице.
Решение системы дает значения шагов Хх. (в кодовом масштабе)
в изменении х; от х,4 при перемещении в факторном пространстве
из центра по осям Х2 и Х3 на величину их шага Д^ = Д^ = 0,5:
(xj — хи) =	= —0,01; (х2 — x2s) = Дх, = —0,49;
(хз — x3s) = Л*. = 0,52.
Следовательно, первый опыт в этом направлении можно про-
вести в точке Х2 = Х3 = 0,5, имеющей координаты (в кодовом мас-
штабе) Xj = —0,12 — 0,01 = —0,13; х2 = 0,03 — 0,49 = —0,46;
х3 =—0,36 4- 0,52 = 0,16;
второй опыт в точке Х2 = Х3 = 1 с координатами: х3 — —0,14;
х2 = —0,95; х3 = 0,68 и т. д. (табл. 3.35).
Величина шага Дх., естественно, зависит от выбранного
шага Д^ . Однако величины шагов Дх не изменятся, если выбрать
Дт? =--- Д? = —0,5. Поменяются лишь их знаки. В то же время,
2	.3	1
движение в любую сторону от центра по осям Х2 и Х3, в данном
случае, равноценно. Поэтому в табл. 3.35 записаны условия опы-
тов в кодовом и натуральном (цифры округлены) масштабах при
движении по осям Х2 и Х3 в обе стороны от центра. В указанных
здесь опытах ожидается повышение отклика.
Поскольку большинство опытов выходят за изученную экспе-
риментально область факторного пространства, сравнивать экс-
периментальные и расчетные значения отклика не имеет смысла.
Здесь, как и в методе крутого восхождения, некоторые из «мыс-
ленных» опытов реализовали. Лучший результат был получен
268

Таблица 3.35. Условия и результаты оптимизации
Факторы	хг	Хз	В кодовом масштабе			В	натуральном масштабе		.V (ов, кгс мм2)
			Xi	Х2	Хз	X, (Li, %)	х2 (^стар, °C)	Х3 1тстар ч)	
Центр поверхности	0	0	—0,12	0,03	—0,36	1	175	4	
Шаг	0,5	0,5	—0,01	—0,49	0,52				
Реализован- ный опыт 1	0,5	0,5 1	—0,13	—0,46	0,16	1	165	4,3	33,5
2	1		—0,14	—0,95	0,68	1	150	5,4	 40,1
3	1,5	1,5	—0,15	—1,44	1,20	1	140	6,4	49,8
Мысленный	2	2	—0,16	— 1,93	1,72	1	130	7,4	
ОПЫТ									
Реализованный	2,5	2,5	—0,17	—2,42	2,24	1	115	8,5	36,3
опыт 4									
Шаг	-0,5	-0,5	0,01	0,49	—0,52				
Мысленный	-0,5	—0,5	—0,11	0,52	—0,88	1	190	2,2	
ОПЫТ То же	— 1	—1	—0,10	1,01	—1,40	1	200	1,2	
Реализован- ный опыт 5	—1,5	—1,5	—0,09	1,50	—1,92	1	210	0,2	40,6
в третьем выполненном опыте. Сплав с 1 % Li после старения при
температуре 140° С в течение 6,4 ч имел ов 0,488 ГПа
(49,8 кгс/мм2). Полученный уровень прочности удовлетворил ис-
следователей, и работа на этом была закончена.
В разделе 3.3 было получено уравнение (3.58), связывающее
характеристику жаропрочности одного никелевого сплава с ре-
жимами термической обработки:
у = 29	7,34,+ 4,92х3 — 1,21х3 + 4,3xiX2 —
— 6,78х,х3 4- 2,05х,х„ — 1,8Xi — 3,99х2 — 3,59х2.
Вновь это уравнение привели к каноническому виду.
Приравняв нулю частные производные у по х,-, составили си-
стему уравнений (3.71):
= 7,34 - 3.6xt	4,3х, - 6,78х3 = 0;
= 4,92 -|- 4,3х, - 7,98х, + 2,05х3 = 0;
дх2	i,i ’	- ।	’ о >
4г~ = —1,21 - 6,78хг + 2,05х2 - 7,18х3 = 0.
Главный определитель ее оказался не равным нулю, следова-
тельно, изучаемая поверхность отклика относится к центральным..
269

Координаты центра нашли из решения системы: xls = 2,80; x2s=
= —0,28; x3s = 2,39.
Отметим сразу же, что центр поверхности лежит не в области
эксперимента, причем достаточно далеко от нее.
Подстановка xis в (3.58) позволила определить свободный член
канонического уравнения ys = —39,56. Столь невероятное,
с точки зрения физического смысла, значение отклика объясняется
удаленностью центра от области эксперимента.
Для определения канонических коэффициентов составили ха-
рактеристическое уравнение (3.72):

(-1,8-В)
2,15
—3,39
2,15
(—3,99 _ В)
1,025
—3,39
1,025
(—3,59 _ В)
= В3 + 9,38В3 + 10,8029В - 23,6146 = 0.
Корни уравнения — канонические коэффициенты Вп = 1,28;
По формуле (3.73) проверили правильность вычислений У Ви=
^Ьи~- —9,38. Таким образом, канонической формой уравне-
ния (3.58) является
у + 39,56 = 1,28АЛ - 7,33Xi — 3,ЗЗХ^.
(3.81)
Коэффициенты канонической формы имеют разные знаки, сле-
довательно, поверхность отклика является гиперболоидом, а ее
центр — минимаксом (седлом).
В данном случае особенности поиска режимов термической об-
работки, обеспечивающих возможно более высокий уровень жаро-
прочности изученного сплава, определяются существенным уда-
лением центра поверхности от области эксперимента. Это обстоя-
тельство не позволяет пользоваться приемами, аналогичными при-
менявшимся в предыдущем примере. В таких случаях можно
искать условные экстремумы, лежащие на поверхности некоторой
гиперсферы (или гиперкуба) с центром в центре плана, а не
в центре поверхности. Меняя радиус ограничивающей сферы,
находят ряд таких экстремумов и условия некоторых из получен-
ных точек проверяют экспериментально. Вычислительная про-
цедура такого анализа получила название «ридж-анализ» [106].
Ридж-анализ основан на методе неопределенных множителей
Лагранжа. В этом случае составляют следующую систему уравне-
ний [104]:
(6;1 — A)jq + 0,5612.г2 + • • • + 0,56lz,xA -|- 0,5/\ = 0;
0,562iXi -р (Ь22 — А) х2 -р • • • -р 0,562*х* -р 0,562 = 0;	g2)
0,5/^iXt -р 0,56*2x2 ~Р • • • -р (bkk — А) xk -р 0,56* = 0,
где А — неопределенный множитель Лагранжа и 6Z/- = 6;Z.
270

Для решения системы (3.82) необходимо задать значения X.
Их выбор определяется постановкой задачи. При поиске макси-
мума рекомендуется брать X больше максимального положитель-
ного канонического коэффициента. При поиске минимума X берут
меньше минимального отрицательного канонического коэффи-
циента.
При каждом выбранном значении X решением системы (3.82)
на сфере радиуса R, описанной вокруг центра эксперимента,
будет определяться точка с координатами xh в которой отклик
имеет условный экстремум. Радиус сферы можно рассчитать по
формуле
R =	(3.83)
Все или часть полученных условий опытов реализуются экс-
периментально.
Отметим, что особенностью указанного метода является воз-
можность применения его без приведения квадратичного урав-
нения к каноническому виду. Тогда X выбирают подбором.
Покажем использование ридж-анализа в рассматриваемом при-
мере. В данном случае система (3.82) имеет вид
(bn - X) = 0,5Ь12х.2 + 0,5Ь13х3 0,5&! = 0;
0,5£>21Xj у (f>22 — X) х2 4- 0,543х3	0,5fe2 = 0;
. 0.5b3iXi 4- 0,5/?3;х2 4- (b33 — X) х3 -р 0,5fe3 = 0
или
(— 1,8-Х)х1 4-2,15х2-3,99х3ф 3,67 = 0;
 2,15X1 4-(—3,99 — X) х2 -)-1,025.х3 4-2,46 = 0;	(3.84)
—3,39Xi -г 1,025х2 4~ (—3,59 — X) х3 — 0,605 = 0.
Положительный коэффициент в канонической форме (3.81)
Вп = 1,28, поэтому выбрали X > 1,28. Задавшись несколькими
значениями X, решали систему (3.84) определяли значения фак-
торов в кодовом масштабе х;; подстановкой их в уравнение (3.58)
рассчитывали величину отклика в некоторых опытах; с учетом
значений уровней факторов (см. табл. 3.10) определяли, округ-
ляя, условия опытов в натуральном масштабе; по формуле (3.83)
рассчитывали радиусы сфер. Все эти расчеты сведены в табл. 3.36.
Условия первого опыта физически абсурдны, так как темпе-
ратура закалки оказывается выше солидуса сплава, а время ста-
рения — отрицательной величиной. Второй опыт все еще слишком
удален от той области, для которой построена модель. Опыты 5—8
не представляют интереса, поскольку лежат в изученной области
и для них ожидается значение отклика меньше уже достигнутого
(см. табл. 3.11). Поэтому реализовали опыты 3 и 4. Режимы за-
калки и старения, использовавшиеся в этих опытах, позволили
заметно повысить время до разрушения изученного никелевого
271

Таблица 3.36. Координаты точек условных экстремумов
Номер опыта	X		Условия			ОПЫТОВ			V	ч
			Кодовый		!асштаб	Натуральный масштаб			Рас- чет	Экс- пери- мент
			Х1	Х2	Хэ	*зак» °C	^стар* °C	тстар* ч		
1	1,3	11,03	10,22	2,48	—3,33										
2	2	4,20	3,47	1,32	—1,97	1275	815	0,06	81,5	—
3	3	2,04	1,70	0,75	—0,85	1185	790	2,3	50,1	53,3
4	4	1,62	1,30	0,63	—0,73	1165	780	2,5	45,0	49,6
5	5	1,03	0,86	0,38	—0,43	1145	770	3,1	38,7	—
6	6	0,89	0,69	0,44	—0,34	1135	765	3,3	37,2	—
7	8	0,60	0,50	0,22	—0,25	1125	760	3,5	34,4	—
8	10	0,47	0,39	0,17	—0,19	1120	755	3,6	33,1	—
сплава при температуре 850° С и напряжения 0,49 ГПа (50 кгс/мм2)
(сравните с результатами опытов в табл. 3.11).
Один из способов поиска оптимальных решений по моделям
типа (3.3) в изученной области факторного пространства, представ-
ляющей собой в общем случае гиперкуб | х,-1 С 1, предложен -в ра-
боте [20]. Метод не требует приведения уравнения к канониче-
ской форме. Идея его заключается в преобразовании модели
типа (3.3) с k факторами в модель для одного-двух факторов ста-
билизацией остальных на оптимальных для изученной области
уровнях.
Экстремум однофакторной модели
у = Ьо -г Ь±х 4- ЬцХ2	(3.85)
находится в точке
Xext=-^-	(3-86)
В табл. 3.37 показаны для отрезка (—1; +1) возможные ре-
шения при поиске экстремума (xext) по функции (3.85) в зависи-
мости от постановки задачи и знаков коэффициентов.
Экстремум по t-й переменной многофакторной модели типа (3.3)
определяется выражением
bi -г У bijXj
Xiext =-------g,	(3.87)
т. е. зависит от эффектов взаимодействия i-ro фактора с остальными.
Для того чтобы xZext всегда находился в зоне эксперимента,
необходимо выполнение условия, следующего из (3.87):
IM + S \Ьц\ <2|^|.	(3.88)
• </
Если же (3.88) не выполняется, а имеет место
IM + E \bil\ >2\bii\,	(3.89)
272

Таблица 3.37. Возможные решения при оптимизации
по модели (3.85) иа отрезке (—1; -|-1)
При поиске максимума		Положение		При поиске минимума	
		внутри зоны эксперимента	вне зоны эксперимента		
Ьп	Ьг	|М<2|&П|	1 N > 21 &и|	bi	bii
<0	<0 0 >0	Xext ПО (3.86)	—1 +1	>0 0 <0	>0
0	<0 0 >0	iL *	—1 +1	>0 0 <0	0
>0	<0 0 >0	—1 + 1 или —1 +1	—1 + 1	>0 0 <0	<0
то xiext либо находится вне зоны эксперимента, либо проходит
через ее границы | xz | = 1.
В табл. 3.88 указаны возможные решения при поиске экстре-
мума (xz ext) в зависимости от постановки задачи и соотношения
знаков при коэффициентах модели.
В результате получается следующая схема оптимизации по
квадратичной модели.
Этап А. Записать анализируемую модель.
Этап Б. Для всех xit для которых из модели предыдущего
этапа Ьц 0 (при поиске максимума) или Ьц < 0 (при поиске
минимума) и выполняется условие |	2 I Ьц 1> и Для всех хь
для которых Ьи < 0 (при поиске максимума) или Ьц > 0 (при
поиске минимума) и выполняется условие | bt | — 2 I 1	2 | bzz |,
ввести в модель xz = 11 |. Знак подстановки тот же, что и у bL
и bi (при поиске максимума) или обратный (при поиске минимума).
Построить новую модель. Повторять этап до тех пор, пока указан-
ные в нем условия не перестанут выполняться.
Этап В. Для всех xz, для которых из модели предыдущего
этапа Ьц < 0 (при поиске максимума) или Ьц > 0 (при поиске
минимума) и выполняется условие | bt | + 2PZ/I < 2 | Ьц |, под-
считать по формуле (3.87) x(ext и ввести его в модель. Записать но-
вую модель. Вновь повторять этапы Б, а затем этапы В, пока
указанные в них условия не перестанут выполняться.
Этап Г. Для xz, для которых из модели предыдущего этапа
Ьц 0 (при поиске максимума) или Ьц < 0 (при поиске мини-
мума) и выполняется условие |fez| < 2 I 1, расщепить модель
предыдущего этапа на две при х,-= +1 и xz = —1. Записать две
10 Новик Ф. С., Арсов я. Б. 273

274
Таблица 3.38. Возможные решения при оптимизации по квадратичной модели (3.3) на гиперкубе
При поиске максимума			Положение x^ext			При поиске минимума		
Ьц	bl		IM + + 2 1 bij |< <2|M	1 bi | + 2 1Ьц | 2 | Ьц |		bi		bii
				ibi I-21Ьц1^ ^21Ьц\	1 h | - 21 Ьц । < < 2|ba I			
<0	<0 0 >0		Xiext no (3.87)	— 1	•^iext проходит через границу экспе- римента	>0 0 <0		>0
	<0	Ibi М2 1 M I bi 1 < 21 bij |	—1 — 1 ИЛИ +1			1М^ 2 \ьц I \bi | < 2 1 Ьц1	>0	<0
	0	bij = о \bi I < 2 I bij |	При Ьц = 0 любое xi < | 1 |; при Ьц 4= 0 —1 или +1 —1 или +1			bij = о IM<2 IM	0	
	>0	\bi 1^ 2 IM1 Ibi |< 2\Ьц 1	+ 1 — 1 ИЛИ +1			Ibi 1^21Ьц | Ibi i < 21 ьц i	<0	

новые модели. Если указанная ситуация имеет место для не-
скольких Xi, имеет смысл проводить расщепление модели по каж-
дой переменной.
Если в моделях предыдущего этапа осталось более двух фак-
торов, для каждой из них последовательно повторить этапы А—Г.
Делать это до тех пор, пока модель не станет двух- или однофак-
торной.
Этап Д. Если последняя модель — двухфакторная, опти-
мальные значения xt можно искать графическим способом, по-
строив двумерные сечения поверхности отклика, но можно про-
должить процедуру до получения однофакторной. Для однофак-
торной модели решение по выбору оптимального значения фактора
выбирают по схеме, указанной в табл. 3.37. По этой же схеме про-
водят анализ и в случае, когда двухфакторная модель не содержит
парных взаимодействий. Если последняя модель линейна, то *z =
= 1 при поиске максимума и xz = —1 при поиске минимума.
Проиллюстрируем описанный способ примерами.
В разделе 3.4 было получено уравнение (3.62), связывающее
содержание водорода в сплаве АЛ9 с условиями его дегазации.
Далее, это уравнение проанализировали с целью поиска в изучен-
ной области условий дегазации, обеспечивающих возможно мень-
шее содержание водорода в сплаве. Поиск осуществляли по ука-
занной выше схеме.
Этап А. Анализируемая модель
у = 0,443 — 0,073*! -ф 0,024*2 — 0,022*3 — 0,041 *4 — 0,036*t*2 —
— 0,01 З*!*3 -ф 0,037*!*4 -ф 0,012*!*8 -ф 0,016*2*3 -ф
-ф 0,016*3*5 — 0,091*3-
Этап Б. Поскольку нужно найти минимум, рассмотрели xz,
имеющие Ьц < 0 и проверили выполнение условия | &z | 5» £ | Ьц |:
Ьп = 0, но | М = | 0,073| < 10,0981 | = £ | Ьц-1
Ь22 = 0, но |Ь2\ = | 0,0421 < 10,0521 = £ I b2j |
Ь3 = —0,091 < 0, но | Ьа\ = | 0,0221 < 10,045 | = £|b3j |
4 = 0 и |М = 10,041 | >] 0,0371 = £|fe4/|
4 = 0, но = 0<|0,028| = 214-1-
Так как требуемое условие для фактора *4 выполняется, а 64 —
отрицательная величина, выбрали *4 = +1. Факторов xz, имею-
щих bi( > 0, в данном случае нет.
После подстановки *4 = +1 в исходную модель, получили
у — 0,0402 — 0,036*! -ф 0,042*2 — 0,022*3 — 0,036*i*2 —
— 0,013*^ -ф 0,012*,*. -ф 0,016*2*3 -ф 0,016*3*5 — 0,091*|. (3.90)
Этап В. Этот этап пропустили, поскольку коэффициен-
тов Ьц > 0 в модели нет.
10*	276

Этап Г. Здесь необходимо выбрать х; с bit с 0, для которых
IM <2 IM-
Коэффициенты Ь(, Ьц и суммы 2 I Ьц | для модели (3.90) по
сравнению с исходной, кроме blt Ьг1 и 2 I &1/1> не изменились. Для
из модели (3.90):
^11 = 0 и |М = |0,036|<|0,061|= 2IM-
Следовательно, модель (3.90) необходимо расщепить и сделать
это можно по любому из факторов. Расщепили (3.90) по фактору хт.
При Xj = —1 модель имеет вид
у = 0,438 + 0,078х2 — 0,009х3 - 0,012%а 4-
0,01 6л'2л'3 -ф 0,016х3х5 — 0,091х3,	(3.91)
а при ду = + 1:
у — 0,366 4* 0,006х2 — 0,035х3 -ф 0,012ха -ф
+ 0,016х2х3 + 0,016л'3л'_ - 0,091х3.	(3.92)
Для каждой новой модели повторили этап Б. Для модели
(3.91)
622=0 и |fe2| = ]0,078|>10,016| = |^|;
= —0,091 <0, но | М = 10,0091 < 10,032 | = £ | ьз] |1
Ь68 = 0, но |М = (0,0121 < 10,0161 = р35|;
для модели (3.92)
Ь22 = 0, но | М = 10,006 | < | 0,0161 = | Ь231;
Ь33 = —0,091 <0 и | Ь31 = | 0,035 | > | 0,032 | = £ | b3j |;
685 = 0, но |М = | 0,012 | < | 0,016 | = |fe35|.
Требуемое условие выполняется для факторов х2 в модели (3.91)
и х3 — в модели (3.92). Выбрали для них уровни: х2 = —1, х3 =
= +1, которые подставили соответственно в модели (3.91) и
(3.92). Получили две следующие модели:
у = 0,360 — 0,025х3 - 0,091х3 - 0,028ха;	(3.93)
у = 0,240 + 0,022х2 + 0,028х6.	(3.94)
Этап Д. Модель (3.93) не содержит парных взаимодействий,
поэтому следует выбрать х6 = +1, а х3 = 4-1. В последнем слу-
чае решение приняли по схеме, указанной в табл. 3.37 (Ь33 < 0
и Ь3 < 0, поэтому х3 = +1).
Модель (3.94) линейная, поэтому х2 = —1, хв = —1.
Кроме того, на этапе Г расщепляли модель (3.90) и по другим
факторам. Однако получавшиеся режимы не давали лучших ре-
зультатов, по сравнению с двумя выбранными по описанной схеме.
Итак, в изученной области факторного пространства есть, по
крайней мере, два режима, которые должны обеспечивать малое
276

содержание водорода после дегазации сплава АЛ 19. Их коорди-
наты (в кодовом масштабе):
	Х1	х2	*3	х4	Х3
I	—1	—1	+1	+1	4-1
II	-1-1	—1	+1	4-1	—1
Оба эти режима уже были реализованы в матрице планирова-
ния (см. табл. 3.15, опыты соответственно 5 и 4). Режим II дей-
ствительно дал лучшие результаты. Очевидно, что в изученной
области изменения факторов большей степени дегазации достичь
нельзя.
В разделе 3.7 было получено уравнение (3.69), связывающее
магнитные свойства сплава 68НМП с условиями его термической
обработки. Покажем, как с помощью рассматриваемого метода
искали режим обработки, обеспечивающий возможно более вы-
сокий комплексный показатель качества сплава по магнитным
свойствам.
Выполнили этапы анализа в следующей последовательности.
Этап А. Уравнение имеет вид
у = 0,294 — 0,040л'1 — 0,055х2 — 0,041 х4 — 0,014^^
+ 0,009Х1Л'3 — 0,004х2а'3 + 0,024х2х4 ф-
+ 0,011х,х. - 0,0054 - 0,010x1 + 0,025х2 - 0,01 Ох2.
Этап Б. В задаче нужно найти максимум, поэтому
fe33 = 0,025 > 0, но ] £>3] = 0< 10,024 ]= 23 р3/1.
Далее:
Ьи = —0,005 <0 и | Ь4 | - £ | blt | = 10,017 | > 10,0101 = 2 | Ьи |;
^22 = — 0,010< 0, но |М- £ | b2j | = | 0,013 | < | 0,0201 = 2 | 6221;
b4i = —0,010 < 0, но I b41 — £I b4j I = I 0,006 I < I 0,020 I = 2 | Ь441.
Требуемое условие выполняется только для фактора х4, и,
поскольку Ь1 — отрицательная величина, выбрали х± = —1.
После подстановки в модель получили новое уравнение:
у = 0,329 — 0,041х2 — 0,009х3 — 0,041х4 — 0,004х2х3 4-
+ 0,024хл + 0,011х3х4 - 0,010х2 + 0,025х2 - 0,010х2. (3.95)
Так как изменилось значение коэффициента Ьа и не стало
коэффициента Ь13, для модели (3.95) еще раз проверили условие
этапа Б: Ь33 = 0,025 >0, но |Ь3| = 10,0091 < 10,0151 =
= 2 I Ь3]-1, поэтому перешли к следующему этапу.
Этап В. Для модели (3.95)
^22 = —0,010<0, но |&2| + £|М = |0,069|>|0,020| = 2|М,
644= -0,0Ю<0, но |М+ 23 |Ь4/1 = 10,076| >| 0,020| = 21 &44|,
поэтому перешли к этапу Г.
277

Этап Г. Для модели (3.95)
Ь33 = 0,025 >0 и | Ь31 = | 0,0091 < 10,015 | = £ | b3j |,
поэтому модель (3.95) расщепили на две по фактору х3. При х3 —
= -)-1 получили уравнение
w = 0,345 - 0,045х, - 0,030х. Н- 0,024х,х4 - 0,0Юх® - 0,0Юх®,
(3.96)
при х3 = —I
у = 0,363 - 0,037х2 - 0,052х4 -| - 0,024х2х„ - 0,010х® - 0,010х®.
(3.97)
Для каждой новой модели повторили этап Б.
Для модели (3.96)
/Л,, = —0,010 < 0 и I м - I Ы = I 0,021 | > I 0,0201 = 2 | Ь22|,
Д.14 = 0,010<0, по |/?41 — |/л,41 — | 0,006 | < | 0,020 | = 2 | &441,
поэтому выбрали х2 = —1 (в этой модели Ь2 — отрицательная
величина). После подстановки получили
//- 0,380- 0,054x^-0,010х®.	(3.98)
Для модели (3.97)
ь.,2 = — 0,010<0, но IM - IM = 10,0131 < 10,0201 = 2|fe22|,
bti = — о,010 < 0 и |b4| - IM = |0,0281 >1 0,0201-2 IM-
поэтому выбрали х4 = —1 (в этой модели bt — отрицательная ве-
личина). После подстановки получили
г/= 0,405 — 0,061х2 — 0,010х|.	(3.99)
Этап Д. Модели (3.98) и (3.99) анализировали по схеме,
указанной в табл. 3.37.
В модели (3.98) Ьм < 0, Ь4 < 0 и |fe4| = | 0,054 | > 10,020 | =
= 2 | Л>441, поэтому следует выбрать х4 = —1.
В модели (3.99) Ьм <0, Ь2 < 0 и |Ь2| = ] 0,061 | > 10,0201 =
= 2 |Ь22|, поэтому выбрали х2 = —1.
Итак, анализ модели (3.69) показал, что в изученной области
существуют, по крайней мере, два режима обработки, приводящие
к высокому уровню магнитных свойств сплава 68НМП. Оба ре-
жима предусматривают проведение первого отжига при темпера-
туре 1150° С (Хх — —1), второго отжига в магнитном поле напря-
женностью 1193,6 А/м (х2 = —1) в течение 30 мин (х4 = —1).
Кроме того, по первому режиму температура отжига в магнитном
поле должна быть 650° С, по второму 600° С. Обобщенная функ-
ция желательности в первом случае по расчету должна быть
0,424, во втором 0,456.
Первый режим уже был реализован в матрице планирования
(опыт 8 в табл. 3.34) и действительно оказался лучшим (у = 0,43,
что очень близко к расчету). Второй режим проверили экспери-
278

Рис. 3.3. Зависимость твердо-
сти по Виккерсу поверхно-
стных слоев стали 40ХФА от
температуры предварительного
отжига (х3) и азотирования (х4)
ментально. Полученное
значение обобщенной
функции желательности
у — 0,48 было лучшим из
всех проведенных опытов.
Достаточно часто поль-
зуются графическими спо-
собами анализа получен-
ных моделей. Обычно
строят двумерные сечения
поверхностей отклика, соответствующие^пересечению пространст-
венной фигуры с плоскостями x;=const. Для этого в уравнение под-
ставляют значения всех факторов, кроме любых двух, и по получен-
ным двухфакторным уравнениям вначале рассчитывают, а затем
проводят изолинии равных значений отклика. Анализ серий сече-
ний дает наглядное представление о характере изменения отклика
при варьировании факторов, позволяет находить компромиссные
решения при наличии нескольких параметров оптимизации и т. д.
(см., например, [37]).
Один из примеров такого анализа уже был приведен в 2.5.8.
Рассмотрим еще один пример. В разделе 3.7 было получено урав-
нение (3.64), связывающее твердость поверхностных слоев стали
40ХФА с температурами предварительной термической обработки
и азотирования:
у = 914,8 - 23,8л-4 - 25,8.г3г4 - 22,2х® - 41х* - 33,2x1 - 26,5х2.
Анализ модели показывает, что оптимальными температурами
закалки и отпуска, обеспечивающими возможно более высокую
твердость, являются значения этих факторов на основных уров-
нях (см. табл. 3.22): х} = 0; Х} = 900° С; х2 = 0; Х2 = 650° С.
Действительно, в модели (3.64) отсутствуют коэффициенты и
Ь2, а также эффекты взаимодействий этих факторов как между
собой, так и с остальными. В то же время в модели есть коэффи-
циенты Ьц и Ь22, причем величины их отрицательные. Поэтому вве-
дение в модель значений факторов на уровнях лу = х2 = ±1
всегда будет приводить к снижению твердости, а отсюда их опти-
мальными уровнями ЯВЛЯЮТСЯ %! = х.2 = 0.
Уровни лу = х2 = 0 ввели в модель (3.64). Получили уравне-
ние, связывающее твердость только с температурами стабилизи-
рующего отжига (х3) и азотирования (х4):
у = 914,8 - 25,8х3лу - 33,2х23 - 26,5лу2.	(3.100)
279

Представим себе эту зависимость графически. Изолинии оди-
наковой твердости при изменении указанных температур в изу-
ченных интервалах показаны на рис. 3.3. Как и предполагалось
при постановке задачи, оптимальные температуры анализируе-
мого способа обработки лежат в области эксперимента, причем
вблизи ее центра. С помощью рис. 3.3 можно выбирать темпера-
туры стабилизирующего отпуска и азотирования, обеспечивающие
тот или иной уровень твердости.

ПРИЛОЖЕНИЕ I
Критические значения коэффициента корреляции
степеней I f	Уровни		значимости а			О к о Е		Уровни значимости а			
Число свободь	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001	Число с свободы	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	0,988 0,900 0,805 0,729 0,669 0,621 0,582 0,549 0,521 0,497 0,476 0,457 0,441 0,426 0,412 0,400	0,997 0,950 0,878 0,811 0,754 0,707 0,666 0,632 0,602 0,576 0,553 0,532 0,514 0,497 0,482 0,468	0,999 0,980 0,934 0,882 0,833 0,789 0,750 0,716 0,685 0,658 0,634 0,612 0,592 0,574 0,558 0,543	1,000 0,990 0,959 0,917 0,874 0,834 0,798 0,765 0,735 0,708 0,684 0,661 0,641 0,623 0,606 0,590	1,000 0,999 0,992 0,974 0,951 0,925 0,898 0,872 0,847 0,823 0,801 0,780 0,760 0,742 0,725 0,708	17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100	0,389 0,378 0,369 0,360 0,323 0,296 0,276 0,257 0,243 0,231 0,211 0,195 0,183 0,173 0,164	0,456 0,444 0,433 0,423 0,381 0,349 0,325 0,304 0,287 0,273 0,250 0,232 0,217 0,205 0,195	0,528 0,516 0,503 0,492 0,445 0,409 0,381 0,358 0,338 0,322 0,295 0,274 0,256 0,242 0,230	0,575 0,561 0,549 0,537 0,487 0,449 0,418 0,393 0,372 0,354 0,325 0,302 0,283 0,267 0,254	0,693 0,679 0,665 0,652 0,597 0,554 0,519 0,490 0,465 0,443 0,408 0,380 0,357 0,337 0,321
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Критические значения /-критерия
Число степеней	Уровни значимости а			Число степеней	Уровни значимости а		
свободы f	0,1	0,05	0,01	свободы f	0,1	0,05	0,01
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,90 1,86 1.83 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,75	12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13	63,66 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95	16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 сю	1,75 1,74 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,71 1,70 1,70 1,70 1,70 1,64	2,12 2,11 2,10 2,09 2,08 2,08 2,07 2,07 2,06 2,06 2,06 2,05 2,05 2,05 2,04 1,96	2,92 2,90 2,88 2,86 2,85 2,83 2,82 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,76 2,75 2,58
281

ПРИЛОЖЕНИЕ III
Критические значения /2-критерия
Число степеней свободы f	Уровни значимости а				Число степеней свободы f	Уровни значимости а			
	0,50	0,10	0,05	0,01		0,50	0,10	0,05	0,01
1	0,45	2,71	3,84	6,64	14	13,3	21,1	23,7	29,1
2	1,39	4,61	5,99	9,21	15	14,3	22,3	25,0	30,6
3	2,37	6,25	7,81	11,3	16	15,3	23,5	26,3	32,0
4	3,36	7,78	9,49	13,3	17	16,3	24,8	27,6	33,4
5	4,35	9,24	11,1	15,1	18	17,3	26,0	28,9	34,8
6	5,35	10,6	12,6	16,8	19	18,3	27,2	30,1	36,2
7	6,35	12,0	14,1	18,5	20	19,3	28,4	31,4	37,6
8	7,34	13,4	15,5	20,1	21	20,3	29,6	32,7	38,9
9	8,34	14,7	16,9	21,7	22	21,3	30,8	33,9	40,3
10	9,34	16,0	18,3	23,2	23	22,3	32,0	35,2	41,6
11	10,3	17,3	19,7	24,7	24	23,3	33,2	36,4	43,0
12	11,3	18,5	21,0	26,2	25	24,3	34,4	37,7	44,3
13	12,3	19,8	22,4	27,7					
282

ПРИЛОЖЕНИЕ IV
283
Критические значения K-критерия Линка—Уоллеса при уровне значимости а = 0,05
Объем выбо-	Число выборочных групп /г															
груп- пы п	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	20	50
2	3,43	2,35	1,74	1,39	1,15	0,99	0,87	0,77	0,70	0,63	0,58	0,54	0,50	0,47	0,358	0,151
3	1,90	1,44	1,14	0,94	0,80	0,70	0,62	0,56	0,51	0,47	0,43	0,40	0,38	0,35	0,274	0,119
4	1,62	1,25	1,01	0,84	0,72	0,63	0,57	0,51	0,47	0,43	0,40	0,37	0,35	0,33	0,254	0,112
5	1,53	1,19	0,96	0,81	0,70	0,61	0,55	0,50	0,45	0,42	0,39	0,36	0,34	0,32	0,249	0,110
6	1,50	1,17	0,95	0,80	0,69	0,61	0,55	0,49	0,45	0,42	0,39	0,36	0,34	0,32	0,249	0,110
7	1,49	1,17	0,95	0,80	0,69	0,61	0,55	0,50	0,45	0,42	0,39	0,36	0,34	0,32	0,251	0,111
8	1,49	1,18	0,96	0,81	0,70	0,62	0,55	0,50	0,46	0,42	0,39	0,37	0,35	0,33	0,254	0,113
9	1,50	1,19	0,97	0,82	0,71	0,62	0,56	0,51	0,47	0,43	0,40	0,37	0,35	0,33	0,258	0,115
10	1,52	1,20	0,98	0,83	0,72	0,63	0,57	0,52	0,47	0,44	0,41	0,38	0,36	0,34	0,262	0,117
И	1,54	1,22	0,99	0,84	0,73	0,64	0,58	0,52	0,48	0,44	0,41	0,38	0,36	0,34	0,266	0,119
12	1,56	1,23	1,01	0,85	0,74	0,65	0,58	0,53	0,49	0,45	0,42	0,39	0,37	0,35	0,270	0,121
13	1,58	1,25	1,02	0,86	0,75	0,66	0,59	0,54	0,49	0,46	0,42	0,40	0,37	0,35	0,274	0,122
14	1,60	1,26	1,03	0,87	0,76	0,67	0,60	0,55	0,50	0,46	0,43	0,40	0,38	0,36	0,279	0,124
15	1,62	1,28	1,05	0,89	0,77	0,68	0,61	0,55	0,51	0,47	0,44	0,41	0,38	0,36	0,283	0,126
20	1,72	1,36	1,12	0,95	0,82	0,73	0,65	0,59	0,54	0,50	0,47	0,44	0,41	0,39	0,303	0,135
50	2,23	1,77	1,45	1,22	1,06	0,94	0,85	0,77	0,71	0,65	0,61	0,57	0,53	0,50	0,394	0,177

Значения F-критерия для уровней значимости 0,05
Число степеней
Число стег свободы в менателе	1	2	3	4	5	6	7	8	9	
1	161	200	216	225	230	234	237	239	241	
	4052	4999	5403	5625	5764	5859	5928	5981	6022	
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,36	19,37	19,38	
	98,49	99,01	99,17	99,25	99,30	99,33	99,94	99,36	99,38	
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,88	8,84	8,81	
	34,12	30,81	29,46	28,71	28,24	27,91	27,67	27,29	27,34	j
4	7,71	6,59	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	
	21,20	18,00	16,69	15,98	15,52	15,51	14,98	14,80	14,66	!
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,78	!
	16,26	13,27	12,06	11,39	10,97	10,67	10,45	10,27	10,15	||
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	
	13,74	10,92	9,98	9,15	8,75	8,47	8,26	8,10	7,98	
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,98	3,87	3,79	3,73	3,68	
	12,25	9,55	8,45	7,85	7,46	7,19	7,00	6,84	6,71	
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	
	11,26	8,65	7.59	7,01	6,63	6,37	6,19	6,03	5,91	
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	
	10,56	8,02	6,99	6,42	6,06	5,80	5,62	5,47	5,35	
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	
	10,04	7,56	6,55	5,99	5,64	5,39	5,21	5,06	4,95	
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,70	2,64	2,59	
	8,68	6,36	5,42	4,89	4,56	4,32	4,14	4,00	3,89	
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,52	2,45	2,40	
	8,10	5,85	4,94	4,43	4,10	3,87	3,71	3,56	3,45	
30	4,16	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,34	2,27	2,21	
	7,56	5,39	4,51	4,02	3,70	3,47	3,30	3,17	3,06	
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,20	2,13	2,07	
	7,17	5,06	4,20	3,72	3.41	3,18	3,02	2,88	2,78	
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,10	2,08	1,97	
	6,90	4,82	3,98	3,51	3,20	2,99	2,82	2,69	2,59	
	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	2,01	1,94	1,88	
оо	6,64	4,60	3,78	3,32	3,02	2,80	2,64	2,51	2,41	j
284

ПРИЛОЖЕНИЕ V
(верхняя строка) и 0,01 (нижняя строка)
свободы в числителе
	10	11	12	14	16	20	24	30	50	100	00
	242	243	244	245	246	248	249	250	252	253	254
	6056	6082	6106	6142	6169	6208	6234	6258	6303	6334	6366
	19,39	19,40	19,41	19,42	19,43	19,44	19,45	19,46	19,47	19,49	19,50
	99,40	99,41	99,42	99,43	99,44	99,55	99,46	99,48	99,48	99,48	99,50
	8,87	8,76	8,74	8,71	8,69	8,66	8,64	8,62	8,58	8,56	8,53
	27,23	27,13	27,05	26,92	26,83	26,69	26,60	26,50	26,27	26,23	26,12
	5,96	5,93	5,91	5,87	5,84	5,80	5,77	5,74	5,70	5,66	5,63
	14,54	14,45	14,37	14,24	14,15	14,02	13,93	13,83	13,69	13,57	13,46
	4,74	4,70	4,68	4,64	4,60	4,56	4,53	4,50	4,46	4,40	4,36
	10,05	9,96	9,89	9,70	9,68	9,55	9,47	9,38	9,24	9,13	9,02
	4,06	4,03	4,00	3,96	3,92	3,87	3,84	3,81	3,75	3,71	3,67
	7,87	7,79	7,72	7,60	7,52	7,39	7,31	7,23	7,09	6,99	6,88
	3,63	3,60	3,57	3,52	3,49	3,44	3,41	3,38	3,32	3,28	3,23
	6,62	6,54	6,47	6,35	6,27	6,15	6,07	5,98	5,85	5,75	5,65
	3,34	3,31	3,28	3,23	3,20	3,15	3,12	3,08	3,03	2,98	2,93
	5,82	5,74	5,67	6,65	5,48	5,36	5,28	5,20	5,06	4,96	4,86
	3,13	3,10	3,07	3,02	2,98	2,93	2,90	2,86	2,80	2,76	2,71
	5,26	5,18	5,11	5,00	4,98	4,80	4,73	4,64	4,51	4,41	4,31
	2,97	2,94	2,91	2,86	2,82	2,77	2,74	2,70	2,64	2,59	2,54
	4,85	4,78	4,71	4,60	4,52	4,41	4,33	4,25	4,12	4,01	3,91
	2,55	2,51	2,48	2,43	2,39	2,33	2,29	2,25	2,18	2,12	2,07
	3,80	3,73	3,67	3,56	3,48	3,36	3,29	3,20	3,07	2,97	2,87
	2,35	2,31	2,29	2,23	2,18	2,12	2,08	2,04	1,96	1,90	1,84
	3,37	3,30	3,23	3,13	3,05	2,94	2,86	2,77	2,63	2,53	2,42
	2,16	2,12	2,09	2,04	1,99	.1,93	1,89	1,84	1,76	1,69	1,62
	2,98	2,90	2,84	2,74	2,66	2,55	2,47	2,38	2,24	2,13	2,01
	2,02	1,98	1,95	1,90	1,85	1,78	1,74	1,69	1,60	1,52	1,44
	2,70	2,62	2,56	2,46	2,39	2,26	2,18	2,10	1,94	1,82	1,68
	1,92	1,88	1,85	1,79	1,75	1,68	1,63	1,57	1,48	1,39	1,29
	2,51	2,43	2,36	2,26	2,19	2,06	1,98	1,89	1,73	1,59	1,43
	1,83	1,79	1,75	1,69	1,64	1,57	1,52	1,46	1,35	1,24	1,00
	2,32	2,24	2,18	2,07	1,99	1,87	1,79	1,79	1,52	1,36	1,00
285

ПРИЛОЖЕНИЕ VI
Критические значения G-критерия при уровне значимости а = 0,05
286
Число	Число							степеней	свободы					
N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	16	36	144	
2	0,999	0,975	0,939	0,906	0,858	0,853	0,833	0,816	0,801	0,788	0,734	0,660	0,581	0,500
3	0,967	0,871	0,798	0,746	0,707	0,677	0,653	0,633	0,617	0,603	0,547	0,475	0,403	0,333
4	0,907	0,768	0,684	0,629	0,590	0,560	0,537	0,518	0,502	0,488	0,437	0,372	0,309	0,250
5	0,841	0,684	0,598	0,544	0,506	0,478	0,456	0,439	0,424	0,412	0,365	0,307	0,251	0,200
6	0,781	0,616	0,532	0,480	0,445	0,418	0,398	0,382	0,368	0,357	0,314	0,261	0,212	0,167
7	0,727	0,561	0,480	0,431	0,391	0,373	0,356	0,338	0,325	0,315	0,276	0,228	0,183	0,143
8	0,680	0,516	0,438	0,391	0,360	0,336	0,319	0,304	0,293	0,283	0,246	0,202	0,162	0,125
9	0,640	0,478	0,403	0,358	0,329	0,307	0,290	0,277	0,266	0,257	0,223	0,182	0,145	0,111
10	0,602	0,445	0,373	0,331	0,303	0,282	0,267	0,254	0,244	0,235	0,203	0,166	0,131	0,100
12	0,541	0,392	0,326	0,288	0,262	0,244	0,230	0,219	0,210	0,202	0,174	0,140	0,110	0,083
15	0,471	0,335	0,276	0,242	0,220	0,203	0,191	0,182	0,174	0,167	0,143	0,114	0,089	0,067
20	0,389	0,271	0,221	0,192	0,174	0,160	0,150	0,142	0,136	0,130	0,111	0,088	0,068	0,050
24	0,343	0,235	0,191	0,166	0,149	0,137	0,129	0,121	0,116	0,111	0,094	0,074	0,057	0,042
30	0,293	0,198	0,159	0,138	0,124	0,114	0,106	0,100	0,096	0,092	0,077	0,060	0,046	0,033
40	0,237	0,158	0,126	0,108	0,097	0,089	0,083	0,078	0,075	0,071	0,060	0,046	0,035	0,025
60	0,174	0,113	0,090	0,077	0,068	0,062	0,058	0,055	0,052	0,050	0,041	0,032	0,023	0,017
120	0,100	0,063	0,050	0,042	0,037	0,034	0,031	0,029	0,028	0,027	0,022	0,017	0,012	0,008
ое	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000	0,000

ПРИЛОЖЕНИЕ VII
КАТАЛОГ ФАКТОРНЫХ ПЛАНОВ
1. Вспомогательные матрицы
123	12345678	1234
	000		00000000		0000
D//4 =	101	D//8 =	10011011		1011
	011		01010112	D//9 =	2022
	по		11001103		0112
			00101113		1120
			10110102		2101
			01111001		0221
			11100010		1202
					2210
11111
12345678901234
111111111122
123456789012345678901
D//12 =
D//18 =
11011100010000
01101110001011
10110111000110
01011011100101
00101101110002
00010110111013
10001011011112
11000101101103
11100010110004
01110001011015
10111000101114
00000000000105
111
123456789012
000000000030
011111100111
022222200222
100121201120
111202001201
122010101012
001022112210
012100212021
020211012102
102201110003
110012210114
121120010225
001210221123
012021021204
020102121015
102112022213
110220122024
121001222105
D//16 =
D//20 =
000000000000000000000
100011100011101202131
010010011011011303312
110001111000110101223
001001010110111022324
101010110101010220215
011011001101100321036
111000101110001123107
000100101101111033230
100111001110010231301
010110110110100330122
110101010101001132013
001101111011000011114
101110011000101213025
011111100000011312206
111100000011110110337
1111111111
1234567890123456789
1100111101010000110
0110011110101000011
1011001111010100001
1101100111101010000
0110110011110101000
0011011001111010100
0001101100111101010
0000110110011110101
1000011011001111010
0100001101100111101
1010000110110011110
0101000011011001111
1010100001101100111
1101010000110110011
1110101000011011001
1111010100001101100
0111101010000110110
0011110101000011011
1001111010100001101
0000000000000000000
287

Продолжение прилож. VII
D//24 =
D//27 =
1111111111222222222
1234567890123456789012345678
1111101011001100101000000000
0111110101100110010100010011
0011111010110011001010001021
0001111101011001100101011030
0000111110101100110010100131
1000011111010110011001010120
0100001111101011001100101110
1010000111110101100110011101
0101000011111010110011000002
0010100001111101011001110013
1001010000111110101100101023
1100101000011111010110011032
0110010100001111101011000133
0011001010000111110101110122
1001100101000011111010101112
1100110010100001111101011103
0110011001010000111110100004
1011001100101000011111010015
0101100110010100001111101025
1010110011001010000111111034
1101011001100101000011100135
1110101100110010100001110124
1111010110011001010000101114
0000000000000000000000011105
11111
12345678901234
00000000000000
10011110011111
20022220022222
01012001112123
11020111120204
21001221101015
02021002221216
12002112202027
22010222210108
00100121211220
10111201222001
20122011200112
01112122020013
11120202001124
21101012012205
02121120102106
12102200110217
22110010121028
00200212122110
10211022100221
20222102111002
01212210201203
11220020212014
21201100220125
02221211010026
12202021021107
22210101002218
D//28 =
D//25 =
123456
000000
101111
202222
303333
404444
011234
112340
213401
314012
410123
022413
123024
224130
320241
421302
033142
134203
230314
331420
432031
044321
140432
241043
342104
443210
111111111122222222
123456789012345678901234567
101111000010001001110101101
110111000001100100011110110
011111000100010010101011011
000101111001010001101110101
000110111100001100110011110
000011111010100010011101011
111000101001001010101101110
111000110100100001110110011
111000011010010100011011101
010001001110101101101111000
001100100011110110110111000
100010010101011011011111000
001010001101110101000101111
100001100110011110000110111
010100010011101011000011111
001001010101101110111000101
100100001110110011111000110
010010100011011101111000011
110101101101111000010001001
011110110110111000001100100
101011011011111000100010010
101110101000101111001010001
110011110000110111100001100
011101011000011111010100010
101101110111000101001001010
110110011111000110100100001
011011101111000011010010100
000000000000000000000000000
288

Продолжение прилож. VII
11111111112222222222333333333344
12345678901234567890123456789012345678901
D//32 =
00000000000000000000000000000000000000000
10000111100000011111100001111010220222311
01000100011100011100011101110110102211122
11000011111100000011111100001100322033233
00100010010011010011011011101110011120224
10100101110011001100111010010100231302135
01100110001111001111000110011000113331306
11100001101111010000100111100010333113017
00010001001010101010110111011112212310010
10010110101010110101010110100102032132301
01010101010110110110101010101002310101132
11010010110110101001001011010012130323223
00110011011001111001101100110002203230234
10110100111001100110001101001012023012125
01110111000101100101110001000112301021316
11110000100101111010010000111102121203007
00001000100101100101101110111111121130110
10001111000101111010001111000101301312201
01001100111001111001110011001001023321032
11001011011001100110010010110011203103323
00101010110110110110110101010001130010334
10101101010110101001010100101011310232025
01101110101010101010101000100111032201216
11101001001010110101001001011101212023107
00011001101111001111011001100003333220100
10011110001111010000111000011013113002211
01011101110011010011000100010113231031022
11011010010011001100100101101103011213333
00111011111100011100000010001113322300324
10111100011100000011100011110103102122035
01111111100000000000011111111003220111206
11111000000000011111111110000013000333117

Продолжение прилож. V
123456		12345678			111 123456789012
	000000		00000000		000000000000
	011101		10111111		001123411111
	211202		20222222		002241322222
	210303		30333333		003314233333
	101404		40444444		004432144444
	100505		50555555		010111112340
	210011		60666666		011234023401
	100110		01123456		012302434012
D//36 =	101213	D//49 =	11234560	D//50 =	013420340123
	001315		21345601		014043201234
	011412		31456012		020222241302
	210514		41560123		021340102413
	101022		51601234		022413013024
	210125		61012345		023031424130
	200220		02246135		024104330241
	011324		12350246		030333342031
	010421		22461350		031401203142
	101523		32502461		032024114203
	001033		42613502		033142020314
	111134		52024613		034210431420
	100231		62135024		040444410432
	200330		03362514		041012321043
	210435		13403625		042130232104
	011532		23514036		043203143210
	210044		33625140		044321004321
	000143		43036251		100132403223
	011245		53140362		101200314334
	101342		63251403		102323220440
	100440		04415263		103441131001
	211541		14526304		104014042112
	111055		24630415		110243034143
	201152		34041526		111311440204
	010254		44152630		112434301310
	110351		54263041		113002212421
	201453		64304152		114120123032
	000550		05531642		120304121124
			15642053		121422032230
			25053164		122040443341
			35164205		123113304402
			45205316		124231210013
			55316420		130410224211
			65420531		131033130322
			06654321		132101041433
			16065432		133224402044
			26106543		134342313100
			36210654		140021333414
			46321065		141144244020
			56432106		142212100131
			66543210		143330011242
					144403422303
290

Продолжение прилож. VII
2. Равномерные планы
ПЛАНЫ МОЩНОСТИ 2 (главных эффектов)
Симметричные планы	Несимметричные планы
I Номер плана I	План	Способ построения		Номер плана	План	Способ построения	
		Вспомо- гатель- ная ма- трица	Номера столбцов			Вспомо- гательная матрица	Номера столбцов
1	23//4	D//4	1—3	15	24Х 4//8	£>//8	1—3, 7, 8
2	27//8	D//8	1—7	16	22Хб//12	£>//12	12—14
3	2п//12	£>//12	1—11	17	28Х8//16	£>//16	4,7,9, 10
4	2“//16	£>//16	1—15				12—15,
5	219//20	D//20	1 — 19				21
6	223//24	£>//24	1—23	18	2X3*7/18	£>//18	1—8
7	227//28	£>//28	1—27	19	33Х 6//18	£>//18	9—12
8	231//32	D//32	1—31	20	23Х4Хб//24	£>//24	24—28
9	34//9	£>//9	1—4	21	39Х9//27	£>//27	3, 6—14
10	313//27	D//27	1—13	22	26Х46Х8//32	D//32	18, 19,
11	45//16	£>//16	16—20				21—23,
12	56//25	£>//25	1—6				31—37,
13	63//36	D//36	4—6				41
14	78//49	£>//49	1—8	23	24Х49//32	D//32	3, 16, 19,
							22, 32—40
				24	22Х 63//36	D//36	2—6
				25	ЗХ63//36	D//36	1, 3—6
				26	2Х 5и//50	£>//50	1 — 12
планы мощности з
Номер плана 1	План	Способ построения	Номер плана	План	Способ построения		
27	24//8	1—3, 7 столбцы вспомо-	31	220//40		^20	£>//20Ц
28	28//16	гательной матрицы £>//8 1—4, 11—14 столбцы	32	224//48		1го ^24	Г>//20|| £>//24 (13)||
29 30	212//24 21в//32 .	вспомогательной матри- цы £>//16 ||012 £>//12 (11) || 11112 Г>//12 (11) || 1—5, 16—25, 31 столб- цы вспомогательной ма- трицы D//32	33	34//27	1—3 мога	124 £>//24 (13) II 10 столбцы вспо- гельной матрицы	
Ом и 1дг — вектор-столбцы размерности N из нулей и единиц соответствен-
но; DIIN (N — 1) — матрица, образованная первыми N — 1 столбцами вспомога-
тельной матрицы DHN.
291

Продолжение прилож. VII
Планы мощности 4
Номер плана	План	Способ построения		Номер плана	План	Способ построения	
		Вспомога- тельная матрица	Номера столбца			Вспомога- тельная матрица	Номера столбцов
34	2»//4	D//4	1. 2	37	27/32	£>//32	1—5, 31
35	2»//8	D//8	1—3	38	32//9	£>//9	1, 2
36	27/16	£>//16	1—4,15	39	37/27	£>//27	1—3
КОМПРОМИССНЫЕ ПЛАНЫ
Номер плана	План	Оцениваемые эффекты взаимодействия	Способ построения	
			Вспомога- тельная матрица	Номера столбцов
40	27/8	12	£>//8	1—3, 5—7
41	27/8	12, 13, 14	£>//8	1—3, 6
42	27/8	12, 13, 23	£>//8	1—3, 7
43	214//16	12	£>//16	1—4, 6—15
44	212//16	12, 13, 23	£>//16	1—4, 7, 9—15
45	27/16	12, 13, 23, 14, 24, 34	£>//16	1—4, 11—15
46	27/16	12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	£>//16	1—4, 8—10, 14
47	2ЗО//32	12	£>//32	1—5, 7—31
48	228//32	12, 13, 23	£>//32	1—5, 8, 9, 11—31
49	227/32	12, 13, 14, 23, 24, 34	£>//32	1—5, 9, 12, 14—31
50	221//32	12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45	D//32	1—5, 16—31
51	2’7/32	12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 56	£>//32	1—5, 31, 16—25
52	27//32	34, 35, 36, 37, 45, 46, 47, 56, 57, 67	D//32	1—5, 19, 23
53	27/32	12, 13, 23, 45, 46, 47, 56, 57, 67	D//32	1—5, 16, 21
54	216//32	12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,1 10,1 11,1 12,1 13,1 14,1 15,1 16	£>//32	1—5, 10—15, 22—25, 30
55	27/32	12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39	£>//32	1—5, 15, 26, 27, 31
56	27/32	12, 13, 14, 15, 16, 17, 23, 24, 25, 26, 27, 34, 35, 36, 37, 45, 46, 47	£>//32	1—5, 26, 31
57	Зп//27	12	£>//27	1—3, 6—13
58	37/27	12, 13, 23	£>//27	1—3, 10—13
59	37/27	12, 13, 14, 15	£>//27	1—3, 8, 9
292

Продолжение прилож. VII
3. Оптимальные преобразования равномерных планов
№10 1	[00
1 I -> I 0 1
2 '	110
а)	3 -> 22	* *
б)	3 —► 2	*
№201	[011
1	10	1
2	1 1 0
3	10	0	0
а)	4	->	23	*	*	*
б)	4	->	22	*	*
в)	4	-+	2	*
№ 3 О
1
2
3
О о
О 1
1 о
2 1
а)	4 —► 3X2	* *
б)	4 —► 3	*
№	4 0		0	1	1	1	
	1		•	0	1	1	
	2			1	0	1	
	3		1	1	1	0	
	4		0	0	0	0	
а)	5 -> 24		*	*	*	*	0,90
б)	5 -> 23		*	*	*		0,91
в)	5 -> 22		*	*			0,93
г)	5 -> 2		*				0,96
№	5 0		0	0	0		
	1		0	1	1		
	2	• —► •	1	0	1		
	3		1	1	0		
	4		2	0	0		
а)	5 -> ЗХ 22		*	*	*		0,75
б)	5 -> 3X2		*	*			0,80
в)	5-+3		*				0,90
0,67
0,89
1
1
1
0,60
0,90
№60' 1 2 3 4 5-> З2	• —► 	0 0 1 1 . 2 *	0	
			1 0 2 0 *	0,53
№ 7 0		0	0	
1		0	1	
2	• —>	1	0	
3		2	0	
4		1 3	1	
а) 5 -> 4X2		*	*	0,57
б) 5 -> 4		*		0,91
№801		0	1	0 1 1
1		0	1	1 1 0
2		1	1	0 1 0
3		1	1	1 0 1
4		0	0	ООО
5		1	0	1 1 1
а) 6 -> 26		*	*	# # * 0,83
б) 6 -> 24		*	*	# #	0,85
в) 6 -> 23		*	*	*	0,89
г) 6 -> 22		*	*	0,92
д) 6 -+ 2		*		1
№901		0	0	0 0
1		0	1	1 0
2		1	1	0 0
	—► •			
3		1	0	1 1
4		2	0	1 0
5		2	1	0 1
а) 6 —► ЗХ23		*	*	* *	0,83
б) 6 -> ЗХ22		*	*	*	0,95
в) 6 -> 3X2		*	*	1
г) 6 —> 3		*		1
293

Продолжение прилож. VII
№ 10 0 '
1
2
3
4
5 .
а)	6 -> 32Х 2
б)	6 -> З2
0 0 1
1 О о
О 1 о
2 1 1
1 2 1
.220
* * *
* *
№11 0 '
1
2
3
4
5 .
а)	6 -> 4Х 22
б)	6 -> 4X2
в)	6 —> 4
ООО
О 1 1
1 1 о
1 0 1
2 0 0
3 1 1
* * *
* *
*
№ 12 0 4
1
2
3
4
5
О О
О 1
О 2
1 О
2 1
3 2
6->4ХЗ	* *
№ 13 0 '
1
2
3
4
5 1
О О
О 1
1 О
2 О
3 1
4 1
6 -> 5Х 2	* *
6 -> 5
0,82 0,79	№ 14 0 1 2 3 4 5 6 а)	7 -> 26 б)	7 -> 26	• —>	0 0 0 0 0 0 0 0 1110 0 10 0 1 1 0 1110 0 10 0 10 1 10 10 0 1 .110 0 10 * * * * * * 0,78 *****	0,81
0,67 0,74 0,89	в)	7	->	24	*	*	*	*	0,86 г)	7	->	23	*	*	*	0,91 д)	7	->	22	*	*	0,95 е)	7 -> 2	*	0,98		
	№ 15 0 ' 1 2 3 4 5 6 . а) 7 -> ЗХ б) 7 -> ЗХ в) 7 -> ЗХ г) 7 -> ЗХ‘ Д) 7^3	-►  24 I2	0 0 0 1 1 0 110 0 10 110 110 0 1 2 0 10 1 2 0 0 0 0 .21011 ***** 0,83 *	*	*	*	0,88 *	*	*	0,93 *	*	0,95 *	0,86
0,50			
	№ 16 0 ' 1 2 3 4 5 6 а) 7 -> 32Х б) 7 -> 32Х в) 7 -> З2	22 2	0 0 0 1 6 10 0 0 2 10 10 0 0 1111 2	0	10 .2	2	01 *	*	* *	0,81 *	*	*	0,83 * *	0,82
0,56 0,93			
294

Продолжение прилож. VII
№ 17 0 1		10 2 2
1		1 2 1
2		2 2 0
3		0 1 0
4		2 1 2
5		2 0 1
6		110 0
7 -> З3		* * *	0,75
№ 18 0		10 10 1
1		0 0 10
2		110 0
3	->	10 11
4		2 0 0 0
5		2 110
6		13 10 1
а) 7 -> 4Х23		ф * * :f:	0,70
б) 7 -> 4Х22		#	0,81
в) 7 -> 4X1		& v	0,86
г) 7 -> 4		*	0,91
№ 21	0 I		0	1 0
	1		0	0 1
	2		1	0 0
	3	• —►	1	1 1
	4		2	0 1
	5		3	1 1
	6		. 4	1 0
а)	7 -> 5Х 22	* * *
б)	7	5Х 2	* *
в)	7 -> 5	*
0,62
0,71
0,89
№ 22
№ 19 О
1
2
3
4
5
6
О 0 1
0 2 0
1 О О
1 1 1
2 1 О
2 2 1
3 2 0
а) 7->
№ 23
а)	7 —> 4Х ЗХ 2 * * *
б)	7 -> 4Х 3	* *
0,68
0,68
О О
О 1
1 О
1 2
2 О
3 О
4 О
* *
0,48
№ 20 О 1	10	0
1	1	О
2	О	1
3	->	2	1
4	0	2
5	3	2
6	0	3
а) 7 -► 22	* *
а) 7->
б) 7->
( О О
О 1
1 о
2 О
3 О
4 1
I 5 1
* *
0,55
0,94
0,47
29В

126.	Box G. The effects of errors in the factor levels and experimental de-
sign. — Technometrics, 1963, v. 5, N. 2, p. 247—254.
127.	Box G., Benken D. Some new three level designs for study of quantitative
variables. — Technometrics, 1960, v. 2, N. 4, p. 455—475.
128.	Box G., Draper N. On minimum-point second-order designs. — Techno-
metrics, 1974, v. 16, N. 4, p. 613—616.
129.	Box G., Wilson K- On experimental attainment of optimum condi-
tions.— J. Royal Statist. Soc., 1951, v. B13, N. 1, p. 1—45.
130.	Budue T. Application of random balance designs. — Technometrics.
1959, v. 1, N. 2, p. 499.
131.	Вучков И. Оптимално планиране на експерименталните наследования.
София: Техника, 1978.
132.	Вучков И. Каталог последователно генериране планове. София: Изд.
Высшего химико-технологического института, 1978.
133.	Coehran W., Сох G. Experimental designs. London, Chapman and Hall,
1957, 454 p.
134.	Gordon T., Hayward H. Initial experiments with the cross-impact matrics
method of forecasting. —Futures, 1968, v. 1, N. 2, p. 100—116.
135.	Harrington E. The desirability function. — Industrial Quality Control,
1965, v. 21, N. 10, p. 494—498.
136.	Hartley H. Smallest composite designs for quadratic response surface. —
Biometrics, 1959, v. 15, p. 611—614.
137.	Kiefer J. Optimum designs in regression problems. — Ann. Math. Stat.,
1959, v. 30, p. 271—294.
138.	Kiefer Y. Optimum experimental designs. — J. Royal Statist. Soc.,
1959, v. B21, p. 272—319.
139.	Kiefer J. Optimum designs in regression problems II. — Ann. Math.
Stat. 1961, v. 32, p. 299—325.
140.	Li C. Sequential method for screening experimental variables. — J. Amer.
Stat. Assoc., 1962, v. 57, N. 298, p. 455.
141.	Новик Ф., Арсов Я. Математико-статистически методи за планиране
на експериментите в металознанието и технологията на металите. III. Избор
на параметрн на оптимизацнята. Методи за априорно ранжиране. — Технически
мисъл, 1975, т. 12, № 2, с. 81—86.
142.	Новик Ф. А., Арсов}Я-':Математико-статистически методи за планнра-
не на экспериментите в металознанието и технологията на металнте. IV. Избор
на параметри на оптимизация. Кореляционен анализ. — Техническа мисъл
1976, т. 13, № 1, с. 115—120.
143.	Новик Ф., Арсов Я- Математико-статистически методи за планиране
на експерименте в металознанието и технологията на металите. V. Компромисни
задачи. —Техническа мисъл, 1976, т. 13, № 5, с. 91—98.
144.	Rechtschaffner R. Saturated fractions of 2n and 3n factorial designs. —
Technometrics, 1967, v. 9, N. 4, p. 569—575.
145.	Satterthwaite F. Random balance experimentation. — Technometrics,
1959, v. 1, N. 2, p. 111.
146.	St. John R., Draper N. D-optimality for regression designs: a review. —
Technometrics, 1975, v. 17, p. 15—23.
147.	Westlake W. Composite designs based on irregular of factorials. — Bio-
metrics, 1965, v. 21, N. 2, p. 324—336.
148.	Йонов К., Ванев Б. Експертии оценки. София: Техника, 1977.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................... 3
Введение ........................................................ 5
Глава 1
ПРЕДПЛАНИРОВАНИЕ	ЭКСПЕРИМЕНТА.............................. 13
1.1.	Выбор зависимых переменных................................. 13
1.1.1.	Использование корреляционного анализа................ 15
1.1.2.	Функции желательности................................ 26
1.2.	Выбор независимых переменных............................... 32
1.2.1.	Методы априорного ранжирования....................... 35
1.2.2.	Экспериментальные методы выбора факторов............. 59
Глава 2
ФАКТОРНЫЕ ПЛАНЫ................................................. 60
2.1.	Полный факторный эксперимент для двухуровневых факторов и общие
принципы построения математических моделей.................... 6(’>
2.2.	Дробный факторный эксперимент для двухуровневых факторов. . .	84
2.3.	Полный и дробный факторный эксперимент для многоуровневых фак-
торов ......................................................... 105
2.4.	Проведение эксперимента и статистическая обработка его результатов 119
2.5.	Примеры использования факторных планов для решения задач тех-
нологии металлов............................................... 129
2.5.1.	Использование полного факторного эксперимента 24 с равно-
мерным дублированием опытов................................ 130
2.5.2.	Использование дробной реплики 24-1 с неравномерным дубли-
рованием опытов и крутое восхождение....................... 136
2.5.3.	Использование дробной реплики 28*3 с дублированием опытов
в центре и крутое восхождение.............................. 148
2.5.4.	Использование дробной реплики 27-* при наличии ошибок
в уровнях факторов......................................... 153
2.5.5.	Использование нерегулярной 3/4-реплики от плана 25.. 159
2.5.6.	Использование плана главных эффектов 4 X З2 X 23//16. . .	164
2.5.7.	Использование планов главных эффектов З2 X 22//9.... 175
2.5.8.	Использование факторных планов для отсеивающего экспери-
мента ..................................................... 183
Глава 3
ПЛАНЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА.......................................... 193
3.1.	Общие представления о планах второго порядка.............. 193
3.2.	Симметричные композиционные ортогональные планы........... 204
303

3.3.	Симметричные композиционные ротатабельные планы....... 214
3.4.	Симметричные композиционные планы типа В*............. 224
3.5.	Симметричные некомпозиционные квази-О-оптимальные планы Пе-
сочинского ................................................ 231
3.6.	Симметричные некомпозиционные планы Бокса — Бенкена. . . ,	238
3.7.	Несимметричные почти или полностью насыщенные планы... 245
3.8.	Анализ моделей второго порядка........................ 257
Приложения ................................................ 281
Список литературы.......................................... 296
ИБ № 2703
Феликс Саадиевич Новик
Янко Боянов Арсов
ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ
ТЕХНОЛОГИИ МЕТАЛЛОВ
МЕТОДАМИ ПЛАНИРОВАНИЯ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Редактор Н. С. Сте панченко
Художественный редактор
Ю. Г. Ворончихин
Технический редактор
Л. П. Гордеева
Корректоры Н. И. Шарунина
и О. Е. Мишина
Переплет художника Л. С. Вендрова
Сдано в набор 27.03.80.
Подписано в печать 05.09.80. Т-13353.
Формат бОХЭО1/^. Бумага типограф-
ская № 1. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 19,0.
Уч.-изд. л. 18,0. Тираж 5500 экз.
Заказ 149. Цена 2 р. 60 к.
Издательство «Машиностроение»
107076, Москва, Б-76, Стромынский
пер., 4.
Ленинградская типография № 6 ордена
Трудового Красного Знамени Ленин-
градского объединения «Техническая
книга» им. Евгении Соколовой Союз-
полиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
193144, Ленинград, ул. Моисеенко, 10.