Автор: Меркулов В.И. Канащенков А.И.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника радиолокация радиотехника авиация радиоуправление
ISBN: 5-93108-035-Х
Год: 2003
Похожие
Текст
tt ИО"'It .
..
CI1C7i ..,..
El.tw РАДИОYf1рAl\J'
+
1: 1 Ц НН IE
CТEMbl
· 1 П · 1 ВЛЕН
.
" \
Том 1
Принципыпостроения
систем радиоуправления.
'сновы синтеза и анализа
\
\
"
" \
,
"
,
.
'"
\ '-
Р A.qИ НИ КА
Авllаqllоииь.е Сllстемы
paAlloynpaВJIeHIIR
в 3-х томах
Под редакцией
А. и. Канащенкова и В. и. Меркулова
Том 1
Принципы построения систем радиоуправления.
Основы синтеза и анализа
Том 2
Радиоэлектронные системы самонаведения
ТомЗ
Системы командноrо радиоуправления.
Автономные и комбинированные системы наведения
ТОМ 1
пpIIнllllnы nocтpoeнlUl
CIICТ8II paдIIOynpaВlleHIUI.
ocIloвы CIIнreзa 11 8Н8Jl1I38
1IocII8, ..,.....yt- -ara " J 2003
. {/
',,' I
" :}
' '
\}
. ,:. \ .
I
,. I
УДК 629.7.058.53
"75
ББК 32.95
1'"
Серия "АвиаЦИОlIные системы раДИОУllравления"
Редакционная коллеrия:
rлаВIIЫЙ рсдактор Д.Т.Н., проф. А. И. Канащенков
зам. rлаВllоrо редактора К.Т.Н., проф. В. И. Меркулов
члены рсдколлсrии: д:r.Н., проф. В. Н. Антипов; Д.т.н., проф. А. И. Перов;
Д.Т.Н., проф. И. С. Рыжак; Д.Т.Н., проф. В. Н. Саблин; С.Н.С., К.Т.н. О. Ф. Самарин;
Д.Т.Н., проф. Б. r. Татарский
Меркулов В. Н., Дроrалин В. В., КанащеllКОВ А. Н., ЛеПllI1 В. Н.,
Самарин о. Ф., Соловьев А. А.
" 75 Авиационные системы радиоупраWlения. Т. 1. ПРИIIЦИПЫ постросния
систем радиоуправлсния. Основы Сlllfrеза и анализа / Под ред. А. И. KaHa
и eHKOBa и В. И. Меркулова. М.: "Радиотехника", 2003. 192 С.: ил.
ISBN 5 931 08 035 x
В книrе изложеllЫ общие закономерности функционирования авиационных сис
тем радиоуправлеНIIЯ и современные алrоритмы их синтеза и аllализа, основанные
tla представлснии процессов и систем в MlloroMeplloM пространстве состояний.
Д,1Я lIH:J/ceHepoB 11 научных работников, связаНlIbLХ с IlроеЮnllроваНlIе.М 11 ЭКСIL'lуа
таЦllей систе.." радиолокации 11 радllОУllравления. MO:JlCelп быть 1I0леЗllа 1lре1l0да
вателя.м, aC1lllpaHI11aAI и студентам радиотехничеСКlIХ (/JQкультетов вузов.
, ;
IIIt. '..I .,i.
; .
r
;' t ... '.::
{ k;
, '.
i ",. ; .,
""""
if, ..
· -. 'r' f 'J
';:..... L. ?
::0: " :o.J J I
."' J !
.
- , l' !
. ;.';"1 /
.96%6/
. .
УДК 629.7.058.53
" 75
ББК 32. 95
ISBN 5 931 08 035 x
(Q Авторы, 2003
Радиотехника,оформление,2003
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ................................................................................................. 6
В вед е н и е ....................................................................................................... 8
rJlaBa 1. Общие сведеllИЯ об авиаЦИОlIlIЫХ РЭСУ ............................. 15
1.1. Классификация авиационных РЭСУ ..................................... 15
1.1.1. Неавтономные РЭСУ ...................................................... 16
1.1.2. Автономные РЭСУ ......................................................... 17
1.1.3. Комбинированные РЭСУ ............................................... 18
1.2. Этапы функционирования РЭСУ ........................................... 20
1.3. Режимы управления летательными аппаратами .................. 24
1.4. Эффективность РЭСУ ............................................................. 28
1.4.1. Критерии и показатели эффективности РЭСУ ............ 28
1 .4.2. Интеrральные квадратичные функционалы
ка ч ества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
1.4.3. Эффективность РЭСУ на этапе дальнеrо
н а вед е н ия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 3
1.4.4. Эффективность РЭСУ на этапе ближнеrо
н а веде н ия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.5. Эффективность РЭСУ на этапе наведения ракет ........ 38
1.4.6. Эффективность РЭСУ на :этапе бомбометания ............ 41
rJlaBa 2. Общие сведения о COBpeMellHLIX "1етодах
СИII"rеза и аllализа РЭСУ ......................................................................... 44
2.1. Методы синтеза РЭСУ в пространстве состояний ............... 44
2.1.1. Постановка задачи синтеза оптимальноrо
управлен ия .... ................ .... ....... ... .... ....... ....... ..... . ........ .... 5 О
2.1.2. Необходимые условия синтеза РЭСУ ........................... 55
2.1.3. Условия упрощения синтеза РЭСУ .............................. 59
2.2. Методы анализа РЭСУ в пространстве состояний ............... 60
rлава 3. СИlIтез ОllтимаJIЫIЫХ РЭСУ ................................................... 65
3.1. Метод динамическоrо проrраммирования ........................... 65
3.2. Алrоритмы управления, оптимальные в постановке
Л ёто Ba Кал м ана .............................................................................. 68
3.3. Алrоритмы управления, оптимальные по локальному
критерию ......................................................................................... 72
3
3.4. Учёт измеряемых возмущений при локальной оптимизации
дискретн ых с и сте м ......................................................................... 74
3.5. Оптимизация коэффициентов штрафов функционала
ка ч еств а ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 б
3.5.1. Оптимизация коэффициентов штрафов
функционала качества для аналоrовых систем ........... 7б
3.5.2. Оптимизация коэффициентов штрафов
функционала качества для дискретных систем ........... 79
3.б. Алrоритмы линейноrо оценивания ....................................... 82
3.6.1. Алrоритмы оптимальной линейной фильтрации ........ 82
3.б.2. Алrоритм оптимальной экстраполяции ........................ 85
3.6.3. Алrоритмы идентификации параметров систем
и про Ц е с с о в . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.7. Алrоритмы адаптивной фильтрации ..................................... 92
3.7.1. Алrоритм совместной фильтрации и параметрической
иденти Ф и каци и . .. . .. . . . . . .. . . .. . . . . . . . .. . . . .. . . .. . .. .. .... . . . . . . .. . . . . ... . . . . 93
3.7.2. Алrоритм адаптивной фильтрации с коррекцией
коэффициента усиления невязки .................................. 97
3.7.3. Алrоритм адаптивной фильтрации с оптимальной
коррекцией проrноза ...................................................... 99
3.8. Адаптивная аналоrо дискретная фильтрация ..................... 101
3.9. Обобщённые структурные схемы оптимальной РЭСУ ..... 103
rлава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ РЭСУ .............................................................. 107
4.1. Устойчивость мноrомерных динамических систем ........... 107
4.2. Устойчивость и расходимость оптимальных фильтров .... 110
4.3. Предотвращение расходимости оптимальных фильтров.. 117
4.4. Устойчивость оптимальных контуров управления ............ 122
rлава 5. ТОЧНОСТЬ РЭСУ ...................................................................... 12б
5.1. Классификация ошибок управления и показатели
точности ........................................................................................ 12б
5.2. Причины появления ошибок управления и про махов ....... 129
5.2.1. Влияние метода наведения и динамических
свойств объекта управления и цели на точность
наведения ...................................................................... 129
5.2.2. Влияние ошибок измерителей на точность
управления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4
5.2.3. Влияние обтекателей антенн на точность
радиолокационных измерителей и устойчивость
систем наведения .......................................................... 136
5.2.4. Влияние уrловых шумов на точность РЭСУ ............. 139
5.3. Влияние бортовых вычислителей на точность
функционирования РЭСУ ............................................................ 143
5.3.1. Виды ошибок, возникающих в бортовой
вычислительной системе при решении задач РЭСУ. 143
5.3.2. Представление чисел в арифметических
устройствах и реrистрах процессоров ........................ 146
5.3.3. Ошибки реализации численных алrоритмов ............. 148
5.3.4. Ошибки, обусловленные квантованием по времени
и запаздыван ием ........................................................... 153
5.3.5. Требуемые показатели вычислителей ........................ 155
5.4. Потенциальная точность оптимальной РЭСУ .................... 158
5.5. Методика приближенноrо анализа РЭСУ на точность...... 161
5.5.1. Методика расчёта динамических ошибок РЭСУ .......... 162
5.5.2. Методика расчёта флуктуационных ошибок РЭСУ ...... 164
r лава 6. ЧувствитеЛЫIОСТЬ РЭСУ ...................................................... 167
6.1. Общие сведения о чувствительности РЭСУ ....................... 167
6.2. Интеrpальная чувствительность контура управления,
оптимальноrо по локальному критерию ............................. 171
6.3. Чувствительность информационных контуров РЭСУ ....... 181
Литература . . . . . . . .. . . ..... . . . .. . . .... .. . . . . . ... . . . . . . . . . .. ... . . . .. . . ... . . . .. ..... . .. . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . 187
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Уважаемый читатель! Вашему вниманию предлаrается том 1
трехтомной моноrрафии «Авиационные системы радиоуправления»,
являющийся вторым переработанным и дополненным изданием книrи с
аналоrичным названием (1997 и 1998).
За rоды, прошедшие после выпуска первоrо издания были обоб
щены и подrотовлены к изданию новые материалы, часть из которых
была написана по просьбе читателей.
В томе 1 "Принципы построения систем радиоуправления. OCHO
вы синтеза и анализа" излаrаются общие сведения о радиоэлектронных
системах управления летательными аппаратами, как разновидности
сложных, MHoroMepHbIx информационно управляющих систем, постро
енных по иерархическому принципу. На основе математическоrо аппа
рата статистической теории оптимальноrо управления (СТОУ) paCCMaT
ривается современная теория синтеза и анализа оптимальных и квазиоп
тимальных алrоритмов обработки информации при представлении про
цессов и систем в MHoroMepHoM пространстве состояний. Алrоритмы
этой теории позволяют синтезировать законы управления летательными
аппаратами и алrОРИТ IЫ обработки информации, совместно наилучшие
по критерию «точность экономичность» с учетом реальных оrраниче
ний на быстродействие исполнительных opraHoB и сиrналы управления.
По сравнению с предыдущим изданием добавлены материалы по теории
синтеза дискретных систем, алrоритмам адаптивной и аналоrо дискретной
фильтрации, нашедшие применение в практике разработки авиационных
систем радиоуправления. Кроме Toro переработан материал, в котором pac
сматривается влияние бортовых вычислителей на точность Функциониро
вания радиоэлектронных систем управления в целом.
Необходимо отметить, что из orpoMHoro числа известных алrо
ритмов СТОУ в книrе рассматриваются только те, которые будут ис
пользованы в моноrрафии при синтезе и анализе систем радиоуправ
ления различноrо назначения и их составных частей.
Том 2 "Радиоэлектронные системы самонаведения" посвящен
особенностям построения, (рункционирования, а также синтеза и анали
за радиоэлектронных систем самонаведения, рассматриваются COBpe
менные и перспективные методы самонаведения самолетов и ракет, ал
rоритмы функционирования радиолокационных измерителей, обеспе
чивающих различные методы наведения, и алrоритмы формирования
сиrналов управления летательными аппаратами. При этом оптимальные и
6
ква'3иоптимальные алrоритмы функционирования радиоэлектронных сис
Te 1 самонаведения и их составных частей синтезируются и анализируются
на основе математическоrо аппарата СТОУ, paccMoтpeHHoro в первом томе.
Основное внимание уделено синтезу перспективных алrоритмов тpaeктop
Horo управления самолетами и ракетами, а также MHoroKoHтypHbIX радио
локационных измерителей, позволяющих обеспечить высокие точность,
быстродействие и устойчивость сопровождения интенсивно маневрирую
щих объектов в режимах непрерывной пеленrации и одновременноrо co
про вождения нескольких целей. По сравнению с первой редакцией в Hero
добавлен материал по синтезу ОПТИМ,U1ьных методов наведения самолетов
и ракет на наземные объекты в систеl\lах с активным и полуактивным син
тезирuванием апертуры антенны и их чувствительности 1< точности исполь
зуеl\1ЫХ измерителей, принципам построения и особенностям Функциони
рования информационно вычислительных систем авиационных противо
корабельных ракет; включены три новых rлавы, rде рассматриваются про
цедуры оценивания дальности и скорости по уrломерным данным при
функционировании радиолокационной системы в пассивном режиме; оп
тимизация процедур обработки информации при определении фазовых
координат абсолютноrо движения воздушных целей; вопросы построения и
особенности функционирования бортовых вычислительных систем.
Том 3 "Системы командноrо радиоуправления. Автономные и
комбинированные системы наведения" посвящен систе 1ам командноrо
радиоуправления и автономным и комбинированным системам HaBeдe
ния. В нем значительно расширены rлавы, в которых рассматриваются
проблемы обеспечения маловысотноrо полета и коt\lбинированные сис
темы наведения на назе fные объекты.
Книrа написана на основе материалов открытой отечественной и
зарубежной литературы и исследований авторов. Используемый MaTe
матический аппарат и объем знаний по радиоэлектронике, необходимый
для понимания содержания книrи, не выходят за пределы проrрамм pa
диотехнических ВУЗов. Моноrрафия рассчитана на инженеров и науч
ных работников, связанных с проектированием и 1ксплуатацией систем
радиолокации и радиоуправления. Она будет полезна аспирантам.. cтy
дентам и преподавателям радиотехнических ВУЗов.
Труд по написанию книrи распределился среди авторов следую
щим образом: предисловие А.И. Канащенков, введение, *5.1, 5.2 и
rлава 6 В.И. Меркулов, rлава 2 В.Н. Лепин, rлава 1, кроме п. 1.4.6.,
rлава 4 А.И. Канащенков и В.И. Меркулов, rлава 3 и **5.4, 5.5
В.И. Меркулов и В.В. Дроrалин, 95.3 О.Ф. Самарин и А.А. Соловьев,
п. 1.4.6. А.С. Боrачев.
7
ВВЕДЕНИЕ
АвиациОНllые радиоэлекmРОllные Сllсmелtы управленuя (РЭСУ),
U./\leHyeAtble lпaKJICe cllclпeAtaAllI радиоуправления, представляют собой
совокупНОС111Ь (рУНКЦllОllаЛЫIО связанных систел, (подсиСlпе.lИ) и ycт
РОйС111в, обеспечиваЮlцих с 110J110UIЬЮ радиосредСl1zв управление са.моле
lпо/и и е20 оборудоваfluеАI. В общем случае под управлением понимается
совокупность действий по целенаправленному изменению состояния
HeKoToporo объекта, называемоrо объектом управления (ОУ) [38]. Цe
лью управления является желаемый результат, который должен быть
достиrнут в процессе этой акции. Основное назначение РЭСУ самоле
lпОАl и е20 0pYJlcueAI пopaJ/ceuue воздУUIUblХ, 1IазеJ\tНЫХ и морских объ
ектов. Процесс управления са.молетОАt и оружие.kt, КОllеЧНblАt резулы1а
1110.1\-1 которосо являе111СЯ пOpaJICellue цели, иН02да называl0т llаведениеАl,
а Сllсте.мы, реализующие этОlп процесс, систеА1аА1и llаведения.
Необходимо отметить, что для реализации управления следует
затратить определенную энерrию. Энер20еАtКОСlпь РЭСУ являеlпся oд
HllA1 из основных I1ризнаков, который выделяет их из дРУ2их типов pa
диоэлектРОIIНЫХ cиc111eAt (РЭС), и.АlеЮlцих суzубо иНфОрА1аЦИОНllУ10 Ha
правленность. В 1110 Jlce вреАtЯ от друzих видов систеА" управления
РЭСУ опlЛllЧlll0тся lпeJH, '-11110 без использования Ufl(рорАtацuu, uзвлекае
J1tOii радuоэлеКlпРОННЫА1U датЧllкаАtи llЗ радиОСUZ/lалов, процесс Yl1paв
ле1lия са.молеmО)\l uли ракеl110Й с lпребуеЛtОЙ lпОЧflосп1ЫО сmа1l0вuп1СЯ
llевОЗАtОЖНblJ1t. Друrие отличительные свойства РЭСУ, выделяющие их
в специфический вид информационно управляющих систем, будут упо
мянуты В процессе рассмотрения их состава и особенностей функцио
нирования.
В общем случае в состав авиационной РЭСУ входят летательный
аппарат (самолет или ракета) как объект управления, информационно
вычислительная (ИВС) и управляющая (УС) системы (рис. В 1).
:Х ц
:Х Т
y
А
УС
6 р
ЛА (ОУ)
:Ху
РIIС. В 1
8
СовОКУl1НОСl11Ь napaAlenlpOB, хараКI11еРUЗУ/О lIих СОСnlОЯ1lllе рэсу,
иазываl0nl (jJцзовЫАIU коордllllQlпалtи. Необходимо отметить, что JTO по
нятие включает не только координаты пространственноrо положения,
но и 1!юбые друrие параметры, позволяющие оценить состояние систе
мы: уrлы визирования цели, атаки, крена, скольжения летательноrо ап
парата, линейные и уrловые скорости и ускорения и Т.д.. Для сокраще
ния записей фазовые координаты абсолютноrо и относительноrо Дви
жения цели объединяют в вектор Х ц состояния цели. Состояние объекта
управления (самолета или ракеты) оценивается набором координат, co
ставляющих вектор ХУ' Здесь подстрочный индекс «у» учитывает то об
стоятельство, что JТИ фазовые координаты управляемы. Вектор Х т , оп
ределяющий цель управления, состоит из набора координат требуемой
q)азовой траектории. Совокупность всех векторов Х ц , Ху и Х Т образует
т
обобщенный вектор х = [x х; x ] состояния РЭСУ. Воздействие на
РЭСУ случайных возмущений учтено на ее структурной схеме BeKTopa
ми Y и II' представляющими соответственно возмущения объекта
управления и шумы измерений.
Эффективность РЭСУ во MHoroM определяется проrраммным обес
печением, которое представляет совокупность законов обработки инфор
мации и управления, заложенных в ИВС наиболее сложную и BЫCOKOOp
rанизованную часть РЭСУ. Информационно вычислительная система, в
состав которой входят датчики информации (измерители) и вычислители,
осуществляет информационное обеспечение процесса управления. Cyrb
этоro процесса в конечном счете сводится к преобразованию векторов co
стояния цели Х ц , объекта управления Ху и требуемоrо движения xr в Bel\fOp
параметров рассоrласования, непосредственно воздействующих на УС.
По cBoewy САlblСЛУ napaAte111pbl рассоzласования явля/отся фУНКЦWlAIU пeco
ответС111вuя требуемых и аНШlОZUЧ/JЬLX nlек)'UIИХ зиаченuй этих координат.
В зависимости от типа РЭСУ требуемые координаты х. п (i = 1, п) можно
вводить в память вычислителей ИВС перед полетом, формировать непо
средственно в ИВС в процессе наведения либо передавать на летательный
аппарат (ЛА) извне, например с наземноrо или воздушноrо пунктов управ
ления. В последнем случае часть аппаратуры ИВС размещается на борту
ОУ, а часть на пункте управления.
Необходимо отметить, что формирование параметров рассоrла
сования заключительный Jтап решения целоrо ряда друrих задач. К
наиболее важным из них относятся: анализ условий применения; Опти
мизация сиrнала подсвета цели и метода наведения; определение COCTa
9
ва и алrоритмов (рункционирования измерителей (датчиков ин<l)орма
ции); формирование оценок фазовых координат, необходимых для pea
лизации выбранноrо метода наведения; идентиq)икация (оценка) пара
метров РЭСУ и уточнение результатов анализа условий прим нения.
Следует подчеркнуть, что деление на указанные задачи условно и HeKO
торые из них решаются совместно в процессе Bcero функционирования
РЭСУ одновременно с формированием параметров рассоrласования.
Например, анализ условий применения осуществляется постоянно и
сопровождает решение всех друrих задач. Обычно в начале анализа
осуществляются поиск, обнаружение и селекция целей, определение их
rосударственной принадлежности и типов, а также ракурсов целей и
относительных высот их полета. Результаты этих операций позволяют
выбрать наилучший сиrнал подсвета цели (СПЦ) и наиболее оптималь
ный по тому или иному критерию метод наведения. Под А,tетодОАt Haвe
денuя пОIlLl.А1аепzся закон Uзлtенения во flpeAteHU lnребуеАtЫХ (Разовых KO
ординат, КVlnОрЫЙ дОJl:JIсен обеспечить выполнение целев020 назначенuя
РЭСУ Обоснование метода наведения и СПЦ дает возможность опре
делить состав и алrоритмы функционирования датчиков информации.
При реализации современных методов наведения достаточно час
то требуется знать фазовые координаты, не поддающиеся непосредст
венному измерению (например, поперечные ускорения цели, уrловые
скорости линии визирования и друrие). Действенным приемом получе
ния интересующих сведений является использование алrоритмов опти
мальной фильтрации [62] и оптимальноrо управления [29]. Для их pea
лизации необходимы априорные сведения в виде моделей векторов co
стояния Х ц , ХУ' измерителей и законов распределения действующих воз
мущений. Обычно эти сведения используются в ИВС и УС (см. рис. В1).
В процессе полета в результате маневрирования целей, выработ
ки топлива, изменения конфиrурации и маневрирования ОУ коэффици
енты априорных моделей MorYT существенно изменяться, что приведет
к снижению точности алrоритмов фильтрации и управления. В связи с
этим целесообразно использовать алrоритмы идентификации [10, 25],
позволяющие формировать оценки параметров РЭСУ по результатам
измерений тех или иных фазовых координат. С помощью этих алrорит
мов можно также определять тип целей и виды радиопомех.
I-Iаличие точных оценок фазовых координат и параметров РЭСУ по
зволяет в результате дальнейшеrо анализа распознать наиболее опасные
цели, уточнить их тип, выделить конкретные цели в rpуппе. Кроме Toro,
принимаемые сиrналы непрерывно анализируются ИВС на их принадлеж
ность цели, земле или постановщику помех. При появлении последних
10
анализаторы иве идентифицируют их тип, после чеrо изменяются па
раметры СПЦ либо включаются специальные средства помехозащиты.
Следует отметить, что рассмотренный перечень задач, решаемых
ИВС, является обобщенным и в конкретных типах РЭСУ может не pe
шаться полностью. Решение перечисленных 1адач позволяет формиро
вать параметры рассоrласования, обеспечивающие управление, наи
лучшее по тому или иному критерию. Для бортовых систем управления
наиболее употребителен критерий «точность экономичность». Продук
тивным направлением формирования законов q)ункционирования
РЭСУ, совместно наилучших как по точности управления, так и по ми
нимуму энерrетических затрат на управление в условиях заданных or
раничений на диапазоны отклонения рулей, допустимые переrрузки и
быстродействие исполнительных opraHoB, является использование ал
rоритмов статистической теории оптимальноrо управления.
В обu{еАt случае ИВС КОАtплеКСllая иерархическая CиCIJZeAta, 1110
еСll1Ь в ее сосп1ав входят даl11чuки различной (jJlIзической природы, 06ъe
дине1lные в совлtеСl11НО (РУIlКЦUОIlUРУЮlцuе сруппы, которые по VfпHOlue
НИ10 к ИВС исра/от роль подсисп1еАl. Однако основными источниками
информации в ИБС РЭСУ являются радиоэлектронные датчики (РЭД).
Чаще Bcero в качестве РЭД используются радиовысотомеры, доплеров
ские измерители скорости и уrла сноса (Дисс), измерители дальности,
скорости сближения и уrловых координат целей. При этом радиоэлек
тронные измерители, как правило, объединяются в составе радиолока
ционных систем (РЛС) или радиолокационных rоловок самонаведения
(prC) различноrо назначения. Наряду с РЛС (prC) в состав ивс MorYT
входить и альтернативные им оптоэлектронные системы. Кроме Toro,
ИВС обязательно включает так называемые автономные датчики пара
метров собственноrо движения ОУ: акселерометры, измеряющие ли
нейные ускорения; позиционные и скоростные rироскопы, с помощью
которых измеряются уrлы танrажа, курса (рыскания), крена и их произ
водные; датчики уrлов атаки, воздушной скорости и барометрические
высотомеры. Автономные датчики также MorYT объединяться в COBMe
стно функционирующие rруппы, к которым относятся системы KYpco
вертикали (СКБ) и системы воздушных сиrналов (СВС).
Ко.мплексный характер ИВС обусловлен следУl0z,ци.мu пРUЧllllаАtи:
необходимостью получения информации опараметрах собственноrо
движения, которая наиболее просто и с высокой точностью обеспечива
ется автономными датчиками; принципиальной возможностью форми
рования оценок некоторых фазовых координат (например, уrловой CKO
рости линии визирования) только в процессе совместной обработки pe
1 1
зультатов измерений раДИОJлектронных и автономных датчиков; целе
сообразностью повышения точности, устойчивости и помехозащищен
ности РЭД за счет использования сиrналов коррекции, формируемых
автономными датчиками; возможностью решения задач управления (Ha
ведения) несколькими способами путем использования различных Me
тодов наведения на основе информации от датчиков различной физиче
ской природы.
Иерархический способ построения ИВС позволяет существенно
сэкономить аппаратурные и алrоритмические затраты и повысить Ha
дежность ИВС в целом.
Функционирование РЭД в составе ИВС РЭСУ обусловливает ряд
особенностей, выделяющих их среди РЭС, работающих независимо.
Являясь частыо системы управления, РЭД во MHoroM определяют эф
фективность всей РЭСУ, в частности, такие важные показатели как
дальность действия, устойчивость и точность наведения, помехозащи
щенность, экономичность и надежность. В связи с этим такпlИКО lпех
lIuческие покаЗQlпеЛLl РЭД lIельзя выбирать проuзволыl,' а следуепl обя
запlе.'lЫIО увязаlпь с показаlпеЛЯАIU друzuх COCl11aBUblX частей РЭСУ,
Чl110бы обеспечить иаuвЫСlUУЮ ее эФqJекпluвНОСlпь в цеЛОА't.
Все датчики ИВС объединяются в единую информационную сис
тему на основе вычислителей, в качестве которых, как правило, исполь
зуются ЭВМ различноrо назначения. С помощью одноrо из видов ЭВМ
осуществляется обработка сиrналов в составе первичных датчиков ин
формации. Наиболее сложными из этих ЭВМ являются процессоры об
работки радиолокационных сиrналов. Второй вид вычислителей (так
называемые процессоры обработки данных) позволяет вычислять oцeH
ки параметров РЭСУ, фазовых координат, необходимых для реализации
выбранных методов наведения, и параметры рассоrласования, COOTBeT
ствующие этим методам. Третий вид диспетчеры, которые анализи
руют условия применения, принимают решения и управляют режимами
работы РЭСУ и отдельных ее подсистем и устройств. Если в управле
нии самолетом и ero оружием принимает участие летчик (оператор), то
в состав ИВС входит и система индикации. На индикаторах этой систе
мы отображается различноrо рода информация, необходимая летчику
(оператору) для формирования управляющих сиrналов. Следует OTMe
тить, что в такой ситуации летчик частично выполняет функции как
ив С, так и управляющей системы.
Управля/ощая систе.ма nреобразуеlп nара.ме111рЫ раССО2ласоваllUЯ
Ll j (j = 1, r) в опlКJlонения b pj рулевых орсанов. В процессе преобразова
12
ний учитывается априорная информация о динамических свойствах ис
полнительных opraHoB и caMoro ОУ, максимально допустимых пределах
отклонения рулевых opraHoB и изменения тех или иных q)азовых KOOp
динат и параметров РЭСУ.
Наряду с отклонениями opraHoB управления УС, называемая в
самолетах системой автоматическоrо управления (САУ), а в ракетах
системой управления ракетой (СУР), с помощью специальных подсис
тем обеспечивает автоматическое выполнение тех или иных режимов
полета, решает задачи стабилизации ЛА, повышения устойчивости, or
раничения по переrрузкам и Т.д. При решении всех этих задач парамет
ры САУ и СУР оптимизируются с учетом влияния ивс и ОУ так, чтобы
обеспечить наивысшую эффективность РЭСУ в целом.
В общем случае отклонения рулей должны быть такими, чтобы ЛА
наилучшим (оптимальным по какому либо критерию) образом обеспечивал
выполнение цели управления. Необходимо отметить, что ПА как объекпz
управления maK:J/ce представляеlп собоЙ СЛОЖIIУ'О lIераРХllчеСКУlО cucпleAIY,
в состав котороЙ входят ClIC111eAtbl II устрОЙСl1zва, заllllЛlаl0tцuе подЧUllен
ное пОJlож'енuе. К ним можно отнести системы опосредованноrо и непо
средственноrо управления подъемной и боковой силами, системы демпфи
рования упруrих колебаний, двиrатель и системы ero управления и обеспе
чения топливом и Т.д. Кроме Toro, в полете MOryr изменяться и конq)иryра
цИЯ ЛА, и ero масса, и упрyrие свойства, и режимы работы двиraтелей. При
зтом параметры caMoro ОУ ОПТИМИЗИРУIОТСЯ с учетом обеспечения наи
лучшей динамики полета, достижения наивысшей эффективности РЭСУ в
целом и их влияния на ивс и УС. Например, при выборе формы самолета
F 117 учитывалась не только необходимость решения задач динамики по
лета, но и снижения радиолокационной заметности. При расчете парамет
ров упрyrих колебаний самолетов принимались во внимание как прочность
корпуса, так и влияние этих колебаний на РЭД с коrерентной обработкой
радиосиrналов.
Изменения параметров УС и JIA как объекта управления в процессе
полета учитываются специальными обратными связями ОУ с ИВС и УС, а
также УС с ИВС, что позволяет улучшить показатели системы в целом.
Рассмотренные особенности построения РЭСУ позволяют cдe
... ... ...
лать вывод, что она является СЛО:J/СНОU А'IНО20уровllевоu lIерархuческоu
A11102oAlepllOzl cucпleAtOzl, (РУlIкциОllllроваlluе КО1110рОЙ ОСllоваllО па иc
пользовании разнообразных (jJuзuческuх приllЦllllов. Сложность системы
обусловлена необходимостью решения наиболее ответственных задач
различными способами. Иерархический принцип построения системы
позволяет обеспечить экономию аппаратурных и алrоритмических за
13
трат. Отсюда следует необходимость системноrо рассмотрения РЭСУ,
oCHoBaHHoro на едином подходе ко всем ее составным частям с учетом
их взаимноrо влияния друr на друrа и на систему в целом. Необходи
мость системноrо подхода требует знания всех сложных научно
технических направлений, положенных в основу функцион рования
ИВС, УС и ЛА. В дальнейшем вопросы, не относящиеся к радиоэлек
тронике, будут освещаться с максимально возможными упрощениями с
тем, чтобы, не искажая принципиальной стороны, сделать их доступ
ными для радиоспециалистов.
РЭСУ является энерrоемкой системой с высоким уровнем инте
rрации и автоматизации на всех уровнях иерархической структуры. В
связи с этим ниже будет уделено достаточно большое внимание особен
ностям функционирования комплексных (комбинированных) систем и
освоению алrоритмов оптимизации РЭСУ на основе сложных показате
лей эф( ективности, учитывающих наряду с друrими и требования эко
номичности.
Специфическая особенность РЭСУ высокая степень неопреде
ленности условий функционирования, обусловленная сложными зако
нами перемещения целей, большим разбросом высот, дальностей и CKO
ростей применения, большим числом разнообразных по своей природе
возмущений, включая и преднамеренные радиопомехи. Наличие такой
высокой неопределенности предопределяет необходимость изучения
чувствительности РЭСУ к условиям применения.
Несомненными достоинствами РЭСУ являются: возможность BЫ
полнения своих функций в любое время rода и суток, при любых MeTeo
условиях; большая дальность действия и высокая точность. Существен
ный недостаток РЭСУ низкая помехозащищенность, обусловленная
использованием радиоканалов.
В заключение отметим, что в некоторых типах самолетных РЭСУ
ИВС называют cиCn1eA10Ll управления BoopY:Jlceиuehl и обороноЙ (СУВО).
Иноrда дЛЯ ИВС используют термин прицельная либо обзориО llрll
цельная сиСnlе.ма (ОПС), а совокупность ИВС и СА У часто именуют
прuцельно нави2ачиОННbl.М КО.Мl1лексо.м (ПНК) или I1рuцеЛЬНО lIавU2а
ЧUОflllОЙ сuсmелtОй (ПНС).
14
rЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
ОБАВИАЦИОННЫХРЭСУ
1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ АВИАЦИОННЫХ РЭСУ
Классификация РЭСУ как сложных систем может быть проведе
на по очень большому количеству признаков. Будем класси(рицировать
их по наиболее характерным признакам ЛА, УС и ИВС, имеющим
принципиальное значение для всей РЭСУ.
По виду леmаmеЛЬНО20 аппарапlQ НОСLl1пеJlЯ различают РЭСУ ис
требителей, бомбардировщиков, ракет «воздух воздух» (<<B B») И «воз
дух поверхность» (<<в п»), дистанционно пилотируемых летательных
аппаратов (ДПЛА) и воздушных мишеней. Из них наибольшее внима
ние будет уделено системам радиоуправления истребителями и paKeTa
ми «B B», поскольку именно для них характерны наиболее сложные
траектории целей и ОУ и именно к их массоrабаритным показателям
предъявляются наиболее жесткие требования. Следует подчеркнуть, что
в последнее время все большее распространение получают РЭСУ MHO
rоФункциональных самолетов [7], которые способны выполнять и функ
ции истребителя и штурмовика и бомбардировщика.
По сmе11епи авпl0.маmизации I1роцесса управления (режимам рабо
ты УС) и участия в нем летчика (оператора) различают РЭСУ с ручным,
полуавтоматическим (директорным) и автоматическим управлением.
При этом в РЭСУ пилотируемыми самолетами MorYT использоваться
все три режима работы.
По способа.м и llспl0чниКQАl полученuя UH(jJOpAtatIUи РЭСУ подраз
деляются на неавтономные, автономные и комбинированные. К HeaBTO
номным относятся РЭСУ, В которых хотя бы часть информации, необ
ходимой для формирования параметров рассоrласования, извлекается из
радиосиrналов, поступающих от цели или пункта управления либо oд
новременно и от цели, и от пункта управления. В автономных системах
параметры рассоrласования формируются на основе инq)ормации о соб
ственном движении, получаемой от своих датчиков без контакта с цe
лью или пунктом управления. Комбинированные РЭСУ представляют
совокупность автономных и неавтономных систем.
15
1.1.1. НЕАВТОНОМНЫЕ РЭСУ
Среди неавтОllО.МНЫХ РЭСУ выдеЛЯlоп1 cucпlehtbl саА1lонаведеиия
(ССН) , системы КОklандН020 радиоуправления (СКРУ), CUCmeJ1tbl Yl1paв
ленuя по радиозоне (С УРЗ) , UAteHyeMble maK:JlCe cucme.MaA'tU управления
по радиолучу, и cMez,uaHllble СИСlпеJ1tы. В радиоэлектронных ССН инфор
мация о фазовых координатах относительноrо движения, необходимая
для формирования параметров рассоrласования, извлекается из радио
сиrналов, поступающих от цели. При самонаведении самолетов и ракет
эти сиrналы обрабатываются соответственно бортовой радиолокацион
ной станцией (БРЛС) и prc, входящими в состав ИВС РЭСУ.
В свою очередь, радиоэлектронные ССН подраздеЛЯlотся на aK
тивные, полуактивные и пассивные. В активных ССН передатчик (ис
точник СПЦ) И приемник размещаются на ОУ, в то время как в полуак
тивных системах передатчик размещается на пункте управления (ПУ), а
приемник на наводимом ЛА. Например, передатчик СПЦ может раз
мещаться на истребителе, а приемник на ракете «B B», наводимой на
цель. В пассивных ССН источником радиосиrналов являются РЭС, pac
положенные на самой цели. В связи с этим на ОУ размещается только
приемник. Достоинство.А! радиоэлектронных ССН является высокая
точность наведения как на 110дви:JIсные, так и на неподвU:JIсные цели.
Поэтому такие системы широко применяют для наведения самолетов и
ракет как на наземные (надводные), так и на воздушные, в том числе и
высокоманевренные, цели. Общий недостаток радиоэлектронных ССН
низкая помехозаtциtценность.
В СКРУ для наведения иС110льзуюпl КОЛ1анды, передаваеАtые на
борт ОУ с ПУ специальны.ми радиоси2налаАtи по КОАtfандной радиолинии
управления (КРУ). Эти радиосиrналы содержат информацию либо непо
средственно опараметрах рассоrласования, либо о требуемых значени
ях фазовых координат, используемых при вычислении параметров pac
соrласования. Пункт управления может размещаться как на земле, так и
на самолете. При этом измерители (датчики информации) MOryT полно
стью размещаться на ПУ (СКРУ перв020 вида) либо частично на ПУ,
частично на борту ОУ (СКРУ второ?о вида). Первый случай чаще ис
пользуется для вывода истребителей в район воздушных целей, а второй
для наведения ракет «в п» на наземные цели, обладающие малой pa
диолокационной и тепловой контрастностью.
В СУРЗ lпребуемая Пlраектория задается радиосредствШlи
пункта управления. Параметры рассоrласования формируются на борту
ОУ по несоответствию ero текущеrо положения требуемым значениям.
16
Чаще Bcero требуемая траектория задается в пространстве в виде paBHO
сиrнальной зоны (направления). Поэтому СУРЗ иноrда называют сис
темами управления по радиолучу. В качестве примера такой системы
можно привести существующие курсоrлиссадные системы посадки [1].
К слtешаllflblАI неавlпО1l0АIНblА/1 CucпU!Atahl опUIОСЯ111СЯ различные
комбинаЦI1И ССН: системы, обеспечивающие командное радиоуправление
на начальном участке траектории и самонаведение на конечном; системы,
использующие вначале управление по радиозоне, а затем самонаведение.
Среди смешанных есн наиболее употребительны полуактивно-----активные,
активно пассивные, полуактивно акти но-----пассивные и полуактивн
пассивные. Использование смешанных систем позволяет в общем случае
увеличить дальность действия, помехозащищенность, точность наведения
и надежность функционирования РЭСУ в целом.
1.1.2. АВТОНОМНЫЕ РЭСУ
ФункциОllирование ав1110flОАlIlblХ cucпzekl наведения основапо на
теКУLцей lIHfjJOpAtalIиu только о соБСlпвеНflОJ\t двU:Jlсенuи JIA. В связи с
этим такие системы используются, в основном, для наведения самоле
тов омбардировщиков (ракетоносцев) и ракет «в п» на наземные He
подвижные цели.
В зависимости от физической природы датчиков инq)ормации раз
личают: инерциальные системы, использующие показания акселерометров,
датчиков воздушной скорости (ДВС) и rироскопов; доплеровские системы
на основе радиолокационных ДИСС; радиолокационные системы преду
преждения столкновения с землей (обхода и облета препятствий); корреля
ционно экстремальные системы (КЭС) и смешанные aBTOHOl\1HbIe системы.
В uнерцuалыllхx и доплеровских систе.ktах параметр рассоrласо
вания q)ормируется путем сравнения проrраммных (требуемых) и по
стоянно вычисляемых (счисляемых) текущих координат местоположе
ния ПА. При известных координатах точек старта и цели счисление пу
ти базируется на двойном интеrрировании составляющих ускорений,
измеряемых акселерометрами, либо интеrрировании составляющих
скорости, измеряемых две или ДИСС.
в cuc/пeA'taX nредупре:JlCдеllUЯ СlполкновеllUЙ с зеJилей параметр
рассоrласования вычисляется путем сравнения заданной (требуемой)
высоты полета с ее текущим значением в упре)l(денной точке, удален
ной от ПА на заданное расстояние в направлении полета. Упрежденная
высота определяется в результате измерений дальностей и уrловых по
ложений упрежденных точек (участков траекторий) при условии, что
будет сохранен режим полета, иl\tlевший место на .момент измерения.
j - - -.
А '""' ('.( I
. ;. '\. .
;.' '!IIr.
..",
1- ; 8R .,
17
В КЭС параметры рассоrласования вычисляются путем сравнения
введенной заранее эталонной и текущей, снимаемой в полете, карт распре
деления тех или иных физических полей Земли по маршруту полета. Под
физическими полями понимаются собственные радиолокационное, тепло
вое, радиационное и маrнитное излучения Земли, жестко коррелированные
с конкретными участками земной поверхности. В качестве таких полей
также используют распределение высот рельефа по маршруту полета. По
скольку распределения физических полей по маршруту полета случайные
процессы, то местоположение определяется путем поиска экстремума KOp
реляционной функции эталонноrо, заранее снятоrо, и текущеrо, снимаемо
ro в процессе полета, распределений поля. Смешанные автономные систе
мы представляют собой комбинации перечисленных моди(рикаций.
ДостоuнствWНlt авlпОНО.klНblХ CиCnU!Al являются вОЗhlО:Jlсность pea
лuзации очень больzuих далЬ1l0Сn1ей действия u высокая пОАllехозаz,цuиlеll
НОСn1Ь. Возможность реализации большой дальности действия предопреде
лена тем, что она зависит только от запаса топлива на ЛА и не оrpаничива
ется дальностью действия датчиков информации. Высокая помехозащи
щенность обусловлена тем, что в этих системах радиосиrналы либо не ис
пользуются совсем (инерциальные системы), либо распространяются на
весьма малые расстояния (доплеровские системы и радиолокационные сис
темы предупреждения столкновения). Недостатками автономных систем
являются: оrраничение класса объектов воздействия только неподвижными
целями; низкая точность наведения (инерциальные и доплеровские систе
мы) и очень высокие требования к надежности функционирования (радио
локационные системы предупреждения столкновения), объему памяти и
быстродействию вычислителей (КЭС).
1.1.3. КОМБИНИРОВАННЫЕ РЭСУ
КОJнбинuроваНIlЫМU называЮlпся РЭСУ, в составе которых coв
JиеСnUIО (рункциониРУ10n1 как автоно.мные, так u неавn10НОА11lые ИВС. KOM
плексирование на всех иерархических уровнях построения ИВС позволяет:
реализовать большие дальности действия, не оrраничиваемые дальностью
действия радиолокационных датчиков ин(рормации; расширить диапазон
оцениваемых скоростей сближения и уrловых скоростей линии визирова
ния целей; повысить точность, помехозаЩИlценность и надежность РЭСУ в
целом и снизить ее чувствительность к изменению условий применения.
Все эти преимущества реализуются за счет избыточности информации и
взаимной коррекции автономных и неавтономных датчиков.
Хотя число комбинаций автономных и неавтономных систем в
рамках единой РЭСУ J\.10жет быть очень большим, можно выделить наи
18
более распространенные варианты комплексирования. Они основаны на
преимуществен ом использовании автономных систем на начальных
этапах управления и неавтономных систем самонаведения на конечных
участках траектории наведения.
По способу взаU.lиодеЙСnUJия авПZОIl0.МНblХ u llеавтОНОА111ЫХ даJ1Z
чиков ИНфОрAtlацuи различаlОnZ КО./\tбuнuроваlluые систе)'IlЫ последова
nzеЛЬНО20, параллелыl20o и c.lHeUlalf1l02o nzuпOB. В системах первоrо типа
автономные и неавтономные датчики по времени ФУНКЦИОНИРУЮТ по
следовательно, например, на начаЛЬНОl\1 Jтапе выполняется инерциаль
ное наведение, на среднем командное радиоуправление, на конечном
самонаведение. В комбинированных РЭСУ BToporo типа автономные и
неавтономные системы работаlОТ одновременно в течение Bcero Bper...1e
ни наведения. В смешанных комбинированных РЭСУ автономные и
неавтономные датчики и системы комплексируются как по этапам поле
та, так и внутри этапов. Следует подчеркнуть, что при одновременной
работе датчиков различной физической природы они MorYT Функциони
ровать незаВИСИf\10 друr от друrа, либо объединяться в единый I(OM
плексный измеритель.
Необходимо отметить, что в литературе встречаются названия
специq)ических РЭСУ, которые, укладываясь в рамки приведенной
классификации, вместе с тем обладают возможностями, принципиально
выделяющими их среди друrих однотипных систем управления. К Ta
ким системам управления можно отнести: РЭСУ летательными аппара
тами со сниженной радиолокационной заметностью; РЭСУ CBepXMaHeB
ренными самолетами; РЭСУ высокоточными ракетами; РЭСУ с сопро
вождением целей в режиме обзора ((на проходе»); адаптивные РЭСУ и
РЭСУ с элементами искусственноrо интеллекта, а TaK)I(e мноrопозици
онные системы наведения [44, 45, 58].
CyulecnZGel/lloe СflU:Jlсеllие радиолокаЦИОНI/ОЙ ЗGлtеnZIlОСI1ZИ, обеспе
чиваемое специальной формой летательных аппаратов и применением
радиопоrлощающих материалов, позволяет применять авиационные
ракеты с меньшей дальностью полета без захода в зоны YBepeHHoro про
тиводействия средств ПВО. Примерами таких летательных аппаратов
являются самолеты F 117 А и B 2, состоящие на ВООРУ)l(ении США.
CBepx.lllal/eBpe1/11bl.Alll llазываl0тся саJ\lолепzы, в KonzopblX за счет
усилеllll0Й .lнеха//uзации крыла, специалыlхx Ор2аnов непосредСn1веllНО20
управления подъеJ\l1l0Й и боковЬUvlU силаJWИ и l1рtL'\.lеllеllИЯ вЫСОКОЭllер2е
nZllческих двИ2ателей реШlUЗУlотся СУUlеспzвеН1l0 более СЛО:Jlсuые пpo
cmpallCJ1ZBellllble эвОЛl0цuи [6 8]. Использование opraHoB непосредствен
Horo управления дает возможность ПА практически скачкообразно из
19
менять свое положение в пространстве при сохранении прежнеrо Ha
правления продольной и поперечной осей. Кроме Toro, CBepXMaHeBpeH
ные самолеты MorYT изменять положение осей в пространстве, не меняя
направление полета [7]. Большие значения ускорений и их производных
предъявляют существенно более жесткие требования к точности и yc
тойчивости функционирования измерителей БРЛС и prc в режимах
сопровождения одной или нескольких целей. Способность изменять
уrловое положение в пространстве без изменения направления полета
позволяет существенно сократить время, затрачиваемое самолетом на
маневрирование в область возможных пусков ракет, что значительно
расширяет тактические возможности истребителей.
ВысокопZОЧНЫАtи счита отся ракеты, обеспечиваl0Lцие попадание в
zабариты цели. Использование высокоточных систем наведения дает воз
мо)кность увеличить дальность полета ракет за счет большеrо запаса топ
лива, так как в таких ракетах не требуются боевая часть и радиовзрыватель.
В РЭСУ с сопровО:J/сдениеЛl в реЖUАtе обзора [17, 19] вОЗklОЖНО
одновреЛlенно получать П10ЧНУ'0 UH(pOpAlaLIU10 о qJазовых координатах
01пноситеЛЬНО20 двU:JIсеllUЯ нескольких целей. Это позволяет одному ca
молету при наличии ракет с активными prc вести одновременный бой с
несколькими целями, что существенно расширяет тактические возмож
ности истребителей. В качестве примера можно привести систему
А WG 9 самолета F 14, которая может сопровождать до 24 целей и ocy
ществлять практически одновременный пуск ракет по нескольким наи
более опасным из них [36].
АдапlпивllЫJни называl0П1СЯ РЭСУ, способные иЗJненять свою
cmpYKlпypy, режшtы раБОП1Ы и QЛ20ритлtы функционирования в зависи
АlОСП1И от условий пРШlенения, приС110сабливаясь к НИ.Аt наИJlУЧUIU.А1. об
разОАI. Системы с элементами. искусственноrо интеллекта отличаются
от обычных адаптивных РЭСУ способностью решать задачи, в которых
отсутствуют четко формализованные правила переработки информации,
и способностью обучаться в процессе функционирования.
Под А,lНО20позuциОllнылtll РЭСУ пОllUЛlаеП1СЯ совокупНОСП1Ь (PYHK
ционQЛЬНО связанных CllCnleJ\'1 наведения нескольких пространствеllllО
раЗ1lесенных объектов управления, радиолокационные датчикu КОП10РЫХ
обраЗУ10т едиНУ10 СUСJпеЛIУ [44, 58].
1.2. ЭТАПЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ РЭСУ
Основная задача РЭСУ (поражение целей) выполняется в He
сколько этапов, в течение которых решаются более частные тактические
задачи. В общем случае можно выделить четыре характерных этапа
20
функционирования РЭСУ: полет в район цели, вывод самолета в зону
применения ору?Кия, применение оружия и выход из атаки.
ПервыЙ эп1Qп начинается с момента получения команды на вылет
и заканчивается взятием (захватом) цели на автоматическое сопровож
дение бортовыми средствами. После этоrо следует второЙ этап BЫ
вод самолета в' область применения оружия, который заканчивается
подrотовкой ракет к пуску. Tpeпzuu эп1ап начинается с момента пуска
ракет (сбрасывания бомб) и заканчивается подрывом их боевой части
(БЧ). Последний четвертый этап (в зависимости от типа применяе
мых ракет) начинается либо после пуска ракеты, либо после подрыва ее
боевой части. Следует отметить, что первые два Jтапа достаточно часто
называют дальним и ближним наведением. При поражен ии цели бом
бами самолетами бомбардировщиками в РЭСУ имеют место все четыре
этапа. Если же в качестве средств пора)кения используются ракеты
«в п», то второй этап может отсутствовать.
Поскольку на каждом из первых трех Jтапов основную роль иrра
ют различные подсистемы ИВС с существенно разными законами обра
ботки информации, то иноrда эти этапы называют по типу используе
мой аппаратуры. Так, если полет в район цели выполняется по KOMaH
дам, передаваемым с ПУ, то этот этап называют командным наведени
ем. Второй этап (ближнее наведение) называют еще самонаведением,
так как обычно самолетом управляет CCI . При использовании в каче
стве средств поражения ракет третий этап называют наведением ракет.
В свою очередь, в сложных РЭСУ каждый из перечисленных этапов
может реализоваться несколькими способами в зависимости от методов
наведения и обеспечивающей их аппаратуры ИВС и УС. Так, для дальнеrо
наведения MOryr испо ьзоваться команды, либо подаваемые rолосом через
системы радиосвязи, либо формируемые и передаваемые специальными
СКРУ. В последнем случае речь идет о приборном дальнем наведении.
Ближнее наведение может выполняться на основе различных методов с
использованием различных подсистем ИВС: БР ЛС, теплопеленrаторов
(ТП) и оптических прицелов (ОП). При JTOM rоворят о самонаведении pa
диолокационном, с помощью ТП или ОП. Необходимо отметить, что BЫ
полнение каждоrо способа складывается из ряда ПОДJтапов, таюке отли
чающихся дрУ! от друrа специq}икой решаемых задач, составом аппарату
ры и алrоритмами ее работы. Процесс q)ункционирования РЭСУ либо ее
систем и устройств, при выполнении рассмотренных способов или при pe
шении частных задач, называется режимом работы.
В процессе дальнеrо наведения РЭСУ решает следующие задачи:
21
формирует на ПУ и передает на борт ЛА команды управления и
целеуказания летчику и бортовым системам;
управляет самолетом по курсу, высоте и скорости;
управляет зоной обзора БРЛС (ТП);
осуществляет поиск, обнаружение и опознавание целей;
выполняет захват целей на автоматическое сопровождение.
Решение всех этих задач обеспечивается соотвеТСТВУI{)ЩИМИ pe
жимами работы БР ЛС, ИВС, УС и ПА.
КОJнаllды целеуказания (I.{Y) леmчику предназначены для обеспече
llUЯ е20 UН(рОрАlацuеЙ о воздУUIНОЙ обсmановке. С помощью таких команд в
системе отображения информации (СОИ) ИНДИЦИРУI{)ТСЯ сведения о типе
цели (rрупповая, одиночная, малоскоростная), ее расположении и особен
ностях движения относительно ПА (передняя полусфера (ППС), задняя
полус(рера (ЗПС), удаление до цели 100, 60 км И т.д.). Команды управления
несут информацию о требуемых значениях курса, высоты и скорости поле
та саrvl0лета; о необходимости выполнить определенный маневр (<<[орка»,
разворот вправо, разворот влево и т.д.) или включить ту или иную систеl\.lУ
либо режим работы (включить «Форсаж», включить БРЛС).
Ко.мйнды ЦУ для оборудования опредеЛЯ101п разА'lеры и пОЛО:Jlсение
зоны поиска целей борпl0вЫА'lU средспlваАlU. Так, на основании этих команд
антенна БР ЛС устанавливается в направлении биссектрис yrлов ожидае
мых зон поиска в rоризонтальной и вертикальной плоскостях, а в системах
частотной и временной селекции сиrналов устанавливаются определенные
зоны поиска сиrналов по частоте (скорости) и времени запаздывания (даль
ности). В результате удается существенно сократить время поиска и обна
ружения целей. Необходимо отметить, что при переходе са1vIолета из зоны
ответственности одноrо пункта наведения в зону ответственности дрyrоrо
на борт ЛА передаются так называе1vlые команды взаимодействия. ПО ЭТИl\1
командаl\.f самолету присваивается новый условный номер, и приемный
тракт бортовой аппаратуры СКРУ перестраивается на новую частоту.
На этапе ближнеrо наведения РЭСУ решает следующие задачи:
анализирует обстановку, выбирает и формирует алrоритм наи
лучшеrо метода (закона) наведения;
управляет режимами работы всех датчиков информации, которые
используются в процессе реализации выбранноrо метода наведения;
корректирует траекторию самолета по курсу и танrажу в процес
се наведения;
формирует команды целеуказания оружию и разрешенные зоны
ero применения;
проверяет оружие (ракету) и подrотавливает ero к применению.
22
В режиме самонаведения основным датчиком информации дЛЯ
РЭСУ является БРЛС. В процессе управления ее работой обеспечивается:
выбор и излучение СПЦ, позволяющеI'О наилучшим образом решать задачи
селекции целей и q)ормировать оценки (l)азовых координат, которые необ
ходимы для реализ.ации используемоrо lvlетода наведения; выбор режима
сопровождения одной или нескольких целей и обеспечение q)ункциониро
вания соответствующих алrоритмов автоматическоrо сопровождения по
направлению, дальности и скорости; q)ормирование команд ЦУ дЛЯ ракет.
В соответствии с выбранным СПЦ выделяют: ре)ким работы БРЛС с низ
кой частОТОЙ повторения (НЧП) импульсов; импулЬсн<r--доплеровский pe
жим, в котором используются средняя (СЧП) и высокая (ВIПl) частоты
повторения; режим непрерывноrо или прерывистоrо излучения, который
используется для наведения ракет с полуактивными prc и для коррекции
траектории полета ракет с автономными системами наведения.
В зависимости от тактической ситуации и вида применяемых ракет
БРЛС может функционировать либо в режиме сопровождения одной цели
(сац), называемом также режимом непрерывной пеленrации (РНП), либо
в режиме одновременноrо сопровождения нескольких целей. В РНП луч
антенны БРЛС все время направлен на одну цель, что позволяет непрерыв
но измерять и оценивать фазовые координаты ее относительноrо движения
и формировать команды ЦУ ракетам по этой цели. При одновременном
сопровождении нескольких целей сохраняется обзор пространства лучом
антенны БР ЛС, при котором попеременно подсвечиваются все цели в зоне
обзора. В такой ситуации фазовые координаты нескольких целей непре
рывно оцениваются на основе экстраполяции их фазовых траекторий с
коррекцией результатов Jкстраполяции по итоrам измерений в моменты
поступления отраженных сиrналов. Это дает возможность не только управ
лять полетом самолета, но и одновременно формировать команды ЦУ He
скольким ракетам по нескольким различным целям. Если ракеты имеют
активные prc, то самолет может вести бой с несколькими целями, практи
чески одновременно запуская несколько ракет. Команды ЦУ ракетам, фор
мируемые в ИВС самолета, ну){(ны ДЛЯ настройки и подrотовки всех их
подсистем к применению по вполне определенной цели. Сиrналы разре
шенных зон применения, также q)ормируемые в ивс, индицируются в
СОИ в виде отметок максимальной Дрl11ахi И минимальной Дрl11iпi разрешен
ной дальности для каждой из подrотавливаемых к применению ракет. При
выполнении условия ДrнniпiSДSДрl11<1хi, rде Д текущая дальность, можно
осуществлять пуск ракеты по i й цели.
На этапе применения оружия РЭСУ обеспечивает:
23
формирование СПЦ дЛЯ ракет с полуактивными prc и сиrналов
радиокоррекции для ракет с автономными системами наведения;
формирование закона наведения (алrоритма TpaeKTopHoro управ
лени я) ракеты;
коррекцию траектории наведения ракеты в соответствии с BЫ
бранным законом;
формирование сиrналов для подrотовки взрывателей к действию;
управление подрывом БЧ.
Следует отметить, что первая задача решается в ивс самолета
носителя, в то время как все остальные в ивс ракеты. При этом BTO
рая и третья задачи длятся до момента окончания управления ракетой.
Управление прекращается в следующих ситуациях: при прямом попа
дании в цель; при срабатывании дистанционноrо HeKOHTaKTHoro взрыва
теля; при самоликвидации ракеты после пролета цели; в момент пересе
чения rраницы так называемой мертвой зоны. Причины появления
мертвой зоны и ее размер зависят от типа ивс ракеты и вида СПЦ. В
мертвой зоне рули объекта управления устанавливаются нейтрально и
дальнейшее направление движения определяется вектором ero скорости
на момент прекращения управления.
Для выхода из атаки РЭСУ вычисляет минимальную безопасную
дальность выхода, соответствующую данным условиям применения;
формирует закон (алrоритм TpaeKTopHoro управления) выхода и
корректирует траекторию выхода в соответствии с выбранным законом.
Если самолет вооружен ракетами с активными prc, позволяю
щими реализовать принцип «пустил забыл», то выйти из атаки можно
сразу после пуска ракеты. При пуске ракет с полу активными prc, для
наведения которых нужно осуществлять подсвет цели, маневр самоле
та носителя оrраничен сектором обзора БРЛС и окончательный выход
из атаки возможен только после подрыва БЧ ракеты.
1.3. РЕЖИМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНЫМИ
АППАР А Т АМИ
в зависимости от степени участия летчика в процессе управления
самолетом на разных этапах различают ручной (неавтоматический),
директорный (полуавтоматический) и автоматический режимы.
Функциональные связи составных частей РЭСУ самолетом в JТИХ
режимах показаны на рис. 1.1.
В ручно./и ре:J/сu./ие переключатели П 1 П4 находятся в положении
«р». В такой ситуации ивс по разности XT XC , rде Х Т и ХС векторы Tpe
24
Х цу ракетам
Ут, Пут, (д. д )
Хи
Х т ., Х цу ,
от СКРУ
:ХС
р
..........д
А
Рис. 1.1
буемых фазовых координат и состояния самолета, q)ормирует вектор Llp
параметров рассоrласования в ручном режиме. I-Ia :этапе дальнеrо HaBeдe
ния вектор X r формируется на пункте управления и передается на борт ЛА
системой кру. При ближнем наведении х т формируется на самолете в co
ответствии с выбранны tI методом наведения на основании фазовых KOOp
динат вектора Х ц абсолютноrо и относительноrо движения цели.
Параметры рассоrласования Llp, индицируемые в СОИ, восприни
маются летчиком, который, воздействуя на САУ, управляет самолетом так,
чтобы все составляющие Llpi стремlШИСЬ к нулю. Кроме преобразования
управляющих воздействий летчика в отклонение рулевых opraHoB 8 р , СА У
в ручном режиме выполняет функции повышения устойчивости, улучше
ния управляемости и оrpаничения по допустимым значениям переrрузок и
отклонениям рулевых opraHoB. Необходимо отметить, что в ручном ре)l(И
ме от летчика требуется большой опыт пилотирования, предопределяющий
ero способность проrнозировать последствия управления с учетом MaHeB
ров цели и динамических свойств СА У и cBoero самолета. Существенно
меньшие требования к уровню подrотовю'l летчика предъявляются в дирек
торном (полуавтоматическом) режиме. В этом режиме управление самоле
том по прежнему осуществляется летчиком. Однако вектор Ll д параметров
рассоrласования, отображаемый в СОИ, формируется с учетом динамиче
ских свойств СА У и самолета.
Функциональные связи в РЭСУ дЛЯ дuреТ<n10рllО20 pe:JlcuJtta при
водятся на рис. 1.1 при условии, что все переключатели находятся в по
ложении Д. В такой ситуации вектор Llp параметров рассоrласования,
сq)ормированный по несоответствию Х Т и Хс, через переключатель П 1
поступает в САУ, rде преобразуется в требуемые значения 'Ут уrла крена
и Пут вертикальной переrpузки с учетом динамических свойств СА У и
самолета. Сформированные значения 'Ут и nyr, определяющие COOTBeTCT
венно требуемые законы управления самолетом в БОI(ОВОЙ И вертикаль
ной плоскостях, через переКЛIочатель П4 поступают в ИВС, rде сравни
25
ваются с текущими значениями УС и Пус, входящими в состав вектора
состояния хс' В результате формируется двумерный вектор д парамет
ров рассоrласования, который и индицируется в СОИ.
Необходимо отметить, что в некоторых типах РЭСУ вектор д
формируется непосредственно в САУ, а ИВС используется лишь для ero
индикации. Индицируемый в СОИ вектор д воспринимается летчиком.
На рис. 1.1 этот процесс отображается условной связью через переклю
чатель П2 в положении Д. Далее управление осуществляется так )ке, как
и в ручном режиме. Качественное отличие состоит в том, что для
управления самолетом, целью KOToporo является устранение д, исполь
зуются значения ут и ПУТ' сформированные с учетом динамических
свойств СА У и ЛА, что требует от летчика меньшеrо опыта и умения.
При этом функции СА У по повышению устойчивости, управляемости и
оrраничению управляющих воздействий сохраняются.
В авmОJиаmuчеСКОАt pe:JlcuA'te все переключатели находятся в по
ложении А. В такой ситуации цепи формирования вектора л парамет
ров рассоrласования до выхода ИВС остаются теми же, что и в дирек
торном режиме. Различие состоит лишь в том, что от ИВС вектор А
параметров рассоrласования через переключатель П2 поступает непо
средственно в САУ. За летчиком сохраняются лишь функции контроля.
При этом закон формирования А обычно аналоrичен закону (рормиро
вания д' Обратные связи ЛА с СА У и ИВС используются для улучше
ния динамических свойств РЭСУ в целом.
РЭСУ paKemaAlU J1tozym раБО111а111Ь 1110ЛЬКО в одllОJН из п1рех pe:JICll
Лlов: авп10J1lап1ичеСКО l, полуавп10ЛlаmuчеСКОАl и неавп10А,lа111uчеСКОJ1l. В aв
п10А-lапUlчеСКОJН ре:JIСU.Jие ракета после пуска наводится без участия летчика
(оператора). В полуавтоматичеСКО 1 ре){(Име относительные параметры
движения цели определяются операТОРО 1, а управляющие сиrналы форми
руются автоматически. В неавтоматическом реЖИ 1е измерение параметров
относительноrо движения и формирование управляющих сиrналов осуще
ствляет оператор. Функциональные связи РЭСУ в автоматическом реЖИ 1е,
реализуемом в самонаводящихся ракетах, приведены на рис. 1.2.
:х
А
б р
Ракета
х
р
Рис. 1.2
26
В зависимости от типа ракеты вектор Х Т требуемых фазовых KO
ординат либо вв.одится в память вычислителей ИВС перед полетом, ли
бо формируется непосредственно в ИВС в процессе самонаведения.
Формирование Х Т осуществляется в соответствии с тем или иным MeTO
дом наведения на основе измерения векторов Х р и Xц Xp фазовых KOOp
динат собственноrо и относительноrо дви (ения и оценивания COCTaB
ляющих вектора Х ц состояния цели. Начальные условия работы РЭСУ
определяются совокупностью команд целеуказаний, объединенных в
вектор Х ЦУ ' Команды целеуказаний поступают в ракету из ИВС самоле
та носителя на этапе ее подrотовки к пуску. Степень rотовности ракеты
к пуску контролируется по сиrналам rотовности, представленным на
схеме вектором Xr. Эти сиrналы формируются в ИВС и сур по мере их
настройки и подrотовки к применению по вполне определенной цели.
Назначение ИВС, сур и ракеты, а также связи между ними в процессе
функционирования те же, что и ИВС, СА У и ЛА в РЭСУ самолетами в
автоматическоrvI режиме. В некоторых типах РЭСУ дЛЯ повышения точ
ности наведения на маневрирующие цели на ракету дополнительно по
дают сиrналы радиокоррекции, обозначенные на рис. 1.2 вектором Х рк '
ПОJlуав1110Лlатuческий и llеавПI0АlаПluческий реJ/Сl/Лlbl обычно ис
пользуются в ракетах «в п», предназначенных для пора (ения малораз
м:ерных наземных целей. Большинство этих целей обладают малым pa
диолокационным и тепловым контрастом на фоне земной поверхности,
что серьезно затрудняет их селекцию ИНСТРУl\1ентальными метода 1И.
Однако человек оператор, находясь на ПУ, по совокупности различ
ных признаков способен с высокой достоверностью выделять такие цe
ли и определять их положение относительно ПУ и наводимой ракеты.
Функциональные связи РЭСУ ракетой при использовании HeaB
томатическоrо управления приведены на рис. 1.3, rде: Хн, ХПУ и Х р COOT
ветственно векторы состояния цели, пункта управления и ракеты.
Устройство q)ормирования сиrналов TpaeKTopHoro управления
(УФСТУ) представляет совокупность датчиков параметров собственно
ИВС
Х лу
Х
Рис. 1.3
27
ro движения ПУ (самолета), некоторых параметров движения ракеты, а
также вычислителей и COII. Летчик оператор по экрану радиолокатора,
телевизора либо тепловизора оценивает взаимное положение ракеты и
ПУ (Хпу Хр), ПУ и цели (Хпу Хц) и определяет вектор параметров pac
соrласования. Воздействуя на датчик команд ДК, он формирует KOMaH
ды Кл, которые с помощью КРУ в виде сиrнала Ку поступают на борт
ракеты, воздействуя на СУР. Летчик должен так воздействовать на ДК,
чтобы команды Кл и Ку вызывали перемещения ракеты, приводящие к
уменьшению параметров рассоrласования. Такому способу управления
ракетой присущи все рассмотренные недостатки ручноrо управления
самолетом. Полуавтоматические системы управления отличаются от
неавтоматических только тем, что вместо датчика команд используются
специальные устройства формирования команд, которые способны BЫ
полнять функциональные преобразования в Ку с учетом динамических
свойств сур и ракеты.
1.4. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЭСУ
1.4.1. КРИТЕРИИ И ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЭСУ
Под э(р(рективностыо РЭСУ пOllUAlal0m Сl71епень ее cooпleeп1C111
вuя своему назначению [61]. Оцеllивается э(jJфеКnlив1l0сmь с пOAlOLllblO
показаmелей u Kpиmepи в. При этОАl показаn1ели предСn1авляют количе
С/11венную оценку э(р(Рекmuвности, а криn1ерии правило, по KOn10pOAtY
определяется сп1еllень СООl11ветсmвuя РЭСУ своеЛlУ назначению. Оценка
эq)фективности необходима:
для обоснованной разработки тактико технических требований
(ТТТ) к вновь создаваемым образцам РЭСУ;
дЛЯ сравнения между собой различных типов РЭСУ;
дЛЯ определения условий применения, в которых возможности
РЭСУ проявляются наиболее полно;
для разработки мероприятий по более рациональному использо
ванию РЭСУ.
В процессе q)ункционирования РЭСУ имеют место различные эта
пы, используются различные подсистемы, устройства и режимы их работы,
выполняются различные операции. Поэтому эфq)ективность РЭСУ может
быть оценена очень большим числом показателей по различным критери
ям. В ходе разработки всеrда стремятся создать оптиrvlальную РЭСУ, наи
лучшим образом соответствующую своему назначению. Однако необходи
мо отметить, что просто оптимальных РЭСУ или РЭСУ, наилучших во всех
отношениях, в природе не существует. Любая РЭСУ оптимальна только с
28
точки зрения удовлетворения I(аким либо критериям. llри JTOM РЭСУ, наи
лучшая по одним критериям, может быть неоптимШ1ЬНОЙ по друrим. В свя
зи С этим представляет большой интерес рассмотреть критерии, позволяю
щие оценить эффективность РЭСУ по различным правилам. Наиболее час
то для этоrо используют Jкстремальные, оrpаничительные (пороrовые),
фиксирующие и смешанные критерии.
ЭКСlnреiналЫlые Kptunepиu определяют правило, в соответствии с
которым наилучшей является система, обеспечивающая JKCTpeMYM оп
ределенных показателей I j : nlaxI j , nlinI j . оzраlluчителыlеe или пoPO?O
вые l<ритерии свидетельствуют о предпочтительности тех РЭСУ либо
их режимов работы, в которых реализуются показатели I j не хуже за
данных I j1 : Ij > I jз , I j ::;I j "3. ФиксиРУ10u/uе критерии требуют, чтобы обеспе
чивались показатели, равные заданным значениям: Ij==IjOJ' СЛ1еtиаll1lые Kpи
,перии представляют собой те или иные комбинации первых трех. В каче
стве примеров экстремальных критериев мо)кно привести критерий макси
мума быстродействия системы, критерий минимума ошибок наведения
(промаха h): I ==m in h. Примером пороrовоrо критерия является правило, в
соответствии с которым ошибка наведения не должна превышать эффек
тивноrо радиуса поражения ракеты. Примером тpeтbero класса критериев
является критерий нулевоrо промаха (прямоrо попадания: h==O). В качестве
примера смешанноrо критерия можно привести широко используеtvlЫЙ в
РЛС дЛЯ оценки эффективности обнаружения целей критерий Неймана
Пирсона, требующий обеспечения максимума вероятности правильноrо
обнаружения при фиксированной вероятности ложной тревоrи.
Среди показателей качеСlпва JHO:J/C/-lО выделить n1.ри 2руппы: KO
нечные, частные и обобщенные. Конечные или 2лобальные показаlпели
позволяют оценить результат применения РЭСУ с учетом влияния всех
этапов и режимов работы. Чаще Bcero в качестве TaKoro показателя ис
пользуют вероятность Р пц поражения цели. Для самолетной РЭСУ:
Рпц = РДIIРбнРрп ,
(1.1)
rде Р дн вероятность дальнеrо наведения, Р бп вероятность БЛИ)l(неrо
наведения при условии, что выполнен полет в район цели, Р рп вероят
ность поражения цели хотя бы одной из n ракет при условии, что реше
ны задачи дальнеrо и ближнеrо наведения. При использовании (1.1) в
качестве показателя эффективности РЭСУ дЛЯ ее оптимизации приме
няется, как правило, пороrовый критерий. При этом считается, что
РЭСУ соответствует своему назначеНИIО, если обеспечивается вероят
ность Р пц не меньше заданной.
29
Необходимо отметить, что вычисление Р пц по (1.1) требует учета
orpoMHoro количества различных факторов, событий, условий, в том
числе и трудно учитываемоrо противодействия противника. В связи с
этим на практике чаще используют частные показаmелu, которые, xa
рактеризуя эффективность функционирования подсистем, устройств,
либо выполнение отдельных операций, вместе с тем дают возможность
судить об эффективности РЭСУ в целом.
К наиболее упоmреБUАlblJ\t часmllblJИ показаmеЛЯkI оmносяпlСЯ
mактико пlехнuческuе (ТТП). К ним относят: летно технические пока
затели летательных аппаратов (диапазон высот, скоростей и дальностей
применения, число и виды opraHoB управления, диапазоны допустимых
переrрузок и друrие оrраничения); ТТП управляющей системы (надеж
ность, быстродействие, набор управляющих сиrналов, полоса пропус
кания и т.д.); ТТП ин(рормационно вычислительных систем и оружия.
Тактическими показателями ИВС обычно являются: вероятности пра
вильноrо обнаружения и ложной тревоrи, параметры зоны обзора, точ
ность и разрешающая способность, помехозащищенность, надежность и
Т.д. Перечисленные тактические показатели ивс обеспечиваются COOT
ветствующими техническими показателями, к которым обычно относят
параметры СПЦ, ширину диаrраммы направленности и КОJффициент
направленноrо действия антенны, чувствительность приеМНИI{а и мощ
ность передатчика, полосу пропускания и коэффициенты усиления сис
темы обработки сиrналов и Т.д. К наиболее важным ТТП оружия OTHO
сят размеры зон применения и поражения.
Среди частных показателей можно выделить такие, которые име
ют смысл для всех этапов работы. Эти показатели иноrда называют
всеэтапными [20], в отличие от друrих, которые характеризуют лишь
отдельные операции. Примерами всеэтапных показателей MorYT слу
жить точность функционирования, помехозащищенность и надежность.
При оптимизации РЭСУ по частным показателям чаще Bcero использу
ют экстремальные и пороrовые критерии.
Следует отметить трудности сравнения различных РЭСУ по боль
тому количеству частных показателей, так как достаточно часты ситуации,
коrда ДJIя одной системы лучшей является одна rpуппа ТТП (например,
дальность действия, сектор и время обзора, точность оценивания фазовых
координат), в то время как для друrой лучшими являются дрyrие показате
ли (например, разрешающая способность, помехозащищенность). Кроме
Toro, некоторые частные показатели зависят от времени, что также затруд
няет сравнение по ним различных РЭСУ. По JТОЙ причине достаточно час
то используют обобUlеlfllblе пОКQзап1еЛll, IIJ\lellyeJ\lble mQKJICe свер'nКаАlU,
зо
целеВЫ.iни qJУflКЦU5Lни Z,UIU (РУIl/<ЦUОIIШlаJ\lU качества. В общем случае обоб
щенные показатели представляют монотонные q)ункции от линейных KOM
бинаций либо квадратичных форм частных показателей:
N
1 == f(Lajlj ), (1.2)
j=l
N 2
1 == f(Lajl j ),
j=l
(1.3 )
rде aj размерные весовые коэфq)ициенты, назначаемые исходя из важ
ности показателей I j дЛЯ РЭСУ в целом; N число показателей. Исполь
зование показателей (1.2) и (1.3) дает возможность получить более об
щее представление об эффективности РЭСУ, однако достоверность это
ro представления во MHoroM зависит от объеI(ТИВНОСТИ назначения KO
эффициентов aj.
1.4.2. ИНТЕrРЛЛЬНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ
ФУНКЦИОНАЛЫ КА ЧЕСТНА
Интеrральные квадратичные функционалы качества являются
разновидностью обобщенных показателей эq)фективности (1.3), в KOTO
рой вместо функции f используется определенный во времени интеrрал.
Эта особенность, позволяя оценить эффективность РЭСУ за все вреrvlЯ
функционирования, дает возможность сравнивать ме){(ду собой системы
управления с переменными во времени частными показателями.
Среди всех возможных типов интеrральных квадратичных ч)унк
ционалов наиболее распространены функционалы качества Летова
Калмана и так называемые локальные функционалы [29]. В общем слу
чае rfJункциОllал качеС/71ва Ле1110ва Кал./наllа определяется соотношением
1 == Му { T(tK) x/t K ) r Q[XT(tK) x/t K )]+
+ lJ[x<lo(t) X/t)}rL[xAt) x/t)]dt+ t J U<IO(t)Ku(t)dt } . (1.4)
о о
Здесь Х Т и Ху соответственно п мерные векторы требуемых и выходных
(управляемых) фазовых координат РЭСУ в текущий момент времени t и в
момент t K окончания управления; u r мерный вектор сиrналов управления
( l< n); L и Q неотрицательно определенные матрицы штра(ров за текущую
точность XT(t Xy(t) и точность в момент окончания управления; К поло
жительно определенная матрица штрафов за величину сиrналов управле
нмя; Му математическое ожидание при условии, что имеются результаты
31
измерения хотя бы части q)азовых координат Х Т и Ху' Необходимость BЫ
полнения этой операции обусловлена тем, что компоненты Xтi и Xyi векторов
Х Т и Ху Moryr представлять случайные процессы. Если при этом не выпол
нить операцию усреднения, то функционал (1.4) будет случайным и ero
использование в качестве показателя качества потеряет смысл.
Первое слаzаеАlое в (1.4) называепzся mерА'lUНQJlЬНblJИ чле1l0АI.
Представляя собой сумму взвешенных дисперсий ошибок управления в
момент t K , оно дает возможность учесть особые требования к точности
функционирования РЭСУ в момент окончания управления. Для мноrих
типов РЭСУ, например систем самонаведения, очень важной является
точность наведения на момент подрыва БЧ, в то время как точность Ha
ведения в процессе полета к цели не иrрает решающей роли. Размеры
коэффициентов qii матрицы штрафов Q назначаются исходя из важно
сти ошибки XТl(tK XyiCtK) в момент окончания управления.
ВП10рое слаzаеное (1.4) предС111 а в.ля еп? инmеzралЬНУ'0 взвеtиеНllУ'0
квадраlпиЧНУlО оценку точности ФУ1lкционирования РЭСУ за все вре.МЯ
управления. Вес ошибок Xтi(t Xyi(t), определяемый коэффициентами ljj MaT
рицы L, назначается исходя из важности зтих ошибок для Bcero процесса
управления. Из (1.4) следует, что при прочих равных условиях РЭСУ
функционирует тем точнее, чем меньше первое и второе слаrаемые.
Треп1ье слаzаеАlое (1.4) предсп1авляет собой взвеUlенную энерZU10 J
запzрачиваеJНУ'0 СUZllала.ми управления u(t) за все вреАlЯ раБОlпы. Вес
отдельных сиrналов управления Uj определяется коэффициента lИ Kjj
матрицы К, которые также назначаются с учетом важности этих сиrна
лов дЛЯ РЭСУ. Это слаrаемое позволяет оценить экономичность РЭСУ.
Вполне очевидно, что чем оно меньше, тем экономичнее система.
Необходимо отметить, что коэффициенты всех матриц штрафов
должны быть размерными, чтобы ка)l(дое слаrаемое в отдельности и
функционал качества в целом были безразмерными. Поскольку (PYHK
ционал (1.4) позволяет оценить эффективность РЭСУ за весь интервал
ее функционирования, включая и момент t K окончания управления, то
ero называют терминальным. Если к точности (рункционирования РЭСУ
в конце управления не предъявляется особых требований, то коэффици
енты матрицы Q полаrаются нулевыми. Необходимо отметить, что
сравнение различных РЭСУ по показателя .f эффективности (1.4) имеет
смысл только при одинаковом времени (рункционирования.
Разновидности интеrральных функционалов, позволяющие oцe
нить э(рфективность РЭСУ в любой текущий момент времени, называют
локальными. Один из наиболее простых локальных (jJункцuоналов каче
спlва можно получить из (1.4) при условии tK==t, а L==O. Тоrда
32
1 == Му { T(t) X/t)J Q [XT(t) Xy(t)]+ l u Т(t)кu(t lt}.
Здесь первое слаrаемое, представляющее собой сумму взвешен
ных текущих дисперсий ошибок управления, характеризует точность
РЭСУ, а второе, определяющее взвешенную энерrию, затрачиваемую на
управление, характеризует экономичность системы.
Преимуществами использования (1.4) и (1.5) в качестве показате
лей эффективности РЭСУ является возможность получения ее инте
rpальной оценки за все время функционирования. При этом эффектив
ность оценивается по совокупному показателю «точность экономич
ность», что очень важно для бортовых систем, обладающих источника
ми оrраниченной энерrии.
При использовании интеrральных функционалов РЭСУ чаще Bce
ro оптимизируется по экстремальному критерию, в соответствии с KO
торым наилучшей считается система, обеспечивающая минимум функ
ционалов (1.4) или (1.5). Достоинством такой оптимизации является
возможность аналитическоrо получения закона изменения управляю
щих сиrналов, обеспечивающих минимизацию (1.4) и (1.5). Это выrодно
отличает интеrральные функционалы качества от друrих paCCMOTpeH
ных показателей эффективности, аналитическая оптимизация которых
непосредственно в законе управления практически невозможна. Кроме
Toro, для (1.4) и (1.5) достаточно просто выбираются оптимальные зна
чения весовых коэффициентов aj, учитывающих в (1.3) важность OT
дельных показателе . Следует отметить, что при разработке РЭСУ, оп
тимальных по минимуму квадратичных функционалов (1.4) и (1.5), yдa
ется существенно упростить процедуру проектирования за счет воз
можности раздельноrо синтеза алrоритмов функционирования инфор
мационной и управляющей систем.
Дискретные аналоrи функционалов (1.4) и (1.5) рассмотрены
в п. 2.1.1.
( 1.5)
1.4.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЭСУ
НА эт АЛЕ ДАЛЬНЕrо НАВЕДЕНИЯ
Из (1. 1) следует, что конечный показатель эффективности не MO
жет быть больше отдельных сомножителей, характеризующих вероят
ности выполнения основных этапов функционирования РЭСУ. В связи с
JТИМ весьма важно выявить факторы, условия применения и ТТП РЭС,
позволяющие rарантировать максимально возможную вероятность BЫ
полнения отдельных этапов, в том числе и дальнеrо наведения. Под вe
2 2486
33
роятностыо дальне20 наведеllия в дальнеЙUlеАt будеА1 пОl-tUЛlаlпь вepo
япlНОСfпь вывода СaJнолета в область пространсп1ва, 2де е20 бортовые
средсп1ва обеспечиваюп1 обнаРУ:Jlсение u вЗЯlпие цели на авlпосопровО:JIC
деиие, а высота u курс летап1еЛЫlО20 аl1парап1а допускаlоп1 е20 выход в
область пуска ракеп1 с допустtLМblА1U пере2РУЗКQ.;ИU. Поскольку в COBpe
менных РЭСУ вывод самолета в район цели может обеспечиваться He
сколькими способами (см. 1.2), то
11/1
Р ДН = :LРрзiРднуi ,
i=l
(1.6)
rде П д число используемых способов дальнеrо наведения; Р рзi Bepo
ятность решения задачи i M способом, а Р днуi условная вероятность
дальнеrо наведения при выбранном способе, представляющая вероят
ность Toro, что ошибки наведения по курсу и высоте не превышают за
данных значений и цель будет взята на автосопровождение. Для реше
ния задачи i M способом необходимы по крайней мере три события: был
выбран именно i й способ наведения; РЭСУ безотказно работала и при
этом самолет не был поражен противником. Если вероятности :этих co
бытий соответственно P Bi , Р брi И Р нпi , то
Р рзi == Р вiРбрi Р HlIi. (1.7)
В свою очередь, полаrая в первом приближении процессы взятия
цели на сопровождение и наведения по курсу и высоте независимыми,
можно получить
Р днуi==Р днкi Р ДlIвi Р aci,
(1.8)
rде Р днкi И Р дниi вероятности дальнеrо наведения по курсу и высоте при
i M способе с ошибками Д\Vк по курсу И дН по высоте, не превышающи
ми допустимых значений :t.1\Vкд и ин д ;
N
P aci = :LPBjPacj (1.9)
j=1
вероятность захвата цели на автосопровождения хотя бы одним из N
визирных устройств (БР ЛС, ТП, ОП); Р иj вероятность выбора j ro
средства автосопровождения; P<1cj - вероятность захвата цели j M cpeДCT
вом, определяемая вероятностью правильноrо обнаружения.
Текущие ошибки наведения самолета по курсу и высоте обуслов
лены большим числом различных случайных воздействий. Поэтому в
соответствии с центральной предельной теоремой ошибки наведения
34
самолета по курсу и высоте можно считать rауссовскими процессами, а
математические ожидания их можно полаrать равными нулю. Тоrда
AUJ дЧJ;
u т кл 1
Р f 2 D Л' d А \IJ
днкj = I е ti т К ,
дч\л v 2пО дЧJ
(1.1 О)
А Н дН
u Л 1
Р f 20 II d A H
ДlIвi .J е L.)..
дH 2пО дн
л
Анализ (1.1 О) и (1.11 ) показывает, что эти вероятности зависят от
точности управления самолетом по курсу и высоте, определяемой COOT
ветственно дисперсиями D 'V и D H ошибок наведения по этим q)азовым
координатам. Кроме Toro, величины РдНКi И Р дНВi зависят от пределов ин
теrрирования U'VK}! и J:дH д , которые определяются параметрами зоны
обзора устройства, захватывающеrо цель на автосопрово)кдение. Необ
ходимо отметить, что из всех применяющихся в настоящее время ви
зирных устройств (БРЛС, ТП, ОП) наибольшая зона обзора у РЛС.
rеометрические соотношения между параметрами зоны обзора
БР ЛС, влияющими на (1.1 О) и (1.11) при наведении самолета на воз
душную цель, иллюстрируются рис. 1.4, rде дн диаrрамма направ
ленности антенны, Дз дальность захвата, а 'Vумд' . . 'Vумд сектор об
зора по yrлу места. Кроме Toro,
БРЛС сохраняет параметры
своей зоны обзора в любое
время суток и в любых MeTeo
условиях, в то время как ОП и
ТП работоспособны лишь в
условиях оптической видимо
сти или при слабой дымке. He
возможность Функционирова
ния ТП и ОП в сму формаль
но учитывается в (1.1 О) и (1.11) нулевыми значениями J:д'VM и МН д .
Из (1.6 ( 1.11) следует, что для повышения э(рФективности РЭСУ
на этапе дальнеrо наведения самолета для обнаружения целей целесо
образны БР ЛС. При JTOM Jффективность наведения тем выше, чем
больше зона обзора БР ЛС, определяющая пределы интеrрирования в
(1.1 О) и (1. 11), чем наде){(ней она работает (Р брi В (1.7)) и чем большей
вероятностью Рпо правильноrо обнаружения она обладает (P иcj в (1.9)).
(1.11)
Hд
LlНд
Дэ
Рис. 1.4
35
Необходимо подчеркнуть, что Р по зависит от условий сближения с цe
лью. Для увеличения Р. ю , а соответственно и Р acj, целесообразно выби
рать траекторию наведения с принижением относительно воздушной
цели, чтобы обнаружить ее на фоне свободноrо пространства. При пе
рехвате низколетящих целей на фоне Земли с использованием импульс
н доплеровских РЛС большие значения Р по реализуются при HaBeдe
нии в ППС. Кроме Toro, для увеличения (1.6) необходимы высокоточ
ные системы управления, так как при этом возрастают вероятности
(1.1 О) и (1.11) наведения по курсу и высоте за счет меньших значений
дисперсий ошибок наведения.
1.4.4. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЭСУ
НА ЭТ АЛЕ БЛИЖНЕrо НАВЕДЕНИЯ
Эффективность РЭСУ на этапе ближнеrо наведения будет оцени
ваться вероятностью Р БН ближнеrо наведения, входящей в состав rло
бальноrо показателя (1.1). Определим зависимость Р БН от условий при
менения, ТТП РЭСУ и ее составных частей на примере истребителя, так
как при этом имеют место наиболее сложные законы движения самоле
та, цели и наводимой на нее ракеты. Используем ту же методику анали
за, что и в п. 1.4.3. Под вероятностью блuжне20 наведения будеАt пOHи
A,tamb вероятНОСn1Ь вывода СаА"олеnlа в область пространства, пуск из
КОnl0рОЙ ракет приводит к nopa:J/ceHulo цели с вероятностью, не хуже
задаНll0U, при условии, Чn10 nереzрузки ракеты не превысят дoпycти
A-lblХ значений. Поскольку ближнее наведение можно реализовать He
сколькими способами (например, с помощью БРЛС, ТП и ОП), то
n G
Р БН = РрзiРбllуi ,
i=l
rде Пб число используемых способов ближнеrо наведения; Р p1i вероят
ность решения задачи i M способом, вычисляемая по соотношению (1.7);
Рбнуi==Рбtlкi Р бнтi Р acpi
( 1.12)
условная вероятность ближнеrо наведения при выбранном способе,
представляющая вероятность Toro, что ошибки по 'VK и 'VT наведения
истребителя по курсу и танrажу не превысят заданных значений :tA'I'кд и
'I'тд И цель с вероятностью P acpi будет взята на автосопровождение
аппаратурой ракеты; РБНКi и Р БНТi вероятности наведения по курсу и
танrажу при i M способе и допущении о независимости процессов
управления по курсу и танrажу. Необходимо отметить, что последний
36
сомножитель в (1.12) учитывается только для ракет, которые должны
захватывать цель на подвеске.
В соответствии с центральной предельной теоремой законы pac
пределения ошибок наведения \VK и 'VT можно считать rауссовскими.
Тоrда при нулевых f\fатематических О)J(иданиях JТИХ ошибок:
р бllкi
д'Р 2
Д'Р U 1 к
f е 2D &'1'. dд Ч'к;
6.'I'.., 21tD6.'I'.
(1.13)
д 'РТА 1
РБНТi = f 2 О
д'P 1t д'Р
ТЛ т
д'Р 2
т
е 2О L\ЧJ т d 'У т .
(1.14)
Здесь О ЧIД и O \jIТ дисперсии ошибок наведения самолета по курсу и
TaHra)KY. Если для ближнеrо наведения используется БР ЛС, то JТИ дис
персии тем меньше, чем выше точность измерения (оценивания) РЛС
дальности до цели, скорости сближения с ней, бортовых пеленrов цели
и уrловых скоростей линии визирования. в' общем случае значения дo
пустимых ошибок наведения :t.1\Vкд и :!:д\Vтд определяются наиболее же
сткими из совокупности оrраничений, накладываем:ых на РЭСУ приме
няемых ракет. К этим оrраничениям относятся размеры зон захвата цели
на сопровождение бортовыми средствами ракеты и допустимые боко
вые переrрузки ракеты. Необходимо отметить, что из всех видов paKeT
ных визирных систем наиболее широкой зоной захвата цели обладают
prc, поэтому для них размеры :!:д\Jfкд и :!:д\Vтд определяются первона
чальными ошибками наведения ракеты, при которых боковые переrруз
ки не превышают заданных значений.
Проведенный анализ соотношений (1.7) и (1.12 ) ( 1.14) позволяет
прийти к заключению, что для увеличения Р би целесообразно использо
вать ракеты с prc и повышать точность наведения истребителя, для
чеrо следует повышать точность измерений (оценивания) БРЛС всех
фазовых координат, информация о которых необходима в процессе Ha
ведения. Если для поражения цели используются ракеты с prc, захва
тывающими цель на подвеске, то сохраняют свое значение все peKOMeH
дации об условиях применения, сделанные в п. 1.4.3.
Эффективность ближнеrо наведения самолетов друrих типов
можно определить с помощью всех рассмотренных формул. При этом в
(1.13) и (1.14) может лишь измениться смысл и вид ошибок наведения и
37
их допустимые значения. Так, при бомбометании вместо ч/к и UЧ/кд
учитываются ошибки боковой наводки, а вместо ДЧ/Т и UЧ/тд COOTBeT
ствующие ошибки продольной наводки.
1.4.5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЭСУ НА ЭТАПЕ НАВЕДЕНИЯ РАКЕТ
ЭФФективllосп1.Ь РЭСУ на Эl11апе наведения ракет определяется
вероятllосп1ЫО Ррп 110ра:J/сеllUЯ цели хотя бы одноЙ из п ракеп1:
/: Р рп =l (l Pp)lI,
... ... \ Rэф /' \ rде Р р вероятность поражения цели
\
одной ракетой. Как правило, система
управления ракетой является простой,
и задача наведения на цель решается
одним способом. Тоrда
У ц
Рис. 1.5
а)
у АА '
б)
Рис. 1.6
38
( 1.15)
Р р == р бр Р HII Р ру' ( .16)
Здесь Р бр вероятность безотказной
работы всех систем ракеты; Р нп Be
роятность Toro, что ракета не будет
поражена противником; Р ру услов
ная вероятность поражения цели oд
ной ракетой, определяемая в предпо
ложении, что все системы ракеты pa
ботают надежно и ракета не поража
ется противником.
При использовании HeKOHTaKT
Horo взрывателя в первом приближе
нии можно считать, что Р ру представ
ляет вероятность попадания ракеты
внутрь некоторой сферы с радиусом
R эф и центром Оц, совмещенным с
центром массы цели. На рис. 1.5 это
событие отражается тем, что расстоя
ние ОрОц между ракетой, положение
центра масс которой характеризуется
точкой Ор, и целью не превышает
значения R'1ф' Здесь V ц и V р векторы
скорости цели и ракеты. Радиус R,ф,
называемый J(j)(jJеКl1zивIlЫ"И радиУСОАl
11 opa:J/cellUЯ, определяется мощностью
БЧ. Считается, что подрыв БЧ обеспечивает достоверное поражение
цели внутри с.феры с радиусом R. эф . Для радиовзрывателя, являющеrося
одним из наиболее широко применяемых видов неКОI:Iтактных взрыва
телей, специфично то обстоятельство, что он выдает команду на подрыв
БЧ, находясь на траверсе цели, коrда yroJl между линией пути ракеты и
направлением на цель примерно равен 900 (рис. 1.6, а). При таком pac
поло){(ении цели и ракеты имеют место наименьшее расстояние h между
НИJ\.1И и наименьшее значение доплеровской частоты радиосиrнала, BOC
принимаеrvlоrо радиовзрывателем от цели. Последнее обстоятельство и
используется как одно из условий, необходимое для подрыва БЧ. Тоrда
при использовании радиовзрывателя мо){(но считать, что вероятность
пора){(ения цели будет равна вероятности попадания ракеты в Kpyr с
радиусом R.)ф и площадью S = 1tR;ф , который расположен в плоскости
рассеяния. Под плоскостью рассеяния, называемой иноrда картинной, в
дальнейше 1 будем понимать плоскость, проходящую через центр масс
цели Оц перпендикулярно вектору V a относительной скорости ракеты,
либо перпендикулярно линии пункт управления ракета.
РаСС17l0яние h лtе.J/сду целыо и ракеп10й (J 1l.'/оскосп1и рассеЯIlИЯ Ila
зываl0п'l прОJнаХОЛl. Для удобства анализа РЭСУ промах h представляют
в виде ero проекции h L и hy на оси OuZ и ОцУ системы координат ZOLtY,
связанной с центром масс Оц цели и расположенной в плоскости pac
сеяния. Взаимное расположение цели Оц и ракеты 01' в плоскости А А'
рассеяния иллюстрируется рис. 1.6.
Принимая 80 внимание замечания о составляющих промаха paKe
ты и размеры зоны поражения, можно определить условную вероят
ность поражения цели:
Р ру = ff p(hz,h y )P z,hy )dhzdh y ,
( 1.1 7)
s
в которой S площадь Kpyra с радиусом R зф ; p(hL,h y ) двумерная плот
ность распределения промахов, называемая законом рассеивания;
P(hL,h y ) координатный закон поражения в плоскости рассеяния, пред
ставляющий условную вероятность поражения цели при конкретных
значениях h L и hy промахов. Координатный закон пора)кения учитывает
различную уязвимость цели при подрыве БЧ ракеты на различных yдa
лениях h L и l1у. В соответствии с центральной предельной теоремой при
нулевых математических ожиданиях промахов l1 L и hy и одинаковых их
дисперсиях D L==D y плотность распределения определяется rауссовским
зако ном:
39
p(hz,h y )= 1 е
2по у
h 2 2
z + 11 у
2Оу
( 1.18)
Необходимо подчеркнуть, что (1.18) получено в предположении,
что корреляция между h z и hy отсутствует.
В первом приближении координатный закон поражения цели
можно аппроксимировать выражением [9, 28]:
h 2 + 11 2
z У
р(ьz, hy)= е 2R ф .
( 1.19)
Поскольку считается, что БЧ достоверно уничтожает цель внутри
Kpyra с радиусом R эф , то вероятность Р ру не увеличится при расширении
в (1.17) пределов интеrрирования до + 00. Тоrда после подстановки (1.18)
и(I.19)в(I.17)
11 2 + h 2 11 2 + 11 2
z У z У
Р ОО } ОО } 1 2Оу 2R I' dh d h
ру = 2пО е z у =
oo oo у
I 1 j е h ( 2 y + 2 ; )dh y Х 1 j е h;( 2 . + 2 ф )dh z .
2nOy 2nDz
ОО ! x 2r:2 Jiё
[13], что е dx = . Следовательно, при
r
Известно
oo
2 1 1 R;ф+D у
r = + = , получим
2Dy 2R;ф 2D у R;ф
р = R эф R эф 1
ру I 2 I 2 1 D / R 2 '
vRэф+D у vRэф+Dz + у эф
( 1.20)
rде было учтено, что Dy==Dz. Из (1.20) следует, что Рру зависит от мощ
ности БЧ, определяющей R эф , и точности наведения ракеты, которая
обусловливает дисперсии промахов Dy и Dz. В свою очередь, дисперсии
Dy и Dz определяются точностью измерения prc фазовых координат,
необходимых для реализации используемоrо метода наведения ракеты.
40
Обобщая, можно прийти к заключению, что для повышения эф
фективности РЭСУ на этапе наведения ракет необходимо увеличить
число ракет, riрименяемых по одной цели, повышать надежность их pa
боты и точность измерения (оценивания) фазовых координат в prc, а
также увеличивать мощность БЧ.
ДЛЯ оценки эq)фективности РЭСУ высокоточных ракет, пора
жающих цель прямым попаданием, можно так)ке использовать q)ормулу
(1.17). При этом полаrается, что P(h z , h y )==I, а пределы интеrрирования
определяются сечением цели в ПЛОСI<ОСТИ рассеивания.
1.4.6. ЭФФЕКТИВНОСТЬ РЭСУ НА ЭТАПЕ БОМБОМЕТАНИЯ
Бомбометание по наземным (надводным) целям может осуществ
ляться с rоризонтальноrо полета, с пикирования, на выводе ПА из пики
рования и с кабрирования [9]. К числу важнейших частных задач, pe
шаемых авиационной РЭСУ в процессе бомбометания, относится зада
ча прuцеливаllИЯ. Суть Э1110Й задачи состОИlп в mOAI, чтобы придаn1Ь ЛА
в простраllСn1ве отНОСИlпельно цели ,nакое пОЛО:Jlсеllие, при котором
lпрае/(n10рия падения БОАtБы пройдет через це1ln1р цели. Точку, в Koтo
рой происходит Оn1делеllие бо.мбы Оn1 ЛА, приllято называть точкой
сброса (п10ЧКОЙ бросания). При серийном бомбометании точка падения
первой бомбы выносится относительно цели в сторону, противополож
ную направлению полета, на половину длины серии 1==(Пбе l)lе, rде Пбе
число бомб в серии; 'с линейный интервал серии (расстояние между
точками падения двух смежных бомб).
Для определенности
показатель эффективности
авиационной РЭСУ при pe
шении задачи прицеливания
рассмотрим применительно к
бомбометанию с rоризон
тальноrо полета. В этом слу
чае прицеливание осуществ
ляется в подвижной rоризон
тированной системе коорди
нат (СК) OXrYrZ r с началом О
в центре масс ПА (рис. 1.7), в
которой ось ОУ r направлена
по местной вертикали, а оси
OX r И OZr располаrаются в
rоризонтальной плоскости.
Тр аектор я
полета лА"'
:У W
X r
Х ц
/ Х'
" r
ZT ................. ............. . .......... ............... j""... ........ j1 ...... ....
/ДТ Д/
"
.... ... ...... .... .... '.0 ;;': .."'" .......Р... .. ... .. I ц.......... ... .... ....
Рис. 1.7
41
При этом ось aX r иноrда лежит в плоскости курса. Плоскость курса
это вертикальная плоскость, проходящая через вектор воздушной CKO
рости V. На рис. 1.7: V r rоризонтальная проекция вектора V, W BeK
тор скорости ветра, е уrол наклона траектории ЛА.
Требуемое и q)актическое положение цели (на рис. 1.7 точки Цт и
Ц) характеризуются векторами требуемой дт и фактической Д дально
стей. Применительно к рассматриваемым условиям бомбометания для
решения задачи прицеливания в авиационной рэсу достаточно опреде
лять только rоризонтальные проекции вектора ==Д ДT продольный ДХ
и боковой ДZ промахи:
I1х (t) = x(t) х т (t), I1z (t) = z(t) ZT (t),
(1.21 )
rде xT(t), ZT(t) и x(t), z(t) требуемые и фактические координаты цели.
Параметры ДХ и ДZ называются также параметрами сиrнализации и
управления и обозначаются дх==р и Дz==q [9].
В процессе прицеливания на основе непрерывно вычисляемых в
соответствии с (1.21) параметров р и q управление самолетом осуществ
ляется таким образом, чтобы обеспечить выполнение условий p(t)==O и
q(t)==O.
В действительности параметры р и q вычисляются с поrрешно
стями, обусловленными большим числом факторов. Результирующие
поrрешности определения параметров р и q включают в себя: поrреш
ности визирных систем из состава ИВС, используемых при определении
фактических координат цели (БР ЛС, аэс, ОП); поrрешности и мерите
лей текущих параметров полета (высоты, воздушной скорости, уrла aTa
ки), а также поrрешности определения проекций вектора ветра на rори
зонтальные оси ск ax\.yrZ r ; поrрешности вычисления баллистических
Jлементов бомбы (штилевоrо относа и времени падения), которые зави
сят от поrрешньстей определения текущих параметров полета, а также
поrрешностей определения и ввода в ИВС характеристическоrо BpeMe
ни бомбы.
для любоrо MorvleHTa времени t параметры р и q в первом приближе
нии можно рассматривать как некоррелированные rауссовские случайные
величины с математическими ожиданиями lnp(t), П1q(t) и дисперсиями Dp(t),
Dч(t). Для рассматриваемых условий бомбометания в качестве условноrо
показателя эффективности авиационной рэсу при решении задачи
прицеливания целесообразно принять вероятность Toro, что в расчет
ный момент tсб сброса бомбы параметры р и q, являющиеся продольным
и боковым промахами, лежат в области допустимых значений:
42
Рпр == Р{ Рдl < р(t сб ) < Р д 2, qдl < q(t сб ) < qД2}==
1 Рл2 Ч/12
f f е
2тc Ор (tсб)D q (t сб ) 1'.'1 qлJ
[р 111 r ( t \:6 ) Р [q ....111 Ч (t <-б ) ]2
2Dр (t\:6) 2D ч (t cG ) dpdq ==
= [ Ф [ Рд2 тр (t сб ) ) Ф [ Р дl тр (t сб ) ) Х
Dр(tсб) Dр(tСб) IJ
Х [ ф [ q Д 2 mч(tСб) ) ф [ qДI ffiq(tСб) ) ,
Dq(tСб) Dq(tСб)
( 1.22)
rде Рдl, Рд2, CL,\I, С}д2 допустимые для заданных условий бомбометания
значения продольноrо и боковоrо промахов, зависящие от характери
стик системы вооружения, типа и калибра авиабомб; Ф(.) табулиро
ванный интеrрал.
Соrласно вышеизложенному и выражению (1.22) для повышения
эффективности решения задачи прицеливания при бомбометании, пре
жде Bcero, необходимо повысить точность визирных систем и измери
телей текущих параметров полета" входящих в состав ИВС авиационной
РЭСУ.
43
r ЛАВА 2. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДАХ
СИНТЕЗА И АНАЛИЗА РЭСУ
2.1. МЕТОДЫ СИНТЕЗА РЭСУ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Задачей синтеза является получение алrоритмов функционирования
систем радиоуправления, наилучших (оптимальных) в том или ином CMЫC
ле. В общем случае такие алrоритмы должны обеспечивать, высокую точ
ность И устойчивость РЭСУ, а также их низкую чувствительность к изме
нению условий функционирования при наличии информационных, вычис
лительных и энерrетических оrpаничений.
Информационные оrpаничения обусловлены: неполнотой сведений
о процессах и условиях функционирования РЭСУ, приводящей к неточно
му их математическому описанию; невозможностью использовать ДOCTa
точное число измерителей; неполнотой сведений о законах распределений
и статистических характеристиках возмущений. Вычислительные оrpани
чения предопределяются недостаточными быстродействием и объемом
памяти бортовых ЭВМ. Несмотря на постоянное улучшение этих показате
лей, в обозримом будущем возможности вычислителей будyr оrpаничивать
степень совершенства систем радиоуправления. Энерrетические оrpаниче
ния проявляются в двух аспектах: в затратах энерrии на функционирование
РЭСУ в целом и в затратах энерrии управляющих сиrналов. Причем в по
следнем случае важны оrpаничения как за весь интервал управления, так и
на мrновенные значения сиrналов управления.
В практике разработки РЭСУ можно выделить три rpуппы методов
синтеза: эмпирические, основанные на опыте и интуиции проектировщи,
ков; классические, оперирующие с преобразованиями Лапласа и Z преобра
зованиями, передаточными функциями, структурными схемами и частот
ными характеристиками [40, 42], и современные, использующие описание и
моделирование систем в пространстве состояния [5, 23,43,47, 54].
Эмпирический путь практически никоrда не обеспечивает полу
чение оптимальных алrоритмов, поскольку проектировщик не распола
44
raeт достаточной информацией для оптимальных решений во всех ситуаци
ях, которые MOryT иметь место в процесс е эксплуатации систем. для Юlас
сическu.х Аtетодов синтеза также чрезвычайно трудно получить алrоритмы,
оптимальные по сложным критериям, учитывающим противоречивые тpe
бования точности, экономичности и чувствительности, особенно для MHO
rOMepHbIx систем управления, к которым, собственно, и относятся РЭСУ.
Более приемлемыми оказываются А1еlподы простраНСlпва состояний.
Описание процессов и систем в пространстве состояний основано
на представлении их зволюций в виде элементов х множества Х воз
можных состояний. При таком представлении каждый элемент множе
ства ХЕ Х должен однозначно и по возможности полнее характеризовать
MrHoBeHHoe состояние рассматриваемой системы или процесса [49].
Процесс, протекающий во времени, отображается как движение элемента
Х в пространстве Х. Обычно злементы Х представляют набор Xl, Х2, ..., х п
упорядоченной совокупности действительных чисел, который удобно
отображать вектором X [XI Х2 ... хп]Т, называемым вектором состояния.
При рассмотрении эволюций процессов или систем в пространстве co
стояний этот вектор, в общем случае, является функцией непрерывноrо
или дискретноrо времени: .
х ( t ) == [х} (t) х 2 (t) .. .
x(k)== [х} (k) Х2 (k)
х 11 (t )]r ,
... х п (k)]r ,
(2.1 )
(2.2)
rде t текущее время, а lF 1,2,... номер дискрета времени. В теории сис..
тем управления пространство состояний иноrда называют фазовым, компо
ненты Xj (i = 1, n ) вектора Х фазовыми координатами, а эволюции caMoro
вектора Х фазовой траекторией. В пользу описания процессов и систем в
пространстве состояний свидетельствуют следующие соображения.
Фазовые траектории непрерывных (2.1) и дискретных (2.2) про
цессов и систем представляются в виде дифференциальных и разност
ных уравнений, в отличие от изображений по Лапласу и Z преобразова
ний в классических методах. Это позволяет получить естественные, фи
зически наrлядные модели в форме, удобной для применения в ЭВМ.
Модели (2.1) и (2.2) дают возможность на основе BeKTopHO
матричных представлений унифицировать описание одномерных, MHO
rOMepHbIx, линейных, стационарных, нестационарных и широкоrо Kpyra
нелинейных процессов и систем. Кроме Toro, такие модели приrодны
45
для описания как замкнутых (автономных) систем и процессов, не взаи
модействующих с друrими системами и процессами, так и систем, в
которых указанные взаимодействия имеют место. В последнем случае
вводятся дополнительные множества: множество сиrналов управлений
с Jлементами ОЕ U (о==(иl и2 ... ur]T), множество возмущений Е S
( ==[ l 2 ... 11]T) И множество сиrналов измерений (наблюдений) ZE Z
(Z==[Zl Z2 ... zmJ r ). В такой ситуации элементы (2.1) и (2.2) пространства
состояний для непрерывных и дискретных процессов и систем можно
представить в виде Jvlоделей:
i ( t ) == f [ х ( t ), u ( t ), х (t ), t] ;
z ( t ) == h [ х ( t ), и (t ), t] ;
х (k + 1) == f [х (k ), u (k ), х (k), k] ;
z (k ) == h [ х (k ), и (k ), k] ,
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
в которых f и h в общем случае нелинейные вектор функции, х И 11
векторы возмущений процессов и систем, а также шумов измерений.
Для реUlения задачи синтеза в просп1рансп1ве сосп10Яl-lUй, как
правило, необходUJllО выполнить следуюz,цие процедуры:
1. Обосновать объем и конкретный вид априорной информации в
виде: исходных моделей интересующих процессов и оптимизируемых
систем; используемых первичных измерителей; законов распределения
и статистических характеристик всех видов возмущений; заданноrо
поля условий применения и всех оrраничений, накладываемых на про
ектируемую систему;
2. Выбрать тот или иной критерий оптимальности;
3. Сформировать алrоритмы функционирования РЭСУ, опти
мальные по выбранному критерию с учетом всех оrраничений, накла
дываемых на систему.
Синтез РЭСУ в пространстве состояний базируется на методах фор
мирования сиrналов оптимальноrо управления на основе математическоrо
аппарата статистической теории оптимальноrо управления. Оптимальное
управление возможно лишь при оmимальной обработке информации о
состоянии процессов и систем. Поэтому составной частью СТОУ является
теория оптимальноrо оценивания (ТОО) динамических процессов. Как
правило, для оптимизации процесса управления недостаточно априорной
46
информации о системах (особенно нестационарных). ПОJТОМУ еще одной
важной составной частью СТОУ является аппарат теории оптимальной
идентификации (ТОИ), который позволяет оптимально оценивать парамет
ры, характеристики и условия функционирования РЭСУ по Jксперимен
тальным данным. Необходимо подчеркнуть, что при решении некоторых
частных задач алrоритмы ТОО и ТОИ MorYT иrрать самостоятельную
роль без привлечения алrоритмов формирования сиrналов управления.
Для получения оптимальных оценок необходимо располаrать оп
ределенным объемом априорных сведений. К JТИМ сведениям относят
ся: модели оцениваемоrо процесса и измерителей в виде систем диффе
ренциальных, алrебраических или разностных уравнений законы pac
пределения и статистические характеристики возмущений оцениваемо
ro и наблюдаемоrо процессов и начальных значений оцениваемых фа
зовых координат. При rayccoBcKOM законе распределений достаточно
знать лишь математические о)кидания и дисперсии.
В общем случае математический аппарат теории оценивания позво
ляет сформировать оценки, оптимальные по различным критериям: наи
меньших квадратов, минимума среднеквадратичных ошибок (СКО), MaK
симальноrо правдоподобия и максимальной апостериорной вероятности.
При использовании пространства состояний широко употребительны алrо
ритмы форrvlирования оценок, оптимальных по минимуму СКО. Формиро
вание таких оценок осуществляется на основе перечисленных выше апри
орных сведений и результатов измерений (наблюдений) хотя бы части
оцениваемых фазовых координат. Под наблюдениями или измерениями
понимаются физические процессы (сиrналы) на выходе тех или иных
средств инструментальноrо контроля (измерителей). Для РЭСУ наиболее
важными наблюдениями являются сиrнШ1Ы высокой и промежуточной
частот, а также видеосиrналы, снимаемые с приемников или различноrо
рода дискриминаторов.
В современной ТОО можно выделить несколько направлений.
При использовании аналоrовых или дискретных моделей (2.3) (2.6)
соответственно используются аналоrовые или дискретные алrоритмы
оценивания. Если оцениваемые и измеряемые процессы аппроксимиру
ются линейными уравнениями (2.3) (2.6), то rоворят о линейном oцe
нивании. Если хотя бы один из этих процессов описывается нелиней
ными уравнениями, то имеет место нелинейное оценивание. Процедура,
коzда опl1ll/Jнальная оценка (jJОРJ\luруе/71СЯ llепо(редСlпве///iО на AlOAte/l/71
получения иЗJ\tере//uя (2.4), (2.6), llазьzвае171СЯ ОI1111uJнаДЬflой (/)llЛЬ/71рачu
47
ей. При (РОРА1ироваllии оценок па AtOAteHmbl BpeAteHll, onepe:J/calOllIue
вреАtЯ поступления наБЛlоденuй, 20ворят об экстраполяции. Если оценки
формируются на AtOAlellmbl BpeAtellU, KOf1'lOpble oпlcmalom от BpeAleHU
получения иЗАlерений, то t/..;\1eem место интерполяция. Следует под
черкнуть, что алrоритмы ТОО весьма чувствительны к отклонениям
параметров моделей и условий функционирования, использованных при
синтезе, от их действительных значений и условий. При наличии таких
несоответствий реальные показатели точности систем, синтезированных
на основе алrоритмов ТОО, MorYT быть существенно хуже их расчет
ных, теоретических значений. Отмеченные недостатки также свидетель
ствуют о целесообразности применения алrоритмов ТОИ.
Процессы и системы можно идентифицировать по целому ряду
признаков [25, 49]: классу моделей, в терминах KOToporo они представ
лены; условиям существования процессов и функционирования систем;
параметрам и показателям конкретных видов систем и процессов,
включая и различноrо рода ПО fехи, и Т.д.. Последнее направление Ha
зывается параметрической идентификацией. Для решения задач пара
метрической идентиq)икации необходимо кроме той информации, KOTO
рая используется в ТОО, еще иметь модели эволюций в пространстве
состояний параметров и показателей идентифицируемых процессов и
систем.
Качество идентификации определяется степенью приближения
оценок параметров и показателей процессов и систем к их действитель
ным значениям. Степень этоrо приближения можно оценивать по раз
личным правилам [25]. Одним из наиболее простых и удобных показа
телей оптимальности параметрической идентификации является мини
мум СКО оценивания параметров и показателей процессов и систем.
Необходимо отметить, что достаточно часто оптимальная фильтрация
фазовых координат и оптимальная идентификация систем используются
совместно в рамках единоrо алrоритма оценивания [25]. Следует под
черкнуть, что алrоритмы теории оптимальной фильтрации (ТОФ) и
ТОИ не отвечают на вопрос, какой ценой достиrается минимуrvl СКО
оценивания фазовых координат и параметров систем. Следовательно,
эти алrоритмы не учитывают оrраничений используемых сиrналов,
которые практически всеrда имеют место в реальной аппаратуре. По
этому их целесообразно использовать самостоятельно лишь при реше
нии чисто информационных задач, не требующих значительных затрат
энерrии.
48
Для реtuенuя Эllер20еАlКUХ задач управлеllия более прuспособлеllbl
ал20рuп1Аtbl CTO основанные на обеспечении экстремумов более
сложных, чем минимум СКО, функционалов, например, таких, как (1.4)
и (1.5). Оптимизация по таким критериям дает возможность получить
РЭСУ совместно наилучшие как по точности, так и экономичности с
учетом реальных оrраничений быстродействия исполнительных opra
нов, сиrналов управления и расходуемой ими энерrии. При этом можно
сформировать алrоритмы управления, более приближенные к реальным
условиям (рункционирования, чем алrоритмы, полученные на основе
друrих принципов.
Меньшая чувствительность алrоритмов СТОУ к отклонению yc
ловий функционирования от номинальных требует меньшей доработки
синтезированных РЭСУ в процесс е их ввода в серийное производство.
Кроме Toro, алrоритмы СТОУ позволяют еще на стадии проектирования
(на стадии разработки исходных моделей) достаточно просто учесть
свойства узлов и устройств, которые заведомо войдут в состав синтези
руемой РЭСУ (например, привод антенны БРЛС). Эта особенность ал
rоритмов СТОУ делает их более приспособленными к современному
стандартизированному и унифицированному производству.
Для синтеза РЭСУ на основе математическоrо аппарата СТОУ
необходимо наряду с априорной информацией, которая используется в
ТОО, учесть оrраничения, накладываемые на систему, и выбрать KOH
кретный вид минимизируемоrо Функционала качества. В практике син
теза систем управления наиболее широко применяются различные MO
дификации функционала Летова Калмана (1.4), локальноrо функциона
ла (1.5) и функционала обобщенной работы [29]. В зависимости от спо
собов получения законов управления различают алrоритмы, синтезиро
ванные на основе принципа максимума Понтряrина [29] и на основе
метода динамическоrо проrраммирования Беллмана. Принцип макси
мума дает возможность получить алrоритмы управления, используя
методы вариационноrо исчисления. Метод динамическоrо проrрамми
рования позволяет синтезировать закон управления, опираясь на сфор
мулированный Беллманом принцип оптимальности [48], вытекающий
из рациональных физических соображений. Необходимо отметить, что
при использовании одинаковых исходных моделей и q)ункционалов
качества оба способа приводят к получению идентичных алrоритмов.
Основное внимание будем уделять алrоритмам синтеза оптималь
ных РЭСУ, основанным на линейных моделях процессов, исполнительных
49
opraHoB и измерителей. Это обусловлено меньшим объемом требуемых
математических выкладок, большей простотой и наrлядностью полученных
алrоритмов, а также возможностью применения для их исследования xo
рошо разработанных методов анализа линейных систем.
2.1.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАльноrо УПРАВЛЕНИЯ
При описании общих подходов к синтезу оптимальных систем
управления в пространстве состояний было отмечено, что СТО У ис
пользуется при наличии оrраничений на проектируемую систему. Пояс
ним этот тезис более подробно. Обычно в пространстве состояний пола
rается заданным описание информационноrо процесса вектором х и
результатов наблюдения ero компонент вектором z. При этом функ
ция x(t) описывает фазовую траекторию, которую и необходимо BOCCTa
новить (оценить) по результатам наблюдений вектора z. Никаких orpa
ничений на синтезируемую систему, которая оптимальным образом
будет формировать эту оценку, не накладывается. При этом часто пред
полаrается, что априорно задана некоторая часть системы, на вход KO
торой подаются сиrналы управления u(t), а на выходе этой системы
необходимо воспроизвести искомую траекторию x(t). Процесс на BЫXO
де системы управления будем обозначать Ху (управляемая траектория).
Структура системы управления полаrается заданной и описывается в
пространстве состояний соответствующим уравнением, например ли
нейным
i у (t ) == F у (t )х у (t ) + В у (t р (t )+ у (t ) .
(2.7)
Здесь: Fy динамическая матрица состояния; Ву матрица эффективно
сти управления; u(t) r мерный вектор сиrналов управления (БП), по
даваемых на вход системы управления, у вектор дополнительных
(неконтролируемых) случайных возмущений, который обычно описыI
вают белым rауссовским шумом с нулевым математическим ожиданием
и матрицей односторонних спектральных плотностей G y . В общем слу
чае размерность вектора Ху отлична от размерности вектора х, Т.е. сис
тема управления воспроизводит не все координаты искомой траектории
x(t), а только часть из них. В целях большей физической наrлядности
будем полаrать сначала, что размерности указанных векторов совпада
ют.
Так как в теории оптимальноrо управления принято rоворить о
траекториях в пространстве состояний, то процесс x(t) часто называют
50
требуемой траекторией и обозначают x/t). Поэтому здесь и далее также
будем использ<?вать это обозначение. Тоrда соответствующее ypaBHe
ние, описывающее требуемую траекторию в пространстве состояний,
представим в виде
Х Т (t) = F T (t )Х т (t)+ T (t).
(2.8)
rде: F T динамическая матрица состояния; T вектор белых rayccOB
ских шумов с нулевым математическим ожиданием и матрицей OДHO
сторонних спектральных плотностей G T .
Мноrовариантность описания процедур задаqи оптимальноrо уп
равления приводит к чрезвычайному разнообразию её постановок [34].
Ни)ке будет использована одна из самых несложных, позволяющая по
лучить наиболее простые алrоритмы формирования управляющих сиr
налов. Эп1а задача (ftОРЛlулируе/1'lСЯ следУl0Lцu.Лl обраЗОАl: по резульп1а
П1lLИ flаБJ110деflUй z(t) (стРУКП1УРУ КОПl0РЫХ Л'lЫ определu.kl пОЗ:J/се) всех
или некоп10РЫХ KOAtnOHeH111 xT(t) U Xy(t) выборо.'н веКП10ра управленuй u(t)
необходtL/\tО flаилучиlи \l (опl11и 1IlаЛblIЫАt) обраЗО.J1l на выходе cиC111eAlbl
управления СФОРА1uроваmь управляеJ1lУ/О mpaeKmopUIO Xy(t). Возможные
критерии оптимальности описаны в П.1.4.2. Рассмотрим, например,
критерий Лётова Калмана (1.4).
Из физических соображений понятно, что, задав оrpаничения на
структуру выбираемоrо (синтезируемоrо) вектора Ху, мы оrраничиваем
ВОЗ 10ЖНОСТИ выбора наилучшей системы, а, следовательно, характеристи
ки выбранной системы будут «не лучше» (а в общем случае хуже), чем у
системы, которая выбирается (синтезируется) без оrpаничений. Поэтому,
задав структуру системы управления (2.7) мы заведомо идем на ухудшение
потенциальных показателей качества. Более Toro, если в системе управле
ния имеют место дополнительные возмущения (шумы y), которые OTCYТ
ствовали при решении задачи оптимальной фильтрации, то это приведет к
дополнительному ухудшению потенциальной точности. Необходимо, oд
нако, подчеркнуть, что использование (2.7) даёт возможность ещё на стадии
проектирования учесть оrраничения на динамические свойства исполни
тельных opraHoB, которые заведомо войдут в состав системы.
Обычно в качестве заданной части рассматриваются исполни
тельные opraHbI. 11x динамические свойства (быстродействие) уqитыва
ются в (2.7) коэффициентами матриц Fy и Ву' ОzраlluчеflUЯ на yпpaв
ЛЯIОLцие си211алы накладыва/ОП1СЯ в виде одl-tО20 из Пlрех условий:
51
u j (t) < U допj ,
( j = 1, r );
(2.9)
м{ u т (t)Ku(t) } < pJt);
(2.1 О)
11 м { u т (t )кu (t) }н < f.t .
о
Неравенство (2.9) означает, что мrновенные значения Uj каждоrо
сиrнала управления не должны превышать допустимоrо значения U допj .
Неравенство (2.1 О) оrpаничивает мощность сиrналов управления с учетом
важности отдельных ero составляющих Uj для системы в целом. Количест
венно степень важности различных сиrналов управления определяется
коэффициентами к] матрицы К. Условие (2.11) оrраничивает «взвешен
ную» энерrию, затрачиваемую сиrналами управления за все время
управления t K . Эти дополнительные оrpаничения приводят к ухудшению
потенциальной точности слежения за требуемой фазовой траекторией.
Вместе с тем следует отметить, что в ряде приложений реальная
точность систем, синтезирован ых по алrоритмам СТОУ, оказывается
лучше, чем у аналоrичных систем, синтезированных по алrоритмам
оптимальной фильтрации. Обусловлено это, прежде Bcero тем, что уже
на стадии проектирования можно учесть реальные оrраничения, KOTO
рые часто имеют место в практике эксплуатации, и которые не учиты
ваются теорией оптимальной фильтрации.
Отмеченные выше положения справедливы и для более общеrо
случая, коrда размерность векторов Х Т и Ху не совпадают. При этом
обобщенный показатель качества Лётова Калмана (1.4) можно предста
вить в виде [29]
(2.11 )
1 = М{[Атх т (tk) AyXy(t k )! Q[ATX T (tk) AyXy(t k )]+
+ J[ATXT(t) АуХу(t)!L[л.тхт(t) Ayxy(t)]dt+ 11 UTKUdt } , (2.12)
о о
rде матрицы А т и Ау уравнивают размерности векторов Х Т и Ху.
Для сокращения записей, введем обобщенный вектор х==( х::: x ]т.
Тоrда, с учетом (2.7), (2.8) и (1.4), можно записать
52
x(t) = F(t )x(t)+ B(t )I(t)+;x (t),
1 = М {х Т (t k Ix(tk)+ t[ k' (t )LJx(t)+ пТКп ]dt},
(2.13)
(2.14)
rде
F== F T 01 В== 0з ;х = ;т G(t)== G T 04
02 Fy , В ' ;у 05 G y ,
у
A QAI' A QAy т A LAy
Q]== L]== ATLAr (2.15)
A Q A QAy т A LAy ,
AyLAr
а Ol 05 нулевые матрицы соответствующей размерности.
Для задачи линейноrо оптимальноrо управления, наблюдения
полаrаются линейными и описываются уравнениями
z(t) = И(t )х(t)+;и (t),
(2.16)
rде IJ белый rауссовский шум с нулевым математическим ожиданием
и матрицей односторонних спектральных плотностей G и . При нелиней
ных наблюдениях уравнение (2.16) представляется соотношением
z ( t ) = s (х, t) + ; и (t ) ,
(2.1 7)
в котором s(x, t) нелинейная вектор функция.
Однако при большом отношении сиrнал/шум и высокой точности
измерений задачу с нелинейными наблюдениями можно привести к
эквивалентной задаче линейных наблюдений. Поэтому в дальнейшем
будем рассматривать в основном линейные наблюдения (2.16).
В общем случае задача синтеза системы оптимальноrо управле
ния на основе математическоrо аппарата СТОУ формулируется сле
дующим образом: для системы с заданной частью (2.7), предназначен
ной для отработки процесса (2.8), при наличии измерений (2.16) или
(2.17), необходимо найти сиrнал управления и, обеспечивающий мини
мум Toro или иноrо функционала качества (например (2.14)).
Из физических соображений ясно, что для формирования сиrна
лов управления необходима информация о фазовых координатах BeKTO
ра состояния х (2.13). При получении инq)ормации о компонентах Xj
( j = 1 ,2п) необходимо учесть две особенности. Первая определяется
53
наличием возмущений т и у, что обусловливает случайный характер
процессов Х Т и Ху' По JТОЙ причине никакие априорные сведения о Х Т и
Ху не позволяют точно оценить их MrHoBeHHbIe значения. Вторая oco
бенность предопределена тем, что не все компоненты Xj (i = 1,2п ) MorYT
поддаваться инструментальному контролю. В модели MHoroMepHoro
измерителя (2.16) это учитывается тем, что размерность вектора z не
превышает размерности вектора Х (т:5;2п). В связи с этими особенно
стями для получения информации о фазовых координатах Xi необходи
мо использовать алrоритмы ТОО. Очевидно, что при формировании
сиrналов управления в реальном масштабе времени оценки х процесса
Х должны формироваться на основе алrоритмов оптимальной q)ильтра
ции. Известно [54], что наилучшим по критерию минимума СКО при
ближением оценки х к случайному процессу Х является условное MaTe
матическое ожидание
i=M{xl z ].
(2.18 )
Необходимо отметить, что все существующие алrоритмы опти
мальной фильтрации сводятся к вычислению (2.18).
Несомненно, что оценивание вектора Х будет тем точнее, чем точнее
сведения о параметрах используемых процессов и систем. В моделях (2.7),
(2.8), (2.13) роль параметров иrрают коэффициенты матриц F T , G T , Fy, Ву,
G y и Н, G и . Особое значение имеет точность сведений об этих параметрах
для нестационарных систем и процессов, в которых коэффициенты пере
численных матриц являются функциями времени. Для текущеrо оценива
ния параметров целесообразно использовать алrоритмы ТОИ, которые
позволяют найти оценки, оптимальные по минимуму СКО
H=M{Hlz}' F=M{Flz}, B=M{Blz}' G=M{Glz}' (2.1 )
используемые в алrоритмах фильтрации и вычисления сиrналов управления.
Таким образом, в процессе решения задачи синтеза оптимальной
системы управления в общем случае необходимо сформировать алrо
ритмы вычислений оптимальных сиrналов управления, оптимальной
фильтрации всех фазовых координат и оптимальной идентификации
параметров всех исходных моделей. Эти выводы распространяются и на
синтез РЭСУ на основе нелинейных моделей Х т , Ху и Z.
54
Для задач с дискретным временем соответствующие модели co
стояния и наблюдений определяются уравнениями
x(k)= Ф(k,k l)x(k 1)+ B(k l)u(k 1)+;х (k 1), (2.20)
( ) = [ XT(k) ] ( ) == Фт(k,k l) 01 j
Х k ( ) ' ф k, k 1 ( '
Ху k 02 Фу k,k 1
Оз I T(k l)
B(k l)== By(k l ' x(k l)== /k l)'
z(k)= Н(k)х(k)+ и (k),
(2.20,а)
(2.21 )
в которых: Ф(k,k 1) переходная (фундаментальная) матрица;
Фт(k,k 1) и Фу(k,k 1) переходные матрицы требуемоrо и управляемо
ro процессов, являющихся аналоrами (2.8) и (2.7), соответственно; 01
О) нулевые матрицы соответствующей размерности, а функционал
качества соотношением
1 == М { х т (k lx(k)+ '[x т (i )L,X(i)+ u т (i)Ku(i )]},
(2.22)
смысл слarаемых в котором аналоrичен функционалу (1.4). В соотношени
ях (2.20к2.21) смысл обозначений аналоrичен принятым в (2.12Н2.16).
2.1.2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СИНТЕЗА РЭСУ
В общем случае синтез оптимальных РЭСУ сводится к получению
оптимальных алrоритмов оценивания, идентификации и управления. Необ
ходимо отметить, что эта процедура достаточно затруднительна. Кроме
Toro, полученные алrоритмы, как правило, настолько сложны, что без спе
циальных трудоёмких исследований, связанных в том числе и с моделиро
ванием полученных законов на ЭВМ, невозможно судить о работоспособ
ности РЭСУ. В связи с этим желательны такие критерии и математический
аппарат, которые еще до получения алrоритмов оценивания, идентифика
ции и управления позволили судить о возможности их осуществления.
Указанные критерии и математический аппарат были разработаны в про
цессе изучения свойств динамических систем (моделей), называе1\.1ЫХ изме
римостью, наблюдаемостью, идентифицируемостью и управляемостью.
Поскольку основной целью изучения этих свойств является выяснение
55
принципиальной возможности синтеза алroритмов фильтрации, иденти(ри
кации и управления при выбранных моделях состояний и измерений, то
оно про водится для идеальных условий, без учета всех видов возмущений.
Несмотря на идентичность понятий измерение и наблюдение, по
нятия измеримости и наблюдаемости имеют различный смысл. Под
измеримостью ПОНИ 1ают возможность непосредственноrо инструмен
тальноrо контроля (наблюдения) той или иной фазовой координаты.
Синоним измеримости непосредственная наблюдаемость. Необходи
мо отметить, что ряд фазовых координат, используемых в РЭСУ при
формировании законов наведения, не поддаются непосредственному
измерению. К таким координатам, например, относятся уrловая CKO
рость линии визирования цели и абсолютные параметры движения цe
ли. В отличие от измеримости, понятие наблюдаемости включает в себя
еще и возможность KocBeHHoro определения некоторых фазовых KOOp
динат, на основе измерения друrих компонент состояния. В математи
чес ком плане задача наблюдаемости (рормулируется следующим обра
зом. По полученному множеству измерений z, связанному функцией
z(x) с множеством состояний Х с известными моделями, необходимо
определить Х или подмножество XnE Х.
Возможность формирования оценок х процесса Х на основе Ha
блюдений z определяется по критеРИIО наблюдаемости. Для линейных
нестационарных систем смысл этоrо критерия состоит в том, что для
формирования N оценок (2.18) всех фазовых координат (2.13) на основе
m измерений (2.16) (m:5;N==2n) необходимо, чтобы [35,49]
rank [П П 000 ПN ] == N , (2.23)
rде rank paHr матрицы;
ПО = H(t); П i = П i .... 1 + Пi IF(t), i = 1, N 1.
(2.24 )
Для стационарных систем, в которых F==const, H==const, условие
(2.23), (2.24) приводится к виду
rank[ HTIFTH T (F T УНТ 000 (F T )N I Н Т ] == N о
(2.25)
Анализ (2.23) (2.25) позволяет прийти к следующим заключени
ям. Наблюдаемость зависит от вида детерминированных связей оцени
56
BaeMoro процесс а, определяемых в (2.13) матрицей F(t), и от набора и
вида измерителей, определяющих в (2.16) матрицу H(t). Проведенные
исследования показали [29], что в общем случае при увеличении числа
m измерителей наблюдаемость улучшается. Аналоrичный критерий
можно привести и для дискретных моделей состояний и измерений. Для
этоrо достаточно в (2.23) (2.25) заменить матрицу F(t) фундаменталь
ной матрицей Ф(k,k l) процесс а (2.20) [23].
Физический смысл условий (2.23) (2.25) состоит в том, что при
их выполнении можно на основе (2.16) и (2.13) получить N независи
мых уравнений с N неизвестными, однозначно связывающими измере
ния с оценками фазовых координат. В прикладном плане llаряду с вblЯС
иellueJW саJ1tОЙ вОЗМО:JIС1-LОСn1U сuиn1еза аЛ20рUlnАlа фuлыnрацuu КРИlперии
(2.2З) (2.25) позвОЛЯ10/n опредеЛl/1nЬ АiUlluмаЛЫIО llеобходUhlЫй набор
UЗJ\lеряеАtblХ коордиllат, при КОn1ОрОЛ1 будеl11 обеспечиваться оченu
ваиие 11'1ребуе./\tО20 веКn10ра СОСnl0Jlllия. Как правило, для получения всех
нужных оценок необходимо, чтобы в каждой rруппе q)ункционально
связанных координат измерялись, как минимум, наименьшие производ
ные вектора состояния. Например, для формирования оценок дальности
до цели, скорости сближения с ней и относительноrо ускорения, а так)ке
бортовоrо пеленrа цели и скорости ero изменения необходимо, по край
ней мере, измерять дальность и уrол.
Параметрическая идентифицируемость характеризует собой воз
можность оценивания параметров мате 1атических моделей систем или
процессов по результатам измерения определенных выходных величин
в течение определенноrо времени. Под параметрами систем или процес
сов (2.16), (2.13) понимаются коэффициенты матриц F, В, Н и матриц
G и и G x спектральных плотностей возмущений II и X' Параметры, обо
значаемые в дальнейшем элементами aj вектора а (j = 1, М ) по cpaBHe
нию с фазовыми координатами Xj ( i == 1, N) (2.13) и результатами изме
рений Zj (i == 1, П1 ) (2.16) считаются медленно изменяющимися величи
нами. В идеальном случае полаrается а == о .
Математически задача идентификации формулируется следую
щим образом. По полученному множеству измерений z, связанному
функцией z==11(x,a,t) с множествами состояний х и параметров а с из
вестными моделями х ==f(x,u,a,t) необходимо определить а. При этом
MorYT иметь место две ситуации. Вектор х ==f(x,u,a,t) может считаться
57
известным, что приводит к задаче локальной параметрической иденти
фикации. Если вектор хнеизвестен, то по одним и тем же измерениям z
необходимо оценивать как обобщенный вектор а, так и вектор состояния х.
В последней ситуации имеет место задача COBMeCTHoro оценивания (разо
вых координат и идентификации параметров систем или процессов.
Возможность осуществления идентификации определяется по кри
терию идентифицируемости. Для локальной задачи оценивания параметров
а по результатам измерений z==h[x(t),a,t)] необходимо, чтобы
д
да
д
да
h[x(t), а, t]
д
h[x(t a, t]
at
rank
=М
,
(2.26)
д
да
дM 1
atM 1 h(x(t1a,t]
rде М число оцениваемых параметров, а вектор а составляется из строк
или столбцов оцениваемых матриц. Теоретически идентифицируемость
можно рассматривать как частный случай наблюдаемости. В связи с ЭТИ 1
для (2.26) справедливы результаты анализа, проведенноrо для (2.23) 2.25).
Возможность целенаправленноrо изменения всех фазовых KOOp
динат с помощью заданноrо набора сиrналов управления можно опре
делить на основании критериев управляемости. Пока подобные крите
рии получены лишь для линейных стационарных систем. В зависимости
от оrраничений, накладываемых на систему, и вида управления (анало
rOBoro, релейноrо или импульсноrо) MorYT использоваться различные
критерии [35, 49]. Для линейных стационарных аналоrовых систем с
сиrналами управления Uj ( j = 1, r), не превышающими допустимых зна
чений U допj , критерий управляемости можно сфОРl\1улировать следую
щим образом. Для целенаправленноrо изменения всех 11 фазовых KOOp
динат Xyi системы (2.7) посредством воздействия r сиrналов управления
Uj необходимо, чтобы
rank[B y IFy Ву F:By 1...IF; IBy J = n . (2.27)
58
Выполнение условия (2.27) означает, что для модели (2.7) можно по
пучить систему n независимых уравнений с n неизвестными, однозначно
связывающих сиrналы управления с выходными q)азовыми координатами.
О системах, для которых выполняется условие (2.27), rоворят, что они
вполне управляемы. Критерий (2.27) позволяет определить минимально
возможный набор управляющих сиrналов, с помощью которых можно
целенаправленно изменять все фазовые координаты системы. Для выпол
нения (2.27) необходимо, чтобы в каждой rpуппе функционально связан
ных фазовых координат управлялась хотя бы самая высокая производная.
Условия полной управляемости для дискретных стационарных
линейных систем по внешнему виду совпадают с (2.27). Однако вместо
матриц F у и Ву необходимо использовать их дискретные аналоrи из
моделей в виде разностных уравнений.
Следует подчеркнуть, что в сложных системах с иерархической
структурой управляемость исследуется для ка)l(доrо уровня, начиная с
низшеrо и заканчивая высшим.
В общем случае можно утвер)l(дать, что критерии (2.23) (2.27)
определяют необходимые условия синтеза оптимальной РЭСУ либо ее
составных частей. При этом, в зависимости от использования в опти
мальной системе алrоритмов оптимальной q)ильтрации, идентификации
и управления, необходимо выполнение соответствующих критериев.
Невыполнение хотя бы одноrо критерия однозначно свидетельствует о
невозможности синтеза требуемых алrоритмов функционирования рэ
СУ. Если же указанные критерии выполняются, то это еще не является
однозначньп..1 свидетельством возможности осуществления синтеза в
целом, поскольку на эту возможность влияют еще и друrие условия.
2.1.3. Условия УПР()ЩЕНИЯ СИНТЕЗА РЭСУ
В процессе проектирования РЭСУ и ее составных частей необходи
мо одновременно синтезировать алrоритмы оценивания (разовых I(оординат
и параметров системы и вычисления сиrналов управления. Решение :этой
задачи, особенно для MHoroMepHbIx систем, весьма сло)кно. Кроме Toro,
достаточно сложно синтезировать вычислитель сиrналов управления, назы
ваемый реryлятором, с учетом возмущений, которые СОПРОВО)l(ДaIОТ про
цессы измерений и воздействуют на данную систему.
Условия упрощения синтеза оптимальных РЭСУ определяются
q)ундаментальной теоремой разделения или статистической :эквивалент
ности. Теорема rласит: для линейных моделей (2.16) и (2.13) в условиях
59
rауссовских возмущений 11 и Х при оптимизации систем по квадратич
ным функционалам качества (например, таким, как (1.4) и (1.5» алrо
ритмы оценивания и управления можно синтезировать независимо (раз
дельно). При этом алrоритм (рункционирования статистическоrо pery
лятора, учитывающеrо влияние возмущений If и х, будет аналоrичен
(статистически эквивалентен) алrоритму функционирования детерминиро
BaHHoro реryлятора, полученному для ситуации, коrда х==О И и==о, при
условии замены в последнем фазовых координат х (2.13) и параметров
"" "
системы F, В, Н их оптимальными оценками х (2.18) и F , В и Н (2.19).
Требования линейности моделей, квцдратичности функционалов и
raуссовости шумов называются условиями линейн квадратичн
raуссовской (лкr) задачи синтеза. для такой задачи теорема разделения
(статистической эквивалентности) доказывается cтporo [57]. Если обоб
щенный объект управления или измерители аппроксимируются нелиней
ными моделями, то теорема разделения не имеет cтpororo доказательства.
Однако при достаточно больших отношениях энерrии сиrнала к спектраль
ной плотности шума, коrда в РЭСУ имеют место точные измерения, ее
также можно разделить на фильтр, формирующий оптимальные оценки
фазовых координат и параметров системы, и реryлятор, вычисляющий
сиrналы управления [29]. При этом текущая оптимальная оценка х опре
деляется нелинейным фильтром. Необходимо отметить, что полученное
таким способом приближенное решение задачи раздельноrо синтеза фильт
ра и реryлятора тем точнее, чем выше точность оценивания [49].
Достаточно точное оценивание компонент состояния и парамет
ров систем типично дЛЯ РЭСУ. Поэтому при синтезе РЭСУ на основе
нелинейных моделей состояния и наблюдения также можно пользовать
ся выводами теоремы разделения (статистической эквивалентности).
Необходимо отметить, что в практике проектирования РЭСУ и ее co
ставных частей достаточно часто не требуется синтезировать алrоритмы
идентификации. В такой ситуации раздельное формирование алrорит
мов оценивания и управления упрощается еще более.
2.2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА РЭСУ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
в широком смысле под анализом понимается процедура исследова
ния РЭСУ в заданных условиях функционирования ДJIЯ определения показа
телей ее эффективности. Эти исследования проводят аналитическими, экспе
60
риментальными методами и методом имитационноrо моделирования. Необ
ходимо подчеркнуть, что экспериментальные исследования РЭСУ, как пра
вЮJО, очень трудоемкие и дороrостоящие. Кроме Toro, они позволяют полу
чить показатели Jф(рективности постфактум у)ке после создания опытноrо
образца системы, в то время как эти сведения желательны еще на стадии ее
проектирования. В связи с этим основное внимание будем уделять аналити
ческим методам исследования и методам имитационноrо моделирования.
Определение показателей эффективности необходимо для выяс
нения их соответствия требуемым значениям и возможности их улуч
шения. Под условиями применения понимается поле возможных значе
ний фазовых координат (например, дальностей, скоростей и высот при
менения), показателей состояния окружающей среды (температуры,
давления, влажности) и оrраничений, накладываемых на систему (дo
пустимые переrрузки, минимальная дальность применения оружия,
чувствительность приеМНИI<а и т.д.).
В узком смысле анализ РЭСУ сводится к определению показателей
устойчивости, точности, помехоустойчивости и чувствительности к изме
нению условий применения и точности выдеР)l(ивания параметров. Попyr
но определяется и поле условий применения, в котором эти показатели
удовлетворяют заданным требованиям. Кроме Toro, в процессе анализа
выявляются критичные по тем или иным показателям режимы работы и
предлаrаются рекомендации по повышению эффективности РЭСУ и воз
можным ее упрощениям, не приводящим к существенным ухудшениям
показателей эффективности. Основное внимание будет уделено методам
анализа РЭСУ на устойчивость, точность и чувствительность.
БОJlЬШУ10 zpynny htеlnодов аllализа соспlаШlЯl0т классические пpUeAtfbl
u процедуры исследоваllUЙ линейuых спlаЦUОllарных CиCmeA,t. К ним относят
ся методы, основанные на использовании преобразований Ламаса и Фурье,
Z преобразований, передаточных фУНI(ЦИЙ и структурных схем. Однако эти
методы трудно использовать для анализа мноrомерных и статистических
систем. При анализе последних широкое применение находят связанные
между собой корреляционный и спектральный методы [53, 54].
Более уfluверсш1ыlы совре.J1lеllllые Аlеlподы аНШluза, основаиllые на
предСlпавлеuuи процессов и систeJI, в l1pOClnpa1lCтae состОЯllий [23, 29, 32,
47, 54, 62]. Эти методы применяются при анализе мноrомерных и OДHOMep
ных, детерминированных и статистических, линейных и нелинейных, CTa
ционарных и нестационарных систем. При JTOtvl на основе одних и тех же
моделей можно использовать как аналитические методы исследований, так
61
и методы имитационноrо моделирования на ЭВМ. Наиболее полно и cтpo
ro современные методы анализа разработаны для линейных стационарных
систем. Среди них можно выделить различные модификации процедур и
приемов анализа систем на устойчивость, точность и чувствительность.
Исследования РЭСУ на устойчивость, выполняемые аналитическими
методами и методами имитационноrо моделирования, проводятся как ДJIЯ
систем в целом, так и для отдельных ее режимов, подсистем и устройств.
Кроме констатации caMoro факта устойчивости, выявляется поле условий
применения РЭСУ, подсистем и устройств, в котором они функционируют
устойчиво. Одновременно определяется допустимый диапазон изменения
параметров отдельных устройств, влияющих на устойчивость РЭСУ в целом.
В процессе анализа РЭСУ на точность в общем случае находят по
те'нциальные и реальные ошибки функционирования с привлечением, как
аналитических методов, так и имитационноrо моделирования. На первом
этапе анализа обычно определяют потенциальную точность систем и OT
дельных устройств. Исследование потенциальной точности проводится с
целью определения минимально возможных ошибок функционирования.
Кроме Toro, потенциальная точность служит одним из необходимых при
знаков соответствия РЭСУ задаННЬПvI требованиям. Если показатели потен
циальной точности не соответствуют требованиям, то дальнейший анализ
направлен на выявление причин TaKoro несоответствия. Для оптимальных
РЭСУ потенциальная точность обусловлена дисперсиями ошибок фильтра
ции, которые вычисляются в процессе решения уравнений Риккати [29, 60].
При этом необходимо отметить два обстоятельства.
Дисперсии зависят от условий применения, определяющих в
(2.16) и (2.13) статистические характеристики возмущений и ИХ' В
связи с этим анализ на потенциальную точность необходимо проводить
для Bcero поля возможных значений спектральных плотностей или дис
персий возмущений.
Решение уравнений Риккати аналитическим способом возможно
только для оптимальных фильтров малой размерности. Во всех осталь
ных случаях значения дисперсий ошибок (рильтрации получаются в
процессе численноrо решения уравнений Риккати на ЭВМ.
Если потенциальные ошибки соответствуют требованиям, то ис
следуется точность фильтрации в условиях, приближенных к реальным
(в дальнейшем реальная точность). Получить показатели реальной точ
ности аналитическими методами можно только для систем малой раз
мерности. ПОJТОf\.lУ основным методом исследования реальной точности
62
является имитационное моделирование на ЭВМ. В процессе этоrо модели
рования определ ются динамические и q)луктуационные ошибки во всем
поле возможных условий применения, а также наличие расходимости про
цессов оценивания. Суть расходимости состоит в том, что в реальных усло
виях функционирования ошибки фильтрации (x х) MorYT увеличиваться,
существенно превышая свои теоретические значения, определяемые в про
цессе решения уравнений Риккати. Причины раСХОДИ 10СТИ и методы борь
бы с ней будут рассмотрены в 4.2, 4.3.
Следует отметить, что синтез РЭСУ, как правило, выполняется в
рамках тех или иных допущений, которые, позволяя упростить процедуру
синтеза, на практике не всеrда соблюдаются. Поэтому особое значение
при обретает имитационное моделирование для анализа РЭСУ на устойчи
вость и точность В условиях, коrда принятые допущения не соблюдаются.
Друrим направлением исследований РЭСУ дЛЯ выявления их
способности функционировать в условиях, отличающихся от CTaHдapT
ных, является использование специальных процедур определения чув
ствительности. Под чувСl1zви/1'lеJ/Ь//ОСf11ЫU РЭСУ 110 /иАlае/nся ее Сl10соб
I-lОС/71Ь UЗJнеllЯnlЬ свои 110каза/nелu зqJфеКnluвНОСI1ZU при llЗJне/lе/lUU УСЛО
вий qJуиКЦUО/luроваllUЯ, napa.l\le/1zpoe nодсис/nеJ1l U устройств и п10ЧНО
cnzu UЗАlерип1елей. Необходимо оТtvtетить, что понятие чувствительности
имеет двойной смысл. Для адаптивных систем, целенаправленно при
спосабливающихся к изменениям условий функционирования, парамет
ров подсистем и точности измерителей, высокая чувствительность явля
ется положительным фактором. Для неадаптивных РЭСУ высокая чув
ствительность к отмеченным изменениям обычно приводит к ухудше
нию показателей их эффективности.
Среди методов анализа чувствительности MO)l(HO выделить две
rруппы. К одной из них относятся методы текущеrо оценивания чувст
вительности, позволяющие определить ее на любой текущий момент
времени. К друrой rруппе относятся методы интеrральноrо оценивания
чувствительности, которые дают возможность получить ее оценку за
все время функционирования РЭСУ.
в свою очередь, среди методов текущеrо оценивания чувстви
тельности так)ке MO)l(HO выделить две rруппы. Первая zpynna основана
на определении коэффициентов чувствительности. КОJq)(l>ициенты чув
ствительности представляют собой ИЗ 1енения показателей 1ффективности
РЭСУ либо ее (l)азовых координат, обусловленные единичными измене
ниями параметров, условий ПРИ lенения или поrрешностей измерений.
63
Эти коэффициенты определяются в процессе анализа в MHoroMepHoM
пространстве моделей состояния (2.13), наблюдений (2.16), алrоритмов
фильтрации и управления. Анализ проводится путем разложения в тот
или иной ряд исследуемых процессов как функций мноrих aprYMeHToB.
Роль aprYMeHToB иrрают интересующие изменения фазовых координат,
параметров системы и поrpешности измерений. Коэффициенты членов
ряда при указанных aprYMeHTax и представляют собой коэффициенты
чувствительности. Достоинством таких методов является возможность
их применения для широкоrо класса нелинейных, линейных, детерми
нированных, статистических, стационарных и нестационарных систем.
Вторая сруппа методов текущеrо оценивания чувствительности
основана на определении приращений дисперсий ошибок функциони
рования РЭСУ за счет тех или иных несоответствий исходных моделей
и реальных условий функционирования. Эти методы наиболее хорошо
разработаны для характеристики чувствительности различных алrорит
мов оптимальноrо оценивания.
Все рассмотренные методы позволяют оценить чувствительность
как (рункцию времени. В итоrе становится трудно сравнивать чувстви
тельность различных систем, поскольку ее показатели MOryT меняться
во времени различным образом. Этоrо недостатка лишены методы ин
теrральноrо оценивания чувствительности за все время функциониро
вания РЭСУ. В их основе лежит вычисление абсолютных или относи
тельных приращений оптимизируемых квадратичных функционалов
качества (1.4) и (1.5), которые вызываются теми или иными изменения
ми условий функционирования и параметров системы. Кроме Toro,
такие методы позволяют получить совокупную оценку чувствительно
сти при одновременном изменении всех интересующих параметров,
фазовых координат и т.д.. Необходимо отметить, что, давая более обоб
щенную оценку чувствительности, эти методы оказываются существен
но более сложными и без применения ЭВМ не реализуемы на практик .
Строrий анализ нелинейных и нестационарных линейных систем
на устойчивость и точность достаточно сложен и трудоемок. Обзор
таких методов приведен в [43,48, 50, 51]. Приближенно об устойчиво
сти и точности нелинейных систем можно судить по их линеаризован
ным моделям. Для приближенноrо анализа нестационарных систем
используется метод замороженных коэффициентов, суть KOToporo будет
рассмотрена в 4.1.
64
r ЛАВА 3. СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ РЭСУ
3.1. МЕТОД ДИНАМИЧЕскоrо проrр АММИРОВАНИЯ
ОДНИМ из наиболее употребительных методов оптимизации сис
тем управления, имеющих несложную физическую интерпретацию,
является стохастическое динамическое проrраммирование. Просmоп1а u
на2лядность процедуры оптимuзациu обусловлены uспользоваlluем
прUllципа опmш"uльносmu, введеННО20 Р. БеЛЛ..А"а1l0А" [29]. Суть эmО20
принципа состоит в том, чmо llезавuсuмо от исходНО20 сосmояния
опmuмuзируе.мой cucmeAtbl все последУl0tцие С1l2налы управлеllИЯ дОЛ:JIС
ны быmь опmuмалЬНblЛ1U по оmНОluеllИ10 к сосmоянuЯJИ, вознuкаl0lЦUМ в
резульmаmе воздействия предыдуtцuх управленuй.
Для простоты будем полаrать, что используются детерминиро
ванные модели состояния и все фазовые координаты измеряются точно.
В общем случае метод динамическоrо проrраммирования позволяет для
MHoroMepHoro обобщенноrо объекта управления (ООУ)
i = [(х, о, t) (3.1)
отыскать вектор u сиrналов управления, оптимальный по минимуму
интеrральноrо квадратичноrо функционала качества
t"
1 = J фт [x(t), u(t), t}It +Ф К [x(t K ), u(t K ), t K ].
о
(3.2)
Здесь фт[ ] И фк[ ] обобщенные выражения подынтеrральных (TeKY
щих) и терминальноrо (конечноrо) членов функционала качества (нап
ример, (1.4)). В соответствии с принципом оптимальности управление
должно быть таким, чтобы функционал (3.2) был минимальным на лю
бом интервале [t,t K ], rде O$;t$;t K (рис. 3.1).
.
. .
.
..
о
t "[+
t K
t
Рис. 3.1
3 2486
65
Функционал, минимизированный выбором u на произвольном
участке ['t,t K ], называется функцией Беллмана:
s[x(t), '1;]== m я{! фт [x(t), "(t), t}:tt к [x(t K ), "(t K ), t K J}. (3.3)
[t,t" ]
СУtцествованuе ФУlIкции S[x('t),'t] БеЛЛА-lана указывает на нали
чие управления, A-tинимизиРУIОlцеzо (руuкцuонал (3.2). Необходимо OTMe
тить, что функция x(t), являющаяся решением системы (3.1) на интерва
ле ['t,t K ], определяется ее начальным состоянием x('t) и управлением u(t)
при 't<t$;t K . Кроме Toro, поскольку оптимальное управление минимизи
рует функционал качества, устраняется зависимость правой части (3.3)
от вектора управления u. В итоrе предопределяется зависимость функ
ции Беллмана только от apryMeHToB x('t) и "[. Из (3.3) следует, что при
't==t K функция Беллмана упрощается:
S [х ( t к ), t к ] = ф к [х ( t к ), u ( t к t к ] .
(3.4)
Представим (3.3) в виде суммы двух слаrаемых:
s[ x(t), "С] = min { "tj T [х( t), u( t 1 фt+ f Ф т [ х( t), u( t), фt+Ф к [ Х( tK ), u( t K ), t к ]} . (3.5)
{u(t)} 't "c+
['t,tJ
в оответствии с принципом оптимальности управление на каж
дом последующем участке должно быть оптимальным независимо от
состояния системы на предыдущих интервалах. Следовательно, при
оптимальном управлении функционал качества дол)кен быть минималь
ным и на участке ['t+Д, t K ]. Тоrда
&x(t),t]= miп { "tj Jх(t),u(t),фt+ min { JФJх(t1u(t1фt+Фк [ х(tк),u(tк),tк ]}} ,
{u(t)} 't {u(t)} "c+
['t,'t-Ю] ['t+ДtJ
{ }
= min JФт[х(t),u(t),t}tt+S[х(t+i\),'t+i\].
{u(t)} 't
['t,'t+ ]
(3.6)
Полаrая u(t) непрерывной функцией времени, а интервал Д дoc
таточно малым, получаем
66
t+Д
J Ф т [х ( t u ( t ), t] dt Ф т [ х ( t ), u ( t ), t ; (3.7)
t
S [х(-с + ), 1: + ] "" S [Х(1:), 1:]+ [х( 1: + ) Х(1: )]1 aS [х(( \1:] +
дх Т 't
aS [x(t), '[] А S [ ( ) ] . Т ( \А aS [X('t), '[] aS [X('t), '[] А (3 8)
+ L1 X't,'t +х 'tp . ( ) + д L1,.
a't aXr't 't
rде 't < t < 't+L\, а х( 't + L\) х( '[):::: х( '[)д .
Подставив (3.7) и (3.8) в (3.6), имеем
S[x( ), ]= min { Фт[х(t), u(t), t]d+ S[x('t), ]+
{u(t)}
[t, t+L\]
+ Х т ('t) as[x(t), "с] + aS[x(1:), "с] } .
дх т ( 't ) д
Поскольку функции S[x('t),'t] И aS[x('t),'t]/a't не зависят от пере
менной u(t), их можно вынести за знак операции минимума. В результа
те получим соотношение
aS[x(1:), 1:] А z . {Ф [ ( ) ( ) lA . Т ( ) aS[x('t), 't] А }
L.1 lnln т Х t , u t , t Р + х 't L.1 .
a't {tl(t)} дх т ('t)
[t, t+L\]
Разделив обе части на L\ и заменив 't на текущее время t, при
L\ O, получим уравнение для функции Беллмана:
aS[ х ( t ), t] . {Ф [ ( ) ( ) ] . '1' ( ) aS[ х ( t ), t ] }
ffilП т Х t , u t , t + х t .
дt {u ( t ) } дх т ( t )
(3.9)
в процессе реUlения (3.9) при zраниЧflОАt условии (3.4) и опредеJ/Я
еmся управление, АtUIlUАluзиРУ,Оl,цее (jJункциО1lQЛ (3.2). Из (3.9) и (3.4)
следует, что решение уравнения Беллмана зависит от вида минимизи
pyeMoro функционала (3.2) и модели ООУ (3.1). Необходимо подчерк
нуть, что хотя при выводе не использовались никакие оrраничения на
вид модели (3.1) и подынтеrральной части функционала (3.2), аналити
ческое решение уравнения (3.9) при условии (3.4) в общем виде воз
можно лишь для линейных моделей и квадратичных функционалов.
67
3.2. АлrоРитмы УПРАВЛЕНИЯ, ОПТИМАЛЬНЫЕ В
ПОСТ АНОВКЕ ЛЁТОВА..КАЛМАНА
Задача сиllтеза управления фор./иулируеп1СЯ следующим образом.
ДЛЯ РЭСУ. СОС1110Яllие которой аппроксuмируеп1СЯ моделью (2.13) при
налuчии из.мереllUЙ (2.16), необходUА-lО Hauпlll вектор u СU2flалов Yl1paв
леllUЯ, оптUАtальный по А1иIlUА-IУ./ИУ функционала качества Лётова
KaJLHalla (1.4). Поскольку исходные модели линейные, возмущения x и
и rауссовские, а функционал качества квадратичный (ЛКr задача), то
на основании выводов теоремы разделения оптимальный реrулятор
можно синтезировать в детерминированной постановке независимо от
оптимальноrо фильтра. В связи с этим на первом этапе синтеза будем
полаrать, что все возмущения отсутствуют (; х==о, 1f==0) И все фазовые
координаты Xj в (2.13) измеряются точно.
Процедура отыскания сиrналов управления в сформулированной
постановке основана на решении уравнения Беллмана (3.9). Сравнивая
(3.2) с (1.4), можно заключить, что
ф т [х ( t ), u ( t } t ] = х т ( t )L 1 х (t ) + u т (t )Ко ( t ) ;
Фк[х(tк}u(t к ), t K ]= XT(tK IX(tK) ,
(3.1 О)
(3. 11 )
rде
L 1 = [ L
..L
..L ]
L'
Ql = [ Q
..Q
]. х = [::].
(3.12 )
В дальнейшем для упрощения будет опущена зависимость от Bpe
мени векторов и матриц, не имеющая принципиальноrо значения при
решении уравнения Беллмана. Подставив (2.13) и (3.] О), (3.11) в (3.9) и
(3.4), получим
aS [ x t ] . { r ] д S [ x t ]}
' = mln х TL1x + и ТКи + (.XTFT + u ТВ Т ' ;
at {tl} дх Т
(3.13 )
s[x(t K 1 t K ]= XT(tK IX(tK).
(3.14)
Вынесем за знак операции минимума члены, не зависящие от u:
as[x,t] T L T F T as[x,t] . Т К + Т В Т aS[x,t] } (3 15)
х 1 Х + х + ml и u и..
at дх Т {tl} дх Т
68
Управление u, минимизирующее (3.15), можно найти, приравняв
нулю результат дифференцирования по u T слаrаемых в фиrурных скоб
ках. Выполнив дифференцирование, находим
2Ко + B'I' д S[x, t] = о. u = K IBT д S[x, t] .
д х т' 2 д х Т
Подставив (3.16) в (3.15), получим
(3.16)
д S[x,t] =xTL1x+xTF T д S[x, t] I ( д S[x, t] ) Т вк'вт д S[x, t] . (3.17)
д t д х т 4 д х т д х Т
Решение этоrо уравнения будем искать в классе квадратичных
форм
S[x, t] == xTp(t)x ,
(3.18)
для которых
aS[x, t] = 2P ( t )x
дх Т '
aSJ ' t] = xTp(t)x,
(3.19)
(3.20)
rде P(t) и p(t) симметричные матрицы. В (3.20) учтено, что функция
Беллмана зависит только от начальных значений x('t), а не от текущих
x(t). Подставляя (3.19) в (3.16), находим
u== K lBTP(t)x.
(3.21 )
Для определения P(t) подставим ( .19) и (3.20) в (3.17). Тоrда,
xTp(t)x == xTL1x + 2х TFTp(t)x хТР(t)вК lBTP(t)x ;
p(t)== LI FTP(t) P(t)F+P(t)BK IBTP(t). (3.22)
в процессе вывода (3.22) было учтено, что матрица Р симметричная.
rраничные условия для (3.22) находятся путем сравнения (3.14) и (3.18)
при t==t K :
х т ( t к 1 Х ( t к ) == х т ( t к )Р ( t к )х ( t к ) ,
откуда следует, что
p(t K )== Ql .
(3.23 )
69
Поскольку рассматривалась лкr адача, то на основании Teope 1Ы
статистической эквивалентности можно утверждать, что детерминирован
ный закон управления (3.21) будет адекватен статистическому при условии
замены в нем фазовых координат х их оптимальными оценками Х , Т.е.
U= K lBTP(t)X. (3.24)
Соотношения (3.22) (3.24) и определяют алrоритм управления
РЭСУ, оптимальный в постановке Лётова Калмана. Анализ их позволя
ет сделать следующие выводы.
При нестационарной модели состояния (2.13) в состав РЭСУ долж
ны входить: оптимальный фильтр, формирующий для (3.24) оценки Х
фазовых координат; оптимальный идентификатор, вычисляющий оценки
параметров F и В для (3.22) и (3.24), и оптимальный реryлятор, форми
рующий закон управления (3.24). Если исходные модели стационарные, то
в состав оптимальной РЭСУ входят лишь фильтр и реryлятор.
Формируемый сиrнал управления (3.24) зависит от состояния
системы (х), её способности воспринимать сиrналы управления, KOTO
рая определяется матрицей В, штрафов (К) за сиrналы управления и
весовой матрицы Р. Чем больше штраф за управление, тем меньше сиr
налы u и тем экономичней система, но тем менее она точна. Последнее
предопределяется тем, что малые значения u вызывают в (2.13) малые
значения х, а соответственно и малые целенаправленные изменения х.
Если система (2.13) хорошо воспринимает сиrналы управления u (MaT
рица В имеет большие коэффициенты), то имеет смысл делать их боль
шими, так как в такой ситуации будут иметь место большие значения i
и система будет быстро изменять свое состояние х. Если же коэффици
енты матрицы В малы, то не следует использовать большие сиrналы
управления, поскольку это приведет к неоправданно большим расходам
энерrии при очень малом выиrрыше в точности.
Коэффициенты матрицы Р совокупным образом учитывают в
(3.22) штрафы за текущую точность и экономичность, определяемые
матрицами Ll и К, детерминированные связи и эф(рективность сиrналов
управления, обусловленные матрицами F и В. Влияние детерминиро
ванных связей проявляется в том, что изменение штрафа /ljj за точность
функционирования по какой либо координате Xj приводит к изменению
точности и по друrим, функционально связанным с Xj координатам.
Происходящие при ЭТО 1 изменения матрицы Р приводят к изменению
сиrналов управления, а соответственно и экономичности системы.
70
Спецификой использования (3.22) (3.24) является то обстоятельст
во, что коэффициенты матрицы (3.22) вычисляются в обратном времени от
к t в процессе решения уравнения Риккати, в то время как в (3.24) они
используются уже в прямом времени. Необходимо отметить, что сложность
реrулятора, обусловленная в основном числом уравнений (3.22), которые
нужно решить для определения матрицы Р, существенно превышает слож
ность самой оптимизируемой системы (2.13). Причем да)ке незначительное
увеличение размерности (2.13) приводит к существенно неадекватному
увеличению числа уравнений, которые ну)кно решать в процессе вычисле
ния матрицы Р. Это явление, называемое «проклятием размерности» и
характерное для мноrих видов оптимальных систеrvl, сдерживает примене
ние алrоритмов ОIlтимальноrо управления для сложных систем высокой
размерности. Необходимо, однако, отметить, что для стационарных систем
матрицу Р, определяемую только априорными сведениями, MO)l(HO вычис
лить заранее. Соответственно, заранее MOryT быть вычислены для (3.24) и
коэффициенты K lBTP, число которых обусловлено размерностью rxn.
Последнее обстоятельство позволяет существенно упростить процедуру
использования (3.24) на практике.
Назначение различных штрафов Ll и Ql на текущую и конечную
точность позволяет реализовать различные ошибки на разных этапах
работы РЭСУ и тем самым обеспечить требуемую точность в конце
управления при весьма малых текущих затратах энерrии.
Если в (2.13) имеют место возмущения х, которые подцаются
измерению либо оценке, то в рамках алrоритма (3.22) (3.24) можно их
эффективно компенсировать. Для этоrо необходимо расширить вектор
состояния х за счет включения в ero состав моделей возмущений. OДHa
1(0 это приводит К существенному усложнению закона управления в
силу проявления «проклятия размерности». В [29] приводится алrоритм,
который без расширения вектора состояния позволяет для заданной
части (2.7), предназначенной для отработки процесса (2.8) при измере
ниях (2.16) и у, сформировать сиrнал управления
u = K l B [Ру (t)Xy + p(t)];
Ру (t) = L F;P y (t) Ру (t)Fy + Ру (t)ByK IB Py (t);
r\ (t) = LXOT + [Ру (t)ByK IB' F;' ]p/t) Ру(ф у ;
Ру ( t к ) = Q; Ру ( t к ) = Q ХОТ ( t к ),
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
71
оптимальный по минимуму функционала (1.4) Летова Калмана. Необ
ходимо отметить, что при существенно меньшем числе уравнений, He
обходимых для решения (3.25}. {3.28), этот алrоритм требует решения
более сложной краевой задачи. Отмеченное усложнение вызвано необ
ходимостью решения в обратном времени еще и уравнения (3.27).
В дискретном времени уравнения состояния и наблюдений имеют
вид (2.20), (2.21), а критерий Лётова Калмана описывается соотношением
(2.22). Для задач дискретноrо управления также справедлива теорема раз
деления и синтез стохастической систему управления распадается на синтез
оптимальноrо детерминированноrо управления и синтез системы фильтра
ции (формирования оценок вектора состояния). Аналоrично тому, как это
сделано выше, используя дискретные уравнения Беллмана [48] можно по
пучить алrоритм оптимальноrо дискретноrо управления
u(k 1)= R(k l)хэ(k 1),
(3.29)
rде
R(k 1) =[К + BT(k 1)Р(k)в(k 1)] 1 BT(k l)Р(k)Ф(k,k 1); (3.30)
х э (k)= Ф(k, k 1 )X(k 1)+ B(k l)U(k 1); (3.31)
i(k) оптимальная оценка; P(k) матрица, удовлетворяющая уравнению
P(k 1)= Ф(k, k I)Р(k)Ф(k, k 1)
Ц (k 1) [К + BT(k 1)Р(k)в(k l)]L( (k 1),
(3.32)
с rраничным условием
P{k.,)==Q 1 .
(3.33)
Для соотношений (3.29) (3.33) имеют смысл все выводы, полу
ченные в процессе анализа уравнений (3 .22) (3 .24).
3.3. АлrоРитмы УПРАВЛЕНИЯ, ОПТИМАЛЬНЫЕ
ПО ЛОКАЛЬНОМУ КРИТЕРИЮ
Суть решаемой задачи состоит в том, что для системы (2.13) при Ha
личии измерений (2.16) необходимо найти вектор u сиrналов управления,
оптимальный по минимуму локальноrо функционала качества (1.5).
Поскольку (1.5) представляет частный случай функционала (1.4)
при L==O и tK==t, то закон изменения u описывается общей формулой
(3.24). Обратим внимание на то, что в (1.5) каждый момент времени t
72
соответствует моменту t K возможноrо окончания управления. Тоrда
матрица Р в (3.24) будет определяться rраничным условием (3.23):
p(t K tK = t = Q. . (3.34)
Подставляя (2.15), (3.12) и (3.34) в (3.24), получаем
U= K lBTQ i= K lrO вт ][ Q Q ][ T ] =K IBTQ [ i"i ] . (3.35)
1 r 3 у Q Q Ху у Т У
Аналоrичным образом для дискретных систем (2.20) при наличии
наблюдений (2.21) в процессе МИНИ lизации функционала
1 = х т (k)Qlx(k) + u т (k)Ku(k)
(3.36)
можно сформировать сиrналы управления [33]
u(k 1) = R(k l)x(k 1) ; (3.37)
R(k 1) = [К + BT(k 1)Q 1 B(k 1)Jl вТ (k 1)Ф т (k, k 1)Q.. (3.38)
Используя (3.38) в (3.37) с учетом (2.20,а), (3.12) можно получить
u(k 1) = [К + B (k 1)QB/k 1)J\ B (k 1)QI Х
Х lФт (k, k 1)х т (k 1) Фу (k, k 1)х у (k 1) J. (3.39)
с учетом особенностей вычисления матриц P==Ql для (3.35) и
(3.37) (3.39) справедливы выводы, сделанные для (3.24) и (3.29), но с
некоторыми уточнеНИЯ IИ и дополнениями.
Оптимальная РЭСУ представляет собой систему с отрицательными
обратными связями (ООС) по всем управляемым координатам Xyi (i = 1, n ).
Это свидетельствует о ее высокой устойчивости и малой чувствительности
к точности выдерживания параметров и смене условий функционирования.
Сиrнал управления определяется не просто состоянием системы,
а и текущей ошибкой Х Т Ху управления.
Отсутствие необходимости rромоздких расчетов матрицы Р,
имевших место в (3.22) (3.24) и (3.29) (3.33), выrодно отличает (3.35) и
(3.39), делая процедуру их вычисления чрезвычайно простой и широко
применимой на практике. Однако, при утрате детерминированных свя
зей, обусловленных учетом в (3.22) и (3.32) матриц F и Ф, законы
(3.35) и (3.39) оказываются менее адаптивными к условиям применения.
73
Кроме Toro, минимизация функционалов (1.5) и (3.36) на каждый Teкy
щий момент времени предполаrает худшую экономичность (3.35) и
(3.39) по сравнению с (3.24) и (3.29).
3.4. УЧЁТ ИЗМЕРЯЕМЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
ПРИ ЛОКАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
в ряде практических задач возникает необходимость учёта в законе
управления измеряемых возмущений, действующих на синтезируемую
РЭСУ. Следует отметить, что существующие aлrоритмы учёта таких воз
мущений в законе управления дискретной системой достаточно сло)кны,
поскольку либо требуют расширения исходноrо вектора состояния пyrём
включения в ero состав учитываемых возмущений [48], либо приводит к
усложнению решения двухточечной краевой задачи [29].
Ниже приведён закон управления линейной дискретной системой,
оптимальный по минимуrvI)' локальноrо функционала качества, в котором
учитываются измеряемые возмущения без расширения вектора состояния.
В маnlе.матuческом плане задача формулuруеnlСЯ следУЮЩШt об
разо.м. Для дискретной системы
xy(k) = Фу(k, k 1)x y (k 1) + By(k 1)u(k) + уи(k 1) + y(k 1),
(3.40)
предназначенной для отработки процесс а
xT(k) = Фт(k, k l)x T (k 1) + T(k 1),
(3.41 )
необходимо найти вектор u сиrналов управления, оптимальный по ми
нимуму локальноrо функционала
I==M {[A'I,x'l.(k) Ayxy(k)JI'Q[A'I'XT(k) Ayxy(k)]+U'I'(k 1 )Ku(k 1)}. (3.42)
В соотношениях (3.40) (3.42): Ху и Х Т векторы управляемых и
требуемых координат размерности П) и П2 соответственно; Фу и Фт
переходные матрицы состояния; Ву матрица эффективности управле
ния; ун вектор измеряемых (известных) возмущений; у и т BeK
торы неизмеряемых rауссовских возмущений с известными матрицами
дисперсий; А т и Ау матрицы соответствующих размеров, уравниваю
щие в функционале размерность векторов Х Т и Ху; Q неотрицательно
определённая матрица штрафов за точность приближения Ху к Х т ; К
положительно определённая матрица штрафов за экономичность.
В соответствии с выводами теоремы статистической Jквивалент
ности (п. 2.1.3) при линейных исходных моделях с rауссовскими шума
74
ми и квадратичных функционалах качества статистический реrулятор
Jквивалентен .детерминированному при условии замены в нём фазовых
координат их оптимальными оценкаl\1И.
Тоrда, подставив (3.40) и (3.41) в (3.42), при условии у==О и
т==О, получим:
1== { [А'I'Ф'I.(k,k 1 )xT(k 1 ) Ау(ФуХу(k 1 )+Byu(k 1)+ YH(k 1 ))JI'QX
х[А'I,Фт(k,k 1 )x,,(k 1 ) Ау(ФуХу(k 1 )+Byu(k 1)+ YI1(k 1 ))]+
+u"(k 1 )Ku(k l)}.
Опустив для простоты зависимость векторов и матриц от номера шаrа
дискретизации будем иметь:
т т т т т т т т т
I==x,. фт АтQАТФ'I'ХТ Ху Фу АуQА'IФ'I'ХТ U Ву АуQАТФ'IХТ
II A QА'I'Фl'ХI' Х ф А QАуФуХу+Х ф A QАуФуХ у +
т т т т т т т т
+и Ву Ау QАуФуХу+ уи Ау QАуФуХу Хт фт A,.QAyByu+
т т т '1 Т Т Т Т
+Х у Фу Ау QAyByu+u Ву Ау QАуВуU+;уи Ау QAyByu
т т т т 1 Т Т Т Т
XT ФТ АтQАу;уи+Ху Фу AyQAY YI1+u Ву АуQАу уи+
+ и A QAy УII+и"Ки == 11 u'I'B A' QА'I'Ф'I'Х'I.+u'I'В' A' QАуФуХу
x Ф A QAyByu+x ф A QAyByu+UTB A QAyByu+
+ и A QAyByu+UTB A QAy уи+u'I'Кu,
(3.43)
rде I1 представляет сумму всех слаrаемых, не содержащих и.
Найдём условие минимума (3.43), продифференцировав ero по и Т
и приравняв результат дифференцирования нулю:
,. т т т т т
By Ау QА 1 Ф'IХ 1 '+ Ву Ау QАуФуХу Ву Ау QА'1Ф'IХТ+
т т ,. т т т
+ Ву Ау QА у Ф у Х у +2 Ву Ау QAyByu+ Ву Ау QAy Уl1+
т т т т т т
+ ВуАуQАу уи +2Ки 2 Ву Ау QА'1'Ф'I'Х'I.+2 Ву Ау QАуФуХ у +
+2 B' A QAyByu +2 В А QАу уи +2Ки==О;
[B A QAyBy+K]u ==B A Q[А'I'Ф'lхт АуФуХу Ау ун].
75
Подставляя в полученное соотношение формулу (3.41) получим
u(k l)==[B A QAyBy +кт 1 B A Q х
х{ Атхт(k) Ау[Фу(k,k 1 )xy(k 1)+ уи(k 1)]}. (3.44)
Полученный детерминированный закон управления (3.44) будет спра
ведлив и для статических систем (3.40), (3.41) при условии замены в нём
фазовых координат оптимальными оценками (п. 2.1.3). Тоrда
u(k I)=
=R),{Aтiт(k) Ay[ Ф)'(k,k l)iу(k l)+ УII(k l)J} "
(3.45)
rде
Ry = [B A QAyBy + К jl B A Q . (3.46)
Анализ (3.45) и (3.46) позволяет сделать следующие заключения.
Сиrнал управления пропорциональный ошибке
A. 1 . Х Т (k) Ау(Фу(k,k 1) Ху (k 1)+ уи(k 1))
с точностью до слаrаемоrо ун совпадает с (3.39).
В полученном сиrнале управления достаточно просто учитыва
ются измеряемые возмущения. При этом не требуется расширять вектор
состояния и решать сложную двухточечную краевую задачу.
3.5. ОПТИМИЗАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ШТРАФОВ
ФУНКЦИОНАЛАКАЧЕСТВА
3.5.1. ОПТИМИЗАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ШТРАФОВ ФУНКЦИОНАЛА
КАЧЕСТВА ДЛЯ АНАлоrовых СИСТЕМ
Выбор конкретных значений коэффициентов матриц штрафов за
точность слежения и сиrналы управления одна из наиболее сложных
задач синтеза РЭСУ на основе алrоритмов СТОУ. На пракп1ике обычно
UСl10льзуюпl JА'lпирические способы наХОJlсденuя коэф(jJuциеНlпов lumpa
(Ров, наиболее извеСlпuый из коп10РЫХ основан на припципе равнопРОЧ1l0сmи
[21]. Смысл JTOrO способа состоит в том, что про изведения квадратов MaK
симально допустимых ошибок (либо дисперсий) на соответствующие KO
эффициенты штрафов полаrаются одинаковыми ДТIЯ всех координат. Зада
ваясь максимально допустимыми ошибками (дисперсиями) и одним из
коэффициентов штрафов, можно предварительно оценить значения коэф
фициентов штрафов по дрyrим координатам. Аналоrично можно вычис
76
лить и коэффициенты штрафов за сиrналы управления. Полученные таким
способом коэффициенты штрафов затем уточняются в процессе имитаци
oHHoro моделирования синтезированной РЭСУ по результатам контроля
ошибок слежения и сиrналов управления.
Использование эмпирических способов, эффективность которых
во MHoroM зависит от опыта и интуиции проектировщика, как правило,
позволяет методом проб и ошибок подобрать коэффициенты штрафов,
обеспечивающие (рункционирование РЭСУ с приемлемой точностью.
Однако в такой ситуации никоrда нет уверенности в том, что выбрано
наилучшее сочетание коэффициентов. Сложность задачи эмпирическоrо
выбора коэффициентов штрафов усуrубляется тем, что изменение
штрафа по какой либо фазовой координате приводит не только к изме
нению точности друrих, функционально связанных с ней координат, но
и к изменению сиrналов управления. В свою очередь, изменение штра
фов за сиrналы управления влияет не только на сами сиrналы управле
ния, но и на точность функционирования РЭСУ. В связи с этим весьма
актуально аналитическое отыскание коэффициентов штрафов, позво
ляющих обеспечить устойчивое функционирование РЭСУ с максималь
но высокой точностью при заданных оrраничениях сиrналов управле
ния. Наиболее просто и наrлядно эта задача решается дЛЯ РЭСУ, опти
мизированных по локальному критерию (1.5). В математическом плане
задача формулируется следующим образом.
ДЛЯ РЭСУ с заданной частью (2.7), предназначенной для OTpa
ботки MHoroMepHoro процесса (2.8) той же размерности при наличии
наблюдений (2.16), найден закон управления (3.35), оптимальный по
минимуму локальноrо функционала (1.5) без учета каких либо оrрани
чений. Необходимо в (3.35) и (1.5) определить коэффициенты матриц Q
и К, обеспечивающие максимально высокую точность Функционирова
ния в установившемся режиме при заданных оrраничениях Uj UДОJlj
( j = 1, r) и Т ni T допi (i = 1, n ) на сиrналы управления U допj И постоянные
времени Т ni переходных процессов при отработке ошибок.
В дальнейшем будем полаrать, что выполняются следующие дo
пущения: фильтры РЭСУ формируют сходящиеся оценки Х Т и Ху; пара
Fy и Ву в (2.7) управляема; известен вектор максимально возможных
ошибок
XO = хт(О) Ху (О)
(3.47)
одноrо знака, который имеется в начальный момент работы РЭСУ.
77
Допущение о наличии ошибок одноrо знака обусловлено тем, что
в такой ситуации имеют место максимально возможные сиrналы управ
ления и наиболее трудно удовлетворить оrраничению Uj Uдопj .
На основании теоремы статистической эквивалентности (разделе
ния) можно yrверждать, что для лкr задачи закон управления (3.35) анало
rичен закону, сформированному по детерминированным моделям (2.7),
(2.8), (2.16), при замене в последнем фазовых координат Х Т и Ху их оценками
Х... и Ху' ПОJТОМУ В дальнейшем будем полаrать в (2.7), (2.8), (2.16) у==о,
,.==0, 11==0, Х.., ==Х т И Х У ==ХУ' Тоrда на основании (2.7), (2.8) и (3.35) ошибки
функционирования X==XT XY РЭСУ определяются соотношением
== Xy ==FrXT +Fy FyXT FyXy By lB Q( Xy)==
== (Fy ByK IByQ:bx + (FT Fy Т' (3.48)
представляющим, в общем случае, систему неоднородных линейных
дифференциальных уравнений. Анализ (3.48) позволяет сделать сле
дующие выводы.
Поскольку пара F у и Ву управляема, то rарантируется устранение
ошибок функционирования от максимально возможных значений XO
(3.47) до установившихся XYCT' обусловленных вынужденной COCTaB
ляющей (FT Fy)XT' Размеры ошибок XYCT зависят как от caMoro процесса
Х т , так и от степени соответствия заданной части РЭСУ требуемому
процессу. Если заданная часть (2.7) адекватно отображает требуемый
процесс (2.8) (F T ==Fy), то XYCT==O,
Характер переходных процессов (постоянные времени и величи
ны перереrулирования) при устранении ошибок X определяется KOp
нями /ч характеристическоrо уравнения
dеtlEЛ j Fy + ByK lB QJ== О , (3.49}
rде Е единичная матрица. В свою очередь, значения Лi зависят от OT
ношения штрафов за точность слежения и сиrналы управления, опреде
ляемых в (3.49) коэффициентами матриц Q и К. Следовательно, задав
шись постоянными времени Т допi И величинами перереrулирования, на
основании (3.49) можно предъявить требования к значениям коэффици
ентов штрафов. При этом эти коэффициенты должны быть такими, что
бы одновременно выполнялось условие
l т <
U К ByQ xo U ДОП'
(3.50)
78
rде Uдоп==(Uдопt U доп2 ... Uдош.J r вектор допустимых значений сиrналов
управления. Смысл неравенства u Uдоп состоит в том, что каждый KOM
понент Uj вектора u не превышает соответствующеrо компонента U допj
вектора U доп ( j = 1, r ). Если в (3.48) F T:;tF у, то при необходимости можно
учесть дополнительное оrраничение на коэффициенты штрафов, накла
дываемое допустимыми установившимися ошибками. Для этоrо нужно
найти частное решение неоднородноrо уравнения (3.48), определяющее
ошибку XYCT'
Та киАI о бр аЗОАt , коэф(jJuцuеllmы UlтраrjJов за п10Чflосmь фУllкцио
fluроваllllЯ и СU2налы управлеllUЯ ,1ИО2уm быть определены в процессе
совЛ 1 lесmиО20 реluения урав1lеllий (3.48) (3.50). Следует отметить, что с
достаточной для практики точностью постоянная времени (полоса пропус
кания) РЭСУ определяется наименьшим из корней Лi характеристическоrо
полинома (3.49). При меры использования рассмотренной методики выбора
коэффициентов штрафов для конкретных случаев оптимизации радиоэлек
тронной следящей системы приведены в П.п. 10.6.1 и 11.5.3.
3.5.2. ОПТИМИЗАЦИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ШТРАФОВ ФУНКЦИОНЛЛА
КАЧЕСТВА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
В ма1Jlе.маmuчеСКОА,1 плане задача опmu.kluзациu коэффициентов
lumра(ров (рункционала качеспlва для дискрепlllЫХ сисmеЛI фОрАtуЛUрУ
еmся следУlОlЦUАI обраЗОАt. Пусть для дискретной системы
Ху(k)==Фу(k,k 1 )xy(k 1 )+By(k 1 )u(k 1)+ y(k 1),
(3.51 )
предназначенной для отслеживания процесса (3.41), при использовании
измерений (2.21) с учетом (3.39) найден закон управления
u(k) == RlФт(k, k l)x T (k 1) ФуСk, k l)xyCk -'---1)J, (3.52)
r т }l т
R = LK + ByQBy J ByQ,
(3.53)
оптимальный по минимуму локальноrо функционала качества (3.36) и
не учитывающий никаких оrраничений.
Необходимо в (3.36) и (3.52), (3.53) найти элементы матриц Q и
К, обеспечивающие максимально высокую точность слежения в YCTaHO
вившемся режиме при данных оrраничениях UJ Ujll1<1X ( j = 1, r) и
т пi Т пilШIХ (i = 1, n ) на управления Uj и постоянные времени Tlli переход
ных процессов при ликвидации первоначальных ошибок слежения.
79
Будем считать, что фильтры РЭСС обеспечивают формирование
сходящихся оценок Х у и X. 1 ", пара Ф, в управляема и в начальный
момент времени имеются максимальные ошибки одноrо знака
XO:=X'I.( О}--- Ху( О).
(3.54)
Предположение об ошибках одноrо знака обусловлено тем, что в этом
случае будут иметь место максимальные сиrналы управления и наибо
лее трудно обеспечить оrраничение иj Ujl1lax'
Основываясь на теореме статистической эквивалентности, можно
считать, что для линейно квадратично rауссовской задачи закон уп
равления (3.52), (3.53) аналоrичен закону, полученному по детермини
рованным моделям (3.41), (3.51), (2.21), с заменой фазовых координат
Х т , Ху их оптимальными оценками Х т , Ху' в связи с этим далее будем
считать, что в (3.41), (3.51), (2.21) т==О, у==О, и==о, Х т == X' 1 " , Ху== Ху .
с учетом этих допущений проанализируем ошибку слежения:
дх(k)==Х'I.(k) Ху(k)==Ф'I.(k,k 1 )x'l.(k 1 ) Фу(k,k 1 )xy(k 1)
ВуR[Ф'I.(k,k 1 )x'l.(k 1 ) Фу(k,k 1 )xy(k 1 )]:=
==[E ByR] [Ф'I"(k,k 1 )x'I.(k 1 )+Фу(k,k 1 )x'l.(k 1)
Фу(k,k 1 )x'l.(k 1 ) Фу(k,k 1 )xy(k 1 )]:=
:=Фl(k,k 1 )дх(k 1 )+Ф2(k,k 1 )x'I.(k 1), x(O):= xo, (3.55)
в которой
Фl (k,k 1 ):=Фу(k,k 1 ) ВуRФу(k,k 1);
Ф2(k,k 1 ):= Ф(k,k 1 ) ВуIМФ(k,k 1).
Ф(k,k 1 ):=Ф'I"(k,k 1 ) Фу(k,k 1);
(3.56)
(3.57)
(3.58)'
Полученные соотношения (3.55) (3.58) представляют систему
линейных неоднородных разностных уравнений, анализ которых позво
ляет придти к следующим заключениям.
Если собственные числа Zj (i==l,n) матрицы Ф( (3.56) удовлет
воряют условию IZjl<l, то система устраняют ошибки слежения от своих
первоначальныIx значений XO (3.54) до установившихся значений XYCT'
обусловленных вынужденной составляющей, которая определяется в
(3.55) слаrаемым Ф2(k,k 1 )xT(k 1).
80
Величина ошибок XYCT определяется как законом изменения OT
слеживаемоrо процесса Х т , так инесоответствием (3.58) заданной части
РЭСУ ее требуемым значениям. Если заданная часть (3.51) COOTBeTCT
вует отслеживаемому процессу (3.41) (Фу==Ф т ), то Xycт==O.
Качество переходных процессов при ликвидации ошибок захва
та, характеризуемое значениями постоянных времени и величинами пе
ререryлирования, определяется корнями Zj характеристическоrо ypaB
нения [35]
Dеt[ЕZ Фl]==О, (3.59)
rде Е единичная матрица. В свою очередь, значения Zj определяются
соотношениями штрафов за точность и экономичность, которые обу
словливаются учетом (3.53) и (3.56) в (3.59). Следовательно, задавшись
в (3.56), (3.59) допустимыми значениями постоянных времени Т дuпi и
перереrулирования, можно получить обусловливающие их соотношения
штрафов Q и К. Кроме Toro, коэффициенты матриц Q и к должны ra
рантировать выполнение условия
u==R[Фт(k,k l)xT(k 1 ) Фу(k,k 1 )xy(k 1 )] < U тax ,
(3.60)
смысл KOToporo состоит в том, что компоненты Uj (i = 1, r) вектора u не
превышают аналоrичные компоненты U janux вектора U I1ШХ допустимых
значений сиrналов управления. В ситуациях, коrда в (3.51) и (3.41)
Фу:;сФут, при необходимости можно учесть дополнительные оrраниче
ния на соотношения штрафов, накладываемые допустимыми ошибками
слежения в установившемся режиме. Для этоrо нужно найти частное
решение неоднородноrо уравнения (3.55), определяющеrо ошибку ХУСТ"
Таким образом, значения штрафов Q и к за точность слежения и
величину сиrналов управления можно найти в процессе cOBMecTHoro
решения и анализа соотношений (3.55) и (3.59), (3.60). В заключение
отАlеп1ИА,! ряд особеНflосп1ей, коп10рые позвОЛЯ10m CYl-цеСfпвеUIlО yпpo
стить процедуру оп1blскаllия коэq)(рицuеlllпов шп1ра(ров.
1. Определение коэффициентов матриц Q и к важно не само по
себе, а только как промежуточный этап, позволяющий в (3.52), (3.53)
вычислить коэффициенты передачи воздействий Х Т и Ху, которые и pea
лизуют максимально высокую точность слежения в установившемся
режиме при заданных оrраничениях на величину сиrнала управления и
качество переходных процессов при отработке ошибок захвата. В связи
с этим целесообразно вычислять в (3.52), (3.53) не абсолютные значения
81
коэффициентов матриц Q и К, а непосредственно коэффициенты пере
дачи ошибок входных Х Т и выходных Ху сиrналов.
2. С достаточной для практики точностью ыостоянная времени
(полоса пропускания) РЭСС определяется наибольшим по модулю KOp
нем Zj характеристическоrо мноrочлена (3.59).
3.6. Алrоритмы ЛИИЕйиоrо ОЦЕНИВАНИЯ
3.6.1. АлrоРитмы ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Одним из наиболее широко используемых на практике является ал
rоритм оптимальной линейной фильтрации [29], именуемой также фильт
рацией Калмана. При НШlичuu flаБЛl0дений (2.16) hlате..матичес/(uй аппарат
теории оптu.л.IШlЬНОй линейной фtUlьтрации позволяет для ООУ (2.13)
сформuровапlЬ оптu.klШ1ЬНУЮ по крип1еРИ10 AIUlIU.A1YA1a cYklA1lapHOtl дисперсии
" т "
Оluuбок М{ (х х) (х х)} оценку (2.18), используя Шl20рuпvи:
i=Fх+Вu+Кф(z Нх х(О)=Хо; (3.61)
К Ф = 2DHTG 1 ; (3.62)
D=FD+DFT 2DHTG IHD+O,5Gx' D(O)=Do. (3.63)
Здесь D ковариационная матрица ошибок фильтрации, характеризую
щая потенциальную точность оценивания; G и и G x соответственно
матрицы односторонних спектральных плотностей шумов II измере
ний (2.16) и возмущений x (2.13). Анализ (3.61) (3.63) позволяет cдe
лать следующие выводы.
Фильтр представляет собой линейную нестационарную систему,
в которой число обратных связей определяется числом наблюдаемых
фазовых координат.
В процессе фШlьтрацuu выпОЛНЯ10тся две операции: пРО2нозированuе
"
х = Fx + Bu (3.64)
оцеllиваеМО20 процесса, осуu/ествляеА10е по детеРА1инированной части
Аl0дели (2.13), и коррекция К Ф (z Их) результатов прО2ноза. KoppeK
тирующая поправка зависит от невязки z Их , называемой также об
новляющим процессом. Невязка характеризует степень несоответствия
результатов проrноза наблюдения Их, вычисляемоrо по детерминиро
ванной части (2.16), и KOHKpeTHoro измерения Z. Очевидно, проrноз
(3.64) не соответствует реальному состоянию оцениваемоrо процесса
82
(2.13) в такой же степени, в какой проrноз Нх измерения не COOTBeTCT
вует ero реальному значению z. «Вес» поправки определяется перемен
ным матричным коэффициентом усиления К Ф (3.62).
Ма111ричный коэqJ(рllциеllт v определяеп1СЯ п10ЧIlОСJ11blО априорных
сведениЙ о состоянии оценивае.l'rl020 процесса (2.13) и llаБЛl0деllUЯХ (2.16).
Если модель (2.13) rрубая, Т.е. процесс х в значительной мере искажается
шумами х, а измеритель (2.16) точный, то КОJффициенты матрицы G x
велики, а коэффициенты матрицы G.. малы. Большие спектральные плотно
сти G x предопределяют большую величину дисперсий D (3.63), что COBMe
стно с большим значением G ;11 обусловливает большие КОJффициенты v
(3.62). В результате в процессе фильтрации такая неточная Jкстраполяция
состояния, выполняемая по rрубой модели (2.13), будет в значительной
мере корректироваться невязками z Их , которые формируются по точ
ным ИЗ 1ерениям Z. Если модель состояния точная (Oxii малы, i = 1, N ), а
измеритель неточный (Olljj велики, j = 1, П1), то К фjj малы и корректи
рующая поправка точноrо проrноза будет мала. Необходимо, однако, под
черкнуть, что даже в такой ситуации точность оценки превышает точность
измерения JТИХ же фазовых координат.
При использовании Шlzорипzлtа (3.61}--i3.63) необходUАIО решап1Ь cиc
п1ену из
N }==N+O,5N(N+ 1)
(3.65)
диqJфереllцuшzыlхx уравllеllИй. В (3.65) первое слаrаемое характеризует
число уравнений, которые должны решаться при q)ормировании оптималь
ных оценок (3.61). Второе слаrаемое (3.65) определяет число уравнений для
вычисления коэффициентов усиления p (3.62), (3.63). Как и для опти
мальноrо управления (3.22) и (3.24), здесь сказывается влияние «проклятия
размерности», в том, что при увеличении размерности вектора состояния
(2.13) фильтр неадекватно усложняется за счет значительноrо роста числа
уравнений, которые необходиrvl0 решать при вычислении D (3.63).
Для стационарных процессов (2.13) и (2.16) матрица D, вычис
ляемая в процесс е решения уравнений Риккати (3.63) на основе априор
ных сведений, может быть сq)ормирована заранее, что позволяет суще
ственно упростить процедуру q)ормирования оценок. В об це.kt случае по
/vlepe увеличеllИЯ вреАtеflИ f/JWlbmpatfuu дисперсии D jj УАtеllЬUlаlоп1СЯ 0111
своих l1ервонаЧШZЬflЫХ 60ЛЬUlUХ значеllий Djj(O) до cyttieCmBellHO AteHblиuX
значенuй в усmа1l0вивипL IСЯ peJlCuJo.le. Возможный характер эволюций D jj
83
D..
11
I
/
/
/
/
/
/
./ /.....
I
I
J
I
I (
I I
I I
..... / I
I
/
I
I
"
"
/
о
t
во времени иллюстрируется на рис. 3.2
сплошными линиями. Такой характер
изменений D jj приводит К тому, что в
ходе фильтрации уменьшается влияние
корректирующей поправки К Ф ( z Их )
на результаты экстраполяции оценивае
Moro процесса. Поскольку точность эк
страполяции (3.64) со временем ухудша
ется за счет накапливания ошибок интеr
рирования, то снижение влияния KoppeK
тирующих поправок может привести к
ухудшению реальной точности фильтрации и ее несоответствию Teope
тическим показателям, вычисленным по уравнению (3.63).
началыlеe условия для (3.61) и (3.63) опредеЛЯ10тся с учетОАI
первоначШlЬНОЙ неопределенности оцениваемых фазовых координап1.
При этом можно использовать различные приемы назначения Ха и Da. В
простейшем случае х i (О) ==Хю выбирается как среднее из всех возмож
Рис. 3.2
ных ее значений:
Xi(O)= O,S(Ximax + Ximin).
(3.66)
Тоrда при rayccoBcKOM законе распределения Xj(O) дисперсии можно
определить по формуле:
D ii (о) = (Xi Пlах Xi miп f /36 . (3.67)
,
Остальные коэффициенты Djj(O) матрицы D(O) обычно полаrаются paB
ными нулю. Если возмущения в (2.13) и (2.16) не белые, то для них
составляются уравнения формирующих (выбеливающих) фильтров,
которые включаются в состав модели состояния (2.13). Такой прием,
основанный на расширении вектора состояния, усложняет алrоритм
(3.61) (3.63) фильтрации из за влияния «проклятия размерности». A.Ha
лоrичный прием можно применить и к инерционным измерителям,
функционирование которых описывается дифференциальными ypaBHe
ниями. Способы, позволяющие учесть небелый характер возмущений и
инерционность измерителей без расширения вектора состояния, pac
смотрены в [29, 47]. Алrоритмы фильтрации полей и с использованием
измерений с запаздыванием приводятся в [49].
Для дискретных процессов (2.20), при наличии наблюдений
(2.21) алrоритм оптимальной фильтрации определяется рекуррентными
уравнениями:
84
i(k)== Х э + К Ф (kXz(k) H(k)X'j];
Х э = Ф(k,k l)i(k 1)+ B(k (}u(k 1), х(О) = Хо ;
К Ф (k) == D(k)И Т (k)D l (k) = D(k, k I)И Т (k)x
X[H(k)D(k,k 1)HT(k)+DJk)tl ;
D(k)= lE К Ф (k)H (k)Jo (k, k 1), D(O)==D o ;
D(k,k 1)= Ф(k,k l)D(k I)ФТ (k,k 1)+ Dx (k 1).
(3.68)
(3.69)
(3.70)
(3.71 )
(3.72)
в этих уравнениях D(k) и D(k,k 1) апостериорная и априорная KOBa
риационные матрицы ошибок фильтрации.
Поскольку (3.68Н3.72) дискретный анаЛО2 (3.61H3.63), то для
не20 справедливы все выводы, nолучеllные при аllШlизе аНШlО20вО20 aТ120
pиn1kla. Различие ме.JlCду HUAIU завUСluwость nl0чности (рШlьтрации от
uнтервШlа дискреlпuзации Д't ==t k tk l объясняется тем, что Д'! входит В
состав некоторых коэq)фициентов матрицы Ф(k,k l). В (3.70) объединены
два aлrоритма вычисления коэффициентов Кq)' Последний чаще использу
ется при малых значениях коэффициентов матрицы О н , поскольку это MO
жет вызвать трудности при численном обращении этой матрицы в ЭВМ.
3.6.2. АлrоРитм ОПТИМАЛЬНОЙ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
Спецификой работы РЭСУ является достаточно частое пропада
ние радиосиrналов на входе приемника из за амплитудных флуктуаций
и выхода за пределы полосы пропускания. Кроме Toro, потери сиrналов
MorYT иметь место и из за воздействия различноrо рода помех. В свою
очередь пропадание сиrналов, помимо прекращения поступления ин
формации в ИВС, может привести и к срыву процесса наведения. Исхо
дя из этоrо, для обеспечения функционирования следящих радиоэлек
тронных систем и потребителей их информации необходимо хотя бы в
течение HeKoToporo времени иметь сведения о фазовых координатах,
используемых при наведении, и при отсутствии входных сиrналов.
ОдНUАt lIЗ вОЗАIО.J/СllЫХ путей сохранения l/l-t(jJорАtации, содерJlса
lцейся в fJадиОСИ2налах, является использоваllие аЛ20рumл,tов оптUАtаль
НО20 оценuваиuя с nрО21l0ЗО.М (предсказаниеАt) СОС1710Яflия оцениваемых
nроцессов. Примем во внимание то, что процессами, информация о
которых сосредоточена в радиосиrналах, невозможно управлять. По
этому задача опlпилtаЛЫfО20 nрО2ноза (экстраполяции) (jJОрАtулuруе/JIСЯ
85
следУЮtЦUАI обраЗОА/I. По результатам (2.16) на момент времени t1 необ
ходимо с(рормировать оценку i (t2) процесса
i(t) = F(t )x(t)+ x (t)
(3.73)
при t2>tl, наилучшую в смысле МИНИМУ fа СКО оценивания. Следует
отметить, что (3.73) получено из (2.13) при условии и==О.
Учитывая (3.73), можно оценить будущее состояние оцениваемо
ro процесса, если использовать заложенные в нем связи. Используя
формулу Дюамеля [47], получаем
t J
x(t 2 )= Ф(t 2 , t 1 )x(t 1 )+ f Ф(t 2 , 1:);х (1: 1:,
(3.74)
t I
rде Ф(t2,'t) фундаментальная матрица (матрица импульсных xapaKTe
ристик), связанная с невозмущенной частью (3.73) соотношением
дФ(t 2 ,'t) = F(t)Ф(t, 1:1 Ф(1:, 1:)= Е . (3.75)
at
Как и в алrоритме фильтрации (п. 3.6.1), в качестве оптимальной
оценки рассматривается условное математическое ожидание (2.18).
Поэтому, применив к (3.74) операцию условноrо математическоrо ожи
дания, найдем
x(t 2 ) = M{x(t 2 ) Iz(t[)} = Ф(t 2 , t( )M{x(t() Iz(t()} +
12
+ f Ф(t 2 , 1:)М {;х (1: )I z ( t[) }d1:.
t 1
(3.76)
Так как шум x('t) на интервале tl t t2 никак не связан с резуль
татами измерений в момент времени t 1 , то M{ x ('t) Iz(t])} ==0. Тоrда из
(3.76) следует
i(t 2 ) = Ф(t 2 , t 1 )i(t 1 ),
(3.77)
rде х (t 1 ) оценка, получаемая в соответствии с обычном алrоритмом
фильтрации (3.61) (3.63). Закон (3.77) определяет правило оптимально
ro оценивания в режиме проrноза. Следует отметить, что алrоритм
(3.77) одинаково приrоден как для аналоrовоrо, так и дискретноrо вари
антов оценивания.
В зависимости от конкретных условий функционирования РЭСУ
в задаче проrнозирования можно использовать различные соотношения
86
между переменными t 2 и t1. В связи с этим разлuчаl0т три вида пpeд
сказании:
с (jJuксuроваllllblЛl АlО.Лlеll1пОjИ (jJuлыпрации, при KOn10pOAt t I ==cons/,
1] == VG/",'
с (jJUKcиpOBallllblA'1 JНОЛlе1iтОJИ окончания I1рО2ноза, при KOmOpO.At1
!2==consl, !f==va/','
с постОЯllllbl.М упреJlсдениеJИ, при KOn10poA/l !f==var,' !2==tf+т' 2де
т cons! интервал прО21l0за.
Алrоритм (3.77) приrоден для всех видов проrноза. Однако про
цедуры вычисления матрицы Ф(t 2 ,t1) в каждом конкретном случае Moryт
видоизменяться. При t 1 ==const и t2==var, требуется оценивать состояние
процесса (3.73) в течение неопределенно возрастающеrо времени t2 t1 на
основании результатов ПрОlIШых наблюдений вплоть до фиксированноrо
момента t1. Примером TaKoro проrнозирования может служить оценивание
отслеживаемых относительных фазовых координат цели после срыва сле
жения в РЭСС в результате непрекращающеrося воздействия преднамерен
ных помех [16]. Уравнение проrноза для такой ситуации имеет вид
x(t, t}) == Ф(t, t} )x(t}), t > t} . (3.78)
Поскольку х (t 1 ) определяется обычным алrоритмом фильтрации,
для реализации (3.78) необходимо лишь вычислить фундаментальную
матрицу Ф(t,t 1 ), решив уравнение (3.75), rде 't заменено на t1.
При t 2 ==const и t 1 ==var следует оценить процесс (3.73) для фикси
pOBaHHoro будущеrо момента времени t2, опираясь на результаты TeKY
щих наблюдений z(t) при условии t t2' Такой вариант MO)l(eT возникнуть
при работе РЭСС в составе систем самонаведения [27], для которых t 2
определяет время изменения режима работы либо момент окончания
наведения. Для рассматриваемоrо' случая
x(t 2 , t) == Ф(t 2 , t)x(t), t < t 2 . (3.79)
Так как в JТОЙ задаче переменным является второй aprYMeHT фун
даментальной матрицы, то для ее вычисления нужно использовать
соотношение [47]
дФ( t 2 , t) = Ф( t 2' t )F( t ), Ф( t 2 , t 2 ) = Е . (3.80)
at
Уравнение (3.80) необходимо решать в обратном времени от t2 к
t, запоминая результаты решения и обращаясь к ним по мере необходи
мости при вычислении х (t 2 ). Если объем паrvlЯТИ используемоrо
вычислителя недостаточен для хранения указанной информации, то в
начале
87
можно вычислить матрицу Ф(tьt), решив (3.80) в обратном времени, а
затем, решая (3.80) в направлении от t к t2, использовать результаты для
проrноза.
При фиксированном упреждении требуется оценить состояние
процесса (3.73) на промежуток времени Т вперед, используя для этоrо
результаты текущих наблюдений z(t). Примером такой ситуации служит
проrнозирование отслеживаемых в РЭСС координат при KpaTKOBpeMeH
ном пропадании входных сиrналов в результате случайных изменений
эффективной площади отражения (ЭПО), замирания радиосиrналов и
т.Д. Алrоритм работы устройства оценивания в данной ситуации описы
вается уравнением
x(t + Т) = Ф(t + Т, t)x(t). (3.81)
Поскольку здесь оба aprYMeHTa матрицы Ф(t+Т,t) являются пере
менными, для ее определения необходимо воспользоваться полной про
изводной
d[Ф(t+Т,t)] = д[Ф(t+т,t)] + д[Ф(t+Т,t)] (3.82)
dt д( t + т) д t .
Подставив (3.75) и (3.80) в (3.82) получим
d[Ф(t + Т, t)] = F(t + Т)Ф(t + Т, t) Ф(t + Т, t )F(t), Ф(t, t)= Е. (3.83)
dt
Использование рассмотренных алrоритмов экстраполяции для дис
кретных процессов не представляет особых трудностей, так как для них
известны фундаментальные матрицы Ф(tъtl)' Однако вычислить эти матри
цы для аналоrовых 1\fоделей (3.73) большой размерности достаточно слож
но. Поэтому на практике для Jкстраполяции (3.73) или (2.13) достаточно
часто обращаются к обычному алroРИТМУ фильтрации (З.61}i3.63), исклю
,
чая из (3.61) корректирующую поправку К Ф (z Их) .
Предсказание по алrоритмам (3.78), (3.79) и (3.81) будет тем Me
нее точным, чем больше интенсивность шумов в сообщении (3.73) и чем
больше интервал времени t2 tl, на который осуществляется проrноз.
Поэтому при использовании результатов проrноза необходимо посто
янно контролировать дисперсии ошибок предсказания, чтобы не допус
тить выход текущей ошибки
x(t2) = x(t 2 ) x(t 2 )
(3.84 )
за пределы линейноrо участка дискриминационной характеристики РЭСС.
88
Используя (3.74) и (3.77), на основании (3.84) получаем в общем
виде соотношение для ковариационной матрицы ошибок предсказания:
Dll = M x(t2 )l\xT(t2) м{[ Ф(t 2 , t, )x(t()+ 1 Ф(t 2 , 't);x ('t 't
Ф(t 2 , t( )i(t l )][ Ф(t 2 , t) )x(t( )+ ! Ф(t 2 , 't J;x ('t:kI't (t2' t I )i(tl)J } =
t,
= Ф (t 2 , t I )о( t I )Ф т (t 2 , t I ) + 0,5 J J Ф ( t 2 , )G х ( ))( л )Ф т (t 2 , xt лd =
t,
t 2
= Ф(t 2 , t) )D(t 1 )ФТ (t 2 , t 1 )+ 0,5 J Ф(t 2 , t)G х (t)ФТ (t 2 , t)Jt. (3.85)
t,
При выводе (3.85) бьшо учтено, что процессы x(t() и x( ) He
коррелированы и математическое ожидание от их произведения равно нулю.
Из (3.85) следует, что точность проrнозирования зависит от матриц
D(t() ошибок фильтрации, односторонней спектральной плотности Gx( )
шумов вектора состояния (3.73) и
времени проrнозирования (t2 tl)' Для
следЯLЦИХ измерителей допустимое
время проrнозирования должно быть
таким, чтобы текущие ошибки пред
сказания с вероятностью 950/0 удовле Х i min
творяли условию 12.JD;1 $; Iдх i П1"Х I '
z.
1 .
rде Хiшах половина ширины ли
нейной части дискриминационной
характеристики следящеrо устрой
ства по i й координате (рис. 3.3), D nii дисперсия ошибок предсказания
по этой же координате. Друrие возможные подходы к решению задачи
оптимальноrо предсказания в общем виде рассмотрены в [10].
Рассмотренные законы предсказания можно использовать и в ал
rоритмах нелинейной фильтрации. Однако область их применения or
раничена линейными моделями оцениваемых процессов при нелиней
ных измерениях. Следует подчеркнуть, что используемые в такой си
туации оценки i (t() должны формироваться в соответствии с правила
ми нелинейной фильтрации.
6U'
J
X.
1
Рис. 3.3
89
3.6.3. Алrоритмы ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ
СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ
Научное направление, именуемое теорией иденти(рикации, все
чаще применяется при синтезе РЭСУ. В настоящее время известен
очень большой набор различных методов идентификации [1 О, 25, 49].
Рассмотрим ее алrоритмы, используемые для оценки параметров Moдe
лей систем и процессов в пространстве состояний. Наиболее простой из
них, предложенный Мейном [10], алrоритм фильтра Калмана, в KOTO
ром оценивается не вектор состояния, а вектор параметров модели. При
JTOfvl требуется, чтобы вектор управления был известным, а вектор co
стояния был доступен измерению, либо имелись ero оптимальные oцeH
ки, формируемые специальным фильтром.
Метод Мейна позволяет для процесса (cиcmeAtbl)
xp(k) == Фр(k, k l)х р (k 1) + p (k 1)
(3.86)
оцепить векп10Р
а (k ) = [Ф р I (k, k 11 Ф р 2 (k, k 11..., Ф РII (k, k 1) J"
(3.87)
парамеп1ров модели (3.86) при условии, чп10 UJиеется из./неренuе
z(k) == Х р (k) .
(3.88)
Здесь Xp [xTиT]T расширенный вектор состояния размерностью N+r,
компоненты KOToporo х и u определяются (2.20); Фр(k,k 1)
[Ф(k,k l)В(k l)] расширенная переходная матрица процесса (3.86);
Фрi(k,k 1) i я строка матрицы Ф р ; p(k 1 ) [ . (k 1) o ]T вектор
дискретноrо центрированноrо белоrо шума с матрицей дисперсий
Dx =M{ p(k 1) ;(k 1)}; О, r мерный нулевой вектор. Используя
(3.86) и (3.87) в (3.88), получаем
z(k) == Mp(k)a(k)+ p(k), (3.89)
rде
x (k 1)
О
Mp(k) = О
о
x;(k 1)
О
о
о
x (k l)
о
о
о
(3.90)
о
о
о
x (k l)
?
матрица размером (N+r)x(N+r) .
90
Как правило, КОJq)(l)ициенты Фрii модели (3.86) представляют co
бой q)ункции, которые изменяются во времени существенно медленнее,
чем фазовые координаты Xpi. Поэтому за время q)ормирования наблюде
ния (3.88) их можно считать ПОСТОЯННЫf\1И. Кроме Toro, для широкоrо
класса моделей, используемых при синтезе РЭСУ, параметры aj (3.87)
являются константами. Поэтому вполне правомочно равенство
a(k)==a(k 1). (3.91)
Использование представлений (3.89) и (3.91) в качестве моделей
наблюдения и состояния позволяет применять для оптимальноrо по
минимуму СКО оценивания алrоритм каЛ 1ановской q)ильтрации. Ис
пользуя (3.89) и (3.91) в (3.68) (3.72), будем иметь:
a(k) = a(k 1) + Ка (k) p(k) Мр (k)a(k 1)! а(О) = а о ; (3.92)
Ка =Dа(k 1)М;(k)[мр(k)Dа(k l)М;(k)+Dх(k l)tl; (3.93)
Da (k) = Da (k 1) Da (k l)М:;(k)[ (k)Dа (k 1)М:;(k)+ Dx Jl )(k)Da (k 1),
Оа (О) == Dao, (3.94)
rде ао и D<lo начальные условия. При получении (3.94) было учтено,
что апостериорная ковариационная матрица равна априорной, посколь
ку в модели состояния (3.91) переходная .1атрица является единичной, и
отсутствуют возмущения.
Кроме Toro, было принято во внимание то, что матрица Dx, KOTO
рая характеризует шумы возмущений модели (3.86), здесь иrрает роль
матрицы шумов измерений и не всеrда обращаема.
Поскольку алrоритм (3.92) (3.94) представляет разновидность
общеrо алrоритма оптимальной линейной срильтрации, то для Hero
справедливы все выводы, сделанные в п. 3.6.1. В качестве особенностей
можно отметить следующие обстоятельства.
В процессе идентификации необходимо постоянно вычислять
(3.93) и (3.94), так как матрица Мр (3.90) является функцией времени.
EC.'ltl (Разовые КООjJдиНG171Ы х не поддGl0111СЯ Ilепосредс/nвеllllол,tу
llЗJнереНU10 и 6АlеС1110 llUX иС110ЛЬЗУ'ОlnСЯ Оfl171l/АlGЛЫlые оцеllки Х, (I)OpJHи
руе.,ные Сl1ециаЛЫIЫАl (jJUJlbп1jJOAt, то в (3.90) и (3.92) (3.94) вместо х
необходимо использовать Х, а вместо Dx ковариационную матрицу
D(k), вычисляемую при решении уравнений (3.71), (3.72).
Если оптимальные оценки х отсутствуют, но имеются наблюдения
91
z(k) = Ир (k)x p (k)+ ри (k)
(3.95)
хотя бы части фазовых координат процесса (3.86), то для оценки пара
метров (3.87) также можно использовать общий алrоритм фильтрации
(3.68) (3.72), преобразовав (3.95) к виду, отображающему ero зависи
мость от параметров (3.87). Для этоrо подставим (3.86) в (3.95). Тоrда
получим
Z(k)= Ир (k1Фр (k,k ))xp (k l)+ p (k l)J+ pJk)=
== M p1 (k)a(k)+ экв (k), (3.96)
rде
Мр1=Ир(k)Мр(k); (3.97)
Mp(k) определяется (3. 90); экв(k)==Нр(k) p(k 1)+ ри(k) эквивалент
ный шум измерений с матрицей дисперсий
D экв (k) = Ир (k)Dx (k)H (k) + D и (k) .
Необходимо отметить, что использование моделей (3.91) и (3.96)
в алrоритме фильтрации (3.68) (3.72) несколько снижает точность
идентификации по сравнению с алrоритмом (3.92) (3.94). Поэтому
такие алrоритмы целесообразно использовать не столько для оценки
параметров процессов и систем, сколько для констатации факта измене
ния этих параметров, например в процедурах идентификации результа
тов измерений при автоматическом сопровождении нескольких целей в
режиме обзора или при обнаружении маневров целей.
3.7. Алrоритмы АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Недостатком рассмотренных выше алrоритмов оптимальноrо
оценивания является сильная зависимость показателей их точности и
устойчивости от соответствия условий функционирования тем моделям,
которые были положены в основу синтеза. Между тем, спецификой
функционирования РЭСУ является высокая степень неопределённости
априорных сведений, обусловленная изменением параметров летатель
ных аппаратов в процессе полёта, их маневрированием, н личием раз
личноrо рода радиопомех Т.д. В таких условиях рассматриваемые выше
алrоритмы оптимальноrо линейноrо оценивания либо функционируют с
точностью худшей, чем это определяется дисперсиями ошибок фильт
рации (3.63) и (3.71), либо вообще теряют устойчивость вследствие
92
возникновения расходимости процессов фильтрации. В связи с этим
весьма перспективным направлением, позволяющим уменьшить влия
ние отмеченных недостатков, является использование алrоритмов адап
тивной фильтрации [33, 41]. Использование адаптивных процедур по
зволяет приспособить алrоритмы фильтрации к условиям функциони
рования либо путём изменения (усложнения) структуры фильтров, либо
путём оценивания их параметров. К настоящему времени известно
большое количество процедур адаптации [33, 41], к наиболее употреби
мым из них относятся: процедуры cOBMecTHoro оценивания фазовых
координат и параметров модели, положенной в основу синтеза [49],
мноrоканальная адаптивная фильтрация; скользящие алrоритмы адап
тации, основанные на реrулировке параметров систем фильтрации.
Ниже будут рассмотрены: алrоритмы адаптации, основанные на COBMe
стном оценивании фазовых координат и параметров модели, исполь
зуемой для синтеза, и алrоритмы, в которых используется автоматиче
ская реrулировка параметров фильтров. Среди них можно выделить
адаптивные фильтры, в которых на основе тех или иных алrоритмов
идентификации осуществляется оценка коэффициентов матриц Ф(k,k 1)
исходной модели состояния (3.86), которые в дальнейшем используются
в (3.68) ДJIЯ коррекции проrноза (3.69) и коэффициентов усиления невязки
(3.70). Этот способ, являясь наиболее точным, требует достаточно больших
вычислительных затрат. Более простыми являются способы адаптации,
основанные только на автоматической коррекции коэффициентов усиления
невязки, либо только на коррекции результатов проrноза.
3.7.1. АлrоРитм СОВМЕСТНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
И ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ
В процессе синтеза нестационарных РЭСУ, параметры которых
изменяются во времени, приходится одновременно оценивать параметры
используемых моделей и фазовые координаты, формируемые на основе
этих моделей. Поскольку ДJIЯ параметрической идентиq)икации и опти
мальной фильтрации можно использовать одинаковую процедуру опти
мальноrо оценивания, то целесообразно сформировать единый алrоритм
ДJIЯ оценки и параметров моделей и q)азовых координат. Такой алrоритм,
позволяя улучшить точность оценивания фазовых координат с помощью
результатов параметрической идентификации, реализует адаПТИВНУIО
фильтрацию. Ниже будет рассмотрена процедура cOBMeCТHoro оценивания
фазовых координат и параметрической идентификации на основе алroрит
ма обобщенноrо (расширенноrо) q)ильтра Калмана Бьюси [49, 54].
93
Пусть РЭСУ описывается в пространстве состояний уравнениями
х == С(х, а, u, t)+ x (t); (3.98)
z==h(х,а,t)+ и(t), (3.99)
в которых учтена зависимость фазовых координат и результатов изме
рений от параметров системы.
В (3.98), (3.99) обозначено: х и 11 белые шумы с
ковариационными матрицами
М { Jt); (t I )}== 0,5G х b(t t l ),
м{ Jt); (t\ )}== 0,5G иь(t t 1)
а вектор параметров, аппроксимируемый уравнением
a== a' (3.100)
rде L1 белый шум, не зависящий от х И и, С ковариационной матрицей
М { a (t ); (t I )}== о ,5G а ь( t t 1 ) ;
G x , GI( и G t1 матрицы односторонних спектральных плотностей;
( ) { l, при t == t)
8 t t} = символ Кронеккера.
О, при t:Jtt}
Введем расширенный вектор состояния
Х р == Ср(Х р , u, t) + p (3.101)
и соответствующий ему вектор наблюдения
z==hр(хр,t)+ и. (3.102)
Здесь
х р == [ :]. f р == [ ]. р == [ : ] ,
.
(3.103)
а вектор u считается непосредственно наблюдаемым без шумов. Тоrда
применение для (3.101) и (3.102) процедуры обобщенноrо (расширенно
ro) фильтра Калмана Бьюси [54] позволяет получить алrоритм
i:p == fp (Х р , П, t) + К фр Ьр (Х р , t)], Х р (О) == Х рО ; (3.104)
[ д Ьр(Хр, t) ] ....1.
К фр 2Dp ахА; т G и , (3.105)
94
. [ д {р ( х р , и, t) ] [ д t' p ( Х р , и, t) ] т
D = D +D
р дх т р Р дх т
р r
[ ] Т
дhр(Хр,t)
Кфр дx Dp+G p ,
Dp(O)=D po ' (3.106)
rде G = [ G.x О ] .
р о G
а
Используя (3.103) и представление ко вариационной матрицы ошибок
фильтрации в блочной форме Dp = [ D xx Dxa J , Dxx = D. x, D ш1 == D 'a '
Dax Daa
т
D ах = D ха в (3.1 03 ) (3.1 06), получаем:
i = f(x,a, п, t)+ К Ф [z Ь(Х р , а, t)], х(о) = хо;
т T....I
К Ф =2{Dxx h x +Dхаhа)G и ;
(3.107)
(3.108)
= кфJz Ь(хр,а, t)],
а(О) = а о ;
(3.109)
(3.110)
К фа = 2(Daxh + Daah )G 1 ;
Dxx =fxDxx +faDax + Dxxf; + Dxa f ; Кф(hхDхх +haDax)+G x ,
Daa = Кфа (hxDxa + haDaa) + G a ,
Daa (О) = Daau,
(3.111 )
(3.112)
(3.113 )
Dxx (О) = Dxxo ;
Dxa =fxDxa +faDaa Кф(hхDха +haDaa), Dxa(O)=O;
rде
h = д Ь(х,а, t)
х дк т '
f = д f(х,а,п, t)
х дк т '
h = ah(x,a,t)
а да т '
f = дf(к,а,u,t)
а да т '
(3.114)
95
Структурная схема алrоритма (3.107 (3.114) совместной фильт
рации и параметрической идентификации процессов (3.98) и (3.100) при
использовании наблюдений (3.99) приведена на рис. 3.4..
Поскольку этот aлrоритм является одной из модиq)икаций алrорит
мов оптимальной фильтрации в пространстве состояний, то для Hero спра
веДJIИВЫ все выводы, полученные при анализе линейноrо фильтра (п. 3.б.l).
При этом необходимо отметить следующие особенности. Из рис. 3.4 видно,
что оценки i фазовых координат формируются на основе уточненных
(оцененных) значений а параметров модели, которые в свою очередь BЫ
числяются с использованием сформированных оценок i .
l;a
а о f
x а и
х == f(x,a,u,t) + x J х z
h(x,a,t) + и
Dxxll lIхо 11 оха
v v
КФ
... А.
u Х а
.:..
а
КФа
а о f
Dax Оаа ....
а
...
а
...
J Х h (х,а, t)
х == f(x,a,ll,t)
ХО 1 ...
х
к потребителям
Рис. 3.4
Алrоритм cOBMeCTHoro оценивания и фильтрации требует для
своей реализации вычислителей с большим объемом памяти и высоким
быстродействием. С одной стороны, это обусловлено необходимостью
решать большое число уравнений (<<проклятие размерности»), а с дpy
rой ..... требованием текущих вычислений коэффициентов матриц Dxx, D XL1
и D UL1 В реальном масштабе, времени. Последнее вызвано тем, что ис
9б
пользуемые в (3.108 (3.113) коэффициенты b и f (3.114) являются
функциями текущих оценок х фазовых координат.
3.7.2. АлrоРитм АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
С КОРРЕКЦИЕЙ КОЭФФИЦИЕНТА УСИЛЕНИЯ НЕВЯЗКИ
Один из самых простых и эффективных приёмов, обеспечиваю
щих адаптацию фильтра (3.68) (3.72) путем автоматической коррекции
коэффициента усиления (3.70) невязки, основан на использовании, так
называемой, S модификации фильтра Калмана [29]. Суть этоrо приёма
состоит в том, что при соответствии условий функционирования Moдe
лям состояния, фильтр работает по общепринятым алrоритмам (3.68)
(3.72). Если же условия функционирования не соответствуют моделям,
используемым при синтезе фильтра, то автоматически изменяется KO
эффициент усиления (3.70) невязки
z(k)==z(k) Hx)(k) (3.115)
за счет изменения матрицы априорных дисперсий (3.72) по правилу
D(k,k ..1)=SФ(k,k ..1)D(k ..1)ФТ(k,k ..1)+ Dx (k 1), (3.116)
в котором весовой коэффициент S вычисляется по результатам анализа
(3.115).
Принятие решения об изменении (3.70) на основе (3.116) ocy
ществляется при выполнении условия
z т (k) z(k) > tr{ M[ z(k) z т (k)]} ==
= tr{ м [И(k)(х(k) хэ(k)) + и )][И(k)(х(k) хэ(k)) + и)[ }
= tr{ И(k)D(k,k 1)ИТ (k)+Dи(k)}, (3.117)
rде tr след матрицы.
При существенном изменении условий функционирования воз
растают отклонения оценки х от действительноrо значения х. Тоrда
проrноз наблюдений H(k)x 1 (k) в (3.68), (3.115) будет значительно отли
чаться от результатов наблюдений z(k). Следовательно, сумма KBaдpa
тов невязки в левой части (3.117) будет характеризовать действитель
ную ошибку фильтрации, в то время как правая часть определяет Teope
тическую точность обновляющеrо процесса, полученную на основании
априорных сведений. Если условие (3.117) выполняется, то реальная
ошибка фильтрации превышает теоретически рассчитанную. Следова
тельно, начиная с JTOrO момента времени и необходимо корректировать
матрицу коэфq)ициентов усиления (3.70) невязки.
4 2486
97
Подставляя (3.116) в (3.117) для такой ситуации приходи м к pa
венству
tr[ДZ(k)ДZT (k)] == tr{H(k) (.S(k)Ф(k,k 1 )D(k I)ФТ (k,k 1) +
+ Dx (k 1)] Н Т (k) + D и (k)} == S(k)tr{Н(k)Ф(k,k 1 )D(k l)х
хфТ (k, k 1 )Н Т (k)} + tr[H(k)Dx (k 1 )Н Т (k) + D и (k)] .
Отсюда следует, что
S(k) == tr(&(k)1zT (k) H(k)Dx (k 1 )Н Т (k) Dи(k)] .
tr[Н(k)Ф(k,k 1 )D(k I)ФТ (k,k 1 )Н Т (k)]
(3.118)
Использование (3.116), (3.118) в алrоритме оценивания (3 .68) (3.71) и
дает возможность осуществлять адаптацию фильтра к изменению усло
вий функционирования. Началу адаптации, фиксируемому по превыше
нию левой части (3.117) над правой, будет соответствовать возрастание
коэффициентов S(k). Отсюда следует увеличение КОJффициентов MaT
риц D(k,k 1) (3.116) и К Ф (3.70), что вызывает в (3.68) усиление KoppeK
тирующеrо влияния невязки и приближение оценки х (k) к действи
тельному значению x(k). Это, в свою очередь, приведет к уменьшению
невязки дz(k) и множителя S(k), ослаблению корректирующеrо влияния
невязки и Т.Д..
В отличие от стандартноrо алrоритма фильтрации (3.68}.. (3.72), в
котором (k) изменяется проrpаммно, в рассмотренном алrоритме боль
ший вес имеют текущие измерения, поскольку коэффициенты матрицы
p(k) корректируются результатами каждоrо наблюдения. Этот алrоритм
адаптируется к условиям функционирования приближением теоретической
матрицы D к реальной за счет изменения BecoBoro множителя S(k). Указан
т ·
ное изменение осуществляется блаrодаря учету матрицы дz(k)дz (k), xapaK
теризующей действительную ошибку фильтрации.
Следует отметить, что при определении S(k) по (3.118) требуется
наименьший объем вычислений по сравнению с друrими модификация
ми данноrо метода. Недостатком paccMoтpeHHoro алrоритма является HeKO
торое затяrивание момента обнаружения расходимости, поскольку крите
рий (3.117) констатирует начало расходимости лишь наиболее устойчивых
наблюдаемых координат. Проведенный анализ показывает, что больше
Bcero склонны к расходимости ненаблюдаемые координаты, по которым в
фильтре отсутствуют ООС. Поэтому расходимость по наблюдаемым KOOp
98
динатам наЧИJ-:Iается лишь при достаточно больших отклонениях оценок
ненаблюдаемых координат от их действительных значений.
В заключение отметим, что при изменении в (3.116) веса матри
цы D(k,k 1) из за учета S(k) несколько ухудшается точность оценок по
сравнению с теоретической точностью, определяемой (3.72). Поэтому
(рильтры, синтезированные по алrоритму (3.68) (3.72), (3.116) и (3.118),
не являются оптимальными. Однако, несмотря на некоторое снижение
точности, они будут обеспечивать rарантированную адаптацию фильтра
под изменяющиеся условия функционирования.
3.7.3. Алrоритм АДАПТИВНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
С ОПТИМАЛЬНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ проrНОЗА
Рассматриваемый способ адаптации основан на оптимальной
коррекции в (3.68) проrноза (3.69) путём введения аддитивной управ
ляющей поправки.
Пусть для оценивания процесса (2.20) при отсутствии управления
и наличии наблюдений (2.21) был использован алrоритм оптимальной
линейной фильтрации (3.68) (3.72). [lри этом за счёт изменения усло
вий функционирования модель (2.20), положенная в основу синтеза,
перестала соответствовать реальному состоянию оцениваемоrо процес
са. В такой ситуации наблюдения z будут значительно отличаться от их
неадекватноrо проrноза НХ' Н что приведёт к возрастанию невязки Z..HX'H
неадекватной коррекции проrноза и Т.д.. В результате будет (рормиро
"
ваться расходящаяся оценка Х р вектора состояния по правилу
Х р (k)==Ф(k,k 1) Х р (k 1 )+Кф(k)[z(k)
Н(k)Ф(k,k 1) Х р (k 1 )]==Ф(k,k 1) Х р (k 1)+ p(k 1), (3.119)
rде
p(k 1 )==Кф(k)[z(k) Н(k)Ф(k,k 1) Х р (k 1)]
(3.120)
измеряемые возмущения.
Для устранения процесса расходимости необходимо, не изменяя
матрицы состояния Ф(k,k 1), наилучшим образом приблизить оценку
х р к реальному состоянию Х, информация о котором сосредоточена в
измерениях z, Т.е. HY)l(HO минимизировать неВЯЗI<У (z H х р). с JТОЙ цe
лью для дискретной системы
Х р (k)==Ф(k,k 1) Х р (k 1 )+uK(k)+ p(k 1),
(3.121)
99
полученной из (3.119), необходимо отыскать вектор U K управляющих
поправок, оптимальный по минимуму функционала качества
т т
I==M{[z Hxp] Qp[z HXp]+UKKpUK}' (3.122)
rде Qp и Кр соответственно матрицы штрафов за точность приближе
ния Н Х р К Z и за величину управляющих поправок.
Одним из способов решения этой задачи является использование
алrоритмов СТОУ. Наиболее простым и удобным для решения этой
задачи является алrоритм (3.48).
Поставив в соответствие (3.121), (3.122) с (3.43) и (3.45) получим:
XT==z, Ат==Е, Ху==Х р , Ау==Н, Ву==Е, YII== р,
фу==ф, Q==Qp, К==К р , u==u K . (3.123)
Используя (3.123) в (3.48) получим:
uк==[Н"'QрН+Кр) lНТQр{z(k) Н[(Ф(k,k l) Х р (k I)+
+Кф(k)[z(k) Н(k)Ф(k,k 1) Х р (k 1 ))}==
==[ HTQpH + Kp) 1 H""Qp[ z(k) НХэр(k) НКф[ z(k) Н(k)Хэр(k)));
uк==Rру[(Е НКф(k))(Z НХэр(k))] (3.124)
Здесь:
Rpy==(H"'QpH+Kp(k)) l HTQp (3.125)
матричный коэффициент усиления ошибки управления;
Хэр(k)==Ф(k,k 1) Х р (k 1)
(3.126)
проrноз состояния оцениваемоrо процесса, выполняемый по исходной
модели (2.20).
Анализ (3.124 Н3 .126) позволяет придти к следующим заключениям.
Поправка U K , обеспечивающая наилучшее по минимуму (3.122)
приближение Х р к х зависит от величины невязки Z НХЭР' При OTCYTCT
вии расходимости, коrда Z:::::НХ эр её влияние незначительно и фильтр
практически функционирует по типовому алrоритму калмановской фи
льтрации. При появлении расходимости, коrда z сильно отличается от
НХ эр , поправка U K существенно усиливает корреКЦИIО проrноза, выпол
няемую в (3.68) невязкой.
В управляющей поправке U K учитываются штраф за точность
приближения Х р к х, определяемый матрицей Qp, и штраф за эконо
100
мичность (К р ), а также состав измерителей (И) и вид корректируемоrо
фильтра (Ф(k,k I), Кф(k)).
В процессе получения закона (3 .124 ) (3 .126) формирования KOp
ректирующей аддитивной поправки не накладывалось никаких оrрани
чений на матрицу Qp. Это даёт возможность использовать в качестве
коэффициентов этой матрицы различные функции невязок, что ещё
более повысит точность и устойчивость функционирования оценок при
наличии расходимости.
Полученный алrоритм является достаточно простым и не накла
дывает никаких оrраничений на В01МОЖНОСТЬ ero реализации.
Используя (3.124) (3.126) в (3.121) приходи м к алrоритму фор
мирования оценок по правилу:
Х р (k)==XJp(k)+R py { [Е НКф(k) I [Z НХJр(k)I+Кф(k)[Z НХэр(k) I}==
==Х'}р(k)+{Кру[Е НКф(k)]+Кф(k)}[Z НХJр(k)l. (3.127)
Анализ (3.127) позволяет сделать следующие выводы.
Введение аддитивной управляющей поправки (3.124) в алrоритм
фильтрации (3.68) (рактически приводит к изменению текущеrо веса
корректирующей невязки. Однако закон изменения невязки будет OT
личным от закона, сформированноrо по правилу S модификации.
Полученный алrоритм оценивания будет оптимальным уже не по
минимуму СКО фильтрации, а по минимуму более сложноrо Фун[{ци
онала (3.122).
3.8. АДАПТИВIlАЯ АИАлоrО..ДИСКРЕТИАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
Одним из основных режимов работы ИВС самолетов является aB
томатическое сопровождение целей при сохранении обзора (п. 1.1.3). В
этом режиме необходимо непрерывно иметь оценки фазовых координат
относительноrо и абсолютноrо движения всех целей и самолёта при
достаточно редком (дискретном) поступлении сиrналов, отраженных от
каждой цели. В такой ситуации текущие оценки требуемых фазовых
координат в промежутках между поступлениями отра)кенных сиrналов
(рормируются на основе тех или процедур экстраполяции (проrноза) с
малым интервалом дискретизации, а накапливающиеся ошибки KoppeK
тируются дискретно поступающими измерениями.
Оцениваllие, при KOn10pO.l1t 3КСlnраПОJlяция ОСУlцес/nвляеmся с .л1.а
ЛЬ/А-l lua20J\1. 1: 110 своей lпОЧllосmll прuБЛU:J/саясь к анаЛ020вОJНУ nР02ll0ЗУ,
101
а коррекция осуu/еспlвляеfпся с БОЛЬUIUАI Ullпlервало.м T»'t, пРИll5!,по
llазывапlЬ аllаЛО20 дuскрепl1l0Й rРилыпрацuей [54].
Следует отметить, что за время Т обращения к цели, которое MO
)кет достиrать нескольких секунд [3] MorYT измениться условия сопро
вождения, например за счет маневра цели либо са 10лета носителя
БРЛС. В такой ситуации использование для проrноза упрощенных
rипотез движения приводит к появлению больших ошибок экстраполя
ции. При достаточно редком поступлении измерений (отраженных от
конкретных целей сиrналов) это может привести к расходимости про
цесса аналоrо дискретной (рильтрации. В связи с этим целесообразно
использовать алrОРИТ 1Ы адаптивной аналоrо дискретной фильтрации, в
которых, в зависимости от ситуации, автоматически изменяются пара
метры фильтров.
В общем случае алrоритмы адаптивной аналоrо дискретной
фильтрации позволяют для процессов
х(k)==Ф(k,k 1 )x(k 1)+ x(k 1),
(3.128)
при наличии наблюдений
z(k)==Qz[H(k)x(k)+ и(k)],
Qz(k)= { l, при k==nT/'t, п=1,2,3...,
О, при k *- nT/'t,
(3.129)
сформировать оценки
х (k)==хэ(k)+Кфа(k) z(k), х (k)==xo;
z(k)==Qz[z(k 1 ) H(k)X1(k)];
хэ(k)==QII(k)Ф(k,k 1) х (k 1);
(3.130)
(3.131 )
I
(3.132)
СП ( (k)), при k == nT/'t, если используется
Qn(k)= Е,
Е,
коррекция результатов проrноза,
при k *- nT/'t,
если коррекция результатов
проrнозане используется,
(3.133)
'1 ....1
Кqш(k)==Qу(k)D(k)Н (k) D и (k);
(3.134 )
102
fy (дz(k)), при k == nT/'t, если используется коррекция
коэффициен тов усиления невязки,
Qy(k)= Е,
Е,
при k * пТ /'t,
если коррекция коэq)фициентов усиления
невязки не ИСlIользуется,
(3.135)
{ [Е К фа (k)H(k)] O(k, k 1), 0(0) = 00 при k== I1T/'t,
O(k) =
D(k, k 1), при k :;t: nT/'t,
(3.136)
D(k,k 1 )==Ф(k,k 1 )D(k 1 )Ф(k,k 1 )+Dx(k 1).
(3.137)
в JТИХ уравнениях: QL признак прихода измерений; Qn Beco
вой множитель, используемый при коррекции проrноза, величина KOTO
poro определяется по результатам анализа невязки flJ(дz(k)); Qy Beco
вой множитель, используемый при автоматической коррекции коэq)(ри
циента усиления невязки по результатам t"у(дz(k)) ее анализа.
Отличие алrоритма от типовоrо алrоритма КаЛJ\.lана заключается
в двух особенностях. Первая состоит в том, что экстраполяция состоя
ния (3.128) и вычисление ковариационной матрицы ошибок проrноза
(3.137) выполняются с малым интервалом 't, а измерение (3.129) и KOp
рекция оценок i (3.130) с большим интервалом T»'t. Вторая особен
ность обусловлена возможностью использовать самые разнообразные
приемы адаптации, в том числе и упрощенные варианты, paCCMOTpeH
ные в 3.7.2 и 3.7.3.
3.9. ОБОБЩЁННЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
ОПТИМАЛЬНОЙ РЭСУ
в общем случае нестационарная оптимальная РЭСУ должна фун
кционировать на основе алrоритмов (рильтрации, идентификации и
управления. Функциональные связи между JТИМИ алrоритмами, исполь
зующими результаты измерений и априорные сведения о состоянии
ООУ, показаны на рис. 3.5.
С учетом различий в моделях приведенная схема справедлива для
всех видов РЭСУ: аналоrовых и дискретных, линейных инелинейных.
На этой схеме вектор Ху, входящий в состав обобщенноrо вектора co
103
стояния Х, отображает функционирование управляемоrо объекта и уп
равляющей системы РЭСУ (рис. В 1), а компоненты вектора Х Т и осталь
ные блоки схемы соответствуют информационно вычислительной сис
теме. Из рис. 3.5 видно, что оцененные значения а параметров ООУ
используются как для формирования оценок х фазовых координат, так
и для вычисления сиrналов управления, оптимальных по тому или ино
му критерию. В свою очередь, оцененные значения фазовых координат
и вычисленные сиrналы управления позволяют формировать оценки а
параметров РЭСУ.
ООУ
x==[x x;]T ИЗl\1ерители
...............
z==h (х,а, t)+ и
z ...
д .. ОптимальныЙ
а .
фJIЛЬТР
x==f(x,a,u, t)+ x
'"
'"
u
u
а
z
"'1
"'1 '7
д
х
.4
д
Опrnмальный х
д А
3... ...
l' реrулятор
I
Опrnмальный ...
иденrnфи](атор А u
Рис. 3.5
Рассмотрим более подробно информационные связи между алrо
ритмами РЭСУ дЛЯ линейных стационарных ООУ, дЛЯ которых спра
ведливы представления (2.7), (2.13) при условии, что F==const, B==const и
используются измерители (2.16) с H==const. Для стационарных ООУ
законы функционирования РЭСУ упрощаются за счет исключения алrо
ритмов идентификации и возможности вычисления коэффициентов
усиления К Ф невязок заранее, на основе априорных сведений о процес
сах (2.13) и (2.16). Для определенности будем полаrать, что оптималь
ные оценки фазовых координат формируются по алrоритму (3.61), а
сиrналы управления (3.35) оптимальны по минимуму локальноrо функ
ционала качества (1.5). Структурная схема РЭСУ, построенная на OCHO
104
вании моделей (2.7), (2.13), измерителя (2.16) и алrоритмов фильтрации
(3.61) (3.6.з) и управления (3.35), приведена на рис. 3.6.
из..ери; .н. .. Н.ф тр. Н. Н.Н.НН .HД o)H. ... .. .НН. НН .Н НН
+ + f 7;
&Ju &JXA
Х
.А. :
Xyj
....
u
Ху
заданная
часть
реrУJIЯТОР
Ху
Рис. 3.6
Анализ этой схемы позволяет прийти к следующим заключениям.
Оптимальная РЭСУ представляет собой мноrоконтурную систему, в KO
торой можно выделить несколько видов контуров. Первый вид KOHTY
ров, образуемых в процессе формирования в (3.61) невязок z H Х , ти
пичен для оптимальных (квазиоптимальных) фильтровых систем. Число
ООС в таких контурах зависит от числа измеряемых фазовых коорди
нат. Второй вид контуров образуется цепями, которые замыкаются
через заданную часть в процессе отработки Xyi управляемых координат.
Третий вид реализуется в процесс е вычисления ошибок управления
X r Ху' используемых при формировании оптимальноrо сиrнала управ
ления u. Число ООС в контурах BToporo и TpeTbero вида определяется
размерностью вектора Ху . Четвертый вид контуров замыкается цепями,
по которым из реrулятора в фильтр поступают комбинированные сиr
налы Bu коррекции, которые учитывают все оцениваемые фазовые KO
ординаты. Число этих сиrналов зависит от размерности вектора u.
Являясь более сложными по сравнению с одноконтурными сис
темами, MHoroKoHTypHbIe РЭСУ обладают рядом существенных ДOCTO
инств. К ним, прежде Bcero, можно отнести возможность OДHOBpeMeH
Horo обеспечения высокой точности и хорошей устойчивости системы в
105
целом, высокой надежности и помехоустойчивости и меньшей чувстви
тельности к точности выдерживания параметров РЭСУ и изменению
условий функционирования. Первая особенность достиrается за счет
распределения функций по обеспечению точности и устойчивости меж
ду раЗЛИЧНЫ?У1И контурами. Обычно высокая точность обеспечивается
контурами (рильтра (информационными контурами), а устойчивость
контурами реrулятора (контурами управления), в которых сиrнал управ
ления u формируется с учетом ошибок X Ti Х yi (i = 1, n ) по всем (разо
вым координатам. Высокая надежность и помехоустойчивость достиrа
ются блаrодаря большой избыточности информации об одних и тех же
физических величинах в виде фазовых координат Х т , Ху, результатов
измерений z и оценок Х т , Ху' Меньшая чувствительность к точности
выдерживания параметров и изменению условий функционирования
rарантируется большим числом самых разнообразных ООС и корректи
рующих сиrналов.
rЛАВА4.УСТОЙЧИВОСТЬРЭСУ
4.1. УСТОЙЧИВОСТЬ мноrОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
Система считается устойчивой, если после выведения из положе
ния равновесия малыми возмущениями, она самостоятельно возвра
щается в исходное состояние. fIод положением равновесия пониJ\tlается
невозмущенная фазовая траектория, определяемая однородной частью в
общем случае нелинейных уравнений состояния с переменными КОJф
фициентами.
Если эволюции МНОI'омерной системы описываются линейными
векторно матричными уравнениями (2.13), то ее устойчивость не зави
сит от воздействий управляющих сиrналов u и возмущений x и опреде
ляется решением однородноrо уравнения
x(t) = F(t)x(t) .
(4.1 )
Наиболее прост анализ на устойчивость для линейных стацио
парных систем. ПОЭТО?\1У в дальнейшем Jлементы матриц F и В в (2.13)
и (4.1) полаrаются постоянными. В общем случае решение таких систем
11
определяется линейной комбинацией Jкспонент х( t) = L Cje A \ t .
j=O
Чтобы решение (4.1) было асимптотически (при t oo) устойчи
вым, необходимо и достаточно существования отрицательных вещест
венных частей у корней уравнения [50]
[11 Aj [12 [111
det[F AjE] = de [21 [22 Aj [ 2п == О . (4.2)
[пl [п2 [ I1П Aj
Здесь fij (i = 1, п, j = 1, п) эле?\-1енты матрицы F; Е единичная
матрица; /ч собственные значения матрицы F, которые в общем случае
107
представляют комплексные числа. Раскрыв по известным правилам
определитель (4.2), можно получить характеристическое уравнение п ой
степени относительно Aj:
<Р(Лi)=dеt[F ЛiЕ]=[оЛ' +[(Л' ( +f2Л' 2 +"'+[I1 (Лi +f l1 ==0, (4.3)
rде [O". 1 формируется на основании коэффициентов матрицы F. По
уравнению (4.3) либо непосредственно вычисляют корни Aj численными
методами, либо проводят анализ, используя известные критерии устой
чивости [40, 50].
При анализе систем небольшой размерности широко использует
ся критерий Рауса rурвица. В соответствии с этим критерием из коэф
фициентов f j уравнения (4.3) составляется матрица по определителю
[} I [3 I [5 [7 I О
fo [ 2 I f4 f6 I О
Ll п = det О [} [3 [5 I О (4.4)
о fo [2 [4 I О
о
о
о
о
f)1
которой и анализируется устойчивость. Определитель (4.4) строится по
следующему правилу. На rлавной диаrонали сверху вниз размещаются
все коэффициенты (4.3) в порядке возрастания номера индекса, начиная
с [ 1 . Все столбцы относительно диаrональных членов заполняют вверх
коэффициентами f j в порядке возрастания их номера, а вниз в порядке
убывания. На местах коэффициентов с номерами i>n и i<O проставля
ются нули.
Для обеспечения устойчивости динамической системы (4.1) He
обходимо и достаточно, чтобы все определители диаrональных миноров
низшеrо порядка, очерченных в (4.4) штриховыми линиями, имели зна
ки, одинаковые с [о. Сказанное означает, что при [о>о должны выпол
няться неравенства
{ f(
Ll( = [} > О, 2 == de
[о
] [(
f3 > О, Ll3 =de fo
[2
О
[3 [5
[2 [4 >0
f( [3
( 4.5)
и т. д.
108
Дискретная система управления (2.20) считается устойчивой TO
rда, коrда для любоrо момента дискретизации корни характеристиче
cKoro уравнения
dеt[Ф(k,k 1 ) EZi]==O, (4.6)
rде z aprYMeHTbI Z преобразований, лежат внутри Kpyra с единичным
радиусом.
Если исследуемые системы нестационарны, то в зависимости от
характера изменения их параметров выходные сиrналы MorYT изменять
ся неоrраниченно долrо даже при постоянных входных воздействиях.
Это объясняется тем, что параметрические цепи в отличие от линейных
с постоянными параметрами обладают способностью «размножать»
спектр входных воздействий. Появление в выходных сиrналах новых
rармоник, не содержащихся в спектре входных воздействий, и обуслов
ливает неустановившийся характер выходных сиrналов. Поэтому ис
пользование признаков асимптотической устойчивости для анализа
нестационарных систем в общем случае теряет смысл. Существующие
точные методы исследования устойчивости нестационарных систем
довольно сложны [50]. Поэтому на практике пользуются приближенны
ми методами.
Наиболее распространен метод «замороженных» коэффициентов
[50], который применяется тоrда, коrда время работы системы оrрани
чено, а ее изменяющиеся параметры дифференцируемые функции Bpe
мени. Суть метода состоит в том, что весь временной интервал O...t K
работы системы разбивается на отдельные промежутки t, в пределах
которых параметры системы можно приближенно считать постоянны
ми. Затем для каждоrо из временных интервалов t используется любой
из известных критериев устойчивости. Если условия устойчивости co
блюдаются для всех выделенных промежутков t, то нестационарная
система управления считается устойчивой на всем рабочем интервале
O...t K . Следует подчеркнуть, что полученные при этом результаты не
вполне достоверны, поскольку сам метод замороженных коэффициен
тов не имеет математическоrо обоснования.
Если исследуется РЭСУ с известной динамической структурной
схемой, позволяющей определить передаточную функцию замкнутой
системы, то для анализа устойчивости также можно применять крите
рий Рауса rурвица (4.5). Этот критерий применяется для xapaKTe
ристическоrо полинома (знаменателя) передаточной фУНI(ЦИИ замкну
той системы, который представляется в виде степенноrо ряда (4.3) с
109
заменой в нем собственных значений Aj оператором дифференцирова
ния p==d/dt, либо aprYMeHToM s преобразований Лапласа. Необходимо
подчеркнуть, что в мноrомерных системах такие передаточные функции
должны составляться от каждоrо входа к каждому выходу. .
Устойчивость оптимальных РЭСУ, содержащих оптимальные q)и
льтры, идентификаторы и оптимальные реrуляторы, зависит от устой
чивости как фильтров и идентификаторов, так и реrуляторов. Принимая
во внимание, что в процессе проектирования РЭСУ оптимальные фи
льтры, идентификаторы и реrуляторы достаточно часто синтезируются
независимо друr от друrа, устойчивость контуров фильтрации, иденти
фикации и управления (реrулирования) будет рассматриваться раздельно.
4.2. устоЙЧивость ИРАСХОДИМОСТЬ
ОПТИМАЛЬНЫХ Фильтров
Линейный оптимальный (рильтр представляет собой нестацио
нарную динамическую систему с обратными связями по наблюдаемым
фазовым координатам (п. 3.6.1). В связи с этим устойчивость фильтров
Калмана можно оценивать по любому из критериев, применяемых для
линейных нестационарных систем. Для определенности в дальнейшем
будем полаrать, что процессы наблюдения и состояния характеризуются
соответственно уравнениями (2.16) и (2.13), реrулятор функционирует
по закону (3.35), а фильтр по закону (3.61). Подставляя (3.35) в (3.61),
будем иметь модель контура фильтрации в виде векторно матричноrо
уравнения:
i = Fx ВК IBTQIX + К Ф (z Нх)= F,x + Кфz, (4.7)
в котором
Fl =F BK IBTQl КфН
(4.8)
динамическая матрица собственной фазовой траектории, а КфZ внеш
нее воздействие. Подставляя (4.8) в (4.2), получаем
det [F 1 А i Е] = О. ( 4.9)
Для обеспечения устойчивости процесса фильтрации (4. 7) необ
ходимо и достаточно, чтобы для любоrо момента времени корни ypaB
нения (4.9) имели отрицательные вещественные части. При соблюдении
условия наблюдаемости (2.23), (2.25) фильтр Калмана будет асимптоти
чески устойчив [43,47]. В таких условиях фильтр теоретически обеспе
,..
чивает получение сходящейся оценки х, для которой характерно YMe
110
ньшение во времени дисперсий D ii (3.63) ошибок фильтрации от их наи
больших первоначальных значений Dii(O) до наименьших в установившем
ся режиме. Однако практика свидетельствует о том, что в фильтрах Калма
на, для которых теоретически выполняется условие наблюдаемости, может
иметь место явление расходимости. Под расходUАlостыо nОНИ.мается
значитеЛЬ/lое nревьnuение реалЫlblА1U дисnерсиЯАIU о uuбо/( qJWlьп1рации
п1020 их уровня D ii , коп10РЫй был nредсказа/l теоретически coomllotue
ниями (3.63). На рис. 3.2 сплошными линиями, дающими представление
о возможных изменениях дисперсий в ходе q)ильтрации, отображается
процесс сходимости, а пунктирными эволюции реальных дисперсий в
процессе формирования расходящихся оценок.
Основными причинами расходимости являются: неточности исход
ных моделей (2.13) и (2.16), используемых при синтезе фильтров; OTCYTCТ
вие точной априорной информации о законах распределения и спектраль
ных плотностях возмущений, сопровождающих оцениваемые процессы и
наблюдения; отсутствие точной информации об априорной статистике х (О)
и D(O) начальных условий, используемых при реализации алrоритмов oцe
нивания; ошибки вычислителей, которые определяют коэффициенты К Ф
(3.62), (3.63) и реализуют сам процесс фильтрации.
На примере аналоrовоrо линейноrо оптимальноrо фильтра про
анализируем особенности функционирования, которые непосредствен
но влияют на ero устойчивость и MorYT привести к расходимости фор
мируемых оценок. При этом будем полаrать, что имеют место все пере
численные причины, способствующие появлению расходимости. Сле
дует отметить, что полученные при этом выводы имеют смысл и для
дискретных фильтров.
Упомянутые особенности функционирования обусловлены: Ha
личием ООС только по наблюдаемым фазовым координатам; зависимо
стью корректирующеrо влияния не вязки z.. Их на оценку х от точно
сти фильтрации; усилительными свойствами и точностью устройств,
формирующих наблюдаемый процесс; q)ормой принимаемых радиосиr
налов; размерностью фильтра и продолжительностью ero работы. Пер
вая особенность предопределяет тенденцию q)ильтра к расходимости,
коrда число m наблюдаемых параметров меньше числа N оцениваемых
координат. Отсутствие в фильтре N ln ООС при наличии ошибок BЫ
числителей может привести к неустойчивости.
Для иллюстрации JTOrO утверждения рассмотрим rипотетический
фильтр, предназначенный для оценки расстояния Д ме:>кду двумя дви
111
жущимися объектами, их радиальных скорости У р и ускорения jp. При
этом будем полаrать, что взаимное перемещение объектов COOTBeTCTBY
ет модели paBHoycKopeHHoro движения, Т.е.
Д == у р , У р == jp,
jp == О .
(4.1 О)
Наблюдаемый процесс
ДИ = Д + д ,
(4.11 )
rде д белый шум с односторонней спектральной rшотностью а д , форми
руется РЛС в режиме автосопровождения. Будем считать, что заданные
распределения начальных условий (4.10) соответствуют требованиям, BЫ
полнение которых необходимо для корректноrо синтеза фильтра. Началь
ные условия для матрицы D (3.63) задаются в общепринятом виде:
О 11 (О)#О, D 22 (0);tO, D зз (О);tO, D 12(0)==D 21 (0)==0, О 13 (О)==О 31 (0)==0,
D 2з (0)==D з2 (0)==0. Здесь D 11 , О 22 и О33 дисперсии ошибок оценивания даль
ности, скорости и ускорения, а D ij (i#j) взаимные дисперсии ошибок
фильтрации соответствующих координат. С учетом (4.10), (4.11) и (3.62)
все матрицы, необходимые для определения критерия наблюдаемости
(2.25) и формирования характеристическоrо полинома (4.9), имеют вид:
F == [ ] ; H = [ 0 0 1 ] ; D == [ : :: :: ] ; ( 4.12)
о о о О 31 О 32 О33
K =[2D 11 /G д 2О 21 /а д 2D з1 /G д l
rде матрица D задана в общем виде. Тоrда в соответствии с (2.25):
1 О О
[H FTH I (FT)H ]= о 1 о.
О О 1
(4.13 )
Поскольку paHr матрицы (4.13) равен размерности оцениваемоrо
процесс а (4.1 О), то этот процесс является полностью наблюдаемым, а
синтезированный на основе (4.10) и (4.11) фильтр асимптотически yc
тойчивым. Структурная схема этоrо фильтра, полученная на основе
использования (4.12) в (3.61), приведена на рис. 4.1. Проверим устойчи
вость фильтра, используя условие (4.9) с учетом Toro, что в (4.1 О) OTCYT
ствует управление. Подставляя (4.12) в (4.8) и (4.9), получим
112
det[F 1 AjE]= det
2011/ G д A i
2021/Gд
2D31 /G д
1 О
A. 1 = о.
I
О A.
I
Отсюда вытекает характеристическое уравнение
A +201IA /О д +20 21 A i /G д +2031 /О д =0.
(4.14)
ДМ
л
Д
л.
. Д
л.
2О11 Д
G A л.
Д(О)
л.
;.. V p
2021 У р
GA л.
. л. Vp(O)
л. j р
2DЗ1 jp
G A л.
j р(О)
Рис. 4.1
Принимая во внимание начальные условия D 21 (0)==0 и D з1 (0)==0,
на основании (4.14) можно утверждать, что, несмотря на выполнение
условия наблюдаемости (4.13), синтезируемый фильтр может быть He
устойчивым, если в начальные моменты времени в результате ошибок
вычислителей вместо 02,(t) >0 и D 31 (t»O будут иметь место значения
021(t)<0 и 031(t)<0. Изменение знака D 21 и 031 В первую очередь приве
дет к ошибкам оценивания jp и У р ' Отсутствие ООС по этим координатам
(см. рис. 4.1) может сопровождаться существенными ошибками оценивания
дальности за счет смены знака корректирующих сиrналов, поступающих на
....
сумматоры. В результате увеличатся невязки Дl1 Д , ошибки оценивания
ускорения и скорости и Т.д.. Очевидно, что тенденцию фильтра к расходи
мости можно ослабить, увеличив число наблюдаемых координат. Такой
прием, приводя к увеличению числа обратных связей, улучшает компенса
цию поrpешностей работы фильтра, в том числе и обусловленных неточно
стью функционирования вычислителей. Необходимо подчеркнуть, что
113
наличие в (3.61) корректирующеrо сиrнала Bu, предопределяемоrо ис
пользованием сиrнала управления u, также улучшает устойчивость и
снижает тенденцию к расходимости за счет уменьшения в (4.14) числа
коэффициентов, близких к нулю, которые наиболее критичны к точно
сти работы вычислителя. Коррекция КОJффициентов вызывается нали
чием в (4.8) и (4.9) слаrаемоrо BK lBTQl .
Вторая особенность связана с тем, что в фильтре Калмана, обла
дающем наивысшей теоретической точностью в установившемся режи
ме (наименьшими дисперсиями ошибок фильтрации), осуществляется
наименее действенная коррекция результатов проrноза F х +Bu обнов
ляющим процессом z H х . Это обусловлено тем, что в установившемся
режиме коэффициенты матрицы К Ф принимают свои наименьшие зна
чения. Если во время работы фильтра ошибки проrноза F х +Bu, KOTO
рые накапливаются в процессе интеrрирования, начнут превышать по
правки, вносимые невязкой, то реальные ошибки фильтрации будут
увеличиваться. Следовательно, фильтр может расходиться, несмотря на
выполнение условий (2.25) и (4.5). Рассмотренная особенность проявляется
в наибольшей мере тоrда, коrда в процессе синтеза не учитываются шумы
х в уравнениях состояния. Если Gx==O, то при t----7 00 коэффициенты матрицы
D (а соответственно и I» стремятся к нулю, и фильтр вообще перестает
реarировать на поправки обновляющеrо процесса. В структурном плане это
адекватно размыканию цепей ООС по наблюдаемым координатам и воз
никновению неустойчивости. Данное утверждение может быть проиллюст
рировано на примере уравнения (4.14) при D11(oo)==O.
Из проведенноrо анализа следует, что тенденция фильтра к pac
ходимости наиболее сильна при малых значениях коэффициентов D ij
матрицы D (3.63). По времени это соответствует начальному этапу pa
боты и функционированию в установившемся режиме. Наличие оши'бок
вычислителей при достаточно малых значениях коэффициентов матри
цы D может привести к потере ее неотрицательной определенности. В
структурном плане это соответствует замене ООС на положительные, что и
предопределяет возможность формирования расходящихся оценок. Необ
ходим о отметить, что ошибки вычислителей особенно сильно сказываются
при достаточно больших шаrах интеrрирования (интервалах дискретиза
ции), сравнимых с постоянными времени процесса оценивания (4.7).
Еще одним последствием неточностей вычислителей, которое
может привести к усилению расходимости, является нарушение сим
метрии матрицы D в процессе вычисления ее коэффициентов.
114
Состав, усилительные свойства и точность устройств наблюдения
также суще ТВt?ННО влияют на устойчивость фильтров Калмана. He
удачно подобранный состав измерителей (2.16), при котором не выпол
няется условие наблюдаемости (2.25), ПрИБОДИТ к неустойчивости и
расходимости фильтра. Для иллюстрации JTOrO утверждения paCCMOT
рим еще раз пример (4.] О) синтеза фильтра при условии, что вместо
дальности доплеровским измерителем наблюдается скорость
V ри == У р + у . ( 4. 1 5)
Наблюдение сопровождается случайными поrрешностями y В
виде белоrо шума с односторонней спектральной плотностью а у , В
такой ситуации модуляционная lатрица принимает вид
Ну ==[0 1 О]. (4.16)
Учитывая (4.10) и (4.16), найдем матрицу (2.25) наблюдаемости
[H:IFTH:I(FT)2H:]= [ ] ,
О 1 О
paHr которой 1еньше размерности вектора состояния (4.1 О). Получен
ный результат свидетельствует о том, что по наблюдеНИIQ (4.15) нельзя
получить оценки всех компонент процесса (4.1 О).
При использовании (4.1 О) и (4.15) 1атрица коэq)фициентов К Ф
(3.62) вырождается в вектор столбец
К фv = [2D 12 /G v 2D 22 /а v 2D з2 /G v У ,
а характеристический полином, вытекающий из (4.9), имеет вид
л, + 2D22л' / G у + 2D з2 л'i / G у == о .
( 4.17)
Наличие нулевоrо корня в (4.17) свидетельствует об отсутствии
устойчивости синтезированноrо (рильтра.
О влиянии усилительных свойств (И) и точности устройств Ha
блюдения (G и ) на расходимость линейных оптимальных фильтров мож
но судить непосредственно по формулам (3.61) и (3.62). Из них следует,
что увеличение КОJфq)ициентов матрицы Н и уменьшение коэ(рфициен
тов матрицы G и вызывают рост коэффициентов матрицы К ф , а COOTBeT
ственно и корректирующеrо влияния невязки на результаты проrноза
,..
F х +Ви. Усиление коррекции позволяет в большей степени компенси
ровать неточности моделей, априорной статистики и используемых
вычислителей.
115
Если наблюдаемый процесс радиосиrнал Up(t), то значения эле
ментов матрицы Н будут определяться производной aup[x(t), t]/ax(t)
[29]. Тоrда при прочих равных условиях корректирующее влияние об
новляющеrо процесса будет возрастать при уменьшении протяженности
сиrнала по оцениваемым координатам. Кроме Toro, при этом повышает
ся точность наблюдения сиrнала [56]. Данное обстоятельство также
приводит к снижению склонности фильтра к расходимости. Однако
уменьшение протяженности сиrнала по оцениваемому параметру при
водит к уменьшению ширины XiJnиx... XiJnиx линейноrо участка (см. рис.
3.3) дискриминационных характеристик в следящих радиоэлектронных
системах. Это обстоятельство увеличивает вероятность потери устойчи
вости РЭСУ из за срыва сопровождения цели вследствие выхода рабо
чей точки за пределы линейноrо участка дискриминационной xapaKTe
ристики.
Влияние размерности вектора состояния (2.13) на устойчивость и
расходимость фильтров Калмана также противоречиво. С одной CTOpO
ны, увеличение размерности для повышения точности соответствия
модели (2.13) реальным условиям работы (рильтра приводит к повыше
нию устойчивости и снижению тенденции к расходимости за счёт YBe
личения точности оценивания. С друrой стороны, такая модель CTaHO
вится более привязанной к конкретным условиям работы и более чувст
вительной к их изменениям. Последнее особенно важно дЛЯ РЭСУ, KO
торые работают при резко изменяющихся условиях, связанных с изме
нением помеховой обстановки, условий распространения радиоволн,
характеристик источников сообщений и тактических условий примене
ния. Кроме Toro, возрастание размерности вектора состояния без COOT
ветствующеrо увеличения числа наблюдаемых координат усиливает
тенденцию к расходимости из за относительноrо уменьшения числа
ООС. Данное обстоятельство проявляется наиболее сильно при мало
информативных матрицах F, содержащих MHoro нулей. Необходимо
также отметить, что при возрастании размерности уравнения состояния
синтезируемоrо фильтра резко повышаются ошибки вычислителей и
усиливается тенденция к расходимости.
Рассмотренная первоначальная расходимость, обусловленная ошиб
ками формирования взаимных дисперсий, обычно проявляется лишь у
фильтров высокой размерности с малым числом наблюдаемых сиrналов
при наличии большой неопределенности априорной статистики. На прак
тике чаще приходится сталкиваться с расходимостью фильтров Калмана
116
в установившемся режиме работы, особенно при высокой размерности
модели состояния с низким уровнем q)ормирующих возмущений X'
Продолжительность работы q)ильтра так)ке может повлиять на
ero устойчивость. Можно предположить, что с увеличением времени
работы фильтров Калмана будет возрастать тенденция к их расходимо
сти. Правомерность TaKoro предположения подтверждается уменьшени
ем корректирующеrо влияния невязки и накоплением ошибок вычисли
телей по мере возрастания продолжительности работы q)ильтров.
В заключение отметим, что все рассмотренные причины pacxo
димости имеют смысл и для нелинейных оптимальных q)ильтров, KOTO
рые, по сравнению с линейными, обладают еще более высокой склонно
стью К расходимости, обусловленной, в частности, их способностью к
самовозбуждению.
4.3. ПРЕДОТВРАЩЕНИЕ РАСХОДИМОСТИ
ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
в общем случае для уменьшения склонности оптимальных (KBa
зиоптимальных) фильтров к расходимости неоБХОДИ 10 повышать точ
ность используемых моделей и вычислителей, априорной статистики
возмущений и начальных условий, увеличивать число наблюдаемых
координат и уменьшать время работы.
Особенностью РЭСУ является их функционирование при BЫCO
кой неопределенности априорных сведений о начальных условиях алrо
ритмов фильтрации (3.61) (3.63) или (3.68) (3.72), имеющих место в
момент обнаружения (первоrо наблюдения) сиrналов. В простейшем
случае Xj (О) и Dii(O) выбираются по правилам, определяемым COOTHO
шениями (3.66) и (3.67). Необходимо отметить, что выбор начальных
условий по этим формулам может привести к несоответствию началь
ных значений функционально связанных переменных. Это предопреде
ляет наличие в фильтре дополнительных переходных процессов и уси
ление тенденции к расходимости. Для уменьшения влияния неопреде
ленности априорной статистики на работу фильтров можно использо
вать в качестве начальных значений наблюдаемых координат результа
ты первых измерений ziO), пересчитанных к xiO) на основе детермини
рованных связей уравнений наблюдения (2.16), (2.21). В такой ситуации
значения Ол(О) для этих координат будут определяться пересчитанными
значениями дисперсий поrрешностей измерений. Значения Xj (О) и
117
Djj(O) для остальных фазовых координат можно найти путем численноrо
дифференцирования результатов измерений на первых тактах наблюде
ний с учетом моделей состояния. Для уменьшения величины ошибок
численноrо дифференцирования можно реКОl\.1ендовать алrОРИТ 1Ы
сrлаживания, например, на основе интерполяционноrо мноrочлена Ла
rранжа. Эти алrоритмы, приводя к некоторому усложнению фильтра и
запаздыванию начала фильтрации на время вычисления начальных yc
повий, позволяют улучшить СХОДИ IОСТЬ оценок за счет пучшеrо соrла
сования начальных условий функционально связанных координат.
Действенными способами ослабления влияния ошибок вычисли
телей на сходимость процессов оценивания являются уменьшение шаrа
интеrрирования (интервала дискретизации в дискретных фильтрах) и
уменьшение числа уравнений (3.65), решаемых в процесс е синтеза и
функционирования фильтров.
При отсутствии друrих оrраничений шаr интеrрирования (интер
вал дискретизации) Llt целесообразно выбирать, исходя из условия Ko
тельникова
t < O,5't K
( 4.18)
для процессов состояния с высоким уровнем шумов возмущений, либо
из правила
t < О,5Т м
( 4.19)
для малошумящих моделей, rде "[ к интервал корреляции модели co
стояния, а ТМ период повторения максимальной rармоники, входящей
в состав спектра процесса состояния.
Необходимо отметить, что уменьшение N 1 (3.65) путем использо
вания более rрубых исходных моделей (2.13) и (2.20) меньшей размер
ности может значительно ухудшить точность оценивания и ус лить
тенденцию к расходимости из за большоrо несоответствия выбранной
модели реальным условиям функционирования. Ухудшение точности
фильтрации, обусловленное уменьшением размерности вектора состоя
ния, можно оценить по алrоритмам чувствительности, рассмотренным в
6.3 [47,54].
Число решаемых уравнений можно существенно уменьшить,
применив метод декомпозиции, называемый иноrда методом расщеп
ленноrо фильтра, Т.е. разбить исходный вектор состояния (2.13) на He
сколько подвекторов Xj, для каждоrо из которых синтезируется свой
оптимальный фильтр. Такой прием, не снижая общей размерности B.eK
118
тора Х, позволяет сократить число уравнений (3.63) для вычисления
матриц дисперсий Dj ошибок оценивания подвекторов Xj. Если в состав
исходноrо вектора состояния входят rруппы функционально независи
мых координат, то осуществлять декомпозицию нетрудно. Для расщеп
ления исходноrо фильтра большой размерности на несколько q)ильтров
меньшей размерности при функционально связанных координатах Tpe
буются достаточный опыт и, в конечном счете, перебор вариантов дe
композиции методом проб и ошибок.
Как было отмечено в 4.2, состав наблюдаемых координат, определяя
в синтезируемом (рильтре число ООС, характеризует ero склонность к He
устойчивости. Минимальное число наблюдаемых параметров, необходи
мых для формирования оценок всех (разовых координат, можно определить
по критерию наблюдаемости (2.25). Число наблюдаемых координат можно
увеличить, используя нетрадиционные для алrоритмов фильтрации инер
ционные формирователи наблюдаемых параметров и устройства наблюде
ний с коррелированными шумаfvlИ. До недавнеrо времени применение Ta
ких устройств наблюдения оrpаничивалось резким возрастанием числа
уравнений (3.63) в алrоритмах оптимальной фильтрации. Увеличение объ
ема вычислений обусловливалось необходимостью расширения вектора
состояния за счет включения в ero состав дополнительных фазовых KOOp
динат, учитывающих динамику «окрашенных» шумов и инерционных
наблюдений. Однако современные алrоритмы фильтрации, основанные на
переходе к новым, искусственно формируемым измерениям, позволяют
учесть инерционность измерителей и коррелированность их uпyмов без
расширения вектора состояния [30,47].
Еще одним способом уменьшения склонности (рильтров к pacxo
димости является применение более информативных устройств наблю
дения, матрицы Н которых содержат меньшее число нулей. К таким
устройствам, в частности, относятся датчики, позволяющие OДHOBpe
менно наблюдать линейную комбинацию оцениваемых параметров
N
z. ='h..x.+.t:..
J L.. 1 J J 1 J .
i == 1
Такие наблюдатели способствуют усилению корректирующеrо
влияния обновляющеrо процесс а за счет более полноrо учета в матри
цах D и К Ф внутренних детерминированных связей, заложенных в oцe
ниваемом процессе.
Большинство методов устранения расходимости основано на раз
личных способах адаптивной коррекции в (3.61) коэфq)ициентов матри
119
цЫ К Ф (3.62). В общем плане эти способы можно подразделить на эври
стические (проrраммные), полуавтоматические и автоматические. К
эвристическим относятся приемы изменения коэффициентов матрицы
К Ф без использования информации о текущем состоянии фильтра. Это
прежде Bcero:
оrраничение снизу коэффициентов матрицы К Ф на уровне Кфijтiп,
при котором корректирующие сиrналы невязки заведомо превышают
л
уровень ошибок проrноза F х +Ви состояния системы (рис. 4.2, а);
периодическое прекращение процесса уменьшения КФij и возвра
щение к исходным значениям КфiiО) спустя время ТВ (рис. 4.2, б);
коррекция Кфij(О) за счет использования ненулевых начальных
значений Dij(O) матрицы D(O) (3.63).
Следует отметить, что первые два способа используются дЛЯ YCT
ранения расходимости фильтров в установившемся режиме, связанной
со снижением корректирующеrо влияния обновляющеrо процесса. По
следний эффективен только в начальные моменты работы фильтра.
К ф "
IJ
К ф "
IJ
"
"
"
"-
--. Тв
К Ф .. .
IJ mш
О О
t t
а) б)
Рис. 4.2
При отсутствии сведений о неточностях выбранной модели (2.13)
и ошибках вычислителей уровень оrраничения Кфijтiп И период ТВ возоб
новления первоначальноrо закона изменения коэфсрициентов КФij зави
сят от опыта и интуиции исследователя. Если известна информация о
поrрешностях вычислителей в виде спектральных плотностей (диспер
сий) ошибок вычислений, то матрица спектральных и взаимных спек
тральных плотностей этих ошибок включаются в состав уравнения
(3.63) в виде дополнительноrо слаrаемоrо. За счет этоrо увеличиваются
значения КФij в установившемся режиме, а соответственно, и вес KoppeK
120
ции обновляющеrо процесса. Достаточно эф.фективным приемом, по
зволяющим устр.анить расходимость фильтров в начальные моменты их
функционирования, является использование ненулевых начальных зна
чений Dij{O);tO взаимных дисперсий матрицы D (3.63). Конкретные зна
чения Di/O) выбирают, исходя из выполнения соотношений (4.5). Так, в
примере, для KOToporo исходные модели имеют вид (4.1 О) и (4.11), пер
воначальная расходимость устраняется при выполнении условий
Dзl(О»О, D2I(О»DЗI(0)Gд/2DII(0), полученных путем использования
критерия Рауса rурвица для характеристическоrо полинома (4.14). Сле
дует также обратить внимание на то обстоятельство, что введение HeHY
левых начальных взаимных дисперсий MO)l(eT быть использовано для
управления временем переходных процессов фильтра.
На практике широко распространен алrоритм получения практи
чески нерасходящихся оценок на базе так называемой S модификации
оптимальноrо фильтра [29]. В дискретном варианте указанный алrоритм
отличается от общепринятоrо лишь выражением для матрицы (3.72),
используемой в виде (3.116), в которой весовой I(ОJq)(рициент SB== 1...1,4
подбирается в процессе моделирования q)ильтра. Наряду с изменением
КОJффициентов матрицы К Ф за счет изменения D(k,k l) (3.116) для
предотвращения расходимости можно искусственно увеличивать и сам
обновляющий процесс (невязку), например задеР)I(КОЙ на некоторое
время результатов проrноза наблюдений Н х .
Необходимо подчеркнуть, что все рассмотренные проrраммные
способы предотвращения расходимости одновременно ухудшают точ
ность оценивания по сравнению с теоретически расчетными значениями
матрицы D. Поэтому все эти методы целесообразно использовать лишь
тоrда, коrда фильтр действительно начинает расходиться. Задача полу
чения информации о текущем состоянии процессов сходимости решает
ся полуавтоrvfатическими методами, которые отличает наличие крите
рия, применяемоrо для констатации ч)акта расходимости. Одним из
наиболее распространенных критериев оценки текущей расходимости
дискретных q)ильтров является неравенство (3.117).
Методы автоматическоrо устранения расходимости основаны на
дополнительной оценке текущих параметров F (Ф), В, Н, С Х (ох) и С "
(D II ) В моделях (2.13), (2.16) и (2.20), (2.21) современными методами
идентификации (адаптации) (см. 3.6.3,3.7.1). Уточнение КОJффициентов
всех матриц исходных моделей позволяет учесть их текущие изменения
в алrоритмах вычисления проrноза, КОJффициентов матрицы К-Ф и ca
мой невязки. Это дает возможность существенно снизить тенденцию к
121
расходимости фильтров, обусловленную несоответствием используе
мых моделей текущим условиям функционирования. Однако такой
подход [54], давая наивысшую точность фильтрации, требует значи
тельноrо усложнения алrоритмов оценивания. Поэтому на практике для
устранения расходимости чаще используют методы, основанные на
текущем контроле сходимости с автоматическим изменением степени
коррекции матрицы К Ф по результатам анализа невязки -(см. 3.7.2) и
текущей коррекции проrноза (см. 3.7.3). Следует подчеркнуть, что все
эти приемы MorYT быть использованы для предотвращения расходимо
сти и алrоритмов аналоrо дискретной фильтрации (3.8).
4.4. УСТОЙЧИВОСТЬ
ОПТИМАЛЬНЫХ КОНТУРОВ УПРАВЛЕНИЯ
Устойчивость ОПТИ1\1альной РЭСУ зависит от устойчивости как ин
формационноrо контура, в котором формируются оптимальные оценки, так
и контура управления, в котором формируются управляющие сиrналы и
осуществляется их отработка исполнительными орrанами. Особенности
устойчивости информационноrо контура были рассмотрены в 4.2. Поэтому
основное внимание уделим вопросам устойчивости контура управления
(реryлирования) в предположении, что фильтры работают устойчиво и с
высокой точностью, то есть Х Т ==Х т , Х У ==ХУ' Кроме Toro, допустим, что этот
контур состоит из заданной части (2.7) и реryлятора, формирующеrо сиrнал
управления (3.35), оптимальный по минимуму локальноrо критерия (1.5).
Выбор управления (3.35) обусловлен чисто методическими соображениями
обеспечения простоты анализа. Следует подчеркнуть, что полученные в
процессе этоrо анализа выводы будут справедливы и для реryляторов, оп
тимизированных по дрyrим квадраТИЧНЬПvl функционалам качества.
В общем случае РЭСУ обладают рядом особенностей, которые
непосредственно влияют на устойчивость контуров управления. К этим
особенностям относятся:
наличие реrуляторов практически на всех уровнях иерархической
структуры РЭСУ от управления летатеЛЬНЫt\1 аппаратом и до функцио
нирования первичных датчиков информации (например, раДИОJлек
тронных следящих уrломеров и автоселекторов дальности и скорости);
оrраниченные диапазоны изменения интенсивностей радиосиrна
лов и их информативных параметров, в пределах которых РЭСУ либо ее
составные части MorYT считаться линейными;
122
нестационарный (в общем случае) характер синтезированных оп
ТИ?\1альных РЭСУ;
возмо)кность создания ООС по всем управляемым координатам.
Наличие оптимальных реrуляторов на разных уровнях иерархи
ческой структуры РЭСУ приводит К зависимости устойчивости подсис
тем более высокоrо уровня от устойчивости систем более низкоrо ypOB
ня. Например, срыв автоматическоrо сопровождения цели по направле
нию, обусловленный потерей устойчивости контура управления aHTeH
ной уrломера, как правило, приводит к нарушению управления лета
тельным аппаратом в процессе наведения. Причина этоrо состоит в
потере всей инq)ормации, извлекаемой иве РЭСУ из радиосиrналов. В
структурном плане :это адекватно разрыву цепей, по которым в подсис
темы более высокоrо уровня поступают инq)ормация о Х Т и корректи
рующие сиrналы от подсистем более низкоrо уровня (датчиков).
Все основные алrорит (ы функционирования оптимальных реrуля
торов основаны на линейных представлениях о РЭСУ. Отсюда следует, что
полученные алrоритмы управления будут оптимальными лишь при COOT
ветствии зтих представлений условиям применения. Необходимо подчерк
нyrь, что радиоэлектронные датчики мо)кно считать линейными лишь при
достаточно больших отношениях энерrии сиrнала к спектральной плотно
сти шумов В определенном интервале изменений интенсивностей и инфор
мативных параметров обрабатываемых радиосиrналов.
Под инq)ормативными параметрами понимаются амплитуда, часто
та, фаза и время запаздывания отраженных сиrналов, в законе изменения
которых сосредоточена информация об измеряе 1ЫХ фазовых координатах.
Практика эксплуатации РЭСУ свидетельствует, что возможный
динамический диапазон интенсивностей входных сиrналов существенно
превышает динамический диапазон приемных устройств, оrраниченный
линейным участком их амплитуд U BbIX .
ных характеристик (рис. 4.3). Bы
ход сиrналов за пределы линейно
ro участка амплитудной характери
стики приводит к утрате информа
ции о Х т , В свою очередь, это aдeK
ватно размыканию цепей, по KOTO
рым сведения о Х Т поступают в
реryлятор и, соответственно, к по
тере ero устойчивости. Аналоrич
ные последствия имеют место и при
в
Рабочий
участок
U вх тах
U BX .
Рис. 4.3
123
переrpузке приемника под действием помех, и при пропадании сиrналов за
счет амплитудных шумов.
Приращения информативноrо параметра сверх рабочеrо участка
дискриминационных характеристик чувствительных элементов РЭСС
также может привести к потере ее устойчивости (срыву слежения) [18,
37]. На рис. 3.3 показан примерный вид дискриминационной
характеристики Uj==f( Xi), определяющей зависимость j ro сиrнала
управления от изменения ошибки слежения по i й координате. Из нее
видно, что при выходе возрастающей текущей ошибки ДХj за пределы
рабочеrо участка ДХjl1шх... ХjlП Х управляющие сиrналы (3.35) будут не
увеличиваться, а уменьшаться. В результате вид обратной связи по KO
ординате Xj может измениться с отрицательной на положительную, что
и обусловит потерю устойчивости РЭСС.
Нестационарный характер РЭСУ может быть обусловлен не толь
ко наличием переменных во времени коэффициентов, но и мульти
пликативными помехами вследствие нестабильности распространения и
отражения радиоволн. Дальнейший анализ устойчивости РЭСУ прово
дится В предположении, что выполняются все перечисленные в 4.1 yc
ловия применения метода замороженных коэффициентов. Подставив
(3.35) в (2.7), получим в общем виде уравнения контура управления
Ху == FXy +ByK }B Q(x,. Xy)+ y == F}x y + ByK }B Q + y, (4.20)
rде Х Т и у определяют внешние воздействия, а
F} == Fy ByK }B Q
(4.21 )
обусловливает собственную фазовую траекторию (4.20).
В соответствии с условием (4.2) для обеспечения устойчивости
системы (4.20) необходимо, чтобы для любоrо момента времени корни
,
уравнения
dct[F 1 Aj Е] == О
( 4.22)
имели отрицательные вещественные части.
Из (4.21) и (4.22) следует важный вывод о ВОЗМО)l(НОСТИ устойчи
Boro управления (2.7) даже при неустойчивой матрице Fy. Выбрав COOT
ветствующим образом коэффициенты штрафа матрицы Q и к в (1.5),
можно получить такие значения элементов матрицы ByK IB Q, KOTO
рые обеспечивают отрицательные вещественные части собственных
значений Fl даже при расположении корней Fy в правой полуплоскост .
124
Следовательно, с помощью оптимальноrо управления можно rapaH
тировать устойч'ивое q)ункционирование априори неустойчивых объек
тов. Последнее особенно актуально при синтезе контуров радиоуправ
ления, в состав которых входят неустойчивые кинематические '3венья
[27]. Большой запас устойчивости оптимальных реrуляторов обуслов
лен тем, что уже в самом принципе синтеза заложен штраф за ОТI<лоне
ние управляемых координат Ху от их требуемых значений Х Т независимо
от причин их возникновения. В структурном плане это проявляется в
наличии ООС по всем управляемым координатам Xyi, что собственно и
обеспечивает высокую устойчивость синтезированных РЭСУ.
Кроме Toro, учет обратных связей по всем Xyi (j = 1, n ) позволяет
реализовать устойчивое управление в существенно большем диапазоне
изменений требуемых q)азовых координат, чем в системах с меньшим
числом обратных связей. Причина этоrо состоит в том, что при форми
ровании сиrнала управления по координате Xyi по цепям остальных n 1
связей поступают сиrналы коррекции, учитывающие значения ошибок
по остальным n 1 (разовым координатам.
rЛАВА5.ТОЧНОСТЬРЭСУ
5.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК УПРАВЛЕНИЯ И
ПОКАЗАТЕЛИ ТОЧНОСТИ
Для оценки точности одноrо из наиболее важных частных по
казателей эффективности РЭСУ используются MrHoBeHHbIe (текуrцие,
точечные) и интеrральные показатели. В качестве MrHoBeHHbIx показа
телей, характеризующих точность РЭСУ в конкретные моменты BpeMe
ни, используются промахи и ошибки управления. Понятие промаха
было введено в 1.4.5. Допустимый промах зависит от требуемой Bepo
ятности поражения цели и мощности боевой части. Так, в соответствии
с (1.20) допустимый промах ракеты определяется дисперсией
2
R "Jф ( 1 Р ру )
D 11Jt == Р .
ру
(5.1)
Поскольку промах зависит от множества причин, то аналитиче
ские выражения, позволяющие вычислить ero значение, MorYT быть
получены лишь в процессе анализа конкретных типов РЭСУ.
Иноrда для удобства анализа используют понятие текущеrо про
маха. Под текущим промахом ht понимают расстояние между целью и
ОУ в плоскости рассеяния, которое имело бы место при прекращении
управления в текущий момент времени t.
Под ошибками управления (наведения) понимают вектор
Lh(t) == Х Т (t) Ху (t)
(5.2)
разности требуемых и фактических (управляемых) фазовых координат [11,
52]. В общем случае и промахи h и ошибки управления x(t) являются слу
чайными процессами. Поэтому наиболее полной характеристикой точности
РЭСУ будут их MHoroMepHbIe законы распределения. Следует отметить, что
ошибки управления и промахи вызваны orpoMHbIM числом случайных воз
действий. Поэтому с достаточной для практики точностью можно считать
законы распределения 11 и x raУССОВСI(ИМИ. Поскольку определять MHoro
MepHbIe законы распределения достаточно трудно, то оперировать ими в
126
качестве оценок точности неудобно. В связи с этим на практике исполь
зу ют более про тые и удобные показатели точности:
вероятность Toro, что ошибка (промах) не выйдет за пределы дo
пустимой области;
математическое ожидание ошибки (промаха);
дисперсию ошибки управления или промаха.
Знание ошибок управления x(t) необходимо не только для xa
рактеристики точности функционирования РЭСУ, но и для формирова
ния сиrналов управления, которые определяются несоответствием Ху и
Х Т ' В качестве примера можно сослаться на закон управления (3.35),
оптимальный по критерию (1.5).
Использовать текущую ошибку x(t) (5.2) в качестве показателя
точности неудобно по двум причинам. Во первых, трудно сравнивать
по точности MHoroMepHbIe РЭСУ, если у одной из них меньшей является
ошибка Xi(t)==XTi(t) Xyi(t) (i = 1, п), а у друrой x.iCt)==xTit) Xyit)
(j = 1, n , i;tj). BO BTOpЫX, текущие ошибки управления Xi(t) являются
функциями времени. Поэтому в один момент времени t 1 ошибка Xi(t1)
одной системы ?\10жет быть меньше, чем у друrой, в то время как в MO
мент времени t2;tt 1 соотношение ошибок может быть иным.
Первая причина устраняется, если за оценку точности взять
взвешенную суммарную текущую ошибку управления. Наиболее часто
в качестве TaKoro показателя используется сумма взвешенных диспер
сий ошибок управления
Dy == M{[xT(t) Xy(t)]TQ[XT(t) Xy(t)]}, (5.3)
rде коэффициенты qii диаrональной матрицы Q определяются важно
стью ошибок Xi для системы в целом, а М знак математическоrо
ожидания.
Необходимо отметить, что показатель (5.3) по прежнему является
функцией времени. Во избежание JTOrO недостатка за показатель точно
сти выбирают ошибки управления X(tK) на момент tl( окончания управ
ления. Ситуации, коrда наступает момент времени tl\, были рассмотрены
в 1.4.5. Кроме Toro, в качестве покз:зателя точности РЭСУ за все время
ее (РУНI<ционирования MO)l(HO использовать интеrральную квадратичную
оценку
t"
12 = М{ f[xT(t) Xy(t)]TL[xT(t) Xy(t)] dt} .
о
(5.4)
127
в (5.4) L диаrональная матрица весовых коэффициентов 'н, учитывающих
важность текущих ошибок i(t) для системы в целом. Следует подчерк
нуть, что (5.3) и (5.4) можно использовать как независимо, так и в составе
более сложных функционалов качества, например, таких, как (1.4) и (1.5).
В общем случае в составе ошибок управления наряду со случайными
компонентами можно выделить и друrие характерные составляющие. Если
при всех повторных испытаниях имеют место одни и те же ошибки, то
rоворят о систематических ошибках. В зависимости от причин возникнове
ния выделяют инструментальные, методические, субъективные и динами
ческие ошибки управления. Инструментальные ошибки обусловлены Heco
вершенством измерителей и исполнительных opraHoB РЭСУ, методические
несовершенством алrоритмов функционирования ИВС. В качестве при
мера можно привести ошибки, возникающие при наведении на маневри
рующую цель ракеты, ИВС которой использует методы наведения, опти
мальные ДТIя наведения на неманеврирующие объекты.
Субъективные ошибки, обусловленные индивидуальными oco
бенностями летчика (оператора), проявляются в основном В режимах
ручноrо и в меньшей степени директорноrо управления. ДЛЯ РЭСУ
характерны динамические ошибки, предопределяемые инерционностью
исполнительных устройств и самих объектов управления. Следует OT
метить, что в РЭСУ все виды ошибок существуют одновременно, по
этому приведенная классиq)икация ошибок условна и предназначена
лишь для упрощения анализа точности РЭСУ. Кроме Toro, в MHoroKOH
турных иерархических РЭСУ все перечисленные ошибки позволяют
характеризовать точность функционирования как отдельных уровней
иерархической структуры, так и отдельных контуров, в частности ин
формационноrо и контура управления.
Следует отметить, что при исследовании РЭСУ различают потен
циальную и реальную точности. Потенциальная точность характеризу
ется минимально возможными ошибками управления и промахами,
которые достиrаются лишь теоретически. Показатели ее позволяют
судить о предельных возможностях РЭСУ. Как правило, реальные пока
затели точности хуже потенциальных. Наиболее достоверные показате
ли реальной точности определяют либо в процессе испытаний РЭСУ
(экспериментально), либо в процессе моделирования ее (рункциониро
вания на ЭВМ во всем диапазоне ВОЗМО)l(НЫХ условий применения.
Одним из наиболее широко используемых приемов определения
дисперсий ошибок является их вычисление по формуле
128
l J [ 1 N [ ] 2 ]
Dj = L . L xTj(k) xyj(k)
J j= I N 1 k I
(5.5)
rде N количество шаrов в процессе испытания (моделирования) одной
реализации, а J количество реализаций. Необходимо подчеркнуть, что
в перечне тактико технических показателей обычно приводят реальные
показатели точности с указанием диапазона условий применения. Чаще
Bcero это значение динамических ошибок в установившемся режиме и
значения СКО (дисперсий) с указанием доверительноrо интервала Bepo
ятностей.
5.2. ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ
ОШИБОК УПРАВЛЕНИЯ И ПРОМАХОВ
Показатели точности управления и их зависимость от условий
применения и параметров РЭСУ можно определять лишь в процессе
анализа конкретных типов систем наведения. Тем не менее, можно BЫ
делить общие причины, приводящие к появлению ошибок наведения
независимо от типа систем радиоуправления. К таким причинам можно
отнести:
несовершенство используемых методов наведения;
несоответствие динамических (маневренных) свойств ОУ и цели;
поrрешности измерений и оценивания;
ошибки вычислителей;
чувствительность алrоритмов функционирования к точности BЫ
дер)кивания параметров и изменению условий функционирования.
Следует отметить, что, I<aK правило, все перечисленные причины
действуют одновременно и MOryT взаимно усиливать влияние друr дpy
ra на формирование ошибок управления.
5.2.1. ВЛИЯНИЕ МЕТОДА НАВЕДЕНИЯ
И ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ И ЦЕЛИ
НА ТОЧНОСТЬ НАВЕДЕНИЯ
Выбор метода наведения зависит от динамических свойств целей
и объектов управления и возможностей информационноrо обеспечения
этих методов. При этом, чем подвижнее управляемые объекты и цели,
тем сложнее метод наведения. Сложность метода наведения определя
ется числом фазовых координат относительноrо и абсолютноrо движе
ния целей и ОУ, которые необходимо оценить, чтобы сформировать
5 2486
129
требуемую фазовую траекторию Х Т и необходимые для TpaeKTopHoro
управления параметры рассоrласования. В общем случае траектория
наведения на произвольно маневрирующую цель криволинейна, по
скольку произвольное искривление траектории цели сопровождается
определенным искривлением траектории наводимоrо объекта.
В практике разработки РЭСУ оrраничения на состав датчиков
ин(рормации и на быстродействие и объем памяти вычислителей ИВС,
как правило, приводят к необходимости применения алrоритмов TpaeK
TopHoro управления, оптимизированных на применение по неманеври
рующим либо слабо маневрирующим целям. Наведение объектов
управления с такой ИВС на интенсивно маневрирующие цели неизбеж
но приводит К методическим ошибкам, значения и характер изменения
которых зависят от маневренных свойств цели и аУ.
ДuнаАпlческие свойства (;наневре1lность) ПА характеРUЗУ,0,пся
их способностью UЗА1е1lять свое пОЛО:Jlсение в I1рОСnlранстве под деЙС111
вuе.kl СU2налов управления. Маневренные свОйС111ва летапlеЛЬНО20 aппa
раlпа (цели или ОУ) оцеlluваl0nlСЯ:
минимально возможным радиусом R l11in траектории или ее макси
мальной кривизной Рl11ах== I/R lНil1 ;
максимально возможными развиваемыми продольным Jxmax и по
. .
перечными JYl11ax, JZI1ШХ ускорениями;
инерционностью РЭСУ;
порядком производных эволюций оцениваемых в иве (разовых
координат (например, дальности и уrлов), возникающих в процессе
маневрирования ЛА.
Че 1 меньше Rl11il1 и инерционность и чем больше остальные пока
затели, тем выше маневренность цели и аУ.
Радиус искривления траектории и максимально возможные попе
речные ускорения ЛА без непосредственноrо управления подъемной
силой связаны соотношением [52]
R z ,Yl11il1 == у 2 / jz,ушах' (5.6)
rде V скорость цели или аУ. Поскольку аУ обладает конечными
значениями jz,ytnax И У, то существует определенное значение Rz,yanin,
меньше KOToporo этот ЛА реализовать не может. Поэтому, если исполь
зуется такой метод наведения, при котором от аУ потребуется радиус
разворота, меньший, чем JTO допускается соотношением (5.6), то HaBO
димый объект не сможет следовать по требуемой q)азовой траектории и
будет пролетать мимо цели.
130
Инерционность ИВС, УС и ОУ предопределяет появление в про
цессе наведения динамических ошибок. Следует подчеркнуть, что при
этом решающим оказывается вклад наиболее инерционной подсистемы
РЭСУ объекта управления. Динамические ошибки, в основном, обу
словлены отставанием ОУ в отработке требуемой q}азовой траектории
вследствие невозможности MrHOBeHHoro изменения пространственноrо
положения ЛА после формирования сиrнала управления. Причинами
TaKoro отставания являются: наличие зон нечувствительности всех ви
дов исполнительных opraHoB РЭСУ вблизи малых значений управляю
щих сиrналов; оrраниченный запас мощности управляющих и исполни
тельных opraHoB; опосредованное управление аэродинамическими си
лами ЛА.
В соответствии с первой причиной исполнительные opraHbI (Ha
пример, приводы рулей ЛА) начинают изменять положение управляю
щих устройств (рулей) только после превышения сиrналами управления
определенноrо значения. Поскольку ОУ обладают определенной Mac
сой, то для MrHoBeHHoro изменения их пространственноrо положения
потребовалось бы бесконечно большое усилие, чеrо на практике не
бывает.
Опосредованность управления аэродинамическими силами ЛА
состоит в том, что отклонения рулей не приводят к MrHoBeHHoMY изме
нению подъемной или боковой аэродина lических сил, которые и изме
няют траекторию полета. Рассмотрим это обстоятельство более подроб
но на упрощенном примере формирования подъемной силы самолета
при традиционной аJродинамической схеме, коrда рули высоты распо
лаrаются в хвостовой части ЛА.
В rоризонтальном полете масса самолета G при определенном
уrле атаки а уравновешивается подъёмной силой F, складывающейся из
подъемных сил крыльев F Kp и руля высоты F PB (рис. 5.1, а).
F
F Kp
G
G
а)
б)
Рис. 5.1
131
При формировании команды на кабрирование руль высоты OT
клоняется вверх на уrол 8 рв , в результате чеrо ero подъемная сила изме
няет свой знак (рис. 5.1, б). В итоrе общая подъемная сипа F уменьша
ется, и самолет начинает проваливаться вниз. Одновременно, за счет
пары сил F PB и F Kp , он начинает разворачиваться BOKpyr своей оси так,
что увеличивается уrол атаки. Последнее и приводит к возрастанию
подъемной силы крыла и соответственно к увеличению высоты. Эволю
ции высоты при скачкообразном отклонении руля высоты (рис. 5.2,а)
показаны на рис. 5.2,б. Из рис. 5.2,б видно, что фактический рост BЫCO
ты начинается через некоторое время t зёlп после отклонения рулей, а на
начальном участке маневрирования имеет место приращение высоты
ilH, знак KOToporo противоположен требуемому. Для тяжелых самоле
тов t 1Lш может достиrать единиц секунд, а ilH десятков метров. Для
ликвидации таких не желательных последствий используют, так назы
ваемые, орrаны непосредственноrо управления подъемной (боковой)
силой [2], функции которых выполняют интерцепторы (спойлеры), раз
мещенные на крыле вблизи центра 1vlacc, либо. передние рулевые по
верхности при построении ЛА по схеме «утка».
БРВ l
а) О.
н
..
XTi.
XYi
Но
б)
о
t зап
t' зап
t p1
Рис. 5.2
Рис. 5.3
Эволюция высоты при использовании opraHoB непосредственноrо
управления подъемной силой показана на рис. 5.2,б штриховой линией.
Количественно инерционность РЭСУ оценивается суммарным временем
запаздывания 't зап И временем реrулирования t p , которые MOryT быть оп
ределены по её переходным характеристикам.
На рис. 5.3 показан примерный вид переходной характеристики
РЭСУ, представляющей реакцию управляемой фазовой координаты Xyi
132
на скачок адекватной требуемой координаты х т \. Из рисунка видно, что
отработка требуемоrо значения XTi фазовой координатой Xyi начинается
лишь через некоторое время 't: шп , обусловленное наличием всех 'Зон He
чувствительности и спецификой управления аэродинамическими силами.
Время t p определяется как минимальное время вхождения фазовой
координаты Xyi в пределы O,95xTi Xyi 1 ,05X T i' В общем случае при
ближенно можно считать
t p ::= 3Т , (5.7)
rде т постоянная времени системы наведения по данной координате.
Исследования [12] показали, что для устранения влияния запаздывания
аУ на ошибки управления необходимо, чтобы ero максимальные попе
речные ускорения, по крайней мере, в два раза превосходил и аналоrич
ные ускорения цели. Однако даже при таком соотношении для YCTpaHe
ния ошибок управления, обусловленных наличием 't зап (см. рис. 5.3),
требуется более 2...3 с. Поэтому для системы наведения наиболее опа
сен маневр цели за 1...2 с до встречи с аУ.
Для Toro чтобы ошибки управления устранялись в процессе HaBe
дения, динамические свойства РЭСУ должны соответствовать их Tpe
буемым значениям, которые определяются методом наведения и дина
мическими свойствами цели. Рассмотрим упрощенный пример HaBeдe
ния РЭСУ, динамические свойства которой описывается моделью
Ху = FyXy + БуU ,
на цель по требуемой траектории
Х Т = FTx T
(5.8)
(5.9)
при условии, что размерности векторов Х Т и Ху одинаковы, ИЗ lерители
идеально точные, а сиrнал управления (3.35)
u == К I В Q( Х т Х у) ( 5. 1 О)
оптимален по локальному критерию (1.5). В такой ситуации ошибка
управления ilX==XT XY будет определяться решением, в общем случае,
неоднородноrо дифференциальноrо уравне ия
М=х x =
т у
I т v F '
= FX T FyXy БуК ByQ + FyXT FyXT = 1' 1 L\x + Х т '
(5.11)
rде
FI = Fy Бук IВ Q, ilF = F T Fy .
(5.12)
133
Решение (5.11 ) будет складываться из общеrо решения
L\x(t) == L\xoexp { Fl t}
(5.13)
однородной части X = F1дх и частноrо решения Bcero неоднородноrо
уравнения. Если динамические свойства РЭСУ соответствуют требуе
мым значениям (Fy==F T ), то ошибки (5.13) будут убывать от своих пер
воначальных значений ДХО до нуля со скоростью, определяемой в (5.12)
динамическими свойствами ОУ (Fy, Ву), требованиями текущей точно
сти (Q) И экономичности (К). Если же F/JtF T , то в решении (5.11) кроме
(5.13) появляется еще и вынужденная составляющая, величина которой
зависит как от закона изменения Х т , так и степени несоответствия дF
динамических свойств системы наведения ее требуемым значениям.
В общем случае закон изменения Х Т является произвольным. По
этому для исключения влияния вынужденной составляющей решения
(5.11) на точность управления необходимо использовать адаптивные
РЭСУ. ДЛЯ неадаптивных РЭСУ на практике всеrдэ будет иметь место
дF:;tО, что обусловливает наличие вынужденных ошибок управления.
5.2.2. ВЛИЯНИЕ ОШИБОК ИЗМЕРИТЕЛЕЙ НЛ ТОЧНОСТЬ УПРАВЛЕНИЯ
Наличие различноrо рода поrрешностей измерений (оценивания)
(разовых координат приводит к появлению ошибок формирования Tpe
буем ой фазовой траектории Х т , а следовательно, и ошибок управления и
промахов даже при использовании ОУ с идеальными динамичеСКИ 1И
свойствами. Конкретный вклад ошибок конкретных измерений в общую
ошибку формирования Х Т можно оценить лишь для определенной РЭСУ
с конкретным методом наведения (см. 8.5 8.1 О). Ни)ке влияние поrреш
ностей измерений (оценивания) будем иллюстрировать лишь в качест
венном плане.
Причинами появления поrрешностей измерителей в РЭСУ явля
ются: внутренние шумы, нестабильности распространения радиоволн,
амплитудные и уrловые шумы, оrраниченный диапазон линейных уча
стков дискриминационных и пеленrационных характеристик измерите
лей дальности, скорости и уrлов, оrраниченный динамический диапазон
систем обработки радиосиrналов, оrраниченный порядок астатизма
устройств формирования оценок фазовых координат.
Влияние внутренних шумов и нестабильностей распространения
радиоволн на точность радиолокационных измерений подробно pac
смотрено в [15, 56]. Обратим внимание лишь на то обстоятельство, что
134
наряду с общеизвестными нестабильностями распространения радио
волн в атмосфере, обусловленными колебаниями скорости и нарушени
ем прямолинейности их распространения, существенны ошибки, вноси
мые обтекателями антенн. Дополнительные преломления радиоволн в
обтекателях антенн БР лс и prc MorYT привести к достаточно большим
и трудно устраняемым поrрешностяrv1 измерений уrлов. Трудность их
устранения определяется не ТОЛЬКО СЛО)I(НОЙ зависимостью от направ
лений прихода радиоволн, но и суrубо индивидуальным распределени
ем ::>тих ошибок для каждоrо 1кземпляра обтекателя.
Наличие амплитудных шумов приводит к поrрешностям измере
ний в устройствах, использующих в процессе q)ункционирования ин
(рормацию, которая заключена в амплитуде радиосиrналов, например в
уrломерах с коническим сканированием антенн. Кроме Toro, KpaTKOBpe
менные пропадания радиосиrналов, обусловленные их амплитудными
флуктуациями, приводят к переходу следящих измерителей в режим
памяти (экстраполяции). Если время таких пропаданий незначительно,
то режим автоматическоrо оценивания q)азовых координат BOCCTaHaB
ливается с допустимыми поrрешностями. При длительных пропаданиях
радиосиrналов режим автосопровождения не восстанавливается. Тоrда
точность измерения, опредсляе:мая теперь точностью ::>кстраполяции,
существенно ухудшается с возрастанием времени работы измерителя в
ре){(И Iе «память». Аналоrичная ситуация имеет место и тоrда, коrда
радиосиrнал на входе измерителей присутствует, но текущие ошибки
сопровождения L\Xi==XTi Xyi выходят за пределы L\Хiших...L\Хjпшх линейноrо
участка дискриминационной характеристики измерителя (см. рис. 3.3).
К таким ){(е послеДСТВИЯ 1 может привести и переrрузка приемника,
возникающая в ситуациях, коrда входной сиrнал превышает динамиче
ский диапазон системы обработки (UНХ>UНХШ<lХ на рис. 4.3).
Влияние оrраниченноrо астатизма устройств оценивания прояв
ляется при наведении на маневрирующие цели. Если в процессе MaHeB
рирования цели порядок производных оцениваемых фазовых координат
(например, дальности и бортовых пеленrов целей) превышает порядок
астатизма радиоизмерителя (например, радиолокационных дальномеров
и уrЛО1\1еров), то будет иметь место возрастающая во времени динами
ческая ошибка оценивания [40]. Наличие такой ошибки приводит BHa
чале к возрастанию ошибок формирования параметров рассоrласования,
а после выхода ошибки L\Xj за пределы ширины дискриминационной
характеристики (см. рис. 3.12) либо к переходу в ре){(им памяти с увели
135
чением ошибок управления, либо вообще к срыву процесса оценивания,
а соответственно и наведения. Эта особенность и лежит в основе эффек
тивности различноrо рода противоракетных, противоистребительных
маневров как одноrо из основных средств срыва наведения.-
Устранение отмеченноrо недостатка путем повышения порядка
астатизма в традиционных одноконтурных следящих радиоизмерителях
[40] невозможно, так как это при водит к потере устойчивости их фУНК
ционирования. На практике используются, в основном, следящие из
мерители с астатизмом первоrо или BToporo порядка [3, 28], дЛЯ KOTO
рых достаточно длительный маневр цели с переменной переrрузкой
неизбежно приводит к срыву сопровождения.
5.2.3. ВЛИЯНИЕ ОБТЕКАТЕЛЕЙ АНТЕНН
НА ТОЧНОСТЬ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ
И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ НАВЕДЕНИЯ
ДЛЯ предохранения антенных систем любых РЭСУ от воздейст
вий внешней среды используют радиопрозрачные обтекатели, которые
одновременно должны удовлетворять целому ряду противоречивых
требований. К наиболее важным из них относятся:
определенные электрические характеристики, обеспечивающие
прохождение радиоволн с наименьшими поrлощением, отражением и
преломлением;
соответствующая форма, предопределяющая малое лобовое co
противление ОУ;
высокая прочность, позволяющая сохранить форму обтекателя
при аэродинамических наrрузках, вибрациях и ударах;
влаrонепроницаемость и отсутствие rиrроскопичности;
термостойкость.
Необходимо отметить, что все последние требования важны не
только сами по себе, но и потому, что в той или иной степени влияют на
отражение, поrлощение и преломление радиоволн, вызывая тем самым
изменения некоторых ТТП радиолокационных измерителей. Поскольку
наиболее жесткие требования предъявляются к обтекателям антенн
ракетных РЭСУ, то основное внимание уделим именно им.
Отражения и преломления радиоволн в обтекателе MorYT привес
ти к небольшому уменьшению дальности действия БРЛС или prc, KO
торое, как правило, не учитывается. В то же время преломления радио
волн в обтекателе может столь сильно повлиять на точность измерения
(оценивания) уrлов и уrловых скоростей, что для ero ослабления в сис
136
темах высокоточноrо наведения
приходится принимать специальные
меры. При этом в активных prc
влияние обтекателя проявляется
сильнее, чеt\.f в полуактивных, так
как в первых эф(рект преломления
наблюдается и при излучении, и при
приеме, в то время как в последних
только при приеме.
Поскольку преломление лу
ча минимально при ero нормаль
ном падении на поверхность, то
наилучшей формой обтекателя
является сфера. Однако при сферической форме обтекателя лобовое
сопротивление ракеты возрастает примерно на 50% [14], что приводит К
значительному уменьшению дальности полета. Поэтому на практике
используют оживальную, обтекаемую форму, пример которой для Bep
ТИI(альной плоскости показан на рис. 5.4. На этом рисунке ось ОаХ xa
рактеризует положение продольной оси ракеты в стабилизированной HeB
ращающейся системе координат ХоОаУ о ; i} уrол TaHra:>Ka; Оц точка
расположения цели; <РЦ8 И t Ц 8 соответственно бортовой пеленr и уrол
визирования цели; ОаХа равносиrнальное направление; <Рав И taB co
ответственно уrлы поворота антенны относительно продольной оси
ракеты и направления ОаХо, Д<Роб поrрешность измерений, обуслов
ленная преломлением радиоволны в обтекателе; А сечение антенны в
рассматриваемой плоскости. Следует подчеркнуть, что для несфериче
ской формы обтекателя поrрешность Д<Роб при различных уrлах Ч>цв бу
дет разной. Зависимость поrрешности Д<Роб от бортовоrо пеленrа цели
<Рцв, называемая статической пеленrационной характеристикой обтекате
ЛЯ, в общем случае нелинейная и, что особенно важно, различна ДJIЯ разных
образцов даже однотипных обтекателей. Преломляющие свойства обтека
теля оцениваются крутизной ero пеленrационной характеристики
К об = д Д<Роб/д<рцв .
В области небольших изменений <Рцв статическая характеристика
обтекателя может считаться линейной. Для таких участков
<Роб == ::tК об <РЦ8 ,
Оц
У О
х
ХО
Рис. 5.4
(5.14)
rде Коб== + (О,О 1...0,05) [28]. Рассмотрим более подробно смысл Коб.
137
Если уrломер предназначен для оценивания уrла <Рцв И уrловой
скорости ffio =е Ц8 линии визирования, то при наличии преломлений в
обтекателе он будет оценивать соответственно <Рав И Ыа8 =-f:a8' На OCHO
вании рис. 5.4 и СООТНОluения (5.14) можно получить
Е а8 =Е Ц8 + Коб<Рцв =Е цв + Коб(t цв 'б). (5.15)
Тоrда Е ав = Е цв (1 + Коб) + Коб'б. Поскольку Коб' 1, то можно счи
тать, что
Е ав = Е Ц8 + Коб'б; (Оа8 = Ё ав = (ОЦ8 + Коб'б.
(5.16)
Анализ (5.14) (5.16) позволяет сделать следующие выводы.
Преломление радиоволн в обтекателе, обусловливающее появле
ние + Коб, приводит не только к ошибке оценивания уrла (5.14), но и к
скоростной ошибке
OOo6 = + K o 6i} ,
(5.17)
которая изменяется синхронно с изменением yrловой скорости танrажа. По
этой причине оtиuбку (Ооб часто называЮlп сиНХРОН1l0Й оtиибкой обтека
п1еля, а коэффицuенп1 Коб коэффuциеllmОJН синхронной оtиибки. Из (5.16)
следует, что при отсутствии маневра носителя ( 1З-== сопst) синхронная ошиб
ка равна нулю. Наиболее сильно она проявляется при интенсивном MaHeB
рировании ОУ, коrда имеют место большие значения i). в таких ситуациях
ошибки Д{t)об MOryT быть достаточно велики даже при малых значениях <РЦ8'
За счет появления ошибок Д<Роб и Д(Ооб В контуре наведения появ
ляются дополнительные обратные связи, характер и влияние которых
определяются как знаком и величиной Коб, так и видом маневра ОУ.
Сущность ::>тих связей поясняется структурной схемой на рис 5.5., Эта
схема получена на основании обобщенной структурной схемы РЭСУ
ракеты (см. рис. 1.2) и соотношений (5.15) и (5.16).
Для удобства координаты Ецв, Ы цв и 1З-, i} выведены из состава
векторов Х ц и Хр' При этом оставшиеся фазовые координаты объединены
в векторы Х ц ) и Х р )' Из рис. 5.5 видно, что при определенном сочетании
знаков Коб И i} В контуре наведения образуются положительные обрат
ные связи (ПОС), снижающие запас ero устойчивости. На больших BЫ
сотах, на которых из за малой плотности воздуха ухудшается качество
демпфирования колебаний ОУ, наличие таких дополнительных ПОС
может привести к потере устойчивости и срыву процесса наведения.
138
Х ц l
ЦB . РАКЕТА Х р1
иве
А fP об
+Коо Ю Ш
u
"
. /
u
р
р
+КQб
Рис. 5.5
Из Bcero paccMoTpeHHoro можно сделать вывод, что при разра
ботке высокоточных РЭСУ должны приниматься во внимание ошибки
как <Роб обтекателя, так и (Ооб оценивания уrловой скорости линии
визирования. При этом для компенсации <Роб можно использовать спе
циальную карту распределения этих ошибок
<Робij = [( <Pa8i , <Parj) ) (i == 1, N, j == 1, М) (5. 18)
для каждоrо отдельноrо образца обтекателя. Здесь <paBi И <Pi.lrj COOTBeT
ственно дискретные значения уrлов поворота антенны в вертикальной и
rоризонтальной плоскостях. Снятая карта в виде матрицы чисел <Робij
запоминается в бортовой ЭВМ и используется в дальнейшем для KOM
пенсации результатов измерений при соответствующих уrлах поворота
антенны. Размеры этой матрицы, определяемые в (5.18) значениями N и
М, зависят от объема памяти вычислителя и чувствительности аппара
туры, с ПО 10ЩЬЮ которой снимается распределение <Робij. Ошибки
(Ообij, зависящие еще от условий применения ( 1з- ), MorYT быть оценены
по результатам «измерений» <Pij на основе тех или иных моделей с
помощью известных алrоритмов фильтрации.
5.2.4. ВЛИЯНИЕ уrловых ШУ 10В нл ТОЧНОСТЬ РЭСУ
Под уrловыми шумами понимают флуктуации уrла прихода сиrна
лов, отраженных от цели [24], определяемоrо нормалью к фазовому фронту
радиоволны. Поскольку функционирование любых систем пеленrации
основано на определении нормали к фазовому фронту радиоволны, то из
менение положения этоrо фронта в процессе измерения yrловых координат
целей приводит к появлению дополнительных поrрешностей измерений.
139
При радиолокационном наблюдении за реальной целью каждая
относительно небольшая часть ее облученной поверхности, содержащая
совокупность отражающих элементов, вносит свой вклад в общий OT
раженный сиrнал [39]. Эти части цели, отражающие падающую на них
волну и являющиеся вторичными излучателями, обычно называют бле
стящими точками (БТ). Число БТ и распределение их в пространстве
определяется типом цели и ракурсом, под которым она наблюдается. В
итоrе сиrнал, наводимый в антенне, представляет собой результат ин
терференции сиrналов, отраженных от БТ. Поскольку размеры реаль
ных целей существенно превышают длину радиоволны, то таких точек
может быть достаточно MHoro. При случайных изменениях положения
целей в пространстве, вызываемых турбулентностью атмосферы, HeCTa
бильностями сrорания топлива и особенностями TpaeKTopHoro управле
ния, взаимное расположение БТ в пространстве также изменяется слу
чайным образом. Соответственно по случайному закону изменяются и
результаты интерференции сиrналов БТ, которые приводят к случайным
из'менениям положения фазовоrо фронта пеленrуемой радиоволны. В
такой ситуации нормаль к фазовому фронту характеризует направление
на так называемый кажущийся центр отражения (КЦО). Необходимо
отметить, что в зависимости от типа цели и ракурса ее облучения КЦО в
процессе своих перемещений может выходить за пределы контура пе
ленrуемой цели. Так, для самолетов тактической авиации математиче
ское ожидание модуля ошибок пеленrации, обусловленных yrловым шу
мом, MOryт превышать 0,5 yrловых размеров цели, а вероятность Рвых BЫXO
да КЦО за пределы контура цели характеризуется значениями PBыx 0,2.
Рассмотрим качественно влияние уrловоrо шума на точность Ha
ведения рэсу. При этом для определенности будем полаrать, что в
состав ивс рэсу входит моноимпульсный уrломер.
Если расстояние до цели велико, то уrЛОfJОЙ шум не приводмт к
значительным ошибкам пеленrации и ero влиянием на точность управ
ления можно пренебречь. Такая ситуация характерна дЛЯ РЭСУ самоле
TOB paKeTOHocцeB. Однако на малых расстояниях, коrда уrловые разме
ры цели соизмеримы с шириной диаrраммы направленности антенны,
уrловой шум может вызвать значительные ошибки пеленrации. Кроме
Toro, даже небольшие ошибки пеленrации, обусловленные уrловыми
шумами, MOryT сопровождаться достаточно большими случайными
ошибками оценивания уrловой скорости линии визирования. Наличие
таких ошибок по уrлу и уrловой скорости приводит к появлению COOT
ветствующих ошибок наведения. Для рэсу ракет, по мере их прибли
140
жения к цели влияние этих
ошибок становится Ha
столько большим, что при Ор2
водит К недопустимо боль
шим промахам. Во избежа
ние этоrо управляемое Ha
ведение ракет црекращают
на некотором расстоянии Дк
от цели. После достижения этоrо расстояния полет становится неуправ
ляемым. Если на момент окончания управления имела место уrловая
ошибка наведения Д<РК (рис. 5.6), то линейный промах h возрастает с
увеличением дк. Особенно актуально уменьшение дк для ракетных сис
тем высокоточноrо наведения на интенсивно маневрирующие цели. Для
решения этой задачи необходимо снижать влияние уrловых шумов на
точность ИЗ lерения уrлов и оценивания уrловых скоростей линии визи
рования. К настоящему времени применяют различные способы борьбы
с уrловыми шумами [24, 39].
Один из них основан на использовании в системах обработки сиrна
лов оrpаничителей снизу, поскольку при больших отклонениях КЦО от
рен уменьшается отраженный сиrНaJI, принимаемый по суммарному KaHa
лу, вследствие снижения коэффициента направленноrо действия. Если это
уменьшение превышает некоторое значение, то процесс слежения за целью
по направлению прекращается и yrломер переводится в режим памяти
(экстраполяции). Такой прием, позволяя избавиться от наибольших ошибок
пеленrации, обусловленных уrловыми шумами, не устраняет влияния He
больших уrловых ошибок. Кроме Toro, он не избавляет от ошибок оцени
вания уrловой скорости линии визирования, которые мотут быть весьма
значительными и при малых yrловых ошибках.
Друrой способ состоит в усреднении уrловых шумов во времени
либо за счет использования медленной автоматической реrулировки
усиления (АРУ), либо за счет применения алrоритмов калмановской
фильтрации. Такие приемы дают возможность снизить влияние уrловых
шумов не более чем на 30%, поскольку при зтом ослабляются лишь их
высокочастотные составляющие. Проведенные исследования показали,
что наиболее интенсивные составляющие спектра уrловых шумов лежат
в полосе до 1 О [ц, совпадающей с шириной спектра колебаний линии
визирования за счет траекторных нестабильностей цели. По этой при
чине фильтрация (усреднение во времени) уrловых шумов не может
значительно снизить поrрешности измерений.
Дк2 > Дкl
Дкl
Рис. 5.6
141
Эффективная фильтрация уrловых шумов затруднена также тем,
что к настоящему времени отсутствуют достаточно точные математиче
ские модели как флуктуаций линии визирования цели из за траекторных
нестабильностей, так и эволюций уrловых шумов. Последнее объясня
ется сложной зависимостью корреляционных свойств уrловых шумов
не только от типа цели, но и от ракурса ее наблюдения.
Одним из наиболее эффективных способов борьбы с уrловыми
шумами является усреднение результатов пеленrации не во времени, а
по частотам. Однако для ero реализации требуется одновременный или
последовательный подсвет цели на нескольких частотах. Такой прием
позволяет существенно снизить уrловые ошибки только тоrда, I<оrда
несущие частоты СПЦ достаточно разнесены, поскольку только в этой
ситуации уrловые шумы отраженных сиrналов будут некоррелированы
между собой. Исследования показали, что в трехсантиметровом диапа
зоне волн СУLЦественная декорреляция результатов измерений уrлов
имеет место при разносе частот на 20...35 мrц.
На рис. 5.7 приведены зависимости математическоrо ожидания
(М О) nl{ N} модуля поrрешности измерения, обусловленной уrловыми
1
\
" '"
............
0.3
m {IANI}
Рвых
0.6
0.18
0.4
0.12
0.2
0.06
о
о
4
8
12
N
20
2
4
6
N '1 О
а)
б)
Рис. 5.7
Таблица 5.1
Тип цели дi СКО,М Рвых
ракурс 1 2 3 1 2 3
А, ППС 5,46 2,41 1,46 0,155 0,047 0,019
А, ЗПС 6,86 1,74 0,94 0,154 0,020 0,005
В, ППС 7,22 1,93 1,06 0,081 0,011 0,005
В, ЗПС 6,77 1,14 0,33 0,06 0,004 0,0004
142
шумами, и вероятности Р ных выхода КЦО за rабариты цели для самолета
тактической авиации от числа N частот СПЦ. Наибольшие снижения
111{I NI} и Рвых (от 2 до 7 раз) имеют место при ДBYX и трехчастотной
пеленrации. ДаЛьнейшее увеличение числа N нецелесообразно. Для
количественной иллюстрации эффективности усреднения по частотам в
табл. 5.1 приведены результаты пеленrации самолетов тактической
авиации с одним (тип А) и двумя (тип В) двиrателями при наблюдениях
в ППС и ЗПС на одной, двух и трех частотах. В табл. 5.1 i линейные
перемещения КЦО в одной плоскости, а Р вых вероятность выхода КЦО
за пределы контура цели.
Поскольку уrловая ошибка, обусловленная уrловыми шумами,
статистически связана с амплитудой сиrнала в CYMMapHO 1 канале MOHO
импульсноrо пеленrатора, то наилучшим по минимуму СКО алrорит
мом усреднения результатов измерения на нескольких частотах являет
ся взвешенное усреднение по правилу:
N N 2
" ?
L1<pn = L L1<pn E c I L Е пс '
п==1 11==1
(5.19)
rде
<Рп = кЕпсЕпр / E c ;
(5.20)
N число частот усреднения; l1' <Рl1 ..... оценка и текущее значение
ошибки, вносимой уrловым шумом; Е вс , ЕI1Р амплитуды сиrналов в
суммарном и разностном каналах пеленrатора.
Следует отметить, что ни один из перечисленных способов YMeHЬ
шения влияния yrловых шумов В сочетании с традиционными схемами
построения yrломеров не позволяет удовлетворить совокупности требова
ний к точности, быстродействию и устойчивости сопровождения BЫCOKO
маневренных целей. Все эти требования выполняются при использовании
алrоритмов статистической теории оптимальноrо управления [29, 62].
5.3. ВЛИЯНИЕ БОРТОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЕЙ
НАТОЧНОСТЬФУНКЦИОНИРОВАНИЯРЭСУ
5.3.1. ВИДЫ ОШИБОК, ВОЗНИКАЮЩИХ В БОРТОВОЙ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ РЭСУ
Большинство алrоритмов функционирования РЭСУ, начиная от
первичной обработки оцифрованных радиолокационных сиrналов и
заканчивая формированием сиrналов управления ЛА, реализуется про
143
rpaMMHo в бортовой цифровой вычислительной системе (далее БВС).
Чтобы составить себе представление о влиянии цифровых способов
обработки информации в БВС на точность функционирования РЭСУ
рассмотрим схему последовательных преобразований (рис. .5.8) непре
pblBHoro сиrнала x(t) аналоrо цифровым преобразователем в дискрет
ный X(t I1 ), ero преобразование в процессоре в y(t n ) И последующее пре
образование цифроаналоrовым преобразователем в y(t).
x(t) x(t l1 )==x(nT) y(t l1 )==y(nT) y(t l1 )
OOOO OOO
о
о о . о о
'\ t \ n Т \, n Т ". t
А\
x(t)
'-- АЦП Б Цифровой в\ ЦАП Экстрапо r.....
.
х (п T процессор у( n Т) у(пТ) лятор y(t)
Рис. 5.8
Каждое преобразование выполняется не идеально и привносит
свои ошибки. В аналоrо цифровом преобразователе (АЦП), выполняю
щем квантование по времени (с некоторым периодом) и оцифровку
аналоrовой величины, возникает ошибка (шум) квантования, дисперсия
D Е которой имеет вид [59]
О = q2 1+ 12
Е 12 1[2
2
f ( lY Fx ( 21tk ] .!. f ( lY Fx ( 21tk ]
k= k q 2 k= k q
k O k O
rде q интервал дискретности (квант), а Fx(S) характеристическая
функция измеряемой величины.
Преqбразование дискретноrо сиrнала (сиrналов) (т.т. Б, В на
рис. 5.9) в цифровой вычислительной машине (ЦВМ) привносит свои
поrрешности, которые являются ошибками реализации численных алrо
ритмов. Специфика применения ЦВМ заключается в дискретном xapaK
тере решения на них задач, что связано как с конечной системой команд
(операторов), оrраниченной разрядной сеткой ЦВМ, так и оrраничен
ными производительностью и памятью. Действительно, так как ЦВМ
выполняет только арифметические действия, то такие математические
144
понятия, как триrонометрические функции, дифференциальные ypaBHe
ния, интеrралЫ, квадратные корни, лоrарифмы все должны быть BЫ
ражены через элементарные ари(рметические операции. То есть для
каждоrо случая должен быть выбран или разработан подходящий чис
ленный метод, обеспечивающий устойчивость вычислительноrо про
цесса, требуемую точность и допустимые потребляемые ресурсы (про
изводительность и память).
В процессе численноrо решения некоторой задачи приходится
иметь дело с тремя основными видами ошибок: ошибками, содержащи
мися в исходной информации, ошибками численных методов решения
задачи и ошибками, возникающими в результате необходимости пред
ставлять число в виде конечной последовательности цифр (ошибками
окруrления).
Ошибки в исходной информации возникают в результате неточ
ности измерений и дальнейшеrо преобразования в цифру или из за He
возможности представить необходимую величину конечной дробью. В
первом случае это ошибки датчиков и ошибки преобразователей, во
втором ошибки представления констант.
Характер влияния ошибок измерения на точность решения задачи
(точность результатов вычислений) не зависит от Toro, какой численный
метод применен для ее решения. Однако, численный метод может опре
делять используемые коэффициенты (константы), поrрешности которых
сказываются на результирующей поrрешности вычисления и, кроме
Toro, сам численный метод вычисления в общем случае имеет ошибку
(ошибку оrраничения), величина и характер поведения которой зависит
от числа используемых членов разложения; функций, используемых для
разложения; порядка метода (при численном решении дифференциаль
ных уравнений) [26] и Т.д. При выборе метода вычисления особое вни
мание нужно уделять вопросам устойчивости (в том числе и частичной
неустойчивости) численноrо процесса.
И, наконец, поскольку ЦВМ работает с конечным количеством
значащих цифр, при вычислениях будут возникать ошибки окруrления.
Ошибки реализации численных алrоритмов будут рассмотрены
ниже (5.3.3.)
Дискретный характер решения задач во времени (см. рис. 5.8) и
последующее восстановление непрерывноrо сиrнала y(t) привносит
свои ошибки. Дискретная информация (последовательность чисел в т. Б
на рис. 5.8), поступающая в ЦВМ, обрабатывается по некоторым алrорит
мам за конечное время, определяемое временем ее решения задачи и воз
145
можными прерываниями решения задачи более срочными, после обработки
которых решение приостановленной задачи может быть продолжено. В
результате в системе обработки возникают задержки (запаздывания), KOTO
рые в первом приближении MOryт быть приняты постоянными, хотя в об
щем случае задержка меняется от такта к такту. Запаздывание приводит к
ошибкам, а в замкнутых системах может привести к неустойчивости.
Задача преобразования дискретноrо сиrнала в непрерывный CBO
дится к формированию непрерывноrо сиrнала y(t) (т. r на рис. 5.8) в
интервалах времени между поступлениями дискретных значений по
предшествующим данным. Эта задача представляет собой задачу экст
раполяции, закон которой может быть представлен в виде полинома S
ой степени.
Выходную величину y(t) экстраполятора S ro порядка на текущем
интервале между дискретными значениями можно представить уравнением
s
y(t)=y[n,8]== :Lay[n]8Y, 0 < 8 < 1,
у==о
rде е относительное время текущеrо интервала, а коэффициенты а.у[п]
изменяются от интервала к интервалу. Следует отметить, что экстрапо
лятор привносит свои ошибки. Ошибки экстраполяции и запаздывания
будут рассмотрены п. 5.3.4.
5.3.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
В АРИФМЕТИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВАХ И РЕrИСТРАХ ПРОЦЕССОРОВ
Динамический диапазон и точность вычислений цифровых BЫ
числителей зависят как от разрядности чисел в используемой системе
счисления, так и от типа арифметики, примененной в процессоре.
Двум арифметическим формам записи вещественных и целых чи
сел обычной и показательной в процессорах соответствуют две формы
,
представления численных данных в двоичной системе счисления: с
фиксированной точкой (ФТ) и плавающей точкой (ПТ).
Данные целоrо типа (целые двоичные числа) представляются в
процессорах только в форме с ФТ. Данные вещес,:,венноrо типа MorYT
представляться в форме с фиксированной или плавающей точкой.
В системах с фиксированной точкой в зтом случае используется
нормирование обрабатываемых данных таким образом, чтобы все
арифметические операции выполнялись с числами х, по абсолютному
значению меньшими единицы:
о < 'хl < 1 .
(5.21 )
146
В этом случае число содержит т==Ь+ 1 двоичных разрядов. CTap
ший разряд СJ1УЖИТ дЛЯ представления знака, остальные для представ
ления дробной части.
Реrистр, содержащий n1==b+ 1 двоичных разрядов, позволяет пред
ставить 2 Ь отличающихся по абсолютному значению чисел с шаrом 2 b и
удовлетворяющих условию (5.21) в диапазоне
о < Ixl < 1 2.... Ь .
(5.22)
Если результат арифметической операции выходит за верхний
предел неравенства (5.22), происходит переполнение реrистра, приво
дящее к искажению результата. Переполнение MO)l(eT произойти только
при операциях сложения и вычитания. В отсутствие переполнения опе
рация сложения выполняется точно (без ошибок).
В операциях умножения чисел, удовлетворяющих (5.21), пере
полнение возникнуть не может, ПОСКОЛЬКУ произведение чисел, MeHЬ
ших 1, также всеrда меньше 1. При умножении возникает ошибка OK
руrления, величина которой зависит от способа окруrления. Обычно
ошибку окруrления стараются сделать симметричной и при использова
нии Ь значащих разрядов максимальная абсолютная ошибка окруrления
удовлетворяет неравенству
I I < 2.... Ь .
Представление числа х в форме с плавающей точкой основано на
записи числа в виде
х = ( + Jl)v IY ,
(5.23)
rде v основание системы счисления, Jl мантисса (правильная дробь),
y порядок (целое число).
Диапазон представления чисел в форме с ПТ существенно боль
ше, чем в случае представления чисел с ФТ. Переполнение разрядной
сетки при выполнении операций над числами практически отсутствует.
Однако сами арифметические операции являются более сложны
ми по сравнению с операциями над числами с ФТ, поскольку действия
выполняются как с мантиссами, так и с порядками.
Наиболее простые в реализации и быстродействующие цифровые
процессоры используют представление чисел с ФТ. На JTOM принципе
строится большинство спецвычислителей и ряд цифровых сиrнальных
процессоров (DSP).
147
Представление чисел в форме с ПТ используется в цифровых сис
темах, коrда требуется большая точность реализации алrоритма и
большой динамический диапазон обрабатываемых чисел.
Результат выполнения любой арифметической операции в общем
случае требует окруrления. Под окруrлением понимается оrраничение
последовательности значащих цифр записи числа тем или иным спосо
бом. Если действительное число х запишем в виде:
х =Jl.2Y,
0,5 < IJlI < 1 ,
то любая из четырех арифметических операций с плавающей точкой
даст в результате число «у», которое можно представить в виде двух
слаrаемых
у = Jl у . 2 у + g у . 2 у.... ь .
Здесь (сохраняемая часть) имеет Ь значащих цифр и лежит в диапазо
не между 0,5 и 1, а gy (отбрасываемая часть) между О и 1. Окруrлен
ный результат у запишется тоrда в виде соотношения [26]
если Igyl < 0,5,
если Igy\ > 0,5,
{ I/-l у 1. 21 ,
Iyl = l/-lyl. 21 + 21 b,
то есть максимальная абсолютная ошибка окруrления составляет
' I < .!.. 21 b .
2
5.3.3. ОШИБКИ РЕАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ АлrоРитмов
Поrрешность результата решения произвольной задачи на БЦВМ
включает в себя три основных составляющих, которые обусло лены
ошибками входных данных (ошибками aprYMeHToB), ошибками приб
лиженных численных методов и инструментальными ошибками (обыч
но ошибками окруrления).
Поrpешности, порождаемые различными источниками, влияют дрyr
на дрyrа довольно сложным образом, однако часто удается представить
ошибку результата вычисления как линейную комбинацию ее отдельных
составляющих. В ряде частных случаев это сделать довольно просто. Ha
пример, поrpешность выполнения на ЦВМ оператора хху, rде х и у числа,
а Х некоторая операция, может быть представлена как линейная комбина
ция преобразованных входных ошибок и инструментальной ошибки. Так
148
как при вычислении приходится оперировать с приближенными числами
х* и у*, а не с. х и у, а вместо операции Х часто выполняется некоторая
псевдооперация х* (возникает инструментальная ОЦIибка), поrpешность
результата вычисления можно представить в виде разности
xxy x *x*y*==(xxy x *ху*)+(х *xy* x *х *у*).
Заметим, что х* и у* числа и к ним можно применять операцию Х, так
что х*ху* будет вполне определенным числом.
Разность, стоящая в первой скобке правой части равенства, есть
переходящая поrрешность, обусловленная входными ошибками, а во
второй скобке зарождающаяся поrрешность (инструментальная ошиб
ка), обусловленная видом выполняемой операции.
Поrрешность произвольноrо вычисления зависит не только от
ошибок входных данных, представления каждоrо числа, инструмен
тальных ошибок, но и от порядка, в котором следуют друr за друrом
операции. Следовательно, поrрешность результата вычисления может
быть достаточно точно определена только при известном машинном
алrоритме, по которому выполняется данное вычисление, и архитектуре
вычислительной машины, на которой оно выполняется.
Задачи, которые должна решать ЦВМ, первоначально представ
ляются в виде формульных зависимостей (математических алrоритмов).
Затем производится выбор численных методов решения задач, после
чеrо разрабатываются машинные алrоритмы (вычислительные схемы).
При выполнении JТИХ этапов работ необходимы оценки точности pea
лизации численных алrоритмов. Естественно, что предварительные
оценки поrрешностей MOryT отличаться от действительных и в даль
нейшем должны быть уточнены при окончании работ по построению
машинных алrоритмов. Однако получение таких оценок в процессе
создания машинных алrоритмов необходимо для получения достаточно
эффективных процессов вычислений, обеспечивающих решение задач с
заданной точностью при стремлении минимизировать общее количество
операций и объем памяти. Такой подход особенно важен при построе
нии самолетных и ракетных систем управления.
Преобразоваlluе входllЫХ ошибок аЛlОрll1llмов
В общем случае алrоритм функционирования системы управле
ния самолетом представляет собой некоторую совокупность q)ункцио
нальных операторов, порядок выполнения которых определен. Назовем
цепочками вычислений всевозможные последовательности функцио
149
нальных операторов, которые MorYT встретиться при выполнении чис
ленноrо алrоритма. Произвольную цепочку можно представить в виде
YI==fI(XI, Х2, ..., Хт);
Y2==f 2 (y 1, XI, Х2, ..., Хт); (5.24)
уп==fп(УI, ..., Уп I, Xl, ..., Хт),
rде f 1 (Xl,X2,...,X I11 ), ..., 1(Уl,...,Уn I,Хl,,,,,,ХI11) некоторые функциональные
операторы, а Хl, ..., х l11 входные данные.
Реальные вычисления отличаются от (5.24), так как при вычисле
нии функциональных операторов в общем случае приходится опериро
вать с неТОЧНЬП"IИ значениями aprYMeHToB и выполнять псевдооперации.
В действительности рассматриваемая цепочка будет иметь вид
YI*==f1(XI*, Х2*, ..., x m *)+8 1 ;
Y2*==f 2 (YI*, XI*, Х2*, ..., х l1l *)+8 2 ; (5.25)
* .c ( * * * * ) +
У п lп У 1 ,..., у п 1 , Х 1 ,..., Х т U П ,
rде 8 j (i = 1, n ) ошибки, которые определяются мноrими факторами, в
том числе величинами Xj* и Yk *, инструментальными ошибками, реаJ1Ь
ным машинным алrоритмом и Т.п. rрубые предварительные оценки
ошибок вычислений MorYT быть получены до завершения этапа по
строения машинноrо алrоритма.
Если поrрешность, получаемая при вычислении произвольноrо
функциональноrо оператора цепочки (5.25), можно представить в виде
суммы преобразованных операторами входных ошибок и инструмен
тальных ошибок, то для анализа поrрешности реализации численноrо
алrоритма достаточно получить и оценки результата трансформации
входных ошибок функциональными операторами и оценки накоилен
ных зарождающихся ошибок.
Функции, входящие в реальные алrоритмы, являются обычно
rладкими и при малом диапазоне изменения ошибок допускают линеа
ризацию. Если диапазон изменения ошибки достаточно мал, то ошибку
Е{' произвольной (рункции [(х) можно приближенно выразить через
ошибку Е х aprYMeHTa в виде
df(x)
E t ' Е х .
dx
150
Тоrда математическое ожидание и дисперсию ошибки вычисляе
мой q)ункции f(x) можно выразить через математическое ожидание 111 Ех
И дисперсию D EX ошибки Е х :
df(x)
ln Et ' = тЕХ'
dx
D [ df(X) ] 2 D
Ef dx ЕХ .
Если вычисляется функция мноrих переменных f(Xl, ..., х т ), име
ем выражения для математическоrо ожидания
111 ( af )
mEf ;L lnEi
1=1 д xi
(5.26)
и дисперсии выходной ошибки
( ) 2 ( 1 }
111 д f 111 111 д f д f
D Ec ;L D Ei +2;L ij'
1=1 д Х 1 1=1 J=1 д x j д х j
i:;tj
(5.27)
rде k ij корреляционный момент.
В случае, коrда ошибки aprYMeHToB не коррелированны, диспер
сия ошибки функции имеет вид
111 д f 2
D Ef I,( ) D Ei . (5.28)
i=1 д х i
В алrоритмах обработки инq)ормации и управления кроме функ
ций часто встречаются аппроксимирующие выражения (разностные
уравнения), используемые при вычислении неопределенных интеrралов,
решении дифференциальных уравнений, и соотношения, описывающие
линейные фильтры. Названные выражения близки с точки зрения пре
образования входных ошибок.
Дисперсии преобразованных ошибок для таких выражений MorYT
быть получены, используя соответствующие передаточные функции.
Таким образом, численные aлrоритмы преобразуют входные оши
бки или случайные процессы, описывающие поведение входных поrрешно
стей, и практически во всех случаях MOryт быть получены оценки преобра
зованной функциональным оператором (трансформированной) ошибки.
ОluиБКlI окруzлеllUЯ
ЦВМ производит операции е величинами, представленными в
циq)ровой (l)opMe с фиксированной или плавающей запятой.
151
При реализации произвольных функциональных операторов на
ЦВМ возникают ошибки окруrления, в результате накопления которых
формируется ошибка оператора, обусловленная оrраниченной разряд
ной сеткой машины. Процесс возникновения и накопления ошибок
окруrления определяется типом вычислительноrо процесса и последо
вательностью операций, посредством которой реализуется данный про
цесс. В практике построения систем управления в алrоритмах встреча
ются следующие основные типы вычислений: матричные вычисления,
вычисление неопределенных интеrралов, решение обыкновенных диф
ференциальных уравнений, цифровая фильтрация и вычисление элемен
тарных функций.
Анализ алrоритмов, реализующих эти вычисления, позволяет по
лучить достаточно простые схемы накопления ошибок окруrления. В
тех случаях, коrда (рункция определяется только входными данными,
имеет место суммирование ошибок окруrления, возникающих на COOT
ветствующих шаrах вычисления, и процесс накопления ошибок oKpyr
ления при статистическом подходе может быть описан законом повтор
Horo лоrарифма [55]. Тоrда, коrда в алrоритме используются не только
значения входных переменных, но и значения вычисляемой функции в
предыдущие моменты времени, возникает обратная связь, при учете
которой MorYT быть получены достаточно простые выражения накоп
ленной ошибки окруrления, так же опирающиеся на закон повторноrо
лоrарифма. Так в [46] с использованием статистическоrо подхода полу
чены оценки максимальных величин накопленных ошибок окруrления
для типичных вычислений (первый случай), выполняемых в арифметике
с фиксированной точкой вида
1101 < d .J O,5n ln ln n ,
(5.29)
rде n количество умножений, величина максимальной абсолютной
ошибки окруrления, d коэффициент, rарантирующий выполнение
неравенства с вероятностью 1 (d==l, 1.. .1,5).
Для BToporo случая (наличие обратных связей) в [46] так же по
лучен ряд формул. Например, для формулы вычисления неопределенно
ro интеrрала вида
h 4 y (IV)
У 11 = а о У 11....1 + а 1 у 11.... 2 + h (Ь ....1 У:1 + Ь о у :1....1 + Ь 1 у:1....1 ) + Е 4 ( е)
4
.
получена оценка максимальной поrpешности накопления ошибок окрyrле
ния при вычислениях с фиксированной точкой в предположении малости
152
величины шarа интеrpирования h, что позволило пренебречь ошибками
окруrления, возникающими при вычислении выражения в круrлых скобках.
Максимальная поrpешн ость удовл етворяет неравенству
IEI < d JO,5n 1n 1n n , (5.30)
(1 + а})
rде ao==l l, n количество умножений на интервале интеrрирования
(без умножения в круrлых скобках); максимальная абсолютная
ошибка окруrления; d коэффициент, rарантирующий выполнение
неравенства с вероятностью равной единице.
Аналоrичные выражения оценок максимальных накопленных
ошибок окрyrления MOryт быть получены и при вычислениях в арифметике
с плавающей точкой. Отличия будут заЮIючаться толы<о в том, что при
вычислениях с плавающей точкой, ошибки окрyrления MOryr возникать
при выполнении любой арифметической операции, а следовательно n JTO
общее количество арифметических операций, выполняемых при реализа
ции численноrо алrоритма, за исключением операций, которыми мо)кно
пренебречь в силу малости сомножителей, входящих в вырюкения.
Следует обратить внимание на то, что витерационных процессах
накопления ошибок окруrления не происходит и в этом смысле это
более эффективные процессы.
5.3.4. ОШИБКИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ КВАНТОВАНИЕМ
ПО ВРЕМЕНИ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
В мноrоканальных цифровых системах управления решение за
дач на ЦВМ осуществляется в некотором выбранном порядке. Обычно
измерение параметров внешней среды и ввод информации в БЦВМ
производятся соответственно порядку решения задач. Моменты измере
ния MorYT быть равностоящими (равномерное или периодическое KBaH
тование) и неравно отстоящими друr от друrа (неравномерное KBa
нтование). Наиболее часто применяется периодичеСI<ИЙ заI<ОН KBaHTOBa
ния по времени. Однако из за сбоев, возникающих в каналах связи или
ЦВМ, периодическое квантование представляет собой идеализаЦИIО
реальных процессов дискретизации по времени. В случае сбоев для
описания процесса квантования по времени можно использовать модель
квантования с пропусками, rде ключ не замыкается в произвольные
моменты t 11 с вероятностыо Р, равной вероятности Toro, что задача не
будет решена в такте. Тоrда задача анализа поrрешности дискретизации
с последующим преобразованием дискретноrо сиrнала в непрерывный
153
может быть рассмотрена в следующей постановке. Если стационарный
случайliый сиrнал x(t) с известным математическим ожиданиям П1 х и
автокорреляционной функцией Rx(t) квантуется по времени с пропус
ками и поступает на Dкстраполятор, выходным сиrналом KOToporo явля
ется y(t), то дисперсия ошибки )кстраполятора нулевоrо порядка
Df==RE(O) может быть выражена в виде [4]
1 Р 00 (п+l)Т
RE(O)==2[Rx(O) LРП fRx(u)du], (5.31)
Т п=о пТ
rде Р вероятность сбоя; Т период дискретизации.
При р==о формула (5.31) совпадает с известными выражениями
дисперсий ошибок экстраполятора нулевоrо порядка.
Формула (5.31) дисперсии ошибки экстраполятора нулевоrо по
рядка учитывает как влияние периода квантования, так и сбоев в систе
ме на точность выходноrо сиrнала.
Дисперсии ошибки (5.31) является монотонно возрастающей
функцией aprYMeHToB Т и Р. Типичная зависимость величины дисперсии
ошибки от ее aprYMeHToB представлена на рис. 5.9 и 5.10.
Для сиrнала с конкретным видом автокорреляционной функции и
заданными величинами периода квантования и вероятности сбоя в сис
теме на основании (5.31) можно получить величину дисперсии ошибки
выходноrо сиrнала. Можно решить и обратную задачу по заданной
величине дисперсии ошибки выбрать допустимые значения периода
квантования и вероятности сбоя в системе.
1,OR,(0) 1,0
D Е
0,2
0,6R>.(0)
O.4R x (O)
D Е
0,6
0.4
O,2R>.(0)
О
Рис. 5.9
о
2Т
4Т Т 6Т
Рис. 5.10
Реализация управляющих алrоритмов в БВС вызывает запазды
вание формируемоrо сиrнала. Величина запаздывания зависит от Bpe
мени реализации алrоритма, метода диспетчеризации вычислений и
способа обмена ин(рормацией между БВС и внешними устройствами.
154
Запаздывание в системе обработки создает дополнительную COCTaB
ляющую ошибки управляющеrо сиrнала. Ошибки запаздывания и JKCT
раполяции являются зависимыми, поэтому их следует раСС ,1атривать
совместно.
В [46] для стационарноrо входноrо процесса x(t) с математиче
ским ожидание!vl Пl х и автокорреляционной q)УНI<цией Rx(t) в случае
использования экстраполятора нулевоrо порядка при квантовании с
пропусками и запаздывания при решении задачи t получена (РОр 1ула
дисперсии совместной ошибки
1 р 00 (п+l)Т +1
RE(O)=2[Rx(O) LPI1 fRx(ll)dll].
Т 11=0 I1Т +1
(5.32)
Если автокорреляционная функция Rx(t) монотонная, то диспер
сия ошибки (5.32) будет монотонно возрастать при увеличении t.
Формула (5.32) учитывает влияние основных параметров систе
мы обработки: периода решения задачи, времени с учетом запаздывания
ее полной обработки, вероятности ее выполнения.
5.3.5. ТРЕБУЕМЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ ВЫЧИСЛИТЕЛЕЙ
Основными показателями (характеристикаl\1И) БВС, которые оп
ределяются при проектировании и в конечном итоrе существенно влия
ют на эфq)ективность решения задач, являются производительность
(быстродействие) процессора (процессоров), объём памяти и ее быстро
действие, длина разрядной сетки, тип используемой ариq)метики и KO
личество и вид каналов передачи инq)ормации. Непосредственно на
точность решения задач в БВС (при выбранных алrоритмах) влияют:
периоды повторения решения задач;
времена их решения;
дополнительные задержки, определяемые запаздыванием в KaHa
лах передачи инq)ормации и временами выполнения проrрамм операци
онной систеl\1Ы (обработка прерываний, BBOД BЫBOД инq)ормации и т.д.),
а также возможными «вклиниваниями» более приоритетных задач;
вероятность сбоев в каналах передачи информации и самой БВС;
тип используемой ариq)метики;
длина разрядной сетки.
Изложенный выше подход и приведенные выражения оценок
ошибок и их моментов позволяет оценить некоторые требуемые показа
тели БВС.
155
Требуемое быстродействие БВС определяется необходимым KO
личеством арифметических и лоrических операций для реализации ал
rоритмов и частотой их реализации.
Представив алrоритм на языке предполаrаемой машины, можно
оценить количество операций, необходимое для выполнения данноrо
алrоритма.
Специфика РЭСУ состоит в том, что основной объем информа
ции поступает на БВС с бортовых' датчиков. Закон опроса датчиков
соответствующий интервалам повторения решения задач может быть
достаточно произвольным и определяется допустимой точностью сис
темы, спектрами обрабатываемых сиrналов и возможностями исполь
зуемой БВС.
Часто как наиболее просто реализуемый в БВС используется син
хронный детерминированный процесс приема, обработки и выдачи
сиrналов. В этом случае при заданных спектре обрабатываемоrо сиrна
ла и алrоритме обра,ботки величина дисперсии ошибки формируемоrо
сиrнала является монотонно возрастающей функцией периода повторе
ния T j решения задачи, длительности запаздывания 'tj в систе lе обра
ботки и вероятности пропуска Pj решения задачи. Максимально допус
тимые значения T j , 'tj И Pj В мноrоканальной системе управления оrрани
чены сверху допустимыми точностями соответствующих каналов, ми
нимальные значения лимитируются в основном показателями исполь
зуемой БВС. Заrрузка машины р всеми m задачами с временами реше
ния dtj, которые будем считать постоянными для i ой задачи, опреде
ляемая соотношением
L m дti
P
,
i=l T i
(5.33)
не должна превышать единицы.
Величины задержек 'tj не MorYT быть меньше соответствующих
длительностей решения задач dt j . Если информация, поступающая на
обработку, некоторое время ожидает, а в процессе обработки возникают
прерывания при необходимости решения более срочных задач, задерж
ки в системе обработки возрастают.
Вероятности пропуска Pj, определяются суммарной вероятностью
Toro, что задача не будет решена в такте.
Если заданы допустимые ве ичины дисперсий ошибок, обуслов
ленных квантованием по времени, длительности решения задач dtj,
156
вероятности сбоев P i и авто корреляционные функции сиrналов, то мож
но определить допустимые периоды повторения решения задач.
Синхрон ый детерминированный режим реализуется, если BЫ
полняютсясоотношения
T 2 ==T 1 k},
Тз==Т 2 k Z,
(5.34)
Т т==Т m }kП1 l,
rде k i целые числа, а Т l T 2 ... ТIn'
Если длительности решения задач постоянны, то такой режим
позволяет полностью использовать производительность ЦВМ.
Допустимые периоды повторения решения задач T j можно опре
делить, используя формулы дисперсии ошибок восстановленноrо сиr
нала (5.32) и уравнения (5.33) и (5.34). По известным автокорреляцион
ным (рункциям сиrналов, допустимым ошибкам, величинам задержек,
равных в первом приближении временам решения соответствующих
задач и вероятностям сбоев определяем максимально допустимые пе
риоды повторения решения задач T i m<1Х' При оrраничениях на периоды
T j подбираем значения соотношений периодов повторения решения
задач k j . Из уравнений (5.33) и (5.34) при выбранных значениях k j опре
деляем минимально допустимые значения T j miп' С учетом возможных
прерываний, необходимых при данных значениях T j и дti, определяем
величины задержек по всем каналам. После чеrо уточняем величины
дисперсий ошибок, обусловленных квантованием по времени. Если
величины дисперсий ошибок не превышают допустимых, задача реше
на. В том случае, коrда не удается подобрать значения периодов реше
ния задач, удовлетворяющим требованиям по точности и заrрузке, но
имеет место неравенство
т Llt
Р = L < 1,
i=1 T i тах
то можно попытаться реализовать процесс обработки информации с
переменными интервалами повторения решения задач. При этом значи
тельно усложняется алrоритм диспетчеризации в системе обработки.
Повышение точности решения задач в БВС мо)кет быть обеспе
чено (см. (5.32)) уменьшением периодов решения задач и уменьшением
запаздывания. И то и друrое требует, в свою очередь, повышения быст
157
родействия БВС. Снижение вероятностей сбоев решения задач так же
приводит к повышению точности их решения, что может быть достиr
нуто как повышением надежности аппаратуры, так и введением Bpe
мен ной избыточности (повторное решение задач). Послед ее так же
требует повышения быстродействия БВС.
Оценка допустимой длины разрядной сетки БВС может быть по
лучена на основании анализа точности алrоритмов с наибольшей ариф
метической rлубиной и решения обратной задачи определения раз
рядности из уравнений (5.29) и (5.30).
Более подробно структура БВС, особенности ее функционирова
ния и показатели эф(рективности будут рассмотрены в rл. 9.
5.4. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ ОПТИМАЛЬНОЙ РЭСУ
В качестве показателя точности РЭСУ удобно использовать CYM
му взвешенных дисперсий (5.3) текущих ошибок управления (5.2). При
этом сведения о точности будут наиболее достоверными тоrда, коrда
текущие ошибки (5.2) определяются либо в ходе HaTypHoro эксперимен
та, либо в процесс е имитационноrо моделирования алrоритмов функ
ционирования РЭСУ. Однако натурные эксперименты являются очень
дороrостоящими, а имитационное моделирование РЭСУ может потре
бовать больших вычислительных затрат. В связи с этим для проверки
тех или иных алrоритмических решений при проектировании РЭСУ в
(5.3) широко используют дисперсии, характеризующие потенциальную
точность управления.
Необходимо отметить, что потенциальная точность оптимальных
РЭСУ, в состав которых входят оптимальные реryляторы и фильтры,
определяется точностыо фильтрации [29]. Однако использование для
этоrо матрицы (3.63) и (3.71), (3.72) дисперсий ошибок фильтрации
приводит к завышению оценок точности. Это объясняется следующими
причинами.
В указанных соотношениях приняты во внимание только собст
венные свойства процессов состояния (2.7), (2.8) и не учтено воздейст
вие на (2.7) управляющих сиrналов, поскольку при выводе формул
(3.63) и (3.71), (3.72) полаrалось, что управления известны идеально
точно. В то же время из (3.22) (3.24) и (3.35) видно, что сиrналы управ
ления формируются с поrреПIНОСТЯМИ, определяемыми точностью апри
орных сведений о моделях (2.7),(2.8) и точностью фОрl\1ирования опти
1vIальных оценок х. т и х. у . в [29] показано, что соотношения (3.63) и
158
(3.71), (3.72) характеризуют потенциальную точность системы управле
ния только при бесконечно больших сиrналах управления, что не COOT
ветствует реальным условиям функционирования РЭСУ.
Приняв во внимание отмеченные обстоятельства, получим COOT
ношения для матрицы дисперсий ошибок управления аналоrовой РЭСУ
с учетом влияния управляющих сиrналов.
Пусть дЛЯ РЭСУ, обобщенное состояние которой определяется
векторным уравнением (2.13)
i = Fx + Bu + X'
при наличии наблюдений (2.16)
Z=HX+;",
найдены вектор оптимальных оценок (3.61)
"
i == Fx + Bu + К Ф (z Их)
и вектор сиrналов управления (3.35)
u == K lBTQ1X'
оптимальный по локальному критерию (1.5). Смысл векторов и матриц
в этих формулах ясен из соотношений (2.7), (2.8), (2.13), (2.15), (2.16) и
(3.12). Необходимо найти оценку потенциальной точности управления в
виде взвешенной суммарной дисперсии (5.3)
т т т
D пу = М {(X-r Xy) Q(X T Xy)} = м {х QIX} = tr{QI M [ХХ ]}. (5.35)
Следует отметить, что термин дисперсия для (5.35) является yc
ловным, так как процесс х = [x:::x. T' является в обrцем случае нецентри
рованным.
При нахождении (5.35) примем во внимание, что х == х + ДХ , rде
х вектор ОПТИl\1альных оценок, а ДХ вектор ошибок оценивания.
Тоrда
D"у = tr{ QIM[(x + xXX + дх)т] } = tr{Q, [ох + о]}.
(5.36)
Здесь D матрица ошибок фильтрации, определяемая соотношением
(3.63), Dx = М{хх Т } корреляционная матрица вектора оптимальных
оценок. Кроме Toro, было учтено, что процессы х и дх некоррелиро
ванные [47].
159
Для вычисления D х найдем выражение для матрицы производных
.! м (хХ" )= м{ ix T }+ м{ xiT}.
dt
Подставляя (3.35) и (2.9) в (3.63), получаем
i == Fx ВК IBTQIX + К Ф (Их + II Их)=
= (F BK lBTQI)i + КфН i + Кф И'
Используя (5.38) в (5.37), будем иметь:
M{ii T } = (F BK IBTQI )М{хх Т } + КфМ{ иiТ},
(5.37)
(5.38)
(5.39)
rде учтено, что х и хнекоррелированы.
Соотношение (5.38) можно рассматривать как уравнение состоя
ния некоторой системы, возбуждаемой белым шумом К Ф 11 И не Koppe
лированным с ним сиrналом х. Решение уравнения (5.38) можно
представить в виде
t t
х( t) = Ф( t, t o )х( t o )+ J Ф( t;e )(Ф 1i Се + J Ф( t, 't )(фlИX(е '
10 t o
(5.40)
rде Ф фундаментальная матрица (3.75) системы (2.13). Тоrда
t
М{ ИХТ} = М{ и(t)хТ(tо)}ФТ(t, t o )+ fМ{ и(t) (1;)}Х
t u
t
Х К 4) ф т (t, 1; )d1; + f м { и ( t ) X т (1;) н ТК J) Ф т (t, 1; )d1;} .
t u
Поскольку и не коррелирован с xo(t) и X, то
м{ !;IIX Т }= 0,5 J G иБ(t 1: )к ф (1:)Ф т (t, 1::ki't .
(5.41 )
t u
Принимая во внимание симметричность б функции, после интеr
рирования (5.41) нужно учитывать только половину площади этой
(рункции. Кроме Toro, учтем, что Ф(t,t)==Е. В результате получим
М{ ИХТ} = о,25G и КJ>. (5.42)
Подставив (5.42) в (5.39), имеем
. "'т ' т т
М{хх }==(F BK В Ql)D x +о,25К ф G II К ф .
(5.43)
160
Аналоrично находим
....
" . '1 I т т т
М{хх } == ОХ (F BK В QI) +о,25К ф G I1 К ф .
( 5.44 )
.... ....
Заменим M{xx' I '} и M{xi'I'} В (5.37) на (5.43) и (5.44):
. d J т } ( I Т ) ( I т ) iI' Т
Dx = dt Mlxx = F BK В QI Dx +ох F BK В QI +о,5К ф G и К ф .
( 5.45)
Следует отметить, что К Ф в (5.45) вычисляется по соотношениям
(3.62) и (3.63).
Формулы (5.36), (3.63), (5.43) и определяют процедуру оценива
ния потенциальной точности управления РЭСУ. Анализ их позволяет
сделать следующие выводы.
Точность РЭСУ зависит как от точности оценивания, так и оши
бок управления, что отображается в (5.36) наличием матриц D и Dx,
Это обстоятельство подтверждает тот фактор, что невозможно управле
ние с ошибками, меньшими, чем ошибки оценивания (измерения).
Корреляционная матрица (5.45) по своей структуре совпадает с
(3.63). Однако при вычислении (5.45) учитывается влияние реrулятора,
которое определяется слаrаемым BK IBTQI' При этом структура матри
цы B'I' = [O 'B ] (2.15) позволяет предположить, что это влияние будет
распространяться лишь на ошибки формирования вектора ху. Степень
этоrо влияния будет зависеть от конкретных значений штрафов на точ
ность (QI) и сиrналы управления (К).
В заключение отметим, что полученные выводы будут справед
ливы и для РЭСУ, оптимизированных по друrим интеrральным KBaдpa
тичным (рункционалам качества.
5.5. МЕТОДИКА ПРИБЛИЖЕнноrо АНАЛИЗА РЭСУ
НА ТОЧНОСТЬ
в процесс е анализа РЭСУ на точность широко используют MeTO
дику приближенноrо расчета ошибок управления и промахов, OCHOBaH
HYIO на использовании передаточных q)ункций. Достоинством такой
методики ЯВЛЯIОТСЯ возможность достаточно просто получить аналити
ческие зависимости промахов и ошибок управления от условий приме
нения и параметров системы наведения и радио')лектронных измерите
лей. Это позволяет достаточно просто выработать рекомендации по
применению РЭСУ, обеспечивающие повышение ее эффективности без
2486
161
дороrостоящих натурных испытаний и трудоемкоrо имитационноrо
моделирования.
Задача анализа РЭСУ на основе математическоrо аппарата пере
даточных функций наиболее просто решается для линейных ,систем с
постоянными коэффициентами. Если исследуемая система нестацио
нарна, то используют метод замороженных коэффициентов, суть KOTO
poro рассмотрена в *4.1. Процесс приближенноrо анализа РЭСУ на
точность обычно разбивают на два этапа: сначала исследуют динамиче
ские ошибки функционирования, а затем флуктуационные.
5.5.1. МЕТОДИКА РАСЧЁТА ДИНАМ.ИЧЕСКИХ ОШИБОК РЭСУ
Под дuналlllческu.л1U оutuБКaJvlU пон uиаюпl диНаАluческие cocпlaв
ЛЯ10UJuе прО.А-tахов в плоскостях управления Ll оutuбок управления (5.2).
Расчет динамических ошибок выполняется в несколько этапов. К
этим этапам относятся: получение исходных уравнений отдельных час
тей РЭСУ и соответствующих им передаточных функций; формирова
ние структурной схемы контура наведения; анализ JТОЙ схемы и ее уп
рощение; нахождение передаточных функций по ошибкам управления
(промахам); получение моделей входных воздействий; определение
аналитическоrо выражения для промаха (ошибки управления); анализ
полученноrо выражения и формулирование рекомендаций по уменьше
нию промахов или ошибок управления.
В качестве исходных уравнений РЭСУ необходимо использовать:
кинематические уравнения, устанавливающие связь rvlежду абсолютны
ми и относительными фазовыми координатами цели и ОУ; уравнения
ИВС, включающей в свой состав измерители и вычислитель параметров
рассоrласования; соотношения, отражающие функционирование СА У
(СУР) и ЛА как объекта управления, а также уравнения промахов (оши
бок управления). Необходимо отметить, что в общем случае все COCTaB
ные части контура наведения являются очень сложными и описываются
системами уравнений BbIcoKoro порядка. Для радиоинженера пре)J(де
Bcero представляет интерес влияние на точность системы наведения
РЭД. ПОJТОМУ модели ИВС используют по возможности более полные,
в то время как функционирование САУ (СУР) и ЛА отображается сис
тема 1И уравнений низкоrо (обычно не более BToporo) порядка. Знание
исходных уравнений составных частей контура наведения позволяет
получить для них адекватные передаточные функции в изображениях
по Лапласу для аналоrовых систем и в области Z преобразований для
дискретных РЭСУ [35]. В дальнейшем основное внимание будет уделено
передаточным функциям аналоrовых систем.
162
Структурная схема контура наведения q)ормируется на основе пе
редаточных функций ero составных частей. При этом, как правило, схемы
оказываются настолько сложными, что без их упрощения дальнейший
анализ становится весьма затруднительным. В связи с этим на основе aHa
лиза важности тех или иных частей для РЭСУ в целом и особенностей
структуры полученной схемы ее стремятся упростить. Основными приема
ми упрощения обычно являются исключение звеньев, незначительно
влияющих на точность РЭСУ; аппроксимация сло)кных частей звеньями
первоrо или BToporo порядка; структурные преобразования, связанные с
переносом входных воздействий, узлов, сумматоров и отдельных звеньев в
друrие участки схемы. Последний прием наиболее употребителен для по
лучения структурной схемы с наименьшим количеством входных сиrналов.
Для этоrо некоторые входные сиrналы, воздействующие на различные
участки схемы, формально при водятся к одному входу.
I-fa слеДУI{)щем этапе находят передаточные функции системы от
входноrо сиrнала к промаху (ошибке управления). Если входных сиrна
лов и ошибок управления неСI(ОЛЬКО, то определяют передаточные
ФУНI(ЦИИ Wij(p) от каждоrо i ro входноrо сиrнала (i = 1,11 ) К каждой j й
ошибке управления (j = 1,111). Полученные передаточные функции Wij{p)
по ошибкам представляются в виде степенноrо ряда [28]
1 2 1 k
Wij(p) =с о +CIP+ C2P +...+ CkP +..., (5.46)
2 k!
rде
с dkWjj(p)
k dpk
(5.47)
р=о
а р = символ дифференцирования.
dt
Затем, исходя из физическоrо смысла, каждое из входных воз
действий Xj также представляют в виде ряда Тейлора
.. 1 ". 2 1 (k) \j k 48 )
Xj (t) Xi (O}t Xj (t'1I=O t + 2 ХI (t'1I=O t +0..+ k! x (t'1I=O t +...0 (5.
Используя (5.48) и (5.46), получают аналитическое вырюкение ДJlЯ про
маха u й ошибки управления), обусловленноrо воздействием i ro сиrнала:
. 1 dkxi(t)
hji(t)==COXi(t)+CI[Xi(t)]+".+ Ck k +....
k dt
(5.49)
163
Как правило, число членов разложения (5.46), используемых ДJIЯ по
лучения (5.49), достаточно просто определяется по виду передаточной Функ
ции Wij(p) И числу слarаемых, которые учитываются в модели входноrо воз
действия (5.48). Далее на основе принципа суперпозиции, справеДJIJ:Iвоrо для
линейных систем, находят результирующий промах (ошибку управления)
ш
h . = , h.. .
J Li JI
i=1
(5.50)
На основе (5.49), (5.50) и анализируется зависимость динамиче
ской ошибки от условий применения, времени работы и параметров
РЭД и РЭСУ. При этом обычно рассматривают либо установившуюся
динамическую ошибку, либо ошибку на момент времени t==tk окончания
управления. В заключение формулируются рекомендации по улучше
нию эффективности РЭСУ.
С учетом специфики разностных уравнений, в классе которых
моделируется дискретные системы, и особенностей Z преобразований
рассмотренная методика имеет смысл и для дискретных РЭСУ.
5.5.2. МЕТОДИКА Р АСЧЁТ А ФЛУКТУ Ационныx ОШИБОК РЭСУ
Под флуктуаЦUОIl/lbl./ии ошиБКа.А/lи будут 110llU.маться фЛУКlпуа
ционные составЛЯ1ОU/lIе пp0JvlaxoB либо ОUlибок управления (5.2), обу
словленные воздейСlпвllе./н на РЭСУ разлиЧflО20 рода случайных воз./ну
щеllий. Флуктуационные ошибки РЭСУ оценивают дисперсиями прома
хов в плоскостях управления или суммарными взвешенными диспер
сиями ошибок управления (5.3). При расчете этих дисперсий полаrают
известными: структурную схему контура наведения; источники случай
ных возмущений и места их KOHKpeTHoro воздействия на РЭСУ; законы
распределения и статистические характеристики возмущений. При этом
полезные детерминированные сиrналы принимают равными нулю.
Как правило, законы распределения входных возмущений полаrа:'
ются rауссовскими с известными математическими ожиданиями и дис
персиями. Если в качестве возмущений рассматриваются белые шумы,
то считаются известными их односторонние спектральные плотности.
Процедура вычисления дисперсий ошибок включает в себя He
сколько этапов: трансформацию исходной структурной схемы к виду, в
котором роль входных сиrналов иrрают интересующие возмущения, а
выходных сиrналов интересующие ошибки; предварительный анализ
и упрощение структурной схемы; определение передаточных функций
Фij{р) от i x возмущений к j M ошибкам; нахождение спектральных пло
164
тностей ОllIибок; получение аналитических выражений для дисперсий
ошибок; анализ Э' их выражений и q)ормулирование рекомендаций по
улучшению точности функционирования РЭСУ.
При упрощении структурной схемы РЭСУ используют приемы,
изложенные в 5.5.1. Спектральная плотность G ij выходных j x ошибок,
вызываемых l МИ возмущениями, определяются как произведение BXOД
ной спектральной плотности GiUro) на квадрат соотвеТСТВУIощей ампли
тудно частотной характеристики (А ЧХ) [40]:
G jj (j((J) G i (j((J)IФjj (j((J)1 2 , (5.51)
rде ro==2nf; 1 ФijUro)1 А ЧХ, определяемая как модуль передаточной
(рункции Фiiр) при условии, что р j ro.
Используя (5.51), можно аналитически определить дисперсию
100. 100. .2
D jj = 2 f G jj Uro)dw = 2 f G j (j((J)IФjj (j((J)1 d((J. (5.52)
по по
При этом учтено, что G ij и G j представляют односторонние спек
тральные плотности, имеющие смысл ТОЛЬКО дЛЯ частот O. В связи с
JТИМ интеrрирование в (5.52) осуществляется в пределах от О до 00. Co
отношение (5.52) можно упростить, если воспользоваться понятием
эффективной полосы пропускания системы. Под э(jJ(jJеКI11uвной полосой
nропусканuя пОНШlае111СЯ полоса частот ДF эф , через КОПZОРУ'О будет
проходиll1Ь 1110 :J/ce количество Эllер2tlu, чп10 и в реальной сисп1е)ие, при
условии, что коэффициент передачи постоянен и равен ЛlаКСUА,lUЛЫ/О
B03Al0:JICHOA1Y значеНUlО KOJ(jJ(jJULIиellma передачи исследуеЛ'lОЙ CиCпleJHbl
00 1 1 2 ICfJ[j21tfJI
Fэфi = 2 f ФijU ю ) dю. 2
2лК К тах
!nах i О
(5.53)
Смысл этоrо понятия пояс
няется рис. 5.11, из I(OTOpOro вид
но, что LlF эф определяется из усло
вия равенства площадей SI и S2,
соответствующих фиrурам с rори Рис. 5.11
зонтальной и вертикальной штриховкой. Для широкоrо класса систем
наведения полоса (5.53) оказывается существенно меньше ширины
спектра входных возмущений со спектральными плотностями GiUro).
Это позволяет считать GiUw) в пределах полосы пропускания постоян
ной и равной G io '
SI=S2
.............. S1
,......
\
\//S2
о
АFэ4р
t
165
С учетом этой особенности после вынесения G io за знак интеrрала
(5.52) цолучим
D jj = G iO FзФiК lШIХ' (5.54)
rде дF Эфi вычисляется по формуле (5.53).
При получении результирующей дисперсии ошибок необходимо
принять во внимание корреляционные связи входных возмущений. Если
входные возмущения некоррелированы, то результирующая дисперсия
определяется как сумма всех составляющих D ij :
11
О. = "о...
J LJ IJ
i=l
(5.55)
При наличии корреляции между входными ВОЗ lущениями D j оп
ределяется с учетом коэффициентов взаимной ковариации:
t1 11 1 n
Dj = I,D ij +2I, I, r/k DIPkj,
i=1 /=1 k=/+I
rде D/j и Dkj дисперсии, обусловленные воздействием l ro и k ro воз
r-лущений, а r/k нормированная функция взаИ1\1НОЙ ковариации.
Рассмотренную методику можно использовать и при анализе ди
скретных систем с учетом специфики разностных уравнений и Z преоб
разований.
Необходимо отметить, что сравнение полученных дисперсий
промахов с их допустимыми значениями (5.1) позволяет решить вопрос
о способности РЭСУ выполнять свои функции с требуемой эффектив
ностью. Кроме Toro, анализ формул для дисперсий флуктуационных
ошибок позволяет сформулировать рекомендации по улучшению точ
ности наведения, как за счет использования специальных тактических
приемов, так и за счет изменения параметров РЭСУ. Однако при зтом
необходимо учитывать, что требования снижения флуктуационных
ошибок, как правило, противоречат требованиям уменьшения динами
ческих ошибок. Поэтому окончательные рекомендации представляют
собой компромиссное решение между требованиями уменьшения как
флуктуационных, так и динамических ошибок.
(5.56)
166
rЛАВА6.ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬРЭСУ
6.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ РЭСУ
Оптимальное управление динамическими системами предполаrа
ет достаточно точное знание моделей управляемоrо (2.7) и требуемоrо
(2.8) процессов и совершенство выполнения всех (рункциональных уз
лов синтезированных систем. Однако на праКТИI(е не всеrда удается
получить точную априорную информацию об управляемых и требуе
мых фазовых координатах. Кроме Toro, большие вычислительные за
траты на синтез РЭСУ предопределяют применение более простых и
менее точных приближений I( реальным процессам. Использование
квазиоптимальных алrоритмов q)ильтрации, управления, иденти(рика
ции и отклонение номиналов комплектующих изделий функциональных
узлов РЭСУ таI(же вызывают отличие параметров синтезированных
систем от расчетных значений. Все указанные причины приводят к TO
му, что реально действующие сиrналы управления в той или иной CTe
пени отличаются от расчетных (номинальных), обусловливая тем самым
несоответствие реализуемой q}азовой траектории управляемоrо процес
са ее номинальным значениям.
В радиоэлектронных системах указанные несовершенства усуrуб
ляются воздействием различноrо рода естественных и преднамеренных
помех, которые приводят к дополнительным искажениям обрабатываемых
сиrнапов и к изменениям параметров систем обработки. В частности, муль
типликативные ПО lехи по своему проявлению Jквивапентны изменению
параметров систем обработки сиrналов. Поэтому весьма серьезным являет
ся вопрос чувствительности синтезированных РЭСУ к различноrо рода
несоответствиям параме1рОВ их (рактическоrо q)УНI(ционирования номи
нальным (заданным) 1ребованияrvf (понятие чувствительности и показатели,
используемые для ее оценки, рассмотрены в *2.2).
В общем случае модель синтезированной РЭСУ можно предста
вить в виде уравнения
i == f1x(t), u(t),a(t), t], x(t o ) = хо,
(6.1)
167
rде a(t) р мерный вектор фактических обобщенных параметров систе
мы. Под обобщенными параметрами будем понимать все параметры и
процессы, отклонения которых от их номинальных значений приводят к
нежелательному изменению вектора состояния х.
Наиболее типичными примерами параметров оптимальных РЭСУ
являются: начальные условия функционирования; коэффициенты MaT
риц, входящих в состав моделей состояния (2.13) и измерения (2.16);
коэффициенты усиления и постоянные времени функциональных узлов;
нестабильности частот передатчиков и rетеродинов приемников; раз
личноrо рода естественные и преднамеренные помехи и Т.д..
Для BeKTopHoro процесс а (6.1) линейное приближение дх, обу
словленное малыми отклонениями даj (j = 1, р) параметров aj, можно
аппроксимировать выражением
X == 'Yl al + ... + 'У j a j +... + Yp ap ,
(6.2)
в котором
)' I = [дх 1 / да j . . . дх i / да j . .. дх р да j ]
(6.3 )
р мерный вектор чувствительности, используемый для количествен
ной оценки отклонений процесса (6.1) при изменениях параметров aj. В
(6.2), (6.3) и далее для упрощения записей опускается зависимость BeK
торов х, u и а от времени.
В векторе (6.3) каждый компонент Yij==ax/aaj, называемый коэф
фициентом динамической чувствительности, характеризует скорость
изменения координаты Xi при вариациях параметра aj. Дифференцируя
(6.1) по параметру aj, после изменения порядка дифференцирования,
получаем
дУj дf(х,u,а,t) дf(х,u,а,t) д f(x,u,a,t) дп
дt = да j + дх Yj + ()о ()а j ,
y(t o ) = О,
(р.4)
rде матрицы дf(х,u,а,t)/дх, дf(х,u,а,t)/дu и вектор дf(х,u,а,t)/да опреде
ляются на оптимальной (номинальной) траектории при отсутствии Ba
риаций aj. Набор векторов j по всем j = 1, Р позволяет получить матри
цу чувствительности ==[ 1... j'" р]'
Можно показать [48], что для дискретной системы
168
x(k) == f[x(k 1), u(k 1), a(k 1), k 1]
(6.5)
вектор чувствительности
'у .(k) == д f[x(k 1 u(k 1 a(k lA(k 1)] +
J да.
J
+ д [[ х( k 1 U (k I а, t ( k Jl1 'у . (k 1) +
дх (k 1) J
() f[x(k 1), u(k 1), a(k 1), (k 1)] дu(k 1)
+ ,
дu(k 1) даj
Yj = о .
(6.6)
Здесь k и k 1 обозначают соответствующие моменты дискретизации.
Зная коэффициенты чувствительности, можно определить откло
нения фазовых координат при известных изменениях обобщенных па
раметров системы. Аналоrично можно решить и обратную задачу: оп
ределить поле допусков изменений параметров по допустимым откло
нениям фазовых координат.
При обосновании выбора метода оптимизации и вида формируемоrо
управляющеrо сиrнала при прочих равных условиях следует отдать пред
почтение управлению, для KOToporo ко:эффициенты матриц чувствительно
сти имеют меньшие значения. На стадии анализа точности функциониро
вания РЭСУ можно получить примерно одинаковые ошибки управления
(5.2) при различных наборах коэффициентов штрафов функционала качест
ва. В этом случае также предпочтительна система с меньшей чувствитель
ностью. На основании анализа коэффициентов чувствительности можно
более целенаправленно скорректировать ко:эффициенты штрафов по OT
дельным коэффициентам и управляющим сиrналам.
При синтезе оптимальных РЭСУ целесообразно включать в co
став минимизируемоrо функционала качества дополнительные слаrае
мые, учитывающие чувствительность системы. Синтезированное по
такому критерию управление будет совместно наилучшим как по точ
ности, так и по чувствительности РЭСУ к вариациям ее обобщенных
параметров. Пример синтеза такой системы рассмотрен в [31].
Необходимо отметить, что коэффициенты чувствительности, оп
ределяемые уравнениями (б.4) и (б.б), в общем случае, являются функ
циями времени. Поэтому с их помощью можно сравнивать чувстви
тельность синтезированных систем лишь в дискретные моменты BpeMe
ни, что затрудняет количественную оценку чувствительности на всем
1б9
интервале управления. С учетом этоrо желательно иметь интеrральную
оценку чувствительности за все время функционирования. В качестве
такой оценки можно использовать чувствительность минимизируемоrо
функционала качества, объективно включающеrо весь набор 060бщен
ных параметров, учитываемых в (6.4) и (6.6).
Оценка чувствительности РЭСУ по чувствительности минимизи
pyeMoro функционала правомочна, поскольку оптимальность синтези
pOBaHHoro управления адекватна минимуму функционала качества.
Поэтому вариации обобщенных параметров, приводящие к отклонени
ям управляемоrо процесса от ero номинальной фазовой траектории,
будут при водить и К отклонениям функционала качества от ero номи
нальноrо значения. Достоинством рассматриваемоrо способа оценки
чувствительности оптимальных РЭСУ является получение уравнений
чувствительности, в явном виде отражающих ее зависимость от коэф
фициентов штрафа. Это позволяет более арrументировано выбирать KO
нкретные значения элементов матриц штрафов.
Следует отметить, что вариации обобщенных параметров не
только ухудшают точность функционирования РЭСУ, обусловливая TervI
самым определенный информационный ущерб, но и изменяют управ
ляющие сиrналы, а соответственно и экономичность системы. В отли
чие от друrих алrоритмов, оценка чувствительности РЭСУ по чувстви
тельности оптимизируемоrо функционала позволяет еще на стадии
проектирования определять обобщенный информационно энерrетичес
кий ущерб для любой совокупности интересующих параметров, в том
числе и различной физической природы.
В общем случае уравнение чувствительности функционала каче
ства Летова Калмана представляет собой разновидность уравнения
Беллмана [48]. Данная особенность достаточно удобна, поскольку дает
возможность получить уравнение чувствительности в процессе синтеза
оптимальноrо управления.
Дополнительные сведения по общей теории чувствительнос и
динамических систем и ее приложениях к теории оптимальноrо управ
ления приведены в [10,49].
Поскольку на практике оптимальные фильтры РЭСУ (информа
ционные контуры) и ее оптимальный реrулятор (контур управления)
синтезируются, как правило, раздельно (см. 2.1.3), то чувствительность
контуров управления и информационноrо контура будем исследовать
раздельно.
170
6.2. ИНТЕrРАЛЬНАЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ, ОПТИМАльноrо
ПО ЛОКАЛЬНОМУ КРИТЕРИЮ
Оценка чувствительности РЭСУ по чувствительности минимизи
pyeMoro функционала качества достаточно трудоемка и MO)l(eT потребо
вать значительных вычислительных затрат. В связи с этим целесообраз
но использовать алrоритмы оценки чувствительности с наименьшим
числом, по сравнению с друrими, вычислительных операций. PaCCMOT
рим один из таких алrоритмов, экономичность KOToporo основана на
том, что чувствительность РЭСУ по всем обобщенным параметрам
оценивается на основе вектора Ху заданной части, а не на основе
обобщенноrо вектора состояния (2.13).
Пусть дЛЯ РЭСУ с заданной частью (2.7)
Ху == Fyxy + Byu + y ,
найден векторный сиrнал управления (3.35)
K l T Q( " " )
U o == Ву Х Т Ху ,
МИНИf\1ИЗИРУЮЩИЙ локальный функционал качества (1.5)
1 == М у {[ х т (t) XyCt)]T Q[ Х Т (t) Ху (t)] + ! u т (t )Ku(t)dt } .
Необходимо найти уравнение чувствительности функционала (1.5), не
расширяя вектор состояния (2.7), при условии, что имеют место вариации
всех обобщенных параметров РЭСУ. Под обобщенными параметрами aj
(j = 1, Р ) далее будем понимать фазовые координаты XTi (i = 1, n ) требуе
мой траектории (2.8), элементы матриц штрафов Q и К в (1.5), коэффици
енты матриц Fy и Ву и действующие возмущения yB (2.7).
Следует отметить, что все принятые исходные данные удовле
творяют условиям применения теоремы ра'зделения (см. 2.1.3). В связи с
этим чувствительность контура управления будет рассматриваться He
зависимо от чувствительности фильтровой части РЭСУ. Кроме Toro,
поскольку все не предусмотренные при синтезе РЭСУ отклонения Х Т и
возмущения y, действующие на заданную часть, рассматриваются как
вариации обобщенных параметров aj, дальнейшее исследование чувст
вительности правомерно проводить в рамках детерминированных Moдe
лей Х Т и Ху, а в (1.5) можно опустить знак математическоrо ожидания.
171
Приняв во внимание зависимость (2.7) и (1.5) от aj, рассмотрим эти
соотношения как (рункции p MepHoro вектора а обобщенных параметров.
Если компонент aj вектора а системы (2.7), (3.35) и (1.5) отлича
ется от номинальноrо значения а j на малое значение aj, то (1.5) полу
чит линейное приращение
i11 а j == 1 а j (х у' о, а j' t) 1;;/ Х у , u о' а j' t) == 'у / Х у , а, t )i1a j' (6.7)
rде
у/ху,а, t) == al aj (ху,о,а, t)/даjlа з (6.8)
динамический коэффициент чувствительности функционала, количест
венно равный ero отклонению, приходящемуся на единицу изменения aj.
Ниже для упрощения опустим обозначение а = , указывающее
на то, что все частные производные и фазовые координаты вычисляют
ся на номинальной траектории параметров aj.
Поскольку минимизированный функционал качества представля
ет собой функцию Беллмана (см. 3.1), то (6.7) и (6.8) можно предста
вить в виде:
S aj = S aj ( Х у , а, t) Saj ( х у' а, t) = У j ( х у , а, t) a j ;
Yj(xy,a, t) == aS aj (ху,а, t)/aaj , (6.9)
rде Saj И Saj функция Беллмана и ее приращение при возникновении
aj. Правомочность замены в функции Беллмана обобщенноrо вектора Х
вектором Ху основана на том, что управляющий сиrнал u воздействует
только на заданную часть Ху [29].
Подставив в (2.7) и (1.5) функцию Беллмана (3.9), получим ypaB
нения:
aSa.(xy,a,t) aSa.(xy,a,t)
J =uTKu+(F х +В o+ )T J . (6.10)
at у у у у дх т
у
aSa,(xy,a,t)
2Q(XT ху),
дх Т
У
(6.11)
которые решаются при rpаничных условиях
Saj(xy,a, t K ) == [XT(t K ) xy(tK)fQ[XT(t K ) xy(t K )].
( 6.12)
Соотношение (6.11) получено путем сравнения (3.16) и (3.35). В
связи с тем, что рассматривается случай, коrда оптимальное управление
уже найдено, в правой части (6.1 О) опущена операция минимума, имев
шая место в (3.9).
Для определения чувствительности найдем частную производ
ную от (6.1 О) по aj
[ aSaj(xy,a,t) ] = дuТКu + д(FуХ у +ByU+;y)T х
да . at да . да .
J J J
aS aj (ху,а, t) т д [ aS aJ (ху,а, t) ]
х т +(FyXy+Byu+ y) т . (6.13)
дху да j д Ху
Изменив в (6.13) порядок дифференцирования, с учетом (6.9) получим
дr/ху,а,t) = дuТКu + д(FуХ у +ByU+ y)T дSаj(ху,а,t) +
at aaj aaj д X
т ду( Х у , а, t )
+(Fyxy+ByU+;y) дх Т . (6.14)
у
Будем искать решение (6.14) в классе квадратичных форм
т т (
Yj (Х у , а, t) = Xyr jX y + 2х у V j + j , 6.15)
rде r j , Vj, j соответственно симметричная матрица, вектор и скаляр
ная функция, которые подлежат определению.
Частные производные от (6.15), в общем случае, имеют вид:
дyj (Х у , 3, t)/ax = 2[r jX y + V j] ;
( 6.16)
дyj (Ху, а, t)/at = x r jX y 2x v j j . (6.17)
Подставив (3.35), (6.11), (6.16) и (6.17) в (6.14), перейдем к соотношению
т . т., д[х т Xy)TQByK IB Q(XT Ху)]
Xyr jX y 2х у v j j = д
aj
a[x F; +(Х т Xy)TQByK IB + ]
2 Q(XT Xy)+
да.
J
+2[x F; +(XT Xy)TQByK IB' + ][rjXy+Vj]' (6.18)
173
Сравнивая в правой и левой частях (6.18) слаrаемые, квадратич
ные относительно Ху, после взятия производных от произведений и
приведения подобных членов, получаем:
. дв д l дв Т дF'r
r. =Q K lBTQ+QB к BTQ+QB K l у Q Q
J да . у у да. у у да . да.
J J J J
дF
Q F;rj rjFy +QByK IB rj +rjByK IB Q. (6.19)
да.
J
Сравнение в правых и левых частях (6.18) линейных, относитель
но Ху, слаrаемых и свободных членов позволяет перейти к следующим
уравнениям:
. дF; д y дВу l т дK 1 т
V j д QХт Q д Q д к ByQXT QBy д ByQXT
а. а. а. а.
J J J J
l дB т l т l т .
QByK QXT FyVj +QByK Byvj rjByK ByQx T , (6.20)
да.
J
. т дВ у l т т дк l т т д y
J..lj = 2XTQ K ByQx T + xTQB y ByQx T + 2ХтQ д
да. да. а.
J J J
2x QByK IB Vj .
(6.21 )
Поскольку все частные производные в (6.19 (6.21) отыскивают
ся на номинальной траектории при отсутствии вариаций aj, то при полу
чении (6.20) и (6.21) были опущены слаrаемые, содержащие в качестве
сомножителей возмущения у'
rраничные условия для (6.19) (6.21) определяются на основании
(6.9) и (6.12)
y.(t K ) = aSaJ y,a = ax (tk)QXT(tK) 2x T (t k ) aQXT(t K ) +
J д а . да . у да .
J J J
+ X (t K ) aQ Ху (tK) . (6.22)
да.
J
Сопоставляя (6.22) и (6.15) при t==t K получаем:
174
rj(t K )= a Q ; Vj(tK)= [ aQ XT(tK)+Q aXO.O(tK) }
да . да . да .
J J J
aX (tK) Q Т aQ
J.lj(t K ) = 2 XT(t K ) + XT(tK) XT(tJ()'
да. да.
J J
(6.23)
Анализ (6.15) и (6.19) ( 6.21) позволяет сделать следующие зак
лючения. С помощью полученноrо алrоритма МО)I(НО еще на стадии
проектирования оценить коэq)фициент чувствительности РЭСУ к вариа
циям произвольноrо параметра aj, включая изменения требуемой TpaeK
тории Х Т и возмущения Y' При этом чувствительность может опреде
ляться как к вариациям отдельных параметров aj, так и к любой их COBO
купности, включая параметры различной физической природы. IIеобхо
димо отметить, что алrоритм достаточно :::>кономичен в вычислительном
отношении, так как он позволяет рассчитать чувствительность без pac
ширения вектора состояния Ху. Данное обстоятельство предопределяет
существенный выиrрыш N==0,5р(зп2+4ППlп+m211+Пlп п 2) в числе ypaB
нений, которые необходимо решать для оценки чувствительности РЭСУ
по сравнению с традиционным способом [48], основанным на операци
ях с обобщенным вектором состояния х'" = [x::'x' ' ], в состав KOToporo
входит Пl п мерный вектор возмущений.
Чувствительность РЭСУ к вариациям обобщенных параметров в
значительной мере зависит от их абсолютных значений и управляемых
координат. Особенно сильно влияют на чувствительность штрафы за
точность слежения, определяемые матрицей Q, штраq)ы за расход энер
rии управляющих сиrналов, которые назначаются матрицей К, и матри
ца :::>ффективности управления Ву' Следовательно, изменяя коэфq)ициен
ты матриц Q, К, Ву, можно в процесс е синтеза целенаправленно управ
лять ее чувствительностью.
Особенностью полученноrо алrоритма оценки чувствительности
синтезированных РЭСУ к внешним возмущениям является учет в ypaB
нениях (6.20) и (6.21) производных a y/aaj. При случайном характере
изменений процесса y нахождение производных a y/aaj может пока
заться на первый взrляд достаточно сложной задачей. Однако внешние
возмущения не зависят от параметров РЭСУ и для них параметром aj
являются сами компоненты yj вектора Y' Отсюда следует, что при He
зависимых компонентах yj
175
д y jaa j = д y ja yj = const .
(6.24)
Данное обстоятельство облеrчает применение полученноrо алrоритма
для оценки помехоустойчивости синтезируемых РЭСУ к помехам, KO
торые MOryT быть учтены в модели (2.7) в виде слаrаемоrо У'
Введение в Функционал (1.5) квадратичной формы от (6.15) позволит
синтезировать законы управления, обеспечивающие, наряду с минимумом
ошибок управления при заданных оrpаничениях управляющих сШ'Налов, и
минимум чувствительности РЭСУ к вариациям обобщенных парамerpов.
ПРИМЕР. ДЛЯ иллюстрации приведенноrо алrоритма определим
интеrральную чувствительность радиоэлектронноrо следящеrо даль
номера с двумя интеrpаторами к возможным несоответствиям условий
ero функционирования моделям, положенным в основу синтеза закона
управления.
Пусть в дальномере, заданная часть KOToporo аппроксимируется
уравнениями
Ду =У У , У у =bu v ,
имеются отклонения коэффициента усиления ln BToporo интеrратора, в
результате которых управитель следящей системы соответствует модели
Ду = тУ у ,
У у = bu v ,
( 6.25)
rде: Ду, У у соответственно управляемые (отслеженные) дальность и
скорость; Ь у коэффициент эффективности сиrнала управления и у ; n1;tl.
Управляющий сиrнал
bq21 (д ) bq22 ( )
U v = ОТ Ду + У ОТ У у ,
Kv Kv
(6.26)
формируемый по закону (3.35) для. модели (6.25), оптимален по мини
lvfYMY локальноrо функционала качества (1.5):
l JU Кvdt+ [ ДОТ Ду ] Т [ qll
о YOT Yy q21
ql2 ][ ДОТ ду ] .
q22 У ОТ У у
( 6.27)
Здесь: Дот, V o'r соответственно отслеживаемые дальность и скорость:
Ку коэффициент штрафа за сиrнал управления; Qll, Q12==q21 И q22 KO
эффициенты штрафов за ошибки слежения по дальности и скорости.
Структурная схема исследуемоrо дальномера приведена на рис. 6.1.
176
t.
ДОТ
bq21
Ку
Ду
bq22
Ку
V y
Рис. 6.1
Необходимо определить коэффициент Уш (6.15) дальномера
(6.25), (6.26) к изменению m и проанализировать ero зависимость от Q21,
q2l, Ку И Ь, вариациями которых можно управлять чувствительностью.
Выбор в качестве объекта исследования вариаций 111 объясняется про
стотой проверки полученных результатов непосредственно по CTPYK
турной схеме дальномера.
Поставив в соответствие (6.25), (6.27) и (2.7), (1.5), (6.15),
получим:
[ Д У ] [ Дот ]
Ху = Ду' Х Т = У ОТ '
F = [ 0
у О
} Ву =[ ],
u == и у , К == Ку ;
( 6.28)
Q == [ qll
q21
q12 ] ,
q22
[ rд
r ш =
r УД
:ДуУ ] , u m = [ : : ] ,
(6.29)
Jll11 скалярная функция.
Исключив из обобщенных выражений (6.19) (6.21) слаrаемые, не
зависящие от вариаций КОJффициента f 12 ==n1 матрицы Fy , приходим К
соотношениям
. дF; дF у т 1 т 1 т
r lп = Q Q .....Fуrlп rI11Fу +QByK Вуrш+rшвуК ByQ,
дf 12 дf 12
r m(tK)=O; (6.30)
177
aF T
"ш =..........LQX T F;v ш +QByK IB VI11 rI11ByK IB QXT'
af 12
Vm(tK)=O;
(6.31 )
J1111 = 2x QByK lB v 111' J.1 m (t K ) = О,
(6.32)
rде rраничные условия были определены по (6.23). Подставив (6.28) и
(6.29) в (6.15), (6.30 (6.32) получим систему уравнений для оценки
чувствительности дальномера:
2 2 .
1П) Дуrд +ДуVуr дv +Vyr y +2Д у У д +2У у У у +Jlm,
. 2 Ь 2 l
r д = q12 rдvК v '
.. 2 ( l
r дv =r vд = rд b q12 r v q21rдv)Кv ,
r v = 2q12 2r ду + 2q22 b 2 r vK l ,
rд(tк)=О;
r ду (t K ) = о ;
r v (t K ) = О ;
(6.33)
v д = b 2 (q12 V v r дvq12Дот r дvq22 VOT)K l, V д(t к ) = о;
. 2 ) l ( )
vv=q12VoT vv+b (q22vv rvq12Дот rvq22Vот Ку, Уу t K =0;
l11 = 2by v (q21ДОТ + q22 У ОТ )K l ,
Jl.n (t K ) = О.
Исследование чувствительности проводилось моделированием
(6.25), (6.26) и (6.33) на ЭВМ на интервале tр==tk tи, соответствующем
10с работы дальномера до момента tk ero выключения. При этом пола
rалось, что до наступления t п изменение отслеживаемой дальности ДОТ
происходило с постоянной скоростью, Т.е. ошибки слежения по дально
сти и скорости отсутствовали. Начиная с момента t и дальность изменя
лась либо с постоянной, либо с переменной скоростью в достаточно
широком диапазоне начальных дальностей, скоростей (Vотl"'VотЗ) и yc
корений Uотl...jотЗ)'
На рис. 6.2 приведены зависимости коэффициентов Уш от пара
метров Q21, Q22, Ь и Ку, На основании полученных результатов можно
сделать следующие выводы. При равномерном изменении отслеживае
мой дальности UOT==O) и отсутствии начальных ошибок слежения даль
номер с двумя интеrраторами не реаrирует на вариации ln. Если появля
ется ускорение дальномер становится чувствительным к изменениям т.
При этом значение Уш зависят как от rvl0ДУЛЯ, так и от знака ускорения.
178
Возрастание модуля Уш с ростом I jOT I объясняются увеличением ошибок
слежения по скорости ДY==YOT Yy, которые с весом ln преобразуются в
ошибки отслеживания дальности ДД==ДOT ДY' Кроме Toro, при увеJIиче
нии ошибок д V и дД расходуется больше энерrии управляющих сиrна
лов, что также приводит к увеличению Ут'
Чувствительность дальномера не зависит от начальной дальности
слежения. Это объясняется тем, что в дальномере с двумя интеrратора
ми при jOT==O (что соответствует моменту tl{ начала исследования) OTCYT
ствуют ошибки слежения по положению. Влияние начальной скорости
на Уш обусловлено тем, что ошибки слежения ДД и Д V зависят от MrHo
венной скорости V.. П , которая определяется не только ускорением, но и
своим начальным значением.
Из рис. 6.2 видно, что изменения Q21, q22 И Ь влияют на чувст
вительность дальномера только в области своих малых значений, при
4 3
Ут' 104
1
1
..1
2
а)
б)
4
)'т' 1О
6
V отз jОТ1
,.-
".
1
6
э
15
в)
r)
Рис. 6.2
179
которых имеют место большие ошибки слежения (рис. 6.2,а для
q22==1 с 2 /м 2 , К у ==I(В 2 суl, b==lM/(c 2 B), tp==lOc, Уотl==0,5УотЪ Vотз==1,5Vот2,
jOTl <О, jOT2== jOTl, jотЗ==О, ljOTl; рис. 6.2,б при тех же значениях всех па
? ? ? ?
раметров, кроме Ч21==1с/м ; рис. 6.2,в для q21==1 C/M , q22==IC /M ,
? 1 .
Ку== 1 (B c у). С увеличением параметров Ч21, Ч22 И Ь коэффициент Ут
стремится к установившемуся значению. Это объясняется тем, что при
Ч22> 1, Ь> 1 возрастание УI1" обусловленное увеличением энерrетической
части и Ky функционала (6.27), компенсируется уменьшением ero ин
формационной части за счет уменьшения ошибок слежения М и У.
Возрастание чувствительности при повышении штрафа Ч21 за
дальность (начальный участок рис. 6.2,а) обусловлено уменьшением
влияния сиrнала управления по скорости за счет ero перераспределения
в пользу ошибки по дальности. Это приводит к появлению ошибок сле
жения по скорости, которые с весом П1 преобразуются в ошибки сопро
вождения по дальности. Одновременно при этом увеличивается и энер
2
rетическая часть функционала иуку. Снижение чувствительности при
увеличении q22 (рис. 6.2, б), определяется тем, что Ч22 влияет только на
коэффициент обратной связи по скорости. Уменьшение ошибок слеже
ния У, обусловленное увеличением Ч2Ъ и определяет ослабление влия
ния m на изменение Функционала. Увеличение Ь при прочих равных
условиях приводит, к более эффективной коррекции ошибок как по
дальности, так и по скорости. Данное обстоятельство и предопределяет
уменьшение чувствительности при возрастании Ь (рис. 6.2, в). Увеличе
ние коэффициента штрафа К у (рис. 6.2,r) приводит к уменьшению
управляющих сиrналов, что обусловливает возрастание ошибок слеже
ния как по дальности, так и по скорости, а соответственно и к увеличе
нию чувствительности (рис. 6.2,r, для Q21==lC/M 2 , q22==lc 2 /M 2 , b==lM/(c 2 B).
Анализ зависимостей на рис. 6.2 показывает, что для снижения
чувствительности дальномера к вариациям m целесообразно назначать
о 2 4 Б t p . e 10 достаточно большие
штрафы Ч21, q22 И обес
печивать большие Ь-.
Кроме Toro, целесооб
разно назначать малые
штрафы за управление.
На рис. 6.3 приведены
зависимости Ym==f(t) для
различных наборов
1
2
2
"yr .104
m
4
Рис. 6.3
180
параметров Ч21, Ч22, Ь, и Ку. При этом, 1 соответствует единичным значениям
? ? 2 ?
указанных параметров, а 2 получен для Ч21==О, 1 C/M , Q22==O, lC /M , Ь==5м/( c B),
К у ==1(В 2 суl. Однако значения Ч21, Ч2Ъ Ь, и Ку следует выбирать с учетом обес
печения требуемой точности слежения при заданных оrраничениях
управляющих сиrналов.
Необходимо отметить, что в общем случае при прочих равных
условиях РЭСУ, синтезированные по локальному критерию, обладают
наибольшей чувствительностью к точности выдеР)l(ивания параметров,
в то время как системы, оптимизированные по критерию Лётова
Калмана, менее критичны к ней. В качестве примера на рис. 6.2 штри
ховыми линиями показаны зависимости Ут для аналоrичноrо дальноме
ра, оптимизированноrо по критерию Лётова Калмана.
В заключение отметим, что использование результатов исследо
вания чувствительности позволяет еще на стадии проектирования BЫ
брать такие штрафы функционала, которые учитывают требования не
только точности управления при заданных оrpаничениях управляющих
сиrналов, но и снижения чувствительности РЭСУ к возможным вариа
циям ее параметров.
6.3. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ
ИНФОРМАЦИОННЫХ КОНТУРОВ РЭСУ
Под информационными контурами РЭСУ понимают контуры оп
тимальных фильтров, формирующие оценки всех необходимых фазо
вых координат. Для оценки чувствительности оптимальных фильтров
можно использовать все показатели, рассмотренные в *6.1.
Основным показателем эq)фективности оптимальных фильтров
является сумма взвешенных дисперсий ошибок фильтрации
"Т" ""т
D L == М {(х х) Q2 (х х)} == trM {Q2 (х х)(х х) } == trQ2D, (6.34)
[де D матрица дисперсий ошибок фильтрации; Q2 диаrональная
матрица, коэффициенты которой характеризуют важность отдельных
ошибок Xj = Xj X j дЛЯ РЭСУ в целом.
В связи с этим для оценки чувствительности оптимальных фильт
ров можно использовать изменения матрицы О, а соответственно и
(6.34), при изменении обобщенных параметров. В качестве обобщенных
параметров aj обычно рассматриваются коэффициенты всех матриц
моделей 'состояния (2.13) и измерителей (2.16), а также спектральные
плотности (дисперсии) всех ВОЗ lущений.
181
Необходимо отметить, что изменения O матрицы О, обуслов
ленные вариациями обобщенных параметров, можно вычислить либо
непосредственно, либо на основании формулы
р
O == L Уфj а j . (6.35)
j==l
Здесь:
УФj = aD/aa j!a=a (6.36)
J J
матричный коэффициент чувствительности матрицы D ошибок фильтрации,
вычисленный для значений параметров а J при вариациях этих параметров
a. == а. a. ( 6.37 )
J J J '
Р число обобщенных параметров.
Следует подчеркнуть, что в общем случае значения пара lетров aj
MorYT отличаться от значений ajo, соответствующих идеально точным
моделям.
Для вычисления приращения O 1vlатрицы ошибок фильтрации и
коэффициентов чувствительности (6.36) необходимо найти матрицу D лх
ошибок фильтрации при реальных параметрах моделей (2.13) и (2.16). В
математическом плане эту задачу можно сформулировать следующим
образом.
Пусть для оценки BeKTopHoro процесса
i == Fx + x (6.38)
вместо идеально точных моделей состояния (6.38) и измерения
z == Их + и (6.39)
используются их реальные приближения
Х р == FpXp + xp (6.40)
и
Zp == ИрХ р + ир . (6.41)
При этом в реальных моделях (6.40) и (6.41) центрированные векторы rayc
совских возмущений хр И ир характеризуются матрицами односторонних
спектральных плотностей G xp и G пр , отличающимися от соответствующих
матриц G x и G и возмущений х и 11 В (6.38) и (6.39) на значения
Gx == G x Gxp'
Gи == G II Gир'
(6.42)
182
Аналоrично можно найти и матрицы ошибок
F == F F р. , H == Н Н р
(6.43 )
для матриц Fp и Ир в (6.40) и (6.41). Использование для моделей (6.40) и
(6.4]) алrоритма оптимальной линейной фильтрации (3.61) (3.63) по
зволяет получить уравнения:
"
Х р == FpXp + К фр (z НрХ р );
К фр == 2DpH;G ;
. т т l
Dp == FpDp + DpFp 2DрНрGирНрDр + 0,5G xp
( 6.44)
( 6.45)
( 6.46)
при начальных условиях Х р (О) == Х рО ; Ор (О) = ОрО' При этом было уч
тено, что в (6.44) действует естественное измерение z, точная модель
KOToporo отобра:>кается равенством (6.39).
Следует отметить, что для фильтра (6.44) (6.46), синтезирован
Horo для условий, определяемых моделями (6.38) и (6.39), текущая
ошибка фильтрации
Xp == Х Х р (6.47)
уже не будет отвечать требованиям минимума СКО, так как имеют Me
сто ошибки (6.42) и (6.43).
Необходимо найти матрицу
Dp == M{(X Xp)(X Xp)T} (6.48)
реальных ошибок фильтрации, характеризующую точность оценивания
по алrоритму (6.44) (6.46) при наличии реальных поrрешностей Moдe
лей (6.42) и (6.43).
Продифференцировав (6.47) с учетом (6.38), (6.39), (6.43) и (6.44)
получим:
"
Xp == х Х р == Fx + x Fpxp Кфр(z НрХ р ) ==
== (F p + F)x + x Fpxp Кфр[(Н р + H)x + и НрХ р ] ==
= (F p КфрН р ) Xp + ( F Кфр Н)Х + x Кфр и . (6.49)
Введем составные векторы
[ x р ]
ХС Х '
== [ X Кфр и ]
c х '
( 6.50)
удовлетворяющие условию
183
Хе = Fcxe + e ,
rде
F = [ F p КфрНр
е О
F Кфр Н ]
F '
(6.51 )
(6.52)
а матрица односторонних спектральных плотностей возмущений с
G e =[ G x +К( GИК4)Р J. (6.53)
Поскольку процесс (6.51) rауссовский, то выражение для ero Ma
тематическоrо ожидания и корреляционной матрицы определяется
формулами [54]:
те = Feme;
т т
De = FeDc + DeFe +0,5G e ,
те(О) = теО;
De(O) = Dco.
Здесь
= [ D p Dpx ] .
Dc D D '
хр х
т (O) =[M{x(O)} М{Хр(О)}, М{х(О)}];
те =[ ::}
(6.54)
(6.55)
(6.56)
(6.57)
mр и Dp МО и ковариационная матрица ошибок оценивания Xp (6.47);
m х и Dx МО и ковариационная матрица ошибок (6.38);
D px = D' p = M{[ xp mdX][x тх]Т} взаимная ковариационная MaT
рица. Подставляя (6.52) и (6.56) в (6.54) и (6.55), получаем
mр =(F p КфрНр)mр +( F Кфр Н)mх;
m х = Fm x ;
Ор = (F p КфрНр)D р + Op( ) КфрНр)Т +
+( F Кфр Н)Dхр + Dxp( F КфрМl)Т + O,5G x + О,5К фр G и КJ)р;
D xp = FD xp + D p(Fp КфрНр)Т + Dx ( F Кфр Н)Т;
ОХ =FDx +DX FT +0,5G x
для начальных условий (6.57), причем обычно полаrается [54], что
Ор(О) = Dxp(O) = Dx (О) = 00.
184
(6.58)
( 6.59)
( 6.60)
(6.61 )
(6.62)
(6.63)
Анализ (6.58 (6.63) позволяет сделать следующие выводы.
При решеНI1И этих уравнений можно вычислить матрицу Ор pe
альных ошибок фильтрации при наличии поrрешностей в исходных
моделях (6.40) и (6.41). Представив матрицу Ор в виде суммы
Dp=D+ D, (6.64)
rде D матрица ошибок фильтрации (3.63), вычисляемая для идеальных
условий (LlF==O, LlH==O, LlGx==O, LlGп==О), а до матрица приращений
ошиБОI( фильтрации, обусловленных вариаuиями обобщенных парамет
ров, можно получить:
. .
D+ D = (F p КфрНр)D+(Fр КфрНр) D+
+D(F p КфрНр)Т + D(Fp кфрнруr + ( Fp Кфр Н)Dхр +
+Dxp( F кфр нуr + G xp + Gx + Кфр(G ир + GИ)К I)Р'
Отсюда следует, что матрицу приращений дисперсий ошибок фи
льтрации, вызываемых изменениями обобщенных параметров, можно
вычислить в процесс е решения уравнения Риккати
ДD=(F р КфрНр)ДD+ДD(Fр КфрНр)Т +(дF КфрдН)Dхр +
+Dхр(ДF КфрdН)Т +0,5дG х +о.5КфрдGиКфр' дD(О)==О.
( 6.65)
Здесь ДС х и дG\I определяются (6.42); О хр соотношением (6.61), а HY
левые начальные условия следуют из (6.63).
Если вариации обобщенных параметров отсутствуют (дF==О,
LlH==O, дGх==О, дСн==О), то при дО(О)==О, ДD(t) == О будет выполняться
равенство LlD(t)==O и никаких приращений ошибок фильтрации не будет.
Если в (6.65) LW==КфрLlН, то JTO уравнение можно решить, не обраща
ясь к (6.61). При дF:;tКфрLlН (6.65) необходимо решать совместно с (6.61).
Важным преимуществом (6.65) является ВОЗМО)l(НОСТЬ вычисле
ния дО для любоrо набора и любой величины вариаций параметров.
Недостаток состоит в ТОМ, что для ка)кдоrо KOHKpeTHoro набора вариа
ций и параметров необходимо вычислять до заново, а это требует cy
щественных вычислительных затрат.
Последнеrо недостатка лишен способ определения LlD на основе
соотношений (6.35) и (6.36). При этом способе, вычислив однажды KO
Jффициенты чувствительности (6.36), MO)l(HO находить LlD для любых
сочетаний вариаций параметров и их приращений. Для определения УФj
возьмем от (6.60) частную производную по aj при а j = a j :
185
д aD p a[(F p КфрНр)D р ] a[Dp(F p КфрНр)'J'] aG x
+ +05 +
да . at да . да . ' да .
J J J J
дКфрGиКJ)р aD p aD p т'
+0,5 (Fр КфрНр) + (Fр КфрНр) +
да . да . да .
J J J
a(F p КфрН р ) a(F p кфрнруr дG x дG и
+ D + D + О 5 - + О 5К - к
да . р р да. ' да . ' фр да. фр .
J J J J
Поменяв порядок дифференцирования в левой части JTOrO уравнения, с
учетом (6.36) получим
. т
Уфj==(Fр КфрНр)Уфр+Уфj(Fр КфрНр) +I фj ; (6.66)
д(Fр КфрНр) д(Fр КфрНр)Т
I фj == Dp +Dp
да. да.
J а. == а. J
J J
+
f"OOJ ·
а. == а.
J J
О aG х О 5К aG н К Т
+ ,5 +, фр фр
да. f"OOJ да.
J а.==а. J а.==а.
J J J J
при начальных условиях
aDp(O)
'Уфj(О) = д (6.68)
aj
а j == а j
Преимуществом алrоритrvlа (6.35), (6.66) (6.68) является то, что,
(6.67)
вычислив однажды матрицы чувствительности фj (j = 1, Р ), можно oцe
нивать приращения дD дисперсий ошибок q)ильтрации, обусловленные
ИЗ 1енениями обобщенных параметров при любом их наборе и любой
величине. Однако следует подчеркнуть, что с увеличением даj точность
вычисления дD по формуле (6.35) ухудшается.
Мноroчисленные примеры использования различных aлrоритмов
оценивания чувствительности оптимальных фильтров приведены в [48, 54].
для дискретных оrrrимальных фильтров алrоритмы чувствительности можно
получить аналоrично рассмотренным аналоrовым соотношениям. Подробно
вопрос чувствительности дискретных q)ильтров обсужден в [47], а оценива
ние чувствительности системы управления при одновременном учете aлrо
ритмов оптимальноrо оценивания и оптимальноrо управления в [48].
186
ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ
АРУ автоматическая реl'Улировка усиления
АЦП аналоrо цифровой преобразователь
А ЧХ амплитудно частотная характери
стика
БВС бортовая ВЫLНlслительная система
БРЛС бортовая радиолокационная CTaH
Llия (система)
БТ блеСТЯLlЩЯ точка
БЧ боевая часть
«B B» «воздух воздух»
«в п» «воздух повеРХIIОСТЬ»
ВЧП высокая частота повторения
двс датчик воздушной скорости
ДИСС доплеРОВСК1I1I измеритель CKOpO
сти 11 уrла сноса
ДПЛЛ дистанционно пилотируемый
лстательный аПllарат
ЗПС за)щяя полусфера
иве информацио}нIo выLIltслl1телыlяя
система
кру командная раДИОЛИIIИЯ Уllравлення
кцо кажущийся центр отражсния
КЭС корреляционно экстремалышя
система
ЛА летательный аппарат
ЛКr линейно квадратично rауссовская
МО математическое ожидание
НЧП низкая частота 1I0втореllНЯ
ОП оптический ПРllцел
ОПС оБЗОРllо прицельная система
ООС отрицательная обратная связь
ООУ обобLl енныii объект Уllравлення
ОУ объект унраВJlеllИЯ
пнк ПРШ1СЛЫIO ltaвиrаUlIOШIЫП комrшекс
ПНС ПРllцельно навиrаЦИОНlIая система
ПОС положительная обратная связь
ППС псредняя 1I0лу(;фера
ПТ плаваЮlцая точка
ПУ пункт управления
prc радиолокационная I оловка caMolla
всдения
РНП режим нснрерывной пеленrации
РЛС рмиолокационная станция (система)
РЭД радиоэлеКТРOllНыil ) атчик
РЭС радиоэлсктронная система
РЭСУ раДI10'}ЛСКТрОllIШЯ система управ
ЛСНIIЯ
ел у сltстсма автоматичеСКОI О управления
СВС система ВОЗ) УШIIЫХ сиrllалов
СК система координат
СКВ систсма курсовертикали
СКО среднеквадратичная ошибка
скру систсма командноrо радиоуправ
ления
СОИ систсма отображеlll1Я информации
СОЦ сопровождение одноЙ цели
СПЦ СНПIШl подсвета цели
ССН система самонаведсния
СТОУ статистическая теория ОПТИМШIЬ
IIOI O Уl1раВJIСННЯ
СУВО система УllраВJIСНИЯ вооружением
11 обороной
сур систе а управления ракетой
СУРЗ системы управлеНIIЯ по раДИОЗОIIС
СЧП средняя Lшстота 1I0втореllИЯ
ТОИ теория ОllтимапыюЙ идентификаш lИ
ТОО теория оптималbJlOl О ОllсниваllИЯ
ТОФ теория ОПТИМШIЬНОЙ фильтрацин
ТП тсплопелеНl \ТОР
ТТП таJ(тш\о техничсские покиЗtlТСЛИ
ТТТ таКТIIКО 'I'еХllllческис треБОВШIIIЯ
ус УllраВЛЯIOLlЩЯ система
УФСТУ устройство формироваllИЯ
СИПlалов TpaCKTopllOl O управлеllИЯ
ФТ фиксированная точка
ЦВМ ЦlIфровая вычислительная машина
I Y целеукаЗШIIIЯ
ЭПО эффеКТIIВJlая ПЛОlцадь отражения
187
ЛИТЕРАТУРА
1. Авиационное раДИОJлектронное оборудование. /Под ред. В.А. EcjJuJ\loBa.
M.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковскоrо, 1993.
2. Автоматизация управления перспективных истребителей (по материалам
открытой иностранной печати). Обзоры ЦАrи, 1984, NQ641.
3. АнпUlпов В.Н., Исаев С.А., Лавров А.А., Меркулов В.И. Мноrофункциональ
ные радиолокационные комплексы истребителей. M.: Воениздат, 1994.
4. Ap,пaAfOHOe Т. Т. Автокорреляционная функция выходноrо сиrнала фильтра
со случайным квантованием по времени в условиях сбоев. Кибернетика.
1970, NQ6.
5. А(ранасьев В.Н., КОЛАlаllовский В.В., Носов В.Р. Математическая теория
конструирования систем управления M.: ВЫСluая школа, 1989.
6. Бабич В.К. Сверхманевренность истребителя. Зарубежное военное обо
зрение, 1994, NQ2.
7. Бабич В.К, Баханов Л.В., ТераСlI.мов r.п. и др. Авиация ПВО России и Ha
учно технический ПрОI"'ресс. Боевые комплексы и системы вчера, сеrодня,
завтра. /[10Д ред. Е.А.Федосова. M.: Дрофа, 2001.
8. Ь'аранов Н., ИвеНUII И., Каневский М. и др. Сверхманевренность средство
побеждать. Авиапанорама, 1999, N 1.
9. Боевая авиационная техника: Авиационное вооружение. /Под ред. Д.И.
rладкова. M.: Воениздат, 1987.
10. ТрООll Д. Методы идентификации систем. /Пер. с анrл. M.: Мир, 1979.
11. ryпlKulI Л.С. Проектирование радиосистем и радиоустройств. M.: Радио и
связь, 1986.
12. rУ11'lКИН Л.С. и др. Радиоуправление реактивными снарядами. M.: Сов.
радио, 1968.
13. Двайltl ТВ. Таблицы интеrралов и друrие математические формулы. M.:
Наука, 1977.
14. Доу Р.Б. Основы теории современных снарядов. /Пер. с анrл. M.: Наука,
1964.
15. Дудник П.И., Чересов Ю.Н. Авиационные радиолокационные устройства.
M.: ВВИА им. IIрОф. Н.Е. Жуковскоrо, 1986.
16. Защита от радиопомех. /Под ред. М.В. MaKcи Hoвa. M.: Сов. радио, 1976.
17. ИТfЬЧУК А.Р., KallatlfellKOB А.И., Меркулов В.И. LJ др. Алrоритмы автоматиче
cKoro сопровождения целей в режиме обзора. Радиотехника, 1999, NQ 1.
18. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Анализ стохастических систем в IIpOCTpaHCT
ве состояний. M.: Наука, 1983.
19. Канаlчеuков А.И., Меркулов В.И., CaMapUIl О. Ф. Облик перспективных
бортовых радиолокационных систем. M.: ИI1РЖР, 2002.
20. КрасовскиЙ А.А. Основы теории управления и системотехники. M.: ВВИА
им. проф. Н.Е. Жуковскоrо, 1986.
188
21. КРУП1Ы(О П.Д., МаКСИА10в А.И., С'кворцов Л.М. Алrоритмы и проrраммы
проектирования автоматических систем. .....М.: Радио и связь, 1988.
22. КУЗЬ..НlIН С.З. Основы проектирования систем цифровой обработки радио..
локационной информации. .....М.: Радио и связь, 1986.
23. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. /rIep. с анrл.
.....М.: Машиностроение, 1986.
24. J/eolloB А.И., ФО.Аtllчев К.и. Моноимпульсная раДИОJlокация. .....М.: Радио и
связь, 1984.
25. ЛЫОUll2 Л. Идентификация систем. Теория для пользователей. .....М.: Наука,
1 991 .
26. MaK KpaKeH д., Дорн У. Численные методы и ПРОI'раммирование на
ФОРТРАНЕ. .....М.: Мир, 1977.
27. Макси..нов М.В., rOp20NOfJ r.и. Радиоэлсктронные системы самонавсдения.
.....М.: Радио и связь, 1982.
28. MaKClIAfOfJ М.В., rOp201l0fJ /'.И., Чернов В.С. Авиационные системы радио
управления. .....М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковскоrо, 1984.
29. Максимов М.В., МеРI(улов В.И. Радиоэлектронные следящие системы. Син
тез методами теории ОIlтимальноrо управления. .....М.: Радио и связь, 1990.
30. МеРI(vлов В.И. Синтез фильтров КаJlмана при использовании следящих
измерителей."'" Радиотехника, 1985,NQI0.
31. Меркулов В.И. Синтез оптимальных раДИОJлектроных следящих систем с
повышенной устойчивостью к а,zuJ.ИТИВНЫМ помехам. ..... Радиотехника и
электроника, 1990, 1'.35.
32. Меркулов В.И. Теоретические основы построения радиоэлектронных систем
управления самолетом и оружием. .....М.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковскоrо,
1994.
33. Меркулов В.И., Перов А.И., Саблин В.Н. u др. Радиолокационные измсрите
ли дальности и скорости. Т. 1. /Под ред. В.И. Саблина. .....М.: Радио и связь,
1999.
34. Меркулов В.И., Харьков В. С. Оптимизация радиоэлектронных систсм
управления. Методы и алrоритмы синтеза ОПТИМaJIЬНОI'О унравления. Об
зор. ..... Радиотехника, 1998, NQ9.
35. Ми",а Ц., Хара С., Кондо Р. Введение в цифровое управление. /Пер. с
японск. .....М.: Мир, 1994.
36. Мноrофункциональные импульсно доплеровскис радиолокационные CTaH
ции управления оружием истребителсй. Обзор 110 материалам иностранной
печати. /ПОД ред. [/.В. Познякова. .....М.: НИЦ, 1987.
37. Обрезков 1 .B., РазевU2 В.Д. Методы анализа срыва слсжения. .....М.: Сов.
радио, 1982.
38. Основы раДИОУllравления. /Под ред. В.А. Вейцеля. .....М.: Радио и связь, 1995.
39. ОСlпровUI11янов Р.В., Басалов (/).А. ( татистическая теория радиолокации
протяженных целей. .....М.: Радио и связь, 1982.
189
40. Первачев С.В. Радиоавтоматика. M.: Радио и связь, 1982.
41. Перваr/ев С.В., Перов А.И. Адаптивная фильтрация сообщений. M.: Радио
и связь, 1991.
42. Радиоавтоматика. /Под ред. В.А. БисекеРСКО20. M.: ВЫСIlJая школа) 1985.
43. РойmенбеР2 Я.Н. Автоматическое управление. M.: Наука, 1992.
44. СаБЛИII В.Н. Разведывательно ударные комплексы и радиолокационные
системы наблюдения земной поверхности. M.: ИПРЖР, 2002.
45. СаБЛllН В.Н., Викулов О.В., Меркулов В.И. Авиационные мноrопозиционные
радиолокационные системы мноrоканальноrо наведения. Разведывательно
ударные комплексы. Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной
радиоэлектроники, 1998,N 8.
46. Самарин О. Ф. Статистические методы анализа поrpешностей управляющей
ЭВМ систем управления JIA. Учебное пособие. M.: МАИ, 2000.
47. Сейд:J/С Э., Меле Д:JJС. Теория оценивания и ее применение в связи и управ
лении. /Пер. с анrл. M.: Связь, 1976.
48. Сейд.JlС Э., УЙаI1111/. Ч. С. Оптимальное управление системами. /Пер. с aHrJl.
M.: Радио и связь, 1982.
49. Справочник 110 теории автоматическоrо управления. /Под ред. А.А.
КрасовСКО20. M.: Наука, 1987.
50. Теория автоматическоrо управления. Ч.l. Теория линейных систем aBTOMa
тическоrо управления. /Ilод ред. А.А. Воронова. M.: Высшая школа, 1977.
51. Теория автоматическоrо управления. ч. 11. Теория нелинейных и специаль
ных систем автоматическоrо управления. /Под ред. А.А. ВОРО1l0ва. M.:
Высшая школа, 1977.
52. TипYZl/H В.Н., Вейцель В.А. Радиоуправление. M.: Сов. радио, 1962.
53. ТиХОllов В.И. Нелинейные преобразования случайных процессов. M.: Pa
дио и связь, 1986.
54. ТихО1l0в В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехниче
ских устройств и систем. M.: Радио и связь, 1991.
55. Фелrrер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. M.: Мир, 1964.
56. ФинкеЛЬUlтей/l М.И. Основы радиолокации. M.: Радио и связь, 1983.
57. ЧеРIIОУСЬКО (/J.A., Кол.ма1l0векuй Б.Б. Оптимальное управление при случай
ных ВОЗМУll ениях. M.: Наука, 1978.
58. Черняк В.С. МНОI'опозиционная радиолокация. M.: Радио и связь, 1998.
59. Шенбро/п И.М., rUllсбурz М.Я. Расчет точности систем централИ'30ванноrо
контроля. M.: «Энерrия», 1970.
60. J/p.7blKOB М.С. Примснение марковской теории нелинейной фильтрации в
радиотехнике. M.: Сов. радио, 1980.
61. Ярлыков М.С., БО<!Gчев А.С'., MupollOB М.А. Боевое применение и эффективность
авиационных комплексов. M.: ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковскоrо, 1990.
62. Ярлыков М. С., МирОllов М.А. Марковская теория оценивания случайных
процессов. M.: Радио и связь, 1993.
190
ВНИМАНИЕ
,
.
Вышли в свет
в серии «Авиационные системы радиоуправления»
моноrрафии:
1. Меркулов В.И., Леllll/l В.Н. Ч. 1. Теоретические основы синтеза и аНaJIиза авиаци
онных систем радиоуправления. Ч.2. РадИОJлектронные системы самонаведения.
М.: Радио и связь, 1997.
2. Мерку.ттов В.И, Чер/lов В.е., СаБЛll/l В.Н. и др. Системы командноrо радиоупраВJlе
ния. Ч.4. Автономные и комбинированные системы наведения /Под ред. В.И. Mep
кулова. М.: Радио и связь. 1998.
3. Радиолокационные измерители Д,UlЬНОСТИ скорости. Том. 1 / Меркулов В.И., Пе
ров А.И., Саблин В.Н. и др. Под ред. В.Н. СаБЛИ/lа. М.: Ра,ДИО и связь. 1999.
4. Kallatlfell/(oB А.И., Меркулов В.И., Ca.Mapllll О. еР. Облик перСI1СI<ТИВНЫХ бортовых
радиолокационных систем. Возможности и оrpаничения. М.: ИllРЖР, 2002.
5. Защита радиолокационных систем от 1l0Mex. Состояние и тенденции разви
тия / Мер/\улов В.И., ЧеРНО(1 В.С., ДРОС(lЛllII В.В. и ДР. Пол. ред. А.У!. Ka"a
и/енкова и В.И. Меркулова. М.: Радиотехника, 2003.
6. Авиационные системы радиоуправления. В 3 x томах. Т. 1. П ринципы построе
ния систем радиоуправления. Основы синтеза и а н tUНIЗа. ИЗJ . 2 e, J ОП. и пе
рераб./Под ред. А.И. Канащенкова и В.И. Мер/(уловll М.: Радиотехника, 2003.
Планируется выпустить
в серии «Авиационные системы радиоуправления»
в 2003 r. l\'lоноrрафии:
1. Авиационные системы радиоуправления. В 3 x томах. Т. 2. РаДИОJлектрон
ные системы самонаведения. Изд. 2 e, дон. и перераб.
2. Авиационные системы радиоуправления. В 3 x томах. Т. 3. Системы KOMaHД
HOI'O радиоуправления. Автономные и комбинированные системы HaBeдc
ния . Изд. 2 e, дон. и перераб.
в 200 2005 rr.
1. Радиолокационные системы мноrоФункционапьных самолетов. В 2 x томах.
2. Радиолокационные измерlПСЛИ ДШIЬНОСПf и CKOpocrn. В 2 x томах.
3. Радиолокационные уrломеры. В 2 x томах.
4. ПомехозаlЦИlценность авиационных систсм радиоуправлсния. В 2 x томах.
5. МНОI'опозиционные системы радиоунравления.
6. Автоматическое СОПРОВО)l<дсние ВОЗДУIlIНЫХ объектов в ре)l(име OOJOpa.
Серия
«АвиаЦИОIIIIЫС системы радиоупраВЛСIIИЯ»
в З..Х томах
ТОМ 1
ПРИIIЦИПЫ построения систем радиоуправления.
ОСIIОВЫ СИlIтеза и аllализа
ПОД редакцией
А. и. Каllащеllкова и В. и. Мсркулова
Авторы
Владимир Иванович Меркулов
Валерий Васильевич Дроrалин
Анатолий Иванович Канащенков
Владимир Николаевич Лепин
Олеr Федорович Самарин
Алексей Алексеевич Соловьев
Изд. NQ 88. Сдано в набор 13.04.2003.
Подписано в печать 29.06.2003. Формат 60х90 1/16.
Бумаrа офсетная. rарнитура Тайме.
Печать офсетная
Печ. 11. 12. Тираж 1000 зкз. Зак. NQ 2486
ЛР К! 065229 от 20.06.97.
Издательство «Радиотехника».
107031, Москва, K 31, Кузнецкий мост, Д. 20/6.
Тсл./факс: 921 48 37; 925 78 72, 925 92 41.
E mail: iprzllr v'onlinc.rll
www.webcenter.ru/...iprzhr /
Отпечатано в 000 ПФ "ПОЛИl'рафист".
16000 1, r. ВОЛОI'да, ул. Челюскинцев, Д. 3.