Н. А. ДАВЫДОВ, П. П. КОРОВКИН,
В. Н, НИКОЛЬСКИЙ
СБОРНИК ЗАДАЧ
по
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Допущено Министерством просвещения СССР в качестве
учебного пособия для студентов физико-математических
факультетов педагогических институтов (специальности
№ 2104 и 2105).
Издание 4-е, дополненное
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 19

517.2
Д13
Давыдов Н. А. и др.
Д13 Сборник задач по математическому анализу. Учеб.
пособие для студентов физ.-мат. фак-тов пед. ин-тов
(специальности № 2104 и 2105). Изд. 4-е, доп. М.,
«Просвещение», 1973.
256 с.
Перед загл. авт.: Н. А. Давыдов, П. Н.
КОЛЬСКИЙ.
Д
0223—309
М 103 @3)-73
31—73

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий сборник задач составлен в соответствии
с новой программой курса математического анализа
для физико-математических факультетов педагогических
институтов.
При составлении этого сборника авторы учитывали
особенности задач педагогического вуза, связанные с
подготовкой высококвалифицированных учителей мате-
математики и физики средней школы.
Значительное внимание уделено задачам, способ-
способствующим закреплению и углублению основных понйтий
математического анализа. Кроме того, включены за-
задачи, имеющие прямое отношение к курсу математики
средней школы. Авторы считали полезным включение
трудных, а иногда и оригинальных задач, решение ко-
которых должно повысить общую математическую куль-
ТУРУ и развить творческие способности учащихся.
По сравнению с. предыдущим настоящее издание
дополнено тремя новыми главами: гл. XII—«Мера и инте-
интеграл Лебега», гл. XIII—«Элементы функционального
анализа» игл. XIV—«Теория аналитически* функций».
Авторы не считают настоящий сборник свободным
от недостатков и будут признательны за все замечания,
направленные к его улучшению.
Авторы

ГЛАВА I
ФУНКЦИИ
§ 1. Действительные числа
1. Найти наибольшее из двух чисел:
Г
а) "Г и ТГ; б> V^ и -ff-; в) я и
l-r , , f X> еСЛИ
По определению \х =<
I — x% если x < 0.
(Знак | | читается: абсолютное значение.)
Решить неравенства B—6):
2. I х |< 5. 3. | х - 3 |< 4. 4. | х 1 > х.
5.
х+1
6 1 V2 Q v» I О I v,^ л^2 Q ** I О
• I Л ~~"~ Ont ""у" л J ^«^ Л/ ~"~~ ОЛ- "~р ^.
Найти действительные корни уравнений G—10):
9. | sinx l = sinA: + 2. 10. | 2х + 3 | = x2.
11. Существуют ли действительные корни уравнений:
а) [ siriA: | = siriA: + 3; б) | tgx \ = tgx + 3?
12. Пусть ?(jc) обозначает наибольшее целое число, не пре-
превосходящее х (целая часть х).
Найти ?(-л); ?(-1,5); ?@); ?@,2); ?(/2); ?(я).
Решить уравнения A3—14):
13. ?(.*:) = 2*. 14.
15. Доказать неравенства:
< MJ^Hl + 1 где /г — натуральное число.
я я J А
п ^ п 'я
16*. Доказать, что если JC!<1 и д:2>1, то Xi-\-x2>Xi • х2+ 1.
4

17*. Доказать, что если хи х2, ..., хп~положительные числа,
причем хх • х2 • ... • хп = 1, то л^ + х2 + ... + хп ^ п. В каком
случае л^ + л:2 + ... + хп = п (п — натуральное число)?
Указание. Полезно воспользоваться методом математической индукции.
Пользуясь утверждением задачи 17*, доказать неравенства
A8-25):
18. ^ + ^+--- + ~^+^>п, ГДе Хь Хъ •"• ^
Х2 Х3 Хп Xi
ложительные числа, « — натуральное число.
19. х + -j- > 2 (дс > 0). 20. log 7 + log710 > 2.
21. V*.-*2-----*,t<*1 + *2t'""M"> где х„ ^2 хп~
положительные числа, п — натуральное число.
22. Уак . ьп~к < —^2—^— 1 Где а и Ь — положительные
числа, аф b, k и /г — натуральные числа, k<n.
1 _|—j <; м -| _.\ t Где д — натуральное число.
1— i-j <Ц1———j , где п — натуральное число.
25, п! < ( п ^ 1 ) , где п — натуральное число.
§ 2. Нахождение значений функций
26. Дана функция
Найти /(-2); f@); f(l); f(a).
27. Дана функция
Найти ф(—1); фA+«). Существует ли ф^р]
28. Дана функция
ty (х) = 2 sin 2jc + cos лс.
Найти i|>@); $[±); ¦(!); ifB); i|)(a).

29. Дана функция
/ (л:) = arc cos Bл: — 1).
Найти /@); /(у); /A -а). Существует ли /B)?
30. Дана функция
ф (д:) = х5 — хъ + 5х.
Доказать, что ф (— 2) = — фB); ф(— х)= — у(х).
31. Дана функция
/(jc) = ^ —2cosx.
Доказать, что f(—a) — f(a).
32. Дана функция
ф (л:) = 2 sin х — 3 cos x.
Доказать, что г|э (х + 2зг) = -ф (х); ф (л: + 2пп) = *ф (^), где я—
целое число.
33. Пусть f(n) = an> где аЛ определяется из равенства
/2=1, aja2 ... art ...
Найти /A); f B); f C).
34. Пусть ф(я) = рЛ, где рл определяется из равенства
= 2, p,fc... ft, ^.
Найти ФA); ФB); ФC).
35. Пусть
sin л; при — 1 < х < О,
j+;c2 при
Найти /0); /(I); /(-j). Существует ли /D)?
? при — 1 < х < О,
36. Пусть ф (#) = <
2 при 0<х<1,
х — 1 при 1 <;
Найти ФB); Ф(О); Ф(О,5); Ф(-0,5); ФC).
37. Доказать равенство Е(х + 1) = Е(х)+ 1, где Е(х)~
целая часть х.
38. Функция {х} = х — Е(х) называется дробной частью
числа х.
Доказать, что {х + \} = {х).
39. Решить уравнение {х} = 0,5.
40. Вычислить значения функций f(x) = x2-\—? и ф(х)=»
точках, в которых —Ь * — 5.

§ 3. Область определения функции
Множество М, на котором задана функция у = / (ж), называется обла-
областью определения (областью существования) этой функции. Если для функ-
функции, заданной аналитически, не указывается область определения, то под
последней понимают множество всех действительных значений аргумента,
при которых данное аналитическое выражение имеет смысл.
Найти области определения следующих функций:
41. у = хз~Зх
2л:— I
43. y =
45. y = Y7-2x.
47. у = Vx2 — 4x + 3
49. t/ = г = .
V х2 + 2х + 3
51. у *=4—-31ogx.
53. у = arc sin х.
55. у = ачс sin (sin x).
57. у = arc sin ^Ч^-.
61. ^ = log sin (л: — 3)
а;2 + 2* - 3
л: —4
46.
48.
52. t/ = logCjc —4).
54. у = arc sin Bл: —- 5).
56. у = arc cos Eл: — 8).
67. у = arc cos B + х).
69. у = М.
71. у = дс1
73. у = Е(х\).
58.
60. y = }
62. y = :
64.
66.
68.
70.
72.
74.
у 3 — л: + arc cos
г ... 2
—I jc I.
— x + x.
75. Тождественны ли функции f(*) = -j и ф(д:) = 1?
76. Тождественны ли функции / (я) = log х2 и <р (х) = 2 log х?
77. Тождественны ли функции; a) f (х) = I и ф (х) =
*= sin2 * + cos2 ж; б) f (лг) = log л:2 и <р (х) = 2 log х для 2<лг<3?
78. Тождественны ли функции: a) f {х) = х и ф (
6)f(x) = x и ф(*)= + 1/*2?
79. Тождественны ли функции
f(jc) = je2 для 1^дс^2 и ф(ж) = *2 для 1^
7

80. Функция y = f(x) определена на отрезке [0; 1]. Каковы
области определения функций: a) f(x2); б) /(sin*); в)/(# + #);
81. В треугольнике даны две стороны а и й. Выразить
площадь треугольника как функцию угла у, заключенного
между сторонами а и й. Найти область определения этой
функции. Найти область определения соответствующего анали-
аналитического выражения.
82. В шар радиуса г вписан цилиндр. Выразить объем этого
цилиндра как функцию его высоты. Найти область определения
этой функции. Найти область определения соответствующего
аналитического выражения.
83. Известно, что путь, пройденный тяжелым телом, падаю-
падающим с высоты А, определяется по формуле s = -~-. Какова
область определения этой функции? Какова область определе-
ния аналитического выражения s = -^—?
§ 4. Графики функций
Построить графики следующих функций:
84. а) у = 2х — 3; б) у = х2+1\ в) */ = *3.
85. а) у = -\ б) у = —in-; в) y=s=-J—.
X X штт 1 X —¦"" 1
87. а) у = arc sin х; б) # = arc cos*.
88. у =
2л:— 1 при
90. у = Е(х). 91. у = {х]. "
92.у = |*|. 93. у = х— \х\.
94. у=1—У\х\. 95. у = arc sin (sin x).
96. у = arc cos (cos x).
97. Выразить радиус основания конуса как функцию его
высоты при данном ббъеме V. Построить график этой функции
при V = ^.
98. Выразить радиус шара как функцию его объема V.
Построить график этой функции.
99. Выразить площадь прямоугольного треугольника как
функцию его катета при условии, что периметр этого треуголь-
треугольника равен 2р. Построить график этой функции при Р2^"^*
100. Дана сторона а треугольника ABC. Выразить диа-
диаметр окружности, описанной около этого треугольника, как
ь
х2 при—-2<jc<0, rcosjenpH—-.. ^
89. у=\ 2приО<*<1,

функцию угла а, лежащего про-
против стороны а. Построить график
этой функции при а=1.
101. Построить график функ-
функций:
I sin лг 1
sin*
12 + sin л: 1
2 + sin x
Рис. I.
102. Функция # = / (л:) за-
задана графически (рис. 1).
Построить графики функций:
а) *-/(* +2); б) y=f(fj;
ж) y = f(E(x)).
§ 5. Монотонные функции. Функции четные
и нечётные. Периодические функции
Пусть f(x) определена в промежутке < а; Ь >. Если для любых
Х\ е < а\ Ь >; х2 е< а; Ь >, хх < х2\
a) f (*i) < / (х2); б)
в) f (x\)^f (х2); г)
то f (x) называется соответственно а) неубывающей, б) возрастающей,
в) невозрастающей, г) убывающей функцией. Все они называются моно-
монотонными.
Возрастающие и убывающие функции называются строго монотонными.
Найти промежутки, где функции монотонны (строго моно-
монотонны):
IQ3 ^ __. 2х 1 104. и — х2
Ш. у = х2 + 2х + Ъ. 106.' у = 2*.
107. у = х3. 108. у = \х\.
109. # = |*| — х. 110. у = sinх.
111. у = arc sinх. 112. y = arc{gx.
113. у = Е(х). 114. у = arc sin (sin x).
Функция / (л:) называется четной, если f (— х) = f (x), и нечетной, если,
Следующие функции исследовать на четность:
116. у = х*-2.
118. у = 2х* + 3.
120. y = sinx.
\c,?f у === Slli ллЛ•
124. у = cos 5л:.
126. у — х + sin х.
128. у = \
115. 1
117. 1
119. i
121.
123. i
125. i
127.
у = х6 — 2л;4
y = 2^.
у = COS (X +
г/ = д^з __ 2.
г/ = l/ 1 ^
+ 4
1).
О.

129. Показать, что функция у — \oga (х+Ух2 -f t) нечетная.
Каждую из нижеследующих функций представить в виде
суммы четной и нечетной функций:
130. «/ = x4 + 2x3 + x2-4. isi. y=*smx + cosx-tgx.
132. (/ = (l + xN. 133. y = sinx + x2 + x — l.
134. y = sin(x + a).
135. Доказать, что произведение (сумма) двух четных функ-
функций есть четная функция; произведение (сумма) двух нечетных
функций — четная (нечетная) функция; произведение четной и
нечетной функций — нечетная функция.
136. Показать, что / (х) + f (¦— х) — четная функция,
a f{x) —/(— а:) — нечетная функция.
137*. Доказать, что любую функцию f(x), определенную
на отрезке [— а; а], можно представить в виде суммы четной
и нечетной функций и что это представление единственно.
138. Пользуясь утверждением задачи 137*, представить
функции
а) у = ах и б) у = Ух + 1
в виде суммы четной и нечетной функций.
Функция f (х) называется периодической с периодом ю,- © Ф 0, если
f(* + e>)~f(*).
Какие из нижеследующих функций будут периодическими?
Для периодических функций указать период:
139.
141.
143.
145.
147.
149.
151.
153.
154.
у = х cos х.
y = s\nnx.
у = 1 + cos
у = sin(* +
y = E{x).
1).
•0).
Доказать, что функция
140. у =
142. у =
144. у =
146. у =
148. у =
150. у =
152. z/ =
Дирихле
= cos
sin
4.
2x.
1
X
= cos(jc-2).
\x) — x с \л).
arc
sin (sin x).
f 1 для х — рационального числа,
Х\х) — | о для л: — иррационального числа
имеет своим периодом любое рациональное число г, г Ф 0.
155. Привести пример функции с периодом:
а) у; б) 2; в) 5; г) а >0.
156*. Пусть f(x) — функция, определенная на полуотрезке
[0; а). Доказать, что функция f (а •{•—}) определена для всех л:,
совпадает с функцией f (jc) на [0; а) и имеет период а.
10

Продолжить периодически функции:
I) ^ = д:2@<л:< 1); 2) */ =
3) y = sin
157. Доказать тождество
158*. Число а называется корнем многочлена
/ (х) = аохп + аххп~1 + ... + ап,
если /(а)==0. Известно, что многочлен степени и имеет не
более чем п действительных корней. Опираясь на это, доказать,
что если рациональная функция ф(л) = ^Xl^^X'.W +6^
периодическая, то она равна постоянному числу.
§ 6. Элементарные функции и их графики
Построить по точкам графики целых рациональных функ-
функций (многочленов):
159. у = х + Ь при 6 = 0; 6 = 1; Ь = —\.
160. у = ах2 при u = te\ а = 1; а = -—1.
161. у = х2 + сх + 1 при с = — 2; с = 0; с = 2.
162. y = jc3 + d при d = 0; d = l; rf = —2.
Построить по точкам графики дробных рациональных
функций:
163. у = |. 164. 0 = 7ZT-
% 1вв# У = Г+Р-
167. У=-р-. 168. У=1-^2.
Построить по точкам графики иррациональных функций!
169. у= Ух — 3. 170. у = Va2 — х2 при а=1; а = 2.
171. у = Ух2 - б2 при 6=1; 6 = 2.
172. y = xk при *=у; * = -§¦••
Построить по точкам графики трансцендентных функций:
173. у — ах при а==у; а = 2.
174. y = 3aj: при а=1; а==—1.
175. y = logax при а = 1; а = — 2.
11

176. y = csinx при с—1\ с = 2.
177. у = sinbx при b=-^\ b = 2.
178. у = sin (л: + с) при с = — 1; с = 2.
179. y = 2cosBnx + d) при tf = — 2; d = 2.
180. y = tgkx при ft = l; & = 2.
181. у = arc cos *. 182. у = arc sin х.
183. z/ = arctg#. 184. # = arcctgx.
185. у = ^. 186. у = arc tg (tg x).
Найти функции, обратные данным, указать области их
определения, построить графики обратных функций;
187. # = 3*. 188. у = 5 — 2х.
189. у = х* — 2. 190. */ = -2~г7.
191. у = х2 — 4х. 192. # = л\
193. У = \. 194. y=*Vx.
195. y = Vx+l. 196. у = Vx2 + 1.
197. у = arc sin л:2. 198. у = 2х — 1.
199. y = \oga{x + Vx2+ l). 200. # = arc sin (sin *).
1 — X
201. Показать, что функция y= f , обратна сама себе.
202. Какой вид имеет график функции, тождественной со
своей обратной?
203. Показать, что функции f {х) = х2 — х + 1 и ф (х) = -^ —
±у х —-j взаимно обратные.
Решить уравнение
204. Решить уравнение
л:2 — 2л: + 2 = 1 + "|/л: — 1.
205. Показать, что если график кривой y = f(x) лежит по
одну сторону от биссектрисы первого и третьего координатных
углов и не имеет с ней общих точек, то уравнение f(x) = g(x)9
где g(x) — обратная функция для f(x), не имеет действитель-
действительных корней. _
206. Показать, что уравнение х2 + 2х + 1 = — 1 + Vх не
имеет действительных корней.
207. Показать графически, что уравнение f (x) = g(x)9 где
f(x) и g {х) — взаимно обратные функции, может иметь корни,
12

не содержащиеся среди корней уравнения f(x) = x (см. за-
задачу 201).
208. Функция f(x) определена следующим образом:
2-4л; + 6 при л:<2,
- х + 4 при х :
Найти функцию, обратную для f(x). Показать, что уравне-
уравнение f(x) = g(x), где g (х) — обратная функция для f(x), имеет
три действительных корня. Найти эти корни.
209. Начертить на миллиметровой бумаге параболу у = х2
и использовать ее для графического решения уравнений:
а) х2 + 2х — 3 = 0; б) 2х2 — х - 2 = 0; в) Зх2- 12л: + 8 = 0.
210. Начертить на миллиметровой бумаге кривую /(х) = х3
и использовать ее для графического решения уравнений:
а) х3 + 2х -1 = 0; б) jc» —jc + 1=0;
в) 2х3 + Зл:-2 = 0; г) Зл:3 —л:+ 1 =0.
211. Начертить на миллиметровой бумаге кривую у —2х я
использовать ее для графического решения уравнений:
а) 2х — 2л: = 0; б) 2х • х + 1 =0; в) 2* —3* + 2 = 0*
212. Начертить на миллиметровой бумаге синусоиду у = sin x
и использовать ее для графического решения уравнений:
a) sin х + 2х — 1 = 0; б) 2 sin х — 3* + 4 = 0.
213. Показать графически, что уравнение 2* = 5яA — cos*)
имеет 7 корней.
Указание. При решении нижеследующих задач использовать то*
ждество
/ а \2 лас ич
(« Ф 0),
4а
из которого следует, что при а > 0 (а < 0) трехчлен / (#) = а*2 + Ьх + #
в точке л; = — -г— имеет наименьшее (наибольшее) значение.
214. Определить наименьшие значения функций:
а) у = х2 + 2х — 3; б) у = 2х2 — х — 2\
в) у = *2 + х + 5; г) у = 3-х + 2х2
и построить их графики.
215* Найти наибольшие значения функций:
а) у = - х2 + 2х - 1; б) у = — 2х2 + х + 3; в) у = 1 + Зх — у?
и построить их графики.
216. Представить число р в виде суммы двух слагаемых
так, чтобы произведение их было наибольшим.
217. Представить число р в виде разности двух чисел так,
чтобы произведение их было наименьшим.
13

218. Представить число р в виде суммы двух слагаемых так,
чтобы сумма квадратов их была наименьшей.
219. Из куска проволоки длиной / требуется изготовить
прямоугольник так, чтобы площадь последнего была наиболь-
наибольшей. Каковы размеры этого прямоугольника?
220. Имея в распоряжении 100 м проволочной сетки, тре-
требуется огородить ею прямоугольную площадку с трех сторон.
Какова наивыгоднейшая (в смысле площади) форма площадки?
221. Сумма двух сторон треугольника равна а, а угол, за-
заключенный между ними, равен 30°* Каковы должна быть длины
сторон, чтобы площадь треугольника была наибольшей?
222. Из всех прямоугольников, вписанных в данный равно-
равнобедренный треугольник так, что одна сторона его лежит на
основании треугольника, а две противоположные вершины — на
боковых сторонах треугольника, найти тот, который имеет наи-
наибольшую площадь.
223. Требуется вписать в данный конус цилиндр с наиболь-
наибольшей боковой поверхностью при условии, что центры их осно-
оснований совпадают. Каковы должны быть радиус основания и
высота цилиндра, если радиус основания и высота конуса равны
соответственно г и Л?
224. Из всех круговых секторов, имеющих данный периметр
2р, найти тот, который имеет наибольшую площадь.
225.. Требуется вписать в данный конус цилиндр с наиболь-
наибольшей лолной поверхностью при условии, что центры их осно-
оснований совпадают. Каковы должны быть радиус основания и
высота цилиндра, если радиус основания и высота конуса равны
соответственно г и Л, причем г<А?
226. Периметр осевого сечения тела, образованного цилинд-
цилиндром и поставленным на него конусом, равен р. Если угол
при вершине конуса равен а, то каков должен быть радиус
цилиндра, чтобы боковая поверхность тела была наибольшей?
227. Окно имеет форму прямоугольника, который сверху за-
заканчивается полукругом. Каково должно быть основание пря-
прямоугольника для того, чтобы при данном периметре р окно
имело наибольшую площадь?
228. Определить длины сторон прямоугольника* основание
которого в k {k^i) раз больше высоты, и квадрата, если из-
известно, что разность периметров прямоугольника и квадрата
равна р, а разность их площадей принимает наибольшее
значение.

ГЛАВА II
ПРЕДЕЛЫ
§ 7. Предел числовой последовательности
Последовательность действительных чисел uh иъ ...> ип ... имеет пре-
пределом число а, если, каково бы ни было число 8 > 0, можно найти такое
число п0 (е)>0, что для всех п > %(е) будем иметь: | ип — а \ < е.
Символическая запись: lim un = a.
П-> оо
Последовательность, имеющая предел» называется сходящейся, а не
имеющая предела — расходящейся.
Доказать равенства B29—232):
229. lim -т— = 0.
2л— 1 2
230. lim
tt->o©
Зп+J
3_
2 '
231. lim
П->00
_
3 '
Начиная с какого п величина
>П__3п— ( — у) не превосходит 0,0001?
232. lim ^Т1 =4-. Начиная с какого п величина
»^™ on -т- 1 5
не превосходит 0,0001?
3^—1 3
Ьп+\ 5
Какие из нижеследующих последовательностей имеют пре-
предел и какие его не имеют?
п
233. ип=-±г.
234. Ип = -
235. ип =
1 для четного /г,
— для нечетно- 236. ип =
237. ы„=-^-(
го /г.
пп
~2*
1 -\— для четного /г,
у — - для нечет-
НОГО П.
238. и„ = (— 1)Л - -1 •
239. и,—
240. «п =
241.
242. ы„ = п[1-(-1

Если последовательности {ип} и (vn) сходящиеся, то сходящимися будут
и последовательности {ип ± vn}t {un'Vn}, <— I (lim vn Ф 0), причем
I vn J /1-х»
( n Ф ), р имеют
/1-х»
lim (un + v^)= lim un + lim vn> lim (utfVn)= lim un* lim vn*
П->оо Л->-оо П->оо Л->оо Л->оо Л>оо
li
lim —- = —p ( lim vn Ф 0).
rt>oo vn "П1 Vn n->oo
место следующие равенства:
li
lim un
lim —- =
rt>oo vn
/г>
Если
lim un = Q и | ул| < N, n=* 1, 2, ..., то lim
rt->oo
Пользуясь указанными выше теоремами, доказать сходи-
сходимость последовательностей и найти их пределы:
244. «„«¦?. sin/А
246. «.-(sinn!)-
247. ы„ = 2п2 _ , • cos j—i — 1ТГ2й ' „2+1
252 и (п+1)(я + 2)(«-1) 1+2+---+»
1 J. J_l_ l Л. А.1
244 и - 2 4 2й о« „ 1+а+аг+...+а"
254. «„ — j j j-. 255. Un = j j г
256. ип=т-^к. 257. Un^Tj^R.
Указание. При решении нижеследующих задач следует пользо-
/ 1 \п
ваться одним из основных пределов: lim I1H ) =е (неперово число).
Найти:
( т)
260. lim V . п1 . 261. lim п[Щп+\) — \пп\.
П
Последовательность {и„} называется: а) ограниченной, если \ип\ < с,
п= 1, 2, 3, ...; б) монотонной, если ип+1^ип (или M«+1^Mrt)» n = 1,2, 3, ...
Справедлива теорема: всякая монотонная ограниченная последователь-
последовательность имеет предел.
10

263. Последовательность ип = j~j + ^qrf + ... + -
264. Последовательность ип = -j + -^ту + ... + -^р имеет
262. Последовательность ип = -^у + ^r+i + • • • + 2п+
имеет предел. Доказать.
263. Последовательн
имеет предел. Доказать.
264. Последов
предел. Доказать.
265. Последовательность ип = \ +т>? + -р + ... +-~г Име"
ет предел. Доказать.
Установить существование предела и найти его:
266. lim ^r-(c>0). 267. lim sin sin sin ... sinl.
rt>oo ™ n -> oo ¦ v ¦ *
п раз
268. lim -fi- (c> 0, k > 0).
Для достаточно большого п что больше: 100* или я!?
{сп 1
1— I будет моно-
монотонно убывающей?
269. lim ^тг(с> 1, k >0).
/1> оо С
Для достаточно большого п что больше: 2п или п1т}
-tj- > будет моно-
монотонно убывать?
270. lim -щ-2.
..^ ~ .. ,„, .„ ^2-> будет моно-
монотонно убывать?
271. lim Yo(c>0).
272. Если un<^qun-b где иЛ > 0, 0<?<1, то \\тип = 0.
Доказать.
273*. Доказать, что последовательность
/~ ^. . _} п корней
ип=У с + у с-\- ... +Yс, ... имеет своим пределом число
17

Рис. 2.
274. Доказать, что последовательность
длин периметров правильных вписанных
в окружность 2я-угольннков стремится
к пределу, называемому длиной окруж-
окружности.
275*. В равносторонний треугольник со
стороной а вписаны равные круги так,
как показано на рисунке 2. Пусть Sk •— пло-
площадь этих кругов (kn — число кругов), а
5 — площадь данного треугольника. Найти
оо.
предел отношения —-—- при /г
276*. В прямоугольник вписываются круги равного радиуса
двумя способами так, как показано на рисунках 3 и 4.
Рис. 3.
Рве. 4.
Пусть а и Ь ¦— стороны прямоугольника, -^ — радиус впи-
вписываемых кругов, Skn и S'k'n — площади всех этих кругов, впи-
вписанных соответственно первым и вторым способом (kn и k'n —
число кругов), a S — площадь данного прямоугольника. Найти
пределы отношений
Sk S'k'
—ф- и —^ при д->оо.
§ 8. Предел функции в точке
Всякий интервал (а — 6, а + 6), содержащий точку а, называется
Ь-окрестностью точки а.
Число Ь называется пределом функции у = f {х) в точке х = а< если,
каково бы ни было наперед заданное положительное число е, существует
такое число 6 (е) > 0, что для любого xt отличного от а, содержащегося
в 6-окрестности точки а, выполняется неравенство |/(лг) — Ь\.<.е, иначе
говоря, если выполнение неравенства 0 < | х — а\ <Ь влечет за собой вы-
выполнение неравенства [ / (х) — Ь \ < 6. Символическая запись:
lim / (х) = Ь.
277. f(x) = 2x— I. Доказать, что Ит/(дс) —3. Каково
должно быть б, чтобы для 0 < | х —• 2 |< 6 имело место

278. ф (х) = Зл: — 5. Доказать, что lim ф (л:) = 4. Каково долж-
х->3
но быть б > 0, чтобы для 0 < | х — 3 | < б имело место | ф (л;)-—4 К
< 0,001?
х2 —• 1 3
279. ф(л:) = 2 , 1 . Доказать, что lim ф(х) = -г-. Каково
должно быть б, чтобы для 0 <| х — 2 |<д имело место
< 0,001?
280. Найти предел функции
12х при — 2<х < 1,
1 при х==1,
2х при ККЗ
в точках *= 2"? Я3*» х==: 1,001.
281. Найти предел функции
х2 при х ф 0,
2 при х==0
в точках * = —1; л: = — 0,001; х = 0, л* = 0,01.
282. Существует ли предел функции
f Зх при — 1 < х< 1,
/w \ 2х при 1 <х<3
в точках л:=у; лс=1; я =1,1?
283. Существует ли предел функции:
13* при — 1 < х< 1,
2 при х=1,
Зл:2 при К л: < 2
в точках л: = 0; л:=1;
д:2 + 1 при — К х < 2,
в точках зс=1; х = 2\ л:==3?
МоЖно ли говорить о пределах следующих функций в ука-
указанных точках?
284. ф (л:) == л:! в точках а: ===== 2; х — 0; * = —3.
285. f{x) = yE(x) — х + х в точках х = 2; * = — 2; х==*0.
286. Существуют ли пределы функций:
sin —
а) /(*) = т'> б) ФМ ——Г? в) ^W==T7r в точке *я0?
19

287. Доказать, что
a) lim sinx=l; б) lim cos л; = 1;
в) lim sin x = sin a; r) lim cos x = cos a.
x->a x->a
Если функции f\ (x) и f2 (x) имеют предел в точке х = а, то в точке а
f (х)
имеют предел и функции /, (х) ± f2 (*), fx (х)«f2 (х), ^Ц-г (lim f2 (x) ф 0),
/2 Кх) х->а
причем имеют место формулы:
lim t/i (*) ± h (x)] = lim fx (x) ± lim f2 (x),
x± x*
Hm [/, (x) • /2 (jc)] = lim fx (x) • lim f2 (x),
x->a *
lim f-^f * *illflf /и » если
Если lim f i (*) == 0 и | /2 (x) \ < ^V в некоторой окрестности точки а, то
lim
Пользуясь вышеназванными теоремами, найти пределы сле-
следующих функций:
288. lim |2(х + 3) ^Ц-1. 289. lim (*5 - Ъх + 2 + —).
290. lim [2(sinх-cosх) -х2]. 291. lim c^sx + 4togf .
im. 11
v2 _ OP; v2
294. lim- in. 295. lim
* — 5
296. bm J 297^
л^_2 3*2 — * — 2
298- Л-1 *3+*2+*+i • 299-
300. lim-^ (m —натуральное число). 301. lim
i у — l jc>o
302. lim ^.!H-2 . 303. lim
/2 1
V x + 1 — l
Указание. При решении нижеследующих примеров можно пользо-
„ sin х ,
ваться одним из основных пределов: Hm = 1.
Найти пределы:
304. lim-Д-. 305. ii
sin*' ^o *
20

зов.
308. lim
sin tnx
310. lim-
312. lim-
314. lim
*->o
cos 3x —
316. lim 2nsin-7^-.
o<o ,. tgx — sin*
318. hm — 5
x
K2 cos x - I
320. lir
: r-s
g
307.
309. lim
sin2 x
313. lim
со» 8»-cos*
cosx-1
315. lim
317. lim A — #)tg —.
X . X
319. lim
§ 9. Односторонние пределы
Число b называется правым (левым) пределом функции f (x) в точке
х ass а, если для любого е > 0 существует такое 6 (е) > 0, что для всех х,
удовлетворяющих неравенству 0<# — а<6@<а — *<6), выполняется
неравенство | / (#) — b \ < е. Символическая запись:
lim f(x)
+
(lim
321. Доказать, что функция
x + 1 при 0 < х < 1,
3* + 2 при ККЗ
имеет в точке х = 1 правый предел, равный 5, и левый пре-
предел, равный 2.
322. Доказатъ, что функция
ч
х2 при — 1 < х<2,
2л; + 1 при 2<л:<3
имеет в точке л; = 2 правый предел, равный 5, и левый пре-
предел, равный 4.
323. Найти правый и левый пределы функции у = Е(х)
в точках х = — 2; •—1; 0; 1; 2.
324. Найти правый и левый пределы функции у = {х} в точ-
точках 0; +1; +2; +3.
21

325. Найти правый и левый пределы функции /(*;)== — и
Ф (х) = J-i-L в точке х = 0.
326. Найти правый и левый пределы функции f {х) = —^гу"
в точке х = 1.
327. Найти правый и левый пределы функции f (t) = -т====г
у I sin г (
в точке ^ = 0.
328. Найти прарчй и левый пределы функции
f(x) = \
1
— x__ . при # < О,
О при # = О,
х при 0 <х < 1,
2 при 1 < х < 2
в точках # = 0; *=1.
329. Найти левый предел функции
1
! х sin — при — оо < х < О,
sin— при 0< х < оо
в точке х = 0.
Существует ли правый предел этой функции в точке # = 0?
330. Доказать, что функция # = cos-~- не имеет в точке
jc = 0 как правого, так и левого предела.
Найти следующие пределы:
331. Iim -?(-). 332. Щп АдШ.
333. Iim -?(-). 334. Iim ~?(т)«
$ 10. Предел функции на бесконечности
Число Ь называется пределом функции / (#) при х->оо (^->+оо, jc->—оо),
если, каково бы ни было наперед заданное положительное число е, суще-
существует такое число N (г) > 0, что для | х | > N (х > N, х < — N) выпол-
выполняется неравенство | / (х) — Ь \ < е. Символическая запись:
Iim f(x) = b (Iim f(x)*=b, Iim f (x) = b).
4
Следующие примеры решить, руководствуясь одним опре-
определением предела функции на бесконечности.
х. — 1
335. /(*) = —r~jr. Доказать, что Iim f(jc)= 1. Каково должно
быть N > 0, чтобы для | * | > N имело место | / {х) — 1 |< 0,001?
22

у 9 I
836. <р(*)=-о—. Доказать, что lim ф(л:)=-о-. Каково должно
быть N > 0, чтобы для \ х\> N имело место ф(я) — -к
< 0,001?
337. \|) (х) = Ух2 + 1 — х. Доказать, что lim ф (л;)=0. Каково
должно быть#>0, чтобы для x>N имело место | ф(л:)—0 |<0,001?
338. ф(*) = "^Г"* Доказать, что lim ф(я)=0. Каково должно
быть N > 0, чтобы для | х \ > N имело место | ф (л:) — 0 [ < 0,0001?
339. Существует ли предел функции f (х) = х sinх при х-> оо;
340. Существует ли предел функций / (х) = cos х и ф (*)=sin лг
при л:—> оо; х—> — оо; х—> + °°?
Для пределов суммы, разности, произведения и частного двух функций
при х -> оо; х ~> + оо, * -> — оо имеют место теоремы, отмеченные в § 8.
Пользуясь этими теоремами, найти следующие пределы:
341. lim
— Цг=г). 342. lim /2 + ' -—)
345- J5L w& • 346-
349. lim ^JL. 350. lim
351. lim ^r (a>0, 6>01 352. lim 4
353. iim IU\T?" "ri . 354. lim 10*
355. lim "°*"ГИ|Л' J+ ••• +fl"
366. lim (/FTT- V^=M).
JC-»oo
357. lim {Vx2 + л: — 1 — Vx2 — x + 1).
Указание. При решении нижеследующих примеров следует исполь-
A \х
1 -| ] = е.
х /
358. lim(i±|f. 359. lim
360. lim(i+tg*)ct*\ 361. lim
o x->0
23

362. lim№Ч*~в. 363.
Указание. Опираясь на эти пределы:
t. In A + х) , .. ах — 1
x *
решить нижеследующие примеры:
364. lim-^-. 365. lim lnx~l
366. lim -^L, 367. Iimn21ncos-.
n coszx n-»oo rt
368. lim A + an)~ (a > 0). 369. lim x In 2a J * .
§ 11. Бесконечные пределы
Функция f (x) имеет в точке а бесконечный предел + оо (— оо), если
выполнение неравенств 0 < | х — а \ < б (М) влечет за собой выполнение не-
неравенства f (х) > М > 0 (f (jc) < — Af). Символическая запись: lim f (x) =
= + оо (lim f (x) = - оо).
370. Опираясь только на определение бесконечного предела,
доказать, что lim -—^— = —00. Каково должно быть 6>0,
чтобы для I я-— 1 | < б имело место неравенство ^ х < — 1000?
371. Опираясь только на определение бесконечного предела,
доказать, что lim ¦ \ _ . == + °°- Каково должно быть б > 0,
чтобы для | х—2 |<б имело место неравенство J — 4 ^ Ю000?
372. Существует ли конечный или бесконечный предел функции
0 при х= 1
в точках # = 0; л;=1?
Найти:
373. lim ^~. 374. lim
375. lim 5—7: • 376. lim
377. lim ^-i?. 378. lim (я5 — 3x4 + 6x — 1).
24

379. lim (aQx*
где а0, al9
ап
дей-
ствительные числа, а0 Ф 0, n •— натуральное число.
380. Существует ли бесконечный предел функций ф (x)=xdsinx
и -ф(л;) = хtgх при *->+°°; #->—со?
§ 12. Бесконечно малые функции
Функция y = f(x) называется бесконечно малой в окрестности точки
х = а, если ее предел в этой точке равен нулю.
Пусть а (х) ир (х) две бесконечно малые функции. Если lim о\ \ = ?,
то при с Ф 0 а (х) и Р (*) называются бесконечно малыми одного порядка,
причем, если с=1, а(лс) и р (х) называются эквивалентными бесконечно
малыми; если с = 0, а (я) называется бесконечно малой высшего порядка
по отношению к р (*), а р (дг) бесконечно малой низшего порядка по отно-
отношению к a (x).
381. Какие нижеследующие бесконечно малые функции
в окрестности точки х = 0 будут бесконечно малыми одного
порядка, высшего порядка, низшего порядка по отношению
к функции ($(*) = #?
б) <*(*)-*;
у I* ^Лу ЫИ Л9
а) а(х) = Ъх\
в) а (я) = 2 sin x\
д) aW = /tg;c; e) a(*) =
ж) а (х) = 1 — cos дс; з) а(х) = х + sin jc;
382. Возьмем три точки Л, J5 и С на окружности радиуса г
(рис. 5), причем ЛС = СВ, СО±Л?. Если величину угла АОС
обозначить через х, то длины дуги АВ, хорды АВ и отрезка CD
будут бесконечно малыми функциями в окрестности точки х = 0.
Показать, что длина хорды АВ одного порядка малости с дли-
длиной дуги АВ и низшего порядка по отношению к длине от-
отрезка CD.
383.Возьмем две точки М и N на окружности радиуса г
(рис. 6). Пусть МТ — касательная в точке М, ЛО —радиус,
С
Рис. 5.

MR\\AO, TNRLAO. Если длину
отрезка MR обозначить через х>
то длины отрезков RT, RN> NT
и дуги MN будут бесконечно
малыми в окрестности точки
х = 0. Сравнить их между собой
по порядку малости.
384* Пусть АС — дуга окруж-
окружности радиуса г (рис. 7), AB=BCt
ВО1АС, Л5,=ад B{OLAB.
Если угол АОВ обозначить че-
через ф, то длины стрел f = DB
и f{ = DXB{ будут бесконечно
малыми функциями в окрестно-
окрестности точки ф = 0. Показать, что
lim-? = 4.
<р->0 /I
385. Пусть АС — дуга окруж-
окружности радиуса г (рис. 8), AT и
ТС —- касательные в точках А
и С, ТО1АС, ^ — касательная
в середине дуги АС. Если угол,
образованный радиусами АО и
ОВ, обозначить, через ф, то пло-
площади треугольников АТС и ETF
будут бесконечно малыми функ-
функциями в окрестности точки ф = 0. Доказать, что Нт
шт. АЛГС
пл. &ETF
= 4.
Если а (х) и Рл (х) — бесконечно малые функции одного порядка, то а (х)
называется бесконечно малой функцией порядка п относительно р()
386. Определить порядок малости бесконечно малых функций
в окрестности точки х —0 по отношению к функции ^(х) = х:
а) а(х) = х5; б) a(jc) = 2 Vsin*;
в) a(*) = *2 + *4; г) a(*)=7=T;
д) a(x) = 1 — cosx; e) a(*) = tg.*; + *2;
ж) а(лг) = х tgх + sin *.
387. Определить порядок малости бесконечно малых функций
в окрестности точки х = 1 по отношению к функции р (л:) = л:—1:
а) а (х) = 4 (* - I); б) а(х) = (х - IJ;
в) а(х) = х3—1; г) о(х) = 1^х—1.
388. Найти порядок малости длины радиуса шара и его
объема относительно площади поверхности этого шара.

389. Показать, что в правой половине окрестности точки
х = 0 бесконечно малые функции Ух2+Ух3 и sin Vx Yx
эквивалентны.
390. Доказать эквивалентность бесконечно малых функций
а (х) = У1 + х — 1 и р (л:) = -г- х в окрестности точки х = 0.
Исходя из эквивалентности, вычислить приближенно: а) 1/106;
б) |ЛI2; в) У1672. Сравнить с табличными данными.
391. Доказать, что в окрестности точки #==0 бесконечно
малые функции а (х) — У1 + х — 1 и р (х) = ~ (л — натураль-
натуральное число) эквивалентны. Исходя из этого, вычислить прибли-
приблизь 4 г
женное значение корней: а) к 1042; б) У10124. Сравнить с таб-
табличными данными.
392. Доказать, что если а{х) и р(л:) —две бесконечно малые
функции, то при нахождении предела их отношения каждую
из них можно заменить эквивалентной бесконечно малой
функцией.
393. Зная, что |А+* — 1 й у* — Две эквивалентные бес-
бесконечно малые функции в окрестности точки jt=O, найти пределы:
a) Hm mx+?-i б) ljm VT+
X^Q sin 2x » J X^Q 1 —
cos*
394. Зная, что УI +jc — 1 и ~ —две эквивалентные беско-
бесконечно малые функции в окрестности точки х = 0, найти пределы!
Um
>0
§ 13. Непрерывные функции
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если
lim f(x) = f (а) (или lim [/ (а + Л) - f (а)] = 0).
х> hQ
Исходя из определения, доказать непрерывность функций
C95—399):
395. у = х2-]-х-- 2 для всех х е (— оо, + оа).
396. у = х3 — 2х-\-4 для всех л: е (— оо, + со),
397. j/== для всех jcg(-oo, + оо), кроме x = — L
398. ^ = sinCjc + 2) для всех лсе(—оо, + оо).
399. y = cos(ax + b) для всех #е(— оо, + оо)(

если
Функция y — f(x) называется непрерывной справа (слева) в точке х — (
Hm f(
)=/(а) (limj(x)=*f(a)).
В задачах 400—416 исследовать функции на непрерывность,
непрерывность справа и слева, установить род точек разрыва.
400. # = ?(*). 401. у = {х} = х — Е(х).
402. у = Е(х) + Е(— *). 403. у =¦
405. г/=-
407. ц = (
404. у = х + ±.
406. У = 1~т.
408. у =
409. у —
410. # =
411. « =
413.
414.
2 — JC
Я2 ПрИ — оо < X < 1,
2л: — 1 при 1^л:<оо.
cos y х при — оо<л;<1,
л:—1 при 1<А:<оо.
— при л: < 0,
# ПрИ 1 s^# <
3 при 2<
Г
1
412' ^ =
л; для рационального х,
0 для иррационального х.
lim (xn + 3) при 0<л:<1.
-г при л:<0,
1 при 0^х < 1,
х при 1 ^л:^2,
3 при 2<*<3.
415. у= lim
П->оо
при
416. Три прямоугольника, высоты которых соответственно
равны 3, 2 и 1 м> а основания одинаковы и равны 1 м> отстоят
друг от друга на расстоянии 1 м (см. рис. 9).
Предполагая непрерывное изменение х и связанное с ним
изменение заштрихованной площади, выразить эту заштрихо-
заштрихованную площадь как функцию расстоя-
расстояния х. Будет ли эта функция непрерыв-
непрерывной? Построить график этой функции.
417. На горизонтальной плоско-
плоскости Р стоят один на другом три ци-
цилиндра, радиусы основания и высоты
которых соответственно равны: нижне-
нижнего — 3 и 2 ж, среднего —- 2 и 3 м и верх-
Рис. 9. него — 1 и 1 м.
?

а) Выразить объем части тела, заключенного между пло-
плоскостью Р и плоскостью горизонтального сечения, как функцию
расстояния этого сечения от плоскости Р. Будет ли эта функ-
функция непрерывной? Построить график этой функции.
б) Выразить площадь горизонтального сечения тела, обра-
образованного этими цилиндрами, как функцию расстояния сечения
от плоскости Р. Будет ли эта функция непрерывной? Построить
график этой функции.
В задачах 418—421 требуется так определить функцию у(х)
в точке х — 0, чтобы она стала в этой точке непрерывной:
л 4 с\ Sin X л ¦* е\ ОХ "~~~ оХ
418. у = —7-. 419. у = —^—.
420. у= ' '-*-"-' . 421. у= ,sin* .
и X и 1 — COS X
422. Возможно ли доопределить функции:
а) ф (х) = Arsin -j; б) qp (х) — arc tg —; в) Я (л:) = tg -^—
в точке х = 0 так, чтобы они стали непрерывными в этой
точке?
423. Используя свойства непрерывных функций, доказать,
что уравнение jc5 — 3v—1=0 имеет по крайней мере один
действительный корень, заключенный между 1 и 2.
424. Доказать, что всякий многочлен нечетной степени имеет
по крайней мере один действительный корень.
425. Доказать, что уравнение x = qsinx -\- р, где0<^<1,
р > 0, имеет единственный (причем положительный) корень, не
превосходящий р + q.
426*. Пусть /(л:) — непрерывная периодическая функция,
отличная от постоянной. Доказать, что среди ее положитель-
положительных периодов найдется наименьший. Показать на примере
функции Дирихле, что у разрывных периодических функций
наименьшего периода может и не быть.

ГЛАВА III
ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 14. Понятие производной
Если у — f (х) — функция от я, то производная /' (х) этой функции при
данном значении х определяется равенством
д*-»о
Исходя из определения, найти производные от следующих
кций:
Исход
функций:
427. */=;*2 + 3
428. t/ = 2*3-
429. у = 1; у'(_1) = ?
430. ^/ = ^; у'@) = ? #
431. </==sinCjt+l).
432. у = cos (ах + Ь).
433. у = sin (ах2 + Ьх + с).
434. Дана функция
i— при хФО,
О при х = О.
Найти производную этой функции в точке дс==О.
435. Дана функция
*sin — при хфО$
О при х — 0.
Существует ли производная в точке # = 0? Будет ли эта функ-
функция в точке # = 0 непрерывной?
436. Даны функции: а) / (х) == | х | и б) ср (л:) = | л:31. Суще-
Существуют ли производные этих функций в точке #==0?
437. Дана последовательность квадратов со сторонами, соот-
соответственно равными 1, у» ~22*, .«•э-грг» ••• (см. рис. 10).
30

Рис. 10.
имеет производную, равную
Расстояние между п-м квад-
квадратом и п— 1-м равно -gj-.
Выразить заштрихованную
площадь как функцию расстоя-
расстояния х. Исследовать эту функ-
функцию на непрерывность. Ука-
Указать точки, в которых она не
имеет производной. Показать,
что эта функция в точке х —
нулю.
438. Доказать, что производная четной функции нечетна,
а нечетной — четна.
439. Доказать, что производная периодической функции
с периодом со есть периодическая функция с периодом аь
§ 15. Техника дифференцирования функций
Продифференцировать следующие функции:
440. у = 2х» + 3*- 5. Найти /@); #'(-1); у'B).
441. у = х4 — 3х2 — 2л;+1. Найти /@); у'(I).
442. # = /3-2*2 + 2. Найти у'(—\)\ у'{а).
443. z = 382 + 8 + 5. Найти z'"A); z'(a + b).
444. у =
445. y =
446. у =
447. }
(); ( + )
+ . Найти /(О); у'(с).
. Найти /A); у'B).
\ Найти */'(-!).
2 + *. Найти /'"(а).
+ Ь3
. }(х) = ах* + а2х2 + а*
448. ф (х) = ах5 + Ьх4 + а3 + Ь3.
449. / (/) = (а + Ь) /5 + (а + бK.
450. / (х) = хп + пх. 451.
== тхп + пхт.
ГП
ttl
454. у =
п
455. y =
456. у = х2{х2—\). 457. г = |
458. у = A - 4s2) Bs3 + 1). 459. у = {
460. у = (*2 +J) Cjc - 2) A - jc3).
461. s=|/rBF + fr =
462. 2 = (
464. У-
466. г/ =^тт
465. у = -
467. г/ =
463. у
2*э + jc6 + 1
3
а
ах2 + Ьх + с
31

468. y = ^
X —
470. y = —
2 +
472. у = 2 sin x + 3 cos x
474. у
476. у
478. у
480. y =
482. г/ =
484. у-
486. г/:
488. */ = (
490. # = ¦
492. г/ = (
COS ф + s'n ф
1 — COS ф '
2ex + In x.
ex(x2 + x-l).
ex (cos x + sin x).
2x-ex.
(l+3xf.
494.
-v,
Vx+l
469. y =
475. s =
477. у ¦¦
479. у
481. у:
483. г/ =
485. у =
487. *,=
489. у =
491. */ =
493. г/ =
1 + sin t '
xsmx
~~ l+tgx *
= 3ax — sin jc.
= ex sin л; — In x • tg jc.
¦ x2 + 2x.
ex + sin л:
xex
495. г/ =
F* + K7
У 1+sin 2л;-
1
I + cos 4x '
sin2 Bл;-1).
sin2 x:
cos л; '
1 + sin 2x
: 1 — sin 2x '
L _. .. I 2 • о ..
496. у
498. «/
500. г/
502. у = cos(Зд;2— l) + sin4.
503. у
504. у
506. г/
508. //
510. у
512. у
513. U
-V-
497. у =
499. # = 2cosC*— I)sin2jc.
501.
sin 2x.
505. у
507. 0
509. у
511. */ =
= snr
= COS2 #3.
1 + sin2 x
cos a;2
л:
sin x2 + cos a:2

514. у
516. у
518. у-
520. у-
522. у-
523. у-
524. t/:
526. у-
527. г/ =
= ctg2
= cos
= sin
1~/л
L. 515. у = л;2 sin (sin *).
517. и =
in (cos I).
hi).
519. у = sin * • cos (sin лс).
521. y = lnBx2 + 3x + 2).
dnU + yV + x2).
525. */ =
= In (sin x + ]/^ 1 + sin2 лт).
= ln—т==.
e2x-log2CA;2 + l). 529.
(дс — cos х) In (jc — cos x).
528, у
530. #
531. у
532. у = x (cos In л: + sin In x)
533. у
535. у
536. у
538. г/
540. у = е~*-2х.
542. # = sin x2ecos *.
sin Vic ¦ In—?=-.
= л: In2 x.
- х sin (л: • In л;).
1 \5
534. у = In2 A+ cos *).
— (l+lniJT
= arc sin -j.
= arc cos —.
= |arcctg|,
= arctg^±i
544. у
546. у
548. у
550. //
552. у
553. i/
554. г/
555. и = У4лГ-
537.
539.
541.
543.
545.
547.
549.
551.
е* + е-
ех — е~
^arcsin-) .
(агсс057Тт) '
arc sin Y\ — х2.
2х
1+JC2-
У
у = 1 arc cos
У
у = arc cos
= ех У I — е2х + arc sin e*.
= л: arc cos х— Yl — jc2.
^arctg^ + lnj/-^-
83

его ,. arc cos x «7 ,. — 1+xarctg*
556- У= ,n -' 557« У /Г+15 ' •
559. # = aarccte>^.
560. y = eiacsinx. 561. */=arc
562. y = xx\ 563. y = xx.
564. |/ = jc/j. 565. ^ = JCsin t*+».
566. y = {smx)x. 567. i/ = (cos *)sin *.
568. у = (In x)\ 569. i/ = (t^ty)* •
Если функция г/ от л; задана параметрически: л: == ф (/), у == t|) (f)f то
dt/ \J)' (/)
Найти производную от у по х для следующих функций,
заданных параметрически:
570. * = /2; у = 2/. 571. х = (
572. * = <
573. ^ =
574. х — a cos2 <p; у = 6 sin2 <p.
576. х = а(ф — sin9); у = аA—сО5ф).
577. л: = фA — sincp); г/==ф-С08ф.
578. x = ^sin/; r/ = e'cos/.
579. Найти производные от следующих функций, заданных
в неявном виде:
7) х + /^+У = «; 8) х2 ^
9) Vx + Vy = 4; /D) = ?; 10) V2x-fy=l; ^B) = ?;
11) а:2 + 3jct/+ / + 1=0; найти у' в точке B, —1);
12) еу + ху — е; найти у' в точке @; 1).
580. Из формулы sin 2x = 2 sin x cos x дифференцированием
вывести формулу cos 2х — cos2 х — sin2 x.
581. Из формулы cos (x + a) = cos jc • cos a — sin # • sin а диф-
дифференцированием вывести формулу
sin {x -f a) = sin * cos a + sin a cos x.
34

582. Из формулы cos Здс == cos3 x —- 3 cos x sin2 x дифференци-
дифференцированием вывести формулу sin Зле = 3 cos2* sin* — sin3*/
583. Из тождества
найти формулу для суммы 1+2х + Зх2+ ... -\-пхп~х.
584» Доказать тождество
~ + cosx
2sinT
и отсюда получить формулу для суммы
sin # + 2 sia 2х + ... +n$innx.
Указание. Для доказательства указанного тождества достаточно
к каждому слагаемому правой части очевидного равенства
применить известную формулу для разности синусов.
585. Доказать тождество
и отсюда получить формулу для суммы
sin л:+ 3 sin 3*4- ... +Bп— l)sinB^ — 1)х.
Указание. Для доказательства указанного тождества следует левую
часть его умножить на 2 sin x и применить к каждому слагаемому формулу
2 sin A sin В = cos (А — В) — cos (Л + В).
§ 16. Дифференциал и дифференцируемые
функции
Функция f (jc), для которой имеет место равенство
где lim a (х; Дат) «я 0, называется дифференцируемой в точке х.
Дх*0
При решении задач 586—593 следует опираться только на определение
дифференцируемости функции.
586. Доказать, что функции: а) / (х) = Зх2 — х -)- 2 и б) ф (х) =====
= х* + 2х —-1 дифференцируемы на всей действительной оси.
587. Доказать, что функция !(х) — УЪ(х— 1) не дифферен-
дифференцируема в точке #=1.
588. Доказать, что функция ф(лг) = !/(# — 2J + х не диффе-
дифференцируема в точке х = 2.
589. Доказать, что функция f(jt)=|cosxl не дифференци-
дифференцируема в точке # = т«
35

590. Взяв в качестве А (х) (см. определение дифференцируе-
дифференцируемой функции) производную /'(я), доказать, что функции:
a) f(x) = sinx; б) f(x) — ex дифференцируемы на всей действи-
действительной оси.
591. Взяв в качестве А(х) (см. определение дифференцируе-
дифференцируемой функции) производную /'(*)> доказать дифференцируемость
функций / (х) = Ух для всех х > 0 и ф (л:) = V (х — 2) + х для
всех х ф 2.
592. Исследовать дифференцируемость функции у = \хъ\.
593. Исследовать непрерывность и дифференцируемость
функции у = | sin л: |.
Выражение А (х) Д* (см. определение дифференцируемой функции) назы-
называется дифференциалом функции f (x) и обозначается df (x).
594. Найти приращение и дифференциал функции /(*) = ;
— х + 3 в точке #=1 при Дл: = 0,01. Указать величину при-
приращения и дифференциала функции на чертеже.
595. Найти приращение и дифференциал функции /(*)==
= a;3—• х в точке л: = 1 при Ах = 1; 0,1; 0,01. Найти абсолютную
ошибку | А/ (х) — df (x) |, которая получается при замене при-
приращения дифференциалом. Найти относительную ошибку
для лс=1 и Д#=1; 0,1; 0,01.
596. Показать, что А/(я) и d/(#) в тех точках, в которых
/'(#)=#= 0, есть эквивалентные бесконечно малые.
597. Площадь S круга радиуса г равна пг2. Найти прира-
приращение и дифференциал площади и дать им геометрическую
интерпретацию.
598. Объем V шара радиуса г равен -3-лг3. Найти прира-
приращение и дифференциал объема и дать им геометрическую ин-
интерпретацию.
599. Свободное падение материальной точки определяется
законом S = yg/2. Найти приращение и дифференциал пути
в момент времени t и выяснить их механический смысл.
Найти дифференциалы следующих функций F00—607):
600. у = —^=г. 601. y = sinx + f"x~.
2у х
602. y = (x2-x+l)tg2x. 603. ув=^±1.
604, у = In tg (у - -j-) • 605. у = /arc sin 2x + а~*.
sin л;
606. у = 3 1п * . 607. у =
608. В треугольнике ABC сторона а выражается через две
другие стороны 6, с и угол а между ними известной форму-
т

лой а = Yb2 + с2 — 2bc cos а. Показать, что da — ha da, где
ha — высота треугольника, соответствующая стороне а.
В задачах 609—612 за приближенное значение приращения функции при-
принимается дифференциал функции.
609. Найти приближенное значение функции
f (лг) = (jc — 3)й (др — 2K (jc — 4) при л: = 4,001.
610. Зная, что sin 60° =-^^ 0,8660, cos 60° = 0,5, найти
приближенно sin60°3', sin60°12'. Полученные приближенные
значения сравнить с табличными данными.
611. Найти приближенное значение tg45°4'.
5 Г 2 0 02
612. Найти приближенное значение у 2 + о'о2 *
613. Выяснить происхождение приближенных формул:
где \b\ — число малое сравнительно с а.
§ 17. Геометрическое значение производной
Тангенс угла наклона касательной к кривой # = /(*) в точке х равен
производной f (x) в этой точке.
614. Найти угол наклона касательной к параболе у==х2—2jc+5
в точках: л; = 0,5: х=1\ л; = 1,5.
615. Найти угол наклона касательной к кубической пара-
боле у = хг в точках #=^0; *= —•
616. В какой точке касательная к параболе ^ = — л:2 -+-2jc — 3
наклонена к оси #-ов под углом 0°? 45°?
617. В какой точке касательная к кривой у = 1пх парал-
параллельна прямой: а) у = х~М б) г/ = 2лг — 3?
618. Найти точки, в которых касательные к кривым f (#)==
=== л;3 — л: — 1 и ф (х) = Зх2 -— 4х + 1 параллельны.
619. Определить углы, под которыми синусоида и тангенсо-
тангенсоида пересекают ось х-ов.
620. Под каким углом кривая у = ех пересекает ось #-ов?
621. Под каким углом синусоида пересекает прямую у = у?
622. Показать, что касательная в любой точке кривой
y — 2xs-\- x3 + 2jt —3 наклонена к оси л>ов под острым углом.
623. Показать, что гиперболы ху = 8 и х2 — у2 =12 пересе-
пересекаются под прямым углом.
624. Определить углы, под которыми пересекаются кривые:
а) х2 + у2 = 8 и у2 = 2х\
б) y = sinx и у = cos х @<!*^jt).
37

625. В уравнении параболы у — х2 + Ьх + с числа Ь и с
определить так, чтобы она касалась прямой у = 2х — I в точке
#= 1.
626* В уравнении параболы у = ах2 + Ьх+с числа а, Ь, с
определить так, чтобы она касалась прямой j/ = xb точке х = 1
и проходила через точку (—1; 0).
Уравнения касательной и нормали к кривой y = f{x) в точке (х0; Уо)
имеют соответственный вид:
х); уу * *
627. Написать уравнение касательной к кривой у = х4 — 3,
проходящей через точку A; —2).
628. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
у = х'6 + 2х2— 1 в точке ее пересечения с параболой у = 2х2.
629. Написать уравнения касательных к кривой у = 2
1 I иЬ
в точках ее пересечения с гиперболой # = —:т-у.
630. Написать уравнение прямой, проходящей через точку
B; —1) и касающейся кривой j/ = x2 —4.
631. Написать уравнение нормали к параболе у = х2 + Ах + 1,
перпендикулярной к прямой, соединяющей начало координат
с вершиной параболы.
632. Доказать, что уравнение касательной к эллипсу
•^г + -§г = 1 в точке (xQ; yQ) имеет вид: ~r- + i|r=l.
х2 и1
633. Доказать, что нормаль к эллипсу —+ "fr==l делит
пополам угол между радиус-векторами. (Радиус-векторы есть
отрезки, соединяющие точку эллипса « его фокусами.) Вывести
отсюда способ построения касательной и нормали к эллипсу.
634. Показать, что подкасательная параболы у2 = 4рх де-
делится взршиной пополам и что поднормаль постоянна и рав-
равна 2р.
635. Доказать, что длина подкасательной к кривой у =
ахт(т>0) в точке (jco; yo) равна -—-. Вывести отсюда пра-
прат(т>0) в точке (jco; yo) равна -—
вило для построения касательной к этой кривой.
636- Показать, что подкасательная к кривой у—а* посто-
постоянна и павна -.—.
in а
637. Доказать, что касательная к гиперболе ху = а2 обра-
образует с осями координат треугольник постоянной площади.
638. Показать, что отрезок касательной к астроиде хъ +у3=
= а3, заключенный между осями координат, имеет достоян-
достоянную длину, равную а.
36

639, Показать, что отрезок касательной к трактрисе
от точки касания до точки пересечения с осью #-ов имеет по-
постоянную длину, равную а.
640. Кривая задана параметрически: #=/2 и y = 2t. Найти
угол наклона касательной к кривой при /=1.
64!. Кривая задана параметрически: jc = cos/, # =
Найти угол наклона касательной к кривой при t = ~; t = Y*
642. Написать уравнения касательной и нормали к циклоиде
x = a{i— sin0» F = #(l —cos*)
в точке, для которой ^==т*
643. Написать уравнение нормали к астроиде x — ace$*t>
#=asiaa* в точке» для которой 1 — ^-
644. Показать, что при любом положении производящего
круга касательная и нормаль в соответствующей точке цик-
циклоиды x=a(t~sint), y — a(t —cost) проходят через его вые*
тую (at; 2а) и низшую (at; 0) точки.
§ 18- Механическое значение производной
d&
Скорость 9 еегь дро»зводная ^ от aytH s ao временя L Ускорекнв а
dv
есть производдая -гг от скорости v по времени t.
В следующих задачах F45—664), если не оговорено специально, всюду
будем считать, что путь s выражен в метрах, время i — в секундах, скорость
м м
v — , а ускорение а — г- •
сек свкш
645. Тело даижетея прямолинейно по закону s = l +
Определить его скорость в момент времени *=2.
646. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется
формулой v — 3t-$-t2. Какое ускорение будет иметь тело через
4 сек после начала движения?
647. Расстояние s, пройденное телом в течение t сек после
отхода, определяется по формуле 65s = -тг *3 + З*2 + '• Найти
скорость и ускорение при t=W.
648. Вращающееся маховое колесо, задерживаемое тормозом»
за / сек поворачивается на угол ф = а + 6/ — ct2, где а» Ь> с —
положительные постоянные. Определить угловую скорость и
ускорение вращения. Когда колесо остановится?
т

649. Тело массой 100 кг движется прямолинейно по закону
5 = 2/2 + 3/+1. Определить кинетическую энергию (-^-) тела
через 5 сек после начала движения.
650. Показать, что если тело движется по закону 5=Я?'+*?"Л
то его ускорение равно пройденному пути.
651. Закон движения тела дан формулой s — a + bt + ct2.
Показать, что действующая сила постоянна.
652. Человек ростом 1,7 м удаляется от источника света,
находящегося на высоте hM(h > 1,7), со скоростью 5 — . Опре-
Определить скорость перемещения тени его головы.
653. Из пункта О по двум прямым, наклоненным под
углом 60° друг к другу, движутся два тела. Первое тело дви-
движется равномерно со скоростью 5 — . Закон движения второго
тела определяется формулой s2 = 2t2 + t, где $2 выражено в ки-
километрах, а / — в часах. Определить, с какой скоростью они
удаляются друг от друга в момент, когда первое тело находи-
находилось от пункта О на расстоянии 10 км.
654. Лестница длиной а, прислоненная к вертикальной стене,
дадает, скользя одним концом о стену, а другим о пол. С ка-
какой скоростью опускается верхний конец лестницы в момент,
когда нижний конец, отодвигающийся от стены с постоянной
скоростью v, отстоит от нее на расстоянии Ь?
655. Тяжелая балка длиной а м стоит вертикально около
стены так, что нижний ее конец прикреплен к небольшой ва-
вагонетке, а верхний удерживается канатом, намотанным на ворот.
Желая опустить балку на землю, канат сматывают со скоро-
скоростью v-~~* С каким ускорением откатывается вагонетка в мо-
момент, когда она удалится от стены на расстояние b м>
656. Тело брошено под углом а к горизонту с начальной
скоростью vQ. Зная, что а = 60° и уо = 5О, определить напра-
направление движения в моменты / = 2, / = 7. Определить момент,
когда тело движется горизонтально. (Сопротивление воздуха
не учитывается.)
Если абсцисса изменяется с течением времени / со скоростью -тт,
a y = f (jc), то скорость изменения ординаты у определяется по формуле
dt ~~ dx * dt *
657. Точка движется по прямой у = 2х + 3 так, что абсцисса
ее возрастает с постоянной скоростью v = 3. С какой скоростью
изменяется ордината?
658. Точка движется в первом квадранте по дуге окружности
#2 + #2=Ю0 так, что ордината возрастает с постоянной ско-
40

ростью v = 2» С какой скоростью изменяется
абсцисса? Определить скорость изменения
абсциссы в момент, когда ордината равна 6.
659. Точка движется в первом квад-
квадранте по кубической параболе 48у = х*,
отправляясь от точки х = 0. Какая из ко-
координат, х или у, при этом изменяется
быстрее?
660. При каком значении угла синус из-
изменяется вдвое медленнее аргумента?
661. С какой скоростью изменяются по-
поверхность и объем шара, если радиус его
изменяется со скоростью о?
662. Одна сторона прямоугольника увеличивается со скоро-
скоростью vx = 2, а другая — v2 = 3. С какой скоростью увеличи-
увеличивается площадь этого прямоугольника в момент, когда первая
сторона равна 20, а вторая 50?
663. Две стороны треугольника равномерно увеличиваются
см см
со скоростями 4 и 6 , а угол, заключенный между ними,
сек сек
Рис. 11.
уменьшается со скоростью -у^- сек. Определить скорость из-
изменения площади этого треугольника в момент, когда назван-
названные его элементы соответственно равны 20 см, 50 см и 30°.
664. В круге радиуса г (рис. 11) хорда MN из положения MqN0
перемещается параллельно самой себе с постоянной скоростью
а = 2. С какими скоростями изменяются площади $х и s2 двух
сегментов, на которые круг делится хордой в момент, когда
она пройдет путь, равный половине радиуса.
§ 19. Производные высших порядков
По определению #"(*) = (#'(*))' и вообще у^п) (х) = (у<п~1) (*))',
yW (х) называется производной п-го порядка.
Найти производные указанного порядка:
665. у = х* + 2х* — х2 + 4; */" = ?
~^
667. у о 1
668. у = 1^т; */" = ? 669.
670. y=-j\ #(Л) = ? 671.
672. y = eks + aosn-1+aisn-2+ ..
673. у = |.
666. у=~^-~^2-
41

674. а) у = sin x\ У> = ?; 6) y — cosx; #(п> =
675. y = sina6; у(Л> = ? 676. # = In simp;
677. у =- a*; ^/<"> -= ? 678. у = In x\ y<n>
679. y = xn-l\nx], у<п>-»?
680. tf = exsinx. Доказать, что
681. y
Доказать, что x* 1&* *^x 1$Г
«82. у «• V^^x — jc2. Доказать» что ^3 • ^ + 1 =0.
683. // == cos ex + sin вж. Доказать* что у* — #'
684. ^«=x2sin —• Найти у". Существует ди
685. */=|х3|. Найти |/г/. Существует ли у"@)?
Если функция у от х задана параметрически: * = ф @, у = 1^ @» то
^=-3^;
688. jc = acos^ tf= sinI;
689. x

ГЛАВА IV
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
§ 20. Теорема о среднем. Возрастание
и убывание функций
Если f (х) непрерывна на отрезке la, b] и дифференцируема в интервале
(а; Ь), то существует точка с е (а, Ь), для которой f(b)—J (а) = (Ь — a) f (c)l
в частности, если f (b) = f (а), то f (с) = 0.
690. Определить значение с из теоремы о среднем для функ-
функции f{x) — x2 на отрезке [а; Ь].
691. Определить значение с из теоремы о среднем для функций:
a) f (#) = arctg.x: на отрезке 10; 1] и б) tp(x)=ln;t на от-
отрезке [1; а], а > 1.
692.. Определить значение с из теоремы о среднем для функ-
функции f (х) = 4х3 — 5л:2 + х — 2 на отрезке [0; 1 ].
693. Показать, что теорема о среднем неприменима к функ-
циям f(x) = V х2 и (p(x) = isinx | + х на отрезке [—I; 1].
694. Доказать, что если f'{x) == 0 в интервале (а; Ь)г то f (x) =
= const для л: е (а, 6).
Доказать тождества F95—697).
Указание. Для доказательства использовать теорему из примера 694.
695. arc sin x + arc cos х = -|- для х ^[0; 1].
i при * > 0,
-f при *<0.
I-j ДЛЯ *€={— 1, +oo),
— -^- для д;е(—oo, ^-1).
С помощью теоремы из примера 694 доказать тождества
F98—700) и установить, в каких областях они справедливы:
696. arc tg л: + arc tg — =
I. arctg* +arc tg 1 =
43

701. Показать, что /l +х — У~х =—-=, где 0<8<1.
Пользуясь этим, убедиться в том, что корни квадратные из
двух последовательных натуральных чисел, превышающих 25,
отличаются между собой менее чем на -rg- (проверить по таб-
таблицам).
702. Показать, что разность между синусами двух углов не
превышает по абсолютной величине разности между этими
углами, взятыми в радианной мере.
703. Функция ех обладает тем свойством, что она всюду
равна своей производной. Существуют ли еще какие-нибудь
функции, обладающие этим свойством?
Корень Xi многочлена / (х) =ао*л + aixn"x + ... +art называется k-
кратным, если / (я) =» (х — хх)к ф (х), где <р (*i) Ф 0.
704. Доказать, что если х{ является 6-кратным корнем мно-
многочлена f(x)t то для производной f'(x) он будет корнем крат-
кратности k — 1.
705. Доказать, что многочлен /(л;)==1-}-у+^-+ ...+—-
не имеет кратных корней.
706. Доказать, что уравнение xz — Зх2 -}- 6х + 1 = 0 имеет
единственный, причем простой, действительный корень. Методом
проб установить интервал, в котором содержится этот корень.
707. Доказать, что если а2 — ЪЬ < 0, то уравнение
имеет один и только один, причем простой, действительный корень.
708. Доказать, что уравнение
имеет единственный, причем простой, действительный корень. Ме-
Методом проб установить интервал, в котором содержится этот
корень.
709. Доказать, что уравнение
где at > 0, / = 1; 2; ...; k — 1, ak > 0,
имеет единственный, причем простой, действительный корень.
710. Доказать, что все корни производной от многочлена
/(*) = (*+1)(*-1)(*-2)(*-3)
действительные, и указать границы, между которыми они за-
заключены.
711. Доказать, что производная от многочлена, все корни
которого действительны, не имеет мнимых корней.
44

712. Доказать, что если все корни многочлена
/ (х) = хп + а2хп-2 + а3хп-з +...+ а^х + ап
действительны, то коэффициент а2 ^ 0.
713. Пусть функция f(x) непрерывна в полуотрезке [a; -f oo)
и дифференцируема в интервале (а; + оо), причем /(а)й=Л<0,
/'(*)^р>0 для х е (а; + °°). Доказать, что f(x) имеет один
и только один действительный корень в интервале (а; + оо).
714. Доказать, что если f(x) удовлетворяет условиям пре-
предыдущей задачи, то корень функции f(x) содержится в полу-
полуинтервале (а; а — 1Ю-\.
715. Условие f'(x)^p>0 в задаче 713 нельзя заменить
условием //(jc)>0, чтобы при этом осталось справедливым ее
утверждение. Убедиться в этом на примере функции у = ,
рассмотрев ее на полуотрезке [1; + оо).
716. Доказать, что уравнение
имеет только один положительный корень, и показать, что он
содержится в интервале (О; у).
717. Доказать, что единственный положительный корень
уравнения я3 + рх — q = 0, где р > 0 и q > 0, содержится
в интервале (О; —J.
718. Доказать, что уравнение
х* + a{xn~i + а2хп~2 + ... +ад_1*-ая = 0,
где аг ^ 0; i = 1; 2, ..., п — 1, ап > 0, имеет только один по-
положительный корень.
719. Доказать, что уравнение
имеет единственный положительный корень, который содер-
содержится в интервале @; 0,2).
720. Пусть функции f(x) и ср(л;) непрерывны на полуотрезке
[а; + оо) и дифференцируемы в интервале (а; + оо), причем
f(a) — ф(а) = Л<0 и //(д;)-ф/(л:)>р>0 для *е=(а; + оо).
Доказать, что / (#) > <р (я), если х > а ——.
721. Доказать, что если / (я) == (л: — ах) (х — а2)... (х — ал), то
722. Доказать, что если корни многочлена f(x) все дей-
действительные и различные, то многочлен [f'(x)]2—*f(x)f"(x) не
имеет действительных корней.
45

723. Доказать, что если —^ + -J- +
где а0, alt ..., а„ — действительные числа, то уравнение а^кп -j-
4-в1^Л"!+ ••• +art==::0 имеет по крайней мере один корень
между 0 и 1.
Указание. Рассмотреть многочлен
^ —+ +eA:
724. Доказать, что если многочлен f(х) = а^п + ахх-f- ...
#.. + а„ не имеет действительного корня между нулем и еди-
единицей, то функция ф(а) = п + ааа+1 +7ТГ+ "' +ТТТ
в интервале (—1; -f* °°) не обращается в нуль.
725. Доказать, что уравнение
г—1
не имеет положительных корней при любом натуральном п
и действительном k, \k\^l (C^ —число сочетаний из п по k).
726. Доказать, что если коэффициенты многочлена имеют
одну перемену знака, то многочлен не может иметь более
одного положительного корня.
Указание. Если f(х) = а0 + а{к + ... + akxk — (я*+1*й+| + ...
... +апхп\ где а,->0, * = 1, 2, ..., /г, то рассмотреть функцию - и,
ведя доказательство методом от противного, с помощью теоремы Ролля
получить противоречие.
727*. Доказать, что число положительных корней много-
многочлена не больше числа перемен знаков в системе коэффициен-
коэффициентов этого многочлена (причем равные нулю коэффициенты не
учитываются).
Указание. См. указание к задаче 726.
728. Показать, что уравнение
дя — г*4--*2 — 5 = 0
имеет один и только один действительный корень. Указать
интервал, в котором содержится этот корень.
Указание. Воспользоваться теоремами из примеров 714 и 726.
729. Доказать, что уравнение
имеет только два действительных корня.
730. Доказать, что функция у = х5 + 2х3 + х везде возра-
возрастает, а функция у = 1 — х3 везде убывает.

731. Определить интервалы монотояаости функций:
а) и = -—; б) у = (х — \)й \1х + 6г\ в) у = -тгг- х1 — In a
732. Доказать, что при 0 < х < ~- функция # = ^Н.
вающая; отсюда получить неравенство — < sin х < х при
и<*< 2 *
733. Доказать, что при увеличении числа сторон периметр
правильного вписанного многоугольника возрастает, а описан-
описанного убывает.
734. Пользуясь теоремой о среднем, доказать неравенство
T?—<ln(l+x)<x.
735. С помощью неравенства задачи 734 доказать, что
/ 1 1
736. Доказать, что если функции /(^) и g(x) непрерывны
на отрезке [а; Ь] и имеют производные в интервале (а; Ь), при-
причем f(a) = g(a), f'(x)>g'(x) Для *€=(a;ft), то и/(х)>^(д:)
х ^ (а; Ь).
737. Используя задачу 736, доказать неравенства:
в) sin л: > х — -g-*a(* > 0); г) жа — ал: < 1 — а,
где 0<а< 1, jc>0.
738. Доказать, что если f'(c) > 0, причем f'(x) непрерывна
в точке х = с, то функция f(x) в достаточно малой окрестно-
окрестности этой точки монотонно возрастает. Если /' (с) > 0 и /7 (jc)
разрывна в точке х = с, то может и не существовать окрест-
окрестности точки х = с> в которой функция монотонно возрастала
бы. В последнем убедиться на примере функции f(x)=-^-x +
+ jc2sin —, рассмотрев ее в окрестности точки х — 0.
739. Пусть / (х) = х2 sin у при х Ф 0 и /@) = 0. По теореме
о среднем
2.1 /о . 1 1 \
х2 sin — = х 12с sin cos — ,
X \ С С /
откуда cos — = 2с sin -7— * sin — , где 0<с<х. Если ж->0,
С С X
то и с->0. Из последнего равенства имеем: limcos—=0. Но
о с
известно, что limcos— не существует. Объяснить парадокс.
**о х
47

740. Пусть f'(x) существует в окрестности точки нуль, при-
причем lim f (x) = a, lim f (x) = 6, f @) = с. Доказать, что а =
0+ 0
t=b = c и, следовательно, f'(x) непрерывна в точке jt = O.
§ 21. Максимум и минимум функции в точке и на отрезке
Функция f (х), определенная в промежутке < a, b >, в точке *0 s
е <а, Ь > принимает наибольшее {наименьшее) значение, если / (х0) ^
> / (*) (f (*о) < f М) для всех х е= < а, 6 >.
Найти наибольшие и наименьшие значения функций на
указанных промежутках:
741. j/=l-/^(-KKl).
742. у = \х\ (-1<jc<1).
743. у = Е{х) (—2<*<1).
744. ^^
Выяснить, существуют ли наибольшие и наименьшие зна-
значения функций G45—747):
745. у = {х) @<х<1). 746. у = х2 @ < х < 1).
747. # = cos * ( — ? < * < я
Функция f (х)у определенная в промежутке <а, Ь>, имеет в точке
х0 е (а, 6) максимум (минимум), если существует такая окрестность этой
точки (х0 — 6; лг0 + 6), что / (дг0) > f (х) (f (х0) < f (х)) для всех х е (jc0 — 6;
лго + 6), л:^=а;о. Если /'(^оI31111^, причем: 1) У (х) меняет знак с плюса на
минус (с минуса на плюс) при прохождении точки х через точку х0 или
2) Г'(*о)<О (/" (*о) > 0), то функция f (х) в точке х0 имеет максимум (ми-
(минимум).
Найти максимумы
ций):
748. у = 4х-х2.
750. y = jx* — 2x2
f Эб< Г/ Г л ~~ Л •
^ I -J- л:2 *
756. у = х + ]г.
X
fl (JO. ?/ Л С? •
760. г/ == дс In л:.
762. # = sin* + cos
764. у = |дс|.
766. Показать, что
и минимумы функций (экстремумы функ-
+ 3.
X.
функция
749.
751.
753.
755.
757.
759.
761.
763.
765.
y=i
у = х2- 6х.
у = ах2 + bx -f- f.
y==(x_aL + 6jc + d.
a
^ л: #
1 . 1
X 1 *~~ J^
y = ex + e~x.
у = cos 2x — 2 sin x.
y=-t72.
n x 4- b
j_ d не имеет ни макси-
мумов, ни минимумов, каковы бы ни были значения а, 6, с, d.
48

767. Показать, что функция f(л:) = (л: + 5J(jc3 — Ю) имеет
минимум при х—\) исследовать другие экстремальные зна-
значения.
-Ло , ах + Ь
768. Функция y~-rz—tttz—тг имеет экстремальное значе-
чение, равное — 1 при х = 2. Найти а и Ъ и показать, что это
экстремальное значение является максимумом.
Найти наибольшие и наименьшие значения функций на
указанных множествах:
769. у = хА — 8л:2+ 3 на отрезке [—2; 2].
770. y=jX3-2x2 + 2 на отрезке [-1; 2].
771. у = х + Ух на отрезке [0; 4].
772. у = ]/Ч — х2 на отрезке [—2; 2].
773. «/=-^FZT на 0ТРезке [ —у; 4"]'
774. # = 1пл: на полуинтервале @; 1].
775. у = cos2л: + 2л: на отрезке [ — -|-; у].
776. у = sin л: sin 2л; в интервале (— оо; + оо).
777. у = cos хcos2л: в интервале (— оо; + оо).
778. у = tg х — л: на отрезке [ — -j; --].
779. ^ = arc sin х в интервале (—1; 1).
780. ?/=arcsu^ на отрезке [—1; 1].
781. у = arc cos х2 на отрезке I ^—; ~у- •
782. у = е2х — е~2х на отрезке [— 2; 1].
783. */= л:3 — 18л:2 + 96* на отрезке [—0; 9].
784. Найти число, которое, будучи сложено со своим квад-
квадратом, дает наименьшую сумму.
785. Найти положительное число, которое, будучи сложена
с обратным ему числом, дает наименьшую сумму.
786. Найти такое положительное число, чтобы разность
между ним и его кубом была наибольшей.
787. Определить наибольшую площадь прямоугольника,
вписанного в круг радиуса а.
788. Определить наибольшую площадь прямоугольника,
вписанного в полукруг радиуса а.
789. В данный шар вписать цилиндр, имеющий наибольшую
боковую поверхность.
790. В данный шар вписать конус наибольшего объема.
791. В данный шар вписать конус с наибольшей боковой
поверхностью.
792. В данный конус вписать цилиндр наибольшего объема.
49

793. Через данную точку Р{а\Ъ) (а > 0; Ь > 0) проведена
прямая линия, пересекающая оси Ох и Оу соответственно
в точках х > 0 и у > 0. Найти положение прямой, если:
а) х + у принимает наименьшее значение;
б) площадь Л хОу принимает наименьшее значение;
в) хп + уп принимает наименьшее значение.
794. Определить отношение высоты конического шатра к ра-
радиусу основания при условии, что его боковая поверхность
наименьшая при заданной вместимости.
795. Требуется изготовить ящик (без крышки) с прямо-
прямоугольным основанием и заданным объемом F, отношение сторон
основания которого равнялось бы числу к. Каковы должны
быть размеры ящика, чтобы его поверхность была наименьшей?
Вычислить размеры ящика в случаях:
a)ft = l; У = 32; б) ? = 2; 7 = 36.
796. Бак цилиндрической формы должен вмещать V л воды.
Каковы должны быть ei;o размеры, чтобы поверхность (без
крышки) была наименьшей?
797. Каковы должны быть размеры консервной банки, имею-
имеющей наибольший объем при заданной площади поверхности?
798. Дан квадратный лист картона. Какой величины дол-
должны быть вырезаны квадраты в каждом из четырех углов
этого листа, чтобы из оставшейся крестообразной фигуры можно
было сделать коробку наибольшей вместимости?
799. Из круглого бревна диаметра d требуется вырезать
балку прямоугольного сечения так, чтобы она, находясь в го-
горизонтальном положении, оказала наибольшее сопротивление
на изгиб. (Сопротивление прямо пропорционально произведе-
произведению ширины сечения на квадрат высоты сечения.)
800. На какой высоте следует повесить электрическую лампу
в классе, чтобы в точке М пола, отстоящей на расстоянии /
от вертикальной проекции этой лампы на пол, была наиболь-
наибольшая освещенность?
Указание. Освещенность / определяется по формуле / = с —~- ,
где г — расстояние от источника света, <р — угол падения луча, с — постоян-
постоянное число для данной лампы.
801. Показать, что если сумма длин гипотенузы и одного
из катеров прямоугольного треугольника задана, то площадь
треугольника будет наибольшей, когда угол между ними ра-
равен 60°.
802. Периметр равнобедренного треугольника равен 2р. Ка-
Какой длины должны быть его стороны, чтобы объем тела, обра-
образованного вращением этого треугольника вокруг его основания,
был наибольшим?
803. Через пункт О из пунктов А и Б, находящихся от О
на расстоянии 1Х и /2, плывут два корабля с постоянными
50

скоростями v{ и v2 по прямым линиям, взаимно наклоненным
под углом 60°. Определить момент времени, при котором рас-
расстояние между кораблями было наименьшим.
804. В окружность радиуса г вписать равнобедренный тре-
треугольник наибольшей площади.
х2 и2
805. В эллипс -jjj- + -р- = 1 вписать прямоугольник наиболь-
наибольшей площади.
х2 и2
806. Через какую точку эллипса -^г + -тг = 1 следует про-
провести касательную, чтобы площадь треугольника, составлен-
составленного этой касательной и осями координат, была наименьшей?
807. Через точку внутри угла провести прямую, отсекаю-
отсекающую от угла треугольник наименьшей площади.
808. Какой сектор должны отнять от данного круга, чтобы
из остатка можно было изготовить круглый конус наиболь-
наибольшего объема?
809. Полоса жести шириной а, имеющая прямоугольную
форму, должна быть согнута в виде открытого цилиндриче-
цилиндрического желоба (так, что сечение желоба имеет форму кругового
сегмента). Каким должен быть центральный угол <р, опираю-
опирающийся на дугу этого сегмента, чтобы вместимость желоба была
наибольшей?
810. Имеются три доски шириной а, а и 2а, из которых
требуется сделать желоб наибольшего объема. Определить
форму поперечного сечения этого желоба.
811. Из пункта Л, находящегося на линии железной до-
дороги, в пункт С, отстоящий на расстоянии / от линии желез-
железной дороги, должны переправляться грузы в течение длитель-
длительного времени и в большом количестве. Стоимость провоза
весовой единицы на единицу расстояния равна а по железной
дороге и р (Р > а) по шоссейной дороге. К какой точке М
линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы провоз
груза из Л в С был возможно дешевым?
§ 22. Раскрытие неопределенностей. Асимптоты
Если при ху стремящемся к конечному или бесконечному пределу а,
функции f (x) и ф (х) одновременно стремятся к нулю или к бесконечно-
бесконечности, то
l = IiraJ^
ф (х) х-*а Ф (
при условии, что предел справа существует.
Найти пределы функций (812—829):
812. lim-^Ц-. 813. li
x l
814. lim *~" . 815. lim *~f*.
51

816. lim «—?** . 817. ,,
1 — 4sin2~ju:
818- lim"r^T- 819- li
820. lim A-х) tg-^-. 821. lim (я — 2arctgx)lnx.
822. lim xne~*. 823. lim \a~* — l) • x, (a > 0).
824. lim (cos mx)"*\ 825. lim (sin#)tg*.
826. lim (-rj-- - -jj^—). 827. lim (tg x - sec x).
828. lim (-1- - ctg2 jc) . 829. lim fx - x2ln (l +1I.
830. Убедиться, что lim *T*1"* существует, но не может
jC-»oo * Т" COS Jf
быть вычислен по указанной выше формуле.
831. Доказать, что если существует //(а), то
-na-h)==ff
Показать на примере функции
\(х) = х%т\ (хФО) и f@) = 0,
что обратное утверждение не всегда справедливо.
832. Доказать, что если существует f"(a), то
Ит
sin
Показать на примере функции /(jc) = x2sin— (х Ф 0), / @) === 0,
что обратное утверждение не всегда справедливо.
Прямая у = ах + Ь является асимптотой кривой y = f(x) тогда и только
f(x)
тогда, когда а = lim li-1 b = lim (f (я) — ал:)«
*>±oo ^ JC>±oo
Найти асимптоты (833—841):
833. r/ = 7^r. 834.0 = 5^ + *. 885.-5—^ = 1.
836. y= 2x* + x-\ ' 837. у = д:1п(в + ~). 838. y = xeJ
839. 2y (jc + IJ = *3. 840. у = bx + arc tg \.
841. t/ = 2x--arccos
52

§ 23. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
Если Г (с) < О, то / (х) выпукла вверх в точке (с, f (с)); если f" (с) > О,
то /(*) вогнута вверх в точке (с, f (с)); если f"(c)=Q, причем f (с + h) и
f" (с — h) противоположных знаков для малых Л>0, то (ct f (с)) — точка
перегиба кривой f (я).
Найти точки перегиба и интервалы вогнутости (выпуклости)
функций:
842. у = хК 843. у = х4 — 6х2 + 5.
844. у = 2х* - Зх2 + 2х + 2. 845. у = х5 - Юх2 + х + 3.
846. f/ = -^T. 847. , = ^W'
848. у ±= jc4 + л:2 + ^х. 849. у = 2*2 + In jc.
850. In у = 1?Т. 851. у = In A + а;3).
852. г/ = х arc tg л;. 853. y = earciz*.
854. y = ecos*.
855. Показать, что кривая # (л;2 + а2) = а2{а — х) имеет три
точки перегиба, лежащие на одной прямой.
856. Выбрать а так, чтобы кривая # = л;3 + ал;2+ 1 имела
точку перегиба при х=1.
857. Какие условия нужно наложить на коэффициенты а, Ь,
ct d, е> чтобы кривая у = ах4 + Ьх3 -{- сх2 + dx -{- е имела точки
перегиба?
858. Тот же вопрос по отношению к кривой у=ех+ах2+Ьх-\-с.
о
859. При каком значении а кривая у = х* + а*3 + у *2 + 1
будет вогнута на всей действительной оси?
860. Доказать, что всякий четный многочлен с положитель-
положительными коэффициентами всюду вогнут и имеет только одну точку
минимума.
861. Доказать, что всякий многочлен нечетной степени, от-
отличный от линейного, имеет по крайней мере одну точку перегиба.
862. Показать, исходя из геометрических соображений, что
если кривая у — у(х) выпукла на отрезке [а; 6], то имеет место
неравенство Ф( *' + х2 )< ф(*!) + ф (*г) для любых хи х2(х{фх2),
взятых на этом отрезке. Для вогнутой кривой знак неравен-
неравенства обратный.
863. Показать, что у геометрической прогрессии с положи-
положительными членами сумма членов, равноудаленных от концов
прогрессии, меньше суммы крайних членов.
864. Показать, что если у арифметической и геометрической
прогрессий число членов и крайние члены соответственно оди-
одинаковы, причем члены прогрессий положительны, то сумма
членов арифметической прогрессии больше суммы членов гео-
геометрической прогрессии.
5а

§ 24. Исследование функций
Исследование рекомендуется проводить по следующий схеме:
1. Определить область существования функции. Установить точки раз-
разрыва и интервалы непрерывности функции. Исследовать функцию на чет-
четность, нечетность, периодичность.
2. Найти точки максимума и минимума функции, вычислить значение
функции в этих точках. Установить интервалы монотонности функции.
3. Найти точки перегиба графика функции, вычислить значения функции
в этих точках. Установить интервалы вогнутости и выпуклости функции,
4. Найти асимптоты графика функции. Вычислить предельные значения
функции в точках, граничных для ее области существования.
5. Построить график функции.
Провести полное исследование функций (865—888) и начер-
начертить их графики:
865. a) # = 2x4 — х2+\\ б) у = х5 — х3 — 2х;
в) */ = 36*(х-1K; г) у = {х2-~\)\
\
866. а) у = _1—; б) У^^х_
_1—;
в) */ =
867. у2 = х3 + 1. 868. у2 = х (х — IJ.
869. у* = х2-х\ 870. г/2 = 1*2--^..
871. у^хЫх. 872. */=1п[±|. 873. у =
1 2
~4 Х
1 2 ±
874, у = хе~4 Х. 875. у = х2е*. 876. у = хЧ~**.
877. y — $\nx-\-o,osx. 878. у = sinx + у sin 2*.
879. у = sin * sin 2x. 880. # = cos x cos 2a:. 881. у = х-\-$тх.
882. # = -^~-. 883. у = х~-2arctg*. 884. y = sm^.
885. y==2U|-x2. 886. y^f'x?— x.
887. ^ = lnsinjc. 888. у = cos x — In cos x.
§ 25. Общая теорема ч> среднем значении
Если f{n) (x) непрерывна для а<дс<6 и f{n+l) (х) существует для
a<x<bt то справедлива формула Тейлора:
х(х Д)
^ (п + 1)!К } %
889. Разложить многочлен / (х) = х* + 2х3 — Зх2 —- 4л: + 1 по
степеням (л: + 1).
890. Разложить многочлен /(*) = л;6 по степеням (х — 1).
891. Показать, что многочлен f(x) = x5—2xA+xz—x2+2x— 1
имеет л: ===== 1 корнем третьей кратности.
892. Написать общую теорему о среднем при а = 0 для
функции ех и с помощью ее вычислить приближенное значение
числа е с точностью до 0,0001.
54

893. Показать, что при вычислении значений функции е*
для 0<х^~? по формуле ех &* I -\-x-\-уДс2 + -^-л;3 погреш-
погрешность меньше 0,01. Найти Ye с тремя верными цифрами.
894. Показать, что sin (a + h) отличается от sin a + h cos a
не более чем на -у Л2-
895. Написать общую теорему о среднем для функции sin л:
при а = 0 и определить значения х, для которых имеет место
приближенная формула sin*»** с точностью до 0,001.
896. Определить значения х, при которых имеет место при-
приближенная формула sin х& х — ~г с точностью до 0,001; 0,0001.
Вычислить с точностью до 0,0001 значения sin 0,1» sin Г,
sin 10°, sin 20° и сравнить с табличными данными.
897. Написать теорему о среднем при a=*0 для функции
cosx и определить значения х, для которых имеет место при-
приближенная формула cos*** 1 —-у", с точностью до 0,0001.
Вычислить с точностью до 0,0001 cos 0,1, cos 1°, cos5°, cos 10°
и сравнить с табличными данными.
898. Показать, что
16A
где 0 < б < 1, и оценить погрешность приближенного равенства
УТ+1& i+Lx-~x? для 0<*<у.
899. Выяснить происхождение приближенного равенства
JC3 1
arc sin х «* х + -g- и оценить его погрешность для О^л:^-^-
900. Выяснить происхождение приближенного равенства
X* 1
tgx«x + -y и оценить его погрешность для О^я^-j.
Написать общую теорему о среднем (при а = 0) с тремя
членами для следующих функций:
901. У=*-Г$Г7' 902> У== 2 '
903. у = esiax. 904. у = In A + sin лг).
Доказать неравенства (905—908):
905. tgJOAT-b^- при 0<л:<у.
906. arc sin л: > х + -^~ при 0< х< 1.
907. х — —- < In A + *)< х при х > 0.
908. 1+4*л:--^</П:^< 1+yJC при

ГЛАВА V
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 26. Основные методы интегрирования
а) Интегрирование методом разложения.
Пользуясь формулой
J (af (х) + bq> (x))dx = а J f(x)dx + b J <p (*)dx,
вычислить следующие (900—949) интегралы:
909. | Bх + 1) dx. 910. J (З*2 + 2х — 1) d*.
911. J(*4-3*2 + *-5)d;t. 912. J(l/F + ^)d*.
913- J Ь?т2 ±)dx- ш-! Ут+х v*+2)dx-
915. J IVх VJ - у=- + -У dx. 916. J *2 (jc2 + 1) dx.
917. J (x3 + If dx. 918. J *3 + 3*-l djg>
919. f ^2-^+4^, 920.
921. J (УТ + 2K rfx. 922. J Be* - f F)
923. f(a*-2sinx)dx. 924. 1^05*4-
925. / (- sin x + pJLp) dx. 926. J D cos x - v=^=) dx.
927. J B* + /Г ) dx. 928. J (^^ - 3"*) dx.
929. J (ю- + ^)й». 930. J ifc^dx.
931. I Wt-^г dx. 932. j x_
3
933- J |zt dx- m- J tAf" dx-
935' J T^F rfjc« 93e' J TtW rfx-
56

938.
939. J -2^ + y-' Л. 940. J
941. J **-** + * dx. 942. J
943. J <5^1|3^> 944.
945. Jrirffd*. 946.
949. jctg2xdx.
б) Интегрирование по частям.
Пользуясь формулой J udv = u-v — j vdu, вычислить сле-
следующие (950—965) интегралы:
950. f In x dx. 951. J x In x dx.
952. §x4nxdx. 953. J Щ^- .
954. J л cos x dx. 955. J x sin дс rfjc.
956. J x arc tg jc dx. 957. J jc2 sin x dx.
958. J*ln2A;dx. 959 j xe* dx.
960. J*2-e-*rf*. 961. Je'sinxrf^.
962. J e~x cos л: dx. 963. J /l +-«2 dx.
в) Интегрирование методом подстановки.
Пользуясь формулой J / (и) du = J / [<р (х)] ф7 (jc) dx% где
г/ = ф(д;), вычислить следующие (966—1011) интегралы:
966. Jsin3*d*. 967.
970./^. 971./^.
972- 1т^ш- 973# le5*dx'
57

974. J e~'
87в- J l+sfnx*
978. J -v^r-
J F jc2 — a2
m j "F+9"'
982. J cos5xsin*dx.
984.
J em*+* dx.
sin 2jc 6?jt
986. J Vx3 + 1 л:2 dx.
988. J /a2 — л:2лг dx.
I + cos 2-е '
f dx
27. Интегрирование рацшшальных
Вычислить интегралы A012—1039):
1012. jj^-5. 1013.
функций

.0,8. J|^. .0.9.
Указание. Следующие интегралы вычислить с помощью разложенец
рациональной функции, стоящей под знаком интеграла, на сумму влемед»
тарных дробей.
Ю20. J (Х_,^ + 2Г Ю2Ь J
d*
1022. f У!?". 1023. [-j—
• J (jc+21t?]iX)) - 1025. | XitS+iZl dx.
1026. J Х\х2^3 dx- 1027' J x* + 3x + 2 '
* J jc3 — *2 — 6x ' ' J ж4 — 4.v2 + 4
103b S
1032./^. 1033.
1038. Jyq^-. Ю39. J
При вычислении интегралов типа -j—п ,,р dx полезна подстановка
t = xd, где d — наибольший общий делитель чисел m + 1 ид.
Вычислить интегралы A040—1048)
Ю45.
59

Справедлива следующая формула принадлежащая М. В. Остроград-
Остроградскому:
J QW dX~ Qt(x)+ J Q,(x)dx'
P (x)
где -, . '— правильная дробь, Qj (x) — наибольший общий делитель Q (х) и
О М. Q2 (*) == ,? f \ t Pi (x) и р2 {*) — многочлены степеней соответственно
Qi \x)
на единицу меньше степеней многочленов Q1 (x) и Q2 (x), определяемые из
Р (х) ( Р\ (х) V , Р2 (х)
тождества ' [ = ^ ; ч + ^ , ч методом неопределенных коэффи-
V I*) \ ч?1 W / 421^
цнентов. Эта формула позволяет заранее, не производя интегрирования и
не разлагая знаменателя на множители, выделить рациональную часть инте-
интеграла.
1049. С помощью вышеназванной формулы М. В. Остро-
Остроградского вычислить следующие интегралы:
Г (x+\)dx . б) f *6+l d
a) J (x2 + x-2Jf O) J (x2 + x+\J UXf
\ r__^?_. \ f -2x* + и*4"~28л:3 + 37-y2""0x +l4 л
B) J (JC* _ 1J; r; j (*2 _ 2* + 2K лх;
Г 2^4 — 4x3 + 24x2 — 40s + 20 , v f — 4л:3 — 4s2 + 2л:
Д^ J (x - 1) (л:2 - 2x + 2K аЛ:; e> J (л:-1J(^2 + ^+1K
§ 28. Интегрирование иррациональных
функций
Интеграл типа I R \х> х *, х 2, ..., х п / dx, где R (иь и2у ..., ип) —
рациональная функция, приводится к интегралу от рациональной функции
подстановкой x = tn, где п — наименьшее кратное чисел qlt q2, *.., qn.
Вычислить интегралы:
J^L_. ,051. [Щ^г.
J l-Yx
1052. f %=. 1053. f ^±
^ ^ P* M I «Л " I " У Ик "I" l' Л « ^ Л art a* I
1054- j «^.«^r dx- ms-!'
1056. f —г г-. 1057. f
T, Г n\ ( ax + b\Qx ( ax + b\q2 ( ax + b \ яп \
Интеграл типа J R [x, [^^j) . (^Г+7) Ы+Т) J
tt ал: + 6 ,„
приводится к интегралу от рациональной функции подстановкой —-—: ==t ,
СХ -р и
где л — наименьшее кратное чисел qu q2t ..., qn.
60

Вычислить интегралы:
1058. f ^2 + х dx. 1059. f УД±1+1 dx.
Vx+\-l
Ю60. J у . 1061. J ~
Интеграл типа I /? (x, Vax2 + bx + c) dx вычисляется с помощью
одной из трех подстановок Эйлера:
1) Vax2 + bx + c = y ± xV~a> если а>0;
2) Vax2 + bx + с = ху ± Vct если с>0;
3) Vax2 + bx + с = (х — а) у, если трехчлен / (х) = ах2 + Ьх + с имеет
действительные корни (а — один из корней этого трехчлена).
Вычислить интегралы:
dx *л*т Г dx
106б. г
+x)V
x2
J
,068. f '* . 1069. f , dx _,
Ю70. f /* 1071. f , d
J (д;_2)/—3 + 4д:-д:2 J /— 2л:2
()/+ 2л:2 + 5jc - 2
1072. J /^2 — 2jc — 1 rfx. 1073. J /4^2 - 2x + 1 d*.
1074. Применяя подстановки Эйлера к интегралу Г ,
= arc sin x + С, показать справедливость равенств:
Что можно сказать о функциях, стоящих в правых частях
этих равенств?
Следующие интегралы A075—1078) вычислить с домощью
преобразования:
17 Ь \2 . Аас-Ь2-]

1075. f лГ dx 1076. f лГ dx = .
J Yx2 + 2x-\ J V*x* + 4* - 3
1077. f - dx ¦» . 1078. f - dx =•.
Биномиальный дифференциал xm (a + bxn)p dx, где m, n, p — рациональ-
рациональные числа, можно интегрировать в трех случаях:
1) р~ целое; подстановка: х == tN, где АГ —общий знаменатель дробей
т и /г,
2) -!!L± целое; подстановка: а + Ьхп = ^, где ц — знаменатель
числа р\
3) -2L± j. р _ целое; подстановка: ахГп + 6 = ^, где \х — знамена-
знаменатель числа р.
Вычислить интегралы:
I080.
•f;)
,082. Р '/j ^-
1083. /«***. Ю84. J
§ 29. Интегрирование тригонометрических
функции
Интеграл типа Г /? (cos x, sin^) dx, где R (и, v) — рациональная функция,
приводится к интегралу от рациональной функции с помощью надлежащей
подстановки.
Именно:
1) sin х = t, если R (— cos x, sin x) = — R (cos x, sin x);
2) cos л: = t, если /? (cos x, — sin x) = — R (cos л;, sin x)\
3) tg лг == / или ctg х = /, если /? (— cos дс, — sin x)=R (cos *, sin jc);
4) tg-^-==/ во всех случаях.
Интегралы j sin nx • sin mx dx, j sin nx • cos mx dx, cos шс • cos m* d*,
Г sin2 x dx, I cos2 x dx легко вычисляются после преобразования подынте-
подынтегральной функции по формулам:
sin nx • sin mx = -5- [cos (n — m) x — cos (я + /n) *];
sin ла; • cos m* = — [sin (n — m) x + sin (/г + m) x\\
62

cos nx • cos mx = -к [cos {n — m) x + cos (n + m) xj;
1 — cos 2x 9 1 -f cos 2x
sin2x== ?: , cos2x = - .
Вычислить интегральк
1085. J sin3 x cos x dx. 1086. J cos5 2x sin 2x dx.
1087. J ctg x dx. 1088. J sin2 x dx.
1089. jcos23xdx. 1090. Jsin32xdx.
sxdx 1ftq2 Г sin3xdx
1 XdX' Ш2- J cos4x
dx чллл Г ^Х
cosx
1093. J ^. 1094. J
1005. /*НЙ^*. «090. /dg-xrf,.
1097- 1 етг • 1098- Jcos *cos 3x dx-
1099. J sin x sin 3x dx. 1100. J sin 2x cos 4x dx.
1101. j cos2xsin4x dx. 1102. J cos x cos 3x cos 5x dx.
1103. J sin x sin 2x sin 3x dx. 1104. J sin2 x cos2 3x dx.
1105. J cos4 x sin2 x dx. 1106. J cos2 x sin4 x dx.
1107. Jsin6xdx. 1108. Jcos^xdx.
»«9- J 2',+Z". <*¦ 1110-1 ут+ш;лх.
sin0 x
dx
"«•Jignr- Ш6-1^ж
Ш7-1дажг- Ш8'1тг
1119. Jtg5xrf*. 1120. J
1121* J sin x + cos x ' 1122# J a cos x + b sin * *
3. J^rfelT. 424.J ¦"
sin4 x cos4 x '
dx
tg8x'
4sinx *
63

§ 30, Разные примеры на интегрирование
функций
Вычислить интегралы;
изо. j7xdx
+ x2 + 1 •
хЫх
ЦЧ9 f X d3C
1134. f rfjc
1136. J
1138. J
x + fT.
*2+l
=rdjc.
x*dx
1H0- Ititif__
1142. jM* + ^ + *2>
И44. fJl?i?.
J Vl—x
,146. J ^f d.
1148.
dx.
1152. J
1154. J
1156.
¦dx.
1158. J ecos 2JC sin 2x dx.
1127. J (Hf^jr.
1129.
x (x2 —
1133.
1135. J
1137. J
1139.
V\ + 2x' '
dx
dx
vtt.
dx
1ПАГ
(x In xJ
1141. J
1143. f
J (x In xJ
1145.
1147.
1149.
dx.
tObX I
U5b J sin'* + cos»x '
1153. J sin*-*cos*
dx.

ГЛАВА VI
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 31. Понятие определенного интеграла и его
простейшие свойства
Вычислить определенные интегралы A160—1163), составив
интегральную сумму JJ/(°к)(ч+\ — **)» гАе Н+\ —H — ^-j^-*
ck = xk> k — 09 1, 2, ..., /i—l, и найдя ее предел.
1160. \cxdx. 1161. $cx2dx.
а а
Ь Ь
1162. JVdx. 1163. JVrfx.
а а
Используя результаты задач A160—1163) и опираясь на
простейшие свойства определенного интеграла, вычислить инте-
интегралы A164—1169):
з о
1164. U$x2 + x)dx. 1165. f {a + xJ dx.
2 -a
t 4-i
1166. j(ex-x)dx. 1167. J {2ex-Zx2)dx.
о
2 1
1168. j Bx + 2x+l)dx. 1169. j{2~x + ex-- 3>)dx.
1 0
b
Число -г—— f (x) dx называется средним значением функции f (x) на
а
отрезке [а; Ь].
Найти средние значения функций A170—1173) на указанных
отрезках:
1170. /(а:) = За: на отрезке [—2; 2].
1171. f(x) = x2 на отрезке [0; 1].
1172. /(д:) = За:2 + 2л:—1 на отрезке [1; 5].
1173. f(x) = 3r — 2a:+ 3 на отрезке [0; 2].
65

Если f(x) л g (x) — непрерывные функции на отрезке [а; Ь], причем
ъ ь
f(x)<g (*), f(x)&g (*) на этом отрезке, то j | (x) dx< J g (x) dx.
а а
1174, Не вычисляя интегралов, установить, какой из инте-
интегралов больше:
11 2 2
a) J х dx или J x2 dx; б) J xdx или J x2 dx;
0 0 II
JL JL
2 2 11
в) J xdx или J sinxdx; r) J e*dx или J е*гdx;
oo о
JL JL
2 2 -1
1
д) JsirfArd* или J sinn+lxdx; e) J ij\ Катили J ZKdx.
0 0 -2-2
1175. Пусть f{x) — непрерывная монотонная функция на
b
отрезке [а; Ь\. Доказать, что \ f(x)dx лежит между (b — a)f(a)
*(b-a)f(b). п 2
1176. Доказать, что интеграл Г -пгт—больше -тг и меньше -=-.
о
Доказать неравенства A177—1188):
1 2
1177. 1 < JVdx<e. 1178. |
о 1
18
1179. 9< f-~Hd*<9>5-
8
1180. 2~g<J {xPd+l)9<U(p>0,q>0).
о
1181. Доказать неравенства
9 / тт
x^smx^ — лмО^л^-тг-
. . г sin x , ^ п
я с помощью их показать, что 1 < ——dx <-«-.
J X А
0
1182. Непосредственным возведением в квадрат доказать не-
равенства 1+-J- g-<yi+#< 1 + -j ПРИ 0 < х < 8 и с по-
4
мощью их дать оценку сверху и снизу интеграла J Y\ -\-xdx.
о
66

§ 32. Формула Ньютона — Лейбница
Интегралы 1183—1196 вычислить с помощью формулы Нью-
Ньютона — Лейбница:
ь
j f (x) dx * F (b) — F (а), где f (x) — функция, непрерывная на отрезке {а; b],
а
и F (х) — одна из первообразных для f (x).
я
2 2
1183. $3x2dx. 1184.
о о
1187.
1189.
1191.
1193.
11QK
-1
f dx
j X
-5
л
f sin2
-я
Г За:4
J
я
"" 4
2
J*in
i
4
f.
•
+ з*2 +1
xdx.
dx
1188.
Л
4
1190. J-p
1192.
о
K2-l
2
Я
1194. Jjcsin^dJC.
—я
я
T
1196. Jsi
о
замены nej
интеграле | f (x) dx == Г f [ф (/)] ф' (/) dt, где f (jc) и q/ (О — непрерывные
1кции соответственно на отр(
f) s [a; 6] для t е= [а; р].
Вычислить интегралы:
sin a: • cos2 л:
Имеет место следующая формула замены переменной в определенном
ь Э
а а
функции соответственно на отрезках [а\ Ь] и [а; р], причем а = Ф (а), Ь = ф О),
Ф @ <= [а; 6] для t е= [а; р].
II98-
И99. fi^HTrf,. 1200.

я я
Т Т
1201. J sin х cos2 * dx. 1202. J cos x sin2 x dx.
о о
1 In 2
1203. /тг^гт. 1204. J VT^Tdx.
я
п 2
1205. J sin4-jdx. 1206. J
1207. J x V*2 + 9 Ac. 1208. J ]Л - x2 dx.
о о
a 4
1209. J yV — x2 dx. 1210. J j^/F
о
. 3 + 2 cos x '
о о
4 1
Доказать следующие равенства:
ь ь ъ ь
1211. jf(x)dx=$f(a+b-x)dx. 1212. J f(x)dx= J f(-x)dx.
a a —b —b
?L 2L
2 2
1213. J / (sin x) dx = J f(cosx)dx. Использовать это равен-
0 О
ство для вычисления интегралов
2 2
J sin2**** и J
о о
1214. J xm(\~xfdx= jxn(l-x)mdx.
о о
1215. Доказать, что для четной функции f(x) справедливы
равенства:
0 а а
—а 0 —а
1216. Доказать, что для нечетной функции f(x) справедливы
равенства:
0 а а
{x)dx, J f(x)dx = 0.

Показать, что J sin2 x In р±-?dx=0, J xzcos* x dx=0, k>0.
1 -2
"
1217. Доказать равенства:
a a
а) J cos xf (x2) dx = 2J cos xf (x2) dx\
-a 0
a
б) J sin xf (cos я) dA; = 0;
—a
jt Jt
в) f xf (sin a:) dx = —¦ J f(sin x) dx;
о о
a a
r) f f (л:) dx = J [f (a:) + f (— #)] rfjc, где f(x) — непрерывная
—a
функция.
a-fw
1218. Доказать справедливость равенства J f(x)dx= f f(x)dxf
a 0
где /(а:) —непрерывная периодическая с периодом a> функция.
1219. Используя равенство
sinU + -?-).*; j
— = -^ + cos x + cos 2a: + • • • + cos nx9
я sin fn + -j
доказать, что I 1 dx = n.
0J 2 sin у x
1220. Доказать, что если q>(x)=Yao +a>icosx + bisin x +
+ a2 cos 2a: + b2 sin 2jc + ... + an cos aia: + bn sin hA:, Л ^ п (k и n—
натуральные числа), то:
а) J y(x)dx = na0) б) J cp(A;)cos&A;dA:== яа^;
о о
2зх
в) J ф (a:) sin kx dx = nbk.
о
Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет
вид: ь ь ъ
J udv^uv — v dtl.
69

Вычислить интегралы:
1 3
1221. jarcsinxdx. 1222. j
о о
1 1
1223. J *arctg x dx. 1224. J же""* dx.
о о
2 Л
1225. J xsinxd*. 1226. j x2cosxdx.
о о
я
а 2
1227. J /а2 — х2^. 1228. j exsmxdx.
о о
1229. Доказать, что если f"(x) — непрерывная функция на
отрезке [а, Ь], то справедлива формула
ь
J х\" (х) dx = [&/' (&) - f F)] - [af (a) - f (a)].
а
1230. Доказать, что если f{n)(x) и Я">(л;)-- непрерывные
функции на отрезке [а, &]» то справедлива формула
ь ь ъ
F(x)- /<«> (х) dx = /<"-» (л:) F (х) | |
а
Ь
J f{x)FW(x)dx, в частности
2
1231. Показать, что если ип = J sin71 jc rfx, то ип = "^ «ft-2-
о
Отсюда определить ип.
1232. Доказать равенства:
2
а) J cosm* •cos(m + 2>jcrfx = 0;
о
я
2
б) J cosmxsin(m + 2)xdx^ 1~T*
о
70

1233. Показать, что среднее значение функции f(x), непре-
непрерывной на отрезке [а, 6], есть предел среднего арифметиче-
арифметического из значений этой функции, взятых через равные проме-
промежутки аргумента х.
1234. Определить среднее значение функции у —sin ах на
отрезке |0; -~|, в частности при а=1.
1236. Определить среднее значение обратных величин всех
положительных чисел, лежащих между а и й, в частности при
а = 1 и Ь = 2.
1236. Определить среднее расстояние точки М, лежащей на
окружности радиуса г, от всех других точек этой окружности.
1237. Определить среднюю длину всех положительных орди-
х2 и2
нат эллипса —-f *|гв 1» в частности окружности л;2 + #2=1.
1238. Показать, что средняя длина всех радиус-векторов,
проведенных из фокуса эллипса ко всем точкам верхней ее по-
половины, равна малой полуоси Ь.
1239. Сечение желоба имеет форму параболического сег-
сегмента. Основание его а м, глубина к м. Определить среднюю
глубину желоба.
1240. Тело, падающее на землю из состояния покоя, пройдя
отрезок s = Si, приобретает скорость ^1 = VgfsI. Показать, что
2
на пройденном пути sx средняя скорость vcp равна -jvi-
1241. В динамо-машине переменного тока электродвижущая
сила Е выражается формулой ? ==« ?0 sin--—- , где Г —период,
измеренный в секундах, Ео — амплитуда, -j фаза.
Определить среднее значение Еср электродвижущей силы Е
и эффективную электродвижущую силу, равную квадратному
корню из среднего значения квадрата электродвижущей силы Е
за время от t ==0 до t = у Г.
В задачах 1242—1248 требуется обнаружить ошибку:
2
1242. Рассмотрим интеграл f ¦, *nt-.
о
2 2
Имеем: Г 4 •*$и2 g= г- = — 2. Но подынтегральная
о о
функция рассмотренного интеграла принимает только положи-
положительные значения, и, следовательно, интеграл не может рав-
равняться отрицательному числу —2. Где ошибка?
Я
С /14- cos 2x
1243. Рассмотрим интеграл I 1/ 2 Лс.
о
71

Имеем:
я я п п
= 0.
\
о о о о
Так как подынтегральная функция непрерывна на отрезке [0; л]
и принимает на этом отрезке, кроме точки # = —., положи-
положительные значения, то рассмотренный интеграл больше нуля.
Где ошибка? ± ,
4
1244.
1 /"""?"
Интеграл [ -g-У *3 d#, в котором подынтегральная функция
непрерывна на отрезке [—1; 1] и принимает на этом отрезке,
кроме точки х = 0, положительные значения, очевидно, больше
нуля. С другой стороны, замечая, что
3.1 +1
} А 1
dx = j~ x*dx =
-i
= 0,
убедимся в том, что этот же интеграл равен нулю. Где ошибка?
1245. Функция /(*)=* 4 - 3 cos * 0ПРеДелена на отрезке [0; 2я],
причем во всех точках этого отрезка она принимает положи-
2п
тельные значения, и, следовательно, интеграл J 4 ,, 3^cos x больше
о х
нуля. С другой стороны, сделав подстановку tg-^- = ^, имеем:
2я 0
f ** - [
J 4-3cos^ J
2 / 1-/»\ U>
+ П [4 - 3 j + /2 J
2п
т. е. интеграл J 4 ^. э^собл: Равен нУлю- Где ошибка?
о 3 _
1246. Функция f(x)=yx2 определена и непрерывна на от-
отрезке [— 1; 1], причем во всех точках этого отрезка, кроме
точки х = 0, она принимает положительные значения, и, сле-
1
довательно, интеграл \Vx2dx больше нуля. С другой сто-
-1 8 __
роны, сделав подстановку yx2 = tf имеем:
1 1
J fj*dx= J *--|
т. е. интеграл \Vx2dx равен нулю. Где ошибка?
72

1247. Если F (x) = arc tg —, то F'(x) =—{ 2 . Интеграл
i
) — i* 2 » в котором подынтегральная функция непрерывна
на отрезке [—1; 1] и принимает на нем отрицательные значе-
значения, очевидно, меньше нуля. С другой стороны, замечая, что
1 1 ]
.11 ах
=arctg7 =т,
7 =т
-1 -1 -1
убедимся в том, что этот же интеграл больше нуля. Где ошибка?
1248. Непосредственным вычислением интеграла
7
1
устанавливаем, что он равен 48.
Сделаем теперь подстановку у = х2 — 6х + 13, которая дает:
х = 3 ± У у — 4. Так как при х=1, у = 8 и при х = 7, у = 20
мы как будто получаем:
20 20
г Г dx * , 1 Г и dy
I = и — dy=±— / * .
J dv U 2 J VJ1^
8 dy "8
Неопределенный интеграл равен -^(у — АJ + А {у — 4J, и
мы получаем значения, из которых ни одно не соответствует
действительности. Где ошибка?
В задачах 1249—1254 с помощью определенных интегралов
требуется найти пределы сумм. Каждую сумму при этом необ-
необходимо так преобразовать, чтобы она стала интегральной сум-
суммой некоторой функции.
1249. " П ' 1
Вычислить приближенно 15 + 25+ ... + 1005.
1253. hm — sin bsin h ••• ^-sin-1— .
n^oo«L П П tl \
n
1254. lim V\-2-Z-...-n ф
78

§ 33* Несобственный интеграл
оо Ь
По определению | f (x) dx » цт If {#) 4х.
а а
Вычислить несобственные интегралы:
оо оо
1255. j—-. 1256.
1
1257. Jj^F. 1258. j xe~a* dx {a > 0).
о о
1259. \~~ • 1260. J d*
1 I
ОО ОО
Г xdx j2e2 С Ух dx
Если ф(лг)<ал;~5, где s>U для всех дг>л, то I у (х) dx сходится;
о
оо
если же (р (л:) >рдс""у, где Р >0 и s ^ 1, для всех х ^ а, то интеграл j <p (x) dx
о
расходится.
Определить, какие из интегралов сходятся:
1266. J-^ЙТГ- 1267. J^_||L__. Ш8. JCOSxdx.
1269. J jccosxdjc. 1270. \ xne~xdx(n— 1271. J ^y
a о натуральное о
число).
оо
1272. Доказать, что если J xq>{x2)dx сходится, то
о
00
— оо
оо оо оо
если же сходится J <p (#2) dxf то J ф (л:2) dx = 2 J <p (x2) dx.
71

1273*. Пусть на сегменте [а; Ь] для любого Ь > а функция/(х)
интегрируема и /(л;)>0. Доказать, что если для достаточно
больших х
00
то интеграл J / (я) dxсходится; если же для достаточно больших х
оо
то интеграл J f(x)dx расходится.
а
1274. Пользуясь утверждением задачи 1273, показать, что
00 00 ОО
интегралы -^-dxyi хъsin-<prdx сходятся, а интегралы j -p- dx
оо
и j 2х sin -p- dx расходятся.
1
1275*. Пусть на сегменте [а; Ь] для любого Ь > а функция f(x)
интегрируема и/(х)>0. Доказать, что если для достаточно
больших х
И2х) <д < !
оо
то интеграл J / (jc) dx сходится; если же для достаточно больших х
f (*) *" 2 •
ОО
то интеграл J f(x)dx расходится.
a
1276*, Пользуясь утверждением задачи 1275, показать, что
интегралы j —? и J —— dx сходятся, а ийтегралы J ,. * д и
1 1 2
ео
J * Л расходятся. Убедиться в том, что вопрос о сходимости
первой пары интегралов и расходимости второй нельзя решить
с помощью признака, указанного в задаче 1273.
1277*. Пусть на сегменте [а; Ь] для любого Ь > а функция f(x)
интегрируема и f(x)> 0. Доказать, что если для достаточно
больших х
fix2) ^ q ^ \

то интеграл j f(x)dx сходится; если же для достаточно боль-
а
ШИХ X f (х2) 1
оо
то интеграл J f(x)dx расходится.
а
1278. Пользуясь утверждением задачи 1277*, показать, что
оо
интеграл f r при а > 1 сходится, а интеграл
J У х2 + 1 (In x)a
оо
| г расходится. Убедиться в том, что вопрос о схо-
J У х2 + 1 In х
димости первого интеграла и расходимости второго нельзя
решить с помощью признаков, указанных в задачах 1273 и 1275.
1279*. Пусть на сегменте [а; Ь] для любого b > а функция f(x)
интегрируема и f(x)>0. Доказать, что если для достаточно
больших х
f (ех) ^ д ^ 1
f (х) ^ ех ^ ех '
оо
то интеграл \ f(x)dx сходится; если же для достаточно
а
бОЛЬШИХ X f(ox
оо
то интеграл Г f(x)dx расходится.
а
1280. Пользуясь утверждением задачи 1279*, показать, что
оо
интеграл | f *-—-——, где а > 1, сходится, а интеграл
Уо У х2 + 1 In х (In In xy
оо
I _г расходится. Убедиться в том, что вопрос
J |/ jc2 + 1 In а: • In In x
о сходимости первого интеграла и расходимости второго нельзя
решить с помощью признаков, указанных в задачах 1273*,
1275*, 1277*.
1281*. Обобщая результаты, указанные в задачах 1273*,
1275*, 1277*, 1279*, доказать следующий общий признак схо-
сходимости и расходимости несобственных интегралов.
Пусть на сегменте [а; Ъ\ для любого Ъ > а функция f (х) > 0,
а функция ф(л:) возрастает, причем ф (#)]>#, у'(х) и f(x) инте-
интегрируемы. Если при этом для достаточно больших х
Hg>(*)]-q/(*) ^ ^ ,
7а

то интеграл j f(x)dx сходится; если же для достаточйо боль-
а
ШИХ X
f [Ф (х)] ф/ (х) ^ « ffiM , v
fix) ^]' VW****
оо
то интеграл J f(x)dx расходится. Убедиться в том, что при-
а
знаки сходимости несобственных интегралов, указанные в за-
задачах 1273*, 1275*, 1277*, 1279*, получаются из этого общего
признака сходимости, если положить ф(лг) равной соответ-
соответственно х-\- 1, 2л:, х2, ех.
1282*. Пусть на полусегменте [а; оо) функция f{x) непре-
непрерывна, а ф(х) непрерывна вместе со своей производной, причем
f (х) > 0, ф(л:)^л:. Доказать, что если для достаточно больших х
/[Ф(*)]Ф'(*)
f(x)
оо
то интеграл f f(x)dx сходится; если же для достаточно боль-
а
ШИХ X
fix)
00
то интеграл J f(x)dx расходится.
а
ОО
1283, Если интеграл | y(x)dx сходится и ф(х)^О, то ра-
а
венства lim ф(л:) = О может и не быть. Доказать это, рас-
оо
смотрев интеграл J q>ix)dxt где ф(я) задана графиком (см.
рис. 12).
Здесь ордината всех максимумов в точках 1, 2, 3, •••
равна 1, а основание
п-го треугольника рав- у
но-г, п=1,2,....
1284. Доказать, что
если ф(х) положительна
и монотонно убывает и
оо —
интеграл | q>(x)dx cxo-
а
дится, то lim х • ф (х) = 0.
*-»оо РИС. 12

Если ф (х) на отрезке {а; 6] обращается в оо при х = с, то по определению
Ь c—t Ь
[ ф (х) dx = lim f ф (х) dx + lim | ф (х) dx.
J е~>0 J б->0 J
« а с+Ь
Вычислить несобственные интегралы:
/т4#г \
I 2
' 1289. jxln^dx. 1290. /
о о.
6
1291. Доказать, что интеграл \(x — a)~sdx сходится, если
а
s< 1, и расходится, если s!>l.
1292. Доказать, что если <p(#) непрерывна в полуинтервале
a<x<fe и 0 < ф (х)< a {x ¦— а)", где $<1, то интеграл
J ф(л:)^л: сходится. Если же ф (#) > а (л: — а)", где s^l, то
ь
интеграл J ф {х) dx расходится.
а
Исследовать на сходимость интегралы A293—1298):
1293. f-?b* 1294. (Л-.
J У 1 — х4 J in x
о о
1295. f лГ, d*n =•» 1296. f
J V (* - 1) B - x) I it>~.
&
1297. f лГ fx . 1298.
a a
Доказать равенства:
I 0+1
1299. f-?r = O. 1300. f v_f!_ =0.
_i K* ell V*-a
n
1301. Доказать, что интеграл J /81п^чУ сходится, если $ < 1,
о
расходится, если 5^1.
1302. Доказать, что интеграл Г ^?- dx сходится, если р < 2.
J Х*^
78

X
1303. Доказать, что если интеграл I <p(x)dx остается огра-
а
оо
ничейным при л;->оо, то интеграл -^~- dx сходится для вся-
X
а
кого а > 0.
Доказать, что следующие интегралы сходятся условно:
¦йллл Г cos x , <ол- Г sin л: 1
1304. r~ dx. 1305. dx.
J Vx J x
t
00
1306. Jsln^d*.
о
1307. Пусть фМ>0, Итф(х) = О, q>'(x)^0, <р'(х) непре-
oo
рывна для а^х< оо. Доказать, что J y'(x)dx сходится абсо-
a
лютно.
1308. Пусть ф(х)>0, Нтф(л:) = 0, ф'М<0, ф'(л;) непре-
рывна для а<^х<оо. Доказать, что интегралы ф
а
оо
и j ф {х) sin tx dx, где t > 0, сходятся.
а
оо
1309. Доказать, что интеграл J 81"д* dx сходится, если 0 <
о
< s < 2, и абсолютно сходится, если 1 < s < 2.
оо
1310. Доказать, что интеграл ~ cfs x dx сходится абсо-
0
J
0
лютно, если 1 < s < 3.
1311. Доказать, что интеграл sm*(l ^-cos*) ^ сходится>
о
если 0 < 5 < 4, и абсолютно сходится, если 1 < s < 4.

ГЛАВА VII
ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
§ 34. Площади плоских фигур
1312. Доказать, что площадь фигуры, ограниченной замкну-
замкнутой кривой, отстоящей от сторон данного выпуклого многоуголь-
многоугольника на расстоянии г, равна сумме площадей данного выпук-
выпуклого многоугольника, круга радиуса г и прямоугольника с вы-
высотой г и основанием, равным длине периметра данного выпук-
выпуклого многоугольника.
1313. Доказать, что площадь плоской фигуры, ограниченной
замкнутой кривой, отстоящей от границы данной выпуклой
плоской фигуры на расстоянии г, равна сумме площадей дан-
данной выпуклой фигуры, круга радиуса г и прямоугольника с вы-
высотой г и основанием, равным длине границы данной выпуклой
фигуры.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой
у = Кх), осью лс-ов, прямыми х = аи * = ?(& > а), определяется формулой
ь
JH*)dx.
a
1314. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = я2,
осью л>ов и прямыми х = а и x = b, b>a.
1315. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у==
= 6х — х2 и осью л;-ов.
1316. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у —
— х2 + 7х— 10 и осью лг-ов.
1317. Найти площадь фигуры, ограниченной дугой синусо-
синусоиды от х = 0 до х = я и осью л:-ов.
1318. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой ху=а>
осью лг-ов и прямыми х = а и х = Ь, Ъ > а.
1319. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = \пх,
осью х-ов и прямой х = а, а> 1.
1320. Найти площадь фигуры, ограниченной цепной линией
X X
— {еа _J_? a Jf ОСЬЮ ЛГ-ОВ И ПрЯМЫМИ X = 0, Л: = п.
х2 и2
1321. Найти площадь эллипса ^г + "fr — 1» и в частности
круга радиуса а.
80

1322. Найти площадь, ограниченную гиперболой-^- — -|г= 1
и прямой лс = с, с > а.
1323. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой
х2 и2
— —^- == 1, осью #-ов и прямой y = ct с > 0.
1324. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой
у = -^ х2 и прямой у — Ьу b>0.
1325. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у2=2рх
и прямой л: — 2i/ — 1=0.
1326. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у2=2рх
и х2 — 2ру.
1327. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой х2=4ау
и кривой у = х28+4а2 (я > 0).
1328. Найти площадь фигуры, ограниченной кругом х2 + */2 =
= 4px и параболой у2 = 2рх.
1329. Найти площадь фигуры, ограниченной кубической па-
параболой у = х* и прямой у = 2х.
1330. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у =
= #2 — Зх и прямой # + 3# — 4 = 0.
1331. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
1332. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у2 = х,
гиперболой ху — 8и отрезком_прямой, соединяющим точку (8; 1)
гиперболы с точкой (8; — Y8 ) параболы.
1333. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у= ,~
осью #-ов и прямой х=1.
1334. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = 3 __
Ух2
и прямыми л: = —1, *=1.
1335. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у= x2f4 2
и ее асимптотой.
1336. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = х2 In л:
и осью jc-ob.
1337. Найти площадь S фигуры, ограниченной гиперболой
х1 — у2= 1, положительной частью оси я-ов и радиус-вектором,
соединяющим начало координат сточкой М{ху у), лежащей на
этой гиперболе.
Доказать, что координаты точки М выражаются через S по
формулам:
e2S + e~2s e2S — e~2S
x— 2 , у— 2
61

Функции ——:— и —^— называются соответственно ги-
перболическим косинусом и гиперболическим синусом и обо-
обозначаются:
2 ' °"* 2 '
Таким образом, д: = сЬ/, #==sh/, где / = 25. Убедиться в том,
что координаты точки М(х, у), лежащей на окружности х2 +
+ У2=1, выражаются по формулам: ;t = cos/, t/ ===== sin /, где /
равно удвоенной площади кругового сектора, ограниченного
осью л>ов и радиусом, проведенным в точку М(х, у).
В полярных координатах площадь, ограниченная кривой г = / (8) и лучами
6 = 6,, 6 = 62 F2 > 0i)» определяется по формуле
е2
1338. Найти площадь фигуры, ограниченной одним витком
спирали Архимеда г(8) = а8.
1339. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой
г = а /cos 26 .
1340. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
г = а (cos 9+ 1).
1341. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Паскаля
г = 2а B + cos в).
1342. Найти площадь фигуры, ограниченной подэрой эллипса
Указание. Перейти к полярным координатам.
1443. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (#2+#2J =
Указание. Перейти к полярным координатам.
Если кривая задана в параметрической форме: х = q> (О» У = ф @» то
площадь криволинейной трапеции определяется по формуле
1344. Найти площадь эллипса:
л: = a cos/, (/ = 6 sin/,
1345. Найти площадь фигуры, ограниченной осью #«ов и одной
дугой циклоиды:
х = a {t — sin /), у = а A — cos /).
1346. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой;
x==acos3/, y =
62

1347. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой:
дг = -jcosH y= -ysin3*.
1348. Найти площадь фигуры, ограниченной трактрисой:
х = а{— cost + In—.C(f ), */ = asinf и осью #-ов.
§ 35. Длина дуги плоской кривой
Плоская фигура К называется выпуклой, если любые ее две точки можно
соединить отрезком прямой, целиком принадлежащим этой фигуре.
1349. Доказать, что граница ограниченной выпуклой пло-
плоской фигуры спрямляема.
1350. Пусть дана ограниченная выпуклая плоская фигура К
и последовательность выпуклых многоугольников {Мп}, содержа-
содержащихся в К и исчерпывающих К так, что любой многоуголь-
многоугольник, содержащийся внутри /С, будет целиком лежать внутри
многоугольника Mni начиная с некоторого п. Доказать, что
длина границы выпуклой плоской фигуры равна пределу длин
периметров выпуклых многоугольников {Мп} при /г->оо.
1351. Доказать, что длина замкнутой кривой, образованной
точками, лежащими вне данного выпуклого многоугольника и
отстоящими от его сторон на расстоянии г, равна сумме длин
периметра данного выпуклого многоугольника и окружности
радиуса г.
1352. Доказать, что длина замкнутой плоской кривой, об-
образованной точками, лежащими вне данной ограниченной вы-
выпуклой плоской фигуры и отстоящими от нее на расстоянии г,
равна сумме длин границы данной выпуклой плоской фигуры
и окружности радиуса г.
1353. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза раз-
разделена на п равных частей и из точек деления проведены пря-
прямые, параллельные катетам. При этом по-
получается ломаная Ln(LA — AKLMNOPRB, в
рис. 13). Длина этой ломаной при любом п
равна сумме длин катетов; следовательно,
и предел ее длины при я~»оо будет равен
сумме длин катетов. Так как гипотенуза АВ
есть предел при п-><х> ломаных Lni. то от-
отсюда получаем утверждение, что длина ги-
гипотенузы равна сумме длин катетов. Где
ошибка? Сравнить с задачей 1350.
1354. Окружность радиуса R разделена п
точками на равные части. Из каждой точки 'К
проведена дуга радиуса r(r<R) до пере- Рис. 13.
83

сечения с дугами, построенными в со-
соседних точках (рис. 14). Найти предел
длины получившейся замкнутой линии
при п->оо. Сравнить с задачей 1352.
Длина / дуги Мг М2 плоской кривой L вы-
выражается формулами:
Х2
= Vl+r*(x)dx; б)
Х\
в, и
в зависимости от того, задана ли кривая L соответственно: а) в декартовых
координатах уравнением y = f(x) (х\ и^2- абсциссы точек Мь М2); б) в по-
полярных координатах уравнением # = /F) (8j и 62 —полярные углы точек Мх
и М2)\ в) в параметрической форме уравнениями: х = ф (/), у = \J> (/) (^ и ^2 ~"
значения параметра в точках М\ и Л12)«
1355. Найти длину дуги параболы # = у- от вершины до
точки (^р; р).
1356. Найти длину дуги полукубической параболы y2 — xz
от точки @, 0) до точки D, 8).
1357. Найти длину дуги цепной линии y = j
от точки @, а) до точки (х, у).
1358. Показать, что длина дуги параболы у2 = рх от вер-
вершины до точки (#, у) выражается формулой
и что выражение ~l/ у2+-^- представляет собой отрезок ка-
касательной к этой параболе, заключенный между точкой каса-
касания (ху у) и точкой пересечения этой касательной с осью Оу.
1359. Найти длину дуги логарифмики у = \пх от точки
(УЗ, In УЗ) до точки (/8, In /в).
1360. Найти длину дуги кривой у = 1 — In cos x от точки М\
с абсциссой х{—0 до точки М2 с абсциссой х2 = -j.
1361. Найти длину дуги кривой у = In gAr _^ от точки Мх
с абсциссой хх = а до точки М2 с абсциссой x2 = b(b> a).
1362. Найти длину первого витка архимедовой спирали г = ад.
1363. Показать, что длина дуги кардиоиды г = рA + cos 8) от
точки @, 2р) до точки @, г)(О<0<я) равна длине отрезка,
соединяющего точку @, 2р) с точкой пересечения окружности

с центром в полюсе и радиусом 2р с продолженным радиус
вектором точки (9, г). Показать, что длина всей кардиоиды
равна 8р.
1364. Найти длину всей астроиды: x = acoszt, y = asm^t.
1365. Показать, что длина одной ветви циклоиды х =
= а(^ —sin*)» у —a(l-cosf) @<*<2я) равна 8а.
1366. Найти длину окружности г = 2а sin 6.
1367. Найти длину дуги эпициклоиды:
х = (а + b)cost + bcos^-t, у= (а + 6)sin/ + ^
соответствующей одному полному обороту катящегося круга.
(Эпициклоида —• кривая, которую описывает точка М, лежащая
на окружности круга радиуса Ь, катящегося без скольжения по
внешней стороне круга радиуса а.)
1368. Найти длину логарифмической спирали r = eaQ от на-
начала до точки (г, 6). _
1369. Доказать, что длина эллипса x = Y2 sint, y = cost
равна длине одной волны синусоиды y = s\nx.
1370. При каких значениях показателя k длину дуги кривой
у = схк можно выразить в элементарных функциях?
§ 36. Объем и площадь поверхности тела вращения
Объем V тела, образованного вращением вокруг оси #-ов криволинейной
трапеции, ограниченной кривой ц = f (х), \ (х) ^ 0, осью #-ов и прямыми
х*=* Хи лг ===== лг2 (х2 > #i), выражается формулой
х2
2
я J у2 dx.
1371. Вычислить объем кругового конуса с радиусом осно-
основания г и высотой Л.
1372. Вычислить объем усеченного кругового конуса с ра-
радиусами основания R и г (г < R) и высотой h.
1373. Вычислить объем эллипсоида вращения, и в частно-
частности шара.
1374. Вычислить объем тела, образованного вращением во-
вокруг оси х-ов криволинейной трапеции, ограниченной параболой
у — х2 + 1 и прямыми х{ = —- а, х2 — а{а>0).
1375. Вычислить объем тела, образованного вращением во-
вокруг оси х-ов криволинейной трапеции, ограниченной параболой
у2 — рх и прямыми #1=a, x2:=b@ < а < Ь).
1376. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,
образованной вращением вокруг оси л>ов дуги синусоиды от
точки х = 0 до точки х — тс.
1377. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,
1 L JL
образованной вращением вокруг оси х-ов астроиды х3 +у3 =а3.
85

1378. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг
оси д>ов криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой
у = — и прямыми хх — а, х2 = Ь @ < а < 6).
1379. Вычислить объем тела, образованного вращением во-
вокруг оси х-ов криволинейной трапеции, ограниченной цепной
линией y = -7f\ea + е~ а ) и прямыми х{ = — с, х2 = с(с> 0).
1380. Вычислить объем тела, образованного вращением во-
вокруг оси х-ов плоской фигуры, ограниченной параболами у = х2
и уР = х»
1381. Вычислить объем тела, образованного вращением во-
вокруг оси л:-ов плоской фигуры, ограниченной параболами
1382. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг
оси лс-ов плоской фигуры, ограниченной окружностью х2 -{¦ у2— 1
и параболой у2 = ~х<
1383. Вычислить объем тела* образованного вращением во-
вокруг оси #-ов плоской фигуры, ограниченной косинусоидой
g
y = cosx и параболой у = к~$х2.
1384. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг
оси #-ов плоской фигуры, ограниченной гиперболой л:2 — #2=1
и прямой х = а + 1 (а > 0).
1385. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг
оси jt-ов плоской фигуры, ограниченной синусоидой y = sinx
2
и прямой у = — х.
1386. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг
оси#-ов плоской фигуры, ограниченной кривой у~2х и прямой
4у — Зл: — 5 = 0.
1387. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,
образованной вращением вокруг оси #-ов дуги циклоиды
х — a (t — sin /), у = а A — cos /).
1388. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, образо-
образованной вращением кривой у = ^ . х2 вокруг ее асимптоты,
1389. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,
образованной вращением вокруг оси лг-ов кривой у — ех от точки
1390. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью,
образованной вращением циссоиды у2 = 2а— х ВОКРУГ ее асимп"
тоты.

Площадь Р поверхности, образованной вращением вокруг оси я-ов кри-
кривой # = /(*)> 0 от точки х=*хх до точки х =* х2 (х2 > xt) выражается
формулой
1391. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-
вращением вокруг оси jc-ов дуги синусоиды у = sin х от точки
х{ = 0 до точки х2 = я.
1392. Вычислить площадь поверхности шара радиуса г,
1393. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-
вращением вокруг оси лг-ов тангенсоиды у — tg x от точки jct ===== О
до точки д^ = а(о< а < -|j.
1394. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-
вращением вокруг оси #-ов гиперболы у == — от точки х{ = 1 до
точки х2 = а {а> 1).
1395. Вычислить площадь поверхности, образованной враще-
вращением вокруг оси люв цепной линии #=*~\ea~j-e Л/ от точки
^i == 0 до точки х2 = a (a > 0).
1396. Вычислить площадь поверхности, образованной враще-
вращением вокруг оси #-ов дуги параболы у = ах2 от точки х{ = 0
до точки лг2 = b (b > 0),
1397. Вычислить площадь поверхности эллипсоида, получен-
полученного вращением эллипса -^г -+¦ -fr = 1 (a > &) вокруг оси д:-ов.
1398. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-
2. — ~
щением астроиды х3 + у3 = а3 вокруг оси лг-ов.
1399. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-
вращением дуги циклоиды х = a (/ — sin/), #=»a(l— cos/) вокруг
оси #-ов.
1400. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-
вращением вокруг оси дг-ов кривой у = е~х от точки х{ = 0 до точки
1401. Вычислить площадь поверхности, образованной враще-
вращением вокруг оси дс-ов трактрисы: x = a\-~cost + \n .c*s ),
y^asint. v sin ;
§ 37. Статический момент и центр тяжести
Если масса распределена равномерно по дуге кривой у— fix),
(с линейной плотностью р =s 1), то статические моменты Мх и
дуги относительно осей Ох и Оу определяются по формулам:
87

а координаты центра тяжести xQ и у0 — по формулам:
х2 х2
*0==1Г J
где L — длина дуги кривой от точки с абсциссой хх до точки с абсциссой лг2.
1402. Вычислить статический момент относительно оси х-ов
дуги косинусоиды у = cosx от точки *! = — -2- до точки х2 = у.
1403. Вычислить статический момент относительно оси х-ов ду-
х2 у2
ги эллипса "^г + -§г=1> расположенной в верхней полуплоскости
(в частности, полуокружности х2 + у2 = а2, расположенной над
осью х-ов).
1404. Найти центр тяжести полуокружности х2 + у2 = а2, рас-
расположенной над осью х-ов.
1405. Найти центр тяжести дуги круга радиуса а, соответ-
соответствующей центральному углу а и расположенной симметрично
относительно оси х-ов. Доказать, что центр тяжести лежит на
биссектрисе центрального угла и расстояние его от центра круга
так относится к радиусу, как длина хорды, стягивающей дугу,
к длине этой дуги.
1 L 1.
1406. Найти центр тяжести дуги астроиды хг + у3 =а3,
расположенной над осью х-ов.
1407. Найти центр тяжести ветви циклоиды: х = а(/ —sin/),
y = a(l —cost).
( —
1408. Найти центр тяжести дуги цепной линии у = -т>\еа +
+ е а) от вершины 5(х = 0) до произвольной точки М. До-
Доказать, что абсцисса центра тяжести х0 равна абсциссе точки
пересечения касательных, проведенных к вершине 5 цепной
линии и в точке М. Ордината же у0 равна половине отрезка,
отсекаемого от оси у-ов нормалью, проведенной к кривой
в точке М.
Если масса распределена равномерно по криволинейной трапеции (с по-
поверхностной плотностью р=1), ограниченной осью лг-ов, кривой y = f(x),
f (х)^0 и прямыми Х\ = а, х2=: Ъ, то координаты центра тяжести Хо и yQ
ь ъ
определяются по формулам: х0 = -«- I xydx, Уо — ттъ y2dx, где S — пло-
а а
щадь криволинейной трапеции.
1409. Найти центр тяжести площади четверти эллипса
х2 и2
—+ -тг=1, лежащей в первом квадранте.
1410. Найти центр тяжести трапеции, ограниченной парабо-
параболой */== — ах2 -{- b(a>0, b>0) и осью х-ов.
88

1411. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной
косинусоидой от точки *!= —~-до точки *2 = -уИосыол;-ов.
1412. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной
полукубической параболой ау2 — хг и прямой х — а(а>0).
1413. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной
параболами у2 = 2рх и х2 = 2ру.
1414. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной
косинусоидой у — cos х от точки хх = — —- до точки х2 = -у и
прямой */=—•
1415. Найти центр тяжести плоской фигуры, ограниченной
2
прямой У = — х> синусоидой у = sin х и осью х-оъ (х > 0).
1416. Найти центр тяжести плоской фигуры, лежащей в пер-
х2 и2
вом квадранте и ограниченной эллипсом -^г+ ь?= 1> окруж-
окружностью х2 -\- у2 = а2 и осью */-ов.
1417. Пользуясь теоремой Гульдина, вычислить величину
поверхности и объем тела, полученного вращением равносто-
равностороннего треугольника со стороной, равной а, вокруг оси, отстоя-
отстоящей от его центра тяжести на расстоянии d(d> a).
1418. Пользуясь теоремой Гульдина, вычислить площадь
поверхности тела, полученного вращением круга радиуса г
около непересекающей его оси, если расстояние центра круга
от оси вращения равно h(h>r).
1419. Пользуясь теоремой Гульдина, вычислить объем тела,
полученного вращением эллипса с осями 2а и 2Ь (а>Ь) вокруг
прямой, параллельной большой оси эллипса и отстоящей от
нее на расстоянии d(d > ft). В частности, вычислить объем тора,
положив а = Ь.
1420. Правильный n-угольник со стороной а вращается вок-
вокруг одной из своих сторон. Найти площадь поверхности и объем
полученного тела вращения.
1421. Пусть центр тяжести периметра выпуклого /г-угольника
отстоит от одной из его сторон а0 на расстоянии dn. Обозна-
Обозначим через dn~i расстояние от стороны а0 до центра тяжести
фигуры, полученной из данного /г-угольника путем удаления
стороны а0. Доказать, что
где Р —- периметр n-угольника, а0 — длина стороны а.
Координаты центра тяжести тела (с объемной плотностью р= 1), обра-
образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (x)t
69

f()Qt осью #-ов я прямыми *i==a, Х2~Ь F>а), вокруг оси я-ов опре-
определяются по формулам:
ь
\у9х dx
1422. Найти центр тяжести конуса, высота и радиус осно-
основания которого равны соответственно Лиг.
1423. Найти центр тяжести тела, образованного вращением
сектора круга около одного из крайних его радиусов.
1424. Найти центр тяжести тела, образованного вращением
х2 и2
вокруг оси у-ов фигуры, ограниченной гиперболой -^— -§г = I
и прямыми # = 0, у = Ь F>0).
1425. Найти центр тяжести тела, образованного вращением
вокруг оси #-ов плоской фигуры, ограниченной параболой
у2 — 4рх, осью я-ов и прямой х — а.
§ 38. Разные задачи
Момент инерции и кинетическая энергия
Моментом инерции материальной точки с массой т относительно неко-
некоторой оси называется произведение массы т на квадрат расстояния d от
точки до осн.
В задачах 1426—1433 плотность принимается равной 1.
1426. Вычислить момент инерции отрезка АВ длиной I
относительно оси, лежащей с ним в одной плоскости, если концы
А и В отрезка отстоят от этой оси на расстояния, соответ-
соответственно равном а и Ь (Ь^а).
1427. Вычислить момент инерции дуги окружности радиуса г,
соответствующей центральному углу а, относительно диаметра,
проходящего через один из концов этой дуги. Вычислить момент
инерции окружности относительно диаметра, положив а~2я.
1428. Вычислить момент инерции окружности радиуса г
относительно оси, находящейся с ней в одной плоскости и отстоя-
отстоящей от центра ее на расстоянии Ь (Ь> г).
1429. Вычислить момент инерции сектора круга радиуса г,
соответствующего центральному углу а, относительно одного
из крайних его радиусов.
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси,
равна у /ю2, где о — угловая скорость, а / — момент инерции относительно
оси вращения.
1430. Вычислить кинетическую энергию прямоугольной пла-
пластинки, стороны которой равны а см и Ь см (а > Ь), вращаю-
Ш

щейся с постоянной угловой скоростью оо сек вокруг оси,
проходящей через ее центр параллельно большей стороне.
1431. Пластинка, имеющая форму круга радиуса г см, вра-
вращается с постоянной угловой скоростью © сек~{ вокруг оси,
находящейся с ней в одной плоскости и отстоящей от ее цен-
центра на расстоянии d(d> r). Вычислить кинетическую энергию
этой пластинки.
1432. Пластинка, имеющая форму треугольника с основа-
основанием а см и высотой h см, вращается с постоянной угловой скоро-
скоростью со сек~1 вокруг стороны а. Вычислить кинетическую энер-
энергию этой пластинки.
1433. Доказать, что момент инерции 1Х дуги M{M2i взятый
относительно оси х, равен моменту инерции It этой дуги, взя-
взятому относительно оси tf параллельной оси х и проходящей
через центр тяжести дуги MiM2, сложенному с произведением
длины дуги на квадрат расстояния между осями.
Давление жидкости
В задачах 1434—1438 вес кубического метра воды считать равным 1000 /еГ.
При решении этих задач следует опираться на тот факт, что давление жид-
жидкости во все стороны одинаково.
1434. Вычислить силу давления воды на прямоугольные во-
ворота шлюза, имеющие 20 м в ширину и 16 м в глубину, если
их верхняя грань лежит на поверхности воды.
1435. Вычислить величину давления на прямоугольник, вер-
вертикально погруженный в воду, если известно, что основание его
равно 5 м, высота 4 м9 верхнее основание параллельно свобод-
свободной поверхности воды и находится на глубине 5 м.
1436. Плотина имеет форму равнобочной трапеции, две
горизонтальные стороны которой имеют длину соответственно
200 м и 50jw, а высота равна Юм. Вычислить величину давле-
давления на плотину, если верхнее более длинное основание лежит
на уровне свободной поверхности воды.
1437. Пластинка имеющая форму эллипса с осями 2а и 26
(а > 6), наполовину погружена вертикально в воду, так что ма-
малая ось лежит на поверхности воды. Вычислить величину да-
давления жидкости на пластинку.
1438. Прямоугольная пластинка со сторонами а и Ь (а > Ь)
погружена в воду под углом а к поверхности воды. Вычислить
величину давления на пластинку, если большая сторона ее
параллельна поверхности и лежит на глубине Л.
Работа
1439. Вычислить работу, которую необходимо затратить,
чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрическую цистерну,
имеющую радиус 2 м и глубину 5 м.

1440. Котел, имеющий форму полушара радиуса г, напол-
наполнен водой. Какую работу необходимо затратить, чтобы выкачать
воду из этого котла?
1441. Шар радиуса г погружен в воду. Какую работу необ-
необходимо затратить, чтобы извлечь шар из воды, если удельный
вес шара и воды равен 1?
1442. Какую работу надо затратить, чтобы насыпать кучу
песка конической формы с радиусом г м и высотой h м, если
удельный вес песка равен 2?
1443. Какую работу надо затратить, чтобы тело массой т
удалить в бесконечность с поверхности Земли?
Указание. Закон притяжения тела Землей определяется формулой
R2
f = mg —2~> гДе т ~~ масса тела, R — радиус Земли, г — расстояние тела до
центра Земли.
1444. Определить работу, которую необходимо затратить,
чтобы электрический заряд е2 = 1 приблизить к заряду ех из
бесконечности на расстояние, равное единице.
Указание. Электрические заряды отталкивают друг друга с си-
силой * 2 2 , где е{ и е2 — величины зарядов, г — расстояние между ними.

ГЛАВА VIII
ТЕОРИЯ РЯДОВ
§ 39. Нахождение сумм числовых рядов.
Геометрическая прогрессия
Ряд а\ + п2 + ... + ап + ... называется сходящимся, если существует
предел последовательности его частных сумм:
п
S = lim S = lim У\ at.
Этот предел называется суммой ряда.
В задачах 1445—1448 даны частные суммы рядов; написать
эти ряды и найти их суммы:
1445. 5Я = ?±1. 1446. Sn=
1447, Srt = arctgn. 1448. 5Я = ±-^-.
Рассматривая последовательность частных сумм данных ниже
рядов, выяснить, какие ряды сходятся, и найти их суммы:
1.1,1.
1449.
Указание.
Ь2 ~ 2-3 ~ 3-4
1 1
п(п+\)~~ п п+\'
1450. -у7б+"бТТГ+ ц!16 + ••• Сколько надо взять членов,
чтобы знать сумму ряда с точностью до 0,0001?
1451. 12#22 + 22.з2 + з2^42 "^ '"
12 3
1452. 12.32 + 32.52 ~^~ 52»72 "^ "ф Какое наименьшее коли-
количество членов надо взять, чтобы получить сумму ряда с точ-
точностью до 10~8?
1454. In2 + l
1455. In| + ln4^ + ln!^ + lnifg+...
93

1456. jj In
re=I
1457. 4 —
3 3-2-3 3-3-4 3-4-5
1458. .. .
n{n+l)
,459 1+-L + J- + J- + -L + J
4 лап - Я , . 2!л . . 3!л .
1460. SinT25- + Sin72o +Sin725- +
oo
1461. V±?(-JL?_). 1462.
В задачах 1463—1468 использовать формулу суммы членов бесконечной
геометрической прогрессии:
Найти суммы:
1463.1-1 + 1-1+... 1464. 1-? + 1{5_
,465. 1-1-1-1-... 1466.1+1-1-1 + ^ +
4--1-
Т" 32
1467. 1+| + 1 + | + ^ + ^ + ^-+...
,468.3-1 + 4-1 + 1—1+...
Указать, для каких значений х сходятся следующие ряды,
и найти их суммы:
2 (^f 1471.
1469.
1472.
1474
оо
S
оо
2*.
( х \п
\Е(х)) •
1470.
,473.
147fi
i*t/ о»
S
О»
оо
1477. Напишите бесконечную геометрическую прогрессию,
сумма которой равна а, а первый член равен &. Всегда ли это
возможно?
94

о
о
А В
Рис. 15.
Рис. 16.
1478. а) Каков должен быть знаменатель геометрической
прогрессии с первым членом 1, чтобы ряд, составленный из
остатков ее, имел сумму, равную -^? б) Показать, что если
остатки ряда образуют геометрическую прогрессию, то и сам
ряд является геометрической прогрессией.
1479. Ряд составляется из длин отрезков следующим обра-
образом: в качестве первого члена берем -уд- единичного отрезка,
затем -Гц- остатка, затем -ттг следующего остатка и т. д. Найти
сумму получившегося ряда.
1480. Криволинейная фигура ограничена дугами касаю-
касающихся окружностей радиуса 1 и прямой, касающейся этих
окружностей (рис. 15). В нее последовательно вписываются
окружности максимально возможного радиуса. Очевидно, что
длины диаметров этих окружностей образуют ряд, сумма ко-
которого равна 1. Написать этот ряд.
1481. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треуголь-
треугольника равна 1. На его катете как на гипотенузе строится по-
подобный ему треугольник и т. д. Исследовать на сходимость
ряд, составленный из длин катетов этих треугольников (рис, 16).
1482. В прямой круговой конус, радиус
основания которого /?, а высота Л, после- «
довательно вписываются шары (рис. 17).
Найти длины радиусов этих шаров и со-
составить из них ряд. Найти сумму объемов
всех шаров и сравнить с объемом конуса.
§ 40. Признаки сходимости положительных
рядов, основанные на сравнении рядов
Ряд 2 ап называется положительным, если
для всех п. Если для членов двух положи-
0
Рис. 17.

тельных рядов 2 ап и 2 ^ выполняются неравенства art < bn для всех гс>
Ля=1 /1=1
оо оо
начиная с некоторого, то ряд 2 ап сходится, если сходится ряд 2 ^«*
fi=l fjssxl
ОО 00
Если же ряд 2 ап расходится, то расходится и ряд 2 ^я-
оо
1483. Показать, что если положительный ряд 2 ап схо-
00
дится, то и ряд 2 #« также сходится, а обратное утверждение
/г=1
неверно.
1484. Показать, что если произведения пап, ап^0 ограни-
00
чены, то ряд 2 #« сходится.
п=1
ОО 00
1485. Показать, что если ряд ^ а\ сходится, то ряд ^ —¦
также сходится.
оо оо
1486. Если ряды 2 0* и 2 *« сходятся, то ряды 2
п=1 п=\ п—\
и 21 (tf/z + &/iJ(an и bn^0) также сходятся. Доказать.
ОО ОО 00
1487. Показать, что если сходятся ряды 2 #«» 21 Ь3п, 2 А*
rt=l /г=1 /г=1
ОО
то сходится и ряд ^anbncn{any bnt с„>0). Обобщить.
оо
1488. Показать, что если положительный ряд 2 яя с моно-
/г=1
тонно убывающими членами сходится, то lim^art = 0.
Указание, (п — т) ап< am+i + ... + ап < Rm\ Rm — остаток ряда.
1489. Пользуясь результатом задачи 1488, доказать расхо-
оо
димость ряда V -^- @ < а ^ 1).
^^^ ft
оо
1490. Показать, что если положительный ряд V -^=г схо-
оо
дится, причем ап монотонно убывают, то ряд 2 а2п также
является сходящимся.
96

Признак Даламбера: пусть lim +i = q. Если q < 1, то ряд
Я->оо %
сходится. Если же </ > 1, то ряд расходится.
Признак Коши: пусть Пт Vап — q. Если q < 1, то ряд сходится; если
rt->-oo
же q > 1, то ряд расходится.
В следующих задачах исследовать ряды на сходимость,
применяя признаки Даламбера и Коши, а в случае их непри-
непригодности используя принцип сравнения:
J493. —-4---.-I )——4- ... 1494. — 4- —• 4- —
О I/ л/ О1 и! О! /I
1495. 4 + 1 + 1 + 1+ ... 1496. 1 + ^г + -1
00
1497. I + -: т-~п> "Г 1 Г~о7 "Г • • • 1498.
1800-Ё(тГ-
l
1501# -J ("^ТтГ1 а>0- 1502> S 2"slnIF'
n=l n=l
1503. 1 + a + ab + a2b + a262 + a3ft2 + a363 + .... a, 6 > 0.
oo
1504. ^ (~) ' пРичем 1{т ^a = «» «» ft» «л>0.
В примерах 1505—1512 использовать признак: положительные ряды
оо оо
San и 2j bn сходятся или расходятся одновременно, если lim -~- = k,
<*¦¦ ft -> оо "д
О < k < оо.
Исследовать на сходимость:
00 ОО
1505. ^ -4-=- 1506. 2 sin"T-
ОО 00 / 1 1 \
1507. 2 (Va" — 0- « > 0- 1508. 2 U" + а"" - 2J. а > 0.
1509. ^ у «- з 2=' 151°* S ln sec T*
п=1 ft=3
97

sin—
В примерах 1513—1516 использовать признак: положительный ряд
оо
7, а>п сходится, если lim п\—- 1 )»;?> 1, и расходится, если Я < 1
*я* Л-»оо \ Я«+1 /
(Раабе).
Исследовать на сходимость:
1514' 2^(тГ-
1515. ^a1+^+"'+^rr, a>0.
П=2
1516. 2"^-, где «! = 1, a2=l, art+1 = art + -^-ая-, для
1517. Убедиться, что из признака Раабе вытекает признак
Даламбера.
1518. Убедиться, что признак Раабе сильнее признака Да-
Даламбера (использовать задачи 1513—1516).
§ 41. Интегральный признак сходимости.
Принцип сгущения. Признак Лейбница.
Абсолютная сходимость
1519. Показать, что если положительная непрерывная функ-
функция f(x) не возрастает на A, + оо), то существует конечный
Sn- f f(x)dx\t TAeSn = f(l)+ ... +f(n). Убе-
i J
диться, что этот предел не больше, чем
1520. Вывести из результата предыдущей задачи интеграль-
оо
ный признак сходимости: ряд 2 / (я) сходится или расходится
+ 0О
одновременно с интегралом J f(x)dx. Для его суммы верна
оценка:
-f оо +00
J f(x)dx<S<] f(x)dx + f(l).
1 1
98

Для остатка ряда Rk = f (k + 1) + f {k + 2) + ... верна оценка:
+ 00 +0O
J f(x)dx<Rk< J f{x)dx
В задачах 1521—1522 исследование на сходимость выполнить с помощью
интегрального признака. В задачах 1523—1526 использовать признаки схо-
сходимости несобственных интегралов.
Исследовать на сходимость:
«=1 «=1 л=1
1527. Показать, что
где lim ©ft = 0, с —постоянное (константа Эйлера).
Л->оо
1528. Показать, используя предыдущую задачу, что
1 + +
В следующих задачах, используя результат задачи 1520,
оценить (сверху и снизу) суммы следующих рядов:
1529.
1531.
1533.
1534.
1535.
2и п2 '
©О
V 1
Тх То #
Показать,
1
ш2
Показать,
Показать,
что
1 (ни-
(ничто
оо
2и п2
л=1
ЧТО
j
,1J 1
1
+ 1
1530.
1532.
ь... «
У —
Za 2 •
оо
V х
ZU Bn +1J
^ т+1
1
4 Я.

1536. Оценить сумму ряда ^ -^ с точностью до 0,1.
Указание. Оценить остаток ряда в соответствии с задачей 1520.
оо
1537. Оценить сумму ряда V -^ с точностью до 0,01.
1538. Найти приближенно (до 0,03):
п2 + 2п - 3 #
1539. Пусть /(^ — положительная монотонно убывающая
функция, ф(я) — положительная монотонно возрастающая функ-
функция, удовлетворяющая неравенству ф(л;)>л;. Доказать, что
если для всех достаточно больших х выполняется неравенство
Ф' (х)
f(x)
ОО
то ряд 2 / (п) сходится, если же
/2=1
fix) ^lj
то этот ряд расходится.
Указание. Использовать признак сходимости несобственных интегра-
интегралов.
1540. а) Вывести из признака предыдущей задачи признак
Даламбера.
оо
б) Вывести признак: ряд ^ ап с положительными
я=1
монотонно убывающими членами сходится, если
Нт -^- = q < тг, и расходится, если lim —>-$-.
В следующих задачах предполагается, что f (/г)>0 — монотонно убы-
убывающая функция натурального аргумента, ф (п) — монотонно возрастающая
целочисленная функция, удовлетворяющая неравенству q>(n)>n.
1541. Доказать неравенства:
Ф (м)-1 Ф A)-1 п-\
1) S /@< S М0+2/(ф@Иф('+1)-ф«];
f=i i=i t=i
ф {П) П
2) S Е
1542. Доказать, что если для всех п выполняется неравен-
неравенство
/ (п)
100

то ряд 2/Чя) сходится, если же
1
то этот ряд расходится.
1543. Сформулировать признак задачи 1542 в предельной
форме. Показать, что для суммы ряда верна оценка:
оо ф A)_1
b fin)-
/1=1 П=1
1544. Полагая <р(ri) — n+lt получить из признака задачи
1543 признак Даламбера. Получить новые признаки сходимости,
полагая <р (п) = п + 2, ф {п) = п + 10, ф (п) = 2п, ф (я) = 5я,
Ф (я) = я2, ф (я) = д3.
1545. Получить новые признаки сходимости, полагая ф (п) = 2Л,
1546. Показать, используя неравенства задачи 1541, что
00
ряд 2/(л) сходится или расходится одновременно с рядами:
оо оо оо оо оо
2и fB/x)t i^/(^)» JL^2f(#3)> J-j 2ftf Bft), ^j srt/ ($rt),
s > 1 — натуральное число («принцип сгущения»).
Используя полученные признаки и принцип сгущения, ис-
исследовать на сходимость ряды:
sin —
1549- S /. v-^vn- 155°-
П-2п
/1=1
1555. fj(V«-O. 1556-
Ряд 2 a« называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд 2 I а« I-
/1=1 И=1
101

Если же ряд ^ | ап | расходится, но ряд 2 ап сходится, то он называется
условно сходящимся.
В следующих задачах выяснить, какие ряды сходятся абсо-
абсолютно, какие условно, какие расходятся.
Указание. Кроме прежних признаков, использовать также признак
Лейбница: ряд а\ — а2 + Яз — ... сходится, если ах ^ а2 ^ а3 ^
lim art = 0.
1557. 1--L + 1—-1.+ •" 1558. 1-4--Т + 1'
1559. l-^+f —y+ •••
,5в1. Cosa + ^ + c-^+ ... 1362. V (~1)П
/1=2
оо оо
1563. Yi (—IP-Jr- 1564- ^(~1)
n=l n=l
1565. \гпsinnQ, \r |< 1. 1566.
/i=i /i=i
1567. Показать, что ряд
J , J J ,
расходится. Почему признак Лейбница здесь неприменим?
1568. Доказать признак б) задачи 1540 с помощью признака
Лейбница.
Указание. Исходить из равенства
#i — #2 + #з — ... — а2п = а\ + а2 + ... + #2л — 2 («2 + а4 + ... + а2п)
оо
и показать ограниченность частных сумм ряда^ ап.
1
§ 42. Критерий Коши. Арифметические
действия над рядами. Перестановка
членов ряда
оо
Для того чтобы ряд 2 ап сходился, необходимо и достаточно, чтобы
п=\
для любого е>0 можно было указать такой номер iV, что неравенство
| am+.i + am+2 + • • • + ат+п |< 8 выполняется, как только т> N для лю-
любого п.
Применить необходимое и достаточное условие сходимости
ряда (критерий Коши) к доказательству следующих предложений:
оо оо
1569. Ряд V , , {) сходится. 1570. Ряд V — расходится.
я=1 п=\
102

1571. Если| an |<bn и 2 bn сходится, то и ряд 2 я* сходится.
л=1 я—1
1572. С помощью критерия Коши доказать признак Лейбница.
<х>
1573. Исследовать геометрическую прогрессию 2 ахп~х на
сходимость с помощью критерия Коши.
1574. С помощью критерия Коши доказать, что сумма двух
сходящихся рядов есть ряд сходящийся.
Следующие задачи иллюстрируют вопрос о перестановке
членов ряда.
1575. Показать, что 1 —. -_-. -|- -гт=^ —гт= + . •• сходится,
а ряд 1 + ^-^+г^ + у=--у=+ ... расходится.
1576, Показать, что
1 1 1
1
~ 2 V1 2^3 4 ^ •'•/•
1577. Показать, что
Указание. См. 1527.
1578. Члены ряда 1—у + з—*+ ••• переставить, поме-
поместив вначале р положительных, затем q отрицательных, затем
снова р положительных и т. д. Найти сумму получившегося
ряда.
Указание. См. 1527.
1579. Показать, что 1 - i---f-{-^ + 4 - ffi ~ А ~ П ~
—к+т «•
1580. Члены ряда 1— у + у — -4"+ •«• переставить так,
чтобы его сумма увеличилась вдвое.
1581. Члены ряда 1 — ~ + -j — j + • • • переставить так,
чтобы он стал расходящимся.
1582. Доказать, что сумма любого сходящегося ряда не
меняется от перестановки членов при условии, что его члены
перемещаются на ограниченное количество номеров.
Решить следующие задачи:
1583. Может ли сумма двух расходящихся (сходящегося и
расходящегося) рядов быть сходящимся рядом?
103

1584. Сложить V * ^ и J.— t
1585. Перемножить 1 + 2х + З*2 + • • • и 1 — 2х + З*2 — ...
1586. Возвести в квадрат ряд 1+* + *2+ ...
1587. Написать выражение для квадрата ряда а{ + а2 + а3+...
ОО
1588. Показать, что функция F (х) = YJ -—- удовлетворяет
функциональному соотношению F(x) • F (xf) = Т7 (я + ^0«
1589. Показать, что если хотя бы один из двух рядов
с положительными членами расходится, то расходится и ряд-
произведение
ОО ОО
1590. Показать, что ряд
, оо Х2
I2i yV+T
расходится. Какое условие теоремы об умножении рядов не
выполнено?
§ 43. Функциональные ряды
1591. Найти сумму 1+*2 + *4 + *6+ ...
1592. Найти 5 (х) = 1 — 2х + 4*2 — 8*3 + ...
1593. Найти f(x) = ±-&=lL+ (X~V2 - ...
1594. Найти сумму ^ + yj^ + A ^2J + ...
Найти области сходимости функциональных рядов (т. е.
множество всех точек, где сходится данный ряд):
1595. l+Y + "i"+ ••• 1596'
Гз
1598.
X*
1 /
_L I J
n \
104

1605. sin x — sin sin x + sin sin sin x — ...
1606. cos* —- cos cos x + cos cos cos x — ...
oo
Ряд S (x) = 2 fn (*) называется равномерно сходящимся, если неравен-
ство
fnW — S (*)
<? выполняется для всякого е >0, начиная с неко-
торого номера /i>JV(e), не зависящего от х.
Если в (а, Ь) выполняются неравенства | fn (х) \ ^ <zn, п = 1, 2, ... и ряд
оо оо
2 «п сходится, то ряд 2 /n (л) сходится равномерно в (я, 6) (признак
Вейерштрасса).
Исследовать на равномерную сходимость:
оо
1607. 2 в** на [— ?, Л 0 < ^ < 1.
1608. l+* + i>f + T""'~ 'в" ка любом конечном интервале,
„ ллл - I sin 2х , sin Зл; .
1609. sin*H 23—I 33—^ ... на всей оси.
на всей оси.
на всей оси. Показать, что к этому ряду
признак равномерной сходимости Вейерштрасса неприменим.
1612, Показать, что ряд
^ (—1)я-1 X2
A + х*)п
сходится равномерно на всей оси, а ряд, составленный из абсо-
абсолютных величин его членов, сходится неравномерно (следова-
(следовательно, признак Вейерштрасса к этому ряду неприменим).
оо
1613. Показать, что ряд 2 *п0 — х) сходится на [0; 1] не-
равномерно.
оо
1614. Показать, что геометрическая прогрессия 2 ахп~1 схо-
дится в (•—1; 1) неравномерно (сравнить с задачей 1607).
оо
1615. Показать, что 2 л;2A — ж2)" сходится в (- ]/2, 1/2)
/1=1
неравномерно.
105

Функциональный ряд 2 /Л (*) можно интегрировать почленно в проме-
жутке [а, Ь), если в этом промежутке его члены непрерывны и ряд схо-
сходится равномерно.
Почленное дифференцирование ряда возможно, если производные его
членов непрерывны и ряд, составленный из производных, сходится в данном
промежутке равномерно.
1616. Найти сумму ряда -утз" + Т7& + J7W + '•'» пРоинте-
00
грировав прогрессию \. хп~1.
1617. Найти сумму ряда !-"Х"'" 7"~1о ^~ •'•» интегрируя
прогрессию.
1618. Найти сумму ряда 1 —g' + 'g' — Тз"^~ '"
1619. Найти сумму ряда jt^tj + 37375" + "oTBTf + • • •»
i
предварительно вычислив у J tn~l (I — tf dt.
о
1620. Показать, что хотя все члены ряда
S(l-*) [п (п + 1) хп~{ — (л - 1) пхп~2]
и его сумма непрерывны на [0; 1], ряд нельзя интегрировать
почленно.
1621. Показать, что, хотя ряд
оо
о—*>s (***—(«—о**-1)
1
сходится на [0; 1] неравномерно, его можно почленно интегри-
интегрировать.
со
1622. Дифференцируя прогрессию =\хп-19 получить
новые разложения. п=*\
1623. Показать, что
2л 31
/1=0
оо
х —
1624. Убедиться, что ряд ^ sin/taX можно дифференциро-
вать почленно.
х2 х*
1625. Убедиться, что ряд 1+л: + -2|- + -зр+... можно диф-
дифференцировать почленно.
106

1626. Используя задачу 1620, построить ряд, который нельзя
дифференцировать почленно.
§ 44. Степенные ряды. Разложение функцнй
в ряды
Степенным рядом называется ряд вида с0 + сх (х — а) + с2 (х — аJ +
+ ... + сп (х — а)п + ... Его радиус сходимости может быть определен
по формулам: R =* р-^—j— или R = д если указанные
пределы существуют. Интервал сходимости (a — R, a + R) есть наибольший
из интервалов, внутри которого сходится степенной ряд.
В следующих задачах указать радиус сходимости, интервал
сходимости и область сходимости степенных рядов:
1627. 1+х + х2 + ... 1628- х —?• + ?- — ...
1629. 1 + 2л;2 + 4х4 + 8х6 +
1631.
1632.
1633. (*_ 2)+ -П-(л;-2J+ -§!-(*-2K+
х+1 I (*+1J I (зс+1K I
Ь2 "I" 2.2-3 ^ 22-3-4 + •••
1635. (л:-4)- (х~
1636.
1637. Показать, что сумма, разность и произведение двух
степенных рядов с центром интервала сходимости в одной и
той же точке также являются степенными рядами с центрами
интервалов сходимости в той же точке.
1638. Возвести в квадрат ряд а0 + #1* + #2*2 + ...
1639. Возвести в куб ряд 1+* + *2+ ...
1640. Найти ряд, обратный ряду а0 + ахх + а2х2 + • • •
Разложить в степенные ряды, исследуя остаточный член
формулы Тейлора (см. стр. 53):
х
— е2
1641. у — е2 по степеням х.
1642. #=— по степеням х — 3.
х
1643. #=1 по степеням х.
I ~~~ X
1644. у = \пх по степеням х — 4.
1645. y = sin2x по степеням х.
107

1646. y = Yx п0 степеням (л;-— 1).
Написать формальные разложения в степенной ряд (указать
три первых ненулевых члена).
По степеням х:
1647. y = tgx. 1648. y=zesinx.
1649. у = sec x. 1650. у = In (ex + х).
1651. у = {1+х)х~{. 1652. y — pj—..
По степеням (х — а):
1653. у = я*1пх, а = \. 1654. # = 1/7, a = 4.
1655. у = 1пх, а = 2. 1656. # = arc cos*, а = 0.
Разложить данные ниже функции в степенные ряды, поль-
пользуясь известными разложениями функций у = _ , у = ext
у = sin л:, # = cos#, # = ln(l+^)» # = arctgA:, #==A + л:)т.
Указать области, в которых разложения справедливы.
По степеням (х — а):
1657. у = ех. 1658. y = sinx. 1659. # = cos*. 1660. */ = 1плг.
По степеням л::
1661. у = е-*-sin*. 1662. */ =
1663.. у = sin2x. 1664. y = exln(l+x).
1665. (/=17Т4=. 1666. ? = _!_ 1667. y = l
A — х)
1669. ^=_^_. 1670. y =
1671. y = |=?±^ 1672. У-^^Jr.
1673. y = ln(x + Vl+ x2). 1674. у = arc sin x.
1675. «/ = arc cos x. 1676. у = A + jc) arc tg jc.
1677. y=— no степеням (х — 3). 1678. « = т по степеням
л * "~" X
(x - 2).
X
^jt no
степеням л:.
1679. t/ = J e~*2dx по степеням #. 1680. у = f -
о о
1681. у = J j7==== по степеням х, 1682. у = Г x*arctgxdx по
степеням л:.
1683. #=10* по степеням л:.
Вывести из результата формулу для вычисления антилога-
антилогарифмов.
1684. Каков будет ряд для вычисления антилогарифмов,
если основанием системы логарифмов служит число 2? число 5?
число е?
108

§ 45. Вычисления с помощью рядов
1685. Вычислить натуральные логарифмы чисел 2, 3, 5
с шестью верными десятичными знаками, пользуясь равенствами:
ln-jg- =2 In 3- In 2 -In 5;
ln-Ц = 3 In 2 + In 3 — 2 In 5;
ln|J-=41n3 —41n2-ln5.
1686. Пользуясь результатом предыдущей задачи, вычислить
In 7, In 11, In 13, In 17, In 19.
1687. Вычислить с шестью десятичными знаками модуль
перехода от натуральных логарифмов к десятичным.
1688. Вычислить наиболее коротким способом lg 15, lg 37,
lg 210.
1689. Вычислить lg 101 с шестью десятичными знаками.
1690. Вычислить Ig999 с девятью десятичными знаками.
Вычислить с четырьмя десятичными знаками:
1691. 1^30. 1692. /2000. 1693. 10^8. 1694. 1^728.
1695. /Тб. 1696. /ТО- 1697. f"l. 1698. 3".
1699. /Т027. 1700. /516.
Вычислить с тремя десятичными знаками:
1701- arctg-. 1702- arcsin--. 1703. sin 0,5. 1704. sin 18°.
1705. sin-f. 1706..sin 27°. 1707. sin3°. 1708. cos50°.
1710. со? 13°. 1711. tg 14°. 1712. ctg35°.
dx. 1714. J e-*dx.
о
1 4
1709.
1713.
sin
0
10°.
sin x
X
1715. J cos/Id*. 1716. J ln(l
о о
Вывести следующие приближенные формулы и оценить их
точность, считая | х |< 0,05:
1717. t-J— **1 + х. 1718. т4— « 1 - х.
1 — х 1 + х
1719. A +х)т « 1 + тх\ ш = 2, т = Ъ, m = -j, tn = ^.
1720. Yan + х w a -\ $—r , a>0.
na *
X3 X2
1721. sin х » х g-. 1722. cos x « 1 g- .
109

1723. lg(l + x) « 0,4343л\ 1724. 10* ~ l + 2,303*.
1725. Найти приближенную формулу для вычисления arc sin #.
1726. Найти приближенную формулу для вычисления arc cos я.
§ 46. Тригонометрические ряды. Приближение
функций многочленами
Ряд
оо
-у- + 2j (a" cos пх + b* sin пх)>
коэффициенты которого определяются формулами:
Jt Я
art = — J f (x)cosnxdx, л = 0, 1, ...-, bn = ~ J / (x) sin nxdx, n== 1, 2, ...,
называется рядо.м Фурье функции y~f{x) в (— я, Jt).
Если периодическая функция y~f(x) с периодом 2я и ее производная
кусочно непрерывны, то ряд Фурье функции f (x) сходится в точке х к сред-
среднему арифметическому односторонних пределов в этой точке:
f (х - 0) + f (х + 0) а0
— ^у-1^—!—Ltsst-zjr
В частности, в каждой точке непрерывности f {x) ряд Фурье сходится
к значению функции в этой точке
1727. Разложить в ряд Фурье функцию
( -1, -я<х<0,
/(*)-'
0, х = 0,
1, (ХЖя.
1728. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x в интервале
(— я, я).
1729. Разложить в ряд Фурье функцию у = х2 в интервале
(— тс, я). Пользуясь разложением, вычислить сумму ряда
1 J_ . J L +
22 ' З2 42 ' ' ' '
1730. Разложить в ряд Фурье функцию у=\ х\ в интервале
(— я, я). Пользуясь разложением, найти сумму ряда
52 "Г ?2
<h\7WVT1Vllf\ 11 —_^__
1731. Разложить в ряд по синусам функцию у= n~Zx в ин-
интервале @, я).
1732. Разложить f{x) — x в ряд Фурье в интервале (—Л, /г).
1733. Разложить /(#) = ?* в интервале (—А, А).
1734. Разложить в ряд Фурье в интервале (— я, я) функцию
f() |il
Ш

1735. Разложить в ряд Фурье функцию у = sin ах в интервале
(— я, я).
1736. Разложить в ряд Фурье функцию у = cos ах в интервале
(— я, я).
1737. Исходя из общей формулы ГЛ = -—^ cos л arc cos x, напи-
написать первые пять полиномов Чебышева, наименее уклоняю-
уклоняющихся от нуля на [—1, 1].
1738. Найти полиномы Чебышева первой и второй степени,
наименее уклоняющиеся от нуля на [—1, 1], из геометрических
соображений.
1739. Найти полином не выше третьей степени, наименее
уклоняющийся на [—1, 1] от функции f(x) = 5xA.
1740. Найти полином не выше четвертой степени, наименее
уклоняющийся на [—1, 1] от функции f(x) = x5 — х2 + 1.
1741. Найти величину наилучшего приближения на [—1, 1]
функции /(*) —1*| посредством полиномов степени не выше
первой.
1742. Определить число с так, чтобы полином у = х2 + 2х + с
наименее уклонялся от нуля на [—1, 1].
1743. Найти полином нулевой степени, наименее уклоняю-
уклоняющийся на [—1, 1] от функции / (х) = 2л:2 — 3* + 4.
1744. Показать, что если функция y = f(x) дважды диф-
дифференцируема на [а, Ь] и f"(x) не меняет знака, то коэффи-
коэффициенты наименее уклоняющегося от нее полинома первой степени
р(х) — Ах + В определяются по формулам:
A_fjb)-f(a) R_f(a) + f(c) f(b)-f(a) a + ct p/.v *
л— b — a ' 2 b — a ' 2 ' I \c) —n*
1745. Найти полиномы первой степени, наименее уклоняю-
уклоняющиеся от следующих функций:
а) у = — на сегменте [1,2];
б) у = In х на сегменте [2, 3];
в) y — Yx на сегменте [1, 4];
г) у = . , на сегменте [0, 1].
Полином
/г
называется полиномом Бернштейна для функции / (х) на [0, 1].
1746. Написать первые три полинома Бернштейна для функ-
функции /W = -7^2*
1747. Написать полином Бернштейна четвертого порядка
для функции f(x) = \g(l+x).
Ш

1748. Написать полином Бернштейна третьего порядка для
функции f(x) = x*.
1749. Написать полиномы Бернштейна второго и третьего
порядка для функции f(x) — sinx>
Пусть на [а, Ь] даны точки («узлы»)
Х\ »
„B) J2)
Х1 , Х2 ,
Х{П\ Х{П\ . . ,, Х{П\
и функции
ф<2> (х), фB2> <*),
Ф1 \х), Фг \Х)> • ••» ФЛ
Выражения
fD2>
будем называть «сумматорными полиномами» для функции f (x). Все функ-
функции ф?^(*) предполагаем неотрицательными на [а, Ь].
1750. Показать, что если при всяком 6 > 0 выполнены
условия п
+<*„(*). (и
(где &п(х) — множество тех значений k9 для которых | х^ — х| >6)
и если аЛ(лс) и prt(#) равномерно стремятся к нулю на [a, b] при
п->оо, то последовательность сумматорных полиномов {ФЛ/, *)}
равномерно на [а, Ь] сходится к / (лс), если только f (x) есть
функция, непрерывная на [a, b] (решение этой задачи помещено
в ответах).
1751. Показать, что если последовательность сумматорных
полиномов {<Pn(fy х)} равномерно сходится к 1, х и х2, то,
какова бы ни была функция /(дс), непрерывная на [а, 6], после-
последовательность {<Pn(f, x)} равномерно сходится к этой функции
(см. указания в ответах).
1752. Проверив, что полиномы Бернштейна равномерно схо-
сходятся к функциям 19 х я x2t доказать, что последовательность
112

полиномов Бернштейна для любой непрерывной на [0, 1] функ-
функции f(x) равномерно сходится к этой функции.
Обозначим через Ln (f) оператор
ь
Ln (Л -/я (*) - J f (У) Лря (*, у), /I- 1, 2
где q>n (*, у) — функция, непрерывная при | ^ ^ ' и не убывающая при
каждом фиксированном значении х. Этот оператор каждой непрерывной на
(а, Ь) функции f (x) ставит в соответствие функцию fn (x).
1753. Показать, что если при всяком б > О
ъ
J dyn (х, у) = 1 + ап(х) A)
i
я(х,у) = Ш> B)
где ап {х) и ра (л:) равномерно на [а, й] стремятся к нулю, то
для любой непрерывной на [а, Ь] функции f(x) соответствующая
последовательность {Ln{x)} равномерно сходится к этой функции.
1754. Показать, что если последовательность {Ln(f)} равно-
равномерно сходится на [а, Ь] к функциям 1, х и jc2, to {Ln(f)}
равномерно сходится к f{x) для любой функции f (x), непре-
непрерывной на [а, 6].
1755. Показать, что если последовательность {Ln(f)} равно-
равномерно сходится на сегменте t~ я; л;] к функциям 1, sin* и cosjc,
то {Ln (/)} равномерно сходится к f (х), если / (я) — периодическая
функция с периодом 2я, непрерывная на всей числовой оси.
Среднее арифметическое п первых частных сумм ряда Фурье функ-
функции / (х) называется суммой Фейера:
{х)
к
-y+ 2 (ат cos тх + Ьт sin /их),
Сумму Фейера можно представить в виде интеграла:
«•
¦set
sin у (у - х)
1756. Используя результаты задач 1754 — 1755, показать, что
суммы Фейера для любой функции f(x), непрерывной и имею-
имеющей период 2я, равномерно сходятся к этой функции.

ГЛАВА IX
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 47. Понятие функции нескольких
переменных. Область определения.
Геометрическое изображение функции
двух переменных
1757. Выразить площадь треугольника: а) как функцию трех
его сторон; б) как функцию периметра и радиуса вписанного
круга.
1758. Выразить длину хорды окружности: а) как функцию
радиуса и центрального угла; б) как функцию радиуса и рас-
расстояния хорды до центра окружности. Найти области опре-
определения этих функций. Можно ли эти функции считать тожде-
тождественными?
1759. Количество теплоты, выделяемой при прохождении
электрического тока через проводник, выражается формулой
Q = 0,24I2Rt. Функцией каких величин является количество
теплоты? Какие значения могут принимать аргументы этой
функции?
1760. Два круга, пересекаясь, образуют двухугольник.
Функцией каких величин является его площадь? Какова область
определения этой функции?
1761. Составить таблицу значений функции г = ~, давая х
и у значения от 1 до 10 (через 1).
1762. Составить (при тех же условиях) таблицу значений
функции z== х — 2у.
1763. /(*, y) = ~~f- Найти /A, 2), f (-3, 5), f(a, Ь), f(a, ~) ,
/(**)¦
1764. f(xty) = x + -. Показать, что f(x9y) = f[j, -).
1765. f(x,y>z) = j^. Показать, что
1766. и(а, Р, у)=уеа-*+№~а+ае*-У. Показать, что и(а, р, v)=
и (Р, V* <*) = w (Y> «» Р) Ф и (Р. а> V).
Дать описание графиков следующих функций:
1767. z = x — y + 2. 1767(a). z = х2 + tf.
И4

1768. г — Vx2 + У2- 1768(а). z = ху.
1769. z = х + у2. 1769(а). z = -J.
1770. z = | ж + У I- 1770(а). 2 = ? (*2 + г/2).
Найти области определения следующих функций:
1771. z = 7i^. 1771(а). 2 = y + 7'
1772. г = arc sin -^-. 1772(а). г = In (г/2 — Ах + 8).
1773. г = /* + # + /« — У» 1773(а). г = Уд;
1774. г = In (*#) и г = In д; + In у.
1776. u = lAg-^-y»-
; /?>О0.
г х2 + у2 + г2 — г2
1777. Напишите функцию, имеющую областью существова-
существования фигуру, заключенную между параболами у = х2 и х = у2
(включая границы).
1778. Та же задача для односвязной области, заключенной
между кругом х2 4- У2 = 4 и гиперболой ху=1 (исключая гра-
границы).
Линией уровня функции z = f(xt у) называется геометрическое место
точек, координаты которых удовлетворяют уравнению f (х, у) = const.
Начертить семейство линий уровня каждой из следующих
функций:
1779. z = xy. 1780. z = x2 + y2.
1781. z = x + y. 1782. z^1—
1783. z = j. 1784. z^
j
1785. Каковы поверхности уровня функции и— * "У*
х у -\- z
х2 -f- и2 4-
1786. Каковы поверхности уровня функции и = —*
§ 48. Предел и непрерывность функций
нескольких переменных
Число М называется пределом функции* f(х, у, z> ...) в точке
Л (*о»#о»?о» ...), если для всякого е>0 найдется такое 6>0, что неравенство
I / \-^> У* Zy . ¦ ») "¦"* М. J ^ 6
выполняется, как только | х — х0 \ < 6, | у — у01 < б, ..., (а: — х0J + {у — #ъJ +
• В дальнейшем через f (х, у, zt . •.) будет обозначаться функция конеч-
конечного количества переменных х, yt z> ....
115

Функция / (х, у, ...) называется непрерывной в точке А (хо, у0 .. .)> если
Iimf (*, у, ...) = /(*о. Уь • ••)•
Для функции нескольких переменных сохраняют свою силу теоремы:
lim (/ ± ср) = lim / ± lim q>; lim / • q> = lim / • lim ф;
hm ~ = --——, если lim ф ф О,
Ф lim ф ^
а также теорема о непрерывности суммы, произведения и частного непре-
непрерывных функций.
Основываясь только на определении предела, показать, что:
1787. lim Bх + Ъу) = 16. 1788. lim (х2 + у2) = 2.
У-+4 У+-1
1789. lim х2у = 4. 1790. lim — = 1.
Х-+-2 Х-+2 У
У-+2
зать, что функция z== *
в точке @, 0).
1791. Показать, что функция z== *х_ не имеет предела
1792. Имеет ли предел в точке @, 0) функция . х .^~_ f ?
2 _ 2 Х У*
1793. z = х2 , у2 . Найти lim (lim z) и lim (lim z).
x ~т У o 0 Q Q
1794. Показать, что если существует двойной предел
lim f (x, у)
х-+хй
и существуют lim f (л:, у) и lim/(x, у), то
lim (lim / (л:, у)) = lim (lim / (x,
Обратное неверно, в чем нетрудно убедиться, рассмотрев
функцию f (ху у) = *_? а в точке @, 0).
В следующих задачах, пользуясь теоремами о пределах,
найти:
1795. lim у х« . 1796. lim
х-+оуху+1 — 1
^0
1797-
1/ |/
1799. Используя определение непрерывности, показать, что
функция z = xy непрерывна в любой точке плоскости.
1800. Доказать непрерывность функции z = ах + by + с на
всей плоскости.
1801. Показать, что если z = f(x, у) непрерывна в точке
(*о» Уо)> то f(*> Уо) непрерывна в точке xQ, a f(xQ, у) непрерывна
в точке у0.
116

1802. Рассмотрев функцию f (x, у) = x2*l y2 > f @, 0) = 0, убе-
убедиться, что предложение, обратное сформулированному в за-
задаче 1801, неверно.
1803. Показать, что функция
2 = SI
непрерывна на всей плоскости.
1804. Являются ли непрерывными в своих областях опреде-
определения следующие функции:
х + у? у2 4- 2х ?
х-у* z~ у2-2х-
1805. Исследовать характер разрывов функции z=E(\/ х2+у2).
1806. Исследовать характер разрывов функции z = e(—).
Известно, что функция, непрерывная в замкнутой и ограниченной обла-
области, ограничена в этой области if достигает своего наибольшего, а также
наименьшего значения.
1807. Указать наибольшее и наименьшее значение функции
2=| х + у |— У\ — х2 — у2 в области ее непрерывности.
1808. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
z — x+\x — у\ в области | х |< 1, | у |<2.
1809. В какой области функция z = 2 , 2 является огра-
ограниченной?
1810. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
z = (x + у) еху при O^x + f/^l-
§ 49. Частные производные и полный
дифференциал
Найти частные производные первого порядка от следующих
функций:
1811. z = x + y. 1812. z = x2y.
1813. z = x2u* + x*y. 1814. u = (ax2 + bu2 + cz2)n.
1817. г = еху. 1818. z =
1819. u = xyz. 1820. u =
1821. u = {xyf. 1822. z =
1823. z=*xV~y + -i~' 1824. и = Vx2 + ^2 + 22.
1825. 2 = In(x + In#). 1826. z = e~~.
1827. z^l+лгг/У. 1828. « = sin(
П7

1829. и = г cos ф. 1830. / = реп cos ф.
183Ь и =--4—• Найти и* B, 1).
1832. г=1^л:2 + г/3. Найти /-|~) и (-^-)
1833. и = In (в* + еу). Показать, что
ди , ди «
1834. и = ху - у*. Показать, что
1835. Найти скорость изменения функции г = х2 + у2 в точке
A, 2): а) по переменному х\ б) по переменному у.
1836. С какой скоростью изменяется объем конуса: а) при
изменении высоты Л; б) при изменении радиуса основания Ю
1837. Показать, что из существования частных производных
по всем переменным не следует непрерывности функции в точке.
Вывести это из рассмотрения функции
), если х = 0 или у = 0,
I, если хф§, уфО,
в точке @, 0).
1838. Под каким углом встречаются кривые, полученные
9 I У2 х24-и3
в результате сечения поверхностей г = лг + -~- и z = —~-^—
о о
плоскостью у = 2?
Функция / (х, у, ...) называется дифференцируемой в точке А (х0, yOt ...),
если ее приращение в этой точке может быть представлено в виде
А/ = f (xt у, ...)-/ (*о, yo>...) = MHx + N /±у+ ... + в1 Дх + е2 Ау + ...,
где M = -rL, дг--^.^ #вв зависят только от координат точки Л, a ej,
?2, ... — бесконечно малые при Д* ->0, Дг/ -> 0, ...
Выражение М Да: + iV Ay + ..., составляющее главную часть прира-
приращения дифференцируемой функции, называется полным дифференциалом
этой функции. Полный дифференциал, следовательно, имеет вид:
В следующих задачах, опираясь только на определение,
доказать дифференцируемость на всей плоскости данных функ-
функций:
1839. z = x + 2y. 1840. z = xy.
1841. z = x2 + y2. 1842. 2 = 2 — х — у.
1843. Показать, что функция / (#, у) = х + У + V\ ХУ I не
дифференцируема в точке @, 0).
1844. Показать, что функция 2=]/*2 + #2 не Дифферен-
Дифференцируема в начале координат.
118

1845. Показать, что функция задачи 1837 не дифференци-
дифференцируема в начале координат.
1846. Показать, что из дифференцируемости функции в точке
следует непрерывность функции в этой точке.
Написать полные дифференциалы функций:
1847. z = ху — х2уъ + х3у. 1848. z = arc tg ^J-.
1849. г = cos (**/). 1850. z = yx.
+±
1851. *=?+?±^. 1852. г=/3?+?.
1853. и = л; + 2г/ + ег. 1854. и = ре«>+ е~*+ t.
Производной функции по направлению прямой / называется
EL- Hm 1W)
(точка М' лежит на прямой U проходящей через точку Af, р (М\ М) — длина
ориентированного отрезка ММ'),
Обозначая углы, составляемые прямой / с осями координат, через а, $
и т. д., имеем (предполагая функцию дифференцируемой):
-~ = —• cos a + -— cos P + ...
dl дх ду г
Градиентом функции f (х, у, ...) называется вектор
1855. Найти производную функции z == Зх4 + ху + #3 в точке
A,2) по направлению, образующему с направлением оси Ох
угол в 135°.
1856. Найти производную по направлению от точки C, 1) к
точке F, 5) от функции z — x2 + y2 + ху.
1857. Найти производную по направлению, составляющему
равные углы с координатными осями, от функции и = In (х +
+ У + г+1).
1858. z = x2 + у2. Найти gradz. Начертить поле градиента.
1859. z = 2xy. Найти gradz. Убедиться, что он перпендику-
перпендикулярен линии уровня.
1860. 2 = arc sin f . Найти угол между градиентами этой
функции в точках A,1) и C,4).
1861. Найти наибольшую крутизну подъема поверхности
z=== x + V7 в точке B, 1,3).
1862. Показать, что функция задачи 1844, не дифференци-
дифференцируемая в начале координат, имеет в этой точке производную
по любому направлению.
1863. То же для функции задачи 1843.
1864. и = х — Ъу + УЪху. Найти grad я.
119

В следующих задачах найти все частные производные вто-
второго порядка:
1865. z = x + y-\--^—. 1866. z = xey.
х — у
1867. z = ylnx. 1868. 2 = arctg-
1869. z = f~x + ~y. 1870. z = !n(x +
1871. z = ig(x2 + y2). 1872. z = x2y.
1873. z = e* (cos г/ + л: sin г/). 1874. w = е^г.
1875. w = -*?--
1876. г = л:2г/3. Найти все производные третьего порядка.
1877. z = хеу + уех. Найти все производные третьего по-
порядка.
1878. и= г Показать, что
у х2 + у2 + z2
д2и . д2и , д2и __л
"^F" ду2 ~i"Ur—и'
1879. z = excosy. Показать, что
дх* + ду2 "~U#
1880. 2=/(л: + ф(^)). Показать, что
д? д2г _ az а2г
<3jc * дх ду ^t/ ^jc2 '
1881. и = ху(—) + у$(—). Показать, что
\ X / \ X I
x2 + 2xy + y20
1882. f (х, у) = х3 + 3jc2j/ + 12*г/3. Найти:
^@,1); ^B,0); ?,(-1,1).
1883. f (л:, ^, z) = ху2 + г/22 + zx2. Найти:
К, @, 0, 1); /?A.0, 2); /? @, -1, 0); /^ B, 0, 1).
В следующих задачах убедиться, что ду.1 = -^-^-для функций.
1884. z == jcy. 1885. z = xz + y3 + x3y\
1886. z = e**. 1887. z = /*2 + «/•
1888. z=jcey cos (xу). 1889. z = jn/ln.x;.
1890. и = хг + е + у. Убедиться, что
Показать, что ^-j^-^-= _^_ .
120

{ху при I у КI х |
. -*„приЫ>|,|- Показать> что
функция f(x, у) непрерывна в точке @, 0) и f"y@, 0) ф f"yx{0, 0).
1892. f {х, у) = ху *, ~ ^2 , / @, 0) = 0. Показать, что f (x, у)
непрерывна в точке @, 0) и f" @, 0) ф /''@, 0).
§ 50. Дифференцирование сложных
и неявных функций
Если z = f{x, у, ...), x = x(t), y = y(t), ..., то
dz dz dx . dz dy ,
dt ~~дх~ЧГ~Т~ dy dt + f • *
(«формула полной производной»).
1893. z = x2 + xy\ x = e2t, z/ = sin^. Найти -^.
1894. z = ^In(x + y), jc = 2/2, */=l-2/2. Найти -^.
1895. ^ = arctg-^±I, |/ = ^1+;cJ. Найти j
1896. и; = л:2+ Yyz +sin z, x = u-{-vy y = u2 — v. Найти
"T И -. .
ди ov
eax tu z\
1897. u=
Найти полную производную.
1898. z = x2y — y2x, л: = и cos v, y = u sin 0. Найти -тр- и -^-.
Вводя промежуточные аргументы, найти частные производ-
производные от следующих функций:
1899. z = Bx + y)\n(x-y2). 1900. z=
1901.0 = 1/ ^-. 1902. z = (x2+y2)e *» .
rc tg "*"
1903. u = arc sin n * . f *
1904. ay = (л: + у + zJ cos (cos — J.
"l "Z, Q pi Л
1905. Л= 1п(ав + в, + уа) •
121

Форма полного дифференциала функции по основным аргументам
остается той же, если х> у, ... являются лишь промежуточными перемен-
переменными. В этом случае под dx, dy, ... следует понимать полные дифферен-
дифференциалы х, у, ... по основным аргументам,
Пользуясь свойством инвариантности формы, найти полные
дифференциалы по основным аргументам следующих функций:
1906. z = xev + ye\ x = u2 + v\ y = u2 — v2.
1907. z = xy + yx9 x = t + u — v, y = t> —/ —и+1.
1908. z = xy arc tg (xy)t x = t2+l, y = t\
ltJlU. О — "«"Г Ct, Г — Ыу (X — у I -f" I.
В следующих примерах, пользуясь свойствами дифферен-
дифференциала
и зная дифференциалы основных элементарных функций, найти
полные дифференциалы, не прибегая к производным:
1912. г = —
\ a2 sin В sin С
1913. S==-
sin (В + С)
1914. Р=У(х2-
rn—
. W _
JC2 + ^2 + Z2} (X3
arc tg-f-4- arc tg-i-
1918. z = In (х#2 + ^2 + /1+х2-#3).
Если у задан как неявная функция х с помощью равенства F (х, у) = 0, то
dy Fx
dx~ F'y'
Точно так же из равенства Ф (х, у, z) = 0 следует:
dz ФС dz Ф'
B2

В дальнейших примерах найти -^~ от функций, заданных
неявно:
1919. х3 + У3 — Зху = 0. 1920. ху = у*.
1921. ху — In у = 0. 1922. #е* + е* = 0.
1923. х + у* + ху2 + 2 = 0. Найти ^ и у".
1924. siny-M* — x#2 = 0. Найти у9 и #".
1925. х2 + г/3 + ^/ = 0. Найти у'".
Найти —^ и -?-% если:
1926. л;2 + 22 —2JC + xr/4—1=0.
1927. г3 + Зл:г/2 = а3. 1928. ег — jcjfz = 0.
1929. sin {ху) + cos {xz) + tg (уz) — 0.
1930. ' ' ' ч хи Л
1931. д;2 + ^2 + 22 = 2г. Найти Д
С/Л
1932. л:2 + ^3 + г4 = л: + 2. Найти
§ 51. Дифференциалы высших порядков.
Формула и ряд Тейлора
Дифференциал п-го порядка определяется как dnz = d (dn~"lz). Выра-
Выражение для дифференциала n-го порядка имеет вид:
(в символической форме).
Написать дифференциалы второго порядка для следующих
функций:
1933. z = x + xy. 1934. z =
193G. г =-^ZfJ • 1936- г = х sin2 у.
1937. w = ху + уг + xz. 1938. и = In (х + у +
1939. ы = * + # + *#. Найти rf3«.
1940. ы = ех+*/. Найти dnu.
1941. ш = рвр~Г. Найти #ш.
1942. x2 + y2 + z2 = 2z. Найти rf2^.
1943. x — yz + ez = 0. Найти d2z.
1944. лгу + xz + z/z = 1. Найти d2z.
Формула Тейлора для функции двух переменных имеет вид:
bHx.y) = df{x,y) + ±d*f(x,y)+ ... +~dnf(xty)
dn+lf ( + 6 Ах> у + 9
1I
123

или в развернутом виде:
+ bxf y + by)-f(x, */) =
#п — остаточный член формулы Тейлора.
Разложить по формуле Тейлора (до членов второго порядка
включительно):
1945. ?=——. 1946. z = In (* + #).
л — у
1947. г = е**. 1948. г = sin л; • cos у.
1949. 2 = arctg-. 1950. z^
Разложить в ряд по степеням х и у:
1951. г = ех • cos г/. 1952. z =
^=1,Л + хУ- 1954- ^-
§ 52. Геометрические приложения частных
производных. Касательная плоскость
и нормаль к поверхности. Огибающие
Уравнение касательной плоскости к поверхности F (х, у, z) = 0 имеет вид
^(X^x) + ^{Y-y)+^(Z^z)=0.
дх v d# v y/ ^z v 7
Уравнение нормали к поверхности F (х, у, z) = 0 в точке (at, ^, z)
имеет вид:
Х~* __ Г~1/ _ Z-~z
Т' ~~ F' ~~ F' '
Гх гу rz
Написать уравнения касательных плоскостей и нормалей
к поверхностям:
1955. z = xy в точке @, 0, 0) и в точке B, 1, 2).
1956. z = x2 + y2 в точке A, 1, 2).
1957. z = sin~ в точке (я, 1, 0).
1958. x2 + y2 + z2— 1=0 в точке (х, у, z).
1959. (z2 — x2)xyz — y5 = 5 в точке A,1, 2).
1960. ez — z + a;z/ = 3 в точке B, 1, 0).
1961. Показать, что поверхности xy = z2 и х*-\-у2 + z2= 1
ортогональны.
1962. Показать, что поверхности х2 + у2 -\-z2 — x и я2 + #2+
+ z2 = y ортогональны.
1963. К поверхности ху + г2 + ЛГ2= 1 провести касательную
плоскость, параллельную плоскости * + 2г — # = 0.
124

1964. К сфере х2 + у2 + z2 = 2x провести касательную пло-
плоскость, перпендикулярную к плоскостям х — у — 2 = 2 и х —
Если уравнение семейства кривых задано в форме F (х, у, а) = 0, то
огибающую этого семейства находят из уравнений:
F(x,y.a)=Q9
{ F'a(x, t/,a) = O.
Однако при этом можно получить постороннюю кривую (геометрическое
место особых точек).
Найти огибающие следующих семейств кривых:
1965. (х-аJ + у2=-^. 1966. y = ax + f(a).
1967. у* = а(х — а). 1968. у + а(х — у) + х2 = az.
t t^t
1970. Найти огибающую семейства окружностей, проходящих
через начало координат и имеющих центры на параболе у = х2.
1971. На хордах окружности х2 + у2 = а2У параллельных оси
ординат, строим как на диаметрах окружности. Найти их
огибающую.
1972. Найти огибающую парабол у = х2 + ах + Ь9 вершины
которых находятся на прямой у = х.
§ 53. Экстремумы функций многих переменных
Необходимые условия экстремума функции / (д:, уу ...) в точке А заклю-
заключаются в выполнении в этой точке равенств: -~- = 0, — = 0, ... При этом
функция двух переменных z = f (х, у) имеет в данной точке максимум, если
дЧ д2} I d2f \2 дЧ дЧ
>Ои а^или W<Oi и MHHHMyMj если А>0
дЧ дЧ
и -^-у или -г-~>0 (при условии непрерывности частных производных).
Исследовать на максимум и минимум следующие функции
двух переменных:
1973. г = Зх + &у — х2 — ху + у2.
1974. z= e^ix + y2).
1975. z = 2х3 — ху2 + Ъх2 + у2.
1976. z = 3\nx + xy2 — y\
1977. 2 = х3//2A~х~у).
1978. z = x2 — xy + y2 + 3x — 2у+ 1.
1979. z = -j + — — xy.
1980. z = Bах — х2) BЬу — у2).
1981. z = 7x2 - бху + Зу2 - 4х + 7у - 12.
1982. z = Зх3у — х2у2 + х.
125

1983. г = +у
1984. г = 3x2 - 2x Vy + у — 8л: + 8,
Исследовать на максимум и минимум функции, заданные
неявно:
1985. ^- + 2y2 — z2x + z = 0.
1986. ez — xyz + x2y2 = 0.
1987. Зх2 + by2 + 2z2 — 2ху = 0.
1988. 2х2 + 2у2 + z2 + 8xz - z + 8 = 0.
Найти наибольшее и наименьшее значение функций в ука-
указанных областях:
1989. г = х2 + t/2 — ху + х + у в треугольнике, ограниченном
прямыми л; = 0, у = 0 и х + у = — 3, О^лг<~.
1990. z = sin х + sin у + sin (x + у), 0 < у < ~.
1991. и = 2ху в круге х2 + у2^.\.
1992. z=^±JL--xy при х>0, у > 0.
1993. г = arc tg {х2 — ху + у) в прямоугольнике, ограниченном
прямыми х = — 2, л: = 2, # = — 3, # = 3.
1994. г = jc3 + 8//3 — бхг/ + 1 в прямоугольнике, ограниченном
прямыми: */=1, у = — 1, х==0, х==2.
1995. Показать, что функция z = (y — х2)(у ~-2х2) не имеет
экстремума в точке @, 0), хотя вдоль всякой прямой x^sina,
# = /cosa имеет минимум.
Для того чтобы функция г = f (*, ^, .,.) при условиях cpi (д:, у% ...) =0,
Фг (*» I/» • • •)s=s 0. • • •» наложенных на аргументы, имела экстремум в точке Д,
необходимо, чтобы в этой тачке при некоторых значениях Яь Яг, ... выпол-
выполнялись равенства:
г \ ly 2 2у
Найти условный экстремум:
ни*. *=! + }. -^-4-^=1.
1QQ7 ^ у2 i /y2 Y -Л- и 1
1 t/J/l • «С —— Л» —у"* у у Л/ ~у~ ?/ —— 1 .
1QQQ ху ЛЛГ^ v I f. л
JLtftfO. Z —— С , Л -|- I/ U.
1999. Показать, что если хх • х2 • ... • хЛ= 1, где х* > 0 для
1=1, 2, ..., д, то Xi + x2+ ... +хЛ^/г. Как следствие вы-
вывести отсюда известную теорему о среднем арифметическом
и среднем геометрическом.
2000. w = x2yzz4, 2x + 3y + 4z = a. 2001. z = xy, x2 + у2 = 2.
2002. z = xpyqy x + y = a.
2003. z = x + y
2004. u = xyz,
126

2005. u = x + y + zt xyz = 8, -у-= 12.
5006. и = xx • x2 + x2 • лг3 + *3 • x4, *, + лг2 + x3 + *4 = 8.
2007. В круг вписать треугольник, сумма квадратов сторон
которого наибольшая.
2008. Определить размеры конуса наибольшего объема при
условии, что его боковая поверхность равна 5.
2009. Из всех прямоугольных треугольников с данной гипо-
гипотенузой / найти треугольник наибольшего периметра.
2010. На плоскости 3x — 2z — 0 найти точку, сумма ква-
квадратов расстояний которой от точек ЛA, 1, 1) и В B, 3, 4)
наименьшая.
2011. В плоскости треугольника с вершинами А(хь у{),
В(х2, у2), C(xz, y3), найти точку, сумма квадратов расстоянлй
которой до вершин треугольника является наименьшей.
2012. Из круга радиуса R вырезать крестообразную фигуру
так, чтобы можно было склеить коробку (без крышки) наи-
наибольшего объема.
2013. В данный квадрат вписать четырехугольник с наи-
наименьшей суммой квадратов сторон.
2014. Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего
объема при условии, что длина его диагонали равна d.
2015. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного
сверху полукругом. Определить размеры окна так, чтобы при
данном периметре / оно пропускало больше света.
2016. Сумма ребер прямоугольного параллелепипеда равна а.
Каковы размеры параллелепипеда наибольшего объема?
2017. Поверхность прямоугольного параллелепипеда равна Q.
Найти наибольший объем.
2018. Определить размеры цилиндрического сосуда наиболь-
наибольшей вместимости с данной поверхностью S.
2019. Число р разложить на п множителей так, чтобы
сумма их была наименьшей.
2020. Из всех эллипсов, у которых сумма осей постоянна
и равна т, найти наибольший по площади.
2021. Около данного квадрата описать квадрат наибольшей
площади.
2022. Найти треугольник, имеющий наименьший периметр
при данной площади S.
2023. Из всех треугольников с данным основанием и углом
при вершине найти треугольник с наимельшим и треугольник
с наибольшим периметром.
2024. Найти кратчайшее расстояние от точки ЛA, 0) до
эллипса 4*2 + 9#2 = 36.
2025. Найти кратчайшее расстояние от точки (—1, 5) до
параболы у2 = х.
2026. Найти расстояние между параболой у = х2 и прямой
х — у ==5.

ГЛАВА X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 54. Основные понятия. Разделение
переменных
Проверить решения следующих дифференциальных урав-
уравнений:
2028. xydx + V y ; y
2029. (jc + у) dx + х dy = 0; х2 + 2ху = С.
2030. x-^-
-y2 =0; arcsin-f-=C —
7
у ду —If* f(*2~y2) '
/—произвольная дифференцируемая функция.
Ф — произвольная дифференцируемая функция.
2034. Построить изоклины уравнения dy + Ba:2 — y)dx = 0
и показать (приближенно) вид интегральных кривых.
2035. То же для уравнения -^|-==х2 — у2.
2036. Построить изоклины уравнения -^ = 2у + 8х.
Методом исключения параметров составить уравнения сле-
следующих семейств кривых:
2037. у = ах. 2038. у = ах + а2.
2039. у = ах + Ъ. 2040. у2 = 2рх.
2041. {х — аJ + у2=\. 2042. у = sin a*.
9Л4Ч — 4- -^- 1 2044 — 4- - = 1
ZU«. fl2 "Г 62 — ь ^им# а2 ^ B-аJ ь
Дифференциальное уравнение вида Mi (х) Ni (у) dx + М2 (х) N2 (у) dy = 0
называется уравнением с разделяющимися переменными. Решается простым
интегрированием:
M2 (x) ^ J Mi (y)

Решить следующие уравнения с разделяющимися перемен-
переменными:
2045. (ху2 + x)dx + (y- х2у) dy = 0.
2046. {l+2y)xdx + (l+x2)dy = 0.
2047. xy(\ +x2)y'=l+y2.
2048. sec2 x tg у dx + sec2 ytgxdy = 0.
2049. ey^+ l) = l. 2050. x-^ + y = y2.
2051. (/Jcy-VT)rfy + yrfx = O. 2052. y-?L + x=l.
2053. A +y2)dx — xydy = 0. Найти решение, удовлетворяю-
удовлетворяющее начальным условиям: л:0 = 2, */0=1.
2054. y'sinx = у\п у. Начальные условия: лго = у, Уь=\>
2055. 2|Л/ dx = dy. Начальные условия: хо = О, г/0 == 1.
2056. Bх + l)dy -\- у1 dx = 0. Начальные условия: х0 — 4,
2057. Найти кривые, у которых длина подкасательной по-
постоянна (==а).
2058. Найти кривые, у которых длина поднормали по-
постоянна (=р).
2059. Найти кривую, проходящую через точку B, 0) и такую,
что отрезок касательной между точкой касания и осью Оу
имеет постоянную длину, равную 2.
2060. Найти кривую, обладающую следующим свойством:
если через любую ее точку провести прямые, параллельные
осям координат до встречи с этими осями, то площадь полу-
полученного прямоугольника делится кривой на две части, одна
из которых вдвое больше другой.
2061. Та же задача, но отношение площадей равно
т
2062. Цилиндрический резервуар с диаметром 4 м имеет
в длину 6 м. Во сколько времени вода, наполняющая резер-
резервуар, вытечет через круглое отверстие в дне радиуса -гх-м,
если: а) ось цилиндра вертикальна; б) ось цилиндра горизон-
горизонтальна? Скорость истечения воды из отверстия считать равной
0,6|/2gu, где g — ускорение силы тяжести, h — высота уровня
жидкости над отверстием.
2063. Во сколько времени заполнится резервуар (см. пре-
предыдущую задачу), поставленный вертикально, если наряду
с истечением жидкости в него втекает вода со скоростью 10 ле3
в 1 мин?
2064. В резервуаре находится 100 л рассола, содержа-
содержащего 10 кг растворенной соли. Вода вливается в резервуар
со скоростью 3 л в 1 мин. Смесь вытекает из него со ско-
скоростью 2 л в 1 мин. Концентрация раствора поддерживается

равномерной посредством перемешивания. Сколько соли будет
содержать резервуар по истечении часа?
2065. Сосуд представляет собой тело вращения. Определить
его форму так, чтобы при истечении жидкости из отверстия
в дне радиуса г уровень жидкости понижался равномерно.
2066. После собрания воздух в зале вместимостью 10 800 м3
содержит 0,12% СО2. Сколько кубических метров воздуха,
содержащего 0,04% СО2, надо ежеминутно доставлять в зал,
чтобы по истечении 10 мин содержание углекислоты в нем
было 0,06%?
2067. Кирпичная стена имеет 30 см толщины. Найти, как
зависит температура от расстояния точки до наружного края
стены, если температура равна 20° на внутренней и 0° на внеш-
внешней поверхности стены. Найти также количество тепла, которое
стена (на 1 м2) отдает наружу в течение суток. Коэффициент
теплопроводности k считать равным 0,0015.
Указание. По закону Ньютона, скорость распространения тепла через
площадку площади А равна Q = — kA —т—.
§ 55. Однородные дифференциальные
уравнения. Линейные
дифференциальные уравнения первого
порядка и уравнения, к ним приводящиеся
Однородным называется дифференциальное уравнение, приводящееся
к виду М (х, y)dx + N (х, у) dy =» 0, где М (х, у) и N (х, у) — однородные
функции одинакового измерения, или, что то же самое, к виду
После подстановки у— их переменные разделяются.
Решить следующие однородные дифференциальные урав-
уравнения:
2068. xdy — ydx = Ух2 +
2069. (x2+j2)dx =
2070. (Уху — )
яп. ,-,?
2072. (х2 + ху + у2) dx = х2 dy.
2073. #' = ?>T + f. 2074. •Jf- =
2075. -тй-г=-? + -^>« Найти решение, удовлетворяющее на-
начальным условиям: хо = — 1, #о = 0.
2076. (у2 — Ъх2) dy + %ху dx = 0. Начальные условия: х0 — 0,
Следующие уравнения приводятся к однородным:
2077. (х + 2у + 1) dx + C - 2х) dy = 0.
2078. Fx + yl) ( 2)d
130

2079. (x -2)dx + (y-2x + 1) dy = 0.
2080. (jc - у + 2)dx + (y - x + Z)dy = 0.
2082. A2y —5jc —8)^ — 5»+ 2jc +3 = 0.
2083. Найти кривые, у которых поднормаль равна сумме
абсциссы и ординаты точки касания.
2084. Найти кривую, все касательные к которой проходят
через начало координат.
2085. Найти кривые, у которых подкасательная равна сумме
абсциссы и ординаты точки касания.
2086. Найти кривую, у которой поднормаль равна разности
радиус-вектора и абсциссы точки касания.
2087. Найти кривые, у которых нормаль совпадает с радиус-
вектором точки касания.
Дифференциальное уравнение у' + Р (х) • у = Q (х) называется линей-
линейным. Оно может быть решено подстановкой у « uvt где и = и (х) опреде-
определяется из уравнения и' + Р (х) и = 0.
Решить следующие линейные дифференциальные уравнения:
2088. у'-у = е\ 2089. -g--^=?±i.
2090. # + -Йт=-ггг. 2091. 4-=х + У-
dx ' х2 + 1 х2 -f I dx l *
2092. у' == a + bx + су. 2093. у' + x2y = x2.
2094. dy — e~xdx d
y
— xdy = xy dx.
2095. r/' + -y-Jy + x2 = 0. 2096. г/у + &У d* = ax dy.
2097. rfjc + (x + y2) dy = 0. 2098. t/' = a sin x + 6y.
2099. x -~|- + у = 3. 2100. у' + 2jo/ = 2xe~x\
Уравнение Бернулли yf + P (x) * у = Q (jc) • уя приводится к линейному
подстановкой и = у|~*/1.
Решить уравнения Бернулли:
2101. у' + у=* ху\ 2102. у' + у =
2103. у' = хЗуЗ _ ^в 2104. A + х2)^ =
2105. х -g- + 2»— хУ. 2106. *' + -?¦ = ¦& •
2107. Найти кривую» у которой площадь криволинейной
трапеции с основанием [а, *] равна — -й части площади прямо-
прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной крайней
ординате.
X
2108. J xy dx = jc2 + у. Найти: у = у(х).
о
131

2109. Найти кривые, у которых подкасательная равна
удвоенной абсциссе точки касания.
2110. Найти кривую, все касательные к которой проходят
через точку (а, Ь).
2111. Найти кривую, каждая касательная которой пересекает
прямую // = 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе
точки касания.
2112. Найти кривую, касательная к которой в точке (х, у)
проходит через точку (л:2, у2).
2113. Найти закон изменения силы тока в цепи с сопроти-
сопротивлением R и самоиндукцией L, если начальная сила тока равна /0,
а электродвижущая сила меняется по закону е —eosinco/.
2114. На тело действует сила, пропорциональная времени.
Кроме того, среда сопротивляется движению тела с силой,
пропорциональной скорости. Найти закон движения тела.
2115. В резервуаре объемом 100 л находится рассол, содер-
содержащий 10 кг соли. Вода втекает в резервуар со скоростью 3 л
в минуту, смесь с той же скоростью перекачивается во второй
резервуар той же емкости, первоначально наполненный чистой
водой. Избыток жидкости из него выливается. Каково макси-
максимальное количество соли во втором резервуаре и когда оно
достигается?
§ 56. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
Уравнение М (х, у) dx + N (х, у) dy = 0 называется уравнением в пол-
полных дифференциалах, если М (х> у) dx -f- N (jc, у) dy = dy (x, у). Это имеет
дМ (jc, у) dN (jc, у) ~Л _
место тогда и только тогда, когда ^—?i- =—i—ч±л Общий интеграл
уравнения имеет вид: ф (х, у) = С. Решение сводится к отысканию функ-
функции ф (*, у).
Проверить, будут ли приведенные ниже уравнения уравне-
уравнениями в полных дифференциалах, и решить их:
2116. (х3 + Зху2) dx + (у3 + 3x2$ dy = 0.
2117.
2118.
2119. ydy = (xdy + ydx)Vl + y\
2120. (y cos x + 2xy2) dx + (sin x — a sin у + 2x2y) dy = 0.
2121. + ? + 2/
+ ? /dy = 0.
У а2 + У2
2122. Cx2y — 2*3 + y3) dx — By3 — Зху2 — jc3) dy = 0.
2123. sin (x + y)dx + x cos (x + y) {dx + dy) = 0.
2124. (Qxy + x2 + 3) y' + 3y2 + 2xy + 2x = 0.
2125. 2x*yyf + 3x2y2 + 7 = 0.
132

2126. xy'co$y + y
2127. (хеУ + ex) у'+ еУ + ye* = О,
Функция [i = [i {x, у) называется интегрирующим множителем, если
уравнение \хМ (*, у) dx + V>N (** у) dy =*= 0 есть уравнение в полных диффе-
дифференциалах. Интегрирующий множитель можно найти из уравнения —^—- =
ду
= д » или, что то же самое, из уравнения М-~ — N-~- = h(nx — M'y)t
Интегрирующий множитель, зависящий только от х, следует искать из
d In \x Nf — N'x
уравнения —-— = тт , зависящий только от у — из уравнения
d In и- N'x — M'y
dy M
Следующие уравнения проинтегрировать, найдя интегрирую-
интегрирующий множитель, зависящий от х или у:
2128. (ху - х2) у' + у2 — Зху — 2х2 = 0.
2129., ху' + (sin у — Зх2 cos у) • cos у = 0.
2130. (In y + 2x—l)y' = 2у.
2131. (x2 + y2)dx-2xydy = 0.
2132. 2;п/ dx + (у2 — Зх2) rfy = 0.
2133. х (Зу + 2х) у' + 3(у + хJ = 0.
2134. Gxyz + у - 5х) у' + у* — 5у =0.
2135. Найти условия, при которых дифференциальное урав-
уравнение М(х, y)dx + N (х, y)dy = 0 допускает интегрирующий
множитель вида ф (л: • у).
Применить результат задачи 2135 к интегрированию сле-
следующих уравнений:
2136. х (ху -3)у' + ху2-у = 0.
2137. Bх2у + х)у' — х2у3 + 2ху2 + у = 0.
2138. ху2 dx + (x2y — x)dy = 0.
2139. хBу + х— \) у' — у{у + 2х— 1)==0.
В следующих задачах найти интегрирующий множитель
вида ф(#2 + #2) и проинтегрировать уравнения:
2140. (у2 + х? + х)у'-у = 0.
2141. 2уУ + ху2 — х* = 0.
2142. Найти интегрирующий множитель уравнения Бернулли.
2143. Найти интегрирующий множитель уравнения вида
§ 57. Уравнения, не разрешенные
относительно производной. Особые решения
Решить следующие дифференциальные уравнения первого
порядка степени выше первой:
2144. уу'2 + 2ху' = У-
2145. у/2 + *У' —** = 0.
133

2146. х3 + у' = х2\ _____
2147. ydx = x ds, ds = Vdxz + dy2.
2148. Найти кривые, обладающие тем свойством, что длина
кривой, отсчитываемая от некоторой начальной точки, численно
равна площади ограничиваемой ею криволинейной трапеции.
Указание. Следующие уравнения интегрировать введением параметра
(положить t/ = р):
у'2 = у'.
2149. yVl
2150. *A
2151. у = у
2152. х = ш/' + Ь Vl + y'2.
2157. Ребенок, идущий по тротуару, везет за собой по мо-
мостовой тележку (рис, 18). Найти линию, по которой она дви-
движется (трактриса).
Уравнение Клеро у = ху' + ф (tf) имеет общее решение у = Сх + Ф
Особое решение уравнения Клеро находится из системы у = рх + Ф
jc + ф' (р) = 0 исключением параметра р.
Рис. 18.
134

Уравнение у «= *<р (/) + ф (у') называется уравнением ЛагранЯсаи После
введения параметра у' = р и дифференцирования по х оно приводится к ли-
линейному уравнению
[Ф (Р) - Р]^
Решить следующие уравнения (Лагранжа и Клеро):
2158. у = ху* + 2у\ 2159. у = 2*^ + /\
2160. У = ху'2 + у'\ 2161. у = ху'-у'\
2162. у = */ + arc sin у'. 2163. y=zxy' + y' — y'\
2164. y = xyf + у. 2165. у = **/' + V\+y'\
2166. x = 4 + -T- 2
у у'
2168. Найти кривую,, касательные к которой отсекают на
осях координат отрезки, в сумме постоянно составляющие а.
2169. Найти такую кривую, что отрезок, отсекаемый каса-
касательной к ней на оси Oyt равен обратной величине отрезка,
отсекаемого той же касательной на оси Ох.
2170. Найти кривые, у которых отрезок нормали между
осями сохраняет постоянную длину.
2171. Найти кривую, у которой длина отрезка касательной
между осями координат постоянна и равна а.
Решение дифференциального уравнения F(х> у, уг)=0 называется осо-
особым, если через каждую его точку проходят по крайней мере две интеграль-
интегральные кривые. Особая интегральная кривая может быть найдена как огибаю*
щая семейства интегральных кривых, даваемого общим решением. Кроме
того, особое решение может быть найдено исключением параметра р из си-
системы
1Ч*,*/>)-0. F'p(Xiy,p)=(L
Найти общие и особые решения следующих уравнений:
2172. у2 A + у'2) = а2. 2173. у'2 — уу' + е* = 0.
2174. хуп — 2уу' + 4х = 0. 2175. у2(у'-~ 1) = B — у*J.
2176. Общее решение уравнения есть у — Съх2 + 2С2х—С=0.
Найти особое решение.
2177. Общее решение уравнения у — Cix — СJ. Найти особое
решение.
§ 58. Изогональные траектории
Если дифференциальное уравнение семейства кривых есть F (х, у, у') = 0»
то изогональные кривые (т. е. кривые, пересекающие все линии семейства
под заданным углом а) находятся из уравнения Fix, у% . ,jя»Q, где
tgcu В случае, когда а =3-5-, изогональные траектории называются орто»
135
тональными и отыскиваются из уравнения F\x% у, г) = 0.

Найти ортогональные траектории следующих семейств кривых:
2178. Парабол у = ах2.
2179. Окружностей х2 + У2 = 2ах.
2180. Окружностей (х —• аJ + у2 = 4.
2181. Циссоид Bа — х) у2 = л:3.
2182. Семейства софокусных парабол у2 = 2р(х + ~ U
х2 и2
2183. Семейства эллипсов —5- + -sL. = l.
Найти линии, пересекающие кривые семейства под задан-
заданным углом:
2184. х2 + у2 = а2 под углом а.
2185. х2 + у2 = 2ах под углом 45°.
2186. * = — под углом 45°.
2187. х — у = х2 + а2 под углом 45°.
§ 59. Уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка
Решить дифференциальные уравнения:
2188. у'" = х. 2189. у" = х sin х. 2190. sin4 х • -~^ = sin 2*.
2191. и'"=ц"\ 2192. у/// = 4-.
2193. г/"=1Л + г//2. 2194. xi/" + y' = 0.
2195. y" = a — by. 2196. y" = ae«.
2197. 2*#" = «Л 2198. л;г/г/" + хг/'2 — г/у' = 0.
2199. C* - x2) у" +
+ F - 4*) г/' — 2г/ = 0. 2200. 2г/'2 = (г/ - 1) #".
2201. х2уу" — (у — xy'f. 2202. 2лгг/'г/" — У* + 1 •
Решить уравнения при данных начальных условиях:
2203. 2г/" = 3г/2; ло= - 2, t/0= 1, ^ = - 1.
2204. y» = JL + lL.t Xo=h Уо=1> ^ = 0.
2205. г/" = Зл;2; х0 = 0, у0 = 2, д'о = 1.
2206. у"у = ху'2; хо=1, уо=1, у'0=>2.
§ 60. Линейные дифференциальные уравнения
второго и высших порядков
с постоянными коэффициентами
Решить * следующие однородные линейные дифференциаль-
дифференциальные уравнения:
2207. у" — у = 0. 2208. у" — Ьуг + 6у = 0.
2209. у" — Ау' + Ау = 0. 2210. г/" + г/ = О.
* Теоретические указания к этому параграфу следует искать в учебниках-
136

2211. y"-*2y' + y = 0. 2212. у'" - 6y" + Uy'-6y=0.
2213. y'"—3y"+3y'—y = 0. 2214. azy'" — y = O.
2215. y'"-8y = 0. 2216. yIV
2217. i/IV+ 16r/ = 0. 2218. #IV—4y+y
2219. */IV + 2#-*/" = 0. 2220. z/vn + 3*/VI+3r/v
2221. ylv + 2y"' + 3y" + 2y' + y = 0.
Решить следующие неоднородные дифференциальные урав-
уравнения:
2222. у" — Ъу' + Ъу = х. 2223. у9" — Чу" + Ъу = *2.
2224. у"+4у'+4у = 3е*х. 2225. */"+*/ = **.
2226. */" + # = cos*. 2227. у + 2#" + #IV = sin*.
2228. */" + 4у = 8 sin 2л:. 2229. у"--Ъу = 2 —
2230. */" + */ = ?>-* +2. 2231. у'"—у" — '
2232. #" + 2*/' + 2г/ = е-* cos х + jce--*.
2233. i/'" + у = 2jc^A2 + 18л: + 6л:2 + л:3).
2234. у" + 2у' + у = л:2^-^ cos л:.
2235. у" + 2# = jc2 + 2. 2236. 2*/" + by' = cos2 jr.
2237. у" + у = 24 sin4 л:. 2238. у" — у = j^ •
2239. у"-у = ^—j. 2240. ^ + у = ctgjc.
§ 61. Интегрирование дифференциальных
уравнений с помощью рядов. Задачи
на дифференциальные уравнения высших
порядков
Решение дифференциального уравнения F {х, у, у', у", ..,) =0 можно
искать в виде степенного ряда у = с0 + сгх + с2х2 + ... Это решение можно
найти методом неопределенных коэффициентов. Дифференцируя ряд, нахо-
находим у\ у"у ... и после подстановки в уравнение определяем коэффициенты
ряда. Можно также путем последовательного дифференцирования данного
уравнения найти у' @), у" @), ... и т. д., после чего нахождение коэффи-
коэффициентов ряда не представляет труда.
Следующие уравнения проинтегрировать методом степенных
рядов, указав в ответе несколько первых членов разложения:
2241. */" + **/= 0; хо = О, */0=1, у'0 = 0.
2242. у' = #-у*\ *о = О, Уо = О.
2243. / = * + *2 + #2; хо = О, уо=1.
2244. у" = х*у; *0 = 0, ^=1,^=1.
2245. у/ = у3 — х; *0 = 0, уо=1.
2246. У" = уу'-х*; *0 = 0, уо=1, ^=1.
Решить следующие задачи:
2247. Тело падает с высоты h под действием силы тяжести.
Сопротивление воздуха пропорционально (коэффициент пропор-
пропорциональности равен k) скорости падения. Найти закон движе-
движения тела.
137

2248. Сила, натягивающая пружину, пропорциональна уве-
увеличению ее длины и равна I кг, когда длина увеличивается
на 1 см. К пружине подвешен груз весом 2 кг. Найти период
колебательного движения, которое получит груз, если его слегка
оттянуть книзу и затем отпустить.
2249. Моторная лодка весом 300 кг движется прямолинейно
с начальной скоростью 16 м/сек. Сопротивление воды пропор-
пропорционально скорости движения и равно 10 кг при скорости
1 м/сек. Какое расстояние пройдет лодка, прежде чем ее ско-
скорость станет 8 м/сек, и в какое время пройдет оно это рас-
расстояние?
2250. Корабль движется по прямой (которую можно при-
принять за ось Ох) с постоянной скоростью v{. Его преследует
другой корабль с постоянной скоростью v2> в начальный мо-
момент времени находящийся на расстоянии а от первого по пер-
перпендикуляру к его пути. Преследующий корабль постоянно
держит курс на преследуемого. Найти уравнение линии дви-
движения преследующего корабля («линия погони»).
2251. Снаряд вылетает из орудия со скоростью vQ под углом
45° к горизонту. Масса снаряда равна т. Сопротивление воз-
воздуха пропорционально квадрату скорости полета (коэффициент
пропорциональности равен k). На какую высоту поднимется
и какое расстояние пролетит снаряд по горизонтали за время t?
2252. Тело совершает 90 колебаний в минуту; амплитуда
колебаний уменьшилась вдвое в течение 15 сек. Найти диффе-
дифференциальное уравнение движения.
2253. Найти закон прямолинейного движения, если известно,
что работа действующей силы пропорциональна времени, про-
протекшему с начала движения.

ГЛАВА XI
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 62. Двойной интеграл. Геометрические
приложения двойного интеграла
Двойной интеграл по прямоугольной области D {а ^х ^ b,
сводится к интегралам повторным:
ь d d ъ
J J / (х, у) dxdy= J dx J f (*,*/) <ty= J <ty J / (х, у) dx.
Вычислить повторным интегрированием следующие двойные
интегралы:
2254.
D
2255.
2256.
2257. JJ ху(jc — у)dxdy\ 0<*<a,
2258. JJpdpdB; -|<p<6, 0<в<~.
D
2259.
D
2260.
D
Если область D ограничена кривыми у = <pi (*), у = щ (#), причем
(х) ^ <р2 (х) и а ^ х < й, то интеграл вычисляется луо формуле
& <Р2(х)
J J f(x,y)dxdy+ J <fe J f(x,y)dy.
D а Ф» (x)
139

Если уравнения кривых, ограничивающих обла, сть D% можно написать
в виде # = i|?i(#), x = if>2(y)> причем i|?i(#)<t|>2(#) и^<#<^, то для
вычисления интеграла можно применить формулу
d Ф2Ы
f f f(x,y)dxdy= j dy J f(x,y)dx.
D с ф1 (у)
Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным
указанными линиями:
2261. jj(x-y)dxdy; х = 0, у = 0, х + у = 2.
D
2262. jjxydxdy; у = 0, х = у, х=1.
D
В примерах 2263, 2264 переменить порядок интегрирования:
2263. jf-JL-dxdy; y = x2+lt y = 4x, x = 0.
D
2264. jjxdxdy; у = х3, х + у = 2, х = 0.
D
2265. $ jsln(x+ y)dxdy; х = у, х + у=%. У = 0.
D
2266. jj x2{y-x)dxdy\ y = x2, x = y2.
D
2267. jjx2y*dxdy; \-х2 = у, у = 0.
D
2268. \\ydxdy, D — круг радиуса R с центром в начале
D
координат.
Двойной интеграл / (л:, у) dx dy, где f (jc, у) ^ 0, выражает объем
D
прямого цилиндра, нижним основанием которого служит область Д а верх-
верхним — график функции z = f (x> у),
2269. Найти объем пирамиды, ограниченной координатными
плоскостями и плоскостью — + -у + у = 1.
2270. Найти объем усеченной призмы, ограниченной коорди-
координатными плоскостями и плоскостями х = 2, у = 3, х + У + z=4.
2271. Найти объем части цилиндра х2 + y2 = R2, снизу огра-
ограниченного плоскостью z = 0, а сверху срезанного плоскостью
г = у.
2272. Найти объем части цилиндра х2 + у2 — 2х> стоящего
на плоскости г = 0, срезанной сверху гиперболическим пара-
параболоидом xy — z.
140

2273. Найти объем общей части двух перпендикулярно пе-
пересекающихся цилиндров одинакового радиуса R.
Интеграл I I dx dy выражает площадь области D.
D
Двойным интегрированием найти площади областей, огра-
ограниченных следующими линиями:
2274. ху = 4, х + у — 5 = 0.
2275. у = sin х, y=cosx, */ = 0, 0<#<|-.
2276. у2 = х, х2 = у. 2277. у = е\у = е~\ у = 2.
2278. у = е*> у = е2х, х = \. 2279. у = \пх, * = 2, у«0.
2280. у = 2х — х2, у = х2.
2281. */ = — , x2 + y2=l0 (одного двухугольника).
JL Л J.
2282. л:2 + 1/2==а2, х + у = а.
Замена переменных в двойном интеграле производится по формуле
J J f (х, у) dx dy= J J F (и, у) | /1 da <fo,
D A
где Z7 (m, w) — подынтегральная функция, преобразованная к новым перемен-
переменным, А — область, в которую преобразовалась область D при отображении
х == ф (и, и), # = ф (и, v), J — якобиан преобразования:
дх
ди
ду
ди
дх
dv
ду
dv
Следующие интегралы вычислить, перейдя к полярным коор-
координатам # = pcosqp, # = psinq):
2283. J ) (x2 + У2) dx dy; D — половина круга радиуса R
D
с центром в начале координат, лежащая в области
2284. у а2 — х2 — y2dxdy; D — круг х2 + у2 = ах.
D
И In (x2 4- и2)
— 2_Т 2 dx dy; D — кольцо между окружностями
D
радиусов е и 1 с центром в начале координат.
2286. J J ex'+y2 dx dy; D — круг радиуса г с центром в на-
D
чале координат.
2287. Найти площадь лемнискаты (х2 + #2J = 2а2ху.
2288. Найти площадь, ограниченную кривой (х2 + у2K =
*= а2 (х* + у*).
2289. Найти площадь, ограниченную кривой (л;2 + у2J = 2шс3.
141

2290. Найти площадь, ограниченную кривой (х2 -f У2J ==3
В следующих задачах интеграл J j f{x, y)dxdy преобра-
D
зовать к новым переменным (найти якобиан преобразования):
2291. x=*uv, y — u-\-v. 2292. x — u2 + v2, у — — .
2295. Вычислить интеграл J J ek{x*yI dx dy, где D — область
z>
•^^0, y^Q, ^ + ^^1, путем замены переменных:
л; = н — uvt y — uv.
2296. Вычислить площадь параболического сегмента, огра-
(х и\2 х и
—f-JL _ х и осью абсцисс, введя
а о I а о
новые переменные и=— + -?- и о=~ — ^.
г аи аи
2297. Найти площадь, ограниченную кривыми ху = а2,
ху = Ь2> у = пг, у = п (замена переменных ху = иу y = v).
2298. Найти площадь, ограниченную кривыми у2 = ах,
y2z=bx, х2 — пгуу х2 — пу (замена переменных у2 = их, x2 = vy).
2299. Найти площадь, ограниченную кривыми ху = а2,
ху = Ь2, у2 = пху у2 = тх (замена переменных ху = и% y2 = vx).
2300. Найти площадь петли кривой i—Ь"г") Л—г~*
2301. Найти площадь петли кривой (l/ ~ + i/ 4") ~Щ-<
\ г а г о f с
Указание к задачам 2300 и 2301. Ввести обобщенные полярные коор-
координаты х = ар cos0 ф, # = ppsin°<p, подобрав соответствующим образом а,
рна.
Если поверхность задается уравнением F (х, у, г) = 0, то ее площадь
выражается двойным интегралом
ее W + K + K* s ,
Q==Ji—\А—dxdy'
где D — проекция поверхности на плоскость XOY
2302. Найти часть поверхности сферы x2-\-y2 + z2— 100, за-
заключенную между плоскостями д: == — 8 и л: = 6.
2303. Найти площадь части поверхности y2 + z2 = x2> отсе-
отсекаемой цилиндром х2 = 2ру.
2304. Найти часть поверхности гиперболического парабо-
параболоида xy — z> выреаанную цилиндром х2 + y2 — R2.
2305. Вычислить часть поверхности эллипсоида х2-{-у2 +
\ — U вырезанную цилиндром х2 + у2 = -j-.
142

2306. Вычислить поверхность геликоида z = arc tg — ради-
радиуса 1 (одного витка).
2307. Найта площадь поверхности (х + УJ + z = Ь х
2308. Найти поверхность тела, образованного перпендику-
перпендикулярным пересечением двух цилиндров одинакого радиуса R.
Вычислить следующие несобственные двойные интегралы:
2309. J J e~x-ydxdy, распространенный на первый квадрант
плоскости.
2310# IJ <х2+ %2' распространенный на внешность круга ра-
радиуса 1 с центром в начале координат.
2311. f f ¦¦;_ х у по квадрату со стороной 2 и цен-
J J Vxy-x-y+l
тром в точке A, 1).
§ 63. Тройной интеграл. Геометрические
приложения тройного интеграла
Тройной интеграл по прямоугольному параллелепипеду D (а ^ х ^ Ь,
^d ^^) вычисляется по формуле
Ь d n
х>1* *) dxdydz^jdyjdxjf (х, у, z) dz.
D а с т
Порядок интегрирования можно изменить.
Повторным интегрированием вычислить следующие тройные
интегралы:
2312.
2313. jfjxydxdydz; 1<х<2, -2<у<- 1,
D
2314. JJJpsinedpdqpde; 0<ф<|-, 0<р<2,
Если тело D ограничено поверхностями z«>ф1 (х, у) и z = ф2 (х, у),
tfi (х, у) ^ ф2 (х, у) и проектируется на плоскость XQY в некоторую область,
ограниченную кривыми у«ф, (х) ир(р2(х), а<х<Ъ% щ (х)<ф2(*), то
тройной интеграл вычисляется по формуле
ь ф*<*) Ф2и. и)
JJJ f(x,y,z)dxdydz=: $dx j dy j f(xt y> z) dz.
143

Вычислить тройные интегралы по областям, ограниченным
указанными поверхностями:
2316. jjj yzdxdydz;
D
D
2318. JJ J xydxdydz; x2+y2=l, z = 0, z=l,
2319
2320. J J J xyzdxdydz; x2 + y2 + z2 = R2, x2 + y2 + z2 = 2Rz
D
(общая часть); я^О, r/^0.
2321. J J J {x2 + y2 + z2)dxdydz;
D
(общая часть).
2322.
Тройной интеграл dx dy dz выражает объем тела D.
D
Тройным интегрированием вычислить объемы тел, ограни-
ограниченных указанными поверхностями:
2323. Параболоидом z = x2 + y2 и плоскостями 2 = 0, у—1>
у~2х и y = Q — х.
2324. Параболоидом х2 + у2 — 2=1 и плоскостью 2 = 0.
2325. 2 = 0, x2 + y2 = 4az, x2 + y2 = 2cx.
2326. Цилиндром 22 = л:2 и плоскостями 2 = 0, у = 0 и
З + 212
2328. Цилиндрами 2 = 4 —t/2, #= -у- и плоскостями х = 0 и
2 = 0.
2329. Найти объем, вырезаемый в шаре радиуса а цилин-
цилиндром радиуса 6, ось которого проходит через центр шара.
2330. Найти тройным интегрированием объем эллипсоида
Замена переменных в тройном интеграле производится по формуле
J J J f(x,y,z)dxdydz=: J j^ F (a, v,w)\J\du dv dwt
D Д
144

вполне аналогичной формуле для двойного интеграла. Якобиан преобразо
вания х = х (и, v, w)t у— у (и, v, w), z = z {u, v, w) равен
дх дх дх
ди dv dw
ду ду ду
ди dv dw
dz dz dz
du dv dw
В следующих задачах найти объемы тел, ограниченных дан-
данными поверхностями, перейдя к сферическим координатам
л; = р sin cp cos 9, ?/ = psinqpsin6, ?==pcos<p:
2331. (х2 + у2 + z2J = аЧ. 2332. (х2 + y2+z2J = а2 (х2+у2)-
{2 2 2f * B 2 2K 222
( + y+) (+
2333. {x2 + y2 + z2f = a*xyz. 2334. (х2 + у2 + z2K = a2y2z2.
2335. Найти объем тела, ограниченного сферой х2 + У2 +
4- z2 = 4 и параболоидом х2 + */2 = 32, перейти к цилиндриче-
цилиндрическим координатам x = pcos9, #==psin8, z = z.
2336. Найти объем тела, ограниченного поверхностями
(х2 + у2J =zt z = 8y 2!>0, перейдя к цилиндрическим коорди-
координатам.
В следующих двух примерах перейдя к обобщенным сфериче-
сферическим координатам: х=ар sin cp cos 8, у = &psinq)sin9, 2=q>coscp.
/ X2 и2 z2 \2
2337. \~2-+~Jr + -Jr) =x.
2339. Вычислить \ [ \ e*vzx2y dx dy dz; x > О,
D
1, введя новые переменные х = и, у = -——
v u+v-\-w
-f z~ u + v '
Исследовать на сходимость несобственные интегралы:
2340. f f f ex+y+zdxdydz: а) при х>0, f/>0, г>0; б) при
2341. J J f * У а по шаРУ радиуса 1 с центром в начале
координат.
§ 64. Механические и физические
приложения двойных и тройных интегралов
Координаты центра тяжести плоской материальной фигуры, на которой
масса распределена с плотностью ц (х, у), выражаются двойными интегралами:
i j atjui dx dy уц dx dy
У
J J \idxdy J J \idxdy
145

Интегралы Мх s= J | ур, *i* <f#, Af^ = I J лг|л dx *f# носят название ста-
D D
тических моментов фигуры D относительно оси ОХ и оси ОК.
Координаты центра тяжести пространственного тела D определяются
по формулам:
\ I \ хц dx dy dz J J J yp dx dy dz J J J z\i dx dy dz
Х^-Л y = - 2 = _5
j Mi dx dy dz j J [i dx dy dz j j Ц dx dу dz
D D D
Найти координаты центра тяжести следующих однородных
плоских фигур, считая массу распределенной равномерно с плот-
плотностью 1, а также найти статические моменты относительно
указанных осей:
2342. Полукруга радиуса R относительно основания.
х2 и2
2343. Полуэллипса ^r + -fr=l» У^О, относительно коор-
координатных осей.
2344. Трапеции равнобедренной с высотой h и основа-
основаниями а и Ь относительно оснований.
2345. Полукольца между окружностями радиусов R и г,
R>r, относительно основания,
2346. Фигуры, ограниченной кривыми y — 2xz и #2 = 2#, от-
относительно координатных осей.
2347. Фигуры, ограниченной кривыми л;2 + #2=13 и ху = 6,
х > 0, относительно координатных осей.
Найти центры тяжести следующих однородных тел:
2348. Конуса 2=1 — Ух2 + У2, стоящего на плоскости XOY.
2349. Полушара радиуса R.
2350. Параболоида z = 1 — х2 — у2у z > 0.
2351. Усеченной призмы, ограниченной плоскостями *=0,
y = Qt 2=0, *=1, #=!, X + y + Z = 3.
2352. Общей части параболоида 2az = x2-\-y2 и шара
2 2 2 32
+ y +
2353. Тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями
и плоскостью #4-2# — 2=1.
Интегралы
/*=JjVM*<ty> 1У*=^\ x*\xdxdyt Iz=* j j (x2 + y2)n4xdy
D D D
выражают моменты инерции плоской фигуры D относительно осей ОХ> OY
и OZ.
Моменты инерции пространственного тела D относительно осей коор-
динат выражаются интегралами:
JJJ
Ш

Найти моменты инерции следующих плоских фигур
[х> у) = 1):
2354. Прямоугольника со сторонами а и Ь относительно сторон,
2355. Круга радиуса R относительно его касательной.
2356. Параллелограмма со сторонами а и Ь и углом ф между
ними относительно основания.
2357. Полукруга радиуса R относительно оси, проходящей
через его центр и перпендикулярной к его плоскости.
2358. Прямоугольника со сторонами а и Ь относительно оси,
перпендикулярной к его плоскости и проходящей через вершину.
2359. Равностороннего треугольника со стороной а относи-
относительно оси, перпендикулярной к его плоскости и проходящей
через центр.
Найти моменты инерции следующих однородных (\i (x, у, z)=i)
тел:
2360. Шара радиуса R относительно его касательной.
2361. Куба со стороной а относительно его ребра*
2362. Цилиндра радиуса /?, высоты Л относительно его оси.
2363. Того же цилиндра относительно диаметра основания.
2364. Шара радиуса R относительно его диаметра.
Интеграл М = I J \i (xt у, z) dx dy dz, где ц (jc, yt z) — плотность рас-
D
пределения массы по пространственной фигуре Dt выражает всю массу тела ZX
Вычислить массу следующих неоднородных тел:
2365. Цилиндра радиуса R и высоты Л, если плотность рас-
распределения массы изменяется пропорционально высоте и
равна 1 на нижнем основании.
2366. Шара х2 + у2 + z2 = 2x, если плотность распределения
массы равна расстоянию от начала координат.
2367. Конуса высоты h и радиуса основания /?, если удель-
удельная плотность пропорциональна расстоянию от вершины.
2368. Кольца между окружностями радиусов R > г, если
плотность распределения массы пропорциональна расстоянию
от центра.
2369. Прямоугольника со сторонами а и 6, если плотность
распределения массы пропорциональна квадрату расстояния до
одной из вершин.
Если в точке (лг0, у& г0) помещена масса т= 1, то проекции силы при-
притяжения ее телом D на координатные оси выражаются следующими фор-
формулами:
0 1 ? *
D
Здесь г = V(x — жоJ = (у~- у*J + (z — г©J» а ц (jc, у, г) — удельная плот-
плотность тела О. В нижеследующих задачах считать р »1*
147

2370* Выразить в виде интеграла силу, с которой однород-
однородный куб с ребром а притягивает единицу массы, расположен-
расположенную на расстоянии Ь от центра одной из граней.
2371. Найти силу, с которой единица массы, лежащая
в центре основания цилиндра радиуса R и высоты А, притяги-
притягивается этим цилиндром.
2372. То же для конуса с тем же основанием и высотой.
Масса расположена в вершине конуса.
2373. Найти притяжение, испытываемое массой 1 со сто-
стороны однородного шара радиуса /?.
2374. Найти силу, с которой плоский материальный круг
радиуса R притягивает материальную точку массой 1, поме-
помещенную над его центром на расстоянии /г.
2375. Найти, с какой силой притягивает массу 1 вся плос-
плоскость, если единичная масса находится на расстоянии h над
этой плоскостью.
§ 65. Криволинейные интегралы
Криволинейный интеграл типа М (#, у) dx + N (х, у) dy сводится
L
к определенному интегралу:
т
J M dx + N dy = J [М (ф (/)), ф @ ф' (t) + N (Ф @), ф (t) V @1 dt.
L U
Здесь # = ф@, у = i|) (t) — параметрические уравнения кривой L.
Интеграл другого типа, I f (x, у) ds> также вычисляется введением па-
L
раметра:
Т
L и
В качестве параметра в обоих случаях иногда удобно принять х (или у).
Вычислить следующие криволинейные интегралы:
2376. J (л; )dy по параболе у = х2 от точки A, 1) до
точки B, 4).
2377. ) ху dx по дуге синусоиды у = sin х от х = я до х = 0.
i
2378. ) х dy по периметру треугольника, образованного пря-
L
мыми у—х, л: = 2, у = 0 (в положительном направлении)»
148

2379. j (a:2 — у) dx по периметру прямоугольника, образован-
L
ного прямыми x = 0, у = 0, #=1, # = 2 (в положительном на-
направлении).
2380. f {ху — у2)йх + xdy от точки @, 0) до точки A, 2) по
кривым: а) у = 2х\ б) г/ = 2л:2; в) y — 2Yx\ г) по совокупности
двух отрезков, выходящих из данных точек и встречающихся
в точке f-j» 3J.
2381. По тем же кривым вычислить {ху — x)dx + -irdy.
L
2382. ) x dy — у dx по кривой у = xz от точки @, 0) до
L
точки B, 8).
2383. Г х dy + У dx по контуру треугольника, ограниченного
осями координат и прямой ^+-|. = 1.
2384. J (jc — #) d* + dy по верхней половине окружности
L
x2 -f-1/2 = /?2 от точки л: = R.
2385. J (x2 — y2) dx + (a:2 + y2) dy в положительном направле-
L
x2 и2
нии по эллипсу —+-р-= 1-
2386. | -^-^- Н—^— по отрезку циклоиды х = a {t -— sin /)>
у = аA —cos0 от точки /==~ до точки t = ~.
2387. Г——У6"~У' 5 х по астроиде A:==acos3^, г/ = a sin3 /^ от
I xJ + y*
точки (а, 0) до точки @, а).
C,6)
2388. J 4x sin2 у dx-\-у cos2 2x dy вдоль прямой линии.
@,0)
2399. J х dx + ху dy, L — верхняя полуокружность х2-\-у2=2х
L
против часовой стрелки.
2390. J xy ds по периметру прямоугольника, ограниченного
прямыми х = 0, у = 0, х = 4, у = 2.
149

2391. f r s по отрезку прямой */ = — * — 2 от точки
I Vx2 + y2 г
(О, —2) до точки D, 0).
2392. J х ds по отрезку прямой от точки @, 0) до точки A, 2).
2393. j х ds по параболе у = х2 от точки B, 4) до точки A, 1).
§ 66. Приложения криволинейных интегралов
Криволинейный интеграл ^ I x dy — у dx выражает площадь, ограничен-
ограничении j
L
ную замкнутой кривой L.
2394. Вычислить площадь эллипса: л: —acos/, # = &sinf.
2395. Вычислить площадь кардиоиды: х — 2г cos t — г cos 2/,
у = 2г sin t — г sin 2t.
2396. Вычислить площадь астроиды: # —acos3/, # = asir
<)
2397. Вычислить площадь, ограниченную петлей кривой: х =
y («да^Р708 лист»).
2398. Найти площадь, ограниченную кривой у2 — х2 — х4.
2399. Найти площадь, ограниченную кривой 9у2 = 4л:3 — хА.
2400. Найти площадь, ограниченную петлей кривой
С помощью криволинейного интеграла можно восстановить функцию не-
нескольких переменных по ее полному дифференциалу. Это делается по фор-
формуле (для двух переменных):
(Х.У)
J ^L ^
J ^
<*<ь Уь)
причем интегрирование чаще всего ведется по совокупности двух отрезков,
соединяющих точки (х0, у0), (х, у0) и (х, у0), (х, у).
В следующих задачах найти функции по их полным диф-
дифференциалам:
2401. dz = (Зх2у - у3) dx + (х3 - Зу2х) dy.
2403. dz =
150

2404. dz — exy [A + xy) dx + *2 dy\.
2405. dz — xy {x& dx + j x2y2 dy}.
2406. dz = sin (x + y) (dx + d#).
Интеграл A = f X (jc, y) dx + Y (x, y) dy выражает работу при переме-
L
щении массы I по кривой L в поле, образованном силой Ft проекции кото-
которой на координатные оси равны X (*, у) и Y (х, у).
2407. Поле образовано силой, имеющей направление отри-
отрицательной полуоси ординат и равной квадрату абсциссы точки
приложения. Найти работу поля при перемещении массы т по
параболе 1 — х = у2 от точки A, 0) до точки @, 1).
2408. Поле образовано силой, направленной в начало ко-
координат и равной расстоянию точки до координат. Найти ра-
работу поля при перемещении массы т из положения А в поло-
положение В.
k
2409. Поле образовано силой F = y> направление которой
составляет угол + -$¦ с направлением радиус-вектора г точки
приложения. Найти работу поля при перемещении материаль-
материальной точки массой т по дуге окружности *2 + #2 = #2 из точки
(а, 0) в точку @, а), *>0, у>0.
2410. Поле образовано силой, проекции которой на коорди-
координатные оси равны ^l — vr-f-*/2 и Y— 2ху — 8. Показать, что ра-
работа при перемещении материальной точки в этом поле не
зависит от пути перемещения.
Интеграл М = J \i (x> у) ds выражает всю массу, распределенную по
кривой L с плотностью ja (х, у).
Пользуясь этим, решить задачи 2411 и 2412:
2xVx~
2411. Найти массу дуги кривой у = —^—• от точки @, 0)
до точки D, -s-j, если линейная плотность кривой пропор-
пропорциональна длине ее дуги.
2412. Найти массу участка цепной линии y—j\ea +e а)
между точками х — 0 и л:==а, если плотность кривой обратно
пропорциональна ординате точки.

ГЛАВА XII
МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
§ 67. Множества. Алгебра множеств
В дальнейшем запись а е М означает, что а является элементом мно-
множества М; а ф М означает, что а не входит в М. Если из а е М следует,
что сеР, то М называется подмножеством или частью множества Р;
М а Р. Если для двух множеств Р и Q одновременно имеют место вклю-
включения Р a Q n Q а Р, то Р = Q. Через 0 будем обозначать пустое мно-
множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента. Пустое мно-
множество считается частью любого множества.
Объединением двух или нескольких множеств называется совокупность
всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств.
Объединение двух множеств А и В обозначается A[JB. Для большего
П оо
количества множеств приняты обозначения: U А^ U Л/, U А(.
t=l f=i i
Пересечением двух или нескольких множеств называется совокупность
всех элементов, принадлежащих одновременно всем данным множествам.
П оо
Обозначения: А()В, П Ait П Ait П Л/.
Разностью множеств А и В называется совокупность всех элементов
множества Л, не принадлежащих множеству В.
Обозначение: А\ В.
Дополнением множества А относительно множества Е называется раз-
разность СЕА = Е \А.
Если приходится рассматривать дополнения С^Д С^В, С?Dt .,. не-
нескольких множеств относительно одного й того же (универсального) мно-
множества Е, то применяются сокращенные обозначения: CAt CB, CD и т. д.
2413. Покажите, что множество А всех положительных чет-
четных целых чисел равно множеству В положительных целых
чисел, представимых в виде суммы двух положительных нечет-
нечетных целых чисел.
2414. Покажите, что множество А разностей между нату-
натуральными числами совпадает с множеством В всех целых чисел.
241*5. Показать, что Аг с= А2 с ... с: Ап с А{ тогда и только
тогда, когда Ах = А2 = ... = Ап.
2416. Доказать следующие свойства операции объединения.
а) X\JX = X; г) XczX[)Y;
б) *и^П1*; д) Х[H=Х;
в) (Х
152

2417. Доказать следующие свойства операции пересечения:
= Х; r)X[\Y<=X;
)
в) (X
2418. Доказать, что имеют место следующие дистрибутив-
дистрибутивные законы:
г) X{)(Y[)Z)=(X(]Y)l)(XnZ); б) X[j(Y(] Z)=(X U Y) (] (X[)Z).
2419. Доказать, что
a) (Xf\Y)UX = X; 6) (X[}Y)()Y = Y.
2420. Показать, что Л f) В = А тогда и только тогда, когда
А с: В.
2421. Показать, что А[)В = В тогда и только тогда, когда
Л с 5.
В задачах 2422—2431 доказать следующие соотношения;
2422. Х1\(Х2\Х3)аХ11)Х3.
2423. Х\ \Х2 = Хг\ № П Х2).
2424. (Х{\ Х2) \Х3 = (Х{ \ Х3) \ (Х2 \ Х3).
2425.
2426.
2427. C\jXt= (]CXi, в частности С (Л [}В) = СА [)СВ.
i i
2428. С П Хг = U С Xh в частности С (Л Г) В) == С A U СВ.
2429. С [(Л П X) U (В П CZ)] = (СЛ П Л U (СВ Л X).
2430. С(ЛГ)СВ)иВ = СЛиВ.
2431. (ллвп^>псх)и(слп^)и(свп/))и(/)п^)=^.
2432. Показать, что X\JY = Xf]Y тогда и только тогда,
когда X = Y.
2433. Показать, что если X\]Y = Y иХЛ^=0, то 7=0.
2434. Найти объединение и пересечение множеств Хп, п =
= 1, 2, ..., если Хп =
2435. Найти объединение и пересечение множеств Yn =
= @,1-^-), п=1, 2, 3, ...
2436. Пусть Л, В и С соответственно множества корней
алгебраических уравнений P(x) = Q, Q(x) = 0, R(x)==0 (P(x),
Q(x), R(x) — многочлены). Каково множество корней: а) урав-
уравнения P(x)Q(x)R(x) = 0\ б) системы Р(х) = 0, Q(x)R{x)==0;
в) системы P(x) = 0t Q(x) = 0, R(x)==0? Привести примеры.
2437. Как можно выразить множество вещественных корней
алгебраического уравнения P(x) = 0, если известны множества
Х = {х; Р(х)>0} и Y = {x\ P(x)<0}?
153

2438. Как выражается множество решений уравнения
sin ~- sin -g- = 0 через множества решений уравнений; sin-|- = О
и sin у = О?
2439. Как выражается множество решений уравнения
2sin2x—1 через множества решений уравнений: sin* ——^ и
2440. Каково множество решений неравенства |л:[ ^ I?
2441. Найти и записать множество решений неравенства
2442. Как выражается решение системы
через решение неравенств: х + у — 1^0 и л; ¦— 2# :> О?
2443. Как выражается решение уравнения (у — х)(у2 +
+ jc2 — 1) = 0 через решения уравнений у — л: ===== 0 и у2 +
+ л:2 — 1 = О?
2444. Из 100 студентов 28 изучают испанский язык, 30 — не-
немецкий, 42 — французский, 8 —испанский и немецкий, 10 —
испанский и французский, 5 — немецкий и французский и 3 сту-
студента изучают все три языка. Сколько студентов не изучают
ни одного языка? Сколько студентов изучают только фран-
французский язык?
2445. Из 100 студентов 24 не изучают никакого языка,
26 студентов изучают немецкий, 48 — французский, 8 — фран-
французский и испанский, 8 —немецкий и французский, 18—только
немецкий, 23 — немецкий, но не испанский. Сколько студентов
изучают испанский язык?
§ 68. Отображения множеств
Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентность множеств. Если
каждому элементу а множества А поставлен в соответствие по некоторому
закону ф определенный элемент Ъ множества В, то говорят, что ф есть
отображение множества А в множество В, и пишут: Ь = ф (а). В этом слу-
случае ф (а) есть (однозначная) функция» областью определения которой яв-
является множество А.
Если ф есть отображение А в В и для всякого Ь е В существует хотя бы
один элемент а€ А такой, что Ь =»ф(а), то говорят, что ф является ото-
отображением А на В. Это отображение называется взаимно однозначным соот-
соответствием, если для всякого 6еВ существует точно один элемент оеА
удовлетворяющий условию: b «= ф (а). Тогда можно рассматривать обрат-
обратную функцию а = ф*(&), областью определения которой будет множе-
множество В.
154

Полезным является следующий признак взаимно однозначного соответ-
соответствия: если ф есть отображение А на В и если при этом отображении раз-
разным элементам множества Л отвечают разные элементы множества В, то <р
является взаимно однозначным соответствием.
Если между множествами А и В можно установить взаимно одно-
однозначное соответствие, то они называются эквивалентными (А со В).
2446. Построить всевозможные отображения множества
А = {аи а2] в множество В = {пг, п).
2447. Построить всевозможные отображения множества
Л={а1,а2} само в себя.
2448. Пусть ?) —множество всех действительных чисел.
Охарактеризовать отображения D-+D, определяемые форму-
формулами:
а)у = х3; б) # = 2*; в) y = smx.
2449. Охарактеризовать отображение, определяемое фор-
формулой y — sinx, если Л = [-— -j, —I, ? = [— 1, 1].
2450. Отображение множества N натуральных чисел в себя
определяется формулой
j п — А, если k < п,
** ' I л + ?» если &>я,
где п — фиксированное натуральное число. Является ли это
отображение отображением N на Ю
2451. Пусть ф — отображение, ставящее в соответствие
каждой функции f(x) из множества М функций, определенных
на всей числовой оси, новую функцию (ж2 — 2)/(х). Является
ли <р отображением М на М?
2452. Пусть соотношение у = <р{#) означает: а) у— отец х;
б) у — сын я; в) у — дедушка jc; г) у — старшая дочь х. В ка-
каких случаях ф(л:) есть функция?
2453. Показать, что если ф есть отображение множе-
множества Л = {1, 2, ..., п) на Л, то это отображение является
взаимно однозначным соответствием.
2454. Показать, что если всякое отображение непустого
множества Р на Р есть взаимно однозначное соответствие,
то Р —конечное множество.
2455. Установить взаимно однозначное соответствие между
сегментом [0,1] и интервалом @, 1).
2456. Установить взаимно однозначное соответствие между
сегментами [а, Ь\ и [c>d].
2457. Установить взаимно однозначное соответствие между
плоскостью и плоскостью с выколотой точкой.
2458. Пусть ф — функция, А й В — множества, показать,
что f(A[}B) = f(A)[)f(B).
155

2459. При обозначениях задачи 2458 показать, что f (Af\B)cz
с f (А) П/ (В).
2460. Доказать, что f(A(]B) = f(A)(]f(B) тогда и только
тогда, когда f есть взаимно однозначное соответствие.
2461. Доказать, что если функция f имеет обратную, то
2462. Пусть f(x) = x, если х рационально, и f(x) = 1 — х>
если х иррационально. Показать, что / есть взаимно одно-
однозначное соответствие между [0, 1] и [0, 1] и что / немонотонна
ни в каком интервале, содержащемся в [0, 1].
2463. Пусть g(x) = c + (d-с)--у^, если ~^ рацио-
нально; g(x) = d -\-(c — d) • ^~fl , если *^fl иррационально.
Показать, что y = g{x) есть взаимно однозначное соответствие
между [а, Ь] и [c,d], причем g(x) нигде не монотонна на [а,Ь]
(в смысле задачи 2462).
2464. Показать, что отношение эквивалентности множеств
обладает свойствами рефлексивности, симметричности и тран-
транзитивности, т. е. Л со А; если Л со В, то и В со Л; из Л со В,
В со С следует, что Л со С.
2465. Пусть АсоА{, ВсоВ^ Показать, что если А(]В = 0
и Л1ПВ, = 0, А[} В со А^Вх.
2466. Показать, что утверждение задачи 2465 может быть
неверным, если не соблюдены условия: А(]В = 0, Л1ПВ1==0.
§ 69. Мощность множества
По определению эквивалентные множества имеют одинаковую мощность.
Мощность множества А будем обозначать ц (Л).
Для конечных множеств мощность отождествляется с числом элементов.
Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству N
всех натуральных чисел.
Если элементы множества А занумерованы конечными системами знач-
значков, каждый из которых принимает конечное или счетное количество зна-
значений (причем различным элементам множества А отвечают различные на-
наборы значений этих значков), то множество А является конечным, или счетным.
Множество всех точек сегмента: [0, 1] несчетно. Его мощность назы-
называется мощностью континуума: ц ([0, 1] ) = с. По определению ц (А) < \х (В),
если А не оо J5, но А со Вх ci J5. Так, ц{А) < 2м"(Л) (через 2м"(Л) обозна-
обозначается мощность множества всех частей множества А). Если А со Вх а В,
а В со Ах а Л, то ц (А) = ц (В) (критерий равенства мощностей).
п
2467. Показать, что множество чисел вида Ym im и п — на~
туральные) счетно.
2468. Показать, что множество всех рациональных точек
плоскости (т. е. точек, у которых обе координаты являются
рациональными числами) счетно.
156

2469. Показать, что множество всех кругов на плоскости,
центры которых расположены в рациональных точках, а ра-
радиусы рациональны, является счетным.
2470. Доказать, что любое количество попарно не пересе-
пересекающихся плоских множеств, каждое из которых имеет хотя бы
одну внутреннюю точку, не более чем счетно.
2471. Исходя из того, что замкнутый единичный квадрат,
а также вся плоскость имеют мощность с (континуум), пока-
показать, что любой замкнутый квадрат, любой открытый квадрат,
круг, внутренность любого эллипса, открытая полуплоскость
имеют мощность с.
2472. Показать, что любое плоское множество, обладающее
внутренней точкой, имеет мощность с,
2473. Доказать, что множество всех сегментов на числовой
оси имеет мощность с.
2474. Доказать, что множество всех последовательностей
действительных чисел имеет мощность с.
2475. Доказать, что множество всех функций, непрерывных
на [а, Ь], имеет мощность с.
2476. Доказать, что множество всех функций (непрерывных
и разрывных) на [а, Ь] имеет мощность f > с.
2477. Доказать, что f =2C (см. задачу 2476).
2478. Доказать, что \х (М U Р) = ji (М) + ji (Р) - ц (М (] Р),
если М и Р—-конечные множества.
2479. Доказать, что \х(М [)PUQ) = \i(M) + \i{P) + \x(Q) —
-\i(MnP)-lx(MnQ)-\i(P()Q) + »(MnPnQ), если М, Р и
Q —конечные множества.
2480. Показать, что если к бесконечному множеству доба-
добавить один новый элемент, то мощность этого множества не
изменится.
2481. Изменится ли мощность бесконечного множества, если
из него выделить какое-нибудь счетное множество?
2482. Показать, что \х (A U В) > \х (А).
2483. Показать, что \х(А \ В)<\х(Л).
2484. Показать, что если \i{A[) B) = c, то хотя бы одно
из множеств, А или В, имеет мощность с.
/со \
2485. Показать, что если u \J Ак =с» то по крайней мере
U=i /
одно из множеств Ak имеет мощность с.
2486. Сколько подмножеств имеется у множества, состоя-
состоящего из четырех элементов?
2487. Сколько подмножеств имеется у множества из п эле-
элементов?
2488. Докажите, что множество из десяти элементов содер-
содержит больше подмножеств из пяти элементов, чем подмножеств,
из любого другого конечного количества элементов.
157

2489. Множество М состоит из трех элементов, а множество
Р — из двух элементов. Сколько существует отображений МвР?
Сколько существует отображений М на Р?
2490* Обозначим через D™ число отображений множества
из п элементов на множество из т элементов. Проверить,
что Z>4=12, #4 = 36, Dn^nl
2491. Сколько существует отображений множества из т
элементов в множество из п элементов?
§ 70. Открытые и замкнутые множества
Пусть Е — метрическое пространство. Множество О cz E называется
открытым, если каждая его точка внутренняя, т. е, принадлежит G вместе
с некоторой своей окрестностью.
Точка а называется предельной точкой для множества А а Е, если во
всякой окрестности а найдется хотя бы одна точка xg/1, отличная от а.
Множество F а Е называется замкнутым, если оно содержит все свои
предельные точки.
Дополнение к замкнутому множеству есть открытое множество, а до*
полнение к открытому — замкнутое.
Объединение любого количества и пересечение конечного количества
открытых множеств от к рыт о ^
Пересечение любого количества и объединение конечного количества
замкнутых множеств замкнуто.
Всякое линейное открытое множество есть объединение конечного или
счетного количества попарно не пересекающихся интервалов, называемых
составляющими интервалами этого множества.
Совокупность всех предельных точек множества А а Е называется
производным множеством множества А и обозначается А'.
Множество А называется совершенным^если А' = А.
Замыканием А называется множество А = А [) А'.
Если А = В, то А называется всюду плотным (ЬЕ).
Множество А называется нигде не плотным (ЬЕ), если дополнение
к его замыканию всюду плотно.
Объединение счетного числа замкнутых множеств называется множе-
множеством типа Fa.
Пересечение счетного числа открытых множеств называется множе-
множеством типа Ga.
В задачах 2492—2496 найти производное множество и за-
замыкание для следующих множеств;
2492. Д = @, 1). 2493. А = @, l)U(i, 2).
Л={ 1,1.1. ...,1, ...}. 2495. A-Ojl.rf
2497. Построить множество А такое, чтобы /Г = {— 1, 0, 1}.
2498. Построить множество А такое, чтобы его производ-
производное множество состояло из наперед заданных точек щ,
«2» • • • > <V

2499- Построить множество А такое, чтобы Л/ = |о, 1, у,
2500. Пусть R — множество всех рациональных точек число-
числовой оси. Найти R'.
2501. Справедливы ли соотношения A'czAy AczA? Привести
примеры.
2502. Доказать, что замыкание множества А совпадает с пе-
пересечением всех замкнутых множеств, содержащих Л.
2503. Показать, что если А с: В^ то Лей.
2504. Показать что АЦВ = ~А[)В.
2505. Показать, что Af\B dA(]B. _
2506. Показать, что, ^ообще говоря, А П В ф A Q В.
2507. Показать, что А — Л, т. е. что замыкание замыкания
всегда замкнуто.
2508. Доказать что производное множество любого мно-
множества замкнуто.
2509. Доказать, что дополнение к множеству типа F$ есть
множество типа Gfi, а дополнение к множеству типа G$ есть
множество типа F&.
2510. Доказать, что каждое открытое множество на число-
числовой оси есть множество типа F& а каждое замкнутое мно-
множество есть множество типа G6.
2511. Доказать, что множество всех точет* прямой не может
быть представлено в виде объединения счетного количества
нигде не плотных множеств.
То же самое верно и для множества всех точек плоскости.
2512. Показать, что сегмент [а, Ь] нельзя представить в виде
объединения двух непересекающихся замкнутых множеств.
2513. Доказать, что если множество А точек числовой оси
является одновременно замкнутым и открытым, то А либо
пусто, либо совпадает со всей осью.
2514. Построить пример метрического пространства, в ко-
котором существуют открыто замкнутые непустые множества,
не совпадающие со всем пространством.
2515. Указать на плоскости два замкнутых непересекаю-
непересекающихся множества, расстояние между которыми равно нулю.
Расстояние между множествами А и В определяется форму-
формулой р(Л, ?) = infp(a, Р), ае=Л, $<=В.
2516. Показать, что расстояние между непересекающимися
замкнутыми множествами евклидова пространства строго по-
положительно, если хотя бы одно из этих множеств является
ограниченным.
2517. Показать, что всякая кривая Жордана, заданная урав-
уравнениями: х = ф @, у — ф @» tQ^t<^T> где ф (/) и Ф (/) непрерывны
на [*о> Т]> является замкнутым множеством точек на плоскости.
159

2518. Убедиться, что точка -у^- принадлежит канторову совер-
совершенному множеству Ро.
2519. Показать, что множество точек сегмента [0, 1], деся-
десятичное разложение которых возможно без помощи цифры 7,
совершенно.
2520. Доказать, что объединение двух совершенных мно-
множеств является совершенным множеством.
2521. Доказать, что если f(x) непрерывна на [а, Ь], то мно-
множества {х\ f{x)^c} и [х\ f(x)^c] замкнуты при любом с.
2522. Если множество значений функции f(x), монотонной
на сегменте [а, 6], замкнуто, то f(x) непрерывна на [а, Ь]. До-
Доказать.
2523. Для данного замкнутого множества F на числовой
оси построить функцию f(x), непрерывную во всех точках мно-
множества CF и разрывную во всех точках множества F.
2524. Для данного замкнутого множества F на числовой
оси построить последовательность, множество предельных то-
точек которой совпадает с F.
§ 71. Внешняя и внутренняя меры линейного
множества. Мера Лебега
Мера открытого ограниченного множества на числовой оси по опре*
делению равна сумме длин составляющих это множество интервалов.
Мерой замкнутого ограниченного множества F называется число
mF = Ь — а — /пСд/7, где А = [а, Ь\ есть наименьший сегмент, содержащий
множество F.
Внутренней мерой т*Е ограниченного множества Е называется верх-
верхняя грань мер всевозможных замкнутых множеству содержащихся в Et
а внешней мерой т*Е — нижняя грань мер всевозможных открытых мно-
множеств, содержащих Е.
Имеем: пг^Е <^гп*Е. Если т*Е = т*Е, то множество Е называется
измеримым, а общее значение внешней и внутренней мер называется ме-
мерой Лебега множества Е и обозначается гпЕ.
Мера Лебега обладает свойством полной аддитивности: если ограни-
ограниченное множество Е есть объединение конечного или счетного количества
попарно не пересекающихся измеримых множеств ?,-, Е = Ех U E2 U Е$ [} ...,
Е[ П Eh = 0, i Ф k, то множество Е измеримо и mE = mEx + пгЕ2 +
+ пгЕъ + Не всякое множество измеримо: существует ограниченное
неизмеримое множество.
2525. Показать, что мера открытого ограниченного множе-
множества равна его лебеговой мере.
2526. Показать, что мера замкнутого ограниченного множе-
множества равна его лебеговой мере.
2527. Доказать, что мера множества всех рациональных
точек сегмента [а, Ь\ равна нулю.
2528. Показать, что мера канторова совершенного множе-
множества равна нулю.
160

2529. Построить на сегменте [а, Ь\ совершенное нигде не
плотное множество положительной меры.
2530. Построить на сегменте [а, Ь] совершенное нигде не
плотное множество, мера которого равна заданному числу а,
0 ^а < Ь — а.
2531. Можно ли построить на интервале (а, Ь) замкнутое
множество полной меры (т. е. меры, равной Ь —- а)?
2532. Если Gj и G2- открытые ограниченные множества,
то т(G{UG2) = mG{ + mG2 — m(G{\JG2). Доказать.
2533. Если F{ и F2 — замкнутые ограниченные множества,
то т (Л U F2) = mF{ + mF2 — m (F{ [} F2). Доказать.
2534. Доказать, что всякое ограниченное замкнутое множе-
множество можно покрыть конечной системой интервалов так, что
сумма длин этих интервалов сколь угодно мало отличается
от меры этого множества.
2535. Доказать, что для измеримости ограниченного множе-
множества Е необходимо и достаточно, чтобы для всякого е > 0 су-
существовало такое замкнутое множество F а Е, что т*{Е \ F)<e.
2536. Доказать, что mJE{\JE2)>m^El + mJE2.
2537. Доказать, что m^(Ei\E2)^lrnfEi — mtE2.
2538. Пусть Е = (J Ек, Ех cz Е2 с: ... с Еп с: ... и Е огра-
ничено, тогда т*Еп->т*Е. Доказать.
2539. Пусть Е = U Ek, E{zdE2zd ... =э EniD ... и Ех огра-
ничено, тогда mJ±n->mJE. Доказать.
2540. Показать, что любое множество положительной меры
несчетно.
2541. Показать, что если Е с: [а, Ь\ измеримо и тЕ — Х > 0,
то т([а, х)[}Е) непрерывно меняется при а^х^.Ь от 0 до А,.
2542. Показать, что непрерывное преобразование, вообще
говоря, не сохраняет меру множества.
2543. Показать, что гомеоморфное преобразование, вообще
говоря, не сохраняет меру множества.
2544. Показать, что изометричное преобразование, т. е.
преобразование, сохраняющее расстояние между точками,
сохраняет меру множества.
2545. Показать, что любое множество положительной меры
содержит неизмеримое подмножество.
Пусть ограниченное множество Е покрыто произвольным конечным ко-
количеством интервалов 6^ 62, ..., 6ь и пусть В содержит конечное количе-
k
ство сегментов Alt Д2, ..., Дл. Тогда числа пг+Е— inf
6b
= sup 5J m^i назыветтся соответственно внешней и внутренней ме-
рой в смысле Ж о р д а н а.
161

Если т+Е = т+Ег то множество Е называется измеримым по Жор"
дану, а число m (?) = m. F=m+? называется мерой Жордйна множе-
множества Е.
2546. Показать, что для любого ограниченного множества
будет: m+E ^ т+Е.
2547. Показать, что всякое множество» измеримое по Лебегу,
измеримо по Жордану и т(Е) = гпЕ.
2548. Показать, что множество всех рациональных чисел
сегмента [а, Ь] неизмеримо в смысле Жордана (так что пред-
предложение* обратное предложению задачи 2547, неверно).
2549. Показать, что мера Жордана обладает свойством ко-
нечной аддитивности Iт. е. тI U Ei\=Zim(Ег)г Ei{\Ek —
— 0Aфк)\, но не обладает свойством счетной аддитивности.
§ 72. Измеримые функции
Функция f (x), заданная на множестве ?, называется измеримой, если
множество Е измеримо и при любом а измеримо множество {х\ f (x)>aj.
Если f (х) — измеримая функция, то множества {х; f (х) ^ а}, {х; f (дг)^а},
{х; / (х) < а] измеримы при любом а. Обратно, если хоть одно из этих мно-
множеств измеримо при любом а, то f(x) измерима (если, конечно, измеримо
и само множество ?).
2550. Показать, что если f(x) измерима, то множество
{х\ f(x) — a) измеримо при любом а.
2551. Показать, что функция / (х) — const измерима на всяком
измеримом множестве Е.
2552. Показать, что функция, монотонная на измеримом
множестве ?» измерима.
2553. Показать, что функция, непрерывная на сегменте {а, 6],
является измеримой.
2554. Если f(x) измерима, то при любом k измерима и
функция kf(x) (доказать).
2555. Если f(x) измерима, то измерима и функция \f(x) |
(доказать).
2556. Если \f(x)\ есть измеримая функция, то f(x) не обя-
обязательно измерима (привести пример).
2557. Известно, что если f(x) и q (x) измеримы, то f(x)±q (x),
f(x)-q(x) и ?^г (если д(х)ФО) измеримы. Справедливы ли
обратные утверждения? Привести примеры.
Если на множестве Е последовательность {fn (x)} измеримых функций
в каждой точке сходится к функции / (х)> то / (х) измерима на Е.
Используя этот результат, доказать утверждения задач 2558
и 2559:
162

2558. Если во всех точках сегмента [а> Ь\ существует про-
производная f'{x) функции /(*), то f'(x) измерима.
2559. Сумма сходящегося на сегменте [а, Ь] ряда измери-
измеримых функций есть измеримая функция.
Последовлтельность {fn (x)} называется почти всюду на измеримом мно-
множестве Е сходящейся к функции / (х), если lim /rt (*)=/(*) для почти
всех х е Еу т. е. за исключением, быть может, множества точек, имеющего
меру нуль.
Последовательность измеримых функций {fn {x)} сходится по мере к из-
измеримой функции f (х), если для любого а>0 будет иметь место равенство
Hm m{jt;|fn(jt)--f(jt)|>o}-0.
П-+00
Если {fn (х)} сходится к / (х) почти везде, то она сходится и по мере
(теорема Лебега). Если {fn (x)} сходится к f (x) по мере, то из последова-
последовательности ifn [х)} можно выделить подпоследовательность |/n (jp)J, сходя-
сходящуюся к f (х) почти везде (теорема Ф. Рисса).
2560. Показать, что последовательность {хп) сходится на
[О, 1] почти везде к функции f(x) — O. Проверить, что {хп}
сходится к f(x) и по мере.
Пусть
где /= 1, 2, ..., k.
Положим, <p{(x) = f\(x), ф2(х) = /<2>(*), фз(х) = ^(х), Ф4(х)=
=*t[*(x) & т.д.
Показать, что {уп{х)} сводится по мере к нулю на [0, 1). и,
однако, ни в одной точке этого промежутка <$п(х) не ->0.
Пусть {fn{x)} и {gn{x)} — последовательности измеримых
функций, сходящиеся на множестве Е по мере соответственно
к измеримым функциям f(x) и q(x). Доказать следующие
утверждения (задачи 2562—2568);
2562. Последовательность {afn(x)} сходится по мере к а/(х).
2563. Последовательность {fn (x) -J- qn (x)} сходится по мере
к f(x) + q{x).
2564. Последовательность {|/я(д:)|} сходится по мере к|/(х)|.
2565. Если f(x) = O почти всюду, то {Щ сходится по мере
к нулю.
2566. Последовательность {fnq} сходится по мере к fg.
2567. {f|} сходится по мере к /2.
2568. {fn{x)} сходится по мере к f(x) на всяком измеримом
подмножестве множества Е.
2569. Верны ли результаты задач 2562—2568 для сходимо-
сходимости почтя всюду?
163

§ 73. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов
Римана и Лебега
Пусть функция / (х) измерима и ограничена на множестве Е; Л < / (х) < В.
Разбив сегмент [Л, В] на части точками
у0 = А<ух <у2< ... уп = В,
образуем суммы:
л—1 п—\
* { к к+iY
Положим, X = max (yk+l — yky Если X -> 0, то существует общий предел
s = lim5 = /. При этом / = infS = sups по всевозможным разбиениям.
Этот предел называется интегралом Лебега функции / (х). Интеграл Лебега
р р р
обозначается (L) f (x) dxt или просто I / (х) dx. Если Е = [а, Ь], то ин-
Е Е
ь I ь ч
теграл Лебега можно обозначать (L) [ / (х) dx I или просто Г f (x) dx I.
а \ а ]
В задачах 2570—2574 вычислить интегралы Лебега, опи-
опираясь на определение и используя условия существования:
ь 1
2570- JCrfjc, С = const. 2571. Jxdx.
а 0
Ь
2572, J D (x) dx, где D (*)—функция Дирихле (см. задачу 154).
а
2573, f f(x)dx, где Ро —канторово совершенное множество,
Ро
/ (х) — ограниченная измеримая функция.
2574, f dx> где Е — измеримое множество.
Е
2Ы5. Показать, что если тЕ = 0, то J / (х) d# = 0 для лю-
бой ограниченной измеримой функции f(x).
2576. Показать, что если / (л:) == 0 почти всюду, то J / (x) dx=Q.
Е
2577. Показать, что если J }2(x)dx = 0, то f{x) равна нулю
Е
почти всюду на Е.
2578. Показать, что если f (х) монотонна на сегменте [а, Ь]
164

то она интегрируема в смысле Лебега и (L) Г f(x)dx =
а
Ь
= (R)jf(x)dx.
а
2579. Пусть f (x) измерима и ограничена на [а, 6]. Тогда для
b с Ь
а <с <Ь имеем J / (х) dx = Г / (х) dx + \ f(x) dx. Доказать.
а а с
Интеграл от измеримой ограниченной функции обладает следующими
свойствами:
1. Если A^.f(x)^B на измеримом множестве Е, то A'tnF^
< J f(x)dx^B- mE.
Е
2. Если множество Е есть сумма конечного или счетного количества
попарно не пересекающихся измеримых множеств Еь, то I f(x) dx=*
Е
===V j f (x) dx (полная аддитивность интеграла).
k Ek
3. J Cf (x)dx = C J f(x)dx.
E E
4. J [/ (x) + Ф (*)] dx= I / (jc) dx + I ф (x) dx.
ЕЕ
e
2580. Показать, что если для любого с а < с < 6, Г/ (jc) dx = 0,
а
то f(jt) = O почти всюду.
1
2581. Показать, что если j f(x)dx=lt /(jc)>0 на [0, 1], то
о
/(л;)=1 почти всюду.
2582. Показать, что если f(#)^(p(*) почти везде на изме-
измеримом множестве ?, то J f(x)dx^. J y(x)dx.
E E
2583. Показать, что если /Ч*)^ф(*) на ?, причем f(x) <
< Ф {х) для х е Е{ а Е и тЕ{ > 0, то Г f (x) dx < Г ф (jc) rfjc.
я е
2584. Показать, что всякая функция с ограниченным изме-
изменением интегрируема по Лебегу.
165

2585. Вычислить [f(x)dx, если f(x) = a на измеримом мно-
а
жес? ве Е cz [a, b] и равна р на С[а, ъ\Е.
2586. Пусть Jf(x)dx = O, [/(х)|=1 на ?. Показать, что
Е
m{xt=E; f(x)>0} = m{xe=E; f(x)<0).
2587. Показать, что если f (x) — ограниченная измеримая
а
нечетная функция, то J / (х) dx = 0.
—а
2588. Пусть Е — канторово множество положительной меры
ь
на сегменте [а, 6]. Чему равен ^ f(x)dxt если f(x) = 0 на Е и
—а
каждом смежном интервале (а,
1N ' р — а
2589. Не может существовать измеримой на [0, 1] и огра-
ограниченной функции, удовлетворяющей условию:
1
2п
2п+\
Почему?
Если функция f (x) интегрируема по Риману на [at b]t то она интегри-
ъ ь
руема и по Лебегу и (L) | / (х) dx = (Я) J / (х) dx. Для того чтобы функ-
а а
дня f (x) была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно, чтобы
она была ограничена на [а, Ь] и почти непрерывна (т. е. множество ее точек
разрыва должно иметь меру нуль).
2590. Показать, что характеристическая функция канторова
совершенного множества положительной меры интегрируема по
Лебегу, но не интегрируема по Риману. Чему равен интеграл
Лебега этой функции?
2591. Пусть f(x)~ *2sin-~, хФО, /@) = 0. Показать, что
производная V (х) не интегрируема по Риману на [—1, 1].
2592. Показать, что если функция f(x) имеет на сегменте
[а, Ь] ограниченную производную, то эта производная интегри-
интегрируема по Лебегу.
2593. Доказать, что предел равномерно сходящейся после-
последовательности функций, интегрируемых по Риману, есть функ-
функция, интегрируемая по Риману.
166

2594. Построить пример, показывающий, что предел сходя-
сходящейся на {а, Ь\ последовательности интегрируемых по Риману
функций может быть функцией, не интегрируемой по Риману,
§ 74. Предельный переход под знаком
интеграла. Суммируемые функции
Пусть на измеримом множестве Е задана последовательность {fn (х)}
измеримых ограниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой огра-
ограниченной функции F (х). Если все функции fn (x) равномерно ограничены
на Е> т. е. | fn (х) |< К для всех п и х, то lim | fn (х) dx = Г Е (х) d&
Е Е
(теорема Лебега).
Если Jim | fn (x) — f {x) | dx = 0, то говорят, что последовательность
tt->oo J
Е
{fn (*)) сходится в среднем к функции f (x),
2595. Пусть
I п при xg. (о, —),
[О при Jce[0, l]\@, i).
Показать, что для всякого хе[0, 1] будет иметь место равен-
ство lim fa (x) = 0, но f fn (x) dx — \. Какое условие теоремы
Лебега не выполнено?
2596. Показать, что из сходимости {fn(x)} в среднем следует
сходимость по мере.
2597. Показать, что из сходимости в среднем не вытекает
сходимость почти везде.
Указание. Рассмотреть функции
fn (х) =
I, если -г<х<
О, если ,eIOli,\[i, -^
где для каждого п числа т и к однозначно определяются представлением
2598. Вытекает ли из сходимости почти везде сходимость
в среднем?
2599. Показать, что последовательность fn (x) = пхе~пх% схо-
сходится всюду на [0, 1], но не сходится к тому же пределу
в среднем. Какое условие теоремы Лебега не выполнено?
167

2600. Выполнены ли условия теоремы Лебега для последо-
последовательности функции fnix) = nxil — х)п на [0, 1]?
Пусть / ix) — не ограниченная на ? и не отрицательная функция. По-
Положим,
(х), если f ix) ^ N,
г, если j ix) > N.
Интег1>алом Лебега от функции / (х) называется предел
Km Ufix)]Ndx.
-> + оо J
E
Если t ix) ~~ неограниченная функция, имеющая значения разных знаков,
то положим:
f fix), если /(jc)>0,
UW I 0, если /(jc)<0;
f 0, если / (*) > 0,
I -f(x), если Цх)<0.
По определению
J / (др) dx = J /+ (др) dx - J/- ix) dx.
ЕЕ Е
Еели эта величина конечна, то / ix) называется суммируемой на Е.
2601. Показать, что fix) суммируема на Е тогда и только
тогда, когда /+ (#) и /«. (лс) суммируемы на Е.
2602. Показать, что для суммируемости функции f ix) на Е
необходима и достаточна суммируемость \Цх)\ на Е.
2603. Вычислить интеграл Лебега от функции /(#) = — на
@, 1].
2604. Вычислить интеграл Лебега от функции f(x) = —r=-
на @, 1].
2605. Вычислить интеграл Лебега от функции /(х) = ,.
х~2
на B, 3].
2606. Является ли /(л:)=-^» /@) = 0, суммируемой на
2607. Будет ли суммируемой функция /(*) = ¦
/B) = 1, на [1, 3]?
2608. Показать, что функция f(x) = -^rsin-j. xe@, 1],
а) несобственно интегрируема по Риману при а < 1 + Р;
б) суммируема по Лебегу при а< 1;
168

в) несобственно интегрируема по Риману, но не суммируема
по Лебегу при 1—-?<а<1.
2609. Пусть функция f(x) задана на @, 1] формулами:
f(x) = n при 2^п\\} <*<7Г и /(*) = —п при <л:<
^ 2п + 1 1 о q
^2п(л+1) ' л~ ^^^ ••• •
Показать, что /(*) суммируема на каждом из полусегментов
("nj_ 1*7]* н0 не сУммиРУема на их объединении. Таким обра-
образом, полная аддитивность интеграла для суммируемых функ-
функций, вообще говоря, не имеет места.
Функция f(x) называется суммируемой с квадратом на
а
[а, Ь], если J f2 (x) dx<oo.
ь
2610. Показать, что всякая функция, суммируемая с квад-
квадратом, суммируема на [а, Ь].
2611. Привести пример суммируемой на [а, Ь] функции,
квадрат которой не суммируем.

ГЛАВА ХШ
ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА
§ 75. Метрические пространства. Полнота
Множество X называется метрическим пространством, если в нем вве-
введено расстояние р (а, Ь) между элементами, удовлетворяющее условиям:
а) р (а, Ъ) = 0 тогда и только тогда, когда а — Ь, вообще же р (a, b) ^ 0;
б) р (а, Ъ) = р (Ь, а);
в) р (а, с) < р (a, b) + o (Ь, с).
Последовательность {х^ элементов метрического пространства X назы-
называется сходящейся, если существует такой элемент asl, что lim р (хп а) = 0.
П->оо
Последовательность {хп} называется фундаментальной или сходящейся
в себе, если для любого е>0 найдется такое N, что р (хп, xm)<s при
п, m>N.
Пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность
сходится, называется полным.
2612. Пусть X — любое множество. Положим, р(а, &) = 0,
если а —Ь и р(а, Ь)= 1, если аФЬ. Проверить, что при таком
определении расстояния X превращается в метрическое про-
пространство.
2613. Убедиться, что метрическое пространство задачи 2612
является полным.
2614. Евклидово расстояние между точками плоскости выра-
выражается формулой р (Л, В) = V(xx — х2J + (у{ — #2J, А — (*!, #,)>
В = (х2, Уг)- Введем новое расстояние по формуле
р2 (Л, В) ==| хх — х2) | + 1 У\ ~ У21.
Проверить выполнение аксиом метрики. Являются ли эти две
метрики эквивалентными (т. е. из сходимости последователь-
последовательности точек в смысле одного из расстояний следует ли сходи-
сходимость к тому же пределу в смысле другого расстояния)?
2615. Пусть р2 (Л, В) = max { |jcj — х21\у{ — у21}. Проверить
выполнение аксиом метрики. Является ли эта метрика экви-
эквивалентной евклидовой?
2616. Пусть X есть пространство последовательностей
х = Ни ?г> • • •}• Определим расстояние между х и у — {ч\{, *ь • • •}
формулой
{ \1\
2* l + l^-rh
Проверить выполнение аксиом расстояния.
170

2617. Для точек числовой прямой положим: p(xty) =
= I arctg x — arctg у |. Проверить выполнение аксиом расстояния.
2618, В пространстве Сп(а, Ь) функций, имеющих на [а, Ь]
непрерывную производную я-го порядка, введем расстояние
тремя способами:
Pi <*,</) = 2 max |
max | x{k) (t) - */*> (/)
Рз (*></) = max [ max U<*> (/) - y™ (t) | ].
Проверить выполнение аксиом расстояния и показать
эквивалентность этих трех метрик.
2619. Обозначим через N пространство всех натуральных
чисел с метрикой р(п, /п) ===== | лг — т\. Показать, что N — полное
пространство.
2620. Множество натуральных чисел N с метрикой р (я, т) ==
= ln""ml неполно. Доказать.
2621. Показать, что в полном метрическом пространстве
всякая последовательность вложенных замкнутых шаров, ради-
радиусы которых стремятся к нулю, имеет непустое пересечение,
2622* В множестве N натуральных чисел введем расстояния
р(т, п) = 1 + т + п > если тфп> и р(/п, п) = 0, если т = п.
Положим, Вп = | т\ р (т, п) ^ 1 + у | • Показать, что {Вп} —
последовательность вложенных замкнутых шаров с пустым
пересечением. Убедиться, что множество N с метрикой р есть
полное метрическое пространство. Сравнить с задачей 2621.
2623. Показать, что в метрическом пространстве замкнутый
шар большего радиуса может содержаться в шаре меньшего
радиуса. Рассмотреть пример: X — замкнутый круг х2-\-у2*^9
с обычной метрикой, шар Вх = X, шар В2 = Вх(\ {(х — 2J +
+ У2<16)}. Тогда В2аВ19 но г2 = 4>г1==3.
§ 76. Линейные нормированные пространства.
«Линейные функционалы и операторы
Линейным пространством называется множество Е элементов, для
которых определены операции сложения и умножения на числа (веще-
(вещественные или комплексные), с соблюдением основных законов коммута-
коммутативной алгебры.
Линейное пространство называется нормированным, если для его эле-
элементов определено понятие нормы \и% удовлетворяющее следующим усло-
условиям*
П\

*) ll«ll>0; N11 = 0 тогда и только тогда, когда « = 9 @ — нуль про-
странетва Е);
2) ||^||=1М-1М1;
3) lu + ul<iul + lvi
Линейным функционалом на Е называется функция f со значениями
в области действительных (или комплексных) чисел и такая, что f (аи + Qv) =
-о/(«)+(»/(о).
Функционал называется непрерывным в точке и = и0, если lim f (un) =
rt->oo
*= / (и0), как только lim || ип — и0 || = 0.
Непрерывность линейного функционала на Е равносильна его ограничен-
ограниченности, т. е. существованию такого числа М, что | f (и) | < М || и | для всех
и^Е. Наименьшее из таких чисел М называется нормой линейного функ-
функционала и обозначается ||f||.
Аналогично вводятся понятия:
а) линейного оператора, отображающего Е в другое линейное нормиро-
нормированное пространство Еь
б) непрерывности,
в) ограниченности и
г) нормы линейного оператора.
2624. Показать, что линейное нормированное пространство
является метрическим пространством при следующем опреде-
определении расстояния: р(и> v) =\\и — v\\.
2625. Показать что для любой пары элементов линейного
нормированного пространства Е выполняется неравенство
||а||^max{||и — v\\, \\u-\-v\\}, причем знак равенства дости-
достигается тогда и только тогда, когда || и || = || и — v || = || и + v ||.
2626. Доказать непрерывность нормы в линейном нормиро-
нормированном пространстве, т. е. доказать, что если lim un = uOt то
Убедиться, что указанные в задачах 2627—2634 простран-
пространства являются линейными, и проверить выполнение аксиом
нормы.
2627. Пусть Еп — n-мерное векторное пространство элемен-
элементов * = (?i, |2t •••> In)- Норма определяется равенством ||*|| =
2628. Пространство С (а, Ь) функций, непрерывных на [а, Ь\\
||х|| = max| л;(/)|, а</<6.
2629. Пространство m ограниченных числовых последова-
последовательностей x = {iu |2э •••» 1П> •••}; II-»II = ig|
i
2630. Пространство с сходящихся числовых последователь-
последовательностей х = {1и 12у ..., In* •••}> lim h = l\ II х II == sup I It |.
i->oo i
2631. Пространство l числовых последовательностей х =
oo oo
*={lx> h> ...» %n> ...} таких, что S|g,|<cx>; |UH=S|6t|-
172

2632. Пространство 1Р, р>1, последовательностей х =
= fti,62t ..., In, ...} таких, что 21 S* Г < оо; ||х||
/i
Указание. Воспользоваться неравенством | а + Ь \р = 2Р (| а \р + \ b \р)
1 1 1
и неравенствомМинковского Г? | |. + ^ f) <[^i\hf) + 2 И/ П •
2633. Пространство L (а, 6) функций, суммируемых по Ле-
ъ
бегу, с нормой ||х||= ) \x\(t)\dt.
а
2634. Пространство Lp(a, 6), р> 1 функций, для которых
Ь \ / Ь \ —
j\x(t)fdt~f<<x>, с нормой ||л|| = М U()P
Указание. Воспользоваться неравенством Минковского для интегра-
лов:
2635. Показать, что сходимость, определяемая нормой в про-
пространстве Ею эквивалентна сходимости по координатам.
2636. Показать, что сходимость в смысле нормы простран-
пространства т эквивалентна сходимости по координатам, равномерной
относительно номеров координат.
2637. Показать, что сходимость в смысле нормы простран-
пространства С (а, Ь) есть равномерная сходимость на сегменте [а, Ь].
2638. Пусть f (х) = л: (/0), ^ — фиксированная точка на сег-
сегменте [а, 6]. Является ли f {х) линейным функционалом в про-
пространстве С (а, Ь)? Ограниченным функционалом? Чему равна ||/ ||?
2639. Является ли /(*) = max x(t), a</<6 линейным
функционалом в С (а, 6)?
ь
2640. Показать, что / (х) = J х (/) dt есть линейный ограни-
а
ченный функционал в С (a, b). Чему равна его норма?
2641. Показать, что /(х) = |1 есть линейный непрерывный
функционал в пространстве Еп. Чему равна его норма?
2642. Показать, что f(x)= lim |,- есть линейный непрерыв-
непрерывное
ный функционал на с и ||/||=1.
2643. Пусть Со @, 1) означает пространство функций, имею-
имеющих непрерывную производную на сегменте [0, 1] с нормол
173

|||] = maxx(*), 0<<<l. Определим функционал на Со(О, 1)
формулой f (х) = х1 @). Показать, что этот функционал является
линейным, но не является непрерывным.
2644. Показать, что функционал задачи 2643 непрерывен
в пространстве С!@, 1) функций с нормой ||*ll = maxl x{t) | +
+ maxj *'(')}> 0</<1, причем ||/||=1.
2645. Показать, что пространство задачи 2643 не является
полным, а пространство задачи 2644 полное.
В задачах 2646—2649 указан общий вид линейных непре-
непрерывных функционалов в конкретных линейных нормированных
пространствах. Проверить линейность и непрерывность этих
функционалов:
п
2646. f (х) « 2 nth в Еп, щ, /= 1, 2, ..., п — действитель-
1=1
ные числа»
2647. f (х) = Urn It + 2 c&k9 2 I Ck \< oor be.
oo
2648. f (x) = 2 Qli b ^ где {^} — ограниченная последова-
тельность действительных чисел.
2649. / (jc> = J x{t)a{t)dt в Lp(a, 6), причем a(t)GzLg(a, b).
Указание. Для доказательства ограниченности использовать нера-
ь / ь
венстео Гельдера: J | др W у (/) | Л</ J U W К^]" | J I F
\в
2650. Показать, что Р(х)= I x(t + u)dt, O^a^l, перево-
о
дящий непрерывную на [0, 2] функцию л:@ в функцию z(u),
является линейным непрерывным оператором из С{0, 2)&С{0, 1).
Найти Р(/2), РA—0» P{sint).
2651. Является ли линейным оператор Р(х) — и + х(и),
<1?
2652. Яляется ли линейным оператор Р(х) = их@),0<а< 1?
Является ли он непрерывным оператором из С{0, 1) в С{0, 1)?
2653. Показать, что оператор дифференцирования D{x)==
:=xf(uL Q^u^lt является линейным оператором из С|>{0, 1)
в С(д, I) (см. задачу 2643) и что этот оператор не
ограничен.
174

2654, Определим произведение операторов А(х) и В(х),
отображающих пространство Е в ?, формулой АВ (х) — А [В (х)].
Показать, что это умножение некоммутативно, т. е. АВ{х)ФВА (х).
Рассмотреть пример: Е — С @,1), А (х) = и J tx (t) dt,
о
= их(и), 0<и < 1.
§ 77. Простейшие задачи вариационного
исчисления
Пусть F (x, g, г) — функция, имеющая непрерывные частные производ-
производные по всем переменным до второго порядка включительно. Тогда, для того
чтобы функционал
ъ
определенный на множестве функций у = у (х), имеющих непрерывную пер-
первую производную и удовлетворяющих условиям у (а) ~ А, у {Ь) « В, дости-
достигал на данной функции у (х) экстремума, необходимо, чтобы эта функция
удовлетворяла уравнению Эйлера
Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстремалями.
Конкретный способ решения уравнения Эйлера зависит от вида функ-
функции F,
Отметим следующие два случая:
1. Если F не зависит от у> то первый интеграл уравнения Эйлера
имеет вид:
2. Если F не зависит от х, то
В задачах 2655—2663 найти экстремали функционалов:
2
2655. v(y)= f Wf-^dx; г/@) = 0, у(т) = 1-
о
2
2656. v (у) = J Vl+y* dx; у A) = 0, у B) = 1.
1
2657. v(y)= J /(l+*V)d*.
Xq
Xi
2658. v(y)= J {xy' + y'*)dx.
175

2659. v(y)= J -^-rfx.
Л!
2660. o(ir)= J Vy{l+yl2dx.
Xt
2661. v(y)= j yVl+yl2dx.
2
2662. ir(y)=jy(l + *2)</*; y(l) = 3, уB) = 5.
i
2
2663. o(y)=J(jcV2+12y2)rfx; г/ A) = 1, у B) = 8.

ГЛАВА XIV
ТЕОРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 78. Комплексные числа
Комплексное число г = * + iy, отличное от нуля, можно записать в три-
тригонометрической форме:
z = | z | (cos Arg г + i sin Arg г),
где | 2:1 ===== V x2 + y2 — модуль комплексного числа г, Arg г — аргумент этого
числа. Значение аргумента, заключенное в промежутке (— я; я], называется
главным значением аргумента и обозначается arg z» Аргумент комплексного
числа z вычисляется по формуле
Arg z = arg z + 2kn (fc = 0; ±i; ±2;...),
где — g<
Главное значение аргумента числа z = х + iy можно вычислить по
формулам:
arg z = arc tg ~ при х > О,
argz = arc tg—+ я при #<0, у>0,
arg z = arc tg — — я при * < 0, у < 0.
2664. Найти модули и главные значения аргументов ком-
комплексных чисел, заданных ниже. Записать эти числа в триго-
тригонометрической форме:
1) 1+/; 2) 1-/; 3) 3; 4) -2; 5) 6/; 6) -3/; 7) -1+/;
8) _!_f/3; 9) /з+/3; ю) ~з + /^ и) у; 12)тту;
Корень п-й степени из комплексного числа
z = | z | [cos (arg г + 2&я) + i sin (arg г + 2fot)],
отличного от нуля, имеет п значений. Все они определяются по формуле
У г = У | г | I cos —s—-1 h i sin —s—^- j (k = 0; 1; 2; .... n — 1).
177

2663. Найти все значения корней, заданных ниже комплекс-
комплексных чисел, и изобразить их в виде точек комплексной плоскости:
1) уТ; 2) уТ; 3) ^=Т; 4) #Т; 5) \f=W; 6) уТ+7;
7) V-3 -iV3; 8) V-2 - /2 ; 9) /2^й~.
2666. Определив модуль комплексного числа z — x~\-itj по
формуле | г |= )/*2 + #2, доказать равенства:
2667*. Определив модуль комплексного числа г = ? + *#
по формуле | г |= V^*2 + У2» доказать неравенство ( z{ + г21^
<1г,| + |г2|.
2668. Используя неравенство предыдущей задачи, доказать,
что i^-М21>iг, | — \г2\.
2669. Доказать тождество | г,-Н22 P+t ^ —z2 р=2([ г, р+l г2 Р)
и, опираясь на геометрический смысл модуля комплексного
числа, выяснить геометрический смысл этого тождества.
2670*. Доказать, что если точки zu гъ ..., гп лежат по
одну сторону от некоторой прямой, проходящей через начала
координат, то z{ + z2 + ... 4- zn ф 0.
2671*. Доказать, что если zl-\-z2-\- ... +zn — Q, то любая
прямая, проходящая через начало координат, разделяет точки
zu z2> ...,
прямой.
п
2672*. Пусть ak > 0 {k = 1; 2; ..., n), 2 <** = 1 и К—замк-
нутая выпукл-ая оболочка множества точек zu z2, ..., гл. Дока-
зать, что точка z* = 2 а&2? принадлежит множеству /С. (Замк-
Л1
нутой выпуклой оболочкой множества точек zu z2f ..., zn ком-
комплексной плоскости называется наименьшее замкнутое выпуклое
множество, содержащее эти точки.)
2673*. Доказать равенства:
sin?+±p.co «р
g
sin 2
sin 2
178

2674*. Доказать равенство
В задачах 2675—2684 требуется найти множество точек в ком-
комплексной плоскости (z), удовлетворяющих соответствующему
равенству:
2675. \z~zo\ = R. 2676. \z-l-i\ = 2.
2677. 1г + 1-2/| = 3. 2678. | z + 1 - 1| = 1.
2679. Re2-Imz = 2, 2680. argz
2681. |г—1| + |г+1 | = 3. 2682. | z-f 2 |-| z—2| =
2683. Re-=2. 2684.
= 1.
г+1
В задачах 2685—2696 требуется найти множество точек
в комплексной плоскости (г), удовлетворяющих соответствую-
соответствующему неравенству:
2685.|г-го]<#. 2686. | z - 1 +/1< 2.
2687. | г + 1 — /1< 3. 2688. \z-za\>R.
2689. Re г > 2. 2690. Im z < - 1.
2691. О < Re2<2. 2692. О < Im г
2693. |2l+Re2<l. 2694. 0
2895.--J<argz<0.
2696. a<argB-
Для того чтобы последовательность za — xa-{-iyn имела
предел с = а-\- ib, необходимо и достаточно, чтобы lira xn = а,
Ига уп = Ь.
Л-*оо
В задачах 2697—2700 найти пределы заданных выражений:
2698. lim (n sin — + i).
2699. lim \n2(l-cos-)+i(Vn2+l -/л) sin -1.
[П
2701*. Доказать, что из равенства lim гЛ = с (с^= оо) сле-
слега-» о©
дует равенство lim * г '" п = с. Справедливо ли обрат-
ное утверждение?
В задачах 2702—2706 ответить на вопросы:
1) Существует ли предел последовательности?
171

2) Будет ли последовательность ограниченной?
3) Каково множество всех частичных пределов последова-
последовательности?
2702. гп = (_ I)» + i-. 2703. гл = \ + in.
2704. zn = n2 sin -^ + -Щ^ i. 2705. zn = (if.
2706. г„ = [
Для того чтобы сходился (абсолютно сходился) ряд 2 хп + 1Уп> необ-
оо.
ходимо и достаточно, чтобы сходились (абсолютно сходились) ряды 2 хп
/1=1
оо
и 2 У«-
/1=1
Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды,
данные в задачах 2707—2710:
/1=1
. 1
sin —
n
2711. Доказать, что если Re^n ^0 (п= 1; 2; ...) и сходятся
оо оо оо
оба ряда 2^и 2 *1> то сходится и ряд 21 zn I2-
я=1 п=\ /г=1
2712. Доказать, что если a<argzrt<p (д= 1; 2; ...)> при-
оо
чем р — а < я, то из сходимости ряда 2 zn следует сходи-
л—1
оо
мость ряда 21 *я I •
i
§ 79. Функции и функциональные ряды.
Элементарные функции
Функция f (z) = и (х\ у) + iv (х; у) в точке z0 = #0 + гг/о имеет предел
С = Л + № тогда и только тогда, когда функции и (х\ у) и v (x\ у), рассма-
рассматриваемые как действительные функции двух действительных переменных
х и у, имеют в точке (*0> уо) пределы, соответственно равные А и В.
Существуют ли пределы в точке г = 0 функций, данных
в задачах 2713—2716?
2713. /(г)=-^. 2714. /B) = -
1X0

2717. В каких точках комплексной плоскости (г) не суще-
существует предела функции f(z) = argz (главное значение аргу-
аргумента г)?
Функция f (г) = и (х\ у) + iv (х\ у) непрерывна в точке г0 = xQ -f iyo тогда
и только тогда, когда обе функции и (х; у) и v (x; у)у рассматриваемые как
действительные функции двух действительных переменных х и у, непре-
непрерывны в точке (л:0; «/о)«
В задачах 2718—2722 исследовать на непрерывность задан-
заданные функции:
2718. f (г) = sin (ху) + I cos (ху). 2720. / (г) = ±
2719. f(z)=-^-J + l1^ri2. 2721. /(г) =
2722. f(z) = argz (главное значение аргумента).
2723. Можно ли доопределить функции: a) f(z)=
б) f (z)= Z^ZY , в) f(z) = jjj в точке z = 0 так, чтобы они
стали непрерывными в этой точке?
Функции ехр z, sin г, cos z определяются с помощью равенств:
zn
z2 г4
Исходя из определения функций ехр г, sin г и cos г и исполь-
используя непрерывность суммы степенного ряда внутри его круга
сходимости, доказать равенства, данные в задачах 2724—2727;
2724. Ит-^ = 1. 2726. H
Л_ПР ,. 1—cos z 1 от г»-г 1- sinoz
2725. hm г ==-о"- 2727' lim
1 -|— = ех (cos у + *' sin r/),
„ r~ nI
где г==л: + ^-
оо
Радиус R сходимости степенного ряда 2i an(z — zQ)n onpe-
деляется по формуле Коши — Адамара
п п
причем R = 0, если lim Y\ ап I === °° и R = °°» е^ли lim |/"| art | = 0.
/г->оо /1->оо
В задачах 2729—2736 определить радиусы сходимости и
круг сходимости степенных рядов:
181

2729. У (-1)" —. 2733. 2 nnzn\
2730. Т4(г- 0". 2734. 2 BЛ + /3")(г -1 + if.
00
2731. 2nV\ 2735. ?¦? г2".
2732. 2 (z + 1J"+I. 2736. 2 C" + n) (z + 1 - 2i)n
rt=O я=0
оо
2737. Радиус сходимости ряда 2 cns^ равен R. Определить
оа оо
радиусы сходимости рядов: а) 2 сп+хгпъ б) 2 Cn^.pzn (p—фикси-
(p—фиксированное натуральное число).
оо
2738. Радиус сходимости ряда 2 cnzn равен /?, причем
0</?<оо. Определить радиус сходимости рядов:
00
а) 2о«2с„2п; б) 2 2jr (z - if; в) J( п"ся (z + 1)".
оо
2739. Степенной ряд 2 <*пгП имеет радиус сходимости /?
(О < R < оо) и в некоторой точке г0 окружности сходимости
абсолютно сходится. Показать, что этот степенной ряд схо-
сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге \z К/?.
Функции ехрг, sin z и cos г связаны равенствами:
exp (iz) = cos z 4- / sin г,
+2exp(^/2), A)
носящими название формул Эйлера. Для этих функций справедливы также
равенства
exp (zx + 22) = exp Z\ • exp 22,
sin (^! + -г2) = sin zx • cos г2 + cos ^! • sin z2, B)
cos f^! + z2) = cos г! cos z2 — sin 2! • sin z2
для любых комплексных чисел Z\ и г^
Используя формулы A) и B), решите следующие задачи:
2740. Доказать равенство ехр (х -+- iy) = ех (cos у + * si

2741. Доказать, что если ехр {г 4-а) = ехр г для всех г, то
(u = 2nki{k=Q; ±t; ±2;...).
2742. Доказать, что если cos (z + ш) = cos г для всех г, то
ю = 2я& (? = 0; ±1; ±2; ...).
2743. Найти все значения г, для которых sin 2 = 0.
2744. Найти все значения г, для которых cos? = 0.
По определению гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом
называются соответственно функции
t сЬг=з > щ
Пользуясь формулами A), B) и C), решите задачи:
2745. Выразить через тригонометрические и гиперболические
функции действительного аргумента следующие выражения:
1) Re sin z; 2) Imsinz; 3) Re cos г; 4) Imcosz; 5) Reshz;
6) Inishz; 7) Rechz; 8) Imche.
2746. Найти: l)Resin(l+/); 2) Recos(l+/); 3) J sin2/1
4) (cos2/|.
Комплексное число г = | г \ (cos arg z + i sin arg z) может быть записано
в показательной форме:
2 = ] г | ехр i arg г. D)
2747. Используя формулу D), представьте в показательной
форме комплексные числа: I) — 1; 2) /; 3) —i; 4) I + i\ 5) 1—ft
6) —I—/; 7) 1 - /3 i\ 8) -1 - УЪ i.
Все значения логарифма комплексного числа z ф 0 содержатся
в равенстве
Lnz = lnl2| + targ2r + 2foii (fc = Q; ±{; ±2;...),
где In z = in [ z | + i arg z — главное значение логарифма.
Для любых комплексных чисел а Ф 0 и а по определению
аа =* ехр (а Ln а).
2748* Найти все значения нижезаданных выражений:
1) Ln(-l); 2) Ln(-^); 3) Ln/; 4) Ln(ie2); 5) Ln(i +0;
6) Ln(l-0; 7) (-l)^3; 8) 2'; 9) *'; 10) C~41I~1.
2749. Пользуясь определением степени с произвольным ком-
комплексным показателем, доказать, что ап (п—целое число) имеет
одно значение.
2750. Пользуясь определением степени с произвольным ком-
плексным показателем, доказать, что а*7 (— — несократимая
рациональная дробь) имеет q различных значений.
2751. Справедливо ли равенство Lnz + Lnz = 2Lnz?
2752. Доказать равенства:
1) Arc cos z = у Ln (z + Vz2—l> 2) Arshz = Ln B+ Vz2 + 1).
3) Arthz^-Lnl1^-
л 1 ~-~ Z
№

2753* Даны функции: 1) exp z, 2) sin г, 3) cos z. Найти мно-
множество точек г, в которых каждая из задав»ых функций при-
принимает действительные значения.
2754. Для каждой из функций 1) ехрг, 2) sin г, 3) cos г
найти множество точек г, где она принимает чисто мнимые
значения.
2755. Найти все значения г, для которых Ьпг принимает
чисто мнимые значения.
§ 80. Производная и интеграл
Для того чтобы функция f (x + iy) = и (х\ у) + iv (х\ у) была дифф«рен-
цируема в точке z = х + /#» необходимо и достаточно, чтобы функции
и (х; у) u v (х; у), рассматриваемые как действительные функции от двух
действительных переменных х и у, были дифференцируемы в точке (х; у)
и чтобы имели место равенства:
дп (х; у) __ dv (х; у) ди (х; у) _ dv (x; у)
дх ду * ду дх
(условия Коши — Римана). При этом производная f (z) может быть вычи-
вычислена по формулам:
1 [г) "" а* +' дх ду 1 ду ^ дх 1 ду ~ ду +1 дх '
Проверить выполнение условий Коши — Римана и найти производную
функции в следующих задачах B756—2759).
2756. w = г2. 2758. w = z2 + 2г - 1.
2757. w = cos2z. 2759. w = sin3z.
2760. Доказать, что функция w = z-\-z2 нигде не диффе-
дифференцируема.
2761. Доказать, что w = z-\mz дифференцируема только
в точке 2 = 0; найти а/@).
2762. Проверить условия Коши — Римана для функции
/ (z) = V\ ХУ I B точке z = 0. Будет ли эта функция дифферен-
дифференцируема в точке z = 0?
2763. Доказать, что если для функции f(z) = u (х\ у) + iv (x, у)
существует конечный предел
lim Re Иг + А*)-
А2
то существуют частные производные и'х (х; у) и v'y (x\ у), причем
и'х (х; у) = v'y (x; у).
2764. Доказать, что если для функции f (z) = u (х; у) + iv (x; у)
существует конечный предел
то существуют частные производные и'и(х\ у) и vx(x\ у), при-
причем и'у (х\ y) = — vfx {х\ у).
184

2765. Пусть f(z) = u (х; у) + iv {x\ у) — аналитическая функ-
функции в области D. Доказать, что: 1) если и(х\ у) = С для всех
х + iy е ?>, то v (х\ у) = Сх для всех x + iy& D; 2) если
v (*'> У) —С Для всех x + iy e D, то и (х\ у) = С{ для всех
* + /#€= D.
оо
Если степенной ряд ^flrtB-2o)" имеет радиус сходимости # >0, то
оо
его сумма / (z) = 2 fl/1 B "" го)п дифференцируема в круге | z — zQ \ < R,
причем /'
(г) = Zj nc
Найти сумму
2766.
2767.
Если
дуге АВ,
оо
/1=1
оо
П=1
функция /
ТО
Ч (г-
ряда
(«)«
?) dz =
*— *
B766—2769):
¦ j
ЛВ
2768.
2769.
У) + iv (
и dx— v
оо
П=1
оо
7i
>;у)
(_ 1)яЛ(г_/у\
непрерывна на кусочно-гладкой
dy+i J udy + v dx,
ЛВ
где в правой части стоят криволинейные интегралы.
Если уравнение кусочно-гладкой дуги АВ записать в виде г (/)
@ + Ж0 (<'<Р)» то
I
АВ
где
^ (О «Ф'@+ /¦'(/).
2770. Вычислить интеграл \ zdz по следующим путям:
с
1) по отрезку прямой, соединяющему начало координат
с точкой 2 = 3 + 2/;
2) по полуокружности |2|=1, Os^argz^ji, от точки 2=1
до точки ?=— 1; 3) по окружности |z| = /? в положительном
направлении.
2771. Вычислить интеграл [^jdz по следующим путям:
с
1) по отрезку прямой, соединяющему начало координат
с точкой г=1+*';
2) по дуге параболы у = х2 от точки z = 0 до точки 2=1+/;
3) по дуге кривой у = У х от точки 2 = 0 до точки 2= 1 + /.

2772. Вычислить интеграл j z*dz по следующим путям:
с
1) по отрезку прямой, соединяющему начало координат
с точкой г = 2~Ь4*';
2) по дуге параболы у = х2 от точки z = О до точки z = 2 + 4*';
3) по дуге кривой у = 2 ^2* от точки г = 0 до точки
г = 2 + 4/;
4) по окружности |2|==2.
2773. Пусть L — кусочно-гладкий контур Жордана и S —• пло-
площадь области, ограниченной контуром L. Доказать, что:
1) j Rezdz = iS; 2) j zdz = 2iS.
L L
2774. Вычислить действительную часть интеграла J \z\zdz.
I z~2i |=l
2775. Убедиться в справедливости равенства
с dz о .
i
2776. Доказать, что если / (г) — непрерывная функция
в окрестности точки 2 = а, то
Urn f -??L<fe = 2jitf
2777. Убедиться в справедливости равенства
где yr — дуга окружности |г —a| = r, 0<Argz<rf, 0<а<2я
(а -j_ Г — начальная точка дуги уг).
2778. Доказать, что если f (z) — непрерывная функция в сек-
секторе 0<U — a|<r0, 0<ArgB —а)<а@<а<2я) и суще-
существует предел lim {z — а) / (г) = Л, то
lim J f (z) dz = Ma,
где Yr ~ Дуга окружности | z — a | = r, 0 ^ Arg (z — a) ^a (a + r—
начальная точка дуги Yr)*
§ 81. Интеграл Коши и его следствия
Пусть f (г) — аналитическая функция в области D и L — кусочно-гладкий
контур Жордана, который вместе со своей внутренностью D* целиком при-
принадлежит D. Тогда для любой точки се/)* справедливы равенства:
— a 2ni J B -

Вычислить интегралы B779—2787):
2779' J z — Zi dz> где ^ ~~ кусочно-гладкий контур Жордана.
L
2780. J {2_3;{z_2)dz. 2781. J -^.
I г 1=2,5 J*~ti
2782. J -щ^^Чг. 2783. J >+^ + 0 rf».
\г 1=1,5 1*1=2
2784. -g^- J ~^р"^» где L — кусочно-гладкий контур Жор-
L
дана.
2785. уу J (\[1г\г dz> где Z, — кусочно-гладкий контур
Жордана.
- J
|г-2Л-1.5 }2+2П=Ь5
Пусть f (z) — аналитическая функция в области D и точка z0 ^ ^- Тогда
в круге | г — z01 < /?, где # — расстояние точки z0 до границы области /),
/ (z) можно представить в виде суммы степенного ряда
2
я=0
где
Е<:ли функция f (z) в круге | z — z01 < R представляется в виде суммы
00
степенного ряда f(z)*= 2 ап (z ~ ^o)rt» то этот ряд единственный и является
рядом Тейлора этой функции, т. е.
n=0
В задачах 2788—2797 указанные функции разложить в сте-
оо
пенной ряд 2 ^t^n и найти радиус сходимости этого ряда:
2788. sh z. 2789. ch г.
2790. sh2z. 2791. ch~.
2792. sin2 г. 2793. cos2^.
97Q4 ^
^'^- 22-1 '
97Qfi _J

Указание. В задачах 2794—2797 полезно воспользоваться геометри-
геометрическим рядом
J±—=i{+z + z>+ ... + zn + ... (iz|<lb
В задачах 2798—2802 указанные функции разложить в сте-
оо
пенной ряд 2 ап iz — 2)я и найти радиус сходимости этого ряда:
2798.-1, 2799. 7ZT. 2800. %2
2801. sin (г —4). 2802. cosB + 3).
2803. Функция f(z)f аналитическая и ограниченная во всей
комплексной плоскости, является постоянной (теорема Лиу-
вилля). Доказать эту теорему, вычислив интеграл
1 Г f (*) dz
2ш J (z-a)(z-
(z-a)(z- b)
(| а |< /?, | b |< R) и произведя его оценку при /?
Указание. При вычислении интеграла полезно равенство
(г - а) (г - Ъ) (а - Ь) (г - а) ^ (Ь - а) (г - Ь) *
Если f (г) Ф const — аналитическая функция в области D, то ни в одной
точке г0 е Z) модуль | f (z)
точки г0 е D, такой, что
не может иметь максимума, т. е. не существует
f (^o) I ^ I f {%) | для всех г е D (принцип макси-
максимума модуля).
При решении задач 2804—2809 следует воспользоваться
этим принципом:
2804. Пусть f (г) ф const — непрерывная функция в замкнутой
ограниченной обласуи D и аналитическая в области D. Доказать,
что если М есть максимум модуля \f(z)\ на границе области D,
то для любой точки z e D справедливо неравенство | f(z) |< M.
2805. Доказать, что если f (z) непрерывна в замкнутой огра-
ограниченной области D и аналитична в D, то sup|fB)| дости-
достигается на границе Г этой области.
2806. Доказать, что если f (z) непрерывна в замкнутой огра-
ограниченной области D и аналитична & области Z), причем f(z)
в области D не имеет нулей, то inl\f(z)\ достигается на гра-
границе Г этой области.
2807. Пусть f (г) Ф const — непрерывная функция в ограни-
ограниченной замкнутой области D и аналитическая в области D.
Доказать, что если | f (г) |=const для точек г, принадлежащих
границе области Z), то f (г) в области D имеет по крайней
мере один нуль.

2808. Лемнискатой называется множество точек z в ком-
комплексной плоскости, удовлетворяющих равенству \P(z)\=c,
где Р (г) — алгебраический многочлен, с = const. Доказать, что
если Р (z) — алгебраический многочлен степени п, то лемни-
лемниската может состоять не более чем из п связных компонент.
2809. Доказать, что если / (z) — аналитическая функция
в круге U|< 1, /@) = 0, |/(г)|<1, то в этом круге справед-
справедливо неравенство |/(г)К|г| (лемма Шварца).
Указание. Рассмотреть функцию и применить к ней принцип
максимума модуля.
2810. Пусть / (z) — аналитическая функция в области D,
отличная от тождественного нуля, и Е — множество нулей этой
функции, Е czD. Доказать, что все конечные предельные точки
множества Е принадлежат границе Г области D. На примере
функции sin 2 убедиться в том, что множество Е нулей
аналитической функции может иметь конечные предельные точки.
Функция ф (х\ у), имеющая непрерывные частные производные второго
порядка в области D и удовлетворяющая в этой области уравнению Лапласа
д2и д2и
дх2 ду2 '
называется гармонической в D. Две гармонические в области D функции
Ф (х\ у) и ф (х; у) называются сопряженными, если
дар <5tb дф дтЬ
дх ~~ ду ' ду """ ~дх
для всех точек {х\ г/)е?>. Для наперед заданной гармонической функции ф (х\у)
в односвязнои области D всегда можно построить аналитическую функцию / (г)
в этой области, действительная часть которой равна ф (х; у). Множество
всех таких аналитических функций содержится в формуле
(х;у)
j ду дх
где С — действительная постоянная, (#; у0) е ?), (х; у) е D, z = х + iy.
В задачах 2811—2816 проверить, что функция <p(jt; у) гармо-
гармоническая, и построить соответствующую ей аналитическую
функцию:
2811. <р(.г, у) = х2— t/+ 1. 2812. ф (х; у) = х + ех cos у.
2813. ф(лг; г/) = л: + ch^• cosлг. 2814. ф(х; у)=-
2815. q>(x;y) = x*-3xtf + 2x. 2816.
2817. Пусть ф! (х; у) и ф2 (х\ у) — гармонические функции
в области D. Доказать, что функция С,ф] (х\ у) + С2ф2(^; J/)»
где Cj и С2 — постоянные, гармоническая в области />.
189

2818. Пусть f (х; у) — гармоническая функция в области D.
Будет ли гармонической функция щ? (х; у)?
2819. Пусть f(z) — аналитическая функция в области D.
Будут ли гармоническими в области D функции: a) \f(z)\;
б) argf (z); в) \n]f{z)\?
2820. Доказать, что частная производная любого порядка
от гармонической функции есть функция гармоническая.
Указание. Воспользоваться тем фактом, что аналитическая функция
имеет производные всех порядков.
2821. Пусть ф(л:; у) и fy(x; у) — гармонические сопряженные
функции в области D. Доказать, что <р (х; у) • -ф (х; у) и ф2 (#; у) —
— \|?2 (х; у) — гармонические функции в области D.
2822* Пусть f(z) = q>{x\ y) + i$(x; у) — аналитическая функ-
функция в области D. Доказать, что площади поверхностей г== ф(лг; у),
z=${x;y) и Уу2{х\ y)-\-ip2{x; у), расположенных над любой
замкнутой квадрируемойобластью Д1? содержащейся в области D,
равны.
§ Ш. Ряд Лорана я изолированные особые
точки однозначных аналитических
функций
Фушция f{z)y аналитическая в кольце 0<г<|,г — г0|</?<оо, разла-
разлагается в этом кольце в ряд Лорана
оо
/ B) = 2 пП & — Z*)a>
причем этот ряд единственный и его коэффициенты ап определяются по
формуле:
Ш f
йг
где Гр — окружность | г — z0 | = р, г < р < /?.
Если f (г) — однозначная аналитическая функция в области | г | > /?, то
в этой области она представляется в виде суммы ряда Лорааа
В задачах 2823—2829 требуется разложить указанную функ-
функцию в ряд Лорана и указать область, в которой это разложе-
разложение имеет место.
2823. —ту в окрестности бесконечно удаленной точки.
2
2824. Зг_4 в окрестности бесконечно удаленной точки.
точек г —Q, 2 = "з'# г=оо,
110

2826. , _ *wg j.n в окрестности тачек z=l, г = /, г=*оо.
2827. 23ехр~ в окрестности точки 2 = 0.
2828. cos—зт в окрестности точки г = 2.
2829. sin—^-г в окрестности точки 2 = /.
Пусть / (z) — аналитическая функция в области D @ < ( г — zQ | < /?).
В этой области ее можно представить в виде суммы ряда Лорана
оо
/ (z) = 2 а« (г "" го)П*
IJssr— ОО
При этом изолированная особая точка zq функции f (z) называется:
оо
а) устранимой, если в разложении f &) == 2 ал (^ — zo)n коэффициенты
tfrt = 0 для /г =—1; —2; ...;
б) полюсом порядка m^U если в атом разложении коэффициенты m?
и ап = 0 для л =» — (т + J); — (/» + 2);..», причем полюс называется яро-
crwjit, если т«= I, и кратным, если т>1;
в) существенно особой тачкой, если среди коэффициентов ал (^ == — 1;
—2;..,) содержится бесконечное множество коэффициентов, отличных от
нуля.
Есл» f (z) — однозначная аналитическая функция в области | z\>R> то
в этой области она представляется в виде суммы ряда Лорана
Бесконечно удаленная точка оо п|>» этом называется бесконечно ^Вален-
^Валенной изолированной особой точкой функции f (z). Эта точка называется:
оо
а) устранимой особой точкой, если в разложении f (z) == ^ а/*гЛ коэф-
rt=—©о
фициенты а„ = 0 для п = 1, 2, ...;
б) полюсом порядка m ^ 1, если aw ^= 0, ат-и = ат4-2 == • •. =0» при-
причем полюс называется простым, если т = 1, и кратным, если /п>1;
в) существенно особой, если среди коэффициентов ал(п=1;2;...)
содержится бесконечное множество кoэфiфициeнтoв, отличных от нуля.
Для того чтобы изолированная особая точка го> конечная или беско-
бесконечно удаленная, аналитической функции f (г) была устранимой (полюсом),
необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный (бесконечный) предел
рассматриваемой функции в этой точке.
Если в достаточно малой окрестности изолированной особой точки z0
конечной или бесконечно удаленной, однозначная аналитическая функция / (z)
ограничена, то z0 — устранимая особая точка функции / (г).
Если z0 — существенно особая точка, конечная или бесконечно удален-
удаленная, однозначной аналитической функции f (z), то для любого комплексного
числа А, конечного или бесконечного, существует последовательность точек znt
*п -> *о (л -> «О» такая, ч?п / (zn) -> А (п -> оо) (теорема Сохацкого).
191

В задачах 2830—2851 найти изолированные особые точки
аналитической функции и выяснить их характер:
2830. z2l+4 - 2838. zexp(—z). 2845. exp-j^-
2831. j^4r- 2839.
2832. 'T , . 2840.
2833. -^—r. 2841. i=™L
2S34. ^-rr . 2842. -|^4 2849. ^-
A
A
2
(^
П A
z
3
¦z)
1
! +
г —
2 '
3 •
IJ
2835. z (z2'+ >J . 2843. z3 exp (-j-). 2850. г ctg 2.
2836. ^-. 2844. -??4". 2851. -^.
2837.
2852. Доказать следующее предложение: для того чтобы
точка z0 была полюсом кратности т функции f (г), необходимо
и достаточно, чтобы в окрестности этой точки (г ф z0) функ-
функция f(z) представлялась в виде /(г)= (г_^о)т
аналитическая функция в окрестности точки г0, причем ф(о)^О
2853. Пусть f {z) — аналитическая функция в области
D@ < | z — г01< R), за исключением счетного множества точек,
являющихся полюсами функции f(z)> причем z0 — единственная
предельная точка для множества полюсов этой функции. До-
Доказать, что для любого комплексного числа Л, конечного или
бесконечного, существует последовательность точек zn e D,
zn -> z0 (n -> оо) такая, что f (zn) -> А (п -> оо),
2854. В ряде Лорана
коэффициенты ап(п = —1; —2; ...) отличны от нуля. Будет ли
точка 2 = 0 существенно особой для суммы этого ряда?
2855. В ряде Лорана
коэффициенты ап(п = —1; 2; ...) отличны от нуля. Будет ли
точка z = i существенно особой для суммы этого ряда?
192

2856. В ряде Лорана
i (?*-¦)+? *¦
коэффициенты ап{п = 1\ 2;...) отличны от нуля. Будет ли
бесконечно удаленная точка существенно особой для суммы
этого ряда?
Точка zQ называется нулем кратности m аналитической функции / (z)}
если в окрестности этой точки / (z) представляется в виде степенного ?яда
f (z) ~am(z- zo)m + am+1 (z - zo)m+l + ... ,
где am ф 0, причем нуль называется простым, если m = 1, и кратным, если
пг>\.
В задачах 2857—2864 определить нули функции и указать
их кратность:
2857. ехр—1. 2861. i!l?l.
2858. х2ехр — г2. 2862. г2 sin г3.
2859. ехр (z - IJ - 1. 2863. z2 (z - 2) sin z\
2860. г3 sin z. 2864. г3 A - cos 4z).
2865. Доказать, что если точка z0 является нулем крат-
кратности т>\ для функции /(г), то эта точка является нулем
кратности т— 1 для fr(z).
2866. Доказать, что многочлен
не имеет кратных нулей.
2867. Если точка zQ — простой нуль функции f (г), то может ли
эта точка быть нулем для следующих функций: а) f (z); б) f"(z);
в)Г'(г)?
2868. Доказать, что точка z0 является нулем кратности т
функции f (z) тогда и только тогда, когда / (z) = (z — zo)m ф (г),
где ф (г) — аналитическая функция в окрестности точки го> при-
причем ф (г0) ф 0.
2869. Точка г0 является нулем кратности тх для функции f (г)
и кратности т2 для функции ф(г). Доказать, что эта точка
является нулем кратности т{ • т2 для функции f (z) • ф {z).
2870. Определить кратность нуля z = 0 для функций: а) sin3 z;
б) г2 sin z\ в) A—cos г) sin г2; г) (ехр г2— 1)A — cos zf.
2871. Точка z0 является нулем кратности т{ для функции f (г)
и кратности т2 < т{ для функции ф (z). Доказать, что точка z0 —
нуль кратности т{ — т2 для функции ?\ .
2872. Определить кратность нуля z = 0 для функций:
б\ ^L.- R^ l-cosg». . (ехр2-!J
D> sin г ' B^ sin z • Г^ sin2 г #
193

§ 83. Вычеты и их предложения
Коэффициент a-i в лорановском разложении однозначной аналитической
функции /(г) в окрестности конечной изолированной особой точки г0,
ап(г-гй)п @<|z- zo|</?),
называется вычетом этой функции относительно точки г© и обозначается
res f (г). Вычет через интеграл выражается формулой
ax = res f (z) =*= -^r J / (z) dzt
где vp ¦— окружность | z — z0 \ = p, 0< p < R.
В частном случае, когда z0 — полюс функции f (z), вычет можно также
вычислить по формуле
t*f(z)-\lm l(z-zo)f(z)]t
если zo — простой полюс, и по формуле
res / (z) = ¦* —
z=20 (tn —• 1)
если zo — полюс кратности m > 1.
В задачах 2873—2886 требуется найти вычеты указанных
функций относительно ее конечных изолированных особых точек:
2880.
2881.
2882.
2883.
2884. cos-~
2885. tffz.
2873.
2874.
2875.
2876.
2877.
2878.
987Й
г (г - 1) "
г
(г — 2) (г + 0
2+1
а»+1 '
Z + 1
Z2 B — IJ *
sin яг
COSZ
ехр
1
1 — с
sin-
Z
•
OSZ
1
{ )
2887. Найти res [ф (z) • / (г)], если / (z) — аналитическая функ-
ция в области 0 < I z — z0 \ < /?, причем ее лорановское разло-
разложение в этой области имеет вид:
194

а ф (г) — сумма степенного ряда
00
Ф(г)-=2 bn(z-z0)n>
сходящегося в круге | г — г01< /?.
2888. Найти res мр (г) -ут^г]. если z0— нуль кратности m
функции / (г), а ф (г) — аналитическая функция в окрестности
точки я0.
2889. Найти res Гф (z) \ /* 1, если г0 — полюс кратности т
функции f (г), а ф (г) — аналитическая функция в окрестности
точки г0»
Интеграл от функции f {z) по кусочно-гладкому контуру Жордана L, ле-
лежащему в области D, где функция f (z) однозначна и аналитична, кроме ко-
конечного числа изолированных особых точек zk (&= 1, 2, ... , n)t равен про-
произведению суммы вычетов функции f {z) относительно ее особых точек, ле-
лежащих внутри L, на 2т\ т. е.
Вычислить интегралы в задачах 2890—2899:
2890. f S-r. 2895. f sin2 -dz.
J Z2 + 1 J Z
I г-/1=1 |гИ
289i- J 1ПГТ- 2898. J exp~dz.
2892« I (г-1L,+ 2)- 2897' J
I г 1-3 |г!=1
2893. f -f^r- 2898. f cos - • exp - dz.
J Z — 1 J Z Z
UH 121=1
sin —
2894. J sin-j dz. 2899. J j-dz.
|*M I «1=1 exP"J
Пусть дробная рациональная функция
не имеет полюсов на действительной оси, причем степень многочлена Qm (z)
по крайней мере на две единицы превышает степень многочлена Рп (z)
(т^п + 2). Тогда
90 R
f / (х) dx -ton f / (х) dx - 2ш V ^s f (г),
J R-+ + 00 J JaAk v=*zb
~oo -R *
где сумма вычетов распространяется на те полюсы функции f (г), которые
содержатся в верхней полуплоскости.
195

6 задачах 2900—2905 вычислить несобственные интегралы:
+ О0 -f-OO
. f d* 2903. f B*+1>d*
— оо —оо
— OO —OO
+ oo 4-00
2902. J A3!^у dx. 2905*. j d-~^- (n>l).
— OO OO— '
2906*, Пусть / (z) — мероморфная функция с простыми по-
полюсами в точках г = ап (п = 1, 2, ...), причем 0<| ах KI Ог К • • •
• • • < ап ^ ..., lim ап «= сх>. Допустим, что существует после-
rt->oo
довательность контуров Lw, удовлетворяющих следующим усло-
условиям
а) начало координат содержится внутри каждого контура
б) Lm не проходит ни через одну из точек ап\
в) Rm = min | z | -> + °° (tn ~> + oo);
г) длина Lm ^ CRm, где С — константа, не зависящая от т\
д) -?- max |/(г)|->0 (т->оо).
При этих условиях доказать справедливость равенства
lim
где Л^= lim [B —ай)/(,г)] — вычет функции /(г) относительно
полюса аЛэ /гт — число полюсов ak, содержащихся внутри кон-
контура Lw.
Указание. Применить основную теорему о вычетах к интегралу
1 г меме
2я/ J US-2)
и перейти к пределу при т -> оо.
Пользуясь утверждением задачи 2906, доказать справедли-
справедливость равенств, предложенных в задачах 2907—2910:
оо
2907. tg z =
196

2908.^- = я
>2 _
2909.

ОТВЕТЫ
л. 2. -5<*<5. 3. -1<х<7. 4.
8 65 17
5. — 1 <дг<0. 6. \<х<2. 7. * = — --. 8. *<0. 9. х = — -у +
1О.л:, = 3; л:2 = — 1. П. а) Нет; б) да. 12. ? (— я) = — 4; ? (— 1,5) = — 2;
?@)=0; ?@,2)=0; ?(/2)=1; ?(я) = 3. 13. л:,=0; *2 = -:0,5. 14^, =0;
х2 « 1,5. 16. A - *i) (*2 - 1) >0, л:, + х2 = л:,л:2 + 1. 17. {Vхх - К*2J > О,
jr! + jt2>2VrJ^7=2. Предположим, что теорема верна для п — 1 и дока-
докажем ее для п. Пусть ххх2». .хЛ = 1. Если *, = х2 = ... = хп — 1, то теорема
доказана. Если ^?=1, то найдется х^1, причем можем считать, что xk<\,
хг>\. Без ограничения общности положим: ? = п — 1, i = n. Из равенства
*i • *2 • ... • ^п-2 (%-! • jcrt) = 1 по предположению следует неравенство Х\ +
+ *2+ ... + хп-2 + *п-1'хп>п— 1, откуда л, + *2+ ... +л:л-2 + лгп-1 +
+ %>Ai— 1 +хп-г + % — ^/г-i^n. Но xn-i + xn>xn-rxn+ 1 (см. за-
задачу 16), и, следовательно, *i + х2 -F... + хп >п. Равенство хх + х2 + ...
... + хп sa n имеет место тогда и только тогда, когда *, = х2 =...« ^rt = L
26. /(-2) = -6; /@) = 4; f A) ~ 3; /(а) = 2а3 - За + 4. 27. ф(—1) = —1,5;
2 + 1 IVS \ IV\
' ^ \~1Г)
IV2\
сУществУег' Ч\Т") сУществУет*
28. -ф@)=1; *(-j)e2 + 0,5-V^', ^5A) = 2sin2 + cos 1; фB) = 2sin4 + cos2;
ф (a) — 2 sin 2a + cos a. 29. / @) == n; f @,5) — yj f A - a) = arc cos A - 2a);
/ B) не существует, 33. / A) «4; / B) «* 1; / C) = 4. 34. ф A) = 2; <p B) = 3;
e. 35. /A)«2; f(|)«l+i?; /^^ = ^0,5/2; /D) не су-
ществует. 36. ф B) « 1; ф @) «= 2; ф @,5) *= 2; ф (— 0,5) ¦= 0,5 У 2; ф C) = 2.
39. ж=я+0,5, где л—целое число. 40. /(л;)=23; ф(*)=527. 41. — °о< х< +оо.
42. — оо<*<1; 1<*<+оо. 43. — оо<*<1; 1<лг<2; 2<*<+°°.
44. — оо<*<— 3; —3<х<1; i<x< + оо. 45. — оо<*<3,5.
46. — 2<*<2. 47. — oo<jt<l; 3<л:<+оо. Щ. — оо <х<+ оо.
49. — оо<*<+оо. 50. —оо<^<—1; 2<л:<4*оо. 51. 0<*< + оо.
4
52. — <jc<+oo. 53. — 1<jc<1. 54. 2<*<3. 55. — oo<jc< + oo.
о
2 4
56. 1 -=- <л:< 1 —. 57. 1<х<4. 58. — 1<л;<3. 59. — оо<лс<+°о.
о о
60. — оо<х<0; 0<х<1. 61. 3 — 2я<л;<3 — п; 3<лс<4.
62. — оо<х< + оо. 63. — оо<#<0. 64. у (х) не имеет смысла.
65. 0,5 < х < оо. 66. у (х) не имеет смысла. 67. — 3 < х < — 1. 68. — оо < х < 0;
0<*<+оо. 69. — оо<*<0; 0<*<+оо, 70. — < "
198

71. *»1; 2; 3;... 72. 1<х< + оо. 73. x«t; 2; ... 74. * = 0; ±1; ±2;...
76. Нет, так как <р @) = 1, a f @) не имеет смысла. 76. Нет, так как f (x)
определена для всех х, кроме л: = 0, а ф (л:) определена только для положи-
положительных х, 77. а) Да; б) да. 78. а) Нет, так как ф (х) определена для
всех х% а ф (х) только для неотрицательных х; б) нет, так как
для *<0 /(*)<0, а <р(л:)>0. 79. Нет, так как функции определены
в различных областях. 80. а) — 1 <1 х ^ 1; б) 2kn ^ х ^ Bk *f I) я,
& = 0; ±1; ±2; ±...; в) — а<*<1 — а; г) если |а|==0,5, то jc = 0,5 б
i а | < —, то а <J x <Л — а; если | а | > 0,5, то функция не имеет смысла.
81. 5 = -~a6sinv; 0<у<я; — oo<Y<4-«>. 82. V = Ji/*fr2 - -~
о. 83. 0<f<l/ —; - оо<*< + оо. 97. г=
У g
g V nh
98. r = l/ ^-. 99. s = "VP "' . 100. i = ^~. 103. Возрастает в интер-
Г 4я 2р~ a sin a F r
вале (—оо; + °°)- 104. Убывает в интервале (—оо; 0); возрастает в интервала
@; + оо). 105. Убывает в интервале (— оо; —1); возрастает в интервале
(— 1; + оо). 106. Возрастает в интервале (— оо; -f оо). 107. Возрастает в ин*
тервале (— оо; + оо). 108. Убывает в интервале (— оо; 0); возрастает в ин-
интервале @; + оо). 109. Убывает в интервале (— оо; 0); не убывает в интервале
@; + оо). ПО. Возрастает в интервалах (—~ + 2/гя; ¦—+ 2kn\; убывает
~ + 2Ы; ~n + 2kn\, fc = 0; ±1; ±2; ±3; ± ... 111. Воз-
Возрастает на отрезке [—I; +1]. 112, Возрастает в интервале (—оо; + оо).
113. Не убывает в интервале (—оо; + оо). 114. Возрастает в интервалах
(я я \ / я 3
—Г-4-2&Я; —-+ 2&я); убывает в интервалах \-^ + 2kK't -^71 +21
fe = 0; ±1; ±2; ± ... 115. Четная. 116. Четная. 117. Нечетная. 118. Ни чет-
четная, ни нечетная. 119, Ни четная, ни нечетная. 120. Нечетная. 121. Ни четная,
ни нечетная. 122. Нечетная. 123. Ни четная, ни нечетная. 124. Четная. 125. Ни
четная, ни нечетная. 126. Нечетная. 127. Четная. 128. Ни четная, ни нечетная.
130. (х4 + х2 — 4)-f 2хг. 131. cos* + (sin;c--tgjt). 132. (х6+ \5х*+ 15х2 + 1) +
+ Fл;5 + 20*3+6х). 133. (х2— 1) + (sin х + х). 134. (sin a cos х) + (cos а sin x).
137. / (х) *=в ISJ.—Xi L -j- 1SJ.—1 f где 1 J- 1— четная,
?, Z Z
а ~э "- нечетная функция. Пусть / (х) = ф (х) + ф (*), где ф (х) —
четная функция, a t|) (х) — нечетная. Тогда f (— л:) = ф (— х) + ф (— х) =»
=Ф (х) — -ф (дг), и, следовательно, ф (*) *» -г- [/ (х) + f (— *)], ф (а:) = — [f (x) —
— f (—Jf)J. Этим доказана единственность представления функции f (x) в виде
и . _ .__ ч х ах + а~х . ах-— а~х .
суммы четной и нечетной функций. 138. а) а* = -? 1 s '
б) fjTl . V'+l + V-x+l + Кж+l-y-' + l. ,39. Периоди-
ческая, период ©*=я. 140. Непериодическая. 141. Непериодическая. 142? Пе-
Периодическая, период ю = я. 143. Периодическая, период ш = 2. 144. Неперио-
Непериодическая. 145. Периодическая, период со = 4. 146. Периодическая, периодом,
является любое положительное число. 147. Периодическая, период <о=*2я.
148. Периодическая, период (й~2я. 149. Непериодическая. 150. Периодическая,
период ©=* 1. 151. Периодическая, период в>~а. 152. Периодическая, период
о = 2я. 153. Периодическая, период © = я. 156. Если y = f(x) определена на
199

полуотреэке [0; а), то ф (х) = / ( al — 1 j определена для х, удовлетворяющих
неравенству 0<а< — ><а или 0< х — аЕ ( — )< а, где ?(•?)—целая
часть числа —. Если — =я + а, где п — целое, 0<а< 1, то * = а«п + а-а.
Подставляя вместо я его значение a-n + шх в неравенство 0<я—«?*( — )<а,
получим: 0 < а • а < а. Таким образом, неравенству 0<* — а?(—-)<а
удовлетворяет любое действительное значение х. Функция ф (х) Определена
X f X ) X
для любого действительного х. Пусть #е[0; а), тогда —< 1, < — >=—,
а [ a J a
Ф (л:) = / f а • < — >] = /(«•— ) = / W, т. е. для л;е[0; а) ф (л;) = / (х). По-
Покажем, что ф (х) имеет период а» В самом деле, ф (х + а) = м а< Х > j ==«
И})И}){ }{}
W2; 2) </ = cos -5. | Щ 1; 3) </ = sin п| -^ J = | sin x |. 157. См. задачу 156.
158. Пусть Ф (*) = ^+^-.+У;.+Ум = f|| - периодическая функ-
ция с периодом со и ф (а) =5^0. Тогда ф (х) = ф (х + то), п = 0; ±1; ±2; ...,
и, следовательно, уравнение Р (х) — ф(а)'ф (х)=0 удовлетворяется бесконеч-
бесконечным числом значений я, именно: а, а ± ©, а ± 2со, ..., а значит, и для всех
значений х. Таким образом, ф (х) = ф (а) для всех х, т. е. ф (х) — константа.
х g х
187. ^ = -3"; —оо<л:<оо. 188. у ~—^—5 "" oo<jt<+oo. 189. у =
оо. 190. i/ = 2-j; -oo<jt<0, 0<*<+oo.
191. y = 2±V4 + x; —4<^<+оо. 192. у = *; —оо<а:<+оо.
193. */ = —; —оо<^<0, 0<^<+оо. 194. I/ = а:2; 0<*<+оо.
195. у=*хъ—\\ — оо<*<+оо. 196. t/= ± Ухг— 1;
197. i/=±/iu; 0<*<4p 198. у = log2 (* + 1); ~КК+оо.
a—1
199. у= 2 д. ; — оо<*< + °°. 200. y = x + 2kn, k = 0; ±1; ±2; ± ...;
|/ = (я-^) + 2Ь,Ь0; ±1; ±2 ... — у < а;<~. 202. График, симмет-
симметричный относительно прямой у = х. 203. *=1. 204. хх = 1; х2 = 2.
{ 4^
208. ,(*)-{ 24:^—2 ;лляя ;^; *«-ij ^=2: *«-& ш-а)
х2 = — 3; б) xj « — 0,78, д:2 « 1,28; в) Xj « 0,85, х2 « 3,15. 210. а) * « 0,45;
б) х ^ — 1,3; в) х « — 0,56; г) а: « — 0,85. 211. а) ^! = 1, х2 = 2;
б) нет корней; в) *i=2, х2 « 2,4. 212. а) * « 0,34; б) х » 1,9.
214. a) Fmin = -4; б) Ктщ = ~2|; в) Fmin = 4-~; г) F 2
215. а) Гтах = 0; б) Гтах = 3~; в) Ктах = з1. 216. хо = г/о =
200

b=|j #ож —-?• 218. хо = уо**=~* 219. Квадрат со стороной = —.
220. Две равные стороны должны иметь длину по 25 м каждая, третья сто-
сторона равна 50 м. 221. Стороны треугольника Л? =»-*-, ЛС»-у, СВ =*
= -г- У 2 — КЗ. 222. Основание прямоугольника равно -~, а высота равна —,
где я и А — основание и высота данного равнобедренного треугольника.
223. Радиус основания и высота цилиндра равны соответственно -у и ~.
224. Радиус равен -?-. 225. Радиус основания и высота цилиндра равны соот-
ветственно 2 и , _ .. 226. Радиус цилиндра равен
и , _ .. 226. Радиус цилиндра равен --; »-
2( 1 +2 3in
( 1
227. р . 228. Стороны прямоугольника и квадрата равны соответственно
4 -j- Jt
- 23Ь rt>1112' 232-я>320а m Имеет-
234, Имеет. 235. Не имеет. 236. Не имеет. 237. Имеет. 238. Имеет. 239. Имеет.
240. Имеет. 241. Не имеет. 242. Не имеет. 243. ~. 244. 0. 245. —-?¦•
246. ~!-. 247. 0. 248. \. 249. 3. 250. 1. 251. 2. 252. 0. 253. -I 254. \.
255. -jy= г- для |а|<1. Если |а|^1, то последовательность расходится.
256. 1, если |а|>1; 0, если |а|<1; -^-, если а=1. 257. 0, если |а|>1;
0, если |а|< 1; -у, если а=- 1; расходится, если а = — 1. 258. в. 259. е.
п
260. .. Ml. 1. 265. ^<__LriJ-_LT-lJ
= 2—r-<2. 266. 0. 267. 0. 268. 0; я! > 100" для достаточно большого п%
п
последовательность I -?— I убывающая для n>ck-~ 1. 269. 0; 2n>nmo для
достаточно большого и; последовательность V-~n\ убывающая для я>?-
УГ-1
270. 0; последовательность < > ,?а > убывающая для л>1. 271. 1. 273. щ =
(. (»?) J
= >/"с"</Г +1^ u2=Vc + Ус < V{Vc -\-\J = Ус + 1. Предполо-
Предположим, что «„<>Ас + 1, и докажем, что un+i<Vc + 1. В самом деле, ип+\=*
= Vc + un <Vc + Ус+ 1<VA+ УсУ_ =\+Ус. Так как, очевидно,
ип+1>ип и по доказанному ип<\ +Yc для всех /г=1, 2,..., то после-
последовательность {ип} имеет предел lim Mft+i88* Hm wn = а. Переходя к пределу
в равенстве мя+1 = Кс + мЛ, или м^+1 = с + м„, получим: а2 = с + а, откуда
201

. 275. Пусть вдоль стороны а треугольника ABC располо-
расположено n кругов; тогда диаметр каждого круга равен SLZL2fff где аа->0 при
п -> оо, а площадь всех кругов Sb = " ~~^п • (п + п — I + ... + I) ==¦
яа S^ яКз
4rtТ ТТ
вдоль стороны а (рис. 3) расположено п кругов; тогда диаметр каждого друга
равен —, а площадь всех кругов Skn
где prt->0 при я->оо. Следовательно, lim -JjL = ~. для ВТорого случая
(рис. 4) имеем: «;,-*(?) ^^-"Г^, где Y*->0 при
Следовательно, lim -^=:i|—# 277.6 = 0,005. 278. 6 — 4- Ю~3. 279.0,002.
Я-»ОО О О О
280. 1; 2; 2,002. 281. 1; 10~б; 0; 10~4. 282. Существует и равен 1,5; нет;
существует и равен 2,2. 283. а) Существует и равен 0; существует и равен 3;
б) существует и равен 2; существует и равен 5; существует и равен 24.
284. Нет; нет; нет. 285. Нет; нет; нет. 286. а) Существует и равен 1; б) не
п2 1
существует; в) не существует. 288. 12. 289. — 1. 290. 2 —. 291. -~.
292. — 4". 293. 4~. 294. 10. 295. 4". 296. — ~. 297. ~. 298. 2,5. 299. ЗлЛ
5 4 8 4 4
300. т. 301. 3. 302. 0,5. 303. — 1. 304. 1. 305. 2. 306. 4". 307- sin l-
о
1 Q
308. —. 309. 0. 310. 1. 311. ~. 312. 0. 313. 8. 314. — -7-. 315. Уъ. 316. х.
п 64 4
317. --. 318. 0,5. 319. ^ V2. 320. -j. 323. Правые пределы: —2; —I; 0; 1; 2;
левые пределы: —3; —2; —1; 0; 1. 324. Правые пределы равны 0, левые пре-
пределы равны 1. 325. Правые пределы: 1; 1; левые пределы: 1; —1. 326. 3. 327. 0,
328. Правые пределы: 0; 2; левые пределы: 1; 1. 329. 0; не существует.
831. —. 332, 0, если а>0; 0, если 6 = 0; — оо, если а<0, Ь>0\ + оо, если
а
а<0, 6<0. 333. —. 334. 0, если а<0; Ч- оо, если 6>0, а>0: — оо, если
а
0, а>0; 0, если Ь*=0. 335. 3002. 336. 1000. 337. 500. 338. 5000. 339. Не
существует. 340. Не существует. 341. 0. 342. 2. 343. 0,4. 344. —1,5. 345. 0,5.
846. 0. 347. 0. 348. -—-, если п = т\ 0, если п<т\ не существует, если
п>т. 349. 0. 350. 0. 3S1. 0. 352. 0. 353. 0. 354. 0. 355. 0. 356. 0. 357. I.
858. е2 359. е. 360. е. 361. е~°'ь. 362. ectga. 363. е~1. 364. —2. 365. е"х.
866. —1. 367. -=у?. 368. I, если а<1; а, если а>1. 369. а. 370. Ю".
871. 0,2» 10~. 372. Не существует; существует н равен 4- °о. 373. + оо,
374. + оо. 375. — оо. 376. + оо. 377. + оо. 378. — оо. 379. + оо, если а0 >0;
202

— *>, если ао<О. 380. Не существует. 381. Одного порядка: а), в), е), з), n)jj
высшего порядка: б), г), ж); низшего порядка д). 383. NT — высшего порядка
малости по отношению к каждому из отрезков RT> RN и дуге MN; RTX
RNt MN—одного порядка малости. 386. а) 5; б) 0,5; в) 2; г) 1; д) 2; е) 1; ж) 1.
887. а) 1; б) 2; в) 1; г) j; 388. 0,5; 1,5. 390. а) 10,3; б) 30,2; в) 40,9»
391. а) 10,14; б) 10,03. 393. a) -L; б) 1. 894. а) -; б) —. 400. Функция Е{х)
непрерываз на всей действительной оси, кроме целых точек: 0; ±1; ±2; ±...,
% которых она непрерывна справа и разрывна слева. Точки разрыва первого
рода 401. Функция {х} непрерывна на всей действительной оси, кроме целых
точек* 0* ±1, ±2, ± ..., в которых она непрерывна справа и разрывна
слева. Точки разрыва первого рода. 402. Функция непрерывна на всей дей-
действительной оси, кроме целых точек: 0! ±1; ±2; ±..., в которых она имеет
разрывы справа и слева. Точки разрыва первого рода. 403. Функция непре-
непрерывна на всей действительной оси, кроме точки х«=0, в которой она имеет
разрывы справа и слева; разрыв первого рода. 404. Функция непрерывна на
всей действительной оси, кроме точки х°**0, в которой она имеет разрывы
справа и слева. Разрыв второго рода. 406. См. 404. 406. Функция непрерывна
на всей действительной оси, кроме точек *—1 и *«¦«-—1, в которых она
имеет разрывы справа и слева. Разрывы второго рода. 407. Функция непре-
непрерывна на всей действительной оси, кроме точки # = 0, в которой она имеет
разрыв слева и справа. Разрыв второго рода. 408. Функция непрерывна на
всей действительной оси, кроме точек: x
2'~
k=*Q; ±1; ±2; ±...,
в которых она разрывна справа и слева. Разрывы второго рода. 409. Функция
непрерывна на всей действительной оси. 410. Функция непрерывна на всей
действительной оси. 411. Функция непрерывна в интервалах (—со; 0}t A; 2),
B* 3). В точках 0 и 2 она разрывна слева; в точках 1 и 2 — непрерывна
справа- в точке 3 —непрерывна слева; 0 — точка разрыва второго рода,
2-1Точка разрыва первого рода. 412. Функция непрерывна в интервалах
(— оо; 0), @; 2), B; 3). В точке х =* 0 она разрывна слева и непрерывна
справа; в точке х «= 2 — разрывна справа и непрерывна слева; в точке
х = 3 — непрерывна слева; 0 — точка разрыва второго рода, 2 — точка раз*
рыва первого рода. 413. Функция разрывна на всей действительной оси,
кроме точки х««=0; разрывы второго рода. В точке *«»0 функция непре»
рывна. 414. Функция непрерывна в интервале @; 1). В точке х**1 она
разрывна слева, разрыв первого рода; в точке х ¦» 0 — непрерывна справа»
415. Функция непрерывна в интервале @; 1). В точке х*~\ она разрывай
слева, разрыв первого рода; в точке ж ¦» 0 — непрерывна справа.
416.
' Ъх для 0<х<1,
3
2*-1
5
*+1
6
ДЛЯ
для
для
АЛЯ
ДЛЯ
К
2<
з<
4<
5<
X
X
X
X
X
<2,
<з,
<4,
<5,
< оо.
Функция непрерывна на полуотрезке [0, оо).
417.
9лх для 0<*<2,
а) Объем V (*)¦
пх для
2бя 4- пх для 5 < х < 6,
31я для 6<* < оо
непрерывная функция на полуотрезке [0; + оо).
20*

«5) Площадь горизонтального сечения
9л для 0 < х < 2,
4л для 2 < х < 5,
л для 5 < х < 6,
О для 6 < х < + оо
о (A?J ==:'
функция, непрерывная в интервалах @; 2), B; 5), E; 6), F; + оо). В точках
х = 2; 5; 6 она имеет разрывы первого рода. 418. у @) = 1. 419. # @) =
= — 1,5. 420. #@)=0,5. 421. у @) = 2. 422. а) Возможно; ф@)=0; б) нет;
в) нет. 426. Пусть / (я) не имеет наименьшего периода. Тогда существует
последовательность периодов coi, со2, ..., соя, ...—такая, что lim tort = O.
Я-»оо
Возьмем произвольный отрезок [а; Ъ]> на котором определена и непрерывна
функция f (х)у и пусть в точках х0 и Xi она достигает своего наибольшего
и наименьшего значения, т. е. f (х0) = max f (jc), f (xi) = min / (x). Теорема
[a- b] [a; b]
будет доказана, если пркажем, что f (x0) == / (jci). Допустим, что / (*i) < f (xQ),
Так как lim соя *= 0, то можно подобрать натуральные числа kQ и п0 так,
чтобы число x{ + kotonj если хг>х0, или число х{ — ^0(orto, если *j>a;0, по-
попало в окрестность (*0 — 6; х0 + 6), для точек которой f (x)>f (хг). Но в силу
f () f ( kJ f () П
р @ ;
периодичности f (х) имеем:
доказывает теорему. 427. у'
429. у' = - -^; t/' (-1) = - 1.
), д р f ()f (г) у
f ± kQ®nJ = f (x{). Полученное противоречие
2х + 3; у' A) =» 5. 428. уг = 6^2 — 2; у' @)==—2.
430.
^' @) = 3; у' (а)
431. у' — 3 cos (Зх + 1). 432. у' = — a sin (ах + 6). 433. у' « Bа* + b) cos (а*2+
+ &# + с) 434. f @) = 0. 435. Функция в точке х =* 0 непрерывна, но не
имеет производной. 436. а) Не существует; б) существует и равна 0.
437.
х для
1 для 1<*<1,5,
1 + 0,5 (х — 1,5) для 1,5 < х < 2,
1,25 для 2 < л; < 2,25,
rt-l fi-2
/WH
Функция f (х) непрерывна на полуотрезке [0, + оо) и имеет производную во
гс—2
всех точках этого полу отрезка, кроме точек: х=\; 1,5; 2; 2 + V —;
2
п-2
^-, п = 3; 4; 5;... 440. / =
204

у' B) = 27. 441. у' = 4*3 - 6* - 2; у' @) = 2; у'(\) = — 4. 442. у' = З*2 -
- At; у' (-1) = 7; у' (а) = За2 - 4а. 443. г' = 66 + 1; z' A) = 7; z' (a + Ь) =
_ о /~ i «.Ч i 1 ^лл -V „3 «2 _L О. <»' /Л\ О. 1ш' 1л\ лЗ Л2 _|. О
- At; у (-1) _ 7; у (а) = За - 4а. 443. z = 66 + 1; г A) = 7; г (а + Ъ) =
= 6(а+6)+1. 444. у'= х3 - х* + 2; у'ф)=2; у' (с) = с3 - с2 + 2.
445. у' - 1; у' A) - 1; у' B) = 1. 446. у' - 5л4 + 4*3; у' (- 1) - 1. 447. /' (х) =
- За*г + 2а2* + а3; /' (а) = 6а3. 448. <р' (*) = 5а*4 + АЬх3. 449. /' (t) = 5 (а +
+ ?)/4. 450. Г (х) *= пхп~1 + п. 451. ф'(*)=«'п*'1-1+й/плт~1. 452. /'(*) =
_L_J?L_4+*1\ 453.
т2
3 ' — VT Л ^т=г • 456. (/' == 2^ Bл2 — 1). 457. г' =
2 3/ К/
= 4* A0*3 + 3/'— 5). 458. у' = 2s (— 20s3 + 3s — 4). 459. tf = 18л:2 + 14* ~ 1.
460. у' = — 18л:5 + 10*4 - 12jc3 + 15лг2 - Ax + 3. 461. s' = 5/ /Г + |-l/ |+
г ^="-3. 463.
_ (sin ^ + x cos ж) A + tg x) — х sin x sec2 x , 9 x , 1 47Q ,
___ . 478. у -2e +—. 479. у =-
= За^ In а - cos x. 480. ^ == jce^ (* + 3). 481. y' = ex sin л; + e* cos x — — —
12/-. 482. / = 2 cos ^. 483. у*=*2х + 2х In 2. 484. / = A + In 2) 2*e*.
COS X
ln. , x (cos Jt — sin x) — sin jc — ex ._. . ,_ ,t . o Ч4 ло. f
485. #' = —^ ^ . 486. y' = 15 A + Зл:L. 487. у' =
= ~20(l-2*)9. 488. y' = 2nx(x2+l)n~l. 489. / = — _?==. 490. /«=»
205

497. /»= —
2 VT+T2 (I + V1 + x2) У 1 +
490. yr a. — 6 sin Cx — 1) sin 2* + 4 cos 2x cos C* — I). 500. yr «¦ < r-Z *.
501. / « sin (x2 + 1) + 2x2 cos (x2 + 1). 502. у — — 6x sin Cx2 - 1).
503. «'«CKl—sin2x + V 1 + sin 2x) ,¦ ^- . , 504. #' = -
505. /«sin 2x. 506. y' = 2 sin 2 Bx — 1). 507. yf «* — 3x2 sin 2x3. 508.
s— sinx(l +co32x) goft , да sin 2x cos x2 -f- 2x sin x2 + 2x sjn2 xjtn^2
,^ 4cos2x u f ^_ sin x2 + cos x2 — 2x2 cos x2 + 2x2 sin x2
У *** A — sin2xJ ' * e" ~ 1 + sin2x2 ^ '
512. / = _i_(l + 2tg2x + tg4x). 513. /«2(x+l)tg2^ + f ^! X
¦—p. 515. /**— -j-ctg^——cosec2-^g yxcosec*?-~.
2
cos
3
515, y' = 2x sin (sin x) + x2 cos x cos (sin x). 516. y' = —7=^7 ?**'\V X
x ff<_ , ^cosKl + ^f _.o . I . 1
—. 517. /« - „ ^,г г,м ' 518. /«_8ln--
V V(V) x x
V
X cos (cos — J. 519. y' =» cos x cos (sin jc) — "л"sin 2x sin (sin x).
520. .^-з4гг_ _J21. /^2^ + 3+2. 522. y<
2xVx-l+Vx2+\
. 525. y' == -!-. 526. y' = ^ - /cos jc
a* — x4 cos x- sin x + У 1 + sin2 x \
sin *> ln e <* ~ cos *>•
531. «'=—Ur cos/7 In-^=- — sinVT. 532. y'=2coslnx:. 533. y'
У 2Кд; Кд: 2лг
Q cjn у
^ 534. у' = — t , In A + cos x). 535. y' == sin (x In x)
l •"!"" cos Jf
+ xcos(A:lnA:)(lnjc+l). 536. y' « —|-(l + ln jL- 537- /==-2«в-*8.
538. / « in a • cos xasin *. 539. x' = 2xe~2x A ~ jc). 540. y' = e~x2* (In 2-1).
541. у'**2е-*г (e~2x sin е-2х—л cos e~2x). 542. i/'=«ecos *<2x cos*2~-sin x • sin x%
2 arc sin —
543.^' = Hi . 544. y'~ --,uu a. 545. /^ ^ .
31 arc cos
206

— x
550. i/' =
. 55!.
x2 —
\x\V\-x' ¦„„¦¦¦•
552. y'=*2exV\~ e2*. 653. #' «* arc cos x. 654. #' — ¦ , 4jr + Т-Ц?.
-.- - ^ ^ ^^ x — V^l — дс2 ,
u ^' *¦= 1/ — — 1. 556. у в у " —, 557. у se —
655
558.
559. y'-.
A + x2J
ln^ _arccttt^JT
A + л:2J
560. у' = ! earc sin x. 561. #' = (l + e2x) De2jc arc ctg ex - l). 562. #'
A+3ta
563. /
Sl" iX+
566. /-(lnsln*
565. ^' « x8in (*+1) f cos (x + 1) ln x +
+ * ctg x) (sin *)"*. 567. y' »= (cos ^ In cos л — tg д: sin x) (cos jc)sin *. 568. y' =
1\ ж ,Г x I ~\ ( x \x /I
-. 573. #' = — ~ctgф. 574. y'^——.
a v a
571. y' —ctg/. 572. /«_
575. y' «= - tg ф. 576. у' «- ctg -|. 577. у' « -у
cos ф — ф sin ф
-. 578. / =
sin ф — ф cos ф
й2* .ч , 62jc
~W; 4)y = W;
in/ _,_л 1Ч , 1 m , x
nr 579< !> * =7! 2) ' ==;
._-i! 6, S—fL;
+ 2sin2*+ ... +nsinn*
in + 1) sin nx — n sin (я + I) x
-i—!—'—S7T r^—!—-—
I» \\ mmm COS X)
+1IB
584.
685. sinx -f
l),=
592. Функция дифференцируема на всей действительной оси. 593. Функция
непрерывна на всей действительной оси и дифференцируема всюду, кроме
точек: x*=*knt А=0; ±1; ±2; ±.... 594. Af A)«в0,0503; d/(l)=»0,05. 595. При
Дж - 1 имеем: Л/ A) - 5, df A) - 2, | Af A) - df A) | - 3. |Af {l^ A) ||
при Дж = 0,1 имеем: Д/ A) = 0,21, <*/A)«0,2, | Д/A) - df (I) | = 0,0i,
| ДИ11)/A) |""?Г; при Ах**Oj01 имеем: Л/A)""moSt df A)в0>02;
I Д/ A) — rf/ A) | — 0,0003.
Д/ A) - df A)
Д/d)
203'
597. AS=2tw Дг+я
rfS «=» 2пг Дг; Д5 — площадь кольца, содержащегося между концентрическими
окружностями радиусов г и г + Дг; dS — площадь прямоугольника с основа-
207

нием, равным длине окружности 2яг, и высотой Аг. 598. ДК
+ 4яг (АгJ + -гя (АгK — объем, содержащийся между двумя шаровыми
поверхностями радиусов г и г + Аг; rfK = 4яг2 Аг — объем плоского слоя
с основанием, равным поверхности шара 4яг2, и высотой Аг. 599. &s—gt M +
+ ~к S (А/J — путь, пройденный телом за время М; ds = gt* А? = о • dt (v —
скорость в момент f)—путь, пройденный телом, которое в течение всего про-
промежутка времени А/ двигалось бы со скоростью v=gt, 600. dy = т=«
4хУ х
601. dy = cos jc d* + —p-—. 602. dy = Bx — 1) tg2 jc d* + 2 (x2 — a: + 1) X
2 , СЛО . 2x (*3 —\)dx- Sx2 (x2 + 1) dx ллл ,
X tg л: sec2 x dx. 603. d# = * ~~з rr^—-^ . 604. dy
\X I)
dx 605. dy = . , ^ , -ax\na dx, 606. ^
2 sin—' ' Veircsm2x -Vl-4x2
sinx lnjtcosjcdx — sinjc—^- ,
1пз.з inx —. 607. ^—Inb;* x
(In jc) 2 A + jc4) >^arc tg x2
X 5^arctg ** rfjc. 609. « 0,008. 610. sin 60°3' « 0,8664; sin 60°12' « 0,8677.
611. tg45°4' « 1,0023. 612. » 0,996. 614. 135°; 0°; 45°. 615. 0°; 45°. 616. 1; 0,5.
617. a) 1; 6) 0,5. 618. x=\. 619. Синусоида пересекает ось х-ов в точках
26я, &=*0; ± 1; ± 2; ± 3; ... под углом 45°, а в точках Bk — 1) я, /г = 0;
±1; ±2; ± ... под углом 135°. Тангенсоида пересекает ось #-ов под уг-
т/Т Л_
лом 45°. 620. 45°. 621. Под углом arctg—-. 624. a) arctg3; б) arctg2F2.
625. 6=с«0. 626. а=0,25; 6=0,5; с=0,25. 627. #-4*+6=0. 628. у—7х+Ь=0.
629. у=*1; 2у + х — 2 = 0. 630. у — 2х + 5 = 0; у — 6* + 13 = 0. 631. 3# +
+ 2х + 9,8125 = 0. 637. SA = 2а2. 640. ~. 641. -§- я; 4 л 642. у =
4 3 4
643. |/ = jc. 645. 6. 646. 11. 647. и« 1,5 —; а «0,2
се/с2
648. с>=& — 2с^; а==— 2с; колесо остановится в момент t== -^—. 649. 26 450 кГм.
апо 5/г км км . bv a2v2 м л т
652. . 653. 7 . 654. —, 655. ¦ . 656. Тело
Л— 1,7 ч ч Уа2 — Ь2 Ьъ сек2
движется: а) при t = 2 под углом «* 43°ЗСК к горизонту; б) при t = 7 под
2/7
углом « 135°; в) горизонтально при t « 4,4. 657. 6. 658. у -\ —1,5.
У 100 — у2
659. Если #<4, то быстрее изменяется х; если же *>4, то быстрее
изменяется у; при д; = 4 скорости изменения хну одинаковы.
660. х=±4г + 26я, ? = 0; ±1; ±2; ... 661. Snrv; 4nr2v. 662. 160.
663. 5. 664. 2 "КзГ; —2 "КзГ. 665. у" = 12л:2 + 12л; — 2. 666. у'" = 2.
667. л!а0. 668. #" = ? . 669.^ = — . 670. у{п) = (-1)я-^т.
A — дсK jc /re+I
= 4e2t (t - 1). 672. у{п) = ЛЧ 673. ^ = -—¦ U в + е а).
671. г/ = 4e (t - 1). 672. у = ЛЧ 673. ^ = -—¦
208

674.
)/g.
675. у<"> - a" sin (ав + »-j). 676. у"' - 2^* . 677. »<"> = а* (In а)".
678. yW-'-'^-11', 679. 2/<«) = iiL=i)I. 684. /'@) не
существует, у" = 2 sin — cos — -5- sin — для х ф 0.
Л Л Л Л Л
{6л; для л: > 0,
—6л: для *<0, 686. у" = Л-. 687. у" =i
0 для *=0. 16/
692. с = 10 ± У52 • 698. 0<jc<+oo. 699. — оо<*<1. 700. 1<*<оо.
703. ^(л;) = ce*. 708. Корень содержится в интервале A; 1,5). 710. В каждом
интервале (—1; 1), A; 2), B; 3) содержится по одному корню производной
f (х). 727. Теорема верна, если коэффициенты многочлена f (x) имеют одну
перемену знаков (см. задачу 726). Ведя доказательство методом математиче-
математической индукции, допустим, что теорема справедлива для случая п перемен зна-
знаков в системе коэффициентов многочлена f (х), и докажем, что она будет спра-
справедлива и тогда, когда в системе коэффициентов многочлена f (x) имеется /г+1
перемена знаков. Если f (x) ^aQ+a{x+. ,.+akxk--(ak+lxk'{~l+...+akixkl)+
где at > 0, i = 1, 2, ... kn+v afe+1, a^+1, ..., аЛ >0, то рассмотрим функцию
ф (х) = , jc > 0. Легко видеть, что многочлен ф' (х) • xk+{ имеет д перемен
хк
знаков и в силу предложения имеет не более п положительных корней.
Но тогда f (х) имеет не более п + 1 положительных корней. 728. Корень со-
содержится в интервале B; 2,3). 731. а) @; 1), A;е), (е;+оо); б) f-oo;-|-j,
; +00); в) @; п)> (/Г; +оо)- m Из
справедливого равенства lim cos — =0, где с определяется из теоремы
<?->о с
Лагранжа, не следует равенство lim cos — = 0, так как с не обязано прохо*
*>о х
дить через все значения х некоторой окрестности точки х = 0. 741. max #(jc)=1;
min y(x)=*Q. 742. max y(x)=*\; min #(jc) = O. 743. max #(jt) = l;
[-1:1] (-i;iJ (-1-.П [-2; l]
min w(jc) = —2. 744. max i/ (x) == r; min «(л:) = 1. 745. max у (х) не
1—2; 1J [-L1) COSl (-1;1) * [0;l] ^
существует; min у (x) = 0. 746. max у (х) не существует; min у (х) = 0.
[0; 1] @; 1) @:1)
747. max y(x)=\; min у (х) не существует. 748. max у (х) = у B) = 4.
749. min f (x) = f C) = -9. 750. maxy(x) = z/@) = 3; miny(x) = r/(-2) = -l;
(A \ Для A2
209

—-—|=s— . 752.
(O58- 753> ()
754. min y(x) = y (—1) = —0,5; max # (jc) == у A) = 0,5. 755. Нет ни max у (x)t
ни min у (х). 756. max# (x)~y (— l)=s— 2; min у (x)=y (I)=2. 757. min # (*)=
= y@,5H. 758. min # (*)=# @)=0; max i/ (jc)=i/ B)=4б-2. 759. min i/ (x)=
=# @) = 2. 760. min y(x) = y (e~l) = — e~K 761. min y(x)*=y A) = 1.
762. Л ^
. max t/(*) = Л-~+ Ля^/г, fc = 0; ±2; ±4; ±...;
+ kn}*=--V2> Л«±1; ±3; ±... 763. min ^ (jc) = y (~
rl; max у (x) = у {^ n
1,5; max у (x) = */ (- -1 + 2toj « 1,5; Ar = 0; ±1; ±2; ± . . .
764. miny(x) = y@)=0. 765. min у (x) = у @) = 0. 767. max/(jc)=/(-5)=O;
min/(*) = /(!)=*=-324. 768. a» 1; 6*»0; 769. max i/ (x) = 3; i()
[-2; 2] [-2; 2)
= —13. 770. max y(x) = 3; min ^ (a:) ««—2—. 771. min
f-l;2] [-1;2J 3 [0; 4]
max у (x) = 6. 772. max у (x) « 2; min у (x) «= 0. 773# max у (x) = — 1;
IO;4J [-2; 2] 1-2; 2J f ! 11
min у (х) = — —. 774. max у (х) = 0; min у (х) не существует.
f-i.il @;1J ®>n
775. max #(*) = я — 1; min у (я)» — я— 1. 776. max # (x) =
I rt^Ll f Я Я| (-со;+00)
"" 2 • 2 J ["' TJ
4 . 4
s=——; niin у (x) =— -А—. 777. max #(x)=l; mm
3 r 3 (~oo; -f oo) or 3 (—ooj +oo) (—eo; -foe)
""— я -f* 4 я — 4
778. max #(jc) « ^ ; min у (jc) == —j—. 779. Нет ни max ни min.
J!L<2i1 f ** JSLl
4' 4 J l: 4 J
780. max у (x) *= ~ ; min у {x) ¦¦ — ~. 781. max # (jr) «= -5-*
I—lj 11 * [—1; 11 * f /2" /П
min y(jc)*«4r. 782. min у(х)~е~* — е4; max
783. max «(x)=160;mini/(*)s=0. 784.—0,6.786. 1;лН—>2,еслилг>0. 786.—,
{0;9J [0:OJ X 3
32
787. 2a2. 788. a2, 789. 2яа2, где а — радиус шара. 790. -^r- яа3, где
е-радиус шара. 791. —-т=*# где а —радиус шара. 792. —-41/ш2, где
О г О л/
а — радиус основания конуса, Л — его высота. 793. а) t7-"r-—^~
210

704. У2. 705. Стороны основания х — tf'Vk (k + 1), У=*\/ V (ffi ** ,
32, то х «• # =* 4, г «•¦ 2; если же
, , # 3, * «« 2. 706. Радиус основания = высоте =»
г/~ТГ * /S~
у -г-. 707. Диаметр основания «¦ высоте»«1/ -г—. 708. Сторона квад-
квадрата ¦» -§•. 700. Ширина»—т?г и высота-«I/ -%-d. 800. -=. 802. Бо-
в > 9 ' 3 У2
ковая сторона «А основание - 0,5р. 803. ilgi ~ 2'i*i ~ ^ +/2Pi ^
804. Равносторонний треугольник. 808. Площадь прямоугольника = 2аЬ.
808. Через точку, абцисса которой «* -та-. ^07. Отрезок прямой, соединяю-
соединяющий стороны угла, должен делиться в данной точке пополам. 808. Сектор
с углом 2ft(l — l/ -г- ). 800. ср «=¦ я. 810. Угол наклона боковых
К5" — I
стенок arc cos ——т , 811. Если основание перпендикуляра из точки Сна
линию железной дороги обозначить В, то М?=? ¦¦¦¦-., - , если
Если же -7гзж=г>Лй, то шоссе должно пройти по прямой АС. 812. 1.
818. -i-. 814. 2. 815. -L 816. i. 8*7. ~~^Г~^-- 8*8- 2« 819. *Ц^-.
rt О О / О
820. —. 821. О, 822. 0. 823. In а. 824. е 2 . 825* 1. 826. —1. 827. 0.
я
828. ?. 829. -i. МО. *• 838- ?^2; ^—1- 834- у —JC + 4-; * = ir-
835. у —±-?. 886. #«=0; *»—I; at—n-i*. 837. и « л; + —; # == — —.
а 2 е в
838. ^-»дг+ I; х***0. 889. yeml-x— 1; .^«—1. 840. y^bx + ^,
у =8 ?* — -|- 841. ^=х —-д-. 842. Выпукла вверх влево от точки #=0
и вогнута вверх вправо от точки х=»0. 843. Точки перегиба: Х\ =<—1,
#2»=* 1. Выпукла вверх в интервале (—1; 1) и вогнута вверх в интервалах
(_оо; _j)t (i; -f оо). 844, Точк.и перегиба: *i «= — ~; х2 = ^* Выпукла
вверх в интервале (—0,5; 0,5) и вогнута вверх в интервалах^ (— оо; 0,6),
@,6; +9о). 845. Выпукла вверх влево от точки х«=»1 и вогнута вверх вправо
от точки х-= I. Вогнута вверх в интервалах (— оо; —1), A; -4- °°) и выпукла
вверх в интервале (—1; I). Точек перегиба нет. 847. Точки перегиба: хх =0,
х2 я — За, хъ« За. Вогнута вверх в интервалах (— оо; —За), @; За) и выпукла
вверх в интервалах (—За; 0), (За; +оо) 848. Кривая всюду вогнута. 840. Точка
перегиба х -* +03. Выпукла вверх в интервале @; 0,5) и вогнута вверх в ин-
интервале @,5; + оо). 850. Точка перегиба х «= $. Выпукла вверх в интервале
@; 8), вогнута эверх в интервалах (— оо; 0), (8; +оо). 851. Точки перегиба:
jc =»0 и JC^VTf. Выпукла вверх в интервалах (—1; 0); (У^2; + оо) и во-
вогнута вверх в интервале @; У 2). 852, Вогнута вверх на всей действитель.
211

ной оси. 853. Точка перегиба # = 0,5. Вогнута вверх в интервале (— оо;0,5)
и выпукла вверх в интервале @,5; + оо). 864. Точки перегиба: xk =
= ± arc cos ( г ) + 2&я, & = 0; ±1; ±2; ± ... Вогнута вверх в интер-
интервалах (arc cos ( g ] + 2kn; - arc cos ( 2~ * ) + 2 (* + 1) nj,
= 0; ±1: ±2; ± ... Выпукла вверх в интервалах (— arc cos f ур-Ч+2/ш;
? = 0; ±1; ±2; ±... 866. <x = -3. 857. 362—
—8ac>0. 858. a< —~; a>0. 859. a =±2. 865. а) Определена везде.
График симметричен относительно оси у • утах » 1 при х = 0; ут[п «= — при
о
1 / Уз" 67 \
jc= ± -—. Точки перегиба: ( ±—тр5 -~тг). Асимптот нет. б) Определена везде
График симметричен относительно начала координат. ут2^^2 при * = —1,
#mln = — 2 при д:=1. Точки перегиба: @; 0), (±0>l/30-; +0,22^33")•
Асимптот нет. в) Определена везде. ymin = —3 —- при * = —. Точки пере-
64 4
гиба: A; 0), @,5—2,25). Асимптот нет. г) Определена везде. График симме-
симметричен относительно оси #«t/min = — 1 при х = 0. Точки перегиба: A, 0);
(V~b 64 \
±—г-; Ж")* Асимптот нет. 866. а)Определена везде, кроме
х = 0 и #= 1, t/max = —4 при ^ = -. Точек перегиба нет. Асимптоты:
х = 0, х = 1, t/ == 0. б) Определена везде, кроме х = ± 1, дг = 2. #mfn ^ 0,47
2 тЛу 2 + 1^7
при х= я > Утах **—1,58 при х = ^ . Точек перегиба нет.
Асимптоты: лс=±1, х = 2, у=*0. в) Определена везде, кроме х = -^-.
о
1 2
Утах = 0 при х = 0, t/min = 1 -g- при х = -г. Точек перегиба нет. Асимптоты:
я^Т» ^==:^ + -5". г) Определена везде, кроме #=±1. График симметри-
о о
чен относительно начала координат. утах = г-1— при х =* — Уз. ут\п =з
от/" о" _
= -—^~ при л: = Уз. Точка перегиба @; 0). Асимптоты: *=я«±1>у=»дс
о
д) Определена везде, кроме х = —1, t/max5^—З-g- при д:==—3. Точка пе-
перегиба @; 0). Асимптоты: * = —1, уи-х-х — 1. 867. Определена при
я ^ — 1, двузначна. График симметричен относительно оси л:. Точки перегиба:
@; 1), @; —1). Экстремумов и асимптот нет. 868. Определена при *>(),
У 12
двузначна. График симметричен относительно оси jc-ob. It/maxl^—g— ПРИ
др = -^-. Асимптот нет. 869. Определена на отрезке — 1 <я<1, двузначна.
1 V2
График симметричен относительно осей координат. | утах | =« ~ при х == ±-g-»
212

Асимптот нет. 870. Определена при *<0 и при х^у 2, двузначна. Гра-
График симметричен относительно оси х-оъ. | ут\п | = 1 при jt = —1. Точек пере-
гиба нет. Асимптоты: х = 0, у = ±—5~" л\ 871. Определена при *>0,
о
lim #=0; </min=—е~] при jc = е~К Точек перегиба и асимптот нет. 872. Опре-
делена в интервале (—1; 1), limt/ = +oo, lim y = —оо. Точка перегиба @;0).
Асимптоты: jc=±1. Экстремумов нет. 873. Определена в интервалах:
— оо; — — \, @; + оо); Нт у = —оо, lim у = + оо. Асимптоты: х = ,
# = 0, t/=l. Экстремумов и точек перегиба нет. 874. Определена везде.
График симметричен относительно начала координат. t/max=— V%e при х=^2,
Ут{п = - 1 У~2е при jc == - УТГ. Точки перегиба: @; 0) \±Vb ±У"ь~е 2).
в
Асимптота у = 0. 875. Определена везде, кроме х = о; Hm t/ = +oo,
е2 1
lim # = 0. f/min^-r пРи л: = Г. Точек перегиба нет Асимптота # = 0.
Ю 4 ^
876. Определена везде. t/max=f —J при * = -т# Точки перегиба имеют
абсциссы: а; = 0, х= ~~ . Асимптота t/ = 0; lim y = ~oot
lim y = 0. 877. Определена везде, периодическая с периодом 2я
при ^«-~-+Ы fe = 0; ±2; ±4; ±...
—вТ^2" при #? =-г "*" ^Я| Л==±1; ±3; ± ... Точки перегиба:
~ + ^л;0]г ^==0; ±1; ±2; ±... Асимптот нет. 878, Определена
везде. Период 2я. График симметричен относительно начала координат. На
отрезке [0; 2я] г/тах = j УТ при л; = -~, утщ = — -j Vb при а: = у л
Точки перегиба: @; 0), (я; 0), (arccos — —; "Та"^^)» Bя —arc cos I —-^-)»
1б"^^)# Асимптот нет. 879. Определена везде. Период 2я. График сим-
4
метричен относительно оси у-ов. На отрезке [0; я] t/max = —-f=- пРи
i 4 1
а: == arc cos тгт=-9 ^max = 0 при х = я, #m'in = р= при х = arc cos — -f=z,
0 при л: = 0. Точка перегиба |-~-; 0). Асимптот нет. 880. Определена
везде. Период 2я. График симметричен относительно оси у-ов. На отрезке [0; я]
2 1 2
0тах == 1 При X » 0, г a t/
• arc cos -тт=, #min = --l при х = п. Точки перегиба: f-^-; Oj,
213

нет.
/ ,/" 13 4 ,/"l3\ / -./13 4,/l3\ ,
|arccos-|/ _; -y -), ^arccos-y -; --j/ ^J. Асимптот
881. Определена везде. Период 2я. График симметричен относительно начала
координат. Экстремумов и асимптот нет. Точки перегиба! *Л«=?я, /г«0;
±1; ±2; ± ... 882. Определена везде, кроме х = 0; limy«l. График сим-
метричен относительно оси у-ов. Точки экстремумов удовлетворяют уравне-
уравнению tg* = *. Асимптота #=»0. Точки перегиба: %к » /гя, 6 = dfc 1; ±2; ± ...
883. Определена везде. График симметричен относительно начала координат.
#тах = -75"— * ПРИ * * -" *» #т1п ^ *—о" ПРИ *аваЬ Точка перегиба @; 0).
Асимптоты: */==х±я, 884. Определена везде, кроме х=0. Предела функции
при х -> 0 не существует. График симметричен относительно начала координат.
при д:А»-^_, ft«0; ±2; ±4; ±...;уШ|„=-1 при *ft =
Л == ± 1; ±3; ±5; ± ... Точки перегиба удовлетворяют уравнению 2х = tg —.
Асимптота #^0. 885. Определена везде. График симметричен относительно
оси у'Ов. утах == 1 при дг= ± 1, |/min=0 при лс==О. Точек перегиба и асимптот
нет. 886. Определена везде, ^max^nj при ^=лу» ^min^O при *=0. Асимп-
Асимптот и точек перегиба нет. 887. Определена в интервалах Bkn\ Bk + 1) я),
?«0; ±1; ±2; ± ... г/тах*={) при *Лв7г + 2я; Лг == 0; ±1; ±2; ±... Точек
перегиба нет. Асимптоты: *«=fort; /j»0; ±1; ±2; ± ... 888. Определена
/33 \
в интервалах: (-^ п + 2kn\ -^ п + Bk -f- 1) я), /г == 0; ± 1; ±2; ±... ут\п = 1
при д;Л = 2^зг, & = 0; ±1; ±2; ± ... Точек перегиба нет. Асимптоты: х =
*~^ + кя\ 6 = 0; ±1; ±2;±... 889. f (х) = 1 + 4 (х + 1) - 3 (х + IJ -
- 2 (х + IK + (х + IL. 890. / (х) « 1 + 6 (х - 1) + 15 (х - IJ + 20 (х - l)8-f-
+ 15 (я- iL + 6(x-1M + (х- IN. 892. е = 2,7182 ±0,0001. 893. 1,65.
895. х < 0,1817. 896. х < 0,6544; х < 0,4129; sin 0,1 » 0,1002; sin 1° « 0,0175;
sin 10° « 0,1736; sin 20° « 0,3420. 897. x < 0,2213; cos 0,1 « 0,9950; cos 1° «
~ 0,9998; cos 5° ^ 0,9962; cos 10° ** 0,9848. 898. Погрешность < -r^r. 899. По-
7 x8
грешность < т=. 900. Погрешность <0,006. 901. 1 — x + x% — ;¦ ,¦&';,,
108 КЗ A4-вхL
0 < в < 1. 902. 1+Л^» + ~<4+ 2-,ц ^5, 0 < в < 1. 903. \+х +
-esinejc(cos3ejc — 3sin20^cosвл: — cosG^)^3, 0 < 9 < 1. 904.x —
-ljc2 + i-
910. х3+^2-л:+С. 911. 4~^5 - ^ + 4* ^2-5jc+C. 912. ^
913. -~^L.f~ + C. 9H. Л^? + 1. х2}/Лх+2дс4-С. 915. ~*
V х х 2 5 7
-4?7--^г + С. 916. |л5 + {^ + С. 917. у*7 + -1
918. 4-^3 + 3^~inI^I + ^ 9I9- ~x2Vx~-2xf
о о
214

921. -тг xVx
(. 922. 2ex — -тхУ1? + C. 923. r
3
924. sin x + 4 * /*3 + С. 925. cos * + ~- arc sin x + С. 926. 4 sin x —
4 z
. <~^ + 2>T+ С 928. ?~- arc sin x+
--| arc sin x + C. 927
+ C. 930. ~- # - 2arctg* + С 931.
929. * + arc tg x -
- jarctgAT + C. 932
. yarctgx-fC. 935. -~ln
+ C. 936. ~-~
a a
937. -4 + C' 938- л:3 + arc tg a: + C. 939. -| *3 - 2л: — 4"In
л:—1
-1
+ C. 941.
m». 4-^ + i^+ii
— 1
C.
945. I-jK-l
946. -
. 942. —д:4 ~ -^д
^. 947. tg*-ctg* + C.
948. tg x — x + C. 949. — ctg x — x + С 960. xlax — x + C. 951. 4"
4" *2 + C. 952. 4"
4 о
-4-^3 + C. 953. -lli«.± + c. 954. xsin.
У XX
956. l*2arctgj;---I;
+ cos ^ + C. 955. — x cos # + sin x + C.
+ 4" arc tg x + С 957. — x2 cos * + 2x sin * + 2 cos л: + С. 958. 4" *2 in2 *-
959.
C. 960. - e-
2x + 2) + С
961. \ex (sin x — cos jc) + C. 962. 4-e~
C. 964. -
—cos*)+C, 963. -i-
JL
C. 965. -
— -i- ctg x+C. 966. — 4- cos 3* + C. 967. 4- sin 5* + C. 968. — tg mx + С.
Z о о fix
969. _ L ctg nx + C. 970. — In | jc — 2 | + С 971. ~ In | 2x - 5 | + C.
972. i- In | 3jc — 5
C.
973. 4-
5
974. _1
975. -i- emx+n + C. 976. In | sin x + 1 1 + C. 977. — ~- In | cos 2x + I | + C.
978. Vx*-~a2 + C. 979. arc sin *r+C. 980. 4" arc tg4 + C. 981. i- sin4 jc+C.
a do 4
982. - —cos8 x+C. 983. ~ ^' + C. 984. -i- In2 x+C. 985. In | In x | + С
2 ? . , ?
986. 4(^2+1J+c. 987. ±arctgA:2+C. 988. - -i- (a2 - **J + С
if Z О
215

989. -L
3^
+C 990.
\+C. 991.
-41n|/*+i +2|+C. 992. 2Vx -2aarctg^ + C. 993.
2. 994. —
+C. 995. In
7
"KJ+T-l
+C 996. ~
б
999. -^- (За: - 2) 3 + С 1000. 2 /* /* - 2eVx + С. 1001. In e—jA + С
4 j , I *
1002. —2cos/* + C. 1003. -$-arcsinA: + ~A:/l—a:2+C. 1004. 2arc sin4+
Z Z 2,
+ ±VT=7* + c. 1005. iVF+7 + ^-M,.
1006. - — /л:2 + a2 + In (л + /at2 + й2) + С 1007. 4- sin arc tg 4 + G.
X У о
1008. in
\ e
. 1009.
. 1010.
1011. /jc2 — 4 — 2arctg-
c.
1013. —¦
1
1012. ~1
5
4 Bx + 3J
Ю16. ~
. 1
. 1017. ~jc2 —
2
±.x* + ^x2 + x + \n\x-l\ + C.
4 1n|* + 2| + C. 1018. — a:4 +
4
1019. 4" xz + x — arс tg x + С
о
1020. 4In
x- 1
:. Ю21. ~i
x -2
+ C. 1022. —
2 (x—2J x—21
1023. —
1
T*—1) h 4
1025. 1д;34.-1*2~;
a:—1
+ С. 1024.
. 1927. j-In
С
1028. -±
1029. \ + x-
4(*-/
8 8
:. 1030. — -i—arctgAH-C. Ю31. —In (x2+2) ~= arctg-~L —
_ ^ In , ^ _
3(*-l)
1034. — In (x2 — — x + ~) 4 \r=
4 \ 2 2/2/7
1035. —a:2 — 2x+—\
2 2
1032. — -~- - i- In | xA - 11 + C.
216

1036. - — In | x - 11 + - In | x" + x + 11 + -4r arcig Ц?Х + С.
3 6 У о У о
1037. — In \х + 1 | - - In (х2 - х + 1) + ~ arctg 2* ~ * + С.
3 6 г 3 г 3
1038. -±-*3-4
C. 1039.
(+)
1040. — хъ — — In \х* + 1 | + С.
3 3
1041. - x2 - -i arc tg x> + C. 1042. -1- ln | 3a;2 + 2 | + j—
: + C-
1043.
1044. ~
8
8 (jc8 + 1)
c
1
1045. -In
—1
a;6+ 1
1048. JLarcte4r- + 4
1 j л,3 , , e >
+ C. 1046. -Lin *§
1O I Л I
- 1
1
10 .
-T^F arctg
><>«. a)
9 (a:2 + x - 2)
+ C; 6) j (*-D3+ 3G+7+0
2a: + 1
¦=c—h С; в) — arc tg a; In
3 8 4 (a;4 - 1) 16
— 1
. a; 1
T) (*2 — 2jc 4- 2^ + jt2 —
(a:2 - 2a; + 2J ^ x2 ~ 2x + 2
In
; Д)
2a;3—
—9
9- - 2a; + 2
1030. *~2У7
+ 2 arc tg (* - 1) + C; e)
1051. —(
+ С. 1052. ln | 3 f~x + 1 | + C. 1053. |-
.15 .15
L vi/T-u гЛлТ —
. 1056. — Vx~ — fi'7—
+
10 10 10 10
- 60 In I УТ + 1 I - 100 (VJ + О2 + 50 (/x + lK - 15 (VT + lL +
1058.
V2 + a: - V2
+ C.
| ^
1059. jc + 4 Vjc + 1 + 4 ln I Кл: +1 — 1 I + С. 1060. -| ^(х+\J-~ s
31n|
C. 1061.
-l \+C
217

1062.
л: — 1
1068. — 2arctg
1070. In
1072. -
-+C. 1069. —2arctg
+*+i+*+2
2+ у4 + 2x - x
(a; — 2)
— 2x — I + In | x
3 ,
1074-
чаются друг от друга на постоянное число. 1075. | In а;+1+)Лк2 + 2дг — 1 Ц-С.
1
1076. -i-
1078. -i=- in
V2
1081. -i- In
+ C
1077. arc sin 2^._' + С
[
1
In
1083. -i-ln
~b
: + 62
he.
1080. in
. 1082. 1.^D/3-7)+С,где/ = у
7 r
c.
f+1
t-\
~i-arc tg/ +С, где /«yjc-*+l. 1084. 2(V7-iJ+C.
1085. i- sin4 x+C. 1086. — -~r- cos6 2a; + C. 1087. In | sin x j+C. 1088. у *~
—-г- sin 2a; + C, 1089. —jr a; + 77; sin 6a; + C. 1090. —5- cos 2a: + — с
I I
tmu sin x - 4 sin3 a; + ~ sin5 x + C.
о 5
I. In
тол ! i
. 1094. T In
. 1095. T in
-5- sin 4a; + т sin 2л: + С.
8 4
Ю99. ~ sin 2a; — 4" si« *x + С
4 о
1101. —-^
+ T2
1102. -~-sin9A; + -jsin* + -^sin7*-b
1103. — -^~ cos 4a; — 4-cos 2л; — -nj- sin2 Зл; + С,
10 О l<&

1104. ~*-~
~
-~ sin 2x - -~- sin 4*
sin 6* + C.
+ 1105. -~* +
1106. -~- л: - ~~ sin 2* -
~ + C, если
_ JL sin 4д: + j~ sin 6jc + С. 1107. ~ x - ~- sin 2x + gj sin 4* + ~ sin3 2x+ C.
К 1 о 1
1108. rs- я + -r sin 2jc + ^r sin Ax •— — sin3 2*+C 1109. — In I sin лг+cos я
16 4 6
X X
1110. — 2 cos — + 2 sir
- -1 In (y2 - у + 1) + — arc ig 2y~ 1 +C, где y3-tg2^. 1112. -Ltgx
4 2 r 3 2
H In Itgxl «= С 1113. —==r arc tg —7U- + C. 1114. f-
2 V10 V10 cosjc
~ + sinY>& 1Ш- уIn (У + J) —
1115. -~ln
1116. —ctg л: 5-<
¦. „18. (tg2*-')(t|
1119. —1- tg4 jc i- tg2 jc — In I cos л: I + C. 1120. x — — ctg7 * + 4" ctg5 * —
4 a / О
1
1123.
+ ctgx
1121.
fl
2
1124. -|arctg
+ С
1125. --L- arc tg (V2 tg x) + C. 1126. — arctg*4
1127. i- In (x* + 1) + 4 (x4'+ + С 1128. |. arc tg ** -1 In (x° + 1) + С
9 O3 1 1 O2 l 1
1
1131. In I *'"* I 4- С 1132. —iIn (л2 + 1) + 4- (*2 - 1) + x arc tg*J + С
I X I О О 4
б
1133. 1(**+1)T+C. 1134. j\n\V7 -ll + j
П42. j
219

1144. -2fl-x In 1*1 + 4/1'-* +21n|l-Vrl—* I—2hi(l+/l-*) + C.
1145. ^-[(lnU|J-yln|*| + i-]+C. 1146. 2KFfTln|* + 2|--
- 4 Vx~+T + 4 arc tg Vx~+T + С 1147. 2xeVJ - 4 Vx eV7 + 4eVJ + C.
1148, -4"-4 In I sin* I + С 1149. *In(l+*2)-2* + 2arctg*
A Sin Л
1150, -1A-Зсоз*Г2 + С. 1151. l
115t>. _._ -|- \иш »'«т .. I v-». **w. л lK л ~1 ~
1156. 2VT+Tarcsin* + 4V—a: + С 1157. — У T^F"arc sin * + x + С
1158. — ecos2 x + C. 1159. tg * In | cos * | + tg * — x + C. 1160. ~ с (б2—а2).
t rb __ ra I
1161. -~ с (b* — a3). 1162. eb — ea. 1163. -Ц——. 1164.21,5. 1165. -~ a3.
3 In с 3
1166. e—1,5. 1167. 2 (*— 1 —г-1). 1168. -1-- + 4. 1169. -т-V+e-4.
In 2 In 2
1170. 0. 1171. 4-- I*72- 36. 1173. -r-^ + 2. 1174. а) Первый; б) второй;
О Ш о
в) первый; г) первый; д) первый; е) первый. 1182. Интеграл больше 5 -~-
о
и меньше 8. 1183. 8. 1184. 1. 1185. -^-. 1186. 6. 1187.—In 5. 1188. — ^ In 5.
1189. Jt 1190. -?--arctg-?-. 1191. ~+arc tg-^-. П92. 9-|. П93. 2 In 2 - 4".
44 64 4 3 4
1194. 2л. 1195. 2 —In2. 1196.4". 1197.4 —2In3. 1198. 2 In 2 — 1.
о
1199. (¦—-+1—-?y-]a. 1200. 1. 1201. i. 1202. -~. 1203. arc tge — -2-.
1204. 2-—. 1205. — л 1206. -^=rarctg-^=r. 1207.321..
2 8 Кб Кб З
1/— 2
1208* -5- + ijL. 1209.-^-. 1210. 282-|. 1213. J sin2 * rf*= J cos2 *d*
*=4 f (sin2 *+cos2 *) d* = -i 1221. -^—1. 1222. 3 (In 12-1). 1223. •?—4*-
0
1224. l-у. 1225. 1. 1226. - 2я. 1227. -j- a2. 1228. -i\e2+l/.
2.4-6... (az—1) 1 ЬЗ-5... (n-1)
1231. un = —q r 7 * если л"~"нечетное число, -^-^—о» 4 '
если « — четное число. 1234. — (не зависит от а). 1235. -=- In—; In 2.
п о—а а
b зх
1237. -j я;—. 1238. Указание. Уравнение эллипса в полярных координатах
220

с полюсом
е а У а
в фокусе
2-ft2.
эллипса имеет
1OQQ 2Н
1239. -^г-.
вид:
1
л ——
Р 2<
1241.
Р
A + i
3 COS ф) '
2 ?
л; 0>
где
¦Еэфс
1
2
)) =
У
(
А
ь>
а
2
1242. Подынтегральная функция __ П2 имеет разрыв в точке #= 1, при-
надлежащей отрезку интеграции, и, следовательно, применение здесь формулы
п
Ньютона —- Лейбница незаконно. 1243. Ошибочно равенство 1 J^cos2 x dx =
я
» Г cos х dx, так как "Kcos2 x
о I
/Т
"з" f 4 "я"
„ г * d* = тх d#, так как
cos х, если 0 < х < -2-,
— cos д:, если — < х < я.
1
^,если 0<х<1, „ ^
х3 = j j 1245. Подстановка *«tg у незаконна,
— х3, если — 1<х<0.
^ з
потому что функция tgy при лс = я разрывна. 1246. Из равенства ух2 =*
следует: х = ±Т/Г/3. Если / изменяется на отрезке [0; 1], то х = У t3 изменяется
на отрезке [0; 1], а х = — Vtz изменяется на отрезке J~l; 0]. Для отрезков
[— 1; 0] и [0; 1] имеем различные подстановки: x = Vt3 и x~ — ViF. Если
интеграл V~х* dx разбить на два интеграла J У х2 dx и J K*T dx и
-1 -1 0
применить соответствующие подстановки, то вычисления приведут к правиль-
2
ному результату. 1247. Для функции f {х) — 2 на отрезке [—1; 1]
первообразной будет функция Ф (х) =—arc tg дг, а не функция F (х) = arc tg—,
хотя последняя во всех точках х ф 0 и имеет производную, совпадающую
с производной функции — arc tg х. Равенство т—г-—j = arc tg —
-l i
этому незаконно. 1248. Функция у = х2—¦ 6х + 13 имеет минимум при х = 3,
который равен 4. Когда х возрастает от 1 до 3, у убывает от 8 до 4, и —-
dy
отрицательна, так что = Когда х возрастает от 3 до 7,
dy 2Уу — 4
у возрастает от 4 до 20 и, следовательно, = — - .. ¦ ¦, Таким образом,
7 4 20 *У 2УУ~*
Г у dx » у н + j —ff У -, и легко убедиться в том, что эта фор-
•' J 2у у ¦— 4 J 2y у — 4
18 4
мула дает правильный результат. 1249. In 2. 1250. 2. 1251. -г-т-т; » 1,67 • 10й.
н~т 1
221
по-

1252. 4". 1253. ~A — cos ал). 1254. e~\ 1255. -L 1256. —.
4 a 2 4
1257. --^L. 1258. _L. 1259. 1 — In 2. 1260. —. 1261. i_. 1262. — (я 4- 2)
31^3 2а 2 2 4 ''
1263. Расходится. 1264. Сходится. 1265. Расходится. 1266. Расходится.
1267. Сходится. 1268. Расходится. 1269. Расходится. 1270. Сходится. 1271. Схо-
Сходится, если о< U и расходится, если о*^1. 1273—1280. См. задачу 1281.
1281. Без ограничения общности можем считать, что неравенство f [ф (х)] ф'(х)^
^ qf М (Я< I) выполнено для всех х е [а; + оо). Пусть Ь >с, х = ф (t)f
ь $ ft
с = ф(а), 6 = Ф(р); тогда J / (x) dx = J f [Ф (t)] ф'@ dt < ^ J / {t) dt~*
с а а
= q j f(x)dx + qj f(x) dx, откуда J / (x) dx-q j f(x)dx*?qjf (x) dx, или
ас с с а
Э ь э с
J f (х) dx + J f (x) dx—q J / (x) dx < q J f (x) dx. Так какр < &, / (x) >0, то
с Р с а
С Г С С ,
1 f (x) dx ^0 и, следовательно, (I—#) f (x) dx < а \ f (x) dx или f (x) dx^
Э с а с
С оо $
< _2— j f (х) dx. Если 6 -> оо, то р -> оо и f f (x) dx = lim | f (x) dx <.
1 — q J J fl-»oo J
а с с
6 оо оо
< ~Г^— f (*) ^« Так как интегралы Г f (x) dx и \ f (x) dx сходятся или
п ас
расходятся одновременно, то первая часть утверждения доказана. Пусть
k
теперь f [ф (х)] ф7(х) > f (х). При введенных обозначениях: j f (x) dx =
dx
+ f (x) dx. Если 6 -> оо, то р -> оо и, следовательно, J f (x)
С С
С оо оо
^ I tl<P(x)W(x)dx-\- f (х) dx, что возможно только тогда, когда I f (x)dx =
ас с
«=+<*>. 1282. См. задачу 1281. 1285. 2. 1286. 2у. 1287. 5-~. 1288.-у.
1289. —-г. 1290. Расходится. 1293. Сходится. 1294. Сходится. 1295. Схо-
4
дится. 1296. Расходится. 1297. Сходится. 1298. Расходится. 1314. -^ (Ьг — а3).
о
Ш5. 36. 1316. 4,5. 1317. 2. 1318. a In—. 1319. l+a(lna-l).
а
ШО. ~а*(е- е-1). 1321. ла^; яа2. 1322.

1323. ^ VF=lP + ab In c+Vc-*. . ,324. 8
a a 3
1325. -| /l6p2 + 8p + -~ p Kl6p2 + 8p. 1326. 1 p2. 1327. a2
1328. 2яр*+^г P3 и 2яр2~~ р2. 1329. 2. 1330. ~. 1331.2. 1332. ~A+2/2"+
о о о о
+ 1,5 In 2). 1333.2. 1334.6. 1335. 4яа2. 1336.--. 1338. у я3а2.
1339. а2. 1340. 1,5яа2. 1341. 18яа2. 1342. 0,5я (а2 + Ь2), 1343. а2. 1344. яяЬ
1345. Зяа2 1346. ~па\ 1347. -^-. 1348. —. 1353. Верно, что предел
длин ломаных Ln равен сумме длин катетов. Но из того,
что ломаная Ln стремится слиться с гипотенузой, не следует,
что длина ломаной Ln стремится к длине гипотенузы. 1354. 2n(R + r),
1355. -t[VT+ln(/2+K3)]. 1356. А (ю/ТО-1). 1357. yUe-e a).
1359. 1 + — In —. 1360. In (l +УТТ). 1361. ln g, *"" ^^д . 1362.
2 2 a
i. 1364. 6a. 1365. 8a. 1366. 2яа. 1367.
: , где N — целое число.
— 1 о
1372. 1 nh (R2 + rR + г2). 1373. -i*"*^ 4яа3- 1374' п(т а*+ 4а3 + 2aV
u о о \ О О /
1375. ~пр(Ь2~а2). 1376. 4"^ *377- ^гзт«3- 1378. я(~-
4
1383. -|~(бя + 5УТ). 1384. j (а3+3а2+6) я. 1385. -~. 1386. G ~ ¦——) ~.
1379. ~-naAea ~e a) + na2c. 1380. 0»Зя. 1381. Щ- я. 1382. 4r
4 о 4о
1387. 5я2а3. 1388. -^-. 1389. -j- 1390< 2я2°3- Указание. Удобно перейти
2a sin3 /
к параметрическому заданию кривой, положив х = 2a sin2 /, у = —^
1391. 2я [К2"+ In (l + /?)]. 1392. 4яг2. 1393. я (/sec4 а + 1 — V) +
+ п In A + VT) (/cos4 a + 1 - cos2 a). 1394. я [кТ- - **** + in (/2"-l) X
1395. i^(^+4-e-2). 1396.
где w=B/l + 4a262 + 2a^ 1397. 2я62 + -I^Larc %\гУа'~Ь\ 1398. ~
^ Ка2-^2 а 5
^ . 1401. 2яа2. 1402.
. (О; -|а). 1407. (яа; |-а).
140§
223

^
.(?;?). H,.. (o;f).
14». /J8t;0V 1413. (lp; lp). 1414. (o;
* Л 1416. (iSL;4(a + ^\ 1417. 4-КЗяа2^. 1418. 4n2rh. 1419.
— 6я/ \ Зя Зя / 2
24 /
2n2a2d. 1420. ппа2 ctg —; -j-tttta3ctg2—. 1422. Расстояние центра тяжести
от основания равно — высоты. 1423. Если ось лс-ов принять за ось симметрии
сектора, то у0 = z0 = 0, х0 = -г a cos2 -г-, где 2а — центральный угол, a — ра-
9 2
диус шара. 1424. Zq = х0 = 0, #0 = Т5~ &• 1425. г0 = г/0 = 0» -^о = -«г я«
1426. 4-(а2 + ^ + ^2)^ 1427. 4" ^3 (a —sin a cos а); яг3. 1428. яг3
о ?
1429. i- (a-sin a cos а) т4. 1430. f*?!j®!. 1431. ~ лг2а>2 (г2+4^2). 1432. ~ асо2А3.
1434. 2560 т. 1435. 140 т. 1436. 5000 т. 1437. J-a26. 1438. аб (h + ~ sin о).
1439. 50 ОООя кем. 1440. 250яг4 кем. 1441. —яг4. 1442. — 103яг2/г2/сгл«. 1443.
1444. ... 1445. 2 - 1 - 1- ... - ^i-^ - .., S = 1. 1446. 1 + 1 +
=l. 1447.
=^. ,448. -1 + |.-|.
1450. S==4-; л = 400. 1451. 5=1. 1452. 5 = 4"J 1768 членов. 1453. Ряд рас-
5 о
ходится. 1454. Ряд расходится. 1455. S = In-i 1456. S = In 2. 1457, 5 = 4"-
о Z
1458. 5-1. 1459. S=l-g|. I460. 5-^^ +sin^.+ ... +.h,f
1 2 10 R
1461. S=0. 1462. 5=4- sin 1- 14^3. 5==^r-. 1464. 5=тт. 1465. 5=0. 1466. 5=4-.
^ oil 5
q \a ox i
1467. S=~j. 1468. 5 = ~. 1469. x<0, 5 = -^-. 1470. л:>—i; 5 = *.
1—2^
1471. л:>0; л;<— 2; 5 = —. 1472. —г-г<л:< г при а> 1 или а<— 1;
х а "t" 1 а — 1
ж>-5" при а=1; х<—~ при а = —1; л:< г- и х>—т—г- при
z z а — 1 о, -р 1
— 1 <а< 1; 5==—аХ ~~ !_ . 1473. 0<д:<4; 5 = -^-^ 1. 1474. Ряд
JC ~~ CLX ~\~ 1 4 "¦"" X
X
расходится всюду. 1475. х — отрицательное, нецелое число; 5 = , > .
1476. 0<л:<1; 5 = -г^-; 1<л:<2; 5 = 4—^- 1477- а =
1 — л: 3 — х
224

— <2. 1478. а) ? = 0,42. 1479. S=I. 1480. -~
Ряд сходится-
1483. Воспользоваться тем, что а\ < ап при 0 < ап < 1. 1484. Если пап < ЛЬ
то 4<-^-. 1485
. Так как (art--)*>(), то-&-<у(а* + -^-). I486. Вос-
Воспользоваться неравенством aft^rt ^-=- (a^ + 6„). 1487. Это вытекает из того,
что среднее геометрическое нескольких чисел не превосходит их среднего
арифметического anbncn < -тг {с?п+Ьъп + с„). Обобщение очевидно. 1488. Имеем:
{~аф0 14904
пап< nRm ->0, л->оо. 1489. Здесь lim n~\-= lim п{~аф0. 1490-4=»
П — Ш П-»оо П П->оо
= -%г. ап • Vrrt"< -т=г» Л > ^. так как ап У"п -> 0. 1491. Сходится.
Ум У Л /1->оо
1492. Сходится. 1493. Сходится. 1494. Сходится. 1495. Расходится. 1496, Рас-
Расходится. 1497. Расходится. 1498. Расходится. 1499. Сходится. 1500. Сходится.
1501. Сходится, если а< 1; расходится, если a ^ 1. 1502. Сходится. 1503. Схо-
Сходится при ab<\\ расходится, если аЬ > 1. 1504. Сходится при Ь<а и рас-
расходится при Ь > а. 1505. Расходится. 1506. Расходится. 1507. Расходится, если
а Ф 1; при а= 1 ряд сходится. 1508. Сходится при всяком а>0. 1509. Схо-
Сходится, 1510. Сходится. 1511. Сходится при | q|< 1 и расходится при | q \> 1.
1512. Расходится. 1513. Сходится при а> 1 и расходится, если а < 1. 1514. Рас-
Расходится. 1515. Сходится при а<— и расходится, если а>—. 1516. Расхо-
& б
дится. 1521. Сходится при о>1 и расходится при a ^ L 1522. Сходится при
р>1 н расходится при р< 1. 1523. Расходится при любом р. 1524. Сходится.
1525. Сходится при любом а. 1526. Сходится при а> 1 и расходится при a ^ U
1527. Указание. Использовать результат задачи 1519. 1528. Использовать
тот факт, что 1-1 + 1-...-^==1+1 + 1+...+^( 1
+ ... +±\. 1529. 1<S<2. 1530. 2<S<3. 1531.
п )
1532. 4-<S<4. 1536. 1,6<5<1,7. 1537. 1,197<5< 1,207. 1538. 0,12<S<0,i5.
О 1О
1540. а) Надо положить: / (х) = ап при /г<л;</1+1и(р (*)=*+ 1. б) По-
Положим, / (х) = ап при «<jc<n+ 1 и <р (*) = 2х. Для установления расходи-
расходимости следует положить: f(*) = art, /i<* <^/i + 1. 1547. Сходится при а<1
и расходится при а ^ 1. 1548. Сходится (положить ф (п) = /г2). 1549. Сходится
(применить принцип сгущения, положив ф (п) = /г2). 1550. Расходится (поло-
(положить ф (п) = 2/г). 1551. Сходится (положить ф (п) = /г2). 1552. Сходится.
1553. Сходится. 1554. Расходится. 1555. Расходится. 1556. Сходится при а>в$
расходится при а <; е. 1557. Сходится абсолютно. 1558. Сходится абсолютно.
1559. Расходится. 1560. Сходится условно. 1561. Сходится абсолютно. 1562. Схо-
Сходится условно; 1563. Сходится абсолютно. 1564. Сходится условно. 1565. Схо-
Сходится абсолютно. 1566. Расходится. 1567. Для доказательства сгруппировать
члены попарно. Признак Лейбница неприменим потому, что члены ряда убы-
убывают немонотонно. 1578. S = ln2l/ ?- . 1580. Надо взять р = 4, </—=1.
1581. Следует взять "Т"^00 *583. Сумма двух расходящихся рядов может
быть сходящимся рядом, сумма сходящегося и расходящегося—расходящийся
225

ряд. 1584. S^T^ + Si^Si' 1585< 0+3*+•••)(!-2*
/1=1 П5=1 «=1
= 1 + 2*2 + Зл;4 + 4хв + ... 1586. A + x + x* + .. .)*» 1 + 2x + 3 + ..
1587. (aj + a2 + ... f — a? + 2a,a2 + BЙ1а3 + <4)+ ... + (a{an + ajxn_x +...
... + ana\) + ... 1590. He выполнено условие абсолютной сходимости пере-
перемножаемых рядов. 1591. S (х) « х J^2> | х |< 1. 1592. S (*) «_!_.
|х|<1. 1693. И*)-7» 0<x<6. 1594. SW-4+Л ^ ^ 0.
1595. (-оо, - 1), A, +оо). 1596. (-3,3). 1597. L.JL, ±1
1598. (-оо, -П, (-1,1), A, +оо). 1599. (-1,1). 1600. (-оо, 0).
1601, (-00,-2], № +°°)- im- Н00' + 00)- 1в03' (-°°. ~0» (I. +оо).
1604. (—оо, +оо). 1605. (— оо, + оо). 1606. Расходится всюду. 1616. in—.
1 я 1 2 4-V12 V1! 1
1617. ~$п2+—7Г. 1618. ^_ln-JlI_+I_^ 1619. In 2-4.
о о г ?
оо
1622. тг1дг|и.^ял '-(На-
'-(Например, A - ж) ( 2* - *2 + |) 1(л + I) V1 - л^+| - л*»-1 + {п - 1) хя] L
I л*=0 J
1627. Л«1; (—1> 1). 1628.
1630. j?—l; (—1, 1J. 1631. /?«0; сходится только ври^ х«0.' 1632. _, .,
(—1, 1), 1633. R***e; {2-е, 2 + е). 1634. /?«2; 1—3, 1]. 1635. Д—1; C, 5].
1636. Я « 1; [а — \га + 1]. 1638. (а0 + а{х + .../«ag + 2a0ajX +... +
+ #1#л--1 + • • • + Ялао) Xя + •. • 1639. A + х +...) я= 1 -|—~ х + —J7-
I
1640. : ; » ^о + ^i^ + • • •» причем
а0 + flix + ...
1 а д2 л*
а^0 + a^i + До^з *= 0» •• -I откуда Ьо «= —• ^», = j ^2 = -_— _. нт.д,
1 1 2 1 з 11 1
i 1
1643.
^Л<?+21^1ЙТ.Д. 1Ш.На.
... 1644. In 4 + i(jt-4)-^(jif-4H + ^(^-
1645. -J-J»* —~-x4 + -|J-J^— ... 1646. \+±(x-\)~1±f(x-l)*
1547^ + i-^3 + ~x5+ ... 1648. l+* + ij~+ ... 1649. 1 + 1
+ -4-x4+ ... 1650. 2х~%-х2 + ~хг+ ... 1651. l-.x
1652. у-7^ + -^^3+-. 1в53. (х«.1) + |(х-1>2--~(^-
1654. 1^1+ V^T^-4) ^г(*-43)+ ... 1655.
2161/2 3I72J/2

i(*-2) -!(*-. 2)*+ ... 1666. ?-*--?+.., t657.
[
* + ...], (-co, +00). 1658. sina + (*-a)cosa —
—** sin a - ^ifT^ cos e+—
(_oot + oo)r 1660. \na+^~^- y ^ ;' + .... @,2a). 1661. x-x* +
+ ~^+ ..., (-oo, +oo). 1662. i~* + ±*2+ в#м (_|f 1}
1663. x2- l
...» (-oo, +oo). 1664. л: + 1л:2 + 1
**+..., (-2, 2). 1671. 1 — 2дг + 2л:2 — .
- !!**+ ..., (—1, I). 1673. x - -~ л:3
, i). 1675. |^^~-1
1674. * + |-*8 + J~
-?L+..., J^l, 1]. 1677. 1~
..., A,3). 1679. * - ~1
1683. 1+* in 10 +
log Д+^ logM+
M3
+ -яг- log3 A + .,., где Af = In 10. 1684. Тот же самый, что и в преды-
предыдущей задаче, но Af«=In2, или М = 1п5, или М=1. 1685. In 2 = 0,693147;
In 3 ^ 1,098612; in 5-» 1,609438. 1686. In 7 •** 1,945910; In И = 2,397896; In 13 =
= 2,564950; in 17 = 2,833214; In 19 = 2,944439. 1687. M = 0,434294. 1688, lg 15=»
= 1,17609; lg 37 =1,56820; lg 210 = 2,32222. 1689. lg 101 = 2,004321.
1690. lg 999=2,999565489. 1691. 3,1072. 1692. 1,9957. 1693.0,9933. 1694. 5,0397.
1695. 1,7188. 1696. 1,4678. 1697. 1,5874. 1698. 0,1603. 1699. 2,0006. 1700. 2,183b
1701. 0,245. 1702. 0,339. 1703. 0,479. 1704. 0,309. 1705. 0,995. 1706. 0,454.
1707. 0,052. 1708. 0,643. 1700. 0,174. 1710. 0,974. 1711. 0,243. 1712. 1,428.
1713. 0,946. 1714. 0,747. 1715. 0,764. 1716. 0,072. 1717. Граница абсолютной
погрешности А<0,003. 1718. A<0,003. 1719. Для m = 2 Л<0,0025;
для m = 3 Л < 0,008; для т = -^г А < 0,0004; для т~-Т Д< 0,0004.
1720. A<^^.?i^r!. 1721. A<3-10"9. 1722. A<3-10"-7. 1723. А<0,007.
ап~1 2л2
1724. А < 0,0075. 1725. arc sin x « х + ^- л:3. 1726. arc cos x « -?• — лг — ~ х\
6 2 6
227

.727. ±
/1=0
1729. -y- + 4Jj (—0 n2 > откуда 1~Г + -зГ— ••• ^-JJ*
n=i
я ^ VI cos Bn + 1) jc 14.J_j_J_4. _J!!
n=0
CO einf|^
1731. - ™ПХ
n
nnx
=1
oo oo
2 4^V1 cos 2nx 2 sin na VI ._n»+i
._Qi 2 4
П=1 /1=1
1 , VI , n/2+i cos«jc \
7 + д2^ (""!) п2~а2 Г еСЛИ
л=1 /
а~не целое. 1737. 7,=*; Г2 = л:2- у; Г3 = х3--|л:; r4 = ^-jr2 + i-;
tt = xb-jx* + -jgx. 1739, 6jc2-|-. 1740. -|^з_х^
1741. ?i=*4"' 1742# C==^ L 1743' PoW=5j|. 1745. а)-|-
3.1.8 1 , , 3 1 , х ,17 ч * , 3/2*
T + TlnT~Tln!ny-.T; в) т + й; г)~т +
1746. Вг = \ - 1; Я2=
1747. Я4 = -0,003*4 + 0,412х*--0,К)8л;2 + 0,388л:. 1748. ft = -l^3 +
У
+ ™х2 + -~х. 1749. В2 = -0,И7л:2+0,958л:; В3 =-0,032х3-0,108л:2+1,822л:.
1750. Имеем | f (x) |< M на [а; 6]. В силу равномерной непрерывности для
любого е>0 найдется такое б>0, что из \х — ^n)|<6 следует |/(л:) —
~; {x)t откуАа
228

и далее | Ф„ (ft *) - / (x) | < AlfJ,
+ "T (I + <** (x) - pft (*)) + M | ал (*) - pft (*) К е при n > N (e). 1751. Имеем:
; *)
^1
Отсюда
s^(JC)">0;6rt(x)> 2 (^^^рФ^С*)^? 2 № М- Следовательно,
2 ^(х)в ®л (ж) "^ ^ Выполнено второе условие задачи 1750. Но и первое
П
тоже выполнено. (см. (*)). 1762. Вп (f; х) - Jj / (~) С^ A - jcf-*. Отсюда
ft0
. (**¦• *) - i; (|J с*»» A - «г»
О
4 cti**-
ti**-1 A - «
г*
# й
=s jc (a: + an) -> jc2, так как | cjn | < -^ r. 1753. Доказательство аналогично за-
ft "¦"• l
даче 1750. 1754. Доказательство аналогично задаче 1751. 1757. a) S=*
¦« ~/(а + 6 + с) (а + Ь - с) (а - Ь + с) F + с - а); б) S = -y r 1758. а) /=«
Y; область определения 0<г<оо, 0<а<п; б) /»2Кг2 — а2;
область определения 0<tf <г< оо. 1760. S==/ (г, гь ^); область определения
О <г — Г! < d< r{ + г2, где Г! — радиус меньшей окружности, d — расстояние
между центрами. 1763. (/(l,2) = -3; f (-3,5) - - j; M«. W-*-^
229

f (у, х) = X " . 1767* Плоскость, пересекающая оси координат в точках #=—2,
у = % 2 = 2. 1767 (а). Параболоид вращения, ось которого есть ость О г,
В сечении с плоскостью ZOX дает параболу z = jc2. 1768. Конус с вершиной
в начале координат. 1768(а), Гиперболический параболоид. Ш9. При z = const
имеем: х = с-~у2 (парабола). Поверхность образована параболой х = ~-у2,
параллельно перемещающейся так, что ее вершина скользит по прямой г= х
в плоскости ZOX. 1769(а). Переходя к полярным координатам, имеем: z = tg <р.
Поверхность является винтообразной, образована горизонтальной прямой, пе-
пересекающей ось OZ в делающей пол-оборота вокруг нее яри подъеме от — оо
д0 ц- оо 1770. Две полуплоскости, встречающиеся по прямой у = — х в пло-
плоскости XOY* симметрично расположенные относительно плоскоста х + у = &
1770 (а). График состоит из ряда концентрических колец, приподнятых друг
над другом на расстояние I. 1771, Вся плоскость, за исключением точек пря-
прямой х=*у. 1771 (а). Вся плоскость, кроме точек на осях. 1772, Угол между
полупрямыми у**.\-\-х и |fss=l — jc, x>€ и угол между полупрямыми
?=1 + * и #=! — х, х < 0. 1772 (а). Внешность параболы у2 = Ах — 8.
1773. Угол между лучами х*=у и хя»•— у, лг>0. 1773(а). Область определе-
определения ограничена правой ветвью параболы у = х2 я полуосью х>0. 1774. а) I
и III квадранты; б) I квадрант. 1775. Вся плоскость, кроме точек окружности
х2 + у2 ¦» 2.1775 (а). Область пространства, где х > 0, у > 0, z > 0. 1776* Сфери-
Сферический слой между сфе|Ш№ радиусов г и R, включая сферу большего радиуса.
1777. Например, г«= Vx — y* + Vy — х\ 1778, Например, z=*- \—- +
тг *"*¦" X тщт' tj
1 с
1779. Гиперболы # «= —. 1780. Шружяости х2 + у2 = с2.
1781. Прямые х + и*=*с. 1782. Параболы у = сх2. 1783. Лучи у^сх.
1784, Кривые у^—^ + Ь 178S* Плоскости. 1786. Параболоиды вращения.
1792. 0. 1793. — i и L 179& 2. 1796, ^. 1797. 1. 1798. 1. 1804. Да.
1806, Если x«srcos<p, # = rsiHq>, то имеем: lim z^ lim г, когда ctg<p0
есть 1№лое чиою. 1807. z яа2бо«аьшее«»»К2; г наименьшее =— L 1808. г
наибольшее «5; г наименьшее «¦—1. 1809. Во всякой области
плоскости, № содержащей окружности начала координат. 1810. z наи-
наибольшее ***V*i, z наименьшее *=<Х 1811, -^j« I, ^r*»^ 1SI2. ,г^

1828.
б)
1848.
1851.
1852.
1829.
- f sta * 1830. J?
-1. 1832.
О
ЗК4 К*
. КИТ.
а+~гХ+![Ху- 1849' ~sin <«») (У **+* <%)• 1в». 4 to gdx + лгу
8 г г 2) < + C + ' 2 2 г) d
*
~ У2 ~ 2ху -
г) dy
1854.
У*г+У2 yj
- e") d<f. 1855. - l±. 1856. j A0* + 11*). 1857.
-
1858. 2л; i +
— — — t
2yj. 1859. 2yt+2x}. I860, arclg у « 8"9'. 1861.
1864.
7. 1865.
4
2 cos2 (x* + У2) + 4л;г sin 2
Л
( + y) $ + y)
1872. 4 - 2y By - I) x*>-*; z*t - 4Ж2* In8 jc; г*в - г"т = гх^-Ч^ + % in x).
1873. г^» == «¦* (cosy + * sm у + 2 sin jr)r г"ух = — е* (x sin g + <х&дУ,
1874. и
; ш^-х2*2**»2; t^^xVe**2; «^ - «^ -гв*»2 <жуг + 0;
I);¦& = w^-xex«z (xyz+1). 1875. ¦&
43«
/^ B, 0, 1) = 0.
1876. Zxy*
\ 1877. ;
= ех. 1883.
1893. 2e2tBe2t + sm2t) + e2tsm2L
1894. 0.

1898. ~- «= 3nJ cos v sin v • (cos v — sin if); --^- =» «3 [cos3 и + sin3 v —
— 2 cos i> sin v«(cos i> + sin v)]. 1B99. 4 e 2 ln (* —
(\ + x) (*' - y*) - 2xy
X
cos —
1901.
f "x ~u
2y 1/ sin — arc tg ~
X
JCCOS —
/ г.
у sin^ arc tg-J 2 (xs + y*) arc tg
2 + У2) arc tg ?- f
sin~
arc tg ~
у Sin (cos-Hjiln-^-5 а.;
+ (* + У + z)> - ± sin (cos ij?) sin ii.
5Л 2o (P + y) (a2 + P* + у2 + aP+Pv+av)
da (e-P)ln(ap + vP + aY)~ (op + pY + aVJin2(op + pY + ay)
JWO*
,ono
. lvw.
(арГм^+РУ + у)
X «• d« + 2 [(и2 + v2 - 1) e»J+oS - («2 + t.2 - 1) • ettJ-°J] t» da 1907.
*'1) • (dt + du- dv). 1908. [Et* + 3<2) arc t
cog
2a/t2-4oc I Vt + lJ
jc cos у + sin x + cos y) 6 d6 + 2 (y cos jc + sin у — sin дс — x cos #) ф rfq)
1
+ 2 (sin ж + x cos
1912.
-1
t(*j, + y) dx + (xy - x) dy\.
- Sin2(g
dB+si
sinHB+C)
dC+
sin (B + C)
V(x2 - ж,J + (уг - у,J xy VxY -
2 2
VB
+ ) (У* + У + )
X (dx + dy- dz) + (x2
232
У +
г2) (x3
z*)(x
23)
+
J» + ) (» + }) X
z)(x +y-z) (dx-

- dy + dz) + (x* + y> + z*) (x> + y> + z8) (x - у + z) (x + у - z) (dx +
+ dz)-3(x + y + z)(x-y + z)(x-hy-z)(xi + y* + z2) (x* dx + y*9 +
+ z* dz) - 2 (x + у + z) (x - у + г) (х+у - z) (*3 + y3+z3) (x dx+y dy+я dz)\.
[( ) ( )\
1924. J/7 — -s ,
* 2xy — cos i/ '
** (e* - y2) Uy Bxy - cos y) + (ex - y2) Bjt + sin y)]
У Ov» __ глс «i Bл(/ — cos у)ъ
"' ' me.,;,««-'+»'.
1928.
у cos (xy) ~ г sin (лг) / _^ x cos (лгу) + z sec2 (yz)
ysec2{yz) — x sin (xzY
1Q«n - j8 - уг (x + z) #
i*w. гх— г2 (д. + г) ln (jt + г) + 2а+ д.у (X + г) '
**(* + *> . x . 1931.
z' {x -j- z) m\x -\- z) -\- z* -\- xy (x -г z)
1932.
+ 4*, ?fjr dy + B + 4j/2) <ty2]. 1935. ^f-js I* ^ +(x-y)dxdy-y
1936. 2 sin 2y dx dy +-2x cos 2y dy2. 1937. 2djt dy + 2dxdz + 2dy dz.
1938- "" (л + у 4. 2J ' <<**2 + ^2 + dz2 + 2dxdy + 2dydz + 2 dx dz).
1939. 0. 1940. dnu = **+i/ (Jjt + dyf « ^+y (rfx'1 + n dxn~x dy + ...+ dy11).
1941. <P~T [C + p) dp3 - 3 B + p) dp2 dr + 3 (p + 1) dp dr2 ~ p dr3].
1942. — (zl\\z К*2 + г2 - 22 + 1) dx2 + 2xy dx dy + (y2+z2 - 2z + 1) dy2].
. [2 (y + z) dx2 + Az dx dy + 2 (z + x) dy2).
1
1947. Дг = e^ (ybx + x by) + j ехУ [у2 Д*2 + 2 <1 + xy) ?iX Ay + x2 Ay2] + R2
1948. Az=cos x cos у Ax—sin x sin у Ay— -^ (sin * cos у Ax2+2 cos x sin # Д* Ay+>
+ s\nxcosyAy2) + R2. 1949. Д^- x2 j, y> (y Ax - x Ay) +
X [—2jcy Д*2 + 2 (jc2 - y2) Ax Ay + 2xy Ay2) + /?2.
233

1*50.
1951.
1953. * т~ л i sf i ^ i **y i у i • • • ••"• ~ r «f л *»~
1955. a) 2=^0; 6) 2 = Jt + 2ff — 2. Нормали: а) ось Oz\ 6) rel——-
— 1—2
11?.
I
1959. 2x + y+ 112 = 25;
~.
-лг-2г±ту т-0. 1904. x + y-
_
1 ± 21/ -j . 1965. у = ± x. 1966. Параметрические уравнения огибающей
1971. jc2 + 2|/2 = 2a2. 1972. ^ ш ^ — i. 1973. Нет экстремума. 1974. Минимум
& точке (—% 0>. 197** Минимум в точке @; Щ. 197$. Нет. 1977» Максимум
в тоад«е t-^, -^U ^78. Минимум в точке (—-, —L 1§7§. Максимум
в точке (—1, —1). 1980. Минимум в точке (a, b). 19.81. Минимум в точке
("""§*' ~~1ЙГ 1§82# НеТ ^стРе**Ума- 198^' Минимум в точке (б, 0);
максимум в точке (—6, 0). 1984. Минимум в точке B, 4). 1985. Максимум
в точке (-у "« 1 0/. 1986* Нет экстремума. 1987. Нет экстремума.
1988» Минимум в точке (—2,0); максимум в точке |—, 0Ь 1980. 2 наиболь-
наибольшее» 6t 2 наименьшее = —1. 1990. z наибольшее = -^ Y$; 2 наимень-
наименьшее =»й 199»!. и наибольшее *= 1; и наименьшее = —L 1992. Нет ни наи-
наибольшего, ни наименьшего значений. 1993. z наибольшее = arc tg 7;
2 наименьшее = arc tgf С—б). 1994. z ?акбольшее *** 9 + 4 V?; z наимень-
наименьшее =— 11. 1996. Максимум равен V%> минимум равен —V^2. 1997. Ми-
шшум равен у, 1998. Максимум е 4 , 2000* (-~Л (максимум).
. Максимум lfc минимум — I. 2002. Экстремум при ж=»-~
2003. Экстремум пра *e-ifXj **+« m*+« . y = f—J^ mp+f.
605 4 - /IT
2004. --ГТ- (минимум). 2005. Экстремум нра х = ^ =2У"д$ г = 1/ •^•.
294

2006. Максимум равен 16. 2007. Равносторонний. 2008. г «|/ ~
8. г «|/
2009. Равнобедренный. 2010. ^-—-, % -Ш
2012.
где ^ — сторона вырезаемого уголка. 2013. Вершинами являются середавы
dVW
сторон данного квадрата. 2014. Все измерения равны —g—„ 2015. Основа-
Основание равно —-щ. 2016. Все измерения равны ~. 2017. ^r-"l/ -jr-. 20J8.4н*
s=2/? = 2l/ -?-• . 2019. Сомножители должны быть равны. 2020. Круг.
2021. Стороны искомого квадрата перпендикулярны диагоналям данного,
2022. Равносторонний. 2023. Периметр наибольший, когда треугольник равно»
бедренный. Наименьшего значения периметра нет. 2024. ^_ . 2025.
2026. I . 2034. Изоклины — параболы у« 2х2 + С. 2035. Изоклины —
о
гиперболы х2—#2 = С. 2036. Изоклины — прямые 2# + 8* = С. 2037. y = x§f.
2038, 0«x/ + s,'2. 2039- ^«0. 20«. у*=2у'х. 2М1. ^« Ц. 2042. /=*
_ 1. tO47, {1 + У2) A + х2) « С^2. 2048. tgx • tgy « С. 2049. е* - 1 « Се".
«с.
2053. х**~2 + 2у2. 2054. у**1. 2055, у -» (ж + IJ. 2056. In (|- * + 4W
2057. у=**Сеа. 2058. у2*=2рх. 2059. ± у » К4 — х2 +
——г- -- - ^ 5. 2^1. |^«Cjtn. 2062. а) 17,7 мин; б) 18,5 мш.
2 + V4 — х2
2063. 24,4 мин. 2064. 3,9кг. 2065. В разрезе должны иметь кривую/ Щ
2066- 1500 м*. 2067. *° «4*» Q== 864 000 кал. 2068. Cx**=y + Vx2 + у2 .
о
ye r * «С
2072. Сж«е х. 2073. In Cjc = — е ж. 2074. -2-~*еСх. 2075.^
In J — jc f. 2076. у**=у2-х2. 2077. ln(x —-|1=

-^У 2079.
W8.
2080. (x - у - 3)s + 10* = С 2081. y + 2=Ce
c. 2084. у = С*. 2085.
-
У. 2086. T/ 1 + 4
Cx + i. 2087, x2 + #2 = С, окружности. 2088. ^ = (x + C) e^.
2089.
— a CL
. 2090.
«^1
2092. у = Cxecx— ~x- ?^1. 2093. у =* 1 + Се 3 . 2094.
с с
— е-*1п(ж-1). 2095. у
2097. *-!fr-*«-2+C.
8099. у = 3 + —. 2100. ^
4
х ^ . 2096. у= С (ах - 1)
2098. у = Се^
2101. у =
«102. # =
2104. у = 1 :
2103. у«
1 .
z х-\
2
Vcex* + jc*+\
/ :—-L 2105. у = —i .
О
2106. уЦ
2И2- >"
. 2107.
1. 2111. j, = -|-+l.
2115. 3,68 кг при t =Ъъ\ мин.
2116.
2117,
уе
2118. ^ —-^-
4
2119.
2 4
ху=*С.
2120. у sin * + х2у2 + a cos у = С. 2121. /а2 + у2 {х + у) = С. 2122. *3# -
— —- + у3л: - -^ — С. 2123. * sin (х + #) =• С. 2124, 3#2*.+ Jt2 + Jt2y + Зу = С,
2125. *V + 7а: — С 2126. х sin у » С. 2127, хеУ + уех = С. 2128. ^f-—
— х*у-^х* = С. 2129. xtgy- *3 = С. 2130. 2л;+1пу = Су.
236

2181. x - -^-«- С. 2132. -j. - _= С- 2133. -| x'y2 + 2x*y + ± x* = O.
У5 5
•5)+-r-T!'
2134.
. 2135.
должное
висеть только от ху. 2136. xy— hi ж—3 Jn ^ = С 2137. In a: + — -4 i~= =? С
jcy 2x2t/2
3
= C. 2139. у — л+ \ = cVxy. 2140. # = arctg —
У
2141. 4-*V — 4-^6 + 4^в==с- 2I42- y~neil~n)J pdx . 2143. ц:
2138. jc?/ —
л Mr {z)-Nf (г)
:e)iF^MWdz9 где
x + у.
2145.
2144. x
6A —jrJ — 10A — jr)*p
2148. ln(# + >V— 1) = С±л:, а также y=drl. 2149. у» р ^?
1
| .+±ыЦ+?1±+с.
J y
3. 2152.
T+7
+ ь VTTf; у - ^ + -| »рУГ+7 + -|- ft in (p + VT+-?) + с 2153. x
— arctgp + C. 2151. дс = 2p + 3p2 + C;
-|
-ftp8+C. 2154.
In (p + VT+~P*) + С 2155. x — p sin p; у — p* sin p + p cos p — sin p + С
2156. у = pV; * = e" + ре" + С 2157. С = /а'-^Ч-а In а~^а" ~ у* +х.
2158.
0. 2160.
2161. y*=Cx — С2; у = —. 2162. у = Cjt + arc sin С; особое решение:
\-р2
бое решение: х = — -
2167.
= 1.2170., = ^^ +
--fare sin p. 2163. у=Сж+С—С2; особое реше-
у = Сх + VT+T2 ;осо-
;осо:. 2166.
С ;
¦•— ' Q ' . 2168. (у-л-^
о
Ср . д
*. 2169. у —
2Э7

Ill
2171. л:3 + y$ = a3. 2172. Общее решение (х — С)* + у*«¦ a*; особое
1 T
у =s db a. 2173. Общее решение у «в Се* + -?-; особое у *** ± 2е ; при реше-
решении использовать тот же метод, что и для уравнения Лагранжа. 2174. Общее
решение х2 = 2С (у — 2С); особое у *» ± 2*. 2175, Общее решение
1 4
у=х — С ~-; особого решения нет. 2176. у зз 0 и # = Tv7-~.
# — С 27 я
2177. # = -^-*3 и ^^0. 2178. у2 + ^ = С.
2180. С*4 = T/lHJ!!'""? / A~V\ 2181. #2 + 2х2 = С (у2 + х2J.
Y4-yz + 2
2182. #2 = 2С [~ - xV 2183. х2 + У2 = 8 In у + С. 2184. В полярных коорди-
координатах р = Се~% k == ig a. 2185. х2 + у* = С (у — х). 2186. у2 + 2^ — хг = ^.
2187, ^ = 1пл:~дс + С. 2188. у** j? + Ctxz + C2x + С3. 2189. у «—
— 2 cos х + Cja: + С2. 2190. у = In sin x + С^2 + С^х + С3. 2191. j^ =* Ctx —
-(x + C2)ln (x + C2) + C3. 2192. у= * In |Ctx+C2
2Cj r Ci
2Ci r Ci
с
,.
у***— ~ - + Ci- 21d4- i/^C, lnx + C2. 2195.
¦' "* *****/^e2^ dlv Sill ' "^-> *'¦'' • *• lvvi Л I V/ $ ' IJ "p ^J?"* Ill
Vb Ci ' Ct
2197. ^=*C1xT + C2. 2198. y«-C^+Cl)?. 2199. y^ C*X +C*
3x — x2
2200. у (C2 + x) «¦ C! + x; ^/» C. 2201. ^ «» C2xe *.
2 ! 2
2202. {/ = -A- (CiX — 1) 2 + Ct. 2203. x = -4y — 4. 2204. у =
2205. ^ = ^- + x + 2. 2206.
2207, у = d^ + de-x. 2208. г/ =» de2J: + C2e3X. 2209. у == (С, + C2x) e2X.
22Ш. у «= Ci cos x + C2 sin x. 2211. у m» (Ct + C2x) e*. 2212. ^ == C^^ +
x_
+ C2e2X + C3e*x. 2213. у — (Ct + C2x + C3x2) ^. 2214. «/ » C,ea +
+ e ^(c2cos^~x + C3sin^x]. 2215. y=* Cte2X + e~x(V
+ C8 sin x ^1). 2216, у = C^2A* + C2e~2X 4-_C3 cos 2x + C4 sin 2x. 2217. у =
= e* V* (d cos jcfHC2 sin x У"!) + e-x /2 (C3 cos x / + C4 sin x VH).
2218. у = ex (Ci + C2x + C3x2 + C4x3). 2219. у = Ct + C2x + *-' (C8 + C4x).
2220. у *= Сг + dx + C3*2 + C4x3 + e~* (C6 + C%x
236

2221. y*~e 2 (С, + C2x) cos -i-^ + * 2 (C3 + C4*) sin-^~i. 2222.
1 x + ~. 2223. у « d** + C
TX*+lS' 2224' * " C|*~I* + С2ХеХ + i e^ 2225' y =
2227. у — (d + С2л) sin ж + (Сэ + C4x) cos jc - -g- x2 sin x. 2228. if«C, cos 2x+
+ С2 sin 2x - 2x cos 2x. 2229. у =* C^ + C2e-3Jr + 4" ^ - "I * 22^- У e
« С, sinx + C2cosx + j e~x + 2. 2231. y = Clex + C2eiX + C3e~2Jr + jX2 +
+ ^-x + lL9 2232. ^^^^(Cjsmjif + CaCOs^ + e-^^ — -i cos x cos 2jc +
+ i- sin jc cos 2x}. 2233. x « С,*-* + Л ^Сг sin —^ + C8 cos i^3j + л4Л
2234, ^ « e~x {C\ + C2x) + e~* Dx sin x — x2 cos * + 6 cos *).
2235, ^«C,cosxy2+C2sinxVl + ix + l.
5
2236. у «в Ci + C2* 2 + ioX + <164Sin 2X"" 41 COs2*' 2237. ^ = C, sin x
24 24
4- C*cos* + ^sine* + 24cos2x — 16 cos4 x + -r-cos6 x. 2238,
+ С4е-г + -|*едг--5-^1п(Ц-гг)-^4.1е-лг1п(Ц-^). 2239. у
= С,** + Cje-* + ~xe*+j+-~e'\n(ex + 2)-~e-Jcln (<r4-2). 2840.
1 • i 1—COS* „,. , X3 , X*
sinxln +ox. 2241. y. 1 +
2242. „-^д.-
2244. »=» + * +
22«. f-, + jl+*f+ ... 2247.
fc«** 2250.
m
c7
К i
. 2252.

T- « T 1 Д
2 — -^ Ci? . 2254. 2 2255. у. 2256. i,
22в1. 0. 2262. 1. 2263. 9^38~16 - In 2 + Ц In (9 - 4 V% 2264. ^.
2265. j. 2266. -™. 2267, ^g. 2268. 0. 2269. ^. 2270. 9-g-. 2271.-| tf».
2272. 4- 2273« -тгЯ». 2274. -^--4 In 4. 2275. 2-V~2. 2276. -k
О О ?> О
2277. 4 in 2 - 2. 2278. (g ~ !)* . 2279. 2 in 2 - 1. 2280. -i. 2281. 5 arc sin i—
« о 5
— 31n3. 2282. у a2. 2283. ^|-. 2284. -|"(я""т)- 2285- 2я- 2286# *n(er*—i).
2287, a2. 2288, -| «2^ 2289, ^5. 2291. Якобиан / равен и - и. 2292,
4 о
2. 2293. J = euvuv~l (« in « - 1). 2294. /«1 + -L,
2295. ^- (e* - I). 2296. ^ . 2297. (a2 - *2) in -J. 2298. -i (a - 6) (m - n).
1 1
, ^ (.-«lai. 2300. ^. 2301. ^1. 2302. 280д. 2303.
30 |Я1^+1^_П. 2305.
2306. Я [la (l+V~I) + Kl]. 2307. -f|. 2308. 16Лг. 230». 1. 2310. л
2311. 0. 2312. ^ + -^1 + ^-. 2313. -I-. 2314. п. 2315. l.n{|.
2316. 0. 2317. 1 In 2--^-. 2318. 1. 2319. 0. 2320. ^R6. 2321. 2|l
XB-V~2). 2322. -ff. 2323.78-1. 2324. i. 2325.-^
2326. 1& 2327. Jg.. 2328. «-. 2329. J^_*L(e._
2330. f. 2331. ^. 2332. «^. 2333.^. 2334. Цв» 2335.^ я. 2336. ??.
2337. 2^!*f. 2338. 2^?!. 2339. ^?. 2340. а) Расходится; б) сходите!
2341. Сходится при а<Ь 2342. * = 0, Р = |~- 2243- ^ = °» Ув^-
240

JL-6la!-). 2348. *=»0, 9
0, 2 = i-.
284».
5 = -^-. 2350. *=0. 0 = 0.
2352. je = 0. y
2354. ?j-. 2355.
2361. je = ii.,y = ii,z = |L
2353. *-
1,
I, f—1, *_±.
. 2356. ^ 64 siti3 <p cos ф + у Ь% sia3 ф (о - Ь cos ф) +
2357. ^-. 2358.
2359.
2364.
2360. *
2361.^. 2362.
2363.
2368.
15
2kn
2365.
Я*2*(У+2)
2366. In. 2367. ***!
5 6
3
a a
2 
(R* - r%
2369.
2370.
jdx J dy J
a — 6
2372.
Цс2 + у2+(г~а-6J|^
237I.
(fh2 + R2-h). 2373. — ~ я/?3 • -~, если а>/?; — ~яа, если
о О, О
a<,R, a — расстояние массы до центра сферы. 2374. 2яА( г \.
\h VR2 + h2 )
2375. 2я 2376. -j--in4. 2377. -я. 2378. 2. 2379. 2. 2380. а) -Ь б) -—-;
в) ^_.; Г) —3,5. 2381. ~ (во всех случаях). 2382. 8. 2383. 0. 2384. ^1
15 ^ I
2385. 0. 2386. 2i2 +-|A-/§")+In
2387.
2388.
2389. --|. 2390. 24. 2391. l
2394. nab. 2395. 6я/Л 2396.
. 2392. ^-. 2393. 1A7^17-
. 2397. -|. 2398. -1. 2399. -| я. 2400. 1.
2401. г = х3у— tfx + C. 2402.
2404. 2 == хе*У + С. 2405.
+
x у
^- + С.
2407. --J-m. 2408. ~-(г2д-г|). 2409.
2412. ^ (коэффициент пропорциональности). 2436. а)
ПС 2437 С (X UГ) 2440 ( 1] (J [1
. 2403. z =
2406.
2411.
г = С - cos (at
** A26-10VT).
; б)
41
(фф ррц) ) ии; ) fl(U);
в)ЛПВПС. 2437. С (X UГ). 2440. (~ со, -.1] (J [1, + со). 2441. (- оо, 0] U
U [2, + °°]- 2442. Пересечение множеств решений. 2443. Объединение мно-
множеств. 2444. 20; 30. 2445. 18. 2452. а) и г)—функции. 2484. Указание.
Использовать предложение о мощности всех точек плоскости, или, что то же,
соотношение с с = с. 2485. Использовать соотношение с* с с • • • = с.
2486. 16. 2487. 2. 2489. 8; 6. 2491. пт. 2492. Л'= [0, 1] = А 2493. А' =
-[1, 2]-=лТ2494. Л'^{0},Л"={0, 1, ±, у, ..., 1, ...J. 2495, А' = {0,0},
941

Л = A U {О, 1}. 250L Не всегда. 2514. Например, пространство задачи 2612.
2523. Указание. Рассмотреть множество Р, составленное следующим
образом: х е Л если * есть граничная точка множества А или если ж есть
рациональная точка внутренности А Далее рассмотреть функцию / <ж) ===== 1.
если х е Р* и f (х) = 0, если х& Р. Эта функция является искомой. 2524. Ука-
8 а н и е. Пусть / (F) — множество внутренних точек множества F1 (F) и CF
открыты, поэтому /<F) « U (**• **). CFm*Vm(dn* '*> ПУСТЬ {'»<*>} - со"
вокупность всех рациональных точек интервала FЛ, с^), а {/? (w)} — какая-
нибудь последовательность точек интервала (dm, tm)t для которой предель-
предельными точками являются только dm и /т. Объединив множества последова-
последовательностей {/^(fc)} и {г" (/#)} в одну последовательность, получим искомое.
2545. Указание. Использовать тот же процесс, с помощью которого
строится пример неизмеримого подмножества сегмента. 2569. Да. 2570. с (Ь—а).
2571. -j. 2572. 0. 2573. 0. 2574. тЕ. 2585. атЕ + р (Ь — а — т?).
2588. -тг (Ь — а — т?). 2590. т?. 2595. Например, qn(x) = \, если ж«=гь
га,..*»''!** й ?Л(*)«=0 в остальных точках сегмента [а, Ъ]. Здесь
{гп} — множество всех рациональных чисел сегмента [а, Ь). 2598. Нет.
2600. Да. 2603. + оо. 2604. 2. 2605. -|-. 2606. Нет. 2607. Да. 2615. Да.
2638. 1. 2639. Нет. 2640. b — а. 2651. Нет. 2652. Линейный и непрерывный.
2655. # = sinx. 2656. (у - 2J + *2 *= 5. 2657. #»*-~^ + С2. 2658. у =
« sh (djc + C2). 2659. у « C,Jt4 + С2. 2660. |/ - С, « 4" ^7>C2)'' 2661. у «
4 Cj
— d ch^±-^. 2662. у == 7 - j. 2663. |/« х8. 2664. 1) fl [cos |-| + 2kn}j +
+ /sin (i + 2fai]]; 2) /J [cos (- ^ + 2^я) + / sin (~ | + 2kn];
3) 3(cos2ibt + isin2bc}; 4) 2 fcos {л + 2&л) +1 sin (я +
6) 6 [cos (^ + 2*я) + < sin (j + 2fai)]; 6) 3 [cos [- ^ +
+ /sin (- ~ + 2/j^J; 7} K2 [cos («|«+ 2
8) 2[cos(~-|n + 2ife^ + /sin(--|^ + 2^)]; 9)
10) 2 УТ [cos (^ + 2^я) + / sin
11) cos (- -| + 2*/i) + * sirt (- f + 2*я); 12) cos (~
13) cos(--J-+ 2^я) + *sin(- ~ + 2knj;
14) 2>^[cos(-|-n+2^ + *sm^|^n+2to^ 2665. 1) cos
+ i sin (j + kn} (k «x 0, 1); 2) cos [~ + -| to) + / sin (j + -| *я j (ft=^0; 1; 2);
3) cos(j + jkn} + is\n(j + jkn} (k=*Q; 1; 2); 4) cos~L + /Sini*
242

(к «0; I; 2: »); ») 2 [сое (- -J + "Т") +' sl° (~ f + "Г")] (* "" °> 1- * 3>>
6) VT[cos(|-+ *я) + /sin(|- + *я)] (*~0; 1); 7) К1г[«я(—|
+ /sln(—^я + ftn)] (fc-0; I); 8) У§" [cos (--^ я +-|
+ /sta(—&я+т **)] <fe-°;l;2); 9> >/r§"[cos(-^- + |
+ i sin (— -i- + -| ftnjj (* — 0; 1; 2; 3; 4). 2687. Пусть z, = x, + iy,
И *2 -" *2 + /у», ТОГДа Zj •=¦ Zj — 1>2, 2i • 22 = (X,X2 + у ty2) +
I «i 11 h I ¦" 1411 z« I "> следовательно, | z( + z21 = ^(«j + ХгJ + (^i + y2)
~\ Z\ I + I ^2 !• 2669. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна
сумме квадратов всех его сторон. 2670» Можно считать, что дрямая, о кото-
которой идет речь, есть мнимая ось и что все рассматриваемые точки находятся
справа от нее (в противном случае следует умножить все числа гЛ на неко-
некоторое число вида cos a + i sin а). Тогда Re zk > 0 (k =*= 1; 2; ...; п\ следова-
п
тельно, Пе(г{ + г2+ ... + zk) = Re*j + Re*2+ ... +Re*rt>0, 2 *k*0-
fei
267Ь Ведя доказательство методом рассуждения от противного, допустим,
что найдется прямая L, проходящая через начало координат и не разделяю-
разделяющая точек гк (&« 1; 2; ...; м), причем не все эти точки лежат на L. При
надлежащем выборе действительного числа q> можно добиться того, что все
точки wk == Wzk (k =w 1; 2; ..., n), где а; = cos ф + / sin ф, будут лежать в пра-
правой полуплоскости, т. е. Re mk >0 (^г = 1; 2;...; п). В силу условия задачи
следовательно, Ret^^ = O (k= 1; 2; ...; /i), т. е. все точки w^ лежат на мни-
мнимой оси, а все точки гк лежат на одной прямой Lt что противоречит условию
п
задачи. 2672. Допустим, что точка г*= 2 аЛ не принадлежит множеству /С.
Через эту точку проведем прямую L, не имеющую с множеством К общих
точек* Произведем параллельный перенос осей координат так, чтобы начало
новой системы координат поместилось в точку г*. Если Аь — точка в пло-
плоскости (г) с аффиксом zk% то эта точка в новой системе координат будет
иметь аффикс wk *» zk -— z*. Так как все точки Ak лежат по одну сторону
от прямой L, проходящей через начало новой системы координат, то и
точки Bk с аффиксами ак&к будут лежать по ту же сторону от э**ой пря-
прямой U По предыдущей задаче этого не может быть, так как
243

2673. Обозначив S{*] = 1 + cos p + cos 2p + ... + cos n$, 8® -» sin p +
+ sin 2p + ... + sin /ip, z » cos P + i sin p> получим:
[1 - cos (ft +1) P - i sin (я + OP} [A - cosp) + i sin p]
-{1 - cos (n + 1) PI A - cos P) + sirt (ft + 1) p.
2A-cos P) ^
/ [A - cos (n + 1) P) sin p - sin (n + 1) p A — cos P)}
2A — cosp)
6 p
sinT sin2
Отсюда следует справедливость указанных в задаче равенств. 2674. Обо-
вначив S1
лучим:
1 " rk cos fcq), S^2) = \] rfe sin Лф, 2 = г (cos ф + / sin ф), по-
Откуда
d /1 , g-^'
|<е^2 "*" 1 — 2 /
2A — ггс
2675. Окружность с центром в точке z0 радиуса /?. 2676. Окружность с цен-
центром в точке 1 + / радиуса 2. 2677. Окружность с центром в точке —1 + 2/
радиуса 3. 2678. Окружность с центром в точке — 1 + i радиуса 1. 2679. Пря-
Прямая у = х — 2. 2680. Биссектриса первого координатного угла. 2681. Эллипс
о
с фокусами в точках 2 = ±1 и большой полуосью, равной -g-. 2682. Правая
ветвь гиперболы с фокусами в точках z = ± 2 и действительной полуосью,
3 1 1
равной y* 2683> Окружность с центром в точке z = -j радиуса ~.
2684. Мнимая ось. 2685. Внутренность круга с центром в точке г0 радиуса /?.
2686. Внутренность круга с центром в точке z = 1 — / радиуса 2. 2687. Вну-
Внутренность круга с центром в точке 2 = — 1 + / радиуса 3. 2688. Внешность
круга с центром в точке z0 радиуса R. 2689. Полуплоскость, расположен-
расположенная справа от прямой * = 2. 2690. Прямая # = —1 и полуплоскость, распо-
расположенная снизу от этой прямой. 2691. Полоса, расположенная между пря-
прямыми х = 0 и х = 2. 2692. Прямые # = 0и*/ = Зивсе точки, лежащие
между ними. 2693. Парабола у2 = 1 — 2х и ее внутренность. 2694. Внутрен-
Внутренность угла, ограниченного лучами, выходящими из начала координат и обра-
образующими с положительным направлением действительной оси углы, равные 0
и — радиана. 2695. Угол, образованный положительной частью действитель-
действительной оси и лучом, выходящим из начала координат и образующим с поло-
положительным направлением действительной оси угол, равный — радиана,
244

а также точки, лежащие на сторонах этого угла. 2696. Внутренность угла
с вершиной в точке г0 и сторонами, ббразующими с положительным "напра-
"направлением действительной оси углы, равные соответственно а и Р (этот угол
не содержит луча, выходящего из точки z0 и образующего с положитель-
положительным направлением действительной оси угол, равный я радианам).
2697. 1 + /.-1. 2698. 2+1. 2699. -~- + /. 2700. Vl-ifrl. 2701*. Зада-
Зададимся числом е>0. Для числа е/2>0 существует номер N (г) такой, что
|гЛ_с|<! ДЛя n<N. Имеем: | *i+**+^.. + zn
I1*1 e e e
< -^ +-o"<-o- + "o"s==e Для п> Ni > N. Следовательно,
п z z л
lim -Zl Z% ' * * "«с. Обратное утверждение неверно. Например,
для расходящейся последовательности zn = [1 + (— l)rt] имеем:
lim Zl+Z2+ -" + ^ — I. 2702. Нет. Да. ±1. 2703 и 2704. Нет. 2705. Нет.
п
Да. ± I и ± /. 2706. Нет. Нет. L 2707. Условно сходится. 2708. Сходится
абсолютно. 2709. Сходится абсолютно. 2710. Расходится. 2712. Не ограничи-
ограничивая общности, можем считать, что—^-< а<Р<-^- (в противном случае все
члены zn следует умножить на некоторое число вида cos а + / *т а) Тогда
оо
Re ??=*?>0, поэтому ряд 2 *fc сходится абсолютно. Далее, [ yk | =
оо
= | Im zk |<*? max{|tga|; |tgP|}, поэтому сходится и ряд ^\yk\ 2713. Нет.
k— 1
2714. Нет. 2715. Нет. 2716. Да. 2717. Во всех точках неположительной части
действительной оси. 2718. Непрерывна во всей комплексной плоскости.
2719. Непрерывна во всей комплексной плоскости, за исключением точек
прямой у = ху в которых функция разрывна. 2720, Непрерывна во всей ком-
комплексной плоскости, за исключением точек z = ± /, в которых функция раз-
разрывна. 2721. Непрерывна во всей комплексной плоскости. 2722. Непрерывна
во всей комплексной плоскости, за исключением точек неположительной
части действительной оси, в которых функция разрывна. 2723. а) Нет; б) да;
в) нет. 2728. Положим, 1 + -~ «= A + ~\ + i ^ — rn (cos <prt + i sin фл), где
Гп=у A+х) +(rt/ ' C0S(P«==!!—j-^-> sincPrt===^* Легко видеть»
что при п -> оо га -> 1, cos ф„ -> 1, sin <р„ -> 0. Так как I Н >• (« -> оо), то
245

Фя -> 0 (п -> <х>). Поэтому для п > N имеем: —^ < % < -g-. Следовательно,
у ( z\n
фя se arcsin -2— (я >#). Заметив, что f 1 Н 1 «= rJJ (cos яфп + i sin жрп), бу-
будем искать пределы последовательностей r*cos/tfrt и r*sinmprt. Так как
>ех (п-+ оо), жрд « п arcsin ~^~ ~>у(п~> оо), то при
д-»оо имеем: r% cosrt фп -> е* cos r/, r^ sin жр^ -> ^ sin t/ и, следовательно,
() . 2729. /? = 1, |г|<1. 2730. i?«=3, 1г
2731. Я — а 2732. Я«1, |г_(-1)|<1. 2733. /?«=!, |*|<1. 2734. Я«4-»
о
|*-(l-i)|<-j. 2735. i?«lf |г|<1. 2736. /?«±, |2 - (-1 +2i) |<
2737. а) Я; б) R. 2738. a) i?; б) 3/?; в) 0. 2743. *я(* = 0; ±1; ±2, ...)•
2744. Z- + kn(k**0; ± 1; ± %...). 2745. 1) sinjrch^; 2) cos*shr,
3) cosjcch|/; 4) — sinxshy; 5) cos^shjc; 6) sluychx; 7) chjrcosr,
8) - sh x sin y. 2746. 1) sin | ch |; 2) cos | ch }; 3) sh 2; 4) ch 2. 2747. 1) exp (in);
i* (I) f () (^)
2) «pi* ; 3) exp (--I); 4) ГГехр-fl; 5) K2exp(^f); 6)
7) 2exp(--j-)s 8) 2eip(-i|S.). 2748. 1) (я + 2Ая)/; 2) 1 + (n + 2kn) i;
3) (-у + 2*я)й4J + (-? + 2*я)/; 5) -i !n2 + (-^ + 2^я) i; 6) 1 Iir2 +
8) е~2Ля (cos In 2 + / sin In 2); 9) ё~2кп (cos 1 + i sin 1); 10) Ъе 4 X
X [cos^~ In 5 - arctg -|j + / sin [— In 5 - arctg-|j j. 2751. Нет,
2753. 1) z~x + ifm(k*=0; ± 1; ± 2; •«.)> f. *. все точки, лежащие на пря-
прямых y~kn(k*=*0; ± I] ±2;...), параллельных действительной оси;
2) z*=Bk+ I)~2- + iy(k*=0; ±1; ±2; ,*.) и z = x, т. е. все точки, лежа-
лежащие на прямых # = B&+ 1) -трй^О; ^ ^ * ^» •••)» параллельных мнимой
оси, а также точки, лежащие на действительной оси. 3) z = кп + /у (А;« 0;
± 1; ±2; ,..) и 2«sjc, т. е. все точки, лежащие на прямых *==&гг(/г==О;
± 1; ±2; ...), параллельных мнимой оси, а также точки, лежащие на дей-
действительной оси. 2754. 1) z = x + iBk+ 1)-^~(&«0; ± I; ±2; ...), т. е.
все точки, лежащие на прямкх # = B&+ l)-^-(^=sO; ±1; ±2; ...), парал-
параллельных действительной оси; 2) 2 = ?я+ t#(fc«=0; ± 1; ±2; ...)» т. е. все
точки, лежащие на прямых jt = &rtF = 0; ± 1; ±2; ...), параллельных мни-

мой оси; 3) z « Bk + 1) -у + iy (k = 0; ± 1; ± 2; ...), т. е. все точки, лежа-
лежащие на прямых x=*Bk + l)-~-(fc=*0; ± 1; ± 2; ...), параллельных мнимой
осн. 2755. г =** cos ф + / sin ф, т. е. все точки» лежащие на окружности с цен-
центром в начале координат и радиуса 1. 2756. ад' = 2z. 2757. w' = 2z + 2.
2758. ay' =* — 2 sin 2г. 2759. ^'«ЗсовЗг. 2761. ш'@)=0. 2762. Условия
Коши — Римана в точке z =» 0 выполнены, однако в этой точке функция не
дифференцируема. 2766. 7Г~ЯГ. 2767- '/^j? - 2768- Ai7+g)»'
. 2771. 1) — 1 + ft 2)-5+
ф--|я|. 2772. !) -28-96/;
2) — 28 — 96/; 3) — 28 — 96/; 4) 0. 2773. Полезно воспользоваться формулой
Грина из анализа. 2776. Воспользоваться результатом задачи 2775
2778. Воспользоваться результатом задачи 2777. 2779. — 16т\ 2780. —8л/*
2781. i-. 2782. -^ (*_*-i)+ f «.(*-*-'). g "
+ i~(e + e~ О- 2784. j (e2 + e~% 2785. cos 1 -1 sin 1.
2786. n D cos I — 5 sin 1) + in D sin I + 5 cos 1). 2787. 2e~ lnL
247

«811. / (z) = г2 + 1 + ic. 2812. f (г) = г + exp г + «с. 2813. / (г) = г + cos г +
+ ic. 2814. /(Z) = 1 + (C. 2815. /(г) = га + 2г. 2816. /(г) = 2» + 1.
оо
2818. Нет, если <р (х, у)ФС 2810. а> Her, б) да; в) да. 2823. \\ (~ jf ,
г
для i2-1»^ 2827
(га + 4)|^ Кс. 2828. cos I-sin
cosl-22 (-l)ncosb22n (-!)"+'sin Ь22п+<
2!B-2J+ '" + B«)!(г-2Jп + B« + 1I (г - 2Jn+I
0<|2-2|<oo. 2829. sinl + icosl—l- h-.-H
zi
z-i Bn)! (z- iJ
2830. г=±2/-
Bп+1I(Г-0+
стые полюсы, оо — устранимая особая точка. 2831. 2 = 0 и 2=1 — простые
полюсы, оо — устранимая особая точка. 2832. г = 0 и г=±| — простые
полюсы, оо — устранимая особая точка. 2833. z = 1 — полюс второй крат-
кратности, оо — простой полюс. 2834. z = 1 — полюс третьей кратности, оо — устра-
устранимая особая точка. 2835. 2 = 0 — простой полюс, г = ± / — полюсы вто-
второй кратности, оо — устранимая особая точка. 2836. г = 0 — устранимая
особая точка, оо — существенно особая точка. 2837. г = 0 — устранимая
особая точка, оо — существенно особая точка. 2838. Нет конечных особых
точек, оо — существенно особая точка. 2839. z = 0 — устранимая особая
точка, оо — существенно особая точка. 2841. 2 = 0 — полюс второй кратности,
оо — существенно особая точка. 2842. Нет конечных особых точек, оо — су-
существенно особая точка. 2843. z = 0 — существенно особая точка, оо — полюс
третьей кратности. 2844. z = ± i — простые полюсы, оо — существенно осо-
особая точка. 2845. 2=1 — существенно особая точка, оо — устранимая особая
точка. 2846. 2=1 — существенно особая точка, оо — устранимая особая
точка. 2847. z = 2 — существенно особая точка, оо — устранимая особая
248

точка. 2848. 2 = B/г + 0 -у (л = 0; ± 1; ± 2; ...) — простые полюсы.
2849. 2 = Bл+ I)-?;- (л«0; ±1; ±2; ...) —простые полюсы, z — 0 — устра-
устранимая особая точка. 2850. 2 = 0 — устранимая особая точка» 2 = яя (« = ±1;
± 2; ...) — простые полюсы. 2851. 2 = 0— полюс второй кратности!
2==пл(«=±1, ±2; ...) —простые полюсы. 2854. Нет, так как этот ряд
расходится для 12 |< 3. Он сходится для | z \ > 3 к сумме / B) = cos z +
Н ~ которая является аналитической функцией в окрестности точки
2 — о
2 = 0. 2855. Нет, так как этот ряд расходится для 0 < | z — 1 | ^ 2. Он
сходится для | 2 — 1 | > 2 к сумме / (х) = =" + ехР 2» являющейся ана-
2 ~*~ о
литической функцией в окрестности точки z~- L 2856. Нет, так как этот ряд
расходится для | z | ^ 1. Он сходится для -g- < 1 z | < 1 к сумме / B) =
= — i wo — а \' для к°торой бесконечно удаленная точка является устра-
устранимой особой точкой. 2857. 2 = 0 — простой нуль. 2858. 2 = 0 — нуль
третьей кратности. 2859. 2=1 — нуль второй кратности. 2860. 2 = 0 — нуль
четвертой кратности, z = tin (n = ± 1; ±2; ...) — простые нули. 2861, z == 0—
нуль второй кратности, 2862. 2 = 0 — нуль пятой кратности. 2863. z = 0—нуль
пятой кратности, 2 = 2 — простой нуль. 2864. 2 = 0 — нуль пятой кратности,
z = iHL (п = ± 1; ±2, ...) — нуль второй кратности. 2867. а) Нет; б) может;
в) может. 2870. а) 2 = 0 — нуль третьей кратности; б) 2 = 0 — нуль третьей
кратности; в) 2 = 0 —нуль четвертой кратности; г) 2=0 —нуль шестой
кратности. 2872. а) Простой; б) второй кратности; в) третьей кратности;
г) второй кратности. 2873. res f B) = — 1, res f B) == 1. 2874. res f B) =
2=0 2s=l 2^=2
д о 12 i
s=-~ — —1, res / B) =-=- + -=-/. 2875. res / B) = —r-f res /(г)==_1
5 5 2=-* 5 5 2=3* Ь 2*=-3i 6
2876. res B) = -75- — -7Г /, res = -5- + -и- /. 2877. res / B)=—1, res / B)==—3.
2878. res = n, res / B) = 0. 2879. res / B) = |-, res / B) = — 3.
2=0 2=1 2=0 -6 2=1
2880. res /B) = _i!Hl+iSii/> res/(*) = -2|I.
2881. res / B) = (- \)n (n = 0; 1; 2; ...). 2882. res / B) = 2, res / B)
2=ПЯ 2=0 22Л
¦в — 2(я=± 1; ± 2; ...). 2883. res / B) = 4" (е ~ «""О. Точка 2 = 0 не
2=/ ^
является изолированной особой точкой. 2884. res / B) = — sin 1.
2=1
2885. res / B) = 0 (« = 0; ±1; ±2; ...). 2886. res / B) = 0, res /B)=
~ (п = ± 1; ± 2; ...). 2887. res [<p B) / (z)} = а2^! +
2888, res [<р B). -^-] = т • ф B0). 2889. res [<р (г) • ^-] _ /иФ B0).
?49

ШО. п. 2891. О. 2892. О. 2893. О. 2894. 2я1.2895. О. 2896. 2ш\ 2897.
2898. 4ш. 2899. Ш. 2900. -|* «• 29(И- -^Цг^- 2902- 4-
о л л
ГДе
f& = 0; 1; 2). 2905. Функция j^ry в верхней полуплоскости имеет един-
единственный полюс {п+ 1)-й кратности в точке z = i. Вычет этой функции
относительно полюса z== i равен lim
z->i n\ dzn
« lim -7~пг(г4- A-"-1 = Hm — =^—
ост+| 1
i)n+1 J
п\
,(-1)д(д+1)(/1 + 2)...2у1^ Bя)! r___ Г ^L
(«ГJ22Л2Г
• j
> Пусть начало координат, точка z ф 0 и отличная от
яолюсов функции f (z), а также полюсы а1э а2, ...» аЛт лежат внутри кон-
контура Lm. Рассмотрим интеграл
Подынтегральная функция ф (?) «::^'v мероморфна. Она имеет простые
полюсы в точках С^0* ? = «г, S = ^ (&=1; 2;...). По основной теореме
о вычетах имеем:
jM = res f (S) + r^s ф (?) + 2 ^s Ф (t)*
Так как
res ф (?) = lim [? • ф („.
гезф(?) = 11т[E-г)ф(О]- fU
z
lim rrt-a
TO
HO) . f(z)
/«--¦
ak(ak ~~'
— — fes=l
Откуда

Из условий а) — д) имеем:
max |/(t)| дл. Lm ^ max |/@|C*m
Следовательно,
- lim
При г = 0 это равенство также справедливо.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к четвертому изданию 3
Глава I. Функции
§ 1. Действительные числа . . ¦ 4
§ 2. Нахождение зна^ний функций 5
§ 3. Область определения функции 7
§ 4. Графики функций 8
§ 5. Монотонные функции. Функции четные и нечетные. Периодические
функции 9
§ 6. Элементарные функции и их графики II
Глава II. Пределы
§ 7. Предел числовой последовательности . . . 1$
§ 8. Предел функции в точке 18
§ 9. Односторонние пределы 21
§ 10. Предел функции на бесконечности 22
§ П. Бесконечные пределы 24
§ 12. Бесконечно малые функции 25
§ 13. Непрерывные функции 27
Глава III. Производные и дифференциалы
§ 14. Понятие производной . * . 30
§ 15. Техника дифференцирования функций 31
§ 16, Дифференциал и дифференцируемые функции 35
§ 17. Геометрическое значение производной 37
§ 18. Механическое значение производной 39
§ 19. Производные высших порядков 41
Глава IV. Исследование функций
§ 20. Теорема о среднем. Возрастание и убывание функций 43
•§ 24. Максимум и минимум функции в точке и на отрезке ...... 48
§ 22. Раскрытие неопределенностей. Асимтоты 51
252

§ 23. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба 53
§ 24. Исследование функций 54
§ 25. Общая теорема о ереднем значении 54
Глава V. Неопределенный интеграл
§ 26. Основные методы интегрирования 56
§ 27. Интегрирование рациональных функций • . « 58
§ 28. Интегрирование иррациональных функций • 60
§ 29. Интегрирование тригонометрических функций » 62
§ 30. Разные примеры на интегрирование функций • 64
Глава VI. Определенный интеграл
§ 31. Понятие определенного интеграла и его простейшие свойства . * 65
§ 32. Формула Ньютона —• Лейбница 67
§ 33. Несобственный интеграл » 74
Глава VII. Приложения определенного интеграла
§ 34. Площади плоских фигур » • 80
§ 35. Длина дуги плоской кривой ...¦..# 83
§ 36. Объем и площадь поверхности тела вращения 85
§ 37. Статический момент и центр тяжести # 87
§ 38. Разные задачи • 90
Глава VIII. Теория рядов
§ 39. Нахождение сумм числовых рядов. Геометрическая прогрессия . 93
§ 40. Признаки сходимости положительных рядов, основанные на
сравнении рядов * . . t 95
§ 41. Интегральный признак сходимости. Принцип сгущения. Признак
Лейбница. Абсолютная сходимость 98
§ 42. Критерий Коши. Арифметические действия над рядами. Пере-
Перестановка членов ряда « 102
§ 43. Функциональные ряды 104
§ 44. Степенные ряды. Разложение функций в ряды , 107
§ 45. Вычисления с помощью рядов ¦ 109
§ 46. Тригонометрические ряды. Приближение функций многочленами ¦ 110
Глава IX. Дифференциальное исчисление функций многих пере*
менных
§ 47. Понятие функции нескольких переменных. Область определения.
Геометрическое изображение функции двух переменных 114
§ 48. Предел и непрерывность функций нескольких переменных .... 115
§ 49. Частные производные и полный дифференциал 117
§ 50. Дифференцирование сложных и неявных функций 121
§ 51. Дифференциалы высших порядков. Формула и ряд Тейлора . . . 123
253

§ 52» Геометрические приложения частных производных. Касательная
плоскость и нормаль к поверхности. Огибающие 124
§ 53. Экстремумы функций многих переменных • . . . 125
Глава X. Дифференциальные уравнения
§ 54. Основные понятия. Разделение переменных . .......... 128
§ 55. Однородные дифференциальные уравнения. Линейяые дифферен-
дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, к ним при-
приводящиеся • •••••..«...•,»... 130
§ 56. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множи-
множитель 132
§ 57. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Особые
решения 133
§ 5а Изогональные траектории . 135
§ 59. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка . 136
§ 60. Линейные дифференциальные уравнения второго и высших по-
порядков с постоянными коэффициентами 136
§ 61. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
Задачи на дифференциальные уравнения высших порядков ... 137
Глава XI. Кратные и криволинейные интегралы
$ 62. Двойной интеграл. Геометрические приложения двойного интег-
интеграла .. ~ *....,.••... 139
§ 63. Тройной интеграл. Геометрические приложения тройного интег-
интеграла 143
§ 64. Механические и физические приложения двойных и тройных
интегралов * 145
§ 65. Криволинейные интегралы 148
§ 66. Приложения криволинейных интегралов 150
Глава XII. Мера и интеграл Лебега
§ 67. Множества. Алгебра множеств 152
§ 68. Отображения множеств 154
§ 69. Мощность множества 156
§ 70. Открытые и замкнутые множества 158
§ 7 К Внешняя и внутренняя меры линейного множества. Мера Лебега 160
§ 72. Измеримые функции 162
§ 73. Интеграл Лебега. Сравнение интегралов Римана и Лебега ... 164
§ 74. Предельный переход под знаком интеграла. Суммируемые функции 167
Глава XIII. Элементы функционального анализа
§ 75. Метрические пространства. Полнота 170
§ 76. Линейные нормированные пространства. Линейные функционалы
и операторы 171
§ 77. Простейшие задачи вариационного исчисления 175
2S4

Глава XIV. Теория аналитических функций
§ 78. Комплексные числа 177
§ 79. Функции и функциональные ряды. Элементарные функции .... 180
§ 80. Производная и интеграл . 1В4
§ 81. Интеграл Коши и его следствия 186
§ 82. Ряд Лорана и изолированные особые точки однозначных анали-
аналитических функций 190
§ 83. Вычеты и их предложения 194
Ответы . . . . • 198