М. С пив а к
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
НА МНОГООБРАЗИЯХ
Перевод с английского
И. А. БЕРЕЗАНСКОГО
Под редакцией
Д. А. РАЙКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР"
Москва 1968

ИЗДАТЕЛЬСТВО „МИР*

MICHAEL SPIVAK
Brandeis University
CALCULUS ON MANIFOLDS
A MODERK APPROACH TO CLASSICAL THEOREMS
OF ADVANCED CALCULUS
W. A. Benjamin, Inc.
NEW YORK	AMSTERDAM
1935

Книга представляет собой современное введение
в многомерный анализ. Автор последовательно знакомит
читателя с такими понятиями, как отображения много-
многомерных пространств и их дифференциалы, дифферен-
дифференциальные формы и действия над ними, многообразия
в евклидовом пространстве. Далее доказывается общая
теорема Стокса для дифференциальных форм на много-
многообразиях и из нее выводится ряд классических резуль-
результатов: формулы Грина, обычная формула Стокса и т. д.;
от читателя требуется знание основ анализа и элементов
линейной алгебры.
Книга доступна студентам физико-математических
факультетов университетов и пединститутов; читатель,
имеющий математическую подготовку в объеме втуза
и желающий углубить свои знания, извлечет из зна-
знакомства с ней немалую пользу. Она заинтересует и
математиков, преподающих анализ.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Стиль изложения дифференциального и интегрального
исчислений для функций нескольких переменных, принятый
в большинстве существующих руководств, довольно архаи-
архаичен. Достаточно сказать, что в этих руководствах отсут-
отсутствует общее понятие дифференцируемого отображения
и его производной (для случая конечномерных евклидовых
пространств). Многое излагается недостаточно строго.
Особенно это относится к теоремам Грина, Стокса и
Гаусса — Остроградского. Их доказательства и сами
формулировки существенно основываются на интуитив-
интуитивных представлениях о „поверхности, ограничивающей
тело" или „линии, ограничивающей поверхность". Отсут-
Отсутствие же соответствующих точных общих понятий, а также
необходимого аппарата дифференциальных форм, не по-
позволяет установить, что три упомянутые теоремы —просто
частные случаи „абстрактной теоремы Стокса" об интег-
интегрировании (k — 1)-формы по границе &-цепи.
До недавнего времени все это можно было найти
лишь в специальных работах или монографиях. Но в по-
последние годы стали появляться учебные руководства, адре-
адресованные студентам-математикам старших курсов и имею-
имеющие своей задачей изложение различных разделов общего
курса математического анализа на более современном
научном уровне (см., например, недавно переведенную
у нас книгу Рудина [21]). Одним из таких руководств
является и книга М. Спивака, русский перевод которой
предлагается читателю.
Название книги может создать впечатление, что пред-
предмет ее довольно специальный. На самом деле „много-
„многообразия", рассматриваемые в первых главах,—это просто
открытые подмножества и-мерного евклидова пространства.

От редактора перевода
Во второй главе изучаются свойства их дифферен-
дифференцируемых отображений в евклидовы пространства, включая
теоремы об обратимых отображениях и неявных функциях.
В третьей главе интеграл (Римана), определяемый вначале
на и-мерных параллелепипедах, распространяется с по-
помощью „разбиений единицы" на функции, заданные на
произвольных открытых множествах. Устанавливаются
важнейшие его свойства, включая теорему о замене пере-
переменной (к сожалению, автор впоследствии уцускает случай
отметить тесную связь ее с интегрированием внешних
дифференциальных форм). Введение множеств лебеговой
меры нуль позволяет не только придать изложению теории
интеграла Римана завершенную форму, но и доказать
впоследствии теорему Сарда о том, что образ множества
точек вырожденности дифференцируемого отображения
имеет меру нуль.
Анализу на многообразиях в собственном смысле по-
посвящены последние две главы. В четвертой главе, после
необходимых сведений из полилинейной алгебры, вводятся
дифференциальные формы и их дифференцирование, затем
цепи „сингулярных кубов" (многомерных аналогов дуг
Жордана) и их границы; кульминационным пунктом главы
(и всей книги) является упомянутая „абстрактная теорема
Стокса". Наконец, в пятой главе определяются многооб-
многообразия и многообразия с краем, вложенные в и-мерное
евклидово пространство, для них доказывается общая
теорема Стокса и в завершение из нее выводятся клас-
классические теоремы Грина, Стокса и Гаусса — Остроград-
Остроградского.
Некоторых, возможно, затруднит непривычная система
обозначений, безусловно более точная, чем общепринятая,
но иногда и более громоздкая. Рассуждения и особенно
вычисления проведены местами излишне сжато. Кроме того,
некоторые доказательства опираются на результаты, при-
приведенные лишь в задачах. Таким образом, усвоение мате-
материала книги потребует от читателя довольно активной
работы, но результаты окупят ее.
Д. А. Райков

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
В этой небольшой книге нас интересуют главным
образом те разделы „высшего анализа", тонкость понятий
и методов которых делает трудным строгое изложение
на элементарном уровне. Подход, избранный здесь, состоит
в применении элементарных версий методов современной
утонченной математики. Формально предполагаются только
знание семестрового курса линейной алгебры, шапочное
знакомство с теоретико-множественными обозначениями и
владение сносным начальным курсом анализа (в котором
по крайней мере упоминается о верхней и нижней гранях
числового множества). Сверх этого, пожалуй, наиболее
существенным является (иногда неявное) использование
абстрактной математики.
Первая половина книги охватывает ту простую часть
повышенного курса анализа, которая обобщает элемен*
тарный анализ па функции многих переменных. Глава 1
содержит предварительные сведения, а в гл. 2 и 3 рас-
рассматриваются соответственно дифференцирование и инте-
интегрирование.
Остальная часть книги посвящена изучению кривых,
поверхностей и их многомерных аналогов. Здесь совре-
современный и классический методы изложения совершенно раз-
различны, хотя и имеют много точек соприкосновения, что
особенно отчетливо показано в последнем параграфе.
Вполне классическим результатом является теорема, прак-
практически завершающая книгу. Эта теорема (теорема Стокса)

8	Предисловие автора
имела любопытную историю и претерпела разительные
метаморфозы.
Впервые формулировка теоремы появилась в виде
приписки к письму сэра Уильяма Томсона (лорда Кельвина)
к Стоксу, датированному 2 июля 1850 г. Опубликована
она была в качестве восьмого вопроса к экзаменам на
смитовскую премию 1854 г. Этот конкурсный экзамен,
которому ежегодно подвергались лучшие студенты-мате-
студенты-математики Кембриджского университета, с 1849 по 1882 г.
проводился проф. Стоксом. Ко времени его смерти ре-
результат был повсеместно известен как теорема Стокса.
Современниками Стокса были даны по крайней мере три
доказательства: одно опубликовал Томсон, другое было
изложено в „Трактате о натуральной философии" Томсона
и Тейта и третье предложил Максвелл в „Электричестве
и магнетизме" [8]. С тех пор именем Стокса были названы
значительно более общие результаты, сыгравшие столь
заметную роль в развитии некоторых разделов математики,
что теорема Стокса вполне может дать материал для
размышлений о ценности обобщения.
В этой книге имеются три формы теоремы Стокса.
Вариант, известный Стоксу, появляется в последнем па-
параграфе вместе со своими неразлучными спутниками—тео-
спутниками—теоремами Грина и Гаусса—: Остроградского. Эти три клас-
классические теоремы весьма просто выводятся из современной
теоремы Стокса, рассматриваемой перед этим в гл. 5. То,
что классические теоремы утверждают для кривых и
поверхностей, эта теорема устанавливает для их много-
многомерных аналогов (многообразий), подробно изучаемых
в первой части гл. 5. Изучение многообразий, которое
могло бы быть оправдано уже одной их важностью
в современной математике, в действительности требует не
больше усилий, чем нужно затратить на аккуратное изуче-
изучение только кривых и поверхностей.

Предисловие автора
Читатель, вероятно, подумает, что современная тео-
рема Стокса по крайней мере столь же трудна, как и
получаемые из нее классические теоремы. Однако это
не так: она является очень простым следствием еще
одного варианта теоремы Стокса; этот весьма абстракт-
абстрактный вариант является конечным и основным результатом
гл. 4. Естественно предположить, что трудности, которых
мы избежали, таятся именно здесь. Однако доказатель-
доказательство этой теоремы с точки зрения математика есть со-
совершенная тривиальность—прямое вычисление. С другой
стороны, даже формулировка этой тривиальной тео-
теоремы не может быть понята без вереницы трудных опре-
определений из гл. 4. Имеются веские причины, в силу
которых теоремы должны быть легкими, а определения
трудными. Как показывает эволюция теоремы Стокса,
за несколькими трудными результатами может скрываться
один простой принцип; доказательство многих теорем
состоит просто .в его обнажении. С другой стороны,
определения служат двоякой цели: они являются и стро-
строгой заменой расплывчатых понятий, и аппаратом для изящ-
изящных доказательств. В первых двух параграфах гл. 4 даны
точные определения и доказаны правила обращения с тем,
что в классической математике называют дифференци-
дифференциальными выражениями типа Р dx -f- Q dy -f- R dz или
P dxdy-\-Q dydz -f- R dzdx. Цепи, определяемые в третьем
параграфе, и разбиение единицы, ранее введенное в гл. 3,
освобождают наши доказательства от необходимости рас-
раскраивания многообразий на мелкие части; они сводят
вопросы, относящиеся к многообразиям, где все пред-
представляется трудным, к задачам в евклидовом пространстве,
где все просто.
Концентрация глубоких идей в определениях несо-
несомненно экономна, но она создает некоторые трудности
для изучающего. Надеюсь, что читателя поощрит к осно-

10	Предисловие автора
вательному изучению гл. 4 уверенность в том, что резуль-
результаты оправдают его усилия. Классические теоремы по-
последнего параграфа являются лишь немногими и ни
в коем случае не самыми главными приложениями гл. 4;
многие другие приведены в качестве задач, ,а указания на
дальнейшее развитие можно найти в списке литературы.
Несколько слов о задачах и списке литературы. Задачи
помещены после каждого параграфа и (подобно теоремам)
имеют сквозную нумерацию внутри каждой из глав. Задачи,
результаты которых используются в основном тексте,
помечены звездочкой, но желательно, чтобы эта предо-
предосторожность оказалась ненужной —¦ задачи составляют важ-
важнейшую часть книги, и читателю следовало бы по край-
крайней мере попытаться решить их все. Список литературы
нужно было делать либо очень неполным, либо громоздким,
поскольку добрую половину основных разделов математики
можно с полным правом рекомендовать в качестве естест-
естественного продолжения материала книги. Я попытался сде-
сделать его неполным, но заинтересовывающим.
Во время написания этой книги было высказано немало
критических замечаний и предложений. Я особенно бла-
благодарен Ричарду Пелейсу, Хью Росси, Роберту Сили и
Чарлзу Стенарду за их многочисленные полезные заме-
замечания.
Майкл Спивак
Уолхэм, Массачусетс
Август 1965

Функции на евклидовом пространстве
НОРМА И ВНУТРЕННЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
Евклидово п-мерное пространство R" определяется
как множество всех «-членных последовательностей
(л;1, ..., х") вещественных чисел х1 („1-членная последо-
последовательность чисел" есть просто число, aR'=R— множе-
множество всех вещественных чисел). Элементы множества R"
часто называются1 его точками, a R1, R2 и R3 — прямой,
плоскостью и пространством соответственно. Если через х
обозначен элемент из R", т. е. последовательность из п
чисел, то i-e число обозначается х1, так что
Точки из R" часто называются также векторами, ибо R",
наделенное операциями
ах = (ахх, ..., ах"),
действительно есть векторное пространство (над полем
вещественных чисел, «-мерное). В этом векторном про-
пространстве R" имеется понятие длины вектора х, обычно
называемой нормой \ х | этого вектора и определяемой
формулой
Если « = 1, то | х | — обычная абсолютная величина числа х.
Очень важна связь между нормой и структурой вектор-
векторного пространства R".
1.1. Теорема. Если х, y?R" и a?R, то
A) | х |^-0, причем |х| = 0 тогда и только тогда,
когда х = @	0);

B)
/. Функции на евклидовом пространстве
| х | • | у |, причем равенство имеет
место тогда и только тогда, когда х и у линейно
зависимы;
D)|я*| = И.|*|.
Доказательство.
A)	Предоставляется читателю.
B)	Если х и у линейно зависимы, то очевидно, что
имеет место равенство. Пусть х и у линейно независимы,
т. е. Ху — х ф @, .... 0) для всех X ? R. Тогда
Поэтому квадратичный трехчлен относительно Я., стоящий
в правой части, не имеет вещественных корней. Значит,
его дискриминант отрицателен, т. е. 4 J х'у1 —
V'-i /
-4 2(^J2(УJ<0.
C)
2хУ<|х2| + |3'!2 + 2|^|-|У| = (
(=1
D) | ах | = J/ 2 (в*')» = J/ а2 2
Выражение
2
i
- входящее в B), называется
г-i
тренним произведением 2) векторов х и у и обозначается
') Здесь и в дальнейшем знаком I обозначается конец дока-
доказательства. — Прим. перев.
2) В нашей литературе общепринят термин „скалярное про-
произведение", однако мы предпочитаем сохранить терминологию
автора. Причины этого станут вполне понятными при чтении
гл. 4. — Прим. перев.

Норма и внутреннее произведение	13
(л;, у). Перечислим важнейшие свойства внутреннего про-
произведения.
1.2. Теорема. Если х, xv х2 и у, yv у2— век'
тори из R" и a?R, то
A)	(х, у) = {у, х) (симметричность);
B)	{ах, у) = {х, ау)=а{х, у),
<*i + -*2- y) = (xv y)-\-(x2, у),
(х, у1-ГУ2)^(х, >'i>-t- <л:, у2)
(билинейность);
C)	(л;, х)^0, причем {х, х) = 0 тогда и только
тогда, когда х = 0 (положительная определенность);
D)	| X | = /<Х, *);
E)	(х, з>)=	Т	(поляризационное
тождество).
Доказательство.
О) (х, у)=Ъх1у1 = Ъу1х1 = (у, х).
B) В силу A) достаточно доказать, что
{ах, у)=--а{х, у),
{хг-\-х2, y) = (xv y)+(x2, у).
Это вытекает из равенств
л
(ах, у) = 2 (ах')У —а 2 хУ = а(х, у),
i	i
У)-
C) и D) предоставляем читателю.
E) В силу D)
, х> + 2(х, у) + (у, у)-({х, х) — 2{х, у)-\-
4 (у, у))] = (х, у).

14
/. Функции На евклидовом пространстве
В заключение этого параграфа — несколько важных
замечаний относительно обозначений. Вектор @, .... 0)
будет обычно обозначаться просто 0. Стандартным
базисом в R" будет называться базис, образованный век-
векторами ev
е; = @	1	0) с 1 на /-м
месте и 0 на всех остальных.
Под матрицей линейного отображения Т: Rra->Rm
относительно стандартных базисов в R" и Rm понимается
(иХ")"мтРВД ^4 —(°г/)' У"" столбец которой образован
коэффициентами разложения вектора Т (ej):
Если S: Rm->RP имеет (р X от)"матрицу В, то матрицей
для S°T будет (р X я)- матрица 5.4 (здесь EоГ)(аг) =
= 5(Г(д:)); в большинстве книг по линейной алгебре
вместо S оТ пишут просто ST). Для нахождения Т (х)
достаточно вычислить элементы (/и X 1)-матрицы
тогда Г(х) = (у'	ут).
Через (л;, у), где x^R" и y^Rm, мы условимся обо-
обозначать вектор (х1	х", у1	y")?R"+m. Это весьма
упростит запись многих формул.
1.1*. Доказать, что
Задачи
л
«f V I J. i
1.2.	Когда в утверждении C) теоремы 1.1 имеет место равен-
равенство? (Указание: проследить ход доказательства; ответом не
будет „когда х и у линейно зависимы".)
1.3.	Доказать, что \х — У | ¦< I ¦* I -(-1 у I • Когда имеет место
равенство?
1.4.	Доказать, что ||Jt| — 1у||<|лс — у|.

Норма и внутреннее произведение	15
1.5.	Величина \х — у\ называется расстоянием между х
и у. Доказать и геометрически истолковать .неравенство тре-
треугольника' \г — л: | < | 2 — у| + 1у — х\.
1.6.	Пусть / и g — интегрируемые функции на отрезке [а, Ь].
а)	Доказать, что
н и е: рассмотреть отдельно случаи, когда 0 = (/ — KgJ для
а
Ь
некоторого К ? R и когда (/ — KgJ > 0 для всех К ? R. J
а
б)	Пусть в а) имеет место равенство. Означает ли это, что
/ = Kg для некоторого К ? R? А если функции fug непрерывны?
в)	Показать, что теорема 1.1B) — частный случай утвер-
утверждения а).
1.7.	Говорят, что линейное отображение Т: R" -» R™ сохра-
сохраняет норму, если | Т (х) | = | х |, и сохраняет внутреннее
произведение, если {Т(х), Т(у)) = (х, у).
а)	Доказать, что Т сохраняет норму тогда и только тогда,
когда Т сохраняет внутреннее произведение.
б)	Доказать, что всякое такое линейное отображение Т
взаимно однозначно и теми же свойствами обладает Т~1.
1.8.	Пусть л\ у ? R" — ненулевые векторы. Угол /_ (х, у)
(х, у)
между хну определяется как arc cos-рЧ—г-Ц-> это определе-
определение имеет смысл в силу теоремы 1.1 B). Говорят, что линейное
отображение Т сохраняет углы, если Т взаимно однозначно
и /__ {Тх, Ту) = /_ (х, у) для всех х, у Ф 0.
а)	Доказать, что если Т сохраняет норму, то Т сохра-
сохраняет углы.
б)	Доказать, что если существуют такие базис xlt ..., хп
в R" и числа Я[, ..., Я„, что Txi — Kixi, то Т сохраняет углы
тогда и только тогда, когда все Я/ равны между собой.
в)	Описать все линейные отображения Т: R" ->• R", сохра-
сохраняющие углы.
1.9.	Пусть Т: R2 -> R2 имеет матрицу
sin 6 cos 8 \
k — cos 8 sin8/'
где 0<;9 < п. Показать, что Т сохраняет углы и /_ {х, Тх) = о
для всех х Ф 0.
1.10*. Показать, что для всякого линейного отображе-
отображения Т: R" -> Rm существует такое число М, что | Т (К) \ <. М \ h \

16	/. Функции на евклидовом пространстве
для всех h ? Rn. (Указание: оценить \Т (h)\ с помощью I h |
и коэффициентов матрицы Т.)
1.11. Показать, что если х, y?Rn и г, af?Rm, то
<(*. г), (у, w)) = (х, у) + {г, да) и | (х, z) | = /| х I2 + I * I2- На-
Напомним, что (х, г) и (у, w) — точки из R" vm.
1.12*. Пусть (R")* — пространство, сопряженное к вектор-
векторному пространству R". Определим для каждого x?Rn функ-
функционал (p.v?(R")* формулой ц>х (у) = (х, у), и пусть Т — ото-
отображение пространства R" в (R")*, определенное формулой
Т(х) — ц.х. Показать, что Т—взаимно однозначное линейное
отображение, и вывести отсюда, что всякое (p?(Rra)* есть
для однозначно определенного ?R"
1.13*. Элементы х, y^R" называются перпендикулярными
(или ортогональными), если (х, у) =0. Доказать, что если х и у
перпендикулярны, то | х -(- у |2 = I x |2 -j-1 у I2-
ПОДМНОЖЕСТВА ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА
Замкнутый интервал [а, Ь) обладает естественным ана-
аналогом в R2. Это замкнутый прямоугольник [а, Ь) X [с, d],
определяемый как множество всех пар (х, у) с х?[а, Ь]
и у ? [с, d\. Если AcRra и BcR", то произведение,
Л XScR"T° определяется как множество всех (х, у) ?
6Rm+" c^/1 иуб^- В частности, Rm+n =Rm X R".
Если ЛсЯ, BcR" и CcRp, то (ЛХ^)ХС =
= Л X (В X Q и оба произведения обозначаются просто
А X ВУ\С'> это распространяется на произведение любого
числа множеств. Множество [а1, Ь{\ X • ¦ • X 1аи> *л1 с R"
называется замкнутым параллелепипедом в R", а мно-
множество (аг ^>j) X • • • X (ап> *л) с R" —открытым парал-
параллелепипедом. В более общем случае множество U с R"
называется открытым (рис. 1.1), если для всякого x?U
существует такой открытый параллелепипед А, что
x?AcU.
Множество С с R" называется замкнутым в R", если
R" \ С открыто. Например, каждое множество С, содер-
содержащее только конечное число точек, замкнуто. Предо-
Предоставим читателю доказать, что замкнутый параллелепипед
в R" действительно является замкнутым множеством.
Для множества А с R" и точки x?R" всегда должна
осуществляться одна из трех возможностей (рис. 1.2).

Подмножества евклидова пространства
17
1.	Существует такой открытый параллелепипед В,
что х?В cz А.
2.	Существует такой открытый параллелепипед В, что
х^ВсЦ" \ А.
3.	Всякий открытый параллелепипед В, содержащий х,
содержит как точки из А, так и точки из R" \ А.
Рис. 1.1.
Точки х, обладающие свойством 1, образуют вну-
внутренность множества А, обладающие свойством 2 — внеш-
внешность множества А, а обладающие свойством 3 — гра-
границу множества А. Задачи 1.16—1.18 показывают, что
эти термины могут подчас приобретать неожиданный смысл.
Нетрудно видеть, что внутренность всякого множе-
множества А есть открытое множество; то же верно для внеш-
внешности А, ибо она есть не что иное, как внутренность
R" \ А. Таким образом (задача 1.14), их объединение
открыто, так что граница, являясь его дополнением, должна
быть замкнутой.
Семейство © открытых множеств называется откры-
открытым покрытием множества А (или, кратко, покрывает А),
если каждая точка х ? А принадлежит некоторому мно-
множеству семейства 6- Например, если © — семейство всех

18	/. Функции на евклидовом пространстве
открытых интервалов (а, а -\- \), где а пробегает R, то
Q — покрытие множества R, Очевидно, никакое конечное
число множеств из 6 не покрывает R, как и любое его
неограниченное подмножество. Подобная ситуация может
встретиться и для ограниченных множеств. Так, например,
если 6 — семейство всех открытых интервалов A /п, 1 — 1 /я),
где п = 1, 2	 то 6 — открытое покрытие интер-
интервала @, 1), но снова никакое конечное число множеств
из © не покрывает @, 1). Хотя в этом явлении и пет ничего
особенно страшного, все же множества, для которых такая
Рис. 1.2.
ситуация не может иметь места, настолько важны, что
получили специальное название: множество А называется
компактным, если всякое его открытое покрытие 6
содержит конечное подсемейство, также покрывающее А.
Очевидно, что каждое конечное множество компактно;
то же верно и для бесконечного множества А, состоя-
состоящего из нуля и чисел \\п для всех положительных
целых п (действительно, если & — покрытие, то 0??/ для
некоторого открытого множества U из 6, и только конеч-
конечное число остальных точек из А не принадлежит U,
а для покрытия каждой из них достаточно по одному
множеству из 0).
Установление компактности множеств сильно упро-
упрощается благодаря следующим результатам, из которых
лишь первый в какой-то мере глубок.
1.3. Теорема Бореля — Лебега. Замкнутый
интервал [а, Ь] компактен.

Подмножества евклидова пространства	19
Доказательство. Пусть 0 — открытое покры-
покрытие [а, Ь]. Рассмотрим множество
А = {х: а^х^Ь и [а, х] покрыт конечным
числом множеств из 0].
Заметим, что а ? А и что А, очевидно, ограничено
сверху (числом Ь). Нам нужно показать, что Ь?А. Для
этого достаточно рассмотреть число а = sup А и дока-
доказать, что а?А и а — Ь,
Так как © — покрытие, то a?U для некоторого U
из 0. Тогда все точки некоторого интервала с правым
концом а также принадлежат U (см. рис. 1.3). Так как
U
	1	( | 	|	1	)	1
о	х	а	х'	b
Рис. 1.3.
а — верхняя грань множества Л, то в этом интервале най-
найдется точка х ? А. Таким образом, [а, х] покрыт неко-
некоторым конечным числом множеств из 6, а [х, а]— уже
одним множеством U. Следовательно, [с, а] покрыт
конечным числом множеств из 0, и а?Л.
Чтобы доказать, что а = Ь, предположим противное.
Пусть а << Ь. Тогда существует такая точка х' между а
и Ь,- что [а, х'\ a U. Так как се? А, то интервал [а, а] по-
покрыт конечным числом множеств из 0, интервал же [а, х'\
покрыт множеством U. Следовательно, х'?А, в противо-
противоречии с тем, что а — верхняя грань множества А. |
Если BcR" компактно и х?К", то легко видеть,
что {х} X В с: Rm+" тоже компактно. Справедливо и более
сильное утверждение.
1.4. Теорема. Если В компактно и 0 —открытое
покрытие множества {л^Х^. т0 существует такое
открытое множество U с R", содержащее х, что U X В
покрыто конечным числом множеств из 6.
Доказательство. Так как (xj X В компактно,
то мы можем с самого начала считать, что © — конечное

20
1. Функции на евклидовом пространстве
покрытие, и нужно только найти такое открытое множе-
множество U, чтобы U УС В покрывалось семейством 6.
Для всякого у ? В точка (х, у) лежит в некотором
множестве W из @. Так как W открыто, то (х, у) с Uy X
Clf для некоторого открытого параллелепипеда
о,
и
Рис. 1.4.
17уУ(Уу. Множества Vу покрывают компактное множество В,
так что уже некоторое конечное их число Vys	Vyft
покрывает В. Пусть U =Uу^[\ ... (\Uy . Тогда, если
О', у') с U X В, то у' ? Vy. для некоторого / (рис. 1.4) и,
разумеется, х'?Uy.. Следовательно, (х', у') ? Uyi X Vyt >
а это последнее множество содержится в некотором W
из 6. |
1.5. Следствие. Если АсК" и BczR компактны,
то А X В с Rm+" компактно.

Подмножества евклидова npoctpancrea	21
До казателъство. Если 0 — открытое покрытие
множества Ау^В, то © покрывает {х\ X В для каждого
х ? А. Согласно теореме 1.4, существует открытое мно-
множество I)'х, содержащее х и такое, что Uх X В покрыто
конечным числом множеств из 0. Поскольку А компактно,
среди множеств Ux имеется конечное число множеств
Uх	Uх , покрывающее А. Так как каждое произве-
произведение Ux. X В покрыто конечным числом множеств из 0,
то конечным числом множеств из 0 покрывается и все
произведение А X В. |
1.6.	Следствие. Если каждое из множеств Аь
(i — 1, 2	 k) компактно, то и произведение
¦Ai X • • ¦ X Ak компактно. В частности, любой зам-
замкнутый параллелепипед в R* компактен.
1.7.	Следствие. Всякое замкнутое ограниченное
множество в R" компактно. Обратное также верно
(задача 1.20).
Доказательство. Если множество А с R" замкнуто
и ограничено, то оно содержится в некотором замкнутом
параллелепипеде В. Если 0 — открытое покрытие для А,
то © и R" \ А образуют открытое покрытие для В. Сле-
Следовательно, конечное число множеств Uv ..., Uп из 0,
быть может вместе с R^V/l, покрывает В. Но тогда
множества U1	Un покрывают А. |
Задачи
1.14®. Доказать, что объединение любого (даже бесконеч-
бесконечного) числа открытых множеств открыто. Доказать, что пере-
пересечение двух (а потому и любого конечного числа) открытых
множеств открыто. Дать контрпример для бесконечного числа
открытых множеств.
1.15.	Доказать, что множество {x^R'h \x — а\ <г\ открыто
(см. также задачу 1.27).
1.16.	Найти внутренность, внешность и границу множеств
R": каждое х' рационально}.
1.17. Построить множество Лс[0, 1]Х[0> ']> содержащее
не более одной точки на каждой горизонтали и каждой верти-

22	1. Функции на евклидовом пространстве
кали, но имеющее своей границей весь квадрат [О, 1]Х[0> 1]-
(Указание: достаточно добиться, чтобы А содержало точки
каждой четверти квадрата [0, 1] X [0. !]¦ каждой его шест-
шестнадцатой части и т. д.)
1.18. Пусть А с [0, 1] есть объединение таких открытых
интервалов {a-t, b{), что каждая рациональная точка между 0 и 1
содержится в некотором (а;, ?;). Показать, что границей мно-
множества А служит [0, 1]\А
1.19*. Показать, что замкнутое множество А, содержащее
всякое рациональное число г?[0,1], содержит весь отрезок [0, 1].
1.20. Доказать обращение следствия 1.7: всякое компактное
множество в R" замкнуто и ограничено (см. также задачу 1.28).
1.21*. а) Доказать, что если А замкнуто и х ? А, то суще-
существует такре d > 0, что | у — х | > d для всех у ? А.
б)	Доказать, что если А замкнуто, В компактно и Af\B = 0,
то существует такое d > 0, что \ у —х\^> d для всех у ?А
и х?В. (Указание: для каждого Ь?В найти открытое мно-
множество U, содержащее b и такое, что требуемое соотношение
верно для всех х ? U Л В.)
в)	Привести контрпример в R2, если множества А и В зам-
замкнуты, но ни одно из них не компактно.
1.22*. Показать, что если U открыто, г СC.U компактно,
то существует компактное множество D cU, внутренность
которого содержит С.
ФУНКЦИИ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Функция / из R" в Rm (называемая иногда векторной
функцией п переменных) есть правило, относящее каждой
точке х из R" некоторую точку из Rm; точка, которую
функция / относит х, обозначается f (х). Мы пишем
/: R"-^Rm (читаем „/ отображает R" в R" или „/, ото-
отображающая R" в Rm" в зависимости от контекста) для
указания того, что значение /C*:)?Rm определено для
всех x?R". Запись /: <4->Rm указывает, что / (х) опре-
определена только для точек х, пробегающих множество
AczH,", которое называется областью определения функ-
функции /. Под /(В), где В с: А, мы понимаем множество
всех значений f(x) для х?В; если CcRm, то по опре-
определению полагаем /(С)= [х? A: f(x)?C]. Запись /:
Л-*В означает, что f(A)czB.
Для функции /: Л-^R, где ^cR2, можно получить
удобное изображение, построив ее график—множество

Функции и непрерывность	23
всех точек вида (х, у, f(x, у)), образующее некоторую
фигуру в 3-мерном пространстве (см., например, рис. 2.1
и 2.2 в гл. 2).
Если /, g: R"->R, то функции f-\-g, f—g, f-g
и f/g определяются точно так же, как и в одномерном
случае. Если /: <4->Rm и g: fi-^Rp, где 5cRm, то
композиция gof определяется равенством (g°f)(x) =
=g (f(x) )'• областью определения gof служит А П /~-1 (В).
Если /: А —>R'n взаимно однозначно, т. е. если f (х) Ф f(\>)
при хфу, то /~ : /(Л)—vR" определяется' требованием,
чтобы /~ (z) было тем единственным х ? А, для кото-
которого / (х) = г.
Функция /: А —.>Rm определяет m координатных функ-
функций р	fm: /1->R равенством f(x)=(P (x), ..., fm(x)).
Обратно, для любых заданных т функций gv .... gm: A—>R
существует такая единственная функция /: ^->Rm, что
f = gi (*=1	w),a именно f(x)=(gl(x)	gm{x)).
Эта функция / будет обозначаться (gv .. ., gm), так что
всегда / — С/1, ..., /"'). Если л: R"-^R" — тождествен-
тождественное отображение, я(д:)=:х, то я'(л) = ^; функция л1
называется 1-й проекцией.
Запись \imf{x) = b, как и в одномерном случае,
означает, что f(x) можно сделать сколь угодно близким
к Ь, взяв х достаточно близким к а, но не совпадающим с а.
На математическом языке это означает, что для всякого
числа е > 0 существует такое число б > 0, что | / (х)—Ь \ < е
для всех х, удовлетворяющих условию 0<|х — а | < б.
Функция / называется непрерывной в точке а, если
Urn f (х) = f (а), и функция /: A->Rm называется (просто)
непрерывной, если она непрерывна в каждой точке а?А.
Одной из приятных неожиданностей, связанных с этим
понятием, является то, что непрерывность можно опре-
определить без использования пределов. Из приведенной ниже
теоремы 1.8 вытекает, что /: R"—>Кт непрерывна тогда
и только тогда, когда /~ (U) открыто для всякого откры-
открытого множества t/cR; если областью определения /
служит не все R", то требуется несколько более сложное
условие.

24	Л Функции на евклидовом, пространстве
1.8.	Теорема. Если AcR,n, то функция /: ^-*Rm
непрерывна тогда и то:гъко тогда, когда для всякого
открытого множества U t=R'" существует, такое откры-
открытое множество VcRn, 4m0 f (U) = Vf]A.
Доказательство. Предположим, что / непрерывна.
Если а?/~\и), то f(tl)€iu- Так как U — открытое
множество, то существует такой открытый параллеле-
параллелепипед В, что / (а) ? B<zU. 'Гак как / непрерывна в точке а,
то выбрав достаточно малый параллелепипед С, содержа-
содержащий а, можно добиться, чтобы f{x)?B для всех х,
содержащихся в С. Сделаем это для каждого a?f~l(U),
и пусть V — объединен^ всех таких С. Очевидно,
f~l (U) = V П А. Доказат?льство обратного предложения
аналогично, и мы предоставляем его читателю. |
Из теоремы 1.8 вытекгет важное следствие.
1.9.	Теорема. Если ['• А -> R'" непрерывна и А ком-
компактно, то /(А) компактно¦
Доказательство. Пусть 6 — открытое покрытие
множества /(Л). Для всякого ^6© существует такое
открытое множество Vv, *то / (и) = Уи[]А. Семейство
всех Vv является открыты1* покрытием множества А. Так
как А компактно, то некоторый конечный набор мно-
множеств Vn	Vrr покг)Ывает А- Но тогда множества
и\		п	\ ., _
U1	Uп покрывают /\А)- I
Если функция /: /4-;rR ограничена, то степень ее
отклонения "от непрерывной™ в т°чке а?А можно точно
измерить.
Для б > 0 положим
М (а, /, 6) = sup {/ (*¦)• х 6 А и \х"— й1<!б},
т (а, /, б) == inf {/ (л): х ?.А и \х — а | < б].
Колебание о(/, а) функции / в точке а определяется
формулой
о(/, а)= Iim [Ма' /• Ь) — т(а, /, б)].
Этот предел всегда существует, так как М(а, /, б)
— т (а, /, б) убывает при убывании б.

Функции и непрерывность	25
С о (/, а) связаны два важных факта.
1.10.	Теорема. Ограниченная функция f непре-
непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда о (/, а) = 0.
Доказательство. Пусть / непрерывна в а. Для
всякого числа е > 0 можно выбрать такое число б > 0,
что | / (х)—/(я)|<е для всех х^А, удовлетворяющих
неравенству | х— а | <б. Тогда М(а, /, 6) — т (а, /, 6)<;2е.
Так как это верно для всякого в, то о (/, а) = 0. Дока-
Доказательство обратного утверждения аналогично, и мы его
предоставляем читателю. |
1.11.	Теорема. Пусть AczR"—замкнутое мно-
множество. Тогда для всякой ограниченной функции
/: А -> R и всякого е > 0 множество {х ? А: о (/, х)^е]
замкнуто.
Доказательство. Пусть В — [х? А: о(/, х)~^г).
Покажем, что R" \ В открыто. Если x^R"\j9, to лиСо
х Ф А, либо х ? А и о (/, х) < е. В первом случае, по-
поскольку А замкнуто, существует открытый параллелепи-
параллелепипед С, содержащий х и такой, что CcR" \ /icrR" \ В.
Во втором случае существует такое 6 > 0, что М(х, /, 6) —
— т(х, /, 6) < е. Пусть С— открытый параллелепипед,
содержащий х и такой, что | х — .У | < 6 для всех у ? С.
Тогда, если у ? С, то существует такое Ьх, что \х — z \ < 6
для всех z, удовлетворяющих условию | z - у \ < 6;. По-
Поэтому М(у, /, 6j) — т (у, /, 6j) < e и, следовательно,
о (у, /) < е, так что CcR" \ В. |
Задачи
1.23.	Пусть /-. А->Цт и CcR™ В случае когда /взаимно
однозначно, f~l (С) было определено двумя способами. Показать,
что они эквивалентны.
1.24.	Показать, что функция /: A ->Rm непрерывна в точке а
тогда и только тогда, когда каждая координатная функция /'
непрерывна.
1.25.	Доказать, что линейное преобразование Т: R"->Rm
непрерывно. (Указание: использовать задачу 1.10.)
1.26.	Пусть А = {{х, у) ?;R2; х > 0 и 0 < у < л-2}.

26	Л Функции на евклидовом пространстве
а)	Показать, что всякая прямая, проходящая через @, 0),
содержит целый интервал с центром @, 0), принадлежащий
R2\A
б)	Определим /: R2 -> R, положив / (х) = 0, если х & А,
и f(x)=\, если х?А. Для каждой точки /*?R2 положим
gh (О = / (thy Показать, что каждая функция gh непрерывна
в 0, но / не непрерывна в @, 0).
1.27.	Доказать открытость множества {x?R": \x — a\<r)
путем рассмотрения функции /: R" -> R, где / (х) — \ х — а |.
1.28.	Доказать, что для всякого незамкнутого множества
AczW существует неограниченная непрерывная функция /: .4->R.
(Указание: взяв невнутреннюю точку х множества R" \ А,
положить / (у) = 1/| у — х |.)
1.29.	Доказать, что если А компактно, то всякая непрерыв-
непрерывная функция /: А -> R имеет наибольшее и наименьшее значения.
1.30.	Пусть /: [a, b] -> R — возрастающая функция. Показать,
п
что 2 ° (f<xi) < /(*) —/(й) Для любых точек лг„ .... хп?[а, Ь].

Дифференцирование
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Напомним, что функция /: R—>R называется диффе-
дифференцируемой в точке а ? R, если существует такое число
/' (с), что
lim f^ + h)-f(a)=f'{a).	A)
А0	"
Это равенство, очевидно, теряет смысл в общем случае
функции /: R"—*-Rm, однако ему можно придать форму,
допускающую обобщение. Пусть к: R—>-R — линейное ото-
отображение, определяемое формулой X(h)=f (a) • h. Ра-
Равенство A) эквивалентно тогда равенству
()
А->0	™
Последнее равенство часто интерпретируют так:
X(h)-\-f(a) есть хорошая аппроксимация функции /
вблизи точки с (см. задачу 2.9). Сосредоточим теперь наше
внимание на линейном отображении X и переформулируем
определение дифференцируемости следующим образом.
Функция /: R->R дифференцируема в точке a?R,
если существует такое линейное отображение к: R—>R, что
Иш /
0
А-»0	h	^
В таком виде определение допускает простое обобще-
обобщение на высшие размерности:
Функция /: R"->R/n дифференцируема в точке a?Rn,
если существует такое линейное отображение X: R"—>Rm,
что
lim l/
А->о

28	2. Дифференцирование
Заметим, что h — точка из R", а /(а-\- h) — /(а) — Я (h) —
точка из Rm, так что знаки нормы в этом определении
существенны. Линейное отображение А, называется произ-
производной функции / в точке а и обозначается Df(a).
2.1. Теорема. Если функция /: R"->Rm диффе-
дифференцируема в точке fl^R", то существует един-
единственное линейное отображение X: R"-*Rm такое, что
|/(а + Л)--/(«)-Х(*)|
Доказательство. Предположим, что линейное ото-
отображение (д.: R" —»• R'" удовлетворяет условию
Полагая d (/г) = /' (а + /г) — / (а), получаем
I lim
Но ^л: —>• 0 при ^ —>• 0 для всякого х ^ R". Поэтому
для х ф 0 имеем
О — 11ш \Mtx)-\i(tx)\ _^\l(x)-
Следовательно, k(x) = [i(x). |
В дальнейшем мы обнаружим простой способ отыска-
отыскания Df(a). Пока же рассмотрим функцию /: R2—>-R,
определяемую формулой f(x, y)—sinx. Покажем, что
Df(a, Ь) = Х, где h(x, у) = (cos a) • х. Для этого за-
заметим, что
„т 1
\(h,k)\
= lim
sin (й -f~ Л) — sin й — (cos a) • h\
(».ft)->0	I (A.*) I
Но так как sin' (a) = cose, то
| sin (a -J- h) — sin a — (cos a) ¦ h \
111,11	I Ь 1	"**

Основные определения	29
Л поскольку | (А, к) | ;> | h |, имеем также
,. | sin (a -j- ft) — sin a — (cos a) • h |
ft-^O	I V"> K> I
Часто удобно рассматривать матрицу отображения
Of (a): R"—>Rm относительно стандартных базисов в R"
п Rm. Эта (т X «)-матрица называется матрицей Якоба
функции / в точке а и обозначается /'(а). Если f(x, y) =
= sinx, то /' (a, ?) = (cosa, 0). Если /: R->R, то
/' (а) есть A X 1)-матрица,единственным элементом которой
служит число, обозначаемое в элементарном анализе /' (с).
Производную Df (а) можно определить и для функ-
функции /, заданной только на некотором открытом множестве,
содержащем а. Но рассмотрение лишь функций, опреде-
определенных на всем R", упрощает формулировки теорем, не
приводя по существу к потере общности.
Будем говорить, что функция / дифференцируема на
множестве А, если / дифференцируема в каждой точке
а?А. Функция /: A—>-Rm будет называться диффереН'
цируемой, если ее можно продолжить до дифференци-
дифференцируемой функции на некотором открытом множестве, со-
содержащем А.
Задали
2.1*. Доказать, что если функция /: Rn->Rm дифференци-
дифференцируема в a?R", то она непрерывна в а. (Указание: исполь-
использовать задачу 1.10.)
2.2.	Функция /: R2 -> R не зависит от второй переменной,
если для каждого x?R имеем / (х, ух) = /(-*, Уг) для всех
У и y2$R- Показать, что / не зависит от второй переменной
тогда и только тогда, когда существует такая функция g: R->R,
что f(x, у) — g (х). Как выражается /' (я, Ь) через ^'?
2.3.	Определить независимость функции /: R2 -> R от первой
переменной и найти /' (а, Ь) для таких /. Какие функции не
зависят ни от первой, ни от второй переменной?
2.4.	Пусть g — непрерывная функция на единичной окруж-
окружности {х?№: |*| = 1} и g @, 1) = g A,0) =0. g(— x) = — g {x).
Определим /: R2->R условиями
У \
при
при

30	2. Дифференцирование
а)	Показать, что функция h: R -> R, определенная равенством
h(t) = f (tx), где х ? R2, дифференцируема.
б)	Показать, что / не дифференцируема в @, 0), кроме слу-
случая g — 0. (Указание: сначала показать, что Df @, 0) = 0,
рассматривая (h, k) с k = 0 и затем с /г = 0.)
2.5. Пусть /: R2->R определена условиями
( *|У| при (
I	0	при (х, у) = 0.
Показать, что / есть функция вида, рассмотренного в задаче 2А, ¦
и потому / не дифференцируема в @, 0).
2.6.	Пусть /: R2 -> R определяется равенством / (х, у) =
s= У\ ху |. Показать, что / не дифференцируема в @, 0).
2.7.	Показать, что функция /: R" -> R, удовлетворяющая
условию | / (л:) | < | х |2, дифференцируема в нуле.
2.8.	Пусть /: R -> R2. Доказать, что / дифференцируема в а
тогда и только тогда, когда /' и /2 дифференцируемы в а, и что
в этом случае
/'<.>-Г
\(П'(а)
2.9.	Функции /, g: R ->R называются равными с точностью
до п-го порядка в а, если
ft->0
h
а)	Показать, что /дифференцируема в а тогда и только тогда,
когда существует такая функция g вида g (х) = а0 -\- ах (х — а),
что / и g равны с точностью до первого порядка в а.
б)	Пусть существуют /' (а), ...,/*"' (а). Показать, что /
равна с точностью до л-го порядка в а функции g: R -> R, опре-
определенной равенством
l-l
(Указание: предел
л-1
можно вычислить с помощью правила Лопиталя.)

Основные теоремы	31
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
2.2. Теорема. (Правило дифференцирова-
дифференцирования сложной функции.) Если /: R"—>Rm диффе-
дифференцируема в а и g: R'"->RP дифференцируема в /(а),
то композиция g о /: R" —> Rp дифференцируема в а и
Замечание. Это равенство можно записать также
it форме	, -
При щ = п = р = 1 получаем известное правило диффе-
дифференцирования сложных функций.
Дока затель
= Dg(f(a)).
Положим
<р (*) = /(*)
$(y) — g(y)
P(x) = (gof
ство. Пусть
— f(a)—k(x-
— g(b)—n(y-
) (х\ _ (g о /) (й
* = /(«), Я
-о)',
)_(M0)l)(.V
. = D/(c) и
@
B)
й). C)
Тогда
в»
и мы должны показать, что
Но
= «Г (/ (*))-? (*)—ц (/ (дс)-/ (с)—ф (х)) согласно A)
= I* (/ (*)) — «• (») — И (/(*) — / (а))] +1* (Ф (*)) =
= y<J(x))-\-n(<p(x)) согласно B).

32	2. Дифференцирование
Таким образом, достаточно доказать, что
lim '^^V =0.	G)
x+a \*-a\
Но равенство G) легко следует из D) и задачи 1.10.
Далее, в силу E) для всякого е > 0 существует такое
б > 0, что
|/(*)-* |<й.
Последнее же неравенство справедливо при | х — а | <
с надлежащим 6; > 0. Тогда
^ е | ф (х) | -(- е/И \ х — а\
для некоторого М (см. задачу 1.10). А отсюда легко
следует равенство F). |
2.3. Теорема.
A)	Если /: R"—>-Rm— постоянная функция {т. е.
существует такое у ? Rm, что f (х) = у для всех
x?Rn), то
Df (а) = 0
при всех а ? R".
B)	Если /: R" -> Rm — линейное отображение, то
Df(a) = f
при всех а ? R".
C)	Функция /: R"-^Rm дифференцируема в a?R"
тогда и только тогда, когда дифференцируема каж*
дая координатная функция /', и
a)	Dfm(a)).
Таким образом, f (а) есть (га X «)¦ матрица, i-й стро*
кой которой служит (/')' (а).
D) Если s: R2-^-R определено равенством s(x, y) =
— х-\-у, то
Ds{a, b) = s.

Основные теоремы	33
E)
-=xy.
Если р:
то
так что
До
A)
к а з а т е
у \f(a
ll^0 \f{a
	 1 i m
R2
Dp
л ь
¦ + ¦
1/
->R
(a.
P'
с т в
1
определено равенством р(х, у) —
b){x, у) — bx -r-ay,
(a, b) = (b, a).
'. 0.
f(a)—O\ ,.m | у — у — 01 n
/ (a) — / (Л) |
f-/(A) — /(я)—/ (Л) | _
*->о	'Л1
C) Если каждая координатная функция /' дифферен-
дифференцируема в а и
K = (DfHa)	Of" (a)).
то
/(а + й) —/(а) —Я(А) =
= (/' (а + А) — Z1 (a) - D/1 (о) (А), ...
..., /"(в + А) —/л(а)-О/л(о)(Л))
и потому
lim
Если же, с другой стороны, / дифференцируема в а,
то /' = я'о/ дифференцируема в а в силу B) и тео-
теоремы 2.2.
D)	Следует из B).
E)	Пусть к (х, у) = Ьх + ау. Тогда
/'(fl. *)-Я(А, fe)| ^ Iim \hk\
{Л> ;д0	i <л- *) i	с. *)-»о i (a,
Но
й |2, если \ k\-^\ h
k I2, если I й I ^ I &

34	2. Дифференцирование
Следовательно, | hk |<^| h \2-\-1 k р. Поэтому
1**1 <
так что
lim |.|.Л*.|.| =0. |
2.4. Следствие. Есг# /, ?: R"->R дифференци-,
руемы. в а, то
D(f + g) (а) = О/ (а) Н- Dg (a),
D {fg) (a) = g (a) Df (а) + / (а) Dg (а).
Если, кроме того, g (а)Ф0, то
Доказательство. Мы докажем лишь первое ра-
равенство, предоставив остальные читателю. Поскольку
= s°(f. g)< имеем
), g(a))oD(f, g)(a) =
Теперь нам гарантирована дифферепцируемость тех
функций /: R"—>Rm, координатные функции'которых полу-
получаются путем сложения, умножения, деления и компо-
композиции функций п1 (являющихся линейными отображе-
отображениями), и тех функций, дифференцируемость которых
установлена в элементарном анализе. Однако нахождение
Df{x) или f'(x) может оказаться довольно сложным де-
делом. Пусть, например, /: R2—>R определена равенством
f(x, у) = sin(xy'2). Так как / = sin° (л1 • [л2]2), то мы
имеем
/' (a, b) = sin' (ab2) ¦ [b2 (л1/ (а, *) + а ([л2]2)' (а, Ь)\ =
b)-{-2ab (л2/ (а, Ь)\ =
cZ-@, 1)] =«
— (b2cos(ab2), 2abcos(ab2)).
К счастью, мы найдем вскоре значительно более про-
простой способ вычисления /'.

Основные теоремы	35
Задачи
2.10.	Используя теоремы этого параграфа, найти /' для
следующих функций:
а)	/(х,у,г) = хУ,
б)	/(*.**) = (.**,*),
в)	/ (-*. у) = sin (x sin у),
г)	/ (¦*. У, г) — sin [х sin (у sin г)),
д)	/(х,у,г) = ХУг,
е)	/(л:, у, г) =
ж)	/(¦*, У. *) =
з)	/ С*, У) = sin (jry),
и) /(*. y) = [-sin(^)Jcos3,
к) / С*. У) = (sin (ХУ)> sin (л; sin у), х?).
2.11.	Найти /' в приводимых ниже примерах (где g: R -> R
непрерывно):
х±у	ху
а) /(х у)= J г.	6) /(jc, y)= J ?,
а	а
sin (ж sin (у sin г))
в) / (х, у, г)=	J	^.
2.12.	Функция /: R" X Rm -> Rp называется билин 'иной,
если для любых jc, jc,, x2^R", у, у,, y2^Rm и a?R
/ (ал, у) = af (х, у) — f (x. ay),
+ -*s. У) = / (Xi, У) + / (-«2, У),
а)	Доказать, что если / билинейна, то
„т !/(*¦*) I-Q.
(л, *)->о К Л> *) I
б)	Доказать, что Df (а, Ь) (х, у) = /(а, у)+/(х, Ь).
в)	Показать, что формула для Dp {a, b) в теореме 2.3 есть
частный случай пункта б).
2.13. Определим1) IP: R"XR"->R формулой /Р (х, у) =
= {х, у).
а) Найти D (IP) (a, b) и {IP)' (a, b).
') IP— сокращение от inner product (внутреннее произведе-
произведение). — Прим. перге.

36
2. Дифференцирование
б)	Показать, что если /, g: R->R" дифференцируемы и
h: R->R определено равенством h{t) = (f (t), g(t)), то
// (в) = (/ (в)т, g (a)) + </ (a), g' (af).
(Заметим, что /' (а) есть (п X 1)-матрица; транспонированная
матрица /' (я)т есть A Хя)"матРиц-а> которую мы рассматриваем
как элемент из R".)
в)	Показать, что если /: R~>R" дифференцируема и
/@1 = 1 для всех t, то (/' (tf, / (t)) = 0.
г)	Дать пример дифференцируемой функции /: R->R, для
которой функция |/|, определяемая равенством | / | (t) = | / (t)\,
была бы недифференцируемой.
2.14. Пусть ?; (г = 1, .. ., k) — евклидовы пространства раз-
различных pa3viepHOCTeft. Функция /: Е1 X ¦ • • X Ek ->RP назы-
называется полилин?йной, если при любом выборе точек Xj^Ej,
j Ф г, функция g: Ei -.> R^, определяемая равенством g (x) =
= /(jfh ..., xt_x, а", л',+ |, ..., хк), линейна.
а) Показать, что если / — полилинейная функция и i Ф j,
то для А = (Л!, ..., hk), где Л^?;,
lim
hj, ..., ak)\
= 0.
(Указание: функция §¦ (х, у) = / (al
билинейна.)
б) Доказать, что
jc,
у,
2.15. Будем считать («X п)-матрицу точкой произведения
R" X •• ¦ X R" п экземпляров пространства R", рассматривая
каждую строку как элемент из R".
а) Доказать что det: R"X ••• X R" -*R дифференцируем и
D (det) (Л„ ..., а„) (х	хп)
det

Частные производные
37
б) Показать, что если an: R -> R дифференцируемы и / {t) =
det (au @ ), то
и (*) ••• am (О
/' @ = У. det
ni (t) ... апп (t).
в) Пусть det {ац (t)) Ф О для всех t, функции 6,, ..., bn: R -> R
дифференцируемы, а функции s,, ..., sn:R->R таковы, что
(st(t), ..., sn(t)) при каждом t образует решение системы
п.
Показать, что все S{ дифференцируемы, и найти s't (t).
2.16. Предположим, что функция /: R" -> R" дифференци-
дифференцируема и имеет дифференцируемую обратную /"': R" ->R". По-
Показать, что С/)' (а) = (/' (/~1 (а))} ¦ (Указание: учесть,
что (/о/) (*) = .*.)
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Приступим к задаче отыскания производных по одной
из переменных. Пусть /: R" —>¦ R и a?R". Предел
/(а1	 а' + Л, ..., а")-/(а1	а")
Iim ¦
л-»о	"
если он существует, называется 1-й частной производной
функции / в точке с и обозначается DJ(a). Важно заме-
заметить, что D(f(a) есть обычная производная некоторой
функции. А именно, Dtf(a) = g' {а1), где g(x) = /(a1
х	а"). Это означает, что DJ{a) есть угловой коэф-
коэффициент касательной в точке (a, f (а)) к кривой, получен-
полученной пересечением графика •/ с плоскостью х> = а'', j Ф i
(рис. 2.1). Это означает также, что вычисление ?>г/(а)
есть задача, которую мы уже умеем решать. Если функ-
функция /(х1	хп) задана формулой, в которую входят
х1	хп, то DJ (х1	хп) находится дифференци-

38
2. Дифференцирование
рованием функции, значение которой в х1 задается этой
формулой, если считать все х1 при J Ф i постоянными. На-
Например, если f(x, у) = sin (лгу2), то DJ(x, у)*=у*соь(хуJ
и D2f (х, у) = 2ху cos (ху2). Если же f(x, )
?>,/(*, у) = уХУ-\ a D2f(x, y) = *
то
Рис. 2.1.
После небольшой практики (решив, например, задачи
в конце этого параграфа) читатель достигнет той же лег-
легкости в вычислении DJ, с какой он вычисляет обычные
производные.
Если DJ(x) существует для всех х?К", то мы по-
получаем функцию DJ: R"—>¦ R. Ее у-я частная производная
в точке х, т. е. Dj(Dlf)(x), часто обозначается Di;-/(x).
Заметим, что эта запись обращает порядок I и j. На самом
деле порядок обычно неважен, поскольку для большинства
функций (по поводу исключений см. задачи) Dt jf = Djtf.
Существуют различные тонкие теоремы относительно
условий, обеспечивающих это равенство; следующая тео-
теорема вполне достаточна. Мы сформулируем ее здесь, но
доказательство отложим (задача 3.28).
2.5. Теорема. Если D(jf и Dj-J непрерывны на
открытом множестве, содержащем а, то

Частные производные
39
Функция Dit jf называется (смешанной) частной произ-
производной второго порядка функции /. (Смешанные) частные
производные высших порядков определяются аналогично.
Очевидно, что при надлежащих условиях теорему 2.5 можно
использовать для доказательства равенства (смешанных)
частных производных высших порядков. Если / имеет
частные производные всех порядков, то порядок индексов
Рис. 2.2.
/j	lk в Di	if совершенно неважен. Такие функ-
функции называются функциями класса Ст. В последующих
главах часто будет удобно ограничиваться рассмотрением
функций класса С00.
В следующем параграфе частные производные будут
использованы для отыскания производных. Они имеют
также другое важное применение — для отыскания максиму-
максимумов функций.
2.6. Теорема. Пусть АсЦ". Если максимум (или
минимум) /: А —> R достигается во внутренней точке а
множества А и DJ(a) существует, то DJ(а)~0.
Доказательство. Пусть gi(x) = f(x1	x, ...
..,, х"). Очевидно gi имеет максимум (или минимум) в а1

40	2. Дифференцирование
и определена в открытом интервале, содержащем а1. Сле-
Следовательно, D.f (a) = g'i(ai) = 0. |
Читатель помнит, что обращение теоремы 2.6 неверно
даже при я —1 (если /: R->R определена равенством
f(x) = xz, то /'@) = 0, но 0 не является даже локальным
максимумом или минимумом). При п > 1 невозможность
обращения теоремы 2.6 может проявляться довольно
эффектным образом. Предположим, например, что/: R2-*R
определена равенством f(x, у) = х2 — у2 (рис. 2.2). Тогда
DJ(Q, Q) —О, ибо gx имеет минимум в 0, a ?>j/@, 0) = 0,
ибо g имеет максимум в 0. Очевидно @, 0) не является
точкой ни относительного максимума, ни относительного
минимума.
Если для отыскания максимума или минимума функ-
функции / на А используется теорема 2.6, то значения / в гра-
граничных точках должны быть рассмотрены особо — это
нелегкое дело, поскольку границей А может быть все А.
Один из способов справиться с этим указан в задаче 2.27;
более же сильный метод, который часто используется,
изложен в задаче 5.16.
Задачи
2.17.	Найти частные производные следующих функций:
а)	/ (х, у, г) = хУ,
б)	/{х,у,г) = г,
в)	/ (х, у) = sin (x sin у),
г)	/ Iх< У< г) = sin (х sin (У sin *))¦
д)	/(*, у, *) = *»*,
е)	/(*, у, г) = ху+г,
ж)	/ (х, у, г) = (х + у)г,
з) / (х, у) = sin (xy),
и) fix, y)=[sin(^)]cos3.
2.18.	Найти частные производные следующих функций (где g:
R->R непрерывна):
х+у
а)	/<*, y)= J g,
a
x
б)	/ (*. y) = [ g,

Частные производные	41
в) / (JC, У) = J *¦
(Я
2.19.	Найти ?>2/A, у) в случае, когда /(^,'у) = хх ~\~
+ (In л:) (arc tg (arc tg (arc tg (sin (cos xy) — In (x -f- у))))). (Ука-
(Указание: это можно сделать очень просто).
2.20.	Выразить частные производные / через производные
функции g и Л, если
a)
б)
в)
г)
/<*.
/(¦*,
fix.
f(x,
У) =
У) =
У) =
? (-*) я (У).
g (x)h (у)
гD
г (у)-
2.21*. Пусть ?,, gy R2->R непрерывны и /: R2->R опре-
определена равенством
х	у
/ {х. У) = J *i (<. 0) Л + J ?2 (дс, О dt.
о	о
а)	Показать, что D2f (х, у) = ?2 (х, у).
б)	Как следовало бы определить /, чтобы D2f (x, у) ==
= gi (х, у)?
в)	Найти такую функцию /: R2 -> R, у которой D\f (x, у) — х
и D2f (x, у) = у, и такую функцию, у которой D\f{x, у) —у
и D2f {х, у) = х.
2.22*. Показать, что функция /: R2 -* R, у которой D2f = 0,
не зависит от второй переменной. Если же DJ = D2f = 0, то
/ — постоянная.
2.23*. Пусть А = {(*, у): х < 0 или х>0 и у =^0}.
а)	Показать, что функция /: A->R, у которой D1/=D2/=0,
постоянна- (Указание: любые две точки в А можно соединить
ломаной, каждое звено которой параллельно одной из осей.)
б)	Найти такую функцию /: ^->R, что ?>2/ = 0, но / не
независима от второй переменной.
2.24. Определим /: R2 ~> R равенством
Н5? при (х'у)ф0-
при {х, у) =» 0.

42	2. Дифференцирование
а)	Показать, что D.J (х, 0) = х для всех л- и D,/ @, у) = — у
для всех у.
б)	Показать, что ?>,, 2/ @, 0) =? ?>2, i/ @. 0).
2.25*. Определим /: R" -> R равенством
0 при х = 0.
Показать, что / есть функция класса С00 и /((> @) = 0 для
J_
ь~ "	h
всех г. (Указание: предел /' @) = litn	= litn
h	h-*o eh
можно вычислить по правилу Лопиталя; довольно легко вычи-
вычисляется /' (х) при х Ф 0, а тогда /" @) = litn /' (А) можно найти
по правилу Лопиталя.!
2.26*. Пусть
при *?(-1, 1),
[	0	при дг^(—1, 1).
а)	Показать, что /: R~>R есть функция класса С°°, поло-
положительная на интервале (—1, 1) и равная нулю во всех осталь-
остальных точках.
б)	Показать, что существует такая функция g: R-> [0, 1]
класса С°°, что g(x) = 0 при x<.0 и g (х) — 1 при лг<?.
х г
Указание: положить g (х) = //' /, где ,/ — функция
о о
класса С00, положительная на интервале @, е) и равная нулю
во всех остальных точках.)
в)	Определим при заданном a^W функцию g: R"->R ра-
равенством
Показать, что g — функция класса С00, положительная на (а1 — е,
Й'+Е)Х •¦• X (а" — е. ая-|-е) и равная нулю во всех осталь-
остальных точках.
г)	Показать, что для всякого открытого множества А и ком-
компакта С cz А существует такая неотрицательная функция /:
А -> R класса С™, что / (х) > 0 для всех л: ? С и / (л-) = 0 вне
некоторого замкнутого множества, содержащегося в А.
д)	Показать, что указанную в г) функцию/: Л->[0, 1] можно
выбрать так, чтобы / (л;) = 1 для всех х ? С. (Указание: если
функция / из г) такова, что /(;е)>? при х?С, то рассмотреть
g°f, 1Д5 g —функция из 6).)

Производные
43
2.27. Определим g, h: {x?W: |a:|<1}->R3 равенствами
g (x, у) = (ж, у, |Л-лс»-у»),
й (л;, у) = (л:, у, — Kl — х2 — у2).
Показать, что максимум / на {x?R3: |л:| = 1} есть либо макси-
максимум fog, либо максимум /ой на {jc?R2: |лг|<;1}.
ПРОИЗВОДНЫЕ
Читатель, сравнивший задачи 2.10 и 2.17,-вероятно
уже догадался, что верно следующее утверждение.
2.7. Теорема. Если /: R" -> Rm дифференцируема
в а, то Djfl(a) существует для всех I, у. 1<г<от,
1<;У^п, и f (а) есть (/и Xй)- матрица (Djfl(a)).
Доказательство. Предположим сначала, что
т = 1, так что /: R" -> R. Определим h: R -> R" равен-
равенством й(л) = (а1	jc	ап), где х стоит на У-м
месте. Тогда D}f (а) = (/ о Л)' (ау).
Но по теореме 2.2
0
(/ о ну {а1) = /' (а) • Л' (а') = /' (в)
О
-у-е место.
Так как (/оЛ)'(а*) имеет Djf(a) своим единственным эле-
элементом, то это показывает, что Ду/(а) существует и
является у-м элементом A X п)-матрицы f (а).
Для произвольного т теорема следует теперь из тео-
теоремы 2.3, согласно которой каждая координатная функ-
функция /' дифференцируема и i-й строкой матрицы /' (о)
служит (/')' (а). |
В задачах приведено несколько примеров, показываю-
показывающих, что обращение теоремы 2.7 неверно. Однако оно
верно при одном дополнительном предположении.
2.8. Теорема. Пусть функция /: R" -> Rm такова,
что все частные производные Djfl(x) существуют в не-

44
2. Дифференцирование
котором открытом множестве, содержащем точку а,
и непрерывны в а. Тогда f дифференцируема в а.
Доказательство. Как и при доказательстве тео-
теоремы 2.7, достаточно рассмотреть случай т = \, т. е. /:
R"->R. Тогда
f(a1-\-k\ а2	an)—f(a\ ...,an) +
2, a3	an)—f(a}~\-h\ a2	«")¦+•••
-f{al + hl	e-' + A"-1. а").
Напомним, что D,/ есть производная функции g, опре-
определяемой равенством g(x) — f(x, a2	а"). Применяя
к g теорему о среднем, получаем
А1, а2	а") —/(а1	ап) =
bv a2	а").
где &, — некоторое число, заключенное между а1 и а1 + А1.
Аналогично f-й член суммы равен
с некоторым С/. Тогда
lim
a->o
1-Х
\h\
< lim j | DJ (ci) — DJ (a) | = 0,
поскольку функции DJ непрерывны в а. |
Хотя в доказательстве теоремы 2.7 было использовано
правило дифференцирования сложной функции, легко можно
было бы обойтись и без него. Поэтому после теоремы 2.8,
дающей признак дифференцируемости функций, и тео-
теоремы 2.7, дающей выражения для их производных, это

Производные	45
правило могло бы показаться даже излишним. Однако оно
имеет чрезвычайно важное следствие, касающееся частных
производных.
2.9. Теорема. Пусть gv .... gm: R"->R непре-
непрерывно дифференцируемы в а и /: R"'-h>-R непрерывно
дифференцируема в (g^a), ..., gm(a)). Определим F:
R" -> R равенством F(x) = f <?, (х)	gm (x)). Тогда
т
DtF (а) = ? D,/ (^ (а)	gm (a)) Digj (a).
Доказательство. Функция F есть просто компо-
композиция f°g, где g = (g^	gm). Так как функции gt
непрерывно дифференцируемы в а, то из теоремы 2.8 сле-
следует, что g дифференцируема в а. Аналогично / диффе-
дифференцируема в (g"](a), ..., gm(a)). Следовательно, в силу
теоремы 2.2
F'{a) = f{g(a)).g'{a) =
xgx(a) ... Dngi(a)}
DJ{g{a)))
Dlgm{a) ... Dngm(a)
Ho DiF(a) есть /-Й член левой части этого равенства,
т
в то время как 2 Dif(S\(a),	gm(a))Dlgj(a) есть t-й
член правой части. |
Теорему 2.9 также часто называют правилом дифферен-
дифференцирования сложной функции, но она слабее, чем теорема 2.2,
поскольку g или / могут быть дифференцируемы и без того,
чтобы gf или / были непрерывно дифференцируемыми
(см. задачу 2.32). Вычисления, опирающиеся на теорему 2.9,
большей частью довольно просты. Некоторого ухищрения
требует функция F: R2-^-R, определенная равенством
F(x, у) = /(*(*. у), h(x), ft (у)),
где h, k: R->R. Чтобы применить теорему 2.9, опреде-
определим h, k: R2—>R равенствами
h(x, y) = h(x), k{x, y) = k(y).

46	2. Дифференцирование
Тогда
D,A (х, у) = ti (х), D2I (x, у) = О,
D,/fe (x, у) = 0,	D2k (x, у) = ft'(у)
и
/>(*, у) = /(*(*. у), А(х. у), ft(x, у)).
Положив a = (g(x, у), /г(х), ft (у)), получаем
D,P (х, у) = D2/ (а) • Dxg (х, у) + DJ (а) ¦ h' (x),
D2F (х. у) = DJ (а) • D2? (x, у) + DJ (а) ¦ ft' (у).
Разумеется, нет необходимости действительно выписы-
выписывать функции Л и ft.
Задачи
2.28.	Найти выражения для частных производных следующих
функций:
а)	Р {х, у) =f(g (х) k (у), g(x)+k (у)),
б)	F(x, у, z) = f(g(xf у), h(x + z)%
в)	Р (х, у, г) = / (хУ, у*, гх),
r)F(x,y) =f(x<g(x),h(x,y)).
2.29.	Пусть /: R" -> R. Предел
если ои существует, обозначается Dxf (а) и называется произ-
производной функции / в точке а по направлению х.
а)	Показать, что Deif (a) = DJ (а).
б)	Показать, что Dtxf (a) = tDxf (a).
в)	Показать, что если / дифференцируема в а, то Dxf (a) —
= D/ (в) (а:) и потому Dx+yf (a) = Dxf (a) + Dyf (a).
2.30. Пусть / определена, как в задаче 2.4. Показать, что
Дг/ @,0) существует для всех х, однако если g фО, то
Од.+ у/@, 0) Ф Dxf@, 0) -f- Dyf @, 0) для некоторых л: и у.
2^1. Пусть /: R2-»-R определена, как в задаче 1.26. Показать,
что Dxf @,0) существует для всех л;, хотя /даже не непрерывна
в @, 0).
2.32. а) Пусть /: R -> R определена условиями
ПРИ
[ 0 при х — 0.
Показать, что / дифференцируема в 0, но /' разрывна в 0.

Обратные функции	47
б) Пусть /: R2 -> R определена условиями
при
/<¦*.?) =
_i_.
О	при (л:, у) = 0.
Показать, что / дифференцируема в @, 0), но Dtf разрывны
в @, 0).
2.33.	Показать, что непрерывность Djl в а можно исклю-
исключить из условий теоремы 2.8.
2.34.	Функция /: R" ^> R называется однородной степени т,
если / (tx) = tm f (х) для всех х. Показать, что если при этом /
дифференцируема, то
l-i
(Указание: найти g' A), где g(t) = / (tx).)
2.35. Доказать, что если /: R" ~> R дифференцируема и
/@)=0, то существуют такие g{: R"-j-R, что
/(jc)=2J xlgt (х).
Указание: если hx (/) = / (tx), то f(x)= f h'x (t) dt.
^	о	/
ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ
Предположим, что функция /: R->R непрерывно диф-
дифференцируема на открытом множестве, содержащем а, и
/' (а) ф 0. Если /' (о) > 0, то существует такой открытый
интервал V, содержащий а, что f'(x) > 0 для всех x?V,
и аналогичное верно, когда /' (о) < 0. Таким образом,
/ возрастает (или убывает) на V, а потому взаимно одно-
однозначна и имеет обратную функцию /~ , определенную на
некотором открытом интервале W, содержащем /(а).
Кроме того, нетрудно показать, что /~ дифференцируема и
для всех у ? W.
Аналогичные рассмотрения для высших размерностей
значительно сложнее, но результат (теорема 2.11) весьма
важен. Мы начнем с простой леммы.

48	2. Дифференцирование
2.10. Лемма. Пусть ЛсЯ" — параллелепипед и
/:y4->R" непрерывно дифференцируема. Если суще-
существует такое число М, что | D •/* (х) | -^ М для всех х
внутри А, то
К
для всех х, у ? А.
Доказательство. Имеем
/'GO —/'(*) = 23 I/'G»1	Уу. *;+1	*") —
—/'(У1.	У, х;'	х")].
Применяя теорему о среднем, получаем
с некоторым ziy-. Выражение в правой части не прево-
превосходит М|У — х'\. Следовательно,
л
|/'О0 — /'(*)!< 23 |уу-х^|.л1<«ж|у-х|,
поскольку | у-' — х-' | <^ | у — х | для каждого j. Наконец,
I/O0 — /(х) |< 211 /Чу) -/Чх) |<«2ж ¦ | у - х |. i
2.11. Теорема об обратной функции. Пред-
Предположим, что f: R"—>R" непрерывно дифференцируема
в некотором открытом множестве, содержащем а, и
det /' (о) Ф 0. Тогда существуют открытое множе-
множество V, содержащее а, и открытое множество W,
содержащее /(а), такие, что отображение f: V->W
имеет непрерывное обратное отображение /"': W —>V,
дифференцируемое и для всех у ? W удовлетворяющее
соотношению
Доказательство. Пусть X — линейное отображе-
отображение D/(а). Оно невырожденно, поскольку det /' (а) ф 0.

Обратные функции	49
Но D{X~l о /) (a) = D(l~1) (/ (а)) о Df (а) = Х~1 о Df (а)
есть тождественное линейное отображение. Если теорема
верна для X ° /, то она очевидно верна и для /. Поэтому
мы можем считать с самого начала, что Я,—тождествен-
Я,—тождественное отображение. Если тогда / (a-\-h) = f (а), то
X(h)\ = \h\ =l
Но
1/(д4-й)-/(д)-Л(ЛI_
Л->0	I Л I
Это означает, что равенство /(х) =:/(«) не может выпол-
выполняться для значений х, произвольно близких к а, не
равных а. Поэтому существует замкнутый параллелепи-
параллелепипед U, содержащий а в качестве внутренней точки и
такой, что
/(х)Ф/(а), если х??/ и хфа	A)
Поскольку / непрерывно дифференцируема в открытом
множестве, содержащем о, можно также' считать, что
det/'(*)?= 0 для всех x?U	B)
и
l (х) — Df (а) |< -^тг Для всех /. J и х ? ?/• C)
Заметим, что из C) и леммы 2.10, примененной
к g (х) = / (х) — х, вытекает, что
I / (*i) — *i — (/ (лга) — хъ) К ^ I -«1 — *21
для любых JCj, jc2 ? f/. Так как
*2) К \ I Xl — X2 I-
то получаем
Ui — *2l<2l/(xi)— f(x2)\ для всех xv x2?U. D)
Далее, / отображает границу параллелепипеда U в ком-
компактное множество, не содержащее, согласно A), /(а)
(рис. 2.3). Поэтому существует такое число d > 0. что,

50
2. Дифференцирование
\ f (a) — f{x)\^d для всех х, принадлежащих границе U.
Пусть W = \y :|у — f(a)\<dj2]. Если y?W и X при-
принадлежит границе U, то
Покажем, что для всякого у ? W существует единствен-
единственное х внутри U, для которого f(x) = y. Для этого рас-
рассмотрим функцию g: G->R, определенную равенством
Эта функция непрерывна и потому имеет минимум на U.
Если х принадлежит границе U, то g {a) < g (x) в силу E).
f(граница U)
/\
Рис. 2.3.
Следовательно, минимум g не достигается	на границе U.
Согласно теореме 2.6, тогда существует	такая точка х
внутри U, что Djg (x) ==- 0 для всех у, т.	е.
для всех /.
Но в силу B) матрица (Djfl(x)) имеет ненулевой
определитель. Поэтому мы должны иметь у1 — /'(х) —Ь
для всех /, т. е. у = /(х). Тем самым доказано существо-
существование х. Единственность непосредственно следует из D).
Обозначим через V пересечение внугренности U
с f~l(W). Мы показали, что функция /: V->W имеет

Обратные функции	51
обратную / х: W -> V. Теперь D) можно переписать в виде
\У1Уа\ всех У1
Это показывает, что У" непрерывна.
Осталось только доказать, что f~l дифференцируема.
Пусть \x — Df(x). Покажем, что f~x дифференцируема
в точке у = / (х) и имеет в качестве производной ц~1.
Как и в доказательстве теоремы 2.2, для всех Ar,?V имеем
где
|Ф(*,-*I
,,^ |JC|-Jt|
Поэтому
(Х-1 (/ (*l)—/ (*)) = *,—*+(Х-1 (ф (*, - *) )¦
Так как каждое yl?W имеет вид f{х{), где Xj^V, то
последнее равенство можно переписать так:
Гл (*) = Г1 (у) + и (>-i - >-)- и (ф (Г1
и потому достаточно показать, что
lim 1^
»,-¦»	lyi-yl
Следовательно (задача 1.10), достаточно убедиться в том,
что
lim \*(Гу)-
,,+j,	1У.-У1
Но
1У1-У1
Поскольку/ непрерывна, f~x (yi)->f'1(y) при ух^>у.
Поэтому первый множитель стремится к нулю. А так как

52	2. Дифференцирование
в силу F) второй множитель не превосходит 2, то произ-
произведение также стремится к 0. |
Следует заметить, что обратная функция /~ может
существовать даже если det/'(а) = 0. Например, если
/: R —>¦ R определяется равенством / (х) = х3, то /' @) = 0,
— 1	I3/—
но / имеет обратную функцию / (х)=у х. Все же одно
можно сказать определенно: если det/'(а) = 0, то /~1
не может быть дифференцируема в f(a). Чтобы доказать
это, заметим, что (/ ° f~l)(x) = x. Если бы f~l была диф-
дифференцируема в /(а), то правило дифференцирования слож-
сложных функций дало бы /'(а) • (f~1)'(/(«)) = / и, следова-
следовательно, det/'(a) • det(/~1)'(/(o)-)= 1, в противоречии
с тем, что det//(a) = O.
Задачи
2.36*. Пусть А с: R"— открытое множество и /: A->R" —
такая взаимно однозначная функция, что det/' (х)фЬ для всех х.
Показать, что / (А) — открытое множество и f~l: f (A)-> A
дифференцируема. Показать также, что / (В) открыто для вся-
всякого открытого множества В с: А,
2.37.	а) Пусть /:R2->R — непрерывно дифференцируемая
функция. Показать, что / не взаимно однозначна. (Указание:
если, например, Dlf{x, у) Ф 0 для всех (х, у) из некоторого
открытого множества А, рассмотреть функцию g: A -> R2, опре-
определяемую равенством g{x, y) = (f(x, у), у).)
б) Обобщить этот результат на случай непрерывно диф-
дифференцируемых /: R"->-Rm с т < п.
2.38.	а) Пусть /: R -> R такова, что /' (а)фО для всех a?R.
Показать, что / взаимно однозначна (на всем R).
б) Определим /: R2 -> R2, положив / (х, у) = (ех cos у, ех sin у).
Показать, что / не взаимно однозначна, хотя det /' (х, у) ф 0
для всех (х, у).
2.39.	Используя функцию /: R -> R, определенную условиями
! + *2sin
0	при х = 0,
показать, что непрерывность производной нельзя исключить из
предположений теоремы 2.11.

Неявные функции
53
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим функцию /: R2->R, определенную равен-
равенством f(x, у) = х2 -f- у2—1. Если точка (а, Ь) выбрана
так, что f(a, д) = 0, причем аф\, —1, то (рис. 2.4)
Графику
График д,
Рис. 2.4.
существуют такие открытые интервалы -А и В, содержа-
содержащие соответственно а и Ь, что для всякого х?А суще-
существует единственное у?В, для которого f(x, y) = 0.
Поэтому можно определить функцию g: A -> R усло-
условиями g(x)? В и / (х, g (х)) = 0 (если Ъ > 0, как изо-
изображено на рис. 2.4, то g(x)~ ]/l — х2). Для рассмат-
рассматриваемой нами функции / имеется еще одно число bv
при котором / (a, ?j) = 0. И здесь существует такой ин-
интервал Вх, содержащий bv что если х? А, то
/ (х, gl (х)) = 0 для однозначно определенного g1 (х) ? Вх
(здесь
Обе функции g н g1 диф-
дифференцируемы. Их называют неявными функциями, опре-
определенными уравнением f(x, y) = 0.
При а = 1 или — 1 невозможно найти ни одной такой
функции g, определенной в открытом интервале, содер-

54	2. Дифференцирование
жащем а. Было бы желательно иметь простой критерий,
позволяющий решать, когда вообще можно найти такую
функцию. Более общим образом можно поставить вопрос
так: пусть /: R"XR->R. причем /(а1	а", #) = 0;
когда для каждого (х1, ..., х") вблизи (а1	а")
можно найти единственное у вблизи Ъ, для которого бы
/(х1, .... х", у) = 0? Еще более общим образом можно
задаться вопросом об условиях разрешимости системы
уравнений, зависящих от параметров х1, .. ., х", относи-
относительно т неизвестных: пусть
/,: R" X Rm ~* R. t=\	т.
причем
/Да1	a", bx	bm) = 0, I = 1, ... т;
когда для каждого (х1, ..., х") вблизи (а1	а")
можно найти единственное (у1	У") вблизи ф1, ...
.... Ьт), удовлетворяющее уравнениям /Дл:1	 х",
у1, ..., уга) = 0, 1=1, .... /и? Ответ дает следующая
теорема.
2.12. Теорема о неявной функции. Предполо-
Предположим, что /: R" X Rm—>Rra непрерывно дифференцируема
в некотором открытом множестве, содержащем (а, Ь),
и /(а, ?>) = 0. Пусть М есть (ту^т)-матрица
Тогда если detM^O, то существуют открытое
множество ЛсЯ", содержащее а, и открытое множе-
множество BcRm, содержащее Ь, со следующим свойством:
для всякого х?А имеется единственное g(x)?B, для
которого f(x, g(x)) = 0. При этом функция g: A->B
дифференцируема.
Доказательство. Определим F: X
равенством F (х, у) = (х, f (х, у)). Тогда det F' (а, Ь) =
= detM=?0. В силу теоремы 2.11, существуют открытое
множество l^cR" X Rra. содержащее точку F (а, Ь) =
= (а, 0), и содержащее точку {а, Ь) открытое множество
в R"XRm. которое можно считать имеющим вид Ау_В,
так что функция F\ A}(B->W имеет дифференцируемую
обратную Л: W -+ Ау^В. Очевидно, Л имеет вид h {x, у)=

Неявные функции	55
= (лг, k(x, у)), где k — некоторая дифференцируемая
функция (поскольку F — функция такого вида). Пусть л:
R" X Rm -* R™ — функция, определенная равенством
л(лг, у) = у. Тогда noF = f. Поэтому
f(x, k(x, y)) = foh(x, у) =
= (л о F) о h (x, y) — no(F о h)(x, у) = я(лг, у) = у.
Таким образом, f(x, k(x, 0)) = 0, т. е, можно по-
положить g (x) = k (x, 0). |
Зная, что функция g дифференцируема, легко найти ее
производную. Действительно, так как ^(х, g(x)) = 0,
то, применяя Dj к обеим частям этого равенства, по-
получаем
т
0 = D/(х, g (х))+JS Dn+Jl(x, g(x)). Djg"(x),
i, j = 1, .. ., m.
Поскольку йе\МфО, эта система уравнений относи-
относительно Djga(x) разрешима. Ответ будет зависеть от зна-
значений Djf{x, g{x)), а поэтому и от g{x). Но это не-
неизбежно, ибо функция g, вообще говоря, не единственна.
Рассматривая функцию /: R2->R, определяемую равен-
равенством/^, у) = х2-\-у—1, мы уже заметили, что уравне-
уравнению f(x, g(x)) = 0 удовлетворяют две функции: g(x)=
— У\—х2 и g(x) = — У\—х2. Дифференцирование
уравнения / (х, g (х)) = 0 дает здесь
DJ(х, g(х)) + D2f (x, g(x)). g' (x) = 0,
или 2x-\-2g(x)-g'(x)r=0, т. е. g' (x) = — x\g (x),
а этому условию удовлетворяет и g (х) ¦—¦ ^\ — х2 и
g(x) = —yi—х2. Несколько обобщив метод доказа-
доказательства теоремы 2.12, мы получим результат, который
будет иметь важное значение в гл. 5.
2.13. Теорема. Пусть /: R"—>RP, р<л, непре-
непрерывно дифференцируема на открытом множестве,
содержащем точку а. Если f (а) = 0 и («X РУ мат-
матрица (DJ1 {а)) имеет ранг р, то существуют откры-
открытое множество АсЦ" и дифференцируемая функция

56	2. Дифференцирование
A: A->R", имеющая дифференцируемую обратную,
такие, что
fck(xl	x") = (xn-p+1	х").
Доказательство. Мы можем рассматривать / как
функцию из R""p X Rp в Rp- Пусть М есть (р X р)-матрица
(Dn-.p+ifJ(a))' l<i-J<P- Если detM^O, то мы
находимся точно в ситуации, рассмотренной при доказа-
доказательстве теоремы 2.12, а там было показано, что суще*
ствует такая функция Л, что
В общем же случае, поскольку (D{fJ(a)) имеет ранг pt
найдутся такие индексы 1г < .. . < ip, что матрица
(DJ}(a)), l<Cy'-^j°> l = h	'/)¦ имеет ненулевой
определитель. Пусть g: R" —> R" — функция, переставля-
переставляющая переменные х1 так, что
И*1	*") = (...,*'¦	х1р).
Тогда / о q есть функция рассмотренного уже типа, так что
i(f°g)°b)(xl	 x") = (xn-p+l	 лг") при не-
некоторой k. Искомой функцией будет h = g°k. |
Задачи
2.40.	Решить задачу B.15), используя теорему о неявной
функции.
2.41.	Пусть /: RXR-*R- Определим для каждого x?R
функцию gx: R-»-R равенством gx (у) = / (х, у). Пусть при
любом х существует единственное у = с {х), для которого
«?<у) = о.
а) Показать, что если D2ilf(x, у)фО для всех (х, у), то
с дифференцируема и
(Указание: равенство g^ (у) = 0 можно переписать в форме
?/( ) 0)

По поводу обозначений	57
б) Показать, что если с' (х) = 0, то существует у, для
которого
D2,J(x, у)=0,
Dsf (х, у) = 0.
в) Пусть / (х, у) = х (у In у — у) — у!пдг. Найти
max / min
1/2 < дг < 2 Vl/3 < У < Г
max ( min / (х, у)\.
ПО ПОВОДУ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Этот параграф содержит краткое и не вполне беспри-
беспристрастное обсуждение классических обозначений, связан-
связанных с частными производными. Приверженцы класси-
классических обозначений записывают частную производную
DJ(x, у, z) в виде
df (x, у, z)	df
дх	ИЛИ Ж ИЛИ
-^-(х, у, z) или -^-/(-к. У, г)
или при помощи каких-либо других подходящих анало-
аналогичных символов. Такой способ записи ведет к тому, 4tj
вместо DJ(и, v, w) пишут
|?(«. v. w),
хотя могут (а для выражений типа DJ{7, 3, 2) должны)
использоваться символы вроде
df (х, у, г)
дх
df (х, у, г) .
или	л —-(«. V, W),
0Х
(X, у, 2)-(И, V,
Аналогичные обозначения используются для D2f и
Производные высших порядков обозначаются символами
типа
Для /: R—>R символ д автоматически заменяется перво-
, d sin x d sin x \r
начальным d, так что пишут —— , а не —^	. Уже
формулировка теоремы 2.2 потребовала бы в классической
записи введения лишних букв.

58	2. Дифференцирование
Обычная запись вычисления D1(fo(g, h)) такова:
если /(и, f)—некоторая функция и u = g(x, у),
v = h (x, у), то
df{g(x, у), h(x, у)) = д/(и, у) ди д/(и, v) dv
дх	ди дх ~*~ dv дх '
[Символ dujdx означает (д[дх) g(x, у), a (dldu)f(u, v)
означает DJ{u, v)=D-if (g(х, у), h(x, у)).] Это равенство
часто записывают просто в виде
df __ df ди . df dv
дх ди дх ' ду дх '
хотя / имеет в разных частях равенства неодинаковый
смысл!
Обозначение dfjdx, всегда представлявшееся преуве-
преувеличенно соблазнительным, породило многие (обычно
бессмысленные) определения для df и dx самих по себе,
единственной целью которых было придать смысл ра-
равенству
J dx
Для /: R2->R, например, df определяется в класси-
классических курсах формулой
(что бы ни означали dx и dy).
Глава 4 содержит строгие определения, дающие воз-
возможность доказать вышеприведенные равенства. Действи-
Действительно ли эти новые определения лучше классических —
вопрос деликатный: пусть читатель судит о нем сам.

Интегрирование
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определение интеграла функции /: Л->К, где ЛсК"—
замкнутый параллелепипед в R", столь похоже на опре-
определение интеграла функций одной переменной, что мы
ограничимся лишь беглыми замечаниями.
Напомним, что разбиением Р замкнутого интервала
[а, Ь] называется последовательность t0	 tk, где
a=to^.tx^. . . . ^tk = b. Разбиение Р делит интер-
интервал [а, Ь] на k интервалов [tt_v t{\. Разбиение парал-
параллелепипеда [йр Ьх] X • • • X [ап< Ьп] определяется как
семейство Р—(РХ	Рп), где каждое Р1 есть раз-
разбиение интервала [at, bt]. Предположим, например, что
P = t0, ..., tk — разбиение \av bx\ и Р2 = s0, .... st —
разбиение [а2, b2]. Тогда разбиение P — {PV P2) замкну-
замкнутого прямоугольника [ах, Ьх] X [а^ *г1 Делит его на k • I
прямоугольников [?/_!, tj] X \sj-i< sj]- Вообще, если Р{
делит [at, bt] на Nt интервалов, то Р = (РХ	 Рп)
делит [ах, Ьх] X • • • X [«я. Ьп] на N — Nx- ... ¦ Nn парал-
параллелепипедов. Мы будем называть их параллелепипедами
разбиения Р.
Предположим теперь, что Л —параллелепипед, Р—его
разбиение и /: A ^>R — ограниченная функция.
Для каждого параллелепипеда S разбиения Р положим
ms(f)=mi{f(x):
Ж5(/) = sup {/(*): х
и пусть v (S) — объем S [за объем параллелепипеда
[ах, Ьх] X ... • X [а,г *я1 равно как и параллелепипеда
(ах, ЬХ)У< . .. Х(ап, Ьн), по определению принимается

60	3. Интегрирование
произведение (Ьг — аг) X • • • X Фп — ««)]¦ Нижняя и верх-
верхняя суммы f для Р определяются формулами1)
L(f. P) = Iims(f)'v(S) и U(J, P) = IiMs(f)v(S).
s	s
Очевидно, что L{f, P)-<?/(/. P); верно даже более
сильное утверждение C.2).
8.1. Лемма. Предположим, что разбиение Р' есть
продолжение разбиения Р {т. е. каждый параллелепи-
параллелепипед разбиения Р' содержится в некотором параллеле-
параллелепипеде разбиения Р). Тогда
?(/, Р)<1(/, Р') и U(f, Р')<?/(/. P).
Доказательство. Каждый параллелепипед S раз-
разбиения Р распадается на несколько параллелепипедов
Sv ..., Sa разбиения Р', так что v(S) = v(S1)-lr ...
.. . -^-v(Sa). Но ms{f) <Cms-(f)' поскольку среди значе-
значений f (х) для x?S содержатся все значения f(х) для
х ? St (и, возможно, также меньшие значения). Поэтому
ms(/)v(S) = ms(/)vE,) + . .. + ms(/)vEa)<
Сумма левых частей по всем 5 есть L(f, P), тогда как
суммой правых частей служит L (/, Р'). Следовательно,
L(/, P)^.L(f, P'). Для верхних сумм доказательство ана-
аналогично. |
3.2. Следствие. L(/, Р')< U(/, Р) для любых
разбиений Р и Р'.
Доказательство. Пусть Р" — разбиение, продол-
продолжающее и Р и Р' (например, Р"=[Р, ..., Р"\ где
Pi—разбиение [a,-, bfi, продолжающее и Pt и P'i). Тогда
, P")<U{J, P")<U(f, P). |
Из 3.2 следует, что верхняя грань всех нижних сумм
для / не превосходит нижней грани всех верхних сумм.
Функция /: А —> R называется интегрируемой на парал-
') L и U — от lower (нижний) и upper (верхний) соответ-
соответственно. — Прим. перев.

Основные определения	61
лелепипеде А, если она ограничена и sup{i(/, P)\ =
= inf {?/(/, Я)}. Это общее значение обозначается Г / и
А
называется интегралом / по А. Часто используют обо-
обозначение j f(xl, ..., xn)dxx ... dx". Если /: [a, #]->R,
A
ь
где a ¦< b, то /= /¦
a	[a, ft]
Следующая теорема доставляет простой, но важный
критерий интегрируемости.
3.3. Теорема. Ограниченная функция /: A-+R
интегрируема тогда и только тогда, когда для вся-
всякого е > О существует такое разбиение Р параллеле-
параллелепипеда Л, что ?/(/, Я)- ?(/, Я)<е.
Доказательство. Если это условие выполнено,
то, очевидно, sup {?(/, Я)} = inf {?/(/, Я)} и / интегри-
интегрируема. С другой стороны, если / интегрируема, т. е.
sup {?(/, Я)} = inf {U(/, Я)), то для всякого е > 0 имеются
такие разбиения Я и Р', что U (/, Я) — L (/, Я') < е. Если
тогда Р" продолжает и Р и Р', то, как вытекает из леммы
3.1, U (/, Р") - I (/, Я") < ?/ (/, Я) - L (/, Pf) < e |
В следующих параграфах мы охарактеризуем класс
интегрируемых функций и найдем метод вычисления ин-
интегралов. Здесь же ограничимся рассмотрением двух функ-
функций, одна из которых интегрируема, а другая — нет.
1. Пусть /: Л-^ постоянна, f(x) = c. Тогда для
всякого разбиения Я и всякого его параллелепиледа S имеем
s (/)=/и5 (/) = с, так что
-cv(A). Следовательно, j / = сг>(Л).
А
2. Пусть /: [0, 1] X [0. 1]->R определена условиями
0, если х рационально,
{ 1, если х иррационально.
Каково бы ни было разбиение Р, всякий его паралле-
параллелепипед 5 будет содержать и точки (х, у) с рациональ-

62	3. Интегрирование
ным х, и точки (х, у) с иррациональным х. Поэтому
ms (/) = 0 и Ms (/) = 1, так что
L (/, Р) = 2 Ov (S) = О,
а
S=«(io. пхю. i]) = i.
S
Следовательно, / неинтегрируема.
Задачи
3.1. Пусть /: [О, 1]Х[0, 1]->R определена условиями
О,
если 0<л: < -J,
1, если -к-< ¦*< 1.
Показать, что / интегрируема и	/=1/2.
10, 1] X 10, 1]
3.2.	Пусть /: А ->¦ R интегрируема и g = f всюду, кроме ко-
конечного числа точек. Показать, что g интегрируема и / = g.
А	А
3.3.	Пусть /, g: A -> R интегрируемы.
а) Показать, что для всякого разбиения Р параллелепипеда А
и всякого параллелепипеда S этого разбиения «s (/)-{-/и,, (g)<
и Ms (/ -4- g) < Ms (/)-)-¦ М, (^), а "потому
б)	Показать, что/-]-g интегрируема и /-|~g= /-|- §.
Л	А	А
в)	Показать, что Г с/ = с / для всякой постоянной с.
А	А
3.4.	Пусть /: yl->R и Р — разбиение Л. Показать, что /
интегрируема тогда и только тогда, когда для всякого паралле-
параллелепипеда S разбиения Р сужение /1 S функции / на S интегри-
интегрируемо, причем в этом случае /= Л, / | S.
A	s s
3.5.	Пусть /, g: A~>H интегрируемы и f4^g- Показать,
| /< j g-
А	А
что

Мера 0 и объем 0	63
3.6. Показать, что если /: А ~> R интегрируема, то
А
А
3.7. Пусть /: [О, I] X {О, 1]-»R определена условиями
О, если х иррационально,
О, если х рационально, у иррационально,
—, если х рационально, у = ——несократимая дробь.
Показать, что / интегрируема и	/ = 0.
10, ц х [0, ц
МЕРА Q И ОБЪЕМ 0
Множество А с R" имеет (я-мерную) меру 0, если для
всякого е > 0 существует такое покрытие {Uv U2, U3, .. .}
этого множества замкнутыми параллелепипедами, что
со
2р(С/,-)<е. Очевидно (но тем не менее полезно напом-
нить), что если А имеет меру 0 и В с А, то В имеет
меру 0. Нетрудно проверить, что в определении меры 0
вместо замкнутых параллелепипедов можно брать от-
открытые.
Множество, содержащее лишь конечное число точек,
очевидно, имеет меру 0. Множество, состоящее из беско-
бесконечного числа точек, которые могут быть занумерованы
в последовательность av а2, %	также имеет меру 0;
в самом деле для всякого е > 0 и всякого номера / можно
выбрать замкнутый параллелепипед Uг, содержащий а{, так,
СО	00
чтобы v {Ut) < ф1, а тогда 2 v (Ut) < 2 Ф1 = е-
Важным и довольно неожиданным примером такого
бесконечного множества является множество всех рацио-
рациональных чисел между 0 и 1. Чтобы убедиться в этом,
нужно только перечислять дроби из нижеследующей таб-
таблицы в порядке, указанном стрелками (исключая повторе-

64	3. Интегрирование
ния и числа, большие чем 1)
0
1
0
2
о 7
3
0
4
1
1
/
1
2
1
3
2
T
/ .
2
2
2
If
3
1
/

3
3
4
T
4
2
4
3
Этот пример допускает важное обобщение.
3.4. Теорема. Если А = Аг (J Л2и Л3и ¦ • ¦ и каж-
каждое Лг имеет меру О, wo Л имеет меру 0.
Доказательство. Пусть е > 0. Будучи множеством
меры нуль, At обладает таким покрытием {Ult,, t/,-, 2^«, з- ••-}
СО
замкнутыми параллелепипедами, что 2 v Wi i) < E/2f-
Тогда семейство всех U{, j образует покрытие всего мно-
множества А. Из таблицы
?Л.1 <Л,2 ^!, 3 • ¦ -
^2, 1 ^2, 2 ^2,3
/	/
^3, 1 ^3,2 ^3,3
видно, что это семейство может быть занумеровано в по-
оо
следовательность Vv V2, Vz	 Очевидно, ^^(^/Х
<1е/2' = е. |
Множество А с R" имеет (n-мерный) объем 0, если
для всякого е > 0 существует такое конечное покрытие
[Ul	Uп) этого множества замкнутыми параллелепи-

Мера О и объем 0	65
педами, что 2 v(Ut) < е. Очевидно, что множество, имею-
i-i
щее объем 0, имеет также меру О, В этом определении
вместо замкнутых параллелепипедов, как и раньше, можно
было бы воспользоваться открытыми.
3.5.	Теорема. Если а < Ь, то интервал [а, Ь] с R
не может иметь объем 0. А именно, если [U',, . . ., Uп) —
его конечное покрытие замкнутыми интервалами, то
а
Доказательство, Применим индукцию по п.
Утверждение очевидно при п = 1. Предположим, что тео-
теорема справедлива для покрытий п интервалами, и пусть
{t/j	^л-иЬ —покрытие [а, ?] п-\-\ замкнутым ин-
интервалом. Можно считать (изменяя, если нужно, нумера-
нумерацию), что a?Uv Тогда ?/, = [а, 0], где а<а<р. Если
Р >?, то t»(t/,)^-i — а. Если же E < ?, то {U2, .... ?/„) —
покрытие интервала [E, #] л интервалами, следовательно,
2?(^)>^-Р и потому i>(L^)XP —а)-Н& —р) =
= Ь — а. 1
Если а < ?>, то верно также, что [а, Ь] не может иметь
меру 0, Это вытекает из следующей теоремы.
3.6.	Теорема. Компактное множество А, имею-
имеющее меру 0, имеет также объем 0.
Доказательство. Пусть е > 0. Так как А имеет
меру 0, то существует такое его покрытие {L/,, U2, . . .}
сю
открытыми параллелепипедами, что ^j v(U,) < е. Так как А
компактно, то уже некоторое конечное число Uv ..., Uп
параллелепипедов Ui покрывает А и, разумеется,
2 v (U,) < е. |
Заключение теоремы 3.6 неверно, если А некомпактно.
Пусть, например, А — множество всех рациональных чи-
чисел между 0 и 1; тогда А имеет меру 0. Предположим,

66	3. Интегрирование
что {[а,, Ьх\	 \ап, Ьп]\—некоторое покрытие А.
Тогда А содержится в замкнутом множестве [а:, bx\ U . . .
... U \аа, Ь„], и потому [0, 1] с [a,, ft,] U • .. U [ол, *„].
л
Из теоремы 3.5 следует, что 2 (*/ — о;) ^ 1 для всякого
(-1
такого покрытия и, следовательно, А не, может иметь
объем 0.
Задачи
3.8.	Доказать, что [а,, Ьх\ ;< ... X. [в„, Ьп\ не может иметь
объем 0, если а-, < bt для всех /. (Вероятно, вы решите дока-
доказывать это в лоб; но см. задачу 3.25.)
3.9.	а) Показать, что неограниченное множество не может
иметь объем 0.
б) Дать пример замкнутого множества меры 0, не имеющего
объем 0.
3.10.	а) Показать, что если множество С имеет объем 0,
то и его граница имеет объем 0.
б) Дать пример ограниченного множества С меры 0, граница
которого не имеет меру 0.
3.11.	Пусть А —множество из задачи 1.18. Показать, что если
со
2 (Pi — ai) < 1, то его граница не имеет меру 0.
i-l
3.12.	Пусть /: [a, fr]->R—возрастающая функция. Показать,
что множество ее точек разрыва имеет меру 0. (Указание:
используя задачу 1.30, показать, что множество < х: о (/, х) > — I
конечно для любого целого положительного п.)
3.13*. а) Показать, что множество всех параллелепипедов
[flj, &i] X • • • X [ал, bn] с рациональными a-L и 6,- может быть
расположено в последовательность.
б) Пусть A a R" произвольное множество и © — его откры-
открытое покрытие. Показать, что существует последовательность
Ub Ui, и} ... элементов из 6, также покрывающая А. (У к а-
зание: для каждого х?А существует такой параллелепипед
В = [аи fti]X---X[fl«. "п\ с рациональными а,- и bi, что
x?BaU для некоторого U?@.)
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Напомним, что о (/, х) обозначает колебание функции/
в точке х.
3.7. Лемма. Пусть А — замкнутый паралле-
параллелепипед и /: Л->1? — ограниченная функция, у кото-

Интегрируемые функции	67
рой о(/, х) < е для всех х?А. Тогда А обладает та-
таким разбиением Р, что U (/, Р) — L(f, Р)<вг/(Л).
Доказательство. Для каждого х ? А существует
такой замкнутый параллелепипед U'х, содержащий х вну-
внутри себя, что Мц (/) — гпц (/)< е. Так как А компактно,
то конечное число Uх , * . ., Uх множеств U х покры-
покрывает А. Пусть Р — разбиение множества А, каждый па-
параллелепипед которого содержится в некотором Uх . Тогда
Ms (/) — ms (/) < е для каждого параллелепипеда 5 раз-
разбиения Р, так что
U (/, P)-L (/, Я) = S I^s (/) — "*5(/)] v (S) < ev (А). |
о
3.8. Теорема. Пусть А — замкнутый параллеле-
параллелепипед, /: А —> R — ограниченная функция и В — мно-
множество ее точек разрыва. Тогда f интегрируема на А
в том и только том случае, когда В — множество
меры 0.
Доказательство. Предположим сначала, что В
имеет меру 0. Пусть е>0 и Ве={х: о(/, х)~^>г\.
Тогда Ве а В, так что Ве имеет меру 0. Поскольку Вг
компактно (теорема 1.11), Ве имеет объем 0. Таким об-
образом, существует конечное семейство Ui	Un зам-
замкнутых параллелепипедов, внутренности которых покры-
п
вают Ве, такое, что 2 f №1) < Е- Пусть Р — разбиение А,
i
каждый параллелепипед 5 которого принадлежит одной
из следующих двух групп (см. рис. 3.1):
&',, состоящей из таких параллелепипедов S, что SczUl
для некоторого /.
&2< состоящей из параллелепипедов «S, для которых
S[\Bt = Q.
Пусть \f(x)\<.M для всех х?А. Тогда Ms(f) —
— №$ (/) <С 2Л1 для каждого S, Поэтому
[Ms (/) - ms (/)] ¦ v E) < 2Ж 2 v (Ui) < 2Мг.

68
3. Интегрирование
Далее, если 5?^2, то о(/, х) < е при x?S. Из
леммы 3.7 следует, что существует такое продолжение Р'
разбиения Р, что
2 [Ms, (/) - ms, (/)] ¦ v (S') <s-v(S)
о t о
для всякого 5 ? S?2- Тогда
U(f,P>)-L(f,P')= S
<2Же+
Так как Ж и v(A) фиксированы, то отсюда следует, что,
выбирая надлежащим образом разбиение Р', можно еде-
Рис. 3.1. Заштрихованные прямоуголь-
прямоугольники принадлежат <^ь
лать U {f, P') — L(f, P') как угодно малым. Таким обра-
образом, / интегрируема.
Обратно, предположим, что / интегрируема. Так как
В = В\ UВij2UВузU •¦-. то достаточно (теорема 3.4) до-
доказать, что каждое Вц„ есть множество меры 0.
Мы покажем, что каждое B\jn имеет объем 0 (но так
как Вуп компактно, то на самом деле это то же самое).

Интегрируемые функции	69
Пусть е > О, Р — такое разбиение множества Л, что
U (/, Р) — L (/, Р) < е/л, и if — семейство всех паралле-
параллелепипедов 5 разбиения Р, пересекающихся с Вцп. Тогда ^
покрывает Вуп. Но если S^S?, то -/Hs(/) — ms{f)^>\jn.
Таким образом,
[AJS (/) - ms
и, следовательно, 2 f (¦$)< e- I
До сих пор мы имели дело только с интегралами от
функций, заданных на параллелепипедах. Интегралы по
другим множествам легко сводятся к интегралам этого
вида. Пусть'С с R". Характеристическая функция %с
множества С определяется так:
(О при
[ 1 при
Если С а А для некоторого замкнутого параллелепи-
параллелепипеда А и /: Л—>R ограничена, то под / понимается
с
| /"/с в предположении, что функция f%c интегрируема.
А
Последнее во всяком случае имеет место (задача 3.14),
если / и Хс интегрируемы.
3. 9. Теорема. Функция %с: Л ->¦ R интегрируема
тогда и только тогда, когда граница множества С
имеет меру 0 (и следовательно, объем 0).
Доказательство. Если х — внутренняя точка мно-
множества С, то существует такой открытый параллелепипед U,
что x?UcC. Таким образом, Хс — 1 на U и очевидно,
что Хс непрерывна в х. Аналогично, если точка х — внеш-
внешняя по отношению к С, то существует такой открытый
параллелепипед U, что х ? ?/с: R" \ С Поэтому Хс~ 0
на U и Хс непрерывна в х. Наконец, если х принадлежит
границе множества С, то для всякого открытого паралле-

70	3. Интегрирование
лепипеда U, содержащего х, существуют точка у, ? U П С
и точка v2 ? U П (R" \ С). Тогда¦хс(у1)= 1 и Хс(у2) = 0.
Следовательно, Хс разрывна в х. Таким образом, множе-
множество точек разрыва функции Хс совпадает с границей С
и требуемый результат следует из теоремы 3.8. |
Ограниченное множество С, граница которого имеет
меру 0, называется измеримым по Жордану. Интеграл Г 1
с
называется (л-мерным) объемом множества С. Разумеется,
одномерный объем часто называют длиной, а двумер-
двумерный — площадью.
Задача 3.11 показывает, что даже открытое множе-
множество С может не быть измеримым по Жордану, так что
интеграл / не обязательно определен, даже если С
открыто, а / непрерывна. Это неудобство будет вскоре
устранено.
Задачи
3.14.	Показать, что если /, g: A -> R интегрируемы, то ин-
интегрируемо и / • g.
3.15.	Показать, что множество С, имеющее объем 0, со-
содержится в некотором замкнутом параллелепипеде А, изме-
измеримо по Жордану и хс — О-
А
3.16.	Дать пример ограниченного множества С меры 0, для
которого хс не существует.
А
3.17.	Показать, что если С — ограниченное множество меры 0
и интеграл %с существует, то он равен нулю. (Указание:
А
показать, что L (/, Р) = 0 для всех разбиений Р; использовать
задачу 3.8.)
3.18.	Показать, что если /: А -»¦ R — неотрицательная функ-
функция и / = 0, то {х: f (х) Ф 0} имеет меру 0. (Указание:
А
доказать, что [х: f{x)> IJn] имеет объем 0.)

Теорема Фубини	71
3.19.	Пусть А — открытое множество из задачи 1.18. Показать,
что если / = хЛ с точностью до множества меры 0, то / неин-
тегрируема на [0, 1].
3.20.	Показать, что возрастающая функция /: [а, Ь] -> R ин-
интегрируема на [а, Ь].
3.21.	Показать, что множество С с А, где А — замкнутый
параллелепипед, измеримо по Жордану тогда и только тогда,
когда для каждого е > 0 существует такое разбиение Р парал-
параллелепипеда А, что ^ v (S) — ^ v (S) < 6- гДе &\ состоит из
всех параллелепипедов разбиения Р, пересекающихся с С,
а ?"г — из всех содержащихся в С.
3.22*. Показать, что если множество А измеримо по Жор-
Жордану, то для каждого е > 0 существует такое измеримое по
Жордану компактное множество С а А, что Хл\с < Е-
А
ТЕОРЕМА ФУБИНИ
Проблема вычисления интегралов в известном смысле
решается теоремой 3.10, сводящей вычисление интегралов
по замкнутому параллелепипеду из R", «> 1, к вычисле-
вычислению интегралов по замкнутым интервалам из R. Доста-
Достаточно важная, чтобы заслуживать специального наименова-
наименования, эта теорема обычно называется теоремой Фубини,
хотя она является лишь более или менее частным случаем
теоремы, доказанной Фубини к моменту, когда теорема
3.10 уже давно была известна.
Идея, лежащая в основе теоремы, лучше всего иллю-
иллюстрируется (рис. 3.2) на примере положительной непрерыв-
непрерывной функции /: [а, Ь] X [с d]—>R. Пусть t0, ..., tn —
разбиение интервала [а, Ь). Разобьем [а, Ь] X |с, d) на п
полос прямолинейными отрезками {tt\ X tc> d).
Если определить gx равенством gx(y) = f(x, у), то
площадь области, ограниченной снизу отрезком [х] X.[c,d],
а сверху проектирующейся на него частью графика /,
будет равна
d	а
x = \ fix, y)dy.

72	3. Интегрирование
Поэтому объем области, ограниченной снизу прямоуголь-
прямоугольником [tt_v tt\ X [с, d], а сверху — соответствующей частью
графика /, будет приближенно равен
л
(^—/j-j) [ f(x, y)dy с произвольным x?[tt_v tt\.
о
Таким образом, интеграл
la,b]x\c,d\	i = l [tt_h f,]X|c, rf)
приближенно равен
^d c ПР°ИЗВОЛЬНЫМ xi
i-l	с
С другой стороны, такого рода суммы входят в опреде-
ъ i d	\
ление И f f(x, y)dy\dx. Таким образом, есть основа-
J V J	/
а V	/
ние надеяться, что функция h, определенная равенством
a	d
h(x)= Г ё"л.= [/С*. У)^У' интегрируема на [а, Ь] и
Это и в самом деле окажется верным, когда / непре-
непрерывна, однако в общем случае возникают трудности.
Предположим, например, что множеством точек разрыва/
служит {хо}Х[с, d\ при некотором хо?[е, <*], Тогда /
а
интегрируема на [а, Ь\ X [с d\, но й(хо)= j /(x0, y)dy
а
не имеет даже смысла, В силу этого теорема Фубини
формулируется несколько странным образом и сопрово-
сопровождается замечаниями, относящимися к различным специ-
специальным случаям, когда возможна более простая форму-
формулировка.

Теорема Фубини
73
Нам потребуются еще два термина. Если /: A—>R —
ограниченная функция на замкнутом параллелепипеде, то,
интегрируема / или нет, верхняя грань всех нижних сумм
и нижняя грань всех верхних сумм всегда существуют.
График f
Рис. 3.2.
Они называются соответственно нижним и верхним ин-
интегралами f по А и обозначаются соответственно
Lj/ и UJ7.
ЗЛО. Теорема Фубини. Пусть Ac=R" и B<=R'" —
замкнутые параллелепипеды и f: Л XB~»R — инте-
интегрируемая функция. Пусть далее функция gx: B->R
определена для каждого х ? А равенством gx (у) =
= /(*. У) и
, y)dy.

74	3. Интегрирование
Тогда Л? и U интегрируемы на А и
J /= J_?=J7l J7(*
ЛХ8	Л	А \ В	)
(Интегралы в правой части называются повторными
интегралами для /.)
Доказательство. Пусть РА—разбиение для А
и Рв — разбиение для В. Вместе они дают разбинение Р
для ЛХ^, каждый параллелепипед S которого имеет
вид SA X SB, где SA — параллелепипед разбиения РА,
а 5а — параллелепипед разбиения Рв. Тогда
Р) = S ms (/) v E) = S л»5 - (/) v EЛ X 5Д) «
5	5д,5а
Но если х g 5Л, то, очевидно, ms xS (/) -< ms [g^. Сле-
Следовательно, для всех х?5д имеем
2 Sy,xSfi (/) v (SB) < S mSB (gx) v (SB) <
<L.J tf, =
в
Поэтому
g (g '«„x,. (/>' («л)) " (Sa) < L
Таким образом,
, PA) < U (J2>. PA) < U (U, PA) < U (/, P).
где последнее неравенство доказывается совершенно так же,
как первое. Но так как/интегрируема, то sup {?,(/, Р)] =
=-iai[U(J, P)}= J /. Поэтому
АхВ
sup {А (^. РА)\ = inf |f/ (^, РА)} =

Теорема Фубини	75
Другими словами, 3 интегрируема на Л и	/=
АхВ	А
Утверждение для U следует из неравенств
L(f, P)
.<*/(#. PA)<U(f, Р). |
Замечания. 1. Аналогично доказывается, что
J / = J/l J/(x, y)dx\dy=Uu ff(x, y)dx\dy.
AX В	В V A	/	В \ A	I
Эти интегралы называются повторными интегралами
для /, взятыми в обратном порядке по сравнению с вы-
выбранным в теореме. Как видно из задач, возможность
перемены порядка интегрирования в повторном интеграле
имеет многочисленные следствия.
2. На практике часто встречается случай, когда gx
интегрируема для всех х?А, так что
JJfJ. y)dy\dx.
АХ В	А \В	/
Это заведомо имеет место, когда / непрерывна.
3. Самое худшее, с чем обычно сталкиваются на прак-
практике, это неинтегрируемость gx для конечного числа то-
точек х?А. В этом случае J? (х) = \ f(x, y)dy для всех
в
значений х, кроме этого конечного множества. Так как
З1 не изменяется, если J2? переопределить в конечном
А
числе точек, то все еще можно писать
1
/= J J fix, y)dy\dx,
АХВ	А \В	I
считая, что интегралу \ f(x, y)dy, когда он не суще-
в
ствует, придано произвольное значение, скажем 0.
4. Бывают случаи, когда этого нельзя сделать и тео-
теоремой 3.10 приходится пользоваться в том виде, как она

76	3. Интегрирование
сформулирована. Пусть /: [0, 1] X [0> 1]—>R определена
условиями
/(*. У)
1, если х иррационально,
1, если х рациональной у иррационально,
1 —— , если х = —	несократимая дробь и
у рационально.
1
Тогда/интегрируема и | /=1.Но f (x,y)dy=l,
[о, i|x|o, 1)	о
если х иррационально, и не существует, если х рацио-
1
нально. Поэтому если интеграл h(x)= f(x, y)dy, когда
о
он не существует, положить равным нулю, то функция h
будет неинтегрируемой.
5.	Если А = [а,, Ьх] X . . . X №„• ьп\ и /: А ^R —
достаточно хорошая функция, то повторное применение
теоремы Фубини дает
= I [¦¦¦[ J /С*1. ¦-.. xa)dxA... \dxn.
6.	Теорему Фубини можно использовать и для вычис-
вычисления Г/, где С с: Л, поскольку этот интеграл по опре-
с
делению равен icf. Пусть, например,
А
С = [—1, UXI-1. 1]\{(*. У): |(*. У)|<1}.
Тогда
i/i
= J J
Но
1, если у > ]/" 1 — х2 илиу< — У1 — х2,
' " во всех остальных точках.

Теорема Фубини	77
Поэтому
1
J fix,
-1
f(x.
Вообще основная трудность при получении выражения
для /, где Сс:Ау^В, состоит в определении С f) {[x}y^B)
с
для х ? А. Если легче определить С |") (А X {у}) для у ? В,
то следует воспользоваться повторным интегралом
("/= |7 i f(x- У)-Хс(х- y)dx\dy.
С	В \А	I
Задачи
3.23. Пусть С cz A X В — множество объема 0 и. А' с А —
множество всех х?А, для которых {у?В: (х, у)?С} нг имеет
объем 0. Показать, что А' — множество меры 0. (Указание:
Хс интегрируема и j хс = J #= ] З1* так что j {U—3)=0. j
ЛхД	Л	А	Л	/
3.24.	Пусть С С [0, 1]Х[0. 1]—объединение всех множеств
{р/д} X [0, 1/9], где p/'q—несократимые дроби из [0, 1]. Пока-
Показать, что для множества С слово .мера" в задаче 3.23 нельзя
заменить словом .объем".
3.25.	Используя индукцию по п, показать, что [аь Ь\\ X • • •
... X [ап, Ьп] не может иметь меру 0 (или объем 0), если
а; < bi для каждого L
3.26.	Пусть /: [a, b] -> R — интегрируемая неотрицательная
функция и Af—{(x, у): а<л:<6 и 0< у </(л:)}. Показать,
ь
что множество Af измеримо по Жордану и имеет площадь /.
а
3.27.	Показать, что если /: [а, Ь\ X [а, Ь] -» R интегрируема
то
by	b b
J J / (jc, y) dx dy = J J f(x, y) dy dx.

78	3. Интегрирование
(Указание: вычислить двумя различными способами I /
с
с подходяще подобранным множеством С с [а, Ь] X [а, Ь\.)
3.28*. Используя теорему Фубини, дать простое доказатель-
доказательство того, что DUif =D'i,if, если эти смешанные производные
непрерывны. (Указание: если DVi 2/ {а) — D2, ,/ (а) > 0, то
Du if— D2, i/ > 0 на некотором параллелепипеде А, содер-
содержащем а.)
3.29.	С помощью теоремы Фубини вывести выражение для
объема множества в R3, получаемого вращением вокруг оси х
множества, лежащего в плоскости уг.
3.30.	Пусть С — множество из задачи 1.17. Показать, что
J / j ХС (*• У) dx\ dy = J / J zc (У. x) dy\ dx = 0,
[П, 1| \[0, ll	/	|0, 1] V[0,' II	/
но	%c не существует.
[о, if x |0, ij
3.31.	Пусть A = [a,, &,] X ¦ • • X [a,v ba\, f: A -» R — непрерыв-
непрерывная функция и F: A -> R определена равенством
К, л']х ...x[v У]
Какова будет тогда DJ-(x) для внутренних точек л-паралле-
л-параллелепипеда А1
3.32*. Пусть /: [a, b] X[c d] -> R и D2/ непрерывна По-
ложим Z7 (у) = / (х, у) dx. Доказать правило Лейбница:
а
Ь	. /	Ь
F'(у) = Г D2f (х, у) dx. I Указание: F(y)= { f(x, у) dx=
а	\	а
* [ '	\ \
= I I Dtf (x, у) dy -\- f (x, с) \dx. j При доказательстве бу-
а \с	!)
дет видно, что непрерывность D2f можно заменить значительно
более слабыми предположениями.
3.33. Пусть /: [а, Ь] X [с, d] -> R, D2f непрерывна и
X
F (л, у) = j / (t, у) dt.

Разбиение единицы
79
а)	Найти DXF и D2F.
б)	Найти' G' (х), если О (х) = (" /(*, *) Л.
а
3.34*. Пусть g-,, ,gv R2->R — непрерывно дифференцируемые
функции, причем D1?r2 = D2gi-
Как и в задаче 2.21, положим
х	у
f (•*¦¦ у) = f gi (t. 0) dt + J ^2 (Л, о л.
о	о
Показать, что Dxf (x, у) = g, (x, у).
3.35*. а) Пусть g: Rra -> R" — линейное отображение с мат-
матрицей
1	\	1
1
или
1. . . 1
1
(где вторая матрица содержит в точности одну единицу вне
диагонали). Показать, что объем образа g (U) любого парал-
параллелепипеда U равен \AeXg\v (?/).
б) Доказать, что | det g \ v (if) есть объем образа g (?/) для
всякого линейного отображения g: R" -> R". (Указание: если
del g Ф 0, то g есть композиция линейных отображений рас-
рассмотренного в а) типа.)
3.36. (Принцип Кавальери.) Пусть А и В — измеримые по
Жордану множества из R3, Ас—\(х, у): (х, у, с)?А] и Вс =
= {(х, у): (х, у, с)?В]. Предположим, что Ас и Вс для каждого
с измеримы по Жордану и имеют одинаковую площадь. Пока-
Показать, что А к В имеют одинаковый объем.
РАЗБИЕНИЕ ЕДИНИЦЫ
В этом параграфе вводится понятие, имеющее чрез*
вычайно важное значение в теории интегрирования.
3.11. Теорема. Пусть ©¦—открытое покрытие
множества /4cR". Тогда существует такое семей-
семейство Ф функций ср класса С°°, определенных на неко-
некотором открытом множестве, содержащем А, что
I) 0^ф(л;)^1 для каждого х ^ А;

80	3. Интегрирование
2)	для каждого х ? А существует такое открытое
множество V, содержащее х, что только конечное
число функций из Ф отлично на V от нуля;
3)	2 ф(*)=1 &ля каждого х?А \в силу B) эта
сумма для каждого х ? А конечна на некотором откры-
открытом множестве, содержащем х\;
4) для всякого <р ? Ф существует такое открытое
множество U из <д, что ф = 0 вне некоторого замкну-
замкнутого множества, содержащегося в U-
(Семейство Ф, удовлетворяющее условиям A) —C),
называется С™-разбиением единицы для А. Если семей-
семейство Ф удовлетворяет также условию D), то говорят, что
оно подчинено покрытию &. В этой главе будет исполь-
использоваться только непрерывность функций ср.)
Доказательство. Случай 1. А компактно.
Тогда некоторое конечное семейство U1	Uп от-
открытых множеств из <Э покрывает А. Очевидно, доста-
достаточно построить разбиение единицы, подчиненное покры-
покрытию {U1, ..., ?/„}. Найдем сначала компактные множества
DtczUi, внутренности которых покрывают А. Множества
Dt строятся по индукции следующим образом. Предполо-
Предположим, что Dx	Dk выбраны так, что {intDj, ...
..., intDk, Uk+l	Un\—покрытие Л1). Положим
Cfe+1 = ^\(intD1U ... UintDftUt/A+2U ... \}Ua).
Тогда множество Ck+lc:Uk+1 компактно. Следовательно
(задача 1.22), можно найти такое компактное множе-
множество Dk+l, что C^+1c:intDft+1 и Dk+lczUfc+v Построив
множества Dx	Dn, можно для каждого / выбрать
неотрицательную функцию ij)(. класса С00, положительную
на Dt и равную 0 вне некоторого замкнутого множества,
содержащегося в Ut (задача 2.26). Так как {Dj, ..., Dn)
покрывает А, то ij)j(jc)-(- ... +ij)n(x)>0 для всех то-
точек х из некоторого открытого множества U, содержа-
содержащего А. На U можно положить
„ fr\_	% (¦*)
Пусть /: U —> [0, 1]—произвольная функция класса С°°,
') Символ int D означает внутренность (interior) множе-
множества D. — Прим. перге.

Разбиение единицы	81
равная 1 на Л и 0 вне некоторого замкнутого множества
в U, Тогда «Dr^fZ-cpj	/-Фя) будет искомым раз-
разбиением единицы,
Случай 2. А = Аг[} A2[j А3. . ., где каждое А1 ком-
компактно а А{СМ Al+V
Пусть &i для каждого / состоит из всех множеств вида
U П (int Ai+l \ Ас_2), где U пробегает 6. Тогда 6( будет
открытым покрытием компактного множества Bi —
= А( \ int Ai_l. Согласно случаю 1, существует разбие-
разбиение единицы Фг для В{, подчиненное ©,. Для всякого
х ? А существует такое открытое множество U 5 х, что
для любых у ? U все члены суммы
^, все (
кроме конечного их числа, равны нулю. Это выте-
вытекает из того, что если у ? At, то <р (у) = 0 для всех
со
ф?Ф;- с j"^i-\-2. Для каждой функции ф? (J®/ no-
i-i
ложим ф' (х) = ф (jc)/o (x). Семейство всех q/ будет
искомым разбиением единицы.
Случай 3. А — открытое множество.
Полагая
Ai = \ х? А: |х|<^/ и расстояние от х
до границы А^ — \,
приходим к предыдущему случаю.
Случай 4. А—произвольное множество.
Пусть В — объединение всех U из 6. Согласно слу-
случаю 3, существует разбиение единицы для В; оно является
также разбиением единицы для А. |
Следует отметить важное следствие условия B) тео-
теоремы. Пусть множество С а А компактно. Для всякого
х?С существует открытое множество Vх, содержащее х
и такое, что только конечное число функций ср?Ф не
равно тождественно нулю на Vх. Так как С компактно,
то конечное число таких Vv покрывает С. Таким обра-
образом, только конечное число функций ф ? Ф не равно
тождественно нулю на С.

82	3. Интегрирование
Приведем важное приложение разбиений единицы, ил-
иллюстрирующее их главную роль — склеивать результаты,
полученные локально. Мы уже видели, что / может не
А
существовать, даже если А—ограниченное открытое мно-
множество и множество точек разрыва / имеет меру 0. Но
любое открытое множество Л во всяком случае обладает
таким открытым покрытием <д, что все U из 6 содержатся
в Л и каждое U ? 6 измеримо по Жордану (так. напри-
например, А есть объединение открытых параллелепипедов).
Если (д — такое покрытие и Ф — подчиненное ему разбие-
разбиение единицы для Л, то ф/ интегрируемо для каждого
ср ? Ф. Определяем тогда Г / как V | ср • / в предполо-
А	<Р?Ф А
жепии, что эта сумма сходится (она может сходиться,
даже если Ли/ неограниченны). Эта сумма эквивалентна
сумме обычного бесконечного ряда. Мы уже заметили
(при рассмотрении случая 3 в доказательстве теоремы 3.11),
что открытое множество А есть объединение последова-
последовательности компактных множеств. Так как на каждом из
этих компактных множеств отлично от тождественного
нуля только конечное число функций ф? Ф, то ненулевые
интегралы ф/ могут быть занумерованы в последова-
А
тельность. Поскольку, однако, невозможно отдать пред-
предпочтение ни одному из таких способов нумерации, под
сходимостью следует понимать сходимость при любом
упорядочении, т. е. абсолютную.
3.12. Тео р ем а.
1) Если А—ограниченное множество, /: Л—>R—
ограниченная функция и множество ее точек разрыва
имеет меру 0, то ряд
Ф?Ф А
сходится.

Разбиение единицы
83
2) Если &' — другое покрытие указанного типа и
х? — подчиненное ему разбиение единицы, то
3) ?с/?и А измеримо по Жордану и /: Л —> R инте-
интегрируема, то это определение f согласуется со ста-
А
рым.
Доказательство. 1) Пусть А содержится в зам-
замкнутом параллелепипеде В и |/(х)|<;УИ для всех х ? Л.
Тогда | ф/ | -С ^'f ф. Поэтому для всякого конечного
А	А
семейства F с Ф
Заметим, что праиая часть имеет смысл, поскольку F ко-
конечно. Но на В мы имеем ^,ф-^ ^.ф<^1. Поэтому
). Таким
1 Ы
iff/-" Л
довательно, и У U/ сходятся.
образом, 2^ j ф/
а сле-
2) Если W — еще одно разбиение единицы, то функ-
функции фт|) со всевозможными Ф^Ф и ^^Y образуют раз-
разбиение единицы. Но ф./ = 0 всюду, кроме некоторого
компактного множества С, и существует только конечное
число функций г|) ? W, не равных тождественно нулю на С.
Поэтому мы вправе написать, что
-S J
и на том же основании последнее выражение равно
11 v.

84	3. Интегрирование
3) Для каждого е > 0 существует (задача 3.22) такое
компактное измеримое по Жордану множество С с А, что
I 1 < 8. Существует только конечное число функций
А\С
ф ? Ф, не равных тождественно нулю на С. Для любого
включающего их конечного семейства F с Ф имеем
A	(f С F А
/=	Л\С
Таким образом, J^ Г ф/= J /• I
(f f Ф .4	А
Задачи
3.37.	Пусть /: @, 1)-»R — неотрицательная непрерывная
функция. Показать, что I / существует тогда и только тогда,
(ОЛ)
]-ё
когда существует lim /.
е->0 J
е
3.38.	Пусть Ап = [1 — 1/2", 1 — 1/2" + 1]. Предположим, что
/: (О, 1)->R удовлетворяет условию Г/ = (—1)"(—) (п = 1,
Ап
2, ...). Показать, что / не существует, но
@,1)
lim f / = In 2.
е->0 J
(е, 1-е)
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ
Если g: [a, #]->-R — непрерывно дифференцируемая
функция и /: R—>R непрерывна, то, как хорошо известно,
J /= \(f°g)-g'.
г (а) «

Замена переменной	85
Доказательство весьма несложно: если F' = /, то (F о g)' =
z=(f°g)-g'\ таким образом, слева стоит F{g(b)) —
—	F(g(a)). а справа F ° g{b) — F *g(a) = F{g{b)) —
—	F(g(a)).
Предоставляем читателю показать, что если g взаимно
однозначно, то рассмотренную формулу можно переписать
в виде
J /= \f°g-\g'\
g[[a,b))	(a,b)
(Рассмотреть отдельно случаи, когда g возрастает и когда
g убывает.) Обобщение этой формулы на высшие размер-
размерности отнюдь не тривиально.
3.13. Теорема. Пусть A cz R" — открытое мно-
множество и g: A—>R" — такая взаимно однозначная не-
непрерывно дифференцируемая функция, что deig' (x) ф О
для всех х?А. Тогда
J/= j(f°g)\detg'\
g(A)	A
для любой интегрируемой функции /: g(A)->R.
Доказательство. Начнем с нескольких важных
замечаний.
A) Предположим, что А обладает таким открытым
покрытием <д, что
g(U)	U
для каждого U ?@ и любой интегрируемой функции /.
Тогда теорема верна для всего А. (Так как g автомати-
автоматически взаимно однозначна на некоторой открытой окрест-
окрестности каждой точки, то не удивительно, что это един-
единственная часть доказательства, использующая взаимную
однозначность g на всем А.)
Доказательство A). Семейство всех g(U) обра-
образует открытое покрытие g(A). Пусть Ф — разбиение еди-
единицы, подчиненное этому покрытию. Если ф = 0 вне g (U),
то, поскольку g взаимно однозначно, (ср/) о g = 0 вне U.

86	3. Интегрирование
Поэтому равенство
f ф/ =
U
можно переписать в виде
jq>/=
j \
g(A)	A
Следовательно,
я (Л) фсф г И)
<|5?Ф Л	Л
Замечание. Теорема следует также из предполо-
предположения, что
f/= J
для всех V из некоторого покрытия g (А). Это вытекает
из утверждения п. A), примененного к g-1.
B) Достаточно доказать теорему для функции /=1.
Доказательство B). Если теорема верна для
/=1, то она верна и для постоянных функций. Пусть
V — параллелепипед в g(A) и Р — его разбиение. Для
каждого параллелепипеда 5 этого разбиения обозначим
через fs постоянную функцию со значением ms(f). Тогда
SS
J
SMS
S g ' (Int S)

Замена переменной	87
Так как Г / — верхняя грань всех L(f, Р), то этим дока-
v
зано, что Г / <; I (/ ° g) | detg-' |. Аналогичное рассу-
ждение, в котором fs = Ms (/), показывает, что [ / >¦
v
^ I (/ ° ЮI det g' |. Справедливость утверждения еле-
дует теперь из приведенного выше замечания.
C)	Если теорема верна для g: A ->R" и h: B->Rn,
где g(A)c:B, то она верна и для hog: A->R",
Доказательство C).
J /= J /= J С/ о А) | det А' | =-
J о Л) о g-] [ | det /г' | о g-] | det ,§-'
А
= / / ° (Л о g") | det (Л о g')' ].
л
D)	Теорема верна для линейного отображения g.
Доказательство D). В силу A) и B) достаточно
показать, что
= J
А
g (U)	U
для всякого открытого параллелепипеда U. Но это за-
задача 3.35.
Сопоставление п. C) и D) показывает, что для любого
фиксированного а ? А можно считать g' (а) единичной
матрицей. В самом деле, если Т — линейное отображение
Dg{a), то (Т~х ° g)' (а)=:/. Так как теорема верна для Т,
то если она верна для Т~1 о g, она будет верна для g.
Теперь уже все подготовлено для доказательства теоремы,
которое проводится индукцией по п. Замечания, предшество-
предшествовавшие формулировке теоремы в соединении с A) и B),
доказывают справедливость теоремы для случая п=\.

3. Интегрирование
Предполагая, что теорема верна для размерности п—1,
докажем, что она справедлива и для размерности п. Нам
нужно только найти для каждой точки а?А содержащее
ее открытое множество U сг А, для которого теорема
верна. При этом можно считать, что g' (А) = /.
Определим h: /1->R", положив h \х) = (gl (x), ...
..., g"~l (х), х"). Тогда h'{a) = l. Следовательно, в не-
некотором открытом множестве U', таком, что а ? ?/' с: А,
функция h взаимно однозначна и det ti (х) Ф 0. Определим
теперь k: h (U1) ->R", положив k(x) = (x1	xn~l,
g" (h (x))). Тогда g = k о h n g представлено в виде
композиции двух отображений, каждое из которых изме-
изменяет меньше чем п координат (рис. 3.3).
Рис. 3.3.
Остается позаботиться о некоторых деталях, которые
обеспечат, чтобы k была функцией нужного вида. Так
как {gn о h~l)\h (a)) = (gn)f (a) ¦ \ti (a)] = (gn)' (а), то
Dn{gn°h-l){h{a)) = Dngn{a)=\, так что k'(h(a))=f.
Поэтому в некотором открытом множестве V, таком, что
h(a) ? V cr h (U1), функция k взаимно однозначна и
det k' (jc) Ф 0. Полагая U — h~l(V), имеем теперь g —
= koh, где h: U ->R", k: V ->R" и h(U)cV. Со-
Согласно C), достаточно доказать теорему для h и k. Мы
дадим доказательство для h; доказательство для k анало-
аналогично, но легче.
Пусть W cr U — параллелепипед вида D~X[an, bn],
где D — параллелепипед в R
По теореме Фубини
... dx"-]\dxn.

Замена переменной	89
где hxn. D—>R" —функция! определенная равенством
hxn(x\ ..., хп- ') = (g1 (х1	хп), ...
.... gn-x{xx	хп)).
Очевидно, Луг для каждого х" взаимно однозначна и
tet(hxn)'(.xx	xn-l) = dethr(x\ ..., х") Ф 0.
Поэтому применение теоремы для случая п — I дает
J 1 = [ / Г 1 dxl ... йхп-Лйхп =
V
=	/ С det (hxnY (x1	xn~l
= f / f | det h' (x1, ..
\ J
= J | det ft' |. |
Условие &z{g'{x)=fc§ можно исключить из предполо-
предположений теоремы 3.13, если воспользоваться следующей
теоремой, часто играющей непредвиденную роль.
3.14. Теорема Сарда, Пусть A czR* --открытое
множество, g: A —> R4 — непрерывно дифференцируемая
функция и В = {х ? A: det^'(x) = 0}. Тогда g(B) имеет
меру 0.
Доказательство. Пусть U cz A — замкнутый па-
параллелепипед, все ребра которого имеют одинаковую
длину, скажем /, и е > 0. Если N достаточно велико и U
разбит на N" параллелепипедов с ребрами длины //Л/,
то для каждого из этих параллелепипедов 5 и каждого
х ? 5 имеем
\Dg(x)(y-x)-g(y) — .
для всех у ? 5. Если 5 пересекается с В, то можно вы-
выбрать x?Sfl#; поскольку det^'(x) = 0, множество
{Dg(x)(y — х): y?S) лежит в некотором (п — 1)-мерном
подпространстве V пространства R". Поэтому множество

90	3. Интегрирование
[ёУ) ё(х)'- >'€.$} содержится в е }/п ///V-окрестности
этого подпространства1) V и, значит, {g(y): .>'€>$} со-
содержится в е Yn (^/^-окрестности (п—1)-мерной пло-
плоскости V -\- g (x). С другой стороны, в силу леммы 2.10
существует такое число М, что
Таким образом, если S пересекается с В, то множество
{g(y): У6^} содержится в цилиндре, высота которого
меньше, чем 2е ]/"л (//ЛГ), а основанием служит (л— 1)-
мерная сфера радиуса меньше М Yn ijN. Объем этого
цилиндра меньше C(ljN)n?, где С — некоторая константа.
Но существует не более N" таких параллелепипедов 5.
Поэтому g (U {] В) содержится в множестве объема, мень-
меньшего, чем С {ljN)n sNn = Cl"e. Поскольку это верно для
всех 8 > 0, множество g (U П В) имеет меру 0. Так как
(задача 3.13) А можно покрыть последовательностью та-
таких параллелепипедов U, то требуемый результат следует
из теоремы 3.4. |
Теорема 3.13 является в действительности лишь самой
простой частью теоремы Сарда. Формулировку и доказа-
доказательство полного более глубокого результата можно найти
в [12, стр. 47].
Задачи
3.39.	Используя теорему 3.14, доказать теорему 3.13 без
предположения, что det g' (х) Ф 0.
3.40.	Пусть g: Rn -> R" и g' (x) =fc 0. Доказать, что в неко-
некотором открытом множестве, содержащем х, имеет место равенство
g = T°gn° ¦. .offi, где g/имеют вид ?, (х)=(х1	/((х)	хп),
а Т — линейное отображение. Показать, что g — gn° ¦ ¦ -° S\
тогда и только тогда, когда g' (x)—диагональная матрица.
3.41.	Определим /: {г. г > 0} X @< 2it)->-R2 равенством
/(г, 9) = {г cos 6, A-sInG).
а) Показать, что / взаимно однозначно, вычислить /' (г, 9)
и показать, что det /'(г, б) ^=0 для всех (г, в). Показать, что
/ ([г. г > 0) X @' 2я)) есть множество А из задачи 2.23.
') Под р-окрестностью множества О cr R" понимается множе-
множество {}'?/?": \у —х\ <р для некоторого х ? О). — Прим. перев.

Замена переменной
&1
б) Пусть Р = /- !. Показать, что Р (х, у)^= (г (х, у), 6 (х, у)),
где
r{x, y)=*
е (х, у) =
arctgf,
если аг > О,
я-1-arctg—, если х < О,
я
Т'
з
если х = 0, у < О,
если jc = 0, у < О.
Найти Р' (х, у). Функция Р называется системой полярных
координат на А.
в) Пусть С cz A — область, заключенная между окружностями
радиусов гх и г2 и лучами, исходящими из нуля и образующими
с осью х углы 0, и 02. Показать, что если Л: А -> R, где
Л (¦*. У) = ? (/• (-«г, у), 6 (л:, у)), то
Г Л= f Г rg(r,'Q)dQdr.
с	9
с г, 9,
Показать, что если ?г = {(л:, у): х2 -|- У2 < гг\, то
г 2я
f Л = Г
- (r, 9) аГО rfr
о о
г) Пусть Сг = [— г, г] X [—г< г\ Показать, что
J e-^+^dxdy = 7i{\~e-Tl)
т
Доказать, что
lira f e-^+Л dx dy == lim f в-С+У1) dx dy
и вывести отсюда, что
J
(.Математик — это тот, для кого справедливость этого ра-
равенства так же очевидна, как дважды два — четыре". —Кель-
—Кельвин.)

4
Интегрирование по цепям
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АЛГЕБРЫ
Пусть V — векторное пространство (над R). Через Vk
будет обозначаться й-кратное произведение V X • • • X I7-
Функция Т: Vй—>R называется полилинейной, если для
всякого /, 1 <^ i <; k, имеем
^ (©!	avt	vk)=aT (vv . . . vi	vk).
Полилинейная функция T: Vk —>R называется k-тензором
на V, а множество всех ^-тензоров, обозначаемое 0к(У),
становится векторным пространством (над R), если для
каждой пары S, T ?gk (V) и каждого а ? R положить
E4-^)(«i	wA) = 5(w1, .... w^ + r^p .... vk).
(aS){vl	vk) = aS{vx	vk).
Существует также операция, связывающая различные про-
пространства ?}к (V). А именно, пусть 5 ? $к (V) и T'^^'(V);
тензорное произведение S ®Т ?0Ь+1 (V) определяется
формулой
Заметим, что порядок сомножителей S ц Т здесь сущест-
существен, поскольку 5®Г и Г®5 отнюдь не равны. Дока-
Доказательства следующих свойств операции ® предоставляем
читателю в качестве легких упражнений:
(S1 + S2)®T = S1 ®Г + 52® Г,
5 ® (Г, -|- Г2) = 5 ® Г, + 5 ® Г2,
7=5® (йГ) = йE® 7),

Предварительные сведения из алгебры	93
(S g) T) g) ?/ и 5 g) (Г (g. U) обозначают обычно просто
5 ®Т (gi U; аналогично определяются произведения выс-
высших порядков Тг g) .. . g) Г4.
Читатель, вероятно, уже заметил, что с?1 (V) есть про-
просто сопряженное пространство V*. Операция ® позволяет
представить остальные векторные пространства 0k (V)
через &Л<У).
4.1. Теорема. Пусть vv ..., vn — базис про-
пространства V и фр ..., фя — дуальный базис сопряжен-
сопряженного пространства, ф/('У/-) = б^. Тогда множество всех
тензорных произведений k-го порядка
ф/, ® ¦ • • ® Ф/Л A < h	h < »)
является базисом пространства ?fk (V), которое в силу
этого имеет размерность пк.
Доказательство. Заметим, что
f 1, если ./, = *!, ..., Л = ^.
\ 0 во всех остальных случаях.
Если дано & векторов wl	wk, где wt = 2 ^гу^;-, то
для любого Г ^ ^* (V) имеем
2 К
iv...ik=\ ч
Следовательно,
2 в1Л ...akjjfv^, .... vJle) =
h	¦'a
	^ b)q>t ® ¦•. ® ф Awi, ..., wk).
7К	^)ф;,®..-®ф^.
так что ф^ ® ... ® ф(/г порождают ?Jk(V).
Предположим теперь, что аь	/ —числа, для ко-
которых

94	4. Интегрирование по цепям
Применение обеих частей этого равенства к (vj , . .., vjA
дает а; ,..,,; =0. Таким образом, произведения ср?- ® ...
... ® ф/ линейно независимы. Щ
На тензоры можно распространить также важную кон-
конструкцию, хорошо известную в случае сопряженных про-
пространств. Именно, всяким линейным отображением /: V —> W
определяется линейное отображение /*: 0п (W) -> 8k (V),
действующее по формуле
для любых Т ? 0* (W) и г1!	^ G V- Легко проверить,
что f(S®T) = fS®fT.
Читатель уже знаком с некоторыми тензорами, помимо
элементов из V*. Первый пример—внутреннее произве-
произведение (,) 6c72(R")- Основываясь на том, что всякий хо-
хороший предмет математического обихода заслуживает
обобщения, мы определяем внутреннее произведение
на V как 2-тензор Т, который симметричен, т. е.
Т(v, w) = T(w, v) для всех v, w^V, и положительно
определен, т. е. Т (v, v) > 0 для всех v Ф 0. Чтобы вы-
выделить ( , ) мы называем его стандартным внутренним
произведением на R". Следующая теорема показывает,
что это — не слишком далеко идущее обобщение.
4.2. Теорема. Если Т — внутреннее произведение
на V, то V обладает базисом vt	vn, для кото-
которого T{vt, vfi — bij. (Такой базис называется ортонор-
мальным относительно Т.) Следовательно, существует
такой изоморфизм /: R"--*V, что Т (/ (х), /(у)) =
*= (х, у) для всех х, у ? R". Другими словами, f*T = ( ,).
Доказательство. Пусть wv ..., wn — произ-
произвольный базис пространства V. Положим
w'x = wv
T(w[, w2)
w3)	T (w'2, w3)
T (w2, w2)

Предварительные сведения из алгебры	95
и т. д. Легко проверить, чта Т Ow'., а/') = 0, если ]ф1
и w'. Ф 0, так что Т (w'r wfy > 0. Полагаем теперь
v. =w'J\fT (w'r w'\ Изоморфизм / может быть опреде-
определен равенствами / (el) = vi, В
Несмотря на свою важность, внутреннее произведение
играет значительно меньшую роль, чем другая хорошо из-
известная чуть ли не вездесущая функция, тензор det ? 0" (R").
Имея в виду обобщение этой функции, вспомним, что
перестановка двух строк матрицы меняет знак ее опре-
определителя. Этим подсказывается следующее определение:
Л-тензор со ? 0Ь (V) называется антисимметрическим,
если
«(^1	Vt	Vj	Vk) =
= — (й(г>1, .... Vj	v,	vk)
для всех vv ..., vk?V. (В этом равенстве vt и Vj ме-
меняются местами, все же остальные v остаются на своем
месте.) Множество Aft (V) всех антисимметрических ^-тен-
^-тензоров является, очевидно, подпространством в &к (V). По-
Поскольку составление определителя требует значительной
работы, нет ничего удивительного в том, что антисиммет-
антисимметрические тензоры трудно выписывать. Существует, однако,
единообразный способ записи каждого из них. Напомним,
что подстановке о приписывается знак -f-1, если она чет-
четная, и — 1, если она нечетная; знак этот обозначается
символом sgn 0. Пусть Т ? 0к (V). Определим Alt (Г) ра-
равенством ')
A[t(T)(vv .... vk) = -
где Sfc — множество всевозможных подстановок чисел
1,2	k.
4.3. Теорема.
1)	Если T?gk(V), mo Alt (Г) ? А" (V).
2)	Если «? Л* (V), mo Alt (©) = ©.
3)	Alt (Alt (Г) )= Alt (Г).
¦') Alt — сокращение от alternation (чередование). — Прим.
перев.

96	4. Интегрирование по цепям
Доказательство. A) Пусть (г, j) — подстановка,
меняющая местами числа < и j и оставляющая все осталь-
остальные на месте. Пусть o?Sk- Положим а' =а ¦ (г, j). Тогда
1
~~ fc\ .
1
~ k\ ,
(J
1
a'
2j Sgn ОТ (va (l),
2j Sgn 0/ (tV (I)
С С
^ sgn 0' W
'(¦Su
)' • • • • V<J' (k))
j, .... vk).
B)	Если to ^ Л" (V) и 0 = (i, j), то «(wa (]), .... va <*>)=
= sgna-co(fj	iift), Так как всякая подстановка есть
произведение подстановок вида (/, Д то это равенство
верно для всех а, Поэтому
Alt(co)(t>j	г»*) =-^г 2 sgn а . со (©о (и	va{k)) =
= -щ- 2 sgn ст ¦ sgn a ¦ со (vx	vk) = (o (if,	vk).
C)	Непосредственно следует из A) и B). |
Для нахождения размерности Л* (V) была бы жела-
желательна теорема, аналогичная теореме 4.1. Конечно, если
с<>?Л*(У) и ц^А'(У), то со ® t] обычно не принадлежит
A.k+i(V). Мы определим поэтому новую операцию, внеш-
внешнее произведение & Л Tl?A*+/(V), полагая
(Причина введения такого странного коэффициента выяс-
выяснится позже.) Оставим в качестве упражнения читателю
проверку следующих свойств внешнего произведения:
(со: + со2) Л Л = ©, Л Л + ©2 Л Я
© Л Oli + %) = ю Л ^1 + » Л Л2-
(йсо) Л Л = © Л (ал) = а (со Л Л).
«Aii = (-i)wnAw, Г (© Л л) = Г (») Л Г (л)-

Предварительные сведения из алгебры
Справедливо также равенство (со Д г\) Д 6 —со Л СП Л 9)>
но доказательство его требует больших усилий.
4.4. Теорема.
1)	Если S?gk(V), T?gl(V) a Alt (S) = 0, mo
Alt (S ®T) = Alt (T ®S) = 0.
2)	Alt (Alt (со® iq)® 6) = Alt (со® i\® 9) =
= Alt (со® Alt(Ti<g'8)).
3)	Если со?Л*AО. т]?Л'(К) и Q?Am(V), mo
(со Л П) Л 9 = со Д (л Д 9) = J*±i±p>L Alt (со ® л ® 0).
Доказательство.
A)
Пусть Gc5i + ; состоит из всех подстановок о, оставляю-
оставляющих на месте числа k-\-\	k-\-l. Тогда
2 sgn a • 5 (va (i)
o
= 0.
[ 2j sgn а' ¦ 5(zv (i.)	г»а- {к))\ ¦
Пусть теперь cro^G. Положим Оа0 = {аа0: а^О} и
z. Тогда
sgn O0 • 2 Sgn О' • 5 (да„- A)	«V
Заметим теперь, что О f\Ga0— 0. В самом деле, если
a ? О П Оа0, то а = а' • а0 для некоторого а' ? О и по-
потому во = а(в')~ ?0 вопреки предположению. Продол-
Продолжая так дальше, мы разобьем Sk+l на попарно непере-
непересекающиеся подмножества, сумма по каждому из которых
равна нулю, так что и суммой по всему Sk + l будет 0.
Равенство АН (Г® 5) = 0 доказывается аналогично.

4. Интегрирование по цепям
B) Имеем
АИ (АН (г] ® 9) — ц ® 8) = АИ {ц ® 6) — АИ (г\ ® 9) = 0.
Следовательно, в силу A)
0 = АИ (со ® [АИ (-л ® 9) — т] ® 9]) ==
= АИ (со ® АН (щ ® 9)) — АН (со ® ц ® 8).
Второе равенство доказывается аналогично.
C) (со А Л) А 6 = (У^ Д' АИ ((са Л
Второе равенство доказывается аналогично. В
Естественно обозначить оба произведения со А СП Л б)
и (со А Ц) А 9 просто со А Л Л б и определить произведе-
произведения высших порядков coj A W2 Л • • ¦ Л юг аналогичным
образом. Взяв теперь какой-либо базис tfj	vn про-
пространства V, можно весьма просто построить по дуальному
базису cpj, ..., фд базис для Л*(V).
4.5. Теорема. Множество всех
Ф<, Л • • ¦ Л ФгА A < *i < /2 < ••• <**<«)
является базисом пространства A*(V), которое в силу
этого имеет размерность
п \	 л!
A j А! (л — k)l
Доказательство. Если со?А (V)cztf (У), то
можно написать
СО — ^- &[	i ф; ® . . , ® ф; •
h	'¦* '	* '	*
Поэтому
со = АН(со)=: 2 ai	'*А^(<Р/ ®-'- ® Ф^)-
Так как каждое АИ^ф( ® ... ® фг ) отличается от соот-
соответствующего внешнего произведения ф( А • • • Л ф/А
лишь постоянным множителем, то эти произведения по-

Предварительные сведения из алгебры	99
рождают Л* (V). Их линейная независимость доказывается
как в теореме 4.1 (см. задачу 4.1I). |
Из теоремы 4.5 следует, что если V имеет размер-
размерность п, то А" (V) имеет размерность 1. Таким образом,
все антисимметрические «-тензоры на V являются крат-
кратными любого ненулевого из них. Так как примером та-
такого тензора служит определитель, то неудивительно по-
появление его в следующей теореме.
4.6. Теорема. Пусть vx	vn — базис про-
пространства V и a>^An(V). Для любых п векторов wl=
п
— 2 aif°j из V имеем
ю (да,, .... wa) = def (al}) ¦ со (vv .... ©„).
Доказательство. Пусть Ц^_0"(Кп) определено
равенством
Ц((ап	«!„)	К,, .... апя)) =
Очевидно, T)^A"(R"), так что г\ = Х ¦ det для некоторого
A и А- = л («1	en) = v>(v1	-vn).
Теорема 4.6 показывает, что ненулевой тензор со ? Л" (V)
разбивает базисы пространства V на две группы: тех базисов
v1	v„, для которых (i)(vl,..., vn) > 0, и тех, для ко-
которых со (v1	vn) < 0. Если vv . . ., vn и wv . . ., wn—
n
два базиса и А = (а;/-) — матрица перехода wt = 2 aipj<
') Как показывает условие 1 < г, < г2 < ¦ • ¦ < '"* < я, в тео-
теореме 4.5 предполагается, что Л <! п. Однако из доказательства
теоремы видно также, что если k > п, то Ak (V) = {0}. В самом
деле, при перестановке множителей ср. и ср, произведение
р	я
Ф; Л . • • Лф; умножается на — 1. Но если k > n, то, поскольку
г,	/^ — натуральные числа, не превосходящие л, найдутся
неравные индексы р и ^, для которых ip = /?. Поэтому ф; Л ...
... A Wi всегда равно 0. — Прим. ред.

100	4. Интегрирование по цепям
то vv . . ., vn и wv .. ., •wn принадлежат одной и той же
группе тогда и только тогда, когда det Л > 0. Этот кри-
критерий, не зависящий от со, всегда можно использовать
для разбиения базисов пространства V на две группы.
Каждая из этих двух групп называется ориентацией про-
пространства V\— Ориентация, содержащая базис vv ..., vn,
будет обозначаться символом [v1	vn\, а вторая ориен-
ориентация— символом — [vv .... vn]. Стандартной ориен-
ориентацией пространства R4 будет называться [ех	еп].
Тот факт, что dim A"(R") — 1, вероятно, не покажется
новым, поскольку det часто определяется как единствен-
единственный элемент co?An(Rn), для которого со (е,	еп)=1.
В случае общего векторного пространства V нет ника-
никакого критерия подобного рода для выделения особого
e>?A"(V). Предположим, однако, что на V задано внут-
внутреннее произведение Т. Если v1	vn и wv . . ., wn —
два базиса, ортонормальные относительно Т, и А = (а^)—
п
матрица перехода wl = 2 a4vi' T0
6U = Т (wt, wj) = ^StaikOjiT {vk, vt) = 2в«вд.
Другими словами, обозначая через АГ матрицу, транспо-
транспонированную к А, имеем А-Ат = 1, так что det/l= + l.
Из теоремы 4.6 следует, что если co?A"(V) таково, что
a>(vv ..., г»я) = ±1, то и соОгг^, ..., wn) = ±\. Если
на V задана еще ориентация ц, то отсюда следует, что
существует единственное u)?An(V) такое, что w(vv ...
..., vn) = 1 для всякого ортонормальыого базиса vlt ...
..., vп, у которого [tfj, . . ., vn] = \i. Это единственное со
называется элементом объема пространства V, определяе-
определяемым внутренним произведением Т и ориентацией \i. Заме-
Заметим, что det есть элемент объема пространства R", опре-
определяемый стандартным внутренним произведением Т и стан-
стандартной ориентацией ц, и что | det(t>,, . .., vn) \ есть объем
параллелепипеда, натянутого на прямолинейные отрезки,
соединяющие 0 с каждой из точек vv . ,,, vn.
Мы заключим этот параграф рассмотрением одной
конструкции, которое мы проведем лишь для V = R".

Предварительные сведения из алгебры
101
Пусть vv x>2	vn^1^Rn и ф определено равенством
= det
w
Так как ф ? Л1 (R"), то существует единственное z ? R",
такое, что
«1
w
Это z обозначается символом w, X ••• Х^я-i и назы-
называется векторным произведением векторов vv ¦ ¦ ., vn^v
Из этого определения непосредственно вытекают следую-
следующие свойства векторного произведения:
... Х'»(я-1) = Sgtl О
,	i
г>, X • • • X («, + V.) X • • • X vn_x = vx X ¦.. X vt X ..
В математике редко имеют дело с „произведениями", за-
зависящими более чем от двух „сомножителей". В случае
двух векторов v, w ? R3 получаем более привычно выгля-
выглядящее обычное произведение vX^^R3. По этой при-
причине часто утверждают, что векторное произведение мо-
может быть определено только в Ra.
Задачи
4.1*. Пусть еь ..., еп—стандартный базис в R" и
дуальный базис.
) П
<р„ —
а) Показать, что <р, Л ••• Л ф,- (е, , ..., е, )— 1. Какой
была бы правая часть, если бы в определение Л не входил
(*-МI 1
множитель , ' ' ?
я I {I

102	4. Интегрирование по цепям
б) Показать, что ф, Л ... Л Ф/ (yi	vk) есть минор
матрицы
, получающийся при оставлении столбцов с ин-
дексами iit..., i^.
4.2.	Пусть /: V ~>V— линейное отображение-и diinF = rc.
Тогда /*: А" (V)-> А" (V) должно быть умножением на некото-
некоторую константу с. Показать, что с = det /.
4.3.	Показать, что если a?An(V)— элемент объема, опре-
определяемый Т и (х, и о»!, ..., wn?V, то
Hwl	wn) I = V"det (8ц) -
где ?Г(,- = T(WpW \ (Указание: показать, что если »,, ..., fn —
«	п
ортонормальный базис и wi=^ianvi< T0 gt ¦ = 2 aikak -
j = l	fe=l
4.4.	Пусть со — элемент объема в V, определяемый Т и \i,
и /: R"—> V — изоморфизм, для которого f*T — {,) и [/ (е,), ¦. •
/ ()] = V- Показать, что /*со = det.
4.5.	Показать, что если с: [0, 1] ->(R")" непрерывно и каждое
(с1 @	c"(t)) есть базис в R", то [с' @), ..., с" @)] =
= [с1 A), ..., с" A)]. (Указание: рассмотреть detoc.)
4.6.	а) Что означает v X> если v?R2?
б) Показать, что если vlt ..., ii/j-i^R" линейно независимы,
то [vh..., vn_u vx X ••• X(l«-i] есть стандартная ориента-
ориентация в R".
4.7.	Показать, что всякое ненулевое ю?Лл(У) является эле-
элементом объема, определяемым некоторым внутренним произ-
произведением Т и ориентацией ц.
4.8.	Пусть со ? Л" (V) — элемент объема. Выразить вечторное
произведение v, X ••• Х'л-i через ш.
4.9*. Вывести следующие свойства векторного произведе-
произведения в R3:
eiX^s = — e2,
б)	f X w = (f 2w3 — vsw2) ex -\- (v%wx — vlws) e2 -(-
-(-(u'w2 — v^w1) e3.
в)	| v X я" I = I v I I я" I sin 9, где 9 = /_ (v, w),
(v X(»,d) = (»X w> да) — 0-

Поля и формы	103
г)	(v, и>Хг) = <>. «Х») = <*. » X»).
f X (w X г) = (v> z) w — (v, w) z,
(v X w) X z = {*>> *) w — (w, г) и.
д)	I г; X w I = V~(v' v) • (w< w) — {v, wJ.
4.10. Пусть wl% ..., wn_,?Rn. Показать, что
где g-f. = (wr w \. (Указа ни е: применить задачу 4.3 к над-
надлежаще выбранному (п — 1)-мерному подпространству в R".)
4.11.	Пусть Т — внутреннее произведение на V. Линейное
отображение /: V->V называется самосопряженным (относи-
(относительно Т), если Т (х, f (у)) = Т (/ (х), у) для всех х, у ? V.
Показать, что если А — (ац) — матрица Т относительно орто-
нормального базиса vu ..., vn, то at) = aji.
4.12.	Пусть /	/n_I:R"l->Rn. Определим /,Х • •¦ Xfn-i-
Rm -у R" формулой /i X • • • X /я-1 O>) = /i (/>) X • • • X /я-1 (P)-
Используя задачу 2.14, вывести формулу для D (/, X • • • X/n-i)-
ПОЛЯ И ФОРМЫ
Пусть /; ? R". Множество всех пар (/7, w), где г> про-
пробегает R", будет обозначаться Rp и называться касатель-
касательным пространством к R" в точке р. Это множество
можно очевидным образом превратить в векторное про-
пространство, положив
(р, v) + (p, ¦w) = (p, v-\-w),
а(р, v) = (p, av).
Вектор v ^ R" часто изображают в виде стрелки с началом 0
и концом v; вектор (р, v)?R" можно изображать (рис. 4.1)
в виде стрелки с теми же направлением и длиной, но с на-
начальной точкой р. Эта стрелка идет от р до p-{-v, и мы
поэтому будем называть точку р -\- v концом вектора (р, Ь).
Вместо (р, v) мы будем обычно писать vp (читается:
вектор v, приложенный в р).
Векторное пространство Rp находится в столь близком
родстве с R", что многие структуры в R" имеют аналоги
в Rp. В частности, стандартное внутреннее произведе-
произведение ( , )о на R^ определяется равенством (vp, wp)p = (v, w),

104
4. Интегрирование по цепям
и за стандартную ориентацию на R? принимается
Любая операция, возможная в векторном пространстве,
может быть произведена в каждом Rnp, и ббльшая часть
Этого параграфа представляет собой просто разработку
р+и
Рис. 4.1.
этой темы. Пожалуй, простейшей операцией в векторном
пространстве является выбор в нем вектора. Если такой
выбор произведен в каждом Rp*, то получаем векторное
поле (рис. 4.2). Говоря более точно, векторное поле—это
функция F, относящая каждому р ? R" вектор F (р) ? Rp.
Для каждого р существуют тогда такие числа F1 (р), .. .
.... Ря(р), что
F (р)
(р)
" (р) • (еп)р.
Таким образом мы получаем п координатных функций
Fl: R"->R. Векторное поле F называется непрерывным,
дифференцируемым и т. д., если таковы функции F1.
Аналогичные определения могут быть даны для векторных

Поля и формы	105
полей, определенных на открытых подмножествах из
R". Операции над векторами порождают соответствую-
соответствующие операции над векторными полями, производимые
* \-*/Л^-/ / . \ I, /
Рис. 4.2.
поточечно. Например, если F и G — векторные поля и
/ — функция, то полагаем по определению
Если F,	Fn-i — векторные поля на R", то можно
аналогичным образом положить по определению
Приведем еще несколько полезных стандартных опре-
п
делений. Дивергенцией div F поля F называют 2 DtFl.
Введя формальный символ

106	4. Интегрирование по цепям
можно написать символически divF = (V, F). При п =
пишем в соответствии с этой символикой
(V X F) (Р) = (D2F* -
Векторное поле V X Р называется вихрем (или ротором)
поля F и обозначается curl F. Названия „дивергенция"
и „вихрь" получены из физических соображений, которые
будут указаны в конце книги.
Многие аналогичные рассмотрения могут быть приме-
применены к функции <о, относящей каждой точке p?R" тензор
<й(/'N Л (Rp); такая функция называется формой k-й сте-
степени на R" или просто дифференциальной формой.
Обозначая через ф5 (р)	фл (р) базис, дуальный
к (е})р	(еп)р, имеем
2	^О) Л ••• A<P
где сй(	i —некоторые функции. Форма <о называется
непрерывной, дифференцируемой и т. д., если таковы все
функции <О; ••••>'*• Формы и векторные поля обычно будут
неявно предполагаться дифференцируемыми, а под диффе-
ренцируемостью с этого момента будет подразумеваться
принадлежность классу С°°; это упрощающее предположе-
предположение избавит нас от необходимости подсчитывать, сколько
раз в процессе доказательства продифференцирована та или
иная функция. Определения суммы сэ—}—т], произведения /со
и внешнего произведения <оДт] очевидны. Скалярная функ-
функция / рассматривается как форма нулевой степени, и /to
записывается также в виде /До.
Если /: R"-^R дифференцируема, то Df(p)? Л1 (R").
Небольшая модификация приводит тогда к форме первой
степени df, определяемой равенством
Рассмотрим, в частности, формы первой степени dnl.
Вошло в обычай пользоваться для функции л' обозначе-
обозначением х1 (в случае R3 вместо х1, х2 и х3 часто пишут х, у
и z). Эта стандартная запись имеет очевидные недостатки,

Поля и формы	107
но она позволяет выражать многие классические резуль-
результаты формулами столь же классического вида. Так как
dxl (p) (vp) = dnl (p) (vp) = Dnl (p) (v) = л' (v) = vK то мы
видим, что dxl(p), ..., dxn(p) есть не что иное, как
базис, дуальный к (е:)р	(еп)р- Таким образом, всякую
форму &-й степени со можно записать в виде
«
== 2 и/,	(/-«''Л ••• f\dxl*.
Особый интерес представляет выражение для df.
4.7. Теорема. Если /: R" -+ R дифференцируема, то
d/ = D1/.rf*1+ ... +Dj.dx".
В классической записи:
Доказательство, df(p)(vp) = Df(p)(v) —
i	i
Пусть теперь задано дифференцируемое отображение
/: R"-^-Rm. Для всякого p?Rn оно порождает линейное
отображение Df(p): R"->-Rm. Вновь несколько модифи-
модифицируя его, получаем линейное отображение ft: Rp-^-R/(p).
определяемое равенством
f.(vp) = (.Df(p)(v))ftp).
Это линейное отображение индуцирует линейное отобра-
отображение /*: Л* (R/ (р)) -> Л* (Rp). Поэтому каждой форме
&-й степени со на Rm можно отнести форму &-й степени
/*со на R", полагая (/*со) (р) = f* (со-(р)), т. е.
для всякого набора
[) Если ш — форма нулевой степени, то под /*(и), есте-
естественно, понимается <в°/. — Прим. ред.

108	4. Интегрирование по цепям
В качестве противоядия к абстрактности этих определе-
определений приведем теорему, резюмирующую важные свойства ото-
отображения f и позволяющую в явном виде вычислять /*(оз).
4.8. Теорема. Если /: R"->Rm дифференцируемо, то
A)
B)	Г(со1 + со2) = Г(со
C)	/*(g ¦ со) = (gо/)•/»,
D)	f (со Л Л) = Г («) Л Г 01)г).
Доказательство.
A) Г (dxl) (p) (vp) = dx> (/ {p)) (Д (vp)) =
= dxl (/ (p)) ( S D/i (p) v>
= i o/ (p) tf'=
B), C) и D) предоставляем доказать читателю. |
Повторно применяя теорему 4.8, получаем, например,
f (P dx^ /\<*x2j\-Qdx2 Л dx*) =
= (Р« /) I/* (^^J) Л Г (dx2)] -4- (Q о /) [/* (rfjcS) Д Г С**3)].
Выражение, получающееся при раскрытии каждого /* (dx*),
довольно сложно. (Полезно, однако, помнить, что
dxl Л dxl = (—1)</л:'Л^->::г==0-) Рассмотрим специальный
случай, где стоит провести такое явное вычисление.
4.9. Теорема. Если /: R"->R" дифференцируемо, то
f(hdxl Л ••• Adxn) = (hof)(detf')dxl/\ ... Adx\
Доказательство. Так как
') Одним и тем же символом /* обозначены здесь три,
вообще говоря, разных отображения. — Прим, ред.

Поля и формы	109
то достаточно показать, что
/•(<**'Л ¦•• Arf*") = (det/')rf*IA .... f\dxn.
Пусть /> ? R" и Л = {atj) — матрица /' (р). Будем здесь
и дальше, где это удобно и не может привести к пута-
путанице, опускать р в dxl/\ ... /\йх"{р) и подобных
выражениях. Тогда
/•(</*'Л ... Adxn){ex	*„) =
= dx> Л ... Л dx11 (/,«!	/,ея) =
n	n
	 2 <*„/«! =
1 /
согласно теореме 4.6. |
Важной конструкцией, связанной с формами, является
обобщение оператора d, переводящего формы нулевой
степени в формы первой степени. Пусть
10= 2 «/, tdx'i A ... Л <**'*•
Определим форму {k-\- 1)-й степени doo, дифференциал со,
равенством
= S
/„ .... t.)-dxa Adx't A ¦••
4.10. Теорема.
A)	rf(co + Ti)
B)	?с^и со— форма k-й степени, то
n) — dd)A n-f (—1 )* со Л
C)	tf(uto) = 0. Кратко, d2 = 0.
D)	?сла со — дбо/?ла ft-й степени на Rm a /: R" -> Rm
дифференцируемо, то /*(fifa>) ==rf (/*co).
Доказательство.
(l1) Предоставляем читателю.

НО	4. Интегрирование по цепям
B)	Формула верна для а> = с1х'1 /\ ... f\dxlb и
t\ = dxl1 Д . .. Л dx}i, поскольку все члены обращаются
в 0. Справедливость формулы легко проверяется, когда
«— форма нулевой степени. Формула для общего случая
получается из A) и этих двух утверждений.
C)	Так как
П
2	i A ...
rfffl =
то
Но в
и
этой
2
•¦¦<'*
сумме
\Da
п
2
а = 1
:(Wi,,..
п
2 А
р-1
г, р(и
члены каждой
i \ dx^ Д dxa /
v-0
пары
v ??л-'' Л
л ^^а л
взаимно уничтожаются.
D) Это очевидно, если со — форма нулевой степени').
Предположим по индукции, что D) верно, когда ю — форма
&-й степени. Достаточно доказать D) для формы (A-f- 1)-й
степени вида со Л ^'- Имеем
У (d (со Л rf*')) = Г (da Д rfjc' + (—1)* аЛ^ (fix*)) =
= Г (do> Л dxl) = f (da) Л /* (dxl) =
Л /* (</*')) = d (Г (со Л dxl)). |
') Приведем все же доказательство. Применяя теоремы 4.7,
4.8 и 2.9, получаем
I m	\ m
/* (dco) = Г 2 Д«« • dxa U ^ (Oafflo/) /* (dxa) -
\a=l	/ o-l
= 2 И^'ЛУ'^-»
a-l0-1
= 2 DP (co°/) d-vli = d («о/) =
p-i
— Прим. ред.

Поля и формы	111
Форма называется замкнутой, если Ло=О, и точной,
если a>=dt] для некоторого ц. Теорема 4.10 показывает,
что всякая точная форма замкнута, и естественно спросить,
не будет ли, и обратно, всякая замкнутая форма точна.
Если со — форма первой степени Р dx -\-Q dy на R2, то
da = (DtP dx -4- D2P dy) /\ dx+(DXQ dx+DZQ dy) Д dy =
= (D,Q — D2P) rfx Д Пу-
Путаним образом, если Ло = О, то D,Q — D2P. Задачи 2.21
и 3.34 показывают, что на R2 существует такая форма
нулевой степени /, что со = df = DJdx -f- D2f dy. Однако
если со определено только на подмножестве R2, то такой
функции может не существовать. Классическим примером
является форма
определенная на R2 \ 0. Эта форма обычно обозначается dH
(где 9 определено в задаче 3.41), так как (задача 4.21)
она равна dQ на области {(*, у): х < 0 или х .> 0 и у Ф 0)
определения 9. Заметим, однако, что Э нельзя определить
непрерывным образом на всем множестве /?2\-0. Если
со — df для некоторой функции /: R2 \ 0 —>R, то Dxf = D$
и D2/ = D29, так что / = 6-)-const, а это показывает,
что такого / существовать не может.
я
Предположим, что (a='^i<S)ldx1' — форма первой сте-
л
пени на R", оказавшаяся равной d/= 2 DJ dxL. Очевидно,
можно считать, что /@) = 0. Как в задаче 2.35, имеем
1	1 я
О 1-1
1 п
0 i-l

112
4. Интегрирование по цепям
Это наводит на мысль, что для отыскания / по задан-
заданному о следует рассмотреть функцию /со, определяемую
равенством
1 п
/о (х)= [ 2 И; (tx) ¦ х' dt,
Заметим, что для того, чтобы определение /со имело смысл,
нужно лишь, чтобы о) было определено на открытом
Рис. 4.3.
множестве AczR", обладающем тем свойством, что вместе
со всяким х ? А весь прямолинейный отрезок, соеди-
соединяющий 0 и л;, содержится в А. Такое открытое мно-
множество называется звездным относительно 0 (рис. 4.3).
Довольно сложное вычисление показывает, что (на звезд-
звездном открытом множестве) равенство со = d (/со) действи-
действительно имеет место, лишь бы со удовлетворяло необходи-
необходимому условию d(x> = Q. Это вычисление, равно как и
определение /со, можно значительно обобщить.
4.11. Теорема (лемма Пуанкаре). Всякая
замкнутая форма на открытом множестве AczR",
звездном относительно 0, точна.

Поля и формы	113
Доказательство. Мы определим функцию /, отно-
относящую всякой форме 1-й степени некоторую форму
(I — 1)-й степени (для каждого /) так, что /@) = 0
и (о = / (d&) -j~ d (/со) для всякой формы со. При Ло=О
будем иметь тогда со = d (/со). Пусть
СО:
S ч>1.	i.djc'« A ...
Так как А звездно, то можно положить
, <... <ttd-i
X rf*1' Л ••• Л rf*'« Л • • • Л *Л
где символ ^-^- над йл: a означает, что dx a нужно опустить.
Тождество со = / (dai) -\- d (/со) доказывается прямым вы-
вычислением. Используя задачу 3.32, имеем
r(/to) = /- 2j I* 1<B» ,-..,i, (tx) dt\ dx'1 A ...
il < ... <it vo	/
... Л dx1' -f-
I п
a-i
X xl»dxJ/\dx^ A ... /\dxia A ••• Л d*?/-
(Почему вместо Z появилось f'?) С другой стороны,
rfco= 2 2 D,(co. ,\dx' /\dx1^ A ¦•' /\dxl

114	4. Интегрирование по цепям
и, применяя I к форме (/-(-1)-й степени dm, получаем
я / 1
х
li Л •¦• /\dxiaf\ ¦•¦ f\dxli.
При сложении полученных выражений тройные суммы
взаимно уничтожаются и мы будем иметь
d (/со) -f- / (rfco) =
= S Ц ж ['Ч,
Задачи
4.13.	а) Пусть /: Rn->R'" и g: Rm -»Rp. Показать, что
б) Показать, что если /, g: R"-> R, то d(fg) = fdg-\-gdf.
4.14.	Пусть с — дифференцируемая кривая в R", т. е. диф-
дифференцируемая функция с: [0, 1]->R". Определим касатель-
касательный вектор v к кривой с в точке t формулой с* ((<?i)/) =
= ((с!)'@	 (с")'(О)С(о- Показать, что если /: R" н» Rm,
то касательным вектором к кривой f°c в точке t служит /,(»).
4.15.	Пусть /: R->R и кривая с: R -> R2 определена форму-
формулой с (<) = (/, / (i!)). Показать, что конец касательного вектора,

Поля и формы
проведенного к кривой с в точке t, лежит на касательной к гра-
графику /, проведенной в точке (t, f {t)).
4.16. Пусть кривая с: [0, lj-j-R* такова, что 1 с it) \ = 1 для
всех /. Показать, что с (t)c ^ и касательный вектор к с в точке /
перпендикулярны.
4:17. Пуеть /: R"-*!^. Определим векторное поле f фор-
мулой i(p) = f(p)p?Rnp.
а)	Показать, что любое векторное поле F на R" есть поле
вида f для некоторого /.
б)	Показать, что dlvf = tr/' !).
4.18.	Пусть /: R"-> R. Определим векторное поле grad/
формулой
(grad /) (р) = D,/ (j>) ¦ (е,);, + ... + DJ (р) ¦ {еп)р.
Очевидно, можно писать также grad / = V/. Полагая V/ (р) = wp
доказать, что Dvf (p) = (v, w), и вывести отсюда, что V/(/))
является направлением наиболее быстрого изменения функ-
функции / вблизи точки р.
4.19.	Пусть F — векторное поле на R3. Определим формы
со). = Fx dx + F2 dy -f F3 dz,
0J. = /=-1 dy A dz + F2 dz A dx + F3 dx A dy,
up = (j -|-1- -x-' j их A dy A dz.
а) Доказать, что
d D) = <
б) Используя (а), доказать, что
curl (grad/) = 0,
div (curl F) = 0.
в) Показать, что если F — векторное поле на звездном откры-
открытом множестве А и curl F = 0, то F = grad / для некоторой
функции /: А -> R. Аналогично, в случае div/? = 0 показать,
что F = curl G для некоторого векторного пола Q на А.
4.20. Пусть /: U-> R" — дифференцируемая функция, имею-
имеющая дифференцируемую обратную f~\ /((/)->R". Предпо-
Предположим, что всякая замкнутая форма на /((/) точна. Показать,
что то же верно для U. (Указание: при dm = 0 и /*со = dx\
рассмотреть С/) т|.)
:) tr /' — след матрицы /' — определяется как сумма всех
элементов, стоящих на главной диагонали. — Прим. перев.

116	4. Интегрирование по цепям
4.21*. Доказать, что
на всей области определения 9 (задача 3.41).
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ГЕОМЕТРИИ
Сингулярным п-мерным кубом в Л называется непре-
непрерывная функция с: [0, \]п—> А (где [0, 1)" означает я-крат-
ное произведение [0, 1] X ••• X [0. 1] и Л — открытое
множество в R"' с m^z>n). Обычно R0 и [0, 1]° обозна-
обозначаются символом @). Тогда сингулярный нульмерный куб
в А есть функция /:{0}—> А, или, что то же самое,—
точка в Л. Сингулярный одномерный куб часто называют
кривой. Особенно простым, но и особенно важным при-
примером сингулярного «-мерного куба является стандарт-
стандартный п-мерный куб /": [0, 1]я—>R", определяемый равен-
равенством Г(х) = х для всех х ? [0, 1]".
Нам нужно будет рассматривать формальные суммы
сингулярных /t-мерных кубов в Л, умноженных на целые
коэффициенты, т. е. выражения вида
2с, -f- Зс9 — 4сч,
где cv с2 и с3—сингулярные я-мерные кубы в Л. Такая
конечная сумма сингулярных «-мерных кубов с целыми
коэффициентами называется сингулярной п-мерной цепью
в Л. В частности, сингулярный я-мерный куб с рассматри-
рассматривается также как сингулярная /г-мерная цепь 1 • с. Сингу-
Сингулярные «-мерные цепи можно естественным образом скла-
складывать и умножать на целые числа. Например,
2 (Cl -f 3c4)-f (—2)(ci+ c3+ c2) = — 2с2 — 2
Для каждой сингулярной я-мерной цепи с в Л мы опре-
определим сингулярную (я— 1)-мерную цепь в Л, называемую
границей цепи с и обозначаемую дс. Границу для /2,
например, можно было бы определить как сумму четырех
сингулярных одномерных кубов, проходимых против часо-
часовой стрелки вдоль границы [0, I]2, как указано на рис. 4.4, а.
Но на самом деле значительно удобнее определять д12 как
сумму с указанными коэффициентами четырех сингулярных

Предварительные сведения из геометрии
117
одномерных кубов, изображенных на рис. 4.4, б. Точное
определение д/п требует некоторых предварительных поня-
понятий. Для каждого индекса i от 1 до л определим два
-J
-7
+1
Рис. 4.4.
сингулярных (п — 1)-мерных куба /(", 0) и /"(| ц следующим
образом. Для каждого х ? [О, 1]п~ положим
/(ЯЛ „(*)=/" (л1	х''-1, 0, х\ ...,	х"-1) =
= (хг	х1-1,	0, х', .... х"-1),
/-Л „(*) = /» (я1	х'-1, 1, х1		х"-1) =
= (х\ .... х'-1,	1, х'	х"-1).
Назовем /"•, щ (/, 0)-гранью /", a /J, Ч (/, 1)-гранью
(рис. 4.5) и положим
d/" = S S (-1)'+а/?Ла)
г-i о=о, 1
Для произвольного сингулярного л-мерного куба с:
[О, 1]"->Л мы сначала определим (/, а)-грань
и затем положим
i-l а, 1
Наконец, определим границу сингулярной «-мерной цепи
2 a>fii формулой

118
4. Интегрирование по цепям
Хотя этих нескольких определений достаточно для всех
приложений в этой книге, мы приведем еще одно типич-
типичное свойство символа д.
4.12. Теорема. <Э(дс) = О для всякой сингулярной
п-мерной цепи с в А. Коротко, д2 = 0.
J
tfi.»)
Рис. 4.5.
з о. Пусть
1B.0
1\г,о)
6
i
hi.t)
Рассмотрим
A,1)
(/{"а)). „. Если х ? [0, 1]"~ , то, вспоминая определение
(j, р)-грани сингулярного я-мерного куба, имеем
=/5.«С*1	*'-!. р. *'
= Г (х1	х1~\ a, xi	х1~\
Аналогично
('?./ +1. Р))(/, а) = fU + h Р) (Л", а) (•«)) =
1, а,
= 1п(х1	х1-1, а, х'	х>~1,
	хп~\
Таким образом, (/<", o))(A(J) = (/";+1>Р))(/> a) при /</ (По-
(Полезно проверить это на рис. 4.5.) Отсюда легко следует,
что (c{i Л =(с „Л при /<!у для любого син-

Предварительные сведения из геометрии	119
гулярного я-мерного куба с. Но
_j 2j (—1) с . .
.1-1 а-0,1	и>щ,
я	в—1
i-1 а-0,1 /-1 0-0,1	^ (''o)A/.P)
В эту сумму (с.. Л и (с,,,, „Л , где 1</<у<
<^ я — 1, входят с противоположными знаками. Поэтому ')
все члены попарно взаимно уничтожаются и д(дс) = О.
Поскольку теорема верна для всякого сингулярного я-мер-
я-мерного куба, она верна также для любой сингулярной я-мер-
ной цепи. |
-Естественно задаться вопросом, верно ли обращение
теоремы 4.12, т. е. веегда ли при дс =¦ 0 им*вт§я сингуляр-
сингулярная я-мерная цепь с' в А, такая, что с***дс'. Ответ зависит
от А и, вообще говоря, отрицателен. Например, пусть с:
[0, 1 ] —>R2 \ 0 определено равенством c(t) —(sin2nnt,
cos2nnt), где я —ненулевое целое. Тогда сA) = с@),
так что дс==0. Но (задача 4.26) не существует никакой
сингулярной двумерной цепи с' в R2 \ 0, для кото-
которой бы дс' =с.
Задачи
4.22.	Пусть & — множество всех сингулярных л-мерных
кубов и Z — множество всех целых чисел. Сингулярная п-мгр-
ная цепь 2) есть такая функция /: c?"->Z, что / (с) = 0 для всех,
кроме конечного множества сингулярных л-мерных кубов с.
Определим f-\-g и я/ формулами (f-\-g) (с) = f (с)-\-g (с) и
(л/) (с) = л/(с). Показать, что f-\-g и л/ принадлежат #\ Для
всякого с?<$г мы будем обозначать через с также такую функ-
функцию /, что /(с) = 1 и /(с') =0 для всех с' Ф с. Показать, что
всякая сингулярная я-мерная цепь / может быть записана
в виде ахсх -\- ... -\- а^с^ с некоторыми целыми коэффициен-
коэффициентами аи ..., «ft и сингулярными л-мерными кубами сь ..., с*.
4.23.	Определим для заданных R > 0 и л Ф 0 сингулярный
одномерный куб cR n: [0, 1]->R2\O формулой с„ „@ =
= (R cos 2nnt, R sin 2ялУ). Показать, что существует сингулярный
') Легко проверить, что {(&, /): 1 < k < л, 1 ^ I <; п — 1}
распадается на пары (/,/)¦ (/ + 1.0 A <'<./<л — 1).—
Прим. ред.
2) По общепринятой терминологии это не цепь, а коцепь. —¦
Прим. ред.

120	4. Интегрирование по цепям
двумерный куб с: [0, l]2-*R2\0, для которого с^ п —с# п =
= дс.
4.24. Показать, что если с — сингулярный одномерный куб
в R2\0, у которого с@) = сA), то существует такое целое п,
что с — сип — дсг для некоторого двумерного куба с2. (Ука-
(Указание: сначала разбить [0, 1] так, чтобы каждое c([^-i.^])
лежало по одну сторону от некоторой прямой, прохоляшей
через 0.)
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Тот факт, что d2 — 0 и д2 —0, не говоря уже о типо-
типографской схожести символов д и d, наводит на мысль,
что между формами и цепями существует какая-то связь.
Эта связь устанавливается интегрированием форм по цепям.
В дальнейшем будут рассматриваться только дифферен-
дифференцируемые сингулярные «-мерные кубы.
Пусть ю — форма k-Pi степени на [0, \]к. Тогда
d) = fdxl Л • •• /\dxk с однозначно определенной функ-
функцией /. Мы положим
[0, If	[0, 1|*
Это равенство можно было бы записать также в виде
dx
.ft
f fdx1 Л ¦¦• /\dxk= [ f{xl	x")dxl ...
10, 1)	|0, 1]
— это одно из оснований для введения функций х1. Если
теперь со—форма А-й степени на А, а с — сингуляр-
сингулярный й-мерный куб в Л, то мы положим
J- //»¦
с
Заметим, что, в частности,
Ю, II*
f= j (IkLfdx^/\ ... Adxk) =
[0. \)k
== | f(xl	x")dxl ... dx*.
Ю, u*

Основная теорема	121
Особое определение требуется для случая k = 0. Форма <о
нулевой степени есть функция. Для каждого сингулярного
нульмерного куба с: @}->Л в А положим
= ©(c@)).
Наконец, интеграл от со по сингулярной ^-мерной цепи
с = 2 uiCj определим формулой
Интеграл от формы первой степени по сингулярной
одномерной цепи часто называют криволинейным инте-
интегралом. Если Р dx -\~ Q dy — форма первой степени на R2
и с: [О, 1]—>R2—сингулярный одномерный куб (кривая),
то можно доказать (но мы не будем этого делать), что
п
J P dx + Qdy = lim5][eI (tt)- с' (ft^)\ P {tl)
С	( = 1
4-[с2ад —
где t0, ..., tn — разбиение отрезка [0, 1], tl произвольно
выбрано в [^_р tj\ и предел берется по всем разбиениям
при стремлении к 0 наибольшего из \tt — ^/-i|- Правую
часть часто принимают за определение | Р dx -\- Q dy.
с
Такое определение естественно, поскольку входящие в него
суммы очень похожи на суммы, входящие в определение
обычного интеграла. Однако с подобным выражением
почти невозможно работать, и его быстро преобразуют
в интеграл, эквивалентный j c*(P dx~\~Q dy). Анало-
10, И
гичные определения для интегралов по поверхности,
т. е. интегралов от форм второй степени по сингулярным
двумерным кубам, еще более сложны и трудноприменимы.
Это одна из причин того, что мы уклонились от такого
подхода. Другая причина заключается в том, что данное
здесь определение сохраняет смысл и в более общей
ситуации, рассматриваемой в гл. 5.

122	4. Интегрирование по цепям
Связь между формами, цепями, dud наиболее четко
выражается теоремой Стокса, которую часто называют основ-
основной теоремой многомерного анализа (при k = 1 ис = Я это
действительно основная теорема дифференциального и инте-
интегрального исчисления).
4.13. Теорема Стокса. Пусть ю—форма (к—1)-#
степени на А и с — сингулярная k-мерная цепь в А.
Тогда
Г rfco = Г ю.
с	дс
Доказательство. Предположим сначала, что с = /*
и ш — форма (k—1)-й степени на [О, I]*. Тогда со есть
сумма форм (k — 1)-й степени вида
fdx*A ••• Л^'Л ... Adx"
и достаточно доказать теорему для каждой из них. А это
достигается непосредственным вычислением.
Заметим, что
j lu.vifdx1 Л ... Л^'Л ••¦ Л <***) =
[О, I)*-1
О	при J Ф I,
J /О1	а, ..., xk)dxl ... dx" при j = l.
|0, II*
Поэтому
fdx1 А ... А^с1 А ... Л<*** =
/-1 0-0,1	,0, 1[*-1
= (—1)'+1 J fix1	1	x") dxl .. . dxk +
|0. I]*
(— 1/ J f(x\ .... 0	xk)dxx ... dxk.
Ю, u*

Основная теорема	123
с
J
другой стороны,
d(f dx1 Л •¦• A dxl
¦¦ J DJdx1 /\dxx Л
[0, H*
A ...
... л
.A
dx
dxk
U A
¦)==
... Adxk =
= (-1)' J D,/.
[0, 1]*
Применяя теорему Фубини и теорему Ньютона — Лейб-
Лейбница, получаем
J d (/ dx1 A ¦¦¦ A dx1 A ••¦ A dxk) =
= (—I)' ("...If DJix1	x^dx1) X
о	\u	'	/
X dx1 ... dx' ... dxk =
l	l
**)-
0	0
— f(xl	0, . . ., x*)] dx1 ... dxl . . . dxk =
= ^\I-1 С /(х1	 1	xk)dxx . .. dxk-\-
Ю, nft
4-(—1)' J fix1	0	xk)dxl ... dxk.
[0, 1]*
Таким образом,
Г dco = ш.
/*	a/*
Если теперь с —произвольный сингулярный ^-мерный
куб, то из определений следует, что
I (о= С с*со.
дс	д1к

124	4. Интегрирование по цепям
Поэтому
J rfw= J c*(rfa) = | d(c%)= J c*w:= J со.
с	/к	/к	gjk	дс
Наконец, для произвольной сингулярной А-мерной цепи
2 имеем
\ d<* = ^ai \ йю=]?]я; J со = J о>. |
с	с^	дс^	дс
Теорема Стокса обладает тремя важными характерными
признаками многих больших теорем.
1.	Она тривиальна.
2.	Тривиальна она потому, что все входящие в нее
выражения определены надлежащим образом.
3.	Она имеет важные следствия.
Так как вся эта глава по сути дела состоит из определе-
определений, которые сделали возможными формулировку и дока-
доказательство теоремы Стокса, то читатель охотно признает
за теоремой Стокса первые два из этих признаков. Остаю-
Остающаяся часть книги посвящена подтверждению третьего.
Задачи
4.25. (Независимость от способа параметризации.) Пусть
с — сингулярный ft-мерный куб и р: [0, 1]*-> [0, 1]*—такое
взаимно однозначное отображение, что р([0, 1]*) = [0, 1]* и
detр' (х)>• 0 для всех х?[0, 1]*. Показать, что
= Jffl
с	сор
для любой формы &-й степени со.
4.26. Показать, что	dQ — 2лп, и, используя теорему
cR,n
Стокса. вывести отсюда, что cR n Ф дс для всякой сингулярной
двумерной цепи с в R2\0 (напомним, что cR д было определено
в задаче 4.23).

Основная теорема	125
4.27.	Показать, что целое п в задаче 4.24 единственно. Это
число называется порядком кривой с относительно 0.
4.28.	Напомним, что С обозначает множество всех ком-
комплексных чисел. Пусть /: С -> С задано равенством / (z) — zn -\-
-\-axzn~l +••• -\~аФ где <t|, .... а„?С. Определим сингулярный
одномерный куб cR : [0, 1]->С\0 формулой cR t~f°cK j и
сингулярный двумерный куб с равенством с (s, t) — tcR n (s) +
+ A-0ср/».
а)	Показать, что dc = cR .— с. п и что с ([0, 1] X [0, 1]) С
с: С \ 0, если R достаточно велико.
б)	Используя задачу 4.26, доказать основную теорему
алгебры: всякий полином г" 4- я,гп~' -f- ... -J- ап с коэффициен-
коэффициентами я(-?С имеет корень в С.
4.29.	Пусть и — форма первой степени f dx на [0, 1] и
/ @) = / 0)- Показать, что существует единственное число Л,
такое, что и — X dx = dg для некоторой функции g\ у которой
g @) = ,§• A). (Указание: для нахождения Я проинтегрировать
u — \dx = dg на [0, 1].)
4.30.	Пусть и — замкнутая форма первой степени на R2 \ 0.
Доказать, что
для некоторых A.CR и g: R2 \ 0->R. (У к а з а н и е: показать,
что все числа XR в сд, (а) == Х^ dx-\- d (gR) имеют одно и то же
значение К.)
4.31.	Показать, что если а Ф 0, то существует цепь с, для
которой ш =? 0. Используя этот факт, теорему Стокса и равен-
с
ство д2 = 0, доказать, что d2 — 0.
4.32.	а) Пусть с,, с2 — такие сингулярные одномерные кубы,
что с, @) = с2 @) и с,A) = с2A). Показать, что существует
сингулярный двумерный куб с, у которого дс = С\ —с2-\-Сз-\- с4.
где с3 и с4 — вырожденные кубы, т. е. с3 [0, 1] и с4 [0, 1] —
точки. Вывести отсюда, что если форма « точна, то а =
с,
= to. Дать контрпример на R2\0 для случая, когда « лишь
замкнута.
б) Показать, что если <в — такая форма на подмножестве R2,
что оо= со для всех с, и с2, у которых с, @) = с2 @) и
с,	сг
с{ A) = с2 A), то со точна. (Указание: рассмотреть задачи 2.21
и 3.34.)

126	4. Интегрирование по цепям
4.33. (Элементы теории функций комплексного перемен-
переменного.) Функцию /: С -» С называют дифференцируемой в точке
го?С, если существует предел
(Под знаком предела — отношение двух комплексных чисел, так
что это определение совершенно отлично от данного в гл. 2.)
Если / дифференцируема в каждой точке z открытого мно-
множества А и f непрерывна на А, то функцию / называют ана-
аналитической на А.
а)	Показать, что функция / (г) = z аналитична, a f(z) — z
(где x-j-iy = x — iy) нет. Показать, что сумма, произведение и
частное аналитических функций — аналитические функции.
б)	Показать, что если f=u-\-iv аналитична на А, то и и v
удовлетворяют условиям Коши — Римана
ди 	 dv	ди	dv
дх ду	ду.	дх
(Указание: воспользоваться тем фактом, что
llm /<«>
должен быть одним и тем же для z = г0 -\- (х -(- ДО) и z = гг0 -(-
-|- @ -)- гу) с х, у -> 0 (если и и v непрерывно дифференцируемы,
то верно также обратное утверждение, но его труднее доказать).)
в)	Пусть Т: С -> С — линейное отображение (где С рассма-
рассматривается как векторное пространство над R). Показать, что если
матрица Т относительно базиса A, i) равна [ ' ), то Т есть
оператор умножения на некоторое комплексное число тогда и
только тогда, когда а = d и Ъ = — с. Пункт б) показывает, что
аналитическая функция /: С -> С, рассматриваемая как функция
/: R2-*R2, имеет производную Df(z0), являющуюся оператором
умножения на комплексное число. Что это за комплексное число?
г)	Положим
d (со -f- Щ = da -\- i dr\,
= J
(a + ii]) Л F + Л) = © Л 6 —11Д Л + г Cn Л 6 + а Л Л>
и
dz — dx -f I dy.
Показать, что d(fdz) = 0 тогда и только тогда, когда / удо-
удовлетворяет условиям Коши — Рнмана.
д) Доказать интегральную т'фргму Коши: если / анали-
аналитична на Л, то /dz = 0 для всякоГ! замкнутой кривой с (син-

Основная теорема
127
гулярного одномерного куба с. у которого с(О) = сA)), такой,
что с = дс' для некоторого сингулярного двумерного куба с' в А.
е) Показать, что если g(z) = 1/z, то g dz (или A/z) dz
в классической записи) рав-
равно i dQ -f- ^Л для некоторой
функции Л: С \ 0 -> R. Выве-
сти отсюда, что
(\jz)dz —
= 2яш.
ж) Пусть / аналитична
на {г: \г\ < 1}. Используя
тот факт, что g (г) = / (.г)/.г
аналитична на {г:0<|г1< 1),
показать, что
cRu я
если 0 < ^i, Л|2 < 1-
Используя е), вычислить
lira f IVLdz
CR, n
и вывести отсюда инте-
интегральную формулу Ко-
Коша: Если / аналитична на
[г: | z | <j; 1} и с — замкнутая
кривая в [г: 0<|г|<1},
имеющая порядок п относи-
относительно 0, то
dz.
4.34. Пусть F: [О, 1]2hvR3.
Для каждого s^[0, 1] опре-
определим Fs: [О, 1]->R3 фор-
формулой Fs (t) — F E, <)• Если
каждое Fs есть замкнутая
кривая, то F называют го-
мотопией между замкнутой
кривой ^о и замкнутой кри-
кривой Fx. Пусть F и G — го-	Рис46
мотопии между замкну-
замкнутыми кривыми. Если для каждого s замкнутые кривые Fs
и G^ не пересекаются, то пара (/% G) называется гомо-
топией между парами непересекающихся замкнутых кривых Fo,

1 28	4. Интегрирование по цепям
Go и /•",, С/|. Интуитивно ясно, что такой грмотопии не суще-
существует, если Fo, Go — пара кривых, изображенная на рис. 4.&, а,
a F\, О, — пара из б или в. Предлагаемая задача и задача,5.33
доказывают это для случая б, но доказательство для случая а
требует другой техники.
а) Пусть /, g: [0, 1]->R3 — непересекающиеся замкнутые
кривые. Определим с : [0, 1]2->R3\O формулой
СА g(
Если (F, G) — гомотопия между непересекающимися замкну-
замкнутыми кривыми, определим С- „: [0, I]3 -> R3 \ 0 формулой
CF a (s, и, v) = cF Q (и, v) = F (s, и) — G (s, v).
Показать, что дСР а = с^^ 0 — cf|_ 0 .
б) Пусть со — замкнутая форма второй степени на R3\0.
Показать, что
I ш==

Интегрирование на многообразиях
МНОГООБРАЗИЯ
Пусть U и V—открытые множества в R". Дифферен-
Дифференцируемую функцию h: U —> V, имеющую дифференцируемую
обратную h~x: V->U, будем называть диффеоморфизмом.
Подмножество М в R" называется k-мерным много-
многообразием (в R"), если для всякой точки х ? М выполнено
следующее условие:
(М) Существуют открытое множество U', содержащее х,
открытое множество VcR" и диффеоморфизм я: U~*V,
такие, что
Другими словами, U [\ М „с точностью до диффеомор-
диффеоморфизма" есть просто часть пространства R* X {0} (см. рис. 5.1).
Отметим два крайних случая нашего определения: точка
в R" есть нульмерное многообразие, а открытое подмно-
подмножество в R" есть я-мерное многообразие.
Общеизвестным примером я-мерного многообразия
является п-мерная сфера S", определяемая как множество
{x?R"+: |x|=l). Доказательство выполнения усло-
условия (М) оставляем в качестве упражнения читателю. Если же
читатель не расположен' утруждать себя деталями, то он.
может воспользоваться следующей теоремой, доставляющей
много примеров многообразий (заметим, что Sn = g~l @),
где g: Rn + 1->R определено равенством g (х) = \ х\2— 1).
5.1. Теорема. Пусть /icR"—открытие множество
и g: А -> Rp — такая дифференцируемая функция, что
g' (x) имеет ранг р для всех точек х, в которых
g(x) — 0. Тогда g~l@) есть (п — р)-мерное многообра-
многообразие в R".

Рис. 5.1 Одномерное многообразие в R2 и дву-
двумерное многообразие в R3.

Многообразия
131
Доказательство. Справедливость утверждения не-
непосредственно следует из теоремы 2.13 х). |
5.2. Теорема. Для всякой точка х k-мерного
многообразия MczR" выполнено следующее „координат-
„координатное условие".
(С) Существуют открытое множество U, содер-
содержащее х, открытое множество WcR* и. взаимно
однозначная дифференцируемая функция /: W-*R",
такие, что
2) /' (У) имеет ранг k для всякого у ? W.
[Такая функция / называется системой координат
в окрестности точки х (см. рис. 5.2).]
Рис. 5.2.
) Нужно только при проверке выполнения условия (№) для
1(O) k	h б	ф
) у
Af = i§r-1(O
в теореме
0) и k = п — р взять
2.13. — Прим. перев.
у	()
h обратным фигурирующему

Ш
5. Интегрирование на многообразиях
Доказательство. Рассмотрим h: U-±V, удовле-
удовлетворяющее условию (М). Пусть W = {а ? R*: (а, 0) ? h (M)\.
Определим /: ->R" равенством /(а) = А~1(а, 0). Оче-
Очевидно, f(W) = M(\U. Если Н: U —>Rft определить равен-
равенством H(z) = (hHz)	А*О)), то Я(/(у)) = у для
всех у g tt^; поэтому Я' (/ (у)) • /' (у) = Л и матрица /' (у)
должна иметь ранг k. |
Отметим одно следствие доказательства теоремы 5.2: для
всяких двух систем координат fx: Wj-^-R" и /2: W2-*-R"
отображение
дифференцируемо и имеет невырожденный якобиан. В са-
самом деле, /J" (л:) состоит из первых k компонент ото-
отображения h (x).
Рис. 5.3. Одномерное и двумерное многообразия
с краем в R3.
Полупространством HkczRk будет называться мно-
множество {x?Rft: x*I>0}. Подмножество /WcR" называется
k-мерным многообразием с краем (рис. 5.3), если для
всякой точки х ? М выполняется либо условие (М), либо
следующее условие.

Многообразия	133
(М') Существуют открытое множество U, содер-
содержащее х, открытое множество VcR" и диффеомор-
диффеоморфизм h: U—>V, такие, что
= {x?V: xk > 0 и хк+1= ... = хп = 0\.
Важно заметить, что условия (М) и (М') не могут
одновременно выполняться для одной и той же точки х.
Действительно, если бы hx: t/1->Vr1 и h2: U2->V2 удо-
удовлетворяли соответственно условиям (М) и (М )¦ то Л2° h\X
было бы дифференцируемым отображением, переводящим
открытое множество из Rk, содержащее h(x), в подмно-
подмножество Н*. не являющееся открытым в R*. Но поскольку
det(/i2° йГ1)' Ф 0, это противоречило бы результату из за-
задачи 2.36. Множество всех точек х ? М, удовлетворяющих
условию (М'). называется краем многообразия М' и обоз-
обозначается дМ. Его не следует путать с границей множе-
множества, определявшейся в гл. 1 (см. задачи 5.3 и 5.8).
Задачи
5.1.	Пусть М есть й-мерное многообразие с краем. Доказать,
что <Ш есть (k — 1)-мерное, а М\дМ есть 6-мерное много-
многообразия.
5.2.	Найти аналог условия (С) для многообразий с краем.
5.3.	а) Пусть А с R" — открытое множество, граница кото-
которого является (п — 1)-мерным многообразием. Показать, что
объединение ЛГ множества А с его границей есть n-мерное мно-
многообразие с краем. (Полезно иметь в виду следующий пример:
если А = {х ? R": | х \ < 1 или 1 < | х \ < 2), то iV есть много-
многообразие с краем, но dN не совпадает с границей А.)
б) Доказать аналогичное утверждение для открытого под-
подмножества л-мерного многообразия.
5.4.	Доказать частичное обращение теоремы 5.1: для всякой
точки х й-мерного многообразия М с R" существуют такое
открытое множество AcR" и такая функция g: ^-^-R""*, что
Af\M = g-i @) и g' (х) имеет ранг п — k всюду, где g(x) = 0.
5.5.	Доказать, что ^-мерное (векторное) подпространство
в R" есть ft-мерное многообразие.
5.6.	Пусть /: R"->Rm. Графиком / называется множество
{(х, у): у = / (х)} с R" X Rm- Показать, что график / является
n-мерным многообразием тогда и только тогда, когда / диф-
дифференцируемо.

134
5. Интегрирование на многообразиях
5.7. Пусть Kn—{x^Ra: х1 = 0 и х2, ..., хп~х > 0}. Пока-
Показать, что если М с. К" есть ^-мерное многообразие и Л' полу-
получается вращением М вокруг оси хх = ... = хк = 0, то ЛГ есть
(k -f- 1)-,черное многообразие. Пример — тор (рис. 5.4).
Рис. 5.4.
5.8. а) Показать, что если М есть й-мерное многообразие
в R" и k < п, то М имеет меру 0.
б)	Пусть М — замкнутое л-мерное многообразие с краем
в R". Показать, что граница М совпадает с дМ. Дать контрпри-
контрпример для случая незамкнутого М.
в)	Показать, что всякое компактное я-мерное многообразие
с краем в R" измеримо по Жордану.
ПОЛЯ И ФОРМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ
Пусть М есть й-мерное многообразие в R" и /: W ->Rn —
система координат в окрестности точки х=/(а). Так
как ранг матрицы /' (а) равен k, то линейное отображе-
отображение Д: Ra->R2 взаимно однозначно и /„(Ra) есть
^-мерное подпространство в Rj. Если g: V -> R4 — еще
одна система координат с х =gф), то
Таким образом, й-мерное подпространство /t(R*) не зависит
от выбора системы координат /. Это подпространство
называется касательным пространством М в точке х
(см. рис. 5.5) и обозначается Мх. В следующих парагра-
параграфах мы будем пользоваться тем фактом, что на Мх имеется
естественное внутреннее произведение Тх, индуцируемое

Поля и формы на многообразиях
135
внутренним произведением из R^ и определяемое для всякой
пары v, w ? Мх равенством Tx(v, w) = (v, w)x.
Предположим, что А — открытое множество, содер-
содержащее М, и F—такое дифференцируемое поле на А, что
F (х) ? Мх для каждого х ? М. Для системы координат
/: W -> R" существует единственное (дифференцируемое)
Рис. 5.5.
векторное поле О на W, такое, что j\{O(a)) = F'(/(а))
для каждого а ^ W. Можно также рассматривать функ-
функцию Р, которая относит каждому х ? М некоторый вектор
F (х) ? Мх\ такая функция называется векторным полем
на М. По-прежнему существует единственное векторное
поле О на W, такое, что /„ (О (а)) = Р (/ (а)) для каждого
a?W. Мы по определению будем считать F дифферен-
дифференцируемым, если дифференцируемо О. Заметим, что наше
определение не зависит от выбора системы координат:
если g: V->R" таково, что g*(H{b)) = F(b) для всех
b?V, то координатные функции для Нф) должны совпа-
совпадать с координатными функциями для О(f~1(g(#))). так что
дифференцируемость О влечет дифференцируемость И.

136	5. Интегрирование на многообразиях
В точности те же рассмотрения проводятся и для форм.
Функция го, которая каждому х ? М относит ю (х) ? Ар {Мх),
называется формой р-й степени на М. Если /: №->R" —
система координат, то /*<о будет формой /?-й степени
на W. Форма ш называется дифференцируемой, если диф-
дифференцируема форма /*ю. Форма /?-й степени ю на М
может быть записана в виде
где функции @,-	,• определены только т~М. Прежнее
определение da> было бы лишено здесь смысла, поскольку
не определены Dj(a>i у ,,,, i \. Тем не менее существует
разумный способ определения rfco.
5.3. Теорема. Существует единственная форма
(/? —|— 1)-w степени da> на М, такая, что
для всякой системы координат /: W—>R".
Доказательство. Пусть /: W->R" — система ко-
координат с х = f(а) и vv .... vp+1?Mx. В Ra имеются
однозначно определенные векторы w1	wP+v Для
которых /ф (гу^) ^ ©j. Положим теперь по определению
rfoOOOKj	vp+l) = d(/*(x>)(a)(wj, 	wp+])- Можно
проверить, что это задание rfco(x) не зависит от выбора
системы координат, так что dan определено корректно.
При этом ясно, что й(и обязано удовлетворять условию
этого определения и потому единственно.|
Часто бывает необходимо выбрать ориентацию \ix
в каждом касательном пространстве Мх многообразия М.
Такие ориентации называются согласованными (рис. 5.6),
если для каждой системы координат /: W —> R" и
каждой пары а, Ь ? W равенство
[Л((^)а)	/.((**).)! = »*/D)
выполнено тогда и только тогда, когда
l/.((«i)»)	/.((«*)*)! = И/(»>•

Поля и формы на многообразиях	137
Предположим, что выбраны согласованные ориента-
ориентации \1Х. Если система координат /: W—>-R" такова, что
[/.((*i)e)	Л <(«*)«)]= Ну <«)
для некоторого, а потому и для каждого а ? W, то говорят,
что / сохраняет ориентацию. Если / не сохраняет ориен-
ориентацию и Г: R*—>Rft — линейное отображение с detT = —1,
.Рис. 5.6.
а — согласованный выбор ориентации, б — несогласованный
выбор ориентации.
то / о Т уже сохраняет ориентацию. Поэтому в окрест-
окрестности любой точки существует система координат, со-
сохраняющая ориентацию. Если / и g сохраняют ориентацию
и х ==/ (a) = g{b), то из равенств
[Д ((«,)„)	Л ((**)„)] = fe = I*. ((«i)»)	?. ((«*)»)]
следует, что
К?-] - Л ((е,)а)	(ё~1 ° Д ((«*U = K«i)». • • • - («»)*].
откуда det (g' ° /)' > 0 — важный факт, который следует
запомнить.

138	5. Интегрирование на многообразиях
Многообразие М, допускающее выбор согласованных
ориентации \ix, называется ориентируемым, а всякий
такой выбор \хх — ориентацией ц. этого многообразия.
Многообразие М вместе с его ориентацией |i называется
ориентированным многообразием. Классическим примером
неориентируемого многообразия является лист Мёбиуса.
Модель его можно получить, склеив концы бумажной
полоски, закрученной на пол-оборота (рис. 5.7).
Рис. 5.7. Лист Мёбиуса, пример неориентируе-
неориентируемого многообразия.
Базис движется вправо, начиная от Р, и, сделав один обо-
оборот, возвращается в Р уже с противоположной ориента-
ориентацией.
Наши определения векторных полей, форм и ориен-
ориентации можно распространить и на многообразия с краем.
Если М есть й-мерное многообразие с краем и х?дМ, то
{дМ)х есть {k — 1)-мерное подпространство й-мерного
векторного пространства Мх. Таким образом, существуют
в точности два единичных вектора в Мх, перпендикуляр-
перпендикулярных к (дМ)х. Их можно различить следующим образом
(рис. 5.8). Пусть /: W->R" — система координат с WcH6
и /@) = л:. Тогда только один из этих единичных век-
векторов равен /„ (v0) для некоторого vQ с vk < 0. Этот
единичный вектор п (х) называется ортом внешней нормали.
Нетрудно проверить, что это определение не зависит от
системы координат /.
Пусть \i — ориентация на й-мерном многообразии
с краем М. Для всякого х ? дМ выберем vx	^fc-i^
? (дМ)х так, чтобы [п(х), vl	vk-\\==\ix-

Поля и формы на многообразиях
139
Если также [п(х), w^	wk_l] = [ix, то [vv . . ., vk_l]
и [wv .... Wj-il задают одну и ту же ориентацию на
(дМ)х\ она обозначается (дц)х. Легко видеть, что ориен-
Рис. 5.8. Некоторые орты внешних нормалей многообра-
многообразий с краем в R3.
тации (d[i)x для х ? дМ согласованы на дМ. Таким об-
образом, если М ориентируемо, то также дМ ориентируемо,
и ориентация |1 на AI определяет ориентацию дц на дМ,
называемую индуцированной ориентацией. Если мы при-
применим эти определения к полупространству Н* с его стан-
стандартной ориентацией, то увидим, что индуцированной ориен-
ориентацией на R* = {jc?H*: хк = 0) служит стандартная
ориентация, умноженная на(—1)*. Основания для описанного

140	5. Интегрирование на многообразиях
выбора индуцированной ориентации выяснятся в следую-
следующем параграфе.
В том случае, когда М — ориентированное (п — 1)-
мерное многообразие в R", можно определить орты
внешних нормалей, даже в том случае, когда М не яв-
является границей я-мерного многообразия. Пусть [vv . ..
.... ^„_1] = fxA.. Выберем единичный вектор п(х) в R"
так, чтобы он был перпендикулярен Мх, а [п(х), vy ...
.... vn_l] было стандартной ориентацией на R^, и
по-прежнему назовем п(х) ортом внешней нормали к М
(определяемым ориентацией (i). Вектор п(х) в очевидном
смысле непрерывно зависит от точки х?М, Обратно,
всякое заданное на М непрерывное семейство единичных
нормальных векторов п(х) определяет на М ориентацию.
Это показывает, что такой непрерывный выбор нормаль-
нормальных векторов на листе Ме'биуса невозможен. В бумажной
модели листа Ме'биуса в точках по обе стороны бумажной по-
полоски (которая имеет толщину) можно приложить нормаль-
нормальные векторы, направленные в противоположные стороны.
Невозможность непрерывного выбора нормальных векторов
отражена в знаменитом свойстве этой бумажной модели:
она имеет только одну сторону (начав красить ее с одной
стороны, вы в конце концов закрасите ее всю); другими сло-
словами, произвольно выбрав нормальный вектор п (х) в некото-
некоторой точке и затем перемещая его в другие точки с соб-
соблюдением непрерывности, можно вернуться в исходную
точку с противоположно направленным п (х).
Задачи
5.9.	Показать, что Мх состоит из касательных векторов в t
к всевозможным -кривым с, лежащим в М и таким, что с (t) = х.
5.10.	Пусть на М задан такой набор систем координат С, что
1)	для каждого х? М существует /?С?, являющееся системой
координат в окрестности точки х;
2)	det(/~Jo^) > 0 для любых /, g^6.
Показать, что на М существует единственная ориентация,
сохраняющаяся при всех f?G.
5.11.	Пусть М есть я-мерное многообразнее краем в R". Возь-
Возьмем в качестве цх стандартную ориентацию пространства
Мх — R" (так определенная ориентация ц называется стандарт-

Поля и формы на многообразиях	141
ной ориентацией многообразия М). Показать, что для х?дМ
оба данных выше определения п (х) совпадают.
5.12.	а) Пусть F—дифференцируемое векторное поле на много-
многообразии М с: R". Показать, что" существуют такие открытое
множество Ai2 M и дифференцируемое векторное поле F на А
что F (х) = F (х) для всех х ? М. (Указание: сделать это
локально и воспользоваться разбиением единицы.)
б) Показать, что если М замкнуто, то в качестве А можно
взять все пространство R".
5.13.	Пусть g: Л-^R^ то же, что в теореме 5.1.
а)	Пусть х?М = g~l @) и h: ?/~>R'! — тот по существу
единственный диффеоморфизм, для которого g°h (x)={xn~p+x,...
..., х") и h @) = х. Определим /: Rn~p->R" равенством /(а) =
= h @, а). Показать, что /„ взаимно однозначно, так что п — р
векторов /, ((ei)o)	/„ ((е„_р)а) линейно независимы.
б)	Показать, что ориентации цх могут быть выбраны со-
согласованно, так что М — ориентируемое многообразие.
в)	Показать, что если р = 1, то координаты орта внешней
нормали в х кратны D{g (дг), ..., Dng (x).
5.14.	Пусть Af->R" — ориентируемое й-мерное многообразие.
Доказать существование такого g: A ->R"~U, что M — g~*@)
и g' (х) имеет ранг п — k для всякого х ? М. (Указание:
задача 5.4 дает локальное решение; используя ориентацию,
выбрать согласованные локальные решения и воспользоваться
разбиением единицы).
5.15.	Пусть М есть (п — 1)-мерное многообразие в R" и М (е)—
совокупность концов всех нормальных векторов длины е (про-
(проведенных в обоих направлениях). Предположим, что е столь
мало, что М (е) также есть (п — 1)-мерное многообразие. По-
Показать, что М (б) ориентируемо (даже если М было неориен-
тируемо). Что такое М (г) в случае, когда М — лист Мёбиуса?
5.16.	Пусть g: A-*-Rp то же, что и в теореме 5.1. Показать,
что если /: R" -> R дифференцируема и ее максимум (или мини-
минимум) на g~l @) достигается в точке я, то существуют такие
Я,, ..., Ap?R, что
D,f {a) = 2 hDjg1 (a), /-1	я.	A)
(Указание: эти равенства можно переписать в виде df (a) =
р
= y\^idgl(a); они очевидны, когда g(х) = (хп~р+1, ..., л:").)
/*1
Максимум (или минимум) функции /на g1 @) иногда на-
называют условным экстремумом при уравнениях связи gl = 0.
Можно пытаться отыскивать а, решая систему уравнений A)-

142	5. Интегрирование на многообразиях
В частности, если g: A-+R, мы должны решить п-\- 1 уравнений
Djf (a) = XDjg (a).
относительно п-\-\ неизвестных а', ..., а", Я, что часто очень
просто, если оставить уравнение g (а) = 0 напоследок. Это
метод Лагранжа, а полезное, но постороннее Я называется
множителем Лагранжа. В следующей задаче дается пример
изящного теоретического использования множителей Лагранжа.
5.17. а) Пусть Т: R" -> R" — самосопряженный оператор с ма-
матрицей А = (ау), так что aij — aji. Показать, что если / (х) =
л
= (Тх, х) = 2 а^х1хК то Ол/(лг) = 2 2 ^ул:Л Рассматривая
максимум функции (?jc, x) на сфере S", доказать существо-
ванне ^^5""' и >i,^R, таких, что Тх = Хх.
б)	Пусть К= {y?Rn: (x, у)=0}. Показать, что T(V)cV
и что оператор Г: V -> V самосопряжен.
в)	Доказать существование базиса, состоящего из собствен-
собственных векторов оператора Т.
ТЕОРЕМА СТОКСА НА МНОГООБРАЗИЯХ
Пусть на А-мерном многообразии с краем М заданы
форма р-й степени со и сингулярный р-мерный куб с.
Интеграл от со по с определяется точно так же, как и
раньше:
Г со = f с*(?>.
с	[0, Цр
Интегралы по сингулярным р-мерным цепям так же опре-
определяются, как и выше. В случае p — k может оказаться,
что существуют такие открытое множество Mz>[0, 1]* и
система координат /: W->R", что c(x)—f(x) для всех
•*?[0, 1]*. Сингулярные А-мерные кубы в М всегда будут
считаться принадлежащими этому типу. Если М ориенти-
ориентировано, то будем говорить, что сингулярный ^-мерный
куб с в М сориентирован, если / сохраняет ориентацию.
6.4. Теорема. Пусть М — ориентированное k-мер-
ное многообразие, с,, с2: [0> Цк-*¦ М — два сориентиро-
сориентированных сингулярных k-мерных куба в М и а —форма

Теорема Стокса на многообразиях
143
k-й степени на М, обращающаяся в 0 вне с1([О, 1]*)Л
Пс2([О, 1]*). Тогда
Доказательство. Имеем
Jco= J с»'= J
с'	[0, 1]*	|0, 11*
(Здесь cj!oCj определено только на подмножестве из
[О, l]ft, и второе равенство существенно опирается на то,
что оэ == 0 вне ^([О, 1]*)Пс2([0, l]k.) Поэтому доста-
достаточно показать, что
= J
[О,
[0, 1|*
Пусть с*2 (со) = / dx1 Д ... /\dxk.
через g", в силу теоремы 4.9 имеем
Обозначая
поскольку det g' = det(c~*° cY > 0. Утверждаемый ре-
результат вытекает теперь из теоремы 3.13. |
Последнее равенство в этом доказательстве помогает
понять, почему мы должны были уделять столько внима-
внимания ориентациям.
Пусть со — форма А-й степени на ориентированном А-мер-
ном многообразии М. Если в М найдется такой сориенти-
сориентированный сингулярный А-мерный куб с, что со = 0 вне
с([0, 1]*), то мы по определению положим
Jco={o>.
М	с
Теорема 5.4 показывает, что со не будет зависеть от
м
выбора с.

144	5. Интегрирование на многообразиях
Пусть теперь со — произвольная форма &-й степени
на М и М обладает таким открытым покрытием ©, что для
каждого U ? © существует такой сориентированный син-
сингулярный fe-мерный куб с, что (Усс([0, 1]*). Пусть Ф —
разбиение единицы на М, подчиненное этому покрытию.
Положим
ЛГ	<р?Ф М
в предположении, что сумма сходится (она во всяком
случае сходится, когда М компактно). Рассуждения, ана-
аналогичные использованным при доказательстве теоремы 3.12,.
показывают, что так определенный [и не зависит от
м
покрытия Q и разбиения Ф.
Все наши определения можно было бы дать и для
^-мерного многообразия с краем М, снабженного ориен-
ориентацией ц. Наделим дМ индуцированной ориентацией д\х,
и пусть с — такой сориентированный сингулярный /е-мер-
ный куб в М, что с(Л| 0) лежит в дМ и является един-
единственной гранью, хотя бы одна внутренняя точка которой
принадлежит дМ. Из замечаний, сделанных после опре-
определения дц, следует, что c(ft0) сориентирована, если k
четно, и несориентирована, если k нечетно. Таким обра-
образом, для всякой формы {к — 1)-й степени со на М, равной
нулю всюду вне с ([0, 1]*), имеем
= (_!)* Jo.
д
j	J
C(k, 0)	дм
С другой стороны, c(ftH) входит с коэффициентом (—1)*
и в дс. Поэтому
Jo>= J « = (--1)* J co= Jco.
М
Наш выбор д\х был сделан с тем расчетом, чтобы пол-
полностью избавиться от отрицательных знаков в этом равен-
равенстве и следующей теореме.

Теорема Стокса на многообразиях	145
5.5. Теорема Стокса. Пусть М—компактное
ориентированное k-мерное многообразие с краем и а —
форма (& — 1)-й степени на М. Тогда
Г да> = | ©,
М	дм
где дМ наделено индуцированной ориентацией.
Доказательство. Предположим сначала, что
в М \ дМ имеется такой сориентированный сингулярный
^-мерный куб с, что со = 0 вне с [@, 1)*]. В силу тео-
теоремы 4.13 и определения da>
© = J C*(tf©) = J tf(C*©) = J C*
"	[o, i|*	io, ij*	a/*	dc
Тогда
Г da = | d<x> = Г со = 0,
М	с	дс
поскольку ю = 0 на дс. С другой стороны, и Г со = 0,
дМ
поскольку ю = 0 на дМ.
Предположим теперь, что в М имеется такой сориен-
сориентированный сингулярный А-мерный куб с, что единствен-
единственной его гранью, лежащей в дМ, служит с(А|0) и ю = 0 вне
с([0, 1]*). Тогда
j da = Г и© = Г © = Г о.
Me	дс	дм
Обратимся, наконец, к общему случаю. М допускает такое
открытое покрытие @ и такое подчиненное ему разбиение
единицы Ф, что для каждого ф ? Ф форма фсо принадлежит
одному из двух уже рассмотренных типов. Имеем
так что
2 d(f Л и = о.

146	5. Интегрирование на многообразиях
Поскольку М компактно, эта сумма конечна, и потому
Следовательно,
J d (<РМ) =2 J фСО = J СО. ¦
М	ч>?Ф М
J
Af	ф?Ф (Ш
Задачи
5.18.	Пусть М есть и-мерное многообразие (или многообразие
с краем) в R", наделенное стандартной ориентацией. Показать,
что интеграл / dxx Л • ¦ ¦ Л dx", определенный в этой главе,
м
совпадает с интегралом /, определенным в гл. 3.
м
5.19.	а) Показать, что для некомпактных М теорема 5.5
неверна. (Указание: если М — многообразие с краем, для
которого справедлива теорема 5.5, то М \ дМ — также много-
многообразие с краем (пустым).)
б) Показать, что теорема 5.5 верна и для некомпактного М,
если ш равна нулю всюду вне некоторого его компактного под-
подмножества.
5.20.	Доказать, что если а — форма {k — 1)-й степени на ком-
компактном й-мерном многообразии М, то <Ло = 0. Дать контр-
м
пример с некомпактным М,
5.21.	Абсолютным тензором k-ib степени на V называется
функция т): V*-*R вида I а |, где ш?Л*(У)- Абсолютной фор-
формой k-к степени на М называется такая функция ц, что т) (х) есть
абсолютный тензор k-w. степени на Мх для каждого х^М. По-
Показать, что можно определить интеграл т) даже если М не-
м
ориентируемо.
5.22.	Пусть Мг, M2(zRn — компактные n-мерные многообразия
с краем, причем М2 с: Mi \ дМи и оо — форма {п — 1)-й сте-
степени на Му. Доказать, что
60=	СО,
дМ,

Элемент объема	147
где dMi и дМ2 наделены ориентациями, индуцированными стан-
стандартными ориентациями многообразий М{ и Ж2. (Указание:
найти такое многообразие с краем М, что дМ = <Ш, (J dAf2 и
индуцированная ориентация на дМ совпадает на дМ^ с ориен-
ориентацией <Ш) и противоположна на дМ2 ориентации дМ2.)
ЭЛЕМЕНТ ОБЪЕМА
Пусть М есть ^-мерное многообразие (или многообразие
с краем) в R", наделенное ориентацией ц. Для каждого
х ? М введенные раньше ориентация цх и внутреннее
произведение Тх определяют элемент объема &(х) ? Ак(Мх).
Мы получаем поэтому всюду отличную от нуля форму
?-й степени со на М, которая называется элементом
объема на М (определяемым (i) и обозначается dV, хотя
она, вообще говоря, и не является дифференциалом какой-
либо формы (k—1)-й степени. Под объемом М понимают
I dV в предположении, что этот интеграл существует,
м
что во всяком случае имеет место, когда М компактно.
Для одномерных или двумерных многообразий „объем"
обычно называют соответственно длиной или площадью,
a dV обозначают ds („элемент длины") или dA (а также dS)
(„элемент площади [поверхности]").
Интересующий нас конкретный случай — это элемент
объема ориентированной поверхности (двумерного много-
многообразия) М в R3. Пусть я (х) — орт внешней нормали
в точке х?М. Если а?А2(Мх) определить формулой
со (v, w) = det
v
w
n(x)
то a>(v, w) = 1, если v и w образуют ортонормальный
базис в Мх с [v, w] — \ix. Таким образом, dA==&.
С другой стороны, со (г», w) = {vy^w, n(x)) по опреде-
определению v~Xw, так что
dA(v, w) = (vy(.w, n(x)).
Так как v X "& Для любых v, w ? Мх кратно я (х), то
заключаем, что
dA(v, w) — | v X w |

148	5. Интегрирование на многообразиях
при [v, w] = \ах. Чтобы найти площадь поверхности М,
мы должны вычислить	с" (dA) для сориентированных
[о, г\>
сингулярных двумерных кубов с. Положим
Е{а) = [DlC! (я)]2 + [ZV2(a)]2+ [ZV3(«)]2,
О (а) = [D2ci (а)]2 + [D2c2 (а)]2 + [D2c* (а)]2.
Тогда
= | (О^Ча), D, сЦа),
по задаче 4.9. Таким образом,
J с*(<Ы)= J
[О, IF	[0, 1]»
Очевидно, что вычисление площади поверхности — отваж-
отважное предприятие. К счастью, редко требуется знать пло-
площадь поверхности. Кроме того, существует простое
выражение для dA, достаточное для теоретических рас-
рассмотрений.
5.6. Теорема. Пусть М — компактное ориентиро-
ориентированное двумерное многообразие {или многообразие с
краем) в R3 и п — орт внешней нормали. Тогда
1)	dA = nl dy A dz -\- п2 dz /\ dx -f- n3 dx /\ dy.
Кроме того,
2)	it1 dA = dy Д dz,
3)	n2dA = dz Adx,
4)	л3 dA = dx Л dy.
Доказательство. Равенство A) эквивалентно ра-
равенству
v
dA (v, w) = det w
.	n(x)
что явствует из разложения определителя по минорам нижней
строки. Для доказательства остальных равенств рассмотрим

Элемент объема	149
z? Мх. Так как vy^w-an(x) с некоторым a?R, то
(z, п (х)} ¦ (vX'w. п. (х)) = (z, п (х)) а =
= (z, an (x)) = {z, vX1®)-
Взяв в качестве z векторы ev e2 и е3, пол}гчим B), C)
и D). |
Рис. 5.9. Поверхность образована треугольниками, вписанными
в часть цилиндра.
Основания треугольников лежат на параллельных плоскостях, перпендикуляр-
перпендикулярных оси цилиндра. Расстояния между соседними плоскостями равны. Будем
увеличивать число треугольников, уменьшая это расстояние, и потребуем,
чтобы нижняя грань длин оснований всех треугольников была при этом
строго больше нуля. В таком случае площадь вписанной поверхност*и можно
сделать сколь угодно большой.
Предостережение: для со ? Л2 (R^), определенного равенством
© = в1 (a) dy (а) Л dz (а) + я2 (a) dz (a) /\ dx (a) +

150	5. Интегрирование на многообразиях
неверно, например, что
«' (a) a — dy (a) /\ dz (a).
Обе стороны дают одинаковый результат, только будучи
примененными к v,w ? Ма.
Несколько замечаний-относительно оснований для данных
нами определений длины кривой и площади поверхности.
Если c:[0,l]->R" дифференцируемо и с([0,1)]—одно-
с([0,1)]—одномерное многообразие с краем, то можно показать (но
с помощью довольно канительного доказательства), что
его длина действительно является верхней гранью длин
вписанных ломаных. При с : [0,1]2—>R" естественно ожидать,
что площадь с([0,1]2) будет верхней гранью площадей по-
поверхностей, составленных из треугольников, вершины
которых лежат в с([0,1]2). Довольно поразительно, что
такая верхняя грань обычно не существует — можно впи-
вписывать многогранные поверхности, сколь угодно близкие
к е([0,1]2), но имеющие сколь угодно большую площадь.
На рис. 5.9 это продемонстрировано на примере цилиндра.
Было предложено много определений площади поверхности,
которые расходятся друг с другом, но все согласуются
с нашим определением для случая дифференцируемых по-
поверхностей. Рассмотрение этих трудных вопросов читатель
может найти в работах [17] или [10].
Задачи
5.23. Показать, что если М — ориентированное одномерное
многообразие в R" и с: [0, \]-> М сориентировано, то
J e (ds) = J j/"[(c')'p+ ... +[(с"У?.
@, 1J	[0, 11
5.24. Показать, что если М есть n-мерное многообразие в R"
со стандартной ориентацией, то dV — dxx Л . ¦ ¦ Л dxn, так что
его объем, определенный в этом параграфе, совпадает с объемом,
определенным в гл. 3. (Заметим, что здесь проявляется влияние
числового коэффициента в определении а Л Ц-)
5.25.	Обобщить теорему 5.6 на случай ориентированного
(п—1)-мерного многообразия в R".
5.26.	а) Пусть /: [a, 6]->R — неотрицательная функция и
график / в плоскости ху вращается вокруг оси х в R3, образуя

Элемент объема	151
поверхность М. Показать, что ее площадь равна
ь
б) Вычислить площадь сферы S2.
5.27.	Пусть Т: R"-> R" — линейное отображение, сохраняю-
сохраняющее норму, и М есть А-мерное многообразие в R". Показать, что
М и Т (М) имеют одинаковый объем.
5.28.	а) Показать, что на А-мерном многообразии М можно
определить абсолютный тензор k-n степени | dV |, даже если
М неориентируемо, так, что М будет иметь объем f \dV{.
м
б) Показать, что для с: [0, 2я] X (—1. 1)->R3. определен-
определенного равенством
с (и, v) = B cos « + f sin -g- cos и, 2 sin u-\-v sin у sin «, t/cos-^-j,
c([0, 2я] X (— 1. 1)) есть лист Мёбиуса, и найти его площадь.
5.29.	Показать, что если на ^-мерном многообразии М суще-
существует всюду отличная от нуля форма k-n степени, то М ориен-
ориентируемо.
5.30.	а) Пусть /: [0, 1] ->R дифференцируема и с: [0, 1] ->R2
определено равенством с (х) = (х, f (x)). Показать, что
с ([0, 1]) имеет длину f
о
б) Показать, что эта длина является верхней гранью длин
вписанных ломаных. (Указание: Если 0 < ta < tx < ...
...<*л-1. то
\с (tt)-c (<,_,) | = Кй-г1г_1
с некоторым si?[ti_b ti].)
5.31. Пусть ш — форма второй степени, определенная на
R3 \0 равенством
— х ^У Л dz -\- у dz /\ dx -\- z dx l\ dy
а)	Показать, что ш замкнута.
б)	Показать, что

152
5. Интегрирование на многообразиях
Пусть г>0 и 52 (г) = {a:?R3: \x\ = r], Показать, что суже-
сужение © на касательную плоскость к 52 (г) есть элемент объема,
умноженный на 1/г2, и что
г
Вывести отсюда, что
форма © не точна. Тем не менее обозначим © через d&, по-
поскольку, как мы увидим, d@ является аналогом формы первой
степени dO на R2\0.
в) Показать, что если vp — такой касательный вектор, что
v = Ар для некоторого Я ? R, то d@ (/>) (vp, wp) = 0 для всех wp.
СШ)
Рис. 5.10.
Показать, что если двумерное многообразие М в R3 является
частью обобщенного конуса, т. е. объединением отрезков лучей,
исходящих из нуля, то йв = 0.
м
г) Пусть AfcR3\0 — такое компактное двумерное много-
многообразие с краем, что любой луч, Исходящий из 0, пересекает М
не более одного раза (рис 5.10). Объединение всех исходящих
из 0 лучей, пересекающих Ж, образует телесный угол С(М).
За телесный угол, стягиваемый многообразием М, принимается

Элемент объема	153
площадь С (М) П S2 или, что то же, площадь С (М) ("| S2 (г) при
любом г > 0, деленная на г2. Доказать, что телесный угол,
стягиваемый многообразием М, равен
(У к а з а н и е:
м
выбрать г столь малым, чтобы существовало трехмерное много-
многообразие с краем N (как на рис. 5.10), имеющее в качестве dN
объединение М, С (М) f| S2 (г) и части обобщенного конуса.
(В действительности JV будет многообразием с углами; см. заме-
замечания в конце следующего параграфа.).)
5.32. Пусть /, g: [О, 1] -» R3 — непересекающиеся замкнутые
кривые. Определим коэффициент зацепления I (/, g) кривых
fag формулой (ср. задачу 4.34)
4jt J
d&.
а) Показать, что если (F, G) — гомотопия непересекающихся
замкнутых кривых, то / (Fo, Go) = / (^i, Gt).
б). Показать, что если г (u, i>) = |/(«) — g(v)\, то
1 1
где
f (/')'(«)	(/2)'(«)	(Я)'(и)
Л (и, v) = det [ (gi)' (v)	(g*)' (v)	(g3)' (v)
[ p (И)	gl (ц) ^2 (ц)	g2 (y} fS (jj) 	gS ^
в) Показать, что если обе кривые fug лежат в плоско-
плоскости х, у, то / (/, g) = 0. Кривые на рис. 4.5, б задаются форму-
формулами / (и) = (cos и, sin и, 0) и g (v) — A -f- cos v, 0, sin v). Чита-
Читатель может легко убедиться в том, что здесь вычисление / (/, g)
с помощью указанного интеграла — занятие безнадежное. Сле-
Следующая задача показывает, как находить / (/, g) без прямого
вычисления.
5.33. а) Для точки (а, Ь, c)?Rs положим
i — b)dzf\dx-\-(z — c)dxf\ dy
Далее, для компактного двумерного многообразия с краем М
b_R8 и точки (а, Ь, с) (? М положим
&{а, Ь, с) =
Пусть (й, Ь, с) — точка, лежащая по ту же сторону от М, что и
внешняя нормаль, и (в', Ь', с') — точка, лежащая по противо-

154	5. Интегрирование на многообразиях
положную сторону. Показать, что, выбирая {а, Ь, с) и (а', Ь'', с')
достаточно близкими, можно сделать Q (а, Ь, с) — О (а', Ь', с')
сколь угодно близким к — 4л. (Указание: сначала показать,
что если М = d/V, то Q (а, Ь, с) = — 4л; при (а, Ь, с) € N\M и
Q(a, b, c)=0 при (a, b, c)(j-N.^
б) Пусть /([0, Ц) = дМ для некоторого компактного
ориентированного двумерного многообразия с краем М. (Если
/ не имеет самопересечений, такое М всегда существует, даже
если / заузлено, см. [13, стр. 138].) Предположим, что g —
кривая, обладающая тем свойством, что касательный вектор v к g
в точках х, где g пересекает М, не лежит в Мх. Пусть
п+ — число тех пересечений, для которых вектор v направлен
в сторону внешней нормали, п~—число остальных пересечений
и л = п+ — п~. Показать, что
в) Доказать, что
О;й(а, Ь, с) =
/
D2Q (а, Ь, с) = j
D3Q (a, b,c)=j
(*
(X
-с)
-а)
г3
dx —
г3
dy-
(у
ул.
¦to-
¦toll)
b)
dz
dx
г3
/
где г {х, у, г) = \ (х, у, г) |.
г) Показать, что число п из б) равно интегралу задачи 532, б,
и, используя этот результат, показать, что / (/, g) = 1 для кри-
кривых / и g, изображенных на рис. 4.6, б, и / (/, g) = 0 для кри-
кривых / н g на рис. 4.6, в. (Эти результаты были известны
Гауссу [3]. Намеченные здесь доказательства взяты из [7]; см.
также [8].)
КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ
Теперь подготовлен весь аппарат, необходимый для
формулирования и доказательства классических теорем
„стоксовского типа". Мы разрешим себе несколько клас-
классических обозначений, имеющих очевидный смысл.
5.7. Теорема Грина. Пусть McR2 — компактное
двумерное многообразие с краем. Предположим, что

Классические теоремы	155
a, p : M—>R дифференцируемы. Тогда
I" adx -j- pdy = J (D$ — D2a) dx /\dy =
ем	м
-!№-$)<*<>¦
M
где на М задана стандартная ориентация, а на дМ
— индуцированная ориентация, известная также как
„обход против часовой стрелки".
Доказательство. Это весьма специальный случай
теоремы 5.5, поскольку
d (adx -f- ftdy) = (Dtp — D2a) dx f\ dy • |
6.8. Теорема Гаусса — Остроградского.
Пусть MaW — компактное трехмерное многообразие
с краем, п—орт внешней нормали на дМ и F — диф-
дифференцируемое векторное поле на М. Тогда
j div /W= J (F, n) dA.
М	дМ
Это равенство записывается также в виде
?+f+?¦)
f(f) /
М	дМ
где а, р, у : M->R — тройка дифференцируемых функ-
функций.
Доказательство. Рассмотрим на М форму <а =
= F4y /\dz-\- F4z Л dx + F4x /\ dy. Имеем da ==
= div FdV. С другой стороны, применяя теорему 5.6
к дМ, получаем, что на дМ
nxdA — dy Л dz,
dz /\dx,
dx д д^
Поэтому на дМ
(F, n)dA=F^rfdA-\~F42dA-\-F4zdA =
= Fldy /\dz-\-F2dz f\dx + F3dx /\dy =©.

156	5. Интегрирование на многообразиях
Таким образом, в силу теоремы 5.5
J div F dV = j da = j со = J- (/\ «) dЛ. |
AT	ЛГ	дМ	дМ
5.9. Теорема Стокса. Пусть McR3 — компакт-
компактное ориентированное двумерное многообразие с краем,
п— орт внешней нормали на М, определяемый ориен-
ориентацией М, и дМ наделено индуцированной ориентацией.
Пусть, далее, Т — векторное поле на дМ, для которого
ds(T) = \, и F — дифференцируемое векторное поле
в открытом множестве, содержащем М. Тогда
j((VXO.«) <М = _[</>. Т) ds.
М	дМ
Это равенство часто записывают в виде
Г a dx -f- $dy -\- у dz —
дМ
м
Доказательство. Рассмотрим на М форму а =
= Fl dx-JrF2dy-\-F3dz. Так как V X F имеет компо-
компоненты D2F3 — D3f2, Dgf1 —DjF3, DXF2 — D2F\ то,
как и при доказательстве теоремы 5.8, заключаем, что
на М
((V X П п) dA =
= (D2F3 — Dgf2) dy /\dz + (DzFi— DXF^) dz /\dx-\-
-i-(D1F2 — D2Fl) dx /\dy = da.
С другой стороны, так как ds(T) = \, то на дМ
T3ds =

Классические теоремы	157
(Эти равенства можно проверить применением обеих ча-
частей к Тх для х ? дМ, поскольку Тх является базисом
для (дМ)х.) Поэтому на дМ имеем
(F, T) ds = F^Tids-\-F2T2ds-{-F:iTsds =
= F1 dx-\- F2 dy + F3 dz = w,
Таким образом, в силу теоремы 5.5
= J fito == J и = J
J
М	М	дМ	дМ
Теоремы 5.8 и 5.9 служат основанием для обозначений
div F и curl Fl). Если F(х) — вектор скорости жидкости
в точке х (в некоторый момент времени), то Г (F, n) dA
м
есть количество жидкости, „расходящейся" из М. Следо-
Следовательно, условие div F = 0 выражает тот факт, что
жидкость несжимаема. Если М — диск, то Г (F, T) ds
ом
есть мера количества жидкости, циркулирующей вдоль
границы этого диска. Если она равна 0 для всех дисков,
то VX^7 —О И течение жидкости называется безвихре-
безвихревым.
Эти интерпретации div F и curl F принадлежат Максвеллу
[8]. В действительности он работал с величиной — div F,
которую соответственно называл конвергенцией.
Для V X F Максвелл „с большой неуверенностью"
предложил термин „rotation" (вращение) поля F; этим
неудачным термином подсказано сокращение rot F, иногда
еще встречающееся2).
Классические теоремы этого параграфа обычно уста-
устанавливаются при несколько более широких условиях, чем
было сделано здесь. Например, теорема Грина верна для
квадрата, а теорема Гаусса — Остроградского—для куба.
Эти два специальных факта можно доказать, аппроксимируя
квадрат или куб многообразиями с краем. Полное обобщение
') Напомним, что div — сокращение от divergence (расходи-
(расходимость), a curl означает вихрь (англ.). — Прим. перга.
2) В отечественной математической литературе обозначение
rot используется не менее часто, чем curl. — Прим. перев.

158	5. Интегрирование на многообразиях
теорем этого параграфа требует понятия многообразий
с углами; это подмножества в R", локально диффеоморфные
частям R*, ограниченным кусками (k — 1)-мерных пло-
плоскостей. Строгое определение многообразий с углами и
исследование того, как можно обобщить на них резуль-
результаты всей главы, будут достойными упражнениями для
читателя, имеющего к этому вкус.
Задачи
5.34.	Обобщить теорему Гаусса — Остроградского на случай
n-мерного многообразия с краем в R".
5.35.	Применяя обобщенную теорему Гаусса — Остроград-
Остроградского к множеству М = {х?R": | х |< а) и F (х) = хх, выразить
(Я — 1)-мерный объем сферы S" = [x?Rn: \х\ — 1}через «-мер-
«-мерный объем шара Вп= {x?Rn: \x\^l} (последний объем равен
»-/(!).,
n+l л-l	\
если п четно, и -=—5~е	¦ если л нечетно i
1•3-5 • ...•л	I
5.36. Пусть F — векторное поле на R3, определенное равен-
равенством F (х) = @, 0, сх3)х, и М — компактное трехмерное
многообразие с краем, содержащееся в полупространстве
Ма{х: л:3<;0}. Поле F можно представить себе как давле-
давление жидкости плотности с, заполняющей область {л:л:3^0}.
Поскольку жидкость оказывает равное давление во всех направле-
направлениях, мы будем под выталкивающей силой, действующей на М,
понимать — (F, n) dA. Доказать закон Архимеда: действую-
дМ
щая на М выталкивающая сила равна весу жидкости, вытеснен-
вытесненной М.

ЛИТЕРАТУРА
1.	Альф ope (Ahlfors), Complex analysis, New York, 1953.
2.	А у с л е н д е р и Маккензи (Auslander, MacKenzie), In-
Introduction to differentiable manifolds, New York, 1963.
3.	Гаусс (Oauss), Zur mathematischen Theorle der elektrody-
naraischen Wirkungen, Werke, B.5, Gottingen, 1877.
4.	Дьедонне Ж., Основы современного анализа, изд-во „Мир",
М., 1964.
5.	К е л л и (Kelley), General topology, Princeton, 1955 (русский
перевод готовится к печати в нзд-ве „Наука").
6.	Кобаяси иНомидЗу (Kobayashl, Nomizu), Foundations
of differential geometry, New York, 1963.
7.	К у р а н т Р., Курс дифференциального и интегрального
исчисления, ч. II, ГНТИ, М.—Л., 1931 (перевод последнего
пергработанного издания готовится к печати в изд-ве «Наука»).
8.	Максвелл Дж. К., Избранные сочинения по теории элек-
электромагнитного поля, ГИТТЛ, М., 1954.
9.	Натансон Н. П., Теория функций вещественной перемен-
переменной, ГИТТЛ, М., 1957.
10.	Радо (Rado), Length and area, New York, 1948.
11.	де Рам Ж., Дифференцируемые многообразия, ИЛ, М., 1956.
12.	Стернберг (Sternberg), Lectures on differential geometry,
Englewood Cliffs, 1964.
13.	Форт (Fort), Topology of 3-manifolds, Englewood Cliffs,
1962.
14.	X e л г а с о н С, Дифференциальная геометрия и симметри-
симметрические пространства, изд-во „Мир", М., 1964.
15.	Хилтон Дж. и Уайли С, Теория гомологии, изд-во „Мир",
М., 1966.
16.	Ху Сы-цзян, Теория гомотопий, изд-во „Мир", М., 1964.
17.	Ч е з а р и (Cesari), Surface area, Princeton, 1956.
Литература, добавленная при переводе
18.	Б и ш о п Р., Криттенден Р., Геометрия многообра-
многообразий, изд-во „Мир", 1967.
19.	Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многооб-
многообразий, изд-во „Мир", М., 1967.
20.	Н о м и д з у К„ Группы Ли и дифференциальная геометрия,
ИЛ, М., 1960.
21.	Рудин У., Основы математического анализа, изд-во .Мир",
1966.
22.	С т и н р о д Н., Топология косых произведений, ИЛ, М.,
1953.
23.	Т е л е м а н К., Элементы топологии и дифференцируемые
многообразия, изд-во „Мир", 1967.
24.	Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, ИЛ,
М., 1960.
25.	Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, ИЛ, М., т. 1, 1948;
т. 2, 3, 1958.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютная форма 146
Абсолютный тензор 146
Базис ортонормальный 94
—	стандартный для R" 14
Вектор 11
—	касательный 114
Векторное поле 104
	 безвихревое 137
	дифференцируемое 104
	 ла многообразии 135
•	—¦ — дифференцируемое
135
	непрерывное 135
—	— непрерывное 104
Вихрь 106, 157
Внешность множества 17
Внешняя нормаль 138
Внутренность множества 17
Вращение поля 107
Гомотопия 127
Граница множества 17
—	цепи 116
График 22, 133
Дивергенция 105, 157
Диффеоморфизм 129
Дифференциал 109
Дифференциальная форма 106
	абсолютная 146
	дифференцируемая 106
—	— замкнутая 111
	на многообразии 136
	дифференцируемая
136
	 непрерывная 106
—	— точная 111
Дифференцируемость (С°°) 106
Замена переменных 84—89
Звездное множество 112
Измеримость по Жордану 70
Интеграл 61
—	верхний 73
—	криволинейный 121
—	нижний 73
—	повторный 74, 75
—	по множеству 69
—	— — открытому 82
	 поверхности 121
	 цепи 120
—	формы на многообразии
143—144
Интегральная теорема Кошн
127
—	формула Коши 127
Колебание 24
Компакт 18
Комплексные переменные 126
—	числа 126
Композиция 23
Конвергенция 157
Конус обобщенный 152
Координатное условие 131
Коэффициент зацепления 153
Край многообразия 133
Кривая 116
—	дифференцируемая 114
—	замкнутая 126
Куб n-мерный сингулярный 116
	вырожденный 125
—	— стандартный 116
Лемма Пуанкаре 119
Лист Мёбиуса 138, 140, 151
Максимум 39, 40
Матрица 14
—	транспонированная 36, 100
—	Якоби 29
Мера нуль 63
Метод Лагранжа 142

Предметный указатель
161
Минимум 39, 40
Многообразие 129
—	неориентируемое 138
—	ориентированное, 140
—	ориентируемое 138
—	с краем 132
—	— углами 157
Множители Лагранжа 142
Независимость от второй пере-
переменной 29
—	— первой переменной 29
'	способа параметризации
104
Неравенство треугольника 15
Норма 11
Нормаль см. Внешняя нормаль
Область определения 22
Объем 59, 70, 147
—	нуль 64
Ориентации согласованные 136
Ориентация 100, 138
—	индуцированная 139
—	стандартная 100, 104, 141
Ортогональность 16
Открытое множество 17
—	покрытие 17
Параллелепипед замкнутый 16
—	открытый 16
—	разбиения 59
Плоскость 11
Площадь поверхности 147
Поверхность односторонняя
140
Подчинение 80
Поле см. Векторное поле
Положительная определенность
13, 94
Полупространство 132
Поляризационное тождество 13
Порядок кривой 125
Правило дифференцирования
сложных функций 31, 44
—	Лейбница 78
Предел 23
Принцип Кавальери 79
Продолжение разбиения 60
Проекция 23
Произведение векторное 101
—	внешнее 96
—	внутреннее 12, 94
—	— стандартное 94, 103
—	тензорное 92
Производная 28
—	по направлению 46
—	частная 37
	второго порядка (сме-
(смешанная) 39
	высшего порядка (сме-
(смешанная) 39
Разбиение единицы 80
—	замкнутого интервала 59
	 параллелепипеда 59
—	— открытого параллелепи-
параллелепипеда 59
Расстояние 15
Самосопряженное отображе-
отображение 107
Симметричность 13, 94
Система координат 131
	полярных 91
	сохраняющая ориента-
ориентацию 137
Сориентированный ^-мерный
куб на М 142
Сохранение внутреннего произ-
произведения 15
—	нормы 15
—	ориентации 137
—	углов 15
Сфера 129
Тензор 92
—	абсолютный 146
—¦ антисимметрический 95
Теорема Бореля — Лебега 18
—	Гаусса — Остроградского
155
—	Грина 154
—	Коши см. Интегральная
теорема Коши
—¦ о неявной функции 54
	обратной функции 47—
52
—	основная 120—124
	алгебры 125
—	Сарда 89
—	Стокса 122, 145, 150
—	Фубини 73
Тор 134

162
Предметный указатель
Угол 15
— телесный 152
Уравнения связи 141
Условия Коши — Римана
126
Функции, равные с точностью
до п-го порядка 30
Функция аналитическая 126
—	билинейная 35
—	взаимно однозначная 23
—	дифференцируемая 27, 126
—	интегрируемая 60
—	координатная 23, 104
—	непрерывная 23
—	непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая 45
—	неявная 53, 54
—	обратная 47—52
—	однородная 53
—	полилинейная 36, 92
—	постоянная 32
—	характеристическая 69
Цепь 116, 119
Элемент длины 147
—	объема 100, 147
—	площади поверхности 147
curlf 106, 157
С°° 26
divf 105, 157
grad/ 115
rotF 157
tr/ 115

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альфорс (Ahlfors) 159
Ауслендер (Auslander) 159
Бишоп (Bishop) 159
Гаусс (Gauss) 154, 159
Дьедонне (Dieudonne) 159
Келли (Kelley) 159
Кельвин (Kelvin) 8, 91
Кобаясн (Kobayashi) 159
Криттендеи (Crittenden) 159
Курант (Courant) 159
Ленг (Lang) 159
Маккензи (MacKenzie) 159
Максвелл (Maxwell) 8, 159
Натансон Н. П. 159
Номидзу (Nomizu) 159
Пелейс (Palais) 10
Радо (Rado) 159
де Рам (de Rham) 159
Росси (Rossi) 10
Рудин (Rudin) 5, 159
Сили (Seeley) 10
Стенард (Stenard) 10
Стернберг (Sternberg) 159
Стинрод (Steenrod) 159
Стоке (Stokes) 8
Тейт (Tail) 8
Телеман (Teleman) 159
Уайли (Wylie) 159
Уитни (Whitney) 159
Форт (Fort) 159
Хелгасон (Helgason) 159
Хилтон (Hilton) 159
Ху Сы-цзян (Ни) 159
Чезари (Cesari) 159
Шевалле (Chevalley) 159

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода		5
Предисловие автора		7
1.	Функции на евклидовом пространстве		11
Норма и внутреннее произведение		11
Подмножества евклидова пространства		16
Функции и непрерывность		22
2.	Дифференцирование		27
Основные определения		27
Основные теоремы		31
Частные производные		37
Производные		43
Обратные функции		47
Неявные функции		53
По поводу обозначений		57
3.	Интегрирование	 .	59
Основные определения .	.59
Мера 0 и объем 0		63
Интегрируемые функции		66
Теорема Фубини		?1
Разбиение единицы		79
Замена переменной		84
4.	Интегрирование по цепям		92
Предварительные сведения из алгебры		92
Поля и формы		103
Предварительные сведения из геометрии		116
Основная теорема		120
5.	Интегрирование на многообразиях		129
Многообразия		129
Поля и формы на многообразиях	•	134
Теорема Стокса на многообразиях		142
Элемент объема		147
Классические теоремы		154
Литература 		159
Предметный указатель		160
Именной указатель		163
М. С п и в а к
Математический анализ на многообразиях
Редактор Л. Б. Штейнпресс
Художник Н. Н. Власик
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор И. К. Дерва
фдано в производство 10/Х 1967 г. Подписано к печати 22/П 1968 г. ' Бумага
типографская № 2. Формат 84х108'/з2 = 2,56 бум. л. 8,61 усл. печ. л.
Уч.-изд. л. 7,81. Изд. № 1/4422. Цена 58 к. Зак. 904
Темплан 1968 г. Издательство „Мир", № ^0
ИЗДАТЕЛЬСТВО .МИР"
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени Евгении Соколовой
Главполнграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29