Л. Э. Гечденштейн, Л.П. Ершова

а

НАГЛЯДНЫЙ

ГЕОМЕТРИИ

I

।

Я *

»


Л.Э. Генденштейн, А.П. Ершова, А.С. Ершова

НАГЛЯДНЫЙ

СПРАВОЧНИК

МАТЕМАТИКЕ

с п/гиле/гами

для абитуриентов,
школьников,
учителей

ИЛЕКСА
Москва
2009
ГЕОМЕТРИЯ
ПЛАНИМЕТРИЯ
ПРЯМЫЕ И УГЛЫ НА ПЛОСКОСТИ

УГЛЫ С СООТВЕТСТВЕННО ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТОРОНАМИ

Либо равны,	либо составляют в сумме 180°.

УГЛЫ С СООТВЕТСТВЕННО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ СТОРОНАМИ

либо составляют в сумме 180°.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Так называются прямые, которые не пересекаются.

ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА параллельных прямых

Внутренние накрест лежащие углы
равны.

Сумма внутренних односторонних
углов
равна 180°.

Внешние накрест лежащие углы
равны.

Сумма внешних односторонних
углов
равна 180°.

Соответственные углы равны.

а

Две прямые,
параллельные третьей, параллель-
ны:

(а ||с, Ь ||с) => а ||/>.

Две прямые, перпендикулярные
третьей, параллельны:
(а±с, Ы.с) => а 11Ь .
ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ (продолжение)

Теорема Фалеса

Если параллельные прямые, пересекающие
стороны угла,
отсекают на одной стороне угла равные от-
резки,
то они отсекают равные отрезки
и на другой стороне угла.

Верно и обратное: если некоторые прямые, не пересекающиеся внутри
угла, отсекают на одной стороне утла равные между собой отрезки и
на другой стороне тоже равные между собой отрезки, то такие прямые
параллельны.

Параллельные прямые, пересекающие сто-
роны угла, отсекают на сторонах угла про-
порциональные отрезки:

а _ Ь
с (I

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ

Перпендикуляр короче
любой наклонной, про-
веденной
к прямой
из той же точки.

У равных наклон-
ных, проведенных из
одной и той же точ-
ки, проекции равны.

Верно и обратное:
если проекции равны,
то равны и наклон-
ные.

Из двух наклонных,
проведенных из од-
ной и той же точки,
больше та, у которой
проекция больше.

Верно
и обратное.
ТРЕУГОЛЬНИКИ

ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
и УГЛАМИ

	а с  1—-—		. ь  -г-* •	Неравенство треугольника  Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, но больше модуля
	'	с			их разности:  \а- Ь\ < с < а + Ь .
С/Г  /а	  Ь			Сумма углов треугольника равна 180°: а + р + у= 180°.  Ч а	Против большей стороны  \	в треугольнике лежит больший  У\	угол: Ь > а <=> р > а	

Внешний угол треугольника равен
сумме двух внутренних углов, не
смежных с ним:

Теорема косинусов:

с2 = а2 + Ь2 - 2аЬ созу.

Теорема синусов:
а _ Ь _ с
81па 81пр 81пу
Это отношение равно 2/?,
где - радиус
описанной окружности.
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ



По двум сторонам
н углу между ними.

По грем сторонам

По одной стороне
и двум прилежащим
к ней углам

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Но двум пропорцио-
нальным сторонам
и углу между ними:
а Ь

/^Л

По двум равным уг-
лам

По |рем пропорцио-
нальным сторонам
а Ь_ с
а1

СВОЙСТВО ПРЯМОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ
СТОРОНЕ I РЕМ Ш1ЬНИКА

Прямая, параллельная
одной из сторон треугольника
и пересекающая дне другие сторо-
ны треугольника, отсекает тре-
угольник, подобный данному.
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Медиана - отрезок, соединяющий вершину
треугольника
с серединой
противолежащей стороны.

Биссектриса - отрезок, который соединяет
вершину треугольника

с точкой на противолежащей стороне и де-
лит внутренний угол пополам.

Высота — перпендикуляр,
опущенный из вершины треугольника на
прямую, содержащую
противолежащую сторону треугольника.

Взаимное расположение
медианы, биссектрисы и высоты
Биссектриса лежит внутри угла, образован-
ного высотой и медианой, проведенными из
той же вершины.

В равнобедренном треугольнике медиана,
биссектриса и высота, проведенные к осно-

ванию, совпадают.

Серединный перпендикуляр -
прямая, перпендикулярная
стороне треугольника
и делящая ее пополам.

Средняя линия - отрезок,
соединяющий середины
двух сторон треугольника.
СВОЙСТВА МЕДИАН

Три медианы пересекаются
а одной точке%

которая всегда находятся внутри
треугольника

(центр масс треугольника).

Каждая медиана точкой пересече-
ния медиан делится в отношении 2
: I, считая от вершины.

Каждая медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника
(одинаковой площади).

Три медианы делят треугольник
на 6 равновеликих треугольников

Длина медианы

та • ^2Ь2 + 2с2 -оЛ
СВОЙСТВА БИССЕКТРИС

Три биссектрисы пересекаются
в одной точке,
которая всегда лежит
внутри треугольника.

Эта точка является
центром вписанной окружности.

Биссектриса делит сторону тре-
угольника на отрезки, пропорцио-
нальные двум другим сторонам:
а1 _ Ь
а2 с

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолже-
ВИ ВС
ние противолежащей стороны, то	.

Длина биссектрисы



2Ьс СО8^

2

12а = Ьс - Ьхсх
СВОЙСТВА высот

Прямые, содержащие высоты тре-
угольника. пресекаются
в одной топке. Эта точка натывается
ортоцентром.

Орто цен ф остроугольного треуголь-
ника лежит внутри треугольника

Ортоцентр прямоугольного треуголь-
ника
с о впал ас 1 с вершиной
прямо*о угла.

Ортоцентр тупоугольного треуголь-
ника лежит
вне треугольника
(на рисунке треугольник выделен
серым цветом,
а продолжения высот и сторон, обра-
тукмцмх тупой угол, проведены пунк-
тиром).

а

Высоты треугольника
обратно пропорциональны
его сторонам:
СВОЙСТВА
СЕРЕДИННЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ

Три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке. Эта
точка является центром описанной окружности.

В случае остроугольного тре-
угольника точка пересечения се-
рединных перпендикуляров
(центр описанной окружности)

лежит внутри треугольника.

В случае прямоугольного тре-
угольника точка пересечения сере-
динных перпендикуляров
(центр описанной окружности)
совпадает

с серединой гипотенузы.

В случае тупоугольного треуголь-
ника точка пересечения середин-
ных перпендикуляров
(центр описанной окружности)
лежит вне треугольника.

СВОЙСТВО СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА
И БИССЕКТРИСЫ

Продолжение биссектрисы пересе-
кается с серединным перпендику-
ляром в точке, лежащей на окруж-
ности, описанной около треуголь-
ника.
СВОЙСТВА

средней линии

Средняя линия параллельна
одной из сторон треугольника
и равна ее половине:

Ш\\АС; ММ = 4лС.

2

Она отсекает треугольник,
подобный данному,
с коэффициентом подобия 1/2

Три средние линии треугольника делят
его на 4 равных треугольника, подоб-
ных данному,
с коэффициентом подобия 1/2.

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ

В любой треугольник
можно вписать окружность.
Центр вписанной окружности —
точка пересечения биссектрис.

Радиус вписанной окружности

г = 8/р, где 8 — площадь треугольника,
а + Ь + с

Около любого треугольника
можно описать окружность.
Центр описанной окружности —
точка пересечения серединных перпендику-
ляров.

Радиус описанной окружности
„ аЬс

где 8 - площадь треугольника.
ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Через сторону н высоту
проведенную к ней:

Через две стороны и угол между
ними

5 « -ядйпу.

Форм) ла Герои*

Чере) три стороны:

5 » р(р ~ а}( р - Ь}( р - с),
а Ь + с
где р а----------

Через лолупернметр и радиус впи-
санной окружности:

5 = рг.

Через произведение сторон
и радиус описанной окружности:
с _ а^с
5~ 4Я'
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Так называется треугольник, у которого две стороны рав-
ны.

Равные стороны называются боковыми сторонами,
а третья сторона — основанием.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ
РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Приведенные ниже утверждения являются как свойства-
ми,
так и признаками равнобедренного треугольника,
то есть являются необходимыми и достаточными усло-
виями того, что треугольник — равнобедренный. Это озна-
чает:

1.	Если треугольник — равнобедренный, то для него
справедливы все следующие утверждения.

2.	Если для треугольника справедливо хотя бы одно
из следующих утверждений, то он — равнобедренный.

Углы при основании равны.

Медиана, биссектриса
и высота, проведенные
к основанию, совпадают.

Треугольник имеет
ось симметрии.
РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Так называется треугольник, у которого три стороны рав-
ны.

Равносторонний треугольник называется также
правильным треугольником.

Прив( ми, так то есть ВИЯМИ чает:  1.	Еа ведлиЕ  2.	Еа из сле^	СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА эденные ниже утверждения являются как свойства- и признаками равностороннего треугольника, являются необходимыми и достаточными усло- того, что треугольник — равносторонний. Это озна-  пи треугольник — равносторонний, то для него спра- $ы все следующие утверждения.  пи для треугольника справедливо хотя бы одно дующих утверждений, то он — равносторонний.
2	X  X	Все углы равны.
	1	Каждая медиана совпадает  \	с биссектрисой и высотой,  .X	проведенными из той же вершины.
I /А	Центры вписанной и описанной окружностей А \	совпадают.  ) (Их радиусы: г =	; А =	; К = 2г.)  а У
Е  1	Г ’	Треугольник обладает поворотной симметрией:  он не изменяется  \ х	при повороте на 120°.  Треугольник имеет три оси симметрии.  1
ВЫСОТА	, Ла с Ла2 , /у 2 ЗЛ/?2  и площадь: К -	; 5 =	= ЗуЗг^ =	  2	4	4
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Так называется треугольник, у которого один угол прямой.
Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катета-

ми,

а сторона, противолежащая прямому углу — гипотенузой.

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

По двум катетам.

По одному катету
и гипотенузе.

По катету

и прилежащему острому
углу.

По катету
и противолежащему
острому углу.

По гипотенузе
и острому углу.
ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ
ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

По одному острому углу.

По пропорциональности двух
катетов.

По пропорциональности кате-
та и гипотенузы.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Сумма квадратов катетов
равна квадрату гипотенузы:

2 и. к2 - „2
а + о = с .

Справедливо и обратное утвержде-
ние: если для сторон а, Ь, с тре-
угольника выполняется соотноше-
ние

а2 + Ь2 = с2,

то треугольник является прямо-
угольным,
причем стороны а и Ь —
его катеты,

а сторона с — гипотенуза.
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

— = 8Ш а = соз(9° °-а)
с

—	= соза = 81п(9° °-а)
с

= Ша = сШ(9° °-а)

о

—	= С1ёа = Ш(9° °-а)
а

СВОЙСТВА ПРОЕКЦИЙ КАТЕТОВ

Высота, опущенная

на гипотенузу, является средним
пропорциональным между проек-
циями катетов на гипотенузу:

Каждый катет является средним
пропорциональным между гипоте-
нузой
и проекцией этого катета
на гипотенузу:

Высота выражается через стороны
и проекции катетов:

аЬ _ аЬ
с ас + ^с

Ь с

^>Ь2 = Ъсс.
ОКРУЖНОСТЬ. ОПИСАННАЯ
окаю ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Центр описанной окружности
совпадает с серединой гипотенузы,
а радиус равен

— половине гипотенузы:

— медиане, проведенной
к гипотенузе: К « т,.

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Через катеты: 5 = -аЬ.

Через катет и острый угол:
5 -1д:18р = 1а!с(ва.

Через гипотенузу и любой из ост-
рых утло в:

5  —с2 ял 2а = —С2 яп 2р .
4	4
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
ЧЕТЫРЕХ?! (ХНЬНИК. ОПИСАННЫЙ ОКШ1О ОКРУЖНОСТИ

,	Четырехугольник можно описать около ок-

у у. . ружности, если суммы противолежащих
И г Л	сторон равны:

/Х2 У \ а -*♦«/.

а	Если четырехугольник описан около окруж-

ности, то суммы пролмволежантих сторон
равны.

а 4- Ь + с + (1

Площадь: 5 " рг, где р •	(полупериметр},

г— радиус вписанной окружности

Формула 5 - рг справедлива для любого многоугольника, описаинот о
около окружности.

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУ ЖНОСТЬ

Четырехугольник можно впнсагь в окружность, если
сумма противолежащих углов равна 180° . а ♦ у = 0 +
6- 180°.

Если четырехугольник вписан в окружность, то сум-
мы прел и во лежащих углов равны 180*.

Теорема Птолемеи

Сумма произведений противолежащих сторон
равна произведению диагоналей;

ас + М -11^2.

Площадь

5 =	- а)(р - Л)(р - с)( р - с/),

а ♦ Ь т с + с1 х

где р =------------- (полупернмегр).
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

Так называется четырехугольник,
у которого противолежащие стороны параллельны.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Приведенные ниже утверждения являются как свойства-
ми,
так и признаками параллелограмма, то есть являются не-
обходимыми и достаточными условиями того,
что четырехугольник — параллелограмм. Это означает:

1.	Если четырехугольник — параллелограмм, то для него
справедливы все следующие утверждения.

2.	Если для четырехугольника справедливо хотя бы одно
из следующих утверждений, то он — параллелограмм.

Противолежащие стороны
попарно равны.

Противолежащие стороны
равны и параллельны.

Противолежащие углы
попарно равны.

Сумма углов, прилежащих к
любой стороне, равна 180°:

а + 0= 180°.

Диагонали точкой пересече-
ния
делятся пополам.
СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
(продолжение)

Сумма квадратов диагоналей равна
сумме квадратов
всех сторон:

- а1 + Ь1 + с2 +

Каждая диагональ делит четырех*
угольник
на дна равных треугольника.

Обе диагонали делят четырех*

УГОЛЬНИК
на четыре /хмшмшикш треуголь-
ника
(одинаковой площади).

Точка пересечения
диагоналей является
центром симметрии.
ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Через сторону

и опушенную на нес высоту:

5 =	.

Через две прилежащие стороны
и угол между ними:

5 • аЬ »1па *

Чере< диагонали
и угол между ними:
„ _ с1^2 51П<?

С ВОЙС ТВО ПРОИЗВОЛЬНОЙ) ЧП ЫРЕХУИПЬИИКА,
С ВЯ ЗАННОЕ С 11 АРАЛ Л Н 301 РАМ МОМ

Если соединить отрезка-
ми середины соседних
сторон любого четырех-
угольника, получится
паралле;ю1рамм,
РОМБ

Так называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ РОМБА

Приведенные ниже утверждения являются как свойства-
ми,
так и признаками ромба, то есть являются необходимыми и
достаточными условиями того, что четырехугольник —
ромб. Это означает:

1.	Если четырехугольник — ромб, то для него справедли-
вы все следующие утверждения.

2.	Если для четырехугольника справедливо хотя бы одно
из следующих утверждений, то он — ромб.

Все стороны равны.

Диагонали перпендикулярны
и точкой пересечения делятся по-
полам.

Обе диагонали являются биссек-
трисами
внутренних углов.

Прямые, содержащие
диагонали,
являются осями симметрии.
ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В РОМБ

В любой ромб можно вписать окружность.
Радиус г вписанной окружности удовлетво-
ряет соотношениям:

к

Г 2’

где к — высота ромба,

г = 4Н-»

4а

где и с/2 — диагонали ромба,
а — его сторона.

Точка касания вписанной окружности делит
сторону ромба на отрезки, связанные с его
диагоналями
и радиусом вписанной окружности следую-
щими соотношениями:

</, = 2^АН АВ,

= 2^/ВН -АВ,

г = 4АН • НВ .

ПЛОЩАДЬ РОМБА

Через сторону и высоту: 5 = ак.

Через сторону

и радиус вписанной окружности:
5 = 2аг.

Через сторону и угол ромба:

5 = а2 8Ш<2.

к	с ^1^2

Через диагонали: о =
ПРЯМОУГОЛЬНИК

Так называется параллелограмм, у которого все углы
прямые.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА

Приведенные ниже утверждения являются как свойства-
ми,
так и признаками прямоугольника, то есть являются необ-
ходимыми и достаточными условиями того,
что четырехугольник — прямоугольник. Это означает:

1.	Если четырехугольник — прямоугольник, то для него
справедливы все следующие утверждения.

2.	Если для четырехугольника справедливо хотя бы одно
из следующих утверждений, то он — прямоугольник.

Диагонали равны
и точкой пересечения
делятся пополам.

Две стороны параллельны
и углы, прилежащие
к одной из этих сторон, прямые.

Две противолежащие стороны равны
и углы, прилежащие
к одной из этих сторон, прямые.

Перпендикуляры к сторонам, прохо-
дящие через их середины,
являются осями симметрии.
ОКРУЖНОСТЬ. ОПИСАННАЯ
окаю прямоугапьникл

Окаю любого прямоугольника
можно описать окружность.
Радиус описанной окружности

где <1  у а2 + Ь2 — диагональ

прямоугольника.

ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГаЗЬНИКА

Через стороны:

а

СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЯМОУГОЛЬНИКОМ и РОМБОМ

Если соединить отрезками середи-
ны соседних сторон любого пря-
моугольника, получится ромб.

Если соединить огретками середи-
ны соседних сторон любою ромба,
получится прямоугольник.
КВАДРАТ

Так называется прямоугольник, у которого все стороны
равны.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ КВАДРАТА

Приведенные ниже утверждения являются как свойства-
ми,
так и признаками квадрата, то есть являются
необходимыми и достаточными условиями того,
что четырехугольник — квадрат. Это означает:

1.	Если четырехугольник— квадрат, то для него справед-
ливы все следующие утверждения.

2.	Если для четырехугольника справедливо хотя бы одно
из следующих утверждений, то он — квадрат.

Все стороны равны
и среди внутренних углов
есть прямой угол.

Диагонали равны,
перпендикулярны
и, пересекаясь,
делятся пополам.

Четырехугольник имеет четыре оси сим-
метрии:

—	прямые, перпендикулярные сторонам и
проходящие
через их середины;

—	прямые, содержащие диагонали.

90

Четырехугольник обладает поворотной
симметрией:

он не изменяется

при повороте на 90°.
ОКРУЖНОСТЬ. ОПИСАННАЯ
окаю КВАДРАТА

Около квадрата можно описать
окружность

Радиус описанном окружности
выражается через сторону а
квадрата и его диагональ <1 сле-
дующим образом:

ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ
В КВАДРАТ

В квадрат можно
вписать окружность
Радиус вписанной окружности
рамен
половине стороны:

а

ПЛОЩАДЬ КВАДРАТА

Через сторону:

Через диагональ:
ТРАПЕЦИЯ

Так называется четырехугольник, у которого
две стороны параллельны (основания),
а две другие — не параллельны (боковые стороны).
Трапеция с равными боковыми сторонами называется рав-
нобокой (равнобедренной, равнобочной).

ЭЛЕМЕНТЫ ТРАПЕЦИИ

а

а.Ь — основания (а || Ь),
т.п — боковые стороны,
д 1,(1: — диагонали,

И — высота (отрезок, соединяю-
щий основания
и перпендикулярный им),
Ш/ — средняя линия

(отрезок, соединяющий середины
боковых сторон).

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

Через полусумму оснований
и высоту:

~ а + Ь ,

Через среднюю линию
и высоту:

8 = МЫ-И.
Через диагонали
и угол между ними:
с ^|6?281Пф
не

СВОЙСТВА ТРАПЕЦИИ

ДЛОР ~ &СОВ

Средняя линия
параллельна основаниям,
равна их полусумме и делит любой
отрезок с концами, лежащими на пря-
мых, содержащих основания, (напри-
мер. высоту трапеции) пополам:

ЛЛГЦа, М.Ч =	•

Сумма углов,
прилежащих к любой боковой сторо-
не. равна 180°:

ц-ь|1< 180°,
у + 8 = 180°

Треугольники
АОВ и 1ЮС.
образованные боковыми сторонами
и отрезками диагоналей, равновелики
(имеют равные площади).

Треуюльники А ОО и СОВ,
образованные основаниями
и отрезками диагоналей, подобны.
Коэффициент подобия к
равен отношению оснований:

. = АО
ВС '
Отношение площадей лих треуголь-
ников равно к2.
СВОЙСТВА ГРАНЕНИИ (продолжение)

Любой отрезок, соединяющий осно-
вания и проходящий
через точку пересечения диагоналей
трапеции.

делится У!Ой точкой
в отношении

ОХ ВС

ОГ “ ЛР*

Это справедливо, в том числе, для
самих диагоналей

и высоты.

Любую равнобокую трапецию можно
вписать в окружность.

Вписать в окружность можно толь-
ко равнобокую трапецию

Если трапеция АВСИ
описана около окружности,
то треугольники А()В и ЛОС пря-
моугольные

(точка О — центр вписанной окруж-
ности).

Высоты утих 1реуюльмиков, опу-
щенные на гипотенузы, равны ра-
диусу вписанной окружности,
а высота трапеции равна диаметру
вписанной окружной и.
ОКРУЖНОСТЬ

УГЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОКРУЖНОСТЬЮ
УГЛОВАЯ МЕРА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ

Угловой мерой дуги окружности является центральный угол, который
опирается на эту дугу.

РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА

Угол в один радиан равен центральному углу, опирающе-
муся
на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

1 радиан® 57°17'45",

1 7оГРадиан

1о

я радиан = 180°,

7С

— радиан = 90°.

Ля»
СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ УГЛОВ

Вписанный угол равен половине централь-
ного, опирающегося

на ту же дугу:

Все вписанные углы, опирающиеся
на одну и ту же дугу, равны.

Все вписанные углы, опирающиеся на одну
и ту же хорду,
вершины которых лежат
по одну сторону от этой хорды, равны.

Любая пара углов, опирающихся
на одну и ту же хорду, вершины которых
лежат по разные стороны хорды, составля-
ют в сумме 180°:

а + р=180°.

Все вписанные углы, опирающиеся на диа-
метр, прямые.

СВОЙСТВА ХОРД

Если хорды равноудалены
от центра окружности,
то они равны.

Если хорды равны,
то они равноудалены
от центра окружности.

Большая из двух хорд
находится ближе
к центру окружности.

Наибольшая хорда
является диаметром.

Если диаметр делит хорду пополам,
то он перпендикулярен ей.

Если диаметр перпендикулярен хорде,
то он делит ее пополам.

Длина хорды:

П

/ = 27?81п — = 2/?81пВ .

2
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ДЛИНАМИ ХОРД, ОТРЕЗКОВ
КАСАТЕЛЬНЫХ И СЕКУЩИХ

Отрезки пересекаю-
щихся хорд связаны
соотношением:

аЬ = сс1.

Отрезки касательных,
проведенных
из одной точки, равны:
АВ = АС.

Квадрат отрезка каса-
тельной равен произве-
дению отрезков секу-
щей, проведенной из
той же точки:

АВ2 =АСАО.

Произведения отрезков
секущих, проведенных
из одной точки, равны:

АВ АС = АБАЕ.
СВОЙСТВА ДУГ и ХОРД

хордами-

дельными хордами, равны.

ДЛИНА ДУТИ И ОКРУ ЖНОСТИ

Длина дуги: /« а г
(угол а к радианах).

Длина окружности:

I. = 2хг.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ.
ОБЩИЕ КАСАТЕЛЬНЫЕ

Общей касательной к двум окружностям называется пря-
мая,
касающаяся обеих окружностей.

Одна окружность лежит внутри другой
— общих касательных нет.

Расстояние между центрами окружностей
меньше разности
их радиусов: О\О2 < - Я2.

Одна окружность касается другой изнут-
ри — окружности имеют одну общую
точку М, лежащую
на прямой О]О2.

Одна общая касательная а проходит че-
рез эту точку и перпендикулярна пря-
мой О/О2.

Расстояние между центрами окружностей
равно разности

их радиусов: О}О2 = - П2.

Окружности пересекаются —
имеют две общих точки Ми М.

Есть две общих касательных а и Ъ. Если
радиусы окружностей равны, то каса-
тельные параллельны,
а если радиусы не равны, то касатель-
ные пересекаются в точке,
лежащей на прямой О/О2.

Общая хорда ММ перпендикулярна пря-
мой 0^2 и делится ею пополам: ММ Х_
О]О2 ;МК = КМ.

Расстояние между центрами окружностей
больше разности их радиусов, но меньше
суммы:

7?! - Н2< О\О2 < К] + К2.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ
(продолжение)

Одна окружность касается другой снару-
жи — окружности имеют одну общую
точку А/,
лежащую на прямой 01О2.

Есть три общих касательных.

Одна из них (а) проходит через
точку касания окружностей
и перпендикулярна прямой О1О2.

Если радиусы окружностей равны, то
две другие общие касательные (/? и с)
параллельны, а если радиусы не равны,
то эти общие касательные пересекаются
в точке,
лежащей на прямой О^2.

Расстояние между центрами окружностей
равно сумме их радиусов: О\О2 = К\ + К2

Одна окружность лежит вне другой.

Есть четыре общих касательных: две из
них (а и Ь) называются внутренними
и всегда пересекаются в точке, лежащей
на отрезке 0^2 

Две другие общие касательные
(си(/) называются внешними. Если ра-
диусы окружностей равны, то внешние
касательные параллельны, а если радиу-
сы не равны, то внешние касательные
пересекаются в точке, лежащей на пря-
мой 0^2-

Расстояние между центрами окружностей
больше суммы их радиусов: О\О2 > +
МНОГОУГОЛЬНИКИ

ПРОИЗВОЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК

Сумма внутренних углов
«-угольника:

а1 + а2 + ••• + ал = 18° °(и - 2).

Сумма внешних углов «-угольника:

р,+р2+ ... + р„=36°°.

Сумма внешних углов

не зависит от «.

Число К треугольников, на которые раз-
бивается «-угольник диагоналями, выхо-
дящими из одной вершины:

К = п-2.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ  Так называются многоугольники, у которых все стороны равны и все углы равны. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность и описать около окружности.						
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНОЙ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА  И РАДИУСАМИ ВПИСАННОЙ И ОПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТЕЙ  (обозначения: а — сторона, г — радиус вписанной окружности, К — радиус описанной окружности)						
	г через а	К через а		а через г		а через К
треугольник	а  Г” 2Л	я = 4= Л		а = 24	Зг	а = 4зк
квадрат	О |еч  II к	к = -т= Л		а = 2г		а = 41К
шестиугольник	73а  г =	  2	П = а		2 а = —г	Г  3	а=К
и-угольник	а  Г~ 18” п	р .	а  К - . 18”  281П	  п		п 18”  а = 2г 	  п		.п  18” а = 2/?81п	  п
ПЛОЩАДЬ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ						
	через а		через г		через К	
треугольник	с _  5	4		8 = З43г2		„ _ зЛя2  5	4	
квадрат	8 = а2		5 = 4?		5 = 2Я2	
шестиугольник	с 373й2 2		5 = 2 Лг2		5 з4зп2 2	
л-угольник	а2п  18°°  41§	  п		с 2 < 18°°  5 = г п 	  п		о 1 п2 • 36”  5 = - К яхт	  2	п	
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК

Геометрическим местом точек называется фигура, удов-
летворяющая двум условиям:

1.	Все точки фигуры обладают данным свойством.

2.	Все точки, обладающие данным свойством,
принадлежат этой фигуре.

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ

геометрическое место точек

геометрическое место точек

Окружность —
множество точек, находя-
щихся
на данном расстоянии
от данной точки О.

Серединный перпендикуляр
к отрезку с концами в двух
данных точках —
множество точек, равноуда-
ленных от двух данных
точек.

Две прямые, параллельные
данной
и находящиеся
на данном
расстоянии
от нее —
множество точек, удален-
ных
от данной прямой
на данное расстояние.
одна из двух данных прямых

геометрическое место точек



одна из двух данных прямых

НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ
(продолжение)

Прямая, параллельная двум
данным прямым
и находящаяся
на одинаковом расстоянии
от них — множество точек,
удаленных от двух парал-
лельных прямых на одно и
то же расстояние.

^геометрическое
$1 место точек

Биссектриса угла —
множество точек, равноуда-
ленных от сторон угла.

Две дуги окружности рав-
ных радиусов

(за исключением крайних
точек), опирающиеся на
данный отрезок —
множество точек,
из которых данный отрезок
виден под данным углом.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР.

ВИДЫ СИММЕТРИИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР

Параллельный перенос
Все точки фигуры смешаются
в одном и том же направлении
на одно и то же расстояние.

Поворот

Все точки фигуры поворачиваются на
один и тот же угол

вокруг одной и той же точки - центра
поворота.

Преобразование симметрии от-
носительно точки
Каждая точка фигуры переходит
в точку, симметричную ей относитель-
но фиксированной точки — центра
симметрии
Дли плоскости это преобразование сов*
падает с поворотом на I Я0э
(вокруг той же точки).

Преобратование симметрии от-
носительно прямой

Каждая точка фигуры переходит
в точку, симметричную ей огноситель-
но фиксированной прямой — оси сим-
метрии
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР (продолжение)

Движение

Преобразование фигуры,
при котором расстояния между любыми
соответственными точками фигуры
сохраняются.
Примерами движений являются парал-
лельный перенос, поворот , преобразо-
вания симметрии относительно точки
и прямой.

Гомотетия

Все точки фигуры смещаются вдоль
прямых, проходящих
через одну и ту же точку
(центр гомотетии) так, что

ОА> -кОА,,

ОВ2 = к - ОВ} и т. д.

ВсличинаЛ называется коэффициентом
гомотетии.

При к = - 1 гомотетия совладает с пре-
образованием симметрии относитель-

но точки
I

Подобие

Преобразование фигуры.

при котором расстояния между любы-
ми соответственными точками изме-

няются в одно

и го же число раз Пример подобия —
преобразование гомотетии

Нющади подобных фигур относятся как квадраты нх линейных разме-
ров (например, соответствующих сторон, высот, периметров, радиусов
и Т.П I
ВИДЫ СИММЕТРИИ ФИГУР

Переносная

Фигура не изменяется
при параллельном переносе.

Пример: прямая не изменяется при

параллельном переносе
вдоль самой себя.

Поворотная

Фигура не изменяется при повороте на
некоторый угол.

Примеры: квадрат не изменяется при
повороте на 90° вокруг
своего центра, равносторонний тре-
угольник — при повороте
на 120°, окружность — при повороте
на любой угол.

Симметрия относительно точ-
ки

Фигура не изменяется
при преобразовании симметрии отно-
сительно точки.

Примеры: параллелограмм, график
функции у = хп при нечетном п.

Симметрия относительно пря-
мой (зеркальная)

Фигура не изменяется
при преобразовании симметрии отно-
сительно прямой.

Примеры: равнобедренный треуголь-
ник, прямоугольник
(две оси симметрии),
равнобокая трапеция, график функции
у = хп при четном п.
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ

У*  Уо		Оси КОО  ОСЬ X —  .	осьу ——  >Л(Х0> у о)	Точка 0  Любой 1 ляются	рдинат: ось абсцисс, ось ординат. — начало координат.  гочке плоскости сопостав- два числа: абсцисса х0 и  тало-  на называются декартовы- рдинатами данной точки.
			
О	х0 х	ордина  Эти ЧИС.  МИ КОО		
Расстояние между двумя точками:			
У  А(х,; у^*"	^В(х2; У2) АВ = у1  		х		(х, — х2)2 +(>>! -у2)2 .
О	X		
у'  А(х}; у	Коорди]  '	^*В(х2; у2)	середин  С(х;у)		даты  ы отрезка:  х, + х7  х = —!	—  2 ’  У	2	’
О	X		
У‘  Л(х,;у^*^	Коорди зок в за, ^=- *О(х;у)		наты точки, делящей отре- занном отно-шении: если а1  —, то  а2  а7	а.  	 — х, +	!— х2  а] + а2	СЦ + а2  а2	а!  У\ +	У2  а.! + а2	а! + а2
О	*	X =  х	л  У =		
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
ах + Ъу + с = О

(коэффициенты а, Ь не равны нулю одновременно;

они являются координатами вектора (а;/>), перпендикулярного данной
прямой).

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

ПРЯМАЯ, ПРОХОДЯЩАЯ ЧЕРЕЗ НАЧАЛО КООРДИНАТ
ПОД УГЛОМ К КООРДИНАТНЫМ осям
(ГРАФИК ПРЯМОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ)

ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ОСИх
(« = ’, с

ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ОСИ у

С

а

УРАВНЕНИЕ ОСИ X
(« = °,

с

УРАВНЕНИЕ ОСИ у

(а * °, Ь = °, с = 1

о
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

ГРАФИК ПРЯМОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
б = о,л#о

ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ОСИ X
к=О,Ь*О

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ,
ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ

нение можно записать

в виде

(У-У1)(х2 “*1) = (*-*|)(У2 -У1)

Если х1 * х2, У| ф у2, это урав-

У-У,
уг-у}

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ОТРЕЗКАХ НА ОСЯХ
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ, ЗАДАННЫХ ОБЩИМ
УРАВНЕНИЕМ ПРЯМОЙ

1\: а\х + Ъ\у + С] = 0; /2-’ с^х + Ъ^у +	= 0

СОВПАДАЮЩИЕ ПРЯМЫЕ

Для коэффициен-
тов а1г Ъ,, с,, отлич-
ных от нуля:

а 2	/^2	С 2

Для произвольных
коэффициентов

67 А - а2&1

И |(?2 =

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Д, = ф	кй2 = °2Й!

а1	С1	|/2|С2 * °2С|

ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

а2 ^2

ахЬ2 ф а2Ь1

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

^1^2	—
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ, ЗАДАННЫХ УРАВНЕНИЕМ
ПРЯМОЙ

С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

/1: у = к\х + Ь\\ 1г: у = /^х + 62

СОВПАДАЮЩИЕ ПРЯМЫЕ

ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

к] к2

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ

к\к2 = -1
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПРЯМЫХ /1? а\х + Ь\у + С1 = 0; /2: с^х +	+ С2 = 0  или  1\: у = к\х + Ь\\ к: у = 1ъ.х + Ь2 являются решением системы уравнений:			
у'  Уо		ахх + Ь{у + сх = ° а2х + Ь2у + с2 = °  откуда  х . ,  ^2^1  __ а2сх - а{с2 ^2^1	у = кхх + Ьх  у = к2х + Ь2 откуда  г =	~ ^2  кх - к2 ’  _ кхЬ2 - к2Ьх К-^2 ‘
	хо \ X		

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

С центром в начале координат:
ВЕКТОРЫ

Так называются величины, которые характеризуются чис-
ленным значением и направлением. На чертежах векторы
изображаются в виде направленных отрезков. Длина отрез-
ка называется модулем (абсолютной величиной) вектора.

ОБОЗНАЧЕНИЯ ВЕКТОРОВ  ^-*-*^*	-	ТБ  _^-***^	а или АВ,  -****'^	я  °	где А — начало вектора,  _-^-******'^	В —конец вектора.  А	—  Обозначение модуля: | а			или	АВ	
НУЛЕВОЙ ВЕКТОР  Так называется вектор, конец которого совпадает с началом. На чертежах такой вектор изображается точкой и обозначается 0. Модуль нулевого вектора равен нулю, а его направление не определено.					
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ  Так называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.  (Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.)					
ВИДЫ КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ					
сонаправленные	противоположно направленные				
равные  а =Ь	противоположные  а =-Ь				
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ

СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

правило

Сумма двух векторов находится
с помощью

правила треугольника

или правила параллелограмма:

с = а + Ь .

Для любых трех точек А,В, С справед-
ливо соотношение:

АВ + ВС = АС

СЛОЖЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ

Сумма нескольких векторов находит-
ся аналогично

сумме двух векторов

с помощью правила многоуголь-
ника,

которое является обобщением пра-
вила треугольника.

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

Разность двух векторов
а и Ъ — это вектор с ,
который в сумме с вектором Ъ
дает вектор а :

Ь + с =а => с-а -Ь.

Вектор с можно найти также, скла-
дывая с вектором а

вектор - Ь , противоположный вектору
Ь :

С = а + (-Ь)
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ (продолжение)

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Произведение вектора а
на число X — это коллинеарный
ему
вектор Ха, сонаправленный
с вектором а , если X > О,
и направленный противополож-
но ему,
если X < 0.

Модуль вектора Ха удовлетво-
ряет соотношению:

| Ха | =| Х|| а |.

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Скалярное произведение а • Ь векторов а и Ь — это число, равное
произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

а • Ь = |а| • Ь -со8(р.

Модуль вектора |а| = >/<з • а
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Координатами вектора называются разности координат
конца и начала вектора.

на плоскости

Координаты вектора
а(ах\ау):

ах =х2-хь

ау =У2~У\

Модуль вектора
|а| = ^а2 + а’

Координаты вектора
а(ах;ау;аг):
ах=х2-хь
<^у=У2-У\
— 22	2\

Модуль вектора
|а| = ^а2 + а2 + а2

Координаты вектора не изменяются при параллельном
переносе.

У равных векторов соответствующие координаты равны.
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ
В КООРДИНАТНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

НА ПЛОСКОСТИ	В ПРОСТРАНСТВЕ

СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ:

с = а + Ь

сх ах 4* Ьх	сх ~ ах 4" Ьх

су = ау + Ъу	су = ау + Ъу

сг-аг + Ь2

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ:

с = а - Ь

('х ^х ~ &х	Сх ~ &х Ьх

Су ау 1Уу	Су ау 1Уу

с2 — а2 — Ъ2

УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО:

Ь = Ха

Ъх — Хах	Ъх — "Кс1х

1?у Ха у	Ьу Ха у

Ь2 = Ха2

СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ:

8 = а Ь

5 = ахЬх 4- ах.Ьу	5 = ахЬх + аЬ +а.Ь,
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

В координатном представлении:

на плоскости:

СО8(р =

Косинус угла между векто-

+ ' А’ + ЬУ

рами находится
из соотношения

С08(р =

а • Ь

|о|- Ь

в пространстве:

ахЬх + аЬ+ а Ь

С08 (р =...........-.-.....-..-==-.-.

лах + а2 +а2. • ЛЬ2 + ^ + $

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ (ОРТОГОНАЛЬНЫЕ) ВЕКТОРЫ

В координатном представлении:

Скалярное произведение
равно нулю:
а Ь = ’ .

на плоскости:

ОХЬХ + ®уЬу ~ О,
в пространстве:

КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ

В координатном представлении:
координаты векторов пропорциональны,

Модуль скалярного произ-
ведения векторов равен
произведению
их модулей:
а  Ь = |а| • Ь .

то есть удовлетворяют соотношениям:

на плоскости: ахЬу = ауЬх,

(если а,, Ь> 0, то	с ‘4° 45	II	51) ь ь	
		У	(1уЬх
в пространстве: «			
		—	а Л
	а		
(если а,, Ь, ф 0,	то —		
			Ьу
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТИ
ПО ДВУМ НЕКОЛЛИНЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ

X < 0, ц > О

На плоскости любой вектор с
может быть представлен
в виде суммы двух векторов, соот-
ветственно коллинеарных двум
заданным неколлинеарным векто-
рам а и Ь :

с = ка + цб ,
где X и ц — числа.

Такое представление называется
разложением вектора по двум за-
данным векторам.

Разложить вектор

на плоскости по двум заданным
неколлинеарным векторам можно
единственным образом.

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ ПО ТРЕМ
НЕКОМПЛАНАРНЫМ ВЕКТОРАМ
(Компланарными называются векторы,
параллельные одной и той же плоскости)

В пространстве любой вектор с! может быть представлен в виде суммы
трех векторов, соответственно коллинеарных трем заданным некомпла-
нарным векторам а , Ь и с :
д = ’ка + цб + ус ,
где X, ц и V — числа.

Такое представление называется разложением вектора
по трем заданным векторам.

Разложить вектор в пространстве по трем заданным некомпланарным
векторам можно единственным образом.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА
ПО КООРДИНАТНЫМ ВЕКТОРАМ
Координатные векторы (орты) направлены вдоль осей ко-
ординат. Модули этих векторов равны 1.

Обозначения координатных векторов:
на плоскости	в пространстве

1) 1;"), *('; 1)
ИЛИ	или

/(1;

ё.(1;

уА

2-

1

]

Любой вектор а можно разложить единственным образом
по координатным векторам:

Коэффициенты разложения а, являются
проекциями вектора а на оси координат.
СТЕРЕОМЕТРИЯ

ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
В ПРОСТРАНСТВЕ

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПРЯМОЙ

Прямая в пространстве однозначно определяется:

Двумя точками.

Двумя пересекающимися
плоскостями.

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

Так называются прямые, которые лежат в одной плоско-
сти
и не пересекаются.

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ

Две прямые, параллельные треть-
ей,
параллельны между собой:

(а ||с , Ь ||с) => а ||*

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ

Прямая и плоскость называются параллельными,
если они не пересекаются.

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Если прямая, не принадлежащая данной
плоскости, параллельна одной из пря-
мых этой плоскости,
то она параллельна
этой плоскости:

(Ь ||а, Ь с а, оса) => Ь 11 а.

СВОЙСТВО ПРЯМОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ

Любая плоскость, проходящая через
прямую параллельную данной плоско-
сти, либо параллельна этой плоскости,
либо пересекает ее по прямой,
параллельной данной прямой:

(* с: [3, *||а) => р||аилия||*.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Так называются плоскости, которые не пересекаются.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ

Если две пересекающиеся прямые
одной плоскости соответственно
параллельны двум пересекающим-
ся прямым другой плоскости,
то эти плоскости параллельны:

Л,||*2)=>а||₽-

Если каждая из двух данных плос-
костей параллельна третьей плос-
кости,
то данные две плоскости парал-
лельны между собой:

(а Нг, 0 И?) => а ||0.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

Если две параллельные плоскости
пересекаются третьей плоскостью,
то линии пересечения плоскостей
параллельны:

а||Р => а||й.

Отрезки параллельных прямых,
заключенные

между двумя параллельными
плоскостями, равны:

(а ||0, а \\Ь) => АВ = СИ.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ

Две прямые называются перпендикулярными,
если они пересекаются под прямым углом.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ

Две пересекающиеся прямые, па-
раллельные соответственно двум
перпендикулярным прямым, пер-
пендикулярны:

(а1Н^1, °211^2’ яI-1-02)	^1-^2-

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпенди-
кулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой
прямой, принадлежащей плоскости
и проходящей через точку пересечения.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ и плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пере-
секающимся прямым данной плоскости, то
она перпендикулярна этой плоскости:

(а±Ь и а±с) => а±а.

ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Две прямые, перпендикулярные одной и
той же плоскости, параллельны.

Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна данной плоскости, то и
другая прямая перпендикулярна этой плос-
кости.
ПРЯМАЯ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ПЛОСКОСТЯМ

Прямая, перпендикулярная
одной иэ двух параллельных плоскостей,
перпендикулярна
и другой плоскости.

Две плоскости,
перпендикулярные
одной и тон же прямой, параллельны.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ

Пересекающиеся плоскости называются перпендикуляр*
ними, если третья плоскость, перпендикулярная прямой
пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпенди-
кулярным прямым,

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ

Плоскости перпендикулярны,
если одна из них содержит перпендикуляр
к другой плоскости:

(а с аи а 1 р) а 1 р.

СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

Если плоскости перпендикулярны»
то прямая, лежашая в одной из них
и перпендикулярная линии пересечения
плоскостей, перпендикулярна другой плос-
кости:

(а 1 ри а с аи а 1 !>) а 1 Э •
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ

Перпендикуляр короче
любой наклонной,
проведенной к плоскости
из той же точки.

У равных наклонных, проведенных
к плоскости из одной точки, проекции рав-
ны.

Справедливо и обратное: если у двух на-
клонных, проведенных из одной точки,
проекции равны, то равны и наклонные.

Из двух наклонных,
проведенных из одной
точки, больше та,
у которой проекция больше.
Справедливо и обратное.

Теорема о трех перпендикулярах
(содержит два утверждения:
прямое и обратное)

Если прямая, лежащая в плоскости
и проходящая через основание наклонной,
перпендикулярна проекции наклонной,
то она перпендикулярна
и самой наклонной.

Если прямая, лежащая в плоскости
и проходящая через основание наклон-
ной, перпендикулярна наклонной, то она
перпендикулярна и проекции наклонной.
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Так называются прямые, которые не лежат в одной плос-
кости

(то есть не параллельны и не пересекаются).

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Если одна из двух данных прямых пересе-
кает плоскость, в которой лежит другая
прямая, и точка пересечения прямой и
плоскости
не принадлежит другой прямой,
то данные прямые скрещиваются.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Через две скрещивающиеся прямые можно
провести две параллельные плоскости
(единственным образом).

Расстоянием между скрещивающимися
прямыми называется расстояние
между этими плоскостями.

ОБЩИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ДВУМ СКРЕЩИВАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ

перпендикуляр

Так называется отрезок, перпендикуляр-
ный каждой из двух скрещивающихся пря-
мых, концы которого лежат на этих пря-
мых.

Длина общего перпендикуляра равна рас-
стоянию между скрещивающимися пря-
мыми.

УГОЛ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Так называется угол между пересекающи-
мися прямыми, соответственно параллель-
ными
двум данным скрещивающимся прямым.
(Одна из упомянутых пересекающихся
прямых
может совпадать

с одной из скрещивающихся.)
УГЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ и плоскостью

Так называется угол между прямой
н ее проекцией на плоскость.

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ

Так называется фигура» образованная дву-
мя полуплоскостями
с общей ограничивающей их прямой (зта
прямая называется
ребром двугранного угла).

ЛИНЕЙНЫЙ УГОЛ ДВУГРАННО! О УГЛА

Так называется угол между двумя лучами,
образующимися
при пересечении двугранного угла плоско-
стью. перпендикулярной ребру двугранно
го угла.

Мерой ф двугранного угла является мера
соответствующего ему линейного ут ла: 0°
<ф<180*.

У! ОЛ МЕЖДУ ПЛОСХОС1 ЯМИ

Две пересекающиеся плоскости определя-
ют! четыре дну|ранных угла. Сумма двух
таких углов, имеющих общую грань, равна
180°. Углом между плоскостями называют
меньший из этих утлой:

О® < Ф < 90®. (Если ф = 90°, плоскости
перпендикулярны. >
ПРИЗМА

Так называется многогранник, две 1рами которого (осно-
вания) — равные л-угольники, лежащие в параллельных
плоскостях,
а остальные п граней (боковые грани) — параллелограммы
Призма называется прямой, если все ее боковые ребра
перпендикулярны основаниям. Призма называется пра-
вильной,
если она прямая и ее основания — правильные много-
угольники

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПРИЗМЫ		
	Наклонная призма	Прямая призма
Боковая попсрх НОСПв	_ Рмч'К где Р„, — периметр перпен- дикулярного сечения, / — длина бокового ребра	3(д|» “ Р где — периметр основания, Н — высота
1 кмная поверхность	Зяиаи “ •Зйм + 2»-.*5ос«	= 5бе» + 2, -. $<х»
Объем	И-5^./, где Зег,— площадь перпенди- кулярного сечения, 1 — боковое ребро	И-3^7/.  где Зи» — площадь основания призмы, Н — высота
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Так называется призма, основания которой — параллело-
граммы.

Все грани параллелепипеда — паралле-
лограммы.

Противолежащие грани параллельны и
равны.

Все четыре диагонали пересекаются в
одной точке

и точкой пересечения делятся пополам.
Точка пересечения диагоналей — центр
симметрии.

а

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех ребер:

<У2 + б/2 + с12 + д2 = 4а2 + 462 + 4с2

а

Прямой параллелепипед:

боковые ребра перпендикулярны основа-
ниям.

Боковые грани — прямоугольники,
а основания — параллелограммы.

Прямоугольный параллелепипед: пря-
мой параллелепипед, основания которого
— прямоугольники.

Все диагонали равны.

Квадрат диагонали равен сумме квадратов
ребер, исходящих из одной вершины:
(I2 = а2 + Ь2 + с2.

5ПОЛН = 2 (аЪ + Ьс + ас)\ V = аЬс.

Куб:

все грани — квадраты.

Все ребра равны.

</ = Ла, 5ПОЛ„ = 6а2. V = а\
ПИРАМИДА

Так называется многогранник, одна грань которого (осно-
вание) — многоугольник, а все остальные грани (боковые)

треугольники, имеющие общую вершину (вершина пирами-
ды).

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды,
заключенная между ее основанием и сечением пирамиды,
параллельным основанию.

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА

Пирамида называется правильной, если основание ее —
правильный многоугольник, а вершина проецируется в
центр основания.

высота

\апофема

Боковые грани —
равные равнобедренные треуголь-
ники.

Боковые ребра равны.

Апофемы равны
(апофемой пирамиды называется
высота ее боковой грани, прове-
денная из вершины пирамиды,
противоположной основанию).

ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

высота

апофема

Боковые грани —
равные равнобокие трапеции.
Боковые ребра равны.
Апофемы равны.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ		
	Пирамида	Усеченная пирамида
Боковая по- верхность	5бок=	»  «=1 где — площадь одной боковой грани	л  $бок ~	1 5  / = 1  где 5, — площадь одной боковой грани
Полная по- верхность	*$полн — *$бок + *$осн	*$полн ~ *$бок + 5 + 5, где 5 — площадь нижнего основания, 5 — площадь верхнего основания
Объем		V = | Н... .(5 + 5 + л/&)

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПРАВИЛЬНОЙ ПИРАМИДЫ		
	Пирамида	Усеченная пирамида
Боковая по- верхность	56„к=  где Р — периметр основа- ния, 1 — апофема	5бок=|(Р + Р)-/> где Р — периметр нижнего основания, р — периметр верхнего основания, / — апофема
Полная по- верхность	*$ПОЛН ~ *$бок + *$осн	^полн ~ *$бок + 5 + 5, где 5 — площадь нижнего основания, 5 — площадь верхнего основания
Объем	И = |я...-50С„	V = | Н... -(5 + 5 + 7&)
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

ЦИЛИНДР

Прямым кру-
говым цилин-
дром называ-
ется фигура,
полученная
при вращении
прямоугольни-
ка вокруг оси,
содержащей
одну из его
сторон.

КОНУС

Прямым кру-
говым конусом
называется
фигура, полу-
ченная при
вращении
прямоугольно-
го треугольни-
ка вокруг оси,
содержащей
его катет.

УСЕЧЕННЫЙ
КОНУС

Так называ-
ется часть ко-
нуса, ограни-
ченная его ос-
нованием и
сечением, па-
раллельным
основанию.

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА		
Боковая поверхность	Полная поверхность	Объем
5бок = 2пКН	5полн = 2тг7?(7? + Н)	

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ КОНУСА		
	Конус	Усеченный конус
Боковая по- верхность	*$бок	5боК = л(Я + г)Ь
Полная по- верхность	*$полн —	+ А)	$полн =	+ Г)Ь + ТГ(А2 + Г2)
Объем	V = \пК2Н  3	И = |лЯ(Я2 +Яг + г2)
СФЕРА. ШАР

Сферой называется множество всех точек пространства,
находящихся на данном расстоянии А от данной точки О.

Шаром называется множество всех точек пространства,
находящихся от данной точки О на расстоянии,
не большем данного расстояния К.

Сфера является поверхностью шара.

Площадь сферы 5 = 4тгЯ

4

Объем шара V - — л7?3

ЧАСТИ ШАРА

Шаровой сегмент

Объем Г =|лЯ2(ЗЯ-Я)

Площадь сегментной поверхности
5бок = 2 пПН

Шаровой сектор

Объем V =—пК2Н
3

Площадь полной поверхности

8ПОЛВ = пК(2Н + 72ЯЯ-Я2)

Шаровой слой

Объем

К = 4лЯ3 +-л(г.2 + г})Н
6	2

Площадь боковой поверхности
5бок = 2 лПН
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ТЕЛА*

ЦИЛИНДР, ОПИСАННЫЙ ОКОЛО ПРИЗМЫ

Цилиндр можно описать около пря-
мой призмы, если ее основание —
многоугольник,
вписанный в окружность.

Радиус цилиндра К равен радиусу
этой окружности.

Ось цилиндра лежит
на одной прямой
с высотой Н призмы, соединяющей
центры окружностей, описанных
около
оснований призмы.

ЦИЛИНДР, ВПИСАННЫЙ В ПРИЗМУ

Цилиндр можно вписать
в прямую призму, если
ее основание — многоугольник,
описанный около окружности.
Радиус цилиндра г равен радиусу этой
окружности.

Ось цилиндра лежит
на одной прямой
с высотой Н призмы, соединяющей
центры окружностей, вписанных
в основания призмы.

* На рисунках этого раздела описанное тело изображено как прозрач-
ное. Рассмотрены наиболее часто встречающиеся комбинации тел.
КОНУС, ОПИСАННЫЙ ОКОЛО ПИРАМИДЫ

Конус можно описать
около пирамиды,
если ее основание — многоуголь-
ник,
вписанный в окружность,
а вершина пирамиды проецируется
в центр
этой окружности.

Радиус конуса К
равен радиусу этой окружности,
а высоты Н конуса
и пирамиды совпадают.

КОНУС, ВПИСАННЫЙ В ПИРАМИДУ

Конус можно вписать
в пирамиду,
если ее основание —
многоугольник,
описанный около окружности,
а вершина пирамиды проецируется
в центр этой окружности.

Радиус конуса г
равен радиусу этой окружности,
а высоты Н конуса
и пирамиды совпадают.
ШАР, ОПИСАННЫЙ ОКОЮ ЦИЛИНДРА

Шар можно описать около
любого (прямого кругово-
го) цилиндра.

Окружности оснований
цилиндра лежат на по-
верхности шара.

Центр шара лежит
на середине высоты, про-
ходящей
через ось цилиндра

Сечение плоскостью, проходящей через
ось цилиндра
(осевое сечение)

Радиус шара Я,
радиус цилиндра г
и высота цилиндра Н
связаны соотношением:

/г=1'4
ШАР, ВПИСАННЫЙ Н ЦИЛИНДР

Сечение плоскостью, проходящей через
ось цилиндра (оссын* сечение)

Шар можно вписать толь-
ко в такой цилиндр, высо-
та которого равна диамет-
ру основания (такой ци-
линдр называется равно-
сторонним).

Шар касается оснований
цилиндра
них центрах
и боковой поверхности
цилиндра по окружности
большого круга шара,
параллельной основаниям
цилиндра

Радиус шара Л ранен ра-
диусу цилиндра г,
а диаметр шара рат*н вы-
соте цилиндра:

Я  Г.

2Я-Н


ШАР, ОПИСАННЫЙ окаю КОНУСА

Шар можно описать около
любого конуса
Окружность осмоламия
конуса и вершина конуса
лежат

на поверхности шара.

Центр шара лежит
на оси конуса
и совпадает
с центром окружности,
описанной около тре-
угольника, являющегося
осевым сечением конуса.

Сечение плоскостью, проходящей через
ось конуса (осевое сечение)

Радиус шара Я, радиус
конуса г и высота конуса
Я связаны соотношени-
ем:

Я’ =(//-*)’ ♦ г\

Это соотношение справед-
ливо и в том случае, ко-
гда Н < Я
ШАР, ВПИСАННЫЙ В КОНУС

Сечение плоскостью, проходящей через
ось конуса
(осевое сечение)

Шар можно вписать
в любой конус.

Шар касается основания
конуса
в его центре
и боковой поверхности
конуса по окружности,
лежащей в плоскости,
параллельной основанию
конуса.

Центр шара лежит
на оси конуса
и совпадает

с центром окружности,
вписанной

в треугольник, явлюощиЙ-
ся осевым сечением кону-
са.

Радиус шара К.
радиус конуса г
и высо1а конуса Н связа-
ны соотношением:

К г

я-я + 7
ШАР, ОПИСАННЫЙ ОКОЛО ПРИЗМЫ

Шар можно описал ь около
призмы.

если она прямая
и ее основания являются
многоугольниками, впи-
санными

в окружность.

Центр шара лежит на се-
редине высоты призмы,
соединяющей центры ок-
ружностей. описанных
около оснований призмы

Сечение полуплоскостью,
проходящей через центр шара
и боковое ребро приемы. (По-
луплоскость ограничена пря-
мой. параллельной боковому
ребру призмы
и проходящей
через центр шара.)

Радиус шара Я. высота
призмы Н и радиус окруж-
ности г. описанной окаю
основания призмы, связа-
ны соотношением:
ШАР. ВПИСАННЫЙ В ПРЯМУЮ ПРИЗМУ

Сечение 1Ю/|уплоскос1ъю,
перпендикулярной боковой
грани призмы
и проходящей через высоту
призмы, соединяющую цен-
тры окружностей,
вписанных в основания.

Шар можно влиса1ь
в прямую призму, если ее
основания являются мно-
гоугольниками, описан-
ными около окружности,
а высота призмы равна
диаметру
этой окружности
Радиус вписанного шара
равен радиусу этой ок-
ружности.

Центр шара лежит
на середине высоты
призмы, соединяющей
центры окружностей,
вписанных

в основания призмы.

Радиус шара Я.
высота призмы Н и радиус
окружности г, вписанной
в основание призмы, свя-
заны соотношениями
ШАР, ОПИСАННЫЙ
окаю правильной пирамиды

Сечение полуплоскостью, проходя-
щей через центр тара
и боковое ребро пирамиды. (Полу-
плоскость о!раничена прямой, про-
ходящей
через высоту пирамиды )

Шар можно описать окаю
любой правильной пира-
миды.

Центр шара лежит на пря-
мой, содержащей высоту
пирамиды
и совпадает с центром
окружности, описанной
около равнобедренного
треугольника,
боковой стороной которо
го является боковое ребро
пирамиды,
а высотой — высота пира-
миды.

Радиус шара ранен радиу-
су этой окружности.

Радиус шара К, высота
пирамиды Н и радиус ок-
ружности г, описанной
около основания пирами-
ды, связаны соотношени-
ем:

К1 *(Н -К)‘ +г2.

'Это соотношение справед-
ливо и в том случае, когда
/МЛ
ШАР. ВПИСАННЫЙ
В ПРАВИЛЬНУЮ ПИРАМИДУ

Сечение полуплоскостью. проходя-
щей через центр тара и апофему
пирамиды (Полуплоскость ограни-
чена прямой, проходящей через вы-
соту пирамиды.)

Шар мож«ю вписать
н любую правильную пи-
рамиду

Центр шара лежит на вы-
соте пирамиды
и совпадает с центром
окружности. вписанной в
равнобедренный треуголь-
ник.

боковой стороной которо-
го является апофема (вы-
сота боковой грани) пира-
миды,

а высотой — высота пира-
миды.

Радиус шара равен радиу-
су этой окружности

Радиус шара Л. высота
пирамиды Н и радиус ок-
ружности г, вписанной в
основание пирамиды, свя-
заны соотношением:

/? г
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ

Оси координат:
ось х — ось абсцисс,
ось)/ — ось ординат,
ось 2 — ось аппликат.
Точка О — начало координат.

Любой точке пространства сопоставляются
три числа:
абсцисса то, ордината уо
и аппликата 2о.

Эти числа называются декартовыми коор-
динатами данной точки.

Расстояние между двумя точками:

Координаты точки, делящей отрезок
в заданном отношении:

В(х;у; &

г

В(х2; у2;

если

АВ а.

ВВ

а2

, то

а2

«1 +а2

а-,

-----—У\

а] + а 2

а2

2 = ---к--

а! +а2

а1

—7—

а, + а2

а1

-----1---У 2

а1 + а2

0С| + а2

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

ах + Ъу +	+

(коэффициенты а,Ъ,с не равны нулю одновременно;
они являются координатами вектора (аи6>с), перпендикулярного дан-
ной плоскости)

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

4  • => ах + Ьу + сг = л

Плоскость проходит через начало
координат.

(<з - * и й « ’) => Ьу + С1 » °

Плоскость проходит через ось х.

(Л = *иЛ = ‘) ОХ + <Х = ’

Плоскость проходит через ось у.

<?-* => ах + Ьу + (1 = '

Плоскость параллельна оси х.

(с-‘и4-*) => ах^Ьу-

П.КККОСГ». проколи г через ось г.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ
ах + ^ + сг + </м0
(продолжение)
(а = ’иЬ = *) С7 + б/ = *
Плоскость параллельна плоскости
Х>’.

(й	=> « = '

Плоскость совпадает
С плоскостью ху\

Плоскость параллельна плоскости
хг

V'

=> Ьу = ’

Плоскость совпадает

С ПЛОСКОСТЬЮ Х2

(А•не»*) => ак + </ = а
Плоскость параллельна плоскости

(Ь - ’ис - '\\д • *) ах = °

Плоскость совпадает
с плоскостью уг.

УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ НА ОСЯХ

а
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

а?!; а,х + Ь.у + С| I + б/, = 0;

а2: а2х + Ь2у ♦ с2г + &  0

СОВПАДАЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ

Для коэффициентов
Ь„ ся <4 отличник
от нуля:

*Ь = А. = <Еъ = Л

а2	С2 ^2

Для произвольных
коэффициентов
ск 4:

’	= а2с^

0^2 =

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОС1И

о ।	 ^*|

	 <Ъ*1

о,</; * а,а,

ПЬТПЬНДИКУЛЯГНЫЕ 11Л<Х'К<Х'ТИ
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ
(меныиий из двух смежных углов)

сг|.* «|л +	+ «А • 0;

а2: сьх + Ьгу + с^г + Л = О

С05<р •
СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

на 2	последняя цифра числа четная
на 3	сумма цифр числа делится на 3
на 4	две последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 4
на 5	последняя цифра числа 0 или 5
на 6	число должно делиться на 2 и на 3 (см. соответствую- щие признаки делимости)
на 8	три последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 8
на 9	сумма цифр числа делится на 9
на 11	сумма цифр, стоящих на четных местах, отличается от суммы цифр, стоящих на нечетных местах, на чис- ло, кратное 11
на 25	две последние цифры числа 00, 25, 50 или 75

ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ (до 997)

2	79	191	311	439	577	709	857
3	83	193	313	443	587	719	859
5	89	197	317	449	593	727	863
7	97	199	331	457	599	733	877
11	101	211	337	461	601	739	881
13	103	223	347	463	607	743	883
17	107	227	349	467	613	751	887
19	109	229	353	479	617	757	907
23	113	233	359	487	619	761	911
29	127	239	367	491	631	769	919
31	131	241	373	499	641	773	929
37	137	251	379	503	643	787	937
41	139	257	383	509	647	797	941
43	149	263	389	521	653	809	947
47	151	269	397	523	659	811	953
53	157	271	401	541	661	821	967
59	163	277	409	547	673	823	971
61	167	281	419	557	677	827	977
67	173	283	421	563	683	829	983
71	179	293	431	569	691	839	991
73	181	307	433	571	701	853	997
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

ДЕСЯТКИ	ЕДИНИЦЫ									
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

ПРОПОРЦИИ*)

СВОЙСТВА ПРОПОРЦИЙ

1.	Произведение крайних членов равно произведению средних,
ас , ,

т.е. если — = — , то аа = ос .
Ь (I

2.	В пропорции, все члены которой отличны от нуля, можно
менять местами средние и крайние члены пропорции, т.е. если
ас а Ь (1 с д, Ъ
— = — , то — = — , — = — , — = — .

Ь (1 с (1 Ь а с а

ПРОИЗВОДНЫЕ ПРОПОРЦИИ,
а с
полученные из пропорции — = —:
Ь (1

а ± Ь	С + (1	а + Ъ __	С 4- (1
а	с	а-Ь	с - с1
а±Ь	с + д,	а±с	а с
Ь	(1	Ь ± (1	ь~ а
ат1 +	стг 4-	ат^ +	Ьт1 4- д,пх
ат2 + Ьп2	ст2 + (1п2	ат2 + сп2	Ьт2 4- (1п2
где тпъ	т-2> п1> п2		произвольные числа.	

*) Во всех приведенных формулах знаменатели не должны
равняться нулю.
МНОГОЧЛЕНЫ

а2 - Ъ2 = (а - Ь)(а + Ь)

(а 4- Ь)2 = а2 + 2аЬ 4- Ь2

(а - Ь)2 = а2 - 2аЪ 4- Ъ2

(а 4- Ъ 4- с)2 = а2 4- Ъ2 4- с2 4- 2аЬ 4- 2Ьс 4- 2ас

а3 + Ь3 = (а + Ь)(а2 - аЬ	+	Ь2)

а3 - Ь3 - (а - Ь)(а2 4- аЬ	4-	Ь2)

(а 4-	Ь)3	= а3 4- За2Ъ 4- ЗаЪ2 4- Ь3 = а3	4-	Ъ3 4-	ЗаЬ(а 4-	Ь)

(а	- Ь)3	=	а3 - За26 4- За&2 - Ь3 = а3	-	Ь3 -	ЗаЬ(а - Ь)

Для п €

ап - Ьп = (а - ЬХа”-1 4- ап~2Ь 4- ап~3Ь2 4- ... +аЬп~2 +

Если п — четное,

ап - Ьп = (а 4- Ь)(ал-Х - ап~2Ь + ал"3Ь2 - ... 4- аЬп~2 - &л"х)

Если п — нечетное,

ап + Ьп = (а + Ь)(ал-Х - ал’2& 4- ал"3&2 - ... - аЬл"2 + &л“х)

БИНОМ НЬЮТОНА

(а + Ь)" = X =
к=0

= С°ап +	+ С2„а"~2Ь2 + ... + С;’1а1&“'1 +СХ

п!	.	.

где С„ =-------------число сочетании из п по к.

п к\(п-к)\
ПРОГРЕССИИ

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ	ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Дп + 1 = ап +	+ 1 =	' 0.)
где д, - разность прогрессии	где д * 0 - знаменатель прогрессии
Формулы	п-го члена
ап = О1 + (л - 1)<2	Ъп = Ьг дп ~1
ап = аА + (л “	Ьп = Ък- дп ~ к
п — ап-к + ап+к	Ъп = ^п-к ' Ъп+к

Формулы суммы первых п членов

„	2а, + (и - 1)</  5П _ —1	п =  п	2  . Д1 + Дп Г V  2	3"=61Т^= 61 1-д	д-1  8Л = &1 • п, д = 1
Формула для разности	Формула для знаменателя &П+1
= ап + 1 ~ ап	д =	1  Ь„
Если п +	т - к + ру то
ап ат = ак + ар	^п. '	=	' Ьр
Сумма последовательных натуральных чисел от 1 до п:	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогресии:
5=п(п + 1) 2	8 = Т^. 1?1 < 1 1-д

ПРОСТЕЙШИЕ НЕРАВЕНСТВА*)

I

а2 + Ь2 > 2аЬ; — + —>2,аЬ>0
Ъ а

а + Ь г— Л _

----> уаЬ , а > О, Ъ > О
2

(Среднее арифметическое не меньше среднего геометрического)

*) Равенства в приведенных неравенствах достигаются тогда и
только тогда, когда а = Ъ.
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ

Арифметическим корнем п-ой степени из неотрицательного числа
а называется такое неотрицательное число Ь, п-ая степень которого
равна а, т.е. у[а = Ь , если Ьп = а (а > О, Ь > 0).

СВОЙСТВА КОРНЕЙ

Основное свойство корня	ц/а" =	, а > 0	
Умножение корней	т[а $> = т/аЬ , а > 0, Ь > 0	
Деление корней	ЭД II с V © о- V О	
Возведение корня в степень	/п ~ \т п1т _ л {Ча) = Ча , а > 1)	
Извлечение корня из корня	= “^а, а > 0	
Вынесение множителя из-под знака корня	2л1а2"Ь = |а|  2^Ь , Ь > 0 в частности, Ча2Ь = | а| 4ь  2п^а2"*'Ь = а 2"’-Й?	
Внесение множителя под знак корня	а-2^Ь=-  а  2"*4ь =	Ча2пЬ,(а>Ъ, Ь>0) -Ча2пЬ,(а <0, Ь>0) 2п+^а2л+1Ь

СТЕПЕНИ

С натуральным показателем	ап = а ' а	а, а1 - а  п раз
С положительным дробным показателем	т		  ап = Vат , где а > 0, т,пе 14
С нулевым показателем	а0 = 1, где а 0
С отрицательным  рациональным показателем	а~г - — , где а > 0 аг
Умножение степеней	ар • ад = ар+ч; ар Ьр =(аЪ)р
Деление степеней	в | -е  II  а. 1 а.  О | Л о»  1 а.  <3  II  а, 1  О | 3
Возведение степени в степень	(а'1)’ = а"
ЛОГАРИФМЫ

Логарифмом положительного числа Ь по основанию а
(а > 0, а Ф 1) называется такой показатель степени су в
которую надо возвести число а, чтобы получить число Ь:

1о#а& = с <=> ас = Ь.

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ*»

•	Основное логарифмическое тождество: а1оКа ь = Ъ, Ъ > О

•	1о$а а = 1

•	1оеа 1 = 0

•	Логарифм произведения:	1о#а ху = 1о^а| х|+ 1о^а| 1/|, ху > 0

•	Логарифм частного:	1о&а — = 1°&а1 х1_ 1°&а1 у\ » — > 0

У	У

1оеа Хр = р1о^а|х|, хр > О

•	Логарифм степени:	п

1оеа, хр = —1о&а|х|, хр > 0
У

•	Логарифм корня:	1о&а ^х ~ — 1о$а х, х > 0

п

•	Формула перехода к другому основанию:

1о&о Ь = Ь , где & > 0, с > 0, с * 1

1о&а Ь = ——— , где Ъ > 0, Ъ * 1
1о&ьа

*> Во всех приведенных формулах а > 0, а ф 1
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
ТРИГОНОМЕТРИИ*)

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА

2	2

81П X + СОЗ X = 1

81ПХ

СО8Х

с^ёх =

СОЗ X

81ПХ

х • с1& х = 1

1 + 4е2 х = —4—
СОЗ X

X 2	1

1 + с1е х = ——
81П X

=

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

81п(х + у) = зт х соз у + соз х зт у

81П(х - у) = 81П X СОЗ у - СОЗ X 81П у

соз(х + у) = соз х соз у - зт х зт у

соз(х - у) = соз х соз у + зт х зт у

1ёх + 1ёУ	. , , ч с1ёхс1ёУ~^

1ё(х + у) =-----—	с1^(х + у) =--------

1-1ёх1ёУ	с1ёх + с1ёУ

1ёХ~1ёУ	ч	с!& х с*е у +1

^(л: - у) = -—   —	- у) =-------- 

1 + 1ёх1ёУ	с1ёх-с1ёУ

ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО УГЛА

2^1

зт х =------—	1ёх =------—

-	. 2 х	, 2 х

1 + — 1 - —

6 2	2

1-18 ? 1-18 ?

соз х =----—	с1& х =-----—

^2-2 ^-2

*>Во всех формулах, приведенных в этом разделе, следует учи-
тывать область допустимых значений левой и правой частей
формул.
ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА

81П 2х = 2 81П X СОЗ X

СОЗ 2х = СО82 X - 81П2 X = 1 - 2 81П2 X = 2 соз2 х - 1

х О	21ёх  Ьё2х=	2	=  1 -	X	2 сЬёх- 1ёх
с1&2 х -1  с1г 2х =	  2с1^х	__ с1§ х - 2

ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННОГО АРГУМЕНТА

• 2 X
31П —

2

1 - СОЗ X

2 X 1 - СОЗ X
— =-----------

2	1 + соз х

2 X
соз — =

2

1 + СОЗ X

2

, 2 х 1 + СОЗ X
о =;-------------

2	1 - соз х

X _	81П X _ 1 - СОЗ X

2	1 + СОЗ X 81П X

X 81П X 1 + СОЗ X

= --------=-----;-----

2	1 - соз х З1п х

ФОРМУЛЫ ТРОЙНОГО АРГУМЕНТА

о

81П Зх = 3 81П X - 4 81П X

о

созЗх = 4соз х-Зсозх

1&3х =

31^х -х
1 - 31е2 х

с1& Зх =

с1ё3 х - 3 с1# х
Зс1&2 х -1
ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ

л ± 8Ш(Х + у)
1ёХ + 1ёУ =------—

СОЗ X СОЗ у

±	31П(Х - у)

1ех-1ёу = —-——
СОЗ X СОЗ у

х + у х — у

81П X + 8Й1 У - 2 81П---СОЗ------

2	2

„ . х - у X + у
81П X - 81П у = 2 81П--— СОЗ----—

2	2

X + у х - у

СОЗ X + СОЗ у = 2 СОЗ---— СОЗ--—

2	2

_ . X + у . х - у

СОЗ X - СОЗ у = -2 81П---- 81П----—

2.______2________________

1	1 8Ш(Х + у)

с1ё X + с1е у = —----

81П X 51П у

,	,	51Г1(Х - у)

с1е х - с1е у = —:

51П X 81П у

соз(х - у)

1ех + с1ёУ =------—-г^-

СОЗ X 81П у
соз(х + у)
X - С1ё У =--------—

СОЗ X 51П у

х .	1	2

х + сЪ& х =----------=--------

8Ш X СОЗ X 8Ш 2х

2	± п соз 2х	„ ± п

1ё х - с1ё х = -2---= -2 с1ё 2х

З1п2х

соз х + эхп х = 72 соз(45°-х) = 72 зт(45°+х)

созх - ат х - 72 З1п(45°-х) = 7з соз(45°+х)

а з1п х + Ъ соз х = 7а2 + Ъ2 з!п(х + ф)»

6	а

где 81пф =	, созф =

4а2 + ь2 т 7777

ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ В СУММУ

5Н1Х31П у = ^[соз(х - у) - соз(х + у)]

2

СОЗ X СОЗ у = — [соз(х - у) 4- соз(х + I/)]

81П X СОЗ у - ^[31п(х - у) + 81п(х + I/)]
ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

угол функция""^	р = -±а 2	Р = тс ± а	0 = —±а  н 2	р = 2л ± а
81П р	соз а	+ з1па	- соз а	Фзхпа
СОЗ Р	т 81п а	-соз а	±зш а	соз а
	+ с1еа	± а	т с1и«	
с^Р	+	±с1& а	а Э3 1+	±с1& а

ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫХ УГЛОВ

Угол в градусах	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Угол в		л	л	л	л		Зл	
радианах	0	6	I		2	л	2	2л
зша	0	1.  2	1  Л	7з  2	1	0	-1	0
соз а	1	Уз  2	1  72	2.  2	0	-1	0	1
	0	1  7з	1	7з	не сущ.	0	не сущ.	0
с4^а	не сущ.	7з	1	1  7з	0	не сущ.	0	не сущ.

СВОЙСТВА ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

агс81п(-а) = - агсзхпл,	|а| < 1

агссоз (-а) - п - агссоз а,	|а| < 1

агс1^(-а) = - агс1§«» а е К
агсс^(-а) = п - агсс1§а, а е К

агс81п а 4- агссоз а = — ,	|а| < 1

2

X	х	Л

агсЪ^ а + агсс1§ а = — , а е В
НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЕЛЫ

,. 8Ш X  11Ш	 = 1	Г	1  пт —— = 1
х->0 X	х->0 х
ех -1  Ит-	- = 1	ах-1  пт	= та, а > 0
х->0 х	х-»0 х
Ит(1 + х)1/х = е х—>0	.. 1п(1 + х) 1  11т	= 1  х—»0	X

ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Функция	Производная
/(х) = с	с' = 0 , где с — сопз1
/(*) = Ха	(х“)' = ах0’1
Лх) = е1	(еху = ех
/(х) = ах	(аху = ах 1па
/(х) = 1пх	(1пх)' = 1 X
/(х) = 1о$ах	
	X)  х1па
/(х) = ЗШХ	(81ПХ)' = 008 X
/(х) = СО8Х	(008 х)' = -81П X
/(х) = 1%х	
	Х) - 2 СОЗ X
/(х) = с1$х	
	(.сцхх; - 51П X
/(х) = агсзтх	(агсзтх) =	  71 - х2
/(х) = агссозх	/	V	1  (агссозх) = —г- - -  71 -х2
/(х) = агс1§х	
	(.агсък*) -	2  1 + х2
/(х) = агссЪ^х	(от*г*г*4’гг
	(.агссъ^ х) -  1 + X2
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ

|о•дх = С

|1 • дх = х + С

-	га+1

Гха(/х = —----+	С,	(а	*-1)

•» а +1

----— йх = 1&х + С
С08 X

—5— д,х = - х + С
8Н1 X

71

с 1	,	агсэт х + С

I ......ах = <

1	^1- х2 [- агссоз х + С
С 1	агс1я х + С

------ дх =

' 1 + х	[- агсс^к х + С

г	ах

1а дх =----+ С

л	1па

|з1П х дх = - сов х + С

|сО8Хб?Х = ЗН1Х + С
Г^хб/х = — 1п|созх| + С

|с1& х дх = 1п| з!п х| + С

агсвт — + С
а

а2 - х2

—-----2<*Х =

а + х

(1х = — 1п
2а

- агссоз — + С
а

1 х х „
— агскя — + С

— агсс1& — + С

а + х

а-х

дх = <

а

а

ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнение радиоактивного распада: у' = -ау

у = Се ах, где С — произвольная постоянная.

Уравнение гармонических колебаний: у" = -о2у

у = А соз(а>х + ф), где А и ф — произвольные постоянные.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексное число имеет вид г = а 4- Ы,
где а и Ь — действительные числа, I — мнимая единица, I2 = -1.
Число а называется действительной частью комплексного чис-
ла, а число Ь — его мнимой частью;
они обозначаются соответственно Кег и 1тг.
Числа а + Ы и а - Ы, которые отличаются только знаком мнимой
части, называются сопряженными.

ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Сложение	(а + Ы) 4- (с 4- сП)	= (а + с) + (д + д)1
Вычитание	(а 4- Ы) - (с + (О)	= (а - с) + (Ь - а?)г
Умножение	(а 4- &/)(с 4- сП) =	(ас - Ьс?) 4- (ас? 4- Ъс)1
Деление	а + Ы ас + Ъд	Ъс-ад .	,	,  ;. н2 д-г?2 л
	с + (Н с + с?2	С ,	С ' €С 7^ V  с2 + сГ
Возведение в степень числа 1	:4т ] :4т + 1 : :4т+2 _1 :4т+3  :  С ““ х С	Су С	х у V	Ь •	

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Модуль	г = у/		'+ь2
Аргумент	Число а такое, что 1Ва = |.		
Тригонометрическая	. .  форма комплексного 2 = г(С08а +15та) числа		
Умножение	2	2г	= гхг2 (соз(а! 4-а2)4-/81п(а, +а2))
Ъ_ = [  Деление	г.	г  Г 2	(со8(а] -а2)4-г81п(а1 -а2))
Возведение в степень хп =	гп	(созиа 4ч'8тпа)
ч ормула Муава (соза 4- шла)" = соъпа 4- «тиа		
Извлечение корня:  к = 1,2,		а + 2/гтг	а + 2кп  г (соз	+ 1 зт	),  п	п  ...,п -1.
_______ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

Число перестановок из п элементов:

Рп - п \-12 3 ... п

Число размещений из п элементов по к элементов:

А* = ,	= п • (п -1)  (п - 2)  ...  (п - й + 1)

(и - к)!

Число сочетаний из п элементов по к элементов:

0* _	и ♦ (и - 1) • (п - 2) • ...  (п - й + 1)

"  Л!(п - *)! ~	1- 2-3 - ... к

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вероятность случайного события	Р(А) = —, где т — количество элемен- п  тарных событий, благоприятствующих событию А,  п — общее количество равновозможных и несовместных событий, образующих полную группу.
Теорема сложения вероятностей несо- вместных событий	Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Теорема умножения вероятностей несо- вместных событий	Р(АВ) = Р(А) • Р(В)
Вероятность осущест- вления хотя бы одного из независимых событий	р(Л)=1-(1-р(4))-(1-р(Л ))•••  И  •(1-Л4,))  Аь А2,... Ап — взаимно независимые события.
Формула Бернулли	п’  р =	птлп~т и Р	— яр пл-
	*т,п	Р Я И *т,п ВерО  ятность того, что событие А наступит в п испытаниях т раз.