LECTURE NOTE IN MATHEMATICS
Edited by A. Dold and B. Eckmann
766
Tammo torn Dieck
TRANSFORMATION GROUPS
AND REPRESENTATION THEORY
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
1979

Т. том Дик
Группы
преобразовании
и теория
представлений
Перевод с английского
А. А. Кириллова
Москва
•Мир-
1982

УДК 519.46
Дик Т. том
Группы преобразований и теория представлений: Пер: с
англ. — М.: Мир, 1982. — 13 л., ил.
Книга известного западногерманского математика, посвященная топологической
классификации нелинейных представлений конечных и компактных групп. Эта теория
находится на стыке алгебры, топологии и геометрии. Изложение начинается с
простых понятий и сопровождается упражнениями.
Для математиков различных специальностей, аспирантов и студентов
университетов.
Редакция литературы по математическим наукам
1702030000—046 © Springer-Verlag, Berlin — Heidelberg
041@1)— 82 5~82' Ч' ' I979 AU Ri8hts Reserved. Authorized
* ' translation from English language
edition published by Springer-Verlag
Berlin — Heidelberg — New York.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1982

Предисловие переводчика
Теория представлений компактных групп Ли дает явное описание
всех линейных G-отображений из одного G-модуля в другой. В
простейшем случае, когда оба модуля неприводимы, это составляет содержание
знаменитой леммы Шура.
В то же время для основных примеров G-модулей уже давно
рассматривались нелинейные G-отображения (например, квадратичное
отображение спипорного пространства в тензорное). Однако систематическое
исследование категории G-пространств с нелинейными морфизмами стало
возможным лишь недавно в связи с построением теории эквивариантных
гомологии и когомологий.
В обычной гомотопической топологии большую роль играет переход
к «стабильным» объектам. Один из способов осуществить этот переход
состоит в замене исследуемого пространства X новым пространством
QX = \imQn'ZnX, где 2" и Q" обозначают соответственно я-кратную
надстройку и л-кратное пространство петель. Оказывается, принцип
стабильности применим и в эквивариантном случае. Вместо обычной надстройки
2", которую можно представлять в виде тензорного произведения (sraas^
product) с «-мерной сферой, следует рассмотреть тензорное произведение
2° с одноточечной компактификацией 5 V некоторого конечномерного
G-модуля V. Вместо операции Q" нужно взять функтор И" =
= Map(SV, •) непрерывных отображений SV в рассматриваемое
пространство. Наконец, в выражении QV2,VX нужно перейти к пределу «при V "°°».
Практически этот предел достигается, если в качестве V взять модуль,
содержащий любой класс неприводимых подмодулей с бесконечной
кратностью. Полученное G-просгранство обозначается через QV. В нем
закодированы все «стабильные» свойства исходного G-пространства Х.
Особую роль играет QX в случае, когда X = S°—нульмерная сфера.
Группа n0((QX)G)=A(G) является кольцом, а все группы nn((QX)a) —
модулями над этим кольцом. Кольцо A(G) получило название бернсайдов-
ского кольца группы G.
Элементарное построение этого кольца и его исследование для
конечных групп составляет одну из лучших глав предлагаемой вниманию
читателей книги том Дика. Очень удачно также, хотя и несколько кратко,
введение в теорию А-колец и операций Адамса в третьей главе.
Основные технические результаты книги собраны в главах 7 и 8,
а основные приложения — в главах 9—11. Здесь, в частности, дается
ответ на вопрос, послуживший импульсом к развитию всей теории: когда
два линейных представления Кий7 данной компактной группы Ли G
стабильно гомотопнчески эквивалентны?
Эта книга написана специалистом по алгебраической топологии и
рассчитана на читателя, интересующегося в первую очередь
алгебраической топологией. Но, на наш взгляд, она будет полезна гораздо более
широкой аудитории. Все, кто сталкивается в своей области исследований
с понятиями группы преобразований и G-пространства, получат большое
Удовлетворение, познакомившись с современными методами исследования
этих понятий. Чтение же глав 1 и 3 доставит многим, кроме того, и чисто
эстетическое удовольствие.
А. Кириллов

Предисловие
Это расширенные записки курса лекций о группах
преобразований, который я читал в Гёттингенском институте
математики летом 1978 г.
Цель этих лекций —дать введение в ту часть теории групп
преобразований, которая связана с понятием бернсаидовского
кольца и с топологией представлений групп. Предполагается,
что читатель знаком с основами алгебраической топологии,
теории представлений и теории групп преобразований. Тем
не менее некоторые элементарные сведения мы излагаем со
всеми подробностями.
Параграф 11 содержит наши совместные с Хеннингом Хау-
шильдом результаты.
Я благодарю Кристиана Оконека, прочитавшего часть
рукописи и сделавшего ряд ценных замечаний, а также Маргрет
Розу Шнайдер, перепечатавшую рукопись.

Глава 1
Бернсайдовское кольцо
конечных G-множеств
В этом параграфе G обозначает конечную группу. В
качестве простейшего варианта последующих исследований мы
излагаем здесь введение в теорию бернсайдовских колец
конечных групп. Ниже мы обобщим эту теорию на компактные
группы с помощью геометрических методов, которые в случае
конечных групп не всегда подходят для приложений
бернсайдовских колец в теории представлений. Материал этого
параграфа принадлежит в основном Андреасу Дрессу.
1.1. Конечные (/-множества
Конечным G-множеством называется конечное множество S
вместе с левым действием группы G на нем. Всякое конечное
G-множество является дизъюнктным объединением лежащих
в нем G-орбит. Эти орбиты являются транзитивными G-mho-
жествами и G-изоморфны однородным G-множествам G/H =
= {gH\g^G\. Два G-множества G/H и G/K изоморфны тогда
и только тогда, когда подгруппа Я сопряжена с К в G.
Множество классов G-изоморфизма конечных G-множеств
становится коммутативным полукольцом A+(G) с единицей,
если определить сложение как дизъюнктное объединение,
а умножение — как декартово произведение с покомпонентным
действием группы. Это умножение нетривиально, так как
G/HxG/K может разлагаться на несколько орбит. Эти орбиты
соответствуют двойным смежным классам HgK, g<^-G,
которые можно рассматривать как Я-орбиты в G/K. Соответствие,
о котором идет речь, можно описать так: если X есть Я-
пространство, то Я-орбиты в X соответствуют G-орбитам в
множестве GxHX 1); если к тому же X является G-пространством,
то имеет место G-изоморфизм G/HxX-+GxhX'- {gH, x)t—*-
1—»> class (g-, g~lx). Теперь возьмем X = G/K. Явный вид
соответствия: двойной класс HgK соответствует орбите, проходящей
через точку (Я, gK) (=G/Hx.G/K.
1) Через х г, обозначается так называемое произведение над Н двух Н-
проетранств. По определению XxHY есть совокупность //-орбит в XxY.
В данном случае G рассматривается как //-пространство с действием
С1! В) i—>¦ gh'1, — Прим. ререв.

8 Гл. 1. Бернсайдовское кольцо конечных G-множеств
1.2. Бернсайдовское кольцо A (G)
Кольцо Гротендика, построенное по полукольцу Л+(С),
обозначается через A (G) и называется бернсайдовским кольцом
группы G. Если 5 —конечное G-множество, то пусть [S] (или
просто S) обозначает его образ в A (G). Относительно
сложения кольцо A (G) является свободной абелевой группой,
порожденной классами изоморфизма транзитивных G-множеств.
Иначе говоря, его аддитивный базис над Z состоит из
классов [G/H], где (Я) пробегает множество С (G) классов
сопряженности подгрупп в G. Таблица умножения описывает
разложение G/HxG/K на орбиты. Кольцо /1(G) коммутативно и
обладает единицей [G/G].
Пример 1.2.1. Пусть G — абелева группа. Тогда, поскольку
стабилизатор точки (giH, g2K) ^G/HxG/K имеет вид giHgJ1 fj
П g-iKg~2l, все подгруппы изотропии в абелевом случае
совпадают с ЯЛ К. Поэтому [G/H]-[G/K} = a-[G/H Г\К], где oeZ
можно вычислить, подсчитывая число элементов в множествах,
стоящих справа и слева. В частности, [G/Я]2 = j G/Я | • [G/Я],
где \S\ означает число элементов в S. Мы видим, что в
абелевом случае элементы [G/H] почти идемпотентны.
Если Я —подгруппа в G и S, Т — конечные G-множества,
то для мощностей множеств Я-неподвижных точек справедливы
соотношения \(S + T)H | = | S» \ + \ ТИ |, \(SxT)" \ = j S" \ • | Тн |.
Следовательно, отображение 5 >—»-1 SH \ продолжается до
кольцевого гомоморфизма
Сопряженным подгруппам соответствует один и тот же
гомоморфизм, так что мы имеем по одному гомоморфизму ц>И для
каждого класса (Я) е С (G).
Положим
Ф=(Фн): Л@)-> П Z>
(H)S С (С)
т. е. ф — произведение фя.
Предложение 1.2.2. Отображение ф является инъективным
гомоморфизмом колец.
Доказательство. По определению ф является
гомоморфизмом колец. Предположим, что элемент хфО
принадлежит его ядру. Запишем х в виде линейной комбинации
базисных элементов, x = ^aH[G/H]. На множестве базисных
элементов есть естественное частичное упорядочение: \G/H]^
s^[G//C], если и только если Я сопряжена с некоторой под-

1.2. Бернсайдовское кольцо A(G)
9
группой из К- Пусть [G/H] — максимальный элемент среди
тех базисных элементов, для которых ан Ф 0. Ясно, что
т/К)" Ф Ф влечет за собой [G/H] < [G/K]- Поэтому 0 =
= ф// (х) = ан-\ (G/H)H \^aH\N (#)/Я \ ф 0. Противоречие.
Поскольку ф является вложением подгруппы
максимального ранга, его коядро есть конечная группа. Мы хотим
вычислить ее порядок. Рассмотрим следующую диаграмму, в
которой все отображения являются вложениями колец, а нижнее
отображение ф0 является рациональным продолжением
верхнего отображения ф:
4(G)—-—Пг
л(С)®о^По
Напомним, что группа Вейля W(H) = N(H)/H свободно
действует на G/H как группа G-автоморфизмов. Это действие
имеет вид W (H)xG/H->G/H: (wH, gH)>—*gw-1H.
Следовательно, W (Н) свободно действует на любом множестве
неподвижных точек вида (G/H)K. В частности, \(G/H)K, делится на
\W(H)\. Поэтому ф0 ([G/H] (х) | W (Я) I) содержится в f] Z
Предложение 1.2.3. Элементы ц>а ([G/H] (g) | W (Я) |-х) = : хн
образуют Z-базис в \\Т-- Порядок коядра ф равен
П l^tfOI-
(//)eC(G)
Доказательство. Второе утверждение следует из
первого. Будем представлять элементы из ]~JZ в виде вектор-
строк. Тогда совокупность хн (расположенных в определенном
порядке) образует треугольную матрицу с единицами по
диагонали. Поэтому {хн) — целочисленный базис.
Замечание 1.2.4. Гомоморфизм ф может быть определен
в терминах кольцевой структуры в A (G) следующим образом.
Элемент х е A (G) не является делителем нуля тогда и только
тогда, когда ц>(х) не имеет нулевых компонент. Поэтому
A (G) (х) Q — полное кольцо частных для /1(G) (поскольку все
неделители нуля становятся обратимыми). Если элемент х е
е A (G) (9) Q является целым над A (G), то компоненты щ (х)
будут целыми над Z, т. е. обычными целыми числами.
Обратно, Y\ Z состоит из элементов, целых над ф {A (G)) (например,
потому, что \\1 порождается идемпотентпыми элементами,

10 Гл. 1. Бернсайдовское кольцо конечных G-множеств
которые являются целыми над любым кольцом). Следовательно,
Ф можно определить как вложение A (G) в его целое
замыкание в полном кольце частных. (По поводу целого замыкания
см. [107, гл. IX] или [33, гл. V].)
1.3. Сравнения для числа неподвижных точек
Мы видели в п. 1.2, что (f{A(G)) является подгруппой
максимального ранга в \\1. Как можно описать образ ф?
Если G = Z/pZ — циклическая группа простого порядка р, то
| S | = | S° | mod р, поскольку все орбиты в S\SG состоят из р
точек. Это сравнение дает необходимое условие для того,
чтобы элемент xe]^[Z принадлежал образу ф. Читатель легко
проверит, что для группы G = Z/p2 это условие является
также и достаточным. Мы теперь обобщим это сравнение.
Пусть S — конечное G-множество и V (S) — комплексное
векторное пространство, порожденное элементами se5. Действие
группы G на S порождает линейное представление G в V (S).
Соответствующий G-модуль V (S) называется геометрическим
представлением, ассоциированным с S. Характер
представления V (S) является функцией на G; он будет обозначаться
тем же символом. Из соотношений ортогональности для
характеров следует, в частности, что для любого комплексного G-
модуля V число | GI-1 ^] V (g) равно размерности Va. Сле-
geG
довательно,
A.3.1) 2 V(S)fe)sOmod|G|.
geG
Заметим, что
V (S) (g) = tr(lg: V(S)^V (S): v — gv) = | S*|
(посмотрите на матрицу преобразования lg в базисе S).
Поэтому A.3.1) можно переписать так:
A.3.2) 2 <P<e>(*) = 0mod|G|
geG
для любого x^A(G), где (g) обозначает циклическую
группу, порожденную элементом geG.
Если Н — циклическая подгруппа в G, то число таких
элементов g, для которых подгруппа /g) сопряжена с Н, равно
\H*\-\G/N(H)\,

1.3. Сравнения для числа неподвижных точек 11
где Я* —множество образующих элементов в Я, a \G/N (Я)| —
число подгрупп, сопряженных с Я. Значит, A.3.2) может быть
переписано в виде
A.3.3) ^ 1 н* I • I G'N № Фн (*) = 0 mod | G |,
(Я)
где суммирование ведется по классам сопряженности
циклических подгрупп Я в G.
Применим это рассуждение к V (SH), рассматриваемому
как №(Я)-модуль, и получим, что
2 ! N (K)/N (Я) []N(K)\-\ (/С/Я)* |ф*(х)з= 0mod | №(Я)|,
(К)
где суммирование ведется по классам W7 (Я)-сопряженности
таких подгрупп К, что Я нормальна в К и группа /С/Я цик-
лична. Это можно также записать в виде
A.3.4) 2«(Я, /С)Ф*(*)^0тос1|1Р(#)|,
(К)
где гс(Я, К) — некоторые целые числа, причем п(Н, Я)=1,
а суммирование идет по классам G-сопряженности таких
подгрупп К, что Я нормальна в /С и /С/Я циклична.
В следующем предложении элементы из JJ Z
рассматриваются как функции C(G)-vZ.
Предложение 1.3.5. Сравнения A.3.4) образуют полный
набор сравнений для образа <р, я. «. ле(р(A (G)) тогда и
только тогда, когда
2>(Я, K)x(K) = 0mod\W(H)\
(К)
для всех (H)<=C(G).
Доказательство. Мы уже видели, что элементы
образа ф удовлетворяют этим сравнениям. Сравнения A.3.4)
независимы, поскольку они задаются треугольной матрицей с
единицами по диагонали. Следовательно, они определяют подгруппу
Ac[]Z индекса ]^[|№(Я)|. В силу предложения 1.2.3 А
совпадает с образом ф.
Замечание 1.3.6. Несколько другое множество сравнений
получается, если рассматривать V Eя) как Wp (Я)-модуль,
где WP(H) — силовская р-подгруппа в W (Я). Это дает
множество р-примарных сравнений, которое можно использовать
вместо A.3.4) Такие сравнения удобны при рассмотрении ло-

12 Гл. 1. Бернсайдовское кольцо конечных G-множеств
кализаций кольца A (G): для исследования кольца Ар (G)—
локализации A (G) в точке р, — например, существенны только
р-примарные сравнения.
1.4. Идемпотентные элементы
Идемпотентные элементы в J^Z —это функции,
принимающие значения 0 и 1. Мы используем разд. 1.3, чтобы
выяснить, когда такие функции лежат в A (G). (Мы отождествляем
A (G) с подкольцом в ^Z с помощью ф.)
Подгруппа Я в G называется совершенной, если она
совпадает со своим коммутантом. Каждая подгруппа Я в G
обладает наименьшей нормальной подгруппой Hs, для которой
H/Hs разрешима. Ясно, что (HS)S = HS. Подгруппа Я
совершенна тогда и только тогда, когда H — Hs. Пусть Р (G) —
подмножество в C(G), состоящее из классов совершенных
подгрупп.
Предложение 1.4.1. Идемпотенгп eeJ~[Z лежит в A(G),
если и только если для всех (Я) ^ С (G) справедливо равенство
e(H) = e(Hs).
Доказательство. Предположим, что е g Л (G). Тогда
е удовлетворяет сравнениям A.3.4). Пусть K<G. Выберем
Ks = К" <] К"'1 <\¦ ¦ ¦ <] К0 = К так, что /(''//О'"'1-циклическая
группа простого порядка p(i). Тогда в силу A.3.4),
примененного к паре /С'41 <]-К', справедливо сравнение е(К') =
= е (Ki+1) mod p(i). Поскольку значения е равны 0 или 1, мы
должны иметь е(К') = е{КЦ1) и, следовательно, e(Ks) = e(K).
Обратно, предположим, что e(Ks) = e(K) для всех К. Тогда
е (Н) = е (К) для всех Н <]К с циклической факторгруппой
/С/Я, так что е удовлетворяет сравнениям A.3.4).
Следствие 1.4.2. Множество неразложимых идемпотентов
из A (G) находится во взаимно однозначном соответствии с
Р (G). В частности, G разрешима тогда и только тогда, когда
О и 1 являются единственными идемпотентами в A (G).
Замечание 1.4.3. Пусть Р cz Z — некоторое множество
простых чисел. Обозначим через A (G)P локализацию A (G) в Р
(т. е. простые числа, не лежащие в Р, делаются обратимыми).
Тогда можно показать, как в доказательстве предложения
1.4.1, что идемпотенты из A (G)P — это такие функции е, что
е{Н) = е(НР), где ЯР — наименьшая нормальная подгруппа
в Я, для которой Я/Яр разрешима и имеет порядок,
делящийся только на те простые числа, которые лежат в Р.

1.5. Обратимые элементы
13
1.5. Обратимые элементы
Если Л — коммутативное кольцо, то мы обозначим через
Л* мультипликативную группу обратимых элементов этого
кольца1).
Пусть е е Л — идемпотент. Тогда 1 — 2е = и — инволюция.
Обратно, может случиться, что для некоторой инволюции и
элемент A—н)/2 = е принадлежит Л. Тогда е — идемпотент,
потому что A — ыJ = 2A — и) для любой инволюции и. В
случае бернсайдовского кольца элемент A — м)/2 лежит в J~J Z,
но не обязательно в A(G), как мы вскоре увидим. Но если
группа G имеет нечетный порядок, то и коядро ср имеет
нечетный порядок; поэтому из того, что 1-«еЛ(С) и
A — «)/2 <= jj Z, следует, что A — ы)/2 е Л (G). Поскольку
в силу 1.4.2 для неразрешимой группы G кольцо A(G) имеет
нетривиальные идемпотенты, мы получаем
Предложение 1.5.1. Если группа G неразрешима, то
A (G)* Ф {± 1}. ?слм G разрешима и имеет нечетный порядок,
то A(G)* = {± 1}.
Пусть Н — подгруппа индекса 2 в G. Тогда Н <] G, [G/Я]2 =
= 2[G/tf] и, следовательно, и (Я) : = 1 -[G/Щ <= A (G)*.
Заметим, что A —«(#))/2 не лежит в Л (G). Подгруппы индекса
2 —это в точности ядра нетривиальных гомоморфизмов G^>-
->Z/2Z. Мы получаем, таким образом, инъективное
отображение /: Hom(G, Z/2Z) -»- Л (G)*, задаваемое формулой /(/) =
= 1— [G/ker/j. Образ / в общем случае не является
подгруппой.
Задача 1.5.2. Определить структуру A(G)* через
структуру G. (Как известно, знаменитая теорема Фейта — Томпсона
утверждает, что все группы нечетного порядка разрешимы.
Поэтому существенную роль должна играть 2-примарная
структура группы G. В частности, было бы интересно вычислить
A (G)* для 2-групп. См. также следующее замечание.)
Замечание 1.5.3. Мы покажем ниже с помощью
геометрических методов, что для вещественного представления V
функция (Я)н-*-(—l)dimvH содержится в A(G). Эта функция будет,
следовательно, инволюцией в Л (G). Было бы интересно найти
инволюции, которые не представимы в таком виде (например,
для 2-групп).
J) В нашем случае (для бернсайдовских колец конечных групп) А*
состоит из инволюций, т, е. элементов, обладающих свойством иг=\.—
Прим. перев.

14 Гл. t. Бернсайдовское кольцо конечных G -множеств
1.6. Простые идеалы
Поскольку Y\ ^ цело над ^ (Ф. п0 теореме о поднятии
Коэна —Зайденберга (см. [11]) каждый простой идеал кольца
A (G) происходит из Р[ Z и, следовательно, имеет вид
q(H, р):={хе= A (G)\q>H(x)ssOmodp\
для некоторой подгруппы Я в С и некоторого простого идеала
(р) с: Z. Элементарное доказательство этого факта,
принадлежащее Дрессу [79], будет приведено ниже (разд. 5) в несколько
более общем контексте компактных групп Ли. Простые идеалы
q (H, 0) минимальны; идеалы q(H, р), рфО, максимальны,
причем их поле вычетов —это Z/pZ.
Если q (H, p) = q(K, /), то р = / и
(i) (Щ = (К), если р = 0,
(И) (Яр) = (/(р), если рфО.
Здесь Ир — минимальная нормальная подгруппа в Н, для
которой Н/Нр является р-группой. Если q — простой идеал
в A (G), то существует единственный минимальный класс (Я),
для которого [G/H] ф q. Кроме того, для соответствующей
подгруппы Н мы имеем q = q(H, p), где р — характеристика
кольца A (G)/q. Наконец, этот класс (Н) максимален среди
тех, для которых q = q(H, р). Все это содержится в [79] и
будет ниже доказано для компактных групп Ли.
1.7. Пример. Знакопеременная группа Аъ
Диаграмма классов сопряженности подгрупп в Аъ имеет вид
Z/E)
Здесь Dn означает группу диэдра порядка 2л. Группы Аъ, Аи
D6, D3 совпадают со своими нормализаторами, в то время как
N (Z/(n)) = Dn и N (D2) = Ai. Кольцо А (Л5) состоит из функ-

1.8. Комментарии
15
ций г: C(G)-vZ, обладающих свойствами
(i) г(Н) произвольно для # = Л6, Л4, D5> DB;
(ii) z(Z/(/i))=3z(Z?„) mod 2 для п = 3, 5;
(iii) z (?>2) = z (Л4) mod 3;
(iv) z A) + 20z (Z/C)) + 15z (Z/B)) + 24z (Z/E)) = 0 mod 60.
В этом кольце имеются следующие инволюции:
1
а
7/B)
а
Z/C)
а
Z/E)
а
0.
&
?з
с
?>5
А,
d Ь
А,
е
где а, Ь, с, d, е е {—1, 1} и вторая строка дает значение
функции и: C(G)->-Z на элементах, указанных в первой строке.
Сравнения (i) — (iv) показывают, что на значения инволюции и
в точках Аь, At, D3 нет никаких ограничений. Из (iii) мы
получаем и (D2) = и (Л4). Рассматривая (iv) по модулю 3, 4 и
5, получаем
«A) = «(Z/B)) = h(Z/C))= (Z/E)).
Подгруппы {1} и Аь совершенны. Поэтому А (Л5) содержит
четыре идемпотента: 0, 1, е, 1—е, где срл,(е)= 1, фя(е) = 0 для
НФАЬ.
1.8. Комментарии
Бернсайдовское кольцо было введено Дрессом в [79], где
также были вычислены простые идеалы. Это кольцо играет
важную роль в аксиоматической теории представлений ([88],
[80]), в частности в общей теории индукционных теорем
(см. [80]). Бернсайдовское кольцо как функтор является
универсальным в категории функторов Макки, введенных
Дрессом (см. упомянутые работы).
Мы разъясним в этих лекциях топологический смысл берн-
сайдовского кольца. Здесь заметим только, что конечный сим-
плициальный комплекс с симплициальным действием группы G
является комбинаторным объектом, построенным из конечных
G-множеств. Поэтому можно ожидать, что некоторые основные
инварианты симплициальных G-комплексов лежат в бернсай-
довском кольце, например, эйлерова характеристика —
альтернированная сумма v; (—1)'5,-, составленная из G-множеств Si
всех i'-симплексов.
Бернсайдовское кольцо кодирует в удобной форме основные
свойства структуры подгрупп данной группы. Для заданной
абстрактной группы G все ее реализации в виде группы
преобразований определяются внутренними соотношениями в берн-

16 Гл. 1. Бернсайдовское кольцо конечных G-множеств
сайдовском кольце. Эта роль бернсайдовского кольца станет
более прозрачной, когда мы покажем, что это кольцо изоморфно
кольцу эквивариантных стабильных гомотопий сферы в
размерности нуль (см. [145]), так что, в частности, стабильные
эквивариантные гомотопические группы являются модулями
над бернсайдовским кольцом.
Описание бернсайдовского кольца с использованием
сравнений между числами неподвижных точек основано на устном
сообщении Дресса. Эти сравнения обобщены в [69], где
приведены также различные геометрические приложения.
1.9. Упражнения
1. Пусть G и Я —конечные группы взаимно простых
порядков. Показать, что
A(GxH)^A(G)<S)A(H).
2. Для 1ф0тойр пусть
М @ = {(о, Ь) |ai = Ь mod р\ czZxZ.
Показать, что М (i) — проективный модуль над A (ZfpZ). Дать
классификацию проективных модулей над A (Z/pZ).
3. Показать, что G совершенна тогда и только тогда,
когда A (G) содержит идемпотент е со свойством
Фя (е) = О при Н Ф С, фо (е) = 1.
4. Пусть G есть р-группа порядка рп (р простое).
Обозначим через m с: A (G) идеал
{х\ ф{п (х) = 0 mod/?}.
Показать, что mn+1 с рА (G). (В частности, р-адическая и т-
адическая топологии в A (G) совпадают.)
5. Пусть G есть 2-группа и | A (G)* | —2". Показать, что п
не превосходит числа классов (Я), для которых \W (Н)\ = 2.

Глава 2
/-гомоморфизм
и квадратичные формы
Определив в предыдущей главе бернсайдовское кольцо
конечных G-множеств, мы переходим теперь к изучению G-
множеств, возникающих из G-модулей над конечными полями
и G-инвариантных квадратичных форм на таких модулях. Ниже
это будет использовано для изучения геометрических
представлений. В этой главе G всегда означает конечную группу.
2.1. ./-гомоморфизм
Рассмотрим периодический G-модуль М, т. е. конечную
абелеву группу М вместе с левым G-действием групповыми
автоморфизмами. Отбрасывая групповую структуру М, мы
получаем конечное G-множество и, следовательно, элемент J (M)
бернсайдовского кольца A (G). Поскольку qHJ (М) = | Мн |,
B.1.1) J (М 0 АО = J (M) J (N)
для двух периодических G-модулей М и N. Но J (M), вообще
говоря, не является обратимым элементом в A (G), так что J
нельзя непосредственно продолжить до гомоморфизма
соответствующей группы Гротендика.
На категории периодических модулей, порядок которых
взаимно прост с |G|, переход к множеству Я-неподвижных
точек является точным функтором, так что J (М) = J (N) J (P)
для любой точной последовательности Q-+P-+M-+N-+-Q
таких модулей.
Предложение 2.1.2. Пусть М — периодический G-модуль
порядка q=\M\, взаимно простого с \G\. Тогда J (M)
принадлежит ^(G)[<7_1] (т. е. локализации A(G), которая делает q
обратимым) и является обратимым элементом этого кольца.
Доказательство. Используя гомоморфизм ф из 1.2.2,
мы видим, что ср (J (M)) во всяком случае является обратимым
в fJZfg-1]. Нам нужно теперь показать, что обратный к нему
элемент лежит в A(G)[q'1]. Заметим, что, согласно 1.2.3,
коядро ф[9"-1] является конечной группой, поскольку q взаимно

18 Гл. 2. J-гомоморфизм и квадратичные формы
просто с \G\. Нужный результат вытекает из следующей
алгебраической леммы.
Лемма 2.1.3. Пусть R — подкольцо коммутативного кольца S.
Предположим, что S — целое расширение R (и, в частности,
S/R — конечная группа). Тогда R* = R(]S*.
Доказательство. Ясно, что R* czS*. Пусть х? /? П 5*.
Предположим, что i/e5 определен равенством ху—\.
Поскольку S цело над R, мы имеем у" + ад" -f • • ¦ + аа = 0 для
подходящих at, ..., а„ е R. Умножая это равенство на х"-1,
получаем y + alJra2x~\-...-\-anxn-l = 0, откуда y^R.
Пусть Тq (G) — группа Гротендика относительно точных
последовательностей д-периодических G-модулей. Пусть R(G, F)~
группа Гротендика конечно порожденных ^[GJ-модулей, где F—
поле. Тогда из 2.1.2 следует
Предложение 2.1.4. Пусть q взаимно просто с \G\.
Отображение М ^—* J (М) определяет гомоморфизм J: Tq (G) ->
-*¦ A (G) [<7-1]*. Если F — конечное поле характеристики q, мы
получаем гомоморфизм J: R{G, F)~*- A (G)^1]*.
Мы будем называть этот гомоморфизм J -гомоморфизмом.
Связь ./-гомоморфизма с алгебраической топологией выяснится
позже.
2.2. Квадратичные формы на периодических группах.
Гауссовы суммы
Пусть М — конечная абелева группа.
Определение 2.2.1. Квадратичной формой на М называется
такое отображение q: M-+-Q/Z, что
i) q квадратично, т. е. q(am) = a2q(m) для aeZHmeM;
ii) отображение b: MxM-+-Q/Z, определенное равенством
b (m, n) — q{m-\-n) — q (m) — q (n),
биаддитивно.
Если, кроме того, М является Z[Gj-модулем, то мы
называем форму q G-инвариантной, если для всех jeG ите/И
справедливы равенства q{gm)~q{m). Форма q называется
невырожденной, если b*\ M-vHom(M, Q/Z): m>—*b{m, ¦ ) —
изоморфизм.
В дальнейшем иногда формой будет называться пара (М, q).
Мы будем рассматривать только невырожденные формы.
Пусть е: Q/Z-»-С*— стандартный характер: e(xmodZ) =
= exp Bjux).

2.2. Квадратичные формы на периодических группах 19
Определение 2.2.2. Пусть (М, q) — конечная группа с
квадратичной формой. Ассоциированная {квадратичная) гауссова
сумма определяется как
G(M, <?) = Z е(9(т)).
теМ
(Мы используем здесь букву G несмотря на то, что эта же
буква означает группу.)
Перечислим некоторые формальные свойства гауссовых сумм.
Если (Mi, <7l) и (М2, q-i) — две конечные группы с
квадратичными формами, мы можем образовать ортогональную сумму
(Mi, qi)±(Mit q2)=:(M, q), где М = МЛ@М2, a q задается
формулой
q(mi, m2) = q1(mi) + q2(m2).
Очевидно,
B.2.3) G(M, q) = G(Mu qi)G(M2, q2).
Определение 2.2.4. Конечная группа с квадратичной
формой (М, q) называется расщепляемой или метаболической, если
существует такая подгруппа NczM, что tf(n) = 0 для всех
n<=N и, кроме того, N1 := \n\b(n, jV) = 0} совпадает с N.
Мы называем N поляризацией (М, q)х).
Предложение 2.2.5. Если (М, q) расщепляема и N — ее
поляризация, то G(M, q) = \N\.
Доказательство. Поскольку q невырожденна, отобра-
жние
М->Нот(ЛГ, Q/Z)-^Hom(jV, Q/Z)
сюръективно и его ядро равно N1. По предположению iV1 =
= N. Индуцированное отображение b: NxM/N ->Q/Z
невырожденно. Поэтому | N\ = | M/N |, |M! = !jV|2. Для meM имеем
2 e(q(m + n)) = e(q(m)) ? e(b(m, n)).
rcsW rig N
Если m^N, то п^—*e(b(т, п)) — нетривиальный характер
группы N. Поэтому сумма в правой части в этом случае
равна нулю. Остается сумма для т = 0, которая равна \ N \.
Пусть (М, q) — конечная группа с квадратичной формой.
Тогда (М, q) 1_(M, — q) всегда расщепляема, ее поляризацией
является диагональ в М ф N. На множестве /CQ+(Q/Z) классов
изоморфизма конечных групп с квадратичными формами можно
') В оригинал? «метаболизацией». Термин «поляризация» общепринят
в симплектической геометрии,—Прим, перев.

20
Гл. 2. J-гомоморфизм и квадратичные формы
ввести отношение эквивалентности по Burning. (Mlt <?i)~
~ (Мг, q%) тогда и только тогда, когда существуют
расщепляемые формы AЛ-,Л), t = l, 2, для которых (Мь (ft) J_(Vi, ^i)^
Q^(M2, qz) _L(V2, гг). Множество WQ (Q/Z) классов
эквивалентности по Витту является абелевой группой, в которой
сложение индуцировано ортогональной суммой форм. Из 2.2.5 видно,
что отображение (М, q)\—*G(M, q)-\M\~lli индуцирует
гомоморфизм
B.2.6) у: WQ (Q/Z)-*-C*.
В частности,
B.2.7) \G(M, q)\2 = \M\
для любой формы, и у(М, q) всегда является корнем из
единицы.
Для удобства читателя мы изложим здесь необходимые
сведения о группах Витта. Основной источник — книга Милнора
и Хьюзмоллера [117J.
Пусть W (R) — кольцо Витта (классов) пространств со
скалярным произведением ([117, с. 14]), a WQ (/?) — алгебра
Витта (классов) квадратичных форм над коммутативным
кольцом R ([117, с. 112]). Если поставить в соответствие каждой
квадратичной форме ассоциированную с ней билинейную форму,
мы получим гомоморфизм
a: WQ(R)-*W(R),
который является изоморфизмом, если 2 —обратимый элемент
в R. Имеет место точная последовательность ([117, с. 90])
B.2.8) 0-+W (Z)-+W (Q)-+W (Q/Z)-+0,
где W (Q/Z) — группа Витта симметричных билинейных форм
на конечных абелевых группах. Кроме того,
W(Q/Z)^0№(Z[p-4/Z),
/>
поскольку форма на конечной группе однозначно распадается
в ортогональную сумму своих сужений на р-примарные части.
Далее, имеет место изоморфизм
B.2.9) W(Fp)^W(Z[p-i]/Z),
отождествляющий форму над кольцом Fp = Z/pZ с формой на
конечной группе. Кольцо W (Fp) вычислено в [117, с. 87].
Кольцо W (Z) изоморфно Z в силу сигнатурного гомоморфизма;
этот же гомоморфизм выделяет W (Z) прямым слагаемым

2.2. Квадратичные формы на периодических группах 2\_
в W (Q). В диаграмме
0 -> WQ (Z) -» №Q (Q) -> WQ (Q/Z) -> О
|a(Z) |a(Q) | a (Q/Z)
0->W(Z)^r(Q)->W(Q/Z)^0
отображение a(Q) является изоморфизмом так же, как и
a(Z[p-1]/Z) для нечетного р. Отображение a(Z) ннъективно
с коядром порядка 8 ([117, с. 24]). Отображение №Q (Z [2-4/Z) ->
-»- № (Z [2_1]/Z) сюръективно, и левая группа изоморфна Z/8Z X
XZ/2Z. Элемент порядка 8 в группе Витта —это
квадратичная форма
q: Z/2Z-^Q/Z,
9@) = 0, ^(l) = 1/4.
Значение y{2/2Z, q) из B.2.6) равно в этом случае A -f-t)/V —
примитивному корню восьмой степени из 1. Из приведенных
результатов видно уже, что у(М, q) имеет порядок 2', t = 0,
1, 2, 3. По поводу фактического вычисления у см. [117,
приложение 4] или Ленг [108, IV, § 3].
Мы теперь изучим более подробно случай квадратичной
формы на Fp-модулях. Предположим, что р — нечетное простое
число. Если задана форма (М, q), то для aeF,, а Ф 0,
B.2.10) q-1 (аЩ = aq-1 (b)
и множества q-1 (a2ft) и q-1 (b) имеют одинаковую мощность.
Поэтому
B.2.11) G(M, <7)=2 \q-4b)}expBmb/p) = P + Qa + N$,
Ъ modp
где P=\q-1@)\, Q = \q~1(b)\ для любого ненулевого
квадратичного вычета b e Fp, N = \q~1(c)\ для любого квадратичного
невычета ceFp, а а = —1 — р = У] exp Bnib/p), где сумма
берется по всем ненулевым квадратичным вычетам в Fp.
Запишем B.2.11) в виде
B.2.12) G(M, q) = P-N + (Q-N)oc
и постараемся вычислить P — N и Q — N.
Используем следующие обозначения:
1 -4- 2а = g = 2 exp Bлш2/р),
a mod p
I ! — символ Лежандра,
D (q) <= Fp/Fp — детерминант формы 9-

22 Гл. 2. J-гомоморфизм, и квадратичные формы
Предложение 2.2.13. Пусть (М, q) —форма с \М\ = рп.
Тогда
G(M, ?) = (^У.
Доказательство. Оба выражения ведут себя
мультипликативно по отношению к ортогональной сумме. Любая
форма q над Fp, p нечетно, является ортогональной суммой
одномерных форм. Поэтому достаточно рассмотреть случай
п — 1. Но тогда искомое равенство получается простым
вычислением (см. Ленг [108, с. 85]).
Из 2.2.12 и 2.2.13 получаем
B.2.14) p_w + (Q-AOg^=(^(<?))r
(в этой формуле Р, Q, N обозначают число элементов в
множествах Р, Q и N соответственно). Используем теперь тот
факт, что абсолютная величина g равна У р. Сравнение
коэффициентов дает1)
Предложение 2.2.15. Если n = 2k, то Q — N = 0 и P — N —
= (^)g2k: если я = 2*+1, то 2(P-N) = Q-N и P-N =
-Dй)*--
Замечание. Используя равенство2) Р-\-(р— 1)Q/2 + (р —
— l)N/2 = pn и 2.2.15, можно вычислить Р, Q и N, найдя тем
самым число решений уравнения q(х) =Ъ.
Наконец, напомним, что элементарное вычисление (см. Ленг
[108, с. 77]) дает
B.2.16) g2 = (=i).p.
2.3. Квадратичный ./-гомоморфизм
Мы используем эквивариантные гауссовы суммы для того,
чтобы описать некоторые обобщения конструкции п. 2.1.
Пусть М есть ZG-модуль, который является конечной абе-
левой группой, и пусть q — некоторая G-инвариантная
квадратичная форма на М (определенная в п. 2.2). Поскольку
отображение q: M-vQ/Z G-инвариантно, множества
q-Цх), xeQ/Z,
1) Здесь используется линейная независимость 1 и g над Q. — Поим,
перев.
2) Это равенство вытекает из определения Р, Q, N и равенства jAl(=>
•= рп. — Прим, перев.

2.3. Квадратичный J'-гомоморфизм 23
являются конечными G-множествами. Рассмотрим эквивариант-
ную гауссову сумму
B.3.1) G(M, ?)= ? (q-4x))e(x).
(Фактически сумма конечна.) Мы рассматриваем G(M, q) как
элемент кольца
A (G) [?] = A (G) ®z Z [С] с Л (G) ®z С,
где ? — корень из единицы, порождающий е(д(Л1)).
Для ортогональной суммы имеет место равенство
B.3.2) G((Mlt q1)±(M„ qi)) = G(M1, q1)G(Mt, q2).
Если забыть о действии G, т. е. подставить в B.3.1) J q-1 (x) | e
е Z, мы получим обычную гауссову сумму из разд. 2.2.
Поскольку b*: M-*-Y[om(M, Q/Z) является по предположению
ZG-изоморфизмом, q индуцирует на каждом множестве
неподвижных точек МИ квадратичную форму, обозначаемую через
qH. Поэтому
B.3.3) G(M, q)n = G(M", qH)
с очевидной интерпретацией символов.
Как и в B.2.12), можно написать
G(M, q)*=P-N + (Q-N)a,
где теперь Р, Q и N — конечные G-множества. Здесь опять для
простоты мы работаем с FpG-модулями для нечетного р. Мы
описываем такие G-множества с помощью числа их
неподвижных точек, используя B.2.13).
Предложение 2.3.4. Пусть р — нечетное простое число, a q—
некоторая G-инвариантная квадратичная форма на
FPG-модуле М. Тогда элементы P — N и Q— N бернсайдовского кольца
A (G) имеют следующие выражения как функции на С (G):
где р* = (у) • р.
Здесь [х] означает целую часть числа х, a dim
—размерность векторного пространства над ?р. (Если Мн = {0\, то
Р=\, Q = W = 0.)
Это предложение показывает, что эквивариантная гауссова
сумма G(M, q) зависит только от соответствующего FpG-mo-
дуля и детерминантной функции формы q, т. е. от детерми-
Q^M: (Я)н-A -(—l)di™M^(!LW!Y\puimMH/

24
Гл. 2. /-гомоморфизм и квадратичные формы
нантов D(qH) всех форм qH. Вместо группы Гротендика
KQ(G, Fp) квадратичных форм на FpG-модулях (с
ортогональной суммой в качестве сложения) мы рассматриваем
факторгруппу, учитывающую только класс изоморфизма
соответствующего модуля и детерминантную функцию. Обозначим эту
группу через RO' (G, Fp). Имеют место естественные
гомоморфизмы
г. RO'(G, Fp)-+RO(G, Fp),
B.3.5) d. R0'(G, Fp)->r[Z*.
Здесь г ставит в соответствие классу (М, q) соответствующий
FpG-модуль М, a RO(G, Fp) означает просто образ г в кольце
представлений R(G, Fp). Значит, г сюръективен по
определению. Далее, d ставит в соответствие классу (М, q) функцию
<tf)~(^)sZ* = {l. -lb
Гомоморфизм
(г, d): RQ'(G, Fp)-+RO(G, Fp)xfJZ*
инъективен по определению. Следовательно, аддитивная
периодическая подгруппа RO' (G, Fp) содержит только элементы
второго порядка, и эта подгруппа отображается
гомоморфизмом d инъективно.
Соответствие
(М, q)^-*P-N
порождает корректно определенное отображение
B.3.6) JQ: RO'(G, Fp) -+ A (G) [jet1],
которое не является гомоморфным по отношению к сложению
в прообразе и умножению в образе. Мы называем JQ
квадратичным J -гомоморфизмом.
2.4. Комментарии
Конструкции разд. 2.1 и 2.3 заимствованы из [146]. По
поводу локализационной последовательности групп Витта см.
[125], а в эквивариантном случае —[81]. Польза эквивариант-
ных групп Витта в топологии объясняется в [3], где читатель
найдет много конкретных вычислений. По поводу
квадратичных форм на конечных группах см., например, [164], [44] и
[4]. По поводу предложения 2.2.15 и следующего за ним
замечания см. [150, с. 344]. Предложение 2.3.4 связано с
недавней работой [160] (см. [113]).

2.5. Упражнения 25
2.5. Упражнения
1. Пусть п — натуральное число, a S —конечное G-множе-
ство. Обозначим через ns функцию (Н)\—*¦ n:S i. Показать,
что ns e A (G).
2. Из 2.3.4 видно, что отображение JQ не аддитивно.
Проверить следующую формулу для отклонения от аддитивности:
JQ((MU qi)±(M2, q2)) = d(Mu M2)JQ(MU q1)JQiM2, q2),
где
d(Mu M2) = l + % (P* - l)(d(ML) - \)(d(M2) - 1),
a
d(M): (Н)*-+{—\)*1™мН (ср. 1.5.3).
3. Пусть F — поле характеристики, отличной от 2, a G —
конечная группа, порядок которой взаимно прост с
характеристикой F. Показать, что всякая G-инвариантная
квадратичная форма над F является ортогональной суммой
неразложимых квадратичных модулей (М, q). Если (М, q) неразложим,
то либо М неприводим и изоморфен своему двойственному М*,
либо М = N © N*, N^N*, N неприводим и является
поляризацией для q.
4. Обобщить 2.3.4 на произвольные квадратичные формы
на конечных группах.
5. Поскольку сигнатура элемента x^WQ{Z) делится на 8,
сигнатурный гомоморфизм WQ(Q)->Z/8Z пропускается через
WQ(QjZ). Вычислите его! (Ср. формулу Милграма в [117,
с. 127].)

Глава 3
А-кольца
Мы изложим теорию специальных Х-колец. Алгебраический
материал в основном заимствован из статьи [14]. Читатель
может обратиться к ней за дополнительной информацией.
Основной факт, который мы доказываем здесь,— экспоненциальный
изоморфизм для р-адических Я-колец, который является
алгебраическим вариантом сильной теоремы о совпадении J'(X) и
J" (X) в работе Адамса [2] о послойной гомотопической
эквивалентности векторных расслоений.
3.1. Определения
Пусть # —коммутативное кольцо с единицей. Структура
%-кольиа на R задается последовательностью отображений к":
R-+-R, neN, таких, что для любых х, г/е/?
C.1.1)
W(x)=l,
Я1 (х) = х,
Ьп(х + У) = 2 K(x)X>"(y).
Определим производящую функцию от параметра t:
C.1.2) М*)=Ц^Л (*)*"•
Тогда C.1.1) равносильно утверждению, что
C.1.3) U R-+\+R[[t]Y
является гомоморфизмом аддитивной группы R в
мультипликативную группу 1+#[КП+ формальных степенных рядов
над R со свободным членом 1.
Внешние степени модулей обладают формальными
свойствами C.1.1), и мы увидим ниже, как внешние степени задают
структуру Х-кольца на некоторых группах Гротендика.
Кольцо R вместе с ^-кольцевой структурой на нем
называется К-кольцом; k-гомоморфизм определяется как гомомор-

3.1. Определения 27
физм, перестановочный с А-операциями. Естественно
определяются %-идеалы и к-подкольца.
Нам понадобится еще несколько аксиом, чтобы обеспечить
правильное взаимодействие ^.-операций с кольцевым
умножением и суперпозицией.
Пусть Xi, ..., хр, i/i, ..., #? — переменные, а щ, и,- суть
i-e элементарные симметрические функции от хъ ..., хр и
Уъ • • • > Уд соответственно. Определим следующие многочлены
с целыми коэффициентами:
C.1.4) Рп(ии ..., ип\ vlt ..., vn) — коэффициент при tn
в разложении ]~| A -f- Х(У/();
i, /
C.1.5) Рп, т (ыь ..., итп) — коэффициент при tn
в разложении \\ (' Jrxi1 •••х<т О-
11<-<1т
Ясно, что Р„ имеет вес п и относительно «,• и относительно у,-,
а Р„,ш имеет вес mn относительно «,-. Если предположить, что
pSsn, q^sn в C.1.4) и р^тп в C.1.5), то ни одна из
переменных uit Vi, входящих в рассматриваемое выражение, не
обращается в нуль и определяемые таким образом многочлены
Рп и Рп.т не зависят от выбора р и ц.
Говорят, что А-кольцо R специально1), если в дополнение
к 3.1.1 справедливы соотношения
М1) = 1 + ',
C.1.6) kn(ху) = Рп(Vx, ..., k"x; Vy, .... Х"у),
Xm(knx) = Pmin(l1x kmnx).
Условия C.1.6) можно обосновать следующим образом.
Назовем элемент х из Я,-кольца п-мерным, если А* (х) — многочлен
от t степени п. Кольцо называется конечномерным, если
каждый его элемент представим в виде разности конечномерных
элементов. Если элементы х и у из А-кольца записаны в виде
суммы одномерных элементов, х = хг + ...-\-хр, у = Ух-{-... + уд,
то
м*) = п о+*<о = 1+"!*+••-+"р<р
(здесь, как и выше, ut обозначает г'-ю элементарную
симметрическую функцию от X/), и мы видим, что для таких х и у
справедливо второе из условий C.1.6). Если, кроме того, про-
]) Употребляется также терминология, в которой специальные Я-кольца
называются просто Я-кольцами, а Я-колыю в определенном здесь смысле
называется пред-Я кольцо.и. — Прим. персе.

28
Гл. 3. к-кольца
изведение одномерных элементов снова одномерно, то для
элементов вида x = J^Xi выполняется третье из условий C.1.6).
Аксиомы специального Х-кольца позволяют доказывать
многие теоремы о Х-кольцах, рассматривая только одномерные
элементы. Мы формализуем это замечание. Определим структуру
Х-кольца на 1 + ^[И]+, считая «сложением» обычное
умножение степенных рядов и задавая «умножение» и Х-операции
формулами
(l+?a/-.'n)-(l + SW)=l + Z/Mai, •••. а„; Ьи .... bn)t\
C.1.7)
К11 A + 2 ant") = 1 + 2 Р«. т К, • • •, атп) t".
Предложение 3.1.8. 1 + AQ/]]1" является k-кольцом
относительно указанных выше операций.
Доказательство. См. [14, с. 258].
Используя введенную структуру Я-кольца, можно сказать,
что А является специальным Х-кольцом, если и только если
kt является Х-гомоморфизмом. Кроме того, справедлива теорема
Гротендика о том, что 1 + А [[t]]+ является специальным Х-коль-
цом (см. [14]).
Предложение 3.1.8 используется при доказательстве
специальности некоторых Х-колец.
Предложение 3.1.9. Пусть R есть k-кольцо. Предположим,
что произведение одномерных элементов в R снова одномерно;
в частности, единица предполагается одномерным элементом1).
Пусть RiC R — подкольцо, порожденное одномерными
элементами. Тогда Ri~ специальное к-подкольцо.
Доказательство. Каждый элемент из Ri имеет вид
х — у, где х и у представимы в виде суммы одномерных
элементов, скажем x = x1Jr... + xp, y = y1 + ...Jry<r Тогда X'' (х)
является /-й элементарной симметрической функцией от х/ и,
следовательно, суммой одномерных элементов. Далее, Х'(—у)
является целочисленным многочленом от У (уJ). Наконец,
кп(х-у) = ^]к'(х) кп~'{— #)е=#1. Замечание перед C.1.7)
i
показывает, что kt | д, является кольцевым гомоморфизмом и
кс(к'(х)) — к' (kt(x)), если х — сумма одномерных элементов. Из
этих двух фактов вытекает, что к,(к' (— у)) = к' {kt (— у)) и
kl(k'(x-y)) = k'(kt(x-y)).
1) Как произведение пустого множества одномерных элементов. —
Прим. перев.
2) На самом деле >fi (— (/) = ? (— IK kk~r {у) так как \t (— 1) =,
= к,{\Г1 = (\+{)-1.~Прим. п 'рев.

3.2. Примеры
29
Замечание 3.1.10. Можно показать (см. [14]), и мы ниже
используем этот факт, что ^-кольцо R специально тогда и
только тогда, когда для любого набора аъ...,а„
конечномерных элементов bR существует такой ^.-мономорфизм /: R-*-R't
для которого все /(а,) суть суммы одномерных элементов. Это
утверждение называют принципом расщепления для
специальных ^-колец.
Из следующего предложения, принадлежащего Сигалу,
видно, что структура ^-кольца, даже не специальная, может
быть очень полезной.
Предложение 3.1.11. Пусть R есть %-кольцо. Тогда все
Z-периодические элементы в R нильпотентны.
Доказательство. Пусть а есть /j-периодический
элемент, скажем р"а = 0. Тогда
1 = я,, @) = К, (а)Рп = A + at +...)"" = 1 + а'У mod pA,
и, следовательно, арП' = pb для некоторого b e А. Поэтому
а(рп + 0п = (раьу = (р«а). (ап-1Ьп) = 0.
3.2. Примеры
a) Кольцо целых чисел Z снабжается структурой А,-кольца,
если положить
^(l)=l+S"i/. гДе т1 = \.
Каноническая ^-структура на Z задается равенствами
М1)=1-И,
h{m) = {l+tr,
C.2.1) %k{m) = (n\ m^o,
K4-m) = {-ir(m+kk-]y
Эта структура специальна в силу 3.1.9. Она допускает
следующую комбинаторную интерпретацию: если 5 —множество
из т элементов, то Д * 5 — множество ^-элементных
подмножеств в S. Тогда |Д*5| = ( ). Теорию специальных ^-колец
можно рассматривать как весьма элегантный способ обращения
с комбинаторными тождествами для множеств, симметрических
функций, биноминальных коэффициентов и т. п.
b) Пусть Е и F — комплексные Свекторные расслоения над
(компактным) G-прострапством Х, a G —компактная группа

30 Гл. 3. Х-кольца
Ли. Тогда внешние степени Д' G-векторных расслоений
удовлетворяют соотношениям
¦ =0
Пусть Ко (X) — кольцо Гротендика таких G-векторных
расслоений над X (ср. [H2J). Тогда отображение Е >—* 1 + (/\1E)t-\-
-f- (/\2E)t2-\-... является гоморфизмом аддитивной полугруппы
классов изоморфизма G-векторных расслоений над X в 1 -f
+ Ко{Х) [[/]]+ и, следовательно, однозначно продолжается до
гомоморфизма группы Гротендика
V K0(X)->\+Ko(X)[[t}Y: x^\ + K1(x)t + ...,
такого, что К ([Е]) = [/\' (Е)\ для G-векторного расслоения Е.
Поэтому V определяют на Kq{X) структуру ^-кольца.
Предложение 3.2.2. Кольцо Kq(X) с описанной выше
"k-структурой специально.
Доказательство основывается на так называемом принципе
расщепления, который — в особенности для групп G общего
вида — в высшей степени нетривиален. Этот принцип гласит:
для заданных векторных расслоений ?\, ..., Ek над X
существует компактное G-пространство Y и G-отображение /; Y-+X,
для которого индуцированное отображение/*: Ко (X) ->¦ Ко (Y)
инъективно и /* (/:,¦) расщепляется в сумму линейных
расслоений. См. [9, 2.7.11] или [103, с. 193] для случая G={1\.
В силу принципа расщепления 3.2.2 вытекает из 3.1.9.
Обсуждение роли ^-операций в /(-теории см. в [9, гл. III],
[103, IV.7].
c) Другие варианты топологической /(-теории, такие,
например, как вещественная /(-теория (см. [8]), также дают примеры
специальных Я-колец.
d) Частным случаем примера Ь) является кольцо
комплексных представлений R(G). Поскольку представления
характеризуются своим ограничением на циклические подгруппы, a R (С)
для циклической подгруппы С порождается одномерными
элементами, можно непосредственно применить 3.1.9 для
доказательства специальности R(G).
e) Бернсайдовское кольцо A (G) приобретает Я-структуру,
если определить М (S) для конечного G-множества S как ?-ю
симметрическую степень множества «S. Мы используем
тождество
b»(S + r) = 2]>.'(S)A/-'(;r),

^ 3.3. у-операции 31
чтобы распространить операцию № на A (G), как в примере Ь).
Эта структура Х-кольца, как правило, не является
специальной. См. [149], а также упражнения к этой главе.
f) См. [14, 1.2] по поводу построения свободного ^-кольца
с одной образующей.
3.3, у_(>пеРаиии
Предположим, что R — специальное Х-кольцо. Тогда оно
содержит подкольцо, изоморфное Z, поскольку если бы
единица 1 е R имела конечный аддитивный порядок т, то
1 = %t @) = %, (т ¦ 1) = %t A)'" = A + t)m — противоречие (сравните
коэффициенты при tm). Специальное ?1-кольцо называется
пополненным, если задан ^-гомоморфизм е: R->-Z. Мы называем
/ = kere пополняющим идеалом; он является Л-идеалом. Любой
элемент х е R может быть однозначно записан в виде х = е(х) +
-f- (х — е(х)), где e(jt)sZ, х — е(х)&1.
Определим у-опсрсщии на специальном ^-кольце R:
C.3.1) X//(I_„(x)=:v/W=l+ 2 r(x)t\
и>1
Тогда
C.3.2) Ъ{х + У) = у,{х)у,(у).
Кроме того,
C.3.3) yn(x) = k',(x + n-l).
Доказательство. Используя C.2.1), получаем
vA_oW=i+2^'wi/2A'+r1)^ =
= 1+2 V(x + j-l)V.
В силу C.3.3) если 1>(х) = 0 при />и, то у'(* — я) = 0
при />«, т. е. если л: есть «-мерный элемент, то х-n имеет
7-размерность не выше п.
Пусть R — пополненное ^-кольцо с пополняющим
гомоморфизмом е: R-+Z и пополняющим идеалом / = kere. Определим
у-фильтрацию: /?„ с R — это аддитивная группа, порожденная
одночленами вида уп'(а1)...у"г(аг), где at e / и 2яг3=и.
Предложение 3.3.4, (i) /?0 = R, Ri = I',
(И)
(iii) /?„ есть К-идеал при п^\.

32
Гл. 3. К-кольца
Доказательство. Утверждения (i) и (ii) следуют прямо
из определений. Докажем (iii). Равенство R = Z@ Rx
показывает, что Rn является идеалом. Чтобы показать, что Rn есть
?,-идеал, достаточно проверить, что Кг (ут (х)) ^ Rm для х^.1.
Сначала вычислим при i^tn
i
К' (a- -f т - 1) = у' {х + т - i) = JJ Vs М Y~s (т ~ 0 =
s = 0
1
= Z y4x)y'-s(m-i)^Rm,
поскольку yl-s(m— t') = A/_s (m — s— 1) = 0 при ijssm^s-fl.
Используем это при вычислении
Н (ут (х)) = У/ (%т (х + т-1)) =
= Рг.т(К(х + т-1) Х""(х + т-1))
и заметим, что Pr,m(Si, ..., srm) является суммой одночленов,
каждый из которых содержит переменную s; с i^s tn, поскольку
Pr,m(Si, ..-, Sm_b 0 0) = 0.
Иногда полезно работать только с пополняющим идеалом.
Дадим определение: кольцо / без единицы называется
специальным у-кольцом, если существует пополненное специальное
Х-кольцо R, для которого / является пополняющим идеалом.
Тогда на / определены 7'-операции из R. Определим, как и
выше, у-фильтрацию, беря в качестве /„ идеал, порожденный
одночленами вида yni(al)...y"r(ar), где а,е/, У^щ^п. Имеем
C.3.5) /1 = /, ImInczIm+n, v'(/«)<=/„.
3.4. Операции Адамса
Адаме ввел в [1] некоторые операции, производные от X1,
которые гораздо удобнее с алгебраической точки зрения.
Пусть /^ — специальное ?i-кольцо. Определим отображения
формулами
\f4(x)=-t^(%l(x))/h(x),
C.4.1)
я|>,(*) = ^ V(x)t*.
Более элементарный способ определения г|)п таков. Рассмотрим
многочлены Ньютона
я
Л'„ (ii, .... s„) = ? xl,

3.4. Операции Адамса
33
где S; есть ;'-я элементарная симметрическая функция
переменных Xj. Затем положим
C.4.2) ф» (х) = N„ (к1 (х), .... Х"(х)).
Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство
эквивалентности обоих определений.
Покажем, что все г]/1 являются гомоморфизмами Ji-колец.
Это значит, что выполняются некоторые тождества,
связывающие операции г|зл и У. Используем проверочный принцип,
согласно которому достаточно проверять все соотношения
только для тех элементов, которые являются суммами
одномерных. Доказательство этого принципа дано в [14, 1.3.4,
1.4.5]. Поскольку в приложениях Х-кольца обычно бывают
конечномерными и поскольку при строгом изложении все
равно пришлось бы доказывать принцип расщепления для
проверки специальности конкретных Я-колец, мы не будем здесь
обосновывать проверочный принцип.
Предложение 3.4.3. (i) Если х —одномерный элемент, то
¦ф" (х) = хп;
(и) г|)я — гомоморфизм К-колец',
(Hi) tym'tyn = tyntym = q>mn;
(iv) ^рГ (х) =5 хрГ mod p (р простое).
Доказательство. Первое утверждение следует
непосредственно из 3.4.2. Докажем второе. Если х„ ijj одномерны,
то Xitjj — одномерный элемент, так как R специально. Из C.4.1)
получаем, что ар" — аддитивный гомоморфизм. Кроме того,
V (X xt ¦ ? у,) = Г (У х,У]) = ?Г (x,yj) = ? (х1У,Г =
Г^^х.^ГЫх, xr))=-m(x? х?)=.
= Кт B xf) = Хт (ij)" (S xt)).
Остается применить проверочный принцип. Третье и четвертое
утверждения выводятся аналогично с применением
проверочного принципа.
В качестве следствия мы получаем определение операций \|зл
на специальном у-кольче> причем эти операции сохраняют
V-фильтрацию.
Предложение 3.4.4. Пусть I — специальное у-кольцо.
Предположим, что х е /„. Тогда справедливы следующие соотношения:
(i) ф (х) - k"x е= /п+1;
(И) ip*(*) + (-l)*/u*(*)e/n+1;
(iii) Хк(х) + (-\уЧг^1хе1„+1.
2 Заказ 315

34
Гл. 3. к-кольца
Доказательство, (i) Нужно только показать, что
v-'' (ут (и)) ¦-•¦ k'"ym (a) e= /m+i для ее/, поскольку -ф* является
v-гомоморфизмом. Если хъ ..., хг имеют ^-размерность 1, т.е.
yt(Xi)=l-\-xit, то \-\-Xi имеет Х-размерность 1; следовательно,
¦ф'' (xi) = A + xi)k — 1, и поэтому
t (У"' (*! + ... + Хг)) - kmym (Xl + ... + Xr) =
= t|)*(s„,(x1 xr))-kmsm(хъ ..., xr)=*
= Sm((l+X1)*-l A+*,)*- 1)-#%,(*! Xr).
Это симметрический многочлен степени ^m-f-l; значит, (i)
справедливо для х = Цх; и, согласно проверочному принципу,
верно для всех х <= /„.
С помощью многочленов Ньютона получаем хорошо
известное тождество
г|5* (х) - ij)*-1 (х) X1 (*) +... + (—1 )*-4 ^ (л) X*--1 (х) + (— 1 )* Я* (х) - О,
из которого следует искомый результат, ибо 1|з'" (д:) е/л, Х'(д;)е
е/„ при t^l и хе/„.
Из (i) и (ii) получаем kXl!(x)-\-(—l)k knxe I„+1. Отсюда
вытекает доказываемый результат при отсутствии ^-кручения.
(Можно перейти к подходящей универсальной ситуации без
кручения, например рассматривая свободные Х-кольца; таким
образом, получается результат в общем случае. Заметим также,
что формулировки утверждений естественны по отношению
к Я-гомоморфизмам.)
3.5. Операции Адамса на кольцах представлений
Пусть G —конечная группа и R{G, F) —кольцо Гротендпка
(= кольцо представлений) конечно порожденных F [GJ-модулей,
где F — поле. Предположим для простоты, что F имеет нулевую
характеристику. Тогда элементы R (G, F) определяются своими
характерами. Отождествим R (G, F) с кольцом характеров.
Внешние степени определяют на R (G, F) структуру
специального Х-кольца. Мы хотим вычислить соответствующие операции
Адамса.
Предложение 3.5.1. Пусть x^R(G, F). Тогда
t(x)(g)=x(g"), ge=G.
В честности,
Доказательство. Ограничим все на циклическую
группу С, порожденную элементом g. Перейдем к
алгебраическому замыканию поля F, так что х\с = у — г, где у и z—

3.6. Класс Ботта бд.
35
суммы одномерных представлений. Тогда доказываемое
утверждение следует из 3.4.3, если принять во внимание, что для
одномерного представления х справедливо соотношение xk (g) =
Предположим теперь, что F~Q.[Z,n], где ?„ — примитивный
корень п-й степени из 1. Пусть k взаимно просто с порядком
группы G. Группа Галуа Gal(Q[?„]: Q) изоморфна (Z/nZ)*.
А именно вычету k mod n отвечает автоморфизм Я*,
действующий по формуле РА(?Л = ?*. Поскольку характеры FfGJ-моду-
лей принимают значения в поле Q [?„], мы можем применить Рк
к этим характерам. Пусть поле Q[?n] является полем
разложения для G. (Согласно знаменитой теореме Брауэра,
достаточно в качестве п взять показатель группы G; см. [147,
с. 109].) Докажем теперь
Предложение 3.5.2. (i) г|з*(х) =>Рк(х) для х <= R (G; Q[?n])
и (k, |G|) = 1.
(И) Если х — характер неприводимого модуля, то характером
неприводимого модуля будет и г|з* (х) (здесь опять k взаимно
просто с | G |).
Доказательство, (i) Пусть х — характер матричного
представления. Ограничим его на циклическую подгруппу С,
порожденную элементом g^G. Матрица, соответствующая g,
эквивалентна диагональной матрице с корнями из единицы
Ui, ..., иг по главной диагонали. Тогда я|э* (х) (g) = ? и\ =
= Р* Q» = *"(*(?))•
(П) Достаточно применить автоморфизм Галуа Р* к
матричному представлению над Q [?„].
Замечание 3.5.3. Операции Адамса, разумеется, не зависят
от поля, над которым определены представления. Поэтому 3.5.2
справедливо в более общей ситуации.
3.6. Класс Ботта 6А
Пусть R — специальное k-кольцо и ?ft—примитивный корень
степени k из 1. Пусть Р (R) — подмножество конечномерных
элементов в R. Тогда Р (R) — аддитивная полугруппа.
Для х е Р (R) рассмотрим произведение
C.6.1) е*(*): =П А_а (х) е= R <8)ZZ [?»],
где произведение берется по всем неединичным корням
уравнения tk—\. Отождествим R с его образом в R%'l\t,k\ при
каноническом отображении г >¦—* <¦ ;х) 1. Тогда 6fr (x)
принадлежит R. [Чтобы убедиться в этом, рассмотрите следующую
2*

Гл. 3. Х-кольца
диаграмму:
tf<g)zZ[S„..., SA_!]-»-/?(g)zZ ft,..., *ft-l]
# /?®2Z[?ft]
где r1( ..., ^ — независимые переменные, a sb ..., s^
—элементарные симметрические функции от //. Вертикальные стрелки
означают отображение, индуцированное подстановкой вместо
ti tk-i всех неединичных корней уравнения tk — 1 = 0.
Тогда Y[ h—t. (х) — симметрическая функция от t/, и, поскольку
вложение Z[sx sM]cZfli,..., tk-i] расщепляемо (его
образ — прямое слагаемое), мы видим, что JJ Я_<. (х) е R (х)
(x)ZZ[s1, ..., s/j-x]. Но нижнее отображение также является
вложением в качестве прямого слагаемого.]
Мы называем 6,, (каннибальским) классом Ботта. Из
определения непосредственно следует
Предложение 3.6.2. (i) Если х — одномерный элемент, то
dk(x)=\+x + ... + xk-1.
(ii) Если х, у е Р (R), то
6* (* + #) = М*) 8* («)•
Поскольку 6ft(l) = /j, элемент Вк(х) не является в общем
случае обратимым в R, так что 8ft не продолжается на
аддитивную подгруппу, порожденную конечномерными элементами
из R. В следующем разделе, посвященном р-адическим
у-кольцам, мы найдем способ избавиться от этого недостатка.
3.7. />-адические у-кольца
Пусть р —простое число и 2Р — кольцо целых р-адических
чисел. Можно определить 2Р как проективный предел колец
Z/p"Z. Если Л—конечно порожденная абелева группа, то
А (х) zZp канонически изоморфна р-адическому пополнению А
Ap: = lim A/pnA.
Тензорное умножение на Ър является точным функтором на
категории конечно порожденных абелевых групп. (См. [11, гл. 10]
по поводу этого утверждения и других сведений о пополнениях.)
Группы Ар снабжены р-адической топологией: фундаментальную
систему окрестностей нуля в них образуют подгруппы рпАр.
Эти группы полны и хаусдорфовы относительно р-адической
топологии.

8.7. Р-адические у-кольца
37
Если 5 — специальное у-кольцо, то по определению
существует специальное Я-кольцо R, для которого S = kere, где
е — пополняющий гомоморфизм Имеет место точная
последовательность (поскольку е: /?->Z расщепляется)
0-»-fl<g)Zp->-K<g)Zp-vZp-vO.
Мы хотим определить структуру Я-кольца на R (х) Ър так, чтобы
B(x)Zp было Я-идеалом. Операции Я' можно продолжить по
непрерывности, если доказать
Предложение 3.7.1. Операции Я' непрерывны в р-адической
топологии.
Доказательство. Для заданных iuN выберем #о так,
чтобы (р.) делилось на pN при k^k0 и l=ss;/<;t. Тогда
содержится в р^/? при k^k0 и 1=^/^1, поскольку Р/ имеет
вес / относительно первых / переменных. Если х — у — ркг, то
Я' (у) - Я' (х) = ? Я'-' (у) Я/ (р*г) е р"Я
ДЛЯ k^kts.
Из доказательства этого предложения видно, что если
asZp является пределом последовательности {a„}, a„ e Z, то
НтЯ'(а„х) = Я'(Птолх) = Я'(адг), и, следовательно,
К/ {ах) = Я, (х)°, aeZp,
C.7.2.) Y<(a*) = Y/(*)e. * е R,
г|>* (ад:) = aif* (*).
После этих предварительных замечаний мы определим
р-адическое у-кольцо А как у-кольцо, возникающее как
пополнение А = В (R) Ър некоторого у-кольца В, конечно порожденного
как абелева группа; кроме того, мы потребуем, чтобы
у-топология на В была не слабее р-адической топологии.
Приведем теперь несколько примеров р-адических у-колец.
Предложение 3.7.3. Пусть К —конечный связный
CW-комплекс. Тогда п-й член у-фильтрации на К (X) содержится в п-м
члене фильтрации, связанной с остовом X. В частности,
у-топология дискретна и К (х) (х) Ър является р-адическим
у-кольцом.
Доказательство. Пусть X" есть и-мерный остов А^.
Тогда я-й член S„K (X) фильтрации, связанной g остовом X,

88
Гл. 3. К-кольца
определяется как ядро оператора ограничения г*: К(Х)-*-
-> К (X"-1). Каждый элемент из К (X"-1) можно представить
в виде х — [Е] — (п— 1), где Е есть (л — 1)-мерное векторное
расслоение. Следовательно, i* (у" (х))=у" (/* (*))^ул (?—"+ О—
= Я'1(?') = 0. Утверждение теоремы следует теперь из
соотношения SnSm cz Sm+n 1).
Пусть R(G) — кольцо представлений конечной группы G
над полем комплексных чисел. Пусть R{G)-*-Z: xv—>-dim* —
пополняющий гомоморфизм с ядром /(G). Мы можем
рассмотреть три топологии на R(G):
(i) р-адическую топологию,
(и) / (б)-ади ческу ю топологию,
(iii) у-топологию, определенную у-фильтрацией.
Предложение 3.7.4. Пусть G — некоторая р-группа. Тогда
все три топологии (i), (ii) и (iii) совпадают. В частности,
1 (G) (g) Ър является р-адическим у-кольцом.
Для доказательства используется следующее
Предложение 3.7.5. Пусть I есть у-кольцо, порожденное
конечным числом элементов конечной у-размерности. Тогда
I-одическая топология совпадает в у-пюпологией.
Доказательство. По определению у-фильтрации мы
имеем /,э/°. Пусть т — максимальная из размерностей
образующих элементов в /. Тогда ут+1 переводит любой одночлен
от образующих в /а. Поскольку ут+1(—х)&г — ут+1(х)то<11а,
мы получаем 1т+1 с Р. По индукции можно показать, что
/*т+1 с /*«.
Доказательство 3.7.4. Положим / = /(G). В силу 3.7.5
топологии (ii) и (iii) совпадают. Пусть \G\-m. Тогда
(х — е (х))т = хт-е {х)т mod pR (G),
поскольку т является степенью р. В силу 3.5.1 мы имеем
\рт (х) = е(х), а в силу 3.4.3 (iv) справедливо сравнение ^(jcJsb
== хт mod pR (G). Соединяя это вместе, получаем
{х - е (х))т яве(х)—е {х)т =з 0 mod pR (G).
Это показывает, что /'" с: pi, и, значит, /-адическая топология
(как и у-топология) не слабее р-адической топологии. Можно
показать (см, [6]), что ml cz 1% гак что р-адическая топология
не слабее /-адической. (Последнее утверждение следует также
из локализационных теорем, которые мы докажем ниже.)
т) Которое вытекае1 из геометрической конструкции произведения
в К {X), см., например, 199]. — Прим. перев,

3.7. Р-адические у-кольца 39
В качестве небольшого обобщения предложения 3.7.4 мы
приведем
Предложение 3.7.6. Пусть G — некоторая р-группа, а X —
конечный G-CW-комплекс. Тогда Ко {X) (g) Zp есть р-адическое
у-кольцо. {Здесь /?0(,Y) = ker (*i—* dim*).)
Доказательство (набросок). Если X — конечный G-CW-
комплекс, то индукцией по числу клеток можно показать, что
Ко {X) — конечно порожденная абелева группа. Согласно 3.7.5,
у-топология совпадает с К0(Х)'-адической. Пусть Х(| —эквива-
риантный нуль-остов комплекса X. Ядро N отображения
г: Ко (X) -»- Ко (Х°) нильпотентно (ср. [142, предложение 5.1]).
Кроме того, Ka(X(>)^IlR(Gx), где произведение берется по
множеству G-орбит в Х°. Положим 1 = Ко(Х). Согласно
[11, теорема 10.11], р-адическая топология в rh индуцирована
р-адической топологией в Ка(Х°). Следовательно, из 3.7.4 мы
видим, что для некоторого t имеет место включение r(I')cz
apr(l) или, что то же самое, V a pi-\-N. Но если N" = 0,
то /tt = (p/ + W)* a pi. Это показывает, что /-адическая
топология не слабее р-адической.
Продолжим теперь обсуждение р-адических у-колец А =
= fi(g)Zp. Если Вп есть л-й у-идеал в В, обозначим через
А (п) = Вп (g) Zp его замыкание. Из 3.7.1 получаем, что Л (л)—
это у-идеал. По определению р-адического у-кольца топология,
определенная системой А(п), л 3^1, не слабее р-адической
топологии; в частности, эта топология хаусдорфова и
C.7.7) A о* lim А/А (п).
Идеал А (п) содержит л-й у-идеал А„^А, но Ап не обязан
быть замкнутым в р-адической топологии. Заметим, что
C.7.8) А (п)/А (л +1) ^ (Вя/Вп+1) (X) Zp,
потому что тензорное умножение на 1Р — точный функтор на
категории конечно порожденных абелевых групп. Из 3.4.4
и C.7.8) получаем
Предложение 3.7.9. Факторкольцо А (п)/А (п-{-1) является
р-адическим у-кольцом. Произведение любых двух его элементов
равно нулю. Для йе А (п)/А (л + 1) имеем
Я,*(а) = (—l)*-1*"-1**,
г|з* (а) = kna.
Покажем, что у* действует на А (п)/А (n-f 1) как умножение
на некоторую константу c(k, п.), не зависящую от кольца А.

40
Гл. 3. Х-кольца
Исходя из равенства yk{x) — %k(x-\-k—\), получаем
к
C.7.10) с (к, «)= У (~iy~li"-1{kkZl)-
Для исследования этих чисел положим
yt(x) = l+fn(t)x,
где
00
/л(/)=2(-1)/_1//1(тЬ)/
— некоторый формальный степенной ряд из Z[[/]]. Для я=1
это геометрическая прогрессия с суммой f\(t) — t. Формально
дифференцируя /„ (/) по t, получаем рекуррентную формулу
/„«(*) = * 0-0 ft (О,
так что /„ (t) в действительности — многочлен степени п:
М')=2>(/. ft)^-
В частности, ут = О на Л («)/Л (я+1) для т>п.
3.8. Операция рА
Опишем вариант отображения Ботта 8ft для р-адических
у-колец Л. Если не оговорено противное, мы будем всегда
рассматривать р-адическую топологию.
Ряд ^ агу гДе «г е Л (г), сходится в р-адической топологии,
поскольку он сходится в топологии, порожденной фильтрацией
(Л (я) | яЗ^ 1), которая не слабее. Поэтому множество 1 + Л
символов вида 1-f-a, a^A, является группой относительно
умножения (\Jra)(\Jcb)=\JraJrbJrah. Это компактная
топологическая группа, в которой базис окрестностей единицы
составляет множество A+р"Л | п^=0), или, что то же самое,
A+рМ + Л (я)|д=&1).
Пусть k — натуральное число, взаимно простое с р.
Рассмотрим кольцо Ър [?fc], где ?fc — примитивный корень fe-й
степени из 1 в алгебраическом замыкании р-адических чисел.
Произведение II A— и) по всем неединичным корням и
уравнения tk — 1 = 0 равно k и, следовательно, обратимо в Zp. Поэтому
1-й обратимо в Zp[?ft] и, значит, и/(и—1) eZp[?A]-
Ряд
Тв/(Н-и И = 1 + Y1 («) ¦ "/(" -!) + ¦••

3.8. Операция pk
41
сходится в р-адической топологии на 1 + А (х) z Zp [t,k] и,
следовательно, определяет элемент v«/(«-n (а) этои
мультипликативной группы. Положим
C.8.1) рк (а) = П y„/(b-i, (а) е= 1 + Л (х) Zp [?,Л,
где произведение берется по всем неединичным корням
уравнения tk=\. Алгебра Zp [?>,.] свободна над Zp, причем Zp-1
выделяется в ней прямым слагаемым. Поэтому Л = А (х) z Zp с:
с= A (x)zpZp[?ft] — подкольцо, выделяемое прямым слагаемым.
(Тот факт, что Zp [t,k] — свободный Zp-модуль, можно доказать
так. Пусть L — неприводимый над Qp многочлен, корнем
которого является ?й. Тогда L — делитель многочлена деления
круга Ф/,. Поскольку Zp — факториальное кольцо, мы можем
в качестве L взять многочлен со старшим коэффициентом 1
(по лемме Гаусса). Тогда Zp[{,k]~Zp(t)/L и правая часть,
очевидно,— свободный модуль.)
Мы утверждаем, что рк (а) <= 1 -f Л. Это следует из того, что
коэффициенты при одночленах от у' (а) в разложении рк (а),
согласно определению 3.8.1, симметрично зависят от корней
уравнения tk=\ (ср. разд. 3.6).
Предложение 3.8.2. Отображение
pk: A-+1+A
является непрерывным гомоморфизмом аддитивной компактной
группы А в мультипликативную компактную группу \-\-A.
Оно коммутирует с операциями Адамса и переводит А (п)
в 1+А(п).
Доказательство. Тот факт, что pk — гомоморфизм,
непосредственно следует из C.3.2) и C.8.1). Поскольку pk{pna) =
=*pk(a)Pn и (l+a)Pn(=l+pN + A(N), если ('^)==0modpw для
l^i^N, мы видим, что рк непрерывно в р-адической
топологии. Поскольку операция а|У коммутирует с у', она
коммутирует и с рк. Наконец, А (п) есть у-идеал, поэтому
Pk(A(n))cz\+A(n).
Замечание 3.8.3. Если Л —кольцо без единицы, мы можем
присоединить единицу стандартным образом: на аддитивной
группе ZxA определить умножение (т, а) (п, b) = (mn, mb +
+ na + ab). Тогда 1 +А=={A, a)' at= A] aZxA. Если В а Л —
идеал и если \-\-А и 1 + В — группы, то A + Л)/A+#) =
5*1 +А/В.

42 Гл.3. К-кольца
3.9. Ориентированные Y-кольца
Говорят, что y-кольцо А ориентировано, если
C.9.1) V<(a)=-Yw(fl). «si
Эта терминология имеет следующее происхождение.
Предположим, что А является пополняющим идеалом в специальном
пополненном конечномерном Х-кольце R- Тогда
Предложение 3.9.2. Кольцо А ориентировано тогда и только
тогда, когда для любого элемента х конечной размерности п
справедливо равенство V (х) = %п-г (х) для всякого г.
Доказательство. Если условие C.9.1) выполняется для
ах и а2, то оно верно и для ах — а2. Равенство Кг (х) = %п'г (х)
влечет за собой Xt (x) = tn\xit (х), и, следовательно,
Ъ (х-п) = hia-t) {x-n) = %tin-t) (х) A - 0" = in\\-t)it (x);
Yi-, (х - п) = A,(W)// (х - п) = \хЧ)ц (*) A + -^У = tnX(l4)l{ {х).
Заметим, что здесь п выступает в роли образа х при
пополняющем отображении, так что х — п^А. Это же вычисление
показывает, что C.9.1) влечет за собой равенство Xr (x) = kn-r(x).
Мы назовем R ориентированным К-кольцом, если Хг (х) =
=*ХПг'г(х) для любого n-мерного элемента х.
Пример 3.9.3. Пусть КОа (X) — группа Гротендика
вещественных векторных G-расслоений над компактным G-простран-
ством X, a G — компактная группа Ли. Векторное G-расслое-
ние Е размерности п называется ориентируемым, если его
n-я внешняя степень /\ПЕ является тривиальным расслоением
XXR-+X с тривиальным действием группы G на R. Если Е
ориентируемо, то [\ГЕ^ /\"-гЕ. Значит,
KSOq {X) = {E-Fcz KOq (Х)\ E, F ориентируемы}
является ориентированным ^-кольцом, а соответствующий
пополняющий идеал является ориентированным у-кольцом.
Если х — одномерный элемент в ориентированном Х-кольце,
то У {х) — V (х) = 1. Поэтому такое кольцо можно
рассматривать как содержащее, по-существу, только четномерные
элементы.
Рассмотрим теперь утончение операций 6,, (соответственно рА)
для ориентированного ^.-кольца R (р-адического
ориентированного v-кольца А).
Пусть xel?-элемент размерности 2т, a k — нечетное число.
Обозначим через J некоторое множество неединичных корней и

8.9. Ориентированные у-кольца
43
степени k из 1, которое из каждой пары корней вида и, и~х
содержит ровно один элемент. (Поскольку k нечетно, и Ф и-1.)
Произведение km Y\ A — и)~ш является целым алгебраическим
числом, поскольку ] [ A — u) = k. Поэтому
C.9.4) А» П Ь-и (х) A - и)"' s R [?*],
u<=J
где 5* — примитивный корень степени k из 1. Из
ориентированности R следует, что
C.9.6) Х-и (х) A - и)-*» - Ь.1/я (*) (^ р.
Поэтому выражение в левой части C.9.4) не зависит от
выбора J. Мы обозначим его через 6°' (х).
Предложение 3.9.6. (i) Если х и у четномерны, то 6?! {х-\-у)=
-6? (х) 8?г {у).
(И) Квадрат элемента б?г (х) равен 8ft(x).
(Ш) е°г(*)е#.
Доказательство, (i) следует из аналогичного
свойства %t\ (ii) следует из определений, если использовать C.9.5).
Что касается (in), то, снова используя C.9.5), можно видеть,
что 6°г(х) инвариантен относительно группы Галуа поля Q[?*j
над Q.
Если А — ориентированное р-адическое у-кольцо, то можно
определить квадратный корень из р* по формуле
C.9.7) РГ(*)=Ш«/( *-!)(*)•
ueJ
Используя равенство yt = 4i-t, доказываем
Предложение 3.9.8. (i) pf (x + y) = p°kr (x) p™ (у).
(ii) Квадрат элемента р°г (х) равен Ри{х).
(Hi) p-Wel + Л.
Вычислим теперь 6°г (г) для двумерного элемента г. Имеем
к-ц (г) = \ — иг-\-и2. Если мы сериально представим г в виде
х + у, где ху=\, то А,_ц(г) = A — их)(\ — иу), и потому
C.9.9) U(z)(l ~")-2 = Г fEf • -]Е?г-

44
Гл. 3. Х-кольца
Перемножая эти выражения, согласно определению 6™" (г),
получаем
C.9.10) 8°Г (г) = kyW*lJ A - "*) П 0 - ")-1 =
= у(A-D/2 A + х + ш _ _ _j_ xft-i) = x(fc-i)/a _j_ ^(fc-sva -f... + t/t*-1»/8.
Последнее выражение может быть переписано так:
Мг -к/г
C.9.11) х ~х
где выражения вида х1/2 используются только для формальной
записи и им не придается какого-либо самостоятельного смысла.
Фактически же выражение для 6°г (г) является целочисленным
многочленом от z: многочлен
я*@=П(/-"-")
не J
принадлежит Z[t] и имеет степень (k— l)/2. Например, Pa(t)**
= 1+/, Pb(t) = —\ + t + t2. Для двумерного г
C.9.12) *V(z)~Pk{z).
Доказательство вытекает из тождества
t»-ipk (t2 + t-z) = (i +1 +... + f»*-i)/(l +1),
которое в свою очередь можно вывести из следующих
соображений: обе части являются многочленами степени 2k —2 со
старшим коэффициентом 1, имеющими в качестве корней все
корни степени 2k из 1, кроме ±1.
Из C.9.10) мы получаем для двумерного г тождество
C.9.13) 6°r (г) = 1 +1)I (г) -fi))* (г) + ... + i|>(*~1)/2 (г).
3.10. Действие pft на скалярных ^-кольцах
Мы рассматриваем р-адические у-кольца А с тривиальным
умножением вроде А(п)/А(п-\-\) в предложении 3.7.9, на
которых операция г|>* действует как умножение на ft", a Xk — как
умножение на (—l)*-1^-1. Тогда, как мы видели в разд. 3.7,
у< (х) = 1 + fn (t) х,
1ый многочлен, ощ
fl(t) = t, f«+l(t) = t(l-t)f'n(t).
где /v, (t) — целочисленный многочлен, определенный
рекуррентной формулой

3.10. Действия рй на скалярных у-кольцах 45
Поэтому ph задается выражением
н и
Нам нужно вычислить рациональное (согласно теории Галуа)
число
//
где сумма берется по всем неединичным корням степени k из 1.
Положим
А* С) = *,(,-=!-)•
Предложение 3.10.1. Справедливо следующее тождество для
формальных степенных рядов от х и t над Q:
1пA + гЪ 0 "**>)= 2 h"^XnT-
(Смысл левой части следующий: замените In его разложением
в ряд In A -\-у) = у — '2 + -п—¦•• и подставьте вместо у
степенной ряд у—-(\—ех) с нулевым свободным членом.)
Доказательство. Положим
K((,x):=\n[l + J^J(l-e-))= 2^@^.
где gn (/) — какие-то степенные ряды от t. Продифференцируем
К (t, х) по t и по х и получим
дК _ ех [_ дК_ _ tex
~дГ ~ /«¦*—1 "т" I— t ' дх ~~ te*—1 "
Значит,
,_дК_ _ дК_ _ t
1 ш дх ~ 1— f
Применим это дифференциальное уравнение к выражению
2] 8п @ *"//*! и сравним коэффициенты при хп. Мы получим
/г>1
^@ = -гГ7- en(t) = tg'-t(t),
а это — в точности рекуррентные формулы для hn.
Если заменить в 3.10.1 /на корень &-й степени из единицы
иф\, получится тождество для формальных степенных рядов

46 Гл. 3- К-кольца
от х над Q [?*]• Числа bn (k) находятся следующим образом:
b» <*> 7Г " 2 1п Т=Г~ln II -Г31Г =
«In]. (i+^ + ... + ei*-jjA-)==ln':*-.^:.i.... ln^L =
где а„ определяются из разложения hi——- = / я«--р эти
коэффициенты могут быть выражены через числа Бернулли Вт,
определяемые разложением
е/-\-1+ Z Вт~т\-
Хорошо известно, что бх = —1/2, Вгт+1 = 0 при m^l. Если
продифференцировать разложение, определяющее а„, по jc, то
получится
2 х"'1 1 1 i V d *я-1
откуда
ап = —- для я > 1, а, = ^ .
Соединяя все ^ги вычисления, получаем
Предложение 3.10.2. Операция pk: А (п)/А (п + 1) -*• 1 •+-
-\-А (п)/А (л + 1) «л*#?лг вид
Xh-*l+(ft»-l)-^*.
Перейдем теперь к ориентированным у-кольцам. Из
рекуррентной формулы для рациональных функций hm (t) по
индукции выводится, что
C.10.3) МИННОМ'). /«(l-0-(-l)m/«W.
Предыдущие вычисления дают
Предложение 3.10.4. Пусть А — ориентированное р-адиче-
ское у-кольцо. Тогда отображение
р°г: А Bл)/Л Bл + 1) -»-1 + А Bп)/А Bл + 1)
имеет вид
*>— ! + (*•"-От*5-*.

8.11. Связь между в* и рк
47
Замечание 3.10.5. Приравнивая коэффициенты при th в
равенстве
?Yr(a)r = 2]7'(a)(l-0r.
приходим к соотношениям
у" =, (_1)* Y* + (—\)" ¦ (k + 1) • ум + с,
где с имеет ^-фильтрацию по крайней мере k + 2. По
индукции отсюда следует, что А Bп — \) — А Bп) при п>-\.
3.11. Связь между 6А и рк
Отображение Ьк было определено только для
конечномерных элементов х. Чтобы распространить его на элементы
вида—х, мы должны знать, что Ьк(х) — обратимый элемент.
Иногда этого можно достичь, переходя к р-адическому
пополнению. Дадим точные определения.
Пусть R — специальное пополненное Х-кольцо с
пополняющим гомоморфизмом е: R-+Z и пополняющим идеалом В=кеге.
Предположим, кроме того, что
(i) R конечно порождено как абелева группа
конечномерными элементами x^—l, ..., хт.
(И) e(xr) — d\mxr для г=\, ..., т.
(\{\) у-топология на В не слабее р-адической топологии.
Тогда е(х) = dim х для всех конечномерных х и yt (х — е (х)) —
многочлен от t степени s^dimx. Значит,
Y-dim (х — е (х)) ^ dim x.
Предложение 3.7.5 показывает, что В-адическая топология
совпадает с у-топологией. Кольцо A = B(g)Zp является р-ади-
ческим укольцом б силу условия (iii).
Предложение 3.11.1. Пусть i: R-+R<§§ZP —каноническое
вложение и (k, р) = 1. Тогда для конечномерного х е R элемент
i(fi4(x)) обратим в #(x)Zp.
Доказательство. Если dim л: = л, то е(вк(х))=Ок(е(х)) =
= Qk(n) = k". Положим r — kn. Тогда (г, р)=1 иг1
существует в Zp. Поэтому r-4(Bk(x))=l+a, a<^B(g)Zp. Но 1 + Лс
с: R x)Zp — мультипликативная подгруппа. Если A +а)A+6)=
= 1, то г'1 A -\-Ь) — обратный элемент к i(Qk(x)).
Мы можем теперь продолжить Вк до гомоморфизма R-*-R®Zp.
Если е'\ R{p'}Zl.-+Zp — продолжение пополняющего
гомоморфизма с, то для конечномерных х и у
е'(Ьк{х~у)) = ке^>-е^К

48 Га 3. %-кольца
Поэтому bk индуцирует юмоморфизм
bk; B-+1 + A, где Л = В®гр.
Предложение 3.11.2. Следующая диаграмма коммутативна:
1 + А
Доказательство. Пусть т — й\тх. Тогда yt{x — m) —
многочлен степени <:т. Используя равенство
V</(<-i) (* ~ т) Ь-t (т) = 'k-f (x),
а также определения Ьк и pft, получаем, что
вк (х) = pk (i (х - т)) 0k(m),
и, следовательно, бЛ (л: — т) = р* (t (x — т)). Утверждение
доказано.
3.12. Разложение р-адических у-колец
Пусть А есть р-адическое у-кольцо. В качестве
фундаментальной системы окрестностей нуля в р-адической топологии
можно взять {рпА-{-А (п) \ п^ \). Множество N натуральных
чисел будет рассматриваться как (плотное) подмножество в Zp.
Предложение 3.12.1. Отображение
Nx Л->Л: (k, a)<-*tyk(a)
равномерно непрерывно.
Доказательство. Пусть M — 2N, и предположим, что рм
делит s. Если хх, ..., хг имеют у-размерность 1, то
^s (Sx.) - ^ (?*,) = ?( 1 + xtf (A + х,у - 1) = р% + sN,
где Sj — симметрическая функция веса ^/ от xt при /=1, N.
Значит, при заданном N^\ мы можем найти такое ТИ^О,
что если рм делит s, то
tJ>*+* (х) - ч|5* (х) е= р*М + Л (JV)
для всех х, которые представпмы в виде суммы одномерных
элементов. В силу проверочного принципа для специальных
у-колец это верно для всех х. Значит, наше отображение
равномерно непрерывно по первому переменному. Будучи
гомоморфизмом по второму переменному, оно равномерно
непрерывно.

3.13. Экспоненциальный изоморфизм рк 49
Теперь мы можем продолжить отображение (k, a) i—*- a|)ft (a)
по непрерывности до отображения Zp х Л-> Л, обозначаемого
тем же символом. Поэтому отображение tyk: А-*- А определено
для всех 4eZp и является непрерывным гомоморфизмом.
Более того, по-прежнему справедливы равенства tyk ° tyl = tykl.
Если через Г обозначить компактную топологическую группу
обратимых элементов в Zp, то Л становится топологическим
Г-модулем.
По лемме Гензеля Zp содержит корни уравнения хр~х —1=0.
Они образуют циклическую группу порядка р — 1,
порожденную некоторым элементом d. Аддитивная группа Л распадается
относительно действия i|jd на собственные подпространства:
р — 2
C.12.2) Л = 0 Л,-, Л,- = {хеЛ|f (*) = dfx).
(Проще всего установить это, заметив, что Л можно
рассматривать как Zp [С]-модуль, где С — циклическая группа порядка
р—1, порожденная преобразованием ipd; групповая алгебра
ZP[C] изоморфна прямой сумме р — 1 экземпляров Zp, поскольку
Zp содержит корни (р— 1)-й степени из 1.) Поскольку tyd
является кольцевым гомоморфизмом,
C.12.3) AiAjdAi+f,
так что Л становится Z/(p — 1)-градуированным кольцом. Пусть
б' —ядро отображения редукции по модулю р Г = Zp'->Z/(p).
Тогда U действует на каждой группе Л,-, поскольку u^U
коммутирует с tyd. Положим
C.12.4) Ai(n) = Aif]A(n).
Предложение 3.12.5. Л,-(я) = Л; (п+ 1), если n^imod(p— 1).
Доказательство. Из 3.7.9 следует, что операция г|/
действует на Ai(n)/Ai(nJr\) как умножение на dn. С другой
стороны, по определению Л,- она действует как умножение
на d'. Следовательно, если указанная факторгруппа
нетривиальна, то ( = rtmod(p —1).
3.13. Экспоненциальный изоморфизм pk
Перейдем к главному результату в теории р-адических у-колец,
утверждающему, что о,, является изоморфизмом, если k —
топологическая образующая в Z*. Это алгебраическая
переформулировка Атьи и Толла [14] теоремы Адамса [2] о равенстве
J' (X) = /" (X), которая является существенным шагом в
вычислении группы J (X) стабильных классов послойной гомотопии
векторных расслоений над X.

50
IJL "L "Ь^кольца
Пусть Л — некоторое р-адическое ^-кольцо. Группа Zp при
рф2 топологически циклична. Целое число k будет
топологической образующей, если и только если k порождает Z/(p2)*.
Теорема 3.13.1. Пусть А есть р-адическое у-кольцо (рф2).
Предположим, что А(п) — А (п-f-1) для я =? Оmod(p — 1). Пусть
k — топологическая образующая в 7,*р. Тогда
рА: Л-+1+Л
— изоморфизм.
Доказательство. Имеем А = Игл А/А (я) в силу C.7.7).
Рассмотрим коммутативную диаграмму с точными строками
(см. 3:8.2 и 3.8.3):
О -> А (п)/А (п+1)-*А/А(п+\) > А/А (п) ->- О
1 -> 1 + А (я)/Л (п-\-1) -у 1 + Л/Л (я+1) ~М f Л/Л (я) -> 1
Поэтому достаточно доказать теорему для Л(я)/Л (я + 1). В этом
случае pk — это отображение а<—>l-f-d(&, я) а, где d(k, я) е
eZp не зависит от кольца Л. Значит, pft — изоморфизм, если
d(k, я) —обратимый элемент. По предположению мы должны
рассматривать только случай п = 0тод(р— 1). Числа d(k, я)
были вычислены в 3.10.2, и из теоремы Клаузена —фон Штаудта
(см. [30, с. 410]) следует, что d(k, n) обратимо в Ър, если
& —образующая в Ъ%, а я = 0тоо!(р — 1). На самом деле, как
было замечено в [14, с. 283], результаты разд. 3.10 и теорема
Клаузена —фон Штаудта не являются необходимыми. Нужно
лишь предъявить р-адическое у-кольцо Л, для которого
Л (я)/Л (я-f 1) Ф0 при я = 0тос1(р— 1) и р/г является
изоморфизмом. Мы сделаем это чуть позже и тем самым завершим
доказательство теоремы 3.14.1.
Пример 3.13.2. Пусть R(Zf(p); Q) — кольцо Гротендика
О[г/(р)]-модулей. Имеются два неприводимых модуля:
тривиальный модуль 1 и модуль V, который над полем
комплексных чисел распадается в сумму W-\-W2 + ... + W'1. Значит,
пополняющий идеал / — свободная абелева группа с одной
образующей х— 1 + W-{-...-\-Wp~l — p. Согласно разд. 3.5,
операции Адамса имеют следующий вид: ty* = id, если (k, p) =
.-= 1, -ф* == 0, если р делит k. Вычисление характеров па
образующем элементе jeZ/(p) дает изоморфизм /-vpZ: x*—*—p.
Имеем
ъ (*) = П ъ № -1) = Ц (О - 0 + ^0,
и подстач(.пка W' >—*-g\wt дает и правой части многочлен
A — t)p — (~t)p. Поэтому У(— р) = 0 при r^zp, ир делит

8.13. Экспоненциальный изоморфизм pk 61
Уг(—Р) Для lsSrsgp—1. Поскольку ^f действует на /гг//„+]
как умножение на рп и в то же время typ — 0, мы видим, что
IJln+i есть р-группа (в данном случае циклическая). Более
того, /,,//,н-1 отлична от нуля лишь при «E=0rnod(p— 1),
потому что ip* при (р, ?) = 1 действует как умножение на k" и
в то же время тождественно. Поскольку yp"J (—p) = (—i)p~1 р,
наименьшая степень р, достижимая в /„,— это [vp_1 (—P)]v,
где (v- 1)(р- 1)<п<а(р- 1). Значит, /„//„+,= Z/(p) для
nHsOmod(p—1), и р-адическая топология совпадает с у-топо
логией. Вычислим теперь действие р;, на (/n//n-n)®Zp^/„//„+1
для ne=0mod (р— 1). Образующей в IJh+i служит образ рл.
Значит,
и
Поскольку k топологически порождает Zp", число m—p-1(kp'1 — 1)
лежит в Zp. Мы получаем
Р* iff) = Pft (p)p'_1 = A + тр)рг-х - A + тдО mod p^1,
так что рА на I„/In+1 задается формулой pk (a) = 1 -f та е 1 +
+/„//„+1. Поскольку /n//„+1 = Z(p), это изоморфизм.
Замечание 3.13.3, Мы знаем из разд. 3.10, что для /г =
= г(р—1) в приведенном там примере pk совпадает с ОТОбра-
жением a t—*• 1 + '—- а и что рВп е Zp. Отсюда следует,
что
/п и (?» - 1) ^ «(A + тр)' - 1) ^ в тгр Ц- к - трД, mod p.
Значит, р5я = —lmodp. Это одно из утверждений теоремы
фон Штаудта.
Обсудим теперь несколько ситуаций, в которых выполняются
предположения теоремы 3.13.1.
Пусть Л —любое р-адическое укольЦО. В разд. 3.12 мы
построили разложение такого кольца в сумму собственных
подпространств А{ для операций Адамса (* = 0, 1, ..., р —2).
Тогда pk индуцирует отображение
р*: А0~*-1 + А0,
и в силу 3.12.5 мы можем применить к нему нашу теорему:

Гл. 3. Х-кольца
Предложение 3.13.4. Пусть А — некоторое р-адическое
у-кольцо, рф2. Пусть k —топологическая образующая в Ъ*р.
Тогда отображение
pk: А0-> 1 + Л0
— изоморфизм.
Предложение 3.13.5. Пусть А— некоторое р-адическое
у-кольцо. Предположим, что Vp!' = \d дли (k, р)=1. Тогда
Л(я)/Л(п+1) = 0 для n=?0mod(p- 1).
Доказательство. Для х е А (п)/А (я-f-1) мы имеем
х = \pk (х) = knx и kn — 1 е Z,;, если л ф 0 mod (р — 1).
Пусть А есть р-адическое у-кольцо. Положим
C.13.6) Лг = {а|'фй(а) = й для всех А},
ЛГ = Л/Л?, Л/ = ]а -•фЧя) яе A, k<=Zp\,
A + Л)г={1+а|т|)*(а) = а для всех /г},
A+Л)г = A + Л)/Л1, M = {(H-a)/f(l+o)!ae-4, ^eZp[.
Поскольку операция рА коммутирует с операциями Адамса, мы
получаем отображения
( ' ' ' (Р*)г: Лг-^A + Л)г.
Теорема 3.13.8. ?Ъш рФ2 и k порождает Ър, то
отображения C.13.7)
(Р*)г и (рА)г
— изоморфизмы.
Доказательство. Покажем сначала, что еслиО->Х->-
-vZ->- F->- 0 — точная последовательность р-аднческих у-колец
и если теорема верна для X и Y, то она верна для Z.
Следующая диаграмма с точными строками (последовательность
ядер и коядер) коммутативна:
0-> Хг -* Zr -> Fr -*
l->(l+X)r->-(l+Z)r->(l+y)r->
-> Хг -> Zr -v Гг ->0
-41+X)r-*A + Z)r-Ml + K)r->1
Остается применить известную лемму о пяти гомоморфизмах.
(Для вывода последовательности ядер и коядер заметьте, что
последовательность
О -*> А1 '-* А i^? X -*- Хг ~> О

3.13. Экспоненциальный изоморфизм Pk
53
точна, если /г — образующая Ъ%.) Теорема верна для А(п)/А(п-\-1):
для а ей 0 mod (р—l) имеем Л (п)/А (п А- 1)Г = Л (п)/А (п + 1)г =
= 0, а для п = 0 mod (/? — 1) само рА, является изоморфизмом
в силу ЗЛЗЛ. Из доказательства первой части теоремы ясно,
что она справедлива для А/А (п). Наконец, из соотношений
lim (A/A (n))r = (lim А/А (л))г
и аналогичного равенства для A -f Л)/A А-А (п)) следует
справедливость этой теоремы для Л. (Заметим, что функтор
проективного предела точен на компактных группах.)
Обсудим теперь аналогичные результаты для р — 2, где
нужны ориентированные у-кольца. Группа обратимых
элементов F = Z| не является (топологически) циклической, но ее
факторгруппа Г/{:± 1} обладает этим свойством; например,
3 является образующей.
Поскольку —1 <= Zp, операция ty-1 определена для р-ади-
ческих -у-колец, см. разд. 3.12.
Предложение 3.13.9. Если А — ориентированное р-адическое
у-кольцо, то i|31 = id.
Доказательство. Если х имеет v-Pa3MePH0CTb 1. т°
1-\-х имеет ^-размерность 1. Поэтому
1 = № B + 2х) = Я2 B + 2х) = к1 A + х)* = A + х)\
так что ij; J (х) = 1/A -\-х) — 1 =х. Значит, доказываемое
предложение верно для суммы одномерных элементов Теперь
применим «проверочный принцип».
Теорема 3.13.10. Пусть А — ориентированное р-адическое
у-кольцо (р — любое простое число). Пусть k — образующая группы
Г/{±1}. Тогда отображение
р°г: Л->1 + Л
индуцирует изоморфизмы
(рГ)г " (рПг-
Если р — 2, то р°г — изоморфизм.
Доказательство. Пусть р = 2. Мы должны показать,
что А(п)/А(п~\-1) отображается изоморфно. В силу 3.10.5 эта
группа равна нулю при п== 1 mod 2. Поэтому положим п = 2/и.
Тогда p°kr(a)=\+d' (k, п)а, где d! (k, n) = {kn- \) Bin/2n eZ,,
согласно 3.10.4. Если в этом случае n = 2rd, где d нечетно,
a rSsl, то k"= 1 Ar2r2c, где с нечетно, поскольку k — обра

54 r*iJ- ^-кольца
зующая гу{± Ц. Следовательно,
и по теореме Клаузена — фон Штаудта 2ВШ.за 1 mod2. Значит,
6! (k, n) s Т%. Если мы хотим избежать ссылки на теорему
Клаузена —фон Штаудта, то можно вычислить р°г в частном
случае, как в 3.13.2. Для рф2 имеем 2d'{k, n) — d(k, n) e
е Zp, следовательно, и <f (к, п) е ZJ. Значит, можно
рассуждать дальше, как в доказательстве предложения 3.13.8.
3.14. Изоморфизм Тома и отображения 6*, В%
Пусть G —компактная группа Ли, ?-> X — комплексное
векторное G-расслоение над компактным G-пространством Х.
Если М (Е) — пространство Тома для Е, то определен класс
Тома t (Е) е Ко (М (?)) и Ко (М (Е)) является свободным
Ко (Х)-модулем с одной образующей t (E). Поэтому должно
выполняться соотношение вида
<V»(t(E)) = h(E)t(E)
с однозначно определенным элементом Sk (Е) е Ко (X).
Предложение 3.14.1. Справедливо равенство
8, (Е) = Bk (E).
Доказательство. Оба отображения 8А и бА естественны
относительно отображений расслоений и переводят сумму в
произведение. По принципу расщепления достаточно проверить
доказываемое равенство для линейных расслоений Е. Пусть
s*: Kq(M(E))-+Ка{Х) — отображение, индуцированное
нулевым сечением. Тогда s* (t (Е)) = 1 — Е, и потому
1 _Е» = г|>* A - Е) «sV (t (?)) = s* (9ft (?) * (?)) - в* (Е) A -?).
Это дает 8ft(,E)= 1-f-? + ••¦ +?*~а- Аналогичное равенство
выполняется и для 8,. (Е) (рассмотрите в качестве X комплексное
проективное пространство). Теперь используем 3.6.2.
Для вещественных векторных расслоений и б?г ситуация
аналогична, но чуть более сложна.
Опишем ее более подробно. Пусть Е -*¦ X — вещественное
векторное G-расслоение размерности 8л, обладающее спинорной
структурой. С помощью этой спинорной структуры определяется
класс Тома t (E) e K0Q (M (Е)). Обобщенная теорема о
периодичности Ботта (см. [10]) и утверждает, что в этом случае
также КОа (М (?)) является свободным КОа (Х)-модулем с обра-

З^б^У^пражнения
55
зующей t(E). Определим бГ(?) из равенства ip* (t(E)) =
= б?г (?) i (E). Если /г нечетно, то определен также элемент
9°Г (?) (см. разд. 3.9), поскольку Е, обладая спинорной
структурой, ориентируемо.
Предложение 3.14.2. Для нечетного k и вещественного
векторного G-расслоения со Spin (8п)-структурой справедливо
равенство б?Г (Е) = 0°k (Е). В частности, QT {Е) не зависит от
спинорной структуры при нечетном k.
Доказательство. С помощью 3.9.10 доказательство
может быть сведено к [31, предложение 10.3, теорема В на
стр. 81 и теорема С" на стр. 89].
3.15. Комментарии
Эта глава основана на работе [14], аксиоматизирующей
некоторые основные результаты Адамса [1], [2]. Читатель мог бы
также изучить взаимосвязь между ^-кольцами, формальными
группами, векторами Витта и алгебрами Хопфа (см. [95]).
Было бы интересно исследовать топологический смысл
теоретико-числовых свойств чисел Бернулли. Отметим также
экспоненциальный изоморфизм для Х-колец, полученный в [13]; он
связан с нашим pft, но дает изоморфизм всего кольца (при
соответствующих ограничениях).
3.16. Упражнения
1. Показать, что тензорное произведение специальных Я-ко-
лец А и В снабжается канонической Я,-структурой, так что
отображения А-+А®В и В->-А®В являются Я,-гомомор-
физмами.
2. Показать, что существует свободное ^-кольцо U с одной
образующей «е(У. Это кольцо характеризуется следующим
свойством универсальности.
Для любого специального ^-кольца R и любого элемента
x^R существует единственный гомоморфизм Я-колец/: U-+R,
при котором f(и) =х.
3. Показать, что если R — специальное Я-кольцо иле/? —
его «-мерный элемент, то существует специальное ^-кольцо 5,
содержащее R, в котором x = Xi-{-... + xn, где все xt <= S
одномерны (принцип расщепления).
4. Если 5 — конечное G-множество, то пусть Д'E) означает
совокупность подмножеств М cz S, для которых ' М \ = i.
Действие G на 5 индуцирует действие на /\'(S). Показать, что
отображения Si—•> /\'(S) задают на A (G) структуру л-кольца.
В общем случае эта структура не специальна.

Глава 4
Геометрические представления1)
Если G — конечная группа, a S — конечное G-множество
мы можем рассмотреть соответствующее геометрическое
представление V (S, F) группы G над коммутативным кольцом F.
Отображение St—*V(S, F) задает кольцевой гомоморфизм
h = hF: A{G)-+R(G; F)
бернсайдовского кольца группы G в кольцо представлений.
Мы обсудим некоторые свойства этого гомоморфизма в частных
случаях, когда F — поле или кольцо целых чисел. Будет также
описана его связь с ./-гомоморфизмом из гл. 2 и с Я-кольцами.
4.1. /;-адическое пополнение
Пусть р — простое число и G — некоторая р-группа. Пусть
A (G); = Пт Л (G)/pM (G) ^ A (G)®ZZP
п
— р-адическое пополнение.
Если \G\ = p" и т = <7A, р), то мы видели в упр. 1.9.4,
что mn+1 cz pA (G) с: т. Отсюда вытекает
Предложение 4.1.1. Если G есть р-группа, то р-адическая
и т-адическая топологии на A (G) совпадают.
Пусть теперь q — простое число, отличное от р. Пусть
е: R(G, F?)-»-Z: хн—* dim x — пополняющее отображение и
/ (G, F?) = ker e — пополняющий идеал. Кольцо А (G)p является
локальным кольцом с максимальным идеалом m —
пополнением т. Мы рассматриваем сейчас случай рФ2. Поскольку
Л (G) [qЛ] cz A (G)p, из разд. 2.1 мы получаем /-гомоморфизм
D.1.2) J: R(G, Fq)-+A(G);.
х) В оригинале permutational representations —представления
перестановками. — Прим. перге.

4j2. Геометрические представления над Fq 57
Заметим, что для любого F^G-модуля V имеет место равенство
eJ(Y — dimV)= 1. Значит,
D.1.3) JI(G, Fg)<= 1 + m.
Множество I-\-in cz А @УР является компактной
топологической группой относительно операции умножения.
Фундаментальной системой окрестностей единицы служит (l-fm')oi
или A -{-ml-\-р^т). Поскольку
J (рЧ (G, ?,)) с= A +т)р' с 1 + т<+\
мы видим, что J: I (G, F?)->-l-j-m непрерывно в р-адической
топологии и потому задает непрерывное отображение
D.1.4) J: /(G, Fg);-+\+m,
которое переводит сложение в умножение.
4.2. Геометрические представления над F?
Мы по-прежнему предполагаем, что р нечетно, и
рассматриваем геометрическое представление и его р-адическое
пополнение
D21) *¦ A(G)->R@, F9),
fc A(G);-+R(G,'Fg);.
Поскольку h(m)czpR(G, F?)-f/(G, Fg) и коль скоро p-
адическая и /(G, Р?)-адическая топологии на R(G, Fq)
совпадают (см. [6]), мы получаем непрерывное отображение
мультипликативных топологических групп
D-2.2) h: l+m->-l + /(G, F?)\
Определение 4.2.3. Назовем простое число q р-образующей,
если оно порождает плотную подгруппу в Z$ (т. е. если р
порождает (Z/paZ)*).
Теорема 4.2.4. Пусть q есть р-образующая. Тогда
композиция
hJ: I(G, Fqy->l + I(G, Fty
является изоморфизмом.
Фактически мы покажем, что это один из изоморфизмов,
которые мы рассматривали в предыдущей главе, посвященной
^-кольцам, а именно изоморфизм рд.
Доказательство. Чтобы доказать равенство hJ = pg,
достаточно рассмотреть циклические группы Z/р'Ч, поскольку /,

58 Гл. 4. Геометрические представления
Ьр? согласованы с ограничением на подгруппу, а элементы
из R(G, ?9)* характеризуются своими ограничениями на
циклические подгруппы.
Начнем с вычисления р9 для G = Z/p';Z. Групповая алгебра
РД^] = Fq[x\/(x' - 1), «=--р", разлагается в сумму
??) F?[a']/(]'>/(a-), где ф, (л-) — многочлены деления круга.
Если q есть р-образующая, то Ф, (а) неприводим.
Следовательно, Fv [х\/Ф( (а) =: У, — неприводимый Р?[C]-модуль.
Согласно 3.11.2, справедливо равенство
Ря (Vt - dim Vt) Q9 (dim 7,) = 0, (V,).
Над расщепляющим по тем F для G модуль V, расщепляется:
Vt = (QVt(j), где все V<(/) одномерны и образующий элемент
;'
группы G действует на V t {/) как умножение на и>, где и —
примитивный корень степени р' из 1, a /e(Z/p'Z)*. Поскольку
операции 8? совместимы с расширением основного поля, мы
получаем из 3.6.2, что
ег (Vt) = ГК (V' (/)) = П (* + У'И)+¦ ¦ ¦ + v< (/Г1)-
Ввиду естественности операций достаточно рассмотреть случай
t = n. Мы утверждаем, что в кольце R(G, F)g^F[y]/(ya—l)
справедливо равенство Bg(V„) = h(l-\-bG), где b удовлетворяет
условию 1 4- bp" — qa. Это значит, что нам нужно проверить
соотношение
ll(l+yJ + ...^yf(^)^\+b(l+y + ...+y^).
I
Но это соотношение верно, если заменить у на корень а-н
степени из единицы и, а значения в таких точках v
определяет элемент кольца F[y]/(ya— 1). (Это, по существу, некоторое
вычисление с модулярными характерами.) Далее, простой
подсчет размерностей пространств неподвижных точек показывает,
что J(Vn) = l + bG. Это дает равенство h J (i/,) = 6?(V,), и
потому \J (Vt — dim Vt) — pq(yt — divaVt). Равенство hJ —pq
доказано.
Проверим теперь, что мы находимся в ситуации, когда
применимы у!верждения 3.13.1 и 3.13.5. Чтобы доказать, что
tyll(V) — V для (k, p)=l и ?я[Gj-модулей V, мы снова можем
ограничиться рассмотрением только циклических групп, и
тогда это следует из описания неприводимых Fg [Gj-модулей,
данного выше.

4.3. Представления 2-групп над F3
59
Замечание 4.2.5. Если q есть р-образующая, то
гомоморфизм разложения
d: R(G, Q)-yR(G, F9)
(см. [147, 15.2]) является изоморфизмом.
4.3. Представления 2-групп над F3
Проведем теперь для 2-групп рассмотрения, аналогичные
приведенным в разд. 4.2, и ограничимся представлениями
над F3. Напомним сначала, что дает в этом случае теория
ориентированных у-колец.
В этом параграфе G будет 2-группой. Определены
следующие объекты:
R(G, Fs)=dRO(G, Fs)=>RSO(G, F8)=>/SO(G, F,).
Здесь R(G, F3) —кольцо представлений, состоящее из F3[G]-
модулей, RO — подкольцо этих модулей, обладающих G-инва-
риантной квадратичной формой, RSO —• подкольцо в RO,
состоящее из F3[G]-moдулей, на которых каждый элемент geG
порождает преобразование с детерминантом 1, a ISO —
пополняющий идеал нульмерных объектов.
Кольцо RSO (G, F3) является ориентированным ^.-кольцом
C.9.2), a ISO(G, F3) —ориентированное у-кольцо. Пусть
«крышка» означает 2-адическое пополнение. Из 3.13.10 мы имеем
Предложение 4.3.1. Отображение
р»: ISO(G, Fa)"-И +/SO(G, F,)*
является изоморфизмом.
Чтобы связать этот изоморфизм с ./-гомоморфизмом и
геометрическими представлениями, мы вычислим его для
циклических групп G = Z/2"Z. Начнем с кольца представлений.
Имеем разложение группового кольца
F3Gs 0 F3 [*]/<[>,(%),
где ф( есть 2'-й многочлен деления круга. Теперь уже Ф{
не являются неприводимыми при t^-З. Если A^=F3[«;j, где
и, —примитивный корень степени 2' из 1, то [К/: F3] = 2/-2,
t^3. Кроме того, Ф2(х) = х2-\- 1 неприводим, и К-л — F3[«2j = F9.
Предположим сначала, что I ^ 3. Пусть V, означает FSG-
модуль Kt, на котором фиксированный образующий элемент
g = G действует как умножение на щ. Тогда двойственный
модуль Vf=Hom(V,, F.,) совпадает с К,-, на котором g
действует как умножение на ut\ Кроме того, Fа[лг]/Ф,(х)^

(Ю Гл. 4. Геометрические представления
— V/фУ*, и Vt не изоморфен У*. На модуле Vt нельзя
ввести G-инвариантной квадратичной формы, поскольку тогда
мы имели бы Vt^Vf. Но
V,@V? + Fa: (х, y)^tv(xy)
является G-инвариантной невырожденной квадратичной формой.
(Здесь tr: Kt ->- F3~~ отображение следа.)
Если t — 2, положим V, = F3 [%] = F9 и зададим действие g
как умножение на и2. Тогда отображение нормы F9 -> F3
является G-инвариантной квадратичной формой.
Ассоциированная билинейная форма имеет вид
Ь: F9xF9-^F3: (х, у) ь— ф (х) у - xq> (у),
где ф — автоморфизм Фробениуса. Детерминант формы Ъ равен 1.
Любая G-инвариантная симметрическая билинейная форма
в этом случае должна иметь детерминант 1.
Наконец, имеются два одномерных представления:
тривиальное представление У0 и нетривиальное Уь при котором g
действует как умножение на —1. Оба этих представления
допускают инвариантные квадратичные формы q: х>—> х2 и
q-. xi—* — x^.
Перейдем к вычислению р°г для элементов Уг — dimV,,
У2 — dim V2 и Vt + V* — dim(Vt+Vf). Достаточно вычислить 6°r
для соответствующих модулей. Поскольку вычисления с
характерами проще, мы будем действовать с QjVTj-модулями, а затем
применим гомоморфизм редукции. Пусть
Wt^Q\x]^t(x), t^\,
где g действует как умножение на х. Пусть S/ — однородное G-
множество с 2' элементами и V (St) — соответствующее
геометрическое представление. Через at обозначим мощность Kt.
Тогда справедливо
Предложение 4.3.2. Для /^3
б- (W() = V (St) - V (S„) + 2-' (at - 1) У (St).
Кроме того,
^(W9) = V(S0)-V(S1) + V(S^,
^(W1®W1) = V(S0)-2V(S1).
Доказательство. Предположим, что t^3. Вычислим
характер b°r(Wt). Над полем разложения модуль Wt
разлагается в сумму 0 (W, (/) 4- W, (— /')), где Wt(j) — одномерный
/
модуль, на котором g действует как умножение на (ut)'-, и
1<| = й-|-1<2Ч

4.3. Представления 2-групп над F3 61
Из C.9.12) получаем
QyWt)=I[tt + Wt(j)®Wt(-l)),
i
откуда следует, что значение характера на элементе g равно
i
Это произведение равно —1, как видно из тождества
["{ (х + х-1 - и> - и-'') = х-^~2Ф, (х),
в которое нужно подставить вместо х кубический корень из
единицы. Значение характера 0°'(W,) на необразующих
неединичных элементах группы G равно 1, а значение в единице
равно at. Несложно проверить, что геометрическое
представление, связанное с Si — S0 + 2~'{at — \)S,, имеет тот же характер.
Наконец, 6°г(Г2) = 1 + Wt, B°r(W1^W1)=l + WL@W1, и
утверждение доказываемого предложения легко проверяется.
Связать непосредственно 0°г с квадратичным /-гомоморфизмом
затруднительно, поскольку геометрические представления
в общем случае не сохраняют ориентации. Займемся сначала
этим вопросом.
Пусть /4о (G) а А (С) — подкольцо, порожденное конечными
G-множествами, на которых все geG действуют четными
перестановками. Если S — произвольное конечное G-множество, мы
поставим ему в соответствие гомоморфизм
s(S): G->Z*: g>-~sgn(tg),
где lg: S -v S — перестановка, осуществляемая элементом g.
Отображение 5 ^—> s (S) индуцирует гомоморфизм
s: A(G)-+Hom(G, Z*)
из аддитивной группы кольца A (G) в мультипликативную
группу Hom(G, Z*). Ядром s является A0(G). Пусть
/: Hom(G, Z*)-+A(G)
задается формулой
/¦tf) = G/tf,-jG/tf,|+l.
где /// — ядро f. Тогда образ / лежит в A(G)*.
Поскольку 2Л (G) принадлежит ядру s, все это переносится
на 2-аднческое пополнение. Обозначим через sgn композицию
D.3.3) sgn: A (G)А -'- Нот (G, Z*) ' • Л (G) с: A (G)".

62
Гл. 4. Геометрические представления
Тогда отображение A (G) -> A (G)Л: х>—*;c-fsgn;c — \ не
меняет мощности и его образ лежит в A0(G)'.
Пусть QS (G, F3) — моноид F3 [Gj-модулей с инвариантной
квадратичной формой и четным действием группы G (операция —
ортогональная сумма). Обозначим через /: QS(G, F3)-v/SO (G,
F3) отображение (M, q)i—*¦ M — dim M. Определим
модифицированный квадратичный 7-гомоморфизм
Г: QS(G, Fs)-»A0(Gy,
полагая J'(M, q) = (JQ(M, q) + sgnJQ(M, q) — l)lt где индекс 1
означает, что величина в скобках делится на мощность
соответствующего модуля (которая является степенью тройки и,
следовательно, обратима в A0(G)").
Теорема 4.3.4. Следующая диаграмма коммутативна:
QS(G, F8)^A,(Gr
f \ \h
ISO(G, Fs)P^RSO(G, Fay
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай
циклической группы G = Z/2"Z. В этом случае любой модуль (М, q)
является ортогональной суммой модулей вида (V, ©V7), /^3,
V», Vi ф Vx. В случае V, ф V* инвариантная форма
гиперболична. Из 2.3.4 следует, что JQ(VtQVt, q)= l +2-'(at- l)St
(ср. 4.3.2). Поскольку sgnS< = S1 —1, можно вычислить
J'{Vt®Vh q) = аТ1 (S, - I + 2~<{a,-1)S,), и с помощью 4.3.2
мы получаем требуемую коммутативность. Остальные случаи
дают следующие результаты:
JQ (V„ Я) = 1 - 52, Г (V„ q) - I A ~ Si + S«).
JQ(V1®V1, q®q)^JQ(V1®V1, <r0T)=l-2Sb
/' (Vt Ф Vu q®q) = J' (V, Ф Vlt q ф Г) = \ &SX - 1),
JQiVt + Vu 7e<T) = H-5i.
Опять 4.3.2 влечет за собой требуемую коммутативность.
4.4. Геометрические представления над Q
Предыдущие рассмотрения дают весьма окольное
доказательство следующей теоремы.
Теорема 4.4.1. Пусть G —некоторая р-группа. Тогда
hQ: 4(G)-v#(G, Q)
является сюроеклшаным отображением.

4.5. Комментарии
63
Сделаем несколько замечаний о том, как это связано
с предшествующими результатами. Мы можем использовать
гомоморфизмы редукции
dq: R(G, Q)-v#(G, Fq) и с1я: R(G, Q)-+RO(G, F,).
Если G есть р-группа, рфд и q является р-образующей,
то dq — изоморфизм. Если G есть 2-группа, то d3 — изоморфизм.
Для того чтобы показать сюръективность hQ, можно попытаться
сделать это для hF или /if,.
Теперь легко показать, что коядро ftQ аннулируется при
умножении на порядок группы G. Это делается так.
Характеры представлений из R (G, Q) постоянны на классах
сопряженных элементов и на множестве образующих циклической
группы. Если Н <G циклична, то h(G/H)(g) отлично от нуля,
если и только если g сопряжен элементу из Н и h (G/H) (g) *=
*=\(G/H)g\ делится на \W(H)\. Следовательно, любая
центральная функция, постоянная на образующих циклических групп,
является целочисленной комбинацией функций вида
\W (H)\'1h(G/H), где Н <G циклическая. Отсюда следует,
что hQ сюръективно для р-групп, если сюръективно его р-ади-
ческое пополнение. Для р Ф 2 это следует непосредственно
из 4.2.4. Для р = 2 из 4.3.4 выводится, что отображение
Ao(G)~+RSO (G) сюръективно. Но если V — произвольный Q[G]-
модуль, обозначим через DV его детерминантный модуль.
Тогда DV ф 1 является геометрическим представлением, а У©
ф?)У©1, кроме того, сохраняет ориентацию. Значит, V =•
= V © DV ф 1 - (DV © 1) лежит в образе dQ.
4.5. Комментарии
Материал этой главы взят из [146]. Изложение его
в разд. 4.3 оставляет желать лучшего; я надеюсь, что кто-
нибудь из читателей возьмет на себя труд исправить его.
Существуют важные связи между бернсайдовскими
кольцами и целочисленными представлениями; см. [121], [122] и
помещенные там ссылки на более ранние работы Дресса и
Эндо —Мияты. По поводу 4.4.1 см. также [133].

Глава 5
Бернсайдовское кольцо
компактной группы Ли
5.1. Эйлерова характеристика
Мы соберем здесь свойства эйлеровой характеристики,
которые нам понадобятся в дальнейшем, и наметим
доказательства в тех случаях, когда нельзя дать подходящих ссылок.
Пусть # —коммутативное кольцо и А — ассоциативная R-
алгебра с единицей (например, A = R или A = R[G], G —
конечная группа). Отображение Эйлера — Пуанкаре — это
отображение из некоторой категории Л-модулей в абелеву группу,
которое аддитивно на некоторых точных последовательностях.
Мы рассмотрим следующую достаточно общую ситуацию.
Пусть Gr^ (Л) — абелева группа (группа Гротенднка) с
образующими [М], где М — левый Л-модуль, конечно
порожденный и проективный как /^-модуль, и соотношениями [М] —
— \М'\~\-\М."\ для каждой точной последовательности 0->-
-н^М'-э-М->УИ"-*0 таких модулей. Пусть Gr Л —группа
Гротендика конечно порожденных левых Л-модулей с
аналогичными соотношениями для точных последовательностей.
Кольцо R называется регулярным, если оно нётерово и каждый
конечно порожденный /?~модуль имеет конечную резольвенту
из конечно порожденных проективных /^-модулей.
Предложение 5.1.1. Пусть R — регулярное кольцо, и пусть
R-алгебра А является конечно порожденным проективным R-
модулем. Тогда забывающее отображение GvR (A)-+Gr A —
изоморфизм.
Доказательство см. в [158, с. 2]. (В [158]
используется обозначение Gu вместо нашего Gr. Поскольку мы не
используем GЬ а буква G означает у нас группу, мы
предпочли это нестандартное обозначение.)
Замечание. В случае группового кольца A — S[G\, где 5 —
коммутативное кольцо, мы используем обозначение R(G, S)
вместо Grs (Л). Тензорное произведение над 5 индуцирует
закон умножения и R (G, S) становится коммутативным
кольцом—кольцам представлений G над S.
Мы назовем отображение М •—* [М] е Gr^ (Л) универсальной
эйлеровой характеристикой для рассматриваемых модулей,

5.1. Эйлерова характеристика
65
поскольку любое отображение М>—*е(М) в некоторую абелеву
группу В, такое, что е(М) = е(М')-\-е(М") для любой точной
последовательности 0->-ЛГ ->М-*~М"-+0, индуцируется
однозначно определенным гомоморфизмом h: GrR (A)-> В, е(М) =
= h ([Af]). (Аналогичным свойством определяется Gr (А).) В
случае когда R = A — поле, М <—* dim#7W e Z является
универсальным отображением, устанавливающим изоморфизм Gr/?^Z.
Если R = Л = Z, то Af I—* rank Л4 = dimQ (/И Ci?jzQ) = Z является
универсальной эйлеровой характеристикой. (В силу 5.1.1
GrzZ = GrZ.)
Если /И.: О->-уИ0->Л11->¦... ->Af„->-0 — комплекс
Л-модулей, которые конечно порождены и проективны как ^-модули,
то мы назовем
E.1.2) Х(М.) = J] (-1)'[Я] е Gr« (Л)
1 = 0
эйлеровой характеристикой этого комплекса. Та же
терминология используется для йгЛ. Если подмодули конечно
порожденных Л-модулей также являются конечно порожденными, то
для групп гомологии Hi (M.) комплекса М. справедливо
равенство
E.1.3) x(H.(M.)): = %(M.)f=GrA.
Если 0->Л1' ->М. ->М" ->0 — точная последовательность
комплексов, то
E.1.4) X(Ai.) = x(M.') + x(M.')
в случае, когда все характеристики определены. Если работать
с Gtr (А), то нужно использовать наследственные кольца (т. е.
такие, для которых подмодули проективных модулей
проективны, см. по этому поводу [45, с. 14]). Примером могут
служить дедскиндовы кольца R, т. е. области целостности, в
которых Есе идеалы проективны (см. [158, с. 212] по поводу
различных характеризаций дедекиндовых колец).
Рассмотрим теперь частные случаи, имеющие отношение
к топологии. Пусть (Y, А) — пара топологических пространств,
для которых группы (сингулярных) относительных гомологии
с целыми коэффициентами Я,-(К, Л) конечно порождены и
обращаются в нуль при больших i.
Тогда, допуская вольность речи, мы определим эйлерову
характеристику пары (Y, Л) как число
E.1.5) x(Y, Л)= _? (-1У rank H,(Y, Л)
с обычным соглашением %(Y) = i(Y,(J) ). Ее стандартные
свойства перечислены в следующем предложении (см. [75, с. 105]).
3 Заказ 315'

Об Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Предложение 5.1.6. (i) Если два из чисел %(Y), %(A),
%(Y, А) определены, то определено и третье, причем
X(Y) = X(A) + x(Y, A).
(п) Если (Y; Ylt Y2) —допустимая триада и если из чисел
X(^iU^a). X(^i(l ^2), xlY^ + xiY.i) два определены, то
определено и третье, причем
X(Yl) + x(y-2) = X(Yl\jYi) + yAYl[]Y2).
(ili) Если (Y, А) — относительный CW-комплекс, в котором
Y\A содержит много клеток, то число %(Y, А) определено и
Х(У, Д)= ^ (-1У пг,
»>о
где Hi —число i-мерных клеток в Y\A.
Для любого поля F можно рассмотреть выражение
E.1.7) x(Y, A; F)=? (~ 1У dim,Я, (К, A; F),
если входящие в его определение объекты определены.
Предложение 5.1.6 остается справедливым и при таком
понимании эйлеровой характеристики.
Предложение 5.1.8. (i) Если F имеет нулевую
характеристику, то x(Y, А) определена тогда и только тогда, когда
определена x(Y, A; F) и x(Y, A) = x(Y, A; F).
(ii) Если x(Y> А) определена и (Y, А) имеет конечно
порожденные целочисленные гомологии, то для любого поля F
определена %(У, A; F) и она совпадает с %(К, А).
Доказательство является простым применением формулы
универсальных коэффициентов (см. [75, с. 156]).
Можно также определить эйлерову характеристику, используя
различные варианты когомологий (сингулярные, Александера —
Спеньера, с коэффициентами в пучках и т. д.), и использовать
формулы универсальных коэффициентов, чтобы установить, что
гомологии и когомологий дают одинаковый результат при
надлежащих условиях конечности.
Предложение 5.1.9. Пусть р: Е -*¦ В — расслоение в смысле
Серра с типичным слоем F. Если %E) и x(F) определены и
локальная система коэффициентов (Я* (p^b; Q)) тривиальна,
то определена х (Е) и
Х{Е) = А{Е)Х(В).

5.2. Евклидовы окрестностные ретракты 67
Доказательство получается, если использовать
спектральную последовательность Серра, применить формулу Кюннета
к члену ?2 и использовать E.1.3) (см. [152, с. 481]).
Нам фактически понадобится более общий результат, в
котором расслоение заменяется на относительное расслоение,
а система коэффициентов может быть нетривиальной. Это будет
сделано в следующем разделе, где будет описан подходящий
класс пространств с эйлеровой характеристикой (евклидовы
окрестностные ретракты). Похоже, что действительно общей и
удовлетворительной теории эйлеровой характеристики (и ее
обобщения — числа Лефшеца) не существует.
5.2. Евклидовы окрестностные ретракты
Мы вводим удобный класс G-множеств Х, такой, что для
множеств неподвижных точек и других связанных с ними
пространств определены эйлеровы характеристики.
Пусть G —компактная группа Ли. Определим пространство
класса G-ENR (ENR — сокращение от Euclidean Neighbourhood
Retract — евклидов окрестностный ретракт) как G-простран-
ство X, которое G-гомеоморфно G-ретракту некоторого
открытого G-подмножества в G-модуле V.
Предложение 5.2.1. Если X принадлежит классу G-ENR и
i: X-+W есть G-вложение в G-модуль W, то i(X) является
G-ретрактом некоторой своей окрестности.
Доказательство проводится, как и в [75, с. 81],
с использованием теоремы продолжения (см. [37, с. 36] или
[124, с. 19]).
Предложение 5.2.2. Гладкое G-многообразие с конечным
числом типов орбит принадлежит классу G-ENR.
Доказательство. Вложим наше многообразие гладким
образом в некоторый G-модуль (см. [165J), где оно будет рет-
рактом G-инвариантной окрестности.
Если у нас нет никакого действия группы G, то будем
говорить о классе ENR. Следующий фундаментальный
результат Борсука показывает, что принадлежность классу ENR
является локальным свойством. Напомним, что пространство X
называется локально стягиваемым, если любая окрестность V
любой точки х е X содержит такую окрестность W э х,
которая стягивается к х внутри V. Легко видеть, что
пространство класса ENR является локально стягиваемым
пространством (см. [75, с. 81]). Пространство называется локально п-
связным, если любая окрестность V любой точки шА' содер-
3*

68 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
жит такую окрестность W э х, что любое отображение
/-мерной сферы S* в W, j^n, стягивается внутри V в точку х.
Предложение 5.2.3. Если X cz R" локально (п—\)-связно и
локально компактно, то X принадлежит классу ENR.
Доказательство см. в [75, IV, 8.12 и 8.13, упр. 4].
Замечание 5.2.4. Основная теорема
теоретико-множественной топологии утверждает, что сепарабельное метрическое
пространство (определенной через покрытия) размерности ^ п может
быть вложено в R2n+1 (см. [98] по поводу понятия
размерности и этой теоремы). Следовательно, пространство
принадлежит классу ENR, если и только если оно локально компактно,
допускает введение сепарабельной метрики, конечномерно и
локально стягиваемо. Используя локальную теорему Гуревича
(см. [131]), можно выразить условие локальной стягиваемости
в гомологических терминах.
Предложение 5.2.5. Пусть X принадлежит классу G-ENR.
Тогда пространство орбит X/G принадлежит классу ENR.
Доказательство. Пусть X -Ь U -^ X — представление X
в виде окрестностного ,гетракта (т. е. U — открытое G-подмно-
жество некоторого G-модуля, ri = \d). Мы переходим к
пространствам орбит. Ретракт пространства класса ENR
принадлежит классу ENR. Следовательно, мы должны доказать наше
предложение для гладких G-многообразий Х (а затем
применить к многообразию U). Пусть р: X -> X/G — отображение
факторизации. Если xeVc X/G и V открыто, то p-lV
содержит G-инвариантную трубчатую окрестность W орбиты р~хх.
Следовательно, pW стягиваемо. Поэтому X/G локально
стягиваемо. Кроме того, X/G — локально компактное ([37, с. 38]),
отделимое метрическое ([124, 1.1.12]) пространство, и dimX/Gs^
sgdimX (надо использовать [98]). Теперь применим 5.2.3
и 5.2.4.
Используя 5.2.3 и следующий результат Яворовского,
убеждаемся, что свойство быть пространством класса G-ENR—
тоже локальное свойство.
Предложение 5.2.6. Пусть X —сепарабельное метрическое
конечномерное G-пространство. Тогда X принадлежит классу
G-ENR в том и только том случае, когда оно локально
компактно, имеет конечное число типов орбит и для любой
стационарной подгруппы Н <G множество неподвижных точек Хн
принадлежит классу ENR.
Доказательство. См. [102].

5.2. Евклидовы окрестностные ретракты
69
Следствие 5.2.7. Если X принадлежит классу G-ENR,
то Х{Н) принадлежит этому классу для любой Н <G.
Предложение 5.2.8. Если X —компактное пространство
класса ENR, то определена эйлерова характеристика % (X).
Доказательство. X —ретракт пространства К,
который можно задать как конечное объединение кубов в
евклидовом пространстве. Следовательно, Я,Х — прямое слагаемое
в HtK, которое конечно порождено и равно нулю при больших i.
Предложение 5.2.9. Пусть Е -> В — расслоение с типичным
слоем F. Если F и В принадлежат классу ENR, то и Е
принадлежит этому классу.
Доказательство. Применить 5.2.3.
Перейдем теперь к обобщению 5.1.9.
Предложение 5.2.10. Пусть F: (X, A)^-(Y, В) —
непрерывное отображение компактных пространств класса ENR,
причем F(X\A) = Y\B. Предположим, что индуцированное
отображение /: Х\А -*- Y\B является расслоением с типичным
слоем Z —компактом класса ENR. Тогда
Х(Х, A) = k(Z)X(Y, В).
Существует эйлерова характеристика %С(Х\А) множества
Х\А, вычисленная с помощью когомологий Александера —
Спеньера с компактными носителями и о коэффициентами
в некотором поле, и %(Х, А) = %с(Х\А).
Доказательство. Поскольку целочисленные группы
гомологии конечно порождены, мы можем вычислить эйлерову
характеристику, используя любое поле коэффициентов и любую
теорию гомологии или когомологий. Мы будем использовать
когомологий по модулю 2. Поскольку пространства класса ENR
локально стягиваемы в силу 5.2.3, мы можем использовать
сингулярные когомологий или когомологий Александера —
Спеньера ([152, 6.9.6]). Используя когомологий Александера —
Спеньера с компактными носителями, получаем в силу
[152, 6.6.11] равенство
Н(С(Х, A) = HUX\A)
и аналогичное равенство для (Y, В). Расслоение /: Х\Л->
-yY\B дает спектральную последовательность Лерэ с членом ?2
вида
ЕР1'" = Н?(У\В, Hqc{Z)),
где в роли коэффициентов выступает группа Hqc(Z),
рассматриваемая как локальная система коэффициентов на Y\B

70 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
(см. [25, XVI.4.3], [27]). Если эта локальная система
коэффициентов тривиальна, наше утверждение следует из 5.1.9.
Если же она нетривиальна, то следующий аргумент ad hoc
Беккера и Готлиба [19] сводит рассмотрение к случаю
тривиальной системы: поскольку Нчс (Z) — конечная группа (мы
выбрали коэффициенты в F2!), переход к конечному накрытию
пространства Y\B делает систему коэффициентов
тривиальной. Соотношение % (?/') = N ¦ % (U) для конечного накрытия
U' -*-U кратности N (которое будет доказано в 5.3) и
доказываемый результат для тривиальных систем влекут за собой
искомое равенство Xc(X\A) = %(Z)%(Y\B).
Задача 5.2.11. Дать удовлетворительное общее (не только
для класса ENR) доказательство предложения 5.2.10 и его
обобщения на числа Лефшеца (ср. [77]).
Предложение 5.2.12. Конечные G-CW-комплексы
принадлежат классу G-ENR.
Доказательство. Достаточно воспользоваться 5.2.3,
5.2.6 (см. [100] по поводу понятия G-CW-комплекса).
5.3. Эквивариантная эйлерова характеристика
Если G — компактная группа Ли, а X — некоторое G-npo-
странство, то действие G на X индуцирует действие G на
группах когомологий Н' (X, М), где М есть /^-модуль. Если
G0 —связная компонента единицы в G, то G0 тривиально
действует на Н'(Х, М), так что Н'(Х,М) становится R[G/G0]-
модулем. Если модуль Н*(Х, М)— 0#'(Х, М) R-конечен,
т. е. группа Н'(Х, М) обращается в нуль для достаточно
больших i и конечно порождена как /?-модуль, то мы
определим эквивариантную эйлерову характеристику G-простран-
ства X как элемент
E.3.1) хо (X, /?)=.?(-1)'' Я'' (X, R)e=GiR [G/G0].
Если R — C — поле комплексных чисел, то %Q(X, C)e#(G),
где R (G) означает кольцо комплексных представлений G.
Аналогичные обозначения будут использоваться для пар G-npo-
странств и гомологии. Фактически для общих пространств
необходимо указывать используемую теорию когомологий. Для
простоты мы примем
Предположение 5.3.2. Пространство X принадлежит классу
ENR, «Когомологий» означают когомологий Александера -—

6.3. Эквивариантная эйлерова характеристика 7\_
Спеньера с компактными носителями (которые в этом случае
изоморфны когомологиям с коэффициентами в пучках или пред-
пучках с компактными носителями; см. [152, гл. 6] или
[35, гл. III]).
Наша задача в этом пункте — вычисление величин E.3.1)
в случае, когда R — поле рациональных чисел. Вычисление
проводится в терминах неэквивариантных эйлеровых
характеристик. Читатель может убедиться, что большинство
следующих ниже результатов очевидно в случае, когда конечная
группа действует симплициально на конечном комплексе.
В этом случае вычисления можно провести на уровне цепей.
Предложение 5.3.3. Пусть G есть р-группа, свободно
действующая на X. Предположим, что модуль Н* (X, Fp) Fp-
конечен. Тогда определена %(X/G, Fp), и
%(Х, Fp) = jG|5c(X/G, Fp).
(Напомним предположение 5.3.2 и что % определяется в
терминах когомологий с компактными носителями).
Доказательство. Если Н <]G, то G/H свободно
действует на пространстве Х/Н, принадлежащем классу G/H-ENR
E.2.5, 5.2.6). Значит, используя индукцию по порядку группы,
достаточно доказать предложение для G = Z/(p). Мы
используем следующий факт:
П'(Х, Fp)g*H'(XtG, Л),
где А — локальная система коэффициентов (локально
постоянный пучок, см. [152, с. 360]) со стеблями Я°(л-1(х), Fp)^
^FP[G], а л: X-^-X/G — отображение факторизации. В нашем
случае действие группы G на Н1 (X, Fp) соответствует
действию G на систему коэффициентов, которая является
системой Fp[GJ-модулей (проверку этого см. в [83, III. 1]). Поскольку
FpfGJ-модуль всегда содержит нетривиальные G-неподвижные
подмодули, если G есть /з-группа (например, в силу разд. 1.3),
мы можем построить такую фильтрацию Л = Л] => Л2 :э ...
...гэЛл = 0 системы коэффициентов, что Л,/Л,+1—постоянная
система.
Спектральная последовательность Картана, связанная
с покрытием (см. [35, с. 154]), показывает, что H'(X/G, Fp)
конечномерны. Из аддитивности эйлеровой характеристики
X(X/G, A,) = %(X/G, Ai+1) + %(X/G, At/Ai+1)
следует искомый результат.
Предложение 5.3.4. Пусть конечная группа G действует
свободно на X. Предположим, что группа Н* (X, Ъ) Ъ-ко-

72 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
нечна. Тогда определена %(X/G, Q), и
Ха(Х, Q) = X(X/G, Q) Q [GJ е= Я (G, Q).
(Здесь Q[G] означает регулярное представление G над Q.)
Доказательство. Два элемента из R(G, Q) равны, если
равны их характеры. Значит, утверждение этого предложения
равносильно равенствам
E.3.5) Х(*) = |0|-Х(ВД,
E.3.6) XoW(g) = 0 для цф\.
(Заметим, что %0 (X) (g) — это число Лефшеца
Hg, X)=Z(-iytT(g, H'(X, Q))
для действия g; в разумных обстоятельствах число Лефшеца
для отображения без неподвижных точек должно быть равно
нулю.)
Докажем сначала E.3.5) и E.3.6) для циклических групп.
Поскольку Н* (X, Z) конечно порождена, формула
универсальных коэффициентов для когомологий с компактными
носителями ([152, с. 338]) показывает, что
E.3.7) Х(Х, Q) = X(X, FP)-
Спектральная последовательность Картана для покрытия
показывает, что Н* (X/G, Z) Z-конечна. Следовательно, из 5.3.3 и
E.3.7) мы получаем, используя индукцию по |G|, что E.3.5)
верно для циклических групп G.
Принцип переноса для конечных групп влечет за собой
изоморфизм (см. [37, III.7.2])
E.3.8) Hl(X, Qfg*Hl(X/G, Q).
Поскольку для любого характера if группы G справедливо
равенство dimi|5G = |G|_1 ?ip(g), мы получаем из E.3.5) и E.3.8)
E.3.9) HxaWfeJ-O.
Используя это равенство, мы доказываем E.3.6) для
циклических групп индукцией по порядку группы. Начнем с равенства
Н'(Х, C) = H'(X/G, A),
где А — снова локальная система коэффициентов с типичным
стеблем C[G]. Пусть g — образующая группы G. Разложим
систему коэффициентов А на неприводимые С[0]-модули
A = ®Aj, 0</</n = |G|,

5.3. Эквивариантная эйлерова характеристика
73
так что g действует на А,- как умножение на р' = exp Bnij/m).
Равенства
tr (g", № (X, С)) = ^ tr (g\ W (X/G, A,)) =
= 2 tjk dim Я' (X/G, Л,)
i
дают для числа Лефшеца формулу
Но L(g*, X)gZ получается из L(g, X) для (&, т)=1
применением автоморфизма Галуа поля Q (?) над Q. Поэтому
L(gk, X) = L(g, X) для (&, т)=1. Из 5.3.9 мы получаем
E.3.10) 0= 2 W. *) + Z L(S"' Х)-
(k, m) = l (ft, m)^l
По предположению индукции вторая сумма в E.3.10) равна
нулю, и, поскольку все слагаемые в первой сумме одинаковы,
мы видим, что L(g, X) = 0. Это доказывает E.3.6) в общем
случае. Снова используя E.3.8) и E.3.9), мы получаем E.3.5)
для общих групп G. Мы фактически доказали в 5.3.4 частный
случай теоремы Лефшеца о неподвижных точках.
Предложение 5.3.11. Пусть X —компактное пространство
класса G-ENR, где G — циклическая группа с образующей g.
Тогда число Лефшеца
L(g, X) = 2] (- I)' tr (g, H'(X, Q))
совпадает с эйлеровой характеристикой %{Xg).
Доказательство. Пусть X1 = Xz, X2, ..., X,.
—разбиение X на пучки орбит одного типа. Тогда Н* (Xt, Z) (когомо-
логии с компактными носителями) Z-конечны и L (g, Xf) = 0
для />1 в силу 5.3.4. Значит,
L(g, X) = ZHg, X,) = L(g, Xx)
/'
и, очевидно, L(g, X1) = %(Xs).
Следствие 5.3.12. Пусть G —конечная группа, а X—
компактное пространство класса G-ENR. Тогда
X(X/G) = IG\-1 ? Х(Х').
S.ea

74 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Доказательство. Из Я' (X/G) ?ё Н1 (Х)с и
dimtf'W^IGj-1 Ц trCfir, H'(X))
gee
искомый результат выводится с помощью 5.3.11.
Теперь мы можем вычислить эквивариантную эйлерову
характеристику %о (X).
Теорема 5.3.13. Пусть О —компактная группа Ли, а X —
компакт класса G-ENR. Тогда
%o(X) = ^%(X(IIj/G)xa(G/H),
Ш)
где сумма берется по тем типам стационарных подгрупп (Н)
точек пространства X, для которых W (Н) — конечная группа.
Доказательство. В силу аддитивности эйлеровой
характеристики
Хо(Х) = 2хо (*(„,).
(Я)
Таким образом, нам нужно показать, что %<з (Л'сн)) = 0. если
W (Н) — бесконечная группа, и
E.3.14) L (g, Х{Н)) = х (XlH)/G) L (g, G/H)
в противном случае (g e G). Пусть С — замкнутая подгруппа
в G, порожденная g. Поскольку L (g, У) зависит только от
образа g в С/С0 (С0 — связная компонента единицы в С), мы
можем найти такой элемент h eC конечного порядка, что
L (g> Y) = L (h, Y) для всех У. Фиксируем такой элемент h.
Поскольку X —компакт класса G-ENR, существуют такие
компакты Y zdZ класса G-ENR в X, что Y\Z = X{H).
Доказательство предложения 5.3.11 дает
L(h, Х(Н)) = хМя)).
Используя расслоение
G/H -v Х[И) ->¦ X(H)/G
и 5.2.10, получаем
х№)) = х(Х<я>/С)х(@/Я)Л).
Опять в силу 5.3.11 %((G/H)ll) = L(g, G/H), так что E.3.14)
справедливо в общем случае. Но %((G/H)h) = 0, если W (Н)
бесконечна, поскольку W (Н) свободно действует на {G/H)h.

5.4. Универсальная эйлерова характеристика
75
Замечание 5.3.15. Если G конечна, то X.a(G/#) является
геометрическим представлением, соответствующим G-множеству
G/H. В общем случае yv0 (G/H) <= R (G/G0, Q), где G0 —связная
компонента единицы в G. Хотелось бы показать, что это в
действительности геометрическое представление.
Задача 5.3.16. При каких наиболее общих предположениях
о пространствах можно гарантировать справедливость формулы
разложения из 5.3.13? Аналогичная формула имеет место для
эквивариантного числа Лефшеца G-отображения/: Х-+Х
компактов класса G-ENR. Можно также обобщить это на более
широкий класс пространств.
5.4. Универсальная эйлерова характеристика
для G-пространств
Классическое вычисление эйлеровой характеристики с
помощью клеточного разбиения показывает, что подходящий
набор аксиом (как, например, 5.1.6(i), (ii)) однозначно
определяет эйлерову характеристику. Этот подход реализован в [166].
Мы приведем аналогичные рассуждения для G-пространств, не
заботясь о минимальности набора аксиом.
Эйлеровой характеристикой для G-CW-комплексов мы
назовем абелеву группу А и отображение Ь, которое каждому
конечному G-ClF-комплексу Х ставит в соответствие элемент
Ь(Х) s А так, что
(i) Если X и Y G-гомотопически эквивалентны, то Ь (X) =
- Ь (Y).
(И) Если X и Y — подкомплексы в Z, то
b(X) + b(Y) = b(X[}Y) + b(X[\Y).
Если задана эйлерова характеристика в этом смысле, то
справедливо
Предложение 5.4.1. Пусть X —конечный G-CW-комплекс.
Тогда
b(X) = ^nHb(G/H),
(Я)
где
"я =2 (~1)пп(Н, О
(п(Н, i) —число i-клеток типа (Н), а сумма берется по
классам сопряженности подгрупп в G).
Доказательство проводится индукцией по числу
клеток и размерности. Пусть Z = X \j (G/Н х еп) получается из X

76 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
приклеиванием «-клетки типа (Я). Пусть У — G/HxD" A/2) —
замкнутая клетка радиуса 1/2 в G/Нхе". Если выбросить У
из Z, то оставшееся пространство G-гомотопически
эквивалентно X. Поэтому
b(Z) = b (X) + Ъ (G/H xDn)-b (G/H х S"-1).
Можно показать по индукции, что
b(G/HxSn) = [l+(-l)n-1}b(G/H);
действительно, если D+ и D- — верхняя и нижняя полусферы
в 5" соответственно, то
Ъ (G/H xS") = b (G/H xD+) + b (G/H xD-)-b (G/H X S"-1) =
=2b (G/H) - A-Н-1П b (G/H) = [l+(-l)«n] b (G/H).
Соединяя все это вместе, получаем
b(Z) = b(X) + (-l)»b(G/H)
— требуемый шаг индукции.
Эйлерова характеристика (U (G), и) для конечных G-CW-kom-
плексов называется универсальной, если каждая эйлерова
характеристика (А, Ь), определенная выше, получается из
(U(G), и) композицией с однозначно определенным
гомоморфизмом U(G)-+A. Как обычно, для универсального объекта
справедлива теорема о единственности с точностью до
изоморфизма.
Из 5.4.1 следует существование:
E.4.2) U (G) — свободная абелева группа с образующими
[G/H], (ff)eC(G);
и(Х) = %п{Н)[0/Н].
(Я)
Вместо и (X) мы будем также писать [X] в соответствии с
обозначением [G/H] для образующих. Наша цель теперь
—получить другое описание U (G), не связанное с CW-комплексами
и показывающее, что Ь(Х) в 5.4.1 не зависит от выбора
клеточного разбиения.
Предложение 5.4.3. Равенство [X] = [У] в U (G) справедливо,
если и только если для всех Я<б
X{X"/N(H)) = X(Y"/N(H)).
Доказательство. Предположим, что [X| = [Y].
Рассмотрим отображение
bH: Z^»i(Z"/N(H))
из конечных G-CW-комплексов в целые числа.

5.4. Универсальная эйлерова характеристика 77
Это отображение удовлетворяет условиям (i) и (И) из
определения эйлеровой характеристики для конечных
G-CW-комплексов. Из свойства универсальности U (G) следует, что
bH(X) = bH(Y). Чтобы показать обратное, нам нужно
проверить, что семейство отображений bH: U(G)-*-Z задает инъек-
тивное отображение U (G) в \\Z. Пусть 0^= дг= У, аИ \G/H] e
(Я)
еб'(С). Выберем Я максимальной среди тех подгрупп, для
которых аИ Ф 0. Тогда
Ьн (х) = ан% ((G/H)"/N (Я)) = ан ф 0.
Дадим теперь другое определение U (G).
Определение-предложение 5.4.4. На множестве компактов
класса G-ENR введем следующее отношение эквивалентности:
X ~ У с=>для всех Я <G справедливо равенство %(XH/N (Я)) =
= %(Y"/N (Я)). Пусть U (G) — соответствующее множество
классов эквивалентности и [X]e(/(G) означает класс
комплекса X. Дизъюнктное объединение индуцирует на 11(G)
структуру абелевой группы. Эта группа свободно порождается
элементами [G/H], (H)<=C(G). Имеем
E.4.5) [X] = ^Xc(X(H)/G)[G/H].
(Н)
Доказательство. Мы должны показать существование
обратного элемента. Пусть /( — компакт класса ENR с
тривиальным действием G и %(К) = —1. Тогда [X]-f [К хX] = 0
в U(G), потому что х(Хн) + х((КхХ)н) = 0 для всех Я<С.
Как и в доказательстве 5.4.3, можно проверить, что [G/H]
линейно независимы. Мы покажем, что [G/H] порождают U(G),
доказав соотношение E.4.5). В силу аддитивности эйлеровой
характеристики
х (**/#(*)) = 2 Хс№>/о)-
(Н)
Далее, Х(Н) ->- X(H)/G является расслоением со слоем G/H и
как G-пространство Х(И) изоморфно G/H у. N {Н)Х{Н) (см. [37,
с. 88]). Значит, X^H)/N (K)-+ X{H)/G является расслоением со
слоем (G/H)K/M(K).
Из 5.1.9 мы получаем
Ъ (X*mlN (К)) = X {(G/Hf/N (К)) ¦ Ъ (X{H)/G).
Это показывает, что обе части 5.4.5 задают один и тот же
элемент в U (G).

78 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Определение-предложение 5.4.6. Декартово произведение
представителей определяет умножение в U (G). Сложение и
умножение превращают V (G) в коммутативное кольцо с
единицей. Это кольцо называется эйлеровым кольцом компактной
группы Ли G.
Доказательство. Мы должны проверить лишь
корректность определения умножения, т. е. показать, что числа
X ((X х Y)K/N (К)) могут быть вычислены, исходя из-/ (X"/N(H)),
%(Y"/N (Я)), или, что то же самое, исходя из %,. (Xfl/N (Н)),
У.с (У'н/N (Я)). Начнем с равенства
X {(X х Yf/N (К)) = 2> {(X х Y)fH)/N (К)).
(Я)
Отображение
(XxY)?H)/N(K)-+Y(H)/G
является расслоением со слоем
(XKx(G/H)*)/N(K).
Теперь используем тот факт, что (G/H)K состоит из конечного
числа N (/С)-орбит ([37, с. 87]), скажем,
(G///)« = 2>(/t)/tf,
как N (/С)-пространство. Используя эту информацию и 5.2.10,
получаем
Ъ ((X х Y)?H)/N (К)) = 2 ъ (Y(H)/G) х (XK/U,).
i
Наконец, используя равенство
X (XW = 2 Хс (X{H]/G) х ((G/H)K/U),
(Я)
мы видим, что х ((X х Y)K/N (К)) может быть вычислено через
y.c(XH/N(H)) и \AYhIN{H)).
В следующем разделе мы покажем, что для конечной
группы G кольцо U (G) совпадает с бернсайдовским кольцом. Для
бесконечной группы G кольцо U (G) содержит нильпотентные
элементы. Чтобы задать структуру умножения, нужно
вычислить произведение [G/H] [G/K].
Предложение 5.4.7. Предположим, что группа W (Н)
бесконечна. Тогда [G/H] g(/(C)- нильпотентный элемент.
Доказательство. Из свойства обрыва убывающих
цепочек подгрупп в G следует, что во всех пространствах (G/H)k,
k^zl, встречается лишь конечное число типов стационарных

5.5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли 79
подгрупп. Если
[G/Hf^^aK[G/K]
(К)
с ак Ф 0 и (К) — максимальный элемент с этим свойством, то
[G/#]*+1 не содержит [G/K] с ненулевым коэффициентом: в
разложении [G/H]k?l член [G/K] может встретиться только
в ак \G/H] ¦ [G/K]. Но ((G/Я) х (G//C))* = (G/tf)* x W (К), и,
значит, ic (((G/H) х (G/K))K/N (К))=х {(GIH)K) = 0, потому что W (Н)
свободно действует на (G/H)K, a %(W (//)) = 0, если W (Н)
бесконечна (например, потому что на W (Н) свободно действует
окружность).
5.5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Пусть G — компактная группа Ли. На множестве
компактных пространств класса G-ENR рассмотрим такое отношение
эквивалентности: Х^Кс^>для всех Н<CG эйлеровы
характеристики %(ХН) и %(УН) совпадают. Пусть A (G) —
соответствующее множество классов эквивалентности и [X] е A (G) —
класс эквивалентности множества X. Дизъюнктное
объединение и декартово произведение определяют на A (G) операции
сложения и умножения соответственно. Легко видеть, что
относительно этих операций A (G) является коммутативным
кольцом с единицей. Мы назовем A (G) бернсайдовским кольцом
группы G.
Чуть позже мы покажем, что это определение согласуется
с данным в гл. 1 (для конечных групп G).
Пусть Ф (G) — множество классов сопряженности подгрупп Н,
для которых W (Я) — конечная группа.
Предложение 5.5.1. Аддитивная группа кольца A(G)
коммутативна и свободно порождается элементами [G/H], (H) е
е Ф (G). Для любого компактного пространства X класса
G-ENR справедливо равенство
[Х]= ? t(X{H)/G)[G/H).
Отображение X t—¦ у {Хн) задает кольцевой гомоморфизм фн:
A(G)-+Z.
Доказательство (ср. 5.4.4). Последнее утверждение
очевидно по определению. Элементы [G/H], (Я)еФ((?),
линейно независимы: если х= ? aH[GlH}^ A (G), то выбе-
(ЯК=Ф«?)

80 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
рем максимальную подгруппу Н, для которой анФ0; тогда
Фя (х) = ан1 ((G/H)") = aH-\W(H)\=? 0,
и потому хфО.
Пусть теперь задано компактное пространство X класса
G-ENR. Тогда
х (хк) = ? у. №>) = Е х((с/я)*) х (*(Н)/С).
(Я) (Я)
Слагаемые с бесконечной группой W (Н) обращаются в нуль,
поскольку W (Я) свободно действует на (G/H)K, так что
%((G/H)K) = 0. Это вычисление показывает, что [X] и
У] х (X(tf)/G) [G/Я] имеют одинаковые образы при
отображении фЛ-, (/()еФF). Значит, они совпадают как элементы из
A(G).
Отображение
v. U(G)-»A(G): \X]~[X]
— корректно определенный кольцевой гомоморфизм. В силу
5.5.1 и 5.4.4 он сюръективен и биективен для конечных G.
В частности, справедливо
Предложение 5.5.2. Для конечной группы G кольца U (G),
A (G) и бернсайдовское кольцо конечных G-множеств канонически
изоморфны.
Предложение 5.5.3. Ядро отображения v. II (G) -v A (G)
совпадает с нильрадикалом {т. е. множеством нильпотентных
элементов) U (G).
Доказательство. Поскольку образы гомоморфизмов
срн- A(G)-+Z определяют элементы A (G), кольцо A(G) не
содержит нильпотентных элементов (отличных от нуля). Теперь
остается воспользоваться 5.4.4, 5.4.7 и 5.5.1.
Замечание 5.5.4. Предыдущее предложение влечет за собой,
в частности, что U (G) и A (G) имеют одинаковый спектр
простых идеалов.
Замечание 5.5.5. В отличие от ситуации гл. 1 при нашем
новом определении A (G) все «отрицательные» элементы также
имеют непосредственный геометрический смысл.
Дадим теперь несколько приложений геометрического
определения кольца A (G).
Напомним, что в разд. 5.3 для каждого компакта X класса
G-ENR была определена эквиварпантная эйлерова характер»-

5.5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли 81
стика
Хо(Х)= 2 (-l)'H'(X, Q)e/?(G, Q).
Предложение 5.5.6. Отображение Х>—-у.а(Х) задает
кольцевой гомоморфизм
Ха: A(G)-+R(G, Q).
Доказательство. Чтобы показать корректность
определения %о, мы должны проверить, что характер %0 (X) может
быть выражен через эйлеровы характеристики множеств
неподвижных точек. Но это как раз составляет содержание
предложения 5.3.11, и это же предложение показывает, что %а
сохраняет сложение и умножение.
Замечание 5.5.7. Гомоморфизм Ха обобщает геометрическое
представление, связанное с конечным G-множеством.
Мы упоминали в разд. 1.5 построение обратимых элементов
в A (G) с помощью представлений. Теперь мы уточним это
замечание.
Гомоморфизмы сря: /4(G)->-Z определяют в совокупности
ипъективный (по определению A (G)) кольцевой гомоморфизм
E.5.8) <р: A(G)^Y\Z,
(Я)
где произведение берется по множеству С (G) классов
сопряженности замкнутых подгрупп в G. Мы используем ф для
отождествления элементов A (G) с функциями из С (G) в Z
(см. разд. 5.6 по поводу развития этого подхода).
Предложение 5.5.9. Пусть V — вещественное представление
группы G. Тогда и(V): (Н)>-^>-(—l)dimvH— обратимый элемент
в A(G). Соответствие V >—*u(V) задает отображение
и: R(G, R)-+A(G)*.
(Здесь R(G, R) — кольцо вещественных представлений группы G,
обозначаемое также через RO(G).)
Доказательство. Пусть 5(V) — единичная сфера в V.
Тогда
7(S(V)") = \-(-l)d[mvH.
Значит, 1 — [S (V)\ <= A (G) представляет функцию и.

82 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Предложение 5.5.10. Таблица умножения для элементов
[G/H\ е= A (G) имеет неотрицательные коэффициенты, т. е. если
{GlH][GlK\=^nL\GlL},
а-)
то nL ^s 0.
Доказательство. Имеем
/it = X(((G/tf)x(G//0)(/.,/C)
и
((G/H) х (G//C))(i)/G ^ ((G/H) х (GlK)),JN (L) c= (G/H xG/K)L/N (L).
Но, согласно [37, II.5.7], пространство (G/H)L состоит из
конечного числа W (L)-op6nT. Поскольку W (L) конечна,
множество (G/HxG/K){i.)/G конечно и его эйлерова характеристика
неотрицательна.
5.6. Пространство подгрупп
Напомним некоторые понятия из теоретико-множественной
топологии. Пусть Е — метрическое пространство с
ограниченной метрикой d и F (Е) — множество непустых замкнутых
подмножеств в Е. На F'(E) определена хаусдорфова метрика h:
h(A, В) = max {r {А, В), г (В, А)),
где
г {A, fi) = sup(d(x, Я) |*е= Л).
Если Е полно, то F (Е) полно; если Е компактно, то компактно
и F(E).
Сходимость последовательности {XJ к пределу X может
быть описана так: для любого е>0 существует такой
номер п0, что для всех п > п0
(a) для любого х е= Хп существует точка i/eXc d(x, y)<. s;
(b) для любого i/ёХ существует точка хе= Хп с d(х, у)<Се.
Если обозначить через Yп замыкание множества (J Х„+р,
р>о
то Х= П Yn.
Мы хотим использовать эту метрику на множестве S(G)
всех замкнутых подгрупп в компактной группе Ли G.
Предложение 5.6.1. (i) S (G) — замкнутое (и, следовательно,
компактное) подмножество в F(G).
(ii) Действие G в S (G): (g, H)*—*gHg~1 непрерывно. Фак-
торпространство С (G) — счетное и, значит, вполне разрывное
компактное хаусдорфово пространство.
(iii) Ф (G) с: С (G) — замкнутое подмножество.

5.6. Пространство подгрупп
83
Доказательство, (i) Начнем с двусторонне
инвариантной метрики d на G. Пусть Х = МтЯ,-, Я,-е 5(G). Для
данных х, i/eX и 8>0 выберем щ так, чтобы для п>п0
существовали такие х„, у„ е Я„, что d(x, хя)<Се/2, d(y, yn) <е/2.
Тогда dixy1, хпуп1)<.г. Поэтому xf' е X.
(п) Пусть \\mgi~g в G и ПтЯ; = Я в S(G). Из
неравенства треугольника и двусторонней инвариантности метрики
следует оценка d(gnx„gn', gxgA)^2d(g, gn) + d(x, xn).
Используя эту оценку, мы видим, что множество gHg г
удовлетворяет условиям (а) и (Ь) для последовательности gnHng'n ¦ Счет-
ность С (G) доказана в [124, 1.7.27].
(iii) Покажем, что множество 50(G) = {Я | [ W (Я) j < ccj
замкнуто в 5(G). Пусть Я = ПтЯ,-, Я( е 5 (G). По теореме
Монтгомери и Циппина (см. [37, с. 87J) существует такое
е>0, что всякая подгруппа в е-окрестности Я сопряжена
с подгруппой в Я. Но если i(eS0 (G) и К < Я, то Я е 5„ (G);
это следует, например, из [37, II.5.7], потому что (G/H)K
состоит из конечного числа W (К)-орбит и, следовательно,
является конечным множеством, на котором свободно действует
W(H).
Покажем теперь, что сходимость в 5 (G) и сходимость
в С (G) эквивалентны в следующем смысле.
Предложение 5.6.2. Пусть (Я) = Пт(Я,) в C(G).
Существуют такой номер п0 и такие подгруппы Кп е S (G) для п ^
5эя0, что (/(„) = (Я„), Кп<Н и Нт/(Л = Я.
Доказательство. По теореме Монтгомери — Циппина
([37, II.5.6]) для каждого е>0 можно найти такое п0(е), что
для п>п0(г) существует такой элемент ип с d(u„, 1)<е,для
которого unHniin'<.H. Поэтому мы можем найти
последовательность gn e G, сходящуюся к единице и такую, что
gnH„gn' <Я для всех п, кроме конечного числа.
В свете предыдущего предложения интересно выяснить,
какие компактные группы Ли G являются пределами
последовательности собственных подгрупп.
Предложение 5.6.3. Группа G является пределом
последовательности собственных подгрупп, если и только если она не
полупроста.
Доказательство. Предположим, что G — ПтЯ„, НпфС
Пусть G0 — связная компонента единицы в Си Кп — Нп[\G0.
Тогда Mm Kn = Ga, и мы можем без ограничения общности
считать G связной. Переходя к подпоследовательности, можно
предположить, что подгруппы Я," сходятся к Я и, начиная

84 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
с некоторого номера, имеют ту же размерность, что и Я. Но
тогда Нп сопряжены с Я, и, подвергая сопряжению всю
последовательность, мы приходим к следующей ситуации: G = limL„,
Ln=:L для всех п, ЬфС Поскольку L<JL„, то L <] G и
G/L является пределом конечных подгрупп L„/L. Сошлемся
теперь на теорему Жордана (см. [169]), согласно которой
существует такое число /, что любая конечная подгруппа в G/L
имеет нормальную абелеву подгруппу индекса =ss/. Выберем
такую нормальную подгруппу Ап в L„/L для каждого п.
Пределом А„ будет тогда абелева нормальная подгруппа А в G/L
индекса sg /. Поскольку G/L связна, А должна совпадать с G/L.
Значит, Л—тор и G не полупроста.
Обратно, если G — неполупростая группа, мы можем найти
такую нормальную подгруппу L в G0, что G°/L является
нетривиальным тором (см. [97, XIII, теорема 1.3]). Из
рассмотрения алгебр Ли видно (см. [96, II, предложение 6.6]), что
группа L — характеристическая подгруппа в G0 и, следовательно,
нормальна в G. Поэтому G/L =: Р — конечное расширение тора,
где Т — тор, a Z7 — конечная группа. Если мы покажем, что Р
является пределом собственных подгрупп, то и G будет пределом
собственных подгрупп. В разд. 5.10 будет выяснена структура
конечных подгрупп в Р. В частности, мы увидим, что Р
является пределом конечных подгрупп.
Предложение 5.6.4. Если X — компакт класса G-ENR, то
отображение C(G)->-Z: (Н)>—+%(ХИ) непрерывно (Z снабжается
дискретной топологией).
Доказательство. Пусть (Я) = lim (Я (i)). В силу 5.6.2
мы можем предполагать, что H{i)<H и Я = Пт#(/). Мы
можем и будем предполагать также, что Я = G (в противном
случае мы могли бы рассматривать X как Я-пространство).
Выберем на X инвариантную метрику и положим е =
= m\nh(K, G), где (К) пробегает конечное множество типов
стационарных подгрупп, отличных от G и встречающихся в X.
Поскольку из (L)<(K) следует h(L, G)^h(K, G), мы
получаем, что h (L, G) < е влечет за собой (L) < (К) для всех типов
стационарных подгрупп в Л", исключая, быть может, (G).
Поэтому если h(H(i), G)<e, то Хн<0 = |J Х^,'1 = Х?а\!) = Ха.
5.7. Спектр простых идеалов в А (О)
Напомним кольцевые гомоморфизмы фЯ'. A(G) ->Z (см.
разд. 5.5). Если (р) cz Z — простой идеал, то
<?(Я, р):=9«'(р)с/1@)

5.7. Спектр простых идеалов в A(G)
85
— простой идеал в A (G). Мы покажем, что все простые идеалы
в A (G) получаются таким образом.
Предложение 5.7.1. Пусть заданы Н <]K<.G. Предположим,
что К/Н является расширением некоторого тора с помощью
конечной р-группы (К/Н — тор, если р = 0). Тогда q(H, p) =
= Ч(К,р).
Доказательство. Для некоторой подгруппы L мы
имеем Я<j L<\K, L/H — тор, a K/L — конечная р-группа. Пусть
М — компакт класса G-ENR. Группа K/L действует на ML
с множеством неподвижных точек Мк. Значит, «ь(Мк)==
=s%(ML)modp и %(ML) = %(MH), как легко следует из теоремы
разд. 5.3.
Теорема 5.7.2. Каждый простой идеал q в A(G) имеет вид
q(H, p) для подходящего класса (Я)еФ(С). При заданном q
существует единственный класс (К) е Ф (G) с q(K, p) = q и
q>K(G/K)^0modp, где р — характеристика факторкольца A (G)/q.
Доказательство. Мы следуем довольно точно [79].
Пусть
Т (q) = {(Я) е=Ф@I [G/H] ^q].
Тогда Т (q) непусто, поскольку (G) е Ф (G) и [G/G] = 1 ф q.
Пусть (Я) —минимальный класс в T(q). Он существует,
поскольку компактные группы Ли удовлетворяют условию обрыва
убывающих цепочек подгрупп. Мы утверждаем, что для любого
х <= A(G) справедливо соотношение вида
E.7.3) [G/H] ¦ х = Ф„ (х) [G/H] + v aK [G/K],
где сумма берется по (/()<(Я), (К)Ф(Н). Чтобы убедиться
в этом, возьмем х = [Х], посмотрим, каковы орбиты в G/HxX
и выведем из 5.5.1, что нужное соотношение имеет место
с некоторой константой с вместо (рн (х). Затем мы определим с,
применяя фн к обеим частям этого равенства. (При этом
используется тот факт, что <pH(G/H)=/=0, т. е. (W)eO(G).)
Но из E.7.3) следует, что [G/H] ¦ х = фя (х) [G/H] mod q (в
силу минимальности G/H) и, деля на [G/H] ^ q, мы
получаем х =з фя (х) mod q или q = q(H, p), где р~ характеристика
A (G)/q.
Если К — какая-нибудь подгруппа в G, для которой q =
= q (К, р) и фк (G/K) Ф 0 mod р для р = char A {G)/q, то для
класса (Я), выбранного в начале доказательства, мы имеем
Фа: (G/K) = Фя (G/K) ^ 0 mod p. В частности, (G/K)H непусто и,
аналогично, (GlH)K непусто. Это возможно, лишь если (Я) = (К)-

86 Гл. 5. Бернсайдовское Кольцо компактной группы Ли
Предложение 5.7.4. Каждый гомоморфизм /: A (G) ->- R
в область целостности R имеет вид f (х) = (рк (х) • 1 для
подходящей подгруппы К <G.
Доказательство. Ядро / — простой идеал вида q(К, р).
Поэтому f: A(G)-^A(G)/q (К, p)-^R должно быть отображением
указанного вида, так как существует изоморфизм
A @),'q (/С, p)^Z/(p).
Предложение 5.7.5. (i) Если q(K, 0) = t/(L, 0) и (К)^Ф(в),
то (с точностью до сопряжения) L <j К и K/L — тор.
(и) Для любой подгруппы L<iG существует такая
подгруппа 1(еФ (G), что L <\К и K/L — тор. Кроме того, в атом
случае (pi = qv.
Доказательство, (i) Согласно 5.7.2, из q(K, 0) = q(L, 0)
следует, что <p,r = <pi. Из t{{G/K)L) = <Pi(G/K) = <pK (G/K) =
~\W (К)\ф0 мы видим, что (G/L)L непусто и, следовательно,
(L)<(K). Выберем L<K- Пусть Т — максимальный тор в W(L)
и Р —его прообраз в N (L). В силу 5.7.1 q (P, 0) = q(L, 0).
Покажем, что (P)eCD(G); тогда, согласно 5.7.2, (Р) — (К).
Предположим, что (Р)фФ(й). В этом случае W (Р) содержит
нетривиальный максимальный тор 5. Пусть Q — его прообраз
в N(P). Мы утверждаем, что L остается нормальной в Q. Пусть
?gQ задает автоморфизм сопряжения cq на Р. Поскольку
Q/P — тор, сд гомотопен внутреннему гомоморфизму, значит
(см., например, [47, 38.1]), сд сам является внутренним
автоморфизмом и сохраняет нормальную подгруппу L. Из точной
последовательности
и равенства P/L — T мы заключаем, что Q/L — тор и,
следовательно, Т — не максимальный тор.
(и) Следует из доказательства (i) и 5.7.1. В качестве
следствия 5.6.4 и 5.7.5 мы получаем
Следствие 5.7.6. Пусть C(<D(G), 2) —кольцо всех
непрерывных (— локально постоянных в этом случае) функций. Тогда
отображение
E.7.7) <р: A(G)^C((b(G), Z),
где <р(х): (#)>—*-фя(*), корректно определено и является
инъективным кольцевым гомоморфизмом.
Возможные равенства вида q(H, p) = q{K, p) не так просто
описать. Мы покажем, что в некотором смысле 5.7.1 является
единственным источником таких равенств. Пусть задана K<G.
Если W (К) бесконечна или | W (К) | ==0medp, мы можем найти
подгруппу Р, для которой q(K, p) = q(P, р), следующим

5.7. Спектр простых идеалов в A(G)
87
образом. Либо, как в доказательстве 5.7.5, в качестве Р можно
взять прообраз в N (К) максимального тора в W (К), либо
в качестве Р выступает прообраз в N (К) силовской р-под-
группы группы W (К). Тогда (P)eO(G), но может случиться,
что \ W (Р)i | гз 0 mod p. В этом случае процедура может быть
продолжена. Либо после конечного числа шагов мы придем
к подгруппе Q, для которой | W (Q) j ^0 mod p, либо мы построим
последовательность групп
Ро = К<\Рг<\Р*<\...
с q{Pi, p) = q(Pi-i, р) и | W (Р^ | be 0 mod p для г'===1. Пусть
в этом случае Q означает замыкание в G множества (J Pt
t> i
(т. е. предел в пространстве подгрупп, — см. разд. 5.6). В силу
непрерывности (см. 5.6.4) мы по-прежнему имеем q(Q, p) =
= q(K, p). Теперь снова применима наша конструкция
расширения, если только I W (Q) | = 0modp. Рано или поздно мы
придем таким образом к подгруппе L, определяющей тот же
простой идеал и обладающей свойством ! W (L) \ ^ о mod p.
Бесконечная цепочка, описанная выше, встречается в
действительности, как показывает пример группы 0B).
Подгруппами b<D(G) в этом случае являются 0B), 50B) и группы
диэдра Dm. Имеем N (Dm) = D2m. Значит,
<7(А„, 2) = 9(?>«, 2), если п=*2'т.
Для конечных групп G ситуация проще.
Предложение 5.7.8. Предположим, что q{H, p) = q(K, p),
H<=G>(G), /СеФ(б). \W(H)\^0modp, \K/K0\^0modp,
где /(о — связная компонента единицы в К и рфО. Тогда
с точностью до сопряжения К <]Н и Н/К — конечная р-группа.
Доказательство. Выберем Р так, чтобы N (К)>Р>К
и Р/К была силовской р-подгруппой в W (К). Мы утверждаем,
что N{P)<N(K)- Пусть a^N(P) и /(" — подгруппа, которая
получается из К сопряжением с помощью а. Тогда К/(К Л Ка)<.
<СР/Ка. Значит, К/(К П К") — конечная р-группа. С другой
стороны, К, Ка и Р имеют одну и ту же связную компоненту
единицы Ко- Значит, К/(К П К'') является факторгруппой группы
К/Ко, которая имеет по предположению порядок, взаимно
простой с р. Поэтому К = КГ\К" — К" и аеЛ'(^). Но тогда
| W (P) I^Omodp, поскольку Р/К была выбрана как силовская
р-подгруппа в W (К)- Теперь из 5.7.1 и 5.7.2 следует равенство
(Р) = (//), что и доказывает наше утверждение.
В частности, если G конечна и W (Я) | E^Omod p, то
существует единственная наименьшая нормальная подгруппа Нр

88 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
в Н, для которой Н/Нр есть р-группа, и мы получаем (в этих
обозначениях)
Предложение 5.7.9. Равенство q(H, p) = q(K, р) справедливо,
если и только если (Нр) =sc (К) sg (Я).
Ниже мы увидим, что коядро отображения 5.7.7 является
периодической группой с ограниченным показателем. Сделаем
теперь несколько замечаний о топологии в Spec A (G) —
множестве простых идеалов в A (G) с топологией Зарисского.
Предложение 5.7.10. Отображение
q: <D(G)xSpecZ-> Spec .4(G),
(Я), (p)^q{H, p)
непрерывно, замкнуто и сюръективно.
Доказательство. Элемент х е С (Ф (G), Z) =: С, будучи
локально постоянной функцией, является целочисленной
линейной комбинацией идемпотентных функций. Поэтому это кольцо
цело над любым своим подкольцом. Согласно элементарному
факту из коммутативной алгебры (см. [11, с. 67, упр. 1]),
отображение
Spec<p: Spec С -+- Spec A (G)
замкнуто (и сюръектпвно в силу 5.7.2) Значит, доказываемое
предложение вытекает из следующей леммы:
Лемма 5.7.11. Пусть К —вполне разрывное компактное
пространство. Тогда
(х, (p))~{f\f(x)e=(p)}
определяет гомеоморфизм
F: XxSpecZ-*SpecC(X, Z).
Доказательство. Мы предлагаем читателю вспомнить
определение топологии на Spec (см. [33, гл. II]). Ясно, что
\f\f(x) е (р)} — простой идеал в С(Х, Z) для любых х и (р),
так что отображение F определено. Чтобы задать обратное
отображение, определим вложение k: Z-+C(X, Z) в качестве
постоянных функций. Оно порождает непрерывное отображение
k*: Spec С (X, Z)->SpecZ. Для заданного fe e Spec С (X, Z)
пусть р —элемент, порождающий k* (b). Мы утверждаем, что
Р = П /-1 (р) состоит из единственной точки пространства X.
/еб
Действительно, если рФО и Р пусто, то для каждого х^Х
существует такая функция gx^b, для которой gx(x) ф (р).
Поскольку k(p)<=b, для каждого ieX можно найти функ-

5.8. Соотношения между эйлеровыми характеристиками 89
цию fx^b, для которой fx(x)=\, так что множества вида
/*'A) образуют открыто-замкнутое покрытие X. Выберем
конечное подпокрытие
Тогда легко показать по индукции, что характеристическая
функция К(Vj) множества Vi = U-i\j...[}Ui лежит в b и, в
частности, A(l)eb, что невозможно. Для р = 0 то же
рассуждение показывает, что k(m), где т —наименьшее общее кратное
чисел gx.(xt), лежит в Ь, а это противоречит условию k* (b) =
= @). Если теперь х, j/ёР, то можно выбрать / е b с / (х) е р
и открыто-замкнутое подмножество ?/, содержащее х и не
содержащее у. Тогда, полагая
h = f-K(U) + l-K(U),
ft = f-0-K(U)) + K(U),
мы убеждаемся, что /1/2 = /ей. Ввиду того, что f2(x) = l,
1гфЬ. Значит, fi e Ь. Но /i(«/)=l и, следовательно, уф Р.
Мы получили отображение d: Spec С (X, Z)-»-^, переводящее
идеал b в единственную точку множества Р. Отображения F
и dxk* очевидным образом обратны друг к другу.
Для проверки непрерывности dxk* нужно лишь проверить
непрерывность d. Но для открыто-замкнутого подмножества
V а X прообраз сИ (У) = {Ь\К(У)ф Ь) открыт в Spec С(X, Z),
а такие подмножества V образуют базис топологии в X.
Остается еще показать, что само отображение F непрерывно.
Но если U= \b\ f ф Ь) —базисное открытое множество,
соответствующее некоторой функции /еС(^, Z), и q^U, то,
записывая q в виде F(х, (р)), мы получаем, что 1{х) = тф(р).
Поэтому V — f'1 (т) — открыто-замкнутое подмножество в X,
содержащее х. Значит, q^F(V, {(р) \ т ф (р)\) с: U.
5.8. Соотношения между эйлеровыми характеристиками
Мы дали описание бернсайдовского кольца конечных G-mho-
жеств, используя сравнения для мощностей множества
неподвижных точек (см. разд. 1.3). Обобщим это описание на случай
компактных групп Ли. Геометрическая интерпретация
бернсайдовского кольца покажет тогда, что мы получили полное
семейство сравнений для эйлеровых характеристик множеств
неподвижных точек. Мы уже использовали классические
соотношения
E.8.1) х(Х) = %{Хр) modp, если Р есть р-группа
E.8.2) х(*) = Х(*')> если Г-тор.

90 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Используя E.8.2), мы показали в разд. 5.7, что достаточно
рассматривать лишь подгруппы Я, имеющие конечный индекс
в своем нормализаторе. Поэтому мы ставим такую задачу:
описать образ отображения
ф: y4(G)-»-C((D(G), Z)=:C.
Следующее предложение показывает, что это можно сделать
с помощью сравнений.
Предложение 5.8.3. С является свободной абелевой группой
с образующими xH—\W (Н) |~1 ф {G/H), ЯеФ (G).
Доказательство. Априори элементы хн содержатся
лишь в C®Q, но, поскольку W (Н) свободно действует на
каждом множестве неподвижных точек (G/H)K, (Я) е Ф (G), все
числа i((G/H)K) делятся на \W(H)\ и, следовательно, %еС.
Элементы хн линейно независимы над Z, поскольку линейно
независимы [G/H]. Мы должны показать, что каждый ieC
является целочисленной линейной комбинацией хн- Поскольку
функция х непрерывна, она принимает лишь конечное число
значений. Пусть (Hi), ..., (Hk) — максимальные среди тех
элементов из cD(G), для которых х(Я,)=/=0. Рассмотрим х —
ft
— ^ х (Я,) ¦ xHl —'. у&С. Если у (К) ф 0, то (К) строго меньше
i=i
одного из (Hi). Индукция и условие обрыва убывающих
цепочек подгрупп завершают доказательство.
Пусть теперь X — компакт класса G-ENR. Для (Я) е Ф (G)
рассмотрим W (Я)-пространство Хн. Поскольку № (Я)—
конечная группа, мы получаем, как в разд. 1.3,
2 *тН) (Xй) {п) **0 mod \W{H)\,
neW(H)
и это сравнение может быть переписано с использованием
разд. 5.3 в виде
E.8.4) ?п(Н, K)x(X«)^0mod\W(H)\,
(К)
где сумма берется по классам сопряженности (К) подгрупп
K<.G, обладающих следующим свойством: К{> Н и К/Н
циклична; числа п(Н, К) целые и п(Н, Я)=1.
Предложение 5.8.5. Сравнения E.8.4) дают полную систему
сравнений для образа ф: /4(G)-*-С, т. е. z^C содержится
в ф (A (G)) тогда и только тогда, когда для всех (Н) е Ф (G)
2 л (Я, K)z(K)^0mod\W(H)\,
IK)

5.9. Теоремы конечности
91
где суммирование ведется по тем же подгруппам, что и
в E.8.4).
Доказательство. Запишем г, согласно 5.8.3, в виде
целочисленной комбинации 2 = 2%% и предположим, что 2
удовлетворяет сравнениям, о которых идет речь. Если мы
покажем, что пк делится на \W(K)\, то z^(p(A{G)).
Выберем (Я) максимальным среди тех, для которых пнФ0.
Рассмотрим сравнение, соответствующее подгруппе Я.
Единственным ненулевым членом является п(Н, Н)г(И)~пн,
который должен делиться на j W (Я) |. Поэтому пнхн е<р(Л (G)).
Применим то же рассуждение к z — nHxH и т. д. Индукция по
«длине» г в терминах хц приводит к заключению, что z e
е=Ф (Л@)).
Предложение 5.8.5 устанавливает, какие сравнения между
эйлеровыми характеристиками множеств неподвижных точек Xм
имеют место для компактов X класса G-ENR. Можно
поставить вопрос о наиболее общем классе пространств, для
которого справедливы эти сравнения. Нам нужно обеспечить
применимость результатов разд. 5.3: должна быть определена
эквивариантная эйлерова характеристика Xww (Xй) и должна
выполняться формула разложения из разд. 5.3.
Замечание 5.8.6. Другое доказательство 5.8.5 в более общей
ситуации для некоторых А (б)-модулей приведено в [69].
Замечание 5.8.7. Как и в 1.2.4, можно показать, что
отображение ф: A (G) -*- С может быть реконструировано, исходя
из кольцевой структуры A (G), а именно ср является
вложением A (G) в его целое замыкание в полном кольце частных.
5.9. Теоремы конечности
Мы соберем здесь несколько теорем конечности для
компактных групп Ли.
Предложение 5.9.1. Пусть М —компактное гладкое G-много-
образие. Тогда оно имеет лишь конечное число типов орбит.
Доказательство. Будем проводить индукцию по
размерности М. Эквивариантная трубчатая окрестность U орбиты
X cr M является векторным G-расслоением и, следовательно,
имеет только стабилизаторы, соответствующие X или единичной
сфере в слое. По индукции U содержит конечное число типов
орбит. (См. [124, 1.7.25] по поводу подробностей.)
Предложение 5.9.2. Пусть G —компактная группа Ли.
Существует лишь конечное число классов сопряженности подгрупп,
которые являются нормализаторами связных подгрупп.

92 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Доказательство. ([36, VII, лемма 3.2].) Пусть L —
алгебра Ли группы G, Е — внешняя алгебра над L и Р (Е) —
соответствующее проективное пространство. Если h — линейное
подпространство в L с базисом hu ..., hk, то hx л ... л hk
определяет точку p(h)^P(E), не зависящую от выбора базиса.
Присоединенное действие G на L индуцирует действие G на
Р (Е). Пространство h инвариантно относительно подгруппы
N czG тогда и только тогда, когда р (ft) — неподвижная точка
относительно N. Если Я —подгруппа с алгеброй Ли h, то
gHg-i = Я » Ad (g) h = h » ?P (Л) = р (/l).
Таким образом, N (H) = Gpih). Теперь применим 5.9.1.
Предложение 5.9.3. Компактная группа Ли G содержит
лишь конечное число классов сопряженности (К) таких
подгрупп К, которые являются централизаторами замкнутой
подгруппы.
Доказательство. Пусть G действует на М — G с
помощью сопряжения. Если И <.G, то Мн совпадает с
централизатором Z(H). Теперь применим 5.9.1.
Перейдем теперь к классической теореме Жордана. Пусть
<2 (G) — множество конечных подгрупп в G.
Теорема 5.9.4. Существует целое число \, зависящее только
от размерности G и от числа ее связных компонент и
обладающее следующим свойством: для любой подгруппы Н ^&(G)
существует абелева нормальная подгруппа Ан в Я, для
которой |Я/Лн!</- Кроме того, АИ моокно выбрать так, чтобы
из Я <сК следовало АН<АК.
Доказательство. (См. [24], [169].) Для заданных d и
k существует лишь конечное число групп (с точностью до
изоморфизма) размерности d, состоящих из k связных
компонент (см. 5.9.5). Поэтому все эти группы можно вложить
в фиксированную группу 0 («). Значит, достаточно доказать
теорему для О (я). Простое доказательство содержится,
например, в [169, с. 100—103].
Теорема 5.9.5. Существует лишь конечное число
неизоморфных компактных групп Ли данной размерности с данным
числом связных компонент.
Доказательство использует различные классические
факты. Мы опишем только его составные части. Начнем со
связных групп G. Тогда G имеет вил
G = {TxH)/D,

5.9. Теоремы конечности
93
где Г —тор, Н компактна и полупроста, a D — конечная
центральная подгруппа в ТхН, такая, что D Г| T и D f| H
тривиальны ([97, XIII, теорема 1.3]). Поэтому проекция D в Н
инъективна, а ее образ содержится в Z(H). Центр Z (Н)
конечен по теореме Вейля ([96, II. 6.9]). Значит, для данных
Г и Я существует только конечное число групп G. По
классификационной теореме для полупростых групп существует
лишь конечное число групп Н заданной размерности (см. [34]).
Это завершает доказательство в случае связных групп.
В общем случае приходится изучать конечные расширения
l-^Gn-vG->F->l,
где Go связна, a F конечна. Из общей теории групповых
расширений и конечности когомологий конечных групп ([112,
IV]) следует, что достаточно доказать следующее утверждение:
существует лишь конечное число классов сопряженности
гомоморфизмов F ^>- Aut Go/Int G0. В случае когда G0 —тор,
доказываемая конечность следует из теоремы Жордана — Цассен-
хауза ([48, § 79]), а общий случай легко сводится к этому.
Теорема 5.9.6. Пусть G — компактная связная группа Ли.
Тогда существует лишь конечное множество классов
сопряженности связных подгрупп максимального ранга.
Доказательство см в [29].
Рассмотрим теперь разрешимые группы. Компактная
группа Ли называется разрешимой, если она является расширением
конечной разрешимой группы с помощью тора.
Производной группой Ga) для G называется замыкание
подгруппы, порожденной коммутаторами. Определим по индукции
G,,!, = (G|n_1))a). Группа Н называется совершенной, если Н{1) =
= Н. Если 1 -*¦ А -> В-+С-+ 1 — точная последовательность
компактных групп Ли, то В разрешима тогда и только тогда,
когда разрешимы Л и С. Компактная группа Ли G
разрешима тогда и только тогда, когда Gtn)=l для некоторого п.
Перечислим следующие элементарные факты.
Предложение 5.9.7. (а) Любая подгруппа Н в G имеет
единственную нормальную подгруппу На, минимальную среди
тех, для которых Н/На разрешима.
(b) Для любой подгруппы Н существует такое число п, что
(c) На является совершенной характеристической
подгруппой в Н.
(с!) /¦/ = //„, если и только если Н совершенна.

94 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
(e) (Н) = (К)=*(На) = (Ка).
(f) /С<]Я и Н/К разрешима =е> Ка = Яа.
Доказательство, (а) Если К<]Н, L О Я и Я/Л", Я/L
разрешимы, то /С П ^ О Я и H/KflL разрешима. Из условия
обрыва убывающих цепочек подгрупп вытекает существование
минимальной подгруппы.
(Ь), (с) и (d) Поскольку Н/Н{1) абелева, индукция
показывает, что HlH(k) разрешима. Значит, H{k)>Ha для всех k
и Hlk)/Ha разрешима. Если Н(к]ФНп, то Я(*> имеет
нетривиальную абелеву факторгруппу. Следовательно, Н[к) фН[к{1).
Из условия обрыва убывающих цепочек вытекает
существование такого п, что Н(п) = Н(П1г1\ и для этого п обязательно
Я(л) = Я„ и Я(п) совершенна. Все группы Я^л) являются
характеристическими подгруппами.
(е) и (f) очевидны.
Теорема 5.9.8. Пусть G —компактная группа Ли.
Существует такое число п, что для всех Н <CG справедливо равенство
//<«> = #„.
Доказательство. Заметим, что условие Н[п) = На
равносильно тому, что (Н/НаIп) — тривиальная группа.
Рассмотрим поэтому пары (Я, К), для которых Н <] К <.G и
К/Н разрешима. Мы докажем существование такого л, что
для всех таких пар (К/Н)["} = \. Назовем наименьшее число k,
для которого L[k) = \, длиной разрешимой группы L и
обозначим его через / (L).
Пусть (К, Я) —пара, описанная выше. Поскольку К/Н—
разрешимая группа, имеет место точная последовательность
где Т — тор, a F — конечная разрешимая группа. Имеем
l(K/H)^l(T) + l(F)=\+l(F).
Таким образом, достаточно показать, что ограничены длины
конечных подфакторов. Пусть К о означает связную
компоненту единицы в К- Тогда K/H-+F индуцирует эпиморфизм
р: K/Ko~^F. Мы покажем вскоре, что существует такое
число b(G), что для любой К <G существует абелева
нормальная подгруппа Ак в К/К0, для которой \К/Ко '• AK\<.b(G).
Пусть F0 обозначает р(Ак). Тогда F/Fn имеет порядок <6(G).
Но t(F)^l(F0) + t(F/F0)=l+l(F/F0), поскольку /^абелева.
Длина / (F/F0) ограничена, поскольку существует лишь
конечное число групп порядка eg Ь (G).
Существование b (G) доказывается индукцией по
размерности G а числу компонент ,G : G0j.

5.9. Теоремы конечности
95
Для заданной группы G в силу теоремы 5.9.4 существует
граница для длин конечных подгрупп в G. Пусть К —
подгруппа положительной размерности. Рассмотрим цепочку
K0<K<N(K)<N(Ko).
Ясно, что К/Ко является конечной подгруппой в W (Ко) =: U
и dim U < dim G. В силу 5.9.2 существует лишь конечное
число групп U с точностью до изоморфизма. Это завершает
индукцию.
Теорема 5.9.9. Существует такое число Ь, что для любой
замкнутой подгруппы Я в G индекс \ W (Я) : W (Я)„ | не
превосходит Ъ.
Доказательство разбивается на три этапа. Сначала мы
сводим все к случаю, когда W (Я) конечна; затем сводим этот
случай к тому, когда Я конечна; наконец, показываем, что
для конечных Н с конечной группой W (Н) порядок
последней равномерно ограничен.
Группа Aut tf/Int H автоморфизмов, рассматриваемых по
модулю внутренних автоморфизмов, дискретна. Сопряжение
задает инъективный гомоморфизм
N (H)/Z (H)-H-+ Aut Н/Ы Н,
где Z (Я) — централизатор Н. Значит, N (H)/Z(H)- H конечна,
будучи компактной и дискретной. Отсюда следует
Лемма 5.9.10. Группа W (Н) конечна тогда и только
тогда, когда конечна факторгруппа Z(H)/(Z(H) f| H).
Лемма 5.9.11. Для любой Н <G группа Z(H)H имеет
конечный индекс в своем нормализаторе.
Это следует из предыдущей леммы и соотношений
Z(Z(H)-H)<Z(H)<Z(H)-H.
Если элемент яеС нормализует Н, то он нормализует и
Z (Я) и, следовательно, Z (Я) • Я. Поэтому
N (H)/Z (H)-H<N(Z (Я) ¦ ЩЦ (Я) ¦ Я.
Используя лемму 5.9.11 и существование верхней грани для
множества
F(G) : = {\W(H)\\H<G, W(Я) конечна},
мы получаем следующий результат.
Лемма 5.9.12. Существует такое число с, что для всех
Н<.G справедливо неравенство
\N(H)/Z(H)-H\<c.

9fi Г л 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Теперь мы получим первую редукцию нашей задачи. Из
точной последовательности
1 -v Z (#)/(Z (Я) П H)-+W{H)-*N(H)/Z(H)-H-+\
видно, что W (H)/W (HH-*-N (H)/Z(H)- Я имеет ядро, которое
является факторгруппой группы Z{H)/Z(HH. Теперь
предложение 5.9.3 и лемма 5.9.12 показывают, что множество
\\W(H)/W{HH\\H<G}
ограничено.
Мы покажем индукцией по | G : G01 и dim G, что F (G)
ограничена сверху числом a = a(jG/G0!, dimG). Для конечной
группы G мы можем положить a = \G\ Предположим, что
верхняя грань а(\К/Ко\, dim К) установлена для всех К с
dim К < dimG. Пусть 7(G) : = \H<.G\W(H) конечна'.
Предположим, что группа H^T(G) бесконечна. Рассмотрим
проекцию
р: N{Ho)-+W(H0) = : U.
Пусть V - нормализатор Н/Н0 в U. Тогда W (Я) = V/(H/H0),
и потому Я/Я0 е 71 (?/)¦ Поскольку dim с/<; dimG, по
предположению индукции \W (H)\s^a(\U/U0\, dim {/). Покажем,
что возможные значения величины | U/U01 ограничены. Это
следует из 5.9.2. Значит, для данной группы G величины
\U/U0\ ограничены, скажем, \U/U0\<=tn(G). Имеем
\U/U0\^\G/Gn\m(Go).
Из классификации связных компактных групп Ли видно, что
существует лишь конечное число таких групп в каждой
размерности. Следовательно, существует граница для \U/U0\,
зависящая только от | G/G01 и dim G. Это доказывает шаг
индукции, коль скоро речь идет о бесконечных группах Я из T(G).
В оставшихся случаях мы используем 5.9.4 и 5.9.6. Если
группа Н ^.Т (G) конечна, то конечна и K — N(H), и по
лемме 5.9.11 K<=T(G). Выберем ; = /(jG/G0|, dimG) и А„,
Ак согласно 5.9.4. Тогда
| К/Н | < | К/Ак | • | АК/(Н П ЛА.) | ^ / • | Л*/(/7 П Лк) |.
Следовательно, достаточно найти границу для | АК/{Н {] Ак) |.
Рассмотрим точную последовательность 1 -> Ля->Я->5->- 1.
Сопряжение с (а) элементом ае/1/{ тривиально на Ан,
поскольку Л^>ЛН и, значит, с (а) задает автоморфизм S.
Поскольку | 5 ! ^ /, этот автоморфизм имеет порядок не больше
./ = /!. Значит, с (аг) тривиально действует на S и Ан для
подходящего г ==с). Группа таких автоморфизмов по модулю

6.9. Теоремы конечности
97
внутренних автоморфизмов с помощью элементов Ац
изоморфна H1(S, Ан), где 5 действует на Ан сопряжениями.
Поскольку элементы этой группы аннулируются умножением на \S\,
мы видим, что c(as) является внутренним автоморфизмом,
соответствующим элементу Ан, для подходящего s^J\S\^
=щ/-/. Другими словами, ash^ e Z (Н) для некоторого h e Ан-
Остается найти оценку для порядка группы
(AK(\Z(H))I{H(\AK{\Z(H)).
Пусть U1 = AKf\Z (Я). По теореме Бореля-Серра ([28
теорема 1]) 11г содержится в нормализаторе N (Т)
максимального тора в G. Положим U=Uif]T. Тогда | U-JU | =sS | G/G01 •
• \W{G0)\, где W (G0) — группа Вейля G0. Оценим порядок U.
Так как U абелева, она содержится в Z(U). Кроме того,
Н < Z (U) по определению U. Значит, U содержится в центре
C = C(Z(c7)) группы Z(U). Из включения H<.Z(U) следует,
что C<LN(H). Значит, С конечна.
Покажем теперь, что для порядка центра С (G) группы G
существует оценка, зависящая только от G/Go [ и dimG.
Рассмотрим действие G/G0 на С (G0) с помощью сопряжения.
Множество С (G) Q G0 состоит из неподвижных точек этого
действия. Имеем С (G0) — АхТъ где Л — конечная абелева группа,
а 7\ — тор. Группа Л является центром полупростой группы,
и поэтому порядок | А | ограничен константой с, зависящей
только от dim G. Точная когомологическая последовательность,
ассоциированная с универсальным накрытием
показывает, что множество неподвижных точек для действия
G/G0 на 7\ = C(G0)o изоморфно H1(G/G0, Лг(Т})). Значит,
мощность этого множества ограничена константой d,
зависящей лишь от | G/G01 и dim 7\. Следовательно,
| С (G) | < | G/Go! • cd.
Наконец, покажем, что для всех возникающих групп Z(U)
порядки | Z (U)/Z (U)o | ограничены. Группа U содержится в
максимальном торе группы G. Поэтому Z (U) является
подгруппой максимального ранга, a Z (?/)<,— связной подгруппой
максимального ранга. По теореме 5.9.6 существует лишь
конечное число классов сопряженности таких подгрупп. Далее,
|Z(t/)/Z(?/)o|<|G/Goi|HMZ(?/H)|.
Имеется лишь конечное число возможностей для
нормализаторов N0 (Z (с/)о) подгрупп Z (?/)о в Gu. Это завершает
доказательство теоремы 5.9.9.
4 Заказ ji5i

98 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Последняя теорема вместе с предложением 5.8.3 дают
следующий результат.
Предложение 5.9.13. Пусть п — наименьшее общее кратное
чисел | W (Н) \, где (Н) е Ф (G). Тогда коядро отображения
A (G) -> С (Ф (G), Z) аннулируется умножением на п.
5.10. Конечные расширения тора
Мы видели раньше, что наличие бесконечного множества
элементов в Ф (G) связано с неполупростыми подгруппами в G.
Типичная ситуация возникает, когда группа G сама является
расширением конечной группы F с помощью тора 7,
E.10.1) l->r-vG^F^l.
В частности, если задан гомоморфизм h: F->Aut (T)^GL(n, Z),
n = dimT, то можно образовать полупрямое произведение 7 и
F со скручиванием /г, которое мы обозначим Gh- Заметим, что
h является целочисленным представлением F. Было бы
интересно выяснить, что можно сказать о целочисленных
представлениях, зная бернсайдовское кольцо A (Gh) (и обратно). Мы
сделаем несколько простых замечаний относительно бернсай-
довского кольца A(G) для групп G из E.10.1).
Пусть задана группа G типа E.10.1) и h: F-^Aut(T)—
гомоморфизм, индуцированный сопряжением. Назовем
допустимой пару (F', 7'), где F' <7\ 7" <7 и 7' инвариантна
относительно F'; назовем подгруппу Н <G (F', Т')-подгруп-
пой, если p(H) = F' и Hf]T = T'.
Пусть о е Я2 (F, 7) — класс, соответствующий расширению
E.10.1). Определены отображения
Ar*: //«(^', T)-+H*(F', Т/Т'),
i*\ H*(F, T)-+H2(F', T).
Несложные рассуждения с коммутативными диаграммами дают
Предложение 5.10.2. Для существования (F', Т')-подгруппы
в G необходимо и достаточно, чтобы as ker (&*«*).
Выберем теперь какое-либо сечение s: F-+G расширения
E.10.1) и параметризуем G множеством 7x7, полагая g\—>-
>—*(p(g)> sP(g~1)g)- Закон умножения в G примет вид
(/, 0 (Г, П = (//', @ /' + /' + и (Л П),
где (t)f = g-4g для g^p-^if), а
М/, /') = s(//')-1s(/)s(/').
Мы будем всегда предполагать, что s(l)=l.

5.10. Конечные расширения тора
99
Предложение 5.10.3. Если И — некоторая (F', Т')-подгруппа
в G и s —такое сечение, что s(F') cz H, то существует
взаимно однозначное соответствие между (F', Т')-подгруппами
в G и скрещенными гомоморфизмами1) а: F'-уТ/Т', которое
подгруппе Н' ставит в соответствие скрещенный гомоморфизм
«(/') = * И/')-1 л О,
где h(f') — произвольный элемент из Я'ПР_1(/')-
Доказательство оставляем читателю в качестве упражнения.
Мы будем обозначать подгруппу из 5.10.3 через (F', Т', а).
Если G — полупрямое произведение, то а = 0 и (/•"', 7")-под-
группы существуют; в этом случае полезно в качестве s
выбрать гомоморфизм.
Опишем теперь эффект сопряжения. Для сопряжения
элементами из Т заметим, что в наших обозначениях
A, /)(/', 0A. П-' = (Г, t' + (t)f'-t).
Таким образом, обозначая через dt: F'-^-T главный скрещене
ный гомоморфизм df(f') = (t)f' — t, мы видим, что в результат
сопряжения подгруппы (/*"', Т', а) с помощью A, t)
получается подгруппа (F', Т', а'), где а' (/') = a(f') + k(dt (/'))•
Предложение 5.10.4. Выберем Н и s, как в 5.10.3.
Существует взаимно однозначное соответствие между классами (/*", 7")-
подгрупп относительно сопряжения элементами Т и
элементами из Н1 (/*"', Т/Т').
Предложение 5.10.5. Если Н <G — некоторая (Р, Т')-под-
группа, то
N (Н) П Т/Н П Т = Fix (F, Т/Т').
Доказательства снова оставляем в виде упражнения.
Предложение 5.10.6. Если Н — некоторая (F', Т')-подгруппа,
и.о следующие утверждения эквивалентны:
(i) ЯеФ(С);
(И) Fix(F, Т/Т') —конечное множество;
(iii) 7" содержит компоненту нуля в Fix (/•"', Т).
Доказательство. Эквивалентность (i)<=>(ii) следует
непосредственно из 5.10.5. Эквивалентность (i)<=>(iii)
выводится из элементарной теории групп Ли, и мы оставляем
ее доказательство читателю.
Из 5.10.2 и 5.10.6 вытекает
2) То есть 1 -коциклами. —Прим. перев.
4*

100 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Предложение 5.10.7. Множество Ф (G) бесконечно тогда и
только тогда, когда действие F на Т нетривиально.
Это можно использовать для получения аналогичного
результата в случае компактной группы Ли общего вида.
Предложение 5.10.8. Пусть G — компактная группа Ли.
Тогда Ф (G) конечно, если и только если действие группы Вейля
на максимальном торе тривиально.
Доказательство. Если действие тривиально, то G0 не
содержит полупростой компоненты. Значит, G имеет вид E.10.1)
и предложение 5.10.7 дает нужный результат.
Теперь предположим, что в точной последовательности
0-*Г-»-ЛГ(Г)->И7(Л-**1.
где Т — максимальный тор, действие группы Вейля W (Т) на Т
нетривиально. В силу 5.10.7 множество Ф (N (Г)) бесконечно.
Покажем, что бесконечное множество элементов из Ф (JV (Т))
входит в Ф(С).
Мы знаем, что N (Т) = lim Hh Ht Ф N (Г). По непрерывности
наше утверждение вытекает из следующей леммы.
Лемма 5.10.9. Пусть H<K<G. Тогда (Ji)eO(G), если
и только если (Н) е Ф (К) и (G/K)H конечно.
Доказательство. Если (i/)eO(G), то, разумеется,
(Я)еФ(/С) и (G/K)H конечно, так как состоит из конечного
числа W (Я)-орбит. По поводу обратного утверждения заметим,
что из включений Н < NK (H) < NQ (H) вытекает наличие
расслоения NK(H)/H-+Na(H)/H-+NQ{H)/NK(H). Но
включение Na(H)-^G порождает вложение
NQ (H)/NK (Я) = Na (H)/NQ {H)[\K-* (G/K)H.
Таким образом, если (Н) е Ф (К) и {G/K)H конечно, то база
и слой этого расслоения конечны.
Напомним некоторые сведения о циклических расширениях
тора (см. [87]).
Предложение 5.10.10. Если G — расширение F с помощью Т
и F'<F— циклическая группа, то любые две (F',Т')-подгруппы
в G сопряжены с помощью некоторого элемента из Т.
Доказательство. Если F' циклична и Fix(F', Т/Т')
конечно, то H1{F', T/T') = 0. Теперь можно
воспользоваться 5.10.4.
Если F циклична и имеет порядок п и образующую /,
а М — любой F-модуль, то
HHF, M)g^Fix{F, M)/N'*(M),

5.10. Конечные расширения тора
101
где N* (М) = j 2 (m) м- Поскольку для г-тора М = 1Г мы имеем
//2 (Z7, Tr)^H:i(F, Zr), эта группа конечна. Таким образом,
N* (Тг) содержит связную компоненту нуля в Fix (/**, Тг).
С другой стороны, если ср: / -*-Тг — произвольный путь из нуля
п - I
в точку t, то ^] (ф)/' —путь в yv* (Тг) из нуля в точку
i = 0
«—1
^] (/)/', так что N*(Tr) связно. Значит, для любого тора Тг
(=0
множество Л'* (Тг) совпадает с Fix (F, ТЛH.
Изоморфизм H2(F, T)c^. Fix (F, T)/N'*(T) означает, что
расширения G описываются компонентами множества Fix(F, T).
Заметим теперь, что без ограничения общности можно
предполагать, что N* (Т) = 0. Дело в том, что для любой компактной
группы Ли L и связной компоненты нуля Z (LH ее центра Z (L)
отображение L -> L/Z (LH задает изоморфизм колец
A(L/Z(L)n)^A(L).
Выберем теперь любой элемент s (/) е /г1 (/) и построим
сечение s, полагая s (/') = s (/)', 0 sg i < я. Тогда, поскольку
s (f)-1 s (f)« s (/) = .- ф", x = s([)n^Fix(F, T) и т лежит в образе
[G]eff(F, Г) х) в Fix(F, 7) = Fix(F, T)/N*(T). Если теперь
(f, T') — допустимая пара, то (F', Т')-подгруппа Н с конечной
группой W (Н) существует тогда и только тогда, когда связные
компоненты нуля п точки т в Fix (/*"', Т) обе лежат в Т'.
Предположим, что xeFix(F, T) и что это множество
конечно. Пусть Г'— (конечная) подгруппа, порожденная т.
Тогда Т/Т' наследует действие F. В этих обозначениях
справедлива
Теорема 5.10.11. Пусть G —расширение F в помощью Т,
определенное точкой т, и G' — полупрямое произведение Т/Т' и F
с описанным выше действием F. Тогда A (G) ^ А (С).
Доказательство. Существует отображение t:G-*~G',
для которого следующая диаграмма коммутативна:
Т -+G -+F
[н \t lid
T/T'-+-G'->F
Проделанный выше анализ структуры (F', Т')-подгрупп в G
показывает, что t индуцирует требуемый изоморфизм.
х) Здесь [G] означает класс расширения G (а не элемент бернсайдов-
ского кольца), — Прим. персе.

102 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
5.11. Идемпотентные элементы
В разд. 1.4 мы описали идемпотенты кольца A(G) для
конечной группы G. Обобщим этот результат на компактные
группы с помощью разд. 5.9 и 5.6.
Пусть S=S (G) — пространство замкнутых подгрупп группы G
и cS — факторпространство относительно сопряжения (см. разд.
5.6). Пусть Я11) — производная подгруппа в Н и На —
наименьшая нормальная подгруппа в Я, для которой Н/На разрешима
(см. 5.9.8). Обозначим через Р подпространство совершенных
подгрупп в S.
Предложение 5.11.1. Отображения Н<—- Н{1] и Hi—*-Ha
непрерывны в топологии S. Пространство Р замкнуто в S.
Доказательство. Ввиду компактности 5 и результатов
5.9.8 мы должны проверить лишь непрерывность отображения
#|—»-Ят. Пусть Яь Я2, ... — последовательность подгрупп,
сходящихся к Я. Без потери общности можно считать, что Я,-
сопряжены подгруппам группы Н. Кроме того, в силу 5.6.2
мы можем выбрать последовательность gt gG, сходящуюся к 1,
так, что Ki = giHigJ' содержится в Я. Мы покажем, что предел
YimK'i' существует и совпадает с ЯA). Фиксируем е>0 и
выберем п так, чтобы в хаусдорфовой метрике d(Ki, Я) было
меньше е при i^n. Пусть chK — замкнутое подпространство
в К, состоящее из элементов, представимых в виде
произведения не более k коммутаторов. Тогда d (/(,-, Я)<е влечет за
собой d{ckKi, ckH)<4ks. Выберем k так, чтобы d(ckH, ЯA>) <е.
При i^sn имеем d(ckKt, ЯA))<D& + 1)е, и, следовательно,
d(/Ci", //A')<Dfe+l)e.
В качестве следствия получаем
Предложение 5.11.2. Пусть задана совершенная подгруппа Я
в G. Тогда {К,Ка = Щ и {К| Ка^Щ —замкнутые
подмножества в S.
В разд. 5.7 мы построили замкнутое факторотображение
q\ S х Spec Z-^ Spec A (G): (Я), (p)>-~q(H, p).
Пусть г означает композицию
SxSpecZ^S^P^cP,
где pr —проекция, а —отображение, переводящее Н в На,
а с —отображение Р в пространство сР классов сопряженности
совершенных подгрупп, переводящее Я в (Я). Тогда г
непрерывно в силу 5.11.1.

5.11. Идемпотентные элементы
103
Предложение 5.11.3. Отображение г «пропускается» через q,
задавая тем самым непрерывное сюръективное отображение
s: Spec A (G)-ycP.
Доказательство. Предположим, что q(H, pi)=q (К, p2).
Поскольку р является характеристикой кольца вычетов
A (G) mod q (Я, р), должно выполняться равенство Pi = p2-
В дальнейшем мы будем писать просто р. Пусть (Я*)
—однозначно определенный класс, такой, что q(H, p) = q(H*, p)
и W (Я*) конечна (см. 5.7.2). Согласно разд. 5.7, мы можем
найти счетную трансфинитную последовательность Я <]#!<]
<]Я2 <]¦•. ^Я^^Я*, для которой Hi+l/Hi — разрешимая
и Hj совпадает с пределом предыдущих подгрупп, если / —
предельный ординал. Из предложения 5.11.1 следует, что
На = (Н,)а.
Пространство сР, будучи компактным метрическим
пространством, вполне разрывно. Следовательно, существует
единственное непрерывное отображение е, для которого следующая
диаграмма коммутативна:
Spec A (G)
s/ \л
ср —i_ п Spec A (G)
Здесь л означает проекцию на пространство компонент.
Теорема 5.11.4. Отображение е — гомоморфизм.
Доказательство. Множество я (Spec/1(G)) является
факторпространством квазикомпактного пространства и,
следовательно, само квазикомпактно. Пространство сР хаусдорфово.
Поэтому нам нужно только показать, что е биективно. Мы уже
знаем, что оно сюръективно.
Пусть заданы две компоненты В и С множества Spec A (G).
Выберем элементы q(H, )э)еВ, q(K, /)eC. Предположим,
что е(В) = е(С), т. е. что
(Ha) = sq(H, p) = sq(K, l) = {Ka).
Поскольку Н/На разрешима, мы можем найти конечную
цепочку подгрупп
такую, что Hi/Hi+i — либо тор, либо конечная циклическая
группа простого порядка. В силу 5.7.1 q(Hh pi) = q (Я,+1, р()
для подходящего простого числа. Если обозначить через Ц (Я, р)
замыкание точки <?(Я, р), мы получим
q{H, p)^q{H, 0), g{Hh 0H3 №*, 0)^0.

104 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
и потому q{Ha, 0)eB. Аналогично q(Ka, 0) es С, и, значит,
В = С.
Покажем теперь, как теорема 5.11.4 приводит к описанию
идемпотентных элементов.
Пусть U — открыто-замкнутое подмножество в Spec/1(G).
Тогда U является объединением своих связных компонент и
проектируется в открыто-замкнутое подмножество в сР, которое
мы обозначим через ь(?/). Пусть е (U) — идемиотент в /4(G),
соответствующий U (см. [33, II. 4.3, предложение 15]), и
S(t/)Htf<G|<P„(e)=l}.
Предложение 5.11.5. Н (= S (U) <=> A1 а) е s(U).
Доказательство. Поскольку е (U) — идемпотент,
Фя (е (с/)) принимает значения 0 и 1. Напомним, как совершается
переход от U к e(U). Пусть Z —дополнение U в Spec A (G).
Тогда
Z = V (A (G) е ((/)) = |ge Spec A (G) \ q =э A (G) e (U)\.
Кроме того, e(Z)= 1 — e(U). Предположим, что еря (с ([/)) = Г,
тогда фя (е (Z)) = 0, так что фя (A (G) e (Z)) = 0, откуда q (H, 0) =э
=> Л (G) e (Z), </ (Я, 0)еК(Д (G) e (Z)) = I/ и потому (На) е= s (G).
Обратно, если (#0) е s (?/), то 9 (Я, 0) е= (У, фя (Л (G) e (Z)) =
= 0, фя(е(с/))=1.
Построенный идемпотент неразложим тогда и только тогда,
когда U состоит из одной компоненты. Если совершенная
подгруппа /-/<G не является пределом совершенных подгрупп, то
{Я (К, р) | (Ка) = (#)}=: ^ {Щ состоит из одной компоненты и Н
дает неразложимый идемпотент eH:=e(U (Я)).
Покажем теперь, что приведенные выше топологические
соображения действительно необходимы и что обычно
существует бесконечное число классов сопряженности совершенных
подгрупп. Пусть 1 -> Т-+ G-+F-+ 1 —точная
последовательность, в которой Г —тор, а /'' — конечная группа. Сопряжение
в G индуцирует гомоморфизм ф: F-> AutT, который мы
интерпретируем как действие F на 7 (ср. разд. 5.10). Пусть Fv —
ядро гомоморфизма ф.
Предложение 5.11.6. Пусть G — расширение указанного выше
типа. Тогда число классов сопряженности совершенных подгрупп
в G конечно тогда и только тогда, когда группа F/Fv
разрешима. Если FjFu разрешима, то конечно и множество самих
совершенных подгрупп.
Доказательство. Факторгруппа совершенной группы
совершенна. Пусть F/Fy разрешима, а Н <G совершенна. Тогда

5.12. Функториальные свойства
105
образ Я при отображении G -> F -у Т/Ту является совершенным
и разрешимым. Следовательно, он тривиален. Значит, Я
является расширением вида 1->-ЯПТ->-Я->/,->1, где P<.Fjj —
совершенная подгруппа, тривиально действующая на Я |~| Т
и Т. Пусть К — прообраз Р относительно проекции р: G-+F.
Тогда Н<С]К, поскольку Т содержится в центре К- Группа
К/Н = Т/Н(]Т разрешима. Значит, Н = Ка- Таким образом,
каждая совершенная группа получается с помощью
отображения /О—*¦ Ка из конечного числа подгрупп.
Предположим теперь, что F/Fy неразрешима. Пусть
Р <.F/Fu — ее нетривиальная совершенная подгруппа, Я —
прообраз Р относительно проекции G^-F/Fy и Q<.F — группа
компонент эгого прообраза. Пусть Т№ — компонента единицы
в множестве неподвижных точек для действия Q на Т. Поскольку
Q>FUt Q=j<=FL,, должно быть ТйфТ. Группа Т0 содержится
в центре Я, и проекция FI-^-H/T0 задает инъективный
кольцевой гомоморфизм А (Я/То)-*- А (Я). Если А(Н/Т0) имеет
бесконечное число идемпотентов, то А (Я) также имеет
бесконечное число идемпотентов и, следовательно, бесконечное число
классов сопряженности совершенных подгрупп.
Действие Q на Н/Т0 имеет нульмерное множество
неподвижных точек. Следовательно, мы свели задачу к случаю Т0 = {1}.
Но тогда подгруппа L в Я, которая проектируется на Р при
отображении Н ->-Q-y P, имеет конечный индекс в своем
нормализаторе. Пусть L — такая подгруппа. Рассмотрим ее
производную подгруппу La). Тогда Lll) также проектируется
на Р, поскольку Р совершенна. Поэтому группа W (L{1)) конечна
и L/L{1) <.W (L{1)). Но мы доказали в 5.9.4 существование
такого числа Ь, что для любой подгруппы L<CH, имеющей
конечный индекс в своем нормализаторе, справедлива оценка
\W (L)\<.b. Вместе с 5.9.8 это означает, что существует такое
число п, что L/La конечно и имеет порядок не больше Ьп.
Следовательно, если существует бесконечное множество
подгрупп Я, проектирующихся на Р, содержащее подгруппы сколь
угодно большого порядка, то множество классов сопряженности
совершенных подгрупп бесконечно. Но бесконечная
последовательность подгрупп требуемого типа легко строится с помощью
техники разд. 5.10.
5.12. Функториальные свойства
Если X есть G-пространство и Я<б, то его можно
рассматривать как Я-пространство. Так получается забывающий
функтор г°: G-Top ->- Я-Тор из категории G-пространств в
категорию Я-пространств. Этот функтор обладает левым сопря-

106 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
женным, называемым расширением1), из Я-пространств в
G-пространства. На объектах он определен формулой
eaH(X) = GxHX
для Я-пространства X. Сопряженность означает, что для
Я-пространства X и G-пространства Y имеется естественная
биекция
№ра(еанХ, Y)g*MapH(X, reHY),
где MapQ означает множество G-отображений. Если f: X-*-Y
есть Я-отображение, то /': GxhX ->У: (g, х) >—*¦ gf (x) —
сопряженное G-отображение.
Предложение 5.12.1. Соответствие X^-*>GXнX¦ задает
аддитивный гомоморфизм
е°н: A(H)-+A(G)
(X — компакт класса H-ENR).
Доказательство. Пусть К <G. Тогда
(G х НХ)К Ффо (G/H)K ^фо(К)< (Я).
Предположим, что К < Я. Мы должны проверить, что эйлерова
характеристика %((GxhX)k) может быть вычислена через
эйлеровы характеристики множеств XL. Множество (G/H)K
конечно (если КеФ(С)). Слой проекции (GxhX)k-+(G/H)k
над gH гомеоморфен X^Ks-'Пн. Значит,
X((Gx„W= Ц х(Х^П»).
aH<=(G/mK
Если /: Н-+К — непрерывный гомоморфизм компактных групп
Ли, то каждое /(-пространство можно с помощью / превратить
в Я-пространство. Таким образом возникает кольцевой
гомоморфизм
А (/) = /*: А(К)^А(Н),
и А(-) является контравариантным функтором из категории
компактных групп Ли в категорию коммутативных колец. В
частности, если /: Я с: К — вложение, то А (/) — функтор
ограничения г*.
Мы хотим исследовать взаимоотношения между функторами
е°н и г°н. Нам понадобится несколько более общее отображение,
чем eGH. Его лучше всего ввести, переопределив eGH и rQH с
*) Чаще используются термины «индуцированный функтор» или
«расслоенное прозведение», — Прим. перев.

5.12. Функториальные свойства
107
использованием более общего понятия, чем бернсайдовское
кольцо.
Пусть S — компактное гладкое G-многообразие и a (S) —
множество гладких G-отображений M-+S, которые являются
собственными субмерсиями. На a(S) определим следующее
отношение эквивалентности: р: М ->• 5 эквивалентно q: N-*-S,
если и только если для всех seSii всех Н<GS имеет место
равенство
7(p-1(s)H) = X(r1(s)//).
Дизъюнктное объединение (сложение) и расслоенное
произведение над 5 (умножение) превращают множество классов
эквивалентности в коммутативное кольцо с единицей,
обозначаемое через A [S]. Если S —точка, A [S] совпадает с бернсай-
довским кольцом A (G); поэтому мы называем A [S] бернсайдов-
ским кольцом G-многообразий над S. Мы хотим описать
функториальные свойства этого кольца.
Пусть f: Т-> S — гладкое G-отображение, а р: M-+S —
описанная выше субмерсия. Тогда в диаграмме
yv — м
где N = MxsT, отображение q является собственной субмер-
сией и определяет элемент кольца А [Т]. Соответствие p>—*-q
определяет кольцевой гомоморфизм /*: Л [S]->-Л [Т].
Существуют также ковариантные отображения. Если
/: Т-*¦ S — субмерсия, то композиция с / индуцирует аддитивное
(но не мультипликативное) отображение f^: A[T]-+ A[S]. Эти
отображения обладают следующими свойствами.
Предложение 5.12.2. (i) f*-кольцевой гомоморфизм, (id)* = id,
(ii) Для любой субмерсии f: T-+S отображение /*
корректно определено и аддитивно, (id)* = id, (fg)* = f*g*-
(iii) Для a ge A [S] и b e A \T] справедливо равенство
(iv) Пусть
V —5'
pi , i°
T -^S
— коммутативная диаграмма, в которой Т' = TxsS', a f и,
следовательно, F — субмерсии. Тогда p*f#= F^P*
(v) Если /о, /х: T-+S G-гомотопны, то /§ = /*.

108 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Доказательства несложны, и мы оставляем их читателю.
Связь с материалом, изложенным в начале этого раздела, видна,
если использовать канонический изоморфизм р: A[G/H]~
g* А (Н): (М -у G/H) ь— р'1 (Н/Н).
Предложение 5.12.2 (iv) обобщает основное свойство
функторов Макки в смысле Дресса [80] на компактные группы Ли.
Однако в случае бесконечных групп Ли имеется формула
двойных классов смежности, которая является менее формальным
обобщением аксиом Макки и более пригодна для вычислений.
Мы опишем теперь эту формулу.
Рассмотрим диаграмму
S ±>G/L
Ц I*
G/K--G/P
в которой S = G/Kxq/pG/L. Задача состоит в вычислении k*h^.
Мы используем разложение S на однородные пространства, но
несколько более тонкое, чем в бернсайдовском кольце. Как и
в разд. 5.5, справедливо разложение S=[]S{H) на
подпространство данного орбитального типа. Обозначим через 5(Я),*
прообраз в S(H) связной компоненты в 5,W)/G. Таким образом,
индекс b различает компоненты. Тогда мы, как и раньше,
получаем разложение
S = 2n{Hht>[M{H),b]
в A (G), гяе п{Н)_b := xc(S{h).ь/G) ^Z, a M{H)xb~орбита mS{H),b.
Обозначим через k[H).b: Miff),b-*-G/K и h(H)tb: M{H)>b-+G/L
отображения, получаемые композицией вложения M{H)ibczS
с k и h соответственно. Имеет место
Теорема 5.12.3. Справедливо равенство
k*h* = Е П(Н),ь(Кн),ь)*(Кн).ь)*-
(Я), Ъ
Доказательство. Пусть задан элемент хе A [G/K],
представленный отображением /: M-^G/K. Тогда k*h#x
представляется отображением hF в диаграмме
I I* I*
M^G/K'-G/P
где S = G/Lxa/pG/K и М = Мхa/KS = Мхa/pG/L. Поскольку
конструкция расслоенного произведения транзитивна, поднятие
f: M-+-G/K вдоль k{Hhb является слоем отображения F: M-+S
над М(ц),ь- Обозначим его через F(H)ib: M{Hhb-+ Л4{И)рЬ. Это

5.13. Мультипликативное индуцирование
109
как раз отображение, представляющее k*H), ьх. Значит, элемент
{h(H),b)*ktm,bX представляется композицией
h{H),bF(H),b'- №(Н),ь-*-M(H),b-*-GlL.
Таким образом, мы должны показать, что элементы \hF\ и
^Щн),ь[^н,ьР(Н),ь\ совпадают в A [G/L]. По определению A [G/L]
это значит, что нужно проверить следующее: для любой
подгруппы U<.L множества ^/-неподвижных точек в слоях над
смежным классом L/L в G/L имеют одинаковые эйлеровы
характеристики.
Слой отображения hF совпадает со слоем hf над k(LjL),
рассматриваемым как L-многообразие.
Поскольку мы теперь имеем дело с G-пространствами над
G/L, вся ситуация может быть восстановлена по слоям над
точкой L/L, которые мы будем обозначать индексом_ нул^,
используя канонические G-диффеоморфизмы вида GXlM° = M.
Имеем для V <L
jW(H),j = GxiM(H),b, S{V) = GxlS(V), S(Vhb — GxLS1v),b,
если учесть отождествление S{V)/G^Slv)/L.
Пусть F°: M°-+S° — ограничение отображения F: M->-S.
Как и в разд. 5.5, получаем
E.12.4) Х((МТ)= 2 Xc((f-1S^,.b)y).
(V). 6
Отображение
F'1 (S[v), ъ) -*- S{v), ъ -+¦ Sty), ь/L
является расслоением со слоем F-1(M'(v), ъ), так что
^/-неподвижные точки образуют расслоение с типичным слоем F-1 (M\v), ь)и•
Тогда ((У), Ь)-слагаемое в E.12.4), согласно предложению 5.12.2,
совпадает с
Xf(f-1(AI?v).6)t/)Xc(S?v,.b/L) =
= 1с (F-1 (Mlv). ь)и) ъ. (V). blG) = х, (F-1 (M\V), b)U) n{V), b,
а это как раз и нужно было проверить.
5.13. Мультипликативное индуцирование
и симметрические степени
Пусть /( — подгруппа конечного индекса в G. Для
/(-пространства X обозначим через HomK(G, X) множество
/(-отображений G->X с G-действием, индуцированным правыми
сдвигами на G. Функтор X»—* Horrid (G, X) из /(-пространств
в G-пространства является правым сопряженным к функтору

110 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
ограничения и, в частности, сохраняет произведения. Явная
запись сопряженности имеет вид
Мар0(У, HomHG, Х))^МарА(У, X)
для любого G-пространства У. Для заданного отображения
/: Y -v Ногпд' (G, X) из левой части этой формулы
соответствующий элемент в правой части получается композицией с Л'-отоб-
ражением HomK(G, X)-+X: />—»/A). Мы предполагаем, что К
имеет конечный индекс в G, чтобы избежать некоторых
технических сложностей. В нашем случае HomK(G, X) как
топологическое пространство является просто произведением |~| X
уев/к
\G/K\ экземпляров X.
Предложение 5.13.1. Соответствие X*—* Нот ПС, X)
индуцирует отображение А (К)-*- A (G), которое, вообще говоря, не
аддитивно, но сохраняет произведения (X — компакт класса
G-ENR).
Доказательство. Для заданной подгруппы Н <G мы
должны вычислить х(НотНО, *Х)Н). Поскольку К имеет
конечный индекс в G, пространство G/H /С-гомеоморфно конечному
дизъюнктному объединению JJ К/К (/) однородных пространств.
Равенства
Horn* (G, X)" = Нота (G/H, Нот* (G, X)) = Нот* (G/H, X) =
~Нотк(ЦК/КA), Х\ =
= Y[UomK(K/K(i), Х) = П**<0
i i
показывают, что искомая эйлерова характеристика выражается
через эйлеровы характеристики множеств неподвижных точек XL,
L<K.
Мы называем отображение X >—» Нот*; (G, X) и
соответствующее отображение бернсайдовских колец мультипликативным
индуцированием.
Предложение 5.13.2. Пусть L —конечная нормальная
подгруппа в G. Соответствие Х>—*Х/Ь индуцирует отображение
A{G)->A (G/L) (X — компакт класса G-ENR).
Доказательство. Пусть задана подгруппа Н<.G/L.
Мы должны показать, что %((X/L)H) определяется эйлеровыми
характеристиками множеств неподвижных точек в X. Пусть
Р- прообраз Я в G и B = p-1((X/L)H), где р: X-^X/L-фак-
торотображение. Мы рассматриваем X я В как Р-пространства.

5.13. Мультипликативное индуцирование
111
Орбита в X, изоморфная P/U, содержится в В тогда и только
тогда, когда P = Lc/. Значит, В является объединением пучков
орбит. Из доказываемого предложения будет следовать, в
частности, что для любой пары В', X', аналогичной паре В, X,
справедливо равенство [В] = [В'| в А(Р). Далее,
7L((X/L)") = yAB/L) = \Lr1 ?x(#0-
get
Здесь мы используем 5.3.12. Таким образом, %((X/L)H) может
быть вычислена, исходя из эйлеровых характеристик, как мы
и хотели. Надо еще показать, что X/L является пространством
класса G/L-ENR. В силу 5.2.6 достаточно показать, что все
(MIL)" = B/L принадлежат классу ENR. Но В принадлежит
этому классу в силу 5.2.6, a B/L, следовательно, — в силу 5.2.5.
Обсудим теперь симметрические степени. Пусть Sr —
симметрическая группа, переставляющая г символов. Если X есть
G-пространство, то диагональное действие G на Хг и действие Sr
перестановками сомножителей коммутируют, так что мы можем
рассматривать Хг как (GxS^-пространство. Если М есть 5г-про-
странство с тривиальным действием G, то М х Хг является
(GxS^)-npocTpaHCTBOM. Факторизация по 5,--действию дает
G-пространство (М х Xr)/Sr.
Предложение 5.13.3. Соответствие (М, Х)>—> (MxXr)/Sr
индуцирует отображение
A(Sr)xA(G)-*A(G)
(М и X —компакты класса G-ENR).
Доказательство. Начнем с доказательства того, что
отображение X >—* Хг индуцирует отображение w: A(G)-+
-*~A(SrxG). Стандартное вложение Sf-i с S, позволяет
рассматривать Sr-tXG как подгруппу конечного индекса в SrxG.
Рассматривая X как EЛ-1ХС)-пространство с помощью
проекции Sr-xXG-+G, мы видим, что E,-х0)-пространство Хг
получается из X с помощью мультипликативного индуцирования,
соответствующего подгруппе Sr-ixG<iSrxG. Поэтому w
корректно определено в силу 5.13.1. Теперь рассмотрим
композицию отображений
A (Sr)xA (G)p^ A (SrxG)x A(SrxG)^ A (Sr\G)-^ A (G),
где w определено выше, р индуцировано проекцией SrxG-*-Sr,
т — кольцевое умножение, а д — факторотображение из 5.13.2.
Проверяется, что на представителях эта композиция совпадает
с отображением (М, X)t—*(MxXr)/Sr,

112 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
Пусть П — подгруппа в Sr. Тогда ХГ1Л — так называемая
П-симмепгринеская степень, которая является (/-пространством,
если X есть G-пространство. Заметим, что (Sr/U X Xr)/Sr =
=Х7П.
Следствие 5.13.4. Отображение Х>—*- Хг/И индуцирует
отображение Л (G) ->• A (G).
Изучим формальные свойства отображения 5.13.3. Будем
записывать его в виде
E.13.5) A(Sr)xA(G)-+A(G): (х, у)>-+х-у.
Напомним некоторые конструкции, связанные с симметрической
группой. Пусть X, Y — соответственно Sr- и 5гпространства.
Положим
E.13.6) X.Y = Sr«xSrXSl(XxY),
используя стандартное вложение SrxStCz Sr+i. Обозначим через
SreG так называемое сплетение G с Sr. Это — множество SrxGr
с групповым законом
(s; gi, •-., gr){t\ h, ..., hr) = (st; gA-.A)> ..., grhs-ц,)).
Если M — некоторое G-пространство, то Mr становится Sr г G-про-
странством относительно действия
(s; gi, ..-, gr)(mu ..., mr) = (g1ms-.(i), ..., gyms-.(,>).
Мы рассматриваем SraSt как подгруппу в 5rt: если М =
= {1, ..., ?} как 5гпространство, то SreSt действует как
группа перестановок множества Мг, которое отождествляется
с {1, 2, ..., rt}. (Тем самым класс сопряженности SraS, в Srt
однозначно определен.) Пусть X, Y — соответственно Sr- и
^-пространства. Положим
E.13.7) X*Y = SrtXsrlst(XxYr).
Предложение 5.13.8. Соответствия (X, Y)t—+X>Y и
(X, Y) н-*• X * Y индуцируют отображения
A (Sr) X A (St) -> A (Sr«): (x, у)^х°у,
A(Sr)xA(St)^A(Srt): (x, у)>-+х*у
соответственно. Градуированная аддитивная группа
Л = 0 A (Sr)

5.13. Мультипликативное индуцирование
113
становится градуированным кольцом относительно умножения •.
Кроме того,
(а-\-Ь)*с = а*с + Ь*с,
(a°b) *c = {a*c)°{b*c),
(а * Ь) * с = а * (Ь * с),
Ъ*\=Ь.
Здесь 1 е В (Sn) = Z.
Доказательство. Формальные алгебраические свойства
этих операций вытекают из рассмотрения представителей, если
показана корректность определения операций - и #.
Разложим требуемое отображение • в композицию
A(Sr)xA(St)^-PiA (SrxSt)xA(SrxSt)-+A(SrxSt)->A(SrH),
где Pi и рг — проекции, второе отображение является
умножением в кольце A(SrxSf), а последнее — гомоморфизмом
расширения из 5.12.1.
Аналогично отображение * разлагается так:
n*Xw
A (Sr)х A (S,) -*— A (Sr eSt)xA (SreSt)^A (SrгSt)-+A (Srt),
где pt —проекция Sr3S^-^Sr, w индуцировано отображением
У»—*Yr (которое корректно определено!), второе отображение
является кольцевым умножением, а третье —расширением.
Вернемся к отображению E.13.5), которое, очевидно,
аддитивно по первой переменной, так что мы получаем действие
АхА (G)-^A(G). Более того, операции из 5.13.8 обладают
следующими свойствами:
Предложение 5.13.9. Для аъ а2^А, b e A (G) справедливы
равенства
(ai°a2)-b = (ai-b)(a2-b),
(аг *о2) • Ь = ау ¦ (а2- Ь).
Интерпретация этих формул такова: элемент а е А задает
операцию Ь<—>а-Ь на A (G). Сложению и умножению в А
соответствует поточечное сложение и умножение операций.
Наконец, * соответствует композиции операций. Значит, А
является кольцом операций. Эти операции обладают некоторыми
очевидными свойствами естественности, которые мы не
выписываем. Доказательство тождеств получается из рассмотрения
представителей.

114 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
5.14. Пример: группа SO C)
Используя, например, [169, 2.6], можно убедиться, что 50C)
имеет следующие классы сопряженности замкнутых подгрупп:
50C),
51se50B) —максимальный тор,
Sg±N(Sl)9*0B)-нормализатор 5\
19* А5 — группа икосаэдра,
0^ё54 —группа октаэдра,
Г^Л4 —группа тетраэдра,
Dn, «5=2, —группа диэдра порядка 2л,
Z/(«), я5=1, —циклическая группа порядка п.
Имеем N (Dn) = Z?.2„, я gfc 2, /V (D2) = 54) Л' (Л4) = S4, N E4) = 54(
Л/(Л5) = Л5, N@B)) = 0B).
Циклические группы имеют бесконечный индекс в своем
нормализаторе.
Кольцо A (SO C)) совпадает с множеством функций z <=
еС(Ф, Z), для которых
(i) г (Я) произвольно для H = S0C), Аъ, 54, N(S1) = S.
(ii) г (Д,) = г (?>,„) mod 2, л #2.
(iii) г(Л4) = 2E4)тоA2.
(iv) гE) = 2(S') mod 2.
(v) 2 (D2) + 2г (At) + Зг (D4) == 0 mod 6.
Непрерывность г означает, что limz(ZVn) = zE).
Если Я —подгруппа в 50C), мы обозначим для простоты
тем же символом элемент [G/H] в А E0C)). Приведем таблицу
умножения для элементов Я. Мы обозначаем через (k, n)
наибольший общий делитель чисел k и п и полагаем d(/s, я)=1,
если (k, n) = k, и d(ft, л) = 0 в противном случае.
(SJ = S + ?>2, SS1 = 51, 5D„ = D* + 2rfB, ?)A>,
S/ = DB + D3 + Da, S-T = D2, 50 = D4 + D3 + D2,
(S1J = 25\ 5W = 0 для Я ^=5, 51,
(D„J = 2Dft + 4d B, /г) A,, Dk-T = 2d B, k) D%,
DkDn^2D[k,n) + 4dB, (k, n))D2,
DkO = 2dD, k)Di + 2dC, k)D3 + 2dB, k)B-dD, k))Dlf
/2 = / + r + D5 + D3, I-T = 2T, I-0 = T + 2D3 + Dt,
02 = 0 + D4 + D3 + D.2, 0-T = T + D2,
Г = 2Г, DkI^2dE, k)Db+2dC, k)D3+2dB, k)Da.

5.16 Упражнения
115
Кольцо A (SO C)) содержит следующие идемпотенты:
x=I-T-Db-Da, y = S + 0-Dl-Da,
х + у, 1-х, 1-у, 1-х-у.
5.15. Комментарии
Общая теория бернсайдовских колец для компактных групп
Ли основана на работах автора [64], [65], [66]. Постольку,
поскольку речь идет об эквивариантной эйлеровой
характеристике, имеются параллели с теорией когомологий групп (см.
[39], [40], [41]). В разд. 5.3 мы руководствовались работой [39].
По поводу 5.3.3 см, [83, III, № 3], а по поводу 5.3.4-[39].
Было бы желательно дать единое изложение теории
бернсайдовских колец и результатов [39|. Сюда имеют отношение
также результаты Басса [16]. Универсальное кольцо для
эйлеровой характеристики в разд. 5.4 было введено в [118] и
использовано также в [18], [19]. Предложение 5.5.10 и разд.
5.14 содержат результаты из [140], а разд. 5.7 является
развитием результатов Дресса [79]. По поводу общих компактных
групп см. [86]. Было бы интересно найти более общие классы
пространств, для которых выполняются соотношения 5.8.5
между эйлеровыми характеристиками; достаточно было бы
подходящих условий конечности для когомологий. По поводу 5.9.8
см. [171] и [130]. Результаты разд. 5.10 основаны на
диссертации Гордона [86], см. также [87]. Читатель мог заметить,
что для конечных расширений торов может быть дано чисто
алгебраическое определение бернсайдовского кольца. Это
алгебраическое определение применимо также к другим
арифметическим ситуациям, например представлениям над целыми р-ади-
ческими числами. Если-G действует на диске D так, что все
множества DH или пусты, или стягиваемы, то D представляет
пдемпотент в A (G). Оливер в [118] показал, что по существу
все идемпотенты в A(G) возникают таким образом. В разд. 5.13
я использовал неопубликованные результаты Раймера [137].
В связи с операциями в бернсайдовском кольце см. [149].
5.16. Упражнения
1. Вычислить кольцо U (G) разд. 5.4 для G = SOC).
2. Пусть задано натуральное число «5=2. Может ли U (G)
содержать элемент х, для которого х"-1Ф0, а хп = 0?
3. Показать, что A (SO C)) имеет три неразложимых идем-
потента.
4. Вычислить обратимые элементы в A (SO C)) и сравнить
их с теми, которые получаются из 1.5.3.

116 Гл. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли
5. Если G — циклическая группа, то геометрические
представления задают изоморфизм A (G)g^R(G, Q).
6. Использовать разд. 5.13 для определения Я-кольцевой
структуры в A (G) с помощью симметрических степеней и
показать, что изоморфизм в упр. 5 совместим с Я-операциями
(но не использует внешних степеней!).
7. Пусть 5 — подкольцо рациональных чисел. Найти идем-
потенты кольца A(G)®zS, в частности для S = Zip].
8. Пусть Sa — категория гомотопических типов
пунктированных G-ClF-комплексов. Рассмотрим группу Гротендика
К (SQ) этой категории, т. е. универсальную абелеву группу,
порожденную классами [X] с соотношениями [X] = [.Д]+[Х \ А]
для любой последовательности А-*-Х -*- Х\А, определяющей
корасслоение. Показать, что тензорное произведение (X, V)i—»
>—*¦ X л Y превращает К (Sa) в коммутативное кольцо и что
K(Sa)^U(G).

Глава 6
Теория индуцирования
В этой части мы изложим формальную теорию
индуцированных представлений, гомоморфизмов ограничения и
отображений переноса. Эта аксиоматическая теория была развита
в основном в [88], [80], [81]. Основные аксиомы являются
абстрактными формами закона взаимности Фробениуса и
формулы двойных смежных классов Макки из обычной теории
представлений. Ниже мы применим этот формализм к эквива-
риантной теории гомологии и когомологий, а также к
топологическим отображениям переноса.
6.1. Функторы Макки
Пусть G — конечная группа, a G или G-Set — категория
конечных G-множеств и G-отображений. Обозначим через АЬ
категорию абелевых групп. Бифунктор
М = (М*. MJ: G-Set->Ab
состоит нз некоторого контравариантного функтора М*\
G-Set->-Ab и некоторого ковариантного функтора М%: G-Set-»-
->АЬ, причем на объектах эти функторы совпадают. Мы
будем писать
M(S) = M*(S) = M^{S)
для конечного G-множества S. Если/: S ->- Т — морфизм
G-множеств, мы часто будем писать
М* (/) = /*. М* (/)=/*,
как это принято в топологии: звездочка снизу означает кова-
риантный функтор («гомологии»). К сожалению, в работе Дресса
приняты другие обозначения.
Бифунктор М = (М*, М*) называется функтором Макки,
если он обладает следующими свойствами:
F.1.1) Для любого расслоенного произведения1) в катего-
J) Автор использует термин «pullback diagram», который иногда
переводится на русский язык словами «декартов квадрат» или «точная
диаграмма», — Прим. перев.

118
Гл. 6. Теория индуцирования
рии G-Set
н\ 'л
f J-> V
коммутативна диаграмма
М (U) Ft- M (S)
Н*' V
М (Т) ¦'-*- М {V)
F.1.2) Вложения слагаемых в прямую сумму S->S©r-<-T
определяют изоморфизм
M*(S®T)->M*(S)@M* (Г).
Пусть М и N — бифункторы. Естественное преобразование
бифункторов X: M-+N по определению состоит из семейства
отображений X (S): M(S)-> N (S), нумеруемых объектами из
G-Set, которое задает естественные преобразования (морфизмы)
функторов: Mx-^N* и M*^>-N*.
Пусть М — функтор Макки и S есть G-множество. Тогда
формулы
Ms: T-^M(SxT),
M%(f) = M*(\sxf), (Ms)t(f) = M*(lsxf)
определяют функтор Макки Ms, как легко проверить.
Отображение проекции pr: SxT-*-T определяет естественное
преобразование бифункторов
8S; M-+Ms, 0sG) = pr*,
6S: Ms-+M, Qs(T) = prm.
Коммутативность соответствующих диаграмм вытекает из
функтор ных свойств М и из F.1.1).
Функтор М называется S-инъективным (S-проективным),
если 9s (В$) является вложением в качестве прямого
слагаемого (проекцией на прямой сомножитель) как естественное
преобразование бифункторов.
Предложение 6.1.3. Пусть М —функтор Макки. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
(i) M S-инъективен.
(и) М S-проективен.
(Hi) М как бифунктор является прямым слагаемым Ms.
Доказательство. (i)=>(iii) по определению 5-инъек-
тивности.

6.1. Функторы Макки
119
(iii)=>(i). Из (iii) следует, что имеются естественные
преобразования 9: M-*-Ms, i|>: Ms-+M, для которых г|з-б=1.
Мы должны найти такое естественное преобразование г(з5: Ms~*-
-> М, для которого i|3s6s=l. Для любого G-множества Т
определим tys (Г) из коммутативной диаграммы
М(Т) ^ MISxT) -sTfT M(T)
6(dJ Je(Sxr) v |ф(г)
Af(SxT) — ^M(Sx5xT)(-^^M(Sxr)
где d: S-ySxS — диагональное отображение. Левый квадрат
коммутативен в силу естественности. Из (dxl)*pr* = l и
if (Г) 8 G) = 1 следует, что i|)s (Г) б5 (Г) = 1. Более того, ij)s G)
определено как композиция трех естественных преобразований
бифункторов и, стало быть, само является естественным
преобразованием.
(и)с=>(и\) доказывается аналогично.
Пусть 5 — некоторое G-множество. Обозначим через S0 однс-
k— 1
точечное множество, а через Sk — произведение |~[ S. Пусть
1=0
pr,-: S*+1->5* означает проекцию на произведение с
выброшенным i-u сомножителем, O^i^k. Для каждого функтора
Макки М мы получаем два цепных комплекса
F.1.4) 0-+¦ М E°) - М (S1)--- М (S2) -...,
F.1.5) 0 ч- М E°) А м E1) -^ Af (S2) <d2...
* ft
с дифференциалами d*= ^] (—1)'РГ*. ^=2] (—1)''(рг,-)#.
1=0 г = 0
Предложение 6.1.6. Пусть М —функтор Макки. Тогда
(i) Ms всегда S-инъективен и S-проективен.
(И) Если М S-инъективен, то комплексы F.1.4) и F.1.5)
точны.
Доказательство. Расщепление естественного
преобразования Ms-*-(Ms)s получено в доказательстве 6.1.3. Пусть
¦ф — расщепление 6s. Тогда стягивающая гомотопия для F.1.4)
задается отображениями
sM:=^(S"): M(SxS")^M(Sk).
Расщепление 8S дает стягивающую гомотопию для 6.1.5.
Замечание. Вместо функторов в категорию АЬ можно
рассматривать функторы в категорию модулей над некоторым
кольцом или в любую абелеву категорию. Это замечание
относится также и к последующему изложению.

120
Гл. 6. Теория индуцирования
Часто бывает удобно обозначать М (G/H) через М (Н), Если
H<.K<.G и /: G/H-+G/K — каноническая проекция, то
/*: M(K) = M(G/K)-*M{G/H) = M(H)
называется ограничением с К на Н и обозначается через res*.
Аналогично
/»: М(Н) = М (G/H) -+M(G/K) = M(K)
называется индуцированием с Н на К и обозначается
через ind^.
Аксиомы для функторов Макки по существу описывают
поведение res и ind при композиции. Это так называемая
формула двойных смежных классов, которую невозможно
запомнить и без которой можно обойтись, если использовать
описываемый аксиоматический подход. Пусть
G/HxG/K~-G/K
Q\ \в
G/H -?. G/G
— каноническая диаграмма расслоенного произведения. Орбиты
Аъ ..., Аг в G/HxG/K соответствуют двойным смежным
классам H\G/K- Пусть P(i), Q(i) — ограничения Р и Q на Л,-.
Тогда из F.1.1) и F.1.2) следует
F.1.7) res?ind« = ? P(i)*Q@*-
Если Л; —орбита, проходящая через точку A, х), то, ввиду
Ai = G/G(llX)
F.1.8) Q@* = res«n^r_1
и
F.1.9) P(t), = md%nx_tHx-c{x)t,
где с (х) — сопряжение g*—*x~1gx. Формулы двойных смежных
классов F.1.7) —F.1.9) позволяют восстановить весь функтор
Макки.
Аналогичные замечания применимы к точным
последовательностям F.1.4) и F.1.5). Посмотрим, что означает точность
последовательности F.1.4) в члене М (S1) в терминах двойных
смежных классов. Пусть S— ]J G/H, где F — некоторое се-
HsF
мейство подгрупп в G. Тогда M(S)=^ 0 М {G/H). Образ М E°)
HeF
в M{S) совпадает с ядром разности двух проекций р*\ M(S)-*-

6.2. Функторы Фробениуса и функтор Грина 121
-^M(SxS), которые суть отображения
© M(G/H)^ © (G/HxG/K).
HeF (Я, MeFxF
Тогда (хн) е ф М (G/H) принадлежит ядру, если и только
// <= f
если res (хн) е М (Я Г] хКх~л) совпадает с res»с (х) хк для
любого х^К и (Я, K)^FxF, где снова с(х) — отображение,
индуцированное сопряжением х~гНх Г| К -*¦ Я П хКхгх. Можно
видеть, что это ядро является фактически обратным пределом.
6.2. Функторы Фробениуса и функтор Грина
Пусть М, N a L — функторы Макки из G-Set в АЬ.
Спаривание
MxN^L
по определению состоит из семейства билинейных отображений
M(S)xN(S)-*L(S): (x, у)^х-у,
нумеруемых объектами категории G-Set и для любого морфизма
S-+T обладающих следующими свойствами
L*f(x-y) = M*f(x)-N*f(y), хе=М(Т), у е= N (Т),
F.2.1) x-NJ(y)*=LJ(M*f(x)-y), хе=М(Т), ye=N(S),
MJ(x)-y = LJ(x-N*f(y)), xe=M(S), y^N{T).
Эти формулы имеют смысл для любых бифункторов М, N и L.
Бифунктор F вместе со спариванием FxF->F называется
функтором Фробениуса, если отображение F (S) x F (S) -*¦ F (S)
превращает F (S) в ассоциативное кольцо с единицей и мор-
физмы /* сохраняют единицы.
Функтором Грина U: G-Set ->АЬ называется функтор
Макки U вместе со спариванием UxU-+U, превращающим О
в функтор Фробениуса.
Если (У —функтор Грина, то левым U-модулем называют
функтор Макки М вместе со спариванием UxM-^M,
определяющим на каждой группе М (S) структуру левого U (S)-uo-
дуля (в котором единица 1щ$) ^U (S) действует как
единичный оператор).
Теорема 6.2.2. Пусть 11: G-Set->Ab — функтор Грина. Для
любого G-множества S следующие утверждения эквивалентны:
(i) Отображение /*: U(S)-*-U(pt) сюръективно (здесь
pt — одноточечное множество).
(И) U S-инъективен.

122
Гл. 6. Теория индуцирования.
(iii) Все U-модули S-инъективны.
Доказательство. (iii)=>(ii), поскольку U является
(/-модулем.
(ii)=>(i), потому что в силу 6.1.3 функтор (У 5-проективен;
в частности, Us (pt) ->(/ (pt) — проекция на прямой сомножитель.
(i)=>(iii). Выберем х е U (S), для которого /*(л")=1.
Пусть М есть с/-модуль. Определим естественное
преобразование т|э: Ms->M формулой
Ч>(Г): M{SxT)~>M{T): y>-+q,(p*x-y),
где р: SxT-^S и </: 5хТ-> 7 —канонические проекции.
Проверяется, что г)) — естественное преобразование функторов
Макки. Кроме того, tp является левым обратным к 9s': М-*-
-*-Ms, поскольку для геУИ(Г) мы имеем в силу F.2.1)
у • 6s (Т) z = <?„ (р*х • q*y) = (<7*Р*х) • у,
а в силу F.1.1) q*p*x = g*fbX = g* A)= 1, где использованы
обозначения из диаграммы
SxT-^T
р\ , >
S ipt
Универсальным примером функтора Грина является функтор Л,
который каждому G-множеству S ставит в соответствие берн-
сайдовское кольцо A [S] конечных G-множеств над S. Мы
займемся теперь этим аспектом теории бернсайдовскпх колец.
Если /: S^-T—морфизм в категории G-Set, то
соответствующее расслоенное произведение над S определяет кольцевой
гомоморфизм /*: А [Т] -»- A [S], а композиция с / задает
аддитивное отображение /„.: Л [S]-»-Л [Г]. Кольцевая структура
на Л [S] определяет спаривание Л х Л-> Л. Легко проверяется,
что все эти структуры превращают Л в функтор Грина.
(Ср. гл. 5, где изучалась несколько более общая ситуация.)
Предложение 6.2.3. Пусть М —функтор Макки. Тогда он
обладает канонической структурой модуля над функтором А.
Доказательство. Для заданного морфизма /: T-+S
рассмотрим гомоморфизм f*f*: M(S)-+ M(S). Соответствие
(/, х) ь->- fj* (х) аддитивно по / и задает поэтому билинейное
отображение Л [S]xM (S)->M(S). Мы оставляем в качестве
упражнения проверку того, что это спаривание превращает М
в Л-модуль.
Пусть (У —функтор Грина. Соответствие (/: T-+S)i—+fJ*(\s)
задает кольцевой гомоморфизм
h(S) = h: A[S]-+U[S],

6.3. Индуцирование с гиперэлементарных подгрупп 125
и совокупность h(S) образует естественное преобразование
функторов Грина. Это обобщает понятие геометрического
представления.
Обсудим теперь понятие дефектного множества.
Предложение 6.2.4. Пусть X и Y—конечные G-множества
а V —функтор Грина. Тогда отображения U (X) -*¦ U (pt)
и U (У)-> t/ (pt) сюръективны, если и только если сюръектив-
но отображение U (X xY) -+U (pt). (Здесь pt — одноточечное
множество.)
Доказательство. Если U (X х Y)-*-U (pi) сюръективно,
из разложения U (X х Y) -> U (X) -> U (pt) видно, что U(X)->-
->-L/(pt) сюръективно. Если U (Y) -*¦ U (pt) сюръективно, то U
Г-проективен и, значит, U (X х Y) -*- U (X) сюръективно для
любых X.
Следствие 6.2.5. Существует единственное минимальное
множество D (U) классов сопряженности подгрупп в G, для
которого сумма отображений индуцирования U (#)-> U (G),
(//)еО((/), сюръективно..
Множество D (U) называется дефектным множеством
функтора Грина U. Знаменитая теорема Брауэра об индуцировании
является в этой терминологии утверждением о том, что
дефектное множество для кольца комплексных представлений состоит
из групп вида SxP, где Р есть //-группа, а 5 —циклическая
группа.
6.3. Индуцирование с гиперэлементарных подгрупп
Теорема об индуцировании для заданного функтора Макки —
это теорема, описывающая его дефектное множество или хотя бы
некоторые ограничения на это множество. Мы приведем здесь
один общий результат такого типа.
Начнем с одного результата относительно ограничения и
индуцирования для бернсайдовского кольца. Пусть /V —
семейство подгрупп группы G, замкнутое относительно сопряжения
и перехода к подгруппе. Пусть р — простое число. Определим
F.3.1) Np={H<G\3K<\H, Kz=N и \Н/К\ = р1}.
Будем индексом (р) обозначать локализацию относительно
простого идеала (р). Пусть ker (N) обозначает ядро
совокупности отображений ограничения A(G)(P)-+ \\ А(Н){р),
HeN
a im (Np) — образ суммы отображений индуцирования
ф А (Н)т-+ A (G)(l>). Тогда справедливо

124
Гл. 6. Теория индуцирования
Предложение 6.3.2. ker (N) + im (Np) == A (G)(p).
Доказательство, ker (N) -f im (Np) — идеал в A{G)[p),
поскольку ker (N) является ядром кольцевого гомоморфизма,
a im(Af) —идеал, так как образ отображения индуцирования
для всякого функтора Фробениуса является идеалом (ср.
F.2.1)). Если этот идеал отличен от A (G){ph то найдется
максимальный идеалу в A (G){p), для которого ker (Л0 + im (Np) cz
czq. Идеал q имеет Bujxq(L, p) (см. 5.7.2). Поскольку ker (N)cz
cz q, этот идеал порождает идеал в Y\ A (Н) (см., например,
/leN
[11, 5.10]), так что мы можем предположить, что q = q(L, p),
где LeiV. В силу 5.7.1 ц (L, p)=q(K, p), где GjKqEq,
а в силу 5.7.9 К е Np.
Но G/K является образом 1 при отображении
индуцирования А {К)-> A (G). Поэтому условие G/K^q противоречит
включению G/K e im (Np) cz q. Значит, идеала qt обладающего
свойством ker (Л') + \m(Np) cz q, не существует.
Пусть теперь U — функтор Грина из G-Set в АЬ. Как
обычно, мы будем вместо U (G/H) писать просто U (Я). Пусть N
и Np определены, как выше.
Теорема 6.3.3. Предположим, что каждый элемент
конечного (аддитивного) порядка в 0 (G) нильпотентен, и пусть
отображение ограничения
U(G)®Q-+ П ^(#)®Q
HeN
инъективно. Тогда отображение индуцирования
0 U(H){p)^U(G\p)
сюръективно.
Доказательство. Из предположений теоремы следует,
что каждый элемент ядра отображения ?/(G)(p)-*- Y[ U (H)t,p)
NeH
нильпотентен. В силу 6.3.2 мы можем найти такие x^kerN,
#(=imA/p, что х-\-у = 1 е A (G)(p). Применим теперь
естественное преобразование h: A (G)(p) -+U(G)(P) из F.2.4). Тогда
h(x)-\-h(y) = 1 s U(G)IP), где h(x) — нильпотентный элемент,
лежащий в ядре отображения U(G){p)-*- Y\ U (Н)(р)- Поэтому
HeN
h (У) = 1 —h(x) — обратимый элемент. Но h (у) лежит в образе
отображения
© U(H)ip)->U(G){p).
H(=NP
Будучи идеалом, этот образ совпадает с U (G)[p).

6.5. Упражнения
125
Пусть N = С — семейство циклических подгрупп в G; тогда
Np — семейство р-гиперэлементарных подгрупп. Подгруппа
называется гиперэлементарной, если она является р-гиперэле-
ментарной для некоторого р. Обозначим через Ну класс всех
гиперэлементарных подгрупп в G.
Следствие 6.3.4. Если U (G) не имеет кручения и
отображение U (G) -»- Y\ U (Н) инъективно, то для U выполняется
нес
принцип гиперэлементарного индуцирования, т. е.
отображение индуцирования
0 U(H)-+U(G)
Не Ну
сюръективно.
Частным примером, когда предположения 6.3.4
выполняются, является функтор Грина кольца рациональных
представлений. В силу 6.2.2 любой модуль над этим функтором Грина
также удовлетворяет принципу гиперэлементарного
индуцирования.
6.4. Комментарии
Этот раздел основан на работах Дресса [80], [81]. Мы
отсылаем к ним за дальнейшими подробностями, в частности
касающимися связи с обычными теоремами об индуцировании.
Читатель должен также изучить [80, § 7], чтобы познакомиться
с общей конструкцией функторов Макки, которая применима
в большинстве алгебраических приложений. В качестве темы
для исследования я могу предложить читателю взять формулу
двойных смежных классов из разд. 5.12 и развить теорию
индуцирования для компактных групп Ли по образцу того,
как это сделано в настоящей главе. По поводу приложений
теории индуцирования в топологии см. следующую главу (там
же рассматриваются и компактные группы Ли).
6.5. Упражнения
1. Показать, что мультипликативное индуцирование (разд.
5.12) является частью функтора Макки.
2. Пусть (p)eZ-простой идеал. Каково дефектное
множество для функтора локализованного бернсайдовского кольца
A(G)(q(H,p)O
3. Восстановить детали доказательства 6.2.6.

Глава 7
Эквивариантные гомологии
и когомологий
Мы приведем здесь теоремы о локализации и о
расщеплении для эквивариантной теории гомологии и когомологий.
В частности, мы используем тот факт, что эти теории являются
модулями над бернсайдовским кольцом. Мы вычислим
локализации бернсайдовского кольца в простых идеалах. Наше
изложение будет аксиоматическим.
7.1. Общая локализационная теорема
Пусть G —компактная группа Ли. Под G-жвивариантной
теорией когомологий мы будем понимать контравариантныи
G-гомотопически инвариантный функтор /*<?(?,?) из
подходящей категории пар G-пространств (например, компактов или
G-CW-комплексов) в категорию градуированных абелевых групп.
Градуировка производится с помощью некоторой абелевой
группы Л, в роли которой могут выступать целые числа,
кольцо вещественных представлений или некоторое его под-
факторкольцо и т. д. Предполагается, что А снабжена
гомоморфизмом i: Z—>-Л, так что имеют смысл выражения вида
a-f-t (n) =: а-\- п, а^.А, neZ. Мы предполагаем, что имеют
место длинная точная последовательность когомологий (по
крайней мере для замкнутых G-корасслоений Л с X) и
изоморфизм надстройки hc;(X)^h% ' (SX). Впоследствии мы будем
добавлять новые аксиомы, как, например, надстроечный
изоморфизм для представлений, операцию умножения,
непрерывность н т. д.
Для любой подгруппы Я из G мы полагаем
G.1.1) h%(X, Y) = h%(GxHX, GxHY),
где (X, Y) — пара Я-пространств, и рассматриваем h% (?,?)
как Я-эквивариантную теорию когомологий.
Пусть теперь kb (?,?) — другая эквивариантная теория
когомологий, которая имеет ту же градуировку, что и h%, и
мультипликативна. В частности, kf, (X) — градуированное
коммутативное кольцо с единицей. Предположим, что задано спа-

7.1. Общая локализационная теорема
127
ривание
kb(X, Y)xh*a(X, Y)-+h*a(X, Y)
групп когомологий, которое превращает Щ{Х, Y) в ko{X, Y)-
модуль. В частности, h'a(G хИ X) является к'Ь ((}/Я)-модулем
ввиду наличия естественных проекций р: G хн X ~>G/# и
kc(CnH)-+h%(GlH). Кроме того, он превращается в k*, =
----- lib (точка)-модуль с помощью отображений Щ-^кс (GXh X) -у
-*~h'o(GXH X). Эти структуры модуля «пропускаются» через
кольцевой гомоморфизм k* -> k% (G/H) = к%, называемый
гомоморфизмом ограничения.
Пусть S е ка-мультипликативная система, лежащая (для
простоты) в центре ко и, следовательно, коммутативная в не-
градуированном смысле (центр также понимается в неградуи-
рованном смысле). Пусть X — некоторое G-пространство;
положим
G.1.2) XS = {x<=X\Sn ker (Щ -> Щ (G/Gx)) = ф}.
Предложение 7.1.3. Пусть X— компактное G-пространство,
для которого Xs — ф. Тогда локализация S/ig(X) равна 0.
(Имеется в виду градуированная локализация, при которой
элементы 5 становятся обратимыми.)
Доказательство. Для заданного х е X по теореме
о сечении (см. [37, II.5.4]) можно найти G-окрестность U
орбиты Gx и G-отображение г: U-yG/Gx- Если U0 = r~1 (Gx), то U
канонически записывается в виде U = GXa 00 и г является
G-продолжением проекции Uq-*-{x\. Поскольку х не
принадлежит Xs, мы можем найти seS, содержащийся в ядре
отображения ko-+kc(G/Gx)- Поскольку структура ^-модуля на
ha(U) пропускается через гомоморфизм kc-^kG(G/Gx), мы
видим, что s • h'c (U) = 0 и, следовательно, S-Чг'а (U) = 0.
Покрывая X конечным числом таких окрестностей U, используя
последовательность Майера — Вьеториса и точность функтора
локализации, мы заключаем, что S~1ha(X) = 0.
Рассмотрим теперь G-пространства Х общего вида. Если V —
компактная G-окрестность Xs в X, то в силу аксиомы
вырезания и 7.1.3 мы имеем S-Vi*(X, V) = 0. Теперь, предполагая
либо непрерывность
G.1.4) colimAg(X, V) = hb(X, X*)
v
рассматриваемой теории когомологий, либо локальные свойства
пары (X, Xs), обеспечивающие G.1.4) (например, предполагая,
что Xs — окрестностный ретракт), мы получаем

128 Гл. 7. Эквивариантные гомологии и когомологии
Предложение 7.1.5. Пусть X — компактное G-пространство,
для которого справедлива формула G.1.4). Тогда вложение Xs с
с: X индуцирует изоморфизм
S-l(hb(X))^S--4ib(Xs).
Существует много вариантов предложений 7.1.3 и 7.1.5,
соответствующих различным техническим (аксиоматическим)
условиям, налагаемым на теории когомологии или на
рассматриваемый класс пространств. Укажем некоторые из них. Прежде
всего совершенно аналогично строится теория гомологии.
Компактность пространств в 7.1.3 можно заменить
конечномерностью, работая со спектральной последовательностью
накрытия в аддитивной теории.
Опишем теперь одну особенность процесса локализации.
Предположим, что наша теория когомологии ha обладает
надстроечным изоморфизмом для подходящего множества
представлений. Это значит, что заданы семейство (Vj1 / е /)
комплексных представлений и для каждого / естественный
изоморфизм s/. h*G (X) -»-й0* + '¦' (Vе, Л X), где У- = Vj [) {оо} —
одноточечная компактификация, а |/(— некоторый индекс,
аддитивно зависящий от Vj (например, размерность самого Vj).
Предположим для простоты, что представления комплексны,
чтобы избежать проблем, связанных со знаком. Гомоморфизмы Sj
предполагаются перестановочными. Определим произведение
с эйлеровым классом Vj как отображение, получаемое
композицией
h*G(X)^h%+ul{vUx)-+tt+'i](X),
где второе отображение индуцировано вложением нуля в Vj.
Фактически это частный случай обсуждавшейся выше структуры
модуля, вытекающий из наличия естественного преобразования
стабильной эквивариантной когомотопической теории в Щ.
Пусть 5 — мультипликативная система, порожденная всеми
эйлеровыми классами. Тогда X \ Xs — множество тех орбит,
которые можно отобразить в V\{0}, где V — любая конечная
прямая сумма V,. Если, в частности, (Vj) состоит из всех
нетривиальных неприводимых представлений, то Xs — множество
неподвижных точек в X. (См. [56] по поводу дальнейшей
информации об этой конструкции.)
7.2. Классифицирующие пространства
для семейств стационарных подгрупп
Пусть G — компактная группа Ли. Множество F
замкнутых подгрупп называется семейством, если оно замкнуто
относительно сопряжения и перехода к подгруппе. (Для некоторых

7.2. Классифицирующие пространства 129
из дальнейших исследовании достаточно предполагать
замкнутость относительно сопряжения п пересечения.)
Пусть F —некоторое семейство. G-пространство Х
называется F-тривиальным, если существует G-отображение X-*¦
-+G/H для некоторой подгруппы Hi=F. G-пространство
Л'называется F-нумеруемым, если существует его нумеруемое
покрытие (Uj [ / е J) ^-тривиальными G-подмножествами. (См.
[71] по поводу понятия нумеруемого покрытия. Разбиения
единицы, о которых идет речь в [71], должны в нашем случае
состоять из G-ннварнантных функций.)
Пусть F — некоторое семейство. Обозначим через Т (G, F)
категорию F-нумеруемых G-npocTpaneiB. Стационарные
подгруппы таких пространств лежат в F. Пусть Т (G, F) h —
соответствующая категория гомотопических классов.
Предложение 7.2.1. Категория Т (G, F)h содержит
финальный объект Е (F), обладающий тем свойством, что каждое
F'-нумеруемое G-пространство допускает единственное с
точностью до G-гомотопии G-отображение X-*-E(F).
Доказательство. Будем имитировать конструкцию
Милнора [115] универсального расслоения. Существует такая
счетная система (Hj i j е /) групп Я, <= F, что каждая группа
Я ef сопряжена с одной из Я, (см. [124, 1.7.27]). Пусть
Ej = G/Hj * G/Hj *... — соединение *) счетного множества
экземпляров G/FIj. Положим E(F) = ¦&¦ ^ — соединение всех Ej
i<=j
(с топологией Милнора).
Пусть X — объект категории Т (G, F). Выберем его
нумеруемое покрытие (Ua\cu= А) G-множествами UaaX и G-ото-
бражения fa: Ua-*-G/Ha, где Яае{Я;|/еУ|. Можно
предположить, что А счетно (ср. [49, лемма 2]). Исходя из покрытия
(Ua\a<^A) и подчиненного ему G-ннвариантного разбиения
единицы, можно построить G-отображение X^-E(F) и
показать, как в [49], что любые два G-отображения G-гомотопны.
Пространство E(F) содержится в T(G, F) (см. [71] по поводу
нумеруемости). Значит, Е (F) и есть искомый финальный
объект.
Замечание 7.2.2. Финальный объект в T(G, F) определен
с точностью до G-гомотопической эквивалентности. Если Fx,—
семейство всех подгрупп в G, то Е (F^) G-стягиваемо,
поскольку финальным объектом в Т (G, Fw)h является точка.
Предложение 7.2.3. Пусть X — объект категории 7 (G, F).
Тогда X* Е (F) G-гомотопически эквивалентен Е (F).
!) Употребляется гакже термин «джойн». — Прим, перев,
б Заказ 315

130 Гл. 7. Эквивариантные гомологии и когомологин
Доказательство. Методами работы |49] можно
показать, что любые два G-отображения Z-+Y, где
Y = E(F)*X*X*...,
G-гомотопны. Если X <= Т (G, F), то Fe7' (G, F), так что Y
является финальным объектом в Т (G, F) h. Это влечет за собой
G-гомотопическую эквивалентность
Е (F) * X ~ Y * X ~ Г ~ Е (F).
Пусть Я — подгруппа в G. Для G-пространства Х
обозначим через resH X //-пространство, получаемое из X
ограничением группового действия. Если F — семейство подгрупп
группы G, то положим F/H = {L{]H \ L е/7} — индуцированное
семейство подгрупп в Я. В этпх обозначениях справедливо
Предложение 7.2.4. resH E (F) = E (F/H).
Доказательство. Согласно свойству сопряженности,
[У, resH E(F)]H = [GxHY, E(F)]Q.
Если FeT (Я, F/H), то GxhY e T (G, F). Значит, множество
[Y, resH E (F)]H гомотопических классов Я-эквивариантных
отображений состоит из единственного элемента, что и
означает финальность объекта resH E(F). Заметим, что vesH E (F) <=
е=Г(Я, F/H).
7.3. Примыкающие семейства
Семейства стационарных подгрупп были с успехом
использованы в теории бордизмов Коннером и Флойдом [47], а позже
Стонгом [155], Коснёвским [106] и другими.
Классифицирующие пространства Е (F) из разд. 7.2 позволяют перенести
некоторые из этих методов на общие эквивариантные теории
гомологии и когомологий. Дадим несколько указаний, как это
можно сделать.
Пусть FxCzFz — два семейства подгрупп в G и Ei —
финальный объект в Т (G, Fi)h. Тогда существует единственное с
точностью до G-гомотопии G-отображение /: Ei-^E^. В
дальнейшем мы будем предполагать, что/ — замкнутое G-корасслоение.
(В случае необходимости можно заменить Е2 на цилиндр
отображения /.) Если /': Е\-^Е'ч — другое такое G-корасслоение, то
пара (Е2, Ei) G-гомотопически эквивалентна паре (Е'.и Е[) (см.
[70, теорема 2.32]). Кроме того, G-гомотопическая
эквивалентность определена однозначно (надо воспользоваться финаль-
ностью).

7.3. Примыкающие семейства
131
Пусть задана эквнвариантная теория гомологии h%.
Определим новую теорию гомологии
G.3.1) h«[Fit F,](X, Y):=h*(E2xX, (ElxX)\j(EtxY)).
Точность гомологической последовательности пары
устанавливается без труда, если У замкнуто в X (используйте
цилиндры отображения). Другой выбор Е2, Ех приводит в силу
сделанного выше замечания к функтору, канонически
изоморфному /г* [F2, Fj]. Положим h^ (F2, ф) =: h* (F2), если Fx пусто,
h.,[F2](X, Y):=l4(E2xX, ElXX).
Точная гомологическая последовательность тройки
(Е2хХ, (E1xX)[j(E2xY)l E2xY)
дает с помощью изоморфизма вырезания
h.,(E,xX, E1xY)^h,.((E1xX)\J(E2xY), E2xY)
длинную точную последовательность гомологии
G.3.2) ..:-*hn+l[F2, Л](Х, Y)-^hn[F1](X, К)-
-+hn[F2](X, Y) ->...,
где n берется из подходящего множества индексов.
Отношение этих теорий гомологии к точным
последовательностям Коннера и Флойда таково. (Мы используем
терминологию Стонга [155].) Пусть Щ (F2, F,) — неориентированная
теория G-бордизмов многообразий из Т (G, F2) с границей
в Т (G, Fj). Тогда справедливо
Предложение 7.3.3. Существует естественный изоморфизм
9^(^, Fi)^9i°[^2, Л].
Доказательство остается читателю в качестве
упражнения (ср. [57]).
Предложение 7.3.3 показывает, что теория бордизмов
относительно семейства подгрупп совпадает с обычной теорией
бордизмов для подходящего класса пространств. Один из
основных способов использовать семейства состоит в том, чтобы
проводить индукцию по орбитальному типу, используя понятие
примыкающего семейства. Два семейства подгрупп F2 zd F^
называются примыкающими, если их разность F2\F1 состоит
из одного класса сопряженности. Изучим подробнее эту
ситуацию.
Пусть F2 гэ F1 — примыкающие семейства, отличающиеся нэ
класс сопряженности подгруппы Н. Обозначим через CZ конус,
нал Z. Тогда имеет место
б'-

132 Гл. 7. Эквивариантнш гомологии и когомологии
Предложение 7.3.4. Существует канонический естественный
изоморфизм
^h,(GxN(H)E(W(H))x(CE(F2), Е(Е,))х(Х, А)).
Доказательство. В формулировке этого предложения
Е (W (#)) является, конечно, свободным нумеруемым W
(/^-пространством. Можно показать, что
GxK(H)E(W(H))*E(F1)
является финальным объектом в T(G, F2)h и, значит, может
быть взято в качестве Е (F^j. Дли доказательства этого можно
воспользоваться схемой доказательства 7.2.1. Утверждение,
сформулированное выше, вытекает тогда из следующих
соображений. Если А и В суть G-пространства, а Р — точка, то
имеется G-гомеоморфизм
A*Bs*.(A*P)xB\JAx(B*P).
Отсюда, используя аксиому вырезания, получаем
hm(A*B, B)^hm((A*P)xB[)Ax(B*P), В)д*
s*ht((A*P)xB\jAx(B*P),(A*P)xB)o±ht(Ax(B*P),AxB).
Кроме того, пара (В*/5, В) G-гомотопическп эквивалентна
паре (СВ, В).
7.4. Локализация и семейства орбит
Предположим, что задана аддитивная теория G-гомологий /ц,
стабильная в следующем смысле. Пусть V — комплексный G-mo-
дуль. Тогда, как и в разд. 7.1, определены надстроечные
изоморфизмы
sv: K(X)g*h* + iVl(VeAX),
согласованные таким образом, что swSv = S\gr^v Предположим,
что теория мультипликативна и имеет единицу le/i0(S°).
Образ 1 относительно
называется эйлеровым iuac.coM модуля V и обозначается через
e(V) (здесь « — нулевое сечение 5°= {0, со}-»-Vе). Пусть М —
множество G-модулей, замкнутое относительно прямых сумм.
Пусть
S = S(M) = {e{V)\V (=M}.
Обратим формально элементы S и получим новую теорию го-

7.4. Локализация и семейства орбит 133
мологий
S-*h, (X, А).
Теории такого типа изучались, например, в [53], [56], [58], [59].
Пусть Foo — семейство всех подгрупп группы G, a Fs —
семейство стационарных подгрупп, возникающих при действии G
на единичных сферах 5(У), КеМ.
Предложение 7.4.1. Существует естественный изоморфизм
теорий гомологии
S-4»(X, Д^АЛ^оо, Fs){X, A).
Доказательство. Как и в [56], можно видеть, что
S-1^ (X, А) является индуктивным пределом групп h* ((D (У),
S(V))X(X, А)), где У пробегает G-модули из М. Поскольку
аддитивная теория гомологии совместима с индуктивными
пределами, мы должны, по существу, показать следующее: пусть
Уоо — прямая сумма счетного семейства всех неприводимых
представлений, возникающих в качестве компонент модулей
из М; тогда единичная сфера S (Уоо) является финальным
объектом в T(G, Fs)h. Ясно, что S (Ую) cz T (G, Fs). Любые два
G-отображения S (Vю)-+S (V<») G-гомотопны ([99, 3.6, с. 31—
32]). В существовании G-отображения Е (Fs) -*¦ S (Vm) можно
убедиться так: если a: G/H -> 5 (Ую) — некоторое G-отображе-
ние, то
оо
(и&Н, u2g2H, ...).-*• 2 u/a(g/H)
/ = i
00
является G-отображением из G/H*G/H*... в ^ У\{0}.
/=i
В разд. 7.1 мы видели, что локализация позволяет
отбрасывать некоторые части G-пространств. Это верно и в
применении к семействам подгрупп. Пусть F — некоторое семейетво,
а X есть G-пространство. Положим
XF={xe=X\GxezF\, Х>> = Х\ХР.
Предположим, что X, ХР и т. д. нумеруемы и что пары
(X, XF), (A, AF) обладают нужными свойствами вырезания.
Предложение 7.4.2. Вложение (XF, AF) с (X, А)
индуцирует изоморфизм
ЛЛ^со, ?](*', An^h*[Fm, F](X, A).
Доказательство. Предложение 7.2.3 дает ¦'/ (Е (F) * XPt
Хр) — 0. Поскольку E(F00) = CE (F), то, как и в доказатель-

134 Гл. 7. Эквивариантные гомологии и когомологии
стве 7.3.4,
К (Е (F) * XF, XF) ^ 1Ч (Е (Fm) X XF, E (F) x ХР)
и последняя группа по аксиоме вырезания изоморфна
h*(E (Foo), E(F)x(X, XF)). (Нужно предположить, что это
вырезание действительно возможно.) Точная гомологическая
последовательность теории /?* [F^, F] для пары (X, XF) дает
теперь изоморфизм, наличие которого и нужно установить.
Мы должны обсудить проблему вырезания. Для начала
заметим, что /i* [Fm, F] (К) = 0 для G-подмножеств К из XF.
Если X вполне регулярно, то XF замкнуто в X ([124, 1.7.22]).
Если KcXf замкнуто в X, то, согласно обычной аксиоме
вырезания, /i* [Fm, F](X \К) = Н^ [FOD, F](X). Чтобы перейти
от X \ К к X \ XF, нужно исследовать естественное
отображение
I: M^co, F](XF)->inv Urn h^F^, F)(U),
где обратный предел берется по всем открытым G-окрестно-
стям U множества XF, и выяснить, при каких условиях /
является изоморфизмом.
Здесь можно использовать условия непрерывности,
налагаемые на теорию /г*. Но для многих пространств X
непрерывность не используется. Заметим, что рассматривается
обратный предел изоморфизмов. Поэтому / инъективно, если XF
является G-ретрактом некоторой окрестности U, и I сюръек-
тивно, если ретракция г: 0'-> XF G-гомотопна вложению
UczX.
Обсудим теперь локализацию эквивариантных гомологии
в простых идеалах бернсайдовского кольца и ее связь с
семействами стационарных подгрупп. Опять воспользуемся
аксиоматическим подходом. Пусть задана G-эквивариантная теория
t1(X, Y). Предположим, что t?.(X, Y) является естественным
модулем над A(G). Положим t"(X, Y) = t(!(G/UxX, G/UxY)
и предположим, что t% является А (?/)-модулем. Ограничение
res = r: t°{X)-*ty{X)
будет согласовано с ограничением s: A (G)-> A (U), т. е.
г {х ¦ у) = s (х) г (у), х е A (G), y^t% (X). Кроме того, мы имеем
естественное преобразование (индуцирование) ind: t% (U/KxX)-*-
->-tU(X), для которого композиция
Ц(Х)ЪЦ(и/КхХI^%(Х)
совпадает с умножением на U/K e A (U).
Рассмотрим простой идеал q = q(H, р)вЛ (G) (см. разд. 5.7),
где Н<G и W (И) конечна и имеет порядок, взаимно простой

7.4. Локализация и семейства орбит
135
с ;/ при рфО. Пусть заданы семейства Fx zd F2, такие, что для
i(efi\F2, имеем q(K, p) — q(H, р). Индекс (р) и q будет
означать локализацию в простом идеале (р) is Z или q e Л (G).
Тогда справедливо
Предложение 7.4.3. Умножение на элемент у <ф q (И, р),
например y = [G/H], является автоморфизмом теории гомологии
t%[Fi, F2](;7). Каноническое отображение
является изоморфизмом.
Доказательство. Используя точные последовательности
из 7.3.2 и точность функтора локализации, мы видим, что
достаточно рассмотреть примыкающие семейства Fj =э F2, скажем,
с Fi\F2 = (K') и q(K, p) = q(H, p). В этом случае используем
изоморфизм 7.3.4. Обозначим для краткости N (К) через N.
Пространство Е {N/K) является классифицирующим (в смысле
Сигала [144]) для категории, в которой объектами служат
элементы N/K и для каждых двух объектов существует ровно
один морфизм. Эта категория определяет симплициальное
пространство, геометрической реализацией которого является
E(NlK). Фильтрация по размерности этого пространства дает
спектральную последовательность, б которой член Е2 состоит
из гомологии цепного комплекса
... ч- /, (G х л- (N/КУ х Z) ti- tt (G x N (N/KY+1 x Z) ч-...,
i
где Z = (CE (F*), E (Fa)) x(X, A), d, = %(- \y (pr,)*, a pr,
/=o
опускает A+/)-й сомножитель. Умножение на у, будучи
естественным преобразованием теорий гомологии, задает
эндоморфизм этой спектральной последовательности. Значит, достаточно
показать, что умножение на у является изоморфизмом на
t9(Gxx(N/Kyx(CE(F2), F(F2))x(X, A)\p) для r=s=l. Эта
группа изоморфна l"(G/Kx(N//С)'-1 x(CF(F2), E(F2))x(X, A))(p],
и потому действие у <= A (G) зависит только от ограничения
i/'e/l (К). Из разд. 5.5 следует, что это ограничение имеет
вид у' = <pK(y)[K/K] + r.ai[K/Ki], где a«eZ и (К,)<(К),
(Ki) ф (К)- Но фА (у) = (рн (у) ф О mod р, потому что уфс; (Н, р)
Поскольку мы локализуем в (р), умножение на (рк(у')\К/К
является изоморфизмом. Доказательство 7.4.3 будет закончено,
если мы покажем, что умножение на [KlKi] является нулевым
Но в силу принятых аксиом это умножение пропускается
через t2(G/K xK/KiXiN/KY^xiCEiFz), ?(F2))x(A\ A))(p„
а эта группа тривиальна в силу 7.4.2.

136 Гл. 7. Эквивариаптные гомологии и когомологии
7.5. .Локализация и расщепление эквивариантных гомологии
Снова нам задана эквивариантная теория гомологии г°,
которая является модулем над A (G), так что выполнены
аксиомы предыдущего раздела. После локализации в (р) эта теория
становится модулем над A (G)ip]. Идемпотенты из A (G)[p]
определяют прямые сомножители, которые мы собираемся описать.
Пусть q = q(H, p) — простой идеал в A(G), где Я
—определяющая подгруппа для q (т. е. G/H ф q). Рассмотрим два
цепных комплекса
t°t°¦ t° (G/H) *-t°((G/H)*) &-...,
t° -e f« (G/H) ^ t° ((G/H)*) ?...,
где d, = 2 (-1У (РГ/)*- a d'" 2 (-W (Pr/)*- CДесь (Ргу)*
/=0 /=0
означает индуцирование (иначе говоря, отображение переноса),
которое мы предполагаем существующим и обладающим нужными
свойствами.)
Предложение 7.5.1. Гомологии этих цепных комплексов после
локализации в q становятся нулевыми.
Доказательство. Определим стягивающую гомотопию s
для первого цепного комплекса формулой
s = [G/H]-1 (рг0)*: Щ ((G/H)% -> to ((G/H)^)r
Тождество ds-\-sd= 1 проверяется с использованием того факта,
что рг# рг* является умножением на [G/H]. Аналогичное
доказательство пригодно и для второго комплекса. (Ср. также гл. 6.)
Применим предыдущие рассуждения в следующей ситуации.
Положим ta(G/HxX) = t?(X) для G-пространства Х.
Ограничение t% (X) -v t** (X) становится инъективным после локализации
в q(H, p), и его образ совпадает с ядром разности
рг? - prf: t° (G/H х Х)д -> t° ((G/H)* x X)r
Обозначим это ядро через /" (X)'nv.
Пусть F (H) — семейство всех подгрупп, сопряженных с
подгруппами в Я, и пусть F' (Н) — семейство тех K^F(H), для
которых q(K, p)^q(H, p). Тогда имеет место естественное
преобразование теорий гомологии
G.5.2) rH: t°(X){p)-+t2(Xy°v^t»lF(H), F'(H)](X)%,
где первое отображение —ограничение, а второе возникает из
точной последовательности гомологии пары (F (Я), F' (Я)).
(Заметим, что Е (F (Я)) Я-стягиваемо в силу 7.2.4.)

7.5. Локализация и расщепление эквивариантных гомологии. 137
Теорема 7.5.3, (а) (гн)д — изоморфизм.
(b) гн расщепляемо сюръективно.
(c) Произведение отображений гн
г = (гн): П(Х)(р)-> П №F(H), F'(H)](X)$
(Н)еФ (р)
инъективно и является изоморфизмом, если и только если лишь
конечное число множителей в правой части отлично от нуля.
Доказательство, (а) Из 7.4.3 мы знаем, что
t» [F (Я), F' (Я)] (X)}- q, ts [F (Я), F' (Я)] (X)';v,
потому что имеет место изоморфизм без индекса inv и
локализация—точный функтор. Для любого X справедлив изоморфизм
t%(X)go*t»(Xy™. Остается показать, что % (X)g->-W[F(H),
F' (Я)] (Х)9 — изоморфизм, или, что то же самое, что
tH [F (Н)](Х)д = 0. Ввиду аддитивности теории достаточно
показать, что t% (G/K X Х)д = О для K<=F'(H). Это следует из
гомологического варианта предложения 7.1.3, так как
А(К)дШ.р) = 0.
(b) Ввиду (а) гн с точностью до изоморфизма получается
тензорным умножением на t° (X) из канонического отображения
A(G)^)->A(G)q. Это отображение расщепляемо сюръективно,
потому что q обладает ассоциированным идемпотентом с (q) e
&A(G)(p) и e(q)A(G){p) = A(G)g.
(c) Аналогичное утверждение верно, если мы локализуем
в максимальных идеалах A (G).
Замечание 7.5.4. Пусть G — конечная группа, а р — простое
число или нуль. Запишем | G j в виде | О | = pk ¦ т, где т взаимно
просто с р, если р=^0. В случае р = 0 положим | G | = т. Если
мы можем делить на т в группах t^{X, А), то отображение г
из 7.5.3 является изоморфизмом и без локализации в (р).
В частности, если порядок группы обратим, то теория
гомологии расщепляется на слагаемые
t"[F(H), F'(H)](X)ww,
где F (Я) (соответственно F' (Я)) — семейство всех
(соответственно всех собственных) подгрупп в Я, а индекс W (Я), как
обычно, означает переход к инвариантам группы W (Н).
Замечание 7.5.5. Мы видели, что A(G) может содержать
много идемпотентов даже без перехода к локализации. Такие
идемпотенты отщепляют прямые сомножители от
эквивариантных теорий гомологии, и эти сомножители могут быть описаны
с помощью семейств подгрупп. Это полностью аналогично
приведенным выше рассмотрениям. Детали см. в [66].

138 Гл. 7. Эквивариантные гомологии и когомологии
7.6. Отображение переноса и структура Макки
Нам нужно описать примеры гомологических теорий, для
которых выполняются аксиомы разд. 7.4. Мы используем
некоторые факты из гомотопической теории, которая будет
развита в следующей главе, и отсылаем к этой главе по поводу
обозначений и подробностей. В приложениях бернсайдовских
колец к эквивариантным теориям (ко)гомологий и ко(гомотопий)
используется индекс Лефшеца неподвижной точки и понятие
переноса для неподвижной точки, введенное Дольдом в [76],
Г77] для неэквивариантного случая. К этим работам мы
отсылаем читателя по поводу деталей и дальнейшей информации.
Напомним нужные нам результаты в несколько иной форме.
Пусть G — компактная группа Ли. G-отображение р: Е-+В
называется отображением класса G-ENRn (= евклидовым G-окре-
гтноапным ретрактом над В), если существует вещественный
G-модуль V с G-инвариантным скалярным произведением,
открытое G-подмножество t/cBxKn G-отображения i: E-*-U,
г: IJ-^-E над В, для которых ri=lE. Пусть (В х VH —
пространство Тома тривиального расслоения BxV-^-B. Заметим,
что (BxV)c канонически G-гомеоморфно тензорному
произведению В+ А Vе, где В'- означает В с добавленной отмеченной
точкой.
Если р, i и г такие же, как и выше, и если, кроме того,
р — собственное отображение, а В локально компактно и пара-
компактно, то существует такая непрерывная G-ннвариантная
функция р: B-vJO, cc[, что для всех b e В справедливо
неравенство р (b) <d(tp-1(&), \b}xV\U), где d — метрика,
определенная скалярным произведением в V.
Назовем отображением переноса, ассоциированным с данными
р, i и г, любое G-отображение
h: (BxVy->(Ex,V)c,
переводящее отмеченную точку в отмеченную и обладающее
такими свойствами:
G.6.1) прообраз Ех{0} относительно h совпадает с IE;
G.6.2) для и = (Ь, »)е(/ и 2d(v, pr2(iru))<ip(b)
отображение h имеет вид
h(u) = (ru, v — pr2(iru)).
Если X и У суть G-пространства с отмеченными точками,
мы обозначим через соё(Х, Y) прямой предел по множеству
G-гомотоппй с отмеченными точками [Vе А X, Vе ; Y]b, где V
пробегает все (комплексные) G-модули — см. гл. 8. С помощью
надстроечного изоморфизма продолжим этот функтор до функ-

7.6. Отображение переноса ^структура Макки 139
торов cog(X, Y), градуированных индексом а, пробегающим
кольцо RO (G) вещественных представлений G. Мы получаем
теорию когомологнй по переменному X и теорию гомологии
по переменному Y.
Предложение 7.6.3. Пусть р: Е ->- В — отображение класса
G-ENRn с отображениями ретракции i, г, введенными выше.
Пусть р — собственное отображение, а'В локально компактно
и паракомпактно. Тогда отображения переноса существуют,
и их отмеченные G-гомотопические классы однозначно определены
условиями 7.6.1 и 7.6.2. Предел р <= со о- (В , Е+) отображений h
не зависит от выбора i, г.
Доказательство можно извлечь из [77]. (Заметим, что мы
рассматриваем более простую ситуацию.)
Пример 7.6.4. Пусть р: Е -> В — субмерсия компактных
гладких G-многообразий, /: Е -> V — эквивариантное вложение
в G-модуль V. Тогда i = (p, /): Е->(BxV) является вложением
над В. Отображение ретракции может быть построено, исходя
из трубчатой окрестности U образа i. Значит, р принадлежит
классу G-ENRn-
Если t'c — теория когомологий для G-пространств, в которой
имеют место надстроечные изоморфизмы для всех G-модулей
(или всех комплексных G-модулей и т. д.), то отображения
переноса h или р из 7.6.3 задают гомоморфизм
G.6.5) pr. tb(E)-*t%(B),
называемый трансфером1). Аналогично для теорий гомологии
определен трансфер
G.6.6) р'\ t°{B)-+ti(E).
Композиция р<р* в случае мультипликативной теории
когомологий совпадает с умножением на индекс Лефшеца — Дольда
1Р е t'h (В) (см. Дольд [76]). в частности, определен индекс
/ (X) е со<7 для отображения X->¦ {точка}, где X — компакт
класса G-ENR, a ci)c = colimfV';, V']g — группа коэффициентов
эквивариантной стабильной теории когомологий в размерности
нуль. Как обычно, сое является коммутативным кольцом с
единицей. В гл. 8 мы докажем следующий основной результат.
Теорема 7.6.7. Отображение Х\—*¦ I (X) определяет
кольцевой изоморфизм 1а: Л(G)->сос-
:) Соответствующие русские термины «перенос» пли «преобразование
переноса» в этом контексте мало употребительны.—Прим перев.

140 Г л 7. Эквивариантные гомологии и когомологии
Перечислим теперь формальные сьийсгьа трансфера, которые
используются б теоремах локализации в разд. 7.4 и 7.5.
Назовем трансфер-ситуацией собственное отображение р: Е-+В
класса G-ENRn, где В — локально компактное паракомпактное
G-пространство /Для случая /;= {точка} мы будем писать
кратко м'о(В) вместо а'с{В, Р+); это коммутативное кольцо,
обладающее единицей, если В~С<. На группах когомологии
ta(B*AX) определена структура со<~(.б)+-модуля, естественная
по X. Она задается следующим образом: если йемс(^)
представляется отображением а: Vе А Вл -> Vе, то зададим
аг: Vе А В* ~+ Vе а В+ формулой (о, b)>—*(a(v, b), b). Тогда
действие элемента а имеет вид
tb (В+ Л X) 9* t$ (Vе аВ+аХ) i^1)*. t* (ус л В+ л X)g^t*d E+ л X),
где изоморфизмы соответствуют надстройкам. Аналогичное
утверждение справедливо для гомологии.
В следующем предложении собраны необходимые нам
свойства трансфера и соответствующей модульной структуры.
Предложение 7.6.8. Пусть h: E1-^E и f: E -+- В — трансфер-
ситуации.
(a) fh —также трансфер-ситуация, и (fhy^h'f1, (//i)i=Mi.
(b) Пусть
Ег^Е
— точная диаграмма, а Вг локально компактно и паракомпакт-
но. Тогда Д — трансфер-ситуация и
(c) Для fm: t°(E+AX)-+t°(B+AX) и a е co»G (В*)
/"*(/*«*-s) = a/# (s).
(d) Для /* e= t% (fi+ л X) ->t*G(E+AX) и 6 e= аЪ (В+)
f*(b.x) = f*(b)-f*(x).
(e) Для /': 4с(В+лХ)-^/«(?+лХ) u a <= co&E+)
f (<»•*) = /* (a) ¦/'(*)¦
(f) Для /,: Й(?+лХ)-^/|(В+лХ) u ae^(B+)
/.(/•(<*)¦&) = a-/,(&)•
(g) ?tvz« p: E-+В — трансфер-ситуация и Н<G —
замкнутая подгруппа, то ограничение на множество Н-неподвижных
точек приводит снова к трансфер-ситуации рн; ЕИ-*-Вн (для
группы W(H)) и (Рчу=г-р, где г: аЪ(В\ ?+)^ <о?Пн,((Вя)*,
(Е")+) —ограничение на множество Н неподвижных точек.

7.7. Локализация эквиваршктной К-теории 141
(li) Если р: Е -> В ¦- трансфер¦-ситуация ()ля подгруппы Н
в G, то GxhP- Gx.hE->ОхцВ -трансфер-ситуация для G
и i(py=(Gx„py, где
/: (»"„ (В\ Е') - - (о,', (О - „В\ G х ИЕ')
определяется функтором X >-*GxrX.
По поводу свойств (а) и (Ь) мы отсылаем читателя к
упомянутой выше работе Дольда. Отсюда и из нашего описания
трансфера свойства (с) -(h) выводятся стандартной проверкой.
Приложение этих результатов к аксиоматическому изложению
в разд. 7,4 получается так: res: 1° (X) -*¦ tG (G/l! у X) является
трансфером для /: G/H -> {точка! > a ind: /<J[(Gill v X)~> t? (X)
индуцировано /. Соответствующие свойства вытекают из 7.6.7
и 7'6.8.
Для конечных групп существуют важные эквивариантнне
теории гомологии, не являющиеся стабильными в том смысле,
что они допускают надстроечные изоморфизмы для достаточно
широкого класса G-модулей. Примером могут служить теории
бордизмов Кониера и Флойда. Тем не менее методы разд. 7.4
и 7.5 применимы. Соответствующие аксиомы могут быть
установлены прямыми геометрическими рассмотрениями без
использования трансферов и стабильных гомотопий, как выше. Для
теорий бордизмов res означает обычное ограничение на
подгруппу, a ind порождается функтором Х>-—Gx#X из
//-пространств в G-пространства. По поводу аксиоматического
изложения в этих рамках см. [60]. Эквивариантные когомологии
и гомологии Бредона ([36], [38], [100]) обладают каноническими
функторами res и ind, если система коэффициентов является
функтором Макки.
7.7. Локализация эквивариантной /(-теории
Чтобы добавить немного мяса к вегетарианскому
содержимому разд. 7.1 —7.6, мы рассмотрим эквиварнантную /(-теорию
в качестве примера развитой выше общей теории. Разумеется,
можно излагать /f-теорию и непосредственно, используя методы
теории представлений. Пусть Ко (X) — группа Гротендика
комплексных G-векторных расслоений над (компактным) G-npo-
странством X (см. [142]). Пусть G —компактная группа Ли.
Как и в [143], мы используем
Определение 7.7.1. Замкнутая подгруппа 5 в G называется
картановской подгруппой в G, если W (S) конечна и 5
топологически циклична (т. е. степени подходящего элемента плотны
в So S является произведением тора и конечной циклической

142 Гл. 7. Эквивариантные гомологии и когомологии
группы). Картагювская подгруппа называется р-регулярной для
простого числа р, если группа ее компонент имеет порядок,
взаимно простой с р.
Пусть С — множество классов сопряженности картановскпх
подгрупп в С и С (р) — подмножество классов р-регулярных
подгрупп. Мы отсылаем к [143] за доказательством следующего
факта.
Предложение 7.7.2. Множество С конечно.
Если (S)^C(p), P<_W (S) — силовская р-подгруппа и0_<
< N (S) — прообраз Р, то W (Q)! ^ 0 mod p. Следовательно,
Q = Qs~определяющая группа простого идеала q(S, p).
В силу эквивариантного изоморфизма Ботта, теория
когомологии Ка{—) обладает надстроечным изоморфизмом для
комплексных G-модулей. Таким образом, Ко (—) становится
А (С)-модулем, а Ко (точка) = R (G) становится А (С)-алгеброй.
Фактически отображение A(G)->R(G), которое строится
с помощью гомотопических рассмотрений в разд. 7.6, совпадает
с эквивариантной эйлеровой характеристикой из гл. 5.
Для Я<С обозначим через Нр наименьшую нормальную
подгруппу в Н, для которой Н/Нр является р-группой.
Предложение 7.7.3. R(G)giH,p) = 0 тогда и только тогда,
когда Нр является р-регулярной картановской подгруппой.
Доказательство. Пусть S <G — топологическая
циклическая подгруппа с образующей g.
Диаграмма
A (G) H R (G)
4>s\ \'g
Z--C"
коммутативна, а входящие в нее отображения являются
кольцевыми гомоморфизмами (здесь Хо — эквивариантная эйлерова
характеристика из 5.5.6, a eg означает операцию вычисления
характера в точке g). Мы рассматриваем все объекты как A (G)-
модули и локализуем в q = q(H, p) Поскольку элементы R(G)
определяются различными eg, мы можем найти подгруппу S,
для которой С? Ф 0, коль скоро R (G)q Ф 0. Но тогда Ъч Ф 0,
откуда q(S, p) = q(H, p). Поскольку S циклична, существует
картановская подгруппа Т, для которой S <] Т и T/S — тор
(см. [143, 1.2 и 1.5]). Значит, q(T, p) = q(S, p). Можно взять
р-регулярную подгруппу Т' в Т с q(T', p) = q(T, p). Теперь
нужное утверждение следует из 5.7 — 5.10. Аналогичное
рассуждение показывает, что R (G)q{S,р) ф 0 для р-регулярной
картановской подгруппы 5.

7.7. Локализация эквивариантной К-теории 143
Из 7.7.3 и 7.6 мы тлучаем естественные изоморфизмы
G.7.4) Ка(Х){р)^ © Ko(X)g{S,p), р?=0,
G.7.5) Ка(ХH^ © Ka(X)qis.o),
SeC
G.7.6) Ka(X)q(SiP)^KQ(S)(X)],"!s, p),
где Q(S)<N (S) — прообраз силовской р-подгруппы в W (S).
Кроме того, в 7.7.6 X можно заменить на X (S) = {х | q(Gx, р) =
= q(S,P)}.
Изучим теперь более подробно случай конечной группы G.
В этом случае S является циклической группой порядка,
взаимно простого с р, и мы имеем
l-*S-*Q(S) = tf->/)-»-l,
где Р есть р-подгруппа; следовательно, Я является
полупрямым произведением и р-пшерэлементарной подгруппой. Кроме,
того,
К-Н (Х)д (Я, р) = Кн (XS)g (Я, р) ¦
Можно описать все Я-эквивариантные векторные расслоения
над Xs. Слои в этом случае являются S-модулями, которые
нужно сгруппировать согласно действию Р.
Рассмотрим еще более частный случай H = SxP. Тогда
имеет место естественный изоморфизм Кн (Xs) ^R (S) ® Kp(Xs).
Кроме того, А (Я) = A (S) ® А (Р) и коммутативна следующая
диаграмма, составленная из эквивариантных эйлеровых
характеристик:
A (S) -> А (Я) ч- А (Р)
'XS У-Н i'-P
R(S)-+R(H)+-R{P)
Пусть S — циклическая группа порядка m с образующей g.
Предположим, что (/л, р)=\. Пусть х —неприводимое
стандартное представление S. Тогда R(S)^Z[x]/(x'" — 1). Пусть Е =
— [\ — х'' \ 1 sg / «g; m — 1} — множество эйлеровых классов
нетривиальных неприводимых S-модулей. Пусть е: R(S)-*-Z[um]—
операция вычисления неприводимых характеров в точке g, um—
примитивный корень степени m из единицы.
Предложение 7.7.7. Отображение е задает изоморфизм колец
е: R(S)[E^)c^Z[m-\ um].
Доказательство. Нам нужно обратить элементы 1 — и1
l=5St^m—1. Если т-=р\т ... раг{,) — разложение на степени

144 Гл. 7. Эквивариантные гомологии и когомологии
простых чисел и если и (i) ~ примитивный корень степени pffi)
из единицы, то 1 —н (?) имеет норму pi и, следовательно,
обратим в кольце ZfmJ, н,„]. Кроме того, мы видим, что пт1 и ит
лежат в образе е. Поэтому е сюръективно. Отображение е можно
разложить в композицию
z [ 4/(л- -1) --'¦ z [х]/Фт (х) -± г [ит],
где Фт —многочлен деления круга. Отображение е2 ~
изоморфизм. Если положить хт — 1 = Ф,.„ (х) Рт (х), то фт и Рт взаимно
просты и каноническое отображение
Z [х]/(хт -1) -> Z [д-]/Ф,( (х) © Z [*]//>„, (ж)
инъективно. Простые сомножители Р,„ делят некоторые
многочлены вида 1— х', 1<.('->ш-1, а поскольку эти элементы
обратимы, Рт также должен быть обратим. Это возможно, лишь
если локализация в Е тривмализует слагаемое Z[x]/Pm, так
что отображение
(Z [х\/(хт - 1)) [Е-1] -> (Z [х]/Фт (х)) [Е-1]
должно быть инъективным и, значит, е также инъективно.
Предложение 7.7.8. Отображение с задает изоморфизм колец
е'\ R(S)q{StP)-^-Z[p)[um].
Доказательство. Нам нужно обратить образ
A{S)\q{S, p) относительно уу. A{S)-yR(S). Если y^q{S, p),
то е (%s (у)) = | yg i = | ys \ф 0 mod p. Значит, е задает сюръектив-
т—1
ное отображение е'. Произведение эйлеровых классов ]~J A —х')
является рациональным представлением и поэтому совпадает
с %s (У) Для подходящего у <= A (S). Имеем \у$\ = т, так что
ye/=q(S, p). Следовательно, отображение, о котором идет речь,
является локализацией отображения е из 7.7.7 и, значит,
инъективно.
Вернемся снова к случаю Н = SxP. Заметим, что A(P)q{p,P)^-
— А (Р)(Р) — локальное кольцо и
A (H)gllIiP) s; A (S)?(S,р) ® А (Р)9{Р,Р).
Поэтому, более общим образом,
G.7.9) Кп (Х%(Н,Р) c>i R (S)q{S,р) ® КР (XS)(P).
Следствие 7.7.10. Пусть т = |0|. Имеет место
канонический гомоморфизм колец
Ко (X) [т ¦*]?;' © (R (С)\Ьс j ¦.¦-. К (XC))W),

7.8. Локализация бернсайдовского кольца __ 145
где (С) пробегает классы сопряженности циклических, подгрупп
в G, а Ес cz R (С) — множество эйлеровых классов нетривиальных
неприводимых С-модулей.
7.8. Локализация бернсайдовского кольца
Пусть Fx zd Fi ¦— два семейства подгрупп в G.
Обозначим через A(G, FJ идеал в A(G), порожденный
пространствами X, стабилизаторы точек которых принадлежат
семейству Flt a A (G; Flt F2) — фактор идеала A (G, FJ по
A (G, F2).
Для простоты пусть G будет конечной подгруппой. Если
(Я)еФ(р), т. е. | W (H) j^EOmod p, то пусть Я„
—наименьшая нормальная подгруппа в Я, для которой Н/Нр есть р-
группа. Тогда \К \ а (К, р) = ?(//, р)) = \К \ (Я„) < (Kj ^ (Я)}.
Обозначим это множество через F0(H). Положим F(Н) —
Hff|(/C)<(//)} " F'(H) = F(H)\F0(H).
Кольцо A(G)P расцепляется в прямое произведение колец
A(G)qfH,p), (Я)еФ(р), и эти сомножители могут быть
записаны в виде е(Н) A (G){;,), где е(Я) — соответствующие
неразложимые идемпотенты в A (G)lP).
Предложени: 7.8.1. Переход к множеству Н-неподвижных
точек задает изоморфизм
А (И; /<(Я), F'(H))^A(H/HP).
Доказательство. Для обеих групп аддитивным
базисом служат пространства Н/К, {НР)^(К)^=(Н) и (Н/К)нр —
== н/к.
Предложение 7.8.2. Следующие группы канонически
изоморфны:
A(G)9iH,p), A(G; F (//)), („, р), А (О; F (Я), F' (H))q{H,ph
A(G; F(H), F'(H))ip).
Доказательство. Факторотображение A (G; F(H))-+
~+A(G; F(H), F' (Я)) становится изоморфизмом после
локализации в q(H, р), поскольку ядро A (G; F' (Я)) определяется
отображениями ф;: A (G, F' (#))-> Z с q(L, p)=fcq(H, p), и
потому I'mi, i>) = 0, где Z^s^Z означает А (б)-модуль,
определяемый отображением ф?. По аналогичной причине вложение
A (G; F(H))-*-A(G) задает изоморфизм q(H, /^-локализаций.
Каноническое отображение A (G; F(H), F' (H))lp)~>- A (G; F (Я),
F' (Н))Я(н,р) является изоморфизмом в силу тех же аргумен
тов, что и в доказательстве 7.7.8.

146 Гл. 7 Эквивариантные гомологии и когомологии
Идемпотент е(Н) содержится в A (G; F (Н))(р), и умножение
на е(Н) задает отщепляющий эпиморфизм A (G)jp)-> A (G; F (И),
F' (Я))(Р), соответствующий канонической проекции A(G)[p)->
-+A(G)qitj,p) ПРИ изоморфизме 7.8.2. Из общей теории мы
имеем изоморфизм
G.8.3) Л (С; F(H), Г (Н))(Р)^А(Н; F (H), F' (Н))\%,
Соединяя это с 7.8.1, получаем
Предложение 7.8.4. Переходы к Нр-неподвижным точкам
для различных Н е Ф (р) задают кольцевой изоморфизм
Л@)(р)->- П A(H/Hp)\nPh
(Я)еФ(р)
а соответствующее отображение в произведение без индекса
«inv» является расщепляемым кольцевым мономорфизмом.
7.9. Комментарии
По поводу локализации эквпвариантной /(-теории см. [12]
и [142]; по поводу эквивариантных когомологии —[127] и [97а];
по поводу теории бордизмов —[53], [58], [59], [167]; по поводу
когомологии и общей теории — [105], [56], [57], [60].
Изложение в этом разделе в основном следует статьям и
неопубликованным заметкам автора.

Глава 8
Эквивариантная
гомотопическая теория
8.1. Общие сведения
Пусть G — компактная группа Ли. Мы рассматриваем
различные категории, которые можно построить из G-пространств:
G-Top — категория G-пространств и G-отображенпй.
G-Top° — категория G-пространств с отмеченной точкой
(которая всегда неподвижна относительно G) и отображений,
переводящих отмеченную точку в отмеченную.
G-Top B) — пары (X, А) G-пространств и G-отображения пар.
G-Тор0B) — пары G-пространств с отмеченной точкой.
С каждой из этих категорий связано свое понятие гомо-
топии. Для множеств G-гомотопических классов мы используем
(соответственно) обозначения
[X, Y\Q, [X, У\Ь, [(X, A), (У, А)]а, [{X, A), (Y, А)]Ь.
Обычно, переходя к подходящим подкатегориям, мы будем
использовать самоочевидные обозначения, например, G-CW для
категории G-CW-комплексов (которая определяется ниже),
а также G-CW°, G-CW B), G-CW°B). Стандартные конструкции
гомотопической теории, использующие единичный интервал,
как, например, надстройка, конус отображения, пространство
путей, могут быть перенесены на категории G-Top, G-Top° и
т. д. с использованием тривиального G-действия на / = [0, 1].
Имеют место последовательности Баррата — Пуппе и дуальные
к ним в смысле Экмана — Хилтона для расслоений.
Предполагается, что всякое G-корасслоение i: A-+X обладает свойством
продолжения гомотопий в G-Top, а всякое G-расслоение р:
Е-+¦ В — свойством поднятия гомотопий в G-Top. Разумеется,
при этом остается проблема описания G-корасслоенпй и т. д.
в других терминах, например через множества неподвижных
точек. Это очень важная задача, и мы время от времени
возвращаемся к этим вопросам (ср., например, обсуждение класса
G-ENR в 1.5.2). Общая тема нашего исследования— сведение
эквивариантных задач к задачам обычной топологии, а общий
метод — индукция по орбитальным типам. В случае единственного
орбитального типа задача часто сводится к исследованию
обычных расслоений (т. е. существованию сечения). Основным при-

148 Гл. 8. Эквивариантная гомотопическая теория
мером этой процедуры являются конструкция а классификация
G-отображений с помощью сечении вспомогательного
отображения. Опишем этот переход.
Пусть X и У -- произвольные О'-пространстиа, Для любого
G-отображения /: X —>¦ Y должно выполняться соотношение
Gx<.Gf{x) для всех х<=Х. Рассмотрим поэтому
подпространство
(8.1.1) I(X, Y):={(x, y)\GxczGy}czXxY.
Это G-подпространство в X X Y с диагональным действием.
Пусть (X; Y) означает пространство орбит. Проекция ХхУ
на первый сомножитель задает отображение
(8.1.2) <?: (X, Y)-+X/G.
G-отображение f: X -*- Y определяет морфизм X -> / (X, Y):
ху~+{х, f(x)), и, переходя к пространству орбит, мы получаем
сечение sf: X/G->(X; Y) отображения q.
Предложение 8.1.3. Соответствие f\—-sf определяет биек-
цию между множеством G-отображений Х -> У и множеством
сечений отображения q. Два G-отображения /ь /г: Х-»-У
являются О-гомотопными, если и только если гомотопны
соответствующие сечения.
Доказательство. Мы утверждаем, что
1{Х, Y)-+X
(8.1.4) I Ip
(X; Y)±X/G
является точной диаграммой. Пусть Z->(X; У) —поднятие
(pull-back) отображения р над q. Поскольку отображение
I (X, Y)-*-X изовариантно, из коммутативности диаграммы 8.1.4
следует существование биективного G-отображения I(X, Y)-+Z
над (X; У). В любой точной диаграмме вида
Z-vX
B-+X/G
отображение q канонически отождествляется с проекцией на
пространство орбит Z-^-Z/G. Поскольку X и У предполагаются
хаусдорфовыми пространствами, хаусдорфовыми будут также
пространства /(X, У), Z и их пространства орбит, а
соответствующие проекции являются собственными отображениями
([32, III, § 4.1, предложение 2]). В силу [32, I, § 10.1,
предложение 5] отображение I(X, Y)->-Z собственно и, будучи
биективным, является гомеоморфизмом.

8.J. Общие сведения
149
Пусть теперь задано сечение s: X/G~>(X; Y). Тогда
в диаграмме 8.1.4 имеется индуцированное сечение t: X->¦
->/(Х, Y), которое в композиции с проекцией I (X, К)-у У
даег G-отображенне f,: Х->У, (Проверьте, что t является G-
отображенпем.) Соответствия м—»-/4., f >—*¦*[, как легко видеть,
взаимно обратпь,'. G-гомотоиия X х / -> Y индуцирует сечение
(XxI)/G-*~(X xl, Y), которое в силу канонических
гомеоморфизмов (XxI)/Gg^X/GxI и (Хх/; Y)g*(X; У)х/
соответствует гомотопии сечений (и обратно).
Поясним теперь принцип построения G-отображений с
помощью индукции по орбитальным типам. Пусть Or означает
конечное множество классов сопряженности подгрупп в G.
Можно выбрать допустимую нумерацию Or = \(Hi), ..., (Я/:)};
это означает, что (#,) < (Я,) влечет за собой i < /. Если G-
пространство X имеет конечный орбитальный тип, мы всегда
будем выбирать допустимую нумерацию соответствующего
множества типов орбит Ог(Х). Пусть f: X-+Y есть G-отображение
между пространствами конечного орбитального типа. Пусть
Or(X)UOr(K) = {(#t), .... (Нк)}
— допустимая нумерация. Определим фильтрацию X
замкнутыми подмножествами
Xi с Xg с ... a X/f = X,
полагая
Xi — {х е X | (Gx) — (Hj) для некоторого / «S /}.
Тогда X;\X;_i--пучок орбит Х(Я), Н = Н{. Данное
G-отображение / индуцирует G-отображения ff. Х/~>-У;. Нас интересуют
для заданного G-отображения k: Xi-1-*-Yi-1 его возможные
продолжения К: Х< ->- У,-.
Предложение 8.1.5. Продолжения К отображения k
находятся во взаимно однозначном соответствии с W (Н)-продол-
жениями е: Xf-^Y" отображения kH: Xf!_i-»-yfLi (H = Ht).
Доказательство. Для заданного К можно положить
е = Кн, и, поскольку G- XH = Xi\Xi-.1, G-отображенне К
однозначно определяется по Кн. Предположим теперь, что нам
задано W (Я)-отображение е: X"-*-Y", продолжающее kH.
Определим отображение
Е: X,-+Y,
формулой
( k (х), если х е Х;_ь
?(*) = н
[ge(y), если x = gy, i/eX,.

150 Гл:_§- Эквивариантная гомотопическая теория
Нужно показать, что Е корректно определено и непрерывно.
Если x = g1yi=g2y2 и (/,eXf_,, то йеХ,"_, и g^iyA =
'¦"= giK (Mi) = K(g\lh) = K (x) = g-2e(y*)> потому что К является
G-отображением. Если же x = g1y1 — goy2 и уъ у2 е Х"\Х'/_и
то gi = gzfl> гДе n^N(H), и, значит,
gie (tji) = ga"e (уд = g'2e («r/j) = g2e Ы,
потому что е является N (Я)-отображеннем. Таким образом, Е
определено корректно. Оно непрерывно на замкнутых
подмножествах X;_i и GX", а следовательно, непрерывно всюду.
Соединим теперь 8.1.3 и 8.1.5 следующим образом.
Действие W (Н) на X'i\X"_{ свободно. Значит, мы находимся
в такой ситуации: Пусть (X, А) и (У, В) —пары G-пространств
(Л и Б —замкнутые подпространства). Действия G на Х\Л
и Y\B предполагаются свободными. Мы хотим продолжить
G-отображение /: Л—>-В до G-отображения F: Х->У. В силу
8.1.3 нам нужно продолжить частичное сечение
отображения (X; Y)^-X/G, заданное на A/G (это замкнутое
подпространство в X/G), до полного сечения. Но над (X\A)/G мы
имеем обычное расслоение со слоем У (локально
тривиальное в силу теоремы о срезе). (См. [37, II. 2] для частного
случая свободного действия.) Таким образом, все сводится к
последовательности задач о продолжении сечения и, кроме
того, к изучению особенностей поведения, проекции (X; Y)-*-
->-X/G над Лив окрестности Л.
8.2. Гомотопические эквивалентности
Мы покажем, что при соответствующих предположениях G-
отображение /: X -> У является G-гомотопической
эквивалентностью, если отображения fH множеств неподвижных точек
являются обычными гомотопическими эквивалентностями. Это
верно, в частности, для пространств класса G-ENR.
Утверждение такого типа должно быть верно, если X и
У — свободные G-пространства. Это задача теории расслоений.
Свободное G-пространство Х называется нумеруемым, если
X -> X/G является нумеруемым главным G-расслоением в
смысле Дольда [71], т. е. локально тривиально над элементами
открытого покрытия, которое допускает подчиненное ему
локально конечное разбиение единицы.
Предложение 8.2.1. Пусть f: X-+Y есть G-отображение
G-пространства Х в нумеруемое свободное G-пространство У.
Тогда f является G-гомотопической эквивалентностью в том и

8.2. Гомотопические эквивалентности 151
только том случае, когда оно является обычной
гомотопическое эквивалентностью.
Доказательство. Разумеется, X должно быть
свободным G-пространством. Поскольку X отображается в локально
тривиальное расслоение, оно само локально тривиально ([37,
II.3.2]). Кроме того, расслоение X-+X/G нумеруемо, так как
требуемое разбиение единицы переносится на расслоения У->-
-+Y/G. Пусть EG-*- BG — универсальное главное G-расслоение
(которое нумеруемо согласно [71, 8]). Рассмотрим следующую
диаграмму G-отображений:
EGxX ]-^EGxY
pr pr
X J- Y
Покажем, что pr и 1 x / суть G-гомотопические
эквивалентности. Отображение (lx/)/G
(EGx.X)/G^(EGxY)/G
\ /
BG
является послойным отображением расслоений над BG.
Индуцированное на каждом слое отображение —обычная
гомотопическая эквивалентность, поскольку гомотопической
эквивалентностью является /. Согласно Дольду [71, 6.3 и 8],
отображение A x/)/G —послойная гомотопическая эквивалентность,
и в силу теоремы о накрывающей гомотопии для
отображений расслоений (см. [71, 7.8]) отображение 1х/ является
эквивалентностью расслоений, а следовательно, G-гомотопичес-
кой эквивалентностью. Аналогичное рассуждение применимо
к рг: отображение (EGxX)/G-> X/G является расслоением со
стягиваемым слоем EG и, следовательно, гомотопической
эквивалентностью (фактически сжатием, см. [71, 3.2]). Теперь
снова применима теорема о накрывающей гомотопии для
отображений расслоений.
Предложение 8.2.2. Пусть задана диаграмма G-пространств
и G-отображений
Y P-Z
'Л 'h
АгХ
и G-гомотопия Н А. h\Ac^pfA. Предположим, что А а X есть
G-корасслоение. Тогда существует G-оггюбражение f: A'-vV,
продолжающее j'A, и G-гомотопия И: ': -¦- of, продолжающая
НА, если выполнено одно из следующих условий:

152 Гл. Я. Эквивариантная гомотопическая теория
(a) р — эквивариантная гомотопическая эквивалентность или
(b) р —обычная гомотопическая эквивалентность, а Х\А—
нумеруемое свободное G-пространство.
Доказательство. Заменим р на эквивариантно гомо-
топически эквивалентное G-расслоение q: E-*-Z, где Е —
пространство путей
E = {(w, y)<=Z'xY\w(\) = p(y)}, q(w, г/) =
содействие G на Е задается формулой g(w, y) — (gw, gy), где
(g-w)(t) = g-w((). Пусть г: F->X — индуцированное
G-расслоение над X, т. е.
F = {(x, w, y)<=XxZ'xY\w@) = h(x), w(l)==p(y)},
r(x, w, y) = x.
Определим отображение k: A->F, полагая k(a) = (a, wa,fA(a)),
где
f/z(a) при 0</<l/2,
Wa() \HA{a,2t-l) при 1/2<*<1.
Тогда k будет эквивариантным сечением г над А. Из
описания F видно, что теорема будет доказана, если мы сумеем
продолжить k до эквивариантного сечения г над X.
Поскольку А а X есть G-корасслоенне, существует экви-
вариантное отображение и: Х->1 и G-гомотопия К' Xxl-*-Х,
для которых Асиг'ЧО), К{х, 0) = лг, К (a, t) = a для всех
аеА и ^е/ и К (х, 1)еЛ для х^.и~1(\0, 1)). (Это экви-
вариантный аналог утверждения из [156]; см. также [70, § 3].)
Положим U = и~1([0, 1)). Продолжим k до эквивариантного
сечения г над U, полагая k{x) = (x, wx, JaK{x, 1)), где
(h(K(x,2t)) при 0<f<l/2,
*w \ HA(K(x, 1), 2f-l) при 1/2<*<1.
Сужение г^\л: ^хчл = г-1(Х\Л)->-Х\Л G-стягиваемо.
Действительно, поскольку р — гомотопическая эквивалентность и
G-расслоение, оно стягиваемо ([71, 6.2]), следовательно,
индуцированное отображение г стягиваемо ([71, 3.1]). Поэтому
Гх\а — гомотопическая эквивалентность и в силу 8.2.1 (в
случае (Ь)) G-гомотопическая эквивалентность. Будучи G-pac-
слоением, гх\а стягиваемо. (В случае (а) гх\л индуцировано
G-стягиваемым отображением q.) G-стягиваемость означает
здесь, что существует эквивариантное сечение / отображения
гх\л и G-гомотопня L над Х\Л, соединяющая
тождественное отображение с trX\A- Требуемое эквивариантное сечение

8.2. Гомотопические эквивалентности 153
s отображения / над А' можно теперь определить формулой
( t (х) для х <= X\U,
s(x)=l L(k(x), max Bu (x) — 1, 0)) при xe~U\A,
{ I: (х) дл я л; е Л.
Предложение 8.2.3. Пусть р: (X, A)-+(Y, В) есть G-
отображение, для которого Ра = Р\а- А-у В является G-гомо-
топической эквивалентностью, а само р —обычной
гомотопической эквивалентностью. Предположим, что Х\А и Y\B —
свободные нумеруемые G-пространства и вложения AczX,
В czY являются G-корасслосниями. Тогда всякое отображение
(]и, G-гомотопически обратное к рА, моокет быть продолжено
до отображения q, G-гомотопически обратного к р, а всякая
G-гомотопия Нв: lBc^pAqB продолжается до G-гомотопии
Н. h^pq-
Доказательство. Применив 8.2.2(b) к диаграмме
X-*- Y
Bcl^Y
получаем G-продолжение q: Y-+X отображения qB и продол-
жение Н: Ух/-*-Y гомотопии Шв, которая соединяет \у с pq.
Значит, (р, Ра) (<7> Яв) гомотопно тождественному отображению
пар G-пространств. Следовательно, (q, qB) есть G-гомотопичес-
кая эквивалентность G-nap, G-гомотопически обратная к (р, рА).
Предложение 8.2.4. Пусть f': X -> У — такое G-отображе-
ние, что для всех Н < G отображение fH является обычной
гомотопической эквивалентностью. Предположим, что для всех
Н < G W (Н)-пространства Хн, YH нумеруемы и свободны,
а вложения G{X"\XH)aGX", G(Yff\YH)czGY" являются
G-корасслоениями. Пусть, кроме того, X и У имеют конечный
орбитальный тип. Тогда f является G-гомотопической
эквивалентностью.
Доказательство. Выберем допустимую нумерацию
множества Ог(Х)иОг(У), как в разд. 8.1. Тогда определены
фильтрации (Хп) и (У„) множеств X и У, и мы покажем
индукцией по п, что отображение /„: Л"„->У„ является С-гомото-
пической эквивалентностью. Начало индукции обеспечивается
предложением 8.2.1. Предположим, что fn^ есть G-гомотопи-
ческая эквивалентность с обратным hn-x. Используя 8.2.3,
видим, что Щ может быть продолжено до W (Я)-гомотопи-
чески обратного к f%, если Xn\Xn-i = Х{Н). В силу 8.1.5
это дает требуемое свойство /„.

154 Гл. 8. Эквивариантная гомотопическая теория
Замечание 8.2.5. Предположения из 8.2.4 выполняются,
если X и Y принадлежат классу G-ENR. Это следует из
теоремы Яворовекого 5.2.6 и того обстоятельства, что вложение
пространств класса G-ENR является G-корасслоением.
Упомянем также теорему Сигала— Джеймса ([101, теорема
1.1]), дающую другой вариант 8.2.4,
Предложение 8.2.6. Пусть X и Y принадлежат классу
G-ANR. Тогда G-опюбражение f:X-^Y является G-гомото-
пической эквивалентностью, если для всех замкнутых подгрупп
Н в G отображение fH: XH-*-Yn является обычной
гомотопической эквивалентностью.
8.3. Теория препятствий
Согласно 8.1.5, основная задача продолжения в эквивари-
антной гомотопической теории формулируется так.
Задача продолжения. Заданы G-пространства А а X, А
замкнуто в X, и Y и G-отображение /: Л-vF. Предположим,
что G действует свободно на Х\Л. Можно ли продолжить /
до G-отображения F: X -> Y? Если F существует, то как
классифицировать G-гомотопические классы таких продолжений?
Мы хотим свести эти задачи к задачам классической
теории препятствий, которая изложена в книгах Стинрода [154]
и Бауэса [17]. Согласно 8.1.3, нужно рассмотреть
отображение q: (X; Y)-+X/G с заданным частичным сечением s: A/G-+
~±(Х; Y), соответствующим /, и задача состоит в
продолжении сечения л на X/G. Это выглядит как задача из теории
препятствий, но дополнительная техническая трудность
возникает в связи с тем обстоятельством, что q, вообще говоря,
не является расслоением. Над (X\A)/G q задает расслоение
((X\A)xY)/G^(X\A)/G со слоем Y, но, когда мы
переходим к A/G, слой меняется (расслоение имеет «особенность»).
Одна возможность обойти эту трудность состоит в
предположении, что сечение s продолжается на окрестность, т. е.
G-отображение / может быть продолжено на некоторую окрестность
множества А. Это справедливо, если А с: X является G-
ретрактом некоторой своей окрестности и, в частности, когда
А с X является G-корасслоением или когда Y принадлежит
кассу G-ANR, a X нормально. (Это свойство продолжаемости
является определением класса G-ANR в [124, 1.6]; в
частности, класс G-ENR содержится в G-ANR.)
Предложение 8.3.1. Пусть (X, А) — относительный G-CW-
комплекс размерности eg « со свободным действием G на Х\А.
Пусть Y есть G-пространство, предполагаемое п-связным и

8.4. Эквивариантная теорема Хопфа
155
п-простым (n^sl). Тогда любое G-отображение f: A-^-Y
допускает продолжение F: X-+Y. Относительные
гомотопические классы этих продолжений взаимно однозначно
соответствуют элементам из H"(X/G, A/G; n„(Y)) (подразумеваются
сингулярные когомологии с соответствующими локальными
коэффициентами).
Замечания, Предположение об (X, А) означает, что X
получается из А приклеиванием клеток вида GxD1, i^n.
Тогда (X/G, A/G) — обычный относительный ClF-комплекс
размерности sg п. Вложение А сг X является G-корасслоением,
а фактически — строгим окрестностным деформационным рет-
рактом (в категории G-Top); существует G-окрестность U
множества А в X, для которой вложение AczU является
относительной G-гомотопической эквивалентностью. Над Х\А
определена локальная система коэффициентов ((X\A)/Gx
Xn„(Y))/G->~(X\A)/G, где действие G на л„(К) индуцировано
действием на У. По аксиоме вырезания Я" (X/G, A/G; nn(Y))^
g^Hn((X\A)/G, (U\A)/G; n,,(Y)), и в последней группе
используется только что определенная локальная система
коэффициентов.
Доказательство. С помощью разд. 8.1 задача
сводится к продолжению сечения, и поэтому применима
классическая теория препятствий.
Одно из непосредственных приложений теории
препятствий—доказательство теоремы Хопфа, определяющей
гомотопические классы отображений л-многообразия в /г-сферу.
В следующем разделе мы перенесем этот результат на эквива-
риантную ситуацию.
8.4. Эквивариантная теорема Хопфа
Классическая теорема Хопфа утверждает, что гомотопический
класс отображения связного замкнутого n-мерного
ориентируемого многообразия М в /г-сферу определяется своей степенью
и любое целое число может быть степенью подходящего
отображения. Если на М и на S" свободно действует
конечная группа G, то эквивариантный гомотопический класс по-
прежнему определяется своей степенью, но теперь уже не
любое целое число может быть степенью такого отображения
(например, если G = Z/pZ и М = Sn как G-пространство, то
степень должна быть сравнима с единицей по модулю р). Мы
опишем в этом разделе непосредственное обобщение этого факта
на группы преобразований с помощью теории препятствий
из разд. 8.3.

166 Гл. 8. Эквивариантная гомотопическая теория
Перечислим исходные данные для формулировки
результатов. Пусть X — некоторый G-CW-комплекс конечного
орбитального типа. Тогда Хн является W (Я)-комплексом.
Предположим, что все Xй конечномерны. Если // — одна из
стационарных подгрупп точек комплекса X, обозначим через
п{Н) размерность Хн. Для простоты предположим, что я(Я)Зг
.53 1. Если Я</(. то должно быть п(Н)>п(К) для Н, Ке
elso(X). Предположим, что Нп[Н)(Хн, Z)^Z. Действие
W (Я) на Хн индуцирует гомоморфизм ен,х: W(H)-*-Z* —
= {±l} = AutZ, который мы назовем поведением ориентации
X относительно Я. Положим Хн = (J X*; это W (Я)-под-
Ф
пространство в Xм. Отображение ен. х определяет W (Я)-мо-
дуль ZH, х, который мы используем в качестве локальных
коэффициентов для определения группы Нп(Н) (XH/W (Я),
XH/W (Я); Z//, л-)- Будем предполагать, что эта группа кого-
мологий изоморфна Z, если W (Я) конечна. Впрочем,
справедлива
Лемма 8.4.1. Если при сделанных выше предположениях
п(Н)^п(К) + 2 для всех К>Н, КфН, Kelso(X), то
H"W)(XH/W (Я), XH/W(H); ZH,x)g^Z.
Доказательство. С помощью точной когомологической
последовательности пары видно, что достаточно проверить
изоморфизм НП{Н) (XH/W (Я); Z/z.xj^Z. Рассмотрим пространство
коцепей Нотщ//) (С„(Я) (Xя), ZHi х). Если п (Я) 5а и (К) + 1
для К>Н, К^Н, /Celso(X), то СП{Н) (Х)И — свободный
W (Я)-модуль (для конечной группы W (Я)); значит,
отображение следа, превращающее коцепи в эквивариантные коцепи,
сюръективно, поэтому сюръективен и трансфер Hn(H)(XH, Z)->
-*Hn(H) (XH/W (Я), Z#, х). Композиция этого отображения
с отображением в обратном направлении, индуцированным
проекцией Хн ->- XH/W (Я), совпадает с умножением на | W (Я) |.
Остается показать, что рассматриваемая группа не имеет
кручения. Однако легко показать, используя усреднение, что
последовательность
Нотщя) {ZH, х, ZHiX)~tr-HommH)(Cn, ZHiX)-*-
«~ Ногпп7(Я) (Ся_1( ZH, x)
точна.
Продолжим описание исходных данных. Пусть Y — другое
G-пространство. Предположим, что YH n (Я)-связно и
n„(H)(YH)g^Z для He=\so(X). Тогда HnW{YH, Z)g±Z и
определен гомоморфизм поведения ориентации eHiY: W (Я)->-
-*-Z*. Предположим, что ея,х = ея,у для всех ЯеЬо(Х),

8.4. Эквивариантна^теорема^Сопфа^
167
Ориентируем X, выбрав образующую в Я"(Я'(ХЯ, Z) для всех
WsIso(I) и аналогично поступаем с F, В дальнейшем
предполагаем, что ориентации на X и Y выбраны. Тогда для
заданного G-отображения /: X—rY его сужение fH: XH-+YH
имеет корректно определенную степень d(/H)eZ.
Теорема 8.4.2. При сделанных выше предположениях
множество эквивариантных гомотопических классов [X, Y]a непусто.
Элемент [/]е[А', Y]Q определяется набором степеней d(fH),
Н elso(X), W (Н) конечна. Степень d{fH) no модулю \W(H)\
определяется степенью d(fK), /(>#, КфН, /(elso(X),
и при фиксированных значениях этих степеней d (fK) возможные
значения d(fH) заполняют целый класс вычетов по модулю
\W(H)\.
Доказательство. Занумеруем классы стационарных
подгрупп (Нг), ..., (Нг) в X так, что (#,)<(///) влечет за
собой i>j. Пусть (H) = (Hi) и предположим, что уже
определено G-отображение f: (J GXHi =; Xt-X-+Y. Мы хотим про-
должить это G-отображение на Х{. Как объяснялось в разд. 8.1,
относительные гомотопические классы таких продолжений
соответствуют W (Я)-продолжениям отображения f\jn на Хн.
Препятствие к такому продолжению лежит в Н' (XH/W (H),
X/l/W(H); я,-_1A///)), а все такие группы тривиальны по
предположению. Значит, существует хотя бы одно продолжение.
Для двух заданных W (Я)-отображений /, g: XH-*YH
с f\jH = g\^H препятствия к существованию гомотопии между
ними лежат в группах H'(XH/W(H), Х"/М{Н)\ nt(YH)),
а все эти группы тривиальны, за исключением случая, когда
n{H) = i и W (Н) конечна, а тогда п,НН) (YH) = 2H: Y = THt x и
эта группа изоморфна 7. по предположению. Значит, в
качестве препятствия выступает единственное число d(f, g). Мы
утверждаем, что d(f, g) делится на , W (Н) | и, кроме того,
d(f, g) = d(f) — d(g). Рассмотрим естественное отображение
р*. H"W(X"/W(H), XH/W(H); ZH,X)-+H»W(XH, XH; Z).
В силу естественности класс препятствия d(f, g) переходит
в класс препятствия к существованию неэквивариантной гомо-
точии между / и g, а он по теореме Хопфа равен в точности
разности соответствующих степеней. Выше мы уже видели,
что образ р* лежит в \W(H)\-Z. Вместе с 8.3.1,
примененным к шагу индукции, это завершает доказательство теоремы
8.4.2.

158 Гл. 8. Эквивариантная гомотопическая теория
8.5. Геометрические модули над бернсайдовским кольцом
Мы покажем в этом разделе, что бернсайдовское кольцо
A (G) изоморфно кольцу стабильных когомологий сфер в
размерности 0; изоморфизм устанавливается с помощью индекса
Лефшеца — Дольда, см. 7.6.7. Доказательство носит
вычислительный характер, но в то же время дает информацию и
о некоторых других модулях над A (G).
Напомним следующий факт.
Теорема 8.5.1. Поставив в соответствие каждому компакту X
класса G-ENR его индекс Лефшеца — Дольда I (X), мы получим
корректно определенное отображение /0: Л (G)->сос, которое
является изоморфизмом колец.
Доказательство. Для любой замкнутой подгруппы Н
в G определим кольцевой гомоморфизм dH: co'c—>-Z,
переводящий элемент х е и'в, представляемый отображением/: Vc-+Vc,
в степень отображения fH (ограничения / на множество
//-неподвижных точек). Напомним, что в гл. 5 был определен
гомоморфизм фн: A(G)-+Z: [Х]>—>%(ХН), где % означает
эйлерову характеристику.
Покажем, что для компакта X класса G-ENR справедливы
равенства dHI (X) = yJX"). В силу 7.6.8 dHI (X) = у. (Xя) <=
eco'{i)^::Z. Индекс / (Хн) тождественного отображения
множества Xй совпадает с его эйлеровой характеристикой (ср. [75,
XII. 6.6] и [76]). Значит, d„I (X) = % {X"). В силу 8.4.1
элементы со о определяются своими образами при отображениях dH.
Из определения бернсайдовского кольца теперь следует, что
1а — корректно определенный инъективный кольцевой
гомоморфизм.
Сюръективность этого гомоморфизма будет доказана, если
мы покажем, что числа dH (х) удовлетворяют системе
уравнений, аналогичной введенной в 5.8.5 (см. 8.5.9). Мы покажем
это чуть позже в несколько более общей ситуации.
Замечание 8.5.2. Если /: X -> X — эндоморфизм компакта
класса G-ENR, то индекс Лефшеца — Дольда пары (X, f)
является элементом co°G = A(G). В силу 5.5.1 этот элемент
будет линейной комбинацией однородных пространств.
Нетривиальное упражнение для читателя — выяснить вид этой
линейной комбинации.
Изоморфизм в теореме 8.5.1 является естественным, т. е.
перестановочен с различными операциями ограничения и
индуцирования. Если f: G-> К — непрерывный гомоморфизм, то
с помощью поднятия (pull-back) вдоль / мы получаем
гомоморфизмы /*: 0д->со'с и /*: А (К) ->¦ A (G), причем справедливо

8.5. Геометрические модули над бернсайдовским кольцом 159
равенство
Свойство сопряженности [G+/\HX, Y\g~[X, Y]"H для
//-пространства X с отмеченной точкой и G-пространства Y с
отмеченной точкой вместе с G гомеоморфизмом
G+ лн X -> (С/Я)+ л X: (g, х) >-* (g, gx)
для G-пространства X влекут за собой изоморфизм
1н'- ®°H = (i>G(G/H).
Соединяя его с трансфером, индуцированным проекцией G/H-+-
-> (точка), получаем операцию индуцирования
ind?: с)» _>(о",.
Заметим, что определено также отображение
1уа,щ: A[G/H]-+ab(G/H),
которое субмерсии /: M-+G/H ставит в соответствие ее индекс
Лефшеца — Дольда //. В разд. 5.12 мы построили изоморфизм
1°н: Л (Я)-> Л [G/tf ].
Предложение 8.5.3. I{G/HjaH = iaHIfj, ind° i° = t^ ind
Доказательство следует из свойств 7.6.8 трансфера.
Заметим, наконец, что отображения IH согласованы с
мультипликативным индуцированием. Если подгруппа Я имеет
конечный индекс в G, то в разд. 5.12 мы показали, что
мультипликативное индуцирование Xi-+HomH(G, X) задает
отображение Л (//)->/4(G). Это отображение под действием изоморфизмов
/я, /о переходит в отображение а'н-+ыЬ, которое на
представителях выглядит следующим образом. Заметим, что Homw(G, X)
как множество совпадает с Y\{gHxHX), где произведение
берется по всем классам смежности в G/H; но первая
реализация подчеркивает наличие G-действия. Если X есть
//-пространство с отмеченной точкой, то мы можем аналогично
определить тензорное произведение /\gHxHX, на котором таким же
образом определено действие G. В результате получается
функтор из категории //-пространств с отмеченной точкой
в категорию G-пространств с отмеченной точкой. Он переводит
Я-гомотопии в G-гомотопии. Если V есть Я-модуль, то
Д (gH х я Vе) — одноточечная компактификация пространства
индуцированного представления Homw(G, V). Интересующее
нас отображение индуцировано отображением [Vе, Vcfn ->
-4A(gtf XhV"), f\(gHXHVc)\c,-+[HomH(G, V)°, HomH(G, У)«]'«¦
Более общим образом, мультипликативное индуцирование — это

160 Гл. 8. Эквивариантная гомотопическая теория
отображение u)J-/ (А)-*-ш'а (Нош,/ (О-, А')). Читатель может
убедиться, что мультипликативное индуцирование согласовано
с индексом Лефшеца.
Предположим теперь, что заданы комплексные
представления V и W, для которых
(8.5.4) dim V" = dim W" для всех //<G.
Обозначим через ыа = (йв(Ус, Wc) возникающий со^-модуль,
где a = V — W. Для любой подгруппы Я<[G определено
отображение степени
(8.5.5) daM: coa-*-Z: [/]н-* степень fH.
Степень подсчитывается относительно канонических ориентации
(VH)C, (WH)C, задаваемых комплексной структурой. В силу
8.4.1 образы отображений йа,н однозначно определяют
элементы а>а. Можно спросить: каковы соотношения между
возможными значениями da<H{x)? Соответствие (Я) •—»- da, n (х)
непрерывно. Поэтому мы получаем инъективное отображение
(8.5.6) da: о)а-уС(Ф, Z).
Мы хотим описать его образ с помощью сравнений.
Теорема 8.5.7. Существует такой набор целых чисел пн,к{а),
зависящих от а, (Я) еФ(б) и (К), где Я нормальна в К и
К/Н циклична, что nHi!i(a)=l и леС(Ф, Z) содержится
в образе da тогда и только тогда, когда
2 пн<к (а) х (К) я 0 mod| W (Я) |.
(К)
Сумма берется по тем классам (К), для которых Я нормальна
в К и К/Н циклична.
Доказательство. Покажем сначала, что для описания
модуля соа вообще достаточно сравнений типа указанных
в 8.5.7. Позже мы выведем с помощью /(-теории конкретный
набор сравнений.
Пусть для каждого класса (Я) е Ф задано отображение
гн: С(Ф, Z)-+Z/\W(H)\ вида
(8.5.8) гн (г) = z (Я) + ? пнжг (К) mod | W (Я) |,
где nHix целые, а сумма берется по классам (К) подгрупп,
нормализующих Я и таких, что /С/Я— нетривиальная
циклическая группа. Предположим, что для а = Е —F, где dimEH =
= d\mFH, образ da содержится в
Ca=\z<=C (Ф, Z) j Я s Ф => ги (г) = 0}.
Тогда мы утверждаем, что da (coa) = Са.

8.3t Геометрически? модули над бернсайдовским кольцом 161
Пусть z е= Са. Нужно показать, что для подходящего U
существует такое отображение /: 5 (Е ©?/)-> S (F © U), что
для всех (Я)еФ степень fH равна г(Н). Для начала выберем U
настолько большим, чтобы выполнялись следующие условия:
(i) Iso(?,©L/) = Iso(/;,ec/).
(ii) (l), (G)eIso(?9c/).
(iii) (/(), (L) ss Iso (?ф(/)=^/(П^е Iso (? © */)¦
(iv) Выберем целое число пфО так, чтобы х — пг
содержался в С0. Тогда для х е со0 существует представитель
<>'(?© с/)-у S(F© с/).
Если условие (iv) выполнено для некоторого 6', то оно
справедливо и для всех U', содержащих U в качестве прямого
слагаемого. Значит, увеличивая U, можно добиться также
выполнения условий (i) — (iii).
Положим X = S(E®U), Y = S(F®U). Пусть Iso(X) =
-—{(Hi), ..., (Hr)\ и (Hi)>(Hj) влечет за собой ?</'. Если
Xi = \х <= X | (G.v) = (//у) для некоторого / sg i}, то можно по
индукции построить G-отображения fk: Xk-*-Y, для которых
(v) степень /? равна z(L), если (L) е Ф, (L)^(Hi), is^k,
или A)>(Я/;+1), (ЦеФ.
Заметим, что для таких L Xk = XL. Положим Н = Нкп.
Тогда G-продолжения fti+1: Xk+1-*~Y отображения fk взаимно
однозначно соответствуют W (Я)-продолжениям ft: XH-*-YH
отображения f'k — fk\xH: XH-+YH, где Хн — ХИ[\Хк.
Препятствия к продолжению лежат в Я* (XH/N (Я), XH/N (Я);
л;(;_1(Ун)), как в разд. 8.4. Эти группы тривиальны по
предположению. Пусть Д4-1 есть W (Я)-продолжение Д, и пусть
/\: X-^Y — отображение, для которого f^ = f'k+1 и которое
существует в силу тех же рассуждений с препятствиями.
Тогда, если (Я) е Ф, мы получим для степеней отображений
множеств неподвижных точек сравнение
d(ff) + S "я,к d (ff) ^ 0 mod | Г (Я) |.
По индукции d{ff) = z(K), так что в этом случае d(fk+\)s3
s=z(H) mod W (Я). Поскольку W7 (Я) свободно действует на
ХН\ХН, мы можем заменить f'k+\ по модулю Хд на W(Н)-
отображение fl+\, для которого d([l + i) = z(H). Пусть /ft+] —
отображение, для которого /Vuj^H^fc+i. если (Я)еФ, и
/ли|хн = Д + ь если (Н)фФ. Тогда d(/?+1) = z(Z,), коль скоро
(L)^(Hi), i^k+l. Предположим, что (L)>(HM), (/.)еФ.
Поскольку Iso(X) = Iso(F) замкнуто относительно пересечений,
6 Заказ 415

162 Гл. 8. Экеивариантная гомотопическая теория
существует единственный класс стационарных подгрупп (Р) =
= (/-/,), Для которого (P)^(L) и (Р)е=Ф, XL = XP, YL = YP,
степень /?= степень fP+l=z(P). Мы должны показать, что
г (Л) = 2 (Я). Но в силу (iv) класс m представляется отображе-
ннем g; Л'-vF; следовательно, gp = g' влечет за собой nz(L)~
:--пг(Р). Это завершает доказательство равенства dZi((»fJ) — Ca.
Теперь укажем конкретные функции тина 8,5.8. Пусть
f: Е->¦ F — собственное G-отображенпе комплексных G-модулей.
Пусть С <G — топологически циклическая группа с
образующей h. Положим Е = Ес © Ее, !в- ECQ.E. Применим эквива-
риантную /(-теорию с компактными носителями и получим
для /*: Kc(F)-*Kc(E) и (/<•')* равенство /|/* = /ИЛ*- Пусть
X (Е) е Kq (E) — боттовский класс, который является свободной
R (О)-образующей в Ко (Е). Определим а<= R(G) равенством
i*X(E) — aX(F) и получим
(а \с) Х^ (Ес) = Х_л (Fc) ¦ (степень /с).
Мы вычисляем здесь значение характера на h и используем
соотношение Х-г (Ес) (h) ф 0. Если G конечна, то ? a(g)=a
К<ееС
= 0mod|G|. Если С<G — циклическая подгруппа и С*
—множество ее образующих, то положим а*(С)= ^ a(g). По-
геС
скольку n(E-F, C)= 2 X_1(/7c)(g-)/X_1(?c)(g-), получаем
geC*
a*(C) = n(E-F, С), (степень /с),
a (G) = J]! G 11 Л/ (С) h1 о* (С) =з 0 mod j G |.
с
Согласно элементарной теории Галуа, п(Е — F, С) является
целым числом. Применим это рассуждение к fH,
рассматриваемому как W (//)-отображение, и получим
? | iV (H)/(N(H) П Л' (/С)); /;(?" -- F", K/H)d(fK)ssOmod\ W (Я)|,
(X)
где сумма берется по классам W (Я)-сопряженности (К), для
которых Н О /С и /(/Я циклична. Это дает нужные функции
8.5.8.
Замечание 8.5.9. Сравнивая полученные выше соотношения
для случая E — F с 5.8.5, мы видим, что отображение /0 из
8.5.1 сюрьективно.

8.6. Простые идеалы когомотопических колец
163
8.6. Простые идеалы эквивариантных
когомотопических колец
Пусть X — компакт класса G-ENR, G — конечная группа.
Мы опишем спектр простых идеалов кольца <±>с (Л").
Введем категорию орбит О(Х), объектами которой будут
G-гомотопические классы отображений G/H-+X, а морфизмами
из и: G/H-+X в v. G/K -*¦ X — такие G-гомотопические классы
/: G/H-+G/K, что vt = u.
Если задан объект и: G///--> X, то определен
индуцированный им кольцевой гомоморфизм и*: со?; (X) —> со б (G/H) и
совокупность гомоморфизмов и* порождает кольцевой гомоморфизм
(8.6.1) v: a>b(X)-+\im(A°a(G/H),
где предел (обратный предел) берется по категории О (X).
Обозначим через Spec v индуцированное у отображение спектров
простых идеалов.
Теорема 8.6.2. Ядром v является нильрадикал кольца ы'о(Х).
Для каждого х €Е lim a>a(G/H) существует такое neN, что х"
принадлежит образу v. Отображение Spec v является
гомеоморфизмом спектров простых идеалов.
Затем мы покажем, что переход к спектру простых идеалов
перестановочен с взятием предела по категории О (X).
Канонические отображения lim ы'Ь@/Н) ->соо (G/H) задают
непрерывное отображение u: colim Spec coo (G/И) -> Spec lira а>Ь (G/H).
Теорема 8.6.3. Отображение li — гомеоморфизм.
Перейдем к доказательству этих теорем. Напомним, что
определены когомологии Бредона [36] Н* (X, со)
пространства X с коэффициентами в локальной системе сю, заданной
отображениями со: G/H-> coq (G/Я) (см. также [38] и [100] по
поводу изложения этой теории когомологии). Пусть
е: (оЪ(Х)-+Н°(Х, со)
— граничный гомоморфизм, соответствующий спектральной
последовательности Атьи — Хирцебруха для соо (—). Более прямо:
IIй (X, со) канонически изоморфно Птю'с (G///) и при этом
изоморфизме е переходит в v.
Предложение 8.6.4. (i) Отображение е ® Q — изоморфизм.
(ii) Периодическая подгруппа cog(X) как абелева группа
совпадает с нильрадикалом кольца со'ё (X).
Доказательство, (i) Если e®Q является
изоморфизмом для некоторого пространства X, то оно будет
изоморфизмом и для любого его G-рстракта. Поскольку любое прооран-

164 Гл. 8. Эквивариантная гомотопическая теория
ство X класса G-ENR является ретрактом конечного
G-CW-комплекса (достаточно даже, чтобы X доминировалось конечным
G-CW-комплексом, а это легче установить), можно ограничиться
рассмотрением конечных G-CW-комплексов. Но е является
естественным преобразованием полуточных гомотопических
функторов; по стандартной теореме сравнения (см. [72]) достаточно
проверить, что e(x)Q является изоморфизмом на клетках. Это
верно для клеток нулевой размерности по самому определению
Н°(Х, со). Если t>0, то H°(G/Hx(Dl, S'-1); со) = 0 по аксиоме
размерности для этой эквивариантной теории когомологий.
С другой стороны,
<o%(G/Hx(D>, S'-^^w^iD', 5'-!)S?<,
и в силу теоремы Сигала [145] о расщеплении (см. также
[63, теорема 2]) мы имеем
со^ 0 со'' (BW (КГ)
(К)
(сумма по классам сопряженности (К) подгрупп в Н). Но
со' (BW (К)+) при ?>0 является периодической группой.
(ii) Ядро е совпадает с нильрадикалом кольца ьз'а(Х).
В самом деле, нильрадикал заведомо содержится в этом ядре,
поскольку Н°(Х, со) содержится в произведении колец вида
(Oa(G/H), а эти кольца не имеют (ненулевых) нильпотентов,
будучи изоморфными бернсайдовским кольцам А (Н). С другой
стороны, ядро е состоит в точности из элементов фильтрации /
относительно остова и, следовательно, из нильпотентных
элементов. (См. [142] по поводу аналогичного утверждения.)
Поскольку Н°(Х, со) —группа без кручения, Torsion coo (X) cz
cz Nil coo (X). Тензорно умножая на Q точную
последовательность
0-+т1(йЬ(Х)->ыс;(Х)-*Н°(Х, со)
и используя (i), получаем (ii).
Заметим, что предложение 8.6.4 доказывает первое
утверждение теоремы 8.6.2. Перейдем ко второму утверждению.
Предложение 8.6.5. Отображение е: а>Ь(Х)-+Н°(Х, со) имеет
шильпотентное коядро», т. е. подходящая степень любого
элемента из Н°(Х, со) лежит в образе е.
Доказательство (ср. [127]). Если утверждение верно
для X, то оно верно и для любого его G-ретракта. Поскольку
пространство X —компакт класса G-ENR, оно является
ретрактом компактного гладкого G-многообразия с границей. Значит,
нужно только доказать наше предложение для локально стя-

8.6. Простые идеалы когомотопических колец 165
гиваемых пространств (т. е. таких, в которых каждая орбита
является G-деформационным ретрактом своей окрестности).
Если X G-гомотопически эквивалентно одной орбите, то е —
изоморфизм. Предположим теперь, что X = UX (J ... U U,,, где Ui —
компакт класса G-ENR, гомотопически эквивалентный одной орбите.
Пусть предложение верно для Хх = Ut [}... U Uп-\- Рассмотрим
следующую диаграмму из последовательностей Майера — Вьето-
риса, где Н°(Х) = Н°(Х, со), а е,-— компоненты отображения е:
аЬ (X) -L аЬ (Хг) 0 (яЬ (U„) -± слЬ (XL П Ua)
Iе К ®B h
О -> Я0 (X) X Я0 (Хх) 0 Я° (U„) ± Я» (X, П ?/„)
Для л:еЯ°(Х) положим f (х) = (л^, х2). По предположению
индукции существует такое k, что
*'(**) = (*?. 4) = M"i), М"»))
для некоторых «,-. Из точности нижней последовательности
вытекает, что s'M = s'(iJ). Значит, s(u2) = s(u ) + п, где
га —нильпотентный элемент в силу предложения 8.6.4. Пусть
raz = 0. Тогда для р>1 и г = s(их)
(г + л)" = z* + Г ) ^-!« + ¦•¦ + (. Р_ 12*,-'+1/г/-1.
Согласно предложению 8.6.4, элементы л, га2, ..., гаг-1 имеют
конечный аддитивный порядок. Выберем i/gN так, чтобы
qri = 0, l^i^s;/—1. Теперь выберем р так, чтобы q было
делителем ,..., ( , например, положим p = q-(l—1I.
Тогда
(г + п)р = zp, т. е. s (игу = s (up) = s (и?),
и мы можем найти такой (/еао(Х), что t(y) = (up, uP\ и,
наконец, f(y) = xpk. Это завершает шаг индукции.
Последнее утверждение теоремы 8.6.2 выводится с помощью
коммутативной алгебры. Мы имеем следующую ситуацию:
Л-^-Л/Nil А-^В, где / — каноническая проекция, a g
—вложение с нильпотентным коядром. Тогда Spec / — гомеоморфизм.
Поскольку g имеет нильпотентное коядро, легко видеть, что
Specg инъективно. С другой стороны, g является вложением
в целое расширение; по теореме о подъеме Spec g — замкнутое
сюръективное отображение. Значит, в нашем случае Spec gr —
также гомеоморфизм. Это заканчивает доказательство
теоремы 8.6.2.

166 Гл. 8. Эквивариантная гомотопическая теория
Теорема 8.6.3 содержится в [127, следствие В. 7
приложения В].
Приведем теперь более явные формулировки для некоторых
из полученных выше результатов. Пусть хеХ и Н<.GX —
подгруппа в стабилизаторе х. Определим кольцевой гомоморфизм
4>х,н- cog(X)->-Z как композицию
ah (X)-> сон (X) -а% ({х}) g^A(H)-+Z,
где первые два отображения являются ограничениями, а
последнее означает переход к эйлеровой характеристике
множества //-неподвижных точек.
Предложение 8.6.6. Каждый кольцевой гомоморфизм
ц>: ti>o(X)-*-Z имеет вид срЛ-,И для подходящих х е X и Н<CGX.
Равенство <p.Vi н~Уу,к имеет место тогда и только тогда,
когда (//) = (/{), а точки х и у лежат на одной W (Н)-орбите
в компоненте линейной связности множества Хн. Простые
идеалы кольца со<~ (X) имеют вид Фх'н(р), где р —простой
идеал в Z.
Доказательство. Пусть q — ядро ф. Это простой идеал,
который по теореме 8.6.2 и 8.6.3 совпадает с ядром некоторого
гомоморфизма фЛ-, н. Поэтому <р = <рх.ц.
Различные гомоморфизмы ф: (o'g(X)-vZ0 взаимнооднозначно
соответствуют простым идеалам в соо(Х), а также
гомоморфизмам со0 (X) (х) Q-> Q Q-алгебр. Но, согласно результатам гл. 7,
имеет место естественный изоморфизм колец
<ос (X) (х) Q S ф со0 (X") w <"> ^ Q)
(Я)
где сумма берется по всем классам сопряженности подгрупп
ЖС. Из этого факта легко выводится второе утверждение
нашего предложения. Третье представляет собой
переформулировку доказанных выше теорем.
8.7. Комментарии
Этот раздел носит несколько рудиментарный характер. Мы
укажем некоторые ссылки на дальнейшие исследования.
Подробное обсуждение теоремы Хопфа 8.4.! для отображений
сфер можно найти в [93]. Более концептуальное
доказательство предложения 8.5.1 использует теорему расщепления из
[63, теорема 2]. Другие теоремы расщепления получены в [145],
[136], [105], [90], [93]; сюда относятся также [168] и [138].
Предложение 8.5.7 обобщено на нестабильные и вещественные
модули в [160]. Раздел 8.2 основан на работах [94] и [23,
приложение]. По поводу использования теории препятствий, как

8.8. Упражнения
167
в разд. 8.3, для эквивариантного варианта теоремы Блейкерса —
Масси и теоремы о надстройке см. [92]. Раздел 8.6 основан
на лекциях, прочитанных автором в апреле 1975 г. в Нью-
касле-на-Тайне; это относится также к формуле двойных
классов смежности для эквивариантного трансфера (см.
упражнения).
8.8. Упражнения
1. Показать, что формула двойных классов смежности из
5.12 имеет место в эквивариантной теории когомологий и,
следовательно, в любой стабильной теории эквнвариантных
гомологии и когомологий. (Это обобщает многочисленные результаты
из [82], [43] и т. д.)
Более точно: пусть хм е= co0G щ) _ трансфер-элемент,
соответствующий отображению М->-{точка}. Пусть M = ^ln{H)ibM{H)_b,
где пун), ь = Хс (S(H).ь/G), — разложение в бернсайдовском кольце,
как в 5.12. Пусть x{H),b e щ (M[H)J)) — трансфер-элемент,
соответствующий отображению M(H)tb-+-{точка}, а 1{н),ь'- Щ Щ(н),ь)-*-
->со°(УИ) индуцировано вложением. Показать, что
Хм — 2. n[H),bhH),b {х(Н),ь)-
2. Пусть Я<б и L — касательное пространство к G/N (Н)
в точке 1. Показать, что существует естественный гомоморфизм
<{Н) Aе л EW+ лХ)->и«((Gхл,?№')+ лХ),
п е Z.
3 (том Дик [63]). Показать, что существует естественный
изоморфизм
0 со J <"> (EW (НУ л X") - <о° (X),
(Я)
/jgZ, G —компактная группа Ли, сумма берется по классам
сопряженности подгрупп.

Глава 9
Гомотопически эквивалентные
представления групп
В этой главе мы занимаемся гомотопической теорией
представлений групп. Если G — компактная группа Ли, а Е и F—
ее вещественные ортогональные представления, так что
единичные сферы S (Е) и S(F) сохраняются под действием группы G,
то возникает вопрос: когда существует G-отображение /: S (Е) ->
-*-S(F), допускающее G-гомотопически обратное отображение?
Оказывается, что гомотопическая эквивалентность между
различными представлениями по существу может встретиться
только для конечных групп. Поэтому мы ограничимся
конечными группами и будем рассматривать стабильную
гомотопическую эквивалентность. Позже мы вернемся к нестабильной
ситуации и компактным группам Ли.
9.1. Обозначения и результаты
Пусть G — конечная группа. Если V — (вещественный или
комплексный) G-модуль, мы обозначим через S(V) его
единичную сферу относительно какого-нибудь G-инвариантного
скалярного произведения. Два вещественных G-модуля V и W
называются гомотопически эквивалентными, если G-простран-
ства S(V) и S(W) G-гомотопически эквивалентны. Если V и W
(соответственно VЛ и Wr) гомотопически эквивалентны, то
V 0 Vi и W Q>Wi гомотопически эквивалентны, потому что
S(V ©Vi) G-гомеоморфноджойну S (V) * S (V г) н можно
использовать джойн для построения искомой эквивалентности. Два
вещественных G-модуля V и W называются стабильно
гомотопически эквивалентными, если для некоторого вещественного
G-модуля U модули V 0 U и W 0 U гомотопически
эквивалентны. Пусть R (G) (соответственно RO (G)) означает кольцо
Гротендика комплексных (соответственно вещественных) G-моду-
лей (отождествленное с соответствующим кольцом характеров).
Элементами x(=RO(G) служат формальные разности x=V — W
вещественных G-модулей V и W '). Те х = V — W, для которых V
и W стабильно эквивалентны, образуют в силу сделанного
!) Точнее, классы эквньалеитности гаких уазноаей, —Прим. перев.

9.1. Обозначения и результаты
169
выше замечания о джойнах аддитивную подгруппу в RO(G),
обозначаемую через R0h (G). Когда мы имеем дело с
комплексными G-модулямп, мы называем V и W ориентированно гомо-
топически эквивалентными, если существует такая G-гомотопи-
ческая эквивалентность /: S(V)-+S(W), что для всех подгрупп
Н<G индуцированные отображения f": S (V)H ->- S (W)H
множеств Я-неподвижных точек имеют степень 1 относительно
ориентации, которые S (V)H и S (W)H наследуют от
комплексной структуры в VH и WH. Обозначим через Rh(G)
аддитивную подгруппу в R(G), состоящую из тех x = V — W, для
которых V и W ориентированно гомотопически эквивалентны.
Если 5 (V © U) и S (W 0 U) G-гомотопически эквивалентны,
то множества их Я-неподвижных точек гомотопически
эквивалентны. В частности, сферы S(V)H и S (W)H имеют одинаковые
размерности (или обе пусты). Пусть R0 (G) — аддитивная группа
тех x = V — W, для которых dim Vн = dim Wн для всех
подгрупп Я<С. Обозначим через RO0(G) аналогичную подгруппу
для RO (G). Поскольку Rhcz R0 и R0h a R00, можно
определить группы
(9.1.1) / (G) = Яо (G)/Rh (G), /О (G) = ROn (G)/ROh (G).
Если G имеет порядок g = \G\, то G-модули могут быть
реализованы над полем Q(u), где и —примитивный корень степени g
из единицы. Группа Галуа Г поля Q (и) над Q действует на
R (G) и RO (G) через свое действие на значения характеров
(см. разд. 3.5). Тем самым Г действует на множествах
Irr(G, С) (соответственно Irr (G, R))
комплексных (соответственно вещественных) неприводимых
G-модулей. Пусть Z [Г] — целочисленное групповое кольцо
группы Г и / (Г) — его пополняющий идеал.
Предложение 9.1.2. Справедливы равенства
R0 (G) = / (Г) R (G), RO0 (G) = / (Г) RO (G).
Необходимость введения следующих объектов станет ясна
ниже:
Ri (G) = / (Г) R0 (G), RO, (G) = / (Г) ROa (G),
( - - } i(G) = /?0(G)//?1(G), iO(G) = R00(G)/ROl(G).
Мы докажем следующие утверждения.
Теорема 9.1.4. Для любой конечной группы G
Rl(G)^Rh(G), ROl(G)ciROh(G).

170 Гл. 9. Гомотопически эквивалентные представления групп
Используя эту теорему, мы можем рассматривать
канонические проекции
(9.1.5) t(G): t(G)->/(G); Ю (G): tO (G) ^/О (G).
Теорема 9.1.6. Пусть G есть р-группа. Тогда t (G) и Ю (G) —
изоморфизмы.
План доказательства теорем 9.1.4 и 9.1.6 следующий. Мы
начинаем с напоминания основ теории представлений в разд. 9.2,
доказывая 9.1.2 и давая подробный анализ i (G) и /0(G).
В разд. 9.3 мы докажем теорему 9.1.4, а в разд. 9.6—
теорему 9.1.6, используя функториальные свойства 9.1.5. В
последующих разделах мы обсудим различные обобщения и
уточнения: нильпотентные и гиперэлементарные группы, отображения
нестабильных модулей, связи с бернсайдовскими кольцами и
рациональными характерами.
9.2. Размерности множеств неподвижных точек
Число классов неприводимых комплексных представлений
группы G равно числу классов сопряженных элементов в этой
группе (см. [147, теорема 7]), т. е.
|Irr(G, С); = | Conj G |.
Пусть Г =Г (т) — группа Галуа поля Q (и) над Q, где « —
примитивный корень степени т из единицы, а т кратно \G\.
Группа Г может быть отождествлена с группой обратимых
элементов кольца вычетов 1/т. Она действует на Irr (G, С).
Пусть X = Х (G) = Irr (G, С)/Г — множество орбит этого
действия (оно не зависит от т). Тогда элементы
xA=^yf AzeX(G),
г/еА
образуют Z-базис кольца инвариантов
(9.2.1) R(G)V.
Кольцо рациональных представлений R (G, Q) содержится
в R (G)r в качестве подгруппы максимального ранга, но, вообще
говоря, не совпадаете ним. Существует такое число пД (индекс
Шура, см. разд. 9.3), что представителем пАхА служит
некоторый рациональный G-модуль ([147, 12]). Следовательно,
(9.2.2) \ X (G) I = rankz R (G, Q),
и это число равно числу классов сопряженности циклических
подгрупп ([147, теорема 29]). Пусть ? (G) — множество классов
сопряженности циклических подгрупп в G и C(Q(G), Z) —

9,2. Размерности множеств неподвижных точек 171
кольцо функций ?(G)-»-Z. Имеется аддитивное отображение
(923) d: /?(G)-C(?(G), Z),
К d(x)(C) = dimCA'c.
Поскольку dim Vя = | И \-х ? V (h) и левая часть инвари-
hc: I!
антна относительно группы Галуа, мы видим, что / (Г) R(G)cz
с Ro(G) czkerd. Значит, определена сюръекция
(9.2.4) R (G)r: = R (G)/I (Г) R(G)^R (G)/ker d,
перестановочная с ограничением на подгруппу.
Предложение 9.2.5. Отображение 9.2.4 инъективно, т. е.
I(r)R(G) = R0(G) = {V-W\d\mVc = d\mWc, C<G циклична}.
Доказательство. Установим инъективность отображения
R(G)r-+flR(C)r,
с
где С пробегает все циклические подгруппы в G, а при
отображении берутся ограничения. Группа R(G)r свободная абе-
лева, базис ее состоит из представителей Г-орбит в Irr(G,C).
Соответствие х<—*¦ ^] ух задает гомоморфизм t: R (G)r-> R (G),
который в композиции с отображением R(G)-+R(G)r дает
умножение на |Fj. Значит, t инъективен. Поскольку
отображение R (G) -*¦ Y\ R (С) инъективно, этим свойством обладает и
изучаемое нами отображение. Мы получаем теперь
коммутативную диаграмму
tf(G)/ker d-v П # (cVker ^
и предоставляем читателю убедиться в инъективности
отображения R (С) -> R (C)/ker d для циклической группы С.
Точно так же доказывается
Предложение 9.2.6. Для любой конечной группы G
I(T)RO(G) = /?0O(G) = {V-W\dimI/C = dim Wc, C<G циклична].
Из 9.2.3 и его вещественного аналога теперь следует
инъективность отображений
d: /?(G)r-C(?(G), Z),
( ' dO: /?0(G)r->C(?(G), Z),

172 Гл. 9. Гомотопически эквивалентные представления групп
образы которых являются подгруппами максимального ранга,
т. е. коядра — конечные группы.
Мы хотим вычислить порядок коядра. Было бы интересно
также выяснить структуру этой группы.
Начнем с последовательности редукций. Пусть Vu ..., Vr—¦
система представителей множества Irr(G, С)/Г и Ни ..., Н,- —
система представителей для ?(G). Тогда
(9.2.8)
| coker d | = det | atj ||,
an = dim F\x(Hj, Vi).
Из равенства \H \-dimVH = 2 V (h) мы получаем
keH
(9.2.9)
|cokerd|-ni #/l= det| Ti vi(h)
Лея,
Пусть Я* означает множество образующих циклической
группы Я.
Лемма 9.2.10. Справедливо равенство
det
2 V,(h)i
heH,
= det
2 Vt(hi
ht=Hj
Доказательство. Занумеруем классы подгрупп так,
чтобы (Hi) < (Hk) влекло за собой k ==s i. Положим b*i =
= 2 Vi(h) и bt/= 2 У* СО- ТогДа
heHJ heHf
ЬЧ = bfj + 2 еД7,
/<>
где e/=l или О независимо от i. Таким образом, матрица b*\
получается из Ьц вычитанием некоторых «более ранних»
столбцов из «более поздних».
Заметим теперь, что мы можем так реализовать группу
r = (Z/m)*, чтобы было справедливо равенство
yV(g) = V(gy),
а тогда Г согласованно действует на значениях характеров
(слева) и на множестве Я* (справа). Выберем для каждого /
элемент g) е Я*, и пусть Г,- означает стабилизатор gy в Г.
Имеем
(9.2.11) ЬГ, = |Г,|-12т^(&).
ver

9.2. Размерности множеств неподвижных точек 173
Значит, если положить IV — ^ Т^> то из 9.2.10 и 9.2.11
ver
будет следовать равенство
(9.2.12) detl&.yinir/Hdetl/K/te;)!.
/
Чтобы вычислить этот определитель, сделаем следующее
замечание. Пусть IF — комплексное векторное пространство с
эрмитовой формой (—, —) н ортогональным базисом eit ..., ег.
Если заданы векторы а,~^Сцеъ, ls^ts^r, то
(9.2.13) detjj<ab ay>|| = ! det |Ы |2П<ел ej).
I
Мы воспользуемся этим фактом для вычисления det | IV, (g}) [.
Рассмотрим IVi как пространство функций на G. Положим
G = C1[j...{}Cry
где g e Су, если и только если g порождает подгруппу,
сопряженную с Hj. Тогда IVi состоит из функций, постоянных на
каждом С/. Обозначим характеристическую функцию
множества С/ тем же символом. Тогда
(9.2.14) IVi=yiIVi(gj)Cj.
i
Воспользуемся стандартной эрмитовой формой в пространстве
комплексных функций на G. Тогда (С/, С;-) = |С/|. Из 9.2.13
получаем
(9.2.15) П IС/! ¦! d?t IIV, (gj) 112 = det || (IV,, IVj) |.
/
Соотношения ортогональности для характеров дают
(9.2.16) (IV,, /Vy> = |G|-|r|/|r'|-6y,
где Г' —стабилизатор V,- относительно Г-действия на Irr(G, С).
Собирая все наши результаты, получаем
j Coker d! = ПI Hi i-1'! det 1 H 11 = (no 9-2-9)
= ri(l///Mr/!)idet!l/l/'(&)H= (no 9.2.12)
/
= ПAя/|-!г/|-1с/11/2)-1^е1К/Кь IV,)\\= (no 9.2.15)
i
= _j __ il _ (no 9.2.16).
П (i Hi \ • ir/1 • i ct "<*)

174 Гл. 9. Гомотопически эквивалентные представления групп
Если теперь заметить, что j Г; J • | Щ | = ; Г ;, а ] Cj | = j HJ j ¦
¦ | G/N (Hj) J, окончательно получаем
Предложение 9.2.17.
1 coker d: = 11 —-jfi--YJvt- ¦
i
Априори неочевидно, что правая часть равенства 9.2.17—
целое число. В некоторых случаях эта формула упрощается.
Например, для абелевых групп пропадают Г-множители.
Предложение 9.2.18. Пусть G есть р-группа, рф2. Тогда
Irr (G, С) и Conj (G) изоморфны как Т-множества.
Доказательство. Пусть Ух и У2 — геометрические
представления Г, соответствующие Г-множествам Irr(G, С) и
Conj (G). Покажем, что Vx и V2 — изоморфные представления.
Поскольку в нашем случае группа Г циклическая, а для
таких групп отображение Л (Г)->/? (Г) инъективно, мы сможем
вывести отсюда изоморфизм соответствующих Г-множеств.
Изоморфизм модулей Vt и К2 получается, если отождествить
линейные комбинации элементов из Irr (G, С), как обычно,
с функциями Conj (G)->- С. Формула 3.5.1 для операций Адамса
на характерах показывает, что это соответствие является
изоморфизмом Г-модулей.
Если V) означает стабилизатор класса сопряженности g),
a Z (#,) — централизатор Hj в G, то
(9.2.19) \ri\-\Z(Hj)\ = \N(Hj)\-\Tj\.
Из 9.2.17-9.2.19 получаем
Предложение 9.2.20. Пусть G — про-р-группа, рФ2 простое.
Тогда порядок коядра d равен
l\\W{Hj)>-\z (Hj) ;-!/*.
Пусть с: R(G, Q.)-+С (?, (G), Z) — кольцевой гомоморфизм,
который QfGI-модулю V ставит в соответствие функцию c(V),
определенную следующим образом: с (V) (С) равно значению
характера V на образующей подгруппы С. Этот гомоморфизм
является вложением максимального ранга. Желательно
вычислить коядро с —это дало бы условия, при которых функция
является рациональным характером. Те же рассуждения, что
и в доказательстве 9.2.17, позволяют найти порядок коядра с.
Пусть «, — индекс Шура модуля V,-.
Предложение 9.2.21. : coker с ; = J J и,- ¦[ N (Hj) ^г.

9.3. Индекс Шура
175
Доказательство. coker с \ = det Wt (gf), где Wj =
~ iij; Г,-Н IVj — неприводимое рациональное представление,
принадлежащее классу V,-. Теперь остается провести
вычисления, как это сделано выше.
Задача 9.2.22. Вычислить группы coker с и coker d (при
этом должны быть полезны результаты гл. 10).
9.3. Индекс Шура
Соберем здесь классические результаты, касающиеся индекса
Шура, прежде всего для р-групп. Мы всегда будем иметь дело
с подполями поля комплексных чисел. Общее ссылки по поводу
последующего изложения: Ленг [107, гл. XVII], Кэртис — Рай-
нер [48, § 70], Рокетт [135].
Пусть k — подполе в С. Групповая алгебра k[G] полупроста
и разлагается в произведение простых алгебр Ас
fe[G] = 4i0...© Ar.
Соответствующее разложение единицы 1 =е, +.. .-\-ег дает
неразложимые центральные идемпотенты с,- в k [G]. По теореме
Веддербёрна каждая алгебра Л,- изоморфна полной матричной
алгебре
Л,- = М,,ф,)
над алгеброй с делением D,. Если У,- —минимальный левый
идеал в Л,-, то У,- — неприводимый ? [G'J-модуль и все
неприводимые ^[Gj-модули получаются таким образом. Кольцо
эндоморфизмов модуля Vi является алгеброй с делением, и в
действительности
Dt = Hom,[61(Vb V,).
Степень Dt над своим центром Ki является точным
квадратом т], где mi = [?,-: Kt], а Е-, — максимальное поле,
содержащееся в D;. Число mi называется индексом Щура модуля Vt
или алгебры Л,-.
Если V — неприводимый k [С]-модуль, то пусть
AV=A:= образ (k [G] -> Нот* (V, V));
это fe-алгебра, порожденная операторами представления lR: v<—*
i—*-gv. Ясно, что V — точный неприводимый Л-модуль, и,
поскольку Л полупроста (как факторалгебра k[G]), она должна
быть простой. Значит, A = M„(D) для некоторой алгебры
с делением D, центр которой содержит k.
Если Л — простая алгебра с центром k, то расширение ?
поля k называется полем разложения для Л, если Л®*/:'

176 Гл. 9. Гомотопически эквивалентные представления групп
является полной матричной алгеброй над Е. Если А —
матричная алгебра над алгеброй с делением D, то Е является полем
разложения для А тогда и только тогда, когда оно является
полем разложения для D. Если степень [D: k\ конечна, то
максимальное подполе Е в D является полем разложения
для D и [D : k] = [Е : /г]2. Если L — любое другое поле
разложения для D, которое является конечным алгебраическим
расширением k, то [Е : k] делит [L : k].
Применяя эти результаты к алгебре A = AV, определенной
выше, и предполагая, что k является центром А (= центром D),
получаем, что для любого поля разложения F для D
справедливо равенство
A®kF^Mnm{F),
где m2 — [D:k], n2 = [A:D]. Если [/ — неприводимый F[G]-mo-
дуль, задаваемый минимальным левым идеалом в ЛB)а^\ то
откуда видно, что mU реализуется над /г. Если tU реализуется
над k, то m 11.
Если [/ — неприводимый С[С]-модуль, обозначим через AkiV
й-алгебру, порожденную операторами /й е Нотс ((/, [/). Это
простая ^-алгебра. Центр этой алгебры совпадает с k(%u), т. е.
с полем, полученным из k присоединением значений
характера %ij. Представление U реализуется над F^Dk(iu) тогда и
только тогда, когда F — поле разложения для AkiU. Индекс
Шура этой алгебры — минимальное число пг, для которого mU
реализуется над k (xu) и существует такое расширение F
степени пг над ft(y.u), что U реализуется над F. Мы назовем
поэтому m — mk (U) индексом Шура модуля U относительно k.
Поле Е называется полем разложения для G, если любой
неприводимый С[б]-модуль реализуется над Е. Для заданного k
всегда можно найти конечное алгебраическое расширение Е =>
гэ k, которое будет полем разложения для G. Согласно
знаменитой теореме Брауэра, полем разложения для G является
E = Q(u), где « — примитивный корень степени т из единицы,
а т — так называемый показатель G (наименьшее общее кратное
порядков элементов G).
Пусть V — неприводимый k [Gj-модуль и Е — поле
разложения для G, которое является конечным расширением Галуа
над k. Тогда V®kE расщепляется:
У(х),?-т([/10...е[/,),
где [/; — неприводимые Е[Gj-модули. Кроме того, [/,(g?C —
неприводимый С[С]-модуль и т = mk ([/; (х^С) для i=\, 2, ...
. ,, (. Модули Ult ..., Ut образуют орбиту относительно лей-

9.3. Индекс Шура
177
ствия группы Галуа Gal (E: k) в множестве неприводимых
ffGJ-модулей. Число /, фигурирующее выше, равно [k (ул): k],
где уд —характер Uv
Для удобства последующих ссылок соберем здесь факты,
касающиеся р-групп. Мы следуем статье [135].
Предложение 9.3.1. Пусть G есть р-группа. Тогда для
каждого неприводимого С[6]-модуля V
(i) если рф2, то тй(У)—1,
(ii) если р — 2, то mQ(V) = mR(V)=l или 2.
Доказательство. В [135] доказана часть (i) и тот факт,
что 1Щ (V) = 1 или 2. Сделаем дополнительное замечание о том,
что mq(V) = ;«R (V). (Это было сообщено Торнхэвом.) Рокет
доказал, что в случае tnQ(V) = 2 алгебра с делением,
связанная с Aq, v (в принятых выше обозначениях), является обычной
алгеброй кватернионов над своим центром Q.{tv)- Поскольку
^q, v ®Q(xv) R = ^r.v и R не расщепляет кватернионного
расширения Q(xr), алгебра Ar,v должна быть матричной
алгеброй над кватернионами, откуда mR(V) = 2. Ясно, что
i!Iq(V)=1 влечет за собой mR(V)=\.
Следствие 9.3.2. Пусть G есть р-группа. Тогда
(i) если рф2, то R(G, Q)^R(G)r,
(ii) для любого р pR(G, Q) = /?0(G)r.
Предложение 9.3.3 (Торнхэв). Пусть V — неприводимое
комплексное представление 2-группы G, для которого dim Vя
четна для любой подгруппы Н в G. Тогда V — кватернионный
модуль.
Доказательство (Торнхэв). Пусть % — характер V и
ind//1// —характер, индуцированный тривиальным
характером Н. Тогда по теореме взаимности Фробениуса (см. [147,
7.2]) и в силу соотношений ортогональности
<Х, indgl„>=dimV".
Таким образом, из сделанных относительно V предположений
вытекает, что % имеет четную кратность в любом
геометрическом представлении. По теореме Сигала (см. гл. 4) величина
\Х, |) четна для любого характера g, соответствующего Q[G]-
модулю. Существует единственный неприводимый Q [GJ-модуль,
характер ? которого не ортогонален %. Четное число т = (%, ?)
совпадает с индексом Шура mQ (у). Но mQ (у) = mR {у} и коль
скоро это число четно, V должен быть кватернионным модулем.

178 Гл. 9. Гомотопически эквивалентные представления групп
9.4. Группы i(G) и iO(G)
Доказательство основной теоремы 9.1.6 использует индукцию
по порядку группы. В этом разделе мы подготовим шаг
индукции, приведя соответствующие алгебраические факты
относительно 1(G) и iO(G), в частности, для р-групп.
Для каждой орбиты А е X = Irr (G, С)/Г обозначим через
F (Л) свободную абелеву группу, порожденную ее элементами.
Тогда (аддитивно) R(G)= ф F(A), и если положить FQ(A) =
= R0(G){]F(A), то /?0(С)=еф Fn(A). Кроме того,
las/1
Поскольку Г абелева, стационарная подгруппа Г-действия
на А не зависит от выбора точки а<=А. Поэтому мы
обозначим эту подгруппу через ГА. Положим FX(A) = I (T) F0(A)\
тогда /?х (G) = 0 FX(A) и
t(G) = ф /ч(Л)/Л(/1).
Отображение
Г/ГЛ-^0(Л)/^(Л): V_^A-V)V
для Уе/1 не зависит от V и, как мы видели, является
изоморфизмом. Таким образом, имеется канонический изоморфизм
(9.4.1) i(G)g± © Г/ГЛ)
Лех
который мы иногда будем использовать для отождествления
левой и правой части.
Нам понадобятся некоторые функториальные свойства этого
отображения. Группа Г =Г (т) не определена однозначно
группой G, поскольку т может быть любым числом, кратным \G\.
Если мы имеем дело с несколькими группами, удобно считать,
что т кратно порядкам всех этих групп. Более функториаль-
ный подход состоит в использовании в качестве Г проконечной
группы, например группы Галуа поля, порожденного над Q
всеми корнями из единицы. Для нас это не так важно. Тем
не менее группа Г/Гл, как это видно из элементарной теории
Галуа, не зависит от выбора т.
Ограничение группового действия на подгруппу Н задает
гомоморфизм
res//: i(G)-+i(H).
2>a = 0

9.4. Группы 1(G) и iO(G) 179
Нам понадобится описание res# в терминах изоморфизма (9.4.1).
Если УеЛеХ(б), то res# V распадается на неприводимые
Я-модули, скажем
' /п (/) \
res„ V = ф i 0 ГД
где индекс i собирает все слагаемые, принадлежащие одной
1 орбите Л (;') в 1гг(//, С). Поэтому res/y является прямой
суммой отображений
t
(9.4.2) Г/Гл-^фГ/Г^),
¦у,_» (уп{1\ ..., у"'")-
Это легко проверяется.
Вычисление i(G), проделанное выше, может быть точно
так же проведено для iO(G). Здесь также получается
изоморфизм типа (9.4.1).
Перейдем теперь к другому описанию i (G) и iO (G), которое
справедливо для р-групп. Нам понадобится элементарная лемма.
Пусть циклическая группа Г действует на свободной абелевой
группе А как группа автоморфизмов. Пусть Yo e Г —
образующая этой группы. Положим Ат = А/(\ —уо) А, А, = A — Yo)'11 A
для iss 0, i{A) = A0/A1.
Лемма 9.4.3. Последовательность
0-»-Лг-»ч4г—~/(Л)-*0
точна.
Доказательство. Предположим, что аеЛг переходит
в нуль в Л р. Тогда а = (\—у0)Ь, и поэтому
|Г;.а= ? v«= Ц 7A -то)Ь = о.
уеГ Vt=r
Поскольку А свободна, это равенство влечет за собой а = 0.
Значит, отображение Лг-^Лг является вложением. По
определению отображение Лг—>-/(Л) сюръектнвно (и корректно
определено). Если а принадлежит ядру этого отображения, то
A — Yo) о. — A — YoJ b, и потому элемент с = а — A — Yo) b,
который является представителем того же элемента в Лг, что и а,
удовлетворяет равенству 6' = Yoc- Значит, он лежит в Лг, потому
что Yo — образующая.
Заметим теперь, что группу Г можно выбрать циклической,
если G есть р-группа и рф2, а при р = 2 циклической будет
группа Г/|±-1). Поэтому из леммы следует

180 Гл. 9- Гомотопически эквивалентные представления групп
Предложение 9.4.4. Пусть G есть р-группа. Следующие
последовательности точны:
A) 0 -> RO (Gf -> RO (G)r -^ Ю (G) -* О,
а также аналогичные последовательности, в которых RO
заменено на RSO или на пополняющие идеалы 10 и ISO;
B) (для рФ 2)
0 + /?(G)r'->/?(G)r^t(G)-^0
и аналогичная последовательность с пополняющим идеалом I (G)
вместо R(G).
В остальной части этого раздела G предполагается р-группой.
Пусть V — неприводимый G-модуль с ядром Н. Назовем V
примитивным, если G/H = циклическая группа, группа диэдра
или обобщенная кватернионная группа, и импримитивным
в противном случае. Пусть X' (G) — множество Г-орбит импри-
митивных G-модулей, а V (G) — подгруппа в ((G),
соответствующая при изоморфизме (9.4.1) сумме (J) Г/Гл. Определим
ЛеЛ'(О)
аналогично /О' (G) с /О (G). Важность понятия примитивного
модуля видна из следующего варианта теоремы Блихфельдта,
которую мы приведем здесь для удобства ссылок как лемму.
Пусть V — неприводимый комплексный G-модуль,
изоморфный своему двойственному модулю V*. Тогда существует
антилинейное G-отображение J: V->V, для которого либо Уа=1
(V вещественного типа), либо J2 — —1 (V кватернионного типа).
Лемма 9.4.5. Импримитивный G-модуль V вещественного
(соответственно кватернионного) типа индуцирован
вещественным (соответственно кватернионным) Н-модулем некоторой
собственной подгруппы Н < G.
Доказательство. Мы рассмотрим случай
кватернионного типа. (Вещественный случай разбирается аналогично.)
Предположим, что V как кватернионный G-модуль не
индуцирован никаким Н-модулем ни для какой собственной подгруппы.
Можно предполагать, что У —точный модуль. Мы хотим
показать, что в этом случае группа G циклическая или является
обобщенной кватернионной группой. Пусть К — максимальная
нормальная абелева подгруппа в G. Если бы ограничение
resK V содержало два неизоморфных неприводимых кватернион-
ных модуля, то V не был бы неприводим. (См. Кэртис —Рай-
нер [48, § 49—50]; заметьте, что приведенное там рассуждение
применимо к кватернионным модулям.) Значит, res^ V ^ V0 © • • •
¦ ¦•©Vo, где V0 — некоторый неприводимый кватернионный
/(-модуль. Поскольку У о точен, а К абелева, К должна быть

9.4. Группы i(G) и iO(G) 181
циклической, a dimnV/o=l (H означает тело кватернионов).
Поскольку К была максимальной нормальной абелевой
подгруппой, G/K эффективно действует сопряжениями на К- Модуль
Vo — комплексный /(-модуль вида W@W*. Если g^G\K и
k e К — образующая, то gkg-1 Ф k. Поэтому сопряжение с
помощью g переставляет W и W* и действует как gkg~1 = k-1,
поскольку Vo — точный модуль. Отсюда следует, что порядок
G/K не превышает 2, и потому G — либо циклическая группа,
либо группа диэдра, либо обобщенная кватернионная группа.
Но группа диэдра не имеет неприводимых кватернионных
модулей.
Пусть res: I (G) ->- J~[ i (H) — произведение отображений res#,
н
где Н пробегает максимальные собственные подгруппы в G.
Мы обозначаем также через res сужение этого отображения на
i' (G). Аналогичное отображение определено в вещественном
случае.
Предложение 9.4.6. Отображение
res: Ю' (G) -у f[ 10 (Я)
н
инъективно. Отображение
res: i'(G)^]Ji(H)
и
инъективно, если G имеет нечетный порядок.
Остаток этого раздела посвящен доказательству этого
предложения. Основной факт выделен в лемму 9.4.7, из которой
легко следует само предложение, если воспользоваться
изоморфизмом 9.4.1 и коммутативной диаграммой
i'(G) ^ ЦЦН)
П Г/T^jf/ П Г/Го)
AeX'(G) Н \D<=X Ш) I
в которой нижнее отображение описано в (9.4.2). Аналогично
обстоит дело в вещественном случае.
Пусть теперь задан х = \уА е Т/ТА \ А <= X' (G)}.
Лемма 9.4.7. Предположим, что р Ф 2 в комплексном случае.
Для каждой орбиты А е X' (G) существует максимальная
собственная подгруппа Н в G и С*=Х(Я), для которых
справедливы следующие утверждения:

182 Гл. 9. Го иотопически эквивалентные представления групп
(i) Для А Ф В е X' (G) С-компонешпа res# yD e } { Г/Гд
DeX(ff)
равна нулю.
(И) р: Г/Гд—S j^J Г/Гд—-Г/Гс инъективно.
d e л' (Я)
Доказательство. Начнем с комплексного случая и не
будем исключать случай р-¦-¦=?. в следующих выдержках из
теории представлений.
Пусть I' е А е X' (G). Поскольку V импримитпвен, должно
быть dimcV/>l. По теореме Блнхфельдта (Серр [147, 8.5])
можно найти такую собственную подгруппу Н <G, что V
индуцирован некоторым неприводимым Я-модулем W. В
обозначениях y = ind^W7. По свойству транзитивности индуцирования
можно, кроме того, предполагать, что Я —максимальная
собственная подгруппа в G. Тогда она нормальна в G и имеет
индекс р. Выберем Н и W е С е X (Н) с этими свойствами
для доказательства утверждения леммы.
Рассмотрим разложение res// V Qs Wi© ... ф Wp, в котором
для определенности W1 = W и все Wt попарно неизоморфны
(Серр [147, 7.4]). Если U неприводим и W является прямым
слагаемым в resHU, то по закону взаимности Фробениуса
0^(resHU, W)H = (U, mdaHW) = (U, V)
и, следовательно, U^V. Это доказывает (i). Заметим, что
V ~ ind° Wi. Для доказательства (П) рассмотрим несколько
случаев.
Первый случай. Все Wt принадлежат разным Г-орбитам.
Поскольку индуцирование перестановочно с Г-действием, мы
получаем ГссГд. Но если y<=Yv, то
поэтому yWi = W{ для всех i, поскольку Wt принадлежат
различным Г-орбитам. Значит, ГлсГс, и отображение р в этом
случае тождественно.
Второй случай. Для пары i, /, 1ф\, существует усеГ,
такой, что y0Wj^Wj. Тогда yoV==V, и поэтому y0^Tv
переставляет Wi, ..., Wр. Эта перестановка должна быть
циклической. Значит, 7о^Гс, и ГЛ,ТС имеет показатель р. Из (9.4.2)
мы видим, что р задается формулой р(у) = ур- Если р нечетно,
то Г — циклическая группа порядка (р— 1) р!< для некоторого k,
и потому р должно быть инъективно (рФ2).
Если р = 2, то r=Z/2xZ/2* для некоторого &. Если Z/2 с:
с=Гл, это значит, что V^V*. Тогда либо W^Wf, W2 = W%,
либо Wi = \X/*, Wz=W*. В первом случае р по-прежнему

9.5. Построение гомотопических эквивалентностей 183
инъектпвно в силу тех же соображений, что и в случае
рф2. Согласно 9.4.5, можно не рассматривать случай Wi = W|.
Если Z/2 не содержится в Гл, то этот сомножитель Г содержится
в ядре р.
Перейдем теперь к вещественным G-модулям. В этом
случае Т/ТА всегда циклнчна. Если resH V распадается на р
неизоморфных неприводимых вещественных Я-модулей, применимо
то же доказательство, что и выше. Мы рассматриваем
неприводимые вещественные G-модули с точки зрения их колец
эндоморфизмов, в роли которых могут выступать R, С или Н. Для
2-групп встречаются только случаи End V = R или Н (Серр
[147, с. 122]).
End V7 = С. В этом случае V получается ограничением поля
скаляров из комплексного G-модуля U с U^U*. Это
обозначается так: V — rU. Тогда
resH V = res,, rU = г res,, U = rUx ©... © rUp.
Соотношение Ui~Uf влекло бы за собой V = U*. Поэтому
[У], ..., Ur, U*, ..., (/„все различны, а значит, rU,¦ = У,- —
различные вещественные неприводимые Я-модули. Если V,-
—прямое слагаемое в reswV для неприводимого вещественного
G-модуля V, то по теореме взаимности Фробениуса снова
получается, что \" = V.
End V = R В этом случае комплексификация cV модуля V
неприводнма. Поскольку dimcV>l, должно быть resHcV =
— W1©W2 для подходящей подгруппы Я индекса 2 в G. Имеем
(fjgf/^lf,^^, и поэтому Wx = W't, W2 = W$ или
W'1 = W|, Wi = Wf. Согласно 9.4.5, можно не рассматривать
второго случая. Значит, по-прежнему Wi = cVi, где V,- непри-
водимы и неизоморфны.
EndK = H. В этом случае V получается ограничением
скаляров из неприводимого кватернионного G-модуля U. Это
обозначается так: V = ri/. Снова согласно 9.4.5, можно
предположить, что resHU распадается на два неизоморфных Я-модуля
для подходящей подгруппы Я, и поэтому res„ V распадается
на два неизоморфных неприводимых Я-модуля.
9.5. Построение гомотопических эквивалентностей
Докажем теорему 9.1.4, а именно включения
/?!(G)c/?,,(G), R01(G)czROh(G).
Начнем с примера, принадлежащего Т. Петри. Пусть G
—циклическая группа порядка п с образующей g. Обозначим через Va
ClGJ-модуль С, в котором g действует умножением иа
ехр Bлш//;). Пусть а и Ь — целые цпела, взаимно простые

184 Гл. 9. Гомотопически эквивалентные представления групп
между собой и с п. Выберем целые р и q так, чтобы —ар +
\-bq = 1. Отображение
f:VaQVb + Vieyabt
(х, y)^-*(xpgi,xb + ya)
является G-отображением. Мы утверждаем, что/имеет степень I.
Рассмотрим точку A,0). Легко видеть, что f(x, z/) = (l, 0)
влечет за собой (х, (/) = ((—IO, (—1)р). Якобиан отображения /
в этой точке равен — а2р2 -\- b2q2. Если бы это число равнялось
нулю, то из — ap-\-bq=\ следовало бы 2ар = —2bq=\, что
невозможно, поскольку a, b, p, q — целые числа. Поскольку
/ — собственное отображение, оно индуцирует отображение
степени 1 между одноточечными компактификациями. Аналогично
возникает G-отображение между единичными сферами
ft: S(VaeV6)->S(V'®H,
ft (х, у) = f (x, уI\ f (x, у) \\.
Можно видеть, что ft имеет степень 1: радиальное
продолжение ft до отображения hx: VaQj V*->- У1® Vab имеет ту же
степень, что и ft, a hx собственно гомотопно /. Поскольку ft
является G-отображением между свободными G-пространствами
и обычной гомотопической эквивалентностью, оно оказывается
G-гомотопической эквивалентностью в силу предложения 8.2.1.
Пусть теперь задан элемент Е — F e Rx (G) для циклической
группы G. Тогда E — F является целочисленной линейной
комбинацией элементов вида A—я|)')A — г|)';) ?/, где а и b взаимно
просты с |G|. Если (а, Ь) = \, то приведенный выше пример
Петри показывает, что A — \|зя) A — г|/;) U e Rh (G), поскольку
мы фактически построили ориентированную гомотопическую
эквивалентность. Если а и b не взаимно просты, заменим b
на число вида b-\-kn так, чтобы (a, b-\-kn)—l. Итак, мы
показали, что Ri(G) cz Rh(G) для циклической группы G.
Используем индуцированные представления для
доказательства общего результата. Если Н <G и ind^: R(H)-+R(G)—
гомоморфизм, задаваемый конструкцией индуцированного
представления, то
(9.5.2) ind4i(Rh(H))czRh(G),
(9.5.3) mdaH(Ri(H)) = Ri(G), i = 0, 1.
Соотношение (9.5.3) следует из того факта, что ind^
перестановочно с действием Г. Для доказательства (9.5.2) заметим, что
S{mdaHW)cx * S(gHxHW),
gtfeG/#

9.5. Построение гомотопических эквиеалентностей 185
так что гомотопическая эквивалентность //-модулей влечет зъ
собой гомотопическую эквивалентность индуцированных G-mo-
дулей, которая строится из соответствующих отображений
джойнов. Из полученного выше результата о циклических
группах и соотношений (9.5.2), (9.5.3) мы видим, что Rx (G) с:
czRh(G), коль скоро неприводимые G-модули индуцированы
одномерными //-модулями. Это верно для р-групп и, более
общо, для вполне разрешимых групп (Серр [147, 8.5,
теорема 16]). В частности, это верно для расширений циклической
группы с помощью р-группы. Теперь можно применить общую
теорему об индуцировании Дресса [80], чтобы вывести отсюда
справедливость включения R± (G) cz Rh (G) для всех конечных
групп G (см. гл. 6): функторы R1 и Rh согласованы с
ограничениями и индуцированиями (см. (9.5.2) — (9.5.3)). Поэтому
они являются подфункторами Макки функтора кольца
представлений. Значит, элементы Ri(G) индуцированы с
гиперэлементарных подгрупп Н <CG (т. е. таких, что 0->5-> Н-^Р-уО,
где 5 — циклическая группа, а Р есть р-группа). Но для таких
групп Н мы уже знаем, что Ri(H) cz Rh (H). Это доказывает
теорему 9.1.4 в комплексном случае.
В вещественном случае мы опять можем рассматривать
только такие группы G, которые являются расширениями
циклической группы с помощью р-группы. Используя
индуцирование, можно свести задачу к случаю точного вещественного
неприводимого G-модуля М, который не индуцирован с
собственной подгруппы. Рассуждение Дресса [81, с. 318] показывает,
что в этом случае либо G циклична и dimR M =ss;2, либо G —
группа диэдра и dirr)RM = 2. Если G циклична и dimRM = l,
то (поскольку М точен) G — Z/2 и Г-действие тривиально.
Если G циклична и dimRM = 2, то М получается из
комплексного G-модуля ограничением скаляров. Это ограничение
перестановочно с действием Г; следовательно, включение
(I—y)(\—a) M ^ ROh(G) следует в этом случае из
аналогичного включения для комплексных модулей. Если G —группа
диэдра с образующими g, t и соотношениями g" = gtgt — ti=l,
то все возможные М имеют следующий вид: М = С, g
действует умножением на exp Bnij/n), где (/, я)=1, a t действует
как комплексное сопряжение. В этом случае конструкция из
(9.5.1) по-прежнему применима. Это заканчивает доказательство
в вещественном случае.
Замечание. Другое доказательство теоремы 9.1.4 будет
дано в гл. 10. Оно использует Галуа-инварпантность
некоторых стабильных гомотопических модулей над бернсайдовским
кольцом.

186 Гл. 9. Гомотопически эквивалентные представления групп
9.6. Гомотопическая эквивалентность для /7-групп
Мы докажем здесь теорему 9.!.6. Эта теорема показывает,
какие представления р-групп (ориентированно) стабильно
гомотопически эквивалентны. Доказательство проводится с помощью
индукции по порядку группы. Позже мы приведем более
концептуальное доказательство, которое к тому же дает более
сильные результаты. Предположим в этом разделе, что 9.1.6
справедливо для циклических, диэдральных и кватернионных
групп. Этот, по существу, классический результат (см. де Рам
[132]) будет воспроизведен в разд. 9.7 после того, как будут
изложены некоторые общие факты из эквивариантной Д'-теории.
Пусть G —некоторая р-группа и S (G) — множество ее
нормальных подгрупп. Для заданного G-модуля V мы пишем
У= © V(H),
HeS(fi)
где в V (И) собраны те неприводимые подмодули V, которые
подняты с точных неприводимых G/Я-модулей (т. е. имеют
ядро Я).
Лемма 9.6.1. Если x = V — W e Rh(G) (соответственно
ROh(G)), то для всех WeS(G) справедливо х(Н) :=V (Н)—
— W (Н) e Rh{G) [соответственно ROh(G)). (Здесь G может
быть произвольной группой.)
Доказательство. Пусть /: 5 (V © U)-*-S(W © U) есть
G-гомотопическая эквивалентность. F-сли Н е S (G) —
максимальная собственная подгруппа в G (среди стационарных
подгрупп в V), то 5 (V © U)" = 5 (V' © V (И) © U"), и потому /"
дает стабильную гомотопическую эквивалентность между V (Н)
и W (Н), которая будет, ориентированной, если
ориентированным было отображение f. Но поскольку Rh (G) —
подгруппа в R(G), мы можем вычесть х(Н) из х и применить то
же рассуждение к х — х(Н). Индукция по Н eS(G) приводит
к доказываемому результату.
Пусть j(K, f) есть /-группа, состоящая из (классов) точных
неприводимых /(-модулей, т. е. /(/С, f) = R0(K, f)/Rh(K, /),
где R0(K, /) —множество элементов x = V — W, У и №—
прямые суммы точных неприводимых /(-модулей, a Rh(K, f) —
подгруппа тех х= V — W e R0 (К, /), для которых V и W
ориентированно стабильно гомотопически эквивалентны.
Аналогично определяются группы i(K, f), iO(K, f) и jO(K, f).
Лемма 9.6.1 устанавливает, что имеется расщепление
<9'6-2) s: j(G)^ П I^IH, f),
WeS(O')

9.7. Эквивариантная К-тсория и степени неподвижных точек 187
переводящее х в (х(Я)|ЯеЗ(С)). Изоморфизм (9.4.1) дает
аналогичное расщепление для i(G). Отображение t(G)
согласовано с этим расщеплением и потому является прямой суммой
отображений
t(G/H, f): i(G/H, f)^j(G/H, /).
Достаточно изучить отображения t(K, f) и аналогично
определяемые отображения Ю(К, /). Они сюръективны по
определению. В начале этого раздела мы предположили, что они
инъективны для циклических, диэдральных и обобщенных
кватернпонных 2-групп. Согласно предложению 9.4.6 и
индукции по порядку группы, t(G/H, /) и tO(G/H, /) инъективны,
если мы имеем дело с импримитпвными модулями (р^2 в
комплексном случае). В силу разд. 9.4 возможное ядро для t(G)
в случае, когда G есть 2-группа, может быть описано так. Оно
порождается элементами V — V*, где V — неприводимый G-mo-
дуль, не эквивалентный V* и такой, что dim Vй = 0 mod 2 для
всех Н <G. Но в силу 9.3.3 этот случай не может встретиться.
Доказательство 9.1.6 закончено.
9.7. Эквивариантная /^-теория
и степени неподвижных точек
Пусть V и W — комплексные G-модули, /: l/f-> W —
сохраняющее отмеченные точки G-отображение между их
одноточечными компактификациями. В этом разделе G—компактная
группа Ли, если противное не оговорено специально.
Применим к / эквивариантную комплексную /(-теорию и рассмотрим
индуцированный гомоморфизм
/*: Ко (W')^ Ко (Vе).
В силу эквпвариантного изоморфизма Ботта (см. [10]) Kq(Vc)
является свободным R (б)-модулем с образующей Я (У)
—классом Ботта. Поэтому / определяет элемент zf = z^R(G) по
формуле f*k(W) = zX(V). Мы рассматриваем z как характер, т. е.
функцию на G, и хотим вычислить этот характер.
Пусть С<.G — топологически циклическая подгруппа с
образующей g (т. е. степени g плотны в С). Рассмотрим
следующую диаграмму (здесь Ко (V) означает Ко (Vе)):
Ka(W) -^ Ко (У)
Kc{WC)& Кс\уС)
где вертикальные стрелки означают ограничение на группу С
и множество ее неподвижных точек. Поскольку С тривиально

188 Гл. 9. Гомотопически эквивалентные представления групп
действует на Vе и Wc,
где d (fc) — степень отображения fc. Положим d(fc) = 0, если
dim Wc Ф dim Vе'. Кроме того, из элементарных свойств класса
Ботта следует, что
rl(W) = X-1(Wc)K(Wc),
где Wc — дополнение к Wc в W (как в С-модуле) и К^
означает альтернированную сумму V(—\у%1 внешних степеней.
Соединяя эти результаты, получаем
F.7.1) X-1(Wc)d(fc) = rescz-'k-1(Vc)-
Если С —тор, это равенство можно разрешить относительно
resc2, поскольку R (С) не имеет делителей нуля. В общем
случае мы вычисляем значение характеров на элементе geC,
заметив, что X_3 (Vс) (g) Ф 0. Таким образом, получается
следующее выражение для характера г.
Предложение 9.7.2. Характер zf принимает значения
zf(g) = d(nx^(Wc-Vc)(g),
где С — замкнутая подгруппа, порожденная элементом g е(?.
Замечание 9.7.3. Правая часть равенства из 9.7.2 должна
быть характером G. Это в общем случае не очевидно и дает
условия на степени d(fc). Мы используем этот факт в гл. 10.
Следствие 9.7.4. Если V — W е^4 (G), то
является характером G. (Здесь Wg:=Wc-)
Мы увидим, в особенности в гл. 10, что 9.7.4 налагает
сильные условия на V — W для того, чтобы этот элемент
принадлежал Rh (G), но с ними очень трудно работать. Поэтому
мы приведем более простой критерий, используя 6^-операции
из гл. 3. А именно, если JeZ и W = tyhV, то справедливо
Предложение 9.7.5. Функция
u{g) = k«l™vek-1(Wg-Vg)(g)
является характером группы G, а именно характером пред-
ставления Ьк(\ ).

9.7. Эквиваршнтная К-теория и степени неподвижных точек 189
Предложение 9.7.6. Если V и tyk (V) ориентированно
стабильно гомотопически эквивалентны, то
е: g>—* kdimVg
является характером G.
Доказательство следует из 9.7.4 и 9.7.5.
Используем последнее предложение для того, чтобы сделать
некоторые конкретные вычисления. А именно дадим
доказательства, пропущенные в разд. 9.6.
Предложение 9.7.7. Отображения t(K, f) и Ю(К, {) инъ-
ективны, если К — произвольная циклическая группа, группа
диэдра или обобщенная кватернионная 2-группа.
Доказательство. Циклические группы. Пусть К —
циклическая группа порядка п с образующей g. Обозначим через V
стандартный неприводимый /(-модуль, на котором g действует
как умножение на ип — ехр Bш'/л). Имеем i{K, /)^(Z/n)*.
Элемент V—rpkV соответствует вычету k mod п. Инъективность
t(K, f) означает в этом случае, что V — г|з*У е Rh (К) тогда и
только тогда, когда k= 1 mod л. Предложение 9,7,6 дает в этом
случае, что функция е, заданная равенствами e(l) = k, е{х) =
= 1 для хф\, является характером К. Для любого
характера е группы G число | G |-1 ^ е (х) должно быть целым, по-
тому что оно равно кратности тривиального характера в
разложении е. Следовательно, ^ е(*) = 0 mod]Gj. В нашем слу-
к е с
чае это дает k + п — 1 е= 0 mod я, т. е. k = 1 mod n, что и
требовалось доказать.
В случае вещественных представлений допустимы также
степени —1. Мы должны, следовательно, выяснить, будет ли
характером функция е, определенная равенствами e(l) = k,
е(х) = —1 при хф\. Наше условие дает k = —1 mod л в
соответствии с тем, что в этом случае Ю(К, /) = (Z/n)*/{± 1}.
Обобщенные кватернионные группы. Пусть К — группа
порядка 2n+1, заданная образующими Л и В и соотношениями
ВАВ-1 = А-1, Л2"_1 = В2, «5=2. Точные неприводимые
представления К двумерны и строятся так. Положим т = 2п.
где 1<й^2л-1—1 и /e==lmod2. Имеем ^kVv = Vk. Кроме
того, i(K, /)S:-(Z///;)*/[±: 1], вычету kmodm соответствует

190 Гл. 9. Гомотопически эквивалентные представления групп
элемент Vx — V >t. Предложение 9.7.6 говорит, что если
Vx — V k e Rh, то функция е, e(\) = k2, е{х)—\ при хф\,
должна быть характером К. Отсюда k2jr2"Jl — 1 = 0mod 2"+I,
следовательно, k == ±: 1 mod m, что и требовалось.
В вещественном случае надо было бы дополнительно
исследовать возможность № ==—lmod2"+1, которая на самом деле
не встречается. Ограничение скаляров задает изоморфизм
ПК, f) = iO(K, /), и поэтому (О (К, /) инъективен.
Диэдрал>,ные группы. Пусть К — группа порядка 2"+1 с
образующими А, В и соотношениями Л2" = АВАВ = В2 = 1. Точные
неприводимые представления двумерны и имеют следующий
вид (здесь m = 2"):
/cos 2nk/in — sin 2nk/m\
\ sin 2 л/f/m cos 2nk/m/
; 1 0\
где l=ss^s^2"-1 и /г =1 mod 2. По-прежнему V^fe == -vp^Va и
i(K, /) = (Z//7z)*/{± 1}. Предложение 9.7.6 говорит, что V\—
— Vfc e /?л (К), лишь если следующая функция е будет
характером: еA) = й2, е{А')=\ для l^i<m, е(В<4') = &, l«?t??/«.
Это дает сравнение &2-f m — 1 -\-km==0mod2m. Значит, /г==:±1,
rh 1 + 2"_1 mod m, и только k == ± 1 поднимается до решения
mod 2/71. Отсюда следует инъективность /(Л*, /).
Поскольку точные неприводимые вещественные /(-модули
не обладают комплексной структурой, мы используем
рассуждение ad hoc. Ограничение на циклическую подгруппу С,
порожденную А, задает изоморфизм iO(H)^iO (С). Но Ю (С)
инъективен.
9.8. Упражнения
1. Показать, что функторы G*—*j(G), G>—*¦ jO (G) являются
модулями над функтором «кольца рациональных
представлений». Вывести для них принцип гиперэлементарного
индуцирования.
2. Пусть V, U7 — комплексные G-модули, которые
ориентированно стабильно гомотопически эквивалентны. Показать, что
они ориентированно гомотопически эквивалентны. (Справедливо
ли это утверждение для вещественных модулей?)
3. Показать на примере, что равенство Rx (G) = Rh (G),
вообще говоря, не выполняется для не-р-групп.

Глава 10
Геометрические модули
над бернсайдовским кольцом
В этой главе рассматриваются стабильные эквивариантные
гомотопические множества сфер. Мы рассматриваем их как
модули над бернсайдовским кольцом, используя тот факт, что
бернсайдовское кольцо изоморфно стабильным эквивариантным
гомотопиям сферы в размерности нуль. Чтобы не вдаваться
в детали относительно гомотопических групп сфер, мы
ограничиваемся теми вопросами, которые касаются только понятия
степени отображения. В частности, мы продолжим изучение
гомотопических эквивалентностей представлений.
10.1. Локальные /-группы
В целях подготовки к общему исследованию векторных
расслоений мы введем несколько более слабое отношение
эквивалентности между представлениями, чем гомотопическая
эквивалентность. В частности, мы получим заново результаты
Атьи —Толла [14J, Ли — Вассермана [H0J, Снейта [151].
Назовем вещественные G-модули V и W локально J-эквива-
лентными, что будет обозначаться через V ^ \ж№, если для
каждой подгруппы Н <.G существует такой G-модуль U и такие
G-отображения
f: S(V®U)^S(W@U), g: S (W ®U)~*S (V ®U),
что fH и gH имеют степень 1. (Отметим, что эта степень зависит
от выбора ориентации и поэтому определена лишь с точностью
до знака.)
Положим
TOa={V-W<= RO (G)|V~l0c П
UU.l.l) J0la°* = R0(G)/T0(G).
Если G —конечная группа, то определено каноническое
отображение факторизации
q{G): JOfr-+RO{G)/R00(G)=: RO (G)r.

192 Гл. 10. Геометрические модули над бернсдйдодским кольцом
Теорема 10.1.2. Для любой конечной группы G отображение
q (G) является изоморфизмом.
Доказательство. Мы должны показать, что для любого
G-модуля V и любого k, взаимно простого с \G\, имеет место
соотношение У ^ ьс'ф'' (V). Можно предполагать, что k нечетно.
Покажем сначала, что существуют стабильные отображения
/: V-+-tyh(V), для которых степень /я имеет вид к' для любой
подгруппы И < G. (Стабильное отображение /: У ->- W — это по
определению отображение /: S (У © U) ->• S (W © U) для
подходящего U.) Если У одномерен, то все ясно. Предположим
теперь, что У имеет размерность 2 и неприводим; тогда
0/кегУ = : К — циклическая или диэдральная группа, У = С
с соответствующим действием К (см. разд. 9.7), а в качестве/
можно взять отображение г<—*-гк. В общем случае по теореме
Брауэра (Серр [147, 12.6]) мы можем представить У в виде
У => ]У] tit indf/. Vj, Я; s Z, Vi неприводим и имеет размерность
«?2. Поскольку k взаимно просто с \G\, операция
индуцирования перестановочна с -ф*. Значит, существуют стабильные
отображения ind//.(V,')->indw.i|5,i(V'i) требуемого типа. Более
того, можно найти такое целое п, что я|У1,/! (У,-) = Уг- (выбрать п
так, чтобы выполнялось сравнение kn == 1 mod | G!).
Следовательно, существуют стабильные отображения indw.\J)*n"'1(yi)->
-мг^я.У;, так что с отрицательными щ в выражении для У
также не возникает затруднений. Поскольку мы можем найти
взаимно простые числа k и I, для которых г|)*(У) = г|з'(У), то
подходящая линейная комбинация стабильных отображений /
и g со степенями d(fH) — k<, d(gH) = l" будет отображением h,
для которого d(hH)—\, что и требовалось.
10.2. Проективные модули
Напомним некоторые гомотопические понятия, введенные
в гл. 8. Пусть G —компактная группа Ли, а ? и F —
вещественные G-модули. Положим a = E — F^RO(G), и пусть
<*>« = «? = {s*. sn
— множество гомотопических классов сохраняющих отмеченную
точку стабильных G-отображений SE -> SF, где 5? означает
одноточечную компактификацию ?. Совокупность соа образует
систему коэффициентов для эквивариантной теории гомологии.
Когда нам нужно место для нижних индексов, мы пишем
©а=кга. Тензорное произведение представителей индуцирует

10.2. Проективные модули
193
билинейное спаривание
<»аХсор->-ыа;р.
В частности, соа является модулем над ш0, кольцом стабильных
эквивариантных гомотопий сферы в размерности нуль.
Введенное выше спаривание задает гомоморфизм
A0.2.1) /па. р: соа ^ Ио 0)., _> Шгх fi.
Замечание 10.2.2. Модули сос, определены элементом а только
с точностью до неканонического изоморфизма, поскольку в общем
случае SE имеет много гомотопических классов эквивариантных
гомотопических эквивалеитностен с самим собой. Это создает
затруднения, если приходится пользоваться ассоциативностью
или коммутативностью спаривания mc,,(j. Один из возможных
выходов — выбрать канонические представители a — E — F или
привлечь дополнительные структуры (вроде подходящих
ориентации).
Теорема 10.2.3. Пусть а = Е — F e RO0 (G) (см. разд. 9.1).
Тогда
(i) модуль аа — проективный щ-модуль ранга 1;
(ii) для любого р е RO (G) спаривание A0.1.1)
ма<Х) юоЮр-^Юос+р
является изоморфизмом',
(iii) модуль юа свободен тогда и только тогда, когда Е и F
стабильно G-гомотопически эквивалентны (в смысле разд. 9.1).
Мы разобьем доказательство этой теоремы на серию
предложений и посвятим ему всю главу.
Сначала напомним одно определение (и результат). Пусть
Р — модуль над коммутативным кольцом R. Он является
проективным ^-модулем ранга 1 тогда и только тогда, когда Р
конечно порожден и для каждого максимального идеала q в R
локализация Pq в q является свободным /?,;-модулем ранга 1
(см. Бурбаки [33, § 5, теорема 2]).
В дальнейшем приняты обозначения
В гл. 8 мы показали, что to канонически изоморфно бернсай-
довскому кольцу A (G). Используя этот изоморфизм и описание
простых идеалов A (G) в разд. 5.7, можно сказать следующее.
Пусть (|бм-максимальный идеал. Тогда существует группа
Н <C.G (определенная с точностью до сопряжения), для которой
W (Н) конечна, порядок ;W (Н) \ взаимно прост с
характеристикой р кольца вычетов a/q и q является ядром гомоморфизма
'/2 7 Заказ о15

194 Гл. 10. Геометрические модули над бернсайдовским кольцом
йИ mod p, где
dH: o)->Z,
(Ю.2.4) а /гт ад
v dH ([/]) = степень /w.
Соответствующий идеал обозначается через q(H, p).
Чтобы определить степень отображения одного многообразия
в другое, нужно выбрать ориентации. Для заданных Е и F мы
выбираем ориентации в SE и SF и определим отображение
A0.2.5) d*.H = dH: coa->Z,
полагая daH([f]) равным степени [И, если dim?w = dimFH,
и 0 в противном случае. Докажем"
Предложение 10.2.6. Если а = Е — F <= RO0(G), для каждой
группы Н <G с конечной группой W (Я) порядка, взаимно
простого с р, существует такой элемент х е а>а, что
df,хфО mod p.
(Заметим, что это утверждение не зависит от той
неопределенности, с которой задано di;.)
Доказательство. Алгебраическое доказательство для
конечных групп G дано в теореме 10.1.3. Дадим топологическое
доказательство для групп С общего вида. Покажем сначала,
что существует //-отображение /: Sl- -> SF, для которого /;/
имеет степень 1. (Поскольку мы интересуемся только
стабильными отображениями, можно предполагать, что dim?7/ =
= dim/rw>l.) По предположению aeW0(G), и, значит,
dim?7/ = dim.FH и можно выбрать Я-отображение Д: 5?,/->
->SfH степени 1. Продолжим /, до //-отображения / с помощью
теории препятствий из разд. 8.3. Препятствия к продолжению
над пучком орбит лежат в группе
Hl(Xn/G, X„_x/G; m-i(YK)),
где X=SE, Y=SF, Х„\Хп-.1=Х,к) —допустимаяфильтрация X.
Поскольку X(K]/G = XKlN (К) с: Х^/М (К) и dim X* = dim К*,
мы видим, что группа препятствий тривиальна по соображениям
размерности. Значит, искомое f существует. Теперь применим
трансфер tGH: со^ ->- со?, обладающий свойством
^.^(^(у)) = х(@///)кLх!Н.кЫ.
Элемент х=Р^ ([/]) имеет все нужные свойства.
Предложение 10.2.7. Для q = q(H, p) и аеЩ(С) модуль
©* является свободным со модулем с одной образующей. Элемент

10.2. Проективные модули
195
х е со™ является образующей тогда и только тогда, когда
da,н(х)^0mod p.
Доказательство. Возьмем хеш01, г/е со_а. Тогда
умножение на х (соответственно на у) с использованием
спаривания A0.2.1) приводит к со-линейным отображениям
х#: со —у со4, Уъ: со'* —>- со.
Композиция у*х% совпадает с умножением на ух е со. По
определению q(H, p) этот элемент обратим в со?, если
dH (ух) = ±- dH (у) dH (x) фО mod p.
(Поскольку йн зависит от выбора ориентации, мы вынуждены
писать здесь ±.) Аналогичное рассуждение справедливо для х^У*.
Если ху — обратимый элемент в ы.п то (хД? — изоморфизм.
В силу 10.2.6 можно найти такие х и у, что ху будет обратимым
элементом в со^. Это доказывает, что со ~ —свободный модуль
с образующей х. Поскольку любая образующая отличается от х
действием обратимого элемента из со,,, мы получаем второе
утверждение.
Докажем теперь утверждение (П) основной теоремы в случае
\) <= RO0(G). Используя основные факты из коммутативной
алгебры (Бурбаки [33, § 3.3J), нужно лишь показать, что
локализации («2а.р)? являются изоморфизмами для любого идеала
q а со. Но в этом случае мы имеем дело с отображением
оУбйсоР-^йУь+Р
Q v-y Ч Я
между свободными со?-модулями ранга 1 A0.2.7) и то же
предложение говорит, что тензорное произведение образующих
переходит р. образующую.
Закончим теперь доказательство утверждения (i), доказав
следующее
Предложение 10.2.8. Для ае/?00(G) ы-модуль соа конечно
порожден.
Доказательство, Согласно сказанному выше, имеется
изоморфизм й2§м-а^;й. Пусть элемент 1 е со соответствует
2] Щ % я,-. Тогда соа порождается как со-модуль элементами /л,,
i
а именно для х е оза
Х = (-S '"' ® ПЛХ= 2] ПЦ ¦ (riiX).
(Здесь использована ассоциативность спариваний т.)

196 Гл. Нк_Геометрические модули над бернсайдовским кольцом
Замечание 10.2.9. Если G конечна, а>Ь (X; Y) является
конечно порожденным сос-модулем, коль скоро X и Y являются
конечными G-CW-комплексами. Это выводится индукцией по
числу клеток (используя нётеровость co'<j). Как обстоит дело
для компактных групп Ли?
Чтобы доказать утверждение (И), заметим, что обратное
к ШгХ, р отображение задается композицией
Юа+р ?Ё СОа (gi (Ю-а (X) С0а4р) ~> Иа (g) СО р.
Наконец, докажем (iii). Если Е и F стабильно G-гомотопи-
чески эквивалентны, то стабильная эквивалентность задает
изоморфизм соа = со0. Обратно, предположим, что иа —свободный
модуль с образующей х. Тогда со_а — также свободный модуль,
потому что со ^соа(х) о)_а^о) (х) со-а9^ со_а. Пусть г/
—образующая в со.я. Произведение .w/e со будет тогда образующей в со
и, следовательно, обратимым элементом. Это влечет за собой
dH (хц) = ±: 1 для всех Н •< G, и поэтому ciH (х) = :± 1 для всех
Н <G.
Согласно разд. 8.2, х можно представить гомотопической
эквивалентностью.
10.3. Группа Пикара и обратимые модули
Чтобы успешно использовать результаты разд. 10.1,
приведем здесь некоторые сведения о проективных модулях.
Пусть R — коммутативное кольцо. Множество классов
изоморфизма проективных /^-модулей ранга 1 образует абелеву
группу относительно операции тензорного умножения над R.
Эта группа называется группой Пикара кольца R и
обозначается через PicR.
Обратным элементом служит дуальный модуль. Используя
обозначения гл. 9, часть теоремы 10.2.3 может быть
переформулирована следующим образом:
Предложение 10.3.1. Соответствие а-> соа задает инъектив-
ный гомоморфизм
рО (G): ROn (G)/ROh (G) -v Pic (со?).
Нас интересует вычисление Pic (со?) и pO{G). Поскольку
интересные результаты получаются в основном для конечных
групп, мы будем предполагать в этом разделе, что G конечна.
Это имеет то преимущество, что можно представлять со? как
подкольцо конечного произведения колец целых чисел.
Вычисление группы Пикара отличается использованием
последовательности Майера — Вьеториса для Pic.

10.3. Группа Пикара и обратимые модули
197
Предложение 10.3.2. Пусть
г г. ;Pi
R2 - S
— точный квадрат1) в категории коммутативных колец.
Предположим, что р1 сюръективно. Тогда имеет место следующая
точная последовательность Майера — Вьеториса:
Pic S «- Pic R, © Pic R2 <- Pic R Л. 5* ч- jRf 0 flj ч- R*.
Здесь S* означает группу обратимых элементов кольца S.
Опишем отображения в этой последовательности. Если /: R-^S—
кольцевой гомоморфизм, мы будем с его помощью
рассматривать 5 как Р-модуль", если Р — проективный /^-модуль ранга 1,
то f„.P := Р (x)#S — проективный S-модуль ранга 1. Первые два
отображения задаются формулами: х\—*¦ ((л)* (x), {г2)^(х)) и
(у, г) >—* (рг)* (у) — (р2)* (z). (Здесь Pic рассматривается как
аддитивная группа.) Последние два отображения задаются
аналогичными формулами. Перейдем к отображению d. Для
eeS* обозначим через le: S->S левый сдвиг s>—*-es. Пусть
М (е) определяется точным квадратом
М (е) - R1
A0.3.3) \iePi
R2-P^S
Тогда М (е) является /^-модулем (подмодулем RiXR2). Нам
понадобится следующая информация о таких модулях.
(Предположения из 10.3.2 остаются в силе.)
Предложение 10.3.4. (i) М (ег) 0 М (е2) Оё М {ехе2) © R.
(ii) Af(ej)@M(es)^Af (е^).
(iii) M (е) проективен ранга 1.
Доказательство, (i) Входящие в утверждение модули
задаются точными квадратами
М (в1) © М (е2) • /?! © Pi М (е1е.2) © R -¦ Rx © tfx
} }/i(PiXPi) , M(PiXPi)
R.eRz-^-^SQS #20#2_*><?uS0S
/«! 0\ , /e^a 0\
где /г задается матрицей! , а к —матрицей i. Но /i
\0 е2) \ 0 1/
получается из /г умножением на матрицу , которая под-
\0 е2/
См, примечание переводчика в разд, 6,1 . — Прим. перев.

198 Гл. 10. Геометрические модули над бернсайдовским кольцом
нимается до обратимой матрицы над Rlt поскольку р± сюръек-
тивно. Мы используем формальное тождество
1а О U/1 «W 1 0^1 aVO -V
\0 а-1/ \0 1/\— а-1 1Д0 1/11 О/'
Значит, h(piXPt) преобразуется в &(piXp2) с помощью
обратимых матриц, откуда (в силу транзитивности точных
квадратов) получается искомый изоморфизм.
(iii) Из (i) получаем, что М (е) @ М (егх) — свободный модуль.
Значит, М(е) проективен. Локализуя 10.3.3 в простом идеале ^
кольца R, видим, что М(е)яФ0 и, значит, rk7 M (e) Ss 1.
Поскольку rk7/W (е) + rkqM (в'1) = rk., (М (е) 0 М [е~Л)) = 2 в силу
(i), мы видим, что rk?M(e)=l.
(ii) Поскольку М (е) имеет ранг 1, вторая внешняя степень
/\'2М (е) равна нулю. Применим операцию Д2 к (i) и
получим (ii).
Предложение 10.3.4 позволяет определить гомоморфизм
d: S*^PicR: d(e) = M(e).
После сделанных приготовлений 10.3.2 легко проверяется.
Последовательность Майера — Вьеториса применяется к берн-
сандовекому кольцу A(G) следующим образом. Пусть с
—кратное порядка группы \G\ и пусть
q>: A = A(G)-*-C = C@(G), Z)
•—стандартное отображение. Тогда следующая диаграмма
является точным квадратом:
А 5--.С
A0.3.5) |
А/с-С^оЛсС/с-С
Здесь вертикальные стрелки означают канонические проекции.
Мы рассматривааем ф как вложение. Поскольку коядро ф
имеет показатель JG: (гл. 1), с-СсА, так что А/с-С имеет
смысл. Мы используем следующие факты.
Предложение 10.3.6. Pic(C) = 0; Р1с(Л/сС) = 0.
Доказательство. С является прямым произведением
конечного числа экземпляров Z, скажем C — Zn. Поскольку
проективные модули над Z свободны, мы имеем Pic(Z) = 0.
С помощью индукции по п и 10.3.2 получаем Pic(Z") = 0.
В случае R=A/cC заметим, что это кольцо конечно как
абелева группа. Поэтому R имеет конечное число
максимальных идеалов (является полулокальным кольцом). Если ть ...
..., т„ — максимальные идеалы в R, то отображение /?-*•

10.3. Группа Пикара и обратимые модули
199
-> \\ A/mi сюръективно (китайская теорема об остатках) и
имеет ядро m — tri\ {]... О trin, совпадающее с радикалом R.
Так как R конечно и, следовательно, артиново, его радикал
совпадает с нильрадикалом N41/?. Кольцо R/m — произведение
полей; значит, Pic (R/m) = 0. Мы докажем равенство Pic (R) ----=
= 0, если воспользуемся следующим предложением:
Предложение 10.3.7. Пусть I — идеал коммутативного
кольца R. Тогда каноническое отображение
Pic (Я)-»- Pic (R/I)
инъективно, если I содержится в радикале R, и биективно,
если I — нилыготентный идеал.
Доказательство. Первое утверждение следует из [33,
II, § 3.2, предложение 5]. Предположим теперь, что / —
нпльпотентный идеал. Мы должны показать, что
рассматриваемое отображение сюръективно. Проективный (/?//)-модуль
ранга 1 является прямым слагаемым в конечно порожденном
свободном (??//)-модуле и, следовательно, задается идемпотент-
ной матрицей А е Mat (n, R/I). Нам нужно поднять ее до
идемпотентиой матрицы В <= Mat (n, R). Как только это
сделано, доказательство закончено, поскольку тензорное
умножение на R/I над R не меняет ранга проективного модуля.
Определим по индукции последовательность матриц следующим
образом: fix e Mat (n, R) — какое-нибудь поднятие А. Положим
Ni = B'j — Bi и BM = Bi-\-Ni — 2BiNi. Проверяется, что ЛЛ-+1 <=
eMat(«, I'2') и что б,- является поднятием А. Для
достаточно большого t имеем JV,- = 0, и доказательство закончено.
Собирая предыдущие результаты, получаем
Предложение 10.3.8. Следующая последовательность точна:
0*- Pic (А) ч- (С1сС)*+-С* еЭ (А/сС)* ч- А*.
В принципе эта последовательность может быть использована
для вычисления Pic (А) для бернсайдовского кольца А = A (G).
Однако определить структуру абелевой группы Pic (Л) нелегко.
Мы покажем ниже, как сравнения из разд. 1.3 для
бернсайдовского кольца могут привести к такому вычислению.
Замечание 10.3.9. Если G —компактная группа Ли, то
предложение 10.3.8 сохраняет силу, если в качестве с взять общее
кратное порядков \W (Н)\, (Я)еФ(С). (См. разд. 5.9 по
поводу существования такого с.) Имеет место точный квадрат
10.3.5, и, более того, справедливо предложение 10.3.6.
Продолжим теперь рассмотрение точного квадрата 10.3.5,
в котором C = Z", а отображение ф —вложение максимального

200 Гл. 10. Геометрические модули над бернсайдовским кольцом
ранга. Будем рассматривать С как Л-модуль в силу этого
вложения. Если М, N а С суть Л-подмодули, определим их
произведение
A0.3.10) MNczzC
как модуль, порожденный всеми элементами вида тп, теМ,
fteiV. Назовем М обратимым, если существует такой модуль
N, что MN = А. (Это не совсем совпадает со стандартным
определением, см., например, [33, § 5.6], но в точности
отвечает нашим запросам. Поэтому нам придется исследовать более
общую ситуацию, в которой содержатся оба понятия
обратимого модуля.)
Пусть Inv (Л) означает множество обратимых Л-модулей.
Предложение 10.3Л1. (i) Inv (Л) является абелевой группой
относительно закона композиции A0.3.10).
(и) Обратимые модули проективны и имеют ранг 1. Ставя
в соответствие обратимому модулю его класс в Pic (Л), мы
получаем сюръективный гомоморфизм cl: Inv (Л)->-Р1с (Л).
(Hi) Существует каноническая точная последовательность
0-+А*-+С*-+\п\(А) с1- Р1с(Л)-+0.
(iv) Существует каноническая точная последовательность
0~v (А/сС)* -*- (С/сС)* -> Inv (Л) -> 0.
Доказательство, (i) следует непосредственно из
определения Inv(Л), поскольку существование обратного элемента
постулируется.
(ii) Предположим, что MN = Л. Тогда
СМ = CMC r> CMN = СА = С.
Следовательно, СМ = С. Поэтому 1 = У] с;т; для
подходящих Q е С, nii<=M и, значит, с = У] (cc^nii. Но cCi<=A, так
что с е М, откуда cAczM. В частности, М cz С — подгруппа
максимального ранга с коядром, аннулируемым с, и M-x)zQ.->-
->С (X)zQ — изоморфизм.
Если l = 2m'"<'> I'k^M, fi; g ,V, то отображение /,¦: M ->
-»- Л: m>—>- mrii Л-линейно и для каждого д- <= М мы имеем х =
— 2 h (х) mi- Поэтому М — конечно порожденный
проективный модуль. Пусть (/ — максимальный идеал в Л. Тогда Mq —
свободный Лу-модуль. Поскольку Мд 'х, Q ^ Cq (g. Q как Aq (x)
'"х, Q -модуль, М? должен иметь ранг 1.
Пусть наконец, задан проективный модуль М ранга I.
В силу 10.3.8 этот модуль имеет вид М(в), еез(С/сС)*. Да-

10.3. Группа Пикара и обратимые модули 2Ш
днм другое описание этого модуля. Пусть е'е С — поднятие е.
Тогда М (е) можно отождествить с
A0.3.12) М'{е'): = {хе=С\е'хе=А}.
Выберем f'eC так, чтобы e'f — l+c2z для некоторого геС,
Тогда /' е= М' (е'), е' е= М' (/') и e'f = 1 +c*z е= /И' (е') ЛГ (/') cz
<сМ'(е'/')- Но ееЛГ(е') и « е ЛГ (/')• Значит, Ле
е= M'(e')M'(f') и /1сМ'(е')/И'(/'). С другой стороны,
M'(e'f') - M'(\-\-c2z),= M'(l) = А. Поэтому /И'(е') обратим и
cl — сюръектпвное отображение. Из 10.3.4 (ii) мы видим, что
cl — гомоморфизм.
(Hi) Предположим, что М е Inv (А) — свободный модуль
с образующей х. Если MN — A, то должно выполняться
тождество вида 1 = 2] (а,-х) л,-, так что jgC* и М = М' (х). Если
М'(х) — М'(у) для х, 1/еС*, то х = ау для аеЛ и йеЛ*.
(iv) Пусть г: С-vC/cC —каноническая проекция, С—
= г-1 ((С/сС)*). Если r(e) = r(f), то ЛГ(<?) = М'(/). В самом
деле, пусть e = f + ch. Тогда
х е Ж' (е) => ел; е Л => л; (/ + ch) <= Л.
Поскольку сС cz Л, отсюда следует xch & А и поэтому х/е Л,
так что Л1 (е) с /И (/). Можно поэтому определить
отображение (С/сС)* -*- Inv (Л), положив г (е)>—>¦ /И' (е). Чтобы показать,
что это гомоморфизм, заметим, что М' (е) М' (/) cz M' (ef) по
самому определению. Это вложение обратимых модулей.
Покажем, что такое вложение М cz N на самом деле является
равенством. Пусть ^ — максимальный идеал в Л. По теореме
Коэна — Зайденберга (см. [11, гл. 5]) существует такой
кольцевой гомоморфизм ср: C->Z, что q — {а е Л | ф(а) = Omod р)
для некоторого простого р. Поэтому х е УИ задает
образующую в локализованном модуле /И?, если и только если (р(х)=?
=?0mod/7. Значит, вложение MqcNq переводит образующие
в образующие и, стало быть, является изоморфизмом. Аппарат
коммутативной алгебры показывает, что это влечет M — N.
Точность последовательности (iv) вытекает из (Hi) и 10.3.8.
Докажем теперь следующий принцип распознавания для
обратимых модулей:
Предложение 10.3.13. Пусть М —обратимый модуль.
Предположим, что е е М и г (ef)= 1. Тогда М = М' (/).
Доказательство. Если х <= М' (/), то х/е Л, и поэтому
л-е/ е /И. Поскольку t€ cz А, мы получаем ж е И, т. е. /И' (/) cz
cr. M. Согласно предыдущему рассуждению, это включение
должно быть равенством.
8 Заказ 315

202 Гл. 10 Геометрические модули над бернсайдовским кольцом '
Закончим этот раздел одним геометрическим приложением.
Пусть с( е Л0 (G). Модуль соа вкладывается с помощью
степеней отображений множеств неподвижных точек в С (Ф (G), Z) =
= С, см. разд. 8.5. Мы отождествим соа с его образом.
Предложение 10.3.14. (i) Пусть ae/?(l(G). Тогда соа <п С —
обратимый модуль.
(и) Соответствие а>—*¦ соа задает гомоморфизм
/?0(O)^Inv«).
(iii) Для o:e/?o(G) модуль ша совпадает с си0 тогда и
только тогда, когда а. е Rh (G).
Доказательство, (i) Мы уже знаем, что юа
—проективный модуль ранга 1 A0.2.3), но не всякий такой подмодуль
в С обратим. Спаривание A0.2.1)
показывает, если перейти к степеням отображений множеств
неподвижных точек, что
СОо =Э ft)a0)_a Э 1,
Так ЧТО СО0 = ®а(*>-а
(ii) Спаривание 10.2.1 показывает также, что ©acop <r coa+p.
Будучи вложением обратимых модулей, это соотношение
должно быть равенством, как отмечено в доказательстве
10.3.11 (iv).
(iii) Если coa = a)Q) то 1 е соа. Отображение,
представляющее 1, является ориентированной стабильной гомотопической
эквивалентностью. Обратно, если 1 е соа, то соа = а)о в силу
10.3.13.
Переформулируем 10.3.14 следующим образом:
Предложение 10.3,15. Соответствие а»—»соа задает инъек-
тивный гомоморфизм
p(G): /?o(G)/?h(G)-vInv(co0G).
10.4. Комментарии
Эта глава основана на работе автора [69], где можно
почерпнуть дальнейшую информацию. Обобщение на
вещественные G-модули получено Торнхэвом [160]. Более
концептуальное доказательство основного результата гл. 9 с
использованием гл. 10 и теории /?-адических ^-колец можно найти в [68].

10.4. Комментарии
203
Там же содержится вычисление Pic A (G) для абелевои G и
указание, как можно вычислить Р\с A (G) в общем случае.
По поводу гомотопически эквивалентных G-модулей для
компактных групп Ли G см. [161]. По поводу G-отображений
S (V)-+S (W) специальных степеней см. [110] и [114].
Интересной и трудной задачей является изучение гомотопических
эквивалентностей между произведениями 5(V)x5(W).
Проблема гомоморфизма для S (V) обсуждается Шульцем в [139].

Глава 11
Гомотопически
эквивалентные стабильные
(/-векторные расслоения1)
Цель этой главы — обобщить предыдущие результаты и
технику с представлений на векторные расслоения. Группа G
будет всегда предполагаться конечной р-группой. Нас
интересует вопрос, когда пучки сфер двух G-векторных расслоений
стабильно послойно G-гомотопически эквивалентны.
11.1. Введение и результаты относительно
локальных ./-групп
Один из основных вопросов гомотопической теории
векторных расслоений формулируется так:
Заданы два векторных расслоения на X. Когда
соответствующие пучки сфер послойно гомотопически эквивалентны?
Этот вопрос был решен для стабильных расслоений Адамсом
в серии работ о группах J (X) [2]. Одновременно было
получено положительное решение его знаменитой гипотезы ([128],
[157], [19]).
Мы обобщим некоторые из этих результатов на векторные
G-расслоения. Будем рассматривать векторные G-расслоения
над конечными G-CU''-комплексами. Если р: Е ~> Л' — такое
расслоение, мы можем выбрать G-пнвариантпую риманову
метрику на ? и рассмотреть расслоение единичных сфер ?(?)->
-*-Х. Для всякого вещественного G-модуля V мы будем
обозначать также через V тривиальное расслоение VxX-^-X. Если
pi: ?,->X — векторные G-расслоения, то термин стабильное
отображение /: 5 (?])->¦ S(E2) будет означать послойное G-
отображение S(?x © К)->5(?г@ V) для некоторого G-модуля
V. Два векторных G-расслоения р,: Е,->~Х над А' называются
стабильно гомотопически эквивалентными (обозначается ?й ^>
^ Е2), если для некоторого G-модуля V существует
послойная G-гомотопическая эквивалентность /; S (?х © ]')->¦ S (?2 0
© V). Если ? и F— векторные G-расслоения над X, то 5 (? 0
© F) G-гомеоморфно над X послойному дмойну S (?) * 5 (?).
Используя это, легко показать, что ?j~?2, ?г~?2 влечет
1) Эта глава является еогмеепкч р;;о<; nofi с X а уши льдом (И, HausLild),

11.1. Результаты относительно локальных J-групп 205
за собой E1@Fl~E2@F2. Пусть К00 (X) - кольцо Гротен-
дпка вещественных векторных G-расслоений над X.
Предыдущее замечание показывает, что
A1.1.1) ТОа (X) = {Ех - Е2 е= К00 (X) | Ег - Е2\
— корректно определенная аддитивная подгруппа в КОа(X).
Мы формулируем проблему: описать Т00(Х) как подгруппу
в KOq (X). Решение использует вычисление /-групп
A1.1.2) JOQ(X) = KOa(X)/TOa(X).
Введем теперь промежуточные /-группы, в определении
которых гомотопическая эквивалентность заменяется более
слабыми условиями. Заметим, что послойная гомотопическая G-
эквивалентность /: S (Ех Я- V) ->5 (Е2@ V) влечет обычную
послойную гомотопическую эквивалентность fH для всех
расслоений //-неподвижных точек (Я <G — подгруппа в G).
Рассмотрим поэтому следующее локальное условие: два векторных
G-расслоения Е и F называются стабильно локально гомото-
пически эквивалентными (обозначается Е ^\0CF), если для
любой подгруппы Н <G существует такой G-модуль V и такие
послойные G-отображения /: 5 (Е @ V)->S (F ф V) и g: S (F ф
© V)-*-S(E ф V), для которых fH и gH являются обычными
послойными гомотопическими эквивалентностями.
Как и выше, можно видеть, что
A1.1.3) ТО^(Х) = {Е1-Е2^КОа(Х)\Е1^ьсЕ2}
— корректно определенная аддитивная подгруппа в КОа(Х).
Наше изучение этой подгруппы основано на вычислении
факторгруппы
A1.1.4) JO? (X) = КОа (ХуТОр (X).
Введение этих локальных /-групп может на первый взгляд
показаться искусственным. Приведем некоторые мотивировки.
Очевидно, имеется сюръективный гомоморфизм JOq(X)-*~
-v/OJ?c (X). Если А' —точка, то из результатов Атьи — Толла
114] и автора [67] следует, что это отображение не является
изоморфизмом. Для р-групп оно является мерой разности
между G-гомотопической эквивалентностью и G-отображением
степени 1. Оказывается, вычисление 11.1.4 доставляет
основную часть 11.1.2. Кроме того, /0{°с (X) может быть
фактически вычислена с помощью операций Адамса на KOQ(X) точно
так же, как вычисляются неэквиварнантные /-группы. Так что
и с этой точки зрения 11.1.3 задает правильный объект для
исследования.

200 Гл. И. Гомотопически эквивалентные G-векторные расслоения
Установим теперь наши результаты A1.1.4) по
вычислению локальных У-групп. Удобно ввести в рассмотрение
локализации
A1.1.5) JOf{X)q=KOQ{X)qlTO^(X)q,
где индекс q означает, что мы локализуем в идеале,
соответствующем простому числу q.
Пусть задано q и гA), ..., г {п) — набор целых чисел
(зависящий от q и р), порождающих группу д-адических
единиц (moddil, если q = 2) и группу обратимых вычетов
(Z/JGIZ)*. Если <? = /?, мы выбираем п=\ и г = лA) = 3 для
р = 2, а в случае рф2 берем в качестве г образующую
группы (Z/p2Z)*.
Наш основной результат:
Теорема 11.1.6. Пусть G — конечная р-группа. Тогда
ТО^с (X)q порождается как абелева группа элементами вида
х — г|Лпх, хе KOQ(X)q, 1=1, ..., п, где tyr означает г-ю
операцию Адамса.
Доказательство, естественно, распадается на две части.
Сначала рассмотрим случай р = q. Мы докажем здесь
элементарными методами эквивариантный аналог гипотезы Адамса. Мы
используем метод Беккера — Готлиба [19], но применяем его
к универсальному примеру: ортогональным представлениям.
Тем самым мы обобщаем метод, примененный Адамсом [2]
к двумерным расслоениям. Кроме того, используется основная
теорема Атьи —Толла [14] о р-адических ^-кольцах и теорема
о пополнении Атьи —Сигала [12].
Вторая часть доказательства по существу имеет дело с
ситуацией, когда порядок группы обратим. Здесь можно
использовать теоремы о локализации и о расщеплении из гл. 8,
благодаря которым /(-теория может быть разложена на
простые части, где задача легко решается. Подчеркнем, что наш
подход содержит также вычисление неэквивариантных ./-групп,
которое нам представляется более простым, чем
опубликованные до сих пор: мы не используем ни вычисления Квил-
лена, ни бесконечные пространства петель.
11.2. Степени отображений. Ориентации
Этот раздел содержит некоторые технические
приготовления. В частности, мы покажем, что достаточно рассматривать
ориентированные расслоения.
Вещественное «-мерное векторное С-расслоение Е -> X
называется ориентируемым, если его «-я внешняя степень /\"Е

11.2. Степени отображений. Ориентации 207
изоморфна расслоению XxR->X с тривиальным G-действием
на R. Говорят, что расслоения ?, и Ег размерности п имеют
одинаковую ориентацию, если \пЕх и Л"^ — изоморфные
G-расслоения. Положим
A1.2.1) KSOQ{X) = {E1-E2^I\0Q{X):Ei ориентируемы}.
По теореме Дольда [71] послойное отображение S(E)~*-
-v S (F) является послойной гомотопической эквивалентностью,
если и только если оно является гомотопической
эквивалентностью на каждом слое, т. е. имеет на нем степень ztrl.
Поэтому имеет смысл ставить вопрос о существовании
послойных G-отображений с предписанными степенями на слоях.
Пусть ScZ- некоторое множество простых чисел. Если Е
и F — векторные G-расслоения над X, мы пишем
A1.2.2) E^gEo,
если существует стабильное отображение /: S (Е) -*- S (F),
степени которого на всех слоях взаимно просты со всеми
элементами 5. Мы пишем
A1.2.3) E~SF, если E^SF и F^SE.
Положим
A1.2.4) TOa,s(X) = {E-F^KOa(X)\E^sF},
A1.2.5) JOQ, s (X) = KOQ (X)/TOa. s (X).
Если 5 — множество всех простых чисел, то Е ^s F
означает, что существуют стабильные отображения S (E)-*- S (F) и
S (F) ->¦ 5 (Е) степени ± 1 на каждом слое.
Лемма 11.2.6. Предположим, что существует послойное
G-отображение /: S (Е) --> S (F) нечетной степени. Тогда
E-Fe=KS00(X).
Доказательство. Поскольку классы Штифеля — Уитни
по mod 2 послойно гомотопически инвариантны, имеем w1(E) =
^WxiF). Если 1Шх(Е)ф0 и Д" Е — детерминантное расслоение,
ассоциированное с Е, то существует послойное G-отображение
S (E Q) f\" E) -^S (F ф /\п Е) нечетной степени. Поэтому можно
предполагать без потери общности, что Е и F ориентируемы
как расслоения без учета действия G. Чтобы показать, что
в этом случае детермпнантные расслоения совпадают, нам
нужно только проверить, что совпадают G-действия на каждом
слое. Но »ёй действует на слое детерминантного расслоения
либо тождественно, если g сохраняет ориентацию, либо как

208 Гл. 11. Гомотопически эквивалентные G-векторные расслоения
умножение на —1, если g меняет ориентацию. Это различие
сохраняется при отображении нечетной степени.
Следствие 11.2.7. ТОа(Х) с= ТОТ (X) cz KSOa (X).
Пусть B(G, 0A)) =: В — классифицирующее пространство
для одномерных G-расслоений (см. [50]). Сопоставление с
каждым расслоением Е его детермпиантного расслоения задает
расщепляемый сюръективный гомоморфизм
A1.2.8) det: KOQ(X)-*[X, В]а
с ядром KSOq (X); здесь [—, —]0 означает множество G-гомо-
топических классов отображений. Используя следствие 11.2.7,
получаем поэтому естественные разложения
A1.2.9) JOa(X)g*JSOa(X)®[X, B]a,
где JSO = KSO/TO, и аналогичные разложения для локальных
У-групп.
11.3. Отображения между представлениями
и векторными расслоениями
В этом разделе мы построим некоторые эквивариантные
отображения м^жду ортогональными представлениями. Эта
конструкция является простым приложением методов Беккера —
Готлиба [19] и Мейерхофа — Петри [114] и по существу
известна. Построенные отображения между представлениями дадут
нам затем отображения между векторными расслоениями.
Предложение 11.3.1. Пусть R2" — стандартный О Bп)-мо-
дуль, k — положительное целое число. Тогда существуют
стабильные О Bп)-отображения S (R'2n)-^S (i|)*R2"), степени
которых являются делителями kl для некоторого /eN, коль скоро k
нечетно. (В противном случае утверждение верно для R2"© R2".)
Замечание. Модуль \|;*R2" может быть, разумеется,
виртуальным О B«)-модулем вида V — W. Предложение надо
понимать в том смысле, что существует стабильное О
^^-отображение S (R2" 0 W)-> S (V). Аналогичное соглашение
действует и в случае векторных расслоений.
Доказательство. Пусть Т < О Bп) — максимальный тор
с нормализатором N (Т). Тогда /V {Т) = S (дIх 0 B)", где [х
означает полупрямое произведение, в котором S (п) действует на
0B)" перестановками. Покажем сначала, что существует
Л'(Г)-отображение требуемой степени. Пусть
H = {(s; xh ..., xn)^S{n)./<bBrlb{lj^l}.

11.3. Отображения между представлениями 209
Имеется гомоморфизм
h: H-+0B): (s; хъ ..., хп)^+хх
и ассоциированный с ним 2-мерный //-модуль V. Группа Н
имеет конечный индекс в N (Т) (а именно [N (Т): Н] = п).
Поэтому можно ввести индуцированное представление ind$'nV\
Имеем
A1.3.2) ind#(r> V^W,
где W — стандартный yv (T)-модуль (ограничение стандартного
О Bп)-модуля). См. статью Беккера — Готлиба [19] по поводу
доказательства 11.3.2. Если к нечетно, то существует 0B)-
отображение g: S (V)-^S (г|з*У); отождествляя У с С, это
отображение можно записать просто как Z\—*¦ z'! (см. [2]).
Если k четно, то г|>'гУ = \ih — 1г-f 1, где Х,2 — детермннантное
представление, ассоциированное со стандартным О B)-действнем
на R2, а (х* отождествляется с С, на котором zeS1^ SO B)
действует как умножение на z", а элемент ( j действует
как комплексное сопряжение. Отображение z>-^zk будет тогда
О B)-отображением g'\ S(V)->5 (цк). Поскольку Я,г и R имеют
различные ориентации, не существует стабильного 7/2-отобра-
жения S (X2)->-S (R). Но Х2 ф %г и R0R имеют одинаковую
ориентацию, и поэтому можно найти стабильное Z/2-отображе-
ние (и, следовательно, 0B)-отображение) S(XiQ)'k2)-^S(R ф R)
степени 2. Собирая это вместе, мы видим, что существует
стабильное Я-отображение g: S(V ф V)->-S № (V ф V)), степень
которого делит Ы. Индуцирование ind^(r) дает стабильное
N (Г)-отображение
A1.3.3) ind?<n(g): S(md^T)V) = S(W)-^S(md^T,^V).
Для завершения доказательства нам нужно построить
стабильное N (Г)-отображение
A1.3.4) h: S(ind%(T}tV)-+S№(ind%mV))
соответствующей степени. Для простого числа р пусть W (Т)р
означает силовскую р-подгруппу в W (Т) и NP(T)~ ее
прообраз в N (Т). Если р взаимно просто с к, то ind#(n (т|з*К) и
ijjft(ind/f(nV) изоморфны как NP(T)-модули; это следует из
двух фактов:
A1.3.5) Если к взаимно просто с индексом [G : Н], то

210 Гл. 11. Гомотопичсски эквивалентные G-векторные расслоения
A1.3.6) res^'m ind/Vr), согласно формуле двойных смежных
классов из теории представлений, является прямой суммой
слагаемых вида ind^p<n resK, и, поскольку Т <.К, индекс
[Nfl(T):K] взаимно прост с k.
Используя этот изоморфизм Мр(Т)-модулей, можно найти
стабильное N (Г)-отображение hp вида A1.3.4) степени
\N(T)/NP(T)\. Поскольку наибольший общий делитель всех
N (T)/Np (Т) | для р, взаимно простых с k, содержит только
те простые сомножители, которые входят в разложение k, мы
можем найти подходящую линейную комбинацию
отображений hp (в группе гомотопических классов стабильных
отображений), чтобы получить N (Г)-отображение h, степень которого
является делителем Ы.
В качестве следствия из предложения 11.3.1 мы получаем
наличие стабильных отображений между векторными
расслоениями следующим образом. Пусть Е-*-В — вещественное
векторное G-расслоение размерности п с римановой метрикой.
Ассоциированное с ним главное О Bл)-расслоение Р -> В
является на самом деле (G, 0B«))-расслоением (в смысле том
Дика [50]). Имеются следующие изоморфизмы векторных G-pac-
слоений:
Е^Р x0B,,)R2\ Ц"Е~Р Xo^^R2*.
Следовательно, из предложения 11.3.1 следует
Предложение 11.3.7 Пусть G — компактная группа Ли,
а Е —>- Б — ортогональное векторное G-расслоение. Тогда
существует стабильное G-отображение S (Е) -*- S (if*E), если k
нечетно (соответственно S (Е (^ Е)-+S (ty'! (E ©?)), если k четно),
степень которого на каждом слое является делителем kl при
некотором t.
Фактически желательно иметь информацию о степенях
отображения на множестве неподвижных точек. С помощью методов
Квиллена [128] можно показать следующий эквивариантный
вариант гипотезы Адамса.
Теорема 11.3.8. Существуют стабильные G-отображения
f: S (?)-»-S (гр''?), для которых fK имеет при всех Н <G
степень, делящую Ы для подходящего t. (Здесь k взаимно
просто с \G,.)
В силу результатов гл. 9 и 10 это легко видеть для
расслоений с конечной структурной группой.

11.4. Локальные J-группы в р
211
11.4. Локальные У-группы в р
Пусть G — конечная р-группа, и пусть г е N —нечетная
образующая в группе обратимых целых р-адических чисел
(moddzl, если р = 2). Пусть А"— связный конечный G-CW-
комплекс. Основным результатом этого раздела является
Теорема 11.4.1. Следующая последовательность точна:
КОа (Х)р l-=t КОо (Х)р X J0[oc (X)p.
(Здесь J — каноническая проекция.)
Доказательство состоит из серий предложений.
Напомним определение (разд. 2.5), нужное для следующего
результата. Пусть «S — множество всех целых чисел.
Предложение 11.4.2. Каноническая проекция
В: JO]aoc(X)P^J00,{P)(X)p
является изоморфизмом.
Доказательство. Предположим, что В(Е — F) = 0.
Тогда можно найти стабильные G-отображения f: S(E)-+S(F)
и g: S(F)-yS(E) степени, взаимно простой с р. По теореме
Адамса [2] можно найти стабильное отображение h: S (kE) ->-
-+S(kF) степени 1, где (k, p)=l. Следовательно (используем
индуцирование), существует стабильное G-отображение
h':S(kE)^S(kF) степени p" = 'Gj. Поскольку (deg/, deg/i') =
= 1, подходящая линейная комбинация / и h' дает стабильное
G-отображение v. S (kE) -> S (kF) степени 1. To же
рассуждение применимо Kg и к отображениям множеств неподвижных
точек. Следовательно, Е — F представляет нулевой элемент
в JOlr°c(X)p.
Теперь нам нужно заняться послойными локализациями
сферических расслоений в смысле Сулливана [157]. Чтобы
говорить о чем-нибудь определенном, воспользуемся следующей
конструкцией для этих локализаций. Пусть Е ~> В —
ортогональное векторное G-расслоение и Р -> В — ассоциированное
с ним главное (G, 0(п))-расслоение. Пусть 0 (п) действует
в R"@R*, ?-2зЗ, с помощью стандартного действия на R".
Обозначим через S(HnQRk)p р-локальную сферу,
получаемую телескопической конструкцией из диаграммы
5(R"+*) f,-S(R"+*)-^...,
где отображения ft тождественны на S(R") в S (R" Э R') =
= S (R")*5(R*). Тогда на 5 (R/')P по-прежнему определено

212 Гл. 11. Гомотопически эквивалентные С-векторные расслоения
О (я)-действие и
PX0(n)S(R"+%
является нашим стабильным представителем для р-локального
сферического расслоения, ассоциированного с ?->-?. Допуская
вольность в обозначениях, мы будем писать S(E)P, имея в виду
это расслоение. Используем тот факт, что S(E)P-+B является
G-расслоением (обладает свойством поднятия G-гомотопий для
всех пространств), если Е-> В — нумеруемое расслоение.
Предложение 11.4.3. Предположим, что г нечетно и взаимно
просто с р. Пусть G есть р-группа, а X — конечный G-CW-
комплекс. Тогда
(l-V)KOa(X)pczTOc.[P](X)p.
Доказательство. Согласно предложению 11.3.7,
существует стабильное G-отображение f: S(E)-*S (tyrE) степени,
взаимно простой с р. Поскольку G является р-группой, мы
имеем degfH=?0 mod p для всех #<G. Индуцированное
отображение
f»: S{E)"p-+SWE)"
является поэтому послойным отображением и гомотопической
эквивалентностью на каждом слое. По теореме Дольда [71]
№ является послойной гомотопической эквивалентностью.
В силу 8.2.4 fp является G-гомотопической эквивалентностью,
а в силу эквивариантного аналога теоремы Дольда —
послойной G-гомотопической эквивалентностью. Обратным
отображением может служить, например, gp: S (i|y?)p->-S (E)p. Поскольку
X —компакт, композиция
SWE)-LS(VE)P^S(E)P,
где i — каноническое отображение в телескоп, имеет образ,
содержащийся в конечной части телескопа. Поэтому мы
получаем стабильное G-отображение g: S(tyrE)-+S(E) степени,
взаимно простой с р. Это доказывает эквивалентность ?^ (p>i|f?.
Заметим, что приведенное доказательство дает фактически
Предложение 11.4.4. Пусть f: S (Е) -> S (F) — стабильное
G-отображение, для которого все степени fsl на слоях делят Ы.
Тогда существует стабильное G-отображение g: S(F)^t~S (E)
с тем же свойством.
Доказательство теоремы 11.4.1. Согласно
предложениям 11.4.2 и 11.4.3, мы знаем, что J ° A — т|зг) = 0. Значит,

11.4. Локальные J-группы в р
213
нужно показать, что индуцированное отображение
Q: KOo(X)p/(\-V)-+JOlcoc(X)p
ннъективно. Воспользуемся результатами Атьи — Толла [14]
о р-адических Х-кольцах, которые мы изложили в гл. 3. Будем
через Ар обозначать р-адическое пополнение абелевой группы А.
Пусть КS0a (X) — подгруппа элементов размерности нуль.
Из результатов разд. 11.2, в частности леммы 11.2.6, следует,
что достаточно установить инъективность отображения
Q: KSOa (Х)Р/( 1 - я|/) -+ JSO]aoc (X)p.
Согласно Атье —Толлу ([14, III, предложение 3.1]), р-ади-
ческая и / (С)-адическая топологии на КОа (точка) совпадают.
Отсюда следует, что то же самое верно и для KSOq (X), коль
скоро X —конечный С-СН^-комплекг (см. [11, 10.13]). Согласно
варианту теоремы о пополнении Атьи —Сигала [12],
примененному к ориентированным векторным расслоениям, существует
гомоморфизм
a: KSOa(X);-+KSO(XQ),
где Xa — E(G)xaX, a E(G) — классифицирующее пространство
для G (универсальное свободное G-пространство).
Рассмотрим теперь следующую диаграмму, составные части
которой объясняются ниже:
KSOa (Х),,/( 1 - ф) Я JSO]GOC (Х)р —-
|»г (*)
KSOq (X);, г ^ A + KSOa {ХУР )г <V
й|аг (**) =>*г
KSO (Ха)г -'- A + К SO (Х0))г
Индекс Г означает, что мы факторизуем по образу 1 — а]/.
Кольцо KSOa(X)p является ориентируемым р-адическим у-коль-
цом; поэтому определено отображение р°г, о котором говорилось
в 3.10.7. Отображение аг, г является факторотображением
для р°г. Аналогично <хг является факторотображением для а,
а тл, г определяется из условия коммутативности (**).
Вложение i: KS0q{X)p-+ KSO~a(X)p порождает инъективное
отображение 1Г, потому что р-адическое пополнение является точным
функтором на конечно порожденных Zp-модулях. Поскольку
сгг, v — изоморфизм, согласно 3.14.10, остается только показать
существование отображения 60 делающего диаграмму
коммутативной.

214 Гл. 11. Гомотопически эквивалентные G-векторные расслоения
Предположим, что /: 5 (Е) -*¦ S (F) — стабильное G-отображе-
ние степени нуль. Тогда E(G)XgS(E)uE(G)XqS(F) стабильно
гомотопически эквивалентны и, следовательно, имеют
одинаковые классы Штифеля — Уитни. Поэтому мы можем и будем
предполагать, что оба они обладают Spin (8п)-структурой и,
значит, классом Тома в смысле /(-теории. Применяя
отображение 1хо/ к этим классам Тома и используя разд. 3.16,
получаем
В, (E (G) х оЕ) У (z) = zbr (E (G) X QF)
для подходящего ге 1 -\-KSO(XQ)t что дает искомую
факторизацию.
11.5. Локальные У-группы вне р
Предположим теперь, что q — простое число, отличное от р,
и вычислим J-группы, локализованные в q.
Для начала пусть С —циклическая группа и У
—тривиальное С-пространство. Можно вычислить /0"?с (Y)q следующим
образом.
Поскольку У — тривиальное С-пространство, векторные
расслоения над Y разлагаются в сумму слагаемых,
соответствующих неприводимым С-модулям (см. Сигал [142, замечание на
с. 133]). Если С —циклическая р-группа, разложение
векторных расслоений в соответствии с ядрами неприводимых С-моду-
лей сохраняется /О1ос-эквивалентностями и операциями Адамса.
Значит, достаточно рассматривать то прямое слагаемое в JOlcc (У)?,
которое соответствует векторным С-расслоениям с
неприводимыми точными С-модулями в слое. Мы утверждаем, что
функтор забывания группового действия задает изоморфизм этого
слагаемого на JO(Y)g (если q=?2) и на J (Y)g (если q = 2 и
С нетривиальна). Более того, JOi°c(Y)q в этом случае может
быть вычислена, как в 11.1.6. Докажем все это.
Пусть (г, pq) = \. Тогда существует стабильное С-отображе-
ние 5 (Е (х) V) -»- 5 (\ргЕ (х^Т) степени t, делящей гп, где V —
точный С-модуль, а Е — расслоение с тривиальным действием С.
Как и в доказательстве 11.4.2, мы видим, что существует
С-отображение 5 (t' (Е ® V)) ->• S (/' (\\>ГЕ 0 tyrV)) для
подходящего /. Поскольку (t, q)=l, мы получаем, что A —1|/) (?(gV)=0
в JOl°c(X)q (см. также 11.4.4).
Предположим теперь, что Ех — Е^ переходит в нулевой
элемент в JO(Y)g. Для каждого г, порождающего группу
обратимых целых g-адических чисел, существует такое F, что
Е\ —Ег = {\—ty) F в силу неэквивариантного вычисления
JO (Y)g, представляющего собой частный случай результатов

11.6. Проективные модули
215
разд. 11.4. Значит, F (х) V = tyrF (x) V в JOc(Y)g. (Фактически
можно оперировать с комплексными векторными расслоениями,
потому что J (Y)9Q±JO(Y)g, если цф1, а если <? = 2, то С — не
2-группа и все точные представления С имеют комплексный
тип.) Если выбрать г так, чтобы V = V, то Ei®V — E2®V=
—(l—tyr)(F(g)V) переходит в нуль в JO]°c{Y)q и имеет вид,
о котором идет речь в теореме 11.1.6. В общем случае, если
?i - Ег = A - ф) Flt то Ех (х) 1/ - Ег (х) V* = Fx <g) V - т|)*Л ® VJ=
— (^i ® (^ — ^)) © ((^i — 1|>*Л) ® V*)- Это равенство показывает,
что fix®(V — Vs) также содержится в подгруппе, порожденной
A — \|/(<)) из 11.1.6. Этим завершается рассмотрение случая
циклической р-группы С и тривиального С-пространства Y.
Докажем теперь 1.11.6 в общем случае для цфр. Согласно
разд. 7.7, имеется естественное преобразование
КОа(Х)^фКОс(ХС),
(С)
где (С) пробегает классы сопряженности циклических подгрупп
в G. Это преобразование допускает естественное расщепление,
совместимое с действием операций Адамса. Пусть JO'a {X)
означает факторгруппу К0а (X) по подгруппе, порожденной
A —\pr{i))х, как в 11.1.6. Мы имеем тогда диаграмму
КОа(Х)д^($КОс(Х%
1 (С) I
1 !
JO'G(X)q -^^JO'c(X%
(С) |
to; C)[
J0]a°c(X)qiiJ-®J0lc°4X%
(С)
Отображения A) и C) сюръективны по построению.
Отображение B) — вложение в виде прямого слагаемого согласно уже
цитированной теореме о расщеплении. Отображение C)
биективно, как показано выше. Следовательно, A) также инъек-
тивно и, значит, является изоморфизмом. Это заканчивает
доказательство теоремы 11.1.6.
11.6. Проекти шые модули
Обсудим теперь разницу между JO]ac и J0a. Пусть Е и
F — векторные G-расслоения над X. Обозначим через [S(?),
S (F)] множество послойных G-гомотопических классов
отображений S(E)^-S(F). Послойная надстройка определяет
отображение [S(E), S(f)]->[S(?®V), S(F@V)]. Возьмем
индуктивный предел относительно таких надстроечных отображений
и обозначим его через а>Ь{Е, F). Он совпадает с множеством

21С Гл. 11. Гомотопически эквивалентные G-векторные расслоения
G-гомотопических классов стабильных отображений S(E)-±S(F).
Перечислим несколько стандартных свойств этой конструкции.
A1.6.1) (л"о{Е, F) — абелева группа и модуль над ыЪ(Х).
A1.6.2) G-отображение /: Y ->Х задает гомоморфизм
/*: аЪ(Е, F)-+<ob(f*E, f*F).
A1.6.3) Композиция отображений определяет спаривание
(йЪ(Е, F)xa°a(F, Н)-+<оЪ(Е, Н),
билинейное над се>о (X).
A1.6.4) Сумма Уитни задает спаривание
е>Ъ(Еъ Fl)xa>b(E2, Ft)-*o>b(E^4 F&Fi),
билинейное над ©с (X).
A1.6.5) Имеют место канонические изоморфизмы ыЬ (Х)-мо-
дулей
апв(Е, Е)^.о>Ъ(Х),
<оЪ(Е, E)Q*<ob(E®F, E®F).
Предложение 11.1.6. Предположим, что Е — F <= 1'0]?с (X);
тогда и>Ь(Е, F) является проективным ыЬ {X)-модулем ранга 1
и ы'а (F, Е) представляет обратный к нему элемент в группе
Пикара кольца ы°а(Х). Этот модуль свободен, если и только
если E-F<=TOa(X).
Доказательство. Простые идеалы q в сое (X) были
описаны в гл. 8. Локализуем в q и покажем, что ы'а(Е, F)^ —
свободный соо (Л^-модуль ранга 1 и что отображение
<oh (E, F) ® ab (F, Е) -> <в°0 (Е ®F,F@E)^ ЫЬ (X)
определяет изоморфизм после локализации в q. Но по
определению Т01°с (X) для заданной подгруппы Н существует
стабильное G-отображение /: S (E)~> S(F), для которого fH имеет
степень 1 на каждом слое. Далее рассуждаем, как в 10.2.6.
Из 11.6.7 мы получаем инъективный гомоморфизм
рОа (X): ТОТ (Х)/ТОа (X) -+ Pic о>Ъ (X).
Заметим, что областью определения рОа (X) служит в точности
ядро отображения JO]qc^ JOa. Группа Пикара кольца (.о'а (X)
не изменяется при факторизации по нильрадикалу этого кольца.
Мы видим, что факторкольцо coo(X)/Nil зависит только от
орбитальной структуры X. В частности, если все множества
неподвижных точек в X непусты и связны, то мы получаем
естественное расщепление JOa (X) = J0]fQ (А')Ф/0 (О).

Обозначения
G —компактная группа Ли
И <CG: Я —замкнутая подгруппа в G
Н <]G: Я —замкнутая нормальная подгруппа в G
N (Я) = Na (Я) — нормализатор подгруппы Я в группе G
W(H) = N (H)/H
Я ~/( —подгруппа Я сопряжена с /С
(Я) — класс сопряженности подгруппы Я
(Н)<.(К) — Я сопряжена с некоторой подгруппой в /С
G-пространство X — группа G непрерывно действует на X
G.v — стационарная подгруппа (стабилизатор) точки
X/G — пространство G-орбит в X
Хн = {х ^X\hx — x для всех h e Я} — множество Я-непод-
вижных точек в Я"
Х(Н) = {хеХ| (G.v) = (Я)} - пучок Я-орбит в X
XH = {xe=X\Gx = H}
GXtfX — расслоенное произведение над Я, т.е. фактор-
пространство GxX" по отношению
эквивалентности (g, x)^{gh, /r1*), йеЯ
15 | — мощность множества S
~' —определение с помощью равенства.

Литература
1. Adams J. F. Vector fields on spheres. Ann. of Math., 75 A962), 603 —
632. (Имеется перевод: Адаме Дж. Векторные поля па сферах. —Ма-
тематика, 7 : 6, 1963, с. 49—80.)
2. Adams J. F. On the groups J (X). Topology, 2 A963), 181-195; II.
Topology, 3 A965), 137—171; III. Topology, 3 A965), 193 — 222; IV.
Topology, 5 A966), 21—71. (Имеется перевод: Адаме Дж. О группах
/(А'). Часть I.—Математика, 10:5, 1966, с. 70 — 84; часть
П.—Математика, 11:4, 1967, с. 3 — 41; части 111 —IV.—Математика, 12:3,
1968, с. 3 — 97.)
3. Alexander J. P., Conner P. E., Hamrick G. С Odd order groups actions
- and Witt classification of innerproducts. Lecture Notes in Math. 625.
Heidelberg—New York: Springer, 1977.
4. Alexander J. P., Hamrick G. C, Vick J. W. Linking forms and maps
of odd prime order. Trans. Amer. Math. Soc, 221 A976), 169—185.
5. Almkvist G. The Grothendieck ring of the category of endomorphisms.
Journal of Algebra, 28 A974), 375-388.
6. Atiyah M. F. Characters and cohomology of finite groups. Publ. Math.
IHES, 9 A961), 23-64.
7. Atiyah M. F. Power operations in /(-theory. Quart. J. Math. Oxford,
B) 17 A966), 165-193.
8. Atiyah M. F. /(-Theory and reality. Quart. J. Math. Oxford, B) 17
A966), 367 — 386. (Имеется перевод: Атья М. К-теория и
вещественность,—В кн.: Атья М. Лекции по К-теории. — М.: Мир, 1967.)
9. Atiyah M. F., /(-Theory. New York — Amsterdam: Benjamin, 1967.
(Имеется перевод: Атья М. Лекции по /(-теории. — М.: Мир, 1967.)
10. Atiyah M. F. Bott periodicity and the index of elliptic operators.
Quart. J. Math. Oxford, B) 19 A968), 113-140.
11. Atiyah M. F., Mac Donald I. G. Introduction to commutative algebra.
Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1969. (Имеется перевод: Атья М.,
Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. —М.: Мир, 1972.)
12. Atiyah M. F., Segal G. В. Equivariant K-theory and completion. J. of
Diff. Geom., 3 A969), 1 — 18. (Имеется перевод предварительного
варианта в кн.: Атья М. Лекции по /(-теории. —М.: Мир, 1967.)
13. Atiyah M. F., Segal G. В. Exponential isomorphisms for brings. Quart.
J. Math. Oxford, B) 22 A971), 381-387.
14. Atiyah M. F., Tall D. O. Group representations, X-rings, and the J-ho-
momorphism. Topology, 8 A969), 253 — 297.
15. Bass H. The Dirichlet unit theorem, induced characters, and Whitehead
groups of finite groups. Topology, 4 A966), 391—410.
16. Bass H. Euler characteristics and characters of discrete groups.
Inventions math., 35 A976), 155-196.
17. Baues H. J. Obstruction theory. Lecture Notes in Math. 628. Berlin —
Heidelberg —New York : Springer, 1977.
18. Becker J. C, Gottlieb D. H. Applications of the evaluation map and
transfer theorems. Math. Ann., 211 A974), 277-288.

Литература
219
19. Becker J. С, Gottlieb D. H. The transfer map and fiber bundles.
Topology, 14 A975), 1 — 12.
20. Becker J. C, Schultz R. E. Spaces of equivariant selfequivalences of
spheres. Bull. Amer. Math, Soc, 79 A973) 158—161.
21. Becker J. C, Schultz R. E. Equivariant function spaces and stable
homotopy theory, I. Comment, math. Helv., 49, A974) 1—34- II
Indiana Univ. Math. Journal, 25 A976), 481—492.
22. Becker J. C., Schultz R. E. Fixed point indices and left invariant
framings. In: Geometric appl. of homotory theory I Lecture notes in
math. 657. Springer-Verlag, 1978, pp. 1—31.
23. Boardman J. M., Vogt R. M. Homotopy invariant algebraic structures
on topological spaces. Lecture Notes in Math. 347. Berlin—Heidelberg —
New York: Springer, 1973. (Имеется перевод: Бордмзн Дж., Фогт Р.
Гсмотопически инвариантные алгебраические структуры на
топологических пространствах.—М.: Мир, 1977.)
24. Boothby W., Wand H.-C. On the finite subgroups of connected Lie
groups. Comment. Math. Helv., 39 A964), 281—294.
25. Borel A. Remarks on the spectral sequence of a map. In: Seminar on
transformation groups. Princeton: Princeton Univ. Press, 1960.
26. Borel A. Fixed point theorems for elementary commutative groups. In:
Seminar on transformation groups. Princeton: Princeton Univ. Press,
1960.
27. Borel A. Cohomologie des espaces localement compact d'apres J. Leray.
Lecture Notes in Math. 2. Berlin —Heidelberg —New York: Springer,
1964.
28. Borel A., Serre J.-P. Sur certain sous-groupes des groupes de Lis
compacts. Comment. Math. Helv. 27 A953), 128-139.
29. Borel A., de Siebenthal J. Les sous-groupes fermes de rang maximum
des groupes de Lie clos. Comment. Math. Helv., 23 A949), 200 — 221.
30. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел.—М.: Наука, 1964.
31. Bott R. Lectures on К (X). New York— Amsterdam: Benjamin, 1969.
32. Bourbaki N. Topologie generale. Paris: Hermann, 1961. (Имеется
перевод: Бурбаки Н. Общая топология. —М. Физматгиз, 1958, 1959.)
33. Bourbaki N. Algebre commutative. Paris: Hermann, 1961 — 1965.
(Имеется перевод: Бурбаки Н. Коммутативная алгебра.—М.: Мир,
1971.)
34. Bourbaki N. Groupes et algebres de Lie. Paris: Hermann, 1960—1975.
(Имеется перевод: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. —М.: Мир,
1972, 1976, 1978.)
35. Bredon G. E. Sheaf theory. New York: Mc Graw-Hill, 1967.
36. Bredon G. E. Equivariant cohomology theories. Lecture Notes in
Math. 34. Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1967.
37. Bredon G. E. Introduction to compact transformation groups. New
York —London: Academic Press, 1972. (Имеется перевод: Бредон Г.
Введение в теорию компактных групп преобразований.—М.: Наука, 1980.)
38. Brocker Th. Singulare Definition der aquivarianten Bredon Homologie.
Manuscr. math., 5 A971), 91 — 102.
39. Brown K. S. Euler characteristics of discrete groups and G-spaces.
Inventiones math., 27 A974), 229 — 264.
40. Brown K. S. Euler characteristic of groups: The p-fractional part.
Inventiones math., 29 A975), 1—5.
41. Brown K. S. Complete Euler characteristics and fixed-point theory.
Preprint, 1HES, 1978.
42. Brown K. S. Groups of virtually finite dimension. In: Proc. of Durham
conf. on homological and combinatorial techniques in group theory.
43. Brumfiel G., Madsen I. Evaluation of the transfer and the universal
surgery classes, Inventiones math., 32 A976), 133—169,

220
Литература
44. Brumfiel G. W., Morgan J. W. Quadratic functions, the index modulo 8,
and a Z/4-Hizebruch formula. Topology, 12 A973), 105—122.
45. Cartan H., Eilenberg S. Homological Algebra. Princeton: Princeton
Univ, Press, 1956. (Имеется перевод: Картан А., Эйленберг С.
Гомологическая алгебра.—М.: ИЛ, I960.)
46. Chiswell 1. М. Euler characteristics of groups. Math. Z., 147 A976),
1-11.
47. Conner P. E., Floyd E. E. Differentiable periodic maps. Berlin —Got-
tingen —Heidelberg; Springer, 1964. (Имеется перевод: Коннер П.,
Флойд Э. Гладкле периодические отображения.—М.: Мир, 1969.)
48. Curtis Ch. W., Reiner I. Representation theory of finite groups and
associative algebras. New York: Interscience, 1962. (Имеется перевод:
Кэртис Ч., Ра пер И. Теория представлений конечных групп и
ассоциативных алгебр.—М.: Наука, 1969.)
49. torn Dieck T. Klassifikation numerierbarer Biindel. Arch. Math.. 17
A966), 395 — 399.
50. torn Dieck T. Faserbiindel mit Gruppenoperation. Arch. Math., 20
A969), 136—143.
51. torn Dieck T. Glattund aquivarianter Homotopiemengen. Arch. Math., 20
A969), 288 — 295.
52. torn Dieck T. Fixpunkte veratauschbarer Involutionen. Arch. Math., 21
A970), 296 — 298.
53. torn Dieck T. Bordism of G-manifolds and integrality theorems.
Topology, 9 A970), 345—358.
54. torn Dieck T. Actions of finite abelian p-groups without stationary
points. Topology, 9 A970), 359 — 366.
55. torn Dieck T. Characteristic numbers of G-manifolds, 1. Inventiones
math., 13 A971), 213 — 224.
56. torn Dieck T. Lokalisierung aquivarianter Kohomologie-Theorien. Math.
Z., 121 A971), 253 — 262.
57. torn Dieck T. Orbittypen und aquivariante Homologie, I. Arch. Math.,
23 A972), 307 — 317.
58. torn Dieck T. Kobordismentheorie klassifizierender Ra'ume und Trans-
formationsgruppen. Math. Z., 126 A972), 31—39.
59. torn Dieck T. Periodisehe Abbildungen unitarer Mannigfaltigkeiten.
Math. Z., 126 A972), 275 — 295.
60. torn Dieck Т., Equivariant homologv and Mackey functors. Math. Ann.,
206 A973), 67—78.
61. torn Dieck Т., On the homotopy type of classifying spaces. Manuscripta
math., 11 A974), 41-45.
62. torn Dieck Т., Characteristic numbers of G-manifolds, II. J. of Pure
and Applied Algebra, 4, A974), 31—39.
63. torn Dieck T. Orbittypen und aquivariante Homologie, II. Arch. Math.,
26 A975), 650-662.
64. torn Dieck T. The Burnside ring of a compact Lie group, I. Math. Ann.,
215 A975), 235-250.
65. torn Dieck T. A finiteness theorem for the Burnside ring of a compact
Lie group. Composition math., 35 A977), 91—97.
66. torn Dieck T. Idempotent elements in the Burnside ring. J. of Pure
and Applied Algebra, 10 A977), 239 — 247.
67. torn Dieck T. Homotopy-equivalent group representations. J. Reine und
Angew. Math., 298 A978), 182—195.
68. torn Dieck T. Homotopy equivalent group representations and Picard
groups of the Burnside ring and the character ring. Manuscripta math.,
26, A978), 179 — 200.
69. torn Dieck Т., Petrie T. Geometric modules over the Burnside ring.
Inventiones math., 47 A978), 273 — 287.

Литература
221
70. torn Dieck Т., Kamps К. Н., Puppe D. Homotopietheorie. Lecture Notes
in Math. 157. Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1970.
71. Dold A. Partitions of unity in the theory of fibrations. Ann. of Math.,
78 A963), 223 — 255.
72. Dold A. Halbexakte Homotopiefunktoren. Lecture Notes in Math. 12.
Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1966.
73. Dold A. Chern classes in general cohomology. Instituto Nazionale di
Alta Matematica Symposia Mathematica, Vol. V, 1970, pp. 385 — 410.
74. Dold A, K-theory of mon-additive functors of finite degree. Math. Ann.,
196 A972), 177-197.
75. Dold A. Lectures on algebraic topology. Heidelberg—New York:
Springer, 1972. (Имеется перевод: Дольд А. Лекции по алгебраической
топологии. —М.: Мир, 1966.)
76. Dold A. The fixed point index of fibre-preserving maps. Inventiones
math., 25 A974), 281—297.
77. Dold A. The fixed point transfer of fibre-preserving maps. Math.
Z., 148 A976), 215 — 244.
78. Dold A. Geometric cobordism and the fixed point transfer. In:
Algebraic topology. Proc. Vancouver, Lecture notes in math. 673. Springer-
Verlag, 1978, pp. 32 — 87.
79. Dress A. A characterization of solvable groups. Math. Z., 110 A969),
213-217.
80. Dress A. Contributions to the theory of induced representations.
Algebraic /C-Theorv, II. Proc. Batelle Institute Conference 1972. Lecture
Notes in Math. 342. Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1973,
pp. 183 — 240.
81. Dress A. Induction and structure theorems for orthogonal representations
of finite groups. Ann. of Math., 102 A975), 291—325.
82. Feshbach M. The transfer and characteristic classes. In: Geometric appl.
of homotopy theory, I. Lecture notes in math 657. Berlin
—Heidelberg—New York: Springer, 1978, pp. 156—162.
83. Floyd E. E. Periodic maps via Smith theory. In: Seminar on
transformation groups. Princeton: Princeton Un.;v. Press, 1960.
84. Folkman J. Equivariant maps of spheres into the classical groups. Mem.
Amer. Math. Soc, 95 A971).
85. Franz W. Uber die Torsion einer Uberdeckung. J. Reine und Angew.
Math., 173 A935), 245 — 254.
86. Gordon R. A. Contributions to the theory of the Burnside ring.
Dissertation, Saarbrficken, 1975.
87. Gordon R. A. The Burnside ring of a cyclic extension of a torus. Math.
Z., 153 A977), 149—153.
88. Green J. A. Axiomatic representation theory for finite groups. J. of
Pure and Applied Algebra, 1 A971), 41—77.
89. Hattori A. Rank element of a projective module. Nagoya J. Math., 25
A965) 113-120.
90. Hauschild H. Allgemeine Lage und aquivariante Homotopie. Math. Z.,
143 A975), 155-164.
91. Hauschild H. Aquivariante Transversalitat und aquivariante Bordis-
mentheorien. Arch. Math., 26 A975), 536-546.
92. Hauschild H. Aquivariante Homotopie, I. Arch. Math., 29 A977\
158-165.
93. Hauschild H. Zerspaltung aquivarianter Homotopiemengen. Math. Ann.,
230 A977), 279-292.
94. Hauschild H. Aquivariante Whiteheadtorsion. Manuscripta math., 26
A978), 63-82.
95. Hazewinkel M. Formal groups and applications. New York: Academic
Press, 1978.

222
Литература
96. Helgason S. Differential geometry and symmetric spaces. New York—
London: Academic Press 1962. (Имеется перевод: Хелгасон С.
Дифференциальная геометрия и симметрические пространства.—М.: Мир, 1964.)
97. Hochschild G. The structure of Lie groups. San Francisco: Holden—
Day, 1965.
98. Hurewicz W., Wallman H. Dimension theory. Princeton: Princeton
Univ. Press, 1948. (Имеется перевод: Гуревич У., Уолмен Г. Теория
размерности.: —М. ИЛ, 1948.)
99. Husemoller D. Fibre bundles. New York: Mc Graw-Hill, 1966. (Имеется
перевод: Хьгазмоллер Д. Расслоенные пространства.—М.: Мир, 1970.)
100. Illman S. Whitehead torsion and group actions. Ann. Acad. Sc. Fennicae,
Series A 588 A974).
101. James I. M., Segal G. B. On equivariant homotopy type. Topology, 17
A978), 267-272.
102. Jaworowski J. W. Extensions of G-maps and euclidean G-retracts. Math.
Z., 146 A976), 143-148.
103. Karoubi M. /(-Theory. Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1978.
(Имеется перевод: Каруби М. К-теория, М.: Мир, 1981.)
104. Kelley J., Spanier E. Euler characteristics. Pacific J. Math., 26
A968), 317-339.
105. Kosniowski С Equivariant cohomology and stable cohomotopy. Math.
Ann., 210 A974), 83-104.
106. Kosniowski С Actions of finite abelian groups. London: Pitman, 1978.
107. Lang S. Algebra. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1965. (Имеется
перевод: Ленг С. Алгебра. —М.: Мир, 1968.)
108. Lang S. Algebraic number theory. Reading, Mass.: Addison-Wesley,
1970.
109. Lazard M. Commutative formal groups. Lecture Notes in Math. 443.
Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1975.
110. Lee Chung-Nim, Wasserman A. G. On the groups JO (G). Mem. Amer.
Math. Soc, 159 A975).
111. Liulevicius A. Homotopy of linear actions: Characters tell all. Bull.
Amer. Math. Soc, 84 A978), 213 — 221.
112. Mac Lane S. Homology. Berlin —Heidelberg —Gottingen: Springer, 1963.
(Имеется перевод: Маклейн С. Гомология. —М.: Мир, 1966.)
113. Madsen I. Remarks on normal invariants from the infinite loop space
view point. In: Proc. Symp. Pure Math. 32, Vol. 1: Algebraic and
Geometric topology, Amer. Math. Soc, 1978, pp. 91 — 102.
114. Meyerhoff A., Petrie T. Quasi equivalence of G-modules. Topology, 15
A976). 69-75.
115. Milnor J. Construction of universal bundles, II. Ann. of Math., 63
A956), 430-436.
116. Milnor J. Whitehead torsion. Bull. Amer. Math. Soc, 72 A966),
358 — 426. (Имеется перевод: Милнор Дж. Кручение Уайтхеда.
—Математика, 11 : 1, 1967, с. 3 — 42.)
117. Milnor J., Husemoller D. Symmetric bilinear forms. Berlin
—Heidelberg—New York: Springer, 1973.
118. Oliver R. Fixed point set of group actions on finite acyclic complexes.
Comment, math. Helv., 50 A975), 155—177.
119. Oliver R. Fixed points of disks actions. Bull. Amer. math. Soc, 82
A976), 279-280.
120. Oliver R. G-actions on disks and permuatation representations II.
Math. Z., 157 A977), 237-263.
121. Oliver R. G-actions on disks and permutation representations. J.
Algebra, 50 A978), 44 — 62.
122. Oliver R. Group actions on disks, integral permutation representations
and the Burnside ring. In: Proc. Symp. Pure Math. 32, Vol. 1: Algeb-

Литература
223
rax and Geometric topology. Amer. Math. Soc. 1978, pp. 339 —
346.
123. Olum P. Mappings of manifolds and the notion of degree. Ann. of
Math., 58 A953), 458 — 480.
124. Palais R. S. The classification of G-spaces Mem. Amer. Math Soc,
36 A960).
125. Pardon W. The exact sequence о a localization for Witt groups. In:
Algebraic /(-theory, Evanston, 1976. Lecture Notes in Math. 551.
Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1976.
126. Petrie T. G Surgery, I.—A survey. In: Alg. and geom. topology. Proc.
Santa Barbara. Lecture Notes in math. 664. Berlin —Heidelberg —New
York: Springer, 1978, pp. 196 — 233.
127. Guillen D. The spectrum of a equivariant cohomology ring, I. Ann.
of Math., 94 N971), 549 — 572; II. Ann. of Math., 94A971), 573 — 602.
128. Quillen D. The Adams conjecture. Topology, 10 A971). 67 — 80.
129. Quinn F. Finite nilpofent group actions on finite complexes. In:
Geometric appl. of homotopy theory I. Lecture notes in math. 657.
Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1978, pp. 375 — 407.
130. Raghunatan M. S. Discrete Subgroup of Lie groups. Berlin —Heidelberg —
New York: Springer 1972. (Имеется перевод: Рагунатан М. С.
Дискретные подгруппы групп Ли. — М.: Мир, 1977.)
131. Raufien M. Hurewicz isomorphism and Whitehead theorems in procate-
gories. Arch. Math. 30 A978) 153—164.
132. de Rham G. Complexes a automorphismes et homeomorphie differentiab-
les. Ann. Inst. Fourier, Grenoble 2 A950), 51—67.
133. Ritter J. Ein Induktionssatz fur rationale Charaktere von nilpotenten
Gruppen. J. Reine und Angew. Math.. 254 A972), 133—151.
134. Rueff M. Beitrage zur LIntersurhung der Abbildungen von Mannigfaltig-
keiten. Composition Math., 6 A939), 161—202.
135. Roquefte P. Realisierung von Darstellungen endlicher nilpotenter
Gruppen. Arch. Math., 9 A958), 241-250.
136. Rubinsztein R. L. On the equivariant homotopy of spheres. Preprint 58.
Polish Academy of Sciences, 1973.
137. Rymer N. W. Burnsidering and the Euler characteristic of a symmetric
power. Preprint, School of Math. Univ. College North Wales, Bangor,
1975.
138. Schultz R. Homotopy decompositions of equivariant function spaces, I.
Math. Z., 131 A973), 49-75; II. Math. Z., 132 A973), 69-89.
139. Schultz R. On the topological classification of linear representations.
Topology, 16 A977), 263 — 269.
140. Schwanzl R. Der Burnsidering der speziellen orthogonalen Gruppe
der Dimension drei. Diplomarbe.t Saarbriicken, 1975.
141. Schwanzl R. Koeffizienten im Burnsidering. Arch. Math.. 29 A977),
621-622.
142. Segal G. B. Equivariant /<-theory. Publ. Math. IHES, 34 A968),
129-151.
143 Segal G. B. The representation ring of a compact Lie group. Publ.
math. IHES, 34A968), 113-128.
144. Segal G. B. Classifying spaces and spectral sequences. Publ. math.
IHES, 34 A968), 105-112.
145. Segal G. B. Equivariant stable homotop\ theory. Actes Congres intern.
Math., Tome 2, 1970, pp. 59-63.
146. Segal G. B. Permutation representations of finite p-groups. Quart. J.
Math. Oxford B), 23 A972), 375-381.
147. Serre J.-P. Representations lineaires des groupes finis. 2. ed., Paris:
Hermann, 1971. (Имеется перевод: Серр Ж.-П. Линейные представления
конечных групп.—М. Мир. 1970.)

224
Литература
148. Serre J.-P. Cohomologie des groupes discrets. Ann. Math. Studies 70.
Princeton Univ. Press, 1971, pp. 77 — 169. (Имеется перевод: Серр
Ж.-П. Когомологии дискретных групп. —Математика, 18:3, 1974,
с. 123-144; 18:4, 1974, с. 3 — 33.)
149. Siebeneicher G. X-Ringstrukturen auf dem Burnsidering der Permuta-
tionsdarstellungen einer endlichen Gruppe. Math. Z. 146 A976),
223 - 238.
150. Siegel C. L. Gesammelte Abhandltmgen, I. Springer, 1966.
151. Snaith J. ./-equivalence of group repres ntations. Proc. Camb. Phil.
Soc, 70 A971), 9—14.
152. Spanier E. H. Algebraic topology. New York: McGraw-Hill 1966.
(Имеется перевод: Спеньер Э. Алгебраическая топология. —М.: Мир,
1971.)
153. Stallings J. R. Centerless groups—an algebraic lormulation of Gottlieb's
theorem. Topology, 4 A965), 129—134.
154. Steenrod N. The topology of fibre bundles. Princeton Univ. Press, 1951.
(Имеется перевод: Стинрод Н. Топология косых произведений.—
М.: ИЛ, 1953.)
155. Stong R. E. Unoriented bordism and actions of finite groups. Mem.
Amer. Math. Soc, 103 A970).
156. Strom A. Note on cofibrations. Math. Scand., 19 A966), 11 — 14; II.
Math. Scand.. 22 A968), 130—142.
157. Sullivan D. Genetics of homotopy theory and the Adams conjecture.
Ann. of Math., 100 A974), 1-79.
158. Swan R. G., Evans E. G. Л^-Theory of finite groups and orders. Lecture
Notes in Math. 149. Berlin —Heidelberg —New York: Springer, 1970.
159. Szczarba R. On tangent bundles of fibre spaces and quotient spaces.
Amer. J. Math., 86 A964), 685 — 697.
160. Tornehave J. Equivariant maps of spheres with conjugate orthogonal
actions. Matematisk Institut Aarhus Universitet Preprint Series 1977/78,
No. 4.
161. Traczyk P. On the G-homotopy equivalence of spheres of representations.
Math. Z., 161 A978), 257-261.
162. Verdier J. L. Characteristique d'Euler — Poincare. lull. Soc. Math.
France, 101 A973), 441-445.
163. Wall С. Т. С. Rational Euler characteristics. Proc. Cambridge Phil.
Soc, 57 A961), 182—183.
164. Wall С. Т. С. Quadratic forms on finite groups and related topics,
Topology, 2 A963), 281-298.
165. Wasserman A. G. Equivariant differential topology. Topology, 8 A969),
127-150.
166. Watts Ch. Intrinsic characterisation of some additive functors. Proc,
Amer. Math. Soc, 11 A960), 5-8.
167. Wilson G. K-theory invariants for unitary G-bordism. Quart. J. Math.
Oxford, B) 24 A973), 499-526.
168. Wirthmuller K. Equivariant homology and duality. Manuscripta math.,
11 A974), 373-390.
169. Wolf J. A. Spaces of constant curvature. New Yorh: McGraw-Hill 1967,
170. Зарелуа А. В. (Zarelua A.) On finite groups of transformations. Proc.
of symposium on topology and its applications. Herceg-Novi, 1968,
pp. 334 — 339.
171. Zassenhaus H. Beweis eines Satzes uber diskrete Gruppen. Abh. Math.
Sem. Harsisch Univ., 12 A938), 289-322.

Оглавление
Предисловие переводчика 5
Предисловие 6
Глава 1. Бернсаидовское кольцо конечных О-множеств 7
1.1. Конечные G-множества 7
1.2. Бернсаидовское кольцо A (G) 8
1.3. Сравнения для числа неподвижных точек 10
1.4. Идемпотентные элементы 12
1.5. Обратимые элементы 13
1.6. Простые идеалы 14
1.7. Пример. Знакопеременная группа Аь 14
1.8. Комментарии 15
1.9. Упражнения 16
Глава 2. ./-гомоморфизм и квадратичные формы 17
2.1. /-гомоморфизм 17
2.2. Квадратичные формы на периодических группах. Гауссовы
суммы 18
2.3. Квадратичный /-гомоморфизм 22
2.4. Комментарии 24
2.5. Упражнения 25
Глава 3. Х-кольца 26
3.1. Определения 26
3.2. Примеры 29
3.3. у"опеРации 31
3.4. Операции Адамса 32
3.5. Операции Адамса на кольцах представлении 34
3.6. Класс Ботта 6А , 35
3.7. р-адичеекие у-кольца 36
3.8. Операция pft 40
3.9. Ориентированные у-кольца 42
3.10. Действие pfc на скалярных у-кольцах 44
3.11. Связь между в4 и ps 47
3.12. Разложение р-адичсских у-колец 48
3.13. Экспоненциальный изоморфизм pfc 49
3.14. Изоморфизм Тома и отображения 6ft, G?r 54
3.15. Комментарии 55
3.16. Упражнения 55

226 Оглавление
Глава 4. Геометрические представления 56
4.1. р-адическое пополнение 56
4.2. Геометрические представления над F? 57
4.3. Представления 2-групп над F3 59
4.4. Геометрические представления над Q 62
4.5. Комментарии 63
Глава. 5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли 64
5.1. Эйлерова характеристика 64
5.2. Евклидовы окрестностпые ретракты 67
5.3. Эквивариантная эйлерова характеристика 70
5.4. Универсальная эйлерова характеристика для G-пространств 75
5.5. Бернсайдовское кольцо компактной группы Ли 79
5.6. Пространство подгрупп 82
5.7. Спектр простых идеалов в A (G) 84
5.8. Соотношения между эйлеровыми характеристиками 89
5.9. Теоремы конечности 91
5.10. Конечные расширения тора 98
5.11. Идемпотентные элементы 102
5.12. Функториальные свойства 105
5.13. Мультипликативное индуцирование и симметрические степени 109
5.14. Пример: группа SO C) 114
5.15. Комментарии 115
5.16. Упражнения 115
Глава 6. Теория индуцирования 117
6.1. Функторы Макки 117
6.2. Функторы Фробениуса и функтор Грина 121
6.3. Индуцирование с гиперэлементарных подгрупп 123
6.4. Комментарии 125
6.5. Упражнения 125
Глава 7. Эквивариантные гомологии и когомологии 126
7.1. Общая локализационная теорема 126
7.2. Классифицирующие пространства для семейств
стационарных подгрупп 128
7.3. Примыкающие семейства 130
7.4. Локализация и семейства орбит 132
7.5. Локализация и расщепление эквивариантных гомологии 136
7.6. Отображение переноса и структура Макки 138
7.7. Локализация эквивариантной Л-теории 141
7.8. Локализация бернсайдовского кольца 145
7.9. Комментарии 146
Глава 8. Эквивариантная гомотопическая теория 147
8.1. Общие сведения 147
8.2. Гомотопические эквивалентности 150
8.3. Теория препятствий 154
8.4. Эквивариантная теорема Хопфа 155
8.5. Геометрические модули над бернсайдовским кольцом .... 158
8.6. Простые идеалы эквивариантных когомотопических колец 163
8.7. Комментарии 166
8.8. Упражнения 167

Оглавление 227
Глава 9. Гомотопически эквивалентные представления групп 168
9.1. Обозначения и результаты 168
9.2. Размерности множеств неподвижных точек 170
9.3. Индекс Шура 175
9.4. Группы ; (G) и Ю (G) 178
9.5. Построение гомотопических эквивалентностей 183
9.6. Гомотопическая эквивалентность для р-групп 186
9.7. Эквивариантная /(-теория и степени неподвижных точек 187
9.8. Упражнения 190
Глава 10. Геометрические модули над бернсайдовским кольцом .... 191
10.1. Локальные /-группы 191
10.2. Проективные модули 192
10.3. Группа Пикара и обратимые модули 196
10.4. Комментарии 202
Глава 11. Гомотопически эквивалентные стабильные О-векторные
расслоения 204
11.1. Введение и результаты относительно локальных /-групп 204
11.2. Степени отображений. Ориентации 206
11.3. Отображения между представлениями и векторными
расслоениями 208
11.4. Локальные /-группы в р 211
11.5. Локальные /-группы вне р 214
11.6. Проективные модули 215
Обозначения 217
Литература 218

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее
оформлении, качестве перевода и другие просим
присылать по адресу: 129820, Москва, И-110,
ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».

Таммо том Дик
«ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ»
Научн. редактор Г. М. Цукермаи
Мл. научн. редактор И. В. Герасимова
Художник Н. Н. Дронова
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. Б Панфилова
Корректор В С Соколов
И Б Л!' 5941
Сдано в набор 06.01.82. Подписано к печати 09.07.82. Формат 60Х99'Л«.
Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Объем: 7,25" бум. л. Усл. печ. л. 14,50. Усл.кр.-отт. 14,74. Уч.-изд. л. 12,18.
Изд. № 1/1578. Тираж 4500 экз. Зак. 315. Цена 1 р. СО к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., 2.
Набрано и сматрнцировано в ордена Октябрьской Резолюции, ордена
Труяового Красного Знамени Ленинградском
производственно-техническом объединении «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкалоаский пр., 15.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 2 головиом предприятии,
ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при
Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29-