/
Текст
А. Г. Мерзляк
В. Б. Полонський
М. С. Якір
ЖА
ГІМНАЗІ
ПІДРУЧНИК ДЛЯ КЛАСІВ З ПОГЛИБЛЕНИМ
І ВИВЧЕННЯМ МАТЕМАТИКИ
УДК 373:512
ББК 22.141я721
М52
Рекомє ндовано
Міністерством освіти і науки України
(Лист № 1-11/2526 від 13.06.2008 р.)
Відповідальний за випуск
Головний спеціаліст Міністерства освіти і науки України
Н. С. Прокопенко
Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С.
М52 Алгебра: Підруч. для 8 кл. з поглибл. вивч. математики.—
X.: Гімназія, 2008.— 368 с.
І8ВМ 978-966-474-009-9.
УДК 373:512
ББК 22.141я721
І8ВК 978-966-474-009-9
© А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський,
М. С. Якір, 2008
© С. Е. Кулинич,
художнє оформлення, 2008
© ТОВ ТО «Гімназія»,
оригінал-макет, 2008
ЛЮБІ ВОСЬМИКЛАСНИКИ!
Ви зробили серйозний життєвий крок: вирішили продовжити
ік-піту в класі з поглибленим вивченням математики. Ми вітаємо
вік- .і цим вибором і сподіваємося, що ви не розчаруєтеся в своє-
му рішенні.
11 начатися в математичному класі не просто. Потрібно бути
наполегливим і завзятим, уважним і акуратним, при цьому най-
ііі цінніше — не бути байдужим до математики, а любити цю
црікчіву науку.
Протягом навчального року ви продовжуватимете вивчати
п'ігебру. Сподіваємося, що ви з інтересом будете засвоювати нові
іііниня. Ми маємо надію, що цьому сприятиме підручник, який
ті гримаєте.
Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою.
Підручник поділено на сім параграфів, кожний з яких скла-
дні ті.і-я з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал,
і ігнолпну увагу звертайте на текст, виділений жирним шрифтом.
Не іплишайте також поза увагою слова, надруковані курсивом.
Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується при-
। надими розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як
один з можливих зразків оформлення розв’язання.
До кожного пункту підібрано задачі для самостійного розв’язу-
іінпня, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоре-
і очного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за склад-
ин тю вправи, так і складні задачі (особливо ті, які позначено
іірочкою» (*)).
Також у підручнику ви зможете прочитати оповідання про
важливі математичні об’єкти, історію їх виникнення і розвитку.
Назви цих оповідань надруковано зеленим кольором.
бажаємо успіху!
ШАНОВНІ КОЛЕГИ!
Ми знаємо, що підготовка до уроку в класі з поглибленим
пііііченням математики — робота нелегка. Організація такого
навчального процесу вимагає великих зусиль учителя, який фор-
му' навчальний матеріал по крихтам, збираючи його в багатьох
ти ібниках. Ми сподіваємося, що цей підручник стане надійним
помічником у вашій нелегкій і шляхетній праці, і будемо щипо
раді, якщо він вам сподобається.
У книзі дібрано численний і різноманітний дидактичний ма-
теріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв’язати не-
можливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато
зручніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає мож-
ливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індиві-
дуального підходу в навчанні.
Червоним кольором позначено номери задач, які рекоменду-
ються для домашньої роботи, синім кольором — номери задач,
які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на
розсуд учителя можна розв’язувати усно.
Оповідання, назви яких надруковано зеленим кольором, мо-
жуть бути використані для роботи математичного гуртка і фа-
культативних занять.
Бажаємо творчого натхнення й терпіння.
Н УМОВНІ ПОЗНАЧЕННЯ
п завдання, що відповідають початковому і середньому рівням
навчальних досягнень;
п завдання, що відповідають достатньому рівню навчальних
досягнень;
п* завдання, що відповідають високому рівню навчальних
досягнень;
п задачі для математичних гуртків і факультативів;
О-» задачі, у яких отримано результат, що може бути вико-
ристаний при розв’язуванні інших задач;
▲ закінчення доведення теореми.
'і 1. ПОВТОРЕННЯ Й СИСТЕМАТИЗАЦІЯ
НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ
З КУРСУ АЛГЕБРИ 7 КЛАСУ
пг Лінійне рівняння з однією змінною. Цілі вирази
Поновіть у пам’яті зміст пунктів 1-7 на с. 325-328.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння (а — 3) х = а — 3.
Розв’язання. При а = 3 рівняння набуває вигляду Ох = 0.
' Ні.иму випадку його коренем є будь-яке число.
При а ї 3 маємо, що а — З Ф 0. Тоді х = ——тобто х = 1.
а - З
іііі)ін>нк)ь: якщо а = 3, то х — будь-яке число; якщо а Ф 3, то
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння | 2х — 3 | = 5.
Ро ів’язання. Ураховуючи, що модуль лише чисел 5 і -5 дорів-
ики числу 5, маємо:
2х - 3 = 5 або 2х - 3 = -5;
2х = 8 або 2х = -2;
х = 4 або х = -1.
Піїїповідь: 4; —1.
ПРИКЛАД 3 Порівняйте значення виразів 12723 і 51318.
Розв’язання. Маємо: 12723 < 12823 = (27)23 = 2161 < 2162 = (29)18 =
;>І2,К < 51318.
Отже, 12723 < 51318.
ПРИКЛАД 4 Знайдіть значення виразу
(2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) (232 + 1) - 2е4.
Розв’язання. Очевидно, що даний вираз дорівнює такому:
(2 1) (2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) (232 + 1) - 264 =
(22 - 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) (232 + 1) - 264 =
(2* - 1) (2* + 1) (28 + 1) (216 + 1) (232 + 1) - 264 = ... =
2”4 - 1 - 264 = -1.
Нк/повідь: —1.
ПРИКЛАД 5 Доведіть, що при будь-якому натуральному п зна-
чення виразу п (п + 1) (л + 2) (п + 3) + 1 є квадратом натураль-
ного числа.
Розв’язання. Маємо: п (п + 1) (л + 2) (л + 3) + 1 =
= (л (л + 3)) ((л + 1) (ті + 2)) + 1 = (л2 + Зл) (л2 + Зл + 2) + 1 =
= (л2 + Зл)2 + 2 (л2 + Зл) + 1 = (л2 + Зл + І)2.
ПРИКЛАД 6 Розкладіть на множники многочлен
х2 + 2х - 9у2 + 12у - 3.
Розв’язання. Маємо:
х2 + 2х - 9у2 + 12у -3 = х2 + 2х+1- 9у2 + 12у - 4 =
= (х + І)2 - (9г/2 - 12у + 4) = (х + І)2 - (Зу - 2)2 =
= (х + 1 - Зу + 2) (х + 1 + Зу - 2) = (х - Зу + 3) (х + Зу - 1).
ПРИКЛАД 7 Розкладіть на множники двочлен л4 + 4.
Розв’язання. Маємо: л4 + 4 = л4 + 4л2 + 4 - 4л2 = (л2 + 2)2 - 4л2 =
= (л2 + 2 — 2л) (л2 + 2 + 2л) = (л! - 2л + 2) (л2 + 2л + 2).
О-» Задача. Доведіть тотожності:
(а + Ь)3 = а3 + За2д + Зад2 + д3
(а - д)3 = а3 - Зя2& + ЗяЬ2 - Ь3
Ці формули називають відповідно кубом суми і кубом різниці
двох виразів.
Розв’язання. Маємо: (а + Ь)3 = (а + 6) (а + Ь)2 =
— (я + Ь) (а2 + 2ад + Ь2) — а3 + 2а2Ь + ад2 + Ьа2 + 2ад2 + Ь3 —
= а3 + За2Ь + Зад2 + Ь3.
Формулу куба різниці доведіть самостійно.
ПРИКЛАД 8 Розкладіть на множники многочлен
2х3 + Зх2 + Зх + 1.
Розв’язання. Маємо: 2х3 + Зх2 + Зх + 1 = х3 + х3 + Зх2 +ЗХ +
+ 1 = х3 + (х + І)3 = (х + х + 1) (х2 - х (х + 1) + (х + І)2) =
= (2х + 1) (х2 - х2 - х + х2 + 2х + 1) = (2х + 1) (х2 + х + 1).
ПРИКЛАД 1 Розкладіть на множники тричлен а5 + а + 1.
Розв’язання
І спосіб
Маємо: а5 + а + 1 = а5 + я4 - а4 + а3 - а3 + а2 - а2 + а + 1 =
— а° + я4 + а3 — а4 — а3 — а2 + а2 + а + 1 = а3 (я2 + а + 1) -
— я2 (я2 + я + 1) + я2 + л+1= (я2 + я + 1) (я3 - я2 + 1).
II спосіб
Мін мо: а5 + а + 1 = о5 - а2 + а2 + а + 1 = а2 (а3 — 1) +
і (<і і а + 1) = а2 (а - 1) (а2 + а + 1) + (а2 + а + 1) = (а2 + а + 1) х
(а" «2 + 1).
І І Р< ів’яжіть рівняння:
11 Г 4- Зх -1 _ .
7 + 14 ~ 3 ’
І Знайдіть корінь рівняння:
11 "Л^ + ^^ = 2х;
1.3. Розв’яжіть рівняння:
2х -1 х + 2
---------= х.
8 4
8х - 5 4х + 3 2 - 9х _
4“+ “2~““'
і) (7х - 1) (х + 5) = (3 + 7х) (х + 3);
) (6х - І)2 - (3 - 8х) (3 + 8х) = (Юх + І)2;
3) (х - 1) (х2 + х + 1) + х2 = х2 (х + 1) - 2х.
І І І’оів’яжіть рівняння:
11 (5х + 1) (2х - 3) = (Юх — 9) (х + 2);
’) ( їх + І)2 - (1 - Зх) (1 + Зх) = (5х + 2)2;
3) (,г + 2) (х2 — 2х + 4) + Зх2 = х2 (х + 3) — 2х.
І .В. Розв’яжіть рівняння:
І) (0,6х - 3) (2х + 1) = 0;
3) х2 - 16 = 0;
3) Зх2 + 15х = 0;
І) 16х2 - 8х + 1 = 0;
І 6 Розв’яжіть рівняння:
І) (0,8х - 2) (Зх + 1) = 0;
3) х2 - 25 = 0;
3) І8х3 - 9х2 = 0,
1)1 6х + 9х2 = 0;
І 7.” Розв’яжіть рівняння:
1) І х | = 3;
2) | х - 1 | = 5;
І м Розв’яжіть рівняння:
1) | Зх - 1 | = 2;
1,1) . ('простіть вираз:
І)( а3Ь2)3-7а5Ь4;
*) (Зтсп3)4 •(-^-7п8п2);
І 10. Спростіть вираз:
>) гіМЧ-Р*7)2;
25 \ 6 /
5) х (х + 2) (5х - 1) = 0;
6) (Зх - І)2 - 25х2 = 0;
7) (2х + І)2 = (х + 2)2;
8) (х - І)2 + (х - 2)2 = 2 (1 - х) (х - 2).
5) х (х + 4) (4х - 3) = 0;
6) (2х + З)2 - 64х2 = 0;
7) (Зх - 2)2 = (х - З)2;
8) (х + З)2 + (4 - х)2 = 2 (х - 4) (х + 3).
3) | х + 2 | + 6 = 5;
4) 3 | х | - 4 = 0.
2) 4 | х | + 3 = 0.
3) -2-с6а11-(--ссі2] ;
5 \ 2 /
4) -(-Зт4п2)5-(-|тші3) .
2) (-0,2х2і/523)2-10у42;
. З / \ 2 і у5
3) (_|ай3) -(-4а5Ь)2; 4) І-|хі/2) •
О-ж 1.11.° Доведіть тотожність
(а + Ь + с)2 = а2 + Ь2 + с2 + 2аЬ + 2Ьс + 2ас.
1.12. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) ах = 1; 2) Ьх = Ь.
1.13. * Розв’яжіть рівняння:
1) Ьх = 2; 2) (а - 1) х = а - 1.
1.14. ’ При яких натуральних значеннях а корінь рівняння є на-
туральним числом:
1) (а + 2) х = 5; 2) (а + 3) х = 6?
1.16. ’ При яки> цілих значеннях а коренем рівняння (а + 1) х = 7
є ціле число?
1.16. ’ При яких значеннях Ь число 3 є коренем рівняння
(Ь + 2) (х - 1) = 2 (х + Ь - 1)?
1.17. ’ Замініть зірочки такими одночленами, щоб виконувалась
рівність:
1) (*)2. (*)3 = 72т7и11; 3) (*)2 (*)5 = -288а9Ьпс12.
2) (*)3.(*)4 = -81х,0у17г13;
1.18..’ Відомо, що 4х2у = 3. Знайдіть значення виразу:
1) 6х2у; 2) 4х4у2; 3) -Зх6у3.
1,19. ’ Відомо, що 2а3Ь2 = —3. Знайдіть значення виразу:
1) -За3Ь2; 2) -2а6&4; 3) -8а9&6.
1.20. ’ Відомо, що Зх3у = 4 і х2г3 = -3. Знайдіть значення виразу:
1) 4х5уз3; 2) |х8у2?3; 3) -х9г9у.
1.21. * Відомо, що 2а4Ь = 3 і 5ас2 = -2. Знайдіть значення виразу:
1) 5а3Ьс2; 2) -4п6Ьс4; 3) 1Оа1оЬ2с4.
1.22. ’ Доведіть, що не існує таких значень х і у, при яких мно-
гочлени -5х2 + Зху + 4у2 і 6х2 - Зху - у2 одночасно набували б
від’ємних значень.
1.23. ’ Спростіть вираз (п — натуральне число):
1) хл+1 (хл + 6- 1) — хл + 2 (хл + 5 — х3);
2) х (4хл + 1 + 2хл + 4 - 7) - хл + 2 (4 + 2х3 - х").
1.24. ' Спростіть вираз (п — натуральне число):
1) хл (хл + 4 + 2х) + х (Зхл - х2л + 3);
2) хл + 2 (х2 - 3) - хл (хл + 2 - Зх2 - 1).
1.25. ’ Доведіть, що коли а — 2Ь = 3, то 2аЬ2 - а2Ь + ЗаЬ = 0.
1.28, ’ Доведіть, що коли а + Ь = с, то а3Ь3с + а2Ь4с — а2Ь3с2 = 0.
1.27. ’ Винесіть за дужки спільний множник (п — натуральне
число):
І) і" ' ' + хл; 4) 5л + 4 + 2-5л+2 - 3-5"4 *;
") у" ' 2 - уп~2, п > 2; 5) 49л + 2 - 7л + 3;
Ог:,л-2л; 6) 27л + 1 + 9л + 1 - Зл + 1.
І ’М. Розкладіть на множники (п — натуральне число):
І і ,і" ' 1 - ал’5, п > 5; 3) Зл + 3 - 5-Зл+2 4- 2-3";
•') б " + 63л; 4) 64л + 2 - 32п + 2 + 16" + 2.
І /.’.•)/ Розкладіть на множники вираз (п — натуральне число):
І) х" '2 + хл - х2 - 1; 2) 4ул + 4 + уп + 2 + 4у3 + у.
1.30/ Розкладіть на множники тричлен:
І » Xі - 5х + 4; 4) Ь2 + 7Ь + 12;
2) у2 + 5у + 6; 5) 2х2 - х — 1;
3) а2 - а - 2; 6) Зх2 + 4х + 1.
І.ЗІ/ Розкладіть на множники тричлен:
І)х2 + х-2; 3)5у2-6у+1;
2) і2 - 9і + 18; 4) 6г2 - 5г + 1.
І 32/ Доведіть, що даний вираз набуває додатних значень при
всіх значеннях х; укажіть, якого найменшого значення набу-
ввє цей вираз і при якому значенні х:
І) х2 - Юх + 27; 2) 9х2 + 12х + 7; 3) 2х2 - х + 1.
І 33/ Доведіть, що рівняння не має коренів:
І) х2 - 8х + 17 = 0; 2) х2 - х + 1 = 0.
1.31/ Доведіть, що даний вираз набуває від’ємних значень при
всіх значеннях х; укажіть, якого найбільшого значення набу-
ває цей вираз і при якому значенні х:
1) -х2 + 4х - 6; 2) 24х - 16х2 - 25; 3) 8х - 8х2 - 3.
1.35 / Доведіть, що вираз (а + 26) (а + 2Ь + 4) + 4 набуває
невід’ємних значень при будь-яких значеннях змінних.
1 36/ Доведіть, що вираз (6 + Зх — 2у) (Зх — 2у) + 9 набуває
невід’ємних значень при будь-яких значеннях змінних.
1.37 / Подайте у вигляді суми квадратів двох виразів многочлен:
І) 5а2 - 2а + 1; 3) 2х2 + бху + 9у2 - 6х + 9;
2) Юх2 + 2ху + у2; 4) 2а2 + 2Ь2.
1.38/ Чи існують такі значення х і у, при яких дорівнює нулю
значення многочлена (у випадку позитивної відповіді вкажіть
ці значення):
1) х2 + 4у2 + 2х - 4у + 2; 2) 9х2 + у2 - 12х + 8у + 21?
1.39/ Розкладіть на множники:
1)х4-5х2 + 4; 2) х4 — 7х2 - 18; 3) х4 + 9х2 + 18.
і .40/ Розкладіть на множники:
1) х4 + 4х3 + 4х2 - 9;
2) у3 - у4 + 4у2 - 4;
3) х2 + 2х - у2 + 4у - 3;
4) (х + 2у) (х + 2у + 2) - (у - 1) (у + 1);
5) хіу2 + 2х2у - х2 + 6х - 8;
6) 8х2 - 12х + 2ху — у2 + 4.
1.41. ' Розкладіть на множники:
1) х4 + 8х3 + 16х2 - 25;
2) а2 + 6а - Ь2 + 4Ь + 5;
3) (а + 36) (а + ЗЬ - 6) - (6 + 3) (6 - 3);
4) Зх2 - 4ху + у2 + 4х - 4.
1.42. ’ Поставте замість зірочок такі одночлени, щоб справджува-
лася тотожність:
1) (7к - р) (* + * + *) = 343й3 - р3;
2) (* + *) (25а4 - * + 36Ь2) = 125а® + 21663;
3) (тп + *) (* - * + /?6) = т3п3 + А9.
О-» 1.43.’ Доведіть тотожність
(а + Ь + с) (а2 + Ь2 + с2 - аЬ - Ьс - ас) = а3 + Ь3 + с - ЗаЬс.
1.44. ” Відомо, що а + Ь = 5, аЬ = 3. Знайдіть значення виразу
а2 + Ь2.
1.45. ” Відомо, що а2 + Ь2 = 31, аЬ = 9. Знайдіть значення виразу
а + Ь.
а2
1.46. " Відомо, що Ь2 + — = 1 і аЬ = 3. Знайдіть значення виразу
а + 2Ь. 4
1.47. " Відомо, що а2 + Ь2 = 37, аЬ = 6. Знайдіть значення виразу
а - Ь.
1.48. " Відомо, що х - х = 4, х}х2 = —1. Знайдіть значення ви-
разу:
1) х^2 - х2х2; 3) (х1 + х2)2;
2) х2 + х2; 4) х3 - х2.
1.49. ” БідотЛо, що а + Ь = 6, аЬ = 7. Знайдіть значення ві гразу:
1) а3Ь2 + а2Ь3; 2) (а - Ь)2; 3) а4 + &4.
1.50. " Відомо, що числа хіу такі, що х2 + у2 = 1. Знайдіть зна-
чення виразу х® + Зх2у2 + у®.
1.51. " Відомо, що числа хіу такі, що х3 — у2 = 2. Знайдіть зна-
чення виразу х9 - 6х3у2 - у®.
1.52. " Відомо, що а + 2Ь = 1. Доведіть, що а3 + 8Ь3 = 1 - 6аЬ.
1.53. " Доведіть, що коли а + ЗЬ = 2, то а3 + 27Ь3 — 8 - 18аЬ.
1.54. " Розкладіть на множники многочлен х3 + Зх2у -І- Зху2+ 2у3.
1.55. ” Розкладіть на множники многочлен 28а3 - За2Ь + ЗаЬ2 - Ь3.
1.56. ” Відомо, що х3 + у3 = 9 і х2у + ху2 = 6. Знайдіть значення
двочлена х + у.
їй/” Відомо, що а3 — Ь3 = 4 і а2Ь - аЬ2 = 1. Знайдіть значення
іно'їлена а — Ь.
І ЙН " Відомо, що сума 8 + 8 + 8 + ... + 8 дорівнює 487. Знайдіть
і, і иі.кість доданків.
І ІИІ " І Іодайте число 171 у вигляді дробу, чисельник якого є дев’я-
мім степенем натурального числа, а знаменник — десятим.
І по" Якою цифрою закінчується значення виразу (п — нату-
ри >п.не число):
1)9’""; 2) 7500; 3)2"-З"’1?
І II |.” Якою цифрою закінчується значення виразу (п — нату-
ри.» і.не число):
І) І'""; 2) З300; 3)3" + 2-7"?
І 02.* І іорівняйте значення виразів:
І) 3 "° і 2300; 2) 12612 і 2418; 3) ЗІ11 і 1714.
І 113. Відомо, що х2 + у2 = 1. Знайдіть значення виразу 2х4 +
<х’у2 + / + у2.
І 04,* Відомо, що а2 - Ь2 = 2. Знайдіть значення виразу а6 - а4Ь2 -
2Ь' - 8Ь2.
пГ>. Чи існує таке натуральне число п, при якому значення
виразу 28 + 211 + 2" є квадратом натурального числа?
І 00. Доведіть, що значення виразу 999-1001 • 1003-1005 + 16
। квадратом натурального числа.
І 07. Доведіть, що значення виразу 1000! + 10002-10012 + І0012
< квадратом натурального числа.
І 08 * Відомо, що а = Ь + 1. Спростіть вираз
(« + Ь) (а2 + Ь2) (а4 + Ь1) (а8 + Ь3) (а16 + Ь16) (а32 + б32).
І 09.* Доведіть, що
(1 - 2 + 22) (1 - 22 + 24) (1 - 24 + 28) (1 - 28 + 216) х
1 » 0^2 । 0^4
х (1 - 2'6 + 232) = 1±±- .
7
І 70. Розкладіть на множники.
І) ая + 2а2 - 3; 3) х3 - 7х - 6; 5) т5 + т4 + 1.
’) //' + Ь2 + 4; 4) а3 - 2аЬ2 - Ь3-,
І 71.’ Розкладіть на множники:
1)х*-Зх + 2; 3) х3 + х2 + 18; 5) х8 + х7 + 1.
,’).'- Зх2 + 2; 4) а3 - ЗаЬ2 - 2Ь3-,
1.72.' Розкладіть на множники:
І) ґ - 8х2 + 4; 2) 4х4 - 12х2 + 1; 3) а4 + а2 + 1.
1 73.* Розкладіть на множники:
1) V1 - 7х2 + 9; 2) 9х4 - Зх2 + 1; 3) а4 + 64.
І і 1.* Доведіть, що значення виразу 210 + 512 є складеним числом.
1.75. * Числа а, Ь і с такі, що а2 + Ь2 + с2 - аЬ — ас — Ьс = 0. Чому
дорівнює значення виразу а + Ь — 2с?
1.76. Відомо, що а2 + Ь2 + с2 = 1, х2 + у2 + г2 = 1 і ах + Ьу + сг = 1.
Доведіть, що а = х, Ь = у, с = 2.
1.77. * Доведіть, що рівняння х4 - х + = 0 коренів не має.
1.78. * Обчисліть значення виразу а2 + Ь2 + с2, якщо а + Ь + с = 7
і аЬ + Ьс + ас = -5.
1.79. * Відомо, що а2 + Ь2 + с2 = ЗО і а - Ь - с = 4. Доведіть, що
Ьс — аЬ — ас = -7.
1.80. * Відомо, що а2 + Ь2 + с2 = 26 і аЬ - ас - Ьс = -11. Знайдіть
значення виразу а + Ь - с.
1.81. * Розкладіть на множники вираз
а2 + Ь2 + Зс2 + 2аЬ + 4ас + 4Ьс.
1.82. * Розкладіть на множники вираз
а2 + 8Ь2 + с2 - 6аЬ - 6Ьс + 2ас.
1.83. * Доведіть, що коли а + Ь + с = 0, то а3 + Ь° + с3 = ЗаЬс.
1.84. Використовуючи результат задачі 1.83, розкладіть на множ-
ники вираз (а - Ь)3 + (Ь - с)3 + (с - а)3.
Функція. Графік функції. Лінійна функція
Поновіть у пам'яті зміст пунктів 8~11 на с. 328 330.
ПРИКЛАД 1 Функція /, областю визначення якої є всі числа, має
такі властивості:
1) для будь-якого х
2) для будь якого х
3) для будь-якого X
/ (х) — ціле число;
/ (х) < х;
/ (х) > х - 1.
Знайдіть / (3,2), / (5), / (-3,2). Знайдіть область значень функ-
ції /. Побудуйте її графік.
Розв'язання. З властивостей 1-3 випливає, що функція / — це
правило, за яким кожному числу х ставиться у відповідність
найбільше ціле число, яке не перевищує х. Звідси, наприклад,
/ (3,2) = 3, / (-3,2) = -4. Зрозуміло, що / (5) = 5, / (-2) = —2,
/ (0) = 0. Узагалі, для будь-якого цілого числа с / (с) = с. З цьо-
го випливає, що областю значень функції / є всі цілі числа.
Побудуємо графік функції /.
Нехай 0 < х < 1, тоді / (х) = 0.
Нехай 1 < х < 2, тоді / (х) = 1.
Нехай 2 < х < 3, тоді / (х) = 2.
Нехай -1 < х < 0, тоді /" (х) = —1.
Нехай -2 < х < -1, тоді / (х) = -2.
Узагалі, якщо т < х < т + 1, де т — ціле число, то / (х) = т.
Графік функції / зображено на рисунку 2.1.
Для цієї функції використовують позначення: / (х) = [х]. Запис
| \ | читають: «ціла частина числа х».
ПРИКЛАД 2 Відомо, що точка А (х0; у0) належить графіку функ-
ції у = / (х). Доведіть, що точка В (х0 - 5; і/0) належить графіку
функції у = / (х + 5).
Розв’язання. Оскільки точка А (х0; у0) належить графіку функ-
ції у = / (х), то значення цієї функції при х = х0 дорівнює у0,
тобто / (Хо) = уо.
Знайдемо значення функції у = / (х + 5) при х = х0 — 5. Має-
мо: / (х0 - 5 + 5) = / (х0) = у0.
Звідси отримуємо, що точка В (х0 - 5; у0) належить графіку
функції у = / (х + 5).
ПРИКЛАД З На рисунку 2.2 зображено графік функції / (х) =
ах + Ь. Знайдіть значення виразу Ь - а.
Розв’язання. Маємо: / (-1) = а-(-І) + Ь — Ь - а. З рисунка
видно, що / (-1) = 0. Отже, Ь - а = 0.
2.1. ° Учні школи поїхали автобусом на екскурсію і за один день
відвідали два старовинних замки. На рисунку 2.3 зображено
графік зміни відстані від автобуса до школи залежно від часу
(графік руху автобуса). Користуючись графіком, визначте:
1) яку відстань проїхав автобус за першу годину;
2) на якій відстані від школи знаходиться перший замок;
другий замок;
3) скільки часу тривав огляд першого замку; другого замку;
4) на якій відстані від школи були учні через 6 год після виїзду;
5) з якою швидкістю рухався автобус останні півгодини.
2.2. ° Кожному числу поставили у відповідність відстань від точки,
що зображає це число на координатній прямій, до початку
відліку. Поясніть, чому описане правило є функцією. Знайдіть
її область визначення і область значень. Позначивши цю функ-
цію буквою Л знайдіть / (2), / (-5), / (0). Яка з даних формул
задає функцію /:
1) у = х; 2) у = -х; 3) у = | х |; 4) у = х2?
2.3. ° Розглянемо правило, за яким кожному натуральному числу
ставиться у відповідність перша цифра його десяткового запи-
су. Чи є це правило функцією? У разі позитивної відповіді
вкажіть її область значень.
2.4. ° Розглянемо правило, за яким кожному натуральному числу
ставиться у відповідність сума цифр його десяткового запису
(одноцифровому числу відповідає саме це число). Чи є це пра-
вило функцією? У випадку позитивної відповіді вкажіть її
область значень.
2.5. ° Задайте формулою функцію, якщо значення функції:
1) протилежні відповідним значенням аргументу;
2) дорівнюють подвоєним відповідним значенням аргументу;
3) на 2 менші від квадратів відповідних значень аргументу.
2.6. " Дано функцію / (х) = х3. Задайте формулою функцію, усі
значення якої при тих самих значеннях аргументу:
1) на 7 більші за значення функції /;
2) дорівнюють кубу значення функції /.
а б в
Рис. 2.4
2.7/ Функцію задано формулою / (х) = Зх - 8. При якому зна-
ченні х значення функції дорівнює значенню аргументу?
2.8. ” Функції задано формулами у = 6х + 25 і у = х + 24. При яких
значеннях аргументу ці функції набувають рівних значень?
2.9. ” Придумайте яку-небудь функцію /, областю визначення якої
< всі натуральні числа, а областю значень — чотири числа: 0,
1, 2, 3. Знайдіть / (9). / (18), / (39), / (1000).
2.10. ” Який з наведених графіків (рис. 2.4) ілюструє залежність
змінної у від змінної х, подану нижче:
1) вартість проїзду в автобусі зростає на 1 грн. через кожні
10 км шляху (х — довжина шляху в кілометрах, у — вар-
тість проїзду в гривнях);
2) металеву пружину розтягнули й відпустили (х — час у се-
кундах, у — довжина пружини в сантиметрах);
3) ціна полуниці на ринку протягом травня-червня (х — кіль-
кість днів, у — ціна полуниці в гривнях)?
2.11. ” Від квадратного листа картону розміром 40x40 см відріза-
ли смужку завширшки х см (рис. 2.5). Запишіть формулу, яка
задає функціональну залежність площі 5 смуги картону, що
залишилася, від х. Знайдіть область визначення цієї функції.
2.12/ 3 квадратного листа жерсті розміром 1 х 1 м у кутах вирі-
зали квадрати зі стороною х см (рис. 2.6) і з отриманої заго-
товки зігнули коробку у формі прямокутного паралелепіпеда.
Запишіть формулу, яка задає функціональну залежність об’єму V
коробки від х. Знайдіть область визначення цієї функції.
2.13. ’ Кожній точці графіка функції У (х) = Зх + 1 ставиться
у відповідність сума координат цієї точки. Чи є це правило
функцією? У випадку позитивної відповіді задайте цю функцію
формулою.
2.14. * Кожній точці графіка функції У (х) = х2 + 1 ставиться у від-
повідність добуток координат цієї точки. Чи є це правило
функцією? У випадку позитивної відповіді задайте цю функцію
формулою.
2.15. * Дано функцію
-2х т 3- якщо х < - 2,
у м =
якщо - 2 < х < 4,
якщо х > 4.
Знайдіть: 1) / (-3); 2) У (-2);
6) / (8,1).
2.16.* Дано функцію
3) У (2); 4) У (4); 5) У (3,9);
Нх) =
X,
2х -1,
х2 -2,
- З < х < 1,
1 < х < 2,
2 < х < 3.
Складіть таблицю значень функції для цілих значень аргументу.
2.17. * На якому з рисунків (рис. 2.7) задано функціональну за-
лежність:
Рис. 2.7
І1 і мінної у від змінної х;
Д змінної х від змінної у;
3) змінної у від змінної
х і змінної X від змін-
ної у?
' 18/ На рисунку 2.8 зобра-
жено графік функції.
Знайдіть:
1) область визначення
функції;
5) область значень функ-
ції;
3) значення аргументу, при яких значення функції дорівнює
нулю;
1) значення аргументу, при яких функція набуває додатних
значень;
5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних
значень.
2.19/ Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок пере-
тину з осями координат графіка функції:
1) у = 7х - х2; 3) у = | х | + 3;
2) у = | х | - 3; 4) у = х3.
2.20/ Задано функцію у = 2 — х, областю визначення якої є всі
одноцифрові натуральні числа. Побудуйте графік цієї функції.
2.21/ Побудуйте графік функції, областю визначення якої є всі
натуральні числа і яка набуває значення —1 при парних зна-
ченнях аргументу і значення 1 при непарних значеннях аргу-
менту.
2.22/ Побудуйте графік функції, якщо відомо, що для всіх цілих
значень аргументу значення функції дорівнює 1, а для нецілих
дорівнює -1.
2.23/ Відомо, що точка А (х0; і/0) належить графіку функції
у = / (х). Доведіть, що точка В (х0; у0 - 3) належить графіку
функції у = / (х) - 3.
2.24/ Відомо, що точка А (х0; у0) належить графіку функції
у = / (х). Доведіть, що точка В (х0; 2г/0) належить графіку
функції у = 2 / (х).
2.25/ Відомо, що точка А (х0; у0) належить графіку функції
у = / (х). Доведіть, що точка В (2х0; у0) належить графіку
функції у = і (|х).
2.26. * Задайте формулою функцію, яка є прямою пропорційністю,
якщо її графік проходить через точку М (3; -2).
2.27. ’ Знайдіть значення Ь, при якому графік функції у = - х + Ь
проходить через точку А (-15; 3).
2.28. * При якому значенні к графік функції у = кх + 8 проходить
через точку В (2; —4)?
2.29. ’ Графік функції у = кх + Ь перетинає осі координат у точках
М (2; 0) і N (0; -3). Знайдіть значення к і Ь.
2.30. ’ Усі точки графіка функції у = кх + Ь мають однакову ор-
динату, яка дорівнює -5. Знайдіть значення к і Ь.
2.31. * Графік функції у = кх + Ь паралельний осі абсцис і прохо-
дить через точку А (—4; 3). Знайдіть значення к і Ь.
2.32. ' При якому значенні змінної х функції [ (х) = 4х — 3 і £ (х) =
= Зх — 2 набувають рівних значень? Побудуйте на одній коор-
динатній площині графіки функцій / і §. При яких значеннях х:
1) Г (х) > § (х); 2) / (х) < § (х)?
2.33. * Графіки функцій у = 2х — 5, у = х — 9 і у = кх перетина-
ються в одній точці. Знайдіть значення к. Побудуйте в одній
системі координат графіки цих функцій.
2.34. ' При якому значенні Ь графіки функцій у = 1,5х - 2, у = 2,5х +
+ 2і(/ = Зх + Ь перетинаються в одній точці?
2.35. ’ Доведіть, що не існує такого значення а, при якому пряма
у = ах - 5 проходить через початок координат.
2.36. ’ Побудуйте графік функції:
{х - 3, х > 0, [-1, якщо х Ф -1,
9 4 П 3) У= 1 1
-2х - 3, х < 0; [1, якщо х = -1.
2)
{4х - 2, якщо х < 2,
З, якщо х > 2;
2.37. ’’ Побудуйте графік функції:
1) У = І х |; 3) у = 2х + | х | - 1.
2) у = | х І - х;
2.38. ” Побудуйте графік функції:
1) У = -І х |; 3) у = Зх - | х | + 2.
2) у = | х | + х;
2.39. ” На рисунку 2.9 зображено графік функ-
ції / (х) = ах + Ь. Знайдіть значення виразу
а + Ь.
2.40. * Графіки функцій у = —(2к + 3) х - 1 — 2к
і у = кх + к + 2, де к > 0, перетинають вісь
>| і ці нпт у точках А і В відповідно. Точку перетину цих графіків
по инічено буквою М. Чи можна, стерши осі координат і гра-
фи' и. відновити систему координат за точками А, В і М7
* і І ’ Графіки функцій у = ах + Ь і у = Ьх + а, де а > 0 і Ь > 0,
перетинають вісь ординат у точках А і В відповідно. Точку
перетину цих графіків позначено буквою М. Чи можна, стер-
ши осі координат і графіки, відновити систему координат за
пічками А, В і ЛІ?
Д Рівняння з двома змінними.
Системи лінійних рівнянь з двома змінними
Поновіть у пам'яті зміст пунктів 12-15 на с. 330-332.
ПРИКЛАД 1 Яка фігура є графіком рівняння:
І)|г| + |і/-2| = 0; 2) х2 + у - ух - х = 0; 3) х2 + у = у + х27
Розв’язання
і > < (скільки |х|>0і|і/-2|>0, то ліва частина рівняння дорів-
нюватиме нулю тільки при одночасному виконанні умов: х = 0
і»/ 2 = 0. Звідси пара чисел (0; 2) — єдиний розв’язок дано-
го рівняння. Отже, шуканим графіком є
пічка з координатами (0; 2).
І Розклавши на множники ліву частину
рівняння, отримаємо (х - у) (х - 1) = 0.
Ііидси у = х або х = 1. Отже, графіком
впного рівняння є пара прямих (рис. 3.1).
Ч Зрозуміло, що будь-яка пара (х; у)
< розв’язком даного рівняння. Отже, його
графіком є вся координатна площина.
ПРИКЛАД 2 Графіком рівняння є пряма АВ, де А (1; 3), В (-1; -7).
Ліннідіть ординату точки цієї прямої, якщо її абсциса дорівнює:
І) 1.2; 2) -0,6.
Розв'язання. Оскільки абсциси точок А і В не рівні, то пцяма
ІН не є вертикальною, тому шукатимемо її рівняння у вигляді
II /.'V І Ь.
Координати точок А і В є розв’язками цього рівняння. Звідси
отримуємо систему: г
З = к + Ь,
[-7 = -к + Ь.
Цю систему зручно розв’язувати методом додавання. Маємо:
2Ь = -4; Ь = -2. Звідси к = 5.
Отже, рівняння прямої АВ має вигляд у = 5х — 2.
При х = 1,2 маємо у = 5-1,2 -2 = 4.
При х = -0,6 маємо у = 5-(-0,6) - 2 = —5.
3.1. ° Графік рівняння Зх + 2у = 14 проходить через точку А (а; 4).
Чому дорівнює значення а?
3.2. " Графік рівняння 5х + у = 16 проходить через точку В (Ь; 35).
Чому дорівнює значення 5?
3.3. ° Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок пере-
тину з осями координат графіка рівняння:
1) х + у = 4; 3) х2 + у2, = 16;
2) х3 - у = 1; 4) | х | - у = 6.
3.4. ° При якому значенні а пара чисел (-4; 3) є розв’язком рів-
няння:
1) Зх + 5у = а; 2) ах + 5у = 19?
3.5. ” При якому значенні а графік рівняння 11х — 13у = а + 6
проходить через початок координат?
3.6. ° Чи належать графіку рівняння у6 — х3 = -8 точки, що мають
від’ємну абсцису?
З.7. ’ Побудуйте графік рівняння:
1) (х - 4)2 + (у + І)2 = 0; 3) (х - 2) (у - 1) = 0;
2) | у | + (х + 2)2 = 0; 4) Зх - ху = 0.
3.8. ' Побудуйте графік рівняння:
1) (х + З)2 + у2 = 0; 3) | х - 3 | + | у - 3 | = 0;
2) ху = 0; 4) ху + у = 0.
3.9. ' Знайдіть розв’язок рівняння 5х + Зу = 24, який є парою
рівних чисел.
3.10. * Знайдіть розв’язок рівняння —12х + ІЗу = —100, який
є парою протилежних чисел.
3.11. ’ При якому значенні а точка перетину прямих 2х — Зу =
= — 6 і 4х + у = а належить осі абсцис?
3.12. * При якому значенні Ь точка перетину прямих 9х + 7у = 35
і х + Ьу = —20 належить осі ординат?
3.13. ’ При яких значеннях а і Ь пряма ах + Ьу = 21 перетинає осі
координат у точках А (3; 0) і В (0; -7)?
І І і ‘ ('кладіть рівняння прямих, які зображено на рисун-
ку 3.2.
• 1Л * Складіть рівняння прямих, які зображено на рисун-
ку 3.3.
І І В/ Знайдіть значення а і Ь, при яких пара чисел (6; 4) є роз-
іі’лаком системи рівнянь:
її ]ах + 2у = 26, |5х + Ьу = 6,
|4х + Ьі/ = 14; [ах + Ьу-О.
• П При яких значеннях а і Ь пара чисел (-2; 3) є розв’язком
(ах - 2у = -12,
системи рівнянь {
|7х + &у = 1?
І ІН ' До рівняння Зх - 5у = 8 підберіть друге лінійне рівняння
пік, щоб отримати систему рівнянь, яка:
І} має єдиний розв’язок;
’) має безліч розв’язків;
3) не має розв’язків.
.1 19/ При яких значеннях а система рівнянь:
[5х-6у = 17,
І) не має розв’язків;
|5х-6г/ = а
8х + ау = 6,
2) має безліч розв’язків?
4х - 5у = З
4 20/ Підберіть такі значення а і Ь, при яких система рівнянь
|г 2у = 5,
їх + 4у = Ь:
1) має безліч розв’язків;
2) має один розв’язок;
3) не має розв’язків.
3.21. " Розв’яжіть графічно систему рівнянь:
1)
|х|-«/ = 0,
х + Зу = 4;
2)
*-М = о,
2х - у = 3;
3)
х2 - у2 = 0,
х + 2у = 3.
3.22. " Розв’яжіть систему рівнянь методом підстановки:
1)
--^ = 2,
2 З
5х - у = 34;
2)
6у - 5х = 1,
х -1 , Зу - х . З
----+ —----= -4 —.
2 4 4
3.23. " Розв’яжіть систему рівнянь методом підстановки:
1)
6х + 3 = 5х - 4 (5у + 4),
З (2х - Зу) - 6х = 8 - у,
2)
х+У|х-у_4
8 6
Зх + у _ 2х - 5у _ &
4
З
3.24. " Розв’яжіть систему рівнянь методом додавання:
2 (4х-5)-3 (3 + 4і/) = 5,
7 (6у -1) - (4 + Зх) = 21у - 86;
х + 2 у-3_1
6 15
х + 2,5 у. З = 1
9 6 3'
3.26. * Розв’яжіть систему рівнянь методом додавання:
15х-3у Зх + 2у _ о
|0,2х - 0,3 (2у +1) = 1,5, 4 + “б- "
|3 (х +1) + Зу = 2у - 2; Зх +у _ х-Зу _ ~
ІЗ 2 “ '
3.26. " При яких значеннях а і Ь графік рівняння ах + Ьу = 8
проходить через точки А (1; 3) і В (2; -4)?
3.27. ’ Запишіть рівняння прямої у = кх + Ь, яка проходить через
точки:
1) N (2; 1) і В (-3; 3); 2) В (-4; 6) і 8 (4; -2).
3.28. " Розв’яжіть рівняння:
1) (х + у)2 4- (х - З)2 = 0;
2) (х + 2у - З)2 + х2 - 4хі/ 4- 4ї/2 = 0;
3) | х - Зу - 6 | 4- (9х 4- 6у - 32)2 = 0;
4) х2 + у2 + Юх - 12у + 61 = 0;
5) 25х2 4- 10у2 - ЗОхі/ 4- Зу 4- 16 = 0.
3.29. " Розв’яжіть рівняння:
1) (х - 2у)2 4- (у - 5)2 = 0;
2) (4х 4- 2у - 5)2 4- | 4х - 6у 4- 7 | = 0;
3) 50х2 4- 4і/2 - 28хі/ 4- 16х 4- 64 = 0.
Ч 2. МНОЖИНИ
ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ
вг Мнохмна та її елементи
Ми часто говоримо: косяк риб; зграя птахів; рій бджіл; колек-
ції! марок; зібрання картин; набір ручок; букет квітів; компанія
іру па; парк машин: отара овець.
Якщо в цих парах перетасувати перші слова, то може вийти
іііііііо. Наприклад, букет овець, косяк картин, колекція друзів
ницо. Водночас такі словосполучення, як колекція риб, колекція
пріпн, колекція ручок, колекція машин тощо, достатньо прий-
іі її пі і. (права в тому, що слово «колекція» досить універсальне.
І іимвіс у математиці є більш всеосяжне слово, яким можна замі-
ни ні будь-яке з перших слів у наведених парах. Це слово мно-
I ПІНІ.
11 п ведемо ще кілька прикладів множин:
• множина учнів вашого класу;
• множина учнів вашої школи, які є призерами Всеукраїн-
ської олімпіади юних математиків;
• множина планет Сонячної системи;
• множина двоцифрових чисел;
• множина пар чисел (х; у), які є розв’язками рівняння
х' + у2 = 1.
< ікремі найважливіші множини мають загальноприйняті назви
пі ііо.іпачення:
• множина точок площини — геометрична фігура;
• множина точок, яким притаманна певна властивість, — гео-
метричне місце точок (ГМТ);
• м ножина значень аргументу функції / — область визначен-
им функції /, яку позначають Б (/);
• множина значень функції / — область значень функції Д
яку позначають Е (/);
• множина натуральних чисел, яку позначають буквою №;
• множина цілих чисел, яку позначають буквою 2;
• множина раціональних чисел, яку позначають буквою <Ц>.
Як правило, множини позначають прописними латинськими
щі ііпмп: А, В, С, Б тощо.
Об’єкти, які складають дану множину, називають елементами
цієї множини. Зазвичай елементи позначають малими латинсь-
кими літерами: а, Ь, с, й тощо.
Якщо елемент а належить множині А, то пишуть а є А (чита
ють: «а належить множині А»). Якщо елемент Ь не належить
множині А, то пишуть Ь і. А (читають: «Ь не належить множи-
ні А»).
9 9
Наприклад, 12 є К,-3 £ N. О, 2.
О о
Якщо множина А складається, наприклад, з трьох елементів
а, Ь, с, то пишуть А = {а, Ь, с}.
Наприклад, якщо М — множина натуральних дільників чис-
ла 6, то пишуть М = {1, 2, 3, 6}. Множина дільників числа 6, які
є складеними числами, має такий вигляд: {6}. Це приклад одно-
елементної множини.
Позначення множини за допомогою фігурних дужок, у яких
указано список її елементів, є зручним у тих випадках, коли
множина складається з невеликої кількості елементів. Це зро-
зуміло. Наприклад, спробуйте перелічити всі елементи множини
о1000
натуральних дільників числа 6
Означення. Дві множини А і В називають рівними, якщо
вони складаються з одних і тих самих елементів, тобто кожний
елемент множини А належить множині В, і навпаки, кожний
елемент множини В належить множині А.
Якщо множини А і В рівні, то пишуть А = В.
З означення випливає, що множина однозначно визначаєть-
ся своїми елементами. Наприклад, якщо множину записують
за допомогою фігурних дужок, то порядок, у якому виписано її
елементи, не має значення. Так, множина, яка складається
з трьох елементів а, Ь, с, припускає шість видів запису:
{а, Ь, с} = {а, с, Ь} = {Ь, а, с} = {Ь, с, а} = {с, а, Ь} = {с, Ь, а}.
Оскільки з означення рівних множин випливає, що, напри-
клад, {а, Ь, с} = {а, а, Ь, с}, то надалі будемо розглядати множи-
ни, які складаються з різних елементів. Так, множина букв
слова «шаровари» має вигляд {ш, а, р, о, в, и}.
Зауважимо, що {а} * {{а}}. Справді, множина {а} складається
з одного елемента — а; множина {{а}} складається з одного еле-
мента — множини {а}.
Множина вважається заданою, якщо можна встановити, чи
належить елемент, що розглядається, даній множині.
Іііін'іік тіше множину задають одним із двох таких способів.
Перший спосіб полягає в тому, що множину задають указанням
Іііі'річііком) усіх її елементів. Ми вже використовували цей спосіб,
іншії уіочи множину за допомогою фігурних дужок, у яких за-
ІІІПЧІІЛІІ список її елементів. Зрозуміло, що не будь-яку множину
мн-кпп задати в такий спосіб. Наприклад, множину парних чисел
нк надати не можна.
ІРИ.-ии спосіб полягає в тому, що задається характеристична
гиність елементів множини, тобто властивість, яка прита-
манна всім елементам даної множини і тільки їм.
Якщо х — довільний елемент множини А, яку задано за до-
нпмогою характеристичної властивості її елементів, то пишуть
І (ґ | ...}. Тут після вертикальної риси вказують умову, якій
Мін задовольняти елемент х, щоб належати множині А.
Розглянемо кілька прикладів.
• (г | х = Зп, п є 14} — множина натуральних чисел, кратних 3.
• (х | х (х2 - 1) = 0} — множина коренів рівняння х (х2 - 1) =
— 0. Ця множина дорівнює множині {-1; 0; 1}, яку, у свою
чергу, можна задати за допомогою іншої характеристичної
властивості:
{х | х є ї, | х | < 2}.
Маємо: {х | х (х2 - 1) = 0} = {х | х є ї, | х | < 2}.
• (х | [х] = О}1 — множина чисел таких, що 0 < х < 1. Тому
(х | [х] = 0} = {х | 0 < х < 1}.
• Нехай (х; у) — координати точки. Тоді множина точок
{(х; У) І У = 2х - 1, х — будь-яке число} — пряма, яка є гра-
фіком функції у = 2х - 1.
Узагалі, для точок координатної площини множина
Цх; у) | У = / (х), х є Л (/)} — це графік функції Л
У геометрії, задаючи множину точок за допомогою харак-
теристичної властивості, тим самим задають ГМТ.
• Я кщо А, В — задані точки площини, X — довільна точка
цієї площини, то множина {X | ХА = ХВ} — серединний
перпендикуляр відрізка АВ.
Якщо задавати множину характеристичною властивістю її
чемептів, то може статися, що жодний об’єкт такої властивості
III мис.
Ціпі, приклад 1 п. 2.
Розглянемо приклади.
• Множина трикутників, сторони яких пропорційні числам
1, 2, 5. З нерівності трикутника випливає, що ця множини
не містить жодного елемента.
• Позначимо через А множину учнів вашого класу, які є майК
рами спорту з шахів. Може виявитися, що множина А також
не містить жодного елемента.
• Розглядаючи множину коренів довільного рівняння, слід
передбачити ситуацію, коли рівняння коренів не має.
Наведені приклади вказують на те, що зручно до сукупності
множин віднести ще одну особливу множину, яка не містить
жодного елемента. Її називають порожньою множиною і позна-
чають символом 0.
Наприклад, {х | Ох = 2} = {х | х є N. х < 1} = 0.
Зазначимо, що множина {0} не є порожньою. Вона містить
один елемент — порожню множину.
ПРИКЛАД Доведіть, що множина А всіх парних натуральних
чисел дорівнює множині В чисел, які можна подати у вигляді
суми двох непарних натуральних чисел.
Розв’язання. Нехай х є А. Тоді можна записати, що х = 2т,
де т — натуральне число. Маємо х = 2т = (2т - 1) + 1. Отже,
х є В.
Тепер припустимо, що х є В. Тоді х = (2п - 1) + (2к - 1), де
пік — натуральні числа. Маємо х = 2п — 1 + 2& - 1 = 2(л +
+ /?-!). Отже, х є А.
Маємо: якщо х є А, то х є В, і навпаки, якщо х є В, то х є А.
Звідси А = В.
1. Наведіть приклади множин.
12. Як позначають множину та її елементи?
3. Як позначають множини натуральних, цілих і раціональних
। чисел?
4. Як записати, що елемент а належить (не належить) множи-
ні А?
5. Які множини називають рівними?
6. Які існують способи задання множин?
7. Яку множину називають порожньою? Як її позначають?
І Я к називають множину точок кута, рівновіддалених від його
< ІОрІІІ?
і Як називають множину вовків, які підкорюються одному
на і ажку?
І || Назвіть яку-небудь множину запорізьких козаків.
< і Як називають множину вчителів, які працюють в одній
НІНО іі?
І Л * Поставте замість зірочки знак є або Є так, щоб отримати
припильне твердження:
І > > * 14; 3) -5 * 0; 5) 3,14 * 0;
|І0*К; 4) -|*2; 6) я*®.
ІП.' Дпно функцію / (х) = х2 + 1. Поставте замість зірочки знак
цію Є так, щоб отримати правильне твердження:
і > З * П (/); 3) 0 * Е (П; 5) 1,01 * Е (/).
;•) <> */)(/); 4)|*£(/);
л
і Які з наступних тверджень є правильними:
Ніс {1, 2, 3}; 3) {1} є {1, 2};
:•) І ? {1}; 4) {1} є {{1}}?
І К Запишіть множину коренів рівняння:
11 і (х - 1) = 0; 3) х = 2;
’) (х - 2) (х2 - 4) = 0; 4) х2 + 3 = 0.
І Й, Задайте переліком елементів множину:
І) правильних дробів зі знаменником 7;
') правильних дробів, знаменник яких не перевищує 4;
.1) множину букв у слові «математика»;
І ) множину цифр числа 5555.
ІО Задайте переліком елементів множину:
11 Я {х | х є N. х2 - 1 = 0};
’і В = {х | х є ї, | х | < 3};
!)(,' = {х | х є М, х < 15, х = 7й, к є 2}.
III .* Задайте переліком елементів множину:
І) Я {х | х є 2, х (2 | х | - 1) = 0};
*> В = {х | х є N. -З < х < 2}.
• 12. Нехай О — задана точка площини. Що являє собою мно-
і и на точок М цієї площини:
І) (М | ОМ = 3 см}; 3) {М | ОМ < 5 см}?
’» {М І ОМ > 5 см};
і ІЗ." Нехай А, В, С — три задані точки площини. Що являє
сої><>ю множина точок М цієї площини {М | МА = МВ = МС}?
4.14 / Чи рівні множини А і В:
1) А = {1, 2}, В = {2, 1};
2) А = {1}, В = {{1}};
3) А = {(0; 1)}, В = {(1; 0)};
4) А = {х | х < 3, х є 2}, В = {х | х < 4, х є 2};
5) А = {х | х є N. х кратне 2 і 3}, В = {х | х є N. х кратне 6}:
6) А = {х | х є N. х < 15, х = 19й, й є 2}, В = {х | х є N.
З < х < 4}.
4.15 / Укажіть рівні множини:
А = {х | х є N. х = 6п - 3, п є №};
В = {х | х є N. х = Зп, п є №};
С = {х | х є N. х кратне 3 і не кратне 2};
Б = {х | х є N. х = 6п + 3, п є Ц}.
4.16 / Які з наведених множин дорівнюють порожній множині:
1) А = {х | х * х}; 4) Б = {х | Зх4 + 5х2 +7 = 0};
2) В = {х | хє 2, іх -2 = о}; 5) Е = {х | х > | х |}?
3) С = {х | х є 2, | х | < 1};
4.17 / Які з наведених множин дорівнюють порожній множині:
1) множина трикутників, сума кутів яких дорівнює 181°;
2) множина гірських вершин заввишки 8800 м;
3) множина гострокутних трикутників, медіана яких дорівнює
половині сторони, до якої вона проведена;
4) множина функцій, графіком яких є коло?
4.18 /* Доведіть, що {х | х = Зй - 1, к є 2} = {х | х = Зп + 2, п є 2}.
4.19 /* Доведіть, що {х | х = 4п - 1, п є 2} = {х | х = 4т + З,
т є 2}.
ПІдмнажина. Операції над множинами
Розглянемо множину цифр десяткової системи числення
А = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Виокремимо з множини А ті її
елементи, які є парними цифрами. Отримаємо множину В = {0,
2, 4, 6, 8}, усі елементи якої є елементами множини А.
Означення. Множину В називають підмножиною множи-
ни А, якщо кожний елемент множини В є елементом множини А.
Це записують так: В с А або А о В (читають: «множина В є під-
множиною множини А» або «множина В міститься в мно-
жині А»).
І -ці дянемо приклади:
• II < 2, ї с 0, (Ц) о К;
• {а | 2х-1 = 0}с{х| х2 =|};
• (а) с {а, Ь}-,
• множина учнів вашого класу є підмножиною множини
учнів вашої школи;
• множина ссавців є підмножиною множини хребетних;
• множина точок променя СВ є під-
множиною МНОЖИНИ ТОЧОК прямої —---------------«її
ІВ (рис. 5.1). „ с .
1 7 Рис. 5.1
/(чи ілюстрації співвідношень між мно-
мнін)мі< використовують схеми, які називають діаграмами Ей-
Н ції
На рисунку 5.2 зображено множину А (більший круг) і мно-
і ниу Іі (менший круг, який міститься в більшому). Ця схема
..нічім , що В а А (або А В).
І Ін рисунку 5.3 за допомогою діаграм Ейлера показано спів-
ці іиоіікчіня між множинами К, 2 і <0>.
Якщо В сА, то за допомогою рисунка 5.2 можна зробити такі
пік ікніки:
11 дня того щоб елемент х належав множині А, достатньо, щоб
пін належав множині В;
• І д ія того щоб елемент х належав множині В, необхідно, щоб
нін належав множині А.
І Іпприклад, якщо А — множина всіх натуральних чисел, крат-
них Ь, а В — множина всіх натуральних чисел, кратних 10, то
• ічічіидііо, що В с А. Тому для того, щоб натуральне число п було
іцнм ним 5 (п є А), достатньо, щоб воно було кратним 10 (п є В).
1 ні і ого щоб натуральне число п було кратним 10 (п є В), необ-
• І піні, щоб воно було кратним 5 (п є А).
З означень підмножини і рівності множин випливає, що коли
А с В і В с А, то А = В.
Якщо в множині В немає такого елемента, який не належить
множині А, то множина В є підмножиною множини А. У си ну
цих міркувань порожню множину вважають підмножиною будь-
якої множини. Справді, порожня множина не містить жодного
елемента, отже, у ній немає елемента, який не належить даній
множині А. Тому для будь-якої множини А справедливе твер-
дження: 0 с А.
Будь-яка множина А є підмножиною самої себе, тобто А с А.
Означення. Якщо В с А і В ф А, то множину В називають
власного підмножиною множини А.
Наприклад, множина ї є власного підмножиною множини
ПРИКЛАД 1 Випишіть усі підмножини множини А = {а, Ь, с}.
Розв’язання. Маємо: {а}, {Ь}, {с}, {а, Ь}, {Ь, с}, {а, с}, {а, Ь, с},
0. Усього отримали 8 підмножин. У 9 класі буде доведено, що
кількість підмножин и-елементної множини дорівнює 2".
Нехай А — множина розв’язків рівняння х + у = 5, а В — мно-
жина розв’язків рівняння х — у = 3. Тоді множина С розв’язків
системи рівнянь
{х + у - 5,
х~У = 3
складається з усіх елементів, які належать і множині А, і множи-
ні В. У такому випадку кажуть, що множина С є перетином
множин А і В.
Означ іННя. Перетином множин А і В називають множину,
яка складається з усіх елементів, що належать і множині А,
і множині В.
Перетин множин А і В позначають так: А А В.
З означення випливає, що
АГіВ = {х|хєАіхє В}.
Легко переконатися, що розв’язком системи, яка розглядала-
ся, є пара чисел (4; 1). Цей факт можна записати так:
{(х; у) | х + у = 5} П {(х; у) | х - у = 3} = {(4; 1)}.
Якщо множини А і В не мають спільних елементів, то їх пе-
ретином є порожня множина, тобто А П В = 0. Також зазначимо,
що А П 0 = 0.
Рис. 5.4
З означення перетину двох множин випливає, що коли АсВ,
к» А Л В = А, зокрема, якщо В = А, то А Л В = А.
Перетин множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм
Килера. На рисунку 5.4 заштрихована фігура зображає множину
1 (і В.
Для того щоб розв’язати рівняння (х2 - х) (х2 - 1) = 0, треба
розв’язати кожне з рівнянь х2 - х = 0 і х2 — 1 = 0.
А = {0, 1} — множина коренів першого рівняння, В = {-1, 1} —
множина коренів другого рівняння. Зрозуміло, що множина С =
( 1, 0, 1}, кожний елемент якої належить або множині А, або
множині В, є множиною коренів заданого рівняння. Множину С
називають об’єднанням множин А і В.
Означення. Об’єднанням множин А і В називають мно-
жину, яка складається з усіх елементів, що належать хоча б
одній з цих множин: або множині А, або множині В.
Об’єднання множин А і В позначають так: А О В. З означення
випливає, що
АІіВ = {х|хєА або х є В}.
Зауважимо, що А II 0 = А.
З означення об’єднання двох множин випливає, що коли А с В,
то А О В = В зокрема, якщо В = А, то А О В = В.
Об’єднання множин зручно ілюструвати за допомогою діаграм
Ейлера. На рисунку 5.5 заштрихована фігура зображає множину
лив.
а
б
Рис. 5.5
в
Рис. 5.7
Часто доводиться розглядати перетин і об’єднання трьох і біль-
ше множин.
Перетин множин А, В і С — це множина всіх елементів, які
належать і множині А, і множині В, і множині С (рис. 5.6).
Наприклад, щоб розв’язати систему рівнянь
х + у = 5,
X - у = З,
х2 + у2 =17,
треба знайти перетин трьох множин: {(х, у) | х + у = 5}, {(х, у) |
І х - у = 3} і {(х, у) | х2 + у2 = 17}.
Об’єднання множин А, В і С — це множина всіх елементів,
які належать хоча б одній з цих множин: або множині А, або
множині В, або множині С (рис. 5.7).
Наприклад, об’єднання множин гострокутних, тупокутних і пря-
мокутних трикутників — це множина всіх трикутників.
ПРИКЛАД 2 Знайдіть перетин множин А і В, якщо:
1) А = {х | х = 5/г, к є Н}, В = {х | х = Зп, п є И};
2) А — множина всіх ромбів, В — множина всіх прямокутників;
3) А = {х | х > 3}, В = {х | х < 4};
4) А = {х | х є Н, х = 2т, т є ТЧ}, В — множина простих чисел.
Розв’язання
1) А — множина всіх натуральних чисел, кратних 5.
В — множина всіх натуральних чисел, кратних 3.
Тоді множина А П В складається з усіх натуральних чисел,
кратних 5 і 3 одночасно, тобто з усіх натуральних чисел, крат-
них 15. Отже, А П В = {х | х = 15/г, к є М}.
2) Множина А П В складається з усіх чотирикутників, які одно-
часно є і ромбами, і прямокутниками. Отже, шукана множи-
на — це множина всіх квадратів.
3) А О В = {х | 3 < х < 4}.
1)1 - множина всіх парних натуральних чисел. Оскільки у мно-
жині простих чисел є тільки одне парне число (число 2), то
4 П В = {2}.
ПРИКЛАД 3 Знайдіть об’єднання множин А і В, якщо:
І) А = {х | х = 2к - 1, к є №}, В = {х | х = 2п, п є №};
2) А = {х І х = 2к - 1, к є ГЧ}, В = {х | х = 4и + 1, п є И};
3) А = {X | ОХ < 3}, В = {X | ОХ = 3}, де О і X — точки пло-
щини, О — задана точка.
Розв’язання
І) Л — множина всіх непарних натуральних чисел, В — множи-
на всіх парних натуральних чисел. Тоді АОВ — це множина
всіх натуральних чисел, тобто А и В = N.
) А — множина всіх непарних натуральних чисел. Елементами
множини В є тільки непарні числа. Отже, В с. А. Тоді А Ь В =
= А = {х | х = 2к - 1, к є Н}.
3) Очевидно, що А и В = {X | ОХ < 3}. Отже, А О В — це круг
з центром О і радіусом 3.
9 ------- - -------------------- - -
• 1. Яку множину називають підмножиною даної множини?
2. Як наочно ілюструють співвідношення між множинами?
3. Яка множина є підмножиною будь-якої множини?
4. Яку множину називають власною підмножиною даної мно-
жини?
5. Що називають перетином двох множин?
6. Що називають об’єднанням двох множин?
7. Як за допомогою діаграм Ейлера ілюструють перетин (об’єд-
нання) двох множин?
8. Як знаходять перетин (об’єднання) трьох і більше множин?
5.1. Назвіть кілька підмножин учнів вашого класу.
5.2. * Назвіть які-небудь геометричні фігури, які є підмножинами
множини точок прямої.
5.3. " Назвіть які-небудь геометричні фігури, які є підмножинами
множини точок круга.
5.4. ° Нехай А — множина букв у слові «координата». Множина
букв якого слова є підмножиною множини А:
1) кора; 4) крокодил; 7) тин; 10) дорога;
2) дірка; 5) нитки; 8) криниця; 11) дар;
3) картина; 6) нирки; 9) сокирка; 12) кардинал?
5.5. ° Нехай А — множина цифр числа 1958. Чи є множина цифр
числа х підмножиною множини А, якщо:
1) х = 98; 3) х = 519; 5) х = 195 888;
2) х = 9510; 4) х = 5858; 6) х = 91 258?
5.6. ° Нехай А Ф 0. Які дві різні підмножини завжди має множи-
на А?
5.7. * Доведіть, що коли А сі В і В с С, то А с С.
5.8. ° Яке з наступних тверджень є правильним:
1) {а} є {а, Ь}; 3) а сі {а, 6};
2) {а} с {а, Ь}; 4) {а, Ь} є {а, Ь}?
5.9. ’ Розмістіть дані множини у такій послідовності, щоб кожна
наступна множина була підмножиною попередньої:
1) А — множина восьмикласників вашої школи;
В — множина восьмикласників вашої школи, які навча-
ються в математичному класі;
С — множина учнів вашої школи, які не молодші від 10 ро-
ків;
Л — множина учнів 8-го математичного класу, які є при-
зерами районної математичної олімпіади;
2) А — множина всіх прямокутників;
В — множина всіх чотирикутників;
С — множина всіх квадратів;
Л — множина всіх паралелограмів;
3) А — множина всіх ссавців;
В — множина всіх собачих;
С — множина всіх хребетних;
Л — множина всіх вовків;
Е — множина всіх хижих ссавців.
5.10. Зобразіть за допомогою діаграм Ейлера співвідношення упж
множинами:
1) А — множина всіх невід’ємних раціональних чисел;
В = {0};
N — множина натуральних чисел;
2) 2 — множина цілих чисел;
А — множина натуральних чисел, кратних 6;
В — множина натуральних чисел, кратних 3.
5.11. ’ Запишіть за допомогою символу сг співвідношення між
множинами:
А = {х | х = 2п, п є №}; С = {х | х = 10га, п є К};
В = {х | х = 50га, п е ІЧ}; Л = {х | х = 5га, га є Г^}.
5.12. ’ Яка з множин А або В є підмножиною другої, якщо:
а
Рис. 5.8
А = {х | х = 4п + 2, п є К}; В = {х | х = 8н + 2, п є ГЧ}?
5.13/ Дано множини {7}, {11}, {19}, {7, 11}, {7, 19}, {11, 19}, 0,
які є всіма власними підмножинами деякої множини А. За-
пишіть множину А.
Запишіть усі підмножини множини {1, 2}.
5.15/ Опишіть мовою «необхідно і достатньо» належність елемен-
та х множинам А, В і С (рис. 5.8).
•». 11 Замість крапок поставте слово «необхідно» або «достатньо»:
1) для того щоб трикутник був рівностороннім, ..., щоб два
його кути були рівні;
2) для того щоб чотирикутник був паралелограмом.....щоб
дві його сторони були паралельні;
3) для того щоб число ділилося наділо на 3, .... щоб воно ді-
лилося наділо на 9;
4) для того щоб остання цифра десяткового запису числа була
нулем, ..., щоб число було кратне 5.
5.17 / Відомо, що для будь-якої множини В множина А є ГЇ під-
множиною. Знайдіть множину А.
5.18 / Яке з наступних тверджень є правильним:
1) {а, Ь} Г) {а} = а; 3) {а, Ь} Г) {а} = {а};
2) {а, Ь} Г) {а} = {а, Ь}; 4) {а, Ь} О {а} = {&}?
5.19 / Знайдіть перетин множин цифр, які використовуються
в запису чисел:
1) 555 288 і 82 223; 2) 470 713 і 400 007.
Нехай А — множина двоцифрових чисел, В — множина
простих чисел. Чи належить множині А П В число: 5, 7, 11,
31, 57, 96?
5.21/ Знайдіть множину спільних дільників чисел ЗО і 45.
5.22/ Знайдіть перетин множин А і В, якщо:
1) А — множина всіх рівнобедрених трикутників, В — мно-
жина всіх рівносторонніх трикутників;
2) А — множина всіх прямокутних трикутників, В — множи-
на всіх рівносторонніх трикутників;
3) А — множина двоцифрових чисел, В — множина натураль-
них чисел, кратних 19;
4) А — множина одноцифрових чисел, В — множина простих
чисел.
5.23. ' Знайдіть перетин множин А і В, якщо:
1) А = {х | х < 19}, В = {х | х є ІЧ, х > 11};
2) А = {х | х = 4п, п є ГЧ}, В = {х | х = 6п, п є К};
3) А = {(х, у) | 2х - у = 1}, В = {(х, у) | х + у = 5}.
5.24. * Накресліть два трикутники так, щоб їх перетином була
така геометрична фігура: 1) відрізок; 2) точка; 3} трикутник;
4) п’ятикутник; 5) шестикутник.
5.25. ’ Які фігури можуть бути перетином двох променів, що ле-
жать на одній прямій?
5.26. * Відомо, що для будь-якої множини В виконується рівність
А П В = А. Знайдіть множину А.
5.27. ' Яке з наступних тверджень є правильним:
1) {а, Ь} О {6} = {а, Ь}; 3) {а, Ь} и {а} = {а};
2) {а, Ь} и {&} = {&}; 4) {а, Ь} О {Ь} = {{&}}?
5.28. ’ Знайдіть об’єднання множин цифр, які використовуються
в запису чисел:
1) 27 288 і 56 383; 2) 55 555 і 777 777.
5.29. " Знайдіть об’єднання множин А і В, якщо:
1) А — множина всіх рівнобедрених трикутників, В — мно-
жина всіх рівносторонніх трикутників;
2) А — множина простих чисел, В — множина складених
чисел;
3) А — множина простих чисел, В — множина непарних чи-
сел.
5.30. г Знайдіть об’єднання множин А і В:
1) А = {х | х2 - 1 = 0}, В = {х | (х - 1) (х - 2) = 0};
2) А = {х | 2х + 3 = 0}, В = {х | х2 + 3 = 2};
3) А = {х | х є ГЧ, х < 5}, В = {х | х є Вї, х < 7}.
5.31. ’ Накресліть два трикутники так, щоб їх об’єднанням був:
1) чотирикутник; 2) трикутник; 3) шестикутник. Чи може
об’єднання трикутників бути відрізком?
5.32. * Які фігури можуть бути об’єднанням двох променів, що
лежать на одній прямій?
5.33. * Відомо, що для будь-якої множини В виконується рівність
А О В = В. Знайдіть множину А.
5.34. * Наведіть приклад такої одноелементної множини, що її
елемент є одночасно підмножиною даної множини.
Скінченні множини.
Взаємно однозначна відповідність
і’кщо множина містить скінченну кількість елементів, то її
шіинвають скінченною, а якщо в ній нескінченно багато елемен-
ті — то нескінченною. Порожню множину вважають скінчен-
ною.
Наприклад, множина учнів вашого класу — скінченна мно-
жина, а множина натуральних чисел — нескінченна множина.
Якщо А — скінченна множина, то кількість її елементів по-
значатимемо так: п (А).
Наприклад, якщо А — це множина днів тижня, то п (А) = 7;
якщо В — це множина двоцифрових чисел, то п (В) — 90. Зро-
зуміло, що п (0) = 0.
Нехай А і В — такі скінченні множи- ____________
н и, що А П В = 0. Тоді очевидно, що
п (А и В) = п (А) + п (В). (1) ( \
І А Х7/////У в
Якщо А і В — скінченні множини, і І
причому А А В 0 (рис. 6.1), то до суми \ /
п (А) + п (В) двічі входить кількість еле-
ментів їх перетину, тобто двічі врахо- р
вується число п (А А В). Отже, у цьому
випадку
п (А О В) = п (А) + п (В) - п (А А В). (2)
Оскільки для випадку, коли А А В = 0, п (А А В) = 0, то фор-
мула (2) є узагальненням формули (1).
ПРИКЛАД 1 У математичному класі 25 учнів, і всі вони люблять
математику. Відомо, що 23 учня люблять алгебру, а 21 — гео-
метрію. Скільки учнів цього класу люблять і алгебру, і геомет-
рію?
Розв’язання. Нехай А — множина учнів, які люблять алгебру,
В — множина учнів, які люблять геометрію. Тоді п (А) = 23,
п (В) = 21, п (А С В) = 25. А А В — множина учнів, які люблять
і алгебру, і геометрію. З формули (2) отримуємо п (А А В) = п (А) +
+ п (В) - п (А Сі В) = 23 + 21 - 25 = 19.
З’ясуємо, як знайти кількість елементів множини А С В СІ С,
де А, В і С — скінченні множини.
Рис. 6.3
Якщо А Л В Л С = 0 (рис. 6.2), то зрозуміло, що
п (А її В О С) = п (А) + п (В) + п (С) - п (А СУ В) -
- п (В Л С) - п (С П А). (3)
Якщо А П В Л С 0 (рис. 6.3), то права частина формули (3)
не враховує кількість спільних елементів множин А, В і С. Отже,
у цьому випадку формула набуває вигляду:
л (А О В її С) = п (А) + и (В) + п (С) -
- п (А П В} - п (В Л С) - п (С Л А) + п (А П В Л С). (4)
Аналогічну формулу можна отримати для будь-якої кількості
множин. Її називають «формулою включення-виключення».
ПРИКЛАД 2 У школі є три спортивні секції: акробатики, баскет-
болу, волейболу. Відомо, що школу відвідують 200 школярів,
а кожну із секцій — 80 школярів. Доведіть, що знайдуться 14 шко-
лярів, які відвідують одні й ті самі дві секції.
Розв’язання. Позначимо множини школярів, які відвідують
секції акробатики, баскетболу й волейболу, буквами А, В і В від-
повідно. Тоді п (А О В О В) = 200, п (А) = п (В) = п (В) = 80.
Підставимо ці значення у формулу (4):
200 = 80 + 80 + 80 - п (А Л В) - /і (В Л В) -
- п (В Л А) + п (А Л Б Л В).
Звідси
п (А Л Б) + п (Б Л В) + п (В Л А) = 40 + п (А Л Б Л В) > 40.
Якщо припустити, що кожне з чисел п (А Л В), п (Б Л В),
п (В П А) не перевищує 13, то їх сума не перевищує 39. Отрима-
ли суперечність.
Нам доволі часто доводиться порівнювати скінченні множини
за кількістю їх елементів.
Як дізнатися, чи вистачить у шкільній бібліотеці підручників
з алгебри для восьмикласників? Звичайно, можна порахувати
окремо учнів і підручники, а можна видати підручники учням.
Якщо, наприклад, усім підручників вистачить, а в бібліотеці не
залишиться жодного підручника, то це означатиме, що восьми-
класників і підручників з алгебри однакова кількість.
Так само, щоб дізнатися, чи вистачить стільців у класі, зовсім
не обов’язково їх перераховувати. Достатньо запросити учнів
сісти на стільці. Якщо, наприклад, місць вистачить не всім, то
це означатиме, що кількість учнів більша, ніж кількість стіль-
ців.
У цих прикладах, порівнюючи кількість елементів двох мно-
жин, ми кожному елементу однієї множини поставили у від
погідність єдиний елемент другої множини. Скористаємося цією
ідеєю в наступному прикладі.
ПРИКЛАД 5 Порівняйте кількість елементів множини А двоциф-
рових чисел і множини В трициіррових чисел, десятковий запис
яких закінчується цифрою 1.
Розв’язання. Поставимо у відповідність кожному двоцифрово-
му числу те трицифрове число, яке отримаємо з нього, приписав-
ши справа одиницю. Дістанемо:
ю, 11, 12, •••1 98, 99
0 0 0 0 0
10 , 111, 12 , ••• » 98 , 99
Зазначимо, що за такої відповідності всі елементи множини В
виявляться «задіяними». Справді, якщо в числі виду аЬІ. закрес-
лити останню цифру, то отримаємо двоцифрове число аЬ.
На підставі відповідності між елементами множин А і В мож-
на зробити висновок, що п (А) = п (В).
Означення. Якщо кожному елементу множини А поставлено
у відповідність єдиний елемент множини В і при цьому будь-який
елемент множини В є відповідним деякому єдиному елементу
множини А, то кажуть, що між множинами А і В встановлено
взаємно однозначну відповідність.
У прикладі 3 кожному двоцифровому числу було поставлено
у відповідність єдине трицифрове число зазначеного вигляду,
і навпаки, кожне таке трицифрове число є відповідним єдиному
двоцифровому числу; Отже, між множинами, що розглядаються,
було встановлено взаємно однозначну відповідність.
Зазначимо, що коли в класі всі учні сидять і при цьому є віль-
ні СТІЛЬЦІ, ТО Між множиною учнів і множиною стільців взаємно
однозначної відповідності не встановлено.
Цікаво, що з дитинства кожному з нас неодноразово доводи-
лося встановлювати взаємно однозначні відповідності. Дитина,
промовляючи «один», «два», «три» і при цьому послідовно пока-
зуючи на машинку, м’ячик і коника, тим самим встановлює
взаємно однозначну відповідність між множиною своїх іграшок
і множиною {1, 2, 3}. Рахуючи іграшки, дитина ніби прив’язує
до кожного з предметів ярлики з написами «1», «2», «З». Заува-
жимо, що, показуючи іграшки в іншому порядку, наприклад,
«м’ячик», «коник», «машинка», одержуємо іншу взаємно одно-
значну відповідність між цими множинами.
Якщо між скінченними множинами А і В встановлено взаєм-
но однозначну відповідність, то п. (А) = п (В). І навпаки, якщо
п (А) = п (В), то між скінченними множинами А і В можна вста-
новити взаємно однозначну відповідність.
Отже, між скінченними множинами з різною кількістю еле-
ментів неможливо встановити взаємно однозначну відповідність.
Це дозволяє сформулювати таке правило.
Якщо С с В і С / В, а між множинами А і С встановлено
взаємно однозначну відповідність, то п (А) < п (В).
ПРИКЛАД 4 Яких шестицифрових чисел більше: непарних, сума
цифр яких дорівнює 47, або парних, сума цифр яких дорів-
нює 45?
Розв’язання. Позначимо множини чисел, про які йдеться в умо-
ві, буквами А і В відповідно.
Зауважимо, що коли в запису шестицифрового числа є циф-
ра 0, то сума його цифр не більша за 9 • 5 = 45. Отже, якщо а є А,
то в запису числа а немає цифри 0.
Кожному числу а є А поставимо у відповідність число Ь є В
за таким правилом: зменшимо на 1 дві останні цифри числа а
(це можна зробити, оскільки в десятковому запису числа а немає
нулів). Зрозуміло, що при такій відповідності різним числам
множини А відповідатимуть різні числа множини В, тобто кож-
ному елементу множини А відповідає єдиний елемент множи-
ни В.
Тепер розглянемо число 999 990, яке належить множині В.
Зрозуміло, що це число не може бути отримано з елемента мно-
жини А за допомогою зазначеного правила.
Таким чином, ми встановили взаємно однозначну відповідність
між множиною А і власного підмножиною множини В. Отже,
/і (В) > п (А).
> -------------------------------------------------------------
• 1. Як знайти кількість елементів множини А 0 В1
2. Як знайти кількість елементів множини А О В О С?
3. У яких випадках кажуть, що між двома множинами вста-
новлено взаємно однозначну відповідність?
(». І.° У класі 32 учні. 20 з них вивчають англійську мову і 18 —
(французьку. Скільки учнів вивчають і англійську, і французь-
ку мови?
в.2.” Відомо, що 26 мешканців будинку тримають котів і собак,
16 з них мають котів, а 15 — собак. Скільки мешканців мають
і собаку, і кота?
6.3. ° З анкети, проведеної в класі, з’ясувалося, що з ЗО учнів
класу 18 мають брата, 14 — сестру, а у 10 є сестра і брат. Чи
є в цьому класі учні, у яких немає ні сестри, ні брата?
6.4. ° У грудні було 10 ясних і затишних днів, 15 днів був вітер
і 12 днів ішов сніг. Скільки днів у грудні була хуртовина (сніг
і вітер)?
6.6. ” Чи встановлено взаємно однозначну відповідність між мно-
жинами А і В (рис. 6.4)? Точками на рисунку зображено еле-
менти множин.
6.6. ” Одинадцять гравців футбольної команди отримали футболки
з номерами від 1 до 11. Між якими множинами встановлено
взаємно однозначну відповідність?
6.7. ” У результаті жеребкування кожна з 20 пар фігуристів отри-
мала порядковий номер її виступу. Між якими множинами
встановлено взаємно однозначну відповідність?
6.8. ” Кожний глядач, який прийшов до кінотеатру, купив квиток
із зазначеними рядом і місцем. Між якими множинами вста-
новлено взаємно однозначну відповідність?
6.9.° Між першими п натуральними числами і правильними дро-
бами зі знаменником 7 встановлено взаємно однозначну від-
повідність. Знайдіть п.
0.10/ Кожному елементу множини {п, п + 1, п + 2}, де п є N.
поставили у відповідність остачу від ділення цього елемента
на 3. Чи встановлено таким чином взаємно однозначну від-
повідність між множинами {п, п + 1, п + 2} і {0, 1, 2}?
6.11/ Яких п’ятицифрових чисел більше: усі цифри яких парні
чи всі цифри яких непарні?
6.12/ В опуклому п-кутнику (п > 4) жодні три діагоналі не пере-
тинаються’ в одній точці. Доведіть, що кількість усіх точок
перетину діагоналей дорівнює кількості чотирикутників, усі
вершини яких є вершинами даного п-кутника.
13 Розглядаються всі прямокутники, довжини сторін яких
виражено натуральними числами. Яких прямокутників більше:
з периметром, який дорівнює 1000, чи з периметром, який
дорівнює 1002?
6.14. ” Множина А містить 101 елемент. Доведіть, що кількість її
підмножин, які містять парну кількість елементів, дорівнює
кількості підмножин, які містять непарну кількість елементів.
6.15. " В олімпіаді взяли участь 46 учнів. їм було запропоновано
розв’язати 3 задачі. Після підведення підсумків з’ясувалося,
що першу і другу задачі розв’язали 11 учасників, другу і тре-
тю — 8 учасників, першу і третю — 5 учасників, а всі три
задачі розв’язали тільки 2 учасники. Доведіть, що одну із
задач розв’язали не менше ніж половина учасників.
6.16. " Яких трицифрових чисел більше: тих. у яких друга цифра
в десятковому запису більша за першу і третю, або тих, у яких
друга цифра менша від першої і третьої?
6.17. " Автобусні квитки мають номери від 000 000 до 999 999.
Квиток називають «щасливим», якщо сума перших трьох цифр
його номера дорівнює сумі останніх трьох цифр. Доведіть, що:
1) кількість усіх «щасливих» квитків парна;
2) сума номерів усіх «щасливих» квитків кратна 999.
6.18/ Розглядаються трикутники, довжини сторін яких вираже-
но натуральними числами. Яких трикутників більше: з пери-
метром, який дорівнює 997, чи з периметром, який дорівнює
1000?
1 Вважають, що діагоналі опуклого многокутника перетинаються,
якщо вони мають спільну точку, відмінну від вершини многокутника.
7. Нескінченні множини. Зліченні множини
На колі позначено 100 точок: Ау, А2, ..., А100. Яких много-
кутників з вершинами в позначених точках більше: тих, у яких
точка А1 є вершиною, чи тих, у яких точка А{ не є верши-
ною?
(>.20.* Яких п’ятицифрових чисел більше: тих, у яких кожна
наступна цифра більша за попередню (рахуючи зліва направо),
чи тих, у яких кожна наступна цифра не більша за попередню
і кожна цифра не більша за 5?
6.21. * Доведіть, що кількість пар цілих чисел (х; у), які задоволь-
няють рівняння х2 + у2 = п. (п є ІЧ), дорівнює кількості пар
цілих чисел (х; у), які задовольняють рівняння х2 + у2 = 2п.
6.22. * Множина А містить 100 елементів. Доведіть, що кількість
її підмножин, які містять парну кількість елементів, дорівнює
кількості підмножин, які містять непарну кількість елементів.
Нескінченні множини. Зліченні МНОЖИНИ
У попередньому пункті ми розглядали скінченні множини,
між якими встановлено взаємно однозначну відповідність, і з’ясу-
вали, що такі множини мають однакову кількість елементів.
Керуючись принципом «частина менша від цілого», доходимо
висновку, що коли В — власна підмножина скінченної множи-
ни А, то п (В) < п (А). Отже, між скінченною множиною та її
власного підмножиною неможливо встановити взаємно однознач-
ну відповідність.
Оскільки N с 2, то, здавалося б, природно вважати, що цілих
чисел більше, ніж натуральних. Проте це не так.
Нескінченні множини в цьому сенсі поводяться незвично.
Розглянемо множину N і підмножину М парних чисел. Мно-
жина М є власного підмножиною множини N. Кожному елементу
п є N поставимо у відповідність єдиний елемент 2п є М:
1, 2, 3, 4, ..., п,
0 0 0 0 0
2, 4, 6, 8, ..., 2п, ... •
При цьому кожне парне число відповідатиме єдиному нату-
ральному числу. Тим самим між множинами КІМ встановлено
взаємно однозначну відповідність, а тому не можна вважати, що
в множині N міститься більше елементів, ніж в її власній під-
множині — множині парних чисел.
Цей приклад показує, що звичні для нас уявлення про скін-
ченні множини не можна переносити на нескінченні множини.
Узагалі, математиками було доведено, що в будь-якій нескін-
ченній множині А можна виокремити власну підмножину 7Ц
таким чином, що між множинами А і А( можна встановити взаєм-
но однозначну відповідність. Це принципова відмінність нескін-
ченних множин від скінченних.
Якщо множини А і В є скінченними і між ними встановлено
взаємно однозначну відповідність, то п (А) = п, (В). Якщо ж взаєм-
но однозначну відповідність установлено між нескінченними
множинами А і В, то в математиці не прийнято говорити, що ці
множини мають однакову кількість елементів, а кажуть, що
множини А і В мають однакову потужність.
Означення. Дві множини називають рівнопотужними,
якщо між ними можна встановити взаємно однозначну відповід-
ність.
Для нескінченних множин слово «потужність» означає те саме,
що для скінченних множин «кількість елементів».
Доведемо ще один дивовижний факт: множина точок прямої
рівнопотужна множині точок відкритого відрізка (відрізка, у яко-
го «виколото» кінці), тобто пряма містить стільки ж точок,
скільки їх містить відкритий відрізок.
На рисунку 7.1 зображено пряму МІЧ, яка дотикається півко-
ла з центром в точці О і діаметром АВ, паралельним прямій МІЧ.
Вилучимо з півкола точки А і В. Таке півколо називають від-
критим.
Кожній точці X відкритого півкола поставимо у відповідність
точку Х1 прямої МІЧ, яка лежить на промені ОХ. Зрозуміло, що
точці X відповідає єдина точка прямої МІЧ, і навпаки, кожна
точка прямої МІЧ є відповідною єдиній точці відкритого півкола.
Отже, установлено взаємно однозначну відповідність між множи-
ною точок прямої і множиною точок відкритого півкола.
7. Нескінченні множини. Зліченні множини
На рисунку 7.2 показано, як встановити взаємно однозначну
відповідність між множиною точок відкритого відрізка і множи-
ною точок відкритого півкола. Отже, множина точок відкритого
відрізка АВ рівнопотужна множині точок прямої МІУ.
У розповіді на с. 48 ви дізнаєтесь ще про один несподіваний
факт, в який важко повірити, керуючись лише інтуїцією: мно-
кина точок сторони квадрата рівнопотужна множині точок квад-
рата.
11значення. Множину, рівнопотужну множині натуральних
чисел, називають зліченною множиною.
Вище ми показали, що множина парних чисел є зліченною.
Зрозуміло, що жодна скінченна множина не є зліченною.
Натуральне число п, яке відповідає елементу а зліченної мно-
жини А, називають номером цього елемента. Якщо елемент а має
номер п, то пишуть: ап. Коли встановлюють взаємно однозначну
відповідність між множинами А і М, кожний елемент множини А
отримує свій номер, і ці елементи можна розмістити послідовно:
а2, а3, ..., ап, ... .
Так, якщо елементи множини Р простих чисел1 розмістити
в порядку зростання 2, 3, 5, 7, 11, ..., то всі елементи цієї мно-
жини можна пронумерувати:
2, 3, 5, 7, 11,
0 о о е о
1 2 3 4 5 ... .
Тим самим встановлено взаємно однозначну відповідність між
множинами Р і N.
У такий спосіб можна показати, що будь-яка нескінченна
підмножина множини N є зліченною (зробіть це самостійно).
На перший погляд здається, що елементи множини 2 прону-
мерувати неможливо: адже множина N є власного підмножиною
множини ї, а отже, чисел для нумерації не вистачить: усі вони
будуть «витрачені» на множину N.
Проте якщо елементи множини й розмістити у вигляді послі-
довності 0, 1, -1, 2, -2, З, —3, ..., то тим самим можна кожному
цілому числу надати свій номер:
0, і, -1, 2, -2, 3, -з,
0 с 0 0 0 0
і, 2, з, 4, 5, 6. 7,
1 У п. 43 буде доведено, що множина простих чисел є нескінченною.
Доведемо, що множина <0 є зліченною.
Кожне раціональне число можна подати у вигляді нескорот-
ного дробу —, де т є й, пє N. Назвемо число й = | т | + | п |
п
тт Г1 -1 3 -31
висотою цього раціонального числа. Наприклад, , —, у, —| —
множина раціональних чисел, висота яких дорівнює 4.
Зрозуміло, що множина раціональних чисел із заданою висо-
тою й є скінченною.
Тепер будемо послідовно нумерувати всі нескоротні дроби
(тобто раціональні числа), беручи спочатку дроби з висотою й = 1,
потім дроби з висотою й = 2, висотою й = 3 тощо:
й=1 й = 2 й=3 й=4
{?} 41 -тМ•?}-•
0 0 0 0 0 0 0 0 О С
1 23 4567 89 10 11
Ми показали, що всі елементи множини <0 можна пронумеру-
вати, отже, ця множина є зліченною.
Не будь-яка нескінченна множина є зліченною.
Розглянемо множину А, елементами якої є всі нескінченні
послідовності, складені з нулів і одиниць. Ось кілька елементів
множини А:
1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
0, 1, 1, 1, 0, 0, ...
0, 0, 1, 0, 1, 1, ...
Покажемо, що множина А є незліченною. Припустимо, що це
не так. Тоді елементи цієї множини можна пронумерувати. Роз-
містимо елементи множини А в стовпчик у порядку зростання
номерів. Наприклад:
перший елемент: 1, 1, 0, 1, 0, ...
другий елемент: 0, 0, 0, 1, 1, ...
третій елемент: 0, 0, 0, 0, 0, ...
четвертий елемент: 1, 1, 1, 1, 1, ...
п’ятий елемент: 1, 0, 1, 0, 1, ...
Цей запис має містити всі елементи множини А. Якщо вдасть-
ся побудувати послідовність з нулів та одиниць, якої в цьому
7. Нескінченні множини. Зліченні множини
піпису немає, то тим самим спростується припущення про злі-
К'ПНІСТЬ МНОЖИНИ-А.
Виділимо цифри, які стоять на «діагоналі». Отримаємо послі-
довність:
1, 0, 0, 1, 1, ... .
Замінимо в цій послідовності одиниці на нулі, а нулі — на
одиниці:
0, 1, 1, 0, 0..
Цієї послідовності в запису немає. Справді, вона відрізняється
від першої послідовності числом, яке стоїть на першому місці,
і.ід другої послідовності — числом, яке стоїть на другому місці,
від третьої — числом, яке стоїть на третьому місці, і т. д.
9--------------------------------------------------------------
• 1. Які множини називають рівнопотужними?
і 2. Яку множину називають зліченною?
7.1. ° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною
натуральних чисел і множиною натуральних чисел, кратних 3.
7.2. Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною
натуральних чисел і множиною чисел виду 4и + 1 (п є М).
7.3. ” Доведіть, що множини парних і непарних чисел рівнопо-
тужні.
7.4. ° Доведіть, що множина чисел виду 2" (и є П) зліченна.
5 Доведіть, що множина чисел виду — (п є М) зліченна.
п
7.6. ° Установіть взаємно однозначну відповідність між множиною
чисел виду 2П (л є М) і множиною десяткових дробів виду 0,1;
0,01; 0,001; ... .
7.7. ° Покажіть, що множини точок сторони і діагоналі квадрата
рівнопотужні.
7.8. Покажіть, що множини точок будь-яких двох концентричних
кіл рівнопотужні.
7.9. ' Укажіть спосіб, який дозволяє встановити взаємно однознач-
ну відповідність між множиною чисел виду 2" (ті є П) і мно-
жиною натуральних чисел, у десятковому запису яких вико-
ристовуються тільки цифри 1 і 0.
О-» 7.10.” Доведіть, що будь-яка підмножина зліченної множи-
ни є або скінченною, або зліченною.
7.11. “ Розглянемо множину відрізків, які належать координатній
прямій, попарно не перетинаються і довжини їх не менші від 1.
Доведіть, що ця множина є або скінченною, або зліченною.
7.12. " Покажіть, що множина точок прямої і множина точок кола
з «виколотою» точкою рівнопотужні.
7.13. " На координатній прямій позначили точки О (0), А(1), В (5).
Доведіть, що:
1) множина точок відрізка О А рівнопотужна множині точок
відрізка ОВ;
2) множина точок відрізка ЗА з «виколотою» точкою О рів-
нопотужна множині точок променя АВ.
7.14. " Покажіть, що множини точок будь-яких двох відрізків
рівнопотужні.
7.15. * Укажіть спосіб, який дозволяє встановити взаємно одно-
значну відповідність між множиною натуральних чисел і мно-
жиною натуральних чисел, у десятковому запису яких вико-
ристовуються тільки цифри 1 і 0.
7.16. Доведіть, що множина точок (х; у) координатної площини
таких, що числа х і у — цілі, є зліченною.
7.17. * На площині є деяка множина квадратів, сторона кожного
з яких дорівнює 10, причому квадрати не перетинаються.
Доведіть, що ця множина скінченна або зліченна.
7.18. На площині є деяка множина кіл, які не перетинаються
і радіуси яких дорівнюють 1. Доведіть, що ця множина скін-
ченна або зліченна.
«Я бачу це, але ніяк не можу цьому повірити!»
Ці слова належать видатному математику, засновнику теорії
множин Георгу Кантору. Вони свідчать про те, що навіть генію
часом буває складно примирити свою інтуїцію з формальним
результатом.
Георг Кантор
(1845-1918)
Мабуть, і ви зазнавали подібного диском-
форту, коли логіка міркувань вимушувала
вас погодитися з тим, що на будь-якому, на-
віть дуже маленькому, відрізку стільки ж
точок, скільки їх на всій прямій.
А чи можна повірити в те, що множина
точок квадрата рівнопотужна множині точок
його сторони? Мабуть, ні. Цьому не вірив
і сам великий Кантор.
У 1874 році в одному зі своїх листів до
видатного математика Р. Дедекінда (1831—
1916) Кантор писав: «Чи можна зіставити
поверхню (наприклад, квадратну площадку,
7. Нескінченні множини. Зліченні множини
включаючи її межі) з відрізком прямої таким
чином, щоб кожній точці поверхні відповіда-
ла одна точка на цьому відрізку і навпаки?»
Кантор думав, що відповідь має бути нега-
тивною, і намагався це довести протягом
трьох років. Проте в 1877 році він отримує
несподіваний результат: будує взаємно одно-
значну відповідність між множиною точок
квадрата і множиною точок його сторони.
Ознайомимося з ідеєю доведення Кантора.
Розглянемо на координатній площині квадрат з вершинами
А (0; 0), В (0; 1), С (1; 1), £» (1; 0) (рис. 7.3).
Нехай точка М (х; у) належить квадрату. Координати х і у
задовольняють нерівностям 0<х<1і0<і/<1. Тому числа х
і у можна подати у вигляді нескінченних десяткових дробів:
X = 0,а,а9а,...,
У - О,Р,РД... .
Зауважимо, що коли х = 1 або у = 1, то координату можна
записати у вигляді дробу 0,999... *.
За допомогою цих записів сконструюємо новий десятковий
дріб, «перемішуючи» десяткові знаки в запису чисел х і у через
один:
2 = 0,аір[а2Р а3р.(... .
Точці М (х; у) поставимо у відповідність точку К (а; 0). Оче-
видно, що ця точка належить стороні АО квадрата.
Зрозуміло, що різні точки квадрата мають різні координати.
Тому при зазначеній відповідності різним точкам квадрата від-
повідають різні точки його сторони АО1 2.
Після викладеного ви, мабуть, уже не дивуватиметесь тому,
що, наприклад, множина точок куба рівнопотужна множині точок
його ребра.
Множини, рівнопотужні множині точок відрізка, називають
множинами потужності континууму (від латинського сопііпишп —
неперервний).
1 Про можливість такого подання ви дізнаєтесь у 9 класі.
2 Деякі числа можуть мати два десяткових записи. Наприклад, дро-
бам 0,7000... і 0,6999... відповідає одне й те саме число. Оскільки ідея
доведення Кантора пов’язана з десятковим записом числа, то в строгому
доведенні має бути показано, як вирішується проблема неоднозначності
запису числа при встановленні взаємно однозначної відповідності.
5 і, РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ
Формули для розкладання на множники виразів
виду аГ-Ь" і аГ+ЬГ
Вам добре знайомі такі дві формули:
а2 - Ь2 = (а - Ь) (а + Ь), (1)
а3 -Ь3 = (а- Ь) (а2 + аЬ + Ь2). (2)
Розкладемо на множники двочлен а4 — Ь4. Маємо:
а4 - &4 = (а2 - Ь2) (а2 + Ь2) = (а - Ь) (а + Ь) (а2 + Ь2) =
= (а - Ь) (а3 + а2Ь + аЬ2 + Ь3).
Отже,
а4 - Ь4 = (а - Ь) (а3 + а2Ь + аЬ2 + Ь3). (3)
У структурі формул (1)-(3) можна помітити певну закономір-
ність: якщо степені одночленів у лівій частині формули дорівню-
ють п, то права частина — добуток двочлена а — Ь на многочлен,
що складається з усіх одночленів степеня п — 1, коефіцієнти яких
дорівнюють одиниці.
Можна припустити, що формула розкладання двочлена а5 - Ь3
має такий вигляд:
а3 - Ьа = (а - Ь) (а4 + а3Ь + а2Ь2 + аЬ3 + Ь4).
Щоб довести цю тотожність, достатньо перемножити много-
члени, які записані в правій частині:
(а - Ь) (а4 + аяЬ + а2Ь2 + аЬ3 + Ь4) =
= и3 + а4Ь + а3Ь2 + а2Ь3 + аЬ4 —
- а4Ь - а3Ь2 - а2Ь3 - аЬ4 - Ь3 =
= а3 — Ь3.
Розглянуті приклади підказують, що формула для розкладан-
ня на множники різниці п-х степенів має такий вигляд:
ап - Ьп = (а - 6) (а'г~ 1 + а” 2Ь + ап~3Ь2 + ... + аЬп~2 + (4)
Переконаємось у справедливості цієї тотожності, перемножив-
ши многочлени, які записані в правій частині:
(а - Ь) (ап‘ 1 + ап 2Ь + ап 3Ь2 + ... + аЬп~2 + Ьп~1) =
= ап + ап1Ь + ап~2Ь2 + ап~3Ь3 + ... + аЬп1 -
— 1 к п — 2і_2 — З» З „гл 1
— а о — а о — а о - ... - ао ~~ Ь =
Ці
= а — о .
8. Формули для розкладання на множники виразів виду ап - Ьп і а2л+1 + Ь2п+1
Якщо у формулі (2) замінити Ь на — Ь, то отримаємо відому
формулу для розкладання на множники суми кубів:
а3 + Ь3 = (а + Ь) (а2 - аЬ + Ь2).
Скористаємося цією ідеєю для розкладання на множники
двочлена а" + Ьп, де п — непарне натуральне число. Маємо:
ал + Ьп = ап - (-&)" =
= (а - (-&)) (ап і + ал2(-Ь) + ал~3 (-Ь)2 + ... + а (-Ь)л-2 + (-&)"1) =
= (а + Ь) (ал 1~ап2Ь + ал 3Ь2 - ... - аЬл ~ 2 + Ьп 4).
Отже, якщо п — непарне натуральне число, то справедлива
така формула:
а" + 6П = (а + Ь) (а""1 - ап2Ь + ап'3Ь2 - ... - аЬ"'2 + &""1)
ПРИКЛАДІ Доведіть, що при будь-якому натуральному п зна-
чення виразу З2" - 7" - 25л кратне 31.
Розв’язання. Маємо: 32л • 7" - 25л = (З2)" • 7Л - (25)'1 = 9" • 7” - 32" =
= 63" - 32л = (63 - 32) (63л1 + 63"’2-32 + ... + 63-32" ~2 + 32л ’).
Перший множник отриманого добутку дорівнює 31, а другий
набуває натуральних значень. Отже, значення даного виразу
кратне 31.
ЛЛХЛАД 2 Розв’яжіть рівняння
(1 + X + ... + х7) (1 + X + ... + х5) = (1 + X + ... + Xе)2.
Розв’язання. Перевіркою встановлюємо, що число 1 не є ко-
ренем даного рівняння. Помножимо обидві частини рівняння на
вираз (1 - х)2:
(1 — х) (1 + х + ... + х7) (1 — х) (1 + х + ... + х5) =
= ((1 - х) (1 + х + ... + х6))2;
(1 - х8) (1 - х6) = (1 - х7)2;
1 - х6 - х8 + х14 = 1 - 2х7 + х14;
х8 - 2х7 + х6 = 0;
х6 (х - І)2 = 0;
х = 0 або х = 1.
На початку розв’язання було встановлено, що число 1 не є
коренем заданого рівняння.
Відповідь: 0.
•> 1. Запишіть формулу для розкладання на множники різниці
п-х степенів двох виразів.
2. Запишіть формулу для розкладання на множники суми
непарних п-х степенів двох виразів.
8.1.° Розкладіть на множники: 5) И - 32; 7) х7у7і + 1;
1) а7 - Ь7; 3) х9 - 1;
2) а7 + Ь1-, 4) х5 + 1; 6) т10 + н5; 8) а5Ь10 + с1Е
8.2. Розкладіть на множники:
1) а5 + Ь5; 3) у7 - 128;
2) а11 - 1; 4) т7п14/?21 + 1.
8.3. ° Доведіть, що при будь-якому натуральному п значення ви-
разу:
1) 7" — 1 кратне 6; 3) 16" — 11" кратне 5.
2) 192" *1 + 1 кратне 20;
8.4. ° Доведіть, що при будь-якому натуральному п значення ви-
разу:
1) 17" - 1 кратне 16; 3) ІЗ2" + 1 + 1 кратне 14.
2) 232и + 1 + 1 кратне 24;
8.5. ’ Доведіть, що при будь-якому натуральному п значення ви-
разу:
1) 15" + 13 кратне 7; 3) 5-25" + 13-ІЗ2" кратне 9;
2) 9" + 5" - 2 кратне 4; 4) 21" + 4"+ 2 кратне 17.
8.6. ’ Доведіть, що при будь-якому натуральному п значення ви-
разу:
1) 27" + 12 кратне 13; 3) 8" + 15" - 2 кратне 7;
2) 17" + 15 кратне 16; 4) 3 • 9" + 7 • 72" кратне 10.
8.7. ' Доведіть, що при будь-якому натуральному п значення ви-
разу:
1) 22" • 5" - З2" кратне 11; 2) 7" • З3" - 22" кратне 37.
8.8. ’ Доведіть, що число є складеним:
1) 21234 + 1; 2) 1000...01.
їв
8.9. ’ Доведіть тотожність:
1) х5 + х4 + х3 + х2 + х + 1 = (х + 1) (х2 + х + 1) (х2 - х + 1);
2) (х5 + х4 + х3 + х2 + х + І)2 - х5 =
= (1 + X + х2 + х3 + X4) (1 + X + х2 + х3 + х4 + х5 + х6).
8.10. ’ Спростіть вираз:
1) 3" + З98-2 + З97-22 + ... + 3-298 + 299 + 2100;
2) 420 - 419-3 + 418-32 - ... - 4-З19 + З20.
8.11. ” Відомо, що п і а — натуральні числа (п > 1), а значення
виразу а" - 1 є простим числом. Знайдіть а.
8.12. ’’Відомо, що значення виразу 2" + 1 є простим числом, п є N.
Доведіть, що або п = 1, або п — степінь числа 2.
8.13. ” Розв’яжіть рівняння:
1) (1 + х + х2) (1 + х + х2 + х3 + х4) = (1 + х + х2 + х3)2;
2) (1 + х + х2 + х3) (1 + х + х2 + ... + х7) =
= (1 + X + х2 + х3 + х4 + х5)2.
8.14. " Доведіть, що при будь-якому натуральному п значення
виразу: -»
1) 7 • 52п + 12 • 6" ділиться наділо на 19;
2) 7п + 2 + 82п+1 ділиться наділо на 57;
3) 13" + 2 + 142" + 1 ділиться наділо на 183;
4) З2" + 2 + 26" +1 ділиться наділо на 11.
Раціональні дроби
У курсі алгебри 7 класу було розглянуто цілі вирази, тобто
такі, що складаються з чисел і змінних за допомогою дій дода-
вання, віднімання, множення й ділення на відмінне від нуля
число.
Ось приклади цілих виразів: х - у,
хп - уп, 4 + ^, х : 5, у, 7.
а 4 7 у
а + Ь 2,о , 2 1 л
—-—, т + 2т + п , - х - 4,
5 З
У 8 класі ми розглянемо дробові вирази.
Дробові вирази відрізняються від цілих тим, що вони містять
дію ділення на вираз зі змінними.
Наведемо приклади дробових виразів:
а
2х + ^; (х - у) : (х + у); |.
а
Об’єднанням множин цілих і дробових виразів є множина
раціон альвих виразів.
Якщо в раціональному виразі замінити змінні числами, то
отримаємо числовий вираз. Проте ця заміна можлива лише тоді,
коли вона не призводить до ділення на нуль.
Наприклад, вираз 2 + а + 2 при а = 1 не має змісту, тобто
а -1
числового значення цього виразу не існує. При всіх інших зна-
ченнях а цей вираз має зміст.
Означення. Областю визначення виразу з однією змін-
ною називають множину значень змінної, при яких цей вираз
має зміст. Елементи цієї множини називають допустимими
значеннями змінної.
Наприклад, у розглянутому вище прикладі областю визначен-
ня виразу є множина {а | а Ф 1}.
Підмножиною множини раціональних виразів є множина ра-
ціональних дробів. Це дроби, чисельниками і знаменниками яких
є многочлени1. Ось приклади раціональних дробів:
х . х2 - 2ху , 12. а + Ь
7 ’ хч у ’ а ’ 5
Зазначимо, що раціональний дріб може бути як цілим виразом,
так і дробовим.
Знаменником раціонального дробу не може бути многочлен,
який тотожно дорівнює нулю.
Схема, зображена на рисунку 9.1, ілюструє зв’язок між по-
няттями, що розглядаються в цьому пункті.
ПРИКЛАД Знайдіть область визначення виразу — + —-—.
х х - 5
Разе'я шння. Дріб — має зміст при всіх значеннях х, крім
X
з
х — 0, а дріб --- має зміст при всіх значеннях х, крім х = 5.
х - 5
Отже, областю визначення виразу є множина {х | х Ф 0 і х * 5}.
1. Чим відрізняються дробові вирази від цілих?
2. Що називають областю визначення виразу?
3. Опишіть, що являє собою множина раціональних дробів.
1 Нагадаємо, що числа і одночлени вважають окремими видами мно-
гочленів (див. п. 5 на с. 327).
4. Яка множина є об’єднанням множин цілих і дробових ви-
разів?
5. Який многочлен не може бути знаменником раціонального
дробу?
<1 1 " „ • . За2 5х2 ь х 8 „ Ь2 і2 - 6і +15
•'•і- Які з виразів —-— + —, ---------, За—т, ------------,
4Ь3 4 7 6л +1 с4 2і
х-2 1 35/ ..з . 1 т2 - Зтп
х + 2 6 у у 18
1) цілими виразами;
2) дробовими виразами;
3) раціональними дробами?
9.2.° Чому дорівнює значення дробу ---— , якщо:
2с +1
1) с = -3; 2) с = 0?
9.3.° Знайдіть значення виразу , якщо:
Зт + 2л
1) т = -1, п = 1; 2) т = 4, п = -5.
9.4. Чому дорівнює значення виразу:
їх а2-І . 1) при а = —4;
а - 5
х + 3 у 2) 1 о ПРИ х ~ -5, у = 6?
У х + 2
9.5. Знайдіть область визначення виразу:
1) 4) -Л-; 7) х + 4
9 х2 -4 х (х - 6)
2) -Ц; 5) і—г-т; 8) X
х - 5 |х|-4 |х| + 1
з) -Л-; 6) _^ + _ЗХ^; 9) 7
х2 + 4 х-2 х +1 х3 - 25х
9.6. Знайдіть область визначення виразу:
і) 3) 5>
У т2 - 9 х-8 х—1
2) 4) г-р—; 6) 2х - 3
х + 9 ’ |х|-3 (х + 2) (х -10)
9.7.’ Знайдіть область визначення функції:
І)//--1-; 2)у = —; 3) 4 1 1 У= Г
4 X 1 + - X х - X
9 2 2
4|ї = Л----—; 6) І,‘-ГТ
--- --- II х +
х + 1 х - 2 х
9*8.’ При яких значеннях змінної має зміст вираз:
1} 3) |ІТ^+^Ї;
X
2)
о . О
4) —4-?
х2-1
9.9. " Запишіть раціональний дріб, областю визначення якого
є множина:
1) {х | х * 7}; 3) {а | а * 2 і а * -2};
2) {у | у Ф —1}; 4) усіх чисел.
9.10. " Запишіть раціональний дріб, областю визначення якого
є множина:
1) {х | х Ф 5}; 3) {х | х * 3, х ± -3 і х 6};
2) {х | х * —2 і х * 0}; 4) усіх чисел.
9.11. " Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної х
значення дробу:
х2 +1 1
1) від’ємне; 3) -----5-- від’ємне;
6х - 9 - х2 2х - х2 - 2
04 2
2) ~2—“----- додатне;
х2 4- 2х 4- 2
9.12. Доведіть, що при всіх
значення дробу:
її -х2
1) —х--- недодатне;
., х2 4- 6х 4- 9 . ,
4) —5---------- невід ємне.
1 ~ І 1
допустимих значеннях змінної х
о, х4 + 4х2 + 4
3) —і-------- додатне;
х2-14х + 49
х2 + 4х + 4 . ,
2) —--------- невід ємне;
х - 2х + 1
від’ємне.
9.13." Відомо, що 5х — 15</ = 1. Знайдіть значення виразу:
1) х - Зу,
2) —-—;
2х-6у
4)
х2 - 6хі/ 4- §у2
9 11. Відомо, що 4а + 86 = 10. Знайдіть значення виразу:
1) 2Ь + а;
2) ——;
7 а 4-26
3) д2 +ЛяЬ + 462
2а 4- 46 4- 5
4) -4
3) 18у - 6х.
1
1О
Основна властивість раціонального дробу
Рівність За — 1 + 2а + 5 = 5а + 4є тотожністю, оскільки вона
виконується при всіх значеннях а.
т,. За -1 + 2а + 5 5а + 4
Рівність----------=------ також природно вважати тотож-
а + 1 а + 1
ністю. Але вона виконується при всіх значеннях а, крім а = -1.
При а = —1 раціональні дроби, які утворюють дану рівність, не
мають змісту. Отже, треба уточнити прийняті в 7 класі означен-
ня тотожно рівних виразів і тотожності.
Означення. Вирази, відповідні значення яких рівні при будь-
яких допустимих значеннях змінних, називають тотожно
рівними.
Означення. Рівність, яка виконується при будь-яких допусти-
мих значеннях змінних, називають тотожністю.
Наприклад, рівність ——= 1 є тотожністю, оскільки вона
а - 2
виконується при всіх допустимих значеннях а, тобто при всіх а,
крім а = 2.
У 7 класі розглядалися тотожні перетворення цілих виразів.
Тепер розглянемо тотожні перетворення дробових виразів.
Згідно з основною властивістю відношення виконується рів-
ність:
а _ ат
Ь Ьт ’
де а, Ь і т — деякі числа, причому Ь * 0 і т * 0.
Раціональні дроби мають властивість, аналогічну основній
властивості відношення:
якщо чисельник і знаменник раціонального дробу помножи-
ти на один і той самий многочлен, який тотожно не сорівнюі
нулю, то отримаємо дріб, тотожно рівний даному.
Цю властивість називають основною властивістю раціональ-
ного дробу і записують:
А _ А • С
В ~ В-С’
деА,ВіС — многочлени, причому многочлени В і С тотожно не
дорівнюють нулю.
А • С
Відповідно до цієї властивості вираз можна замінити на
В • с
А
тотожно рівний дріб —. Таке тотожне перетворення називають
скороченням дробу на множник С.
ПРИКЛАД 1 Скоротіть дріб:
і)
24аУ
Зх + 15у.
Зх ’
Розв’язання
3) У2+4у + 4
У + %У
1) Одночлени 6а3Ь2 і 24аУ мають спільний множник 6а2Ь2. Тоді
маємо:
6а3Ь2 _ а • 6аУ а
24агЬ‘і 4Ь2 • 6а V 4Ь2 '
2) Розкладемо чисельник даного дробу на множники:
Зх + 15у _ 3 (х + 5у)
Зх Зх
Отже, чисельник і знаменник даного дробу мають спільний
множник 3, скоротивши на який, отримуємо:
Зх +15у _ 3 (х + 5у) _ х + 5у
Зх Зх х
3) Розклавши попередньо чисельник і знаменник даного дробу на
множники і скоротивши на спільний множник у + 2, маємо:
у2 + 4у + 4 _ (у + 2)2 _ у + 2
у2 + 2у У (У + 2) у
З основної властивості дробу випливає, що
Кожен з дробів А е. —, тобто В А _ -А . -А _ А в -в 1 В -В' -А А — і — можна записати у вигляді виразу В —В -А = А _ _ А В -В В’
ПРИКЛАД 2 Скоротіть дріб
5а - а
Розв’язання. Маємо:
4а-20 = 4 (а - 5) = 4 (а - 5) _ _ 4
5а - а2 а (5 - а) -а (а - 5) а '
' 11 3 Зведіть до спільного знаменника дроби:
.. х 2т . 5п2 1 - 1 4а2 . 6
} 9аУ 1 баУ5 ’ а + Ь 1 а-Ь’ а2-36 1 а2+6а’
Розв’язання
1) Добуток знаменників даних дробів, який дорівнює 9а2Ь6 • 6а4&3 =
= 54а6Ь9, можна прийняти за їх спільний знаменник. Проте
зручніше за спільний знаменник узяти одночлен 18а4Ь6, ко-
ефіцієнт якого 18 є найменшим спільним кратним коефіцієн-
тів 9 і 6 даних знаменників, а кожну зі змінних а і Ь взято
у степені з найбільшим показником степеня, з яким вона міс-
титься у знаменниках даних дробів.
Оскільки 18а4Ь6 = 9а2Ь6*2а2, то додатковим множником до
Дробу
2т
9а2Ь6
є одночлен . Ураховуючи, що 18а4Ь® = 6а463 • ЗЬ',
с.
маємо, що додатковим множником до дробу —-
_ ч 6а і
ЗЬ'. Отже,
є одночлен
2т _ 2т -2а2 _ 4дгт .
9а2Ьв ~ 9а2Ьв • 2а ~ 18а4Ь® ’
5га2 = 5га2 • 36і = 15Ь3га2
6а4Ь3 6а4Ь3 • ЗЬ3 18а4Ь® ‘
2) Спільний знаменник даних дробів дорівнює добутку їх знамен-
ників. Маємо:
1 _ а-Ь _ а-Ь
а + Ь (а + Ь) (а-Ь) а2 -Ь2 ’
1 _ а+Ь _ а+Ь
а-Ь (а-Ь) (а + Ь) а2 -Ь2'
3) Для знаходження спільного знаменника раціональних дробів
буває корисним попередньо розкласти їх знаменники на множ-
ники:
а2 — 36 = (а + 6) (а — 6), а2 + 6а = а (а + 6).
Отже, за спільний знаменник можна взяти вираз а (а + 6) (а - 6).
Тоді
4а2 = ^4а2 = 4а3 = 4а3 .
а2-36 (а + 6)(а-6) а(а + 6)(а-6) а3-36а’
^6,
6 = е^б = 6а - 36 6а - 36
а2 + 6а а (а + 6) а (а + 6) (а - 6) а3 - 36а ’
ПРИКЛАД 4 Відомо, що - — = 2. Знайдіть значення дробу
2а -Ь
а3 - 6а2Ь - аЬ2 + 12Ь3
18Ь3 + а3 - 6а2Ь
г. і ст _ > л За + 4Ь За З
Розв язання. Якщо Ь = 0, то -------= — = —, що суперечить
2а - Ь 2а 2
умові. Отже, Ь 0. Поділимо чисельник і знаменник дробу, зна-
чення якого ми шукаємо, на Ь3:
а3-6а1 2 3Ь-аЬ2+12Ь3 _(ь) 6(ь) & + 12
18^+а3-6^ “ 18 + (°)3_6(*)2
З умови
£ = 6. Тоді
О
3а + = 2 випливає, що За + 4Ь = 4а - 2Ь, а = 6Ь,
2а - Ь
б3 - 6 • б2 - 6 +12 1
шукане значення дорівнює -----;„— = —
18 +б3-6-62 З
ПРИКЛАД 5 Побудуйте графік функції у = —------.
X -1
Розв'язання. Областю визначення даної
функції є множина Л (у) = {х | х * 1}. Маємо
„ - **~1 - (х-1)(х + 1) _ „ . !
У~ Х-1~ х-1 ~Х + 1-
Отже, шуканим графіком є пряма у = х + 1
за винятком однієї точки, абсциса якої дорів-
Рис. 10.1 нює 1 (Рис- Ю.1).
ПРИКЛАД б Для кожного значення а розв’яжіть рівняння
(а2 - 9) х = а + 3.
Розв'язання. Запишемо дане рівняння у вигляді (а + 3) (а - 3) х =
= а + 3 і розглянемо три випадки.
1) а = 3.
Тоді отримуємо рівняння Ох = 6, яке не має коренів.
2) а = -3.
У цьому випадку отримуємо рівняння Ох = 0, коренем якого
є будь-яке число.
3) а * 3 і а * —3.
А " * / II «А •
(а + 3) (а - 3) а - З
Відповідь: якщо а = 3, то рівняння не має коренів; якщо а = —З,
то коренем є будь-яке число; якщо а/Зіа / —3, то х = —Ц-.
1. Які вирази називають тотожно різними?
2. Що називають тотожністю?
3. Сформулюйте основну властивість раціонального дробу.
10.1.° Скоротіть дріб: 14а3 оч 4аЬс -Юп10
1) ; 3) 5)
21а 16а04 5п4
24г V. 56пі6п7 61 Зр49®
32хг/ ’ 42т6п10 -9р897 '
10.2.’ Скоротіть дріб:
1) 3) 5с4 . 5) 12а8 .
21і/ 10с6 ’ -42а2’
2) 4) 63ху. 6) -13а506
6х 42х4і/5 ’ 26а403
Ю.З.’ Спростіть вираз:
1) і о? тї? 3) а -Ь’ 4) —О
10.4.° Відновіть рівності:
1 \ а _ _ _ _ - 1а2с3 .
3 6а 9а3 150
т _ 4т _ _ Зтп4п3
и 2п2 тпр
10.5.° Зведіть дріб:
1) й 5 о\ — до знаменника о ; 31 6 ДО знаменника З5х3у2;
ь° 7ху
2) — до знаменника 27п4; 4) 9п 5к бр6 до знаменника 24р®с.
10.6.° Зведіть дріб:
1) X „ І — до знаменника і/ 3) 9 - до знаменника 12т3п2;
у2 4лі2л
2) — до знаменника 603; 4) 11с До знаменника 300с?7.
ЗО 15</6
10.7.° Скоротіть дріб:
1) 2а + 20 .. —„—— • 4) 7(а + 0) ’ 7х-21у 5х -15«/ 7) а2 + 4а + 4 . 9а +18 ’
2) 5) а - 50 9 8) с2 - 6с + 9 ,
(а - б)3 а2 - 5а0 с2 -9
3) 12а +180 ———» Ь) у2-25. 9) т3 +1
12а 10 + 2у ’ т2 - т + 1
10.8.° Скоротіть дріб:
1) -а~.ь. ; 2) 2 (0 - а) Зх - 6у ф 3) т2 - 5тп. _
4у - 2х ’ 15п - Зт
4) 7а4 - а3Ь. Ь4 - 7аЬ3 ’ 5) х2-25 5х2-х3’ 6) у2 - 12у + 36 36 -у2
10.9.' Скоротіть дріб:
1) Зт - Зп. 7 т-7 п' 4) х2 - 49. 6х + 42 ’ 7) Ь5-Ь4 Ь5-Ь6’
2) 5а + 255 5) 12а2 - 6а. 8) 7т2 + 7т + 7
2а2 + ЮаЬ ’ 3 - 6а ’ т3 -1
3) 4х - 16у _ 16 г/ 6) 9Ь2 -1 9Ь2 + 6Ь + 1 ’ 9) 64-х2 Зх2 - 24х'
10.10 .° Зведіть дріб:
1) —-— до знаменника а + 2 4а + 8;
ох ТҐІ 2 г» 2
2) до знаменника тп - 9п ;
т - Зп
3) ---- до знаменника 7у — 14х;
2х- у
4) ——— до знаменника 4а2 + 12аЬ + 9Ь2;
2а + ЗЬ
с-\ X + 1 3-і
5) —5---- до знаменника х — 1.
х + х +1
10.11.° Подайте вираз х — 5у у вигляді дробу із знаменником:
1) 2; 2) х; 3) 4у3; 4) х2 - 25у2.
Зведіть дріб до знаменника:
1) 55 - 20; 2) 12 - ЗЬ; 3) Ь2 - 4Ь; 4) Ь2 - 16.
10.13.° Подайте дані дроби у вигляді дробів з однаковими зна-
менниками:
1) 1 . і 1 5) X . X і ;
8аЬ 2а3 ’ 2х + 1 Зх-2
Зх і 4у • НІ а-Ь . а
7т3п3 Зт2п4 ’ За + ЗЬ 1 2 >2 ’ а ~Ь
а + Ь 2 71 За । 2а
а-Ь 1 2 .2 ’ а ~ о 4а - 4 5 - 5а ’
4) 34. і 8р ; 8) 7а . х с
т- п (т - п)2 Ь - 3 9-Ь2
Зведіть до спільного знаменника дроби:
П 4 • 1
' 15х2/ 1 Юх3/
2) -4-г і
6а4Ь5 9аЬ2
3)
--- 1
у-$
у2-2&'
. 2т - Зп
2 1 2 2 ’
т - тп т - п
5) -ЇІІ- і X -ху ху-у 7) 1 + с2 . с с2-16 1 4-е’
6а - За 6) і ; а - 26 а + Ь 8) 2т + 9 . т т2 + 5т + 25 т-5
10.15.’ Скоротіть дріб:
і. (За + 36)2 . а + Ь 3) ху + х - 5у - 5 . 4у+ 4
(6х - 18у)2 . х2-9у2 4) а2 - аЬ + 2Ь- 2а а2 - 4а + 4
10.16.' Скоротіть дріб:
.. 2т2 - 72п2 . (4га + 24а)2 ’ 2) - °3-— ; аЬ - а - 2Ь + 2 3) д3 4- + аЬ^ а3 - аЬ2
10.17.* Скоротіть дріб (п — натуральне число):
П 100" 21 22"*1 -7П+1 . 5"*1 -5”
і 22л+3-52п+1 ’ * 6-28" ’ 2-б"
10.18. ' Скоротіть дріб (п — натуральне число):
18" . 2} 41-9"
' 32п+г -2П+1 ’ 7 9"+2 +9"
10.19. * Зведіть до спільного знаменника дроби:
1) —— і —-—;
5р-15 р3-27
За + 1 . а - 2
' 9а2 - 6а + 1 1 9а2 -1 ’
о\ Д * 0 4 3 в
а2-7а 1 а2-14а+ 49’
.. 2х Зх . 4
4) 5 ї п І 9 і
х2 - 1 X2 - 2х +1 X2 + 2х + 1
►-. а б • аб
5) —5----------, ------- і -----.
аг — аЬ — ас + Ьс 2а — 2Ь 4а — 4с
10.20. * Запишіть у вигляді дробів з однаковими знаменниками
дроби:
і. За а • а и
За-2’ 9а+ 6 1 9а26-4б’
а - 5Ь ’ а2 + 7 ас а2 + 7ас - 5аЬ - 35Ьс
10.21. ’ Знайдіть значення виразу якщо — = 2.
Зху + х2 у
г, „ . 4а - ао а с
10 22 Знайдіть значення виразу --------якщо — = 5.
аЬ+146 Ь
10.23.’ Відомо, що 2а - 66 = 1. Знайдіть значення виразу:
П 8 • 2) д2 ~9ь2
а -ЗЬ’ * 0,5а+ 1,56'
10.24.' Знайдіть значення виразу
2т -1,5п
32т2 - 18и2 ’
якщо 4т + Зп = 8.
10.25. ’ Знайдіть значення виразу:
1)
а2 - ЗаЬ - Ь2
„2
а —Ь
, якщо
За + 2Ь
4а -Ь
2)
т3 + 2т2 п 5т - п
—- якщо —
п - тп Зт + 2п
10.26. ’ Яка фігура є графіком функції
х3 - 2х2 + 4х - 8 9
У = ----^2-,-----?
10.27. ' Побудуйте графік функції:
-і, х2 - 4 х2 - Юх + 25 2хг - 4х
1) У = —3) у =----------------------—---;
х+2 х-5 х
оч х-3 .,2 2
««'Г? 4)!/ = 774-Гм-
10.28. ' Побудуйте графік функції:
х2 - 8х +16 о, х2 - Зх 2х2 - 2
і) у =---; 3) у =-----.
X - 4 х X2 -1
х
2) у = х-~;
10.29.’ Побудуйте графік функції:
1 1 I Х I О\ X2 - 1
10.30.’ Розв’яжіть рівняння:
1) = 1; 2) х2~25 = 10; 3) .х*6 = 0.
х + 1 х-5 |*|-6
10.31.г Розв’яжіть рівняння:
1) *2~16 = -8;
х + 4
2) - = 0.
х-7
10.32.” Для кожного значення а розв’яжіть рівняння:
1) ах = 1; 3) (а - 6) х = а2 - 12а + 36;
2) ах = а-, 4) (а2 - 4) х = а - 2.
10.33.” Для кожного значення а розв’яжіть рівняння:
1) (а + 3) х = 3; 2) (а2 - 9а) х = а2 - 18а + 81.
10.34. "' Доведіть, що при всіх
значення дробу:
з 2 ,4
ч а — а — а + 1 . ,
1) —----9------ невід ємне;
а + а + а + 1
2г - 4
2) ~з—ЇГг------п додатне;
х3 - 2х2 + х - 2
допустимих значеннях змінної
ох (х -1)3 . ,
3) —5——--------- невід ємне;
х - х2 + 4х - 4
х2 -4
4) -----5---7 від’ємне.
12 + х2-х4
10.35. *’ Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної
значення дробу:
х -1 х2 -1
1) з--------додатне; 3) -—---------------* від’ємне.
х3 - х2 + 2х - 2 4 - Зх2 - х4
ох (х - 2)3 - ,
2) ------------ невід ємне;
х3 - 2х2 + х - 2
•• ^1 До Я
10.36. Відомо, що = = -^ = /г. Доведіть, що коли
Оі
12 П
Ь, + Ь„ + ... + Ь 0, то
12 П
10.37.*’ Скоротіть дріб:
і)
х2 +х-2
2х а2 - 4а + 3.
а2 + 2а - 3 ’
о. 2Ь3 + 36 2 + 36 + 1.
> 26 + 1
4) х + 3.
х3 + 6х2 + 12х + 9 ’
ді +а2 + - +ап к
Ьі+Ь2+ ... + Ьп
7)
8)
а4 + 4а3 + 8п2 .
а4 + 64
/ + У2 + 1.
Уг -У + 1 ’
пі2 + т + 3
т* + 5т2 + 9 ’
б47 +Ь46 + ... +6 + 1
} ь23 + ь22 +... +ь + і;
Ю)
„38 „37 . „36
а -а + а
... - а + 1
... - а +1
10.38.” Скоротіть дріб:
1)
у + у - б
х2 + 6х + 5 ,
’ х2+Зх + 2’
2х3 - 9х2 + 27х - 27.
4х2 - 9
4)
5)
2 4 + 7 г2 + 16 .
г2 + г + 4
/5+у54+ ... + у + 1.
у27+у26+ ... +у + 1’
л59 58
а —а
~Ї9 18
а —а
10.39.* Відомо, що
Х1 Х2 Х3 тт
— = —- = —. Доведіть, що
х2 х3 х4
10.40. * Відомо, що а3 + 7а — 9 = 0. Знайдіть значення виразу:
2а 3 + За.
11а-18’
2а4 + 14а2 -17а + 3
2а + 6
10.41. * Скоротіть дріб
X + X + 1
X2 4- X + 1
10.42. * Розкладіть на множники многочлен а8 + а6 + а4 + а2 + 1.
Додавання і віднімання раціональних дробів
з однаковими знаменниками
Ви знаєте правила додавання і віднімання звичайних дробів з од-
наковими знаменниками. їх можна виразити такими рівностями:
а _ а + Ь а _Ь _ а -Ь
с с с ’ с с с
За цими самими правилами додають і віднімають раціональні
дроби з однаковими знаменниками.
Щоб додати раціональні дроби з однаковими знаменниками,
треба додати їх чисельники, а знаменник залишити той са-
мий.
Щоб відняти раціональні дроби з однаковими знаменника-
ми, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник
другого дробу, а знаменник залишити той самий.
ПРИКЛАД 1 Виконайте віднімання:
. . у2 + 2у _ 12у - 25 _ „ч 4 _ 2а - З
у2 - 25 у2 - 25 ’ ’ 2а -1 1 - 2а '
Разе’ язання
у2+ 2у _ 12г/ - 25 = / + 2у - (12у - 25) = / + 2у - 12у + 25 =
' у2-25 у2 -25 у2-25 /-25
= у2 - 10у + 25 = 0/-5)2 = у-5
/-25 (у + 5)(у-5) у + 5'
2і 4 _ 2а - 3 _ 4 _ 2а - 3 _ 4 + 2а - 3 _ 4 + 2а - 3 _
' 2а -1 1 - 2а ” 2а - 1 -(2а - 1) “ 2а - 1 2а -1 ' 2а-1
2а +1
2а -1 ‘
ПРИКЛАД 2 Відомо, що — = -3. Знайдіть значення виразу
п
НІ І II
III
Розв’язання. Подамо даний дріб у вигляді суми цілого й дро-
бового виразів:
2т + п _ 2т + _ 2 + —
т т т т
„ т о п 1 ,-4 2т + п п . п
Якщо — = -3, то — = —. Отже, -----------= 2 + — =
п т 3 т т
ПРИКЛАД З Знайдіть усі натуральні значення п, при яких зна-
2п2 + Зл -15
чення виразу ----------- є цілим числом.
п
Розв’язання. Подамо даний дріб у вигляді різниці цілого й дро-
бового виразів:
2л2+3л-15 2пг , Зп 15 о |О 15
п п п п п
Вираз 2л + 3 набуває натурального значення при будь-якому
15
натуральному п. Тому вираз 2п + 3---набуває цілого значення,
л
15 ТТ
якщо значення виразу — є цілим числом. Це можливо лише при
п
таких натуральних значеннях п: 1, 3, 5, 15.
Відповідь: {1, 3, 5, 15}.
ПРИКЛАД 4 При яких цілих значеннях п значення дробу
Зл2 + 5л -13 . о
----------- є цілим числом?
71 + 2
Розв’ язання. Маємо:
Зл2 + 5л -13 _ Зл2 + 6л - л - 2 -11 _ Зл (л + 2) - (л + 2) -11 _
л + 2 л + 2 л + 2
_ Зл (л + 2) _ і _ 11 — зп _ і _ 11
л+2 л+2 л+2’
Дріб І* набуває цілих значень тільки тоді, коли його зна-
л + 2
менник набуває одного з чотирьох значень: —1, 1, -11, 11. Звідси
п набуває таких значень: —3, —1, —13, 9.
Відповідь: {-3, -1, -13, 9}.
Виконані в прикладах 2-4 перетворення раціонального дробу
називають виділенням цілої частини з дробу.
1. Як додати раціональні дроби з однаковими знаменниками?
2. Як відняти раціональні дроби з однаковими знаменниками?
11.1.° Виконайте дії: 4) 5) 6)
1) 2) 3) - + ^; 6 6 а _ 6, з з; т 4т. 1 у п п т + п т -2п
6 6 ’
2а - ЗЬ , 9Ь - 2а
ь ;
6аЬ баЬ
8т + 3 2т + 3
10т2 10т2
11.2.° Подайте у вигляді дробу вираз: а - Ь а 10а + 66 6Ь - а
1) 2Ь 2Ь’ 11а3 11а3 ’
2) 11.3.° 1) 2) 11.4.' 1) 2) 11.5.° 1) а - 126 а + 156 . 27а 27а ’ Спростіть вираз: а2 9 а + 3 а + 3 і 4 г2-16 і2-16’ Спростіть вираз: с2 81 с - 9 с - 9 ’ а2 36 (а - б)2 (а - б)2 ’ Виконайте дії: а + Ь а с-7 7-е’ 4) 3) 4) 3) 4) 3) х2 - ху 2ху - Зх‘ 2 2 х у х у т2 25 (т - 5)2 (т - 5)2 Ь2 | 206 + 100 6 + 10 6 + 10 Зх + 5 _ 2х + 7 . х2 - 4 х2 - 4 ’ У2 4у-4 у-2 у-2 ‘ 8162 [ а2 96-а а - 96 ’
2) 11.6.° 1) 11.7.° 1) 2х - 4у _ 4х - 14у . х -Зу Зу - х ’ Спростіть вираз: Зс за . с - а а - с ’ Знайдіть значення виразу: а2-48 16 пп при а 32; а - 8 а - 8 4) 2) У2 1~2у у-1 1-у’ б2 | 49 26-14 14 - 26'
.2
ох с2 + Зс + 7 с + 3 о
2) --=-----+----~ при с = -3.
с3-8 8-е3
11.8. Знайдіть значення виразу:
п 5х + 3 , 6х-1 л і а2 + а 7а-9 п
1) +---------х при х = -4,1 2) -т-----5--- при а = 7.
х2-16 16-х2 а2-9 а2-9
11.9. " Спростіть вираз:
і) 5п -1 _ 7а - 8 _ 8п + 7 . дч ЗА 4/г +1 к2
> 20п 20п 20п ’ к3 -1 1-А3 1 -к3'
9т + 2 т - 9 1 - 7т .
2 л л 2 ' 2 л ’
т - 4 4 - т т - 4
11.10. * Спростіть вираз:
і) 6а - 1 4а - 7 -2а - 2 .
' 16а - 8 16а - 8 8 - 16а ’
9. 2а2 + 12а 8а - 9 _ а2 + 14а -16
’ а2 -25 25-а2 а2-25
11.11. " Виконайте дії:
_. ч 15 - 8а _ 14 - 7а . т2 - 8п______2т - 8п .
' (а-І)2 (1 - а)2 5 \тп-2)(и-5) (2 - т) (5 - а) ’
ЗА2+12 , 125 х2 6х-9
2) -------н------=•; 4) -------------х-.
(Ь - 2)3 (2-5)3 (х-3)2 (3-х)2
11.12/ Подайте у вигляді дробу вираз:
.4 X2 - 16х 2х + 49. оч У2 + У 1 У + 36
' (х-7)4 (7-х)4’ ’ (у-6) (у+ 2) (6-у) (2 +у)'
2ч а3 853 .
' (а-25)3 (25-а)3’
11.13. " Доведіть тотожність:
п (а + 5)2 _ (а-5)2 = р 2) (а + 5)2 + (а - 5)2 = 2
4а5 4а5 ’ а2 + 52 а2 + 52
11.14. " Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної х
12х-25 , 8х + 10
значення виразу ------+-------- не залежить від значен-
н 3 20х-15 20х-15
ня х.
11.13. * Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної у
значення виразу
17у + 5 9-Пу
21у-3 21у-3
не залежить від значення у.
11.16. * Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної вираз
а2 - 6 7а - 4 , За + 6 Л
------------7 +------- набуває додатних значень.
(а-2)4 (а-2)4 (а-2)4
11.17. * Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної вираз
2 - 52 7 - 35 , 75 - 20 ,
-----г-------+-------г- набуває від ємних значень.
(5 - 5)6 (5 - 5)6 (5 - 5)6
11.18. " Подайте даний дріб у вигляді суми або різниці цілого
і дробового виразів:
1)
0-. а2 -2а-5
а-2
11.19. " Подайте даний дріб у вигляді суми або різниці цілого
і дробового виразів:
1) 4а - Е.
а
11.20." Відомо,
9. Е2 + 7Е + З
' Ь + 7
що — = 4. Знайдіть значення виразу:
У
1)
3) х2 +у2
ху
11.21. " Відомо,
а
що -
о
= -2. Знайдіть значення виразу:
1)
а
4а + 5Е
} Е
11.22. " Знайдіть усі натуральні значення
3) а2 - 2аЕ + Е2
аЕ
п, при яких є цілим
числом значення виразу:
1) + 6. 2) За2 - 4п -14 .
п ’ п
3)
4п + 7
2п - 3 ’
11.23. " Знайдіть усі натуральні значення
п, при яких є цілим
числом значення виразу:
8п - 9. 2^ л2 + 2п - 8 .
п ’ п
о, 9п -4
' За-5
11.24. ” Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні п
значення дробу не є цілим числом:
п2 + п + 1. 9. п3 - 2п2 + п -1
п + 1 п2 +1
11.25. ” При яких цілих значеннях п є цілим числом значення
дробу:
і, 2п2 + 7п - 4 . 9, 4п2 - 11п + 23 9
} її + 3 * п - 2
11.26. * Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні п є ці-
лим числом значення дробу:
1, п3 - 2п + 1. 9А п3 - 4п - З
п +п-1 п -п - З
11.27. * Числа а, Ь і с такі, що значення виразів а + Ь + с
аЬ + Ьс +ас тт
і --------- є цілими числами. Доведіть, що значення виразу
а + Е + с
и т т с
--------- також є цілим числом.
а + Ь + с
2) 2х - Зу.
У
Застосовуючи основну властивість дробу, можна додавання і від-
німання дробів з різними знаменниками звести до додавання і від-
німання дробів з однаковими знаменниками.
А С
Нехай треба додати два раціональних дроби — і —. Можна
В Р
записати:
А_А-Р, С С-В
„ . В В-Р’ Р Р-В'
Тоді
А С = А-Д С-В = А-Р+С-В
В Р В-Р + Р-В В-Р
Тут за спільний знаменник обрано вираз, який дорівнює до-
бутку знаменників даних дробів.
Зазначимо, що добуток знаменників даних дробів не завжди
є найбільш зручним спільним знаменником.
Нагадаємо, що при знаходженні спільного знаменника зви-
чайних дробів ми знаходили найменше спільне кратне знамен-
ників, розкладаючи їх на прості множники. Аналогічно для
знаходження спільного знаменника раціональних дробів може
виявитися зручним розкладання знаменників на множники.
Зрозуміло, що сума і різниця двох раціональних дробів є ра-
ціональними дробами.
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:
, Ь +1 1 - а ’ аЬс а2с 5 т п 7т + 7п 7т-7п’ о-, 10п + 14 6 9 । — 9 п2 - 49 7 - п 4) — ; 25 - 10а + а2 2а- 15 х х + 2 х - 4 х - 2 '
Розв'язання
1) Спільним знаменником даних дробів є одночлен а2Ьс. Отже,
-^Ь +1 + -^1 - а _ аЬ + а + Ь-аЬ _ а + Ь
аЬс агс а2Ьс а2Ьс
2) Розклавши попередньо знаменники даних дробів на множни-
ки, отримуємо:
_ Ц , V Ц,
ці У ці У
т п ~^т
7т + 7п 7т -7п 7(т + п) 7(т-п)
_ т (т -п)-п (т + п) _ т2 - тп - тп - п2 _ т' - 2т п - п2
7(т + п)(т-п) 7(т2—п2) Цт2-п2)
3) Маємо:
_)у- * У
10п + 14 6 _ 10п + 14 _ 10п + 14 - 6 (п + 7) _
п2 - 49 7 - п(п - 7) (п + 7) п - 7 “ (п - 7) (п + 7)
_ 10п + 14 - 6п - 42 _ 4п - 28 _ 4 (п - 7) _ 4
(п - 7) (п + 7) “ (п - 7) (п + 7) “ (п - 7) (п + 7) ” п + 7 ’
х ___2а_________1 _ 2а__________1 _
? 25 - 10а + а2 За - 15 ~ (5 - а)2 3 (а - 5) “
_ ~^2а ^-^1 _ 6а - а + 5 _ 5а + 5
” (а - 5)2 3 (а - 5) “ 3 (а - 5)2 ~ 3 (а - 5)2
5) У цьому випадку спільний знаменник даних дробів дорівнює
добутку їх знаменників. Тоді
X х + 2 _ . х (х - 2) - (х + 2) (х - 4) _
х - 4 х-2 (х-4)(х-2)
х2 - 2х - х2 + 4х - 2х + 8 ___________8______
(х - 4) (х - 2) — (х-4)(х-2)’
21с2
ПРИКЛАД 2 Подайте у вигляді проб'7 вираз ——— - Зс.
Розв'язання. Подавши вираз Зс у вигляді дробу зі знаменни-
ком 1, отримуємо:
1с 7
21с2 „ 21с2 <іс
------Зс =--------—
7с - 2 7с - 2-----1
21с2 -21с2 + 6с = 6с
7с - 2 7с - 2 ‘
1. Як виконати додавання й віднімання раціональних дробів
з різними знаменниками?
2. Що є сумою і різницею двох раціональних дробів?
12.1.° Спростіть вираз:
із 2^ ~ _ ЗЬ+_2с.
'б 15 ’
2) Зх ~ 2 3</ -1.
х У
5т - п _ т — бп .
14т 7т ’
а + Ь , а - с
4) —— +
аЬ ас
ЗА-4
5> -. к2 '
6) У-х2 . 2 ’
X х у
7) 12.2.’ 1) 2) 3) 12.3.’ 1) 2) 12.4.* 1) 12.5.’ 1) 2) 3) 12.6. 1) 2) 12.7.° 1) 2) 3) 12.8. 1) 2т - Зп , 7т - 2п оч 2 + 2 ’ т п тп Виконайте віднімання дробів: 4гі + 7 - 6 . ч ; 4) т- п _ р- п ф тп пр 9 6а + 2 2а + 4 , с + гі _ с2 - 8гі 3.3 ’ са с а с2 -16 с - 9 . с® с5 1 1 + X2 . 3 5 ’ X X 1 - аЬ 1 - ад.
аЬ агЬ Виконайте дії: т т 3) аЬс с ассі с
п т + п9 а 3 Зс-1 X Зс + Г X
а - 3 а + 3’ 2у + 1 Зу -2~ Перетворіть у дріб вираз: а а . 21 — - + 4 • 3) _- 2 а-Ь Ь' х х + 2 ’ ’ Ь-2 Ь + 2’ Виконайте додавання або віднімання дробів: 18 _ 6. .. т-2п _ т - Зп . Ь2 + ЗЬ Ь' 6т + 6п 4т + 4л ’ 2 _ с -1 . а2 + 2 _ а + 4 . с + 1 с2 + с ’ а2 + 2а 2а + 4 ’ лі +1 1-ої . Зх - 4у х -Зу Зт -15 2т -10 ’ х2 - 2ху ху - 2уг Спростіть вираз: 2 16 . а2+д2 , Ь
т т2 + 8т ' а-2 а -1 4) 4) 5) 6) 2) 2а2 + 2аЬ ' а + Ь’ Ь + 4 а + 4
2а - 6 За - 9 ’ Виконайте дії: 3 х + 4 . х + 3 х2 - 9 ’ а2 а аЬ-Ь2 За + Ь а —о т а2 - аЬ + —Ц-; а + Ь т2
а2 - 64 а - 8 ’ 6д 1 т + 5 Ь т2 + 10т + 25 ’ Ь2
9Ь2 - 4 ЗЬ - 2 ’ Спростіть вираз: 4лс-у 1 . X2 - у2 Х-у' а + Ь у2 У2-81 а2 +Ь2 + 2аЬ У . у+ 9’
3) 10а 1 25а2 - 9 5а + 3 ’ 4) п п2
п-7 п2 — 14п + 49
12.9.° Подайте у вигляді дробу вираз:
1) X — х; У 4) 35 + 4 Ь — 2
2) — + — + 2; 5) с 12т2 +1
п т 2т
3) 4-^ + 3; Р~ Р 6) 20&2 + 5 - юь. 25-1
12.10 Виконайте дії:
1) 4 а ; а 4) к-5
2) - +х-2- X 5) Зп
3) т 1 + т; 6) 5 4у-12
п3 п У-2
12.11 .’ Спростіть вираз:
а а + 4
1) 5)
а2 - 2а + 1 а - 1 а2 - 4а + 4 а2 - 4
2) а2 + Ь2 а-Ь ' а2 -Ь2 а + Ь’ 6) 2р _ 5 + 2р2 р-5 р + 5 25- р2’
с + 7 28с 1 у+ 8 2
3) 7)
с - 7 49 - с2 ’ У 16-у2 у-4
5а + 3 6 - За. 25-1 ( 45 ( 25 + 1
2а2 + 6а а2 - 9 ’ 45 + 2 452-1 3 - 65'
12.12 1) .’ Спростіть вираз: 2 2 т + п т + п 4) 5-2 5
т-п т2 -п2’ О 1 сч О ОІ + + N
2) х-у } у2 . 5) х - 6 + х _ х - 3.
X + у 2ху + х2 + у2 х2 + Зх х + 3 х
3) 2а а + 4 . 6) у + 2 у-2 16
4а2 -1 2а2 + а ’ у-2 у+ 2 у2 -4*
12.13.’ Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної зна-
чення даного виразу не залежить від її значення:
1) 2х + 1 > 2х-1 х + 7 . 2) 24 - 2а _ а 4 а2 -16 2а - 8 а + 4 ’
2х - 4 6 - Зх 6х -12 ’
12.14.’ Подайте у вигляді дробу вираз:
1) і .а2-2 1 - а + ; а + 2 2) ь2 -—— + За-Ь-, За + 5
3) —^-с-3;
С о
4) 8т2 -2т -1.
4т - З
12.15 / Спростіть вираз:
к 10 - 29с + 10с
2)5С------2с-5
+ 2.
12.16 .’ Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1)
12
2)
2а- 4 а2- 4 а + 2
2с + 3 . 2с - З
якщо а — 5;
16с
3)
2с2 - Зс
т2 +16п2
2с2 + Зс 4с2 - 9
якщо с = -0,8;
т + 4п
т2-16п2 2т - 8п
якщо т - 3, п = 0,5.
12.17 / Знайдіть значення
виразу:
1)
5х - 20 х2 - 8х +16
якщо х = 3;
2)
2у -1 2у
2у 2у - 1 2у - 4у2 ’
оз
якщо у = -2у.
12.18 / Доведіть тотожність:
1)
Ь2
а а-Ь а2 - аЬ
= 0;
9, а + 3 а + 1 6
а + 1 а-1 + а2-
12.19 /Доведіть тотожність:
1)
За
6а - 4Ь 6а + 4Ь
2)
с2 + Зс Зс + 9
4Ь2 - 9а2 За - 2Ь
^- = 0.
Зс
12.20 / Знайдіть різницю дробів:
і)
2) 1___д2 -6Ь
} Ь + 3 Ь3 + 27
12.21 / Спростіть вираз:
1)
9т2 - Зтп + п2 9т2 + Зтп + п2
Зт - п
Зт + п
; 2) 1-Д-1—
4Ь2 - 2Ь +1
2Ь
2Ь +1 ‘
12.22 / Доведіть тотожність
За2 + 24 6
а2 - 2а + 4 а + 2
12.23 / Спростіть вираз:
1)
4Ь
а-Ь
а2 - Ь2 а2 + аЬ
Ь2 -аЬ'
„2
7
З
6
а
1
с + 2
1
2
х - 5
1
1
2
з
2
1 а2 - 1'
х - 2 х + 2 х2 - 4 8х - 2х3 ’
2 ч ___£_________________£__•
(а - 5Ь)г аг-25Ь2 (а + 56)2’
,, х2 + 9х +18 _ х + 5
ху + Зу - 2х - 6 у - 2 '
12.24. * Доведіть тотожність:
1) а + 3 । а~3 । 12 = а-3.
а2-За За+ 9 9-а2 За ’
2) Ь~4 - ~2Ь~24 = 2 .
2а -1 2аЬ -4-Ь + За 2а-1’
3) 1 + 2 + 1 = 144
а2 + 12а+ 36 36-а2 а2-12а+ 36 (а2 -36)2‘
12.25. ” Доведіть тотожність:
7 (а-Ь) (а- с) (Ь - а) (Ь- с) (с - а) (с - Ь)
2 А2
2) ------+----------+-----------= 1.
(а - Ь) (а - с) (Ь - а)(Ь- с) (с - а)(с- Ь)
12.26. ” Доведіть тотожність:
1) ------+ ----а-с--+-----------= 1;
7 (а - Ь) (а - с) (Ь - а) (Ь - с) (с - а) (с - Ь)
З 13 з
а о с ,
2) 1--------------------1-----------— а + Ь + с.
(а -Ь)(а- с) (& - а) (6 - с) (с - а) (с - Ь)
12.27. ” Доведіть, що при будь-якому натуральному п справ-
2п +1 1 1
джується рівність —= —2 _ • скориставшись цією
рівністю, знайдіть значення суми
_3_ + _5_ + _^ + _9_ + _21_
І2 • 22 22 • З2 З2 • 42 42 • 52 52 • б2
12.28. ” Доведіть, що при будь-якому натуральному п справ-
джується рівність
_±_+_1_+...+ „ Д...... =
1-2 2*3 (п - 1) • п п
12.29. ” Спростіть вираз:
і) і------+-----±----+------і-----;
’ (а -1) (а - 2) (а-2) (а-3) (а-3) (а-4)
2) 1----+------*-----+------1-----.
а (а + 3) (а + 3) (а+ 6) (а+ 6) (а+ 9) (а+ 9) (а+ 12)
12.30.” Спростіть вираз:
1) -----ї-----+-----ї-----+------;
(а-1)(а-3) (а-3) (а-5) (а - 5) (а - 7)
2) 1-------------ч—— —-—— ч----------------ь
х (х +1) (х + 1) (х + 2) (х + 2) (х + 3) (х + 3) (х + 4)
(х + 4) (х + 5)
12.31. ** Доведіть тотожність
_2_ + _4_ + _в_+ 8 =
х2-1 х2 - 4 х2-9 х2-16
= бґ------1---+------1-----+-----і-----+-------і----].
(х -1) (х + 4) (х - 2) (х + 3) (х - 3) (х + 2) (х - 4) (х +1) )
12.32. ** Доведіть тотожність
_^ + _!_ + _2_ + _А_ + _8_ + ^6_ = _32_.
1-а 1 + а 1 + а2 1 + а4 1 + а8 1 + а16 1-а32
12.33. *’ Доведіть тотожність
З 3 6 12 24 = 48
1-а2 1 + а2 1 + а4 1 + а8 1 + а16 1-а32'
12.34. ** Доведіть, що коли -—- + -—- + -—- = 1, то
Ь + с а + с а + Ь
а + Ь , Ь + с , а + с л
------Ч---+------= 4.
Ь + с а + е а + Ь
12.35. " Доведіть, що коли а + & + с - а—Ь + с, то 5 = д адо с = о.
а + Ь-с а— Ь — с
12.36. * Для додатних чисел а, Ь і с виконується рівність
а Ь с - •
---=------=------. Знайдіть значення виразу
Ь + с а + с а + Ь
(а + Ь)2 (а + с)2 (Ь + с)2
с2 Ь2 а2 '
12.37. Для додатних чисел а, Ь і с виконується рівність
-------=--------=--------=--------. Знайдіть значення ви-
Ь + с + сі а + с + сі а + Ь + сі а + Ь + с
а + Ь + с а + Ь + Л а + с + сі , Ь + с + сі разу ч- + + а с о а 12.38. * Числа а, Ь і с такі, що = -1 + 1- а + Ь + с а Ь 1 = х+±+±. а3+Ь3 + с3 а3 Ь3 е3 12.39. * Знайдіть значення виразу —+— + —Д х2 +1 у2- . 1 тт І- -. Доведіть, що с 2 — + , якщо ні ху +1
12.40. * Числа а, Ь і с такі, що -—- + -—- + -—- = 0. Доведіть, що
а + Ь Ь + с с + а
один з доданків у лівій частині рівності дорівнює 0.
12.41. * Числа а, Ь і с такі, що ———— = - —. Знайдіть
(а + Ь)(Ь + с) (с + а) ЗО
значення виразу:
1) -1- + -^ + -“-; 2)—^— + —^— + —^—.
а+Ь Ь+с с+а а+Ь Ь+с с + а
* 1113
12.42. Числа а, Ь і с такі, що ----- +-+-= -. Знайдіть
а - Ь Ь - с с - а 2
1.1.1
значення виразу ---ч-------=• +------=-.
(а - Ь)2 (Ь - с)2 (с - а)2
12.43. * Числа а, Ь і с такі, що - + — + - = 0. Доведіть, що
а Ь с
аЬ Ьс са _ „
2 + 2 + . 2 —
с а Ь
г. • • Ь + с — а а + с-Ь Ь + а — с ст
12.44. Числа а, о і с такі, що ----=-----=-------. Яких
а Ь с
к (а+ Ь)(Ь + с) (с + а) о
значень може набувати вираз і----—---—--1
аЬс
12.45. * Знайдіть значення виразу -----+----+-------,
1 + х + ху 1 + у + уг 1 + г + гх
якщо хуг = 1.
13
Множення і ділення раціональних дробів.
Піднесення раціонального дробу до степеня
Ви знаєте правила множення і ділення звичайних дробів. їх
можна виразити такими рівностями:
а с _ ас а , с _ агі
Ь гі ЬсГ Ь ' <і Ьс ’
За аналогічними правилами виконують множення і ділення
раціональних дробів.
Добутком двох раціональних дробів є дріб, чисельник якого
дорівнює добутку чисельників даних дробів, а знаменник — до-
бутку їх знаменників.
Часткою двох раціональних дробів є дріб, чисельник якого
дорівнює добутку чисельника діленого і знаменника дільника,
а знаменник — добутку знаменника діленого і чисельника
дільника.
ПРИКЛАД 1 Виконайте дії:
1) (2х -12) • -=——--; 3) 5с2 ~ 35с : (с - 7).
х2 - 12х + 36 с + 2
а2 + 2аЬ . а2 - 452 .
о + 9 За + 27
Розв’язання
1) Подавши многочлен 2х — 12 у вигляді дробу зі знаменником 1,
отримуємо:
№ _ । ______4х______ 2х - 12___4х______________ 2 (х - 6) • 4х _ 8х
* х2-12х + 36- 1 х2-12х + 36- (х - б)2 ~х-б‘
а2 + 2аЬ , а2 - 4Ь2 _ а (а + 25). З (а + 9) _ За
а + 9 ’ За + 27 а + 9 (а - 2Ь) (а + 2Ь) а-2Ь~
5с2-35с , 5с2 -35с с-7 5с(с-7) 1 5с
3) -772^-,С_7’= + + 2 -1 = е + 2 'е-7'^2-
Правило множення двох дробів можна узагальнити для зна-
ходження добутку трьох або більше раціональних дробів. Напри-
клад, для трьох дробів маємо:
А .£. Р _ А-С . Р _ А-С-Р
в' в' в в-б'о В-В-Ц'
ппілі/плп -> г- 2а5 1052 4а2
ПРИКЛАД 2 Спростіть вираз —д • —у- : —д .
17 с 9Ьс
Розе’ язання. Маємо:
2а5 .1052 . 4а2 = 2а5 .1052.95с3 = 2а5 • 1052 • 95с3
1553 7с4 95с3 1553 7с4 4а2 1553 -7с4-4а2
= 2 • 10 • 9 • а853с3 = За3
15 • 7 • 4 • а253с4 7с ’
Застосовуючи правило множення дробів, можна отримати
правило піднесення раціональних дробів до степеня. Для нату-
рального п, п> 1, маємо:
/ А V _ А А . А
\в) В ' В ‘ ‘ В,
А-А-... - А
в-в-... -В
А"
Вл ‘
Для п = 1 прийнято
Отже,
А"
В" ’
де п — натуральне число.
Щоб піднести раціональний дріб до степеня, треба піднес-
ти до цього степеня чисельник і знаменник і перший резуль-
тат записати як чисельник, а другий — як знаменник дробу.
ПРИКЛАД 3 Подайте у вигляді дробу вираз
9 \3
За2 ]
2дс4 І
Розв’язання.
За2 V = (За2)3
2Ьс4 ] (2&с4)3
3я • (а2)3 = 27а6
23д3(с4)3 8&3с12'
• 1. Що є добутком двох раціональних дробів?
2. Що є часткою двох раціональних дробів?
І 3. Як піднести раціональний дріб до степеня?
13.1.° Виконайте множення:
її • ь ' ~ь' 8а’ 3) 2 14иі9-^Ц; 7т3 21с3 39р . ’ 13р2 28с2’
2)-*^; уг 5х 4) 15а4 Ь6 25а?с 77Ь6 О) л ’ Ч 64&4 Юас3
Ь12 10а2 ’
13.2.' Спростіть вираз:
., 4ап2 тк5 ' к5 ‘ 12 ; 3) 15хі2--4; 5х‘
2) —-2а; 2Ь 4) 7к3 27т3
9тр 56квр2 '
13.3.° Спростіть вираз:
1 ч 2тп + п2 . 2т . 6т п 4) (а+ 4)- —; 2а + 8
7а+ 76 Ь3 ’ Ь6 а + Ь’ 5) 4а2 - 4а + 1 а + 1
За + 3 2а - 1 ’
о-, т - 2 . т + 7 . т2 - 49 т - 2 ’ 6) а2 - 25 4а2
4а а2 - 5а
13.4.° Виконайте множення:
1) аЬ - Ь2 4а . 8 Ь4 ’ 3) т2 а„2-(т 3|; т —
2) 13.5.° 5х -5у х3 . 4) Зс - 9 Зс + 1
х6 х-у’ Виконайте ділення: 9с2 + 6с + 1 с - 3 ‘
1) — : Ь; 2) — 8 ' 5Ь . Зд2 ‘ 20&2 ’ ї 9а . 18а4 Ь5 ‘ Ь3
4)
О с
13.6. ° Знайдіть частку:
А3
1 ) ;
7 8 48
13.7. ° Спростіть вираз:
5)
2)
1)
2)
2 2
X -У
X2
с - 5
3)
с2-4с ’ 5с-20’
х-у . х2 - у2 .
ху ' Зху
13.8. * Виконайте ділення:
1)
2)
р + З 9 р + 3 #
р2 -2р ’ 4р-8’
а2 -16 . а + 4.
а-3 а -3 ’
36а .. 2 \
— : (4а с);
с
4)
ІбхУ . С 12х2
33г5 ' І 55г6
3) Ц- • (30х5у2).
У
а 4 б/ + 4 /
-----5— : (а - 2);
5) (р2 -167г2):
еч а2 - аЬ
6)
а
Р
а2 - 2аЬ + Ь2
аЬ
{/-8
У2-81 .
у2 - 16у + 64 ’
4) (х2 - 49у2): -——
13.9. ° Виконайте піднесення до степеня:
2)
к \2
5а6
&5 І
3)
Зт4 І3
2л3 ।
4)
к \2
ба6 )
Ь7
13.10. ’ Подайте у вигляді дробу вираз:
1)
в \10
а і
Ь3 )
,3
,6
27 . 36 .
6 " 7 2’
т т п
5
. 6х + 6у,
„5 ’
с - 5
2
13.11 .° Виразіть змінну х через змінні а і Ь, якщо:
1) 1 + 1 = Ь;
х а
2) « + * = *
’ Ь 4 а
13.12 / Виразіть змінну х через змінні т і п, якщо:
1) 2х-—= 2; 2) -1-1 = 1.
п т х п
13.13 / Спростіть вираз:
1) 33т8 34п8 . 88т4 ‘ 51л4 . 21т6 . ‘ 16л2 ’ 3) '2а5 V . .у6 } / А \3 4а6) . 8 ’ 1 У )
2) Збх6 24х9 7х2 . 4) 27х3> 2 X о хЗ . | 8У3 1
49уь 25у4 ЗОу’ 1 16*О
13.14 * Спростіть вираз:
За Ь3 4Ь*с2 5Ь7 За2 7< ?8 ,9аЬ
1) 10с5 27а7 ' 9а3с3’ 2) 2Ь2с2 ' 6Ь3 ' 14с12 ’
чч . Ь18 41
' I &4 7 50а16 ’ ІУ° Л 7 ’
13.15. * Замініть змінну х таким виразом, щоб утворилася тотож-
ність:
13.16.* Виконайте множення і ділення дробів:
1) 4с-а 2с* 2 -га2. 5) т + 2п . т 2 + 4тп + 4п2 .
с2 + сгі 4с2 - сй 2 - Зт Зт2 - 2т
2) б2 - 66 + 9 б3 + 27 . б2-36 + 9 56-15’ 6) а? +8 д" 16-а4 ‘ 3 - 2а + 4 . а2 +4
3) а3-16а 12а62 7) х2 - 12х + 36 х2 - 49 .
За26 4а +16 ’ Зх + 21 4х - 24 ’
4) 13.17 1) а3 + Ь3 7а- 7Ь 8) 4) За+ 156 4а + 206
сі — Ь о. — аЬ + о .* Спростіть вираз: а4 -1 а а2 - 8162 ' тп2 - 36т а2 - 18а6 + 8162 ' 2п +12 ,
а3 - а 1 + а2 ’ т3 - 8 ’ 6т -12 ’
2) а2 - 8аЬ , 8Ь2 - аЬ , 126 ’ 24а ’ 5) а4 -1 . а2 - а + 1 а -1 а3 +1’
3) 5т2 - 5п2 , 15п - 15т , т2 + п2 4т2 + 4а2 ’ 6) 4х2 -100 . 6х (2х2 -20х + 50).
13.18.* Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) л 2 * Т~2 : л \ > якщо х = 4,2, у = -2,8;
4х - 4у бх + 6у
2) (За2 - 18а + 27): ——-, якщо а = 0,5;
4а
6.5 5 4
ох С 4* д а + а л о
3) 5-: —о- - , якщо а = 0,8.
(За - З)2 9а2 - 9а
13.19. ’ Знайдіть значення виразу:
1)
1
Ь
2)
—і----: , якщо
а -аЬ Ь - а
а2 + 4а6 + 462 . За + 66
а2 - 962 : 2а - 6Ь ’
„1 , З
а = 2-, & = --;
З 7
якщо а = 4, Ь = —5.
13.20. * Спростіть вираз (и — натуральне число):
л + 4» Зл +2
1) “______ь______
' л + 5
ап*3Ь3п+1
сп + 8
(ап + Ь")2 - 4апЬп
а + о
2п > 2п
а — о
(ап-Ьп)г+4а”Ь‘
13.21. * Спростіть вираз (и — натуральне число):
п + З 4п-1 2п + 5
1 1 х у • _ -
} п + 4 п + 1 Зл-2’
-А. у
2 (хп-2уп)2+8хУ . х2п-4у2п
’ х3п - 8у3п ’ (х" + 2у")2 - 8х"у" ’
13.22. * Відомо, що х- — = 9. Знайдіть значення виразу х2 +А-.
х х2
13.23. ’ Відомо, що Зх + — =-4. Знайдіть значення виразу
1 х
9х2 + ^.
х2
13.24. * Дано: х2 + ~ = 41. Знайдіть значення виразу х + —.
Xі х
13.25. ’ Дано: х2 + -Ді = 6. Знайдіть значення виразу х - —.
х2 х
13.26. ' Спростіть вираз:
а2 - 36 . а2 + а5 + 6а + 65 .
а2 + аЬ - 6а - 6Ь а2 + 2аЬ + Ь2
а2 + а — аЬ — Ь а2 — сі — аЬ + Ь
<ь) 2 • 2
а + а + аЬ + Ь а - а + аЬ — Ь
13.27. ’ Виконайте дії:
1>-----------------------------;
25 + 5а - 5Ь - аЬ аЬ + 5а + 5Ь + 25
а2 - 2аЬ + Ь2 . а2 - а5 + 4а - 4Ь
а2 - аЬ - 4а + 45 а2 -16
13.28. ' Доведіть тотожність:
1) 8д2 . 6а3 . За _ «
' а - ЗЬ ' а2 - 952 ’ 4а +125 “ ’
21 а4 - 1000а53 . а2 -52 . а3 + 10а25 + 100а52 = а + Ь
' а2 - 2аЬ + 52 а25 -10053 ' аЬ +1052 а - 5 '
13.29. * Доведіть тотожність
а2 + а _ 6а + 6 . 9а3 + 18а2 + 9а _
2а -12 2а + 12 ' а2 - 36 6'
13.30. " Спростіть вираз:
«І а2 + 2аЬ + 52 -2а -25 + 1 . а + 5 -1.
а2 - 2а5 + 52 + 2а - 25 + 1 а - 5 +1 ’
2і х2 - 4х - 21 . х2 - 14х + 49
’ х2 + 4х - 21 ' х2 + 14х + 49 '
13.31. " Спростіть вираз:
.ч п2 — 9 п2 + 4п + 3 в
’ п2 -1 п2 - 4п + 3 ’
а4 - а3 + а2 - а + 1
а4 -1
14.
Тотожні перетворення раціональних виразіг
Правила дій над раціональними дробами дають змогу будь-
який раціональний вираз перетворити в раціональний дріб.
Розглянемо це на прикладах.
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз
За 6а \ . а - 4 _ 2а2 + 8а
а-2 а2 -4а + 4/ ' а2 -4 а-2
Розв’язання. Як і обчислення значення числового виразу, що
містить кілька арифметичних дій, спрощення даного виразу
можна виконати по діях, визначаючи порядок виконання від-
повідно до порядку виконання арифметичних дій: спочатку — від-
німання виразів, які стоять у дужках, потім — ділення і напри-
кінці — віднімання:
9 9
1, За________6а _ За_________6а _ За2 - 6а - 6а _ За2 - 12а .
а - 2 а2 - 4а + 4 " а - 2 (а - 2)2 “ (а-2)2 (а - 2)2 ’
2ч За2 - 12а . а-4 _ За2 - 12а . а2 -4 _
(а-2)2 а2-4 (а-2)2 а-4
_ За (а - 4) . (а - 2) (а + 2) _ За (а + 2) _ За2 + 6а .
(а-2)2 а-4 а-2 а-2’
пч За2 + 6а _ 2а2 + 8а _ За2 + 6а - 2а2 - 8а _ а2 - 2а _
а-2 а-2 а-2 а-2
_ а (а - 2)
а-2
Відповідь: а.
Перетворення раціонального виразу можна виконувати не по
окремих діях, а «ланцюжком». Проілюструємо цей прийом на
прикладі.
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змін-
За , а + 5 54а
ноі значення виразу ----+------------5- не залежить від зна-
а-3 18-6а 5а + а2
чення а.
п За , а + 5 54а За , а + 5 54а
Розв язання. ---- + ——--------5- =---- + ——---- ——----- =
а - 3 18 - 6а 5а + а2 а - 3 6 (3 - а) а (5 + а)
_ За 9 _ За _ 9 _ За — 9 _ 3 (а — 3) _ д
д — З 3 о сі — 3 сі — 3 сі 3 о, З
Отже, при всіх допустимих значеннях а значення даного ви-
разу дорівнює 3.
ПРИКЛАД 3 Доведіть тотожність | ——Ч— + ®—7.).= 4 .
\3а-1 а + 1/ а -7а а + 1
Розв’язання. У цьому випадку для перетворення лівої частини
даної рівності доцільно розкрити дужки, застосовуючи розподіль-
ну властивість множення:
( а~^ + о~7^. За -1 _ а -7 _ За -1 + а -7 _ За -1
\3а-1 а + 1/ а2-7аЗа-1 а2 - 7а а + 1 а2-7а
-—_ + За -1 _ а + 1 + За -1 _ 4а _ 4
а а (а + 1) а (а + 1) а (а + 1) а + 1'
Тотожність доведено.
ПРИКЛАД 4 Спростіть вираз
а Ь с
Ч + -+-
аЬ Ьс ас
Ьс + ас + аЬ . с + а + Ь
аЬс ' аЬс
Розв'язання. Записавши даний вираз у вигляді частки чисель-
ника і знаменника, отримуємо:
1.1.1
а + Ь + с =(1 + 1 + 1):(Х+ ± + Л
1_ 1 + 1 \а Ь сі \аЬ Ьс ас
аЬ Ьс ас
Ьс + ас + аЬ . аЬс
аЬс с + а + Ь
Ьс + ас + аЬ
с + а + Ь
Заданий вираз можна спростити іншим способом, використо-
вуючи основну властивість дробу, а саме помножити його чисель-
ник і знаменник на одночлен аЬс:
1.1.1 /1 1 , 1\ . 1 . 1 . Д
— +-- + — —н + - І аЬс — • аЬс + • аЬс + — • аЬс
а Ь с _ \а Ь с/_______ а Ь с_
1.1.1 /і.і И». і ...і »,.і ь
— н---+ -•* І — + — + - І аЬс — • аЬс + — • аЬс + — • аЬс
аЬ Ьс ас \ аЬ Ьс ас / аЬ Ьс ас
_ Ьс + ас + аЬ
с + а + Ь
па д Ьс + ас + аЬ
Відповідь: --------.
с + а + Ь
14.1. * Виконайте дії:
., а + 2 . а2 - 4 _ 3 .
а2 - 2а +1 ' За - З а - 2 ’
2. 52 +35 /5-3 5 + ЗІ.
Ь3 + 95 \5 + 3 Ь-ЗГ
пч І____1_________1 \ . 2а .
)\а2-4аЬ + 4Ь2 452 - а2 / а2 - 452 ’
.. ( а - 8______а \ . а - 20 .
\а2-10а + 25 а2 - 25/’ (а - 5)2 ’
І 2х +1 х - 2 \ . х2 + 6
\ х2 + 6х + 9 х2 +3x1 х3 - 9х
14.2. ’ Виконайте дії:
Ь + 4 . 52 -16 _ 2 . о. І 2а-3 __ а-1 \ . а2 - 2
52 -65 + 9 25-6 5-4’ \а2-4а + 4 а2-2а/ а3-4а
2х . ( 1_________1 ї
х2-у2 '[х2 + 2ху + у2 у2-х2)’
14.3. ’ Спростіть вираз:
2>
\а Ь Ь21 а2 -Ь2 Ь-а
/ 2 ч \ 2
оч і а_____а _ а + 1 |. а + а .
а -1 а + 1 1 - а2 ] ' (а -1)2 ’
4) (Х + 2У _ Х~2У _ 16У2 1. 4 * * *У .
х - 2у х + 2у х2 -4у2 У х + 2у'
51 ( За - 8 1 _ 4а - 28 \ _ а2 - 4
} \а2-2а+ 4 а + 2 а3 +8 / 4
14.4.’ Спростіть вираз:
х2+14х+49:/ 13_х + 6).
х + 6 \х + 6 І
2с-9
с-----
с2 + Зс 24 .
с2 - 64 с ’
3) ( 36 _ х - 3 _ 3 + х\. 6 ,
\х2-9 х + 3 3-х/ 3-х’
4)
2у-1
у2 +2у + 4
9у+ 6
У8-8
1
У-2
у2-^
14.5. ’ Доведіть тотожність:
.ч І аЬ Ь \ 2Ь
' \а2-Ь2 2Ь-2а)’ а2-Ь2
а-Ь.
4 ’
2 ) ( &а — а ~ 2^ . а + 2 2 _ _р
\4-а2 а+ 2)' а а-2
зі (—3 । 1 ) (с~6)2 । Зс
9 \36 -с2 с2 - 12с + 36/ 2 с + 6
14.6. ’ Доведіть тотожність:
.ц / />______2_____а \. а2 -Ь2 = 4
' \а2 — аЬ а-Ь Ь2-аЬІ 4аЬ а + Ь’
(а - Ь)2 ( а а А За + Ь _ о
а ^(а-6) Ь -а ) а + Ь
14.7. ’ Чи залежить значення виразу від значення змінної, яка
входить до нього:
ч ч І и + 3 1 \ . За 4~ З
\а -1 а + а! а - а
лх / а 1 \ в 7д 2 ?
\а2-49 а + 7/ а2 + 14а + 49 а-7’
14.8. ' Доведіть, що значення виразу не залежить від значення
змінної, яка входить до нього:
Зх2 - 27 _ / 6х + 1 6х -1\,
4х2 + 2 \х-3 х + 3/’
З 8а3 -18а / 2а______________3 \
9 2а-3 4а2+9 \4а2-12а + 9 4а2-9/
14.9. ’ Спростіть вираз:
6а - 9
а-------
2)------;
а
14.10.* Спростіть вираз:
а-Ь + &
а + Ь а .
а _ а-Ь’
а + Ь а
2^ + 1 3-^
4) —
2а+ Ь За
Ь Ь
2)
14.11. ' Спростіть вираз:
1. ґ а2 а-Ь _ 1 |. | а + Ь
Ь3 - аЬ2 Ь2 ЬЬ - а
Ь — а 6а2 \
а + Ь а2 — Ь2 /
2)
а + 2
4а3 - 4а2 + а
2-а . 4а2 + 2а + 1А . / 1 \2 _ 8а - 1 .
1-8а3 2а2 + а Г\1-2а/ 2а2 + а ’
3) (а2 ’62){т^
2а2Ь + 2аЬ2
+ а2Ь + 7аЬ2 + Ь3
7а+ Ь
„2 12
а —о
а-Ь
2 і »»2
а + Ь
14.12. ' Спростіть вираз:
'18у2 + Зу
. 27у3 -1
Зу + 1 А
9у2 + Зу + 1 у
х Зу-1 5-6у].
У Зу -1 /
2) [ 3 + (а + Ь}221: ґз + (а
(а-Ь)2) (а + Ь)2)
„З 1.3
а — Ь
„з , .з •
а + Ь
14.13. ’ Доведіть тотожність:
п 16 . < 1_______2 + 1 А _ 8а
} (а-2)4 ‘^(а-2)2 а2-4 (а + 2)2 ) (а-2)2
а + 11
а + 9
а + 5 а + 7 \ . / а + 3\2
а2-81 а2-18а + 81/’\а-9/
„2 д2 4а26 - 4аЬ2 \ І а Ь 2аЬ \ . ч2
СІ Ь І • І 991 '
а + Ь І \а + Ь Ь - а а2 -Ь21
14.14. ’ Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної вираз
+ 9„ + + • ( 1 + —набуває додатних зна-
ЗЬ2-Ь3 \Ь-ЗІ \Ь-3 9-Ь2 Ь2+ЗЬІ
чень.
14.15. ' Підставте замість х цаний вираз і виконайте спрощення:
2^ а-Ьх
Ь + ах
якщо х =
а-Ь г
а + Ь’
14.16. " Спростіть вираз:
.. ґ 1 6а - 4 - а2 _ 2-а А а3 + 4а2 + 8а + 8.
2 - а а3 - 8 а2 + 2а + 4 ) 4 - 4а + а2 - а3 ’
21 ( Х~2У + У 1 • *2 +У2 +_____________2У2______
х3 + у3 х3 - х2у + ху2 )' х3 - ху2 х3 + х2у + ху2 + у3 ’
1____1
а Ь — с . (і — Ь2 + с2 — а2 } . Ь — а — с
1 1 \ 2Ьс І' аЬс
а Ь - с
14.17. " Доведіть, що значення виразу є додатним при всіх допус-
тимих значеннях змінних:
1) (1+і) +_________І_____р_ + ±);
’ (а + Ь)3 \а ЬІ а2+Ь2+2аЬ \а2 Ь21
21 ґ + 2.^ - ( а _ 1 + 2Д . (а ~ 2^)2 + 8аЬ
а]'\2Ь2 Ь а/' 4 + 2а
ь
14118.” Спростіть вираз
Г 3 (х + 2) + 2х2 - х -10 . ( 5 + 3________З ї
2 (х3 + х2 + х +1) 2 (х3 - х2 + х -1) \ х2 + 1 2(х + 1) 2(х-1))'
ґ—— +1^(-а—1)
ІЛ1О-ТТ І(Ь-1)3 )\Ь-1 /
14. 1 У. Доведіть ТОТОЖНІСТЬ у---------= 1.
І а______- У а____а , |
[(6-І)2 Д(6-1? 6-1 )
14.20. ” Спростіть вираз
р_ + ±) + —З— р_+И + —б—(- + -).
(а + Ь)3 \а3 Ь3І (а + Ь)4\а2 Ь21 (а + Ь)5\а Ь/
14.21.” Спростіть вираз
1 1 (а + Ь)3 ' И 1_) >4 \а Ь і ' (а + Ь)4У 1 + + м Сг СЯ И _ _Х \ . 2 Г \а Ь /
14.22. * Числа а, Ь і с такі, що а + Ь + с = 7, —-—н —-—т —-— = 0,7.
а + Ь Ь + с с + а
Знайдіть значення виразу а + —-— + —-—.
Ь + с с + а а + Ь
14.23. ’ Числа а, Ь і с такі, що —— + ч—— = 0. Доведіть, що
Ь-с с- а а-Ь
а + ь + с =0.
(Ь - с)2 (с - а)2 (а - Ь)2
14.24. * Знайдіть суму -----------------+ ----------------.
Нехай задано функції у = / (х) і у = § (х) та поставлено задачу
знайти множину значень аргументу х, при яких значення функ-
цій / і § рівні. У такому випадку кажуть, що треба розв’язати
рівняння / (х) = § (х).
Означення. Областю визначення рівняння/(х) = £ (х)
називають множину значень змінної х, при яких мають зміст
обидві частини рівняння.
З означення випливає, що областю визначення рівняння / (х) =
= § (х) є множина Л (/) П Л
Розглянемо кілька прикладів:
• областю визначення лінійного рівняння, тобто рівняння виду
ах = Ь, є множина всіх чисел;
областю визначення рівняння
х2-4
х + 2
= 0 є множина {х | х Ф —2};
• областю визначення рівняння . х,+ = 0 є множина {х І х < 0}.
| х | - х
Незважаючи на те що рівняння х2 = —2 не має коренів, його
областю визначення є множина всіх чисел.
Для того щоб значення змінної х було коренем рівняння
/ (х) = £ (х), необхідно виконання умови х є Л (/) О Л (#). Цей
факт ілюструє діаграма Ейлера (рис. 15.1). Наприклад, ви поки
що не вмієте розв’язувати рівняння 4х2 + 12х + — + Д- = 47. Про-
х х2
те ви сміливо можете стверджувати, що число 0 не є його коренем.
Розглянемо два рівняння: х2 = 4 і | х | = 2.
Очевидно, що кожне з них має одні й ті самі корені: -2 і 2.
Множина
коренів
рівняння
Область
визначена ।
ганяння
У таких випадках кажуть, що рівняння
х2 = 4 і | х | = 2 рівносильні.
Означення. Рівняння (х) = (х) і
(х) = (х) називають рівносильни-
м и, якщо множини їх коренів рівні.
З означення випливає, що коли потріб-
но довести рівносильність двох рівнянь, то
треба довести, що кожний корінь першого
рівняння є коренем другого рівняння, і нав-
паки, кожний корінь другого рівняння є коренем першого рів-
няння.
Наведемо приклади пар рівносильних рівнянь:
-х = 0 і 2х = 0;
2
2х = 4 і 4х - 8 = 0;
х2 = 1 і (х - 1) (х + 1) = 0;
х - 1 = 0 і (х2 + 1) (х - 1) = 0;
(х - І)100 = 0 і (х - І)1000 = 0.
Множина коренів кожного з рівнянь х2 = -5 і | х | = -3 є по-
рожньою, тобто множини коренів цих рівнянь рівні. Отже, за
означенням ці рівняння є рівносильними.
Розв’язуючи рівняння, важливо знати, за допомогою яких
перетворень можна замінити дане рівняння на рівносильне.
Теорема 15.1. Якщо до обох частин даного рівняння додати
(або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отри-
маємо рівняння, рівносильне даному.
Доведення. Доведемо, що рівняння
/ (X) - е (х) (1)
і
/ (х) + с = § (х) + с (с — деяке число) (2)
рівносильні.
Нехай деяке число а є коренем рівняння (1). Тоді справджуєть-
ся числова рівність / (а) = § (а). Отже, правильною буде й така
числова рівність: / (а) + с = § (а) + с. Це означає, що число а
є коренем рівняння (2). Таким чином, кожний корінь рівняння (1)
є коренем рівняння (2).
За допомогою аналогічних міркувань можна показати, що
кожний корінь рівняння (2) є коренем рівняння (1).
Отже, рівняння (1) і (2) рівносильні. >
Теорема 15.2. Якщо який-небудь доданок перенести з однієї
частини рівняння в другу, змінивши при цьому його знак на
протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.
Теорема 15.3. Якщо обидві частини рівняння помножити
(поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, то
отримаємо рівняння, рівносильне даному.
Доведення теорем 15.2 і 15.3 аналогічні доведенню теореми 15.1.
Проведіть доведення самостійно.
Зауваження. З теореми 15.1 не випливає, що коли до обох
частин рівняння додати вираз зі змінною, то дістанемо рівняння,
рівносильне даному.
Так, якщо до обох частин рівняння —-— + х2 = 25 + —-— до-
х - 5 х - 5
1
дати дріб --,
5-х
то отримаємо рівняння х2 = 25, яке не рівносиль-
не заданому.
Означення. Якщо множина коренів рівняння /2 (х) = §2 (х)
містить множину коренів рівняння (х) = (х), то рівняння
/2 (х) = §2 (х) називають наслідком рівняння / (х) = (х).
Наприклад, рівняння х2 = 25 є наслідком рівняння
—— + х2 = 25 + —^—.
х - 5 х - 5
На рисунку 15.2 означення рівняння-наслідку проілюстровано
за допомогою діаграми Ейлера.
Ті корені рівняння-наслідку, які не є коренями заданого рів-
няння, називають сторонніми коренями для заданого рівняння.
Наприклад, рівняння
є наслідком рівняння
2х - 1 = 0. Рівняння-наслідок має два корені: х1 = ~, х2 = —2,
а задане рівняння має один корінь х = —. У цьому випадку корінь
х = —2 є стороннім коренем для заданого рівняння 2х - 1 = 0.
Оскільки порожня множина є підмножиною будь-якої множи-
ни, то, наприклад, наслідком рівняння х2 = —5 є будь-яке рівнян-
ня З ОДНІЄЮ ЗМІННОЮ X.
Зауважимо, що коли два рівняння рівносильні, то кожне з них
можна вважати наслідком іншого.
Розв’язуючи рівняння, треба намагатися побудувати ланцюжок
рівносильних рівнянь, щоб урешті-решт отримати рівняння, яке
Рис. 15.2
Множина
коренів
рівняння
Множина корені»
рівняння, наслідку
рівносильне даному і корені якого
легко знайти. Наприклад, так ви ро-
били, розв’язуючи рівняння з вправ
1.1-1.6.
Проте якщо під час розв’язування
рівняння рівносильність не було до-
тримано і перейдено до рівняння-на-
слідку, то отримані при цьому сто-
ронні корені можна відкинути за до-
помогою перевірки.
Xі _ 4
Розв’яжемо рівняння ------= 0. Прирівнявши чисельник
х + 2
дробу до нуля, отримаємо рівняння х2 - 4 = 0, коренями якого
є числа —2 і 2. Проте число —2 не належить області визначення
даного рівняння, а число 2 задовольняє задане рівняння і є його
єдиним коренем.
х2 -4
Розв’язуючи рівняння ------= 0, ми перейшли до рівняння-
х + 2
наслідку х2 - 4 = 0, корені якого було перевірено.
При розв’язуванні рівняння важливо розуміти, на якому ета-
пі було порушено рівносильність і що спричинило це порушення.
Так, при переході від рівняння —-- = 0 до рівняння х2 - 4 = 0
х + 2
було розширено область визначення даного рівняння, тобто саме
зняття обмеження х * -2 й призвело до появи стороннього коре-
ня X = -2.
Зазначимо, що розширення області визначення рівняння не
завжди призводить до появи сторонніх коренів. Наприклад, пе-
рехід від рівняння
х2 - 4 2
-----= 0 до рівняння х — 4 = 0 є рівносиль-
ним, хоча при цьому розширюється область
рівняння.
х2 - 4 х2 - 4
Розглянуті рівняння -----— = 0 і -----= 0
X “І- 2 X 4“ 1
- = 0, де / (х) і § (х) — многочлени.
£(х)
визначення даного
є рівняннями виду
Ви знаєте, що дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли
чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля. Тому
розв’язування рівняння вказаного виду зводиться до розв’язування
рівняння / (х) = 0 і перевірки умови § (х) Ф 0. Іншими словами,
/ (х) п
множина коренів рівняння -- - = 0 дорівнює перетину множин
Є(х)
{х | / (х) = 0} і {х | § (х) / 0}. У таких випадках кажуть, що рів-
/ (х) п
няння = 0 рівносильне системі
§ (х)
/(х) = 0,
§ (х) 0.
Наприклад, рівняння
х2 -4
—= 0 рівносильне системі
х2 - 4 = 0,
х + 2 * 0.
Легко встановити, що розв’язком цієї системи є число 2. Оскіль-
ки система рівносильна рівнянню, то без будь-яких перевірок
можна стверджувати, що число 2 — єдиний корінь даного рів-
няння.
Означення Рівняння, ліва і права частини якого є раціональ-
ними виразами, називають раціональним.
Як відомо, будь-який раціональний вираз можна подати у ви-
гляді дробу. Тому будь-яке раціональне рівняння можна звести
до рівняння виду - = 0, де / (х) і § (х) — многочлени.
е(х)
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння
Зх + 5 1 _ х
6х + З 4х2 - 1 2х -1'
Розв’язання. Маємо:
Зх + 5 ______1_________х _ р.
З (2х +1) (2х - 1) (2х +1) 2х -1 “ ’
----— ~ ------= 0.
З (2х - 1) (2х + 1)
Отримане рівняння рівносильне системі
4х - 2 = 0,
х * 0,5,
х Ф -0,5.
Звідси
х = 0,5,
х # 0,5,
х Ф -0,5.
Отже, дане рівняння не має коренів.
Відповідь: коренів немає.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння
2х2 - 4х -16 п
---------------------------------х = 0.
х - 4
Розв’язання. Запишемо ліву частину рівняння у вигляді дробу:
2х2 - 4х -16 - х2 + 4х _ 0
х — 4
Звідси
х2 -16 = 0
х - 4
Це рівняння рівносильне системі
х2 -16 = 0,
х-4 / 0.
Отже,
{х = 4 або х = -4,
х Ф 4;
х = -4.
Відповідь: -4.
ПРИКЛАД і Турист проплив на човні 3 км за течією річки і 2 км
проти течії за ЗО хв. Знайдіть швидкість човна в стоячій воді,
якщо швидкість течії дорівнює 2 км/год.
Розв’язання. Нехай швидкість човна в стоячій воді дорівнює
х км/год. Тоді його швидкість за течією річки дорівнює (х + 2)
км/год, а проти течії — (х - 2) км/год. Турист проплив 3 км за
З 2
течією за -- год, а 2 км проти течії — за ---- год. Оскільки
х + 2 х - 2
« ~ оП 1 3,21
весь шлях було пройдено за ЗО хв = - год, то -- +-- = —.
2 х + 2 х - 2 2
Розв’яжемо отримане рівняння:
З | 2 1.
х+2 х-2 2’
Зх-6 + 2х + 4 1 _ 0
х2 - 4 2-У;
Юх - 4 - х2 + 4 _ «
2 (х2 - 4) ~ ’
Юх - х2 _
2(х2-4)~ ’
[10х - х2 =0,
[2 (х2-4)^0;
х (10 - х) = 0,
х Ф 2,
х * -2;
х = 0 або х = 10.
Корінь х = 0 не задовольняє змісту задачі. Отже, швидкість
човна в стоячій воді дорівнює 10 км/год.
Відповідь: 10 км/год.
е 1. Що називають областю визначення рівняння / (х) = § (х)?
2. Які два рівняння називають рівносильними?
3. За допомогою яких перетворень даного рівняння можна
отримати рівняння, рівносильне даному?
4. Яке рівняння називають наслідком даного?
5. Які корені називають сторонніми коренями даного рів-
няння?
6. Опишіть, як розв’язують рівняння виду =0, де / (х)
, . £ (х)
1 § (х) — многочлени.
7. Яке рівняння називають раціональним?
15.1. ° Чи є рівносильними рівняння:
1) х + 2 = 10 і Зх = 24;
2) -2х = —6 і х = 1;
3) х - 5 = 0 і х (х - 5) = 0;
4) (Зх - 12) (х + 2) = 0 і (0,4 - 0,1х) (7х + 14) = 0;
5) — = 0 і х2 = -4;
X
6)х+1 = 1+ хі х' +1 = 1;
х2+1
7) х3 = 1 і | х | = 1;
8) х100 = 1 і х1000 = 1;
9) — = 1 і х = х;
X
10) х2 + 2х + 1 = 0 і х + 1 = 0;
11) (х + 1) (х2 + 1) = 0 і х + 1 = 0;
х2 -1
12)-- --- = 0 іх - 1 = 0;
X + 1
13) 9 = 0 і X2 - 9 = 0?
х + 2
15.2. ° Чи є рівносильними рівняння:
1) х + 6 = 10 і 2х - 1 = 7;
2) х2 = х і х = 1;
3) (х -(2х +1) = 0 і 4х2 - 1 = 0;
4) х2 + 1 = 0 і = 0;
х -1
6) —- = 0 і 2х2 + 3 = 0;
х-2
7) х2 + 4х + 4 = 0 і х — = 0;
х -1
V2 — О
8)------ = 0 і х + 3 = 0;
х - З
9) £+1 = 0 і ^ЛІ = 0?
о х +1 х2 -1
15.3. ° Складіть рівняння, яке рівносильне даному:
1) 2х — 3 = 4; 3) х + 6 = х — 2; 5)^| = 1.
х -1
2) | х | = 1; 4) = 0;
15.4. * Обґрунтуйте рівносильність рівнянь:
1)4х-8 = х + 3і4х-х = 8 + 3;
2) х2 - 1 = 3 і х2 + 5 = 9;
3) 3^5 _х=1 і 9х _ 15 _ х = 6;
'ОС
4) (2х + 1) (х2 + 1) = 3 (х2 + 1) і 2х + 1 = 3.
15.6. * Чи буде рівняння, отримане в результаті вказаного пере-
творення, рівносильним даному:
1) у рівнянні 3 (2х - 1) - 5 (4х + 2) = 1 розкрити дужки і звес-
ти подібні доданки;
2) у рівнянні х2 + —--------= 49 різницю —------------замі-
ОС і ОС і X ~~ і ОС ~~ і
нити на нуль;
х2 -1
х -1
3) у рівнянні
+ Зх - 5 = 0 скоротити дріб;
4) обидві частини рівняння х3 = х поділити на х;
5) обидві частини рівняння (х + 1) (х2 + 4) = х2 + 4 поділити
на х2 + 4;
6) обидві частини рівняння — = 2 помножити на х;
7) обидві частини рівняння 2х + 1 = 5 помножити на х + 1?
15.6. Яке з двох рівнянь є наслідком другого:
1) х2 = х і х = 1;
2) — = 1 і Ох = 0;
X
3) х3 = 1 і х2 = 1;
4) | х | = 1 і х3 = 1;
5)Л = А
х - 6 х - 6
6) х2 = 4 і х2 -
і х2 = 36;
_^ = 4—1-;
х+2 х + 2
2 -1
7) -—і = 0 і х2 - 1 = 0?
X + 1
15.7. " Яке з двох рівнянь є наслідком другого:
2 2 х» л
-і \ X і - 2 о\ X 64 2
1) — = 1 і х = х; 3) ---=------- і х = 64;
х х + 8 х + 8
2) х2 + 1 = 1 і х (х - 1) = 0; 4) х2 + = 9 + —— і х2 = 9?
х + 3 х + З
15.8. ° Складіть пару рівносильних рівнянь, кожне з яких:
1) має один корінь; 3) має безліч коренів;
2) має два корені; 4) не має коренів.
15.9/ Як може змінитися (розширитися чи звузитися) множина
коренів заданого рівняння, якщо:
1) рівняння (| х | + 3) / (х) = 2 | х | + 6 замінити на рівняння
ї (X) = 2;
2) рівняння
/(х)
„2 , і
= 0 замінити на рівняння / (х) = 0;
3) рівняння (х + 1) / (х) = х + 1 замінити на рівняння / (х) = 1;
/ (х) 2 (х)
4) рівняння = замінити на рівняння / (х) = § (х);
х +1 х +1
5) рівняння / (х) = § (х) замінити на рівняння (х + 1) / (х) =
= (х + 1) § (х)?
15.10/ Розв’яжіть рівняння:
і) -її5—+ 2-<г 2; х2-4 х + 2 2) 2 + 3 = ЗОх + 9 . ‘ 6х + 1 6х -1 36х2 -1 ’ оч 6х +14 7 _ 6 ' х2-9 х2 + Зх - х-3’ .. 2уг + 5 у +1 4 4) — 5- + = ; 1-у2 У-1 У + 1 5) Зх -1 _ 2х + 1 4 , 2х +1 2х - 1 1 - 4х2 ’ 6) 7 4 3 . ' (х + 2) (х - 3) (Х - З)2 (х + 2)2 ’ 71 Зх - 1 _ Зх - 1 _ 6х + 64 .. х + 4 4-х - х2-16 о, 2х - 6 х-3 х -1 п ® / о о 9 • X - 36 X - 6х х2 + 6х
15.11/ Розв’яжіть рівняння: 11 х-2 _ 5 _ х2 + 27 . х + 1 1-х х2 -1 ’ 2} Зх +1 _ Зх -1 _ 6 . ’ Зх -1 Зх + 11 9х2 ’ х-З х х-2 .. 2х2 - 2х 6 _ х + 2 . х2 -4 х + 2 х-2’ 7 .х + 1 х + 4 х2 + 2х х2 - 2х х2 - 4 х2 - 9х + 50 х + 1 , х - 5 6) 2 Е = к + х - 5х х - 5 х
15.12/ Моторний човен проплив 8 км за течією річки і повернув-
ся назад, витративши на весь шлях 54 хв. Знайдіть швидкість
течії, якщо власна швидкість човна дорівнює 18 км/год.
15.13/ Теплохід пройшов 28 км проти течії річки і повернувся
назад, витративши на зворотний шлях на 4 хв менше. Знайдіть
швидкість теплохода в стоячій воді, якщо швидкість течії
дорівнює 1 км/год.
15.14. ' Щоб наповнити басейн через одну трубу, треба в 1,5 раза
більше часу, ніж через другу. Якщо ж відкрити одночасно
обидві труби, то басейн наповниться за 6 год. За скільки годин
можна наповнити басейн через кожну трубу окремо?
15.15. " Два екскаватори викопали котлован за 8 год. Перший
екскаватор може викопати такий котлован у 4 рази швидше,
ніж другий. За скільки годин може викопати такий котлован
кожний екскаватор, працюючи самостійно?
15.16. " Човен пройшов 6 км проти течії річки і 12 км за течією,
витративши на весь шлях 2 год. Знайдіть швидкість човна
в стоячій воді, якщо швидкість течії становить 3 км/год.
15.17. "’ Розв’яжіть рівняння:
.. х + 5 х - 5 _ х + 25 .
' х2 - 5х 2х2 + Юх ~ 2х2 - 50 ’
2) 2 1 3 .
х2 - 9 2х2 - 12х + 18 2х2 + 6х ’
9х + 12 _ 1 ___1
х3 - 64 х - 4 ~ х2 + 4х + 16 '
15.18. ” Розв’яжіть рівняння:
4у+ 24 + у + З _ у-3 .
5у2 - 45 5у2-15у у2 + 3у’
2\ у + 2_____і _ у + з
’ 8у3+1 4у + 2 8у2-4у + 2‘
16.
Раціональні рівняння з параметрами
Розглянемо лінійне рівняння ах = 1.
Якщо а = 0, то дане рівняння коренів не має. Якщо а Ф 0, то
1
рівняння має єдиний корінь х = —.
а
Розв’язуючи це рівняння, буквам а і х надавали різного зміс-
ту: буква х відігравала роль невідомого числа, а буква а — роль
відомого числа. У таких випадках кажуть, що а є параметром,
а саме рівняння називають рівнянням з параметром.
Підкреслимо подвійну природу параметра: з одного боку, ми
вважаємо параметр фіксованим числом, з іншого — це число
невідоме. Саме це не дозволяє, розв’язуючи рівняння ах = 1,
просто записати у відповідь х - —. Ми змушені розглядати дві
а
можливості: а = 0 і а Ф 0.
Хоча термін «параметр» для вас новий, проте ви вже зустрі-
чалися з цим поняттям. Наприклад, лінійним рівнянням нази-
вають рівняння виду ах = Ь. Тут а і Ь — параметри. Лінійну
функцію задають формулою у = кх + Ь, де к і Ь — параметри.
Вам не раз доводилось розв’язувати рівняння з параметрами
(задачі 1.12, 1.13, 10.32, 10.33). Процес розв’язування полягав
у побудові алгоритму, який дозволяв для будь-якого значення
параметра знаходити відповідну множину коренів.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння х +ах—2 = х-а.
х + 2
Розв’язання. Маємо:
х2 + ах -2- (х + 2) (х - а) _ д.
х + 2 ’
х2 + ах - 2 - х2 + ах - 2х + 2а _ д. 2ах - 2х + 2а - 2 _ д
х+2 ’ х+2
Отримане рівняння рівносильне системі:
[2ах-2х + 2а~2 = 0, Гх(а-1) = 1-а,
|х *-2; \х*-2.
Якщо а = 1, то маємо: Ох = 0, тобто коренем рівняння систе-
ми є будь-яке число. Оскільки х Ф -2, то при а — 1 множиною
коренів заданого рівняння є {х | х * -2}.
Якщо а Ф 1, то отримуємо:
х = ^А [х = -1,
х * -2; Iх * ~2-
Звідси х = — 1.
Відповідь: якщо а = 1, то коренем рівняння є будь-яке число,
крім —2; якщо а * 1, то х = —1.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння (Х + 1) + + 1 = Ь.
X X -1
Розв’язання. Маємо:
Ь (х +1) (х -1) + х (Ь +1) - Ьх (х -1) _ д.
х(х-1)
Ьх2 - Ь + Ьх + х- Ьх2 + Ьх _ д. х (2Ь +1) - Ь _ д
X (х - 1) ’ X (х -1)
Це рівняння рівносильне системі
х (2Ь +1) = Ь,
х (х -1) * 0.
. 1 . .
Якщо Ь = - —, то рівняння системи, а отже, і задане рівняння
коренів не має.
Якщо Ь то
Ь
Х 2Ь + Г
х (х -1) * 0.
Знайдемо ті значення параметра Ь, при яких значення виразу
2^ + у дорівнює 0 або 1.
Рівність і = 0 виконується тільки при Ь = 0, а рівність
= 1 виконується тільки при Ь = — 1.
Отже, при Ь = 0 або Ь = — 1 число не є коренем заданого
рівняння.
Відповідь: якщо Ь = ~, або Ь = 0, або Ь = -1, то рівняння коренів
не має; якщо Ь Ф Ь Ф 0 і Ь Ф -1, то х = —-—.
2 26 + 1
Цю відповідь можна записати ще й так: якщо Ьєі-^,0, -1
І
то коренів немає, якщо 6 й 1-^,0, —1>, то х = .
ПРИКЛАД 3 При яких значеннях параметра а рівняння
——+ 2) = 0 має єдиний розв’язок?
х -1
Розв’язання. Треба знайти всі значення параметра а, при яких
множина коренів даного рівняння є одноелементною.
Переходимо до рівносильної системи
(х - а) (х + 2) = 0,
х-1*0.
Звідси
х = а або х = -2,
х*1.
При будь-якому значенні параметра а задане рівняння має
корінь х = -2. Для того щоб цей корінь залишався єдиним, по-
трібно, щоб корінь рівняння х = а:
• або дорівнював тому самому кореню, який вже знайдено,
• або не задовольняв умову х Ф 1.
Звідси а = — 2 або а = 1.
Відповідь: а = -2 або а = 1.
ПРИКЛАД 4 При яких значеннях параметра т рівняння
т (х — 1) = 0іх + т2 + т = 1є рівносильними?
Розв’язання. При будь-якому значенні параметра пг число 1
є коренем першого рівняння. Для рівносильності рівнянь необ-
хідно, щоб число 1 було коренем і другого рівняння. Підставимо
це значення змінної до другого рівняння:
1 + т + т2 = 1;
т (т + 1) = 0;
т = 0 або т = -1.
Тепер можна зробити висновок: якщо шукані значення пара-
метра т існують, то їх слід шукати серед елементів множини
{-1, 0}.
Якщо т = —1, то задані рівняння набувають вигляду (-1) (х - 1) =
= 0іх+1-1 = 1. Ці рівняння є рівносильними.
При т = 0 маємо: 0(х-1) = 0іх=1. Очевидно, що ці рів-
няння не рівносильні.
Відповідь: т = -1.
• 1. У чому полягає подвійна природа параметра?
2. При вивченні яких понять ви зустрічалися з параметрами?
3. У чому полягає процес розв’язування рівняння з парамет-
рами?
16.1.’ Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1) х - а _ д. х -1 3) а(х 11 = 0; 5) —— = 0; х - 1 х + а
2) £±2 =0; х - а 4) Мх^а) = 0; 6) а(^-4) = 0 х-3 х-а
16.2/ Для кожного значення параметра Ь розв’яжіть рівняння:
1) £±^ = 0; х - 5 3) £ ~.36 = 0; х + Ь + 2
2) х---4= 0; х - 2Ь 4) ~ Ц * = о. х + Ь
16.3/ Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1) —11 = 0; х - а 2. х (х - а) = 0. 3- (х - а) (х - 6) _ 0. ' х+2 ’ ’ х-7
4) (х 4) (х + 1 2) = 0; 6) х - а х2 - а2 _ 0. 8. (х - а) (х - 2) _ 0 х + 4 ’ х - 2а
5) = 0; 7) (х-1)(х + 3) = 0; (х - За) (х + 5)
16.4.’ Для кожного значення параметра Ь розв’яжіть рівняння:
(х - 2) (х - 3) 0. х + Ь ’ 3) —— = 0; (х - Ь + 1) х
2) = 0; (х + 1) (х - 4) (х + 2Ь) (х - 3) _ р х - Ь
16.5.“ Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1) —’ 2 = а-1; х - а .. Зх + 1 ,1 3 4) + = ; (х -1) (х + а) х + а х - 1
ах - 2 ,1 2) = а+ ; х -1 X ах2-3 , 2 а , 3 а2 + 2а О І + " — - 9 х + 3 х + 2 (х + 2) (х + 3) а2 -1 а3 - х + 10 4
3) 2 + ~а+ х2 -1 х -1 6) ——_в х - 2 (х + а) (х - 2) х + а
16.6." Для кожного значення параметра Ь розв’яжіть рівняння:
.. Ьх + 3 , 1 *> х + 2 =Ь~х-1- 3)^- + *>-ь2 = _Ц_. ’ х + 1 (х + 1)(х-2Ь) 26-х
2) Ч2~2 =6 + 1 + ^—4; X2 - 4 х + 2 Ь2 362+6 + 39 9 х + 4 (х + 4) (3 - х) х - 3
16.7." При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний
розв’язок:
1) і-і = 0; х - а 2) (х +1) (х -5) = х - а 4) (х - 2) (х - а) _ р. х - 2а 5+ (х - 1) (х + 3) _ р. (х - а) (х + За) ’
3) (х - а) (х + За) _ р. х 3 2 2 6 ) —-—5 = о? 7 (х + 1) (х + 2)
16.8." При яких значеннях параметра Ь рівняння має єдиний
розв’язок:
(х + 3) (х - 8) _ р. х + Ь (х-2)(х + 1) _р. ’ (х + 6)(х-26)
2+ (х + 2Ь) (х - 4Ь) = р. х - 2 4+ (х + д)(х-5Ь) _ 0? ' (х-3)(х + 5)
16.9." При яких значеннях параметра а дані рівняння є рівно-
сильними:
1) = 0 і х - 1 = 0; 2) х(х~а) = 0 і х = 0;
х - а х - 2
3) (х а)(х 3) =0 і х - 3 = 0;
х - 2а
4) (х + а)(х-4а)=0 і х _ 4а _ 0;
х -1
(х-а) (х-2а + 1) = 0 . х-а = 0.
х -1 х -1
6) (а2 - 1) х = а - 1 і = 1;
х-а
7) (а2 - а) (х - 1) = 0 і 2ах + а2 - За = 0;
8) а (х - 1) = 0 і ах Р а2 = 2а?
' В 1С При яких значеннях параметра Ь дані рівняння є рівно-
сильними:
1) - 4 = 0 і х - 4 = 0;
х + Ь
2) = о і х - 1 = 0;
х - З
(х + Ь) (х - 2Ь) _ 0 . х + Ь _ 0.
х - ЗЬ х - ЗЬ ’
4) (х -Ь)(х-ЗЬ + 4) _ 0 . х - Ь _
’ х-2 х-2
5) (Ь2 - 4) (х + 2) = 0 і Ьх + 2Ь = 4 - Ь2?
Степінь з цілим від'ємним показником
У науці та практиці для короткого запису значень величин
часто використовують степінь числа 10.
Наприклад, відстань від Землі до Полярної зорі приблизно
дорівнює 4 470 000 000 000 000 км або 4,47 • 1015 км. Маса Сонця
дорівнює 1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг або
1,99 "Ю30 кг.
Це були приклади з макросвіту, тобто світу дуже великих
фізичних величин. Наведемо приклади з мікросвіту, тобто світу
дуже маленьких фізичних величин.
Маса атома Гідрогену дорівнює
0,000000000000000000000000001661 кг.
Радіус атома Оксигену дорівнює 0,0000000066 см.
Для запису цих величин так само можна використовувати
степінь числа 10. Наприклад:
0,000000000000000000000000001661 кг = кг,
1027
0,0000000066 см - ~4 см.
109
Проте якщо домовитися позначати і відповідно 10 27
і 10~9, то для розглянутих величин отримаємо «одноповерхову»
форму запису: - — = 1,661 • 10~27, -^4 = 6.6 • 10~9.
1027 10® х
Аналогічно можна домовитися, що, наприклад, —~ = 5 2,
5
_!_ = (-З) 5, -Д-= (0.7)-*.
(-3)5 0,7
Означення. Для будь-якого числа а, яке не дорівнює нулю,
і п є N
а" = —
а'
(-4)
З означення випливає, що, наприклад, 2 = = —,
2 8
(-4Г2=—4 = —, =-4-= 16, (0,3) 1= — = —
1
2
Отже, можна підносити число до будь-якого цілого степеня,
крім нуля. Заповнимо цю прогалину.
Означення. Для будь-якого числа а, яке не дорівнює нулю,
а° = 1.
Наприклад, 5° = 1, (-17)° = 1, =1, п° = 1.
Зауваження. Вираз 0" при цілих п, які менші або дорівню-
ють нулю, не має змісту.
З наведених означень випливає, що при будь-якому а Ф 0
і пє 2 числа а" і а" взаємно обернені. Тому рівність
виконується при будь-якому цілому п.
Наприклад, при п = -2 маємо а2 =
а
У довідковій літературі ви можете знайти таку інформацію:
«Маса Венери дорівнює 4,9 • 1024 кг. Маса Марса дорівнює
6,423* 1023 кг. Площа поверхні Місяця складає 3,8* 107 км2».
Наведені числа записано в так званому стандартному вигляді.
Означення. Стандартним виглядом числа називають його
запис у вигляді добутку а • 10", де 1 < а < 10 і п є 2.
Число п називають порядком числа, записаного в стандартно-
му вигляді. Наприклад, порядок числа, яке виражає масу Сонця
в кілограмах, дорівнює ЗО, а порядок числа, яке виражає масу
атома Гідрогену в кілограмах, дорівнює -27.
У стандартному вигляді можна записати будь-яке додатне
число. Наприклад, 171,25 = 1,7125-102; 0 ,00958 = 9,58- 10Л На
практиці стандартний вигляд числа використовують для запису
великих і маленьких чисел. При цьому порядок числа дає уяв-
лення про величину числа.
ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу:
1) ; 2) 1,2 2; 3) З’3 • 15 + 6 2 • 8 - 4,3°.
Розв’язання
Узагалі, якщо а 0 і Ь 0, то = —.
2) 1,2-=(12)2=(бГ=(5)2 = 25.
7 \10/ \5/ \6/ 36
3) З"3-15+ 6 2-8-4,3° = Д-15 + Д-8-1 =
З3 б2
— -15 + — -8-1=—+--1
27 36 99
2
9"
ПРИКЛАД 2 Подайте вираз (а - Ь) 2 (а 2 - Ь 2) у вигляді раціо-
нального дробу.
Розв’язання, (а - Ь)2(а2 -Ь 2) = —-—• ІД - ДІ =
(а-Ь) \аг Ь І
_ 1 . Ь2 - а2 _ 1 . (Ь - а) (Ь + а) _ Ь + а _ Ь + а
~ (а - Ь)2 ' а2Ь2 ~ (Ь- а)2 а2Ь2 ~ а2Ь2(Ь -а)~ а2Ь3 - а3Ь2 '
ПРИКЛАД З Запишіть у стандартному вигляді число:
1) 564 000 000; 2) 0,0036.
Розв’я шння
1) 564 000 000 = 5,64 • 100 000 000 = 5,64-108.
2) 0,0036 = 3,6 • 0,001 = 3,6 • = 3,6 • -Д - = 3,6 • 10’3.
’ 1000 ю3
1. Чому дорівнює а ", якщо а — будь-яке число, відмінне від
нуля,і п є №
2. Чому дорівнює нульовий степінь будь-якого відмінного від
нуля числа?
3. Що називають стандартним виглядом числа?
4. У яких межах має знаходитися число а, щоб запис а • 10",
де п є 2, був стандартним виглядом числа?
5. Як називають число п у записі а • 10" числа в стандартному
вигляді?
17.1. * Якому з виразів дорівнює вираз а 6:
1)-пв; 2)^; З)^; 4) ~4?
а а а
17.2. ° Подайте степінь у вигляді дробу:
1) З 8; 3) а’9; 5) 12 і; 7) (а - Ь)~2-,
2) 56; 4) а 3-, 6) т1; 8) (2х - Зу)-4.
17.3. Замініть степінь дробом:
1) 14“4; 2) р 20; 3) (т + п) *; 4) (4с - 5гі)10.
17.4. ° Подайте дріб у вигляді степеня з цілим від’ємним показ-
ником або у вигляді добутку степенів:
п 4? 3)5>
Iі с Ь
2) 4; 4) 4; 6) 4;
х п у
17.5. * Замініть дріб степенем з цілим від’ємним
7)
8)
(а + Ь)5.
(с-й)8’
(х - у)2
х + у
показником або
добутком степенів:
1 їх2
її -4; 2) 4; з) —;
її11 к4 у
5)
(2х - у)3
(х-2у)9’
17.6. ° Подайте числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,
11111
4’ 8’ 16’ 32’ 64
у вигляді степеня з основою: 1) 2; 2)
1
2’
17.7. ° Подайте у вигляді степеня одноцифрового натурального
числа дріб:
1) —; 2) —; 3) —; 4) —.
7 49 ’ 216 ’ 625 ’ 128
17.8. ° Подайте у вигляді степеня з основою 10 число:
3) 0,0001; 4) 0,000001.
27, 81, |, 4, 4 У вигляді
о У сі І о±
1_
1) 0,1; 2) 0,01;
17.9. ’ Подайте числа 1, 3, 9,
степеня з основою: 1) 3; 2)
в
4) —;
’ п6’
17.10. ” Обчисліть:
1) 5“2; 3) (—9)“2; 5) Г2"; 7) (-1) ,7; 9) (|) ;
2)2"; 4) 0,2~3; 6) (-1)“,е; 8) ; 10) (-1|
17.11. ' Знайдіть значення виразу:
1) 20“2; 2) 0.3 і; 3) (-6) 3; 4) (|) \ 5) 3; 6) (з|
17.12. ” Обчисліть значення виразу:
1) 3 1 - 4 *; 4) 9-0,1 *;
2) 2 3 + 6“2; 5) 0,5“2-4';
3) + (-2,3)° - 5 2; 6) (2 і - 8 і • 16)11.
17.13. Чому дорівнює значення виразу:
1) 2 2 + 2 і; 3) 0,03° + 0,7°;
2) З2-6 і; 4) (9 • 3 3 - 12’)'?
17.14. * Яке з даних чисел записано в стандартному вигляді:
1)12-10"; 2)1,2-10"; 3)0,12-10*?
17.15. ” Запишіть число в стандартному вигляді та вкажіть поря-
док числа:
1) 3400; 4) 0,000008; 7) 0,86-103;
2) 15; 5) 0,73; 8) 0,23-10";
3) 0,0046; 6) 250-102; 9) 9300-105.
17.16. ” Використовуючи стандартний вигляд числа, запишіть:
1) швидкість світла у вакуумі дорівнює 300 000 км/с;
2) висота Говерли, найвищої гори України, дорівнює 2061 м;
3) площа України становить 603 700 км2;
4) середня відстань від Землі до Сонця становить 149,6 млн км;
5) атмосферний тиск на висоті 100 км становить 0,032 Па;
6) діаметр молекули води дорівнює 0,00000028 мм.
17.17. Запишіть число в стандартному вигляді та вкажіть поря-
док числа:
1) 45 000; 3) 0,00024; 5) 0,059 • 108;
2) 260; 4) 0,032; 6) 526-10".
17.18. ” Запишіть у вигляді натурального числа або десяткового
дробу число, записане в стандартному вигляді:
1)1,6-Ю3; 2) 5,7-106; 3)2,1-Ю’2; 4)1,1-Ю’5.
17.19. Запишіть у вигляді натурального числа або десяткового
дробу число, записане в стандартному вигляді:
1)2,4-102; 2)4,8-105; 3) 1,4-10 3; 4)8,6-10 ".
17.20. ° Доведіть, що І —І = | — | .
\Ь/ \а/
17.21. ” Знайдіть значення виразу:
/ 1\-1 /9\’2
1) -і • 10-1 + 9° - (-2)3 + - •(—1,5)3;
\ 3 / \ 9 /
І 9\“3
2) (2,5)“2 - (85)° + 1^ + 0.Г1.
17.22. ” Розташуйте в порядку спадання:
*» (І)’- (і)’- й)"- йП 214"’ Л 4"’4'2-
17.23. ” Розташуйте в порядку зростання:
1) 7 2, 72, 7’1, 7°; 2) (-) , (і) , , (-) .
’ \з/ \зі \зг \ЗІ
17.24. ” Порівняйте значення виразів:
1)12° і (-6)°; 4) 3 *-7 1 і 21і;
2) 0,23 і 0,2 3; 5) 5 1 - 7 і і 2 і;
з>4‘“>’25': МїГЧіГ’ЙЧ)'1-
17.25. ” Порівняйте значення виразів:
ЦЗЧІ-З)";
2) 3 1 + 2 1 і 5 ’;
17.26. ” Подайте у вигляді дробу вираз:
1) аЬ1 + а 1Ь; 4) (а + Ь) 1 -(а 1 + Ь *);
2) За1 + аЬ 2; 5) (с 2 - <Г2) : (с + сі);
3) т2п2 (т 3- п~3); 6) (ху2 + х'2у)• ~^ + у2) •
17.27. " Подайте у вигляді дробу вираз:
1) а 2 + а 3; 3) (с ' - <Г’)-(с - <2) 2;
2) тп'4 + т Ап; 4) (х~2 + у 2)-(х2 + у2)”1.
17.28. ” Доведіть, що при будь-якому п є 2:
1) якщо а > 0, то ап > 0;
2) якщо а < 0, то ап > 0 при парному п і ап < 0 при непарно-
му п.
17.29. ” Чи є правильною нерівність ап > а п, якщо:
1) а > 1, п є ІЧ; 2) 0 < а < 1, п є N7
17.30. ” Порядок деякого натурального числа дорівнює 4. Скільки
цифр містить десятковий запис цього числа?
17.31. ° Десятковий запис деякого натурального числа складаєть-
ся із семи цифр. Чому дорівнює порядок цього числа?
17.32. ° Яке число більше:
1) 9,7 • 1011 чи 1,2 • 1012; 3) 2,34 • 106 чи 0,23 • 107;
2) 3,6 • 10’5 чи 4,8 • 10Л 4) 42,7 • 10 9 чи 0,072 • 10 7?
17.33. ° Яке число менше:
1) 6,1-Ю19 чи 6,15-1018; 2) 1,5-10’9чи 0,9 -10 8?
17.34. ° У таблиці наведено середні відстані від Сонця до планет
Сонячної системи:
Планета Від< тань, км
Венера 1,082-10®
Земля 1,495-10®
Марс 2,280-10®
Меркурій 5,790-107
Нептун 4,497-10у
Сатурн 1,427-10®
Уран 2,871-109
Юпітер 7,781-108
1) Яка планета знаходиться на найменшій відстані від Сонця,
а яка — на найбільшій?
2) Яка з планет, Марс або Сатурн, знаходиться далі від Сонця?
3) Складіть таблицю, записавши в лівому стовпці назви планет
у порядку збільшення відстані від них до Сонця, а в пра-
вому — відстані від них до Сонця, виражені в млн км.
17.35.° У таблиці наведено маси атомів деяких хімічних елементів:
Елемент Маса атома, кг Елемент Маса атома, кг
Нітроген 2.32 • 102(’ Аурум 3,27-10 25
Алюміній 4,48-10’26 Купрум 1,05-10 25
Гідроген 1.66-10 27 Натрій 3,81-10 26
Гелій 6,64 • 10’27 Станум 1,97-10 25
Ферум 9,28-10’26 Уран 3,95-10“25
1) Маса атома якого з наведених елементів найменша, а яко-
го — найбільша?
2) Маса атома якого з елементів, Купруму чи Натрію, більша?
3) Складіть таблицю, упорядкувавши елементи в порядку
зменшення маси їх атомів.
17.36.° У таблиці наведено запаси деяких речовин у мінеральних
ресурсах світу:
Речовина Запаси,т Речовина Запаси,т
Алюміній 1,1-10® Нікель 6,8-107
Вольфрам 1,3-10® Олово 4,76-10®
Залізо 8,8 -1О10 Ртуть 1,15-10°
Золото 1,1-104 Фосфати 1,98-1010
Марганець 6,35 -108 Хром 4,4-10®
Мідь 2,8-10® Цинк 1,12-108
1) Запаси якої з наведених речовин найбільші, а якої — най-
менші?
2) Запаси якої з речовин, нікелю чи цинку, більші?
3) Складіть таблицю мінеральних ресурсів, розмістивши ре-
човини в порядку зменшення їх запасів.
18-
Властивості степеня з цілим показником
У 7 класі ви вивчали властивості степеня з натуральним по-
казником. Вони залишаються справедливими і для степеня з будь-
яким цілим показником.
Для будь-якого а/Оі будь-яких цілих т і п виконуються
рівності:
ат-ап = ат + п-, (1)
(а"1)" = атп. (2)
Для будь-яких а * 0 і Ь * 0 та будь-якого цілого п виконуєть-
ся рівність
(аЬ)' = а"Ь". (3)
Рівність (1) виражає основну властивість степеня. Доведемо її.
Для натуральних ті п цю рівність уже було доведено в 7 класі.
Розглянемо тепер випадок, коли т і п — цілі від’ємні числа.
Якщо т і п — цілі від’ємні числа, то -т і — п — натуральні
числа. Тоді
—п ~тп + (-п) п
а *а = а = а
Маємо:
ап . а’< - _1---------1----= —1— = —І— - ат+л
^,-т -п „т „-т-п „ (т+гі)
а а а • а а а '
Для того щоб доведення основної властивості степеня стало
повним, слід розглянути ще такі випадки: один з показників
степеня т або п від’ємний, а другий — додатний: один або оби-
два показники дорівнюють нулю. Розгляньте ці випадки само-
стійно.
Рівності (2) і (3) доводять аналогічно.
З основної властивості степеня випливає такий важливий на-
слідок: для будь-якого а * 0 і будь-яких цілих т і п виконуєть-
ся рівність
а : а — а . (4)
Справді, ат : ап = = ат • а~п = ат+<"'” = ат~п.
ап
З властивостей (2) и (3) можна отримати ще одну властивість
степеня з цілим показником: для будь-яких а^ОіЬ*Оі будь-
якого цілого п виконується рівність
Справді,
| =(а-Ь1)п = ал-(ЬЛ)п = ал-Ьл = ~
Ьл
Властивості (1)—(5) називають властивостями степеня з цілим
показником.
ПРИКЛАД 1 Подайте у вигляді степеня вираз (а 4) 2-а 7 : а6.
Розв’язання. Застосувавши послідовно правила піднесення
степеня до степеня (властивість (2)), множення і ділення степенів
з однаковою основою (властивості (1) і (4)), отримуємо:
2 „-7 . „6__4-(-2) „-7 . „6_8 „-7 . „в__8 т (-7) 6_-5
\Сі ) • сі • сі — сі сі .я — а. * а « а — сі — а •
ПРИКЛАД 2 Знайдіть значення виразу:
1) 16 9-812; 2) -Ц- 3) (1—) •[(-) 1 .
18’3 \ 25/ Цб/ )
Розв’язання
1) Подавши числа 16 і 8 у вигляді степенів з основою 2, отри-
муємо:
16 9-812 = (2і) 9-(23)12 = 2 36-238 = 2° = 1.
2) Використовуючи правило піднесення дробу до степеня (влас-
1) 0,6т2п 6 • ^-т 4п3 = (о. 6 • -
З \ з
ПРИКЛАД 3 Спростіть вираз:
1) 0,6т* 2п6 • ^пг"4л3; 2) (а-2 + 9) (а’2 - 4) - (а2 + 6) (а2 - 6).
о
Розв’язання
) • (т2 • т~') ’(п 6 • а3) = 0,2/п*2п“3.
2) (а-2 + 9) (а-2 - 4) - (а 2 + 6) (а 2 - 6) =
= а 4 - 4а 2 + 9а'2 - 36 - а 4 + 36 = 5а 2.
ПРИКЛАД 4 Виконайте множення (3,4 1014) • (7 • 10 8) і результат
запишіть у стандартному вигляді.
Розв’язання. (3,4-1014)-(7-10'8) = (3,4 • 7) • (10і4 • 10 8) =
= 23,8 • 106 = 2,38 10 • 10° = 2,38 • 107.
9
1
Сформулюйте властивості степеня з цілим показником.
18.1.° Знайдіть значення виразу:
/9\ 3
1)9®-97; 4) 2 9-2 12 : 2-22; 7) З'3 4|) ’
2) 10'8-1012; 5) (174) 12-(17-6)-8; 8)
3) 3 18 : 3 21; 6) 6 72(6 3)з і
(б 7)2-б'3
18.2. Знайдіть значення виразу:
1) 5 7 : 5 6-53; 3) 0,8 і -(1|) ;
4 7-(4~5)3.
(4-3)7 ’
18;3.° Спростіть вираз:
1) За 3-4а'4;
от 1°6'4 .
} 15д-5 ’
3) (2с 6)4;
4) т ґі • тпп ,
5) аЬс 1 -аЬ 1с;
6)^4;
« р
7) (сЛ/2)-7;
8) |а’3Ь'6-^а7&4;
З 7
9) 0,2с V- 1,5с 2сі 5;
10) 4х8-(?Зх V/2;
1П 13т’0 27п
} 12а 8 ' 26т2’
1 18р~6А:2 . 15/г~2
18.4.’ Спростіть вираз:
1) 2а 5Ь2-За~2Ь~5; 2) (|тп~3) ; о. 3,6а2Ь ’ 0,9а3д“3’ 18.5.° Знайдіть значення виразу: 4) 0,8а 6^8 • 5а10Ь-8; 5) У 5х 6) 28с3сС2-(2сгі ') 2.
1) 8 3-27; 5) 25“4 : (0,23)-2;
2) 27“2 : 9 '; 6) (-365ГЗ-б818; 216“5 -(-6)
3) 100’2 : 1000 5-0,01е; Л ю 7) —| 8Г2-16"3
1 1\-3 -((І))= 18.6.* Знайдіть значення виразу: 8. 145 • 2~7 28-2.7з '
1) 9’4-272; 4) 8’2 : 0,54;
2) 32 -’ : 64 4; 226 • 2“8 5) 44-’.и«;
чОО 1О‘2-15'4 Ь) к зо 6
18.7.° Виконайте дії і зведіть отриманий вираз до вигляду, який
не містить степеня з від’ємним показником:
1) -2,4а 4Ь3-(-2а~3с’5)'3; / і V3 4) -|аЛгв -(-6а2Ь9Г2; \ 6 /
( 7 „~3 №
2) (-Юх 2уг 8)’2-(0,і£/£’4)'2; 5) -49тЛі4;
( 5к )
—З / X -З
3) 1£тЛі-(1|т-'п-4) ; 6) | І -(16хЛ/4)2.
18.8.* Виконайте дії і зведіть отриманий вираз до вигляду, який
не містить степеня з від’ємним показником:
1) 3,6аЛЛ(-За Л’7)~2; . 125тЇОп2;
\6п )
2>1^х~6у2-(1^хіу'3)3’ 4)(^Я '(а'Ь)4-
18.9.° Винесіть за дужки степінь з основою а і з найменшим з да-
них показників:
1) а3 - 2а‘; 2) а3 - 2а ~4; 3) а3 - 2а4.
і8.10 .‘ Винесіть за дужки степінь з основою Ь і з найменшим
з даних показників:
1) Ь3 + ЗЬ2; 2) Ь’3 + ЗЬ’2; 3) Ь’3 + ЗЬ2.
18.11 .° Подайте у вигляді добутку вираз:
1) а’2 - 4; 4) а3 + Ь 3;
2) а4 Ь’6 - 1; 5) т'4 - 6т’2р 1 + 9р’2;
3) 25х’8р’12 - г’2; 6) а 3 - 49а’2.
18.12 .° Подайте у вигляді добутку вираз:
1) х 4 - 25; 3) а’10 + 8а 5Ь’7 + 16Ь 14;
2) т~6 - 8п”3; 4) а”4 - а’2.
18.13 .° Виконайте обчислення і результат запишіть у стандарт-
ному вигляді:
1) (1,8-104)-(6-Ю3); 3)
9-Ю8
2) (3• 10е)• (5,2• 10’9); 4) 1,7,10 у.
3,4-Ю’4
18.14 .* Виконайте обчислення і результат запишіть у стандарт-
ному вигляді:
1) (1,6-10 5)-(4-Ю7); 3) 7,10
1,4-10’6
2) (5-Ю 3)-(1,8-10 і); 4) 6,4,-109 .
8 -10’2
18.15 .° Середня відстань від Землі до Сонця дорівнює 1,5 • 108 км,
а швидкість світла — 3 • 108 м/с. За скільки хвилин світло від
Сонця дійде до Землі? Відповідь округліть до одиниць.
18.16 .° Густина міді дорівнює 8,9 • 103 кг/м3. Знайдіть масу мідної
плити, довжина якої 2,5-10 1 м, ширина — 12 см, а висо-
та — 0,02 м.
18.17 .* Маса Землі дорівнює 6- 1024 кг, а Місяця — 7,4- 1022 кг.
У скільки разів маса Місяця менша від маси Землі? Відповідь
округліть до одиниць.
18.18 ." Доведіть тотожність
а’8 - Ь’8 = (а 1 - Ь’1) (а1 + Ь ') (а 2 + Ь 2) (а 4 + Ь’4).
18.19 ." Спростіть вираз:
1) (а-4 + 3) (а-4 - 3) - (а’4 4- 2)г; 3)
2х н у______________х 1
Зх’2 - Зх’1!/ 1 х’1 - у”1 ’
„-5 . Ь-5 „"Зі,-5 . „-8
18.20 .* Спростіть вираз:
1) (х’2 - І)2 - (х~г - 4) (х~г + 4); 2)
а ‘ - 5Ь
а’2 - 10а’*Ь 1 + 25Ь’2 .
оч 5т 2 + п 2______т 1 . дч 6 1 + Зс 1_______Ьс_____
} 4т’3 + 4т“1п“2 т~2 + п*2 ’ с2 Ь~2с'1 + ЗбЛ’2 '
18.21 .' Побудуйте графік функції:
і) з>Нїтї)°; =
ОХ I 1 Vі ЛХ I Х + 2 Vі ох (X2 - 1)°
18.22 .* Побудуйте графік функції:
П ( 4- 9^° ОХ /х~3]1 41 ( п/*-1!1
1) У = (х + 2) ; 2)у= -5—- ; 3)у = (х-1) ---- .
\х -9/ \ х /
18.23 .* Назвіть порядок числа х, якщо:
1) 100 < х < 1000; 3) 0,01 < х < 0,1;
2) 10 000 < х < 100 000; 4) 0,0001 < х < 0.001.
18.24 .’ Назвіть порядок числа х, якщо:
1) 10 < х < 100; 2) 0,001 < х < 0,01.
18.25 .’ Порядок числа а дорівнює —4. Визначте порядок числа:
1) 10а; 2) 0,1а; 3) 100а; 4) 0,001а; 5) 10 000а; 6) 1 000 000а.
18.26 . Порядок числа Ь дорівнює 3. Визначте порядок числа:
1) 106; 2) 0,016; 3) 0,00016; 4) 10006.
18.27 .’ Спростіть вираз і запишіть результат у вигляді раціональ-
ного виразу, який не містить степеня з від’ємним показни-
6~2 -2 _ 6~4 -4 . 1 .
б’2 б’2 б’2 - 2 ’
5с’3 _ с~3 + 6 _ 90 .
с’3-3 2с’3-6 с’6+6с’3’
... ( пГ* Зт 4 16 - т 8 , 8т 4
4)------------------------------------------1--------;
тп-4 - 4 т~& - 8т * + 16 ) т~* - 7 тп-4 - 4
5. (а + 6 - І)'1 + (а - 6 + І)’1 / 1 1
' 2 (а+ 6) [а-2 (Ь-1)~2]'
Спростіть вираз і запишіть результат у вигляді раціональ-
ного виразу, який не містить степеня з від’ємним показником:
1) а~2 +5 . а’4 - 25 _ 2 .
} а’4 - 6а’2 + 9 ‘ 4а’2 -12 а’2 - 5 ’
2)
56’1 - 36
Ь1 -7 )
26’4+4^
б’1 -7
6 і
(х -1) (х + І)'2 - 2х (X2 - І)’1 + (х + 1) (х -І)2
' 8х (х4 -1)1
18.29. ’ Порядок числа а дорівнює —4, а порядок числа Ь дорів-
нює 3. Яким може бути порядок значення виразу:
1) аЬ; 2) а + Ь; 3) а + 106; 4) 10а + 0,16?
18.30. * Порядок числа т дорівнює 2, а порядок числа п дорівнює 4.
Яким може бути порядок значення виразу:
1) тп; 2) 0,01/пп; 3) ЮОпі + п; 4) 0,01тп + п?
18.31. " Доведіть тотожність:
. (ху4 +1)2 . хУ3-1 . хУ3+1 = ..
ху-1 - х-1у х2у-2 + ху-1 +1 ху-1 + х-1у -1
а'1 + (6 + с)-1 (-і,/ 2Ьс \ 1 _ (а + 6 + с)2
’ ^-(б + с)-1 \ І62 + с2-а2) 26с '
19.
і.
Функція у = і та її графік
У 6 класі ви ознайомилися з такою залежністю однієї величи-
ни від другої, коли збільшення (зменшення) однієї величини
в кілька разів приводить до збільшення (зменшення) другої ве-
личини в таку саму кількість разів.
У 7 класі ви дізналися, що ця залежність є функціональною
і визначає функцію у = кх, де к/0, яку називають прямою про-
порційністю.
Існує також функціональна залежність, яка характеризується
тим, що із збільшенням (зменшенням) однієї величини в кілька
разів друга величина зменшуєт«ся (збільшується) у стільки ж
разів. Таку залежність називають оберненою пропорційністю.
ПРИКЛАД 1 Нехай є 100 грн. Позначимо через х грн. ціну 1 кг
товару, а через у кг — кількість цього товару, яку можна при-
дбати за 100 грн.
Зрозуміло, що залежність змінної у від змінної х є оберненою
пропорційністю: збільшення ціни х у кілька разів спричинює
зменшення кількості товару у у стільки ж разів, і навпаки, змен-
шення ціни приводить до збільшення кількості купленого товару.
Цій функціональній залежності відповідає функція, яка за-
, юо
дається формулою у =---.
ПРИКЛАД 2 Розглянемо прямокутник, площа якого дорівнює
18 см2, а сторони — х см і у см. Тоді
18
Збільшення (зменшення) знаменника х у кілька разів веде до
зменшення (збільшення) величини у у стільки ж разів, тобто
залежність змінної у від змінної х є оберненою пропорційністю.
У розглянутих прикладах математичною моделлю реальних
(і
ситуацій є функція, яку можна задати формулою виду у = —.
Означення. Функцію, яку можна задати формулою виду
д
у : —, де к 0, називають оберненою пропорційністю,
х
к
Оскільки областю визначення виразу — є множина {х | х ї 0},
то областю визначення функції у = — є така сама множина, тоб-
то В (у) = (х І х Ф 0}.
Розглянемо функцію у = —. У таблиці наведено деякі значен-
X
ня аргументу і відповідні їм значення функції.
Позначимо на координатній площині точки, координати яких
указано в таблиці (рис. 19.1).
Чим більше точок, координати яких задовольняють рівняння
6 . -
у- —, нам удасться позначити, тим менше отримана фігура
х 6
(рис. 19.2) буде відрізнятися від графіка функції у = —.
х
Серед позначених точок не може бути точки, абсциса якої
дорівнює нулю, оскільки число 0 не належить області визначен-
ня даної функції. Тому графік функції у = — не. має спільних
гочок з віссю ординат.
Крім того, графік не має спільних точок також і з віссю абсцис.
Справді, рівняння — = 0 не має розв’язків. Отже, число 0 не
належить області значень даної функції.
Якщо х > 0, то — > 0, тобто у > 0; якщо х < 0, то у < 0. Отже,
точки графіка даної функції можуть знаходитися тільки в І і III
координатних чвертях.
Зауважимо, що зі збільшенням модуля абсциси відстань від
точки графіка функції у = — до осі абсцис зменшується і може
стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю.
Справді, чим більше модуль аргументу, тим менше модуль від-
повідного значення функції.
Аналогічно можна встановити, що зі зменшенням модуля
абсциси відстань від точок графіка до осі ординат зменшується
і може стати як завгодно малою, проте ніколи не дорівнюватиме
нулю.
Якби можна було позначити
на координатній площині всі
точки, координати яких задо-
6
вольняють рівняння у = —, то
ми отримали б фігуру, зображе-
ну на рисунку 19.3.
Фігуру, яка є графіком функ-
ції у = —, де к * 0, називають
х
гіперболою. Гіпербола скла-
дається з двох частин — віток
гіперболи. На рисунку 19.3
зображено гіперболу у = —.
Якщо к > 0, то вітки гіпер-
боли розміщені в І і III чвертях,
а якщо к < 0 — то у II і IV чвер-
тях.
На рисунку 19.4 зображено
.. . ... 6
графік функції у = —.
Зауважимо, що областю зна-
к
чень функції у = —, де к Ф 0,
х
є множина {у | у Ф 0}.
У таблиці наведено властиво-
. , ... к
сті функції у = —, вивчені у цьо-
му пункті.
Область визначення {х | х Ф 0}
Область значень {у І У * 0}
Графік Гіпербола
Нуль функції (значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0) Не існує
Покажемо, як графік функції у = — можна використовувати
при розв’язуванні рівнянь.
4
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння — = х + 3.
Розв’ язання. Розглянемо функції
4
у = — і у = х + 3. Побудуємо в одній
системі координат графіки цих функ-
цій (рис. 19.5). Вони перетинаються
у двох точках, абсциси яких дорів-
нюють 1 і -4. У точках перетину
графіків функцій самі функції набу-
вають рівних значень. Отже, при
знайдених абсцисах значення ви-
разів — і х + 3 рівні, тобто числа 1
х
і -4 є коренями рівняння — = X + 3.
х
Перевірка це підтверджує.
к
Описаний метод розв’язування рівнянь називають графічним.
У 7 класі ви ознайомилися з графічним методом розв’язування
систем рівнянь і знаєте, що цей метод не завжди дає точний ре-
зультат. Тому перевірка знайдених коренів є обов’язковим етапом
розв’язування рівняння.
У подальшому (п. 36) ви навчитеся розв’язувати це рівняння,
не застосовуючи графіків.
• 1. Поясніть, яку залежність між величинами називають обер-
неною пропорційністю.
2. Яку функцію називають оберненою пропорційністю?
к
3. Яка множина є областю визначення функції у = —, де к 0?
4. Як називають фігуру, яка є графіком оберненої пропорцій-
ності?
5. Як називають частини, з яких складається гіпербола?
6. Яка множина є областю значень функції у = —, де к 0?
х
7. У яких чвертях розташований графік функції у = —, якщо
к > 0? якщо к < 0?
8. Поясніть, у чому полягає графічний метод розв’язування
рівнянь.
19.1. ° Автомобіль проїжджає деяку відстань за 10 год. За який
час він проїде цю саму відстань, якщо його швидкість:
1) збільшиться у 2 рази; 2) зменшиться в 1,2 раза?
19.2. ° Довжина прямокутника дорівнює ЗО см. Якою стане його
довжина, якщо при тій самій площі ширину прямокутника:
1) збільшити в 1,5 раза; 2) зменшити в 3,2 раза?
3.3. За деяку суму грошей купили 40 м тканини. Скільки метрів
тканини купили б за ту саму суму грошей, якби її ціна за 1 м:
1) зменшилась у 2,6 раза; 2) збільшилася в 1,6 раза?
19.4. ° Пішохід пройшов 12 км. Заповніть таблицю, у першому
рядку якої вказано швидкість, а в другому — час руху.
V, КМ/ГОД 5 2,4
і, ГОД 3 3- 3
Задайте формулою залежність і від V.
19,5. ° Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 48 см3. За-
повніть таблицю, у першому рядку якої вказано площу його
основи, а в другому — висоту.
й, см
8, см2
16 240
8 4,8
Задайте формулою залежність й від 8.
19.6. ° Бригада із 7 робітників з однаковою продуктивністю праці
може виконати певне виробниче завдання за 12 днів. Скільки
треба робітників з такою самою продуктивністю праці, щоб
виконати це завдання за 4 дні?
19.7. ° Заготовлених кормів вистачить для 24 коней на 18 днів.
На скільки днів вистачить цих кормів для 36 коней?
19.8. ° Серед даних функцій укажіть обернені пропорційності:
і, о о\ 2 0,8 1
1) у = 2х; 3)у = -; 5) у = —г-; 7) у = —;
х х 2х
л \ 1 а \ 2х о \ 2
2)!/ = 5; 8>’“зГ
19.9. ° Задано функцію у = —. Знайдіть:
х
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: —3;
6; 0,2;
2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює:
12; -6; 100.
19 10 ° Задано функцію у = - —. Знайдіть:
х
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: —4;
0,9; 18;
2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює:
6; -0,3; 8.
19.11. ° Побудуйте графік функції у = —. Користуючись графі-
х
ком, знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює:
4; -1;
2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює:
2; -8;
3) значення аргументу, при яких функція набуває додатних
значень.
19.12. ° Побудуйте графік функції у = —. Користуючись графіком,
х
знайдіть:
к
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 2; —10;
2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює:
5; -2;
3) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних
значень.
28
19.13. ° Не виконуючи побудови графіка функції у = —, уста-
новіть, чи проходить графік через точку:
1) А (-4; -7); 3) С (0,5; 14);
2) В (14; -2); 4) £) (0,2; 140).
48
19.14. * Не виконуючи побудови графіка функції у =---, уста-
х
новіть, чи проходить графік через точку:
1) А (-6; -8); 3) С (0,3; -16);
2) В (12; -4); 4) В (0,4; -120).
19.15. ° На рисунку 19.6 зображено графік залежності часу і руху
з пункту А до пункту В від швидкості V руху. Користуючись
графіком, установіть:
1) за який час можна дістатися з пункту А до пункту В, якщо
рухатися зі швидкістю 8 км/год, 24 км/год;
2) з якою швидкістю треба рухатися, щоб дістатися з пункту А
до пункту В за 3 год; 4 год;
3) чому дорівнює відстань між пунктами А і В.
19.16 "Дротяний реостат підключено до блоку живлення (рис. 19.7).
Опір реостата В залежить від положення повзунка і може
змінюватися в межах від 0 до 6 Ом.
Користуючись графіком залежності
сили струму І від опору В (рис. 19.8)
за умови, що напруга на кінцях реос-
тата залишається незмінною, уста-
новіть:
1) чому дорівнює сила струму, якщо
опір дорівнює 2 Ом;
2) при якому значенні опору сила
струму дорівнює З А;
3) скільки вольт становить напруга
на кінцях реостата.
19.17. ° Знайдіть значення парамет-
ра к, при якому графік функції
к
у = — проходить через точку:
X
1)А(-5;4); 3) С (1,5;-8).
2) В -2);
А
19.18. ' Графік функції у = — проходить через точку А (10; 1,6).
Чи проходить графік цієї функції через точку:
1) В (-1; -16); 2) С (-2; 8)?
19.19. ° Побудуйте в одній системі координат графіки функцій
4 .
у = — і у = х і визначте координати точок їх перетину.
19.20. ° Розв’яжіть графічно рівняння:
1) 1 = 4-х; 2) х-2 = —;
X X
19.21/ Розв’яжіть графічно рівняння:
1) — = 6-х; 2) 2х = —;
X X
3) х + 2 = - —.
X
3) - = -х.
х
19.22. ° На рисунку 19.9 зображено графік функції у = / (х).
Розв’яжіть графічно рівняння:
1) / (х) = 0; 3) / (х) = х; 5)/(х) = -;
х
2) / (х) =1; 4) / (х) = -х; 6) / (х) = 2 — х.
19.23. ' На рисунку 19.10 зображено графік функції у = § (х).
Розв’яжіть графічно рівняння:
1) § (х) = 0; 3) § (х) = -1; 5) § (х) = -х;
2)#(х)=1; 4) £ (х) = х; 6)#(х) = ~.
X
1)
ху = 4,
4у = х;
2)
1)
ху = -8,
2х + Зу = 6;
19.24.° Розв’яжіть графічно систему рівнянь:
X - у = 1,
ху = 2.
ІП ос ,, , Іху = 5,
Розв яжіть графічно систему рівнянь 1
[у-х = 4.
19.26. ° Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
_ (ху = -1, (ху = -1, „ (ху = 6,
1)1 2) 1 а 3) 1 у
[х + Зі/ = О; |х-Зі/ = 0; (Зх-2і/ = 6.
19.27. Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
ху = -З,
х - 2у - 2 = 0.
19.28. ° Знайдіть координати всіх точок графіка функції у = —,
х
у яких абсциса і ордината рівні.
' Знайдіть координати всіх точок графіка функції у = ,
X
у яких абсциса і ордината — протилежні числа.
• к
19.30 . Дослідіть кількість коренів рівняння — = а, к Ф 0, залеж-
X
но від значень параметра а.
19.31 / Побудуйте графік функції:
«"-Щ’ г><' = ~|Я: 3)і,--|жГ>.
19.32 / Побудуйте графік функції:
-2х + 10, якщо х < 2,
12 о .
—, якщо 2 < х < 4,
X
З, якщо х > 4.
2 і
—, ЯКЩО X < -1,
1) У =
2)
У =
х + 3, якщо х > -1;
19.33. * Побудуйте графік функції:
4 „
—, якщо х < -2,
х
у = <2, якщо -2 < х < 2,
4 о
—, якщо х > 2.
х
19.34. * Побудуйте графік функції:
. ч 9х -18
!) У = 2 9
х -2х
5х2 - 5
2) У~--------Г
19.35/ Побудуйте графік функції:
і \ З
1) 2 о
х -Зх
Юх2 - 40
х3-4х
У =
19.36. ’* Побудуйте графік рівняння:
1) (ху - 1) (х - 2) = 0; 4) = 0;
х-у
2) (ху + 1) (у - 1) = 0; 5) ^±1 = 0.
х~у
3) (ху - 1) (| х | - | у |) = 0;
19.37. " Побудуйте графік рівняння:
1) х (ху - 1) = 0; 2) х2у2 -1 = 0; 3) = 0.
19.38. " Нехай / (х) = х. Побудуйте графік функції у = -/
19.39. ” Нехай / (х) = - —. Побудуйте графік функції
.. 4
19.40. Функція / така, що / (х) = —. Доведіть, що
х
/ (х + 1)-/(х-1) = -|/(х + 1)./(х-1).
19.41. * Знайдіть функцію /, яка задовольняє умові
З/ (х) + 2/ (-х) = --.
X
19.42. Знайдіть функцію Л яка задовольняє умові
2/ (х) + / =
\ X/ X
§4. НЕРІВНОСТІ
20.
Числові нерівності та їх властивості
На практиці часто доводиться порівнювати величини. Напри-
клад, площа України (603,7 тис. км2) більша за площу Франції
(551 тис. км2), висота гори Роман-Кош (1545 м) менша від висо-
ти гори Говерла (2061 м), відстань від Києва до Харкова (450 км)
дорівнює 0,011 довжини екватора.
Коли ми порівнюємо величини, нам доводиться порівнювати
числа. Результати цих порівнянь записують у вигляді числових
рівностей або нерівностей, використовуючи знаки: =, >, <.
Якщо число а більше за число Ь, то пишуть а > Ь; якщо число
а менше від числа Ь, то пишуть а < Ь.
15 11
Очевидно, що 12 > 7, -17 < 3, — >—. Справедливість цих
нерівностей випливає з правил порівняння раціональних чисел,
які ви вивчали в попередніх класах.
Проте є й інший спосіб, більш універсальний, заснований на
таких очевидних міркуваннях: якщо різниця двох чисел є число
додатне, то зменшуване більше за від’ємник, а якщо різниця
від’ємна, то зменшуване менше ніж від’ємник.
Ці міркування підказують, що зручно прийняти таке означення.
Означення. Число а вважають більшим за число Ь, якщо
різниця а — Ь є додатним числом. Число а вважають меншим
від числа Ь, якщо різниця а — Ь є від’ємним числом.
Це означення дозволяє задачу про порівняння двох чисел
звести до задачі про порівняння їх різниці з нулем. Наприклад,
щоб порівняти значення виразів 3 — 4л і 6 — 5л, розглянемо їх
різницю:
(З - 4л) - (6 - 5л) = 3 - 4л - 6 4- 5л = л - 3.
Оскільки л — 3>0, то 3 — 4л >6 — 5л.
Зауважимо, що різниця чисел а і Ь може бути або додатною,
або від’ємною, або дорівнювати нулю. Тоді для будь-яких чисел
а іЬ справедливе одне і тільки одне я таких співвідношень: а> Ь,
а < Ь, а = Ь.
а > Ь Якщо а > Ь, то точка, яка відповідає числу
Ь а а на координатній прямій, знаходиться справа
від точки, яка відповідає числу Ь (рис. 20.1).
Рис. 20.1 для вислову «не більше» використовують
знак < (читають: «менше або дорівнює»), а для
вислову «не менше» — знак > (читають: «більше або дорівнює»).
Якщо а < Ь або а = Ь, то нерівність а < Ь є правильною.
Якщо а > Ь або а = Ь, то нерівність а > 6 є правильною.
Наприклад, нерівності 7 < 7, 7 < 15, -3 > -5 є правильними.
Знаки < і > називають знаками строгої нерівності, а знаки <
і > — знаками нестрогої нерівності.
Розглянемо властивості числових нерівностей, які часто вико-
ристовують при розв’язуванні задач.
Теорема 20.1. Якщо а > Ь і Ь > с, то а > с.
Доведення. Оскільки за умовою а > Ь і Ь > с, то різниці а — Ь
і Ь - с є додатними числами. Тоді додатною буде їх сума (а - Ь) +
+ (Ь - с). Маємо: (а - Ь) + (Ь - с) = а - с. Отже, різниця а - с
є додатним числом, а тому а > с. А
Аналогічно доводиться властивість: якщо а < Ь і Ь < с, то
а < с.
С(с) В (Ь) А (а Теорему 20.1 можна проілюструвати
—•------•— •—геометрично: якщо на координатній пря-
Рис 20 2 мій точка А (а) лежить праворуч від точки
В (д), а точка В (Ь) — праворуч від точки
С (с), то точка А (а) лежить праворуч від точки С (с) (рис. 20.2).
Теорема 20.2. Якщо а > Ь і с — будь-яке число, то а + с >
> Ь + с.
Доведення. Розглянемо різницю (а + с) - (Ь + с). Маємо: (а +
+ с) - (Ь + с) = а - Ь. Оскільки за умовою а > Ь, то різниця а-Ь
є додатним числом. Отже, а + с > 5 + с. А
Аналогічно доводять властивість: якщо а < Ь і с — будь-яке
число, то а + с < Ь + с.
Оскільки дію віднімання можна замінити дією додавання
(а — с = а + (-с)), то, ураховуючи теорему 20.2, можна зробити
такий висновок.
Якщо до обох частин правильної нерівності додати або від
обох частин правильної нерівності відняти одне й те саме
число, то отримаємо правильну нерівність.
Наслідок. Якщо будь-який доданок перенести з однієї час-
тини правильної нерівності в другу, замінивши знак доданка
на протилежний, то отримаємо правильну нерівність.
Доведення. Нехай нерівність а > Ь + с є правильною. Відніме-
мо від обох її частин число с. Отримаємо: а — с > Ь + с — с, тобто
а - с > Ь. ▲.
Теорема 20.3. Якщо а > Ь і с — додатне число, то ас > Ьс.
Якщо а > Ь і с — від’ємне число, то ас < Ьс.
Доведення. Розглянемо різницю ас — Ьс. Маємо: ас — Ьс =
с (а - Ь).
За умовою а > Ь, отже, різниця а - Ь є додатним числом.
Якщо с > 0, то добуток с (а - Ь) додатний, а отже, різниця
ас — Ьс є додатною, тобто ас > Ьс.
Якщо с < 0, то добуток с (а - Ь) від’ємний, а отже, різниця
ас — Ьс є від’ємною, тобто ас < Ьс. ▲
Аналогічно доводять властивість: якщо а < Ь і с — додатне
число, то ас < Ьс; якщо а < Ь і с — від’ємне число, то ас > Ьс.
Оскільки дію ділення можна замінити дією множення
(а : с = а • то, ураховуючи теорему 20.3, можна зробити такий
висновок.
Якщо обидві частини правильної нерівності помножити
або поділити на одне й те саме додатне число, то отримаємо
правильну нерівність.
Якщо обидві частини правильної нерівності помножити
або поділити на одне й те саме від’ємне число і поміняти знак
нерівності на протилежний, то отримаємо правильну нерів-
ність.
Наслідок. Якщо аЬ > 0 і а > Ь, то — < —.
а Ь
Доведення. Поділимо обидві частини нерівності а > Ь на до-
датне число аЬ. Отримаємо правильну нерівність — > —, тобто
аЬ аЬ
1
ь
1 о • 11
> —. Звідси — < -.
а а Ь
Звернемо увагу: вимога, щоб числа а і Ь були однакового зна-
ка (аЬ > 0), є суттєвою. Справді, нерівність 5 > -3 є правильною,
. . 1 1
проте нерівність — < - - є неправильною.
5 З
У теоремах, які розглядалися в цьому пункті, ішлося про стро-
гі нерівності. Аналогічні властивості мають і нестрогі нерівності.
Наприклад, якщо а > Ь і с — будь-яке число, то а + с Ь + с.
ПРИКЛАД Відомо, що -4 < а < -2. Доведіть, що
-7<—< -1.
За+5
Розв’язання. Маємо: — 4 < а < —2. Тоді за теоремою 20.3 отри-
муємо —12 < За < -3. Застосовуючи теорему 20.2, одержимо
-7 < За + 5 < — 1. Користуючись наслідком з теореми 20.3, мож-
1^1 і е. і 1 1 о
на записати, що - — > --- > -1, тобто -1 < --- ч - —. Звідси
7 За + 5 За + 5 7
-7<—7— < -1.
За+5
1. У якому випадку число а вважають більшим за число Ь2
2. У якому випадку число Ь вважають меншим від числа а?
3. Скільки різних співвідношень і яких саме може бути при
порівнянні чисел а і Ь?
4. Як розташована на координатній прямій точка, яка зобра-
жує число а, відносно точки, яка зображує число Ь, якщо
а > Ь?
5. Який символ використовують для вислову «не більше»?
6. Який символ використовують для вислову «не менше»?
7. У якому випадку є правильною нерівність а < Ь?
8. У якому випадку є правильною нерівність а > Ь?
9. Поясніть, які знаки називають знаками строгої нерівності,
а які — нестрогої.
10. Яке з чисел а і с більше, якщо а > Ь і Ь > с7
11. Сформулюйте теорему про додавання одного й того самого
числа до обох частин нерівності.
12. Сформулюйте наслідок з теореми про додавання одного
й того самого числа до обох частин нерівності.
13. Сформулюйте теорему про множення обох частин нерівності
на одне й те саме число.
14. Сформулюйте наслідок з теореми про множення обох час-
тин нерівності на одне й те саме число.
20.1. ’ Порівняйте числа а і Ь, якщо: .
1) а - Ь = 0,4; 2) а - Ь = -3;
3) а - Ь = 0.
20.2. ° Відомо, що т < п. Чи може різниця т - п дорівнювати
числу: 1) 4,6; 2) -5,2; 3) 0?
20.3. ” Яке з чисел х і у більше, якщо:
1) х - у = -8; 2) у - х = 10?
20.4. ° Як розташована на координатній прямій точка А (а) від-
носно точки В (Ь), якщо:
1) а - Ь = 2; 2) а - Ь = -6; 3) а - Ь = 0?
20.5. ° Чи можуть одночасно виконуватися нерівності:
1) а > Ь і а < Ь; 2) а > Ь і а < Ь?
20.6. ° Чи є правильним твердження:
1) якщо а > Ь, то — > 1; 3) якщо а < 1, то — > 2;
Ь а
2) якщо а > 1, то — < 2; 4) якщо — > 1 і Ь > 0, то а > Ь?
а Ь
20.7. ° Чи є правильним твердження:
1) якщо а > 1, то | а | > 1; 3) якщо а < -3, то | а | > 3;
2) якщо а < 2, то | а | < 2; 4) якщо -4 < а < 4, то | а | < 4?
20.8. ° Відомо, що а < 3. Який знак має значення виразу:
1) 2а - Є. 2) 3 - а; 3)
4-а
20-9.° Відомо, що а > 2. Який знак має значення виразу:
1) 4а - 8; 2) 6 - За; 3) За - 3; 4) (а - 2) (1 - а)?
20.10. ’ Який знак має значення виразу (а + 3) (а — 2), якщо:
1) а < -3; 2) а > 2; 3) -3 < а < 2; 4) а < -4?
20.11. ° Відомо, що а < Ь і Ь < с. Яке з тверджень є правильним:
1) а > с; 2) а = с; 3) с > а?
20.12. ° Відомо, що Ь > а, с < а і сі > Ь. Порівняйте числа:
1) а і <1; 2) Ь і с.
20.18. Розташуйте в порядку зростання числа а, Ь, с і 0, якщо
а > Ь, с < Ь, 0 < 5 і 0 > с.
20.14. ° Відомо, що а > 4. Порівняйте з нулем значення виразу:
1) а - 3; 3) (а - 3) (а - 2); 5) (1 - а2) (4 - а).
2) 2 - а; 4) (а~4) (а~2);
З бх
20.15. ” Відомо, що Ь > -2 і Ь < 1. Порівняйте з нулем значення
виразу:
1) Ь + 2; 3) Ь - 2; 5) (Ь + 2) (Ь - 4)2;
2) 1 - Ь-, 4) (Ь - 1) (6 - 3); 6) (Ь - 3) (Ь + 3) (Ь - 2)2.
20.16. ” Дано: а > Ь. Порівняйте значення виразів:
1) а + 9 і Ь + 9; 3) 1,8а і 1,8Ь;
2) Ь - 6 і а - 6; 4) -а і -Ь;
5) -406 і -40а; 7) 2а - 3 і 2Ь - 3;
6) — і —; 8) 5 - 8а і 5 - 86.
’ 20 20 ’
20.17. ° Відомо, що 1 < т < 2. Які з наведених нерівностей є пра-
вильними:
1) -1 С т < -2; 3) -1 > -т > -2;
2) -2 < т < -1; 4) -2 > т > -1?
20.18 Дано: -За > -36. Порівняйте значення виразів:
1) а і 6; 4) -|б і -|а;
2) |а і |б; 5) За + 2 і 36 + 2;
3) 6 - 4 і а - 4; 6) -5а + 10 і -56 + 10.
20.19. ° Відомо, що а > 6. Розташуйте в порядку спадання числа
а + 7, 6 — 3, а + 4, 6 - 2, 6.
20.20. ° Дано: а < 6. Порівняйте:
1) а - 5 і 6; 2) а і 6 + 6; 3) а + 3 і 6 - 2.
Порівняйте числа а і 6, якщо:
1)а>сіс>6 + 3; 2)а>сіс-1>6 + гі2,
де с і <1 — деякі числа.
20.22. ° Порівняйте числа а і 0, якщо:
1) 7а < 8а; 3) -6а > -8а;
2)^<^; 4)-0,02а >-0,2а.
Л о
20.23. ° Дано: а > -2. Доведіть, що:
1) 7а + 10 > -4; 2) -6а - 3 < 10.
20.24. Дано: 6 < 10. Доведіть, що:
1) 56 - 9 < 41; 2) 1 - 26 > -21.
20.25. ' Чи є правильним твердження:
1) якщо а > 6, то а > —6;
2) якщо а > 6, то 2а > 6;
3) якщо а > 6, то 2а + 1 > 26;
4) якщо 6 > а, то — > 1;
а
5) якщо > 1 і а > 0, то а > 6;
о
6) якщо а>6 + 2і6 — 3>4, тоа>5;
7) якщо а > 6, то аЬ > б2;
8) оскільки 5 > 3, то 5а2 > За2?
20.26. * Чи є правильним твердження:
1) якщо а > 1, то — < 1; 4) якщо 2 < а < 3, то і < — < —;
а 3 а 2
З 11
2) якщо а > 3, то — < 1; 5) якщо —2 < а < -1, то -1 < — < —;
а а 2
3) якщо а < 1, то — > 1; 6) якщо -3 < а < 3, то < — < —?
о 3 а З
20.27. * Відомо, що 1 < а < 2. Доведіть, що:
1 1
З < 2а -1
2) !<-—<4.
7 За-2
20.28. ' Доведіть, що коли:
1) 2 < а < 3, то
2) -3 < а < -1, то 1 < -і.
а +1 2
20.29. ’ Запишіть правильну нерівність, яку дістанемо, якщо:
1) обидві частини нерівності а > 2 помножимо на а;
2) обидві частини нерівності Ь < -1 помножимо на Ь;
3) обидві частини нерівності т < -3 помножимо на -пг.
20.30. Запишіть правильну нерівність, яку дістанемо, якщо:
1) обидві частини нерівності а < -а2 поділимо на а;
2) обидві частини нерівності а > а2 поділимо на а;
3) обидві частини нерівності ал > а2 поділимо на -а.
Додавання і множення числових нерівностей.
Оцінювання значення виразу
Розглянемо приклади.
1) Якщо з першого поля зібрали не менше ніж 40 т жита, а з дру-
гого поля — не менше ніж 45 т, то очевидно, що з двох полів
разом зібрали не менше ніж 85 т жита.
2) Якщо довжина прямокутника не більша за 70 см, а шири-
на — не більша за 40 см, то очевидно, що його площа не біль-
ша за 2800 см2.
Висновки з цих прикладів є інтуїтивно очевидними. Справед-
ливість їх підтверджують такі теореми.
Теорема 21.1 (про почленне додавання нерівностей).
Якщо а > Ь і с > А, то а + с > Ь + Л.
Доведення. Розглянемо різницю (а + с) — (Ь + сі). Маємо:
(а + с) - (Ь + сі) = а + с - Ь - сі = (а - Ь) + (с - сі).
Оскільки а > Ь і с > д, то різниці а-Ьіс — де додатними
числами. Отже, різниця, що розглядається, є додатною, тобто
а + с > Ь + д. ▲
Аналогічно доводиться властивість: якщо а < Ь і с < д, то
а + с < Ь + д.
Нерівності а > Ь і с > д (або а < Ь і с < д) називають нерівно-
стями однакового знака, а нерівності а > Ь і с < <1 (або а < Ь
і с > сі) — нерівностями протилежних знаків.
Теорема 21.1 означає, що при почленному додаванні правиль-
них нерівностей однакового знака результатом є правильна
нерівність того самого знака.
Зазначимо, що теорема 21.1 справедлива й у випадку почлен-
ного додавання трьох і більше нерівностей. Наприклад, якщо
а > Ь , а > Ь і а > Ь , то а + а + а > Ь + Ь „ + Ь .
* 1 а О О 1 £ О X З
Теорема 21.2 (про почленне множення нерівностей).
Якщо а > Ь, о д, і а,Ь, с, д, — додатні числа, то ас > Ьд.
Доведення. Розглянемо різницю ас - Ьд. Маємо:
ас - Ьд = ас - Ьс + Ьс - Ьд = с (а - Ь) + Ь (с - д).
За умовою а — Ь > 0, с - д > О, с > О, Ь > 0. Отже, різниця, що
розглядається, є додатною. З цього випливає, що ас > Ьд. А
Аналогічно доводиться властивість: якщо а <Ь, с < Л і а, Ь, с,
Л — додатні числа, то ас < Ьд.
Теорема 21.2 означає, що при почленному множенні правиль-
них нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві части-
ни — додатні числа, результатом є правильна нерівність
того самого знака.
Звернемо увагу: вимога, щоб обидві частини нерівностей, які
множать, були додатними, є суттєвою. Справді, розглянемо дві
правильні нерівності —2 > -3 і 4 > 1. Помноживши почленно ці
нерівності, отримуємо нерівність -8 > -3, яка не є правильною.
Зауважимо, що теорема залишається справедливою і у випад-
ку почленного множення трьох і більше нерівностей. Наприклад,
якщо а,, а„, а,, Ь,, Ь„, Ь„ — додатні числа, причому а, > Ь,, а„ > Ь„,
аз > Ьз’ °іаг°з >
Наслідок. Якщо а > Ь і а, Ь — додатні числа, то ап > Ьп, де
п — натуральне число.
Доведення. Запишемо п правильних нерівностей а > Ь:
а>Ь
а >Ь
п нерівностей
а > Ь
Оскільки а і Ь — додатні числа, то можемо помножити по-
членно п записаних нерівностей. Отримаємо а" > Ь". А
Зазначимо, що всі розглянуті властивості нерівностей є спра-
ведливими і в тому випадку, коли нерівності є нестрогими:
якщо а > Ь і с > д., то а + с Ь + А;
якщо а > Ь , с А і а,Ь, с, А — додатні числа, то ас > ЬА;
якщо а > Ь і а,Ь — додатні числа, то ап Ьп, де п — нату-
ральне число.
Часто значення величин, які є результатом вимірювань, не є
точними. Вимірювальні прилади, як правило, дозволяють лише
встановити межі, між якими знаходиться точне значення.
Нехай, наприклад, у результаті вимірювання ширини х і дов-
жини у прямокутника було встановлено, що 2,5 см < х < 2,7 см
і 4,1 см < у < 4,3 см. Тоді за допомогою теореми 21.2 можна
оцінити площу прямокутника. Маємо:
2,5 см < х < 2,7 см
Х 4,1 см < у < 4,3 см
10,25 см2 < ху < 11,61 см2
Узагалі, якщо відомо значення меж величин, то, використо-
вуючи властивості числових нерівностей, можна знайти межі,
тобто оцінити значення виразу, який містить ці величини.
ПРИКЛАД Дано: 6<а<8і10<Ь< 12. Оцініть значення ви-
разу:
1)а + 5; 2) а - Ь; 3) аЬ; 4)^; 5)3а-|ь.
Розв’язання
1) Застосувавши теорему про почленне додавання нерівностей,
отримуємо:
6 < а < 8
+ 10 < Ь < 12
16 < а + Ь < 20
2) Помноживши кожну частину нерівності 10 < Ь < 12 на — 1,
отримуємо -10 > —Ь > -12 або -12 < -Ь < -10. Ураховуючи,
що а - Ь = а + (-Ь), далі маємо:
6 < а < 8
-12 < -Ь < -10
-6 < а — Ь < -2
3) Оскільки а > 6 і Ь > 10, то а і Ь набувають додатних значень.
Застосувавши теорему про почленне множення нерівностей,
отримуємо:
6 < а < 8
х 10 < Ь < 12
60 < аЬ < 96
4) Оскільки 10 < Ь < 12, то — > - > — або Урахо-
10 Ь 12 12 Ь 10
а 1
вуючи, що — = а • -, маємо:
о Ь
6 < а < 8
Х 1 <-< —
12 Ь 10
— < —< —
2 Ь 5
5) Помножимо кожну частину нерівності 6 < а < 8 на 3, а кожну
частину нерівності 10<6<12на
1.
2"
6 < а < 8 |-3
18 < За < 24
10 < Ь < 12
-5 > — - Ь >-6
2
-6 <--Ь< -5
2
Додамо отримані нерівності:
18 < За < 24
+ і
-6<-|б<-5
2
12 < За-—б <19
2
Відповідь: 1) 16 < а + Ь < 20; 2) -6 < а - Ь < -2; 3) 60 < аЬ < 96;
4) 5) 12<3а-|ь<19.
2 о о 2
1. (.'Формулюйте теореми про почленне додавання нерівно-
стей.
2. Поясніть, які нерівності називають нерівностями однаково-
го знака, а які нерівності — нерівностями протилежних
знаків.
3. Що є результатом почленного додавання нерівностей одна-
кового знака?
4. Сформулюйте теорему про почленне множення нерівно-
стей.
5. Що є результатом почленного множення нерівностей одна-
кового знака?
6. Сформулюйте наслідок з теореми про почленне множення
нерівностей.
21.1.° Дано: - 1) 2а; 3 < а < 4. Оцініть значення виразу: 3) а + 2; 5) За + 1; 7) -4а;
2) її; 21.2. * Дано: 2 Ч* 21.3. ° Дано: 2 4) а - 1; 6) -а; 8) -5а + 3. < Ь < 6. Оцініть значення виразу: 2) Ь - 6; 3) 25 + 5; 4) 4 - Ь. < х < 4. Оцініть значення виразу — . X
21.4. ° Оцініть с і 3,1 < Ь < 21.5. ° Оцініть а см і бічне 21.6. Оцініть якщо 15 < 21.7. ° Чи є пр ереднє арифметичне значень а і Ь, якщо 2,5 < а < 2,6 3,2. периметр рівнобедреного трикутника 3 основою >ю стороною Ь см, якщо 10 < а < 14 і 12 < Ь < 18. периметр паралелограма зі сторонами а см і Ь см, а < 19 і 6 < Ь < 11. авильним твердження:
1) якщо а 2) якщо а 3) якщо а 4) якщо а 5) якщо а 6) якпщ а 7) якщо а 8) якщо а 9) якщо а 10) якщо а 11) якщо а 21.8.° Дано: а 1) а + — Ь і 4 >2 і 6 > 7, то а + 5 > 9; >2 і 5 > 7, то а + 6 > 8; >2 і Ь > 7, то а + 5 > 9,2; >2 і 5 > 7, то а — Ь > -5; >2 і 5 > 7, то 5 - а > 5; >2 і Ь > 7, то аЬ > 13; >2 і Ь > 7, то За + 2Ь > 20; >2 і Ь < -7, то а - Ь > 9; <2 і Ь < 7, то аЬ < 14; > 2, то а2 > 4; < 2, то а2 < 4? > 2,4 і Ь > 1,6. Порівняйте: 3,6; 2) (а + Ь)2 і 16; 3) (а - 0,4) (Ь + 1,4) і 6.
21.9. ° Відомо, що а > 3 і Ь > -2. Доведіть, що 5а + 4Ь > 7.
21.10 Відомо, що а > 5 і Ь < 2. Доведіть, що 6а — 7Ь > 16.
21.11. ° Дано: 5<а<8іЗ<Ь<6. Оцініть значення виразу:
1) 4а + ЗЬ; 2) За - 6Ь; 3)^; 4)
о За
21.12. ° Дано: х і ? < ^ < 4 ’ значення виразу:
1) 6х + 14у; 2) 28у — 12х; 3)^.
21.13. * Доведіть, що периметр чотирикутника більший за суму
його діагоналей.
21.14. * Доведіть, що кожна діагональ опуклого чотирикутника
менша від його півпериметра.
21.15. Доведіть, що сума двох протилежних сторін опуклого
чотирикутника менша від суми його діагоналей.
21.16. * Доведіть твердження:
1) якщо а < Ь < 0, то а2 > Ь2;
2) якщо а > 0, Ь > 0 і а2 > Ь2, то а > Ь.
21.17. ’ Оцініть значення а, якщо:
1) а - | Ь | = 1; 2) а + Ь2 = 2; 3) | а | + | Ь | = 1.
21.18. ’ Відомо, що Ь > 0 і а > Ь. Чи обов’язково є правильною
нерівність:
1) а2 + а > Ь2 + Ь; 3) 2 - а2 < 2 - Ь2;
2) а2 — а > Ь2 - Ь; 4) а + — > Ь + - ?
а Ь
Нерівності з однією змінною
Розглянемо таку задачу. Одна із сторін паралелограма дорів-
нює 7 см. Якою має бути довжина другої сторони, щоб периметр
паралелограма був більший за 44 см?
Нехай шукана сторона дорівнює х см. Тоді периметр парале-
лограма дорівнює (14 + 2х) см. Нерівність 14 + 2х > 44 є мате-
матичною моделлю задачі про периметр паралелограма.
Якщо в цю нерівність замість змінної х підставити, наприклад,
число 16, то отримаємо правильну числову нерівність 14 + 32 > 44.
Кажуть, що число 16 є розв’язком нерівності 14 + 2х > 44.
Означення Розв’язком нерівності з однією змін-
ною називають значення змінної, яке перетворює її в правиль-
ну числову нерівність.
Так, кожне з чисел 15,1; 20; 101 є розв’язком нерівності
14 + 2х > 44, а, наприклад, число 10 не є її розв’язком.
Зауваження. Означення розв’язку нерівності аналогічне
означенню кореня рівняння. Проте не прийнято говорити «корінь
нерівності».
Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або
довести, що розв’язків немає.
Усі розв’язки нерівності утворюють множину розв’язків не-
рівності. Якщо нерівність розв’язків не має, то кажуть, що мно-
жиною її розв’язків є порожня множина. Отже, розв'язати не-
рівність означає знайти множину її розв’язків.
Наприклад, до задачі «розв’яжіть нерівність х2 > 0» відповідь
буде такою: «множина всіх чисел, крім числа 0».
Очевидно, що нерівність | х | < 0 розв’язків не має, тобто мно-
жиною її розв’язків є порожня множина.
Означення. Нерівності називають рівносильними, якщо
множини їх розв’язків рівні.
Наведемо кілька прикладів.
Нерівності х2С0і|х|<0є рівносильними. Справді, кожна
з них має єдиний розв’язок х = 0.
Нерівності х2>-1і|х|>-2є рівносильними, оскільки мно-
жиною розв’язків кожної з них є множина всіх чисел.
Оскільки кожна з нерівностей | х | < -1 і Ох < -3 розв’язків
не має, то вони також є рівносильними.
» 1. Що називають розв’язком нерівності з однією змінною?
2. Що означає розв’язати нерівність?
3. Що утворюють усі розв’язки нерівності?
4. Коли множиною розв’язків нерівності є порожня множина?
5. Які нерівності називають рівносильними?
22.1.° Які з чисел -4; -0,5; 0; 2 є розв’язками нерівності:
1) х < 5; 2) Зх > х - 1; 3) х2 - 9 < 0; 4)->1?
X
'.2.2. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності
(х - 2)2 (х - 5) > 0:
1) 3; 2) 2; 3) 6; 4) -1?
22.3.° Множиною розв’язків якої з даних нерівностей є порожня
множина:
1) (х - З)2 > 0; 2) (х - З)2 > 0; 3) (х - З)2 < 0; 4) (х - З)2 < 0?
2.4. Яка з наведених нерівностей не має розв’язків:
1) Ох > -3; 2) Ох < 3; 3) Ох < -3; 4) Ох > З?
22.5Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є мно-
жина всіх чисел:
1) Ох > 1; 2) Ох > 0; 3) Ох > -1; 4) х + 1 > 0?
22 Множиною розв’язків яких з наведених нерівностей є мно-
жина всіх чисел:
1) х2 > 0; 2) х > -х; 3) -х2 < 0; 4) | х | > 0?
22.7. Серед наведених нерівностей укажіть нерівність, розв’язком
якої є будь-яке число, і нерівність, що не має розв’язків:
1) > 0; 2) -у—1 < 1; 3) 4) ~Г— > °-
х2 X +1 х -1 X + 1
22.8. * Розв’яжіть нерівність:
1)4- + 2>0; 7) І х І > —1; 13) | х | > х;
X
2) (х + 2)2 > 0; 8) | х2 - Зх - 2 | < -1; 14) | х | > -х;
3) (х + 2)2 < 0; 9) ЛзІ’-а 15) 1 1*1 > X 1;
4) х + 2 > 2. х + 2 3 ’ 10) І н ЕС 1 /Л о 16) X | н V 1;
5) £іГ> 0; 11)1 х | > -х2; 17)| X | + х ї * -х2;
6) (т<=> 0; 12)1 х | > -х2; 18)| * 1 - х ? —х2.
'2.9. Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) | х | > 0: 5) | і | > -2; 9) < 1;
2) | х | < 0; 6) | х | > -| х - 4 |; 10) | х | + х > -х2;
3) | х | < 0; 7)|^|>-|х|; 11) | х | + х <-х2;
4) | х | > -2; 8) 1^1 < 1; 12) | х | - х < -х2.
22.10. * Чи рівносильні нерівності:
1) 1 < 1 і х > 1; 4) (х - 5)2 < 0 і | х - 4 | < 0;
2) х2 > х і х > 1; 5) | х | < 0 і х4 < 0;
3) (х - І)2 > 0 і | х - 1 | > 0; 6) (х - 2)2 < 0 і (х - І)2 < 0?
Розв'язування лінійних нерівностей
з однією змінною. Числові проміжки
За допомогою властивостей числових рівностей ми розв’язували
рівняння. Так само використовуючи властивості числових нерів-
ностей, можна розв’язувати нерівності.
Розв’язуючи рівняння, ми заміняли його іншим, більш про-
стим рівнянням, але рівносильним даному. За аналогічною схе-
мою розв’язують і нерівності.
При заміні рівняння на рівносильне йому рівняння використо-
вують теореми про перенесення доданків з однієї частини в дру-
гу і про множення обох частин рівняння на одне й те саме від-
мінне від нуля число.
Аналогічні теореми застосовують і при розв’язуванні нерівно-
стей.
• Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини нерів-
ності в іншу, замінивши при цьому його знак на протилежний,
то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
• Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне
й те саме додатне число, то отримаємо нерівність, рівносильну
даній.
• Якщо обидві частини нерівності помножити (поділити) на одне
й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності
на протилежний, то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
Ці теореми доводять так само, як і теореми пункту 15. Пере-
конайтесь у цьому самостійно.
За допомогою цих теорем розв’яжемо нерівність, отриману в за-
дачі про периметр паралелограма (див. п. 22).
Маємо: 14 + 2х > 44.
Переносимо доданок 14 в праву частину нерівності:
2х > 44 -14.
Звідси 2х > ЗО.
Поділимо обидві частини нерівності на 2:
х > 15.
Зауважимо, що отримана нерівність рівносильна заданій не-
рівності. Множина її розв’язків складається з усіх чисел, які
більші за 15. Цю множину називають числовим проміжком і по-
значають (15; +°°) (читають: «проміжок від 15 до плюс нескін-
ченності»).
Точки координатної прямої, які зображують розв’язки нерів-
ності х > 15, розміщені праворуч від точки, яка зображує чис-
^/////////^
15
а
Рис. 23.1
ло 15, і утворюють промінь, у якого «виколото» початок (рис. 23.1).
Тому числовий проміжок (15; +°о) називають відкритим числовим
променем.
Віді овідь може бути записана одним із способів: (15; +°°) або
х > 15.
Зауважимо, що для зображення на рисунку числового проміж-
ку використовують два способи: за допомогою або штриховки
(рис. 23.1, а), або дужки (рис. 23.1, б). Ми використовуватимемо
другий спосіб.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність 3 + < 7 + х.
Розв’язання. Перенесемо доданок х з правої частини нерівності
в ліву, а доданок 3 — з тівої частини в праву і зведемо подібні
члени:
Помножимо обидві частини нерівності на -2:
х > -8.
Множиною розв’язків цієї нерівності є числовий проміжок,
який позначають так: [-8; +°°) (читають: «проміжок від -8 до
плюс нескінченності, включаючи -8»).
Точки координатної прямої, які зображують розв’язки нерів-
ності х —8, утворюють промінь (рис. 23.2). Тому числовий
проміжок [-8; +°°) називають числовим променем.
Відповідь можна записати одним із способів: [-8; 4-°°) або х -8.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність 2 (2 - Зх) > 3 (х + 6) - 5.
Розв’язання. Запишемо ланцюжок рівносильних нерівно-
стей:
4 - 6х > Зх + 18 - 5;
4 - 6х > Зх + 13;
-Зх - 6х > —4 + 13;
-9х > 9;
х < -1.
Множиною розв’язків останньої нерівності є числовий промі-
жок, який позначають так: (-<*>; —1) (читають: «проміжок від
мінус нескінченності до -1»).
Точки координатної прямої, які зображують розв’язки нерів-
ності х < -1, розміщені ліворуч від точки -1 (рис. 23.3) і утво-
рюють промінь, у якого «виколото» початок. Тому числовий
проміжок (—°°; -1) називають відкритим числовим променем.
Відповідь можна записати одним із способів: (-°°; —1) або х < — 1.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть нерівність Х 2^ + 6
Розв’язання. Запишемо ланцюжок рівносильних нерівностей:
6-^-^ + 6-- < 6-і;
2 3 6
Зх - 3 + 2х < 1;
5х < 4;
Множиною розв’язків останньої нерівності є числовий промі-
жок, який позначають так:
4
5.
(читають: «проміжок від
4
мінус нескінченності до —,
5
4
включаючи —»
Точки координатної прямої, які зображують розв’язки нерів-
ності х < і, утворюють промінь (рис. 23.4). Тому числовий про-
5
міжок
4
5.
називають числовим променем.
Відповідь можна записати одним із способів: І——
, 4
або х < —.
5
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність 3 (2х - 1) + 7 > 2 (Зх + 1).
Розв’язання. Маємо: 6х - 3 + 7 > 6х + 2;
6х — 6х > 2 - 4;
Ох > -2.
Остання нерівність при будь-якому значенні х перетворюється
в правильну числову нерівність 0 > —2. Отже, шукана множина
розв’язків збігається з множиною всіх чисел.
Відповідь', х — будь-яке число.
Цю відповідь можна записати інакше: (-<»; +°°) (читають:
«проміжок від мінус нескінченності до плюс нескінченності»).
Цей числовий проміжок називають числовою прямою.
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність 4 (х - 2) — 1 < 2 (2х — 9).
Розв’язання. Маємо:
4х - 8 - 1 < 4х - 18;
4х - 4х < 9 - 18;
Ох < -9.
Отримана нерівність при будь-якому значенні х перетворюєть-
ся в неправильну числову нерівність 0 < —9.
Відповідь можна записати одним із способів: розв’язків немає
або 0.
Означення. Нерівності виду ах > Ь і ах < Ь, де х — змінна,
а і Ь — параметри, називають лінійними нерівностями
з однією змінною.
Означення. Якщо множина розв’язків першої нерівності є під-
множиною множини розв’язків другої нерівності, то другу нерів-
ність називають наслідком першої нерівності.
2 5
Рис. 23.5
Наприклад, нерівність х > 2 є наслідком
нерівності х > 5 (рис. 23.5).
Оскільки порожня множина є підмножи-
ною будь-якої множини, то будь-яка нерів-
ність з однією змінною є наслідком нерів-
ності, яка не має розв’язків, наприклад
нерівності | х | < 0.
ПРИКЛАД 6 При яких значеннях параметра а нерівність
2х + а > 0 є наслідком нерівності х + 1 — За > 0?
За - 1
2
Рис. 23.6
Розв’язання. Замінимо дані нерівності на
рівносильні. Маємо: х > і х > За — 1.
Множина розв’язків нерівності х > - ^ має
містити множину розв’язків нерівності
х > За — 1 (рис. 23.6), а це виконується, якщо
2
а ' 7’
— < За -1, тобто
2
2
Відповідь: а> —.
7
Наведемо таблицю позначень і зображень вивчених числових
проміжків.
! Іорівність Проміжок Назва Зображення
х > а (а; +о°) Відкритий числовий промінь а
х < а (-«>; а) Відкритий числовий промінь а
х > а [а; +о°) Числовий промінь а
х < а (-оо; а] Числовий промінь а
• 1. Сформулюйте теореми, за якими можна отримати нерівність,
рівносильну даній.
2. Які нерівності називають лінійними нерівностями з однією
змінною?
3. Як записують, читають, називають і зображують проміжок,
який є множиною розв’язків нерівності виду: х > а; х < а;
х > а; х < а?
4. Розв’язком нерівності є будь-яке число. Як у такому випад-
ку записують, читають і називають проміжок, який є мно-
жиною розв’язків нерівності?
23.1? Укажіть найменше ціле число, яке належить проміжку:
1) (6; +°°); 2) [6; 4 °°); 3) (-3,4; +°°); 4) [-0,9; +«).
23.2.° Укажіть найбільше ціле число, яке на ±ежить проміжку:
1) (—°о; -4); 2) (-<*>; -6,2]; 3) (-°°; 1]; 4) (-<*>; -1,8).
23.3. Розв’яжіть нерівність:
1) -2х > 10; 4) 7х — 2 > 19;
2) |х<9; 5) 4 - х < 5;
3) -Юх < 0;
6) 5 + 8х > 6;
23.4. ° Розв’яжіть нерівність:
1) -4х < -16;
2) |х<6;
3) -12х > 0;
4) -Зх<|;
5) 4х + 5 > —7;
6) 9 - х > 2х;
7) 5х < 2х - 18;
8) 36 - 2х < 4х;
9) * х._±.2 < 2.
5
7) 5 - 9х > 16;
8) >-1.
4
23.5. ° Розв’яжіть нерівність:
1) Ох > 10; 3) Ох > -8; 5) Ох > 1; 7) Ох < 0;
2) Ох < 15; 4) Ох < -3; 6) Ох < 2; 8) Ох > О.
23.6. ° Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:
1) 5х > 40; 2) 5х > 40; 3) -2х < -3; 4) -7х < 15.
-3.7. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:
1) 8х < -16; 2) 8х < -16; 3) Зх < 10; 4) -6х > -25.
23.8. ° При яких значеннях а вираз 6а + 1 набуває від’ємних
значень?
23.9. При яких значеннях Ь вираз 7 — 2Ь набуває додатних зна-
чень?
23.10. ° Розв’яжіть нерівність:
1) 8х + 2 < 9х - 3; 3) 3 - 1П/ > -Зу + 6;
2) 6у + 8 < Юу - 8; 4) Зт — 1 < 1,5т + 5.
23.11. Розв’яжіть нерівність:
1) 4 + 11х > 7 + 12х; 3) Зх - 10 < 6х + 2;
2) 35х - 28 < 32х +2; 4) 6х - 3 > 2х.
23.12. ° При яких значеннях с значення двочлена 9с - 2 не більші
за відповідні значення двочлена 4с + 4?
23.18. При яких значеннях к значення двочлена 1 їй - 3 не мен-
ші від відповідних значень двочлена 15й - 13?
23.14. ° Розв’яжіть нерівність:
1) —+-<11; 3)
3 2 7
2) 2* _ З*. > 1; 4)
’ 3 4 6 7
23.15. Розв’яжіть нерівність:
1)£-^<1; 2)
6 4
23.16. ° Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) 3 - 5 (2х + 4) > 7 - 2х;
2) х - 2 (х - 1) > 10 + 3 (х + 4);
3) 2 (2х - 3,5) - 3 (2 - Зх) < 6 (1 - х);
4) (4х - З)2 + (Зх + 2)2 > (5х + І)2;
2х - 1 Зх - 5
4 5
6) (х - 5) (х + 1) С 3 + (х - 2)2;
х + 1 х - 3 9 х.
0 ~Г>г+б’
8) (6х - І)2 - 4х (9х - 3) < 1;
ат х _ х + 4 х -8
' 9 4 6 '
3.17. Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) (2 -у) (3 + у) < (4 + у) (6 - у);
2) (у + 3) (у - 5) - (у - І)2 > -16;
2х х -1 х + 2 п.
3 6 2
4) <2.
2 8 у
23.18. ° Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:
1) 7 (х + 2) - 3 (х - 8) < 10;
2) (х - 4) (х + 4) - 5х > (х - І)2 - 17.
.3.19. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:
4х + 13 5 + 2х 6 - 7х 9.
’ 10 4 20
2) (х - 1) (х + 1) - (х - 4) (х + 2) > 0.
23.20. ° Скільки цілих від’ємних розв’язків має нерівність
_ х + 7 _ 1 їх + ЗО х - 5 ?
4 12 3 ’
23.21. ' Скільки натуральних розв’язків має нерівність
2 - Зх > X _ 5х + 6 9
4^5 8 ‘
23.22. ° При яких значеннях х є правильною рівність:
1) | х - 5 | = х - 5; 2) | 2х + 14 | = -2х - 14?
23.23. При яких значеннях у є правильною рівність:
1) 1-У1.11 = 1; 2) = 1 ?
у+7 у-6
23.24. ° Турист проплив на човні деяку відстань за течією річки,
а потім повернувся назад, витративши на всю подорож не
більше п’яти годин. Швидкість човна в стоячій воді дорівнює
5 км/год, а швидкість течії — 1 км/год. Яку найбільшу від-
стань міг проплисти турист за течією річки?
23.25. * Узявши чотири послідовних цілих числа, розглянули
різницю добутків крайніх і середніх чисел. Знайдіть чотири
таких числа, для яких ця різниця більша за нуль.
23.26. ° У коробці містяться сині та жовті кульки. Кількість синіх
кульок відноситься до кількості жовтих як 3 : 4. Яка найбіль-
ша кількість синіх кульок може бути в коробці, якщо всього
кульок не більше ніж 45?
23.27. * Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 14 см і а см, де
а — натуральне число. Якого найбільшого значення може
набувати а?
23.28. ° Які з нерівностей є наслідками нерівності 1 - Зх > 0:
.. 1 ох 1 кх 2
1) х > - ; 3) х < - : 5) х < - ;
7 З 3 ’ 5
2) х<|; 4) х<|; 6) х < 1?
23.29. * Яка з нерівностей у парі є наслідком іншої:
1) 2х + 1 > 0 і 1 - 2х < 0; 5) х + 1 > 0 і (х + 1) (х2 + 1) > 0
2) Зх - 5 < 0 і 6 - 5х > 0; 6) х2 + 2х + 1 > 0 і х + 1 > 0;
3) | х | > 0 і х2 > 0; 7) | > 0 і х > 0?
4) | х + 3 | < 0 і 17х - 19 > 0;
23.30. ’ Побудуйте графік функції:
1) у = | х - 2 |; 2) у = | х + 3 | - 1; 3) у = | х - 1 | + х.
23.31 ’ Побудуйте графік функції:
1) у = | х + 4 |; 2) у = | х - 5 | + 2; 3) у = | 2х - 6 | - х.
23.32. ' При яких значеннях параметра а рівняння:
1) 4х + а = 2 має додатний корінь;
2) (а + 6) х = 3 має від’ємний корінь;
3) (а — 1) х = а2 — 1 має єдиний додатний корінь?
23.33. ' При яких значеннях параметра т рівняння:
1)2 + 4х = т—6 має невід’ємний корінь;
2) пгх = т2 — 7т має єдиний від’ємний корінь?
23.34. * Чи існує таке значення параметра а, при якому не має
розв’язків нерівність (у випадку позитивної відповіді вкажіть
це значення):
1) ах > Зх + 4; 2) (а2 + а) х < а?
23.35. ’ Чи існує таке значення параметра а, при якому будь-яке
число є розв’язком нерівності (у випадку позитивної відповіді
вкажіть це значення):
1) ах > -1 - 7х; 2) (а2 - 16) х < а + 4?
23.36. ’’ Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерів-
ність:
1) ах > 0; 3) ах > а; 5) (а + 3) х < а2 - 9;
2) ах <1; 4) (а - 2) х > а2 - 4; 6) 2 (х - а) < ах - 4.
23.37. “ Для кожного значення а розв’яжіть нерівність:
1) а2х <0; 2) (а + 4) х > 1; 3) а + х < 2 - ах.
23.38. ’’ При яких значеннях параметра а перша з нерівностей
пари є наслідком другої нерівності:
1) 2х - а > 0 і х + 2а - 3 > 0; 4) ах < 1 і х > 1;
2) Зх + а < 0 і 2х - а + 4 < 0; 5) х > 0 і ах > 1?
3)х + а- 3>0і — + а -1 > 0;
’ 2
і 39/ При яких значеннях параметра а нерівності є рівносиль-
ними:
1) 2х -
2) Зх +
3) Зх -
а>0іх + 2а — 3 > 0; 4) Зх — а > 0 і ах - 3 > 0;
а<0і2х — а + 4<0; 5) ах 1 і 2ах
0;
6) а2х > 1 і 2ах
3;
З?
Системи і сукупності лінійних нерівностей
з однією змінною
Розглянемо нерівності 2х — 1 > 0 і 5 — х > 0. Поставимо зада-
чу: знайти множину спільних розв'язків цих нерівностей.
Якщо треба знайти спільний розв’язок двох або кількох не-
рівностей, кажуть, що треба розв’язати систему нерівностей.
Як і систему рівнянь, систему нерівностей записують за допо-
могою фігурної дужки.
Для знаходження спільних розв’язків заданих вище нерівнос-
тей треба розв’язати систему нерівностей
І2х-1 > 0,
(*)
[5-х > 0.
Означення. Розв’язком системи нерівностей з од-
нією змінною називають значення змінної, яке перетворює
кожну нерівність системи в правильну числову нерівність.
Так, числа 2, 3, 4, 5 є розв’язками системи (*). А, наприклад,
число 7 не є її розв’язком.
Розв’язати систему нерівностей — це означає знайти мно-
жину її розв’язків.
Наприклад, до задачі «Розв’яжіть систему нерівностей
відповідь буде такою: «множина всіх чисел».
Очевидно, що множина розв’язків системи
складаєть-
ся з одного числа 5.
Система
х > 5,
розв’язків не має, тобто множиною її розв’язків
є порожня множина.
Розв’яжемо систему (*). Перетворюючи кожну нерівність сис-
теми в рівносильну їй, отримуємо:
2’
Множина розв’язків останньої системи складається з усіх чи-
сел, які не менші від — і не більші за 5, тобто з усіх чисел, які
• • 1
задовольняють нерівність - ч х ч
проміжком, який позначають так:
• 1 к 1 • к ч
від — до 5, включаючи — і 5»).
5. Ця множина є числовим
Г1 /| /
І —; 5 1 (читають: «проміжок
Точки, які зображують розв’язки системи (*), розміщені між
точками А
і В (5), включаючи точки А і В (рис. 24.1). Вони
утворюють відрізок. Тому числовий проміжок
називають
числовим відрізком.
Відповідь у задачі про знаходження спільних розв’язків не-
рівностей 2х — 1 >0і5-х>0 може бути записана одним із
способів:
, 1 г,
або — ч х ч 5.
2
Зауважимо, що всі спільні точки проміжків
утворюють проміжок
1
2
(рис. 24.2). Тобто числовий відрізок
сують:
є перетином числових променів
Гі
І2
; +°° І і (—°°; 5]. Запи-
1
.2
Проміжки
і (-°°; 5] є розв’язками відповідно нерів-
ностей х > і х < 5. Тоді можна сказати, що множина розв’язків
Сі
системи
. 1
х > -, , . ...
2 є перетином множин разе язків кожної з нерів-
х < 5
ностей, які складають систему.
Отже, щоб розв’язати систему нерівностей, треба знайти
перетин множин розв’язків нерівностей, які складають сис-
тему.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть систему нерівностей $
Розв’язання. Маємо:
Зх > -6,
-4х > -12;
За допомогою координатної прямої знай- рИс. 24.3
демо перетин множин розв’язків нерівнос-
тей даної системи, тобто перетин проміжків (—°°; 3) і (-2; +<»)
(рис. 24.3). Шуканий перетин складається з усіх чисел, які задо-
вольняють нерівність -2 < х < 3. Ця множина є числовим проміж-
ком, який позначають (-2; 3) і читають: «проміжок від -2 до З».
Такий проміжок називають відкритим числовим відрізком.
Відповідь можна записати одним із способів: (—2; 3) або -2 < х < 3.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть систему нерівностей .
ІЗ х 5.
{4х <4, (х < 1,
І _________________
—х < 2; [х>-2. -----
За допомогою координатної прямої знай- -2 1
демо перетин проміжків (-о°; 1) і [-2; +<*>), рис 24 4
які є множинами розв’язків нерівностей даної
системи (рис. 24.4). Шуканий перетин складається з усіх чисел,
які задовольняють нерівність -2 < х < 1. Ця множина є числовим
проміжком, який позначають [-2; 1) і читають: «проміжок від
-2 до 1, включаючи —2». Такий проміжок називають числовим
відрізком, відкритим справа.
Відповідь можна записати одним із способів: [-2; 1) або — 2 < х < 1.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть систему нерівностей
Множиною розв’язків даної системи є перетин проміжків
(-«>; 1] і (-2; +°°). Цей перетин є числовим проміжком, який
позначають (-2; 1] і читають: «проміжок від —2 до 1, включаю-
чи 1». Такий проміжок називають числовим відрізком, відкритим
зліва.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність -7 < Зх + 5 < 11.
Розв’язання. Розв’язками нерівності будуть ті значення змін-
ної, які одночасно задовольняють кожну з нерівностей Зх + 5 > —7
і Зх + 5 < 11, тобто дана подвійна нерівність рівносильна системі
[Зх + 5 > -7,
[Зх + 5<11.
[ х > -4,
Звідси {
[х < 2.
Відповідь: (-4; 2).
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність х2 (х + 1) > 0.
Розв’язання. Добуток двох множників набуває додатних зна-
чень, якщо ці множники одного знака. Оскільки х = 0 не є
— — — розв’язком даної нерівності, то х2 > 0,
—о---------X--------► тому слід вимагати, щоб множник х+1
® був додатним. Звідси х > — 1. Проте про-
Рис. 24.5 міжку ( 1; +<») належить число 0, яке не
є розв’язком даної нерівності. Отже, дана нерівність рівносильна
[ х +1 > 0,
системі . Розв’язком цієї системи є об’єднання двох
[х * 0.
проміжків: (-1; 0) і (0; +°°) (рис. 24.5). Відповідь можна записа-
ти одним із способів: (-1; 0) її (0; +°°) чи -1 < х < 0 або х > 0.
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть нерівність І X І (х - 1) > 0.
Розв’язання. Оскільки | х | > 0, то може здаватися, що дана
нерівність рівносильна нерівності х — 1 > 0. Проте проміжку
[1; +°°) не належить число 0, яке є розв’язком заданої нерівності.
Отже, шукана множина розв’язків складається з об’єднання
множини розв’язків рівняння І X | = 0 і множини розв’язків нерів-
ності х - 1 > 0.
Відповідь: {0} и [1; +°°).
Якщо треба знайти об’єднання множин розв’язків нерівностей
(рівнянь), то кажуть, що треба розв’язати сукупність нерівностей
(рівнянь). Сукупність нерівностей (рівнянь) записують за допо-
могою квадратної дужки.
Так, щоб розв’язати нерівність | х | (х - 1) > 0, треба розв’язати
сукупність
"|х| = 0,
х-1 ' 0.
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть нерівність (х + 2) (х - І)2 < 0.
Розв’язання. Задана нерівність рівносильна сукупності
Гх + 2 < 0,
х-1 = 0.
Звідси
х < - 2,
х = 1.
Відповідь: (-°°; -2] О {!}.
ПРИКЛАД 8 Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерів-
ність (х - а)2 (х - 2) > 0.
Розв’язання. Задана нерівність рівносильна сукупності
х-2>0, Гх > 2,
Звідси
х - а = 0. х = а.
Якщо а < 2 (рис. 24.6), то множиною розв’язків заданої нерів-
ності є множина {а} Сі [2; +°°).
Якщо а > 2 (рис. 24.7), то проміжок [2; +<») є множиною
розв’язків даної нерівності.
Рис. 24.6
2 а
Рис. 24.7
Наприкінці наведемо таблицю позначень і зображень числових
проміжків, вивчених у цьому пункті:
Нерівність Проміжок Назва Зображення
а < х < Ь [а; 6] Числовий відрізок
а Ь
а < х < Ь (а; 6) Відкритий числовий відрізок
а Ь
а < х < Ь (а; Ь] Числовий відрізок, відкритий зліва
а Ь
а х < Ь [а; Ь) Числовий відрізок, відкритий справа ~~
а Ь
• І. У яких випадках кажуть, що треба розв’язати систему не-
рівностей?
2. За допомогою якого символу записують систему нерівнос-
тей?
3. Що називають розв’язком системи нерівностей з однією
змінною?
4. Що означає розв’язати систему нерівностей?
5. Поясніть, що називають перетином двох проміжків.
6. Опишіть алгоритм розв’язування системи нерівностей.
7. Як записують, читають, називають і зображують проміжок,
який є множиною розв’язків нерівності виду а < х < Ь;
а < х < Ь; а < х < Ь; а < х < Ь?
8. У яких випадках кажуть, що треба розв’язати сукупність
нерівностей (рівнянь)?
24.1. Які з чисел -6; -5; 0; 2; 4 є розв’язками системи нерівностей
Іх-2<0,
|-2х <10?
4.2.* Розв’язком яких із систем нерівностей є число -3:
[х > -4, [х < -4, Іх > - 3, (х +1 > -1,
1) 2) < 3) 4)
|х < 8; |х<8; (х > 6; [х-2<0?
24.3. ° Зобразіть на координатній прямій і запишіть проміжок,
який задається нерівністю:
1) 0 < х < 5; 3) 0,2 < х < 102;
2)—<х<2 —; 4)-2,4 < х <-1.
’ 6 7
24.4. ° Запишіть усі цілі числа, які належать проміжку:
1) [3; 7]; 2) (2,9; 6]; 3) [-5,2; 1]; 4) (-2; 2).
4.5. Укажіть найменше і найбільше цілі числа, які належать
проміжку
1) [-12; -6]; 2) (5; 11]; 3) (-10,8; 1,6]; 4) [-7,8; -2,9].
24.6. ° Зобразіть на координатній прямій і запишіть перетин про-
міжків:
1) [-1; 7] і [4; 9];
2) [3; 6] і (3; 8);
3) (-оо; 3,4) і (2,5; +оо);
4) (-о°; 2,6) і (2,8; +оо);
5) [9; +оо) і [11,5; +оо);
6) (-оо; -4,2] і (—°°; -1,3).
' 4,7,* Укажіть на рисунку 24.8 зображення множини розв’язків
системи нерівностей
X > -1,
X < 6.
24.8. Укажіть на рисунку 24.9 зображення множини розв’язків
подвійної нерівності -4 < х < 2.
24.9. * Який з наведених проміжків є множиною розв’язків сис-
[х > -1,
теми нерівностей 1
І х > 2 *
1) (—оо; -1); 2) (-1; 2); 3) (2; +оо); 4) (-1; +°°)?
24.10. ’ Відомо, що а < Ь < с < </. Який з наведених проміжків
є перетином проміжків (а; с) і (б; (/):
1) (а; <ЇУ, 2) (Ь-, с); 3) (с; гі); 4) (а; 6)?
24.11. * Відомо, що т < п < к < р. Який з наведених проміжків
є перетином проміжків (пг; р) і (п; к):
1) (т; п); 2) (к; р); 3) (п; к); 4) (т; р)7
24.12. ° Зобразіть на координатній прямій і запишіть множину
розв’язків системи нерівностей:
24.13.° Розв’яжіть систему нерівностей:
1)
х - 4 < 0,
2х > - 6;
2)
х - 2 > З,
-Зх < -12;
3)
6х + 3 > 0,
7 - 4х < 7;
ІІОх-1 > З,
[7 - Зх > 2х - 3;
їх - 2 < 1 + Зх,
[5х - 7 < х + 9;
ІЗх-6 < х -1,
11 їх +13 < х + 3;
[5х +14 > 18 - х,
8)
[1,5х +1 < Зх - 2;
[4х +19 < 5х -1,
9)
Юх < Зх + 21.
24.14.” Розв’яжіть систему нерівностей:
-4х < -12, 2-Зх < 4х -12,
І) 1 4)
[х + 2 >6; 7 + Зх > 2х +10;
Г8-х > 5. х + 3 < * 8,
ьз >- н 1 /Л ьо 5) х +1 6;
3
[Зх-З<5х, 5х-2 > 2х +1,
[7х-10<5х; О) 2х + 3 < 33 - Зх.
24.15.° Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1) -3 < х - 4 < 7; 3) 0,8 < 6 - 2х < 1,4;
2) -2,4 < Зх + 0,6 < 3; 4) 4< О 2 < 5.
24.16. Розв’яжіть нерівність:
1) 2 < х + 10 < 14; 3) - 1,8 < 1 - 7х < 36;
2) 10 < 4х - 2 < 18;
4) 1 < ^±±<1,5.
4
24.17. ° Скільки цілих розв’язків має система нерівностей
І-2х > -15,
[Зх>-10?
24.18. Знайдіть суму цілих розв’язків системи нерівностей
х + 8 > 4,
5х +1 < 9.
24.19. ° Скільки цілих розв’язків має нерівність -3 < 7х - 5 < 16?
24.20. ° Знайдіть найменший цілий розв’язок системи нерівностей
х + 8 > 17,
|>4,5.
24.21. Знайдіть найбільший цілий розв’язок системи нерівностей
|2х +1 < -4,
ІЗХ-6 < -12.
24.22. ° Розв’яжіть систему нерівностей:
[ 8 (2 - х) - 2х > З,
|—З (6х -1) — х < 2х;
|2 (х + 11) > 3 (6-х),
|(х-3) (х + 6) > (х + 5) (х-4);
2)
х + 1 _ 2х + 3 і
•4 З
6 (2х -1) < 5 (х - 4) - 7;
5)
х + 1 < х + 1
2^3
(х + 5) (х - 3) + 41 > (х - б)2;
2 (х-3) < Зх + 4 (х + 1),
(х - 3) (х + 3) < (х - 4)2 -1;
|5х + 4 < 2х-8,
|(х + 2) (х-1) > (х + 3) (х-2);
7)
х+2<х+1
7 4 ’
(х - 6) (х + 2) + 4х < (х - 7) (х + 7);
8)
6х + 1 _ 5х -1
6 5 ’
2 (х + 8)-3 (х + 2)<5-х.
Знайдіть множину розв’язків системи нерівностей:
1)
2х - 3 _ 4х - 9 і
5 6
5 (х -1) + 7 (х + 2) > 3;
Г(х-6)2 <(х-2)2 -8,
[З (2х-1)-8 < 34-3 (5х-9);
2)
х + 2 х +12
З 6 ’
4)
Зх - 2 _ 4х + 1 < -<
З 4 " ’
х + 1
2
0,Зх-19 < 1,7х-5;
(х-1) (х-2)>(х + 4) (х-7).
24.24.° Знайдіть цілі розв’язки системи нерівностей:
1)
2х -1 < 1,7 - х,
Зх - 2 > х - 8;
х _ х
З 4
2)
2х - - > 10.
2
24. • . Скільки цілих розв’язків має система нерівностей:
х+1 х-2 9
[4х + 3>6х-7, х з в
1) 2) д 0
13 (х + 8) > 4 (8 - х); 2х - 5 9 9
І з х
24.26. ° Розв’яжіть нерівність:
1) -3 < 2^5 < 4; 2) -4 < 1-^=^ <-3.
/-і о
24.27. Розв’яжіть нерівність:
1)_2<6х+2<4; 2) 1,2 <1^ < 1,4.
4 5
24.28.' Розв’яжіть сист х < 4, ему нерівностей: 2х - 6 < 8, 0,4-8х>3,6,
1) х > 2, 2) 4 - 4х < 10, 3) 1,5х - 2 < 4,
х < 3,6; 8х - 9 > 3; 4,їх +10 < 1,6х + 5.
24.29/ Розв’яжіть систему нерівносте: -х < 2, й: Зх - -1 < 2х + 2,
1) 2х > 7, 2) 2х +1 > 8 - 5х,
х < -4; 5х - -25 < 0.
24.30.” Одна сторона трикутника дорівнює 4 см, а сума двох ін-
ших — 8 см. Знайдіть невідомі сторони трикутника, якщо
довжина кожної з них дорівнює цілому числу сантиметрів.
24.31. ” Розв’яжіть сукупність нерівностей:
1)
X < 1,
х > 3;
2)
х < 1,
х < 3;
3)
х > 1,
х > 3;
24.32. Розв’яжіть сукупність нерівностей:
х
X
2)
х < 7,
х > 7;
3)
х > 7,
х > 7;
4)
>7,
<7.
24.33. ” Розв’яжіть сукупність нерівностей:
1 < х < 2,
х < 2.
1)
1 < х < 2,
х > 2;
2)
1 < х < 2,
х < 1;
3)
1 < х < 2,
х > 1;
4)
24.34." Розв’яжіть сукупність ’х ї 2, -з, >1, = 0; 4) 1 1 & Л * А 4, >2, :-2.
24.35." 1) Розв’яжіть систему: X Ф 7.
х > 2, 'х = 1, 2) х = 3; ’н х1 * 11 11 £ Ср Н» - 3) х > X X
24.36." 1) X Розв’яжіть нерівність: 2 (х + 2) > 0; 3) х2 (х 2)> 0; 5) х2 (х + 2) < 0;
2) х 2 (х + 2) > 0; 4) х2 (х 2)< 0; 6) х2 (х - -2) < 0.
24.37.' Розв’яжіть нерівність:
1) | х - 1 | (х + 3) > 0; 4) | х - 1 | (х - 3) < 0;
. 2) | х - 1 І (х + 3) > 0; 5) | х - 1 І (х + 3) < 0;
3) | х - 1 | (х - 3) > 0; 6) | х - 1 | (х - 3) < 0.
24.38.” Розв’яжіть нерівність:
1)
>0; 2)
X
П^ЇЇ
> 0;
3) і-4-| < 0; 4) —< 0.
• І х + 11 І х + 11
24.39. * При яких значеннях параметра а має хоча б один розв’язок
система нерівностей:
1)
х > З,
х < а;
2)
х < З,
х > а?
При яких значеннях параметра а не має розв’язків систе-
ма нерівностей:
1)
х > 4,
х < а;
2)
х < 1,
х > а?
24.41. ’ При яких значеннях параметра а множиною розв’язків
[ х > -1,
системи нерівностей { є проміжок:
[х > а
1) (-1; +оо); 2) [1; +оо)?
24.42. ’ Для кожного значення параметра а розв’яжіть систему
[х < 2,
нерівностей -!
х < а.
24.43/ Для кожного значення параметра а розв’яжіть систему
нерівностей
х <-З,
х > а.
24.44. ” При яких значеннях параметра а множина розв’язків
(х > 7,
системи нерівностей ! містить чотири цілих розв язки?
[х < а
4.45. ” При яких значеннях параметра Ь множина розв’язків
їх < 5,
системи нерівностей містить три цілих розв’язки?
[х > Ь
24.46.” При яких значеннях
параметра а найменшим цілим
розв’язком системи нерівностей
Х> 6,
є число 9?
х > а
розв’язком системи нерівностей
При яких значеннях параметра Ь найбільшим цілим
х < Ь,
є число —6?
х <-2
24.48. ” При яких значеннях параметра а розв’язком системи
[а < х < а + 8,
< є відрізок, довжина якого дорівнює 5?
[х > 4
24.49/ При яких значеннях параметра а розв’язком системи
Іа - 7 < х < а,
•< є відрізок, довжина якого дорівнює 4?
х < З
24.50. “ Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерів-
ність:
1) (х - а)2 (х - 1) > 0; 3) (х - а) (х - І)2 < 0;
2) (х - а)2 (х - 1) > 0; 4) (х - а) (х - І)2 < 0.
24 51.** Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерів-
ність:
1) | х + а | (х + 1) > 0; 3) (х + а) | х + 1 | < 0;
2) | х + а і (х + 1) > 0; 4) (х + а) | х + 1 | < 0.
25.
Рівняння І нерівності, які містять знак модуля
Нагадаємо основні відомості про модуль числа.
Означення. Модулем числа а називають відстань від
точки, яка зображує число а на координатній прямій, до почат-
ку відліку.
Модуль числа а позначають так: | а |.
{а, якщо а > 0,
-а, якщо а < 0.
Отже, щоб знайти модуль числа (або, як ще кажуть, «розкри-
ти модуль»), треба знати знак числа.
Наприклад, | я — 3 | = я — 3, оскільки п > 3.
| я - 4 | = 4 — я, оскільки я < 4.
| х2 + 1 | = х2 + 1, оскільки х2 + 1 > 0 при будь-якому значен-
ні X.
ПРИКЛАД 1 Розкрийте модуль | 2х — 11.
Розв’язання. З означення модуля числа випливає, що
|2х-1| =
ОТ
2х -1, якщо х > —,
1 о 1
1 - 2х, якщо х < —.
Властивості модуля, які випливають з означення
1) І а | > 0;
2) І а І = | -а |;
3) якщо | а | = | Ь |, то а = Ь або а = —Ь;
4) якщо | а | = &, тоЬ^Оіа = Ь або а = -Ь;
5) відстань між точками А (а) і В (Ь) координатної прямої до-
рівнює | а — Ь | (рис. 25.1).
Розглянемо основні прийоми розв’язування рівнянь, які міс-
тять знак модуля.
ПРИКЛАД 2 Розв' яжіть рівняння І х - 1 1 = 2.
Розв’язання. З властивості 4 випливає, що дане рівняння рів-
носильне сукупності рівнянь
х -1 = 2,
Звідси
х —1 = —2.
х = З,
х = -1.
-113
Рис. 25.2
Відповідь: -1; 3.
Це рівняння можна розв’язати інакше, якщо умову задачі
«перекласти геометричною мовою»: знайдіть координати всіх
точок координатної прямої, які віддалені від точки А (1) на 2 оди-
ничних відрізки. Очевидно, що існують дві таких точки: В (-1)
і С (3) (рис. 25.2).
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння | 2х - 1 | = Зх + 1.
Розв’язання. Якщо замінити дане рівняння на сукупність
рівнянь
2х -1 = Зх +1,
2х -1 = -Зх -1,
то ми отримаємо два значення змінної х: —2 і 0. Очевидно, що
число —2 не є коренем заданого рівняння.
Певна річ, виникає запитання: «Чому заміна рівняння на су-
купність призвела до появи стороннього кореня, тобто чому такий
перехід від рівняння до сукупності не є рівносильним?»
Справа в тому, що ліва частина заданого рівняння набуває
тільки невід’ємних значень. Тому Зх + 1 >0, тобто х > - і Отже
О
шукані корені мають належати проміжку
сукупності такої вимоги немає.
|;+то)
. У записаній
Насправді задане рівняння рівносильне системі
Зх + 1 > 0,
2х -1 = Зх +1,
2х -1 = -Зх -1,
яка має єдиний розв’язок х = 0.
Узагалі, рівняння виду | / (х) | = § (х) рівносильне системі
(х) > 0,
17 (х) = § їх),
7 (*) = -в Ш-
Рівняння зазначеного виду можна розв’язати й іншим спосо
бом: розглянути два випадки / (х) > 0 і / (х) < 0, тобто розкрити
модуль І / (х) |.
Таким чином, рівняння виду | / (х) | = § (х) рівносильне сукуп-
ності двох систем:
7/ (X) > 0,
V (х) = е (х),
7(х)<о,
.[-7 (х) = е (х).
Наприклад, розв’язання рівняння | 2х — 1 | = Зх + 1 можна
записати так:
[2х-1 > 0,
2х -1 = Зх +1,
12х -1 < 0,
[-2х +1 = Зх +1;
х = 0.
Звідси х = 0.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння |х+1| + |х — 2 | = 3.
Розв’язання. Розіб’ємо область визначення рівняння на такі
проміжки: —1) (значення виразів х+1іх-2на цьому про-
міжку від’ємні), [-1; 2] (вираз х+1 набуває на цьому проміжку
невід’ємних значень, а вираз х - 2 — недодатних) і (2; +«>) (зна-
чення виразів х + 1 і х - 2 на цьому проміжку додатні). Зазна-
чимо, що точки, у яких вирази дорівнюють нулю, можна гіднес-
ти до будь-якого з проміжків, але тільки до одного з них. Отже,
задане рівняння рівносильне сукупності трьох систем.
їх < -1,
|-(х +1)-(х-2) = 3.
Звідси
х < -1,
х =-1.
Ця система розв’язків не має.
[-1 < х < 2, [-1 < х < 2,
2) Звідси (
(х +1)-(х - 2) = 3. |0х = 0.
Розв’язком цієї системи є проміжок [-1; 2].
їх >2, [х > 2,
3) ( ( Ця система розв’язків не має.
|(х +1) + (х - 2) = 3; |х = 2.
Відповідь: [—1; 2].
Розв’язання заданого рівняння можна оформити в інший
спосіб, одразу записавши сукупність:
х < -1,
-х-1-х + 2 = 3,
-1 < х < 2,
х + 1- х + 2 = 3,
х > 2,
х + 1 + х- 2 = 3. .А В
Також це рівняння можна розв’язати за -1 2
допомогою геометричної інтерпретації: шу- рис 25 3
кані корені — це координати точок коор-
динатної прямої, сума відстаней від яких до точок А (-1) і В (2)
дорівнює 3. Зрозуміло, що координати всіх точок відрізка АВ
(рис. 25.3) утворюють шукану множину коренів.
Розглянемо основні методи розв’язування нерівностей, які
містять знак модуля.
Теорема 25.1. Нерівність виду | х | < а рівносильна системі
х < а.
х > —а.
Доведення. Якщо а < 0, то як задана нерівність, так і записа-
на система розв’язків не мають. Отже, вони є рівносильними.
Якщо а > 0, то, розкривши модуль, можна записати, що за-
дана нерівність рівносильна сукупності двох систем:
(х > 0,
[х < а,
їх < 0,
[-х < а.
Звідси
0 < х < а,
—а<х<а.
-а < х < 0;
Очевидно, що отримана нерівність рівносильна системі
їх < а,
І х > -а. ▲
Зауважимо, що для випадку, коли а > 0, доведення теореми
можна провести, використовуючи геометричну інтерпретацію: і не-
рівність | х | < а, і систему
х < а,
задовольняють координати
х > -а
тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від
початку відліку на відстань, меншу ніж а.
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність | Зх — 1 | < 2.
Розв’язання. Задана нерівність рівносильна системі
|3х-1<2,
|Зх-1>-2.
ІЗх < З,
Звідси 1
І Зх > -1;
Відповідь: 1].
\ 3 /
Узагальненням теореми 25.1 є така теорема.
Теорема 25.2. Нерівність виду | / (х) | < 8 (х) рівносильна
системі
/ (х) < 8 (х),
/ (х) > -8 (х).
Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми 25.1.
Теорема 25.3. Нерівність виду | х | > а рівносильна сукупності
нерівностей
Доведення. Якщо а = 0, то множиною розв’язків як заданої
нерівності, так і сукупності є множина (-°°; 0) О (0; +“). Якщо
а < 0, то множиною розв’язків нерівності й сукупності є множи-
на +°°). Тому якщо а < 0, то задана нерівність і записана
сукупність нерівностей є рівносильними.
Якщо а > 0, то, розкривши модуль, можна записати, що за-
дана нерівність рівносильна сукупності двох систем:
(х > 0,
їх > а,
х < 0,
-х > а.
Звідси
х > а,
х < -а.
Зауважимо, що для випадку, коли а > 0, доведення теореми
можна провести, використовуючи геометричну інтерпретацію: і не-
рівність І х | > а, і сукупність
х > а,
задовольняють координати
х < -а
тих і тільки тих точок координатної прямої, які віддалені від
початку відліку на відстань, більшу за а.
ПРИКЛАД б Розв’яжіть нерівність | 4х — 3 | > 5.
Розв’язання. Задана нерівність рівносильна сукупності нерів-
ностей
4х - 3 > 5,
4х-3<-5.
Звідси
4х > 8,
4х < -2;
1
2
Відповідь: -<*>;
и (2; + оо).
Узагальненням теореми 25.3 є така теорема.
Теорема 25.4. Нерівність виду | / (х) | > § (х) рівносильна
сукупності нерівностей
/ (-V) > і? (х),
./ (х) < (х).
Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми 25.3.
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть нерівність | X ~ 1 | + | х — 2 | > х + 3.
Розв’язання. Задана нерівність рівносильна сукупності трьох
систем. [х < 1, 1) [1-х-х + 2>х + 3; Я Я А А р Н-1 X А р
[1 < х < 2, 2) і [х-1-х + 2>х + 3; 1 < х < 2, Ця система розв’язків не має. х < -2.
їх > 2, 3) і Іх-1 + х- 2>х + 3; х > 2, х > 6. х > 6;
Відповідь: 0) И (6; +<=°).
• 1. Сформулюйте означення модуля числа.
2. Що потрібно знати, щоб розкрити модуль числа?
3. Сформулюйте властивості, які випливають з означення мо-
дуля.
4. Сформулюйте теореми про розв’язування нерівностей, які
містять знак модуля.
25.1. ° Розкрийте модуль:
3)І2-зІ;
2) | л - 3,14 |; 4) | х2 + 1 |;
25.2. ° Розкрийте модуль:
1) І --0,7 І; 3) І я - 3,15 І;
І 4
х2
5) х-^--1 ;
4
6) І х2 + 2х + 2 |.
5) х2 + х + — ;
4 І
2)|^-0,в|; 4) | х4 + 2 |; 6) | х2 + 4х + 5 |.
О- 25.3.° Доведіть, що:
1) | аЬ | = | а | • | Ь |; 4) | а - Ь | = | Ь - а |;
2) I т І = ттт> й 5) -| а І < а < | а |.
І Ь І І о І
3) (І а І)2 = І а2 І = а2;
25.4. ° Відомо, що а + Ь < 0, а > 0, Ь < 0. Порівняйте з нулем
значення виразу | а | — | Ь |.
25.5. ° Відомо, що а + Ь > 0, а < 0, Ь > 0. Порівняйте з нулем
значення виразу | а | — | Ь |.
25.6. ° Спростіть вираз:
1) (3 | х | - | у |) (3 | х | + | у |); 3) І-^1-И_|т| + |п|
| т | +1 п | | лі | — | л |
2) (2 | а | - 3 | Ь |)2 + (2 | а | + 3 | Ь |)2;
25.7. ° Розв’яжіть рівняння:
1) | х + 3 | = 2; 2) | 1 - 2х | = 5; 3) | 6х + 5 | = 1.
25.8. * Розв’яжіть півняння:
1) І х - 1 І = 4; 2) І 1 - Зх І = 7; 3) | -4х - 1 | = 8.
О—» 25.9.° Доведіть, що:
1) нерівність | / (х) | < § (х) рівносильна системі нерівностей
7 (х) < £ (х),
\/ (х) > -§ (х);
2) нерівність | / (х) | > § (х) рівносильна сукупності нерівностей
7 (х) > § (х),
/ (х) (х).
25.10. ° Розв’яжіть нерівність:
1) | х + 5 | < 4; 3) | Зх + 2 | < 1;
2) І 2х - 1 | > 3; 4) | 5х - 1 | > 4.
25.11. * Розв’яжіть нерівність:
1) | х - 3 | < 6; 3) | 1 - 4х | < 2;
2) І Зх - 2 | > 3; 4) І 5х + 2 | > 6.
О—» 25.12.’ Доведіть, що:
1)|а + Ь|<|а| + |Ь|;
2)1 а - 6 | > | а | - | 6 |;
3) | а + Ь | = | а | + | Ь | тоді і тільки тоді, коли аЬ > 0;
4) | а | + | Ь | = а + Ь тоді і тільки тоді, коли а > 0 і & > 0;
5) | а - Ь | = | а | + | Ь | тоді і тільки тоді, коли аЬ < 0.
25.13. ' Доведіть, що:
1) | х | + | х - 3 | > 3; 2)|х-і| + |х-3|>2.
25.14. * Знайдіть найменше значення виразу:
1) | х | + | х + 4 |; 2)|х + 2| + |х-3|.
25.15. ’ Розв’яжіть систему рівнянь
25.16. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) 11 х І - 2 І = 2;
25.17. ° Розв’яжіть рівняння:
1)||х|-3| = 1;
25.18. " Розв’яжіть рівняння:
1) | 2х - 1 | = | Зх + 2 |;
І X 4- і/ — 4 І = 71,
| х - 31 +1 у -11 = 3.
2) 11 х | 4- 2 | = 1.
2)||х| + 1 | = 1.
2) | 3 - 4х | = | 2х + 1 |.
25.19. ' Розв’яжіть рівняння:
1) | х + 2 | = 4х - 1; 3) | х - 1 | = 4х + 3.
2) | Зх + 2 | = 2х - 1;
25.20. ' Розв’яжіть рівняння:
1) | х + 2 | = 2 (3 - х); 3) | Зх + 1 | = 4х - 1.
2) | Зх - 1 | = х + 1;
25.21. * Розв’яжіть нерівність:
1) | х + 5 | < 2х + 3; 3) | 4х + 5 | > Зх - 1;
2) І 1 - 2х | < х 4- 1; 4) | 2х - 7 | > х - 2.
25.22. ' Розв’яжіть нерівність:
1) | х + 2 | < 2х - 1; 3) | Зх - 2 | > 2х + 1;
2) 5х + 3 > | х + 1 |; 4) І Зх - 5 | > 9х + 1.
25.23. *' Розв’яжіть рівняння:
1) | х — 2 | 4- | х — 4 | = 3; 6) | х | + | х - 6 | = 6;
2)|х-2|-3|3-х| + х = 0; 7)|х4-2|-|х-3| = 5;
3) | 4 - х | + | 2х - 2 | = 5 - 2х; 8) | 5х - 2 | - | 7х - 3 | + 2х = 1;
4) | х | - 2 | х + 1 | = 5; 9) = 1;
5) | х | + | Зх + 2 | + | 2х - 1 | = 5; 10) = 1.
25.24. *' Розв’яжіть рівняння:
1) | х -і- 1 І 4-1 х - 5 І = 20; 6) І х І - І х - 2 І = 2;
2) | х + 3 | - | 5 - 2х | = 2 - Зх; 7) | 7х - 12 | - | 7х - 11 | = 1;
3) | х - 3 | + 2 | х + 1 | = 4; 8) = 1;
4) | х — 1 | 4-) х — 2 | = | х — 3 | 4- 4; 9) - 1-
5)|х + 5| + |х-8| = 13;
25.25. " Розв’яжіть нерівність:
1) | х 4- І | 4- | х 4- 2 | > 2х 4- 3; 3)|х+1| + |х-1|<2;
2)2|х-3| + |х + 1|<3х+1; 4)|х|-2|х-2| + 3|х + 5|>2х.
25.26. * Розв’яжіть нерівність:
1)2|х+1|-|х-1|>3; 3)|х-1| + |х + 3|<4;
2)|х-1|-2|х + 3|>х + 7; 4)|х|-2|х+1| + 3|х + 2|>4.
25.27. *' Побудуйте графік функції:
1) у = І X + З І + І X - 1 І; 2) у = 2 | х - 2 | - | х - 1 |.
25.28." Побудуйте графік функції і/ = |х+2| + 2|х-1|-х.
25.29." Визначте кількість коренів рівняння залежно від значен-
ня параметра а:
1) | Зх - 4 | = а + х; 2) 2х - | х | + | х - 1 | = а.
25.30. ‘ Визначте кількість коренів рівняння залежно від значен-
ня параметра а:
1) | х - 1 | + | х + 1 | = а; 2)|х-2|-|х + 2| = а.
25.31. " При яких значеннях параметра а множина коренів рів-
няння
|х-1| + |х-а| = 1- а
містить три цілих числа?
‘ '2.' При яких значеннях параметра а множина коренів рів-
няння
|х-3| + |х-а| = а- 3
містить одне парне число?
§ 5. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА
2€.
Функція у = х2 та її графік
Позначимо через у площу квадрата зі стороною х. Тоді у = х2.
Якщо змінювати сторону х квадрата, то відповідно змінюва-
тиметься і його площа у.
Зрозуміло, що кожному значенню змінної х відповідає єдине
значення змінної у. Отже, залежність змінної у від змінної х
є функціональною, а формула у = х2 задає функцію.
Розглянемо функцію у = х2, областю визначення якої є мно-
жина всіх чисел. У таблиці наведено деякі значення аргументу
та відповідні їм значення функції:
х -з —2,5 -2 £-1,5 -1 -0,5
у 9 6,25 4 2,25 ' 1 0,25
Позначимо на координатній площині точки, координати яких
наведено в таблиці (рис. 26.1).
Чим більше точок, координати яких задовольняють рівняння
у = х2, позначимо, тим менше отримана фігура (рис. 26.2) відріз-
нятиметься від графіка функції у = х2.
Пара чисел (0; 0) є розв’язком рівняння у = х2. Отже, графік
даної функції проходить через початок координат. Оскільки у = х2
і х2 > 0, то у > 0, тобто серед позначених точок не може бути
таких, які мають від’ємні ординати.
0 0,5
0И3,25
1,5
2,5
1 2,25, 4
6,25
1
2
З
9
Рис. 26.4
Областю значень функції у = х2 є множина всіх невід’ємних
чисел.
Оскільки х2 = (-х)2, го можна зробити висновок: якщо точка
А (х0; у0) належить графіку функції, то точка В (—х(); у0) також
йому належить (рис. 26.2).
Якби можна було позначити на координатній площині всі
точки, координати яких задовольняють рівняння у = х2, то отри-
мали б фігуру, яку називають параболою (рис. 26.3).
Точка з координатами (0; 0) поділяє параболу на дві рівні
частини, кожну з яких називають віткою параболи, а саму точ-
ку — вершиною параболи.
У таблиці наведено властивості функції у = х2, розглянуті в цьо-
му пункті.
Область визначення Множина всіх чисел
Область значень Множина невід’ємних чисел
Графік Папабола
Нуль функції (значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0) х = 0
ПРИКЛАД Розв’яжіть графічно рівняння х2 = х + 2.
Розв’язання. В одній системі координат побудуємо графіки
функцій у = х2іу = х + 2 (рис. 26.4). Ці графіки перетинаються
у двох точках, абсциси яких дорівнюють 2 і -1. Перевірка під-
тверджує, що знайдені значення є коренями даного рівняння.
А)---------------------------------------------— -------
• 1. Яка множина є областю визначення функції у = х2?
2. Яка множина є областю значень функції у = х2?
3. Яка фігура є графіком функції у = х2?
4. При якому значенні аргументу значення функції у = х2
дорівнює нулю?
5. Порівняйте значення функції у = х2 при протилежних зна-
ченнях аргументу.
26.1. * Функцію задано формулою у = х2. Знайдіть:
1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: -6;
0,8; -1,2; 150;
2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює:
49; 0; 2500; 0,04.
26.2. * Не виконуючи побудови графіка функції у = х2, визначте,
чи проходить цей графік через точку:
1) А (-8; 64); 2) В (-9; -81); 3) С (0,5; 2,5); 4) £> (0,1; 0,01).
26.3. ° Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок пере-
тину графіків функцій у = х2 і у = 4х — 4. Побудуйте графіки
даних функцій і позначте знайдені точки.
26.4. ° Розв’яжіть графічно рівняння:
1) х2 = х - 1; 2) х2 - 2х - 3 = 0; 3) х2 = -.
X
26.5. " Розв’яжіть графічно рівняння:
1) х2 = -4х - 3; 2) х2 - Зх + 5 = 0; 3) х2 +1 = 0.
26.6. ° Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
{V = х2, {и — х2 =0,
. 3) Г
у = 2; [х - у + 6 = 0;
2)к = л 4)|і'-і! = 0-
І у = —2; [2х + 5(/ = 10.
26.7. “ Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
Іу-х2, [у = хг,
1) Г 2) г
[Зх + 2у = -6; [х - Зу = -3.
26.8/ Функцію / задано у такий спосіб:
/(х) =
4,
якщо х < - 2,
якщо - 2 < х < 1,
2х -1, якщо х > 1.
1) Знайдіть / (-3), / (-2), / (-1), / (1), / (3), / (0,5).
2) Побудуйте графік даної функції.
2х + 3, якщо х < -1,
26.9.’ Дано функцію / (х) =
.2
4,
якщо -1 < х < 2,
якщо х > 2.
1) Знайдіть / (-4), / (-0,3), / (1,9), / (3), / (-1), / (2).
2) Побудуйте графік даної функції.
26.10.’ Дано функцію / (х) =
х2, якщо х < 0,
х+1, якщо х > 0.
1) Знайдіть / (-7), / (0), / (2).
2) Побудуйте графік даної функції.
26.11. ’ Дано функцію / (х) =
—, якщо х < -1,
х2, якщо х > -1.
1) Знайдіть г (-12), г (-1), / (-0,9), | (3), / (0).
2) Побудуйте графік даної функції.
26.12. ’ Побудуйте графік функції:
. ч х3 + х2
п і, = ^7Г;
26.13.’ Побудуйте графік функції:
і \ х3
І) У = —;
2) у =
2) у =
х4 - 4х2
х2 - 4
х3 - 2х2
х-2
26.14. ’ Знайдіть область визначення, область значень і нулі функ-
ції у = — х2. Побудуйте графік цієї функції.
26.15. ' При якому значенні параметра к графіки функцій у = кх — 3
і у = х2 перетинаються в точці, абсциса якої дорівнює -2?
26.16. ’ При якому значенні параметра Ь графіки функцій у = 8х + Ь
і у = х2 перетинаються в точці, що належить осі ординат?
26.17. ’ Задайте функцію, графік якої зображено на рисунку 26.5,
у спосіб, використаний у задачі 26.8.
26.18. * Задайте функцію, графік
якої зображено на рисунку 26.6,
у спосіб, використаний у задачі 26.8.
26.19. “ Побудуйте графік рівняння:
1) (У ~ (у ~ х) = 0;
2) у2 - х’ = 0;
4) = 0.
У~х
26.20. " Побудуйте графік рівняння:
1) (у + х2) (у + х) = 0;
2) ------------2 = 0.
(х + 2)2 + (у - 4)2
26.21. " Побудуйте графік рівняння:
1) (у - х)2 + (у - х2)2 = 0; 2) (у - 2х)2 + (у + х2)2 = 0.
Квадратні корені.
Арифметичний квадратний корінь
Розглянемо квадрат, площа якого дорівнює 49 см2. Нехай
довжина його сторони дорівнює х см. Тоді рівняння х2 = 49 мож-
на вважати математичною моделлю задачі про знаходження
сторони квадрата, площа якого дорівнює 49 квадратним одини-
цям.
Коренями цього рівняння є числа 7 і -7, квадрати яких дорів-
нюють 49. Кажуть, що числа 7 і -7 є квадратними коренями з чис-
ла 49.
Означення. Квадратним коренем з числа а називають
число, квадрат якого дорівнює а.
Наведемо кілька прикладів.
Квадратними коренями з числа 9 є числа 3 і -3. Справді, З2 = 9,
(-3)2 = 9.
25 5 5
Квадратними коренями з числа — є числа - і - —. Справді,
(!)’=¥• НМ-
Квадратним коренем з числа 0 є тільки число 0.
Оскільки не існує числа, квадрат якого дорівнює від’ємному
числу, то квадратний корінь з від’ємного числа не існує.
Додатний корінь рівняння х2 = 49, число 7, є відповіддю до
задачі про знаходження сторони квадрата. Це число називають
арифметичним квадратним коренем з числа 49.
Означення. Арифметичним квадратним коренем
з числа а називають невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а.
Арифметичний квадратний корінь з числа а позначають 4а.
Знак 4~ називають знаком квадратного кореня або радикалом
(від латинського слова гасііх — корінь).
Запис 4а читають: «квадратний корінь за», опускаючи при
читанні слово «арифметичний».
Вираз, який стоїть під знаком радикала, називають підкоре-
невим виразом. Наприклад, у запису 4ь~-~5 двочлен Ь - 5 є під-
кореневим виразом. З означення арифметичного квадратного
кореня випливає, що підкореневий вираз може набувати тільки
невід’ємних значень. Так, областю визначення виразу 4ь~5
є числовий проміжок [5; +«>).
Дію знаходження арифметичного квадратного кореня з числа
називають добуванням квадратного кореня.
Розглянемо кілька прикладів:
4д = 3, оскільки 3 0 і З2 = 9;
[25 5 . 5 п І5\2 25
. — = -, оскільки — > 0 і — І = —;
У 4 2 2 \2/ 4
4в = 0, оскільки 0 > 0 і О2 = 0.
Узагалі, якщо Ь 0 і Ь2 = а, то у а = Ь.
Також з означення арифметичного квадратного кореня
випливає, що для будь-якого невід’ємного числа а справедливо,
що н > 0 і (у) а) = а.
Наприклад, (44) =4, (44) =2, (-75,2) =5,2.
Підкреслимо, що до поняття квадратного кореня ми прийшли,
розв’язуючи рівняння виду х2 = а, де о > 0. Коренями цього рів-
няння є числа, кожне з яких є квадратним коренем з числа а.
Знаходження коренів рівняння х2 = а проілюструємо, роз-
в’язавши графічно рівняння х2 = 4.
В одній системі координат побудуємо графіки функцій у = х2
і у = 4 (рис. 27.1). Точки перетину цих графіків мають абсциси
2 і -2, які є коренями заданого рівняння.
Зрозуміло, що рівняння х2 = а при а < 0 не має коренів, що
підтверджують графічні міркування: графіки функцій у = х2
і у = а при а < 0 спільних точок не мають (рис. 27.2).
При а = 0 рівняння х2 = а має єдиний корінь х = 0.
Графічний метод дозволяє зробити такий висновок: якщо а > 0,
то рівняння х2 = а має два корені. Дійсно, парабола у = х2 і пряма
у = а, де а > 0, мають дві спільні точки (рис. 27.2). При цьому
коренями рівняння х2 = а є числа у'а і -4а. Справді, (4а) = а,
(-44) = а.
Наприклад, рівняння х2 = 5 має два корені: -Тб і -45.
ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу (-8 42) .
Розв’язання. Застосувавши правило піднесення добутку до
степеня і тотожність (4а) = а, отримуємо:
(-8 42)2 = (~8)2 • (42)2 = 64 • 2 = 128.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння:
1) |>/ї-3 = 0; 2) ч/1 + 44+2 = 2.
Розв’язання
1) Маємо: ^4х = 3; 4х = 6. Тоді х = б2; х = 36.
2) Маємо: \/1 + 44+2 =2; 1 + 4442 = 22; 44+2 =3; х + 2 = З2;
х = 7.
ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння (х - 5)2 = 16.
Розв’язання. Множина коренів даного рівняння дорівнює
об’єднанню множин коренів таких двох рівнянь: х - 5 = 4
і х — 5 = —4, тобто дане рівняння рівносильне сукупності двох
рівнянь:
х - 5 = 4,
х-5 = -4.
Звідси
х = 9,
х = 1.
Відповідь: 1; 9.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння (Зх - І)2 = 2.
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне сукупності двох рів-
нянь:
Зх-1 = -Т2,
Зх -1 = 72.
Звідси
3x1 ТІ,
Зх = 1 + 72;
1 + 72
З
ПРИКЛАД 5 Знайдіть область визначення виразу:
і) 2) 7з-|х| + тХ=.
х - 4 уїх + 1
Розв’язання
1) Даний вираз має зміст, якщо одночасно виконуються дві умо-
ви: підкореневий вираз невід’ємний і знаменник дробу не
дорівнює нулю, тобто ] х | — 1 > 0 і х2 — 4^0. Отже, область
визначення даного виразу дорівнює множині розв’язків
системи
| х | -1 > 0,
х2 - 4 0.
Звідси
X > 1,
х < -1;
х Ф 2,
х Ф -2.
Рис. 27.3
Зобразивши розв’язки цієї системи на координатній прямій
(рис. 27.3), отримуємо відповідь.
Відповідь: (-<»; -2) О (—2; -1] О [1; 2) и (2; +<=°).
2) Для знаходження області визначення даного виразу достатньо
розв язати систему
Звідси
|х|<3,
х > -1;
-З < х < З,
х > -1.
Звернемося до геометричної інтерпретації (рис. 27.4).
Відповідь: (-1; 3].
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння: 1) -7-х + х/х - 2 = 2;
2) 7х2-2х + 7х-2 = 0;
3) (х2 -9) х/х-2 = 0.
Розв’язання
1) Знайдемо область визначення даного рівняння. Для цього роз-
в’яжемо систему
-х > 0, .
Очевидно, що ця система розв язків
х-2 і б.
не має, а отже, не має розв’язків і задане рівняння.
Відповідь: коренів немає.
2) Ліва частина даного рівняння є сумою двох доданків, кожен
з яких може набувати тільки невід’ємних значень. Тоді їх
сума дорівнює нулю, якщо кожен з доданків дорівнює нулю.
Отже, одночасно мають виконуватися дві умови: х/х2 - 2х = 0
і х/х-2 = 0. Це означає, що треба знайти спільні корені отри-
маних рівнянь, тобто розв’язати систему рівнянь
х/х2 - 2х = 0,
х/х-2 = 0.
Маємо:
|х2 -2х = 0,
[х - 2 = 0;
х (х - 2) = 0,
х = 2;
х = 0,
х = 2,
х = 2.
Розв’язком останньої системи є число 2.
Відповідь: 2.
3) Областю визначення даного рівняння є проміжок [2; +«>).
Ураховуючи це і використовуючи умову рівності добутку нулю,
можна записати, що дане рівняння рівносильне сукупності:
’х/х - 2 = 0,
(х2-9 = 0,
[х-2 > 0.
Звідси
х = 2,
х = 3, х = 2,
х - -3, х = 3.
х > 2;
Відповідь: 2; 3.
ПРИКЛАД 7 Побудуйте графік функції у = (л/х) + (л/1 - х) .
ПРИКЛАД 8 При яких значеннях параметра а рівняння
(х-а) (\/х-1) = 0 має єдиний розв’язок?
Розв’язання. Областю визначення цього рівняння є проміжок
х -1 = 0,
[0; 4-о°). Тому дане рівняння рівносильне сукупності
х - а = О,
х > 0.
При будь-якому значенні параметра а задане рівняння має
корінь х = 1. Для того щоб цей корінь залишався єдиним, систе-
ма повинна або мати цей самий розв’язок, або не мати розв’язків,
тобто має виконуватись одна з двох умов: а = 1 або а < 0.
Відповідь: а = 1 або а < 0.
• 1. Що називають квадратним коренем з числа а?
2. Що називають арифметичним квадратним коренем з числа а?
3. Як позначають арифметичний квадратний корінь з числа а?
4. Як називають знак 4~ ?
5. Як читають запис 4а ?
6. Як називають вираз, що стоїть під знаком радикала?
7. Яких значень може набувати підкореневий вираз?
8. Як називають дію знаходження арифметичного квадратно-
го кореня з числа?
9. Чому дорівнює значення виразу (Та) для будь-якого
невід’ємного значення а?
10. Скільки коренів має рівняння х2 = а при а > 0? Чому вони
дорівнюють?
11. Чи має корені рівняння х2 = а при а = 0? при а < 0?
27.1.’ Чи є правильною рівність (відповідь обґрунтуйте):
1) 725 -5; 3) Тзб = -6; 5) Т0?8Ї = 0,9;
2) То =0; 4) ТбЛ = 0,2; 6) 7Ї0 = 100?
27.2." Знайдіть значення арифметичного квадратного кореня:
1) 7225; 4) ТГТЇ;
2) 70,25; 5) 73600; 61 8)Ж
3) ТООЇ; 9) 70,0004.
27.3.’ Знайдіть значення арифметичного квадратного кореня:
1) Тб4; 4) 70,49;
2) 7144; 70,04; 5) 72500; 8) 70,0009;
3) 9) 70,0196.
27.4.’ Чи має зміст вираз:
1) 72; 2) - 72; 3) 7-2; 4) 7(-2)2; 5) (Т^Ґ?
27.5.’ Арифметичний квадратний корінь з якого числа дорівнює:
1) 4; 2) 0; 3) 0,8; 4) 24 4 ; 5) 1,6; 6) -9?
27.6.’ Знайдіть значення виразу:
1) (М 3) (-7ЇЇ)2;
2) (7^)2; 4) -(7ЇЇЇ)2; 6) (і Лї)г.
2
3) (-4 Тб)%
27.7/ Обчисліть:
1) (ТбГ;
27.8. ° Знайдіть значення виразу:
1) >/16 + 9; 6) -2 >/0Д6 + 0,7;
2) >/16 + >/9; 7) (>/13)2 - 3 • (л/в)2;
3)>/36->/49; 8) |-(>/Ї8)2-(| >/24) ;
4) >/зб->/49; 9) >/4-52-62.
5) >/0,81 + >/0,01;
27.9. ° Обчисліть значення виразу:
1) УІ72-УІ64; 3) |>/900 + 0,2 >/1600;
О
2) >/їб • >/225; 4) (2 >/б)2-3 (>/21)2.
27.10. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 4х =9; 3) 4х- 0,2 = 0;
2) 4х =1; 4) >/х+7 = 0.
4
27.11/ Розв’яжіть рівняння:
1) 4х = 20: 2) >Іх = -16; 3)>/х-| = 0.
О
27.12. ° Розв’яжіть рівняння:
1) х2 = 25; 2) х2 = 0,49; 3) х2 = 3; 4) х2 = -25.
27.13. Розв’яжіть рівняння:
1) х2 = 100; 2) х2 = 0,81; 3) х2 = 7; 4) х2 = 3,6.
27.14. ° Знайдіть значення виразу:
1) -0,06 • Л0 000 + -Д= - 2,5 >/3,24:
>/256
2) >/64 • >/6^25 + >/23 +17;
3) Д| + 3 Л~°,6>/3025;
4) >/75) + >/262 -242;
5) (3 >/8)2 + (8 >/з)2 - 2 (>/24 Ґ;
6) >/144 : >/0,04 - >/^56 • >/2500.
27,15. Знайдіть значення виразу:
1) 0,15 >/3600 - 0,18 >/400+ (10 >/0,08)2;
2) -Д=-||./1-Ц- + х/82 * * + 1б2;
х/збї 14 V 169
3) (-8 • >/12,25^: (ОД х/їз)2.
27.16. ” Знайдіть область визначення виразу:
1) х/=х; 3) х/^х2; 5) х/(х-8)2;
2) у/х2; 4) х/х2 + 8; 6) х |.
27.17. ” Знайдіть область визначення виразу:
і) х/2у; 3) х/7; 5) 7=7;
27.18.” Знайдіть область визначення функції:
1)у = х/ГГЇ; 5)у = ^Х;
х/4х-1
2) у = х/1 - Зх; 6) у = •• 2 - х + х/Зх +1;
3) у= , 1 ; 7) у = х/х - 3 + х/з - х;
х/2х + 1
4)У = ^|; 8) у = -г^-х/2х + 1.
х + 5 х/2 - Зх
27.19. Знайдіть область визначення функції:
1)У = -Д=; 2) у = х/хч^З + х/Зх +1; 3) у =
х/х-1 ЛХ — У
27.20. ” Розв’яжіть рівняння:
1) х/б^ - 4 = 0; 3) х/бх-4 = 6; 5) ,18 = 9;
х/х + 3
2) х/бх-4 =0; 4) = 6; 6) х/х2 -36 = 8.
\Іх
27.21/ Розв’яжіть рівняння:
1)^х/х-2 = 0; 3)-?А= = 6;
3 х/х-5
2) х/2х + 3 =11;
27.22.” Розв’яжіть рівняння:
1) (х + б)2 = 0;
2) (х + б)2 = 9;
4) х/130-х2 = 9.
3) (х + б)2 = 3;
4) (7х + б)2 = 5.
27.23. Розв’яжіть рівняння:
1) (2х - З)2 = 25; 2) (х - З)2 = 7; 3) (2х - З)2 = 7.
27.24/ Знайдіть область визначення виразу:
1) /|х-х2-|; 4) V <5 У 1 д/х + 3 7) 7-І х |; 10) 7-7х;
2) -7^=7! 5) уі(х-8}2 \[х • у/-х; 8) -А=; 11) 7-7-х; VI *І
3) ; 6) 1 /— 1 » 9)77x4-1; 12) /—
т/х-З 7х • 7-х V \х
27.25/ Знайдіть область визначення виразу:
1) -г—; 2) ; 3) Л2-у + |; 4) Х-^-І.
УІу-1 уіу+і V 4 V 4
27.26/ Знайдіть область визначення функції:
1) У = 71х 1 - 2; 4) у = 71 х 1 - х',
2) у = 3) у = 7х-|х|: 5) у = ^^кЛ; У Xі -25 в) у - 75 1х 1 + —
27.27/ Знайдіть область визначення функції:
1) У = 77-И; 2) у = 7|х|-2--^.
уіх + З
27.28/ Розв’яжіть рівняння:
1) л/з + т/2 + х = 4; 2) ^2 + 7з +7х = 3; 3) \/4-71О + 7х = 2.
27.29/ Розв’яжіть рівняння:
1) ^17 + \Пх~- 6=5; 2) 71 + л/2 + 7х = 1.
27.30/ Чи можна стверджувати, що при будь-якому значенні х
має зміст вираз:
1) >]х2 -4х + 4; 2) >/х2 -4х + 5?
27.31/ Доведіть, що не існує такого значення х, при якому має
зміст вираз 7-х2 + 6х -12.
27.32/ Який з даних виразів має зміст при будь-якому значен-
ні х:
1) 7х2 + 8х + 15;
2) т/х2-10х + 27?
27.33. * Розв’яжіть рівняння:
1) 4х = -х;
2) (л/х) = х;
3) 4х = -х2;
4) 4х + \Іх-1 = 0;
5) 4х -1 + -7-х - 3 = 0;
6) -7х2 - х + уіх -1 = 0;
7) уіх2 + 2х + \/х2 - 4 = 0;
27.34. ' Розв’яжіть рівняння:
1) 4х + 4-х - 0;
8) (х -1) -7х +1 = 0;
9) (х +1) л/х-1 = 0;
10) 7х + З 7х - 2 = 0;
11) (х2-4) 7х - 1 = 0;
12) (х-1) (7=х-1) = 0;
13) (х + 1) (-7—х—1) = 0.
6) (х - 2) 7х — З = 0;
2)-Тх=-|х|; 7) (х -1) (-Тх +1) = 0;
3) (7^)2 =|х|; 8) (х +1) (-Тх -1) = 0;
4) 4х + л/=х = 1; 9) (х2 -16) л/х-3 = 0;
5) Тх2 - 2х +1 + -7х2 — 1 = 0; 10) (х + 2) (л/=х -1) = 0.
27.35. ’ При яких значеннях а рівняння
1) має два корені;
2) має один корінь;
3) не має коренів?
27.36. ' Розв’яжіть нерівність:
1) 72х И > -2; 3) 72х +1.< -2;
2) 72х +1 < 0; 4) -Тх > —Тх;
27.37. ” Розв’яжіть нерівність:
1) -Тх —1 > -1; 2) Тх-1 < -1;
27.38. * Побудуйте графік функції:
1) у = 7-х2; 5) у = 4^х • 7=х;
2) у = -Т-х2 -4х -4 +2; 6) у = (-71 -х) +1;
3) у = Ш ; 7) у = Ш + (4-х) +2;
4) у = 4х-4-х', 8) у = (-ТЗ-х) + (-Тх-1) +х-1.
27.39. * Побудуйте графік функції:
1) у = \І2х -1- х2 -1; 2) у = (4х) +3-х;
х = а -і- і:
5) 4х > -4х;
6) -Тх < --Тх.
3) -Тх-1 < —-Тх -1.
3) у = (х/-х) +1; 5) у = х (у!х) ;
4) у = 4х • х/х; 6) у = (уіх + 2) -1.
27.40. " Знайдіть усі пари чисел (х; у), які задовольняють рів-
няння:
1) х/х-2 + у/у + 3 = 0; 4) х/х + 4 + у]у2-1 = 0;
2) х/2х-1 + у]у-2х + 3 = 0; 5) х/х2 - 25 + у]у2 -16 = 0.
3) у]4х + у-5 + у]х-2у + 6 = 0;
27.41. " Знайдіть усі пари чисел (х; у), які задовольняють рівняння:
1) х/х + 1 + уІу-3 = 0; 3) х/х2”- 4 + уіу + і = 0.
2) у]х-у + у]х + у-2 = 0;
27.42. " На координатній площині позначте всі точки з координа-
тами (х; у), для яких визначено вираз:
1) 4х + у/у; 2) х/х + уРу; 3) у/ху; 4) х/х2//.
27.43. " При яких значеннях а і Ь має зміст вираз:
1) у[аЬ;
2) уГ-аЬ;
3) УІаЬ2;
4) \Іа2Ь2;
5) хДЛ?
27.44. "" Розв’яжіть нерівність:
1) х/х (х + 1)>0; 4) х/х (х + 1) С 0;
2) х£ (х +1) > 0; 5) > 0;
у! х + 1
3) х/х (х +1) < 0; 6) . х > 0;
х/х + 1
27.45. "" Розв’яжіть нерівність:
1) х/х (х -1) > 0; 4) х/х (х -1) С 0;
2) х/х (х-1) > 0; 5) -.х — > 0;
у/х-1
3) х/х (х-1) < 0; 6) . х > 0;
х/х -1
27.46. ” Побудуйте графік функції у = х3
7) < 0;
х/х + 1
8) < 0.
х/х + 1
7) ~^= < 0;
х/х -1
8) < 0.
х/х-1
(7х2(х-1)) .
27.47.” Побудуйте графік функції у - (х/(х +1)2х) -х3-х2-х.
27.48. ” При яких значеннях параметра а не має коренів рівняння:
1) (х - а) (у/х і-1) = 0; 2) (х - а) (х/-х + 1) = 0?
При яких значеннях параметра а не має коренів рівняння:
1) х~а =0; 2)7===~0?
\ІХ - 1 УІХ -1
27.50. “ При яких значеннях параметра а рівняння
(х - а) (-Ух - 2) - 0
має два різних корені?
27.51. “ При яких значеннях параметра а має єдиний розв’язок
рівняння:
1) (х + а) (7х-3) = 0; 3) (1 ->/х - а = 0?
2) (л/х-а) = 0;
- ’ При яких значеннях параметра а рівняння (Ух - 4) (х - а) = 0
має тільки один корінь?
27.53." Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1) а Ух —1 =0; 4) Ух - 2 = а;
2) 7(а -1) х = 0; 5)(х-1)>/ а = 0;
3) а Ух -1 = а; 6) (2 - а) >]х - 2 = 0.
Чи ростуть у городі радикали?
У Стародавній Греції дію добування кореня ототожнювали з по-
шуком сторони квадрата за його площею, а сам квадратний корінь
називали «стороною».
У Стародавній Індії слово «мула» означало «початок», «осно-
ва», «корінь дерева». Це слово почали застосовувати і до сторони
квадрата, виходячи, можливо, з такої асоціації: із сторони квад-
Рене Декорт
(1596—1650)
рата, як з кореня, виростає сам квадрат.
Можливо, тому в латинській мові поняття
«сторона» і «корінь» виражаються одним і тим
самим словом — гасііх. Від цього слова похо-
дить термін «радикал».
Слово гасііх можна також перекласти як
«редис», тобто коренеплід — рослина, їстів-
ною частиною якої є корінь.
У ХІП-ХУ ст. європейські математики,
скорочуючи слово гасііх, позначали квадрат-
ний корінь знаками В, В, В2. Наприклад,
запис -У7 мав такий вигляд: В21.
У XVI ст. стали використовувати знак V. Походження цього
символу, мабуть, пов’ нзано з рукописною латинською буквою г.
У XVII ст. видатний французький математик Рене Декарт,
поєднавши знак V з горизонтальною рискою, отримав символ уГ,
який ми і використовуємо сьогодні.
28.
Множина дійсних чисел
Розглянемо множину <Ц< раціональних чисел.
Кожне раціональне число можна подати у вигляді відношення
ГП
—, де т — ціле число,
п
—З = ——; 0,2 = і; 0 = -;
1 5 7
а п — натуральне. Наприклад, 5 =
5,3 = —
10
5.
1’
З можливістю такого подання пов’язана назва «раціональне
число»: одним із значень латинського слова гаііо є «відношення».
У 6 класі ви дізналися, що кожне раціональне число можна
подати у вигляді скінченного десяткового дробу або у вигляді
нескінченного періодичного десяткового дробу. Для дробу —
п
подання можна отримати, виконавши ділення числа т на число п
«куточком».
Наприклад, ^ = 0,625; ^- = 0,454545.
5
Число — записано у вигляді скінченного десяткового дробу,
а число —- — у вигляді нескінченного періодичного десятково о
дробу. У запису 0,454545... цифри 4 і 5 періодично повторюють-
ся. Групу цифр, яка повторюється, називають періодом дрої
при запису період беруть у круглі дужки. У даному випадку дріб
5 5
— = 0,454545... записують у вигляді — = 0,(45).
Зауважимо, що будь-який скінченний десятковий дріб і будь-
яке ціле число можна подати у вигляді нескінченного періодич-
ного десяткового дробу. Наприклад,
0.625 = 0,6250000... = 0,625(0);
2 = 2,000... = 2,(0).
Отже, кожне раціональне число можна подати у вигляді
нескінченного періодичного десяткового дробу.
Справедливим є також твердження: кожний нескінченний
періодичний десятковий дріб є записом деякого раціонального
числа. У 9 класі ви навчитеся записувати нескінченний періо-
дичний десятковий дріб у вигляді звичайного дробу.
Сума і добуток двох натуральних чисел є натуральними чис-
лами. Проте різниця таку властивість має не завжди. Наприклад,
(5 - 7) й N.
Сума, різниця, добуток двох цілих чисел є цілими числами.
Однак частка таку властивість не має. Наприклад,
Сума, різниця, добуток і частка (крім ділення на нуль) двох
раціональних чисел є раціональними числами.
Отже, дія віднімання натуральних чисел може вивести резуль-
тат за межі множини N. дія ділення цілих чисел — за межі
множини 2, проте виконання будь-якої з чотирьох ар. рметичних
дій з раціональними числами не виводить результат за межі
множини (Ц).
Ви познайомилися з новою дією — добуванням квадратного
кореня. Виникає природне запитання: чи завжди квадратний
корінь з невід’ємного раціонального числа є раціональним числом?
Розглянемо рівняння х2 = 2. Оскільки 2 > 0, то рівняння має
два корені: і -д/2 (рис. 28.1).
Припустимо, що число у/2 — раціональне. Тоді його можна
подати у вигляді нескоротного дробу —, де т і п — натуральні
числа. Маємо:
п і \2 о
Тоді (л/2) =(—) ; 2 = ^-; т2 = 2п2.
\п/ п
З останньої рівності випливає, що число т2 — парне. А це
означає, що парним є і число т.
Тоді т = 2/г, де к — деяке натураль-
не число. Маємо:
(2к)2 = 2п2; 4к2 = 2п2; п2 = 2к2.
Звідси випливає, що число п2,
а отже, й число п — парні.
Таким чином, чисельник і зна-
к т
менник дробу — — парні числа,
п
тобто цей дріб є скоротним. Отрима-
ли суперечність.
Таким чином, не існує раціонального числа, квадрат якого
дорівнює 2, тобто числа 42 і — 42 не є раціональними. їх нази-
вають ірраціональними (приставка «ір» означає заперечення).
Ми показали, що дія добування кореня з раціонального числа
може вивести результат за межі множини (Ц).
Жодне ірраціональне число не можна подати у вигляді дробу
—, де т є 2, п е М, а отже, і у вигляді нескінченного періодич-
ні
ного десяткового дробу.
Ірраціональні числа можуть бути подані у вигляді нескінчен-
них неперіодичних десяткових дробів.
Наприклад, за допомогою спеціальної комп’ютерної програми
можна встановити, що
42 =1,4142135623730950488016887242097... .
Числа 42 і -42 — це не перші ірраціональні числа, з якими
ви зустрічаєтесь. Число я, яке дорівнює відношенню довжини
кола до його діаметра, є ірраціональним:
я = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937....
Ірраціональні числа виникають не тільки в результаті добу-
вання квадратних коренів. їх можна конструювати, будуючи
нескінченні неперіодичні десяткові дроби.
Наприклад, число 0,10100100010000100000... (після коми
записують послідовно степені числа 10) є ірраціональним. Справ-
ді, якщо припустити, що цей десятковий дріб має період, який
складається з п цифр, то з деякого місця він повністю складати-
меться з нулів, тобто починаючи з цього місця в запису не по-
винно бути жодної одиниці, що суперечить конструкції числа.
Об’єднання множин ірраціональних і раціональних чисел на-
зивають множиною дійсних чисел. Її позначають буквою К (пер-
ша буква латинського слова геаііз — реальний, такий, що існує
в дійсності).
Тепер «ланцюжок» N с 2 с <Ц) можна продовжити:
N с 2 с <5 с В.
У старших класах ви дізнаєтесь, що цей ланцюжок також має
продовження.
Зв’язок між числовими множинами, які розглянуто в цьому
пункті, ілюструє схема, зображена на рисунку 28.2.
Довжину будь-якого відрізка можна виразити дійсним числом.
Цей факт дозволяє встановити взаємно однозначну відповідність
між множиною К і множиною точок координатної прямої. Точ-
ці О, початку відліку, поставимо у відповідність число 0. Кожній
точці А координатної прямої, відмінної від точки О, поставимо
у відповідність єдине число, яке дорівнює довжині відрізка ОА,
якщо точка А розміщена праворуч від точки О, і число, проти-
лежне довжині відрізка ОА, якщо точка А розміщена ліворуч від
точки О. Також зрозуміло, що кожне дійсне число є відповідним
єдиній точці координатної прямої.
Над дійсними числами можна виконувати чотири арифметич-
ні дії (крім ділення на нуль), у результаті отримуватимемо дійс-
не число. Ці дії мають звичні для вас властивості:
а + Ь = Ь + а переставна властивість додавання
аЬ — Ьа переставна властивість множення
і (а + Ь) + с = а + (Ь + с) сполучна властивість додавання
(аЬ) с = а (Ьс) сполучна властивість множення
а (Ь + с) = аЬ + ас розподільна властивість множення
Дійсні числа можна порівнювати, використовуючи правила
порівнювання десяткових дробів, тобто порівнюючи цифри у від-
повідних розрядах. Наприклад, 7,853126... < 7,853211... .
Будь-яке додатне дійсне число більше за нуль і за будь-яке від’-
ємне дійсне число. Будь-яке від’ємне дійсне число менше від нуля.
Якщо позначити на координатній прямій два дійсних числа,
то менше з них буде розміщено ліворуч від більшого.
Знаходячи довжину кола і площу круга, ви користувалися
наближеним значенням числа я (я = 3,14). Аналогічно при роз-
в’язуванні практичних задач, де необхідно виконати дії з дійсни-
ми числами, ці числа заміняють їх наближеними значеннями.
Наприклад, \/2~1,41.
Наприкінці підкреслимо, що з будь-якого невід’ємного дійс-
ного числа можна добути квадратний корінь і в результаті цієї
дії отримати дійсне число, тобто дія добування квадратного ко-
еня з невід’ємного дійсного числа не виводить результат за межі
множини Р..
• 1. Які числа утворюють множину раціональних чисел?
2. У вигляді якого відношення можна подати кожне раціональ-
не число?
3. Як пов’язані між собою раціональні числа і нескінченні
періодичні десяткові дроби?
4. Як називають числа, які не є раціональними?
5. Об’єднання яких множин утворює множину дійсних чисел?
6. Якою буквою позначають множину дійсних чисел?
7. Як взаємозв’язані множини К, 2, (0 і К?
28.1.° Чи є правильним твердження:
1) 1 є ІЧ; 5) 0 є Н; 9) -2,3 є К; 13) х/9є <0;
2) 1 є 2; 6) 0 £ 2; 10) -|є($; 14) >/9є 2;
0 1 є 7)0 є <; 11) -|й К; 15) л/9є К;
4) 1 є К; 8) -2,3 є ТО; 12) у/7 Є В; 16) -є К? 3
28.2. ° Чи є правильним твердження:
1) будь-яке натуральне число є цілим;
2) будь-яке натуральне число є раціональним;
3) будь-яке натуральне число є дійсним;
4) будь-яке । аціональне число є цілим;
5) будь-яке дійсне число є раціональним;
6) будь-яке раціональне число є дійсним;
7) будь-яке ірраціональне число є дійсним;
8) будь-яке дійсне число є раціональним або ірраціональним?
28.3. ° Які з даних нескінченних дробів є записами раціональних
чисел, а які — ірраціональних:
1) 0,(3);
2) 0,4(32);
3) 5,25255255525... (кількість п’ятірок між сусідніми двійка-
ми послідовно збільшується на 1)?
28.4. ° Порівняйте:
1) 6,542... і 6,452...; 2) -24,064... і -24,165... .
28.5. ” Порівняйте:
1) 0,234... і 0,225...; 2) -1,333... і -1,345... .
28.6. ° Укажіть яке-небудь значення а, при якому рівняння х2 = а:
1) має два раціональних корені;
2) має два ірраціональних корені.
28.7. ” Порівняйте числа:
1) і 6,12; 4) -2,(36) і -2,36;
2) 3,(24) і 3,24; 5) 7,(18) і 7,(17).
3) я і 3,(14);
28.8. ” Порівняйте числа:
1) | і 0,2: 2) £ і 0.77; 3) -1,(645) і -1,(643).
6 9
28.9. ” Запишіть у порядку спадання числа 3,(16); я; -1,82...;
-0,08...; 2,(136).
28.10. ” Запишіть у порядку зростання числа 1,57; 1,571...;
1,(56); 1,(572).
28.11. ’ Доведіть, що сума, різниця, добуток і частка двох раціо-
нальних чисел є раціональними числами.
28.12. ’ Доведіть, що сума раціонального та ірраціонального чисел
є число ірраціональне.
28.13. ’ Чи правильно, що:
і) сума будь-яких двох ірраціональних чисел є число ірраціо-
нальне;
2) добуток будь-яких двох ірраціональних чисел є число ірра-
ціональне;
3) добуток будь-якого ірраціонального числа і будь-якого ра-
ціонального числа є число ірраціональне?
28.14. ’ Відомо, що сума і добуток двох чисел — раціональні чис-
ла. Чи обов’язково задані числа є раціональними?
28.15. ’ Знайдіть усі раціональні числа а і Ь такі, що число а + Ь >/2
є раціональним.
28.16. ’ Знайдіть такі цілі числа а і Ь, що:
1) (З-л/2)2 =а + Ь&-, 2) (у/3-2У = а-Ь^З.
28.17. ’’ Доведіть, що число 7з є ірраціональним.
28.18. ’’ Доведіть ірраціональність числа 0,12345... (виписано
поспіль усі натуральні числа).
28.19. ’’ Чи можна подати число л/2 +1 у вигляді арифметичного
квадратного кореня з якогось раціонального числа?
28.20. ’" Пара чисел (-72-1, --72) є розв’язком рівняння ах + Ьу +
+ с = 0, де а, Ь, с — раціональні числа. Доведіть, що а = Ь = с.
28.21. '" Число 1 + -72 є коренем рівняння х2 + рх + а = 0, де р
ід — раціональні числа. Знайдіть р і д.
28.22. "" Число -72 -1 є коренем рівняння х2 + рх + д = 0, де р
ід — раціональні числа. Доведіть, що число —72 -1 також
є коренем цього рівняння.
28.23. * Числа а, Ь і 4а + 4ь — раціональні. Доведіть, що 4а
і 4ь — раціональні числа.
28.24. * Доведіть, що між будь-якими двома раціональними чис-
лами знайдуться як раціональне число, так і ірраціональне
число.
28.25. * Чи існує таке число х, що значення виразів х + 42 і х3 + 42 —
раціональні числа?
28.26. Чи існує таке число х, що значення виразів:
1) х + 43 і — ~43; 2) х + 4зі- + 4з
X X
є цілими числами?
28.27. * Площину покрито нескінченною квадратною сіткою. Чи
можна через будь-який вузол провести пряму, яка не проходить
більше через жодний інший вузол сітки?
Коли таємне стає явним
Графічне розв’язання рівняння х2 = 2 (рис. 28.1) показує, що
існують відрізки (у нашому випадку це відрізки ОА і ОВ), дов-
жини яких не виражаються раціональними
числами, тобто для вимірювання відрізків
раціональних чисел недостатньо.
Цей факт було відкрито в школі великого
давньогрецького вченого Піфагора.
Спочатку піфагорійці вважали, що для
будь-яких відрізків АВ і С£> завжди можна
знайти такий відрізок !№, який у кожному
з них вкладається ціле число разів. Звідси
випливало, що відношення довжин будь-яких
двох відрізків виражається відношенням на-
туральних чисел, тобто раціональним чис-
лом.
Піфагор
(бл. 570 —
бл. 500 р. до н. е.)
.А—--------— — В Наприклад, на рисунку 28.3 АВ = 5М1Ч,
дп ’у
С В СБ = 2Л4А і . Відрізок ЛІ А назива-
ла •—• N ють спільною мірою відрізків АВ і СЛ.
Рис 28 3 Якщо для деяких відрізків існує спільна
міра, то їх називають спільномірними.
Наприклад, відрізки АВ і СБ (рис. 28.3) є спільномірними.
Отже, давньогрецькі вчені вважали, що будь-які два відрізки
є спільномірними. А це надавало змогу подати довжину будь-
якого відрізка у вигляді раціонального числа.
Справді, нехай деякий відрізок АВ обрано за одиничний. Тоді
для відрізка АВ і будь-якого іншого відрізка СВ існує відрізок
завдовжки е, який є їх спільною мірою. Отримуємо АВ = пе,
. о . СО те т
СБ = те, де т і п — деякі натуральні числа. Звідси -= — = —.
АВ пе п
Оскільки АВ = 1, то СБ = —.
п
Проте самі ж піфагорійці зробили видатне відкриття. Вони
довели, що діагональ і сторона квадрата неспільномірні, тобто
якщо сторону квадрата взяти за одиницю, то довжину діагоналі
квадрата виразити раціональним числом не можна.
Для доведення розглянемо довільний
квадрат АВСБ і візьмемо його сторону за
одиницю довжини. Тоді його площа дорів-
нює АВ2 = 1. На діагоналі АС побудуємо
квадрат АСЕР (рис. 28.4). Зрозуміло, що
площа квадрата АСЕР у 2 рази більша за
площу квадрата АВСБ. Звідси АС2 = 2,
тобто АС = уі2. Отже, довжина діагоналі
АС не виражається раціональним числом.
Рис. 28.4 Це відкриття змінило один з фундамен-
тальних постулатів давньогрецьких учених,
який полягав у тому, що відношення будь-яких двох величин
виражається відношенням цілих чисел.
Існує легенда про те, що піфагорійці тримали відкриття ірра-
ціональних чисел у найсуворішій таємниці, а людину, яка роз-
голосила цей факт, покарали боги: вона загинула під час кора-
бельної катастрофи.
Про зліченність числових множин
Ви знаєте, що множини N. 2 і 0 — зліченні.
Виникає природне запитання: «Чи всі числові множини є злі-
ченними?»
Про зліченність числових множин
Покажемо, що, наприклад, множина чисел проміжку (0; 1)
є незліченною.
Нехай ця множина є зліченною. Тоді всі числа з цього про-
міжку можна пронумерувати:
а,, а„, ..., а, ... .
12 л
Кожне з цих чисел можна записати у вигляді нескінченного
десяткового дробу (якщо десятковий дріб є скінченним, то вва-
жатимемо, що з певної о місця всі цифри десяткового зап ису
дорівнюють нулю) такого вигляду:
0,а1а2а3...а>,
де ар а2, а3, ..., ап — будь-які цифри від 0 до 9.
Деякі з цих чисел можуть мати два записи. Наприклад, дробам
0,7000... і 0,6999... відповідає одне й те саме дійсне число. (Цей,
на перший погляд, несподіваний факт буде доведено в старших
класах.) Для уникнення невизначеності не будемо тут розгляда-
ти періодичні десяткові дроби з періодом 9.
Запишемо всі числа а , а2, ..., ап, ... у стовпчик. Наприклад,
запис може мати такий вигляд:
а1 = 0, 7 2 5 3 9 1 8
а2 = 0, 1 1 7 7 0 0 0
аз = 0, 9 8 4 5 3 1 7
Я, = 0, 8 5 3 9 5 8 4
У цій таблиці виділено цифри, які стоять на діагоналі. Скон-
струюємо новий десятковий нескінченний дріб (число а) за таким
правилом: якщо у числа ап на «діагональному місці» (на п-му
місці після коми) стоїть цифра 1, то у числа а на цьому місці
поставимо цифру 2; у решті випадків у числа а на п-му місці
поставимо цифру 1. Так, для нашого прикладу отримуємо:
а = 0,1211... .
Оскільки у числа а на п-му місці стоїть цифра, відмінна від
п-ї цифри числа ап, то число а не міститься серед записаних чи-
сел. Проте а є (0; 1). Отримали суперечність. Отже, множина
точок проміжку (0; 1) є незліченною.
Це доведення багато в чому аналогічне доведенню незліченності
множини послідовностей, розглянутому в пункті 7. Застосований
метод називають діагональним методом Кантора.
29
Властивості арифметичного квадратного кореня
Легко перевірити, що >/б2 = 5, >/1,42 = 1,4, \0г = 0. Може
здатися, що взагалі 4а2 = а. Проте це не так. Наприклад, рів-
ність у](-5)2 = -5 є неправильною, оскільки —5 < 0. Насправді,
7(-5)2 = >/25 = 5. Також можна переконатися, що, наприклад,
7(-7)2 = 7, >/(-2,8)2 = 2,8.
Узагалі, є справедливою така теорема.
Теорема 29.1. Для будь-якого дійсного числа а виконується
рівність
^аг = | а |.
Доведення. Для того щоб довести рівність 4а = Ь, треба пока-
зати, що Ь > 0 і Ь2 = а.
Маємо: | а | > 0 при будь-якому а.
З означення модуля також випливає, що (| а |)2 = а2.
Наступна теорема узагальнює доведений факт.
Теорема 29.2 (арифметичний квадратний корінь
із степеня). Для будь-яких дійсного числа а і натурального
числа п виконується рівність
4а>" = |а"|.
Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми 29.1.
Проведіть це доведення самостійно.
Теорема 29.3 (арифметичний квадратний корінь
з добутку). Для будь-яких дійсних чисел а і Ь таких, що
а 0 і Ь 0, виконується рівність
4аЬ = 4а • 4Ї>.
Доведення. Маємо: 4а > 0 і 4ь > 0. Тоді 4а • 4ь > 0. Крім
того, (4а • 4ь) = (4а) • (4ь) = аЬ. Отже, вираз 4а • 4ь набуває
тільки невід’ємних значень і його квадрат дорівнює аЬ.
Зазначимо, що цю теорему можна узагальнити для добутку
будь-якої кількості множників. Наприклад, якщо а > 0, & > 0
і с > 0, то
4аЬс = 7(а&) с = 4аЬ • 4с = 4а • 4ь • 4с.
Зауважимо, що коли а С 0 і Ь < 0,.то теорема про корінь з до-
бутку виражається такою рівністю:
4аЬ = 4-а • 4-Ь.
Теорема 29.4 (арифметичний квадратний корінь
з дробу). Для будь-яких дійсних чисел а і Ь таких, що а > 0
і Ь > 0 , виконується рівність
Доведення цієї теореми аналогічне доведенню теореми 29.3.
Зауважимо, що коли а < 0 і & < 0, то теорема про корінь з дро-
бу виражається такою рівністю:
Зрозуміло, що з двох квадратів, площі
яких 81 і 82 (рис. 29.1), більшу сторону має
той, у якого площа більша, тобто якщо
51 > 82, то у[8^ > у[8^- Це очевидне міркуван-
ня підтверджує така теорема.
Теорема 29.5. Якщо а > Ь > 0, то 4а > 4ь.
Доведення. Припустимо, що нерівність, яка доводиться,
є неправильною, тобто 4а < 4ь. Оскільки 4а >0 і 4д > 0, то,
використовуючи властивості числових нерівностей, отримуємо,
що {4а} < {4Ї)} , тобто а < Ь, що суперечить умові. а
Теорема 29.6. Якщо 4а > 41), то а > Ь.
Доведення. Оскільки 4а > 0 і 4ь > 0, то, використовуючи
властивості числових нерівностей, отримуємо, що ш2>ш2,
тобто а > Ь. А
ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу:
1) >/(-7,3)2; 2) Тй7; 3) 7°,81 • 225; 4)
^6
\49'
Розв’язання
1) 7(-Т>3)2 = І - 7,3 І = 7,3.
2) /її7 = 1,22 = 1,44.
3) 7о,81 • 225 = 7о,81 • 7225 = 0,9 • 15 = 13,5.
.. [16 716 4
4) \'м=7й = 7'
/— Г~ <24
ПРИКЛАД 2 Знайдіть значення виразг: 1) <18 • <2; 2) -,—
7150
Розв’язання
1) Замінивши добуток коренів коренем з добутку, дістанемо:
718 • 72 = 718-2 = Тзб = 6.
2) Замінивши частку коренів коренем з частки (дробу), матимемо:
^24 24 = /Т = 2
ІБо N150 N25 5'
ПРИКЛАД 3 Порівняйте числа: 1) 6 і 731; 2) 3 77 і 765.
Розв’язання
1) Оскільки 6 = 736 і 36 > 31, то Тзб > Тзї, тобто 6 > Тзї.
2) Маємо (ЗТЇ)2 = 63, 63 < 65, тоді ТбЗ < Тб5. Отже,
З 77 < 765.
ПРИКЛАД 4 Спростіть вираз: 1) л/а14; 2) УІ9ав, якщо а < 0;
3) 7иі2п2, якщо т > 0, п < 0; 4) 7а36; 5) -/у2 + 4у + 4, якщо
у < -2; 6) 7(х-3)в.
Розв’язання
1) За теоремою про корінь зі степеня маємо:
а7, якщо а > 0,
-а7, якщо а < 0.
2) Маємо 79а® = 3-|а3 4 5 * |. Оскільки за умовою а С 0, то а3 < 0.
Тоді
= 3 • | а3 | == -За3.
9а®
3) 7/п2п2 = | т | • | п | = т • (-п) = -тп.
4) 7а3® = | а18 |. Оскільки а18 > 0, то х а3® = | а18 | = а18.
5) ^у2 + 4у + 4 = у](у + 2)2 = | у + 21. Оскільки у < -2, то у + 2 < 0
і | у + 2 | = -у - 2.
6) уІ(х - З)6 = | х - 313 =
(х - З)3, якщо х > З,
(З - х)3, якщо х < З-
ПРИКЛАД 5 Побудуйте графік функції у =
Розв'язання. Маємо
Отже, областю
кх + 1)2 І(х-1)г
X________у X
'(х + 1)2 + |(х-1)2
х \х
визначення даної функції є множина О (у) = (0; +-<*>). Звідси
ПРИКЛАД 6 Скоротіть дріб .
уіаЬ
Розв’язання. З умови задачі випливає, що числа а і Ь однако-
вого знака. Розглянемо два випадки.
Перший випадок: а > 0 і Ь > 0. Маємо:
уаЬ + Ь _ у/а • у/ь + у/ь • у/і _ у/ь (Уа + у/і) _ у/а + у/і
у/аЬ у/а-у/д у/а • у/і у/а
Другий випадок: а < 0 і Ь < 0. Маємо:
у/аЬ + Ь _ >/-а • у/-Ь + у/-Ь • у/-Ь _ у/-Ь (У-а + У-д) _ У-а + У-Ь
у/аЬ у/-а • у/-Ь у/-а • у/-Ь у/-а
1. Якому виразу тотожно дорівнює вираз уіа2 ?
2. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь
зі степеня.
3. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь
з добутку.
4. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь
з дробу.
5. Відомо, що невід’ємні числа а, і а2 такі, що а1 > а2. Порів-
няйте значення виразів 7*4 і
29.1.° Чому дорівнює значення виразу:
1) >/0.42;
3) 7б4;
5) б7(-10)4;
2) 7(-1>8)2; 4) 6) -4 Т(~1)14 ?
9.2. Знайдіть значення виразу:
1) 2) 29.3.° а2, якщо а = 4,6; -18,6; 3) 0,17с6, якщо с уіЬ*, якщо Ь = —3; 1,2; Обчисліть значення виразу: = —2; 5.
1) 716-2500; 4) 772-28; 7) АІ ^2И; 16 25
2) 7400-1,44; 5) 70,01-0,81-2500; 8) | 169 36-81’
(121-256 25•100 '
3) 29.4. 70,09-0,04; 6) 7-^; Чому дорівнює значення виразу: 9) у)
1) 716-0,25; 3) 7б2 - З6; 5) д
2) 29.5.° 1) 70,36-1,21; 4) 72,25-0,04-1600; Знайдіть значення виразу: 712-73; 4) 7200-70,18; 7) 6) І- 00] • 1—1 - 1 8 і* •о
2) 718-750; 5) 713 • 72 • 726; 8) 723-3 -72й-з3.
3) 70,009-71000;
29.6. Знайдіть значення виразу:
1) 777-73; 2) 718-72; 3) - 4) - УЇО-7Ї2Д; Дб-ТбО; 5) Д-7^8;
6) 7б • 23 • 7б3 • 23.
29.7.° Знайдіть значення частки:
і) 3) - Уз, 2. 5) 7б • 7з.
7з Уо,2 Ті
2) -Д-; 4) - Тт2 . 6) Ті
748 750 Тз-Тїїї
29.8.° Знайдіть значення виразу:
і) 2) 3) -^1; 4) ДД
7з 7о,7 7242 7з
29.9.° Порівняйте числа:
3) , 5) з77 і 2 73;
2) 5 і 726; 4)- -7 і -748; 6) 7ЇЇ і 2 710.
.9.10. Порівняйте числа:
1) ТЗЗ і 6; 3) Тзо і 2> /7;
2)За/5 і ТЇ2;
4>7Л 4^
29.11. ° Запишіть у порядку спадання числа 8; Тб2; 7,9; Тб5; 8,2.
29.12. Запишіть у порядку зростання числа 7§8; 6,1; 6; Т35;
5,9.
29.13. ° Між якими двома послідовними цілими числами знахо-
диться на координатній прямій число:
1) 72; 3) 7б; 5) 713; 7) -710;
2) 73; 4) 77; 6) 70,98; 8) -ТЇЇ5?
29.14. ' Між якими двома послідовними цілими числами знахо-
диться на координатній прямій число:
1) 7б; 2) у/Ї9-, 3) 729; 4) -730,5?
29.15. ° Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній
прямій між числами:
1) 3 і Тб8; 2) 77 і 777; 3) -Тзї і -2,3; 4) -742 і 2,8.
16. Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній
прямій між числами:
1) 7з і 713; 2) 4Ї0 і 790; 3) -7145 і -7Ї7.
29.17. ° При яких значеннях а виконується рівність:
1) у/а? = а; 2) =-а 7
29.18. * При яких значеннях змінних виконується рівність:
1) у/аЬ = у/а • у/Ь; 2) у/аЬ = у/-а • у/-Ь; 3) у/-аЬ = у/а -\/-Ь?
29.19.° Знайдіть значення виразу, подавши попередньо підкоре-
невий вираз у вигляді добутку квадратів раціональних чисел:
1) 718-32; 4) 775 • 48; 7) 72,7-1,2;
2) 78-98; 5) 7288 • 50; 8) 780 • 45;
3) 73,6-14,4; 6) 74,5-72; 9) 733-297.
29.20.' Знайдіть значення виразу:
1) 718-200; 3) 714,4-0,9; 5) 712,5-32;
2) 73,6-0,4; 4) 713-52; 6) 7108•27.
29.21.° Знайдіть значення виразу:
1) 7412-402; 2) 721,82 -18,22 ; 3) 1 1392-862
V 98,52 - 45,52'
29.22.' Знайдіть значення виразу:
1) 7б,82 -3,2е; 2) 798,52 - 97,52 ; 3) 1 98 V 2282 - 1642‘
29.23.* Замініть вираз тотожно рівним, який не містить знака
кореня:
1) Т^; 2) -0,4 Тс2; 3) Та®; 4) ТаЛ
9.24.' Замініть вираз тотожно рівним, який не містить знака
кореня:
1) 1,2 Тх2; 2) 7Ї7; 29.25.' Спростіть вираз: з) Т^°.
1) \/(1-Т2)2; 3) 7(2 75 -З)2;
2) \/(Тб-Т7)2; 29.26.* Спростіть вираз: 4) а/(^-2)!+7(3-^з)!.
1) 7(Тб -4)2; 3) 7(78 - з)2 - 7(Т2 -з)2;
2) 7(Т10 Тії)2; 4) 7(2-Тбі2-7(Тб-і)2.
29.27.' Розв’яжіть рівняння у!х6 = -х.
29.28. " Спростіть вираз:
1) у/т2, якщо т > 0;
2) л/тї2, якщо п < 0;
3) у]16р2, якщо р > 0;
4) 70,36Л2, якщо к < 0;
5)
7) >/8Їх4у2, якщо у 0;
8) л/о,О1а6іі10, якщо а < 0, Ь > 0;
9) -1,2х л/б4х18, якщо х С 0;
./„121 22 36
і V а м с і .
Ю) —4.8 10 > якщо Ь < 0;
а о с
11Ч 3,3а4 Ь2І п
11) -Чг .------якщо а < 0;
Ь3 N 121а26
6) у]о,25ЬІІ, якщо Ь < 0; 12) -0,5тп5 д/1,96т6ті8, якщо т < 0.
29.29. " Спростіть вираз:
1) >/9а10; 4) -0,1 л/іООа10, якщо з > 0;
2) 7о,81с?6, якщо <2 > 0; 5) у]ред8, якщо р > 0;
3) -5 >І4х2, якщо х < 0; 6) л/257г'347і88, якщо т < 0, п < 0;
7) аЬ2 >Іа4Ь16с22, якщо Ь > 0, с < 0;
д. 8т3р4 /б25Л30р40 . „ . „
8) 5і—Л------------, якщо т < 0, к > 0.
к2 N 144т6
29.30. " Спростіть вираз:
1) уІ(а-4)2;
2) >/(Ь-15)2, якщо Ь > 15;
3) уІ(с +1)2, якщо с —1;
4) (10-т) /—400 якщо ти > 12;
\(т-12)2
кч ті2 - бті + 9 (п + З)4
ті + 3 \ (п - З)2 ’
якщо ті > 3;
6)
Р2-1
(р + 2)2
р2 + 4р + 4
(Р + 1)2
якщо р < -2.
29.31. " Спростіть вираз:
1) № -Ь)\ якщо Ь а;
2) у!с2 + 6с + 9, якщо с -3;
3)
т2 - 10т + 25
29.32/ При яких значеннях а виконується рівність:
1) а Іа2 = а; 7) + З)6 = (а + З)3;
2) А [а* - а2; 8) 7(1 -а)4 = (а-1)2;
3) А /7 = а3: 9) \1а - 3 • 7а - 3 = а - 3;
4) А /7 = а4; 10) 7а (а -1) = 7а • 7а -1;
5) А Іа6 = -а3; 11) 7« (а -1) = 7-а -71-а;
6) 7(« - 2)2 = 2 - а; 12) ^гд~1 = ./^1 ? 42 - а V 2-а
29.33/ При яких значеннях а виконується рівність:
1) А /7° =а5; 6) 7(1 - а)10 = (1-а)5;
2) А [а" = -а6-, 7) 7а4 + 2а2 +1 = а2 +1;
3) А [а2 =(у/а)\ 8) 7(а - 2) (а - 3) = 72 - а 73 - а;
4) а/7 = (а/-я) ; 5) у/(а +1)2 = -а -1; 9) 7а (а +1) = 7а • 7а +1 ?
29.34/ Побудуйте графік функції:
1) у = 77 - х, якщо х < 0 ; 3) У = ~^= + 3; 77
2) у = 2х + а/7; 29.35/ Побудуйте графік функції: 4) У = 7(* + З)2 + х.
1) у = а/7 + х, якщо х > 0 ; 3) у = у](х- 2)2 - х;
2) у = 7(х-3)2; 29.36/ Розв’яжіть рівняння: 1) а/7 = х-4; 4) 3) у - 4х + 4)2 - х - 4. 2 77 = х + 3;
2) 77 = 6 - х; 29.37/ Розв’яжіть рівняння: 4) 7х2 - 4х + 4 = 2х - 5.
1) 77 = 6х -10; 3) 74х2 - 4х +1 = х +1;
2) 77 = х + 8; 29.38/ Розв’яжіть нерівність: 4) 79 - 6х + х2 = 2х -1.
1) 7х2 + 6х + 9 <2; 2) 7х2-2х + 1 > 3.
Розв’яжіть нерівність:
1) уі9х2 + 6х +1 < 1;
2) 7х2 - Юх + 25 > 4.
29.40. ” Зобразіть на координатній площині множину точок (х; у),
координати яких задовольняють рівняння:
1) у[ху = 7х • у/у; 3) у/ху = >Цх • у/у;
2) 4ху = • уРу;
4) у/ху = 4х • у^у.
29.41. " Скоротіть дріб:
1) а + ^ , а * 0; 2) Ь
Ь + \аЬ
-Ь
3) а + Ь+ 2 у/аЬ
-Ь
29.42. " Спростіть вираз:
1) \Іа2 -2а + І + уІ4а2 - 12а + 9, якщо а <
2) >/52 + 95 + 17 - 752 + 25 +1, якщо Ь —1;
3) >/52 + 45 + 7954+652 + 1.
Спростіть вираз:
1) \Іа2 - 11а + 26 + 71 - 2а + а2, якщо а > 1;
2) уі7Ь2 + 65 і- 745“ + 452 +1.
ЗО.
Тотожні перетворення виразів,
які містять квадратні корені
Користуючись теоремою про корінь з добутку, перетворимо
вираз 748:
748 = 7іб-з = 7Ї6 - 7з = 4 7з.
Отже, вираз 748 ми подали у вигляді добутку раціонального
числа 4 та ірраціонального числа 7з. Таке перетворення назива-
ють винесенням множника з-під знака кореня. У даному випад-
ку було винесено з-під кореня множник 4.
Розглянемо виконане перетворення у зворотному порядку:
4 73 = 7Ї6 • 73 = 716-3 = 748.
Таке перетворення називають внесенням множника під знак
кореня.
ПРИКЛАД 1 Винесіть множник з-під знака кореня:
1) 772а8; 2) Ть88; 3) уі-Ь33; 4) у/а2Ь3, якщо а < 0; 5) у/а^Ь.
Розв’язання
1) 772а8 = 7зба8 • 2 = 6а4 72.
2) 3 умови випливає, що Ь > 0. Тоді
у/ь33 = у!ь™ь = \ь17\4ь = ь17у!ь.
3) 3 умови випливає, що Ь < 0. Тоді
уГь33 = 7ь34-Н0 = І ь171 = -ь17уГь.
4) 3 умови випливає, що Ь > 0. Тоді
у/а2Ь3 = у/агЬ2Ь = | а | • | Ь | у/ь = -аЬ у/ь.
5) Зауважимо, що коли а = 0, то значення даного виразу дорівнює
0. Якщо а Ф 0, то з умови випливає, що & > 0. Маємо:
у/а6Ь = а3 у/ь при а > 0;
у/авЬ = -а3у[ь при а < 0.
ПРИКЛАД 2
1) -277;
Внесіть множник під знак кореня:
2) а 77;
3) ЗС Д;
4) с
Розв’язання
1) -2 77 = -7Ї 77 = -728.
2) Якщо а > 0, то а 77 = у/а2-у/7 = уІ7а2; якщо а < 0, то
а 77 = -Та1 • 77 = -УІТа2.
3) 3 умови випливає, що Ь < 0. Тоді
ЗЬ Д = -ТІЙ7 • Д = -ДД) =
V о V о V \ «5 /
4) 3 умови випливає, що с > 0. Тоді с у/с7 = уіс2 • у/с7 = у/с9
ПРИКЛАД 3 Спростіть вираз:
1) Тб4а + Т24а-7б00а; 2) (7-ЗТг)2- (ТЇ0 + Тб)(ТЇО-Тб).
Розв’язання
1) Маємо:
у]54а + 724а - ТбООа = 79 • 6а + 74 • 6а - 7100 • 6а =
= 3 Тба + 2 Тба -10 Тба = Тба (3 + 2 -10) = Тба • (-5) = -5 Тба.
2) Застосовуючи формули скороченого множення (квадрат дво-
члена та добуток суми і різниці двох виразів), отримуємо:
(7-3 >/2)2 - (Т10 + Тб) (ТЇО - Тб) = 72 -2 • 7 • З Т2 + (з Т2 )2 -
-((л/Ї0)2 - (Тб Ґ) = 49 - 42 Т2 +18 - (10 - 5) = 62 - 42 72.
ПРИКЛАД 4 Розкладіть на множники вираз: 1) а" - 2; 2) Ь -’4,
якщо Ь > 0; 3) 9с - 6 Тбс +5; 4) а + Та; 5) Тз + 6.
Розв’язання
1) Подавши даний вираз у вигляді різниці квадратів, маємо:
а2 -2 = а2 -(Т2) = (а --Т2) (а + Т2).
2) Оскільки за умовою Ь > 0, то
Ь - 4 = (Тᥠ- 4 = (7& - 2) (7& + 2).
3) Застосуємо формулу квадрата різниці:
9с - 6 Тбс + 5 = (3 Тс)2 - 3 • 3 Тс • Тб + (Тб)2 = (З Т? - Тб)2.
4) Маємо: а + Та = (Та) + Та = Та (Та +1).
б) Тз + б = Тз + з-(Тз)2 = Тз(і + зТз).
ПРИКЛАД 5 Скоротіть дріб: 1) -М-; 2) 2 3ГУ2.
Тб +1 Т2
Розв’язання
1) Розклавши чисельник даного дробу на множники, отримуємо:
6-1
Т& + і
(Тб)2 -1 (Тб-1)(Тб+1) /Г .
— =----------—-------= V/? -1
уіЬ + 1 <5 + 1
2) 2-3Т2 = (Т2)2-3Т2 = Тг(Т2-з) = _3
Ті Тг Ті
ПРИКЛАД б Звільніться від ірраціональності в знаменнику дро-
ес і \ 15 14
бу: 1) —г; 3) —,=—.
2 Тз 5 Т2 -1
Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу означає
перетворити дріб так, іцоб його знаменник не містив квадратно-
го кореня.
Розв’язання
1) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на Тз,
отримуємо:
15 = 15 Уз = 15 х/з = 15 Уз = бУз
2 Уз 2>/з-Уз 2(Уз)2 2‘3 2
2) Помноживши чисельник і знаменник даного дробу на вираз
5 У2 +1, отримуємо:
14 = 14 (б УІ + 1) = 14 (б У2 + 1) = 14 (б Уг + 1) =
бУз-1 (б уі2 -1) (б л/2 +1) (б>/2)2-1 50-1
= 14 (б УІ + 1) = 2 (б УІ + 1) = юУІ+ 2
49 7 7
ПРИКЛАД 7 Доведіть ТОТОЖНІСТЬ
у/а , у/ь 2 у/аь'\ ( г~ у/аЬ + Ь 'і г~ . гг
~Г----~Г + ~Г----Т ~ ~ї.- * —Г-----Т = +
^уІа+уІЬ уіа-уІЬ Ь-а] у/а+уІЬ)
Розв’язання
у/аЬ + Ь
у/а + у/і >
_ у/а (у/а - у/ь) + у/ь (у/а + у/ь) + 2 у/аЬ .[— ^Ь_(у/а^^у/ь)^_
(у/а + у/ь) (у/а - у/ь) у/а + у/і >
а - у/аЬ + у/аЬ +Ь + 2 у/аЬ . _ (а + 2 у/аЬ + ь) (у/а - у/ь)
а-Ь а-Ь
Лу/^ + уГь)2(у^-у/І)_Г. /Г
(у/Ї + у/ІНу/Ї-уТь)
ПРИКЛАД 8 Спростіть вираз: 1) 712 + 6 х/3; 2) 72-х/з.
Розв’ язання
1) Подавши підкореневий вираз у вигляді квадрата суми, отри-
муємо:
712 + бх/З
= ^9 + 2-Зх/з + ( у/3 Ґ = 7(з + х/з)2 = 3 + у/з.
ПГіІКД <Д 9 Спростіть вираз
<26 + 2 уіЬ2-4 , . о
. . ------, якщо о > 2.
у/ь2 - 4 + Ь + 2
Розв’язання. Оскільки Ь > 2, то
>/ь1 2-4 = >/Ь-2 • у!ь + 2, Ь + 2 = (л/Ь + 2)2, Ь - 2 = (>/ь - 2)2.
Маємо:
^2Ь + 2 у!ь^4 _ - 2 + 2 л/ь2 - 4 + & + 2
уіЬ2-! + Ь + 2 - 2) (Ь + 2) + (л/ь + 2)2
30.1.° Винесіть множник з-під знака кореня: 7) >/0,48; 8) >/450.
1) 2) >/§2; 454; 3) >/490; 5) >/275; 4) >/500; 6) >/0Д2;
30.2.° Спростіть вираз:
1) І1Л СЯ 1 со 3) Л>/200; 10
2) ->/Ї28; 2 4) -0,05 >/4400.
30.3.° Винесіть множник з-під знака кореня:
1) >/27; 4) |>/96; 7) ->/98; 7
2) >/20; 5) -2 >/0,18; 8) 10>/0,03;
3) 4125; 6)|>/63; 9) 0,7 >/1000.
30.4.° Внесіть множник під знак кореня:
1) 7>/2; 3) 6 4а-, 5) |>/128а; 8 7)зЛ;
2) -2>/17; 4) -|>/54; 6) -0,3 >/Ї06; 41-
Внесіть множник під знак кореня:
3) -7 >/Зе;
4)
|д/Ї8р-
О
1) -11>/3; 2) 12>/&;
30.6.* Спростіть вираз:
3) >/б + 7 >/б - 4 >/б.
1) 4 4а + 3 л/а - 5 4а;
2) 5 л/с + 3 -75 - 4с + 3 4(1;
йО .7.° Спростіть вираз:
1) Тс +10 4с -14 4с; 2) 9>/б-2>/з+8>/з-ЗТб.
30.8.° Замініть вираз на тотожно рівний йому:
1) Т9а + Т25а - Т49а; 2) 2 Т0,04с - 0,3 Тїбс +1 Тб,81с.
О
30.9. Спростіть вираз:
1) 2 Тїх + 6 Т16х - Тб25х;
2) 3 70,09у - 0,6 7144і/ +. 30.10.° Спростіть вираз: /121 V Зо
1) 8 >/2-732; 3) 2 7500- 8 Тб;
2) бТз-727; 4) 2 720--745-0,6 7125. 3
30.11.° Раціональним чи ірраціональним є значення виразу:
1) 748 - 6 - 4 ТЗ; 2) 4162 -942 + 427 ?
30.12.° Спростіть вираз:
1) Т75-бТЗ; 3) ЗТ72-4 72 + 2798;
2) 2 750-8 72; 30.13.° Спростіть вираз: 4) - ТЇ08 + 7363 - - 7243.
1) 72(750 + 78); 3) (3 Тб - 4 Тз) • Тб;
2) (Тз - 712) • 73; 4) 2>^(зТЇ8-|Т2 + Т32).
30.14. Спростіть вираз:
1) Т7(Т7-Т28); 2) (ТЇ8 + Т72) • Т2; 3) (4 Тз - Т75 + 4) • 3 ч/З; 4) (Тб00 + Тб-Т24)-Тб.
30.15.° Виконайте множення:
1) (Т2 + Тб)(2Т2-Тб); 5) (4 Т2-2 Тз) (2 Тз + 4 Т2);
2) (а + 4ь) (а - 4ь); 3) (4ь-4с)(4ї> + Тс); 4) (4 нТз)(4-Тз); Виконайте множення: 6) (Тб + Т2)2; 7) (Та-Тб)2; 8) (2-3 Тз)2.
1) (4 42 -Тз)(2 42 + 5Тз); 2) (Тр -?)(Тр + ?); 4) (419 + ТЇ7) (Т19 - ТЇ7); 5) (т + Тп) ;
3) (Тб - х) (Тб + х); 6) (З-гТїб)2.
30.17. ° Чому дорівнює значення виразу:
1) (2 + ї/7)2-4ч/7; 2) (7б - 7з)2 + 6 72 ?
Знайдіть значення виразу:
1) (3 + 7б)2 - 6 7б; 2) (712 - 2 >/2)2 + 8 7б.
30.19.° Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
1) 2) -ЇД; 3) 7” ; 4) -Д=; 5) 4=3 6) ~М=.
уі2 уі5 7п 715 77 5 73
Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
1) -Д=; 2) -|=; 3) 711 710 715 4) ц=- з7х
30.21.° Розкладіть на множники вираз:
1) а2 - 3; 9) Ь + 6 у/ь + 9;
2) 452 - 2; 10) 3 + 2 у/Зс + с;
3) 5 - 6с2; 11) 2 + 72;
4) а - 9, якщо а > 0; 12) 6Т7-7;
5) т - п, якщо т > 0, а > 0: 13) а - Та;
6) 16х - 25у, якщо х 0, у 0; 14) у/ь + у/зЬ;
7) а - 2 у/а + 1; 15) 715-75.
8) 4т - 28 у/тп + 49и, якщо т 0, /і > Розкладіть на множники вираз: ; 0;
1) 15-х2; 6) т + 2у /тп + п, т > 0, п > 0;
2) 49х2 - 2; 7)а-4уі а +4;
3) 36р — 64</, р > 0, > 0; 8) 5 + 7б;
4) с — 100, якщо с > 0; 9) у{3р - р;
5) а-ЗЬу/а + 1652; 10) 712 + 30.23.° Скоротіть дріб: 732.
1) 4) г а + 77 УІа + х!Ь 7) 7б -7з
от 7з - Ь . 5 у/а - 7 у/і . ' 3 - Ь2 ’ 25а - 496 ’ Тз5 + Тїо. 77 + 72
с - 9 100а2 - 95 3) г ; 6) г; уїс - 3 10а + 3 7б 9) ^-2^; 5-710
10) 13-Т13 . Тіз И) а + 2 Таі + Ь . Та + Тб 12) 4Ь2 - 46 а 2Ь-уі Іс + с 'с
30.24. 1) - Скоротіть дріб: х-25 . 4) Т10 +Тб . 7) - у/а - у/І 9
2) - Тх - 5 Та + 2. . 9 5) ТІ 23-Т23 . 1 ’ а 8) - — 2 у/аЬ + Ь - 8 Тб +16
3) - 30.25.' а-Ь <23 а-3 Т24-Т28 г- г; 6) .— .—; 7а + ТЗ Тб4 - ТбЗ ’ Винесіть множник з-під знака кореня: уіЬ-4
2) Тбб2, якщо Ь < 0; 4) Тс®\
Винесіть множник з-під знака кореня:
1) Т18х12; 2) 77-
30.27. ° Спростіть вираз:
1) Т98 - ТбО + Т32;
2) 3 ТІ + ТЇ28 -1 -7162;
3) 0,7
4) Тба - 2 -720а + 3 -780а;
5) Та3Ь - — >Іа5Ь, якщо а > 0, Ь > 0;
а
6) Тс® + 4с - 5с2 Те.
Спростіть вираз:
1) 0,5 Т12 - З Т27 + 0,4 Т75;
2) 2,5 7286 +1 ТбЗЬ -10 70,075;
3) Твіа7 - 5а3 Та + — Та®\
а
30.29.° Доведіть рівність:
1) л/11 + 4>/7 = Тї + 2;
2) 714 +8 Тз = ТІ + Тб.-
30.30. ° Спростіть вираз:
1) (2 >/з -1) (>/27 +2);
2) (Ті - 2)2 - (з + Ті)2;
3) \/>/Ї7-4--Л/Ї7 +4; 5) (>/б + 2 х/б - д/б - 2 х/б У*.
4) (7+4х/з)(2-х/з)2;
30.31. Знайдіть значення виразу:
1) (3 х/2 +1) (х/8 - 2); 3) (10 - 4 х/б) (2 + х/б Ґ;
2) (3 - 2 х/7)2 + (3 + 2 у/7)2; 4) (л/9-4х/2 + >/9 + 4х/2) .
30.32. ° Скоротіть дріб:
4а + 4х/5 .. х2-6у
і) —2—^; 4) -і-------5=;
а - 5 х2 + 6у - х у]24у
у/28 -2уІ2а у/а + у/ь
2) 6а-21 ; 5)
Оч а + 4 -уаЬ + 4Ь . п т у/т - 27
3) -----------, якщо а > 0, Ь > 0; 6) —--------.
а - у/т - З
0.33. Скоротіть дріб:
1) . а~Ь. ;
у/іІЬ -у/Па
2а +10 уІ2аЬ + 25Ь . „ , п
2) а---’ ЯКЩО а > 0, б > 0;
6а - 75Ь
а - 2 у/а + 4
а у/а + 8
30.34. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
1) У2 ; 2) —; 3) - г; 4) ^ + 1.
х/2+1 2 у/5-1 у/а-уіЬ х/3-1
[ 3;, Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу:
1) ; 2) 8 г-;
у/5-2 у/10 - у/2
30.36. ’ Доведіть рівність:
1) —Ц= + —= Ю;
5 - 2 у/6 5 + 2 у/6
2) —,2-----------= -8;
З у/2 + 4 3 у/2 - 4
Доведіть, що значенням виразу є раціональне число:
1)
З + 2 УІЗ 3 - 2 у/з
30.38/ Спростіть вираз: 1) “ 4^-4. 6) у/а - 2 у/а - 2 2) у/т + 1 _ у/т + 3. у/т - 2 у/т 4у + 4 у/х - 4 . 04 а + у/а . Ь 4ь 24а- -5 . с-25 у[с а У н2’ >
. . , О) УІху + у X + у]ху 4) 9) л/а+4 а-16 5) -т=5 + ; 10) у]аЬ -Ь уіЬ - \1а 30.39 . Спростіть вираз: ,, у/а-3 у/а-4 .. у/т 1) Г Г ; 4) і— уіа +1 у/а уіт - > 2) - УЕ+1 ; 5) ґ^+_ а-УІаЬ УІаЬ-Ь \чх- п\ /х /х & 64 3) г- : Г ; О) Г у-2у/у ЗуІу-6 уІа+3 30.40 / Винесіть множник з-під знака і 1) УІ-т9; ч у]а + 1 ? у/а + у/ь к у/і у/і 'у/х-3 [ 12 кл/х+3 *- _ . | у/т + у/п [п І \/п І _ 4 у/х _ х + 1 ї/х 1 > а + 8 у/а а сореня: ' а - 1 ’ у/ь , у/а , г - у/і у/ь Сс . у/х + 3 9 ? х-3 у/х -+ Л \1т - у/п ) >[х , -1 ’ /а +8 - 3 у/а
2)^96 (а-З)5;
3) \/а4Ь13, якщо а/0;
4) у]4х6у, якщо х < 0;
5) -^(а +1)6 (а2 +1)5, якщо а < -1;
6) л/т7п7, якщо т < 0, п < 0;
7) ^45х3у14, якщо у < 0;
8) УІ64а2Ь9, якщо а > 0;
9) ^242т11Ь18, якщо Ь < 0;
10) у/-т2п2р15, якщо т > 0, п < 0;
11) у/х5 (у -1)4, якщо у 1;
12) у]-у1 (х + 2)8, якщо х * -2.
0.41. Винесіть множник з-під знака кореня:
1) 7-т19; 6) >/а®Ь®;
2) -^48 (х -1)7; 7) ^27х15у34, якщо у < 0;
3) у!а2ЯЬ24, якщо Ь Ф 0; 8) 7_8с6п6р7, якщо с > 0, п > 0;
4) уІ49а2Ь, якщо а < 0; 9) уіа9 (Ь + 2)8, якщо Ь * -2;
5) у](Ь + З)10 (д4 +1)3, Ь < -3; 10) ^-х2 (у-З)12, якщо у * 3.
30.42/ Внесіть множник під знак кореня:
1) а ' /3; 8) (х-1)^ / 1 'х2 -2х + 1’ якщо х < : 1;
2) Ьу Гд; 9) (у + 3) 1 5 1уг + 6у+ 9’ якщо у ' > -3;
3) с Л ,с6; 10) (т +1) / 1 N т +1’
4) т у/п, якщо тп > 0; И) (2-с); / 1 І 2с-4’
5) ху2у/ху, якщо х < 0; 12) (-х-у)^——;
6) 2р^; 13) ад2^, якщо а > 0.
Внесіть множник під знак кореня:
1) т >/7, якщо т > 0;
2) Зп л/б, якщо п < 0;
3) р 77;
4) х4у у]х5у, якщо у < 0;
5>7а^;
6) (3-а). —5------, якщо а > 3;
V а2 - 6а + 9
7) (Ь + 6)\£к;
8) (у-4) ;
\ 12 - Зу
9) 5аЬу1-^—, якщо а < 0.
30.44.*" Доведіть, що при а > 0, Ь > 0 і аг — Ь > 0 виконуються
тотожності:
30.47." Спростіть вираз
0 < а < 2.
1 + у/2-а 1 - у/2-а "1 І2 Г
------г—---------т= * і - -1> якщо
2-а + уІ2-а 2-а-УІ2-а) ’а
.:'і 48. Спростіть вираз
Ь > 0.
якщ°х=М^-^)
30.49. “ Спростіть вираз:
1) 7з + 2-Т2; 3) 711 + 2-ТзО;
2) л/7 + 4>/3; 4) 710 - 2 Т2Ї;
5) >/з7-5>/48;
6) л/28 - ТЇ08.
30.50. ” Спростіть вираз:
1) 7в + 2 Тї; 3) 77 + 2-710;
2) 715 +6 Тб; 4) 7б-2л/5;
30.51. “ Спростіть вираз:
5) 718 + 2-745;
6) 791-40л/з.
О 52.’ Доведіть, що
1 + 1 - + -1 +...+
7з +1 Тб + УІЗ 77 + Тб 791 + Т89 2
30.53. ” Доведіть, що:
1) -72 • -72 + 72 • УІ2 + УІ2 + >/2 • ^2-^2 +72 = 2;
2) 7г + 7з УІ2 + УІ2 + Тз • ^2 +а/2 + 72 + Тз х
х 72-72+ 72 +ТЗ =1.
30.54. ” Спростіть вираз:
1) а/10 + 8 -^2 +79 + 4 Т2 ;
2) 5,22 + 6 7з + 713 + Т48 ;
3) 78-Т28-78 + Т28;
4) 74 +Лб-74-715.
0.55.” Спростіть вираз:
2) 7з + Тв-7з-Тв.
1) 7Т5-7з-729-12Тб;
30.56." Доведіть, що є правильною рівність:
30.57. "' Спростіть вираз:
1) л/а + 2л/а-1; 5) л/х + 2^3^^.
л/х-3
2) у/а + 1 + 4 у/а^З; 6) V*2 + 2 + 2 7х2 +1 - 7х2 + 2 - 2 л/х2 +1;
3) ./---ь >/х; 7) уІ2а + 3 — 2 а/с2 + Зс + 2 + а/с +1.
V 4
4) \^2х - 2 а/х2 -1, якщо х > 1;
Спростіть вираз:
1) у]а + 4у/а-4;
2) у!х + 2 а/2х -Т;
3) +
V 4 2
4) у]2х + 2 у]хг — у2, якщо х > у > 0;
\І2а + 2 а/^- 4Ь2 -у/а-2Ь
---------1 ---------,
\'а + 2Ь
6) ^2-а/4-а2, якщо 0 < а < 2;
7) л/зс -1 + 2 уІ2а2 -а, якщо а >
31.
Функція у
« а/х та її графік
Якщо площа квадрата дорівнює х, то його сторону у можна
знайти за формулою у = а/х. Зміна площі х квадрата приводить
і до зміни його сторони у.
Зрозуміло, що кожному значенню змінної х відповідає єдине
значення змінної у. Отже, залежність змінної у від змінної х
є функціональною, а формула у = а/х задає функцію.
Оскільки областю визначення виразу а/х є множина всіх не-
від’ємних чисел, то областю визначення функції у = а/х є мно-
жина £> (у) = [0; +<»).
Вираз а/х не може набувати від’ємних значень, тобто жодне
від’ємне число не може належати області значень розглядуваної
функції. Покажемо, що функція у = \'х може набувати будь-яких
невід’ємних значень. Нехай Ь — довільне невід’ємне число. Тоді
= | Ь | = Ь, тобто існує таке значення аргументу функції у = у/х,
а саме х = Ь2, що у/х = Ь.
Отже, областю значень функції у = у[х є множина Е (у) = [0; +»=).
Ураховуючи область визначення та область значень функції
у = у/х, можна зробити висновок, що її графік розташований
тільки в першій координатній чверті.
У таблиці наведено деякі значення аргументу і відповідні їм
значення функції у = у/х:
X 0 0,25 І 2,25 4 6,25 9
У 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
Позначимо на координатній площині точки, координати яких
наведено в таблиці (рис. 31.1).
Чим більше позначити точок, координати яких задовольняють
рівняння у = у/х, тим менше отримана фігура буде відрізнятися
від графіка функції у = у/х (рис. 31.2).
Якби можна було на координатній площині позначити всі такі
точки, то отримали б фігуру, яку зображено на рисунку 31.3.
У старших класах буде доведено, що
графіком функції у = у/х є фігура, яка
дорівнює вітці параболи у = х2.
Нехай х1 і х2 — два довільних зна-
чення аргументу функції у = у/х такі,
що х1 < х2. Тоді з властивості арифме-
тичного квадратного кореня випливає,
що у[х[ < у/х^. Це означає, що більшому
значенню аргументу функції у = ух
відповідає більше значення функції.
Справедливе й обернене твердження:
більшому значенню функції відповідає
більше значення аргументу, тобто
якщо у[х^ < >/х^, то хх < х2 (рис. 31.4).
У таблиці наведено властивості функ-
ції у = 4х, вивчені у цьому пункті:
Область визначення Множина невід’ємних чисел
Область значень Множина невід’ємних чисел
Графік Вітка параболи
Нуль функції (значення аргумен- ту, при якому значення функції дорівнює 0) х = 0
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть графічно рівняння 7х = 6 - х.
Розв’язання. В одній системі координат побудуємо графіки
функцій у = -Тх і у = 6 - х (рис. 31.5). Ці графіки перетинаються
в точці, абсциса якої дорівнює 4. Перевірка підтверджує, що
число 4 є коренем даного рівняння.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність:
1) 7л? < 3; 2) уіх-1 > 2;
Розв’язання
3) 7х + 2 > -71 - Зх.
1) Запишемо дану нерівність так: 7х < -79. Оскільки більшому
значенню функції у = уГх відповідає більше значення аргу-
менту, то можна зробити висновок,
що х < 9. Ураховуючи, що вираз 7х
має зміст тільки при х > 0, отримує-
мо, що дана нерівність рівносильна
{х < 9,
Звідси 0 < х < 9.
х > 0.
Відповідь: [0; 9).
2) Маємо: 7х -1 > 7Ї; х — 1 > 4;
х > 5.
Відповідь: (5; +°°).
3) Дана нерівність рівносильна системі
4х > -1,
Зх < 1;
х + 2 > 1 - Зх,
1 - Зх > 0.
Звідси
Відповідь:
І]-
ПРИКЛАД 3 Спростіть вираз А = у]х + 2у/х-1 + у]х - 2 у!х -1.
Розв’язання. Маємо:
А = уіх -1 + 2у/х-1 +Т + -\іх-1 — 2уіх-1 +Т =
= ^(у]х~1 + 1) + ^(у/х-1 -1) = І уіХ~1 + 11 + І УІХ-1 - 11 =
|7х-і-і|.
— у/х — 1 + 1 +
Розв’яжемо нерівність УІХ -1 < 1. Ця нерівність рівносильна
х -1 < 1,
системі
Звідси 1 < х < 2.
х — 1 > 0.
Отже, якщо 1 < х < 2, то А = у!х -1 +1 - -Тх-1+1 = 2.
Розв’яжемо нерівність у/х — 1 > 1. Маємо: х — 1 > 1; х > 2.
Отже, якщо х > 2, то А = >/х-1 +1 + уіх-1 -1 = 2уіх-1.
Відповідь: А = 2, якщо 1 < х < 2; А = 2 у/х-1, якщо х > 2.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння
у]х + 2-2уіх + 1 + у]х + 5-4уіх + 1 = 1.
Розв’язання. Маємо:
у]х + 1-2у/х + 1 +Т + у]х + 1-4у/х + 1 + 4 = 1;
>1(уіх +1-1)? + >!(уіх + 1 - 2Ґ =1;
| у/х + 1 — 11 + | УІХ +1 — 2 | = 1.
Це рівняння рівносильне сукупності трьох систем.
Мх + 1 <1, |0<х + 1<1, ґ-1 < х < 0,
[-7х +1 +1 -7х + 1 +2 = 1; Ь/х + 1 = 1; І* = 0.
Ця система розв’язків не має.
2)
1 < 4х + 1 <2, [1 < х + 1 < 4. ГО < х < З,
>/х+ 1-1->/х+ 1+ 2 = 1; [Ох = 0; [Ох = 0;
3)
л/х + 1 > 2,
4х + 1 -1 + >/х +1 -2 = 1;
х + 1 >4, [х > З,
.----- ' Розв’язків немає.
7х + 1 =2; [х = 3.
Відповідь: [0; 3].
'» 1. Яка область визначення функції у = 4x2
2. Яка область значень функції у = 4x2
3. У якій координатній чверті знаходиться графік функції
У = 4x2
4. Яка фігура є графіком функції у = 4x2
5. Чому дорівнює нуль функції у = 4x2
31.1. * функцію задано формулою у = 4х.
1) Чому дорівнює значення функції, якщо значення аргумен-
ту дорівнює: 0,16; 64; 1,44; 3600?
2) При якому значенні аргументу значення функції дорівнює:
0,2; 5; 120; -4?
31-2. Не виконуючи побудови, визначте, через які з даних точок -
проходить графік функції у = 4х: А (36; 6), В (4; —2),
С (0,81; 0,9), £> (-1; 1), Е (42,25; 6,5).
Через яку з даних точок проходить графік функції у = 4х:
1) А (16; 4); 2) В (49; -7); 3) С (3,6; 0,6); 4) £> (-36; 6)?
31.4. ° Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки пере-
тину графіка функції у = 4х і прямої:
1).і/ = 1; 2) у = 0,8; 3) у = -6; 4) у = 500.
31.5. ° Розв’яжіть нерівність:
1) 4х > 2; 4) у/х+ 2 > 3; 7) уі2х +1 < у/х - 5;
2) 4х < 4; 5) 71-2х < 2; 8) * | -1 > 2;
3) 6 < 7х < 9; 6) >/х + 3 > >/1 -4х; 9) ^/| х | - 2 < 1.
При яких значеннях х виконується нерівність:
1) у/х < 8;
2) у2х +1 > 2;
3) х/4х-3 < 1;
4) у/Зх -1 > у/х + 2;
5) 7| х|-3 > 1;
6) 7|х| + 1 <3?
31.7.” Розв’яжіть графічно рівняння:
1) уіх = х;
2) у/^ = х2;
3) уіх = х + 2;
4) уіх = 1.5-0,5х.
і 1.8.’ Розв’яжіть графічно рівняння:
1) уіх = -х -1;
2) у/х = 2-х;
3) у/х =-.
31.9.‘ Дано функцію / (х) =
4 п
—, якщо х < 0,
х
у/х, якщо х > 0.
1) Знайдіть / (-8), і (0), / (9).
2) Побудуйте графік даної функції.
П.10/ Дано функцію / (х) =
х2, ЯКЩО X < 1,
у/х, ЯКЩО X > 1.
1) Знайдіть / (-2), / (0), / (1), / (4).
2) Побудуйте графік даної функції.
31.11. ' Знайдіть область визначення, область значень і нулі функ-
ції у = у/-х. Побудуйте графік даної функції.
31.12/ Побудуйте графік функції у =
31.13. ” Побудуйте графік рівняння:
1) х = 4у;
2) (х + у[у) (у - у/х) = 0.
31.14. ” Скільки коренів має рівняння уІх=а-х залежно від
значення а?
31.15. ” Спростіть вираз у1(у/а+1) -4 у/а +Л^-2)2 + 8 у/а.
11.16/' Спростіть вираз \|(у/а - б)2 + 24 у/а - \!(у/а + ᥠ- 24 у/И.
31.17. " Спростіть вираз:
1) уі2х - 2 у]х2 -1 + уіх -1;
2) ух-4л/х-4 + 2.
у]х + 4 у/х - 4 - 2
Спростіть вираз:
1) у]а + 1-4у/а^3;
2) уІ2а + 2 + 2 УІа2 + 2а - у/а;
3) уіх+ 2 у/2х^~ 4 - у]х-2 у/~2х - 4;
31.19." Розв’яжіть рівняння:
1) V* + 6 + 2 >/х + 5 + у]х + 6-2>/х + 5 = 6;
2) уіх + 2 + 2 >/х +1 + уіх + 2-2у/х + 1 = 2.
Розв’яжіть рівняння
>/х-2 + 72х^5 + у!х + 2 + ЗуЇ2х-5 = 7^2.
§6. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
Квадратні рівняння.
Розв'язування неповних квадратних рівнянь
Ви вмієте розв’язувати лінійні рівняння, тобто рівняння виду
ах = Ь, де х — змінна, а і Ь — параметри.
Якщо а Ф 0, то рівняння ах = Ь називають рівнянням першо-
го степеня.
Наприклад, кожне з лінійних рівнянь 2х = 3, Зх = 0, ^х = -7
О
є рівнянням першого степеня, а лінійні рівняння Ох = 0, Ох = 2
не є рівняннями першого степеня.
Параметри а і Ь називають коефіцієнтами рівняння першого
степеня ах = Ь.
Рівняння першого степеня завжди має один корінь.
Те, що рівняння першого степеня є окремим випадком ліній-
ного рівняння, ілюструє схема, зображена на рисунку 32.1.
Ви також умієте розв’язувати деякі рівняння, які містять
змінну в другому степені. Наприклад, ви без зусиль розв’яжете
кожне з рівнянь х2 = 0, х2 - 1 = 0, х2 + 5х = 0, х2 — 2х + 1 = 0.
Усі вони мають вигляд ах2 + Ьх + с = 0.
Означення. Квадратним рівнянням називають рів-
няння виду ах2 + Ьх + с = 0, де х — змінна, а, Ь, с — параметри,
причому а * 0.
Параметри а, Ь і с називають коефіцієнтами квадратного рів-
няння. Параметр а називають першим або старшим коефіцієнтом,
параметр Ь — другим коефіцієнтом, параметр с — вільним чле-
ном.
Наприклад, квадратне рівняння —2х2 + 5х + 3 = 0 має такі ко-
ефіцієнти: а = —2, Ь = 5, с = 3.
Квадратне рівняння, перший
коефіцієнт якого дорівнює 1,
називають зведеним.
Наприклад, х2 + л?2х -1 = 0,
х2 - 4 = 0, х2 + Зх = 0 — це зве-
дені квадратні рівняння.
Рис. 32.1
Оскільки у квадратному рівнянні ах2 + Ьх + с = 0 старший
коефіцієнт не дорівнює нулю, то незведене квадратне рівняння
завжди можна перетворити у зведене, рівносильне даному. Роз-
діливши обидві частини рівняння ах2 + Ьх + с = 0 на число а,
отримаємо зведене квадратне рівняння х2+ —х + — = 0.
а а
Якщо у квадратному рівнянні ах2 + Ьх + с = 0 хоча б один
з коефіцієнтів Ь або с дорівнює нулю, то таке рівняння називають
неповним квадратним рівнянням.
Існують три види неповних квадратних рівнянь:
1) при Ь = с = 0 маємо: ах2 = 0;
2) при с = 0 і Ь 0 маємо: ах2 + Ьх = 0;
3) при Ь = 0 і с Ф 0 маємо: ах2 + с = 0.
Розв’яжемо неповне квадратне рівняння кожного виду.
1. Оскільки а * 0, то рівняння ах2 = 0 має єдиний корінь х = 0.
2. Рівняння ах2 + Ьх = 0 подамо у вигляді х (ах + Ь) = 0. Це
рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь
х = 0,
ах + Ь = 0.
Звідси
х = 0,
Отже, розглядуване рівняння має два корені:
л • Ь
х, =01 х9 = —.
1 * а
3. Рівняння ах2 + с = 0 подамо у вигляді х2 = - —. Оскільки с Ф 0,
а
то можливі два випадки: -— < 0 або -— > 0. Очевидно, що
а а
в першому випадку рівняння коренів не має. У другому ви-
Г7 • П
падку рів іяння має два корені: х1 = Л- — і х2 = -Л- —.
Отримані результати підсумовує така таблиця.
Значення коефіцієнтів Ь і с Рівняння Корені
Ь = с = 0 ах2 = 0 х = 0
Ь 0, с = 0 ах2 + Ьх = 0 л Ь х, =0, х, = — 1 2 а
Ь = 0, --<0 а ах2 + с = 0 Коренів немає
Ь = 0, -->0 а ах2 + с = 0 Х1 = Л? Хг = ~УІ~1
ПРИКЛАД При яких значеннях параметра а рівняння х* 2 - (а +
+ 1)х + а2-1=0 має два корені, один з яких дорівнює нулю?
Розв’язання. Число 0 є коренем квадратного рівняння, якщо
вільний член цього рівняння дорівнює нулю. Звідси а2 - 1 = 0;
а = 1 або а = —1.
Якщо а = — 1, то рівняння має єдиний корінь х = 0. При а = 1
рівняння набуває вигляду: х2 - 2х = 0. Звідси х = 0 або х = 2.
Відповідь: а =? 1.
• 1. Яке рівняння називають лінійним?
2. Яке рівняння називають рівнянням першого степеня?
3. Наведіть приклад лінійного рівняння, яке є рівнянням пер-
шого степеня, і приклад лінійного рівняння, яке не є рів-
нянням першого степеня.
4. Яке рівняння називають квадратним?
5. Як називають коефіцієнти квадратного рівняння ах2 + Ьх +
+ с = 0?
6. Яке квадратне рівняння називають зведеним?
7. Яке квадратне рівняння називають неповним?
8. Які існують види неповних квадратних рівнянь? Скільки
коренів може мати рівняння кожного виду?
32.1 Укажіть серед даних рівнянь квадратні і назвіть, чому до-
рівнюють старший коефіцієнт, другий коефіцієнт і вільний
член кожного з них:
1) х = 0; 5) х2 - 4х + 2 = 0; 9) 6 - х2 + 4х = 0;
2) х2 = 0; 6) Зх3 4 5 6 7 8 - х2 + 6 = 0; 10) -х2 - 2х + 3 = 0.
3) х2 + х = 0; 7) -2х2 + 7х - 8 = 0;
4) х2 + 1 = 0; 8) х3 - х - 9 = 0;
32.2.° Складіть квадратне рівняння, у якому:
1) старший коефіцієнт дорівнює 6, другий коефіцієнт дорів-
нює 7, а вільний член дорівнює 2;
2) старший коефіцієнт дорівнює 1, другий коефіцієнт дорів-
о . 1
нює -8, а вільний член дорівнює - —;
О
3) старший коефіцієнт дорівнює 7,2, другий коефіцієнт дорів-
нює —2, а вільний член дорівнює 0.
32.3.° Складіть квадратне рівняння, у якому:
1) старший коефіцієнт дорівнює -1, другий коефіцієнт дорів-
нює —2, а вільний член дорівнює 1,6;
2) старший коефіцієнт і вільний член дорівнюють 2, а другий
коефіцієнт дорівнює 0.
32.4. ° Подайте дане рівняння у вигляді ах2 + Ьх + с = 0, укажіть
значення коефіцієнтів а, Ь і с:
1) 6х (3 - х) = 7 - 2х2; 2) (5х - І)2 = (х + 4) (х - 2).
32.5/ Подайте дане рівняння у вигляді ах2 + Ьх + с = 0, укажіть
значення коефіцієнтів а, Ь і с:
1) х (х + 10) = 8х + 3; 2) (х + 2)2 = 2х2 + 4.
32.6. ° Укажіть, які з даних рівнянь є зведеними, і перетворіть
незведені рівняння у зведені:
1) X2 - 5х + 34 = 0; 4) 16 - 6х + х2 = 0;
2) 2х2 + 6х + 8 = 0; 5) -х2 + 8х - 7 = 0;
3)|х2+х-5 = 0; 6)-0,2х2 + 0,8х + 1 = 0.
32.7. ' Перетворіть дане квадратне рівняння у зведене:
1) |х2 -2х-3 = 0; 3) Зх2 + х + 2 = 0.
2) -4х2 + 20х - 16 = 0;
32.8. ° Розв’яжіть рівняння:
1) 5х2 - 45 = 0; 3) 2х2 - 10 = 0; 5) 64х2 -9 = 0;
2) х2 + 8х = 0; 4) 2х2 - Юх = 0; 6) х2 + 16 = 0.
32.9. ° Розв’яжіть рівняння:
1) х2 + 7х = 0; 3) Зх2 - 6 = 0;
2) 2х2 - 1 їх = 0; 4)-8х2 = 0.
32.10. ° Розв’яжіть рівняння:
1) (Зх - 1) (х + 4) = -4;
2) (2х - І)2 - 6 (6 - х) = 2х;
3) (х + 2) (х - 3) - (х - 5) (х + 5) = х2 - х.
32.11. Розв’яжіть рівняння:
1) (Зх - 2) (Зх + 2) + (4х - 5)2 = Юх + 21;
2) (2х - 1) (х + 8) - (х - 1) (х + 1) = 15х.
32.12. ° Знайдіть два послідовних натуральних числа, добуток
яких на 36 більший за менше з них.
32.13. ° Знайдіть два послідовних натуральних числа, добуток
яких на 80 більший за більше з них.
32.14. ° Розв’яжіть рівняння:
32.15. ° Розв’яжіть рівняння:
11 х2 + х _ £ _ п. 21 х2 + — - х2 +
' 7 3 ~ ’ 'б 4
32.16. ° Складіть квадратне рівняння, один з коренів якого дорів-
нює 1 і яке буде:
1) повним і незведеним; 3) неповним і незведеним;
2) повним і зведеним; 4) неповним і зведеним.
32.17. ° При якому значенні т:
1) число 2 є коренем рівняння х2 + тх — 6 = 0;
2) число -3 є коренем рівняння 2х2 - 7х + т = 0;
3) число є коренем рівняння т2х2 + 14х -3 = 0?
32.18. ° Доведіть, що один з коренів рівняння тх2 — (т + п) х +
+ п = 0 дорівнює 1.
32.19. При якому значенні п:
1) число 6 є коренем рівняння х2 — пх +3 = 0;
2) число 0,5 є коренем рівняння пх2 - 8х + 10 = 0?
32.20. ° Сума квадратів двох послідовних цілих чисел на 17 біль-
ша за подвоєне більше з них. Знайдіть ці числа.
32.21. ° Знайдіть два послідовних цілих числа, сума квадратів
яких дорівнює 1.
32.22. * При якому значенні т не є квадратним рівняння:
1) (т - 4) х2 + тх +7 = 0;
2) (т2 + 8т) х2 + (т + 8) х + 10 = 0;
3) (т2 - 81) х2 - 6х + т = 0?
32.2?.’ Яким числом, додатним чи від’ємним, є відмінний від
нуля корінь неповного квадратного рівняння ах2 + Ьх = 0,
якщо:
1) а > 0, Ь > 0; 3) а > 0, Ь < 0;
2) а < 0, Ь > 0; 4) а < 0, Ь < 0?
32.24. ’ Чи має корені неповне квадратне рівняння ах2 + с = 0,
якщо:
1) а > 0, с > 0; 3) а > 0, с < 0;
2) а < 0, с > 0; 4) а < 0, с < 0?
32.25. * Яким многочленом можна замінити зірочку в рівнянні
Зх2 — 2х + 4 + * = 0, щоб утворилося неповне квадратне рів-
няння, коренями якого є числа:
1) 0 і 4; 2) -1 і 1?
2.26. Яким многочленом можна замінити зірочку в рівнянні
х2 + 5х — 1 + * = 0, щоб утворилося неповне квадратне рів-
няння, коренями якого є числа:
1) 0; -7; 2) -4; 4?
32.27. * Розв’яжіть рівняння:
1) х2 - З І х І = 0; 2) х2 + І х І - 2х = 0;
3) х2_И=0; 5) 2х2 + 5 І х І = 0;
X
4) х2 - = 0; 6) х2 + = 0.
И |х|
32.28. * Розв’яжіть рівняння:
1) х2 - 7 І х І = 0; 3)2х2-^4 = 0;
И
2) х2 - 6 | х | + х = 0; 4) х2 + = 0.
X
32.29. * При якому значенні параметра а рівняння (а — 2) х2 + (2а —
- 1) х + а2 - 4 = 0 є:
1) лінійним;
2) зведеним квадратним;
3) неповним незведеним квадратним;
4) неповним зведеним квадратним?
32.30. ’ Установіть, при якому значенні параметра а один з коренів
квадратного рівняння дорівнює 0, і знайдіть другий корінь
рівняння:
1) х2 + ах + а - 4 = 0; 3) ах2 + (а + 3) х + а2 - За = 0.
2) 4х2 + (а - 8) х + а2 + а = 0;
32.31. * Установіть, при якому значенні параметра а корені рів-
няння є протилежними числами, і знайдіть їх:
1) х2 + (а - 2) х + а - 6 = 0; 3) х2 + (а - 1) х + а + 8 = 0.
2) х2 + (а + 6) х + а + 4 = 0;
Фсрмули коренів квадратного рівняння
Знаючи коефіцієнти а і Ь рівняння першого степеня ах = Ь,
, Ь
можна знайти його корінь за формулою х = —.
а
Виведемо формулу, яка дає змогу за коефіцієнтами а, Ь і с
квадратного рівняння
ах2 + Ьх + с = 0 (1)
знаходити його корені.
Оскільки о* 0, то, помноживши обидві частини цього рівнян-
ня на 4а, отримаємо рівняння, рівносильне даному:
4а2х2 + 4аЬх + 4ас = 0.
Виділимо в лівій частині цього'рівняння квадрат двочлена:
4а2х2 + 4аЬх + Ь2 - Ь2 + 4ас = 0;
(2ах + Ь)2 = Ь2 - 4ас. (2)
Існування коренів рівняння (2) та їх кількість залежить від
знака виразу Ь2 — 4ас. Цей вираз називають дискримінантом
к вадратного рівняння ах2 + Ьх + с = 0 і позначають буквою О,
тобто -О = Ь2 - 4ас. Термін «дискримінант» походить від латин-
ського слова (Іівсгіпипаге, що означає «розрізняти», «розділяти».
Тепер рівняння (2) можна записати так:
(2ах + Ь)2 = Б. (3)
Можливі три випадки: £> < 0, Б = 0, Б > 0.
1. Якщо Б < 0, то рівняння (3), а отже, і рівняння (1), коренів
не має. Справді, при будь-якому значенні х вираз (2ах + Ь)2
набуває тільки невід’ємних значень.
Висновок: якщо Б < 0, то квадратне рівняння коренів
не має.
2. Якщо Б = 0, то рівняння (3) набуває вигляду
(2ах + &)2 = 0.
Звідси 2ах + Ь = 0; х =
2(2
Висновок: якщо Б = 0, то квадратне рівняння має один
Ь
корінь х =
3. Якщо Б > 0, то рівняння (3) можна записати у вигляді
(2ах + Ь)2 = (4б)2 .
Звідси 2ах + Ь = -уіБ або 2ах + Ь = 4б. Тоді х = —----— або
2а
-Ь + Б
х =------.
2а
Висновок: якщо Б > 0, то квадратне рівняння має два
корені:
-Ь-уіБ
Х1 ~ 2а
-Ь + уіБ
Х'2 ~ 2а
Також застосовують коротку форму запису:
Цей запис називають формулою коренів квадратного рівнян-
ня ах2 + Ьх + с = 0.
Отриману формулу можна застосовувати і для випадку, коли
Б = 0. Тоді
_ -Ь ± >/о _ Ь
2а 2а'
При розв’язуванні квадратних рівнянь зручно керуватися
таким алгоритмом:
• знайти дискримінант £> квадратного рівняння;
• якщо Л < 0, то у відповіді записати, що коренів немає;
• якщо Л > 0, то скористатися формулою коренів квадратного
рівняння.
Якщо другий коефіцієнт квадратного рівняння подати у ви-
гляді 2к, то можна користуватися іншою формулою, яка в бага-
тьох випадках полегшує обчислення.
Розглянемо квадратне рівняння ах2 + 2кх + с = 0.
Знайдемо його дискримінант: Л = 4/г2 - 4ас = 4 (к2 — ас).
Позначимо вираз к2 — ас через Лг
Якіцо Л1 > 0, то за формулою коренів квадратного рівняння
отримуємо:
-2к ± 7^ _ ~2к ± 2 _ 2 (-Л ± л/Л ) _ ~к ±
2а 2а 2а а '
тобто
-к ± , 2
х =----*—де V, = к - ас.
а 1
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння:
1) Зх2 - 2х - 16 = 0; 4) х2 - 6х + 11 = 0;
2) -0,5х2 + 2х - 2 = 0; 5) 5х2 - 16х + 3 = 0.
3) х2 + 5х - 3 = 0;
Розв’язання
1) У заданому рівнянні а = З, Ь = -2, с = -16.
Дискримінант рівняння Л = Ь2 - 4ас = (~2)2 - 4-3-(-16) =
= 4 + 192 = 196.
Отже, X] -
2-УЇ96
6
2-14 _ 9 V _ 2 + 14 _ 8 _ 9 2
6 ’ 2 6 З З’
Відповідь: -2; 2 — .
2) Маємо:
Л = 22 - 4•( 0,5)-(-2) = 4-4 = 0.
Отже, дане рівняння має один корінь:
Зауважимо, що дане рівняння можна розв’язати іншим спо-
собом. Помноживши обидві частини рівняння на —2, отримуємо:
х2 - 4х + 4 = 0; (х - 2)2 = 0; х - 2 = 0; х = 2.
Відповідь: 2.
3) Л = 52 - 4-1-(-3) = 25 + 12 = 37.
-5 - >/37 -5 + х/37
Рівняння має два корені: х, =---------, хг =---------.
ол а —5 + >/37
Відповідь: --------.
2
1) £) = (-б)2 - 4 • 1 • 11 = 36 - 44 = -8 < 0.
Отже, рівняння не має коренів.
Відповідь: коренів немає.
5) Подамо дане рівняння у вигляді 5х2 + 2 • (-8) х + 3 = 0 і за-
стосуємо формулу для рівняння виду ах2 + 2кх + с = 0:
= (-8)2 - 5-3 = 49;
Відповідь: 3.
5
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння:
1) х2 + б4х2-16 = 0; 3) 9х2 - 8х + —^—= 1 + —.
х—1 х-1
2) х2 -10 (Тх)2 -24 = 0;
Розв'язання
1) Маємо: х2 + 6 | х | — 16 = 0.
Це рівняння рівносильне сукупності двох систем.
а)
Рівняння цієї системи має два корені: -8 і 2.
х2+6х-16 = 0.
Тоді можна записати
х = 2, Звідси х = 2.
х =-8.
[х<0,
б) { „
[х2 - 6х -16 = 0;
х < 0,
х = -2, Звідси х = —2.
х = 8.
Відповідь: -2; 2.
2) Областю визначення даного рівняння є проміжок [0; +°°). Тоді
дане рівняння рівносильне системі
х > 0,
х2 - Юх - 24 = 0.
Звідси
х > 0,
х = -2, х = 12.
х = 12;
Відповідь: 12.
3) Дане рівняння рівносильне системі
9х2 - 8х = 1,
х-1 0.
Маємо:
Відповідь: -і.
9
|9х2-8х-1 = 0,
|х * 1;
х = 1,
х *1;
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння:
1) | х2 - х - 8 | = -х; 2) | х +
Розв’язання
1 | = х2 + Зх + 1.
1) Задане рівняння рівносильне системі:
х2 - х - 8 = —х, Звідси х2 - 8 = 0,
х2 - х - 8 = х.
х2-2х-8-0;
х < 0,
х = 2у/2,
х = -2 72,
х = 4,
х =-2.
—х > 0,
х < 0,
Отримуємо, що х = -2 72 або х = -2.
Відповідь: -2 у[2; -2.
2) Задане рівняння рівносильне сукупності:
х +1 > 0,
х +1 = х2 + Зх +1,
Звідси
х +1 < 0,
-х -1 = х2 + Зх +1.
х > -1,
х = 0 або х = -2,
х < -1,
X > -1,
X2 + 2х = 0,
|х < -1,
їх2 + 4х + 2 = 0;
х = 0,
х = -2 - 72.
х = -2 + у/2 або х = -2 - 72;
Відповідь: 0; -2 - 72.
ПРИКЛАД 4 При якому значенні параметра Ь має один корінь
рівняння:
1) 2х2 - Ьх + 18 = 0; 2) (Ь + 6) х2 - (Ь - 2) х + 1 = 0?
Розв’язання
1) Дане рівняння є квадратним і має один корінь, якщо його дис-
кримінант дорівнює нулю. Маємо:
£> = Ь2 - 4-2-18 = Ь2 - 144;
Ь2 - 144 = 0;
Ь = —12 або Ь = 12.
Відповідь: Ь = -12 або Ь = 12.
2) Звернемо увагу на поширену помилку: вважати таке рівняння
квадратним. Насправді це рівняння степеня не вище другого.
При Ь = — 6 отримуємо лінійне рівняння 8х + 1 = 0, яке має
один корінь.
При Ь Ф -6 дане рівняння є квадратним і має один корінь,
якщо його дискримінант дорівнює нулю:
П = (Ь - 2)2 - 4 (Ь + 6) = Ь2 - 4Ь + 4 - 4Ь - 24 =
= Ь2 - 8Ь - 20.
Маємо: Ь2 - 8Ь - 20 = 0, звідси Ь = — 2 або Ь = 10.
Відповідь: Ь = —2, або Ь = 10, або Ь = -6.
ПРИКЛАД 5 При яких значеннях параметра а рівняння
а (а + 3) х2 + (2а + 6) х -За- 9 = 0
має більше ніж один корінь?
Розв’язання. При а = 0 отримуємо лінійне рівняння 6х - 9 = 0,
яке має єдиний корінь.
При а = —3 отримуємо лінійне рівняння Ох = 0, яке має безліч
коренів.
Якщо а 0 і а Ф -3, то, поділивши обидві частини рівняння
на а + 3, отримаємо квадратне рівняння ах2 + 2х — 3 = 0. Дис-
кримінант цього рівняння дорівнює 4 (1 + За). Для виконання
умови задачі він має бути додатним, тобто 4 (1 + За) > 0. Зв’дси
а > - . Проте проміжок
містить значення а = 0, при
якому задане рівняння має єдиний корінь, що не задовольняє
умову задачі. Цей факт слід урахувати при запису відповіді.
Відповідь: а = —3, або < а < 0, або а > 0.
Кілька поколінь учителів
математики та їх учнів набу-
вали педагогічного досвіду
й поглиблювали свої знання,
користуючись чудовою книж-
кою «Квадратні рівняння»
блискучого українського пе-
дагога й математика Миколи
Андрійовича Чайкозського
(1887-1970).
М. А. Чайковський залишив
велику наукову й педагогічну
спадщину. Його роботи відомі
далеко за межами України.
М.А. Чайковський
1. Який вираз називають дискримінантом квадратного рівнян-
ня?
2. Як залежить кількість коренів квадратного рівняння від
знака дискримінанта?
3. Запишіть формулу коренів квадратного рівняння.
4. Яким алгоритмом зручно користуватися при розв’язуванні
квадратних рівнянь?
33.1.° Знайдіть дискримінант і визначте кількість коренів рів-
няння:
1) х1 2 3 4 + 2х - 4 = 0; 3) 2х2 6х 3,5 = 0;
2) х2 - Зх + 5 = 0; 4) 5х2 - 2х + 0,2 = 0.
33.2. Яке з наведених рівнянь має два корені:
1) х2 + 4х + 8 = 0; 3) 4х2 - 12х + 9 = 0;
2) Зх2 - 4х - 1 = 0; 4) 2х2 - 9х + 15 = 0?
33.3.° Яке з наведених рівнянь не має коренів:
1) х2 - 6х + 4 = 0; 3) Зх2 + 4х - 2 = 0;
2) 5х2 - Юх + 6 = 0; 4) 0,04х2 - 0,4х +1 = 0?
33.4.° Розв’яжіть рівняння:
1) х2 - 4х + 3 = 0; 2) х2 + Зх - 4 = 0;
3) х1 2 * - 4х - 21 = 0; 4) х2 + х — 56 = 0; 5) х2 - 8х + 12 = 0; 6) х2 + 7х + 6 = 0; 7) -х2 + 6х + 55 = 0; 8) 2х2 - х - 6 = 0; 9) Зх2 - 4х - 20 = 0; .>3.5.' Розв’яжіть рівняння: 10) Юх2 - 7х - 3 = 0; 11) -5х2 + 7х - 2 = 0; 12) -Зх2 + 7х + 6 = 0; 13) х2 - 4х + 1 = 0; 14) 2х2 - х - 4 = 0; 15) х2 - 8х + 20 = 0.
1) х2 - Зх + 2 = 0; 2) х2 + 12х - 13 = 0; 3) х2 - 7х + 10 = 0; 4) х2 - х - 72 = 0; 5) 2х2 - 5х + 2 = 0; 6) 2х2 - 7х - 4 = 0; 7) 4х2 - Зх - 1 = 0; 8) -2х2 + х + 15 = 0; 9) 6х2 + 7х - 5 = 0; 10) 18х2 - 9х - 5 = 0; 11) х2 - 6х + 11 = 0; 12) -х2 - 8х + 12 = 0.
33.6. ° При яких значеннях змінної значення:
1) многочленів 6х2 -215-х рівні;
2) двочлена у - 6 дорівнює значенню тричлена у2 - 9у + 3;
3) тричленів 4т2 + 4т + 2 і 2т2 + Юлг + 8 рівні?
33.7. * При яких значеннях змінної значення:
1) двочлена 4х + 4 дорівнює значенню тричлена Зх2 + 5х — 1
2) тричленів 10р2 + Юр + 8 і Зр2 - Юр + 11 рівні?
33.8. ° Знайдіть корені рівняння:
1) (2х - 5) (х + 2) = 18;
2) (4х - З)2 + (Зх - 1) (Зх + 1) = 9;
3) (х + З)2 - (2х - І)2 = 16;
4) (х - б)2 - 2х (х + 3) = ЗО - 12х;
5) (х + 7) (х - 8) - (4х + 1) (х - 2) = -21х;
6) (2х - 1) (2х + 1) — х (1 — х) = 2х (х + 1).
е.3.9. Розв’яжіть рівняння:
1) (х - 4)2 = 4х - 11;
2) (х + 5)2 + (х - 7) (х + 7) = 6х - 19;
3) (Зх - 1) (х + 4) = (2х + 3) (х + 3) - 17.
33.10. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 2х2 + хл/5 -15 = 0; 4) -х- І*---*2.4:17 =
3 9 6
2) х2-х(>/б-1)-л/б =0; 5) =3.
оч х2 -4 _ 2х + 3 _
33.11. * Розв’яжіть рівняння:
1) х2 + Зх /2 + 4 = 0; 3) = х -1;
2) х2 - х (л/3 + 2) + 2 л/з = 0; 4) 3x2+х - 3x2 *17 = ^Тх
4 10 5
33.12. ° При яких значеннях параметра а число і є коренем рів-
4
няння а2х2 + 4ах -5 = 0?
33.13. * При яких значеннях параметра а число 2 є коренем рів-
няння х2 - 0,5ах - За2 = 0?
33.14. ° Доведіть, що коли старший коефіцієнт і вільний член
квадратного рівняння мають різні знаки, то рівняння має два
корені.
33.15. ° Знайдіть натуральне число, квадрат якого на 42 більший
за дане число.
33.16. ° Знайдіть периметр прямокутника, площа якого дорівнює
70 см2, а одна зі сторін на 9 см більша за другу.
33.17. * Добуток двох чисел дорівнює 84. Знайдіть ці числа, якщо
одне з них на 8 менше від другого.
33.18. ° Добуток двох послідовних натуральних чисел на 89 біль-
ший за їх суму. Знайдіть ці числа.
33.19. * Сума квадратів яких двох послідовних натуральних чисел
дорівнює 365?
33.20. ” Від квадратного листа картону відрізали смужку у формі
прямокутника завширшки 3 см. Площа листа, що залишився,
становить 40 см2. Якою була довжина сторони квадратного
листа картону?
33 21.* Від прямокутного листа паперу, довжина якого дорівнює
18 см, відрізали квадрат, сторона якого дорівнює ширині лис-
та. Площа частини прямокутника, що залишилася, дорівнює
72 см2. Якою була ширина листа паперу?
33.22. ° Знайдіть три послідовних непарних натуральних числа,
якщо квадрат першого з них на 33 більше, ніж подвоєна сума
другого і третього.
33.23. ° Знайдіть чотири послідовних парних натуральних числа,
якщо сума першого й третього чисел у 5 разів менша, ніж
добуток другого та четвертого чисел.
33.24. ° (Стародавня індійська задача.)
На дві зграї розділившись,
Розважались в гаї мавпи.
Одна восьма їх в квадраті
Гучно разом забавлялись.
Криком радісним дванадцять
Все повітря колихали.
Разом скільки, ти дізнайся,
Мавп було у тому гаї?
33.25 .° У турнірі з футболу було зіграно 36 матчів. Скільки команд
брало участь у турнірі, якщо кожна команда зіграла по одно-
му разу з кожною іншою командою?
33.26 / Скільки сторін має многокутник, якщо в ньому можна
провести 90 діагоналей?
33.27 .° При яких значеннях параметра Ь має один корінь рівняння:
1) 2х2 + 4х - Ь = 0; 2) Зх2 - Ьх + 12 = 0?
33.28 / При яких значеннях параметра Ь має один корінь рівняння:
1) 6х2 - 18х + Ь = 0;
33.29/ Розв’яжіть рівняння:
1) | х2 + 7х - 4 І = 4;
2) | х2 - х - 5 | = 1;
3) х2 - 4 | х | - 21 = 0;
4) 5х2 - 8 | х | + 3 = 0;
5) х | х | + 6х - 5 = 0;
6) х2+ ^4-12 = 0;
и
*3.30/ Розв’яжіть рівняння:
1) І х2 + Юх - 4 І = 20;
2) х2 - 7 | х | + 6 = 0;
3) | х2 - х - 1 | = 1;
4) х | х | + 12х - 45 = 0;
5) х | х | - 16х + 15 = 0;
6) Зх2 + 7 | х | - 6 = 0;
33.3 1/ Розв’яжіть рівняння:
1) х2 + 2х + —3— = —— + 80;
х-8 х-8
2) х2+8 (х/х)2 - 33 = 0;
3) х2 + (л/х-2)2 -5 = 0;
33.3 2/ Розв’яжіть рівняння:
1) 6х2 + 5х---— = 1-----—;
х +1 х +1
2) 8х2 + Ьх + 2 = 0?
7) х2 + 6 | х | + 8 = 0;
8) х2 - | х - 5 | = 5;
9) х | 2х + 1 | - Зх - 4 = 0;
10) х2-8 х/х2+15 = 0;
11) х2 + 4 х/х2 -12 = 0;
12) | | х2 - 6х + 4 | - 3 | = 1.
7) 2х2 - + 6 = 0;
И
8) - 14х -15 = 0;
и
9) х2 - 8 х/х2 - 9 = 0;
10) х2+7х/х2+12 = 0;
11) х2 + | х + 4 | = 4;
12) х | х - 2 | - 6х + 8 = 0.
4) 2х2 + 9 (х/х + 1)2 - 27 = 0;
5) х2-5х^—^-14 = 0.
х-2
2) 5х2 -14 (х/х)2 - 3 = 0;
3) х2 - (л/х + з)2 -8 = 0; 5) х2 + 2х + 3 = 0.
х -1
4) х2 - 4 (л/х + 2)2 -13 = 0;
33.33. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) х/х2 + 2х +1 х2 - 8х - 201 = 0;
2) х/х2 - 9х + 8 + х2 - 16х + 64 = 0.
33.34. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) х/х2 + 2х - 3 + х/8х2 -7х-1 = 0;
2) х2 + 6х + 9 + | х2 + х - 6 | = 0;
3) х/36 - х2 +1 х2 + 5х - 61 = 0.
33.35. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) (х/х-2)(х2 + 2х-24) = 0;
2) (х2 + 2х) (х/х - 5) (Зх2 - 11х - 4) = 0.
33.36/ Розв’яжіть рівняння (х/х - 3) (х2 + 4х - 21) = 0.
33.37/ Доведіть, що при будь-якому значенні параметра р має
два корені рівняння:
1) 4х2 - рх - 3 = 0; 2) х2 + рх + р - 2 = 0.
33.38/ Доведіть, що при будь-якому значенні параметра т не має
коренів рівняння:
1) х2 + тх + т2 + 1 = 0; 2) х2 — 2тх + 2т2 + 9 = 0.
33.39/ Доведіть, що при будь-якому значенні параметра Ь рів-
няння х2 + Ьх — 7 = 0 має два корені.
33.40/ При яких значеннях параметра а має два корені рівняння:
1) х2 + Зх + а = 0; 2) х2 + 2ах + а2 - За + 1 = 0?
33.41. ” Розв’яжіть рівняння:
1) І х2'+ х - З І = х; 3) І х - 2 І = х2 - 2х;
2) | х2 + х - 1 І = 2х - 1; 4) І 2х + 1 | = х2 - х - 1.
33.42. " Розв’яжіть рівняння:
1) | х2 - 2х | = 3 - 2х; 2) | х - 3 | = х2 - 6х + 3.
33.43. " Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1) х2 + (За + 1) х + 2а2 + а = 0:
2) х2 — (2а + 4) х + 8а = 0;
3) а2х2 - 24ах - 25 = 0;
4) 3 (2а - 1) х2 - 2 (а + 1) х + 1 = 0.
33.44. " Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1) х2 - (2а - 5) х - За2 + 5а = 0; 3) ах2 - (а + 1) х + 1 = 0.
2) х2 + (За - 4) х - 12а = 0;
33.45. " При яких значеннях параметра Ь має один корінь рів
няння:
1) Ьх2 - 6х - 7 = 0;
2) (Ь + 5) х2 - (Ь + 6) х + 3 = 0;
3) (Ь - 4) х2 + (2Ь — 8) х + 15 = 0;
4) (Ь + 2) х2 + (Ь2 + 2Ь) х + Ь + 2 = 0?
33.46. " При яких значеннях параметра Ь має один корінь рів-
няння:
1) Ьх2 + х + Ь = 0;
2) (Ь + 3) х2 + (6 + 1) х - 2 = 0;
3) (6 - 2) х2 + (4 - 26) х + 3 = 0?
33.47. " При яких значеннях параметра а рівняння ах2 + 4х + 3 = 0
має два корені?
33.48. " При яких значеннях параметра а рівняння а (2а + 4) х2 -
- (а + 2) х — 5а - 10 = 0 має більше ніж один розв’язок?
34.
Теорема Вієта
Франсуа Вієт (1540-1603) — францу-
зький математик, за фахом юрист. У 1591 р.
упровадив буквені позначення не лише
для невідомих величин, а й для коефіцієн-
тів рівнянь, завдяки цьому стало можли-
вим виражати властивості рівнянь та їх
корені загальними формулами. Серед
своїх відкриттів сам Вієт особливо високо
цінив установлення залежності між коре-
нями і коефіцієнтами рівнянь.
Теорема 34.1 (теорема Вієта). Якщо х, і х2 — корені квад-
ратного рівняння ах2 + Ьх + с = 0, то
Доведення. Очевидно, що дискримінант Л даного рівняння не
може бути від’ємним. Нехай Б > 0. Застосовуючи формулу коренів
квадратного рівняння, запишемо:
-Ь-уіР _-Ь + ^Р
2а ’ Хг 2а
Маємо:
-Ь-^Р - Ь + 4Б
2а
Ь,
а ’
-Ь-у/р . -Ь + у[Б = (~д)2 -(л/л)2 = Ь2 - Р = Ь2 - (Ь2 - 4ас) = с_
2а 2а 4а2 4а2 4а2 а'
Зауваження. Теорема Вієта є справедливою і тоді, коли
£) = 0. При цьому вважають, що х, = х2 = . Маємо:
Наслідок. Якщо х1 і х2 — корені зведеного квадратного рів-
няння х2 + Ьх + с = 0, то
х. + х, = — Ь,
Хух2 = с,
тобто сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює
другому коефіцієнту, узятому з протилежним знаком, а добуток
коренів дорівнює вільному члену.
Теорема 34.2 (обернена до теореми В і є т а). Якщо чис-
І) • с
ла а і Р такі, що а + р = — і ар = —, то ці числа є коренями
квадратного рівняння ах2 + Ьх + с = 0.
Доведення. Розглянемо квадратне рівняння ах2 + Ьх + с = 0.
Перетворимо його у зведене:
х2 + -х + - = 0.
а а
Згідно з умовою теореми це рівняння можна записати так:
х2 - (а + Р) х + «Р = 0. (*)
Підставляючи у ліву частину цього рівняння замість х спочат-
ку число а, а потім число Р, отримуємо:
а2 - (а + Р) а + ар = а2 - а2 - ар + ар = 0;
Р2 - (а + Р) Р + аР = р2 - аР - р2 + ар = 0.
Таким чином, числа а і Р є коренями рівняння (*), а отже,
і коренями квадратного рівняння ах2 + Ьх + с = 0. ▲
Наслідок. Якщо числа а і Р такі, що а + Р = — Ь і аР = с, то
ці числа є коренями зведеного квадратного рівняння х2 + Ьх +
+ с = 0.
Застосовуючи цей наслідок, можна розв’язувати деякі квад-
ратні рівняння усно, не використовуючи формулу коренів.
ПРИКЛАД 1 Знайдіть суму й добуток коренів рівняння
Зх2 - 15х + 2 = 0.
Розв’язання. З’ясуємо, чи має дане рівняння корені.
Маємо: І) = (-15)2 - 4 • 3 • 2 = 225 - 24 > 0. Отже, рівняння має
два корені х1 і х2.
—15 2
Тоді за теоремою Вієта х1 + х2 = —— = 5, х1х2 = -.
О о
ПРИКЛАД 2 Знайдіть коефіцієнти Ь і с рівняння х2 + Ьх + с = 0,
якщо його коренями є числа —7 і 4.
Розв’язання. За теоремою Вієта Ь = -(-7 + 4) = 3, с = -7*4 =
= -28.
ПРИКЛАД 3 Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнта-
• 5 6 — уі7 . 6 +
ми, корені якого дорівнюють: 1) 4 і 2) —-— і —-—.
Розв’язання
1) Нехай х( = 4 і х2 = - у. Тоді х1 + х2 = 4 - у = ^,
А і 5\ 20
х.х2 =4« -- = ——.
1 1 \ 7/ 7
За теоремою, оберненою до теореми Вієта, числа х1 і х2 є ко-
2 23 20 п гг -
ренями рівняння х - —х- — = 0. Помноживши обидві час-
тини цього рівняння на 7, отримуємо квадратне рівняння
з цілими коефіцієнтами:
7х2 - 23х - 20 = 0.
2) Нехай х. = -—і х, = + ^7. Тоді х. + х2 = -—— + + - 6,
1 2 2 2 1 2 2 2
= 6->і7 6 + л/7 _ 36 - 7 _ 29
Х1Хг 2'2 4 " 4 ’
Отже, Х1 і х2 є коренями рівняння х2 - 6х + ^ = 0. Звідси
шуканим є рівняння 4х2 - 24х + 29 = 0.
ПРИКЛАД 4 Відомо, що хг і х2 — корені рівняння 2х2 - Зх - 9 = 0.
Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:
1) — + —; 2) х.2 + х2
х2 Хі
Розв’язання. За теоремою Вієта хі + х2 = -, х,х2 = - -.
Тоді маємо:
1) 1 і 1 -хі + х2 = 3 1;
х2 х1 х^х2 2 ' \ 2 / 3 ’
2) х2 + х2 = (х, + х2)2 -2x^2 = -2 • | + 9 =
Відповідь: 1) 2)
ПРИКЛАД 5 Число 4 є коренем рівняння Зх2 — Юх + п = 0.
Знайдіть другий корінь рівняння і значення п.
Розв’язання. Нехай х1 і х2 — корені даного рівняння, причому
х( = 4. За теоремою Вієта
10 10 л 2 8
хі+х2=у’ х2 =У-4 = _І’ п = хіх2=-д-
2 8
Відповідь: х, = —, п = —.
2 З З
ПРИКЛАД 6 Складіть квадратне рівняння, корені якого на 4
більші за відповідні корені рівняння х2 + 6х - 14 = 0.
Розв’язання. Нехай х] і х2 — корені даного рівняння, х{
і х2 — корені шуканого рівняння.
За умовою х, = х1 + 4, х2 = х2 + 4.
За теоремою Вієта х1 + х2 = —6, х^х2 = -14.
Тоді маємо:
х, + х2 = х, + 4 + х2 + 4 = (х1 + х2) + 8 = -6 + 8 = 2;
х'х2 = (х, + 4) (х2 + 4) = хгхг + 4 (х, + х2) +16 =
= -14 + 4-(-6) + 16 = -22.
Отже, за теоремою, оберненою до теореми Вієта, шуканим є
рівняння х2 - 2х - 22 = 0.
Відповідь: х2 - 2х - 22 = 0.
ПРИКЛАД 7 При яких значеннях параметра а сума квадратів
коренів рівняння х2 + ах + а = 0 дорівнює З?
Розв'язання. Нехай х1 і х2 — корені даного рівняння. За умо-.
вою х2 + х2 = 3, тобто (х] + х2)2 - 2x^2 = 3. Застосовуючи теоре-
му Вієта, можна записати: (-о)2 — 2а = 3; а2 — 2а - 3 = 0. Звідси
а = -1 або а = 3.
Здавалося б, розв’язування завершене. Проте теорема Вієта
«працює» лише для тих квадратних рівнянь, які мають корені.
Л задане квадратне рівняння має корені не при всіх значеннях
параметра а. Існування коренів визначається умовою £> > 0; для
даного рівняння О = а2 - 4а. Отже, знайдені значення а = -1 і а = З
мають задовольняти нерівність а2 — 4а > 0. Легко встановити, що
підходить тільки а = —1.
Ііідповідь: а = —1.
• 1. Сформулюйте теорему Вієта.
2. Сформулюйте наслідок з теореми Вієта.
3. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Вієта.
4. Сформулюйте наслідок з теореми, оберненої до теореми Вієта.
34.1. * Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму й добуток його
коренів:
1) х2 + 6х - 32 = 0; 3) 2х2 - 6х + 3 = 0;
2) х2 - Юх + 4 = 0; 4) Юх2 + 42х + 25 = 0.
34.2. ° Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму й добуток його
коренів:
1) х2 - 12х - 18 = 0; 3) Зх2 + 7х + 2 = 0;
2) х2 + 2х - 9 = 0; 4) -4х2 - 8х + 27 = 0.
34.3. ° Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта,
з’ясуйте, чи є коренями рівняння:
1) х2 - 8х + 12 = 0 числа 2 і 6;
2) х2 + х - 56 = 0 числа -7 і 8;
3) х2 - ІЗх + 42 = 0 числа 5 і 8;
4) х2 - 20х - 99 = 0 числа 9 і 11.
34.4. ' Знайдіть коефіцієнти Ь і с рівняння х2 + Ьх + с = 0, якщо
його коренями є числа:
1) -8 і 6; 2) 4 і 5.
34.5. ° Знайдіть коефіцієнти Ь і с рівняння х2 + Ьх + с = 0, якщо
його коренями є числа:
1) -2 і 0,5; 2) -10 і -20.
34.6. ” Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, ко-
рені якого дорівнюють:
1) 2 і 5; 3) -0,2 і -10; 5) 0 і 6;
2) -- і 2; 4) 2 --Тз і 2 + >/3- 6) -^7 і у/7.
З
34.7/ Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами, ко-
рені якого дорівнюють:
1) —7 і-8; 2) 5 і-0,4; 3) | і |; ’ 4) 5 - 710 і 5 + д/ЇО.
О
34.8. ° Число —2 є коренем рівняння х2 — 8х + д = 0. Знайдіть
значення д і другий корінь рівняння.
34.9. ° Число 7 є коренем рівняння х2 + рх - 42 = 0. Знайдіть
значення р і другий корінь рівняння.
34.10. ° Число — є коренем рівняння 6х2 - Ьх + 4 = 0. Знайдіть
З
значення Ь і другий корінь рівняння.
34.11. ° Число -0,2 є коренем рівняння 4х2 — 5,6х + т = 0. Знай-
діть значення т і другий корінь рівняння.
34.12. ° Відомо, що х] і х2 — корені рівняння 2х2 - 7х - 13 = 0.
Не розв’язуючи це рівняння, знайдіть значення виразу
Х1Х2 “ 4Х1 “ ^Х2-
34.13. Відомо, що X] і х2 — корені рівняння 5х2 + 4х — 13 = 0.
Не розв’язуючи це рівняння, знайдіть значення виразу
Зхгх2 ~ х{ - х2.
34.14. ° При якому значенні Ь корені рівняння х2 + Ьх — 17 = 0
є протилежними числами? Знайдіть ці корені.
34.15. Застосовуючи теорему, обернену до теореми Вієта. роз-
в’яжіть рівняння:
1) х2 - 5х + 4 = 0; 4) х2 + 2х - 8 = 0;
2) х2 + 5х + 4 = 0; 5) 2х2 + 5х + 3 = 0;
3) х2 - 9х + 20 = 0; 6) -8х2 - 19х + 27 = С.
34 16.* Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта,
знайдіть корені рівняння:
1) х2 - 4х - 5 = 0; 4) х2 - х - 2 = 0;
2) х2 + 4х — 5 = 0; 5) х2 - Зх - 18 = 0;
3) 2х2 - 5х + 3 = 0; 6) 16х2 - 23х + 7 = 0.
34.17. ° Які з даних рівнянь мають два додатних корені, які — два
від’ємних, а які — корені різних знаків:
1) х2 - 12х + 14 = 0; 4) х2 + 16х - 10 = 0;
2) х2 + 6х + 2 = 0; 5) х2 — 24х + 0,1 = 0;
3) х2 - 7х - ЗО = 0; 6) х2 + 20х + 3 = 0?
34.18. ° Один з коренів рівняння х2 - Юх + с = 0 на 8 менший від
другого. Знайдіть значення с і корені рівняння.
34.19. ' Корені рівняння х2 + 20х + а = 0 відносяться як 7 : 3.
Знайдіть значення а і корені рівняння.
34.20. " Корені х1 і х2 рівняння х2 — 7х + т = 0 задовольняють
умову 2Х] - 5х2 = 28. Знайдіть корені рівняння і значення т.
34.21. ' Корені х1 і х2 рівняння х2 + 4х + п = 0 задовольняють
умову ЗХ] — х2 = 8. Знайдіть корені рівняння і значення п.
34.22. * Відомо, що х1 і х2 — корені рівняння х2 - 9х + 6 = 0. Не
розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:
1) — + —; 3) (х. - х„)2; 5) х2 + х23.
Хі х2 12
2) х2 + х2; 4) х,х2 + х2х3;
‘ 1 23.г Відомо, що х1 і х2 — корені рівняння х2 + 5х - 16 = 0. Не
розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:
1) х2х2 + х2х,; 2) 3) | х2 - х1 |.
34.24. ’ Складіть квадратне рівняння, корені якого на 2 менші від
відповідних коренів рівняння х2 + 8х - 3 = 0.
14.25. ’ Складіть квадратне рівняння, корені якого на 3 більші за
відповідні корені рівняння х2 — 12х + 4 = 0.
34.26. ’ Складіть квадратне рівняння, корені якого у 3 рази мен-
ші від відповідних коренів рівняння 2х2 — 14х + 9 = 0.
34.27. ’ Складіть квадратне рівняння, корені якого у 2 рази біль-
ші за відповідні корені рівняння 2х2 - 15х + 4 = 0.
34.28. ” Сума квадратів коренів рівняння Зх2 + ах — 7 = 0 дорів-
нює Знайдіть значення а.
34.29. ” Корені х[ і х2 рівняння х2 — ах + 8 = 0 задовольняють
Л-1 Ху 5 е-» **
умову 1 -ь Знайдіть значення а.
х2 хг 2
34.30. ” Чи є правильним твердження:
1) рівняння 7х2 + 4х - а2 - 1 = 0 має корені різних знаків при
будь-якому значенні а;
2) якщо рівняння х2 + 6х + а2 + 4 = 0 має корені, то вони
від’ємні?
34.31. ” Знайдіть усі цілі значення Ь, при яких має цілі корені
рівняння:
1) х2 + Ьх + 6 = 0; 2) х2 + Ьх - 12 = 0.
34.32 Знайдіть усі цілі значення Ь, при яких має цілі корені
рівняння:
1) х2 + Ьх + 8 = 0; 2) х2 + Ьх - 18 = 0.
34.33. ” Корені рівняння х2 + Ьх + с = 0 дорівнюють його ко-
ефіцієнтам Ь і с. Знайдіть Ь і с.
34.34 " При яких значеннях параметра а сума коренів рівняння
х2 + (а2 + 2а — 3)х + а = 0 дорівнює нулю?
34.35. ' При яких значеннях параметра а добуток коренів рівнян-
ня х2 + (а + 2) х + а2 - 4а = 0 дорівнює 5?
34.36. " При яких значеннях параметра а різниця коренів рівнян-
ня 2х2 -(а + 1)х + а-1 = 0 дорівнює їх добутку?
34.37 " При яких значеннях параметра а корені рівняння х2 - 5х +
+ а = 0 на 1 менші від коренів рівняння х2 — 7х + За - 6 = 0?
34.38. " При яких значеннях параметра а модуль різниці коренів
рівняння х2 - ах + 2а = 0 дорівнює З?
34.39. " При яких значеннях параметра а сума квадратів коренів
рівняння х2 - 4х + а = 0 дорівнює: 1) 12; 2) 6?
34.40. ” При яких значеннях параметра а сума квадратів коренів
рівняння х2 + (а — 1) х - 2а = 0 дорівнює 9?
34.41. " При яких значеннях параметра а сума квадратів коренів
рівняння х2 + 2ах - 3 = 0 є найменшою?
34.42. ” При яких значеннях параметра а сума квадратів коренів
рівняння х2 + ах + а2 - 2 = 0 є найбільшою?
35.
Квадратний тричлен
Означення. Квадратним тричленом називають мно-
гочлен виду ах2 + Ьх + с, де х — змінна, а, Ь і с — параметри,
причому а * 0.
Наведемо приклади многочленів, які є квадратними тричле-
нами:
2х2 - Зх 4- 5; х2 + 7х; х2 - 5; Зх2.
Зазначимо, що ліва частина квадратного рівняння ах2 -І- Ьх +
+ с = 0 є квадратним тричленом.
Означення. Коренем квадратного тричлена нази-
вають значення змінної, при якому значення квадратного тричле-
на дорівнює нулю.
Наприклад, число 2 є коренем квадратного тричлена х2 — 6х + 8.
Щоб знайти корені квадратного тричлена ах2 + Ьх + с, треба
розв’язати відповідне квадратне рівняння ах2 + Ьх + с = 0.
Число П = Ь2 — 4ас називають дискримінантом квадратного
тричлена ах2 + Ьх + с.
Якщо Р < 0, то квадратний тричлен коренів не має. Якщо
Р = 0, то квадратний тричлен має один корінь, якщо Р > 0 — то
два корені.
Розглянемо квадратний тричлен х2 - Зх + 2. Розкладемо його
на множники методом групування.
Маємо:
»’ - Зх + 2 = х2 - х - 2х + 2 = х (х - 1) - 2 (х - 1) = (х - 1) (х - 2).
Про таке тотожне перетворення кажуть, що квадратний тричлен
х2 — Зх + 2 розкладено на лінійні множники х — 1 і х — 2.
Зв’язок між коренями квадратного тричлена та лінійними
множниками, на які він розкладається, установлює така теорема.
Теорема 35.1. Якщо дискримінант квадратного тричлена
ах2 + Ьх + с додатний, то даний тричлен можна розкласти
на лінійні множники:
ах2 + Ьх + с = а (х — х^ (х — х2),
де х1 і х2 — корені квадратного тричлена.
Доведення. Оскільки числа х1 і х2 є коренями квадратного
рівняння ах2 + Ьх + с = 0, то за теоремою Вієта х1 + х2 = -—,
х,х9 = —. Тоді а (х - х,) (х - х„) =
а 1 і
= а (х2 - (х^ + х2) х + х^) = а(х2 + — х + — І = ах2 + Ьх + с. А
Теорема 35.2. Якщо дискримінант квадратного тричлена
ах2 + Ьх + с дорівнює нулю, то його розклад на множники має
вигляд:
2 . ( ь\2
ах +Ьх + с = а\ х + — .
І 2а)
Доведення. У даному квадратному тричлені виділимо квадрат
двочлена:
Тепер зрозуміло, що коли £> = 0, то ах2 + Ьх + с = а\х + -£-
Теорема 35.3. Якщо дискримінант квадратного тричлена
ах2 + Ьх + с від’ємний, то даний тричлен не можна розкласти
на лінійні множники.
Доведення. Припустимо, що квадратний тричлен ах2 + Ьх + с
можна розкласти на лінійні множники, тобто ах2 + Ьх + с — а (х —
- т) (х — п). Тоді т і п — корені даного квадратного тричлена.
Отже, його дискримінант невід’ємний, що суперечить умові. А
Теорема 35.4. Якщо дискримінант квадратного тричлена
ах2 + Ьх + с від’ємний, то при всіх х значення цього тричлена
мають той самий знак, що і число а, тобто:
якщо а > 0, то ах2 + Ьх + с > 0 при всіх х;
якщо а < 0, то ах2 + Ьх + с < 0 при всіх х.
(і Ь \2 п А
Доведення. Маємо: ах2 + Ьх + с = а х +— І------= . Якщо
И 2а/ 4а )
£) < 0, то --^5- > 0. Тоді їх + —І - > 0 при всіх х. Отже, знак
4а \ 2а/ 4а
в (( ь V л А
добутку а х + — І-----5- залежить тільки від знака числа а. л.
\ 2а/ 4а /
ПРИКЛАД 1 Розкладіть на множники квадратний тричлен:
1) Xі - 14х - 32; 2) -х2 + 17х - ЗО; 3) Зх2 - 7х + 2.
Розв’язання
1) Знайдемо корені даного тричлена:
х2 - 14х - 32 = 0;
х1 = —2, х2 = 16.
Отже, х2 — 14х - 32 = (х + 2) (х — 16).
2) Маємо:
-х2 + 17х - 30 = 0;
х2 - 17х + ЗО = 0;
х, = 2, х2 = 15.
Отже, -х2 + 17х - 30 = —(х - 2) (х - 15).
3) Розв’яжемо рівняння Зх2 — 7х + 2 = 0. Маємо:
= |’ = 2-
Тоді Зх2 - 7х + 2 = 3 (х - і) (х - 2) = (Зх -1) (х - 2).
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність:
1) -2х2 + Зх - 3 < 0; 2) 4х (х2 - 2х + 3) > 0.
Розв’язання
1) Оскільки дискримінант і старший коефіцієнт квадратного
тричлена —2х2 + Зх — 3 від’ємні, то даний тричлен набуває
від ємних значень при всіх х. Отже, множиною розв’язків
даної нерівності є множина Ж.
Відповідь: Ж.
2) Оскільки дискримінант квадратного тричлена х2 — 2х + З
від’ємний, а старший коефіцієнт додатний, то х2 — 2х + 3 > 0
при всіх х. Тоді задана нерівність рівносильна нерівності
\[х > 0. Звідси х > 0.
Відповідь: (0; +<»).
ПРИКЛАД 3 Скоротіть дріб 6а - ~-а—
9а -1
Розв’язання. Розкладемо на множники квадратний тричлен,
який є чисельником даного дробу:
6а2 - а - 1 = 0;
1 1
а. = - —; а„ = —;
1 3 2 2
6а2 - а -1 = 6 (а + (а - ^) = 3 (а + • 2 (а - ^ = (За +1)(2а -1).
Тоді маємо:
6а2 - а - 1 _ (За + 1) (2а - 1) _ 2а - 1
9а2 -1 (За + 1) (За - 1) За -1'
Відповідь: ——-.
За-1
ПРИКЛАД 4 При якому значенні т розклад на множники тричле-
па 2х2 + 9х + т містить множник (х + 5)?
Розв’язання. Оскільки розклад даного тричлена на множники
має містити множник (х + 5), то один з коренів цього тричлена
дорівнює -5.
Тоді маємо:
2-(—5)2 + 9-(-5) + т = 0;
т = -5.
Відповідь: т = —5.
ПРИКЛАД 5 Розкладіть на множники многочлен
2х2 + ху - 6у2.
Розв’язання. Розглянемо даний многочлен як квадратний
тричлен зі змінною х, вважаючи у параметром. Знайдемо його
корені.
х _ -у + 7у.
4 ’
х = ~У ~ 7у .
2х2 + ху - 6у2 = 0; х = +.~&У ;
З
2У’
х = -2у.
Звідси 2х2 + ху- 6у2 = 2 (х + 2у) (де - ) = (де + 2у) (2х - Зу).
ПРИКЛАД 6 При яких значеннях параметра а нерівність ах2 — 2х +
+ 3 > 0 виконується при всіх х?
Розв’язання. Якщо а = 0, то задана нерівність набуває вигля-
ду -2х + 3 > 0. Множиною розв’язків цієї нерівності не є мно-
жина ж.
Якщо а Ф 0, то ліва частина заданої нерівності — квадратний
тричлен. Щоб він набував додатних значень при всіх х, його дис-
кримінант має бути від’ємним, а старший коефіцієнт — додатним.
Тому шукані значення параметра а є розв’язками системи
Звідси
4-12а<0.
з
Відповідь: а > —.
З
6 1. Який многочлен називають квадратним тричленом?
2. Що називають коренем квадратного тричлена?
3. Що називають дискримінантом квадратного тричлена?
4. У якому випадку квадратний тричлен не має коренів? має
один корінь? має два корені?
5. У якому випадку квадратний тричлен можна розкласти на
лінійні множники?
6. За якою формулою квадратний тричлен можна розкласти
на лінійні множники?
7. У якому випадку квадратний тричлен не можна розкласти
на лінійні множники?
8. Яких значень набуває квадратний тричлен з від’ємним дис-
кримінантом?
35.1. ° Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен:
1) х2 - 7х + 12; 5) —х2 + х + 2; 9)|й2-|ь + 1;
2) х2 + 8х + 15; 6) 6х2 - 5х - 1; 10) -2х2 - 0,5х + 1,5;
3) х2 - Зх - 10; 7) 4х2 + Зх - 22; 11) 0,4х2 - 2х + 2,5;
4) -х2 - 5х - 6; 8) -За2 + 8а + 3; 12) -1,2т2 + 2,6т - 1.
35.2. Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен:
1) х2 - Зх - 18; 4) 5х2 + 8х - 4;
2) х2 + 5х - 14; 5) 2а2-За+ 1;
3) -х2 + Зх + 4; 3) 462 - 11& - 3;
35.3. ° Скоротіть дріб:
Зх-15 . х2-7х + 12.
х2 - х - 20 х2 - Зх
7) — — х2 — 2х —3;
4
8) 0,3т2 - Зт + 7,5;
9) -0,5х2 -» х + 1,5.
з) *2 + 4х
х2 + 2х - 8
4) 4а2 - 9 2а2 - 9а - 18 ’ 6) с2 - 5с - 6 . с2 -8с+ 12’ 8) х2-16 32 - 4х - х2 ’
5) 2Ь2 - 7Ь + 3 . 7) т3 -1 9) 4п2 - 9п + 2
45 2 - 4Ь + 1 ’ т2 + 9т - 10 ’ 2 + 9п - 5п2
35.4." Скоротіть дріб:
1) 2х +12 х2 + Зх -18 ’ 3) 4х2 + х - 3 х2-1 ’ 5) а2 + 5а + 4 . а2 - а - 20 ’
2) х2 + 9х + 14 . 4) 2у2 + Зу - 5 . 6) 3 + 205 - 752
х2 + 7х У2 - 2у + 1 ’ 752 - &Ь -1 '
35.5. ' Розв’яжіть нерівність:
1) х2 + х + 1 > 0; 3) (2х - 1) (2х2 - Зх + 5) < 0;
2) —х2 + х - 1 < 0; 4) >/х -1 (-5х2 + 8х - 5) > 0.
35.6< Розв’яжіть нерівність:
1) 7х2 - 9х + 3 > 0;
2) -5у2 + 11у - 11 < 0;
3) (2х + 3) (Зх2 - 8х + 6) > 0;
4) | х + 1 | (4х2 - 5х + 2) < 0.
35.7. * Знайдіть область визначення функції:
35.8. ’ При якому значенні параметра Ь розклад на лінійні множ-
ники тричлена:
1) 2х2 - 5х + Ь містить множник (х - 3);
2) —4х2 + Ьх + 2 містить множник (х + 1);
3) Зх2 — 4х + Ь містить множник (Зх — 2)?
35.9 При якому значенні параметра а розклад на лінійні множ-
ники тричлена:
1) 2х2 - 7х + а містить множник (х - 4);
2) 4х2 — ах + 6 містить множник (2х + 1)?
35.10 .’ Спростіть вираз:
1) 9д2 ~ 4 _ а-2 а - 1 .
’ 2а2 -5а+ 2 За + 2 1 - 2а ’
2)
Ь-4
Ь3 -Ь
Ь-1 1
2Ь2 + ЗЬ + 1 Ь2 -1
/ с + 2_____2с \ . с2 + Зс .
\с2 - с- 6 с2 - 6с + 9/ ' (2с - б)2 ’
... І 3 , 2т 4т-6 \ 4т -16
\т-4 т + 1 т - Зт - 4 / 2т - З
Доведіть, що при всіх допустимих значеннях а значення
виразу не залежить від значення змінної:
.. 25а2 - 36 . 5а + 6 + 9а - 8 .
' 10а2 - 9а + 2 ’ 5а - 2 1 - 2а ’
2) ( 1_________4 \ . 2а + 1
*\а + 3 а -1 а2 + 2а -3/ а + 3 ’
35.12.* Побудуйте графік функції:
и х2 - 6х + 5 Зх2 - Юх + 3 х2 - 4
1} у = • _г •; 2) у = ——ттг-
Побудуйте графік функції:
.. х2 - 2х - 8 х2 - х - 2 х2 - х - ЗО
« » = х-4 • 2) У = — 1-------ТТ5--
35.14." Розкладіть на множники многочлен:
1) х2 - бху + 5у2; 2) а2 + 5а& - 36&2; 3) Зт2 - 8тпп - Зп2; 4) 4х2 - 5хі/ + у2.
35.15.' Розкладіть на множники многочлен:
1) а2 - 14аЬ + 40&2; 35.16." Скоротіть дріб: 2) 1262 + Ьс - 6с2.
., 2аг+аі>-15Ь2 -2а2 + 9аЬ -1062 ’ 35.17." Скоротіть дріб: р. 6х2 - ІЗху - 5у2 9 12х2 - 5ху - Зу2 ‘
Зп2 + тп - 4лг2 8т2 + 18тп + 9л2 ’ 12а2 -4Щ-5/2 -5і2 +21Щ-18а2 '
35.18. " Зобразіть на координатній площині множину точок, ко-
ординати яких (х; у) задовольняють рівність:
1) 8х2 - бху + у2 = 0; 2) 4х2 - 4хг/ - Зу2 - 2х + 7у - 2 = 0.
35.19. " Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1) (а2 - а - 6) х = а2 - 9; 2) (а2 - 8а + 7) х = 2а2 - 13а - 7.
35.20. *' Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння
(а2 + 7а - 8) х = а2 + 16а + 64.
35.21. ” При яких значеннях параметра а нерівність виконується
при всіх х:
1) (а - 1) х2 - х + 2 > 0; 2) ах2 - (2а - 1) х + а + 1 < 0?
35.22. * Один з коренів рівняння х12 - аЬх + а2 = 0 більший, ніж 2.
Доведіть, що | Ь | > 64.
35.23. * Розв’яжіть рівняння х3 - (>/2 +1) х2 + 2 = 0.
35.24. * Розв’яжіть рівняння х4 - 2 л/Зх2 + х + 3 - л/з = 0.
Розв'язування рівнянь,
які зводяться до квадратних рівнянь
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння х + — = +18.
X - 6 х - 6
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі
х2 + 2х = 5х + 18,
х - 6 Ф 0.
Звідси
х2-Зх-18 = 0,
х # 6;
Гх = -3;
х = 6,
х * 6;
х = -3.
Відповідь: -3.
ЛгИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння —5---------------- = ---.
х2 - 4х + 4 х2-4 X + 2
Розв’язання. Маємо:
—------------------------4________1_
(х - 2)2 (х - 2) (х + 2) х + 2
5 (х + 2) - 4 (х - 2) - (х - 2)2 _ р
(х-2)2(х + 2)
Отже, дане рівняння рівносильне системі
5(х + 2)-4(х-2)-(х-2)2 = 0,
х / 2,
х * -2.
Звідси
5х +10 - 4х + 8 - х2 + 4х - 4 = 0,
х * 2,
х * -2;
х2 - 5х -14 = 0,
х * 2,
х * -2;
х = 7.
х = 7,
х = -2,
х * 2,
х л -2;
Відповідь: 7.
ПРИКЛАД 3 няння Дня кожного значення параметра а розв’яжіть рів- г 3 5а х + а -1 (х + а -1) (х +1) ’
„ , (х + а -1) (х +1) - 3 (х +1) - 5а л Тт
Разе язання. -------—---——5—— --------= О. Це рівняння рів-
(х + а - 1) (х + 1)
(х + а -1) (х +1) - 3 (х +1) - 5а = 0,
носильне системі х * 1 - а, Звідси
х * -1.
х2 + х (а - 3) - 4а - 4 - 0,
х * 1-а,
х*-1.
Квадратне рівняння системи має два корені: х1 = 4, х2 = -а — 1.
Ці значення змінної будуть коренями заданого рівняння тільки
при виконанні таких умов: х1 1 — а, х1 Ф —1, х2 * 1 - а, х2 Ф —1.
Очевидно, що умови 4*-1і-а-1*1-а виконуються завжди.
Якщо х1 = 1 — а, тобто 4 = 1 - а, то а = -3. Отже, при а = —З
корінь х1 є стороннім. Разом з тим для а = —3 отримуємо х2 =
= -а — 1 = 2, і х, = 2 є коренем заданого рівняння.
Якщо х2 = -1, тобто -а - 1 = -1, то а = 0. Отже, при а = 0
корінь х2 є стороннім, а Х[ = 4 є коренем.
Запишемо отримані результати у відповідь.
Відповідь: якщо а = —3, то х = 2; якщо а = 0, то х = 4; якщо а Ф 0
і а —3, то х = 4 або х = —а - 1.
ПРИКЛАД 4 Знайдіть усі значення параметра Ь, при яких рів-
х2 - (ЗЬ -1) х + 2Ь2 - 2 п
няння ——-—-—-——— = 0 має один корінь-.
X2 - Зх - 4
Розв’язання. Задане рівняння рівносильне системі
х2-(ЗЬ-1) х + 2Ь2-2 = 0,
х Ф 4,
ХФ-1.
Розв’язавши квадратне рівняння системи, отримуємо х1 = 2Ь - 2,
х2 = Ь + 1.
Спочатку розглянемо випадок, коли квадратне рівняння сис-
теми має єдиний корінь. Для цього треба, щоб хх = х2, тобто
2Ь - 2 = Ь + 1. Звідси Ь = 3. Проте при Ь = 3 х1 = х2 = 4, тобто
квадратне рівняння має єдиний корінь, але він не належить об-
ласті визначення заданого рівняння.
Тепер розглянемо випадок, коли корені квадратного рівняння
системи є різними. Для того щоб х1 і х2 були коренями заданого
рівняння, мають виконуватися такі умови: х1 4, х{ —1, х2 Ф 4,
х2 Ф -1. Тому, щоб розв’язок був єдиним, знайдемо вимоги, за
яких залишається лише один корінь в області визначення зада-
ного рівняння: Хі = -1, х2 = 4, х2 = -1,
= 4,
1) х2 ^4, 2) х2 ^4, 3) Хі ^4, 4) х1 Ф 4,
х2 * -1; х2 * -1; хг * -1; х, -1.
Легко впевнитися (переконайтеся в цьому самостійно), що
перша і третя системи розв’язків не мають, а з другої і четвертої
відповідно отримуємо Ь = —,
Ь = -2.
Відповідь: Ь = — або Ь = — 2.
2
36.1.” Розв’яжіть рівняння:
х2 + Зх — 4 _ р.
х + 1
.д Зх2 - X - 2 _ п.
' 1-х
3) *2 ~14 = 5х
х + 2 х + 2’
.. х2 + 4х 9х + 50 п
4) --------V =
х - 5 х - 5
36.2.° Розв’яжіть рівняння:
х - 6
2) 4x2 ~7х~2 = 0;
х-2
о. 2х2 + 6 _ ІЗх .
х + 8 х + 8 ’
., х2 + 4х 5х + 56
х + 7 х + 7
36.3. ” Розв’яжіть рівняння:
1 . х2 - 9х + 18 _ 0.
х2-9 ’
х2 - 6х , 15 - 2х
5)^:Г + ^Г =
5х +18
6) 7Г = х;
х-2
7) х + 1 = —;
X
х2 + 12х 5х -12
а)---------------—
х + 4 х + 4
6) *2 ~3х = 6;
х + 6
7) 2-3§у =
У-4
8) у- — = 10.
У
2) Зх2 - 14х - 5 _ 0.
Зх2 + х
3) х'^ 12х + 35 = О;
х2 - Юх + 25
36.4. ° Розв’яжіть рівняння:
1. х2 — 9х —10 _ «
} х2-1 ’
36.5. ° Розв’яжіть рівняння:
2у _ Зу+ 3,
7 у-3 у
9, Зх + 4 _ 2х - 9 .
' х-3 “ х + 1’
4)
2)
4)
х2 - 7х + 6 _ р
х2 + 2х - З
х2 + 5х -14 _ д
х2 - 6х + 8
5х + 2 _ 4х + 13 .
х -1 х + 7 ’
2х2 - Зх +1 о „
----------= Зх - 4
х -1
36.6. ° Знайдіть корені рівняння
ц 2х -13 _ х + 6 .
х - 6 х ’
36.7. ° Знайдіть корені рівняння
1) + 8 ;
’ х + 2 х-2 х2 -4
9х х -1 х + 1 _ 2х +18.
х + 3 х-3 х2 -9
3) 1 10 -3-х.
х х2 - 5х х - 5 ’
4х х-2 _ 1^.
х2 + 4х + 4 х2 + 2х х ’
36.8. ° Розв’яжіть рівняння:
і і х + х + 2 _ 16 .
' х + 2 + х— 2 ~ х2 - 4*
2 ) 3x2 4х 20 = 2х - 5.
х + 2
.6 3 х -12 п.
х - 36 х2 - 6х х2 + 6х
х , х + 7 63 - 5х
6) ТІ +----~ = ’
х + 7 х-7 х2 -49
7) 4 1 = 10
х2-10х + 25 х + 5 х2-25*
21 2у + 3 _ у + 1 1 = 0.
2у + 2 2у-2 у2-1 ’
3) Зх х-3 _ .
х2 - Юх + 25 х2 - 5х х ’
41 х - 20 10________5_
7 х2 + Юх х2-Ю0 х2-1С
= 0.
36.9. ° При якому значенні змінної:
«• 24 . 16 - о
1) сума дробів -- і ---- дорівнює 3;
х-2 х+2
й 42 1 -. , 36 о
2) значення дробу — на — більше за значення дробу -----?
х 4 х + 20
36.10. ° При якому значенні змінної:
. х « ЗО 1 . , 30
1) значення дробу --- на - менше від значення дробу —;
х + 3 2 х
« 20 п й. с 20 ,
2) значення дробу — на 9 більше за значення дробу ---?
х х +18
МІ. 11 / Розв’яжіть рівняння:
. 2х-10 4 = 5х-1
х3 +1 х + 1 хг - х + 1'
2) 6 ! 5 - 2х _ З
х2 -4х + 3 х-1 х - 3 ’
*6.12/ Розв’яжіть рівняння:
І» Зх + 2 х2 + 39 _ 5 .
х2 + 2х + 4 х3 - 8 ~ х - 2 ’
Лі-13." Розв’яжіть рівняння:
.ч 2х - 1 Зх-1 х - 7 .
1) -----з------= —— + 4;
х+1 х + 2 х-1
4х-6 X __ 14
х + 2 х + 1 х2 + Зх + 2
X Зх-і 2
х2 -4 X2 + X - 6 х2 + 5х + 6
21 х + х +1 = 8
х-1 х + 3 хг+2х-3‘
2^ х2 + 4х + 4 _ 2х + 6 _ х2 + х +1 _ 2х + 9 .
х + 4 х + 2 х + 1 х + 3 ’
оч х-1 _ х-2 _ х - 4 _ х - 5
х+2 х+3 х+5 х+б'
36.14/* Розв’яжіть рівняння:
х + 4 х - 4 _ х + 8 х - 8 .
’ х-1 х + 1 ~ х-2 х + 2’
2) х ~ _ х-2 _ х-3 _ х - 4 .
х+1 х+2 х+3 х + 4’
,, х2 + 2х + 2 х2 + 8х + 20 _ х2 + 4х + 6 х2 + 6х + 12
х+1 х+4 х+2 х+3
36.15. " Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
х2 - 8х + 7 _ 0.
х - а
3)
х2 - (За + 2) х + 6а _ д
х - 6
36.16. " Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1чх, 2 Зх -2а , ч х а-2 4а- 2а2
2а х-2 2 (х - 2) х + а х -а х2 - а2
ох х 2а 8а2 2а2 + х2 2х , 1 п
2)----------= “2---2 ’ 5) —з---з-------2---2 +----=
х - а х + а х -а2 а-хл ах + а + х х - а
04 1 2а -1 _ 6 - 4а .
х + 2 х2 - 2х + 4 “ х3 + 8 ’
36.17/ * Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння:
1) х + 2 _ 2х - а -1' $. х2 - (2а + 1) х + а + а2 _ д.
а +1 х-2’ х (х - 2)
24 х2 + (За + 1) х + 2а + 2а2 _ „ (а - 2) х _ _ а + 2 _ 2х2 + а + 1
(х -1) (х + 2) ’ а -1 а -1 (а -1) х '
36.18. "’ При яких значеннях параметра а має один корінь рівняння:
х2 - ах+ 5 _ р. д) х2 - (а + 4) х + За + 3 _ р?
х-1 ’ >/х-2
9. х2 - (За + 1) х + 2а2 + За - 2 _ п.
х - 6х + 5
36.19. ” При яких значеннях параметра а має один корінь рівняння:
х2 - ах + 1 _ р. 2) х2 - ах + а -1 _ р?
х + 3 ’ д/х + 1
х2 + (3 - 2а) х + 4а - 10 _ „
х - 4х + З
37.
Розв'язування рівнянь методом заміни змінної
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння Xі - 13х2 + 36 = 0.
Розв’язання. Позначимо х2 = І. Тоді Xі = і2. Отримуємо квад-
ратне рівняння зі змінною і:
і2 - ІЗі + 36 = 0.
Розв’язуючи це рівняння, знаходимо: і, = 4, і = 9. Оскільки
9 . 1 2
І = х , то розв язування заданого рівняння зводиться до
розв’язування сукупності:
х2 = 4,
х2 = 9.
Звідси х] = -2, х2 = 2, х3 = -3, х4 = 3.
Відповідь: -2; 2; -3; 3.
Означення. Рівняння виді' а*4 + Ьх2 + с = 0, де х — змінна,
а, Ь і с — параметри, причому а * 0, називають біквадратним
рівнянням.
Заміною х2 = і біквадратне рівняння зводиться до квадратно-
го рівняння аі2 + Ьі + с = 0. Такий спосіб розв’язування рівнянь
називають методом заміни змінної.
Метод заміни змінної можна використовувати не тільки при
розв’язуванні біквадратних рівнянь.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння (2х - І)4 + (2х — І)2 — 2 = 0.
Розв’язання. Зробимо заміну (2х - І)2 = і. Тоді дане рівняння
зводиться до квадратного рівняння
і2 + і - 2 = 0.
Звідси = -2, і2 = 1.
Тепер треба розв’язати таку сукупність
(2х -1)2 = -2,
(2х-1)2 =1.
Перше рівняння сукупності коренів не має. З другого рівнян-
ня отримуємо:
2х -1 = -1,
2х-1 = 1.
Звідси хг = 0, х2 = 1.
Відповідь: 0; 1.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння 6х + 5 л/х +1 = 0.
Розв’язання. Нехай л/х = і. Тоді х = І2. Маємо: 6іг + 5/ + 1 = 0.
Звідси = -|, і2 =-|.
О
Отримуємо таку сукупність:
Оскільки 4х 0, то ця сукупність розв’язків не має, а отже,
і задане рівняння коренів не має.
Відповідь: коренів немає.
ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння —-------— 5——--------- = -2.
X х - Зх - 6
Розв’язання. Нехай —---——- = і. Тоді —=——------= —. Отри-
х х - Зх - 6 і
муємо рівняння і - $ = -2, яке рівносильне системі
І72+2ґ-8 = 0,
* 0.
Звідси = -4, і2 = 2.
Тепер розв’язування заданого рівняння зводиться до розв’я-
зування сукупності двох рівнянь:
х2 - Зх - 6 .
---------= -4,
х
х2 - Зх - 6 _ 2
х
Розв’яжіть цю сукупність самостійно.
Відповідь: -3; -1; 2; 6.
ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння
(2х2 + Зх - І)2 - Юх2 - 15х + 9 = 0.
Розв'язання. Запишемо це рівняння так:
(2х2 + Зх - І)2 - Юх2 - 15х + 5 + 4 = 0;
(2х2 + Зх - І)2 - 5 (2х2 + Зх - 1) + 4 = 0.
Нехай 2х2 + Зх - 1 = і. Тоді і2 - + 4 = 0.
Звідси Іі = 1, і2 = 4.
Отже, 2х2 + Зх - 1 = 1 або 2х2 + Зх - 1 = 4.
Розв’язавши ці два квадратних рівняння, дістанемо відповідь.
Відповідь: -2; 1.
2 2
ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння (х — 1) х (х + 1) (х + 2) = 24.
Розв’язання. При розв’язуванні рівнянь такого виду треба
знайти «вигідний» спосіб групування множників. У цьому при-
кладі він буде таким: ((х - 1) (х + 2)) (х (х + 1)) = 24.
Маємо: (х2 + х - 2) (х2 + х) = 24. Зробимо заміну: х2 + х = і.
Тоді і (і - 2) = 24; і2 — 21 — 24 = 0; Д = -4, і2 = 6. Отримуємо:
х2 + х = -4,
х2 + х = 6.
Відповідь: -3; 2.
У цьому прикладі використовувалася заміна змінної, яка за-
стосовна до рівнянь виду
(х + а) (х + Ь) (х + с) (х + д.) = Д
де а + д = Ь + с.
Це рівняння можна записати так:
(х2 + (а + сі) х + асі) (х2 + (Ь + с) х + Ьс) = /
і далі зробити заміну х2 + (а + д) х = І.
ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть рівняння х4 - 8х3 + 15х2 + 4х — 2 = 0.
Розв’язання. Виділимо в лівій частині рівняння квадрат дво-
члена:
х4 - 8х3 + 16х2 - х2 + 4х - 2 = 0;
(х2 - 4х)2 - (х2 - 4х) -2 = 0.
Зробивши заміну х2 — 4х = І, отримуємо рівняння і2 - і - 2 = 0.
Гі = 2, Гх2 - 4х = 2,
Звідси
|_£ = -1; |_х2 - 4х = -1.
Відповідь: 2 + л/б; 2 - >/б; 2 + >/3; 2 - л/з.
ПРИКЛАД 8 Розв’яжіть рівняння
(2х2 - Зх + 1) (2х2 + 5х + 1) = 9х2.
Розв’язання. За допомогою перевірки легко переконатися, що
число 0 не є коренем даного рівняння. Тоді, поділивши обидві
чистини даного рівняння на х2, перейдемо до рівносильного рів-
няння
2х2 - Зх +1.2хг + 5х +1 _ д
х х
Звідси 12х-3 + — |\2х + 5 + — | = 9.
\ х/\ х/
Зробимо заміну: 2х + — - 3 = і. Тоді і (і + 8) = 9, звідки і, = 1,
/, = -9. х
З урахуванням заміни отримуємо два рівняння:
1)2х + —-3 = 1; ' 2)2х + 1-3 = -9.
х х
Пропонуємо розв’язати ці рівняння самостійно.
о-л .д 2 + ^2 2 ->І2 -3-Л -3 + 77
Відповідь: —-—; —-—; —-—; —-—.
2 2 2 2
Розглянуте рівняння має вид
(ах2 + Ьх + с) (ах2 + (їх + с) = Ах2.
Якщо с Ф 0, то воно рівносильне рівнянню
І ах + — + 6) І ах + — + </) = &, для розв’язування якого можна ско-
\ х / \ х /
ристатися заміною ах + — = і.
х
ПРИКЛАД 9 Розв’яжіть рівняння 7 (х + —) - 2 ^х2 + = 9.
1 І 1V 1
Розв’язання. Нехай х + — = і. Тоді х + — = і2; х2 + 2 + = і2;
х \ хі х
х2+-4 = #2-2.
х2
Маємо: „
7і - 2 (і2 - 2) = 9;
2і2 - 7і + 5 = 0.
Звідси = 1, і2 = |.
1 15
Отже, х + — = 1 або х + — = —.
х х 2
Пропонуємо розв’язати ці рівняння самостійно.
Відповідь: 2.
Метод, за допомогою якого розв’язане це рівняння, засто-
совний до рівнянь виду ах4 + Ьх3 + сх2 + Ьх + а = 0, а 0.
У цьому рівнянні коефіцієнти одночленів ах4 і а, Ьх3 і Ьх рівні.
Таке рівняння називають зворотним рівнянням четвертого сте-
пеня. Воно рівносильне рівнянню ах2 +Ьх + с + — + -^- = 0. Звідси
х X
а | х2 + -М + & | х + — І + с = 0. Далі застосовуємо заміну х + — = і.
\ х / ' х/ х
ПРИКЛАД 10 Розв’яжіть рівняння х4 - Зх3 - 8х2 + 12х + 16 = 0.
Розв’язання. Очевидно, що число 0 не є коренем даного рів-
няння. Тоді, розділивши обидві частини рівняння на х2, отримає-
мо рівняння, рівносильне заданому:
х2-Зх-8 + —+ і| = 0;
х х2
х2 +^|-з(х--)-8 = 0.
х2 \ х/
Нехай х - — = і. Тоді х2 + = і2 + 8. Звідси і2 + 8 - Зі - 8 = 0;
х х2
і (і - 3) = 0;
і = 0, „ .
Далі
і = 3.
х - - = 0,
X
х - - = 3;
х2 - 4 = 0,
х2 - Зх - 4 = 0.
Відповідь: -2; 2; -1; 4.
Рівняння, розв’язане в прикладі 10, є рівнянням виду ах4 +
+ Ьх3 + сх2 + кЬх + к2а = 0. Його називають узагальненим зво-
ротним рівнянням четвертого степеня. Воно зводиться до квад-
, к .
ратного рівняння за допомогою заміни х -І— = і.
ПРИКЛАД 11 Розв’яжіть рівняння
(х2 - 2х + 2)2 + Зх (х2 - 2х + 2) = Юх2.
Розв’язання. Виконавши перевірку, можна переконатися, що
число 0 не є коренем даного рівняння. Тоді рівняння
(х2 - 2х + 2)2 З (X2 - 2х + 2) = 10
х2 х
отримане в результаті ділення обох частин заданого рівняння
на х2, рівносильне даному.
о х2 - 2х + 2 .
Заміна --------= і приводить до квадратного рівняння
х
і2 + Зі - 10 = 0.
Завершіть розв’язування самостійно.
Відповідь: 2-л/2; 2 + \І2; -1; —2.
Якщо в розглянутому рівнянні зробити заміни х2 — 2х + 2 = и,
> о, то отримаємо:
и2 + Зио — 10і>2 = 0.
Усі одночлени в лівій частині цього рівняння мають однаковий
степінь, а його права частина дорівнює нулю. Таке рівняння на-
ливають однорідним рівнянням другого степеня відносно и І V.
Для його розв’язання спочатку треба перевірити, які розв’язки
рівняння V = 0 є коренями заданого рівняння.
При V Ф 0 задане рівняння рівносильне такому:
(,2
- -3--10 = 0.
V/ V
Далі заміна — ~ і стає очевидною.
V
ПРИКЛАД 12 Розв’яжіть рівняння (х + І)4 + (х + 5)1 = 32.
Розв'язання. Нехай і = х----^), тобто х = і - 3. Тоді
х + 1 = ґ - 2, хЧ- 5 = і Ч- 2, а задане рівняння набуває вигляду
(і - 2)4 + (і + 2)4 = 32.
Після піднесення до степеня і зведення подібних доданків
отримуємо рівняння і4 + 24і2 = 0. Звідси і = 0, а отже, х = -3.
Відповідь: -3.
У рівнянні виду (х — а)4 + (х - Ь)4 = с заміна І = х - зав-
жди приводить до біквадратного рівняння відносно і.
ПРИКЛАД 13 Розв’яжіть рівняння —=——------ч———------= -—.
х2-4х + 2 х2+ х + 2 4
Розв’язання. Оскільки число 0 не є коренем даного рівняння,
то, поділивши чисельник і знаменник кожного з дробів лівої
частини рівняння на х, отримуємо рівняння, рівносильне зада-
ному:
2 3 = _ 5
.2 і 2 4'
х-4+- х +1 ч—
X X
2
Зробимо заміну: х + — = і. Тоді
х
_2_ + _3_+ 5=0. *2 + *-12 _о. і£2ч-ґ-12 = 0, і = -4,
і -4 і + 1 4 ’ 4(і-4)(« + 1) ’ [(£-4)(# + 1)*0; [і = 3.
Маємо:
, 2 _ л г
х + х х2 + 4х + 2 = 0,
~ , 2. _ о. х2 - Зх + 2 = 0.
Л* » о,
х
Відповідь: -2 + л/2; -2 - л/2; 1; 2.
Яіг2
ПРИКЛАД 14 Розв’яжіть рівняння х2 +-----------5- = 40.
(X + 9)2
Розв’язання. Виділимо квадрат різниці в лівій частині рівняння:
х2_1§^ + 4к+1§^ = 40;
х + 9 (х + 9)2 х + 9
І 9х V 18х2 .п
\ х + 9/ х + 9
х2 V + 18х2
х + 9/ х + 9
= 40.
Нехай х
х + 9
і. Тоді /2 + 18/ — 40 = 0, звідки і = -20 або 1 = 2.
Маємо:
= -20,
х + 9
х2 + 20х +180 = 0,
х2-2х-18 = 0.
Відповідь: 1 + >/19; 1 - д/19.
Може виникнути запитання: чому в прикладах 1-14 при роз-
в’язуванні рівнянь ми не пробували спростити їх за допомогою
тотожних перетворень?
Справа е тому, що використання тотожних перетворень при-
вело б до необхідності розв’язувати рівняння виду ах4 + Ьх3 +
+ сх2 + (їх + е = 0 (ви можете переконатися в цьому самостійно).
При а Ф 0 таке рівняння називають рівнянням четвертого степе-
ня, при а = 0 і Ь 0 — рівнянням третього степеня. Окремим
видом цього рівняння при Ь = 0іс/ = 0є біквадратне, рівняння.
У загальному випадку для розв’язування рівнянь третього й чет-
вертого степенів необхідно знати формули знаходження їх ко-
ренів. З історією відкриття цих формул ви можете ознайомитися
в оповіданні після цього пункту.
37.1. ° Розв’яжіть рівняння:
1) х4 - 5х2 + 4 = 0;
2) х4 - 5х2 + 6 = 0;
3) х4 - 8х2 - 9 = 0;
4) х4 + 14х2 - 32 = 0;
5) 4х4 - 9х2 + 2 0;
37.2. ° Розв’яжіть рівняння:
І) х4 - 29х2 + 100 = 0;
2) х4 - 9х2 + 20 = 0;
3) х4 - 2х2 - 24 = 0;
6) Зх4 + 8х2 - 3 = 0.
4) х4 + Зх2 - 70 = 0;
5) 9х4 - Юх2 + 1=0;
6) 2х4 - 5х2 + 2 = 0.
37.3. ” Розв’яжіть рівняння:
1) (х + З)4 - 3 (х + З)2 - 4 = 0;
2) (2х + І)4 - 10 (2х + І)2 + 9 = 0;
3) (6х - 7)4 + 4 (6х - 7)2 + 3 = 0;
4) (х - 4)* + 2 (х - 4)2 - 8 = 0.
37.4. ” Розв’яжіть рівняння:
1) (Зх - І)4 - 20 (Зх - І)2 + 64 = 0;
2) (2х + З)4 - 24 (2х + З)2 - 25 = 0.
37.5. ” Розв’яжіть рівняння:
1) х - 3 х/х +2 = 0; 3) 8 х/х +-х + 7 = 0;
2) х - х/х -12 = 0; 4) 8х-10х/х+3 = 0.
37.6. '’ Розв’яжіть рівняння:
1) х-6 х/х + 8 = 0; 2) х-5 х/х-50 = 0; 3) 2х -3 х/х +1 = 0.
37.7. ” Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змін-
ної:
1) (х2 - 2)2 - 8 (х2 - 2) + 7 = 0;
2) (х2 + 5х)2 - 2 (х2 + 5х) - 24 = 0;
3) (х2 - Зх + 1) (х2 - Зх + 3) = 3;
4) (х2 + 2х + 2) (х2 + 2х - 4) = -5.
37.8. ” Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:
1) (?х."і) _ 6(2х-1) + 5 = 0. 2) Зх-1 + х + 1 =31
' \ х І х х + 1 Зх-1 З
37.9. ° Розв’яжіть рівняння:
1) (х2 - 6х)2 + (х2 - 6х) - 56 = 0; 3) х* , - -5 = 0;
(х - 2)2 х - 2
2) (х2 + 8х + 3) (х2 + 8х + 5) = 63; 4)
37.10. ” Розв’яжіть рівняння:
1) *2~х - Х\~Х + 2 = 1;
х -х + 1 х -х-2
2^ х2 + 2х + 1 х2 + 2х + 2 _ 7_.
х2 + 2х + 2 х2 + 2х + 3 ~ 6 ’
3)
х2 + 2х + 7
х2 + 2х + З
= 4 + 2х + х2;
Зх2 - 9х 12 _ о
~ Р-Зх'3;
і______і = х
X (X + 2) (х +1)2 12 '
37.11. * Розв’яжіть рівняння:
1) 1___+І— =6.
х2 - 2х + 2 х2 - 2х + 3 х2 - 2х + 4
2)^-------^— = 2;
х2+2х-8 х2+2х-3
дч х + х — З 3 __
’ 2 2х2 + 2х - 6 - ’
5) -----------+---------------
(х + 1) (х + 2) (х -1) (х + 4)
37.12/ Розв’яжіть рівняння:
1) (8х2 - Зх + І)2 = 32х2 - 12х + 1;
2) (х2 - 5х + 7) (х - 2) (х - 3) = 2.
37.13/ Розв’яжіть рівняння:
1) (х2 + х + І)2 - Зх2 - Зх - 1 = 0;
2) (х2 - 5х) (х 4- 3) (х - 8) + 108 = 0.
37.14/ Розв’яжіть рівняння:
1) (х - 4) (х - 5) (х - 6) (х - 7) = 1680;
2) х (х + 3) (х + 5) (х + 8) = 100.
37.15. Розв’яжіть рівняння:
1) (х - 4) (х + 2) (х + 8) (х + 14) = 1204;
2) (х + 3) (х + 1) (х + 5) (х + 7) = -16.
37.16/ * Розв’яжіть рівняння:
1) Xі + 8х3 + Юх2 - 24х + 5 = 0;
2) х4 + 4х3 - Юх2 - 28х - 15 = 0;
3) 10? (х - 2)2 = 9 (х2 + (х - 2)2).
37.17/ * Розв’яжіть рівняння:
1) (2х2 - 5х + 2) (2х2 + 7х + 2) = -20х2;
2) (х -к 2) (х + 3) (х + 8) (х + 12) = 4х2.
37.18. ** Розв’яжіть рівняння:
1) 4 (х + 5) (х + 6) (х + 10) (х + 12) - Зх2 = 0;
2) (х - 4) (х + 5) (х + 10) (х - 2) = 18х2.
37.19. ** Розв’яжіть рівняння:
1) 4х2 + 12х + — + Л = 47;
х х
3) 12х2+-Цг + ю(2х + — ) + 11 = 0;
Зх2 \ Зх/
, х(х-1)2 _2,
' (х2-х + 1)2 9’
5) х4 - 2х3 — 18х2 - 6х + 9 = 0.
37.20. ” Розв’яжіть рівняння:
1) Зх2 + 5х + - + 4 = 16; 3) (х2 +1)22- =
хх2 х(х + 1)2 И2
2) х2 + 36 = 112/х_3\. 4) 4х4 — 8х3 + Зх2 — 8х + 4 = 0.
х 5 \2 х/
37.21. ” Розв’яжіть рівняння:
1) 2 (х2 + х + І)2 - 7 (х - І)2 = 13 (х3 - 1);
2) 20+48^ф^ = °-
\х + 1/ \х-1/ х2-1
37.22. ” Розв’яжіть рівняння:
1) х4 + 5х2 (х + 1) = 6 (х + І)2;
2) (х2 - Зх + І)2 + 3 (х - 1) (х2 - Зх + 1) = 4 (х - І)2.
37.23. ” Розв’яжіть рівняння:
1) (х + З)4 + (х + ЇЙ = 16; 2) х4 + (х - І)4 = 97.
37.24. ” Розв’яжіть рівняння:
1) (х - 2)4 + (х - З)4 = 1; 2) (х - б)4 + (х - 4)4 = 82.
37.25. ” Розв’яжіть рівняння:
1 4 4х Зх х2 - Зх +1 2х _ 7
’ 4х2 - 8х + 7 4х2 - ІОх + 7 ’ х х2 - 2х +1 2 *
„ч х2 - Юх + 15 _ 4х .
} х2 -6х + 15 " х2 -12х + 15’
37.26. ” Розв’яжіть рівняння:
.. Зх 2х _ 8 . д. х2 4- 5х 4- 4 + х2 - х 4- 4 | 13 _
х2 4-1 -4х х2 +1 4-х 3’ х2-7х + 4 х2 4 хт 4 З
2) —2х— + Зх = І •
х2-2х + 5 X2 4-2X4-5 8’
37.27. ” Розв’яжіть рівняння:
, \2 , >2 , >2
1) х24-|———І =8; 3) МЦ- 4-М- =90;
\х —1/ \х —1/ \х + 1/
2) х2 + (- = 2; 4) х2 4- 25x2 2 = 104.
’ \2х-1/ (5 4-2х)2
37.28. ” Розв’яжіть рівняння:
І) х2 4- (-М = 3; 3) х2 4- 4x2 2 = 5.
7 \Х4-1/ (Х + 2)2
Таємна зброя Сципіона Даль Ферро
Ви легко розв’яжете кожне з таких рівнянь третього степеня:
х3 - 8 = 0, х3 + х2 = 0, х3 - х = 0.
Усі вони є окремими видами рівняння ахя + Ьх2 + сх + <і = 0,
де х — змінна, а, Ь, с і (і — параметри, причому а * 0. Вивести
формулу його коренів — задача складна. Недарма появу цієї
формули вважають значним математичним відкриттям XVI ст.
Першим винайшов розв’язання рівняння виду х3 + рх = д, де
р і д — додатні числа, італійський математик Сципюн Даль Фер-
ро (1465-1526). Знайдену формулу він зберігав у секреті. Це було
зумовлено тим, що кар’єра вченого того часу багато в чому зале-
жала від його виступів у публічних математичних турнірах. Було
вигідно зберігати відкриття в таємниці, розраховуючи використа-
ти їх як «секретну зброю».
Після смерті Даль Ферро його учень Фіоре, володіючи секрет-
ною формулою, викликав на математичний двобій талановитого
математика-самоучку Ніккото Тарталья (1499-1557). За кілька
днів до турніру Тарталья сам вивів формулу коренів рівняння
третього степеня. Диспут, на якому Тарталья здобув переконли-
ву перемогу, відбувся 20 лютого 1535 року.
Уперше секретну формулу було опубліковано в книзі відомого
італійського вченого Джероламо Кардано (1501-1576) «Велике
мистецтво». У цій роботі також описано метод розв’язування рів-
няння четвертого степеня, відкритий Лудовіко Феррарі (1522—
1565).
У ХУП-ХУІП ст. зусилля багатьох провідних математиків
зосередилися на пошуку формули для розв’язання рівнянь п’ято-
Нікколо Джеролалю Нільс Хенрік
Тарталья Кардано Абель
г<> і гепеня. Отриманню результату сприяли роботи італійського
математика Паоло Руффіні (1765-1822) і норвезького математи-
ки Пільса Хенріка Абеля (1802-1829). Сам результат виявився
цілком несподіваним: було доведено, що не існує формули, за
якою можна виразити корені будь-якого рівняння п’ятого степе-
ня і вище через коефіцієнти рівняння, використовуючи лише
чотири арифметичні дії та дію добування кореня.
38.
Раціональні рівняння
як математичні моделі реальних ситуацій
У пункті 15 ви вже ознайомилися з використанням раціональ-
них рівнянь як математичних моделей реальних ситуацій. Роз-
і лянемо ще кілька прикладів.
ПРИКЛАД 1 З пункту А виїхав велосипедист, а через 45 хв після
цього в тому самому напрямку виїхала вантажівка, яка наздог-
нала велосипедиста на відстані 15 км від пункту А. Знайдіть
швидкість велосипедиста і швидкість вантажівки, якщо швидкість
вантажівки на 18 км/год більша за швидкість велосипедиста.
Розв’язання. Нехай швидкість велосипедиста дорівнює
х км/год, тоді швидкість вантажівки становить (х + 18) км/год.
.. ... к 15
Велосипедист проїжджає 15 км за — год, а вантажівка — за
х
15
——год. Оскільки вантажівка проїхала 15 км на 45 хв, тобто
З . 15 15 З
на — год, швидше, ніж велосипедист, то----------= —.
4 х х +18 4
Маємо:
15 15 3.
х х + 18 4 ’
5 5 1.
х х +18 4 ’
20х + 360 - 20х - х2 - 18х _ д.
4х (х +18) ~ ’
х2 + 18х - 360 = 0,
х Ф 0,
х -18;
х = 12 або х = -ЗО.
Корінь —ЗО не задовольняє умову задачі.
Отже, швидкість велосипедиста дорівнює 12 км/год, а швид-
кість вантажівки становить 12 + 18 = ЗО (км/год).
Відповідь: 12 км/год, ЗО км/год.
ПРИКЛАД 2 Одна бригада працювала на ремонті дороги 7 год,
після чого до неї приєдналася друга бригада. Через 2 год спільної
роботи ремонт було закінчено. За скільки годин може відремон-
тувати дорогу кожна бригада, працюючи самостійно, якщо першій
для цього потрібно на 4 год більше, ніж другій?
Розв’язання. Нехай перша бригада може самостійно відремон-
тувати дорогу за х год, тоді другій для цього потрібно (х - 4) год.
За 1 год перша бригада ремонтує — частину дороги, а друга —
х
—-— частину дороги. Перша бригада працювала 9 год і відре-
х - 4
9 о • •
монтувала — дороги, а друга працювала 2 год і відремонтувала
х
2
відповідно ---- дороги. Оскільки в результаті було відремонто-
х - 4
9 2
вано всю дорогу, то — +----= 1.
х х - 4
Отримане рівняння має два корені: х1 = 12 і х2 = 3. Другий
корінь не задовольняє умову задачі, оскільки тоді друга бригада
мала б відремонтувати дорогу за 3 - 4 = -1 (год), що не має змісту.
Отже, перша бригада може відремонтувати дорогу за 12 год,
а друга — за 8 год.
Відповідь: 12 год, 8 год.
ПРИКЛАД 3 Водний розчин солі містив 120 г води. Після того
як до розчину додали 10 г солі, її концентрація збільшилася на
5 %. Скільки грамів солі містив розчин спочатку?
Розв’язання. Нехай початковий розчин містив х г солі. Тоді
його маса дорівнювала (х + 120) г, а маса солі становила -
частину маси всього розчину. Після того як до розчину додали
10 г солі, її маса в розчині склала (х + 10) г, а маса розчину —
(х + 130) г. Тепер сіль становить
х +10
х + 130
частину розчину, що
1 X
на 5 %, тобто на —, більше, ніж ----------. Звідси маємо
20 х + 120
х +10 х
х + 130 х + 120
1
20 ‘
Отримане рівняння має два корені: х1 = ЗО і х2 = -280, з яких
другий корінь не задовольняє умову задачі.
Отже, розчин містив спочатку ЗО г солі.
В/дповідь: ЗО г.
38.1.’ Перші 150 км дороги з міста А до міста В автомобіль про-
їхав з певною швидкістю, а решту 240 км — із швидкістю на
5 км/год більшою. Знайдіть початкову швидкість автомобіля,
якщо на весь шлях з міста А до міста В він витратив 5 год.
18.2.’ Перший мотоцикліст проїжджає 90 км на 18 хв швидше
за другого, оскільки його швидкість на 10 км/год більша за
швидкість другого мотоцикліста. Знайдіть швидкість кожного
мотоцикліста.
8.3.' З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює 240 км,
виїхали одночасно автобус і автомобіль. Автобус рухався зі
швидкістю на 20 км/год меншою, ніж автомобіль, і прибув до
пункту призначення на 1 год пізніше за автомобіль. Знайдіть
швидкість автомобіля і швидкість автобуса.
38.4. ’ Поїзд запізнювався на 10 хв. Щоб прибути на станцію при-
значення вчасно, він за 80 км від цієї станції збільшив свою
швидкість на 16 км/год. Знайдіть початкову швидкість поїзда.
' 8.5. Із села Вишневе в село Яблуневе, відстань між якими дорів-
нює 15 км, вершник проскакав з певною швидкістю, а повер-
тався зі швидкістю на 3 км/год більшою і витратив на 15 хв
менше, ніж на шлях з Вишневого до Яблуневого. Знайдіть
початкову швидкість вершника.
38.6. ' Друкарка мала за певний час надрукувати 180 сторінок.
Проте вона виконала цю роботу на 5 год раніше строку, ос-
кільки друкувала щогодини на 3 сторінки більше, ніж плану-
вала. Скільки сторінок вона друкувала щогодини?
38.7. ’ Перший насос перекачує 90 м3 води на 1 год швидше, ніж
другий 100 м3. Скільки води щогодини перекачує кожен насос,
якщо перший перекачує за годину на 5 м3 води більше, ніж
другий?
38.8. г Робітник мав за певний час виготовити 72 дедалі. Проте
щодня він виготовляв на 4 деталі більше, ніж планував, і за-
кінчив роботу на 3 дні раніше терміну. За скільки днів він
виконав роботу?
38.9. ’ Катер пройшов 16 км за течією річки і 30 км проти течії,
витративши на весь шлях 1 год 30 хв. Знайдіть власну швид-
кість катера, якщо швидкість течії становить 1 км/год.
38.10. ' Човен проплив 15 км за течією річки і повернувся назад,
витративши на зворотний шлях на 1 год більше. Знайдіть
швидкість човна за течією річки, якщо швидкість течії стано-
вить 2 км/год.
38.11. * За течією річки від пристані відійшов пліт. Через 4 год від
цієї пристані в тому самому напрямку відійшов човен, який
наздогнав пліт на відстані 15 км від пристані. Знайдіть швид-
кість течії, якщо власна швидкість човна становить 12 км/год.
38.12. * Катер проплив 45 км за течією річки і 28 км проти течії,
витративши на весь шлях 4 год. Знайдіть швидкість течії,
якщо власна швидкість катера становить 18 км/год.
5
38.13. * Турист проїхав — всього шляху на катері, а. решту — на
автомобілі. Швидкість автомобіля на 20 км/год більша за
швидкість катера. Автомобілем він їхав на 1 год ЗО хв менше,
ніж катером. Знайдіть швидкість автомобіля й швидкісі , ка-
тера, якщо всього турист подолав 160 км.
38.14. * Міжміський автобус мав проїхати 72 км. Коли він проїхав
24 км, то був затриманий біля залізничного переїзду на 12 хв.
Потім він збільшив швидкість на 12 км/год і прибув у пункт
призначення із запізненням на 4 хв. Знайдіть початкову швид-
кість автобуса.
38.15. ' Група школярів виїхала на екскурсію з міста А до міста В
автобусом, а повернулася до міста А залізницею, витративши
на зворотний шлях на ЗО хв більше, ніж на шлях до міста В.
Знайдіть швидкість поїзда, якщо вона на 20 км/год менша,
ніж швидкість автобуса, довжина шосе між містами А і В
становить 160 км, а довжина залізниці — 150 км.
38.16. * Турист проплив на байдарці 4 км по озеру і 5 км за течією
річки за той самий час, за який проплив би 6 км проти течії.
З якою швидкістю турист плив по озеру, якщо швидкість течії
дорівнює 2 км/год?
38.17. Теплохід пройшов 16 км по озеру, а потім 18 км по річці,
яка бере початок з цього озера, за 1 год. Знайдіть швидкість
теплохода в стоячій воді, якщо швидкість течії становить
4 км/год.
38.18. * Знаменник звичайного дробу на 3 більший за його чисель-
ник. Якщо іисельник цього дробу збільшити на 4, а знамен-
ник — на 8, то отриманий дріб буде на більший за даний.
6
Знайдіть даний дріб.
і 19.' Чисельник звичайного дробу на 5 менший від його зна-
менника. Якщо чисельник цього дробу зменшити на 3, а зна-
менник збільшити на 4, то отриманий дріб буде на менший
О
під даного. Знайдіть цей дріб.
18.20." Два робітники, працюючи разом, можуть виконати вироб-
ниче завдання за 20 днів. За скільки днів може виконати це
завдання кожен із них, працюючи самостійно, якщо одному
для цього потрібно на 9 днів більше, ніж другому?
38.21." Одному маляру треба на 5 год більше, ніж другому, щоб
пофарбувати фасад будинку. Коли перший маляр пропрацював
З год, а потім його змінив другий, який пропрацював 2 год, то
виявилося, що пофарбовано 40 % фасаду. За скільки годин мо-
же пофарбувати фасад кожний маляр, працюючи самостійно?
.8.22.' Першого дня тракторист працював на оранці поля 6 год.
Наступного дня до нього приєднався другий тракторист, і че-
рез 8 год спільної роботи вони закінчили оранку. За скільки
годин може зорати це поле кожний тракторист, працюючи
окремо, якщо першому для цього потрібно на 3 год менше,
ніж другому?
38.23." До розчину, який містить 20 г солі, додали 100 г води,
після чого концентрація солі зменшилася на 10 %. Скільки
грамів води містив розчин спочатку?
8.2^ , Сплав міді й цинку, який містив 10 кг цинку, сплавили
із 10 кг міді. Одержаний сплав містить на 5 % міді більше,
ніж початковий. Скільки кілограмів міді містив початковий
сплав?
38.25. "’ Через 2 год 40 хв після відправлення плоту від пристані
А за течією річки назустріч йому від пристані В відійшов ка-
тер. Знайдіть швидкість течії річки, якщо пліт і катер зустрі-
лися на відстані 14 км від пристані А, швидкість катера в сто-
ячій воді дорівнює 12 км/год, а відстань між пристанями А
і В дорівнює 32 км.
38.26. " До басейну підведено дві труби. Через першу трубу басейн
наповнюють водою, а через другу спорожнюють, причому для
спорожнення басейну треба на 1 год більше, ніж на його на-
повнення. Якщо ж відкрити обидві труби одночасно, то басейн
наповниться водою за ЗО год. За скільки годин можна напов-
нити порожній басейн водою через першу трубу?
33.27. * ’ Для наповнення басейну через першу трубу треба стільки
часу, як і для наповнення через другу й третю труби одночас-
но. Через першу трубу басейн наповнюється на 2 год швидше,
ніж через другу, і на 8 год швидше, ніж через третю. Скільки
часу потрібно для наповнення басейну через кожну трубу?
38.28. ** Автобус мав проїхати відстань між двома містами, яка
дорівнює 400 км, з деякою швидкістю. Проїхавши 2 год із
запланованою швидкістю, він зупинився на 20 хв і, щоб при-
бути у пункт призначення вчасно, збільшив швидкість руху
на 10 км/год. З якою швидкістю автобус мав проїхати відстань
між містами?
38.29. *' Робітник мав за певний строк виготовити 360 деталей.
Перші 5 днів він виготовляв щоденно заплановану кількість
деталей, а потім щодня виготовляв на 4 деталі більше й уже
за день до строку виготовив 372 деталі. Скільки деталей щодня
мав виготовляти за планом робітник?
38.30. * Щоб виконати певне виробниче завдання, одному робіт-
никові треба на 12 год менше, ніж другому, і на 4 год більше,
ніж обом робітникам для спільного виконання завдання. За
скільки годин може виконати це завдання перший робітник?
§ 7. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ
з».
Подільність націло та її властивості
З властивостями подільності націло ви познайомилися в 6 кла-
сі. Вивчаючи цей параграф, ви не тільки навчитеся їх доводити,
але й ознайомитеся з низкою нових понять і теорем, пов’язаних
з подільністю цілих чисел.
<)значення. Кажуть, що ціле число а ділиться націло
на ціле число Ь, Ь 0, якщо існує таке ціле число к, що а = Ьк.
Якщо а ділиться націло на Ь, то пишуть: а : Ь. Наприклад,
12 : -3, 0 : 1000, -2 : -1.
Якщо а : Ь, то число Ь називають дільником числа а, а чис-
ло а — кратним числа Ь. Також кажуть, що число а кратне чис-
лу Ь.
Наприклад, {-4, 4, -2, 2, —1, 1} — множина дільників числа 4;
{З/? | к є 2} — множина чисел, кратних числу 3.
Розглянемо основні властивості подільності націло (буквами
позначено цілі числа).
1. Якщо а 0, то а : а.
2. Якщо а Ф 0, то 0 : а.
3. Якщо а : Ь, то ка : Ь.
4. Якщо а : Ь і Ь : с, то а : с.
5. Якщо а : т і Ь : п, то аЬ : тп.
6. Якщо а : с і Ь : с, то (а ± Ь) : с.
Ці властивості доводять за допомогою означення ділення на-
ціло. Доведемо, наприклад, властивість 6 (решту властивостей
доведіть самостійно).
Оскільки а : с і Ь : с, то існують такі цілі числа т і п, що
а = тс і Ь = пс.
Маємо: а ± Ь = тс ± пс = (т ± п) с. Оскільки (т ± п) є 2, то
за означенням ділення націло (а ± Ь) : с.
ПРИКЛАД 1 Цілі числа а, Ь і с такі, що (а + Ь): с, аЬ : с. Доведіть,
що (а3 - &3) : с.
Розв’язання. Маємо: а3 — Ь3 = (а — Ь) (а2 + аЬ + Ь2) = (а — Ь) х
х ((а + Ь)2 - аЬ). Оскільки (а + Ь)2 : с і аЬ : с, то за властивістю 6
((а + Ь)2 - аЬ) : с. Тоді з властивості 3 випливає справедливість
твердження, що доводиться.
ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть у цілих числах рівняння
х2 + ху - х - у = 5.
Розв’язання. Розв’язати рівняння з двома змінними в цілих
числах означає знайти всі пари цілих чисел, які є розв’язками
цього рівняння.
Розкладемо ліву частину рівняння на множники:
х (х + у) - (х + у) = 5; (х + у) (х - 1) = 5.
Звідси отримуємо, що значення виразів х + і/ і х - 1 є дільни-
ками числа 5. Тоді можливі чотири випадки:
Іх + у = 5, |у = 3,
’ [х-1 = 1; |х = 2;
2) |х + у = 1’ (^ = -5’
[х - 1 - 5; |х = 6;
їх + у =-5, (у = -5,
|х -1 = -1; [х = 0;
[х + у = -1, (у = З,
[х -1 = -5; [х = -4.
Відповідь: (2; 3); (6; -5); (0; -5); (-4; 3).
ПРИКЛАД З Розв’яжіть у цілих числах рівняння х2 — у2 = 14.
Розв’язання. Маємо: (х + у) (х — у) = 14. Далі можна скориста-
тися методом, описаним у прикладі 2. Проте набагато зручніше
керуватися таким очевидним міркуванням: значення виразів х + у
і х - у завжди мають однакову парність (або обидва парні, або
обидва непарні), отже, їх добуток є або числом непарним, або
числом, яке кратне 4.
Тепер зрозуміло, що рівняння, яке розглядається, не має
розв’язків у цілих числах.
ПРИКЛАД 4 Цілі числа х і у такі, що (6х + Ну) : 31. Доведіть,
що (х + 7у) : 31.
Розв’язання. Маємо: х + 7у = 31 (х + 2 у) — 5 (6х + Ну).
Оскільки 31 (х + 2у) : 31, а з умови і властивості 3 випливає, що
5 (6х + Ну) : 31, то за властивістю 6 різниця, що розглядається,
кратна 31.
ПРИКЛАД Доведіть, що коли Р (х) — многочлен з цілими ко-
< <|ч (центами, то для будь-яких цілих чисел р і д, р Ф д, (Р (р) — Р (д)):
(р - д).
Розв’язання. Нехай
Р (х) = а хл + а ,хп”1 + а „х"“2 + ... + а.х + а..
Тоді
/’ (Р) - Р (9) = ап (рп - д") + ап , (р" 1 - дп ’ *) + ... + аг (р - д).
З формули розкладання на множники виразів виду ал — Ьл
випливає, що різницю Р (р) — Р (д) можна подати у вигляді (р - д) к,
де Л є 2.
• 1. Колі, кажуть, що ціле число а ділиться націло на ціле чис-
ло Ь?
2. Що означає запис а : Ь?
3. Яке число називають дільником числа а?
4. Яке число називають кратним числа д?
5. Сформулюйте властивості подільності націло.
39.1. ° Число а кратне 5. Доведіть, що 8а : 40.
£ 2 Число Ь кратне 7. Доведіть, що 6Ь : 42.
39.3. ° Число т кратне 6. Доведіть, що (т2 — 4т) : 12.
39.4. ° Число п кратне 4. Доведіть, що (и2 + 8л) : 16.
39.5. ° Числа с і (І такі, що с : 4, д, : 6. Доведіть, що (6с + 4с?) : 24.
9.6.' Числа рід такі, що р : 5, д : 8. Доведіть, що (8р - 5д) : 40.
О-* 39.7.° Доведіть, що коли а : с і (а + Ь) : с, то Ь : с.
39.8.° Числа а і Ь такі, що кожне з чисел а + 3 і Ь + 29 кратне 13.
Доведіть, що число а — Ь також кратне 13.
9.9 Числа тіп такі, що кожне з чисел т + 5 і 39 - п крат-
не 17. Доведіть, що число т + п також кратне 17.
39.10.° Доведіть, що (аЬ + Ьа) : 11.
9 11.° Доведіть, що (аЬ - Ьа) : 9.
39.12.° Доведіть, що (аЬс + Ьса + сак) : 111.
9 ІЗ." Доведіть, що (аЬс - сЬа) : 99.
39.14.° Доведіть, що । при будь-яких значеннях а і Ь значення
виразу а2Ь - Ь2а є парним числом.
39.15." Числа а, Ь, т такі, що ат : (а + Ь). Доведіть, що Ьт : (а + Ь).
1 У цьому пункті буквами позначено цілі числа. Випадки, коли бук-
вою позначено натуральне число, будуть обумовлені окремо.
39.16. ' Числа х, у, г такі, що хг : (з - у). Доведіть, що ху : (г - у).
39.17. * Числа т, п, к такі, що (т - п) : к і тп : к. Доведіть, що
(тп3 + п3) : к.
39.18. * Числа а, Ь, т, п такі, що (аЬ — тп) : (Ь - т). Доведіть, що
(ат - Ьп) : (Ь - т).
39. 9 ’ Числа а, Ь, с, сі такі, що (аЬ + ссі) : (а + с). Доведіть, що
(а<1 + Ьс) : (а + с).
39.20. ' Розв’яжіть у цілих числах рівняння:
1) 9х2 - у2 = 6; 4) х? - 4ху + Зу2 = 3;
2) х2 + 2ху = 2х + 9; 5) х2 + ху - 6у2 = 6;
3) х2 + 2ху - х - 2у = 4; 6) х2 - 2ху - Зу2 + х + у = 14.
39.21. ' Розв’яжіть у цілих числах рівняння:
1) х2 - 4у2 = 5; 3) х2 - Зху + Зу - х = 10;
2) у2 + Зху = 15 + у; 4) 2у2 - ху - х2 = 2.
39.22. * Розв’яжіть у цілих числах рівняння:
1) ху = х + у; 2) ху - х - 2у = 5.
39.23. ' Розв’яжіть у цілих числах рівняння 2ху + 2х — Зу - 4 = 0.
39.24. * Доведіть, що при будь-яких непарних натуральних зна-
ченнях п значення виразу 1" + 2" + 3" + ... + 9":
1) кратне 5; 2) не кратне 10.
39.25. г Доведіть, що при будь-яких непарних натуральних зна-
ченнях п > 1 значення виразу 1" + 2" + 3" + ... + 99" крат-
не 100.
39.26. ' Чи існує многочлен Р (х) з цілими коефіцієнтами такий,
що Р (1) = 17, Р (9) = 53?
39.27. ' Знайдіть усі двоцифрові числа аЬ такі, що значення ви-
разу аЬ-Ьа є квадратом натурального числа.
39.28. ' Чи існує таке трицифрове число аЬс, що значення виразу
аЬс — сЬа є квадратом натурального числа?
39.29. ' Чи існує таке трицифрове число аЬс, що значення виразу
аЬс + Ьса + саЬ є квадратом натурального числа?
39.30. " Числа х і у такі, що значення виразу Зх + 8у кратне 19.
Доведіть, що значення виразу ІЗх + Зу кратне 19.
39.31. *’ Числа с і <1 такі, що значення виразу 2с + 5с/ кратне 17.
Доведіть, що значення виразу 11с + 2сі кратне 17.
39.32. '* Числа х і у такі, що (Зх + Юу) : 13. Доведіть, що
(Зх + Юу) (Зу + Юх) : 169.
39.33. *’ Натуральні числа т і п такі, що п2 : (т + п). Доведіть,
що тп3 ’: (т + п).
і >.34." Натуральні числа а і Ь такі, що а3 : (а2 + Ь2). Доведіть,
що Ь4 : (а2 + Ь2).
39.35. " Трицифрове число аЬс кратне числу 37. Доведіть, що
сума чисел Ьса і саЬ також кратна числу 37.
9.36." Цифри а і Ь трицифрового числа т = аЬа такі, що
(а + Ь) : 7. Доведіть, що т : 7.
39.37." Сума п’яти натуральних чисел дорівнює 200. Чи може
остання цифра їх добутку бути рівною 7?
9.38.*' На який найбільший степінь числа 2 може ділитися на-
діло значення виразу 32п +1 + 1 при п є N7
О-» 39.39." Доведіть, що кількість дільників квадрата натураль-
ного числа — число непарне. Сформулюйте і доведіть оберне-
не твердження.
39.40.* П’ятицифрове число А = аЬссІе кратне числу 41. Доведіть,
що число В = Ьсаеа також кратне числу 41.
9.41. Шестицифрове число А = аЬссІе/ кратне числу 37. До-
ведіть, що число В = Ьссіеїа також кратне числу 37.
39.42. * Дано 19-цифрове число, десятковий запис якого не містить
нулів. Доведіть, що в запису цього числа можна закреслити
кілька цифр так, щоб число, отримане в результаті, було крат-
ним числу 111.
39.43. * Дано многочлен Р (х) з цілими коефіцієнтами. Різні чис-
ла а, Ь і с такі, що Р (а) = Р (Ь) = Р (с) = —1. Доведіть, що не
існує такого х0 є 2, що Р (х0) = 0.
40.
Ділення з остачею. Конгруенції та їх властивості
З курсу математики молодших класів ви знаєте, що коли на-
туральне число а не ділиться націло на натуральне число Ь і а > Ь,
то можна виконати ділення з остачею.
Наприклад, при діленні числа 47 на 5 у частці отримуємо 9,
а в остачі 2. Пишуть: 47 : 5 = 9 (ост 2) або 47 = 5 • 9 + 2 і кажуть,
що число 47 при діленні на 5 дає в остачі число 2.
Розширимо тепер поняття «ділення з остачею» на випадок,
коли ділене є цілим числом.
Теорема 40.1. Для будь-якого цілого числа а і натурального
числа Ь існує єдина пара цілих чисел ці г таких, що а = Ьц + г,
де 0 < г < Ь.
Якщо г Ф 0, то число д називають неповною часткою. Число г
називають остачею.
Наступні приклади ілюструють цю теорему.
Для чисел а = 2, Ь = 7 існує пара д = 0 і г = 2, тобто
2 = 7-0 + 2.
Для чисел а = —2, Ь = 5 існує пара д = — 1 і г = 3, тобто
—2 = 5-(-1) + 3.
Для чисел а = -8, Ь = 4 існує пара д = — 2 і г = 0, тобто
-8 = 4-(-2) + 0.
Тепер доведемо теорему.
Доведення. Якщо а : Ь, то існує єдине ціле число д таке, що
а = Ьд. У цьому випадку г = 0.
Нехай тепер а не ділиться націло на Ь. Зобразимо на коорди-
натній прямій множину чисел, кратних Ь (рис. 40.1):
» —•— —•-----1— -•------•----•-----•----»----•----•—Ц
-5Ь -4Ь -ЗЬ -2Ь -Ь 0 Ь 2Ь ЗЬ 4Ь 5Ь
Рис. 40.1
Число а не збігається з жодною з позначених точок і належить
одному з проміжків виду (Ьд; Ьд + Ь), тобто Ьд < а < Ьд + Ь
(рис. 40.2). Звідси 0 < а - Ьд < Ь.
Позначимо різницю а — Ьд буквою г.
, °, г Тоді 0 < г < Ь.
їх] Ьд + Ь Маємо: а — Ьд = г, а = Ьд + г.
Оскільки проміжок (Ьд; Ьд + Ь), якому
Рис. 40.2
належить число а, визначається одно-
значно, то однозначно визначається й пара чисел д і г. А
З доведеної теореми випливає, наприклад, що будь-яке ціле
число при діленні на 2 дає в остачі або 0, або 1. Ми цим часто
користуємось, розбиваючи множину цілих чисел на дві підмно-
жини, які не перетинаються: множину парних чисел {2к | к є ї}
і множину непарних чисел {2к +1 | к є X}.
При діленні цілого числа на 3 можна отримати тільки такі
остачі: 0, 1, 2. Тому множину ї можна розбити на 3 підмножини,
які не перегинаються:
ї = {Зк | к є 2} ЦІ {Зк + 1 | к є 2} О [Зк + 2 | к є 2}.
Узагалі, для заданого натурального числа т, де т > 1, мно-
жину 2 можна розбити на т підмножин, які не перетинаються,
таким чином, що першій підмножині належатимуть усі числа,
які при діленні на т дають в остачі 0, другій — які дають в ос-
тачі 1, третій — які дають в остачі 2, і т. д., т-й — які дають
в остачі т - 1:
' , = {тк | к є 2} О {тк + 1 | к є 2} С ... І) {тк + т - 1 | к є 2}.
Теорема 40.2. Якщо цілі числа аіЬ при діленні на натураль-
не число т дають однакові остачі, то (а — Ь) : т.
Доведення. Нехай а = тдх + г, Ь = тд2 + г, де 0 < г < т. Тоді
а Ь = т (дх~ <у2). Звідси (а - Ь) : т. ▲
Справедлива й обернена теорема.
Теорема 40.3. Якщо цілі числа а і Ь такі, що (а — Ь) : т, де
т є ІЧ, то числа а ІЬ дають однакові остачі при діленні на т.
Скориставшись методом доведення від супротивного, доведіть
цю теорему самостійно.
Означення. Цілі числа а і Ь називають конгруентними
за модулем т (т є ІЧ), якщо остачі при діленні їх на число т
рівні.
Пишуть а = Ь (той т). Такий запис називають конгруенцією.
Читають: «а конгруентне Ь за модулем т».
Наприклад, 5 = 8 (тосі 3), 7 - -1 (тосі 4), 18 - 0 (той 9),
25 = 35 (тосі 5).
Поняття конгруентності за модулем впровадив у математику
видатний німецький математик Карл Фрідріх Гаусе.
Роботи Гаусса справили значний
вплив на розвиток алгебри, теорії
чисел, диференціальної геометрії,
теорії електрики і магнетизму, гео-
дезії, теоретичної астрономії.
Карл Фрідріх Гаусе
(1777-1855)
Теорема 40.4. Для того щоб цілі числа аіЬ були конгруент-
ними за модулем т, де т є К, необхідно й достатньо, щоб
різниця а - Ь ділилася націло на т.
Справедливість цієї теореми випливає з теорем 40.2 і 40.3.
Переконайтеся в цьому самостійно.
Розглянемо основні властивості конгруенцій (буквами а, Ь, с,
(І позначено цілі числа, т і п — натуральні).
1. Якщо а = Ь (той т), Ь = с (той т), то а = с (той т).
2. Якщо а = Ь (той т), то а + с = Ь + с (той т).
3. Якщо а = Ь (той т), то ас = Ьс (той т).
4. Якщо а = Ь (той т) і с = й (той т), то а + с = Ь±<1 (той т).
5. Якщо а = Ь (той т) і с = й (той т), то ас = Ь<і (той т).
6. Якщо а = Ь (той т), то а" = Ьп (той т).
Доведемо властивість 5.
З умови випливає, що (а — Ь) : т, тобто а = Ь + ті , де є 2.
Також (с — й) : т, тобто с = й + ті2, де і2 є 2.
Маємо:
ас - Ьсі = (Ь + ті.) (й + ті.) — Ьсі = Ьті. + сіті, + т2іі =
= т (Ьі2 + йіг + ті^.
Отже, (ас - Ьй) : т. Тоді ас = Ь<і (той т).
Доведемо властивість 6.
Маємо:
ал - Ьл = (а - Ь) (а"'1 + ал2Ь + ... + аЬл~2 + Ьп1).
З умови випливає, що (а - Ь) : т. Тоді (ал — Ьл) : т.
Решту властивостей доведіть самостійно.
Властивості 4 і 5 узагальнюються й для тих випадків, коли
конгруенцій більше двох.
Якщо а1 = (той т), а2 = Ь2 (той т), ..., ап = Ьп (той т), то
а, + а„ + ... + а = Ь, + Ь„ + ... + Ь (той т) і
а,а-...‘а = Ь,Ь- ...’Ь (той т).
ПРИКЛАД 1 Непарне число т ділиться націло на 3. Чому дорів-
нює остача при діленні числа т на 6?
Розв’язання. При діленні цілого числа на 6 можуть бути отри-
мані остачі 0, 1, 2, 3, 4, 5. Тому будь-яке ціле число можна по-
дати в одному з таких виглядів:
6/г, 6/г + 1, 6/г + 2, 6/г + 3, 6к + 4, 6к + 5, де к є 2.
З цих чисел кратні 3 тільки числа виду 6к і 6/г + 3. Оскільки
число т непарне, то воно може бути тільки виду 6/г + 3. Отже,
число т при діленні на 6 дає в остачі 3.
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що серед п’яти послідовних цілих чисел
є тільки одне, яке кратне 5.
Разе’язання. Розглянемо п’ять послідовних цілих чисел: п,
п+1, п + 2, и + 3, п + 4. Оскільки модуль різниці будь-яких
двох таких чисел менший від 5 і не дорівнює нулю, то він не ді-
питься націло на 5. Отже, усі ці п’ять чисел дають різні остачі
при діленні на 5. Різних остач при діленні на 5 також 5. Отже,
одне з цих чисел при діленні на 5 дає в остачі 0.
Зауваження. Міркуючи аналогічно, можна довести, що
<< ред т послідовних цілих чисел є тільки одне, яке кратне пі.
О-ш ПРИКЛАД З Чому може дорівнювати остача при діленні
числа п4 на 5, де п є 2?
Розв’язання. Має місце одна з п’яти конгруенцій: п = 0 (той 5),
п = 1 (той 5), п = 2 (той 5), п = 3 (той 5), п = 4 (той 5).
Піднесемо обидві частини кожної з цих конгруенцій до чет-
вертого степеня.
п4 = 0 (той 5),
п4 = 1 (той 5),
п4 = 16 (той 5) = 1 (той 5),
п4 = 81 (той 5) = 1 (той 5),
п4 = 256 (той 5) - 1 (той 5).
Отже, при діленні числа п4 на 5 в остачі можуть бути отримані
тільки числа 0 і 1.
ПРИКЛАД 4 Доведіть, що при будь-якому натуральному п зна-
чення виразу 24" + 3 + 13-З2" кратне 7.
Розв’язання. Маємо:
24" + 3 + 13 • З2" = 8 • 16" + 13 • 9".
Очевидно, що 16 = 9 (той 7). Застосовуючи послідовно влас-
тивості 6, 3, 2 конгруенцій, запишемо:
16" = 9" (той 7),
8 • 16" = 8 • 9" (той 7),
8-16" + 13-9" = 8-9" + 13-9" (той 7),
8-16" + 13-9" = 21-9" (той 7).
Права частина останньої конгруенції при діленні на 7 дає в
остачі 0. Отже, така властивість притаманна й лівій частині кон-
груенції.
ПРИКЛАД 5 Знайдіть остачу від ділення числа 729 на 5.
Розв’язання. Задача зводиться до того, щоб знайти ціле чис-
ло х, яке задовольняє дві умови: 0<х<5і 729 = х (той 5). Маємо:
72 = -1 (той 5);
728 = (-1)14 (той 5) = 1 (той 5);
729 = 7 (той 5) = 2 (той 5).
Отже, шуканою остачею є число 2.
Розв’язання цієї задачі припускає й інші схеми. Наприклад,
7 = 2 (той 5);
74 е= 24 (той 5) е= 1 (той 5);
728 = І7 (той 5);
729 = 7 (той 5) = 2 (той 5).
ПРИКЛАД 6 Доведіть, що з п + 1 натуральних чисел завжди
можна вибрати два таких, що їх різниця ділиться націло на п.
Розв’язання. При діленні цілих чисел на п. можна отримати п
різних остач: 0, 1, ..., п - 1. Оскільки заданих чисел п + 1, то
щонайменше два з них дають однакові остачі при діленні на п.
Тоді їх різниця буде ділитися націло на п.
?—--------------------------------------------------------
• 1. Сформулюйте теорему про ділення з остачею.
2. Яку властивість має різниця цілих чисел а і Ь, які при ді-
ленні на натуральне число т дають однакові остачі?
3. Яку властивість мають остачі при діленні цілих чисел а і Ь
на натуральне число т, якщо (а - Ь) : тп?
4. Які числа називають конгруентними за модулем тп, де тп є ІЧ?
5. Сформулюйте необхідну й достатню умову того, що цілі
числа а і Ь конгруентні за модулем т, де т Е N.
6. Сформулюйте властивості конгруенцій.
40.1. ° Знайдіть неповну частку і остачу при діленні числа1 а на
число Ь, якщо:
1) а = 253, Ь = 19; 3) а = -26, 6 = 3;
2) а = 8, Ь = 13; 4) а = -1, 6=7.
К 2 Знайдіть неповну частку і остачу при діленні числа т. на
число п, якщо:
1) тп = 9, п = 15; 2) тп = -31, п = 10; 3) тп = -6, п = 11.
40.3. ° Які остачі можна отримати при діленні цілого числа на 7?
. Задайте всі множини, кожна з яких складається з усіх
цілих чисел, які мають однакові остачі при діленні на 4.
40.5. ° Дано множини А, В, X, які попарно не перетинаються,
ї АМ В V X = Знайдіть множину X, якщо А = {ЗА | к є й},
В = {ЗА + 2 | к е 2}.
40.6. ° Яку остачу при діленні на 3 дає число виду Зк - 2, де к є 2?
40.7." Яку остачу при діленні на 6 дає число виду 6п — 1, де п є 2?
1 Тут і далі буквами позначено цілі числа.
<0.8.° Відомо, що при діленні числа т на 18 остача дорівнює 11.
Знайдіть остачу при діленні числа т: 1) на 2; 2) на 3; 3) на 6;
і) на 9.
н> у. Відомо, що при діленні числа п на 16 остача дорівнює 9.
Знайдіть остачу при діленні числа п: 1) на 2; 2) на 4; 3) на 8.
10.10.° Число т кратне 6. Чому може дорівнювати остача при
діленні числа т на 18?
Ю.1І. Число п кратне 4. Чому може дорівнювати остача при
діленні числа т на 16?
40.12. ° Число а при діленні на 6 дає в остачі 3, а при діленні на 4
дає в остачі 1. Знайдіть остачу при діленні числа а на 12.
І0.13. Число Ь при діленні на 5 дає в остачі 2, а при діленні на З
дає в остачі 1. Знайдіть остачу при діленні числа Ь на 15.
10.14. ° Число т дає рівні остачі при діленні на 3 і на 4. Чому
може дорівнювати остача при діленні числа т на 12?
40.15.° Замість знака * запишіть таке найменше невід’ємне чис-
ло, щоб отримана конгруенція була правильною:
1) 56 = * (той 8); 4) * = 3 (той 15);
2) 23 = * (той 7); 5) * = -2 (той 18);
3) -43 = * (той 5); 6) * = 6 (той 2).
і В. 6 Замість знака * запишіть таке найменше невід’ємне чис-
ло, щоб отримана конгруенція була правильною:
1) 84 = * (той 9); 3) * = -3 (той 11).
2) -26 = * (той 6);
40.17. ° Відомо, що а = —11 (той 8), Ь = -2 (той 8). Знайдіть ос-
тачу при діленні на 8 числа: 1) а + Ь; 2) а - Ь; 3) 2а - 35; 4) аЬ;
5) а2; 6) Ь3.
(0.18.' Відомо, що а = — 4 (той 6), Ь = -9 (той 6). Знайдіть оста-
чу при діленні на 6 числа: 1) За + 45; 2) а2 - 5; 3) 52 + 5а.
0.19 Чи існує ціле число, яке при діленні на 6 дає остачу 4,
а при діленні на 9 остачу 5?
О—шг 40.20.’ Доведіть, що остача при діленні на 3 квадрата ціло-
го числа може дорівнювати тільки 0 або 1.
О—ж 40.21.’ Доведіть, що остача при діленні на 4 квадрата ціло-
го числа може дорівнювати тільки 0 або 1.
О"» 10.22. Доведіть, що квадрат непарного числа при діленні
на 8 дає в остачі 1.
О-ж 40.23.’ Чому може дорівнювати остача при діленні числа т3
на 7?
О-ж ,0.21 Чому може дорівнювати остача при діленні числа к3
на 9?
40.25. ’ Числа а і Ь такі, що а2 + Ь2 = 0 (той 3). Доведіть, що
а = 0 (тосі 3) і Ь - 0 (тосі 3).
40.26. ’ Числа ті п такі, що т2 + п2 = 0 (тосі 7). Доведіть, що
т = 0 (тосі 7) і п = 0 (тосі 7).
40.27. ’ Відомо, що (а2 + Ь2) : 3. Доведіть, що (а2 + Ь2) : 9.
40 28. Відомо, що (т2 + п2) : 7. Доведіть, що (т2 + п2) : 49.
40.29. ’ Розв’яжіть у цілих числах рівняння:
1) х2 - Зу = 8; 3) т3 - 7п2 = 19;
2) х2 - 4у3 = 11; 4) г3 - 91 = 16.
40.30. Розв’яжіть у цілих числах рівняння:
1) х2 - Зу2 = 17; 3) 8х3 + 7 у3 = 38;
2) 9х2 - 28у = 15; 4) 16х4 - 5у3 = 18.
40.31. ' Використовуючи конгруенції, доведіть, що при будь-яко-
му натуральному значенні п. значення виразу:
1) 11" + 14 • 6” кратне 5; 5) 52" +1 + 2" + 4 + 2" +1 кратне 23;
2) З2" + 11 • 5" кратне 4; 6) З3" + 2 + 5 • 23п +1 кратне 19;
3) 21" + 22" ’ 4 кратне 17; 7) 5" + 8" - 2" + 1 кратне 3;
4) 4 • 13" + 37" + 1 кратне 6; 8) 2" + 5 • З4" + 53" +1 кратне 37.
40.32. ’ Використовуючи конгруенції, доведіть, що при будь-яко-
му натуральному значенні п значення виразу:
1) 17" + 25-4" кратне 13; 4) б2" + 3" + 2 + 3" кратне 11;
2) 16" + 42" + 1 кратне 5; 5) 17 • 212" +1 + 9 • 432" +1 кратне 8;
3) 15" + 23" - ЗО кратне 7; 6) 25" + 3 + 5" • 3" + 2 кратне 17.
40.33. ’ Знайдіть остачу від ділення числа а на число Ь, якщо:
1) а = 5", 6 = 3; 3) а = З101, 6 = 7;
2) а = 736, 6 = 4; 4) а = З70 + 252, 6 = 5.
40.34. " Знайдіть остачу від ділення числа т на число п, якщо:
1) т = II43, п = 7; 3) т = З30, п = 31.
2) т = ІЗ52, п = 17;
40.35. ’ Сума остач від ділення натурального числа п на числа З,
6 і 9 дорівнює 15. Знайдіть ці остачі.
40.36. ” Доведіть, що серед чисел виду 4" + 4"’ (т і п — натураль-
ні числа) немає жодного квадрата натурального числа.
40.37. ” Доведіть, що серед чисел виду 5" + 5"1 (т і п — натураль-
ні числа) немає жодного квадрата натурального числа.
40.38. ” Поо числа т, п, р, у, г, 8 відомо, що т2 + п2 + р2 + д2 +
+ г2 = в2. Доведіть, що хоча б одне з цих чисел парне.
40.39. ” Відомо, що р і у — непарні числа. Доведіть, що рівняння
х2 + рх + у = 0 не має раціональних коренів.
40.40. ” Числа ху, х2, ..., хк не діляться націло на 5, а значення
виразу х4 + х2 +... + х^ кратне 5. Доведіть, що 6:5.
10.41. ” Доведіть, що при жодному натуральному п значення ви-
разу 1 + п + п2 + п3 не є степенем числа 3.
10.42. ” Остача від ділення трицифрового числа п = аа.5 на деяке
одноцифрове число дорівнює 8. Знайдіть число п.
Остача від ділення трицифрового числа т = 2ЬЬ на деяке
одноцифрове число дорівнює 8. Знайдіть число т.
40.44. * Яку найбільшу кількість натуральних чисел від 1 до 100
можна вибрати так, щоб сума будь-яких двох з цих чисел ді-
лилася націло на 6?
40.45. * При діленні натурального числа п на 9 остача дорівнює
неповній частці, і при діленні п на 14 остача теж дорівнює
неповній частці. Знайдіть усі можливі значення п.
0 1< При діленні натурального числа п на 26 остача дорівнює
неповній частці, і при діленні п на 29 остача теж дорівнює
неповній частці. Знайдіть усі можливі значення п.
40.47. Доведіть, що існує безліч натуральних чисел, які не мож-
на подати у вигляді:
1) суми кубів двох натуральних чисел;
2) суми кубів трьох натуральних чисел.
40.48. * Доведіть, що серед натуральних степенів числа 2 існують
два таких, що їх різниця кратна числу 2009.
40.49. * Доведіть, що для будь-якого натурального числа п знай-
деться натуральне число, кратне п, у запису якого використо-
вуються тільки цифри 1 і 0.
40.50. * Відомо, що а + Ь + с = (а - Ь) (Ь - с) (с - а). Доведіть, що
значення виразу а + Ь + с є парним і кратним 27.
Найбільший спільний дільник і найменше спільне
кратне двох натуральних чисел.
Взаємно прості числа
Якщо кожне з чисел1 а і Ь ділиться націло на число сі, то чис-
ло <1 називають спільним дільником чисел а іЬ.
Зрозуміло, що <1 < а і й < Ь. Отже, множина спільних дільни-
ків чисел аіЬ є скінченною. Виберемо в цій множині найбільший
1 У цьому пункті буквами позначено натуральні числа. Випадки, коли
буквою позначено ціле число, будуть обумовлені окремо.
елемент. Його називають найбільшим спільним дільником чисел
а і & і позначають НСД (а; Ь).
Наприклад, НСД (18; 12) = 6, НСД (5; 6) = 1, НСД (7; 14) = 7.
Теорема 41.1. Якщо а > Ь, то НСД (а; Ь) = НСД (а - Ь; Ь).
Доведення. Нехай а : д і Ь : гі, тоді (а - Ь) : гі. Нехай (а - Ь) : гі1
і & : гі , тоді а : гі . Маємо, що будь-який спільний дільник чисел
а і Ь є спільним дільником чисел а — Ь і Ь. І навпаки, будь-який
спільний дільник чисел а — Ь і Ь є спільним дільником чисел а
і Ь. Отже, множина спільних дільників чисел а і Ь збігається
з множиною спільних дільників чисел а - Ь і Ь. Звідси НСД (а; Ь) =
= НСД (а - Ь; Ь). ▲
ПРИКЛАД 1 Знайдіть НСД (би + 3; Зп).
Розв’язання. За теоремою 41.1 можна записати
НСД (6п + 3; Зп) = НСД (6п + 3 - Зп; Зп) = НСД (Зп + 3; Зп) =
= НСД (Зп + 3 - Зп; Зп) = НСД (3; Зп) = 3.
Тепер ми познайомимося з іншим, більш загальним методом
знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел.
Якщо а : Ь, то очевидно, що НСД (а; Ь) = Ь.
Розглянемо випадок, коли а не ділиться націло на Ь. Для ви-
значеності вважатимемо, що а > Ь.
Лема1 1. Якщо а = Ьд + г, де 0 < г < Ь, то НСД (а; Ь) =
= НСД (Ь; г).
Доведення цієї леми аналогічне доведенню теореми 41.1. Про-
ведіть його самостійно.
З леми випливає, що знаходження НСД (а; Ь) зводиться до
знаходження НСД (Ь; г).
Позначимо через г остачу від ділення числа Ь на число г. Тоді
за лемою НСД (&; г) = НСД (г; г^. Далі позначимо через г2 остачу
від ділення числа г на число г . Тоді НСД (г; гх) = НСД (г ; г2) і т. д.
Випишемо відповідні рівності:
а = Ьд + г, 0 < г < Ь;
Ь = гд1 + гр 0 < ^ < г;
Г = ГД2 + Г2’ 0 < Г2 < Г1 ;
Г1 = Г2<13 + Г3’ 0 < Г3 < Г2 ;
1 Лемою називають допоміжну теорему,
яку використовують для
доведення інших теорем.
Маємо ланцюжок нерівностей Ь > г > г1 > г2 > г3 > ... > 0. Як
шічимо, остачі зменшуються. Отже, на якомусь кроці остача
дорівнюватиме нулю. Нехай гп — остання ненульова остача, тобто
г , = г а + г ;
п - 2 п - п
Г 1 = Г 7 . 1*
п 1 п*п+ 1
Із леми випливає, що
НСД (а; Ь) = НСД (&; г) = НСД (г; гх) = ... = НСД (г„_ 1? гп).
Оскільки г , : г , то НСД (г : г ) = г . Отже, НСД (а; Ь) = г .
Описаний метод знаходження НСД (а; Ь) називають алгорит-
мом Евкліда.
ПРИКЛАД 2 Знайдіть НСД (525; 231).
Розв’язання. 525 = 231 -2 + 63;
231 = 63-3 + 42;
63 = 42-1 + 21;
42 = 21-2 + 0.
Отже, НСД (525; 231) = 21.
ПРИКЛАД 3 Один майстер робить на довгій стрічці позначки
синім олівцем через кожні 25 см, а другий — червоним через
кожні 36 см, починаючи з одного й того самого місця. Чи може
яка-небудь синя позначка виявитися на відстані 1 см від якої-
небудь червоної?
Розв’язання. Нехай х і у — кількість позначок, зроблених
першим і другим майстрами відповідно. Відповідь на запитання
задачі буде позитивною, якщо рівняння 25х — 36і/ = 1 має
розв’язок у натуральних числах.
Застосуємо алгоритм Евкліда до чисел 36 і 25:
36 = 25-1 + 11;
25 = 11-2 + 3;
11 = 3-3 + 2;
З = 2-1 + 1.
Перепишемо ці рівності так:
11 = 36 - 25-1;
З = 25 - 11-2;
2 = 11 - 3-3;
1 = 3 - 2-1.
Звідси 1 = 3-2-1 = 3-(11-3-3) = 4-3-11 = 4(25-11-2)- 11 =
= 4-25 - 9-11 = 4-25 - 9 (36 - 25-1) = 13-25 - 9-36.
Отже, 13-25 - 9-36 = 1, тобто пара (13; 9) є розв’язком рів-
няння 25х — 36г/ = 1.
Виникає природне запитання: «Чому за допомогою алгоритму
Евкліда нам вдалося знайти цілі розв’язки розглядуваного рів-
няння?» Річ у тім, що справедливе таке твердження: рівняння
ах + Ьу = НСД (а; Ь) завжди має розв’язки в цілих числах, при-
чому один з розв’язків (х0; у0) можна знайти за допомогою алго-
ритму Евкліда. Більш того, усі цілі розв’язки цього рівняння
задаються формулами х = х0 - Ьі, у = у0 + аі, де і є 2. Цей факт
ви зможете довести на заняттях математичного гуртка.
Якщо числа а і Ь є дільниками числа к, то число к називають
спільним кратним чисел а і Ь.
Серед спільних кратних чисел а і Ь є найменше. Його назива-
ють найменшим спільним кратним чисел а і Ь і позначають
НСК (а; Ь).
Наприклад, НСК (8; 12) = 24, НСК (7; 8) = 56, НСК (64; 16) = 64.
Теорема 41.2. НСК (а; Ь) є дільником будь-якого спільного
кратного чисел а і Ь.
Доведення. Нехай НСК (а; Ь) = к і к± — спільне кратне чисел
аіЬ, к > к.
Припустимо, що кх не ділиться націло на к. Тоді к{ — ку + г,
де 0 < г < к. Звідси г = к1 — ку. Кожне з чисел кх і к кратне і а,
і Ь, отже, г : а і г : Ь, тобто г — спільне кратне чисел а і Ь. Проте
г < к. Отримали суперечність. А
Теорема 41.3. Якщо а : с і Ь : с, то — — спільне кратне
с
чисел а і Ь.
Доведення. З умови випливає, що існують такі числа т і п,
. , т . аЬ степ , „
що а = ст і о = сп. Тоді — =---= стп = ап = от. Отже, число
с с
аЬ . , А
— кратне числам а і о. А
с
Теорема 41.4. НСК (а; Ь)-НСД (а; Ь) = аЬ.
Доведення. Нехай НСК (а; Ь) = к, НСД (а; Ь) = д. Очевидно,
що число аЬ є спільним кратним чисел а і Ь. Тоді за теоремою
41.2 маємо аЬ : к. Отже, існує таке число с, що
аЬ = ск.
Оскільки к : а, то існує таке число т, що к = та. Маємо:
аЬ = ста. Звідси Ь = ст. Отже, Ь : с.
Аналогічно доводиться, що а : с. Отже, с — спільний дільник
чисел а і Ь. Тоді с? > с. З рівності аЬ = ск маємо:
= (1)
с й
З іншого боку, за теоремою 41.3 число є спільним кратним
чисел а і Ь. Отже,
З нерівностей (1) і (2) отримуємо, що — = к. ▲
а
Означення. Якщо НСД (а; Ь) = 1, то числа а і Ь називають
взаємно простими.
Наприклад. 9 і 25, 16 і 1, 28 і 29 — пари взаємно простих
чисел.
Теорема 41.5. Якщо НСД (а; Ь) = 1, то НСК (а; Ь) = аЬ.
Справедливість цього твердження випливає з теореми 41.4.
Теорема 41.6. Якщо НСД (Ь; с) = 1, а : Ь і а : с. то а : Ьс.
Доведення. Оскільки НСД (Ь; с) = 1, то НСК (Ь; с) = Ьс. З умо-
ви випливає, що а — спільне кратне чисел Ь і с. Тоді за теоремою
11.2 а : НСК (Ь; с), тобто а : Ьс. А
Теорема 41.7. Якщо НСД (а; Ь) = 1 і ас : Ь, то с : Ь.
Доведення. З умови випливає, що НСК (а; Ь) = аЬ. Також зро-
зуміло, що ас — спільне кратне чисел а і Ь. Отже, ас : аЬ. Тоді
існує таке число к, що ас = каЬ. Звідси с = кЬ. Отже, с : Ь. А
П« ІКЛАД 4 Доведіть, що значення виразу п3 - п ділиться наці-
ло на 6 при будь-якому значенні п.
Розв’язання. Маємо: п3 — п = (п - 1) п (п + 1). Оскільки з двох
"ослідовних натуральних чисел одне кратне 2, а з трьох послі-
довних натуральних чисел одне кратне 3, то за теоремою 41.6
значення даного виразу кратне 2-3, тобто 6.
ИКЛЛД 5 Розв’яжіть у натуральних числах рівняння х (у — І)2 =
- Яу.
Розв’язання. Очевидно, що у 1. Оскільки ліва частина рів-
няння кратна у - 1, то й права частина рівняння кратна у - 1.
Числа у і у — 1 взаємно прості (доведіть це самостійно). Тоді за
теоремою 41.7 маємо, що 8 : (у - І)2. Звідси (у — І)2 = 1 або
(у — І)2 = 4. З урахуванням у е N отримуємо у = 2 або у = 3. Далі
отримуємо, що х = 16 або х = 6.
Відповідь: (16; 2); (6; 3).
ПРИКЛАД 6 Доведіть, що коли а = Ь (тпосі тп), а • п, Ь • п,
НСД (т; п) = 1, то — = — (тосі т).
п п
Розв’язання. З умови випливає, що існують такі числа /г1 і /г2,
що а = пкх і Ь = пк2. Маємо: а — Ь = п (й1 - /?2) : т. Оскільки
НСД (т; п) = 1, то за теоремою 41.7 (кх - к2) : т, тобто кх =
к„ (той пг). Звідси — = — (той пг).
‘ п п
• 1. Яке число називають найбільшим спільним дільником чисел
а і Ь?
2. Чому дорівнює НСД (а; Ь), якщо а : б?
3. Опишіть алгоритм Евкліда.
4. Яке число називають найменшим спільним кратним чисел
а і Ь?
5. Чому дорівнює добуток НСК (а; Ь) НСД (а; б)?
6. Які числа називають взаємно простими?
7. Чому дорівнює найменше спільне кратне взаємно простих
чисел?
41.1.° Знайдіть НСД чисел:
1) 253 і 299; 2) 2491 і 2773.
41.2.° Знайдіть НСД чисел:
1) 899 і 1073; 2) 4757 і 5561.
41.3.° Доведіть, що для будь-якого п є М:
1) НСД (п; п + 1) = 1; 2) НСД (2и; 2п + 2) = 2.
41.4. Доведіть, що для будь-якого п є ІЧ:
1) НСД (и; 2п + 1) = 1; 2) НСД (8и 4- 4; 4п) = 4.
41.5.° Чому може дорівнювати НСД (а; Ь), якщо:
1) а = п, Ь = п + 2; 2) а = п, Ь = 4п + З?
41.6. Чому може дорівнювати НСД (а; Ь), якщо:
1) а = 2п + 1, Ь = 2п + 3; 2) а = 2п + 1, Ь = 8п + 7?
41.7.° Доведіть, що при будь-якому п є N є нескоротним дріб:
.. 4п + З 2\ + 1
’ 20п + 23’ ' 30п + 2'
» 8. Доведіть, що при будь-якому п є N є нескоротним дріб:
-. Зп +1
’ 15ге +14
2)
16п +1
40ге + 2'
41.9. Ціле число п кратне 3 і кратне 4. Чи правильно, що п
кратне 12?
41.10. ' Ціле число п кратне 6 і кратне 8. Чи правильно, що п
кратне 48?
41.11. " Доведіть, що при будь-якому пє 2 значення виразу:
1) п2 + п кратне 2; 3) п4 - п2 кратне 12.
2) п3 + Зп2 + 2п кратне 6;
12. Доведіть, що при будь-якому пє 2 значення виразу:
1) п2 - п кратне 2; 3) (п2 - 1) (п2 - 2п) кратне 24.
2) п3 + 11и кратне 6;
41.13 / Чи існують такі цілі числа а, Ь, с, що:
1) а + Ь + с + а2 + Ь2 + с2 = 1001;
2) а3 + Ь3 + с3 - а - Ь - с = 1004?
41.14 / Доведіть, що при будь-якому п є 2 є цілим числом зна-
чення виразу:
1Л ге (ге +1) (ге + 2) (ге + 3). ге5 - ге.
24 ’ ) 30 ’
3)
п5 - 5п3 + 4ге
120
11.15 / Доведіть, що при будь-якому п є 2 є цілим числом зна-
чення виразу:
і \ А 5л *
) 6 ’
п (п + І)2 (ге + 2).
* 12 ’
3)
(ге2 -1) (ге2 + 2ге)
24
41.16/ Знайдіть натуральні числа тп. і п, якщо:
1) ~ = \, НСД (гег; п) = 5;
Л о
2) ™ = А, НСК (т; п) = 88;
ге 11
3) НСД (т; ге) = 3, тп = 117;
4) НСД (т; п) = 7, НСК (т; п) = 1001.
1 17/ Знайдіть натуральні числа а і Ь, якщо:
1) £ = НСД (а; Ь) = 3; 2) НСК (а; Ь) = 224.
Ь 5 Ь 8
41.18." Від прямокутника розмірами 324 X 141 мм відрізають
квадрати зі стороною 141 мм, поки не залишиться прямокут-
ник, у якого довжина однієї сторони менша ніж 141 мм. Від
отриманого прямокутника знову відрізають квадрати, сторона
яких дорівнює довжині його меншої сторони, і т. д. Яка дов-
жина сторони останнього квадрата?
41.1Р Із 100 послідовних натуральних чисел вибрали 51 число.
Доведіть, що серед вибраних чисел є такі числа а і Ь, що
НСД (а; 6) = 1.
41.20. '" Найменше спільне кратне деяких двох натуральних чисел
у 16 разів більше за їх найбільший спільний дільник. Доведіть,
що одне з цих чисел кратне другому.
41.21. “ Найменше спільне кратне деяких двох натуральних чисел
у 27 разів більше за їх найбільший спільний дільник. Доведіть,
що одне з цих чисел кратне другому.
41.22. " Розв’яжіть у натуральних числах рівняння х (у + І)2 =
= 243і/.
41.23. * Натуральні числа т і п такі, що НСК (пг; п) + НСД (пг; п) =
= т + п. Доведіть, що одне з чисел (пг або п) ділиться націло
на друге.
41.24. * Доведіть, що при будь-якому п є N дріб я. + 4п„ + є не-
п + 6п2 + 8
скоротним.
41.25. * Натуральне число п таке, що значення виразу
п (п + 1) (п + 2) (п + 3) (п + 4)
кратне 2000. Знайдіть найменше значення п.
41.26. * Знайдіть усі пари натуральних чисел пг і п таких, що
НСК (пг; п) - НСД (т; п) = ™.
О
41.27. * Три автомати друкують на картках пари цілих чисел.
Кожний автомат, прочитавши деяку картку, видає нову карт-
ку. Прочитавши картку з парою чисел (пг; п), перший автомат
видає картку з числами (т — п; п)', другий — картку з числа-
ми (пг + п; гі), третій — картку з числами (п; пг). Спочатку
є картка з парою чисел (46; 51). Чи можна, використовуючи
автомати в деякому порядку, отримати картку з парою чи-
сел (15; 33)?
42.
Ознаки подільності
Ви знаєте, що ознаки подільності дають змогу за властивостя-
ми десяткового запису діленого, не виконуючи ділення, визнача-
ти, чи є деяке число його дільником.
Вам відомі ознаки подільності на 2, 5, 10, 3 і 9. Тепер за до-
помогою «мови конгруенцій» узагальнимо ці ознаки й доведемо
нові.
Ге орем а 42.1. апап_Іап_2...а1а0 = ап +ап_1 + ... +а( +а0 (тосі 9).
Доведення. Запишемо очевидні конгруенції:
1 = 1 (той 9),
10 = 1 (тосі 9),
102 = 1 (той 9),
10" 1 = 1 (той 9),
10п = 1 (той 9).
Помножимо обидві частини першої конгруенції на а0, дру-
гої — на Цр третьої — на а2 і т. д., (п + 1)-ї — на ап. Маємо:
а0 = а0 (той 9),
10а1 = а1 (той 9),
102-а2 = а2 (той 9),
10" 1 • ап _ 1 = ап _ 1 (той 9),
10" ал = ап (той 9).
Додавши ці конгруенції, отримаємо:
10"-а + 10" '-а + ... + 10а + а =
л л-1 10
= а + а , + ... + а, + а„ (той 9);
п л-1 1 0у
а а ,а„ 9...а,ап = а„ +а„ . + ... + а, +а,. (той 9). ▲
Наслідок (о знака подільності н а 9). Натуральне чис-
ло ділиться націло на 9 тоді й тільки тоді, коли сума цифр
його десяткового запису ділиться націло на 9.
Теорема 42.2. апаП_1ап 2...а1а0 = ап +ап_1 + ... +а, ю0 (той 3).
Доведіть цю теорему самостійно.
Наслідок (ознака подільності наЗ). Натуральне чис-
ло ділиться націло на 3 тоді й тільки тоді, коли сума цифр
його десяткового запису ділиться націло на 3.
Теорема 42.3. япап_1ап_2...а1а0 = а0 -аг +а2 -а3 + ... +
і (-1)"ап (той 11).
Доведення. Запишемо очевидні конгруенції:
1 = 1 (той 11),
10 = —1 (той 11),
102 = 1 (той 11),
103 = -1 (той 11),
10" =- (-1)" (той 11).
Звідси
а0 = а0 (той 11),
10а1 ® -а1 (той 11),
102-а2 = а2 (той 11),
103-а3^ — а3 (той 11),
10"-ап= (-1)"-а„ (той 11).
Додавши ці конгруенції, отримаємо:
10" • + 10" 1 • ап 1 + ... + 10а1 + о0 =
= а — а + а — а + ... + (-1)"а (той 11);
апап-іап 2—аіао = «0 “аі +а2 -°з + — +(-1)пал (той 11). ▲
Наслідок (ознака подільності на 11). Пронумеруємо
цифри десяткового запису натурального числа справа наліво
числами 0, 1, 2,..., п. Натуральне число ділиться націло на 11
тоді й тільки тоді, коли різниця між сумою цифр з' парними
номерами і сумою цифр з непарними номерами ділиться на-
ціло на 11.
Наприклад, для числа 2 387 605 маємо: (5 + 6 + 8 + 2) - (0 +
+ 7 + 3) = 11. Отже, це число кратне 11.
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що число 1 000 003 000 001 не є квадратом
натурального числа.
Розв'язання. Сума цифр даного числа дорівнює 5. Отже, це
число при діленні на 3 дає в остачі 2. Проте квадрат натурально-
го числа при діленні на 3 дає в остачі або 0, або 1 (див. задачу
40.20).
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що різниця числа, яке має непарну кіль-
кість цифр, і числа, записаного тими самими цифрами, але у зво-
ротному порядку, ділиться націло на 99.
Розв’язання. Нехай одне число дорівнює а, а друге, отримане
перестановкою цифр числа а, дорівнює Ь.
Позначимо1 через 5 (п) суму цифр натурального числа п. Оче-
видно, що 5 (а) = 5 (Ь).
Маємо:
а = 5 (а) (той 9);
Ь = 5 (Ь) (той 9);
1 Таке позначення буде використано й далі в задачах цього пункту.
а — Ь - 0 (той 9),
тобто (а - 6) : 9.
Пронумеруємо цифри числа а справа наліво числами 0, 1, 2,
2п.
Позначимо через Р (п) різницю між сумою цифр з парними
номерами і сумою цифр з непарними номерами числа п. Тоді:
Р (а) = (а0 + а2 + ... + а2п 2 + а2п) - (а, + а3 + ... + а2я_3 + а2п_,);
/’ (Ь) = (а2п + а2п _2 + ... + а2 + а0) - (а^ + а2л_3 + ... + а3 + а,).
Очевидно, що Р (а) = Р (Ь).
Маємо:
а = Р (а) (той 11);
Ь = Р (Ь) (тосі 11);
а - Ь = 0 (тосі 11),
тобто (а — Ь) : 11.
Оскільки НСД (9; 11) = 1, то (а - Ь) : 99.
• 1. Сформулюйте ознаку подільності на 3.
12. Сформулюйте ознаку подільності на 9.
3. Сформулюйте ознаку подільності на 11.
42.1 .° Які з чисел 485 761, 44 253, 1 757 217, 2 223 075 діляться
націло: 1) на 3; 2) на 9; 3) на 11?
42.2 .° Доведіть1, що апап1...а1а0 = аха0 (тосі 4).
42.3 .' Доведіть, що апап_1...а1а0 = а1а0 (тосі 25).
42.4 .° Доведіть, що апап_1...а2а1а0 = (той 8).
42.5 .° Доведіть, що апап_1...а2а1а0 = (той 125).
42.6 .° Доведіть, що а„ап_1...аАаА_1...а0 = ак лак_2...аи (тосі 2к).
42.7 .° Доведіть, що апап_І...акак_І...а0 = акЛак_2...а9 (тосі 5*).
42.8 .° Запишіть, використовуючи по одному разу кожну з цифр
0; 1; 4; 7, найбільше і найменше чотирицифрові числа, які
кратні 15.
1 У задачах 42.2-42.7, якщо перша зліва цифра числа, записаного
в правій частині конгруенції, дорівнює нулю, то запис цього числа по-
трібно читати починаючи з наступної цифри.
42.9 .° До числа 15 допишіть зліва і справа по одній цифрі так,
щоб утворене число було кратне 15. Скільки розв’язків має
задача?
42.10 .° До числа 34 допишіть зліва і справа по одній цифрі так,
щоб утворене число було кратне 45. Скільки розв’язків має
задача?
42.11 .* Замість зірочок поставте такі цифри, щоб число *74* ді-
лилося націло на 18. Знайдіть усі можливі розв’язки.
42.12 .° Замість зірочок поставте такі цифри, щоб число 3*4* ді-
лилося націло на 9. Знайдіть усі можливі розв’язки.
42.13 .° Замість зірочки поставте таку цифру, щоб семицифрове
число 1 876 74* ділилося націло на 33.
42.14 .* Замість зірочок поставте такі цифри, щоб семицифрове
число 2 83* 64* ділилося націло на 55.
42.15 .° Замість зірочок поставте такі цифри, щоб число 42 *4*
ділилося націло на 72.
42.16 .° Замість зірочок поставте такі цифри, щоб число 6 2** 427
ділилося націло на 99.
42.17 .° Шестицифрове число кратне 8. Яку найбільшу суму цифр
воно може мати?
42.18 .' Знайдіть найменше натуральне число, кратне 36, у запи-
су якого зустрічаються всі 10 цифр.
42.19 .’ Чи існує натуральне число, добуток цифр якого дорівнює
143 341 143?
42.20 .’ Доведіть, що десяткове число, у запису якого викорис-
тано один раз цифру 1, два рази — цифру 2, три рази — циф-
ру 3 і чотири рази — цифру 4, не є квадратом натурального
числа.
42.21 .” Чи може натуральне число, у запису якого є тільки циф-
ри 0 і 6, бути квадратом натурального числа?
42.22 .” Спочатку обчислили суму цифр числа, яке дорівнює до-
бутку 1 • 2 • 3 •... • 999 • 1000. Потім обчислили суму цифр отри-
маного числа. Так робили доти, доки не отримали одноцифро-
ве число. Що це за число?
42.23 .” У десятковому запису числа 28101 порахували суму цифр.
В отриманому числі знов порахували суму цифр, і так доти,
доки не отримали одноцифрове число. Яке це число?
42.24 .” Розв’яжіть рівняння:
1) п + 5 (п) = 1000; 2) п2 + (5 (п))2 = 1000.
42.25 .“ Розв’яжіть рівняння:
1) п + 8(п) = 1001; 2) п + 5 (п) + 5 (Я (п)) = 2000.
12.26. ” Натуральне число п таке, що 8 (п) = <8 (5п). Доведіть, що
п кратне 9.
12.27. * Натуральне число п таке, що число п2 + 1 — десятициф-
рове. Доведіть, що в запису числа п2 + 1 знайдуться дві одна-
кові цифри.
12.28. * Чи можна, використовуючи кожну з цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6
по одному разу, записати шестицифрове число, яке ділиться
націло на 11?
12.29. * Числа 2000, 2001, ..., 2010 записали одне за одним у де-
якому порядку. Доведіть, що отримане 44-цифрове число має
принаймні чотири різних натуральних дільники.
12.30. * Знайдіть усі п є N. для яких має місце така властивість:
якщо сума цифр натурального числа ділиться націло на п, то
й саме число ділиться націло на п.
Прості і складені числа
Число 1 має тільки один натуральний дільник, а саме 1. Будь-
яке інше натуральне число п має щонайменше два натуральних
дільники: 1 і п.
Число 5 має тільки два натуральних дільники: 1 і 5. Таку саму
властивість мають, наприклад, числа 2, 7, 11, 13. Такі числа
називають про< тими.
Означення. Натуральне число називають простим, якщо
воно має тільки два різних натуральних дільники: одиницю і саме
це число.
Число 4 має три натуральних дільники: 1, 2, 4.
Число 6 має чотири натуральних дільники: 1, 2, 3, 6.
Означення. Натуральне число, яке має більше ніж два нату-
ральних дільники, називають складеним.
Числа 4 і 6 — складені числа.
Оскільки число 1 має тільки один натуральний дільник, то
його не вважають ні простим, ні складеним.
Якщо послідовно виписувати натуральні числа, то легко по-
мітити, що прості числа зустрічаються набагато рідше, ніж скла-
дені. Так, перша тисяча натуральних чисел містить 168 простих
чисел, друга — 135, третя — 127. Більш того, можна вказати
проміжки натурального ряду будь-якої довжини, які не містять
жодного простого числа.
Наприклад, серед п, послідовних натуральних чисел (и + 1)! + 2,
(и + 1) ! + З, ..., (п + 1) ! + п + 1, де п > 1, немає жодного про-
стого числа1. Справді, перше число ділиться наділо на 2 і більше
за 2, друге число ділиться націло на 3 і більше за 3, і т. д.
Може виникнути гіпотеза, що в натуральному ряді, починаю-
чи з деякого місця, взагалі неможливо зустріти просте число. Але
це не так. Давньогрецький учений Евклід у своїй знаменитій
книзі «Начала» довів, що простих чисел безліч.
Теорема 43.1. Множина простих чисел є нескінченною.
Доведення. Нехай множина простих чисел є скінченною і скла-
дається з простих чисел р, р2, ..., рп.
Розглянемо ЧИСЛО р = РД2' ... ’Р + 1-
Жодне з чисел рр р2, ..., рп не є дільником числа р: число р
при діленні на кожне з цих чисел дає в остачі 1.
Нехай т — найменший дільник числа р, відмінний від 1. Якщо
число т — складене, то існує дільник числа р, який менший,
ніж т, відмінний від 1. Отже, число т — просте і не міститься
серед чисел Рр р2, ..., рп. Отримали суперечність. ▲
Розглянемо деякі властивості простих чисел.
Теорема 43.2. Якщо просте число р± ділиться націло на про-
сте число р2, то р} = р2.
Доведення. Число р1 має тільки два натуральних дільники:
1 і Рр Оскільки р2 * 1, то р2 = Рр ▲
Теорема 43.3. Для будь-якого натурального числа п і даного
простого числа р справедливе одне з двох тверджень: п : р
або НСД (п; р) = 1.
Доведення. Число р має тільки два натуральних дільники:
1 і р. Отже, НСД (п; р) може набувати тільки двох значень: 1 і р.
Якщо НСД (п; р) = р, то п : р. ▲
Теорема 43.4. Якщо аЬ : р, де а є N. Ь є М, р — просте число,
то або а : р, або Ь : р.
1 Символом Л! позначають добуток к перших натуральних чисел (чи-
тають: «к факторіал»). Наприклад, 3! = 1 • 2 • 3; 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5. Домо-
вилися вважати, що 1! = 1 і 0! = 1.
Доведення. Якщо а : р, то теорему доведено. Якщо число а не
кратне числу р, то за теоремою 43.3 маємо, що НСД (а; р) = 1.
Годі за теоремою 41.7 Ь : р. А
Наслідок. Якщо добуток а^а^ ...•ап натуральних чисел ді-
литься націло на просте число р, то хоча б один з множників
а2, ..., ап ділиться націло на р.
Доведіть цю теорему самостійно.
Інтуїтивно зрозуміло, що будь-яке складене число можна по-
дати у вигляді добутку простих чисел (розкласти на прості множ-
ники). Цей факт підкреслює особливу роль простих чисел як
елементів, з яких будується будь-яке натуральне число.
Тому теорему, яка обґрунтовує існування такого розкладу,
називають основною теоремою арифметики. Першим довів її
К. Ф. Гаусе.
Теорема 43.5 (основна теорема арифметики). Будь-
яке натуральне число, відмінне від 1, або є простим, або може
бути подано у вигляді добутку простих чисел. Два розклади
натурального числа на прості множники можуть відрізняти-
ся один від одного лише порядком слідування множників.
Доведення. Розглянемо складене число п. Його можна подати
у вигляді добутку натуральних чисел, відмінних від одиниці.
Існує таке натуральне число к, що 2Л > п. Тоді кількість множ-
ників, на які розкладено число п, не більше, ніж к. Справді,
кожний з цих множників не менший від 2. Якби їх кількість
була більшою за к, то їх добуток був би більшим за 2*, що супере-
чить нерівності 2* > п.
Оскільки кількість множників у розкладі числа п не більша
за к, то розглянемо той з розкладів, який містить найбільшу
кількість множників. Це і є розклад числа п на прості множники.
Справді, якщо якийсь із множників є складеним, то, розклавши
його на множники, отримаємо «довший» розклад числа п на
множники.
Доведемо, що такий розклад єдиний. Нехай число п можна
подати у вигляді добутку простих чисел двома способами, тобто
п = р1рг-...-рт і п = де т >2, і >2.
Маємо:
РДг' "• ’Рщ — УДг ’ •••
Ліва частина цієї рівності ділиться націло на рг Тоді й права
частина ділиться націло на р . За наслідком з теореми 43.4 один
з множників правої частини ділиться націло на рг Оскільки всі
множники правої частини рівності є простими числами, то за
теоремою 43.2 один з них дорівнює р . Нехай, наприклад, це
число <7Г Поділивши обидві частини рівності на р(, отримаємо:
Р?Рз‘ " ’Рщ ~ 929з" ••• "9,-
Міркуючи аналогічно, можна отримати рівність Р-Д^’... ‘Р =
= і т. д. Зрозуміло, що врешті-решт прийдемо до рів-
ності 1 = 1.
Таким чином, зазначені множники розбиваються на пари рів-
них простих чисел, а це доводить, що розклад натурального
числа на прості множники — єдиний. ▲
Якщо в розкладі натурального числа деякі прості множники
повторюються, то їх добуток записують у вигляді степеня.
Наприклад, 29 40 = 2-2-3-5-7 -7 = 22-3-5-72.
Узагалі, розклад числа на прості множники можна записати
у вигляді:
П = Рі'Ріг • ••• "Р*‘.
де ар а.„ ..., ак — натуральні числа, р , р2, ..., рк — попарно різ-
ні прості числа.
Такий запис називають канонічним розкладом натурального
числа.
Розглянемо ще одну важливу властивість простих чисел.
Теорема 43.6 (мала теорема Ферма). Якщо натуральне
число а не ділиться націло на просте число р, то ар1 = 1 (той р).
Доведення. Розглянемо р — 1 число: а, 2а, За, ..., (р - 1) а.
Очевидно, що кожне з цих чисел не ділиться націло на р. Нехай
Гр г2, ..., г г — їх остачі при діленні на р відповідно. Доведемо,
П’єр Ф^рма (1601-1665) — фран-
цузький математик, за фахом юрист.
Є одним з фундаторів теорії чисел.
Автор ряду видатних робіт у різних
галузях математики, які здійснили
значний вплив на подальший розви-
ток математики.
що жодні два з розглядуваних чисел не дають однакових остач
при діленні на р.
Припустимо, що такі два числа знайдуться. Позначимо їх та
і па, де 1 < лг < р — 1, 1 < л < р - 1, т > п. Тоді (та - па) : р,
тобто (т — п) а : р. Проте НСД (а; р) = 1. Тоді (пг — п) : р, що
неможливо, оскільки 0 < т - п < р.
Оскільки при діленні на число р існує р - 1 ненульова остача,
а числа а, 2а, За, (р - 1) а дають різні остачі при діленні на р, то
{г,, г2..................г, ,} = {1, 2, ..., р - 1}. (*)
Маємо:
а = г1 (той р),
2а - г2 (той р),
(р - 1) а = гр , (той р).
Звідси а-2а-3а - ...•(р - 1) а = г1гг• 1 (тосі р). Урахову-
ючи рівність (*), можна записати:
1 • 2•... -(р - 1) ар 1 = 1 • 2 •... - (р - 1) (той р);
ар 1 = 1 (той р). А
Наслідок. Для будь-якого натурального числа а і простого
числа р маємо ар = а (той р).
Доведіть цю теорему самостійно.
О-» Задача. Відомо, що всі дільники числа п, які відмінні
від 1, більші, ніж Ти. Доведіть, що число п — просте.
Розв’язання. Нехай число п — складене. Тоді л = Л • к2, де
й1 > 1 і й2 > 1. За умовою > 4п і к2> у/п. Звідси й > п.
Отримали суперечність.
Доведена властивість дає змогу скоротити технічну роботу при
визначенні того, чи є дане число п простим: досить обмежитися
перевіркою подільності числа п на прості числа, які не перебіль-
шують у/п..
ПРИКЛАД 1 Знайдіть усі такі натуральні числа п, що числа л + 1,
л + 11, л + 27 є простими.
Разе’ язання. Оскільки різниця жодних з двох даних чисел не
ділиться націло на 3, то всі вони дають різні остачі при діленні
на 3. Отже, одне з цих чисел кратне 3, а оскільки воно є простим,
то саме воно дорівнює 3. Зрозуміло, що це може бути тільки
число л + 1. Звідси л = 2. Тоді л + 11 = 13, л + 27 = 29.
ПРИКЛАД 2 Натуральне число п таке, що 2п = р1 + р2, де р1
і р2 — послідовні прості числа, більші за 2. Доведіть, що число
п — складене.
Розв’язання. Нехай рі < р2. Тоді рг < < р2, тобто
р1 < п < р . Оскільки Д] і р2 — послідовні прості числа, то число
п — складене.
ПРИКЛАД З Розв’яжіть у простих числах рівняння Xу + 1 = 2.
Розв’язання. Якщо х 2, то х — непарне число, і ліва части-
на рівняння більша за 2 і є парним числом. У цьому випадку
число г простим бути не може.
Отже, х = 2. Маємо 2у + 1 = г. Якщо у — непарне число, то
число 2у + 1 можна розкласти на множники, кожний з яких
більший за 1. Знов-таки в цьому випадку число 2 простим числом
бути не може. Звідси у — парне просте число, тобто у = 2. Тоді
2 = 22 + 1 = 5.
Відповідь: х = 2, у = 2, г = 5.
ПРИКЛАД 4 Знайдіть остачу від ділення числа З102 на 101.
Розв’язання. Оскільки 101 — просте число, то за малою тео-
ремою Ферма
Звідси
Відповідь: 9.
З100 = 1 (тосі 101).
З102 = 9 (той 101).
ПРИКЛАД 5 Доведіть, що коли натуральне число п не ділиться
націло на 17, то або (и8 - 1) : 17, або (п8 + 1) : 17.
Розв’язання. За малою теоремою Ферма
п'6 - 1 (той 17).
Звідси
(п16 - 1) : 17;
(пе - 1) (п8 + 1) = 17.
Оскільки 17 є простим числом, то твердження задачі випливає
з теореми 43.4.
• 1. Яке число називають простим?
12. Яке число називають складеним?
3. Скінченною чи нескінченною є множина простих чисел?
4. Сформулюйте основну теорему арифметики.
5. Що називають канонічним розкладом натурального числа?
6. Сформулюйте малу теорему Ферма.
43.1. * Чи може добуток двох натуральних чисел бути простим
числом?
43.2. ° Чи може сума двох простих чисел бути простим числом?
13.3. ° Чи може різниця двох простих чисел бути простим чис-
лом?
43.4. ° Знайдіть усі натуральні значення п, при яких числа п
і п + 1 є простими.
43.5. * Знайдіть усі натуральні значення п, при яких числа п
і п + 3 є простими.
43.6. ° Відомо, що числа1 а і Ь такі, що аЬ : д. Чи є правильним
твердження, що а : д або Ь : д, якщо: 1) д = 13; 2) д = 21?
43.7. ° Відомо, що числа т і п такі, що тп : р. Чи є правильним
твердження, що т : р або п : р, якщо: 1) р = 29; 2) р = 39?
43.8. ° Доведіть, що остача при діленні простого числа на ЗО дорів-
нює 1 або простому числу.
О-ж 43.9.° Доведіть, що кожне просте число р (р > 3) можна за-
писати у вигляді 6к + 1 або 6/г - 1, к є N.
43.10. ° Знайдіть усі натуральні п, при яких значення виразу п2 + п
є простим числом.
• 3.11.° Знайдіть усі натуральні п, при яких значення виразу п2 - 1
є простим числом.
43.12. ’ Знайдіть усі натуральні п, при яких є простим числом
значення виразу:
1) и3 - 1; 2) 4п2 + 5п - 21; 3) 3" - 1.
43.13. Знайдіть усі натуральні п, при яких є простим числом
значення виразу:
1) п3 + 1; 2) 3/г2 + 4п - 15; 3) 8" - 1.
43.14. * Доведіть, що колир — просте число ір > 3, то (р2 — 1) : 24.
43.15. ° Прості числа рід такі, що р > 3, д > 3. Доведіть, що
(р2-д2) 24.
43.16. " Знайдіть усі прості числа р такі, що числа р + 26 і р + 28
також прості.
43.17. Знайдіть усі прості числа р такі, що числа 2р + 1 і 4р + 1
також прості.
1 Тут і далі буквами позначено натуральні числа. Випадки, коли
буквою позначено ціле число, будуть обумовлені окремо.
43.18. ’ Числа а і Ь такі, що 56а = 655. Доведіть, що число а + Ь
є складеним.
43.19. Числа ті п такі, що 37т = 55п. Доведіть, що число т - п
є складеним.
43.20. ’ Цілі числа а і Ь такі, що значення виразу а2 + 9аЬ + Ь2
кратне 11. Доведіть, що значення виразу а-Ь кратне 11.
43.21. ’ Цілі числа т і п такі, що значення виразу т2 — 15тп + п2
кратне 17. Доведіть, що значення виразу т + п кратне 17.
43.22. " Числа р і 8р2 + 1 є простими. Знайдіть р.
43.23. ” Числа р і рр '1 + 2 є простими. Знайдіть р.
43.24. ” Числа р і р2 + 2 є простими. Доведіть, що число р3 + 2
теж просте.
43.25. ” Доведіть, що число 8 00 ... 027 є складеним.
ю
43.26. " Доведіть, що число 999 999 973 є складеним.
43.27. " Знайдіть усі прості числа рід, які задовольняють рівнян-
ня р2 - 2с;2 = 1.
43.28. ” Знайдіть усі прості числа рід, які задовольняють рівнян-
ня — р2 = 2.
43.29. ” Знайдіть усі прості числа р такі, що число 4р + 1 є квад-
ратом натурального числа.
43.30. ” Натуральне число п таке, що числа 2п - 1 і п + 12 ді-
ляться націло на просте число р. Знайдіть р.
43.31. ” Натуральне число п таке, що числа 5п — 1 і п - 10 ді-
ляться націло на просте число р. Знайдіть р.
43.32. ” Знайдіть усі значення п, при яких кожне з чисел 2" — 1
і 2" + 1 є простим.
43.33. ” Знайдіть усі натуральні п, при яких значення виразу
п4 + 4 є простим числом.
43.34. " Знайдіть усі натуральні т, при яких значення виразу
т' + т2 + 1 є простим числом.
43.35. ” Натуральні числа т, п, к такі, що числа р = іп + п,
д = п + к і г = т + к е простими. Доведіть, що одне з чисел
р, д, г дорівнює 2.
43.36 ” Знайдіть усі прості числа, які можна подати як у вигляді
суми, так і у вигляді різниці двох простих чисел.
43.37. ” Натуральні числа а, Ь, с такі, що (а+Ь + с): 13. Доведіть,
що число а13 + Ь13 + с13 також кратне 13.
43.38. ” Використовуючи мату теорему Ферма, знайдіть остачу
від ділення числа а на число Ь, якщо:
1) а - - 562, Ь = 53; 2) а = 247, Ь = 41.
13.39. " Доведіть, що число 2424 — 1 кратне 35.
13.40. " Натуральне число а не ділиться націло на 29. Доведіть,
що одне з чисел а14 — 1 або а14 + 1 ділиться націло на 29.
43.41. * Знайдіть усі прості р такі, що число р2 + 11 має 6 різних
натуральних дільників.
43.42. * Розкладіть число 989-1001 • 1007 + 320 на прості множ-
ники.
43.43. * Доведіть, що значення виразу 4247 + 4742 є складеним
числом.
43.44. * Доведіть, що рч + др = (р + д) (тосі рд), де р і д — різні
прості числа.
Про проблеми, пов’язані з простими числами
На уроках інформатики ви можете створити комп’ютерні про-
грами, які дають змогу скласти таблицю, що містить набагато
більше простих чисел, ніж та, що розміщена на форзаці підруч-
ника.
Таблиці простих чисел складали ще стародавні вчені. Розв’я-
зання такої задачі без сучасної обчислювальної техніки — праця
нелегка. Тому пошук простих чисел був нерозривно пов’язаний
зі спробами винайти зручну формулу, користуючись якою можна
було б знаходити прості числа.
Багато видатних математиків доклали чимало зусиль, щоб
знайти «формулу простих чисел». Часто їм здавалося, що мету
досягнуто, проте пізніше виявлялося, що знайдені формули не-
правильні.
Так, П’єр Ферма висловив припущення, що всі числа виду
Р (п) = 22 +1 (1)
при цілому невід’ємному п є простими. Справді, Р (0) = З,
Р (1) = 5, Р (2) = 17, Р (3) = 257, Р (4) = 65 537 — прості числа.
Проте в 1732 р. видатний математик Л. Ейлер установив, що
число Р (5) — складене:
Р (5) = 4 294 967 297 = 641-6 700 417.
Отже, серед чисел, отриманих за допомогою формули (1), є як
прості, так і складені. Проте досі залишається невідомим, скін-
ченною чи нескінченною є множина простих чисел Ферма (так
називають прості числа, отримані за допомогою формули (1)).
З числами Ферма пов’язана ще одна знаменита проблема. Ще
вчені Стародавньої Греції помітили, що деякі правильні п-кут-
ники (п = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12) побудувати за допомогою циркуля
Леонард Ейлер (1707-1783) — ма-
тематик, механік і фізик, член Пе-
тербурзької і Берлінської Академій
наук, автор більш ніж 850 наукових
праць, понад 100 з яких стосуються
теорії чисел.
і лінійки досить просто, а при деяких інших значеннях п (п = 7,
9, 11, 13) це не вдається.
У кінці XVIII ст. Карл Фрідріх Гаусе довів, що за допомогою
циркуля і лінійки можна побудувати правильний п-кутник тоді
і тільки тоді, коли п = 2к, де к є ІЧ, к > 1, або п = 2к’Рхрг‘... •£>„,
де к — ціле невід’ємне число, р , р2, ..., — різні прості числа
Ферма.
У XVIII ст. Леонард Ейлер довів, що не існує многочлена Е (х)
з цілими коефіцієнтами, значення якого при всіх натуральних
значеннях х були б простими числами.
Разом з тим Ейлер указав такі многочлени:
к (п) = п* і 2 З - п + 17;
/ (п) = п2 - п + 41;
§ (п) = п2 - 79п + 1601.
Цікаво, що значення многочлена к (п) при п = 0, 1, 2, ..., 16
є простими числами. Але к (17) є складеним числом.
Значеннями многочленів / (и) і § (п) є прості числа при п = 0,
1, 2, ..., 40 і п = 0, 1, 2, ..., 79 відповідно.
На жаль, математики досі не знайшли
зручної формули, яка давала б змогу отриму-
вати всі прості числа одне за одним.
З проблемою пошуку формули простих
чисел нерозривно пов’язана задача знахо-
дження закономірності розподілу простих
чисел в натуральному ряді.
Видатний радянський математик, автор
цілої низки фундаментальних відкриттів у га-
лузі теорії чисел Ю. В. Матіясевич писав:
«Прості числа розкидані в натуральному ряді
Юрій Матіясевич дуже примхливим чином».
Справді, досить навіть побіжного погляду на таблицю простих
чисел, щоб побачити нерівномірний розподіл їх серед натуральних
чисел.
Як визначити проміжки натурального ряду, які містять що-
найменше одне просте число? Як визначити кількість простих
чисел на заданому проміжку натурального ряду? Зокрема, скіль-
ки існує простих чисел, які не перевищують заданого натураль-
ного числа п?
Відповіді на ці запитання є ключем до розв’язання проблеми
розподілу простих чисел.
Указати проміжок натурального ряду, який містить щонай-
менше одне просте число, досить просто. Покажемо, наприклад,
що будь-якому проміжку [и; пі + 1], п є М, належить просте
число.
Якщо число пі + 1 — просте, то твердження очевидне.
Нехай пі + 1 є складеним числом і А — його простий дільник.
Оскільки жодне з чисел 2, 3, ..., п не є дільником числа пі + 1,
то п < к < пі + 1.
З доведеного твердження випливає, що числа 2, 21 + 1,
(2! + 1)! + 1, ... розбивають натуральний ряд на проміжки, кож-
ний з яких містить щонайменше одне просте число. Цей факт
можна розглядати як ще одне доведення нескінченності множи-
ни простих чисел.
Оскільки жодне з чисел 2, 3, р — 1 не є дільником
(р-1)! + 1, то коли ((р — 1) ! + 1) : р, р > 1, то р — просте число.
Цей факт є частиною відомої теореми Вільсона (критерія пере-
вірки того, чи є задане натуральне число простим).
Для того щоб натуральне число п > 1 було простим, необ-
хідно й достатньо, щоб число (п — 1)! + 1 ділилося націло
на п.
Достатню умову ми фактично довели. Не-
обхідну умову ви зможете довести на заняттях
математичного гуртка.
Зрозуміло, що зі зростанням п довжина
відрізка [п; п! + 1] швидко збільшується. Тому
було б природним шукати відрізок якомога
меншої довжини, який так само містить про-
сте число.
Досліджуючи таблиці простих чисел, фран-
цузький математик Жозеф Луї Франсуа Бер-
тран (1822-1900) висунув припущення, що
Жозеф Луї
Франсуа Бертран
Пафнутій Львович Чебишев
(1821-1894) — російський матема-
тик і механік, засновник петербурзь-
кої математичної школи, автор понад
70 наукових праць з теорії чисел,
теорії ймовірностей, теорії функцій
та інших галузей математики, фун-
датор теорії машин і механізмів.
при п > 3 між числами п і 2п - 2 міститься хоча б одне просте
число. Довести цю гіпотезу він не зміг і користувався нею як
постулатом — твердженням, що приймається без доведення.
Першим довів постулат Бертрана видатний російський математик
П. Л. Чебишев.
Позначимо через я (п) кількість простих чисел, які не більші
за число п. Для маленьких п легко встановити, що, наприклад,
я (1) = 0, я (2) = 1, я (3) = 2, я (4) = 2, я (10) = 4, я (100) = 25.
Складний розподіл простих чисел не дозволяє знайти просту
формулу для знаходження я (п). Тому математики зосередили
свої зусилля на пошуку наближеної формули.
Відношення 71 називають густиною розподілу простих
п
чисел.
п я (и) я (») п
10 4 0,4
100 25 0,25
1000 168 0,17
10 000 1229 0.12
100 000 9592 0,096
1 000 000 78 498 0,078
10 000 000 664 579 0,066
100 000 000 5 761 455 0,058
1 000 000 000 50 847 478 0,051
З таблиці видно, що густина зі збільшенням п стає все меншою
і меншою.
Л. Ейлер довів, що зі збільшенням п густина Л прямує до
п
нуля. П. Л. Чебишеву вдалося знайти більш точну оцінку вели-
л (п)
чини ----.
п
Розглянемо ще одну проблему, пов’язану з простими числами.
(’тародавні математики приділяли особливу увагу двом числам:
6 і 28. їх приваблювала дивовижна властивість цих чисел:
6=1 + 24-3,
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14,
тобто кожне з них дорівнює сумі своїх дільників, відмінних від
< амого числа. Такі числа називають досконалими.
Ще Ееклід довів, що будь-яке натуральне число, яке можна
подати у вигляді 2" “ 1 (2Л — 1), де 2" — 1 — просте число, є доско-
налим.
Переконаємося в цьому і ми. Позначимо 2" - 1 = р і запишемо
суму всіх дільників розглядуваного числа:
1 + 2 + 22 + ... + 2"1 + р + 2р + 22р + ... + 2" тр =
= (1 + р) (1 + 2 + 22 + ... + 2" *) =
= (1 + р) (2 - 1) (2Л 1 + 2" ’ 2 + ... + 2 + 1) =
= (1 + р) (2" - 1) = 2Л (2" - 1).
До записаної суми входить саме число 2" 1 (2Л — 1). Тоді сума
дільників, відмінних від самого числа, дорівнює
2" (2Л - 1) - 2" ’1 (2Л - 1) = (2Л - 1) (2Л -2” 'х) =
= 2Л 1 (2Л - 1).
Підставивши у вираз 2Л 1 (2Л — 1) числа п = 2 і п = 3, отри-
муємо вже відомі досконалі числа 6 і 28.
Завдяки доведеній властивості Евклід знайшов ще два доско-
налих числа. При п = 5 маємо: 25 - 1 = 31 — просте число, при
п = 7 маємо 27 - 1 = 127 — просте число. Значення виразів
25-1 (25 — 1) і 27 1 (27 - 1) відповідно дорівнюють 496 і 8128. За
доведеною вище властивістю ці числа є досконалими.
Майже півтора тисячоліття люди знали тільки чотири доско-
налих числа 6, 28, 496 і 8128. Пошук нових досконалих чисел
був нерозривно пов’язаний з пошуком простих чисел виду 2Л - 1.
Прості числа такого виду називають простими числами Мерсен-
на на честь Марена Мерсенна, французького математика, фізика
й музиканта, який у 1664 р., не наводячи доведень, проголосив,
що при п = 17, 19, 31, 67, 127, 257 число 2Л — 1 є простим.
Л. Ейлер установив, що числа 217 — 1, 219 — 1, 231 - 1 є прости-
ми. Пізніше з’ясувалося, що число 212' — 1 також є простим, а ось
числа 267 — 1 і 2257 — 1 є складеними, причому висновок про
число 2257 — 1 було отримано лише в 1932 р.
Л. Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають вигляд,
указаний Евклідом. Досі не знайдено жодного непарного доско-
налого числа. Також залишається відкритим питання, скінченною
чи нескінченною є множина простих чисел Мерсенна, а отже,
невідомо, скінченною чи нескінченною є множина парних доско-
налих чисел.
Пошук нових досконалих чисел потребує великого обсягу об
числень. І тут, звісно, незамінну допомогу надає сучасна обчис-
лювальна техніка. За даними на лютий 2008 р. відомо 44 простих
числа Мерсенна, а отже, 44 парних досконалих числа. Також за
допомогою сучасних комп’ютерів установлено: якщо існує непар-
не досконале число, то воно більше за 1О300.
У світі простих чисел є багато й інших нерозв’язаних задач.
Наприклад, у таблиці простих чисел (див. форзац) червоним ко-
льором виділено прості числа, які відрізняються на 2. Це, зокре-
ма, 3 і 5, 5 і 7, 419 і 421. Такі пари чисел називають числами-
близнюками. Скінченною чи нескінченною є кількість пар
чисел-близнюків, поки що невідомо.
44.
Ділення многочленів
Ви вмієте додавати, віднімати і множити многочлени. У цьому
пункті ми домовимося про дію ділення многочленів.
Ви знаєте, що ціле число а ділиться націло на ціле число Ь
(Ь т5 0), якщо існує таке ціле число с, що а = Ьс. Засновуючись
на цих міркуваннях, приймемо таке означення.
Означення. Кажуть, що многочлен А (х) ділиться на-
ціло на тотожно не рівний нулю многочлен В (х), якщо існує
такий многочлен (х), що для будь-якого х є К виконується
рівність А (х) = В (х) • (х).
Многочлен А (х) називають діленим, многочлен В (х) — діль-
ником, многочлен (х) — часткою.
Якщо многочлен А (х) ділиться націло на многочлен В (х), то
це позначають так: А (х) : В (х).
Розглянемо кілька прикладів.
Многочлен х3 + 1 ділиться націло на многочлен х+1. Справ-
ді, х3 + 1 = (х + 1) (х2 — х+1). Тут роль частки виконує многочлен
х2 - х + 1.
Многочлен 6х4 — 5х3 + 4х2 — х ділиться націло на многочлен
2х2 -х+1. Справді, 6х4 - 5х3 + 4х2 - х = (2х2 -х+1) (Зх2 - х).
Пошук частки від ділення двох многочленів можна здійсню-
вати за алгоритмом ділення «куточком», аналогічно тому, як це
роблять при діленні чисел:
х3 + 1 х+1 6х4 - 5х3 + 4х2 — х 2х2 -х+1
X3 + X2 х2 - X + 1 6х4 - Зх3 + Зх2 Зх2 - х
_ -х2 + 1 _-2х3 + х2 - х
-х2 - х -2х3 + х2 - х
2Т+1 о-
х+1
0
Якщо А (х): В (х) і А (х) = В (х) • (х). то очевидно, що степінь
многочлена А (х) дорівнює сумі степенів многочленів В (х) і (і (х).
Тому для ділення націло многочленів необхідно, щоб степінь
діленого був не меншим від степеня дільника. Проте ця умова не
є достатньою. Так, многочлен х3 + 1 не ділиться націло на мно-
гочлен х - 1. Справді, якби існував многочлен (х) такий, що
для будь-якого хє К виконувалася рівність х3 + 1 = (х - 1) ф (х),
то при х = 1 отримали б неправильну рівність І3 + 1 = 0.
Якщо одне ціле число не ділиться націло на інше, то можна
розглядати ділення з остачею. Введемо поняття ділення много-
членів з остачею.
Теорема 44.1. Для будь-якого многочлена А(х) і многочле-
на В(х), який тотожно не дорівнює нулю, існує єдина пара
многочленів (}(х) і В(х) таких, що
А(х) = В(х)-$(х) + Я(х),
де степінь многочлена В(х) менший від степеня многочлена
В(х).
У цій рівності многочлен (х) називають неповною часткою,
а многочлен В. (х) — остачею.
Ви зможете довести цю теорему на заняттях математичного
гуртка.
Розглянемо многочлени А(х) = 2х4 — х3 + х2 — 1 і В(х) = х2 -
- Зх + 2. Знайдемо для цих многочленів неповну частку й остачу.
Це можна зробити за допомогою ділення «куточком»:
2х4 - х3 + х2 - 1 х2 - Зх + 2
2х4 - 6х3 + 4х2 2х2 + 5х + 12 (неповна частка)
5х3 - Зх2 - 1
5х3 — 15х2 + Юх
12х2 - Юх - 1
12х2 - 36х + 24
26х — 25 (остача)
Тепер можна записати:
2х4 - х3 + х2 - 1 = (х2 - Зх + 2) (2х2 + 5х + 12) + 26х - 25. (1)
2х1 - х3 + х2 - 1
Розглянемо раціональний дріб -5. За допомогою
х2 - Зх + 2
рівності (1) можна записати:
2х4^.^=2^ + 5х + 12+ 26*~25 .
х2 - Зх + 2 Xі - Зх + 2
Права частина цієї рівності є сумою многочлена і дробу. У чи-
сельнику дробу записано многочлен, степінь якого менша від
степеня многочлена, який записано в знаменнику. Такий дріб
називають правильним. Подання раціонального дробу у вигляді
суми многочлена і правильного дробу називають виділенням
цілої частини з раціонального дробу.
• 1. У якому випадку кажуть, що многочлен А (х) ділиться на-
ціло на многочлен В (х)?
2. Яка необхідна умова ділення многочленів націло?
3. Сформулюйте теорему про ділення многочленів з остачею.
4. Як називають многочлени (?(х) і В(х) в запису А(х) =
= В (х) • С) (х) + В (х), якщо степінь многочлена В (х) менший
від степеня многочлена В (х)?
5. Подання в якому вигляді раціонального дробу називають
виділенням цілої частини з раціонального дробу?
44.1. ° Доведіть, що многочлен А(х) ділиться націло на много-
член В (х):
1) А (х) = х2 — 7х + 6, В (х) = х — 6;
2) А (х) = х4 - 1, В (х) = х3 + х2 + х + 1;
3) А (х) = Зх4 - 7х3 + 2х2 + Зх - 1, В (х) = х3 - 2х2 + 1.
44.2. ° Доведіть, що многочлен А(х) ділиться націло на много-
член В(х):
1) А (х) = х3 - 1, В (х) = х2 + х + 1;
2) А (х) = 4х3 - 8х2 + 5х - 1, В (х) = 2х2 - Зх + 1;
3) А (х) = 2х4 - х3 + 2х2 + 1, В (х) = х2 - х + 1.
14.3. ° Поділивши «куточком» многочлен А (х) на многочлен В (х),
знайдіть неповну частку й остачу:
1) А (х) = 2х5 + 5х3 + 6х - 7, В (х) = х3 + х;
2) А (х) = х4 + х + 1, В (х) = х2 + х + 1;
3) А (х) = х4 + х2 + 1, В (х) = х + 5.
14.4. ° Поділивши «куточком» многочлен А (х) на многочлен В (х),
знайдіть неповну частку й остачу:
1) А (х) = х5 - 6х3 + 2х2 - 4, В (х) = х2 - х + 1;
2) А (х) = х7 - 1, В (х) = х3 + х + 1;
3) А (х) = х3 + 5х2 - 6х - 6, В (х) = х - 2.
44.5. ° Доведіть, що многочлен А (х) не ділиться націло на много-
член В (х):
1) А (х) = х2 + 1, В (х) = х - 1;
2) А (х) = х3 + х — 1, В (х) = х + 1;
3) А (х) = 2х4 - Зх3 - х + 1, В (х) = х2 - Зх + 2.
44.6. ’ Доведіть, що (хл - а") : (х* — ак), якщо п : к, п є К, к є N.
44.7. ’ Виділіть цілу частину з раціонального дробу:
1чх3-х + 2. х4 -2х3 + Зх2 + 4х + 1
1 у л , О / 9 •
х2 + 1 х2 + х - 2
9 . 2х4 -Зх3 +4х2 +1.
х2 -1
44.8. ’ Виділіть цілу частину з раціонального дробу:
2х4+х3-5х2-х + 1. х5-Зх3+х2+2х-1
М 2 ’ 2 . і ’
X ~ X X + Х І
9. 5х4 - Зх5 + Зх -1.
X + 1 ~ X
45.
Корені многочлена. Теорема Безу
Означення. Число а називають коренем многочлена
А (х), якщо А (а) = 0.
Зрозуміло, що корінь многочлена А (х) — це корінь рівняння
А (х) = 0.
Легко знайти множину коренів рівняння
(Зх - 7) (5х + 1) (2х - 9) (х + 1) = 0.
Проте, якщо ліву частину рівняння подати у вигляді много-
члена ЗОх4 - 169х3 + 75х2 + 337х + 63, то задача пошуку його
коренів стає непростою.
Тому при розв’язуванні рівнянь виду А (х) = 0, де А (х) — мно-
гочлен, важливо навчитися виділяти в многочлені лінійний
множник, тобто подавати многочлен у вигляді добутку: А (х) =
= (х — а) В (х), де В (х) — деякий многочлен, степінь якого на 1
менший від степеня многочлена А (х).
Цьому значною мірою сприятиме така теорема.
Теорема 45.1 (теорема Везу). Остача від ділення много-
члена А (х) на двочлен х-а дорівнює А (а).
Доведення. Оскільки степінь дільника (двочлена х — а) дорів-
нює 1, то степінь остачі має дорівнювати нулю, тобто шукана
остача — це деяке число г. Для будь-якого х є К маємо
А (х) = (х - а) (х) + г.
Поклавши в цій рівності х = а, отримаємо
А (а) = (а - а) 0 (а) + г.
Звідси А (а) = г. ▲
Ет’єн Безі/ (1730-1783) — фран-
цузький математик, основні роботи
якого стосуються вищої алгебри.
Викладав математику в училищі гар-
демаринів, Королівському артилерій-
ському корпусі. Автор шеститомної
праці «Курс математики».
Теорема 45.2. Для того щоб число а було коренем многочле-
на А (х), необхідно й достатньо, щоб многочлен А (х) ділився
націло на двочлен х — а.
Доведення. Нехай А (а) = 0. Доведемо, що А (х) : (х - а).
За теоремою Везу А (а) є остачею від ділення многочлена А (х)
на двочлен х-а. Проте А (а) = 0, отже, А (х) : (х - а).
Нехай тепер А (х) : (х - а). Доведемо, що А (а) = 0.
Оскільки А (х) : (х — а), то остача від ділення многочлена А (х)
на двочлен х-а дорівнює 0, тобто А (а) = 0. ▲
Наслідок 1. Якщо {а1? а2, а } — множина коренів много-
члена А (х), який тотожно не дорівнює нулю, то А (х) =
= (х — а1) (х — а2) •... • (х — ал)"ф(х), де (}(х) — деякий много-
член.
Доведення. Якщо а1 — корінь многочлена А (х), то за теоремою
15.2 маємо А (х) = (х — ах) (х). Покладемо в цій рівності х = «2.
Отримаємо (а2 — а1) (а2) = 0. Отже, а2 — корінь многочлена
01 (х). Тоді за теоремою 45.2 маємо СД (х) = (х — а2) 02 (х). Отри-
муємо А (х) = (х - с^) (х) = (х - о^) (х - а2) 02 (х).
Застосовуючи аналогічні перетворення для коренів а3, а4, ...,
ал, отримуємо, що А (х) = (х — о^) (х - а2)*... *(х — ал)-0л(х). ▲
Наслідок2. Множина коренів многочлена степеня п містить
не більше ніж п елементів.
Доведення. Припустимо, що а2, ..., ал, а — корені мно-
гочлена А (х), степінь якого дорівнює п. Тоді згідно з наслідком 1
можна записати:
А (х) = (х - с^) (х - а2) •... • (х - ап + 4) • Є (х).
Проте ця рівність неможлива, оскільки в лівій частині запи-
сано многочлен степеня п, а в правій — вираз, який тотожно
дорівнює многочлену, степінь якого більша за п. А.
Наслідок 3. Якщо множина коренів многочлена а^х" + ап1хп~1 +
+ ... + а,х + ап містить більше ніж п елементів, то а = а =
= ... = ах = а0 = 0, тобто цей многочлен тотожно дорівнює
нулю.
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що вираз А (х) = (х - 2)100 4- (х - І)50 - 1
ділиться націло на многочлен В (х) = х2 - Зх + 2.
Розв’язання. Маємо: В (х) = х2 — Зх + 2 = (х - 1) (х - 2). Оскіль-
ки А (1) = А (2) = 0, то за теоремою 45.2 многочлен А (х) ділить-
ся націло на (х — 1) (х — 2), тобто ділиться націло на многочлен
х2 - Зх + 2.
ПРИКЛАД 2 Остачі від ділення многочлена Р(х) на двочлени
х - 2 і х - 3 відповідно дорівнюють 5 і 7. Знайдіть остачу від
ділення многочлена Р(х) на многочлен х2 - 5х + 6.
Розв’язання. Оскільки степінь многочлена х2 - 5х + 6 дорів-
нює 2, то степінь шуканої остачі не більша за 1. Тому остача — це
многочлен виду ах + Ь.
Маємо:
Р (х) = (х2 — 5х + 6) (х) + ах + Ь;
Р (х) = (х - 2) (х - 3) ф (х) + ах + Ь.
Підставимо по черзі в цю рівність х = 2 і х = 3. Отримуємо:
Р (2) = 2а + Ь, Р (3) = За + Ь.
Застосовуючи теорему Везу, маємо: Р (2) = 5 і Р (3) = 7. Тоді
[2а + Ь = 5,
отримуємо систему !
[За + 6 = 7.
Звідси а = 2, Ь = 1. Тоді шуканою остачею є многочлен
2х + 1.
Відповідь: 2х + 1.
ПРИКЛАД 3 При яких натуральних п многочлен / (х) = х" + а"
ділиться націло на двочлен х + а?
Розв’язання. Маємо: х + а = х - (-а). З’ясуємо, при яких на-
туральних п виконується рівність / (-а) = 0, тобто (-а)" + а" = 0.
Очевидно, ця рівність виконується тільки при всіх непарних п.
ПРИКЛАД 4 Доведіть тотожність
(х -6) (х - с) + (х - с) (х -а) + (х - а) (х - Ь) _ 1 = 0
(а - Ь) (а- с) (Ь - с) (Ь - а) (с - а) (с -Ь)
Разе’язання. Очевидно, що а Ф Ь, Ь Ф с, с ї а. Зазначимо, що
вираз / (х), записаний в лівій частині рівності, яку треба довести,
тотожно дорівнює многочлену, степінь якого не більший за 2.
Легко перевірити, що / (а) = / (6) = / (с) = 0. Отримуємо, що
многочлен степеня, не вищого за 2, мас три різних корені. Отже,
цей многочлен тотожно дорівнює нулю.
1. Що називають коренем многочлена?
2. Сформулюйте теорему Везу.
3. Сформулюйте необхідну й достатню умову, при якій число а
є коренем многочлена А (х).
4. Яку найбільшу кількість елементів може містити множина
коренів многочлена п-го степеня?
5. Що можна сказати про многочлен степеня п, якщо множи-
на його коренів містить більше ніж п елементів?
45.1. ° Знайдіть остачу від ділення многочлена А (х) на двочлен В (х):
1) А (х) = х3 + 2х2 + Зх + 1, В (х) = х — 1;
2) А (х) = 2х4 — 4х3 - х - 1, В (х) = х + 2.
15.2. ° Знайдіть остачу від ділення многочлена А (х) на двочлен
В(х):
1) А (х) = 2х3 — 7х2 + х + З, В (х) = х — 4;
2) А (х) = 6х4 - 5х3 - 53х2 + 45х - 9, В (х) = х + 1.
45.3. ° Доведіть, що многочлен А (хі ділиться націло на двочлен
В(х):
1) А (х) = 2х3 + 7х2 + 7х + 2, В (х) = х + 2;
2) А (х) = Зх4 — 8х3 + 2х2 + 5х — 2, В (х) = х - 2;
3) А (х) = 5х5 - 6х4 - х2 + х + 1, В (х) = х - 1;
4) А (х) = х6 - Зх5 - х4 + 2х3 + Зх2 + х - З, В (х) = х - 3.
45.4. ° Доведіть, що вираз (х + 1)2п - х2" - 2х - 1 ділиться націло
на вираз х (х + 1) (2.x + 1), де п є N.
45.5. ° Доведіть, що вираз (х2 + х - І)2" + (х2 - х + 1)2п - 2 ділить-
ся націло на многочлен х2 - х, де п є N.
45.6. " Доведіть, що многочлен А (х) цілиться націло на многочлен
В (х):
1) А (х) = х4 - 8х3 + 15х2 + 4х - 20, В (х) = х2 - х - 2;
2) А (х) = х4 - 9х3 + 9х2 + 41х - 42, В (х) = х2 + х - 2;
3) А (х) = х5 - 9х’ + 26х3 - 18х2 - 27х + 27, В (х) = х2 - 4х + 3.
45.7. ’ При якому значенні параметра а остача від ділення много-
члена:
1) х4 + ах3 - 2х2 + х - 1 на двочлен х-1 дорівнює 5;
2) 2х4 - Зх3 - ах2 - х - 2 на двочлен х+1 дорівнює З?
45.8. ' При яких значеннях параметра Ь многочлен х3 + Зх2 — Ьх + 6
ділиться націло на двочлен х + 2?
45.9. ' При яких значеннях параметрів а і Ь многочлен А (х) ді-
литься націло на многочлен В (х):
1) Л (х) = 2х3 - х2 + ах + Ь, В (х) = х2 - 1;
2) А (х) = 6х4 - х3 + ах2 + Ьх + 4, В (х) = х2 - 4?
45.10. ' При яких значеннях параметрів а і Ь многочлен А (х) =
= Зх4 + 5х3 + ах2 + Ьх + 10 ділиться націло на многочлен
В (х) = х2 + х - 2?
45.11. * При яких значеннях параметрів а, Ь і с многочлен х3 +
+ ах2 + Ьх + с ділиться націло на двочлени х — 1іх + 2,а при
діленні на двочлен х+1 дає в остачі 10?
45.12. ’ При яких значеннях параметрів а і Ь многочлен х3 + ах2 +
+ Ьх + аЬ при діленні на х — 2 дає в остачі 15, а при діленні
на х + 1 дає в остачі 0?
45.13. ’ Остачі від ділення многочлена А(х) на двочлени х - З
і х — 1 відповідно дорівнюють 6 і 4. Знайдіть остачу від ділен-
ня многочлена А (х) на многочлен х2 — 4х + 3.
45.14. " Доведіть, що вираз а3 (Ь - с) + Ь3 (с - а) + с3 (а - Ь) ді-
литься націло на вираз (а — Ь) (Ь — с) (с - а).
45.15. " Доведіть, що:
1) вираз (а + Ь + с) (аЬ + Ьс + са) — аЬс ділиться націло на
вираз а + Ь;
2) вираз х3 + у3 + 23 — Зхуг ділиться націло на вираз х + у + г..
45.16. ” Доведіть тотожність:
а (х -Ь}(х- с) + (х - с) (х - а) с (х - а) (х - Ь) =
(а — Ь) (а- с) (Ь - с) (Ь - а) (с - а) (с - Ь) ’
п2 - 6) (х - с) к2 - с) (х - а) „г (х - а) (х - &) _ 2
(а -Ь) (а- с) (Ь - с) (& - а) (с - а) (с - Ь)
45.17. * Числа 1 і 5 є коренями многочлена Р (х) = апх" + ап х? ~1 +
+ ... + а^х + 2010, де ап, а , , — цілі числа. Чи існує
таке ціле число х0, що Р (х0) = 1000?
46.
Ціле раціональне рівняння
Означення. Рівняння виду ах" + ап 1х"“1 + ... + а(х + а0 = 0,
де а0, а1, ... , ап — параметри, називають цілим раціональ-
ним рівнянням.
Число а0 називають вільним членом цього рівняння.
Теорема 46.1. Якщо ціле раціональне рівняння з цілими ко-
ефіцієнтами має цілий корінь, то він є дільником вільного
члена.
Доведення. Нехай х0 — цілий корінь рівняння
а хп + а ,хп-1 + ... + а.х + а = 0,
п п ~ 1 10
де а0, а , ..., ап — цілі числа. Тоді виконується рівність
а х" + а ,х" 1 + ... + а,х„ + а = 0.
л 0 и - І 0 10 0
Звідси
а0 = "Чхо" - а, - ’1 - - -
ао = хо (~а„х0П"1 - ап - іх0П ’ 2 - - - «і)-
Отже, ціле число а0 дорівнює добутку двох цілих чисел, одне
з яких дорівнює х0. Тоді а0 : х0. ▲
Зауваження. З доведеної теореми не випливає, що дільник
вільного члена цілого раціонального рівняння з цілими коефіцієн-
тами обов’язково є коренем рівняння. У теоремі йде мова лише
про те, що цілі корені цілого раціонального рівняння з цілими
коефіцієнтами слід шукати серед дільників вільного члена.
Іншими словами: для того щоб число було
цілим коренем цілого раціонального рівняння
з цілими коефіцієнтами, необхідно, щоб воно
було дільником вільного члена (рис. 46.1). Од-
нак ця умова не є достатньою.
Наприклад, числа —2 і 2 є дільниками віль-
ного члена рівняння Зх2 - 5х - 2 = 0. Проте
тільки одне з них є коренем рівняння.
Також зазначимо, що теорема 46.1 допомагає
розв’язувати ті цілі раціональні рівняння з цілими коефіцієнта-
ми, які мають цілі корені. Переконаємося в цьому на такому
прикладі.
ПРИКЛАД Розв’яжіть рівняння 2х4 - 5х3 - 2х2 - х — 6 = 0.
Розв’язання. Щоб перевірити наявність цілих коренів у цього
рівняння, випишемо всі дільники його вільного члена: 1; -1; 2;
-2; 3; -3; 6; -6.
Перевіркою встановлюємо, що х = —1 є коренем даного рів-
няння. Отже, многочлен / (х), який стоїть у лівій частині рівнян-
ня, ділиться націло на двочлен х+1, тобто / (х) = (х + 1) § (х).
Многочлен § (х) можна знайти, виконавши ділення «куточком»
многочлена / (х) на двочлен х+1. Проте існує ще й інший
спосіб.
Оскільки / (х) = (х + 1) § (х), то многочлен / (х) можна запи-
сати в такому вигляді, щоб можна було винести за дужки спіль-
ний множник х+1. Подамо многочлен / (х) у вигляді суми
двочленів, кожний з яких ділиться на х + 1. Маємо:
2х4 - 5х3 - 2х2 - х - 6 = 2х4 + 2х3 - 7х3 - 7х2 + 5х2 + 5х - 6х - 6 =
= -5х3 =-2х2 = ~х
= 2х3 (х+1) - 7х2 (х + 1) + 5х (х + 1) - 6 (х + 1) =
= (х + 1) (2х3 - 7х2 + 5х - 6).
Отже, § (х) = 2х3 - 7х2 + 5х - 6.
З’ясуємо, чи має цілі корені рівняння 2х3 - 7х2 + 5х — 6 = 0.
Випишемо дільники вільного члена: 1; —1; 2; —2; 3; —3; 6; —6.
Перевіркою встановлюємо, що х = 3 є коренем цього рівняння.
Тоді § (х) = (х — 3) к (х). Знайдемо многочлен к (х). Для цього
подамо многочлен § (х) у вигляді суми двочленів, кожний з яких
ділиться націло на х - 3:
2х3 - 7х2 + 5х - 6 = 2х3 - 6х2 - х2 + Зх + 2х - 6 =
= -7х2 =5*
= 2х2 (х - 3) - х (х - 3) + 2 (х - 3) = (х - 3) (2х2 - х + 2).
Отже, й (х) = 2х2 — х + 2.
Очевидно, що рівняння к (х) = 0 коренів не має. Таким чином,
задане рівняння має два корені: —1 і 3.
Відповідь: -1; 3.
• 1. Яке рівняння називають цілим раціональним?
2. Яку властивість мають цілі корені цілого раціонального
рівняння з цілими коефіцієнтами?
3. Яке співвідношення між множиною дільників вільного чле-
на цілого раціонального рівняння з цілими коефіцієнтами
і множиною його цілих коренів?
46.1. ’ Розв’яжіть рівняння:
1) X3 + 9х2 + 23х + 15 = 0;
2) 2х3 - х2 - 5х - 2 = 0;
3) Зх4 + 5х3 - х2 - 5х - 2 = 0;
4) 5х4 + 9х3 - 2х2 - 4х - 8 = 0;
5) 2х4 - Зх3 - 7х2 + 6х + 8 = 0;
6) х5 + 8х4 + 24х3 + 35х2 + 28х + 12 = 0.
46.2. ' Розв’яжіть рівняння:
1) х3 + х2 - 4х + 2 = 0;
2) х3 - х2 - 8х + 12 = 0;
3) х3 + 4х2 + 5х + 2 = 0;
4) х4 + 4х3 - 2х2 - 4х + 1 = 0;
5) х4 + 2х3 - 11х2 + 4х + 4 = 0;
6) Зх4 + 5х3 - 9х2 - 9х + 10 = 0.
46.3. ” Доведіть, що коли ціле раціональне рівняння з цілими
коефіцієнтами
х" + а ,х" “1 + ... + а,х + а = 0
л І 1 0
має раціональний корінь, то він е цілим числом.
46.4. ’ Доведіть, що коли ціле раціональне рівняння з цілими
коефіцієнтами
а хп + а ,хп 1 + ... + а.х + а.= 0
п п - 1 10
має раціональний корінь хп = —, де — — нескоротний дріб,
<7 Ч
то р — дільник вільного члена а0, д — дільник старшого кое-
фіцієнта ап.
| Відомості з курсу алгебри 7 класу
Лінійне рівняння з однією змінною. Цілі вирази
1. Лінійне рівняння з однією змінною
Рівняння виду ах = Ь, де х — змінна, а і Ь — деякі числа,
називають лінійним рівнянням з однією змінною.
Якщо а * 0, то, поділивши обидві частини рівняння ах = Ь
па а, отримаємо х = —. Отже, якщо а Ф 0, то рівняння ах = Ь має
а
єдиний корінь, що дорівнює —.
а
Якщо а = 0, то лінійне рівняння набуває такого вигляду:
Ох = Ь. Тут можливі два випадки: Ь = 0 або Ь Ф 0.
У першому випадку отримуємо рівняння Ох = 0. Звідси, якщо
а = 0 і Ь = 0, то рівняння ах — Ь має безліч коренів: будь-яке
число є його коренем.
У другому випадку, коли Ь 0, то при будь-якому значенні х
маємо хибну рівність Ох = Ь. Звідси, якщо а = 0 і Ь * 0, то рів-
няння ах = Ь коренів не має.
Наведені міркування підсумовує така таблиця.
Рівняння ах = Ь а Ф 0 а II о О" II о а = 0, Ь Ф 0
Ь х = — а х — будь-яке число коренів немає
2. Тотожно рівні вирази. Тотожності
Вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких значен-
нях змінних, називають тотожно рівними.
Рівність, правильну при будь-яких значеннях змінних, що
входять до неї, називають тотожністю.
Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому, називають
тотожним перетворенням.
Для доведення тотожностей використовують такі прийоми (ме-
тоди):
» тотожно перетворюють одну з частин даної рівності, отриму-
ючи іншу частину;
- тотожно перетворюють кожну з частин даної рівності, отри-
муючи один і той самий вираз;
показують, що різниця лівої і правої частин даної рівності
тотожно дорівнює нулю.
3. Степінь з натуральним показником
Степенем числа а з натуральним показником п, більшим за 1,
називають добуток п множників, кожний з яких дорівнює а.
Для будь-якого числа а і будь-яких натуральних чисел тіл
справджується рівність
атал = ат + п,
тобто при множенні степенів з однаковими основами показники
додають, а основу залишають тією самою.
Для будь-якого числа а, відмінного від нуля, і будь-яких на-
туральних чисел тіл таких, що т > п, справджується рів-
ність
а : а = а ,
тобто при діленні степенів з однаковими основами від показника
степеня діленого віднімають показник степеня дільника, а осно-
ву залишають тією самою.
Для будь-якого числа а і будь-яких натуральних чисел тіл
справджу» ться рівність
(а )= а ,
тобто при піднесенні степеня до степеня показники перемножу-
ють, а основу залишають тією самою.
Для будь-яких чисел а і & і будь-якого натурального числа п
справджується рівність
(аЬ)п = а"Ьп,
тобто при піднесенні добутку до степеня кожний множник під-
носять до степеня і отримані результати перемножують.
4. Одночлени
Вирази, які є добутками чисел, змінних та їх степенів, нази-
вають одночленами.
Одночлен, який містить тільки один відмінний від нуля чис-
ловий множник, що стоїть на першому місці, а всі інші множни-
ки якого — степені з різними основами, називають стандартним
виглядом одночлена. До одночленів стандартного вигляду також
відносять числа, відмінні від нуля, змінні та їх степені.
Число 0, а також одночлени, які тотожно дорівнюють нулю,
називають нуль-одночленами. їх не відносять до одночленів стан-
дартного вигляду.
Числовий множник одночлена, записаного в стандартному
вигляді, називають коефіцієнтом одночлена.
Одночлени, які мають однакові буквені складові, називають
подібними.
Степенем одночлена називають суму показників степенів усіх
змінних, що входять до нього. Степінь одночлена, який є числом,
відмінним від нуля, вважають таким, що дорівнює нулю.
Вважають, що нуль-одночлен степеня не має.
5. Многочлени
Вираз, який є сумою кількох одночленів, називають много-
членом.
Одночлени, з яких складено многочлен, називають членами
многочлена.
Многочлен, який складається з двох членів, називають дво-
членом, а з трьох членів — тричленом. Одночлен є окремим ви-
падком многочлена. Вважають, що такий многочлен складається
з одного члена.
Зв’язки між многочленами, одночле-
нами та їх окремим видом — числами
ілюструє схема, зображена на рисунку 1.
Якщо серед одночленів, з яких скла-
дається многочлен, є подібні, то їх
називають подібними членами много-
члена.
Щоб помножити одночлен на многочлен, треба помножити цей
одночлен на кожний член многочлена й отримані добутки додати.
Щоб помножити многочлен на многочлен, можна кожний член
одного многочлена помножити на кожний член другого і отримані
добутки додати.
6. Формули скороченого множення
Добуток різниці двох виразів та їх суми дорівнює різниці
квадратів цих виразів:
(а - Ь) (а + Ь) = а2 - Ь2.
Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку різниці цих
виразів та їх суми:
а2 - Ь2 = (а - Ь) (а + Ь).
Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу
плюс подвоєний добуток першого й другого виразів плюс квадрат
другого виразу:
(а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2.
Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого ви-
разу мінус подвоєний добуток першого й другого виразів плюс
квадрат другого виразу:
(а - Ь)2 = а2 - 2аЬ + Ь2.
Многочлен а2 - аЬ + Ь2 називають неповним квадратом різ-
ниці. Многочлен а2 + аЬ + Ь2 називають неповним квадратом
суми.
Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів
і неповного квадрата їх різниці:
а3 + Ь3 = (а + Ь) (а2 - аЬ + Ь2).
Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих ви-
разів і неповного квадрата їх суми:
а3 - Ь3 = (а - Ь) (а2 + аЬ + Ь2).
7. Розкладання многочлена на множники
Які способи і в якій послідовності треба застосовувати при
розкладанні многочлена на множники? Універсальних рекомен-
дацій не існує, усе залежить від конкретного многочлена. І все ж
дамо кілька загальних порад:
1) якщо це можливо, то розкладання треба починати з винесен-
ня спільного множника за дужки;
2) перевірити, чи можна застосувати формули скороченого мно-
ження;
3) якщо не вдасться застосувати формули, то спробуйте скориста-
тися методом групування.
Функції
8. Функція. Область визначення і область значень функції
Правило, за допомогою якого за кожним значенням незалеж-
ної змінної можна знайти єдине значення залежної змінної, на-
зивають функцією, а відповідну залежність однієї змінної від
другої — функціональною.
Зазвичай незалежну змінну позначають буквою х, залеж-
ну — буквою у, функцію (правило) — буквою /. Якщо змінна у
функціонально залежить від змінної х, то цей факт позначають
так: у = / (х) (читають: «ігрек дорівнює еф від ікс»).
Незалежну змінну ще називають аргументом функції.
Для функції / кожному значенню аргументу х відповідає де-
яке значення залежної змінної у. Значення залежної змінної
називають також значенням функції та позначають / (х).
Усі значення, яких набуває аргумент, утворюють область ви-
значення функції. Усі значення, яких набуває залежна змінна,
утворюють область значень функції.
9. Способи задання функції
Функція вважається заданою, якщо вказано її область визна-
чення і правило, за допомогою якого можна за кожним значенням
незалежної змінної знайти значення залежної змінної.
Оскільки функція — це правило, то її можна задати за допо-
могою речень. Такий спосіб задання функції називають заданням
функції описом.
Найпоширенішим способом задання функції є задання функції
за допомогою формули.
Ще одним способом задання функції є табличний. Усі числа,
записані в першому рядку таблиці, складають область визначен-
ня даної функції; у другому рядку записують відповідні значен-
ня функції.
10. Графік функції
Графіком функції / називають геометричну фігуру, яка скла-
дається з усіх тих і тільки тих точок координатної площини,
абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати —
відповідним значенням функції Л
Коли якась фігура є графіком функції Д то виконуються дві
умови:
1) якщо хд — деяке значення аргументу, а / (х0) — відповідне
значення функції, то точка з координатами (х(|; / (х0)) обо-
в’язково належить графіку;
2) якщо (х0; у0) — координати довільної точки графіка, то х0
і у0 — відповідні значення незалежної і залежної змінних
функції /, тобто Уо = / (хо).
Фігура може бути графіком деякої функції, якщо будь-яка
пряма, перпендикулярна до осі абсцис, має з цією фігурою не
більше за одну спільну точку.
11. Лінійна функція, її графік і властивості
Функцію, яку можна задати формулою виду у = кх + Ь, де А
і Ь —- деякі числа, х — незалежна змінна, називають лінійною.
Графіком лінійної функції, область визначення якої — усі
числа, є пряма. Оскільки пряма однозначно задається будь-яки-
ми двома своїми точками, то для побудови графіка лінійної функ-
ції достатньо обрати два довільних значення аргументу і скласти
таблицю, яка має лише два числових стовпці.
Лінійну функцію, яку задають формулою у = кх, де * 0,
називають прямою пропорційністю.
Рис. 2
Пряма пропорційність є окремим ви-
падком лінійної функції (це виражає схе-
ма, зображена на рисунку 2). Графіком
прямої пропорційності є пряма, яка про-
ходить через початок координат.
Якщо у формулі у = кх + Ь покласти
к = 0, то отримаємо у = Ь. Графіком такої
функції є пряма, паралельна осі абсцис.
Системи лінійних рівнянь з двома змінними
12. Рівняннч з двома змінними
Рівності Зх + 2у = 450, х2 + у2 = 100, х + у = 90, ху = 12,
5х + 7у = 19, які містять по дві змінні х і у, є прикладами рівнянь
з двома змінними.
Пару значень змінних, яка перетворює рівняння з двома змін-
ними в правильну рівність, називають розв’язком рівняння
з двома змінними. Той факт, що пара чисел х = а, у = Ь є роз-
в’язком рівняння, прийнято записувати так: (а; Ь) є розв’язком
рівняння. У дужках на першому місці пишуть значення змінної х,
а на другому — значення змінної у.
Розв’язати рівняння з двома змінними — це означає знайти
всі його розв’язки або показати, що воно не має розв’язків.
Властивості рівнянь з двома змінними:
• Якщо до обох частин даного рівняння додати (або від обох
частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння,
яке має ті самі розв’язки, що й дане.
• Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівнян-
ня в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний,
то отримаємо рівняння, яке має ті самі розв’язки, що й дане.
• Якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне
й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, яке
має ті самі розв’язки, що й дане.
Графіком рівняння з двома змінними називають геометричну
фігуру, що складається з усіх тих і тільки тих точок координат-
ної площини, координати яких (пари чисел) є розв’язками дано-
го рівняння.
Коли якась фігура є графіком рівняння, то виконуються дві
умови:
1) усі розв’язки рівняння є координатами точок, які належать
графіку;
2) координати будь-якої точки, що належить графіку, — це пара
чисел, яка є розв’язком даного рівняння.
13. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік
Лінійним рівнянням з двома змінними називають рівняння
виду ах + Ьу = с, де х і у — змінні, а, Ь, с — деякі числа.
Рівняння Значення а, Ь, с Графік
ах + Ьу = с Ь Ф 0, а і с — будь-які Невертикальна пряма
ах + Ьу = с Ь = 0, а Ф 0, с — будь-яке Вертикальна пряма
ах + Ьу = с а = Ь = с = 0 Уся координатна площина
ах + Ьу = с а = Ь = 0, с Ф 0 —
14. Системи рівнянь з двома змінними
Якщо треба знайти усі спільні розв’язки кількох рівнянь, то
говорять, що треба розв’язати систему рівнянь.
Систему рівнянь записують за допомогою фігурної дужки.
Розв’язком системи рівнянь з двома змінними називають пару
значень змінних, які перетворюють кожне рівняння на правиль-
ну рівність.
Розв’язати систему рівнянь — означає знайти всі її розв’язки
або довести, що розв’язків немає.
Графічний метод розв’язування системи рівнянь полягає в та-
кому:
• побудувати на одній координатній площині графіки рівнянь,
що входять до системи;
• знайти координати всіх точок перетину побудованих графіків;
• отримані пари чисел і будуть шуканими розв’язками.
Графічний метод є ефективним тоді, коли треба визначити
кількість розв’язків системи.
Якщо графіками рівнянь, що входять в систему лінійних рів-
нянь, є прямі, то кількість розв’язків цієї системи залежить від
взаємного розміщення двох прямих на площині:
• якщо прямі перетинаються, то система має єдиний розв’язок;
• якщо прямі збігаються, то система має нескінченно багато ро-
зв’язків;
• якщо прямі паралельні, то система розв’язків не має.
15. Методи розв’язування систем лінійних рівнянь
Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь методом підстанов-
ки, треба:
1) виразити з будь-якого рівняння системи одну змінну через
другу;
2) підставити в друге рівняння системи замість цієї змінної вираз,
отриманий на першому кроці;
3) розв’язати рівняння з однією змінною, отримане на другому
кроці;
4) підставити знайдене значення змінної у вираз, отриманий на
першому кроці;
5) обчислити значення другої змінної;
6) записати відповідь.
Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь методом додавання,
треба:
1) дібравши «вигідні» множники, перетворити одне або обидва
рівняння системи так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних
стали протилежними числами;
2) додати почленно ліві й праві частини рівнянь, отриманих на
першому кроці;
3) розв’язати рівняння з однією змінною, отримане на другому
кроці;
4) підставити знайдене на третьому кроці значення змінної у будь-
яке з рівнянь вихідної системи;
5) обчислити значення другої змінної.
Відповіді та вказівки до вправ
1.2. 1) 1; 2) Ц. 1.16. Ь — будь-яке число. 1.23. 1) хп + 5 - х" + 1;
2) х2п + 2 - 7х. 1.24. 1) 5хп + \ 2) х" + 4 - х2" + 2 + х". 1.37. 4) (а +
+ 5)2 + (а - Ь)2. 1.38. 1) х = -1, у = 0,5; 2) таких значень не існує.
1.45. 7 або -7. 1.46. 4 або -4. 1.50. 1. Вказівка, х6 + Зх2у2 + у6 =
= (х2 + у2) (х4 — х2у2 + і/4) + Зх2у2. 1.51. 8. 1.54. Вказівка. Подайте
даний многочлен у вигляді суми кубів. 1.56. Вказівка. Помнож-
те обидві частини другої рівності на 3.1.58. 2171. 1.59. 171 =-.
1.61. 1) 6; 2) 1; 3) 9. 1.62. 3) ЗІ11 < 1714. Вказівка. ЗІ11 < 3211 =
= 258 < 256. 1.63. 2. Вказівка. 2х4 + Зх2у2 + у4 + у2 = 2х4 + 2х2у2 +
+ х2у2 + у4 + у2 = 2х2 (х2 + у2) + у2 (х2 + у2) + у2. 1.64. 8. 1.66. Вка-
зівка. Позначимо 1002 = п. Тоді даний вираз набуває вигляду
(п - 3) (п — 1) (п + 1) (п + 3) + 16. Покажіть, що отриманий ви-
раз тотожно дорівнює (п2 - 5)2. 1.67. Вказівка. Позначимо 1000 = п.
Тоді даний вираз набуває вигляду п2 + п2 (п + І)2 + (и + І)2. По-
кажіть, що отриманий вираз тотожно дорівнює (п2 + п + І)2.
1.69. Вказівка. Помножте і поділіть вираз, що стоїть у лівій час-
тині рівності, на 1 + 2 + 22. 1.70. 5) Вказівка. т5 + т4 + 1 = т3 +
+ т4 + т3 - т3 + 1. 1.71. 5) Вказівка. х8 + х7 + 1 = х8 + х7 + х6 -
- х6 - х5 - х4 + х5 + х4 + х3 - х3 + 1. 1.72. 1) Вказівка, х4 - 8х2 +
+ 4 = х4 — 4х2 + 4 - 4х2. 1.75. 0. Вказівка. Задану рівність по-
дайте у вигляді (а - Ь)2 + (Ь - с)2 + (а - с)2 = 0. 1.76. Вказівка.
Розгляньте вираз (а - х)2 + (5 — у)2 + (с - г)2. 1.77. Вказівка.
х4 - х+ - = х4 - х2 + — + х2 - х + — . 1.78. 59. 1.80. 2 або -2. Вказів-
2 4 4
ка. (а + Ь - с)2 = а2 + Ь2 + с2 + 2аЬ — 2ас — 2Ьс. 1.81. Вказівка.
а2 + Ь2 + Зс2 + 2аЬ + 4ас + 45с = а2 + Ь2 + 4с2 + 2аЬ + 4ас + 45с - с2.
1.83. Вказівка. Маємо а + Ь = —с, звідки (а + Ь)3 = -с3. 2.4. Так.
Усі натуральні числа. 2.11. 5 (х) = 40 (40 - х). Область визначен-
ня: усі такі числа х, що 0 < х < 40. 2.12. У(х) = (100 - 2х)2-х.
Область визначення: усі такі числа х, що 0 < х < 50. 2.13. у =
= 4х + 1. 2.14. у = х3 + х. 2.22. Див. рисунок
до задачі 2.22. 2.40. Можна. Вказівка. По- , Уи
кажіть, що при будь-якому к графіки пере- *
тинаються в точці М (-1; 2). 3.9. (3; 3). * * ? * * ^ і
3.10. (4; -4). 3.11. -12. 3.12. -4. 3.13. а = 7,
Ь = -3. 3.16. 1) а = З, Ь = -2,5; 2) а = 4, Ь = МЇІІІІі7
= —6. 3.17. а = З, Ь = 5. 3.19. 1) При а 17; Рис. до задачі 2.22
2) при а = -10. 3.21. 1) (-2; 2); (1; 1); 2) (1; -1); (3; 3); 3) (1; 1);
(-3; 3). 3.22. 1) (8; 6); 2) (-5; -4). 3.23. 1) (1; -1); 2) (14; 2).
3.24. 1) (-3; -4); 2) (2; -2). 3.25. 1) (-0,6; -3,2); 2) (1; 3). 3.26. а =
= 5,6, Ь = 0,8. 3.27. 1) у = -0,4х + 1,8; 2) у = -х + 2. 3.28. 1) (3; -3);
2) (1,5; 0,75); 3) ^4; 4) (-5; 6); 5) (-2,4; -4). 3.29. 1) (10; 5);
2) (0,5; 1,5); 3) (-8; —28). 4.13. Якщо точки А, В і С не лежать на
одній прямій, то шукана множина складається з однієї точки —
центра описаного кола △ АВС. Якщо точки А, В і С лежать на
одній прямій, то шукана множина порожня. 4.15. А = С. 4.18. Вка-
зівка. 3/г-1 = 3/г-1 + 3- 3 = 3(/г-1)+2;Зп + 2 = Зп + 2- 3 +
+ 3 = 3 (л + 1) — 1. 5.29. 2) Множина всіх натуральних чисел,
крім 1; 3) множина, яка складається з усіх непарних чисел і чис-
ла 2. 6.4. 6 днів. 6.11. Більше чисел, усі цифри яких непарні.
6.13. Однакова кількість. Вказівка. Установіть взаємно однознач-
ну відповідність між множиною менших сторін прямокутників
одного виду і множиною менших сторін прямокутників другого
виду. 6.14. Вказівка. Нехай В А. Множині В поставимо у від-
повідність таку множину С, що С А В = 0 і С и В = А. Очевидно,
що числа п (В) і п (С) мають різну парність. 6.16. Більше тих
чисел, у яких друга цифра менша від першої і третьої. Вказівка.
Числа, у яких друга цифра найбільша, назвемо числами першо-
го виду, а ті, у яких друга цифра найменша, — числами другого
виду. Зрозуміло, що жодне з чисел першого виду не починається
з цифри 9. Кожному числу аЬс першого виду поставимо у відпо-
відність число 999 - аЬс, яке є числом другого виду. 6.17. Вказів-
ка. «Щасливому» квитку з номером аЬссІеї поставте у відповід-
ність квиток з номером 999 999 - аЬссІе/. Доведіть, що він є теж
«щасливим». 6.18. Однакова кількість. Вказівка. Доведіть, що
довжини сторін трикутників, периметр яких дорівнює 1000,
більші за 1. Тоді трикутнику зі сторонами а, Ь, с і периметром,
який дорівнює 1000, відповідає трикутник зі сторонами а - 1,
Ь - 1, с — 1 з периметром, який дорівнює 997. 6.19. Многокутни-
ків, які містять вершину Ар більше. Вказівка. Кожному «-кут-
нику з вершиною А1 при и > 4 можна поставити у відповідність
(п — 1)-кутник, який отримано вилученням точки А1 з числа вер-
шин. Таким чином можна отримати всі многокутники, які не
МІСТЯТЬ вершину Ар Проте для трикутників з вершиною А1 від-
повідних пар не існує. 6.20. Однакова кількість. Вказівка. Кож-
ному числу виду а1а2а3аіа& такому, що а1 < а2 < а3 < а4 < а5,
Іхі+Уі. Уі ~
\ 2 ’ 2 /
поставте у відповідність число (а5 -4) (щ -3) (а3 -2) (аг -1) аг.
6.21. Вказівка. Якщо пара чисел (х0; у(]) є розв’язком рівняння
х2 + у2 = п, то пара (х0 — у0; х0 + у0) — розв’язок рівняння х2 +
+ у2 = 2п. Якщо пара (х ; уг) — розв’язок рівняння х2 + у2 = 2п,
то числа х1 і ух мають однакову парність і пара
є розв’язком рівняння х2 + у2 — п. 6.22. Вказівка. Розглянемо
елемент а & А. Кожній підмножині В множини А такій, що а <£ В,
поставимо у відповідність підмножину С = В О {а}. Зрозуміло,
що числа п (В) і п (С) різної парності. Зазначимо, що це розв’я-
зання не залежить від парності кількості елементів множини А.
Тому задачу 6.14 можна розв’язати також і цим способом. 7.6. По-
казнику степеня числа 2" можна поставити у відповідність кіль-
кість нулів, які використано в запису десяткового дробу. 7.8. Див.
рисунок до задачі 7.8. 7.10. Вказівка. Пронумеруємо елементи
заданої зліченної множини. Нехай елементи даної підмножини
мають номери і1 < і2 < і3 < ... . Множина цих номерів є або скін-
ченною, або зліченною. 7.11. Кожний із заданих відрізків містить
щонайменше одну точку з цілою координатою, а оскільки відріз-
ки не перетинаються, то всі ці точки різні. Тепер можна скориста-
тися результатом задачі 7.10. 7.12. Див. рисунок до задачі 7.12.
7.13. 1) Кожній точці М (х0) відрізка ОА можна поставити у від-
повідність точку N (5х0) відрізка ОВ; 2) кожній точці М(х0)
відрізка ОА (крім точки О) можна поставити у відповідність точ-
ку ДП — ] променя АВ. 7.15. Вказівка. Можна скористатися
двійковою системою запису натуральних чисел. 7.16. Схему нуме-
рації елементів даної множини наведено на рисунку до задачі 7.16.
7.17. Вказівка. Якщо ввести систему координат, то кожний із
зазначених квадратів міститиме точку з цілими координатами.
Оскільки квадрати не перетинаються, то ці точки різні. Далі
скористайтеся результатами задач 7.16 і 7.10. 8.5. 3) Вказівка.
Рис. до задачі 7.8
Рис. до задачі 7.12
Рис. до задачі 7.16
5 • 25л + 13 • 132л = 52" +1 + І32л т 1; 4) Вказівка. 21л + 4Л + 2 = 21" - 4Л +
+ 17-4". 8.8. 1) Вказівка. 21234 + 1 = (22)617 + 1. 8.9. 1) Вказівка.
Помножте вирази, які записані в обох частинах рівності, на вираз
х - 1. 8.10. 1) З100. Вказівка. Помножте даний вираз на 3 — 2 = 1;
2) 4 ? . 8.11. а = 2. 8.13. 1) 0; 2) 0; -1. 8.14. 1) Вказівка.
7-52л + 12-6Л = 7-25" + 12-6Л = 7-25л - 7-6" + 19-6". 9.7. 6) П(//) ~
= {х | х ф -1 і х * 0}. 10.21. 0,3. 10.22. 5. 10.24. ± 10.25. 1) -|;
32 о
2) -12,5. 10.30. 1) х — будь-яке число, крім -1; 2) коренів немає;
3) коренів немає. 10.31. 1) Коренів немає; 2) -7. 10.32. 1) Якщо
а = 0, то коренів немає; якщо а 0, то х = —; 2) якщо а = 0, то
а
х — будь-яке число; якщо а * 0, то х = 1; 3) якщо а = 6, то х —
будь-яке число; якщо а * 6, то х = а - 6; 4) якщо а = —2, то ко-
ренів немає; якщо а = 2, то х — будь-яке число; якщо а Ф —2
і а * 2, то х = —-—. 10.33. 1) Якщо а = -3, то коренів немає;
а + 2
З
якщо а —3, то х = ——; 2) якщо а = 0, то коренів немає; якщо
а + З
д _
а = 9, то х — будь-яке число; якщо а * 0 і а * 9, то х =------.
а
10.37. 3) Вказівка. Подайте чисельник дробу у вигляді Ь3 + (Ь + І)3;
5) а2 - 2а + 2; 9) Ь2' + 1. Вказівка. Помножимо чисельник і знамен-
, д і ™ (&-1)(Ь47 + Ь46+... + Ь + 1) 648-1 ,2л..
ник дробу на о - 1. Маємо: ----55---------------------= Ь +1.
(Ь-1)(Ь23 + Ь22 +... + 6 + 1) Ь24-1
10.38. 4) г2 - г + 4; 6) а40 - а20 + 1. 10.39. Вказівка. Скористай-
теся результатом задачі 10.36. 10.40. 1) -1; 2) Вказівка. 2а4 +
+ 14а2 - 17а + 3 = 2а (а3 + 7а - 9) + а + 3. 10.41. х3 - х2 + 1.
Вказівка. Подайте вираз х® + х + 1 у вигляді (х® — х2) + (х2 + х +
+ 1). 10.42. Вказівка, а6 + а6 + а4 + а2 + 1 = —- = —-
а2 - 1 (а - 1) (а + 1)
11.9. 1) 2) ——; 3) . 11.10. 1) -; 2) 11.11.1) -А-;
2 ' т+2 ' 1-к 4 а + 5 1-а
2) 3) 4) 1. 11.12. 1) —2) + 2а6 + 4-; 3)
Ь-2 п-5 (х-7)2 (а - 2Ь)2 У+ 2
11.20. 2) 5; 3) 4 — . 11.21. 2) -3; 3) -4,5. 11.22. 1) {1, 2, 3, 6};
4
2) {1, 2, 7, 14}; 3) {1, 2, 8}. 11.23. 1) {1, 3, 9}; 2) {1, 2, 4, 8}; 3) {2}.
11.25. 1) {-10, -4, -2, 4}; 2) {-15, 1, 3, 19}. 11.26. 1) Вказівка, п3 -
- 2п + 1 = (и3 + п2 - п) - (п2 + п - 1). 11.27. Вказівка, а2 + Ь2 +
+ с2 = (а + Ь + с)2 - 2аЬ - 2Ьс - 2ас. 12.11. 6) ——; 7) ——
р-5 16у-у3
8) 2Ь + 1 . 12.12. 5) -; 6) 12.15. 2) 4. 12.16. 1) 2) 2,5;
126 - 6 х у + 2 6
3) 0,1. 12.17. 1) 0,8; 2) —. 12.20. 2) §---. 12.21. 1) 2У
17 ' Ь2 -Зі> + 9 9т2 -п2
2) 12.23.1) 2) —; 3) -- „-100д2„ „; 4) . 12.27. —.
8Ь3 +1 аЬ 2х (а2 - 2бЬ2)2 у - 2 36
з
12.29. 1) -----------. Вказівка. Подайте кожний з доданків у ви-
(а -1) (а - 4)
гляді різниці двох дробів. Наприклад, ------------= — --------—;
(а -1) (а - 2) а-2 а -1
2) 4 12-30. 1) ---Д----; 2) ,5 . 12.34. Вказівка,
а (а + 12) (а - 7) (а - 1) х (х + 5)
До кожного з дробів лівої частини рівності додайте 1, а до правої
частини додайте 3. 12.35. Вказівка. Розгляньте різницю лівої
і правої частин даної рівності. 12.36. 12. Вказівка. Покажіть, що
з першої рівності випливає, що (а - Ь) (а + Ь + с) = 0. Також Цю
задачу можна розв’язати, скориставшись результатом зада-
чі 10.36. 12.37. 12. Вказівка. Скористайтеся результатом задачі
10.36. 12.38. Вказівка. Доведіть, що виконується одна з рівностей
а + Ь = 0, Ь + с = 0 або с + а = 0. 12.39. 2. Вказівка. Можна за-
писати
1
х2+1
1
ху+ 1
1_______1
ху + 1 у2 + 1 ’
Звідси
У (У~ х)
(у2 + 1) (ху + 1) '
X (у-х)
(X2 + 1) (ху + 1)
З урахуванням х * у можна показати, що
ху = 1. 12.40. Вказівка. Доведіть, що ——- + -—- + -—-
а+Ь Ь + с с + а
(а-Ь) (Ь-с) (с — а) . 89 п
=---------------. 12.41. 1) —. Вказівка. Скориставшись ре-
(а + Ь) (Ь + с) (с + а) 7 60 Р Р
. - . а-Ь Ь—с.с—а 1
зультатом задачі 12.40, покажіть, що —— + -І—-— = — (*),
91
і відніміть від обох частин цієї рівності 3; 2) —. Вказівка. До-
бо
9
дайте 3 до обох частин рівності (*). 12.42. —. Вказівка. Скорис-
4
тайтесь результатом задачі 12.25. 12.43. Вказівка. —+ —о + ~г -
с а Ь
аЬс Ьса саЬ , І 1 1 1 \ „
= —+ —з- + —з- = аЬс —з + -д + -=-1. Далі скористайтесь тотожніс-
с а Ь \а Ьл сл І
тю хя + у3 + г3 - Зхуг = (х + у + г) (х2 + у2 + г2 — ху - хг - уг),
доведеною в задачі 1.43. 12.44. —1 або 8. Вказівка. До кожної час-
тини подвійної рівності додайте 2. 12.45. 1. Вказівка. ----+
1 + у + уг 1 + г + гх 1 + х + ху х + ху + хуг ху + хуг + х2уг'
13.18. 1) 0,9; 2) -5; 3) -3,2. 13.19. 1) 2) ± 13.20. 1) ас3Ь;
2)
а —о______
2п „піп . г2п
а - а о + о
13.21.1)х2уп + 1/' + 1;2)
хп + 2уп
х2п + 2хпуп + 4г/2" ’
13.22.83.
13.23. 10. 13.24. 7 або -7. 13.25. 2 або -2. 13.26. 1) 1; 2) 1.
13.27.1) ; 2) І-13.30.1) а Н) 1; 2) (Х + 3И* + 7). 13.31. ц (Дг3) ;
(а + 5)2 а-Ь + 1 (х-3)(х-7) \и + 1/
2) а2 - 1. 14.1. 1) 2) 3) -Д-; 4) 5)
1-а Ь - 3 а -2Ь а + 5 х + 3
14.2. 1) 2) х + у; 3) 14.3. 1) * + 8; 2) і; 3) —і; 4) 2;
3-Ь а-2 х - 8 Ь а
5) а-2. 14.4.1) 7±х-; 2) с - 5; 3) -2; 4) 14.7.1) Не залежить;
7-х 6
2) залежить. 14.9.1) -; 2) а - 3; 3) 4) 14.10. 1) а ',Ь ;
а а а Ь
2) -а. 14.11. 1) -“±*; 2) -; 3) а + Ь. 14.12. 1) -у; 2)
2аЬ а а -Ь
14.15.1) 2) 1; 3) Ь -+ а. 14.16.1)-------; 2) —1-; 3) 0,5а (а +
Ь (а - 2) (а -1) х + у
+ с-Ь). 14.18. 14.20. -4^. 14.21. 14.22.1,9. Вказівка.
2 а3Ь3 а4Ь4
Розгляньте добуток (а + Ь + с) І—-— ч—— + —-—І. 14.23. Вказів-
ка + Ь Ь + с с + а)
ка. Розгляньте добуток -------+-------ь---- • --+------+------ .
\Ь-с с-а а-Ь) \Ь-с с-а а-Ь)
14.24. 1. Вказівка. Шукана сума має вигляд
2 + а
15.9. 3) Може звузитися на число —1, тобто може бути загублено
корінь х = -1. Якщо -1 й Л (/) або / (-1) = 1, то множина коренів
не зміниться. 4) Якщо -1 є Л (/) Гі Л (#) і / (—1) = § (-1), то буде
отримано сторонній корінь х = -1; якщо -1 2 Л (/) П Л (£) або
13
/ (—1) § (-1), то множина коренів не зміниться. 15.10. 1) —;
2) коренів немає; 3) 7; 4) 0; —2; 5) коренів немає; 6) —17; 7) 0;
8) коренів немає. 15.11. 1) 10; 2) —0,5; 3) -3; 4) —4; 4; 5) коренів
немає; 6) —5. 15.12. 2 км/год. 15.13. 29 км/год. 15.14. 15 год,
10 год. 15.15. 10 год, 40 год. 15.16. 9 км/год. 15.17. 1) Коренів
немає; 2) 9; 3) 0. 15.18. 1) 0,6; 2) 0. 16.1. 1) Якщо а = 1, то коренів
немає; якщо а* 1, тох = а; 2) якщо а = —2, то коренів немає;
якщо а Ф —2, то х = —2; 4) якщо а = 0, то х — будь-яке число,
крім 3; якщо а * 0 і а ф 3, то х = а; якщо а = 3, то коренів немає;
(>) якщо а = 0, то х — будь-яке число, крім 0; якщо а = 4, то
розв’язків немає; якщо а * 0 і а * 4, то х = 4. 16.2. 3) Якщо
6 = -—, то коренів немає; якщо Ь Ф то х = ЗЬ. 16.3. 1) Якщо
2 2
а = 1, то х = -1; якщо а = -1, то х = 1; якщо а 1 і а Ф -1, то
х = 1 або х = —1; 2) якщо а ф —2, то х = а або х = 0; якщо а = -2,
то х = 0; 3) якщо а Ф 7, то х = а або х = 6; якщо а = 7, то х = 6;
1) якщо а Ф 4 і а -2, то х = 4 або х = —2; якщо а = 4, то х = —2;
якщо а = —2, то х = 4; 7) якщо а = 5 або а = 0, то коренів немає;
якщо а 5 і а 0, то х = -а; 8) якщо а = 0, то х = 2; якщо а = 1,
то х = 1; якщо а* 0 і а* 1, то х = я або х = 2. 16.4. 2) Якщо
Ь = -4 абс Ь = 1, то коренів немає; якщо Ь * -4 і Ь * 1, то х = -6;
4) якщо Ь = 0, то х = 3; якщо Ь = 3, то х = -6; якщо Ь Ф 0 і Ь * З,
то х = 3 або х = -2Ь. 16.5. 1) Якщо а = 2,. то коренем є будь-яке
число, крім х = 2; якщо а 2, то х = а + 1; 2) якщо а = 2 або
а = 3, то коренів немає; якщо а 2 і а З, то х = —-—; 3) якщо
3-а
а — 5
а = 3 або а = 7, то коренів немає; якщо а^3іа*7, то х = ———;
4) якщо а = — або а = 0, то коренів немає; якщо а Ф і а * 0,
О о
то х = За; 5) якщо а = 0 або а = 1, то коренів немає; якщо а = -З,
то коренем є будь-яке число, крім чисел -2 і -3; якщо а Ф 0, а * 1
і а Ф -3, то х = а — 3; 6) якщо а = -2, то х — будь-яке число,
5
крім х = 2; якщо а = 2, або а = —, або а = 1, то коренів немає;
5
якщо а * 2, а Ф -, а 1, а * -2, то х =
—-—. 16.6. 2) Якщо Ь = —
а-2 2
я . 5
або Ь = --,
2
.1 5 4(6 + 1)
то коренів немає; якщо Ь * — і Ь * , то х =-----;
3) якщо Ь = 0, або Ь = -3, або Ь = — 1, то коренів немає; якщо Ь ф 0,
Ь Ф -3 і Ь -1, то х - ——4) якщо Ь = 3, або Ь = —, або Ь = —,
6 + 1 3 4
то коренів немає; якщо 6 = -3, то х — будь-яке число, крім 3 і —4;
якщо Ь * З, Ьї- і Ь * —, Ь * -3, то х = ——. 16.7. 3) а = 0, або
3 4 3-6
а = 3, або а = -1; 4) а = 1, або а = 0, або а = 2; 5) а = -3 або
Рис. до задачі 18.21.5
Рис. до задачі 18.21.3
а—1; 6) а - 1, або а - -1, або а - 2, або а - -2, або а - 0.
16.8. 1) Ь - -8 або Ь - 3; 2) Ь - 0, або Ь - -1, або Ь = 3) Ь - -1
або Ь = -2; 4) Ь = -1, або Ь = |, або Ь = 0, або Ь = 5, або Ь = -3.
16.9. 2) а = 0 або а = 2; 3) а = 0 або а = 3; 5) а = 1; 6) а = -1;
7) а = 0; 8) а = 0 або а = 1. 16.10. 1) {Ь | Ь * -4}; 2) Ь = -1 або
Ь = -3; 3) Ь = 0; 4) Ь = 2; 5) таких значень Ь не існує. 17.21. 1) 2,7;
2) 9^. 17.30. 5. 17.31. 6. 18.5. 6) 7) 8) |. 18.6. 5) 16;
6) 144. 18.15. 8 хв. 18.16. 5,34 кг. 18.17. У 81 раз. 18.21. 3) Див.
рисунок до задачі 18.21.3; 5) Див. рисунок до задачі 18.21.5.
18.25. 1) -3; 2) -5; 3) -2; 4) -7; 5) 0; 6) 2. 18.26. 1) 4; 2) 1;
3) -1; 4) 6. 18.27. 1) ; 2) -4Ь2; 3) 15с3 + 5; 4) —5) -2—.
а + Ь т а + Ь
18.28. 1) 29д2 ; 2) ; 3) 18.29. 1) -1 або 0; 2) 3 або
За2-1 2 х2-1
4; 3) 4 або 5; 4) 2 або 3. 18.30. 1) 6 або 7; 2) 4 або 5; 3) 4 або 5;
4) 4 або 5. 19.20. 1) 2; 2) -1; 3; 3) коренів немає. 19.21. 1) 2; 4;
2) -1; 1; 3) коренів немає. 19.30. Якщо а = 0, то розв’язків немає;
якщо а Ф 0, то рівняння має єдиний розв’язок. 19.36. 3) Див.
рисунок до задачі 19.36.3. 19.37. 3) Див. рисунок до задачі 19.37.3.
19.38. Вказівка. Функція / така, що / | | = . 19.41. / (х) = .
\ ХІ X X
Рис. до задачі 19.36.3
Рис. до задачі 19.37.3
вказівка. Замінивши в даній рівності х на — х, отримуємо
3/(-х) + 2/(х) = -
X
Н^Х) = |(--2 Нх)\
о \Х /
Тепер можна знай-
дений вираз для / (—х) підставити в рівність, задану в умові. Зро-
3
біть перевірку. 19.42. / (х) = —. 20.20. 3) Порівняти неможливо.
21.17. 1) а > 1; 2) а < 2; 3) -1 < а < 1. 23.16. 2) (-оо; -5]; 3) (-оо; 1);
4) (-°о; £1; 5) (-оо; 7,5]; 6) (-оо; +оо); 7) 0; 8) (-оо; +оо); 9) (-оо; 0).
23.17. 1) [-6; +оо); 2) 0; 3) (-оо; +оо); 4) (-3,5; +оо). 23.18. 1) -8;
2) —1. 23.19. 1) -6; 2) -3. 23.20. 5 розв’язків. 23.21. 8 розв’язків.
23.24. 12 км. 23.25. Таких чисел не існує. 23.26. 18 кульок.
23.27. 21. 23.32. 3) При а > -1 і а 1. 23.33. 2) При т < 7 і т Ф 0.
23.34. 1) а = 3; 2) а = -1. 23.35. 1) а = -7; 2) а = -4 і а = 4.
23.36. 1) Якщо а > 0, то х > 0; якщо а < 0, то х < 0; якщо а = 0,
то розв’язків немає; 2) якщо а > 0, то х < —; якщо а < 0, то
х > —; яКщо а = 0, то х — будь-яке число; 3) якщо а > 0, то
а ,
х > 1; якщо а < 0, то х < 1; якщо а = 0, то х — будь-яке число;
4) якщо а > 2, то х > а + 2; якщо а < 2, то х < а + 2; якщо а = 2,
то розв’язків немає; 5) якщо а > —3, то х < а — 3; якщо а < —З,
то х > а — 3; якщо а = -3, то х — будь-яке число; 6) якщо а < 2,
то х < -2; якщо а > 2, то х > -2; якщо а = 2, то розв’язків немає.
23.37. 1) Якщо а 0, то х < 0; якщо а = 0, то х — будь-яке число;
2) якщо а > —4, то х > —-—; якщо а < —4, то х < —-—; якщо а = —4,
а + 4 а + 4
то розв’язків немає; 3) якщо а > —1, то х < -—якщо а < -1,
а +1
2__0
то х > ----; якщо а = -1, то х — будь-яке число. 23.38. 1) а < —;
а +1 5
2) а < 3) а < -1; 4) а < 0; 5) а > 0. 23.39. 1) а = 2) таких
5 5
З 2
значень а не існує; 3) а - 4) а = 3; 5) а = 0; 6) а = 0 або а = —
о
24.22. 1) (|; Ц); 2) (-«>; -4,2); 3) [-2; 3]; 4) [-0,8; .-Н»); 5) |;
6) (-оо; -4]; 7) 0; 8) 0. 24.23. 1) (-|; 2) [-10; +оо); 3) 0;
\ 2 8 /
4) (-оо; +оо). 24.24. 1) -3; -2; -1; 0; 2) 7; 8; 9; 10; 11. 24.25. 1) 4 роз-
в’язки; 2) 6 розв’язків. 24.26. 1) -0,5 < х < 6,5; 2) 14 < х < 17.
24.27. 1) -1,5 < х < 2,5; 2) 0 < х < |. 24.28. 2) (1,5; 7); 3) (-оо; -2).
О
24.29.1) 0; 2) (1; 3). 24.30. З см, 5 см або 4 см, 4 см. 24.34. (—со; +со).
24.36. 1) (-2; 0) О (0; +оо); 2) [-2; +оо); 3) [2; +оо) 0 {0}; 4) (-и; 0) С
С (0; 2); 5) (-оо; -2] Іі {0}; 6) (-оо; 2]. 24.37. 1) (-3; 1) С (1; +оо);
2) [-3; +<ї>); 3) {1} О [3; +оо); 4) (-оо; 1) СІ (1; 3); 5) (-оо; -3] С {1};
6) (-оо; 3]. 24.38. 1) (0; 1) С (1; +оо); 2) [0; 1) Сі (1; +оо); 3) (-оо; -1) Сі
ІЗ (-1; 0); 4) (-оо; -1) Сі (-1; 0]. 24.39. 1) При а > 3; 2) при а < 3.
24.40. 1) При а < 4; 2) при а > 1. 24.41. 1) При а < -1; 2) при
а = 1. 24.42. Якщо а < 2, то х < а, якщо а > 2, то х < 2.
24.43. Якщо а < —3, то а < х < -3; якщо а > -3, то розв’язків
немає. 24.44. При 10 < а < 11. 24.45. При 1 < Ь < 2. 24.46. При
8 < а < 9. 24.47. При -6 < Ь < -5. 24.48. а = 1. 24.49. а = 6.
24.50. 1) Якщо а > 1, то (1; а) О (а; +со); якщо а < 1, то (1; +«);
2) якщо а > 1, то [1; +оо); якщо а < 1, то [1; +оо) О {а}; 3) якщо
а < 1, то (—оо; а); якщо а > 1, то (-оо; 1) 0 (1; а); 4) якщо а < 1,
то (—оо; а] О {1}; якщо а > 1, то (—оо; а]. 24.51. 1) Якщо а > 1, то
(-1; +оо); якщо а < 1, то (-1; -а) О (-а; +оо); 2) якщо а < 1, то
[-1; +оо); якщо а > 1, то [-1; +со) Сі {—а}; 3) якщо а > 1, то (-оо; -а);
якщо а < 1, то (-оо; -1) О (-1; -а); 4) якщо а < 1, то (-со; -а];
якщо а > 1, то (-ос; -а] С {-1}. 25.13. Вказівка. Скористайтеся
геометричною інтерпретацією. 25.14. 1) 4; 2) 5. 25.15. Розв’язків
немає. Вказівка. Запишіть перше рівняння системи у вигляді | х -
— З + і/ - 1 | = я. 25.16. 1) -4; 0; 4; 2) розв’язків немає. 25.17. 1) —4;
-2; 2; 4; 2) 0. 25.18. 1) -3; —; 2) 2; 25.19. 1) 1; 2) розв’язків
5 З
немає; 3) -|. 25.20. 1) 2) 0; 1; 3) 2. 25.21. 1) (2; +оо); 2) [0; 2];
5 З
3) (-оо; +оо); 4) (-00; 3] Сі [5; +оо). 25.22. 1) (3; +оо); 2) +<*>);
3) 11 и [3; +ОО); 4) (-оо; 1).
\ \ з/
25.23. 1)
-; 2; 2) —; 7; 3) 1;
2 2 7 5 7
9
4) розв’язків немає; 5) -1; —; 6) [0; 6]; 7) [3; +со); 8)
о
9) (2; +оо); 10) [2; 3]. 25.24. 1) -8; 12; 2) |; 3) -1; 4) ±4; 5) [-5;’8];
О
6) [2; +оо); 7) (-оо; у]; 8) [3; 6); 9) (0; 2]. 25.25. 1) (-оо; -1);
3) [-1; 1]; 4) (-оо; +оо). 25.26. 1) (-оо; -6) Сі (|;
\ о
2) 0; 3) [-3; 1]; 4) (-оо; -4] Сі [-1; +оо). 25.29. 1) Якщо а < то
О
, • 4 , .4
розв язків немає; якщо а = -—, то один розв язок; якщо а > -—,
то два розв’язки. Вказівка. Запишіть рівняння у вигляді |Зх — 4| —
- х = а і побудуйте графік функції у = | Зх — 4 | — х; 2) якщо
а * 1, то один розв’язок; якщо а = 1, то безліч розв’язків.
25.30. 1) Якщо а < 2, то розв’язків немає; якщо а = 2, то безліч
розв’язків; якщо а > 2, то два розв’язки; 2) якщо а < —4 або а > 4,
то розв’язків немає; якщо а = ±4, то безліч розв’язків; якщо
-4 < а < 4, то один розв’язок. 25.31. -2 < а < — 1. Вказівка. Ско-
ристайтесь геометричною інтерпретацією. 25.32. 4 < а < 6.
26.4. 1) Коренів немає; 2) —1; 3; 3) 2. 26.5. 1) —3; —1; 2) коренів
немає; 3) -1. 26.15. к = —3,5. 26.21. 1) Графік складається з двох
точок: (0; 0) і (1; 1); 2) графік складається з двох точок: (0; 0)
і (-2; —4). 27.14. 1) -10; 2) 25; 3) -23,8; 4) 13; 5) 216; 6) -20.
27.15. 1) 13,4; 2) 21; 3) -20. 27.16. 1) (-оо; 0]; 2) (-оо; +оо); 3) {0};
6) (-оо; +оо). 27.17. 2) (-оо; 0]; 3) [0; +оо); 4) (-оо; 0]; 5) {0}; 6) (0; +оо).
27.18. 4) [3; +оо); 5) (|; +->); 7) {3}. 27.19. 1) (1; +оо); 2) -|; +~);
3) [4; 4,5) О (4,5; -Ьоо). 27.20. 6) -10; 10. 27.21. 4) -7; 7. 27.24. 1) {|};
2) (-оо;.8) Сі (8; +оо); 3) [0; 9) С (9; +оо); 4) [0; +оо); 5) {0}; 6) 0;
7) {0}; 8) (-оо; 0) С (0; +оо); 11) {0}. 27.25. 1) [0; 1) 0 (1; +оо);
2) [0; +оо); 3) (-оо; +оо); 4) {2}. 27.26. 4) (-оо; +оо); 6) [-5; 2).
27.27. 1) [-7; 7]; 2) (-3; -2] СІ [2; +оо). 27.28. 1) 167; 2) 2116;
3) коренів немає. 27.29.1) 4900; 2) коренів немає. 27.30. 2) Вказів-
ка. х2 - 4х + 5 = (х - 2)2 + 1. 27.31. Вказівка, -х2 + 6х - 12 =
= —(х - З)2 - 3. 27.32. Вираз 2). 27.33. 1) 0; 2) [0; +оо); 3) 0; 4) ко-
ренів немає; 5) коренів немає; 6) 1; 7) —2; 8) —1; 1; 9) 1; 10) 2;
11) 2; 1; 12) -1; 13) -1. 27.34. 1) 0; 2) 0; 3) [0; +оо); 4) коренів
немає; 5) 1; 6) 3; 7) 1; 8) 1; 9) 3; 4; 10) -2; -1. 27.35. 1) а > -1;
2) а = -1; 3) а < -1. 27.36. 1) [-0,5; +оо); 2) {-0,5}; 3) 0; 4) (0; +оо);
5) [0; +оо); 6) {0}. 27.37. 1) [1; +оо); 2) 0; 3) {1}. 27.38. 3) Див. рис.
до задачі 27.38.3; 6) див. рис. до задачі 27.38.6; 8) див. рис. до за-
дачі 27.38.8. 27.40. 5) (5; 4); (5; -4); (-5; 4); (-5; -4). 27.42. 3) Ко-
Рис. до задачі 27.38.8
Рис. до задачі 27.38.3 Рис. до задачі 27.38.6
ординатні осі та всі точки першої і третьої чверті; 4) координат-
ні осі та всі точки першої і другої чверті. 27.43. 1) Якщо а * 0
і Ь 0, то а і & — числа одного знака; якщо а = 0, то Ь — будь-
яке число; якщо Ь = 0, то а — будь-яке число; 3) якщо Ь * 0, то
а > 0; якщо Ь = 0, то а — будь-яке число; 5) якщо а * 0, то Ь < 0;
якщо а = 0, то Ь — будь-яке число. 27.44. 1) (0; +°о); 2) [0; +«?);
3) 0; 4) {0}; 5) (0; +оо); 6) [0; +оо); 7) (-1; 0); 8) (-1; 0].
27.45. 1) (1; +оо); 2) [1; +оо) СІ {0}; 3) (0; 1); 4) [0; 1]; 5) (1; +оо);
6) (1; +°о); 7) 0; 8) 0. 27.46. Див. рис. до задачі 27.46. Вказівка.
В (у) = {0} С [1; +оо). 27.47. Див. рис. до задачі 27.47. 27.48.1) а < 0;
2) а > 0. 27.49. 1' а < 0 або а = 1; 2) а < 1. 27.50. 0 < а < 4 або
а > 4. 27.51. 1) а = -9 або а > 0; 2) а < 0 або а = 1; 3) а = 0 або
а > 1. 27.52. а < 0 або а = 16. 27.53. 1) Якщо а = 0, то х > 1;
якщо а * 0, то х = 1; 2) якщо а = 1, то х — будь-яке число; якщо
а Ф 1, то х = 0; 3) якщо а = 0, то х 2 1; якщо а * 0, то х = 2;
4) якщо а < 0, то немає коренів; якщо а > 0, то х = а2 + 2; 5) якщо
а < 1, то х = 1 або х = а; якщо а 1, то х = а; 6) якщо а = 2, то
х > 2; якщо а * 2, то х = 2. 28.11. Вказівка. Нехай — і — — дані
п 9
раціональні числа. Тоді їх сума дорівнює т<і- + пр , тобто є числом
«9
виду де 8 є 2, і є N. 28.12. Вказівка. Якщо припустити, що
дана сума є число раціональне, то з цього випливає, що дане ірра-
ціональне число можна подати у вигляді різниці двох раціональ-
них чисел. 28.13. 1) Ні, наприклад, л/з + (-л/з) = 0; 2) ні, нагіри-
клад, л/З • у/з = Ш = 3; 3) ні, наприклад, уіЗ • 0 = 0. 28.15. а є О,
Ь = 0. 28.16. 1) а = 11, Ь = -6; 2) а = 7, Ь = 4. 28.20. Вказівка.
Покажіть, що виконується рівність уі2 (а-Ь) = а-с. 28.21. р = -2,
9 = —1. Вказівка. Покажіть, що виконується рівність у/2 (2 + р) =
= -р - д - 3. 28.23. Вказівка. Із рівності у/а - у/ь = ви-
у]а + уіЬ
пливає, що число 4а -4ь — раціональне. 28.24. Вказівка. Нехай
а < Ь, а є (Ц), Ь є <0>. Розгляньте числа а * і а + . 28.25. Ні.
Вказівка. Нехай х + 42 = а, а є (0. Звідси х = а - 42. Покажіть,
що х3 + 42 — а3 + 6а - (За2 +1) 42 , і скористайтеся тим, що За2 + 1
а 0. 28.26. 1) Існує, наприклад, х = 2 - х/З; 2) не існує. Вказівка.
Нехай х + 4з = п, — + 4з = т, п є 2, т є 2. Тоді х = п - 4з
х
і — = т - 43. Звідси (п - 4з) (т - 4з) = 1. Доведіть, що при цілих
х
піп отримана рівність суперечлива. 28.27. Вказівка. Розглянь-
те систему координат, початком координат якої є довільний вузол
сітки, а координатні осі направлені по лініях сітки. За одиничний
відрізок візьміть довжину сторони квадрата сітки. Тоді кожний
вузол сітки матиме цілі координати. Розгляньте пряму у = 42х.
29.25. 4) 5-2-Тз. 29.26. 3) -42. 29.27. 0; -1. Вказівка. Ліва
і права частини цього рівняння набувають тільки невід’ємних
значень. 29.36. 1) Коренів немає; 2) 3; 3) -1; 3. 29.37. 1) 2; 2) -4.
29.40. 3) Шукана множина точок — це об’єднання двох променів:
додатної півосі ординат і від’ємної півосі абсцис, включаючи
початок координат. 29.41. 1) якщо а > 0 і Ь > 0; якщо
а < 0 і Ь < 0; 2) 44 -44. 29.42. 1) 2 - а; 2) Ь 4- 4; 3) -2Ь -1,
якщо Ь<~; 2Ь + 1, якщо Ь > - 4 29.43. 1) 5 - а, якщо 1 < а < 5;
4а
а — 5, якщо а > 5; 2) — ЗЬ — 1, якщо Ь<- —
ЗЬ + 1, якщо
Ь > 30.27. 1) 6 42; 2) 11 42; 3) 10 43; 4) 9 45а; 5) -а 4аЬ;
З
6) 0. 30.28. 1) -6 х/3; 2) 6 4ЇЬ; 3) 10а34а. 30.30. 1) 16 + х/З;
2) -10 45-5; 3) 1; 4) 1; 5) 4. 30.31. 1) 10 - 4 42; 2) 74; 3) 4; 4) 32.
30.38.1) 4а - 2; 2)----^Ц=; 3) -^=; 4) 5) + 6) ^4;
т-2 у/т у]ху 16 а 2
7) 4^-; 8) х/а-1; 9) 10) 4х. 30.39. 1)
х/с+5 у]а-\ІЬ а + \'а
2) —3) -|=; 4) . 5) 4х; 6) 30.40. 1) т‘ 4 т
4ь уіу Чт 9~а
3) а2Ь6 4д; 4) -2х3 4у~, 6) т3п3 4тп; 7) -Зху1 45х; 8) 8аЬ4 -Тб;
9) -11т5Ьв 42т; 10) тпр1 4~Р- 30.41. 1) -тв 4-т; 3) апЬ12 4а;
4) -7а 4Ї>; 6) а4Ь4 4аЬ; 7) -Зх7у17 >/Зх; 8) -2с3п3р3 4~2р.
30 .42. 2) Оскільки з умови випливає, що Ь < 0. то Ь 4-Ь = -4-Ь3;
3) 4<4; 5) -4х3у5; 13) 4а3Ь3. 30.43. 2) ->/54п2; 3) ^р3; 9) -4-5а9Ь.
30.4 6.1) ; 2) 4а; 3) -4аЬ; 4) а~ь + ^ 5) ^а~ь ; 6) __.
4а +.4ь а — Ь Ь 4а—4ь
30.47 . 30.48. а + Ь. 30.49. 1) >/2+1; 2) >/з + 2; 3) 4ЇІ + 45;
а
4) л/7->/3; 5) 5-2 х/З; 6) 3 >/3-1. 30.50. 1) >/7+1; 2) 7б+3;
3) 45 + 42; 4) 45-1; 5) 415 + 43; 6) 5 >/3-4. 30.51. 1)9; 2)
О
30.54.1) 4 + 42; 2) 3 4з +1; 3) - 2. 30.57.1) 4а-1 +1; 2) 4а-3 + 2;
3)^ + 1; 4) 4х + 1 - 4х — 1; 5) 1; 6) 2; 7) 4а+ 2- 30.58.1) 4а-4 + 2;
2) 4х-2+42; 3) ^ + |; 7) 42а-1 + 4а. 31.7. 1) 0; 1; 2) 0; 1;
3) коренів немає; 4) 1. 31.14. Якщо а > 0, то один корінь; якщо
а < 0, то коренів немає. 31.15. 2 4а +1 при а > 1; 3 при 0 < а < 1.
31.16.12 при а > 36; 2 4а при 0 < а 36. 31.17. 1) 4х +1; 2) якщо
________________4%_
4 < х < 8, то —г'=—5 якщо х 8, то 1; 3) якщо 2 < х < 4, то
4х - 4
2 4х-2; якщо х > 4, то 2 42; 4) якщо 0 < а < 1, то 1; якщо
а > 1, то 4а. 31.18. 1) Якщо 3 < а < 7, то 2 - 4а-3; якщо а > 7,
то 4а-3-2; 3) якщо 0 < х < 4, то 2; якщо х > ’4, то 4х.
31.19. 1) 4; 2) [-1; 0]. 31.20. 15. 32.12. 6; 7. 32.13. 9; 10. 32.14. 1) 0;
14; 2) коренів немає. 32.15. 1) 0; 2) -242; 242. 32.20. -3; -2
або 3; 4. 32.21. -1; 0 або 0. 1. 32.22. 1) 4; 2) 0; -8; 3) -9; 9.
32.27. 1) 0; -3; 3; 2) 0; 1; 3) 1; 4) -2; 2; 5) 0; 6) коренів немає.
32.28. 1) 0; 7; -7; 2) 0; 5; -7; 3) -1,5; 1,5; 4) -3. 32.29. 1) 2; 2) 3;
3) 0,5; -2; 4) такого значення не існує. 32.30. 1) а = 4, х2 = -4;
2) а = 0, х2 = 2 або а = -1, х2 - 3) а = 3, х2 = -2. 32.31. 1) а = 2,
х1 = -2, х2 = 2; 2) а = -6, хг = -42, х2 - 42; 3) такого значення
не існує. 33.6.1) 1; - ; 2) 1; 9; 3) 3±У21.33.7. 1) 2; -1; 2) -3; -.
6 2 3 7
33.8.1) 4; -3,5; 2) 1; -^; 3) 2; |; 4) -3 ± 715; 5) 3; 6; 6)
З ±<21
6
33.9. 1) 3; 9; 2) 2 44 ; 3) коренів немає. 33.10. 1) 7б; 3^ 5;
2) -1; 7б; 3) 6; 4) -1; ||; 5) 6; -4,5. 33.11. 1) -72; -2^2;
О СіЛ
2) 2; д/З; 3) 1; 4) 1; - —. 33.12. -20; 4. 33.13. 1; --. 33.15. 7.
8 З З
33.16. 38 см. 33.17. 6 і 14 або -14 і -6. 33.18. 10; 11. 33.19. 13;
14. 33.20. 8 см. 33.21. 6 см або 12 см. 33.22. 9; 11; 13. 33.23. 4;
6; 8; 10. 33.24. 16 мавп або 48 мавп. 33.25. 9 команд. 33.26. 15 сто-
рін. 33.27. 1) Ь = -2; 2) Ь = -12 або Ь = 12. 33.28. 1) Ь = 13,5;
2) Ь = -8 або 6 = 8. 33.29. 1) -8; -7; 0; 1; 2) -2; 3; 1±^47 ; 3) -7;
7; 4) -1; 1; 0,6; -0,6; 5) -3 + 714; 6) —2; 2; 7) коренів немає;
8) 1 41; 9) 2; 10) 3; 5; -3; -5; 11) 2; -2; 12) 0; 2; 4; 6; 3 ±77;
3±7з. 33.30. 1)-12; 2;-2; -8; 4)3; 5) 1; 15; -8 - 779; 6) |; -|;
О о
7) -^; -6; 6; 8) 15; -7 ± Т34; 9) 9; -9; 10) коренів немає; 11) 0;
Сі Сі
-1; 12) -2 ±2 73; 4 + 2 72. 33.31. 1) -10; 2) 3; 4) 1,5; 5) -7; 7.
33.32. 1) |; 2) 3; 4) 7. 33.33. 1) -2; 2) 8. 33.34. 1) 1; 2) -3; 3) -6.
О ,_
33.35. 1) 4; 2) 0; 25; 4. 33.36. 9; 3. 33.41. 1) <3; 1; 2)
-З-<17
2
1; 3) -1; 2; 4) 3+^17 ; -1. 33.42. 1) -73; 1; 2) 0; 6. 33.43. 1) х =
= —2а - 1 або х = -а; 2) х = 2а або х = 4; 3) якщо а * 0, то
25
а
або х = - —; якщо а = 0, то коренів немає; 4) якщо а = —, то
а 2
х = —; якщо а Ф —, то х = — або х = —-—. 33.44. 1) х = За - 5
З 2 3 2а -1 ’
або х = -а; 2) х = —За або х = 4; 3) якщо а = 0, то х = 1; якщо
а 0, то х = 1 або х = —. 33.45. 1) Ь = 0 або Ь = - —; 2) Ь = -5, або
а 7
6 = 2>/б,або 6 = -2Тб; 3)6 = 19; 4)6 = 2.33.46.1) 6 = 0, або 6 =-0,5,
або 6 = 0,5; 2) 6 = -3 або 6 = -5; 3) 6 = 5. 33.47. а < 0 або 0 < а < |.
34.8. х2 = 10, у = -20. 34.9. х2 = -6, р = -1. 34.10. х2 = 2, Ь = 14.
34.11. х2 = 1,6, т = -1,28. 34.12. -20,5. 34.13. -7. 34.18. х1 = 1,
х2 = 9, с = 9. 34.19. хг = -14. х2 = -6, а = 84. 34.20. х1 = 9, х2 = -2,
т = -18. 34.21. х1 = 1, х2 = -5, п = -5. 34.22. 1) 1,5; 2) 69. Вказів-
ка. х2 +х2 = (х, + х2)2 - 2Х1х2-, 3) 57; 4) 414; 5) 567. 34.23. 1) 80;
2) 3) >/89. Вказівка. | х2 - хг | = у](х2 - х^2. 34.24. х2 + 12х +
+ 17 = 0. 34.25. х2 - 18х + 49 = 0. 34.26. 6х2 - 14х + 3 = 0.
34.27. х2 - 15х + 8 = 0 34.28. а = 2 або а = -2. 34.29. а = 6 або
а = -6. 34.31. 1) 7; -7; 5; -5; 2) -11; 11; -1; 1; -4; 4. 34.32. 1) -9;
9; -6; 6; 2) -17; 17; -7; 7; -3; 3. 34.33. Ь = с = 0 або Ь = 1, с = -2.
34.34. а = -3. 34.35. а = 5. 34.36. а = 2. 34.37. а = 6. 34.38. а = 9
або а = —1. 34.39. 1) а = 2; 2) такого значення а не існує.
34.40. а = 2. 34.41. а = 0. 34.42. а = 0. 35.3. 4) 5)
а - 6 2Ь -1
6) £±1; 7) +т + 1; 8) - — -; 9) 2—^.. 35.4.3) 4х^'3-, 4) ?У+1.
с-2 ш +10 х + 8 5п +1 х-1 у —1
5) ^±1; 6) 35.5. 3) ; -); 4) х = 1. 35.7. 1) (-оо; -2) СІ
а - 5 Ь -1 \ 2/
Сі (-2; +оо); 2) К. 35.8. 1) -3; 2) -2; 3) 35.9. 1) -4; 2) -14.
О
35.10. 1) 1; 2) ^±1; 3) -|; 4) 4. 35.14. 1) (х - у) (х - 5у); 2) (а +
+ 9Ь) (а - 4Ь); 3) (Зпг + п)(т - Зп); 4) (4х - у) (х - у). 35.15. 1) (а -
- 4Ь) (а - ЮЬ); 2) (ЗЬ - 2с) (4Ь + Зс). 35.16.1) 35.17. 2)
2Ь - а і — Зп
35.18. 1) Об’єднання прямих у = 2х і у = 4х; 2) об’єднання пря-
мих 2х - Зу + 1 = 0 і 2х + у - 2 = 0. Вказівка. Запишіть рівнян-
ня у вигляді: 4х2 - (4у + 2) х - Зу2 + 7у - 2 = 0. 35.19. 1) Якщо
а = 3, то х — будь-яке число; якщо а = -2, то коренів немає;
якщо а 3 і а -2, то х = а + ; 2) якщо а = 7, то х — будь-яке
а + 2
число; якщо а = 1, то коренів немає; якщо я # 7 і а * 1, то
х = 2а +1. 35.20. Якщо а = —8, то х — будь-яке число; якщо а = 1,
а -1
то коренів немає; якщо а Ф —8 і а Ф 1, то х = а + . 35.21. 1) а >
а -1 8
2) таких а не існує. 35.22. Вказівка. Розгляньте ліву частину
даного рівняння як квадратний тричлен відносно а; дискримінант
цього квадратного тричлена має бути невід’ємним. 35.23. -72;
1 + 71 + 4—2^ Вказівка. Маємо: (-72) - х2 -72 + х3 - х2 = 0. Роз-
2
гляньте ліву частину рівняння як квадратний тричлен відносно
>/2. 35.24. 1 ± V4 а/з -3 -1±Л+іА. 36.1. 1) —4; 1; 2) --; 3) 7;
2 2 З
4) -5; 10; 5) 5; 6) -2; 9; 7) -3; 2; 8) 4; -0,4. 36.2. 1) -1; 2) -0,25;
3) 0,5; 6; 4) 8; 5) -3; 6) -3; 12; 7) -1; |; 8) -3; 13. 36.3. 1) 6; 2) 5;
3) 7; 4) 6. 36.4. 1) 10; 2) -7. 36.5. 1) 3±3 72; 2) -23; 1; 3) -27;
-1; 4) 3. 36.6. 1) 4; 9; 2) 5. 36.7. 1) -1,5; 2) -2; 3) -3; 4) 2; 5) 9;
6) 1; 7) 9. 36.8. 1) -3; 2) 2; 3) -20; 2; 4) 15. 36.9. 1) -|; 14;
2) -56; 60. 36.10. 1) -15; 12; 2) -20; 2. 36.11. 1) -5; 2) коренів
немає; 3) з|; 4) 1. 36.12. 1) -15; 1; 2) 1,5. 36.13. 1) -|; 5; 2) 0;
~5^; 3) -4; -|. 36.14. 1) 0; 2) -|; 0; 3) -|; 0. 36.15. 1) Якщо
а = 1, то х = 7; якщо а = 7, то х = 1; якщо а # 1 і а * 7, то х = 1
або х = 7; 2) якщо а * 1 і а * 7, то х = а-, якщо а = 1 або а = 7,
2
то коренів немає; 3) якщо а * 2 і а* -, то х = За або х = 2; якщо
2
а = 2 або а = -, то х = 2. 36.16. 1) Якщо а * 1 і а * 0, то х = 2а
або х = а + 2; якщо а = 1, то х = 3; якщо а = 0, то рівняння
невизначене; 2) якщо а * 0, то х = За або х = -2а; якщо а = 0,
то коренів немає; 3) якшо а Ф -1,5, то х = 0 або х = 2а + 1; якщо
а = —1,5, то х = 0; 4) якщо а * 1, то х = а — 2; якщо а = 1, то
коренів немає; 5) якщо а * 0, то х =
а.
2’
якщо а = 0, то коренів
немає. 36.17. 1) Якщо а * 3, а -1, то х = а + 3 або х = а - 1;
якщо а = 3, то х = 6; якщо а = -1, то рівняння невизначене;
2) якщо а * -2, а * -0,5, а * 1, то х = -2а або х = -а - 1; якщо
а = -2, то х = 4; якщо а = -0,5, то х = -0,5; якщо а = 1, то роз-
в’язків немає; 3) якщо а # ±1. а * 0, а + 2, то х = а або х = а + 1;
якщо а = —1, то х = -1; якщо а = 0 або а = 1, то х = 1; якщо
а = 2, то х = 3; 4) якщо а 0, а ±1, то х = а + ^ або х = 1; якщо
а
а = 0 або а = -1, то х = 1; якщо а = 1, то рівняння невизначене.
36.18. 1) а = 2-Тб, або а = -2-Тб, або а = 6; 2) а = ±1; 3) а = 2 або
а < 1. 36.19. 1) а = ±2, а = 2) а = 3, або а = 4, або а =
о £
3) а < 0 або а = 2. 37.7. 1) ->/3; ^З; -3; 3; 2) -6; -4; -1; 1; 3) 0;
3; 4) -1; 3; 1. 37.8. 1) 1; 2) 0,5. 37.9. 1) -1; 7; 2; 4; 2) -6;
О
-2; -4 ±2 л/5; 3) -2; 1; 4) 10. 37.10. 1) 0; 1; 2) 0; -2; 3) -1;
О
4) -1; 1; 2; 4; 5) -3; 1. 37.11. 1) 1; 2) 0; -2; , 3) -2; -1;
0; 1; 4) -3; -2; 1; 2; 5) -3; 0; ~3 . 37.12. 1) 0; 3±^;
’ ’ 2 ’ 8 16
2) 37.13. 1) -1; 0; 2) -1; 6; 37.14. 1) -1;
12; 2) -4±>/2Ї. 37.15. 1) -5±л/95; 2) -4±л/б. 37.16. 1) -5;
-2 ± >/б; 1; 2) -5; —1; 3; 3) -1; 3. Вказівка. Зробіть заміну х* 2 — 2т =
= і. 37.17. 1) -2; 2) -6; -4; ~15±^9 . 37.І8. 1) -8;
2 2 2
-35±Т265. 2) _4; 5; _5±3л/^ 37.19. 1) |; 2;
4 2 4
2) -З±л/Ї5; 3) -1; 4) 2; |; 2±л/3; 5) -1; -3; 3±л/б.
37.20. 1) 1; ~11=і:^35; 2) 5±л/зї; 3±л^; 3) 7; 1; 4) 1; 2.
7 6 5 7 2
37.21. 1)2; 4; -1; 2)3; |. 37.22. 1) -3±л/3; 2) 2±л/2;
37.23. 1) -3; -1; 2) -2; 3. 37.24. 1) 2; 3; 2) 3; 7.
37.25.1) -; -; 2)3; 5; 9±л/б6; 3) і; 2; 3±2 уІ2 37 26.1) 5±У^;
2 2 2 2
2) 1; 5; 3) 1; 4. 37.27. 1) 2; -1±>/3; 2)1; 3) ±^;
37.28. 1) 2) -1; 3; 11 3) -1; 2. 38.1. 75 км/год.
38.2. 50 км/год, 60 км/год. 38.3. 80 км/год, 60 км/год.
38.4. 80 км/год. 38.5. 12 км/год. 38.6. 12 сторінок. 38.7. ЗО м3,
25 м3. 38.8. 6 днів. 38.9. 31 км/год. 38.10.10 км/год. 38.11. З км/год.
38.12. 2 км/год або 2,25 км/год. 38.13. 60 км/год, 40 км/год.
38.14.60 км/год. 38.15. 60 км/год. 38.16. 8 км/год. 38.17. 32 км/год.
38.18. і. 38.19. 38.20. 45 днів, 36 днів. 38.21. 15 год, 10 год.
38.22. 21 год, 24 год. 38.23. 80 г. 38.24. ЗО кг. 38.25. З км/год.
38.26. 5 год. 38.27. 4 год, 6 год, 12 год. 38.28. 80 км/год. 38.29. 24 де-
талі. 38.30. 12 год. 39.15. Вказівка. Скористайтесь задачею 39.7.
39.18. Вказівка. (аЬ - тп) - (ат - Ьп) = (а + п)(Ь- т). 39.20.1) Роз-
в’язків немає; 2) (1; 5); (9; -3); (—1; —3); (-9; 5); (3; 1); (-3; 1);
3) (2; 1); (5; -2); (0; -2); (-3; 1); 4) (0; 1); (0; -1); (-4; -1); (4; 1).
Вказівка, х2 - 4ху + Зу2 = (х - у)(х - Зу); 5) (4; -1); (-4; 1); (3; 1);
(-3; -1); 6) (4; -3); (-11; -3); (3; -1); (-6; -1). Вказівка, х2 - 2ху -
- Зу2 + х + у = (х + у) (х - Зу) + (х + у) = (х + у) (х - Зу + 1).
39.21. 1) (3; 1); (3; -1); (-3; 1); (-3; -1); 2) (5; 1); (1; 3); (1; -5);
(5; -15); 3) розв’язків немає; 4) (0; 1); (0; -1); (-1; 1); (1; -1).
39.22. 1) (0; 0); (2; 2). Вказівка. Подайте рівняння у вигляді
(х - 1) (у - 1) = 1; 2) (9; 2); (-5; 0); (3; 8); (1; -6). 39.23. (2; 0);
(1; —2). 39.24. Вказівка. Запишіть даний вираз у вигляді (1п +
+ 9") + (2" + 8") + (3" + 7") + (4" + 6") + 5". 39.26. Не існує. Вказів-
ка. Якщо припустити супротивне, то (Р (9) - Р (1)) : (9 - 1) (див.
приклад 5 пункту 39), а це не так. 39.27. Усі двоцифрові числа,
крім 10 і 40, для яких виконується одна з умов: а — Ь = 1 або
а - Ь = 4. 39.28. Не існує. 39.29. Не існує. Вказівка. аЬс + Ьса +
+ саЬ = 3-37 (а + Ь + с). Далі скористайтеся тим, що а + Ь + с < 27.
39.30. Вказівка. 19 (х + у) — 2 (Зх + 8у) = ІЗх + Зу. 39.32. Вказів-
ка. (Зх + Юу) + (Зу + Юх) = 13 (х + у) : 13. Звідси випливає, що
(Зу + Юх): 13. 39.35. Вказівка. (аЬс + Ьас + саЬ) : 37. 39.36. Вка-
зівка. аЬа - 101а + ЮЬ = 10 (а + Ь) + 91а. 39.37. Не може. Вказівка.
Сума непарної кількості непарних доданків — число непарне.
39.38. 22. Вказівка. 32п + 1 + 1 = 4 (32п - З2" 1 + ... - 3 + 1). Слід
зауважити, що в дужках маємо суму непарної кількості непарних
доданків, яка дорівнює непарному числу. 39.39. Вказівка. Усі
дільники числа п2, крім одного, можна розбити на пари виду
(с/; —де (і Ф —. 39.40. Вказівка. 10А - В = 99 999а. Переко-
\ (1 / сі
найтеся, що 99 999 : 41. 39.42. Вказівка. Доведіть, що в запису
даного числа є три однакові цифри. Тоді можна закреслити ре-
шту 16 цифр. 39.43. Вказівка. Припустимо, що х0 є 2 таке, що
Р (х0) = 0. Тоді Р (х0) - Р (а) = Р (х0) - Р (Ь) = Р (х0) - Р (с) = 1.
Звідси 3 різних числа х0 - а, х0 — Ь, х0 - с є дільниками числа 1.
40.10. 0, 6, 12. 40.12. 9. 40.14. 0, 1, 2. 40.19. Не існує. Вказівка.
Розгляньте остачі при діленні даного числа на 18. 40.22. Вказів-
ка. (2п + І)2 = 4п (п + 1) + 1. Покажіть, що 4и (п + 1) = 0 (тосі 8).
40.23. 0, 1, 6. 40.24. 0, 1, 8. 40.29. Усі рівняння розв’язків не
мають. Вказівка. Скористайтесь результатами задач 40.20, 40.21,
40.23, 40.24 відповідно. 40.30. Вказівка. Скористайтесь резуль-
татами задач 40.20, 40.21, 40.23 і прикладу 3 з пункту 40.
40.33. 1) 2. Вказівка. 52 = 1 (той 3); 2) 1; 3) 5; 4) 0. 40.34. 1) 4;
2) 1; 3) 1. 40.35. 2, 5, 8. Вказівка, п = Зкг + г(, п = 6/г2 + г2,
п = 9/г3 + г3, де С 2, г2 < 5, г3 < 8. Звідси г, + г2 + г3 < 15. З ура-
хуванням того, що г + г2 + г3 = 15, маємо г = 2, г = 5, г3 = 8.
40.36. Вказівка. 4" + 4т = 2 (той 3). Далі скористайтеся резуль-
татами задачі 40.20. 40.37. Вказівка. Скористайтеся результата-
ми задачі 40.21. 40.38. Вказівка. Якщо припустити, що всі
числа є непарними, то із задачі 40.22 випливає, що т2 + л2 + р' +
+ д2 + г2 = 5 (той 8). 40.39. Вказівка. Нехай р = 2п + 1, д = 2к + 1.
Тоді дискримінант даного рівняння 4п (л + 1) — 8 (к + 1) + 5 =
= 5 (той 8). 40.40. Вказівка. Скористайтеся прикладом 3 п. 40.
40.41. Вказівка. 1 + п + п2 + п3 = (1 + л) (1 + л2), але 1 + п2 не
ділиться націло на 3. 40.42. 635. Вказівка. Дільник дорівнює 9.
40.43. 233. 40.44. 17. Вказівка. Це всі натуральні числа виду
6/г + 3, які менші від 100. 40.45. 30; 60. Вказівка, п = 9д1 + д} =
= 10*7,, дг < 8, п = 14д2 + д2 = 15<?2, д2 < 13. Звідси п < 80 і п : ЗО.
40.46. 270; 540. 40.47. 1) Вказівка. Розгляньте, наприклад, чис-
ла виду 7 л + 3; 2) Вказівка. Розгляньте, наприклад, числа виду
9 л + 5. 40.48. Вказівка. Розгляньте числа 2, 22, 23, ..., 22010.
40.49. Вказівка. Розгляньте числа 1, 11, 111, ..., 11 ... 1 . Якісь
л + 1 одиниця
два з них дають при діленні на п рівні остачі. 40.50. Вказівка.
Доведіть, що числа а, Ь і с дають однакові остачі при діленні на 3.
41.1. 1) 23; 2) 47. 41.2. 1) 29; 2) 67. 41.5. 1) 1 або 2; 2) 1 або 3.
41.13. 2) Не існують. Вказівка, (а3 — а) : 6. 41.14. 3) Вказівка.
Подайте чисельник дробу у вигляді (л - 2) (л - 1) п (п + 1) (л + 2).
41.16. 1) пі = 35, п = 15; 2) т = 8, п = 22; 3) т = 3, п = 39 або
т = 39, п = 3; 4) пг = 7, п = 1001, або т = 77, п = 91, або пг = 1001,
п = 7, або т — 91, п — 77. 41.18. З мм. Вказівка. Довжина сто-
рони останнього квадрата дорівнює НСД (324; 141). 41.19. Вказів-
ка. Серед вибраних чисел є два послідовних. 41.20. Вказівка.
Оскільки НСК (а; /?) = 24-НСД (а; Ь), то а = 2*-НСД (а; Ь),
Ь = 2"'-НСД (а; Ь). 41.22. х = 54, у = 2 або х = 24, у = 8. Вказів-
ка. Оскільки НСД (у; (у + І)2) = 1, то -----— ціле число.
41.23. Вказівка. Оскільки НСК (лг; п)-НСД (т; п) = тп, то
НСД (т; гі) і НСК (т; л) — корені рівняння х2 — (лг + гі) х + тп = 0.
41.24. Вказівка. + 4п2 + 3 = + (п\ + 3). НСД (л2 + 1; л2 + 2) =
л4+6л2+8 (л2+2)(л2+4)
= НСД (п2 + 3; п2 + 2) = НСД (п2 + 3; п2 + 4) = 1. Оскільки (п2 +
+ 4) - (и2 + 1) = 3, то НСД (п2 + 1; п2 + 4) < 3. Проте числа п2 + 1
і п2 + 4 різної парності і п2 + 1 не ділиться націло на 3.
41.25. п = 122. Вказівка. Доведіть, що один з множників ді-
литься націло на 125, звідки п > 121. 41.26. тп = 2, п = 6 або
тп = 6, п = 2. Вказівка. Оскільки тп = НСК (т; п)-НСД (т; п),
„„„ / \ гк-тт / \ НСК (т- п)'НСД (т\ п)
то НСК (пг; п) - НСД (ш; п) =------—----------. Позначивши
О
НСК (тп; п) = х, НСД (тп; п) = у, розгляньте рівняння Зх - Зу = ху.
41.27. Ні. Вказівка. Зазначені операції зберігають НСД записаних
на картці чисел. 42.14. 2 834 645. 42.17. 51. 42.18. 1 023 457 896.
42.20. Вказівка. Це число кратне 3, але не кратне 9. 42.21. Не мо-
же. Вказівка. Числа виду хбб і х06 кратні 2, але не кратні 4.
42.23. 1. Вказівка. 28101 = 1 (той 9). 42.24. 1) 977. Вказівка.
8 (п) < 27. Крім того, скористайтеся тим, що п = 8 (п) 2 (той 3);
2) розв’язків немає. Вказівка, п2 = (8 (п))2 = 1 (той 3) або
и2 = (8 (п))2 = 0 (той 3). 42.25.1) 982; 2) розв’язків немає. Вказівка.
п + 8 (п) + 5 (5 (п)) = 0 (той 3). 42.26. Вказівка. 8 (5п) = 5п (той 9),
5 (п) = п (той 9), отже, 4п = 0 (той 9). 42.27. Вказівка. Число
п2 + 1 не кратне 9. 42.28. Ні. Вказівка. Нехай п = а5а4а3а2а,а0 —
шукане число. | Р (п) | = |(а0 + а2 + а4)-(а1 + а3 + а5)|<|(4 +
+ 5 + 6) - (1 + 2 + 3) | = 9. Доведіть також, що Р (п) — непарне
число. 42.29. Вказівка. Доведіть, що дане число ділиться націло
на 11. 42.30. 1, 3 і 9. Вказівка. Розгляньте числа а = 111 ... 12
п - 2 цифри
і Ь = 111 ... 121, 8 (а) = 8 (Ь) = п, а тому за умовою кожне з цих
п - 3 цифри
чисел кратне п. Тоді різниця Ь - а = 9 також кратна п. 43.10. 1.
43.11. 2. 43.12. 1) 2; 2) 2. Вказівка. 4п2 + 5п - 21 = (4п - 7) х
х (п + 3); 3) 1. 43.13. 1) 1; 2) 2; 3) 1. 43.14. Вказівка. Скористай-
тесь результатом задачі 43.9. 43.16. 3. Вказівка. Скористайтеся
тим, що числа р, р + 26 і р + 28 дають різні остачі при діленні
на 3. 43.17. 3. 43.20. Вказівка, а2 + 9аЬ + Ь2 = (а - Ь)2 + ІІаЬ.
43.22. 3. 43.23. 3. 43.25. Вказівка. 800 ... 027 = (2• 104)3 + З3.
43.26. Вказівка. 999 999 973 = (103)3 - З3. 43.27. р = 3, д = 2.
Вказівка. Число р2 - 1 кратне 8. 43.28. р = 3, у = 11. Вказівка.
Якщо р * 3, то (р2 + 2) : 3. 43.29. 2. Вказівка. Нехай 4р + 1 = т2.
Доведіть, що число т2 - 1 ділиться націло на 8. 43.30. 5. Вказів-
ка. Число 2 (п + 12) — (2п - 1) = 25 кратне р. 43.31. 7. 43.32. 2.
Вказівка. Якщо п = 2*, й > 1, то число 2" - 1 складене. Якщо
п * 2*, то складеним є число 2" + 1. 43.33. 1. Вказівка, п4 + 4 =
= (п2 + 2)2 — (2п) . 43.36. 5. Вказівка. Для шуканого числа р
можна записати дві рівності: р = ^ + 2, р = <?2 - 2, де і <?2 — про-
сті числа. Далі доведіть, що одне з чисел р, д , д2 кратне 3.
43.37. Вказівка. За малою теоремою Ферма число (а13 - а) + (Ь13 —
- Ь) + (с13 - с) кратне 13. 43.39. Вказівка. 2424 - 1 = (246)4 - 1 =
= (244)6 - 1. 43.41. 3. Вказівка, р2 + 11 = (р2 - 1) + 12. Якщо
р > 3, то ((р2 — 1) + 12) : 12 (див. задачу 43.14), а отже, має біль-
ше ніж 6 дільників. 43.42. 991 • 997 • 1009. Вказівка. Нехай
997 = х. Тоді 989 • 1001 • 1007 + 320 = (х - 8) (х + 10) (х + 4) +
+ 320 = х3 + 6х2 — 72х. 43.43. Вказівка. Значення кожного з ви-
разів 4217 + 1 і 4742 — 1 кратне 43. 43.44. Вказівка. Кожне з чисел
рч - р і др - д ділиться націло на рд. 45.6. 1) Вказівка, х2 - х - 2 =
= (х - 2) (х + 1). Доведіть, що числа 2 і -1 є коренями многочле-
на А(х). 45.7. 1) а = 6. 45.8. Ь = -5. 45.9. 1) а = -2, Ь = 1;
2) а = -25, Ь = 4. 45.10. а = -9, Ь = -9. 45.11. а = -З, Ь = -6,
с = 8. 45.12. а = 1, Ь = 1 або а = З, Ь = -1. 45.13. х + 3.
45.14. Вказівка. Розгляньте даний вираз як многочлен відносно
а з параметрами Ь і с. Покажіть, що Ь є коренем цього многочле-
на. 45.17. Ні. Вказівка. Доведіть, що при всіх цілих значеннях х
значення многочлена кратне 3. 46.1. 1) -1; -3; -5; 2) —1; 2;
Сі
3) 1; -1; -|; 4) 1; -2; 5) 2; -1; 6) -2; -3. 46.2. 1) 1;
±>/3-1; 2) 2; -3; 3) -1; -2; 4) 1; -1; ±75-2; 5) 1; 2; ~5;
6) 1; —2; --.
З
Предметний покажчик
лгоритм Евкліда 291
Арифметичний квадратний ко-
рінь 175
ершина параболи 171
Взаємно однозначна відповід-
ність 39
Відкрите півколо 44
Відкритий відрізок 44
— числовий відрізок 151
— числовий промінь 142
Вільний член квадратного рів-
няння 225
Вітки гіперболи 119
— параболи 171
Виділення цілої частки з раціо-
нального дробу 316
Винесення множника з-під зна-
ка кореня 205
Властивості арифметичного
квадратного кореня 196
— степеня з цілим показником
111
Внесення множника під знак
кореня 205
іпербола 119
Графічний метод розв’язування
рівнянь 121
іаграми Ейлера 29
Ділене 314
Дільник 277, 314
Дискримінант квадратного рів-
няння 231
---тричлена 248
Добування квадратного кореня
175
Допустимі значення змі нних
53
Дробовий вираз 53
Другий коефіцієнт квадратного
рівняння 225
лемент множини 24
Звільнення від ірраціонально-
сті в знаменнику 207
Знак квадратного кореня 175
рраціональне число 189
анонічний розклад натураль-
ного числа 304
Квадратний корінь 174
Квадратний тричлен 248
Коефіцієнти квадратного рів-
няння 225
— рівняння першого степеня
225
Корінь квадратного тричлена
248
— многочлена 317
інійні множники 249
— нерівності з однією змінною
144
етод заміни змінної 260
Множина 23
— зліченна -15
нескінченна 37
— порожня 26
— розв’язків нерівності 139
— скінченна 37
Множина дійсних чисел 189
— натуральних чисел 188
— раціональних чисел 187
— цілих чисел 188
Множини рівні 24
— рівнопотужні 44
Модуль числа 160
айбільший спільний дільник
290
Найменше спільне кратне 292
Неповна частка 282, 315
Нерівність-наслідок 144
Нерівності однакового знака 134
— рівносильні 139
Нескінченний неперіодичний
десятковий дріб 189
— періодичний------187
Нестрога нерівність 128
Зернена пропорційність 117,
118
Область визначення виразу 53
---рівняння 90
Об’єднання множин 31
Основна властивість раціональ-
ного дробу 57
Остача 282, 315
Іарабола 171
Параметр 99
Перетин множин ЗО
Перший коефіцієнт квадратно-
го рівняння 225
Період дробу 187
Підкореневий вираз 175
Підмножина 28
— власна ЗО
Подільність націло 277
Порядок 106
Потужність 44
— континууму 49
Правильний дріб 316
адикал 175
Раціональні вирази 53
Раціональний дріб 54
Рівняння
— біквадратне 260
— з параметром 99
— зведене квадратне 225
— зворотне четвертого степеня
264
— квадратне 225
— лінійне 225
---наслідок 92
— неповне квадратне 226
— однорідне другого степеня
265
— першого степеня 225
— раціональне 94
— рівносильні 90
— третього степеня 266
— узагальнене зворотне четвер-
того степеня 264
— ціле раціональне 322
— четвертого степеня 266
Розв’язання рівняння в цілих
числах 278
Розв’язок нерівності з однією
змінною 138
— системи нерівностей з однією
змінною 149
корочення дробу 57
Спільна міра 194
Спільне кратне 292
Спільний дільник 289
— знаменник 71
Спільномірні відрізки 194
Стандартний вигляд числа 106
Старший коефіцієнт квадратно-
го рівняння 225
Степінь з цілим від’ємним по-
казником 105
Сторонні корені 92
Строга нерівність 128
Сукупність 152
еорема Безу 318
— Вієта 241
Тотожність 57
Тотожно рівні вирази 57
ормула коренів квадратного
рівняння 231
арактеристична властивість
елементів множини 25
' іла частина числа 13
астка 314
Числа взаємно прості 293
—, конгруентні за модулем 283
Число просте ЗОЇ
— складене 301
Числова пряма 143
Числовий відрізок 150
----, відкритий зліва 151
----, відкритий справа 151
— проміжок 141
— промінь 142
ДОДАТОК 1
Зміст програми з алгебри (8 клас)
для класів з поглибленим вивченням математики
Затверджено Міністерством освіти і науки України
(лист № 1/11-2151 від 30.05.2008 р.)
Структура програми
Програма подана у формі таблиці, яка містить дві частини:
зміст навчального матеріалу і вимоги до підготовки учнів.
У частину «Зміст навчального матеріалу», яка оформлена пря-
мим шрифтом, включено зміст програми для загальноосвітніх
навчальних закладів. Текст, оформлений курсивом, містить нав-
чальний матеріал, який вивчається у класах з поглибленим рів-
нем математики.
Програма передбачає можливість вивчення змісту курсу з різ-
ним степенем повноти. Додаткові питання і теми, узяті в квад-
ратні дужки, можна не вивчати, що дозволяє вчителеві залежно
від конкретних умов варіювати об’єм матеріалу, який вивчаєть-
ся, і відповідно ступінь поглиблення і розширення курсу.
8-й клас. Алгебра
(175 год. І семестр — 80 год, 5 год на тиждень,
II семестр — 95 год, 5 год на тиждень)
К-ть
ГОД
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня
підготовки учнів
10
Тема 1. ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕ-
МАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО
МАТЕРІАЛУ З КУРСУ 7 КЛА-
СУ
Цілі вирази. Тотожні вирази.
Тотожність. Степінь з нату-
ральним показником і його влас-
тивості. Одночлени і многочлени
та дії над ними. Формули скопо
ченого множення. Розкладання
многочлена на множники.
Функція. Область визначення і об
1 ласть значень. Способи задання
функції. Графік функції. Лінійна
функція, її властивості і графік.
Системи лінійних рівнянь з двома
змінними.
іг-ть о •
Зміст навчального матеріалу
10 Тема 2. МНОЖИНИ І ОПЕРАЦІЇ
НАД НИМИ
Множина. Елемент множини.
Порожня множина. Переріз
і об’єднання множин. Підмножи
на. Круги Ейлера.
Числові множини. Взаємно одно-
значна відповідність між елемен-
тами множин. Рівнопотужні
множини. [Рівнопотужніспгь
множин точок відрізка і прямої.]
Нескінченні множини. Зліченні
множини. Зліченність множини
цілих чисел.
40
Тема 3. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ
Дробові вирази. Раціональні ви-
рази. Множина допустимих
значень змінних. Тотожність.
Основна властивість дробу.
Додавання, віднімання, множен-
ня, ділення і піднесення до сте-
пеня раціональних дробів.
Тотожні перетворення раціональ-
них виразів. Формули розкладан-
ня на множники різниці х" - у"
і суми х2" 4 1 + у2" 4 1 (п є Н).
Раціоне аьні рівняння. Рівносиль-
ні рівняння. Рівняння-наслідок
даного.
Розв’язування раціональних рів-
нянь. Розв’язування раціональ
них рівнянь з параметрами.
Графічний метод розв’язування
рівнянь.
Степінь з цілим показником і його
властивості.
Стандартний вигляд числа.
£
Функція у = —, її властивості
і графік.
Державні вимоги до рівня
підготовки учнів
Описує поняття множина, еле-
мент множини, множини на-
туральних, цілих і раціональ-
них чисел, взаємно однозначна
відповідність, рівнопотужні
множини, нескінченна множи-1
на, зліченна множина.
Формулює означення: підмно-
жини, порожньої множини,
об’єднання і перерізу множин; і
теорему про кількість елемен-
тів множини, яка є об’єднанням
двох скінченних множин.
Застосовує символіку теорії
множин, вивчений теоретич-
ний матеріал для розв’язуван-
ня задач.
Розпізнає цілі й дробові раціо-
нальні вирази.
Описує алгоритми: дій над ра-
ціональними дробами, графіч-
ного методу розв’язування
рівнянь.
Формулює означення: степеня
з цілим показником, стандарт-
ного вигляду числа, рівносиль-
них рівнянь, рівняння-наслід-
ку даного; основну властивість
І дробу.
Доводить властивості степеня.
з цілим показником, формули
для розкладання на множники
। виразів хп - у” і х2п 4 1 + у2" + 1
, (п є К).
Розв’язує вправи, які передба-
чають: тотожні перетворення
раціональних виразів, роз-
в’язування раціональних рів-
нянь, які зводяться до ліній-
них, запис числа у стандарт-
ному вигляді, побудову графіка
функції у = -.
X
К ти
год
Зміст навчального матеріалу
20
Тема 4. НЕРІВНОСТІ
Числові нерівності та їх власти-
вості. Числові проміжки. Об’єд-
нання та переріз числових про-
міжків. Нерівності з однією
змінною. Розв’язування лінійних
нерівностей з однією змінною.
Рівносильні нерівності. Нерів-
ність-наслідок даної. Системи
і сукупності лінійних нерівнос-
тей з однією змінною.
Розв’язування лінійних нерівнос-
тей з параметром.
Розв’язування рівнянь і нерівнос-
тей з модулем.
20
Тема 5. КВАДРАТНІ КОРЕНІ.
ДІЙСНІ ЧИСЛА
Функція у = х2 та її графік.
Квадратний корінь. Арифметич-
ний квадратний корінь.
Ірраціональні числа. Множина
дійсних чисел. Взаємно однознач-
на відповідність між множиною
точок прямої та множиною дій
сних чисел. [Зліченність множи-
ни раціональних чисел. Незлічен-
ність множини точок відрізка.]
Етапи розвитку числа.
Арифметичний квадратний ко-
рінь з добутку, дробу і степеня.
Добуток і частка квадратних ко-
ренів.
Тотожні перетворення виразів,
що містять квадратні корені.
Функція у = >Іх, її властивості
і графік.
Державні вимоги до рівня
підготовки учнів
Описує поняття: числова не-
рівність, нерівність зі змін-
ною.
Формулює означення понять:
розв’язок нерівності з однією
змінною, рівносильні нерів-
ності, нерівність-наслідок да-
ної, розв’язок системи і су-
купності кількох нерівностей
з однією змінною.
Доводить властивості число-
вих нерівностей.
Зображує на числовій прямій
множини, задані за допомогою
нерівностей.
Розв’язує лінійні нерівності,
а також системи і сукупності
лінійних нерівностей з однією
змінною.
Описує поняття: раціональне
число, ірраціональне число,
дійсне число.
Наводить приклади раціональ-
них та ірраціональних чисел.
Формулює означення: квад-
ратного кореня з числа, ариф-
метичного квадратного кореня
з числа; теореми: про злічен-
ність множини раціональних
чисел, про незліченність мно-
жини точок відрізка.
Доводить властивості арифме-
тичного квадратного кореня.
Розв’язує вправи, які передба-
чають: спрощення виразів, які
містять арифметичний квад-
ратний корінь; побудову графі-
ків функцій у = х2 і у = 4х.
К-тц
год
Зміст навчального матеріалу
33
Тема 6. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
Квадратні рівняння. Неповні квад-
ратні рівняння, їх розв’язування.
Формула коренів квадратного
рівняння. Теорема Вієта. Теорема,
обернена до теореми Вієта.
Розв’язування квадратних рів-
нянь з параметрами.
Квадратний тричлен, його корені.
Розкладання квадратного тричле-
на на лінійні множники. Влас-
тивість квадратного тричлена
з від’ємним дискримінантом.
Розв’язування раціональних рів-
нянь, які зводяться до квадрат-
них.
Метод заміни змінної при розв’я-
зуванні раціональних рівнянь.
Розв’язування текстових задач за
допомогою квадратних рівнянь
і рівнянь, які зводяться до квад-
ратних.
Державні вимоги до рівня
підготовки учнів
Наводить приклади квадрат-
них рівнянь різних видів (пов-
них, неповних, зведених, не-
зведених).
Описує алгоритми: розв’я-
зування неповних і повних
квадратних рівнянь, розкла-
дання квадратного тричлена
на множники, розв’язування
біквадратного рівняння.
Формулює означення: квад-
ратного рівняння, біквадрат-
ного рівняння.
Доводить формулу коренів
квадратного рівняння; теоре-
му Вієта, теорему про розкла-
дання квадратного тричлена
на множники.
Застосовує вивчений матеріал
і теореми для розв’язування
задач.
28 Тема 7. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬ-
НОСТІ
Подільність цілих чисел. Основні
властивості подільності. Ділен-
ня з остачею. Конгруенції за мо-
дулем. Ознаки подільності на 3.
9, 11, 2", 5", п є N. Найбільший
спільний дільник (НСД) і най-
менше спільне кратне (НСК).
Взаємно прості числа. Алгоритм
Евкліда. Прості й складені чис-
ла. Основна теорема арифме-
тики.
[Числа-близнюки. Доскональні
числа. Прості числа Мерсенна
і Ферма. Мала теорема Ферма.]
Ділення многочленів. Теорема
Везу та наслідки з неї.
“14 Тема 8. ПОВТОРЕННЯ ІСИСТЕ-
Формулює означення: дільни-
ка і кратного, НСД і НСК двох
натуральних чисел, двох вза-
ємно простих чисел, простого
і складеного чисел, кореня
многочлена з однією змінною;
теорему про ділення з оста-
чею, основну теорему арифме-
тики, теорему Везу та наслід-
ки з неї.
Описує алгоритм Евкліда.
Доводить властивості поділь-
ності, ознаки подільності (на
2, 3, 5, 9, 11), теорему про
н (скінченність множини про-
стих чисел.
Застосовує вивчені означення
і теореми для розв’язування
задач.
МАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО
МАТЕРІАЛУ
Орієнтовне кал їндарне плгнувані ія з алгебри (8 клас)
для класів з поглибленим вивченням математики
№ з/п Зміст навчального матеріалу Кіль- кість годин
1 2 3
І. Повторення і систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 7 класу (10 год)
1 Лінійне рівняння з однією змінною. Цілі вирази 4
2 Функція. Лінійна функція 3
3 Рівняння з двома змінними 2
4 Тематичне оцінювання № 1 1
II. Множини і операції над ними (10 год)
5 Множина та її елементи 1
6 Підмножина. Операції над множинами 2
7 Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність між елементами множин 2
8 Нескінченні множини. Зліченні множини 3
9 Підготовка до тематичного оцінювання 1
10 Тематичне оцінювання № 2 1
ПІ. Раціональні вирази (40 год)
П Формули для розкладання на множники виразів виду а" - Ь" і а2л + 1 + д2л + 1, п є N 2
12 Раціональні дроби 1
13 Основна властивість національного дробу 3
14 Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками 2
15 Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками 4
16 Множення і ділення раціональних дробів. Піднесення ра- ціонального дробу до степеня 3
17 Тотожні перетворення раціональних виразів 6
18 Підготовка до тематичного оцінювання 1
19 Тематичне оцінювання № 3 1
20 Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Раціональні рів- няння 4
21 Раціональні рівняння з параметрами 4
22 Степінь з цілим від’ємним показником 1
Продовж, табл.
1 2 3
23 Стандартний вигляд числа 1
24 Властивості степеня з цілим показником 2
25 к Функція у = — та її графік X 2
26 Підготовка цо тематичного оцінювання 2
27 Тематичне оцінювання № 4 1
IV. Нерівності (20 год)
28 Числові нерівності та їх властивості 2
29 Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу о
ЗО Нерівності 3 однією змінною 1
31 Розв’язування нерівностей з однією змінною. Числові про- міжки 3
32 Системи і сукупності лінійних нерівностей з однією змін- ною 4
33 і хВНЯННЯ і нерівності, які містять знак модуля 5
34 Підготовка до тематичного оцінювання 2
35 Тематичне оцінювання № 5 1
V. Квадратні корені. Дійсні числа (20 год)
36 Функція у = х2 та її графік 2
37 Квадратний корінь. Арифметичний квадратний корінь 4
38 Множина дійсних чисел 3
39 Властивості арифметичного квадратного кореня 3
40 Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні ко- рені 4
41 Функція у = уіх та її графік 2
42 Підготовка до тематичного оцінювання 1
43 Тематичне оцінювання № 6 1
VI. Квадратні рівняння (33 год)
44 Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь , и
45 Формула коренів квадратного рівняння 4
46 Теорема Вієта 3
47 Підготовка до тематичного оцінювання 1
48 Тематичне оцінювання № 7 1
49 Квадратний тричлен 3
50 Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рів- нянь 4
Продовж, табл.
1 . 2 . 3
51 Розв’язування рівнянь методом заміни змінної 7
52 Розв’язування задач за допомогою раціональних рівнянь (Раціональні рівняння як математичні моделі реальних си- туацій) 5
53 Підготовка до тематичного оцінювання 2
54 Тематичне оцінювання № 8 1
VII. Основи теорії подільності (28 год)
55 І Іодільніст’, націло та її вла< тивості 3
56 Ділення з остачею. Конгруенції та їх властивості 4
57 Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне двох натуральних чисел. Взаємно прості числа 5
58 Ознаки подільності 3
59 Прості й складені числа 3
60 Ділення многочленів 2
61 Корені многочлена. Теорема Везу 3
62 Ціле раціональне рівняння 2
63 Пі, (готовка до тематичного оцінювання 2
64 ' Тематичне оцінювання № 9 1
VIII. Повторення і систематизація навчального матеріалу (14 год)
65 Повторення і систематизація навча. іьного матеріалу 12
66 Підсумкове тематичне оцінювання 2
Зміст
Від авторів............................................З
§1 . Повторення й <истєматизаиія навчальногс матеріалу
з курсу алгебри 7 класу
1. Лінійне рівняння з однією змінною. Цілі вирази .... 5
2. Функція. Графік функції. Лінійна функція......12
3. Рівняння з двома змінними.
Системи лінійних рівнянь з двома змінними......19
§2 . Множини та операції над ними
4. Множина та її елементи........................23
5. Підмножина. Операції над множинами............28
6. Скінченні множини.
Взаємно однозначна відповідність...............37
7. Нескінченні множини. Зліченні множини.........43
• «Я бачу це, але ніяк не можу цьому повірити!». . . 48
§3. Раціональні вирази
8. Формули для розкладання на множники виразів
виду а" - Ьп і ап + Ьп...........................50
9. Раціональні дроби.............................53
10. Основна властивість раціонального дробу.......57
11. Додавання і віднімання раціональних дробів
з однаковими знаменниками......................66
12. Додавання і віднімання раціональних дробів
з різними знаменниками.........................71
13. Множення і ділення раціональних дробів.
Піднесення раціонального дробу до степеня......78
14. Тотожні перетворення раціональних виразів.....84
15. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок.
Раціональні рівняння..............................90
16. Раціональні рівняння з параметрами............99
17. Степінь з цілим від’ємним показником.........104
18. Властивості степеня з цілим показником.......111
19. Функція у = — та її графік...................117
§4. Нерівності
20. Числові нерівності та їх властивості..........127
21. Додавання і множення числових нерівностей.
Оцінювання значення виразу........................133
22. Нерівності з однією змінною..................138
23. Розв’язування лінійних нерівностей
з однією змінною. Числові проміжки................141
24. Системи і сукупності лінійних нерівностей
з однією змінною..................................149
25. Рівняння і нерівності, які містять знак модуля . . . 160
§5. Квадратні корені. Дійсні числа
26. Функція у = х2 та її графік...................170
27. Квадратні корені.
Арифметичний квадратний корінь....................174
• Чи ростуть у городі радикали?................186
28. Множина дійсних чисел.........................187
• Коли таємне стає явним......................193
• Про зліченність числових множин.............194
29. Властивості арифметичного квадратного кореня . . 196
ЗО. Тотожні перетворення виразів,
які містять квадратні корені......................205
31. Функція у - у[х та її графік..................218
§6. Квадратні рівняння
32. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних
квадратних рівнянь................................225
33. Формули коренів квадратного рівняння..........230
34. Теорема Вієта.................................241
35. Квадратний тричлен............................248
36. Розв’язування рівнянь, які зводяться
до квадратних рівнянь.............................255
37. Розв’язування рівнянь методом заміни змінної . . . 260
Таємна зброя Сципіона Даль Ферро.............270
38. Раціональні рівняння як математичні моделі
реальних ситуацій.................................271
§7. Основи теорії подільності
39. Подільність націло та її властивості..........277
40. Ділення з остачею. Конгруенції та їх властивості. . 281
41. Найбільший спільний дільник і найменше
спільне кратне двох натуральних чисел.
Взаємно прості числа...........................289
42. Ознаки подільності............................296
43. Прості й складені числа.......................ЗОЇ
• Про проблеми, пов’язані з простими числами . . . 309
44. Ділення многочленів...........................314
45. Корені многочлена. Теорема Безу...............317
46. Ціле раціональне рівняння.....................322
Відомості з курсу алгебри 7 класу.....................325
Відповіді та вказівки до вправ........................333
Предметний покажчик...................................355
Додаток 1. Зміст програми з алгебри (8 клас)
для класів з поглибленим вивченням математики......358
Додаток 2. Орієнтовне календарне планування
з алгебри (8 клас) для класів з поглибленим
вивченням математики...............................362
Навчальне видання
МЕРЗЛЯК Аркадій Григорович
ПОЛОНСЬКИЙ Віталій Борисович
ЯКІР Михайло Семенович
АЛГЕБРА
Підручник для 8 класу
з поглибленим вивченням математики
Для середнього шкільного віку
Відповідальний за випуск В. Л. Маркіанов
Редактор М. В. Москаленко
Художник С. Е. Кулинич
Художній редактор С. Е. Кулинич
Комп’ютерна верстка І. В. Чернухи
Коректор І. Л. Безсонова
Підписано до друку 03.07.2008. Формат 60x90/16. Гарнітура шкільна.
Папір офсетний. Друк офсетний. Умов. друк. арк. 23,0. Зам. !&3
Свідоцтво ДК № 644 від 25.10.2001 р.
ТОВ ТО «Гімназія»
61103, м. Харків, вул. Дерев’янка, 16а
Тел. (057) 758-83-93, 719-17-26
Віддруковано з готових діапозитивів
у друкарні ПП «Модем», м. Харків
Тел. (057) 758-15-80